Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
АРИФМЕТИКА
Целые числа и действия над ними 11
Текстовые задачи с целыми числами 12
Обыкновенные и десятичные дроби 15
Проценты (первая серия задач) 20
Задачи на кратные пропорции, пропорциональность величин и другие задачи 22
Раздел II
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
Предварительные понятия 27
Одночлены и многочлены 28
Алгебраические дроби 35
Уравнения первой степени с одной переменной. Системы уравнений первой степени и приводящиеся к ним 38
Извлечение квадратного корня 50
Квадратные уравнения 50
Степени и радикалы. Обобщение понятия степени 57
Уравнения высших степеней. Рациональные уравнения 61
Иррациональные уравнения 64
Системы нелинейных уравнений 65
Множество действительных чисел 69
Понятие функции. Графики функций 71
Прогрессии 74
Показательные и логарифмические функции 84
Показательные и логарифмические уравнения 87
Проценты (вторая серия задач) 91
Тригонометрические функции 93
Тригонометрические уравнения 114
Неравенства первой степени. Исследование уравнений первой степени 119
Исследование квадратного трехчлена. Неравенства второй степени. Рациональные неравенства 125
Неравенства с двумя переменными и их системы 130
Иррациональные неравенства 132
Показательные и логарифмические неравенства 133
Тригонометрические неравенства 135
Комплексные числа 136
Комбинаторика и бином Ньютона 142
Теорема Безу и ее приложения 148
Принцип математической индукции 150
Числовые последовательности и их пределы 151
Исследование функции без применения производной. Предел функции. Производная функции. Исследование функции с помощью производной 153
Дифференциал функции 168
Неопределенный интеграл 170
Определенный интеграл 174
Раздел III
ГЕОМЕТРИЯ. ПЛАНИМЕТРИЯ
Начальные понятия геометрии 177
Начальные понятия геометрии (продолжение) 178
Параллелограмм и трапеция 183
Окружность и круг 188
Симметрия фигур и некоторые другие вопросы 193
Векторы 194
Подобие фигур 204
Правильные многоугольники и вычисление длины окружности . ... 211
Площади фигур 215
Приложение алгебры к геометрии 221
Решение треугольников. Задачи по планиметрии с применением тригонометрических функций 222
Раздел IV
ГЕОМЕТРИЯ. СТЕРЕОМЕТРИЯ
Начальные понятия 229
Векторы в пространстве 230
Прямая и плоскость 237
Многогранники 246
Цилиндр и конус 254
Шар и комбинации геометрических фигур 262
Задачи по стереометрии с применением метода координат и векторов 271
Задачи по стереометрии с применением тригонометрических функций 274
Приложение I
КРАТКИЕ СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯПО НЕКОТОРЫМ РАЗДЕЛАМ МАТЕМАТИКИ
Функции и их графики
Алгоритм извлечения квадратного корня из числа
Алгоритм деления многочлена на многочлен
Теорема Безу и ее применение
Комплексные числа
Комбинаторика и бином Ньютона
Определители второго порядка и их приложение
Определители третьего порядка и их приложение. Решение систем линейных уравнений методом последовательного исключения переменных (методом Гаусса)
Абсолютная величина действительного числа. Уравнения и неравенства, содержащие абсолютную величину действительного числа
Метод математической индукции
Векторное произведение
Прямая в пространстве
Дифференциал функции
Неопределенный интеграл
Приложение II
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ И ОБРАЗЦЫИХ РЕШЕНИЯ
График дробно-линейной функции (преобразование графика функции у =1/ж)
Уравнения высших степеней (с целочисленными коэффициентами)
Рациональные уравнения
Иррациональные уравнения
Показательные и логарифмические уравнения
Тригонометрические уравнения
Рациональные неравенства
Иррациональные неравенства
Показательные и логарифмические неравенства
Тригонометрические неравенства
Применение тригонометрических функций в стереометрии
Приложение III
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
Экзаменационные задачи по разделам
Разные задачи из экзаменационных билетов
Образцы билетов с задачами по математике, предлагавшимися на письменных вступительных экзаменах в вузах
287293299304308318323287293299304308318323329333340344349355358329333340344349355358372377379381384395410415418422431372377379381384395410415418422431441457460470441457460470Выборочные задачи из экзаменационных билетов, не являющиеся обязательными для всех абитуриентов
287
293
299
304
308
318
323
287
293
299
304
308
318
323
329
333
340
344
349
355
358
329
333
340
344
349
355
358
372
377
379
381
384
395
410
415
418
422
431
372
377
379
381
384
395
410
415
418
422
431
441
457
460
470
441
457
460
470
Дополнение к разделу «Экзаменационные задачи». Варианты вступительных экзаменов 480
Дополнение к разделу «Экзаменационные задачи». Варианты билетов 2002 г 513
Приложение IV
СВОДНАЯ ТАБЛИЦА ФОРМУЛ
Алгебра и начала анализа 553
Геометрия 558
Приложение V
ЛАТИНСКИЙ И ГРЕЧЕСКИЙ АЛФАВИТЫ
Латинский алфавит 564
Греческий алфавит 564
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
РазделI. Арифметика 565
Раздел II. Алгебра и начала анализа 567
РазделIII. Геометрия.Планиметрия 655
РазделIV. Геометрия.Стереометрия 675
Приложение III. Экзаменационные задачи 692
Дорогой и незабвенной Т.П. Бартеневой — моей тетушке и воспитательнице, репрессированной в 30-е годы и освобожденной во время войны, впоследствии персональной пенсионерке, я посвяицаю этот труд.
Автор
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга создана на основе (мною же написанных) пособий по математике для заочных подготовительных курсов МГТУ «Станкин».
В журнале «Математика в школе» была опубликована рекомендация Отделения математики Академии наук СССР (во главе с академиком- секретарем Н. Н. Боголюбовым) о том, чтобы на первых курсах пединститутов были организованы повторные занятия по элементарной математике, прежде чем начать читать лекции по высшей математике. И поручено было организовать это мероприятие академику С. П. Новикову (президенту Московского математического общества).
А моя рукопись как будто по заказу была создана для этих занятий. О ней написано:
«Особое достоинство книги В. А. Бачурина заключается в том, что в ней отображена вся полнота вопросов элементарной математики... Пособие может служить руководством для лиц, самостоятельно готовящихся к поступлению в вуз, это не менее важное достоинство его).
Книга очень нужная), вполне отвечает своему назначению, таких книг нет...» (чл.-корр. АПН проф. И. Я. Верченко).
Рукопись была представлена академику С. П. Новикову, а он в свою очередь представил ее чл.-корр. Л. Д. Кудрявцеву и академику С. М. Никольскому, которые как раз в то время издали учебник по математике для школьников. Разумеется, они были в курсе школьных проблем. Рукописи была дана «зеленая улица», и она превратилась в книгу (1998 г.) ).
Предполагается, что решению задач данной книги будет предшествовать повторение теории соответствующих разделов учебников и изучение Приложений (условное название глав) к ней.
Материал Приложений представляет собой теоретическую часть пособия, в которой освещаются важные разделы математики, в том числе, например, Алгоритмы извлечения квадратного корня из чисел и деления многочлена на многочлен, Функции и их графики, Метод математической индукции, Комбинаторика и бином Ньютона, Абсо-
лютная величина числа, Комплексные числа (Приложение I); Решение рациональных уравнений и неравенств, Решение иррациональных уравнений и неравенств, Тригонометрические уравнения и неравенства, Применение тригонометрии в стереометрии (Приложение II). Приложение III охватывает вопросы вступительных экзаменов по математике.
Добавляется важный материал математики: излагаются разделы по теории и даются образцы решения задач (см. оглавление).
В журнале «Квант» опубликованы сведения о том, что некоторые вузы стали проводить вступительные экзамены по математике только в письменном виде. В соответствии с этим в экзаменационные билеты стали вносить по 8, 12, 16 и даже по 20 задач. (Например, в Академии нефти и газа им. И. М. Губкина — 12 задач.)
В этой книге и представлены такие варианты под названием Дополнение к разделу «Экзаменационные задачи».
Автор благодарит рецензентов проф. В. А. Треногина и ст. преподавателя Н. Н. Луговую за полезные советы, способствующие улучшению рукописи. Он также искренне признателен академику С. М. Никольскому, чл.-корр. РАН Л. Д. Кудрявцеву, чл.-корр. РАО И. Я. Верченко, профессорам И. И. Баврину, И. Н. Ильченко, В. С. Люк- шину, Г. И. Макаренко, И. И. Мельникову, Б. И. Сегалу и др., доцентам В. И. Гридасову, Н. Ф. Квачевой, Л. П. Паршеву, Б. С. Пицкелю, С. Ф. Прокопцеву и др., а также всем преподавателям вузов, в которых рукопись апробировалась.
Кстати, эта помощь преподавателей выражалась в разной форме и реализована в книге. Например:
Представленный в самом начале книги набор задач на все действия с многозначными натуральными числами дан по рекомендации профессора В. А. Треногина.
Будучи руководителем ПО МГУ в прошлом, профессор И. И. Мельников дал решения некоторых задач, в том числе, например, интересное решение непростого примера 9 на с. 406.
Доцент В. И. Гридасов из Воронежа прислал мне подробные решения некоторых задач.
Чл.-корр. РАО И. Я. Верченко рекомендовал обязательно дать в книге алгоритмы извлечения квадратного корня из числа и деления многочлена на многочлен.
Общее пожелание преподавателей, апробировавших рукопись — дать (не стесняясь) побольше простейших задач (непростейших задач достаточно в других книгах). Это и было сделано, но с «оглядкой», потому что некоторые рецензенты сочли наличие в книге простейших задач за «низкий уровень» пособия, что, кстати, послужило поводом для блокирования ее, начиная с 1971 г.
Все замечания и пожелания просьба присылать по адресу: 101472, Москва, Вадковский пер., д. За, Московский Государственный Технологический Университет «Станкин», кафедра высшей математики, Бачурину В. А.
Автор
К ПРЕДИСЛОВИЮ
По этой книге можно систематически повторить и освежить в памяти перед экзаменами всю элементарную математику, начиная с арифметики, пополнить знания и закрепить их. Тогда при твердых знаниях всей элементарной математики можно ожидать успеха на вступительных экзаменах в вуз.
Эта книга может быть рекомендована также для самообразования.
Автору книги приходилось проводить вступительные экзамены в разных вузах г. Москвы, в том числе в Московском Университете «Станкин», в котором, как и в других высших учебных заведениях, для успешного усвоения изучаемых в нем наук требуется основательная подготовка по математике. Однако экзамены показывают, что знания некоторых абитуриентов весьма слабы и притом по целым разделам математики:
прежде всего по тригонометрии, где нет твердых знаний по всему курсу, начиная с определения тригонометрических функций и их изменения по координатным четвертям;
нет достаточных навыков в составлении алгебраических уравнений по текстовым условиям и их решении;
часто вызывают затруднения задачи на построение и доказательство в геометрии;
построение графиков функций всегда было слабым местом не только у абитуриентов, но потом и у студентов (и даже у студентов 3-го курса при изучении тройных интегралов, когда завершалось изучение высшей математики) );
задачи на применение тригонометрии к стереометрии некоторые абитуриенты последних лет даже и не пытаются решать;
и даже четыре замечательные точки треугольника (как это ни странно!), и в какой четырехугольник можно вписать или вокруг какого можно описать окружность, далеко не все абитуриенты знают.
Абитуриент должен иметь в виду, что вступительные экзамены проводятся строго по экзаменационной программе. Этой программой охвачен весь объем знаний, который должен иметь будущий студент. Следовательно, ее нужно изучить. При этом следует учесть, что, во-первых, эта программа несколько полнее школьной программы и, во-вторых, написана она очень сжато, без подробного разъяснения. Например, о процентах в программе сказано только одно слово «проценты», а понимать под этим в данном случае следует: определение
процента, три основные задачи на проценты, сложные проценты. Разумеется, надо уметь решать всевозможные задачи на проценты, в том числе и на сложные проценты.
Развитие науки последних лет, и в первую очередь математики, вызывает необходимость повышенной подготовки абитуриентов. В связи с этим в этой книге и даны задачи, выходящие за пределы требований школьной программы. Это задачи по таким разделам элементарной математики, как:
теория соединений и бином Ньютона;
тригонометрическая форма комплексного числа и формула Муавра;
теорема Безу и ее приложение;
обратные тригонометрические функции с соответствующими упражнениями;
некоторые неравенства, не предусмотренные программой;
задачи на нахождение области определения и области значения сложных функций и их графики, например, у = lg tg ж.
В данном руководстве решена только часть задач. К решению некоторых из них даны указания, для большей части задач даны только ответы.
Автор
Раздел I
АРИФМЕТИКА
Целые числа и действия над ними
Проверить правильность вычислений (1-8; задачи 1-6 рекомендуется выполнить устно).
1) 1367 + 2143 + 2857 + 3633 = 10000;
2) 25361 - 12625 + 34639 - 37375 = 10000.
1) 34639-(37875+ 12125)+25361 = 10000;
2) ((73745-53745)-19999)+9 = 10.
1) 176332-(76310+ (23690-23668)) =100000;
2) 209891971 - (187654330 - 90108029) - 12345670 = 100000000.
1) (1 + 2+ 3 + 4 +... +96+ 97 + 98+ 99) + 50 = 5000;
(1 + 3 + 5 + 7 + ... +45 + 47 + 49 + 51) + 324 = 1000.
1) (45679 + 54321)-4 = 400000;
(24690 • 13 -12345 • 26) • 100000000 = 0 ).
1) (169-25-144-25) +375 :15 = 650;
2) 99-101+ (64-25) : 16 = 10099.
1) 8-85 — (36-(58 — 41) + 64) = 4;
(174 : (10000 - 9913) + 5 • 394) : 58 = 34.
1) 47027-24+ 31325-2408-356 = 302752;
960 : {2000 : [10002 - (6085 - 6083) - 4976]} = 12.
Выполнить действия:
71792 - 4329450 : 1350 + ЮЗ • 305;
349044 : 2006 + 8009 • 123 - 7403670 : 765;
((83325 - 26719146 : 426) • 170 +12814173 : 381) • 7;
(9405453300 : 205 - 61711 • 450) : 834 +1319 • 15150.
Выполнить действия:
(4 м2 16 дм2 72 см2 — 3 м2 95 дм2 92 см2) • 2;
{[(3 га 20 ар : 16 - 32 ар 80 м2 : 41) : 30] • 3500 - 9 га 60 ар} : 20;
(180о-64о15'36")-2;
25 сут 46 мин — 5 сут 21 ч 54 мин) : 2.
Вычислить ж из равенств:
(устно): (17ж — 561) • 7 = 0;
(устно): (630 —135ж + 720) : 9 = 15;
(70 • ж) : (4616 - (1273 + 3259)) = 80;
(2520: (480-3000: ж)+48)-8 = 576;
((56 • (666 + ж) +12600) : 40 - 700) • 24 = 21000;
((8600 - 325 • (576 : ж)) • 42) : 165 - 220 = 480.
§ 2. Текстовые задачи с целыми числами
Одно изделие штампуется на станке в течение минуты. Сколько изделий может штамповаться за сутки; за неделю?
36 книг отпечатано из трех стоп бумаги (в стопе 480 листов). Сколько листов в каждой книге?
Некто запланировал проехать 500 км за 20 дней. В первые 12 дней он проезжал по 23 км. По скольку километров он должен проезжать в каждый из оставшихся дней?
Двое выехали одновременно из двух городов, находящихся на расстоянии 600 км друг от друга, и встретились через 15 дней в 240 км от одного из городов. Сколько километров в день проезжал каждый из них?
Из пункта А выехал велосипедист со скоростью 6 км/ч. Через 2 ч за ним выехал другой велосипедист со скоростью 9 км/ч. Когда он догонит первого?
Расстояние АВ в 160 км автомобиль проехал за 4 ч, причем сначала он ехал со скоростью 80 км/ч, а потом — со скоростью 20 км/ч. Какую часть пути АВ составляет первая часть его?
7 рабочих за 4 дня вырыли канаву в 168 метров. Сколько нужно рабочих, чтобы за 5 дней вырыть канаву в 150 метров?
Турист, идя по 8 ч в день, прошел за 5 дней 160 км. Сколько часов в день он должен идти, чтобы за 10 дней пройти 280 км?
На бумажной фабрике машина изготовляет каждую минуту 100 листов бумаги. Сколько стоп (в стопе 480 листов) она изготовляет в сутки?
В пекарне каждую минуту выпекают по батону и завертывают его в лист бумаги. Сколько стоп бумаги (в стопе 480 листов) используется в сутки?
Родник в 24 минуты дает бочку воды. Сколько бочек воды родник дает за сутки?
Два путника одновременно выехали навстречу друг другу из пунктов А и В, между которыми 85 км. Через сколько часов они встретятся, если один километр они проезжают соответственно за 7 мин 30 сек и за 6 мин 40 сек?
Из 200 листов бумаги сделаны 24 тетради двух сортов: по 7 листов и по 11 листов. Сколько получилось тетрадей каждого сорта?
9 ткачей работали 8 дней по 7 часов в день и выткали 168 м ткани. Сколько метров ткани выткут 10 ткачей за 9 дней, работая по 8 часов в день?
Поезд, не останавливаясь, может проехать в сутки 960 км. Сколько километров он проедет в сутки, если из каждого часа 12 мин 30 сек идут на остановки?
Собака увидела зайца за километр и бросилась за ним. Заяц пробегает в час 30 км, собака — 36 км. Через сколько времени собака догонит зайца?
Ткачиха ткет в день по 15 м ткани. На мешок идет 3,5 м ткани. Сколько мешков она выткет за 7 месяцев, работая по 24 дня в месяц?
В одной школе, имеющей 161 ученика, расходуется 7 стоп бумаги. Сколько нужно бумаги на 2 школы, имеющей 44 и 48 учеников?
Стояли березы, летели галки. На каждую березу село по галке, и осталось 5 галок. Потом на каждую березу село по 2 галки и осталось 5 берез без галок. Сколько галок, сколько берез?
Поезд выехал из Москвы в 5 ч утра и приехал в Тамбов в 6 ч вечера того же дня. Останавливался он в пути 7 раз по 15 мин и проезжал по 40 км в час. Сколько километров от Москвы до Тамбова?
От Москвы до Санкт-Петербурга 604 км. Поезд ехал со скоростью 40 км/ч и останавливался 6 раз по 19 минут. Сколько часов заняла поездка?
Дорожные рабочие 3 дня ремонтировали дорогу. В первый день работали 13 рабочих, и каждый отремонтировал по 18 м дороги. Затем каждый день прибавлялось по одному рабочему, и каждый день каждый из них чинил на метр больше, чем накануне. Сколько метров дороги они отремонтировали?
Размеры деревянного бруса 4 м х 3 дм х 2 дм. Вычислить его массу, зная, что масса 1 дм3 бруса равна 600 г.
Одно колесо делает 4620 оборотов за 77 мин, а другое за 54 мин оборачивается 1080 раз. Во сколько раз первое колесо оборачивается быстрее второго?
1) Написать трехзначное число, которое делилось бы на 3, но не делилось бы на 9.
Написать четырехзначное число, которое делилось бы на 9, а при делении на 5 давало остаток 4.
1) Написать четырехзначное число, которое делилось бы и на 9, и на 4.
2) Написать трехзначное число, которое делилось бы на 4, а при делении на 3 давало в остатке 2.
1) Написать четырехзначное число, которое делилось бы на и на 9, и на 25.
В числе 5060703 вместо нулей поставить такие одинаковые цифры, чтобы полученное число было кратно 9.
Не производя действий и пользуясь признаками делимости, установить, какие из данных произведений будут делиться нацело на 2, 3, 5 и 9:
6-23-75; 55-32-27; 64-128-32;12-46-301;
37-121-19;123-207-41; 43-50-11;129-121-621.
Написать несколько чисел, кратных 3 и 7; 2,5 и 11; 3,5 и 7; 24 и 36; 27,5 и 121; 29,5 и 119; 73,5 и 147.
Найти наименьшее общее кратное чисел и дополнительные множители к ним:
а)156;195;3900;б) 40; 64; 112;88;
в)317;182;241;г) 213; 117; 278; 173.
Найти наибольший общий делитель чисел:
475;570;741;2) 1008; 882;1134;
980;1176; 1225;4) 594; 7920;22374.
1) Во сколько раз наибольший общий делитель чисел 6120 и 36360 больше наибольшего общего делителя чисел 1260 и 55260?
Найти наименьшее общее кратное всех однозначных чисел.
1) Не производя деления, сказать, какой остаток получится при делении числа 591427 на 5; на 9; на 10; на 25.
Вычитаемое увеличено на 23 единицы. Как надо изменить уменьшаемое, чтобы разность:
а) увеличилась на 14 единиц; б) уменьшилась на 5 единиц?
45. 1) Как изменится произведение двух сомножителей, если один из них:
а) увеличить в 5 раз; б) увеличить на 3 единицы;
в) уменьшить на одну единицу?
При делении числа на 108 в остатке получилось 90. Как изменится частное и сколько получится в остатке, если то же число разделить на 36?
1) Какой цифрой оканчивается сумма всех трехзначных чисел?
На сколько единиц и во сколько раз наименьшее общее кратное чисел 126, 210 и 336 больше их наибольшего общего делителя?
Из двух сцепляющихся зубчатых колес одно имеет 28, а другое 16 зубьев. До начала движения мелом отмечены два соприкасающихся зубца этих колес. Через сколько оборотов того и другого колеса будут повторяться совпадения этих меток?
Сумма двух чисел 495; одно из них оканчивается нулем; если этот нуль зачеркнуть, то получится второе число. Найдите эти числа.
Собака погналась за лисой из точки Л, когда лиса была в точке В на расстоянии 30 км от А. Скачок собаки равен 2 м, лисы — 1 м. Собака делает два скачка, а лиса за это же время — три. На каком расстоянии от точки А собака догонит лису? Предполагается, что собака и лиса бегут вдоль луча АВ.
Имеется 320 орехов, 240 конфет и 200 пряников. Какое наибольшее число одинаковых подарков для детей можно сделать из этого запаса, и сколько орехов, конфет и пряников войдет в каждый подарок?
В 7 часов утра три автобуса одновременно отправляются с площади по трем направлениям и вновь туда возвращаются. Первый автобус возвращается через 2 ч 10 мин и вновь отправляется в рейс через 20 мин; второй возвращается через 1 ч 48 мин, отправляется через 12 мин; третий возвращается через 1 ч 36 мин, отправляется через 4 мин. В какое ближайшее время автобусы вновь одновременно выедут с площади?
1) Найти два числа, зная, что их наибольший делитель 20, а наименьшее кратное 420.
2) Произведение двух чисел равно 286. Если множитель уменьшить на 2, то произведение будет равно 242. Найти эти числа.
1) Делимое увеличено на число, равное делителю. На сколько увеличилось частное?
Делимое уменьшено на число, которое в 7 раз больше делителя. На сколько уменьшилось частное?
1) Число 1872 разделить на три такие части, чтобы вторая была втрое, а третья — впятеро больше первой.
Сумма двух чисел 13248, а частное от деления одного числа на другое 35. Найти эти числа.
По кругу) бегут 4 лошади. Одна лошадь пробегает круг за 20 мин, другая — за 15 мин, третья — за 12 мин, четвертая — за 10 мин. Если бы они вышли одновременно из одного и того же начального пункта круга, то через несколько минут они пронеслись бы опять одновременно через этот пункт. Через какое время все лошади одновременно вернулись бы к исходному пункту, и сколько кругов сделала бы каждая лошадь за это время?
§ 3. Обыкновенные и десятичные дроби
Проверить равенство дробей (устно):
n 1 _ 7 _ 3790 _ 100991.х 1 _ 8 _ 170 _ 34000
' 2 “ 14 “ 7580 “ 201982’' 3 “ 24 “ 510 “ 102000'
30403040/4зо\- больше — .\540//4зо\- больше — .\540/Доказать неравенства: n 11 /1Ц 4
30
40
30
40
/4зо\
- больше — .
\540/
/4зо\
- больше — .
\540/
Х) 3 < 2 U МеНЬШе 2л 2) 5
Найти ошибки в следующих действиях:
2 + 3 - 2 + 3 - 5 - 1-2) 5 + 3 -+ 3 — 2
3) 17-7:2 = 111 = 5;4) 13+12 : 1 = ^ =5.
Проверить правильность вычислений предыдущей задачи:
п 2 । 3 _ 2-2 + 3 3 _ 13 _ ^ 1.2) 5 + 3- — 5+ 3 — 5 33 + 2"6"66’ + 3 4-5+4”54’
17 —7 : 2 = 17 —з! = 1з1;
13 + 12:1 = 13 + 12-5 = 13 + 60 = 73.
Проверить правильность следующих вычислений (устно):
1) 71 + 51 = 13- 2) 1 + 1 = 1- 3) 1-1 = 1- 4) 1-12 = 1
7 5 + 5 5’3+ 2 6 ’2 3 6 ’9 9999 ’
101+41-21 = 13;636
7)
») ^8 + 2^:17+;
15 • | +11 • 2 = 12;
8) 13-41-35-2-11=0;
ю) 55:5 + 11 = 1
1) Проверить равенства:
а) ^ = 1,5;б) 7 = 0,75;в) ^- = 0,05;г) ^ = 1,75;
д) у = 3,8;е) у = 0,575;ж) у = 1,6325;з) ^ = 1,0625.
Представить обыкновенные дроби в виде десятичных: .9,.11.2. 1.41.37. „ 5. _ 69
а 40’ б)1б; В)3; Г 99’ Д) 333; в 99’ ж)212; з) 7222"
1) Сформулировать правила превращения чистой и смешанной периодических дробей в обыкновенные.
Представить десятичные дроби в виде обыкновенных:
а) 2,4;б) 1,6875;в) 13,(6);г) 11,(01);
д) 3,(123);е) 17,(37);ж) 8,41(6);з) 19,3(108).
Проверить правильность вычислений:
1)3)4)1)3)4)785 + 241-”з=4Т 2> ^Ь32?-64^"^
1)
3)
4)
1)
3)
4)
5 /5 9 31 \ к 551 /? 5
28V7:35"7)+56:12=1614-
f—+ 1—V —- f2-2-V—= -• \15 + 12/ 103\4/ 324’
,А A7 q1 q 3 9, 0,1 —0,090„„37
6 5 — • 3 + 18 - 2 Ч—::= 26 —.
’2450,6-0,5840
(
41 X
545 "415Т304,25:0,85 + 1:0,5 =„
Х1(5,56-4,06) :3 “
3
(1,09-0,29)-11(Ц,81 + 8,19) -0,02 _
Г18,9 —16—)•-9:11,25\ ’20/9Г18,9 —16—)•-9:11,25\ ’20/92 В. А. Бачурин2 В. А. Бачурин
Г18,9 —16—)•-9:11,25
\ ’20/9
Г18,9 —16—)•-9:11,25
\ ’20/9
2 В. А. Бачурин
2 В. А. Бачурин
Произвести указанные действия (66-75).Произвести указанные действия (66-75).74.(10 : 2,(6) +7,5 :10) (А - 0,2(3)" ^ + ^) " (0,(17) - 0,(13)).74.(10 : 2,(6) +7,5 :10) (А - 0,2(3)" ^ + ^) " (0,(17) - 0,(13)).75.75.125000125000125403125403- 8,75 • (1,001001 + 0,013 - 0,171)- 8,75 • (1,001001 + 0,013 - 0,171)
Произвести указанные действия (66-75).
Произвести указанные действия (66-75).
74.(10 : 2,(6) +7,5 :10) (А - 0,2(3)" ^ + ^) " (0,(17) - 0,(13)).
74.(10 : 2,(6) +7,5 :10) (А - 0,2(3)" ^ + ^) " (0,(17) - 0,(13)).
75.
75.
125000
125000
125403
125403
- 8,75 • (1,001001 + 0,013 - 0,171)
- 8,75 • (1,001001 + 0,013 - 0,171)
з
между станциями?между станциями?Когда поезд прошел - расстояния между двумя станциями, до половины пути ему осталось пройти 2 км. Как велико расстояние
между станциями?
между станциями?
Рабочий может выполнить все задание за 12 дней, а подсобный — за 24 дня. За сколько дней будет выполнено все задание, если оба рабочих будут работать вместе?
Сумма трех натуральных (целых положительных) чисел равна 125. Одно из них является пятнадцатым натуральным числом, второе составляет - часть третьего. Найти эти числа.
Через один кран ванна наполняется за 18 мин, а через другой — за 27 мин. На какое время надо открыть сразу оба крана, чтобы наполнить - всей ванны?
6
Найти число, если известно, что 0,15 этого числа равны 0,6 от 17,5.
Как изменится частное, если делимое умножить на 0,16, а делитель разделить на 6,25?
При размоле 3^ ц пшеницы получили муку, манную крупу и 84
отруби. Масса муки составила - массы пшеницы, масса манной кру1
пы — — массы муки. Сколько получилось отрубей?
Сколько было мяса, если мягкая часть его (вырезка), состав- 22
ляющая - всей массы, в сваренном виде равна - массы сырой вырезки и меньше ее на 400 г?
Запаса корма хватит для кур на 5 месяцев, а для уток — на 3 - месяца. На какое время хватит корма для тех и других?
2
Два рабочих могут выполнить некоторое задание за 2 - дня. Первый может выполнить это задание за 4 дня. За сколько дней может выполнить задание второй рабочий?
5
В первый день туристы прошли — всего намеченного пути, а 424
во второй день - того, что прошли в первый день. Как велик намечен- 5
ный путь, если во второй день туристы прошли 24 км?
3
Масло перелили из бака в 3 бидона. В первый бидон вошло — всего масла, во второй - всего масла, а в третий — на 6 л меньше, чем в первый бидон. Сколько масла было в баке?
Автомат А может выполнить заказ за 3^ дня, автомат Б тот 18
же заказ — за 2- дня. Сколько дней будут выполнять заказ оба автомата?
Из бассейна равномерно спускают воду. Через час после начала спуска ее осталось 400 м3, а еще через 3 ч — - того, что осталось после часа спуска. Сколько воды было в бассейне первоначально?
2*
Из пункта А вышел пешеход, а через 2 ч оттуда же выехал в том же направлении верховой. На каком расстоянии от пункта А верховой догонит пешехода, если пешеход шел со скоростью 4- км/ч, а верховой проезжал 9 км за 45 мин?
Из Санкт-Петербурга в Кронштадт в 12 ч отбыл пароход и покрыл все расстояние за 1 - ч. По пути он встретил другой пароход, вышедший из Кронштадта в Санкт-Петербург в 12 ч 18 мин и шедший со скоростью в 1 - раза большей, чем первый. Когда произошла их встреча?
§ 4. Проценты (первая серия задач)
Выразить в процентах следующие числа (вычисления рекомендуется производить устно).
(Схема действий: А = А • 100 • -^ = А • 100 %.^
0,01; 0,5; 0,95; 0,073 (0,0037 = 0,37%);
1,5; 3; 5,07; 11,001 (13,031 = 1303,1%);
1=
2’ 4’ 10’ 20 \50/’} 7’ 20’ 50’ 3 V1717 7
Выразить процентные числа обыкновенной или десятичной дробью или целым числом (вычисления рекомендуется производить устно).
(Схема действий: п % = п • -^ = 0,01п.)
1%; 25%; 5,3%; 7,01% (0,011 % = 0,00011);
1%; 1%; Ц%; 17?% (зЗ?% == 1).
Три основные задачи на проценты
Нахождение процента от числа
(Схема действий: т% от В = -^ от В = ^^ '^')
Вычислить (устно):
1% от 150 руб.; 2) 2% от 185 руб.; 3) |% от 1600 руб.;
75% от 64 (зз|% от 60,12 = 20,04/
Из молока получается 10 % творога. Сколько его получится из 12,3 кг молока?
Нахождение числа по проценту
(Схема действий: р% от х = с; -^- • х = с; х = ^^ с.)
Вычислить (устно), от какого числа 24 составляет:
10%; 2) 50%; 3) 25%; 4) 3%.
(Например, число 24 составляет 30 % от числа ж = 80, поскольку ж = ^2-24 = 80.)
30/
Поверхность суши Земли составляет « 29,4% всей поверхности планеты и равна ^ 150 млн. км2. Какова вся поверхность Земли?
х _ а _ 100а ню- л;х _ а _ 100а ню- л;ИЛИИЛИПроцентное отношение чисел
х _ а _ 100а ню- л;
х _ а _ 100а ню- л;
ИЛИ
ИЛИ
( Схема действий: х % от А = а; • А = а
а а1100а\100
11001100Сколько процентов от 1 м составляют: 1 дм; 1 см; 3 дм; 7 мм?
1
100
1
100
(Например, 1,3 мм от 1 м составляют 0,13 %: ^ == JJL
V1 о 1 ох Ю0010000100
„„_А = _А-1(|(|% = (,13%.)
1 2
чисел,чисел,Сколько процентов составляют числа 5; -; -; 0,8 от /15 5 \ /3
чисел,
чисел,
им обратных 3; -; -р (^Например, число - от обратного ему
83 83 39., 1 оу \
числа - составляет -:-=-•-=—=14 — %.
38 38 864167
При выпечке хлеба из 6 т муки получено 2,7 т припека. Сколько процентов составляет припек?
На товар снизили цену сначала на 15 %, а затем еще на 12 %. Какова теперь цена товара, если до первого снижения цен он стоил 18000 руб.?
Цена на товар понизилась на 40%, затем еще на 25%. На сколько процентов понизилась цена товара по сравнению с первоначальной ценой?
Составить формулу для нахождения процентного отношения двух чисел а и Ь.
Магазин продал в первый день 15 % поступившего с базы товара, во второй день — 20 % остатка. Вычислить, сколько процентов поступившего в магазин товара осталось непроданным.
35% участников первого тура олимпиады было допущено во второй тур, а - участников второго тура было отмечено премиями и похвальными грамотами. Первую премию получил 1 человек,
вторую — 2 человека, третью — 5 человек, и 20 человек получили похвальные грамоты. Сколько было участников в первом туре?
Естественная убыль зерна при хранении за 5 месяцев составляет: в элеваторе 0,08%, на складе насыпью 0,12%, на площадке 0,18%. Вычислить потери при хранении 100 т зерна в каждом из
указанных мест, а также — на складе и площадке в отдельности по сравнению с потерями в элеваторе.
Охотничий порох состоит из селитры, серы и угля. Масса серы относится к массе селитры, как 0,2 : 1,3, а масса угля составляет 11- % общей массы серы и селитры. Сколько каждого из веществ содержится в 25 кг пороха?
В цистерну налили 37,4 т бензина, после чего осталось незаполненным 6,5 % вместимости цистерны. Сколько бензина нужно долить в цистерну для ее заполнения?
Объем строительных работ увеличился на 80%. На сколько процентов нужно увеличить число рабочих, чтобы выполнить работу за то же время, если производительность труда будет увеличена на 20 %? (Указание. Принять первоначальный объем строительных работ за 100, а производительность труда рабочих до ее повышения за 100 единиц.)
Сколько кг пресной воды нужно прибавить к 80 кг морской воды, чтобы содержание соли в ней было не 5 %, а 2 %?
1) При проверке влажность зерна оказалась равной 25 %. 2 ц этого зерна просушили, после чего оно потеряло в массе 30 кг. Вычислить влажность зерна после просушки.
2) До просушки влажность зерна была равна 23 %, а после просушки оказалась равной 12%. На сколько процентов убыло в массе зерно после просушки?
Найти число, зная, что 10 % его составляют 20 % от 16,5.
Первое число составляет 50 % от второго. Сколько процентов от первого числа составляет второе?
Промилле называется тысячная часть числа, обозначение %0.
Заменить:
Проценты промилле: 3%; 7,2%; 20%; 82,5%; 100%; 0,4%.
Промилле процентами: 500 %0; 85 %0; 10 %0; 6 %0; 0,5 %0.
§ 5. Задачи на кратные пропорции),пропорциональность величин и другие задачи
1) Заменить отношение дробей отношением целых чисел: ^Я^ 6>31:2,6,0,78.
25
2) - одного числа равны - другого. Найти отношение этих чисел.
36
1) Число 78117 разделить на части пропорционально чис- 112,, 1
лам — :-:-: 1 и 1 - .
12’ 4’ 3’4
Разделить число 2,38 на три части ж, у, % так, чтобы ж : у = = 3:5 и y:z = ^:U.
Найти отношение числа а к числу Ь, если 2,5 : а = 3,5 : Ь.
Составить кратные пропорции из следующего равенства:
21-12 = 5.41 2772
Дано: ^ = ^. Доказать следующие производные пропорции:
аДЬ c-Vd a — b c — d a — b c — dх
1) —— = ——; 2) —— = ——;3) =. (См. ответ.)
b dо dа с
Проверить на числовом примере следующее свойство членов кратной пропорции: наибольший общий делитель крайних членов, наименьшее общее кратное средних членов, наибольший общий делитель средних членов и наименьшее общее кратное крайних членов составляют пропорцию.
Санкт-Петербург расположен на 30° восточной долготы, а Самара — на 50° восточной долготы. Вычислить солнечное время Самары в тот момент, когда в Санкт-Петербурге полдень.
Когда в самом западном пункте России (Калининградская область) полночь, в самом восточном пункте России (мыс Дежнева) уже 11 ч 20 мин. На сколько градусов с востока на запад простирается территория России?
Пролетев 1700 км, самолет сделал вынужденную посадку на 1 ч 30 мин, после чего полетел с уменьшенной на 50 км/ч скоростью. Найти первоначальную скорость самолета, если известно, что он прибыл на место назначения через 5 ч после вылета, покрыв расстояние в 2900 км.
Сплавили 120 г серебра 640-й пробы со слитком серебра неизвестной пробы и получили 320 г серебра 700-й пробы. Вычислить пробу второго слитка. (У к а з а н и е. Пробой называется количество граммов драгоценного металла в 1000 г сплава: например, серебро 835-й пробы в 1000 г сплава содержит 835 г чистого серебра.)
Расстояния от А, В и D до С пропорциональны числам 1; 1,6 2
и 2-. Расстояние от Л до С на 4,5 км меньше расстояния от В до С.
Найти расстояния от А, В и D до С.
Из Нижнего Новгорода в Астрахань и обратно, из Астрахани в Нижний Новгород, ежедневно в один и тот же час выходит по пароходу. По течению этот путь пароход проходит за 4 дня, а обратно против течения за 5 дней. Сколько пароходов встретит на своем пути
до Астрахани пароход, вышедший из Нижнего Новгорода, и сколько пароходов нужно для обслуживания этой линии?
На заводе имеются станки: токарные, фрезерные и шлифовальные, количества которых относятся, как — : 0,5 : 0,25. Сколько всего станков на заводе, если фрезерных и шлифовальных станков вместе на 92 меньше, чем токарных станков?
Два зубчатых колеса соединены зубцами: меньшее имеет 38 зубцов, большее 114. Сколько оборотов сделает меньшее колесо, когда большее сделает 5 оборотов?
12
В первый день рабочий выполнил - всего заказа, во второй - всего заказа. Во сколько раз работа, выполненная за два дня, больше
невыполненной работы?
Серебряный слиток массой в 2 кг 340 г содержит чистого серебра 0,875 всей массы. Сколько меди нужно прибавить к слитку, чтобы проба его стала 835-й? (Вычислить с точностью до 1 г.)
Две бригады работали в поле. Первая бригада засеяла 25 га при плане в 20 га, вторая засеяла 90 га, имея план 75 га. Какая бригада работала успешнее?
Производительность труда рабочего повысилась на 20%. На сколько процентов уменьшится время, необходимое для выполнения одной и той же работы?
Среднее арифметическое трех чисел 8,9. Второе число больше первого на 0,7, а третье больше второго тоже на 0,7. Найти эти числа.
С дровяного склада в первый день отпустили 420 м3 — 35 % 5
имевшихся на складе. Во второй день — - того, что отпустили в первый день, в третий день остальные дрова распределили между тремя потребителями пропорционально числам 2,625; 1,125; 0,75. Сколько дров было отпущено каждому потребителю в третий день?
Сумма двух чисел равна 120. Найти эти числа, если 40 % одного равны 60 % другого.
Сцеплены два зубчатых колеса, причем на первом 15, а на втором 28 зубцов. Первое колесо делает 32 оборота за 15 с. Сколько оборотов сделает второе колесо за 21 мин?
На сколько процентов увеличится площадь квадрата, если сторону его увеличить на 20 %?
Взяв любые два числа, убедиться, что их наименьшее общее кратное можно найти, перемножив эти числа и разделив полученное произведение на наибольший общий делитель данных чисел. Проверить этот способ для чисел: 1260 и 4410; 1650 и 2730.
Первое число на 25 % больше второго. На сколько процентов второе число меньше первого?
Взяв любое многозначное число, убедиться, что если из него вычесть сумму его цифр, то разность будет кратна 3 и 9. Почему?
Для посева пшеницы было выделено три опытных участка. Площадь второго участка составляла 48 % площади всех трех участков, а площади первого и третьего участков относились, как 0,1 : —. Найти суммарную площадь всех трех участков, если известно, что площадь третьего участка меньше площади второго на 2,5 га.
Сколько тонн продукции дает каждый из двух станков за одну смену, если известно, что первый станок, работая в две смены, дает в 3 раза больше продукции, чем второй за одну смену, и что второй станок, работая в две смены, дает на 20 ^ т продукции больше, чем первый за одну смену?
Два туриста едут навстречу друг другу. В первый день каждый из них проезжает 5 % всего пути, равного 560 км; во второй день —
„
по - остатка пути; в третий день они встретились, двигаясь со скорос- 64
тями в отношении 0,26 : —. Чему равны пройденные туристами расстояния до их встречи?
На карте с масштабом —-— турист находился от базы в 16 см. 50000з
Через какое время он будет находиться от базы в 1 - км, если будет 4
двигаться к ней со скоростью 4- км/ч?
Грузовая машина прошла 135 км. Сначала она шла по шоссе, а затем по грунтовой дороге, которая на 50 % длиннее шоссе. Время движения машины по шоссе относилось к времени движения ее по 2
грунтовой дороге, как - : 1,25. Какова скорость машины по шоссе, если по грунтовой дороге она равна 18 км/ч?
Вычислить массу загруженного поезда, состоящего из 6 двухосных и 9 четырехосных цистерн, если: масса пустой двухосной цистерны равна 7,55 т, а масса пустой четырехосной цистерны в 3,1 раза больше массы двухосной; вместимость четырехосной цистерны равна 51 м3, а двухосной составляет ^ вместимости четырехосной; 1 см3 нефти содержит 0,76 г.
Найти х из пропорций (147-148).
1,0(45)® —5 —(i^-^lo,7
147.148.147.148.88 _ \ 6321/
147.
148.
147.
148.
/19 _ ^\82.0,675-2,4-0,02'
\ 2440/16
™.q1—-0,945:0,9
_20
10,5 0,24-14,15 : 7,512-42 -7
408 '
149. Разработка 1002 м2 мрамора вручную стоила 701901 руб.,149. Разработка 1002 м2 мрамора вручную стоила 701901 руб.,2
149. Разработка 1002 м2 мрамора вручную стоила 701901 руб.,
149. Разработка 1002 м2 мрамора вручную стоила 701901 руб.,
а разработка на 16 - % большего количества его механизированным
способом обходится на 579740,5 руб. дешевле. На сколько процентов механизированный способ разработки 1 м2 мрамора дешевле ручного?
Двое бегут по окружности навстречу друг другу. Один пробегает окружность за 3 мин, другой — за 5 мин. Через сколько минут происходит каждая их встреча?
3
В первый месяц завод переработал в сахар - всей сахарной 3 7
свеклы, во второй месяц — - оставшейся свеклы, а в третий месяц — остальные 220 т. Из 1 кг сахарной свеклы получили 0,16 кг сахара. Сколько сахара выработано в течение 3 месяцев?
Сколько килограммов олова надо прибавить к куску бронзы массой в 2 кг, содержащему 12 % олова, чтобы повысить содержание в нем олова до 20 % общей массы?
Найти х из выражений (153-156).
(16^-13^) ж+ 2,2(0,(24)-0,090909...) = ^;
((1,625— — ■ — ) : ж + (2,5 : 1,25) : 6,7б) : 1 —
1 _ .\\ ’18 26 / v ’’ 7’ /6817
-——г—г-= —
( i - 0,3751 : 0,125 + ( - - - ) : (0,358 - 1,4796 : 13,7)
\2/\612/ v ’’’ 7
/(4Д(3) + 0,8ж)-—\п
(0,(4) + 3,4—126 \ . 0 58 - 0,5 = 11;
(53I+9,1(6))-1,23—-5,8(3)
1 Кй у 4235 _ 1 П к
(10,3-ж)-0,(55)3,(6)-3,1(6)’
Раздел II
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
Предварительные понятия
Написать общую формулу:
четного числа;
числа, кратного 5;
нечетного числа;
числа, кратного 7;
числа, кратного 2 и 3.
Записать число, имеющее:
т десятков и п единиц;
р сотен и q единиц;
а сотен, b десятков и с единиц.
Любое число, написанное по десятичной системе счисления, может быть представлено в следующем виде:
N = ап • 10n + dn—1 * Юп 1 + dn—2 * Юп 2 +...
... + Ctg • 103 + С12 * К)2 + ОД • 10 + Cig, где an, an_i, ..., ai, ао — цифры, п — натуральное число.
Записать по общей формуле числа: а) 7384; б) 1204005.
Записать одним числом следующие выражения:
а) 3 • 104 + 2 • 103 + 5; б) 7-106+ 5• 104+ 7-103+4-10 + 3.
Доказать, что:
Трехзначное число с одинаковыми цифрами делится на 37.
При любом целом числе п число п2 + п четное.
Сумма любых двух последовательных целых чисел не делится на 2.
Сумма любых трех последовательных целых чисел делится на 3.
Сумма любых пяти последовательных целых чисел делится на 5.
Сумма двух нечетных чисел — число четное.
Разность двузначного числа и числа, написанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 9.
Сумма двузначного числа и числа, написанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 11.
§ 2. Одночлены и многочлены§ 2. Одночлены и многочленыПроверить правильность выполнения действий (5-10).Проверить правильность выполнения действий (5-10).
§ 2. Одночлены и многочлены
§ 2. Одночлены и многочлены
Проверить правильность выполнения действий (5-10).
Проверить правильность выполнения действий (5-10).
13,3а + (0,01с - (7ж - (с - 0,3а)) + 7ж) = 13а + 1,01с;
/1,1 \/ 21 ,1 \
\2 ° + 3 ~ 5 / ~ \ 3 П ~ 2 ~ 5 / = 6 П ’
2,8х2у — (— 1,3ж2т/ + (—5,4жт/2 + 3,2ж2?/) — 2,7ж?/2 — х2у) =
= 1,9ж2?/+ 8,1ж?/2.
2) (—7m3) (—| п2) (— | а3) = —2m3n5;
fl 7 ab2c] (— 7 а3с3) = — а4Ь2с4; \ 4/ \ 5/2
/ к \3 к
(1,2ж2?/3)2 • f— - х2ус^ = —-х10у9с3.
1) (2ж2 — Ьх + 3) • (2ж) — (ж2 — х — 2)(—Зж) = 7ж3 — 13ж2;
1 7 ab (7 а2Ь - 7 ab2 - Ь3А = a3b2 - 2a2b3 - 1 7 ab4-
73\426 /9’
f2 ху + 22 | ху \ = — 5,4ж3?/ + 3 | х2у2 — вху3,
д ахА • f | х4 — | ах3 + 2 а2х2 — а3х\ =
= — 2 7 аж6 + 3 7 а2ж5 — 3 7 а3ж4 + 1,5а4ж3. 444
1) 6а + 3-2а-5 = 12а-5;
6а + 3-(2а —5) = 12а-15;
(ба + 3) • 2а — 5 = 12а2+ 6а — 5;
(ба+ 3)-(2а-5) = 12а2-24а-15.
1) (а + b)(m + n) = ат + bm + ап + Ьп;
(2ж + 3)(9ж-13)-3(1-6ж)(-13-ж) = -230ж.
10. 1)10. 1)2п +2п += 8п3 + |;= 8п3 + |;
10. 1)
10. 1)
2п +
2п +
= 8п3 + |;
= 8п3 + |;
/ 9 2 I l । 42 Д о 3 з 3,з
2) l-a2^ab^-b2\l-a--b\=3-a3- — b3.
X 4У / X Z О / ОZ /
Вывести формулы сокращенного умножения и деления и привести их словесные формулировки:
(а + Ь)(а — Ь) = а2 — Ь2;
(а + Ь)2 = а2 + 2аЬ + Ь2\
(а — b)2 = а2 — 2аЬ + Ь2^
(а + 6)3 = а3 + За26 + За62 + 63;
(а — ЬУ = а3 — За26 + ЗаЬ2 — Ь3;
(а + 6)(а2 — ab + b2) = а3 + Ь3;
(а — Ь)(а2 -\-ab-\-b2) = а3 — Ь3;
(а+ 6 +с)2 = а2 + 62 + с2 + 2а6 + 2ас + 26с.
Произвести указанные действия или проверить правильность их выполнения (устно) (12-36).
1) (m + n)(m —п);2) (р + q)(p — q) = р21 — q21.
1)+ зпДзп“ ymp
\22Д22/44
1) 7(n2 — 2) — 4(3 + n)(n — 3);
(a + 1)(1 — a)(l + a2) = 1 — a4.
1) (a — b)2 = (b — a)2;2) (—a — b)2 = (a + b)2.
1) (f^O^; 2) ^-Z)2 = ^ + 5-^.
(ж + у)2 — (ж — у)2 = 4ху (двумя способами).
оЬУ а3 Ь3 ab (а Ь\
1) а3 4-ЗаЬ (а + Ь) + Ь3 = (а + Ь)3;
а3— ЗаЬ(а — Ь) — Ь3 = (а — Ь)3.
1) (a + l)(a2 — a + 1);2) (2 — ж)(4 + 2ж + ж2) = 8 — ж3.
(n+j)(n2"? + 5)’
(|-2б)(у+ a6 + 462) = у-863.
1) (а2 + & + 1)2;2) (0,5 + т - 2п2)2.
/1\2
1) U2-^ab + 2c\ ;
(^ж2 + ^у-з) = ^ж4 + ^-+9+^ж2у-4ж2-Зу.
(т — п)(т + п) — (Ь — а^а + Ь) = (а2 + т2) — (Ь2 + п2).
(а2 + Ь2Уа2 — Ь2) + (т2 + п2)(п2 — т2) = (а4 — Ь4) — (т4 — п4).
(a3 + 63)(a3-63) + 66 = а6.
(а4^Ь4Уа4-Ь4)-а8 = -Ь8.
(а + b + с)(а — b — с) + (Ь + с)2 = а2.
(а — с + b)(a — b + с) — а2 = — (с — Ь)2.
(ж + у — 1)(1 + у — ж) + (1 — ж)2 = у2.
(ж + 1)(ж — 1)(1 — ж)(ж +1) = —(ж2 — I)2.
(а2 + а6 + 62)(6-а)-Ь3 = -а3.
(а2 — ab + Ь2)(а + Ь) — а3 = Ь3.
(а3 — а2 + а — 1)(а + 1) + 1 = а4.
(а3 — a2b + ab2 — Ь3^а + Ь) — а4 = —Ь4.
(а + b)(b — а)(а2 + Ь2) + а4 = Ь4.
Проверить справедливость равенств (37-46).
(а — I)2 + 2а — 1 = а2.
(ж + у)2 — ж2 — у2 = 2ху.
(За2+ 0,2)2 — 1,2а2 = 9а4+ 0,04.
G+lFG-D2^-
(а + 262)2(а-262)2 = (а2-4&4)2.
(2а + 62)2 + (2а — 62)2 — 264 = 8а2.
(а2 + Ь2)2 — (а2 — Ь2)2 = 4а262.
(а3 + 62)2 + (а3 - 62)2 = 2(а6 + 64).
(а - 6)2 - (6 - а)2 + (а3 - 63)2 - (63 - а3)2 = 0.
46 (2® + З)2 + 2(4ж2 - 9) + (2ж - З)2 _ 4
' (2ж + 3)2 — 2(4ж2 — 9) + (2ж —З)29"
Дополнить до полного квадрата двучлены (47-50).
1) m2-2mn + ?;2) 1 + 7 + 2562.
1) а2 + 6а + ?;2) 36ж2-? + 49у2.
1) а4 —За2+?;2) ?-а + |.
1) 0,01m2 —? +169п6;2) -^-а2т-? + 0,04Ь8п.
77 49
Выделить квадраты двучленов из трехчленов (51-54).
1)ж2 + 2ж + 1;2)0,25 + 0,7п2+ 0,49п4.
1)ж2 + 4ж + 4;2)4а4 + 5а2-2.
1)ж2 + рж + д;2)9а2—8а + 17.
1) m2 + 0,2m —13;2) a-Vbx — x2.
Проверить справедливость равенств (55-64).
(а + Ь^3 — (а3 + Ь3) = 3а26 + 3а62.
(а + b)3 — ЗаЬ(а + Ь) = а3 + Ь3.
(а — Ь)3 + 3а6(а — Ь) = а3 — Ь3.
(a2^b2)3^(a2-b2)3 = 2a6^6a2b4.
-жу - х + - ху + - V = - ху .
\236^9^/827
(0,3а5 +0,5а)3 - 0,135а - 0,225а7 = 0,027а15 + 0,125а3.
п6 +11 — 2(1 — п3)2 — (3 — п3)(п3 + 3) = 4п3.
62(2а + З)3 — (2а — З)3 _
‘ (За + 4) + За2 —24а —7'
/ж —З\3 /Ж + З\3_ 9(ж2 + 3)
' \ 7 )\ 7 / “343"
, /ж + ЗА3 2ж(ж2 + 27) 64. + = —.
кП/кПУ 1331
Произвести действия (65-96).
12,07ж + 41 - (3,6ж - 0,8?/) + (-5,04ж - 7,5?/) -
о о а 2. 32 ( 12/2 о / 7о
0,4р^ж + - рх^ - -рх^ ---рх - -рх^ - р
4\4\5\2
3,4 -(| п3 -(4,008-(0,Зп3- 5,092) +^-))-
- (а-I)7- (j| ах-0,099+ (-(а - I)7 - (| ах — 0,9))).
1,4ж(0,5ж - 0,3?/) - 5(0,4?/2 - 4ж?/) + 0,2?/(8?/ - 5ж).
(1,5а2 - 2,15) • 0,6а - (3,2а - 1,8) • 0,5а2 - 1,8(2,6а2 - 1,8а + 3,2).
(4ш2 + 2т + 1) • (2т — 1).
(а3 + а26 + а62 + 63)-(а-6).
(а4 - a3b + a2b2 - ab3 + 64) • (а + 6).
(2т3 + т4 — Вт — 16) • (4 + т2 — 2т).
(ж6 + хь — х3 + х + 1) • (1 — х + х2).
(2с3п4 + 8с9 + п6 + 4с6п2) • (2с3 - п2).
(462 + 2а2 - 4аЬ) • (Bab +1,5а2 + ВЬ2).
(5п4 + 4п2ж2 - п3ж) • (4п2ж - 7ж3 + п3).
^4а2ж4?/3 - аж2?/6 - | у9 + 8а3ж6) • ^-2ах2у3 + 4а2ж4 + 11 у^.
(а2 + Ь2 + с2 — ab — ас — Ьс) • (а + b + с).
(а — b + с) • (а — b — с).
(ж + ?/ + 1)-(ж-?/ + 1).
(ж3 + 2ж2-Зж) • (ж3-2ж2-Зж).
((2а + Ь) ж3 + (а2 — ab) ж2 — а3ж) • ((2а + Ь) ж2 — (а2 — ab) х — а3).
2а2ж2 ^5ж4 - i ахьА - 0,4аж3(20а - 2,5а2ж4).
(1,12а9 - ^ а2 (о,66а10 - | а6(1,65а4 - 12,1а))) • (-5а).
(За3 — 4а62 + а26)2.
(2п3ж2 + п2ж3 + 2п4ж) • (2п3ж2 — п2ж3 — 2п4ж).
(ж2 + 0,5т/6) • (ж2 + ж?/3 + 0,5т/6) • (ж2 — ху3 + 0,5т/6).
(4а4ж15 — 0,2а2ж9 + Юж3) • (0Д5а2ж7 + 7,5ж).
(4а462 + ab - 2а763) • (За362 — а6Ь3 - 5а9Ь4\
^4ж5 — 2ж9 — 4ж + - ж13) • (ж13 + 2ж5 + 2ж + ж9\ \27 \47
(а2ж3 — 2ж?/3) • (а2ж3 + 2ж?/3) • (а4ж6 + 4ж2?/6) • (а8ж12 — 16ж4?/12).
(а2п-2 - a2z2) • (2anz - (ап-1 + az)2).
(2ж2 + ху) жп-1° • | (2ж2 — ху) х2ут • ^ (4ж4 — х2у2) уп~г.
Их" + ж""1 - ж"”2) • Lx" - ж"-1 + ж"-21 \587 \587
Произвести действия (97-104).
1) 0,064ж3т/2 : 1,6жт/2;2) |а62с:(—|бс
1) (-0,5а3Ь2с):(Да2Ьс);2) (-|а7Ь13с) : (| а56и).
1) а13” : а12”;2) жт:жт; 3) ап+1:ап; 4) хп+1 : ж""1.
(0,21ап+1с7г/9) : ^anc4y4Y
1,5а3(а + 1)4 : (0,За2(а + 1)2).
(0,6а5(ж — 1)6(ж — 2)n+1) : (0,8а2(ж - 1)6(ж - 2)).
(2,4ж(а + 6)9(6 + с)) : (0,8(а + 6)7(6 + с)).
(5ДаЬ2(х + у)п(с — I)2”) : (1,762(ж + у)”(с — 1)”).
Разделить многочлен на одночлен (105-108).
(18а4ж3 + 24а3ж4 + 6а2ж5): (6а2ж3).
(0,01а4 — 0,02а3+ 0,04а2+0,002а): (0,01а).
(-4а562 - а4Ь5 +1 а366) : (| а3&2).
4(4£2-4£ + 1)(Д Д) +(2i6-t5) : (~^3)-
Разделить многочлен на многочлен (109-124).
(См. предварительно изложение этого вопроса в Приложении I, § 3.)
1) (а2 — а — 2) : (а + 1);2) (2а2+ 7а + 3) : (а + 3).
1) (4а4 + 19а2 — 5) : (а2 + 5);2) (а2 + а + 2) : (а2 + 1).
1) (а5-Ь5) : (а-Ь)-2) (а5 + Ь5) : (а + Ь).
(—13а3ж — 5а4 — 13аж3 + 6ж4 + 13а2ж2) : (2ж2 — а2 — Зах).
(19а63 -Ba2b2 - 1564 + а4 + а3Ь) : (Заб + а2 -562).
(а4 - 1564 + 19а63 - a3b - 4а2b2) : (а2 - 3b2 А-^аЬ).
(ж4 — 5ж3?/ — 17ж?/3 + 12т/4 + 13ж2?/2) : (ж2 + 4?/2 — Зху).
(ж2 + Зж + 1) : (ж + 1).
(2ж3 + 2ж — Зж5 — Зж2) : (2-Зж2).
(8(ж - у)3 - ж3) : (4(ж - у)2 + 2(ж - у) х + ж2).
(4с4ж6 - 13с6ж4 + 14с8ж2 - 2с10) : (с2ж4 - 2с4ж2 + с6).
(ж5 + 5ж4 + 5ж3 - 5ж2 - 9ж - 3) : (ж2 + 3ж - 1).
(12п3ж9 — 14п4ж6 + 6п5ж3 + п6 — 1) : (2ж3 — п).
(0,24а3ж2 + 2,6а2ж3 — 5,6аж4 + ж5) : (0,Заж — 0,5ж2).
(20а6 + 12а5ж — 23а4ж2 — 9а3ж3 + 14а2ж4 + баж5 — 4ж6) : (4а4 — — За2ж2 + 2ж4).
fsia4 — - п4ж8 —: (За + пх2).
\24/
Разделить одночлен на многочлен (125-128) (см. решение задачи 127).
1) 2ж:(2ж —1); 2) Зж3:(ж2 + 1); 3) 8жт/:(2-4ж).
1) ж4:(ж2 + 1);2) 2ж4:(1-4ж4);3) 5ж3:(2-7ж).
1) ж5:(1 —ж3); 2) 2ж4: (ж2-ж+ 3); 3) 12жп : (бж™"1-Зжп"2).
1) ж5:(ж2 + 2)2; 2) ж4 : (ж3 + 2ж2 - ж - 2); 3) аж3:(1-аж2).
Вычислить устно, разложив на множители (129-130).
1) 8,85-2,5 + 1,15-2,5; 2) 652 -632.
QI Q2 _ Q1 92
1) 34-1,73 + 25-1,73 + 41-1,73; 2)9.
13 -122
Разложить многочлены на множители (131-182).
1) 2ж —ж3;2) 5a3 + 20a2H20a62.
1) (a — b)2 — (a + b)(a — b);2) а2(ж — 1) — b2(x — 1).
1) (ж + у)2 — 4ж?/;2) (a2 —l)2+4a2.
1) m2(a - 2)+ n(2 - a);2) (a + b)3 - a(a + b)2.
1) ж3 + Зж2-9ж-27;2) a5 -a3 -a2 + l.
1) xn-xny2; 2) an^^an.
!37. ^a12-0,0004614.
169’
ХаЧ4ЦаЬ2сЧ4^^-с6а\
4416
8а366-36а465 + 54а564-27а663.
0,6a6 + a —36 —5.
2a —a2 —a3.
(n2 — 2пж)2 + 2(п2ж — 2пж2) + ж2.
3 В. А. Бачурин
а2 — п2 + 2пр — р2.144. ху — xz — (у2 — 2yz + z2).
2а2 — а2п + (п — 2) (ап — а)2. (См. ответ.)
Зп5 — 18п4+ З6п3 — 24п2.147. 27с4 + 54с6 + 36с8 + 8с10.
ж6п + 12ж4п+48ж2п+64.149. ж8-2ж7 + ж6-ж5 + 2ж4-ж3.
(4а + 36)2 — 16(а — Ь)2.
xyz-Vx2y2 + 3ж4?/5 + ЗЖ3?/4;? — ху — z.
25ж2 — 4а2 + 12а6 — 962.153. ж3 + ж2+4.154. ж4-4.
26с + а2 — Ь2 — с2.156. а6 — Ь6.
(ж + у + z)3 — х3 — у3 — z3. (См. ответ.)
(а - Ь)3 + (Ь - с)3 + (с-а)3.159. 2ж2 + Юж + 12.
ж3+ 8ж2 + 17ж +10.161. ж4 — 12ж3+47ж2 — 60ж.
(ах - by)2 4-(Ьх 4-ау)2.163. xyz2 - (ж - у) ж3 - z4.
(ж + 1)4-1.165. (х^у)6-(х-у)6.166. ж4 + 1.
(п — ж) • (5п2 — 4ж2) — (Зж2 — 4п2) • (ж — п).
(2а + ж)3 + (а + 2ж)3.169. Зж11 - 48ж3 - 6ж9+ 96ж.
а4 — а3п2 + а2п — 2ап3 + п5.
а6 — a6 z4 4- За4z2 — a4z6 + За2 z4 + z6.
а8ж4 — а4ж2 — 8а4п2ж2 + 4а2пж — 4п2 + 16п4.
(х -у2)2 4-2xz3-2y2z34-z6.
32а5 — З2а4ж + 8а2ж3 — 16а4ж3+16а3ж4 — 2аж4 — 4аж6 + ж7.
ж3 + (а-1)ж + а. 176. ж6 + 1.177. ж4 + 4?/4.
ж4 + ж2 + 1.179. (а + 1)4 + 1.180. ж4 + х2у2 + у4.
(а + п)6 + (а — п)6.182. ж4 + ж2 + V^x + 2.
При каких значениях а трехчлен а2 — 14а + 51 принимает наименьшее значение? Найти его.
При каких значениях ж трехчлен Юж — 23 — ж2 принимает наибольшее значение? Найти его.
Какое выражение надо прибавить к квадрату разности двух чисел, чтобы получить квадрат суммы тех же чисел?
Доказать, что:
квадрат нечетного натурального числа есть число нечетное;
произведение двух нечетных чисел — число нечетное.
Доказать, что:
разность квадратов двух последовательных целых чисел — число нечетное;
разность квадратов двух последовательных четных чисел делится на 4;
разность квадратов двух последовательных нечетных чисел делится на 8.
Проверить, что если к целому числу прибавить квадрат его, то полученная сумма будет четным числом.
Какое выражение надо вычесть из куба разности чисел а и Ь. чтобы получить разность кубов тех же чисел?
Доказать, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 3.
Проверить, что если к двузначному числу приписать такое же число и полученное четырехзначное число разделить на 101, то в частном получится первоначальное число.
Доказать, что выражение (ж — 1)(ж — 3) + 1 при любых значениях ж принимает неотрицательное значение.
Доказать, что сумма двух любых последовательных натуральных степеней числа 2 делится на 6.
Проверить, что:
если к произведению двух последовательных целых чисел прибавить большее из них, то получится квадрат большего числа;
если к произведению трех последовательных натуральных чисел прибавить среднее из них, то полученная сумма будет равна кубу среднего числа.
Не вычисляя всего произведения многочлена За + 5а3 — 4а2 — 2 на многочлен 1 + За2 — 2а, найти его члены с наибольшим, наименьшим показателями и с показателем 3.
Найти в произведении (8а2ж — 2а3 —4ж3 + 5аж2)(Заж — 2ж2 + 4а2) члены четного порядка, расположенные по убывающим степеням а, не вычисляя всего произведения.
Доказать, что сумма трех последовательных натуральных степеней числа 2 делится нацело на 14.
Доказать, что разность двух целых чисел делится нацело на 9, если цифры в одном из них расположены в обратном порядке по сравнению с другим.
Алгебраические дроби
Сократить дроби (199-202).
(Устно.) 1) ——; .2(Устно.) 1) ^-;а — 1(Устно.) 1) ——; .2(Устно.) 1) ^-;а — 1201. 1)201. 1)3.23а х + а х .4 2 .З-^’а х + а х3.23а х + а х .4 2 .З-^’а х + а ха2 — Ь2(а-Ь)\ж2-2жт/
(Устно.) 1) ——; .2
(Устно.) 1) ^-;
а — 1
(Устно.) 1) ——; .2
(Устно.) 1) ^-;
а — 1
201. 1)
201. 1)
3.23а х + а х .
4 2 .З-^’
а х + а х
3.23а х + а х .
4 2 .З-^’
а х + а х
о аа — оху — 2у
2 н I 13 13144
а — 2а + 1 о\ а — о . о ~а
2 i~ 72’~ 72'
а — 1а — оа — о
ап + 2а — сп — 2с .2ап — 2а — 2cn + 2с ’
о 3 ।12 о 2iq 72 — 1 2 2tz—|—4
За + ab — ba Ь — 2Ь .12а с х
л 5/44? .5 ’'п+3 2 5п+2 2 6 , п 5 5'
9а — ао —18а 6 + 2632а с х —24а с х + 16а с х
з*
1) 5пЖ (2ж ~1)3
30п2хА - 15п® - 10п2®2 + 5пат
.гОаж^Уж^-З)^1
12х3п+1 + 24х2п+2-36х2п-72хп+1"
Выполнить действия (203-224).
х.bах.bа\. b, a — ab а b х2—у
х.
b
а
х.
b
а
(Устно.) 1) - + -; 2) а + ——; 3) ---; 4)
х — 11 — хоо ах
1); 2) —3) ——; 4) 2-^
1 — х ж + 1 а — 1 а х — у у + хо
205.1)77 2)^Ц; 3)—^ + ^^;
a2b be х2-11 + ж т^тп т-п
а
_ b
3 2
2 3 '
т
п р
тп р
Зт2п . 9ч 74т — п
206.
1)
an 4-am bn 4-отm m — 2 4n — m2
207.
1)2 +
ас + c
2 ,’2)
a + ac
4an+3n2
2an + n2
i 2
+ a
i 2
-2.
208.
1 _
2a? x + 2d4
1
2d4 + 2a? x
4 .2 2*
a + a x
209.
a — 2n
a — n
1
3.32
a + n a i
ч — an2 + n3
i 2 * an + n
210.
ab be — c2 4- ac —
ab ab — ac — b 4-bc
ab +
be
ac — be — a2
2 ,.2о 3
х ! х +ж — 1! х — х — 1 2х
7 з 277 з7 27 7Г 4 7 *
х —1 х — х +ж —1 X +ж +ж + 1 х —1
2 ..233
з7 3' 2 i 2 'п + х п — пх + Xз7 3' 2 i 2 'п + х п — пх + X214.214.п + пх + х . П — X
з7 3' 2 i 2 '
п + х п — пх + X
з7 3' 2 i 2 '
п + х п — пх + X
214.
214.
/1 \ т(т — 2) + 1
I т - 5.
\1 — mJ т2 _ (ш _ 1)
215.215.33(х + у\
215.
215.
Ъх х-Vy \ зх/
216 (—— - ^tLIV _ IL
\n + l n — 1/ \244n)*
217. (a + n2 — 3n — —: f 1 a2 + 4,5n2 — 3anV
О1Й /4 + ж 1-ж,4®2\/ 11-ж Л
^1В' I 1 - т 1+r+2i/Z\3_i_221 / "
у1 х 1 т-х х —1/ уж 4-х х /
— ас z , Л / с — а
b — а
(с — Ь^х — 6)
2ж + 3 х +1
220. (1-2ж + 8ж2
Доказать тождества (225-226).
т — п
Выполнить действия (227-233).
(4$п-4ж2” —2\ / Зж2”-2 — 12жп-4ж4п+1+5ж3”+1\
W”-2®” + 1/ Лж3и + 5Ж2п-2жта-10'ж”+2 —4)"
228- 1 - 7-жЛ - (__6ж^24-4 А
" V3 + ж^ • ^+3 + бж»+3 + 9ж3 • Зжп + 6 " ж»+2 + 3ж2/
22Q /ж(ж + 1)(ж + 2) ж(ж + 1)(2ж + 1) \0,5ж5
‘ V 36) : ж4_(ж2 + 1)(ж_1)-Ж-
230 fa2+ab a^bA-al? \ /а4—в —З«3+За2 а4 + а2 —2а3\ \а2 + 62 а3—в26 + «62—63/ \ а3Ь-Ь4 " а262+а63+64/
(^W_4W (^^ + 4У(аб_жв)в_
2^2\ ах ) \ ах )а-\-х
(а2х — ах2) : (((а + ж)2 — ах)((а — ж2) + ах)) а_ ах
(a^rU 2a + b\ (b2 +с2 ( \/11\а2 + с2\
I ,44. ) * \ >2 2 I ?2 “ /\ ~)2^" •
\ ао а о / \ о с УЬ с ) Уа с ) а с )
233 ( ж —11 —Зж + ж21 \ 1 —2ж + ж2 —2ж3
\3ж + (ж —I)2ж3-1ж-1/ 1 + 2ж + 2ж2 + ж3*
Какие свойства алгебраических дробей применялись при решении задач этого параграфа?
§ 4. Уравнения первой степени с одной переменной.Системы уравнений первой степени
и приводящиеся к ним
Нестандартный вид линейного уравнения может быть довольно громоздким; чтобы привести его к стандартному виду ах + + 6 = 0, производят целесообразные и допустимые (чтобы сохранить равносильность) операции. Какие это операции?
При каких значениях а и b уравнение ах-\-Ь = 0:
имеет единственное решение;
не имеет решений;
имеет бесконечное множество решений?
При каких значениях а уравнение (ж + 2) ^а — 1) +1 — а2:
имеет единственное решение;
имеет бесконечное множество решений?
При каких значениях а уравнение (а — 2) (ж — 1) = а2:
имеет нулевое решение (ж = 0); 2) не имеет решений?
Равносильны ли следующие уравнения (239-244)?
2ж + 1 = ж + 7 и 2ж-6 = ж.
(ж —1)(ж + 3) = 0 и 5(ж + 3)(1-ж) = 0.
ж-3++—=3-ж + +— и ж —3 = 3 —ж.
ж2 +1ж2 + 1
5-Зж3—= 2ж3— и 5-Зж = 2ж. ж — 1ж — 1
(2ж —1)(ж —2) = 2(ж-2) и 2ж-1 = 2.
о . ж-46 —ж._
- = и ж —4 = 6 —ж.
ж — 5 ж — 5
Сформулировать теоремы о двух основных свойствах равносильных уравнений и по одному следствию из этих теорем.
26ж
При каких значениях а уравнение — ж + 5 = 2а + — имеет нулевое решение?
Определить, при каких значениях а уравнение 1 + | ж = ^ х х (1 — ж) не имеет решений.
Определить такие значения а, Ь. т. п. при которых уравнение ах + b = тх + п:
1) не имеет решений; 2) имеет бесконечное множество решений.
Решить уравнение п(ж + а) = ж+ 6. Рассмотреть случаи:
п / 1;2) п = 1 и а / 6;3) п = 1 и а = Ь.
Проверить, является ли число 13 корнем уравнения 5 х 0,4ж + 3-^ = 254 — ж; если нет, то найти корень этого уравнения.
Решить уравнения 251-302 (251-253 решить устно).
1) 13ж = 0; 2) 17(ж - 1) = 0; 3) 7(ж - 2)(ж+ 3) = 0.
1) -3(ж + 5)(2ж-1)(5ж + 11) = 0; 2) 13ж+ 0,25 = 0,5ж +169.
1) 5(ж-2)-3 = 4(ж-2); 2) 0,(3)(0,2ж + 1)(0,51-0,17ж) = 0.
4(ж + 3)-3(ж + 2)-2(ж + 1) + ж =0.
(ж —1) + 2(ж —2) + 3(ж —3) = б(ж-2|).
256.
257.
2ж — 14 — ж
32
ж — 9 ж — 1 , 24
-ж = Ц—.
6
1 (х-Ь 14-2ж^ _ 7
8 V 4
5/8'
258.
|ж| = 1.
259.
ж| = —ж.
260.
|ж-1| = 1.
261.
|ж-1| = -1.
262.
|2ж + 3| =2.
263.
|3-2ж| = 5
264.
ж = 2ж - 1.
265.
241,2ж-0,04(ж
+ 0,9)
= 24,08.
5(9ж + 4) + 12(ж — 18) = 36ж — 12 • 14.
5(1,14ж + 1,44-0,171ж) = 0,05(319,77 + 69ж).
0,35(0,35ж - 1) - 0,45(0,45ж - 2) = 0,55(0,55ж - 3) - 0,65 х х (0,65ж —4).
4ж + (5ж - (6ж - (7ж - (8ж - 9)))) = 10.
(2 + ж)(3-2ж) + (Зж-2)(2ж + 1) =4ж2.
<;GGG(a:+2)+4)+6)+8)=l
(ж + I)2 = (111 — (1 — ж)) ж — 80.
273.274.275.276.277.278.279.273.274.275.276.277.278.279.280.280.7ж2 — ((4ж — З)2 — 1) = Пж — (Зж — 5)2.
273.
274.
275.
276.
277.
278.
279.
273.
274.
275.
276.
277.
278.
279.
280.
280.
(ж + 2)(2ж + 1)(ж — 2) — ж2(ж +1) = (ж2 — 4ж + 5)(ж + 4).
(1 + У2)(1-ж)-(1-ж)(ж-У2) = (У2 + ж)(ж-У2).
(1 + ж-V2)(l-V^-ж) = (1 — ж)(2 + ж) — 2.
(ж2 + 2ж — 1)(ж2 — 2ж + 5) = (ж2 + 2ж + 2) (ж2 — 2ж + 2).
(V2 +1) (1 - V2) (1 + ж2) - 2 (1 - V2) ж = (V2 - ж)2- (1 - ж ^2)2.
(У2-1)(У2-ж) - (V2 +1) (1+ ж V2) = ((2V2 - 3) ж - 1) -4ж.
6ж _ 2ж + 12$i ж2 —4 _ 3 + 2ж
Зж — 1 ж '* ж 2'
ж + 5ж-5_ ж + 25
о?.
х2 — Ьх 2ж2 — Юж 2ж2 — 50
Q7283. —h——2ж — 1 2ж +1284 2ж + 3 = ж~5* 2ж — 1 ж + 3 ’Q7283. —h——2ж — 1 2ж +1284 2ж + 3 = ж~5* 2ж — 1 ж + 3 ’4-20ж^1-4ж2 '4-20ж^1-4ж2 '285. 1 ж + 6ж = 2ж.Зж +1285. 1 ж + 6ж = 2ж.Зж +1
Q7
283. —h——
2ж — 1 2ж +1
284 2ж + 3 = ж~5
* 2ж — 1 ж + 3 ’
Q7
283. —h——
2ж — 1 2ж +1
284 2ж + 3 = ж~5
* 2ж — 1 ж + 3 ’
4-20ж^1-4ж2 '
4-20ж^1-4ж2 '
285. 1 ж + 6ж = 2ж.
Зж +1
285. 1 ж + 6ж = 2ж.
Зж +1
Проверить, что уравнения 1), 3), 4) не имеют решений, а уравнение 2) имеет бесчисленное множество решений:
1) 2ж — 3 = Зж — (1 + ж);. ж + 12(ж + 1) = 1) ж-1 Зж-З “ 3’1) 2ж — 3 = Зж — (1 + ж);. ж + 12(ж + 1) = 1) ж-1 Зж-З “ 3’2) 2ж + (ж - I)2 = (ж2 -4) 2(ж-2,5)1’®-3®-32) 2ж + (ж - I)2 = (ж2 -4) 2(ж-2,5)1’®-3®-3
1) 2ж — 3 = Зж — (1 + ж);. ж + 12(ж + 1) = 1
) ж-1 Зж-З “ 3’
1) 2ж — 3 = Зж — (1 + ж);. ж + 12(ж + 1) = 1
) ж-1 Зж-З “ 3’
2) 2ж + (ж - I)2 = (ж2 -
4) 2(ж-2,5)1
’®-3®-3
2) 2ж + (ж - I)2 = (ж2 -
4) 2(ж-2,5)1
’®-3®-3
287.287.2х2 + 2х + 61(ж — 5) • (ж + 6)2х2 + 2х + 61(ж — 5) • (ж + 6)288.288.2ж2 + 23ж + 61ж2 + ж — 30ж3 — ж2 + ж — 1 _ 1,5ж — 22ж2 + 23ж + 61ж2 + ж — 30ж3 — ж2 + ж — 1 _ 1,5ж — 2289.289.х +1D 2^ = 3;х +1D 2^ = 3;i -г жт™: = а’i -г жт™: = а’ж2-Г--4=1ж2-Г--4=1290.290.2(ж — 1)2п2(1 — х) _ 2ж — 12(ж — 1)2п2(1 — х) _ 2ж — 1291.291.2 ЛП — 12ах + х — 32 ЛП — 12ах + х — 3п4 — 1п4 — 1а2 — 1 (а + 1)2а2 — 1 (а + 1)21 — п4 2жа1 — п4 2жа292.292.293.293.294.294.сах — а^х — be асж + 4й + 31 —сах — а^х — be асж + 4й + 31 —ж — с — аbж — с — аb= 3.= 3.abab1 — ж1 + а2 а3 — а2 + а — 11 — ж1 + а2 а3 — а2 + а — 11 + а + а + а1 + а + а + а121 — а121 — а
287.
287.
2х2 + 2х + 61(ж — 5) • (ж + 6)
2х2 + 2х + 61(ж — 5) • (ж + 6)
288.
288.
2ж2 + 23ж + 61
ж2 + ж — 30
ж3 — ж2 + ж — 1 _ 1,5ж — 2
2ж2 + 23ж + 61
ж2 + ж — 30
ж3 — ж2 + ж — 1 _ 1,5ж — 2
289.
289.
х +1
D 2^ = 3;
х +1
D 2^ = 3;
i -г ж
т™: = а’
i -г ж
т™: = а’
ж2-Г
--4=1
ж2-Г
--4=1
290.
290.
2(ж — 1)2п2(1 — х) _ 2ж — 1
2(ж — 1)2п2(1 — х) _ 2ж — 1
291.
291.
2 Л
П — 1
2ах + х — 3
2 Л
П — 1
2ах + х — 3
п4 — 1
п4 — 1
а2 — 1 (а + 1)2
а2 — 1 (а + 1)2
1 — п4 2ж
а
1 — п4 2ж
а
292.
292.
293.
293.
294.
294.
са
х — а^х — be ас
ж + 4й + 31 —
са
х — а^х — be ас
ж + 4й + 31 —
ж — с — аb
ж — с — аb
= 3.
= 3.
ab
ab
1 — ж
1 + а2 а3 — а2 + а — 1
1 — ж
1 + а2 а3 — а2 + а — 1
1 + а + а + а
1 + а + а + а
12
1 — а
12
1 — а
1 — а295.296.297.298.1 — а295.296.297.298.(а + 6) (а — ж) — (а — х)(х — Ь) = (ж — Ь) (6 + ж).(а + ж — b) (а — b — ж) = (а2 — ж)(62 + ж) — а2Ь2.(а — пУ (а — пх) — (а + п)(п + ах) = п^а — Зп) ж — п) — 2а2 (а + b)(b — а)(1 + ж2) — 2(Ь — а) х = (а — Ьх)2 — (Ь — ах)2.(а + 6) (а — ж) — (а — х)(х — Ь) = (ж — Ь) (6 + ж).(а + ж — b) (а — b — ж) = (а2 — ж)(62 + ж) — а2Ь2.(а — пУ (а — пх) — (а + п)(п + ах) = п^а — Зп) ж — п) — 2а2 (а + b)(b — а)(1 + ж2) — 2(Ь — а) х = (а — Ьх)2 — (Ь — ах)2.
1 — а
295.
296.
297.
298.
1 — а
295.
296.
297.
298.
(а + 6) (а — ж) — (а — х)(х — Ь) = (ж — Ь) (6 + ж).
(а + ж — b) (а — b — ж) = (а2 — ж)(62 + ж) — а2Ь2.
(а — пУ (а — пх) — (а + п)(п + ах) = п^а — Зп) ж — п) — 2а2 (а + b)(b — а)(1 + ж2) — 2(Ь — а) х = (а — Ьх)2 — (Ь — ах)2.
(а + 6) (а — ж) — (а — х)(х — Ь) = (ж — Ь) (6 + ж).
(а + ж — b) (а — b — ж) = (а2 — ж)(62 + ж) — а2Ь2.
(а — пУ (а — пх) — (а + п)(п + ах) = п^а — Зп) ж — п) — 2а2 (а + b)(b — а)(1 + ж2) — 2(Ь — а) х = (а — Ьх)2 — (Ь — ах)2.
299.299.х2ап3 — ап2 — ап + пх — х + ах2ап3 — ап2 — ап + пх — х + ах — ап2 + а а(п2 — 1)хх — ап2 + а а(п2 — 1)хП — 1П — 122
299.
299.
х2
ап3 — ап2 — ап + пх — х + а
х2
ап3 — ап2 — ап + пх — х + а
х — ап2 + а а(п2 — 1)х
х — ап2 + а а(п2 — 1)х
П — 1
П — 1
2
2
2х — а*2х — а*
2
х — а*
2
х — а*
((а + 1)((а — 1) ж — 2))2 = ((а2+1) ж + 2(а +1))2— (2аж — 2(а +1))2.
З(ж-п)(а + ж)(ж-п)
du±* ~ i~ о 2”2”2'2~
ж — ах -\- нх — an х —lax +пж + а х — 2апх + а п
- + —2 = ^—•
а2 — с — 2ах + ж2 а2 — ас + сх — 2ах + х2 х — а
Велосипедист должен проехать путь из пункта А в пункт В в определенный срок. Если он будет ехать со скоростью 12 км/ч, то
1 к /
опоздает на - ч, если же поедет со скоростью 15 км/ч, то приедет в пункт В на 12 мин раньше срока. Определить расстояние между пунктами А и В.
После снижения цен 1 кг товара стал дешевле на 540 руб. За 15 кг товара по новой цене надо теперь заплатить на 900 руб. меньше, чем за 13 кг товара по прежней цене. Определить новую цену 1 кг товара.
Улучшив технологию производства, завод стал на обработку одной детали тратить времени на 1 ч меньше, чем прежде. Теперь 30 деталей обрабатываются за то время, за которое ранее обрабатывались 24 детали. Сколько времени затрачивается теперь на обработку одной детали?
Имеются два слитка сплавов меди и олова. Первый содержит 40 % меди, второй 32%. Какой массы надо взять куски этих слитков, чтобы после из совместной переплавки получить 8 кг сплава, содержащего 35 % меди?
Один рабочий выполняет некоторое задание за п дней, другой рабочий то же задание может выполнить за т дней. За сколько дней будет выполнено это задание, если оба рабочих будут работать вместе?
От двух кусков сплава в 6 кг и 12 кг с различным процентным содержанием меди отрезано по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавлен с остатком другого куска, после чего процентное содержание меди в обоих кусках стало одинаковым. Какова масса каждого из отрезанных кусков?
Кусок железа и кусок меди имеют общую массу в 373 г, причем объем куска железа на 5 см3 больше объема куска меди. Найти объем каждого куска, если плотность железа 7,8 г/см3, а плотность меди 8,9 г/см3.
Два шкива соединены бесконечным ремнем. Окружность первого шкива равна 60 см, а второго 35 см. Сколько оборотов в минуту сделает второй шкив, если первый делает 84 оборотов в минуту?
В 200 г раствора содержится 50 г соли. Сколько воды надо добавить к раствору, чтобы получить раствор концентрации 10 %?
Сплав из золота и серебра массой 1,06 кг при погружении в воду «теряет» 70 г. Сколько в этом сплаве золота и серебра, если известно, что золото «теряет» в воде —, а серебро — 0,1 своей массы?
Ледяная глыба плавает в морской воде, причем объем ее надводной части равен 2000 м3. Каков приближенно объем всей глы-
бы, если плотность морской воды равна 1,03 г/см3, а плотность льда 0,9 г/см3?
Сумма цифр двузначного числа равна 11. Если к этому числу прибавить 63, то получится число, обозначенное теми же цифрами, но написанными в обратном порядке. Найти число.
Первую часть пути самолет летел со скоростью 360 км/ч, а вторую — 500 км/ч и прибыл на место в назначенное время. Какое расстояние пролетел самолет, если известно, что первая часть пути превышала вторую на 640 км, а скорость по расписанию равна 400 км/ч?
Два ученика изготовили 350 деталей. У первого ученика было 2% нестандартных деталей, у второго — 3%. После сортировки оказалась 341 стандартная деталь. Сколько деталей изготовил каждый ученик?
Веревка длиной 25 м разрезана на 4 части так, что вторая часть вдвое длиннее первой, третья на 1 м короче первой, а четвертая на 1 м короче второй. Каковы длины отрезков?
Длина окружности переднего колеса трактора 2,8 м, заднего — 3,2 м. На каком расстоянии переднее колесо сделает на 10 оборотов больше заднего?
Пассажир метро опускается вниз, стоя на ступеньке движущегося эскалатора, за 56 с. По неподвижному эскалатору он спускается по ступенькам за 42 с. За какое время этот пассажир спустится вниз, если с той же скоростью он будет спускаться, шагая по ступенькам движущегося вниз эскалатора?
К 20 кг воды при температуре 15° С добавили 8 кг при температуре 100° С. Какова температура смеси?
Какова ширина реки, если звук с другого берега доносится по воздуху на 2 с позже, чем по воде? Скорость распространения звука в воздухе 340 м/с, в воде 1450 м/с.
Определить вместимость сосуда, если он, наполненный маслом, имеет массу на 200 г больше, чем наполненный керосином. Плотность масла 0,90 г/см3, а керосина 0,80 г/см3.
В городе в настоящее время 48400 жителей. Известно, что население этого города увеличивалось ежегодно на 10%. Сколько жителей было в городе два года назад?
Для технических целей взяли а литров серной кислоты концентрации в р% и добавили к ней b литров воды. Определить процентную концентрацию получившегося раствора.
В а литрах воды растворено b граммов соли. Сколько надо добавить воды, чтобы на каждый литр раствора приходилось т граммов соли?
Решить системы уравнений (устно) и проверить (также устно) найденные корни (326-327).
1)1)1)1)х + у = 5, ж-у = 1;ж-у = 0, Зж + 2у = 5х + у = 5, ж-у = 1;ж-у = 0, Зж + 2у = 52) {2) {2) {2) {х + у = а, Х — у = Ь. х4-2у = 2, Зж — 4у = 6.х + у = а, Х — у = Ь. х4-2у = 2, Зж — 4у = 6.
1)
1)
1)
1)
х + у = 5, ж-у = 1;
ж-у = 0, Зж + 2у = 5
х + у = 5, ж-у = 1;
ж-у = 0, Зж + 2у = 5
2) {
2) {
2) {
2) {
х + у = а, Х — у = Ь. х4-2у = 2, Зж — 4у = 6.
х + у = а, Х — у = Ь. х4-2у = 2, Зж — 4у = 6.
Решить системы уравнений (328-331).
(7х-3у = 15, 328.[5ж + 6?/ = 27.( 25х - 4у + 1 = 0, 330.( 31ж — 5?/+ 16 = 0.(7х-3у = 15, 328.[5ж + 6?/ = 27.( 25х - 4у + 1 = 0, 330.( 31ж — 5?/+ 16 = 0.329.331.329.331.5х — 8у = 0, х — 1,6?/ = 1.5х — 8у = 0, х — 1,6?/ = 1.хУу = 7, 2х4-2у = 11.хУу = 7, 2х4-2у = 11.
(7х-3у = 15, 328.
[5ж + 6?/ = 27.
( 25х - 4у + 1 = 0, 330.
( 31ж — 5?/+ 16 = 0.
(7х-3у = 15, 328.
[5ж + 6?/ = 27.
( 25х - 4у + 1 = 0, 330.
( 31ж — 5?/+ 16 = 0.
329.
331.
329.
331.
5х — 8у = 0, х — 1,6?/ = 1.
5х — 8у = 0, х — 1,6?/ = 1.
хУу = 7, 2х4-2у = 11.
хУу = 7, 2х4-2у = 11.
При каком значении параметра а системы имеют бесконечно много решений (332-334)?
332.
Гаж-Зу-4,[ж + ау = 2,Гж + 1,5у = 4,
<4333.„’334. ? ,’
—?/ = -(Зж — 2у = 6.(4ж + 6д = а.
При каком значении параметра а системы не имеют решений (335-337)?
335.
(2хУа/и = 8.(х — у = 3,(х — у = 2.
336.337.
(Зж — 5у = 6.( ах + 2у = — 6.\2х — 2у = а.
Можно ли указать значение параметра а, при котором системы имеют решения (338-340)?
338.
Гж —5д = 7,(ж + 2?/ = с1,f Зж — 2?/= 6,
339.340.
(аж + ?/ = —3.(2ж + 4?/ = 5.(аж + ?/ = —3.
Решить системы уравнений (341-370).
341.
Гж + у = -1,з42 Г 7(2ж —Зу) = 11(2ж + 3у),
[у = \/2(ж + 1).' [Юж = 9(10у-7).
343.
Г 2,5а -1,256 = 7,5,Г 0,Зу - 0,5ж = 1,18,
[ 1,2а + 0,76 = 8,8.344‘ ( 1,6у+ 2ж =-3,04.
345.
Гж:у = 3:4,^ Г 2\/3(1 + у) = - (л/З + ж),
[(ж-1) : (у + 2) = 1 :2.(\/3(у + 1) = ж.
347.
Г4(2ж-1) + 5(Зу-2) =40, [4(Зж + 1)-5(Зу + 2) =0.
348.
Г0,2(ж + 3(у-2(ж-1))) = 0,5, [ 5(6(0,5(ж +1) — у) — ж) =6.
349.351.353.355.357.358.360.361.363.365.366.349.351.353.355.357.358.360.361.363.365.366.+ (ж-у),+ (ж-у),352.352.X у 61-1-1< X у 6 ’X у 61-1-1< X у 6 ’24ж — 4(у+ 5) = 84 + 3(ж — Зу), Зу = 10(ж — у) — 4(1 — ж).24ж — 4(у+ 5) = 84 + 3(ж — Зу), Зу = 10(ж — у) — 4(1 — ж).354.354.5 + 4(0,1ж +1) = 1,1у, 5ж + 4(1 —ж) = 11 + 0,Зу — ж.5 + 4(0,1ж +1) = 1,1у, 5ж + 4(1 —ж) = 11 + 0,Зу — ж.Зж + 5у2(3-2ж)’= 0,8у.Зж + 5у2(3-2ж)’= 0,8у.(х — 2) (у + 6) = ху + 13, 1у-2)^х^4) = ху-43.(х — 2) (у + 6) = ху + 13, 1у-2)^х^4) = ху-43.' —г + —7 = 1,х + у — 1 х — у + 1*53_ 1< х + у — 1 х — у + 1'f 5+ 6- 132ж + 5?/ + Ьх-2у “ 100’2520_ 2.< 2х + Ьу Ьх — 2у 30 '' —г + —7 = 1,х + у — 1 х — у + 1*53_ 1< х + у — 1 х — у + 1'f 5+ 6- 132ж + 5?/ + Ьх-2у “ 100’2520_ 2.< 2х + Ьу Ьх — 2у 30 'г 4_2362.<х + у + 1 х — у + 1 ’ х-у-1 _ ж + ?/ + 11 -1 ”3 ’"2 х + у _ 1364.<Зу 2у -3’ ж , У _ 4, 6 + 215"г 4_2362.<х + у + 1 х — у + 1 ’ х-у-1 _ ж + ?/ + 11 -1 ”3 ’"2 х + у _ 1364.<Зу 2у -3’ ж , У _ 4, 6 + 215"
349.
351.
353.
355.
357.
358.
360.
361.
363.
365.
366.
349.
351.
353.
355.
357.
358.
360.
361.
363.
365.
366.
+ (ж-у),
+ (ж-у),
352.
352.
X у 61-1-1< X у 6 ’
X у 61-1-1< X у 6 ’
24ж — 4(у+ 5) = 84 + 3(ж — Зу), Зу = 10(ж — у) — 4(1 — ж).
24ж — 4(у+ 5) = 84 + 3(ж — Зу), Зу = 10(ж — у) — 4(1 — ж).
354.
354.
5 + 4(0,1ж +1) = 1,1у, 5ж + 4(1 —ж) = 11 + 0,Зу — ж.
5 + 4(0,1ж +1) = 1,1у, 5ж + 4(1 —ж) = 11 + 0,Зу — ж.
Зж + 5у2(3-2ж)’
= 0,8у.
Зж + 5у2(3-2ж)’
= 0,8у.
(х — 2) (у + 6) = ху + 13, 1у-2)^х^4) = ху-43.
(х — 2) (у + 6) = ху + 13, 1у-2)^х^4) = ху-43.
' —г + —7 = 1,
х + у — 1 х — у + 1
*53_ 1
< х + у — 1 х — у + 1'
f 5+ 6- 13
2ж + 5?/ + Ьх-2у “ 100’
2520_ 2.
< 2х + Ьу Ьх — 2у 30 '
' —г + —7 = 1,
х + у — 1 х — у + 1
*53_ 1
< х + у — 1 х — у + 1'
f 5+ 6- 13
2ж + 5?/ + Ьх-2у “ 100’
2520_ 2.
< 2х + Ьу Ьх — 2у 30 '
г 4_2
362.
<
х + у + 1 х — у + 1 ’ х-у-1 _ ж + ?/ + 1
1 -1 ”3 ’
"2 х + у _ 1
364.
<
Зу 2у -3’ ж , У _ 4
, 6 + 215"
г 4_2
362.
<
х + у + 1 х — у + 1 ’ х-у-1 _ ж + ?/ + 1
1 -1 ”3 ’
"2 х + у _ 1
364.
<
Зу 2у -3’ ж , У _ 4
, 6 + 215"
(ж — 3)(ж — 5) — ж2 = 15 + у,з50 Г 13(ж + у)2 = 9(3ж-2у),
(2ж + 3)(ж — 3)+3у = 2ж2 —9.’[2ж = 3-2у.
' 2х + у 4х — у _ Зх + 0,5г/ 426
Зж + 2?/ —1_0,8 — 5?/
.841’
f3x + 2у = Ьху^ ^15ж-2у = 2^жу.
х + у х — у 8
11 _ 3
к х — у x-Vy 8 '
(. ,. 13(2ж + 3)
1,5ж- 1 - = -!——'- -
44
3(2ж —у) _ 2 о = 8у_+7
. 2(у-4)’10
' 2V2 1
X + у V2 х — у V2
10У2 !3
, X + у V5 х — у V2
(х — Ьа)(у + 66) = (х — ЬЬ)(у + 6а), (х-2)(Зу-В) = Зу(х^З).
(х - 3)2(ж -Ру)-(у- 3)2(ж + у) = х2 - у2, Ьх-2у = -7.
х2 — у2 = 3(ж + у)^ x-Vy = 4(ж — у) +1.
367.
368.
11,4 + Юж
х-у
3(4ж2 — у) — 6ж(1 — у) 2ж — 1 у — 2ж(2ж — (1 — у)) ’
3 . о 2 .2
х + 2х +ж ху — X
ж3 - (у - 2) ж2 - (2у - 1) ж - у ’
2ж — 18ж2 + Зу _
. 2ж + 18ж3 +1'
рж-5у = 2(ж-у), з7о Г 13(ж + у)2 = 9(3ж-2у), Зж — 5у = 0,5(ж — у)2.(2(ж + у)=3.
Не решая следующие системы, определить, имеет ли каждая из них единственное решение, бесконечное множество решений, или совсем не имеет решений (371-376).
^хУ2у = У13ж + 4?/ = 5,Г2ж-5?/ = 3,
371.’372.’373. Л ’
2ж + 3т/ = 8. ^х - бу = 3, Зх-2у = 2.
6ж + 8т/ = 10.
4х + Ют/ = 6.
К каждому из следующих уравнений присоединить второе уравнение такое, чтобы полученная система:
имела единственное решение;
стала несовместной (не имела решений);
имела бесконечное множество решений.
х-у + 10 = 0; 2) 0,2ж = 5 —2т/; 3) 4ж-?/ = 0.
[ х + у = 7,
ах + 2у = с.ах + 2у = с.Дана система уравнений: <_
ах + 2у = с.
ах + 2у = с.
Подобрать такие значения а и с, чтобы система уравнений:
имела одно решение;
имела бесконечное множество решений;
не имела решений.
Может ли быть несовместной система уравнений:
( а^х + biy = 0,
[ a^x-Vb^y = 0?
Решить следующие системы с тремя и более неизвестными (ж, у^ z, и, t) (380-401). (См. §8 Приложения I.)
' x4-y4-z = 6, 380. < x-Vy - z = 10, х — у + z = 0.
г2ж + 3?/-5^ = 17, 381.Зж-4?/-6^ = -14,
k8x-7?/ + 2^ = 17.
382.
f Юж — 92; = 19, < 8 ж - у = 10, ж + 12^ = 18.
383.
' Юж + Зг = 11,5,
384. <
———=02
54’ ’
ж _ У _ J_
< 3212
- - - = 1, ж у
! _ 1 _ !
386. <
хz4 ’
1 У%4
( х _ у — 1 _ z + 1
388. j
1 212
[ х + 2?/ + З2; = 29.
390.
385.
387.
389.
' 0,2ж + 0,Зт/ + 0,4^ = 29, < 0,Зж+ 0,4?/+ 0,52; = 38, к0,4ж + 0,5?/ + 0,7^ = 51.
391.
ж + ^У = 1, у + ^ = !, % т х = 1.
4
5ж У_ _ 32 = 632’
у — 0,5^ = —1, 12’
Ь^у +1) — 4х = — 1.
12 + ^_8 = 14д X у Z 1-+-“=10Д
4
У %
— - + -=2,9. у %
х — 7 _ у — 4
5
1
z — b
4
Зж — у + 22; = 5.
(5x_y z l
6 4 + 3 4’< 3(4ж - z + 1) = Ьу,к 4х — Зу ^ z = 3.
392.392.393.393.
392.
392.
393.
393.
г21ж + ?/ = 5(2^ + 5), < 7ж-3 = 2,5(5-3^), к Ьх — 0,8(3) = 5(ж — у).
1ж+^+г=23’ < 5ж + 5У + ^ = 29’ ^^ + ^ + ^ = 28.
394. <
f х-\-2у + З2; = 4,
х : у = 3 : 4, у : % = 2 : 5.
395.
396. <
Г« + 6+£ = 3, X у Z а b с _ ^
397.
х у z
2аbс — q
< жУ2
f—+
2ж + у
22_
1
Зу — z Ьх — z
20’
ю
2х + у
53_
2
Зу — z Ьх — Z
5’
20
20 _ 20 _
-5.
к 2х + у
Зу — z Ьх — z
f 3
х + у + Z
2х — у у — 3z
= 1
6
= 3
х + у + Z
2х — у у — 3z
15
_23
= 5
к х + у + Z
2х — у у — 3z
398.
а ^ О, Щ с + О,
а ^ Ь. а ^ с, b ^ с.
399.399.400.400.
399.
399.
400.
400.
f ах + by + cz = d,
< а2х + b2y + c2z = d2.
a3x-\-b3y-\-c3z = d3.
х - у + 2z - Зи = О, Зх — у + z — 2п = О, х — 2у + 3z — и = 5, 2х — Зу + z — и = —5.
' xA-yA-zA-t = 2, 2х — у — z + 21 = 7, Зх + 2у — bz +1 = 3, , х — 2у + 3z +1 = 5.
Если числитель дроби уменьшить на единицу, то дробь ста- „ 1
новится равной -, а если знаменатель ее уменьшить на единицу, то 5 ।
дробь становится равной -. Найти эту дробь.
По плану бригада рабочих должна выполнить некоторое задание в определенный срок. При уменьшении числа рабочих в бригаде на 5 срок выполнения задания увеличится на 10 дней, а при увеличении числа рабочих на 4 срок его выполнения уменьшится на 2 дня. Каковы число рабочих в бригаде и срок выполнения задания по плану?
Участок земли имеет форму прямоугольника. Если длину его увеличить на 15 м, а ширину уменьшить на 20 м, то площадь участка уменьшится на 2400 м2; если же длину участка уменьшить на 10 м, а ширину увеличить на 15 м, то его площадь увеличится на 1500 м2. Определить длину и ширину участка.
Две детали имеют общую массу р кг; п процентов массы одной детали равны т процентам массы другой. Определить массу каждой детали.
Два завода должны были по плану выпустить 360 станков в месяц. Первый завод выполнил план на 112%, а второй на 110%, и поэтому оба завода выпустили за месяц 400 станков. Сколько станков сверх плана выпустил каждый завод?
Три города — Л, В и С — не расположены на прямой. Расстояние от Л до С через В в 4 раза больше прямого пути от Л до С; расстояние от В до Л через С на 5 км больше прямого пути от В до Л; расстояние от С до В через А равно 85 км. Определить расстояния между городами.
На прокорм нескольких лошадей и коров отпускали ежедневно 162 кг сена: на каждую лошадь — по 9 кг, а на каждую корову —
по 6 кг в день. Если бы число коров увеличилось на i, а число ло-1 3
шадей — на - от первоначального количества голов, то при той же норме пришлось бы отпускать ежедневно 213 кг сена. Сколько было лошадей, и сколько было коров?
На участке в с км поезд шел х ч со скоростью 50 км/ч и у ч со скоростью 60 км/ч. Известно, что если бы поезд шел х ч со скоростью 60 км/ч и у ч со скоростью 50 км/ч, то он прошел бы путь в 210 км. Найти х и у. При каких значениях с задача имеет решение?
Латунь состоит из сплава меди и цинка. Кусок латуни массой в 124 г при погружении в воду «потерял» 15 г. Сколько в нем содержится меди и цинка отдельно, если известно, что 89 г меди «теряют» в воде 10 г, а 7 г цинка «теряют» 1 г?
В двух сосудах имеются две различные жидкости. Если взять первой жидкости 10,8 г, а второй 4,8 г, то плотность смеси будет 1,56 г/см3. Если же взять жидкостей поровну, то плотность смеси будет 1,44 г/см3. Найти плотность каждой жидкости.
Два сплава золота и меди, один из которых 950-й пробы, а другой 800-й пробы, сплавляют с двумя граммами чистого золота и получают новый сплав 906-й пробы массой в 25 г. Вычислить массу первых двух сплавов.
По окружности, длина которой 100 м, движутся два тела. Они встречаются через каждые 20 с, двигаясь по одному и тому же направлению, и через каждые 4 с, двигаясь в противоположных направлениях. Определить скорость каждого тела.
Если искомое двузначное число разделить на обращенное), то в частном получится 4 и в остатке 3. Если же искомое число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 8 и в остатке 7. Найти это число.
Найти число, которое при делении на 7 дает в остатке 2, а при делении на 15 дает в остатке 6, причем первое частное относится ко второму, как 2,2 : 1.
На погрузке парохода сначала работали 4 подъемных крана одинаковой мощности, затем через 2 ч к ним присоединили еще 2 крана меньшей мощности, и после 3 ч совместной работы всех кранов погрузка была закончена. Если бы все краны начали работать одновременно, то погрузка была бы закончена за 4,5 ч. За сколько часов мог бы окончить погрузку один кран большей мощности и один кран меньшей мощности, работая отдельно?
Трем работникам поручено некоторое задание. Первый и второй выполнили бы его вместе за 12 дней, второй и третий — за 20 дней, а первый и третий — за 15 дней. За сколько дней каждый может выполнить задание без помощи других?
В бассейн проведены три трубы. Когда открыты первые две, бассейн наполняется водой за 1 ч 10 мин; через первую и третью трубы он наполняется за 1 ч 24 мин, а через вторую и третью за 2 ч 20 мин. За какое время наполнится бассейн через каждую трубу отдельно?
Найти трехзначное число, в котором единиц первого разряда на 2 больше, чем единиц третьего разряда, и имеющее следующие свойства: если его разделить на 30, то в остатке получится 8; если в нем отбросить цифру единиц, то получится двузначное число, которое будет в 3 раза больше частного в предыдущем делении, а если отбросить цифру сотен, то число, изображаемое прочими двумя цифрами, будет относиться к тому же частному, как 2 к 5.
600 станков размещены на четырех этажах фабрики так, что на первом этаже их вдвое больше, чем на четвертом; на втором и третьем столько же, сколько на первом и четвертом вместе; и, наконец, на одном третьем - количества станков на втором. Сколько станков помещалось на каждом этаже отдельно?
Три куска серебра имеют общую массу в 16 кг; первый кусок 840-й пробы, второй имеет массу 4 кг. Если сплавить первый кусок со вторым или с третьим, то получится серебро соответственно 870-й или 760-й пробы; сплав же из второго и третьего кусков дает серебро 780-й пробы. Определить массу и пробу каждого куска.
Чтобы совершить некоторую работу, А и Б затрачивают вместе в а раз меньше времени, чем В; Б и В в b раз меньше, чем А. За какое время каждый из них в отдельности выполнит эту работу, если Л и В могут ее выполнить за время t? (а = 2, b = 1,5, t = 30.)
В трех ящиках находится некоторое (неодинаковое) число изделий. Сначала перекладывают из первого ящика в два других в п раз меньше изделий, чем в них находится; потом из второго перекладывают в первый и третий также в п раз меньше, чем в них оказалось после первого перекладывания; наконец, из третьего перекладывают в первые два опять в п раз меньше, чем в них находилось после второго перекладывания. Тогда во всех ящиках получилось поровну, именно по а изделий. Сколько изделий было в каждом ящике первоначально? (а = 54 или 250, п = 2 или 1,5.)
Населенные пункты А, Б, В, Г лежат на одном меридиане. Найти их широты по следующим данным: разность широт между двумя отдаленнейшими пунктами А и Г составляет 80°; расстояние между Л и В равно расстоянию между Б и Г\ утроенное число градусов широты Б равно удвоенному числу градусов пункта Л, а число градусов пункта Б равно сумме градусов пунктов А и Г.
4 В. А. Бачурин
§ 5. Извлечение квадратного корня)
Извлечь квадратный корень из чисел (без помощи компьютера) ) (425-432).
1) 361; 2) 1849; 3) 43 264; 4) 133 225.
1) 65 583 801; 2) 62 523 502 209.
1) 48 303 584 206 084; 2) 8152 292 406 682116.
1) 79,21; 2) 1044,5824; 3) 0,00094249; 4) 103247,185041.
1) 0,000001048576;2) 0,010779215329;
24336,03120001;4) 1523822,60951041.
430. 1) 70,49-36-0,01; 2) 748-V75; 3) 7б52 -632.
432. 1) JlS^pL «3)
Извлечь квадратный корень из чисел с точностью до 0,001 (433-437).
1) 2; 2) 13; 3) 349; 4) 9999.
1) 0,005; 2) 1,009; 3) 13,00103; 4) 100,00101.
1) 7,(6); 2) 0,0(91); 3) 37,04925; 4) 257,25764.
1) 30126,07541; 2) 70001,00035; 3) з|; 4) ^.
437 1) 7 —•2) — • 3) 24 — * 4)?
* ^ 36’40’24’3330'
Квадратные уравнения
При каких значениях ж трехчлен у = ж2 + Lx + 10 :
обращается в нуль;
принимает значение, равное 10;
принимает значение, равное 4;
принимает значение, равное —5?
Выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена, аж2 + Ьх + с, а > 0.
Вывести формулу для решения полного квадратного уравнения:
1) аж2 + 6ж + с = 0,2) аж2 + 26ж + с = 0,3) ж2+рж + ^ = 0.
Как геометрически истолковать значения действительных корней квадратного уравнения (и случай отсутствия действительных корней)?
Написать общий вид квадратного уравнения, в котором:
один корень равен нулю;
оба корня равны нулю;
корни равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку.
Вычислить значение а, при котором уравнение ж2 — 2ж + -V ах — а + 2 = 0 имеет двукратный корень, равный нулю.
Один из корней уравнения ж2 — х + а = 0 равен 2. Вычислить второй корень и свободный член этого уравнения.
Один корень уравнения ж2 + тх — 5 = 0 равен 5. Вычислить второй корень и коэффициент т.
Какая зависимость существует между коэффициентами р и q уравнения ж2+рж + ^ = 0, если один из его корней равен — 1?
Какая зависимость существует между коэффициентами квадратного уравнения аж2 + Ьх + с = 0, если известно, что его корни — взаимно обратные числа?
При каких значениях а один из корней уравнения 4ж2 — 15ж + + 4а3 = 0 равен квадрату другого корня?
Сумма квадратов корней квадратного уравнения ж2 — Заж + + а2 = 0 равна 1,75. Найти числовое значение а.
Один из корней квадратного уравнения ах2 — 5ж + с = 0, где а > 0 и с / 0, равен а, а другой корень равен с. Вычислить коэффициенты а и с.
Решить уравнения, выделяя квадрат двучлена (451-452).
ж2 —2ж —35 = 0.452. 5ж2 + Зж-8 = 0.
Доказать, что уравнение не имеет действительных корней (453-454).
453. ж2 —11ж + 32 = 0.454. 10ж2-ж + 1 = 0.
Найти множество значений Д при которых уравнение не имеет действительных корней (455-456).
455. Зж2 —2ж + ^ = 0.456. 48ж2 + ^ж-5 = 0.
Установить, равносильны ли следующие уравнения (457-460).
ж2 = 2ж + 3 и ж2 —2ж —3 = 0.
(ж - 1)(ж + 5) = 2(ж - 1) и ж + 5 = 2.
(ж — 1)(ж + 5) = 2(ж — 1) и (ж — 1)(ж+ 3) = 0.
х -1 2ж +11 о 1
- =— и х — 1 = 2ж + 1.
х + 2 х + 2
Решить уравнения (461-500).
461.
(ж — 0,7)(ж — 13) = 9,1.462.
(4 +ж
:\/2)(ж\/2-4) =
= 2-8V2.
463.
(2ж + 1)2_4ж + 4_4М
3 — ж
_ ж2 — 2ж
5
8 ’
465.
ж + 152ж + 25
4х + 2
5
ж + 2
_ 8 — ж(ж + 2) ж2 — 4
467.
2ж — 1 _ Зж + 4 х + 7 х — 1
12
ж — 1
= -^- + 1. ж + 1
469.
——^ + т—— =3.470.
х — 31 — х
2
ж — 1
ж2-7 _ 3
ж2-1 ж + 1
471.
(2ж + 1)2 —8ж _ 3(2ж-1) 4ж2 — 1"7(2ж + 1)"
472.
ж + 1 _ ж 2ж-2 “ ж-1 +
7-2ж
2ж + 2‘
473.
X _13
474.
ж35 _
15
ж2 —9ж2 + 3ж6ж + 2ж2
ж-5ж-2ж2-7ж + ю
475.
х + 2 । х^х — 4) _ х — 24(1 + .
®)
ж — 2 х2 _ 4ж + 24 — ж
2 *
476.
г 15,2170,0808
24ж18ж
477.
2ж — 1।8_ 2ж +1
14ж2 + 7ж 12ж2 —36ж2-3ж
478.
ж — 3 _ 8 — ж20
ж + 1 ж-44 + зж_ж2"
479.
31_3
ж2 —99 —6ж + ж2 2ж2 + 6ж
480.
4(Зж + 1)_ Зж + 2 _ 2ж + 3
(ж —1)(ж + 3) ж —1 ж + 3
481.
58_2
20
ж2 —4 ж2 — 1 ж2 —Зж + 2 ж2 + Зж + 2
482.
ж3 + Зж2 + 5ж + 3 _ 2ж2 + ж + 3 ж2 + Зж + 22ж + 1"
483.
35ж_ ж+ 2 2ж — 1
4 + Юж —6ж2Зж + 1ж-2 "
484.
25ж-212ж —3 _ ж + 4
2ж2 + 5ж —12 ж + 4 2ж —3
485.
Зж2 — 5аж — 2а2 = 0.486. ж(2ж + 5) — 6(ж + 3) =
3.
487.
х2 — 2пж + 4п — 4 = 0.488.
ж2 — €
\х + 9 — а2 = 0.
489. ж(3ж — 1) — 2п(ж — 2) = 10.
490. ах^х + 5) + х^х + 2) = 3 — 6а.
491.
x-V2 ж —1,1
492. ж+- = X
2 , 1.2
. 9 a +b z 2к2'
а — о
493.
а2 — 1 _ х — а
494. ж _
1а _
8а2
ах — 1а
х — а
х + а х
22 *
— а
495.
х — а , х — b о г
х — о х — а
496. —+
х — а
1 _ 1 х — b а
497.
2
-^- = (а + 1)2.
х — 1
498.
+ х(х — а)
12
+ X _
19
(х — а)2
— х(х — а)
12 —
1 + X
7
499.
1 । 1 । !_ 1 .
х а b х + а + b
500. / _+2Ф ® V3 + V2=l
V3 + V2 V3-V2 ж
Составить квадратное уравнение по его корням жц2 = 2zE V3.
Если число 165683 разделить на квадрат искомого числа, то в частном получится Зив остатке 8. Определить искомое число.
Если произведение трех последовательных целых чисел разделить на каждое из них порознь, то сумма частных равна 107. Найти эти числа.
Плотники и столяры, всего их было 14, изготовили 96 изделий. При этом каждый плотник изготовил столько изделий, сколько было столяров, а каждый столяр — столько, сколько было плотников. Сколько было тех и других?
Несколько человек должны были заплатить 96000 руб. поровну. Во время платежа трое были в отсутствии, а потому другие вносят за них деньги, прибавляя к своим частям по 1600 руб. Сколько лиц участвовало в платеже?
Составить квадратное уравнение, в котором коэффициент при неизвестном в первой степени был бы равен (—15) и один корень которого был бы вдвое больше другого.
Не решая уравнение ж2 + рж + ^ = О, выразить через р и q сумму квадратов его корней.
Выразить через р и q:
разность квадратов корней уравнения ж2 -Vpx + q = 0;
сумму и разность кубов корней уравнения ж2 -Vpx + q = 0.
Известно, что Ж1 и Ж2 - корни уравнения ж2 + Зж + m = 0. При каком значении т:
разность корней данного уравнения будет равна 6?
один из корней уравнения будет вдвое больше другого?
В уравнении ж2 —бж + g = О найти то значение q, при котором корни уравнения жх и Ж2 удовлетворяют условию Зжх + 2ж2 = 20.
Разложить на множители: (а2 — Ь^ ж2 — 4а6ж — (а2 — Ь^У
Не решая уравнения 2ж2 + 3ж = 2, установить, имеет ли оно два различных корня, два равных корня или не имеет корней (действительных).
Не решая уравнения уравнения 4ж2 + 9ж + 2 = 0, установить знаки его корней.
Показать, что если дискриминант квадратного уравнения аж2 + Ьх + с = 0 равен нулю, то левая часть этого уравнения есть полный квадрат.
Составить приведенное квадратное уравнение, которое имело бы:
положительные корни;
корни с противоположными знаками;
равные отрицательные корни.
Один из корней квадратного уравнения с рациональными коэффициентами равен 1 + V2- Найти второй корень и составить соответствующее уравнение.
С аэродрома вылетают одновременно в пункт, отстоящий от него на 1600 км, два самолета. Скорость первого из них на 80 км/ч больше скорости второго, а потому он прилетает к месту назначения на час раньше второго. Найти скорость каждого самолета.
Водонапорный бак наполняется двумя трубами за 2 ч 55 мин. Первая труба может наполнить его на 2 ч скорее, чем вторая. За какое время каждая труба, действуя отдельно, может наполнить бак?
Два каменщика, из которых второй начинает работу 11 днями позже первого, могут выложить стену за 7 дней. За сколько дней каждый из них отдельно мог бы выложить эту стену, если известно, что второй каменщик может выполнить эту работу на 3 дня скорее, чем первый?
Население города за два года увеличилось с 20000 человек до 22050 человек. Найти средний ежегодный процент роста населения этого города.
Если каждый участник шахматного турнира сыграет по одной партии с каждым из остальных участников, то всего будет сыграна 231 партия. Сколько было участников турнира?
Какой многоугольник имеет число диагоналей на 12 больше числа его сторон?
Из сосуда, вмещающего 20 л и наполненного спиртом, отлили некоторое количество спирта и долили сосуд водой, потом отлили
такое же количество смеси и снова долили водой. Тогда в сосуде осталось 5 л чистого спирта. Сколько литров жидкости отливали каждый раз?
Паровоз, пройдя первый перегон в 24 км, был задержан на некоторое время, а потому следующий перегон проходил со скоростью больше прежней на 4 км/ч. Несмотря на то что второй перегон был длиннее первого на 15 км, паровоз прошел его за время только на 20 мин большее, чем потребовалось на прохождение первого перегона. Вычислить первоначальную скорость паровоза.
Для посева нового сорта кукурузы было выделено два опытных участка земли. На первом участке, площадь которого была на 2 га меньше площади второго участка, кукуруза была посеяна квадратногнездовым способом. При уборке кукурузы с каждого из этих участков было собрано по 180 т кукурузы. Сколько тонн кукурузы было собрано с одного гектара на каждом участке, если урожай кукурузы на первом участке был на 3 т с гектара больше, чем на втором?
Из двух кусков металла первый имеет массу 880 г, а второй — 858 г, причем объем первого куска на 10 см3 меньше объема второго. Найти массу каждого куска, если плотность первого на 1 г/см3 больше плотности второго.
Из двух кусков металла первый имеет массу 178 г, а второй 219 г, причем плотность первого на 1,6 г/см3 больше плотности второго. Найти объем каждого куска, если объем первого на 10 см3 меньше объема второго.
К раствору, содержащему 40 г соли, добавили 200 г воды, после чего его концентрация уменьшилась на 10%. Сколько воды содержал раствор и какова была его концентрация?
Звук от падения камня на дно шахты долетел до наблюдателя через 4 с после начала падения. Вычислить глубину шахты, принимая скорость звука равной 330 м/с, а путь свободно падающего тела рав- ,2
ным з = где g = 10 м/с .
Переднее колесо трактора совершает на расстоянии з метров на к оборотов больше заднего. Найти длину окружности каждого колеса, если окружность заднего на t метров больше окружности переднего.
Из сосуда, вмещающего а литров и наполненного спиртом, отлили некоторую часть и вместо спирта сосуд долили водой; потом опять отлили такое же количество смеси и снова долили водой, после чего в сосуде осталось b литров спирта. Сколько литров жидкости отливали каждый раз?
На середине пути между станциями АиВ поезд был задержан на t минут. Чтобы прийти в В по расписанию, пришлось увеличить скорость поезда на а км/ч. Найти первоначальную скорость
поезда, если известно, что расстояние между станциями A w В равно d километрам.
Турист должен прийти в назначенный срок в город В из города Л, расстояние между которыми равно s километрам. Пройдя половину всего пути от Л до В, турист подсчитал, что опоздает на 2 ч, если будет идти далее с той же скоростью, а если он на половине всего пути отдохнет 1 ч, а затем будет проходить на и км/ч больше прежнего, то придет в город В в назначенный срок. Сколько километров в час проходил турист первоначально?
Для перевозки 60 т груза за один рейс было затребовано некоторое количество автомашин определенной грузоподъемности. На перевозку были направлены автомашины грузоподъемностью на полтонны меньшей, но на 4 автомашины больше. Какое количество автомашин было затребовано?
Время, затрачиваемое автобусом на прохождение расстояния в 325 км, в новом расписании сокращено на 40 мин. Найти среднюю скорость движения автобуса по новому расписанию, если она на 10 км/ч больше средней скорости, предусмотренной старым расписанием.
Одна бригада выполняла задание в течение 3,5 дней, затем она была заменена второй, которая закончила работу за 6 дней. За сколько дней каждая бригада в отдельности выполнила бы задание, если второй бригаде для этого нужно на 5 дней больше, чем первой?
Найти дробь, если числитель ее на 2 больше знаменателя, а 4
при сложении ее с обратной получится 2 —.
Из шахматного турнира выбыли два участника, причем один из них сыграл 10 партий, а второй — только одну. Поэтому в турнире было сыграно всего 55 партий. Установить, играли ли выбывшие участники между собой и сколько было участников первоначально. (Предполагается, что каждый шахматист должен играть по одному разу со всеми другими участниками турнира.)
Перевозка одной тонны груза от пункта М до пункта N по железной дороге обходится на b руб. дороже, чем водным путем. Сколько тонн груза можно перевезти из М в N по железной дороге на сумму s сотен руб., если водным путем на ту же сумму можно перевезти на к тонн больше, чем по железной дороге?
Машина двигалась 3 ч, простояла 20 мин и снова отправилась со скоростью, на 6 км/ч большей первоначальной. Какова была первоначальная скорость, если весь путь равен 150 км?
Колонна войск протяжением d км движется со скоростью и км/ч. Вестовой выезжает из конца колонны в ее начало и немедленно возвращается в конец колонны. Какова скорость вестового, если туда и обратно он ехал t мин?
§ 7. Степени и радикалы. Обобщение понятия степени
Записать с помощью степеней десяти следующие числа:
1) 583; 2) 15 496; 3) 12 000 000 000. (См. ответ.)
Выполнить действия (543-547).
(x + y2 + V^\544. (2V^-3Vy + l)2 •
/2\ 22
(аb 1 \— . „ /'lol з/7" 1 /—\
545. —- 41 .546. \ - а -V -\b — -.
\Vb a J\2347
(v^+^ + Уё +V^) •
Доказать справедливость тождества
(а + 6 + с)2 + (а - 6 + с)2 + (а + b - с)2 + (6 + с - а)2 = 4(а2 + Ь2 + с2).
Представить следующие дроби в виде целых выражений, вводя отрицательные показатели степеней:
0,00015;0,0000023;0,00000124;2,000003.
Выполнить действия (550-551).
^-(l-m)-1).*^^.
—— -m + 1
—^_2 + Q_2^ + а3 (а2 — 2аЬ + Ь2)-2. а — b
Упростить выражение
(1Да-1)Г2(З(а-б))"2(1Да-1)Г2(З(а-б))"21 + а 1 -26 1 +1 + а 1 -26 1 +а-1 — 1а-1 — 1
(1Да-1)Г2(З(а-б))"2
(1Да-1)Г2(З(а-б))"2
1 + а 1 -26 1 +
1 + а 1 -26 1 +
а-1 — 1
а-1 — 1
и найти его числовое значение при а = —4, b = — -.
Проверить справедливость равенств (553-554).
553. (4 + V15) • (V16-V6) • V4-V15 = 2.
\/3-V5- (3 + V5) • (V16-V2) =8.
Найти ошибку в доказательстве софизма: 2 • 2 = 5(!?).
Возьмем равенство 16 — 36 = 25 — 45. Прибавив к обеим частям этого равенства по 20 -, получим 16 — 36 +20 - = 25 — 45 + 20-. Отсюда
g gили 4 — - = 5 — -. Ответ: 4 = 5(!?).g gили 4 — - = 5 — -. Ответ: 4 = 5(!?).
g g
или 4 — - = 5 — -. Ответ: 4 = 5(!?).
g g
или 4 — - = 5 — -. Ответ: 4 = 5(!?).
Проверить упрощения и вычисления (556-561).
(Уз-Уб-Уз + Уз) =2.
зУб-2Уб-2 Уб-ЗУб-2 4V6 + 5V5 + 1 Уб о о 7.=.
86128
(УО+УО-УО)(.ЗУО + 2УО+УО) = 1,2. 559. (12УЗ + У16 —2 ^к^4-5х А =84. 560. (у8ж2у - 2у Уж - ж Уж ) : (У2у - Уж) = ж - У2жу. 561. (Уа2 — Уоб+Уб^^УаН-Уб) = (а + б).
Выполнить действия (562-570).
562.562.а + ха — ха + ха — ха — х а + ха — х а + хг л о о2 а
562.
562.
а + х
а — х
а + х
а — х
а — х а + х
а — х а + х
563. 2\/а — \\-а.
564. (Ут + Уп) • (Ут-Уп) • (Ут+Уп).564. (Ут + Уп) • (Ут-Уп) • (Ут+Уп).568. УбУЗ + 10 - Уб УЗ-10.569.568. УбУЗ + 10 - Уб УЗ-10.569.570.570.У2 + УЗУ 2 — УзУ2 + УЗУ 2 — УзУ 2 — УзУ2 + УЗУ 2 — УзУ2 + УЗэ [I4 у 6Уз + 2\/2- Уз - 2 У2.7 + 4УЗ 7-4УЗэ [I4 у 6Уз + 2\/2- Уз - 2 У2.7 + 4УЗ 7-4УЗУничтожить иррациональность в знаменателе (571-574).Уничтожить иррациональность в знаменателе (571-574).571.573.571.573.Уж + 7/ + Уж - 7/ У Ж + 7/ - Уж - 7/ ' V Va-Vb у/ л/а + VbУж + 7/ + Уж - 7/ У Ж + 7/ - Уж - 7/ ' V Va-Vb у/ л/а + Vb572.574.572.574.2 +Уб-V2 2-У6 + У2’14УзТ?2'2 +Уб-V2 2-У6 + У2’14УзТ?2'Упростить выражения (575-581).Упростить выражения (575-581).577. —^2m+n^m+2n ^m+2n^2m+n577. —^2m+n^m+2n ^m+2n^2m+nу аа
564. (Ут + Уп) • (Ут-Уп) • (Ут+Уп).
564. (Ут + Уп) • (Ут-Уп) • (Ут+Уп).
568. УбУЗ + 10 - Уб УЗ-10.569.
568. УбУЗ + 10 - Уб УЗ-10.569.
570.
570.
У2 + УЗ
У 2 — Уз
У2 + УЗ
У 2 — Уз
У 2 — Уз
У2 + УЗ
У 2 — Уз
У2 + УЗ
э [I
4 у 6
Уз + 2\/2- Уз - 2 У2.
7 + 4УЗ 7-4УЗ
э [I
4 у 6
Уз + 2\/2- Уз - 2 У2.
7 + 4УЗ 7-4УЗ
Уничтожить иррациональность в знаменателе (571-574).
Уничтожить иррациональность в знаменателе (571-574).
571.
573.
571.
573.
Уж + 7/ + Уж - 7/ У Ж + 7/ - Уж - 7/ ' V Va-Vb у/ л/а + Vb
Уж + 7/ + Уж - 7/ У Ж + 7/ - Уж - 7/ ' V Va-Vb у/ л/а + Vb
572.
574.
572.
574.
2 +Уб-V2 2-У6 + У2’
14
УзТ?2'
2 +Уб-V2 2-У6 + У2’
14
УзТ?2'
Упростить выражения (575-581).
Упростить выражения (575-581).
577. —^2m+n^m+2n ^m+2n^2m+n
577. —^2m+n^m+2n ^m+2n^2m+n
580.Vx • хГх^ • ^/х Vx ) .580.Vx • хГх^ • ^/х Vx ) .581.581.х/а • х2 • (a2^3x5^4V^3
580.Vx • хГх^ • ^/х Vx ) .
580.Vx • хГх^ • ^/х Vx ) .
581.
581.
I
?Ь у« -1/18
У N
Выполнить действия, заменяя радикалы степенями с дробными показателями (582-584).
^56^а — 8^а263+ 4^а362 — 6v^^ : (^Vab — Vb^.
^20у/a — v/^ + 45 Va3 — 53 1УсС^ : ^4Уа — 5 Уа^.
584. (д/а — 9 д/^ — 6 д/п1^ — v^) : (д/& — 3 д/^584. (д/а — 9 д/^ — 6 д/п1^ — v^) : (д/& — 3 д/^Выполнить действия (585-591).Выполнить действия (585-591).
584. (д/а — 9 д/^ — 6 д/п1^ — v^) : (д/& — 3 д/^
584. (д/а — 9 д/^ — 6 д/п1^ — v^) : (д/& — 3 д/^
Выполнить действия (585-591).
Выполнить действия (585-591).
! 3Vxy-3y
X УхУ VyХ~У
592. Найти числовое значение выражения592. Найти числовое значение выражения5ж2 — вху — 2у2 при5ж2 — вху — 2у2 приV3 + V2 ж = ——V3-V2V3 + V2 ж = ——V3-V2и У = -р^<V3 + V2и У = -р^<V3 + V2
592. Найти числовое значение выражения
592. Найти числовое значение выражения
5ж2 — вху — 2у2 при
5ж2 — вху — 2у2 при
V3 + V2 ж = ——
V3-V2
V3 + V2 ж = ——
V3-V2
и У = -р^<
V3 + V2
и У = -р^<
V3 + V2
— 6+ Vb2 — 4ас2а— 6+ Vb2 — 4ас2авыражение ах2 + Ьх + свыражение ах2 + Ьх + с
— 6+ Vb2 — 4ас2а
— 6+ Vb2 — 4ас2а
выражение ах2 + Ьх + с
выражение ах2 + Ьх + с
Доказать, что при х обращается в нуль.
Доказать, что если х = Vab и а > Ь. то уДай^Д^Гб) + Д(а - ж)(ж - Д _ Vab л/(аТх)(^^^а — х^х - 6)
Выполнить действия (595-597).
/ 1/2 .-1/21/2-1/2\/ 1/22 -1/21/2 _ 2 -1/2
I eJuIe Jue Jue Ju1I e Ju|e Jue Jue Ju
595 * I 2 П 2‘
((° Jj 1 у а
а2 + а(а — 2) , -^-а + 1а2 + а(а — 2) , -^-а + 1,/ 1 \
а2 + а(а — 2) , -^-а + 1
а2 + а(а — 2) , -^-а + 1
0,02т-1/ -(--) + 2560,75 — 3-1 +5,5°.
X 6/
Проверить упрощения и вычисления (без компьютера, 598-601).
598.
^-Зл/ба-1/2
2m4/3 + 4mn3 — 3(m2599. 2m4/3 + 4mn3 — 3(m2599. 600. (8ж + у3/4)(2^/ж+ ^у) 1600. (8ж + у3/4)(2^/ж+ ^у) 1601. ((^H»^^.601. ((^H»^^.2I -а"1/2 =2I -а"1/2 =— 6n • V^ 2_
2m4/3 + 4mn3 — 3(m2
599.
2m4/3 + 4mn3 — 3(m2
599.
600. (8ж + у3/4)(2^/ж+ ^у) 1
600. (8ж + у3/4)(2^/ж+ ^у) 1
601. ((^H»^^.
601. ((^H»^^.
2
I -а"1/2 =
2
I -а"1/2 =
^=9,28 при а = 86,1184.
Выполнить действия (602-607).
602.602.аа(а2 —об)2/3" а(а2 —об)2/3" аa 1 — ba 2,1/Г к.Гк -ab- ,2 , A-l-a 1 — ba 2,1/Г к.Гк -ab- ,2 , A-l-603.603.-з-з2 , ,22 , ,22(а —Ь)-12(а —Ь)-1604.604.а — Ь 2а у а2 — Ь2 а + b 62(«6-1 + 1)2а — Ь 2а у а2 — Ь2 а + b 62(«6-1 + 1)2605.605.ах3ах3abab1 — ba~1 + ba~1 — ba~1 + ba~НГ1/2 "НГ1/2 "
602.
602.
а
а
(а2 —об)2/3" а
(а2 —об)2/3" а
a 1 — ba 2,1
/Г к.Гк -ab- ,2 , A-l-
a 1 — ba 2,1
/Г к.Гк -ab- ,2 , A-l-
603.
603.
-з
-з
2 , ,2
2 , ,2
2(а —Ь)-1
2(а —Ь)-1
604.
604.
а — Ь 2а у а2 — Ь2 а + b 62(«6-1 + 1)2
а — Ь 2а у а2 — Ь2 а + b 62(«6-1 + 1)2
605.
605.
ах3
ах3
ab
ab
1 — ba~
1 + ba~
1 — ba~
1 + ba~
НГ1/2 "
НГ1/2 "
4(2о6)3/4(о + 26)~1 V26V2O6+ ^2а36
Va — v2bv2ab
_ 6 / а26862 уба —486 За-66а2-10а6 + 1662
а > 1.а > 1.
а > 1.
а > 1.
608. Левую часть равенства преобразовать в правую:
/к V к2 А
ах 4-Ьх +с= л/аж Н—, а > 0:
7V 2у/а J 4а ’’
—а + Ьх — л/сх =—vex—, с > 0.
V4<с V 2^/
§ 8. Уравнения высших степеней.Рациональные уравнения
Многочлен (полином) n-й степени с действительными коэффициентами
Р(х) = апхп 4-ап-1Хп 1 + ап_2жп 2 +... + а2х2 + а^х + а0 (ап^0)
называется целой рациональной функцией, а отношение двух целых Р (х)
рациональных функций R(x) =) 7 — рациональной функцией.
Будем рассматривать уравнения вида Р(х) = 0 — уравнения высших степеней, а также уравнения вида R(x) = 0 — рациональные
уравнения.
Предполагается, что дробь несократима, т. е. ее числитель и
Q Vе)
знаменатель не имеют общих корней.
Решение уравнения R(x) = = 0 сводится к решению уравнения Р(ж) = 0 и проверке того, что его корни удовлетворяют условию Q(x) ^ 0, т. е. уравнение R^ = 0 равносильно системе Р^ = О, <Э(ж) 0.
Решить уравнения (609-612).
1) ж4 —9ж2 = 0;2) 4ж4 — 5ж2-h 1 = 0.
4х4 + а2 = х2 + 4а2ж2.
т2п2х4 — (т4 + п4) х2 + т2п2 = 0.
х4 - 2(а2 4-Ь2) х2 4-(а2 - Ь2)2 = 0.
Решить уравнения введением вспомогательного неизвестного (613-616).
(ж2 — 8)2+ 4(ж2 — 8) — 5 = 0.
(ж2+6ж)2+8(ж2 + 6ж) — 9 = 0.
615615616.616.—) —4,5 (ж + ж /\1.18—) —4,5 (ж + ж /\1.181818ж2 + 2ж —3ж2 + 2ж + 2ж2 + 2ж + 1ж2 + 2ж —3ж2 + 2ж + 2ж2 + 2ж + 1
615
615
616.
616.
—) —4,5 (ж + ж /\
1.18
—) —4,5 (ж + ж /\
1.18
18
18
ж2 + 2ж —3ж2 + 2ж + 2ж2 + 2ж + 1
ж2 + 2ж —3ж2 + 2ж + 2ж2 + 2ж + 1
Доказать, что сумма всех корней биквадратного уравнения ж4 + рж2 + q = 0 равна нулю, а произведение корней равно q.
2
Составить биквадратное уравнение по данным его корням: ±- и ±4.3
Составить биквадратное уравнение по его корням 3 и 4.
Разложить на множители многочлены (620-621).
ж4 —12ж2+32.621. ж4 - (1 - 2а + 2а2) ж2 + а2(а -1)2.
Сократить дроби (622-623).
622 e4-H°2 + 24023
' а4 -17а2 + 72’‘ ж4 + а(а + 2) ж2 - (а + I)2 '
Решить уравнения (624-662).
(ж+ 3)3 — (ж +1)3 = 56.
ж4 = 2(2 + \/3)ж2-8\/3.
(ж2-6ж)2-2(ж-3)2 =81.
(ж + 5)4 = 13(ж + 5)2ж2-36ж4.
ж3 + 2ж2 = 2ж —3.
(ж-V3)4 = 8(ж-V3)2-4.
ж3 + 4\/жЗ = 32.
ж5 — ж3+4ж2 = 4ж.
ж4-2ж3-8ж2 + 19ж = 6.
ж6-64 = 0.
ж4+ 2ж3 — 13ж2 = 14ж — 24.
ж6 = 28ж3—27.
Зж2 + 40ж = ж3 — 40ж4 — Зж5+ж6.
а8ж8 — 68 = 0.
4ж5 — Збж3 — 0,5ж2+32ж+ 4,5 = (0,5ж)"2.
ж8-15ж4 = 16.
ж5 — 2ж4 — 13ж3+ 26ж2+36ж = 72.
2(5ж4 — 6) = ж8 — 3.
642. (6 — ж)4 + (8 — ж)4 = 16.
643.
644.
12
Н = 1. (См. ответ.)
х + 1 х — 2
ж3 , 5~ пж3 — 5ж ж —9
5 жж + 9ж + 5
ж2-7 ж2_ 2ж2 — 6 ж2
646.
648.
ж2 — 97"ж2-25”6"
Ж2 + 11+ж2’649' Ж V2-2
650.
ж2ж _1
3(ж2-1)3(1-ж4)ж(1 + ж2)’
651.
1,7,5_9
2(ж2 + 1)ж2(1 —ж4)2ж2(ж2 —1)
2ж2 — 1 _ 7,2ж2 —7,7
652.
5~ 2(2ж2-1) '
653.
/ ж \2 । / ж + 1 \2 _ 17 \ж +1/\ ж )4 *
654.
1 + ж"1 _3-7ж~2
3ж-2(1 —ж-1)
655.
2415_2
ж2 + 2ж — 8 ж2 + 2ж — 3
656.
22. о
ж — Xх — Ж + 2 _ .
2. !2о —
ж — Ж + 1 ж — ж — 2
657.
7 Гж + — — 2 ж2 + ^2 ) = 9. Ж'\X )
658.
ж2 + 2ж + 1ж2 + 2ж + 1 _ 7
ж2 + 2ж + 2ж2 + 2ж + 36
659.
1 । 1014 - 1106
— 3 ж4 — 2
660.
4ж,5ж3х
h = - -. (См. ответ.) ж2 + ж + 3 ж2 —5ж + 32
661.
4жЗж_
4ж2 — 8ж + 74ж2 — Юж+ 7
662.
ж2 — Юж + 15 _4ж
ж2 —6ж + 15ж2-12ж + 15'
Иррациональные уравнения
Найти области определения уравнений:
лДх^Т- V^x = 0-, 2) Vx^4 + Vs^x = l;
V^r3-V^ + 2 = -l; 4) \/ж + 5 + х/2ж + 8 = 7.
Не решая уравнений, объяснить, почему они не имеют корней во множестве действительных чисел (664-665).
1) VT^ + V2^=-1;2) х/5ТТж + 7 = 2.
1) /7^5 + 72=7 = 7:2) \Ло + 7ж^ = 3.
Установить, равносильны ли следующие уравнения (666-669).
Vx2 -5 = 2 и ж2-5 = 4.
/7=5 + 10 и /7=5 = -10.
/ж2 + 3 = 2/7 и ж2+3 = 4ж.
/2 ж - 1 = ж - 2 и 2ж —1 = (ж —2)2.
Решить уравнения (670-704).
670.
V^2-2 = V^. 671. V6-
- х = ;
х. 672. х — \Jх — 1 = 3
673.
Vж — 1 • у/ж + 4 = 6.
674.
^fx • у/1 — х — X.
675.
ж + 3 = у/(Зж + 1)(ж -1).
676.
ж —2 = /(ж —4)(2ж —7).
677.
/ж2 + 5 = 2/ж + 1.
678.
у^ж3 - 2ж - 3 = х - 1.
679.
V7+^ж2 + 7 = 3.
680.
3 + ж — ж2 = V х2 — ж+ 9.
681.
/15 —ж + /3 —ж = 6.
682.
у/ж + 7 = 1 + V 2х.
683.
/25ж — 1,5 = 5/7 — 1.
684.
/Зж + 7 —/с + 1 = 2.
685. /6ж-11 - V$^ = /7+3.686. /8ж + 4— /8ж —4 = 2.
687. У1 + Уж+ У1 + Уж = 2.
688.
2 — л/ж/ 212
1
v = /egg_р= .
690.
2-ж У 2 —ж/ж + З /ж2_д'
9 Vx + 1 _ Vx
\/ж — 3
б(бу/ж —1)4V^ —1
Ю10„
691.
^= +^= = 7,5.
ж + уЮ — ж2 x — у 10 — ж2 411
692.
1/= /•
77 2 + V72 + ж2V72 + ж2 - 2
693.
ж2 - 4ж = 3 у/ж2 - 4ж + 20 - 10.
(ж + 4)(ж + 1) = 6 + 3^ж2 + 5ж + 2.
^/0,7ж2—34= Уб.696.Ух- ^ж2 + 6 = ^ж2 + 1.
Ух • д/ж3 — 2ж = \/Зж2 — 4.698.Ух + Ух = 3 (Ух — Ух).
699.Ух + 2 = ^Зж + 2.700.2^ж + 5^/ж = 18.
^/^T+V^+v^^^
УАЙ+ЙГ+Т+Т + Уж +1 —+ 7 = 4.
У13 + У3ж-У7-У3ж = 2.
^Ж ~h fl" ~h ^Ж + fl + 1 — —^Ж ~h fl ~h 2.
705. j
6(ж2 + у2) = 13жу, ж + у = 5.
706. ■
(х2 + у2 = бу, { у + 2ж = 0.
707. ]
ж2 — жу — у2 = 19, ж — у = 7.
708. •
[ V^+V^ = 7’ 1 y/ху = 10.
709. j
8(ж + у) = Зжу, ж + у = 12.
710. ■
[ 4(ж2 + ?/2) = 5, { 2ху = 1.
711. ]
(ж-2)(у + 1) = 1, ж-у =3.
712. ■
Г 6 + ж?/ = 9ж, [ж?/ + 6 = 3?/.
713. j
2(ж2+ у +1) = 3(у2 ж-у = 1.
+ ж + 1)
,f ж2 +
714- 12
(Ж?/2 :
715. ]
ж3 + у3 = 7, . ж3у3 = —8.
716. 1
ж4 + 7/4 = 82, ху = 3.
717. <
Г * + * =
Vx Vy з
718. <
' [хГу _5
\j У Уж 2’
^ху = 9.
^х + у = 10.
719. j
ж2 + ху = 15, у2 + ху = 10.
720. 1
ж3 + у3 = 65, х2у + ху2 = 20.
721. ]
' xy-Vx-Vy = 29, ху-2(х-^у) = 2.
722. j
' Vx^ Vo =10) ^ж + ^у = 4.
5 В. А. Бачурин
§10. Системы нелинейных уравнений
Решить системы уравнений (705-743).
= 2.
723.723.725.725.727.727.у = V^ + 23.х4 — у4 = 15, х3у — ху3 = 6.(х - у)(х2 - у2) =45,у = V^ + 23.х4 — у4 = 15, х3у — ху3 = 6.(х - у)(х2 - у2) =45,724 P^+Vy)=5(V$-Vyy724 P^+Vy)=5(V$-Vyy726.726.728.728.729.729.731.731.^х2-у2^ =8,2 + у2 = 10.х — у)(х2-Vy2) = 5,^х2-у2^ =8,2 + у2 = 10.х — у)(х2-Vy2) = 5,730.730.3(ж2 + у2) = 10(ж + у), 4(ж + у) = Зху.6(ж2 — у2) = 5ху^х2 — у2 = 5.х3 -Vxy2 = а2у^у3 А-х2у = Ь2х.3(ж2 + у2) = 10(ж + у), 4(ж + у) = Зху.6(ж2 — у2) = 5ху^х2 — у2 = 5.х3 -Vxy2 = а2у^у3 А-х2у = Ь2х.732.732.-3(ж + 2)+ЗУу2-3 = 11,-3(ж + 2)+ЗУу2-3 = 11,733.733.734.734.У^ж + у^ж^ур = 8.2 V3 + 7y-y2 + 2 V® + y = л/С^+уЖ+Ту^У2), 16\/3 + 7у-у2 -5V^ + y = У(ж + у)(3 + 7у -у2).У^ж + у^ж^ур = 8.2 V3 + 7y-y2 + 2 V® + y = л/С^+уЖ+Ту^У2), 16\/3 + 7у-у2 -5V^ + y = У(ж + у)(3 + 7у -у2).735.735.х^у^ул/х = ^х^у^ул/х = ^f V^x - д + Г1 - V^ + т/ - 9 = 3, 736.,I ^х^уТЙА- ^Зж+^9 = 3.f V^x - д + Г1 - V^ + т/ - 9 = 3, 736.,I ^х^уТЙА- ^Зж+^9 = 3.737.737.'y-X = S,< У -2 = 4, x24-y24-z2 = 30.'y-X = S,< У -2 = 4, x24-y24-z2 = 30.738. < x + z = 6, xy + xz + yz = 29.738. < x + z = 6, xy + xz + yz = 29.739.739.ху = 6, xz = 8, yz = 12.ху = 6, xz = 8, yz = 12.740.740.'Ду + г) = 2,< у(ж + z) = —28,'Ду + г) = 2,< у(ж + z) = —28,741.741.ху = -12, XZ = 6, y24-z2 = 20.ху = -12, XZ = 6, y24-z2 = 20.
723.
723.
725.
725.
727.
727.
у = V^ + 23.
х4 — у4 = 15, х3у — ху3 = 6.
(х - у)(х2 - у2) =45,
у = V^ + 23.
х4 — у4 = 15, х3у — ху3 = 6.
(х - у)(х2 - у2) =45,
724 P^+Vy)=5(V$-Vyy
724 P^+Vy)=5(V$-Vyy
726.
726.
728.
728.
729.
729.
731.
731.
^х2-у2^ =8,
2 + у2 = 10.
х — у)(х2-Vy2) = 5,
^х2-у2^ =8,
2 + у2 = 10.
х — у)(х2-Vy2) = 5,
730.
730.
3(ж2 + у2) = 10(ж + у), 4(ж + у) = Зху.
6(ж2 — у2) = 5ху^
х2 — у2 = 5.
х3 -Vxy2 = а2у^
у3 А-х2у = Ь2х.
3(ж2 + у2) = 10(ж + у), 4(ж + у) = Зху.
6(ж2 — у2) = 5ху^
х2 — у2 = 5.
х3 -Vxy2 = а2у^
у3 А-х2у = Ь2х.
732.
732.
-3(ж + 2)+ЗУу2-3 = 11,
-3(ж + 2)+ЗУу2-3 = 11,
733.
733.
734.
734.
У^ж + у^ж^ур = 8.
2 V3 + 7y-y2 + 2 V® + y = л/С^+уЖ+Ту^У2), 16\/3 + 7у-у2 -5V^ + y = У(ж + у)(3 + 7у -у2).
У^ж + у^ж^ур = 8.
2 V3 + 7y-y2 + 2 V® + y = л/С^+уЖ+Ту^У2), 16\/3 + 7у-у2 -5V^ + y = У(ж + у)(3 + 7у -у2).
735.
735.
х^у^ул/х = ^
х^у^ул/х = ^
f V^x - д + Г1 - V^ + т/ - 9 = 3, 736.,
I ^х^уТЙА- ^Зж+^9 = 3.
f V^x - д + Г1 - V^ + т/ - 9 = 3, 736.,
I ^х^уТЙА- ^Зж+^9 = 3.
737.
737.
'y-X = S,
< У -2 = 4, x24-y24-z2 = 30.
'y-X = S,
< У -2 = 4, x24-y24-z2 = 30.
738. < x + z = 6, xy + xz + yz = 29.
738. < x + z = 6, xy + xz + yz = 29.
739.
739.
ху = 6, xz = 8, yz = 12.
ху = 6, xz = 8, yz = 12.
740.
740.
'Ду + г) = 2,
< у(ж + z) = —28,
'Ду + г) = 2,
< у(ж + z) = —28,
741.
741.
ху = -12, XZ = 6, y24-z2 = 20.
ху = -12, XZ = 6, y24-z2 = 20.
742.742.ху = 12.ху = 12.f хА-уА- z = 13, 743. < ж2 + х/2 + ^2 = 61, ^ху + XZ = ‘lyz.
742.
742.
ху = 12.
ху = 12.
Найти стороны равнобедренного треугольника по двум его неравным высотам а и Ь.
Среднее арифметическое двух чисел 0,17, а среднее геометрическое 0,12 V2- Найти эти числа.
Перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, равен h^ а сумма катетов равна т. Найти гипотенузу.
Разность двух сторон параллелограмма равна 3 см, меньшая диагональ параллелограмма равна большей его стороне и на 2 см меньше большей диагонали. Найти стороны и диагонали параллелограмма.
В двух концентрических кругах, радиусы которых равны 25 см и 17 см, требуется провести хорду так, чтобы часть ее, лежащая во внутреннем круге, составляла 2/5 всей хорды. Определить длину хорды и расстояние ее от центра.
Поезд выходит со станции равноускоренно и на пути в 1,2 км набирает скорость, равную 72 км/ч. Найти ускорение движения поезда и время разгона.
Бассейн наполняется через два крана. Наполнение бассейна только через первый кран длится на 22 мин дольше, чем наполнение этого бассейна только через второй кран. Оба крана, действуя одновременно, наполняют бассейн за один час. За какое время каждый из кранов может наполнить бассейн?
Два грузовых автомобиля должны были перевезти некоторый груз в течение 6 ч. Но второй автомобиль задержался в гараже, и, когда он прибыл на место погрузки, первый перевез уже 0,6 всего груза; остальную часть груза перевез второй автомобиль, и весь груз был перевезен таким образом за 12 ч. Сколько времени потребовалось бы каждому автомобилю в отдельности для перевозки груза?
В первом забеге на 800 м спортсмен А пришел к финишу на 11- с раньше спортсмена В. Во втором забеге на ту же дистанцию спортсмен А уменьшил свою скорость на 0,8 м/с, а спортсмен В на столько же увеличил свою скорость, а потому пришел к финишу также на 11- с раньше, чем спортсмен А. Найти первоначальные скорости спортсменов.
Расстояние между двумя городами, равное 240 км, пассажирский поезд проходит на 1 ч быстрее, чем товарный. Если увеличить скорости движения пассажирского поезда на 12 км/ч, а товарного на 8 км/ч, то и в этом случае пассажирский поезд прошел бы расстояние между городами на час быстрее товарного. Найти первоначальные скорости движения каждого поезда.
Из двух пунктов А и В, расстояние между которыми 30 км, навстречу друг другу одновременно отправились два туриста. После встречи турист, вышедший из Л, приходит в В через 4,5 ч, а турист, вышедший из В, прибывает в А через 2 ч. Найти скорости движения каждого туриста.
Учет урожая на участках двух бригад показал, что на участке первой бригады было собрано 200 ц пшеницы, а на участке второй бригады, имеющем площадь на 2 га больше, собрано 300 ц пшеницы при урожае, на 5 ц с гектара большем, чем на первом участке. Найти площадь каждого участка земли и количество собранной пшеницы с 1 га того и другого участка.
5*
Велосипедист А обогнал велосипедиста В, придя к финишу на 2 мин раньше В. Если бы А уменьшил скорость на 0,1 км/мин, а В на столько же увеличил свою скорость, то В пришел бы к финишу на 2 мин раньше А. Найти скорость каждого велосипедиста, если дистанция состязаний 6 км.
Равнодействующая двух сил, направленных под прямым углом, равна 89 Н. Если каждую из этих сил уменьшить на 3 Н, то равнодействующая уменьшится на 4 Н. Найти составляющие.
Из двух жидкостей плотностью 1,2 г/см3 и 1,6 г/см3 составлена смесь массой 60 г. Сколько взято граммов каждой жидкости и какова плотность смеси, если масса ее 8 см3 равна массе менее тяжелой жидкости?
При делении двузначного числа на сумму его цифр получится в частном бив остатке 2. При делении же этого числа на произведение его цифр получится в частном бив остатке 2. Найти это число.
По круговой дорожке длиной 2 км движутся в одном направлении два конькобежца, которые сходятся через каждые 20 мин. Найти часовую скорость каждого конькобежца, если первый из них пробегает окружность на 1 мин скорее второго.
По окружности длиной с м движутся два тела А и В; А пробегает окружность на t с скорее В, и если они движутся в одном направлении, то сходятся через каждые п с. Найти линейную скорость каждого тела.
На расстоянии d м начали двигаться навстречу друг другу два тела и встретились тогда, когда одно из них прошло а м. Каковы скорости этих тел, если число метров, выражающее разность между их скоростями, равно числу секунд их движения?
Два кристалла равномерно наращивают свою массу. За 3 месяца первый из них дал такой же прирост, что и второй за 7 месяцев, а за год масса первого увеличилась на 4%, второго — на 5%. Найти отношение первоначальных масс кристаллов.
Между Москвой и Смоленском 415 км. Между ними расположены города Можайск и Вязьма. Расстояние между Москвой и Можайском относится к расстоянию между Можайском и Вязьмой, как 7 : 9, а расстояние между Можайском и Вязьмой составляет 27/35 расстояния между Вязьмой и Смоленском. Вычислить расстояния между двумя соседними городами.
Из автоцистерны сливали бензин в подземное хранилище по двум шлангам разного сечения. Первоначально а мин бензин поступал через оба шланга, затем первый шланг был отключен, и весь оставшийся бензин прошел через второй шланг за b мин. Если бы после первоначальных а мин был отключен не первый, а второй шланг, то весь оставшийся бензин прошел бы через первый шланг за с мин. Сколько времени продолжалось бы переливание всего бензина только через один первый шланг?
Три робота разной производительности изготовляют одинаковые изделия. Производительность всех трех одновременно действующих роботов в 1,5 раза выше производительности первого и второго роботов вместе взятых. Сменное задание первого робота могут выполнить совместно второй и третий на 4 ч 48 мин быстрее его. Это же задание второй робот может выполнить на 2 ч быстрее первого. Найти время выполнения первым роботом его сменной нормы.
§11. Множество действительных чисел
Запись Л = {1; 2; 3; 4} означает, что множество А состоит из элементов 1; 2; 3; 4 и только из этих элементов. Порядок элементов может быть другим: А = {2; 4; 3; 1} = {4; 3; 1; 2}. Записать, что В есть множество чисел 0; 1; 2; 3; 7.
Через N обозначают множество натуральных чисел: N = = {1; 2; 3; 4; ...п...}. Записи 2 Е N, — 3 ^ N означают, что число 2 входит в множество N, а число — 3 не является элементом этого множества.
Записать, что число 2 принадлежит множеству чисел А = {0; 2; 5}, а число 3 не является элементом этого множества.
Пусть в окружность вписан квадрат и вокруг нее описан другой квадрат. Множество А точек вписанного квадрата является частью множества В точек круга, а множество В точек круга — частью множества С точек описанного квадрата. В этом случае говорят, что множество А является подмножеством множества В, а множество В — подмножеством С и пишут А С В С С, где С — знак включения.
Записать, что множество А = {0; 1; 2} является подмножеством В = = {0; 1; 2; 3; 5}.
Если А = {0; 1; 3; 5} и В = {1; 2; 3; 4}, то множество С = {1; 3}, содержащее общие элементы этих множеств, является пересечением данных множеств Л и В. Пишут {0; 1; 3; 5} А {1; 2; 3; 4} = {1; 3}, или АпВ = С.
Записать, что множество С всех квадратов есть пересечение множества А всех ромбов и множества В всех прямоугольников.
Множество С, состоящее из всех таких элементов, каждый из которых содержится хотя бы в одном из данных множеств А и В, называется объединением этих множеств. Записывается это так: {1; 2; 3; 4} U {2; 3; 4; 5} = {1; 2; 3; 4; 5}, или Л U В = С.
Найти объединение множества всех четных положительных чисел и множества всех нечетных положительных чисел.
Множество всех отрицательных рациональных чисел является дополнением множества всех положительных рациональных чисел до множества всех рациональных чисел.
Какое множество является дополнением множества всех четных положительных чисел до множества всех натуральных чисел?
Множество А, являющееся пересечением множества В всех четных чисел и множества С всех нечетных чисел, не содержит ни одного элемента. В этом случае говорят, что множество А есть пустое множество, и пишут А = 0, или В П С = 0.
Найти пересечение множеств А = {0; 1; 2} и В = {—2; — 1}.
Пусть даны следующие числовые множества:
N = {1; 2; 3; 4;...} — множество всех натуральных чисел;
Zq = {0; 1; 2; 3; 4;...} — множество всех неотрицательных целых чисел;
Z = {... — 2; — 1; 0; 1; 2; 3;...} — множество всех целых чисел;
Q = { — | m 6 Z; п G N} — множество всех рациональных чисел;
R — множество всех действительных чисел.
Три цвета — желтый, зеленый и голубой — дополнить множеством цветов до множества всех цветов спектра.
Пусть А — множество всех четных положительных чисел, В — множество всех целых положительных чисел, делящихся на 6. В каком отношении находятся множества А и В?
Является ли множество А подмножеством В, если А = = {1; 3; 5} и В = {5; 3; 1}?
Записать с помощью фигурных скобок пересечение множеств А и В, если:
А = {5; 10; 15; 20; 25}, В = {15; 20; 25; 30; 35};
А = {а; б; в; г; д; е}, В = {а; в; г; е}.
Записать множество делителей числа X и множества делителей числа Y. Найти пересечение этих множеств, если:
а) X = 20, У = 30; б) Х = 36, У = 24.
Из множества X = {67; 48; 90; 45; 76; 25} выбрать подмножество А, состоящее из чисел, кратных 5, и подмножество В, состоящее из чисел, кратных 3. Найти пересечение этих подмножеств.
Пусть А = {7; 8; 9; 10}, С = {9; 10; 11; 12; 13}. Записать с помощью фигурных скобок:
а) АпС; б) AUC.
Множество А состоит из первых четырех натуральных чисел, кратных 3, В — из первых трех натуральных чисел, кратных 6. Записать с помощью фигурных скобок пересечение и объединение этих множеств.
Записать множества делителей чисел 60 и 24 и найти пересечение этих множеств. Найти наибольший общий делитель чисел 60 и 24.
Множество натуральных чисел, расположенных между числами 13 и 23, разбить на два непересекающихся подмножества, одно из которых содержит числа, кратные 7, а другое — числа, не кратные 7.
Каково объединение множества равносторонних треугольников и множества равнобедренных треугольников?
Найти пересечение и объединение:
множества четных чисел и множества целых чисел;
множества нечетных чисел и множества целых чисел.
Найти натуральное число а, зная, что 7 < а < 17 и множество его натуральных делителей является подмножеством множества натуральных делителей числа 24.
Из 40 школьников 30 научились работать на тракторе, 27 — на комбайне; пятеро эти машины не изучили. Спрашивается, какое наименьшее число ребят школы могут работать и на тракторе, и на комбайне?
Дано множество Л = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Найти дополнение А — В множества В до множества А, если:
а) В = {3;4;5;6; 7}; б) В = {1;3;5;7}.
Какое множество является дополнением множества Q рациональных чисел до множества R действительных чисел?
Найти дополнение:
множества натуральных чисел до множества целых чисел;
множества положительных и отрицательных рациональных чисел до множества рациональных чисел.
В отряде строителей умеют бетонировать 75 % всего состава, плотничать — 70% и штукатурить — 65%. Каково наименьшее число рабочих, умеющих и бетонировать, и плотничать, и штукатурить?
§12. Понятие функции. Графики функций)
Построить на одном рисунке графики функций:
У = ж; 2) у=-ж;3) у = 0,5;4) у = 0.
Построить на одном рисунке графики функций:
у = Зж; 2) у = —Зж; 3) у = |ж;4) у = -|ж.
Указать различие в расположении полученных графиков относительно осей координат.
Построить прямую, проходящую через начало координат и точку Л7(3; 6). Написать уравнение этой прямой.
Прямая проходит через начало координат и имеет угловой коэффициент, равный 4.
Написать уравнение этой прямой и построить ее.
Лежит ли точка М^ 5) на этой прямой?
Построить на одном рисунке графики функций:
П 88
у = -;2) « =
В чем сходство и различие полученных графиков?
На одном и том же рисунке построить графики функций:
т/ = Зж + 2;2) т/ = —Зж + 2.
Как расположен относительно осей координат каждый график?
1) На одном и том же рисунке построить графики функций:
а) 2/ = з ж + 4;б) у = -х-4;
в) ^/ = -|ж + 4;г) у = -^х-4.
Каков «наклон» (угловой коэффициент) каждой прямой?
Записать координаты точек пересечения этих графиков с осью Ох.
Вычислить значения х (четыре значения), при которых соответствующее значение у равно 3, и проверить результат по графику.
Построить на одном рисунке следующие графики:
у = 2; 2) у = -2* 3) ж = 4; 4) х = -4; 5) х = 0; 6) у = 0. Как расположена каждая прямая относительно осей координат?
Построить графики:
х — у = ^; 2) х4-у = ^ 3) 2ж — 5г/= 0; 4) Зж-2?/ = 6. Найти для каждого графика точки пересечения с осями координат и угловые коэффициенты.
Известно, что при х = 4 линейная функция у = Зж + b принимает значение, равное 11. Найти Ь.
Известно, что график функции у = ах + 5 проходит через точку М^ 13). Найти а.
Найти ординаты точек пересечения с осью Оу графиков функций (устно):
1) у = х — 5;2) ?/ = 2ж + 3; 3) у = — 4ж + 7; 4) у = 0,5х — 2,5.
Найти абсциссы точек пересечения с осью Ох графиков функций (устно):
1) у = х — 6; 2) ?/ = Зж + 3; 3) у = 2х — 1; 4) у = 2х — 3.
График функции у = 2ж + b пересекает ось ординат в точке (0; 5). Найти значение b и построить график функции.
График функции у = кх + b проходит через точку М(2; 3) и через точку N(—5; —4). Найти значения к и b и построить график функции.
Исследовать системы уравнений и дать графическое истолкование их решений (808-810).
808.808.х + у = 5, х — у = 1.х + у = 5, х — у = 1.Г ж + 2г/ = 3, 809.\ 2ж + 4т/ = 6.Г ж + 2г/ = 3, 809.\ 2ж + 4т/ = 6.810.810.х + у = 5, 2у-Ь = -2х.х + у = 5, 2у-Ь = -2х.
808.
808.
х + у = 5, х — у = 1.
х + у = 5, х — у = 1.
Г ж + 2г/ = 3, 809.
\ 2ж + 4т/ = 6.
Г ж + 2г/ = 3, 809.
\ 2ж + 4т/ = 6.
810.
810.
х + у = 5, 2у-Ь = -2х.
х + у = 5, 2у-Ь = -2х.
Построить графики следующих функций:
у = ж0;2) т/ = ж-1;3) ?/ = 2ж-1;4) у = — 4ж-1.
1) Построить графики следующих функций:
а) у = ж2; б) ?/ = ж2 + 2; в) у = х2 — 2; г) ?/ = 1 + ж2.
В чем сходство и различие полученных графиков?
Как построить графики функций б) и в) по графику функции а)?
Установить, при каком значении ж каждая из данных функций имеет наименьшее значение.
Построить графики следующих функций, по четыре графика на каждом рисунке (813-816).
1) т/ = ж2;2) у = ^х — I)2;3) у = ж2 — 2ж (= (х — I)2 — 1);
у = х2 — 4ж.
1) ?/ = ж2;2) ?/ = (ж + 1)2;3) у = ж2 + 2ж (= (х + I)2 — 1);
?/ = ж2 + 4ж.
1) у = —х2:2) ?/ = -(ж-1)2;
у = -ж2 + 2ж (= -(х - I)2 +1);4) ?/ = -ж2 + 6ж.
1) у = — ж2;2) у = — (ж + 1)2;
у = -ж2 - 2ж (= -(х +1)2 +1);4) у = —х2 — 6х.
Пояснить, в чем состоит сходство и в чем различие построенных графиков.
При каких значениях ж каждая из этих функций убывает, возрастает, обращается в нуль, принимает наименьшее или наибольшее значение и какое именно?
1) Построить графики следующих функций:
а) У=|®2; б) у = 1(ж-2)2 и в) у = ^(ж + 2)2.
В чем сходство и различие полученных графиков? Каким преобразованием графики функций б) и в) можно получить из графика функции а)?
2) С помощью графика функции у = 2ж2 построить графики функций:
а) у — — 2(ж — З)2; б) у = — 2(ж + 4)2 +1.
Построить графики трехчленов (818-823).
/(ж) = ж2 — 4ж+ 3 (= (ж — 2)2 — 1).
f(t) = —t^ — Bt — B (= -(t + 3)2 + l).
/(ж) = 2ж2 + Зж-^ (=(х/2ж + -^ ) -2).
8 \ \2а/2//
HtA = -3i2 + 5t+^ (=-\V3t^| + 3).
12 \\2л/з//
Дж) = Зж2-4ж + 5.823. /(#) = -4#2 +12# - 9.
Найти области определения функций и построить их графики (824-827).
1) у = |ж| + 1;2) у = -|ж|-1.
99
1)у = -;2)у = —.
у = —5-.827. у =
у 1-жу ж + 1
Точка, лежащая на гиперболе у = —, имеет координаты (2; 8). Написать уравнение гиперболы, найти координаты ее вершин и построить (схематически) эту кривую.
Построить графики функций (829-842).
У = \-830. у = ж3.831. у = 1-ж3.
X
у = 1-1.833. у = ж4.834. у = ж“4.
1) у = 1 —ж2;2) У = -Ц.
1) у = ж2 + 1;2) у = —!—.
Ж + 1
1) у = (ж-1)2; 2) у = -^.
(ж-1)
1) у = ж2 + 2ж;2) у =.
х + 2ж
1) у = -ж2 + 4ж-3; 2) у =Ц.
4ж —ж2 —3
1) у = 2 —ж2;2) у = |2-ж2|.
у = |ж2 - 2ж| + 1.842. у = | - ж2 + 4ж - 3|.
§ 13. Прогрессии
Арифметическая прогрессия
По значениям ai = —1,6; d = —0,2 и п = 23 найти ап.
По значениямai = 5,2; d = 0,4 и п = 43 найти S.
По значениямai = а; ап = 9а + 86 и п = 9 найти d и S.
По значениямd = 1 + q; п = 28 и ап = 28 + 27^ найти aiи S.
Найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100; от 1до п.
Найти сумму всех четных натуральных чисел от 2 до 100 включительно.
Найти сумму всех двузначных чисел.
Найти п-е нечетное число и сумму п первых нечетных чисел натурального ряда.
Найти п-е четное число и сумму п первых четных чисел.
Между числами 7 и 35 поместить 6 чисел, которые с данными числами составили бы арифметическую прогрессию.
Найти 5 чисел, которые следует поместить между числами 1 и 25 так, чтобы получилась арифметическая прогрессия.
Между каждыми двумя последовательными членами ряда 2, 14, 26, вставить по 5 средних арифметических. Составить искомый ряд.
Между числами а и b поместить т чисел, которые с данными числами составили бы арифметическую прогрессию. Определить три первых члена этой прогрессии.
Сумма всех членов арифметической прогрессии равна 28, третий член ее равен 8, четвертый 5. Найти крайние члены и число членов этой прогрессии.
Сумма второго и четвертого членов арифметической прогрессии равна 16, а произведение первого и пятого ее членов равно 28. Найти первый член и разность этой прогрессии.
Найти первый член и разность арифметической прогрессии, в которой 5cii + 10^5 = 0, S4 = 14.
Определить первый член, разность и число членов арифметической прогрессии, в которой ап = 55; ^2 + ^5 = 32,5; S15 = 412,5.
Определить первый член и разность арифметической прогрессии, в которой 0,4 + а^2 = 1170; а^ + ciis = 60.
Найти сумму всех трехзначных чисел, кратных 4.
Найти сумму m + n первых членов арифметической прогрессии, в которой m-й член равен п, а n-й член равен т.
Найти сумму п первых членов арифметической прогрессии, в которой (ш + 1)-й член равен 2m+ 1.
Найти ж из уравнения
1+ 4 + 7 +...+ж = 117.
Найти ж из уравнения
(ж +1) + (ж+ 4) + (ж + 7) +... + (ж + 28) = 155.
Найти сумму п первых членов прогрессии
х — 1 ж — 3 ж — 5х х х
Найти сумму п первых членов прогрессии
х + а ж + а х + а
Какой зависимостью связаны между собой три последовательных члена арифметической прогрессии?
Свободно падающее тело проходит в первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую секунду на 9,8 м больше, чем в предыдущую. Определить, какое расстояние пройдет падающее тело за 12 с. (Сопротивление воздуха не учитывается.)
По условиям предыдущей задачи определить, сколько секунд будет падать тело с высоты 1960 м.
Камень, падая с поверхности земли в шахту, достиг ее дна через 5 с. Найти глубину шахты.
Сколько секунд будет лететь вертикально вверх пуля, если в первую секунду она пролетела 300 м, а в каждую следующую секунду пролетела на 9,8 м меньше, чем в предыдущую?
Предполагается, что при углублении на каждые 30,5 м внутренняя температура земли возрастает на 1°С. Считая, что на поверхности земли температура равна 10° С, определить:
температуру на глубине 1000 м;
на какой глубине температура достигнет точки кипения воды.
Найти натуральное число, которое равно сумме всех ему предшествующих натуральных чисел.
Найти три последовательных нечетных числа, зная, что сумма их квадратов на 55 больше суммы квадратов заключенных между ними четных чисел.
Шар, движущийся по наклонной плоскости, проходит в первую секунду 0,5 м, а в каждую следующую секунду — на 0,8 м больше, чем в предыдущую. Найти расстояние, пройденное шаром в течение 10 с.
Из пункта А выехал велосипедист, который в первый час проехал 10 км, а в каждый следующий час проезжал на 1 км больше, чем в предыдущий. Одновременно вслед за ним из пункта В, находящегося от А на расстоянии 7,5 км, выехал второй велосипедист, который в первый час проезжал на 1,5 км больше, чем в предыдущий. Определить, через сколько часов второй велосипедист догонит первого.
Два тела, находясь на расстоянии 153 м друг от друга, движутся навстречу одно другому. Первое тело проходит 10 м в секунду, а второе в первую секунду прошло 3 м и в каждую следующую на 5 м больше, чем в предыдущую. Через сколько секунд они встретятся?
Из пункта А движется в одном и том же направлении тело, проходя в первую минуту 3 м, а в каждую из следующих минут на 6 м больше, чем в предыдущую. Через 5 мин после выхода первого тела из того же пункта А выходит другое тело и движется в направлении, противоположном первому, проходя в первую минуту 54 м, а в каж-
дую последующую минуту на 3 м больше, чем в предыдущую. Через сколько минут (после выхода второго тела) тела будут находиться на равном расстоянии от пункта Л?
Два тела, выйдя одновременно, движутся навстречу друг другу из двух пунктов, находящихся на расстоянии 200 м. Первое тело проходит по 12 м в секунду, а второе в первую секунду прошло 20 м и в каждую следующую секунду проходит на 2 м меньше, чем в предыдущую. Через сколько секунд тела встретятся?
Для поливки 20 деревьев, расположенных на прямой на расстоянии 2 м друг от друга, садовник приносит воду для каждого отдельного дерева из колодца, находящегося на той же прямой в 10 м от первого дерева. Сколько всего метров пройдет садовник, чтобы полить все деревья и возвратиться к колодцу?
Найти сумму
502 - 492 + 482 - 472 +... + 22 -1.
Найти сумму первых двадцати нечетных чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 1.
Первый член арифметической прогрессии равен 7, второй и третий равны соответственно квадратам двух последовательных натуральных чисел. Найти прогрессию.
Арифметическая прогрессия содержит 8 членов. Сумма членов, стоящих на четных местах, равна 28, а сумма членов, стоящих на нечетных местах, равна 16. Найти прогрессию.
Найти число сторон многоугольника, у которого числа градусов, содержащихся в последовательных внутренних углах его, составляют арифметическую прогрессию, первый член которой равен 100°, а разность 10°.
Если длины сторон a, b, d и с четырехугольника составляют арифметическую прогрессию, то в него можно вписать окружность. Доказать это утверждение.
Показать, что числа, выражающие суммы внутренних углов треугольника, четырехугольника, пятиугольника и т. д., составляют арифметическую прогрессию.
Определить такую арифметическую прогрессию, в которой отношение суммы п первых членов к сумме п членов, следующих за ними, не зависит от числа членов.
Некоторые члены арифметических прогрессий 9; 12; 15; 18;... и 8; 12; 16; 20;... одинаковы. Найти сумму первых 50 одинаковых членов этих прогрессий.
Сферические ядра сложены в пирамидальную кучу следующим образом: нижний слой ядер образует квадрат, в каждой стороне которого 10 ядер; на этот слой помещен в промежутках между ядрами
второй квадратный слой, содержащий в каждой стороне 9 ядер, и т. д. до верхнего слоя, в котором находится 1 шар. Определить, сколько ядер в такой куче.
2. Геометрическая прогрессия
По значениям п = 3; ап = 135; 8п = 195 найти ai и q.
По значениям а у = 2,5; q = 1,5; п = 5 найти S.
По значениям ai = —1,5; п = 4; 0,4 = 96 найти q и S.
3115
По значениям д = -;п = 5;аз = 1 найти ai и S.
По значениям п = 12; q = 2; S12 = 4095 найти ai и di2.
По значениям q = 2; ап = 96; Sn = 189 найти п.
Чему равен знаменатель геометрической прогрессии, в кото-
рой ап-1 = —; а„ = -^— ?
Чему равен знаменатель геометрической прогрессии, в которой аь = 96; а^ = 192?
Найти сумму шести членов геометрической прогрессии:
а) 4; -1;1;а) 4; -1;1;
а) 4; -1;1;
а) 4; -1;1;
364'364'Найти число членов и сумму членов геометрической прогрес-
364'
364'
сии, в которой ау = 3; q = |
Чему равен знаменатель геометрической прогрессии, состоя- „29 9
щей из четырех членов, если ai = - и ап = — г
Показать, что последовательность, общий член которой выражается одной из следующих формул, есть геометрическая прогрессия:
99/ 1 \п
а) а„ = 3-2"; б) а„ = --3"; в) а„ = ^; г) ЗД--] .
Вычислить суммы первых четырех членов каждой прогрессии.
Показать, что значения функции tg а углов ?, т, ? образуют возрастающую геометрическую прогрессию.
Проверить, что если ai = Уб; q = У2; п = 9, то Sn = = 31 Уб+ зо Уз.
Проверить, что произведение восьми первых членов геомет
рической прогрессии 6^;4^; 3;... равно 50^.
907. Проверить,907. Проверить,но З1-1^.но З1-1^.что произведение Уз • УЗ • УЗ • ... • 2УЗ рав-что произведение Уз • УЗ • УЗ • ... • 2УЗ рав-
907. Проверить,
907. Проверить,
но З1-1^.
но З1-1^.
что произведение Уз • УЗ • УЗ • ... • 2УЗ рав-
что произведение Уз • УЗ • УЗ • ... • 2УЗ рав-
Между числами 9 и 243 поместить два числа, которые образовали бы вместе с данными числами геометрическую прогрессию.
Между числами 160 и 5 поместить четыре таких числа, которые вместе с данными числами образуют геометрическую прогрессию.
Между числами 1 и 7 поместить шесть таких чисел, которые вместе с данными числами образуют геометрическую прогрессию.
Между числами ^ и -^ вставить пять таких чисел, кото- ft2 а
рые вместе с данными числами образуют геометрическую прогрессию.
Определить ai и д, если а2 + ^5 — ^4 = 10; аз + а^ — as = 20.
Определить ai, q и п, если а6 — а4 = 216; аз — ai = 8; Sn = 40.
Определить а^ q и п, если а7 — а4 = —216; as — а4 = —72; Sn = 1023.
В геометрической прогрессии с положительными членами S2 = 4; S3 = 13. Найти S5.
Найти геометрическую прогрессию, состоящую из 6 членов, зная, что сумма трех первых ее членов равна 168, а сумма трех последних 21.
Определить четыре числа, составляющие убывающую геометрическую прогрессию, зная, что сумма крайних членов этой прогрессии 27, а сумма средних 18.
Найти три числа, образующие возрастающую геометрическую прогрессию, зная, что сумма их 26, а сумма квадратов этих чисел 364.
Найти геометрическую прогрессию, в которой сумма первых трех ее членов равна 13, а произведение их 27.
Найти геометрическую прогрессию, имеющую шесть членов, в которой сумма членов, стоящих на четных местах, равна 99,75, а сумма членов, стоящих на нечетных местах, равна 66,5.
Найти четыре числа, образующие геометрическую прогрессию, у которой второй член меньше первого на 35, а третий больше четвертого на 560.
Найти число членов геометрической прогрессии, в которой
11 с 121
Sn~ 162"
Найти члены ai и as геометрической прогрессии, в которой q = 3 и S6 = 1720.
Первые члены арифметической и геометрической прогрессий равны. Первый член арифметической прогрессии равен 3, а второй член ее больше второго члена геометрической на 6; третьи члены прогрессий одинаковы. Найти эти прогрессии, если все члены обеих прогрессий положительны.
Найти четыре целых числа, из которых первые три составляют арифметическую, а последние три — геометрическую прогрессию; известно, что сумма двух крайних чисел равна 37, а сумма двух средних 36.
Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 42; те же числа составляют первый, второй и шестой члены возрастающей арифметической прогрессии. Найти эти числа.
Найти арифметическую и геометрическую прогрессии, если известно, что первый член каждой прогрессии равен единице, третьи члены обеих прогрессий равны между собой, а 21-й член арифметической прогрессии равен пятому члену геометрической.
В арифметической прогрессии второй член равен 14, а пятый равен 20. Составить геометрическую прогрессию, у которой знаменатель в два раза больше разности арифметической прогрессии, а сумма трех первых членов была бы равна сумме таких же членов арифметической прогрессии.
Сумма трех чисел, составляющих возрастающую арифметическую прогрессию, равна 51. Если от этих чисел отнять соответственно 1, 7 и 8, то получатся три числа, составляющие геометрическую прогрессию. Сколько членов арифметической прогрессии надо взять, чтобы их сумма была равна 555?
Четыре числа составляют геометрическую прогрессию. Если из них вычесть соответственно 2, 1, 7 и 27, то вновь полученные числа составят арифметическую прогрессию. Найти эти числа.
Разность между вторым и первым членами геометрической прогрессии равна 4, а разность между третьим и вторым членами той же прогрессии равна 12. Определить сумму 10 членов арифметической прогрессии, первый и пятый члены которой равны первому и третьему членам данной прогрессии.
Доказать, что во всякой геометрической прогрессии произведение членов, равноудаленных от ее начала и конца, есть величина постоянная, равная произведению крайних членов.
Вывести формулу произведения п членов геометрической прогрессии.
Вывести формулу формулу произведения п членов геометрической прогрессии с положительными числами в зависимости от крайних ее членов ai и ап.
Найти произведение п членов геометрической прогрессии:
V6; 3V2; 3V6;...; п = 7; 2) а; -; 4; п = 5.
а а
Из сосуда, наполненного 20 л спирта, отливают 1 л и дополняют сосуд водой, потом отливают 1 л смеси и опять дополняют сосуд водой; подобным образом поступают в третий, в четвертый день и т. д. Сколько спирта останется в сосуде после десяти таких отливаний?
Некто сообщил новость двум своим знакомым; каждый из них сообщил ее также двум знакомым и т. д. Полагая, что на каждое сообщение требуется полчаса и что новость сообщают все новым лицам, определить, через сколько времени все население города, состоящее из 2 млн. человек, узнает о новости.
Каждое движение поршня разрежающего насоса удаляет из сосуда j находящегося там воздуха. Определить давление воздуха после двадцатого движения поршня, если первоначальное давление было равно 760 мм рт. ст.
3. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
По значениям ai = 1 и Sn = 2 найти q.
3
По значениям S4 = 33- и S = 36 найти ai.
По значениям S = 729 и а2 = 162 найти ai.
3
По значениям S = 14,4 и q = - найти а^.
По значениям а у = 66 и S = ПО найти q.
По значениям q = 0,4 и S = 33 найти а4. 22
По значениям = 1 - и q = - найти S.
По значениям S = 12,5 и ai + а2 = 12 найти q.
Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
2. 4. .1 . .
а) 1?б) V2, 1,
в) (2 + V2); (V2 + 1); А + ^\ г) ^±1; -2—; i;
у L jV2 —12 —V2 z
948. Найти первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если:
a) S = 4hq = |; б) S = 2(V2 + 1) и q =
\ а 4 у 11
в) 5 = - и 55 = -.
Найти третий член бесконечно убывающей геометрической 6(V30 + 5) прогрессии, если сумма прогрессии равна —— и знаменатель
а/зо равен ——.
6
При каких значениях х прогрессия
является бесконечно убывающей? Найти сумму такой прогрессии.
6 В. А. Бачурин
Найти число членов арифметической прогрессии, первый член которой равен 5, а разность равна 1, если сумма всех ее членов равна сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой
311
второй член 15 -, а третий 13 —.
Следующие чистые периодические дроби представить в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии и найти эту сумму:
а) 0,(2); б) 1,(3); в) 0,(901); г) 5,(002).
Следующие смешанные периодические дроби представить в виде суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии и вычислить эту сумму:
а) 0,2(3); б) 1,0(7); в) 2,3(24); г) 3,7(288); д) 0,00(819);
е) 0,111(2).
Доказать теоремы (954-956).
Если ai, а^ аз,..., ап,... — геометрическая прогрессия, то числа kai, ка^ каз, ..., кап, ... также образуют геометрическую прогрессию (к — действительное число, не равное нулю).
Если ai, а^ аз, ..., ап, ... — геометрическая прогрессия, то числа а^, а^ ...^ а^, ... также образуют геометрическую прогрессию.
Если ai, а^ аз, ..., ап, ... и bi, 62, Ьз, ..., Ьп, ... — две геометрические прогрессии, то числа aibi, a^b^ азЬз, ..., апЬп, ... также образуют геометрическую прогрессию.
Эти теоремы сохраняют силу и для бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Вычислить выражения (957-958).
957.957.958.958.
957.
957.
958.
958.
Найти третий член бесконечно убывающей геометрической „8„1
прогрессии, сумма которой равна -, а второй член равен — -.
Найти три первых члена бесконечно убывающей геометрической прогрессии, сумма которой равна 6, а сумма пяти первых г 13
членов равна 5 —.
16
Найти четвертый член и знаменатель бесконечно убывающей
геометрической прогрессии, сумма которой равна 16, а сумма квадра-
3 тов членов этой же прогрессии равна 153 -.
5
Найти первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии и ее знаменатель, если ее сумма равна 4, а сумма кубов ее п 1
членов равна 9 - .
Определить бесконечно убывающую геометрическую прог
рессию, в которой второй член равен 6, а сумма членов равна - суммы квадратов ее членов.
Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прог
сию; если же после этого от третьего числа отнять числа составят геометрическую прогрессию.сию; если же после этого от третьего числа отнять числа составят геометрическую прогрессию.^^, то эти три^^, то эти трирессии, обладающей следующими свойствами: если от ее первого члена отнять —, то первые три числа образуют арифметическую прогрес- 16
сию; если же после этого от третьего числа отнять числа составят геометрическую прогрессию.
сию; если же после этого от третьего числа отнять числа составят геометрическую прогрессию.
^^, то эти три
^^, то эти три
В равносторонний треугольник со стороной а вписан путем соединения середин его сторон новый треугольник; в этот треугольник тем же способом вписан новый треугольник и т. д. до бесконечности. Найти предел:
суммы периметров этих треугольников;
суммы их площадей.
Дан квадрат с диагональю, равной 5 см; сторона этого квадрата принимается за диагональ второго квадрата; сторона второго квадрата — за диагональ нового квадрата и т. д. до бесконечности. Найти предел суммы площадей этих квадратов.
В круг, радиус которого равен R^ вписан квадрат; в квадрат вписан круг; в этот круг вписан второй квадрат и т. д. до бесконечности. Найти предел суммы площадей всех кругов и предел суммы площадей всех квадратов.
В квадрат со стороной а вписан путем соединения середин его сторон новый квадрат; в квадрат таким же образом вписан квадрат и т. д. до бесконечности. Найти предел суммы периметров этих квадратов и предел суммы их площадей.
Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна а. Из высот этого треугольника строится новый правильный треугольник, из высот второго треугольника строится еще треугольник и т. д. до бесконечности. Вычислить предел суммы площадей всех построенных таким образом треугольников и предел суммы их периметров.
Дан правильный треугольник, сторона которого равна а. В треугольник вписан круг, в круг вписан снова правильный треугольник, в треугольник — круг и т. д. до бесконечности. Вычислить предел суммы площадей всех кругов и предел суммы длин всех окружностей.
Две бесконечно убывающие геометрические прогрессии отличаются одна от другой только знаком их знаменателей. Их суммы соответственно равны А и В. Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, составленной из квадратов членов любой из данных прогрессий.
Когда мотор автомобиля был выключен, движение его в это время можно считать совершающимся по закону бесконечной геометрической прогрессии. За это время автомобилем было пройдено s м, за первую секунду 1 м. Чему будет равен путь того же автомобиля, если включить, кроме того, тормоза и считать его движение также происходящим по закону бесконечно убывающей геометрической прогрессии, в которой каждый ее член равен квадрату соответствующего члена первой прогрессии?
§14. Показательные и логарифмические функции
Какое число больше:
51/2 или 52/3;2) или v^;3) Q) или Q) ;
/10\53ioo/710f34?
(й) или Vin) ■
Какая из следующих степеней больше единицы, равна единице или меньше единицы:
/9\3/4/к\2/3/9\-7/8/9\-б/6
а) (|) ; б) (У ; в) (|); г) (|); д) (2,36)°?
Какое заключение можно сделать относительно чисел т и п, если:
а) Й)т<(^)И; б) (1,5)™ < (1,5)"; в) (0,3)™ > (0,3)"; (9\т к/7\т
=l; е) =(°’6)п?
Какое заключение можно сделать относительно положительного основания а, если:
а) а3/5 < а5/4; б) а2/3 > а4/3; в) а-0,2 > а1,2; г) а13 = а-0,4?
Найти области определения функций:
а) ?/ = аж; б) у = в) у^аМ^ г) у = аУ^ д) у =
1/у х Vж2-1
е)у = —5-; ж)у=( —)(а>0;а/1).
Построить схематически графики функций (978-980).
1) у = Зж; 2) у = 2^1.
1) у = 2—1Ж';2) у = (0,5)-1ж'.
(1\ж/1\ж+2
-) +2;2)y=(-j.
Данные равенства переписать в виде логарифмических равенств (981-982).
1) 23 = 8; 2) З"4 =-П 3) 161/4 = 2.
1) 82/3 = 4; 2) (13,7)° = 1; 3) 64“1/2 = |.
Найти логарифмы следующих чисел при основании |:
3;2) 1;3) 27;4) А 5) -Ь 6) 9д/З;
1V3
—^;8) 1.
27V3
Какие из следующих функций возрастающие и какие убывающие (984-985)?
1) y = log2a:; 2) у = ^1/2ж.
1) y = log01ж; 2) у = ^ж.
Найти области определения функций (986-991).
?/ = log2x. 987. y = lg(-x).988. ?/ = log7|x|.
у = log1/3(x2+ 1).990. т/ = 1g (ж — 1).991. т/ = 1g д/1 — ж.
Построить схематически графики функций (992-993).
1) y = log2ar; 2) y = log1/2a;.
1) у = -1<^2ж; 2) у = |log2^l-
Найти основание ж, если:
log, 0,001 = -3; 2) log, 1 = 0; 3) log, 10 = 10; 4) log, n = n.
Вычислить:
36log62; 2) 810’51og97; 3) б10^10™1- 4) 21-log27.
Найти x из следующих выражений (996-999).
1) ж = 10ls3”lg2;2) ж = 81"1°823;3) ж = 23"41°883.
1) ж = а2+10^6; 2) ж = ai t1”3*0^ ь); з) ж = 2 • 1005 lg8“21g2.
1) log^ ж = 4; 2) log, (^) = -3; 3) log2V2(j)=$.
1) log1/327 = a:; 2) log, (2 A - 3) = 2;
1оё(72+1)(3 + 2^2)=ж.
Вывести формулы (1000-1006).
Ino" /V1
log^ = ^-2-.1001. logAa=-——.
10g« 6*°ga 6
loga^ = i^-^.1003. loga(mn) = loga m + loga n.
loga^ =logam-logan. 1005. log^ = &logan.
loga^=iM.
Прологарифмировать следующие выражения (1007-1014).
ж = 5a2.1008. ж =^.1009. ж= 2<а + ^
62a(a-6)
1010.
7(а^)3 c3 d4
1011. V = I3 • sin2 • Vcos a.
32
1012.
-sin6^-tga. 1013.
а
1014.
Найти
/24 V2V3
Ж = t / ,.
V Vw^
x из выражений (1015-1026).
1015.
1017.
1018.
1019.
log ж = log a + log 6 — logc. 1016.
log ж = 2 log a — 3 log b.
2
log ж = - (log а + log 6).
1020.
1021.
1022.
1023.
1024.
log ж = 2 log (a + b) — 5 log (a — b).
log ж = — log a — 2 log 6 — 31ogc.
2з
log^ = - logo — - logL
log x = log a + n log (a + b) — — log (a — b).
123
log x = — - log (m — n) + - log (m + n) — - log m.
log ж = — log 10000 + 2 log (a + b) — 3 log (a — b).
log ж = 5 log m +1 (log (m + n) + | log (m — n) — log m —
1025.
log ж =
1026.
log ж =
2/11\
-log(a + 0 + - <21oga+ - logb- - (loga-logb)-logaj. 11Q log 6 +1 tog a - ^ (б (tog a + ^ tog б) - tog (a+2 b)^.
Вычислить ж, если известен log ж (1027-1030).
log ж = | log 9 — log 5 + log 2.
log ж = | (91og2 - 31og4).
log ж = - log 32 — - log 64 + log 10.
log ж = 31og5 - 2 log 25 - log 10.
Вычислить при помощи таблиц логарифмов выражения (1031-1042).
1031. 4,134-1,548.
1032 154,8-5,436
*12,72
9,733-21,09
* 48,72-0,8478
1034. ^Ж
V 2,74
1П„, 0,8972-</0,0792
9о /"2,15 • 712,76
1036.
0,006422
1,5922У0,08964
^0,3820,5348
1037.
у 79,836 + V156,374.1038.
1039.
J12,4 + 0,6^0,0548104()
V0,38972"'
4
\
/90 О
0,093- з ’.
У 0,047-^0,0678
1041.
5,387- \ Yo^ — 9,3182.1042. ®
1у 0,08157’\
2,4073 _ g/1,6491’5
0,9502 у о,О8232 '
Построить схематически графики функций (1043-1056).
1043.
У
= 22ж — 2.
1044.
У
= 3Ж + 3"Ж.
1045.
У
= 3Ж -3"ж.
1046.
У
= lgx + 1.
1047.
У
= llg^l + l.
1048.
У
= lg($-l).
1049.
У
= 1 — 1g X.
1050.
У
= l-|lg^|.
1051.
У
= —1g |ж| — 1
1052.
У
= lg(—ж).
1053.
У
= — lg(—ж).
1054.
У
= 21gx + 2.
1055.
У
= lg2$.
1056.
У
= lg2($ + l).
Найти области определения функций (1057-1062).
1057. у = log0 3(9 — ж2).1058- ^^(^Hrl-1)-
1059. у = In (-х - х2\1060. у = 1g(Зж2-4ж + 5).
1061. у = 10^(64-х — х2).1062. у = loga V2-^ + loga V^ + 2.
1063. 1)13(ж-2)(ж-3) — !•1064. 1)4л/ж+Т _ 64.2V^+T1065. 1)2®2+®-о,5 =4^/2;1066. 2Ж-5Ж = 0,1 - (10ж-х)51068. V2^■Vy = 36.1070. 5Ж+ 125-5"ж =30.1063. 1)13(ж-2)(ж-3) — !•1064. 1)4л/ж+Т _ 64.2V^+T1065. 1)2®2+®-о,5 =4^/2;1066. 2Ж-5Ж = 0,1 - (10ж-х)51068. V2^■Vy = 36.1070. 5Ж+ 125-5"ж =30.Решить уравнения (1063-1123).Решить уравнения (1063-1123).§15. Показательные и логарифмические уравнения)
1063. 1)
13(ж-2)(ж-3) — !•
1064. 1)
4л/ж+Т _ 64.2V^+T
1065. 1)
2®2+®-о,5 =4^/2;
1066. 2Ж
-5Ж = 0,1 - (10ж-х)5
1068. V2
^■Vy = 36.
1070. 5Ж
+ 125-5"ж =30.
1063. 1)
13(ж-2)(ж-3) — !•
1064. 1)
4л/ж+Т _ 64.2V^+T
1065. 1)
2®2+®-о,5 =4^/2;
1066. 2Ж
-5Ж = 0,1 - (10ж-х)5
1068. V2
^■Vy = 36.
1070. 5Ж
+ 125-5"ж =30.
Решить уравнения (1063-1123).
Решить уравнения (1063-1123).
2) 1000-(ОД)1^ = 100ж.
2) ^№ = ^1|-(у3.
2) 2ж-1+2ж-2 + 2ж-3 =448.
1067. 152ж+4 = 33ж-5ж+8.
1069. (о,1)-(ж2-5Ж+8) = ЮО.
1071. Тг-З^^-З^^г?.
1072. 2 +1° = —1073. 3.2(3,-1VV7+T_8.2(V^-i)/2 + 4 = 0, 42Ж—2
1074. 132^+ж-1 _ 172V®+®-i.1075. ^^Vio«-2+ViOx-29 _ 27
1076 . 22$+2V^2-2 _ 5.2$-i+V^2-2 = о.
(д/ж + 2)10ж2-3ж-1 = 1.1078. (0,4)ж-1 = (6,25)6ж"5.
1079. 2Ж-31-Ж = 7.1080. Iga; = 2-lg5.
1оёж_1(ж2 — 5ж +10)=2. 1082. 1g2ж = j - i^ж.
lg Q+ж) = 1g (0,5) —^ж. 1084. Igrc + lga = 0, a>0, a / 1.
log2log3log^ = 0.1086. 100lg^+2O) = 10000.
log51gV^2 +19 = 0.1088. 1g(ж +1,5) = — ^ж.
32-|°8з(ж-1) = 81(ж- 1).1090. Vi^V^=-log$5.
loga(l + logг,(l + logc(l + logpж))) = 0.
-2—+ -2—= 1. 1093. |1ё(2ж-1)+1ёУ^9-1.
5 — Iga? 1 +Iga?2
1094. 0,1^4ж + 0,9 = ^2ж. 1095. 9°’51о82ж = 3i-iog2(®-i).
lgl0+jlg^l + S^) =2.1097. 0,1ж18$-2 = 100.
Ig8 — 1g (ж — 5) = lg2 —lgV# + 7.
log5(V2^7 + l) = |logJV2^7 + 7).
1g (^ж) + 1g (^ж3 — 2) = 0. 1101. (0,3)°’5(2“ж) = 53ж.
^3(Зж — 8) = 2 —ж. 1103. 32ж"'-(0.17)2ж =3-(0,2б)ж-'.
2 —ж I 2+ж25+11ж 10,5 —41 ж28 —5 ж
1104. 5^-25i-*2 =5^.1105. 8^тз--4 »+^ =2^г.
1g (зб + г^*-1)} = ^9.1107. 21og4logзlog2Ж = 1.
Юж2+18Ж = (0,01)"2.1109. ж'в®-2/3 = ЮО+100.
1110 2Ж~*~^ ^ж2+2ж—6 _ ^ж2+2ж—5 2Ж
4Ж+6Ж=9Ж.1112. \/Т+з^ж+^ = 3ж+273ж-7.
5!§ж _ з^ж-1 = з1§ж+1 _ з^ж-1.
(2"3-4ж)ж = 23ж"4.1115. log1_$3-log1_$2 = 0,5.
3^52 + 2-ж = ^5(Зж-б2-ж).
lg+3^+0,51g(5-a:) = 0,5.
1g ^1018(ж2“21)) +^25 = 2 + ^ж.
log2(4$+4) = ж + ^2(2ж+1-3).
1120. 71§ж -51§ж+1 = 3-51§ж-1 - 13-71§ж-1.
1121. ^(4ж-6)-^(2ж-2)-2 = 0.
^V4 + V15y + (V4-V15^ = 8.
3 (-До^ж + yiog^a) —10 = 0.
1£§а log.1£§а log.мы логарифмов к другоймы логарифмов к другойN X^J (1124-1133).N X^J (1124-1133).Решить уравнения, используя формулу перехода от одной систе-
1£§а log.
1£§а log.
мы логарифмов к другой
мы логарифмов к другой
N X
^J (1124-1133).
N X
^J (1124-1133).
log3 ж + log^/^-ж — log1/3 ж — 6.1125. log$2 16 + log2$ 64 = 3.
1126. 2^4ж + 2^ж4 = 5.1127. 21ogK 25 - 31og25 ж = 1.
^2(ж-1)2-^05(ж-1) = 9.
log16 ж + log4 ж + log2 ж = 7.
ИЗО. log$ 2-log2;K 2 = log4$ 2.1131. ^2/24ж + ^2^ = 8.
log^ 9ж2 • logg х = 4.
log5(x — 2)+ log^g(x3 — 2)+ log02(x — 2) = 4.
Решить системы уравнений (1134-1161).
1134.
г 9ж+у = 729,Гж-у = 90,
|зж-у-1_|• |18ж + 18у = 3.
1136.
Пёж + ^у = 5,riog$log2log$y = 0,
(^ж —lgy = 3.' (logy9 = l.
1138.
Г^ж(3ж + 2у) =2,11зэ Гlog2(ж2 + y2) = 2,
1^у(2ж + 3у) = 2.' (log^-log23 = 4-log2y.
1140.
^log2ж^-log4y = 4, ид! Г 2^+Vy = 512, |log4$ + log2y = 5.‘ [lg^/жу = l + lg2.
1142.
Гжу = 40,Г 1g (ж2 + у2) = 2 — lg5,
|$lgy = 4." |^ 1g (ж + у) + 1g (ж — у) — 1 + 1g 1,2.
1144.
Г 32ж - 2У = 725,Г г^-^)/2 - г^-^)/4 = 12,
[Зж— 2у/2 = 25.И45. 1 д1§(2у_ж) _ 1
1146.
Гж + у = 23ж"У,ГЗж-4у=77,
Цж + у)-2у-ж =3.\3О5Ж—2^ = 7.
1148.
riog4$-log2y = 0,Г^уж + ^жу = 2,
[ж2 — 2у2 = В.\х2 — у = 20.
1150.
flg(® + y)-(lga: + lgy) =lg|, 1151 р10^^ 4y) = 1,
(lgy + lg6 —lg(y+ 6) = ^ж.14ж 2у — 7-2ж 2y = 8.
1152.
Г2Ж-ЗУ = 6,r(log0a: + log0y-2)log18a = l,
(3Ж-4У = 12." [2ж + у-20а = 0.
1154.
ГЗЖ-2^ = 576,flog^ + log9y = ^,
U°gV2(^ ж)—4.[log^S + log^O = 3.
1156.
Г^жУ + ^ж = |,f log2 ^3(ж+ y) = 1,
(log6(a:2 + y2) = 1.(Ig^ + lgy — 31g2.
1158.
f logз(2ж+ y)+^3(2ж — y) = 1, 1_1^3(2ж + у) — log2(2ж —y) = 1.
( xy = a,( 1xy-x-y = 1,
1159.
12221160- 5r-
Ilg ж + lg у = 2,51g a.(log2y = V^-
1161.
Г4^У = 3$-1+3, 1у2 + 2-Зж"1у-32ж-1 =0.
Определить, при каких значениях ж каждая из следующих функций:
ж_1 +1);2) у = 1g(ж2 -2ж-2)
принимает только положительные значения;
принимает только отрицательные значения;
не существует.
Доказать, что lg ^а + V^2 — 1) = — lg (а — V^2 — 1).
Вычислить 8log23 • (lg6,7 — lg0,67).
flaHo:lg2 = a и lg3 = b. Найти log56.
Дано: lgl96 = 2,2923; lg56 = 1,7482. Найти lg2 и lg5, не пользуясь таблицами.
Найти log616, зная, что log1227 = a.
Вычислить без таблиц логарифмов 1g5 • 1g20 + (lg2)2.
Найти log1245, если log122 = m и log125 = n.
Доказать без помощи таблиц:
1) Д-т + Д-Т<2; 2) Д-т + Д-Т>2-
logs 5 logs 5lo§3 51°§95
Вычислить 161-0’51og47.
1172. Дано: log147 = a, log145 = 6. Найти log3528.
. Проценты (вторая серия задач)
При обработке детали, проходящей 4 операции, потери материала составляют на первой операции 5%, на второй — 4,9%, на третьей — 12 % и на четвертой — 6,5%. Вычислить размер потерь материала в процентах (точность 0,1 %) в процессе обработки детали и объем выхода конечной продукции, если в производство пущено 2500 кг материала.
Стоимость станка после пяти лет работы равна 60 % его первоначальной стоимости. Определить первоначальную стоимость станка, если по истечении пяти лет станок оценивался в 2 млн. 400 тыс. руб.
При изготовлении в день по 324 детали план будет перевыполнен на 8%. Сколько деталей нужно изготовить в день, чтобы перевыполнить план на 14 %?
До снижения цен велосипед стоил 96000 руб. Когда же цена на велосипеды снизилась, количество покупателей увеличилось на 20%, а выручка магазина — на 10%. На сколько рублей была снижена цена на велосипеды?
На сколько процентов нужно увеличить длину радиуса круга, чтобы площадь круга стала больше на 96 %?
После двух последовательных одинаковых процентных повышений зарплата в 500000 руб. обратилась в 627200 руб. На сколько процентов каждый раз повышалась зарплата?
В городе в настоящее время 85 тыс. жителей. Сколько будет в нем жителей через 5 лет, если ежегодный прирост населения в среднем составляет 3 %?
Месячное задание по изготовлению станков завод выполнил на 105%. В следующем месяце было выпущено станков на 4% больше, чем в предыдущем. На сколько процентов был перевыполнен двухмесячный план завода?
Цех за первую неделю выполнил 20 % месячного плана, за вторую неделю было изготовлено 120% продукции, выработанной за первую, а за третью — 60% продукции, выработанной за первые две недели вместе. Каков месячный план цеха, если известно, что для его выполнения необходимо за последнюю неделю месяца изготовить 1480 деталей?
На один продукт была снижена цена дважды, каждый раз на 15%. На другой продукт, бывший до снижения в одной цене с первым, снизили цену один раз на ж %. Каким должен быть ж, чтобы после всех указанных снижений цен оба продукта были вновь в одной цене?
Рабочий день уменьшился с 8 ч до 7 ч. На сколько процентов нужно повысить производительность труда, чтобы при тех же расценках зарплата возросла на 5 %?
Двадцать процентов от общего объема раствора составляют примеси. Каково наименьшее число фильтров, через которые нужно пропустить раствор, чтобы окончательное содержание примесей не превышало 0,01 %, если каждый фильтр поглощает 80 % примесей? (Известно, что 1g2 « 0,30.)
Из бутыли, наполненной 12 %-ным раствором соли, отлили 1 л и долили бутыль водой, затем отлили еще литр и опять долили водой. В бутыли оказался 3 %-ный раствор соли. Какова вместимость бутыли?
Стоимость оборудования по истечении каждого года уменьшается на Р процентов. Найти, сколько будет стоить оборудование через 5 лет, если первоначальная стоимость его 160 млн. руб., а ежегодный процент амортизации равен 2.
В течение года цех осваивал производство новых автоматов, неизменно увеличивая их выпуск. Если в январе было изготовлено 2500 автоматов, то в декабре — 4000. Каков средний процент ежемесячного прироста этой продукции?
Предприятие увеличивало объем выпускаемой продукции ежегодно на одно и то же число процентов. Найти это число, если известно, что за два года объем выпускаемой продукции возрос в два раза.
На сколько процентов увеличивалась ежегодно в среднем производительность труда на заводе в течение последних двух пятилетий, если в первом году первого пятилетия было выпущено 2456 машин, а в последнем году второго пятилетия — 4015 таких же машин? Количество рабочих не изменялось.
Прирост продукции на заводе по сравнению с предыдущим годом за 1-й год составлял р%, за 2-й год q%. Каким должен быть процент прироста продукции за 3-й год, чтобы средний годовой прирост продукции за три года был равен г %?
Из общего количества товара а% его было продано с прибылью в р%, из оставшейся части Ь% его было продано с прибылью в q%. С какой прибылью следует продавать всю остальную часть товара, чтобы общий процент прибыли составлял г %?
1) Производство любой продукции удвоится через 70 лет, если ежегодный прирост его будет составлять 1 %, через 25 лет при приросте в 2 %, через 23 года при приросте в 3 %, через 19 лет при приросте в 3,8 %. Проверить это утверждение.
Если через десять лет выпуск продукции увеличился вдвое, то каков средний процент прироста за каждый год?
. Тригонометрические функции
Измерение углов и дуг
С помощью числа тг составить выражения в радианах для следующих дуг:
а) 30°; б) 45°; в) 60°; г) 136°; д) 22°30'; е) 157°30'; ж) 162°.
Выразить в радианах (с точностью до 0,0001):
а) 51°; б) 28°42'; в) 73О2Н; г) 216°13'.
Выразить в радианах внутренний угол правильных 3-угольника, 4-угольника, 5-угольника, 6-угольника, п-угольника.
Почему ошибочна запись тг = 180°?
Углы треугольника относятся между собой, как 3:5:7. Определить радианные меры этих углов (с точностью до 0,0001).
В равнобедренном треугольнике угол при вершине в 2,5 раза меньше угла при основании. Выразить углы треугольника в градусной и радианной (в долях числа тг) мерах.
Зубчатое колесо, имеющее 56 зубцов, повернулось на 14 зубцов против часовой стрелки. Выразить в радианах угол поворота колеса.
Окружность морского компаса делится на 32 равные части, называемые румбами. Выразить румб:
в градусах и минутах;
в радианах (с точностью до 0,001).
Радиус круга равен 5 см. Вычислить длину дуги, содержащей:
а) 18°; б) 30°; в) 45°; г) 135°.
В круге радиуса R определить длину дуги, содержащей а°.
Определить радианную меру дуги, длина и радиус которой равны соответственно 17 см и 20 см.
Определить длину дуги окружности радиуса R = 25 см, если:
радианная мера дуги равна 1,25 рад;
градусная мера дуги равна 144°.
Радиус окружности равен 36 см. Найти периметр сектора, 7
дуга которого содержит - радиана.
Найти радианную меру угла сектора, длина дуги которого:
втрое меньше периметра сектора;
составляет половину периметра сектора.
Шкив скоростного электромотора делает 120000 оборотов в минуту. Определить угловую скорость вращения этого шкива:
1) в град/с; 2) в рад/с.
Для измерения географической долготы места употребляют особую единицу, называемую часом. Час долготы равен — части полного угла (360°), на который поворачивается Земля за сутки. Выразить час, минуту и секунду долготы в градусах, минутах и секундах Дуги.
Географическая долгота города N (от Гринвича) равна 27°24/15". Выразить ее в часах, минутах и секундах.
Географическая долгота города М равна 9 ч 47,5 мин. Выразить долготу его в градусах, минутах и секундах.
Колесо, радиус которого равен 1,2 м, совершает в 1 минуту 300 оборотов. Требуется:
найти его угловую скорость ш в 1 секунду (угловая скорость выражается в рад/с);
найти линейную скорость точки колеса, отстоящей от центра на 20 см;
найти линейную скорость точки М окружности колеса;
доказать, что линейная скорость вращения точки, отстоящей от центра на расстоянии г, равна таз.
Угловая скорость вала равна 21 рад/с. Вычислить число его оборотов в 1 минуту.
2. Тригонометрические функции острых углов
Какая функция в каждой из следующих пар имеет большее значение:
sin 20° или cos 20°;2) sin 50° или cos 50°;
tg 40° или ctg40°;4) tg 50° или ctg 50°?
Вычислить выражения (1214-1225).
(Устно.) sin0° + 2cos60° — 2tg 45°.
(Устно.) 2sin30°—tg 45°+ 2ctg 45° + cos90°.
3sin J-2cos J+3tg J-4ctg J.
3-sin2 ^ + 2cos2 ^-3tg2p
12184 — 2tg245°+ctg460°
3 sin3 90° — 4 cos2 60° + 4 ctg 45°
/ 7Г / 7Г /7Г /7Г
^sin^J -(3tg^J + ^2cos - (^2ctg .
3sin2 — (2tg ^) — 4cos2 +3ctg3
2 sin 30° + 3 cos 30° - 2 tg 30° - 4 ctg 30° + sec 30° - cosec 30°.
12 2 2. 5 sin 45° + 2 cos 45° + 3 tg 45° - 10ctg 45° - 4sec 45° - 7cosec 45°.
sin 60° + cos 60° - tg 60° - ctg 60° + sec 60° - cosec 60°.
3 sin 0° - 5 cos 0° + 7tg 0° + sec 0° - 9ctg4 .
sin 90° - 6cos 90° + 3 ctg 90° + 5 cosec 90° + 36tg2 .
Упростить выражения (1226-1231).
(Устно.) a2sin90° + 2a6'tg45o + 62cos0°.
atg ^ + 26sin^-3atg0-2actg ^.
4asin2 -3 fatg +f2acos^) . 4\4/\4/
4a2 sin4 - 6a6tg2 + (b • ctg . 46\4/
(a • sin — )2 — (b tg — )2
*2-l
2a2sin ^ — 2a6cos0 + (6tg ^-)
(2a cos — )2 — (6ctg — )3 + (Заб sin 0)2
37 /.
(5a cos-) + 2a sin - — 26 cos2 -
V64
Найти значения следующих выражений (1232-1238).
1232.1233.1232.1233.1234.1234.1235.1235.1236.1236.(Устно.) sin a + cos а при значениях угла a: 0°; 45° и 90°. tga + sina при значениях угла а: 0°; 30° и 60°.sin a + sin 2a + sin 3a при a = ^.6 sin2 a + tg a — 4 cos a — 2 ctg 2a при a = ^.2sin (45° + a)+ 3cos (180° — 2a) — 4ctg (90° — a) при a = 45°.(Устно.) sin a + cos а при значениях угла a: 0°; 45° и 90°. tga + sina при значениях угла а: 0°; 30° и 60°.sin a + sin 2a + sin 3a при a = ^.6 sin2 a + tg a — 4 cos a — 2 ctg 2a при a = ^.2sin (45° + a)+ 3cos (180° — 2a) — 4ctg (90° — a) при a = 45°.1237.1237.1238.1238.sin 2asin (15° + a) — sin a2 sin a • cos/3sin 2asin (15° + a) — sin a2 sin a • cos/3при a = 30°.при a = 30°.cos (a + /3) + cos (a — /3)cos (a + /3) + cos (a — /3)при a = 60°, (3 = 30°.при a = 60°, (3 = 30°.
1232.
1233.
1232.
1233.
1234.
1234.
1235.
1235.
1236.
1236.
(Устно.) sin a + cos а при значениях угла a: 0°; 45° и 90°. tga + sina при значениях угла а: 0°; 30° и 60°.
sin a + sin 2a + sin 3a при a = ^.
6 sin2 a + tg a — 4 cos a — 2 ctg 2a при a = ^.
2sin (45° + a)+ 3cos (180° — 2a) — 4ctg (90° — a) при a = 45°.
(Устно.) sin a + cos а при значениях угла a: 0°; 45° и 90°. tga + sina при значениях угла а: 0°; 30° и 60°.
sin a + sin 2a + sin 3a при a = ^.
6 sin2 a + tg a — 4 cos a — 2 ctg 2a при a = ^.
2sin (45° + a)+ 3cos (180° — 2a) — 4ctg (90° — a) при a = 45°.
1237.
1237.
1238.
1238.
sin 2asin (15° + a) — sin a2 sin a • cos/3
sin 2asin (15° + a) — sin a2 sin a • cos/3
при a = 30°.
при a = 30°.
cos (a + /3) + cos (a — /3)
cos (a + /3) + cos (a — /3)
при a = 60°, (3 = 30°.
при a = 60°, (3 = 30°.
Тригонометрические функции углов от 90°до 360° и отрицательных углов
В какой четверти все тригонометрические функции положительны? Могут ли в какой-нибудь одной четверти все шесть тригонометрических функций быть отрицательными?
Если угол принадлежит треугольнику, то какие из его тригонометрических функций могут быть отрицательными и когда именно?
Какие знаки имеют тригонометрические функции половины угла в треугольнике?
В каких пределах может изменяться сумма 1 + sin ж при произвольном изменении аргумента ж?
Какие из следующих равенств возможны:
sin а =V^—, а > О, b > 0; 2) cos/3 = a + ^;
seCa=
т + п
Может ли быть отрицательной дробь £2££?
sec ж
Упростить выражения (1245-1248).
а • sin0° + 6 • cos90° + с • tg 180°.
а3 • ctg 270° + 63 • tg 90°.
a2 -sin27r + 2a6-cos |тг + 62 -tg 2тг.
а2 • cosec 90° — 2ab • sin 180° + b2 • cosec 270°.
Установить знак каждой из следующих разностей (1249-1250).
1) cos 20° — cos 120°; 2) sin 120° - sin 240°.
1) tg 120° — tg 40°; 2) ctg 30° - ctg 130°.
Построить углы, синусы которых равны:
0,6; 2) -|.
Найти их величину с точностью до 1°.
Построить углы, косинусы которых равны:
-|;2) -1.
Построить углы, котангенсы которых равны:
-2; 2) 1.
Найти значения всех шести тригонометрических функций следующих углов (устно):
-30°; 2) -45°; 3) -60°; 4) -90°; 5) -135°; 6) -210°;
-300°; 8) -180°.
Найти значения следующих выражений (1411-1421).
1255. a sin (-30°) - 2а tg (-45°) + 6 cos (-60°) - 6 ctg (-90°).
sin3(-30°)-2ctg(-^)-l
2 — tg 45° + 4cos2 (— -|)
1257sin2 60° + sin2(—45°) — 1,25
tg245° — sin2(—30°) + sin2 60°
^2n-cos^—^^ — 4^actg^—^^ +6tg0.
5tg0 + 2sin ^-^ ~3ctg ^-^ + 4cos (-^).
1260.1261.1263.1260.1261.1263.sin45°cos60° — cos(—45°) sin(—60°)
1260.
1261.
1263.
1260.
1261.
1263.
tg230° — sin2 90° • cos2 270°'
sec(—30°) + cosec(—30°)1262 a sin7r + 6costt + c tg 7r
sin2 (-30°) + cosec2(-30°)'' 5sin 270°- 2 cos 0°+ 3 ctg 90° ‘
7Г .2,. 2 4tt . n , 2 , 2 7Г . o,3 бтг
a tg —+ d otg — +9(io ctg — +2o cos™
2 cos2 315° + 3p ctg 135° + p2tg2300° - 2p3 sin3 225° '
4cos (3a — 30°) + 2tg22a — 2sin (30° + а) при a = -30°.
sin/3 + cosct + tg ct + ctg/3 при ce = —и p =
В I четверти тригонометрические функции изменяются и притом монотонно (либо только возрастают, либо только убывают) в следующих пределах:
О^се^ -
2
О^се^ -
2
0 се < - 2
0 since 1
1 ^ cos се 0
0 tg се < оо
Л // 7Г
0 < се ^ —
2
Л // 7Г
0 ^ се < —
2
Л // 7Г
0 < се ^ —
2
оо > ctg се ^ 0
1 ^ sec се < оо
оо > cosec се ^ 1
Составить соответствующие таблицы для остальных трех четвертей.
Эти четыре таблицы полезно воспроизводить время от времени (это очень важно!).
Выразить тригонометрические функции угла а*.
1) через since; 2) через cos се; 3) через tg се; 4) через ctg се. (См. ответ.)
Найти тригонометрические функции угла се, если дано:
cosce = |;2) ctg се = ^;3) ctg се = —3;4) sin се = —0,6.
Предполагая 0 < b < а, найти тригонометрические функции угла се по следующим данным (1269-1270).
юг™ • а — Ь юг™Va2-b2
1269. sin се =-.1270. cosce = —.
а + оа
Найти тригонометрические функции угла се при следующих условиях (1271-1272).
19
се — угол положительный острый и tg се = 4 —.
се — угол IV четверти и ctg се = —1,05.
sin се + cos се
Упростить выражение .
sec се + cosec се
7 В. А. Бачурин
Выразить sec а через ctg се, если а — угол IV четверти.
Вычислить sin а • cos се, если sin а + cos а = т.
tg a + ctg а = т; вычислить tg2а + ctg2а и tg3a + ctg3 се.
Доказать тождества (1277-1287).
tg2а — ctg2 се = sec2 а — cosec2 а.
sin3 ж(1 + ctg ж) + cos3 ж(1 +tg ж) = sin ж + cos ж.
_ seco • ctg а — cosec а • tg а
:2— = sec а • cosec а.
COSO — sin о
1 —since 1 + secce . 3ctg ce2
:=ctg3ce. 1281. = cos2ce.
—cosce 1 +cosec cetgce + ctgce
1282. S12n “ +—— = 1.1283.21 + tg “= tg2a.
sec ce — 1 cosec ce — 1tg ce + ctg ce
1284. (sin ce + tg ce) (cos ce + ctg ce) = (cos ce +1) (sin ce +1).
1285.1285.x 2 since + tgce \cosec ce + ctg ее уx 2 since + tgce \cosec ce + ctg ее уsin2 ce + tg2cecosec2 ce + ctg2cesin2 ce + tg2cecosec2 ce + ctg2ce
1285.
1285.
x 2 since + tgce \
cosec ce + ctg ее у
x 2 since + tgce \
cosec ce + ctg ее у
sin2 ce + tg2cecosec2 ce + ctg2ce
sin2 ce + tg2cecosec2 ce + ctg2ce
1287. 6*5^1V 1 — since1287. 6*5^1V 1 — since1 — since1 + since1 — since1 + since1286. tg2ce-sin2ce = tg2ce-sin2ce.
1287. 6*5^1
V 1 — since
1287. 6*5^1
V 1 — since
1 — since
1 + since
1 — since
1 + since
= 2tgce, — ^ + 2£тг < ce < ^ + 2£тг.
Формулы приведения. Тригонометрические функции произвольного аргумента
1288. Привести к углу, меньшему 45°:
1) sinl21°40';2) cos98°21'; 3) ctg 140°42';4) tg322°17'.
Упростить выражения (1289-1291).
cos (180° - се) • sin (90° + се) • tg (180° - се) • ctg (90° + се).
tg ^ + се) • ctg (тг - се) + ctg (тг - се) • tg ^ - се).
1291(180° - се) cos (180° - се) • tg (90° - се)
sin (90° + се) • ctg (90° + се) • tg (90° + се)
1292. Показать, что:
a) sin (45° + се) = cos (45° — се); б) cos (45° + се) = sin (45° — се);
в) tg (45° + се) = ctg (45° - се); и т. д.
Вычислить выражения (1293-1295).
1293. a) sin(-1350°); б) cos720°; в) tg900°; г) собутг.
1294. 4sin330° • cos (-240°) tg 120° - 2cos 150° • tg (-315°).
1295. sec9?r.
Тригонометрические функции угла 50° выразить через функции его смежного угла. (См. ответ.)
Упростить выражения (1297-1303).
sin ^ — ^ — cos (тг — а) + tg (тг — а) — ctg (^ + о?^.
sin 0° + sin 1° + sin 2° +... + sin 360°.
ctg 15°+ ctg 30°+ ctg 45° +... +ctg 165°.
1300 cosec(—a)' cosec (90° + a)
sec (—a) • sec (180° + a)
13Q1 sin3(a — 270°) • cos(360° — a)
* tg3(a — 90°) • cos3(a — 270°) '
sin 160° • cos 110° + sin 250° • cos340° + tg 110° • tg 340°.
1303 tg(270° ”a)'sin 130°'cosec220° 'sin270°
* ctg (180° - a) • cos 50° • sec 320° • 360°’
Применить формулы приведения для углов:
а) а — 90°; б) а — 180°; в) а — 270°; г) а — 360° (см. ответы).
По данному общему виду угла х написать его частные положительные значения, меньшие 360°(2тг):
1) х = 15° + 120°п;2) х = — 60° + 360°п (см. ответ);
ж = (-1)". 45° + 180°-п; 4) ж = (-1)" • ^ ±тг-п.
Написать общий вид углов по значениям тригонометрических функций этих углов (1306-1315).
1) 8тж = -; 2) 8тж = —.
1) sinж = —; 2) со8ж = -.
лА
1) С08ж = —; 2) со8ж = —.
1) tgж = l; 2) tgж = VЗ.
1) ctgж = l; 2) ctg x = л/З.
1) ctgж = —1; 2) 8т2ж = 0.
1212. 1) 8т8ж = --^; 2) cos7x = --^.
1) tgЗж =-V3; 2)tgж=^.
л A
l)tg5ж = —1; 2) ctg тгж = 0.1315. cos (2ж - 13) = --^.
При каких значениях аргумента х следующие функции:
1) cos ж; 2) sin ж; 3) (sinж + l);4) (1 — cos ж)
принимают наименьшие значения?
При каких значениях аргумента ж следующие функции:
1) cos ж; 2) sin ж; 3) (sin ж — 1);4) (1 + со8ж)
принимают наибольшие значения?
5. Тригонометрические функции суммы и разностидвух углов
Дано: cosce = 0,5; ыпД = -0,4; 270° < а < 360°; 180° < (3 < < 270°. Найти sin (а — Д) и cos (а + Д).
1319. Вычислить:
sin 75° и cos 75°, заменяя 75° через 45°+ 30°;
sin 15° и cos 15°, заменяя 15° через 45° — 30°.
Если углы а и Д — положительные и а + Д < 90°, то sin (а + Д) < since + sin Д. Доказать это:
1) с помощью чертежа; 2) используя формулу.
Выразить sin (се+ Д+ 7) и cos (се+ Д+ 7) через тригонометрические функции слагаемых аргументов.
Упростить выражения (1322-1329).
sin4,25 • cos 1,11 — sin 1,11 • cos4,25.
sin (15° +ce) - cos (15° -ce) + sin(15° - ce) • cos (15° + ce).
sin ce • sin (ce + Д) + cos ce • cos (ce + Д).
1325 Sin 56° 'Sin 124° ” Sin34° 'C0S236°
* cos28°-cos88° +cos 178°-sin208° *
1326.1327. cos2a-sin2a-ctg a.
1328. cos 10°-2cos50°-cos70°.1329. cos^-ctg ^+sinp
Доказать тождества (1330-1337).
cos2 a - cos (60° + ce) • cos (60° - ce) = 0,75.
0,5sin2 a + sin ( + a | • sin |— ce | = 0,5cos2 ce.
\4 J \4/
V2 cosce - 2 cos (45° + ce),
= tg a.
2sin(45 + ce) — v2 since
cos 15°+sin 15°= sm60o. 1334. cosl5°-sinl5° = cos45°. cos 45
cos2(a — 30°) + cos2(a+ 30°) + sin2 a = 1,5.
sin (ce + Д) • sin(ce — Д) = sin2 a — sin2 Д.
cos (ce + Д) • cos(ce — Д) = cos2 a — sin2 Д.
Упростить выражения (1338-1343).
1338 tg(45° + a)-tgq 133g tg 1,47-tg 0,69 ' 1+tg(45° + q)-tg q "' 1 + tg 1,47 - tg 0,69 "
1340. ctg(45°-a) + ^^.1341.50°-tg 5° -1 _
V ’ 1-ctgqtg50 -tg5
(tg a — tg 3) -ctg (a — 3) — tg a - tg 3
sin20°+ 2sin40°-sin 100°.
Доказать тождества (1344-1350).
1 —tg(o —45°).\ tga + 1
— ctg a. 1345. tg a • tg(45 + a) = —-.
l + tg(a —45)6ъ) ctga_!
1346 ctg(a + ^)-ctg Д = sin(^o)
* ctg (a - 3) + ctg 3 sin(^ + a)*
^g^±^ + ^^ = 2.
tg(a + ^)tg(q-^)
0,5-ctg 15° -0,5-tg 15° = 3.
1349. cos 10°-2cos50°-cos70° = - sin40°.
ctg “ ctg ^„ =ctg(a + /3)-ctg(/3-a).
ctg 3 — ctg a
Если tg a = | и tg Д = |, причем углы a и Д — острые, то а + 3 = 45°. Доказать это утверждение.
31
Дано: ctg а = -; ctg 3 = z? а и Р — острые углы. Доказать, что а + 3 = 135°.
Тригонометрические функции двойныхи половинных углов
Если 0 < а < 45°, то sin 2a < 2sin а. Доказать это:
1) с помощью чертежа; 2) пользуясь формулой для sin 2a.
Выразить sec 2a через sec а.
Выразить sin а и cos а через tg^.
Показать, что все тригонометрические функции угла выражаются рационально через tg —. а 2
Дано: tg — = - . Найти sin a, cos a, tg а.
Дано: ctg а = д/2 + Е Найти sin2a, cos2a, tg2a.
Выразить sin За и cos3a и tg 3a соответственно через sina, cos a и tg a.
Выразить sin 4a и cos 4a через sina и cos a.
Выразить sin^ и cos ^ через sina.
1362. Выразить tg — и ctg — соответственно через tg се и ctg се. Вычислить без таблиц и компьютера (1363-1368).
1363. cos15°-cos275°.1364.
1 — tg275'
1366.1367. tg435° + tg 375°.
2cos215°-1
1365. 2cos2^-1.1368.tg 70 +tg651365. 2cos2^-1.1368.tg 70 +tg651369. 2sin40°-sin50°.1369. 2sin40°-sin50°.1371. cos2ce + 2 sin2 а.1371. cos2ce + 2 sin2 а.1373.1 + sin2ce1375. tg ce(l+ cos2ce).1373.1 + sin2ce1375. tg ce(l+ cos2ce).1370. (siny? — cost/?)2 + sin2y?.1372.ctg2 (45° — ce) — 11374. 2cos2(45° — a)—sin2a.1376. V2sin2a + 2.1370. (siny? — cost/?)2 + sin2y?.1372.ctg2 (45° — ce) — 11374. 2cos2(45° — a)—sin2a.1376. V2sin2a + 2.Упростить выражения (1369-1376).
1365. 2cos2^-1.
1368.
tg 70 +tg65
1365. 2cos2^-1.
1368.
tg 70 +tg65
1369. 2sin40°-sin50°.
1369. 2sin40°-sin50°.
1371. cos2ce + 2 sin2 а.
1371. cos2ce + 2 sin2 а.
1373.
1 + sin2ce
1375. tg ce(l+ cos2ce).
1373.
1 + sin2ce
1375. tg ce(l+ cos2ce).
1370. (siny? — cost/?)2 + sin2y?.
1372.
ctg2 (45° — ce) — 1
1374. 2cos2(45° — a)—sin2a.
1376. V2sin2a + 2.
1370. (siny? — cost/?)2 + sin2y?.
1372.
ctg2 (45° — ce) — 1
1374. 2cos2(45° — a)—sin2a.
1376. V2sin2a + 2.
Доказать тождества (1377-1395).
1377.1377.1 + cos се = 2 cos2 ^.1 + cos се = 2 cos2 ^.1378. l-cosa = 2sin2p1378. l-cosa = 2sin2p1379.1379.1 + sin а1 + sin а1380. 1 —since1380. 1 —since45° -45° -22
1377.
1377.
1 + cos се = 2 cos2 ^.
1 + cos се = 2 cos2 ^.
1378. l-cosa = 2sin2p
1378. l-cosa = 2sin2p
1379.
1379.
1 + sin а
1 + sin а
1380. 1 —since
1380. 1 —since
45° -
45° -
2
2
1381.
1385.
2sin2ce — sin4ce , о —::—— = tg Се.
2sin2ce + sin4ce
1386.
1 —sin2ce + cos2ce ,x
= tg(45 -ce).
l + sm2ce + cos2cev
1387.
1389.
tg - ctg
77 = — C0S ^ •
tg^+ctg 2
cos4ce + l 1 . .
= - sin4ce.
ctgce — tg ce2
1388.
1390.
2
——2—- = cos4ce.
tg 4ce — tg 2ce
1 — cos(8ce — Зтг) _ sin8ce
tg 2се — ctg 2се
2
1391. cos2 (се + Д) + cos2 (се — Д) — cos 2се • cos 2 Д = 1.
1392.1392.11111393.1393.1 — tg се 1 + tg се sec се + sec Д1 — tg се 1 + tg се sec се + sec Д= tg 2се.= tg 2се.tg a sec Д + tg Д sec аtg a sec Д + tg Д sec а= ctg —= ctg —
1392.
1392.
1
1
1
1
1393.
1393.
1 — tg се 1 + tg се sec се + sec Д
1 — tg се 1 + tg се sec се + sec Д
= tg 2се.
= tg 2се.
tg a sec Д + tg Д sec а
tg a sec Д + tg Д sec а
= ctg —
= ctg —
1394.1394.sin Зсе • cosec а — cos Зсе • sec се = 2.
1394.
1394.
1395. 4cosce • cos (60° - ce) • cos (60° + ce) = cosЗсе.
1396. Проверить, что если tg се = ^ и tg Д = |, то cos2ce = sin4Д.
Преобразование произведениятригонометрических функций в сумму
Вычислить (без таблиц и компьютера) значения выражений (1397-1402).
1397. cos45° • cos 15°.1398. sin 105° • sin 75°.
1399. sincos^.1400. 2sin 10°-sin40° +cos50°.
2424
19
1401. 2cos20°-cos40°-cos20°.1402. cos - тг • cos - тг.
Преобразовать произведения тригонометрических функций в суммы (1403-1430).
1403. 2cosce • cos3ce. 1404. sin5ce • sin3ce.
1405. cos2ce + 2sin ( ce + ) -sin ( a —).1406. sin4ce • cos2ce.
X 6 / X 6 /
(l + 2cos2ce)-since. 1408. 4cos8° • cos 10° • cos6°.
1409. 4cosce • cos3ce • cos4ce. 1410. 2sina • sin2ce • sin3ce.
8cos (ce —/3) cos(ce — 7) cos (7 —/3).1412. sin2ж.
1413. cos2 ж. 1414. sin2 mx.1415. cos2 —.
m
. _ „. 9•/. ТГ \•/ ТГ \
sin a — sin (^ce + — J • sin (^ce — —
cos2 a — cos (30° + ce) • cos (30° - a).
2cosce • cos2ce — cos3ce.
cos 2ce • cos2 a — i cos 4a — - cos 2a. 42
cos2 3 + cos2 1 — cos 4 • cos 2.
С083(тж + п).1422. 8т3(аж-6).1423. cos4се.
sin4 се. 1425. cos2 се • sin2 се. 1426. cos3 се • sin2 се.
sin3 се • cos2 се. 1428. С082(ж — 1) • sin3(l — ж).
1429. cos4 Зж • cos2 5ж.1430. со863ж.
Проверить равенства с помощью упрощений и вычислений (1431-1442).
tg 20° • tg 40° • tg 60° • tg 80° = 3.
cos35° + cos 125° + 2sin 185° • (sin 130° + sin 140°) = 0.
8cos 10° • cos 20° • cos40° = ctg 10°.
1434. 16 sin 20°-sin 40°-sin 60°-sin 80° = 3.
Q
1435. cos 10° • cos30° • cos50° • cos70° =.
16
ctg 10° • ctg 50° • ctg 70° = ctg 30°.
1437. 8 COS - 7Г • COS — 7Г • COS - 7Г = 1.
999
1438. sin270°-sin250°-sin210° =-1
64
1439. sin 16°-sin54° = 4.1440. sin 15° =,.
44
1441. V1 + cos a + V1 — cos ce = 2 sin ^ + ^, 0 < a < ^.
(cosce + cos—)2 + (since + sin—)2
1442. ^2_=ctg“
2 sin —
2
Преобразование суммытригонометрических функций в произведение
Привести к виду, удобному для логарифмирования, и упростить (1443-1464).
1443. sin 75° +sin 15°.1444. sin 78° - sin 42°.
1445. cos 152° +cos 28°.1446. cos48° - cos 12°.
1447.
sin се + cos се.1448. since —cos се.
1449.
sin2 a — sin2 Д
1450.
cos2 се — cos2 Д. 1451. 1 +sin се.
1452.
since — 1.
1453.
l-2sin2ce.1454. 1 —2cos2ce.
1455.
1 ±tg a.
1456.
lictgce. 1457. Vl+cosce + Vl-
■ cosce.
1458.
V1 + cos ce — V1 — cos a.1459. 1-
2 cosce + cos2ce.
1460. 1 + tg a + secce.1461. secce + tg a — 1.
1462. tg a + ctg a + sec a + cosec a.
1464. since + sin 2ce + sin 3ce.1464. since + sin 2ce + sin 3ce.1463. tg a — ctg a — sec a + cosec a.
1464. since + sin 2ce + sin 3ce.
1464. since + sin 2ce + sin 3ce.
Доказать тождества (1465-1470).
tg 2 О tg Ot • HI А О Оn
1465. ——= sin2ce. 1466. = cos2ce.
tg2ce — tg cel + tgce-tg2ce
V1 + sin ce — V1 — sin ce = 2 sin(если 0° < a < 90°).
sin2ce cosce , a
—- • = tg —.
l + cos2ce 1 +cosce 2
1469.1469.= tg 3ce.= tg 3ce.since + sin 3ce + sin 5cecos ce + cos 3ce + cos 5ce
1469.
1469.
= tg 3ce.
= tg 3ce.
1470. tg 3ce — tg 2ce — tg a = tg 3ce • tg 2ce • tg ce.
Доказать, что при условии а + Д + 7 = 180° (например, для углов треугольника) имеют место следующие соотношения (1471-1479).
sin се + sin Д + sin 7 = 4 cos ^ • cos ^ • cos ^.
sin а + sin /5 — sin 7 = 4 sin — • sin — • sin —. p 1222
cos a + cos 3 + cos 7 = 1 + 4 sin ^ • sin ^ • sin ^.
cos a + cos/3 — cos 7 = —1+4 cos ^ - cos ^ - cos 7
1475. tg a+tg/3+tg 7 = tg a-tg/3-tg 7.
tg^-tg|+tg^-tg^+tg|-tg^ = l. ZZ ZZ Z
ctg a • ctg 3 + ctg a • ctg 7 + ctg 3 * ctg 7 = 1.
sin 2a + sin 2/5 +sin 27 = 4sina - sin3 - cos7.
cos 2a + cos 2/5 + cos 27 = — 1 — 4 cos a • cos 3 * cos 7.
Следующие выражения преобразовать в произведения тригонометрических функций с помощью некоторых «ходовых» углов (1480-1485).
1480. l-2cosa. 1481. V3-2sina. 1482. 3-4cos2a.
1483. 1 + cos a + cos 2a.1484. sin a + sin 2a + sin 3a.
1485. cos a — cos 2a + cos 3a.
Обратные тригонометрические функции
1486. Выразить х с помощью обратных тригонометрических функций из равенств:
1) tg х = m; 2) cosx = m; 3) sinx = m.
Какие значения можно подразумевать под т в каждом из этих равенств?
Записать с помощью обратных тригонометрических функций равенства (1487-1490).
1487. 1) sin- = -; 2) sin(——J =—-; 3) cos- = —.
1488. 1) cos|=0;2) tg(-^)=-l; 3) 3tg0 = 0.
1489. 1) ctg ^ = V3; 2) ctg^ = ^;3) sin ж = 0,23.
1490. 1) cos ж = 0,5762;2) tg ж = 0,468; 3) ctg ж = 1,237.
Построить графики функций (1491-1492).
2 arccos -.arctg (—1,5).2 arccos -.arctg (—1,5).1491. 1) arcsin0,8; 2) arcsin (— ^;3)
2 arccos -.
arctg (—1,5).
2 arccos -.
arctg (—1,5).
1492. 1) arccos (-0,75); 2) arctgj;3)
Найти значения следующих выражений (1493-1496).
1493. 1) arccos 1;2) arccos 0;3) arccos 0,5;4) arccos (—1).
1494. 1) arcsin 0; 2) arcsin 1; 3) arcsin(—1); 4) arcsin(—0,5).
1495. 1) arctgO;2) arctgl; 3) arctg(-l); 4) arctg^L
1496. 1) arcctgl; 2) arcctgO; 3) arcctg (—1); 4) arcctg
Найти значения следующих выражений (1497-1543).
1497.
1499.
( v3\ 7Г arccos I—— 1.
3 arctg (—1) — - тг.
1498.
arcsin
+ 2тг.
1500. arccos (—0,5) + 2arcsin(0,5).
1501. arcsin 0 + arccos 0 + arctg 0 + arcctg 0 — тг.
1502. arcsin (—1) + 2arccos (—1) +4arctg (—1) + 2arcctg (—1) + 13тг.
1503.
1504.
1505.
1506.
1508.
1510.
arctg (-V3) + 2arcctg V3.
V2 ( л/з
2arccos —— 3 arcsin I——
— 6arcctg (—V3) — 4,5тг.
sin (arcsin (—0,37)).1507. arcsin
Vs
cos arccos \\ 5
1509. arccos
ctg (arctg mY
1511. arctg (ctg ^.
( Зтг \
1513. arcctg (sin— 1.
1514.
cos
(9• v 2 \
12 arcsin — 1.
/уз \
1515. sin 1 3arccos — 1.
1516.
cos
12 arcsin 1——
j^.1517. sin(5arctg(-l)).
1518.
sin ।
(arccos 0,8).
1519. cos (arcsin ^^.
1520.
tg(
'. 3\
arcsin - .
<5/
1521. ctg (arccos0,8).
1522.
tg(
'5 \
arccos — J.
1523. ctg (^arcsin—J.
1524.
sin (arctg (—2)).
1525. sin (arcctg ^У
1526.
cos
( + 9
(агс^4бЛ
1527. cos (arcctg (-1,05)).
1528.
sin |
(. 1 ।i\/Va , i . V3
arcsin - + arccos - . 1529. cos arccos — + - arcsin —-
к22/\222
1512.
1530. sin farcsin f + arcsin X 517,
1532. tg (arctgж + arctg-^.
о о / j 2d b26 d ।\
1533. tg I arctg— + arctg— I. (Дано решение.) \bv3dv3 /
/2\
1534. cos (^2 arcsin -J.1535. sin (2 arcsin m).
1536. tg^3arctg^y1537. sin (2arctgm).
1538. cos (2&тг± arccos x), 0 < |ж| < 1.
(
3 \/7Г X
&тг +arctg-). 1540. arccos sin— . 4/\7/
(14\- arcsin - — 2arctg (—2)J.4 XX577(14\- arcsin - — 2arctg (—2)J.4 XX577(4тг X ctg "y j •
(14\
- arcsin - — 2arctg (—2)J.
4 XX
577
(14\
- arcsin - — 2arctg (—2)J.
4 XX
577
/ зx
1543. tg ( - 7Г — - arcsin X44
Проверить справедливость следующих равенств (1544-1559).
1544.1545.1544.1545.. 34arcsin - = arccos -.55arcsin 4 / = arctgу a-Vb b. 34arcsin - = arccos -.55arcsin 4 / = arctgу a-Vb b, a > 0; b > 0., a > 0; b > 0.
1544.
1545.
1544.
1545.
. 34
arcsin - = arccos -.
55
arcsin 4 / = arctg
у a-Vb b
. 34
arcsin - = arccos -.
55
arcsin 4 / = arctg
у a-Vb b
, a > 0; b > 0.
, a > 0; b > 0.
_ „ . „5 ,.12 7Г
1546. arcsin— +arcsin— =—.
1547. arccos - + arccos - = arccos — — . 27X 14/
1548. arcsin 0,6 — arcsin 0,8 = — arcsin 0,28.
1549. arctg | + arcctg | = ^.
1550. 2arcsin m = arccos (1 — 2m2), 0 < m < 1.
1551. arccos1551. arccos/2Ve + ia - — arccos— V 32V3/2Ve + ia - — arccos— V 32V31552. 2arctg1552. 2arctg= arccos= arccosa — xa + x ’a — xa + x ’_ 7Гa > 0, x > 0._ 7Гa > 0, x > 0.
1551. arccos
1551. arccos
/2Ve + i
a - — arccos— V 32V3
/2Ve + i
a - — arccos— V 32V3
1552. 2arctg
1552. 2arctg
= arccos
= arccos
a — x
a + x ’
a — x
a + x ’
_ 7Г
a > 0, x > 0.
_ 7Г
a > 0, x > 0.
.422
1553. arcsin - + arccos — = arctg —.
5V511
1554. arcctg V3 + arcctg (2 + V3) = ^.
1555. arcsin ^ + arctg ^ = arctg (V2 +1)2 .
1556. arctg 1 + arctg 2 + arctg3 = тг.
1557. arctgт + arctg п = arccos
1 — тп
m > 0, n > 0.
1558.1558.. 15Х7
1558.
1558.
arcsin — = - 1775
1559. cos (2arcctg 7) = sin (4arcctg 3).
Графики тригонометрических функций
Построить графики функций (1560-1565).
1)?/ = 28тж;2)?/= |sinx;3)?/ = 8тж + 1.
1)у = | sinж|;2)y= — з!пж;3)y = sin(—ж).
1)у = 1 — совж;2)у = |со8ж|.
1)y = cos(—ж);2)y= — С08ж.
1) ?/ = tgж-l; 2) ?/ = |ctgж.
1) ?/ = tg(—ж);2) ?/ = ^ж|.
Определить наименьший положительный период функции; указать промежутки монотонности и интервалы знакопостоянства; построить графики этих функций (1566-1569).
1)?/ = 8т2ж;2) т/ = sin^.
1)?/ = sin^ + ^;2)7/= sin^-^.
1)у = 8ш(2ж + тг);2)т/= ^ + sin ^.
1)У = 2 + 28ш2ж;2)у= 1-1 sin |.
Построить графики функций (1570-1599).
1570.
у = - sin (2х — — Y1571. у = sin (2х — —) + 1.
2 к27у\б)
1572.
•( X 7Г \. 7Г \
у = 2sinJ — 1.1573. ?/ = со8^ж + —
1574.
у = cos ^2х +.1575. у = cos ^2х —.
у\2)у 2 V3/
1576.
у = 2сое(ж-^)+1.1577. 1) y=tg2ж; 2) y = ctg^.
1578.
y=tg(ж + 7г).1579. у = ctg (2ж + ^).
1580.
У = sin Ж + СО8Ж. 1581. ?/ = 1 + со82ж. 1582. ?/ = 8т2ж.
1583.
?/ = 1 + со82ж. 1584. у = sin2ж + cos2ж.
1585.
?/ = |—sin2ж. 1586. у = sinж + sin2ж.
1 х
1587. у = 8т2ж + cos2x.1588. y = secx. 1589. у = -cosec — .
1590. ?/ = cosec2x. 1591. у = 2 + 2cosec2x.
1592. у = 2sin (1 — х).1593. ?/ = sec2x. 1594. ?/ = 2cos22x.
1595. ?/ = |sec^|.1596. у = sinx + | зт2ж.
1597. у = sinx + | sin2x + | зтЗж. 1598. у = cosx — | cos2x.
у = cos x — | cos Зж + | cos bx.
Тождественные преобразованиятригонометрических выражений
Проверить вычисления (1600-1601).
^2^21 = !1601. l-tg70°.tg65o = _L
1 - tg 25° • tg 20°tg 70° + tg 65°
Проверить справедливость равенств (1602-1644).
sin (45 - а) + cos (45 -а),
1602. ;5;;57 = Ctg О .
sin (45 —о) —cos (45 —а)
1боз
* tg о — tg/3 sin(a —/3)'
1604. sin 6a • ctg 3a — cos 6a = 1.
1605. cos 10°-2cos50°-cos70° = - sin40°.
М^ + а) + ^(^"а) 1606. = 1.
1 — tg (^ + a) • tg (^ — a)
1607. ^2>22 + ^°’92 =tg3,14«0.
1-tg 2,22-tg 0,928 ’
^^-сЩ^О. 3-ctg210°^^-сЩ^О. 3-ctg210°1608. ctg (45°+a)+) ctga=0. i609.
^^-сЩ^О. 3-ctg210°
^^-сЩ^О. 3-ctg210°
671 + ctga
1610. 2cos-COS= COSa.
\ 42 /\ 42 /
fcos (4 + 2a) + cos (4 — 2a)) — cos4a = l. \\ 4/\ 4//
(cos0,75a-sin0,75a)21n r i о
:— = 1.1613. 2cos2 1,5ж - 1 = cos3x.
1 — sml,5a
1614. 1 — 8sin2a • cos2a = cos4a. 1615. tga • (1+ cos2a) = sin2a.
1616. 2cos2 a - cos2a = 1.2tgl,5a . o1618. = sin3a.1 + tg2l,5a1616. 2cos2 a - cos2a = 1.2tgl,5a . o1618. = sin3a.1 + tg2l,5a1617. tgO,5a + ctg 0,5a = 2 cosec a.1617. tgO,5a + ctg 0,5a = 2 cosec a.1619.1619.tg a ! tg a1 + tg a 1 — tg atg a ! tg a1 + tg a 1 — tg a= tg 2a.= tg 2a.
1616. 2cos2 a - cos2a = 1.
2tgl,5a . o
1618. = sin3a.
1 + tg2l,5a
1616. 2cos2 a - cos2a = 1.
2tgl,5a . o
1618. = sin3a.
1 + tg2l,5a
1617. tgO,5a + ctg 0,5a = 2 cosec a.
1617. tgO,5a + ctg 0,5a = 2 cosec a.
1619.
1619.
tg a ! tg a
1 + tg a 1 — tg a
tg a ! tg a
1 + tg a 1 — tg a
= tg 2a.
= tg 2a.
1620.1621.1622.1623.1624.1625.1626.1627.1628.1629.1630.1631.1632.1633.1634.1636.1637.1638.1639.1640.1641.1642.1643.1620.1621.1622.1623.1624.1625.1626.1627.1628.1629.1630.1631.1632.1633.1634.1636.1637.1638.1639.1640.1641.1642.1643.16 cos 20° • cos 40° • cos 60° • cos 80° = 1.
1620.
1621.
1622.
1623.
1624.
1625.
1626.
1627.
1628.
1629.
1630.
1631.
1632.
1633.
1634.
1636.
1637.
1638.
1639.
1640.
1641.
1642.
1643.
1620.
1621.
1622.
1623.
1624.
1625.
1626.
1627.
1628.
1629.
1630.
1631.
1632.
1633.
1634.
1636.
1637.
1638.
1639.
1640.
1641.
1642.
1643.
/1 1 .
\sina =
V 22
1-sin (30° +2a)cos (30° +2a)
45° -45° -= tg(30° —а).= tg(30° —а).2 sin2 (45° — a) + sin 2a = 1. sin2a + 2sin I — — al • cos
45° -
45° -
= tg(30° —а).
= tg(30° —а).
cos 2а + 2 sincos 2а + 2 sin= 0,5.= 0,5.secsec= 2 sec 2а.
cos 2а + 2 sin
cos 2а + 2 sin
= 0,5.
= 0,5.
sec
sec
(3\
- тг — 2a 1 • cos4a = 0. 4/
sin 4acos 2a, /3\
—= ctg I - тг — a . l + cos4a l + cos2a \2/
sin(2a + /3)z m sin/3
—4— -2cos(a + p) =
sinasina
tg 2a-sec2^-tg 2^-sec2a _/ ox
sec 2a + sec 2/3*
ctg22a —1 oo
—cos 8a • ctg 4a = sin 8a.
2 ctg 2a6
, /тг , a\ 1 —sina .
tg= 1.
\42/ cosa
4sin (a — 5tt) — sin (2a + тг) _4
cos2 (2a — - тг) — 4 + 4sin a
sin6a . cos(6a —тг) o।1
-—-—I— - = 2.1635. cos2a + sin2a-tg a = 1.
sin 2a cos 2a
sin 4a — 2 cos2 2a + 1 = д/2 sin (4a — 45°).
3sin2 (a - | тг) - cos2 (a + | тг) = 4cos (30° + a) cos (30° - a).
2 sin2 a + V3 sin 2a - 1 = 2 sin (2a - 30°).
sin2(a + 90°) - 3cos2(a - 90°) = 4sin (30° + a) sin (30° - a).
sin2 (^ — ^) — со§2 (a — | ^) = cos (a + ^) cos(^ — PY
2tg 2a.
sin a — 2 cos 3a — sin 5a
cos a — 2 cos 3a — cos 5a
2 sin2 sin2 cos21 — - -7Г1 + V3
2 sin
2 sin
1 А . 2 (7Г . \. 2 (тг \sin 2а
1644. sin — + а -sin — -а =—— \8/\8/ V2
Проверить правильность преобразования произведения тригонометрических функций в сумму (1645-1650).
1646. sin ^х — уУ cos (у — ж) = - sin 2(ж — у).
1647. 4sin A-sin2A-sinЗА-sin4A = 1 — cos6A — cos8A + cos 10А.
sin 4ж cos2 (2x +sin 4x + cos 8x — i
\4/244
32sin5 a • cos3 a = sin2a—i sin4a —i sin6a + т sin 8a.
2224
1650.4cos ( — + a ) cos( —— a )=2 cos 2a +1.
\ 6/\ 6/
Проверить правильность преобразования суммы тригонометрических функций в произведение (1651-1665).
1651. sin a + tg a = 2 tg a • cos2 .
sinTra — tg тга = —2tg тга-sin —.
(1 + sin a - cos a) cosec ^ = 2 V2 • cos ^45° - ^.
1654. 1 — cos(2a — тг) — cos (4a + тг) + cos (6a — 2тг) =
= 4 cos a • cos 2a • cos 3a.
1655. sin 2a + sin 4a + sin 6a = 4sin3a • cos 2a • cos a.
2 V5 sin2 a • cos (— + 2a)
1656. 1 + sin 2a — cos 2a — tg 2a =—
cos 2a
1657. 1- i sin2 2a — sin2 (3 — cos4 a = sin (a + /3) sin (a — /3).
1 + sin a + cos a = 2 V2 cos cos ^45° - ^.
1 - 2sin a - cos2a = -4sin a • sin2 ^45° -.
1660. cos a — sin a • sin 2a = cos a • cos 2a.
1661.1661.sina + sin/3 + sin(a + /3) _ a + /3 a sin a — sin/3 + sin(a + /3)2C^2*
1661.
1661.
1662. sin a + sin 3a + sin 5a + sin 7a = 4cos a - cos2a - sin4a.
1663. ctg a + ctg 2a + cosec2a = ctg a.
, , •,, , osni (45 +a)
1664. 1 + sina + cosa + tg a = 2 V2 cos2 —
2 cos a
1665.1665.tg a + tg/З + tg 7 — tg a-tg/3-tg 7 =tg a + tg/З + tg 7 — tg a-tg/3-tg 7 =sin (а+ /9 + 7)cos а cos/3 cos 7 'sin (а+ /9 + 7)cos а cos/3 cos 7 '
1665.
1665.
tg a + tg/З + tg 7 — tg a-tg/3-tg 7 =
tg a + tg/З + tg 7 — tg a-tg/3-tg 7 =
sin (а+ /9 + 7)cos а cos/3 cos 7 '
sin (а+ /9 + 7)cos а cos/3 cos 7 '
Доказать тождества (1666-1702).
1666. sin(a + /9)-2cosa.sin^
sin о + 2 sin (60° — а)sin о + 2 sin (60° — а)1667.1667.= V3 ctg а.= V3 ctg а.2 cos о • cos/3 — cos (о + /3)v 7
sin о + 2 sin (60° — а)
sin о + 2 sin (60° — а)
1667.
1667.
= V3 ctg а.
= V3 ctg а.
2 cos (30° — а) — л/З cos а
1668. tga-tg(45°-a) = ^—^.
6 6V '1 + ctga
1669.1670.=ctga-tg3a.
tg(a + /3) — tg/3 cos (a —/9)4sin2a-l
1671. —^ = —Ц- = —L-.
—tg a 1 —ctg a cos 2a
1672. 2sin2f45°-= 1-sina. \2/
4 cos ^ • cos a • sin ^ = sin a + sin 2a + sin 3a.
4cos2a -cos ^ + 30°) -cos ^ -30°) = cos a + cos 2a + cos 3a.
4 cos ^ • cos a • sin ^ = sin a + sin 2a + sin 3a + sin 4a.
4 cos ^ • cos a • cos ^ = cos a + cos 2a + cos 3a + cos 4a.
1677. sin2 (a + Д) — sin2 (a — /3) = sin 2a • sin 2/3.
1678. cosa-cos^ = Ца 167g ctga + 1 =
sin a + sin /32ctg a — 1 v 7
1680 £M2L±M£ = cos (a-/9)
* ctg a — tg/3 cos(a + /3)'
sin (a +/3) — sin (a —/3),
1681. )= - ctg a.
cos (a + /3) — cos (a — /3)
1682. sin a — sin 2a + sin 3a = 4 sin ^ • cos a • cos -^.
1683. 4sin a • sin (60° — a) • cos (30° — a) = sin3a.
1684. sin6a+ cos6a+ 0,75sin22a = 1.
1685. 4 cos4 x + cos2 2ж — 4 cos2 x • cos 2x = 1.
1686. -tg- + -tg-+ctgx = -ctg-.
sin a + cos (26 —, / тг
1687. 7 =ctg -
cosa — sin (26 — a) \4
1688 sina — COS(26 — a) _ l + sin26 cos a — sin (26 — a)cos 26
1689. cos (а + b) + sin (а + b) = (cos а + sin a) (cos b — sin b).
1690. tg2a — tg26 = sin (а + b) sin (a — b) sec2 a • sec2 b.
1691. sin(Q~6) । sm(b-c) ( sin(c-a) = Q
* cos a-cosbcos 6•cosccosc- cos a '
1692. ^H^LJLl + EEl^^^
1 — 2 sin2 a _ 1 — tg a1 — 2 sin2 a _ 1 — tg al + sin2a1 + tgal + sin2a1 + tgasin a- sin b sin b -sine sin c- sin a
1 — 2 sin2 a _ 1 — tg a
1 — 2 sin2 a _ 1 — tg a
l + sin2a1 + tga
l + sin2a1 + tga
1693. tg(^-^)-(l + sina)=cosa.1694.
1695. sin (a + b) • sin (a — b) = sin2 a — sin2 b = cos2 b — cos2 a.
1696. tg (a + b) tg (a - b) = Д!1_—sm_6 .
cos a — sin b
l(sin2a + 2cos2 a — 1)
1697. —:/— = cosec a.
cos a — sina — cos3a + sin 3a
sina — sin3a+ sin5a , o
1698. — = tg 3a.
cos a — cos 3a + cos 5a
1699. tg 2a + sec 2a = tg (45° + a).
1700. cos6 a + sin6 a = cos22a + sin22a.
4
1701. 2(sin6 a + cos6 a) — 3(sin4 a + cos4 a) + 1 = 0.
1702. cos6 a — sin6 a = cos 2a (1 — sin2 2a). \4/
Проверить упрощения и вычисления (1703-1709).
1703. cos 20° • cos 40° • cos 80° = ^.
1704. tg 10°-tg 50°-tg 70° = tg 30°.1705. 1~4sin10 =tg40°.
tg 20
i2тг , 4тг7тгтг1
1706.cos-— + cos -— - cos-— - cos — = -.
151515152
1707.cos12°-cos48° = sin 18°.
1708. 1) tg20°+ 4sin 20° = V3; 2) V3-2sin 10° = 4sin 25°-cos35°.
1709. V2+ 2sin 15° = 2cos 15°.
1710. Доказать тождества:
1) arcsin ж + arccos ж = ^;2) arctg ж + arcctg ж = ^
Вычислительные задачи
1711. По таблицам натуральных тригонометрических величин или с помощью компьютера найти числовые значения следующих функций:
sin87°10'; 2) cos61°10'; 3) tg89°59'; 4) ctg2°27';
sin 0,211;6) cos 2,114;7) tg 3,071;8) etg 0,261.
8 В. А. Бачурин
1712. Найти острые положительные углы ж, если:
sinx = 0,3932; 2) cosx = 0,4485; 3) tg х = 2,675;
ctg ж = 7,115.
Найти по таблицам значения следующих функций тупых углов:
1) sinll5°22'; 2) cosl69°17'; 3) tg 147°39'; 4) ctg 124°30'.
Найти по таблицам:
lgsin21°ll'; 2) lgsinl°23'.
Найти острый угол, если известно:
lg sinх = 9,6747- 10; 2) lg ctg x = 0,3738; 3) 1g cosx = 1,9497.
Вычислить с помощью логарифмов (1716-1717).
1) sin20°; 2) cosec53°3'; 3) cos740°; 4) tg(-250°10').
1) ctgl000°15'; 2) sec(-100°); 3) cos(-1,2538);
4) sin2,1730.
Найти острый угол, если дано значение тригонометрической функции (1718-1719).
1) siM = l 2) cos ж = 0,38934; 3) зесж = 1,5.
1) cosec ж = 2,65047; 2) етж = | sin20°;
3) ctg х = 3ctg 48°.
Найти углы, содержащиеся между 0° и 360°, если дано:
2
1) secx = — 2,5;2) cosec ж =—1 -.
Вычислить a2 - sec а ^/— tg la при а = 0,020438 и а = 67°34'.
Вычислить выражение, преобразовав его сначала в произведение: х = V&2 sin2 а + 62 • cos2 а, если а = 0,014806; b = 0,003984; а = 36°15'.
§ 18. Тригонометрические уравнения *)
Проверить решения уравнений ):
sinx = |; х = (-1)п^ + тгп;2) cosx = |; ж = ±^ + 2тгп;
sinx = ^; х = (-1)п^ + тгп;4) cosx = ^; ж = ±^+2тгп;
sinx = ——; ж = (—1)п+1^ + тгп;
/24
I ЗтгоI— ху 37Г
cos ж =——;ж = ± — +2тгп;7)tg ж = —;ж = —+ тгп;
х л/З 7Гл/З7Г
8) ctgж = —; ж = - + тгп; 9) tg х = ——; ж = -- + тгп;
ха/З7Г
) ctg ж =——; ж = --+тгп.
Решить уравнения (1724-1729).
V2а/211
1) sinж=—; 2) С08ж=—; 3) sin ж = — -; 4) созж = —-.
1) зтж = —^; 2) соеж = —^; 3) tgж = д/З; 4) ctgж = ^/3.
l)tgж = -VЗ; 2) ctg ж = — V3; 3)sin^=0; 4)со85ж = 0.
1) tg(—2ж) = 0; 2) ctg | =-1; 3)2ет(ж-
1) со8(2ж-5) = 0; 2) 3tg (ж - |) =-V3; 3) ctg22ж = 3.
1) sin ^2ж + ^) = -1;2) cos(2ж- 1) =-^.
\3/V2
Решить уравнения (1730-1753).
1730. sin ж • cos2x = 0.1732. cos ж = sin2ж • cos ж.1734. 2sinж = sin2ж.1736. Зsinж — sin2ж = 2.1738. tg2ж + ctg2ж = 2.1740. 1 — cos ж = sin ж.1742. sin32ж = sin2ж.1730. sin ж • cos2x = 0.1732. cos ж = sin2ж • cos ж.1734. 2sinж = sin2ж.1736. Зsinж — sin2ж = 2.1738. tg2ж + ctg2ж = 2.1740. 1 — cos ж = sin ж.1742. sin32ж = sin2ж.1731. 8т2ж • cos (^ — ж) = 01733. (tg ж + 1) cos ж = 0.1735. tg2ж = -V5 tg ж.1737. 4cos ж — 4 cos2 ж = 1.1739. 1 + cos ж = 2 cos ^.~11741. sin ж + cos 2ж = -.41743. cos4 ж = cos2 ж.1731. 8т2ж • cos (^ — ж) = 01733. (tg ж + 1) cos ж = 0.1735. tg2ж = -V5 tg ж.1737. 4cos ж — 4 cos2 ж = 1.1739. 1 + cos ж = 2 cos ^.~11741. sin ж + cos 2ж = -.41743. cos4 ж = cos2 ж.
1730. sin ж • cos2x = 0.
1732. cos ж = sin2ж • cos ж.
1734. 2sinж = sin2ж.
1736. Зsinж — sin2ж = 2.
1738. tg2ж + ctg2ж = 2.
1740. 1 — cos ж = sin ж.
1742. sin32ж = sin2ж.
1730. sin ж • cos2x = 0.
1732. cos ж = sin2ж • cos ж.
1734. 2sinж = sin2ж.
1736. Зsinж — sin2ж = 2.
1738. tg2ж + ctg2ж = 2.
1740. 1 — cos ж = sin ж.
1742. sin32ж = sin2ж.
1731. 8т2ж • cos (^ — ж) = 0
1733. (tg ж + 1) cos ж = 0.
1735. tg2ж = -V5 tg ж.
1737. 4cos ж — 4 cos2 ж = 1.
1739. 1 + cos ж = 2 cos ^.
~1
1741. sin ж + cos 2ж = -.
4
1743. cos4 ж = cos2 ж.
1731. 8т2ж • cos (^ — ж) = 0
1733. (tg ж + 1) cos ж = 0.
1735. tg2ж = -V5 tg ж.
1737. 4cos ж — 4 cos2 ж = 1.
1739. 1 + cos ж = 2 cos ^.
~1
1741. sin ж + cos 2ж = -.
4
1743. cos4 ж = cos2 ж.
1744. V3 8т2ж =-Зсо8 2ж.1745. sin5ж = sinж.
1746. со8 4ж = — cos ж. 1747. ctg ж — ctg ж cos ж = 1 — cos ж.
1748. 2sin2ж = 3cos(2тг — ж).1749. sinЗж + sin2ж = cos2ж.
1750. со82^ + ж^ =2со8ж-2.
А • 7Г . /7Г \
1751. sin Iж — — 1 — sin — = sin Iж + — 1.
1752. 3ctg^—=tg^--$J.
1753. sin 2ж • cos Зж = sin ж • cos 4ж.
1754. Найти значения тригонометрических функций, которые содержатся в уравнениях, и построить наименьшие положительные углы по найденным числовым значениям этих функций:
) sin2 х — 1,25 = 2 sin ж;2) = — 1.
’’7 l + 2tg£
1755. Найти х из уравнений:
1) arcsinx = ^; 2) агссо8ж = ^; 3) arctgж = ^;
arcsin^ = a;5) arccos— =-; 6) arctg— = a; a / 0, c / 0.
ОCh ОX
Решить уравнения (1756-1757).
1756. sin ж — V3 cos ж =0.1757. 1-3cos2 ж = 2 sin ж • cos ж.
1758. Найти cos ж, если
3sin2(2?r - ж) - 7sin (ж - ^ +3 = 0.
1759. Найти ctgж, если
• ( . Зтг\ , . 7Г . / 5тг\sin I ж + — ) + sin — = sin I ж —— 1 .
1760. Найти tgж, если
sin (2тг — ж) cos (тг — ж) + sin2 (| тг — ж) — sin2(2?r — ж) = 0.
Решить уравнения (1761-1774).
1761. sin ^ж + ^ =-ctg (2тг - ж).1762. l-tgж = cos2ж.
2
1763. sin (1 — ж) : cos (1 + ж) = -.1764. tg(ж +1) •tg(ж — 1) = 3.
1765. sin (а + ж)— cos ж-sin a = cos а.1766. 1 — cos ж = 2sin ^.
1767. sin ^+ ж^+sin ^ — ж^ = |.1768. 2 (tg — 1) = С08ж.
1769. sin ж • cos ж = 0,25.1770. sin2 ж — cos2 ж = 0,5.
1771. 2sinж = 3cos^.1772. 1 + 8есж = 8tg2^, ж^^ + ^тг.
1773. cos3 ж • sin Зж H~ sin3 ж • cos Зж = ^.1774. 48™ж = 28есж.
4
В нижеследующих уравнениях (1775-1777) sin ж и cos ж выразить предварительно через tg — (см. решение задачи 1356).
1775. sin ж + cos ж = 1 .1776. 8тж — д/З С08ж = 2.
4
1777. 3 sin ж — cos ж = 3.
Следующие уравнения решить, преобразуя сумму или разность функций в произведение (1778-1781).
1778. cos ж — sin ж = 1 : V2.1779. tgж-ctgж = 2(l-V2).
1780. tg х + tg Зж = 8есж • 8есЗж. 1781. 8тЗж = 8т2ж — sinх.
В задачах 1782-1784 определить величину х: а) в общем виде; б) в пределах от 0 до 2тг.
1782. 3 sin ж — 2 cos х.1783. ctg х — 3 cos х.
1784. 2sinf-
\62/
Найти простейшую зависимость (т. е. без символов тригонометрических функций) между углами а и (3 (1785-1787).
1785. since = sin[3.1786. ctg а = ctg {3.1787. tg се = — ctg/5.
Решить уравнения (1788-1802).
1788. (cos l)sin ж = 1.1789. а • sinx + b • С08ж = 0, а / 0, b / 0.
1790. 5cos2x = 4 sin х. 1791. sin Зх + sin 2ж + sin х = 0.
1792. as\nx3-b cos ж = V^2 + ^2 (a 0; b^0).
1793 9СО8Ж = 981пж .32sec x
(4 — V3 (sec ж + cosec ж)) = 4(sinж • tg ж + со8ж • ctg ж).
cos (a — b) sin(c — ж) = cos (a + b) • sin (с + ж).
sec2 x + 3 sec ж • cosec ж + cosec2 ж = 4.
a • sin ж + b • cos ж = a • sin2ж — b • со8 2ж, a / 0, b^0.
2sin2ж+ tg2ж = 2.1799. 8tg2:| = 1+ 8есж.
1800. sin2ж + sin22ж = sin23ж. 1801. tg ж+ tg 2ж+ tg Зж = 0.
tg^ — 15°) ctg^ +15°) = ^.
Выразить ж через а, b и ср из системы
!
а = ж • sin се; b = ж • sin Р^ се + (3 = ф.
Решить уравнения (1804-1811).
sin2 ж + sin2 2ж + sin2 Зж = |.
cos2 ж + cos2 2ж + cos2 Зж = 1.
sin22ж + sin24ж =-.1807. уЗ cos ж + sin ж = уЗ.
4sinж + 3cosж = 2. Решить двумя способами: введением вспомогательного угла и «универсальной» подстановкой у = tg —.
sin Зж + 2cos Зж = 1.
5со8(2ж + 18°)-128ш(2ж + 18°) = 13.
(4sin ж — 5 cos ж)2 — 13(4sin ж — 5 cos ж) +42 = 0.
Решить уравнения (1812-1874).
1812. cos 2ж • cos ж = sin 2ж • sin ж.
sin а • cos (а + ж) = cos а • sin (а + ж).
sin4 ж + cos4 ж = sin2ж. 1815. sin4 ^ — cos4 ^ = 0,25.
1816. tg2ж = 3tgж. 1817. 1 + cos ж + cos 2ж = 0.
1818. со82ж = 1 + sinж. 1819. соз2ж — созбж = 0.
1820. tg4ж = tg2ж. 1821. cos2ж+ 3cos2 ^ = 2.
1822. sin ж + sin 2ж + sin Зж + sin 4ж = 0.
1823. sin ж + sin 2ж + sin Зж = cos ж + cos 2ж + cos Зж.
1824. со8 2ж — соб8ж+ со8бж = 1.
1825. cos ж — cos 2ж = sin Зж.1826. sin ( ж — — ) = cos ( ж + —
\3 /\6
1827. sin5ж + sinж + 2sin2ж = 1.
1828. со8 4ж = —2sin2ж. 1829. sin4 —+cos4 — =-. 338
1830. Зtg2ж-sec2ж = 1.1831. (1+ со8 4ж) 8т4ж = cos2 2ж.
1832. 3 cos2 ж-sin2 ж-sin 2ж = 0.
6 sin2 ж + 3 sin ж • cos ж — 5 cos2 ж = 2.
sin2 ж + 1,5 cos2 ж = 2,5 sin ж • cos ж.
1 - cos (тг - ж) + sin (0,5(тг — ж)) = 0.
sin ж — cos ж — 4 cos2 ж • sin ж = 4 sin3 ж. / Зтг \
sin (тг — ж) + ctg ( — + х \ = sec (—ж) — cos (2тг — ж).
1 + sin ж + cos ж = 2cos ^ —45°).
1 — cos22ж = sinЗж — cos ^ + ж).
(sin ж + cos ж)2 = 2 sin ( + ж ) sin (— ж ).
\4/\4/
(1 — tg ж)(1 + sin2ж) = 1 +tg ж.
1842. 4sinж • sin2ж • sinЗж = sin4ж.
1843.1845.1847.1843.1845.1847.sec ж — 4 sin ж — 6 cos ж = 0.1844. sin2ж + tg ж = 2.
1843.
1845.
1847.
1843.
1845.
1847.
sin4ж + cos4ж = cos ^.1846. sin6 ж+ cos6 ж = ^.
•22ж
sin ж —cos ж = cos —.
/з з V
1849. 1— sin Ьх = cos ( - х — sin - х\ .
1850. sin х + cos 2ж = 1 + sin х • cos 2ж.
1 о i। COS X q1851. tgж^:— = 2.1 + sin ж1 о i। COS X q1851. tgж^:— = 2.1 + sin ж1852. -^—^^ = (sin ж + cos ж)2.
1 о i। COS X q
1851. tgж^:— = 2.
1 + sin ж
1 о i। COS X q
1851. tgж^:— = 2.
1 + sin ж
1 — tg ж
1853. cos ж — cos2x = 1.
1854. sin x + cos x — 1 = 0.
1855. sin (x — a) = sin x — sin a. 1856. arcsin (2ж + 1) = arccos ж.
1857. arccos ж = arctg ж. 1858. агссозж = arctgж.
1859. arctg(1 + ж)+ arctg (1 — ж) = ^.
1860. arccos (ж — 1) = 2агссо8ж.1861. arctg ж = 2arctg —.
1862. arccos — = 2arctg(ж — 1).1863. arcsin 2ж = 3 arcsin ж.
о о a• i ♦ X 7Го у।7Г
1864. arcsin ж + arcsin— =—.1865. arcsin ж + arcsin ж— = —.
2422
1866. arccos ж + arccos (1 — ж) = arccos (—ж).
7Гл/З
1867. arctg ж + arctg Зж =—. 1868. arcsin ж — arccos ж = arccos —.
1869. 2 arcsinж + arccos (1 — ж) = 0.
1870. arctg (ж — 1) + arctg ж + arcctg (ж +1) = arctg Зж.
1871. arcsin 2ж + arctg \ Ж1872. ж = arcsin (cosж).
2ж 2
1873. 2ж = arcctg (tg ж).1874. arctg—^-—arctg ^= arctg а.
§ 19. Неравенства первой степени.Исследование уравнений первой степени
(Устно.) Умножить обе части неравенства на указанные в скобках множители:
1) 4 > -2 (5); 2) -6 < -5 (-3).
Разделить обе части неравенства на указанные в скобках делители:
1) 15 <20 (-5); 2) -14 >-21 (-i); 3) 2ж > 3 (5);
2ж > 3 (-7).
Равносильны ли следующие неравенства (1877-1884)?
1877. ж2>ж — 1 и ж2 + 1>ж.
1878. 2ж + 1>0 и (2ж + 1) + (ж-4) > ж-4.
1879. Зж 0 и Зж+-^-.1880. 2ж > 1 и 2ж3 > ж2.
® ж2т 3
1881. 2ж > 3 и 2ж2 > Зж. 1882. 2ж > 3 и ^ > Д=.
1883. 2ж > 5 и « >ч. 1884. 2ж > 5 и >-.
1-ж21-ж2ж-1ж-1
1885. Решить неравенства и отметить на числовой оси полученные решения:
3 —2ж < 12 —5ж;2) 2ж-3<7(1 + ж);
—3(ж +10) > —20; 4) 16 - 3(2ж - 5) < 3 - 16ж.
1886. Определить, при каких значениях х следующие выражения положительны:
(ж + 1)-2 —3;2) 5(ж — 1) — 2(ж — 2).
1887. Определить, при каких значениях х следующие выражения отрицательны:
(ж + 3)-2-ж;2) 4ж —(ж + 1)-3.
1888. Сложить неравенства: Ьа + b < 2а + 1; ЗЬ — 2а < 15 — 4а.
1889. Вычесть второе неравенство из первого: Ьх > 10; Зх < 15.
1890. Перемножить почленно неравенства: —5 < 3; —6 < 2.
Решить неравенства (1891-1898).
1891. 3-у>|--^41892- (Зж — 1) + ^ < 7ж +10,1.
1893. Ц^+8> ^4^-ж. 1894. 37”3ж+9< ^-^-2ж.
5224
1895. (70 • ж) : (4616-(1273 + 3259)) <80.
1896. ((56 • (666 + ж) +12600) : 40 - 700) • 24 > 21000.
1897 52 • ( 6 : (М-°,2)(34,06 - 33,81) ■ ж \
‘\2,5 (0,8 + 1,2)6,84: (28,57-25,15)/"
1898. (161-13^) ж+ 2,2-(0,(24)-0,(09)) > ^.
Решить системы неравенств и указать на числовой оси точки, изображающие решения (1899-1902).
1899.1901.1899.1901.4х — 1 > Зх + 5;х + 2 > — Ьх +14.х + 2 < 2ж — 1;2 — х > 1 + х.4х — 1 > Зх + 5;х + 2 > — Ьх +14.х + 2 < 2ж — 1;2 — х > 1 + х.1900.1902.1900.1902.Зх — 5 > 23 — 4х; 7x4-3 < 9ж-1.х — 1 > 2х — 3; 4х + 5 > х +17.Зх — 5 > 23 — 4х; 7x4-3 < 9ж-1.х — 1 > 2х — 3; 4х + 5 > х +17.
1899.
1901.
1899.
1901.
4х — 1 > Зх + 5;
х + 2 > — Ьх +14.
х + 2 < 2ж — 1;
2 — х > 1 + х.
4х — 1 > Зх + 5;
х + 2 > — Ьх +14.
х + 2 < 2ж — 1;
2 — х > 1 + х.
1900.
1902.
1900.
1902.
Зх — 5 > 23 — 4х; 7x4-3 < 9ж-1.
х — 1 > 2х — 3; 4х + 5 > х +17.
Зх — 5 > 23 — 4х; 7x4-3 < 9ж-1.
х — 1 > 2х — 3; 4х + 5 > х +17.
95 + х 19 — ж
12--Г47-—) >3.
3 \х /
1904. <
( 7 — х о 3 + 4ж .
23<5
| х + 5(4 — ж) < 2(4 — х
Решить системы неравенств (1903-1906).
1903.
' 3 — 7ж ж + 1 . 7 —Зж
1905.1905.НГ + 2 >’
1905.
1905.
7(Зж-6)+4(17-ж) > 11 —5(ж —3).
'Зж + 5 . 10 — Зж 2ж + 7 о
7х 11(ж + 3) Зж — 113-ж
< Т 6>52
Найти целые решения систем неравенств (1907-1908).
Зж - 10 > 0;2Ж 11 + 19 2ж < 2ж;
1907.1907.11908.42
1907.
1907.
5^-51<6ж.2ж + 151, п ®
39;+3'
Равносильны ли неравенства:
(ж — 1)(ж + 3) > 0; ^|>0; ^ > 0?
Ж | ОЖ 1
Решить неравенства (1910-1924).
(ж — 5)(ж — 3) < 0.1911. (ж — ^)(ж — 4) > 0.
1912. (Зж — 1)(4 —ж)(2ж — З)2 < 0.1913. (ж -3)(ж -7) < 5(ж -3).
1914. ^<0.1915. 3~°’5ж > 0.1916. ^^<|.
2ж + 44--жж”63
з
1917. 1) |ж|1;2) |ж| > 3.
1918. 1) |2ж-3|<0; 2) |0,5ж + 1|>0.
1919. 1) |1-ж| > 1;2)|2ж-4|^6.1920. |3 + ж| |ж|.
1921. |2ж-1|^3|ж|.1922. |ж-1| + ж<1.
1923. |ж| — |ж — 1| > 0.1924. |аж + 6| < 0.
Решить уравнения (1925-1928).
1925. |3 —4ж| + |4ж —3| = 0.1926. |3-4ж| - |4ж -3| = 0.
1927. |2ж-5|-|Зж-4| = 1-2ж. 1928. |3 + 4ж|+2|4-ж| = 1 + Зж.
Решить неравенства (1929-1931).
1929. |1ж—^| ^ ж —2,5.1930. |2ж -5| + |3ж -4|3-2ж.
1931. |5-2ж| + |Зж-4| ^ 2ж + 3.
В двузначном числе цифра десятков на 2 меньше цифры единиц. Найти это число, если известно, что оно больше 21 и меньше 38.
Если к некоторому двузначному числу прибавить его половину, то в результате получится число, большее 128, но меньшее 130. Найти первоначальное число.
Доказать, что среднее арифметическое двух неравных положительных чисел больше их среднего геометрического.
Числитель дроби меньше ее знаменателя на единицу; если к числителю и знаменателю этой дроби прибавить по единице, то дробь будет больше -; если от числителя и знаменателя отнять по единице, 26
то дробь будет меньше -. Найти такие дроби.
Доказать, что от прибавления к числителю и знаменателю одного и того же положительного числа положительная правильная дробь увеличивается, а неправильная дробь уменьшается.
Доказать, что если а, Ь, с — длины трех сторон треугольника, то имеет место неравенство
а2 + Ь2 + с2 < ^ab-V ac-Vbc\
Сформулировать свойство сторон треугольника, выраженное данным неравенством.
Доказать, что в неравнобедренном прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, меньше половины гипотенузы.
Доказать, что из всех прямоугольников, имеющих данный периметр, квадрат имеет наибольшую площадь.
Определить знак неравенства (больше или меньше) между следующими выражениями:
V2 + V3 и V7; 2) V1T-V2 и д/5 + 1;
Vs^VTs и l(V30-V2).
Определить, при каких и следующие уравнения имеют положительные решения:
4ж = 3п —15; 2) 4-п = ^-.
х — 1
Определить, при каких значениях к следующие уравнения имеют отрицательные решения:
ж + 1 ’' Зх-к кх — 4
Исследовать, при каких значениях параметров (букв, входящих в уравнение и отличных от неизвестного ж) нижеследующие уравнения имеют:
а) положительное решение; б) отрицательное решение;
в) нулевое решение; г) бесконечное множество решений;
д) совсем не имеют решений.
)ах — а = Зх — 5;2)2тх + 3 = 2m - ж;3)——— = —^—;
’7’7За + х 6 + х'
тх = (а + ж)п.
Определить, при каких значениях параметра уравнение 3(ж + 1) = 4 + ах будет иметь решение:
1) большее, чем — 1;2) меньшее, чем 13.
В т литрах морской воды содержится п граммов соли. Сколько литров чистой воды надо добавить, чтобы т литров раствора содержали q граммов соли?
На одном складе а тонн угля, а на другом складе b тонн. Ежедневно на оба склада поступает по d тонн угля. Через сколько дней на первом складе будет угля в 2 раза больше, чем на втором?
Один автомат изготавливает в день а деталей, другой — b деталей. Первый изготовил уже р деталей, второй q деталей. Через сколько дней после этого число деталей, изготовленных каждым автоматом при одновременной их работе, будет одинаково?
К двум окружностям, радиусы которых R и г, проведена общая внешняя касательная. Определить положение точки пересечения касательной с линией центров, если расстояние между центрами равно d.
Определить, при каких значениях т система уравнений (Зж + 7?/ = т, [ 2х + бу = 20
имеет положительные решения, т. е. х > 0 и у > 0.
Определить, при каких п система уравнений
(Зх - бу = 1,
[ Ъх — пу = 2
имеет отрицательные решения, т. е. х < 0 и у < 0.
Определить, при каких т система уравнений
(2х-5у = Х
\3х — 2у = т
имеет решения:
1) х > 0, у < 0;2) х < 0, у > 0.
Определить, при каких п система уравнений (Зх + пу = 3, [ 2х — 4у = 1 имеет решения:
1) х > 0, у < 0;2) х < 0, у > 0.
При каких тип системы уравнений
(тх-\-пу = В1 (бх + у —10,
<2) <1
|5ж + 3?/ = 4;1(п + 1)жН—у = п2 + т
п
имеют бесконечное множество решений?
При каких а системы уравненийх Г4ж + 3?/ = 12, х ГЗж + 2а?/ = 1, 1) <2) <[ 2ж + ау = 5;[ (За - 1) х - ay = 1не имеют решений?При каких а системы уравненийх Г4ж + 3?/ = 12, х ГЗж + 2а?/ = 1, 1) <2) <[ 2ж + ау = 5;[ (За - 1) х - ay = 1не имеют решений?Определить, при каких значениях параметра т системы уравнений (1955-1958):имеют единственное решение;имеют бесчисленное множество решений;не имеют решений.Определить, при каких значениях параметра т системы уравнений (1955-1958):имеют единственное решение;имеют бесчисленное множество решений;не имеют решений.((т + 2)ж + 3?/ = 9 +3m;V z х „[ х + (т + 4) у = 2.((т + 2)ж + 3?/ = 9 +3m;V z х „[ х + (т + 4) у = 2.[ (m - 1) х + 2ту + 2 = 0;\ z х( 2тж + (т — 1) у — т + 1 = 0.[ (m - 1) х + 2ту + 2 = 0;\ z х( 2тж + (т — 1) у — т + 1 = 0.1957.1957.(т + 3)ж-2?/ = 5;(т +1) х + у = 7.(т + 3)ж-2?/ = 5;(т +1) х + у = 7.( (т — 5) х — 2у = т — 7;С Jо[ (т + 1) х + ту = Зт.( (т — 5) х — 2у = т — 7;С Jо[ (т + 1) х + ту = Зт.Определить, при каких значениях параметров шип системы уравнений (1959-1960):имеют бесконечное множество решений;не имеют решений.Ьх + (т - 1) у = Зп;( хА-Ву =9 QI960.х - 2у = 3.——- А(т-3)у = m + 1.Определить, при каких значениях параметров шип системы уравнений (1959-1960):имеют бесконечное множество решений;не имеют решений.Ьх + (т - 1) у = Зп;( хА-Ву =9 QI960.х - 2у = 3.——- А(т-3)у = m + 1.1959.1959.Исследовать системы уравнений относительно параметров (1961-1964).Исследовать системы уравнений относительно параметров (1961-1964).1961.1961.(3 + т)ж + 4?/ = 5 —Зт; 2ж + (5 + т)?/ = 8.(3 + т)ж + 4?/ = 5 —Зт; 2ж + (5 + т)?/ = 8.1962.1962.пх + 2у = п + 2;(2п + 1)ж + (п + 1)?/ = 2(п + 1).пх + 2у = п + 2;(2п + 1)ж + (п + 1)?/ = 2(п + 1).1963.1963.|ж| —у —2 = а;ах — 2у + 2 = 0.|ж| —у —2 = а;ах — 2у + 2 = 0.1964.1964.ах А-\у\ = 1 + а; х + ay = 1 — а.ах А-\у\ = 1 + а; х + ay = 1 — а.
При каких а системы уравнений
х Г4ж + 3?/ = 12, х ГЗж + 2а?/ = 1, 1) <2) <
[ 2ж + ау = 5;[ (За - 1) х - ay = 1
не имеют решений?
При каких а системы уравнений
х Г4ж + 3?/ = 12, х ГЗж + 2а?/ = 1, 1) <2) <
[ 2ж + ау = 5;[ (За - 1) х - ay = 1
не имеют решений?
Определить, при каких значениях параметра т системы уравнений (1955-1958):
имеют единственное решение;
имеют бесчисленное множество решений;
не имеют решений.
Определить, при каких значениях параметра т системы уравнений (1955-1958):
имеют единственное решение;
имеют бесчисленное множество решений;
не имеют решений.
((т + 2)ж + 3?/ = 9 +3m;
V z х „
[ х + (т + 4) у = 2.
((т + 2)ж + 3?/ = 9 +3m;
V z х „
[ х + (т + 4) у = 2.
[ (m - 1) х + 2ту + 2 = 0;
\ z х
( 2тж + (т — 1) у — т + 1 = 0.
[ (m - 1) х + 2ту + 2 = 0;
\ z х
( 2тж + (т — 1) у — т + 1 = 0.
1957.
1957.
(т + 3)ж-2?/ = 5;
(т +1) х + у = 7.
(т + 3)ж-2?/ = 5;
(т +1) х + у = 7.
( (т — 5) х — 2у = т — 7;
С Jо
[ (т + 1) х + ту = Зт.
( (т — 5) х — 2у = т — 7;
С Jо
[ (т + 1) х + ту = Зт.
Определить, при каких значениях параметров шип системы уравнений (1959-1960):
имеют бесконечное множество решений;
не имеют решений.
Ьх + (т - 1) у = Зп;( хА-Ву =
9 QI960.
х - 2у = 3.——- А(т-3)у = m + 1.
Определить, при каких значениях параметров шип системы уравнений (1959-1960):
имеют бесконечное множество решений;
не имеют решений.
Ьх + (т - 1) у = Зп;( хА-Ву =
9 QI960.
х - 2у = 3.——- А(т-3)у = m + 1.
1959.
1959.
Исследовать системы уравнений относительно параметров (1961-1964).
Исследовать системы уравнений относительно параметров (1961-1964).
1961.
1961.
(3 + т)ж + 4?/ = 5 —Зт; 2ж + (5 + т)?/ = 8.
(3 + т)ж + 4?/ = 5 —Зт; 2ж + (5 + т)?/ = 8.
1962.
1962.
пх + 2у = п + 2;
(2п + 1)ж + (п + 1)?/ = 2(п + 1).
пх + 2у = п + 2;
(2п + 1)ж + (п + 1)?/ = 2(п + 1).
1963.
1963.
|ж| —у —2 = а;
ах — 2у + 2 = 0.
|ж| —у —2 = а;
ах — 2у + 2 = 0.
1964.
1964.
ах А-\у\ = 1 + а; х + ay = 1 — а.
ах А-\у\ = 1 + а; х + ay = 1 — а.
Для отопления дома сделан запас угля, из которого ежедневно расходуется по одинаковому числу килограммов. Спустя m дней из этого запаса осталось а килограммов, а спустя п дней b килограммов. Как велик был запас угля и сколько килограммов угля расходовали ежедневно?
Два автомобиля едут равномерно от пункта А по шоссе в одном и том же направлении. В некоторый момент времени первый автомобиль находился от А на расстоянии т километров, а второй — на расстоянии п километров. Через сколько часов после этого и на
каком расстоянии от пункта А второй автомобиль догонит первый, если скорость первого а км/ч, а второго b км/ч?
§ 20. Исследование квадратного трехчлена.Неравенства второй степени.Рациональные неравенства )
Дана функция у = (ж —4)2. Не вычерчивая графика этой функции, установить следующее.
Вид и положение кривой относительно осей координат.
Будет ли функция иметь наибольшее или наименьшее значение, какое именно и при каких значения ж?
При каких значениях ж функция у:
а) убывает; б) возрастает; в) обращается в нуль?
В какой точке кривая пересечет ось Оу?
Ответить на вопросы 1)-4) при следующих данных:
а) у = — (ж + 5)2; б) у = 2(х — I)2.
Дана функция у = ж2 — 4ж + 4.
Представить квадратный трехчлен в виде квадрата двучлена.
Доказать, что при любых значениях ж функция у не имеет отрицательных значений.
Выяснить, при каких значениях ж функция у:
убывает; б) возрастает;
имеет наименьшее или наибольшее значение;
обращается в нуль.
Не выполняя точного построения графика данной функции, начертить его от руки, предварительно вычислив координаты нескольких точек (например, точку наименьшего или наибольшего значения функции, точки пересечения графика с осями координат).
Пользуясь указаниями предыдущей задачи, исследовать квадратные трехчлены:
у — х2 — ж + ^;2) у = — ж2 — 8ж — 16.
1970. 1) При каком условии квадратный трехчлен у = ж2+рж + + q представляет собой полный квадрат двучлена (т. е. двучлен вида (ж + п)2?
Как расположена в этом случае парабола относительно осей координат?
При каком условии квадратный трехчлен имеет наибольшее или наименьшее значение?
Как вычислить координаты вершины параболы по коэффициентам трехчлена?
Дан квадратный трехчлен у = 2ж2 — 4ж + 2. Разложить правую часть равенства на множители и выяснить следующие вопросы.
При каких значениях ж функция у:
а) имеет наименьшее значение; б) убывает; в) возрастает?
На одном и том же чертеже построить графики функций у = = 2ж2 и у = 2ж2 — 4ж + 2.
Выяснить по графикам сходство и различие полученных кривых.
Найти координаты вершин парабол и сравнить расположение кривых относительно осей координат.
1) Квадратный трехчлен у = х2 — 6ж + 4 привести к виду у = (ж —З)2 —5.
Вычислить значения ж, при которых функция у обращается в нуль.
Вычислить координаты вершины параболы.
Определить значения ж, при которых функция:
а) у > 0; б) у < 0; в) убывает; г) возрастает;
д) имеет наименьшее значение.
На основании полученных результатов начертить схематический (от руки) график функции у = (ж — З)2 — 5.
Квадратный трехчлен имеет вид у = х2 4-рх 4- q.
При каком условии тречлен имеет:
а) два различных корня; б) два одинаковых корня;
в) не имеет корней (действительных)?
При каком значении ж трехчлен имеет наименьшее значение?
Как находятся координаты вершины параболы по коэффициентам р и q?
Дан квадратный трехчлен у = —2ж2 + 4ж — 6.
Доказать, что этот трехчлен не имеет корней (действительных).
Доказать, что при любых значениях ж значения функции у < 0.
Найти, при каком значении ж трехчлен имеет наибольшее значение и какое именно.
Установить, как изменяется значение функции у при изменении Ж ОТ — (X) ДО (X).
Построить график функции.
Проверить, что координаты вершины параболы у = —2ж2 + 4ж —6 .bЬ? — 4ас,
определяются по формулам ж =, у =, где а, о и с —
2d4а
коэффициенты трехчлена ах2 + Ьх + с.
Построить графики функций (1975-1976).
7/ = ж2 — 2|ж| — 3.1976. у = ж2 - 10|ж| + 24.
Найти наибольшие значения функций (1977-1978).
?/ = 3 —2ж —ж2.1978. ?/ = Зж-ж2-2.
Найти наименьшие значения функций (1979-1980).
у = |ж2-|ж + 1.1980. у = 2ж2 + 12ж +13.
Решить уравнения (1981-1984).
1981. ж2 + |ж-3|-9 = 0.1982. ж2 - 3|ж + 2|-4 = 0.
1983. 2ж2 — 3|2ж +1| +1 = 0.1984. 2,5ж2 - 2|3ж - 0,5| +1 = 0.
Построить графики функций (1985-1988).
1985. у = ж2 + |ж + 3|-9.1986. у = 2ж2 + 3|2ж + 1| + 1.
1987. у =4ж2-3|ж-1|-4.1988. у =-2ж2-3|2ж-3| + 1.
1989. Доказать, что при любых действительных значениях ж:
выражение (ж —3)(ж —1) + 2 принимает положительные значения;
выражение (ж — 1)(1 — Зж) — 1 принимает отрицательные значения.
Решить неравенства (1990-2009).
1990. ж2 —7ж + 12 > 0.1990. ж2 —7ж + 12 > 0.1991. ж2 —7ж + 12 < 0.1991. ж2 —7ж + 12 < 0.
1990. ж2 —7ж + 12 > 0.
1990. ж2 —7ж + 12 > 0.
1991. ж2 —7ж + 12 < 0.
1991. ж2 —7ж + 12 < 0.
1992. 0,5ж2 —2ж + 4 < 0.1993. 2ж2-Зж-7>0.
1994. 2(ж + 2)2-3,5^2ж.1995. ж > 0,5ж2-4ж + 5,5.
1996. ж2 —2|ж|+3^0.1997. ж2-4|ж|-5^0.
1998. ж2 —2|ж|+3^0.1999. ж2 + 8|ж|+7^0.
2000. 2ж2+3|ж + 7| — 26 ^ 0.2001. 2ж2+3|2ж +1| +1 0.
2002. |10ж — ж2 — 16| ^ 5.2003. |ж2 + ж +1| < 2(ж2 + 1).
20М-11 Ш ^1; '^ISIh2-
2005. (ж + 4)(ж + 6) < 6(ж + 6). 2006. (2ж+ 3)(3ж - 2)(ж2 +2) < 0.
2007. (ж —8)(8 —5ж)(ж —2)2 > 0.
2008. (ж + 2)(ж + 4)(ж-5)(ж-3) > 0. Q7и
2009. -^—+ —— < 0.
Решить неравенства (2010-2037).
2010.
1 8ж ^ 0.2011. (ж 2)(°’5 4ж) ^ о
(2ж + 5)2(ж + 1)2
2012.
ж2-Зж + 2 ^о2013 ж ^>4
(ж — 2)3 ж 3
2014.
(ж — 1)(ж — 2) > ^2015 C^dz_^L^_Z^^> о
ж-З- ■-•(ж-3)2" "
2016. (ж + 1)(^3ж)02017 2_ ж_3 > ж_2.
(ж —4)2ж —2 ж —1
2018.
(2ж — 1)(3 + 2ж — ж2)
2019. ^-
-3)(ж-7)-5(ж-3)
9
(2ж + 5)2
(ж + 7)2
2020.
> 1.2021.
ж
Ж
ж2 — 1
ж2 + Зж + 2
ж2 + 7ж + 12
ж2 — Зж + 2
ж2+ 5ж + 4
ж3+15
2022.
— > 1.2023.
1.2024.— < 2
ж2 + Зж + 2
ж3 + 1/
ж3 + 8
2025. -ж +ж 1 ^ 0.2026. 1 < i^_Д£±§ < 2.
ж+ 8ж2 + 1
2027. t^tt^Ivt^It > L 2028- -^“7 “^Г^"
(ж + 1)(ж + 2)(ж + 3)ж + 1 ж2-ж + 1 ж3 + 1
2031. 1Ж У— 2. ж2 — 5ж + 62033. I ж2-4 I2035. |ж3-1| > 1-я.2037.+2031. 1Ж У— 2. ж2 — 5ж + 62033. I ж2-4 I2035. |ж3-1| > 1-я.2037.+2030. *Ж + ж + 1)(ж + 2) > 0ж2 +1
2031. 1Ж У— 2. ж2 — 5ж + 6
2033. I ж2-4 I
2035. |ж3-1| > 1-я.
2037.+
2031. 1Ж У— 2. ж2 — 5ж + 6
2033. I ж2-4 I
2035. |ж3-1| > 1-я.
2037.+
2032. |ж — 6| > |ж2-5ж + 9|.
2034. ^_d£!_zl£ ^ 2ж.
ж-3
2036.L
ж2 + |ж — 5|
< 12.
ж^ — 4ж + 4ж — 2
2038. При каких значениях ж следующие выражения имеют смысл: 1) ^(ж2-6ж + 9);2) ^(5ж2 - 8ж - 4)?
2039. При каких значениях т следующие неравенства удовлетворяются при всех значениях ж:
1) ж2 + 2ж + т>0;2) ж2 + (т + 2)ж + 8т + 1 > 0;
(5 — т) ж2 — 2(1 — т) х + 2(1 — т) < 0;
(4 — т) ж2 — Зж + т + 4 > О?
2040. При каких значениях т следующие трехчлены второй степени представляют собой полные квадраты:
(4m — 3) ж2 — 3(m + 1) ж + 2(m + 1);
(т — 1)ж2 + 2тж + 3т — 2?
Найти коэффициенты трехчлена ах2 + Ьх + с, зная, что он обращается в нуль при ж = 6 и что его наименьшее значение равно (—8) при ж = 4.
Известно, что квадратный трехчлен ах2 -Vbx -V с имеет наибольшее значение, равное 25, при ж = -, а при ж = 0 принимает значение, равное 24. Найти коэффициенты этого трехчлена.
Вершина параболы у = ах2 + Ьх + с имеет координаты х = = 6 и у = —12. Зная, что направление ветвей параболы совпадает с положительным направлением оси Оу и что одна из ветвей пересекает ось Ох в точке (8; 0), найти коэффициенты а, b и с.
Парабола у = ах2 -Vbx-Vc пересекает ось Оу в точке, ордината которой равна 15. Зная, что ветви параболы направлены вверх от оси Ох и что координаты вершины параболы (—2; 7), найти коэффициенты а, b и с.
Определить, при каких значениях т корни уравнений (2045-2048) будут:
действительными различными;
действительными равными;
комплексными (не действительными).
(5m + 1) ж2 + (7m+ 3) ж+ 3 = 0.
(т — 1) х2 — 2(т + 1) х + т — 2 = 0.
(3 + т)ж2 — 3(2 —т)ж + 3 —2m = 0.
х2 + 2(т — 1) х + 3т2 + 5 = 0.
При прохождении одного и того же расстояния в s километров автомашина «Волга» расходует бензина на а литров больше автомашины «Жигули». Сколько литров бензина расходует каждая из автомашин на пробег этого расстояния, если «Жигули» при расходе одного литра бензина проходят на b метров больше «Волги»?
Два самолета вылетают одновременно из пункта А в пункт В, расстояние между которыми s километров. Скорость первого самолета на т км/ч меньше скорости второго, поэтому первый самолет прилетает в В на п часов позже другого. Найти скорость первого самолета и время, затраченное им на перелет из Л в В.
Два элеватора принимают зерно. Пропускная способность первого на к тонн в час больше второго. Определить, сколько тонн зерна принимает в час каждый элеватор, если для приема по т тонн зерна каждым первому требуется на t часов меньше времени, чем второму.
Тело А движется по прямой от точки М по направлению к точке N со скоростью а м/с; когда оно прошло с метров, из N начало двигаться тело В, которое проходило в секунду — расстояния MN и встретилось с Л по прошествии стольких секунд, сколько метров в секунду проходит тело В. Определить расстояние МN.
За п часов трактор А вспахивает на р гектаров больше трактора В. Сколько гектаров вспашет за и часов трактор В, и сколько гектаров вспашет за это же время трактор Л, если трактор А вспахивает 1 га на t часов быстрее трактора В?
9 В. А. Бачурин
Для наполнения ванны проведены две трубы. Первая труба, работая одна, требует времени для наполнения ванны на а минут больше второй. Чтобы наполнить ванну, сначала открыли одну первую трубу на b минут, а затем обе трубы закончили наполнение ванны в с минут. За какое время может наполнить ванну каждая труба, действуя отдельно?
Две бригады заработали по одинаковому числу рублей. В первой бригаде было на а рабочих меньше, чем во второй, вследствие чего каждому рабочему второй бригады досталось на b рублей меньше, чем каждому рабочему первой бригады. Число рублей, заработанных каждой бригадой, на с больше числа рабочих в обеих бригадах вместе. Сколько было рабочих в каждой бригаде?
Две машины выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Одна машина идет со скоростью 50 км/ч, другая — 40 км/ч. Спустя полчаса из этого же пункта и в том же направлении выехала третья машина, которая обогнала первую на 1,5 ч позже, чем вторую. Определить скорость третьей машины.
§21. Неравенства с двумя переменными и их системы
Является ли решением неравенства х — у < 0 пара значений переменных х и у;
а) х = 0, у = 2; б) х = 2, у = 5; в) х = 3, у = 0; г) х = 1, у = —4?
Показать штриховкой на координатной плоскости множество точек, заданное неравенством:
3
а) у^2х — 1; б) у — ж + 1;в) х-\-у — 2^0; г) у ^ —.
(См. решение в ответе.)
Показать штриховкой на координатной плоскости множество точек с координатами (ж; у), для которых:
а) х 3; б) х 2; в) у — 1; г) 1 < х < 3.
Принадлежит ли кругу с центром в начале координат и радиусом, равным 4, точки: Л(1;5), В(4;0), С(—1; — 1), В(0; 7)?
Показать штриховкой множество точек на координатной плоскости, заданное неравенством:
а) у^х — 1; б) Зж —3?/^1; в) у х2 — 1; г) у .
Каково множество точек на координатной плоскости, заданное неравенством:
а) ж2 + ?/2<1; б) ж2 + ?/2^4; в) ж2 + ?/2>0; г) ж2 + ?/2<0? 2063. Является ли решением системы неравенств
( 2ж + ?/ > -1, [ ж + у 2. пара значений переменных ж и у.
а) ж = О, у = О; б) х = — 1, у = 1; в) х = 5, у = — 2;
г) ж = 0,5; у = -|?
Пусть Е — множество точек координатной плоскости, заданное системой неравенств
( у < х + 4,
[ у ^ х — 4.
Принадлежат ли этому множеству точки: Л(1;2); В(0;5); С(13; —17);
В(-3;21)?
Показать штриховкой на координатной плоскости множество точек, для которых:
Гж>0, f 1<ж<2,5,Г-0,5<ж<0,5,
а) <б) <в) <
7 \у^*7 1-2^7/^ 1,5;7 1-3<7/ < 1,5.
Показать штриховкой на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:
у^х^-1,(у-Зх-2^0.’
б Sв < у-х^2,
?/<-ж + 1;[2?/-6ж + 3 > 0;
Показать штриховкой на координатной плоскости множество точек, заданное системой неравенств:
ч (х24-у2<1,Гж2 + т/2> 1,Гж2 + т/2< 16,. (у ^ ж2,
<б) < о о в) <г) <
(т/>0;(ж2 + ?/2<4;\у^4-х\(?/-4<0.
Показать штриховкой множество точек координатной плоскости, заданное системой неравенств (2068-2069).
2068.2068.'У %,< у < 2ж,кУ < 4.'У %,< у < 2ж,кУ < 4.2069.2х^2у ^ 7,2069.2х^2у ^ 7,'х4-у ^ 6,
2068.
2068.
'У %,< у < 2ж,кУ < 4.
'У %,< у < 2ж,кУ < 4.
2069.2х^2у ^ 7,
2069.2х^2у ^ 7,
кх ^ 0.
2070. Каково множество точек координатной плоскости, заданное
системой:
(У О,Г х < О,
[ж-?/ = 0; (ж + ?/ = 0?
Где на координатной плоскости расположены точки, координаты которых удовлетворяют неравенству:
а) ху ^ 0; б) ху ^ О?
Показать штриховкой множество точек координатной плоскости, заданное системой неравенств:
fx2 + ?/2<9,fx2 + ?/2<36,
а) < о об) < , ,
[х2 + у2 ^ 1,69;(|ж|>1.
Найти множество решений системы (2073-2086).
2073. <
'ж + ?/ + 2 > 0, k х — у = 0.
2074.
Г Зх - бу + 6 < 0, [ х^у = 0.
2075. (
ж —2)(у —3)^0.
2076.
[ х^у 0, [ х — у ^ 0.
2077. <
f х2 + у2 100, <И < 8.
2078.
[ х2 + у2 С 1,44, [ ху 0.
2079. <
2х — у < 0, k х + 2у + 2 0.
2080.
[Зж + 2?/ + 1 > 0, [Зж + 2?/ -3 < 0.
2081.
х — ?/ + 2 0, [ х — у — 1 ^ 0.
2082.
<
f х — у +1 ^ 0, x-Vy -3 < 0, ^ + 3?/ + l >0.
f x-V2y 0,
'2ж — т/ — 1 <0,
2083. <
х — у ^ 0,
2084.
<
х - у +1 > 0,
vx — 4у + 6 ^ 0.
.У 0-
f х + у — 1 0,
2085. <
'Зж + 2?/-1 <0, ж + 1 >0,
> о.
2086.
<
-x-Vy-V4 ^ 0, 5ж + 4т/ -38 < 0 2х - у + 3 > 0, ж > 0,
о.
§22. Иррациональные неравенства*)
Решить неравенства (2087-2104).
2087. 1) Vx^X ^ 0; 2) VX^x ^ 0; 3) VT+x < 1;
\/ж2 - 7 > -1.
2088. 1) VT^x<x; 2) ^/ж+Т > ж; 3) V$ + 5<l-x;
V6 — $ < Зж — 4.
2089. 1) д/ж2 + 2ж —3 < 1; 2) д/Зж2 + 2ж-1 > 2.
2090. 1) д/ж2 —ж —12 > ж-1; 2) Л/(ж-6)(1-ж) < 3 + 2ж.
1)3~Ж < 1; 2)> 2.
*) См. предварительно примеры решения таких неравенств в Приложении II, § 8.
1) А/1-^^ < I; 2) , 3 < 2 + У2^ ■
V ж 5’7
2093. 1) Уж+Т > УЗ^ж; 2) УУУ2 < У2 + ж.
2094. 1) 2 -+ 2 0; 2)о.
’ 1 - 7^+2'ж +1
2095. 1) Vж2-5ж + 4 < У^ж2; 2) У4-УТ^ж > У2^ж.
1) V^±^®H^_ 0; 2) Ж ~13ж+Л_ о Ю — жу/ 19ж — ж2 — 78
1) , 1 > -2—; 2) ^Н5 < i.
’ V3^ж-2’5 ж
2098. 1) 2"^ж + 3 >2) 2ж < 3
ж - 131 - У1-ж2
2099. 1) -9^/ж + ^ж + 18^0; 2) У2 + 5ж - 6 У2 + 5ж >-5.
2100. 1) Уж+Т-л/ж> У 2) Уж + 9 + У2ж + 4 > 5.
2101. 1) V25-ж2 + Vж2 + 7ж > 3; 2) Ув^ж2 - д/25 - ж2 ж.
2102. 1) ^У^^<0; 2) ^^-У2^ж<2. х-л/ж-2д/2^ж
2103. 1) Уж + 2-Уж^Т> V^;
УЗаУ+бж + Т- \/Зж2 + 5ж + 2 > 1.
2104. 1) ,+1 < У1 + 2ж; 2) а/(-^У_) > 1.
7 V2^+9’ УкЗ-2ж7
§23. Показательные и логарифмические неравенства)
Решить неравенства (2105-2122).
2105. 1) 4ж<2ж+1+3; 2) 32ж+5 Зж+2 + 2;
4® — 2 • 52® < 10®; 4) Q^ + Q) ^3.
2 106. 1) 4-25®-2-25®+4 ^-120; 2) 0,5^^^ 0,0625;
ж2-3®-3®+1 ^ 0; 4) 0,5®-2 > 6.
2107. 1) ^(ж-2)+^(1-ж) > 1;
log0,i(y + l) < к^о1(2ж-5).
2108. 1) 1о£2(ж + 4) < 2;2) ^1/2(ж - 7) > 4;
log2(ж2 — 5ж + 6) > 1; 4) (ж2 — 2ж + 3) к^2ж < 0.
2109. 1) ^0>3(ж2-5ж + 7) > 0;
log^U' + i)-N'v^U'-1)
log4 (2ж2 + Зж +1) < log2 (2ж + 2);
2^1/2ж > log1/2 (ж + |) -1.
2110. 1) ^ож + ^о(ж-2) > 1, а > 1;
log0(®-a) > ^1/а(ж + а), а > 1;
>1, 0 < а < 1; 4) 2^8(ж-2) -^8(ж-3) > ^.
2111. 1) loglj5^<0; 2) log1/3^<l;
(ж2-6ж + 8) ^5(2ж-5) > 0; 4) ^ж_58>3.
2112. 1) 22®+1 + 2 21-2“(2®+3);
4® ।. ^^х—42^+1.22V® —1
2113. 1) 5-4®+2-25® ^ 7-10®; 2) 0,8® - 1,25®+1 > 0,25.
2114. 1) 2-3®+9-4® 12® +18; 2) 32®+1 -2®+1+6 > 18®.
2115. 1) Э^^ + з < 28-3^^:3-1;
^дж2+5ж+49 । уж2+5ж—48 < дд
о 1 X о Ж ।д X ex X 4" 1 । о
2116. 1) ж + ^0; 2) -3— <8®.
2117. 1) ж2-5®-52+® <0; 2) V9®+3®-2 + 3® ^9.
1)(|Г<2.-^-1; 2)^^^2.
1) (ж2 + ж + 1)®<1;2) (ж-2)®2"6®+1 > 1.
1) (ж2-8ж + 15)®"6 < 1;2) (4ж3 + 2ж + 1)®2"® > 1.
1) 3i°g2(»2-3^+2) > з- 2) 1оёзж+5(9ж2 + 8ж + 2) > 2.
9]9, п 1^ + 2 >п.2) ;,^ 2,-1<(|
V2$-llog3(a? —1)
§ 24. Тригонометрические неравенства
2123. Проверить правильность изменения тригонометрических функций в соответствии с изменением аргумента.
В пределах II четверти (см. задачу 1266 и ответ к ней):
ТГ ..
— Ж ТГ
2
ТГ.
— Ж ТГ 2
ТГ.
— < Ж ТГ
2
1 ^ sin ж ^ 0
0 ^ cos ж ^ — 1
—оо < tg ж ^ 0
ТГ .
— Ж < ТГ
2
ТГ.
— < ж тг 2
ТГ .
— Ж < ТГ
2
0 ^ ctg ж ^ —ос
—оо < sec ж ^ —1
1 ^ cosec ж < оо
В некоторых других пределах:
0 < ж - 3
.. 7тг
тг ж — 6
Зтг ..
— < ж < тг
4
п/ V3
0 < sin ж < —
2
-1 // Vs
— 1 < cos ж < 2
— 1 ^ tg ж ^ 0
7Г .. Зтг
— ж —
24
7тг
— ж 2тг
4
Зтг
— ж < тг
4
0 ^ ctg ж ^ — 1
V^ ^ sec ж ^ 1
V^ ^ cosec ж < оо
2124. Проверить правильность решения неравенств:
зтж<0; тг + 2тг& < ж < 2тг + 2тг&;
созж>0; + 2тг& < ж < ^+ 2тг&;
tgж>l; ^ + irk < х < ^ + ivk;
ctg ж < 0; ^ + irk < ж < тг + тгк.
2125. Проверить правильность решения неравенств: .1ТГ5
О^зшж^-; 2тг& ^ ж ^—Ь2тг^;тг + 2тг& ж - тг + 2тг&;
266
^^созж^1;— ^ + 2тг& ^ ж ^ 2тг&;^ + 2тг& ж 2тг&;
0 ^ tg ж ^ —;тг&^ж^—+ тг&;
3
—1 ctg ж > —ос;- тг + kir ж < тг + kir.
Далее рекомендуется познакомиться с образцами решения тригонометрических неравенств в Приложении II, § 10.
Решить неравенства (2126-2140).
1) cos ж < — ^;2) tgж<^; 3) 8ш^ж + ^^^;
4) cos <2 + 4)•
1) tg(3a:-2) <-V3; 2) ctg (ж — j) 1;
л \• (3 7Г \ л/З. \.(1 \
sin I —ж1> —;4)sin жI cos ж + — I 0.
2128. 1) sinж + д/3со8ж>0;2) sinx<cosx; 3) sin2 ж sin ж;
СО82Ж^СО8Ж.
2129. 1) |<8т2ж<1;2) |^со82ж<1;
cos ^ cos ж + sin ^ sin ж ^ ^;4) 2 sin2 ж + V5 sin ж — 3 > 0.
2130. 1) cos ж • cos 2ж • cos Зж ^ 0;
sec2 ж + (2 — д/З) tg ж < 2 V3 + 1.
1) cos2ж + 3sinж > — 1;2) tgж^2ctgж.
1) sin6ж + cos6ж > |;2) -4<ctgж<|.
1) 0<lgtgж<(X); 2) -оо < ^С08ж < 0.
1) arcsin 1g ж /> 0,2) arcsin logg ж 0.
2135. 1) tg(sinж)>0; 2) arcsin (vrarctgж) > 0.
2136. 1) V3 sec2 ж < 4tg ж; 2) tg 2ж+ ctg 2ж <-2.
2137. 1) sin4ж + со84ж • ctg 2ж > 1;
sin2ж • sinЗж — соз2ж • созЗж > sin Юж.
2138. 1) tg—> 1;2) sin2ж < sin2ж-tg—
1 + х1 + х
2139. 1) агссобж < arcsinж; 2) arcctg ж < arctgж.
2140. 1) log2sin^<—1; 2) 0,2COS:C 1, если |^1 + | > 0.
§25. Комплексные числа)
2141. Даны следующие числа: 1; 2; 13; 17^; —5; V169; ^—27; 0,(3); V18; 0; Igl; IglOO; sin45°; тг; tg тг; 2 + Зг; 2г; -V^-г* 3-zV5. Найти среди них числа:
1) натуральные; 2) целые; 3) положительные;
отрицательные; 5) рациональные; 6) иррациональные;
действительные (вещественные); 8) мнимые;
чисто мнимые; 10) комплексные.
2142. Можно ли сказать, что:
число —7г является отрицательным;
число 7 + 5г больше числа —1 — г?
На основании определения равенства комплексных чисел найти действительные числа х и у из уравнений:
1) Зж — у + (х + у) г = 7 + 5г;2) ж2 — 3(ж — г) = iy — 2.
Если а и b — натуральные числа, то во множестве каких чисел разрешимо каждое из следующих уравнений:
х — а = Ь'. 2) х + а = Ь; 3) ах = Ь; 4) — = 6; 5) ах2 = Ь?
2145. Каково условие того, что квадратное уравнение ах2 + Ьх + + с = 0 не имеет решений на множестве действительных чисел?
Выполнить действия (2146-2161).
2146. 1) (2 + 5г) + (—7 —Зг); 2) 2+(11 - 2 | г) - Q - | г);
3) (а + Ы) + (с + di); 4) (Зж —4уг) + (—ж + 2уг).
2147. 1) (0,(3) +1,1(6) г) — (0,1(3) — 0,(2) г)+7 —2г;
(2V3 + 3<V2)-(V27-<V8) + (^= + -^=
2148. 1) (m - ni) + (3m - 2ni) - (/—m — ni) — (5т + Юпг));
2)
\д/2 д/З/\д/3 2/V д/б/
2149. 1) 5-2г;2) Зг-7г; 3) (1-г)-(-3); 4) (-8- 7г) • (-Зг).
2150. 1) (1 — 2г) • (5 — г); 2) (д/2 - 2г) • (Уз + 5 V?);
(5 + г)-(5-г);4) (2 + г д/З) • (2 - г д/З).
2151. 1) (т — ш) • (т + ш);2) (д/а + г Vb) • (д/а — Vb^
(а — 6) г • (6 — а) г; 4) (д/2 — г) • (—д/2 + г) .
2152. 1) (а Vb-V bi у/a) • (—a Vb — bi у/a);
( Га • b\ f b . Га\ о у a J у у а V b J
2153. 1) 6г : 3; 2) Юг : 5г; 3) 7г : (-0,5г); 4) 0,(3) г :0,4г.
2154. 1) -;2) -;3)~2~3г;4)2^±^
7 г’ 7 Зг’ 7 г ’70,5г ’
' 1 + 2г”' 1-2г’1-г’'2 + Зг "
1) —; 2) —; 3)4) 1±У1.
' 1 —г’ 1 + г’ 5 —Зг ’ 2 + 0,5г
1) 1±+|; 2)з) V^-zVo.
1 - г V3 1 + г" V2 V3 + г" V2
1) ° .; 2) —^—;3) a'^b"‘rbtV“
a + bi a + 2г л/а bVa — aiVb
(Устно.) 1) г2;2) г4;3) г5;4) г11;5) г17;6) г36;
7) (-г)5;8) (—г)21;9) -г7;10) -г18.
1) (1 + г)2; 2) (1-г)2; 3) (2 + Зг)2;4) (1 + 2аг)2;
5) (2 + 6г)2;6) (а —26г)2.
1) (1 + г)4;2) (1-г)4;3) (1 + г)10.
1) (1 + г)8-(1-г)8; 2) (^Л + f^—) - у 2 у \У2 +
Показать, что при возведении в куб двух сопряженных комплексных чисел снова получаются сопряженные комплексные числа.
Показать, что квадратное уравнение ж2 — 8ж + 25 = 0 не имеет решения на множестве действительных чисел.
а) Построить в координатной плоскости векторы, соответствующие следующим мнимым числам:
Зг; 2) —г; 3) |г; 4) -2г;5) -0,5г; 6) -г^.
Найти модуль и аргумент каждого из данных чисел.
2165. Построить и вычислить разность чисел: (2 — Зг) — (2 + Зг).
2166. Выполнить действия:
М^ j 5 2) (1 + г)16; 3) (2-г)4; 4) (-2 + 2г)8.
2167. Написать два таких комплексных числа, чтобы их сумма и произведение были вещественными числами.
2168. Написать два таких комплексных числа, чтобы их сумма и произведение были чисто мнимыми числами.
2169. Выполнить действия: А + гл/тАA-z'VfA
\ 2 /\ 2 /
2170. Составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами по его корням:
1) жх = —г; Ж2 = г; 2) жх = 2 + г; Ж2 = 2 — г;
^ Ж1 = р; ж2 = 1 + г; 4) Ж1 = 1-гуЗ; ж2 = 1 + гуЗ.
Решить следующие уравнения (2171-2172).
1) ж4-16 = 0; 2) аж4-6 = 0, а > О, 6 > 0.
1) ж6—9ж3 + 8 = 0;2) 8ж6 - 65ж3+ 8 = 0.
Выразить в тригонометрической форме следующие числа и построить их геометрическое изображение (2173-2174).
1) 1; 2) г; 3) -\/3 + г; 4) 1 — гV3-
1) -2-2<V3; 2) V2 + <V2; 3) 5 + 12г; 4) -1-г^.
Представить в алгебраической форме числа (2175-2176).
1) 4 (cos ^+г-sin ^); 2) 6(cos0 + ?-sinO).
1) 8 fcos^+г-sin ^1 2) 4 fcos^ +i-sin ^1 V 44/V 33/
Построить геометрическое изображение сомножителей и произведений (2177-2180).
1) 3-г;2) 4г-г.
1) (1 + г)-(1-г);2) (1 + г)-(1 + г).
1) (cosO + г-sinO)-г;2) 2(cos60° +i • sin60°) • i.
1) (3 + 4г) • (4 + Зг); 2) (3 + 4г) • (3-4г).
Выполнить умножение (2181-2183).
5 fcos ^ + г - sin ^) -2 fcos ^ + г - sin ^Y \66 /\44 /
5(cos20° + г • sin 20°) • 3(cos25° + г • sin 25°).
^ (cos 150° + г • sin 150°) • д/З (cos 120° + г • sin 120°).
Разложить на комплексные множители:
1) а + 2;2) 4 + 3.
Выполнить деление комплексных чисел в тригонометрической форме:
(cos 75° + г sin 75°) : (cos30° + г sin 30°);
4(cos 120° + г sin 120°) : 2(cos30° + г sin30°).
Выполнить действия (2186-2198).
2186. (Устно.) 1) (0,1г)"7;2) -(-0,1г)"13;3) (тг)"14;
— (—гаг)-19.
(1 + г)10 — (1 — г)10.2188. (2 + г V3)5 + (2 - г V5)5 .
2189. (3 + г х/2)8 — (3 — г х/2)8 .2190. (уу^) + у--ГД "
2191. 1.2192. .2193. 2z + zV2-^= .
(1 + г)\1 —г‘л/3/\V2/
2194.2195.
(1 + г’)6 • (1 — г’)6(2-2г) Х2 + г 3 + г/
/1-гл/2\2 Л\(1 + г" Vs) + 3(^6 — 1)
2196.1 -((2 + гх/2) +5).2197. 2'1L.
\1 + гх/2/ V ')8(1 + 0
2198- (тт^ + У1)-(з+40-о,1. \ 1 "т~ OZ О % )
2199. Выполнить действия, пользуясь формулой Муавра: ✓/\\ 6
(2(cos 12° + z sin 12°))5;2) ( 3 ( cos — — г sin —.
Каждое из упражнений (2200-2201) выполнить двумя способами, выразив комплексные числа:
а) в тригонометрической форме; б) в алгебраической форме.
Показать, что результаты выполнения действия будут равными.
1) (cos30° + z-sin30°)10; 2) (2(cos60° + г-sin60°))6.
Л V5\9/ i V5\12
1)± + г^ ;2)-^-г^.
’ \22 у \ 22 у
Выполнить действия (2202-2205).
1)уТ+4г; 2) V-3-4K
1) Ут^^Ж; 2) V28 + 4V25 +
1)2) ^/-8 (1 + г х/З).
1) х/б-гх/П; 2) -§^8.
В задачах (2206-2207) вычислить все значения корня данной степени и построить их геометрическое изображение.
1) ^cosl35° + z-sinl35°; 2) ^cos 120° + г • sin 120°.
1) ^cos225° + z-sin225°; 2) ^cos60° + г -sin60°.
Решить уравнение ж3 — 1 = 0 двумя способами:
разложением левой части на множители;
путем извлечения кубического корня из числа 1, выраженного в тригонометрической форме.
Найти все значения корня (2209-2215).
1) ^Т; 2) V^.2210. 1) W; 2) ^1.
2211. 1) ^16; 2) ^Т.
2212. 1) ^—7 — 24г; 2)+2213- U ^ 2)
2214. 1) У—2 —2г л/З; 2) ^1.
2215. 1) ^г; 2) У^24^8+Тз.
2216. Составить квадратные уравнения по их корням:
®1 = ^; ж2 = 2г; 2) Ж1 = -1(7 + 5г); ж2 = -^(7-5г).
2217. Решить уравнения:
ж2+ 13ж+ 46,25 = 0; 2) ж3-6ж-9 = 0.
На основании условия равенства комплексных чисел определить х и у из равенства
агх + Ьгу — а = г — а2х — Ь2у.
Проверить справедливость равенства
^2 + 11г + ^2-11г = 4.
Показать, что если п кратно 3, то
Z-i + zVsV Z-i-tVsA" \2 у + \2)’
а если п не делится на 3, то
/-l + iVsV Z-i-iVsV
\2 J + \2 у "
2221. Показать, что при четном п сумма
равна или ±2 или 0, а при нечетном п эта сумма равна ±V2.
2222.2222.тото„-1 + Зг — 1 —Зг
2222.
2222.
то
то
Показать, что если х = —-— и у = —-— ’2 у 2
^зс3 4-у3 — Зху = V^T.
2223. Пусть одно и то же комплексное число записано в двух видах: z = д/2 (cos45° — г sin45°) и % = д/2 (cos315° + г sin315°). Обели записи являются тригонометрической формой этого комплексного числа?
2224. Показать, что квадраты двух сопряженных комплексных чисел являются комплексными сопряженными числами.
(
ЗтгЗтг \
cos —- + г sin — ). Записать в 44 /
алгебраической форме число, сопряженное данному, и построить его геометрическое изображение.
2226. Найти все значения ^625 и изобразить их в виде векторов.
Показать, что если од, а2 и а3 — корни уравнения ж3 = 1, то справедливы следующие равенства:
1) од + <т2 + <т3 = 0;2) од • од • 013 = 1.
Дано комплексное число % = ж + iy = г (cos ср + г sin у?). Определить множество точек плоскости, если:
1) И = 1; 2) Н<1; 3) И <1; 4) |д| > 1; 5) 1 < И < 2.
На плоскости дана некоторая точка, изображающая комплексное число % = а + Ы: где расположена точка % + 1?
Если |^| = 1, то где расположены точки 1 + 2^?
§26. Комбинаторика и бином Ньютона)
2231. Найти число перестановок:
из трех букв а, Ь, с;
из четырех цифр 5, 4, 3, 2.
2232. Найти число размещений:
из пяти букв а, 6, с, d. е по 3 буквы в каждом (без повторения);
из четырех цифр 1, 3, 5, 7 по 3 цифры в каждом.
Сколько сочетаний можно составить из пяти букв а, 6, с, d. е по 3 буквы в каждом?
Вычислить выражения (2234-2237).
2234. 1)2235. 1)2236. 1)2234. 1)2235. 1)2236. 1)2)2)аГаГ2) —•2) —•2Р3 + ЗЛ4, 5Р5-Р3 ’2Р3 + ЗЛ4, 5Р5-Р3 ’^10 - >*10 .^8 - А*Ад - ЛдАр» - Ли^10 - >*10 .^8 - А*Ад - ЛдАр» - ЛиРб-Р4.Рб-Р4.4)4)2) 6!; 3) 7!-5!; 4) ^^2) 6!; 3) 7!-5!; 4) ^^
2234. 1)
2235. 1)
2236. 1)
2234. 1)
2235. 1)
2236. 1)
2)
2)
аГ
аГ
2) —•
2) —•
2Р3 + ЗЛ4, 5Р5-Р3 ’
2Р3 + ЗЛ4, 5Р5-Р3 ’
^10 - >*10 .^8 - А*
Ад - ЛдАр» - Ли
^10 - >*10 .^8 - А*
Ад - ЛдАр» - Ли
Рб-Р4.
Рб-Р4.
4)
4)
2) 6!; 3) 7!-5!; 4) ^^
2) 6!; 3) 7!-5!; 4) ^^
2237. 1) С^; 2) СЦ; 3) С^, 4) С^-
2238. Установить справедливость равенств:
л 5дш-8
। \ /^10 ^15 .z^8 . о\ /^7 z^m—6
u15 ——°m+l — °m+l
rbГт—&
Сколькими способами могут разместиться 4 пассажира в четырехместном купе?
Группа учащихся в 30 человек пожелала обменяться своими фотокарточками. Сколько всего фотокарточек потребовалось для этого?
Учащиеся школы изучают 10 различных предметов. Сколькими способами можно составить расписание уроков на один день, чтобы при этом было 5 различных предметов?
Сколькими различными способами собрание, состоящее из 40 человек, может выбрать из своей среды председателя собрания, его заместителя и секретаря?
Сколько различных пятизначных чисел можно написать при помощи цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 без повторений?
Сколько различных плоскостей можно провести через 10 точек, если никакие три из них не лежат на одной прямой и никакие четыре точки не лежат в одной плоскости?
Найти:
число размещений из п +1 элементов по 3 элемента в каждом размещении;
число размещений из т — п элементов по т — 2п — 1 в каждом размещении.
Найти:
число перестановок из k + 1 элементов;
число перестановок из 2п + 2 элементов.
Найти:
1 \ р1П — 1 .z^rn —2 .Z^fc + 2./1 \ z^A; —1
CGn+2*
Вычислить выражения:
pодт-п+2 . дт-n+l
1— 1 rTri — n ,Amrm_n.^тд.п т гл.т_^и ,
' p’? p’?дт-п-
Am+n
n(n — l)(n — 2)(n — 3)(n — 4)
’(^2)!•
Доказать справедливость равенств:
i\ z^n । pin — 1 pi 9 1/^8 pi 9 .
o\ pim ।। pimV^ _ pim-V^.
++— ^n+2 ,
C™ + 3C™+1 + 3C™+2 + C™+3 = C™+33.
Упростить выражения:
. (2n + l)!_. (2л)!.. 11..11
7 (2n —1)!’}} n\ (n + 1)!’7 (A:-!)! kV
Сколько надо взять элементов, чтобы число размещений из них по четыре было в 12 раз больше, чем число размещений из них по два?
Из скольких элементов можно составить 56 размещений по два элемента в каждом?
Число размещений из п элементов по 2 в 7 раз больше числа размещений из трех элементов по 2. Найти п.
Найти число элементов п, если известно, что число сочетаний из п + 2 элементов по 4 в 11 раз больше, чем число сочетаний из п элементов по 2.
Найти С^, если С^ = С^2.
Найти число элементов п, если известно, что число сочетаний из 2п элементов по п + 1 относится к числу сочетаний из 2n + 1 элементов по п — 1, как 3:5.
Решить системы уравнений (2257-2258).
f =8,Г№ = №+ ,
2257./ / .2258.’
(С^СТ =1Д(С2 = 153.
Сколько различных пятизначных чисел можно написать при помощи цифр 0, 1, 3, 5, 7?
Найти сумму цифр во всех пятизначных числах, написанных с помощью цифр 1, 4, 6, 7, 8.
Сколько перестановок из цифр 1, 2, 3, 4, 5 не начинаются цифрой 5? числом 12? числом 123?
Сколько сочетаний из 10 букв а,Ь, с, ... по 4 не содержат букву а? буквы а и Ь?
Решить уравнение С^§ = ^ А^+6.
Сколько можно получить различных четырехзначных чисел, вставляя две пропущенные цифры в числе 1...7?
Сократить дроби:
5!-4!.7!-5!. п! ..(п^ку
6! ’4! + 4!’7 (п + 2)!’7 (п^к-ЗУ*
Решить уравнения:
2) С^ + С2_3 + С2_4 = Ж 3) С2 + С2_1 = ж + 1;
4) (2п + 1)!(2п + 2)! =
7 (2п-1)!(2п)!
Сколько пятизначных чисел, кратных пяти, можно изобразить цифрами 0, 1, 2, 3, 5?
Определить, сколько нулей имеет на конце число (50!).
Из группы туристов в 16 человек создаются две подгруппы в 10 и 6 человек. Сколькими способами можно создать эти подгруппы?
Ревизионная комиссия состоит из председателя, секретаря и еще пяти человек. Сколькими способами члены комиссии могут распределить между собой обязанности?
Из 15 солдат пятерых необходимо послать в разведку. Сколькими способами это можно сделать, если один из пяти разведчиков должен быть старшим?
Четыре электромонтера обслуживают восемь цехов (каждый по два). Сколькими способами могут быть распределены цехи между рабочими?
Два водопроводчика должны проверить водопроводную сеть в десяти подъездах. Сколькими способами может быть распределена указанная работа?
Сколько размещений из 12 букв а^Ь, с, ... по 5 не содержат букву а? буквы а и Ь?
Сколько сочетаний из т букв по п содержат к определенных букв?
Сколькими способами можно составить дозор из трех солдат и одного офицера, если имеется 80 солдат и 3 офицера?
Показать справедливость равенств:
С8т-С8т+1 + С^т=0-, 2) ^ + ^ + <780 + ^ = 220.
Решить системы уравнений (2278-2279).
2278.2278.А”"2: Л-3 = 8;Глгз:Л„-2 = 1:8
2278.
2278.
92279. <
Л1П — 2 . х^п — 3 9I х^п —3 .— 2 г . о
— 3'I— О . О.
Сколько различных четных делителей имеет число 3570?
Доказать тождество С^ + C^+1 = С^_\.
Решить системы уравнений (2282-2285).
Дп . ДП-1 _ о.( ДП-3 . дп — 2 1.7.
2282.2282.22оо. \
2282.
2282.
Cm-^-C^ = V^.1 С5”-2 : С"”3 = 7 : 4.
Сколько различных произведений, кратных 10, можно составить из чисел 7, 2, 11, 9, 5, 3?
В состав бригады строителей входит 25 рабочих, в том числе 5 плотников, 4 каменщика и 2 штукатура. Сколькими способами можно укомплектовать группу контроля из 5 человек, чтобы в нее вошли рабочие всех этих специальностей по одному?
Сколько можно составить трехзначных чисел из нечетных цифр, если каждую из этих цифр использовать только один раз?
Сколько существует различных положений, в которых могут оказаться 6 переключателей, если каждый из них может быть включен или выключен?
Сколько можно составить различных шестизначных телефонных номеров, у которых на первых двух местах стоит цифра 3, а на третьем, четвертом, пятом и шестом — любая из цифр 0, 1, 2, ...,9?
10 В. А. Бачурин
Проверить справедливость разложений (2289-2290).
^cl + 1) ^cl + 2) ^cl + 3) ^cl + 4) = a4 + (1 + 2 + 3 + 4) cl8 +
+ (2 + 3 + 4 + 6 + 8 +12) a2 + (6 + 8 +12 + 24) a + 24 =
= a4 + 10a3 + 35a2 + 50a + 24.
(a + z)(a + 2z)(a + 3z)(a + 4г) = a4 + 10a3z — 35a2 — 50аг + 24.
Проверить справедливость разложений биномов (2291-2295).
(a + b2)5 = a5 + 5a4b2 + 10a3b4 + 10a2b6 + 5ab8 + 610.
(3;z;2 + ?/2)4 = 81ж8 + 108ж6д2 + 54ж1д1 + 12ж2д6 + у8.
(^ж"-V^)4 = ж^ж + 4ж ^ж + бж^ж2-4ж^ж^ + ж2.
(Va+T- Ta^)' = 4(2a2 - 2a Va2 -1 -1).
(д/ж + л/у)5 + (v^- д/у)5 = 2 77 (ж2 + 10жу + 5у2).
Найти (2296-2313).
Восьмой член разложения бинома (ж + 2)12. /1 V6
Средний член разложения бинома (^•
Два средних члена разложения бинома (^ж — ^/F)15 •
(Пт д\12
Пятый член разложения бинома м 2 J — — J - I .
Член разложения (ж + т/)9, содержащий ж7.
Член разложения (^ж2 — ^Уж^)12, содержащий ж22/3.
Член разложения (6-1жх/3 + 6ж-1/4)18, содержащий ж
Член разложения (а 2/3 + а3/4)17, не содержащий а.
Член разложения (а-2/3 + ^о3 )2°, не содержащий а.
Показатель степени бинома, если третий член разложения (Vo? + a-1)n содержит a°.
Показатель степени бинома, если биномиальные коэффициенты четвертого и шестого членов разложения (1 + ж)п+1 равны между собой.
Показатель степени бинома, если биномиальные коэффициенты четвертого и шестого членов разложения соответственно равны 120 и 252.
Показатель степени бинома, если шестой член разложения (a-1/30+^a) не содержит а.
Показатель степени бинома, если отношение седьмого члена разложения (21/3 + 31/3)п к седьмому члену от конца равно 0,1(6).
Показатель степени бинома (ж + ?/)п, если коэффициенты 2-го, 3-го и 4-го членов разложения составляют арифметическую прогрессию.
Номер того члена разлолсения (й1/36-1/6 +^1/6^1/2)21, который содержит а и b в одинаковых степенях.
Тот член разложения (ж1/2 + ж-2/3)п, который содержит букву ж в первой степени, если известно, что коэффициент пятого члена относится к коэффициенту третьего члена, как 7:2.
Тот член разложения (а-1/7 + а2/3)п, который содержит букву а в первой степени, если известно, что коэффициент третьего члена от конца разложения равен 45.
Найти ж из заданного условия (2314-2318).
Пятый член разложения бинома (^ж + ж-1)6 равен |.
Разность между пятым и третьим членами разложения бинома (ж+д/5) равна 300.
Третий член разложения бинома (ж-2/7 + ж1§л^)9 равен 36000.
Отношение седьмого члена от начала в разложении бинома (21/3 + 3-1/3)ж к седьмому члену от конца этого же разложения равно -.
6/
Третий член разложения бинома f 2 ^2^ + 4 • l1/^ 4Ч равен 240.
Найти члены разложения биномов, не содержащие радикалы:
1)(^-^)5; 2) (1+^2)15; 3)^/5-^.
Имеется многочлен ж(2 — Зж)5 + ж3(1 + 2ж2)7 — ж4(3 + 2ж3)9. Вычислить коэффициент члена, содержащего ж5, если выполнить все указанные действия.
Вычислить коэффициент члена, содержащего ж3, в произведении (1 + ж)7 • (1 — ж)4.
Найти а, Ь. п, если известно, что второй, третий и четвертый члены разложения (a-\-b)n равны 240; 720; 1080.
Найти пятый член разложения бинома (^2 —\/2^)п, если последний член разложения равен (3 V9).
Сколько окажется всего членов в разложении биномов (а + Ь)2п + (а — Ь)2п после того, как будут сделаны все возможные упрощения?
Не прибегая к непосредственному разложению бинома
(^^ + v^)55, указать, сколько будет в разложении членов, не содер
жащих радикалов.
Доказать, что II10 — 1 делится на 100.
Найти число А^, если пятый член разложения бинома
IV
ужН— не зависит от ж.
Vх /
Применяя формулу Муавра и формулу бинома Ньютона для возведения в целую положительную степень выражения (cos у? + z siny?)n, выразить через sin у? и cosy?:
1) sin5y?; 2) cos5y?.
§ 27. Теорема Безу и ее приложения )
Не выполняя деления, найти остаток от деления:
(Зж4 - 2ж3 + 5ж2 - х + 2) : (ж - 1);
(ж5 + ж4 — Зж3+4ж2 — 5ж — 6) : (ж + 1);
(9ж3 - Зж2 + 6ж -15) : (ж + ^;
(Зж5+ 6ж3 — 12ж + 1) : (Зж+ 6).
При каком значении а многочлен 2ж5 — Зж3 + 11ж2 — ж + а при делении на ж + 2 дает остаток, равный 3?
При каких значениях а и b многочлен ах3 + Ьх2 — 37ж + 14 делится на ж2 + ж — 2?
Дан многочлен 2ж3 — Зж2 — ах + Ь. Каковы должны быть числовые значения а и 6, чтобы многочлен при делении на ж +1 дал остаток, равный 7, а при делении на ж — 1 дал остаток, равный 5?
Показать, что многочлен ж6 — 2ж5 — 4ж4+ Зж3 — Зж2 + Пж — 6 делится на произведение (ж — 1) (ж + 2) (ж — 3).
сократить на:1
ж-1;2) ж + 1;3) ж + 2;4) ж-2;5) ж + 3;6) ж-3.
2335. Не производя вычислений, установить, делится ли:
сумма (ж5 — I)4 + (ж2 — I)3 на ж — 1;
произведение (ж4 — 16) (ж3+ 3ж — 5) на ж —2.
2336. Разложить на множители многочлены:
1) ж3 — 7ж2 + 16ж — 12;2) ж4 — Зж3+ ж2+ 3ж — 2;
ж4 — 2ж3 + 5ж2 — 8ж+ 4;4) ж4 — 5ж3 + 2ж2 + 20ж — 24.
Решить следующие уравнения (2337-2340).
2337. ж3 — 8ж2 +13 —6 = 0.2338. ж4-Зж3 + ж2 + Зж = 2.
2339. ж4-Зж3-8ж2+12ж =-16.2340. ж5-ж4-Зж3+5ж2 = 2ж.
2341. Составить уравнения наименьшей степени с рациональными коэффициентами, корнями которых служат:
1) 1; 2; -2; 2) V2; -V^, 3) 1; 1 + 2г; 1 — 2г;
-1; —^—; —2—’ 5) 1; 2; 1 + г; 1-г;
1 + г; 1 — г; 1 — 2г; 1 + 2г.
Составить уравнения с вещественными коэффициентами:
третьей степени, если даны его корни: жх = 2; жг = —г;
четвертой степени, если даны его корни: Жх = 1 — г; Ж2 = 3 + г;
пятой степени, если даны его корни: жх = жг = жз = 1; Ж4 = 1 — г.
Зная, что уравнение ж4 — 6ж3 + 15ж2 — 18ж + 10 = 0 имеет корень, равный 1 — г, найти все другие его корни.
Решить двучленные уравнения (2344-2345).
1) ж3+ 27 = 0;2) 27ж3 - 125 = 0; 3) ж6-64 = 0.
1) 81ж4-25 = 0;2) 4ж4 = 25; 3) Зж4 = 16.
Решить трехчленные уравнения (2346-2348).
1) (5ж + 4)2 — 5(5ж + 4) — 36 = 0;2) ж6-9ж3 + 8 = 0.
1) 16ж8 — 257ж4 +16 = 0;2) (ж + 3)6-9(ж + 3)3 + 8 = 0.
1) ^ж2 + 8-(ж2 + 8) =-12; 2) (1 + Зж)1/2-3(1 + Зж)1/4 = 4.
Решить уравнения (2349-2355).
(ж2-6ж)2-2(ж-3)2 =81.
(ж + 1)5 + (ж-1)5 =32ж.
(ж2 + 2ж)2-(ж + 1)2 = 55.
(ж + 1)2(ж + 2) + (ж + 1)2(ж —2) = 12.
(ж-4)(ж-5)(ж-6)(ж-7) = 1680.
ж3 — 2ж2 — (а2 — а — 1) ж + (а2 — а) = 0.
(ж — I)5 + (ж + 3)5 = 242(ж +1).
Найти все корни уравнения 4ж4 — 24ж3 + 57ж2 + 18ж — 45 = 0, если один из корней равен 3 + г V6-
При каких числовых значениях параметра а уравнение ж2 + 2аж V^2 — 3 + 4 = 0 имеет равные между собой корни?
В уравнении ж2 + (2 — а) х — а — 3 = 0 найти а так, чтобы сумма квадратов его корней была наименьшей.
§28. Принцип математической индукции
Доказать методом полной математической индукции справедливость следующих формул (2359-2363).
1+ 3 + 5 + 7 +...+(2п — 1) = п2.
12 + 22 + 32 + ...+п2 =
13 + 23+33 + ...+п3= ^42±Лу.
1-2 + 2-3 + 3-4 + ... + n(n + l) = |п(п + 1)(п + 2).
1-2-3 + 2-3-4 + 3-4-5 + ...+п(п + 1)(п + 2) =
= (п + 1)(п + 2)(п + 3).
Доказать, что n-й член арифметической прогрессии равен ап = a ^ + (п — 1И где ai — первый член, ad — разность этой прогрессии.
Вывести формулу n-го (общего) члена геометрической прогрессии.
Доказать тождества (2366-2367).
23661 + 1 + 1 4- Ч-= П
* 1 • 33 • 55 • 7(2п - 1) • (2п + 1) 2п + Г
I-h Ч-= П
а(а + 1) (а + 1)(а + 2)(а + п —1)(а + п) a(a-Vn)
Доказать неравенство
1111 1
п + 1 + п + 2 + п + з+ ‘ + зп + 1> '
Методом математической индукции доказать тождество н лsin2n+1o
cos се - cos la -cos4q... cos 2 a = ——j.
2n+1 since
Какой еще метод можно предложить для доказательства этого тождества?
Доказать, что
sin х
sin х 4- sin lx 4- sin 3x 4-... + sin nx =sin —-.
. x1
sin —
2
Доказать, что (l + a)n ^ 1 + na при любом натуральном n и a > — 1.
Доказать, что 2П 2п + 1 при n 3.
При каких натуральных значениях и справедливо неравенство 2П > п2?
Дано: an+i = Зап — 2an_i; ^о = 2; ai = 3. Доказать, что ап = = 2п + 1.
Дано: an+i = Зап — 2an_i; ао = 0; ai = 1. Доказать, что ап = = 2n —1.
Составить формулу n-го общего члена последовательности, если Uj^-i-^ — 2а^ с^Ti—1? 1 — 1? ^2 — ^*
§29. Числовые последовательности и их пределы
Написать четыре первых члена числовой последовательности с общим членом:
ап = п;2)ап = 2п;3)ап =2п — 1;4)ап =п2;
ап = ;6)ап = - ;7)ап =--:8)ап =
п2п2п 1^
а„ = 3 + 2п;10) ап=^—-; 11)a„ = sin^n; 12)a„ = tg^-.
о “г П2П ~г 2
2378. Найти формулу общего члена для каждой из данных числовых последовательностей:
1,2, 3,4, 5,...; 2) 1, 3, 5, 7, 9, ...; 3) 2,4,6,8,10,...;
2.-2. 2.-2, 2..., 5)
11 11 1,11111 .
’ ’ 2’4’ 8’ 16’' 2’ 5’ 10’ 17’ 26’
tg45°, tg22°30', tgll°15',
2379. Какие из данных числовых последовательностей являются возрастающими, какие убывающими и какие колеблющимися:
1, 4, 9,16, 25,п2,2) НД^,-,^,...;
sinl, sin2, sin3, sin4, ..., sinn, ...;
tg J, tg J, tg^...,tg^,...?
2380. Выяснить, какие из данных числовых последовательностей ограничены и какие не ограничены:
.1111х 1 3 5 2п — 1
2’3’4’ п’2’4’6’ 2п 1
2, -3,4, -5,..., (-1)”+1(п + 1),
.х sinl sin 2 sin3 sinn
)
2381. Общий член бесконечной числовой последовательности вы- 1„п +1
ражается формулой ап = —-—.
Вычислить первые пять членов этой последовательности.
Дать геометрическое изображение их на числовой оси.
Показать, что данная последовательность неограниченно возрастает.
Найти порядковый номер того члена данной последовательности, начиная с которого все следующие члены будут больше 1000; 10000; 1000000.
2382. Дана бесконечная числовая последовательность, общий член
которой выражается формулой ап = -. Показать, что последова-
2п + 3
тельность возрастает и ограничена. Дать на числовой оси графическое изображение первых пяти членов этой последовательности.
2383. Даны бесконечные числовые последовательности:
1 1 _ 12’ 3’ 41 1 _ 12’ 3’ 4а) 1, 1'2, 1-2.3,...; б) 1,1,1,...;
1 1 _ 1
2’ 3’ 4
1 1 _ 1
2’ 3’ 4
,13 5 7X о i Л
г) 3*5* 7* 9*"'*11 2* -1’"4'-
Написать формулу общего члена каждой из данных последовательностей.
Дать на числовой оси геометрическое изображение первых пяти членов каждой последовательности.
Установить, какая из данных последовательностей: неограниченно возрастает; неограниченно убывает; возрастает и ограничена; убывает и ограничена; колеблется.
2384. Установить, какие из следующих числовых последовательностей имеют пределы:
1)2) -1, 1,-1,(-1)”,
I 1- 4) 2^±1
1 1-2’ 12 3’12 3.. .п’7 1’2’3’ ’ п
2385. Показать, что числовая последовательность с общим членом -п + 1
ап = —-— неограниченно убывает.
2386. Даны две бесконечные числовые последовательности
«1, а2, а3, ..., ап,... и bi, b2, Ь3, ..., Ьп, ..., причем lira «п = -, n^-oc2
lim bn = -. Найти пределы бесконечных числовых последователь- п^-ос 4 ностей:
lim (ап-ЬпУ 2) lim 3а" + о" -1;3) цт
п^осп^ос 6п + 1п^ос 4Пп+8ап-2
Проверить, что заданные бесконечные числовые последовательности имеют указанные пределы (2387-2390).
2387. lim ^И = 1. 2388. lim 1^1 = 2.
п^-ос Пn^-oc П
/ 1П1
2389. lim ^) = 0. 2390. lim—2— = ^.
71—>-OC \ 3 /77—^OC 8n + 18
Найти пределы бесконечных числовых последовательностей (2391-2398).
2391.
lim
2n
Зп2 + 3‘
2392.
lim f
24n-l\
nnJ*
2393.
lim
/5п +1
\2n —1
3
2394.
n2 — 5n lim —.
n^oc 2n +3
2395.
lim
vT+ri
2396.
.. Vn-V^n lim.
2v3 —4n
2397.
lim
(Vn + 1 -
V^Y
2398.
r3n + l
11 m —
а/Зи2 +1
§ 30. Исследование функции без применения производной. Предел функции. Производная функции.
Исследование функции с помощью производной
Исследование функций без применения производной
Построить интервалы изменения переменной ж, удовлетворяющей неравенствам (2399-2402).
2399. 1) -2 < х < -1;2399. 1) -2 < х < -1;2400. 1) Кж-3<2;2400. 1) Кж-3<2;2) -1 < х < 1.2) -2 < х-тг < 1.2) -1 < х < 1.2) -2 < х-тг < 1.
2399. 1) -2 < х < -1;
2399. 1) -2 < х < -1;
2400. 1) Кж-3<2;
2400. 1) Кж-3<2;
2) -1 < х < 1.
2) -2 < х-тг < 1.
2) -1 < х < 1.
2) -2 < х-тг < 1.
2401. 1) \х\ < 3;2) |ж — 4| < 1.
2402. 1) ж2 <4- х- 2) (ж-2)2<4.
Найти области существования функций (2403-2418).
2403. 1) У=ф^\ 2) у = 24ж 1 .
2ж — 6зж2 _ 5Ж _ 2
2404. 1) у = Vx2-2x-8;2) у = У(2^ж)(5 + ж).
2405. 1) у = л/х + V4 — ж;2) у = фх — 2 + Vх — 5.
2406. 1) у = V4x - ж2;2) у = V2 + x - ж2.
2407. 1) у =*;2) у =^=.
уж2-4я1 + уж2 —4
2408. 1) у = У(ж-1)2(ж-2);2) у = ^(ж - 1)2(ж - 3).
2409. 1) у =—;2) у = х --.
J Уж-5 ’7 У У 2ж + 6
2410. 1) у =;2) у = Vcosx2.
81П7ГЖ
2411. 1) у —^З^—3^5 2) у = V1-ж2 + ^L.
/—1 — 2ж
1) у = arcsin у2ж; 2) у = arccos—-—.
1) ?/ = ^8тж;2) y = logx2.
1) у = (х-2)л -; 2) у = arcsin-.
у 1 зс z ~1 + 30
1) у = tg Зж + ctg ж; 2) ?/ = 1g (V^ - 3 - 2). /——г/2\"
1 \' X Н- 5/ иЖ X \
11 » = 5(9^: 2) "‘уЧ-
1) ,—ЧЧЧ 2) У =—
arcsin(2 — х)агс8ш(ж —3)
1 ж2 —4ж + 3/ 3Ж-4Ж
1) y = log3;2) у = J —
э жу 2х — ж + 5
Найти области значений функций (2419-2422).
1) у = д/2 + ж-ж2;2) у = Ч2ж-ж2-1.
1) у = ^^; 2) у = 1^- 1 + ж1 + ж
1) у = sinx — 5со8ж; 2) у = (sin ж + со8ж)2.
1) т/ = 4ж—2ж + 1;2) у = log3 х + log„ 3.
Найти области значений функций в указанных интервалах (2423-2424).
1) у = хНх (-2<ж<4); 2) т/ = ^ж (10 < х < 1000).
1) у = ^х — х- (0 < ж < 1); 2) у = 1g (1-2 cos ж) ^ < ж < тт).
Найти промежутки возрастания и убывания функций (без применения производной) (2425-2430).
1)у = ж2; 2)у = ж3.2426.1)у=А;2)y=y=J_.
1)у = ^(ж + 1);2) y = tgж.
1)у=4ж-ж2;2) у = 2$-1.
1)у = 1е|ж|;2)у = 21ж1.
1)у = 81п2ж;2)у = ^^.
1 + ж2
Какие из следующих функций — четные, какие — нечетные, и какие не являются ни четными, ни нечетными (2431-2434)?
2431.1)?/= ж4-2ж2;2)у=х - х2.
2432.1)у= 1 — ж2;2)у=81пж — СО8Ж.
2433.1)У=2)У=.
2434. 1) у = 3sinx со8ж; 2) у = 1g (ж + Vl + ж2).
Построить графики функций (2435-2454).
2435. 1)
у = |ж|—ж; 2)
у = -|ж-2|.
2436. 1)
?/ = ж4-1;2)
У = |ж|3-1.
2437. 1)
у = А+; 2)
У = и + А-
ж
Ж
2438. 1)
у = ж-|ж|;2)
у = 1+VH-
2439. 1)
?/ = ж2 + д/ж; 2)
у = |ж2 — 1| + ж2.
2440. 1)
у = ж2 — Ьх + 6;
2) у = ж2-5ж + 6 .
2441. 1)
_ 1
9 А п. — 1
ж2 — 5ж + 6
|ж2 — 5ж + 6|
2442. 1)
у = (ж — 1)(ж — 2);
1
’ U (ж-1)(ж-2)"
2443. 1)
у = ж2 — ж4;2)
у = (1-ж2)2.
2444. 1)
!' = а 2) у
ж +1 '
2445. 1)
» = S 2> »
2446. 1)
У = \Jx + 1 — х[х\
2) y =
2447. 1)
У = А"2; 2) 1
2|»1
1 + ж2
2448. 1)
у = у = 0,5 sinх cosх; 2) у = tg 2ж .
2449. 1)
у = tg ж + ctg ж;
2) у = COS |ж| + | СО8ж|.
2450. 1)
у = — | arccos (—ж);2) у = 3arcctg (—ж).
2451. 1)
у = 22-ж —2;
2) у = (0,5)2ж-1.
2452. 1)
у = lg( ж| + 1);
2) у = |^(ж + 1)|.
2453. 1)
У = logi/2 (5 ж) 5
2) у = ^1/3(2ж + 1).
2454. 1)
У = l°g2(l — ж2);
2) У = 11®(ж2 — Зж + 2)|
2458.1) lim ((2ж — 4)(ж — 1)(ж+ 2));
2) lim ((7ж + 2)(4ж-3)(5ж + 1)).
ж^-1
2459. 1)
2460. 1)
Р ж2—ж + 1 пт—: ж—>-2 Ж 3
р ж2 —4ж + 1 пт ——
2) Пт
2461. 1)
lim
2ж + 1 ж2-4
2) lim
2462. 1)
ж-2 ’
р Зж2—2ж lim —;
х^ 2ж—5ж
2)
2)
2463. 1)
р Зж + 6 lim —;
^^-2 Ж3+ 8
2)
2464. 1)
2465. 1)
р2ж2 + ж —15
lim —~;
х^-^ Зж2 + 7ж — 6
v 1 + 8т2ж пт ;
ж^тг/4 1 -СО84ж
2466. 1)
lim^;
ж^-тг 81п2ж
2)
2467. 1)
lim
2) lim ^+^-Х
ж^-0 Ж
2468. 1)
2469. 1)
2470. 1)
2471. 1)
2472. 1)
2473. 1)
2474. 1)
2475. 1)
ж3 lim —
р ж2 —5ж + 6 пт-
х^ Зж — 9ж
р ж2 — ж — 2
пт 5
2)
2)
lim
р ж3 —7ж + 6
пт ~
х^ — 5ж2 + 2ж + 8
v sin ж —cos ж пт .
ж^тг/4 СО82ж
8ш2ж — соз2ж — 1cos ж — sin ж
(положить ж = t6);
(положить 1 + тж = ^).
Р ж — 6 пт —^=-
lim
lim
lim
ж2 — 49
4
2)
2)
2)
lim
lim Vi-tg«-yi+tg® ж^-7Г8т2ж
lim
2-Зж + 7).
lim (ж3 - 7ж2+ 5ж - 4);2) lim (ж3 + 2ж2).
r Зж
пт ;
2)
р 2ж +1 пт -;
ж^-ос 5ж — 3
4 32
р 4ж — ж lim —
2)
р ж — 5 пт .
ж^-оо 2ж — 1
Р 2ж2 — 1
Зж — 4ж
р5ж3 — 7ж
2) пт .
ж^ос 1-2ж
2476. 1) hm —;2) hm 5.
ж^-ос Зж + 1ж^-ос_ 4
2477. 1) lim1;2) lim Зи + 1 .
n^-ос 2п + 1п^-ос -4/3^2 | |
2478. 1) lim (V^ + 3x-x); 2) lim (х - V^^xVVY
ж~^ос хж^-ос х7
Предел отношения при а -^ О
а
Если угол
а выражается в радианах, то Нт
sin о _ ^ о
: Нт а^-0
-Л— = 1
sin а
2479. 1)
4.81п4ж
Нт;
ж^-0 Ж
2)
sin -
Нт-.
ж^-0 Ж
2480. 1)
lim^;
ж^-0 Ж
2)
. 2 ж sin - Нт
2481. 1)
Нт;
ж^-0 81пЗж
2)
1 — cos ж Нт—. Ж —^0 др
2482. 1)
smmx
Нт —;
ж^-0 81ППЖ
2)
4.1 — COS Ж
Нт.
ж^-0Ж
2483. 1)
рЗж
Нт ;
ж^-0 COS Ж
2)
. 2 sin Ж Нт.
ж^-0 Ж
2484. 1)
. 3 р sin ж Нт;
Ж —^0 др
2)
р cos ж —cos Зж
Нт.
ж^-0Ж
2485. 1)
81п2ж + 81п4ж
Нт:
ж^-0Ж
р tg Ж — 8ШЖ
;2) Нт —з.
^^0ж
2486. 1)
р2ж8ШЖ
Нт;
ж^-о sec ж — 1
2)
р 1 —СО8ШЖ
Нт.
Ж^0др2
2487. 1) lim1 cos2® + tgV 2^ Hm V1 cos2» ж—>0Ж Sin Жж—>0Ж
г 8П14жр8Ш2Ж
2488. 1) hm ;2) lim—.
ж^О д/ж+1 — 1ж->0 V1 + Ж 8ШЖ — СО8Ж
2489. 1) lim (х — ^)tgx ( положить ж = ^ + см; ж—>-тг/2 \2 /\2/
2)2)1 + жзтж — соз2ж
2)
2)
Нт~
2490. 1)2490. 1)2)2)ж^° sin ж
2490. 1)
2490. 1)
2)
2)
Это число иррациональное и приближенно равно е = 2,71828... Логарифмы с основанием е называются натуральными и обозначаются loge х = In ж.
2491. 1) lim (Ц-1У+5; 2) lim
n^-oc \ nJх—Уоо \ X /
(
9 \ж/1 \n
1 + - ;2) lim (1-- .
X /n^-oc \ nJ
/4\n+3
2493. 1) lim (1 + —); 2) lim (1 + 2ж)1/ж.
п—У — оо \ nJx —>-0
2494. 1) lim2) lim fl + -f".
ж—»-ос\1 + ж/n^-oc \ nJ
Пт(1-4ж)^ ж^ж. ж—>-0г /2ж —1\2ж lim I I .ж^-ос \ 2ж + 1 /.. /2® + 3V+1 lim I ).ж^-ос \ 2ж + 1 /Пт(1-4ж)^ ж^ж. ж—>-0г /2ж —1\2ж lim I I .ж^-ос \ 2ж + 1 /.. /2® + 3V+1 lim I ).ж^-ос \ 2ж + 1 /2495. 1) lim (^—^); 2)
Пт(1-4ж)^ ж^ж. ж—>-0
г /2ж —1\2ж lim I I .
ж^-ос \ 2ж + 1 /
.. /2® + 3V+1 lim I ).
ж^-ос \ 2ж + 1 /
Пт(1-4ж)^ ж^ж. ж—>-0
г /2ж —1\2ж lim I I .
ж^-ос \ 2ж + 1 /
.. /2® + 3V+1 lim I ).
ж^-ос \ 2ж + 1 /
n^-oc \ П J
(rp I Q \ ж + 3
® + d\2)
x — 1 J
2497. 1) lim2)
ж^-ос \ Зж + 1 /
2498. 1) lim fl + -) $ \2) lim (1 + 2ж)5/ж.
ж—>oc \X /ж—>0
Найти точки разрыва функций и построить графики этих функций (2499-2510).
2499. у = --. 2500. у = —Д—.2501. у = —^—.
a ху 1 + 2жу ж-1
143
2502. 7/ = —^.2503.=.2504. т/=.
1 — ж2ж2—2ж + 1ж2 —6ж + 8
2505. у = 1-2506. у = ^х.2507. у =
ж21®1
2508. у = -^.2509. у = 21/$.2510. у = 1-ж~3.
Дифференцирование функций
. Л у
2511. Вычислением lim —— найти производные функций:
Лж^-о Дж
т/= ж2;2) т/= ^/ж;3) т/ = —;4) 7/ = sinж.
Найти по формулам дифференцирования производные следующих функций) (2512-2560).
2512. 1) т/= Зж2 — 5ж + 1;2) у = ах2 + Ьх + с.
2513. 1) у = у-2ж2+4ж-5; 2) у = ^-^- + х.
2514. 1) у = 1 + ±-Х; 2) у = ж + ^-^. X х2 Зжж2 5ж5
2515. 1) у = Зх — бУх; 2) у = 7ж5 + 2Ух-^х2 Ух.
2516. 1) у = Ух (ж3 — V^+ 1);
у = (Уа — V^)2 (дано решение).
2517. 1)?/= (2ж+ 3)(ж2 —1);2) у= (ж2-Зж + З)(ж2 + 2ж - 1).
1 о 1 \ Ж 1q\Ух
; 2|» = 7?^г 2 з
1)у = 6^;2)у=ж+^ +^ + ^.
7’7грZZ
1)у = А2)+
УхУхУхУх X
1) у = (2ж3 + Зж2+6ж + 1)4;2) у = ^/(4 + Зж)2.
/1V/1 \10
1) у= 1 + — ;2) у = ^+ —.
1) у = з/—ж ® (дано решение); 2) у = х. ——%
У V«2 + 4V 1 + ®
г3 о
2524. 1) /(ж) = ——ж2 + ж; вычислить /'(0), /'(I), /'(—l)i
/(ж) = ж2-о! вычислить /'(2) —/'(—2);
К^ = Уп^ найти /'(0),/'(2) и Г(-2);
1)2
/(ж) = —; вычислить 0,01 •/'(0,01).
2525.1)у= ж — зтж;2)у = ж —tgж.
2526.1)y= ж^-ctgж;2)y = ж2•tgж.
2527.1)у= л/х-С08х;2)у = ж2-cig ж.
2528. 1) у = 8т6ж;2) у = cos (а — Ьх\
1)у= sin H-cos^-;2)y=tgЗж + ctg^.
1)у= sin2 ж+ д/81нж;2)у=cos2 ж + cos Ух.
1)у= sin3 ж + cos3 х^2)у=tg3ж — 3tg ж + 3ж.
1) у = ctg ж + |ctg3ж + ictg5ж; 2) ?/ = 8т2ж3.
1) /(ж) = С08Ж ;2)’ J ’1 — sin ж 1'1) у =81п3ж—;2)2 sin ж cos ж(В обеих задачах рекомендуется части.)1) /(ж) = С08Ж ;2)’ J ’1 — sin ж 1'1) у =81п3ж—;2)2 sin ж cos ж(В обеих задачах рекомендуется части.)_ cos ж1 + 28шж*sin2 ж , cos2 жV =1.l + ctgж l + tgжпредварительно упростить правые_ cos ж1 + 28шж*sin2 ж , cos2 жV =1.l + ctgж l + tgжпредварительно упростить правые
1) /(ж) = С08Ж ;2)
’ J ’1 — sin ж 1'
1) у =81п3ж—;2)
2 sin ж cos ж
(В обеих задачах рекомендуется части.)
1) /(ж) = С08Ж ;2)
’ J ’1 — sin ж 1'
1) у =81п3ж—;2)
2 sin ж cos ж
(В обеих задачах рекомендуется части.)
_ cos ж
1 + 28шж*
sin2 ж , cos2 ж
V =1.
l + ctgж l + tgж
предварительно упростить правые
_ cos ж
1 + 28шж*
sin2 ж , cos2 ж
V =1.
l + ctgж l + tgж
предварительно упростить правые
1)у = sin л/х + sin —;2)у =a cos — + со834ж.
1)y = tg^yl+ ytg^;2)у = ctg3| + ctg^1 + ж2.
1)у = У1 — ж2 + агс81пж;2)?/ = жагс8тж.
1)у = arccos (1 — 2ж);2)у =arccos (1 — ж2).
1) у = ж2 — arctgx; 2) ?/ = arctgж.
1) у = х У1 — ж2 + arcsinж; 2) у = х arccos ж — У1 — ж2
1) ?/ = 1пж-2Уж;4) ?/ = ^(5ж).1) у = 1п(ж2 + 2ж);1) у = In(1 + со8ж);1 у= +_;1п ж ж1) ?/ = 1пж-2Уж;4) ?/ = ^(5ж).1) у = 1п(ж2 + 2ж);1) у = In(1 + со8ж);1 у= +_;1п ж ж?/ = ж1пж-1;3) т/ = ^^ + —;
1) ?/ = 1пж-2Уж;
4) ?/ = ^(5ж).
1) у = 1п(ж2 + 2ж);
1) у = In(1 + со8ж);
1 у= +_;
1п ж ж
1) ?/ = 1пж-2Уж;
4) ?/ = ^(5ж).
1) у = 1п(ж2 + 2ж);
1) у = In(1 + со8ж);
1 у= +_;
1п ж ж
ж ж
У = | 1п2ж + 2У1пж.
у = In sin ж — | sin2 ж.
у = 1п sin ж + lntg ж.
1) у = ж ^ж + ж2logзж: 2) у = хп 1пж + а/1 + 1п2ж.
1) т/ = 1 п (Уж - Уж - 1);2) ?/ = In (ж + Уа2 + ж2).
1) у = 2Уж — 41п У2 + Уж; 2) у = | Intg ж2 + 1псо8Уж.
2/
1) ?/ = 1п——^;2) у = 1п л —Sm.(дано решение).
1 — <ру 1 — sin Лх
1) у = 2$+ж2;2) у = 10$+ж3.
1) у = 3"ж + х/ж;2) у = еж + 1.
Ж
1) у = жеж; 2) у = ж2-2ж.
1) у = ежС08ж: 2) у = 4—.
' у1) н gina.
1) у = 2(еж/2-е-ж/2);2) У =
1) у = ае-$/а + же-ж/й;2) y = ^+g-7.
у = ^ tg4ж — | tg2ж — In (cosж).
у = cos2 х + sin ж2 + tg2ж2 + VctS V^-
у = cos ж2 + sin2 — + tg a/x • ctg2 .
X
у = x 1/(ж2 + а2)3 + ^-^ V^2 + a2 + ^- In (ж + г/ж^+о2) (дано решение).
2
у = V^2 — ж2 + ^- arcsin (а > 0).
2
у = ^ д/ж2 + а2 + ^- In (ж + д/ж2 + а2).
4. Задачи на касательную
Выразить угловой коэффициент отрезка АВ через координаты его концов Л(жх; yi) и В(ж2; у^. Сделать рисунок.
Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к параболе у = ж2:
а) в начале координат; б) в точке Л (—2; 4);
в) в точках пересечения ее с прямой у = Зж — 2.
1) В каких точках угловой коэффициент касательной к кубической параболе у = ж3 равен 3?
Составить уравнения касательной и нормали, проведенных к кривой у = ж3 в точке М^ 1).
1) Написать уравнение касательной к локону (так называют эту кривую) у = —~ в точке Л(2; 1).
4 + ж4
Составить уравнения касательных к гиперболе у = — в точках с абсциссами Ж1 = 1 и Ж2 = —4 и найти угол между ними. Построить кривую и касательные.
1) Составить уравнения касательных к кривой у = 4ж — ж2 в точках пересечения ее с осью Ох. Построить кривую и касательные к ней.Q
1
Написать уравнение касательной к графику функции у = —-— в точке пересечения его с осью абсцисс.
В каких точках кривой у = 2 + ж — ж2 касательная к ней:
параллельна оси Ож;
параллельна прямой у = ж?
В какой точке касательная к параболе у = ж2:
параллельна оси Ож;
образует с осью Ож угол 45°?
11 В. А. Бачурин
1) Может ли касательная к кубической параболе у = ж3 составить с осью Ох тупой угол? Объяснить, почему.
Показать, что касательная к кривой у = хъ + Ьх — 7, проведенная в любой ее точке, наклонена к оси абсцисс под острым углом.
1) Под каким углом кривая у = In ж пересекает ось Ож? а/З .
Под каким углом синусоида у = — 8тЗж пересекает ось абсцисс в начале координат?
1) Под какими углами пересекаются парабола у = ж2 и прямая Зж — у — 2 = 0?2
Какие углы образует парабола у = ^- с ее хордой, абсциссы концов которой равны 2 и 4?
1) В какой точке параболы у = ж2 — 2ж + 5 касательная к ней перпендикулярна биссектрисе I координатного угла?
Под какими углами прямая у = 0,5 пересекает кривую у = = cos ж?
(
33 \
?/ = —-ж — —J является касательной к кривой у = 0,5ж4 — ж. Вычислить координаты точки касания.
1) Какие углы образуют кривые 2у = ж2 и 2у = 8 — ж2 при взаимном пересечении? (Углы между касательными к этим кривым в точках их пересечения.)
Под каким углом пересекаются парабола у = д/ж и гипербола ху = 1?
1) Какой угол образуют синусоида и косинусоида при пересечении?
Написать уравнения касательных к кривым у = 2ж2 — 5 и у = = ж2 — Зж + 5, проведенных через точку пересечения этих кривых.
1) На графике функции у = ж(ж — 4)3 найти точки, в которых касательные параллельны оси Ох.
Показать, что на кривой ?/ = ж3 + ж2 + ж + 1 нет точек, в которых касательные параллельны оси абсцисс.
1) Показать, что касательные к кривой у = -—| в точках пересечения ее с осями координат параллельны.
Хорда параболы у = ж2 — 2ж + 5 соединяет точки с абсциссами жх = 1; Ж2 = 3. Составить уравнения касательной к кривой, параллельной хорде.
1) В какой точке касательная к кривой у = ж2:
перпендикулярна прямой 2ж — 6т/ + 5 — 0;
образует с прямой у = Зх — ?/ -h 1 = 0 угол 45°?
В какой точке параболы у = ж2 касательная к ней будет параллельна секущей, проходящей через точки кривой с абсциссами Ж1 = 1 И Ж2 = 3?
1) Доказать, что касательные к кривым у = еж и у = In ж образуют с осью Ох только острые углы.
Может ли касательная к кривой ху = 1 в какой-либо ее точке составлять острый угол с осью Ож?
1) В каких точках касательные к графикам функций у = = —ех и у = In ж параллельны биссектрисе I координатного угла?
В каких точках линии у = ж3 + ж — 2 касательная к ней параллельна прямой 4ж — у — 1 = О?
ерболе у = -, про-ерболе у = -, про-1) Составить уравнения касательных к линии у = ж — — в точках пересечения ее с осью абсцисс.
ерболе у = -, про-
ерболе у = -, про-
Составить уравнение касательной к гип ходящей через начало координат.
1) Прямая у = ж является касательной к параболе у = = ж2 + Ьх + с в точке с абсциссой ж = 2. Найти Ь и с.
При каком соотношении между коэффициентами а, Ь и с парабола у = аж2 + Ьх + с касается оси Ож?
1) Может ли угловой коэффициент касательной к синусоиде быть равен 3? —2? В каких границах он изменяется?
По какому закону изменяется числовая величина углового коэффициента касательной к синусоиде (на интервале 0 ^ ж ^ тг)?
1) На синусоиде у = 2 sin ж (—тг ^ ж ^ тг) установить те ее участки, где «крутизна кривой» (т. е. \у'\) превышает 1.
Доказать, что на кривой у = tg ж нет точек, в которых касательная могла бы составлять с осью Ох тупой угол.
1) Доказать, что угловой коэффициент касательной к кривой у = cos ж по абсолютной величине не может быть больше единицы.
В какой точке касательная к графику функции у = sin2 ж на интервале 0 < ж < — образует с осью Ох наибольший угол? Чему равен этот угол?
5. Физические прияоснсения производной
Точка движется прямолинейно по закону s = 6t — t2. В какой момент времени скорость точки окажется равной нулю?
Точка движется прямолинейно так, что имеет место соотношение ж2 = 2аж, где ж — скорость, ж — пройденный путь, а — постоянная. Найти ускорение движения.
Зависимость между количеством ж вещества, получаемого в некоторой химической реакции, и временем t выражается уравнением ж = Л(1 — e~kt). Вычислить скорость реакции.
Температура Т тела изменяется в зависимости от времени t по закону Т = 0,5^2 — 2Т С какой скоростью нагревается это тело в момент времени t = 5?
11*
Найти скорость и и ускорение а свободно падающего тела, если зависимость расстояния s от времени t выражается формулой s = O^gt2 + Dot + so, где g = 9,8 м/с2 — ускорение земного тяготения, a so = s|^o — значение s при t = 0.
Дано уравнение прямолинейного движения точки: s = 2t3 + + t2 — 4. Вычислить скорость и ускорение в момент времени t = 4.
Зенитный снаряд выброшен вертикально вверх с начальной скоростью а м/с. Закон его движения определяется уравнением ж = = at — ^-. На какой высоте ж снаряд будет через t секунд? Вычислить скорость и ускорение движения. Через сколько секунд снаряд достигнет наивысшей точки и на каком расстоянии от Земли?
Тело с высоты 10 м брошено вертикально вверх с начальной скоростью 20 м/с. На какой высоте ж оно будет через t секунд? Вычислить скорость и ускорение движения. Через сколько секунд тело достигнет наивысшей точки и на какой высоте?
Вращающееся маховое колесо, задерживаемое тормозом, за t секунд поворачивается на угол ср = а + bt — ct2, где а, Ь. с — положительные постоянные. Вычислить угловую скорость и ускорение вращения. Когда колесо остановится?
Изменение силы тока J в зависимости от времени t выражается уравнением J = 2t2 — 5t (J — в амперах, t — в секундах). Вычислить скорость изменения силы тока в конце 10-й секунды.
Исследование функций с помощью производной
Исследовать на возрастание и убывание функции:
у = х2*2) у = х3.
2596. 1) Показать, что функция у = ж3 + х возрастает при любых ж.
Показать, что функция у = — на интервале —оо < ж < 0 убывает.ж
Найти интервалы возрастания и убывания функций (2597-2601).
1) ?/ = 1 + ж2;2) ?/ = ж2-8ж + 12.
1)?/=2ж2 —4ж + 5;2) у = ж4 - 32ж + 40.
1)у=х3 — 6ж2+4;2) у = 2ж3 — 9ж2+ 12ж — 15.
1)?/=8тж; 2) ?/= ж + со8ж.
1)т/=tg ж; 2) ?/= ctgж.
1) Показать, что функция у = ех возрастает при любом ж. 2) Показать, что функция у = arctgж — ж убывает при любом ж.
Найти интервалы возрастания и убывания функций (2603-2608).
1) у = --;2) у = —!—.
’ а х’' у Зж — 2
1) у = -Ц; ^у = ^1. 1 + хж
1) у =2) у = Vx — х2.
2606. 1) у = е”х- 2) у = х-ех.
2607. у = х — 2sinx, 0 ж 2тг.
1) 7/ = 1пж; 2) ?/ = 1пж-|ж3.
Найти экстремумы функций и построить их графики (2609-2628).
1) у = х2 — х^ 2) ?/= ж2 — 8ж + 12.
1) у = — х2 — ж + 6;2) у = х2 + 2ж + 5.
1) у = х3 — Зж2; 2) у = ^х3 — 4х. з
1) у — у-2ж2 + Зж + 1;2) у = 9 - 24ж + 15ж2 - 2ж3.
1) т/ = 0,5ж4;2) у = —0,25ж4 - 2х2.
1)т/ = ж4 — 8ж2 + 2;2) у = Зж4 - 4ж3 - 36ж2 + 60.
1)у = х5 - 5ж4 + 5ж3 + 1;2)у = (х - 1)3(ж - 2)2.
92
1)т/ = ^ + -;2)у = ^-.
}У 2 х' 7У х-2
Q _ J2/ 11 \
1) у = 2_^_;2) у = 2 --Л .
’ уж + 2 ’’ у \ж ж2 у
3
=2) у = -2_.
2619. 1) ,J = ^^1±^;2) у =
х — 6ж + 1
2620. 1) у=^ж2-1;2) у = 2ж-3^ж2.
1) у = $1/1^;2) у = ж + 2^ж.
1)у = ж + соб2ж(0; тг); 2)у = з!п2ж —ж(—^5^)-
1)у = 4ж — tg ж(—'^’■^)>2)y= 2ж^-ctgж(О;тг).
1) у = + *пж2) у = ж —arctg2ж.
1)у = же-ж/2;2) у =.
1)у = ж!пж;2) У=^-
1) у = 1псо8ж (— ^;^);2) у = Vl— cos ж.
1) у = 2tg х — tg2x; 2) у = 2sinx + cos2x (—тг;тг).
Найти наименьшие и наибольшие значения функций на указанных отрезках (2629-2640).
у = х3, [—1; 3].2630. т/ = 8 —0,5ж2, [-2; 2].
2631. ?/ = ж2-4ж + 3, [0; 3].2632. т/ = 6ж2 — ж3, [—1; 6].
?/= —ж3+ 9ж2 — 24ж +10, [0;3].
т/ = —Зж4+ 6ж2 — 1, [-2; 2].
2635. y=x^2V^ [0;4].2636. у = УТОО^ж^, [-6; 8].
2637.2639.2637.2639.У = ^, [0;4].2638. у = —^. [-V3;V3].
2637.
2639.
2637.
2639.
7Г . 7Г \4 ’ I/7Г . 7Г \4 ’ I/?/ = 8т2ж —ж, [— ^; ^].2640. у = 2tg х — tg2ж,
7Г . 7Г \
4 ’ I/
7Г . 7Г \
4 ’ I/
Текстовые задачи на наименьшие и наибольшиезначения функций
1) Разложить число 10 на два слагаемых так, чтобы произведение их было наибольшим.
Число 8 разложить на два таких слагаемых, чтобы сумма их кубов была наименьшей.
1) Произведение двух положительных чисел равно а. Чему равны эти числа, когда сумма их является наименьшей?
Какое положительное число, будучи сложено с обратным ему числом, дает наименьшую сумму?
1) Решеткой длиной 120 м нужно огородить прилегающую к дому прямоугольную площадку наибольшей площади. Установить размеры площадки.
Найти стороны прямоугольника наибольшего периметра, вписанного в полуокружность радиуса г.
1) В треугольник с основанием а и высотой h вписан прямоугольник наименьшей площади. Вычислить площадь прямоугольника.
В равносторонний треугольник с периметром 3m вписан прямоугольник наибольшей площади. Вычислить длины сторон прямоугольника.
1) Из всех прямоугольников данного периметра 2р найти тот, у которого диагональ наименьшая.
Из всех прямоугольников, вписанных в окружность радиуса R. найти тот, который имеет наибольшую площадь.
1) Боковые стороны и меньшее основание трапеции равны по 10 см. Вычислить ее большее основание в том случае, когда площадь трапеции является наибольшей.
Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр сечения 18 м. При каком радиусе полукруга площадь сечения будет наибольшей?
1) Даны точки Л(0; 3) и В(4; 5). На оси Ох найти точку М так, чтобы расстояние s = AM -V МВ было наименьшим.
На окружности дана точка А. Провести хорду ВС параллельно касательной в точке А так, чтобы площадь треугольника АВС была наибольшей.
1) Через данную точку А(1; 4) провести прямую так, чтобы сумма длин положительных отрезков, отсекаемых ею на координатных осях, была наименьшей.
Через данную точку M^x^y^Y лежащую в I квадранте, провести прямую так, чтобы она образовала с осями координат треугольник наименьшей площади.
1) Из всех треугольников, у которых сумма основания и высоты равна а, найти тот, у которого площадь наибольшая.
В окружность радиуса а вписан равнобедренный треугольник. При каком соотношении сторон треугольник будет иметь наибольшую площадь?
1) Из квадратного листа стали со стороной а вырезают по углам одинаковые квадраты и из оставшейся части сваривают прямоугольную коробку. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата, чтобы объем коробки был наибольшим?
Установить размеры открытого бассейна с квадратным дном и объемом 32 м2 так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.
1) Открытый чан имеет форму цилиндра. При данном объеме V каковы должны быть радиус основания и высота цилиндра, чтобы его поверхность была наименьшей?
Найти соотношение между радиусом R и высотой Н цилиндра, имеющего при данном объеме наименьшую полную поверхность.
1) Найти высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R.
Найти высоту конуса наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R.
Найти высоту прямого кругового конуса наименьшего объема, описанного вокруг шара радиуса R.
Миноносец стоит на якоре в 9 км от ближайшей точки берега; с миноносца нужно послать гонца в лагерь, расположенный в 15 км, считая по берегу от ближайшей к миноносцу точки берега. Если гонец может преодолевать пешком по 5 км/ч, а на лодке по 4 км/ч, то в каком пункте берега он должен пристать, чтобы попасть в лагерь в кратчайшее время?
Прямолинейное движение тела определяется уравнением у = —х3 + 9ж2 — 24ж + 8. Найти максимальную скорость движения тела (у — в метрах, х — в секундах).
Движение летящего вверх зенитного снаряда определяется уравнением s = vot — O^Sgt2. Найти наибольшую высоту подъема снаряда.
Периметр равнобедренного треугольника равен 2р. Каковы должны быть его стороны, чтобы объем конуса, образованного вращением этого треугольника вокруг высоты, опущенной на основание, был наибольшим?
Известно, что сопротивление горизонтальной балки на изгиб пропорционально произведению ширины сечения и квадрата высоты. Из круглого бревна диаметра d нужно вырезать балку прямоугольного сечения так, чтобы сопротивление на изгиб в горизонтальном положении было наибольшим.
§31. Дифференциал функции)
Найти дифференциалы функций (2659-2672).
1) у = хп: 2) у = ж3 — Зж2 + 3ж.
,2
1) 7/ = VT+^2; 2) 8 =
1) г = 2y?-sin2y>;2) ж = ^.
1) d(sin2t); 2) d(l-cosn).
1) d (--harctg-);2) d(a + lna); 3) (/^cos^;
) d arcsin — .
\ x )
.^ = 4^-2665.?/ = -^.2666.у = arcsin —.
y xmy I-xya
. ?/ = arctg^. 2668. у = e-^.2669. y = x\wx — x.
— x
?/= In -.2671. y = rctgcosecф.
+ x
S = arctge^.
В последующих задачах рекомендуется, как в § 13 Приложения I, вычислять дифференциалы, не находя предварительно производные (2673-2684).
?/ = arctg4 2674. у = (arcsinж)5.2675. у = 2^ж.
у = Vl + sin2x. 2677. ?/ = ж31пж. 2678. у = ctg5(ж3 + ж2).
2679. у = cos2 Уж.2680. у = У1 + arctgж.
2681. у = аГДЖ .2682. у = У(2 + со8ж)2.
VI + ж2
2683. у = arccos (2Ж).2684. у = (1 + ж2) arctgж.
Найти приращение Дд и дифференциал dy функции у = = 5ж + ж2 при ж = 2 и Дж = 0,01.
Сторона квадрата равна 8 см. На сколько увеличится его площадь, если каждую сторону увеличить на:
а) 1 см; б) 0,5 см; в) 0,1 см?
Найти главную линейную часть приращения площади квадрата и оценить относительную ошибку (в процентах) при замене приращения его главной частью.
2687. На сколько приблизительно увеличится объем шара, если его радиус R = 15 см удлинить на 2 см?
2688. С какой относительной точностью нужно измерить радиус шара, чтобы при вычислении объема шара допустить погрешность не более 1 %?
2689. Определить приближенно:
площадь кругового кольца; 2) объем сферической оболочки. Сравнить с их точными значениями.
Найти приближенные значения функций (2690-2692).
2690. у = ж3 — 4ж2 + 5ж + 3 при ж = 1,03.
2691. /(ж) = У1 + ж при ж = 0,2.
2692.—- при ж = 0,1.
7 v 7 V i + ж
Найти приближенные значения выражений (2693-2696).
2693. У16ф4.2694. У8/76.2695. 1п0,9.
2696. sin29°. Указание. Следует перейти к радианной мере угла, заменив 1° на -^—, 30° на —.
1806
2697. Зная, что 1g200 = 2,30103, найти 1g200,4. Сравнить полученный результат с данными таблицы.
2698. Объяснить происхождение часто применяющейся в технике приближенной формулы
\/а3 + 6 « а +,
За2
где \Ь\ есть число, малое по сравнению с |а|.
§32. Неопределенный интеграл)
2699.смыслу:1) d(4) d(2699.смыслу:1) d(4) d(В следующих равенствах заполнить пропущенные места по
2699.
смыслу:
1) d(
4) d(
2699.
смыслу:
1) d(
4) d(
) = 2xdx; 2) d( ) = х3 dx;
х dxx dx
) = —;5) d( ) = ^-:
жCOS X
3) d( ) = cos x dx;6) d(3) d( ) = cos x dx;6) d(Найти затем интегралы: j2x dx,jx3 dx и т. д.
3) d( ) = cos x dx;
6) d(
3) d( ) = cos x dx;
6) d(
2700.2700.2703.2703.2706.2706.2709.2709.2711.2711.2713.2713.2716.2716.2718.2718.2721.2721.2724.2724.2701.2701.2702.2702.dxdxWdx.Wdx.2704.2704.a^dx. 2705.a^dx. 2705.dxdxdh/2ghdh/2gh2707.2707.3,4ж"°’17</ж.2708.3,4ж"°’17</ж.2708.2710.2710.(2Ж"1’2 + Зж"0’8 - 5ж0,38) dx. 2712.(2Ж"1’2 + Зж"0’8 - 5ж0,38) dx. 2712.2-dx. 2714.2-dx. 2714.^.2717.V3 —Зж2J1 ।2l + cos Ж , —dx. 2719.1 + СО8 2ж^.2717.V3 —Зж2J1 ।2l + cos Ж , —dx. 2719.1 + СО8 2жctg2x dx.ctg2x dx.' (l-\-x)2dx' (l-\-x)2dx2722.2722.2725.2725.(1 — 2n)du.(1 — 2n)du.V + ж2 , 2dx.V + ж2 , 2dx.2I dz.2I dz.^^dx.2715.^^dx.2715.3.2Ж—2-3 , dx.3.2Ж—2-3 , dx.соз2жсоз2ж2.J cos ж-sinж2.J cos ж-sinжdx. 2720.dx. 2720.2sin2^dx. 2723.2sin2^dx. 2723.dxdxJ С08 2ж + б1п2жJ С08 2ж + б1п2жdx.dx.tg2x dx.tg2x dx.' (1 + 2ж2)(/ж2?7~; 27“' (1 + 2ж2)(/ж2?7~; 27“Применяя таблицу интегралов, найти следующие интегралы (2700-2726).
2700.
2700.
2703.
2703.
2706.
2706.
2709.
2709.
2711.
2711.
2713.
2713.
2716.
2716.
2718.
2718.
2721.
2721.
2724.
2724.
2701.
2701.
2702.
2702.
dx
dx
Wdx.
Wdx.
2704.
2704.
a^dx. 2705.
a^dx. 2705.
dx
dx
dh
/2gh
dh
/2gh
2707.
2707.
3,4ж"°’17</ж.2708.
3,4ж"°’17</ж.2708.
2710.
2710.
(2Ж"1’2 + Зж"0’8 - 5ж0,38) dx. 2712.
(2Ж"1’2 + Зж"0’8 - 5ж0,38) dx. 2712.
2
-dx. 2714.
2
-dx. 2714.
^.2717.
V3 —Зж2J
1 ।2
l + cos Ж , —dx. 2719.
1 + СО8 2ж
^.2717.
V3 —Зж2J
1 ।2
l + cos Ж , —dx. 2719.
1 + СО8 2ж
ctg2x dx.
ctg2x dx.
' (l-\-x)2dx
' (l-\-x)2dx
2722.
2722.
2725.
2725.
(1 — 2n)du.
(1 — 2n)du.
V + ж2 , 2dx.
V + ж2 , 2dx.
2
I dz.
2
I dz.
^^dx.2715.
^^dx.2715.
3.2Ж—2-3 , dx.
3.2Ж—2-3 , dx.
соз2ж
соз2ж
2.
J cos ж-sinж
2.
J cos ж-sinж
dx. 2720.
dx. 2720.
2sin2^dx. 2723.
2sin2^dx. 2723.
dx
dx
J С08 2ж + б1п2ж
J С08 2ж + б1п2ж
dx.
dx.
tg2x dx.
tg2x dx.
' (1 + 2ж2)(/ж
2?7~; 27“
' (1 + 2ж2)(/ж
2?7~; 27“
2726.2726.(arcsin x + arccos x) dx.
2726.
2726.
В задачах 2727-2804 найти интегралы, воспользовавшись обобщением формул интегрирования.
2727.
2730.
2733.
2735.
2737.
2739.
2742.
2744.
2747.
2749.
sinx (/(sinx). 2728.
(® + l)15d®. 2731.
{/(8-Зж)6 dx.
m .
^=^= dx.
J ^/(a + ЬхУx V1 — ж2 dx.
(6ж — 5) dx
2 VЗж2 — 5ж + 6
tg3x(/(tgx). 2729.
dx
J (2ж —3)
5. 2732.
2734.
2736.
2738.
V8 - 2ж dx.
d(l + ж2)
J Vi+ж2
dx
J (d + бж)
(с^ 1).
2743. sin3 x cosxdx.
sin x dx 2745 cos ж (/жcos x. \/sin2 x
2746.cos3 ж sin2xdx.
Vin Ж , dx. 2748.
J ж
dx
J (агсзшж) \/l — ж2
(arctgж)2 dx
2750.
dx
cos2 xV^+^KX
2751.cos3x(/(3x).
d(l + 1пж)cos2(l + In ж)
2753. cos3xdx.
2754. (cos a - cos2x) dx. 2755. sin (2ж - 3) dx.
2756.
2758.
2761.
2764.
2767.
cos (1 — 2ж) dx. 2757.
e^sine^dx. 2759.
' (2ж — 3)(/ж ж2 — Зж + 8
ж dx t
2762.
2765.
92 J
2x —-dx.
.4 //
' (/(1 + ж2)
dx
2ж-1
ж2 dx
2
2760.
2763.
2766.
2ж j
e dx
2 *
e + a
2768.
tg x dx.
deresin x) J агсбшж dx
J 5ж + m еж dx
v еж +1
2769.
ctg x dx.
2770.
2773.
2776.
2779.
2785.
2788.
2791.
2794.
2797.
2800.
2802.
2804.
tg3®d®. 2771.
dx.
—;—.2774.
ж In Ж
е8ШЖ cos х dx.
е 3x^dx.
2782.
2783.
4
3
ctg(2® + l)d®. 2772.
dx. 2775.
2777.
2780.
2786.
2789.
2792.
а3х dx.
ж2 Jе xdx.
dx
8т2ж ,
— dx.
J 1 + cos X
esin^(sinx).
2778.
2781.
. Vl-25®2
dx
. 2«2 + 9
x dx
ex dx
2ж
е
+ 4
а х dx.
е х dx.
2784.
2787.
2790.
2793.
dx
J 1 + 9ж
dx
V4 — 9ж2 ж2 dx
2х dx
. л/1-4ж
2 *
coso da
J a2 + sin2 a
2795.
2ж
е — 1
e
dx.
2796.
dx.
2798.
Зж — 1 ,
—.dx.
2799.
-———dx.
2
-^dx.
2801.
dx
2803.
—.dx.
Va-®2)3
2ж — Varcsina? ,
,— dx.
V1 — Ж2
ж + (агссозЗж)2 ,
v- dx.
V1 — 9ж2
В задачах 2805-2814 найти подынтегральной дроби.
интегралы,
выделив целую часть
2805.
2808.
2811.
dx.
2806.
тг^^. 2® +1
2807.
Ax ,— dx.
a + ox
dx.
3-ж
(1 + ж)2 ,
—— dx.
2809.
2812.
(2ж — 1) dxx — 2
2-*
Ж — 1 ,
dx.
2810.
- dx.
2ж — 1
2813.
4
^dx.
2814.
х4 dx
Ж2 + Г
В задачах 2815-2831 найти интегралы, использовав прием раз
ложения подынтегрального выражения и прием выделения полного квадрата.
2815.2818.2821.2824.2826.2828.2830.2815.2818.2821.2824.2826.2828.2830.dxdxdxdx2816.2816.J (a — x)(b — x)dxJ (a — x)(b — x)dxJ ж2 + 3ж —10dxJ ж2 + 3ж —10dxJ (ж-1)2 + 4 dxv ж — ж2 — 2,5' dxJ (ж-1)2 + 4 dxv ж — ж2 — 2,5' dx. ^-(гж + з)2dx. ^-(гж + з)2dxJ V$ + 6ж — 9ж2J V$ + 6ж — 9ж22819.2819.2827.2827.dxdx2817.2817.dxdxv (ж + 1)(2ж — 3) *v (ж + 1)(2ж — 3) *2+ 1-dx. 2820.2+ 1-dx. 2820.dxx2— 7ж + 10dxx2— 7ж + 10^ж2823.dx. 4ж2 —9' .2-зж2dxж2 + 2ж + 3dx^ж2823.dx. 4ж2 —9' .2-зж2dxж2 + 2ж + 3dx2822.2822.2825.2825.4ж2 + 4ж + 5 dx4ж2 + 4ж + 5 dx2829.2829.2831.2831.Vl^ — 3 — ж2dxVl^ — 3 — ж2dxJ V2 — 6ж — 9ж2J V2 — 6ж — 9ж2
2815.
2818.
2821.
2824.
2826.
2828.
2830.
2815.
2818.
2821.
2824.
2826.
2828.
2830.
dx
dx
dx
dx
2816.
2816.
J (a — x)(b — x)
dx
J (a — x)(b — x)
dx
J ж2 + 3ж —10
dx
J ж2 + 3ж —10
dx
J (ж-1)2 + 4 dx
v ж — ж2 — 2,5
' dx
J (ж-1)2 + 4 dx
v ж — ж2 — 2,5
' dx
. ^-(гж + з)2
dx
. ^-(гж + з)2
dx
J V$ + 6ж — 9ж2
J V$ + 6ж — 9ж2
2819.
2819.
2827.
2827.
dx
dx
2817.
2817.
dx
dx
v (ж + 1)(2ж — 3) *
v (ж + 1)(2ж — 3) *
2+ 1
-dx. 2820.
2+ 1
-dx. 2820.
dx
x2— 7ж + 10
dx
x2— 7ж + 10
^ж2823.
dx
. 4ж2 —9' .
2-зж2
dx
ж2 + 2ж + 3
dx
^ж2823.
dx
. 4ж2 —9' .
2-зж2
dx
ж2 + 2ж + 3
dx
2822.
2822.
2825.
2825.
4ж2 + 4ж + 5 dx
4ж2 + 4ж + 5 dx
2829.
2829.
2831.
2831.
Vl^ — 3 — ж2
dx
Vl^ — 3 — ж2
dx
J V2 — 6ж — 9ж2
J V2 — 6ж — 9ж2
В задачах 2832-2855 найти интегралы, использовав формулы тригонометрии для преобразования подынтегрального выражения.
2832.
cos2 х dx.
2833.
’sin2
xdx. 2834.
dx
1 — cos x '
2835.
dx
1 + sin ж
2836.
2837.
1 + COS Ж
1 + 8ШЖ , -:dx
J 1 — sin ж
2838.
2840.
2842.
(tg2x + tg4x) dx. 2839.
cosx sin3xdx. 2841.
sin 2ж sin bx dx.2843.
соз2ж dx
J 1 +sin ж cos ж'
cos2x cosSxdx.
cos x cos 2ж cos Зж dx.
2844 *).
' dx
J COS X '
2845.
1-81ПЖ , dx. 2846.
cos ж
Г • 3 Sin X J dx.
cos ж
2847.
cos3 ж dx
2848.
r • з
dx
. 4*
sin ж
Vcoso
4*
COS X
2850.
cos3 х dx.
2851.
tg4®^.2852.
sin5 x dx
2853.
sin4 x dx.
2854.
tg3®d®.2855.
dx
. 6*
sin X
2875.2875.ж5 dx(ж -4)ж5 dx(ж -4)(подстановка х = 2sin2t).(подстановка х = 2sin2t).2876.2876.§ 33. Определенный интеграл§ 33. Определенный интегралВ задачах 2877-2897 вычислить интегралы.В задачах 2877-2897 вычислить интегралы.2877.2877.113тг/22878. еж/3йж. 2879. sin4 х dx.Оо3тг/22878. еж/3йж. 2879. sin4 х dx.Оо
2875.
2875.
ж5 dx
(ж -4)
ж5 dx
(ж -4)
(подстановка х = 2sin2t).
(подстановка х = 2sin2t).
2876.
2876.
§ 33. Определенный интеграл
§ 33. Определенный интеграл
В задачах 2877-2897 вычислить интегралы.
В задачах 2877-2897 вычислить интегралы.
2877.
2877.
1
1
3тг/2
2878. еж/3йж. 2879. sin4 х dx.
Оо
3тг/2
2878. еж/3йж. 2879. sin4 х dx.
Оо
В задачах 2856-2876 найти интегралы, применяя подстановку.
2856.
dx
1 + Va? + 1
(подстановка V^ +1 = t^.
2857.
ж3 dx
Vx — 1
2858.
4ж + 3 , у dx
(подстановка x — 2 = t).2859.-
dx
(ж — 2)
J a
: Vx4-1
2860.
(ж +1) dx
2861._^_2862.
Vx
- dx.
x Vx — ‘I
. i +V®.
x^x +
2863.
dx.
2864. [ .
ж +1
J 1 ++1
2865.
V ax + 6 + m
- (подстановка V ax + b = t).
2880.2880.2881.2881.x dxx dx7г/б7г/б2883.2883.оIтг/2sinx cos2xdx. 2884.оIтг/2sinx cos2xdx. 2884.ооVl-ж2Vl-ж22882.2882.2886.2886.01V1 + x dx.о2/7Г01V1 + x dx.о2/7Г2887.2887.2889.2889.. 1 dxSin2 •. 1 dxSin2 •2890.2890.2892.2892.2894.2894.2896.2896.1 / тг тг/21 / тг тг/2о1о1о1о1оо. / 2ivt 'Sin(^—-y?o. / 2ivt 'Sin(^—-y?o7Г / 4tg3ж dx.7Г / 4tg3ж dx.2885.2885.dxJ cos lx тг / 8 тг/2, cos4xdx.dxJ cos lx тг / 8 тг/2, cos4xdx.о2о2ее1/ж dx2 *1/ж dx2 *2888.2888.оотг/2тг/2dx1 + cos xdx1 + cos x1-131-13-тг/2-тг/29922dxW-®)4dxW-®)42891.2891.4416162893.2893.02a02adxdxу — 1 ,у — 1 ,-1)4еж(/ж.2895.-1)4еж(/ж.2895.х dx2 . 1А2 *х dx2 . 1А2 *2897.2897.11оо3dx2b — x3dx2b — xdxdxу^1 —(1пж)2у^1 —(1пж)2
2880.
2880.
2881.
2881.
x dx
x dx
7г/б
7г/б
2883.
2883.
оI
тг/2
sinx cos2xdx. 2884.
оI
тг/2
sinx cos2xdx. 2884.
о
о
Vl-ж2
Vl-ж2
2882.
2882.
2886.
2886.
0
1
V1 + x dx.
о
2/7Г
0
1
V1 + x dx.
о
2/7Г
2887.
2887.
2889.
2889.
. 1 dx
Sin2 •
. 1 dx
Sin2 •
2890.
2890.
2892.
2892.
2894.
2894.
2896.
2896.
1 / тг тг/2
1 / тг тг/2
о
1
о
1
о
1
о
1
о
о
. / 2ivt '
Sin(^—-y?o
. / 2ivt '
Sin(^—-y?o
7Г / 4
tg3ж dx.
7Г / 4
tg3ж dx.
2885.
2885.
dx
J cos lx тг / 8 тг/2
, cos4xdx.
dx
J cos lx тг / 8 тг/2
, cos4xdx.
о
2
о
2
е
е
1/ж dx
2 *
1/ж dx
2 *
2888.
2888.
о
о
тг/2
тг/2
dx
1 + cos x
dx
1 + cos x
1
-13
1
-13
-тг/2
-тг/2
9
9
2
2
dx
W-®)4
dx
W-®)4
2891.
2891.
4
4
16
16
2893.
2893.
0
2a
0
2a
dx
dx
у — 1 ,
у — 1 ,
-1)4еж(/ж.2895.
-1)4еж(/ж.2895.
х dx
2 . 1А2 *
х dx
2 . 1А2 *
2897.
2897.
1
1
о
о
3dx
2b — x
3dx
2b — x
dx
dx
у^1 —(1пж)2
у^1 —(1пж)2
В задачах 2898-2913 вычислить площади фигур, ограниченных следующими линиями.
т/ = 4 —ж2, d = 0.2899.у= 3-2х-х\ у = 0.
у = 6х — х2, у = 0.2901.у= х3, у = 8, х = 0.
ху = 4, ж = 1, ж = 4, у = 0.2903. ?/ = 1пж, ж = е, у = 0.
4у = ж2, у2 = 4ж.2905.ху = 6, ж + ?/ —7 = 0.
у = ж2, у = ^fx.2907.у= ж2, у = —.
7ж2 = 9?/-9, 5ж2 = 9?/-27.
Вычислить площадь фигуры, заключенной между параболой у = —ж2 + 4ж —3 и касательными к ней в точках (0; — 3) и (3;0).
ж2 + ?/2 = 8, у = ж2 (площади обеих частей).
12
у = —Ц, У=^-.2912. у = ж3, ж = 0, у = 1, у = 2.
+ х2
2
у = ^-,у =2а-^,а > 0.
у 4а'у4а’
Определить равнодействующую силу от давления воды на вертикальные прямоугольные ворота шлюза с основанием 8 м и высотой 6 м. Определить также равнодействующую силу от давления на нижнюю половину этих ворот.
Определить равнодействующую силу от давления воды на вертикальную треугольную площадку с высотой h^ основание которой а параллельно поверхности воды, а противоположная вершина находится на поверхности воды.
Найти центр тяжести полукруга ж2 + у2 = а2, отсеченного осью Ох.
Найти координаты центра тяжести площади фигуры, ограниченной линиями у = 4 — ж2 и у = 0.
Вычислить работу, которую нужно затратить на выкачивание воды из цилиндрического бассейна с радиусом основания 0,5 м, если в начальный момент уровень воды в бассейне равен 2,8 м и на 0,2 м ниже выпускающего воду отверстия в цилиндре.
Вычислить работу, которую нужно затратить на выкачивание воды из полу шара с радиусом R м.
За какое время вода, наполняющая цилиндрический сосуд с площадью основания Si = 420 см2 и высотой Н = 40 см, вытечет через отверстие на дне площадью S2 = 2 см2?
Указание. Скорость истечения жидкости при уровне ее на высоте х см определяется по формуле и = ул/2ух, где у — коэффициент, зависящий от вязкости жидкости, формы сосуда и отверстия. Здесь у = 0,6.
Раздел III
ГЕОМЕТРИЯ. ПЛАНИМЕТРИЯ
§ 1. Начальные понятия геометрии
От ели длиной в 20 м отрезали два толстых бревна по 6 м и одно тонкое бревно (подтоварник), длина которого равна - толстого. Какую часть ели (по длине) составляет оставшаяся (хвостовая) часть ее (в процентах)?
Построить прямую и отметить на ней три несовпадающих точки А, В, С. Сколько различных отрезков и различных лучей (полупрямых) определяют на этой прямой отмеченные точки?
Какую длину может иметь отрезок, если концы его соединены ломаной, звенья которой имеют длины: 3 см, 2 см, 4,5 см?
Отрезок АВ не имеет общих точек с прямой а. Как расположены точки А и В относительно прямой а?
В полуплоскости с границей I даны две точки. Пересекает ли прямую I ломаная, соединяющая эти точки? Выполнить рисунок.
На сколько частей разбивают плоскость две несовпадающие прямые (рассмотреть различные случаи взаимного расположения прямых)? Показать эти части на рисунках.
Сколько различных углов определяют две пересекающиеся прямые?
Построить три луча с общим началом.I»
Сколько различных углов они определяют?£ /
На прямой I лежат точки М, А, В, LВ/*
(рис. 1).А /
Суммами каких отрезков являются от-/
резки ML, AL, МВ?м/
Разностями каких отрезков являются от- /
резки BL, МА,МВ?
Рассмотреть несколько случаев и записатьРис. 1
ответ в виде формул.
На плоскости дана окружность с центром в точке О и радиусом, равным 3. Как расположены относительно окружности точки А, В, С той же плоскости, если расстояния их от точки О равны соответственно 2, 5, 3?
Даны прямой угол и угол в 30° с общей вершиной и общей стороной. Сколько градусов может иметь угол, который:
1) является общим этих углов; 2) объединяет эти углы?
Для каждого случая дать соответствующий рисунок.
Найти на линии железной дороги (имеющей прямолинейную часть) место для постройки станции, которая была бы одинаково удалена от пунктов А и В. Рассмотреть различные варианты расположения пунктов А и В относительно железной дороги.
Внутри угла ВАС найти точку М, равноотстоящую от его сторон и такую, чтобы отрезки МС и С В были равны между собой.
Разделить данный отрезок на 2, 4, 8 равных частей.
По заданным сумме и разности двух отрезков построить эти отрезки.
Через точку, данную вне угла, провести такую прямую, которая отсекала бы на сторонах угла равные отрезки, считая от его вершины.
Внутри угла АВС найти точку М, равноотстоящую от его
Рис. 2Рис. 2сторон и такую, чтобы отрезки МС и МВ были равными.
Рис. 2
Рис. 2
Пересекающиеся прямые тип образуют четыре полуплоскости. Общая часть (пересечение) двух полуплоскостей показана на рис. 2. Требуется выполнить еще три рисунка, иллюстрирующих другие варианты пересечения полуплоскостей.
Показать на рисунках общую часть двух пересекающихся фигур:
1) полуплоскости и круга; 2) двух кругов.
Показать, что треугольник можно получить в результате пресечения следующих фигур:
а) трех полуплоскостей; б) двух углов;
в) угла и полуплоскости.
§ 2. Начальные понятия геометрии (продолжение)
От точки М отложены на одной прямой и в одном направлении два отрезка: \М7V| = 100 см и \МР\ = 160 см. Найти расстояние между серединами этих отрезков.
24_3 : 1524_3 : 15Отрезок АВ равен 2,8 м. Найти расстояние между серединой
24_
3 : 15
24_
3 : 15
этого отрезка и точкой, которая делит его в отношении
Отрезок АВ разделен на три части в отношении 2:3:4. Расстояние между серединами крайних частей равно 5,4 м. Вычислить длину АВ.
Отрезок АВ делится точкой С в отношении 5 : 7, а точкой D в отношении 5 : 11; расстояние между С и D равно 10 м. Вычислить длину АВ.
Один из двух смежных углов в 1,5 раза больше другого. Найти эти углы.
Найти угол, который в т раз больше своего смежного угла.
Вычислить величину смежных углов, если | одного из них составляет 0,2 другого.
Отношение двух прилежащих углов равно 7 : 3, а разность их равна 72°. Являются ли эти углы смежными?
Даны два прилежащих угла: острый и тупой. Прямая, проведенная через их вершину перпендикулярно их общей стороне, 5
отклонена от другой стороны острого угла на -d. а от другой стороны 3'
тупого угла на - d. Найти сумму данных углов и сделать рисунок.
Разделить угол на 4 равновеликих угла.
Через вершину данного угла провести вне этого угла такую прямую, которая составляла бы равные углы со сторонами угла.
Доказать, что биссектрисы двух смежных углов взаимно перпендикулярны.
На боковой стороне равнобедренного треугольника построен равносторонний треугольник; периметр этого второго треугольника равен 45 м, а периметр первого треугольника 40 м. Вычислить основание заданного треугольника.
В треугольнике одна сторона равна 1,9 м, а другая 0,7 м. Вычислить третью сторону, зная, что она выражается целым числом метров.
В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25 м, а другая 10 м. Какая из них служит основанием?
Доказать, что в равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, имеют одинаковую длину.
Периметр треугольника равен 24 см и делится высотой на два треугольника, периметры которых 14 см и 18 см. Найти высоту этого треугольника.
Периметр равнобедренного треугольника равен р, а основание равно а. Боковая сторона этого треугольника наряду с этим является стороной равностороннего треугольника. Вычислить периметр второго треугольника.
Четырехугольник разделен диагональю на два треугольника, периметры которых равны 25 м и 27 м; периметр четырехугольника равен 32 м. Найти длину проведенной диагонали.
Три селения — Л, В и С — не лежат на одной прямой. Указать на чертеже, как провести из А прямую дорогу между селениями В и С на равных расстояниях от них.
Построить равнобедренный треугольник:
по основанию и боковой стороне;
по основанию и прилежащему углу;
по боковой стороне и углу при вершине;
по боковой стороне и углу при основании.
Построить прямоугольный треугольник:
а) по двум катетам; б) по катету и гипотенузе;
в) по катету и прилежащему острому углу.
Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу.
Через точку, данную внутри угла, провести такую прямую, которая на сторонах угла отсекает отрезки равной длины от вершины.
Доказать, что в прямоугольном равнобедренном треугольнике катет больше половины гипотенузы.
Доказать, что любая сторона треугольника меньше его полупериметра.
Доказать, что медиана треугольника меньше его полупериметра.
Доказать, что сумма диагоналей четырехугольника меньше его периметра, но больше полупериметра.
В треугольнике найти точку, равноудаленную от всех трех сторон.
В треугольнике найти точку, равноудаленную от всех трех вершин.
Сколько диагоналей можно провести из одной вершины:
пятиугольника; 2) десятиугольника; 3) п-угольника?
Сколько получится треугольников, если провести все диагонали из одной вершины:
1) шестиугольника; 2) восьмиугольника; 3) п-угольника?
Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Сколько различных прямых можно провести через эти точки, беря их попарно?
Сколькими прямыми можно соединить попарно 4 точки, из которых никакие три не расположены на одной прямой? Тот же вопрос относительно 5 точек, 20 точек и п точек.
Сколько всего диагоналей можно провести в п-угольнике?
Сколько сторон имеет многоугольник, если число всех его диагоналей в т раз больше числа сторон? (т = 0,5; 1; 2; 2,5).
На данной прямой найти точку, одинаково удаленную от двух данных точек (вне прямой).
На прямой, пересекающей стороны угла, найти точку, одинаково удаленную от сторон этого угла.
Дан треугольник АВС. На биссектрисе угла А найти точку, равноудаленную от вершин В и С.
Даны угол и точка М внутри угла. Найти такую точку, которая была бы одинаково удалена от обеих сторон угла и отстояла бы от точки М на данное расстояние а.
Две параллельные прямые пересечены третьей прямой. Один из внутренних односторонних углов в 3 раза больше другого. Вычислить величину всех восьми углов.
Один из внутренних углов, образованных при пересечении 3
двух параллельных прямых третьей, равен 1 - d. Под каким углом его биссектриса пересекает другую параллельную прямую?
Даны два угла с параллельными сторонами; один из них на 90° больше другого. Какова величина каждого угла?
Даны два угла с перпендикулярными сторонами; один из них в 4 раза меньше другого. Найти величину каждого угла.
Найти угол при вершине треугольника, если угол между перпендикулярами к боковым сторонам равен 130°.
5
В равнобедренном треугольнике угол при основании равен - d. Найти острый угол между биссектрисами неравных углов.
2
Найти углы треугольника, зная, что один из них составляет -
43
другого и - третьего.
В треугольнике АВС внешний угол при вершине В в три раза больше угла Л и на 40° больше угла С. Найти углы треугольника.
В равнобедренном треугольнике угол между основанием и высотой, опущенной на боковую сторону, равен 48°. Найти углы треугольника.
Биссектриса угла при вершине треугольника составляет с основанием угол 98° и равна одной из боковых сторон. Вычислить углы треугольника.
Один из углов треугольника равен 60°; каков острый угол, образованный биссектрисами двух других углов треугольника?
В треугольнике АВС биссектрисы углов пересекаются в точке М. Найти угол АВС, если он составляет половину угла АМ С.
Найти величину угла треугольника, если биссектрисы других его углов образуют при пересечении угол 70°.В равнобедренном треугольнике угол между высотой и вой стороной на - d меньше угла при основании. Вычислить треугольника.Найти величину угла треугольника, если биссектрисы других его углов образуют при пересечении угол 70°.В равнобедренном треугольнике угол между высотой и вой стороной на - d меньше угла при основании. Вычислить треугольника.ДвухДвухбоко-боко-углыуглы
Найти величину угла треугольника, если биссектрисы других его углов образуют при пересечении угол 70°.
В равнобедренном треугольнике угол между высотой и вой стороной на - d меньше угла при основании. Вычислить треугольника.
Найти величину угла треугольника, если биссектрисы других его углов образуют при пересечении угол 70°.
В равнобедренном треугольнике угол между высотой и вой стороной на - d меньше угла при основании. Вычислить треугольника.
Двух
Двух
боко-
боко-
углы
углы
2
В прямоугольном треугольнике один из острых углов -d, а сумма гипотенузы с меньшим катетом 1,8 м. Найти гипотенузу.
В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 45°, а основание длиннее высоты, опущенной на основание, на 9 см. Вычислить основание и высоту.
Углы треугольника относятся, как 1:2:3. Сумма меньшей и большей сторон равна 7,2 см. Вычислить большую сторону.
В прямоугольном треугольнике угол В равен 30°, катет АС равен 3,5 см. На какие отрезки делит гипотенузу высота, опущенная на нее?
Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 5°. Найти острый угол между гипотенузой и биссектрисой прямого угла.
В треугольнике АВС из вершины С проведены биссектрисы внутреннего и внешнего углов: первая биссектриса образует со стороной АВ угол ^ d. Какой угол образует с АВ вторая биссектриса?
Отрезок, соединяющий точку пересечения серединного пер
пендикуляра к гипотенузе с катетом и конец другого катета, делит угол треугольника в отношении 2 : 5 (меньшая часть при гипотенузе). Найти этот угол.
Найти углы четырехугольника, из которых два относятся, как 4
5 : 7, третий равен их разности, а четвертый меньше третьего на — d.
Доказать, что в прямоугольном треугольнике длина медианы, проведенной к гипотенузе, составляет половину длины гипотенузы.
Доказать обратную теорему: если длина медианы составляет половину длины стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
Как изменится сумма углов многоугольника, если число его сторон увеличить на 5?
Сколько сторон имеет многоугольник, если сумма его внутренних углов равна:
1) 3(М; 2) 48d; 3) 57d?
В каком многоугольнике сумма внутренних углов равна сумме внешних углов?
Найти число сторон многоугольника, если сумма его внутренних углов в т раз больше суммы внешних углов Qm = 1, 2, 3).
Сколько сторон имеет многоугольник, если сумма его внутренних углов вместе с одним из внешних равна 23с/?
Доказать, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию.
Доказать, что если из вершины угла треугольника, лежащего между неравными сторонами, проведены медиана и биссектриса, то длина медианы больше.
Дан острый угол прямоугольного треугольника; построить другой острый угол этого треугольника.
Построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.
Построить треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на третью сторону.
Построить треугольник по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них.
Через данную точку между двумя данными параллельными прямыми провести отрезок, равный данному.
Построить прямоугольный треугольник по данным острому углу и противолежащему катету.
Построить равнобедренный треугольник по углу при вершине и основанию.
Построить равносторонний треугольник по его высоте.
Построить угол в | d = 30°.
§ 3. Параллелограмм и трапеция
Две стороны параллелограмма относятся, как 3:4, а периметр его равен 2,8 м. Найти стороны.
Стороны параллелограмма равны 8 см и 3 см; биссектрисы двух углов параллелограмма, прилежащих к большей стороне, делят противолежащую сторону на три части. Найти каждую из них.
Доказать, что всякий четырехугольник, диагонали которого взаимно делятся пополам, есть параллелограмм.
Построить параллелограмм, стороны которого даны, если высота, проведенная из вершины тупого угла, делит противолежащую сторону пополам.
Построить параллелограмм:
по двум диагоналям, равным 6,0 см и 5,0 см, и одной из сторон, равной 4,5 см;
по основанию, равному 2,0 см, высоте, равной 1,5 см, и диагонали, равной 3,2 см.
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5 дм. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Вычислить периметр получившегося параллелограмма.
В параллелограмме угол между высотами, проведенными из
вершины острого угла, равен 1 — d. Вычислить углы параллелограмма.
Середины Е и F параллельных сторон ВС и AD параллелограмма ABCD соединены прямыми с вершинами D и В (рис. 3). Доказать, что эти прямые делят диагональ на три равные части.
Из произвольной точки основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Доказать, что периметр получившегося параллелограмма не зависит от положения точки и равен сумме боковых сторон треугольника.
В прямоугольнике найти угол между меньшей стороной и 1 , диагональю, если он на - а меньше угла между диагоналями, опирающегося на ту же сторону.
2
В прямоугольнике диагонали пересекаются под углом -d. Сумма обеих диагоналей и обеих меньших сторон равна 3,6 м. Вычислить длину диагонали.
Дан прямоугольник; перпендикуляр, опущенный из вершины на диагональ, делит прямой угол на две части в отношении 3:1. Найти угол между этим перпендикуляром и другой диагональю.
В прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен 6 см, вписан прямоугольник, имеющий с треугольником общий угол. Найти периметр прямоугольника.
В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие — на катетах. Найти стороны прямоугольника, если известно, что они относятся, как 5 : 2, а гипотенуза треугольника равна 45 см.
Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на его диагональ, делит ее в отношении 1 : 3. Вычислить длину диагонали, если известно, что точка ее пересечения с другой диагональю удалена от большей стороны на 2 м.
Построить прямоугольник:
по основанию, равному 2,4 см, и диагонали, равной 3,1 см;
по диагонали, равной 4,2 см, и углу между диагоналями, равному 135°.
Найти на данной прямой АВ точку, которая находится на расстоянии т (= 2 см) от другой данной прямой CD.
Найти точку, находящуюся на равном расстоянии от двух данных точек и на расстоянии а (= 6 см) от данной прямой.
Внутри данного угла найти точку, находящуюся на расстояниях т (= 1 см) и п (= 2 см) от сторон угла.
Внутри данного угла построен другой, одноименный угол, стороны которого параллельны сторонам данного и равноотстоят от них. Доказать, что биссектрисы обоих углов совпадают.
Разделить пополам угол, вершина которого не помещается на чертеже.
Между сторонами данного острого угла поместить отрезок данной длины так, чтобы он был перпендикулярен одной стороне угла.
1) Какие определения можно дать ромбу?
Сколькими элементами и какими определяется ромб?
Доказать, что:
всякий параллелограмм, у которого диагонали взаимно перпендикулярны, есть ромб;
всякий параллелограмм, у которого диагональ делит угол пополам, есть ромб.
Сторона ромба образует с его диагоналями углы, разность 3
которых равна — d. Вычислить углы ромба.
Углы, образуемые стороной ромба с его диагоналями, относятся, как 5:4. Найти углы ромба.
Периметр ромба равен 8 см, высота 1 см. Найти тупой угол ромба.
В ромбе высота и меньшая диагональ, проведенные из одной вершины, образуют между собой угол 15°. Найти высоту ромба, если его периметр равен 1 м.
Вычислить периметр ромба, высота которого равна 8 см, а тупой угол в 5 раз больше острого.
Построить ромб:
по стороне, равной 2,7 см, и диагонали, равной 6,0 см;
по диагонали, равной 5 см, и противолежащему углу, равному 120°.
Построить квадрат по диагонали, равной 3,8 см.
Из точки пересечения диагоналей ромба опущены перпендикуляры на его стороны. Доказать, что основания этих перпендикуляров являются вершинами вписанного прямоугольника.
В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а другие две — на катетах. Найти сторону квадрата, если известно, что гипотенуза равна 3 м.
Диагональ квадрата равна 4 м. Сторона его служит диагональю другого квадрата. Найти сторону последнего.
Доказать, что биссектрисы углов прямоугольника при пересечении образуют квадрат.
Стороны прямоугольника равны 1 см и 3 см. Вычислить диагонали четырехугольника, образованного биссектрисами внутренних углов.
В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата находится одна вершина прямоугольника и стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата. Найти стороны этого прямоугольника, зная, что одна из них вдвое больше другой и что диагональ квадрата равна 12 м.
Стороны треугольника относятся, как 3:4:6. Соединив середины всех сторон, получим треугольник с периметром в 5,2 м. Найти стороны данного треугольника.
По разные стороны от данной прямой MN даны две точки А и В на расстояниях 10 дм и 4 дм от нее. Найти расстояние середины О отрезка АВ от данной прямой.
Высота равностороннего треугольника равна 6 дм. Найти проекцию данной высоты на другую высоту.
Через вершину тупого угла тупоугольного треугольника проведена вне его прямая; проекции прилежащих к тупому углу сторон на эту прямую равны 4 см и 2 см. Найти проекции всех медиан на ту же прямую.
Внутри произвольного угла взята точка М. Провести через точку М прямую так, чтобы отрезок ее, заключенный между сторонами угла, делился в точке М пополам.
Боковая сторона трапеции разделена на 6 частей одинаковой длины, и из точек деления проведены к другой боковой стороне отрезки, параллельные основанию. Вычислить длины этих отрезков, если основания трапеции равны 10 см и 28 см.
Основания трапеции относятся, как 7 : 3, а их разность равна 3,2 м. Найти длину средней линии трапеции.
Средняя линия трапеции равна 8 дм и делится диагональю на два отрезка, разность между которыми 2 дм. Найти основания трапеции.
Найти отношение между параллельными сторонами трапеции, в которой средняя линия делится двумя диагоналями на 3 равные части.
Меньшее основание равнобочной трапеции и боковая сторона имеют одинаковую длину, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найти углы трапеции.
В равнобочной трапеции большее основание равно 2,7 м, боковая сторона 1 м, угол между ними 60°. Найти меньшее основание.
В равнобочной трапеции острый угол равен 45°, высота ее h, средняя линия т. Найти основания.
В равнобочной трапеции высота равна 10 см, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найти среднюю линию.
Прямоугольная трапеция делится диагональю на два треугольника: равносторонний со стороной а и прямоугольный. Найти среднюю линию трапеции.
В прямоугольной трапеции меньшее основание равно а, большая боковая сторона Ь. острый угол 60°. Найти среднюю линию.
В равнобочной трапеции диагонали служат биссектрисами ее острых углов. Доказать, что тупой угол трапеции равен тупому углу между ее диагоналями.
Построить трапецию:
по двум боковым сторонам, равным 1,5 см и 2 см, и основаниям, равным 5 см и 2,3 см;
по одному из оснований, равному 4,8 см, высоте, равной 3,2 см, и двум диагоналям, равным 4,2 см и 5 см.
Построить трапецию:
по четырем сторонам (всегда ли построение возможно?);
по двум основаниям и по двум диагоналям (каково условие возможности построения?).
Определить вид четырехугольника, вершинами которого служат середины сторон данного:
четырехугольника; 2) параллелограмма;
прямоугольника; 4) ромба; 5) квадрата; 6) трапеции.
На основании равнобедренного треугольника взята точка. Доказать, что сумма расстояний этой точки от обеих боковых сторон равна длине высоты, опущенной на боковую сторону.
На продолжении основания равнобедренного треугольника взята точка. Доказать, что разность расстояний этой точки от боковых сторон равна длине высоты, опущенной на боковую сторону.
Доказать, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
Доказать, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности.
Окружность и круг
На сторонах угла АВС, равного 120°, отложены отрезки |ВЛ| = |ВС| = 4 см. Провести окружность через точки А, В и С и вычислить длину ее радиуса.
Провести окружность, которая проходит через две данные точки и центр которой находится на данной прямой.
Построить окружность, проходящую через две данные точки Л и В так, чтобы угол между радиусом, проведенным в точку А, и хордой АВ был равен 30°.
Наименьшее расстояние данной точки от окружности равно а, а наибольшее равно Ь. Найти радиус (два случая).
Доказать, что кратчайшее расстояние между двумя окружностями, лежащими одна вне другой, есть отрезок линии центров, заключенный между окружностями.
Из точки, данной на окружности, проведены две хорды; каждая из них имеет длину, равную радиусу. Найти угол между ними.
В круге даны две взаимно перпендикулярные хорды; каждая из них делится другой на два отрезка в 3 см и 7 см. Найти расстояние каждой хорды от центра.
В круге радиуса R даны два взаимно перпендикулярных диаметра; произвольная точка окружности спроектирована на эти перпендикуляры. Найти расстояние между проекциями точки.
Концы диаметра удалены от касательной на 1,6 м и на 0,6 м. Вычислить длину диаметра.
Показать, что середины всех хорд данной длины, проведенных в данной окружности, лежат на некоторой другой окружности.
Доказать, что из всех хорд, проходящих через точку А, взятую внутри круга, наименьшей будет та, которая перпендикулярна диаметру, проходящему через А.
Через данную в круге точку провести хорду, которая делится этой точкой пополам.
В круге проведены две равные параллельные между собой хорды, расстояние между которыми равно радиусу круга. Найти острый угол между прямыми, соединяющими концы хорд.
Дана окружность радиуса R = 1 дм; из внешней точки М к ней проведены две взаимно перпендикулярные касательные МА
и МВ (рис. 4). Между точками касания Л и В на дуге АВ взята произвольная точка С, и через нее проведена третья касательная KL^
образующая с касательными МА и МВ треугольник KLM. Найти периметр этого треугольника.
В прямой угол вписан круг; хорда, соединяющая точки касания, равна 2 дм. Найти расстояние этой хорды от центра круга.
Даны две окружности, их общие внутренние касательные взаимно перпендикулярны; хорды, соединяющие точки касания, равны 3 см и 5 см. Вычислить расстояние между центрами.
Даны две окружности радиусов R и г, одна вне другой; к ним проведены две общие внешние касательные. Найти их длину (между точками касания), если их продолжения образуют прямой угол (R > г).
Дан угол в 30°. Построить окружность радиуса 2,5 см, касающуюся одной стороны этого угла и имеющую центр на другой его стороне. Вычислить расстояние центра окружности от вершины угла.
Построить окружность, которая касалась бы сторон данного угла, причем одной из них — в данной точке.
Между двумя параллельными прямыми дана точка; провести окружность, проходящую через эту точку и касающуюся данных прямых.
Даны две параллельные прямые и секущая. Провести окружность, касающуюся всех трех прямых.
Данным радиусом описать окружность, проходящую через данную точку и касательную к данной прямой.
Даны две окружности — одна внутри другой; через их центры в большем круге проведен диаметр, который меньшей окружностью делится на три части: 5 см, 8 см, 1 см. Найти расстояние между центрами.
Даны две концентрические окружности; в большей окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды, касательные к меньшей; каждая из хорд делится другой на две части: 3 см и 7 см. Найти радиус меньшей окружности.
Радиусы двух концентрических окружностей относятся, как 7 : 4, а ширина кольца равна 12 см. Найти радиус меньшей окружности.
Если пересечь две концентрические окружности секущей, то части секущей, лежащие между окружностями, равны между собой. Доказать это утверждение.
Три равных окружности радиуса R касаются друг друга извне. Найти стороны и углы треугольника, вершинами которого служат точки касания.
Вписать в данную окружность три равные окружности, которые касались бы попарно между собой и данной окружности.
В данную окружность, радиус которой равен 3 дм, вписано шесть равных окружностей (рис. 5), из которых каждая касается данной окружности и двух соседних. Найти их диаметры.
Вокруг окружности радиуса 1 дм проведены с наружной стороны шесть равных окружностей, из которых каждая касается
данной окружности и двух соседних. Найти их радиусы. Сделать рисунок.
Провести окружность, которая касалась бы двух данных параллельных прямых и окружности, находящейся между ними.
Данным радиусом провести окружность, которая касалась бы данной прямой и данной окружности.
Провести окружность, которая проходила бы через данную точку и касалась бы данной окружности в данной точке.
Большее колесо зубчатой передачи имеет 72 зубца. Сколько градусов окружности колеса занимает один зубец колеса вместе со впадиной?
Какую часть оборота сделает большее колесо с 72 зубцами, когда сцепленное с ним меньшее, имеющее 24 зубца, сделает один полный оборот?
Найти угол между стрелками на часах, когда часы показывают:
5 ч; 2) 3 ч 25 мин; 3) 4 ч 50 мин.
Угол между двумя радиусами содержит 102о37". Найти угол между касательными, проведенными через концы этих радиусов.
Сколько градусов и минут содержит дуга, если радиус, проведенный в конец ее, составляет с хордой угол 37° 23х?
Хорда делит окружность в отношении 5:11. Найти величину вписанных углов, опирающихся на эту хорду.
Окружность разделена в отношении 7:11:6, и точки деления соединены между собой. Найти углы полученного треугольника.
Сколько градусов содержит дуга, если перпендикуляр, проведенный к хорде из ее конца, делит дополнительную (до окружности) дугу в отношении 5 : 2?
Если в треугольнике медиана составляет половину соответствующей стороны, то угол против этой стороны — прямой. Доказать это с помощью вспомогательной окружности.
Доказать, что всякая трапеция, вписанная в окружность, — равнобочная.
Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 40°. Одна из боковых сторон служит диаметром полуокружности, которая делится другими сторонами на три части (рис. 6). Найти эти части.
Основание равностороннего треугольника служит диаметром окружности. На какие части делятся стороны треугольника полуокружностью и полуокружность — сторонами треугольника?
Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе с = = 5 см и высоте, опущенной на гипотенузу, h = 2 см.
Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе с = = 3,5 см и проекции на нее одного из катетов, равной 2,9 см.
Какую линию образуют середины всех хорд, пересекающихся в одной точке:
1) лежащей на окружности; 2) лежащей внутри нее?
Через точку касания двух окружностей проведена секущая. Радиусы и касательные, проведенные через концы образовавшихся хорд, соответственно параллельны. Доказать это утверждение.
Через конец хорды, делящей окружность в отношении 3 : 5, проведена касательная. Найти угол между хордой и касательной.
Хорда делит окружность в отношении 11 : 16. Найти угол между касательными, проведенными из концов этой хорды.
Окружность разделена в отношении 5 : 9 : 10, и через точки деления проведены касательные. Найти больший угол в полученном треугольнике.
Найти величину описанного угла, если расстояние (кратчайшее) от его вершины до окружности равно длине радиуса.
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 2 см; угол при вершине равен 120°. Найти диаметр описанной окружности.
Острый угол прямоугольного треугольника равен 25°; под какими углами видны его катеты из центра описанной окружности?
Построить равнобедренный треугольник по основанию и радиусу вписанной окружности.
В равнобедренном треугольнике боковая сторона делится точкой касания вписанной окружности в отношении 7 : 5 (начиная от вершины). Найти отношение боковой стороны к основанию.
В прямоугольном равнобедренном треугольнике найти гипотенузу по его полупериметру р и радиусу г вписанного круга.
Вокруг данной окружности описать равнобедренный прямоугольный треугольник.
Радиус круга равен 4 см. Гипотенуза описанного прямоугольного треугольника 26 см; найти его периметр.
По двум углам построить треугольник, чтобы данный круг оказался вписанным в него.
В ромб вписана окружность. На какие четыре части она делится точками касания сторон, если острый угол ромба равен 37°?
Найти среднюю линию описанной трапеции по ее периметру 12 см.
Вокруг окружности описана равнобочная трапеция с углом 30°. Средняя линия ее равна 1 м. Найти радиус окружности.
Центральный угол сектора равен 60°, а радиус равен R. Найти радиус окружности, вписанной в этот сектор.
Три стороны описанного четырехугольника относятся (в последовательном порядке), как 1:2:3. Найти стороны четырехугольника, если известно, что его периметр равен 24 м.
Три угла вписанного четырехугольника (в последовательном порядке) относятся, как 1:2:3. Найти углы четырехугольника.
Найти углы вписанной трапеции, если диагональ ее стягивает дугу окружности в 140°.
Две окружности, радиусы которых 4 и 8, пересекаются под прямым углом. Найти длину их общей касательной. (Углом между двумя пересекающимися кривыми называется угол, составленный двумя касательными, проведенным к этим кривым в точке их пересечения.)
Две вершины квадрата лежат на окружности радиуса R, а две другие — на касательной к ней. Найти диагональ квадрата.
Доказать теоремы (о четырех замечательных точках в треугольнике) (231-234).
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. (Эта точка является центром описанной окружности.)
Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке. (Эта точка является центром вписанной окружности.)
Прямые, определяемые высотами треугольника, пересекаются в одной точке. (Эта точка называется ортоцентром треугольника.)
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в этой точке в отношении 2:1, считая от вершины. (Из физики известно, что точка пересечения медиан треугольника есть его центр тяжести; он всегда лежит внутри треугольника.)
§ 5. Симметрия фигур и некоторые другие вопросы
Равны ли две фигуры, симметричные относительно:
данной прямой; 2) данной точки?
Задает ли центральную симметрию одна пара точек плоскости? Как найти в этом случае центр симметрии?
Имеет ли центр симметрии:
а) отрезок; б) прямая; в) луч; г) пара пересекающихся прямых
• 7)?
Концы отрезка АВ являются точками, симметричными относительно оси I. Как расположен отрезок АВ относительно этой оси?
Построить фигуры, симметричные данному равностороннему треугольнику АВС относительно осей (АВ), (АС), (ВС). Какую фигуру образует объединение данной и построенных фигур?
Доказать, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей прямоугольника, делит прямоугольник на два центрально симметричных четырехугольника.
Каким построением получаются в параллелограмме центрально симметричные точки?
На прямой построить два отрезка равной длины. Каким поворотом один из этих отрезков можно совместить с другим?
Найти наименьший угол поворота, при котором совмещаются сами с собой:
квадрат; 2) ромб; 3) прямоугольник;
правильный пятиугольник.
Сколько различных направлений определяет пучок параллельных прямых?
В какие фигуры превращаются отрезок, луч, прямая, окружность, круг, треугольник при параллельном переносе?
13 В. А. Бачурин
Лучи О А и 01Л1 сонаправлены. Сколько существует параллельных переносов, при которых луч О А совместится с лучом СДАх?
Какую фигуру образует общая часть (пересечение) следующих фигур:
отрезка АВ и луча АВ ([АВ] и [АВ));
лучей АВ и В А ([ЛВ) и [ВЛ));
прямой АВ и луча АВ ((АВ) и [ЛВ))?
Какую фигуру образует объединение следующих фигур:
луча MN и прямой МN ([М N) и (МN));
луча М N и отрезка М N (\_МN) и [MAQ);
луча АВ, отрезка АВ и прямой АВ ([ЛВ), [ЛВ] и (АВ))?
§ 6. Векторы
Основные формулы)
Четырехугольник ABCD — параллелограмм. Среди лучей ЛВ, ВА, ВС, СВ, CD, DC, AD, DA назвать пары одинаково направленных и противоположно направленных.
Сколько существует различных параллельных переносов, которые какую-либо из вершин параллелограмма ABCD переводят:
в смежную вершину;
в одну из вершин этого параллелограмма?
1) Определяется ли вектор заданием:
а) своей длины; б) направления?
Чем задается вектор, отличный от нулевого?
Какие векторы называются равными?
Дан параллелограмм ABCD*, О — точка пересечения его диагоналей. Какие пары, составленные из точек А, В, С, D, О, определяют равные векторы?
Дано: АВ = CD. Что можно сказать о векторах АС и ВЕЛ Замечание. Не забыть рассмотреть случай, когда точки А, В, С, D лежат на одной прямой.
1) Даны вектор а и точки А, В, С. Построить векторы ААу, В By, С Су, равные вектору а.
Дан вектор АВ . Построить векторы CD, EF, MN, равные вектору (— АВ).
Проверить построение суммы векторов (рис. 8, а-г*, см. также пояснения в ответе).
Проверить построение суммы и разности векторов (рис. 9):
а = с + Ь,2) с = а-Ь, 3) Ь = а-с.
Проверить соотношения между векторами в треугольнике АВС (рис. 10):
AB = AC + CB, 2) А"в = СВ-СА, 3) BC^BA + AC,
АВ = АС — ВС, 5) ВС = АС —АВ, 6) АВ+ВС+СА = 0.
Проверить соотношения между векторами в параллелограмме ABCD (рис. 11):
1) АС = а + Ь, 2) СА=-а-Ь, 3) МА=-^-.
Проверить аналитически (алгебраически) и геометрически векторные тождества:
1) (а + 6) + (й-£) = 2а;2) (а + b) - (а - b) = 2Ь.
Проверить аналитически и геометрически векторные тождества:
а , b а^Ь, Ь — а Ь^а
2 + 2 = —;“ + — = —;
«'"^ = ^ 4) (“ +|) + (S+f) = t(“ + S)- ДДхД / х Д / д
В ромбе ABCD даны диагонали АС = а и ВD = Ь. Разложить по этим двум векторам все векторы, совпадающие со сторонами ромба: АВ; ВС; CD* DA .
Каково взаимное расположение векторов, если имеют место соотношения:
|а + 6| = |а-6|;2) \а + Ь\ = \а\ + |6|;
\a^b\ = \a\-\b\- 4) \a-b\ = \a\^\b\?
Может ли длина вектора а — b быть:
меньше; 2) равна; 3) больше суммы длин векторов а и Ь?
Что означает векторное равенство АВ + ВС = АС?
Найти сумму векторов АВ -VBC -V С А .
Доказать, что для векторов АВ, ВС и АС имеет место неравенство AC АВ -V ВС.
Доказать, что для любых векторов а и b имеет место неравенство \а + Ь\ ^ \а\ + \Ь\.
Доказать векторным методом, что диагонали параллелограмма могут быть взаимно перпендикулярны только при равенстве его сторон.
Доказать, что если четырехугольник ABCD — параллелограмм, то АВ = DC .
Каким условием должны быть связаны векторы а и Ь, чтобы вектор а + b делил угол между ними пополам? (Все три вектора отнесены к общему началу.)
Три вектора АВ = с, ВС = а, С А = b служат сторонами треугольника. С помощью а, Ь, с выразить векторы, совпадающие с медианами треугольника: AM, BN, СР.
В треугольнике предыдущей задачи выразить все медианы только через два вектора: а и Ь.
Показать, что при любой выбранной точке О расстояние |ЛВ| выражается формулой | АВ | = | О В — О А |.
В правильном шестиугольнике ABCDEF известны АВ = а и ВС = Ь. Выразить через а и b векторы: CD, DE, ЕЕ, FA, AD, АЕ.
В шестиугольнике предыдущей задачи даны: АВ = т, АЕ = ft. Разложить по этим двум векторам: АС, AD, АЕ, EF.
Даны векторы О А = а, О В = Ь. Вектор ОС = с — медиана треугольника О АВ. Разложить аналитически и геометрически:
вектор с по векторам а и Ь*,
вектор а по векторам b и с.
Середины отрезков АВ и CD соединены отрезком MN. Доказать, что М N = 0,5(ЛС + BD\
Каково взаимное расположение векторов, если имеют место соотношения:
1) |Й+6|>|Й-6|; 2) |а-6|>|а + 6|?
Точка В делит дугу окружности АС = 90° в отношении 1:2, точка О — центр окружности. Разложить вектор ОС = с по векторам О А = а и О В = Ь.
Дано: |Й| = 13; \Ь\ = 19; \а + Ь\ = 24. Вычислить \а — Ь\.
Дано: \а\ = 11; |6| = 23; \а — Ь\ = 30. Вычислить |Й + Ь\.
Векторы а и b образуют угол ср = 60°, причем |Й| = 5, \Ь\ = = 8. Вычислить |а + 6| и \а — Ь\.
Векторы а и b образуют угол ср = 120°, причем \а\ = 3, \Ь\ = = 5. Вычислить |а + 6| и \а — Ь\.
По данным векторам а и b построить векторы:
За; 2) Дб; 3) 3a + |b; 4) |а-36.
Доказать, что сумма векторов, соединяющих центр правильного треугольника с его вершинами, равна нулю.
Даны три вектора а, Ь, с. Построить векторы:
a-Vb-Vc*, 2) a^b — c*,3) a — b — c; 4) Й+уу.
Векторы а + b и а — b перпендикулярны. Доказать, что \а\ = \Ц.
На прямой даны три точки А, В и С. Доказать, что на этой прямой найдется такая точка М, что МА^МВ + МС = 0.
Если в треугольнике АВС точка О является точкой пересечения медиан, то имеет место равенство OA-VOB А-ОС = 0. Доказать это утверждение.
Дан параллелограмм ABCD. Доказать, что существует такая точка М, что МА + МВ + МС + М D = 0.
Задать векторы АВ, АС, AD. Построить векторы:
АС-АВ- 2) AD-AC* 3) ЛВ-ЛВ.
Дан пятиугольник ABCDE. Выразить через векторы АВ, ВС, CD, DE векторы СА, аЪ, ЕС, АЕ.
2
Пусть ОМ = - OA-V- ОВ. Показать, что при заданных точках Л и В положение точки М не зависит от выбора точки О.
Известно, что пары точек А, В и Ay, Ву расположены симметрично относительно оси I. Что можно сказать о направлениях векторов АВ AiBi и АВ — АуВС
Какие векторы называются коллинеарными?
При каких значениях числа к векторы а и ка (а / 0) будут:
а) сонаправлены; б) противоположно направлены?
При каких значениях числа п возможны следующие соотношения:
а) \пс\ < |с|; б) \пс\ > |с|; в) \пс\ = |с|, где с — ненулевой вектор?
Указать, при каких значениях числа к вектор кс^с (с^ 0):
будет иметь то же направление, что и вектор с;
будет иметь направление, противоположное направлению вектора с;
будет равен нулевому вектору;
будет равен вектору с.
Какой вектор называется единичным (ортом)?
Как выразить (найти) единичный вектор:
сонаправленный вектору а;
противоположно направленный вектору Ь?
Каково взаимное расположение векторов а и Ь, если имеют место соотношения:
1) a + b = a — b; 2) Д = 4?
302. Записать в виде302. Записать в видеxi + yj векторы: О А, ОС, АВ, ВС, OD, ОЕ (рис. 12), где г и j — единичные векторы: |г| = \j\ = 1. (Встречается и такая запись: а^х*, у).)
302. Записать в виде
302. Записать в виде
По условиям предыдущей задачи выразить векторы:
аЪ, de, fd, dc-,
ОЛ + ОВ, ОВ + ОС, ЛВ + ВС, ол+ов+ос.
Н а плоскости даны точки Л(0; -2), В(4; 2), С(4; -2). В начале координат приложены силы О А, ОВ, ОС.
Выразить силы ОЛ, ОВ, ОС, АВ, ВС через единичные векторы г и з координатных осей.
Среди векторов
$:-»)• "и^Ь 1(1:0)'zlrJ
найти единичные и указать, какие из них коллинеарны.
306. 1) Вывести формулы для вычисления длины и направления вектора:
|а| = |ОМ| =
Уж2 + у2;
(1)
\АВ\ = л/(ж2-Ж1)2 + (у2-У1)
2, А^ху,у^, В^угУ,
(2)
X cos а = |«|
cos/З =
1°1
(3)
Ж 2 - ^1 cos а =—;
СО8^ = Ы1.
1^1
(4)
2) Вывести формулу
cos2 а + sin'
2 а = 1.
(5)
Вычислить длину и направление вектора а = Зг + 4J.
На плоскости даны точки А(3;3), В(—3; 3) и С(—3;0). В начале координат приложены силы О А, О В и ОС. Построить равнодействующую ОМ. вычислить ее проекции на оси координат и ее длину | О М |.
Один и тот же или различные векторы определяют на координатной плоскости следующие пары точек:
(2;3), (3; 2) и (-2;3), (-3;2);
(2;3), (3;2) и (0;0), (1;-1)?
Длина вектора а, = 5г Mmj равна 13. Найти т.
Найти единичный вектор (орт):
сонаправленный вектору 6(5; 12);
противоположно направленный вектору с(6; 8).
Найти вектор, сонаправленный вектору а(—1;2), так, чтобы длина его была равна V10.
Найти вектор длины 3, коллинеарный вектору т(7; 2).
Найти координаты вектора ш, коллинеарного вектору п(3;—4), если известно, что вектор т образует с положительным правлением оси Ох тупой угол и \т\ = 10.
Найти вектор, сонаправленный вектору а и имеющий длину, равную с, с > 0.
Найти вектор, противоположно направленный вектору с = = 12г + 5J, так, чтобы длина его была равна 12.
Показать, что четырехугольник ABCD с координатами вершин А(0; 1), В(1; 0), С(1; 2), D^ 1) — параллелограмм.
По трем точкам А(1; 1), В(—1;0), С(0; 1) найти четвертую точку ГДж; р) при условии АВ = СD .
Пусть а и b — ненулевые и неколлинеарные векторы. Показать, что вектор с = -pj- + X- направлен по биссектрисе угла (5, 6).
1) Параллельный перенос переводит точку (0; 0) в точку (—2; 2). В какие точки переводит этот перенос точки:
а) (1;-1); б) (-5;-4)?
Параллельный перенос переводит точку (3; —5) в точку (—2; 4). В какие точки переводит он точки:
а) (-3;4); б) (0; 0)?
Параллельный перенос переводит начало координат в точку (—2; — 3). В какую фигуру он переводит треугольник АВС с вершинами Л(2; 2); В(4; -2); С(-1; -1)?
Вычислить сумму векторов:
5(1;-2) и 6(2;-3); 2) m(3; 1) и 5(-2;-1).
На плоскости хОу даны точки Л(4;2), В(2;3) и С(0; 5) и построены векторы О А = а, О В = b и ОС = с. Разложить геометрически и аналитически вектор а по векторам b и с.
Найти вектор а — Ь, если:
а(1;4), 6(1; 3); 2) а(1;5), 6(2;7).
На плоскости хОу построить векторы О А = а = 2г; ОВ = = b = Зг + 3j и ОС = c = 2i + 6j. Разложить геометрически и аналитически вектор с по векторам а и Ь.
Вычислить длину и направление вектора 5 = 5+6, если:
а(1;-4), 6(-4;8); 2) а(10;7), 6(2;-2).
Вычислить длину и направление вектора р = т — 5, если:
т(15;0), 5(0;-8); 2) т(1;-4), 5(-4;8).
Среди векторов 5(2;—4), 6(1; 2), 5(1;—2), 5(—2; —4) найти пары коллинеарных векторов.
Указать, какие векторы предыдущей задачи одинаково направлены, а какие противоположно направлены. Какие из этих векторов имеют равные длины?
1) Векторы 5(1; — 1) и 6(—2; т) коллинеарны. Найти т.
Векторы 5(n; 1), 6(4; п) коллинеарны и одинаково направлены. Найти п.
Вычислить длину вектора 35, если:
5(-5;12); 2) 5(-6;-8).
Даны векторы 5(3; 2) и 6(0; — 1). Найти векторы:
5= -25 + 46; 2) d = 45-6.
Даны векторы 5(3; 2) и 6(0;—1). Вычислить модули векторов:
1) 4а + 36; 2) 55+106.
Найти неизвестный вектор х из уравнений (334-337).
0,5ж = 75.335. Зж + 45 = 95.
2ж+ 35 —56 = 0.337. тх — пг + pj = 0.
На координатной плоскости даны векторы 5(1; —2), 6(—1; 7) и 5(3; — 1). Разложить вектор р = 5+6 + 5 по векторам а и с.
Найти числа х и у из векторного равенства (2 — х) а + 6 = = у а + (х — 3) 6, где векторы 5 и 6 не коллинеарны.
Найти число ж, если векторы (х — 1)5 + 26 и а 4-xb коллинеарны, а векторы 5 и 6 не коллинеарны.
Векторы 35+жб и (1 — х^а — -6 сонаправлены. Найти число ж, если векторы 5 и 6 не коллинеарны.
Найти число х из условий: (5 + ж6)(5—6) = 0, векторы 5 и 6 образуют угол 120° и |6| = 2|5|.
Даны векторы 5(1; 0), 6(1; 1) и 5(—1; 0). Найти такие числа х и у. чтобы имело место векторное равенство 5 = xa + yb.
Скалярное произведение двух векторов
Исходя из определения скалярного произведения двух векторов а и Ь:
ab = 15| 16| cosy?,(1)
проверить равенства (344-349).
г] = 0; г г = 1; jj = 1; (5)2 = а2.
ab = (Х1г4-У11)(х2г4-У23) = ЗС1Ж24-У1У2.(2)
(2?+;^-(?-3j);=5.
(0,3?+13j)(17?—0,5j) = —1,4.
(?+2j) J—(2?—3j)2 = —11.
(?+/)(?-J) = GY-GY = 1-1 = 0.
Проверить, справедливы ли следующие равенства:
5-5= а2; 2) (5)2-а = а3; 3) 5(56) = а26; 4) 5(66) = 562;
(56)2 = (5)2(6)2; 6) (5+6)(5—6) = а2 — 62.
Доказать, что —|5||6| ^ 56 ^ |5||6|, где векторы 5 и 6 — ненулевые. В каких случаях здесь может иметь место знак равенства?
Доказать, что для любых двух векторов а и b имеют место
неравенстванеравенства(ab)2(a2b2)(a)2(b)2.(ab)2(a2b2)(a)2(b)2.
неравенства
неравенства
(ab)2(a2b2)(a)2(b)2.
(ab)2(a2b2)(a)2(b)2.
Вывести формулу
cosy? = cos (а, b) ==—у у .(3)
1“Н61 уа^ + ^.^+б^
Если а / 0 и b / 0, то какой угол образуют между собой эти векторы в случаях:
1) ab>^ 2) ab = 0;3) ab < 0?
Вывести условие коллинеарности векторов а и Ь:
L -»Ь$ Ьу/
Ь = та, или — = —.
Ux Uy
Вывести условие перпендикулярности векторов а и Ь:
ab = 0, или ахЬх + ауЬу = 0.(5)
Найти угол между векторами а(1; —0,5) и Ь(1* 2).
Проверить равенства и дать их геометрическое истолкование:
(а + Ь)2 = а2 + Ь2 + 2|а||6| cosy?;
\а^Ь\2^(а-ЬУ = 2(а2^Ь2\
1) Найти число т из условия, что векторы а(1; — 1) и Ь(—2; т) коллинеарны.
При каком значении ж векторы а(0,2; 3) и 6(ж; —1) перпендикулярны?
Вычислить (m + n)2, если тип — единичные векторы с углом 30° между ними.
Вычислить (а — Ь)2^ если \а\ = 2^^ \Ь\ = 4 и (а, Ь) = 135°.
Механический смысл скалярного произведения двух векторов а и b — это работа И/, которая производится силой а на пути b (или силой b на пути a): ab = W. Вычислить, какую работу производит сила р(7; 2), когда точка приложения ее, двигаясь прямолинейно, перемещается из начала координат в конец вектора q(3; —5,5).
Вычислить координаты вектора /г. коллинеарного вектору т^ — 3), из условия т • п = —26.
Если \а\ = 3, \Ь\ = 2, (а, Ь) = 120°, то чему равны:
(а^Ь)2;2) (а + 26)(2а-6)?
1) Доказать, что векторы а^т^ п) и Ь(—п; т) перпендикулярны или равны нулю.
Проверить перпендикулярность векторов р = а(Ь-с) — с(а-Ь) и Ь.
Вычислить координаты вектора Ь. перпендикулярного вектору а(—2; 1), если \Ь\ = д/5.
1) Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах а(8; 4) и 6(4; 1).
Показать, что угол между диагоналями прямоугольника, построенного на векторах а и b (а + b и а — 6), определяется формулой . а2 — 6 2
cosy? =-.
Найти угол между векторами АВ и CD. если А(—5; 1). В(-1;4), С(1; —4), В(2;3).
Точки Л(1; — 1) и В(3;0) определяют вектор АВ. Найти такой вектор, длина которого равна 13 и который:
сонаправлен вектору АВ^
перпендикулярен вектору АВ .
Найти тупой угол между равными медианами равнобедренного прямоугольного треугольника.
3. Задачи повышенной трудности
Точки М, Л, В прямой I жестко связаны между собой, расстояния между ними известны: МА = Ж1; МВ = х^. Пусть в точках А и В этой прямой приложены силы ру и р^ перпендикулярно к ней (рис. 13).
Требуется определить на пря-^
мой I положение точки С прило-\pi. Р2
жения равнодействующей, т. е. вы- М t А^ v N, Bf I разить расстояние ж о = МС через^ С
известные величины pi.pT ^1, х^.
Рис. 13
Если в плане конструк
ции самолета переднюю и заднюю кромки крыла продолжить до оси машины, то получим на оси отрезок МNкоторый называется средней аэродинамической хордой самолета и обозначается МN = tcax.
Пусть прямая I предыдущей задачи является осью самолета. Положения точек М, A, N, В на ней известны. В точку А проектируется середина оси передних колес, в точку В — середина оси задних колес (точки Л и В — середины точек опоры самолета). Силу pi покажут весы, подставленные под передними колесами, силу р^ — весы, подставленные под задними колесами. Итак, нам известны величины: МА = х^ МВ = х^ MN = tcax; pi; р^. Требуется найти
центровку самолета, т. е. определить положение его центра тяжести, иначе говоря, найти ж о в процентах от tcax.
Пусть масса двухместного самолета вместе с пилотом и грузами, которые размещаются, как и во всех самолетах, симметрично
относительно оси (поэтому центр тяжести самолета находится только на его оси) равна т кг. Центровка его 30%. Как изменится центровка машины, если сзади пилота на расстоянии а от него поместить пассажира с массой п? Центр тяжести пилота совпадает с центром тяжести самолета и tcax = b.
Как провести центровку самолета, если весы имеются только в одном экземпляре, а точек опоры самолета три: две точки спереди и одна точка сзади?
§ 7. Подобие фигур
Стороны треугольника равны 6, 9 и 12 см. Вычислить отрезки, на которые биссектриса треугольника делит сторону, лежащую против большего угла треугольника.
В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу в отношении 3:2. Найти отношение проекций катетов на гипотенузу.
Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки 3 и 4 см. Вычислить длины катетов.
Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 см. Вычислить длину радиуса вписанной окружности.
Вычислить длину радиуса окружности, описанной около треугольника, длины сторон которого 9, 12 и 15 см.
Диаметр полуокружности, равный 30 см, разделен на три части в отношении 1:2:7. Из точек деления восстановлены перпендикуляры до пересечения с полуокружностью. Вычислить длину каждого перпендикуляра.
Найти длину диаметра окружности, описанной около равнобедренного треугольника, основание которого 18 см, а высота 12 см.
Касательная равна а, а наибольшая секущая, проведенная из той же точки вне окружности, равна Ь. Найти радиус окружности.
Построить множество точек, расстояния которых от сторон данного угла имеют одно и то же отношение т : п.
В равнобедренном треугольнике высота равна 20 см, а основание относится к боковой стороне, как 4:3. Вычислить радиус вписанной окружности.
В равнобедренном треугольнике радиус вписанной окружное- 2
ти составляет - высоты, а периметр этого треугольника равен 56 см. Вычислить длины его сторон.
В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности делит высоту в отношении 12 : 5, а боковая сторона равна 60 см. Вычислить длину основания.
В треугольник вписан параллелограмм, угол которого совпадает с углом треугольника. Стороны треугольника, заключающие этот угол, равны 20 см и 25 см, а параллельные им стороны параллелограмма относятся, как 6:5. Найти стороны параллелограмма.
В треугольник, основание которого равно 48 см, а высота 16 см, вписан прямоугольник с отношением сторон 5 : 9, причем большая сторона лежит на основании треугольника. Найти стороны треугольника.
Две окружности внешне касаются. Прямая, проведенная через точку касания, образует в окружностях хорды, из которых одна 13
составляет — другой. Найти радиусы, если расстояние между центрами равно 36 см.
Наибольшие стороны двух подобных многоугольников равны 35 м и 14 м, а разность их периметров равна 60 м. Найти периметры.
Катеты относятся, как 5 : 6, а гипотенуза равна 122 см. Найти отрезки гипотенузы, отсекаемые высотой.
Катеты относятся, как 3 : 7, а высота, проведенная к гипотенузе, равна 42 см. Найти отрезки гипотенузы.
Расстояния от одного конца диаметра до концов параллельной ему хорды равны 13 см и 84 см. Найти радиус окружности.
К окружности радиуса 7 см проведены две касательные из одной точки, удаленной от центра на 25 см. Вычислить расстояние между точками касания.
Касательная и секущая, проведенные из общей точки к одной окружности, взаимно перпендикулярны. Касательная равна 12 м, а внутренняя часть секущей равна 10 м. Найти радиус окружности.
Найти катеты, если биссектриса прямого угла делит гипотенузу на части в 15 см и 20 см.
Из одной точки проведены к окружности две касательные. Длина касательной равна 156 см, а расстояние между точками касания равно 120 см. Найти радиус окружности.
Длины двух параллельных хорд равны 40 см и 48 см, расстояние между ними равно 22 см. Найти радиус окружности.
Катеты прямоугольного треугольника равны 15 см и 20 см. Вычислить расстояние от центра вписанной окружности до высоты, проведенной к гипотенузе.
Сторона треугольника равна 21 см, а две другие стороны образуют угол 60° и относятся, как 3 : 8. Найти эти стороны.
Основание треугольника равно 13 см; угол при вершине равен 60°; сумма боковых сторон равна 22 см. Найти боковые стороны и высоту.
Из одной точки проведены к окружности секущая и касательная. Сумма их равна 15 см, а внешний отрезок секущей на 2 см меньше касательной. Найти секущую и касательную.
В равнобедренном треугольнике основание равно 48 см, а боковая сторона равна 30 см. Найти радиусы описанной и вписанной окружностей и расстояние между их центрами.
Даны две стороны треугольника, равные 6 см и 8 см, и угол между ними, равный 120°. Найти длину биссектрисы этого угла.
В сегмент с дугой в 120° и высотой h, вписан прямоугольник, у которого основание в 4 раза больше высоты. Найти высоту прямоугольника.
В равнобедренном треугольнике АВС сторона |ЛС| = d, сторона |ВЛ| = |ВС| = a; AN и СМ — биссектрисы углов А и С. Вычислить длину отрезка МN.
Построить треугольник, подобный данному, периметр которого равен данной длине.
Доказать, что если АВ и CD — хорды, пересекающиеся в точке М. то \АМ\• \МВ\ = \СМ\• \MD\.
Основания трапеции относятся, как 5 : 9, а одна из боковых сторон равна 16 см. На сколько надо ее продолжить, чтобы она пересеклась с продолжением другой боковой стороны?
Прямая, проведенная через вершину ромба вне его, отсекает на продолжениях двух сторон отрезки р и q. Найти сторону ромба.
В треугольник с основанием а и высотой h, вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании треугольника, а другие две — на боковых сторонах. Найти сторону квадрата.
В данный треугольник вписать прямоугольник, у которого стороны относились бы, как т : п.
В треугольник вписана полуокружность, касающаяся основания, а диаметр (с концами на боковых сторонах треугольника) параллелен основанию. Найти радиус, если основание треугольника равно а, а высота h.
Вычислить длину хорды окружности, если даны радиус г и расстояние а от одного конца хорды до касательной, проведенной через другой ее конец.
В параллелограмм вписан ромб так, что его стороны параллельны диагоналям параллелограмма. Найти сторону ромба, если диагонали параллелограмма равны I и т.
Радиус сектора круга равен г, а хорда его дуги равна а. Найти радиус круга, вписанного в этот сектор.
По данной сумме двух отрезков и среднему пропорциональному этих отрезков построить отрезки.
Высота ромба делит его сторону на отрезки длиной тип. Найти диагонали ромба.
Доказать, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения боковых сторон и точку пересечения ее диагоналей.
Основание равнобедренного треугольника равно 4V2, а медиана боковой стороны 5. Найти длину боковых сторон.
Доказать, что в прямоугольном треугольнике ab = ск, где а и b — катеты, с — гипотенуза, к — высота, проведенная из вершины прямого угла.
Разрезав прямоугольник прямой пополам, получили два прямоугольника, подобных данному. При каком отношении сторон это возможно?
Доказать, что диаметр окружности, вписанной в равнобочную трапецию, есть среднее пропорциональное между параллельными сторонами трапеции.
В равнобедренный треугольник с углом 120° при вершине и боковой стороной, равной а, вписана окружность. Найти радиус окружности.
Доказать, что отношение квадратов катетов равно отношению их проекций на гипотенузу.
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см, а высота относится к основанию, как 3:2. Найти радиус описанной окружности.
Медиана гипотенузы прямоугольного треугольника равна т и делит прямой угол в отношении 1:2. Найти стороны треугольника.
Найти острые углы прямоугольного треугольника, если медиана его гипотенузы делит прямой угол в отношении 1:2.
В равностороннем треугольнике определить сторону по данной его высоте к.
В ромб, который делится своей диагональю на два равносторонних треугольника, вписана окружность радиусом в 2 единицы. Найти сторону ромба.
В равностороннем треугольнике высота меньше стороны на т. Определить сторону.
В треугольнике известны длины двух сторон: 6 см и 3 см. Найти длину третьей стороны, если полусумма высот, опущенных на данные стороны, равна третьей высоте.
В сегменте хорда равна а, а высота равна h. Найти радиус окружности.
Боковые стороны равнобочной трапеции при их продолжении пересекаются под прямым углом. Найти все стороны трапеции, если среднее геометрическое высоты и средней линии равно 2\/3 см, а высота равна 2 см.
Две окружности радиусами R и г внешне касаются. Из центра одной из них проведена касательная к другой, а из полученной точки касания — касательная к первой. Вычислить длину последней касательной.
В окружность с диаметром, равным V12, вписан правильный треугольник. На его высоте, как на стороне, построен другой правильный треугольник, в который вписана новая окружность. Найти радиус этой окружности.
В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу в отношении 7 : 9. В каком отношении (считая части в том же порядке) делит ее высота?
В острый угол, равный 60°, вписаны две окружности, извне касающиеся друг друга. Радиус меньшей окружности равен г. Найти радиус большей окружности.
В равнобедренном прямоугольном треугольнике катет равен а. На какие части делит его биссектриса противолежащего угла?
Окружность касается одного из катетов равнобедренного прямоугольного треугольника и проходит через вершину противолежащего острого угла. Найти радиус окружности, если ее центр лежит на гипотенузе треугольника, а катет треугольника равен а.
В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит катет на отрезки тип (т > п). Найти другой катет и гипотенузу.
Диагональ прямоугольной трапеции и ее боковая сторона равны 4, высота равна 2. Найти длину средней линии.
Радиус окружности г. Найти длину хорды, проведенной из конца диаметра через середину перпендикулярного к нему радиуса.
В круге радиуса г проведена хорда, равная ^. Через один конец хорды проведена касательная к окружности, а через другой — секущая, параллельная касательной. Найти расстояние между ними.
Высота и медиана, выходящие из вершины прямого угла треугольника, относятся, как 40:41. Найти отношение катетов.
В правильный треугольник вписана окружность. В отсеченные окружностью части углов треугольника вписаны малые окружности. Найти сторону треугольника, если радиус малой окружности равен г.
Найти стороны равнобочной трапеции по отношению ее оснований т : п и радиусу вписанного в нее круга г.
В треугольнике основание равно 60 м, высота 12 м и медиана основания 13 м. Найти боковые стороны.
Общая внешняя касательная двух внешне касающихся окружностей есть среднее пропорциональное между их диаметрами. Доказать это утверждение.
Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, удален от концов ее боковой стороны на расстояния 3 см и 9 см. Найти стороны трапеции.
Найти стороны треугольника, зная, что средняя по величине сторона отличается от каждой из двух других на единицу и что проекция большей стороны на среднюю равна 9 единицам.
В прямоугольный треугольник со сторонами 6 см, 8 см и 10 см вписана окружность. Через центр окружности проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Найти средние отрезки сторон треугольника, полученные при пересечении прямых со сторонами.
Данной окружности радиуса R касаются две меньших окружности радиуса г: одна изнутри, другая извне. Дуга между точками касания содержит 60°. Вычислить расстояние между центрами меньших окружностей.
В некоторый угол вписана окружность радиуса 5 см. Длина хорды, соединяющей точки касания, равна 8 см. К окружности проведены две касательные параллельно хорде до пересечения со сторонами угла. Найти стороны образовавшейся трапеции.
Найти острый угол ромба, в котором сторона есть среднее пропорциональное между диагоналями.
Из вершины острого угла ромба опущены два перпендикуляра на продолжения его сторон. Длина каждого перпендикуляра равна 3, а расстояние между их основаниями 3V3. Найти диагонали ромба.
Сравнением отрезков доказать, что среднее арифметическое двух чисел (неравных) больше их среднего геометрического.
Найти радиус окружности, описанной вокруг равнобочной трапеции с основаниями 2 и 14 и боковой стороной 10.
14 В. А. Бачурин
Две хорды а и b продолжены до взаимного пересечения. Найти их продолжения, если они относятся, как т : п.
В прямоугольном треугольнике медианы катетов равны V52 и V^- Найти гипотенузу треугольника.
Общая хорда двух пересекающихся окружностей продолжена, и из точки, взятой на продолжении, проведены к ним касательные. Доказать равенство их длин.
Две медианы треугольника взаимно перпендикулярны. Соответствующие им стороны равны 6 см и 8 см. Найти третью сторону.
Как далеко видно из вертолета, летящего на высоте 5600 м, если радиус Земли принять равным 6000 км?
Периметр прямоугольного треугольника равен 60 см. Найти его стороны, если высота, опущенная на гипотенузу, равна 12 см.
Из одной точки проведены к окружности секущая и касательная. Секущая равна а, а ее внутренний отрезок больше внешнего отрезка на длину касательной. Найти касательную.
Внутри равностороннего треугольника взята точка М, отстоящая от его сторон на расстояния b. с, d. Найти высоту этого треугольника.
Радиус окружности равен г, хорда данной дуги равна а. Найти хорду удвоенной дуги.
К данной окружности проведены две параллельные касательные и третья касательная, пересекающая их. Доказать, что радиус есть среднее пропорциональное между отрезками касательной.
В треугольник вписана окружность радиуса 3 см. Найти стороны треугольника, если одна из них разделена точкой касания на части, равные 4 см и 3 см.
Радиус г окружности составляет | суммы высоты и основания равнобедренного вписанного треугольника. Найти высоту.
| Л/ЛД = —где а и b — длины осно-| Л/ЛД = —где а и b — длины осно-Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно ее основаниям, пересекает боковые стороны в точках М и N. Доказать, что ваний.
| Л/ЛД = —где а и b — длины осно-
| Л/ЛД = —где а и b — длины осно-
При пересечении двух внешне касающихся окружностей радиусов R и г секущей на ней отделились три равных отрезка. Найти их длину.
Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см, а проекция другого катета на гипотенузу равна 16 см. Найти радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Окружность радиуса г касается прямой MN в точке С и проходит через точку А, находящуюся на расстоянии а от МN. Найти |АС|.
§ 8. Правильные многоугольникии вычисление длины окружности
Обозначения: п — число сторон правильного многоугольника; ап — сторона правильного вписанного многоугольника; Ьп — сторона правильного описанного многоугольника; кп — апофема правильного вписанного многоугольника; R — радиус описанной окружности; г — радиус вписанной окружности.
Найти величину угла правильного n-угольника (п = 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 25).
1) Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из внутренних углов которого равен 135°? 150°?
2) Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из внешних углов которого равен 36°? 24°?
Конец валика диаметром в 4 см опилен под квадрат. Найти наибольший размер, который может иметь сторона квадрата.
Конец винта газовой задвижки имеет правильную трехгранную форму. Какой наибольший размер может иметь каждая грань, если цилиндрическая часть винта имеет диаметр 2 см?
Вычислить, какой размер отверстия ж должен иметь ключ для правильной шестигранной гайки, если ширина грани гайки а = 2,5 см.
Величина зазора между гранямиL
гайки и ключа равна 0,5 мм (рис. 14)./।{
Шаблон для углов гаек име- I \#/ -(
ет угол:
а) 90°; б) 120°; в) 135°.
Найти число сторон гаек.Рис-
Окружность радиуса R разделена в отношении 1:2:3, и точки деления соединены хордами. Найти периметр получившегося треугольника.
По данной стороне а построить правильный 8-угольник, 12-угольник.
1) Хорда, перпендикулярная радиусу в его середине, равновелика стороне правильного вписанного треугольника. Доказать это утверждение.
Показать, что к^ = 0,5аз.
1) В правильном треугольнике апофема составляет - вы- 13
соты и - радиуса описанной окружности. Доказать это утверждение.
Разность между радиусами окружностей, описанной вокруг правильного треугольника и вписанной в него, равна т. Найти сторону треугольника.
1) Сторона правильного многоугольника равна а; радиус окружности, описанной вокруг этого многоугольника, равен R. Найти радиус вписанной окружности.
Пусть R — радиус описанной вокруг многоугольника окружности, г — радиус вписанной окружности. Найти сторону этого многоугольника.
В окружность радиуса R = 4 см вписан правильный шестиугольник. Найти проекции его сторон на каждую диагональ.
Доказать, что:
а8 = Я а/2 - V2; 2) к8 ^V^ + V^.
Доказать, что:
ai2 = /? V2 - V3; 2) fci2 = у V2 + V3.
По данному ап = а вычислить R, если п равно:
3; 2) 4; 3) 6; 4) 8; 5) 12.
По данному кп = к вычислить R^ если и равно:
3; 2) 4; 3) 6; 4) 8.
По данному радиусу окружности R и данной стороне ап правильного вписанного n-угольника вычислить сторону Ьп правильного описанного п-угольника.
В окружность вписаны и вокруг нее описаны правильные n-угольники. Найти отношение сторон этих n-угольников (п = 3; п = 6).
В окружность радиуса R вписан правильный n-угольник, и середины его сторон последовательно соединены. Найти сторону нового n-угольника, если п равно:
1) 6; 2) 8.
В правильном 8-угольнике со стороной а соединены середины четырех сторон, взятых через одну, так что получился квадрат. Вычислить сторону квадрата.
Построить правильный 8-угольник отсечением углов данного квадрата.
С помощью срезывания углов превратить данный правильный треугольник со стороной а в правильный 6-угольник и найти его сторону.
В окружность радиуса R вписан правильный многоугольник со стороной ап. Удвоить число сторон этого многоугольника и
доказать, что а^п = V 2Я2 — ^R J R2 — ^.
Сторона правильного вписанного в окружность треугольника равна Ь. Найти радиус окружности и сторону вписанного в окружность квадрата.
В окружность, радиус которой равен 4 дм, вписан правильный треугольник, на стороне которого построен квадрат. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.
В окружность радиуса R вписан правильный треугольник, в который вписана окружность, а в эту окружность вписан квадрат. Найти сторону квадрата.
Вокруг правильного треугольника со стороной а описана окружность; вокруг этой окружности описан квадрат, а вокруг него — окружность. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.
Общая хорда двух пересекающихся окружностей равна а и служит для одной окружности стороной правильного вписанного треугольника, а для другой — стороной вписанного квадрата. Вычислить расстояние между центрами окружностей.
Центры двух пересекающихся окружностей лежат по одну сторону от их общей хорды, имеющей длину а и стягивающей в одной окружности дугу в 60°, а в другой — дугу в 30°. Вычислить расстояние между центрами.
Каждая сторона а правильного треугольника разделена на три части одинаковой длины, и соответственные точки деления (считая в одном направлении) соединены между собой, в результате чего получился новый треугольник. Найти радиус вписанной в него окружности.
В ромб вписать квадрат, стороны которого параллельны диагоналям ромба.
Один из двух квадратов со стороной а, наложенных друг на друга, повернут около центра на 45°. Найти периметр образовавшейся при этом звезды.
1) Окружность радиуса R разделена на шесть равных по длине частей, и точки деления соединены хордами через одну. Найти сторону полученной шестиугольной звезды.
Окружность радиуса R разделена на восемь равных по длине частей, и точки деления соединены хордами через одну. Найти сторону восьмиугольной звезды.
Найти отношение между длинами сторон треугольника, если величины углов его относятся, как 1:2:3.
Середина полуокружности соединена с концами диаметра, и через середины соединяющих отрезков проведена хорда. Каждый из боковых отрезков хорды равен с. Найти радиус окружности.
В сегмент с дугой в 120° и высотой h вписан прямоугольник, у которого основание в 4 раза больше высоты. Найти высоту прямоугольника.
На каждой из двух половин отрезка построены, как на диаметрах, две окружности, и из каждого конца этого отрезка проведены касательные к окружности, построенной у другого конца. Доказать, что отрезок, соединяющий точки пересечения касательных, равновелик стороне квадрата, вписанного в одну из окружностей.
Расстояние между серединами двух зубцов зубчатого колеса, имеющего 0,66 м в диаметре, равно 34,5 мм, считая по дуге. Сколько зубцов имеет колесо?
Шкив имеет в диаметре 1,4 м и делает 80 оборотов в минуту. Вычислить скорость движения точки, лежащей на окружности шкива.
По данному радиусу R найти длину дуги, содержащей:
45°; 2) 24°30'; 3) 5°14'15".
Найти радиус дуги, если ее длина равна /, а градусная мера:
Рис. 15Рис. 151) 135°; 2) 10°40'.
Рис. 15
Рис. 15
Окружность шкива (рис. 15) имеет длину 540 мм, ремень касается шкива по дуге длиной 200 мм. Найти угол а обхвата шкива ремнем.
Радиус железнодорожного закругления равен 1200 м; длина дуги равна 450 м. Сколько градусов содержит дуга?
Окружность радиуса 2 см разогнута в дугу радиуса 5 см. Найти получившийся центральный угол.
Дуга радиуса 4 см, измеряющая центральный угол в 120°, равна длине некоторой окружности. Найти радиус этой окружности.
Окружность радиуса 6 см разогнута в дугу, измеряющую центральный угол в 300°. Найти радиус дуги.
Найти число градусов дуги, если даны ее радиус R и длина I:
я = 10, Z = 45; 2) Я = 15, / = 6.
Сколько градусов и минут в дуге, длина которой равна радиусу fl = 0,31831)?
\ 7Г/
По данной хорде а вычислить длину ее дуги, если она содержит:
1) 60°; 2) 90°; 3) 120°.
По данной длине дуги I найти ее хорду, если дуга содержит:
60°; 2) 90°; 3) 120°.
1) На сколько увеличится длина окружности, если радиус увеличить на т?
Диаметр экватора на глобусе 0,75 м, диаметр воображаемого экватора Земли 13 000 км. Если мысленно увеличить длину каждого экватора на 1 м, то как изменятся радиусы?
Стальная труба со стенками толщиной в 6 мм имеет в сечении внешнюю окружность длиной 22 см. Найти длину внутренней окружности.
Вычислить длину окружности, если она больше периметра правильного вписанного шестиугольника на 7 см.
Дуга сегмента содержит 120° и имеет длину I. Вычислить длину окружности, вписанной в этот сегмент.
Из конца дуги АВС, содержащей 120°, проведены касательные до взаимного пересечения в точке D, и в полученную фигуру ABCD вписана окружность. Доказать, что длина этой окружности равна длине дуги АВС.
Найти катеты прямоугольного треугольника, если они относятся между собой, как 20 : 21, а разность между радиусами описанной и вписанной окружностей равна 17 см.
§ 9. Площади фигур
Сколько потребуется плиток, имеющих форму правильного шестиугольника со стороной 8 см, чтобы выстлать пол площадью 4,5 м х 3,8 м? На бой прибавить 5 %.
Можно ли составить паркет из плиток, имеющих форму:
правильных треугольников;
правильных пятиугольников;
правильных шестиугольников?
Найти площадь квадрата по его диагонали I.
Найти площадь квадрата, вписанного в окружность радиуса R.
Вычислить площадь ромба, если его сторона равна а, а радиус вписанной окружности г.
На сколько увеличится:
а) длина окружности; б) площадь круга, если радиус окружности R увеличить на 1 см?
В квадрат вписаны 4 окружности, касающиеся друг друга и сторон квадрата. Доказать, что сумма площадей четырех кругов равна площади круга, вписанного в квадрат.
Во сколько раз площадь описанного квадрата больше площади вписанного (в ту же окружность)?
Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найти острый угол параллелограмма, если площадь параллелограмма равна половине площади прямоугольника.
Начертить квадрат и ромб, периметры которых одинаковы. Площадь какой из этих фигур больше? Почему?
В прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что одна из его сторон находится на гипотенузе. Боковые отрезки гипотенузы равны тип. Найти площадь этого квадрата.
Из каждой вершины данного квадрата проведена в следующую вершину внутренняя дуга в 120°, и точки пересечения дуг соединены между собой, отчего получился внутренний квадрат. Найти отношение площадей квадратов.
Из точки, взятой на гипотенузе, проведены перпендикуляры к обоим катетам. Найти площадь прямоугольника, отсеченного этими перпендикулярами, если отрезки катетов при гипотенузе равны тип.
По данным катетам а и b найти высоту, проведенную к гипотенузе.
Найти площадь равнобедренного прямоугольного треугольника по его гипотенузе с.
Найти площадь равностороннего треугольника:
по его стороне а; 2) по его высоте h.
Найти сторону равностороннего треугольника по его площади Q.
Найти площадь треугольника, стороны которого равны высотам треугольника предыдущей задачи.
Найти площадь правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса R.
Найти площадь круга, вписанного в треугольник предыдущей задачи.
Найти сторону ромба, если его диагонали относятся, как т : п. а площадь равна Q.
Из середины основания треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Доказать, что полученный таким образом параллелограмм равновелик половине треугольника.
Превратить треугольник в равновеликий ему параллелограмм.
На сторонах равностороннего треугольника построены квадраты, и свободные вершины их соединены. Найти площадь полученного шестиугольника, если сторона данного треугольника равна а.
Данный квадрат со стороной а срезан по углам так, что образовался правильный восьмиугольник. Найти площадь этого восьмиугольника.
Стороны треугольника 13 см, 14 см, 15 см. Вычислить радиус окружности, которая имеет центр на средней стороне и касается двух других сторон.
Площадь трапеции делится диагональю в отношении 3 : 7. В каком отношении она делится средней линией (начиная от меньшего основания)?
Найти площадь равнобочной трапеции, у которой диагонали взаимно перпендикулярны, а высота равна к.
Найти площадь равнобочной трапеции, если ее диагональ равна с и образует с большим основанием угол 45°.
В круге радиуса R по одну сторону от центра проведены две параллельные хорды, стягивающие дуги в 60° и 120°, и концы соединены. Найти площадь полученной трапеции.
На сторонах прямоугольника построены вне его равносторонние треугольники, и свободные их вершины соединены. Найти площадь получившегося четырехугольника, если стороны данного прямоугольника а и Ь.
Вычислить площадь треугольника, если основание равно а, а углы при основании 30° и 45°.
1) Построить квадрат, равновеликий сумме двух данных квадратов со сторонами а и b (а = 5 см и b = 12 см).
Построить квадрат, площадь которого в три раза больше площади данного квадрата со стороной а.
1) Найти сторону правильного шестиугольника по его площади S.
Найти площадь круга, вписанного в этот шестиугольник.
По данному радиусу R найти площади правильных вписанных восьмиугольника и двенадцатиугольника.
На прямой, проходящей через середины оснований трапеции, взята точка и соединена со всеми вершинами трапеции. Доказать, что
треугольники, прилежащие к боковым сторонам трапеции, равновелики.
На сторонах прямоугольного треугольника построены квадраты, и свободные вершины их соединены. Найти площадь полученного шестиугольника, если катеты данного треугольника равны а и Ь.
Какую часть площади (считая от вершины) отсекает средняя линия треугольника?
Высота треугольника равна h. На каком расстоянии от вершины находится параллель к основанию, делящая площадь треугольника пополам?
Какую часть площади одноименных описанных фигур составляют площади следующих вписанных фигур:
1) правильного треугольника; 2) квадрата;
правильного шестиугольника
(вопрос решить, не вычисляя самих площадей).
В параллелограмме соединены, если идти в одном направлении, середина каждой стороны с концом следующей, в результате чего получился внутренний параллелограмм. Доказать, что его пло- 1
щадь составляет - площади данного параллелограмма.
Как относятся между собой основания такой трапеции, которая равновелика своему дополнительному треугольнику?
Треугольник и вписанный в него ромб имеют общий угол. Стороны треугольника, заключающие этот угол, относятся, как т : п. Найти отношение площади ромба к площади треугольника.
Параллелограмм имеет стороны а = 8сми6 = 4 см. Превратить его в равновеликий ему параллелограмм с таким же углом и основанием b = 6 см.
Отношение катетов прямоугольного треугольника равно 1,05, разность между радиусами описанной и вписанной окружностей 1,7 м. Вычислить площадь треугольника.
Вычислить площадь треугольника, если две стороны его равны 27 см и 29 см, а медиана третьей стороны 26 см.
Найти площадь равнобочной трапеции с основаниями в 10 см и 26 см и диагоналями, перпендикулярными боковым сторонам.
В равнобочной трапеции, описанной вокруг круга, боковая сторона а, а угол при основании 30°. Найти ее площадь.
Прямые, параллельные основанию, делят площадь треугольника в отношении 9 : 55 : 161 (от вершины к основанию). В каком отношении делятся боковые стороны?
Площадь прямоугольного треугольника разделена пополам прямой, перпендикулярной гипотенузе. Найти расстояние ее от вершины меньшего острого угла, если больший катет равен 20 м.
В треугольнике две стороны равны 11 и 23, а медиана третьей стороны 10. Найти третью сторону.
Медианы равнобедренного треугольника равны 15, 15 и 18. Вычислить площадь треугольника.
Сечение железобетонной сваи имеет вид правильного восьмиугольника. Наибольшее расстояние между противоположными вершинами равно 224 мм. Найти площадь сечения.
Построить круг, площадь которого была бы равна:
9 см2; 2) 16 см2
(построение выполнить приближенно).
Доказать, что во всяком треугольнике произведение двух сторон равно произведению диаметра описанной окружности на высоту, опущенную на третью сторону.
Площадь треугольника равна S; его периметр равен а + b + + с = 2р. Доказать, что:
S
радиус вписанной окружности г = —;
abc
радиус описанной окружности К =
В окружность радиуса R вписан прямоугольник ABCD. Найти его площадь, если дуга АВ содержит а градусов, где а равно:
1) 30°; 2) 45°; 3) 60°; 4) 90°.
Найти площадь круга, если площадь вписанного в соответствующую окружность квадрата равна F.
Площадь круга и длина его окружности выражаются одним и тем же числом. Найти радиус и доказать единственность его значения.
Найти отношение между площадями вписанного и описанного кругов:
для правильного треугольника; 2) для квадрата;
для правильного шестиугольника.
Расстояние между противоположными гранями восьмигранного стального прута равно 36 мм. Вычислить площадь поперечного сечения.
Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его боковую сторону в отношении 5 : 3 (начиная от вершины), а площадь — на части, разность которых равна 56 см2. Найти площадь треугольника.
Построить квадрат:
равновеликий разности двух данных квадратов;
равновеликий сумме п данных квадратов.
Доказать, что три медианы треугольника делят его площадь на шесть равновеликих треугольников.
Какой груз выдерживает пеньковый канат, имеющий 18 см в окружности, если допускаемая нагрузка равна 10 МПа?
Две трубы с диаметрами в 6 см и 8 см требуется заменить одной трубой той же пропускной способности. Найти ее диаметр.
Площадь кругового кольца равна S. Радиус большей окружности равен длине меньшей окружности. Найти радиус последней.
Найти отношение площадей правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника, длины сторон которых равны.
Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см, разбивает его на две части. Найти их площади.
В кольце, образованном двумя концентрическими окружностями, хорда большей окружности, касающаяся меньшей, равна а. Найти площадь кольца.
Окружности касаются шесть равных ей окружностей, касающихся также между собой, и полученное соединение семи равных окружностей охвачено таким концентрическим кольцом, которое равновелико их сумме. Доказать, что ширина кольца равна радиусу окружностей.
Радиус сектора равен г, а площадь равна q. Найти величину центрального угла и дуги, на которую он опирается.
Полуокружность радиуса г разделена на 3 равные части, и точки деления соединены с одним из концов диаметра. Найти площадь средней части полукруга.
Площадь круга равна Q. Найти площадь вписанного в окружность прямоугольника, стороны которого относятся, как т : п.
Найти стороны прямоугольника, вписанного в окружность о1
радиуса К, если его площадь составляет - площади круга.
Найти площадь между вписанной и описанной окружностями для правильного треугольника с площадью Q.
Два одинаковых полукруга наложены так, что диаметры их параллельны, а полуокружность одного проходит через центр другого. Найти площадь общей части полукругов по данному их радиусу R.
В правильном треугольнике со стороной а проведены дуги через его центр и вершины. Найти площадь полученной розетки.
Найти площадь круга, если известны стороны сц Ь, с вписанного в окружность треугольника.
Стороны а, Ь. с треугольника относятся как 2:3:4. В него вписан полукруг с диаметром, лежащим на большей стороне. Найти площадь полукруга.
На сторонах ромба описаны, как на диаметрах, полуокружности, обращенные внутрь. Диагонали ромба равны а и Ь. Найти площадь полученной розетки.
В прямоугольном треугольнике высота делит гипотенузу на отрезки 32 см и 18 см. Вычислить площадь вписанного круга.
§10. Приложение алгебры к геометрии)
Построить треугольник со сторонами V2, V5, V^.
Указать измерения следующих выражений, в которых каждая буква, кроме тг, обозначает длину отрезка:
abc; 2) тгг2/г; 3) За ; 4) T?V2-V2;
2 о —|- с а
6) р^р - а^Р - Ь^Р -
Построить отрезки, выражаемые следующими рациональными формулами:
ж = з|а; 2) х = а — (6 +3d); 3) х = Зс — (2m — п);
.х ^ababа2
516>'т=г 2
х = тгг (линию длиной тгг); 8) х = ^—,9) х=
stс а
616. Построить отрезки, выражаемые следующими формулами:
617. Построить квадрат, равновеликий данному равностороннему треугольнику со стороной а.
Построить круг, площадь которого вдвое больше площади данного круга с радиусом R.
Площадь данного круга с радиусом R разделить пополам концентрической окружностью.
3
Построить квадрат, равновеликий - параллелограмма со стороной а и опущенной на нее высотой h.
Построить круг, равновеликий кольцу между двумя концентрическими окружностями с радиусами R и г.
По данному основанию а и прилежащему к нему углу в 30° построить треугольник, равновеликий данному треугольнику с основанием b и высотой h.
Разделить данный отрезок а в среднем и крайнем отношении, т. е. разделить его на две части так, чтобы большая часть была средним пропорциональным между всем отрезком и его меньшей частью.
На продолжении диаметра окружности радиуса г найти такую точку, чтобы касательная, проведенная из нее к данной окружности, была равна диаметру.
Найти большую часть при делении отрезка в среднем и крайнем отношении, если меньшая часть равна Ь.
Если меньшую часть отрезка, разделенного в среднем и крайнем отношении, отложить на большей части, то большая часть также разделится в среднем и крайнем отношении. Доказать это утверждение.
Диаметр разделен в среднем и крайнем отношении перпендикуляром, проведенным из точки окружности. Радиус окружности равен г. Найти длину перпендикуляра.
Если радиус круга разделить в крайнем и среднем отношении и, взяв большую часть, описать ею концентрическую с данной окружность, то площадь данного круга также разделится в среднем и крайнем отношении, причем большей частью будет кольцо. Доказать это утверждение.
Площадь данного треугольника разделить пополам прямой, параллельной его основанию.
В данный треугольник вписать прямоугольник, основание которого относилось бы к высоте, как т : п.
В ромб с диагоналями di и d^ вписать прямоугольник, стороны которого были бы параллельны диагоналям ромба, а площадь была бы равна - площади ромба.
Площадь треугольника разделить пополам прямой, перпендикулярной основанию.
. Решение треугольников. Задачи по планиметрии с применением тригонометрических функций
Обозначения: а, b и с — длины сторон треугольника; А, В и С — величины противолежащих им углов; S — площадь; 2р — периметр; R — радиус описанной окружности; г — радиус вписанной
окружности; hai 1а и т^а — длины высоты, биссектрисы и медианы, соответствующих стороне а.
При съемке равномерно поднимающейся улицы длиной 728 м установлено вертикальное повышение в 37,4 м. Найти угол подъема и горизонтальную проекцию улицы.
В полдень при высоте Солнца в 28° фабричная труба бросает тень длиной 76 м. Вычислить высоту трубы.
Ширина каждой ступеньки домовой лестницы равна 25 см. Какова должна быть высота ступеньки для того, чтобы угол подъема лестницы был равен 40°?
Две прямые улицы пересекаются под углом 51°50'. Одна из них на расстоянии 1625 м от места пересечения должна быть соединена кратчайшим путем со второй. Найти длину этого кратчайшего переулка.
По основанию b и боковой стороне а равнобедренного треугольника вычислить угол при основании (Ь = 28,13; а = 17,53).
Угол а. вписанный в окружность, опирается на хорду, длина которой а сантиметров. Найти радиус окружности.
По сторонам а и b прямоугольника определить углы, которые его диагональ образует со сторонами (а = 75,2 см; b = 63,6 см).
По диаметру Земного шара, равному 12740 км, и по широте места ср определить длину окружности параллельного круга, соответствующего этому месту (ср = 57°5Z).
В задачах 641-645 решить прямоугольный треугольник по следующим данным.
Гипотенуза и острый угол:
с = 18,2; Л = 32°20'; 2) с = 0,7979; Л = 66°36'.
Катет и острый угол:
а = 6,37; Л = 4°35/; 2) 6 = 0,1738; Л = 35°55'.
Катет и острый угол:
а = 18,003; В = 43°; 2) 6 = 0,2954; В = 29°38'.
Гипотенуза и катет:
с = 697; а = 528; 2) с = 1710; 6 = 823.
Оба катета:
а = 261; 6 = 380; 2) а = 0,09784; 6 = 0,10003.
Решить равнобедренный треугольник, если даны:
S = 250; а : 6 = 7 : 4;2) S = 56; боковая сторона а = 14;
3) 2р = 40,65; угол при основании А = 72°47'.
Одна из диагоналей параллелограмма равна d и делит его угол на два угла а и (3. Найти стороны параллелограмма.
В треугольнике даны сторона а и два прилежащих к ней угла В и С. Найти биссектрисы 1а^ь и U всех углов треугольника.
Доказать, что площадь параллелограмма равна произведению двух смежных сторон его на синус угла между ними.
Доказать, что площадь всякого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
Найти площадь Q прямоугольника по длине его диагонали d и углу ср между диагоналями.
Основания трапеции а и Ь, боковая сторона с, прилежащий к ней угол а. Найти площадь трапеции.
Найти площадь треугольника по двум углам Л и В и высоте кь-
В задачах 654-662 решить косоугольные треугольники с помощью таблиц тригонометрических функций или калькуляторов по следующим данным.
Сторона и два угла:
а = 370; В = 86°3'; С = 50° 55';
с = 15,948; А = 51°39'; В = 18°19'.
Две стороны и угол между ними:
а = 510; 6 = 317; С = 76°19';
6 = 40,326; с = 32,114; А = 73°40'.
Две стороны и угол против одной из них:
а = 492; 6 = 354,9; Л = 50°12';
а = 2579,8; с = 10; Л = 130°22'.
Три стороны:
а = 19; 6 = 34; с = 49;
а = 1,2345; 6 = 2,3456; с = 3,4567.
1) 5 = 501,97; А = 15°29'; В = 45°12';
ha = 5,3708; В = 115°10/; С = 5°9'.
1) 1а = 0,7587; В = 98°31'; С = 4°25/;
г = 5; Л = 22°37'; В = 39°18'.
1) a = 23; 6 = 45; В = 25,098;
а = 120; 6 = 29; hc = 23,762.
1) а = 6; В = 8; 5 = 12; 2) 6 = 98; с = 76; тс = 68.
1) ha = 8; hb = 12; hc = 18; 2) 6 = 42; с = 28; la = 12,809.
По данной стороне а правильного вписанного п-угольника вычислить сторону b правильного описанного п-угольника.
Найти наименьшую диагональ правильного п-угольника, сторона которого а см.
Вычислить площадь правильного п-угольника, описанного вокруг окружности радиуса R.
Найти площадь равнобочной трапеции, диагональ которой равна а и составляет с основаниями угол а.
В круге радиуса R проведены две параллельные хорды, каждая из которых стягивает дугу в а градусов. Найти ту часть площади круга, которая заключена между хордами.
Вычислить острый угол ромба, в котором сторона есть среднее пропорциональное между диагоналями.
Вычислить длину наибольшей диагонали правильного п-угольника, сторона которого равна а, для двух случаев:
1) п — число четное; 2) п — число нечетное.
Вокруг окружности радиуса г описан ромб с острым углом а. Вычислить площадь ромба (г = 5; а = 36°47').
Площадь равнобедренного треугольника равна Q, угол при вершине р. Вычислить высоту (Q = 450; Р = 73°).
Вычислить площадь правильного п-угольника по его стороне а (п = 12; а = 10 см).
Вычислить площадь правильного п-угольника, вписанного в окружность радиуса R (п = 12; R = 7).
Сторона правильного 6-угольника равна 84 см; вычислить сторону равновеликого ему правильного 7-угольника.
Правильные 9-угольник и 10-угольник имеют одинаковые периметры. Как относятся их площади?
Вычислить площадь сектора, если его радиус равен 8 см, а радиус вписанной в него окружности равен 2 см.
Хорда длиной а делит круг радиуса R на два сегмента. Найти площадь меньшего из них (а = 3,5 см; R = 6,2 см).
Полуокружность разделена в отношении 4 : 7, и из точки деления опущен перпендикуляр на диаметр. Вычислить отрезки диаметра, если его длина равна 11 см.
В параллелограмме даны острый угол а и расстояния а и b от точки пересечения диагоналей до неравных сторон. Вычислить диагонали и площадь параллелограмма.
15 В. А. Бачурин
Вычислить площадь, заключенную между тремя взаимно касающимися окружностями, радиусы которых 1 м, 2 м и 3 м.
2
Даны две стороны треугольника b и с и его площадь S = - Ьс. Найти третью сторону а.
Внутри круга радиуса г = 13 см дана точка М, отстоящая от центра на 5 см. Через точку М проведена хорда |ЛВ| = 25 см. Вычислить длины отрезков, на которые хорда АВ делится точкой М.
В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен а. Найти отношение радиусов описанной и вписанной окружностей.
Вокруг окружности радиуса R описан равнобедренный треугольник с углом 120°. Найти его стороны.
Вокруг прямоугольника описана окружность, а вокруг нее — ромб со стороной а и углом 60°. Найти площадь прямоугольника.
Площадь трапеции равна Q, углы при большем основании а и (3. Найти радиус вписанной окружности.
Вокруг правильного n-угольника со стороной а описана окружность, и в него вписана окружность. Найти площадь кольца между этими окружностями и ширину его.
Две касательные к окружности радиуса R образуют угол 2се. Найти площадь между ними и окружностью.
Ромб с острым углом а и стороной а разделен отрезками, исходящими из вершины этого острого угла, на три равновеликие части. Вычислить длину этих отрезков.
Внутри угла 60° расположена точка на расстояниях а и b от его сторон. Найти расстояние этой точки до вершины данного угла.
Найти площадь треугольника, если даны а и b — длины его сторон и t — длина биссектрисы угла между этими сторонами.
Высота равнобочной трапеции равна h, острый угол между ее диагоналями равен а. Найти среднюю линию трапеции.
Даны площадь прямоугольного треугольника S и острый угол а. Найти расстояние от точки пересечения медиан до гипотенузы.
В параллелограмме со сторонами а и b и острым углом а найти тангенсы углов, образуемых его диагональю со сторонами.
Основание равнобедренного треугольника а, угол при вершине а. Найти биссектрису, проведенную к боковой стороне.
Общая внешняя касательная двух внешне касающихся окружностей составляет с линией центров угол а. Найти отношение радиусов этих окружностей.
Диагональ прямоугольника равна d и делит угол прямоугольника в отношении т : п. Найти периметр прямоугольника.
В равнобедренном треугольнике даны основание а и угол при основании а. Найти медиану, проведенную к боковой стороне.
Найти отношение периметра трапеции, описанной вокруг окружности, к длине этой окружности, если углы при большем основании трапеции равны а и (3.
Площадь равнобедренного треугольника равна S, угол между высотой, проведенной к боковой стороне, и основанием равен а. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник.
В равнобедренном треугольнике угол между боковыми сторонами равен а, радиус вписанной окружности г. Найти площадь треугольника.
Вокруг окружности описана прямоугольная трапеция с острым углом а. Найти высоту трапеции, если ее периметр равен Р.
В окружность вписан равнобедренный треугольник с углом а при основании. Найти отношение площадей треугольника и круга.
В треугольнике даны две стороны а и b и угол а между ними. Найти биссектрису, проведенную к третьей стороне.
В сегмент, дуга которого равна а, вписан правильный треугольник с площадью S. Одна его вершина лежит на середине дуги, а две другие — на хорде. Найти радиус дуги сегмента.
Правильный треугольник пересечен прямой, проходящей через середину одной из его сторон и составляющей с ней угол а. В каком отношении разделилась площадь треугольника?
Найти отношение площади сектора с данным центральным углом а к площади вписанного в него круга.
Боковые стороны трапеции равны р и q (р < ^), а — большее основание. Углы при нем относятся, как 2:1. Найти меньшее основание.
Площадь равнобочной трапеции равна S, острый угол между ее диагоналями а. Найти высоту трапеции.
Большее основание вписанной в окружность трапеции совпадает с диаметром окружности, угол при основании равен а. В каком отношении точка пересечения диагоналей делит ее высоту?
Окружность радиуса R делится вершинами вписанного в нее треугольника в отношении 2:5: 17. Найти площадь треугольника.
В сектор радиуса R вписана окружность радиуса г. Найти периметр сектора.
В остроугольном равнобедренном треугольнике радиус вписанной окружности г, описанной — R. Найти углы треугольника, если R = 4г.
В равнобедренном треугольнике угол при основании а, радиус вписанной окружности г. Найти радиус описанной окружности.
Дуга АВ сектора АОВ содержит а радиан. Через точку В и середину С радиуса О А проведена прямая. В каком отношении эта прямая делит площадь сектора?
Основания равнобочной трапеции а и b (а > Ь), острый угол а. Найти радиус описанной окружности.
В равнобочной трапеции угол при меньшем основании а. Радиус вписанной окружности г. Найти радиус описанной окружности.
Найти острые углы прямоугольного треугольника, если отношение радиусов описанной и вписанной окружностей равно 5:2.
Во всяком треугольнике разность между суммой квадратов двух его сторон и произведением этих сторон, умноженным на косинус угла между ними, есть величина постоянная. Доказать это утверждение.
Показать, что если в треугольнике отношение суммы синусов двух углов к сумме их косинусов равно синусу третьего угла, то треугольник прямоугольный.
ГЕОМЕТРИЯ. СТЕРЕОМЕТРИЯ
Начальные понятия
В заданной пространственной прямоугольной системе координат построить точки по их координатам: А(3;2;1), В(4;—1;0), С(—5; 0; 0), В(0; 0; 4). Какие из этих точек расположены:
1) в плоскости хОу', 2) на оси Ох* 3) на оси Oz?
Найти объединение всех прямых, проходящих через данную точку пространства параллельно данной плоскости.
Куб с ребром а стоит на плоскости хОу, центр его основания совпадает с началом координат, боковые ребра лежат в координатных плоскостях. Найти координаты вершин этого куба.
Найти основания перпендикуляров, опущенных из точки А(1; 2; 3) на координатные оси и координатные плоскости.
Вычислить расстояния точки М^ 2; — 3) от:
координатных плоскостей;
осей координат;
начала координат.
Вычислить координаты точки I октанта по расстояниям ее от осей координат: dx = 5; dy = 3 V5; dz = 2 V13-
Найти направления лучей ОР и OQ по координатам точек Р(3; 2; 6) и Q(a; а; а).
Вычислить координаты точек, равноотстоящих от точек (0; 0; 1), (0; 1; 0), (1; 0; 0) и отстоящих от плоскости yOz на расстояние 2.
На оси Oz найти точку, равноудаленную от точек А(—4; 1; 7) и В(3;5; -2).
Проверить, что четырехугольник ABCD с вершинами в точках А(1; 3; 2), В(0; 2; 4), С(1; 1; 4), D^ 2; 2) является параллелограммом.
На координатной плоскости yOz найти точку, одинаково удаленную от трех данных точек: А(3; 1; 2), В(4; —2; —2) и С(0; 5; 1).
Проверить, что середина отрезка с концами в точках А (а; с; — Ь) и В(—а; d^ b) лежит на оси Оу.
Шаровая поверхность проходит через начало координат и через точки точки А (4; 0; 0), В(1; 3; 0) и С(0; 0; —4). Найти координаты центра и радиус шара.
Показать, что координатная плоскость хОу делит пополам расстояние между точками М(а; Ь\ с) и N^p; q: — с).
Известны один конец отрезка А(2; 3; — 1) и его середина С(1; 1; 1). Найти другой конец этого отрезка.
Даны две точки Л/(0; — 1; 2) и 7V(1; 0; 3). Найти симметричные им точки М-^х, у; z) и Ni(xv, у-^ zi) относительно координатных плоскостей.
Найти координаты точек, симметричных точкам М и N предыдущей задачи относительно начала координат.
Даны точки В(3; —1; 2) и Q(a;b;c). Вычислить координаты точек, симметричных им относительно:
1) координатных плоскостей; 2) осей координат;
начала координат.
Найти а,Ь,с в формулах параллельного переноса х’ = ж + а; у' = у + b; z' = z + с, если при этом параллельном переносе точка А(1; 0; 2) переходит в точку А'^ 1; 0).
Существует ли параллельный перенос, при котором точка А переходит в точку В, а точка С переходит в точку В, если:
Л(1; 1;0), В(0;0;0), С(-2;2;1), 0(1; 1; 1);
Л(0;1;2), В(-1;0;1), 0(3;-2; 2), D^ -3; 1)?
При параллельном переносе точка А(2; 1; — 1) переходит в точку АД1; — 1; 0). В какую точку переходит начало координат?
Параллельный перенос переводит точку Л4(0; 1; 2) в точку N(—1; 0; 1). В какую фигуру он переводит треугольник АВС с вершинами А(3; -2; 2), В(-1; 1; 0), С(2; 0; 3)?
§ 2. Векторы в пространстве
Основные формулы
Пусть в пространственной прямоугольной системе координат дана некоторая точка М со своими координатами М^у^У тогда г = ОМ = ^у^У |г| = |Д = \к\ = 1. Иногда записывают и так: ОМ(х; у, z).
Непосредственно из рис. 16 следует: ОМ) = ж?; ОМ^ = yj; ОМ3 = = zk; f=OM = ОМ4 + ОМз = ОМ1 + ОМ2 + ОМ3, т. е.
г = ОМ = жг + yj + zk,(1)
ОМ2 = ОМ? + ОМ? = ОМ? + ОМ? + ОМ? = ж2 + у2 + z2,
А_ОО)
|г| = I ОМ I = ОМ =|г| = I ОМ I = ОМ =Рис. 17Рис. 17
|г| = I ОМ I = ОМ =
|г| = I ОМ I = ОМ =
Рис. 17
Рис. 17
| ОМ I = V^ + y^ + z2.(2)
Из прямоугольного треугольника ММ^О (угол ММ^О прямой) сле- Xп 11Z
дует: cosq = — : точно так же cosp = ^- и cos 7=—, или
ИНИ
^/ж^-й^+^2л/^А-у2^-^2л/ х2 А-у2 A- z2
(3) Если начало и конец вектора не совпадают с началом координат, А(хг-yv, ^1), В^х^ у^ z2) (рис. 17), то
АВ = ОВ-ОА = (x2iA-y2j + ^2^) - (жп + yij + zi&) =
= (ж2-Ж1)Г+(?/2-^1)7+(^2-^1)^, ИЛИ
АВ = (х2-ХГ, У2-УГ, ^2-^1),(4)
е. проекции (координаты) вектора АВ получаются вычитанием из координат конца вектора координат его начала.
Построим вектор ОМ = АВ (где точка О — начало координат), тогда ОМ = (х2 -х- у2-уг, z2-zi)h
| АВ I I ОМ I = рТР^Рр-ТрРГррТй^ (5) Направляющими косинусами будут
Ж2-Ж1у2- У\Z2-Z\z_x
cos а = —, cos р = -—,cos 7 = —-—.(6)
\АВ\\АВ\\АВ\
Из формул (3) и (6) следует соотношение между направляющими косинусами вектора:
(7)(7)cos2 а + cos2 3 + cos2 7 = 1.
(7)
(7)
23. Построить вектор г = ОМ = 2г + 3j + 6&, вычислить его длину и направление.
Решение (см. рис. 18).
а) |г| = | ОМ | = У22 + 32 + б2 = 7;
б)
б) cos а = |; cos (3 =
3
6
-; cos 7 = -
717
24. Даны точки Л(1; 2; 3) и В(3; — 4; 6). Найти длину и направление вектора АВ (проверить направление вектора с помощью формулы cos2 а + cos2 Д + cos2 7 = = 1)-
Решение.
a) АВ = (3 — 1)Г+(—4 — 2)/+
+ (6-3)fe, или АВ = (2; —6; 3);
| АВ | = 722 + (—6)2 +32 = 7; cosa = |; cos/З = Д; COS7 = |; А + ^ + А = 1.
494949
Доказать, что единичный вектор fl (|n| = 1), сонаправленный с ОМ, имеет координаты (cosa; созД; cos7).
Доказательство.
По определению, пр^а = |а| • cos (а; Ь).
Так как |n| = 1, то прож п = |п| • cos а = 1 • cos а = cos а. Точно так же про^п = |п| • cos Д = cos Д и про^п = |n| - cos7 = cos7. Значения этих проекций и есть координаты вектора п.
Итак, п = (cos a; созД; cos7).
Доказать равенство cos2 а + cos2 Д + cos2 7 = 1 для любого вектора в пространстве.
Доказательство. Пусть г = (ж; р*, z), тогда
XпиZ
cos а = —.=; cos Д =—.=;cos7=—.=.
^/ж2 + ?/2 + 2;2^/ж2 + ?/2 + 2;2^/ж2 + ?/2 + 2;2
Отсюда
cos2 а + cos2 Д + cos2 7 =
27. Вычислить 7, если а = Д = 60°.
Решение.
cos2 60° + cos2 60° + cos2 7 = 1,
2!2!11, 1, V2
9 + 9 +cos 7 = 1; COS 7 = 1-- = -; COS7 = +—=+ — ;
71=45°,72 = 135О.
Даны две координаты вектора: х = 4, у = —12. Вычислить его третью координату % при условии, что |а| = 13.
Найти точку М^ с которой совпадает конец вектора а(3; — 1; 4), если его начало совпадает с точкой Л4(1; 2; — 3).
Найти начало вектора а = (2; —3; — 1), если его конец совпадает с точкой (1; — 1; 2).
На какое число нужно умножить ненулевой вектор а, чтобы получить вектор ш, удовлетворяющий следующим условиям:
т tt а и \т\ = 5; 2) т фф а и \т\ = 5;
т фф а и \т\ = Ь: 4) т = 0.
В треугольнике АВС медианы ААу, В By, С Су пересекаются в точке М. Найти множитель к, если:
А^С = кВ"С- 2) СуВ^кС^А- 3) АМ = к м"Аг;
ССу = кСуМ; 5) м"Ву = кв7в- 6) МА^кААу.
Даны четыре точки: А (2; 7; — 3), В(1;0;3), С (—3; — 4; 5), D(—2; 3; — 1). Среди векторов АВ, ВС, DC, AD, АС и BD найти равные векторы.
Вектор ОМ составляет с осью Ох угол 45° и с осью О z — угол 60°; \ОМ\ = 6. Вычислить координаты точки М, если ее координата z отрицательна.
При каких числовых значениях т и п векторы а = —2г + 3J + -Vuk и b = mi — 67 + 2к коллинеарны?
Известны три точки: А(1; 0; 1), В(—1; 1; 2), С(0; 2; — 1). Найти четвертую точку В(ж; у, z) при условии:
1) АВ = С~Ъ- 2) АВ + СВ = 0.
Построить параллелограмм на векторах О А = г -V 3 и О В = = к — Зу, найти векторы, направленные по его диагоналям, и вычислить их длины.
Дан вектор а(1;2;3). Найти коллинеарный ему вектор с началом в точке А(1; 1; 1) и концом В на плоскости хОу.
В точке А(2; 1; — 1) приложена сила В, |В| = 7. Две составляющие этой силы известны: Р = 2г и Q = — 3j. Найти третью составляющую и направление силы R.
Быстро вращающийся винт (пропеллер) вертолета создает силу тяги, устремляющую его в пространство. Будем условно считать, что эта сила R направлена под некоторым углом а к горизонту. Если
разложить силу R на два направления: вдоль линии движения — силу Р и перпендикулярную к ней — силу Q, то получим векторное равенство R = Р + Q. Первая составляющая сила Р создает поступательное движение летящей машины, вторая Q удерживает массу ее в воздухе. Требуется выразить силы Р и Q через известные величины R и а.
Вектор ОМ = р составляет с осями координат равные острые углы. Найти эти углы и построить вектор р, если \р\ = 2 V5.
Вычислить координаты вектора а по следующим данным: \а\ = 8, а = 45°, 7 = 60°.
Вычислить координаты единичного вектора, противоположно направленного вектору АВ, если А(7; 4; —2) и В(1; 2; 1).
Найти координаты векторов АВ и 7 В А, если Л(3; —1; 2) иВ(-1;2;1).
Даны три силы: а = 5г + 2j — 7к, b = Зг + 6j + 4к, с = 12г + 4-3 + 15&. Найти равнодействующую силу и ее направление.
Дан модуль вектора \а\ = 2 и углы а = 45°, Д = 60°, 7 = 120°. Вычислить длины проекций вектора а на координатные плоскости.
Три силы М, N и Р, приложенные к одной точке, имеют взаимно перпендикулярные направления. Вычислить величину их равнодействующей R, если известно, что \М\ = 2 Н, |7V| = 10 Н и \Р\ = = 11 Н.
Дан параллелограмм ABCD. Доказать, что О А 4-О С = ОВ4- 4-0 D, где О — произвольная точка пространства.
Проверить коллинеарность векторов а = (2; — 1; 3) и b = = (—6; — 3; —9). Установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены — в одну или в противоположные стороны.
Проверить, что четыре точки А(3; —1;2), В(1;2; —1), С(—1; 1;—3), В(3; —5; 3) служат вершинами трапеции.
Прикаких тип векторы а(3; —2; т) и b(n*, 1; —2) коллинеарны?
Дано разложение вектора с по базису г, 3 ,к: с = 16г — 15J + + 12&. Представить разложение по этому же базису вектора d, параллельного вектору с и противоположного с ним направления, при условии, что \d\ = 75.
Два вектора а = (2; — 3; 6) и b = (—1; 2; —2) приложены к одной точке. Вычислить координаты вектора с, направленного по биссектрисе угла между векторами а и Ь, при условии, что |с| = 3 V42-
Зная одну из вершин треугольника Л(2; —5; 3) и векторы, совпадающие с двумя его сторонами: АВ(4; 1; 2) и ВС = (3; —2; 5), найти остальные вершины и вектор С А .
2. Скалярное произведение двух векторов
Исходя из определения скалярного произведения двух векторов а и Ь:..
ab = \а\• \b\ cos (а, 6),(1)
проверить равенства:
V = 0; 7^ = 0; z£ = 0; ii = 1; 33 —V kk = V (а)2 = а2.
Исходя из формулы (1) проверить равенство
ab = (xi?+^iJ+^£)(x2?+£/2J+£2£) = хгх2 + У1У2 + ^z2.
Проверить равенства (раскрыв скобки) (57-60).
(2г—3)3 + (3—2k) к + (г— 2k)2 = 2.
(2з-Зк)г^2(Зг^з^к)(к-з) = 0.
3(3г-2з^к)к-(7к-г)з =3.
(г -V3 + к)2 + (г + к^ = 3 + 2(г + к).
Дополнить формулы и объяснить их смысл:
2 Q-xbx А-ауЬуazbz ,2) ^ж ^ ?*
у^а2 + а| + а2 • дДж + ? + ?
3) ахЬх + ? + azbz = 0.
Раскрыть скобки в выражениях и объяснить смысл тех равенств, которые получатся:
1) (а^Ь)2-2) (а^ЬУ^(а-Ь)2.
Можно ли скалярное произведение двух векторов выразить формулами а6 = |а|-пр-6, а6=|6|-пр^а?
Векторы а и b образуют угол ip = -тг; зная, что \а\ = 3; \Ь\ = = 4, вычислить:
1) ab; 2) (а)2; 3) (6)2; 4) (За - 26)(а + 26).
Какую работу производит сила / = (3;—5;2), когда ее точка приложения перемещается из начала координат в конец вектора s(2; -5; -7)?
Какую работу производит сила / = (3; —2; —5), когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения Л(2; — 3; 5) в положение В(3; —2; — 1)?
Даны точки А(а; 0; 0), В(0; 0; 2а) и С(а; 0; а). Построить векторы ОС и АВ и найти угол между ними.
Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах а = 2г +J и b = —2j + к.
Найти угол между биссектрисами углов плоскостей хОу и yOz.
Найти равнодействующую четырех расположенных в одной плоскости сил, приложенных к точке О, если величина каждой силы равна 10 Н, а угол между двумя последовательными силами равен 45°.
При каком значении п данные векторы перпендикулярны:
а(п;-2; 1), 6(n;-n; 1);2) а(4; 2n;-1), 6(-1; 1; п)?
Даны три последовательные вершины параллелограмма А(—3;—2;0), В(3;— 3; 1) и С(5;0;2). Найти его четвертую вершину D и угол между векторами АС и BD.
На осях Ox, Оу, Oz отложены равные отрезки а = 4, и на них построен куб. Пусть М — центр верхней грани, a N — центр правой боковой грани (параллельной координатной плоскости xOz\ Вычислить координаты векторов ОМ и ON и угол между ними.
Даны три точки Л(1;0;1), В(—1; 1; 2), С(0; 2; — 1). Найти на оси Оz такую точку D, чтобы векторы АВ и СD были перпендикулярны.
Даны вершины четырехугольника А(1; — 2; 2), В(1;4;0), С(—4; 1; 1) и В(—5;—5;3). Доказать, что его диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны.
Зная координаты вершин четырехугольника А(0;2;0), В(1;0;0), <7(2; 0; 2), В(1;2;2), проверить, что он является ромбом.
Даны вершины треугольника А(—1; — 2; 4), В(—4;—2;0) и С(3; —2; 1). Найти его угол АВС.
Проекции перемещения движущейся точки на оси координат равны sx = 2 м, sy = 1 м, sz = —2 м. Проекции действующей силы F на оси координат равны Fx = 5 Н, Fy = 4 Н, Fz = 3 Н. Вычислить работу W силы F (И/ = F • s) и угол между силой F и перемещением s.
Векторы а и b образуют угол 60°, а вектор с им перпендикулярен. Найти модуль вектора а + b + с.
Найти вектор х, коллинеарный вектору а (2; 1; — 1) и удовлетворяющий условию ах = 3.
Единичные векторы а, Ь, с образуют попарно углы 60°. Найти угол между векторами:
1) а и 6 + с; 2) а и b — с.
Найти вектор р. зная, что он перпендикулярен векторам а(2; 3; — 1) и 6(1; —2; 3) и удовлетворяет условию р^г — з + ^) = —6.
Найти угол между векторами a-Vb и 2а —с, если а(—1;1;—1), 6(2; —1; 2), с(—2; 1; —3).
Вычислить координаты вектора с, который имеет равные длины с векторами о(1; 1; 0) и 6(0; 1; 1) и составляет с ними попарно равные углы.
Найти проекцию вектора р^ —3; 2) на луч ОМ^ составляющий с положительными направлениями осей координат равные острые углы.
Найти координаты вектора q. если: \q\ = 5 V2, первая координата его вдвое больше второй и он составляет с базисным вектором к угол 135°.
Вычислить координаты единичного вектора /, перпендикулярного векторам г +7 и 3 + к.
К вершине куба приложены три силы, равные по абсолютной величине 1, 2, 3 и направленные по диагоналям граней куба, пересекающихся в этой вершине. Найти величину равнодействующей этих трех сил.
Вычислить координаты вектора р. перпендикулярного векторам г — з и з — к, если |р\ = д/3.
Даны точки Л(-2;3;-4), В(3;2;5), С(1;-1;2), В(3;2;-4). Вычислить проекцию вектора АВ на вектор CD .
Вектор т коллинеарен вектору п(6; 8; —7,5), образует тупой угол с базисным вектором 3 и имеет длину, равную 50. Найти его координаты.
Квадрат разделен на три полосы одинаковой ширины и затем свернут в правильную треугольную призму. Найти угол между двумя смежными звеньями ломаной, образованной при этом диагональю квадрата.
§ 3. Прямая и плоскость
Из центра круга проведен перпендикуляр к его плоскости. Вычислить расстояние от конца этого перпендикуляра до точек окружности, если длина перпендикуляра равна а, а площадь круга равна Q.
Дана плоскость; из некоторой точки пространства проведены к этой плоскости две наклонные длиной 20 см и 15 см; проекция первой из них на плоскость равна 16 см; найти проекцию второй наклонной.
Из некоторой точки пространства проведены к данной плоскости перпендикуляр, равный 6 см, и наклонная длиной 9 см. Найти проекцию перпендикуляра на наклонную.
Сторона равностороннего треугольника равна 3 см. Вычислить расстояние от его плоскости до точки, которая отстоит от каждой из его вершин на 2 см.
Из данной точки проведены к данной плоскости две наклонные, равные 2 см каждая; угол между ними равен 60°, а угол между их проекциями — прямой. Найти расстояние данной точки от плоскости.
Из некоторой точки проведены к данной плоскости две наклонные равной длины; угол между ними равен 60°, угол между их проекциями — прямой. Найти угол между каждой наклонной и ее проекцией.
В равнобедренном треугольнике основание и высота равны 4 см. Данная точка находится на расстоянии 6 см от плоскости треугольника и на одинаковом расстоянии от его вершин. Найти это расстояние.
Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием b = = 6 см и боковой стороной а = 5 см. К плоскости треугольника в центре вписанного в него круга проведен перпендикуляр \ОК\ = 2 см. Найти расстояние точки К от сторон треугольника и от вершины В.
В треугольнике АВС угол В прямой и катет |ВС| = а. Из вершины А проведен к плоскости треугольника перпендикуляр AD так, что расстояние между точками D и С равно /. Вычислить расстояние от точки D до катета ВС.
Катеты прямоугольного треугольника АВС равны 15 м и 20 м. Из вершины прямого угла С проведен к плоскости этого треугольника перпендикуляр |СВ| = 35 м. Найти расстояние от точки D до гипотенузы АВ.
Стороны треугольника равны 10 см, 17 см и 21 см. Из вершины большего угла этого треугольника проведен перпендикуляр к его плоскости длиной в 15 см. Вычислить расстояния от его концов до большей стороны.
В треугольнике АВС угол С прямой; CD — перпендикуляр к плоскости этого треугольника. Точка D соединена с Л и В. Вычислить площадь треугольника ADB, если дано: |СЛ| = 3 дм, |ВС| = 2 дм и |СВ| = 1 дм.
В вершине А прямоугольника ABCD проведен к его плоскости перпендикуляр АК. конец К которого отстоит от других
вершин на расстояния 6 см, 7 см и 9 см. Вычислить длину этого перпендикуляра.
Если из вершины угла, лежащего на плоскости, провести наклонную к плоскости так, чтобы она составляла со сторонами угла одинаковые углы, то проекция этой наклонной будет служить биссектрисой данного угла. Доказать это утверждение.
Отрезок длиной 10 см пересекает плоскость; концы его находятся на расстояниях 3 см и 2 см от плоскости. Найти угол между данным отрезком и плоскостью.
Из точки, отстоящей от плоскости на а, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы 45°, а между собой угол 60°. Найти расстояние между концами наклонных.
Из точки, отстоящей от плоскости на а, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы 45° и 30°, а между собой — прямой угол. Вычислить расстояние между концами наклонных.
Из точки, отстоящей от плоскости на а, проведены две наклонные под углом 30° к плоскости, причем их проекции составляют между собой угол 120°. Вычислить расстояние между концами наклонных.
В плоскости М находится прямая АВ. Из точки В проведены по одну сторону плоскости перпендикулярные к АВ прямые ВС и BD, отклоненные от плоскости М на 50° и 15°. Вычислить угол CBD.
Если в равнобедренном прямоугольном треугольнике один катет находится на плоскости М, а другой катет образует с ней угол 45°, то гипотенуза образует с плоскостью М угол 30°. Доказать это утверждение.
Если наклонная АВ составляет с плоскостью М угол 45°, а прямая АС, лежащая в плоскости М, составляет угол 45° с проекцией наклонной АВ, то ВАС = 60°. Доказать это утверждение.
Концы данного отрезка, не пересекающего плоскость, удалены от нее на 30 см и 50 см. На какое расстояние удалена от плоскости точка, делящая данный отрезок в отношении 3 : 7? (Два случая.)
Правильный треугольник спроектирован на плоскость, вершины его отстоят от плоскости на расстояния 10 дм, 15 дм и 17 дм. Найти расстояние его центра от плоскости проекций.
Данный отрезок |ЛВ| = а и параллелен плоскости М. Отрезок ВАу, соединяющий конец В с проекцией Ai другого конца, составляет с плоскостью угол 60°. Вычислить |ВЛ1|.
Пусть |ЛВ| — отрезок на плоскости М, равный а, |ЛС| и |ВВ| — отрезки вне плоскости М, равные Ь, причем отрезок АС перпендикулярен плоскости М, a BD, будучи перпендикулярен АВ, составляет с плоскостью М угол 30°. Вычислить |СВ|.
Даны плоскость и параллельная ей прямая. Через точку плоскости провести в ней прямую, параллельную данной прямой.
Провести через данную точку отрезок а так, чтобы его проекция на данную плоскость имела такую же длину, как и сам он.
Из внешней точки А проведен к плоскости М отрезок АВ. Он разделен точкой С в отношении 3 : 4 (от Л к В), и через нее проведен параллельно плоскости М отрезок |СВ| = 12 см. Через точку D к плоскости М проведен отрезок ADE. Вычислить расстояние между точками В и Е.
Пусть ВВС — отрезок, параллельный плоскости М*, АВЕ, ADF и ACG — прямые, проведенные из внешней точки А к плоскости М и пересекающие ее в точках Е, F, G. Вычислить расстояние между точками Е и С, если |ВС| = а, |ЛВ| = Ь, |ВВ| = с.
122. Пусть АВ и CD — параллельные отрезки, лежащие в двух122. Пусть АВ и CD — параллельные отрезки, лежащие в двух
122. Пусть АВ и CD — параллельные отрезки, лежащие в двух
122. Пусть АВ и CD — параллельные отрезки, лежащие в двух
пересекающихся плоскостях; АЕ и DF — перпендикуляры к линии пересечения плоскостей; |ЛВ| = 5 см и |ВВ| = 4 см. Найти расстояние между прямыми АВ и CD.
Основание AD трапеции ABCD (рис. 19) находится на плоскости В, а основание ВС отстоит от нее на 5 см. Найти расстояние от плоскости Р точки М пересечения диагоналей этой трапеции, если |ЛВ|:|ВС| = 7:3.
В параллелограмме ABCD вершины А и D находятся на плоскости М, а В и С — вне ее. Сторона |ЛВ| = 10 см, сторона |ЛВ| = = 15 см, проекции диагоналей АС и BD на плоскость М соответственно равны 13,6 см и 10,5 см. Вычислить длину диагоналей.
Через одну из сторон ромба проведена плоскость на расстоянии 4 см от противолежащей стороны. Проекции диагоналей ромба на эту плоскость равны 8 см и 2 см. Найти проекции сторон.
Через вершину прямого угла С прямоугольного треугольника АВС проведена плоскость параллельно гипотенузе на расстоянии 1 дм от нее. Проекции катетов на эту плоскость равны 3 дм и 5 дм. Вычислить проекцию гипотенузы на эту же плоскость.
Пусть АВ и СD — две параллельные прямые, лежащие в плоскости М на расстоянии 28 см одна от другой; EF — внешняя прямая, параллельная АВ и удаленная от АВ на 17 см, а от плоскости М на 15 см. Найти расстояние между ЕЕ и CD. (Два случая.)
1) Из концов отрезка АВ, параллельного плоскости М, проведены к ней перпендикуляр АС и наклонная BD ± АВ. Вы-
а, |АС| = b и |ВВ| = с (см.а, |АС| = b и |ВВ| = с (см.числить расстояние |СВ|, если |АВ| = рис. 20).
а, |АС| = b и |ВВ| = с (см.
а, |АС| = b и |ВВ| = с (см.
2) Пусть АВ — отрезок, параллельный плоскости М; отрезки |АС| = = |ВВ| — наклонные к плоскости М, проведенные перпендикулярно к отрезку АВ и в разных направлениях от него. Отрезок АВ, равный 2 см, отстоит от плоскости М на 7 см, а отрезки АС и BD равны 8 см. Вычислить расстояние |СВ|.
Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно 8 дм. Отрезок длиной 10 дм своими концами упирается в эти плоскости. Вычислить проекции отрезка на каждую плоскость.
Плоскости М и Р параллельны. Из точек А и В плоскости М проведены к плоскости Р наклонные: |АС| = 37 см и |ВВ| = = 125 см. Проекция наклонной АС на одну из плоскостей равна 12 см. Чему равна проекция наклонной BD?
Отрезки двух прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны 51 см и 53 см, а их проекции на одну из этих плоскостей относятся, как 6 : 7. Вычислить расстояние между данными плоскостями.
Между двумя параллельными плоскостями заключены перпендикуляр длиной 4 м и наклонная длиной 6 м. Расстояния между их концами в каждой плоскости равны по 3 м. Найти расстояние между серединами перпендикуляра и наклонной.
Два отрезка, сумма длин которых равна с, упираются своими концами в две параллельные плоскости: их проекции равны а и Ь. Найти длины отрезков.
Между двумя параллельными плоскостями Р и Q проведены отрезки АС и BD (точки А и В лежат в плоскости В); |АС| = = 13 см; |ВВ| = 15 см; сумма длин проекций АС и BD на одну из данных плоскостей равна 14 см. Найти длины этих проекций и расстояние между плоскостями.
Два прямых угла в пространстве расположены так, что стороны их соответственно параллельны, одинаково направлены и перпендикулярны отрезку, соединяющему их вершины. Длина этого отрезка равна а. На стороне одного угла отложен от его вершины отрезок Ь. а на непараллельной ей стороне другого угла отложен отрезок с. Вычислить расстояние между концами этих отрезков.
В предыдущей задаче прямые углы заменить углами в 60° и взять а = 24, b = 5 и с = 8.
16 В. А. Бачурин
Вершины равностороннего треугольника со стороной а находятся по одну сторону от плоскости М на одинаковом от нее расстоянии d. Из центра треугольника проведен перпендикуляр к его плоскости длиной h и направленный в сторону, противоположную плоскости М. Из конца этого перпендикуляра проведены прямые через вершины треугольника до пересечения с плоскостью М. Найти отрезки этих прямых между вершинами треугольника и плоскостью М и наибольшие расстояния между их концами.
Двугранный угол равен 45°. На одной грани дана точка на расстоянии а от другой грани. Найти расстояние этой точки от ребра.
Если равнобедренный прямоугольный треугольник АВС перегнуть по высоте BD так, чтобы плоскости ABD и CBD образовали прямой двугранный угол, то линии DA и DC сделаются взаимно перпендикулярными, а В А и ВС составят угол в 60°. Доказать это утверждение.
Найти величину двугранного угла, если точка, взятая на одной из граней, отстоит от ребра вдвое дальше, чем от другой грани.
Из точки, взятой внутри двугранного угла, опущен перпендикуляр на ребро; он образует с гранями углы 38°24' и 71°36'. Вычислить величину двугранного угла.
Точка, взятая внутри двугранного угла в 60°, удалена от обеих граней на а. Найти ее расстояние от ребра.
Пусть А и В — точки на ребре прямого двугранного угла; АС и BD - перпендикуляры к ребру, проведенные в разных гранях. Вычислить расстояние |СВ|, если |ЛВ| = 6 см, |ЛС| = 3 см и |ВВ| = 2 см.
В предыдущей задаче прямой двугранный угол заменить углом в 120° и взять:
a) \AB\ = \AC\ = \BD\ = a; б) \АВ\ = 3, \АС\ = 2, \BD\ = 1.
Треугольник АВС с прямым углом С опирается катетом АС на плоскость М, образуя с ней двугранный угол 45°. Катет |ЛС| = = 2 м, а гипотенуза |ЛВ| относится к катету |ВС|, как 3:1. Вычислить расстояние от вершины В до плоскости М.
Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, а плоскости их отклонены на 60°. Общее основание равно 16 см; боковая сторона одного треугольника равна 17 см, а боковые стороны другого взаимно перпендикулярны. Вычислить расстояние между вершинами треугольников.
Катеты прямоугольного треугольника равны 7 см и 24 см. Вычислить расстояние от вершины прямого угла до плоскости, которая проходит через гипотенузу и составляет угол 30° с плоскостью треугольника.
Дан треугольник АВС со сторонами |ЛВ| = 9; |ВС| = 6 и |ЛС| = 5. Через сторону АС проходит плоскость М, составляющая с плоскостью треугольника угол 45°. Найти расстояние между плоскостью М и вершиной В.
Прямая АВ параллельна плоскости М и отстоит от нее на а; через прямую АВ проходит плоскость В, образующая с плоскостью М угол 45°; в плоскости Р проведена прямая линия под углом 45° к АВ. Найти ее отрезок между АВ и плоскостью М.
Пусть АВ и СD — параллельные прямые, лежащие в двух пересекающихся плоскостях, образующих угол 60°. Точки А и D удалены от линий пересечения плоскостей на 8 см и 6,3 см. Вычислить расстояние между АВ и СD.
Рис. 21Рис. 21Отрезок АВ упирается своими концами в грани прямого двугранного угла PMNQ (рис. 21); концы отрезка находятся на одинаковых расстояниях от ребра MN двугранного угла. Найти отношение углов, под которыми отрезок наклонен к граням.
Рис. 21
Рис. 21
Через данную точку провести плоскость, перпендикулярную другой плоскости.
плоскость, перпендикуляр-плоскость, перпендикуляр-Через данную прямую провс
плоскость, перпендикуляр-
плоскость, перпендикуляр-
ную другой плоскости. Сколько таких плоскостей можно провести?
Пусть АВ — прямая пересечения двух взаимно перпендикулярных плоскостей М и В; |СВ| — отрезок в плоскости М, проведенный параллельно АВ на расстоянии 60 см от нее; Е — точка в плоскости В на расстоянии 91 см от АВ. Вычислить расстояние от Е до CD.
Отрезок АВ соединяет точки Л и В, лежащие в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Длины перпендикуляров, опущенных из точек Л и В на линию пересечения плоскостей, соответственно равны а и Ь. а расстояние между их основаниями равно с. Вычислить длину отрезка АВ и длины его проекций на данные плоскости.
Данный отрезок имеет концы на двух взаимно перпендикулярных плоскостях и составляет с одной из них угол 45°, а с другой — угол 30°; длина этого отрезка равна а. Найти часть линии пересечения плоскостей, заключенную между перпендикулярами, опущенными на нее из концов данного отрезка.
Из общей внешней точки проведены к плоскости две наклонные, из которых одна составляет с плоскостью угол 70°, а другая — 15°. Какой может быть величина угла между этими наклонными?
16*
Каждый плоский угол трехгранного угла равен 60°; на одном из ребер отложен от вершины отрезок в 3 см и из конца его опущен перпендикуляр на противолежащую грань. Вычислить длину перпендикуляра.
В трехгранном угле SABC дано: BSC = 90°, AS В = ASC = = 60° и |5Л| = а. Требуется:
вычислить расстояние от точки А до плоскости BSC;
доказать, что ребро SA составляет с плоскостью BSC угол 45°.
Если в трехгранном угле один плоский угол BSC — прямой, а два других угла AS В и AS С равны 60°, то плоскость ВАС, отсекающая от ребер три одинаковых отрезка, перпендикулярна плоскости прямого угла. Доказать это утверждение.
В трехгранном угле два плоских угла по 45°, двугранный угол между ними — прямой. Найти третий плоский угол.
В трехгранном угле два плоских угла по 45°, третий плоский угол 60°. Найти двугранный угол, противолежащий третьему плоскому углу.
В трехгранном угле два плоских угла по 60°, третий — прямой. Найти угол между плоскостью прямого угла и противолежащим ребром.
В трехгранном угле ребра взаимно перпендикулярны. Внутри него из вершины проведен отрезок, проекция которого на каждое из ребер равна 1. Найти его проекции на грани. Сделать рисунок.
В трехгранном угле все плоские углы — прямые. Внутри него дана точка на расстояниях 1 дм, 2 дм и 2 дм от его граней. Найти расстояние данной точки от вершины угла.
Отрезок ж выходит из вершины трехгранного угла с прямыми плоскими углами. Его проекции на ребра 2; 3; 6. Найти |ж|.
Две прямоугольные трапеции с углом 60° лежат в перпендикулярных плоскостях и имеют общее большее основание. Большие боковые стороны трапеции равны 4 см и 8 см. Каковы расстояния между вершинами прямых и между вершинами тупых углов трапеций, если известно, что вершины их острых углов совпадают?
Загруженную бочку массой в 200 кг выкатывают из автомашины с помощью наклонной доски. Чему равна величина скатывающей силы, если угол ската равен 45°?
Одна из скрещивающихся прямых лежит в плоскости а, другая — перпендикулярна а. Как расположен их общий перпендикуляр?
Через данную точку провести прямую, параллельную данной плоскости.
На плоскости а проведены две параллельные прямые, расстояние между которыми равно т. Точка S находится на расстоянии h от плоскости а и на одинаковом расстоянии от обеих прямых. Найти это расстояние.
Сторона правильного треугольника равна 12 см. Точка М выбрана так, что отрезки, соединяющие М со всеми вершинами треугольника, образуют с его плоскостью углы по 45°. Найти расстояние от точки М до вершин и сторон треугольника.
Катет равнобедренного прямоугольного треугольника наклонен к плоскости а, проходящей через гипотенузу, под углом 30°. Доказать, что угол между плоскостью а и плоскостью треугольника равен 45°.
Плоскость содержит вершину квадрата и параллельна его диагонали. Проекции диагоналей квадрата на эту плоскость относятся, как 1:2. Найти угол между этой плоскостью и плоскостью квадрата.
Самолет летит по горизонтальной прямой со скоростью 400 км/ч. В некоторый момент он был виден под углом 65° к плоскости горизонта, а через 30 с — под углом 39°. На какой высоте летит самолет?
В трапеции ABCD BAD = 60°. Через основание АВ проведена плоскость под углом 45° к боковой стороне АВ. Найти отношение площади трапеции к площади ее проекции на эту плоскость.
Плоские углы трехгранного угла равны 60°, 60° и 90°. Доказать, что плоскость, отсекающая от ребер одинаковые отрезки, перпендикулярна плоскости прямого угла.
Вершины треугольника АВС отстоят от плоскости М на расстояния Ai, h^ Из. Найти расстояние центра тяжести треугольника от плоскости.
Прямые /, т^п образуют между собой углы по 60°. Прямая q образует с прямыми I и т углы по 45°. Найти (q^rl).
Два плоских угла в трехгранном угле равны 60°, на их общем ребре от вершины отложен отрезок в 4 дм. Вычислить его проекцию на плоскость третьего плоского угла, являющегося прямым.
Доказать, что все прямые, пересекающие данную прямую и проходящие через данную точку, лежат в одной плоскости.
Доказать, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
Доказать, что если две плоскости, пересекающиеся на прямой /, пересекают плоскость М по параллельным прямым, то прямая I параллельна плоскости М.
Через данную точку провести прямую, параллельную данной плоскости и пересекающую данную прямую. (Данная прямая не параллельна данной плоскости.)
§ 4. Многогранники
В основании прямой призмы лежит равнобочная трапеция, один из углов которой равен 76°. Найти двугранные углы при боковых ребрах призмы.
Через диагональ основания куба проведена плоскость. Какие сечения куба этой плоскостью могут получаться при вращении ее вокруг этой диагонали?
В правильной четырехугольной пирамиде провести плоскость через сторону основания перпендикулярно противоположной боковой грани. Сторона основания а = 30 см, а высота пирамиды h = 20 см. Вычислить высоту полученного сечения.
В кубе проведено диагональное сечение. Найти величину двугранного угла, образованного этим сечением и одной из боковых граней.
Если в правильной треугольной пирамиде высота равна стороне основания, то боковые ребра составляют с плоскостью основания угол 60°. Доказать это утверждение.
По стороне а и боковому ребру b правильной треугольной призмы найти площадь сечения, проведенного через боковое ребро и ось призмы.
Доказать, что высота правильной четырехугольной пирамиды одинаково наклонена к ее боковым граням.
Каждое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно а. Провести сечение через середины двух смежных сторон основания и середину высоты и найти его площадь.
Внутри правильной шестиугольной призмы, у которой боковые грани — квадраты, проведена плоскость через сторону нижнего основания и противоположную ей сторону верхнего основания. Сторона основания равна а. Вычислить площадь полученного сечения.
В правильной четырехугольной призме площадь диагонального сечения равна F. Вычислить боковую поверхность призмы.
В основании прямой призмы лежит равнобочная трапеция, диагонали которой пересекаются под прямым углом и высота которой равна h. Диагонали призмы образуют с плоскостью основания угол 45°. Найти объем призмы.
Основанием пирамиды служит треугольник. Боковые ребра образуют равные углы с основанием. Определить вид треугольника, находящегося в основании, если высота пирамиды проходит через точку, лежащую:
а) внутри этого треугольника; б) вне его;
в) на стороне треугольника.
В правильной треугольной пирамиде боковые ребра взаимно перпендикулярны и каждое из них равно а. Найти боковую поверхность пирамиды.
Найти полную поверхность правильной шестиугольной пирамиды, в которой высота равна стороне основания а.
Как изменится объем правильной пирамиды, если сторону основания ее увеличить в три раза, а высоту ее уменьшить в три раза?
Куб, ребро которого равно а, пересечен плоскостью, проходящей через середины трех его ребер, выходящих из одной вершины. Вычислить объем отсеченной пирамиды.
Ребро куба равно а. Найти боковую поверхность усеченной пирамиды, отсекаемой от куба двумя плоскостями, одна из которых проходит через концы трех ребер, выходящих из одной вершины, а другая — через середины тех же ребер.
Каждое ребро правильной треугольной призмы а = 3 м. Через сторону основания и середину оси проведена плоскость. Найти площадь сечения.
Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна 15; высота равна 20. Найти кратчайшее расстояние от стороны основания до диагонали призмы, не пересекающей ее.
Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 9 см, а полная поверхность ее равна 144 см2. Найти сторону основания и боковое ребро.
Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 4 см, диагональ 5 см. Найти площадь диагонального сечения.
Основания усеченной пирамиды — правильные треугольники со сторонами а и Ь; одно из боковых ребер, равное с, перпендикулярно плоскости основания. Вычислить боковую поверхность этой усеченной пирамиды (а = 5; b = 3; с = 1).
Сторона основания правильной треугольной призмы равна а, а боковая поверхность равновелика сумме оснований. Найти объем призмы.
Грани параллелепипеда — одинаковые ромбы со к стороной а и острым углом 60°. Вычислить объем параллелепипеда.
Найти объем правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания равна а, а боковые ребра взаимно перпендикулярны.
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды а, а двугранный угол при основании равен 45°. Найти объем пирамиды.
Основанием пирамиды служит прямоугольник, у которого угол между диагоналями равен 60°, а площадь равна Q; боковые
ребра образуют с плоскостью основания углы в 45°. Вычислить объем этой пирамиды.
Одно ребро треугольной пирамиды равно 4; каждое из остальных равно 3. Вычислить объем пирамиды.
Площадь параллельного сечения пирамиды составляет 0,36 ее основания. В каком отношении сечение делит объем пирамиды?
Центры граней правильного тетраэдра служат вершинами нового правильного тетраэдра. Найти отношения их поверхностей и объемов.
Вычислить объем правильной треугольной усеченной пирамиды, у которой стороны оснований 30 м и 20 м, а боковая поверхность равновелика сумме оснований.
В усеченной пирамиде сходственные стороны двух оснований относятся, как т : п. В каком отношении делится ее объем средним сечением?
Основанием правильной пирамиды служит многоугольник, сумма внутренних углов которого равна 720°. Определить объем этой пирамиды, зная, что боковое ребро ее, равное /, составляет с высотой пирамиды угол 30°.
Ребро правильного октаэдра а = 1 см. Вычислить расстояние между двумя противоположными вершинами октаэдра (ось октаэдра).
Вычислить объем наклонной треугольной призмы, у которой площадь одной из боковых граней равна S, а расстояние от плоскости этой грани до противолежащего ребра равно d.
Ребро куба равно а. Вычислить поверхность вписанного в него правильного октаэдра. Найти ее отношение к поверхности вписанного в тот же куб правильного тетраэдра.
Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен 90°. Найти отношение боковой поверхности пирамиды к площади ее основания.
В правильный октаэдр вписан куб так, что его вершины находятся на ребрах октаэдра. Ребро октаэдра равно а. Найти ребро куба.
Основанием прямого параллелепипеда служит ромб. Плоскость, проведенная через одну из сторон нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания, образует с плоскостью основания угол 45°. Полученное сечение имеет площадь, равную Q. Вычислить боковую поверхность параллелепипеда.
Ребро куба равно а. Найти кратчайшее расстояние от диагонали до не пересекающего ее ребра.
Найти объем правильной четырехугольной пирамиды, если ее боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 45°, а площадь диагонального сечения равна S.
Квадрат с проведенной в нем диагональю свернут в виде боковой поверхности правильной четырехугольной призмы, и таким образом диагональ квадрата обратилась в ломаную линию (неплоскую). Найти угол между ее смежными отрезками.
Основанием пирамиды служит ромб с острым углом 30°. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Вычислить объем и полную поверхность пирамиды, если радиус вписанного в ромб круга равен г.
В треугольной призме (наклонной) расстояния между боковыми ребрами 37 см, 13 см и 40 см. Найти расстояние между большей боковой гранью и противолежащим боковым ребром.
Найти объем правильной шестиугольной призмы, у которой наибольшая диагональ равна d, а боковые грани — квадраты.
Найти боковую поверхность прямоугольного параллелепипеда, если его высота А, площадь основания Q и площадь диагонального сечения М.
Основание призмы — квадрат со стороной, равной а. Одна из боковых граней — также квадрат, другая — ромб с углом 60°. Вычислить полную поверхность призмы.
Основанием прямого параллелепипеда служит ромб, а площади диагональных сечений М и N. Найти боковую поверхность параллелепипеда.
Найти объем наклонной треугольной призмы, основанием которой служит равносторонний треугольник со стороной, равной а, если боковое ребро призмы также равно а и наклонено к плоскости основания под углом 60°.
Площадь наибольшего диагонального сечения правильной шестиугольной призмы равна 1 м2. Найти боковую поверхность призмы.
Расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных боковых граней куба равно d. Найти объем куба.
Найти сторону основания правильной четырехугольной пирамиды по ее высоте h и боковой поверхности Р.
В правильной треугольной призме площадь сечения, проходящего через боковое ребро призмы перпендикулярно противолежащей боковой грани, равна Q. Сторона основания призмы равна а. Найти полную поверхность призмы.
Основанием параллелепипеда служит квадрат, одна из вершин верхнего основания одинаково отстоит от всех вершин нижнего основания. Сторона основания равна а, боковое ребро равно Ь. Вычислить полную поверхность этого параллелепипеда.
Каждое из боковых ребер пирамиды равно Ь. Ее основанием служит прямоугольный треугольник, катеты которого относятся, как т : п, а гипотенуза равна с. Вычислить объем пирамиды.
Основанием наклонной призмы служит правильный треугольник со стороной а; длина бокового ребра равна Ь; одно из боковых ребер образует с прилежащими сторонами основания углы по 45°. Вычислить боковую поверхность призмы.
В основании пирамиды лежит квадрат. Две боковые грани ее перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к нему под углом 45°. Среднее по величине боковое ребро равно I. Найти объем и полную поверхность пирамиды.
В правильную четырехугольную пирамиду вписан куб так, что четыре его вершины находятся на боковых ребрах пирамиды, а остальные четыре — в плоскости ее основания. Найти ребро куба, если в пирамиде сторона основания равна а, а высота — h.
Найти объем правильной треугольной пирамиды, высота которой равна А, а все плоские углы при вершине прямые.
Высота правильной пирамиды разделена на п равных частей и через точки деления проведены сечения, параллельные основанию. Площадь основания Q. Найти площади сечений (Q = 400, п = 5).
По стороне основания, равной а, вычислить боковую поверхность и объем правильной четырехугольной пирамиды, у которой диагональное сечение равновелико основанию.
Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а. Боковое ребро образует с высотой угол 30°. Построить сечение через вершину основания перпендикулярно противоположному ребру и найти его площадь.
Боковое ребро правильной треугольной призмы имеет одинаковую длину с высотой основания, а площадь сечения, проведенного через это боковое ребро и высоту основания, равна Q. Вычислить объем призмы.
Найти боковую поверхность правильной шестиугольной пирамиды, если сторона основания равна а, а боковая грань равновелика диагональному сечению, проведенному через диаметр основания.
Найти отношение объема правильной шестиугольной пирамиды к объему правильной треугольной пирамиды при условии, что стороны оснований этих пирамид имеют одинаковую длину, а их апофемы в два раза больше сторон основания.
Центр верхнего основания куба и середины сторон нижнего основания служат вершинами вписанной в этот куб пирамиды. Найти ее боковую поверхность по данному ребру куба а.
Найти объем правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания, равной а, и плоскими углами при вершине, равновеликими углам наклона боковых ребер к основанию.
Основанием пирамиды служит равносторонний треугольник со стороной а; одна из боковых граней — также равносторонний треугольник и перпендикулярна плоскости основания. Вычислить боковую поверхность пирамиды.
Площадь того сечения куба, которое представляет собой правильный шестиугольник, равна Q. Найти полную поверхность куба.
В правильной четырехугольной усеченной пирамиде сторона большего основания а, сторона меньшего Ь. Боковое ребро образует с основанием угол 45°. Найти боковое ребро.
Куб, ребро которого равно а, срезан по углам плоскостями так, что от каждой грани остался правильный восьмиугольник. Вычислить объем полученного многогранника.
В правильной четырехугольной усеченной пирамиде площади оснований Q и q, а боковое ребро составляет с плоскостью нижнего основания угол 45°. Вычислить площадь диагонального сечения.
Найти отношения объемов правильных тетраэдра и октаэдра, у которых полные поверхности равновелики.
Пусть Qi и Q^ — площади оснований некоторой усеченной пирамиды и М — площадь ее среднего сечения. Доказать, что VM = _ VQi + VQ2 ™2’
Вычислить объем правильной усеченной четырехугольной пирамиды, если сторона большего основания равна а, сторона меньшего основания равна Ь. а острый угол боковой грани равен 60°.
Высота усеченной пирамиды равна А, а площади оснований Q и q. На каком расстоянии от верхнего основания находится параллельное ему сечение, площадь которого есть среднее пропорциональное между площадями оснований?
Площадь того сечения тетраэдра, которое имеет форму квадрата, равна т2. Найти поверхность тетраэдра.
В правильной четырехугольной усеченной пирамиде площади оснований Q и Qi, а боковая поверхность Р. Вычислить площадь диагонального сечения.
В треугольной усеченной пирамиде через сторону верхнего основания проведена плоскость параллельно противоположному бо-
ковому ребру. В каком отношении разделился объем усеченной пирамиды, если соответственные стороны оснований относятся, как 1 : 2?
Пусть Q и q (Q = 32, q = 2) — площади оснований усеченной пирамиды. Найти площади параллельных оснований сечений, разбивающих высоту на три одинаковые части.
Основанием пирамиды служит ромб с диагоналями dy и d^. Высота пирамиды проходит через вершину острого угла ромба. Площадь диагонального сечения, проведенного через меньшую диагональ, равна Q. Вычислить объем пирамиды.
В усеченной пирамиде сходственные стороны оснований относятся, как 3:11. В каком отношении ее боковая поверхность делится средним сечением?
Стороны основания прямоугольного параллелепипеда относятся, как т : п, а диагональное сечение — квадрат с площадью Q. Вычислить объем параллелепипеда.
Найти объем прямоугольного параллелепипеда по данным площадям его граней: Qi, Q^ Q^.
Основанием прямого параллелепипеда служит ромб, площадь которого равна Q; площади диагональных сечений равны М и N. Вычислить объем параллелепипеда.
В правильной шестиугольной призме большее диагональное сечение равновелико основанию, сторона которого а. Найти ребро куба, равновеликого этой призме.
Основанием наклонной призмы служит равносторонний треугольник со стороной а; одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания и представляет собой ромб, у которого меньшая диагональ равна с. Вычислить объем призмы.
В наклонной треугольной призме площадь одной из боковых граней ш2. а расстояние ее от противоположного ребра 2а. Чему равен объем призмы?
По ребру а правильного тетраэдра вычислить его поверхность и объем.
В данной правильной шестиугольной пирамиде, имеющей объем V, боковое ребро вдвое больше стороны основания. Найти сторону основания и угол наклона бокового ребра к плоскости основания.
Пирамида разделена на три равновеликие части плоскостями, параллельными основанию. В каком отношении разделилась высота?
По боковому ребру I и сторонам оснований а и b вычислить объем правильной усеченной пирамиды:
1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
Вычислить объем правильной шестиугольной усеченной пирамиды, если стороны ее оснований а и Ь. а боковое ребро составляет с плоскостью нижнего основания угол 30°.
Площади оснований усеченной пирамиды Q и q^ а ее объем V. Найти объем полной пирамиды.
Правильная четырехугольная усеченная пирамида срезана с двух противоположных боков двумя плоскостями, проведенными через концы диагонали верхнего основания перпендикулярно этой диагонали. Вычислить объем оставшейся части усеченной пирамиды, если ее высота А, а стороны оснований а и Ь. Сделать чертеж.
Вычислить объем правильного тетраэдра, если радиус окружности, описанной вокруг его грани, равен R.
Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно /, а высота — h. Найти объем пирамиды.
Найти объем куба, если расстояние от его диагонали до не пересекающегося с ней ребра равно d.
Плоскость, проведенная в пирамиде параллельно основанию, делит ее боковую поверхность на части в отношении 4:5, считая от вершины. В каком отношении делится этой плоскостью высота?
Диагонали прямого параллелепипеда равны 9 см и V33 см; периметр его основания равен 18 см; боковое ребро равно 4 см. Вычислить полную поверхность и объем этого параллелепипеда.
Правильная четырехугольная усеченная пирамида разделена на три части двумя плоскостями, проведенными через две противоположные стороны меньшего основания перпендикулярно плоскости большего основания. Найти объем каждой части, если в усеченной пирамиде высота равна 4 см, а стороны оснований 2 см и 5 см. Сделать чертеж.
Для шлифовки мелких костяных изделий требуется сделать из полукотельной стали барабан, имеющий форму правильной шестиугольной призмы со стороной основания 200 мм и длиной 800 мм. При работе барабан загружается на 45% его объема. Требуется вычислить количество стали, необходимое для изготовления пяти таких барабанов, и массу изделий, шлифуемых одновременно в них, принимая плотность кости равной 1,2 г/см3.
Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой |ЛВ| = с и острым углом 15°. Если боковые грани СуСААу и СуС В By развернуть в одну плоскость и в ней провести линии Су А и СуВ, то они образуют прямой угол. Вычислить объем и боковую поверхность этой призмы.
В правильной треугольной призме боковое ребро и сторона основания равны а. Вычислить площадь сечения, проведенного через сторону основания под углом 60° к плоскости основания.
В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований а и b и высота h. Вычислить объем ее части, заключенной между боковой гранью и параллельной ей плоскостью, проведенной через сторону верхнего основания.
В правильной четырехугольной призме сторона основания а, боковое ребро 4а. Вычислить площадь сечения, проведенного через диагональ призмы параллельно диагонали основания.
§ 5. Цилиндр и конус
В цилиндре проведена плоскость, параллельная оси и отсекающая от окружности основания дугу в 120°. Длина оси h = 10 см; ее расстояние от секущей плоскости а = 2 см. Вычислить площадь сечения.
Площадь основания цилиндра относится к площади осевого сечения, как тг : 4. Найти угол между диагоналями осевого сечения.
Диагональ осевого сечения равностороннего цилиндра (в осевом сечении — квадрат) равна а. Найти объем правильной вписанной в этот цилиндр восьмиугольной призмы.
Высота цилиндра 6 дм, радиус основания 5 дм. Концы данного отрезка лежат на окружностях обоих оснований; длина его 10 дм. Найти его кратчайшее расстояние от оси.
Высота цилиндра 2 м, радиус основания 7 м. В этот цилиндр
наклонно к оси вписан квадрат так, что все вершины его находятся на окружностях оснований. Найти
сторону квадрата.
Через верхний конец образующей цилиндра под углом 45° к ней проведена касательная к цилиндру. Радиус основания цилиндра 1 м, высота 4 м. Вычислить расстояние касательной от центра каждого основания (рис. 22).
Цилиндрический паровой котел имеет 0,7 м в диаметре; длина его равна 3,8 м. При его покраске расходуется 400 г краски на 1 м2 поверхности котла. Определить, сколько
краски потребуется на покраску внешней поверхности котла (боковая поверхность и два днища)?
Высота цилиндра на 10 см больше радиуса основания, а полная поверхность равна 144тг см2. Вычислить радиус основания и высоту.
Цилиндрическая дымовая труба диаметром 65 см имеет высоту 18 м. Сколько квадратных метров жести нужно для ее изго-
товления, если на заклепку уходит 10% всего требующегося количества жести?
Полуцилиндрический свод подвала имеет длину 6 м и диаметр 5,8 м. Вычислить полную поверхность подвала.
При паровом отоплении низкого давления количество теплоты, которое дает 1 м2 поверхности нагрева, принимается равным 550 тепловым единицам в час. Сколько погонных метров труб диаметром в 34 мм нужно установить в помещении, для отопления которого по расчетам требуется 4500 единиц теплоты в час?
1) Чему равно отношение боковой поверхности цилиндра к площади его осевого сечения?
Какую высоту должен иметь цилиндр, чтобы его боковая поверхность была в три раза больше площади основания?
Найти полную поверхность равностороннего цилиндра, если боковая поверхность Р = 50 см2 ( — « 0,32 ).
\7Г/
1) В цилиндре радиус основания г = 2 см, а высота h = 7 см. Вычислить радиус круга, равновеликого полной поверхности этого цилиндра.
Найти зависимость между высотой цилиндра и радиусом его основания, если их сумма служит радиусом круга, равновеликого полной поверхности этого цилиндра.
1) Из круглого листа металла выштампован цилиндрический стакан диаметром 25 см и высотой 50 см. Предполагая, что при штамповке площадь листа не изменилась, вычислить диаметр листа.
К цилиндрическому стакану (см. предыдущую задачу) выштам- пована крышка диаметром 25,2 см и высотой 0,5 см. Найти диаметр круглого листа, из которого выштампована крышка.
В цилиндре площадь основания равна Q и площадь осевого сечения М. Найти полную поверхность этого цилиндра.
1) Какая должна быть зависимость между высотой и радиусом основания, чтобы боковая поверхность цилиндра была равновелика кругу, описанному вокруг его осевого сечения?
2) Такая же задача для полной поверхности.
В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найти отношение боковых поверхностей цилиндра и призмы.
В данном цилиндре проведена плоскость, параллельная основанию, так, что площадь полученного сечения есть среднее пропорциональное между частями боковой поверхности цилиндра. По известным радиусу основания R и высоте Н цилиндра определить положение секущей плоскости. (См. ответ.)
Найти полную поверхность цилиндра, описанного вокруг куба с ребром а (вершины куба находятся на окружностях оснований).
Вокруг правильного октаэдра описан цилиндр. Две вершины октаэдра лежат в центрах оснований цилиндра, а остальные четыре — на его боковой поверхности. Ребро октаэдра а = 10 см. Найти боковую поверхность цилиндра.
Отношение площади основания конуса к площади осевого сечения равно тг. Найти угол наклона образующей к основанию.
Высота конуса Н. На каком расстоянии от вершины надо провести плоскость параллельно основанию, чтобы площадь сечения была равна половине площади основания?
1) Радиус основания конуса R. Через середину высоты проведена плоскость параллельно основанию. Найти площадь сечения.
Радиус основания конуса R. Определить площадь параллельного сечения, делящего высоту конуса в отношении т : п (от вершины к основанию).
Высота конуса 20, радиус его основания 25. Найти площадь сечения, проведенного через вершину, если его расстояние от центра основания конуса равно 12.
В равностороннем конусе (осевое сечение — правильный треугольник) радиус основания R. Найти площадь сечения, проведенного через две образующие, угол между которыми равен 30°.
Высота конуса Н. Угол между высотой и образующей равен 60°. Найти площадь сечения, проведенного через две взаимно перпендикулярные образующие.
1) В конусе, у которого высота равна радиусу основания R. проведена через вершину плоскость, отсекающая от окружности основания дугу в 90°. Вычислить площадь полученного сечения.
Через вершину конуса под углом 45° к основанию проведена плоскость, отсекающая четверть окружности основания. Высота конуса равна 10 см. Определить площадь сечения.
Через середину высоты конуса проведена прямая параллельно образующей I. Найти длину отрезка прямой, заключенной внутри конуса.
Образующая конуса 13 см, высота 12 см. Конус (см. рис. 23) пересечен прямой MN^ параллельной основанию; расстояние ее от
основания равно 6 см, а от высоты 2 см. Найти отрезок этой прямой, заключенный внутри конуса.
В конусе даны радиус основания R и высота Н. Найти ребро вписанного в него куба.
В конусе даны радиус основания R и высота Н. В него вписана правильная треугольная призма, у которой боковые грани — квадраты. Найти ребро этой призмы.
Конусообразная палатка высотой 3,5 м и диаметром основания 4 м покрыта парусиной. Сколько квадратных метров парусины пошло на палатку?
Крыша силосной башни имеет форму конуса. Высота крыши равна 2 м, диаметр башни равен 6 м. Сколько листов кровельного железа потребовалось для покрытия крыши, если лист имеет размеры 0,7 м х 1,4 м и на швы пошло 10 % требующегося железа?
Поверхность конического шпиля башни равна 250 м2, диаметр основания 9 м. Найти высоту шпиля.
1) Вычислить величину поверхности, полученной вращением хорды вокруг диаметра, выходящего из ее конца, если диаметр равен 25 см, а хорда равна 20 см.
Из точки А на окружности радиуса г = 7 см проведена касательная |ЛВ| = / = 24 см, а из ее конца В — секущая ВОС через центр. Вычислить величину поверхности, которую описывает отрезок ВС секущей, вращаясь вокруг касательной.
Равнобедренный треугольник вращается вокруг своей высоты. Найти стороны этого треугольника, если его периметр равен 30 см, а полная поверхность тела вращения равна 60тг см2.
Наибольший угол между образующими конуса равен 60°. Найти отношение боковой поверхности к площади основания конуса.
1) Как относятся между собой площадь основания, боковая поверхность и полная поверхность в равностороннем конусе?
По высоте Н равностороннего конуса найти его полную поверхность.
Как относится боковая поверхность равностороннего конуса к боковой поверхности равностороннего цилиндра, имеющего такую же высоту?
Найти зависимость между образующей и радиусом основания конуса, у которого боковая поверхность есть среднее пропорциональное между площадью основания и полной поверхностью.
1) Какова должна быть зависимость между образующей конуса и радиусом основания, чтобы полная поверхность конуса была равновелика кругу, за радиус которого принята высота конуса?
17 В. А. Бачурин
2) Какова должна быть зависимость между образующей конуса и радиусом основания, чтобы полная поверхность была равновелика кругу, радиус которого равен образующей конуса?
1) Высота конуса равна 4, радиус основания равен 3; боковая поверхность конуса развернута на плоскость. Найти угол полученного сектора.
По радиусу основания R и образующей L определить угол в развертке боковой поверхности конуса. (Рассмотреть особо случай равностороннего конуса.)
Вычислить угол в развертке боковой поверхности конуса:
если наибольший угол между образующими — прямой;
если образующая составляет с плоскостью основания угол 30°.
1) Полукруг свернут в коническую поверхность. Найти угол между образующей и высотой конуса.
Радиус сектора равен 3 м; его угол 120°. Сектор свернут в коническую поверхность. Найти радиус основания конуса.
1) Боковая поверхность конуса содержит 80 см2; угол в ее развертке равен 112°30'. Вычислить площадь основания.
Боковая поверхность конуса равна 10 см2 и развертывается в сектор с углом в 36°. Вычислить полную поверхность.
Боковой поверхностью конуса служит свернутая четверть круга. Найти полную поверхность этого конуса, если площадь его осевого сечения равна М.
Если наибольший угол между образующими конуса равен 120°, то его боковая поверхность равновелика боковой поверхности цилиндра, имеющего те же самые основания и высоту. Доказать это утверждение.
В равносторонний конус вписана правильная четырехугольная пирамида. Как относятся боковые поверхности конуса и пирамиды?
В данном конусе радиус основания г = 39 см, а высота h = = 52 см. В него вписан цилиндр такой высоты, что его боковая поверхность равновелика боковой поверхности малого конуса, стоящего на его верхнем основании. Найти высоту цилиндра.
В конус с высотой Н и образующей L вписан цилиндр, у которого боковая поверхность в п раз меньше боковой поверхности конуса. Найти высоту цилиндра (L = 1,57/, п = 4).
В конус вписан цилиндр, у которого полная поверхность равновелика боковой поверхности конуса. Наибольший угол между образующими конуса — прямой. Доказать, что расстояние от вершины конуса до верхнего основания цилиндра составляет половину длины образующей конуса.
Образующая усеченного конуса равна 2а и наклонена к основанию под углом 60°. Радиус одного основания вдвое больше радиуса другого основания. Найти каждый из радиусов.
Площади оснований усеченного конуса равны 4 кв. ед. и 25 кв. ед. Высота разделена на три части одинаковой длины, и через точки деления проведены плоскости параллельно основаниям. Найти площади сечений.
В усеченном конусе площади оснований равны 1 м2 и 49 м2. Площадь параллельного сечения равна их полусумме. На какие части это сечение делит высоту?
В усеченном конусе высота h = 10 см, а радиусы оснований равны 8 см и 18 см. На каком расстоянии от меньшего основания находится параллельное сечение, площадь которого есть среднее пропорциональное между площадями основания?
Радиусы оснований усеченного конуса равны R и г. Образующая наклонена к основанию под углом 60°. Найти боковую поверхность.
Радиусы оснований усеченного конуса и его образующая относятся, как 1:4:5, высота равна 8 см. Найти 5бок-
1) Найти высоту усеченного конуса, если его полная поверхность равна 572тг м2, а радиусы оснований равны 6 м и 14 м.
В усеченном конусе высота h = 63 дм, образующая / = 65 дм и боковая поверхность S = 26тг м2. Вычислить радиусы оснований.
Сколько квадратных метров латунного листа потребуется, чтобы сделать рупор, у которого диаметр одного конца равен 0,43 м, диаметр другого конца — 0,036 м и образующая равна 1,42 м?
Сколько олифы потребуется для окраски 100 ведер конической формы, если диаметры оснований ведра равны 25 см и 30 см, образующая равна 27,5 см и на 1 м2 требуется 150 г олифы?
В усеченном конусе образующая I = 5 см, а радиусы оснований равны 1 см и 5 см. Найти радиус цилиндра с такой же высотой и такой же величиной боковой поверхности.
Вычислить боковую поверхность усеченного конуса, если его образующая составляет с плоскостью основания угол 30°, а площадь осевого сечения равна F.
Найти высоту усеченного конуса, если его боковая поверхность равновелика сумме оснований, а их радиусы равны R и г.
1) В усеченном конусе даны высота Н. образующая L и боковая поверхность S. Вычислить площадь осевого сечения.
В усеченном конусе вычислить площадь осевого сечения, если даны площади оснований Q и q и боковая поверхность S.
В усеченном конусе радиусы оснований равны 1 см и 3 см. Найти образующую, если полная поверхность усеченного конуса равна площади всего кругового кольца, в часть которого развертывается боковая поверхность усеченного конуса.
Насос, подающий воду в паровой котел, имеет два водяных цилиндра со следующими размерами: ход поршня равен 150 мм, 17*
диаметр равен 80 мм. Найти часовую производительность насоса, если известно, что каждый поршень делает 50 рабочих ходов в 1 минуту.
Граната имеет форму цилиндра длиной 3,5 калибра и толщину стенок 0,125 калибра (калибром называется внутренний диаметр дула пушки). Вычислить в кубических сантиметрах объем взрывчатого вещества, наполняющего внутреннюю пустоту гранаты полевой пушки калибра в 76 мм.
В цилиндр вписана правильная треугольная призма, а в последнюю вписан цилиндр. Найти отношение объемов обоих цилиндров.
Боковая поверхность цилиндра равна S, а длина окружности основания равна С. Найти объем.
1) Боковая поверхность цилиндра развертывается в квадрат со стороной а. Найти объем.
Высота цилиндра равна Я, а в развертке его боковой поверхности образующая составляет с диагональю угол 60°. Вычислить объем.
Прямоугольный лист жести длиной 1,6 м и шириной 0,8 м можно согнуть в трубку двояким образом: в первом случае длина трубки будет 1,6 м, во втором — 0,8 м. Найти отношение объемов трубок и их поверхностей.
Стальной вал длиной 1,40 м и диаметром 0,083 м обтачивается на токарном станке, причем диаметр его уменьшается на 0,003 м. Сколько теряет он в массе благодаря обточке? Плотность стали равна 7,4 г/см3.
Стог сена имеет форму цилиндра с коническим верхом. Радиус его основания равен 2,5 м, высота равна 4 м, причем цилиндрическая часть стога имеет высоту 2,2 м. Плотность сена равна 0,03 г/см3. Вычислить массу стога.
Высота и образующая конуса относятся, как 4 : 5, а объем конуса равен 96тг см3. Найти его полную поверхность.
Найти объем конуса по площади основания Q и боковой поверхности S.
1) Как относятся объемы равностороннего конуса и равностороннего цилиндра, если их полные поверхности равны?
Как относятся полные поверхности равностороннего конуса и равностороннего цилиндра, если их объемы равны?
1) Объем конуса равен V, а радиус основания равен R. Найти площадь осевого сечения конуса.
В конусе площадь основания равна Q и площадь осевого сечения равна М. Определить объем и боковую поверхность.
На одном основании построены конус и равновеликий ему цилиндр. Параллельно основанию проведена плоскость через середи-
ну высоты цилиндра. Как относятся площади полученных сечений конуса и цилиндра?
Из жести вырезан сектор радиуса 20 см с центральным углом 250° и свернут в конус. Найти объем конуса.
Прямоугольный треугольник с катетами а и b вращается вокруг гипотенузы. Найти объем и поверхность полученного тела.
Треугольник со сторонами 10 см, 17 см и 21 см вращается вокруг большей стороны. Вычислить объем и поверхность полученного тела.
Треугольник с углом 60°, заключенным между сторонами, равными 8 см и 15 см, вращается вокруг большей из этих сторон. Вычислить объем и поверхность тела вращения.
Объемы тел, образуемых вращением какого-нибудь треугольника последовательно вокруг каждой стороны, обратно пропорциональны этим сторонам. Доказать это утверждение.
Высота усеченного конуса равна 3. Радиус одного основания вдвое больше другого, а образующая наклонена к основанию под углом 45°. Найти объем.
Объем усеченного конуса равен 52 см2; площадь одного основания в 9 раз больше площади другого. Усеченный конус достроен до полного. Найти объем полного конуса.
Площадь осевого сечения усеченного конуса равна разности площадей оснований, а радиусы оснований равны R и г. Найти его объем.
Высота усеченного конуса равна 12 см, площадь среднего параллельного сечения равна 225тг см2, объем равен 2800тг см3. Вычислить радиусы оснований.
Образующая усеченного конуса равна 17 см, площадь осевого сечения равна 420 см2, площадь среднего сечения равна 196тг см2. Вычислить объем и боковую поверхность.
Усеченный конус, у которого радиусы оснований равны 4 см и 22 см, требуется превратить в равновеликий цилиндр такой же высоты. Найти радиус основания этого цилиндра.
Радиус одного основания усеченного конуса вчетверо больше радиуса другого. Высота разделена на три части равной длины, и через точки деления проведены плоскости параллельно основаниям. В каком отношении разделился объем?
В усеченном конусе радиусы оснований равны R и г, высота равна h. Из него вырезаны два конуса, у которых основаниями служат основания данного усеченного конуса, а образующие одного служат продолжениями образующих другого. Найти объем оставшейся части.
§ 6. Шар и комбинации геометрических фигур
1) Шар, радиус которого равен 41 дм, пересечен плоскостью на расстоянии 9 дм от центра. Вычислить площадь сечения.
Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная к нему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга?
Радиус шара равен 63 см. Точка находится на касательной плоскости на расстоянии 16 см от точки касания. Найти ее кратчайшее расстояние от поверхности шара.
Угол между радиусами, проведенными к двум точкам поверхности шара, равен 60°, а кратчайшее расстояние между этими точками по поверхности шара равно 5 см. Вычислить радиус шара (— ^ 0,32].
\тг /
Радиус шара равен R. Через конец радиуса проведена плоскость под углом 60° к нему. Найти площадь сечения.
Дан шар радиуса R. Через одну точку его поверхности проведены две плоскости: первая — касательная к шару, вторая — под углом 30° к первой. Найти площадь сечения.
1) Радиус Земного шара равен R. Чему равна длина окружности параллельного круга, если его широта равна 60°?
Город N находится на 60° северной широты. Какой путь описывает этот пункт в течение одного часа вследствие вращения Земли вокруг своей оси? Радиус Земли принять равным 6000 км.
На поверхности шара даны три точки. Прямолинейные расстояния между ними равны 6 см, 8 см, 10 см. Радиус шара равен 13 см. Найти расстояние от центра шара до плоскости, проходящей через эти три точки.
Диаметр шара равен 25 см. На его поверхности даны точка Л и окружность, все точки которой удалены (по прямой линии) от А на 15 см. Найти радиус этой окружности.
Радиус шара равен 15 м. Вне шара дана точка А на расстоянии 10 м от его поверхности. Найти длину такой окружности на поверхности шара, все точки которой отстоят от А на 20 м.
Полушар и вписанный в него конус имеют общее основание и общую высоту; через середину высоты проведена плоскость, параллельная основанию. Доказать, что площадь сечения, заключенная между боковой поверхностью конуса и поверхностью полушара, равна половине площади основания.
Тело ограничено двумя концентрическими шаровыми поверхностями (полый шар). Доказать, что его сечение плоскостью, проходящей через центр, равновелико сечению, касательному к внутренней шаровой поверхности.
Радиусы двух шаров равны 25 дм и 29 дм, а расстояние между их центрами равно 36 дм. Вычислить длину линии, по которой пересекаются их поверхности.
Стороны треугольника равны 13 см, 14 см, 15 см. Найти расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касательного к сторонам треугольника. Радиус шара равен 5 см.
Диагонали ромба равны 15 см и 20 см. Шаровая поверхность касается всех сторон его. Радиус шара равен 10 см. Найти расстояние от его центра до плоскости ромба.
На шар, радиус которого равен 5 дм, наложен ромб так, что каждая сторона его, равная 6 дм, касается шара. Расстояние от плоскости ромба до центра шара равно 4 дм. Найти площадь ромба.
Через точку, лежащую на поверхности шара, проведены две взаимно перпендикулярные плоскости, которые пересекают шар по кругам радиусов ri и г^. Найти радиус шара.
Радиус шара равен 7 см. На его поверхности даны две равные окружности, пересекающиеся по хорде, равной 2 см. Найти радиус этих окружностей, зная, что плоскости их перпендикулярны.
Две касательные к шару плоскости образуют угол 120°, обращенный к поверхности шара. Кратчайшее расстояние по поверхности шара между точками касания равно 70 см. Найти радиус шара.
1) (Устно.) Радиус шара равен 1 м. Найти объем шара.
2) Во сколько раз увеличится объем шара, если радиус его увеличить в 3 раза? в 4 раза?
Чугунные шары регулятора имеют массу по 10 кг каждый. Найти диаметр шара. Плотность чугуна равна 7,2 г/см3.
1) Требуется перелить в один шар два чугунных шара с диаметрами dy = 25 см и d^ = 35 см. Найти диаметр нового шара.
Радиусы трех шаров равны 3 см, 4 см и 5 см. Найти радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.
Имеется кусок свинца массой 1 кг. Сколько шариков диаметром 1 см можно отлить из куска? Плотность свинца равна 11,4 г/см3.
(Устно.) 1) Свинцовый шар, диаметр которого равен 20 см, переливается в шарики с диаметром в 10 раз меньшим. Сколько таких шариков получится? Какое данное в задаче лишнее?
Нужно отлить свинцовый шар с диаметром 3 см. Имеются свинцовые шарики с диаметром 5 мм. Сколько таких шариков нужно взять?
Свинцовый шарик, диаметр которого равен 0,012 м, и полый стеклянный шар диаметром 0,160 м уравновешены на коромысле ве-
сов, т. е. в воздухе имеют равный вес. Если перенести всю эту систему под колокол воздушного насоса и выкачать из-под колокола весь воздух, то какой шар опустится? Как изменятся веса шаров? Этот прибор в физике называется бароскопом. Удельный вес воздуха равен 13 Н/м3.
1) Из деревянного цилиндра, в котором высота равна диаметру основания (равносторонний цилиндр), выточен наибольший шар. Определить, сколько процентов материала сточено.
Из куба выточен наибольший шар. Сколько процентов материала сточено?
Если радиусы трех шаров относятся как 1:2:3, то объем большего шара в три раза больше суммы объемов меньших шаров. Доказать это утверждение.
Внешний диаметр полого шара равен 18 см, толщина стенок равна 1 см. Найти объем стенок.
Внутренний диаметр чугунного полого шара равен 8 см, а внешний — 10 см. Вычислить массу шара. Плотность чугуна равна 7,3 г/см3.
Объем стенок полого шара равен 876тг см3, а толщина стенок равна 3 см. Найти радиусы его наружной и внутренней поверхностей.
В основание равностороннего цилиндра радиуса R вписан квадрат, и на нем построена правильная четырехугольная пирамида с равносторонними боковыми гранями. Требуется определить радиус шара, объем которого равен сумме объемов цилиндра и пирамиды.
Сосуд имеет форму опрокинутого конуса, осевое сечение которого — равносторонний треугольник. В него брошен железный шар радиуса R. В сосуд налита вода так, что поверхность воды касается погруженного в нее шара. На какой высоте будет вода, если вынуть шар?
Дан шар. Плоскость, перпендикулярная диаметру, делит его на две части: 3 см и 9 см. На какие части делится объем шара?
Какую часть объема шара составляет объем сферического сегмента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара?
Высота шарового сегмента составляет 0,4 радиуса шара. Какую часть составляет объем этого сегмента от объема цилиндра, имеющего те же основание и высоту?
Два равновеликих шара расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Как относится объем общей части шаров к объему целого шара?
Диаметр шара, равный 30 см, служит осью цилиндра, у которого радиус основания равен 12 см. Найти объем части шара, заключенной внутри цилиндра.
Радиусы поверхностей двояковыпуклого сферического стекла равны 10 см и 17 см. Расстояние между их центрами равно 21 см. Найти объем.
Радиус шарового сектора равен R, угол в осевом сечении составляет 120°. Найти объем.
Найти объем шарового сектора, если радиус окружности его основания равен 60 см, а радиус шара равен 75 см.
Круговой сектор с углом 30° и радиусом R вращается вокруг одного из боковых радиусов. Вычислить объем полученного тела.
Полукруг радиуса R. разделенный двумя радиусами на три части равной длины, вращается вокруг диаметра. Найти объемы тел, полученных от вращения каждой части.
Если в сферическом секторе площадь осевого сечения равна - площади большого круга, то его объем равен - объема шара. Доказать это утверждение.
В шаре, радиус которого равен 65 см, проведены по одну сторону центра две параллельные плоскости, отстоящие от центра на 16 см и 25 см. Найти объем части шара, заключенной между ними.
Доказать, что объем тела, полученного при вращении кругового сегмента с хордой а вокруг диаметра, параллельного этой хорде, не зависит от величины радиуса круга.
1) (Устно.) Площадь большого круга равна 1 м2. Найти поверхность шара.
Кривая поверхность полушара на М больше площади его основания. Найти площадь основания.
Дан полушар радиуса R. Найти его полную поверхность.
1) Радиус шара равен 5 см. Найти его поверхность (тг « «3,1416).
Поверхность шара равна 225тг м2. Найти его объем.
По объему шара V найти его поверхность.
(Устно.) 1) Как изменятся поверхность и объем шара, если радиус увеличить в 4 раза? в 5 раз?
Поверхности двух шаров относятся, как т : п. Как относятся их объемы?
Объемы двух шаров относятся, как т : п. Как относятся их поверхности?
Гипотенуза и катеты служат диаметрами трех шаров. Какова зависимость между их поверхностями?
В шаре проведены по одну сторону от центра два параллельных сечения; площади их равны 49тг дм2 и 4тг м2, а расстояние между ними равно 9 дм. Вычислить поверхность шара.
Полная поверхность равностороннего конуса равновелика поверхности шара, построенного на его высоте как на диаметре. Доказать это утверждение.
Если равносторонний конус и полушар имеют общее основание, то боковая поверхность конуса равновелика сферической поверхности полушара, а линия их пересечения вдвое короче окружности основания. Доказать это утверждение.
Объем шара (в куб. ед.) и его поверхность (в кв. ед.) выражаются одним и тем же числом. Найти радиус шара.
Кусок металла, имевший сначала форму равностороннего цилиндра, перелит в форму шара. Как изменилась величина его поверхности?
Поверхность тела, образуемого вращением квадрата вокруг стороны, равновелика поверхности шара, имеющего радиусом сторону квадрата. Доказать это утверждение.
Радиусы оснований шарового пояса 20 м и 24 м, а радиус шара 25 м. Найти поверхность шарового пояса. (Два случая.)
По радиусу шара R найти высоту сферического слоя, одно из оснований которого — большой круг шара и боковая поверхность которого равновелика сумме оснований.
Высота шарового пояса 7 см, а радиусы оснований 16 см и 33 см. Вычислить поверхность шарового пояса.
По данному радиусу шара R найти высоту сферического сегмента, у которого боковая поверхность в т раз больше площади основания (т = 4).
Если полуокружность, разделенная на три части одинаковой длины, вращается вокруг своего диаметра, то поверхность, описанная средней дугой, равновелика сумме поверхностей, описанных боковыми дугами. Доказать это утверждение.
Круговой сегмент с дугой 120° и площадью Q вращается вокруг своей высоты. Найти полную поверхность полученного тела.
Боковая поверхность конуса, вписанного в шаровой сегмент, есть среднее пропорциональное между площадью основания и боковой поверхностью сегмента. Доказать это утверждение.
1) Радиус шара равен 15 см. Найти часть его поверхности, видимую из точки, удаленной от центра на 25 см.
На каком расстоянии от центра шара радиуса R должна быть светящаяся точка, чтобы она освещала - его поверхности Г
Круговой сектор с углом 90° и площадью Q вращается вокруг среднего радиуса. Найти поверхность полученного тела.
Какую часть объема шара составляет объем сферического сектора, у которого сферическая и коническая поверхности равновелики?
Шар радиуса 10 см цилиндрически просверлен по оси. Диаметр отверстия 12 см. Найти полную поверхность тела.
Радиус шара 9 дм. В него вписана правильная четырехугольная призма, высота которой 14 дм. Найти сторону основания призмы.
Боковое ребро правильной треугольной призмы 2 м, сторона основания 3 м. Найти диаметр описанного шара.
Основанием прямой призмы служит треугольник со сторонами 6 см, 8 см и 10 см. Высота призмы 24 см. Найти радиус описанного шара.
Как относятся между собой поверхности трех шаров, если первая поверхность касается граней куба, вторая касается его ребер и третья проходит через его вершины?
Вокруг шара описана правильная треугольная призма, а вокруг нее описан шар. Как относятся между собой поверхности этих шаров?
По ребру а правильного тетраэдра найти радиусы описанного и вписанного шаров.
Как относятся между собой поверхности трех шаров, если первая поверхность касается граней правильного тетраэдра, вторая касается его ребер, а третья проходит через его вершины?
По ребру а правильного октаэдра найти радиусы описанного и вписанного шаров.
В данной пирамиде все боковые ребра равны 9 см, а ее высота 5 см. Найти радиус описанного шара.
В шар вписана правильная четырехугольная пирамида, высота которой делится центром шара на две части: 4 см и 5 см. Найти объем пирамиды.
Высота правильной треугольной пирамиды h. Боковые ребра взаимно перпендикулярны. Найти радиус описанного шара.
Основанием пирамиды служит правильный треугольник, сторона которого равна 3 дм. Одно из боковых ребер равно 2 дм и перпендикулярно основанию. Найти радиус описанного шара.
Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды 7 дм и 1 дм. Боковое ребро наклонено к основанию под углом 45°. Найти радиус описанного шара.
В правильной треугольной усеченной пирамиде высота равна 17 см; радиусы окружностей, описанных вокруг оснований, равны 5 см и 12 см. Найти радиус описанного шара.
В шар радиуса R вписан равносторонний цилиндр. На какие части делят поверхность шара основания цилиндра?
В шар вписан цилиндр, у которого радиус основания относится к высоте, как т : п. Найти полную поверхность этого цилиндра, если поверхность шара равна S.
Высота конуса А, образующая I. Найти радиус описанного шара.
Радиус шара 5 см. В шар вписан конус, радиус основания которого 4 см. Вычислить высоту конуса.
Радиус шара 2 м. В него вписан равносторонний конус. Найти полную поверхность и объем конуса.
Найти отношение объемов равностороннего конуса и вписанного в него шара.
В конус, у которого радиус основания г, а образующая /, вписан шар. Вычислить длину линии, по которой поверхность шара касается боковой поверхности конуса.
Если вокруг шара описан конус, у которого высота вдвое больше диаметра шара, то объем и полная поверхность конуса вдвое больше объема и поверхности шара. Доказать это утверждение.
Вокруг шара радиуса г описан конус с прямым углом при вершине осевого сечения. Найти полную поверхность конуса.
Высота конуса 20 см, образующая 25 см. Найти радиус вписанного полушара, основание которого лежит на основании конуса.
Радиусы оснований усеченного конуса 3 м и 4 м; высота 7 м. Найти радиус описанного шара.
Вокруг шара описан усеченный конус, радиусы оснований которого г и R. Найти радиус шара.
Вокруг шара описан усеченный конус, у которого образующая составляет с плоскостью основания угол 45°. Доказать, что его боковая поверхность вдвое больше поверхности шара.
Радиус сферического сектора R^ дуга в осевом сечении 60°. Найти радиус вписанного в него шара и длину окружности, по которой они касаются.
В сферический сектор вписаны два взаимно касающихся шара, радиусы которых 1 дм и 3 дм. Найти радиус данного сектора.
Полная поверхность данного шарового сегмента в т раз больше поверхности вписанного в него шара. Найти высоту сегмента, зная радиус R его сферической поверхности (т = 2).
Объем данного шарового сегмента в т раз больше объема вписанного в него шара. Найти его высоту по радиусу R его сферической поверхности (т = 2).
В шаровой сектор с углом 120° в осевом сечении вписан равносторонний конус. Вершина конуса находится на сферической поверхности сектора, а основание конуса опирается на коническую поверхность сектора. Найти отношение объемов конуса и сектора.
Квадрат со стороной а вращается вокруг перпендикуляра к диагонали, проведенного через ее конец. Найти объем и поверхность полученного тела.
Равносторонний треугольник вращается вокруг перпендикуляра к стороне, проведенного через ее конец. Как относятся между собой поверхности, описываемые сторонами треугольника?
Равносторонний треугольник вращается сначала вокруг стороны, а затем вокруг параллельной ей прямой, проведенной через вершину. Доказать, что во втором случае получаются объем и поверхность, вдвое большие, чем в первом.
Равносторонний треугольник со стороной а вращается вокруг внешней оси, которая параллельна стороне и удалена от нее на расстояние, равное длине апофемы треугольника. Найти объем и поверхность полученного тела.
Одна из сторон а равностороннего треугольника продолжена на равную ей длину, и через конец продолжения проведен перпендикуляр к нему. Найти объем и поверхность тела, которое получится, если вращать треугольник вокруг этого перпендикуляра.
По стороне а правильного шестиугольника найти объем и поверхность тел, образуемых его вращением:
1) вокруг диаметра; 2) вокруг апофемы.
Правильный шестиугольник со стороной а вращается вокруг внешней оси, которая параллельна стороне и отстоит от нее на длину апофемы. Найти объем и поверхность полученного тела.
Прямоугольный треугольник с катетами 15 см и 20 см вращается вокруг перпендикуляра к гипотенузе, проведенного через вершину большего острого угла. Найти объем и поверхность тела вращения.
Объемы, образуемые вращением параллелограмма последовательно вокруг двух смежных сторон, обратно пропорциональны этим сторонам. Доказать это утверждение.
Ромб, площадь которого равна Q, вращается вокруг стороны. Найти поверхность полученного тела.
Равнобочная трапеция, у которой острый угол равен 45° и боковая сторона равновелика меньшему основанию, вращается вокруг боковой стороны. Зная ее длину а, найти объем и поверхность тела вращения.
В полукруг радиуса R вписана трапеция так, что ее нижним основанием служит диаметр, а боковая сторона стягивает дугу в 30°. Найти объем и поверхность тела, образуемого вращением этой трапеции вокруг радиуса, перпендикулярного ее основанию.
Круговой сегмент вращается вокруг параллельного хорде диаметра. Доказать, что полученный объем равен объему шара с диаметром, по длине равным хорде сегмента.
Вокруг шара радиуса R описан усеченный конус, объем которого в т раз больше объема шара. Найти радиусы его оснований.
Поверхность шара, вписанного в данный конус, равновелика его основанию. Требуется определить:
как относится поверхность этого шара к боковой поверхности конуса;
какую часть объема конуса составляет объем шара.
Как относится объем конуса, описанного вокруг правильного тетраэдра, к объему шара, вписанного в этот тетраэдр?
В равносторонний конус вписан полушар так, что большой круг полушара находится в плоскости основания конуса. В каком отношении окружность касания делит боковую поверхность полушара и боковую поверхность конуса?
В равносторонний конус с образующей а вписан шар, а в него вписан куб. Найти ребро куба.
1) В основание полушара вписан квадрат. Через стороны квадрата проведены плоскости, перпендикулярные плоскости основания полушара. Эти плоскости отсекают от полушара четыре сферических полусегмента. Оставшаяся часть дает форму свода. Сторона квадрата а = 6,5 м. Вычислить объем, занимаемый сводом.
В основание полушара вписан прямоугольник со сторонами а и Ь. Через стороны прямоугольника проведены четыре перпендикулярные основанию плоскости, отсекающие от полушара четыре части (полусегменты). Найти объем оставшейся части.
По сторонам а и b прямоугольника найти объем и поверхность тела, образуемого его вращением вокруг перпендикуляра к диагонали, проведенного через ее конец.
Пусть Vi, Vs и Уз — объемы тел, полученных вращением прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы и катетов. Доказать, что — = — Н-.
V? V<f
В конус вписан ряд шаров, из которых первый касается основания и боковой поверхности, а каждый следующий — боковой поверхности и предыдущего шара. Высота конуса равна 8 см, а радиус основания 6 см. К какому пределу стремится сумма объемов вписанных шаров, если число их неограниченно возрастает?
Для данной правильной четырехугольной усеченной пирамиды построена равновеликая ей правильная четырехугольная призма так, что центры их оснований совпадают, а боковые ребра взаимно пересекаются. Стороны оснований усеченной пирамиды 2 м и 11 м. Требуется:
найти сторону основания призмы;
установить, в каком отношении (считая сверху) делятся боковые ребра точками их пересечения;
установить, в каком отношении делятся линией пересечения боковые поверхности.
Задачи по стереометрии с применениемметода координат и векторов
Вычислить координаты единичного вектора а, если известно, что он перпендикулярен векторам 6(1; 1; 0) и с(0; 1; 1).
Найти углы, которые образует вектор а(6; 2; 9) с координатными плоскостями.
Найти зависимость между:
вектором р и его проекциями (Рх, Ру, Pz) на три координатные оси;
вектором р и его проекциями ^р^ р^ Рз) на три координатные плоскости.
В точке Л(2; —1; 5) приложена сила R, \R\ = 11. Зная две составляющие этой силы X = 7г и У = 6j, найти направление и конец вектора, ее изображающего.
На осях координат отложены от начала координат отрезки, равные 1; 2; 3; концы этих отрезков соединены прямыми. Вычислить площадь полученного треугольника.
Вектор задан точками Л(6; 0; 2) и В(1; — 3; 4). Найти координаты точки М(х; у, 0), принадлежащей этому вектору.
Единичный куб пересечен плоскостью, проходящей через его центр симметрии. Чему равен объем каждой части куба?
Даны два вектора: а(1; 2; — 3) и 6(3; — 1; 5). Найти такой вектор с, который перпендикулярен оси О % и удовлетворяет условиям са = — 4 и cb = 9.
В параллелепипеде АВСВАуВуСуВу даны координаты вершин: А(3; 7; 1), В(5; 4; 2), В^ 4; — 1) и АД1; 6; 2). Вычислить координаты других вершин.
Дан тетраэдр АВС В. Найти сумму векторов:
АВ + ВВ + ВС; 2) АВ + СВ + ВСЧ ВА .
В тетраэдре АВС В точки М^ и М2 являются соответственно точками пересечения медиан граней АВ В и ВВС. Показать, что векторы М1М2 и АС коллинеарны. Найти отношение длин этих векторов.
Медианы грани АВС тетраэдра О АВС пересекаются в точке М. Разложить вектор О А по векторам ОВ, ОС, ОМ.
Дан куб АВС В АуВуСуВу. Найти угол между векторами и угол между прямыми, определяемыми теми же парами точек, что и векторы:
1) ВзХ и CCv, 2) ВА и вГв.
Длина каждого ребра тетраэдра АВС В равна а, точки М, N, Р являются серединами ребер АВ, АВ, ВС. Вычислить скалярные произведения:
1) АСАВ; 2) АЪ ВВ; 3) NP ВА- 4) PM РВ.
На координатных плоскостях найти точки, которые вместе с началом координат служили бы вершинами расположенного в I октанте правильного тетраэдра с ребрами, равными единице.
Найти направление вектора, перпендикулярного оси 0% и прямой, проходящей через две точки А(1; —1; 4) и В(—3; 2; 4).
Даны две вершины треугольника: А(—4;—1;2) и В(3;5;—6). Найти третью вершину С, зная, что середина стороны АС лежит на оси Ор^ а середина стороны ВС — на плоскости xOz.
Отрезок АВ разделен на пять равных частей; известна первая точка деления С(3; —5; 7) и последняя Р(—2; 4; —8). Найти координаты концов отрезка и остальных точек деления.
Дан параллелепипед АВС В АуВуСуВу. Какие из следующих троек векторов компланарны (т. е. лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях):
AAi, CCi, в7в- 2) АВ, АВ, ААХ;
В^В. АВЪ ВЕК- 4) АВ, АХВХ, ССС
Дан параллелепипед ABC ВА1В1С1В1. Доказать, что:
АС = АВ + А1В1;2) Сх Ах = С1В1 - АВ;
ACi + BM + BBi = ВС1- 4) ВГС + АА1 + СВ + С1“С = ВГВ.
Для каждой плоскости написать общее выражение координат произвольного нормального вектора:
1) 2ж-?/-2^ + 5 = 0; 2) ж + 5т/ —= 0; 3) Зж — 2т/— 7 = 0.
Построить плоскости:
2ж4-у - z + 6 = 0;2) x — y — z — W,
3) у -2^ + 8 = 0; 4) 2ж —5 = 0.
Даны точки МДО;—1;3) и М2(1;3;5). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку Mi и перпендикулярной вектору Mi М^ .
Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и точку Mi (2; —4; 3). Построить плоскость.
Построить плоскость 2ж — 2?/ + z — 6 = 0 и найти углы ее нормали с осями координат.
Найти расстояние между параллельными плоскостями 4х + + 3?/ — bz — 8 = 0 и 4х + 3?/ — bz +12 = 0.
Указание. Взять на первой плоскости любую точку, например, (2; 0; 0), и найти ее расстояние от другой плоскости.
Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и составляющей угол 60° с плоскостью у = х.
Найти точки пересечения плоскости 2х — Зу — 4z — 24 = 0 с осями координат.
Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостью 2х — — Зу + 6z — 12 = 0 и координатными плоскостями.
На оси Оу найти точку, отстоящую от плоскости х-\-2у — — 2z — 2 = 0 на расстоянии d = 4.
Составить уравнение плоскости, делящей пополам двугранный угол между двумя плоскостями: 2х — 14т/ + 6z — 1 = 0, Зж + Ьу — -5^ + 3 = 0.
Найти координаты точки пересечения плоскости х + 2У + + 3z — 29 = 0 и прямой, проходящей через точки Л(0; 1;—1) и В(2;0;1).
Написать уравнение плоскости, параллельной оси Ох и проходящей через точки МДО; 1; 3) и М2(2; 4; 5), и построить ее.
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; —1;3) и отсекающей на осях координат равные положительные отрезки.
Найти угол между плоскостями х — 2у -\-2z — 8 = 0 и х + z — -6 = 0.
Найти плоскость, проходящую через точку (2; 2; —2) и параллельную плоскости х — 2у — 3z = 0.
18 В. А. Бачурин
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (—1; — 1; 2) и перпендикулярной плоскостям х — 2?/ + ^ — 4 = 0 и xVly -2^ + 4 = 0.
Написать уравнение плоскости, проходящей через точки Mi(—1; — 2; 0) и Л/2(1;1;2) и перпендикулярной плоскости х + 2?/ + + 2^-4 = 0.
Написать уравнение плоскости, проходящей через точки Mi(l; -1; 2), М^- 1; 2) и М3(1; 1; 4).
Через ось Oz провести плоскость, составляющую с плоскостью 2ж + у — V5 z = 0 угол 60°.
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку Му^—4; 0; 4) и отсекающей на осях Ох и Оу отрезки а = 4 и b = 3.
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку Mi(l; —3; 5) и отсекающей на осях Оу и Oz вдвое большие отрезки, чем на оси Ох.
Написать уравнения плоскостей, параллельных плоскости ж — 2?/ + 2z — 5 = 0 и удаленных от нее на 2 ед.
Написать уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей 2ж — ?/ + 3z — 6 = 0, ж + 2?/ — z + 3 = 0 и через точку (1; 2; 4).
§ 8. Задачи по стереометрии с применениемтригонометрических функций
Вычислить угол, под которым диагональ куба наклонена к его грани.
В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол а. Вычислить площадь сечения, проведенного через сторону основания и середину бокового ребра.
Из двух точек плоскости проведены две параллельные наклонные АМ и BN под углом а к плоскости; прямая MN^ пересекающая их и перпендикулярная к ним, образует с плоскостью угол р. Найти угол между прямой АВ и прямой АМ.
Отрезки двух прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, относятся, как 2:3, а их углы с плоскостью — как 2:1. Найти эти углы.
На крыше, имеющей наклон в 20°, проведена прямая MN под углом 25° к линии наибольшего ската МК (линией наибольшего ската служит перпендикуляр к горизонтальной линии, проведенной на плоскости). Найти угол ж между М N и горизонтом.
Покрытие квадратного здания изображено на плане (рис. 24); размеры даны в метрах. Верхняя площадка покрытия расположена
на высоте (считая от основания крыши), равной - ширины здания. Все четыре ската наклоне
ны под одним и тем же углом к горизонтальной плоскости. Чему равен угол наклона покрытия?
В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания и боковое ребро относятся, как V3 : V5- Через диагональ основания проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найти наклон этой плоскости к основанию.
В правильной четырехугольной призме проведена плоскость через середину оси и середины двух последовательных сторон основания. Зная, что сторона основания равна а, а боковое ребро Ь. найти:
площадь полученного сечения;
угол между проведенной плоскостью и плоскостью основания.
Основанием прямой четырехугольной призмы служит ромб с острым углом а. Как надо пересечь эту призму, чтобы в сечении получить квадрат с вершинами на боковых ребрах?
В треугольной призме каждая сторона основания равна а. Одна из вершин основания проецируется в центр другого основания. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом а. Вычислить боковую поверхность призмы.
В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а и составляет с боковым ребром угол а. Вычислить площадь сечения, проведенного через боковое ребро и высоту пирамиды.
В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при основании равен а. Через ребро этого двугранного угла проведена внутри пирамиды плоскость, составляющая с основанием угол р. Сторона основания равна а. Вычислить площадь сечения.
Высота правильной четырехугольной пирамиды равна h. Двугранный угол при основании а. Вычислить полную поверхность.
В основании пирамиды лежит равнобочная трапеция, диагональ которой равна I и составляет с большим основанием угол а. Все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом ф. Вычислить 5полн.
Основанием пирамиды служит квадрат со стороной а. Из боковых граней две перпендикулярны основанию, а две другие образуют с ним угол а. Вычислить 5бок и 5ПОЛн-
В правильной n-угольной усеченной пирамиде даны высота h и стороны оснований а и b (а > Ь). Вычислить ее полную поверхность.
В правильной n-угольной усеченной пирамиде отношение площадей оснований ш2. апофема к, угол между апофемой и высотой а. Вычислить ее боковую поверхность.
К цилиндру проведена касательная прямая под углом а к плоскости основания. Вычислить расстояние от центра нижнего основания до этой прямой, если расстояние от него до точки касания равно d и радиус основания равен R.
Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно b и образует с плоскостью основания угол а. В эту пирамиду вписан равносторонний цилиндр так, что его основание лежит в плоскости основания пирамиды. Найти высоту цилиндра.
Найти ребро куба, вписанного в конус, образующая которого равна I и наклонена к плоскости основания под углом а.
Вычислить полную поверхность конуса, если угол между образующей и плоскостью основания равен а, а площадь осевого сечения Q.
Образующая усеченного конуса наклонена к его основанию, имеющему радиус R. под углом а^ радиус другого основания равен г. Вычислить боковую поверхность усеченного конуса.
В усеченном конусе, радиусы оснований которого равны R и г, проведена плоскость под углом (3 к основанию. Эта плоскость отсекает от окружности каждого основания дугу а. Вычислить площадь сечения.
Образующая усеченного конуса составляет с плоскостью его основания угол а; площади оснований Q и q. Вычислить 5бок-
В параллелепипеде длины трех ребер, выходящих из общей вершины, равны а, Ь, с\ ребра а и b взаимно перпендикулярны, а ребро с образует с каждым из них угол а. Найти объем V параллелепипеда и угол х между ребром с и плоскостью прямоугольника (а = 120°).
2-. Сколько кубометров насыпи приходится на один2-. Сколько кубометров насыпи приходится на одинЖелезнодорожная насыпь в разрезе представляет собой равнобочную трапецию. Высота трапеции равна 12 м, верхнее (меньшее) основание равно 25 м, острый угол а трапеции определяется равенством tg а = погонный метр?
2
-. Сколько кубометров насыпи приходится на один
2
-. Сколько кубометров насыпи приходится на один
Найти объем правильной четырехугольной пирамиды, в которой боковое ребро равно Ь. а плоский угол при вершине равен а.
В треугольной пирамиде две боковые грани — равнобедренные прямоугольные треугольники, гипотенузы которых равны b и образуют между собой угол а. Вычислить объем этой пирамиды.
Найти объем цилиндрической трубки, высота которой Н. зная, что если через образующую внешней ее поверхности провести две плоскости, касательные к внутренней поверхности, то они составят угол а, а хорда, соединяющая точки касания этих плоскостей с внутренней окружностью основания трубки, равна Ь.
Угол откоса для мелкого песка ср = 31°. Куча песка имеет вид конуса, длина окружности основания которого с = 11 м. Плотность песка d = 1,6 г/см3. Найти массу этой кучи.
Рис. 25Рис. 25Осевое сечение конуса представляет собой треугольник, угол при вершине которого а. Радиус окружности, описанной вокруг этого треугольника, R. Найти объем конуса.
Рис. 25
Рис. 25
На рис. 25 изображен продольный разрез доменной печи. Внутренность доменной печи состоит из двух усеченных конусов. Верхнее и нижнее отверстия имеют радиусы ri и г2; углы наклона образующих к основанию а и /3; общий объем V. Найти радиус общего основания конусов г, а также их высоты hi и h^ (2г± = 4,2 м; 2г2 = 4,9 м; а = 86°; /3 = 76°; V = 572,6 м3).
Радиус Земного шара (приблизительно) равен 6370 км. Москва находится на 56° северной широты. Найти радиус этого круга широты.
Радиус Земного шара равен 6370 км. Найти длину тропика (широта 23°27') и полярного круга (широта 66°33').
Сторона основания правильной n-угольной пирамиды равна а, двугранный угол при основании равен ф. Найти радиус шара, вписанного в пирамиду.
Найти угол между образующей и плоскостью основания конуса, если площадь основания, поверхность вписанного шара и боковая поверхность конуса составляют арифметическую прогрессию.
Найти угол при вершине в осевом сечении конуса, описанного вокруг четырех равновеликих шаров, расположенных так, что каждый касается трех других.
Найти радиус шара, описанного вокруг усеченного конуса, в котором радиусы оснований R и г, а образующая наклонена к плоскости нижнего основания под углом а.
В конус помещены два шара так, что они касаются друг друга и поверхности конуса. Отношение радиусов шаров равно т : п. Найти величину угла при вершине осевого сечения конуса Qm : п = 3 : 1).
Найти площадь кривой поверхности сферического сегмента, если в его осевом сечении дуга равна а, а длина хорды равна а.
Найти полную поверхность сферического сектора с углом а при вершине осевого сечения и радиусом R.
В треугольнике даны сторона а и углы В w С. Найти поверхность S и объем V тела, полученного от вращения треугольника вокруг данной стороны.
Ромб со стороной а и острым углом а вращается вокруг оси, проходящей через вершину острого угла перпендикулярно его стороне. Найти поверхность и объем тела вращения.
Даны углы треугольника АВС. Найти отношение объемов Va, Vb^ Vc тел, полученных от вращения этого треугольника последовательно вокруг сторон а, b и с.
В прямоугольной трапеции, описанной вокруг круга радиуса г, дан острый угол а. Вычислить боковую поверхность тела, полученного от вращения этой трапеции вокруг меньшей из непараллельных сторон.
Вычислить объем V и полную поверхность S тела, образованного вращением кругового сегмента радиуса R вокруг диаметра, проходящего через конец его дуги а.
Круговой сегмент, содержащий дугу а и хорду а, вращается вокруг диаметра, параллельного хорде. Вычислить поверхность и объем тела вращения.
В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол а. В эту пирамиду вписан куб так, что четыре из его вершин лежат на апофемах пирамиды. Найти ребро куба.
Правильная треугольная пирамида с ребром основания а и двугранным углом а при этом ребре пересечена плоскостью, параллельной основанию, так, что площадь полученного сечения равна площади боковой поверхности образовавшейся усеченной пирамиды. Вычислить расстояние секущей плоскости от вершины пирамиды.
Две правильные треугольные пирамиды имеют общую высоту; вершина каждой пирамиды лежит в центре основания другой; боковые ребра одной пересекают боковые ребра другой. Боковое ребро I одной пирамиды образует с высотой угол а, боковое ребро второй образует с высотой угол Д. Вычислить объем общей части двух пирамид.
В правильной усеченной четырехугольной пирамиде сторона большего (нижнего) основания равна а; боковое ребро также равно а и составляет со стороной нижнего основания угол а. Центр нижнего основания служит вершиной пирамиды, основание которой совпадает с верхним основанием данной усеченной пирамиды. Вычислить разность объемов усеченной и внутренней пирамид.
В конус с радиусом основания R и углом а между высотой и образующей вписан шар. Вычислить объем части конуса, расположенной над шаром.
В конус вписана правильная n-угольная пирамида, плоский угол при вершине которой равен а. Вычислить площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания г.
Два конуса имеют концентрические основания и общую высоту h. Разность углов, составляемых образующими с осью, равна Д, угол наклона образующей внутреннего конуса к плоскости его основания равен а. Вычислить объем части пространства, заключенной между поверхностями конусов.
Сторона основания правильной n-угольной пирамиды равна а, двугранный угол при основании равен ф. Найти радиус шара, вписанного в пирамиду.
Найти радиус шара, вписанного в правильную п-угольную пирамиду, сторона основания которой равна а и плоский угол при вершине равен а.
Высота правильной четырехугольной пирамиды равна Н* перпендикуляр, опущенный из центра шара, описанного вокруг пирамиды, на ее боковую грань, образует с высотой угол а. Вычислить объем шара.
Правильный треугольник, сторона которого а, вращается вокруг оси, проходящей вне его через конец его стороны под углом а к этой стороне. Вычислить площадь поверхности тела вращения.
Образующая конуса равна а, расстояние от вершины конуса до центра вписанного в него шара равно Ь. Найти угол между образующей и плоскостью основания.
Основанием пирамиды служит прямоугольник. Из боковых граней две перпендикулярны плоскости основания, а две другие образуют с ней углы а и (3. Высота пирамиды равна Н. Вычислить объем пирамиды.
Площадь основания цилиндра относится к площади его осевого сечения, как т : п. Найти острый угол между диагоналями осевого сечения.
Основанием пирамиды служит квадрат ABCD. Ребро DE перпендикулярно плоскости основания, ребро BE наклонено к ней под углом (3 и имеет длину I. Вычислить длины остальных боковых ребер и углы наклона ребер АЕ и СЕ к плоскости основания пирамиды.
Боковое ребро правильной треугольной призмы и сторона основания имеют равную длину. Найти угол между стороной основания и не пересекающей ее диагональю боковой грани.
В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник; боковые стороны этого основания равны а и образуют угол 120°. Боковое ребро пирамиды, проходящее через вершину тупого угла, перпендикулярно плоскости основания, а остальные два наклонены к ней под углом а. Вычислить площадь сечения пирамиды плоскостью, которая проходит через наибольшую сторону основания пирамиды и делит пополам ребро, перпендикулярное основанию.
Найти косинус угла между апофемой и диагональю основания правильной четырехугольной пирамиды, у которой боковое ребро и сторона основания имеют равную длину.
В пирамиде с прямоугольным основанием каждое из боковых ребер равно /, один из плоских углов при вершине равен а, другой равен (3. Вычислить площадь сечения, проходящего через биссектрисы углов, равных (3.
Отношение боковой поверхности правильной треугольной пирамиды к площади ее основания равно к. Найти угол между боковым ребром и высотой пирамиды.
В параллелепипеде все грани — равновеликие ромбы со сторонами а и острыми углами а. Вычислить объем этого параллелепипеда.
Вокруг шара описан усеченный конус, у которого площадь одного основания в четыре раза больше площади другого основания. Найти угол между образующей конуса и плоскостью его основания.
В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с боковой стороной, равной а, и углом при основании, равным а. Через основание треугольника, являющегося верхней гранью, и противоположную вершину нижнего основания проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол (3. Вычислить боковую поверхность 5бок призмы и объем Vi отсеченной четырехугольной пирамиды.
Через сторону нижнего основания куба проведена плоскость, делящая объем куба в отношении т : п, считая от нижнего основания. Найти угол между этой плоскостью и плоскостью основания.
Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна Я, боковое ребро и диагональ пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углами соответственно а и (3. Найти ее боковую поверхность.
В основании пирамиды лежит равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом а. Одно из боковых ребер пирамиды перпендикулярно плоскости основания, а другие два наклонены к ней под одним и тем же углом а. Плоскость, перпендикулярная основанию, дает в сечении с пирамидой квадрат. Вычислить его площадь.
В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен а. Боковая поверхность равна S. Найти расстояние от центра основания до боковой грани.
На двух взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых, кратчайшее расстояние между которыми |PQ| = h, даны две точки Л и В, из которых отрезок PQ виден под углами а и (3. Найти угол 7 наклона отрезка АВ к отрезку PQ.
Плоский угол при вершине правильной n-угольной пирамиды равен а. Отрезок прямой, соединяющий центр основания пирамиды с серединой бокового ребра, равен а. Найти полную поверхность пирамиды.
Боковая поверхность цилиндра, будучи развернута, представляет собой прямоугольник, в котором диагональ равна d и составляет с основанием угол а. Найти объем цилиндра.
Найти центральный угол в осевом сечении шарового сектора, если его шаровая поверхность равновелика конической.
Угол при вершине осевого сечения конуса равен 2а, а сумма длин его высоты и образующей равна т. Найти объем V и полную поверхность Sn конуса.
Найти отношение объема шарового сегмента к объему всего шара, если дуга в осевом сечении сегмента соответствует центральному углу, равному а.
Объем конуса равен V. Его высота разделена на три части одинаковой длины, и через точки деления проведены плоскости параллельно основанию. Найти объем средней части.
В усеченный конус вписан шар. Сумма диаметров верхнего и нижнего оснований конуса в пять раз больше радиуса шара. Найти угол между образующей конуса и плоскостью основания.
Найти объем конуса, если в его основании хорда, равная а, стягивает дугу а, а высота конуса составляет с образующей угол /3.
Найти угол между образующей конуса и плоскостью основания, если боковая поверхность конуса равновелика сумме площадей основания и осевого сечения.
На одном и том же основании построены два конуса (один внутри другого); угол между высотой и образующей меньшего конуса равен а, а угол между высотой и образующей большего конуса равен (3. Разность высот конусов равна h. Найти объем, заключенный между боковыми поверхностями этих конусов.
Вокруг шара описана прямая призма, основанием которого служит ромб. Большая диагональ призмы составляет с плоскостью основания угол, равный а. Найти острый угол ромба.
Боковая поверхность конуса равна S, а полная поверхность — Р. Найти угол между высотой и образующей.
Найти угол между высотой и образующей конуса, боковая поверхность которого делится на две равновеликие части линией пересечения ее со сферической поверхностью, имеющей центр в вершине конуса и радиус, равный высоте конуса.
Конус с высотой Н и углом а между образующей и высотой, рассечен сферической поверхностью с центром в вершине конуса так, что объем конуса оказался разделенным пополам. Найти радиус этой сферы.
В конус вписан цилиндр, высота которого равна радиусу основания конуса. Найти угол между осью конуса и его образующей, если полная поверхность цилиндра относится к площади основания конуса, как 3:2.
В прямоугольном параллелепипеде диагональ основания равна с/ и составляет угол а со стороной основания. Через эту сторону и противоположную ей сторону верхнего основания проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол, равный р. Найти боковую поверхность параллелепипеда.
Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, вписанный в основание конуса. Вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса. Боковые грани пирамиды, содержащие катеты основания, составляют с плоскостью основания углы, равные а и р. Найти отношение объема пирамиды к объему конуса.
В треугольнике даны основание а и прилежащие углы а и 90°+ а. Вычислить объем тела, полученного от вращения этого треугольника вокруг его высоты.
Из конца диаметра шара проведена хорда так, что поверхность, образуемая вращением ее вокруг диаметра, делит объем шара пополам. Вычислить угол а между хордой и диаметром.
Объем правильной четырехугольной пирамиды равен V. Угол наклона ее бокового ребра к плоскости основания равен а. Найти боковое ребро пирамиды.
Разность между образующей конуса и его высотой равна d^ а угол между ними равен а. Найти объем конуса.
Плоский угол при вершине правильной шестиугольной пирамиды равен углу между боковым ребром и плоскостью основания. Найти этот угол.
Найти высоту тетраэдра, объем которого равен V.
Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды в пять раз больше площади ее основания. Найти плоский угол при вершине пирамиды.
Боковое ребро правильной треугольной пирамиды /, а высота пирамиды h. Вычислить двугранный угол при основании.
Сторона большего основания правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна а. Боковое ребро и диагональ пирамиды составляют с плоскостью основания углы, равные соответственно а и р. Найти площадь меньшего основания пирамиды.
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с острым углом а. Диагональ большей боковой грани равна d и образует с боковым ребром угол Д. Найти объем призмы.
Основанием прямой призмы служит равнобедренный треугольник, у которого основание равно а и угол при основании равен а. Найти объем призмы, если ее боковая поверхность равновелика сумме площадей ее оснований.
Диагонали осевого сечения цилиндра пересекаются под углом, равным а, обращенным к основанию. Объем цилиндра равен V. Найти высоту цилиндра.
Апофема правильной шестиугольной пирамиды равна т. Двугранный угол при основании равен а. Найти полную поверхность пирамиды.
Найти острый угол ромба, зная, что объемы тел, полученных от вращения ромба вокруг его большей диагонали и вокруг его стороны, равны.
Полная поверхность правильной треугольной пирамиды равна S. Зная, что угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен а, найти сторону основания пирамиды.
Через диагональ нижнего основания правильной четырехугольной призмы и противоположную вершину ее верхнего основания проведена плоскость. Угол между равными сторонами сечения равен а. Найти отношение высоты призмы к стороне основания.
Вычислить угол наклона боковой грани правильной пятиугольной пирамиды к плоскости основания, если площадь основания пирамиды равна S, а боковая поверхность равна а.
Плоскость, проведенная параллельно оси цилиндра, делит окружность основания в отношении т : п. Площадь сечения равна S. Найти боковую поверхность цилиндра.
Боковые ребра правильной усеченной треугольной пирамиды наклонены к плоскости основания под углом а. Сторона нижнего основания равна а, а верхнего b (а > Ь). Найти объем усеченной пирамиды.
Боковые ребра правильной треугольной пирамиды попарно взаимно перпендикулярны. Найти угол между боковой гранью и плоскостью основания.
В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом а при основании. Все боковые ребра наклонены к плоскости основания под равными углами ср = 90° — а. Площадь сечения, проведенного через высоту пирамиды и вершину равнобедренного треугольника, лежащего в основании, равна Q. Найти объем пирамиды.
В конус вписана треугольная пирамида, у которой боковые ребра попарно взаимно перпендикулярны. Найти угол между образующей конуса и его высотой.
Вычислить объем правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ образует с боковой гранью угол а, а сторона основания равна Ь.
Найти угол между образующей и высотой конуса, у которого боковая поверхность есть среднее пропорциональное между площадью основания и полной поверхностью.
Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник с гипотенузой с и острым углом а. Через гипотенузу нижнего основания и вершину прямого угла верхнего основания проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол р. Вычислить объем треугольной пирамиды, отсеченной от призмы плоскостью.
Все боковые ребра треугольной пирамиды составляют с плоскостью основания один и тот же угол, равный одному из острых углов прямоугольного треугольника, лежащего в основании пирамиды. Найти этот угол, если гипотенуза этого треугольника равна с, а объем пирамиды равен V.
В основании прямой призмы лежит четырехугольник, в котором два противолежащих угла — прямые. Диагональ основания, соединяющая вершины непрямых углов, имеет длину I и делит один из этих углов на части а и Д. Площадь сечения, проведенного через другую диагональ основания перпендикулярно к нему, равна S. Найти объем призмы.
Сторона ромба равна а, его острый угол равен а. Ромб вращается вокруг прямой, проходящей через его вершину параллельно большей диагонали. Найти объем тела вращения.
Объем шара равен V. Найти объем его сектора, у которого центральный угол в осевом сечении равен а.
боковым ребром равен абоковым ребром равен а. В. ВУгол между высотой правильной треугольной пирамиды и
боковым ребром равен а
боковым ребром равен а
. В
. В
каком отношении делит высоту
пирамиды центр описанного шара?
Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна а. Угол между пересекающимися диагоналями двух смежных боковых граней равен а. Найти объем призмы.
Сторона основания треугольной пирамиды равна а, прилежащие к ней углы основания равны а и р. Все боковые ребра составляют с высотой пирамиды один и тот же угол, равный ср. Найти объем пирамиды.
В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при основании равен а. Через его ребро проведена плоскость, составляющая с основанием угол р. Сторона основания равна а. Найти площадь сечения.
Расстояние от центра основания конуса до его образующей равно d. Угол между образующей и высотой равен а. Найти полную поверхность конуса.
В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, а двугранный угол при основании равен а. Через две противоположные стороны основания пирамиды проведены две плоскости, пересекающиеся под прямым углом. Вычислить длину отрезка линии их пересечения, заключенного внутри пирамиды, если известно, что он пересекает ось пирамиды.
В конус вписан шар, площадь поверхности которого равна площади основания конуса. Найти косинус угла при вершине в осевом сечении конуса.
ромб с острым углом ^. Найтиромб с острым углом ^. НайтиПрямой параллелепипед, имеющий в основании ромб со стороной а и острым углом а, пересечен плоскостью, проходящей через вершину угла а и дающей в сечении площадь этого сечения.
ромб с острым углом ^. Найти
ромб с острым углом ^. Найти
Основанием прямой призмы служит равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна а и угол между боковыми сторонами равен а. Найти объем призмы, если ее боковая поверхность равна S.
Центр шара, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду, делит высоту пирамиды в отношении т : п, считая от вершины пирамиды. Найти угол между двумя смежными боковыми гранями.
Через вершину конуса под углом ср к основанию проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу а; расстояние плоскости от центра основания равно а. Найти объем конуса.
Шаровой сегмент шара радиуса R имеет полную поверхность S. Найти его высоту.
Найти объем тела, полученного при вращении треугольника АВС вокруг стороны АВесли его площадь S, сторона |ЛС| = b и САВ = а.
В конус вписан шар. Найти объем шара, если образующая конуса равна I и наклонена к плоскости основания под углом а.
В шар радиуса R вписана прямая треугольная призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник с острым углом а, а ее наибольшая боковая грань является квадратом. Найти объем призмы.
В усеченный конус вписан шар радиуса г. Образующая конуса наклонена к основанию под углом а. Найти боковую поверхность усеченного конуса.
В шар радиуса R вписан усеченный конус, отсекающий от шара два сегмента с дугами в осевом сечении, равными а и (3. Найти боковую поверхность усеченного конуса.
В правильную треугольную призму вписан шар. Найти отношение поверхности шара к полной поверхности призмы.
Доказать, что для любой призмы, описанной вокруг сферы, отношение площади боковой поверхности к площади основания равно 4.
Приложение I
КРАТКИЕ СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯПО НЕКОТОРЫМ РАЗДЕЛАМ МАТЕМАТИКИ
Функции и их графики
Метод координат на прямой. Числовая ось.Числовые промежутки
Если на плоскости проведена прямая, на ней выбрана начальная точка О — начало, установлен отрезок для измерения — единица длины и установлено положительное (вправо) и отрицательное (влево) направления, то говорят, что задана система координат на прямой.
Mi О М2-3-2-10 1 2 3 1Mi О М2-3-2-10 1 2 3 1Тогда любой точке М этой прямой можно поставить в соответствие число ж, абсолютная величина которого показывает расстояние точки М от начала О (влево и вправо от него; рис. 26).
Mi О М2
-3-2-10 1 2 3 1
Mi О М2
-3-2-10 1 2 3 1
Эта прямая называется числовой осью (или координатной прямой), точка О на ней — начало отсчета — называется началом координат.
Число ж называется координатой точки М. Точкам Mi и М^ соответствуют числа —2 и 2,5 — их координаты, что записывается так: Mi{—2), М2(2,5). В общем случае пишут и произносят: М^х) — «точка эм с координатой икс».
Наряду с этим всякому действительному числу можно поставить в соответствие точку на указанной числовой оси. Например, найдутся точки на этой оси, соответствующие числам 1; 13; V2; —0,5.
Способ, позволяющий в заданной системе координат определять положение точки на прямой с помощью числа, называется методом координат на прямой.
Говорят, что между множеством действительных чисел и множеством точек числовой оси имеет место взаимно однозначное соответствие.
Множество всех точек числовой оси, заключенных между двумя точками этой оси, называется промежутком. Промежуток вместе с конечными точками называется отрезком, или сегментом. Отрезок или сегмент также называют замкнутым, или закрытым промежутком.
Например, ОДЗ (область допустимых значений) буквы х в выражении V9 — ж2 определяется нестрогими неравенствами — 3 ^ х ^ 3.
На числовой оси все значения буквы ж, удовлетворяющие написанным неравенствам, изобразятся отрезком АВ (с кружочками на концах).
А(-3\
О
О
О 5(1)
-3
0
3
-1 0 1
0 **
а
б
в
Рис. 27
Говорят и пишут также: ОДЗ буквы ж в выражении V9 — ж является отрезок [—3; 3] (рис. 27, а).
Промежуток без включения его концов называется интервалом, или открытым промежутком (изображается маленькими окружностями на концах). Например, ОДЗ буквы ж в выражении — опре— ж2 деляется строгими неравенствами — 1 < ж < 1 или интервалом ] —1; 1[, иначе (—1; 1) (рис. 27, б\
Две взаимно перпендикулярные направленные прямые хух и угу, проведенные на плоскости (рис. 28), будем называть осями координат;Две взаимно перпендикулярные направленные прямые хух и угу, проведенные на плоскости (рис. 28), будем называть осями координат;УУ(-;+)п(-;+)п(+;+)М(зс; у)*v,y(+;+)М(зс; у)*v,yяд Ояд ОРис. 28Рис. 281— У11— У1прямую Ж1Ж — осью абсцисс, прямую yiy — осью ординат, точку пересечения осей О — началом координат.Получившиеся четыре части плоскости называют четвертями, или квадрантами (первая четверть обозначается I, вторая четверть — II и т. д.). Если, кроме того, выбрана единица измерения, то говорят о прямоугольной системе координат на плоскости или, что на плоскости задана прямоугольная система координат.прямую Ж1Ж — осью абсцисс, прямую yiy — осью ординат, точку пересечения осей О — началом координат.Получившиеся четыре части плоскости называют четвертями, или квадрантами (первая четверть обозначается I, вторая четверть — II и т. д.). Если, кроме того, выбрана единица измерения, то говорят о прямоугольной системе координат на плоскости или, что на плоскости задана прямоугольная система координат.В заданной прямоугольной системе координат на плоскости каждой точке М этой плоскости ставится в соответствие пара чисел ж и у, абсолютные величины которых показывают два расстояния этой точки от осей координат; от оси ординат у^у — расстояние |ж| и от оси абсцисс жхж — расстояние \у\.В заданной прямоугольной системе координат на плоскости каждой точке М этой плоскости ставится в соответствие пара чисел ж и у, абсолютные величины которых показывают два расстояния этой точки от осей координат; от оси ординат у^у — расстояние |ж| и от оси абсцисс жхж — расстояние \у\.Если один конец присоединяется к промежутку, а другой нет, то такой промежуток, открытый с одной стороны и закрытый с другой, называется полуинтервалом, или полуоткрытым промежутком. Например, ОДЗ буквы ж в выражении V1 — х определяется полуинтервалом —оо < ж ^ 1 (изображается лучом (—оо; 1]; рис. 27, в).
Две взаимно перпендикулярные направленные прямые хух и угу, проведенные на плоскости (рис. 28), будем называть осями координат;
Две взаимно перпендикулярные направленные прямые хух и угу, проведенные на плоскости (рис. 28), будем называть осями координат;
У
У
(-;+)
п
(-;+)
п
(+;+)
М(зс; у)
*v,y
(+;+)
М(зс; у)
*v,y
яд О
яд О
Рис. 28
Рис. 28
1
— У1
1
— У1
прямую Ж1Ж — осью абсцисс, прямую yiy — осью ординат, точку пересечения осей О — началом координат.
Получившиеся четыре части плоскости называют четвертями, или квадрантами (первая четверть обозначается I, вторая четверть — II и т. д.). Если, кроме того, выбрана единица измерения, то говорят о прямоугольной системе координат на плоскости или, что на плоскости задана прямоугольная система координат.
прямую Ж1Ж — осью абсцисс, прямую yiy — осью ординат, точку пересечения осей О — началом координат.
Получившиеся четыре части плоскости называют четвертями, или квадрантами (первая четверть обозначается I, вторая четверть — II и т. д.). Если, кроме того, выбрана единица измерения, то говорят о прямоугольной системе координат на плоскости или, что на плоскости задана прямоугольная система координат.
В заданной прямоугольной системе координат на плоскости каждой точке М этой плоскости ставится в соответствие пара чисел ж и у, абсолютные величины которых показывают два расстояния этой точки от осей координат; от оси ординат у^у — расстояние |ж| и от оси абсцисс жхж — расстояние \у\.
В заданной прямоугольной системе координат на плоскости каждой точке М этой плоскости ставится в соответствие пара чисел ж и у, абсолютные величины которых показывают два расстояния этой точки от осей координат; от оси ординат у^у — расстояние |ж| и от оси абсцисс жхж — расстояние \у\.
Число х называется абсциссой точки М, число у — ординатой точки М. Абсцисса и ордината, взятые вместе, называются координатами точки М. Пишут и произносят: М(х, у) — «точка эм от икс игрек». Знаки координат точек четвертей показаны на рис. 28.
Абсциссы всех точек оси у^у равны нулю при любых ординатах; ординаты всех точек оси Ж1Ж равны нулю при любых абсциссах.
Каждой точке на плоскости в заданной прямоугольной системе координат может быть поставлена в соответствие пара действительных чисел, и любой паре действительных чисел может быть поставлена в соответствие единственная точка плоскости.
Способ, позволяющий определять положение точки в заданной прямоугольной системе координат на плоскости с помощью двух чисел, называется методом координат на плоскости.
Пример. В какой четверти координатной плоскости расположена точка Ра), если
1 3 5 7 3 8 , Q 5 2 о q 9 = 471"’ 471"’ 471"’ 471"’ 8^’ 771"’ 1,87Г’ 3^ -2’37Г?
Ответ: I; II; III; IV; I; III; IV; IV; IV; IV.
Функции и их графики
Примеры.
Площадь квадрата соответствует длине его стороны. Так, если сторона квадрата х принимает значения 1 см; 2,5 см; 13 см, то его площадь у будет соответственно равной 1 см2; 6,25 см2; 169 см2. Каждому числовому значению величины х приводится в соответствие числовое же значение величины у. Этот закон соответствия — функция — определяется формулой у = ж2.
Факт зависимости изменения переменной у от изменения переменной х в общем виде записывают и произносят так: у = /(ж) — «игрек есть эф от икс».
Расписание уроков в школе есть закон соответствия или отображения множества дней недели на множество школьных предметов.
Вернемся к первому примеру. Если множество всех сторон ж квадратов обозначим через Е. х Е Е и множество всех соответствующих площадей у этих квадратов через F, у Е F, то каждому элементу ж множества Е соответствует определенный элемент у множества F.
Элементы ж одного множества и соответствующие им элементы у другого множества могут быть элементами любой природы. В этом случае соответствие называется отображением множества элементов ж на множество элементов у.
Определение функции. Пусть дано множество Е произвольных элементов ж. Если каждому элементу ж множества Е поставлено в соответствие число р множества F, то пишут: ж —> /(ж) = р.
Это соответствие называется фрикцией. Множество Е называется множеством аргрментов, или областью определения фрнкции. Множество F всех значений, которые может принимать р. называется мноэюеством значений фрнкции, или областью изменения фрнкции; эти значения функции могут быть и равными между собой.
Следует различать символ / — знак соответствия, называемый характеристикой функции, и число р. или /(ж) — значение функции.
Если функции задаются формулами (аналитически), например: р = х + 1; р = 2ж3; р = ж5 — 1; р = V1 + ж, то эти формулы содержат в себе не только аргумент, числа и знаки действий, но и (в неявном виде) области определения функций и области изменения этих функций.
Найти область определения функции р = ж2 — 1.
Решение. Действия, указанные в правой части равенства, выполнимы при любом действительном значении ж, поэтому областью определения функции является все множество действительных чисел, или интервал — оо < ж < оо, или иначе ] — оо;оо[.
2
Найти область определения функции р =—.
Решение. На нуль делить нельзя, поэтому число ж = 3 не входит в область определения этой функции; извлекать квадратный корень из отрицательных чисел также нельзя, поэтому ж — 2.
Ответ. — 2 ^ ж < 3; 3 < ж < оо, или иначе [—2; 3[ U ]3; оо[.
Функцию можно изображать в виде графика.
Определение. Графиком функции р = /(ж) называется множество точек плоскости, координаты которых связаны соотношением У = УМ-
Иначе говоря, это множество точек в прямоугольной системе координат, абсциссами которых являются допустимые значения аргумента ж, а ординатами — соответствующие значения функции р.
При построении графиков функций реализуются два принципа соответствия, принятые в математике.
Первый принцип заключается в том, что любой паре действительных чисел ставится в соответствие определенная точка на плоскости в системе координат (метод координат на плоскости) и, наоборот, всякой точке на плоскости в заданной системе координат отвечает пара определенных действительных чисел.
Второй принцип заключается в том, что всякой функции р = /(ж) может быть поставлено в соответствие множество точек на плоскости в прямоугольной системе координат. Это график функции.
Пусть дана функция р = 2ж. Эта функция определена на всей действительной оси, значение функции известно при любом числовом значении аргумента.
Прежде всего отметим, что график этой функции пройдет через начало координат, или что начало координат будет принадлежать графику этой функции, так как координаты начала 0(0; 0) удовлетворяют равенству у = 2х: при х = 0 имеем у = 2 • 0 = 0.
Будем придавать х различные значения и вычислять по формуле у = 2х соответствующие значения у. Получим соответствующие пары чисел, например: (1; 2); (2; 4); (0,5; 1); (—3; —6).
Согласно первому принципу соответствия (методу координат) каж
дая такая пара чисел отображается в точку.
Построив на координатной плоскости точки Mi(l; 2); М^2- 4); М3(0,5; 1); М4(-3; -6) (рис. 29) и приложив линейку, мы убедимся в том, что все построенные точки будут лежать на одной прямой, проходящей через начало координат.
Эта прямая и является графиком функции у = 2х.
Аналогично, функции у = — Зж будет соответствовать график, показанный на том же рисунке.
В общем случае при любом значении к графиком функции у = кх является прямая, проходящая через начало координат. Число к называют угловым коэффициентом прямой.
При этом:
если к > 0, то прямая у = кх расположена в I и III четвертях, образуя острый угол с положительным направлением оси абсцисс;
если к < 0, то прямая у = кх расположена во II и IV четвертях, образуя тупой угол с положительным направлением оси абсцисс;
если к = 0 и х — любое значение аргумента, то у = 0, прямая совпадает с осью Ож;
если & = 1,то?/ = ж — биссектриса I и III координатных углов;
если к = — 1, то у = —х — биссектриса II и IV координатных
углов.
Мы знаем, что прямая у = кх проходит через начало координат, поэтому для построения ее достаточно знать любую вторую точку. Для этого зададим ее абсциссу, например, х = а и получим ее ординату у = ка. Через две точки 0(0; 0) и М(а*, к а) проводим прямую.
Функция вида у = кх + b (к и b — заданные числа) называется линейной функцией.
Доказывается, что при b ^ 0 графиком линейной функции у = = кх + b является прямая, параллельная прямой у = кх, поэтому график этой функции можно получить сдвигом графика функции у = кх на величину b вдоль оси ординат.
Прямая у = кх + b через начало координат не проходит, поскольку координаты начала 0(0; 0) ее уравнению не удовлетворяют, 0 ^
/ к -0 + Ь. Следовательно, эта прямая при к / 0 отсекает отрезки на осях координат — пересекает ось Ох в точке А и ось Ор в точке В (рис. 30).
Точка В принадлежит оси ординат, поэтому абсцисса ее может быть равной только нулю (вне оси ординат нет точек с абсциссами, равными нулю): хв = 0. Ордината точки В должна быть такой, чтобы ее значение соответствовало значению абсциссы х = 0 и чтобы при этом удовлетворялось уравнение р = кх + Ь. т. е. чтобы имело место равенство р = = к • 0 + Ь. откуда р = Ь. Таким образом, координатами точки В (общей точки прямой и оси Ор) являются числа 0 и Ь: В(0*Ь).
Подобным образом находятся координаты точки А: А ( — —; 0 ). bV к J
Обычно отрезки рв = b и ж^ = — — отсекаемые графиком прямой к
р = кх + 6 на осях координат, находят в уме и строят эту прямую по ее двум точкам А (— —; 0^ и В(0; Ь).
Задачи.
Даны две вершины Л (—2; 1) и В(—2; —5) квадрата. Найти координаты двух других его вершин. Сколько решений имеет задача?
Ответ*. С^ 1), D^ —5), или СД—8; 1), ВД—8; —5).
Дана функция р = 2х — 1. При каком значении х значение р равно —19; 205?
Ответ*. Ху = —9; х^ = 103.
Какие из точек Л(5; —3), (7(0; 0), В(—5;2,5) принадлежат графику функции р = 0,5ж?
Ответ*, точка С.
При каком условии графики линейных функций р = ах + b и р = тх + п параллельны?
Ответ*, при а = т.
Найти значение Ь, если известно, что график функции р = = —Зж + b проходит через точку М(—2; 4).
Ответ*, b = —2.
Найти к, если точка Л(—7; —12) принадлежит графику функции р = кх + 2.
Ответ*, к = 2.
Отметить на единичной окружности точки Р^ если
ТГ 3 ТГ ТГ 3 ТГ6’ 2’ 4^’ 4’ -2’ 2^’ТГ 3 ТГ ТГ 3 ТГ6’ 2’ 4^’ 4’ -2’ 2^’тг „55
ТГ 3 ТГ ТГ 3 ТГ
6’ 2’ 4^’ 4’ -2’ 2^’
ТГ 3 ТГ ТГ 3 ТГ
6’ 2’ 4^’ 4’ -2’ 2^’
—; 2тг; - тг; — - тг.
6’’4’4
Вычислить координаты точки Ра единичной окружности, если
“2’4’“2’4’тг 23—; - тг; - тг; — 3’3’2’тг 23—; - тг; - тг; — 3’3’2’7Г 7Г о 3 7Г
“2’4’
“2’4’
тг 23
—; - тг; - тг; — 3’3’2’
тг 23
—; - тг; - тг; — 3’3’2’
—; —; Зтг; - тг — — 2’3’’43
Ответ; Р^ЛУ, рД^^А ^(-^О); /WV ^f-^); Р6(0;-1); Рт(0;-1); Р^Д^ Р9(-1;0); Рю^^Л ^^\
§ 2. Алгоритм извлечения квадратного корня из числа
Предварительные пояснения
Пусть дано произвольное положительное число А; тогда можно указать последовательность арифметических действий, приводящую к вычислению квадратного корня из данного числа с любой заданной степенью точности. Эту последовательность действий, которая описывается ниже, называют алгоритмом извлечения квадратного корня.
Предположим сначала для простоты, что данное число А — многозначное натуральное, представляющее собой точный квадрат (т. е. являющееся квадратом натурального числа).
Прежде всего обратим внимание на следующую таблицу:
еслиеслиеслиеслиеслиесли1 < А < 100,100 < А < 10000,10000 < А < 1000000,1 < А < 100,100 < А < 10000,10000 < А < 1000000,то1 VA < 10,
если
если
если
если
если
если
1 < А < 100,
100 < А < 10000,10000 < А < 1000000,
1 < А < 100,
100 < А < 10000,10000 < А < 1000000,
то10 Va < 100,
то 100 Va < 1000 и т. д.
По этой таблице мы можем ответить на вопрос, сколько цифр будет содержать арифметический квадратный корень из числа А.
Если натуральное число, представляющее собой точный квадрат, выражается с помощью одной или двух цифр, то квадратный корень из него будет выражаться одной цифрой.
Например: V? = 2; V81 = 9.
Если число выражается с помощью трех или четырех цифр, то квадратный корень из него будет двузначным числом.
Например: V121 = 11; V9801 = 99.
Если число выражается с помощью пяти или шести цифр, то квадратный корень из него будет трехзначным числом, и т. д.
Например: V12544 = 112; V978121 = 989.
Извлечение квадратного корня из натурального числа,представляющего собой точный квадрат
Примеры.
Найти V7569.
Предполагая, что число 7569 есть точный квадрат, мы можем утверждать, что V7569 будет числом двузначным. Обозначим число
десятков этого двузначного числа буквой ж, а число единиц — буквой у.
Тогда д/7569 = Юж + у.
По определению корня получим:
7569 = (Юж ^у)2, или 7569 = ЮОж2+ 2 • Юж?/+ ?/2.
В левой части содержится 75 целых сотен, а в правой их либо ж2, либо больше. Поэтому 75 ^ ж2.
Значит, ж2 есть точный квадрат, содержащийся в числе 75. Но таких квадратов имеется несколько, а именно: 64, 49, 36 и т. д.
Покажем, что за ж2 надо брать наибольший из этих квадратов. В самом деле, если бы мы взяли за ж2, например, 49, то искомый корень содержал бы 7 десятков и несколько единиц и, будучи возведен в квадрат, дал бы число, меньшее 6400, т. е. меньшее точного квадрата, заключающегося в числе 7569.
Таким образом, число десятков искомого корня равно квадратному корню из наибольшего точного квадрата, заключающегося в числе сотен данного числа 7569.
Итак, ж = 8.
Теперь равенство
7569= 100ж2 + 2-жу+ у2 примет вид
7569 = 6400 + 2 • 10-8у+ у2, или 1169 = 160у+ у2.
В левой части 116 десятков, а в правой их либо 16т/, либо больше, чем 16т/. Поэтому
116 ^16у, или у ^^, или у .
Значит, у равен или 7, или 6, или 5 и т. д.
Чтобы узнать настоящее значение у. придется последовательно испытать каждое из этих возможных значений, начиная с наибольшей цифры 7. В данном примере это испытание показывает, что надо взять у = 7. Действительно, выражение 2 • 10 • By + у2 при у = 7 оказывается в точности равным числу 1169.
Если бы значение выражения 2 • 10 • By + у2 при у = 7 оказалось больше, чем 1169, то следовало бы испытать цифру 6 и т. д.
Итак, V7569 = 87.
Сформулируем правило. Чтобы извлечь квадратный корень из многозначного целого числа, разбивают его справа налево на грани по две цифры в каждой. В последней (крайней левой) грани может оказаться либо одна, либо две цифры.
Чтобы найти первую цифру корня, извлекают квадратный корень из наибольшего точного квадрата, содержащегося в первой грани слева. Чтобы найти вторую цифру корня, из первой грани вычитают квадрат первой цифры корня и к остатку приписывают следующую грань. После этого число десятков получившегося остатка делят на
удвоенную первую цифру корня; полученное целое число подвергают испытанию. Следующие цифры корня находят таким же образом.
Число цифр корня равно числу граней подкоренного числа.
Найти 765593801.
1-й шаг. Число, стоящее под знаком корня, разбиваем на грани по две цифры справа налево:
765’59’38’01.
2-й шаг. Извлекаем квадратный корень из наибольшего точного квадрата, содержащегося в первой грани слева:
765’59’38’01 = 8.
3-й шаг. 765’59’38’01 = 8
64
159 (число 159 назовем первым остатком).
4-й шаг. 765’59’38’01 = 8
64
16 | 159 (число 16 есть удвоенная найденная цифра 8).
5-й шаг. Делим число десятков первого остатка на 16. Получаем в целой части нуль. Эту цифру нуль приписываем к числу 16 и умножаем 160 на нуль. Найденную цифру нуль записываем также справа рядом с цифрой 8:
765’59’38’01 = 80
64
160
1 5’9
хО
0 0 0
1 5 9 3’ 8 (число 15938 назовем вторым остатком
160х 01 5’90 0 016091 5 93’8х 91 4 48 11 45 70’ 1160х 01 5’90 0 016091 5 93’8х 91 4 48 11 45 70’ 1765’59’38’01 = 809.64765’59’38’01 = 809.647-й шаг.7-й шаг.160х 015’900 0160915 93’8х 914 48 1161891 45 70’ 1х 91 45 70’ 10160х 015’900 0160915 93’8х 914 48 1161891 45 70’ 1х 91 45 70’ 10765’59’38’01 = 8099.64765’59’38’01 = 8099.646-й шаг. Делим число десятков второго остатка на 160, т. е. на удвоенное найденное уже число 80. Получаем в целой части цифру 9. Эту цифру 9 записываем справа рядом с цифрами 8 и 0:
160
х 0
1 5’9
0 0 0
1609
1 5 93’8
х 9
1 4 48 1
1 45 70’ 1
160
х 0
1 5’9
0 0 0
1609
1 5 93’8
х 9
1 4 48 1
1 45 70’ 1
765’59’38’01 = 809.
64
765’59’38’01 = 809.
64
7-й шаг.
7-й шаг.
160
х 0
15’9
00 0
1609
15 93’8
х 9
14 48 1
16189
1 45 70’ 1
х 9
1 45 70’ 1
0
160
х 0
15’9
00 0
1609
15 93’8
х 9
14 48 1
16189
1 45 70’ 1
х 9
1 45 70’ 1
0
765’59’38’01 = 8099.
64
765’59’38’01 = 8099.
64
3. V6’80’68’81 = 2609.
4
46 хб
2 8’0
2 7 6
520 х 0
4 6’8
0 0 0
5209
х 9
4 6 8 8’1
4 6 8 8 1
0
Рекомендуется решить самостоятельно:
V815230215801 = 902901.
Если подкоренное число выражается десятичной дробью, то деление на грани производится от запятой: для целой части влево, для дробной вправо. Например,
V0,000001048576 = V0,00’00’01’04’85’76 = 0,001024;
V16417,47628249 = V1’64’17,47’62’82’49 = 128,1307.
В остальном процесс извлечения корня остается таким же, как и в случае целых чисел. Проверить ответы в этих двух примерах.
Извлечение квадратного корня с точностью до 1из многозначных чисел,
не являющихся точными квадратами
Примеры.
V3y81 = 19.
1
29 2 8’1
х 9 2 6 1
2 0
Так как 192 < 381, а 202 > 381, то число 19 есть приближенное значение с точностью до 1 с недостатком, а 20 — с избытком. Очевидно, что 381 = 192 + 20.
V5’1823 = 227.
4
42 1 Г8
х 28 4
3 42’3
3 12 3
29 4
Число 227 есть приближенное значение с точностью до 1 с недостатком, а 228 — с избытком, так как 2272 < 51823; 2282 > 51823; имеем 51823 = 2272 + 294.
4. Извлечение квадратного корня из целых чиселс произвольно заданной точностью
Примеры.
1. Найти приближенное значение /2 с точностью до
Имеем
1
40
Найдем сначала /3200 с точностью до 1:
106
70’0
хб
63 6
732’00 = 56.
25
6 4
1
2 с точностью до — таково: с не-
Легко понять, что значение 56.57
достатком —, а с избытком —.
2. Найти приближенное значение /2 с точностью до:
') 7 21 7-
Имеем
_ /2 ЛОО2 _ V20000
у ЮО2 юо ’ Найдем сначала д/20000 с точностью до единицы:
/2’00’00 = 141.
1
24
10’0
х4
9 6
281
4 0’0
х 1
2 8 1
1 1 9
Значение /2 с точностью до —— 141 100 таково: с недостатком ——, а с 142100
избытком .
100
Здесь каждый раз мы будем приписывать к остатку два нуля. Иначе говоря, мы предварительно представляем /2 в форме /2,000000..., где после запятой поставлено четное число нулей.
/2 = 1,4142...
1
24
х 4
10’0
9 6
281 х 1
40’0
28 1
2824 х 4
11 90’0
11 29 6
28282
х 2
60 40’0
56 56 4
3 83 6 и т. д.
Примечание. Если в десятичной дроби после запятой имеется нечетное число десятичных знаков, то следует приписать еще один десятичный знак, равный нулю, и лишь после этого разбить подкоренное число на грани.
3. 1) V257,257 = V2’57,25’70
2)
VO = Vovo
V0T0 = 0,632...
0
V2’57,25’70= 16,03...
1
26 хб
1 5’7
1 5 6
40
36
320 х 0
12’5
00 0
123
х 3
40’0
36 9
3203
х 3
12 57’0
9 60 9
1262 х 2
3 10’0
2 52 4
2 96 1
57 6 и т. д.
Извлечь с точностью до 0,0001:
3) V0,38472 = V0,38’47’204)
« V0,42’85’71’42
V0,38’47’20 = 0,6202...
36
Vo,
42’85’71’42 = 0,6546
36
122
х 2
24’7
24 4
125
х5
6 8’5
6 2 5
1240
х 0
3 2’0
0 0 0
1304
х 4
6 0 7’1
5 2 16
12402 х 2
3 2 00’0
2 4 80 4
13086 х 6
8 5 5 4’2
7 8 5 1 6
719 6
7 0 2 6
0,6203вычис- грани,0,6203вычис- грани,Ответы даны с недостатком, а с избытком они были бы и 0,6547.
0,6203
вычис- грани,
0,6203
вычис- грани,
3
В последнем примере мы обратили дробь - в десятичную, лив восемь десятичных знаков, чтобы образовались четыре
необходимые для нахождения четырех десятичных знаков корня.
Извлечь квадратный корень из чисел:
1) V2883672) V21261523) V^8581) V2883672) V21261523) V^858с точностью до 0,01;
1) V288367
2) V2126152
3) V^858
1) V288367
2) V2126152
3) V^858
с точностью до 0,01;
с точностью до 0,001;
4) д/0,0358 с точностью до 0,001.
Ответи: 1) 536,99; 2) 1458,13; 3) 1,690; 4) 0,189.
Алгоритм деления многочлена на многочлен
Деление многочленов
Примеры.
Пусть нам известно, что многочлен ж5 + ж4 + ж3 + 2ж2 + Зж + 4 делится на многочлен ж2 + ж + 1 с остатком. Тогда должно быть справедливо равенство
ж5 + ж4 + ж3 + 2ж2 + Зж + 4 = (ж2 + ж + 1)У + R,(1)
так как делимое равно делителю, умноженному на частое Q, плюс остаток R.
Требуется найти такие многочлены Q и й, чтобы это равенство оказалось тождеством и чтобы степень остатка — многочлена R была ниже степени делителя ж2 + ж + 1.
Если бы мы умели производить деление таких многочленов, то нашли бы, что Q = ж3 + 2 и Я = ж + 2.
Действительно, при этих значениях Q и R равенство (1) обращается в тождество, справа получаем точно такой же многочлен, что и слева:
(ж2 + ж + 1)(ж3 + 2) + ж + 2 = ж5 + ж4 + ж3 + 2ж2 + Зж + 4,
при этом степень многочлена R = х + 2 ниже степени делителя ж2 + + ж + 1.
В общем случае при делении многочлена М степени п относительно ж на многочлен D степени т относительно ж (предполагается, что п Е N, т Е N и т ^ п) ищутся такие два многочлена Q степени I относительно ж и R степени к относительно ж, чтобы получалось тождественное равенство
M = DQ^R(2)
и чтобы имели место соотношения I = п — т, 0 ^ к < т (т. е. чтобы показатель степени ж частного Q был бы равен разности степеней делимого М и делителя D и чтобы показатель степени ж остатка R был бы не больше показателя степени делителя D).
В том случае, когда остаток R равен нулю, равенство (2) принимает вид М = D • Q.
В этом случае говорят, что М делится на D. a Q является частным. Если остаток R не равен нулю, то говорят, что М не делится на D.
Покажем сначала, как производится деление многочленов методом неопределенных коэффициентов.
Пусть требуется разделить Л4(ж) = ж3 + ж + 1 на Р(ж) = ж2 + ж + 1.
Здесь D(x) есть многочлен второй степени. Поэтому частное Q(x) должно быть многочленом степени не выше первой: Q(x) = ax + b.
Остаток R(x) должен быть многочленом степени не выше первой: R^ = px-Vq.
Имеем тождество
ж3 + ж + 1 = (ж2 + х + 1)(аж + b) + рх + q.
Неизвестные числа a,b,p,q мы найдем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х многочленов, стоящих в левой и правой частях написанного выше тождества:
а = 1
а + b = 0
aA-bA-p = 1
6 + ^ = 1.
Отсюда а = 1, b = — 1, р = 1, q = 2.
Следовательно, частное равно х — 1, а остаток равен ж+ 2.
Теперь перейдем к изложению другого способа деления многочленов, более удобного, который будем называть «делением углом».
Пусть требуется найти частное от деления многочлена ж2 — 5ж — — 2 + 6ж3 на многочлен 2ж2 — 1 — ж.
Расположив делимое и делитель по убывающим степеням ж, выполним процесс деления сначала без пояснений (наподобие записи при делении многозначных чисел):
2ж2 - ж - 1Зж + 22ж2 - ж - 1Зж + 26ж3 Т ж2 — 5ж — 2
2ж2 - ж - 1
Зж + 2
2ж2 - ж - 1
Зж + 2
6ж3 - Зж2 - Зж
Первый остаток:4ж2 — 2ж — 2
4ж2 — 2ж — 2
Второй остаток:Второй остаток:00
Второй остаток:
Второй остаток:
0
0
Последний (в данном примере второй) остаток оказался равным нулю, т. е. деление совершилось без остатка и в частном получилось Зж + 2. Правильность полученного частного можно проверить умножением. В самом деле,
2ж2 - ж — 1
Х Зж + 2
6ж3 — Зж2 — Зж
+ 4ж2 - 2ж -2
6ж3 + ж2 — 5ж — 2
Теперь поясним, как производится процесс деления. Мы начали с того, что высший член делимого разделили на высший член делителя. Полученный результат приняли за первый член частного. Произведение делителя на этот первый член частного вычли из делимого. Получили первый остаток 4ж2 — 2ж — 2. Высший член первого остатка разделили снова на высший член делителя. Получили второй член
частного. Произведение делителя на этот второй член частного вычли из первого остатка. Получили второй остаток, оказавшийся равным нулю. На этом процесс деления прекратился.
2._ж4-Зж2 + 2
ж -1
ж4 — ж3
ж3 + ж2 - 2ж - 2
Первый остаток:ж3 - Зж2
+ 2
ж3 - ж2
Второй остаток:— 2ж2
+ 2
—2ж2
+ 2ж
Третий остаток:
— 2ж + 2
— 2ж + 2
Четвертый остаток:
0
эж4 —Зж2 + 23 12 о
Значит, = ж+ ж— 2.1
х — 1
: —2.
_ж4 + ж3 + ж2 + ж + 1 ж2 + ж + 1
ж4 + ж3 + ж2ж2
Первый остаток:х + 1
На этом процесс деления заканчивается, так как степень остатка ниже степени делителя.
Итак, при делении многочлена ж4 + ж3 + ж2 + ж + 1 на многочлен ж2 + ж + 1 в частном получается ж2 и в остатке ж +1.
Правильность полученного частного и остатка можно проверить, если воспользоваться тем, что делимое равно произведению делителя на частное, сложенному с остатком.
Действительно, легко видеть, что сумма (ж2 + ж + 1) ж2 + (ж + 1) тождественно равна делимому ж4 + ж3 + ж2 + ж + 1.
_ж8 + 1 ж3 + 1
ж8 + ж5 ж5 —ж2
Первый остаток:— ж5 +1
—ж5 — ж2
Второй остаток:ж2 + 1
Деление прекращается, так как высший член последнего остатка не делится нацело на высший член делителя.
В частном получилось ж5 — ж2, а в остатке ж2 + 1.
Проверка: (ж3 + 1)(ж5 - ж2) + (ж2 + 1) = ж8 + ж5 - ж5 - ж2 + ж2 + 1 = = ж8 +1.
Теперь перейдем к обоснованию уже изложенного выше правила деления многочленов.
Пусть требуется разделить друг на друга два многочлена, расположенных по убывающим степеням х.
Предположим, что искомое частное есть целый относительно х многочлен (или одночлен) и что этот многочлен также расположен по убывающим степеням х.
Из умножения многочленов известно, что высший член произведения равен произведению высшего члена множимого на высший член множителя. Значит, первый член частного равен частному от деления первого члена делимого на первый член делителя. После этого вычтем из делимого произведение делителя на найденный уже первый член частного. Результат этого вычитания назовем первым остатком. Если этот первый остаток окажется равным нулю, то это будет означать, что частное данных многочленов есть найденный целый одночлен. Если же этот первый остаток не окажется равным нулю, то он будет представлять собой произведение делителя на алгебраическую сумму остальных, еще не найденных членов частного. Поэтому второй член частного будет равен частному от деления высшего члена первого остатка на высший член делителя. Аналогично будем получать и остальные члены частного, если они имеются.
Деление окажется выполненным нацело, если последний остаток окажется равным нулю. Если же мы дойдем до такого остатка, который не равен нулю и степень которого ниже степени делителя, то это будет означать, что частное от деления первоначально заданных многочленов не может быть целым многочленом.
В этом случае в результате деления мы получаем только целую часть частного, а также в определенном виде и остаток.
Выделение целой части неправильнойрациональной дроби
Определение. Выражение
п . n —1 . п—2 ...
а^х 4-а\х+ а^х + ... + ан_\х + ап
к т . 1 т — 1 . 1т—2 ,,?,
box 4-b^x4-b^x + ... + Ьт-1Х + Xm
называется рациональной дробью.
Здесь тип — целые положительные числа; сц и bi — любые действительные числа («о Ф 0; Ьо / 0).
Если п ^ т. то эта дробь называется неправильной, если же п < т. то она называется правильной. Например,
х^ —|— 12ж —Н 1
—5, — неправильные дроби;
х 4-1 Зж + 100
X ж2 + 2
—i« — правильные дроби, ж +1 (ж +1)
Пусть требуется выделить целую часть неправильной рациональной дроби, например, дроби —~.
ж2 + ж + 1
Разделим многочлен ж4 + ж + 1 на многочлен ж2 + ж + 1:
ж4 + ж + 1ж4 + ж3 + ж2ж4 + ж + 1ж4 + ж3 + ж2ж2 + ж + 1ж2 + ж + 1ж2 — жж2 — ж
ж4 + ж + 1
ж4 + ж3 + ж2
ж4 + ж + 1
ж4 + ж3 + ж2
ж2 + ж + 1
ж2 + ж + 1
ж2 — ж
ж2 — ж
-ж3 — ж2ТжТ1
—ж3 — ж2 — ж
2ж + 1
Получили частное ж2 — ж и остаток 2ж + 1.
Делимое равно делителю, умноженному на частное, плюс остаток:
ж4 Т ж Т 1 = (ж2 + ж + 1)(ж2 -ж) + 2ж + 1.
получаемполучаемРазделив левую и правую части этого тождества на ж2 + ж + 1,
получаем
получаем
ж4 + ж + 12, 2ж + 1
— = Ж - Ж +
Выражение ж2 — ж называется целой частью дроби
ражение же —~есть правильная дробь.
ж2 + ж + 1
2 ।। 1ж + ж + 12 ।। 1ж + ж + 1Таким образом, неправильная рациональная дробь
2 ।। 1
ж + ж + 1
2 ।। 1
ж + ж + 1
залась представленной в виде суммы многочлена ж2 — ж и правильной
дроби .
ж + ж + 1
Изложенное преобразование применимо ко всякой неправильной рациональной дроби.
В курсе высшей математики встречаются задачи, для решения которых необходима операция выделения целой части неправильной рациональной дроби.
Примеры. Выделить целые части неправильных рациональных дробей.
ж2 +1
Ответ*.Ответ*.= ж2 — 1 += ж2 — 1 +
Ответ*.
Ответ*.
= ж2 — 1 +
= ж2 — 1 +
ж3 -2
ж5 -2ж2
2ж2
Ответ*.
5ж4 — Зж5 + Зж — 1ж + 1 — ж25ж4 — Зж5 + Зж — 1ж + 1 — ж2—3®5 + 5ж4 + 3® — 1-ж2 + ж + 1-Зж5+Зж4 + Зж3Зж3 — 2ж2 + ж — 1—3®5 + 5ж4 + 3® — 1-ж2 + ж + 1-Зж5+Зж4 + Зж3Зж3 — 2ж2 + ж — 12ж4 — Зж3 + 3ж — 1 2ж4 - 2ж3 - 2ж22ж4 — Зж3 + 3ж — 1 2ж4 - 2ж3 - 2ж2
5ж4 — Зж5 + Зж — 1ж + 1 — ж2
5ж4 — Зж5 + Зж — 1ж + 1 — ж2
—3®5 + 5ж4 + 3® — 1
-ж2 + ж + 1
-Зж5+Зж4 + Зж3
Зж3 — 2ж2 + ж — 1
—3®5 + 5ж4 + 3® — 1
-ж2 + ж + 1
-Зж5+Зж4 + Зж3
Зж3 — 2ж2 + ж — 1
2ж4 — Зж3 + 3ж — 1 2ж4 - 2ж3 - 2ж2
2ж4 — Зж3 + 3ж — 1 2ж4 - 2ж3 - 2ж2
—ж3+2ж2+Зж — 1
-ж3 + ж2 + ж
_ ж2 + 2ж -1Ж2 - Ж - 1
Зж
-Зж5+ 5ж4 + 3ж -1 о з о 2 IЗж
Ответ*. ~= Зж — 2ж + х — Н~.
ж + 1 —ж2—ж2 + ж + 1
4 12®4 + 4®3 + 9® + 3_ 12®4 + 4ж3 + 9ж + 3Зж-2
Зж-212®4 —8®34®3 + 4®2 + - ж + —
39_ 12ж3 + 9ж + 312ж3 -8ж2
8ж2+9ж + 3 8ж2 — — х з
-ж+3
_ 3
4386
— X — —39
113
9
12®4 —4®3 + 9® + 3, о , , 2 , 8, 43 ,113
°" 5^2= 41 + 41 + з1 + Т + S(S^) ■
Теорема Безу и ее применение
Предварительные пояснения
Пусть требуется, например, разделить многочлен ж3 + 5ж2 — 6ж — 6 на двучлен ж —2. Можно предсказать, что остаток при этом делении будет равен 10. Проверим это:
ж — 2ж2 + 7ж + 8ж — 2ж2 + 7ж + 8ж3 + 5ж2 — 6ж — 6
ж — 2
ж2 + 7ж + 8
ж — 2
ж2 + 7ж + 8
ж3 - 2ж2
7ж2 — 6 ж — 6
7ж2—14ж
_ 8ж — 6
8ж-16
Предсказанный остаток (число 10) был получен следующим образом.
Рассматривая делитель х — 2, мы видим, что в нем из независимой переменной х вычитается число 2. Это число 2 мы подставили в делимое вместо переменной х и получили 10, т. е. как раз остаток.
Действительно, 23+ 5-22 —6-2 — 6 = 8 +20 — 12 — 6 = 10.
Таким образом, оказалось, что остаток от деления многочлена на х — 2 равен значению делимого при х = 2.
При делении многочлена ж3 + 5ж2 — 6ж — 6 на х — 3, подобно предыдущему примеру, мы подставим в делимое вместо переменной х число 3 и получим
З3+ 5-З2 — 63 — 6 = 27 + 45 —18 — 6 = 48.
(Проверьте это непосредственным делением.)
При делении многочлена х4 + х — 10 на х + 2, т. е. на ж —(—2), получим остаток„
(—2)4 + (—2) — 10 = 4.
(Проверьте это непосредственным делением.)
При делении многочлена ж3 + ж2 + ж + 1 на ж + 1 получим остаток (—I)3 + (—I)2 — 1 +1 = 0.
(Проверьте это непосредственным делением.)
Рассмотренное на примерах правило вычисления остатка от деления многочлена на двучлен (без нахождения частного), сформулированное в общем виде, и является теоремой Безу.
Формулировка теоремы Безу
При делении многочлена п-й степени относительно х на двучлен х — а остаток равен значению делимого при х = а. (Буква а моэюет обозначать любое действительное число.)
Следствие 1. Если многочлен делится без остатка на х — а, то а является корнем этого многочлена.
Следствие 2. Если а есть корень какого-либо многочлена, то это условие является достаточным для делимости этого многочлена без остатка на х — а.
Эти два следствия можно объединить и выразить следующим образом.
Для делимости многочлена на х — а необходимо и достаточно, чтобы а было корнем этого многочлена.
Применение теоремы Безу
Рассмотрим вопрос о делимости выражений вида ап ± Ьп на двучлены вида а ±6 (здесь п — натуральное число).
В выражении ап + Ьп примем а за независимую переменную, а b за постоянную. Тогда выражение ап ± Ьп будет многочленом n-й сте-
20 В. А. Бачурин
пени относительно переменной а, расположенным по убывающим степеням этой переменной.
При делении ап-Vbn на a-Vb получим остаток
при нечетном
26п при четном п.
Значит, ап + Ьп делится без остатка на а + Ь тогда и только тогда, когда п — число нечетное.
При делении ап-\-Ьп на а — Ь имеем
R = bn^bn = 2Ьп ^0.
Значит, ап + Ьп не делится на а — Ь.
При делении ап — Ьп на а + 6 имеем
при четном п:
—2Ьп при нечетном п.
Значит, ап — Ьп делится без остатка на а + Ь тогда и только тогда, когда п — число четное.
При делении ап — Ьп на а — Ь получаем
R = bn-bn=O.
Значит, ап — Ьп всегда делится на а — Ь.
Правило Горнера. Правило Горнера позволяет вычислять коэффициенты частного и остаток при делении многочлена на двучлен х — а удобным способом.
При делении многочлена
А^хн-\-А\хн 1 + А2Хп 2 +... + Ап_\х + Ап
на двучлен х — а в частном получим многочлен степени (п — 1):
Вохп 1 + В±хп 2 +... + Вп—2Х + Вп_\,
а в остатке — некоторое число R.
Согласно свойству деления
А^хн-\-А\хн 1 +... + Ап_\х + Ап =
= (ж — а^Вох11 1 + В±хп 2 +... + Вп—2Х + Вп_-^ + R.
Раскрыв скобки в правой части этого равенства и объединив члены с одинаковыми степенями ж, получим тот же многочлен, что и в левой части.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ж, найдем,
что
Bq — Ло,Вт — В^а = Лх,В2 — Bia = Л2,
ОтсюдаОтсюдаВп—i Вп—2а — Лп—1,В В п — 1 а — Л 72.
Отсюда
Отсюда
Во = Ло,Bi = В^а + Ai,В2 = Bia + Л2,
Bn—1 — Bn—2^ + An—i^В = Вп—1 а + Ап.
Вычисления можно располагать следующим образом.
Коэффициенты делимого: Ло, Л1, Л2, An-i, А^
коэффициенты частного и остаток: Во = Ло, Bi = Boct +Л1, В2 = = Bitz +Л2, В3 = В2& +Л3, ..., Bn-i = Bn-2^ + Лп-1, В = Bn-ift +Лп.
Примеры.
С помощью правила Горнера найти частное и остаток при делении многочлена Зж4 — 2ж3 + 5ж2 — ж +1 на ж —2.
Решение.
3,-2,5,-1,1 а = 2
3; 3-2 + (-2)=4; 4-2 + 5 = 13; 13-2 + (-1) = 25; 25-2 + 1 = 51
Неполное частное: Зж3+ 4ж2 + 13ж + 25. Остаток равен 51.
Разделить ж5 + 2ж3 —ж + 3 на ж+ 2.
Решение.
1,0,2,0,-13 а = —2
1, -2,1, -2,6, -12,23, -436, -12,23, -43
1, -2,
1, -2,
6, -12,23, -43
6, -12,23, -43
Неполное частное: ж4 — 2ж3 + 6ж2 — 12ж + 23. Остаток равен —43.
Пользуясь правилом Горнера, легко найти частное
+ ап"2Н аи"Ч2 +... + abu"2 + bu"Y
от деления ап — Ьп на а — Ь.
Отсюда вытекает формула
ап - Ьп = (а - Ь)(ап"г + аи"^Ь^... + abu"^ + Ьи"^.
Аналогично можно получить формулу
а?к^ -Vb21^ = ^a-Vb^a?k - a?k-xb-V... -V a2b2k-2 - ab2k-1 -\-b2k).
20*
Комплексные числа
Основные понятия и определения
Комплексное число — понятие более общее, чем понятие действительного числа. Для его определения сначала введем некоторый символ г, который называют мнимой единицей. Этому символу приписывается свойство удовлетворять равенству
г2 = -1.(1)
Будем рассматривать выражение вида
z = а + Ы.
где а и b — действительные числа, и называть его комплексным числом.
При этом а называют действительной частью комплексного числа а + Ы, а Ы — его мнимой частью.
Если а = 0, то говорят, что комплексное число z обращается в чисто мнимое число Ыц если же b = 0, то комплексное число z обращается в действительное число а. В этом смысле естественно считать, что комплексные числа включают в себя и действительные, и чисто мнимые числа.
Из знаков сравнения для комплексных чисел употребляются только = и ^; знаки <, ^, >, ^ не употребляются.
Равенство а + Ы = с + di означает, что а = с и b = d.
Для числа z = а + Ьг комплексное число z = а — Ы называется сопряженным.
В дальнейшем важную роль в действиях над комплексными числами будет играть действительное неотрицательное число
г = V^2 + ^2,(2)
называемое модулем данного комплексного числа.
Действия над комплексными числами
Комплексные числа складывают и вычитают по следующим правилам.^^.^
(а + Ы) — (с + di) = (а — с) + (b — d)i;(4)
Примеры.
Сложить два комплексных числа и вычесть из первого второе: ^i=2 + 3z и ^2 = — 4 +7г.
Получаем:
^1 + 2:2 = [2 + (—4)] + (3 + 7) г = —2 + 1 ОД^-^2 = [2-(-4)]+ (3-7) г = 6-4г.
При умножении двух комплексных чисел каждый член одного двучлена умножают на каждый член другого двучлена с учетом того, что г2 = —1.
Таким образом,
^1 * ^2 = (^1 + bii^a2 + 62 г) = ^1^2 + biia2 + а^Ь2% + b±ib2i =
= а^а2 + a^bii + a±b2i + b^b^i^ = (cti(i2 — ^1^2) + (^1^2 + ^2^1) 2.
Перемножить числа zi =—2+ 4z и z2 = 5 — 3г.
Решение. По определению имеем:
^i *^2 = (—2 + 4г)(5 — Зг) =
= [(-2) • 5-4-(-3)] + [(-2) • (-3) + 5-4]г = 2 + 26г.
Заметим, что произведение двух взаимно сопряженных комплексных чисел есть действительное число; в самом деле,
% • % = (а + bi) (а — bi) = [сш — 6(—6)] + [«(—Ь) + аБ\ г = а + Ь2.(5)
Из сравнения равенств (5) и (2) заключаем, что произведение двух взаимно сопряженных комплексных чисел дает квадрат модуля любого из них.
Сформулированное правило умножения двух комплексных чисел может быть распространено на случай нескольких комплексных чисел.
При делении числа ^1 = ai + b±i на число ^2 = ^2 + ^2^ при условии, что ^2^0, применяется следующий несложный прием: делимое ^1 и делитель ^2 умножают на число ^2, сопряженное с делителем ^2, т. е. записывают в виде_
_ ^1 _ ^1 • ^2
2222 • 22
и производят все необходимые действия:
(ai + Ьуг)^а2 - b2i) (d2 + ^2^')(^2 - Ь2%)
(6)(6)
(6)
(6)
а^а2 - a^i + (1261г + 6162
0^02 + 6162^261 - «162 •
а22^Ь22а22^Ь22
Запоминать такую громоздкую формулу нет необходимости, а нужно помнить только этот прием.
Относительная простота такого способа деления основана на том, что, как известно, произведение двух комплексных взаимно сопряженных чисел ^2 • 22 оказывается действительным числом (равным квадрату модуля ^2 или ^2); кстати, указанный прием называется еще и перенесением мнимости из знаменателя дроби в числитель.
Разделить 2 +5г на 3 —4г.
Решение.Решение.2 + 5г _(2 + 5г)(3 + 4г)_(6 - 20) + (8 +15) г _1423 .
Решение.
Решение.
3-4г“25“25“25 + 25 *
Возведение в степень. Предварительно найдем результаты от возведения в степень мнимой единицы г, зная, что г2 = — 1:
г = г;г2 = -1;г3 = г2 - г = (-1) • г = -г;г4 = г3 • г = -г2 = 1;г = г;г2 = -1;г3 = г2 - г = (-1) • г = -г;г4 = г3 • г = -г2 = 1;г5 = г4 • г = (+1) • г = г;г6 = г5 • г = г2 = — 1;г7 = г6 - г = (—1) • i = —г;г8 = г7 • г = г4 • г4 = +1.г5 = г4 • г = (+1) • г = г;г6 = г5 • г = г2 = — 1;г7 = г6 - г = (—1) • i = —г;г8 = г7 • г = г4 • г4 = +1.
г = г;
г2 = -1;
г3 = г2 - г = (-1) • г = -г;
г4 = г3 • г = -г2 = 1;
г = г;
г2 = -1;
г3 = г2 - г = (-1) • г = -г;
г4 = г3 • г = -г2 = 1;
г5 = г4 • г = (+1) • г = г;
г6 = г5 • г = г2 = — 1;
г7 = г6 - г = (—1) • i = —г;
г8 = г7 • г = г4 • г4 = +1.
г5 = г4 • г = (+1) • г = г;
г6 = г5 • г = г2 = — 1;
г7 = г6 - г = (—1) • i = —г;
г8 = г7 • г = г4 • г4 = +1.
Мы получаем, таким образом, четыре чередующихся значения:г; -1; —г; +1.
Заметим еще, что г° считается равным 1.
Теперь легко найдем результаты возведения а + Ы в степень с целым положительным показателем; так,
(а + bi)2 = a2 -V^abi + b2i2 = (а2 — b^-V^abi,
(а + bi)3 = а3 + За2 (bi) + За (bi)2 + (bi)3 = (а3 - ЗаЬ2) + (За2 b - b3) i.
Извлечение квадратного корня. Положим Va + 6г = x + iy.
(1)(1)Тогда а + bi = (х2 — у2) + 2xyi. Следовательно, х2 — у2 = а, 2ху = Ь.
(1)
(1)
Вопрос сводится к нахождению действительных корней этой системы. Возведя оба уравнения в квадрат и затем сложив их, получим
(х2 + у2)2 = а2 + Ь2 и х2 + у2 = л/а^-Ь2 •
(Знак минус перед радикалом отброшен, так как при действительных значениях х w у выражение х2 + у2 не может быть отрицательным.) Рассмотрим последнее уравнение совместно с первым уравнением системы (1); складывая их и вычитая, получим
2 _ Vft2 + 62 + a
Ж “2
2V^+^- «
У =2
Из второго уравнения системы (1) следует, что знаки ужи?/ должны быть одинаковы, если b > 0, и различны, если b < 0. Поэтому
при b > 0,при b > 0,при b < 0,при b < 0,
при b > 0,
при b > 0,
при b < 0,
при b < 0,
4. v5+12?=± U^+™«4. v5+12?=± U^+™«V25 + 144 —52V25 + 144 —52
4. v5+12?=± U^+™«
4. v5+12?=± U^+™«
V25 + 144 —5
2
V25 + 144 —5
2
= zE (V9 + i V?) = ±(3 + 2г).
с этим горизонтальную ось,с этим горизонтальную ось,Рис. 31Рис. 31
с этим горизонтальную ось,
с этим горизонтальную ось,
Рис. 31
Рис. 31
Изображение комплексных чиселточками плоскости
Из определения комплексного числа z = а + bi следует, что ему соответствует пара действительных чисел (а; Ь). Наоборот, каждой паре действительных чисел (а; Ь) отвечает единственное комплексное число a-Vbi. Вместе с тем между парами действительных чисел и точками плоскости имеет место взаимно однозначное соответствие. Сопоставляя эти два факта, можно сделать вывод о том, что имеет место взаимно однозначное соответствие между множеством комплексных чисел а + bi и множеством точек (а; Ь) в прямоугольной системе координат на плоскости. Это позволяет комплексные числа а + Ы изображать теми точками плоскости, у которых абсциссой является число а, а ординатой — число Ь. В связи на которой откладывается действительная часть а числа a-Vbi^ назовем действительной осью, а вертикальную ось, на которой откладывается его мнимая часть Ь. назовем мнимой осью.
Отметим, что все действительные числа а (при b = 0) изображаются точками, лежащими на действительной оси, а все чисто мнимые числа bi (при а = 0) — точками, лежащими на мнимой оси. Число нуль изображается точкой О.
В качестве иллюстрации к сказанному на рис. 31 построены изображения чисел ^i = 2 + Зг; ^2 = 1; ^з = 2г; ^4 = — 4 +г; £5 = —2; zq = = — 3 — 2г; Z7 = —г; z8 = 2 — Зг.
Два взаимно сопряженных числа изображаются точками, расположенными симметрично относительно оси Ох (на рис. 31 такими являются точки Zy и z^Y
Тригонометрическая форма комплексного числа
В прямоугольной системе координат на плоскости построим точку z, изображающую комплексное число % = а + Ы, и соединим ее отрезком с точкой О (рис. 32).
В каком бы квадранте прямоугольной системы координат на плос
кости эта точка ни лежала, расстоя
ние ее от начала координат равно модулю г числа z, т. е. г = V^2 + 62. Угол ф, заключенный между отрезком О z и положительным направлением оси Ох и отсчитываемый в положительном направлении (т. е. против часовой стрелки), называется аргументом числа z. Примем следующие обозначения: г = |^|; ф = arg z (arg — первые три буквы латинского слова argument — «аргумент»).
Заметим, что т может быть любым неотрицательным числом: положительным, если z / 0, и равным нулю, если z = 0. Условимся
считать, что 0 ^ ф < 2тг.
Из рассмотренного следует, что если раньше мы сопоставляли комплексному числу пару действительных чисел а и 6, то теперь мы
можем тому же комплексному числу поставить в соответствие новую пару действительных чисел г и ф^ у каждого комплексного числа есть свои единственные модуль г и аргумент ф (исключение представляет
лишь число нуль: его модуль равен нулю, а аргумент никакого определенного значения не имеет).
7ГЗтг7ГЗтгеслиеслиеслиеслиarg Ьг = <arg Ьг = <если b > 0,если b > 0,если b < 0.если b < 0.Отметим, что для действительного числа а определение модуля сводится к определению абсолютной величины этого числа, а для чисто мнимых чисел Ьг получаем, что т = \Ь\. Полезно также понять и усвоить, что
7Г
Зтг
7Г
Зтг
если
если
если
если
arg Ьг = <
arg Ьг = <
если b > 0,
если b > 0,
если b < 0.
если b < 0.
< 2
В каком бы квадранте прямоугольной системы координат на плоскости точка z ни лежала, из соответствующего треугольника ZOP (рис. 32) найдем
а = тсо8ф; Ь = г81Пф, (1)
так что z = г cos ф + (г sin ф) г.
Полученное соотношение позволяет комплексное число z = а + Ы написать в следующей тригонометрической форме:
(2)(2)z = г (cos ф + г sin ф).
(2)
(2)
Если требуется по известным т и ф найти а и Ь. то это делается с помощью формул (1). Нужно научиться решать и обратную зада-
чу — по известным а и b находить г и ср. Для этого используем формулы
г = V^2 + ^2? cos ср = — а , sin ср = —,
V&2+&2V°2+^2
легко получаемые из того же треугольника ZOP (рис. 32). При этом для определения ср надо вычислить cosy? и хотя бы знак sin у? (или наоборот), так как по одному синусу или одному косинусу аргумент однозначно найти нельзя.
(Комплексное число % = а + Ы можно представить, как вектор OZ (рис. 32) и, например, сумму комплексных чисел геометрически можно истолковать, как вектор, равный сумме векторов.)
Пример. Привести к тригонометрической форме числа:
а) 6 —6г;Решение.а) 6 —6г;Решение.б) Зг.
а) 6 —6г;
Решение.
а) 6 —6г;
Решение.
Имеем: т = i/б2 + (—6)2 = 6 V^ cos ср = —^— =
V2 .= -у, sm^ = -V2 .= -у, sm^ = -6611/27тг—, откуда ср = — и, следовательно,/27тг—, откуда ср = — и, следовательно,
V2 .
= -у, sm^ = -
V2 .
= -у, sm^ = -
6
6
1
1
/27тг
—, откуда ср = — и, следовательно,
/27тг
—, откуда ср = — и, следовательно,
6 - 6г = 6 V2 (cos + ^sin \44 7
г = 3, cosy? = 0, sin у? = 1, ср = ^, Зг = 3 (cos ^ + г8ш ^.
Если комплексное число задано в тригонометрической форме (2), то построить его изображение на плоскости можно так: из начальной точки провести луч под углом у? к положительному направлению действительной оси и на этом луче от точки О отложить отрезок, длина которого равна г.
Примечание. Следует напомнить, что тригонометрическая форма комплексного числа, отличного от нуля, определена однозначно в виде % = r(cosy? + г sin у?), где т — положительное число, равное модулю числа %\ косинус и синус берутся от одного и того же угла у?, равного аргументу числа %^ при этом между косинусом и синусом стоит знак плюс.
Следующие формы записи комплексных чисел не являются тригонометрическими:
ф . .( ср= cos + г sin I тг —ф . .( ср= cos + г sin I тг —^2 = —2 |^cos — + г sin — J;^2 = —2 |^cos — + г sin — J;
ф . .( ср
= cos + г sin I тг —
ф . .( ср
= cos + г sin I тг —
^2 = —2 |^cos — + г sin — J;
^2 = —2 |^cos — + г sin — J;
. 7Г , . 7Г^з = 81п- + гсо8-;66. 7Г , . 7Г^з = 81п- + гсо8-;667Г . . 7Г^4 = cos — — г sin —.447Г . . 7Г^4 = cos — — г sin —.44
. 7Г , . 7Г
^з = 81п- + гсо8-;
66
. 7Г , . 7Г
^з = 81п- + гсо8-;
66
7Г . . 7Г
^4 = cos — — г sin —.
44
7Г . . 7Г
^4 = cos — — г sin —.
44
Тригонометрическая форма такова:ср . . срzx = cos + г sin ^-;Тригонометрическая форма такова:ср . . срzx = cos + г sin ^-;записи тех же комплексных чиселзаписи тех же комплексных чисел7Г , . . 7Г ^з = С08- + г81п-;7Г , . . 7Г ^з = С08- + г81п-;~ / 4тг . . 4тг \^2 = 2 (^cos — + % sin — J;7тг , . . 7тг^4 = cos —- + г sin —-.44~ / 4тг . . 4тг \^2 = 2 (^cos — + % sin — J;7тг , . . 7тг^4 = cos —- + г sin —-.44
Тригонометрическая форма такова:
ср . . ср
zx = cos + г sin ^-;
Тригонометрическая форма такова:
ср . . ср
zx = cos + г sin ^-;
записи тех же комплексных чисел
записи тех же комплексных чисел
7Г , . . 7Г ^з = С08- + г81п-;
7Г , . . 7Г ^з = С08- + г81п-;
~ / 4тг . . 4тг \
^2 = 2 (^cos — + % sin — J;
7тг , . . 7тг
^4 = cos —- + г sin —-.
44
~ / 4тг . . 4тг \
^2 = 2 (^cos — + % sin — J;
7тг , . . 7тг
^4 = cos —- + г sin —-.
44
Умножение комплексных чисел,заданных в тригонометрической форме.Формула Муавра
Умножим два комплексных числа ^i = ri(cosy?i + zsin^i) и ^2 = = r2(cosy72 + tsiny^) так, как мы это делали в и. 2. Тогда получим ^1 • ^2 = Г1 • Г2 [(cos фу COS ф^ — sin фу sin (/92) + ^ (sin фу COS ф^ + sin ф^ COS y?i)].
Заметим, что выражения, стоящие в круглых скобках, можно упростить с помощью известных формул тригонометрии.
Таким образом,
^1 -^2 = rir2(cos(yi + y2) + »sin(yi + y2))-(1)
Доказано следующее правило для перемножения двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме: их модули надо перемножить, а аргументы сложить.
Это правило остается верным для любого количества перемножаемых чисел.
Примеры.
Для чисел гу = 2 (cos 20° + г sin 20°) и ^2 = 3 (cos 50° + г sin 50°) найти %у • ^2-
Решение. В соответствии с установленным правилом имеем: ^.^2 = 2-3(cos (20° + 50°) + г sin (20° + 50°)) = 6(cos 70° + % sin 70°).
Используем теперь равенство (1) для возведения произвольного комплексного числа % = г (cosy? + г sin у?) в натуральную степень п. Для этого нам придется модуль г этого числа умножить п раз сам на себя, а аргумент ф сложить сам с собой п раз. Это приведет к равенству
_ Тп (cog -пф-V г sin пф).(2)
Равенство (2) определяет так называемую формулу Муавра. Из нее следует, что при возведении комплексного числа в любую натуральную степень его модуль нужно возвести в эту степень, а аргумент умножить на показатель степени.
Вычислить [3 (cos43° + г sin43°)]5.
Решение. В соответствии с формулой Муавра (2) находим [3(cos 43° + % sin 43°)]5 = 243(cos 215° + % sin 215°).
Если число % задано в форме а-\-Ьг, то для возведения его в степень с помощью формулы Муавра надо % предварительно привести к тригонометрической форме.
Вычислить (—1 + г)12.
Решение. Число — 1 + г приводим к тригонометрической форме, для чего находим т = V2, ф = —. Следовательно,
— 1 + % = v 2 cos —- + г sin —- .
\44 /
Теперь применим формулу Муавра и получим
(—1 + г)12 = (V2)12(cos9tt+ zsin9?r) = — 26 = —64, так как cos9?r = — 1, sin9?r = 0.
Извлечение корня п-й степенииз комплексного числа
Извлечь корень п-й степени из комплексного числа % — значит найти такое комплексное число ш, что шп = %.
Пусть требуется извлечь корень п-й степени из % = r(cosa + zsina).
Предположим, что этот корень существует и равен ш = р(со8ж + + г sin х).
Тогда, по определению,
рп (cos пх + г sin пх) = г (cos а + г sin а).
Если комплексные числа равны, то модули их равны; аргументы или равны, или отличаются на число, кратное 2тг. Поэтому
p"=T. пх _ а_р2^7Г,
где к — некоторое целое число. Отсюда имеем:
и справедлива формулаи справедлива формулао + 2&тгпо + 2&тгп^к^к= ^ COS= ^ COSо + 2А?тг , . . о + 2А?тгh % sinппо + 2А?тг , . . о + 2А?тгh % sinппkEZ.kEZ.(1)(1)
и справедлива формула
и справедлива формула
о + 2&тг
п
о + 2&тг
п
^к
^к
= ^ COS
= ^ COS
о + 2А?тг , . . о + 2А?тгh % sinпп
о + 2А?тг , . . о + 2А?тгh % sinпп
kEZ.
kEZ.
(1)
(1)
Корень степени п любого числа, отличного от нуля, имеет в комплексной области п различных значений. Все эти корни получаются из формулы (1) при к = 0; 1; 2; 3;...; (п — 1).
Примеры.
= 16; р = 2; cos а == 16; р = 2; cos а =V3—; а = 240°. Таким образом,V3—; а = 240°. Таким образом,Вычислить у —8 — 8\/ЗТ
= 16; р = 2; cos а =
= 16; р = 2; cos а =
V3
—; а = 240°. Таким образом,
V3
—; а = 240°. Таким образом,
Решение. Имеем г = 81 .8д/3
162’16
-8-8V3? = 16[cos(240o + 360%)+?sin(240o+360%)].
Следовательно,
У-8-8\/Зг = 2 [cos (60° + 90° к) + г sin (60° + 90%)].
Отсюда при к = 0; 1; 2; 3 получаем все четыре значения корня: с^о = 2(cos60° + г sin60°) = 1 + д/Зг;
cui = 2(cos 150° + г sin 150°) = — д/З + г;
w2 = 2(cos240° + zsin240°) = — 1 — д/Зг;
ш3 = 2(cos 330° + г sin 330°) = Vs - г.
значениям корня из комплексного числа геометричесзначениям корня из комплексного числа геометрически соответствуют вершины правиль
значениям корня из комплексного числа геометричес
значениям корня из комплексного числа геометричес
ПолученнымПолученнымного многоугольника, вписанного в окружность, которую описывает радиус-вектор, исходящий из начала координат. Длина этого радиуса-вектора сохраняется постоянной и равна модулю комплексного числа:
Полученным
Полученным
р = |сД = з/г,
в данном случае р = 2.
Число вершин многоугольника равно числу корней; в данном случае п = 4.
Порядок следования значений корня соответствует повороту радиуса- вектора против часовой стрелки. Угол поворота между последующими его
значениями также постоянный и равен —; в данном случае он равен 90° (рис. 33).П
Вычислить ^—3 + г.
Решение. Имеем г = ^/(—З)2 + 1 = VT6; р = ^10 « 1,48; cos ср =
= — "2=; sin </? = ^/^' П° знакам косинуса и синуса заключаем, что аргумент данного комплексного числа ср принадлежит II четверти и равен
ср = arccos |] « 161°40/.
\ Vw
Таким образом,
-3 + г и V10 [cos (161°40' + 360%) + г sin (161°40' + 360%)]. Следовательно,
^-З + г to l,48[cos (53°30' +120%) + г sin (53°30' +120%)].
При к = 0; 1; 2 получаем все три значения корня:
ш0 « l,48(cos53°30'+ ^sin53°30') « 0,879 +1,187г;
071 « 1,48(со8 173030' + г8т173030') « -1,477 + 0,168г;ш2 « 1,48(со8 293°30Ч г sin 293°30') «0,590-1,354+
Рекомендуется самостоятельно сделать рисунок для этой задачи.
Решение уравнений
Одно из важнейших применений комплексных чисел заключается в следующем. Можно доказать, что любой многочлен п-й степени Р^ = auzn + au_yzn-Y +... + сцз + ао (ап ^ 0) с действительными или
комплексными коэффициентами всегда может быть разложен на множители и тем самым приведен к виду р^ = a^z — zi)^1 (z — 22)^... ... ^z — zm^km 1 где ^1, ^2, .zm — некоторые различные действительные или комплексные числа, a ki, к^, ..., кт — натуральные числа, причем к\ + к^ +... + кп = п. Следовательно, уравнение вида
С1П^П + С1П —1^П 1 + ... + CLi Z + Uq = О
на множестве комплексных чисел всегда разрешимо и имеет п корней.
При этом если указанное уравнение имеет действительные коэффициенты (сц — действительные числа), то его комплексные корни являются попарными взаимно сопряженными. Будем рассматривать это уравнение с действительными коэффициентами.
Примеры.
Решить уравнение ж3 + 5ж2 + Юж +12 = 0.
Решение, ж3 + Зж2 + 2ж2 + 6ж + 4ж + 12 = ж2(ж + 3) + 2ж(ж + 3) + + 4(ж + 3) = (ж + 3)(ж2 + 2ж + 4) = 0.
Ответ: —3; — IzEzVS.
Решить уравнение 2ж4 + ж3 + 4ж2 + ж + 2 = 0.
Решение. (2ж4 + 4ж2 + 2) + (ж3 + ж) = 2(ж2 + I)2 + ж(ж2 + 1) = = (ж2 + 1)(2ж2 + ж + 2) = 0.
Ответ: ±z; 0,25( - 1 ±z \/Ю) •
Чтобы по известным корням жх, Ж2, жз, ..., жп искомого уравнения составить это уравнение, достаточно записать разложение на множители его левой части: (ж — жх)(ж — Ж2) (ж — жд)... (ж — жп) = 0 и раскрыть в ней скобки.
Составить уравнение по его корням жх = 3 — z; Ж2 = 3 + z.
Решение, [(ж — (3 — г)][ж — (3 + z)] = (ж — З)2 — z2 = ж2 — 6ж + 9 — -(-1)=0.
Ответ: ж2 —6ж + Ю = 0.
Составить уравнение по его корням жх = 2; Ж2 = —4; жз = — 1 — — г д/б; ж4 = — 1 + г д/б.
Решение, (ж — 2)(ж + 4) [ж — (—1 — zV6)] [ж — (—1 — л/б)] = = [ж2 + 2ж — 8] [(ж +1)2 — (z Уб)2] = (ж2 + 2ж — 8)(ж2 + 2ж + 7) = 0.
Ответ: ж4 + 4ж3 + Зж2 - 2ж - 56 = 0.
Рассмотрим уравнения с комплексными коэффициентами.
Корни квадратного уравнения z^ + az + (3 = 0 с комплексными коэффициентами а и (3 находятся по тем же формулам, что и при действительных а и ^, т. е. по формулам z = 0,5(—а ± VD), а вычисление VD = у а2 — 4у5 показано на с. 315, 316 (наиболее простой прием).
Решить уравнение z2 + (3 + 2г) z — 7 + 17г = 0.
Решение, z = -0,5(3 + 2г) ± У(3 + 2г)2-4(-7+ 17г) = -0,5 х х (3 + 2г)±У33^56г = —0,5(3 + 2г) ± (7 — 4г).
Ответ*, zy = 2 — Зг; z^ = — 5 + г.
Ответы.Ответы.5; 0,5(-1±\/Зг).5; 0,5(-1±\/Зг).Задачи.
Ответы.
Ответы.
5; 0,5(-1±\/Зг).
5; 0,5(-1±\/Зг).
Решить уравнения (1-4).
ж3-4ж2-4ж = 5.
ж3+ 8ж2 + 15ж = —18.
16ж4+ 4ж2 +1 = 0.
(ж2 + ж + 1)(ж2 + ж + 2) = 12.
Составить уравнения по их корням (5-6).
1; ±г.ж3-ж2 + ж-1 = 0.
1; 3; ±2г.ж4 - 4ж3 + 7ж2 = 16ж - 12.
Решить уравнения (7-10).
z2 — 3z + 3 + г = 0.1 — г; 2 —г.
^2 — (8 + Зг) ^ + 13(1+ г) = 0.5 + г; 3 + 2г.
z3 - (1 + г) z2 + (2 + г) z - 2 = 0.1; -г; 2г.
z4 + (г - 3) z3 + (4-Зг) z2 + (4г-2) z = 21.1; -г; 1-г; 1 + г.
Составить уравнения по их корням (11-14).
2 + г; —2 + г.z2 — 2%z — 5 = 0.
13-г; 7 + г.z2 - 20^ + 92 + 6г = 0.
г; —г; г\/2.z3 - г V2z2 + - г V2 = 0.
— 1; г; 1 + г.z4 — (1 + г) z3 + iz2 + 2z = 2г.
§ 6. Комбинаторика и бином Ньютона
Соединения
Изложение начнем с примера.
Пример. Сколько различных двузначных чисел можно составить из четырех различных цифр: 1, 2, 3, 4, если в каждом из двузначных чисел цифры не будут повторяться?
Решение. Составим следующий список:
13, 14; 23, 24, 21; 34, 31, 32; 41, 42, 43.
Мы перебрали все возможные случаи образования двузначных чисел из данных четырех цифр, исходя из условий задачи.
При этом говорят, что получились размещения из четырех элементов по два элемента в каждом.
В этом разделе рассматриваются вычислительные задачи, связанные, как показывает само название, с комбинациями различных объектов. При этом такими объектами могут быть цифры (как в рас-
смотренном примере), буквы, предметы, станки и т.п., которые будем называть элементами.
Всевозможные комбинации из каких-либо рассматриваемых однородных элементов, которые могут отличаться друг от друга или порядком их, или самими элементами, называются соединениями.
Соединения могут быть трех видов: размещения, перестановки и сочетания.
Размещения
Размещениями из п элементов по т называются такие соединения, каждое из которых содержит т элементов, взятых из данных п элементов, и которые отличаются одно от другого или самими элементами, или их порядком (значит, предполагается, что т ^ п).
Число размещений из п элементов по т в каждом обозначается символом Л™ (читается «число размещений из п элементов по т»\
Это число равно
Л^ = п(п — 1)(п — 2)... [n — (m — 1)].
Число всевозможных размещений из п элементов по т равно произведению т последовательных натуральных чисел, из которых большее есть п.
В рассмотренном примере соединения представляют собой размещения, и ответ в нем можно оформить как: Л4 = 4 • 3 = 12.
Примеры.
1) ^ = 5-4 = 20; 2) Л^ = 4-3-2 = 24; 3) А^ = 8• 7• 6• 5 = 1680.
1) А^=п; 2) А2п=Цп-1У, 3) Л^ = n(n - 1)(п - 2).
Считается, что А^ = 1.
Сколькими способами могут быть распределены 5 различных уроков в день из 10 учебных предметов?
Решение. Очевидно, искомых способов столько, сколько размещений из 10 элементов по 5, т. е. Л^ = 10 • 9 • 8 • 7 • 6 = 30240.
Сколько можно образовать различных трехзначных чисел из всех цифр, если в этих числах не будет одинаковых цифр?
Решение. Из всех десяти цифр — 0, 1, 2, ..., 9 — можно составить Л^о = 10 • 9 • 8 = 720 размещений по три, но из этого числа следует исключить число тех размещений из 10 по 3, которые начинаются с цифры 0 (012; 037; 094;...).
Число таких размещений, очевидно, равно числу размещений из девяти значащих цифр (1, 2, 3, ..., 9) по 2, т. е. Лд = 9•8 = 72.
Следовательно, искомое число равно 720 — 72 = 648.
Перестановки
Размещения из п элементов по п (т. е. различающиеся только порядком элементов) называются перестановками.
Число всевозможных перестановок из п элементов обозначается символом Рп (читается «число перестановок из эн»).
Так как перестановки из п элементов — это размещения из п элементов поп, то формула числа перестановок имеет вид
Рп = А™ = п(п — 1)(п — 2)... 3 • 2 • 1 = 1-2-3... (п-2)(п-1)п.
Число всевозможных перестановок из п элементов равно произведению всех натуральных чисел от 1 до п. Это число обозначается символом п\ (читается «эн факториал»). Следовательно,
Рп = п!
Так, 1! = 1; 2! = 1 • 2 = 2; 3! = 1 • 2 ■ 3 = 6.
Считается, что 0! = 1.
Примеры.
1) Р4 = 4! = 1-2-3-4 = 24; 2) Р5 = 5! = 1 • 2-3-4-5 = 120.
1) P„_i = (n-l)! = l-2-3...(n-2)(n-l);
2) Ри : Р9 = (11!) : (9!) = ПО.
Сколько девятизначных чисел можно записать девятью значащими цифрами, если в этих числах не будет одинаковых цифр?
Решение. Девятизначные числа, очевидно, образуют всевозможные перестановки из девяти элементов, поэтому искомое число равно Р9 = 9! = 1-2-3... 8-9 = 362880.
Сколькими способами можно разместить в один ряд 8 станков различных фирм?
Решение. Изменения порядка расположения станков различных фирм в ряду будут перестановками из 8 элементов, поэтому ответом является число Pg = 8! = 1- 2- 3...6-7-8 = 40320.
Сочетания
Если из всех размещений, которые можно составить из п элементов по т. мы отберем только те, которые отличаются одно от другого по крайней мере одним элементом, то получим соединения, которые называются сочетаниями и обозначаются С™ (читается «число сочетаний из эн элементов по эм»).
В частности, если из рассмотренных ранее размещений из четырех цифр по 2:
13, 14; 21, 23, 24; 31, 32, 34; 41, 42, 43 отберем числа 12, 13, 14, 23, 24, 34 (количество их 6), отличающиеся по крайней мере одной цифрой, то получим сочетания из четырех элементов по 2, т. е. С 4 = 6.
Таким образом, в данном случае мы имеем число размещений из четырех элементов по 2: Л2 = 12 и число сочетаний из тех же четырех элементов и также по 2: С 4 = 6.
Имеет место соотношение Л2 = С4 • 2, или Л2 = С4 • 2!, т. е. Л2 = = С42-Р2.
Если из четырех букв a, b. с, d составить размещения и сочетания по 3 в каждом, то получим соответственно Л3 = 24 и С3 = 4 (в самом деле, имеем: abc, abd, acd, bdc).
Тогда будет иметь место соотношение Л3 = С3 -6, или Л3 = С4 х хЗ-2-1, т.е. А3 = СрР3.
Подобное соотношение в общем случае имеет вид дт рт р
Отсюда следует формула числа сочетаний
_ А™ _ п(п - 1)(п - 2)... [п - (т - 1)] п Рт1-2-3...П
Справедливо следующее свойство сочетаний:
pirn ри — т
Примеры.
С^ = п; С™ = 1;= 1 (по определению).
1) (72 = 1^ =6;
Ct == 4, короче: С^ = С^-3 = С^ = 1 = у = 4, т.е.
С43 = С1=4; ' "'
С^о = С31№ = “^з98 = 161700;
С3 _2С52 = |^1 -2^ = 20-20 = 0.
Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из группы в 10 человек?
Решение. Искомым числом, очевидно, является число всевоз- „10-9-8
можных сочетании из десяти по три, т. е. Cf0 = ^23 =
Сколькими способами можно выпустить три поезда из 7 имеющихся в депо? (Каждый поезд имеет свой номер.)
Решение. Эти соединения являются сочетаниями из 7 элемен- 7-6-5
тов (номеров поездов) по 3, и получаем С3 = ^23 = ^’
Проверить справедливость формул: | \ Дт _pi т _
} п (п-тУ? } п т^п-т
Формула бинома Ньютона
Двучлен х + а называют также биномом. Формулы сокращенного умножения позволяют написать сразу квадрат и куб двучлена:
(ж + а)2 = х2 + 2аж + а2;
(ж + а)3 = ж3 + 3аж2 + 3а2ж + а3.
21 В. А. Бачурин
Нетрудно вычислить, что
(ж + а)4 = ж4 + 4ж3 а + 6ж2 а + 4жа3 + а4;
(х + ci)5 = ж5 + 5ж4а2 + 10ж3а2 + Юж2 а3 + 5жа4 + аь.
Возводить двучлен в более высокую натуральную степень можно по так называемой формуле бинома Ньютона:
(ж + а) =ж +паж М—^ ^ а2х 2Н—-—^ ^^ -стх 3 + ...
। п^п — 1)... [п — ^к — 1)] „п — к I
11-2-3... к' '’
ИЛИ
(ж + а^ = С®хп + С* хп-1а + ... + Скхп"как + ...+С>п.(1)
Это равенство известно как формула бинома Ньютона, причем многочлен, стоящий в правой части формулы, называется разложением бинома. Коэффициенты Скп формулы Ньютона называются биномиальными коэффициентами.
Пример, (ж + а)7 = ж7 + 7х6а + 21ж5а2 + З5ж4а3 + З5ж3а4 + + 21ж2а5 + 7жа6 + а7.
Некоторые свойства формулы бинома Ньютона
В разложении (ж + а)п по формуле (1) содержится п + 1 слагаемых.
В формуле (1) показатель степени ж убывает от п до 0, а показатель степени а возрастает от 0 до п. Сумма показателей степени ж и а в любом слагаемом разложения равна п — показателю степени бинома.
Биномиальные коэффициенты, равноудаленные от начала и от конца разложения, равны между собой (так как Ск = С™-к).
Биномиальные коэффициенты сначала возрастают, а затем убывают. Если показатель степени бинома четный, то биномиальный коэффициент среднего слагаемого разложения наибольший; если же показатель степени бинома нечетный, то биномиальные коэффициенты двух средних слагаемых равны между собой и являются наибольшими.
Чтобы записать в общем виде слагаемые в равенстве (1), удобно (& + 1)-е слагаемое считать к-м членом и обозначать его через Тк. Тогда,, ,
Тк = С^хп-ка\ ^ = 0, 1, 2, ..., п.(2)
Например, То = С^хпа° — первое слагаемое, 71 = С^хп-1а — второе слагаемое, Т> = С2хп-2а2 — третье слагаемое.
Примеры.
Найти четвертый член разложения (а1/2 + а3/2)12.
Искомый член разложения находим по формуле (2):
Т4 = С142(а1/2)8(й2/з)4 = 495а20/3,
Найти номер числа разложения (а + а-2)12, не содержащего а, т. е. содержащего а в нулевой степени.
По формуле (2) находим
гр pi k \2—kf —2\k pik ^12 — 3k
По условию задачи 12 — ЗА; = 0. Следовательно, к = 4. Таким образом, это четвертый член разложения.
Раскрыть выражение I 2ж2 4—) .
По формуле (1) находим
^2ж2^У=32ж1О+5-16ж8-- + 10-8ж6-4 + 10.4ж41+5.2ж21+1
XX/хжXXX
= 32ж10 + 80ж7 + 80ж4 + 40ж + ^ + ^.
X х
Примечание. Не следует забывать о различии между коэффициентом слагаемого в разложении и биномиальным коэффициентом того же слагаемого. Например, в примере 4 коэффициент 3-го слагаемого равен 80, а его биномиальный коэффициент равен С2 = 10.
7. Определители второго порядка и их приложение
Определители второго порядка
Решим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
aix^biy = съ
^2
-а2
(1)
а2х^Ь2у = с2;
-61
аг
(aib2-a^b^x =
С162 "
-с2Ьъ
(агЬ2 - а2Ьг) у =
П1С2 "
- a2ci.
eib2 - c2bi .
а\Ь2 — а261’^
_ aic2 — a2ci aib2 - d26i'
(3)
Знаменатель и числитель полученных выражений (3) для отыскания неизвестных х и у будут часто встречаться в таком виде, и для них вводятся символические обозначения и специальные названия — определители (детерминанты) второго порядка:
ai bi
aib2 - a^bi =
= A;
a2 b2
cib2-c2bi =
ci bi
= Аж;(4)
C2 b2
ai ci
aic2 — a2ci =
= A^.
a2 c2
(5)(5)(6)(6)Систему (2) запишем теперь в виде( /Vx = Дж,t А-у = Ду,
(5)
(5)
(6)
(6)
Д1/ и = -Л- у дД1/ и = -Л- у да решения системы (1) — в виде
Д1/ и = -Л- у д
Д1/ и = -Л- у д
д ,
Определитель Д = | ^ ^|, составленный из коэффициентов ai, а2, bi, b2 при неизвестных, называется определителем системы*, определители Дж — | ^ ^2 | И ^ = | ^2 С2 | называются дополнительными определителями.
Заметим, что дополнительные определители Дж и Д^ получаются из определителя системы Д заменой коэффициентов при искомом неизвестном на соответствующие свободные члены (с теми знаками, которые они имеют в правой части).
Рассмотрим определитель второго порядка
0-1 biа2 Ь20-1 biа2 Ь2= aib2 - a2bi.= aib2 - a2bi.(7)(7)
0-1 bi
а2 Ь2
0-1 bi
а2 Ь2
= aib2 - a2bi.
= aib2 - a2bi.
(7)
(7)
(7).bi^2 ’(7).bi^2 ’Примеры.Примеры.aiа2aiа2ai biа2 Ь2ai biа2 Ь23.3.5 26 75 26 7= 35-12 = 23;= 35-12 = 23;3 5-6 03 5-6 0= 3-0-(-6)-5 = 30;= 3-0-(-6)-5 = 30;4 14 1-2 6-2 6= 24 + 2 = 26;= 24 + 2 = 26;sin ж — cos ж cos ж sin жsin ж — cos ж cos ж sin ж
(7).bi
^2 ’
(7).bi
^2 ’
Примеры.
Примеры.
ai
а2
ai
а2
ai bi
а2 Ь2
ai bi
а2 Ь2
3.
3.
5 2
6 7
5 2
6 7
= 35-12 = 23;
= 35-12 = 23;
3 5
-6 0
3 5
-6 0
= 3-0-(-6)-5 = 30;
= 3-0-(-6)-5 = 30;
4 1
4 1
-2 6
-2 6
= 24 + 2 = 26;
= 24 + 2 = 26;
sin ж — cos ж cos ж sin ж
sin ж — cos ж cos ж sin ж
Числа ai,a2,bi,b2 называются элементами определителя
второй столбецвторой столбецВ определителе (7) различают первый столбец Q1
второй столбец
второй столбец
а также первую строку ai bi и вторую строку а2 Ь2. Общее название для строк и столбцов — ряды определителя.
Пара чисел ai, b2 образует главную диагональ определителя, а пара чисел а2, bi — вторую (побочную) диагональ.
Знаки перед произведениями, входящими в правую часть формулы (7), расставляются по схеме
Основные свойства определителей второго порядка
Величина определителя не изменяется от замены строк столб
цами:цами:ai biа2 Ь2ai biа2 Ь2ai а261 62ai а261 62
цами:
цами:
ai bi
а2 Ь2
ai bi
а2 Ь2
ai а2
61 62
ai а2
61 62
При перестановке двух любых параллельных рядов знак определителя меняется на противоположный:
ai bi _ а2 Ь2
а2 Ь2 ai bi
Определитель с двумя одинаковыми параллельными рядами
равен нулю:равен нулю:ааааb bb b= 0.= 0.
равен нулю:
равен нулю:
а
а
а
а
b b
b b
= 0.
= 0.
определителя:определителя:Общий множитель элементов ряда можно выносить за знак
определителя:
определителя:
aiq biqai bi
а2 b2а2 b2
Если элементы одного ряда пропорциональны элементам другого ряда, то определитель равен нулю:
ai bi qaT qbiai bi qaT qbi= 0.= 0.
ai bi qaT qbi
ai bi qaT qbi
= 0.
= 0.
Если к элементам одного ряда прибавить элементы параллельного ряда, умноженные на любое число, то величина определителя
не изменяется:не изменяется:ai bi а2 b2ai bi а2 b2ai + qa2 bi + qb2а2 b2ai + qa2 bi + qb2а2 b2
не изменяется:
не изменяется:
ai bi а2 b2
ai bi а2 b2
ai + qa2 bi + qb2
а2 b2
ai + qa2 bi + qb2
а2 b2
Все эти свойства определителя легко проверить, применив формулы (7). (Это рекомендуется проделать самостоятельно.)
Решение системы двух линейных уравненийс помощью определителей
Примеры.
( 7х - бу = 5, 18ж — 7т/ = -10.
Имеем:
А =А =7 -68 -77 -68 -7= -49 + 48 = -!;= -49 + 48 = -!;А.А.5 -6-10 -75 -6-10 -7= -35-60 = -95;= -35-60 = -95;А.А._ 7 5^“8 -10_ 7 5^“8 -10= -70-40 = -110.= -70-40 = -110.
А =
А =
7 -6
8 -7
7 -6
8 -7
= -49 + 48 = -!;
= -49 + 48 = -!;
А.
А.
5 -6
-10 -7
5 -6
-10 -7
= -35-60 = -95;
= -35-60 = -95;
А.
А.
_ 7 5
^“8 -10
_ 7 5
^“8 -10
= -70-40 = -110.
= -70-40 = -110.
По формулам (6) получаем
АжААжА-^ = 95;-^ = 95;^у “110?/ = + = —= и°-^у “110?/ = + = —= и°-
АжА
АжА
-^ = 95;
-^ = 95;
^у “110
?/ = + = —= и°-
^у “110
?/ = + = —= и°-
Ответ*, х = 95; у = ПО.
Г 5ж — Зт/ = 7,
2. <
[2х + у = 5.
В этой задаче соответствующие определители можно вычислить устно:
А = 5 + 6 = 11; Аж = -(-15 - 7) = 22; А^ = 25 - 14 = 11.
Ответ*, ж = 2; у = 1.
Линейные системы легко решать и без определителей, но они оказываются весьма полезными при исследовании этих систем.
Исследование системы линейных уравненийс двумя неизвестными и ее графическое истолкование
В рассмотренных примерах определитель системы А был отличен от нуля (в первом случае А = — 1, во втором А = 11) и каждый раз мы получали единственное решение системы. Система имеет единственное решение, если А ^ 0; иначе говоря, если
aib2 — a2bi / 0, или aib2 + 0261? или
U2 Ь2
е. если коэффициенты при неизвестных х и у не пропорциональны.
Случай, когда определитель системы равен нулю (А = 0), распадается на два под случая.
Пусть А = 0 и какой-нибудь из определителей Аж или А^ при этом отличен от нуля; пусть для определенности Аж = т / 0. Иначе
^1Ьгbi / с^ гр
говоря, — = — и — ^ —. 1огда, как показывает первое уравнение U2b2b2 С2
системы (5), нельзя найти ни одного числа ж, которое удовлетворяло бы этому уравнению, так как при этом оно сводится к невозможному равенству
0 • ж = т / 0 (слева нуль, справа не нуль).
туА/ Н
К такому же выводу мы придем в случае А^ = n ^ U когда — = —-
Итак, если определитель системы А равен нулю, а какой-либо из определителей Аж или А^ отличен от нуля, то такая система несовместна, она не имеет решений.
Пусть, далее, не только А = 0, но и Аж = А^ = 0. Иначе говоря, — = ^- = — (с20). Тогда система (5) сведется к виду
U2 Ь2 С2
Г0ж = 0,
10 • ?/ = 0,
что справедливо при всех значениях ж. В этом случае система (1) называется неопределенной. Она имеет бесконечно много решений.
Итог исследования решения системы типа (1) следующий:
если А ^ 0, то система (1) имеет единственное решение, определяемое формулами (6);
если Д = 0, но по меньшей мере один из определителей Дж и Д^ отличен от нуля, то система (1) несовместна и решений не имеет (можно показать, что если Д = 0, а Дж ^ 0, то и Д^ ^ 0, а при Д^ / / 0 будет и Дж 0);
если Д = Дж = Ду = 0, то система (1) неопределенна; она имеет бесконечно много решений.
С геометрической точки зрения задание системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными можно рассматривать как задание двух прямых на плоскости.
Мы установили, что существуют три различных вида таких систем; это полностью согласуется с тем геометрическим фактом, что две прямые на плоскости могут пересекаться в единственной точке, они могут быть параллельными, они могут совпадать всеми своими точками.
Примеры.
Г2ж + 3?/ = 10,(1)
[Зж + 5?/ = 16.(2)
2 з
Здесь Д = 10 — 9 = 1 (/ 0), или - ^ -. Система имеет единственное решение (2; 2), которое можно найти любым способом. Две прямые пересекаются в точке (2; 2) (рис. 34).
Рис. 34Рис. 34
Рис. 34
Рис. 34
2.2.7ж + 9т/ = 5,(1)
2.
2.
14ж + 18?/ = 7.(2)
Здесь Д = 0: коэффициенты при неизвестных пропорциональны (см. 795
свойство 5 определителей), но — = — / -, т.е. Дж ^ 0 и Д^ / 0.
Система несовместна. Две прямые параллельны (рис. 35).
ж + 3?/ = 5,(1)
2ж + 6?/ = 10.(2)
Здесь Д = Дж = Д^ = 0. Все коэффициенты пропорциональны: - = 35= - = —. Система неопределенная и имеет бесконечно много ре- 610Здесь Д = Дж = Д^ = 0. Все коэффициенты пропорциональны: - = 35= - = —. Система неопределенная и имеет бесконечно много ре- 610имно зависимыми вимно зависимыми вж; у = -^—ж; у = -^—1.1.Зж + 2?/ = 7, 4х — Ьу = 40.Зж + 2?/ = 7, 4х — Ьу = 40.2.2.5ж + 2?/ = 4, 7ж + 4?/ = 8.5ж + 2?/ = 4, 7ж + 4?/ = 8.Ответ: ж = 5; у = —4.f ах — Зу = 1,3.\[ах — 2у = 2 (при а4.Ответ: х = -; у = 1.Ответ: ж = 5; у = —4.f ах — Зу = 1,3.\[ах — 2у = 2 (при а4.Ответ: х = -; у = 1.Ответ: х = 0; ?/ = 2.Ответ: х = 0; ?/ = 2./0)./0).4.4.тх — пу = (т — п)2.2х — у = п (при т ^ 2п).тх — пу = (т — п)2.2х — у = п (при т ^ 2п).аПересекаются ли в одной точке прямые:аПересекаются ли в одной точке прямые:Ответ: х = т, у = 2т — п.Ответ: х = т, у = 2т — п.' 2ж - Зу = 6,1) < Зж + т/ = 9, ж + 4?/ = 3;' 2ж - Зу = 6,1) < Зж + т/ = 9, ж + 4?/ = 3;' 2ж — Зу = 6, 2) < ж + 2?/ = 4, ж — Ку = 5?' 2ж — Зу = 6, 2) < ж + 2?/ = 4, ж — Ку = 5?
Здесь Д = Дж = Д^ = 0. Все коэффициенты пропорциональны: - = 35
= - = —. Система неопределенная и имеет бесконечно много ре- 610
Здесь Д = Дж = Д^ = 0. Все коэффициенты пропорциональны: - = 35
= - = —. Система неопределенная и имеет бесконечно много ре- 610
имно зависимыми в
имно зависимыми в
ж; у = -^—
ж; у = -^—
1.
1.
Зж + 2?/ = 7, 4х — Ьу = 40.
Зж + 2?/ = 7, 4х — Ьу = 40.
2.
2.
5ж + 2?/ = 4, 7ж + 4?/ = 8.
5ж + 2?/ = 4, 7ж + 4?/ = 8.
Ответ: ж = 5; у = —4.
f ах — Зу = 1,
3.\
[ах — 2у = 2 (при а
4.
Ответ: х = -; у = 1.
Ответ: ж = 5; у = —4.
f ах — Зу = 1,
3.\
[ах — 2у = 2 (при а
4.
Ответ: х = -; у = 1.
Ответ: х = 0; ?/ = 2.
Ответ: х = 0; ?/ = 2.
/0).
/0).
4.
4.
тх — пу = (т — п)2.
2х — у = п (при т ^ 2п).
тх — пу = (т — п)2.
2х — у = п (при т ^ 2п).
а
Пересекаются ли в одной точке прямые:
а
Пересекаются ли в одной точке прямые:
Ответ: х = т, у = 2т — п.
Ответ: х = т, у = 2т — п.
' 2ж - Зу = 6,
1) < Зж + т/ = 9, ж + 4?/ = 3;
' 2ж - Зу = 6,
1) < Зж + т/ = 9, ж + 4?/ = 3;
' 2ж — Зу = 6, 2) < ж + 2?/ = 4, ж — Ку = 5?
' 2ж — Зу = 6, 2) < ж + 2?/ = 4, ж — Ку = 5?
шений. Второе уравнение приводится к первому делением на 2. Две прямые сливаются всеми своими точками (рис. 36).
Когда мы говорим, что этой системе удовлетворяют бесконечно много различных пар чисел, то такие пары должны быть не произвольными, а вза- /5 — х \
или (ж = 5 — 3?/; у\ В первом случае, придавая произвольные значения переменной ж, получаем значения у (например, при ж = 2 имеем у = 1). Во втором случае, придавая произвольные значения у, получаем значения ж (например, при у = 0 имеем ж = 5).
Задачи.
Решить с помощью определителей системы уравнений (1-4).
Выполнить в обоих случаях построение.
Исследовать, является ли система уравнений определенной (имеет только одно решение), несовместной (не имеет решений), неопределенной (имеет бесконечно много решений):
3)3)12ж — 11т/ = 2, У ’2
3)
3)
14ж +13?/= 1;}
Ответ: 1) система определенная; 2) система не имеет решений; 3) система имеет бесконечно много различных решений вида
Исследовать, при каких значениях параметра q система линейных уравнений является определенной, несовместной, неопреде-
ленной, и решить эти системы при тех значениях q. при которых система определенная:
рж + (9 + 1)у = 5,Г (2-</)ж + 6у = 1,
(Зж + 4?/ = 5;(6ж + (2-^)?/ = 0.
Ответ*. 1) при q / 3 система определенная и имеет решение х = —5, у = 5; при q = 3 система неопределенная;
2)х = — ная.2)х = — ная.11<7-8’ У “9^8’11<7-8’ У “9^8’при q ф — 4 и q / 8 система определенная и имеет решение
2)
х = — ная.
2)
х = — ная.
11
<7-8’ У “9^8’
11
<7-8’ У “9^8’
при q = 8 и при q = —4 система несовмест-
Решить задачи 332-340 раздела II с помощью определителей.
§ 8. Определители третьего порядка и их приложение.Решение систем линейных уравненийметодом последовательного исключения переменных(методом Гаусса)
Определители третьего порядка
Определителем (детерминантом) третьего порядка называется вы
ражениеД =ражениеД =ai а2 азai а2 азbi ^2 Ьзbi ^2 ЬзС1С2сзС1С2сз= аТ= аТ^2Ьз^2ЬзС2 ,^2— 01Сз азС2 ,^2— 01Сз азС2 .^2 62+ С1 ,Сз аз ЬзС2 .^2 62+ С1 ,Сз аз Ьз(1)(1)
ражение
Д =
ражение
Д =
ai а2 аз
ai а2 аз
bi ^2 Ьз
bi ^2 Ьз
С1
С2
сз
С1
С2
сз
= аТ
= аТ
^2
Ьз
^2
Ьз
С2 ,^2
— 01
Сз аз
С2 ,^2
— 01
Сз аз
С2 .^2 62
+ С1 ,
Сз аз Ьз
С2 .^2 62
+ С1 ,
Сз аз Ьз
(1)
(1)
Пример. ВычислитьПример. ВычислитьЧисла ai, bi, Ci (г = 1, 2, 3) называются элементами определителя; они расположены в трех его строках и трех столбцах (рядах определителя).
Пример. Вычислить
Пример. Вычислить
1 2 3
2 3 4
3 4 5
Используя формулу (1), имеем
= 1 - (-1)-2-(-2)+3-(-1) = 0.
Определители третьего порядка обладают теми же свойствами, что и определители второго порядка. Эти свойства доказываются непосредственным вычислением по формуле (1).
Решение системы трех линейных уравненийс тремя неизвестными с помощью определителей
Рассмотрим стандартную линейную систему трех уравнений
(2)(2)f aix + biy + ciz = di,< a^xA-b^yA-c^z = d^,азх^гЬзу^гСзг = d3,
(2)
(2)
свободные члены которых находятся в правых частях. Под решением системы понимается всякая тройка чисел (х,у, %Y удовлетворяющая этой системе.
Как и в предыдущем пункте, рассмотрим определитель сис-
темы
Qi Ь1 Щ
^2 ^2 ^2
,(3)
^3 ^3 Сз
Д$ =
di bi ci d2 b2 c2 d3 Ьз сз
^i di Ci ^2 d2 c2 а-з d-з сз
,A.-. =
ai bi di a2 b2 d2 аз Ьз d3
а также дополнительные определители
(4)
Как и в случае линейной системы двух уравнений, дополнительные определители Дж, Д^ и Д^ получаются из определителя системы Д заменой коэффициентов при искомом неизвестном на соответствующие свободные члены (с теми знаками, которые они имеют в правой части).
Если определитель системы Д ^ 0, то получаем единственное решение системы (2) по формулам
“Д’ у “ Д ’“Д’“Д’ у “ Д ’“Д’(5)(5)
“Д’ у “ Д ’“Д’
“Д’ у “ Д ’“Д’
(5)
(5)
(Непосредственно подстановкой можно убедиться, что при Д ^ 0 формулы (5) дают решение системы (2).)
Замечание. Если определитель системы Д = 0, то система (2) или несовместна, или имеет бесконечно много решений.
Пример. Решить систему
' ж + 2т/ + 3^ = 1,< 2# + 3?/ + z = 0,Зж + т/ + 2^ = 0.
Имеем
11Д= 2Д= 2332 33 11 22 33 11 2
1
1
Д= 2
Д= 2
3
3
2 3
3 1
1 2
2 3
3 1
1 2
Вычитая из второго столбца удвоенный первый столбец, а из третьего столбца утроенный первый столбец (дважды применяем свойство 6 определителей), получаем
Д =Д =1231230-1-50-1-50-5-70-5-7= 1-= 1--1 -5-1 -5-5 -7-5 -7= 7 — 25 = —18 ^ 0.= 7 — 25 = —18 ^ 0.
Д =
Д =
1
2
3
1
2
3
0
-1
-5
0
-1
-5
0
-5
-7
0
-5
-7
= 1-
= 1-
-1 -5
-1 -5
-5 -7
-5 -7
= 7 — 25 = —18 ^ 0.
= 7 — 25 = —18 ^ 0.
Для дополнительных определителей находим следующие значения:
А,А,1 О О1 О О231231312312123123О31О31О 1 2О 1 2= 1-= 1-3 11 23 11 2= 5= 5(строки заменили столбцами; обратились в нуль);(строки заменили столбцами; обратились в нуль);второе и третьевторое и третьеслагаемыеслагаемыеформулы (1)формулы (1)А^ —А^ —1231231 О О1 О О312312= -1-= -1-23231212= -1;= -1;А.А.1231232312311 О о1 О о= 1-= 1-23233131= -7.= -7.Применяя формулу (5), получаем решениеПрименяя формулу (5), получаем решение18’18’У 18’У 18’системы:7системы:7*18*18
А,
А,
1 О О
1 О О
2
3
1
2
3
1
3
1
2
3
1
2
1
2
3
1
2
3
О
3
1
О
3
1
О 1 2
О 1 2
= 1-
= 1-
3 1
1 2
3 1
1 2
= 5
= 5
(строки заменили столбцами; обратились в нуль);
(строки заменили столбцами; обратились в нуль);
второе и третье
второе и третье
слагаемые
слагаемые
формулы (1)
формулы (1)
А^ —
А^ —
1
2
3
1
2
3
1 О О
1 О О
3
1
2
3
1
2
= -1-
= -1-
2
3
2
3
1
2
1
2
= -1;
= -1;
А.
А.
1
2
3
1
2
3
2
3
1
2
3
1
1 О о
1 О о
= 1-
= 1-
2
3
2
3
3
1
3
1
= -7.
= -7.
Применяя формулу (5), получаем решение
Применяя формулу (5), получаем решение
18’
18’
У 18’
У 18’
системы:
7
системы:
7
*18
*18
Задачи.
С помощью определителей решить системы уравнений (1-4).
1.1.'2ж-4т/ + 3г = 1, < х - 2у + 4^ = 3,Зж — у + bz = 2.'2ж-4т/ + 3г = 1, < х - 2у + 4^ = 3,Зж — у + bz = 2.2.2.' 2ж — 3?/ + ^ — 2 = 0, < х + 5?/ -4^ + 5 = О, 4х + у — 3z + 4 = 2.' 2ж — 3?/ + ^ — 2 = 0, < х + 5?/ -4^ + 5 = О, 4х + у — 3z + 4 = 2.
1.
1.
'2ж-4т/ + 3г = 1, < х - 2у + 4^ = 3,
Зж — у + bz = 2.
'2ж-4т/ + 3г = 1, < х - 2у + 4^ = 3,
Зж — у + bz = 2.
2.
2.
' 2ж — 3?/ + ^ — 2 = 0, < х + 5?/ -4^ + 5 = О, 4х + у — 3z + 4 = 2.
' 2ж — 3?/ + ^ — 2 = 0, < х + 5?/ -4^ + 5 = О, 4х + у — 3z + 4 = 2.
Ответ*. х = —1; у = 0; z = 1.Ответ*. х = —1; у = 0; z = 1.Ответ*, х = 5; у = 6; z = 10.Ответ*, х = 5; у = 6; z = 10.
Ответ*. х = —1; у = 0; z = 1.
Ответ*. х = —1; у = 0; z = 1.
Ответ*, х = 5; у = 6; z = 10.
Ответ*, х = 5; у = 6; z = 10.
' x4-2y4-3z = 5,3. < 2x — у — z = 1, x 4-3y r4z = 6.' x4-2y4-3z = 5,3. < 2x — у — z = 1, x 4-3y r4z = 6.' х-\-2у + 3z = 5, 4. < 2ж + 4т/ Н-6^ = 3, ^Зх + у — z = 1.' х-\-2у + 3z = 5, 4. < 2ж + 4т/ Н-6^ = 3, ^Зх + у — z = 1.
' x4-2y4-3z = 5,
3. < 2x — у — z = 1, x 4-3y r4z = 6.
' x4-2y4-3z = 5,
3. < 2x — у — z = 1, x 4-3y r4z = 6.
' х-\-2у + 3z = 5, 4. < 2ж + 4т/ Н-6^ = 3, ^Зх + у — z = 1.
' х-\-2у + 3z = 5, 4. < 2ж + 4т/ Н-6^ = 3, ^Зх + у — z = 1.
Ответ*, x = 1; у = — 1; z = 2. Ответ*. Система несовместна.
Решить задачи 381, 382, 390 раздела II с помощью определителей.
Примеры.1. Решить системуПримеры.1. Решить системуРешение системы линейных уравненийметодом последовательного исключения переменных(методом Гаусса)
Примеры.
1. Решить систему
Примеры.
1. Решить систему
х — Зу = 1,2ж + у = 4 j.
Имеем
х — Зу = 1, 2ж + у = 41х — Зу = 1, 2ж + у = 41х — Зу = 1, 1у = ^х — Зу = 1, 1у = ^х — Зу = 1,
х — Зу = 1, 2ж + у = 41
х — Зу = 1, 2ж + у = 41
х — Зу = 1, 1у = ^
х — Зу = 1, 1у = ^
1у=з"
ж = 1 + 313 = 2.ж = 1 + 313 = 2.1у = зОтвет*, х = 2; 2/ = |-
ж = 1 + 313 = 2.
ж = 1 + 313 = 2.
2. Решить систему2. Решить систему' ж+ 2?/ - z = 7,
2. Решить систему
2. Решить систему
Имеем' ж+ 2?/ - z = 7,< 2x-y^rz = 2,< Зж — 5т/ + 2^ = —7Имеем' ж+ 2?/ - z = 7,< 2x-y^rz = 2,< Зж — 5т/ + 2^ = —7—2|—3—2|—3' ж+ 2?/ - z = 7,31211у + 5^ = 28' ж+ 2?/ - z = 7,31211у + 5^ = 281111х + 2у — z = 7,312У-5" = Т’885 2 “ 5х + 2у — z = 7,312У-5" = Т’885 2 “ 5f х + 2у — z = 7,312у-5г = ¥’^z = 1.f х + 2у — z = 7,312у-5г = ¥’^z = 1.z = 1;z = 1;^/ =^/ =1235 + 51235 + 5ж = 7+1 —2-3 = 2.ж = 7+1 —2-3 = 2.< 2x-y-Vz = 2,Зж — 5т/ + 2^ = —7.
Имеем
' ж+ 2?/ - z = 7,
< 2x-y^rz = 2,
< Зж — 5т/ + 2^ = —7
Имеем
' ж+ 2?/ - z = 7,
< 2x-y^rz = 2,
< Зж — 5т/ + 2^ = —7
—2|—3
—2|—3
' ж+ 2?/ - z = 7,312
11у + 5^ = 28
' ж+ 2?/ - z = 7,312
11у + 5^ = 28
11
11
х + 2у — z = 7,
312
У-5" = Т’
88
5 2 “ 5
х + 2у — z = 7,
312
У-5" = Т’
88
5 2 “ 5
f х + 2у — z = 7,
312
у-5г = ¥’
^z = 1.
f х + 2у — z = 7,
312
у-5г = ¥’
^z = 1.
z = 1;
z = 1;
^/ =
^/ =
123
5 + 5
123
5 + 5
ж = 7+1 —2-3 = 2.
ж = 7+1 —2-3 = 2.
Ответ*, ж = 2; у = 3; z — \.
3. Решить систему
х - у -V2z — 3t = О,Зж — у + z — 2t = О,< ж — 2у + 3z — t = 5,. 2ж — Зу + z — t = — 5.
Имеем
f х — у + 2z — 3t = О, Зж - у + z - 2t = О, ж — 2у + 3z — t = 5, 2ж — Зу + z — t = — 5
' x — у + 2z — 3t = 0, у — z — 2t = —5,' x — у + 2z — 3t = 0, у — z — 2t = —5,353542353542f х — у + 2z — 3t = О, у — z — 2t = —5, —у — 3z + bt = —5, ,2y-5z^7t = 0
' x — у + 2z — 3t = 0, у — z — 2t = —5,
' x — у + 2z — 3t = 0, у — z — 2t = —5,
3535
42
3535
42
x — у + 2z — 3t = 0, у — z — 2t = —5,
3 .5
*-4*=2’
t = 2.
t = 2;t = 2;z = ^ + ^ = 4; y = -5 + 4 + 4 = 3;ж = 3-8 + 6 = 1.
t = 2;
t = 2;
Ответ: ж = 1; у = 3; г = 4; t = 2.
Решить этим методом (методом Гаусса) четыре задачи из и. 2 и задачи 381, 390, 393, 401 раздела И.
§ 9. Абсолютная величина действительного числа.Уравнения и неравенства, содержащиеабсолютную величину действительного числа
Множество действительных чисел есть объединение множества рациональных чисел и множества иррациональных чисел.
Подмножествами рациональных чисел Q являются: множество натуральных чисел N = {1; 2; 3;...}, множество целых неотрицательных чисел Zq = {0; 1; 2; 3;...}, множество целых чисел Z = = —2; —1; 0; 1; 2;...}.
Множество рациональных чисел символически записываются так: Q={^ |meZ; new}.
С помощью знака включения С соотношения между названными множествами оформляются в виде:
N С Zo С Z С Q.
Соотношения между этими множествами /\
могут быть показаны схематически с по- / X\
мощью так называемых «кругов Эйлера» //х
(рис. 37).\ЦСХ))
Любую непериодическую бесконечнуюУ/ /
дробь считают представлением иррациональ- xSXT/ у ного числа. Примеры иррациональных чисел:
= 1,41421...; 1g2 = 0,3010...; два замена-Рис 37
тельных числа тг = 3,14159...; е — 2,71828...
Множество R действительных (вещественных) чисел часто называют числовой прямой, а его элементы (числа) — точками числовой прямой.
Абсолютная величина действительного числа а обозначается |а| и определяется так:. ._
|а| = а если а 0,|а| = —а если а < 0.
Словесно это определение можно выразить так: абсолютная величина неотрицательного числа равна самому этому числу; абсолютная величина отрицательного числа равна этому числу, взятому с противоположным знаком.
|2|=2;|0| = 0;| - 3| = -(-3) = 3.
Абсолютная величина всегда положительное число или нуль.
Из определения следует, что для любого а справедливо соотношение. .
а ^ | |.
Отметим некоторые свойства абсолютных величин.
Абсолютная величина алгебраической суммы нескольких действительных чисел не больше суммы абсолютных величин слагаемых:
|о + 6| < |а| + |6|;
|-2 + 3| < |-2| + |3| =2 + 3 = 5, или 1 < 5;
|—3 —5| = |-3| + |-5| = 3 + 5 = 8, или 8 = 8.
Абсолютная величина разности не меньше разности абсолютных величин уменьшаемого и вычитаемого:
|а-6| ^ |а| —16|;
|(—5)—3| > |—5| —|3| = 5-3 = 2, или 8 > 2;
|7-3| = |7|-|4| =7-4 = 3, или 3 = 3.
Абсолютная величина произведения равна произведению абсолютных величин сомножителей:
|<z6c| = |а|-|6|-|с|;
|2-(—5) • (—3)| = |2| • | —5| • | —3| = 2-5-3 = 30, или 30 = 30.
Абсолютная величина частного равна частному абсолютных величин делимого и делителя:
Ы = м;
I(—6)I |-6|6„„„
Ы = + = г3’ или 3 = 3-
Примеры.
|2-V2| =2-V2.
|V2-V3| =-(V2-V3) = V3-V2.
Решение примеров, содерэюаи^их абсолютную величину
Примеры.
Решить уравнение |ж| = 3.
Может быть х > 0, тогда |ж| = х = 3; неотрицательное решение х = 3.
Может быть х < 0, тогда |ж| = —х = 3; отрицательное решение х = -3.
С геометрической точки зрения на числовой оси отложатся две точки на расстоянии 3 от нуля влево и вправо: Ху = — 3; х^ = 3.
Решить уравнение |ж — 3| = 2.
Первый способ.
Может быть х — 3 ^ 0, тогда | ж — 31 = ж — 3 = 2 и х = 5.
Может быть х — 3 < 0, тогда \х — 3| = — х + 3 = 2 и х = 1.
Ответ*. яд = 5 и х^ = 1.
Второй способ.
х ^ 3, тогда имеем: х — 3 = 2, х = 5;
х < 3, тогда имеем: — х + 3 = 2, х = 1.
Ответ*. жх = 5 и х^ = 1.
Второй способ особенно удобен, когда следует производить алгебраические действия над абсолютными значениями нескольких выражений.
Решить уравнение |2ж — 3| + \х — 3| — |4ж — 1| = 0.
1 3
Находим корни каждого из трех слагаемых. Они будут: -; -; 3.
Найдем х из уравнения при условии, что х < ^. Тогда 2х — 3 < 0; х — 3 < 0; 4ж — 1 < 0. И мы будем иметь:
3 —2ж + 3 —ж —1 + 4ж =0; х = -5.
Теперь проверим, удовлетворяет ли полученный корень х = — 5 условию рассматриваемого случая х < -. Да, — 5 < -. После этого мы заключаем, что число —5 является корнем уравнения.
13
При - х - будем иметь:
3 —2ж + 3 —ж —4ж + 1=0;ж = 1.
Это число 1 неравенствам - х - удовлетворяет, поэтому тоже является корнем уравнения.
3
1313При х 3 будем иметь:
1
3
1
3
2ж — 3 + 3 — ж — 4ж +1 =0;
ГЛ3 // О
Это значение неизвестного неравенствам - х 3 не удовлетворяет, поэтому корнем уравнения не является.
При х > 3 будем иметь:
2ж —3 + ж —3 —4ж + 1 =0; х = -5.
Этот корень не удовлетворяет условию х > 3. Однако следует подчеркнуть, что х = —5 не удовлетворяет только последнему условию х > 3. Это же число х = — 5 удовлетворяет первому условию х < - и поэтому является корнем уравнения.
Ответ*, х^ = — 5 и х^ = 1.
Решить уравнение |ж2 — х — 6| = х + 2.
ж2 — х — 6 < 0. В этом случае имеем уравнение —ж2 + х + 6 = = х + 2, или х2 — 4 = 0, корни которого жх = 2 и ж2 = —2. Теперь проверим, удовлетворяют ли Ху и х^ условию рассматриваемого случая.
Подставим эти значения в левую часть неравенства ж2 — ж — 6 < < 0, получаем —4 < О и 0 < 0. Первое неравенство справедливо, второе нет, поэтому лишь число 2 является корнем исходного уравнения.
ж2 — ж — 6 ^ 0. Получаем уравнение ж2 — ж — 6 = ж + 2, или ж2 — 2ж — 8 = 0, корни которого Ж1 = 4 и Ж2 = —2. Так как оба эти значения ж удовлетворяют условию рассматриваемого случая, то и 4 и —2 являются корнями исходного уравнения.
Ответ*. —2; 2; 4.
Заметим, что число (—2) мы сначала отбросили, потому что оно не удовлетворяло первому ограничению 1). А когда мы его снова нашли, оно условию 2) удовлетворяет и, таким образом, является корнем исходного уравнения.
Решить неравенство |ж2 — 2ж — 2| < 1.
Имеем: 1) ж2 — 2ж — 2 < 1, тогда ж2 — 2ж — 3 < 0;
ж2 — 2ж — 2 > -1, тогда ж2 - 2ж - 1 > 0.
Решаем первое неравенство ж2 — 2ж — 3 < 0; ж2 — 2ж — 3 = 0, корни трехчлена Ж1 = — 1 и Ж2 = 3. Дискриминант D > 0 и коэффициент при ж2 больше нуля, поэтому искомое множество точек содержится в интервале — 1 < ж < 3.
Второй трехчлен ж2 — 2ж — 1 > 0 при ж < 1 — V2 и ж > 1 + V2.
Объединяя эти решения, получаем ответ.
Построить график функции у = 2 • |ж — 2| — 3.Построить график функции у = 2 • |ж — 2| — 3.6.6.Ответ*. — 1 < ж < 1 — V2; 1 + V2 < ж < 3.
Построить график функции у = 2 • |ж — 2| — 3.
Построить график функции у = 2 • |ж — 2| — 3.
6.
6.
Находим угловую точку графика: |ж — 2| = 0, ж = 2; А(2; — 3); и рассматриваем данную функцию в промежутках ]—оо; 2], [2;оо[ (рис. 38).
Для ж ^ 2 у = 2(2 — ж) — 3, у = = 1-2ж.
Для ж > 2 у = 2(х — 2) — 3, у = = 2ж —7.
Строим графики прямых на соответствующих промежутках.
Контрольные точки: А (2; — 3),
/7\/1\
В^О^С^О),^;!).
Решить уравнение |ж — ж2 — 1| = 12ж — 3 + ж2|.
Трехчлен ж2 — ж + 1 больше нуля при всех действительных значениях ж, поэтому исходное уравнение равносильно такому:
|ж2 + 2ж - 3| = ж2 - ж + 1.
Решаем это уравнение.
ж2 + 2ж —3 ^ О при ж ^ 1 и ж ^ —3; далее: ж2 + 2ж —3 = ж2 — ж + 1, 44
откуда ж = - > 1. Следовательно, х = - является решением исходного уравнения.
ж2 + 2ж —3 < 0 при —3 < ж < 1, далее: —ж2 — 2ж + 3 = ж2 —ж + 1, откуда ж = - (—1 + V17). Найденные значения ж лежат внутри интервала ]—3; 1[ и поэтому тоже являются корнями уравнения.
Ответ*. ж = |: ж = | (—1 ± V17).
Решить неравенство | ж2 — 3| + 2ж +1 > 0.
Неравенство равносильно совокупности двух систем: f ж2 - 3 > 0, (ж2 — 3 + 2ж + 10, или (ж + 1)2 —3^0;
Г ж2 - 3 < 0, t —ж2+ 3 + 2ж +1 0, или ж2 — 2ж — 4^0.
Решая каждое из этих четырех неравенств, получаем:Решая каждое из этих четырех неравенств, получаем:Рис. 40Рис. 40
Решая каждое из этих четырех неравенств, получаем:
Решая каждое из этих четырех неравенств, получаем:
Рис. 40
Рис. 40
Из первой системы получаем: ж ^ — 1 — V3 и ж ^ V3; из второй системы — 1 — V5 ^ ж < V3. Последние два промежутка можно объединить в один ж 1 — V$ (рис. 39 и 40).
Ответ*, ж < —1 —Ответ*, ж < —1 —УЗ; ж>1-У5.УЗ; ж>1-У5.
Ответ*, ж < —1 —
Ответ*, ж < —1 —
УЗ; ж>1-У5.
УЗ; ж>1-У5.
Решить неравенство |ж3 — 1| ^ ж2 + ж + 1.
Имеем: |ж3 - 1| = |ж - 1| • |ж2 + ж + 1| = |ж - 1| • (ж2 + ж + 1), ибо ж2 + ж + 1 > 0 при любых действительных ж. После сокращения получаем |ж — 1| ^ 1.
Ответ*. 0 < ж < 2.
22 В. А. Бачурин
Решить систему уравнений
|ж —1| + |у — 5| = 1, у = 5+|ж-1|.
Исключая из системы \х — 1|, получаем уравнение для определения у:
Из последнего уравнения получаем одно решение у = —. Тогда
из второго уравнения исходной системы получаем \х — 1| = -, от- 132
куда жх = -; ж2 = -.
111311
Ответ*. ху = -, yi = —* х2 = -; у^ = — .
Задачи.
Построить графики функций (1-4).
|?/| = ж. 2. |?/| = 8тж. 3. г/= |3 — ж2|. 4. т/= ^I^L
Решить неравенства графически:
1^И;
X
|ж-3| < 4;
|0,5ж-2| > 1;
|2ж-2| < 3.
Решить уравнения (6-16).
|ж| = —3.
ж2 —2|ж|—3 = 0.
|Зж-4| = 1.
||ж| + 2| = 2.
|ж + 1| + |ж + 2| = 2.
|ж| + |ж + 2| = 2.
|ж-1|-|ж-2| = 1.
|2ж —ж2 —3| = 1.
|ж2-3ж + 3| =2.
|2ж +11 — |3 — ж | = | ж — 4|.
Ответы.Ответы.ж < 0; ж > 1;-1 < ж < 7;ж < 2; ж > 6;— | < ж < 2,5.ж < 0; ж > 1;-1 < ж < 7;ж < 2; ж > 6;— | < ж < 2,5.Решений нетXi = 3; х2 = —337Ж1=2; Ж2=6х = О15-2<ж<0 х^2Решений нет 3± V53 2Решений нетXi = 3; х2 = —337Ж1=2; Ж2=6х = О15-2<ж<0 х^2Решений нет 3± V53 2|ж2 + 2ж| — |2 — ж| = |ж2 — ж|.
Ответы.
Ответы.
ж < 0; ж > 1;
-1 < ж < 7;
ж < 2; ж > 6;
— | < ж < 2,5.
ж < 0; ж > 1;
-1 < ж < 7;
ж < 2; ж > 6;
— | < ж < 2,5.
Решений нет
Xi = 3; х2 = —3
37
Ж1=2; Ж2=6
х = О
15
-2<ж<0 х^2
Решений нет 3± V5
3 2
Решений нет
Xi = 3; х2 = —3
37
Ж1=2; Ж2=6
х = О
15
-2<ж<0 х^2
Решений нет 3± V5
3 2
Решить неравенства (17-41).
Ответы.
17. 1) |ж-2|< J
4
- < ж < 4;
2) \х — а| < Ь,
a — b<x<aJrb*1
3) ^ + 1|<5:
4) 1 ^ |3ж — 2| ^ 2;
14
5) |Зж + 1 ^ 7ж-5;
6) |8ж + 6| < 5ж + 4.
_10_2
13 < ж < 3’
18. 1) ж + |ж-3| > 5;
х > 4;
2) |2ж — 5 — |3ж — 10| > 0;
3 < х < 5;
3) ж| + |ж-2| <4;
-1 < х < 3;
4) аж + 6 < а.
при а < 0 решений нет;
ма + bа — b
РРПИ Л В 1 1 TH< Т < •
CVJ1F1 Си х—Ju
аа
если а = 0 и b / 0, то решений нет;
при а = b = 0 х — любое.
19. 1) 2ж + 5 + Зж-4 > 2ж + 3;х — любое;
2) |5 —2ж +|3ж —4 ^2ж + 3.
х < х > 4.
7
20. 1) ж2 —2 ж| ^3;
-3 < х < 3;
2) ж2 — 6|ж| + 16;
-8<ж<8;
3) ж2 + 24^10|ж;
—6 ^ х ^ —4; 4 ^ х ^ 6;
4) ж2 + 5|ж +36.
-9 < х < 9.
21. 1) ж2 + |ж-3|9;
ж<-2; ж>3;
2) Зж2 ^4 + 6|ж-3|;
. „. -3-5V3
х 3; ж;
3) 2ж2 + 3 2ж + 1| + 1 0;
решений нет;
4) 5ж2 ^ 2 2ж + 3|+ 6.
х S — х > 2.
22. 1) |^4| > 6;
—< х < —1; ж ^ —2;
2> 1^,1
ж ^ 1; ж ^ж ^
3> В >5:
И // 19/о
вв
31г
— < х < 7; х ^ 5.
23. 4ж2+2^3|ж + 1|.
1,
хX > 1.
22*
Ответы.
5ж2 —6|3ж —1| ^78.|ж2 + ж-6| < 2.|10ж-ж2-16| > 3.|ж2 —2ж —8| > 5.ж2 —|Зж + 2| + ж 0.|ж2 + 4ж +3| > ж + 3.|ж2 —2ж —3| < Зж-З.|ж2 —6ж + 8|4 —ж.|2ж2-9ж + 15| ^20.4ж —5^ж|ж —2|.7-4ж2 ^3|2ж-1|.„|ж~312.ж — 5ж + 6\х — 6| > |ж2 — Ьх + 9|.(1 + ж)2|1-ж2|.|^Д±>I ж2 —4 ।ж2 — |ж| — 122ж-3|ж3 — 1| > 1 — х.|ж2 —4ж| + 3ж2 + |ж — 5|5ж2 —6|3ж —1| ^78.|ж2 + ж-6| < 2.|10ж-ж2-16| > 3.|ж2 —2ж —8| > 5.ж2 —|Зж + 2| + ж 0.|ж2 + 4ж +3| > ж + 3.|ж2 —2ж —3| < Зж-З.|ж2 —6ж + 8|4 —ж.|2ж2-9ж + 15| ^20.4ж —5^ж|ж —2|.7-4ж2 ^3|2ж-1|.„|ж~312.ж — 5ж + 6\х — 6| > |ж2 — Ьх + 9|.(1 + ж)2|1-ж2|.|^Д±>I ж2 —4 ।ж2 — |ж| — 122ж-3|ж3 — 1| > 1 — х.|ж2 —4ж| + 3ж2 + |ж — 5|« -3,4 < х <«-2,6, « 1,6 < х <«2,4.« -3,4 < х <«-2,6, « 1,6 < х <«2,4.Г« -2,6 < х <«7,4, [ж<«1,5; ж >«—8,5 х > 1 +V14; -1 < х < 3Г« -2,6 < х <«7,4, [ж<«1,5; ж >«—8,5 х > 1 +V14; -1 < х < 3ж > 1 + V3; ж < -2-V2ж > 1 + V3; ж < -2-V2ж < —3; —3 < ж < —2; ж > 0ж < —3; —3 < ж < —2; ж > 02 < ж < 52 < ж < 51 < ж < 3; ж = 41 < ж < 3; ж = 4ж ^ 5; ж ^ —0,5ж ^ 5; ж ^ —0,5ж^—д/б —1; \/б—1 ^ ж ^ 5ж^—д/б —1; \/б—1 ^ ж ^ 5ж < -0,5; ж > 1ж < -0,5; ж > 11,5^ж<21 < ж < 3ж 0ж ^2,5; 0^ж^1|51,5^ж<21 < ж < 3ж 0ж ^2,5; 0^ж^1|5ж < 3О < ж < 1; ж < —1; ж > 1®^-|; 0,5 ^ж^ 2ж < 3О < ж < 1; ж < —1; ж > 1®^-|; 0,5 ^ж^ 2
5ж2 —6|3ж —1| ^78.
|ж2 + ж-6| < 2.
|10ж-ж2-16| > 3.
|ж2 —2ж —8| > 5.
ж2 —|Зж + 2| + ж 0.
|ж2 + 4ж +3| > ж + 3.
|ж2 —2ж —3| < Зж-З.
|ж2 —6ж + 8|4 —ж.
|2ж2-9ж + 15| ^20.
4ж —5^ж|ж —2|.
7-4ж2 ^3|2ж-1|.
„|ж~312.
ж — 5ж + 6
\х — 6| > |ж2 — Ьх + 9|.
(1 + ж)2|1-ж2|.
|^Д±>
I ж2 —4 ।
ж2 — |ж| — 122
ж-3
|ж3 — 1| > 1 — х.
|ж2 —4ж| + 3
ж2 + |ж — 5|
5ж2 —6|3ж —1| ^78.
|ж2 + ж-6| < 2.
|10ж-ж2-16| > 3.
|ж2 —2ж —8| > 5.
ж2 —|Зж + 2| + ж 0.
|ж2 + 4ж +3| > ж + 3.
|ж2 —2ж —3| < Зж-З.
|ж2 —6ж + 8|4 —ж.
|2ж2-9ж + 15| ^20.
4ж —5^ж|ж —2|.
7-4ж2 ^3|2ж-1|.
„|ж~312.
ж — 5ж + 6
\х — 6| > |ж2 — Ьх + 9|.
(1 + ж)2|1-ж2|.
|^Д±>
I ж2 —4 ।
ж2 — |ж| — 122
ж-3
|ж3 — 1| > 1 — х.
|ж2 —4ж| + 3
ж2 + |ж — 5|
« -3,4 < х <«-2,6, « 1,6 < х <«2,4.
« -3,4 < х <«-2,6, « 1,6 < х <«2,4.
Г« -2,6 < х <«7,4, [ж<«1,5; ж >«—8,5 х > 1 +V14; -1 < х < 3
Г« -2,6 < х <«7,4, [ж<«1,5; ж >«—8,5 х > 1 +V14; -1 < х < 3
ж > 1 + V3; ж < -2-V2
ж > 1 + V3; ж < -2-V2
ж < —3; —3 < ж < —2; ж > 0
ж < —3; —3 < ж < —2; ж > 0
2 < ж < 5
2 < ж < 5
1 < ж < 3; ж = 4
1 < ж < 3; ж = 4
ж ^ 5; ж ^ —0,5
ж ^ 5; ж ^ —0,5
ж^—д/б —1; \/б—1 ^ ж ^ 5
ж^—д/б —1; \/б—1 ^ ж ^ 5
ж < -0,5; ж > 1
ж < -0,5; ж > 1
1,5^ж<2
1 < ж < 3
ж 0
ж ^2,5; 0^ж^1|
5
1,5^ж<2
1 < ж < 3
ж 0
ж ^2,5; 0^ж^1|
5
ж < 3
О < ж < 1; ж < —1; ж > 1
®^-|; 0,5 ^ж^ 2
ж < 3
О < ж < 1; ж < —1; ж > 1
®^-|; 0,5 ^ж^ 2
§10. Метод математической индукции
Для доказательства некоторого утверждения, зависящего от натурального числа п, часто принимается так называемый метод математической индукции, который можно рассматривать как некоторую аксиому.
Смысл этого метода сначала покажем на простейшем примере.
Если утверждение верно для п = 1, то оно верно для п = 1 +1 = 2; но тогда оно верно и для п = 2 + 1 = 3.
Примеры.
1. Доказать формулу
13 + 23 + З3+ +п3=[!Ф^11]2.(1)
Доказательство. 1) При п = 1 получаем
1 =, или 1 — 11 = 1: верное равенство.
2) Пусть при п = к формула (1) верна:
1з + 2з+3з++^з = р£ + 1)]2_
Положим п = к + 1. Находим
13 + 23 + 33 + + кз + {к +1)3 = [М^+И ]2 + {к +1)3 =
/ , 2X
= (fe+lH^+fe+l)
\ 4/
(fe + l)2(fe2+4fe + 4) = [ (fe + l)(fe + 2) ]2
Следовательно, формула (1) верна для любого натурального п.
2. Сумма 8п первых членов геометрической прогрессии с q / 1 равна1 _ п
5„ = l + 9 + 92 + ...+9n"1 =(!)
С помощью формулы (1) докажем такое полезное неравенство:
если 1^1 <L(2)
Доказательство. Так как |q| < 1, то при любом натуральном к
меньшем n, \q\ > \q\ . ^Например, ^-J > ним это неравенство, учитывая формулу (1):
Приме-
1^Иi-q
11-^
т. е. n\q\n < ^—. Разделив обе части этого неравенства на п, приходим к неравенству (2).
3. Доказать, что сумма первых п (п Е N) нечетных чисел равна квадрату их количества, т. е.
1 + 3 + 5+ ... + (2n —1) = п2.
(1)
Решение. Проверим справедливость данного утверждения при п = 1. Если п = 1, то 1 = I2. Равенство (1) верно.
Допустим, что сумма (1) верна при &-ом нечетном числе, т. е. пред
положим, что
1 + 3 + 5+ ... +(2^-1) = ^2.
(2)
Докажем, что сумма первых & +1 нечетных чисел равна (& + 1)2. Учитывая формулу (2), получаем:
1 + 3 + 5+ ... + (2А: — 1) + (2А: +1) = А;2 + (2А; +1) = (А + 1)2, что и требовалось доказать.
Доказать, что при любом натуральном п число ап = п3 + + Зп2 + 5п делится на 3.
Решение. Воспользуемся принципом полной математической индукции.
Если п = 1, ап = I3 + 3 • I2 + 5 • 1 = 9, и потому ai делится на 3, т. е. утверждение справедливо при п = 1.
Предположим, что утверждение справедливо при п = к, к ^ 1. Имеем:, чо
а к = к3 + 3&2 + 5^ = 3m, где т — целое число.
Проверим утверждение при п = к +1.
^^+1 = (& 4” 1)^ + З^к + I)2 + Ь^к + 1) =
= &3 + 3&2 + 3& + 1 + 3&2 + 6& + 3 + 5& + 5 =
= ^3 + 6^2 + Ш + 9 = Зт + 3^2 + 9^ + 9.
Каждое слагаемое делится на 3, поэтому и их сумма делится на 3, что и требовалось доказать.
Вычислить сумму Sn = -Д- +. + / Д 1 v
1-22-3п^п +
Решение. Вычислим суммы Si; S2; S3; S4. Имеем
с _ 1 _ 1. с _ 1,1 _ 2.
1-22’21-2 + 2-33’
3l-2 + 2-3 + 3-44’4 1-2 + 2-3 + 3-4 + 4-55"
Каждая из рассматриваемых сумм равна дроби, в числителе которой стоит число слагаемых, а в знаменателе — число, на единицу большее, чем число слагаемых. Эта закономерность позволяет высказать гипотезу, что при любом натуральном п справедливо равенство
(1)(1)Q — П
(1)
(1)
П + 1
Для проверки этой гипотезы воспользуемся методом математической
индукции.
При n = 1 гипотеза верна, так как Si = —- = -.
Предположим, что гипотеза верна при п = к, к ^ 1, т. е.
(2)(2)к
(2)
(2)
к +1
Используя формулу (2), установим, что гипотеза верна и при и = = к +1, т. е.
с = — + — ++1+1=
fc+1 1-2 2-3 fc(fc + l) (fc + l)(fc + 2)fc + 2"
В самом деле, 1_ k1_ к2 + 2к + 1 _ & + 1
“ к + (Г+ТЖ+2) “ "kVY + (Г+ТЖ+2) “ (Г+ТЖ+2) “ Г+2 ’
Итак, формула (1) верна при любом натуральном п.
Найти все натуральные п, для которых справедливо неравенствоо
2n>n2.(1)
Решение. Рассмотрим это неравенство при п = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Имеем:
21 >Г: 22 = 22; 23 < З2; 24 = 42; 25 > 52; 26 > 62.
Из предпоследнего и последнего неравенств следует, что неравенство (1) справедливо при п = 5 и п = 6. Предположим, что неравенство истинно для п = к, к ^ 5, т. е.
2к>к2.(2)
Докажем, что в этом случае справедливо также неравенство 2fc+1 > > (к +1)2. Имеем
2^+! =2.2^ > 2к2.(3)
Но при к ^ 5 имеет место неравенство 2к2 > (& + 1)2, так как оно равносильно неравенству к2, — 2к — 1 > 0, или
(^-1)2-2>0,(4)
которое выполняется при любом к ^ 5.
Таким образом, из (3) и (4) следует, что 2fc+1 > (& + 1)2 и неравенство 2п > п2 верно при любом натуральном п ^ 5.
Отметим, что гипотезы, возникающие при частных наблюдениях, не всегда являются правильными. Рассмотрим пример, принадлежащий Л. Эйлеру.
Будем вычислять значения трехчлена п2 + п + 41 при некоторых первых натуральных значениях п, получим
71^12345678
п2 + п + 4143 47 53 61 71 83 97 113
и заметим, что получаемые в результате вычислений числа являются простыми. Более того, можно непосредственно убедиться, что для каждого ri от 1 до 39 значения многочлена п2 + п + 41 являются простыми числами. Однако при п = 40 получаем число 1681 = 412, которое не является простым. Таким образом, гипотеза, которая здесь могла бы возникнуть, т. е. гипотеза о том, что при каждом п число п2 + п + 41 является простым, оказывается неверной.
. Векторное произведение
Определение векторного произведения
Наряду с умножением двух векторов, приводящим к скаляру (скалярным произведением), рассмотрим еще один тип умножения векторов, в результате которого получается вектор. Такое умножение называется векторным.
Определение. Векторным произведением вектора а на неколлинеарный вектор b называется такой третий вектор с, который
строится по следующему правилу (рис. 41):
1) векторы а и b приводятся к общему началу О, и вектор с откладывается от О перпендикулярно плоскости, содержащей а и Ь:
длина вектора с численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и Ь;
вектор с направлен в ту сторону, с которой кратчайшее вращение
от а к b рассматривается совершающимся против часовой стрелки. Иначе говоря, вектор с относительно векторов а и b направлен так
же, как положительная координатная полуось О % относительно положительных координатных полуосей Ох и Ор соответственно.
Говорят, что векторы а, b и с составляют правую тройку.
Векторное произведение обозначается а х b (встречаются и такие обозначения: [а, Ц, [ах 6]).
Итак,
а х b = с,
если
1) с ± а и с ± Ь:
< 2) |с| = \а х Ь\ = |а||6| • sin (a b) (или sin у?);
k 3) а, Ь. с составляют правую тройку.
Свойства векторного произведения
При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет свой знак на противоположный, сохраняя модуль, т. е.
b х а = - (а х b).
Иначе говоря, векторное произведение переместительным свойством не обладает. Направление вектора b х а противоположно вектору axb.
Если а || Ь. то а х b = 0, в частности а х а = 0.
Это свойство вытекает из того, что в данном случае ip = 0° или ср = 180° и, следовательно, sin </? = 0.
Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т. е. если А — скаляр, то
(Ха xb) = (ах ХЬ) = Х(а х Ь).
Это свойство непосредственно вытекает из смысла произведения вектора на скаляр и определения векторного произведения.
Для любых трех векторов сц Ь, с справедливо равенство
(а + Ь) х с = (а х с) + (Ь х с), т. е. векторное произведение обладает распределительным свойством (доказательство дается в курсе высшей математики для вузов). Пример.
(а — Ь) х (а + 6) = (а х а) + (a xb) - (b х а) - (b xb) =
= 0 + (а х Ь) + (а х Ь) + 0 = 2(а х Ь). Отсюда, в частности, имеем
\(а — Ь) х (а + 6)| = 2|а х 6|,т. е. площадь параллелограмма, построенного на диагоналях данногопараллелограмма, равна удвоенной площади этого параллелограмма.
Векторное произведение в координатной форме
Пусть
а = ах - г + а^ -j + аг • k(1)
и
Ь = Ьж-гА-Ьу-j ^bz-k.(2)
Перемножая векторно эти равенства и используя свойства векторного произведения, получим сумму девяти слагаемых:кД
а + Ь = ажЬж^г х г) + аж6у(г х j) + axbz(i хк) +
+ ау6ж(/х Г)+ay6y(Jx J)+Q\
+ a-ybz0x k) + azbx(k x г) +/
+ azby(kx j) + azbz(k x к). (3)Рис. 42
Из определения векторного произведения следует, что для ортов г, з^к (рис. 42) справедлива следующая «таблица умножения»:
г х г = 0; j х j = 0; кхк = 0;
% х j = — (j х %) = к\ j х к =—(к х j) = ip к х г =—(г х к) = j.
Поэтому из формулы (3) получаем
ayЬуayЬуOz\ "? I OxЬгГ3кOz\ "? I OxЬгГ3кaxb— i(aybz ozby^-\-j(azbx охbД + k^axbу Oybx^ —
ay
Ьу
ay
Ьу
Oz\ "? I Ox
ЬгГ3к
Oz\ "? I Ox
ЬгГ3к
+ + <ж ?l (4) bz I I bx by I
(с сохранением порядка следования букв ж, р. z).
Для удобства запоминания формула (4) записывается в виде оп
ределителя третьего порядка:axb =ределителя третьего порядка:axb =гОхЬхгОхЬх3 кОу az by bz3 кОу az by bz(5)(5)
ределителя третьего порядка:
axb =
ределителя третьего порядка:
axb =
г
Ох
Ьх
г
Ох
Ьх
3 к
Оу az by bz
3 к
Оу az by bz
(5)
(5)
ах b =ах b =г25г253 41 -13 41 -125254-14-1= 22;= 22;25253131= -13,= -13,
ах b =
ах b =
г
2
5
г
2
5
3 4
1 -1
3 4
1 -1
2
5
2
5
4
-1
4
-1
= 22;
= 22;
2
5
2
5
3
1
3
1
= -13,
= -13,
Примеры.
Найти ах Ь. если а = 2г+ 3J+4А;, b^bi-Vj — к. Решение. Согласно (5), имеем
3 к
3 4
1 -1
Коэффициенты при г, j. к таковы:
и потому axb = —7г + 22J — 13&.
Коэффициенты при г, j. к следует вычислять в уме и сразу записывать результат умножения а х Ь.
Найти АВ х АС, если АВ = (2; -1; -1) и Л С = (3; 2; 4).
Решение. Имеем
АВ х АС =АВ х АС =г з к2 -1 -1324г з к2 -1 -1324= —2?—11J+7&.= —2?—11J+7&.
АВ х АС =
АВ х АС =
г з к
2 -1 -1
324
г з к
2 -1 -1
324
= —2?—11J+7&.
= —2?—11J+7&.
с =
г 3
2 7
4 2
к
1
1
= —9?+ 9/— 18^.
Отсюда |с | = V81 + 81 + 324 = д/486 = 9д/б. Поэтому
3*. Решить эту же задачу, пользуясь скалярным произведением.
Вычислить векторные произведения следующих пар векторов: а) Й=(1;1;1), 6 = (2;0; —1);
ж = (3;0;-2), ^= (1;4;5);
Й=(5;-2;1), i7= (3; —7; 1).
Ответ: а) (—1;3; —2); б) (8;-17; 12); в) (5;-2;-29).
Раскрыть скобки и упростить выражения:
% х (j + к) — з х (г + к) + к х (г + 3 + к);
(2Й+6) х (с —Й) + (6 + с) х (Й+6).
Решение. Имеем:
% хз -\-% хк — з хг — з хк-\-кх%-\-кхз-\-кхк =
= к — 3 ^rk —3 — г + 0 = 1(к — г);
Мхе — Mxa-Vbxc — bxa-Vbxa-Vbxb-Vcxa-Vcxb = = ах с.
Почему запись а х b = \а \\b | sin (й, b) является неверной?
Ответ: слева нет знака абсолютной величины.
Что означают равенства (ни Й, ни b не являются нулевыми векторами):
а) (Й6) = 0; б) х х у = 0?Ответ: а) Й ± 6; б) х || у.
Найти площадь треугольника с вершинами Л(1; 1; 0), В(1; 0; 1)
и С(0; 1; 1).i
Решение. Площадь S треугольника АВС равна - площади параллелограмма, построенного на векторах АВ и АС.
Используя формулы для проекций направленных отрезков
АВ = (хв-ха, У в-ул; ^b-kaY
имеем АВ = (0; — 1; 1); АС = (—1; 0; 1). Отсюда
А В х А "С =А В х А "С =% 3 к0 -1 1-1 0 1% 3 к0 -1 1-1 0 1= г= г-1 10 1-1 10 1-з-з0 1-1 10 1-1 10 -1-1 о0 -1-1 о= -г-3-к.= -г-3-к.
А В х А "С =
А В х А "С =
% 3 к
0 -1 1
-1 0 1
% 3 к
0 -1 1
-1 0 1
= г
= г
-1 1
0 1
-1 1
0 1
-з
-з
0 1
-1 1
0 1
-1 1
0 -1
-1 о
0 -1
-1 о
= -г-3-к.
= -г-3-к.
Следовательно, S = 11 АВ х АС | = | д/З.
Задачи.
Раскрыть скобки и упростить выражения (1-2).
(Й + b + с) х с + (Й + b + с) х b + (b — с) х а.
И{з х к) + 3J(г х к) +4^(г х j).
Определить и построить вектор с = а х Ь. если
а = 3г, b = 2k;2) a = z+j, b = i—j;
а = 2?+3;, 6 = 3j+2^.
Найти в каждом случае площадь параллелограмма, построенного на векторах а и Ь.
Вычислить площадь треугольника с вершинами А(7;3;4). В(1;0;6) и С(4;5; -2).
Построить параллелограмм на векторах а = 2^ + к и b = г + 2к и вычислить его площадь S и высоту h.
Построить векторы а = Зк — 2j. b = 3i — 2j и с = а х Ь. Вычислить модуль вектора с и площадь Вд треугольника, построенного на векторах а и Ь.
Построить треугольник с вершинами А(1; — 2; 8), В(0;0;4) и С(6; 2; 0). Вычислить его площадь Вд и высоту BD.
Вычислить диагонали и площадь В параллелограмма, построенного на векторах а = к — j и b = г + j + к.
Доказать, что (2а + Ь) х (а + 26) = За х Ь.
Проверить, имеют ли место в векторной алгебре тождества:
(а + Ь) х (а — b) = (а х аУ — (Ь х 6)2;
(а ± 6) х (а ± 6) = (а х а)2 ±2а х 6 + (b х b)2;
^axbV = ^?AW-
Векторное произведение (а + 6)х(а — Ь) преобразовать в предположении, что а и b не коллинеарны, и дать геометрическое толкование полученному результату.
Вычислить скаляр q = (а х b)2 + (ab)2.
Найти единичный вектор а, параллельный вектору А = = (6;7;-6).
Найти единичный вектор е, перпендикулярный одновременно вектору а = (3; 6; 8) и оси абсцисс.
Зная, что векторы а = (ж; 5; — 1) и b = (3; 1; z) коллинеарны, ВЫЧИСЛИТЬ X И Z.
В плоскости хОу найти вектор р, перпендикулярный вектору Q = (5; —3; 4) и имеющий одинаковую с ним длину.
Ответы.
2а х с. 2. 3.
а х b равно: 1) —6Д 2) —2^;3) 6г— 4J + 6&.
Площадь равна: 1) 6;2) 2; 3) 2 д/22.
24,5. 5. S = \/21кв. ед.; Л = V^2-
|с| = 3-\/17; Зд = 3^^ кв. ед.
Зд =7V5 кв. ед.; BD = ^^.
\а + b | = \а — b | = д/5; S = л/б кв. ед.
Равенства 1) и 2) неверны, так как а х b / b х а. Равенство 3) справедливо лишь в случае а ± Ь.
(а + Ь) х (а — b) = 2Ь х а. Это тождество означает, что площадь параллелограмма, построенного на диагоналях данного параллелограмма, вдвое больше площади основного параллелограмма.
q = a?b2.13. а = ± —; ± —; =р — .14.= (0; =р-; ±- ).
\ 111111/\55/
ж = 15; z = —i. 16. р= (±^;±^;0).
§12. Прямая в пространстве
Прямая в пространстве однозначно определяется точкой
Л/о(жо; т/о; ^о) и направлением (т. е. некоторым вектором).
Пусть го = (жо; Ж ^о) — радиус-вектор точки Мо и S = (J; т; п) —
(длина его произвольна).(длина его произвольна).Рис. 43Рис. 43ненулевой направляющий вектор прямой Обозначая через г = (ж; р^ z) радиус- вектор произвольной точки М прямой (текущий радиус-вектор), из векторного треугольника OMMq (рис. 43) имеем
(длина его произвольна).
(длина его произвольна).
Рис. 43
Рис. 43
f=f04-M0M.(1)
Так как векторы М^М и S коллинеарны, то
МоМ = tS,(2)
где t — некоторый скаляр (— оо < t < +оо). Подставляя выражение tS вместо М^М
в уравнение (1), получаем векторное уравнение прямой в прост
ранстве:ранстве:r = fb + tS (t — параметр).r = fb + tS (t — параметр).(3)(3)
ранстве:
ранстве:
r = fb + tS (t — параметр).
r = fb + tS (t — параметр).
(3)
(3)
Проецируя равенство (3) на координатные оси, получим параметрические уравнения прямой в пространстве (равносильные уравнению (3)):
Ж = Жо + it^
< У = yo + mt,(4)
Z = Zo + nt.
Если из уравнений (4) исключить параметр t, то получим так называемые канонические уравнения прямой в пространстве'.
(5)(5)х — хр _ у-уо _ %-%о
(5)
(5)
I т п
Из (4) имеем t = —-—; t = -——; t = . Левые части этих
XIтп
равенств равны; отсюда получаем (5).]
Уравнения (5) имеют смысл пропорций, т. е. какие-либо (не более двух) из чисел I*, т*,п могут быть нулями.
Система (5) содержит два уравнения, например, при п / 0 можно
положитьположитьX — Хо _ Z — 2^0 .I п ‘X — Хо _ Z — 2^0 .I п ‘у-уо _ z-z0т пу-уо _ z-z0т п
положить
положить
X — Хо _ Z — 2^0 .
I п ‘
X — Хо _ Z — 2^0 .
I п ‘
у-уо _ z-z0
т п
у-уо _ z-z0
т п
Эти уравнения представляют собой уравнения двух плоскостей, пересечением которых является данная прямая. Заметим, что первое уравнение не содержит координаты у, а второе — координаты х. Следовательно, первая плоскость параллельна оси Оу, а вторая параллельна оси Ох, т. е. эти две плоскости являются плоскостями, проецирующими прямую соответственно на координатную плоскость xOz и координатную плоскость yOz.
Числа I, т,п называются направляющими коэффициентами прямой. Обозначая через а, Р, ^ углы, образованные прямой с координатными осями, и учитывая, что cos a, cos (3, cos 7 являются направляющими косинусами вектора S, будем иметь
I = S cos а, т = S cos 3, п = S cos 7,(6)
где
S =+Q(7)
— длина вектора S. Отсюда получаем:
/Q тп2 I 2 /9 I 21
cosq = —; cosp = —; cos7 = — и cos q + cos p+cos 7 = 1.
Таким образом, направляющие коэффициенты прямой пропорциональны соответствующим направляющим косинусам этой прямой.
Уравнения прямой (5) можно записать в стандартном виде:
X-XQ _ у-ур _ Z — Zqcoso cos/3cos 7 ’
где cos a, cos(3, cos7 — направляющие косинусы прямой. Примеры.
Уравнения движения ракеты имеют вид' х = 2t,< У = -4t,
^z = 4t, где время t дано в секундах, а координаты (ж; у; г) движущейся ракеты — в километрах.
Какова траектория ракеты? На каком расстоянии будет находиться ракета М от точки старта 0(0; 0; 0) через 10 секунд?
Решение. Исключая из данных уравнений время t, получим уравнения траектории
X _ у _ Z 2^44’X _ у _ Z 2^44’илиилиX _ у _ ZТ ^22 ’X _ у _ ZТ ^22 ’
X _ у _ Z 2^44’
X _ у _ Z 2^44’
или
или
X _ у _ Z
Т ^22 ’
X _ у _ Z
Т ^22 ’
Таким образом, траектория ракеты представляет собой прямую, проходящую через начало координат.
При t = 10 с имеем х = 20; у = —40; z = 40 и г = ОМ = = -/^++4^ = V400 +1600+ 1600 = V3600 = 60 км.
Написать уравнение прямой, проходящей через две несовпадающие точки М^хо; у^ z$) и Му(ху; у у; Zy).
Решение. За направляющий вектор прямой можно взять
S = (жх - х0; т/1 - ж ^1 - ^о) ^ 0.
Следовательно, на основании (5) имеем
х-хр = у-ур = Z-ZQ/$\
Ж1-Ж07/1 -7/0^1-^о’
Написать уравнение прямой, проходящей через точку Mq(3;—4; 5) и параллельной оси Oz.
Решение. Очевидно, имеем
cosa = 0; cos/3 = 0; cos7 = l.
Таким образом, в силу (5) получаем уравнения искомой прямой
х — 3 _ у + 4 _ z — 5
001
равносильное паре уравнений
х — 3 _ z — 5. у + 4 _ z — 5
0 “ 1 ’0 “ 1 ’
или
J ж — 3 = 0,[т/ + 4 = 0.
Направляющий вектор прямой (9) есть S = (0; 0; 1), т. е. эта прямая перпендикулярна осям Ох и Оу.
Прямую L в пространстве можно задать также как линию пересечения двух плоскостей Р и Ру (рис. 44):
(10)(10)Ayx-\-Byy-\-Cyz — Dy,А2Ж + В2У + с2% = ^2 •
(10)
(10)
Предполагается, что плоскости не параллельны и не сливаются.
Векторы Ny = (Ai; Ву^Су^ и N2 = (А2; В^ С2) являются нормальными
векторами этих плоскостей. Направляющий вектор S прямой, очевидно, удовлетворяет условиям S /V) и S _L N2. Можно положить
8 = Ж xN2.
Определить направляющие косинусы прямой ( х — 2т/ + 3^ — 4 = 0, [ Зх — 2у + z = 0.
Решение. Имеем TVi = (1; —2; 3), N2 = (3; —2; 1); тогда
s = А х n2 =s = А х n2 =г j1 -23 -2г j1 -23 -2к31к31= 4г+ 87 +4^ = 4(z + 2J -Vk).= 4г+ 87 +4^ = 4(z + 2J -Vk).
s = А х n2 =
s = А х n2 =
г j
1 -2
3 -2
г j
1 -2
3 -2
к
3
1
к
3
1
= 4г+ 87 +4^ = 4(z + 2J -Vk).
= 4г+ 87 +4^ = 4(z + 2J -Vk).
За направляющий вектор прямой можно принять вектор произвольной длины, например, So = ^ S = (1; 2; 1) длина его |So| = V6- Отсюда 1 cos а = —=:cos р = ——;cos 7 = ——.
VeVeVe
Написать каноническое уравнение прямой, являющейся линией пересечения плоскостей
Г2ж + 3?/ + 5^ = 3,
\x-Vy -V2z = 1.
видвидРешение. Зададим какую-либо координату, а две другие найдем из системы двух линейных уравнений относительно этих двух координат. Пусть, например, z = 0, тогда исходная система принимает
вид
вид
2ж + 3?/ = 3,
Отсюда х = 0; у = 1.
Таким образом точка A4i(0; 1; 0) лежит на данной прямой.
Пусть теперь z = 1, тогда
Г 2х + 3?/ = —2,
Отсюда х = — 1 и у = 0.
Значит, другой точкой прямой является М2(—1; 0; 1).
Применяя формулу (8), получаем искомые уравнения: ж —0у — 1 z — 0ж —0 у — 1 z — 0
-1-0 “ о-1 “ 1-о’ или -1 “ -1 “ 1
Задачи.
Найти следы (точки пересечения) прямых fx = z + 5,х — ^_у —— 3
\т/ = 4-2^ И
на плоскостях хОу и xOz и построить прямые.
Указание. Положить в уравнениях прямой: z = 0; у = 0.
( ж + 2т/+ 3^ — 13 = 0,
Уравнения прямой <написать:
X Зж + т/ + 4^ — 14 = О
в проекциях; 2) в канонической форме.
Найти следы прямой на координатных плоскостях, построить прямую и ее проекции.
Написать уравнения прямой, проходящей через точку А(4; 3; 0) и параллельной вектору р = (—1; 1; 1). Найти след прямой на плоскости yOz и построить прямую.
Построить прямую х = 4, у = 3 и найти ее направляющий вектор.
Построить прямые
и определить их направляющие векторы.
Написать уравнения прямой, проходящей через точки А(—1; 2; 3) и В(2; 6; —2), и найти ее направляющие косинусы.
Построить прямую, проходящую через точки А(2; — 1; 3) и В (2; 3; 3), и написать ее уравнения.
Написать уравнения траектории точки М^х^у^У которая, выйдя из точки А(4; — 3; 1), движется со скоростью #{2; 3; 1}.
Написать параметрические уравнения прямой:
проходящей через точку (—2; 1; — 1) и параллельной вектору р=(1;-2;3);
проходящей через точки А(3; —1;4) и В(1;1;2).
Написать уравнения прямой, проходящей через точку (а, Ь. с):
параллельно оси Oz; 2) перпендикулярно оси Oz.
( х = 2z — 1.
Найти угол прямой <с прямой, проходящей через
(д = -2^ + 1
начало координат и через точку (1; — 1; — 1).
Найти угол между прямыми:
( х - у 4- z - 4 = ^,( х 4-у + z - 4 = 0,
<и <
[ 2х + у — 2z + 5 = 0[ 2х 4-Зу — z — 6 = 0.
Указание. Направляющий вектор каждой прямой можно определить как векторное произведение нормальных векторов плоскостей, т. е. S = TVi х N^.
перпендикулярна прямойперпендикулярна прямойПоказать, что прямая — == -
перпендикулярна прямой
перпендикулярна прямой
X = z + 1,У = 1-^.
23 В. А. Бачурин
Написать уравнение прямой, проходящей через точку (—4; 3; 0) и параллельной прямой
( х — 2у + z = 4,
[ 2хА-у — z = 0.
Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точки (2; — 3; 4) на ось Oz.
Указание. Искомая прямая проходит еще через точку (0;0;4).
Найти расстояние точки М(2; —1; 3) от прямой ж ^ = ^ ^ =
” 5 ’
Указание. Так как Л(—1; —2; 1) — точка на прямой; р = (3; 4; 5) — направляющий вектор прямой, то
d = | AM sin у? =LL
1р1-|лм|1^1
Найти расстояние между параллельными прямыми
ж — 2 _ ?/ + 1 _ £ + 3 х — 1 _ у — 1 _ 2 +1
1 “ 2 “ 2 И 1 “ 2 “ 2 '
Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точки (2; — 3; 4) на ось Оу.
Ответы.
1) (5;4;0) и (7; 0; 2); 2) (0;-4; 0) и (2; 0; 2).
2. 1)2. 1)х = — z + 3,
2. 1)
2. 1)
у = — z + 5;
^= У_5 = ^_. следы. ^5. 0). (_2.0. ^.(0.2. 3).
з^= у-3 = г. (0. 7. 4)4^= (0.0.
1) р= г^ 2) p = i — k; 3)p = j-\-k.
^^= ^ ^ 2 = ^ ^; cosa= 0,3V2;cos/3=0,4V2; COS7 =
= -0,5\/2.
( z = 3.
Через t секунд координаты точки М будут равны х = 4 + 2t;
-1 , ,ж-47/ + 3z-1
у = — З + ЗЧ z = 1 + или иначе: —-— = ^ = —-—.
9. 1)9. 1)' ж = — 2 + t,< у = 1 — 2t,z = -l+3i;' ж = — 2 + t,< у = 1 — 2t,z = -l+3i;2)2)f z = 1 +1, < У = 1-i, z = 2 + f.f z = 1 +1, < У = 1-i, z = 2 + f.
9. 1)
9. 1)
' ж = — 2 + t,
< у = 1 — 2t,z = -l+3i;
' ж = — 2 + t,
< у = 1 — 2t,z = -l+3i;
2)
2)
f z = 1 +1, < У = 1-i, z = 2 + f.
f z = 1 +1, < У = 1-i, z = 2 + f.
или иначе < кУ =или иначе < кУ =in П_ У~ь _ z-c
или иначе < кУ =
или иначе < кУ =
' ' О О 1 ’ х — а и — b 2) z — с и = -.
т п
11. СО§ф= —.12. COS (/9 = — .
V 3
14. Направляющий .. ж + 4у-3прямой: —-— = —-— =14. Направляющий .. ж + 4у-3прямой: —-— = —-— =вектор р = N х Ni = г + 3j + 5k. Уравнение
14. Направляющий .. ж + 4у-3
прямой: —-— = —-— =
14. Направляющий .. ж + 4у-3
прямой: —-— = —-— =
5’
15.15.Зж + 2?/ = 0, ^-4 = 0.Зж + 2?/ = 0, ^-4 = 0.16. 0,3 V38.17. ^.16. 0,3 V38.17. ^.px-z = 0, X у+з = о.px-z = 0, X у+з = о.
15.
15.
Зж + 2?/ = 0, ^-4 = 0.
Зж + 2?/ = 0, ^-4 = 0.
16. 0,3 V38.17. ^.
16. 0,3 V38.17. ^.
px-z = 0, X у+з = о.
px-z = 0, X у+з = о.
§13. Дифференциал функции
Понятие дифференциала функции
Напомним определение: производной функции у = /(ж) в точке xq называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к
нулю:нулю:/'(жо) = КтДж—Ш/'(жо) = КтДж—Ш/(ж0 +Аж) - /(ж0)/(ж0 +Аж) - /(ж0)АжАжкорочекорочеГЫ= Нт ДДДJ v 7 Дж^о АжГЫ= Нт ДДДJ v 7 Дж^о Аж(1)(1)
нулю:
нулю:
/'(жо) = Кт
Дж—Ш
/'(жо) = Кт
Дж—Ш
/(ж0 +Аж) - /(ж0)
/(ж0 +Аж) - /(ж0)
Аж
Аж
короче
короче
ГЫ= Нт ДДД
J v 7 Дж^о Аж
ГЫ= Нт ДДД
J v 7 Дж^о Аж
(1)
(1)
Не менее важным является понятие дифференциала функции.
Переменная величина, имеющая предел, может быть представлена в виде суммы этого предела и бесконечно малой величины, поэтому
=+(2)
где а — бесконечно малая при Аж —> 0, т. е. lim а = 0.
Дж—Ш
Умножая равенство (2) на Аж, получаем
А/(ж0) = //(ж0)Аж + а-Аж.(3)
Первое слагаемое правой части равенства (3) является произведением производной этой функции f'(xo) на приращение аргумента Аж, это произведение называют дифференциалом функции в точке жо и обозначают символически
/'(жо)Аж = сУ(жо), или иначе
dy = y^x.(4)
Второе слагаемое формулы (3) при бесконечно малом Дж есть произведение бесконечно малых, его называют бесконечно малой высшего
23*
порядка по сравнению с Дж. (Теория бесконечно малых излагается в курсе высшей математики для вузов.)
Дифференциал функции зависит от приращения аргумента Дж линейно (в первой степени) и составляет основную часть приращения функции. Поэтому его часто называют главной линейной частью приращения функции в точке жо в соответствии с приращением аргумента.
Итак, дифференциал функции у = /(ж) равен произведению производной этой функции у’ на приращение аргумента Дж.
Примеры.
Если у = ж5 + 2Уж, то dy = (ж5 + 2Уж)7Дж = ^5ж4 + ^^ Дж.
Если у = sin2ж + со8ж2, то dy = (зт2ж — 2ж8тж2) Дж.
Дифференциал аргумента
Если у = /(ж) = х, то dy = (/ж = ж' ■ Д ж = 1 • Д ж = Д ж. откуда dx = Д ж,(5)
т. е. под символом dx (ж — аргумент) понимают и приращение аргумента, и дифференциал функции, равной аргументу.
В силу этого формулу (4) можно записать в таком виде:
</у = у'^.(6)
Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал аргумента.
Геометрический смысл дифференциала
Пусть М(ж; у) и МДж + Дж; у + /Ху) — две точки графика заданной функции у = /(ж) (рис. 45).
равен приращению ординатыравен приращению ординатыВ точке М к кривой проведена касательная, образующая угол ср с положительным направлением оси Ох.
равен приращению ординаты
равен приращению ординаты
Из точки М* на ось Ох опущен перпендикуляр М’Д пересекающий касательную в точке Т. Через точку М проведена прямая MN параллельная оси Ох. Получился прямоугольный треугольник MNT^ из которого следует |7VT| = |МЛ^| -tg (/?; но |МЛ^| = Дж и tg ф = у' поэтому |7VT| = у' /Хх = dy.
Таким образом, дифференциал функции у = /(ж) в данной точке ж касательной к графику функции в этой
точке, когда ж получает приращение Дж.
Свойства дифференциала
Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной.
Формула dy = у' dx верна и в том случае, если х есть функция новой переменной t и тогда
или иначе: если у = f(u) и и = ip(x), то в соответствии с формулой дифференцирования сложной функции имеем
dy = yV<‘dx,(7)
короче
dy = y'udu.
Итак, формула дифференциала функции
df(u) = f'(u)du(8)
справедлива как в случае, когда и — независимая переменная, так и в случае, когда и — функция другой независимой переменной.
Это свойство дифференциала называют его инвариантностью.
Операция нахождения дифференциала функций, как и операция нахождения производной, называется дифференцированием.
Формулы дифференциалов функций соответствуют формулам производных этих функций, например:
х ,,, Д и\ vdu — udvхdu
d(u-v) = udv + ж du: d — =5: a(arccosu) =,.
Примеры.
ж + 3
ЕСЛИ у = —, то
+ 3
dy = ddy = dж + зА _ (ж2 + 3) d^x + 3) — (ж + 3) (/(ж2 + 3) _ (3 — 6ж — ж2) (/ж
dy = d
dy = d
Ж +3/(ж +3)(ж +3)
_,.d(3t-4t3)3(l-4t2)dt
d arcsin (3# - 4^) = , v ’= , v '.
Vl-(3t-4t3)2yi-t2(3-4t2)2
Приближенное вычисление функцийпри малых приращениях аргумента
При достаточно малом приращении аргумента Дж приращение функции приближенно приравнивают ее дифференциалу (пренебрегая в формуле (3) бесконечно малой второго порядка а-Дж):
M«dy, или /(ж0 + Дж)-/(ж0) «/'(ж0)Дж,(9)
и тогда
/(ж0 + Дж) «/(ж0) + /'(ж0) Дж.(10)
Эти формулы используются для приближенных вычислений функций при малых приращениях аргумента (Дж мало).
Примеры.
Найти приближенно объем сферического слоя, имеющего внешний диаметр 10 см, а толщину - см.
8।
Решение. Объем V шара диаметра х есть V = — тгж3. Ясно, что 6
точный объем сферического слоя есть разность ДУ между объемами 7
двух шаров с диаметрами 10 см и 9 - см. Для получения приближенного значения Д V мы ограничимся вычислением d,V. т. е. вычислением правой части формулы (9). Имеем
dV = | тгж2 dx.
dV 19,63 см2,dV 19,63 см2,Подставляя х = 10 и dx = Дж = — ^, мы получаем
dV 19,63 см2,
dV 19,63 см2,
пренебрегая знаком, обозначающим только то, что V убывает при убывании х. Точная же величина есть Д V « 19,4 см3.
Рассмотрим функцию /(ж) = з/ж. Пусть аргумент ж получает малое приращение Дж. Вычислим приближенное значение /(ж + Дж) = V^ + Дж, применяя формулу (10). Имеем /(ж) = з/ж;
\ Л1 • Д ж
/ (ж)Дж = тогда
П N Хп 1 .
з/ж +Дж = з/жН, ж .(11)
п Vжп-1
В частности, при п = 3 имеем ^ж + Д ж « \/жН— 3 V ж2
Найти приближенное значение 3^1,006.
Решение. Полагая в соотношении (11) ж = 1, Дж = 0,006, получаем 0,006 = 0+0,006 « 1 + Ц^ = 1,003.
§14. Неопределенный интеграл
Первообразная функция. Неопределенный интеграл
Для начала решим такую простейшую задачу. Производная некоторой (исходной) функции равна sec2ж. Какова эта некоторая (исходная) функция?
Легко сообразить, что искомой функцией является выражение tg ж + С, где С — произвольное постоянное число.
Действительно, (tg ж + СУ = (tg хУ + С" = sec2 ж + 0 = sec2 ж.
В дифференциальном исчислении находится (отыскивается) производная данной функции или ее дифференциал. В интегральном исчислении решается обратная задача: по заданному дифференциалу или производной неизвестной функции F(x) отыскивается эта функция. Иначе говоря, зная дифференциал функции dF^xy равный f(x)dx:
(1)(1)dF(x) = /(ж) dx^
(1)
(1)
или F'(x) = f(xy мы находим эту функцию F(x).
В рассмотренной задаче мы знали /(ж) = sec2 ж и нашли F(x) = = tgж.
Определение. Первообразной функцией для данной функции f(x) на данном промежутке называется такая функция F(ж), у которой дифференциал равен f(x)dx или производная равна /(ж) на рассматриваемом промежутке.
Например, одной из первообразных функций для функции Зж2 будет ж3, поскольку (ж3)' = Зж2. Первообразная функция не единственна, так как (ж3+ 1)' = Зж2, (ж3 — 5)' = Зж2 и т. п., и поэтому функции ж3 + 1, ж3 — 5 и т.п. также являются первообразными для функции Зж2. Данная функция имеет бесчисленное множество первообразных.
В рассмотренном примере каждые две первообразные отличались друг от друга на некоторое постоянное слагаемое. Доказывается, что это будет иметь место и в общем случае.
Теорема. Если две функции ^(ж) и F^x^ являются первообразными функции f(x) на некотором промежутке, т.е. F[(x) = /(ж) и Еу^ = /(ж), то Fi(x) — F^x) = С, где С — постоянная величина.
Геометрическая иллюстрация. Если у = ^(ж) и У = = F^x^ — первообразные одной и той же функции /(ж), то касатель
ные к их графикам в точках с общей абсциссой жо параллельны между собой: tg а = F^x^ = = ^(ж0) = /(ж0) (рис. 46). В таком случае расстояние между этими кривыми, считая вдоль оси Оу, остается постоянным: F^x^ — Fy (ж0) = С, т. е. эти кри
вые в некотором смысле «параллельны» друг другу. Графики любых двух первообразных функции /(ж) получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу.
Геометрическая совокупность первообразных данной функции /(ж) представляет собой так называемое однопараметрическое семейство плоских кривых у = F(x) + С (С — параметр).
Если функция F(x) — первообразная для функции /(ж), то фор
муламулаF^CF^C(2)(2)
мула
мула
F^C
F^C
(2)
(2)
исчерпывает всю совокупность первообразных для данной функции. Постоянная С может принимать любое значение, поэтому ее называют произвольной постоянной.
Введем теперь основное понятие интегрального исчисления — понятие неопределенного интеграла.
Определение. Совокупность всех первообразных данной непрерывной функции /(ж) называется неопределенным интегралом от функции f(x) или от дифференциального выражения f(x)dx и обозначается символом J /(ж) dx ).
При этом символ J называется знаком интеграла, выражение f(x)dx — подынтегральным выражением, функция /(ж) — подынтегральной функцией, переменная ж — переменной интегрирования.
Неопределенный интеграл ^f(x)dx является функцией общего вида, дифференциал которой равен подынтегральному выражению, т. е. d J /(ж) dx = /(ж) dx во всех точках рассматриваемого промежутка, и мы имеем равенство
f^dx^F^x^C.(3)
Решенная нами ранее задача теперь может быть оформлена так:
sec2 ж dx = tg ж + С.
Пример. Пусть /(ж) = ж2; тогда, как нетрудно видеть, неопределенный интеграл этой функции есть
ж2 dx = ^- + С.
Это легко проверить обратным действием — дифференцированием.
Обратим внимание на то, что под знаком интеграла J пишут дифференциал искомой первообразной функции, а не производную (в заданном примере x^dx, а не ж2).
Основные свойства неопределенного интеграла
Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
d f(x)dx = d(F(x)-VC) = dF(x) = f(x)dx.
Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
\ /
p$W) =(F($Hcy = K$Y
Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:
dF(x) = F(xHC.
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
cf(x)dx = c f(x)dx, с^О.
Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций:
(f(x)-\-cp(x))dx = f(x)dx + ip(x)dx.
Таблица простейших неопределенных интегралов
Пользуясь тем, что интегрирование есть операция, обратная дифференцированию, нетрудно получить таблицу простейших интегралов. Для этого будем исходить из формулы (3), которую запишем таким образом:
если dF(x) = f(x)dx, то /(ж) dx = F(x) + С.
Обращая формулы дифференцирования, получаем:
d = хт dx\ т + 1 /Щ1п|ж|) = —=d = хт dx\ т + 1 /Щ1п|ж|) = —=d (еж) = еж dx =>►d(^-\ = ах dx \1па/d (sin ж) = cos х dxd (еж) = еж dx =>►d(^-\ = ах dx \1па/d (sin ж) = cos х dxхт dx = —- + С (т ^—1Y
d = хт dx
\ т + 1 /
Щ1п|ж|) = —=
d = хт dx
\ т + 1 /
Щ1п|ж|) = —=
d (еж) = еж dx =>►
d(^-\ = ах dx \1па/
d (sin ж) = cos х dx
d (еж) = еж dx =>►
d(^-\ = ах dx \1па/
d (sin ж) = cos х dx
т +1
— = 1п|ж| + С (при х < 0 и при х > 0).
exdx = ex + C.
\ axdx = -^ + C (a > 0, a/1).
JIna
VI. d(— cos ж) = sin ж dxVI. d(— cos ж) = sin ж dxsin xdx = — cos x + C.sin xdx = — cos x + C.II. d^x^ = ^-COS xIII. d(—ctg ж) = Д^— sin xII. d^x^ = ^-COS xIII. d(—ctg ж) = Д^— sin xdx2“COS Xdx. 2sin Xdx2“COS Xdx. 2sin Xt^x^C.ctg x + C.t^x^C.ctg x + C.сДагсзтж) =,— ж2сД-агссо8ж) = dxVi - ж2 >сДагсзтж) =,— ж2сД-агссо8ж) = dxVi - ж2 >—= arcsin x + C =yl —Ж2= — агссо8ж + Ci.—= arcsin x + C =yl —Ж2= — агссо8ж + Ci.cos x dx = sin x + C.
VI. d(— cos ж) = sin ж dx
VI. d(— cos ж) = sin ж dx
sin xdx = — cos x + C.
sin xdx = — cos x + C.
II. d^x^ = ^-
COS x
III. d(—ctg ж) = Д^— sin x
II. d^x^ = ^-
COS x
III. d(—ctg ж) = Д^— sin x
dx
2“
COS Xdx
. 2sin X
dx
2“
COS Xdx
. 2sin X
t^x^C.
ctg x + C.
t^x^C.
ctg x + C.
сДагсзтж) =,
— ж2
сД-агссо8ж) = dx
Vi - ж2 >
сДагсзтж) =,
— ж2
сД-агссо8ж) = dx
Vi - ж2 >
—= arcsin x + C =
yl —Ж2
= — агссо8ж + Ci.
—= arcsin x + C =
yl —Ж2
= — агссо8ж + Ci.
d(arctgx) =2 ?
- = arctg х + С =1 + ж2= — arcctg х + Ci.- = arctg х + С =1 + ж2= — arcctg х + Ci.1 + ж2
- = arctg х + С =
1 + ж2
= — arcctg х + Ci.
- = arctg х + С =
1 + ж2
= — arcctg х + Ci.
, хdx
d (—arcctg х) =2
1 + ж2 '
Интегралы, содержащиеся в этой таблице, называют табличными. (Эта таблица может быть значительно расширена.)
Примеры.
4
1.2.1.2.3.3.4.4.х3 dx = ^— + С.
1.
2.
1.
2.
3.
3.
4.
4.
4
схХ
^dx = l-^C.
In 2
5ж2/3 dx = 5 • ж5/3 • - + С = Зж5/3 + С.
5
Ух dx = |ж1/3 dx = | • ж4/3 • | + С = | ж4/3 + С.
Независимость вида неопределенного интегралаот выбора аргумента
В таблице основных интегралов предполагалось, что х есть независимая переменная. Однако эта таблица полностью сохраняет свой смысл, если под х понимать любую непрерывно дифференцируемую функцию от независимой переменной.
Доказывается, что из формулы ^f(x)dx = F(x) + С, где х — независимая переменная, следует формула J f(u)du = F(u) + С, где и = ф^ — некоторая непрерывно дифференцируемая функция. Предполагается, что и производная ф\х^ непрерывна. Это свойство интеграла, подобно свойству дифференциала, называют его инвариантностью.
На основании указанного свойства получаем обобщенную таблицу простейших интегралов:
'm-Цг 1
um du = hC1),— = 1п|и| + С ит. д.
Jm +1J и
Здесь и — любая непрерывно дифференцируемая функция от независимой переменной. Эта таблица является обращением обобщенных формул дифференцирования (см. и. 4 предыдущего параграфа).
Основные методы интегрирования
Основными методами интегрирования являются:
метод непосредственного интегрирования;
метод подстановки;
метод интегрирования по частям.
Рассмотрим более подробно каждый из этих методов.
Непосредственное интегрирование. Этот метод основан на прямом использовании таблицы интегралов. Здесь могут представляться следующие случаи:
данный интеграл находится непосредственно как соответствующий табличный интеграл (как в рассмотренных примерах: Г sec2 xdx =
VXJ
= tg x + C; j x^dx = — + С и др J;
данный интеграл после элементарных тождественных преобразований подынтегральной функции приводится к одному или нескольким табличным интегралам.
Примеры.
Из формулы (1) следует
Г2
х dx = ^- + С.
Заменяя здесь х на sin ж, получаем
. 2
.. x sin Ж
т. е.т. е.sinх cosxdx =sinх cosxdx =sin x d (sin x) = —-—
т. е.
т. е.
sinх cosxdx =
sinх cosxdx =
., z . х sin2 x
sin x d (sin x) = —-—
Подобным образом находим
In2 Т
In x d (In x) = —h C.
Применяя формулы V, VI, найдем неопределенные интегралы (2-5).
cos - dx = 2cos - dx = 28шЗжаж = -8шЗжаж = -cos — d 1 — 1 =2sin —+sin Зж d(3x) = — | cos Зж + C;cos — d 1 — 1 =2sin —+sin Зж d(3x) = — | cos Зж + C;
cos - dx = 2
cos - dx = 2
8шЗжаж = -
8шЗжаж = -
cos — d 1 — 1 =2sin —+
sin Зж d(3x) = — | cos Зж + C;
cos — d 1 — 1 =2sin —+
sin Зж d(3x) = — | cos Зж + C;
cos (x — 1) dx = cos (ж — 1) d^x — 1) = sin (x — 1) + C;
5.5.sin (a — x) dx = — sin (a — x) d(a — ж) = cos (a — ж) + C.
5.
5.
Отсюда должна быть понятной важность умения приводить данное дифференциальное выражение f(x)dx к виду
/(ж) dx = g(u) du^
где и есть некоторая функция от ж и g — функция более простая для интегрирования, чем /.
Отметим ряд преобразований дифференциала, полезных для дальнейшего. Если а, b и п — не равные нулю постоянные, то:
1)4)1)4)7)7)9)9)dx = d(x-\-by 2) dx = — d(axy 3) dx = — d(ax + bydx =d(a — ЬхУ, 5) dx = nd (—\6) dx = nd (— Hb\nJ\nxdx = ^d(x2y 8) xn dx = ^(/(ж7^1);cos (пж) dx = — cos (пж) d (пж) = — (/sin (пхУ nndx = d(x-\-by 2) dx = — d(axy 3) dx = — d(ax + bydx =d(a — ЬхУ, 5) dx = nd (—\6) dx = nd (— Hb\nJ\nxdx = ^d(x2y 8) xn dx = ^(/(ж7^1);cos (пж) dx = — cos (пж) d (пж) = — (/sin (пхУ nn10) sin ( — 1 dx = n sin10) sin ( — 1 dx = n sin—ndcos—ndcosПользуясь преобразованиями дифференциалов, найдем неопредеПользуясь преобразованиями дифференциалов, найдем неопределенныеленные6.6.7.7.8.8.9.9.10.10.11.11.интегралы (6-12).dx _ 1 d(ax + 6) _ 1интегралы (6-12).dx _ 1 d(ax + 6) _ 1ах + b аах + b аах + 6 аах + 6 а2</ж= (ж-2)1/2</(ж-2) = ^-^^2</ж= (ж-2)1/2</(ж-2) = ^-^^sin2 ж cos ж dx =sin2 ж cos ж dx =xdx _ 1” 2xdx _ 1” 2tg xdx =tg xdx =dxdx33sin2 ж d (sin ж) = | sin3 ж + С.sin2 ж d (sin ж) = | sin3 ж + С.' (/(ж2 + 1) _ 1' (/(ж2 + 1) _ 12222sin ж , dx = —cos жsin ж , dx = —cos жdxdx,2,2d cos жcos жd cos жcos ж= — In | СО8Ж| + С.= — In | СО8Ж| + С.22
1)
4)
1)
4)
7)
7)
9)
9)
dx = d(x-\-by 2) dx = — d(axy 3) dx = — d(ax + by
dx =d(a — ЬхУ, 5) dx = nd (—\6) dx = nd (— H
b\nJ\n
xdx = ^d(x2y 8) xn dx = ^(/(ж7^1);
cos (пж) dx = — cos (пж) d (пж) = — (/sin (пхУ nn
dx = d(x-\-by 2) dx = — d(axy 3) dx = — d(ax + by
dx =d(a — ЬхУ, 5) dx = nd (—\6) dx = nd (— H
b\nJ\n
xdx = ^d(x2y 8) xn dx = ^(/(ж7^1);
cos (пж) dx = — cos (пж) d (пж) = — (/sin (пхУ nn
10) sin ( — 1 dx = n sin
10) sin ( — 1 dx = n sin
—ndcos
—ndcos
Пользуясь преобразованиями дифференциалов, найдем неопреде
Пользуясь преобразованиями дифференциалов, найдем неопреде
ленные
ленные
6.
6.
7.
7.
8.
8.
9.
9.
10.
10.
11.
11.
интегралы (6-12).
dx _ 1 d(ax + 6) _ 1
интегралы (6-12).
dx _ 1 d(ax + 6) _ 1
ах + b а
ах + b а
ах + 6 а
ах + 6 а
2</ж= (ж-2)1/2</(ж-2) = ^-^^
2</ж= (ж-2)1/2</(ж-2) = ^-^^
sin2 ж cos ж dx =
sin2 ж cos ж dx =
xdx _ 1
” 2
xdx _ 1
” 2
tg xdx =
tg xdx =
dx
dx
3
3
sin2 ж d (sin ж) = | sin3 ж + С.
sin2 ж d (sin ж) = | sin3 ж + С.
' (/(ж2 + 1) _ 1
' (/(ж2 + 1) _ 1
2
2
2
2
sin ж , dx = —
cos ж
sin ж , dx = —
cos ж
dx
dx
,2
,2
d cos жcos ж
d cos жcos ж
= — In | СО8Ж| + С.
= — In | СО8Ж| + С.
2
2
= =Farcsin i + С = iarccos-Дг + С, где |ж| > 1.
12.12.ж2 1xe dx = -ж2 1xe dx = -ex^ d^x2^ = |e^2ex^ d^x2^ = |e^2
12.
12.
ж2 1
xe dx = -
ж2 1
xe dx = -
ex^ d^x2^ = |e^2
ex^ d^x2^ = |e^2
В этих примерах, прежде чем использовать тот или иной табличный интеграл, мы приводили данный интеграл к виду
Ду?(ж))у/(ж)(/ж =Ду?(ж))у/(ж)(/ж =f(u)du, где и = ср(хУf(u)du, где и = ср(хУ
Ду?(ж))у/(ж)(/ж =
Ду?(ж))у/(ж)(/ж =
f(u)du, где и = ср(хУ
f(u)du, где и = ср(хУ
Такого рода преобразование подынтегрального выражения называют подведением под знак дифференциала.
Произвести интегрирование (13-23).
13.13.dx.
13.
13.
Сначала разделим почленно слагаемые числителя на знаменатель, а затем возьмем интегралы от каждого слагаемого:
J = l+3v^+5V£ ^ = 2 ж-з/2аж + 3 ж"5,6йх^ЬJ V Ж3J.J = l+3v^+5V£ ^ = 2 ж-з/2аж + 3 ж"5,6йх^ЬJ V Ж3J.-3/2+1-5/6+1д= 2 • ^+ 3 • ^+ 51п |ж| + С*) = —^ +18^ + 5In IжI + С.-- + 1-- + 1V®26Короче,-3/2+1-5/6+1д= 2 • ^+ 3 • ^+ 51п |ж| + С*) = —^ +18^ + 5In IжI + С.-- + 1-- + 1V®26Короче,Г2ж-3/2+зж-5/6+j-1/2= 2-+ 3--Г2ж-3/2+зж-5/6+j-1/2= 2-+ 3--14.14._1 2dxТ7 2 *_1 2dxТ7 2 *66Прибавляя и вычитая в числителе подынтегральной функции ж2 (один из полезных приемов), получаемПрибавляя и вычитая в числителе подынтегральной функции ж2 (один из полезных приемов), получаемdx2 х + хdx2 х + хж2 + 1 — ж2 _ dx dxQ QLu JjQQж2(ж2 + 1) J ж2 J ж2 + 1ж2 + 1 — ж2 _ dx dxQ QLu JjQQж2(ж2 + 1) J ж2 J ж2 + 1— — arctgж + C.— — arctgж + C.Найдем три часто встречающихся интеграла.Найдем три часто встречающихся интеграла.ТТ f ^ = 1 f ^^■ J ®2 + а2 a J (-)2 + 1ш. [ -^Ц (а/0).J ж — аТТ f ^ = 1 f ^^■ J ®2 + а2 a J (-)2 + 1ш. [ -^Ц (а/0).J ж — а-arctg- + C а а-arctg- + C а аИмеемИмеем1_1_ (ж + а) — (ж — а) _ 1 / 11 \— а2 (ж — а)(ж + а) 2d (ж + а) (х — a) ‘laxx — a х-\-а)1_1_ (ж + а) — (ж — а) _ 1 / 11 \— а2 (ж — а)(ж + а) 2d (ж + а) (х — a) ‘laxx — a х-\-а)Тогдаdx"22; — аТогдаdx"22; — а12а12а1111d(x — а)d(x — а)d^x + а)d^x + а)
J = l+3v^+5V£ ^ = 2 ж-з/2аж + 3 ж"5,6йх^ЬJ V Ж3J.
J = l+3v^+5V£ ^ = 2 ж-з/2аж + 3 ж"5,6йх^ЬJ V Ж3J.
-3/2+1-5/6+1д
= 2 • ^+ 3 • ^+ 51п |ж| + С*) = —^ +18^ + 5In IжI + С.
-- + 1-- + 1V®
26
Короче,
-3/2+1-5/6+1д
= 2 • ^+ 3 • ^+ 51п |ж| + С*) = —^ +18^ + 5In IжI + С.
-- + 1-- + 1V®
26
Короче,
Г2ж-3/2+зж-5/6+j
-1/2
= 2-+ 3--
Г2ж-3/2+зж-5/6+j
-1/2
= 2-+ 3--
14.
14.
_1 2
dx
Т7 2 *
_1 2
dx
Т7 2 *
6
6
Прибавляя и вычитая в числителе подынтегральной функции ж2 (один из полезных приемов), получаем
Прибавляя и вычитая в числителе подынтегральной функции ж2 (один из полезных приемов), получаем
dx
2 х + х
dx
2 х + х
ж2 + 1 — ж2 _ dx dx
Q QLu JjQQ
ж2(ж2 + 1) J ж2 J ж2 + 1
ж2 + 1 — ж2 _ dx dx
Q QLu JjQQ
ж2(ж2 + 1) J ж2 J ж2 + 1
— — arctgж + C.
— — arctgж + C.
Найдем три часто встречающихся интеграла.
Найдем три часто встречающихся интеграла.
ТТ f ^ = 1 f ^^
■ J ®2 + а2 a J (-)2 + 1
ш. [ -^Ц (а/0).
J ж — а
ТТ f ^ = 1 f ^^
■ J ®2 + а2 a J (-)2 + 1
ш. [ -^Ц (а/0).
J ж — а
-arctg- + C а а
-arctg- + C а а
Имеем
Имеем
1_1_ (ж + а) — (ж — а) _ 1 / 11 \
— а2 (ж — а)(ж + а) 2d (ж + а) (х — a) ‘laxx — a х-\-а)
1_1_ (ж + а) — (ж — а) _ 1 / 11 \
— а2 (ж — а)(ж + а) 2d (ж + а) (х — a) ‘laxx — a х-\-а)
Тогда
dx
"22
; — а
Тогда
dx
"22
; — а
1
2а
1
2а
1
1
1
1
d(x — а)
d(x — а)
d^x + а)
d^x + а)
= /- (In |ж - а| - In |ж + а|) + С = /- In I-—-I + С. 2«2а I ж + а I
Итак,
j <p — q Zia1 x т a 1
Рекомендуем вывести самостоятельно формулу
dx”2a — xdx”2a — x= l-ln|^|+C (a^O).
dx
”2
a — x
dx
”2
a — x
2215.15.16.16.dxdx,1dx = -,1dx = -11d(x^1• г x nv = - arcsinfx ) + C.1 — ( T.3A23d(x^1• г x nv = - arcsinfx ) + C.1 — ( T.3A23d (ж V5)d (ж V5). 2®2 + 3 V2 J (®V2)2 + (V3). 2®2 + 3 V2 J (®V2)2 + (V3)222d I a — x I
2
2
15.
15.
16.
16.
dx
dx
,1
dx = -
,1
dx = -
1
1
d(x^1• г x n
v = - arcsinfx ) + C.
1 — ( T.3A23
d(x^1• г x n
v = - arcsinfx ) + C.
1 — ( T.3A23
d (ж V5)
d (ж V5)
. 2®2 + 3 V2 J (®V2)2 + (V3)
. 2®2 + 3 V2 J (®V2)2 + (V3)
2
2
11, жЛ ,,1, / pz\
—= •arctg —— + G = —= arctg ж < / - + C.
V5 Vs Vs Ve \ V 3/
17.17.dx _1 12?5 "dx _1 12?5 "ж — у 5 ж + Vsж — у 5 ж + Vs18.18.19.19.dxx2 — Юж + 16dxx2 — Юж + 16dxdx* ж2+Зж + 4* ж2+Зж + 4dxdxd^x — 5)d^x — 5). (ж2 — 2 ■ 5ж + 25) + (16 — 25) J (ж-5)2-32. (ж2 — 2 ■ 5ж + 25) + (16 — 25) J (ж-5)2-32= ^ln|= ^ln|(ж-5)-3(ж —5) + 3(ж-5)-3(ж —5) + 3dxdx1 1 I ж — 86*П|^2+ +|)1 1 I ж — 86*П|^2+ +|)
17.
17.
dx _1 1
2?5 "
dx _1 1
2?5 "
ж — у 5 ж + Vs
ж — у 5 ж + Vs
18.
18.
19.
19.
dx
x2 — Юж + 16
dx
x2 — Юж + 16
dx
dx
* ж2+Зж + 4
* ж2+Зж + 4
dx
dx
d^x — 5)
d^x — 5)
. (ж2 — 2 ■ 5ж + 25) + (16 — 25) J (ж-5)2-32
. (ж2 — 2 ■ 5ж + 25) + (16 — 25) J (ж-5)2-32
= ^ln|
= ^ln|
(ж-5)-3
(ж —5) + 3
(ж-5)-3
(ж —5) + 3
dx
dx
1 1 I ж — 86*П|^2
+ +|)
1 1 I ж — 86*П|^2
+ +|)
, 3
1аж+2,^2ж + 3
= —— arctg —+ C = —- arctg ———h C.
V7VI V7 V?
22
20.20.dxdx1\21\2
20.
20.
dx
dx
1\2
1\2
. ж + | ,. 2ж +1 , _
= arcsin —+ C = arcsin ———h C.
./5V5
21.
ж4 dxл
—. Разделив х
на ж2 + 1, получаем
ж4 dx
2 . !
,2
22.
. 2sin X
dx = - (1 + ctg ж)1/3 c! (1 + ctg ж) =
2 x , . 2 x COS - + sin - 2. x xsin - COS -222 x , . 2 x COS - + sin - 2. x xsin - COS -22
2 x , . 2 x COS - + sin - 2
. x xsin - COS -
22
2 x , . 2 x COS - + sin - 2
. x xsin - COS -
22
dx _ dx
sin ж 2 sin - cos -
22
COS - ^ ^ sin -
2
sin -
2
COS -
2
d(sin^)
’ 4«>s^)
COS - 2
= In | sill 11 - In | c°s 11 + C = In | tg 11 + C.
Метод подстановки (метод введения новой переменной). Используя свойство независимости неопределенного интеграла от выбора аргумента (см. п.4) и учитывая, что если х = ^(t), то dx = = (p'(t)dt, получаем формулу замены переменной в неопределенном интеграле:
Px^dx = J^^ip'^dt. (1)
Интеграл, стоящий в правой части равенства (1), может оказаться проще интеграла, стоящего в левой части этого равенства, или даже табличным.
Примеры.
1. xVx — bdx.
Полагаем V^ — 5 = t. откуда х = t2 + 5 и dx = 2tdt. Следовательно,
xVx — bdx =xVx — bdx =(t2 + 5) t-2tdt =(t2 + 5) t-2tdt =2.V^2 — ж2 dx (a > 0).2.V^2 — ж2 dx (a > 0).,5 ,з
xVx — bdx =
xVx — bdx =
(t2 + 5) t-2tdt =
(t2 + 5) t-2tdt =
2.V^2 — ж2 dx (a > 0).
2.V^2 — ж2 dx (a > 0).
(2t4 + 10t2) dt = 2--^WT-^C =
= | (x - 5)5/2 + у (x - 5)3/2 + C.
Здесь полезно применить тригонометрическую подстановку х = = asmt, откуда dx = a cost dt.
Следовательно,
\/ О2 — X2 dx =\/ О2 — X2 dx =Vа2 — a2 sin2t • a cos t dt = a2Vа2 — a2 sin2t • a cos t dt = a22 r2у (l + cos2t)(/t = у2 r2у (l + cos2t)(/t = уdt+^4dt+^4cos2t dt =cos2t dt =cos 2t d(2t) = у t + у sin 2t + C.cos 2t d(2t) = у t + у sin 2t + C.
\/ О2 — X2 dx =
\/ О2 — X2 dx =
Vа2 — a2 sin2t • a cos t dt = a2
Vа2 — a2 sin2t • a cos t dt = a2
2 r2
у (l + cos2t)(/t = у
2 r2
у (l + cos2t)(/t = у
dt+^4
dt+^4
cos2t dt =
cos2t dt =
cos 2t d(2t) = у t + у sin 2t + C.
cos 2t d(2t) = у t + у sin 2t + C.
Возвращаясь к переменной ж, имеем sint = — и t = arcsin —. Далее, аа
/2"
sin 2t = 2 sin t cos t = 2 sin t V1 — sin21 = 2 — \ 1 —.
a V a2
Поэтому окончательно получаем табличный интеграл:
V&2 - ж2 dx = V&2 — ж2 + ^- arcsin - + С.(2)
xdx _. Ж2 + Ж + 1 Vxdx _. Ж2 + Ж + 1 Vж dxж dx
xdx _
. Ж2 + Ж + 1 V
xdx _
. Ж2 + Ж + 1 V
ж dx
ж dx
Пусть х + | = t, тогда Следовательно,Пусть х + | = t, тогда Следовательно,= i In (ж2 + x + 1)^= arctg ^"t1 + C.2V3 V3= i In (ж2 + x + 1)^= arctg ^"t1 + C.2V3 V34.4.dxsin ж 'dxsin ж '= 11п(ж2 + ж + 1)- j= 11п(ж2 + ж + 1)- j
Пусть х + | = t, тогда Следовательно,
Пусть х + | = t, тогда Следовательно,
= i In (ж2 + x + 1)^= arctg ^"t1 + C.
2V3 V3
= i In (ж2 + x + 1)^= arctg ^"t1 + C.
2V3 V3
4.
4.
dxsin ж '
dxsin ж '
= 11п(ж2 + ж + 1)- j
= 11п(ж2 + ж + 1)- j
х = t — - и dx = dt.
Этот интеграл можно найти и так:
ж dx _ 1(/(ж2 + ж + 1)1dx _
ж2 + ж + 1 2с ж2 + ж + 12 L (ж + £)2 + 1-£
2'4
Этот интеграл был найден выше (см. пример 23 на с. 367). Найдем его с помощью подстановки tg — = t (см. решение задачи 1356 раздела II).
. 2t ж , , о ,, ^dt m
Имеем sin ж =-: — = arctg ^; ж = 2arctgt; dx =-. 1огда
1 + Г 2i +
dxsin жdxsin ж’ l + i2 Mt 1+?’ l + i2 Mt 1+?у = 1пН + С = 1п^|+С.у = 1пН + С = 1п^|+С.(3)(3)
dxsin ж
dxsin ж
’ l + i2 Mt 1+?
’ l + i2 Mt 1+?
у = 1пН + С = 1п^|+С.
у = 1пН + С = 1п^|+С.
(3)
(3)
можно применить преобразование cos ж =можно применить преобразование cos ж =(Для интеграла [ ^Ж \J cos ж
можно применить преобразование cos ж =
можно применить преобразование cos ж =
= sin
Метод интегрирования по частям. Пусть и и и — непрерывно дифференцируемые функции от ж. На основании формулы дифференциала произведения имеем
отсюдаотсюдаd(uu) = и du + и dm,udv = d(ux) — ж du.
отсюда
отсюда
Интегрируя, получаем
или окончательно
(4)
Это и есть формула интегрирования по частям.
Выведенная формула показывает, что интеграл j и du приводится к интегралу J и du, который может оказаться более простым, чем исходный, или даже табличным.
Примеры.
1пЖ(/ж.
Полагая здесь и = In ж и du = dx, получаем du = d\nx = — и и = х. Следовательно, в силу формулы (4) имеем
In Ж (/ж = х In ж —In Ж (/ж = х In ж —ж= ж In ж — ж + С.Xж= ж In ж — ж + С.X
In Ж (/ж = х In ж —
In Ж (/ж = х In ж —
ж= ж In ж — ж + С.
X
ж= ж In ж — ж + С.
X
xcosxdx.
Навыки в том, что принимать за и и что — за du, вырабатываются в процессе практики.
Пусть и = ж и du = cos ж dx, тогда du = dx и и = J cos ж dx = sin ж.
Получаем
ж cos ж dx = ж sin ж — sin ж dx = ж sin ж + cos ж + С.
На практике важно научиться применять формулу (4), не выписывая отдельные выражения для функций и и и.
3.3.жarctgжc/ж = | arctgж d(x2 + 1) =
3.
3.
| Нж2 + 1) arctgж —| Нж2 + 1) arctgж —(ж2 +1) c/arctgж(ж2 +1) c/arctgж■2 + 1 .1-^—а^ж--■2 + 1 .1-^—а^ж--dx ж2 + 1.1, ~2= —5— arctgж - - ж + С.dx ж2 + 1.1, ~2= —5— arctgж - - ж + С.Проверить правильность нахождения интегралов (4-8).Проверить правильность нахождения интегралов (4-8).4.4.ж cos Зх dx = ^ х sin Зж + ^ cos Зж + С.ж cos Зх dx = ^ х sin Зж + ^ cos Зж + С.5.5.ж2 sin 2ж dx = — ж2 cos 2ж + ж sin 2ж + т cos 2ж + С.224ж2 sin 2ж dx = — ж2 cos 2ж + ж sin 2ж + т cos 2ж + С.22424 В. А. Бачурин24 В. А. Бачурин
| Нж2 + 1) arctgж —
| Нж2 + 1) arctgж —
(ж2 +1) c/arctgж
(ж2 +1) c/arctgж
■2 + 1 .1
-^—а^ж--
■2 + 1 .1
-^—а^ж--
dx ж2 + 1.1, ~
2= —5— arctgж - - ж + С.
dx ж2 + 1.1, ~
2= —5— arctgж - - ж + С.
Проверить правильность нахождения интегралов (4-8).
Проверить правильность нахождения интегралов (4-8).
4.
4.
ж cos Зх dx = ^ х sin Зж + ^ cos Зж + С.
ж cos Зх dx = ^ х sin Зж + ^ cos Зж + С.
5.
5.
ж2 sin 2ж dx = — ж2 cos 2ж + ж sin 2ж + т cos 2ж + С.224
ж2 sin 2ж dx = — ж2 cos 2ж + ж sin 2ж + т cos 2ж + С.224
24 В. А. Бачурин
24 В. А. Бачурин
6.6.хп In I ж I dx =-хп In I ж I dx =-7.7.8.8.arcsin х dx = х arcsin х + V1 — ж2 + С.
6.
6.
хп In I ж I dx =-
хп In I ж I dx =-
7.
7.
8.
8.
ж2е3ж dx = i е3ж (ж2 -
3 V 3
6. Некоторые интегралыот тригонометрических функций
Примеры.
1.
2.
sin2 ж dx = |
4 л 1 cos ж dx = -
4
(1 — соз2ж) dx =
1
2
, 1
dx — - 4
со8 2жс/(2ж) = I ж — i sin2ж + С.
(1 + cos 2ж)2 dx = i (1 + 2 cos 2ж + cos2 2ж) dx =
14143.3.sin3 ж cos2 х dx =sin3 ж cos2 х dx =sin2 x cos2 x (sin x dx) =sin2 x cos2 x (sin x dx) =
1
4
1
4
3.
3.
sin3 ж cos2 х dx =
sin3 ж cos2 х dx =
sin2 x cos2 x (sin x dx) =
sin2 x cos2 x (sin x dx) =
со8 2ж(/ж + ^ (1 + со8 4ж) dx =
311
= - ж + - sin 2ж + — sin 4ж + С. 8432
(1 — cos2 x) cos2 x d (cos x) =
cos2 x (/(cos x) +cos2 x (/(cos x) +cos4 x d (cos ж) = — | cos3 ж + | cos5 x + C.
cos2 x (/(cos x) +
cos2 x (/(cos x) +
4.4.sin2 ж cos4 x dx =sin2 ж cos4 x dx =(sin x cos ж)2 cos2 xdx =(sin x cos ж)2 cos2 xdx =? 1 + cos 2:z; ,1dx = -'28? 1 + cos 2:z; ,1dx = -'28sin2 2ж(1 + cos 2ж) dx =sin2 2ж(1 + cos 2ж) dx =1818181821sin 2ж(/ж + -21sin 2ж(/ж + -sin22ж со8 2ж(/ж =sin22ж со8 2ж(/ж =1 —cos4a? , , 1-^—^+161 —cos4a? , , 1-^—^+16sin2 2ж c/(sin 2ж) =sin2 2ж c/(sin 2ж) =
4.
4.
sin2 ж cos4 x dx =
sin2 ж cos4 x dx =
(sin x cos ж)2 cos2 xdx =
(sin x cos ж)2 cos2 xdx =
? 1 + cos 2:z; ,1
dx = -
'28
? 1 + cos 2:z; ,1
dx = -
'28
sin2 2ж(1 + cos 2ж) dx =
sin2 2ж(1 + cos 2ж) dx =
1
8
1
8
1
8
1
8
21
sin 2ж(/ж + -
21
sin 2ж(/ж + -
sin22ж со8 2ж(/ж =
sin22ж со8 2ж(/ж =
1 —cos4a? , , 1
-^—^+16
1 —cos4a? , , 1
-^—^+16
sin2 2ж c/(sin 2ж) =
sin2 2ж c/(sin 2ж) =
116116
1
16
1
16
5.5.6.6.sin ж sin5xdx =sin ж sin5xdx =- (cos 4ж + cos 6ж) dx = - sin 4x — — sin 6x + C.- (cos 4ж + cos 6ж) dx = - sin 4x — — sin 6x + C.sin mx cos nx dx = -sin mx cos nx dx = -121212(m + n) l1'2(m — n)12(m + n) l1'2(m — n)sin ((m — n) x)d((m — n)x) =
5.
5.
6.
6.
sin ж sin5xdx =
sin ж sin5xdx =
- (cos 4ж + cos 6ж) dx = - sin 4x — — sin 6x + C.
- (cos 4ж + cos 6ж) dx = - sin 4x — — sin 6x + C.
sin mx cos nx dx = -
sin mx cos nx dx = -
1
2
1
2
1
2(m + n) l
1'
2(m — n)
1
2(m + n) l
1'
2(m — n)
_ cos (т + п)ж cos(m — n)x
2(m + n)
2(m — n)
24*
Приложение II
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИИ ОБРАЗЦЫ ИХ РЕШЕНИЯ
§ 1. График дробно-линейной функции(преобразование графика функции ?/ = 1/ж)
Функция
(1)
выражает обратную пропорциональность переменных х и у, причем ни одна из них не может быть равна нулю. С возрастанием независимой переменной х значения функции у убывают, и наоборот, с убыванием величины х величина у возрастает. При этом произведение их остается неизменным и равно единице: ху = 1.
Если х > 0, то и у > 0; если ж < 0, то и ?/ < 0. Следовательно, график функции (1) расположен в I и III координатных углах.
В учебниках по алгебре показывается, как строится этот график, называемый гиперболой. Воспроизведем этот график (рис. 47).
Покажем еще один прием построения графика функции у = —. Этот прием можно будет использовать в дальнейшем.ж
Рис. 47Рис. 47Рис. 48Рис. 48
Рис. 47
Рис. 47
Рис. 48
Рис. 48
Все точки биссектрисы угла одинаково удалены от его сторон, в силу этого абсциссы и ординаты точек биссектрисы I и III координатных углов равны между собой: у = х. Иначе говоря, график функции у = х — это биссектриса I и III координатных углов (рис. 48).
Ординаты графика функции у = — должны быть обратными ордина- X
там графика функции у = х при одинаковых абсциссах.
За исходную точку возьмем точку Л(1; 1) графика функции у = = х. Эта точка принадлежит и графику функции у = —, поскольку 11 ж
ее координаты удовлетворяют уравнению у = — :1 = - = 1.
Правее точки А ординаты точек прямой у = х возрастают при г1 г
возрастании их абсцисс, а ординаты точек линии у = —, наоборот,
X
при этом убывают. Например, если ординатами точек В (2; 2); С(3; 3); В(4;4);... прямой у = х являются числа 2; 3; 4;..., то ординатами соответствующих точек В^С^ Dy... линии у = — будут обратные числа -; ...
2’3’4’
Точкам В (2; 2), С(3;3), В (4; 4),... графика функции у = х будут
соответствовать точки 1соответствовать точки 1В1 (2; iy С1 (3; Д Di (4; ^),... графика функ-
соответствовать точки 1
соответствовать точки 1
ции у = —.
X
Через построенные точки Л, Bi, Ci, Di, ... проводим сплошную
линию.
Левее точки А при убывании х от единицы значение —, наоборот, х
возрастает, начиная от единицы. Например, если х принимает зна-
11111гП О 4 Г
чения -:-:-:-:..., то — принимает обратные значения 2: 3:4: 5* .
2 3 4 5х1
(единица обратна самой себе). При х —> 0 (справа) у => оо.
Другая ветвь этой кривой расположена в III координатном углу (рис. 47).
Заметим, что две ветви кривой образуют одну кривую — гиперболу.
Встречаются кривые с множеством ветвей, например, тангенсоида.
Поставим перед собой задачу построить график функции
» = гл<2>
по графику функции (1).
Эта функция определена на всей числовой оси, кроме точки х = 1.
Справедливо следующее утверждение.
Если построен график Г функции у = /(ж), то график функции у = /(ж + а) получается параллельным переносом графика Г на вектор а (—а; 0).
Перенос производится в положительном направлении оси Ох, если а < 0, ив отрицательном, если а > 0.
В данном случае а = — 1. Сдвинем график (1) вправо на единицу и получим график функции (2).
Рекомендуется предварительно провести вспомогательную прямую х = 1, параллельную оси Оу. Относительно этой вспомогательной
прямой (вертикальной асимптоты) кривая (2) будет расположена так же, как кривая (1) относительно оси Оу (рис. 49).
Функцию (2), в свою очередь, усложним:
У = ^ + 2(3)
и построим график этой новой функции (3) по графику функции (2). Для этого воспользуемся следующим утверждением.
Если построен график Г функции у = /(ж), то график функции у = /(ж) + 6 получается параллельным переносом графика Г на вектор b (0; Ь).
Перенос осуществляется в положительном направлении оси Оу, если b > 0, и в отрицательном направлении, если b < 0.
В данном случае b = 2. Если график (2) сдвинем вверх на две единицы, то и получим график функции (3).
Предварительно проведем вспомогательную прямую (горизонтальную асимптоту) у = 2.
График функции (3) расположен относительно двух вспомогательных прямых (асимптот) х = 1 и у = 2 так же, как исходная кривая (гипербола) (1) относительно осей координат х = 0 (ось Оу) и у = 0 (ось Ох) (рис. 50).
Итак, график функции (3) получен из графика функции (1) переносом на вектор г(1; 2).
Если правую часть функции (3) приведем к общему знаменателю, то будем иметь91
Сопоставляя функцию с ее графиком, необходимо, не торопясь, продумывать и давать себе отчет о правильности построения графика; проверять его расположение относительно осей координат и асимптот. В частности, следует найти координаты точек пересечения графика с осями координат.
Ось Оу содержит все точки плоскости с абсциссами, равными нулю. В силу этого точка А пересечения гиперболы с этой осью долж-
на иметь абсциссу, равную нулю (ж = 0). Чтобы получить ординату этой точки, нужно в выражение для функции, т. е. в (4), подставить х = 0, тогда получим ординату точки А: ордината точки А есть значение функции при ж = 0; у а = Уж=о = 3/(0) = ^| = 1; 4(0; 1).
Ось Ох содержит все точки плоскости с ординатами, равными нулю, в том числе и общая точка В этой оси и кривой должна иметь — 1 ординату у = 0. Если у в = 0, то из (4) получаем 0 = —. Дробь
равна нулю только тогда, когда числитель равен нулю при неравном нулю знаменателе: ж / 1. Приравнивая числитель нулю: 2ж — 1 = 0, получаем ж = -. Итак, В Q; 0^.
Все эти рассуждения нужно научиться проводить в уме, а всевозможные вычисления выполнять как можно короче.
Проверим расположение графика, например, правее прямой ж = 1, вблизи нее. Из соотношения (4) следует: если ж > 1 и ж —> 1, то числитель стремится к плюс единице, а знаменатель стремится к нулю, оставаясь положительным. Вся дробь будет неограниченно расти, оставаясь положительной. Иначе говоря, если абсциссы точек графика приближаются к единице справа, то ординаты этих точек будут неограниченно расти, и график в этом месте будет «вытягиваться» вверх вдоль прямой (асимптоты) ж = 1.
Подобным образом следует дать себе отчет о том, как ведет себя график левее прямой ж = 1, а также вдоль прямой у = 2.
За два шага мы перешли от функции у = — к функции у =—.
хх — 1
2д^]функции у = 2д^]функции у = ж / 1 есть гипербола. Обобщением этой функцииж / 1 есть гипербола. Обобщением этой функцииЭтому преобразованию функции соответствовало поступательное перемещение гиперболы как твердого тела, сначала вдоль оси Ож, затем вдоль оси Оу. Сама кривая не деформировалась, а только стала занимать другое расположение в системе координат. Итак, график
2д^]
функции у =
2д^]
функции у =
ж / 1 есть гипербола. Обобщением этой функции
ж / 1 есть гипербола. Обобщением этой функции
Ж - 1 ax-Vb
является функция у =-, называемая дробно-линейной функцией,
сх + а
где a, b, с, d — некоторые действительные числа, удовлетворяющие условиям с^0 и be — ad / 0. (Исследование этой функции приводится, например, в пособии для абитуриентов под редакцией Г. Н. Яковлева, изд. 1981 г., с. 17.)
График дробно-линейной функции — гипербола.
Пусть требуется построить график дробно-линейной функции
Прежде всего заметим, что этот график пройдет через начало координат, поскольку если ж = 0, то и у = 0.
Выделим из неправильной дроби целую часть. Заданная функция примет вид
у = ——1. у 1-х
После этого будем, как и в предыдущем случае, последовательно 22
строить графики вспомогательных функций у =, у = и
уже затем график функции
2
-1 =
Искомый график рис. 51. График
2-ж
НЖ1
2-ж’
изображен на функции у =
получается из
1 графика функции у =следую
щими преобразованиями:
растяжением вдоль оси ординат в отношении 2 : 1;
переносом на вектор т^ — 1).
Можно построить этот график без вспомогательных рисунков. Для этого следует сначала построить асимптоты ж = 2 и у = — 1 на рисунке, а затем воспользоваться рекомендациями, приведенными при решении предыдущей задачи.
Задачи.
Построить графики функций (1-26).
1.
1
У = ~^
2. У =
5.
У =
6. у =
2 ж —2 2ж — 1
3. У =
7. у =
2 — Зж
4. у =
У 2-ж
8- У = Д
9.
У =
Ю. т/ =
И. ^/ =
12. у = ж2 - 1.
13.
16.
19.
у = х2 — 2х.:
у = 4 + ж — Зж2.
1
14. у = |ж — ж2|.
.17. у = |2 + ж
22.
25.
26.
У =
2 *
20. у =
15. у ■ — 2ж21.
1
|ж2 — 4ж + 3|
= ж2 — Зж + 2.
18.
21.
2 у = — •
У =
У =
23.
1 — ж2,2
1
г
1
1
У = х--
если
если
если
если
если
4
24. у = ж+——.
-1;
1
у = ;—^2-
у = —(2 —ж)2.
§ 2. Уравнения высших степеней(с целочисленными коэффициентами)
Примеры.
Решить уравнение ж3 — Зж2 + ж + 1 = 0.
Решение. Число 1 является корнем этого уравнения, поэтому, применив теорему Безу — разделив левую часть уравнения на (ж — 1), получаем трехчлен ж2 — 2ж — 1 и уравнение (ж — 1)(ж2 — 2ж — 1) = 0, равносильное исходному, корнями которого являются числа 1; 1 — V2; 1 + V2.
Решить уравнение ж4 + 1 = 0.
Решение. Разлагаем левую часть уравнения на множители приемом, с которым мы уже встречались (задача 439 раздела II): ж4 + 1 = ж4 + 2ж2 + 1 - 2ж2 = (ж2 + I)2 - (\/2ж)2 =
= (ж2 + \/2ж + 1) (ж2 - \/2ж + 1).
Задача сводится к решению двух квадратных уравнений: ж2 + д/2ж + 1 = 0 и ж2 —д/2ж + 1 = 0.
Ответ*. Жц2 =Ответ*. Жц2 =-—(1T»); Жз>4 = _±—i =-—(1T»); Жз>4 = _±—i =
Ответ*. Жц2 =
Ответ*. Жц2 =
-—(1T»); Жз>4 = _±—i =
-—(1T»); Жз>4 = _±—i =
Решить уравнение 2ж3 — 5ж2 + 8ж — 3 = 0.
Решение. Делаем подстановку ж = у После очевидных преобразований получаем р3 — 5р2 + 16т/ — 12 = 0.
Подбираем целый корень для р: находим р = 1.
Делим левую часть уравнения на р — 1 и получаем уравнение р2 — 4р + 12 = 0 с корнями р = 2 ± 2 \pi%.
Окончательно выписываем решения исходного уравнения
Ж1 = у = -; Ж2,з = 1± V2-Z.
Решить уравнение ж4 — 2ж3 + 2ж2 — 2ж + 1 = 0.
Решение. Делим уравнение на ж2 и группируем его члены:
ж2 + ^-2(ж + -)+2 = 0.
Полагая р = ж 4—, получаем р2 — 2р = 0. Корни этого уравнения:
У1 =0; У2 = 2. ж
Находим ж из уравнений
ж + — = 0; ж + —= 2, или ж2 + 1 = 0, ж2 —2ж + 1 = 0. XX
Ответ*, ху^ = ±Д жзд = 1 (ж = 1 — двойной корень).
Решить уравнение
ж4 — 2 \/2ж2 — ж+ 2 — V2 = 0.(1)
Решение. Положим V2 = а и рассмотрим уравнение с парамет- Р°Мх4 - 2ах2 - х + а2 - а = 0.(2)
Решая его как квадратное уравнение относительно а, имеем а = — х2 — х^ а = ж2±ж±1.
Исходное уравнение (1) равносильно совокупности двух уравнений: х2 — х = V2 и ж2 + x + l = V2, решая их, получаем ответ*.
ж1>2 = ^ ^1± v7+4V2^;ж3>4 = Д (l + VW^).
Решить уравнение х4 — 4ж3 — Юх2 + 37ж —14 = 0.
Решение. Многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов (ж2 + рх + q) (ж2 + Ьх + с).
х4 - 4ж3 - Юх2 ±37ж - 14 = (ж2 ±рж + q)(x2 + Ьх + с).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему уравнений✓—_д
с±^±р6 = -10;m
pc^qb = 37*1;
. qc = —14.
Для q и с возможны следующие целые числа: ±1, ±2, ±7, ±14.
Пусть q = 1; тогда с = —14. В этом случае второе и третье уравнения дают систему, ^ _
\-14р±6 = 37, откуда для b получаем уравнение b2 — 37 b — 42 = 0, не имеющее целых корней.
Поэтому целочисленных решений при q = 1 система (1) не имеет.
Пусть q = 2; тогда с = —7. В этом случае второе и третье уравнения в (1) дают систему
Г Pb = -5,
1 — 7р + 26 = 37.
Исключая р, получаем для b уравнение 262-376+ 35 = 0, которое имеет корень b = 1, тогда р = — 5.
Первое уравнение системы (1) также удовлетворяется при b = 1 и р = —5.
Итак, имеем
х4 = 4ж3 - Юх2 ±37ж - 14 = (ж2 - 5х ±2) (ж2 ±ж - 7).
Следовательно, данное уравнение эквивалентно совокупности квадратных уравнений
ж2 —5ж + 2 = 0; ж2 + ж —7 = 0, решая которые, получаем корни данного уравнения: 0,5(5±\/Т7); 0,5(5±V29).
§ 3. Рациональные уравнения
Рациональным называется уравнение вида
(1)(1)РМ = О
(1)
(1)
QW
где Р(ж) и У(ж) — алгебраические многочлены.
Решение уравнения (1) сводится к решению уравнения Р(ж) = 0 и проверке того, что его корни удовлетворяют условию У(ж) ^ 0, т. е. уравнение (1) равносильно системе
Р(ж) = 0, Q^ / 0. Примеры.
о4,5, 3 п
Решить уравнение Н- + - = 0.
ж +1 ж — 52
Решение. Данное уравнение равносильно уравнению
ж2 + 2ж — 15 _ „
(ж + 1)(ж - 5)
при ж —1 и ж ^ 5.
Корнями уравнения ж2 + 2ж — 15 = 0, или (ж + 5) (ж — 3) = 0 являются числа —5 и 3, они и будут ответом.
„ „1,1 Зж2 -1
Решить уравнение Н = —•
Ж 1 Ж 1
Решение.
1 । 1 _ Зж2— 1 ^ж—1+ж+1— Зж2 + 1 _ q—Зж2 + 2ж + 1 _ q
ж =1 илиж ±1ж =1 илиж ±1Ж 1 х —Iх —Iх
ж =1 или
ж ±1
ж =1 или
ж ±1
Г-Зж2 + 2ж + 1 = 0, ( ж2 - 1 0
1
Ответ*, ж = — -.
3. Решить уравнение ж2 + Решение. Имеем3. Решить уравнение ж2 + Решение. Имеем
3. Решить уравнение ж2 + Решение. Имеем
3. Решить уравнение ж2 + Решение. Имеем
380 Прил. П. Дополнительные задачи и образцы их решения х2
Полагая = у, получаем уравнение у2 — 2у = 8, корнями кото
рого являются числа 4 и -2.
Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
^— = 4;^— = -2,
х — 1х — 1
решениями которых, а следовательно, и исходного уравнения являютсяЖ1 = 2; x2 = -l + V3; ж3 = -1-V3.
Решить уравнение х ж 4 = о.
Решение. Положим и = х*-—- и г = .т + -—тогда
их = б и и + х = хh х 4= (х + 1) h х = 5.
х +1х +1 v х +1
Таким образом, и и х удовлетворяют системе уравнений их = 6, и + х =5,
откуда Ui = 3; Xi = 2 или п2 = 2; х^ = 3. Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
которая равносильна системе
5х-х2 = 2х-\-2 или 5ж —ж2 = 3ж + 3; ж + 1 0.
х2 — Зж + 2 = 0, х2 — 2х + 3 = 0х2 — Зж + 2 = 0, х2 — 2х + 3 = 0(ж — 2)(ж — 1) = 0, ж = 1±УТ^З(ж — 2)(ж — 1) = 0, ж = 1±УТ^З
х2 — Зж + 2 = 0, х2 — 2х + 3 = 0
х2 — Зж + 2 = 0, х2 — 2х + 3 = 0
(ж — 2)(ж — 1) = 0, ж = 1±УТ^З
(ж — 2)(ж — 1) = 0, ж = 1±УТ^З
Xi = 2, ж2 = 1,
ж3д = 1 ± V-2 —> недействительные корни.
Решением этой системы, а следовательно, и исходного уравнения являются числа 2 и 1.
Являются ли уравнения 2(х —10).21 гм
— = 1 и х2 — 15ж + 50 = 0 х — 13ж + 30
равносильными?
Решение. Решим первое уравнение. Освобождаясь от знаменателя, т. е. умножая обе части исходного уравнения на выражение х2 — 13ж + 30, получаем уравнение 2х — 20 = х2 — 13ж + 30, или х2 — — 15ж + 50 = 0, корнями которого являются числа 5 и 10.
В результате проведенного преобразования могли появиться посторонние корни; поэтому необходимо сделать проверку. Она показывает, что число 5 является корнем исходного уравнения, а число 10 не является его корнем.
Уравнение ж2 — 15ж + 50 = 0 имеет два решения: жх = 5 и Ж2 = 10.
Следовательно, исходные уравнения не являются равносильными. Второе уравнение является следствием первого, его называют выводным уравнением по отношению к первому уравнению.
Решить уравнение ж2 + Зж + 1 =—.
ж + Зж + 2
Решение. Умножим обе части уравнения на ж2 + Зж + 2 при ж У = —1 и ж У —2. Получаем (ж2+ 3ж +1)(ж2+ Зж + 2) — 6 = 0, или
(ж2+ 3ж + 1)[(ж2+ 3ж +1) +1] — 6 = 0
(ж2+ 3ж +1)2 + (ж2+ 3ж +1) — 6 = 0.
Полагая ж2 + Зж + 1 = t, получаем t2 + t — 6 = 0, или (t + 3)(t — 2) = 0. Переходя от t к ж, получаем (ж2 + Зж + 4)(ж2 + Зж — 1) = 0. Дискриминант квадратного трехчлена ж2 + Зж + 4: D = —7 < 0, поэтому этот трехчлен на множители не разлагается. Дискриминант второго члена ж2 + Зж — 1: D = 13 > 0, поэтому получаем
-3 + V13-3-V13
Ж1 = И Ж 2 = .
§ 4. Иррациональные уравнения
Уравнения, в которых под знаком корня (радикала) содержится переменная, называют иррациональными.
Основным методом решения иррациональных уравнений является метод сведения исходного уравнения к равносильной системе рациональных уравнений или совокупности таких систем.
Отметим сначала, что в некоторых случаях можно устно установить, что рассматриваемое иррациональное уравнение не имеет решения, не прибегая к преобразованиям.
Примеры.
Показать, что следующие уравнения не имеют решений:
V^ + 2 = -2; 2) У2ж + 3 + Уж + 3 = 0; 3) лД^х - У^б = 2;
У—1 - ж = Уж - 5; 5) Уж + Уж + 9 = 2.
Решение. 1) Арифметический корень не может быть отрицательным числом, поэтому уравнение решений не имеет.
Левая часть исходного уравнения определена при ж ^ —-. При каждом таком ж величина У2ж + 3 неотрицательна, а величина Уж + 3 положительна. Следовательно, их сумма всегда больше нуля. Поэтому уравнение решений не имеет.
Первый радикал имеет смысл при х ^ 4, второй при х ^ 6. Поэтому уравнение решений не имеет.
Левый радикал определяется при х ^ — 1; при таких значениях х он неотрицательный и верно неравенство х — 5 < 0; поэтому выражение ^ж — 5 отрицательно. Левый радикал неотрицательный, а правый — отрицательный; поэтому уравнение решений не имеет.
Решая систему неравенств
Г ж > 0,
<находим ОДЗ уравнения: ж ^ 0.
[ ж + 9 > 0,
Левая часть не меньше 3, а правая меньше 3. Поэтому уравнение не имеет решений.
Напомним, что уравнение
является, вообще говоря, следствием уравнения /(ж) = у^х\
Поэтому, если над иррациональным уравнением производится преобразование, заключающееся в возведении обеих его частей в четную степень, то каждый из найденных корней полученного уравнения должен быть проверен: является ли он решением исходного уравнения или нет.
Решить уравнения:
V1 + 3ж = 1 — ж; б) V1 + 3ж = ж — 1.
Решение, а) Возведя обе части уравнения в квадрат и произведя соответствующие преобразования, получаем уравнение ж2 — 5ж = 0, являющееся следствием исходного уравнения. Корнями его являются жх = 0 и ж2 = 5. Проверка показывает, что исходному уравнению удовлетворяет Ж1 = 0, второй корень ж2 = 5 исходному уравнению не удовлетворяет.
Ответ*, ж = 0.
Следствием исходного уравнения является уравнение ж2 — — 5ж = 0, корнями которого являются жх = 0; Ж2 = 5. Исходному уравнению удовлетворяет число 5. Число Ж1 = 0 является посторонним корнем для исходного уравнения.
Ответ*, ж = 5.
Решить уравнение V1 + Зж = ж +1.
Решение. Следствием этого уравнения является уравнение ж2 — ж = 0, корнями которого являются числа 0 и 1 и которые исходному уравнению удовлетворяют.
Это уравнение служит примером того, что возведение в квадрат исходного уравнения не всегда приводит к появлению посторонних корней.
Решить уравнение V^ — 6 = V4 — ж.
Решение. Возводя в квадрат обе части этого уравнения получаем ж —6 = 4 —ж; 2ж = 10; ж = 5. Подстановкой убеждаемся в том,
что число 5 не является корнем данного уравнения. Уравнение не имеет корней.
Решить уравнение д/ж2 + 3ж — 4 = д/2ж + 2.
ж2 + 3ж — 4 0 2ж + 2 > 0,ж2 + 3ж — 4 0 2ж + 2 > 0,Решение. Решим систему
ж2 + 3ж — 4 0 2ж + 2 > 0,
ж2 + 3ж — 4 0 2ж + 2 > 0,
’ находим ОДЗ уравнения: ж ^ 1.
После возведения в квадрат исходного уравнения, получаем выводное уравнение ж2 + ж — 6 = О, корнями которого являются жх = 2; Ж2 = = —3. Проверка показывает, что ответом является только корень ж = 2.
Решить уравнение 2 = д/(2ж — I)3. д/2ж — 1
Решение. Решая неравенство 2ж — 1 > О, находим ОДЗ уравнения: ж > 0,5.
Умножая обе части исходного уравнения на д/2ж — 1 и упрощая его, получаем уравнение 4ж2 — 7ж + 3 = 0, являющееся следствием исходного уравнения. Его корни жх = 1 и Ж2 = 0,75.
Проверка показывает, что эти корни являются и корнями исходного уравнения.
Ответ*, жх = 1, ж2 = 0,75.
Решить уравнение ж — 1 = д/ж2 — ж — 1.
Решение. Чтобы избавиться от радикала, целесообразно данное уравнение возвести в куб: (ж — I)3 = ж2 — ж — 1.
Имеем
ж3 — Зж2+ 3ж — 1 = ж2 — ж — 1; ж3 —4ж2+4ж = 0;
ж(ж2 — 4ж+ 4) = 0; ж(ж —2)2 = 0.
Ответ*, жх = 0; Ж2,з = 2 (двойной корень).
Решить систему уравнений ^5+^ = 4, ж + у = 28.
Решение. Обозначая ^/ж = п, ^у = v, получаем: п + ж = 4, и3 + ж3 = 28.
Далее:
п3 + ж3 = (п + ж)(п2 — ии + ж2) = 28,
откуда п2 —пж + ж2 = 7. Получаем равносильную систему
п + ж = 4, п2 — пж + ж2 = 7.
Корнями последней системы являются числа Ui = 1; vi = 3 и п2 = 3; ж2 = 1.
Переходя к переменным х и у, получаем ответ*. (1; 27); (27; 1).
Задачи для упражнений.
Решить уравнения (1-16).
Ответы.
Ответы.
1. V13 —ж=3.-2;2.
2. ж-Vж+l = 5.8
3. х/ж + 1-х/ж + 6 = 6.3.
4. ^ж-^2-х = 2ж.0;0,4
5. д/ж2 + 2ж +10 = 2ж — 1.3.
6.®+1 = г/ж - 1.5
х/2ж-1
х/ж + 19 = 10.±3.
д/9 —ж2 = V^ + 9.
ж = д/ж+ ж2+ 8ж - 20.
Vl-2ж-3 = х/16 + ж.
х/ж2 — 3+-^ж2 — 3 = 2.
8. 3 + х/3ж + 1 = ж.8
Ответы 0; -1 -10; 2 -12 ±2
is fV^+3Vy = >
I = &•
( v/x —= 2,/ хх
14. V у ’(27; 1), (-1;-27).
( ху = 27.
Г х/^У = 12,
15' U+^=7-№Ш№9).
( Дх + Jy = 13,
то показатели степеней должны быть равными между собой, поэтому 2ж = Зж — 3, откуда х = 3.
Ответ*, ж = 3.
Этот ответ проверяется в уме. Проверка в данном случае не обязательна, так как здесь не было произведено операций, нарушающих равносильность исходного и заключительного уравнений.
16 ^/(О^бр7^ = 2^+1; -1 ^ ж < оо. Имеем
24.(2~2)^= =2^®+^ или 2т”1 =2^®+*,
откуда — 1 = V^ + Г тогда ж2 — 8ж +16 = 16ж +16, или ж2 — 24ж = 0.
Получаем Ху = 0 и х^ = 24.
При проверке корней видно, что корень жх = 0 исходному уравнению не удовлетворяет, а корень Ж2 = 24 ему удовлетворяет.
Ответ*, х = 24.
—У Ж • 2ж"^32’5ж+9-5 = '^УУ^^. Имеем ЗзЬ^ х
V \27/
2,5®+9,5 4ж —124^5®+!^ 4ж —12
х 3 2(ж-!) = 3, где ж Е N и ж / 1. Поэтому 3 2(ж-!) = 3 ж-1 ,
откуда 4,5ж + 7,5 = 8ж — 24.
Ответ*, ж = 9. (Ответ проверяется легко: 2\/3^ • а/З^ = ^3^4; 27 = 27.)
Задачи.
Решить уравнения (1-8).
Ответы.Ответы.
1. 52^-1) = ^625®.3.2. ж+\/б2-3ж = 0,004.6.
2®2 = 0,25 • 28ж+22.10;-2.4. УУТ^ - Зж"3 = 0.4.
Ответы.
УЖ^4 42У1б7з^= VeTF.4.
g ^ж(ж —1) . 20,4ж2—0,4ж _ g ^^g2" 1
22ж-Зж-бж-604ж“15 = 0.5.
22® • 52® = 0,1 • (Ю2®-1)5.|.
Способ разложения на множители.
Примеры.
З3ж+1 - 5 • З3®”1 =36; -оо < ж < +оо.
Имеем З3ж-З1 — 5-33ж-З”1 = 36; 33ж(3 - 5 • З”1) = 36; З3ж • ^ = 36; З3ж =36 - =27; З3ж =33.
4
Ответ*, ж = 1.
25 В. А. Бачурин
VT2^-V4tF^-2$+5 + 2-(0,25)"(1+o’5;!:) = 0; -оо < ж < +оо.
Имеем 7ж+3 - 7ж+2 - 2ж+5 + 2 • 22+ж = 0 (так как 0,25 = ^ = 2"+ 7®+2(7_ 1) _ 2®+2(8 — 2) = 0, или 7®+2 = 2ж+2.
Степени равны, показатели степеней также равны при неравных основаниях, значит, показатели степеней равны нулю, т. е. ж+ 2 = 0, откуда х = — 2.
Проверка показывает, что найденный корень верный.
Ответ*, х = —2.
Задачи.
Ответы.3.5.11.6.3,5.66.1,5.3.Ответы.3.5.11.6.3,5.66.1,5.3.Решить уравнения (1-8).
Ответы.
3.
5.
11.
6.
3,5.
66.
1,5.
3.
Ответы.
3.
5.
11.
6.
3,5.
66.
1,5.
3.
Пж-2-13ж-2 + Пж- + 13ж"3 = 0.
3. Зж-6 — 27зж-3 + Зж-5 = 963.3. Зж-6 — 27зж-3 + Зж-5 = 963.5. (О^)1"2® - (О^б)1"® + (0,5)3"2ж = 48.6. д/З^^-Ул/З®^ = 162.5. (О^)1"2® - (О^б)1"® + (0,5)3"2ж = 48.6. д/З^^-Ул/З®^ = 162.g. у2д/ж^3 _|_ ддд/ж^З+0,5 _ ^2д/ж^З+1 _|_ ^ . ^2д/ж^3 _ qg. у2д/ж^3 _|_ ддд/ж^З+0,5 _ ^2д/ж^З+1 _|_ ^ . ^2д/ж^3 _ qОтветы.2.2.Ответы.2.2.^ж—з _ ^ж—4 _ 2. ^ж—5 _ 2. зж—з
3. Зж-6 — 27зж-3 + Зж-5 = 963.
3. Зж-6 — 27зж-3 + Зж-5 = 963.
5. (О^)1"2® - (О^б)1"® + (0,5)3"2ж = 48.
6. д/З^^-Ул/З®^ = 162.
5. (О^)1"2® - (О^б)1"® + (0,5)3"2ж = 48.
6. д/З^^-Ул/З®^ = 162.
g. у2д/ж^3 _|_ ддд/ж^З+0,5 _ ^2д/ж^З+1 _|_ ^ . ^2д/ж^3 _ q
g. у2д/ж^3 _|_ ддд/ж^З+0,5 _ ^2д/ж^З+1 _|_ ^ . ^2д/ж^3 _ q
Ответы.
2.
2.
Ответы.
2.
2.
2Ж + 2“Ж = |.(0,1)ж+1 + (0,01)ж =0,02.2Ж + 2“Ж = |.(0,1)ж+1 + (0,01)ж =0,02.4V^2 + 16 = 10-2^2.4V^2 + 16 = 10-2^2.0^8ж+2 _ 2 . ^5ж+3 _ ^2ж+50^8ж+2 _ 2 . ^5ж+3 _ ^2ж+57. 2Ж - 4-2(ж-3)/2 =07. 2Ж - 4-2(ж-3)/2 =08.8.4^ + V ж2—24^ + V ж2—2_2j5.2®+V^2 = 6._2j5.2®+V^2 = 6.Ответы.±1.1.3; 11.| (сократить на 32ж+2).1.32’Ответы.±1.1.3; 11.| (сократить на 32ж+2).1.32’
2Ж + 2“Ж = |.
(0,1)ж+1 + (0,01)ж =0,02.
2Ж + 2“Ж = |.
(0,1)ж+1 + (0,01)ж =0,02.
4V^2 + 16 = 10-2^2.
4V^2 + 16 = 10-2^2.
0^8ж+2 _ 2 . ^5ж+3 _ ^2ж+5
0^8ж+2 _ 2 . ^5ж+3 _ ^2ж+5
7. 2Ж - 4-2(ж-3)/2 =0
7. 2Ж - 4-2(ж-3)/2 =0
8.
8.
4^ + V ж2—2
4^ + V ж2—2
_2j5.2®+V^2 = 6.
_2j5.2®+V^2 = 6.
Ответы.
±1.
1.
3; 11.
| (сократить на 32ж+2).
1.
3
2’
Ответы.
±1.
1.
3; 11.
| (сократить на 32ж+2).
1.
3
2’
Логарифмирование обеих частей уравнения.
Примеры.
2Ж = 6; -оо < х < +оо.
Логарифмируя данное соотношение, получаем xlg2 = lg6, откуда
х =х =lg6 _ 0,778 1g 2 “ 0,301lg6 _ 0,778 1g 2 “ 0,301
х =
х =
lg6 _ 0,778 1g 2 “ 0,301
lg6 _ 0,778 1g 2 “ 0,301
бж-2^ = б0, где х 6 Zo.
Имеем бж-2^+г = 2• 52, или бж-2*2®+1 = 1, или (б-2®+т)= 1.
Так как основание (б • 2 ®+4^ > 0 при всех х ^ — 1, то последнее уравнение равносильно уравнению
(ж - 2) log2 (б -2^+1) = 0.
Далее:
х — 2 = 0, жх = 2;
|„б25+-1_=0,.2 = -1-^ = -1-1об52.
Ответ*, х = 2. Второй корень не годится, поскольку х G Zo.
Задачи.
Решить уравнения (1-8).
Ответи
1.
Зж = 100.
1^~4Д9
2.
Зж + Зж+1 + Зж+2 = 5Ж + 5ж+1 + 5ж+2.
to -1,701
3.
2ж । 2Ж-1 | 2Ж—2 = 7Ж 1 7Ж-1 1 7Ж—2
to 0,3258.
4.
2®+2 + 2-Зж+1 =8-Зж+3-2ж.
log2/32
5.
^2ж+1 уж+1 _ ^2ж । уж
to 0,5446
6.
^ж —1.2^ж—7 _ 129—ж
5
7.
Г14ж-63у = 0, |17ж-87у = 0.
(to 1,662; to 1,277)
8.
§2/® _ 2<з®+з)/® -1-12 = 0.
Ж1 = 3; ж2 = 31og62
Основные приемы решениялогарифмических уравнений
Применение определения логарифма. На основании определения логарифма решаются задачи, в которых по данному основанию и числу находится логарифм, по данному логарифму и основанию отыскивается число и по данному числу и логарифму определяется основание.
Примеры.
1- logg Р log3(2 — 1ок1/2ж>) = -i
Пусть
F = 2 - log1/2 х = log2 4 - *°g2 i = log2 4 + log2 x = log2 (4ж).
•og2 (2)
Должно быть F > 0, т. e. log2(4x) > 0; 4x > 1; x > -. При x > - получаем: | log3(log2(4x)) > 0; log2(4x) > 1; 4x > 2; x > |. Таким образом, областью определения данного уравнения является интервал j < ж < оо. Имеем ^ log3(log2^)) = 9-1/2 = |; log3(log2(4a;)) = 1; log2(4x) = 3; 4х = 23; х = 2.
Ответ; х = 2.
Проверка не обязательна, поскольку выводные уравнения равносильны исходному уравнению.
log4(21og3(l + log2(l + 31og2a:))) = j; 1 < ж < оо.
Эта задача подобна предыдущей. Имеем
2 log3 (1 + log2 (1 + 3 log2 ж)) = 41/2 = V4;
мы должны взять арифметическое значение V4, т. е. 2. Тогда
^3(1 + ^2(1 + 3^2ж)) = 1; l + log2(l + 31og^) = 3;
log2(l+31og2 ж) = 2;1 + 3^2ж = 4;^2ж = 1.
Ответ; ж = 2.
к^ж-1(ж2 — 5ж + 10) = 2; 1 < ж < оо, ж 2.
Имеем
(ж — I)2 = ж2 — 5ж +10, или —2ж +1 = —5ж +10, Зж = 9, ж = 3.
Ответ; ж = 3.
Задачи.
Решить уравнения (1-8)
Ответы.Ответы.
^^а5 = ж.10.2. ^10(-ж) = |.-V10.
logrl- = -^.729.4. 5iog8(^+i,5) = 2,5.1.
ж 813
log2 ^2Ж += ж.
^5_ж(2ж2-5ж + 31) = 2.
lo8i/V3 ^+Т1°8з[2(ж2-1)] = 21og3($-l).
rig($ + y)-lg($-y) = 21g2 + lg3; X 1g (ж2 + г/2 +10) = 2 + lg3.
Ответы.-3; -2.3.x = 13, у = 11.Ответы.-3; -2.3.x = 13, у = 11.Потенцирование. Встречаются логарифмические уравнения, которые решаются либо непосредственным потенцированием, либо потенцированием с предварительным преобразованием данного выражения.
Ответы.
-3; -2.
3.
x = 13, у = 11.
Ответы.
-3; -2.
3.
x = 13, у = 11.
Примеры.
1. lg(2^ + ж — 5) = ж(1 — lg5); 2Ж + ж — 5 > 0.
Правую часть преобразуем так: ж(l-lg5) = z(lgl0-lg5) = zlg2 = = 1g 2Ж. Тогда получим lg(2^ + ж — 5) = 1g2Ж, 2Ж + ж — 5 = 2Ж, ж — 5 = 0.
Ответ: ж = 5.
2.2.1g 2ж =
2.
2.
1§(4ж-15)’^
Имеем: ж > 0; 4ж — 15 > 0, ж ^ 4, или — < ж < оо и ж ^ 4. Общая 15V<
часть этих двух интервалов: — < ж < оо, ж ^ 4 и является областью оп-
ределения данного уравнения. На этом интервале исходное уравнение равносильно уравнению 1g2ж = ^(4ж — 15)2. Отсюда 2ж = (4ж — 15)2.
Корни полученного квадратного уравнения таковы: Ж1 = - и 252
Ж2=т-
Второй корень не годится: он не входит в область определения данного уравнения.
Ответ*, х = |.
log;, ж + ^а(ж + 5) + loga0,02 = 0; 0 < а < оо, а / 1 и 0 < ж < оо, ж / 1.
Имеем ^а(ж(ж + 5) • 0,02) = 0; 0,02ж(ж + 5) = 1; ж2 + 5ж — 50 = 0;
жх = 5; Ж2 = —10. Второй корень не годится.
Ответ*, ж = 5.
Ig2 + lg(4^ 2 + 9) = l + lg(2^ 2 + 1); —оо < ж <+оо.
Потенцируя, имеем 2(22^-2^ + 9) = 10(2ж-2 + 1), или 22^ж-2^+9 = = 5 • 2Ж-2 + 5; 2Ж-2 = у^ у2 — Ьу + 4 = 0. Решая последнее уравнение и используя замену, получаем ответ: жх = 2; Ж2 = 4.
Задачи.
Решить уравнения (1-8).Ответы.
1§(ж - З)3 - 31ё(ж - 5) = 1g27.6.
^4(ж + 2) + ^4(10-ж) = 2 + ^4ж.2.
10g2 (ж - 14) = 1 + | log2(Зж - 26).
1g (ж ± V^)2 ±lg (ж — д/44)2 = 4
^(ж + 6)-|1ё(2ж-3) = 2-^25.
0,5^^+^ж + ^\/з) =l-lg2.
lg V^x - 4 + 1g V^ +1 = 2 + 1g0,18
lg(V2^+3-VS^+IO) = 1.
Ответы.30.±12.6; 14.25 V3.8.0.Ответы.30.±12.6; 14.25 V3.8.0.Логарифмирование.
Ответы.
30.
±12.
6; 14.
25 V3.
8.
0.
Ответы.
30.
±12.
6; 14.
25 V3.
8.
0.
Примеры.
= 122- о < ж < оо.
X
Логарифмируя данное уравнение (по основанию 10), получаем 1gж • 1gж = 1g 100 — 1gж, или (1gж)2 ± 1gж — 2 = 0, откуда 1g жх =—2 и ^ж2 = 1.
Ответ*, жх = 0,01; ж2 = 10.
ж1^ = 101§ж+1; 0 < ж < оо.
|сг -|- У
Как и в предыдущей задаче, имеем।—*^ж = ^ж±1, или
1g2ж±3^ж — 4 = 0, откуда 1g жх = 1; 1gж2 = — 4.
Ответ*, жх = 10; ж2 = 0,0001.
(ж-1)^=(ж-1)(^1)/2.
Предполагается, что (ж — 1) > 0, т. е. 1 < ж < оо.
Имеем ^ ^ ^ — V^ ± 1) ^(ж — 1) = 0, или ж — 1 = 1 и ~2— — V^ ± 1 = = 0. Из первого уравнения получаем жх = 2. Из второго уравнения следует ж2 = 3 и жз = — 1. Корень жз = — 1 не годится: он не входит в область определения данного уравнения.
Задачи.Решить уравнения (1-8).Ответы.ОДж^^"2 = 102.1000; 0,1.0Д-<ж2-5ж+8> = 100.3;2.^ж*8ж = 1.10±.Задачи.Решить уравнения (1-8).Ответы.ОДж^^"2 = 102.1000; 0,1.0Д-<ж2-5ж+8> = 100.3;2.^ж*8ж = 1.10±.Ответы.100ж21§ж=ж4.10.^x-i.sigx = .Дц. 10; 0,1.Vx'sVS = ю. 100; 0,01.Ответы.Ответы.100ж21§ж=ж4.10.^x-i.sigx = .Дц. 10; 0,1.Vx'sVS = ю. 100; 0,01.Ответы.Ответ*, жх = 2, ж2 = 3. Этот ответ легко проверяется устно, что рекомендуется проделать самостоятельно.
Задачи.
Решить уравнения (1-8).
Ответы.
ОДж^^"2 = 102.1000; 0,1.
0Д-<ж2-5ж+8> = 100.3;2.
^ж*8ж = 1.10±.
Задачи.
Решить уравнения (1-8).
Ответы.
ОДж^^"2 = 102.1000; 0,1.
0Д-<ж2-5ж+8> = 100.3;2.
^ж*8ж = 1.10±.
Ответы.
100ж21§ж=ж4.10.
^x-i.sigx = .Дц. 10; 0,1.
Vx'sVS = ю. 100; 0,01.
Ответы.
Ответы.
100ж21§ж=ж4.10.
^x-i.sigx = .Дц. 10; 0,1.
Vx'sVS = ю. 100; 0,01.
Ответы.
100; 10“4/3.^Дб-100; 10“4/3.^Дб-
100; 10“4/3.
^Дб-
100; 10“4/3.
^Дб-
7. ж~2/3+18ж = 100^100.
g. ^log2 ж3 —log^ ж+3 _ ж-1
Решение некоторых других задач.
Примеры.
lgx + lga = O.
Приведем три варианта решения. Имеем 0 < х < оо и 0 < а < оо.
lgax = 0, аж = 10° = 1; х = ^-
1g ж + lg а = lg 1, ах = 1; х = —.
Igx = —Iga = lg(a-1); х = а-1 = ^.
Зная, что log72 = a, найти log^^S. На основании свойств логарифмов имеем
logi/2 28 = log1/2 4 • 7 = -2 + log1/2 7 =
3. У^^оё*"^'^^^Имеем.1 + кж.л/27>0.3. У^^оё*"^'^^^Имеем.1 + кж.л/27>0.2 + —Ц- = -2 - —Ц = -2 - 1. log71log 7 2а
3. У^^оё*"^'^^^
Имеем.
1 + кж.л/27>0.
3. У^^оё*"^'^^^
Имеем.
1 + кж.л/27>0.
(а)
х > 0, х / 1.
Второй множитель должен быть отрицательным, поскольку пер
вый — положительный: log3x < 0, откуда 0 < х < 1.
Первый множитель должен удовлетворять условию 1 + log^, V27 > > 0, или log^, V27 > — 1, откуда 0 < х < Таким образом, областью v271
определения данного уравнения является интервал 0 < х <.
Решаем это уравнение возведением обеих его частей в квадрат:
(l+logy-V^T) log^ = l.(б)
Заметим, что
logy. V27 = logy. З3/2 = | logy, з = | • —— = ———,®2 ж 2 log3® 21og3®
поэтому
(1 + —— ) logo Ж = 1,
V 21og3aJ 63’
или (21og3$ + 3) log3£ = 2, или 21og|a: + 31og3a: — 2 = 0.
Решаем полученное квадратное уравнение:
,-3±V9 + 16-3±5
iog3 ж =5=;
log33Ti = —2, Ж1 = ^; log3$2 = ^, ж2 = л/3.
Второй корень Ж2 = v3 является посторонним; он не удовлетворяет условию 0 < х < —= и появился при возведении в квадрат данного V27
уравнения (а), в результате чего получилось выводное неравносиль
ное уравнение (б).
Проверка: ^/1+Iog^V^’l°g3 5 = V1 ~ |
_1V
Ответ*. х = -.
Дано: lg2 = a; lg!3 = 6; найти log53,38.
Имеем2
^■ 2 __ >gi32+ ig2 — igiooа + 26 — 2
iog53,38-iog5 — _.
6 2
21oga.a + loga!I.a + 31oga2a.a = 0, 0 < а < оо.
Область определения этого уравнения состоит из значений ж, удовлетворяющих неравенствам
0 < х < оо, х/ 1;
а а2
1оёаж а =1оёаж а =1loga аж1loga ажПреобразуем logaa, а и log^ а следующим образом:
1оёаж а =
1оёаж а =
1
loga аж
1
loga аж
1 = 1<^ж « . l + 10ga®1 + 10g;c«’
1_1_1_1°§ж а
°§а2жа — 1о8йд2ж - 2 + logaЖ “ l + 21ogiCa"
Пусть log^ а = t: тогда
^t ++= 0, или 4t2 + lit + 6 = 0,
X ~т~ V X т Ди
откуда ti = — - и t2 = —2 (при этих значениях t знаменатели дробей не обращаются в нуль). Значит, log^ а = — -, откуда Xi = а-4/3, и log$ а = -2, откуда х2 = —
Ответ*, x-v = а-4/3; х2 = —. а
6121og025(4 — ж)* !og6(3 + ^) log2(3 + ^) Имеем2 log2(4-^) log26log20,25 = .log2(3 + ^) log2(3 + ^)'6121og025(4 — ж)* !og6(3 + ^) log2(3 + ^) Имеем2 log2(4-^) log26log20,25 = .log2(3 + ^) log2(3 + ^)'1; —3 < ж < 4; x ^ -2.1; —3 < ж < 4; x ^ -2.илиилиlog26-log2(4-^) = 1 log2(3 + ^)log26-log2(4-^) = 1 log2(3 + ^)
6121og025(4 — ж)
* !og6(3 + ^) log2(3 + ^) Имеем
2 log2(4-^) log26log20,25 = .
log2(3 + ^) log2(3 + ^)'
6121og025(4 — ж)
* !og6(3 + ^) log2(3 + ^) Имеем
2 log2(4-^) log26log20,25 = .
log2(3 + ^) log2(3 + ^)'
1; —3 < ж < 4; x ^ -2.
1; —3 < ж < 4; x ^ -2.
или
или
log26-log2(4-^) = 1 log2(3 + ^)
log26-log2(4-^) = 1 log2(3 + ^)
или log2 j-|^ = log2 (3 + x).или log2 j-|^ = log2 (3 + x).откуда
или log2 j-|^ = log2 (3 + x).
или log2 j-|^ = log2 (3 + x).
log2 6 - log2 (4 - x) = log2 (3 + ж),
Далее, = 3 + ж, откуда Xi = 3; x2 = — 2.
4 — x
В процессе решения уравнения мы освобождались от знаменателя, поэтому необходима проверка.
Проверим первый корень:
+= ! + () = !.
log6 6 log2 6
Значит, Ж1 = 3 есть корень исходного уравнения.
Второй корень Ж2 = —2 не годится, так как при этом значении log6(3 + ж) = 0, а на нуль делить нельзя. (Как легко видеть, этот корень появился при освобождении от знаменателя log2(3 + ж) в третьем выводном уравнении.)
Итак, получаем ответ*, ж = 3.
7 (log3 ж + l°g3 У = 0, ' [ж + у = 3,(3).
Имеем 0 < х < оо; 0 < у < оо. Потенцируя первое уравнение, получаем систему уравнений
f Жу = 1,<10
(ж + у=у.
Ответ: Ж1 = 3; yi = у ж2 = |; у2 = 3.
8.8.х 6 N,
8.
8.
Щ^ + у) = lg40 — lg(a: — у); ж + у>0, ж-у>0. Данная система приводится к следующей:
' х + у _ 7
<10 “
ж2 — у2 = 40.
7070Разделив второе уравнение на первое, получим х — у = ^ Решив систему
70
70
4х
находим: Ху = 7; у± = 3; Х2 = —7; у^ = —3.
Корни Х2 = —7 и у^ = — 3 не годятся, так как lg(—10) не существует.
Ответ*. х = Ч^ у = 3.
9.9.log„u + log„v = 2, u2 + « = 12.
9.
9.
12
Так как logn х = , то из первого уравнения следует logy и —
и
- 2 logy и + 1 = 0, ит. д.
Ответ*, и = х = 3.
10.10.(V3)(V3)1\x-Sy1\x-Sy
10.
10.
(V3)
(V3)
1\x-Sy
1\x-Sy
log2(ж + у) + log2(ж — у) = 4;
Преобразуя оба уравнения, имеем
$(ж-?/)/2 _ $-ж+2?/log2(^2 — г/2) = 4.
В результате этого преобразования получилась система, равносильная исходной.
Далее получаем Л£ .
Г ж-т/= 2(-ж + 2т/), [ ж2 - у2 = 16.
Отсюда жх = 5 и у^ = 3; х^ = — 5 и у^ = —3.
Вторые корни Ж2 = —5 и у^ = — 3 не годятся (см. решение примера 8).
Ответ*. ж = 5; у = 3.
Задачи.
Решить уравнения (1-26).
Ответы.
1. Ж = V102+(1S16)/2
20.
2. ж = 491-log72+5-logB4.
25
2 '
3. 22ж • 27 = Зж • 64.
3.
4. 0,06251/(1°8О'вж) =0,5.
0,0625.
5. ж1"1^2/3 - —L = 0.
100; -L.
vToO
V10
6. ж21^-1’51^ = дЖ
10; 0,1.
7. log2(9 —2Ж) = 3 —ж.
3;0.
8. Зж“3 + (0,(3))2-ж - (0,(1))(4-ж>/2 = 99.
6.
9. 4 ^81-12^36+ 9 ^/16 = 0.
2.
Ю. 1°gV25=T^-3) = 21og84 + log2-+.
5
2’
2
11- ^3Ж-^9Ж-^27Ж-^81Ж = -.
9’5-
12- log4a:+i7 + log9$7 = 0.
1
12'
13. 2^ж2 — lg2(—ж) = 4.
-100.
14. ж2|82ж = 10ж3.
10
15. log,, 2 - log4 ж + ^ =0.
2
16. 1оё^а-1оёа2 2а_ж =1.
ж = а, а > 0, а ^ 1.
17. 22ж + 22ж-1 — 3• 22ж-2 = 6 + 3 +1,5 +...
2.
182-lg4 + lg0,12_1
1.
lg ^ДЗх + 1 + 4) — lg2x
Ответи.
19.
y^bg^ д/бж * log5 ж = — 1.
0,04
20.
^ log0>04 ж +1 + ^/ log02 ж + 3 = 1.
25
21. ^Т/^=^^^ = 1-21^.3. (Число-0,2 не
является корнем, поскольку по определению корня ж G N.)
2.2.(4; 2); (1;1).(4; 2); (1;1).(2;1).(2;1).(5;3).(5;3).- ^3$+7(5ж + 3) + 1оё5Ж+з(3ж + 7) = 2
2.
2.
(4; 2); (1;1).
(4; 2); (1;1).
(2;1).
(2;1).
(5;3).
(5;3).
Г log4 ж - log2 у = 0, ( ж2 — 5у2 +4 = 0.
Г^4ж + 2^4у = 0, ' |у2 + 36ж = 13.
Г Зж-2^ = 18,
<
’ 1^1/3(ж + у) =-1.
.^3)\3/’
^2(ж + у) + ^2(ж-у) =4.
§ 6. Тригонометрические уравнения
Простейшие тригонометрические уравнения
Тригонометрическими уравнениями называются такие уравнения, в которых искомые неизвестные содержатся под знаком тригонометрических функций.
Мы уже решали простейшие тригонометрические уравнения, когда находили общий вид углов по данному числовому значению тригонометрической функции.
Например, если cos ж = 1, то ж = 2&тг, k G Z.
По существу решение того или другого тригонометрического уравнения сводится к отысканию общего вида угла по данному или полученному значению тригонометрической функции.
Следует знать определения тригонометрических функций, представлять себе их изменение по четвертям и твердо помнить значения тригонометрических функций часто встречающихся углов: 0; —;—;
7Г Зтг Зтг о6 4 3
2;т;тг;т;27г.
Подобно другим изучаемым функциям, тригонометрические функции следует рассматривать как функции любого числового аргумента (в области их определения).
Воспроизведем общий вид углов по некоторым часто встречающимся числовым значениям тригонометрических функций:
sin ж = 1 => ж = ^ + 2тг&; sin ж = 0 => ж = irk* sin ж = — 1 => ж = = — ^ + 2тг&;
СО8Ж = 1 ж = 2тг^; cos ж = 0 ^ х =+ кк\ cos ж = — 1 => ж =
= тг(2^ + 1);2
tgж = l^ж = ^ + 7г^; tg ж = 0 =^ ж = тг&; tg ж = — 1 ^ ж = — ^ + тг&;
ctg ж = 1 =^ ж =+ тг&; ctg ж = 0 ^> ж = ^+ тг&; ctg ж = — 1^ж =
3 , ,42
= - тг + тгк.
4
Это и есть простейшие тригонометрические уравнения и их общие решения.
Напомним, что здесь и в дальнейшем, если нет иных указаний, подразумевается к Е Z* вместо буквы к может употребляться буква п.
Общий вид простейших тригонометрических уравнений и их решений:
8тж = а; ж = (—1)^ arcsin а + ик^
cos ж = Ь: х = iarccos 6 + 2тг^,
tg ж = с; ж = arctgc + тг^,
ctg ж = d, ж = arcctg с/+ тг/и,
где — ^ arcsinа ^— 1 ^ а ^ 1; 0 ^ arccos^ ^ тг, — 1 ^ 6 ^ 1; — <
2^22
< arctgc < —, — оо < с < +оо; 0 < arcctgd < тг, — оо < d < +оо.
К этим простейшим тригонометрическим уравнениям при помощи различных преобразований приводятся почти все тригонометрические уравнения.
Не существует общего метода для решения тригонометрических уравнений. Применяются различные способы и приемы решения тригонометрических уравнений в зависимости от вида того или иного уравнения.
Рассмотрим сначала простейшие уравнения, решаемые непосредственно (без предварительных преобразований).
Примеры.
со8бж = 0; 5ж = ^(2& + 1); ж = ^(2& + 1).
sin(3ж —1) = |; Зж — 1 = (—1)^ arcsin | + тг&;
ж = - + -(-1)^ arcsin- + —.
Зtg(ж + 1) = VЗ; tg(ж + l) = ^; ж + 1 = ^ + тг&;
ж = (6^ + 1) - 1.
.+ / тг\ 1 тг 2,,6
ctg^--J=- —; ж-- = -тг + тгА:;
ж = |тг + тг^ + ^ = ^ (5 + 6^).
Мы уже отмечали, что при решении того или иного тригонометрического уравнения (как и любого нетригонометрического) производят ряд преобразований, в результате которых получают одно или несколько простейших тригонометрических уравнений, для которых затем непосредственно находят ответы.
При этом важно проверять равносильность получаемых уравнений.
В процессе решения надо особо внимательно следить за тем, чтобы не допустить потери корней или приобретения лишних корней.
Кроме того, необходимо контролировать, принадлежат ли получающиеся корни области определения рассматриваемого уравнения.
Если допускаются такие преобразования, в результате которых получаются выводные уравнения, не равносильные исходным, то обязательно следует проверить полученные корни.
В заключение нужно отбросить те корни, которые являются частным случаем других корней, если это имеет место.
г о. 21 l-cos2a?
Равносильны ли уравнения sin ж = - и = -г
Да, равносильны, так как левые части этих уравнений тождественно равны между собой.
3
Равносильны ли уравнения 2 sin ж — 3 cos ж = 0 и tg ж = — ?
Да, равносильны: второе уравнение может быть получено из первого делением на cos ж, при этом cos ж / 0. (Если cos ж = 0, то согласно первому уравнению sin ж = 0, что невозможно, поскольку cos ж и sin ж не обращаются одновременно в нуль ни при каком значении аргумента ж.)
Можно ли считать число корнем уравнения C0S Ж = 0?
21 —|- cos 2ж
Нельзя, так как числитель и знаменатель левой части уравнения при х = — одновременно обращаются в нуль.
Решить уравнение
sin2 Зж • (sin2 ж + 2 sin ж + 5) - cos2 Зж • (sin2 ж + 2 sin ж + 5) = 0.
Решение. Данное уравнение приводится к виду
(sin2 ж + 2 sin ж + 5) cos 6ж = 0.
Первый множитель при любом ж больше нуля: sin2ж + 2sinж + + 5 > 0. Приравнивая нулю второй множитель, получаем уравнение, равносильное исходному: cos 6ж = 0; 6 ж = ^ (2& + 1).
Ответ*, х = — (2 А; + 1).
Рассмотрим наиболее распространенные способы решения тригонометрических уравнений.
Уравнения, решаемые на основании условий равенстваодноименных тригонометрических функций
8тж = 8т?/, тогда х + у = тг(2& + 1) или х — у = 2ivk*1
СО8Ж = СО8?/, тогда ж + т/ = 2тг^ или х — ?/= 2тг&;
tg ж = tg т/, тогда х — у^тск*, ж^^ + ттг; у ^ ^ 4-тиг.
Примеры.
8т5ж = 8тЗж.
Решение. Имеем 5ж + Зж = тг(2& + 1) или 5ж —Зж = 2тг&, откуда х = — (2k + 1) или х = тгк.
Это уравнение можно решить еще и так:
8т5ж — 8тЗж = 0; 2 sin ж -со8 4ж = 0, откуда 8тж = 0 или со8 4ж = 0.
Ответ*. х = тгк или х = ^(2& + 1).
ctg ж — 1 = 28т2ж.
Решение. Полагая sin ж / 0 (или ж ^ &тг), умножаем данное уравнение на sin ж.
Имеем
cos ж — sin ж = 2 sin ж • sin 2ж.
Далее, так как 2 sin ж • sin2ж = cos ж — созЗж, то уравнение принимает вид cos ж — sin ж = cos ж — cos Зж, или
sinж = cosЗж, cos ^ — ж^ = созЗж.
Отсюда получаем Зж ± ^ — ж) = 2тг&;
а) 2ж = 2тг^-^, ж = тг^-^; б) 4ж = 2тг^ + ^, ж =+
24228
Ответ*, х = ^ к + ^; ж = тгк — ^.
sin7ж • cos 13ж = sin ж • cos 19ж.
Решение. - (sin20ж — sin6ж) = - (sin20ж — sin 18ж); sin6ж = sin 18ж;
а) 18ж —6ж = 2&тг, ж = -^; б) 18ж + 6ж = (2& +1)тг, ж = ^-У^.
Ответ*, х = ^; ж = ^(2/^ + 1).
tg(aж + 6) = ctg(cж + (/).
Должны иметь место следующие ограничения:
ах + b ^ ^ + тгш, сж + с/^тгш, где т Е Z.
Решение, tg(aж + &) = tg ^ — (сж + с/)^; ах + b = ^ — (сж + с/) + тг^.
Если а + с = 0, тоЕсли а + с = 0, тоirk — (b + d) + —
Если а + с = 0, то
Если а + с = 0, то
Ответ*, х = -, если а
уравнению удовлетворяет любое значение х при b + d = ^-(2^ + 1), а при b + d / ^к + 1) уравнение не имеет решений.)
Задачи.Решить уравнения (1-7).соз4ж + cos ж = 0.tg5ж + tgЗж = 0./ з 3 V .I sin - x — cos - x 1 = 1 —8тбж.sin Зж = cos2 ж — sin2 ж.sinЗж • sin5ж = sin ж • sin7ж.sin2ж — cos (2 +ж) = 0.Задачи.Решить уравнения (1-7).соз4ж + cos ж = 0.tg5ж + tgЗж = 0./ з 3 V .I sin - x — cos - x 1 = 1 —8тбж.sin Зж = cos2 ж — sin2 ж.sinЗж • sin5ж = sin ж • sin7ж.sin2ж — cos (2 +ж) = 0.tg--tg$ = l.tg--tg$ = l.Ответы.Ж1 = ^(2А; + 1); ж2 = J (2A; + 1). x = ^k, fe^4(2n + l).Ж1 = ^(2fc + l); x2 = irk.7Г , 2tt/ux = у к.4Ж1 = - (4тг^ + тг — 4);Ж2 = | (4тг& + тг + 4). ж = ^(6А:±1).Ответы.Ж1 = ^(2А; + 1); ж2 = J (2A; + 1). x = ^k, fe^4(2n + l).Ж1 = ^(2fc + l); x2 = irk.7Г , 2tt/ux = у к.4Ж1 = - (4тг^ + тг — 4);Ж2 = | (4тг& + тг + 4). ж = ^(6А:±1).
Задачи.
Решить уравнения (1-7).
соз4ж + cos ж = 0.
tg5ж + tgЗж = 0.
/ з 3 V .
I sin - x — cos - x 1 = 1 —8тбж.
sin Зж = cos2 ж — sin2 ж.
sinЗж • sin5ж = sin ж • sin7ж.
sin2ж — cos (2 +ж) = 0.
Задачи.
Решить уравнения (1-7).
соз4ж + cos ж = 0.
tg5ж + tgЗж = 0.
/ з 3 V .
I sin - x — cos - x 1 = 1 —8тбж.
sin Зж = cos2 ж — sin2 ж.
sinЗж • sin5ж = sin ж • sin7ж.
sin2ж — cos (2 +ж) = 0.
tg--tg$ = l.
tg--tg$ = l.
Ответы.
Ж1 = ^(2А; + 1); ж2 = J (2A; + 1). x = ^k, fe^4(2n + l).
Ж1 = ^(2fc + l); x2 = irk.
7Г , 2tt/u
x = у к.
4
Ж1 = - (4тг^ + тг — 4);
Ж2 = | (4тг& + тг + 4). ж = ^(6А:±1).
Ответы.
Ж1 = ^(2А; + 1); ж2 = J (2A; + 1). x = ^k, fe^4(2n + l).
Ж1 = ^(2fc + l); x2 = irk.
7Г , 2tt/u
x = у к.
4
Ж1 = - (4тг^ + тг — 4);
Ж2 = | (4тг& + тг + 4). ж = ^(6А:±1).
Алгебраические уравнения относительно однойиз тригонометрических функций
Примеры.
sin2ж + 2sinж — 3 = 0.
Решение. Непосредственно находим:
7Г7Га) sinж = —3, б) sinж = l.
7Г
7Г
Первое уравнение решений не имеет, из второго получим ж = + 2тг^.
Ответ*. ж = ^(1 + 4&).
3cos2ж + 5sinж — 1 = 0.
Решение. 3 — 3sin2ж + 5sinж — 1 = 0; 3sin2ж — 5sinж — 2 = 0;
.5 ± V25 + 245 ± 7.1. о
81ПЖ= = —; 81ПЖ = —- ИЛИ 81ПЖ = 2.
66 ’3
Ответ*, х = (—l)^1 arcsin | + &тг; второй корень не годится.
2tg2ж - бзесж+ 4 = 0.
Решение. 2 sec2 ж — бзесж + 2 = 0, откуда sec ж = 2 и sec ж = i
12
или cos ж = - и cos ж = 2.
Ответ*. ж = ±^+2тг&.
Задачи.
Решить уравнения (1-6).Ответы.
28т2ж-38тж + 1 = 0.жх = (-1)^ ^ + тг^; ж2 = ^ + 2тг^.
со82ж + 38т2ж = 2.ж = ^(2& + 1).
2cos2 (х + —) — 3sin ( — — ж) + 1 = 0.жх 2 = — (12&± 1);
X 6 / X 3/’6
^з = ^(4^-1).
tg2x + cos2 х = |.х = ^(2& + 1).
1 — V3
соз2ж = 2со8ж.жх)2 = iarccos—Ь2тг^.
5
Vig ж + 1 — Vig ж —1 = 1.х = arctg - + тг&.
Метод ххгзложения на множители
Примеры.
(1+ СО8ж) tg ^ = 0.
Решение. Данное уравнение распадается на два уравнения:
а) 1 + со8ж = 0; б) tg^=O.
Из первого имеем х = тг(2& + 1), из второго находим х = 2тг&. Но первая серия решений х = тг(2& + 1) не годится, так как эти значения не принадлежат области определения исходного уравнения (множитель tg — не определен).
Ответ*, х = 2тг&.
х х\ sin - —2 cos - = .22/х х\ sin - —2 cos - = .22/1 — cos ж = 2sinж.
х х\ sin - —2 cos - = .22/
х х\ sin - —2 cos - = .22/
Решение. Имеем 2 sin - = 4 sin - • cos -, или sin - n222’2
= 0, откуда
sin ^ = 0; ^ = тг&; ж = 2тг& (1-й ответ);
sin — 2cos = 0, или tg = 2 (cos^V^p = arctg2 + тг&, х = 2arctg2 + 2?r^ (2-й ответ).
2 cos2 4ж + sin Юж = 1.
Решение. Имеем 1 -НсозЗж + sin Юж = 1, тогда соз8ж + sin Юж = 0, или sin Юж + sin ^ — 8ж) = 0; 2 sin (х + ^ • cos ^9ж — ^ = 0, откуда получаем:
sin(ж + -т)=0, ж = — ^ + ^тг (1-й ответ);
X 4 /4
со8^9ж ——J=0, ж = — + — (2-и ответ).
2sin ж -со82ж — l + 2cos2x — sin ж = 0.
Решение. Имеем 2 cos 2ж • (sin ж + 1) — (sin ж + 1) = 0, или (2cos2ж — 1)(sin ж + 1) = 0, откуда получаем:
2со82ж —1 = 0; 2ж = =Е^ + 2^тг; ж = =Е^ + ^тг (1-й ответ);
sinж + l = 0; sin ж = — 1; ж = —^ + 2^тг (2-й ответ).
Задачи.
Решить уравнения (1-6).Ответы.
cos2 ж — cos ж = 0.Ж1 = ^(2& + 1); Ж2 = 2тг&.
2sinж — sin2ж = 0.ж = тг&.
3cos ^-2ж) • cosЗж + cosЗж = 0.жх = ^(2^ + 1);
1 /\ Ь-LI •1 7Г /и
ж2 = -(-lr+1arcsin- + —.
1 + cos ж = 2cos ^.Ж1 = тг(2& + 1); Ж2 = 4тг&.
1 + cos ж — sin ж = 0.Ж1 = тг(2^ + 1); Ж2 = -^- + 2тг^.
sinж•tg — = 0.ж = 2тг&.
Уравнения, однородные относительно sin жи cos ж, и сводящиеся к ним
с ^ 0.с ^ 0.Примеры.
с ^ 0.
с ^ 0.
п sin2 ж + 6sinж • С08ж + ссо82ж = 0; а / 0, b / 0, Решение. При а / 0 уравнение равносильно уравнению пtg2ж Т 6tg ж Т с = 0,со8ж^0.
Пусть tg ж = t; тогда at2-\-bt-\-с = 0, откуда
_ —Ь-\-л/ь2 — 4ас11 "Га_ —Ь-\-л/ь2 — 4ас11 "Га_ —Ь — л/b2 — 4асГа_ —Ь — л/b2 — 4асГа
_ —Ь-\-л/ь2 — 4ас
11 "Га
_ —Ь-\-л/ь2 — 4ас
11 "Га
_ —Ь — л/b2 — 4ас
Га
_ —Ь — л/b2 — 4ас
Га
Если Ь2 — 4ас > 0, то имеем два ответа:
жх = arctgti + irk, Ж2 = arctg^2 + irk.
Если b2 — 4ас = 0, то ti = t^ получаем единый ответ: ж = arctg (— ^-) + тг&.
Если Ь2 — 4ас < 0, то решений нет.
Зsin2ж — 4sinж-со8ж + 5со82ж = 2.
Решение. Это уравнение равносильно уравнению
Зsin2ж — 4sin ж -со8ж + 5со82ж = 2(sin2 ж+ cos2 ж).
Отсюда sin2 х — 4sinж • cos ж + 3cos2 ж = 0. Так как cos ж ^ 0, то получаем равносильное уравнение tg2ж — 4tg ж + 3 = 0, откуда tg ж = = 1 и tg ж = 3.
Ответ*. ж = —+ тг^; ж = arctg3 + 7r&.
26 В. А. Бачурин
2sin ж -со8ж + 5со82ж = 4.
Решение. Как и в предыдущей задаче, имеем
4sin2 ж — 2sinж • С08ж — cos2 ж = 0, или 4tg2ж — 2tg ж — 1 = 0.
Отсюда получаем tg ж = —-—.
Ответ*. Ху = arctg 1 "^^ + тг^; Ж2 = Задачи.
Решить уравнения (1-6).
3sin2ж = cos2ж.
5sinЗж — 2cosЗж = 0.
V3 sin2ж + 3cos2ж = 0.
4 sin2 ж + sin ж • cos ж — 3cos2 ж = 1.
4sin2ж —5sinж•cosж + 7cos2ж = 3.
sin2 ж + 5 sin ж • cos ж + 8 cos2 ж = 0.
+ V5-1 ,,arctg —h к.Ответы.Ж1,2 = ±^+тГ&.ж = | arctg0,4+ ^ к.7Г । 7Г ,жх = — + тгк*. 4/ 4\Ж2 = arctg + тг&.жх = v 4Ж2 = arctg4 + тгк.Нет решений.+ V5-1 ,,arctg —h к.Ответы.Ж1,2 = ±^+тГ&.ж = | arctg0,4+ ^ к.7Г । 7Г ,жх = — + тгк*. 4/ 4\Ж2 = arctg + тг&.жх = v 4Ж2 = arctg4 + тгк.Нет решений.Введение вспомогательного угла
+ V5-1 ,,
arctg —h к.
Ответы.
Ж1,2 = ±^+тГ&.
ж = | arctg0,4+ ^ к.
7Г । 7Г ,
жх = — + тгк*. 4
/ 4\
Ж2 = arctg + тг&.
жх = v 4
Ж2 = arctg4 + тгк.
Нет решений.
+ V5-1 ,,
arctg —h к.
Ответы.
Ж1,2 = ±^+тГ&.
ж = | arctg0,4+ ^ к.
7Г । 7Г ,
жх = — + тгк*. 4
/ 4\
Ж2 = arctg + тг&.
жх = v 4
Ж2 = arctg4 + тгк.
Нет решений.
Уравнения вида.,
a sin ж + о cos ж = с
(1)(1)(где а, Ь, с — некоторые действительные, не равные нулю числа), как и многие другие уравнения, можно решать подстановкой tg ^ = z, но из-за громоздких преобразований подстановка применяется в крайне
(1)
(1)
редких случаях.
Более простой способ решения таких уравнений основан на введении вспомогательного угла.
Разделив обе части данного уравнения на V^2 + 62, получим уравнениеаb .с
cos ж Н sin ж =,
у^а2 + 62 у^а2 + 62у^а2 + 62
равносильное уравнению (1).
/х 2/^ х 2
Так как [ —1+1 —,1 = 1, то существует такой угол ф,
чт0\Va2 W
а .b
—= sin С/9 и —= cos ip.(2)
у^а2 + 62уе^ + б2
Поэтому данное уравнение можно переписать в виде
cos ж • sin ф + sin ж • cos ф = — С , или sin (ж+^)= У— (3) ^/а2 + 62уе^ + б2
Если
шения:
с
^ 1, или с2 ^ a2jrb\ то получим следующие ре-
ж = — ф + (—1)^ arcsin JL
где ф определяется из формул (2).
Если с2 > а2 + 62, то уравнение (1) не имеет решений.
Примеры.
V3 sinЗж — cos Зж = 1.
Решение. Имеем tg • sin Зж — cos Зж = 1, или sin • sin Зж — cos Зж х 7Г7Г/7Г \17Г2
х cos - = cos -, откуда следует cos I Зж + — 1 = — -; Зж + - = ±- тг + 2тг&. оо\о /21оо
Ответ*, xi^ = 3— д
Зsinж + 4со8ж = 5.
Решение. Запишем данное уравнение в виде - sin ж + - cos ж = 1 34. 55
и введем вспомогательный угол ф*. - = со§ф*, - = sin</x
Так как sin</? > 0 и cosy? > 0, то в качестве ф можно взять угол . 4
Ф = arcsin -.
.7Г
Получаем уравнение sin (ж + ф) = 1? откуда ж + ф = — + 2&тг, или
ж + arcsin ^ = ^ + 2&7Г.
Ответ*, ж = ^ + 2&тг — arcsin -.
Задачи.
Решить уравнения (1-6).
1. sin ж + V3 cos ж = 1.
2.
3.
sin х + cos х = 1.
4. Ззтж — С08ж = 3.
Omeemu.
^ = (-1)^-^+^-
5
X = - 7Г + 2тг&. 6
жх = —+ 2тг&; Ж2 = 2тг^.
Ж1 = ^ + 2тг^; Ж2 = 2arctg2 + 2?r^.
28тж+ 3со8ж = 4.
4sin (2ж +1)+ 3cos (2ж +1) = 2.
Нет решений.
1)^ arcsin + ivk — 5
, 3
, где ф = arctg -.
7. Решение некоторых других задач
Примеры.
1. sin ж(1 + cos ж) = 1 + cos ж + cos2 ж.
Решение, sin ж (1 + cos ж) — (1 + cos ж) = cos2 ж; (1 + cos ж) х sin ж — 1) = cos2ж; — (1 — sin ж)(1 + cos ж) = (1 — sin ж)(1 + sin ж);
(1 — sin ж) (1 + sin ж + 1 + cos ж) = 0, откуда получаем два уравнения: 1 — sin ж = 0 и sin ж + cos ж + 2 = 0.
sinж = l; ж = —+ 2тг&;
sin ж + cos ж = —2. Это уравнение не имеет корней, так как одновременно не могут выполняться равенства sin ж = — 1 и cos ж = — 1.
Ответ*. ж = ^ + 2тг^.
sec ж = 4sin ж + 6 cos ж.
Решение. 1 = 4 sin ж • cos ж + 6 cos2 ж.
Это уравнение равносильно данному, так как ж не является решением последнего уравнения при cos ж = 0.
Далее, sin2 ж + cos2 ж = 4sin ж • cos ж + 6cos2 ж, или sin2 ж —4sin ж х х cos ж — 5 cos2 ж = 0, откуда tg 2ж — 4tg ж — 5 = 0:
tgж = 5, ж = arctg5 + пк (1-й ответ);
tg ж = — 1, ж = —^- + тг^ (2-й ответ).
». 4.43 — СО8бж
Sin ж + СО8^Ж= .
4
Решение. Выделим в левой части полный квадрат:
/ . 2,2 \2• 223 —СО8бж
(sin ж + cos ж) — 2 sin ж • cos ж =,
1 — i sin2 2ж =1 — i sin2 2ж =3 — СО8бж43 — СО8бж4или
1 — i sin2 2ж =
1 — i sin2 2ж =
3 — СО8бж
4
3 — СО8бж
4
1.- — - СО8ОЖ.4или СО8бж = cos (тг — 4ж).1.- — - СО8ОЖ.4или СО8бж = cos (тг — 4ж).2 Далее, 1 — | (1 — cos4.t) = Отсюда соббж = — со8 4ж,
1.
- — - СО8ОЖ.
4
или СО8бж = cos (тг — 4ж).
1.
- — - СО8ОЖ.
4
или СО8бж = cos (тг — 4ж).
Из последнего уравнения следует 6ж ± (тг — 4ж) = 2тг&:
2ж = —тг + 2тг^; Ж1 = —^ + тг& (1-й ответ);
10ж = тг + 2тг^; Ж2 = ^ + ^ (2-й ответ).
Если во 2-м ответе брать значения к = 5п — 3, то получатся решения 1-го ответа, т. е. 1-й ответ есть частный случай 2-го.
Ответ*, ж = — + —. 105
cos3 ж+ sin3 ж = со8 2ж.
Решение, (cos ж + sin ж) (со82ж — cos ж • sin ж + sin2ж) = со82ж — sin2ж; (cos ж + sin ж) (1 — cos ж • sin ж — (cos ж — sin ж)) = 0:
cosж + sinж = 0, ж = —^+тг&;
/747
1 — (cosж— sinж)— cosж-sinж = 0.2
Пусть cos ж — sin ж = Д тогда 1 — 2 cos ж • sin ж = t2 и cos ж • sin ж =.
Далее, 1 — t— = 0, или t2 — 2t + 1 = 0, откуда = 1. Тогда
•। п \ л/2ТГ । ТГ q .
cos ж — sin ж = 1 и cos ж+ — =——; ж + — = ± — + Ink.
\4/244
Ответ*. Ж1 = ——+ тг&; Ж2 = 2тг&; жз = ——+ 2тг&.
cos2 2ж + т 8т24ж + 1 = 8ш4ж • соз2ж + sin2 ж.
4х
Решение, cos2 2ж — sin 4х • cos 2ж + - sin2 4х + cos2 х = 0;
^cos2x — - sin4жJ +cos2x = 0.
Полученное уравнение равносильно системе {cos ж = 0,
СО8 2ж — | 8т4ж = 0.
Первое уравнение имеет решения ж = ^ + тг^, но эти значения ж не удовлетворяют второму уравнению, поэтому исходное уравнение решений не имеет.
tg® = tg3 --- .
Решение. Пусть у —= у, тогда у — у = и х =— 2у. Сле
довательно,
tg ^-2yj =tg3y; ctg 2y = tg3y (2y тг/г);
t-tg у =tg3y; 2tg4y+tg2y —1 = 0.
2tg у^_
Пусть tg у = t; решая уравнение 2t4+12 — 1 = 0, получаем: ti^ =
V 2 корни ^зд не являются действительными. Итак, у = ±arctg — + 'пк.
7ГV5
Ответ*, жхд = — =р 2arctg — + 2тг&.
2sin2a?-cos2a? _ 2tg 2жcos2 2ж+ sin2 2ж l + tg22a?2sin2a?-cos2a? _ 2tg 2жcos2 2ж+ sin2 2ж l + tg22a?sin4ж + tg 2ж = 2.
2sin2a?-cos2a? _ 2tg 2жcos2 2ж+ sin2 2ж l + tg22a?
2sin2a?-cos2a? _ 2tg 2жcos2 2ж+ sin2 2ж l + tg22a?
Решение, sin4ж = 2sin2ж • соз2ж = Исходное уравнение принимает вид
2tg2® + tg 2® = 2.
1 + tg22ж
Умножаем это уравнение на l + tg22ж (l + tg22ж > 0) и получаем уравнение, равносильное исходному:
tg32ж - 2tg22ж + 3tg 2ж - 2 = 0;
(tg 2ж — l)(tg22ж — tg 2ж + 2) = 0.
tg 2ж — 1 = 0; 2ж = ^ + тг^; ж = ^ + ^;
tg22ж — tg 2ж + 2 = 0; это уравнение не имеет действительных корней.
Ответ*, х = ^ 4-^-.
sin4ж+ 3sin2ж = tg ж.
Решение. Преобразуем это уравнение следующим образом:
2 sin 2ж • cos 2ж + 3 • 2 sin ж • cos ж = tg ж;
4 sin ж • cos ж cos ж — 1) + 6 sin ж cos ж =,
COS X и далее:
4 sin ж cos2 ж (2 cos2 ж — 1) + 6 sin ж cos2 ж — sin ж = 0, cos ж / 0;
sin ж (4 cos2 ж (2 cos2 ж — 1) + 6 cos2 ж — 1) = 0:
sin ж = 0; ж = тг&;
8cos4 ж + 2 cos2 ж - 1 = 0;
2-l±VT+8-1±321
COS Ж= = ; COS ж=- ИЛИ COS Ж2 = — -.
8842
Последние корни не годятся.
7Г2
Ответ*. Х1 = тгк. Ж2,з = ±—+ 2тг&, ж^б = ±-тг + 2тг&.
3sin ж + Vsin2 ж + 3cos2 ж = 5cos ж.
Решение. Рассмотрим три случая.
cos ж = 0, тогда sin ж = ±1 и данное уравнение не удовлетворяется. Этот случай не дает решения.
cos ж > 0; пусть tg ж = Д или sin ж = £ С08ж, тогда имеем
илиили(1)(1)(2)(2)3t cos ж + \/(i2 + 3) cos2 ж = 5 cos ж,З^созжН-1 cos ж | V^2 + 3 = 5 cos ж.
или
или
(1)
(1)
(2)
(2)
Далее, так как cos ж > 0, то из (1) получаем ЗЛ-V^2 + 3-5 = 0.
Освобождаясь от радикала и упрощая, имеем
и(3)—. Однако второй ко-и(3)—. Однако второй ко-4f2 — 152 +11 = 0.
и(3)
—. Однако второй ко-
и(3)
—. Однако второй ко-
Это уравнение имеет два корня: ti = 1 и t^ =
рень не годится, поскольку он не удовлетворяет уравнению (2). Первый корень ti = 1 этому уравнению удовлетворяет и мы имеем tg ж = 1, откуда ж = + ктг. Но С08ж > 0, поэтому решение имеет вид ж = = ^ + 2^.
4
cos ж < 0, тогда из уравнения (1) получаем
(4)(4)3t-V^-5 = 0.
(4)
(4)
Дальнейшие преобразования вновь приводят к уравнению (3) с корнями ti = 1 и t2 = —. Однако уравнению (4) удовлетворяет только второй корень t2 = —. Имеем tgж = —, откуда ж = arctg — + ки.
44114
Но cos ж < 0, поэтому решение примет вид ж = arctg — + тг + 2&тг = 114
= arctg — + (2& +1) тг.
7Г11
Ответ*. жх = —+ 2^тг; Ж2 = arctg— +(2& + 1) тг.
10.10.вт2(ж + у)- | 8т(ж + у) + | =0, 2ж-3у = 4.
10.
10.
Решение. Из первого уравнения находим
• / । \5 , Г^ Г 5 , 1
sin (х + у) = | или sin (х + у) = |.
Следовательно, данная система разбивается на две системы:
8т(ж + у) = |, 2ж-3у = 4.8т(ж + у) = |, 2ж-3у = 4.1) рп(ж + у) = |,2)
8т(ж + у) = |, 2ж-3у = 4.
8т(ж + у) = |, 2ж-3у = 4.
(2ж-3у =4;
Решим первую систему.Решим первую систему.т.2Из второго уравнения находим у = - х —т.2Из второго уравнения находим у = - х —4\1. /54- = -, sin - х — -372’\334\1. /54- = -, sin - х — -372’\33_ 1“ 2’_ 1“ 2’4- и подставляем в первое:1$-4з=^к^.4- и подставляем в первое:1$-4з=^к^.
Решим первую систему.
Решим первую систему.
т.2
Из второго уравнения находим у = - х —
т.2
Из второго уравнения находим у = - х —
4\1. /54
- = -, sin - х — -
372’\33
4\1. /54
- = -, sin - х — -
372’\33
_ 1
“ 2’
_ 1
“ 2’
4
- и подставляем в первое:
1$-4з=^к^.
4
- и подставляем в первое:
1$-4з=^к^.
Таким образом, получаем первую серию решений данной системы:
2 // 1 l тг 43 , \4/ 1 l тг 42 ,
Подобным образом решаем вторую систему и получаем вторую серию решений данной системы:
3 /.1,4,3,
ж2 = - (-1) arcsin - + - + - тгк.
У2 = т (-1Г arcsin - - - + - тг^.
5355
Многие тригонометрические уравнения допускают несколько способов решений, причем не всегда можно предвидеть, какой способ предпочтительней для рассматриваемого уравнения. Следует, однако, иметь в виду, что различные приемы решения одного и того же уравнения могут привести к разным по виду ответам, но эти ответы должны тождественно преобразовываться один в другой.
Решить уравнение 2 sin х — 3 cos х = 1.
Решение. 1-й способ.
Выразим функцию синус через косинус, чтобы уравнение содержало одну функцию:
2(± Vl — cos2 х) = 1 + Зсо8ж;4 —4cos2 ж = 1 + 6со8ж + 9со82ж;
192, «9 n-3±V9 + 39-3±V48
13cosz х + 6 cos ж — 3 = 0;С08ж = —= — ;
,-3±V48 , о
ж = iarccos—h 2тгп, или приближенно
х и ±arccos0,30 + 27rn и ж « iarccos (—0,76) + 2тгп.
Проверим полученные корни:
2sin (iarccos 0,30 + 2тгп) — 3cos (iarccos 0,30 + 2тгп) =
= ±2sin (arccos 0,30) — 3cos (arccos 0,30) = ±2^/1 — 0,30 — 0,9.
Получаем два значения: «1 и « — 0,28.
Следовательно, уравнению удовлетворяет только корень
-3 + V48 , о
х = arccos—h Ziv n.
Аналогично проверяется вторая пара корней.
-3 + V48 , о—3 —V48 , о
Ответ*. = arccos—V lixn и Ж2 = —arccos—Ь2тгп;
приближенно Ж1 « 1,27 + 2тгп и х^ ~ — 2,43 + 2тгп.
2-й способ. Выражаем sin ж и cos ж через tg ^ = у (см. решение задачи 1356 раздела II):
2^^-з1^^ = 1; у2 + 2у —2 = 0; y = -l±V3;
1+у1+у
tg^- = -l±V3;^ = arctg (- 1± V3) + тгп.
Ответ: х = 2arctg (— 1 ± V5) + 2тгп; приближенно Ж1 и 1,27 + 2тгп и $2 ~ — 2,44 +2тгп.
3-й способ (приведение к однородному уравнению):
2sin2f+ -3cos2f^ = 1;
\2/\2/’
А . X X о 9 X • 2 х\9 X ,. 2 X
4 sin — cos — — 3 cos — — sin — = cos — +sin —;
22\22/22’
sin — + 2 sin — cos — — 2cosz — = 0.
2222
Производим замену: sin ^ = t • cos |-; cos ^0. Тогда
t2cos21 +2tcos21 - 2cos21=0, cos21 (t2+2t - 2) = 0; t2 + 2t -2 = 0.
Продолжение решения совпадает с предыдущим способом.
4-й способ (введение вспомогательного угла).
3.
. Sin ф1sin X— cos ж = - cosy?2sin (ж — ср) = | cos (/?;. Sin ф1sin X— cos ж = - cosy?2sin (ж — ср) = | cos (/?;..1sin x cos ф — sin ф cos ж = - cos у?;..1sin x cos ф — sin ф cos ж = - cos у?;x — cp = (—l)n arcsinx — cp = (—l)n arcsinivn;ivn;Пусть - = tg ip (^р = arctg 1,5), тогда уравнение примет вид sin ж —
. Sin ф1
sin X— cos ж = - cosy?2
sin (ж — ср) = | cos (/?;
. Sin ф1
sin X— cos ж = - cosy?2
sin (ж — ср) = | cos (/?;
..1
sin x cos ф — sin ф cos ж = - cos у?;
..1
sin x cos ф — sin ф cos ж = - cos у?;
x — cp = (—l)n arcsin
x — cp = (—l)n arcsin
ivn;
ivn;
х = ф + (—l)n arcsin cos(/?j + тгп.
Сравним этот ответ с ответами предыдущих способов решения: Ф = arctg 1,5 to 0,983; cosy? to 0,555;
arcsin Q cost/?) = arcsin0,277 to 0,281; x to 0,983 + (—1)^0,281 + тгп.
При четном n = 2k имеем Ж1 to 0,983 + 0,281 + 2irk = 1,26 + 2irk. При нечетном n = 2k — 1 имеем Ж1 to 0,983 — 0,281 + тг(2& — 1) to 0,983 — — 0,281 — 3,14 +2тг& to -2,44 + 2тг^.
Расхождения на 0,01 в решениях, полученных различными способами, объясняются неточностью вычислений.
Задачи.
Решить уравнения (1-38).
Ответы.
1.
, .cos2a?7Г
-1); 2птг; ^ (4п - 1).
1 —sin2a?4
2.
(1 + 8т2ж)(со8ж — sin ж) = 1 —28т2ж.- (2n
+ 1); 2птг; ^ (4п + 1).
3.
sin Зж = 4 sin x cos 2ж.
тгп: тгп ± —.
4.
1o. Xж\2
1 — sin Зж = Ism — — cos — 1 .
6 птг; ^(2п + 1).
5.
ctg (^ + ж) -tg2ж = (со8 2ж - 1) sec2ж.
7Г , П7Г; — +П7Г.
4
6.
^++8т22Ж + 1=0.
J(4n-1).
1 + ctg2ж
4 v7
7.
ctg4 2ж + cosec4 2ж = 25.
_|_ 7ГП7Г
8.
3 + 2sin52ж = sin32ж + 6sin22ж.
f(2A: + l).
9.
sin x • cos x • cos 2ж • cos 8ж = i sin 12ж.
4
П7Г
10.
- (cos5ж + cos 7ж) — cos2 2ж + sin2 Зж = 0.
^(2п + 1);^.
11.
2(со8 4ж — sinж -собЗж) = sin4ж + sin2ж.
12.
(sin ж + cos ж)4 + (sin ж — cos ж)4 + sin 4ж = 3.
13.
2 cos2 ж — 3 V3 cos ж • sin ж — sin2 ж = —5.
Решений нет.
14.
cos 9ж — cos 7ж + cos Зж — cos ж = 0.
HIV ТХ /q_. \
у С2„ + 1).
15.
sin ж — 4 sin3 ж — cos ж = 4 cos2 ж • sin ж.
ктх — arctg -.
16.
4 cos2 ж — 2 sin ж • sin 2ж = sin 4ж • sin ж.
+2fc + l).
17. со834ж — sin3 х • 8тЗж = cos3 х • созЗж.
cos3 х + cos2 х — 4cos2 = 0.тг(2п + 1)
б8т2ж + 28т22ж = 5.^(2n + l)
Ответы.Ответы.28т3ж — cos2x — sin ж = 0.
Ответы.
Ответы.
Seos4 х — Seos3 x — cos ж +1 = 0.
2 (tg ^ - 1) = СО8Ж.
cos 6ж = 2sin ( — + 2ж).
8т4ж — 4бт7ж-8тбж-8т2ж = 0.
22tgl-cos^ = 4.
cos2(19tt+ 3ж — 1) = sin ^^.
2 sin2 ж — Зsinж • cos ж + cos2 ж = 0.
^/3-tgж = tg(^-ж).
4sin2 ж — 4sin ж • совж + cos2 ж = 0.
J(2n + 1); ^(4п-1).2А?тг; |(6А:±1).7^ + 1).J(2fc + 1); ±| + ^.^ + 2А:тг.1(4+(4А; + 1)7г).7Г1—+ &тг; arctg- + ^?r.&7Г; ^ + &7Г.arctg | + &7Г.&тг; + ктг.J(2n + 1); ^(4п-1).2А?тг; |(6А:±1).7^ + 1).J(2fc + 1); ±| + ^.^ + 2А:тг.1(4+(4А; + 1)7г).7Г1—+ &тг; arctg- + ^?r.&7Г; ^ + &7Г.arctg | + &7Г.&тг; + ктг.(5 + 2со8 2ж) sin4ж + 3 = (5 + 2со8 2ж) со84ж.
J(2n + 1); ^(4п-1).
2А?тг; |(6А:±1).
7^ + 1).
J(2fc + 1); ±| + ^.
^ + 2А:тг.
1(4+(4А; + 1)7г).
7Г1
—+ &тг; arctg- + ^?r.
&7Г; ^ + &7Г.
arctg | + &7Г.
&тг; + ктг.
J(2n + 1); ^(4п-1).
2А?тг; |(6А:±1).
7^ + 1).
J(2fc + 1); ±| + ^.
^ + 2А:тг.
1(4+(4А; + 1)7г).
7Г1
—+ &тг; arctg- + ^?r.
&7Г; ^ + &7Г.
arctg | + &7Г.
&тг; + ктг.
5sin2ж — 4со8ж • sinж + 3cos2ж = 0.
(sin2ж — cosec2ж)2 + (зес2ж — со8 2ж)2 = 1.
2tg 2ж + tg Зж = tg 5ж.
, о,о л/2
sin ж -cosж — sinж -cos'3ж = —.
. 3 ж 3 ж
sin - — COS - i
2^- = -.
cos ж (2 +sin ж)8
8т2(2ж + 3-21тг)+со8 ^ =0.
QQ8 cos ж_ 1 2ctg ж
, 2Ж , 2Ж —, 2*
etg - - tg -1 + Ctg ж
zE— + ku. 6Решений нет.f(2fe + l).ктх- ^(2А; + 1).V 1’ 164 ’Решений нет.1((4А; + 1)7г-12).|(4А; + 1).zE— + ku. 6Решений нет.f(2fe + l).ктх- ^(2А; + 1).V 1’ 164 ’Решений нет.1((4А; + 1)7г-12).|(4А; + 1).Рациональные неравенства
zE— + ku. 6
Решений нет.
f(2fe + l).
ктх- ^(2А; + 1).
V 1’ 164 ’
Решений нет.
1((4А; + 1)7г-12).
|(4А; + 1).
zE— + ku. 6
Решений нет.
f(2fe + l).
ктх- ^(2А; + 1).
V 1’ 164 ’
Решений нет.
1((4А; + 1)7г-12).
|(4А; + 1).
Примеры.
Решить неравенство
ж2 — 8ж + 7ж — 3
Решение. Здесь ж ^ 3 (при ж = 3 левая часть не определена). Будем решать неравенство методом интервалов (см. учебник).
Данное неравенство равносильно неравенству
/(ж) = (ж — 1)(ж — 3)(ж — 7) > 0.
Корнями функции /(ж) являются различные действительные числа: 1, 3, 7.
Отметим их на числовой оси и изучим изменение знака функции /(ж) на полученных четырех интервалах: —оо < х < 1, 1 < х < 3, 3 < х < 7, 7 < х < схэ (рис. 52).
Рис. 52
Если х < 1 (меньше меньшего корня), то все множители отрицательны. Схематически знаки множителей можно изобразить так: (-)(-)(-) < °; отсюда /(ж) < 0.
Если 1 < х < 3, то имеем (+)(—)(—) > 0, /(ж) > 0.
Если 3 < ж < 7, то имеем (+)(+)(—) < 0, /(ж) < 0.
Если 7 < ж < схэ, то имеем (+)(+)(+), /(ж) > 0.
Эти изменения знака функции схематически изобразим на рис. 52 и получим ответ*. 1 < ж < 3; 7 < ж < схэ.
Решить неравенство
ж-2 2ж —3
х + 2 4ж — 1
Решение. Здесь ж ^ —2; ж ^ ^. Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:
2(ж2-5ж + 4)2(ж-1)(ж-4)
(ж + 2)(4ж - 1)’(ж + 2)(4ж - 1)
Это неравенство равносильно исходному.
Числа жх = 1 и Ж2 = 4 являются решениями неравенства. В дальнейшем, полагая ж / 1 и ж ^ 4, будем решать неравенство
(ж 1) (ж 4)„// п \ \ (1 \ /1 \ /
уу- < 0, или (ж - (-2)) ж - - (ж - 1)(ж -4) < 0.
(ж + 2)(4ж-1)’v v4/ v 7V 7
Рис. 53
Строим числовую ось и на ней схему решений (рис. 53).
Ответ*. —2 < ж <1 < ж < 4.
4
Замечание. Неравенство (ж — 2)(4ж — 1) ^ (2ж — 3) (ж + 2) не равносильно исходному, так как выражение (ж + 2)(4ж — 1) может быть и отрицательным.
Метод интервалов применим для решения рациональных неравенств и более сложного вида.
Предварительно познакомимся с некоторыми дополнительными сведениями.
Целой рациональной функцией называется функция вида
/(ж) = Аожп + Ахж^"1 + Л2жп"2 +... + Ап_1 • ж + Ап,(1)
где Ai — любые действительные числа (Ло / 0), п — любое натуральное число. Эту же функцию называют целым многочленом степени п.
Рациональной функцией называется отношение двух рациональных функций Р(ж) и Q(x):
натель не имеют общих корней.
Рациональным неравенством называется неравенство у > 0 или у < 0, где у — рациональная функция с действительными коэффициентами.
Доказывается, что всякая целая рациональная функция (1) с действительными коэффициентами может быть разложена на множители в следующем виде:
Р^ = Л0(ж - ai)kl...(x - аТ)кг • (ж2 +р1Ж + ^1)/1...(ж2 +р5ж + ^5)/5,
(3)
где ai, ..., ar; pi, ..., ps; qi, ..., qs — действительные числа; ^х, ..., кТ*, li, ...,ls — натуральные числа; все трехчлены ж2 + piX + q^ не имеют действительных корней. Числа ai, а^, ..., аг являются всеми действительными корнями функции Р(ж), причем число ki называется кратностью корня сц.
Например, в разложении
Р(х) = ж13 + 2ж12 - 2ж7 - 4ж6 + Ж + 2 =
= (ж + 2) (ж + 1)2(ж - 1)2(ж2 - ж + 1)2(ж2 + ж + I)2
рассматриваемая функция имеет один действительный простой корень —2 и два действительных кратных корня — 1 и 1, кратность каждого из которых равна 2.
Аналогично разложению (3) имеем
(4)(4)9(ж) = В0(ж-Мт1---(ж-МтМж2 + схж + (/1)П1...(ж2 + сеж + (/ер
(4)
(4)
где bi, ..., bt; ci, ..., се; di, ...,de — действительные числа; mi, mt', Tii, ...,ne — натуральные числа; все трехчлены ж2 + с^х + di не имеют действительных корней.
Числа bi^.^bt называются действительными полюсами функции (2). Число т^ называется порядком (или кратностью) полюса Ь;.
Таким образом, всякое рациональное неравенство может быть представлено в виде
Во(ж - bi)mi... (ж - bt)mt • (ж2 + схж + di)ni... (ж2 + сеж + de)ne
(5)
Следует заметить, что все трехчлены ж2 + piX + qi, х2 + с^х + dk положительны при всех действительных значениях х: корни всех этих функций, по предположению, комплексные, а коэффициенты при ж2 равны 1 (> 0). На такие трехчлены неравенства можно сокращать.
Если аргумент ж изменяется в интервале, граничными точками которого являются либо два действительных корня функции р. либо два действительных полюса р. либо один действительный корень и один полюс р. то р в таком интервале сохраняет соответствующий знак.
В двух соседних интервалах функция р принимает значения противоположных знаков, если общая граничная точка интервалов является действительным корнем или полюсом нечетной кратности, в частности, простым корнем или простым полюсом, когда кратность равна 1.
Если же общая граничная точка интервалов является корнем или полюсом четной кратности, то в обоих интервалах функция р имеет один и тот же знак.
Решить неравенство
_ (ж2 — ж + 1)(5 — 2ж)(ж + 5)(ж + 2)(ж — I)2~
(ж — 2) (ж + 1) (ж + ж +1)
Решение. Здесь ж ^ 2; ж ^ — 1. Трехчлены (ж2 — ж + 1) и (ж2 Т ж Т I)2 при всех значениях ж положительны, поэтому данное неравенство на них можно сократить, и получим неравенство, равносильное исходному.
Знак (ж + 1)3 совпадает со знаком (ж + 1), а поэтому, не нарушая равносильности неравенства, выражение (ж + 1)3 можно заменить на (ж + 1).
Множитель (5 — 2ж) разделим на —2. Это равносильно тому, что все неравенство разделено на —2; вследствие этого знак неравенства необходимо поменять на противоположный.
Окончательно получим приведенное неравенство, равносильное исходному, следующего вида:
(ж + 5)(ж + 2)(ж-1)2(ж-|)
У =о~ > О-
(ж + 1)(ж-2)2
Корни и полюсы данной функции у расположим в порядке возрастания: —5; —2; —1; 1; 2; 2,5 и отметим на числовой оси (рис. 54).
-5-2-1012 2,5Рис. 54-5-2-1012 2,5Рис. 54В данном случае целесообразно идти слева направо вдоль оси. (Как правило, следуют в таком порядке.)При всех х < — 5 имеем у > 0. Далее знаки у функции у будут чередоваться при прохождении через простые корни и полюсы, соответственно х = —5; х = — 2 и х = — 1 (рис. 54).При прохождении через х = 1 — корень функции у четной кратности — знак (минус) функции не меняется, и при прохождении через х = 2 — полюс функции четного порядка — знак (минус) функции также не меняется. Корень х = 2,5 — простой действительный корень, знак функции при этом меняется с минуса на плюс.Итак, окончательный ответ*.— схэ < х < 5; — 2 < х < — 1; 2,5 < х < схэ.Многие неравенства других типов приводятся к рассматриваемым рациональным неравенствам.В данном случае целесообразно идти слева направо вдоль оси. (Как правило, следуют в таком порядке.)При всех х < — 5 имеем у > 0. Далее знаки у функции у будут чередоваться при прохождении через простые корни и полюсы, соответственно х = —5; х = — 2 и х = — 1 (рис. 54).При прохождении через х = 1 — корень функции у четной кратности — знак (минус) функции не меняется, и при прохождении через х = 2 — полюс функции четного порядка — знак (минус) функции также не меняется. Корень х = 2,5 — простой действительный корень, знак функции при этом меняется с минуса на плюс.Итак, окончательный ответ*.— схэ < х < 5; — 2 < х < — 1; 2,5 < х < схэ.Многие неравенства других типов приводятся к рассматриваемым рациональным неравенствам.Задачи.Задачи.Решить неравенства (1-22).Решить неравенства (1-22).Ответы.Ответы.1.2.3.4.5.6.7.8.1.2.3.4.5.6.7.8.Зж2 — Юж + 3 > g ж2-Юж+ 25'—— < 1.1 + ж1 — жж — 1ж + 19жж — 1ж — 2ж — 1ж(ж —2)(ж —3)3 —жЗж2 — Юж + 3 > g ж2-Юж+ 25'—— < 1.1 + ж1 — жж — 1ж + 19жж — 1ж — 2ж — 1ж(ж —2)(ж —3)3 —ж— схэ < х < -;3<х< 5;5<х<схэ.— схэ<х<— 1;1<х<схэ.— схэ < х < — 1; 0<х<0,5;1<х<схэ.— д/2 < х < 0; 1<х<д/2;2<х<схэ.— схэ < х < -;3<х< 5;5<х<схэ.— схэ<х<— 1;1<х<схэ.— схэ < х < — 1; 0<х<0,5;1<х<схэ.— д/2 < х < 0; 1<х<д/2;2<х<схэ.(ж + 2)(ж2 — 2ж + 1)4 + Зж — ж21>3Зж — 2 — ж2 7ж —4 —Зж2(ж + 2)(ж2 — 2ж + 1)4 + Зж — ж21>3Зж — 2 — ж2 7ж —4 —Зж2ж4 — Зж3 + 2ж2ж2 — ж — 30ж4 — Зж3 + 2ж2ж2 — ж — 309. Ьх — 20 х2 Вх.9. Ьх — 20 х2 Вх.10.10.4 ।2 . .Ж + Ж + 1 ж2 — 4ж — 54 ।2 . .Ж + Ж + 1 ж2 — 4ж — 5< 0.< 0.-5 < х < 1; 2 < х < 3.-5 < х < 1; 2 < х < 3.— схэ < х < —2; — 1 < х < 4.— схэ < х < 1; - < х < 2.— схэ < х < —2; — 1 < х < 4.— схэ < х < 1; - < х < 2.— схэ < х < —5; 1 < х < 2; 6 < х < схэ.— схэ < х < —5; 1 < х < 2; 6 < х < схэ.0<ж<8.-1 < х < 5.0<ж<8.-1 < х < 5.
-5-2-1012 2,5
Рис. 54
-5-2-1012 2,5
Рис. 54
В данном случае целесообразно идти слева направо вдоль оси. (Как правило, следуют в таком порядке.)
При всех х < — 5 имеем у > 0. Далее знаки у функции у будут чередоваться при прохождении через простые корни и полюсы, соответственно х = —5; х = — 2 и х = — 1 (рис. 54).
При прохождении через х = 1 — корень функции у четной кратности — знак (минус) функции не меняется, и при прохождении через х = 2 — полюс функции четного порядка — знак (минус) функции также не меняется. Корень х = 2,5 — простой действительный корень, знак функции при этом меняется с минуса на плюс.
Итак, окончательный ответ*.
— схэ < х < 5; — 2 < х < — 1; 2,5 < х < схэ.
Многие неравенства других типов приводятся к рассматриваемым рациональным неравенствам.
В данном случае целесообразно идти слева направо вдоль оси. (Как правило, следуют в таком порядке.)
При всех х < — 5 имеем у > 0. Далее знаки у функции у будут чередоваться при прохождении через простые корни и полюсы, соответственно х = —5; х = — 2 и х = — 1 (рис. 54).
При прохождении через х = 1 — корень функции у четной кратности — знак (минус) функции не меняется, и при прохождении через х = 2 — полюс функции четного порядка — знак (минус) функции также не меняется. Корень х = 2,5 — простой действительный корень, знак функции при этом меняется с минуса на плюс.
Итак, окончательный ответ*.
— схэ < х < 5; — 2 < х < — 1; 2,5 < х < схэ.
Многие неравенства других типов приводятся к рассматриваемым рациональным неравенствам.
Задачи.
Задачи.
Решить неравенства (1-22).
Решить неравенства (1-22).
Ответы.
Ответы.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Зж2 — Юж + 3 > g ж2-Юж+ 25'
—— < 1.
1 + ж1 — ж
ж — 1ж + 19
жж — 1
ж — 2ж — 1ж
(ж —2)(ж —3)3 —ж
Зж2 — Юж + 3 > g ж2-Юж+ 25'
—— < 1.
1 + ж1 — ж
ж — 1ж + 19
жж — 1
ж — 2ж — 1ж
(ж —2)(ж —3)3 —ж
— схэ < х < -;3<х< 5;5<х<схэ.
— схэ<х<— 1;1<х<схэ.
— схэ < х < — 1; 0<х<0,5;1<х<схэ.
— д/2 < х < 0; 1<х<д/2;2<х<схэ.
— схэ < х < -;3<х< 5;5<х<схэ.
— схэ<х<— 1;1<х<схэ.
— схэ < х < — 1; 0<х<0,5;1<х<схэ.
— д/2 < х < 0; 1<х<д/2;2<х<схэ.
(ж + 2)(ж2 — 2ж + 1)
4 + Зж — ж2
1>3
Зж — 2 — ж2 7ж —4 —Зж2
(ж + 2)(ж2 — 2ж + 1)
4 + Зж — ж2
1>3
Зж — 2 — ж2 7ж —4 —Зж2
ж4 — Зж3 + 2ж2ж2 — ж — 30
ж4 — Зж3 + 2ж2ж2 — ж — 30
9. Ьх — 20 х2 Вх.
9. Ьх — 20 х2 Вх.
10.
10.
4 ।2 . .
Ж + Ж + 1 ж2 — 4ж — 5
4 ।2 . .
Ж + Ж + 1 ж2 — 4ж — 5
< 0.
< 0.
-5 < х < 1; 2 < х < 3.
-5 < х < 1; 2 < х < 3.
— схэ < х < —2; — 1 < х < 4.
— схэ < х < 1; - < х < 2.
— схэ < х < —2; — 1 < х < 4.
— схэ < х < 1; - < х < 2.
— схэ < х < —5; 1 < х < 2; 6 < х < схэ.
— схэ < х < —5; 1 < х < 2; 6 < х < схэ.
0<ж<8.
-1 < х < 5.
0<ж<8.
-1 < х < 5.
Ответы.Ответы.
Ответы.
Ответы.
-1 < ж < 1.-1 < ж < 1.11. ж8 - 6ж7+ 9ж6 - ж2+ 6ж - 9 < 0.
-1 < ж < 1.
-1 < ж < 1.
(ж — 1)3ж2(ж + 2)
< 0.-оо < ж < -2; 1 < ж < 3.
ж-3’
ж^+Зж^+4^8 < 0-1 < ж < 0; 0 < ж < 1.
Ж—2 < ж < —1,5;
1 I 4<1 I 41 < ж < 2-
ж2 —4 2ж2 + 7ж + 62ж + 3 (2ж + 3)(ж2-4), ,.
О Ж \ ОО.
5ж 7. хЗж .q уу
— <4—-<4.-8 < ж <-6,5; 0 < ж < 5.
ж-55 —ж ж2 -25
17.17.ж2 — 7ж + 6< Зж2 — ж + 1ж2 < 36ж2 — 7ж + 6< Зж2 — ж + 1ж2 < 36(найти целочисленные решения).(найти целочисленные решения).ж: 2; 3; 4; 5.ж: 2; 3; 4; 5.18.19.20.18.19.20.f Зж2 — 2ж + 1< ж2 —Зж —18Зж — 79ж2 — 5ж + 6гж2 + 6ж — 7|ж + 4|<f Зж2 — 2ж + 1< ж2 —Зж —18Зж — 79ж2 — 5ж + 6гж2 + 6ж — 7|ж + 4|<(найти целочисленные решения).(найти целочисленные решения).ж: 2; 3; 4; 5.ж: 2; 3; 4; 5.-4; -4<ж< 1.-4; -4<ж< 1.21.21.|ж + 3| + жж + 2|ж + 3| + жж + 2-1 > 0.-1 > 0.22.22.—5 < ж < —2; —1 < ж < оо.0 ^ ж ^ 1,6; 2,5 ^ ж < оо.—5 < ж < —2; —1 < ж < оо.0 ^ ж ^ 1,6; 2,5 ^ ж < оо.
17.
17.
ж2 — 7ж + 6
< Зж2 — ж + 1ж2 < 36
ж2 — 7ж + 6
< Зж2 — ж + 1ж2 < 36
(найти целочисленные решения).
(найти целочисленные решения).
ж: 2; 3; 4; 5.
ж: 2; 3; 4; 5.
18.
19.
20.
18.
19.
20.
f Зж2 — 2ж + 1
< ж2 —Зж —18
Зж — 79
ж2 — 5ж + 6г
ж2 + 6ж — 7
|ж + 4|<
f Зж2 — 2ж + 1
< ж2 —Зж —18
Зж — 79
ж2 — 5ж + 6г
ж2 + 6ж — 7
|ж + 4|<
(найти целочисленные решения).
(найти целочисленные решения).
ж: 2; 3; 4; 5.
ж: 2; 3; 4; 5.
-4; -4<ж< 1.
-4; -4<ж< 1.
21.
21.
|ж + 3| + жж + 2
|ж + 3| + жж + 2
-1 > 0.
-1 > 0.
22.
22.
—5 < ж < —2; —1 < ж < оо.
0 ^ ж ^ 1,6; 2,5 ^ ж < оо.
—5 < ж < —2; —1 < ж < оо.
0 ^ ж ^ 1,6; 2,5 ^ ж < оо.
Иррациональные неравенства
Основной способ решения иррациональных неравенств заключается в том, что, используя соответствующие свойства функций и неравенств, их сводят или преобразовывают к рациональным неравенствам. Эти рациональные неравенства или системы неравенств обычно получаются при наложении ограничений на неизвестное и возведении неравенств в степень.
В некоторых случаях решения неравенств получаются непосредственно из исследования области определения левой и правой частей (или одной части) заданного неравенства.
Примеры.
Уж > -1.
Левая часть неотрицательна и неравенство справедливо при всех ж, при которых она имеет смысл, т. е. при ж ^ 0. Это и есть решение данного неравенства.
Ответ*. 0 ^ ж < оо.
Уж + 2 + Уж — 5 У5 — ж.
Область определения левой и правой частей неравенства находится из неравенств ж + 2 ^ 0, ж — 5^0, 5 — ж ^ 0, или ж —2, ж ^ 5, ж 5. Эта система неравенств имеет единственное решение ж = 5. В этом случае какие-либо преобразования исходного неравенства излишни. Достаточно проверить, удовлетворяется ли оно при ж = 5. Непосредственная проверка показывает, что ж = 5 есть решение неравенства.
^(ж + 2)(ж-3) < ж + 7.
Область определения левой части неравенства ж ^ —2 или ж ^ 3. Правая часть по смыслу должна быть положительной (так как левая часть неотрицательна): ж+ 7 > 0, откуда ж > —7.
При этих условиях после возведения в квадрат исходного неравенства получаем равносильное неравенство
оо112
ж2 — ж — 6 < ж2 + 14ж + 49, или 15ж > —55; ж> — — = — 3-.
Из полученного неравенства выбираем те интервалы значений ж, которые удовлетворяют неравенствам ж ^ —2, ж ^ 3 и ж > —7.
2
Ответ*. — 3 - < ж —2; 3 ж < оо.
V2^+T< ^±11.
У каз ан и е. Должны быть выполнены условия:
2ж + 1^0;^+^>°; ж ^2.
2 — х
Данное неравенство равносильно системе неравенств г2ж + 1 >0, > о,
Решение этой системы дает ответ*.
ж2 + д/ж2 — Зж + 5 > Зж + 7. (1)
Трехчлен ж2 —Зж + 5 положителен при всех действительных значениях ж, поэтому областью определения данного неравенства является интервал — оо < ж < схз.
Исходное неравенство перепишем так:
ж2 — Зж — 7 + д/ж2 — Зж + 5 > О, илио.
(2)(2)ж2 — Зж + 5 + д/ж2 — Зж + 5 — 12 > 0.
(2)
(2)
Обозначим V^2 — Зж + 5 = у, у > 0, тогда
/Ы = 2/2 + 2/-12>0.(3)
Вспомогательная функция f(y) имеет два корня ух = — 4 и у 2 = 3. Неравенство (3) имеет место при у < — 4 и при у > 3. Но неравенство у < — 4 отпадает, поэтому используем только неравенство у > 3. Имеем д/ж2 — Зж + 5 > 3, или ж2 — Зж + 5 > 9, или ж2 — Зж — 4 > 0, или (ж +1) х х (ж -4) > 0.
Ответ*. — оо < ж < — 1; 4 < ж < оо.
д/1-8ж2
* 2ж'
Область определения левой части находится из соотношений
— 8ж2 > 0 и ж 0, откуда 0 < ж < —— и— < ж < 0. В соответст- 2д/22д/2
вии с этим будем рассматривать два случая:
0 < жТак как ж > 0, то исходное неравенство равно-
2 у 2
сильно следующему: 1 - VT^ < 2®, или 1 — 2ж < д/1 — 8ж2. Для
рассматриваемых ж обе части неравенства неотрицательны, поэтому после возведения в квадрат получим равносильное на 10; — I нера
венство (1 — 2ж)2 < 1 — 8ж2, откуда 12ж2 < 4ж, или Зж < 1 (при ж > 0), или ж < —. Значения ж в промежутке 0 < ж < - и будут решениями
исходного неравенства, поскольку этот промежуток является частью промежутка 0 < ж
— < ж < 0. При этих значениях ж числитель левой час- 2д/2
ти исходного неравенства неотрицателен, поэтому для ж < 0 данное неравенство очевидно. Значит, все ж из промежутка— ^ ж < 0
являются решениями данного неравенства.V 2
Ответ*.— < ж < 0; 0 < ж < -.
2V2з
Задачи.
Решить неравенства (1-18).Ответы.
V^2 — ж — 12 < ж.4 ж < оо.
д/Зж — ж2 < 4 — ж.0 ж 3.
V^2 — 4ж > ж — 3.—оо < ж 0; 4,5 < ж < оо.
4. д/ж2 — 5ж + 4 > ж — 3.4. д/ж2 — 5ж + 4 > ж — 3.— оо < ж ^ 1; 5 < ж < оо.— оо < ж ^ 1; 5 < ж < оо.
4. д/ж2 — 5ж + 4 > ж — 3.
4. д/ж2 — 5ж + 4 > ж — 3.
— оо < ж ^ 1; 5 < ж < оо.
— оо < ж ^ 1; 5 < ж < оо.
27 В. А. Бачурин
5. У-—- < 2. у х +16 Уб2 — ж2 < х2 — х7. Уж2 — Зж + 2 > 3 + ж.о Уж + 518. 22< 1.1 — Жд У17 —15ж —2ж2ж + 310 У24 —2ж —ж2 < хЖ11. V^+з < V$-i + V£-2.12. Уж + 6 > Уж + 7 + У2ж-5.2113.1> гг - 1 .У13 — ж214. У4-ж2 + ж + 1>0.15. У(ж + 2)(ж-5) < 8-ж.16. 2ж —3 < 2 Уж2-9.17. У(ж + 2)(ж-5) > 8-ж.5. У-—- < 2. у х +16 Уб2 — ж2 < х2 — х7. Уж2 — Зж + 2 > 3 + ж.о Уж + 518. 22< 1.1 — Жд У17 —15ж —2ж2ж + 310 У24 —2ж —ж2 < хЖ11. V^+з < V$-i + V£-2.12. Уж + 6 > Уж + 7 + У2ж-5.2113.1> гг - 1 .У13 — ж214. У4-ж2 + ж + 1>0.15. У(ж + 2)(ж-5) < 8-ж.16. 2ж —3 < 2 Уж2-9.17. У(ж + 2)(ж-5) > 8-ж.18. УЗж - 2 - Уж > 1.18. УЗж - 2 - Уж > 1.Ответы.— схэ < х < —-; 1 ж < схэ.-2У13 ^ ж < -4; 2 < ж < 2 V13.„„ 7—5 < ж < — 1; 1 < ж < схэ.-3 < ж < 1.Ответы.— схэ < х < —-; 1 ж < схэ.-2У13 ^ ж < -4; 2 < ж < 2 V13.„„ 7—5 < ж < — 1; 1 < ж < схэ.-3 < ж < 1.-6 < ж < 0; 3 < ж < 4.-6 < ж < 0; 3 < ж < 4.Нет решения.Нет решения.
5. У-—- < 2. у х +1
6 Уб2 — ж2 < х
2 — х
7. Уж2 — Зж + 2 > 3 + ж.
о Уж + 51
8. 22< 1.
1 — Ж
д У17 —15ж —2ж2
ж + 3
10 У24 —2ж —ж2 < х
Ж
11. V^+з < V$-i + V£-2.
12. Уж + 6 > Уж + 7 + У2ж-5.
21
13.1> гг - 1 .
У13 — ж2
14. У4-ж2 + ж + 1>0.
15. У(ж + 2)(ж-5) < 8-ж.
16. 2ж —3 < 2 Уж2-9.
17. У(ж + 2)(ж-5) > 8-ж.
5. У-—- < 2. у х +1
6 Уб2 — ж2 < х
2 — х
7. Уж2 — Зж + 2 > 3 + ж.
о Уж + 51
8. 22< 1.
1 — Ж
д У17 —15ж —2ж2
ж + 3
10 У24 —2ж —ж2 < х
Ж
11. V^+з < V$-i + V£-2.
12. Уж + 6 > Уж + 7 + У2ж-5.
21
13.1> гг - 1 .
У13 — ж2
14. У4-ж2 + ж + 1>0.
15. У(ж + 2)(ж-5) < 8-ж.
16. 2ж —3 < 2 Уж2-9.
17. У(ж + 2)(ж-5) > 8-ж.
18. УЗж - 2 - Уж > 1.
18. УЗж - 2 - Уж > 1.
Ответы.
— схэ < х < —-; 1 ж < схэ.
-2У13 ^ ж < -4; 2 < ж < 2 V13.
„„ 7
—5 < ж < — 1; 1 < ж < схэ.
-3 < ж < 1.
Ответы.
— схэ < х < —-; 1 ж < схэ.
-2У13 ^ ж < -4; 2 < ж < 2 V13.
„„ 7
—5 < ж < — 1; 1 < ж < схэ.
-3 < ж < 1.
-6 < ж < 0; 3 < ж < 4.
-6 < ж < 0; 3 < ж < 4.
Нет решения.
Нет решения.
Показательные и логарифмические неравенства
При решении показательных и логарифмических неравенств широко используется понятие области определения показательных и логарифмических функций, а также общее свойство этих функций — их монотонность.
Функции у = ах и у = loga ж при а > 1 являются монотонно возрастающими, а при 0 < а < 1 — монотонно убывающими.
При решении показательных и логарифмических неравенств проверка трудно выполнима, поэтому следует избегать неравносильных преобразований.
Примеры.
^ж —6 < ^6ж — 1
Решение. Областью определения данного неравенства является вся числовая ось: —схэ < ж < +оо. При основании а = 5 > 1 меньшему
значению функции соответствует меньшее значение показателя: х — 6 < 6ж — 1, или Ьх > —5.
Ответ*. — 1 < х < оо.
ж + 1
(Ij
Решение. Исходное неравенство можно записать так:
(
1 \ 3-х/1 \°
3/< \3/ ’
Левая часть неравенства определена на всей числовой оси, кроме точки х = 3; — оо < х < оо, х ^ 3.
При а = - < 1 мы имеем монотонно убывающую функцию. Поэтому меньшему значению функции соответствует большее значение показателя.^
Получаем неравенство > 0, равносильное исходному. Решая
его, находим — 1 < х < 3.
V2^+24) - V^7 V^Tt.
Решение. Область определения неравенства находится из условия 5Ж — 7 ^ О и является интервалом log5 7 ^ х < оо.
Исходное неравенство равносильно неравенству
V2(5^+24) ^+7 + V5^7.
Так как обе части этого неравенства неотрицательны, то после возведения его в квадрат и соответствующих упрощений получаем равносильное ему на том же интервале неравенство 24 ^ ^^х — 49.
На том же интервале обе части этого неравенства неотрицательны, и, возводя его в квадрат, снова получаем равносильное исходному неравенство 52ж ^ 625, откуда — оо < х ^ 2. Учитывая область определения исходного неравенства log57 ^ ж < оо, получаем ответ*. log57 < х < 2.
4ж2+3^ + ж-3^ < 2ж2-3^'? + 2ж + 6.
Решение. Обе части неравенства определены при х ^ 0. Имеем 4ж2 -2ж-6+(3 + ж-2ж2)-3^ < 0, илио
2(2ж2 — ж — 3) — (2ж2-ж-3)-3^ < 0,
илиГ_
(2ж2 — ж — 3) (3^ — 2) > 0.
Последнее неравенство равносильно совокупности двух систем: Г 2ж2 — х — 3 > 0, Г 2ж2 — х — 3 < 0, (3^-2 >0;(3^-2 <0.
Из первой системы получаем ^ < ж < —оо, из второй 0 ^ ж < log|2. Эти два интервала и составляют ответ.
Vlg^ > 0.
Решение. Область определения левой части неравенства находится из условия 1g ж ^ 0 и представляет собой множество ж ^ 1. При ж = 1 левая часть обращается в нуль, вследствие чего это значение переменной решением неравенства не является.
Ответ*. 1 < ж < оо.
^2_ж(ж-3) 5.
Решение. Область определения левой части неравенства находится из условий: ж — 3 > 0, 2 — ж > 0, 2 — ж / 1. Но неравенства ж — 3 > 0 и ж — 2 < 0 не имеют общих решений, поэтому данное неравенство решений не имеет.
1g (ж2 - 6ж +18) < 1.
Решение. Левая часть неравенства определена на всей числовой оси (ж G R), поскольку при любом ж справедливо неравенство ж2— — 6ж + 18>0, или (ж —3)2 + 9>0.
Исходное неравенство можно переписать так: 1g (ж2 — 6ж + 18) < < 1g 10. При основании а = 10 > 1 меньшему логарифму соответствует меньшее число. Получаем равносильное неравенство ж2 —6ж + 18 < 10. Отсюда (ж —З)2 < 1, или —1 < ж —3 < 1.
Ответ*. 2 < ж < 4.
Vlog2^<L
Зж — 1
Решение. Здесь —^1 и ж ^ 2. Обе части неравенства неот
рицательны, поэтому после возведения их в квадрат получаем равносильное неравенство
ииЗж — 12 —жЗж — 12 —ж. Зж — 11. Зж — 1. о
и
и
Зж — 1
2 —ж
Зж — 1
2 —ж
Og2 Т^Т < 11 0ТКУДа °§2 2_ж < Ь§2 2 Таким образом, имеем систему неравенств
' Зж — 1 > 2 - ж
Зж — 1< 2_ж <из которой получаем равносильную систему' 4ж - 3 >2 — ж ’
, ж — 2
3
Решая эту систему, находим - ж < 1.
9. Д ДL
> 0; ж ^ 1; ж ^ 10.> 0; ж ^ 1; ж ^ 10.1g ж 1 — 1g ж
> 0; ж ^ 1; ж ^ 10.
> 0; ж ^ 1; ж ^ 10.
Решение. Должны выполняться условия: ж
После соответствующих преобразований получаем следующее рав-
носильное неравенство:
> 0.> 0.1g2 ж — Iga? + 1Ig^(l-lg^)
> 0.
> 0.
Числитель 1g2ж — ^ж + 1 > 0 при любом допустимом значении переменной ж, так как D = 1 — 4 = — 3 < 0 и а = 1 > 0. Поэтому должно иметь место неравенство lgж(1 — 1gж) > 0, или 1g ж (1g ж — 1) < 0.
^ж < 0, 1g ж — 1 > 0;^ж < 0, 1g ж — 1 > 0;Из последнего неравенства будем иметь:
^ж < 0, 1g ж — 1 > 0;
^ж < 0, 1g ж — 1 > 0;
Решений нет.Решений нет.0 < ж < 1, ^ж > 1, ж > 10.
Решений нет.
Решений нет.
^ж > 0, 1g ж — 1 < 0;^ж > 0, 1g ж — 1 < 0;ж > 1,ж > 1,1g ж < 1,1g ж < 1,ж < 10.ж < 10.Решение 1 < ж < 10.Решение 1 < ж < 10.
^ж > 0, 1g ж — 1 < 0;
^ж > 0, 1g ж — 1 < 0;
ж > 1,
ж > 1,
1g ж < 1,
1g ж < 1,
ж < 10.
ж < 10.
Решение 1 < ж < 10.
Решение 1 < ж < 10.
Ответ*. 1 < ж < 10.
7 _
101 1оё^^72"”1о81/^(ж + 2) >-1оё1/24-
Решение. Должны выполняться следующие ограничения:
7
ж + 2>0, 7 — Зж > 0, или — 2<ж<-.
7\ о- 1. Решая это неравенство, находим3/5получаем ответ: —2 < ж < - .7\ о- 1. Решая это неравенство, находим3/5получаем ответ: —2 < ж < - .Так как — log^^^ + 2) = log^^ + 2) и — log ^4 = 2. то из исходного неравенства получаем неравенство logoff — Зж) > 2, или log2(7 — Зж) > 1
7\ о
- 1. Решая это неравенство, находим
3/5
получаем ответ: —2 < ж < - .
7\ о
- 1. Решая это неравенство, находим
3/5
получаем ответ: —2 < ж < - .
(область его определения — оо < ж <
7
ж < -. Учитывая, что —2 < ж < - , 3’3’
Ответы1.7Ж>7~1.-К х <оо3.(0,3)ж < 0,027. 3 < х < оо5.л/З® > ^9.- < х < ооОтветы1.7Ж>7~1.-К х <оо3.(0,3)ж < 0,027. 3 < х < оо5.л/З® > ^9.- < х < ооЗадачи.Задачи.Решить неравенства (1-32).Решить неравенства (1-32).13(ж + !)(ж-2) > 1.Зж2-ж“2 < 81.4ж+1+22ж 320.5ж+1—5Ж-1 < 24.2-Зж+1 -4-Зж"2 > 150.12. 7ж+2+4-7ж"1 < 347.13(ж + !)(ж-2) > 1.Зж2-ж“2 < 81.4ж+1+22ж 320.5ж+1—5Ж-1 < 24.2-Зж+1 -4-Зж"2 > 150.12. 7ж+2+4-7ж"1 < 347.13. V8®"1 > -^l2"®.13. V8®"1 > -^l2"®.14. 4V7=2 + i6 < 10-2^2.14. 4V7=2 + i6 < 10-2^2.15. log3 ж < 2.15. log3 ж < 2.16. log06ж^l.17. 1оёж13 > log^ll.16. log06ж^l.17. 1оёж13 > log^ll.Ответы2. 3-ж > 27.— ос < ж < —34. V^"V^<^6.— ос < ж < 46. (0,4)ж < (2,5)4.—4 < х < осОтветы— ос < Ж <— 1; 2 < ж < ос-2 < ж < 33 ^ ж < оо— оо < ж < оо—3 < ж < оо— оо < ж < 11713<Ж<°°3 < ж < 110 < ж < 90,6 ^ ж < оо1 < ж < 00Ответы2. 3-ж > 27.— ос < ж < —34. V^"V^<^6.— ос < ж < 46. (0,4)ж < (2,5)4.—4 < х < осОтветы— ос < Ж <— 1; 2 < ж < ос-2 < ж < 33 ^ ж < оо— оо < ж < оо—3 < ж < оо— оо < ж < 11713<Ж<°°3 < ж < 110 < ж < 90,6 ^ ж < оо1 < ж < 00
Ответы
1.
7Ж>7~1.-К х <оо
3.
(0,3)ж < 0,027. 3 < х < оо
5.
л/З® > ^9.- < х < оо
Ответы
1.
7Ж>7~1.-К х <оо
3.
(0,3)ж < 0,027. 3 < х < оо
5.
л/З® > ^9.- < х < оо
Задачи.
Задачи.
Решить неравенства (1-32).
Решить неравенства (1-32).
13(ж + !)(ж-2) > 1.
Зж2-ж“2 < 81.
4ж+1+22ж 320.
5ж+1—5Ж-1 < 24.
2-Зж+1 -4-Зж"2 > 150.
12. 7ж+2+4-7ж"1 < 347.
13(ж + !)(ж-2) > 1.
Зж2-ж“2 < 81.
4ж+1+22ж 320.
5ж+1—5Ж-1 < 24.
2-Зж+1 -4-Зж"2 > 150.
12. 7ж+2+4-7ж"1 < 347.
13. V8®"1 > -^l2"®.
13. V8®"1 > -^l2"®.
14. 4V7=2 + i6 < 10-2^2.
14. 4V7=2 + i6 < 10-2^2.
15. log3 ж < 2.
15. log3 ж < 2.
16. log06ж^l.
17. 1оёж13 > log^ll.
16. log06ж^l.
17. 1оёж13 > log^ll.
Ответы
2. 3-ж > 27.
— ос < ж < —3
4. V^"V^<^6.
— ос < ж < 4
6. (0,4)ж < (2,5)4.
—4 < х < ос
Ответы
— ос < Ж <
— 1; 2 < ж < ос
-2 < ж < 3
3 ^ ж < оо
— оо < ж < оо
—3 < ж < оо
— оо < ж < 1
17
13<Ж<°°
3 < ж < 11
0 < ж < 9
0,6 ^ ж < оо
1 < ж < 00
Ответы
2. 3-ж > 27.
— ос < ж < —3
4. V^"V^<^6.
— ос < ж < 4
6. (0,4)ж < (2,5)4.
—4 < х < ос
Ответы
— ос < Ж <
— 1; 2 < ж < ос
-2 < ж < 3
3 ^ ж < оо
— оо < ж < оо
—3 < ж < оо
— оо < ж < 1
17
13<Ж<°°
3 < ж < 11
0 < ж < 9
0,6 ^ ж < оо
1 < ж < 00
Ответы.Ответы.18.19.20.21.18.19.20.21.22.22.23.24.25.26.23.24.25.26.27.27.28.28.29.30.29.30.31.31.32.32.log$(0,5) < log$17.log2(l —ж) > -3.lg®2 lg(5® — 4).1g (5Ж +® — 20) > ® — ®lg2. 22ж+1+2 ^ 21-2_(2ж+3\2 log4 ® - i log2 (®2 - 3® + 2) log^x2 -6ж + 5) > 0.logz._2(ж2 - 8ж +15) > 0.log1/3® > log^.3-|.log$ 2 • log2;c 2 > log4$2.logo,5log8^^ < 0-1gю1^3^21) > l + lgx.] Зж 1°§ж2 . 1 > ^’X + 11 - log ! ж < 11 + log2 ж24жк^5ж > (ж2 + 3) к^5ж.log$(0,5) < log$17.log2(l —ж) > -3.lg®2 lg(5® — 4).1g (5Ж +® — 20) > ® — ®lg2. 22ж+1+2 ^ 21-2_(2ж+3\2 log4 ® - i log2 (®2 - 3® + 2) log^x2 -6ж + 5) > 0.logz._2(ж2 - 8ж +15) > 0.log1/3® > log^.3-|.log$ 2 • log2;c 2 > log4$2.logo,5log8^^ < 0-1gю1^3^21) > l + lgx.] Зж 1°§ж2 . 1 > ^’X + 11 - log ! ж < 11 + log2 ж24жк^5ж > (ж2 + 3) к^5ж.4тгт4тгт/3 2/3 2227878. 1. 1’ 2’ 4’. 1. 1’ 2’ 4’13<Ж<113<Ж<1
Ответы.
Ответы.
18.
19.
20.
21.
18.
19.
20.
21.
22.
22.
23.
24.
25.
26.
23.
24.
25.
26.
27.
27.
28.
28.
29.
30.
29.
30.
31.
31.
32.
32.
log$(0,5) < log$17.
log2(l —ж) > -3.
lg®2 lg(5® — 4).
1g (5Ж +® — 20) > ® — ®lg2. 22ж+1+2 ^ 21-2_(2ж+3\
2 log4 ® - i log2 (®2 - 3® + 2) log^x2 -6ж + 5) > 0.
logz._2(ж2 - 8ж +15) > 0.
log1/3® > log^.3-|.
log$ 2 • log2;c 2 > log4$2.
logo,5log8^^ < 0-
1gю1^3^21) > l + lgx.
] Зж 1
°§ж2 . 1 > ^’
X + 1
1 - log ! ж < 1
1 + log2 ж2
4жк^5ж > (ж2 + 3) к^5ж.
log$(0,5) < log$17.
log2(l —ж) > -3.
lg®2 lg(5® — 4).
1g (5Ж +® — 20) > ® — ®lg2. 22ж+1+2 ^ 21-2_(2ж+3\
2 log4 ® - i log2 (®2 - 3® + 2) log^x2 -6ж + 5) > 0.
logz._2(ж2 - 8ж +15) > 0.
log1/3® > log^.3-|.
log$ 2 • log2;c 2 > log4$2.
logo,5log8^^ < 0-
1gю1^3^21) > l + lgx.
] Зж 1
°§ж2 . 1 > ^’
X + 1
1 - log ! ж < 1
1 + log2 ж2
4жк^5ж > (ж2 + 3) к^5ж.
4тгт
4тгт
/3 2
/3 2
2
2
7
8
7
8
. 1. 1
’ 2’ 4’
. 1. 1
’ 2’ 4’
1
3<Ж<
1
1
3<Ж<
1
§10. Тригонометрические неравенства
Простейшие тригонометрические неравенства
С простейшими тригонометрическими неравенствами мы позна
тотокомились в начале изучения тригонометрии. Например, мы отмечали,
то
то
что если аргумент х изменяется в пределах I четверти
тригонометрические функции sin ж и cos ж изменяются соответствен
но так:но так:0 < sin ж ^ 1,0 < sin ж ^ 1,1 > cos ж > 0.1 > cos ж > 0.
но так:
но так:
0 < sin ж ^ 1,
0 < sin ж ^ 1,
1 > cos ж > 0.
1 > cos ж > 0.
Законы изменения тригонометрических функций при изменении аргумента ж и лежат в основе решения тригонометрических неравенств.
При решении этих неравенств в качестве вспомогательного средства часто используются графики соответствующих тригонометрических функций или тригонометрический круг.
Решим сначала простейшие неравенства.
Примеры.
sin ж > 0.
Решение. Функция sin ж положительна в I и II четвертях.
Если 0 < ж ^ ^, то 0 < sin ж 1; если ^ < ж < тг, то 1 > sin ж > 0.
Первым интервалом, на котором выполняется данное неравенство, можно считать интервал 0 < ж < тг.
При сдвиге интервала (0; тг) влево и вправо на расстояние, кратное 2тг, получим бесчисленное множество интервалов, на которых выполнено данное неравенство.
Ответ*. 0 + 2&тг < х < тг + 2^тг, k Е Z.
- < sin ж < -.
32
Решение. 1-й способ. Воспользуемся графиком — синусоидой (рис. 55).
На графике функции у = sin ж в интервале (0; 2тг) отметим точки . 1. 11
жх = arcsin -, Ж4 = тг — arcsin -, синус которых равен -, а также точки тг 35313
ж2 = — и жз = - тг, синус которых равен -. 662
Эти четыре точки разбивают весь интервал (0; 2тг) на пять промежутков: (0; жх); (жх; Ж2); (Ж2; жз); (жз; Ж4); (Ж4; 2тг). Исследуя изменение
sin ж на каждом из этих промежутков, мы убеждаемся, что исходное
. 1ТГ 5. 1arcsin - < ж < —и - тг < ж < тг — arcsin -.3663. 1ТГ 5. 1arcsin - < ж < —и - тг < ж < тг — arcsin -.3663неравенство < sin ж < выполняется в интервалах (жх; Ж2) и (жз; Ж4), т. е.3
. 1ТГ 5. 1
arcsin - < ж < —и - тг < ж < тг — arcsin -.
3663
. 1ТГ 5. 1
arcsin - < ж < —и - тг < ж < тг — arcsin -.
3663
Переходя от интервала (0; 2тг) ко всей числовой оси и учитывая, что период синуса равен 2тг, окончательно получаем ответ*.
. 1ТГ5. 1
arcsin - + 2ктг < ж < — + 2&тг; -тг + 2ктг < ж < тг — arcsin - + 2ктг.
2-й способ. В интервале 0 < ж < ^ (I четверть) функция sin ж положительна и возрастает, изменяясь от нуля до единицы: 0 < sin ж < 1. В интервале < ж < тг (II четверть) эта функция положительна и убывает, изменяясь от единицы до нуля: 1 > sin ж > 0. В промежутке (тг; 2тг) синус отрицателен. Следовательно, в промежутке (0; 2тг) существуют два интервала, в которых выполняется данное неравенство:
. 1. 1. 1. 1
arcsin - < ж < arcsin - и тг — arcsin - < ж < тг — arcsin -.
3223
. 1тг5. 1
Ответ*, arcsin - + 2ктг < ж < — + 2&тг; - тг + 2ктг < ж < тг — arcsin - + + 2&тг.3663
I tg ж| < 1.
Решение. За первый интервал, на котором выполняется это не- 7Г7Г
равенство, можно принять интервал — — < х < —.
Ответом является множество интервалов: — —+ &тг < х < —+ &тг.
2со822ж -1 > 0.
Решение. Известно, что 2 cos2 2ж = 1 + cos 4х, поэтому данное неравенство равносильно неравенству соз4ж ^ 0, из которого получаем 2ктг — — 4ж — + 2ктг.
2
ктг 7Г / 7Г , ктг Ответ*.< х < —.
2882
Тригонометрические неравенства,сводящиеся к квадратным неравенствамили к системам неравенств
Примеры.
2sin2f— ж) — 3cosf+ ж) +1 > 0. \47\47
Решение.1 аккакcos— + ж= sin — — ж ,то2 sin—— ж—
/ х\47\47\47
-3sin ^-ж +1 > 0. \47
Положим sin (- — ж)= у.Тогдаf(y)= 2у2 — 3у +1> 0; здесьD >0,
а > 0, корни трехчлена у\ = 1; У2 — -• Следовательно, f(y) > 0 при 12
у > 1 и при у < -. Имеем:
) sin^ — ж) > 1; неравенство не имеет решений, так как
I • /тг1
sin — — ж <1;
I \471
) sin |— ж | < - или sin (ж —откуда 2тг& —< ж —<
\472V 472’6174
< - тг + 2тг^ и окончательно получаем ответ*. 2тг^ + ^<ж < j^ ^ + 2тг^.
2 tg$ >2
1+tg X
Решение. При ж = — (2/^ + 1) и ж = — (4/^ — 1) левая часть неравенства не определена. ntg ж + 2
Решая неравенство, имеем — < 0.
Jtg$<-2, +tg$
Система <не имеет решения.
[ tg ж > f tg ж > —2, Система <имеет решение —2 < tg ж < — 1.
[ tg ж <
Ответ*, irk + arctg(—2) < ж < — ^ + тг&.
Неравенства, решаемые с помощью теоремслозюения
Примеры.
cos х cos 2ж > sin х sin 2ж.
Решение. Применяя формулу cos a cos (3 — sin a sin (3 = cos ^a-V (3\ получаем cos3x > 0, откуда 2тг& — ^ < Зж < ^ + 2тг&.
Ответ*, -тгк — — < х < — + - тгк. 3663
sin ж + V5 cos ж = 0.
Решение. Разделив обе части неравенства на 2, получаем 1 •. л/З . 7Г .7Г f TV \
- sin ж Нcos ж < 0, или sin - sin ж + cos - cos ж < 0, или cos ж< 226 $6\6/
< 0, откуда 2тг& + —<ж — —<-тг + 2тг&.
25
Ответ: 2тг& + - тг < ж < - тг + 2тгк.
Неравенства, решаемые с использованием формулудвоения аргумента
Примеры.
^sin^-cos^ <8ШЖ.
Решение.1 аккакsin —h cos— = 1, а 2 sin — cos — = sin ж, то
! 22’22^’
— sin ж < sin ж,илиsin ж> -, откудаполучаем ответ: 2тг& + — < ж <
к26
< — тг + 2тгк.
6
sin2ж>cosж.
Решение. Имеем 2 sin ж cos ж > cos ж, или cosж(2sinж — 1) > 0. Данное неравенство равносильно двум системам неравенств: {cos ж > 0,( cos ж < 0,
.1< .1
sin ж >sin ж < -.
2’ I 2
Ответ: 2ivk + ^ < ж < ^ + 2тг&; 2ivk + ^<ж<|тг + 2ivk.
Неравенства, решаемые с использованием формулпреобразования суммы тригонометрических функцийв произведение и произведения в сумму
1. sin ж + cos ж1. sin ж + cos ж< V2.< V2.Примеры.
1. sin ж + cos ж
1. sin ж + cos ж
< V2.
< V2.
Решение.Решение.Применяя формулу sin ж + cos ж = V2 cos
Решение.
Решение.
задачу 1447 раздела II) и сократив обе части неравенства на V2,
при любых значени-при любых значени-/тг \ях \х —-\4 7/тг \ях \х —-\4 7получаем cos (ж — ^J < 1. Но cos (ж — ^J < 1 , кроме чисел вида ‘Ink.
при любых значени-
при любых значени-
/тг \
ях \х —-
\4 7
/тг \
ях \х —-
\4 7
Ответ*. х — любое действительное число, кроме чисел вида ^ + 2тг&.
2. sinж 8тЗж > 8т5ж 8т7ж..
,.. Q cos (o - p) - cos (o + P)
Решение. Применим формулу sin a sin p =—,
cos2a? —cos4a? cos2a? —cosl2a?.
тогда > , откуда cos4x < со812ж, или
cos4x — cos 12ж < 0.
Используя формулы разности косинусов и синуса удвоенного аргумента, получаем 48т24ж • соз4ж < 0. Так как 8т24ж > 0 при всех ж, кроме ж = (при которых 8т24ж обращается в нуль), то соб4ж < 0, откуда 2тг& + — < 4ж < - тг + 2тг^. Из этого интервала нужно исключить значения 4ж = тг + 2тг^, обращающие в нуль левую часть полученного неравенства.
Ответ*.<хк < х < к.
28424282
Неравенства, решаемые с использованием формулt• 2 Ct«2 Ct
1 —cos ct = 2 sin — и 1 + cos ct = 2 cos —
22
Примеры.
COS Ж + tg Ж < 1 + sin Ж.
Решение. Точки вида ^(2& + 1), к Е Z, из рассматриваемого множества исключаются. Выполним соответствующие очевидные преобразования:
cos ж — 1 +tg ж — sin ж < 0;cos ж — 1 — tg ж(со8ж — 1) < 0;
(cosж-l)(l-tg ж) < 0; (l-cosж)(l-tg ж) > 0; 2 sin2 ^ (1-tg ж) > 0.
Так как 2sin2 ^ ^ 0, то 1 — tg ж > 0, или tg ж < 1. Значения ж, при которых 2 sin — = 1), следует при этом исключить.
Ответ*, пк — ^ < ж < ^ + тг&, причем ж / 2тгп.
cos3 ж cosЗж — sin3 ж sinЗж > |.
Решение. Запишем это неравенство в следующем виде:
cos ж • cos Зж • cos2 ж — sin ж • sin Зж • sin2 ж > -.
Так как
о cos2a? + cos4a? .. о cos2a? —cos4a?
cos ж • cos Зж =, sin ж • sin Зж =
тотоо l + cos2a? . 91 —cos2a?cos x = и sin ж =о l + cos2a? . 91 —cos2a?cos x = и sin ж =2222
то
то
о l + cos2a? . 91 —cos2a?
cos x = и sin ж =
о l + cos2a? . 91 —cos2a?
cos x = и sin ж =
2
2
2
2
(со8 2ж + со84ж)(1 + со8 2ж)(со8 2ж — со84ж)(1 — со8 2ж)5
44> 8 ’
Выполнив указанные действия, получаем
2со8 4ж + 2со822ж > |;
531
далее, 2соз4ж + 1 + соз4ж > -, откуда Зсоз4ж > -, или соз4ж > -; тогда 2тг& — ^ < 4ж < ^ + 2тг&.
Ответ*. к -< х < к.
Д 1Д1 Д Д
Неравенства, решаемые с использованиемметода интервалов
Примеры.
sin ж —29
Л • 27 >
4sin ж —1
Решение. Здесь х / ^ + 2тг&. Это неравенство равносильно не-
sin ж—8 sin2 жЛ
действу 2> U.
4sin ж — 1
Преобразуем его следующим образом:
ВзтДзтж —зтж(зтж —
Xлх8'/ л
j5—— > 0, или j5—— < 0.
4(sinж + -) (sinж — -)(sinж + -) (sinж — -)
Далее можно положить sin ж = у (0 ^ \у\ ^ 1) и решать неравенство методом интервалов.
Получим интервалы:-< sin ж <-и— -< sin ж<0.
1тг51
Ответ:2&тг + arcsin -<ж <— +2&тг:2^тг + -тг <ж< тг — arcsin - +
тг86у68
+ 2&тг; 2ктг< ж < 2&тг; 2&тг+тг < ж <-тг+2&тг.
66
tg2»-2 < 1
tg2® — 12
Указание. Положить tg2ж = t (^ 0) и решить неравенство t-21
1-1 < 2'
Ответ: &тг + — < ж < — + &тг; ки — — < ж < — — + &тг. 4334
Неравенства других типов
Примеры.
2sin4ж — 3sin2ж + 1 > 0.
Решение. Выразив заданные функции через соз2ж, получаем равносильное неравенство со822ж + со8 2ж > 0, которое, в свою очередь, равносильно совокупности двух систем неравенств:
f со8 2ж + 1 >0,( со8 2ж + 1 < 0,
а)6М
[ cos2ж > 0;[ cos2ж < 0.
Первое неравенство системы (а) справедливо при всех ж, кроме тех, при которых соз2ж = — 1, т. е. при х = — + &тг. Из второго неравенства системы (а) следует, что
— + 2&тг < 2ж <+ 2&тг, или — + ки < х <.
2244
Система (б) несовместна, так как первое неравенство этой системы не имеет решений. Следовательно, решения системы (а) являются решениями данного неравенства.
Ответ*. — + ки < х <.
44
sin2 х + i sin22ж > cos2x.
44
Решение. Данное неравенство можно записать так:
5(1-со8 2ж) + 2(1-со822ж) > 8cos2x, или 2со822ж + 13со8 2ж - 7 < 0.
Заменяя соз2ж на у (0 ^ \у\ ^ 1), получаем квадратное неравенство 2у2 + 13т/ — 7 < 0, выполняющееся при — 7 < у < .
12
Итак, —7 < соз2ж < -, что, очевидно, равносильно неравенству
12
cos2ж < -, поскольку неравенство — 7 < cos2ж выполняется при любом ж.
Ответ*. ^ + ^тг<ж<-^ + ки.
66
аАшж + д/со8ж > 1.
Решение. Область определения левой части неравенства находится из условий sin ж 0 и со8ж^0, т.е. 2&тг ж 2&тг + —.
При ж = 2ктг и при ж = 2ктг + — сумма аАшж + д/со8ж обращается в единицу.
Если же 2ктг < ж < 2ктг + —, тоЕсли же 2ктг < ж < 2ктг + —, тод/бШЖ > Sin2 Ж И у/СО8Ж > cos2 ж и,
Если же 2ктг < ж < 2ктг + —, то
Если же 2ктг < ж < 2ктг + —, то
следовательно, Vsin~^+^созж > 1.
Ответ*. 2ки < ж <2ки + ^-
(
1 \2sina?/ 1 \sina?
4/\4/.
\Sin X
^j = У (у > 0), получим yz-3y + 2 < 0, откуда (у-1)(у-2) < 0.
\Sin X
4/
(
^ \ sin X
-j > 1. Основание показательной функции меньше 1, поэтому значение функции больше 1 при отрицательных значениях показателя степени, т. е. при sin ж < 0.
(
1 \sina?
-< 2 или 2-2sin$ < 2.
4/
Показательная функция при основании, большем 1, — возрастающая, поэтому —2 sin ж < 1, или sin ж > — -.
Итак, — | < sin ж < 0, откуда следует ответ*.
77Г
2тг& + тг < ж < - тг + 2тг&:2тг^ — — < ж < 2тг^.
66
5 + 2со82ж < 3|28тж - 1|.
Решение. Рассмотрим два случая.
sin ж -. Тогда данное неравенство равносильно следующей системе неравенств: sin ж ^ | и 5 + 2(1 — 2 sin2 ж) ^ 3(2 sin ж — 1).
Преобразуем второе неравенство так: 5 + 2(1 — 2 sin2 ж) — 3(2 sin ж — 1) ^ ^ 0, откуда получаем 2sin2ж + 3sinж — 5^0; далее,
2 sin2 ж + 5 sin ж — 2 sin ж — 5 =
= sin ж(2 sin ж+ 5) — (2 sin ж+ 5) = (2 sin ж+ 5) (sin ж — 1) ^ 0.
Так как 2 sin ж + 5 > 0, то sin ж — 1 ^ 0 и мы имеем sin ж ^ i и sin ж .7Г
1. Это возможно только при sin ж = 1 и, значит, ж = — + 2&тг.
sin ж < - . В этом случае данное неравенство равносильно системе: 8тж<| и 5 + 2(1 —2sin2ж) < 3 — 6sinж, или sinж<| и 2(sinж — 2)х х ^пж + ^0. Так как sinж — 2 < 0 при всех ж, то имеем такую
V1•/1 п/ 15
систему: sin ж < - и sin ж ^ — -. Отсюда sin ж ^ — - и, значит, —
6’
Ответ*. ж = ^ + 2&тг: — - тг + 2&тг ж + 2&тг. 266
Найти область определения функции у = \/Т^соТж.
Решение. Должно выполняться условие lg cos ж ^ 0. Но этому неравенству должно соответствовать неравенство cos ж ^ 1, что возможно только при cos ж = 1, откуда ж = 2ктг.
Ответ*, х = 2&тг.
Задачи.Решить неравенства (1-28).sin ж > -.|sina:| 1.„ ., Узsin ж —.Задачи.Решить неравенства (1-28).sin ж > -.|sina:| 1.„ ., Узsin ж —.Ответи.+ 2ктг < ж < тг + 2ктг.66ктг —^ х ^+ kiv.662ктг — ^ тг ж ^ ^ + 2ктг.Ответи.+ 2ктг < ж < тг + 2ктг.66ктг —^ х ^+ kiv.662ктг — ^ тг ж ^ ^ + 2ктг.
Задачи.
Решить неравенства (1-28).
sin ж > -.
|sina:| 1.
„ ., Уз
sin ж —.
Задачи.
Решить неравенства (1-28).
sin ж > -.
|sina:| 1.
„ ., Уз
sin ж —.
Ответи.
+ 2ктг < ж < тг + 2ктг.
66
ктг —^ х ^+ kiv.
66
2ктг — ^ тг ж ^ ^ + 2ктг.
Ответи.
+ 2ктг < ж < тг + 2ктг.
66
ктг —^ х ^+ kiv.
66
2ктг — ^ тг ж ^ ^ + 2ктг.
cos2ж(tgж + l) > 1.cos2ж(tgж + l) > 1.д/З sec2 х — 4tg х < ctg | тг.5sin4x + cos4x • ctg 2ж > tg - тг.8т2ж + 2со82ж > О, если 0 < х < 2тг.д/З sec2 х — 4tg х < ctg | тг.5sin4x + cos4x • ctg 2ж > tg - тг.8т2ж + 2со82ж > О, если 0 < х < 2тг.14. 8тЗж<8тж.14. 8тЗж<8тж.2&тг + тг < х <2&тг + тг < х <15.16.17.18.15.16.17.18.cos3 х • cos Зж + sin3 х • sin Зж >cos3 х • cos Зж + sin3 х • sin Зж >cos3 х • sin Зж + cos Зж • sin3 x <cos3 х • sin Зж + cos Зж • sin3 x <<^ —| sin ж —1/2| > tg2# —21tg2# —12<^ —| sin ж —1/2| > tg2# —21tg2# —12тг3тг319. sin2x — 2sinx — 1 < 0,19. sin2x — 2sinx — 1 < 0,если 0 ж < 2тг.если 0 ж < 2тг.18'18'38'38'к — — arctg 2 ^ ж < — 7 + &. тг4ku < X < v + ^7T- 4^ + kiv < x < ^ + kiv.— <ж< — (4A; + 1).0 < ж < -; -тг < x < -тг;7- iv < x < 2тг.4‘Ikiv + ^<ж<7тг + 2&тг; 447 тг + 2&тг; ‘Ikiv — ^ < ж < ‘Ikiv. 4’4kiv — — < ж < kiv + —. 66kiv . тг5тг , kivТ + Й<Ж< 24+Т"2&тг — ^ < ж < 2&тг + 7 тг. 66kiv — kiv + -т < ж < kiv + —.443О ^ ж < тг — arcsin (1 — V^);к — — arctg 2 ^ ж < — 7 + &. тг4ku < X < v + ^7T- 4^ + kiv < x < ^ + kiv.— <ж< — (4A; + 1).0 < ж < -; -тг < x < -тг;7- iv < x < 2тг.4‘Ikiv + ^<ж<7тг + 2&тг; 447 тг + 2&тг; ‘Ikiv — ^ < ж < ‘Ikiv. 4’4kiv — — < ж < kiv + —. 66kiv . тг5тг , kivТ + Й<Ж< 24+Т"2&тг — ^ < ж < 2&тг + 7 тг. 66kiv — kiv + -т < ж < kiv + —.443О ^ ж < тг — arcsin (1 — V^);20.21.22.20.21.22.|sina;-l||sina;-l|2тг + arcsin (1 — V5) < ж < 2тг.2тг + arcsin (1 — V5) < ж < 2тг.< 1, если 0 ^ ж ^ 2тг.< 1, если 0 ^ ж ^ 2тг.| cos2 ж — cos ж — -1 > -, если 0 ^ ж ^ тг.tg ж > cos ж, если 0 ^ ж < ^.| cos2 ж — cos ж — -1 > -, если 0 ^ ж ^ тг.tg ж > cos ж, если 0 ^ ж < ^.1-V5 arccos —-—1-V5 arccos —-—. V5-1 arcsin —-—. V5-1 arcsin —-—тгтгОтветы.
cos2ж(tgж + l) > 1.
cos2ж(tgж + l) > 1.
д/З sec2 х — 4tg х < ctg | тг.
5
sin4x + cos4x • ctg 2ж > tg - тг.
8т2ж + 2со82ж > О, если 0 < х < 2тг.
д/З sec2 х — 4tg х < ctg | тг.
5
sin4x + cos4x • ctg 2ж > tg - тг.
8т2ж + 2со82ж > О, если 0 < х < 2тг.
14. 8тЗж<8тж.
14. 8тЗж<8тж.
2&тг + тг < х <
2&тг + тг < х <
15.
16.
17.
18.
15.
16.
17.
18.
cos3 х • cos Зж + sin3 х • sin Зж >
cos3 х • cos Зж + sin3 х • sin Зж >
cos3 х • sin Зж + cos Зж • sin3 x <
cos3 х • sin Зж + cos Зж • sin3 x <
<^ —| sin ж —1/2| > tg2# —21
tg2# —12
<^ —| sin ж —1/2| > tg2# —21
tg2# —12
тг
3
тг
3
19. sin2x — 2sinx — 1 < 0,
19. sin2x — 2sinx — 1 < 0,
если 0 ж < 2тг.
если 0 ж < 2тг.
1
8'
1
8'
3
8'
3
8'
к — — arctg 2 ^ ж < — 7 + &. тг4
ku < X < v + ^7T- 4
^ + kiv < x < ^ + kiv.
— <ж< — (4A; + 1).
0 < ж < -; -тг < x < -тг;
7
- iv < x < 2тг.
4
‘Ikiv + ^<ж<7тг + 2&тг; 44
7 тг + 2&тг; ‘Ikiv — ^ < ж < ‘Ikiv. 4’4
kiv — — < ж < kiv + —. 66
kiv . тг5тг , kiv
Т + Й<Ж< 24+Т"
2&тг — ^ < ж < 2&тг + 7 тг. 66
kiv — kiv + -т < ж < kiv + —.
443
О ^ ж < тг — arcsin (1 — V^);
к — — arctg 2 ^ ж < — 7 + &. тг4
ku < X < v + ^7T- 4
^ + kiv < x < ^ + kiv.
— <ж< — (4A; + 1).
0 < ж < -; -тг < x < -тг;
7
- iv < x < 2тг.
4
‘Ikiv + ^<ж<7тг + 2&тг; 44
7 тг + 2&тг; ‘Ikiv — ^ < ж < ‘Ikiv. 4’4
kiv — — < ж < kiv + —. 66
kiv . тг5тг , kiv
Т + Й<Ж< 24+Т"
2&тг — ^ < ж < 2&тг + 7 тг. 66
kiv — kiv + -т < ж < kiv + —.
443
О ^ ж < тг — arcsin (1 — V^);
20.
21.
22.
20.
21.
22.
|sina;-l|
|sina;-l|
2тг + arcsin (1 — V5) < ж < 2тг.
2тг + arcsin (1 — V5) < ж < 2тг.
< 1, если 0 ^ ж ^ 2тг.
< 1, если 0 ^ ж ^ 2тг.
| cos2 ж — cos ж — -1 > -, если 0 ^ ж ^ тг.
tg ж > cos ж, если 0 ^ ж < ^.
| cos2 ж — cos ж — -1 > -, если 0 ^ ж ^ тг.
tg ж > cos ж, если 0 ^ ж < ^.
1-V5 arccos —-—
1-V5 arccos —-—
. V5-1 arcsin —-—
. V5-1 arcsin —-—
тг
тг
4.
2 cos ж +1 > 0.
2
Ikiv — - тг <
ж <
2
- тг + 2/^тг.
5.
21
COS Ж > - .
&тг+ у ’ 4
< ж <
3, 7
< - тг + kiv.
4
6.
sin(Зж + 2) < |.
2 727
, ТГ
' 18 "
2,2.
"3 + 3fc7r-
7.
— 1 < ctg ж < 2.
arcctg2 + kiv *
< ж <
< 7 TV + kiv.
4
8.
|sinж| < |сО8ж|.
— + kiv < ж 4
' < 7- + kiv. 4
9.
1 < | tg тгж|2.
+ 7 < ж 4
< 1
тг
arctg 2 + k;
| sin ж| > ctg ж, если О < х < 2тг, ж ^ тг.
| sinж| > | С08ж|, если О < х < 2тг.
V3-4cos2x > Збшж-Ц.
sin (cos ж) < 0.
Ответи.Ответи.7112&7Г + -7Г^Ж^—тг + 2&7Г.66тг32&7Г + — < Ж < - 7Г + 2&7Г.7112&7Г + -7Г^Ж^—тг + 2&7Г.66тг32&7Г + — < Ж < - 7Г + 2&7Г.tg^ ^ |1 — 2ctg^|.tg^ ^ |1 — 2ctg^|.^1/28шж > 1.^1/28шж > 1.ku < ж <+ ku* — + ки < ж < ки.
Ответи.
Ответи.
711
2&7Г + -7Г^Ж^—тг + 2&7Г.
66
тг3
2&7Г + — < Ж < - 7Г + 2&7Г.
711
2&7Г + -7Г^Ж^—тг + 2&7Г.
66
тг3
2&7Г + — < Ж < - 7Г + 2&7Г.
tg^ ^ |1 — 2ctg^|.
tg^ ^ |1 — 2ctg^|.
^1/28шж > 1.
^1/28шж > 1.
44
2&тг < ж <+ 2&тг;
5
2ктг + -7г<ж<тг + 2ктг.
6
§11. Применение тригонометрических функцийв стереометрии
Примеры.
В шар радиуса R вписан прямоугольный параллелепипед, диагональ которого образует с меньшей боковой гранью угол а. Диагональ основания образует с большей стороной основания угол р. Найти боковую поверхность параллелепипеда.
Решение. На рис. 56 изображен прямоугольный параллелепипед, вписанный в шар. Точка пересечения диагоналей прямоугольного
параллелепипеда одинаково удалена от всех его вершин. Отсюда следует, что центром шара является середина диагонали. Диагональ Вф меньшей боковой грани ВВуфС служит проекцией диагонали BDi параллелепипеда на эту грань, так как П1Ф ± ВВ^фС.
Имеем \ОВ\ = R, фВф = a, ABD = = р. Пусть S — боковая поверхность параллелепипеда. Тогда
S = 2(|AB| + |AD|).|AA1|.
Таким образом, следует найти |ЛВ|, |ЛВ|, \ААг\.
Из прямоугольного треугольника ВуВф
имеем
\АВ\ = |В1С1| = |BDi| sin a = 2Bsina; |BCi| = |BDi| cosa = 2Bcosq. Из прямоугольного треугольника ABD находим
|ЛВ| = |ЛВ| tg Р = 2Bsina tg р.
Из прямоугольного треугольника ВС\С находим |ССт| = V\BC^-\BC\^.
Подставив значения |BCi| и |ВС| = |ЛВ| в выражение для |CCi|, имеем
|ЛЛ1| = ice'll = ДяCOS2 а - 4Л2sin2atg2^ =
= д/cos2 a cos2 /3 — sin2 a sin2 /3 = д/cos (а — /3) cos (а + /3). cos/3 Vcos/3
Подставляем найденные выражения для |ЛВ|, |ЛВ| и |ЛЛ1| в формулу боковой поверхности:
S = 2 (2В sin а + 2В sin a tg Р) •Vcos (а — Р) cos (а + Р) =
7Г V2cos — = —, то получаем7Г V2cos — = —, то получаемТак как 1+ tg /3 = tg ^ + tg /3 = ответ:Так как 1+ tg /3 = tg ^ + tg /3 = ответ:cos —•cos В4cos —•cos В4= ^Д" (1+tg /3) a/cos (а -/3) cos(a + /3).
7Г V2
cos — = —, то получаем
7Г V2
cos — = —, то получаем
Так как 1+ tg /3 = tg ^ + tg /3 = ответ:
Так как 1+ tg /3 = tg ^ + tg /3 = ответ:
cos —•cos В
4
cos —•cos В
4
8 V5 В2 sin а • sin+ рА
S =5Vcos (аВ- Р) cos (а — Р).
cos р
S60K = -ZS^sab+Masad = \АВ\ ■ \SB\ + \AD\■ |SX|;
S6oK = a(|SB| + |SK|).(1)
Из прямоугольного треугольника АВ К, где АВ К = Р — —, получаем, х2
\КВ\ = а • cos (р — ^J = cz,sin/3.
Из прямоугольного треугольника SKB имеем
|SB| = |KB|-tga = asin^tga; \SK\ = 2^1 = cos аcosа
Подставляя значения \SB\ и |SK| в равенство (1), получаем ответ*. с, asin/3\ 2 • ^1 + sino
5бок = cl a sin р tg а Н= a sin р =
\coso /coso
= a smp= 2а sinр cos — — — secа.
р coso\42/
3. Основанием пирамиды служит квадрат со стороной а; две боковые грани пирамиды перпендикулярны основанию, а большее боковое ребро наклонено к основанию под углом р. В пирамиду вписан прямоугольный параллелепипед с основанием в виде квадрата так, что четыре вершины его находятся на боковых ребрах пирамиды,
а четыре другие вершины — на основании пирамиды. Вычислить объем параллелепипеда, зная, что диагональ его образует с плоскостью основания угол а (рис. 58).
Решение. Две боковые грани параллелепипеда совпадают с боковыми гранями пирамиды AS В и С SB, которые пересекаются по ребру ВуВ, перпендикулярному плоскости основания пирамиды. Вершина основания параллелепипеда совпадает с вершиной основания пирамиды — точкой В. Наклонная SD имеет своей проекцией диагональ BD квадрата.
Диагональ В К основания параллелепипеда является частью диагонали BD квадрата в основании пирамиды. Четырехугольник BFKE представляет собой квадрат и \ЕК\ = |КВ|. Тогда
Кар = |ЕК|2-|КК1| = Ж2У,
где \ЕК\ = х и |KKi| = у, \ВК\ = xV^ как диагональ квадрата.
Из ZXBByK находим |BBi| = xV^tga, но |BBi| = |KKi| = у, следовательно, у = xV^tga. Треугольники KKyD и BSD подобны, поскольку К Ку || SB как два перпендикуляра к одной плоскости. Из подобия треугольников имеем
28 В. А. Бачурин
\КК0 _ \КР\|SB| \BD\-
Из &SBD находим |SB|; | SB | = a V^ tg 0, и далее \KD\ = \BD\-\BK\ = aV^-xV^=V^a-xY
Заменяя члены пропорции их выражениями, получаем х V5 tgа _ V^a — xYxtga _ а — х
aV^A^ aV^ ’аЧ0 а- ’
откуда
_ dtg/3 _ atg 0 • coso cos 0 _ a sin 0 • cos о . tgo + tg/3 sin(a + /3) sin(a + /3) ’
у = x V^ tg a =у = x V^ tg a =a V5 sin/3 -sinaa V5 sin/3 -sinasin (a + 0)sin (a + 0)
у = x V^ tg a =
у = x V^ tg a =
a V5 sin/3 -sina
a V5 sin/3 -sina
sin (a + 0)
sin (a + 0)
Ответ*. Vnap = x^y =Ответ*. Vnap = x^y =00 V7! sin3 0 • sin a • cos2 a00 V7! sin3 0 • sin a • cos2 asin3(a + 0)sin3(a + 0)
Ответ*. Vnap = x^y =
Ответ*. Vnap = x^y =
00 V7! sin3 0 • sin a • cos2 a
00 V7! sin3 0 • sin a • cos2 a
sin3(a + 0)
sin3(a + 0)
4. Основанием пирамиды служит треугольник, два угла которого4. Основанием пирамиды служит треугольник, два угла которого
4. Основанием пирамиды служит треугольник, два угла которого
4. Основанием пирамиды служит треугольник, два угла которого
равны а и 0. Высота пирамиды равна Л, а боковые ребра ее одинаково наклонены к плоскости основания под углом (р. Вычислить объем пирамиды.
Решение. Так как все боковые ребра пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, то ее высота проходит через центр окружности, описанной вокруг основания пирамиды, — точку О (рис. 59). Из треугольника QOA имеем
|ОЛ| = R = h- ctg tp.
Известно, что сторона треугольника равна диаметру описанной окружности, умноженному на синус противолежащего угла. Поэтому
|ВС| = а = 2Bsina = 2/zctg (/? • sin a;
|ЛС| = b = 2/zsin^ = 2/zctg ф-sin^.
Площадь основания пирамиды:
SOCH = | ab sin AC В = | • 4Л2 • ctg2 (/? sin a • sin 0 • sin (тг — (a + 0Y =
= 2A2ctg2(/? • sin a • sin 0 • sin (a + 0).
Получаем ответ*. V = | h,SOCH = | h^ctg^cp • sin a • sin 0 • sin (a + 0).
В прямой круговой конус вписан шар. Найти полную поверхность конуса, если известно, что угол при вершине осевого сечения конуса равен ср, а площадь большого круга равна А.
Решение. На рис. 60 изображено осевое сечение фигуры. Полная поверхность конуса 5ПОЛн = 7гг2 + тгг/, где г и / — соответственно
Рис. 60Рис. 60Рис. 61Рис. 61
Рис. 60
Рис. 60
Рис. 61
Рис. 61
радиус основания конуса и его образующая; по условию,радиус основания конуса и его образующая; по условию,площадьплощадьбольшого круга тгВ2 = А, отсюда радиус шара Определим теперь г и I:большого круга тгВ2 = А, отсюда радиус шара Определим теперь г и I:СВО =СВО =7Г —,4’7Г —,4’
радиус основания конуса и его образующая; по условию,
радиус основания конуса и его образующая; по условию,
площадь
площадь
большого круга тгВ2 = А, отсюда радиус шара Определим теперь г и I:
большого круга тгВ2 = А, отсюда радиус шара Определим теперь г и I:
СВО =
СВО =
7Г —,
4’
7Г —,
4’
= \CB\ = Rctg (j-= \CB\ = Rctg (j-, 7Г - </? ctg^-;, 7Г - </? ctg^-;l = \DB\l = \DB\ГГsin — 2sin — 2^полн^полнг \2 I = 7Гг sin — / 2 /г \2 I = 7Гг sin — / 2 /1 + sin —21 + sin —2• V sin — 2• V sin — 22тгг2 .—~ • cos sin —22тгг2 .—~ • cos sin —22 / 7Г1 \42 / 7Г1 \44/4/Заменяя г2 наЗаменяя г2 наI—L получаем ответ*.£ СОо Q = 4ПОЛИ .. 2 7Г — ф 'sin — sin -I—L получаем ответ*.£ СОо Q = 4ПОЛИ .. 2 7Г — ф 'sin — sin -2244
= \CB\ = Rctg (j-
= \CB\ = Rctg (j-
, 7Г - </? ctg^-;
, 7Г - </? ctg^-;
l = \DB\
l = \DB\
Г
Г
sin — 2
sin — 2
^полн
^полн
г \2
I = 7Гг sin — / 2 /
г \2
I = 7Гг sin — / 2 /
1 + sin —
2
1 + sin —
2
• V sin — 2
• V sin — 2
2тгг2 .
—~ • cos sin —
2
2тгг2 .
—~ • cos sin —
2
2 / 7Г
1 \4
2 / 7Г
1 \4
4/
4/
Заменяя г2 на
Заменяя г2 на
I—L получаем ответ*.£ СОо
Q = 4
ПОЛИ .. 2 7Г — ф '
sin — sin -
I—L получаем ответ*.£ СОо
Q = 4
ПОЛИ .. 2 7Г — ф '
sin — sin -
2
2
4
4
ромб с острым углом —. Вычис-ромб с острым углом —. Вычис-Прямой параллелепипед, имеющий в основании ромб со стороной а и острым углом а, пересечен плоскостью, проходящей через вершину угла а и дающей в сечении лить площадь этого сечения.
ромб с острым углом —. Вычис-
ромб с острым углом —. Вычис-
Решение. На рис. 61 изображен данный параллелепипед ABCDAiBiCiDi и сечение BNKM^ площадь которого необходимо вычислить. Площадь 5сеч ромба BNKM равна 5сеч = ^ * |^^|' \ВК\ = = 2|MOi| • |BOi|. Из треугольника МО\В, где МВО\ = ^, находим |BOi| = |MOi| -ctg ^. Следовательно,
5Ce4 = 2.|MO1|2.ctg^ = 2.HO|2.ctg^.
Отрезок АО находим из треугольника АОВ, где |ЛВ| = а и АВО = = ^. Получаем | АО | = a sin .
Ответ*. Sce4 = 2а2 sin2 ^ ctg ^.
Задачи.
Из центра О правильного треугольника АВС, сторона которого равна а, проведен перпендикуляр к плоскости треугольника; на нем взята точка М так, что отрезок ^МА^ = а; затем из М проведен отрезок МD ± АС. Вычислить угол ср между МD и плоскостью треугольника АВС.
Ответ*. «70°32'.
Из двух точек плоскости, удаленных друг от друга на расстояние а, проведены две параллельные наклонные под углом ср к плоскости. Вычислить расстояние между ними, если расстояние между их проекциями на плоскость равно Ь.
Ответ*. Vа2 sin2 ^ + ^2 cos2 ср.
В правильной n-угольной пирамиде высота вдвое меньше стороны основания. Найти двугранный угол при основании.
Ответ-.
н
Основанием пирамиды служит правильный треугольник; из трех граней одна перпендикулярна основанию, а две другие наклонены к нему под углом а. Под какими углами наклонены к плоскости основания боковые ребра?
а/З1
Ответ*, tg х = — tg a; tg у = - tg а.
В правильной четырехугольной призме через середины двух
последовательных сторон основания проведена плоскость, пересекающая три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом а. Сторона основания равна а. Вычислить площадь сечения.
Ответ*. .
8 cos о
В правильной n-угольной пирамиде плоский угол при вершине равен а. Вычислить двугранные углы при основании (п = 4; а = 60°).
Ответ*, arccos (ctg ^^- tg « 54°44'.
X н
В правильной четырехугольной пирамиде даны апофема с и площадь диагонального сечения Р. Вычислить угол х между боковой гранью и основанием и сторону у основания (с = 5; Р = 15).
1 Р
Ответ*, х^ = - arcsin—— « 29°, ух = 2с cosх 8,744; х^ =
= i fl80° — arcsin ~ 61°, у^ = 2с cos ж « 4,852.
2 Xс2 )
Площадь основания правильной пирамиды 168 см2. Боковая поверхность 200 см2. Найти угол наклона боковых граней к основанию.
Ответ: «32°51'.
Основанием пирамиды служит ромб со стороной а и острым углом а; двугранные углы при основании равны ip. Найти 5ПОЛН-
Ответ: 5ПОЛН = 2а2 sin a cos2 ^ secy?.
В основании пирамиды лежит равнобочная трапеция, параллельные стороны которой равны а и b (Ь > а). Все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом а. Найти 5ПОЛн-
Ответ: 5ПОЛН = (cl + b) Vab* cos2 ^ sec а.
В правильной n-угольной пирамиде сторона основания равна а; боковое ребро составляет с плоскостью основания угол а. Найти боковую поверхность.
лпа1 С . 2 180° Г
Ответ: 5\ 1 — sin cos2а.
Л • 180° Vп
4 sincoso v
Основанием пирамиды служит прямоугольник. Из боковых граней две перпендикулярны основанию, а две другие образуют с ним углы а и р. Высота пирамиды равна h. Вычислить ее боковую поверхность.
2/гa-V0/ тго\/ тг8\
Ответ: :—- cos ——- cos — - — cos — - ^- .
sin a-sin/32\42 7\42 7
В правильной n-угольной усеченной пирамиде даны боковое ребро с и стороны оснований а и b (а > Ь). Найти высоту усеченной пирамиды.
„/ ,(а-6)2,180°
Ответ*. \ с2 — -——cosec2. у4п
RRОтвет*. (Ответ*. (cos а • cos у?cos а • cos у?Радиус основания конуса равен R. а образующая наклонена к плоскости основания под углом а. В этом конусе проведена плоскость через его вершину под углом ср к его высоте. Вычислить площадь полученного сечения.
R
R
Ответ*. (
Ответ*. (
cos а • cos у?
cos а • cos у?
Найти угол между образующей и плоскостью основания в конусе, у которого площадь осевого сечения в 4 раза меньше полной поверхности.
Ответ: tg ^ = ^; а = 2arctg ^ « 76° 17'.
Площади нижнего и верхнего оснований усеченного конуса и его боковая поверхность относятся как т : п : р. Найти угол между образующей и плоскостью нижнего основания.
т — п
Ответ: cosy? =.
Р
В усеченном конусе диагонали осевого сечения взаимно перпендикулярны, а образующая составляет с плоскостью нижнего осно-
вания угол а и равна I. Вычислить полную поверхность усеченного конуса (/= 12; а = 70°20').
Ответ*. 5ПОЛн = 2тг/2 sin ^ +15°) cos ^ - 15°) « 652.
В основании прямого параллелепипеда острый угол равен а, а стороны равны а и Ь: меньшая диагональ параллелепипеда равна большей диагонали основания. Вычислить объем параллелепипеда.
Ответ*. 2аb sin а Vab cos а.
Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с боковой гранью угол а; сторона основания а. Найти объем призмы.
Ответ*. -—Vcos2a.
sin о
Вычислить объем пирамиды, если ее высота равна h^ боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом у? и в основании треугольник с углами а и Д.
Ответ*. |/z3ctg2y? sin a sin Д sin (а + Д).
В усеченной правильной четырехугольной пирамиде даны стороны а и b большего и меньшего оснований и острый угол а боковой грани. Вычислить объем пирамиды (а = 25,704; b = 15,23; а = 65°12').
3,3 32
Ответ*. V = V~ cos 2а = ° cos ^д/-cos 2а, где sin у? = 6 cos а6 cos а
с диаметром основа-n-угольник, сторонас диаметром основа-n-угольник, сторонаВ основание равностороннего цилиндра ния, равным образующей, вписан правильный которого а. Вычислить объем цилиндра.
с диаметром основа-n-угольник, сторона
с диаметром основа-n-угольник, сторона
з
Ответ*. ———-.
А . 3 180°
4sin
дугу а; угол междудугу а; угол междуХорда а в основании конуса стягивает
дугу а; угол между
дугу а; угол между
высотой конуса и образующей равен р. Вычислить объем конуса.
Ответ*. ^а .
24sin3-
2
В усеченном конусе отношение площадей оснований равно 4, образующая I наклонена к плоскости основания под углом у?. Вычислить объем конуса.
Ответ*. ^ тг/3 sin2y? cosy?.
В усеченном конусе диагонали осевого сечения взаимно перпендикулярны, а образующая составляет с плоскостью большего основания угол а и равна I. Вычислить объем конуса (/ = 12; а = 70°20/).
Ответ*. ^ I3 sin а (2 - cos 2а) « 1181,5.
Вычислить радиус шара, описанного вокруг правильной n-угольной пирамиды, если сторона основания равна а, а боковое
ребро наклонено к плоскости основания под углом а (п = 8; а = 3,5 м; а = 58°38').
Ответ*. « 5,1 м.
2sinsin
Основанием пирамиды служит ромб со стороной а и острым углом а; двугранные углы при основании равны ср. Найти радиус шара, вписанного в пирамиду.
Ответ*, ^sinatg^.
В шаре из точки его поверхности проведены три равные хорды под углом а друг к другу. Найти их длину, если радиус шара R.
Указание. Проведя из общей точки хорд диаметр и обозначив хорду через ж, выразим расстояние от ее конца до диаметра; оно будет равно ж sin — cosec —. Проведя полуокружность большего круга, содержащую взятые диаметр и хорду, и соединив конец хорды с другим концом диаметра, составим уравнение ж • V4/Z2 — ж2 = 2Я • ж sin — х 7Г2
х cosec —.
п4V3 о
Ответ*, х = —— R •
Вычислить угол между образующей и плоскостью основания в конусе, объем которого в т раз больше объема вписанного в него шара. ^Найти наименьшее значение т* вычислить угол, если т = 2-.)
Ответ: tg ^ = J 1 ± i/l -тт,п = 2;« 78°26'; «2 = 60°.
2 м2 у 4 2т
Поперечное сечение, делящее объем конуса пополам, проходит через центр описанного шара. Найти угол между образующей и плоскостью основания.
Ответ*, sin а =Ответ*, sin а =52°32'.52°32'.
Ответ*, sin а =
Ответ*, sin а =
52°32'.
52°32'.
Вокруг шара описан усеченный конус, боковая поверхность которого относится к поверхности шара как т : п. Вычислить угол между образующей и большим основанием (т : п = 2 : 1).
Ответ*. sin<r = A/— (а = 45°).
Объем шара V. Вычислить объем его сектора, у которого центральный угол в осевом сечении равен а.
Ответ*. V • sin2
4
Радиус сферического сектора равен R^ наибольший угол меж-
Вычислить объем и поверхность шара, впи-Вычислить объем и поверхность шара, впи-ду радиусами равен а. санного в сектор.
Вычислить объем и поверхность шара, впи-
Вычислить объем и поверхность шара, впи-
о2 • 2 ск 7Г гь Sin — 2 cos4 4о2 • 2 ск 7Г гь Sin — 2 cos4 4г>3 • 3 ск
о2 • 2 ск 7Г гь Sin — 2 cos4
4
о2 • 2 ск 7Г гь Sin — 2 cos4
4
7Г гь Sin —
Ответ: —;
е 6 тг - а ’
6 cos
4
Правильный треугольник со стороной а вращается вокруг оси, проходящей вне его через конец его стороны под острым углом а к этой стороне. Найти поверхность тела вращения.
Ответ*. 2тга2 V2 • sin ( + а ).
\ 6/
Найти объем и боковую поверхность правильной шестиугольной пирамиды по боковому ребру I и диаметру d круга, вписанного в основание пирамиды.
Ответ*. ^- д/З/2 — с/2; ^ д/12/2 — с/2.
По объему V правильной n-угольной пирамиды и стороне ее основания а найти угол наклона бокового ребра пирамиды к плоскости основания.180о180о
24 V sintg
Ответ*, arctg^—.
па
Приложение III
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
§ 1. Экзаменационные задачи по разделам
Арифметика
Вычислением проверить справедливость следующих равенств (1-12).Вычислением проверить справедливость следующих равенств (1-12).1.1.I3II.3II —22 Пб—(83-13—: 1)2524 3 V 48 4'I3II.3II —22 Пб—(83-13—: 1)2524 3 V 48 4'2.2.715liyll + 63—— 107—284221584715liyll + 63—— 107—2842215842727-=4-=44-± + 9— :231о7^L = 1235-. gl4054-± + 9— :231о7^L = 1235-. gl405
Вычислением проверить справедливость следующих равенств (1-12).
Вычислением проверить справедливость следующих равенств (1-12).
1.
1.
I3II.3II —22 Пб—(83-13—: 1)
2524 3 V 48 4'
I3II.3II —22 Пб—(83-13—: 1)
2524 3 V 48 4'
2.
2.
7
15
liyll + 63—— 107—
284221
5
84
7
15
liyll + 63—— 107—
284221
5
84
2
7
2
7
-=4
-=4
4-± + 9— :231о7
^L = 1235-. gl40
5
4-± + 9— :231о7
^L = 1235-. gl40
5
3.3.1,0905 : 0,025 - 6,84 • 3,07 + 2,38 : 100 _ 1Q
3.
3.
2,192:6,85 + 48,553-^ + 0,00238"
4.4.((18,333...) : 15 + (8,66...)-3,5) : (12,33...+8,(857142)-0,3(8)) = 2.
4.
4.
1155531:6,4 67,2 : 183’’3531:6,4 67,2 : 183’’33338,4 : 3—’938,4 : 3—’917- : 2—77717- : 2—7777952--2,0625 = 24^.11667952--2,0625 = 24^.1166
1
1
5
5
531:6,4 67,2 : 18
3’’3
531:6,4 67,2 : 18
3’’3
3
3
38,4 : 3—
’9
38,4 : 3—
’9
17- : 2—
777
17- : 2—
777
795
2--2,0625 = 24^.
1166
795
2--2,0625 = 24^.
1166
6629б1 : 79 + 94,4: 23,6429б1 : 79 + 94,4: 23,64131,4 : 14,6 — 6- - -’’7 3131,4 : 14,6 — 6- - -’’7 365,14-5,9412,9 + 1,9 “ ’65,14-5,9412,9 + 1,9 “ ’
6
6
29б1 : 79 + 94,4: 23,6
4
29б1 : 79 + 94,4: 23,6
4
131,4 : 14,6 — 6- - -
’’7 3
131,4 : 14,6 — 6- - -
’’7 3
65,14-5,94
12,9 + 1,9 “ ’
65,14-5,94
12,9 + 1,9 “ ’
7.7.(2|^"(б4+8++)03И1А+|1)(2|^"(б4+8++)03И1А+|1)оо1 I 3 пк83 I О2 38133,75 • 16,1 + - • 95— + 2-’’4903 160оо1 I 3 пк83 I О2 38133,75 • 16,1 + - • 95— + 2-’’4903 160= 3,1.= 3,1.(92,69:2,3-1-35,2 + 1— + 2—) : 2—g v ’’8’847571400 _'(—-—)■ 2,88+ 6,97-3,8: 3,2329 "\5416/’’’’2,5 + 83: (3,98175 + 1) : -2—оq1.346 . £ = 7 г-131-5±-(11 + ^)"842 v 6127(92,69:2,3-1-35,2 + 1— + 2—) : 2—g v ’’8’847571400 _'(—-—)■ 2,88+ 6,97-3,8: 3,2329 "\5416/’’’’2,5 + 83: (3,98175 + 1) : -2—оq1.346 . £ = 7 г-131-5±-(11 + ^)"842 v 612710.10.(84,63:2,1-1-35,2 + 2—-7—) : 7—v ’ 8 ’ 42 487 56 _ i (141-3,2:4) : (17,25:2,3 + —).11£ ’ v 6 ’ / к ’ ’ 15/809(84,63:2,1-1-35,2 + 2—-7—) : 7—v ’ 8 ’ 42 487 56 _ i (141-3,2:4) : (17,25:2,3 + —).11£ ’ v 6 ’ / к ’ ’ 15/809
7.
7.
(2|^"(б4+8++)03И1А+|1)
(2|^"(б4+8++)03И1А+|1)
оо1 I 3 пк83 I О2 381
33,75 • 16,1 + - • 95— + 2-
’’4903 160
оо1 I 3 пк83 I О2 381
33,75 • 16,1 + - • 95— + 2-
’’4903 160
= 3,1.
= 3,1.
(92,69:2,3-1-35,2 + 1— + 2—) : 2—
g v ’’8’847571400 _
'(—-—)■ 2,88+ 6,97-3,8: 3,2329 "
\5416/’’’’
2,5 + 83: (3,98175 + 1) : -2—о
q1.346 . £ = 7 г
-131-5±-(11 + ^)"
842 v 6127
(92,69:2,3-1-35,2 + 1— + 2—) : 2—
g v ’’8’847571400 _
'(—-—)■ 2,88+ 6,97-3,8: 3,2329 "
\5416/’’’’
2,5 + 83: (3,98175 + 1) : -2—о
q1.346 . £ = 7 г
-131-5±-(11 + ^)"
842 v 6127
10.
10.
(84,63:2,1-1-35,2 + 2—-7—) : 7—
v ’ 8 ’ 42 487 56 _ i (141-3,2:4) : (17,25:2,3 + —).11£ ’ v 6 ’ / к ’ ’ 15/809
(84,63:2,1-1-35,2 + 2—-7—) : 7—
v ’ 8 ’ 42 487 56 _ i (141-3,2:4) : (17,25:2,3 + —).11£ ’ v 6 ’ / к ’ ’ 15/809
((34— : 500) • 14—) : ((- : -) : 5-)
11.11.= 30.= 30." 337'23' "9 8^7'
11.
11.
= 30.
= 30.
// 1 _ 0,0008 \1 \
"312510 ' ' 1250'
(13— -7— + 2- : 1—) . 2— -403,138:33,4
2 2. V 4219615 7997\L = 13 1
'1| +16,175-(0,652 + 71-2,34)’ "
Найти значения х из выражений (13-16).
(5,25-2,75)-0,6(2>5 + |)-4|i
‘(Ж-21):11(30-28,2)-432"
(4,07 : х - 23,01 - 0,06) : 4 + 0,0703 -1
14. —’—’2. = 10.
(7,3745 : 3,01 - 11) • 1,02 + 13 • — v’4/’50
г 1,0905 : 0,025 - 6,84 • 3,07 + 2,38 : х 1 п
1а. ^= 10.
2,192 : 6,85 + 48,553 • — + 0,00238 ’’’25’
(7--5-) :1- + (15,9-13-)-1 х
1 v 7296 724 V ’20' 9 — 97 -
’(- О,4 + 24,15:ж-1о2) • —3
Ч ’’5' 16
Тоэюдественные преобразования в алгебре
Проверить справедливость равенств (17-36, подразумеваются
арифметические корни).
Ж5/2 -х/ X3 \ V2 Ж2 1/(1 + ж2)^1 + Ж2 _
I х—
(ж + 1)(ж2 + 1)1 + ж2/1 + ж2
ж +1
(ж1/2+у1/2)-2(ж-1+у-1)+2(ж-1/2+у-1/2) =J_,
(ж ' + У ' )
/ 4а — 9а а — 4 + За \
\ о 1/2 о -1/2 + "Т/2^1/2/ ~
\2d ’ — 3d ’ а 1 — а ’ ) / г г \-2/3
(а + 63/2 : ^)2/3 ( ^~ ^6 + V6 )=^(7^7)2.
\ V« Va-Vb/
Кт^2^ + =7=^^-^+87+16 =-4^.
\ж1/2-4ж-1/2 ж ^ж-4^ж у
з(^+^2+^-^йУ\5 3/—7=09
х6 I — I v xJx = 32ж
\х^гл/ху/ v
25.
^/1+ ((а2/3 — ж2/3)^2ж-1/3)2) —-^/(а^^ж^+^а^ж2 = — 1.
VV2-1 V3 + 2V2+ У(ж + 12)У^-6ж-8 _ х
Va^b W + Va^b3 : v^
(b2 — ab — 2d2) Vab
—2/3/^^^a-\-b ab
\36-6d + 2d6-62 ' 3a-ab a^b
a2 Vab 1 Vb^ Vab — 2 Va3b • Vab5 (a2 — ab — 2b2) VaVb
a — 3 a 4~ 2b
— (a — l)(a2 — 4a + 3) 1
1
a + 2b
36.
/ 2 l2x -1 (d — b ) а
^а Ч- 26 a — 46
d + 36 a2 + 21a6
2<z + 262a2 —баб —862
a + 6
a
Планиметрия
В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен а. Найти отношение радиусов вписанной и описанной окружностей.
Даны стороны треугольника: а = 13, 6 = 14, с = 15. Две из них (а и 6) служат касательными к окружности, центр которой лежит на третьей стороне. Вычислить радиус окружности.
Вокруг круга радиуса R описан равнобедренный треугольник с углом 120°. Найти его стороны.
Вокруг круга радиуса г описана прямоугольная трапеция, Зг
наименьшая из сторон которой равна —. Найти площадь трапеции.
Найти площадь сегмента, если периметр его равен р, а дуга составляет 120°.
В сектор радиуса R с центральным углом а вписан круг. Найти его радиус.
Основание AD прямоугольника ABCD, в три раза большее его высоты АВ точками М и N разделено на три части равной длины. Найти AMB^MNB^NbB.
Найти длину отрезка прямой, параллельной основаниям трапеции и проходящей через точку пересечения диагоналей, если основания трапеции равны а и 6.
В равнобочной трапеции даны основания а = 21 см, 6 = 9 см и высота h = 8 см. Найти радиус описанной окружности.
Две окружности радиусов Я = 3 см и г = 1 см касаются внешним образом. Найти расстояния от точки касания окружностей до их общих касательных.
В равнобедренном треугольнике основание равно 16, а боковая сторона 10. Найти радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами.
Дан квадрат, две вершины которого лежат лежат на окружности радиуса R^ а две другие вершины лежат на касательной к этой окружности. Найти диагональ квадрата.
Из внешней точки проведены к окружности секущая длиной ю»2
12 см и касательная, длина которой составляет - внутреннего отрезка
секущей. Вычислить длину касательной.
В прямоугольный треугольник с углом 60° вписан ромб со стороной, равной 6 см, так, что угол в 60° у них общий и все вершины ромба лежат на сторонах треугольника. Найти стороны треугольника.
Найти радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, если радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 3 см, а меньший катет равен 10 см.
Доказать, что сумма расстояний любой точки, взятой внутри правильного многоугольника, до всех его сторон есть величина постоянная.
Перпендикуляр, опущенный из вершины параллелограмма на его диагональ, делит эту диагональ на отрезки длиной 6 см и 15 см. Разность длин сторон параллелограмма равна 7 см. Найти стороны параллелограмма и его диагонали.
Из точки М. отстоящей от центра окружности на расстояние т. проведены к ней две касательные. Найти радиус окружности, если расстояние между точками касания равно а (а ^ т\
Вокруг окружности описана равнобочная трапеция, у которой боковая сторона равна /, одно из оснований равно а. Найти площадь трапеции.
Расстояния от точки М, взятой внутри треугольника, до сторон равны ж, у, %\ соответствующие высоты равны а, 6, с. Доказать, X и %.
ЧТОh 7" + - = 1. а о с
Составление уравнений
В 500 кг руды содержится некоторое количество железа. После обогащения руды, состоящего в удалении из руды 200 кг примесей, содержащих в среднем 12,5 % железа, процент содержания железа в оставшейся руде повысился на 20%. Вычислить количество железа, содержащегося в руде после ее обогащения.
Сплав из меди и цинка массой а кг при погружении в воду «потерял» в своей массе b кг. Вычислить количество меди и цинка в этом сплаве, если известно, что медь «теряет» в воде р% своей массы, а цинк q %.
Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля а % и Ь%. Сколько нужно взять каждого из сортов, чтобы получить с тонн стали с содержанием d % никеля?
Хозяйством было заготовлено на зиму а тонн кормов для скота. Но b голов скота отправили в соседнюю область и вследствие этого норма кормов на голову скота увеличилась на с тонн. Сколько тонн кормов предполагалось расходовать на голову скота первоначально?
Трехзначное число оканчивается цифрой 3. Если эту цифру перенести влево (т. е. поместить вначале), то новое число будет на единицу больше утроенного первоначального числа. Найти это число.
Несколько человек должны вырыть канаву и могли бы окончить работу за 24 ч, если бы делали ее все одновременно. Вместо этого они приступили к работе один за другим через равные промежутки времени, а затем каждый работал до окончания всей работы. Сколько времени они рыли канаву, если первый приступивший к работе проработал в 5 раз больше последнего?
Наняты двое рабочих по разным ставкам. Первый получил а руб., а второй, работавший меньше первого на п дней, получил с руб. Если бы первый работал столько дней, сколько второй, а второй — столько, сколько первый, то они получили бы поровну. Сколько дней работал каждый?
Из котлована, в который каждый час прибывает т м3 воды и по отводящей трубе вытекает п м3 воды (т > п), два насоса начали откачивать воду, когда в нем было N м3 воды. Производительность каждого насоса равна а м3 в час (а > т — п), а стоимость одного часа работы г руб. Сколько времени до осушения котлована работали оба насоса одновременно и сколько времени работал один из них, если на осушение было затрачено R руб.? Указать условия работы с наименьшими затратами.
Три трактора разной производительности вспахивают два поля разной величины. Один третий трактор может вспахать второе поле на 3 ч быстрее, чем первый вспахивает первое поле, но на два часа медленнее, чем второй может вспахать первое поле. Первый и второй тракторы вместе могут вспахать первое поле на 6 ч быстрее, чем третий вспашет второе поле. За сколько часов третий трактор вспашет второе поле?
Косцы должны выкосить два луга. Начав с утра косить большой луг, они после полудня разделились: половина косцов осталась на первом лугу и к вечеру его докосила, а остальные перешли косить на второй луг площадью вдвое меньше первого. Сколько было косцов, если известно, что в течение следующего дня оставшуюся часть работы выполнил один косец?
На велогонках два велосипедиста помчались в одном направлении. Следом за ними, через 10 мин с того же старта, начал путь третий велосипедист. Сначала он обогнал первого велосипедиста, после чего находился в пути еще 20 мин, пока догнал второго. На всем пути каждый велосипедист шел с постоянной скоростью: а км/ч — первый велосипедист и b км/ч — второй. Найти скорость третьего велосипедиста.
Три положительных числа составляют геометрическую прогрессию, произведение первого и третьего членов которой равно 36. Найти число членов арифметической прогрессии, первый член которой равен второму члену данной геометрической прогрессии, разность равна 4 и сумма всех членов равна 510.
Сумма первых трех членов геометрической прогрессии, все члены которой положительные числа, равна 221. Третий член этой
прогрессии больше первого на 136. Найти сумму шести членов данной прогрессии.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 6, а сумма ее четырех первых членов равна 5-. Найти первый член этой прогрессии.
Первый автомат изготовляет деталь на 6 с быстрее второго. Сколько деталей изготовит каждый автомат за 7 мин, если первый из них выпускает за это время на 8 деталей больше второго?
По двум окружностям равномерно вращаются две точки. Одна из них совершает полный оборот на 5 с быстрее, чем другая, и поэтому успевает сделать в 1 мин на два оборота больше. Сколько оборотов в каждую минуту совершает каждая точка?
Смешали 30 %-ный раствор соляной кислоты с 10 %-ным и получили 600 г 15 %-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято для смеси?
Население страны ежегодно увеличивается на —. Через сколько лет население этой страны удвоится, если темп прироста будет тем же?
Тождественные преобразованиятригонометрических выражений
Проверить справедливость равенств (75-110).Проверить справедливость равенств (75-110).75.77.78.79.80.81.83.75.77.78.79.80.81.83.cos(3tt —2а), /5 \tg2a + ctg3/3 tg 2а2— = tg а тг 76. ——— = — 2sin2(^7r + a)4 'ctg2a + tg3^ tg 3£"cos(3tt —2а), /5 \tg2a + ctg3/3 tg 2а2— = tg а тг 76. ——— = — 2sin2(^7r + a)4 'ctg2a + tg3^ tg 3£"(sinа) ^(tga) ^ctg^.(sinа) ^(tga) ^ctg^.. ^ a 6 аsin — — cos° —22. ^ a 6 аsin — — cos° —22ctg2a - ctg2/3 =ctg2a - ctg2/3 =• 2 Asin a —44• 2 Asin a —44COS a.COS a.cos2 а — cos2 /3sin a-sin pcos2 а — cos2 /3sin a-sin p(tg a + sec a) (cos a — ctg a) (cos a + ctg a) (tg a — sec a)(tg a + sec a) (cos a — ctg a) (cos a + ctg a) (tg a — sec a)tg a — secocos a — ctg atg a — secocos a — ctg a= tg a seco.= tg a seco.82.82.1 — 2 sin2 а _ 1 — tg аl + sin2a 1 + tga*1 — 2 sin2 а _ 1 — tg аl + sin2a 1 + tga*cos 4а +1ctg а — tg аcos 4а +1ctg а — tg а1 • Л- sin 4а.1 • Л- sin 4а.84.84.ctg (45° +2а) =ctg (45° +2а) =cos 4а1 + sin4acos 4а1 + sin4a
Проверить справедливость равенств (75-110).
Проверить справедливость равенств (75-110).
75.
77.
78.
79.
80.
81.
83.
75.
77.
78.
79.
80.
81.
83.
cos(3tt —2а), /5 \tg2a + ctg3/3 tg 2а
2— = tg а тг 76. ——— = — 2sin2(^7r + a)4 'ctg2a + tg3^ tg 3£"
cos(3tt —2а), /5 \tg2a + ctg3/3 tg 2а
2— = tg а тг 76. ——— = — 2sin2(^7r + a)4 'ctg2a + tg3^ tg 3£"
(sinа) ^(tga) ^ctg^.
(sinа) ^(tga) ^ctg^.
. ^ a 6 аsin — — cos° —
22
. ^ a 6 аsin — — cos° —
22
ctg2a - ctg2/3 =
ctg2a - ctg2/3 =
• 2 Asin a —4
4
• 2 Asin a —4
4
COS a.
COS a.
cos2 а — cos2 /3sin a-sin p
cos2 а — cos2 /3sin a-sin p
(tg a + sec a) (cos a — ctg a) (cos a + ctg a) (tg a — sec a)
(tg a + sec a) (cos a — ctg a) (cos a + ctg a) (tg a — sec a)
tg a — secocos a — ctg a
tg a — secocos a — ctg a
= tg a seco.
= tg a seco.
82.
82.
1 — 2 sin2 а _ 1 — tg а
l + sin2a 1 + tga*
1 — 2 sin2 а _ 1 — tg а
l + sin2a 1 + tga*
cos 4а +1ctg а — tg а
cos 4а +1ctg а — tg а
1 • Л
- sin 4а.
1 • Л
- sin 4а.
84.
84.
ctg (45° +2а) =
ctg (45° +2а) =
cos 4а
1 + sin4a
cos 4а
1 + sin4a
cosa(l + seca + tg a)(l — sec a +tg a) = 2 sin a.
sin a(1 + cosec a + ctg a)(l — cosec a + ctg a) = sin 2a.
(
тгa \ . / тгa\ . a 1.3
sinsin — = - sin - a.
88.88.627\327242
88.
88.
89.90.92.93.94.96.98.89.90.92.93.94.96.98.sin2sin21-1-11— sin2— sin2sin а • sin 4/3.sin а • sin 4/3.1 — cosec (2а + |тг)1 — cosec (2а + |тг)2sec a22sec a291.91.tg 2 - Ctg -AA = - cos a.^1+с^1tg 2 - Ctg -AA = - cos a.^1+с^1cos2 a — ctg2 a +121 = ctg a.sin a + tg a — 1. 2/9\. 2/17sin ^-тг + aj—sin 7Г —acos2 a — ctg2 a +121 = ctg a.sin a + tg a — 1. 2/9\. 2/17sin ^-тг + aj—sin 7Г —atg 2a.„—= cos 4a. 95.tg 4a — tg 2atg 2a.„—= cos 4a. 95.tg 4a — tg 2asin 2aV2 '■ 7Г — a) (1 + sin2a)sin 2aV2 '■ 7Г — a) (1 + sin2a)cos (| 7Г — 2a)cos (| 7Г — 2a)= ctg 2a.= ctg 2a.cos3a + cos4a + cos5a ,.„ tg4a —tg6a , q-r-——— = ctg 4a.97. —= tgsa.sin 3a + sin4a + sin 5actg4a - ctg2atg2 (a — 1тг) — ctg2 (a + 1тг) =4 ctg 2a • cosec 2a.cos3a + cos4a + cos5a ,.„ tg4a —tg6a , q-r-——— = ctg 4a.97. —= tgsa.sin 3a + sin4a + sin 5actg4a - ctg2atg2 (a — 1тг) — ctg2 (a + 1тг) =4 ctg 2a • cosec 2a.sin Q tv — 2a) + 2sin2 ^2a — | тг) — 1 = 2cosa -cos3a.
89.
90.
92.
93.
94.
96.
98.
89.
90.
92.
93.
94.
96.
98.
sin2
sin2
1-
1-
1
1
— sin2
— sin2
sin а • sin 4/3.
sin а • sin 4/3.
1 — cosec (2а + |тг)
1 — cosec (2а + |тг)
2sec a
2
2sec a
2
91.
91.
tg 2 - Ctg -
AA = - cos a.
^1+с^1
tg 2 - Ctg -
AA = - cos a.
^1+с^1
cos2 a — ctg2 a +1
21 = ctg a.
sin a + tg a — 1
. 2/9\. 2/17
sin ^-тг + aj—sin 7Г —a
cos2 a — ctg2 a +1
21 = ctg a.
sin a + tg a — 1
. 2/9\. 2/17
sin ^-тг + aj—sin 7Г —a
tg 2a.„
—= cos 4a. 95.
tg 4a — tg 2a
tg 2a.„
—= cos 4a. 95.
tg 4a — tg 2a
sin 2a
V2 '
■ 7Г — a) (1 + sin2a)
sin 2a
V2 '
■ 7Г — a) (1 + sin2a)
cos (| 7Г — 2a)
cos (| 7Г — 2a)
= ctg 2a.
= ctg 2a.
cos3a + cos4a + cos5a ,.„ tg4a —tg6a , q
-r-——— = ctg 4a.97. —= tgsa.
sin 3a + sin4a + sin 5actg4a - ctg2a
tg2 (a — 1тг) — ctg2 (a + 1тг) =4 ctg 2a • cosec 2a.
cos3a + cos4a + cos5a ,.„ tg4a —tg6a , q
-r-——— = ctg 4a.97. —= tgsa.
sin 3a + sin4a + sin 5actg4a - ctg2a
tg2 (a — 1тг) — ctg2 (a + 1тг) =4 ctg 2a • cosec 2a.
100 sin4a + sin5a + sin6a * cos4a + cos 5a + cos6a
101. 3 + 4cos 4a + cos 8a = 8 cos4 2a.
102.103.105.107.108.109.110.102.103.105.107.108.109.110.sin2a + sin4a — sin6a = 4sin3a - sin2a - sin a.
102.
103.
105.
107.
108.
109.
110.
102.
103.
105.
107.
108.
109.
110.
1 — 2 sin 50°= | sec 160°. 104. (cos34°)-1+(tg56°)-1 = ctg28°.
ctg || 7Г - cig А 7Г = 2^3. 106. tg 255°-tg 195° = 2 V3- (5 \72
2a + - wj = — — у 2, если tg a = -. 565
-—- .если tg a = 0,2.
6 + 7sin2a 113’6’
26 x
-—;— = если tg a = 0,2.
+ 4cos2a 87’6’
sin a = 0,96, если sin +cos ^ = 1,4.
Задачи no стереометриис применением тригонометрических функций
В конусе даны радиус основания R и угол а между образующей и плоскостью основания. В конус вписана прямая треугольная призма с равными ребрами так, что ее нижнее основание лежит в плоскости основания конуса. Вычислить длину ее ребер.
Образующая конуса равна I и наклонена к основанию под углом а. Найти высоту вписанного в конус равностороннего цилиндра, если нижнее основание цилиндра лежит в плоскости основания конуса.
Внутри куба, ребро которого а, помещен конус так, что его вершина совпадает с одной из вершин куба, а окружность основания касается трех граней куба, сходящихся в противоположной вершине. Образующая конуса составляет с его осью угол а. Найти радиус основания конуса.
В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно b и образует с плоскостью основания угол а. В эту пирамиду вписан равносторонний цилиндр так, что одна из образующих расположена на диагонали основания пирамиды, а окружность каждого основания касается двух смежных боковых граней пирамиды. Найти радиус основания цилиндра.
Найти площадь боковой поверхности усеченного конуса, описанного вокруг правильной треугольной усеченной пирамиды, если острый угол в боковой грани пирамиды равен а, а радиус вписанного в нее круга равен г.
В цилиндр вписан прямоугольный параллелепипед; большая сторона его основания а, угол между диагональю параллелепипеда и его большей боковой гранью 3, а угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания равен а. Найти площадь боковой поверхности цилиндра.
В правильной треугольной пирамиде вершина основания находится на расстоянии b от противоположной боковой грани. Найти площадь поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду, зная, что апофема пирамиды наклонена к плоскости основания под углом а (6 = 10,16 м; а = 61°16').
Угол между образующей и плоскостью основания конуса равен а. Объем вписанного в конус шара равен V. Найти объем конуса.
В конус помещены два шара так, что они касаются друг друга и поверхности конуса. Отношение радиусов этих шаров равно т : п Qm > п). Найти величину угла при вершине осевого сечения конуса.
В правильной четырехугольной пирамиде центры вписанного и описанного шаров совпадают. Найти двугранный угол при ребре основания пирамиды.
Основанием пирамиды служит прямоугольник с углом а между диагоналями, а боковые ребра образуют с плоскостью основания угол ip. Вычислить объем этой пирамиды, если радиус описанного вокруг нее шара равен R.
Вычислить объем и полную поверхность шарового сектора, вырезанного из шара радиуса R и имеющего в осевом сечении угол а.
Вокруг шара описана правильная четырехугольная усеченная пирамида; объем восьмигранника, вершинами которого служат точки касания поверхности шара с гранями усеченной пирамиды, вчетверо меньше объема шара. Найти двугранные углы при ребре основания пирамиды.
29 В. А. Бачурин
Шар касается боковой поверхности конуса по окружности основания. Поверхность шара делится при этом на две части, из которых одна в п раз больше другой. Вычислить угол наклона образующей конуса к плоскости его основания.
На плоскости основания равностороннего конуса (вне конуса) дана точка, удаленная от окружности основания на расстояние радиуса. Через точку проведены к конусу две касательные плоскости. Найти угол между ними.
В усеченной правильной четырехугольной пирамиде стороны оснований относятся как т : п (т > п); боковые ребра наклонены к плоскости большего основания под углом а. В этой пирамиде проведена плоскость через сторону большего основания и противоположную ей сторону меньшего основания. Какой угол образует эта плоскость с большим основанием пирамиды?
Стороны основания треугольной пирамиды равны а, b и с; каждый двугранный угол при ребрах основания равен а. Вычислить площадь боковой поверхности и объем пирамиды.
Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны а и угол между ними равен а. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом (3. В этой пирамиде проведена плоскость через ее высоту и вершину угла а. Вычислить площадь полученного сечения.
В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а и боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом а. Из центра основания пирамиды на две смежные боковые грани опущены перпендикуляры. Найти площадь сечения, образованного плоскостью, проведенной через два построенных перпендикуляра.
В правильной четырехугольной пирамиде через сторону основания проведена плоскость, перпендикулярная противоположной боковой грани. Найти площадь получившегося сечения, если сторона основания пирамиды равна а и двугранный угол при основании равен а.
В правильной четырехугольной пирамиде высота равна h^ а двугранный угол при ребре основания равен а. Вычислить площадь сечения, образованного плоскостью, проходящей через середину высоты пирамиды параллельно боковой грани.
В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а и двугранный угол при ребре основания равен 2а. Вычислить площадь сечения, которое делит данный двугранный угол пополам.
В правильной п-угольной пирамиде двугранный угол при боковом ребре равен 2а. Найти двугранный угол при ребре основания.
В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а и составляет с боковым ребром угол а. Вычислить площадь
сечения, проведенного через боковое ребро и высоту пирамиды. Почему угол а должен быть больше 30°?
В треугольной призме два угла основания равны а и /3, радиус описанной вокруг основания окружности равен R. Каждое боковое ребро длины а наклонено к плоскости основания под углом (р. Вычислить объем призмы.
Высота правильной треугольной призмы равна h. Через одно из ребер основания и противоположную ему вершину другого основания проведена плоскость. Найти площадь полученной в сечении фигуры, если угол при взятой вершине призмы равен 2а. Исследовать формулу решения.
От правильной четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через диагональ нижнего основания и одну из вершин верхнего основания, отсечена пирамида с полной поверхностью S. Найти полную поверхность призмы, если угол при вершине треугольника, получающегося в сечении, равен а.
Основанием прямой призмы служит ромб с острым углом а. Как надо пересечь эту призму, чтобы в сечении получился квадрат с вершинами на боковых ребрах?
В правильной четырехугольной призме проведена плоскость через середину оси и середины двух последовательных сторон основания. Сторона основания равна а, а боковое ребро равно Ь. Найти угол между проведенной плоскостью и основанием.
Через боковое ребро правильной треугольной пирамиды проведена плоскость, делящая объем пирамиды в отношении т : п. На какие части эта плоскость делит двугранный угол между боковыми гранями?
Функции и их графики
Найти области определения функций (141-178). sinx.1Найти области определения функций (141-178). sinx.1141.у = 3 + ж2 — 2ж3 + 4ж5.142. у =143.у = VS+ ,144. у =145.у = Vx2 — 9 + V16 — a;2.146. у =147.у = 21/<ж+1).148.1у =гт-■у 150.у = 2-1/^2.151.у = ^Мж — 1.153.y = lg|$|.154.t/ = lgs^. "141.у = 3 + ж2 — 2ж3 + 4ж5.142. у =143.у = VS+ ,144. у =145.у = Vx2 — 9 + V16 — a;2.146. у =147.у = 21/<ж+1).148.1у =гт-■у 150.у = 2-1/^2.151.у = ^Мж — 1.153.y = lg|$|.154.t/ = lgs^. "156.156.У =У =1 ж3 — Зж2 + 2ж 149. ?/ = 381пж.152. y = Vl — sin ж.155. у = ^/logo ^.1 ж3 — Зж2 + 2ж 149. ?/ = 381пж.152. y = Vl — sin ж.155. у = ^/logo ^.-4. 157. у = Vl + ж *^ж2.-4. 157. у = Vl + ж *^ж2.
Найти области определения функций (141-178). sinx.
1
Найти области определения функций (141-178). sinx.
1
141.
у = 3 + ж2 — 2ж3 + 4ж5
.142. у =
143.
у = VS+ ,
144. у =
145.
у = Vx2 — 9 + V16 — a
;2.146. у =
147.
у = 21/<ж+1).148.
1
у =гт-■
у
150.
у = 2-1/^2.151.
у = ^Мж — 1.
153.
y = lg|$|.154.
t/ = lgs^. "
141.
у = 3 + ж2 — 2ж3 + 4ж5
.142. у =
143.
у = VS+ ,
144. у =
145.
у = Vx2 — 9 + V16 — a
;2.146. у =
147.
у = 21/<ж+1).148.
1
у =гт-■
у
150.
у = 2-1/^2.151.
у = ^Мж — 1.
153.
y = lg|$|.154.
t/ = lgs^. "
156.
156.
У =
У =
1 ж3 — Зж2 + 2ж 149. ?/ = 381пж.
152. y = Vl — sin ж.
155. у = ^/logo ^.
1 ж3 — Зж2 + 2ж 149. ?/ = 381пж.
152. y = Vl — sin ж.
155. у = ^/logo ^.
-4. 157. у = Vl + ж *^ж2.
-4. 157. у = Vl + ж *^ж2.
158.158.. 1?/ = ctg—.159. ?/= arcsin^.. 1?/ = ctg—.159. ?/= arcsin^.
158.
158.
. 1
?/ = ctg—.159. ?/= arcsin^.
. 1
?/ = ctg—.159. ?/= arcsin^.
160.160.у = \/^СО8(27Гж).161. уу = \/^СО8(27Гж).161. уsin ж.sin ж.162.162.sin жVx2у =.163. у = .164. v = arccos.1 — COS Ж81П7ГЖ1 —Жsin жVx2у =.163. у = .164. v = arccos.1 — COS Ж81П7ГЖ1 —Ж165.165.167.167.у = arcsin (4ж2 + 2ж — 1).у = arccos (1 — ж) + 1g (1g ж).у = arcsin (4ж2 + 2ж — 1).у = arccos (1 — ж) + 1g (1g ж).166.166.168.168.у = lg (sin ж — cos ж)._1У log7(«-6)"у = lg (sin ж — cos ж)._1У log7(«-6)"169.169.У = (2ж)!.170. у =У = (2ж)!.170. у =V20 + ж — ж2V20 + ж — ж2ж2-16ж2-16171. т/ =171. т/ =172.172./(ж —2)(ж —3) У = \ -—Т—"/(ж —2)(ж —3) У = \ -—Т—"173.173.174.174.У =У =176.176.У =У =\/12 + ж — ж2 log2(®-l) "2—^-—-^9^ж.1g (ж-2)\/12 + ж — ж2 log2(®-l) "2—^-—-^9^ж.1g (ж-2)175.175.177.177.178.178.У =У =!-^з(-ж) ‘!-^з(-ж) ‘У =У =У =У =log2^2 + 2ж — 3)arccos (ж — 2) + Vo — ж2log2(5 —2ж)log2^2 + 2ж — 3)arccos (ж — 2) + Vo — ж2log2(5 —2ж)
160.
160.
у = \/^СО8(27Гж).161. у
у = \/^СО8(27Гж).161. у
sin ж.
sin ж.
162.
162.
sin жVx2
у =.163. у = .164. v = arccos.
1 — COS Ж81П7ГЖ1 —Ж
sin жVx2
у =.163. у = .164. v = arccos.
1 — COS Ж81П7ГЖ1 —Ж
165.
165.
167.
167.
у = arcsin (4ж2 + 2ж — 1).
у = arccos (1 — ж) + 1g (1g ж).
у = arcsin (4ж2 + 2ж — 1).
у = arccos (1 — ж) + 1g (1g ж).
166.
166.
168.
168.
у = lg (sin ж — cos ж).
_1
У log7(«-6)"
у = lg (sin ж — cos ж).
_1
У log7(«-6)"
169.
169.
У = (2ж)!.170. у =
У = (2ж)!.170. у =
V20 + ж — ж2
V20 + ж — ж2
ж2-16
ж2-16
171. т/ =
171. т/ =
172.
172.
/(ж —2)(ж —3) У = \ -—Т—"
/(ж —2)(ж —3) У = \ -—Т—"
173.
173.
174.
174.
У =
У =
176.
176.
У =
У =
\/12 + ж — ж2 log2(®-l) "
2
—^-—-^9^ж.
1g (ж-2)
\/12 + ж — ж2 log2(®-l) "
2
—^-—-^9^ж.
1g (ж-2)
175.
175.
177.
177.
178.
178.
У =
У =
!-^з(-ж) ‘
!-^з(-ж) ‘
У =
У =
У =
У =
log2^2 + 2ж — 3)
arccos (ж — 2) + Vo — ж2
log2(5 —2ж)
log2^2 + 2ж — 3)
arccos (ж — 2) + Vo — ж2
log2(5 —2ж)
числовыхчисловыхзначениях ж справедливозначениях ж справедливо179. \у\ = 1 — ж2. При каких
числовых
числовых
значениях ж справедливо
значениях ж справедливо
это равенство?
Найти области изменения функций (180-184).
180. 1)180. 1)у = sin ж;у = sin ж;2)2)181. 1)181. 1)182. 1)182. 1)у = ^з;жу = тт^'у = ^з;жу = тт^'2)2)2)2)1х +1У = 1 — | СО8ж|.у = 2 +ж — Зж2.1х +1У = 1 — | СО8ж|.у = 2 +ж — Зж2.
180. 1)
180. 1)
у = sin ж;
у = sin ж;
2)
2)
181. 1)
181. 1)
182. 1)
182. 1)
у = ^з;
ж
у = тт^'
у = ^з;
ж
у = тт^'
2)
2)
2)
2)
1
х +1
У = 1 — | СО8ж|.
у = 2 +ж — Зж2.
1
х +1
У = 1 — | СО8ж|.
у = 2 +ж — Зж2.
185.
У
= —Юж — 1. 186.
У =
|ж-1|.187. у = |ж|-1.
188.
У
= ж2-ж-6.189.
У =
—Зж2 + 2ж -
6.
190.
У
=. 191. у =
ж
. 192. у =
ж + 2
193. у =
1^
ж +1
ж +1
1 — ж'
11 — ж
194.
У
= 1-10"ж.195.
У =
2ж-2-3.
196.
У =
log3a
197.
У
= log3^|.198.
У =
|log2^|.
199.
У =
|^(ж
+1)1-
/|\2®-1
200.
У
= V~9ж«201.
У =
\2/"
202.
У =
ж2 + -
/ж.
203.
У
= 1 + V^.204.
У =
д/ж-1-2.
205.
У =
|ж|"
Построить графики функций (185-278).
183. 1)
184. 1)
2) у =.
72 — СО8 3ж
2) у = 1 + sin2ж.2) у = 1 + sin2ж.у = sin ж + cos ж;У = | + со82|ж|;у = sin ж + cos ж;У = | + со82|ж|;
2) у = 1 + sin2ж.
2) у = 1 + sin2ж.
у = sin ж + cos ж;
У = | + со82|ж|;
у = sin ж + cos ж;
У = | + со82|ж|;
206210213215218221224227230233236239242245248251253256259262264267270273276206210213215218221224227230233236239242245248251253256259262264267270273276у = Д. 207. y = VM- 208. у —ж—|ж|. 209. у = ^—.
206
210
213
215
218
221
224
227
230
233
236
239
242
245
248
251
253
256
259
262
264
267
270
273
276
206
210
213
215
218
221
224
227
230
233
236
239
242
245
248
251
253
256
259
262
264
267
270
273
276
|ж|У VI IУ IIу ж_2
у = ж+—.211.у = |ж3|.212.у =ж2 + ж-2.
т/ = ж2 + |ж|.214.у = х2 — ж-2.
у = 2Ж— 2-ж; у = 2Ж + 2-ж. 216. у = ^. 217. у = 2*.
у = х\х — 2\.219.у = |ж-1|-|ж +1|.220. т/ = 10ж.
у = 2ж-2М.222.y = cosx — x. 223.у = 8тж + |8тж|.
2/ = соб|ж|. 225. 2/ = |cos|^||.226. ?/ = 3-^2.
2
у =2*228. у = |8тж| + sin |ж|.229. ?/ = ж + 8тж.
1 + х2
у = cos2 x — 1.231. y = x — sin ж.232. ?/ = ctg2ж.
?/ = С08ж + ж.234. ?/ = tg^ + l.235. ?/ = ж-8тж.
у = cos2 x + cos x. 237. y = V^sin ж. 238. у = cos ж — зесж.
у = 2ж-1+3.240.у = 31-ж+2.
у = зт2ж + ж.243.у = 1 —|tgж|.
у = 211-ж1 —1.246.у = 1 —sin2ж.
у = |2Ж—2 — 3|.у = sin ж + cosec ж.у =.у \3/у = |2Ж—2 — 3|.у = sin ж + cosec ж.у =.у \3/у = sin ж-cos ж. 249. y = |lgж|. 250. у —|log0ж|, 0<а<1.
у = |2Ж—2 — 3|.
у = sin ж + cosec ж.
у =.
у \3/
у = |2Ж—2 — 3|.
у = sin ж + cosec ж.
у =.
у \3/
у = |cosec ж|-1.252. у = | sec (ж + тг) | + 1.
у — lg(l — ж) 1.254. у = |log1/3(l — ж)|.255. у = 1g2ж.
у = 21og|(l — 2ж) — 1.257. у = ^.258. у = М
2 2.
у =260. ?/= —4ж2 + 12ж —5.261. у = 9.
ж -12ж—8ж —4,5
у =. 263. у = I arcsinж|.
|-4ж2 + 5ж-1|У 11
у = arcsin(—ж). 265. у = arccos |ж|.266. у = — 0,5агссо8ж.
?/ = аг^2ж. 268. ?/ = arctgж + ^.269. ?/ = 2агс^ж.
у = arcctgж — тг.271. ?/ = lgsinж. 272. ?/ = ^|81пж|.
275. у = lg tg ж.275. у = lg tg ж.?/ = ^СО8Ж. 274. ?/ = ^2СО8Ж.
275. у = lg tg ж.
275. у = lg tg ж.
2ж2ж278. у =1-ж,278. у =1-ж,Ug^,Ug^,— схэ < ж ^ 0;0<ж<1;1 < ж < схэ.— схэ < ж ^ 0;0<ж<1;1 < ж < схэ.2/ = lg|tgж|. 277. 7/ = sin —.
2ж
2ж
278. у =1-ж,
278. у =1-ж,
Ug^,
Ug^,
— схэ < ж ^ 0;0<ж<1;
1 < ж < схэ.
— схэ < ж ^ 0;0<ж<1;
1 < ж < схэ.
Уравнения и неравенства
Решить уравнения (279-294).
у/2ж^6 + \/ж + 4 = 5. 280. ^2ж- 1 + ^Jx^i = V^TT.
V® = V65T+T-V25TT. 282. 6ж4-13ж3+12ж2-13ж + 6 = 0.
ж2 + 4ж5— = 1. 284. ж \ х \ х^х Jx... = 4.
ж +4ж + 5V v
ж1о8^2ж=4. 286. (V^VS^H-(\/2 + х7з)Ж =4.
(0,5)cos2® — (0,25)sin2® = 0,5.
21og$a + loga$a + 31oga2$a = 0.
ж1§2^+1§®4+4 =^_
л/ж +1 — 1 л/ж +1 + 1
sin (ж +1) cos2(x +1) = 8тЗ(ж +1) cos4(x +1).
cos (— — X)™1on
= sec21.292. sin10x + cos10x = — cos42x.
l + cosa?216
4
|tg ж + ctg ж| = —.294. sin (л cos ж) = cos (тг sin ж).
Вычислить sin 18°, зная, что sin36° = cos54°.
Решить системы уравнений (296-299).
296.296.by — 4xby _ 34by \j by-4x 15’297.by — 4xby _ 34by \j by-4x 15’297.Зж — у = 4.{sin x + cosy = 1;7Г299.Зж — у = 4.{sin x + cosy = 1;7Г299.• 2, • 23sin ж + sin у = -;x-Vy = 75°.• 2, • 23sin ж + sin у = -;x-Vy = 75°.sin ж • sin т/ = a;1cos x • cos у = -sin ж • sin т/ = a;1cos x • cos у = -
296.
296.
by — 4xby _ 34
by \j by-4x 15’297.
by — 4xby _ 34
by \j by-4x 15’297.
Зж — у = 4.
{sin x + cosy = 1;
7Г299.
Зж — у = 4.
{sin x + cosy = 1;
7Г299.
• 2, • 23
sin ж + sin у = -;
x-Vy = 75°.
• 2, • 23
sin ж + sin у = -;
x-Vy = 75°.
sin ж • sin т/ = a;
1
cos x • cos у = -
sin ж • sin т/ = a;
1
cos x • cos у = -
Какие из чисел больше (300-303)?
-1= и i 301. V5 + V6 и V21-
V1952
V5 + V3 и V6 + V2. 303. (1 + V5)100 и З100.
a-Vb,а < —-— < о, если а < Ь.a-Vb,а < —-— < о, если а < Ь.307. a +i^2, если а > 0.а307. a +i^2, если а > 0.аДоказать неравенства (304-311).
a-Vb,
а < —-— < о, если а < Ь.
a-Vb,
а < —-— < о, если а < Ь.
307. a +i^2, если а > 0.а
307. a +i^2, если а > 0.а
1 + - < 2 , если ж > 1. 305.
х
^ + ^ ^ 2, если р > 0, q > 0. q р
(а + Ь) ^ + ^4, если а > О, b > 0.
Vab а . если а + 6 = 1. а + о
a + b + c > Vab + y/bc + ^/ac, если а > 0, 6 > 0, с > 0.
а2 + 62|, если а + b = 1.
Решить неравенства (312-333).
ж > —. 313. ж<-. 314. ж > ж2. 315. ж < ж2. XX
ж>|^|. 317. Ж<2ж. 318. ж2 —3|ж|+2 < 0.
ж2 — б|ж — 11 +1 < 0. 320. ж < \/2^ж.
ж + 1 > х/2 + ж. 322. ж+j > х/ж+Т.
\/ж2 + 2ж + 1 + V^^TT < \/9ж2 + 12ж + 4.
|2ж-3|> 1. 325. |4-Зж|^|. 326. |ж-3|>-1.
^L±^±l 1. 328. £1_Д±5 < -1. ж3 + 1ж -1
329. (^НХж^) < 033() Зж-4 <()331ж-8> Q
3 —2жж2 + ж + 5ж2_ 5^ + 6
332.332.2 — ж + 2 + ж2 — ж + 2 + ж333.333.(ж2 — ж + 1)(2 + ж)3(ж — V2)~(ж —3)(1 —2ж)<(ж2 — ж + 1)(2 + ж)3(ж — V2)~(ж —3)(1 —2ж)<
332.
332.
2 — ж + 2 + ж
2 — ж + 2 + ж
333.
333.
(ж2 — ж + 1)(2 + ж)3(ж — V2)~
(ж —3)(1 —2ж)<
(ж2 — ж + 1)(2 + ж)3(ж — V2)~
(ж —3)(1 —2ж)<
Решить неравенства (334-347).
334. ^3(1-4ж) > 1. 335. ^2(-2ж2 + Зж + 4) > 2.
^1/3(4ж2 + ж-8) <-2. 337. ^2(2ж - 1) - log2(3 - ж) > 2.
338. log1/3 ж > log^ 3 — ^.log1/3 |1 — Зж| < —2.342. (^) + (^1£3.338. log1/3 ж > log^ 3 — ^.log1/3 |1 — Зж| < —2.342. (^) + (^1£3.log0 5(ж2 — 1)—3.341. log2(|x-3|-3) < 2.343. log.,, 2 • log^ 2 > log^ 2.log0 5(ж2 — 1)—3.341. log2(|x-3|-3) < 2.343. log.,, 2 • log^ 2 > log^ 2.
338. log1/3 ж > log^ 3 — ^.
log1/3 |1 — Зж| < —2.
342. (^) + (^1£3.
338. log1/3 ж > log^ 3 — ^.
log1/3 |1 — Зж| < —2.
342. (^) + (^1£3.
log0 5(ж2 — 1)—3.
341. log2(|x-3|-3) < 2.
343. log.,, 2 • log^ 2 > log^ 2.
log0 5(ж2 — 1)—3.
341. log2(|x-3|-3) < 2.
343. log.,, 2 • log^ 2 > log^ 2.
sin ж > ^.345. | sin ж| < | cos ж|.346. | sin ж| + | С08ж| > 1.
(logsjn3.2)2 < logsin;c(4sin3 ж).
При каких значениях а и (3 возможно равенство sin а + sin 3 = sin (а + /5)?
Показать, что
sin2 а + sin2 b + sin2 с > 2, где а, Ь, с — углы остроугольного треугольника.
350. Доказать, что
tg 20°-tg 40°-tg 80° = V3.
Доказать справедливость неравенств (351-352).
351. со8(8тж)>0. 352.>2.
log2 тг log^ 2
9. Неравенства с двумя переменными и их системы
Где на координатной плоскости расположены точки, координаты которых удовлетворяют неравенству (353-354)?
353. (ж + у) [— + —]> 0? 354. (ж — у) (— — —)> 0? уж -у уужу у
Показать штриховкой множество точек координатной плоскости, задаваемое системой неравенств (355-356).
355.355.У х\у < -ж2 + 9.У х\у < -ж2 + 9.356.356.' х2^у2 < 100, < ж2 -Vy2 64, ху ^ 0.' х2^у2 < 100, < ж2 -Vy2 64, ху ^ 0.
355.
355.
У х\
у < -ж2 + 9.
У х\
у < -ж2 + 9.
356.
356.
' х2^у2 < 100, < ж2 -Vy2 64, ху ^ 0.
' х2^у2 < 100, < ж2 -Vy2 64, ху ^ 0.
Найти множество решений системы (357-372).
357.357.х2 + у2 9, х^гу 0.х2 + у2 9, х^гу 0.ж2 + у2 4ж — у — 2 ^ 0.ж2 + у2 4ж — у — 2 ^ 0.359.359.ж2 + ?/2 < 16, ж2 + у2 1.ж2 + ?/2 < 16, ж2 + у2 1.360.360.ж2 — у — 2 0, х^гу < 0.ж2 — у — 2 0, х^гу < 0.361.361.ж2 — 4ж — у + 3 0, 2ж — у — 2 0.ж2 — 4ж — у + 3 0, 2ж — у — 2 0.362.362.х2 + у - 1 < 0, ж2 — 2ж — у — 3 0.х2 + у - 1 < 0, ж2 — 2ж — у — 3 0.' х^гу >0,' х^гу >0,363.363.< 2ж-?/-3<0,ж — 2?/ 0.< 2ж-?/-3<0,ж — 2?/ 0.
357.
357.
х2 + у2 9, х^гу 0.
х2 + у2 9, х^гу 0.
ж2 + у2 4
ж — у — 2 ^ 0.
ж2 + у2 4
ж — у — 2 ^ 0.
359.
359.
ж2 + ?/2 < 16, ж2 + у2 1.
ж2 + ?/2 < 16, ж2 + у2 1.
360.
360.
ж2 — у — 2 0, х^гу < 0.
ж2 — у — 2 0, х^гу < 0.
361.
361.
ж2 — 4ж — у + 3 0, 2ж — у — 2 0.
ж2 — 4ж — у + 3 0, 2ж — у — 2 0.
362.
362.
х2 + у - 1 < 0, ж2 — 2ж — у — 3 0.
х2 + у - 1 < 0, ж2 — 2ж — у — 3 0.
' х^гу >0,
' х^гу >0,
363.
363.
< 2ж-?/-3<0,ж — 2?/ 0.
< 2ж-?/-3<0,ж — 2?/ 0.
364.364.' ж + ?/ + 2 > 0, < ж - у + 2 > 0, ж — у — 1 ^ 0.' ж + ?/ + 2 > 0, < ж - у + 2 > 0, ж — у — 1 ^ 0.365.365.' ж + ?/ + 1 > 0, ж + ?/ -3 < 0, ж + 1 ^0, кж —3^0.' ж + ?/ + 1 > 0, ж + ?/ -3 < 0, ж + 1 ^0, кж —3^0.
364.
364.
' ж + ?/ + 2 > 0, < ж - у + 2 > 0, ж — у — 1 ^ 0.
' ж + ?/ + 2 > 0, < ж - у + 2 > 0, ж — у — 1 ^ 0.
365.
365.
' ж + ?/ + 1 > 0, ж + ?/ -3 < 0, ж + 1 ^0, кж —3^0.
' ж + ?/ + 1 > 0, ж + ?/ -3 < 0, ж + 1 ^0, кж —3^0.
' ж — у + 2 ^ 0,
f ж + 2?/ + 2 > 0,
366. <
ж — у — 1 < 0, у + 1^0, 1у-3^0.
г Зх - 2у + 6 > 0,
367. <
ж + 2?/-4<0, ж-2^0,
. ж + у +1 ^ 0.
' ж -у + 2 ^ 0,
368. <
Зх-2у <0, 2у-9^0, . ж + ?/ + 2 > 0.
369.
Зж — у — 4 ^ 0, ж + 1^0,
. У ^о.
370.370.f ж — 2т/ +1 > О,f ж — 2т/ +1 > О,Зж + ?/ - 11 < О, ж + 4 > О,Зж + ?/ - 11 < О, ж + 4 > О,372.372.ж2 + у2 ^ 9,ж2 + у2 ^ 9,371. х + у ^ О,371. х + у ^ О,ж2 + у2 С 9, ж + 1 > О, х — 2 0.ж2 + у2 С 9, ж + 1 > О, х — 2 0.
370.
370.
f ж — 2т/ +1 > О,
f ж — 2т/ +1 > О,
Зж + ?/ - 11 < О, ж + 4 > О,
Зж + ?/ - 11 < О, ж + 4 > О,
372.
372.
ж2 + у2 ^ 9,
ж2 + у2 ^ 9,
371. х + у ^ О,
371. х + у ^ О,
ж2 + у2 С 9, ж + 1 > О, х — 2 0.
ж2 + у2 С 9, ж + 1 > О, х — 2 0.
§ 2. Разные задачи из экзаменационных билетов
Вычислить ж, если
(2,7 —0,8)-2^(1,6 + 154,66:70,3) : 1,9 ,|О9„5
Г” /2 Г^— +ж + 8ТГ=2й-(5,2 —1,4):^(2|-1,3):4,3118
В одном сосуде находятся 12 л п%-ного раствора кислоты, а в другом — 8л т%-ного раствора той же кислоты. Из каждого сосуда отлили одно и то же количество литров и взятое из первого сосуда перелили во второй, а взятое из второго — в первый. Какое количество литров было отлито, если в обоих сосудах оказался раствор кислоты одной и той же концентрации?
В основании прямой призмы лежит четырехугольник, в котором два противоположных угла прямые. Диагональ основания, соединяющая вершины непрямых углов, имеет длину I и делит один из этих углов на части а и (3. Площадь сечения, проведенного через другую диагональ основания перпендикулярно ему, равна S. Найти объем призмы и привести формулу к логарифмическому виду.
Упростить выражение
cos — + - cos (тг — X) .
Две бригады производили ремонт пути. Каждая из них отремонтировала по 10 км, несмотря на то что вторая бригада работала на один день меньше первой. Сколько километров пути в день ремонтировала каждая бригада в отдельности, если обе вместе ремонтировали 4,5 км в день?
Из сосуда с кислотой отлили а л кислоты и долили в сосуд а л воды. Затем отлили а л смеси, после чего оказалось, что оставшаяся в сосуде смесь содержит 2Ь л кислоты. Сколько литров кислоты было в сосуде первоначально? (Кислота не вступает в реакцию с водой.)
Упростить выражение
2sin(a + /3)„
cos (о + Д) + cos(o — Д) '
Найти наименьшее числовое значение выражения х2 — 6ж + 34.
Доказать, что tg(a + Д) = 2tg а, если sin а • cos (а + Д) = 8тД. Выполнить действия (382-385).
^/8ж(7 + 4х/3) У2х/бж-4^2ж.
abVaT-nb-n - а-пЬг-п ^/(а-6)-1.
384.385.384.385.^) (V6 + 11).
384.
385.
384.
385.
\Ve+i v6—2 з-VeP '
112«1/4-2
а1/4 + й1/8 + 1 + а1/4_й1/6 + 1 “ й1/2_ 1/4 т •
Решить уравнение (ж — натуральное число) ^^ + ^ = 14^ + 1).
Написать общий вид квадратного уравнения, заведомо имеющего действительные корни.
Дано:
tga = |, tg^=-^, 0<а<^, 0</?<^.
Найти sin (2а — Д).
Решить систему уравнений f а3 + а2х + ау + z = О, < b3 -Vb2x-Vby + z = 0, . с3 + с2х + су + z = 0.
Определить значение т так, чтобы в уравнении 2ж2 — (2m +1) х + m2 — 9m + 39 = 0, один из корней был вдвое больше другого, и решить это уравнение при найденном значении т.
В арифметической прогрессии третий член равен 35, а пятый член равен 55. На какое число надо разделить сумму пяти членов прогрессии, чтобы в частном получилось число, меньшее делителя на 7, а остаток от деления был бы равен половине частного?
Доказать, что три различных числа не могут одновременно составлять и арифметическую, и геометрическую прогрессии.
Найти два числа, если известно, что разность между частными от деления первого числа на 3, а второго на 5 равна 6; если первое число разделить на второе, то в частном получится пятая часть второго числа, а в остатке 4.
Вычислить выражения (394-395).
(9-1/2 + (3V3)-4/3) • (э-1/4- (3V3)"4/3).
2^3+V13 + V48.
Бригада каменщиков уложила 120 тысяч кирпичей, выполнив эту работу на 4 дня раньше срока. Какова была норма ежедневной
кладки кирпича и сколько тысяч кирпичей укладывали ежедневно в действительности, если известно, что бригада за три дня укладывала на 5 тысяч кирпичей больше, чем полагалось укладывать за 4 дня по норме?
sin 7ж + cos2 2ж = sin2 2ж + sin ж, / 7Г 7Г \sin 7ж + cos2 2ж = sin2 2ж + sin ж, / 7Г 7Г \Найти все решения уравнения
sin 7ж + cos2 2ж = sin2 2ж + sin ж, / 7Г 7Г \
sin 7ж + cos2 2ж = sin2 2ж + sin ж, / 7Г 7Г \
лежащие в интервале —; —j.
Исключить t из равенств ж = 10cosf, у = 10smf.
Выразить sin 6° через sin 12°.
Возможно ли равенство ж = ^2ж?
Имеет ли уравнение ж3 + 2ж = 3 отрицательные корни?
Доказать, что ж = 1 — единственный (действительный) корень уравнения ж3 + Зж = 4.
Показать, что уравнение ж5 + ж4 + 2ж3 + 2ж2 + ж + 1 = О имеет только один корень. Какой?
Решить неравенства (404-408).
V 2ж2 — ж — 6V 2ж2 — ж — 61212^ 41ogg® 04()5 4Ж _ 2ж+1 _ 3 < 0
V 2ж2 — ж — 6
V 2ж2 — ж — 6
1
2
1
2
407. 9$-1/2_3»-ii0g256 + i0g27< о. 408. А/Л-7<-
V х 4 ж
Решить уравнения (409-413).
Vv=V^ sin ж + 2 cos ж = 0.
/ 3 У2
У 4 - У3 cos ж H—— sin ж = 0.
V3-5cos ж — 7sin2 ж + cos ж = 0.
cos2 ж + 4 cos ж = 3 sin2 ж. 413. У9-5ж = УЗ-ж +6
УЗ — х
414. Доказать тождество
tg а + ctg а + cosec 2аtg а + ctg а + cosec 2аsec (^ — 2а)415. Решить систему уравненийsec (^ — 2а)415. Решить систему уравнений= 3.= 3.
tg а + ctg а + cosec 2а
tg а + ctg а + cosec 2а
sec (^ — 2а)
415. Решить систему уравнений
sec (^ — 2а)
415. Решить систему уравнений
= 3.
= 3.
2Ж2 — зж — 459
При каких отрицательных значениях ж дробь 2
больше единицы?ж +1
§ 3. Образцы билетов с задачами по математике,предлагавшимися на письменныхвступительных экзаменах в вузах
Вариант 1
Разложить на множители выражение ж3 + 5ж2 + Зж — 9.
Решить уравнение С^ = 5, где С™ обозначает число сочетаний из п элементов по т (см. §6 приложения I).
Решить уравнение log3 ж + logyg ж — log^ ж = 0.
Преобразовать в произведение: 1+ зтж — соз2ж.
Упростить выражение
п + (п + 1) + (п + 2) + (п + 3) + ... + 2п
н + Зп + 2
Л^Д±£?Х : ( 1/2 _ ж1/2 _ 2/5)-1(п-ж) ’ (n + 2) vvw у у
Два каменщика, из которых первый начинает работать на 1,5 дня раньше второго, могут сложить стену за 7 дней, считая с момента начала работы первого. Если бы каждый выполнил эту работу отдельно, то первому потребовалось бы на 3 дня больше для выкладки всей стены, чем второму. За сколько дней каждый из них сложит эту стену?
Правильная треугольная пирамида со стороной основания а = 13,92 см рассечена плоскостью, перпендикулярной основанию и делящей две стороны основания пополам. Вычислить объем отсеченной пирамиды, если двугранный угол при основании ср = 67° 18'.
Решить систему неравенств
f Зж — 113 —ж 7ж 11(ж + 3)
<5> 16’
2ж + 7 Зж + 5 о 10 —Зж
Вариант 2
Упростить выражение
Решить уравнение ж6 — 28ж3 + 27 = 0.
Найти область определения функции _ а/ж + 5
У 1g (9
Решить уравнение
lg1g 1,25 = 1.
Упростить выражение -——ЗтО
tg 2ж — ctg 2ж
Из двух сплавов меди процент содержания меди в одном сплаве был на 40 меньше, чем в другом. В новом сплаве, образованном из этих двух сплавов, меди оказалось 36%. Вычислить процентное содержание меди в первом и во втором сплавах, если известно, что меди в первом сплаве было 6 кг, а во втором — 12 кг.
По данному основанию треугольника а = 5 и двум его высотам he = 4, кв = 3, проведенным из вершин, прилежащих к основанию, вычислить две другие стороны треугольника.
Пирамида имеет в основании равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом а = 18,68 см. Одно из боковых ребер пирамиды перпендикулярно плоскости основания, а другие два наклонены к ней под одним и тем же углом а = 46°52'. Плоскость, перпендикулярная основанию, дает в сечении с пирамидой квадрат. Вычислить площадь этого сечения.
Вариант 3
433. Упростить выражение
и найти его числовое значение при а = 1,125.
Решить уравнение
^2ж—1 । 2^ж5^ж I 2^ж-'_^0
Доказать, что при 0° < х < 90° справедливо неравенство tg х + ctg х 2.
Найти сторону ромба, если окружность, проведенная через вершины обоих тупых углов и одного из острых углов, делит большую диагональ на части 50 и 14.
Некоторое тело, погруженное в воду, теряет в своем весе столько процентов, сколько килограммов составляет его вес. Каков его вес, если в погруженном состоянии он равен 24 Н?
Боковое ребро наклонного параллелепипеда образует одинаковые углы, равные у?, со сторонами основания, представляющего
собой ромб со стороной а и острым углом а. Вычислить площадь сечения параллелепипеда, проходящего через большую диагональ ромба и высоту параллелепипеда, если боковая грань его имеет площадь S.
Вариант 4
Решить уравнение
ж уж — 1 УЖ ~1.
—-= 4.
1 ^Ж + 1
Через один из концов хорды окружности проведен диаметр. Перпендикуляр, опущенный из середины хорды на диаметр, равен 2 см. Больший отрезок диаметра равен 6 см. Вычислить радиус круга.
Два мотоциклиста выехали одновременно: один из пункта А в пункт В, другой из пункта В в пункт А. Каждый ехал с постоянной скоростью и, приехав в конечный пункт, немедленно поворачивал обратно. Первый раз они встретились в 40 км от В, второй раз — в 20 км от А через 8 ч после первой встречи. Найти расстояние от А до В и скорости обоих мотоциклов.
Основанием прямой призмы служит неравнобочная трапеция. Через боковое ребро призмы проведена плоскость, делящая двугранный угол а при этом ребре в отношении 1:2. Эта плоскость делит непараллельную грань призмы пополам. Диагональ сечения, площадь которого Q, образует с основанием призмы угол (3. Найти объем призмы.
Решить неравенство sin ж — V3cosx > 1.
Вариант 5
Упростить выражение
1/2I\/гI л \
а *о\/ аbа + о \
(а1/2 + 61/2)-1 (Vab3- b)(b - а)-1) \Vab3-b Vab-a a^b1^2) и найти его числовое значение при а = 1 ^; b = 0,75.
В прямоугольный треугольник, катеты которого равны 3 см и 4 см, вписан круг. Вычислить расстояния от центра этого круга до вершин треугольника.
Три положительных числа, составляющие арифметическую прогрессию, дают в сумме 15. Если к ним прибавить соответственно 1, 4 и 19, то получатся три числа, составляющие геометрическую прогрессию. Найти эти числа.
В правильную треугольную пирамиду, сторона основания которой равна а, вписан шар. Боковая грань образует двугранный угол а с основанием. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки касания шара с боковыми гранями пирамиды.
Решить неравенство tg ж + ctg ж + 2ctg 2ж > 2.
Вариант 6
Решить уравнение ж1§ж+1 = ЮООж3.
Сколько градусов содержит дуга, если перпендикуляр, проведенный к хорде из ее конца, делит дополнительную (до окружности) дугу в отношении 5 : 2?
При делении некоторого двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 6, а в остатке 2. Если же это число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 5, а в остатке — опять 2. Найти это число.
Найти центральный угол в осевом сечении шарового сектора, если его сферическая поверхность равновелика конической. В каком отношении наибольшее поперечное сечение делит ось шарового сектора?
Доказать тождество
cosmx — cosnx ,\
: = tg I X I •
sin пж — sin шж \2/
Вариант 7
Произвести действия:
((4,625 - — • —) : - + (2,5 :1,25) : 6,75) : 1—
" ’18 267 4 v7'68
(i —0,375) : 0,125+(|-^) : (0,358 - 1,4796 :13,7)"
Решить уравнение
glog25 ж2 + log^_ 2 V2 = j (9log28 ж+1 - 9log25 ж).
Окружность разделена в отношении 5:9: 10, и через точки деления проведены касательные. Вычислить больший угол в полученном треугольнике.
Одна бочка содержит смесь спирта с водой в отношении 2:3, а другая — в отношении 3 : 7. Сколько ведер нужно взять из каждой бочки, чтобы составить 12 ведер смеси, в которой спирт и вода были бы в отношении 3 : 5?
Вокруг шара описана усеченная правильная четырехугольная пирамида, в которой стороны большего и меньшего оснований относятся как т : п. Как наклонены к плоскости большего основания боковая грань и боковое ребро?
Вычислить i/0,5 + 0,5 cos(2arccos 0,75).
460. Упростить выражение460. Упростить выражениеВариант 8
460. Упростить выражение
460. Упростить выражение
в-3/2(ж-0,5 + в0,5)(Ж1/4аЗ/4_ж1/За2/3)-2
и найти его числовое значение при а = 0,5; х = 6,125.
В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла
делит гипотенузу на части, равные 2^ ми 2^ м. Найти катеты.
Найти два числа, сумма которых равна 1244; эти числа станут равными друг другу, если в конце первого числа приписать цифру 3, а в конце второго числа отбросить цифру 2.
Сечение, перпендикулярное оси конуса и делящее его объем пополам, проходит через центр описанного шара. Найти угол между образующей и плоскостью основания.
Преобразовать в произведение: 3 — 4cos2 (| тг — ж).
Решить систему уравнений
Зж-2^ = 144,^^(у-ж) = 2-
Вариант 9
Найти число ж из пропорции
(14 — 13,5(121 — 111)) : 0,16
2v 71—714 6
8460
Доказать тождество
cos 15° +Уз-sin 15° = У2.
Из одной точки проведены к данной прямой перпендикуляр и две наклонные. Вычислить длину перпендикуляра, если наклонные равны 41 см и 50 см, а их проекции на данную прямую относятся как 3:10.
37 кг олова «теряют» в воде 5 кг своей массы, 23 кг свинца теряют 2 кг. Сплав обоих металлов в 120 кг «теряет» в воде 14 кг. Сколько в сплаве олова и сколько свинца, если объем сплава равен сумме объемов компонентов?
Конус и сферический сегмент (меньше полушара) имеют общее основание, а их боковые поверхности взаимно касаются. Найти угол между образующей и основанием конуса, если боковая поверхность конуса в п раз больше боковой поверхности сегмента.
При каких значениях а уравнение ж2 — 2аж + а2 = 1 имеет два различных корня, заключенных в интервале (1; 5)?
Вариант 10
Произвести указанные действия:
/928 ЛО’2 ПД (31:0,625-0,84: 0,8): 0,03
\°-8/(42 -31 — 3,3:0,03) :
Производительность станка А в т раз меньше суммарной производительности станков В и С. а производительность станка В в п раз меньше суммарной производительности станков Л и С. Во сколько раз производительность станка С меньше суммарной производительности станков А и В?
Диагонали ромба равны 14 дм и 48 дм. Вычислить высоту ромба.
Основанием пирамиды служит прямоугольник с углом а между диагоналями, а боковые ребра образуют с плоскостью основания угол ip. Вычислить объем этой пирамиды, если радиус описанного вокруг нее шара равен R.
Решить уравнение cos9x • cos5x = cos7x • cos3x.
При каких значениях т трехчлен 2ж2—2ж + 5ш будет иметь положительные значения при любых действительных значениях ж?
Вариант 11
478. Упростить выражение
и вычислить при а = 0,4761; b = 12,3201.
Дан параллелограмм, в котором острый угол 60°. Найти отношение длин сторон, если отношение квадратов длин диагоналей 19 параллелограмма равно —.
Автомашина должна была пройти 840 км. В середине пути она была задержана на 1 ч, и чтобы прибыть вовремя, она должна была увеличить скорость на 2 км/ч. Сколько времени затратила автомашина на весь путь?
Найти поверхность шара, описанного вокруг треугольной пирамиды, стороны основания которой а, b и с, а боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом а.
Доказать тождество
sin — • sin2cos2 — — cossin — • sin2cos2 — — cos= ^tga.= ^tga.
sin — • sin
2
cos2 — — cos
sin — • sin
2
cos2 — — cos
= ^tga.
= ^tga.
Вариант 12
Решить неравенство —।—-pyj— > 1.
484. Решить уравнение
log4(21og3(l + log2(l + 31oga.a?))) = /
30 В. А. Бачурин
Через одну и ту же точку окружности проведены две хорды, равные а и Ь. Если соединить их концы, то получится треугольник площади Q. Вычислить радиус окружности.
Два колеса разных диаметров соединены бесконечным ремнем. Меньшее из них делает в минуту на 400 оборотов больше второго. Большее колесо делает 5 оборотов в промежуток времени на 1 с больший, чем время 5 оборотов меньшего. Сколько оборотов делает каждое колесо в минуту?
В правильной усеченной четырехугольной пирамиде сторона большего (нижнего) основания равна а; боковое ребро также равно а и составляет со стороной нижнего основания угол а. Центр нижнего основания служит вершиной пирамиды, основание которой совпадает с верхним основанием данной усеченной пирамиды. Найти разность объемов усеченной и внутренней пирамид.
Решить уравнение sin ж -8ш7ж = 8тЗж -8тбж.
Варианты письменных экзаменов с проверкой на ЭВМ*)
Вариант 1
Вычислить
(^ёН^-1^6-2’85^ 0’003)
33,75 ■ 16,1+ -■ 95—+ 2,(6) ■ —'
’’4907 160
Решить уравнение
4312 _ 1
х + 2 х — 2 4 — ж2 ? *
Найти больший корень уравнения ^3^^ = ^.
Найти меньший корень уравнения
log| — 21og2 я? — 3 = 0.
Найти наибольшее число, удовлетворяющее неравенству |ж2 — Зж +1| ^ 1.
Найти длину промежутка, на котором верно неравенство д/ж + 8 — д/ж — 42.
Пятый член геометрической прогрессии равен 16, а восьмой член равен (—128). Найти сумму первых шести членов прогрессии.
Сколько корней уравнения tg 2ж — tg ж = 0 лежит на отрезке Н;?]?
*) Устные экзамены при этом не предусматриваются.
В прямоугольный треугольник, площадь которого равна 6 см2, вписана окружность радиуса 1 см. Найти длину гипотенузы треугольника.
Объем правильной треугольной пирамиды равен 2,25 см3, сторона основания равна 3 см. Найти угол наклона бокового ребра пирамиды к плоскости основания (в градусах).
Вариант 2
Вычислить выражение
| (542-4,5 : 0,1) • (з| + 0,666...)0,4
(б— :6-1—) : (s2-l±) + (2- +1,5) -2,5"
V 1272^ V 721^ V 5’ /’
24
Найти меньший корень уравнения —~1—~= 1.
ж +3 ж2+ 7
Решить систему уравнений
( ж2 = 28 - ху,
[ у2 = 21 — ху и вычислить произведение ху.
Найти число В, если оно составляет 32 % от числа Л и на 18 больше числа С, составляющего 24% от числа А.
Решить уравнение д/76 + 6ж — ж2 = ж + 4.
Вычислить координату (абсциссу) середины отрезка, на котором верно неравенство |ж — 2| + |ж + 2| ^4.
Вычислить длину отрезка, на котором верно неравенство
22^+i_5.2^+2<0.
Сумма первого и четвертого членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 9-, а сумма второго и третьего членов равна 4. Вычислить сумму прогрессии.
nlogo 0,4 • logo 2,5 • logK 2
Вычислить выражение , ^—.
log2 5 + log5 2 — 2
Вычислением показать справедливость равенства выражений:
•, олло X аа-о V5 (sin 38° + Sin 22°)
sin 390 + cos 300 • tg 225 =5.
bcos 37° +sin 37°
Чему равно каждое из них?
Из точки, лежащей на окружности, проведены диаметр и хорда, угол между которыми равен 90°. Длина дуги, заключенной между диаметром и хордой, равна 3. Вычислить длину окружности.
Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен 60°, сторона основания равна 6л/2. Вычислить объем пирамиды.
Вариант 3
Вычислить выражение
{к5 - 2 5 (4 ^ - С2 5 - 0 •(3))) ■ Зт] : м- °-ю:т } 4
512. Упростить выражение512. Упростить выражение9>ns о при а = уЗ — 2.9>ns о при а = уЗ — 2.(^З-а)23 + 3^3а2-а3-3^9а(^З-а)23 + 3^3а2-а3-3^9аи вычислить егои вычислить его
512. Упростить выражение
512. Упростить выражение
9>ns о при а = уЗ — 2.
9>ns о при а = уЗ — 2.
(^З-а)2
3 + 3^3а2-а3-3^9а
(^З-а)2
3 + 3^3а2-а3-3^9а
и вычислить его
и вычислить его
Вычислить произведение корней уравнения
1 + h —1 + ж 1 + 2ж1 + h —1 + ж 1 + 2ж= 0.= 0.
1 + h —
1 + ж 1 + 2ж
1 + h —
1 + ж 1 + 2ж
= 0.
= 0.
Решить систему уравнений и вычислить произведение xyz\
' 2ж + 3?/ — z = 6,< x-yVlz = %,
^x-y^2z = 4.
Какое двузначное число на 19 больше суммы квадратов его цифр и на 44 больше удвоенного произведения его цифр?
516.517.518.516.517.518.2^3 з/з\з V2 /2^3 з/з\з V2 /Решить уравнение V9 — х — д/9 + ж = 2 V^-
516.
517.
518.
516.
517.
518.
2^3 з/з\з V2 /
2^3 з/з\з V2 /
Вычислить выражение 31og2
Вычислением показать справедливость равенства выражений:
•х r^no V2(sin34° + sin26°)
sin 405 + sin 480 -tg570 =5
cos41 + sin41
Чему равно каждое из них?
В окружность радиуса 10 вписан равнобедренный треугольник, у которого сумма высоты и основания равна диаметру. Вычислить длину высоты.
Вычислить длину образующей конуса, если его объем V = = тг куб. единиц, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 30°.
Найти наименьшее число, удовлетворяющее неравенству |ж2 — 5ж + 2| ^2.
Найти длину отрезка, на котором верно неравенство (2ж + 1)-1 < (2-2ж)-1.
Каково наибольшее целое значение ж, входящее в область определения функции у = lg(2 + х — ж2)?
Вычислить больший корень уравнения log2 ж + log^ 8 — 4 = 0.
Сколько корней уравнения 2sin2^ +sin2ж = 2 лежит на отрезке 0 < ж < 2тг?
Второй член арифметической прогрессии равен 6, а пятый член равен (—3). Вычислить число п, если сумма первых п членов прогрессии равна (—27).
Вариант 4)
1-й тур (20 задач)
Ответ*. 350.Ответ*. 350.Найти число, 31 % которого составляет 108,5.
Ответ*. 350.
Ответ*. 350.
Упростить до числового ответа выражение
4х‘lx-у4х‘lx-у2\/ к ।У \ Л _ 5x4-у 2ж2 —жу/ \ 2ж + у2\/ к ।У \ Л _ 5x4-у 2ж2 —жу/ \ 2ж + уОтвет*. —3.Ответ*. —3.
4х
‘lx-у
4х
‘lx-у
2\/ к ।
У \ Л _ 5x4-у 2ж2 —жу/ \ 2ж + у
2\/ к ।
У \ Л _ 5x4-у 2ж2 —жу/ \ 2ж + у
Ответ*. —3.
Ответ*. —3.
Решить уравнение 0,25(Зж + 2)+4 = Зж.Ответ*, х = 2.
Найти больший корень уравнения (7ж + 2) ^х +1) = 2ж2.
Ответ*, х = —0,25.
Найти наибольшее целое значение ж, удовлетворяющее нера
Ответ*, х = 6.Ответ*, х = 6.венству 0,1(2ж — 0,125) > х — 5.
Ответ*, х = 6.
Ответ*, х = 6.
Вычислить значение у из системы
0,3?/-0,5ж = 1,18;1,6?/+ 2ж =-3,04.0,3?/-0,5ж = 1,18;1,6?/+ 2ж =-3,04.4Ответ*, у = — -4Ответ*, у = — -
0,3?/-0,5ж = 1,18;
1,6?/+ 2ж =-3,04.
0,3?/-0,5ж = 1,18;
1,6?/+ 2ж =-3,04.
4
Ответ*, у = — -
4
Ответ*, у = — -
3132-3122132-122 'Вычислить сумму всех двузначных чисел.Вычислить сумму ^ + | + ^ + ^ + ^+ " +3132-3122132-122 'Вычислить сумму всех двузначных чисел.Вычислить сумму ^ + | + ^ + ^ + ^+ " +Вычислить устноВычислить устно10. Вычислить ж, если10. Вычислить ж, еслиОтвет*. 5.Ответ*. 4905.2)Ответ*. 2.Ответ*. 5.Ответ*. 4905.2)Ответ*. 2.21log ж = - log 32 - - log 64 +log 10.21log ж = - log 32 - - log 64 +log 10.Ответ*, х = 10.Ответ*, х = 10.11.12.13.11.12.13.Найти больший корень уравнения 1000- (О,!)1/^ = 100ж.Найти больший корень уравнения 1000- (О,!)1/^ = 100ж.ВычислитьВычислитьВычислитьВычислитьsin2 60° + sin2(—45°) — 1,25tg245° — sin2(—30°) + sin2 60°sin2 60° + sin2(—45°) — 1,25tg245° — sin2(—30°) + sin2 60°Ответ*, ж = 1.Ответ*. 0.Ответ*, ж = 1.Ответ*. 0.
3132-3122132-122 '
Вычислить сумму всех двузначных чисел.
Вычислить сумму ^ + | + ^ + ^ + ^+ " +
3132-3122132-122 '
Вычислить сумму всех двузначных чисел.
Вычислить сумму ^ + | + ^ + ^ + ^+ " +
Вычислить устно
Вычислить устно
10. Вычислить ж, если
10. Вычислить ж, если
Ответ*. 5.
Ответ*. 4905.
2)
Ответ*. 2.
Ответ*. 5.
Ответ*. 4905.
2)
Ответ*. 2.
21
log ж = - log 32 - - log 64 +log 10.
21
log ж = - log 32 - - log 64 +log 10.
Ответ*, х = 10.
Ответ*, х = 10.
11.
12.
13.
11.
12.
13.
Найти больший корень уравнения 1000- (О,!)1/^ = 100ж.
Найти больший корень уравнения 1000- (О,!)1/^ = 100ж.
Вычислить
Вычислить
Вычислить
Вычислить
sin2 60° + sin2(—45°) — 1,25tg245° — sin2(—30°) + sin2 60°
sin2 60° + sin2(—45°) — 1,25tg245° — sin2(—30°) + sin2 60°
Ответ*, ж = 1.
Ответ*. 0.
Ответ*, ж = 1.
Ответ*. 0.
4sin330° • cos (-240°) • tg 120° - 2cos 150° • tg (-315°). Ответ*. 0.
Упростить до числового ответа
sin 6а • ctg За — cos6а.Ответ*. 1.
Решить уравнение С08ж = sin2ж -С08ж. Ответ дать для интервала 0 < ж < 90°.Ответ*, х = 45°.
Периметр ромба равен 8 см, высота — 1 см. Найти тупой угол ромба.Ответ*. 150°.
Из точки окружности проведены две хорды, равные радиусу. Найти угол между ними.Ответ*. 120°.
Ответ*. 3 см.Ответ*. 3 см.Найти среднюю линию описанной вокруг окружности трапе
Ответ*. 3 см.
Ответ*. 3 см.
ции по ее периметру 12 см.
Вычислить расстояние точки М(1; 2; — 3), заданной в пространственной системе координат, от координатной оси Ох.
Ответ*. V13-
Сторона равностороннего треугольника равна 3 см. Вычислить расстояние от его плоскости до точки, которая отстоит от каждой из его вершин на 2 см. Ответ*. 1 см.
2-и тур (6 задач)
1.1.Вычислить х из равенства(17,125 + 19,38 : ж) - 0,2+ 3— : 2—’7’1218Вычислить х из равенства(17,125 + 19,38 : ж) - 0,2+ 3— : 2—’7’1218(5IZ-4H : 2 + 21 -1-) : 27,74 + -v 322748'’9(5IZ-4H : 2 + 21 -1-) : 27,74 + -v 322748'’9= 6,48.= 6,48.Ответ*. 2,4.Ответ*. 2,4.
1.
1.
Вычислить х из равенства
(17,125 + 19,38 : ж) - 0,2+ 3— : 2—
’7’1218
Вычислить х из равенства
(17,125 + 19,38 : ж) - 0,2+ 3— : 2—
’7’1218
(5IZ-4H : 2 + 21 -1-) : 27,74 + -
v 322748'’9
(5IZ-4H : 2 + 21 -1-) : 27,74 + -
v 322748'’9
= 6,48.
= 6,48.
Ответ*. 2,4.
Ответ*. 2,4.
Двое рабочих должны были за 3 ч сделать по одинаковому числу деталей. Один из них выполнил задание в указанное время. Второй за это же время сделал на 11 деталей больше, чем первый, так как на обработку каждой детали затрачивал на 11 мин меньше, чем первый. Сколько деталей сделал второй рабочий?Ответ*. 20.
Решить уравнение х + lg(l + 2Ж) = xlg5 + lg6. Ответ; х = 1.
Упростить до числового ответа выражение
sin6 а + cos6 а + 3sin2 a cos2 а.Ответ; 1.
В прямоугольный треугольник, катеты которого равны 3 см и 4 см, вписан круг. Вычислить расстояния от центра этого круга до вершин треугольника. В ответе указать квадрат наименьшего расстояния. Ответ; 2 см2.
Ответ; 4 см.Ответ; 4 см.Шар радиуса ^2 см равновелик прямому конусу, боковая поверхность которого в три раза больше площади основания. Вычислить
Ответ; 4 см.
Ответ; 4 см.
высоту конуса.
§ 4. Выборочные задачи из экзаменационных билетов,не являющиеся обязательными для всех абитуриентов
Задачи на вычисление пределов
Используя определение предела последовательности, доказать справедливость равенств (527-529).
г 5п —2 гг 9п —5 ог Ъу/п — 85
hm=5. 528. hm= 3. 529. hm ——=-.
1WOC НП—»-ОС Зпи-юс 2 у?2+ Ю 2
Вычислить пределы последовательностей, заданных общим членом (530-531).
.. nsinn.. costi
530. hm . 531. hm ——.
ti—^oc ^ -|- 1^—^oc 2
В задачах 532-537 найти пределы.
г ж2 — 2ж + 1r ^X-A^V^-X
532. hm5•533. hm 4.
X6 — Xж^! Ж — 1
г уНх2- 1г д/ж — 1 — 2
534. hm . 535. hm.
ж^-0 Жж—>-5Ж — 5
536. lim (ж - V^2 + 5ж). 537. lim (ж + 1) sin —.
ж^-ос х7ж^-осЖ
ж4-16ж4-16Вычислить пределы и подтвердить или опровергнуть данные высказывания (538-539).
ж4-16
ж4-16
538.539.538.539.lim ^^ж = 5 — lim
538.
539.
538.
539.
ж^-0 Зжж ^-2
р ж3 — Зж2 + 1
hm -v5з
ж — ж4 + 2ж3 — 5
Производная. Применение производной
Вычислить значения производных заданных функций при указанных значениях независимой переменной (540-543).
/(ж) = sin4ж — cos4ж; ff (^) = ?
/(ж) = V^I+^T. //(2) = ?
/(ж) = 5(ж + 1)2\/ж^Т; /'(2) = ?
/(ж)= /• Л0) = ?
у 2 — 22ж
Найти производные функций (544-547).Найти производные функций (544-547).544.546.544.546.2,, 1. жУ = - arctg ж + - arctg21 — жу = 111). 547. у =ж + у ж2 — 12,, 1. жУ = - arctg ж + - arctg21 — жу = 111). 547. у =ж + у ж2 — 1545.545.. 2sin ж1 + ctg ж. 2sin ж1 + ctg ж2I COS ж2I COS ж1 + tg ж *1 + tg ж *
Найти производные функций (544-547).
Найти производные функций (544-547).
544.
546.
544.
546.
2,, 1. ж
У = - arctg ж + - arctg2
1 — ж
у = 111). 547. у =
ж + у ж2 — 1
2,, 1. ж
У = - arctg ж + - arctg2
1 — ж
у = 111). 547. у =
ж + у ж2 — 1
545.
545.
. 2sin ж
1 + ctg ж
. 2sin ж
1 + ctg ж
2
I COS ж
2
I COS ж
1 + tg ж *
1 + tg ж *
549.ж — 4У = ^2549.ж — 4У = ^2
549.
ж — 4
У = ^2
549.
ж — 4
У = ^2
548. Написать уравнение касательной к графику функции у =
®3 + !к
в точке его пересечения с осью абсцисс.
Показать, что касательные, проведенные к графику функции в точках его пересечения с осями координат, параллельны.
Составить уравнение касательной к линии у = ж3 + Зж2 — 5, перпендикулярной прямой 2ж — бу + 1 = 0.
Составить уравнение нормали к линии у = — у^ + 2 в точке ее пересечения с биссектрисой I координатного угла.
Под каким углом к оси Ох наклонена касательная, проведенная к кривой у = 2ж3 — х в точке пересечения этой кривой с осью Оу?
В какой точке угловой коэффициент касательной к графику функции у = 2ж3 — 2ж2 + х — 1 равен 3?
Тело движется по закону s(t) = 2t3 — 3t + 4 (м). Найти его скорость и ускорение в момент t = 2 сек.
Движения двух тел вдоль одной прямой заданы уравнениями si = 4t2 + 2 (м), S2 = 3t2 + 4^ — 1 (м). Найти скорости движения тел в те моменты (выраженные в секундах), когда тела «сходятся в одной точке».
Показать, что функция у = ж3 + 4ж возрастает на всей числовой оси.
Доказать, что функция у = х Н^—^ возрастает на всей числовой оси.1 + ж
Показать, что функция у = 2ж3 + Зж2 — 12ж + 1 убывает в интервале (—2; 1).
Показать, что функция у = arctgж — х убывает при любом значении х.
Найти экстремум функции у = ж2 — 1п(1 + 2ж).
Найти экстремумы функции у = ж3 + — и написать уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой ж = —2.
Найти наибольшее и наименьшее значения функций на заданных промежутках (562-565).
Дж) = Зж4 + 4ж3 + 1; же [—2;1].563. у = | + ^; же[1;6].
у =-—7(0^ж^4).565. у =бт2ж — ж (— тгтг?
уж +1V \\ уУ\ 22/
Прямоугольный лист жести имеет линейные размеры 5 дм х х 8 дм. В четырех его углах вырезают одинаковые квадраты и делают открытую коробку, загибая края под прямым углом. Какова наибольшая вместимость полученной коробки?
Какие размеры нужно придать радиусу R и высоте Н открытого цилиндрического бака, чтобы при данном объеме V на его изготовление пошло наименьшее количество листового металла?
Найти высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R.
Найти стороны прямоугольника наибольшего периметра, вписанного в полукруг радиуса R.
Найти промежутки монотонности, точки экстремума и начертить эскизы графиков функций (570-575).
у = 2ж3+Зж2-1. 571. у = 0,5ж4-4ж2. 572. у = ж3-Зж2 + 2.
у = 8 + 2ж2 — ж4. 574. у = —^. 575. у = ж2 + -.
1 + ж2ж
Дана парабола у = ж2. Найти расстояние от этой параболы до прямой у = х — 4.
Найти промежутки возрастания и убывания, а также точки максимума и минимума функции -у =.
Указать промежутки возрастания и убывания, а также точки максимума и минимума функции /(ж) = же-3ж.
Найти разность между наибольшим и наименьшим значениями функции у = cos х + - cos 2ж — - cos Зж.
Найти модуль разности экстремумов функции у = ж3 + + 3ж2 — Зж +1.
Определить высоту конуса, вписанного в шар радиуса R и имеющего наибольшую площадь полной поверхности.
Найти три положительных числа, таких, чтобы их произведение было наибольшим, при условии, что сумма первого и второго чисел равна а, а сумма первого и третьего чисел равна 2а.
Дана криволинейная трапеция, ограниченная линиями у = О, х = а (а > 0) и у = ж3. Какую часть площади трапеции составляет площадь треугольника, отсекаемого от данной трапеции касательной з2а q
к линии у = х в точке х = — (
Определить высоту конуса, вписанного в шар радиуса R и имеющего наибольшую площадь боковой поверхности. Чему равна наибольшая площадь боковой поверхности?
К графику функции у = (ж + ^у^ проведена касательная в той точке, где угловой коэффициент равен 2, причем касательная не проходит через начало координат. Найти точки пересечения этой касательной с координатными осями.
Каков должен быть радиус основания конуса с заданной площадью боковой поверхности S, чтобы объем конуса был наибольшим?
На параболе у = ж2 взяты две точки с абсциссами Ж1 = 1, ж2 = 3. Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна проведенной секущей?
Точка движется по прямой так, что ее расстояние s от начала пункта через t единиц времени равно s = - t4 — 4t3 + 16t2. Найти моменты, в которые:
точка находится в начальном пункте;
ее скорость равна нулю.
При каких значениях ж производная функции у = зт2ж + + 10 cos ж — 6ж равна нулю?
Найти предел
r nVl + 3 + 5 + ... + (2n-l)hm —~.
п^ос2п +п + 1
Построить график функции
( 1 — V1 — ж2, если ж < 1, у = <
[l + юg1/2Ж, если ж > 1.
Доказать, что функция /(ж) = | ж9 — ж6 + 2ж3 — Зж2 + 6ж — 1 монотонно возрастает на R.
Найти все значения а, при которых функция /(ж) = ° ^ ^ х х ж3 + (а — 1) ж2 + 2ж + 1 возрастает для всех х Е R.
Пусть Ж1 и Ж2 — соответственно точка максимума и точка минимума функции /(ж) = 2ж3 — 9аж2+12а2ж + 1. При каких а справедливо соотношение ж2 = Ж2?
При каких значениях ж обращается в нуль та из первообразных функции /(ж) = Trsinтгж + 2ж — 4, которая при ж = 1 имеет значение 3?
Каким должен быть угол при вершине равнобедренного треугольника, вписанного в данную окружность, чтобы его периметр был наибольшим?
Найти lim ^.
x^-V2 X6 — 2.Т
Боковая поверхность правильной четырехугольной пирамиды равна а2. Найти наибольший объем этой пирамиды.
Исследовать функцию у = ж4—2ж2 + 5 с помощью производной и построить ее график.
При каких значениях ж касательная к графику функции у = ж + 2
= образует угол 135° с положительным направлением оси Ож?
Написать уравнения касательных.
Найти промежутки возрастания и убывания функции /(ж) = = 22ж — 5 • 2Ж + (21п2) ж.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции /(ж) = = 2 • З3ж — 4 • 32ж + 2 • Зж на отрезке [ — 1; 1].
Составить уравнение касательной к графику функции
в точке с абсциссой ж = —.
6
Найти радиус основания цилиндра, имеющего при данном объеме V наименьшую полную поверхность.
Построить график функции у = ж4 — 2ж2 + 5.
Построить график функции у = ж3 — Зж2 + 2.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = = ^ ж3 — 4ж на отрезке [0; 2].
Пусть /(ж) = /х(ж) + /2(ж), где /1(ж) = 2ж - д/9-ж2, /2(ж) = = log1/3(ж2 + ж + 2). Найти область определения функции /(ж), а также наибольшее и наименьшее значения функции /2 (ж) на отрезке [3; 6].
Функция / задана формулой
х|3ж — 41 + 2ж2 — 4х — 1
№ w-
Найти область определения функции /.
Найти производную функции / в интервале (—оо;2). Чему равно ГН^х3
Имеет ли функция / пределы при ж —> - и при ж —> — -?
При каком значении а функция у. заданная правилом
имеетимеетд(ж) = <д(ж) = </(ж), если ж ^|;/(ж), если ж ^|;а,а,производную в точке х =производную в точке х =если1?2 ’если1?2 ’12’12’В какой точке касательная к линии у = 1п(4ж — 1) параллельна прямой у = ж?Найти скорость изменения функции у = (ж2 + 2ж) • ж — 1 приВ какой точке касательная к линии у = 1п(4ж — 1) параллельна прямой у = ж?Найти скорость изменения функции у = (ж2 + 2ж) • ж — 1 прих = 8.НайтиIn жУ = —•XНайтих = 8.НайтиIn жУ = —•XНайтипромежутки монотонности и экстремумы функциипромежутки монотонности и экстремумы функцииэкстремумы функции /(ж) = —ж + со8 2ж на промеэкстремумы функции /(ж) = —ж + со8 2ж на проме
имеет
имеет
д(ж) = <
д(ж) = <
/(ж), если ж ^|;
/(ж), если ж ^|;
а,
а,
производную в точке х =
производную в точке х =
если
1?
2 ’
если
1?
2 ’
1
2’
1
2’
В какой точке касательная к линии у = 1п(4ж — 1) параллельна прямой у = ж?
Найти скорость изменения функции у = (ж2 + 2ж) • ж — 1 при
В какой точке касательная к линии у = 1п(4ж — 1) параллельна прямой у = ж?
Найти скорость изменения функции у = (ж2 + 2ж) • ж — 1 при
х = 8.
Найти
In ж
У = —•
X
Найти
х = 8.
Найти
In ж
У = —•
X
Найти
промежутки монотонности и экстремумы функции
промежутки монотонности и экстремумы функции
экстремумы функции /(ж) = —ж + со8 2ж на проме
экстремумы функции /(ж) = —ж + со8 2ж на проме
жуткежутке3.3.Интеграл. Приложения интегралаИнтеграл. Приложения интеграла
жутке
жутке
3.
3.
Интеграл. Приложения интеграла
Интеграл. Приложения интеграла
Вычислить интегралы (614-629).Вычислить интегралы (614-629).1614. J Vl + ^^ж. о2тг617. J 8т|^Ж.1614. J Vl + ^^ж. о2тг617. J 8т|^Ж./ dxJ2 (11 + 5ж)2'тг/2J sin ж cos ж dx. о/ dxJ2 (11 + 5ж)2'тг/2J sin ж cos ж dx. ор13 dxр13 dxJ cos2 х dx. оJ cos2 х dx. о
Вычислить интегралы (614-629).
Вычислить интегралы (614-629).
1
614. J Vl + ^^ж. о
2тг
617. J 8т|^Ж.
1
614. J Vl + ^^ж. о
2тг
617. J 8т|^Ж.
/ dx
J2 (11 + 5ж)2'
тг/2
J sin ж cos ж dx. о
/ dx
J2 (11 + 5ж)2'
тг/2
J sin ж cos ж dx. о
р13 dx
р13 dx
J cos2 х dx. о
J cos2 х dx. о
тг/2620. J 8т22ж(/ж.тг/2620. J 8т22ж(/ж.2тг/3621. J :о2тг/3621. J :о- Зж- Зж2622. |(l + 3®)4d®.О625. Г 2^2-12622. |(l + 3®)4d®.О625. Г 2^2-14ж - -. 2ж +14ж - -. 2ж +1О X7тг/2J sin4 х dx. оО X7тг/2J sin4 х dx. оотг/2г ахJ 1 + cos хотг/2г ахJ 1 + cos х627.627.-тг/2 тг/2629. J собЗж cos2xdx. о-тг/2 тг/2629. J собЗж cos2xdx. о‘l] 7Г‘l] 7Г1 / тг1 / тг624. [^=-J ^1 + 2®. 1sin -—^ dx.624. [^=-J ^1 + 2®. 1sin -—^ dx.
тг/2
620. J 8т22ж(/ж.
тг/2
620. J 8т22ж(/ж.
2тг/3
621. J :о
2тг/3
621. J :о
- Зж
- Зж
2
622. |(l + 3®)4d®.
О
625. Г 2^2-1
2
622. |(l + 3®)4d®.
О
625. Г 2^2-1
4ж - -
. 2ж +1
4ж - -
. 2ж +1
О X7
тг/2
J sin4 х dx. о
О X7
тг/2
J sin4 х dx. о
о
тг/2
г ах
J 1 + cos х
о
тг/2
г ах
J 1 + cos х
627.
627.
-тг/2 тг/2
629. J собЗж cos2xdx. о
-тг/2 тг/2
629. J собЗж cos2xdx. о
‘l] 7Г
‘l] 7Г
1 / тг
1 / тг
624. [^=-
J ^1 + 2®
. 1
sin -
—^ dx.
624. [^=-
J ^1 + 2®
. 1
sin -
—^ dx.
Вычислить площади фигур, ограниченных заданными линиями (630-634).
у = ж3, у = 1 и х = 2.631. у = а/х. у = 2 и х = 9.
у = х3 и у = а/х. 633. у = х4 и у = х.
у = — и у = 6 — х.
X
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, уравнения которых у2 = 2ж + 1 и х — у — 1 = 0.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами у = = х2 И у = а/х •
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами у = х3
= ж2 и у = у.
Найти площади фигур, на которые парабола у2 = 6ж делит круг, ограниченный окружностью х2-\-у2 = 16.
Найти площадь фигуры, заключенной между параболой у = = —ж2 + 4ж —3 и касательными к ней в точках (0; — 3) и (3; 0).
3
Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у = —, прямыми у = 4, у = 6 и осью ординат.ж
Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми у = 1 +
3(ж — 1) ’ у 6х
Найти критические точки функции /(ж) = 0,5е2ж + (1 — а) ех — — ах + sin2x.
Найти все числа а > 0, для которых J (2 — 4ж + Зж2) dx а. о
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = ж2 — -2ж + 2, ?/ = ж2 + 4ж + 5, у = 1.
Найти площадь фигуры, ограниченной линией у = 0,5ж2 — — Зж + 4,5 и касательными к ней в точке (1;2): у = 4 — 2ж и в точке (4; у = ж-з,5.
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 8ттгж, у = 4(ж2 — ж).
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2ж2 — — 8ж +1 и у = ж2 — 8ж — д/5ж + 1.
Найти площадь замкнутой фигуры, ограниченной линиями у = 0, у = 20 — 2ж2 — 6ж.
Вычислить площадь криволинейного треугольника, лежащего в I четверти и ограниченного линиями ху = 4, ж = у. у = 2ж.
Верно ли, что площадь фигуры, ограниченной линиями у = = еж-1, у = 0, ж = 0, ж = 2, меньше 2?
При каких положительных значениях параметра а площадь фигуры, ограниченной линиями у = cos аж, у = 0, ж = —, ж = —, 6а 2а больше
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией у = 1 — ж2 и осью Ох.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функ- „|4 —ж2|, ,
ции у = L И 2/ = 7— |ж|.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций ?/ = 2 + 8шж и ?/= 1 + cos2 ж на промежутке [0; тг].
Найти площадь фигуры, ограниченной на отрезке [^; ^] графиками функций ?/ = 8т2ж, у = 1 — 8т2ж.
Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций у = 2 —ж2, у = 1, у = 0.
Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций у = ж2 — 4, у = 4 — ж.
Найти функцию F(x)^ если Ff(x) = Зж2 + 1 и F(l) = 3, и построить ее график.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = = ж + 1 и ?/ = 5 + Зж —2ж2.
Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми у = ж2 и у =
Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми у = еж, у = = е-ж, ж = 1.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = = —ж2 + 6ж —1, у = 0, ж = 1, х = 3.
г 3
Вычислить интеграл —=dx.
1
о
Вычислить интеграл J |2Ж—2-ж|с/ж.
-1
тг/2.
Вычислить интеграл f f(x)dx, если /(ж) = +sm ж + с08 ж
Jsin ЭС I COS ЭС
7Г / 6
Векторы. Применение векторов к решению задач
Даны три точки Л(2; 1), В(3; 1), С(—4;0), являющиеся вершинами равнобочной трапеции ABCD. Вычислить координаты точки D, если АВ = k СD .
Даны четыре некомпланарных вектора а, Ь, с и d. Вычислить сумму этих векторов, если а + b + с = pd, b + c + d = qa.
Даны три некомпланарных вектора а, b и с. Доказать, что векторы а + 6, 6 +с, с —а компланарны.
Даны три некомпланарных вектора а, b и с. Вычислить значение к, если векторы a-Vb-V кс^ b + с + ka, c-Va-Vkb компланарны.
Даны три некомпланарных вектора а, b и с. Вычислить значения р и q. при которых векторы pa-Eqb-Ec^ a-Vpb-Vqc коллинеарны.
Даны два отрезка АВ и CD. Точка М Е [ЛВ] и точка N Е Е [СВ] делят соответственно отрезки АВ и СD на отрезки, отношение которых равно к. Выразить вектор М N через векторы А С и BD.
В окружность с центром О вписан треугольник АВС\ Н — ортоцентр (точка пересечения высот) треугольника. Доказать, что ОН = ОА + ОВ ^ОС.
Дан треугольник АВС^ Н — точка пересечения его высот. Доказать, что НА • НВ = НВ • НС = НС • НА = к. Выразить к через стороны треугольника.
Дан прямоугольный треугольник АВС^ ВСА = 90°, D — основание высоты, проведенной из вершины прямого угла. Выразить вектор CD через векторы С А. СВ и катеты данного треугольника.
К окружности с центром О проведены из точки М две касательные; Л и В — точки касания. Разложить вектор МО по векторам МА и МВ. если АМ В = а.
Дан треугольник АВС. Прямая I пересекает прямые ВС, С А, АВ в точках Ai,Bi,C\. Доказать, что векторы ЛВ + Л1В1, ВС 4- В1С1, СА + CiAi коллинеарны.
В треугольнике АВС проведена медиана С Со- Прямая I, параллельная С Со, пересекает прямые ВС, С А и АВ соответственно в точках Ai, Bi, Ci. Доказать, что Ai Ci + BiCi = С А + СВ .
Вектор с, перпендикулярный векторам а = (1; 1; 1) и b = = (1; —1;3), образует с осью Oz тупой угол. Найти его координаты, если известно, что |с| = 3.
Вектор а, у которого первая координата больше второй, перпендикулярен вектору b = (1; —3; — 1) и образует с осью Oz угол, равный 135°. Найти его координаты, если известно, что \а\ = 5л/2.
Вектор а, коллинеарный вектору b = (12; —16; —15), образует с осью Оz острый угол. Зная, что |а| = 100, найти его координаты.
Вычислить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах а = bp-V^q и b = p — 3q, если известно, что \р\ = 2 д/2, М =3 И (р;£) = р
Найти косинусы углов, которые образуют с базисными векторами вектор а = 6г — 67 — 3k.
Векторы а и b — единичные и взаимно перпендикулярные. Найти угол между суммой и разностью векторов р и q, где р = 8 а + 4Ь и q = 4а + Ь.
Вектор b коллинеарен вектору а = (6; 8; —7,5) и образует с осью Оz острый угол. Зная, что \Ь\ = 50, найти его координаты.
Векторы а и b взаимно перпендикулярны, а вектор с образует с каждым из них угол 60°. Зная, что |а| = 3, \Ь\ = 5 и |с| = 8, вычислить скалярное произведение (За — 26) • (6 + Зс).
Вычислить координаты вершины С равностороннего треугольника АВС, если Л(1;3), В(3; 1).
Даны векторы а = (—1; 2; 0) и 6 = (2; — 3; — 2). Найти координаты вектора 2а + - Ь.
5. Задачи из разных разделов
Составить уравнение окружности, вписанной в треугольник, стороны которого лежат на прямых х = 0, у = 0, Зх 4-4у — 12 = 0.
В окружность х2 + у2 = 169 вписан квадрат ABCD. Найти координаты вершин В, С и D, если вершина А имеет координаты (5; —12).
Составить уравнение сферы, проходящей через данную точку А(1; — 1; 4) и касающуюся координатных плоскостей.
Доказать, что луч СМ, где С — вершина прямого угла треугольника АВС, а М — центр квадрата, построенного на гипотенузе и лежащего вне его, есть биссектриса прямого угла С.
При каком значении к касательная к графику функции у =
и отсекает от IV четвертии отсекает от IV четверти= кх2 образует с осью Ох угол, равный ^, „ 8а/39 треугольник с площадью, равной ^ Г
и отсекает от IV четверти
и отсекает от IV четверти
При каком натуральном п девятый член в разложении (1 + 0,1)п является наибольшим?
Найти все значения х из отрезка [—тг; 0], при которых функция /(ж) = gsM71’/4-2^ удовлетворяет системе неравенств
Г 1п/(ж) >
Периметр равнобедренного треугольника равен 2р. Какую длину должны иметь его стороны, чтобы объем тела, образованного вращением этого треугольника вокруг боковой стороны, был наибольшим?
При каких значениях х из отрезка [^; ^] функция у = = sin х • cos 2х удовлетворяет неравенству у" + у + 2 д/З > 0?
5. Дополнение к разделу «Экзаменационные задачи».Варианты вступительных экзаменов )
Вариант 1 )
1-й тур (16 задач)
Найти значение х из выражения
(Т--5-) :1- + (15,9-13-) 5 х
v 7296 724’20' 9 = 27 -
(1 • 0,4 +24,15 : ж —10-) •—3
М ’’5' 16
Решение.
(Л(Лелитель равен делимому, деленному на частноеелитель равен делимому, деленному на частноеа деление наа деление надробь заменяем умножением надробь заменяем умножением наобратную дробь (^))-обратную дробь (^))-
(Л
(Л
елитель равен делимому, деленному на частное
елитель равен делимому, деленному на частное
а деление на
а деление на
дробь заменяем умножением на
дробь заменяем умножением на
обратную дробь (^))-
обратную дробь (^))-
24,15: ж-10,1 =24,15: ж-10,1 =_3_ 1682 ' 5_3_ 1682 ' 537-96-43-72 241625 8\72-96' 35 + 9 + 100 ' 9/37-96-43-72 241625 8\72-96' 35 + 9 + 100 ' 9/
24,15: ж-10,1 =
24,15: ж-10,1 =
_3_ 16
82 ' 5
_3_ 16
82 ' 5
37-96-43-72 241625 8\
72-96' 35 + 9 + 100 ' 9/
37-96-43-72 241625 8\
72-96' 35 + 9 + 100 ' 9/
24,15: + = 10,1 + —(- +24,15: + = 10,1 + —(- +37-4 — 43-3 3-4-3537-4 — 43-3 3-4-35= W +41-5= W +41-5148 —129 \12-35 /148 —129 \12-35 /= Ю,1 + -^-(з +41 • 5 \= Ю,1 + -^-(з +41 • 5 \156 + 1912-35156 + 1912-35
24,15: + = 10,1 + —(- +
24,15: + = 10,1 + —(- +
37-4 — 43-3 3-4-35
37-4 — 43-3 3-4-35
= W +
41-5
= W +
41-5
148 —129 \
12-35 /
148 —129 \
12-35 /
= Ю,1 + -^-(з +
41 • 5 \
= Ю,1 + -^-(з +
41 • 5 \
156 + 19
12-35
156 + 19
12-35
/175 \24 /41 \2
= UU + 4Г5 (3 + тТУ = И'Л + « + Ы = И'Л + 5 = 1"-5-
Итак, 24,15 : ж = 10,5.
Ответ*, х = 2,3.
1) Решить уравнение 241,2ж+ 0,4(ж — 0,9) = 23,8.
Решение. 241,2ж+ 0,4ж — 0,36 = 23,8; 241,6ж = 24,16.
Ответ*, х = 0,1.
Решить уравнение
| ж3 + (ж +1)2 - [111 - (1 - ж)] ж = 0,8(3) ж3 +109.
Л О I 1255
Решение. 0,8(3) = — + — = — =-;
Зж + 82ж
Из условия равенства нулю дроби следует: Зж + 8 = 0; х / 0.
Ответ*, х = 2 |.
При каком положительном значении а уравнение
Зж2 — Ьах — 2а2 = 0
имеет отрицательное решение?
Решение. Дискриминант данного уравнения равен
D = 25а2 + 24а2 = 49а2, D ^ 0.
Поэтому данное уравнение имеет корни при любом значении а.
Если а = 0, то D = 0 и уравнение имеет вид Зж2 = 0, откуда х = 0.
Если а ^ 0, то D > 0 и уравнение имеет два корня
5а ± \/25а2 + 24а25а±7аап
Ж1’2 =Гз= —ё—’ Ж1 = "з и Жз = 2а-
Например, при а = 3 исходное уравнение получает вид
Зж2 — 5-Зж — 2-9 = 0; ж2-5ж-6 = 0; (ж + 1)(ж - 6) = 0,
один из корней которого х = — 1 отрицательный. Ответ*. При любом а > 0.
Решить неравенство ж2 —4ж + 3 < 0.
1 — 2ж3 — |ж — 1|1 — 2ж3 — |ж — 1|6.6.Решить уравнениеРешить уравнениеРешение. Данное неравенство равносильно неравенству (ж — 1) х х (ж — 3) < 0, в котором: либо ж — 1 < 0 и ж — 3 > 0, откуда ж < 1 и ж > 3, система этих неравенств не имеет смысла; либо ж — 1 > 0 и ж — 3 < 0, тогда ж > 1 и ж < 3, откуда следует ответ*. 1 < ж < 3.
1 — 2ж
3 — |ж — 1|
1 — 2ж
3 — |ж — 1|
6.
6.
Решить уравнение
Решить уравнение
Решение. Имеем совокупность систем:
ж — 1 < 0,
<1 — 2ж
. 3 + (ж —1)
1 — 2ж
Корнем уравнения = 1 является число —3; Ж1 = —3, которое
4 — х
условию ж — 1 ^ 0 не удовлетворяет. Поэтому первая система совокупности решений не имеет.
1 — 2ж11
Корнем уравнения —= 1 является число — -, которое условию
2 + х3
ж —1 < 0 удовлетворяет, поэтому число — - является решением второй системы совокупности.
1
Ответ*. ж = —-.
Решить неравенство |ж — 6| < х2 — 5ж±9.
Решение. Данное неравенство равносильно системе
Г х — 6 < ж2 — Ьх + 9,( х2 — 6ж±15>0,
| х — 6 > — (ж2 — Ьх + 9); ж2 — 4ж±3>0.
Неравенство х2 — 6ж + 15 > 0 выполняется при любом ж, —оо < < х < ±оо.
Неравенство х2 — 4х ± 3 > 0, (ж — 1) (ж — 3) > О выполняется при ж < 1 и ж > 3, отсюда ответ*. — оо < ж < 1; 3 < ж < ±оо.
Вычислить выражение
sin2 60° + sin2(—45°) — 1,25tg 45° — sin2(—30°) + sin2 60°
Решение. Последовательно получаем:
\2/ Vv^) ’_ 5 + 2-1’25 _ 0,75 + 0,50-1,25 _
l2 / 1? , /V5\2 “ 1-1 + 2 “1,75-0,25“
1 — I — - ] + I ]44
v 27 v 2 7_ 1,25-1,25 _ 0
“1,50“ 1,5 “ "
Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрессии равна 8. Вычислить сумму первых 11 членов этой прогрессии.
Решение. В арифметической прогрессии с одиннадцатью членами аз и ад равноотстоят от ее концов. Поэтому аз ± ад = ai ± ап.
Следовательно,
5ц = 01 * 011 • 11 = ±±± • 11 = | • 11 = 44.
Ответ*. 44.
Решить уравнение ж3 — 2ж2 — Пж ±12 = 0.
Решение. Свободный член 12 делится без остатка на ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±12.
При ж = 1 левая часть данного уравнения обращается в 1 — 2 — 11 ± ±12 = 0.
Тогда, согласно следствию из теоремы Безу, многочлен ж3 — 2ж2 — — Пж ± 12 делится на двучлен ж — 1 без остатка и в частном получается трехчлен 2-ой степени ж2 — ж — 12, который в свою очередь, имеет корни ж = — 3 и ж = 4. Таким образом, мы имеем
ж3 — 2ж2 — Пж ± 12 = (ж — 1)(ж ±3)(ж — 4) = 0.
Ответ*. Ху = 1; Ж2 = —3; жз = 4.
Решить систему
J у2 -ж±1 = 0,I 2/3 + У2 — ЖУ = 0.
Решение. ОДЗ = {ж, у Е R}.
Будем иметь последовательно
(х = у2 + 1,(х = у2 + 1,(х = у2 + 1,
1®у = у2 + у3;I (у2 + 1)у = у2(у + 1);1у = у2;
Гж = у2 + 1, Гж = у2 + 1,
X 2/= 0; 1у = 1.
Ответ*. (1; 0); (2; 1).
Решить уравнение + 7Ж = 2ж+1 + 2ж+2 + 2ж+3.
Решение. Преобразуем обе части уравнения:
1,7® +7® _ 2.2® +4-2ж +8-2ж <^> --7Ж = 14-2Ж--7Ж=7-2Ж.
777
2
—2 сух — 22_х/ * \1
7 = 2= L
Следовательно, показатель степени равен нулю, х — 2 = 0, откуда х = 2.
Ответ*. 2.
Решить уравнение (ж2+ 6)log2^ = (5ж)1о§2Ж.
Решение. Если равны степени с одинаковыми показателями, то отсюда можно заключить, что основания равны друг другу или показатели равны нулю при неравных основаниях. Из первого предположения находим х2 + 6 = 5ж, или (ж — 2) (ж — 3) = 0, а из второго — ^2ж = 0, log2ж = log2l.
Решая эти два уравнения, находим следующие три корня данного уравнения: жх = 3; Ж2 = 2; жз = 1.
Найти меньшие корни уравнения sin 7ж — cos 4ж = sin ж.
Решение. Запишем это уравнение следующим образом:
sin 7ж — sin ж = cos 4ж.
Применяя формулу sin ж — sin ?/ = 2 sin Ж ^ ^ • cos ж ^ ^ дЛЯ левой части уравнения, получаем 2sinЗж соз4ж — соз4ж = 0, откуда следует cos4ж(2sinЗж — 1) = 0, или:
1) со84ж = 0;2) 2sinЗж-l = 0.
'2п +1
Первое уравнение имеет корни Ж1 = тг, второе имеет корни ^ = Т + Н),
Меньшими корнями данного уравнения будут Ж1 = — и Ж2 = —, или иначе Ж1 = 22°30'; Ж2 = 10°.
Решить неравенство ^7(ж — 1) + log7(4 — ж) ^ log72.
Решение. Имеем log7[(ж — 1)(4 — ж)] ^ log72, где предполагается, что ж — 1 > 0 и 4 — ж > 0.
Данное неравенство равносильно неравенству (4 — ж)(ж — 1) ^ 2, потому что основание логарифмов больше единицы (7 > 1).
Образуются последовательно равносильные системы неравенств
Д4-Ж)(Ж- 1) 2;4-х > 0;ж-1 > 0;Д4-Ж)(Ж- 1) 2;4-х > 0;ж-1 > 0;'(ж-2)(ж-3) >0;х < 4;х > 1.'(ж-2)(ж-3) >0;х < 4;х > 1.
Д4-Ж)(Ж- 1) 2;
4-х > 0;
ж-1 > 0;
Д4-Ж)(Ж- 1) 2;
4-х > 0;
ж-1 > 0;
'(ж-2)(ж-3) >0;
х < 4;
х > 1.
'(ж-2)(ж-3) >0;
х < 4;
х > 1.
Решая совместно последнюю систему неравенств, получаем ответ*. Кж<2; 3<ж <4.
Найти область изменения значений функции у = | sin 1,5тг| х xlogtgx на интервале [0,25тг; 0,5тг[.
Решение. В данной функции множитель |sinl,57r| есть постоянное число, равное единице: | — (—1)| = 1, от изменения аргумента х оно не зависит, и в свою очередь всевозможные изменения значения рассматриваемой функции от этого множителя не зависят.
Будем рассматривать две функции: простую функцию tg х и сложную функцию Igtg ж.
На указанном интервале изменения аргумента х 0,25тг ^ ж < 0,5тг значения функции tg х изменяются по закону двойного неравенства 1 tg ж < оо.
В зависимости от этих изменений значений функции tg х значения функции Igtgx — функции от функции тоже подчиняются двойному неравенству 0 ^ Igtgx < оо. Поэтому областью изменения значений исходной данной функции у = | sin 1,5тг| Igtgx на указанном интервале от 0,25тг до 0,5тг значений аргумента х является область: 0 1 • lg tg х < оо.
Ответ*. О ^ у < оо, иначе [0; оо[.
2-и тур (16 задач)2-и тур (16 задач)1. Упростить выражение1. Упростить выражениеи вычислить при х = 11,4921 и у = 14,7456.Решение, х > 0; у > 0; х^у.и вычислить при х = 11,4921 и у = 14,7456.Решение, х > 0; у > 0; х^у.
2-и тур (16 задач)
2-и тур (16 задач)
1. Упростить выражение
1. Упростить выражение
и вычислить при х = 11,4921 и у = 14,7456.
Решение, х > 0; у > 0; х^у.
и вычислить при х = 11,4921 и у = 14,7456.
Решение, х > 0; у > 0; х^у.
у-Уху + ^1/2\ . /уJжж + т/
ж1/2 + у1/2/ \ V®(V®-yy) Vy(V® + yy) V®y
_ у-ужу + ж + Ужу , жУж(Уж-Уу)-уУу(Уж + Уу)-(ж-у2)
Решение. Пусть в рассматриваемой прогрессии а, Ь, ..., т, х: а — первый ее член, Ь — второй член, т — предпоследний член и х — последний искомый член прогрессии.
В соответствии с условием данной задачи имеем систему уравнений а + ж = 164, Ьт = 324.
Из свойства геометрической прогрессии — произведение равноотстоящих от начала и от конца членов прогрессии равно произведению крайних ее членов — следует равенство ах = Ьт.
Из составленных трех соотношений находим х:
_ Ьт _ 324 _ 324а а164 —ж
Получаем квадратное уравнение
ж2 — 164ж + 324 = 0.
Решая его, получаем два корня: Ж1 = 2; х^ = 162.
Первый корень ху = 2 отпадает, потому что если допустить, что последний ее член равен 2, то первым ее членом должно быть число 162, что противоречит условию задачи: рассматриваемая прогрессия возрастающая, а не убывающая.
Решить неравенство V2 — х > х.
Решение. ОДЗ = {ж Е Я, х ^ 2}. Если возвести обе части неравенства в квадрат, то получим
2 - х > ж2 О ж2 + ж - 2 < 0 О (ж - 1)(ж + 2) < 0.
Значит, —2 < ж < 1.
Однако проверкой легко убедиться, что любое отрицательное число является решением этого неравенства.
Следовательно, потеряно множество решений: ж Е] — оо; —2[.
Решать данное неравенство следует так:
если ж < 0, то левая часть неравенства неотрицательна, а правая — отрицательна: следовательно, неравенство истинно при всех ж < 0;
если ж ^ 0, то, возведя обе части неравенства в квадрат, получим —2 < ж < 1 (см. выше) и, учитывая, что ж ^ 0, получаем 0 ^ ж < 1.
Объединение решений на этих двух промежутках является решением данного неравенства.
Ответ*, х Е] — оо; 1 [.
Решить уравнение ^5ж + 7 — ^5ж — 12 = 1.
Решение. Введем обозначения: ^5ж + 7 = у; ^5ж — 12 = z.
Тогда 5ж + 7 = у3\ 5ж — 12 = z3 и у3 — %3 = 19.
Таким образом, данное уравнение свелось к системе уравнений Г y-z = 1;
[ у^ — z3 = 19.
Выразим из первого уравнения системы р. подставим его во второе уравнение. Получим
У = z + 1;(z + l)3-z3 = 19;У = z + 1;(z + l)3-z3 = 19;у = z + 1;З^2 + 3г — 18 = 0;у = z + 1;З^2 + 3г — 18 = 0;У = z + l;г2 + г -6 = О,У = z + l;г2 + г -6 = О,
У = z + 1;
(z + l)3-z3 = 19;
У = z + 1;
(z + l)3-z3 = 19;
у = z + 1;
З^2 + 3г — 18 = 0;
у = z + 1;
З^2 + 3г — 18 = 0;
У = z + l;
г2 + г -6 = О,
У = z + l;
г2 + г -6 = О,
откудаоткудаГ 5ж + 7 = (-2)3;2. <[5ж — 12 = (—З)3;Г 5ж + 7 = (-2)3;2. <[5ж — 12 = (—З)3;840 _ 420 ! 420 ! 1х х х + 22 ’840 _ 420 ! 420 ! 1х х х + 22 ’420или X420или X420 _ 1х + 22 ’420 _ 1х + 22 ’
откуда
откуда
Г 5ж + 7 = (-2)3;
2. <
[5ж — 12 = (—З)3;
Г 5ж + 7 = (-2)3;
2. <
[5ж — 12 = (—З)3;
840 _ 420 ! 420 ! 1
х х х + 22 ’
840 _ 420 ! 420 ! 1
х х х + 22 ’
420
или
X
420
или
X
420 _ 1х + 22 ’
420 _ 1х + 22 ’
У1=3;Г у2 = — 2;
ИЛИ <^1=2;[^2 = —3.
Найдем теперь значения ж: ( 5ж + 7 = 33;
1. <, 4> ж = 4
(5ж-12 = 23;
Ответ: Ж1 = —3; Ж2 = 4.
Поезд должен быть пройти 840 км в определенное время. На
половине пути поезд был задержан на 30 мин и, чтобы прибыть к месту назначения в срок, увеличил скорость на 2 км/ч. Сколько времени поезд находился в пути?
Решение. Пусть скорость поезда по расписанию х км/ч. Тогда 420
первые 420 км он прошел за время ч. Затем он стоял 30 мин =
1ж
= - ч и вторую половину пути прошел с повышенной скоростью, за- 2420 о840
тратив ч. Всего в пути он находился по норме ч.
Следовательно,
окончательно: ж2 + 2ж — 1680 = 0; ж(ж + 2) ^ 0.
Корни уравнения Ж1 = —42; Ж2 = 40. Первый корень отпадает. Ско- /840
рость поезда по расписанию 40 км/ч, время в пути = 21 ч.
Ответ*. 21 ч.
Доказать тождество 4(cos3 20° + cos3 40°) = 3 д/З cos 10°.
Доказательство. Имеем:
Лl + cos40° ,1 + cos80°A
4 1 cos 20hcos 401 =
= 2 (cos 20° + | (cos 60° + cos 20°) + cos 40° + ^ (cos 120° + cos 40°)} =
= 2(| cos 20° + I cos40°) = 2 • I (2cos30° • cos 10°) = 3 V3 cos 10°, что и требовалось доказать.
Решить уравнение 32ж+4 + 45 • 6Ж — 9 • 22ж+2 = 0.
Решение. ОДЗ = {ж 6 /?}. Сделаем преобразования, используя свойства степени:
З4 • 32ж+45 • 6Ж — 9 • 22 • 22ж = 0, или 9 • 32ж + 5 • 2Ж • Зж - 4 • 22ж = 0.
Разделив обе части уравнения на 22ж, при этом получим уравнение, равносильное данному, так как 22ж / 0:
99-4 = 0.
9
9
Так какТак как> 0, то уравнение> 0, то уравнение— 1 решений не имеет. Ре-— 1 решений не имеет. Ре-Обозначив = у, получим квадратное уравнение 9у2 + Ьу — 4 = = 0, корнями которого ЯВЛЯЮТСЯ у у = — 1, у2 = - .
Так как
Так как
> 0, то уравнение
> 0, то уравнение
— 1 решений не имеет. Ре-
— 1 решений не имеет. Ре-
х а / / з \ ж 4\ /
шая уравнение = -, получим х = —2.
Ответ: х = —2.
Решить уравнение 1 + 2^ж+2 5 = log5(x + 2).
Решение. ОДЗ = {ж Е Д, ж > —2; х / — 1}. Используем соотношение।
1°8ж+2 5 - 1о&(ж + 2)
и обозначим log5(x + 2) = у. Тогда исходное уравнение примет вид 2
1 + - = У, ИЛИ у2 -у-2 = 0, откуда ух = 2, у2 = -1. У
log5(ж + 2) = -1; ж + 2=^; ж=Д.log5(ж + 2) = -1; ж + 2=^; ж=Д.log5(a?+ 2) = 2;ж + 2 = 25; ж = 23.
log5(ж + 2) = -1; ж + 2=^; ж=Д.
log5(ж + 2) = -1; ж + 2=^; ж=Д.
9 Ответ*. Ху = —; х^ = 23.
< 1.< 1.5
< 1.
< 1.
Решить неравенство ( -
Решение. Левая часть неравенства определена на всей числовой оси, кроме точки х = 3.
При а = - < 1 мы имеем монотонно убывающую функцию. Поэтому меньшему значению функции соответствует большее значение
показателя:ж+1
(
1\3—ж/ 1 \
37< \37 '
х Н- 1
Имеем равносильное исходному неравенству > 0.
3 — х Решая его, получаем ответ: — 1 < х < 3.
Решить уравнение log3 (зж2~13ж+28 + ^ — lOg50,2. Решение. Правая часть равна:
logs °,2 = logs | = logs1 - logs 5 = 0 — 1 = —1.
Поэтому log3 ^зж2-13ж+28 +_ 1.
22
Исходя из определения логарифма, имеем 3-1 = Зж -13ж+28_р_; откуда ^ = 3^2-13^+28? или з~2 = зж2-13ж+28. приравняв показатели,
получим ж2 — 13ж + 30 = 0. Корни этого уравнения жх = 3 и Ж2 = 10 исходному уравнению удовлетворяют.
Ответ*, жх = 3; ж2 = 10.
Решить уравнение 1 + 8т2ж = (созЗж+ 8тЗж)2.
Решение. Имеем:
+ sin 2ж = cos2 Зж + sin2 Зж + 2 cos Зж • sin Зж = 1 + sin 6ж, или sin6ж — sin 2ж = 0, откуда 2sin2ж • со8 4ж = 0.
Полученное уравнение распадается на два уравнения:
sin2ж = 0; 2ж = ^тг; ж = -^.
со84ж = 0; 4ж = ^(2& + 1); ж = ^(2& + 1).
Ответ*. xi = ^* ж2 = ^-(2^ + 1).
Решить неравенство - sin2ж + - sin22ж > со8 2ж.
Решение. Данное неравенство можно записать так:
5(1-со8 2ж) + 2(1-со822ж) > 8со8 2ж, ИЛИО
2 cos2 2ж + 13со8 2ж — 7 < 0.
Заменяя соз2ж на у, получим квадратное неравенство 2у2 + 13т/ —
— 7 < 0, выполняющееся при —7 < у < |.
очевидно, равносильно неравен- —7 < со8 2жочевидно, равносильно неравен- —7 < со8 2жИтак, —7 < со8 2ж < i которое, о 12
очевидно, равносильно неравен- —7 < со8 2ж
очевидно, равносильно неравен- —7 < со8 2ж
ству со82ж < -, ибо неравенство
выполняется при любом ж.
Ответ*. + ки < ж <+ ки.
66
В окружность радиуса г вписан равнобедренный треугольник, у которого сумма высоты и основания равна диаметру. Определить высоту.
Решение. Пусть |ОВ| = |ОС| = т и |СВ| = ж (см. рис. 62). Тогда
(1)(1)2\BD\ + ж = 2г, или
(1)
(1)
\BD\=t-^
Из прямоугольного треугольника OBD получаем:
\BD\2 = г2 - (г - ж)2 = 2гж - ж2.(2)
Из уравнений (1) и (2) исключаем |BD|: I г — — 1 =2гж —ж2, или 5ж2 - 12гж + 4г2 = 0,
6г ± V36г2 — 20г26г ± 4г2о
ж =-= —-—; жх = - г, ж2 = 2г.
555
2
Ответ: х = - г. Второй корень уравнения не имеет смысла.
В полый тонкостенный конус, поставленный основанием вверх и представляющий в осевом сечении равносторонний треугольник, положен шар радиуса г, касающийся плоскости основания, и налита вода, уровень которой касается шара в верхней точке. Определить высоту воды в конусе после того, как шар будет из него вынут.Решение*). Если в формуле объема конуса Vi = ^ivR?H с водой и шаром заменить радиус R и высоту Н их выражениями через данный радиус г шара, R = rV^ и Н = Зг, то получаем Vi = Зтгг3. Аналогично, если в формуле объема конуса с водой и без шара V2 = = i ivR^h заменить Ry его выражением через /z, Ri = то получа- 3 тг/г3ем V2 = ——. Разность между объемами Vi и V2 равна объему шара:В полый тонкостенный конус, поставленный основанием вверх и представляющий в осевом сечении равносторонний треугольник, положен шар радиуса г, касающийся плоскости основания, и налита вода, уровень которой касается шара в верхней точке. Определить высоту воды в конусе после того, как шар будет из него вынут.Решение*). Если в формуле объема конуса Vi = ^ivR?H с водой и шаром заменить радиус R и высоту Н их выражениями через данный радиус г шара, R = rV^ и Н = Зг, то получаем Vi = Зтгг3. Аналогично, если в формуле объема конуса с водой и без шара V2 = = i ivR^h заменить Ry его выражением через /z, Ri = то получа- 3 тг/г3ем V2 = ——. Разность между объемами Vi и V2 равна объему шара:л А3 5л А3 5, з3" - ^г, з3" - ^г4 з=,4 з=,откуда — = - тгг3.откуда — = - тгг3.Ответ: h = г ^15.Ответ: h = г ^15.11Решить неравенство: —-1 -— >х — 2 х — 1Решить неравенство: —-1 -— >х — 2 х — 111Решение. Здесь х / 0; х / 1; х / 2. (При этих значениях х данная функция не определена.)После соответствующих тождественных преобразований получаем неравенство, равносильное исходному:Решение. Здесь х / 0; х / 1; х / 2. (При этих значениях х данная функция не определена.)После соответствующих тождественных преобразований получаем неравенство, равносильное исходному:х{х — 1) + х{х — 2) — (ж — 1)(ж — 2) g х^х — 1)(ж — 2)х{х — 1) + х{х — 2) — (ж — 1)(ж — 2) g х^х — 1)(ж — 2)илиили2 ох — 2х^х — 1)(ж — 2)2 ох — 2х^х — 1)(ж — 2)> 0.> 0.
В полый тонкостенный конус, поставленный основанием вверх и представляющий в осевом сечении равносторонний треугольник, положен шар радиуса г, касающийся плоскости основания, и налита вода, уровень которой касается шара в верхней точке. Определить высоту воды в конусе после того, как шар будет из него вынут.
Решение*). Если в формуле объема конуса Vi = ^ivR?H с водой и шаром заменить радиус R и высоту Н их выражениями через данный радиус г шара, R = rV^ и Н = Зг, то получаем Vi = Зтгг3. Аналогично, если в формуле объема конуса с водой и без шара V2 = = i ivR^h заменить Ry его выражением через /z, Ri = то получа- 3 тг/г3
ем V2 = ——. Разность между объемами Vi и V2 равна объему шара:
В полый тонкостенный конус, поставленный основанием вверх и представляющий в осевом сечении равносторонний треугольник, положен шар радиуса г, касающийся плоскости основания, и налита вода, уровень которой касается шара в верхней точке. Определить высоту воды в конусе после того, как шар будет из него вынут.
Решение*). Если в формуле объема конуса Vi = ^ivR?H с водой и шаром заменить радиус R и высоту Н их выражениями через данный радиус г шара, R = rV^ и Н = Зг, то получаем Vi = Зтгг3. Аналогично, если в формуле объема конуса с водой и без шара V2 = = i ivR^h заменить Ry его выражением через /z, Ri = то получа- 3 тг/г3
ем V2 = ——. Разность между объемами Vi и V2 равна объему шара:
л А3 5
л А3 5
, з
3" - ^г
, з
3" - ^г
4 з
=,
4 з
=,
откуда — = - тгг3.
откуда — = - тгг3.
Ответ: h = г ^15.
Ответ: h = г ^15.
1
1
Решить неравенство: —-1 -— >
х — 2 х — 1
Решить неравенство: —-1 -— >
х — 2 х — 1
1
1
Решение. Здесь х / 0; х / 1; х / 2. (При этих значениях х данная функция не определена.)
После соответствующих тождественных преобразований получаем неравенство, равносильное исходному:
Решение. Здесь х / 0; х / 1; х / 2. (При этих значениях х данная функция не определена.)
После соответствующих тождественных преобразований получаем неравенство, равносильное исходному:
х{х — 1) + х{х — 2) — (ж — 1)(ж — 2) g х^х — 1)(ж — 2)
х{х — 1) + х{х — 2) — (ж — 1)(ж — 2) g х^х — 1)(ж — 2)
или
или
2 о
х — 2
х^х — 1)(ж — 2)
2 о
х — 2
х^х — 1)(ж — 2)
> 0.
> 0.
Будем решать это неравенство методом интервалов (смотри учебник) и запишем его в общепринятом стандартном виде:
/(ж) = (ж + V2) ж (ж - 1) (ж - V2) (ж - 2) > 0,
в котором функция /(ж) представлена разложенной на множители вида (ж —а). Корнями рассматриваемой функции /(ж) являются числа: — V2; 0; 1; V2; 2, — пять действительных чисел. Разобьем этими пятью числами всю числовую ось — схз < ж < +схз на шесть интервалов, расположенных в соответствии с возрастающей последовательностью корней: — схз < ж < — V2; — V2 < ж < 0; 0 < ж < 1; 1 < ж < V2; V2 < < ж < 2; 2 < ж < схз. После этого проследим за изменением знаков (минус, плюс) функции /(ж) при изменении значения аргумента ж в пределах этих шести интервалов.
Если ж < —\pi (значения аргумента ж меньше наименьшего корня), то все пять множителей, определяющих функцию /(ж), отрицательны, что можно символически отметить так: (—)(—)(—)(—)(—).
Получилось нечетное число минусов. Следовательно, при ж < —V2 функция /(ж) < 0.
Если —д/2 < ж < 0, то имеем (+)(—)(—)(—)(—); /(ж) > 0.
Если 0 < ж < 1, то имеем (+)(+)(—)(—)(—); /(ж) < 0.
Если 1 < ж < V^ то имеем (+)(+)(+)(—)(—); /(ж) > 0.
Если д/2 < ж < 2, то имеем (+)(+)(+)(+)(—); /(ж) < 0.
Если 2 < ж < оо, то имеем (+)(+)(+)(+)(+); /(ж) > 0.
Рис. 63Рис. 63
Рис. 63
Рис. 63
В трех интервалах — 2, 4, 6 — исследуемое неравенство подтверждается, /(ж) > 0. Поэтому ответом будут все числа множества ] — V2; 0[ U и ]1; V2[ и ]2; оо[. Решение этой задачи проиллюстрировано на рис. 63.
Решить систему неравенств:
f ж2 + 4ж —12 < Q
< ж2 — 5ж + 7ж2 — 6ж — 7~
Ж — Ж + 1
Решение. Поскольку ж2 — 5ж + 7 > 0 и ж2 — ж + 1 > 0 при любом ж, то данная система равносильна системе
[ ж2 + 4ж - 12 < 0,[ (ж + 6)(ж - 2) < 0,
( ж2 - 6ж - 7 < 0;[ (ж - 7) (ж +1) < 0.
Решением первого неравенства системы является множество ]—6; 2[, решением второго — множество ] —1; 7[.
Решением системы является множество ] — 1; 2[ — пересечение множеств ]—6; 2[ и ] —1; 7[.
Иллюстрация решения этой задачи дана на рис. 64.
Вариант 2
1) Найти ж из выражения
(Ц : 0,14) [9,1(6)+ 53^]з||- 5,8(3)
(10,3 — ж) -0,553,(6)-3,1(6)
Упростить выражение и вычислить его при ж = 17,7241:
(а + ж)(ж2 + 2аж) х/2(а + ж)(ж2 + 2аж) х/22/।х-1 1а (а + ж)у/(а + ж)2 — а2 _2/।х-1 1а (а + ж)у/(а + ж)2 — а2 _V^a + жа + хV^a + жа + х
(а + ж)(ж2 + 2аж) х/2
(а + ж)(ж2 + 2аж) х/2
2/।х-1 1
а (а + ж)
у/(а + ж)2 — а2 _
2/।х-1 1
а (а + ж)
у/(а + ж)2 — а2 _
V^a + жа + х
V^a + жа + х
Решить уравнения:
0,2ж(Зж + 11)-1=49-|(7-Зж);
(6ж2 — ж + 1)(1 + Зж)-1 = 2ж.
1) Найти больший корень уравнения — =—.
ЭС 1 ЭС + 7
2) Решить уравнение 11ж4+ ж3+ 64ж = Зж4 — 8.
Решить неравенство ж3 + Зж2 + 2ж ^ 0. В ответе представить отрицательный интервал.
1) Найти меньший корень неравенства V^ + 3 ^ — 5 — 2ж.
2) Решить уравнение V^x2 — 25ж + 51 = 7 — 2ж.
1) Упростить выражение
8т2(45° + ж) -sin2(30° - ж) -sinl5° • cos(15° + 2ж).
2) Вычислить 4sec 10° • (cos3 20° + cos3 40°).
В арифметической прогрессии пятый член а^ больше третьего аз в три раза, а их разность а^ — аз = 8. Вычислить ai.
Решить неравенство (V2 + 1)Ж — 2(V2 — 1)Ж + 1 < 0.
Найти меньший интервал, на котором выполняется неравенство sin ж + \/3 cos ж < 0.
Указание. Обе части неравенства разделить на 2.
1) Решить уравнение log3ж+ logз(ж + 1) = 1.
Найти наибольшее целое решение неравенства
2|log2$| — log2a: < 1.
Найти средний ежегодный прирост населения города, если это население за два года увеличилось с 150000 до 159135 человек.
1) Найти радиус окружности, описанной вокруг равнобочной трапеции с основаниями 2 и 14 и боковой стороной 10.
Вокруг окружности радиуса 3 описан треугольник. Найти его стороны, если одна из них разделена точкой касания на части 3 и 4.
Найти меньший корень уравнения
СО8 7ж + V3 8т7ж — (8ш5ж + V3 СО8 5ж) = 0.
Найти область изменения значений функции у = lg sin ж на интервале ]0; 0,5тг].
Найти больший интервал неравенства
Вычислить полную поверхность правильной четырехугольной пирамиды, если плоский угол при ее вершине равен 60°, а радиус окружности, описанной вокруг основания, равен V3.
Вариант 3
1) Вычислить выражение
{[4^-2^4s42^°N)s]:,4 + MKN^
Упростить и вычислить при а = 8,25 выражение
1) Решить уравнение (ж — 0,7)(ж — 13) = 9,1.
Решить уравнение 13ж4+ ж3+ 64ж = 5ж4 — 8.
Решить неравенство (ж + 2)(3 —ж)(ж + 9)-1 > 0.
1) Найти действительные корни уравнения
(ж2 + 3)(ж2 - 4) + 5ж2 = 0.
( х — у = 1;
Решить систему уравнений <
(|ж| + ?/ = 2.
Найти ж, если известно, что числа — 1; ж+ 2; sin (агсзтж), взятые в указанном порядке, образуют геометрическую прогрессию.
Указание, sin (arcsinж) = ж, причем —1 ^ ж ^ 1.
Вычислить sin2ж, если tg ж = — 0,5.
Решить уравнение 5ж+1 + 5Ж + 5Ж-1 = 155.
Вычислить площадь равнобочной трапеции, у которой высота равна 10, а диагонали взаимно перпендикулярны.
Решить уравнение |ж2 + ж — 2| = ж + 2.
Решить уравнение V^2 — 4ж + V^ — ж2 = у^.
Вычислить выражение
cos 20° + cos 40° + cos 60° +... + cos 180°.
На площадь 15 дм2 гусеница танка давит массой в 60 кг. Если масса будет уменьшена на 10 кг, а площадь опоры будет уменьшена на 5 дм2, то на сколько килограммов будет увеличена удельная нагрузка — масса, приходящаяся на каждый квадратный дециметр опоры?
Решить неравенство log2^ + 1) > loga,+116. Отметить положительный интервал.
Решить неравенство sin2 ж — 0,2 sin2 2ж > 0,8 cos 2ж на интервале ]0; тг[.
Найти область изменения значений функции /(ж) = tg 1,25тг х х 1g | со8ж| на интервале тг < ж < 1,5тг.
Основанием пирамиды служит прямоугольник со сторонами 6 и 7. Высота ее проходит через вершину основания и равна 8. Вычислить радиус сферы, описывающей пирамиду.
Вариант 4
1) Вычислить выражение
5{•20 + 0™°i)-з0 : К1!-0-8®)^»^-7'91^*)]}-
Упростить до числового значения при а = 27 выражение __аУ^-8а^6__ Л _ 3/бЛ «2/3 + 2(«6)1/3 + 462/3 " \ Vе/
Решить уравнения:
(ж2 + 0,Зж — 0,1)(д/7 — х) = 0;2) ж5 — ж3+4ж2 = 4ж.
Решить уравнение 0,5(ж — 0,4)—1 +0,4(ж — 0,5)—1 = 2.
др 2 др J
Решить уравнение11-2 = 0.
х — 1 х — 2
Найти наибольшее целое решение неравенства |ж — 20|(ж — 14) < 0.
Произведение 12-го и 16-го членов геометрической прогрессии равно 6,2. Вычислить произведение 4-го и 24-го членов этой прогрессии.
Решить неравенство (ж2 + 4)(ж + 1) 1 > 0.
При каком наименьшем целом значении к уравнение
(к - 1) ж2 - 2(к +1) ж + к - 3 = О имеет два различных корня?
Решить уравнение \/Зж2 + 1 + Vx^ + 3 = \/6ж2 + 10.
Решить неравенство \/ (ж + 2) (ж — 5) + ж — 8 < 0.
Предприятие увеличивало объем выпускаемой продукции ежегодно на одно и то же число процентов. Найти это число, если известно, что за два года объем выпускаемой продукции увеличился на 44%.
ж+З
Решить неравенство (0,2) ^-^ ^ 0,04. В ответе запишите наибольшее целое решение неравенства.
Решить уравнение (ж1§ж)2 — 100ж3 = 0.
Вычислить выражение sin 17° + cos 253° + ctg 315°.
Какой знак имеет разность sin3 —cos2?
Решить уравнение tg (ж + 1) ctg (2ж + 1) = 1. В ответе запишите количество корней уравнения, принадлежащих отрезку [0; 15].
Длины оснований трапеции равны 10 и 24, длины боковых сторон равны 13 и 15. Найти площадь трапеции.
Объем конуса равен 810. Высота конуса разделена на три равные части, и через точки деления проведены плоскости параллельно основанию. Найти объем части конуса, находящейся между проведенными плоскостями.
Решить неравенство 2sin4х — 3sin2х > costt на интервале
Найти интервал изменения значений функции lg | cos х| на интервале изменения аргумента (0,5тг; тг).
Вариант 5
1) Вычислить выражение
(0,2 : 0,125 + Д : 2—0 1) Л
(-+0,53) - 625-1/4 : 0,3'
Упростить выражение
од
п - х 1
и вычислить при х = 14,8225 и п = 3,5.
1) Найти корни многочленов:
а) ж4 —2ж3 + ж2; б) ж3 —8.
Решить уравнения:
а) 7(ж2 — 0,2ж — 0,15) • ж = 0; б) -^ + -^ = 2.
ж-0,3ж-0,4
о21
Решить неравенство < —.
2ж — 3 х
Вычислить меньший корень уравнения |ж + 2| = 2 — 0,5ж.
1) Решить уравнение (в ответе написать меньший корень):
Решить уравнение (ж2 + 2ж — 5)(ж2 — I)-1 = 3(ж + I)-1.
Решить уравнение V^ + 5 +д/2ж + 8 = 7.
Решить показательное уравнение 3 • 22(^-1) — 2^ = 8.
Решить логарифмическое уравнение
4(^жх^)2-4^ж37з + 5 = 0.
Решить тригонометрическое уравнение (указать наименьший по абсолютной величине корень):
3sin2ж + | 81п2ж = 1 + 6cos2ж.
Сумма пяти первых членов геометрической прогрессии равна 363. Знаменатель прогрессии равен 3. Вычислить первый ее член.
Решить неравенство (ж — 1) \/-ж2 + ж + 6 > 0.
Решить неравенство
9sin2 ж+ sin2 2ж — 4cos2 ж > 0
на интервале —0,5тг < ж < 0,5тг.
Один сплав состоит из двух металлов, входящих в него в отношении 1 : 2, а другой сплав содержит те же металлы в отношении 2:3. Сколько надо взять частей каждого сплава, чтобы получить новый сплав, содержащий те же металлы в отношении 17 : 27?
Найти область изменения значений функции у = ctg 1,25тг х х lgtg2ж на интервале [0,25тг; 0,5тг[.
В выпуклом четырехугольнике длины диагоналей 2 см и 4 см. Найти площадь четырехугольника, зная, что длины отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, равны.
Найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если ее высота 9, а апофема — 18.
Вариант 6
1) Найти число, если 2,5 % его равны
(- : 5,2 + 3,4 - 2—) : 1—
Ч’34716
0,31 - 8- — 5,61 : 27- '’5’2
Упростить выражение
[ж2 -0,5аб/6 + ж(^-0,5 V^)] * (ж + а1/3)-1 - ж
и вычислить при а = 87,4225.
Решить уравнения:
(2ж2+ 0,8ж — 0,42) V^ = 0;2) 4(ж - З)"1+3(ж -4)"1 = 2;
ж2-37®+ 175 _15.., /ж + 1\2 / ж \2 _ 17
(ж —5)(ж —2)а.2_7а. + ю’Ч ж /\ж + 1/4"
ОТ")О
Решить неравенство <2.
ж — 1 Ж — 1
Вычислить сумму чисел, удовлетворяющих уравнению
ж2 V1 - ж = 4 V1 — х.
Найти наибольшее целое решение неравенства
У3(9-ж) > 3-ж.
Сумма 9-го и 16-го членов арифметической прогрессии равна 12. Найти сумму первых 24 членов прогрессии.
Решить уравнение |—ж2—4| = —4ж.
Решить уравнение 2ж+1 — 2Ж = 16.
Вычислить log49 121+ log7
Вычислить sin5° • sin95° — 0,5sin 10° + 1.
Найти (в градусах) наименьший положительный корень урав- Н6НИЯtg(62° + ж) + tg (28° — ж) = 2.
На трех станках с разной скоростью штампуются детали. Первый и третий из них вместе производят деталей в 2 раза больше, чем второй, а второй и третий вместе — в 3 раза больше, чем первый. Спрашивается, сколько деталей выпускают первый и второй станки, когда третий изготавливает 100 деталей.
Решить неравенство 2sin4 ж — 2sin2 ж + 0,5sin2(?r — ж) > 1 на 7Г7Г
интервале — — < ж < —.
Найти область изменения значений функции у = lgsin2 ж на интервале ]0; тг[.
В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) средняя линия треугольника, параллельная стороне АС, пересекает вписанную в треугольник окружность в точках М и N. Найти площадь треугольника АВС, если МN = 2, cosZBAC = 0,6.
В правильной шестиугольной пирамиде боковая грань составляет с плоскостью основания угол ^. Радиус сферы, вписанной в пирамиду, равен 6. Найти радиус сферы, описанной вокруг пирамиды.
Вариант 7
1) Вычислить выражение
л 1 YI Г5.2,88-10,(3)
5 И3 : (° 2 " 10 )Н2 (°’8++ 12 : (2,28 : 23,48)'
) Упростить и вычислить при а = V3, У = 1 + V3 выражение
I 152 ) * 2Г23 У + 3.
\v3y4-a Зу — а2) Зу —V^ay
Решить уравнения:
(ж2+0,Зж — 0,1) \/Зж = 0; 2) -2—-£±^=4.
ж — 2 ж — 2
„ D! + ®21
Решить неравенство <1.
ж ж
Число 2 является корнем многочлена ж3 —4ж2 + Зж + 2. Вычислить сумму квадратов двух других его корней.
Решить уравнение (ж + З)3 -56 = (ж + 1)3.
Решить уравнение у 1 — 4ж — ж2 = ж + 1.
Произведение 18-го и 27-го членов геометрической прогрессии равно 9,4. Найти произведение 9-го и 36-го членов этой прогрессии.
32 В. А. Бачурин
Свежие грибы содержат 72 % воды, а сухие — 20 % воды. Сколько сухих грибов получится из 10 кг свежих грибов?
|2ж —151
Найти наибольшее целое решение уравнения ^ = — 1.
Найти наименьшее целое решение неравенства
q 2Ж—3,5 < 2(ж—3,5)/3
Решить неравенство V24 — 2ж — ж2 > ж.
Вычислить l0^231 — log2 3.
log631
D3cos50° — 4sin 140°
Вычислить т.
cos 130°
Найти (в градусах) наименьший положительный корень уравнения
2sin 17ж sin2x = —— cos 19ж.
Решить неравенство tg ^ тг • 81п4ж + ctg 2ж • cos4x > cos2 тг. В ответе представить наименьший интервал.
Найти область изменения значений функции у = lgcos2 ж на интервале [0; 0,5тг[ U ]0,5тг; тг].
В треугольнике АВС биссектриса угла А продолжена до пересечения в точке D с описанной около треугольника окружностью. Найти длину стороны ВС, если АВ = 27, АС = 12, AD = 30.
Вокруг правильной четырехугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD описан шар. Центр шара делит высоту пирамиды в отношении 5:1, считая от вершины S. Следует вычислить косинус плоского угла при вершине пирамиды.
Вариант 8
1) Вычислить выражение
14(4,6 + 5:6,25) 727-2,4513(
4 0,125 + -: 4,2 + 86 : Л
Упростить и вычислить при ж = 1,33 выражение
х — 1. Vx +1 ।2
® + V« + i V®3-i ®-1/2
Вычислить число b и второй корень уравнения ж2 — Ьх = 0,35, если первый корень Ж1 этого уравнения равен 0,5.
Зж 2 — х _ 3 2(27+1) + х ™ 2 ’Зж 2 — х _ 3 2(27+1) + х ™ 2 ’Решить уравнения:
Зж 2 — х _ 3 2(27+1) + х ™ 2 ’
Зж 2 — х _ 3 2(27+1) + х ™ 2 ’
1) 7(ж-5)"1+5(ж-7)"1 =2;
Решить систему уравнений
5Ж — 9т/ = 0, Зж — 25т/ = 0.
Определить значение параметра к, при котором корни уравнения ж + (к — 1) х + 2к — 8 = 0 удовлетворяют условию 2ж1 — х2 = —6, где жх < ж2.
6.6.11 п
6.
6.
Решить неравенство < 0.
ж -4 ж + 4
Решить уравнение у Зж2 — х + х — 1 = 0.
Печь нагревается равномерно. Через 0,5 часа после начала нагрева температура печи была 500° С, а еще через 1 час — 900° С. Какова была первоначальная температура печи?
В треугольнике АВС сторона АС равна 26, а медианы, проведенные из вершин А и С, равны соответственно 36 и 15. Найти третью
сторону.
3 7Г
Вычислить cos а, если tg а = — 3 - и — < а < тг.
°72
Решить уравнение log2 (4Ж + 4) = х + log2 (2ж+1 — 3).
12.12.Решить уравнение 4 cos ж-cosРешить уравнение 4 cos ж-cos= 1.= 1.
12.
12.
Решить уравнение 4 cos ж-cos
Решить уравнение 4 cos ж-cos
= 1.
= 1.
Решить неравенство |ж| < 2ж + 1.
Решить неравенство | sin ж | Ч- | cos ж | ^ |cos2tt| на интервале 0 < ж < тг. При каком ж между левой и правой частями достигается равенство?
3- вписан куо так, что четыре его3- вписан куо так, что четыре егоНайти область изменения значений функции ?/ = ^|8тж| на интервале ]тг; 2тг[.
3
- вписан куо так, что четыре его
3
- вписан куо так, что четыре его
В полу шар радиусом R =
вершины лежат на основании полушара, а другие четыре вершины расположены на сферической поверхности. Найти объем куба.
Вариант 9
1) Вычислить выражение
0,2(6)+ 9— г/ 1\ / 7-—:: -w).0,0(3)87 V 24Н0,2(6)+ 9— г/ 1\ / 7-—:: -w).0,0(3)87 V 24Н2) Упростить и вычислить при а = 3, b = 2 выражение2) Упростить и вычислить при а = 3, b = 2 выражение
0,2(6)+ 9— г/ 1\ / 7
-—:: -w).
0,0(3)87 V 24Н
0,2(6)+ 9— г/ 1\ / 7
-—:: -w).
0,0(3)87 V 24Н
2) Упростить и вычислить при а = 3, b = 2 выражение
2) Упростить и вычислить при а = 3, b = 2 выражение
Вычислить значение у из системы
Г О93т/ — 0,5ж = 1,18;
(1,6т/ + 2ж = -3,04.
Решить уравнение 6 + д/ж2 — Зж + 6 = 2ж.
Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45 % меди. Какую массу меди следует добавить к этому куску, чтобы получить сплав, содержащий 60 % меди?
2Ж2 — 9х + 7
Решить неравенство ^ 1. В ответе запишите наи-
х2 — 1
большее целое число, удовлетворяющее неравенству.
Решить уравнение 4 • 92ж — 3 • 42ж — 4 • 36ж = 0.
Решить систему уравнений
Г log4 х + log4 у = 1 + log4 9,
[ x-Vy = 20.
Вычислить выражение
3 - sin2 90° + 2 cos2 60° - 3tg 45° + 0,5cos тг.
Решить неравенство (ж2+ 4ж+ 3) • |1 — ж|-1 ^ 0.
Решить уравнение V3(со8ж — 8тЗж) = созЗж — sinж. В ответе запишите корень уравнения (в градусах), принадлежащий отрезку [о?^]-
Вычислить первый член арифметической прогрессии, если сумма первых шести ее членов равна 26, а ее разность составляет 25 % от значения первого члена.
Решить неравенство
sin4 ж — sin2 ж+ 0,5sin2(7r — ж) > cos
7Г7Г
на интервале — — < ж < —.
Найти область изменения значений функции у = lg | ctg ж| на интервале ]0; 0,5тг[.
В конус вписан шар, площадь поверхности которого равна площади основания конуса. Вычислить косинус угла при вершине в осевом его сечении.
Вариант 10
1) Найти число, если 5 % его равны
- 0,84 • (6- : 2— - — • 4^)
25’ v 9121235/
7,605 : 7^+3,086
Упростить выражение (а-0,5 — 1)(а — 2а0,5 + I)-0,5 и вычислите его значение при а = 0,16.
Решить уравнения:
0,2(ж-1) + 0,5(Зж-9) = |-2;2) ж4 - Зж3+ 3ж2 - ж = 0.
Решить уравнения:
2(ж — I)-1 + (ж — 2)-1 = 2;2)^ + ^ = ^.
Решить неравенство -4 < 0.
ж-4ж+4
Велосипедист проезжает 48 км с грузом на багажнике со скоростью 32 км/ч, а в обратном направлении (без груза) — 36 км/ч. Спрашивается, на сколько минут меньше движется велосипедист в обратном направлении?
Решить уравнение 3|ж — 0,751 = ж2 + 4,5.
Решить уравнение ^/0,7ж2 — 34 = -/б.
Три целых положительных числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите третий член этой прогрессии, если ее второй член на 1 больше первого.
Найти целое решение системы [^о,
< х +19
Найти наибольшее целое решение неравенства ^5(5 — ж) > —25 — ж.
Решить уравнение 0,125-42ж-3 = ^“^^ •
Вычислить 4+ если х = log25 + log0 25 Ю.
Решить уравнение log0 5(log2 х — 1) = — 1.
2тг5(cos2a? — cos5a?)
Вычислить при х = ——- выражение ——.
9V3 (sin5a?+ sin2a?)
Решить неравенство cos ж —sin ж < ctg 0,25тг — tg ж на интервале ]—0,5тг; 0,5тг[.
Указание. Преобразуйте данное неравенство так:
cos ж — 1 + tg ж — sin ж < 0 => cos ж — 1 — tg ж (cos ж — 1) < 0...
Вычислить выражение 1081g7 • (1g/То)6.
Найти и выразить в градусах наименьший положительный корень уравнения sin ж — 1 = 0,5 sin 2ж — cos ж.
В каких границах изменяются значения функции у = lgtgж при изменении аргумента в промежутках 0 < ж ^ и ^ ж < ^?
Окружности с радиусами 8 и 3 касаются внутренним образом. Из центра большей окружности проведена касательная к меньшей окружности. Найти длину касательной.
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 3. Диагональ боковой грани призмы, проходящей через другой катет, составляет с плоскостью основания призмы угол 45°. Высота призмы равна 4. Найти площадь полной поверхности призмы.
Вариант 11
1) Найти число, если 40 % его равны 0,5632-0,4642
3,62 — 7,2 - 2,4 + 2,42 '
Упростить выражение
11(ж-1-!)"1
1 _TV3 ™-0,5 п 3/7,
и вычислить при ж = 13,7641.
Решить уравнение
1,3- f 6(2~ У - °’°Х ” Д -8,5 = 13,6.’ \ 0,030,01 У ’’
Решить уравнение ж3 — 7ж — 6 = 0.
Указание. Учесть равенство — 7ж = — Зж — 4ж.
Решить уравнение 2(5ж4 — 6) = ж8 — 3.
Решить уравнение —1.
2ж +6ж—9 ж2 + 3ж
Решить уравнения
1) V^ + 2-V^ + 8 = 4; 2) V^+T+V2x + 3 = 1.
Один турист вышел из Л в 6 часов, а второй — навстречу ему из В в 7 часов. Встретившись в 8 часов, они не останавливаясь продолжили путь. Сколько времени затратил каждый турист на весь путь, если первый из них пришел в В на 28 мин позже, чем второй в Л?
Решить неравенство ж|ж — 4| ^ Зж — 6.
Вычислить выражение sin 18° + cos 12° — cos 48°.
Решить неравенство V4 • 3-ж — 3 < ^V^^ •
Найти сумму членов бесконечной геометрической прогресо 111
сии 3, — 1, -, —...
’’ 3’ 9’
Решить уравнение (2sin2 ж — 3sin ж) V^g ж = 0.
Решить уравнение log4(21og3(l + log2(l + 31og2ж))) = |.
Преобразовать и вычислить cos ^ (tg ^ +tg ^У
Решить систему неравенств
2Ж > дж/(ж-1).
-5 < ж < 10.
В ответе запишите количество целых чисел, удовлетворяющих этой системе.
Решить уравнение со8?гж • 8т7тгж = собЗтгж • 8тбтгж.
В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса 2. Найти площадь трапеции, если длина боковой стороны равна 10.
В каких границах изменяются значения функции р = lg2 sin ж при изменении аргумента от нуля до числа тг?
Решить неравенство 2sin4 х — 2sin2 ж > cos2(tt —ж) на интерва-
222
2
2
Металлический шар радиусом 5^2 перелит в конус, площадь боковой поверхности которого в 3 раза больше площади основания. Найти высоту конуса.
Вариант 12
1) Найти число, если 7,5 % его равны
(9- : 5,2 + 3,4-2—) : 1—
V 4’’34'16
0,31 - 8- — 5,61 : 271
’5’2
Упростить и вычислить при ж = V2 выражение i/з\ 1 । 1/3
— -2^3 + 1).1±^+ж2_ -1/ 1-ж2/3
1) Найти число b и второй корень уравнения ж2 — 5ж + 6 = 0, если жх = 5.
Решить уравнение (ж2 — 8)2 + 4(ж2 — 8) = 5.
Решить уравнения:
3(2ж2 + 6ж)-1+ж(ж2-9)-1 = (ж2-Зж)-1;2) ^^^ = П ~ 1
Решить неравенства:
а) |ж2 —2ж —7|^1; б) (ж + 3)(ж2 + 4ж — 5)-1 0.
Числитель дроби на 2 больше ее знаменателя. Если сложить 4
эту дробь с обратной ей дробью, то получится 2—. Найти исходную дробь.
Вычислить сумму 2sin 15° — 2cos 15° + 2.
Решить уравнение д/ж2 — 5ж + 7 = 2ж + 3.
Решить неравенство д/2ж — ж2 + ж — 1 > 0.
Решить уравнение = 2 sin —.
1 - ctg -2
Решить уравнение 2ж2+ж+2 — 8 = 0.
Решить уравнение log2 log2 (5ж — 1) = 1 + log2 log2 ж.
Длины параллельных сторон трапеции равны 25 и 4, а длины непараллельных сторон — 20 и 13. Найти высоту трапеции.
Цех выпускает 2000 станков в год. На сколько станков увеличится выпуск продукции в год, если производительность труда повысится на 45 %?
Найти середину промежутка, на котором выполняется неравенство 8^2^-1 - 6 • 4V2^T.2V2^T
Зж — 1
Решить неравенство log^ —~ > 0.
х +1
Найти на первой координатной четверти промежуток, на котором выполняется неравенство
sin ^2ж —^ >0,5|costt|.
Вычислить площадь равнобочной трапеции, в которой длины оснований равны 2 и 6, а длины боковых сторон равны V8.
Решить неравенство 5sin2 ж — cos2 2ж > 4со8 2ж —1 на интервале ]—0,5тг; тг[.
Найти область изменения значений функции у = | sin 1,5тг| х х lg | sin ж | на интервале ]тг; 1,5тг[.
Основанием пирамиды служит ромб со стороной, равной 6, и острым углом 30°. Все двугранные углы при основании равны. Боковая поверхность пирамиды равна 36. Найти величину (в градусах) двугранного угла при основании.
Вариант 13
1) Вычислить ж из равенства
(17,125 + 19,38 : ж) - 0,2 + 3— : 2—
ТПП^7= М8.
(5IZ-4— :2 + 2i 1-) : 27,74 + -
v 3227487’9
/ з/^2
Упростить выражение — и
3/- о З + ЗУ^-а-З^
значение при а = у 3 — 2.
Решить уравнения:
17,3(0,2ж +1) • (0,51 — 0,17ж) = 0;
0,(3)(ж+ 2)(ж +15) = | (2ж + 25).
Решить уравнения:
/i \2/1 \
2(ж + —) -9(ж + -)+10 = 0; 2) ж8 - 17ж4 +16 = 0. \X/\X/
Решить систему уравнений
у2 — х — 5 = 0,< 11 _ 1
, У-^V 7/ + 1 X*
Решить неравенства
1) ж2 + 2ж + 5<ж + 8;2) 4(1 - ж)"1 + 2(1 + ж)"1 < 1.
Найти двузначное число, в котором число его десятков на 4 больше числа его единиц, а произведение этого числа на полусумму его цифр равно 153.
Цех выпускал в день 120 изделий, а потом увеличил выпуск до 180 изделий (тоже в день). На сколько процентов повысилась производительность труда в цехе?
Решить уравнение VI + 4ж — ж2 = х — 1.
Сумма первых трех членов убывающей геометрической прогрессии равна (—7), а пятый ее член меньше второго на 14. Вычислить знаменатель прогрессии.
Вычислить сумму cos 10° + sin 40° — 2cos 50° — cos 70°.
Решить неравенство 1 + ж + ж2>|ж3 — 1|.
Решить неравенство уЗж + ж2 < 4 — х. В ответе дать отрицательный интервал.
Решить уравнение cos ж • cos6x + 1 = 0.
Решить уравнение Зж +ж+2 = 27.
Решить уравнение 21og3(ж —2)^-log3(ж —4)2 = 0.
Решить систему уравнений
tgж+tgy = 2,
cos ж • cosy = 0,5.
Вокруг круга радиусом 2 описана равнобочная трапеция с площадью 20. Найти стороны трапеции.
Решить неравенство | cos тг | + 3 sin ж < д/З — 4cos2 ж.
Найти область изменения значений функции у = sinl,57r х х lg cos ж на интервале ]1,5тг; 2тг[.
Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 5 и 3, двугранный угол при ребре большего основания равен 30°. Найти площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.
Вариант 14
1) Вычислить выражение
4,5 : [47,375 - 2^ (26,(3) - 18 • 0,75)]
17,81:1,37 — 23,(6): —"
Упростить и вычислить при т = 0,78 и п = 0,27 выражение (2m — п)2 + 2п2 — Зтп . 4m2 — Зтп
2m-1+n22 + mn2
По корням квадратного трехчлена 2ж2 + рх + q — числам 1 и 2 — вычислить его дискриминант D.
Решить уравнения:
(ж2 — 1,1ж+ 0,28) • V^ = 0; 2) 3(ж - 2)"1 + 2(ж - З)"1 = 2.
Решить уравнения:
(ж-1)3_(ж-2)3 = 7; 2) ^ + ^ = 1.
1) Найти наибольшее целое значение ж, удовлетворяющее неравенству 0,1(2ж — 0,125) > х — 5.
2) Вычислить произведение целых чисел, являющихся решениями неравенства 2(2ж —I)-1 > —
Решить неравенство \х — 20|(ж — 14) < 0.
Решить уравнение ^8ж + 4 — ^8ж — 4 = 2.
Указание. См. решение подобной задачи №4 2-го тура 1-го варианта.
Решить уравнение 25ж — 6 • 5Ж + 5 = 0.
Решить уравнение log1_ж(4ж2 — 9ж +1) = 3.
Найти знаменатель возрастающей геометрической прогрессии, если разность пятого и первого членов прогрессии в пять раз больше разности третьего и первого ее членов.
Решить неравенство х"-1-V24 —2ж— Ж2 < 1.
Вычислить
Гс\ • ТХ7Г7Г7Г7Г
96V3 sin — -cos — -cos— -cos — -cos-.
Биссектриса прямого угла треугольника делит его гипотенузу на отрезки, длина которых 15 и 20. Вычислить площадь треугольника.
Решить уравнение ^(ж2 + 2ж + 1) = 1g2(ж+1) + 1.
Два станка штампуют за минуту 33 детали, причем производительность одного из них на 20 % выше другого. Сколько деталей за минуту штампует каждый станок?
Решить неравенство (1g 100) ^3(ж + 2) ^ ^З(3ж + 10).
Решить уравнение Зсо82(ж + 0,5тг) + cos2 х = V5 С08ж. Ответ дать для интервала —90° < х < 90°.
В основании пирамиды лежит треугольник, длины сторон которого равны 12; 10; 10. Все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45°. Вычислить объем пирамиды.
Решить неравенство sin4x + соз4ж • ctg 2ж > tg на интервале 0 < х < —.
Найти область изменения значений функции у = cos27r -lg ctg х на интервале [0,25тг; 0,5тг[.
Вариант 15
1) Вычислить выражение
(10 : 2,(6) + 7,5 :10) (А _0,2(3) ^ + ^).
2) Упростить и вычислить при а = 0,4761 и b = 12,3201 выражение
л/й + 3 V^ +л/й + 3 V^ +V^Va — 1 (а — b) ^а1^3 — !)1^3)^+^6+^(3v^-l)"°’2
л/й + 3 V^ +
л/й + 3 V^ +
Решить уравнения:
0,2(Зж +11) х - 111 | (Зж - 7) х + 42,1(6);
9ж4 + 64 = 148ж2 (написать наибольший корень).
Первую треть пути автомобиль проехал со скоростью 40 км/ч, а оставшуюся часть пути — со скоростью 70 км/ч. Вычислить среднюю скорость автомобиля за все время движения.
Решить уравнение
3х _ 2х
ж(ж2 + 1) х2 — 11 — х4
Решить неравенство (ж +1)2[(ж — 3)(ж — 5)] 1 > 0.
Решить уравнение ж + V^c + 14 + 12 = 0.
V1 — ж ^ • В ответе написать отри-х +1V1 — ж ^ • В ответе написать отри-х +1Знаменатель геометрической прогрессии равен 3. Сумма первых пяти ее членов равна 363. Вычислить первый член прогрессии.
V1 — ж ^ • В ответе написать отри-
х +1
V1 — ж ^ • В ответе написать отри-
х +1
Решить неравенство дательный интервал.
Вычислить площадь круга, окружность которого описана вокруг правильного треугольника с площадью, равной 9 V3.
Решить уравнение (Q д)-(ж2-5ж+8) _ д/юООО.
Решить уравнение loga,+1(15 — Зж) = 2.
Упростить выражение 8 sin2 ж • cos2 ж + cos 4ж — 1.
Решить уравнение sin2 ж + 5cos2 ж — 4со8ж = 0. Представить меньший корень.
Решить неравенство 2cos22ж — cos2ж ^ sin2ж. Представить „7Г7Г
наименьший корень на интервале — — < ж < —.
/।\3/ж
Решить неравенство ^32+ж.
Решить неравенство log2(ж —1) < 1.
Вычислить наименьшее целое значение корня неравенства |5-ж| < 9ж + 5.
На сколько сантиметров большая диагональ ромба длиннее его меньшей диагонали, если стороны ромба имеют длину 5 см, а его площадь равна 24 см?
Найти область изменения значений функции у = | cos?r| lg ctg ж на интервале ]тг; 1,25тг].
Вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, площади граней которого равны 6, 20, 30.
Вариант 16
Вычислить выражение
^58,2(6) — 56 ^) : ^+2,(1)-0,225] • (1,(6) : 8,75).
Упростить и вычислить при а = 0,060025 выражение
Решить уравнения:
2ж2 = (7ж + 2)(2ж +1);2) ж6 + 26ж3 = 27.
Руда содержит 40 % примесей, а выплавляемый металл содержит 4% примесей. Сколько металла получится из 24 тонн руды?
Решить уравнение ж4 — 8ж2 + 16 = —^—.
(ж — 2)(2 — ж)
Решить уравнение ж + а/Юж — ж2 — 20 = 4.
Первый член геометрической убывающей прогрессии равен единице: ai = 1, а сумма ai + а2 в два раза больше суммы с^ + пз- Вычислить знаменатель прогрессии.
Решить неравенства
1) ^L^Lz31 > 0; 2) х/5 + 2я < 3.
ж — 3
Вычислить радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если боковая сторона треугольника равна 20, а диаметр описанной окружности равен 25.
Решить уравнение 100°’5ж = 0,1 • (10ж-1)5.
Решить уравнение log4(2^ +2) = х.
Упростить выражение sin 140° — 2cos50° + sin80° — cos70°.
Решить уравнение ctg х + cosec ж = 1.
Решить неравенство \х — 6| < ж2 — 5ж + 5. Указать меньший интервал.
Решить неравенство 2 • Зж+1 — 4 • Зж-2 > 150.
Решить неравенство log0 3(ж2 — 5ж + 7) > 0.
Решить неравенство
/ . X ж\2.. .3
Ism——cos—I < sin ж + lg cos тг
на интервале 0 < ж < тг.
Вычислить длину стороны квадрата, две вершины которого лежат на окружности радиусом V5, а две другие — на касательной к этой окружности.
Найти область изменения значений функции у = tg 1,25тг х х^|со8ж| на интервале [тг; 1,5тг[.
В конус вписан шар с радиусом ~^=. Вычислить объем данного конуса, если объем конуса с тем же основанием и с вершиной в центре вписанного шара равен 3.
Ответы
Вариант 2
1)8,5;2)V^ = 4,21. 2. 1) ж = 1,5;2) ж = 0,(3).
1)ж =—1; 2) жх = 0,125; ж2 = 2. 4.] - оо;-2]; [-1; 0[.
1)ж =-2,75; 2) ж = 3~^. 6. 1)вт2ж; 2) 0,5(3-V17).
-4. 8. ] —оо;2]. 9. ]120°; 150°[ ).
1) ж = 0,5(д/13-1); 2) ж = 1. 11. 5%.
1) 5V2; 2) 7; 24; 25. 13. ж = 7°30'. 14. ] —оо;0].
[3+V5;oo[. 16. 6(1 + V3).
Вариант 3
1) 1; 2) 2,5. 2. 1) Ж1 = 0; ж2 = 13,7; 2) жх = 0,125; ж2 = 2.
]—оо;9[ U [-2;3[. 4. 1) ж = ^2; 2) ж = 1,5; у = 0,5. 5. -1.
-0,8. 7. ж = 2. 8. 100. 9. жх = -2; ж2 = 0; ж3 = 2.
ж = 0. 11. -1. 12. На 1кг. 13. ]3;оо[.
]-15°;+15°[. 15. ]0;-оо[. 16. 5,5.
Вариант 4
1) 30; 2) 9.
1) жх = -0,5; ж2 = 0,2; ж3 = V7; 2) жх = -2; ж2 = 0; ж3 = 1.
Ж1 =0,45; ж2 = 0,9. 4. ж = 1,5. 5. ж = 13. 6. 6,2.
]-2;1[. 8. 2. 9. Ж!,2 = ±1. 10. ]-оо;-2[ U ]5; 7^ [.
20. 12. ж = 3. 13. ж = 100. 14. -1. 15. Плюс. 16. 5.
204. 18. 210. 19. ]-45°;+45°[. 20. ]-оо;0[.
Вариант 5
1) 3; 2) ^ = 1,1.
н
1) а) жх = ж2 = 1; ж3 = Ж4 = 0;б) ж = 2;
а) жх = -0,3; ж2 = 0,5; ж3 = 0;б) жх = 0,7;ж2 =0,35.
]о;|[. 4. ж = —8. 5. 1) ж=-2; 2) ж= 2.6.ж = 4.
ж = 4. 8. Ж1 = 3; ж2 = ^3.9.45°. 10.3.11.]3;оо[.
]-15°;15°[. 13. 9 и 35 частей. 14. [0;оо[. 15. 4 см2.
1458.
Вариант 6
1) 100; 2) 1.
1) Ж1=0;ж2=0,3; 2) Ж1 = 3,5; ж2 = 7; 3) ж = 32;
21
жх = -2; ж2 = --; ж3 = ж4 = 1.
]l;l,5[U]2;oo[. 4. -1. 5. ж = 9. 6. 144. 7. ж =-2.
ж = 4. 9. 2. 10. 1. 11. 163°. 12. 60 и 80 деталей.
]-45°;+45°[. 14. ]—оо; 0] U[0;-oo[. 15. 6. 16. 13.
Вариант 7
1) 27,24; 2) 3.2. 1) ж4 = -0,5; ж2 = 0; ж3 = 0,2; 2) ж = 3.
]-1;0[. 4. 6.5. Ж1 = -5; ж2 = 1. 6. ж = 0. 7. 94.
3,5 кг. 9. ж = 7. 10. ж = 4. 11. [-6; 0[ U ]3; 4[. 12. 1.
1. 14. ж = 3°. 15. ]0;22°30'[. 16. [0;-оо[ U ]-оо; 0].
31,2. 18. 0,6.
Вариант 8
1) 4^; 2) 2,33. 2. 6 =-0,2; ж2 = -0,7.
1) Ж1 =6; ж2 = 12; 2) ж4 = -^; ж2 = 1. 4. ж = -2; у = ^.
4. 6. ]-4;4[. 7. ж = 0,5. 8. 300°С. 9. 39. 10. -0,28.
ж = 2. 12. ж = 0.13. ]-|;оо[. 14. ]0; 180°[; ж = 90°.
]-оо;0] U [0; -оо[.16. 1.
Вариант 9
1) 70; 2) 5.
1) жх =—0,8; ж2 = 0,3; ж3 = V7;2) жх =-4; ж2= 0; ж3 = 3.
1) Ж1 =—2; ж2 = 1,25; 2) жх = 1; ж2 = —5; ж3,4 = —IzkVO.
4’
у = -^.5. ж = 5. 6. 13,5 кг.7. ж = 8. 8.ж = 0,5.
ж = 2; т/= 18 или ж = 18; у = 2.10. -1. 11.]-3;1[.
ж = 15°. 13. 2^. 14. ]-45°;+45°[. 15. ]оо;-оо[.
0,28.
Вариант 10
1) 8; 2) 2,5. 2. 1) ж=||; 2)жх =0; ж2 = 1.
1) жх = 3;ж2= 1,5; 2) жх = 0,25;ж2 =2.
]—оо; — 4[ U ]0; 4[. 5. На 10 мин.6.ж = —1,5.
Ж1,2 = ±10.8. 4. 9. ж = -18.10.ж = 5. 11. ж = 6.
ж = 2,5. 13. ж = 8. 14. -5. 15. ]-90°;45°[. 16. 49.
ж = 90°. 18. ]—оо; 0]; [0;+оо[. 19. 4. 20. 60.
Вариант 11 1. 1) 0,125; 2) -^=-3,71. 2. ж = 0,764.
Жх = —2; ж2 = —1; Жз = 3. 4. Жх,2 = ±1; Ж34 = ±д/3.
Ж1 = Д ж2 = 1.6. 1) ж = 0; 2) ж = —1. 7. з| ч и 2^ ч.
[—2; 3] U [6; оо[. 9. 0. 10. ]0;log3(^]. 11.4,5.
х = ки. 13. ж = 2. 14. 2. 15. [0; 1[ U [3; 10]; 9.
Ж1 =0; ж2 = ^. 17.40. 18. ] + <х>;0] U [0;+<х>[.
]-45°;45°[. 20. 20.
Вариант 12
1) 0,45; 2) 3. 2. 1) 6 = 0; ж2 = 0; 2) Ж1,2 = ±^3; ж3,4 = ±3.
1) Ж1 = —1,5; ж2 = 1; 2) ж = 7.
1) [-2; 1-V7] U [1 + V7; 4]; 2) ]-5;-3] U ]1; оо[.
V 6. 0. 7. жх 2 =8. ]1;2[. 9. Ж12=±240°.
5’6’
Ж1,2 = 0,5(±^+1). 11. Ж1,2 =0,5(5±V21). 12. 17,8.
На 900 станков. 14. ж = 0,75. 15. ]0,25; 1[ U ]1; 2[.
]30°;90°[. 17. 8. 18. ]-15°;+15°[. 19. ]-оо;0[.
60°.
Вариант 13
1)2,4;2) 0,5. 2. 1) жх =-5; ж2 = 3; 2) жх =-14;ж2 = 5.
1)Ж1 =1; ж2 = 2; ж3 = 0,5; 2) жх,2 = ±1; ж3,4 = ±2.
х = 4; у = —3; или х = 4; у = 3.
1)[-0,5(1 +V13); 0,5(-l + V13)]; 2) ]—оо; -1[ U ]1; оо[.
51. 7.50%. 8. ж = 3. 9. 2. 10. 0. 11. ]0;2[.
]—оо; —3]. 13. х = 180°. 14. Ж1,2 = 0,5(-1 ±V5).
жх = 3; ж2 = 3 + ^. 16. ж =45°; у = 45°. 17. 2; 8; 5; 5.
]210°;330°[. 19. ]+оо;0]. 20. 8.
Вариант 14
1) 4; 2) 0,5. 2. D = 4.
1) жх = 0,4; ж2 = 0,7; х^ = 0; 2) х^ = 5; ж2 = 2,5.
1) Ж1 = 0; ж2 = 3; 2) Ху = 0; х^ = 3. 5. 1) х = 6; 2) 2.
]—оо;14[. 7. rt?i,2 = ±0,5. 8. жх = 0; ж2 = 1. 9. х = — 3.
2. 11. ]-6;0[ U ]3;4[. 12. 2. 13. 294. 14. х = 9.
15 и 18 деталей. 16. ]-2;3[. 17. х = 30°. 18. 72.
]0°;22,5°[. 20. [0;+оо[.
Вариант 15
1) 2^; 2) Va + SVb = 11,22. 2. 1) ж = 15; 2) ж = 4.
56 км/ч. 4. Ж112 = ±л/3- 5. ] — оо; — 1] U ] — 1; 3[ U ]5; оо[.
ж =-13. 7. 3. 8. ]—оо; —1[. 9. 12тг. 10. Ж1 = 2; ж2 = 3.
ж = 2. 12. 0. 13. -60°. 14. ж = -22,5°. 15. ]—оо;0[.
]1,5;3[. 17. ж = 1. 18. На 2 см. 19. ]оо;0]. 20. 60.
Вариант 16
1-^ 2. 4(V^-l) = -3,02.
1) Ж1 =-|; ж2 = -|; 2) Ж1 = 1; ж2 =-3.4. 15 т.
ж = -2. 6. ж = 3. 7. 0,5. 8. 1) ]1; 2[ U ]3; оо[; 2) [-2,5;2[.
6. 10. ж = -1,5. 11. ж = 1. 12. 0. 13. ж = 90°.
]-oo;2-V5[. 15. ]3;оо[. 16. ]2;3[. 17. ]30°; 150°[.
-4=. 19. [0;-оо[. 20. 6^-.
V15и
§ 6. Дополнение к разделу «Экзаменационные задачи».Варианты билетов 2002 г.
Московский государственный университетим. М. В. Ломоносова
Вариант 1(механико-математический факультет)
Найдите дроби
tg a tg 3 tg 7sin a sin 3 sin 7
tg a + tg 3 + tg 7sin (a + 3 + 7) 1
если числа a, 3 и 7 выбраны так, что обе дроби положительны и одна из них втрое больше другой.
Решите неравенство \/2ж -хфх- 1 + Vx + s/1 — 2ж ^ 0.
Точка М лежит на боковой стороне CD трапеции ABCD.
Известно, что ABCD = ACBD = ААВМ = arccos- и АВ = 9. Най- „ , .6
дите ВМ.
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнениеуравнение^а+1ж + 1оёж(19”8а) = 2^а+1ж + 1оёж(19”8а) = 2
уравнение
уравнение
^а+1ж + 1оёж(19”8а) = 2
^а+1ж + 1оёж(19”8а) = 2
имеет по крайней мере два корня и произведение всех его корней не меньше 0,01.
Сфера высекает на ребрах АВ, СВ, AS и CS треугольной пирамиды SABC равные отрезки KL, NM, KyLy и NyMy соответственно (точки К и Ку лежит ближе к А, чем L и Ly, а точки N и TVi лежат ближе к С, чем М и Му). Известно, что ММу = 2ККу и 2KN = = 3LyMy, ASBA = ASBC и AKKyNy = 90°. Найдите отношение объемов пирамид SABC и МуКLMN.
При каких х оба числа —- и—L целые?
! + ж 7ж2-6ж-5
Вариант 2(механика-математический факультет)
Решите неравенство
Три сферы, радиусы которых равны соответственно V^, 1 и 1, попарно касаются друг друга. Через прямую, содержащую центры А и В второй и третьей сфер, проведена плоскость 7 так, что центр О первой сферы удален от этой плоскости на расстояние 1. Найдите угол между проекциями прямых О А и ОВ на плоскость 7 и сравни- 4
33 В. А. Бачурин
Из пункта А в пункт С выехал с постоянной скоростью велосипедист. За два километра до промежуточного пункта В он решил, что необходимо ехать быстрее, и, увеличив скорость в пункте В, продолжил движение с постоянной скоростью вплоть до пункта С. Приехав в С, велосипедист обнаружил, что время движения с каждой из скоростей было прямо пропорционально соответствующей скорости и что на первые 18 км пути он затратил времени в полтора раза больше, чем на последние 18 км. Найдите расстояние между пунктами А и В, если известно, что расстояние между Аи С равно 75 км.
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Точка X лежит на его стороне АВ, причем ВХ || CD и СХ || В А. Найдите ВС, если АХ = 1,5 и DX = 6.
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых сумма арктангенсов корней уравнения
ж2 + (1 - 2а) х + а - 4 = О больше —.
4
Найдите минимальное значение выражения (ж + у — z)2 при условии, что числа ж, у и z удовлетворяют одновременно каждому из неравенств 1 (ж + у)2-, 8 (у + z)2 ^9 и 10 (z + ж)211.
Вариант 3
(факультет вычислительной математики и кибернетики)
Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости Оху условиями
Зу + ж > —5;
< 6 Vx/ +1 ^6-4у;
ж 0.
Решите неравенство
|6 - log2(4ж2 - 20ж + 25)I - log5_2iC 32 5.
Даны две окружности. Первая из них вписана в треугольник АВС, вторая касается стороны АС и продолжений сторон АВ и ВС. Известно, что эти окружности касаются друг друга, сумма кубов их радиусов равна 152, а угол ВАС равен arccos-. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника АВС.
Найдите tg |ж|, если известно, что
(5 sin ж + 3 cos ж + V2) (VTT - 3 ^sin |ж|) =0.
При каких значениях параметра а система
sin (2тг Va2 - ж2) = 0,
2.з1И +32-|аж| ^ 1д
имеет наибольшее число решений?
Рассматриваются всевозможные параллелепипеды с четырьмя ребрами длины 4 и остальными ребрами длины 3, в которые можно вписать шар. Найдите максимальное значение радиуса такого шара.
Вариант 4
(факультет вычислительной математики и кибернетики)
При каких значениях параметра b уравнение
64ж + 62+(2 + \/2) 6 + 2\/2 = 62(б + \/2)+4ж имеет бесконечно много корней?
Решите неравенство
2cos (arcsinж) — sin (0,5arccosх) ^ 0.
Дан прямоугольный параллелепипед ABCD АуВуСуВу, у которого АВ = 6, АВ = 3 и AAi = 2. Найдите угол между прямой АС у и прямой, проходящей через середины ребер AAi и ВуСу.
Из пункта А в пункт В в 8 часов утра вышел пешеход. Спустя два часа из пункта А вслед за пешеходом по той же дороге выехали велосипедист и мотоциклист. Известно, что скорость мотоциклиста в три раза больше скорости велосипедиста. Не позднее чем через 15 минут после своего выезда из пункта А мотоциклист обогнал пешехода и продолжил путь в пункт В. Велосипедист обогнал пешехода спустя не менее 45 минут после обгона пешехода мотоциклистом. Пешеход прибыл в пункт В в 14 часов того же дня. Найдите время прибытия мотоциклиста в пункт В.
Решите систему уравнений
13 cos ж + 98 sin ?/ — <^/13 cos ж+ 28 sin?/ = 4,
2^13 cos ж+ 28 sin?/ - i/70sin?/+ 8 = 2.
Биссектриса угла А треугольника АВС пересекает сторону ВС в точке В. Окружность радиуса 35, центр которой лежит на прямой ВС, проходит через точки А и В. Известно, что АВ2 — АС2 = = 216, а площадь треугольника АВС равна 90\/3- Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС.
Вариант 5(физический факультет)
1 оlog2(4a?-3)2
Решите уравнение ~- = .
logs ж logs 2
Решите уравнение соз8ж *ctg ж + 28т24ж = ctg ж.
Решите уравнение 4 +V^ + 9 = |ж + 5|.
В треугольнике АВС\ АВ = 14, ВС = 6, АС = 10. Биссектрисы BD и СЕ пересекаются в точке О. Найдите OD.
Решите систему уравнений
Г 2ж+1 log9 у - 23ж =2,19-2®log27y — log|y = 9.
Окружность проходит через вершину В треугольника АВС, касается стороны АС в ее середине D и пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно, АВ : ВС = 3 : 2. Найдите отношение площади /XAMD к площади ^DNC.
Для каждого значения а решите неравенство
(ж2 + 2ж — а2 — 4а — 3)(sinж + 2ж) > 0.
В треугольной пирамиде SABC ребро SC перпендикулярно
грани АВС, А АС В - прямой, АС = 1, ВС = SC = Сфера
5
касается плоскостей SC A, SCB и АВС, причем плоскости АВС она касается в точке, лежащей на отрезке АВ. Найдите:
радиус сферы;
радиус окружности, по которой пересекаются сферы и грань ASB.
Вариант 6(физический факультет)
3 Уз
Решите уравнение cos 5ж — cos 15ж = —$— ctg 5ж.
Решите неравенство ^ ^ < 1-
4ж-2х3хЖ
Решите неравенство 15- ^—^ > 1+.
Около окружности радиуса 3 описана равнобочная трапеция ABCD (ВС || AD), площадь которой равна 48. Окружность касается сторон АВ и СD в точках К и L. Найдите KL.
Три числа, сумма которых равна 28, образуют геометрическую прогрессию. Если к первому числу прибавить 3, ко второму числу прибавить 1, а от третьего числа отнять 5, то полученные числа образуют арифметическую прогрессию. Найдите эти числа.
В пирамиде SBCD каждое ребро равно 3. На ребре SB взята точка А так, что SA : АВ = 1:2. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды SACD.
Для каждого значения а решите неравенство
log1/9(ж2 - 6ж - а2 - 5а + 12) < -1
и найдите, при каких значениях а множество точек ж, не являющихся решениями этого неравенства, представляет собой отрезок числовой оси, длина которого меньше 2д/3.
В треугольнике KLM отношение радиусов описанной и вписанной окружностей равно 3. Вписанная окружность касается сторон
^KLM в точках А, В и С. Найдите отношение площади ^KLM к площади ^АВС.
Вариант 7
(химический факультет, факультет наук о материалах)
Решите уравнение 41/4 — 5 • 22+1/ж+64 = 0.
Решите систему неравенств
Г |ж| + |у-1| ^ 1,
( |ж — 2| + |у — 1|1.
Решите неравенство
logiz-^ (56 - ж2 + Юж) ^ j(log3+V7 (8 + 3 V?) + log3+2).
Решите уравнение
^63 cos ——sin —J cos x = tg 2x + sin x.
Из точки С проведены две касательные к окружности. Точки А и В — точки касания. На окружности взята произвольная точка М, отличная от Л и В. Из точки М опущены перпендикуляры MN, ME, MD на стороны АВ, ВС, С А соответственно. Найдите площадь треугольника MNE, если MN = 4, MD = 2 и А АС В = 120°.
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
. 7Г ЭС7Г ЭСQ
2-4 +sin—-+cos— 2 = а - За2 + а + V2
44
имеет единственное решение.
Вариант 8
(факультеты биологический, фундаментальной медицины,биоинэюенерии и биоинформатики)
Решите неравенство |ж —2|>2ж + 1.
Решите уравнение sin2 2ж + sin2 Зж = 1.
Длины сторон треугольника АВС равны 4, 6 и 8. Вписанная в этот треугольник окружность касается его сторон в точках D, Е и F. Найдите площадь треугольника DEF.
Решите неравенство
log2 IN - 51og2 |2ж| + 2|ж| log2 |2ж| - 4|ж| +6 0.
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
(х2 + 2(а — 2) х + а2 — 4а)2 +
+ (а + 5)(ж2 + 2(а-2)ж + а2 -4а) -а2 + 8а + 2 = 0 имеет:
а) единственное решение; б) ровно два различных решения.
Вариант 9(факультет почвоведения)
Решите неравенство |5 —7ж| < 2.
Вычислите cos — .
Пусть а = а/20+ а/50. Докажите, что число а3 — 30а целое, и найдите его.
Решите неравенство log3 log4 ж ^ log9 log2 8ж.
Найдите все значения ж, принадлежащие интервалу (—тг; тг) и являющиеся решениями уравнения
1= V—2 cos ж.
V —2sina?
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна с, а один из острых углов равен а. В треугольник помещены две окружности одинакового радиуса, каждая из которых касается одного из катетов, гипотенузы и другой окружности. Найдите радиусы этих окружностей.
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнениеуравнение(ж3 — 1)(ж — 16)log10(15a - ж) - log10(® - а)
уравнение
уравнение
имеет единственное решение.
Вариант 10
1.2.1.2.3.3.принадлежащие отрезкупринадлежащие отрезку(геологический факультет)
1.
2.
1.
2.
3.
3.
принадлежащие отрезку
принадлежащие отрезку
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведены биссектриса CD и прямая DE, перпендикулярная CD (точка Е лежит на прямой АС). Найдите площадь треугольника АВС, если СЕ = 4, СА = 3.
При каких значениях параметра а периметр плоской фигуры, заданной на координатной плоскости Оху системой
у V1 — ж2,°|у| |ж|,
больше, чем 4 + 2 V^+^?
В кубе ABC D А* В* С* D* с длиной ребра, равной 1, на вертикальном ребре А А* и на горизонтальном ребре АВ взяты точки М и N
13
соответственно, при этом АМ = -, AN = -. Через точки М и N проведена плоскость, параллельная диагонали АС нижнего основания куба. Чему равна площадь получившегося сечения?
Вариант 11(географический факультет)
Решите уравнение |ж —2| =—
Решите уравнение 4sina?—3_
4sin ж + sina? — 3
Квадратное уравнение ж2 — врх + q = 0 имеет два различных корня жх и Ж2- Числа р, Xi, Х2, q — четыре последовательных члена геометрической прогрессии. Найдите Ж1 и Ж2-
Тележка с передними колесами диаметром 30 см и задними колесами диаметром 40 см движется по прямой дороге, проходящей через точки А и В. Между точками A w В ровно 100 метров. Точка А покрашена. Через точку А проезжают правые колеса тележки и в точках соприкосновения с ней окрашиваются. В свою очередь, при каждом соприкосновении с дорогой эти точки оставляют свой след в виде точек на дороге. Никакие точки на дороге, кроме точки А, не окрашивают колеса. Тележка движется от точки А к точке В. Найдите:
наименьшее расстояние между соседними окрашенными точками;
количество окрашенных точек на отрезке АВ.
В треугольнике PQR точка Т лежит на стороне PR, AQTR = = APQR, PT = +TR = 1. Найдите:
сторону QR;
угол QRP, если радиус описанной около треугольника PQT окружности равен 3V5.
Г ж3 = 5ж + у,
Решите систему уравнений <
( у = Ьу + х.
Вариант 12(филологический факультет)
log^6 тг • arcsin -
Решите неравенство ——-,^-—-=■ ^ 0.
sin (х —• Vx
Окружность радиуса 3 проходит через середины трех сторон треугольника АВС, в котором углы АиВ равны соответственно 60° и 45°. Найдите площадь треугольника.
Решите уравнение
1 + tg2x + V2 sin (— — 2ж) + д/З (cos х — sin х) = —-—.
\ 2/ctg х
Положительное число а подобрано так, что меньший корень
уравненияуравненияж3 + 2ж = 4ж2 -4ж3 + 2ж = 4ж2 -4
уравнения
уравнения
ж3 + 2ж = 4ж2 -4
ж3 + 2ж = 4ж2 -4
является одновременно одним из решений неравенства ^5ж—4 >— ж2+4ж—4
Решите это неравенство.
В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар радиуса 6, а боковая грань составляет угол 45° с высотой пирамиды.
Найдите площадь основания пирамиды.
В данную пирамиду вписан второй шар так, что он касается всех боковых граней и первого шара; затем вписан третий шар, касающийся всех боковых граней и второго шара, и т. д. Найдите сумму объемов бесконечной системы вписанных шаров.
Словарь людоеда из племени «Мумбо-Юмбо» составляет 300 слов. Эллочка Щукина легко и свободно обходилась тридцатью. Однажды людоед начал посещать проповеди миссионера, поэтому его словарный запас, оставаясь целочисленным, стал увеличиваться на некоторое число процентов за каждые полгода. Эллочка поступила в вечернюю школу и каждый месяц стала узнавать целое число новых слов, равное 50 % от количества слов, которые людоед знал к концу первого полугодия. Однако через несколько месяцев Эллочка бросила школу. Какое наибольшее целое число месяцев может проучиться Эллочка в школе, чтобы словарь людоеда после одного года посещения проповедей обязательно остался богаче словаря Эллочки?
Вариант 13(экономический факультет, отделение экономики)
2ж \7+и®—бж22ж \7+и®—бж22. Решите неравенство2. Решите неравенствоДокажите или опровергните следующее утверждение: периметр ромба с диагоналями 1 и 3 больше длины окружности радиуса 1.
2ж \7+и®—бж2
2ж \7+и®—бж2
2. Решите неравенство
2. Решите неравенство
[ у — ху — X = 11,
Решите систему уравнений )22 on
1 ху х у = OU.
Бригада рабочих выполняет задание за 42 дня. Если бы в бригаде было на 4 человека больше и каждый рабочий бригады работал бы на 1 час в день дольше, то это же задание было бы выполнено не более чем за 30 дней. При увеличении бригады еще на 6 человек и рабочего дня еще на 1 час все задание было бы закончено не ранее чем через 21 день. Определите наименьшую при данных условиях численность бригады, а также продолжительность рабочего дня.
Решите уравнение
log2 ^cos^ — ж^ • log2(cos2ж) + log2(sin5x + sinx) = 0.
Найдите все значения а, при которых неравенство
\/ж2 — бах + Юа2 + \/3 + бах — ж2 — 10а2
имеет единственное решение.
Равные кубы Л и В, имеющие общую вершину, расположены так, что ребро куба А лежит на диагонали куба В, а ребро куба В лежит на диагонали куба А. Найдите объем общей части этих кубов, если длина их ребер равна 1.
Вариант 14(факультет психологии)
Решите неравенство V^ +1 > ж — 2.
Решите неравенство ^ж+1(ж2 + 3ж — 10) > 2.
ж /-^\2ж-1
Решите уравнение 22 + ( 2/=
На катете АС прямоугольного треугольника АВС как на диаметре построена окружность. Она пересекает сторону АВ в точке Е. На стороне ВС взята точка С так, что отрезок АС пересекает окружность в точке В, причем отрезки ЕЕ и АС параллельны, ВС = 2GC и АС = 2 V3- Найдите СЕ.
Решите уравнение созбж — Зсо85ж + соз4ж — 4созж + 5 = 0.
Решите уравнение
|ж3 + 7ж2 - 11ж - 6| + |ж3 - 12ж2 - 5ж + 3| = 18ж2 - 2ж - 13.
Вариант 15(социологический факультет)
Решите уравнение \/Зж + 10 = ж + 2.
Решите неравенство
!°g 1 7жз+ж2+ж_14 (1061/4(-^2 + 5Ж - 6)) < 0.
Определите угол А треугольника между сторонами, равными 2 и 4, если медиана, выходящая из вершины А, равна V^.
Куплен товар двух сортов: первого на 1200 руб. и второго на 1500 руб. Товара второго сорта куплено на 10 кг больше, чем первого, а по цене (за 1 кг) на 20 руб. меньше. Сколько куплено товара первого сорта?
В шар радиуса R вписана четырехугольная пирамида с квадратным основанием. Одно из боковых ребер пирамиды перпендикулярно плоскости основания, а наибольшее боковое ребро образует с ней угол а. Найдите боковую поверхность пирамиды и вычислите ее значение при а = arcsin aJ^^ R = V17.
Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнениеп
(1 + а) ж2 + (1 — а) х + а + 3 = 0
имеет по крайней мере один корень, причем все корни являются целыми числами.
Вариант 16
^Институт стран Азии и Африки)
2® — 22-ж — 3
Решите неравенство ^— 0.
Решите уравнение 8т4ж + 2sin ^ cos ^ = 0.
Решите неравенство ж V^--^ ж2 — ж — 2 — V^-^ж.
Решите неравенство
11оёж+12 +log 2| log2 Щ + 4) + log$+121 < у.
В треугольнике АВС даны длины сторон АВ = 8, ВС = 6 и биссектриса BD = 6. Найдите длину медианы АЕ.
Решите систему уравнений
arccos 2д + arcsin Зж = ^,
<5тг2
arcsin 2у • arccos Зж = ——.
64
Для каждого решения (ж; у) определите, какое из чисел больше: 2у — Зх или ^2 — 0,5.
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых системах о о,
J ж2 -Vy2 - 6|ж| - 6|т/1 +17 < 0,
[ ж2 -Vy2 - 2у = а2 - 1
имеет хотя бы одно решение.
Вариант 17
(факультет государственного управления)
Из деревни в город вышел турист. Первую половину пути он шел пешком со скоростью 5 км/ч, а затем оставшуюся часть пути ехал на автобусе. Найдите среднюю скорость движения туриста на всем маршруте, если скорость автобуса равна 45 км/ч.
Решите уравнение 4Ж — 3 • 2ж+1/2 — 8 = 0.
Решите неравенство ——^3 — х.
9 — ж2 +
На окружности радиуса 5, описанной около правильного треугольника, взята точка D. Известно, что расстояние от точки D до одной из вершин треугольника равно 9. Найдите сумму расстояний от точки D до двух других вершин треугольника.
Одна труба наполняет бассейн на 2 часа, а другая — на 4 часа 30 минут дольше, чем наполняют этот бассейн обе трубы, открытые одновременно. За сколько часов может наполнить бассейн каждая труба в отдельности?
Найдите все значения а, при которых система уравнений
Г (3л/^+|у|-3)(И+3|у|-9) =0,
[ (х — а)2 + у2 = 25 имеет ровно три решения.
Пять пиратов делят 10 слитков золота. Процедура дележа устроена так: сначала старший пират предлагает дележ по своему выбору. Если больше половины пиратов его отвергает, второй по старшинству пират предлагает новый дележ добычи среди оставшихся четырех (старший пират никакого участия в дальнейшем дележе не принимает). Если новый дележ отвергается большинством голосов, то предлагавший его пират от дальнейшего участия в дележе устраняется, и процедура повторяется для трех пиратов. Как будут распределены слитки золота, если каждый пират из двух данных дележей предпочитает тот, в котором его доля больше?
Ответы^ решения^ указания
Вариант 1
2
2; -. Указание. Пусть t > 0 — первая дробь, a s > 0 — вто
3 111
рая. Тогда - =1, a s = kt. где к = 3 или к = -.
2- Ми^иЩ^+ос)2- Ми^иЩ^+ос)Указание. После замены а =Указание. После замены а =t 83
2- Ми^иЩ^+ос)
2- Ми^иЩ^+ос)
Указание. После замены а =
Указание. После замены а =
= у^, b = ^1 — 2ж неравенство примет вид а + b ^ \/а3 -\-Ь3. Равносильное ему неравенство ab(a-\-b) ^ 0 решается без труда.
15. Указание. Треугольники ADB и МСВ подобны, а
ВМ _ 5
"АВ ™ 3’
Г 9\/ 9\/9 19\
; 0 ) U ( 2; — ) U ( —;— ). Указание. Пусть t = Igx, f =
L 10’ /\ ’ 4/\4’ 8 /J6
= lg(a + l), g = lg(19 — 8a). Исходное уравнение приводится к виду t2-2ft + fg n,,
-— = 0 и имеет два различных корня ty и 12 тогда и только
№ о/ а\ /а iq\
тельны и различны, а условие хуХ2 ^ 0,01 равносильно тому, что (а + I)2 > 0,01.тельны и различны, а условие хуХ2 ^ 0,01 равносильно тому, что (а + I)2 > 0,01.тогда, когда /2 — fg > 0, fg / 0, т. е. при а G (—1; 0) U ^2; -j U ^-; — j. При этом корни исходного уравнения жх = Ю^1 и Ж2 = Ю^2 положи
тельны и различны, а условие хуХ2 ^ 0,01 равносильно тому, что (а + I)2 > 0,01.
тельны и различны, а условие хуХ2 ^ 0,01 равносильно тому, что (а + I)2 > 0,01.
32:5. Решение. Сечением сферы плоскостью грани ABS (рис. 65) является окружность, проходящая через точки К, L, Ку и Lx; отрезки KL и KyLy — равные хорды этой окружности, поэтому
вписанный в окружность четырехугольник KLKyLy является равнобочной трапецией. Из этого заключаем, что AL = = ALy и АК = АКу. Аналогично, CN = CNy, BL = ВМ и SLy = SMy. Из доказанных равенств следует, что СВ + + AS = АВ + С S. Наложим треугольник SB А на треугольник SBC так, чтобы отрезок SB остался общим, а луч В А наложился на луч ВС (сде
лать это позволяет равенство
углов SB А и SBC). Точку, в которую при наложении попадет точка А, обозначим через Ау. Равенство СВ + AyS = Ay В + CS
приведет к равенству CS = AyS -V САу в случае, если точка Ау попадет между точками С и В, или к равенству СS = AyS — С Ау в случае, если точка С попадет между Ау и В. Каждое из этих равенств противоречит неравенству треугольника, поэтому Ау совпадает с С. Следовательно, ВС = В A, SA = CS. Итак, треугольники АВС и AS С равнобедренные. Плоскость, проходящая через точки В и S и середину ребра АС, содержит два перпендикуляра к АС и поэтому перпендикулярна АС. Следовательно, SB ± АС.
Так как BL = ВМ, а треугольник АВС равнобедренный, то LM || АС. Аналогично, KN || /ОМ || LyMy || АС. Поскольку KyNy ± Ку К и KyNy || АС, то АС ± Ку К. Если бы отрезки Ку К и SB не были параллельны, то ребро АС, будучи перпендикуляром к каждому из них, оказалось бы перпендикулярно плоскости AS В и, следовательно, ребру АВ. Но это противоречило бы тому, что треугольник АВС равнобедренный. Поэтому КуК || SB. Отсюда и из равенства АК = АКу получаем, что треугольник SAB равнобедренный.
Следовательно, равнобедренным является и треугольник SCB. Тогда КгК || LiL || SB || МгМ || МТУ.
Поэтому точки К, Ki, N и Ni, L, Li, М и Mi образуют два прямоугольника — КKiNiN и LLiMiM. Отсюда LiL = MiМ = 2К1К, и из подобия треугольников AKiK и ALiL получаем AL = 2АК, или АК = KL. Аналогично, условие 2KN = SLiMi приводит к равенству LB = 2KL. Итак, АК : KL : LB = 1 : 1 : 2.
Отношение площади трапеции KLMN к площади треугольника АВС равно 5 : 16 (треугольники LBM и KBN подобны с коэффи- 25
циентом -, поэтому площадь трапеции KLMN составляет - площади треугольника KBN, а треугольники KBN и АВС подобны с коэффи- 3
циентом - и их площади относятся как 9 : 16). Длина перпендикуляра, опущенного из точки Mi на плоскость АВС, относится к высоте SH пирамиды SABC, как 1 : 2 (это следует из того, что С Mi : CS = = AL : АВ). Поэтому отношение объемов пирамид SABC и MiKLMN
равно 32:5.
1; — -; —— -. Указание. Пусть -у = , тогда вторая
2 .1
V + V “ 1/ 1
дробь % = —^— , и остается выяснить, при каких целых у ф 1
2Т/-6Т/-1
будет целым число %. Заведомо не годятся значения у, при которых I А- у — 1 I
О <— < 1. Остальные целые значения у следует просто
^-e^-il
перебрать.
Вариант 2
№2].
агссо8л/|. Решение. Вторая и третья сферы касаются друг друга внешним образом, поэтому АВ = 2. Обе сферы могут касаться первой сферы как внешним, так и внутренним образом. Невозможен случай, когда одно из этих касаний внешнее, а другое — внутреннее (тогда центры их лежали бы на одной прямой, из чего следовало бы, что точка О лежит в плоскости 7, а это противоречит условию задачи). Значит, возможны два случая: первая сфера либо касается каждой из двух других внешним образом, либо касается каждой из них внутренним образом.
В первом случае О А = О В = V6 + 1, а проекции О' А и О' В этих отрезков на плоскость 7 равны (из теоремы Пифагора) V6 + 2 V6. Из теоремы косинусов для треугольника АО*В имеем
cos ЛАО'В =cos ЛАО'В =
cos ЛАО'В =
cos ЛАО'В =
Во втором случае О А = О В = V6 — 1. Аналогично получаем
cos ЛАО'Вcos ЛАО'В
cos ЛАО'В
cos ЛАО'В
В первом случае угол АО'В острый, а во втором — тупой, при этом угол между прямыми О'А и О'В в обоих случаях равен arccos J -. Так
р4R 4 N
как а - = а — > а — = - получаем arccos 4 - < arccos -.
у О у Z4 у Zu иу ии
О 300о
км. Указание. Пусть А В = ж, a жх и Ж2 — скорости велосипедиста в начале и в конце пути от А до С. Участок АВ велосипедист прошел за время —, ВС — за время -. Поскольку vi < ^2, а
0102
ж/ жх\2 .751 о
по условию —= — < 1, то ж < —, т. е. последние 18 км велоси- 75—ж\О2/2
педист ехал со скоростью Ж2- Кроме того, ж ^ 2. Если ж ^ 18, получаем ж /2\2жж2
уравнение —= (3) ’ а ПРИ 2 С ж С18 уравнение —= —р.
3. Решение. Из параллельности отрезков ВХ и СD получаем равенства ADCX = АВХС и ACDX = АВХА, а из параллельности отрезков СХ и В А — равенства АВХС = АХВА и АВ АХ = = ACXD. Из того, что четырехугольник ABCD вписан в окружность, следует, что
ABAX^ADCX^ABCX =
= ABAX^ADCB = 180° = АВ АХ + ААВХ + ААХВ, откуда (пользуясь равенством ААВХ = ADCX) заключаем, что АВСХ = ААХВ. Полученные равенства показывают, что треугольники АВХ, ВХС и XCD попарно подобны друг другу. Тогда АХ : ВС = ВХ : ХС и ВС : DX = ВХ : ХС, откуда АХ : ВС = = ВС : DX, или ВС2 = АХ • DX = 9, и ВС = 3.
(2;+оо). Указание. Данное уравнение при любом а имеет 2 корня жх и Ж2- Пусть а = arctgжx, (3 = arctgЖ2. По условию задачи должно выполняться неравенство а + р > —, что равносильно системе
а + /3>0,pi+^2>0,
, /\1 ИЛИ 1-Ж1Ж2 . .
ctg(a + ^)<l< 1.
Ж1+ж2
Осталось заметить, что жх + Ж2 = 2а — 1, а жхЖ2 = а — 4, и решить полученную систему относительно а.
+ V8-VH)2. ре ш е н и е. Нахождение минимального зна
чения выражения (ж + ?/— А)2 сводится к нахождению минимального значения выражения
|2(ж + у-^)| = |3(ж + у) — (у+ ^) — (^ + ж)|,
которое совпадает с одним из чисел | ± а ± b ± с|, где а = |3(ж + ?/)|, b = | у + z | и с = | z + ж |. Из условия задачи получаем
' 3 < а < У12,
< V8<b<3,
< VT6 < с < Vn.
Так как каждое из чисел а, b и с больше 2, но меньше 4, справедливы неравенства а + b — с > О, b + с — а > 0 и с + а — b > 0. Поэтому числа | ± а ± b ± с| совпадают с одним из чисел а + b — с, b + с — а, с + а — b и а + 6 + с. Следовательно, число | ± а ± 6 ± с| не меньше меньшего из минимальных значений выражений а + b — с, b + с — а, с + а — b при условиях (*).
темытемыПри выполнении условий (*) минимальное значение выражения а + b — с равно 3 + V8 — V1T, минимальное значение выражения b + + с — а равно V8 + VT6 — V12, минимальное значение выражения с + + а — b равно V^O + 3 — 3 = VT6. Заметив, что З + Vs-Vn< V8+V10- — V12, 3 + V8 — VTT < VT6, получаем, что число вида | ± а ± b ± с| не меньше чем 3 +VS — VTT. Это значение достигается для решения сис
темы
темы
'Зх^Зу = 3,< y + z = -Vs,< 2 + ж = VTT.
Вариант 3 7
-. Указание. Исходная система определяет прямоугольную трапецию с основаниями 5 и 2 и высотой 1.
8. Указание. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, найдите отношение радиусов данных окружностей, а затем и сами радиусы, после чего найдите АВ и примените теорему синусов для отыскания радиуса описанной окружности.
7
1; — —. Указание. Уравнение равносильно системе
Г sin |ж| > 0;
1 5 sin ж + 3со8ж + V2 = 0.
Кроме того, tg |ж| = Sm Ж . Поэтому tg VI имеет тот же знак, что и со8ж. Возможные значения tg ж найдите из уравнения 23tg2ж + + 30tgж + 7 = 0, полученное возведением в квадрат уравнения 5sinж + 3cosж = — V2 и делением на cos2ж (cosж V 0). После этого найдите и возможные значения tg |ж|•
[—V2; —1) U (1; V2]. Указание. Пусть t = З'аж1. Из неравенст
ва системы следует, что |аж| 2, а из уравнения — что \/ а1 — х1 =
—, n Е Z, п ^ 0. Произведя замену у = ж2, b = а2 ^ 0, получим
систему
Рис. 66Рис. 66!Ьу С 4, ’2
Рис. 66
Рис. 66
кп
у 2
Решения на плоскости ОуЬ (рис. 66) представляет семейство отрезков прямых
2
Ь = у + ^, п = 0,1,2,..., находящихся в заштрихованной области между осью ОЬ и 4 ветвью гиперболы b = -. Максимальное количество положительных решений у соответствует значениям b из промежутка (1; 2].
1. Указание. Две противоположные грани параллелепипеда — ромбы (рис. 67). Пусть г — радиус вписанного шара, h = 2г —
его высота. Запишем объ-
Рис. 67Рис. 67ем параллелепипеда тремя способами:
Рис. 67
Рис. 67
V = a2h since = abhsinP = = a6/zsin7, откуда
• q • а .
sin р = sin 7 = - sin a.
Для высоты h = АуН параллелепипеда получим по теореме Пифагора h = = V^4i^42 — АН2. Чтобы вычислить АН, применим тео
рему синусов к треугольнику
КАМ*. АН = ——. Отрезок КМ найдите по теореме косинусов из тре- since
угольника КАМ*. КМ = 6 \/2|cos^| V1 — cos се. Окончательно, после
упрощений получим
h = b\ 1-h = b\ 1-2 cos2 /3(1 — cos се)
h = b\ 1-
h = b\ 1-
sin се
К видуК виду„_,.2 cos2/3(1 — cos се)
К виду
К виду
Преобразуем функцию j =~
sin2 се
11cos —2cos —22g,се—— cos — b22g,се—— cos — b2224аУ4аУ4а262 "4а262 "
1
1
cos —2
cos —2
2g,се
—— cos — b2
2g,се
—— cos — b2
2
2
4а
У
4а
У
4а2
62 "
4а2
62 "
. 4а Ло а
Ясно, что j ^ — 11 — —), причем равенство достигается лишь при cos — = bh
= —. При а = 3 и b = 4 это возможно. Осталось вычислить г = —.
1.1.-V2.-V2.2.2.Вариант 4Вариант 4неравенствонеравенствок видук виду
1.
1.
-V2.
-V2.
2.
2.
Вариант 4
Вариант 4
неравенство
неравенство
к виду
к виду
arccos ^^_. Указание. Введите в пространстве прямоугольную систему координат, направив оси Ож, Ор и Oz по ребрам AD,AB, A Ai, запишите координаты векторов АСу и KL, где К и L — соответственно середины ребер AAi и ВуСу, после чего воспользуйтесь формулой для скалярного произведения a-b = |а||6| cos (а Ь).
10 ч 40 мин того же дня.
/14\
^iarccos - + 2тг&; (— l)narcsin - + 7rnJ, к,п G Z. Указание. После замены а = V^cos ж + 98 sin ?/, b = Videos ж + 28sin p система приобретает вид
( a-b = 4,
126 - Va^^+S = 2
и легко решается: а = 9, b = 5, после чего без труда находятся cos ж
Рис. 68Рис. 68и sin?/.
Рис. 68
Рис. 68
7д/3. Решение. Обозначим стороны треугольника, лежащие против вершин А, В и С, через а, b и с соответственно (рис. 68). Из условия задачи следует с > Ь. Пусть ABAD = = ACAD = a, AADC = р. Тогда АВ = р — а. Так как с > Ь, то Р < —. Пусть окружность
радиуса г, центр О которой
лежит на прямой ВС, проходит через точки A, D. Точка О лежит
на серединном перпендикуляре к отрезку АВ. Поскольку треугольник OAD — равнобедренный, то ADAO = р. Из вышесказанного следует Р > а, поэтому точка С лежит на прямой ВС между точками D и О. Тогда АС АО = Р — а. Следовательно, треугольник АВ О подобен треугольнику С АО. Значит,
т + BD _ т
г г—CD'
Далее, по свойству биссектрисы треугольника АВС имеем
34 В. А. Бачурин
BD = J^ CD = -^.6+с6+с
Подставляя эти выражения для BD и CD в (*), получаем
abab*2 — b2) = abc.*2 — b2) = abc.
ab
ab
*2 — b2) = abc.
*2 — b2) = abc.
Применяя формулу R = где S — площадь треугольника АВС, 45Нс2-ЬЛ
a R — радиус описанной окружности, находим R =^—-. Теперь,
используя данные из условий задачи, получаем ответ*. R = 7д/3.
Вариант 5
1. 3
5. (
2. ^(4n±l), n^Z. 3. -9; -1 + ^. 4. 1;27). 6. 4:9.
f (а + 1; 0) U (—а — 3; Too) при а — 3, (а +1; 0) U (0; +оо)при - 3 < а < -2,
7. <
(0; +оо)при а = —2,
(—а — 3; а + 1) U (0; +оо) при — 2<а<— 1, (—а — 3; 0) U (а + 1;+оо) при а ^ — 1.
Указание. Поскольку знак выражения зтж + 2ж совпадает со знаком х, неравенство равносильно такому: х^х — а — 1)(ж + а + 3) > 0. Осталось рассмотреть все возможные случаи расположения точек 0, а +1 и — а — 3 на числовой оси и применить в каждом из случаев метод интервалов.
„ 2, 4V15
' 3’ 15
Вариант 6
1. ^(2тг + 1); (-1)^ + ^, neZ. 2. (-00; 1) U (|; 2].
(0;log3/4Q)). 4. |. 5. 4,8,16; 16,8,4. 6. ^.
' (—оо; Too) при — 3 < а < —2;
7. 1) <7. 1) <(-оо; 3-Vtt2 + 5a + 6) U (ЗтУ^Тба^Гб; Too)(-оо; 3-Vtt2 + 5a + 6) U (ЗтУ^Тба^Гб; Too)при а ^ — 3 и а > —2.при а ^ — 3 и а > —2.2)2)
7. 1) <
7. 1) <
(-оо; 3-Vtt2 + 5a + 6) U (ЗтУ^Тба^Гб; Too)
(-оо; 3-Vtt2 + 5a + 6) U (ЗтУ^Тба^Гб; Too)
при а ^ — 3 и а > —2.
при а ^ — 3 и а > —2.
2)
2)
8. 6:1.
Вариант 7
1. Ь|. 2. (1;1). 3. (-4;-3,9] U (4; V17).
—^—; —^—, п ^71, т ^91, п,т,1 £ Z. Указание. Уравнение преобразуется к виду
64•cos —•cos ж•cos 2ж = 1.
Il• 2 Ж /•2 Ж / /Л 1
После умножения левой и правой частей на sin — I при sin —^01 это уравнение приводится к виду
sin24x = sin2 илиcos8x = cos ж.5. 8. Указание. Точка М лежит на меньшей из дуг АВ, так как все перпендикуляры опущены на стороны треугольника, а не на их продолжения (рис. 69). Из подобия прямоугольных треугольников AMD и BNM (аА=-АМ = Ав\ а\2/’sin24x = sin2 илиcos8x = cos ж.5. 8. Указание. Точка М лежит на меньшей из дуг АВ, так как все перпендикуляры опущены на стороны треугольника, а не на их продолжения (рис. 69). Из подобия прямоугольных треугольников AMD и BNM (аА=-АМ = Ав\ а\2/’ССРис. 69Рис. 69также AN М и ВЕМMN^ откуда МЕ =JMDка MNE:также AN М и ВЕМMN^ откуда МЕ =JMDка MNE:ЛА = - ВМ = АВ имеем =о 2/MN42— = 8. Далее находим угол МЛА = - ВМ = АВ имеем =о 2/MN42— = 8. Далее находим угол МАМ _ МУ "ВМ МУ’ треугольни-АМ _ МУ "ВМ МУ’ треугольни-АМ = 180° - ААВС = 180° - | (180° - ZC) = 150°АМ = 180° - ААВС = 180° - | (180° - ZC) = 150°
sin24x = sin2 или
cos8x = cos ж.
5. 8. Указание. Точка М лежит на меньшей из дуг АВ, так как все перпендикуляры опущены на стороны треугольника, а не на их продолжения (рис. 69). Из подобия прямоугольных треугольников AMD и BNM (аА=-АМ = Ав\ а
\2/’
sin24x = sin2 или
cos8x = cos ж.
5. 8. Указание. Точка М лежит на меньшей из дуг АВ, так как все перпендикуляры опущены на стороны треугольника, а не на их продолжения (рис. 69). Из подобия прямоугольных треугольников AMD и BNM (аА=-АМ = Ав\ а
\2/’
С
С
Рис. 69
Рис. 69
также AN М и ВЕМ
MN^ откуда МЕ =
JMD
ка MNE:
также AN М и ВЕМ
MN^ откуда МЕ =
JMD
ка MNE:
ЛА = - ВМ = АВ имеем =
о 2/MN
42
— = 8. Далее находим угол М
ЛА = - ВМ = АВ имеем =
о 2/MN
42
— = 8. Далее находим угол М
АМ _ МУ "ВМ МУ’ треугольни-
АМ _ МУ "ВМ МУ’ треугольни-
АМ = 180° - ААВС = 180° - | (180° - ZC) = 150°
АМ = 180° - ААВС = 180° - | (180° - ZC) = 150°
и искомую площадь.
^0;|(3±д/б)У Указание. Положим t = х — 1, b = а3 — За2 + а и приведем уравнение к виду /(t) = b. Функция / четная, поэтому если уравнение имеет единственный корень to, то to = 0. Отсюда b = /(0) = 0. Если t / 0, то f(t) < /(0), так что при b = 0 уравнение действительно имеет ровно один корень.
Вариант 8
!•"^о • 2- ^(271 + 1), п е Z. 3. ——.
(—оо; — 2] U [—1;0) U (0; 1] U [2;+оо). Указание. Положив t = 2|ж|, у = 2log2 ^, разложите левую часть на множители: (у — 2) х х (y4-t — 3) ^ 0. Далее воспользуйтесь тем, что полученное неравенство равносильно неравенству (t — 4)(t — 2) ^ 0 (докажите это!).
a) 2 + V2; б) (-оо; 2 - V2) U {1} U (2 + V2;+оо). Указание. Пусть
у = /(ж) = ж2 + 2(а — 2) ж + а2 — 4а = (ж + а) (ж + а — 4),
9(у) = У2 + (« + 5) У - а2 + 8а + 2.
Функция у = /(ж) принимает в точке ж^> = 2 — а минимальное значение /(2 — а) = —4, а остальные свои значения (большие, чем —4) — по 2 раза. Поэтому исходное уравнение имеет единственный корень
34*
тогда и только тогда, когда ^(—4) = О, а уь = — —^ ^ —4. Два корня исходное уравнение может иметь лишь в двух случаях: если оба корня yi и у2 уравнения д(у) = 0 удовлетворяют условию у± < — 4 < у2, т. е. при ^(—4) = 0; если уг = у2 > —4.
Вариант 9
1. ^; 1^. 2. -1V2-V2.
70. Указание. Воспользуйтесь формулой (и + и)3 = и3 +
+ 3uv(и + v) + -г3 при и = д/20, у = л/50.
4.4.(1;64]. 5.(1;64]. 5.Птг 7тгЧТ’ ” 12Птг 7тгЧТ’ ” 126.6.сс2 + ctg^+ctg2 + ctg^+ctg
4.
4.
(1;64]. 5.
(1;64]. 5.
Птг 7тг
ЧТ’ ” 12
Птг 7тг
ЧТ’ ” 12
6.
6.
с
с
2 + ctg^+ctg
2 + ctg^+ctg
7.
Вариант 10
1. (-ос; |] U (2; +оо).1. (-ос; |] U (2; +оо).3. (-ос; -2] U (2; +ос).3. (-ос; -2] U (2; +ос).
1. (-ос; |] U (2; +оо).
1. (-ос; |] U (2; +оо).
3. (-ос; -2] U (2; +ос).
3. (-ос; -2] U (2; +ос).
2:1. 5. -Ь Ь 6. |V15.
(—оо;1). Указание. Первое из неравенств системы задает часть полосы — 1 ^ х ^ 1, ограниченную сверху полуокружностью у = V1 — ж2. Если а ^ 0, то второму неравенству данной системы удовлетворяют координаты любой точки плоскости. Следовательно, искомая плоская фигура — выделенное множество на рис. 70. Эта
фигура является неограниченной, ее периметр бесконечен; значит, любое а ^ 0 является решением задачи. Пусть а > 0. Заметим, что множество точек координатной плоскости, определяемое неравенством \у\ — |ж|, симметрично относительно обеих координатных осей. Таким образом, искомая фигура — выделенное множество на рис. 71. Вычисляя периметр этой фигуры, получим
F(a) = 2+ —+2 аF(a) = 2+ —+2 а1 + Дт + 2arctg -. а2а1 + Дт + 2arctg -. а2аОстается решить неравенство Р(а) > функция Р(а) при а > 0 убывающая, т. е. решения неравенства образуют интервал 0 < а < 1.
F(a) = 2+ —+2 а
F(a) = 2+ —+2 а
1 + Дт + 2arctg -. а2а
1 + Дт + 2arctg -. а2а
31
—— уПЗ. Указание. Сече- 288
нием является пятиугольник, показанный на рис. 72. В этом пятиугольнике NP || MQ || АС, СН = МА = ^, МК || QP, MN || KQ. Площадь пятиугольника равна сумме площадей равнобедренного треугольника MKQ и трапеции MNPQ.
Вариант 11
Р(1). Для этого заметим, чтоDiСгР(1). Для этого заметим, чтоDiСг3. 2. (-1)и+1|+ 7ГП, n € Z. Рис. 72
Р(1). Для этого заметим, что
DiСг
Р(1). Для этого заметим, что
DiСг
(—3;9); (2; 4). Указание. Из условия задачи следует, что корни Ж1 и ж2 данного уравнения удовлетворяют системе ж2 = рх^, х2 = qxi, жх + ж2 = 6р. ЖхЖ2 = q.
а) Ютг; б) 160. Указание. На числовой оси АВ с началом в точке А окрашенные точки образуют две серии — это точки вида х = ЗОтгп и х = 40тг&, n,k Е N. Подсчитайте количество точек первой и второй серий, принадлежащих АВ, и вычтите из суммы этих коли
честв число точек, принадлежащих пересечению упомянутых серий.
5. а) 3; б) ^±arccos|5. а) 3; б) ^±arccos|Указание. Из подобия треугольниУказание. Из подобия треугольников PQR и QT R следует, что QR = VPR • ТR и что описанная
5. а) 3; б) ^±arccos|
5. а) 3; б) ^±arccos|
Указание. Из подобия треугольни
Указание. Из подобия треугольни
около треугольника PQT окружность касается в точке Q прямой RQ. При вычислении угла QRP учтите, что RQ и RP могут находиться как по одну сторону от прямой OR, так и по разные стороны от нее (О — центр окружности).
(0; 0); (±2; Т2); (±V6; ±V6); ^(±^2+^7). (±V3)-(±V7)} _ всего 9 решений. Указание. Сложив и вычтя уравнения системы,
получим систему
J (ж + у)(ж2 — ху + у2 — 6) = 0,
1 (ж — у^х2 + ху + у2 — 4) = 0
равносильную совокупности из четырех систем:
ж — у = 0, (x + y = 0,fx2 — xy + y2 = 6,
ж2 — ху + у2 = 6, ж2 + ху + у2 = 4.ж2 — ху + у2 = 6, ж2 + ху + у2 = 4.х + у = 0; \х2+ху + у2 = 4; [х-у = 0;
ж2 — ху + у2 = 6, ж2 + ху + у2 = 4.
ж2 — ху + у2 = 6, ж2 + ху + у2 = 4.
Последняя из четырех равносильна системе
ж2 + У2 = 2ху = — 2.
Вариант 12
(0;1)и^;2]. 2. 9(3 + Уз).
^ + 7гп, — ^ + 2тг&, n^kEZ. 4. (—1;0).
а) 232 + 288 д/2; б) ^^^^-^^-. Указание. Докажите, что радиусы шаров образуют геометрическую прогрессию со знаме-
V2-1 нателем а = —.
V2 + 1
2. Указание. Словарный запас людоеда составит через полгода 30б(1 + :^дУ а через год 300 (1 + т^) слов. Месячный прирост словарного запаса Эллочки 150 (1 + ^д) слов. Из того что все эти числа должны быть целыми, следует, что р = 10&, где к — натуральное число. Мы должны найти такое п, при котором неравенство
;МЮ(1 + Т5о)2 > 30 + 150"(1 + Т^)
выполняется для всех р = 10&, к Е N. После преобразования получим
fc2 + 20fc + 90 _ А:2< о 1
5^ 4- 50“ 5 + /г + 10 ^55
(функция, стоящая справа, — возрастающая). Итак, п ^ 2.
Вариант 13
Утверждение справедливо. 2.
(—2;3); (—3;2); (—1;5); (—5; 1). Указание. Выполните замену и = х — у, V = ху.
20 рабочих, 6 часов.
+ 2тг&;+ 2тг/;+ 2тгт; + 2тгп, к, /, m, n Е Z.
661818
Указание. Приведите уравнение к виду
(log2 sin Зж +1) (log2 cos 2ж +1) = 0.
/з"
(1)(1)J -. Решение. Пусть /(ж) и у(у) — соответственно левая и правая части данного неравенства. Перепишем его в краткой форме:
(1)
(1)
/(®) ^ g^yY
видвидПусть и = ж2 — бах + 10а2, тогда левая часть неравенства принимает
вид
вид
ср (и) = д/й + д/З — а.
Так как при и Е [0; 3] справедливо равенство ^(и) = ^(3 — и), то наряду с решением (а; р) неравенство
vW ^ д(у)
имеет решение (3 — и^р). Поэтому необходимым условием единственности решения (2) является требование и = 3 — и, или и = -.
В свою очередь, уравнение
и = | О ж2 — баж + 10а2 — | = 0,
определяющее зависимость ж от данного а, имеет единственное решение при условии, что дискриминант квадратного трехчлена D = = —4а2 + 6 = 0, т. е. а = ±у/|. Таким образом, получены необходимые условия единственности решения неравенства (1).
Для исследования достаточности покажем сначала, что
(3)(3)cp(tt) ^ ср (|) = ^24 для и Е [0; 3].
(3)
(3)
Обозначим р = ^а ^ 0, q = ^3 — а ^ 0. При этом р4 + q4 = 3. Требуется найти максимальное значение суммы p-Eq.
С помощью неравенств 2p2g2 ^p4-Vq41 ^pq ^p2 + q2 оценим
(p + q)4 = р4 + q4 + 6р2q2 + 4pq(p2 + q2) <
< 4(p4 + q4) + 2(p2 + q2) < 6(p4 + q4) + 4p2q2 < 8(p4 + Q4) = 24.
Тогда р + q ^ ^24, причем равенство достигается при р = q = у -. Отсюда следует искомое неравенство (3). Рассмотрим теперь каждое из найденных значений а.
правая часть исходного неравенства принимает вид
д(у) =д(у) =поскольку, как нетрудно убедиться,поскольку, как нетрудно убедиться,причемпричем
д(у) =
д(у) =
поскольку, как нетрудно убедиться,
поскольку, как нетрудно убедиться,
причем
причем
Так как для всех у G ^——^: ——j правая часть (2) принимает значение д^ = ^24, то неравенство ^(п) ^ д(у) (а с ним и неравенство (1))Так как для всех у G ^——^: ——j правая часть (2) принимает значение д^ = ^24, то неравенство ^(п) ^ д(у) (а с ним и неравенство (1))имеет более одного решения.имеет более одного решения.выражение д(у) записывается в видевыражение д(у) записывается в виде#(у) =#(у) =^24 + 2^24 + 2причем д(у) = \/24 только для у = —. В этом случае неравенство (2) имеет единственное решение. В силу однозначности выражения ж через и при указанном значении параметра а у неравенства (1) решение также единственно.причем д(у) = \/24 только для у = —. В этом случае неравенство (2) имеет единственное решение. В силу однозначности выражения ж через и при указанном значении параметра а у неравенства (1) решение также единственно.7. |(2 —д/З). Решение.7. |(2 —д/З). Решение.Для того чтобы понять, объем какогоДля того чтобы понять, объем какоготела требуется вычислить в задаче, сначала представим себе фигуру,тела требуется вычислить в задаче, сначала представим себе фигуру,которая получается при пересечении двух одинаковых призматических поверхностей (перпендикулярные сечения которых суть квадраты со стороной 1), положенных на плоскость П в виде косого креста — так, как показано на рис. 73. Эта фигура образована двумя равными четырехугольными пирамидами с общим основанием ABCD^ все боковые грани которых наклонены к нему под углом 45°, отрезок NS перпендикулярен плоскости П, а четырехугольник ABCD — ромб, лежащий в плоскости, параллельной плоскости П (рис. 74). Острый угол этого ромба равен углу между ребром куба и его диагональю:которая получается при пересечении двух одинаковых призматических поверхностей (перпендикулярные сечения которых суть квадраты со стороной 1), положенных на плоскость П в виде косого креста — так, как показано на рис. 73. Эта фигура образована двумя равными четырехугольными пирамидами с общим основанием ABCD^ все боковые грани которых наклонены к нему под углом 45°, отрезок NS перпендикулярен плоскости П, а четырехугольник ABCD — ромб, лежащий в плоскости, параллельной плоскости П (рис. 74). Острый угол этого ромба равен углу между ребром куба и его диагональю:А АВС = 2а = arccos . д/ЗСтороны ромба равны длине этой диагонали: д/З.А АВС = 2а = arccos . д/ЗСтороны ромба равны длине этой диагонали: д/З.Рис. 74Рис. 74
Так как для всех у G ^——^: ——j правая часть (2) принимает значение д^ = ^24, то неравенство ^(п) ^ д(у) (а с ним и неравенство (1))
Так как для всех у G ^——^: ——j правая часть (2) принимает значение д^ = ^24, то неравенство ^(п) ^ д(у) (а с ним и неравенство (1))
имеет более одного решения.
имеет более одного решения.
выражение д(у) записывается в виде
выражение д(у) записывается в виде
#(у) =
#(у) =
^24 + 2
^24 + 2
причем д(у) = \/24 только для у = —. В этом случае неравенство (2) имеет единственное решение. В силу однозначности выражения ж через и при указанном значении параметра а у неравенства (1) решение также единственно.
причем д(у) = \/24 только для у = —. В этом случае неравенство (2) имеет единственное решение. В силу однозначности выражения ж через и при указанном значении параметра а у неравенства (1) решение также единственно.
7. |(2 —д/З). Решение.
7. |(2 —д/З). Решение.
Для того чтобы понять, объем какого
Для того чтобы понять, объем какого
тела требуется вычислить в задаче, сначала представим себе фигуру,
тела требуется вычислить в задаче, сначала представим себе фигуру,
которая получается при пересечении двух одинаковых призматических поверхностей (перпендикулярные сечения которых суть квадраты со стороной 1), положенных на плоскость П в виде косого креста — так, как показано на рис. 73. Эта фигура образована двумя равными четырехугольными пирамидами с общим основанием ABCD^ все боковые грани которых наклонены к нему под углом 45°, отрезок NS перпендикулярен плоскости П, а четырехугольник ABCD — ромб, лежащий в плоскости, параллельной плоскости П (рис. 74). Острый угол этого ромба равен углу между ребром куба и его диагональю:
которая получается при пересечении двух одинаковых призматических поверхностей (перпендикулярные сечения которых суть квадраты со стороной 1), положенных на плоскость П в виде косого креста — так, как показано на рис. 73. Эта фигура образована двумя равными четырехугольными пирамидами с общим основанием ABCD^ все боковые грани которых наклонены к нему под углом 45°, отрезок NS перпендикулярен плоскости П, а четырехугольник ABCD — ромб, лежащий в плоскости, параллельной плоскости П (рис. 74). Острый угол этого ромба равен углу между ребром куба и его диагональю:
А АВС = 2а = arccos . д/З
Стороны ромба равны длине этой диагонали: д/З.
А АВС = 2а = arccos . д/З
Стороны ромба равны длине этой диагонали: д/З.
Рис. 74
Рис. 74
Общей частью двух кубов является лишь часть тела, которое составлено из двух равных четырехугольных пирамид с общим основанием BEFG (рис. 75, где изображено сечение общей конструкции
Рис. 76
плоскостью, параллельной плоскости П, и рис. 76, где изображено искомое тело). Это следует из того, что длина отрезка BF меньше длины отрезка ВО:
BF = -2— < ВО = V3cosa,
COSO
так как
cos2 а =
Уз + 1
2д/3
Поскольку катеты прямоугольного треугольника BEF равны BE = 1 л/з — 1
и Е F = 1 • tg а =, а высота интересующей нас пирамиды рав
на ЕЕ, то искомый объем равен
v = 2 • - • 2LA. 1. xLJ — — f2 — д/з) •
1.
-1;
Вариант 14
2. (11; +оо). 3. 0. 4. 1.
2тгп, n Е Z. Указание. Уравнение приводится к виду (cos 5ж — 2) (2 cos ж — 3) = 1, откуда 2 — cos 5ж = 1, 3 — 2 cos ж = 1.
2. Указание. Пусть а и b — выражения, стоящие под знаком модуля. Уравнение переписывается так: |а| + | —Ь\ — а — Ь + с2 = 0, где с = ж — 2, или (|а| — а) + (\Ь\ — Ь) + с2 = 0, откуда |а| = а, \Ь\ = Ь, с = 0.
Вариант 15
2;- U -;3 . 3. 60°. 4. 15 кг. ’2/\2 /
5. 2Я2 cos а (д/2 sin а + а/1 + sin2 а); 54.
а = — 1а = — 1условие выполнено.условие выполнено.х2х2 =х2х2 =а + 3 । ।2а + 1 а + 1а + 3 । ।2а + 1 а + 1
а = — 1
а = — 1
условие выполнено.
условие выполнено.
х2х2 =
х2х2 =
а + 3 । ।2
а + 1 а + 1
а + 3 । ।2
а + 1 а + 1
5
— 1; — -; —3. Указание. При 7
При а ф — 1 произведение корней, т. е.
должно быть целым. Должно быть целым также число
Ж1 + Ж2 = —V = 1-т,
а + 1 а + 1
откуда жх + х2 + Ж1Ж2 = 2, или (жх + 1)(ж2 +1) = 3.
Вариант 16
1. (-oo;l)U[2;+oo). 2. n^Z. 3. (-ос; -1] U {2}.
^—^;— 1^ U (^2 — 1; 15). Указание. Выполните замену t = log2(x + l), а затем решите полученное неравенство относительно \t\.
У190
I; I; первое число больше. Указание. Вы-
\64/
полните замену переменной и = arcsin2?/, и = агссозЗж, воспользуйтесь •.7Г
равенством arcsin а + arccos а = —.
[—6; 1 — л/13] U [V13 — 1; б]. Решение. Если (ж, у) — реше
Рис. 77Рис. 77ние неравенства данной системы, то (ж, —yV (—ж, у), (—х, —у) также его решения. Таким образом, множество М точек плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют неравенству, симметрично относительно осей Ох и Оу. Пусть ж ^ О, у ^ 0. Тогда исходное неравенство превращается в неравенство
Рис. 77
Рис. 77
ж2 + у2 — 6ж — бу +17 0 О
^-з^ + ^.з^^
которое задает круг единичного радиуса с центром в точке (3; 3). Все множество М, состоящее из четырех кругов, изображено на рис. 77.
Равенство системы, которое можно переписать в виде
ж2 + {у - I)2 = а2,
является уравнением окружности с центром в точке А = (0; 1) и радиусом, равным |а|. Расстояние гх от точки А до точек ближнего к ней круга (например, находящегося в первой четверти), принимает значения
V32 + 22-l = V13-1 ^П \/з-|-22 + 1 = V13 + 1
а расстояние Г2 от точки А до точек дальнего круга (например, с центром в (3; — 3)) изменяется в пределах
\/32+ 42 — 1 = 4 Г2 \/32+42 + 1 =6.
У системы решения существуют тогда и только тогда, когда окружность имеет непустое пересечение с множеством М. Таким образом, поскольку /ГЗ - 1 < 4 < V13 + 1 <6, то необходимым и достаточным условием разрешимости системы является требование V13 — 1 ^ |а| ^ 6.
Вариант 17
9 км/ч. 2. |.
(-ос; - V17) U [-4; -3) U (-3; 3) U (V17; 5]. 4. 9.
5 ч и 7 ч 30 мин.
(Зж-3)(ж-9) = 0,(Зж-3)(ж-9) = 0,—4; 4; 6. Указание. Если (жо; т/о) ~ решение системы, то (жо; — уо) — тоже решение. Необходимым условием для нечетности числа решений является существование решения, для которого уо = = —уо^ т. е. уо = 0. Осталось подставить у = 0 в систему и выяснить, при каких а количество решений равно трем. Возможные значения а находим из системы
(Зж-3)(ж-9) = 0,
(Зж-3)(ж-9) = 0,
рис. 78. Второе уравнение — окружности с центром в точках (а, 0) и радиусом 5.
(8,0, 1,0, 1). Решение. Описание процедуры дележа начнем со случая, когда число участвующих в нем равно двум. В этом случае старший пират забирает все золото: половина (он сам) поддерживает его предложение. Таким образом, итог дележа (10,0).
В случае, когда число пиратов равно трем, старший пират предлагает дележ, дающий 9 слитков ему и 1 слиток младшему (младший, понимая, что если он поддержит среднего пирата, то в итоге не получит ничего, вынужден с этим предложением согласиться). Тем самым, итог дележа (9, 0, 1).
В случае, когда число пиратов равно четырем, старший пират рассуждает так: «Если мое предложение будет отвергнуто, то три оставшихся пирата разделят слитки по Правилу (9, 0, 1); следовательно, я должен предложить такой дележ, который был бы выгоднее хотя бы одному из них, а мне давал бы наибольшую возможную долю». Единственное решение этой задачи — дележ (9, 0, 1, 0), в котором старший пират жертвует лишь одним слитком (в пользу пирата, третьего по старшинству).
Рассуждая подобным образом в случае пяти пиратов, в итоге получаем ответ*. (8, 0, 1, 0, 1).
Московский государственный институтэлектронной техники (технический университет)
Вариант 1
Решите уравнение Н—5=-.
ж + 2 ж2 + 6ж + 8 ж + 4
/l + tg2(^)\2
Вычислите —— .
u-tg2(W
4
Вычислите-———log/7^2. log2144
Решите уравнение sin ^ + Ж = cos (тг + ж) — 1.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 34, а катеты относятся как 8:15. Найдите радиус вписанной окружности.
Сколько надо взять 5 %-го и 25 %-го раствора кислоты, чтобы получить 4 литра 10 %-го раствора?
Решите неравенство -—^|^—^-.
Решите неравенство log|/2 (V^ — ж — ж + 1) > 3.
При каких значениях параметра а функция
/(ж) = —оJ 2х + d 2
является нечетной;
Через сторону CD основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD и центр вписанного в нее шара проведена плоскость.
В каком отношении эта плоскость делит площадь боковой грани SAB, если боковое ребро пирамиды в 1,5 раза больше стороны основания?
Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющих уравнению
6х2у + 4ж2 — Ьху — 8ж + 7/ + 3 = 0.
Вариант 2
Найдите область определения функции
у = V16 — х log3 (ж2 — 5ж + 6).
Вычислите ((^3 - ^27)2 + 7^(^3 + ^27)2 - 7^).
Найдите первый член арифметической прогрессии, у которой сумма первого и пятого членов равна 22, а произведение второго и
третьего равно 66.
. и256тг
На поверхности шара, объем которого равен —-—, расположены две окружности радиуса 2V3, касающиеся друг друга. Найдите
угол между плоскостями, содержащими данные окружности.
т)1 2ж 4- 5 114- Зж ~
Решите уравнение log0 х -— 1g— = 0.
’ 1 4~ 2х х 4~ •
Решите уравнение sin ж cos5x = 8т9ж cos3x.
Постройте график функции у = sin |ж| — |cos (ж — ^)|.
Основание АВ равнобедренного треугольника АВС равно 4 V3, а медиана AD равна 2V7. Построен круг радиуса CD с центром в вершине С треугольника. Определить отношение площади общей части треугольника и круга к площади треугольника.
о о1.11
Решите неравенство4—> —
у8 — х V 2ж 4-1-\/8 + 15ж — ж2
В два сосуда налиты различные растворы соли, причем в первый сосуд налито 5 кг, а во второй — 20 кг. При испарении воды процентное содержание соли в первом сосуде увеличилось в р раз, а во втором сосуде — в q раз. О числах р и q известно только, что pq = = 9. Какое наибольшее количество воды могло испариться из обоих сосудов вместе?
Найдите наибольшее значение выражения ж + 3?/, если пары чисел ж и у удовлетворяют неравенству ж2 + ж?/ + 4?/2 ^6.
Ответы
Вариант 1
-1. 2. 2. 3. 0. 4. ±^+4тгп; 7г + 2тгп, neZ. 5. 6.
Зли 1л. 7. (-oo;^U{4}u[8 + V26;+oo). 8. (-4; 1+^
-1. 10. 10: (1 + 2V2). 11. (0;-3); (-2;-1).
Вариант 2
(—оо; 2) U (3; 16]. 2. 47. 3. 1. 4. 60°. 5. i.
Рис. 79Рис. 79
Рис. 79
Рис. 79
^- + ^; ±^- + тгп, nEZ. 7. См. рис. 79. 8. тг : 3 д/З - 9. (4; 8). 10. 181 кг. 11. 4.
Московский государственныйтехнический университет им. Н. Э. Баумана
Вариант 1
Стоимость проезда возросла на 2,5 рубля за одну поездку, поэтому на выделенную сумму в 234 рубля теперь можно сделать ровно на 10 поездок меньше. Сколько стоит одна поездка?
Решите уравнение Vl + sin ж = V6 sin ж.
Решите уравнение Ж1о§4(3ж) = з1/1^2.
ж3 — 27 2ж + 9
Решите неравенство —<—-—.
х2 — 93
Какую наименьшую площадь может иметь прямоугольный треугольник, если на его гипотенузе лежит точка Л7(0; 1), а его катеты лежат на прямых ж = — 2 и у = 0?
6.нений6.ненийУкажите все значения параметра р, при которых система урав-
6.
нений
6.
нений
Г у2 - 16у+ 63 = 3
(у-р= (ж-2)2
имеет ровно два различных решения. Найдите эти решения при указанных р.
В прямоугольном параллелепипеде проведена плоскость, которая проходит через его диагональ, образует углы 45° и 30° со сторонами основания и параллельна диагонали основания. Чему равна площадь сферы, описанной около параллелепипеда, если расстояние от этой плоскости до диагонали основания равно /?
Вариант 2
Из пункта А в пункт В вышел один пешеход, и с некоторым опозданием — второй. Когда первый прошел половину пути, второй прошел 15 км, а когда второй прошел половину пути, первый про-
шел 24 км. В пункт В пешеходы пришли одновременно. Чему равно расстояние между пунктами А и В?
Найти все корни уравнения
cos9ж + д/З cos6ж + cosЗж = О,
Г 7Г 7Г 1 принадлежащие промежутку
Решите уравнение log4(20x — 34) = 2 + log2(x — 5).
Решите неравенство 3-2ж+5<21-ж.
Найдите площадь прямоугольника, две стороны которого лежат на координатных осях, одна из вершин расположена на графике ,30 4ж
функции у =, а диагональ имеет наименьшую возможную
Длину.ж3
Укажите все значения а, при которых система уравнений
I , |^-9|\
у = 21og2 I2+ —+ --1 ,
\ х х — 9 /
{у — а — 2) — ж2 = 144
имеет единственное решение. Найдите это решение при каждом а.
Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы АВСАуВуСу плоскостью, проходящей через вершину С и середину стороны ВуСу основания АуВуСу и параллельной диагонали АС у боковой грани ААуСуСесли расстояние между АС у и секущей плоскостью равно 1, а сторона основания призмы равна V14-
Ответы
Вариант 1
9руб. 2. (-1)”^ + 7гп, n€Z. 3. Ьз.
(—оо; —3) U (0; 3) U (3; 6). 5. 4.
(2 + VlO-р; Ю); (2 +V^-p; б) при р Е (-оо; 2];
(4; 10); (2; 6) при р = 6; (2±^Ю-р; Ю) при р Е (6; 10).
22тг/2.
Вариант 2
Российский государственный педагогическийуниверситет им. А. И. Герцена
Вариант 1
Для каждого натурального числа п > 1 определена функция /Дж) = 0,251О8"(ж2+2пж+7).
а) б) в)а) б) в)Найдите области определения этих функций.Найдите области определения этих функций.Нарисуйте график функции д(х) =Нарисуйте график функции д(х) =1Мж)1Мж)+ 9.+ 9.При каких а уравнение |д(ж) — 5| = а имеет только два решения?При каких а уравнение |д(ж) — 5| = а имеет только два решения?
а) б) в)
а) б) в)
Найдите области определения этих функций.
Найдите области определения этих функций.
Нарисуйте график функции д(х) =
Нарисуйте график функции д(х) =
1
Мж)
1
Мж)
+ 9.
+ 9.
При каких а уравнение |д(ж) — 5| = а имеет только два решения?
При каких а уравнение |д(ж) — 5| = а имеет только два решения?
Решите неравенство
cos + Юж) > cos 2ж cos Зж — sin 2ж sin Зж.
В ромб вписана окружность радиуса R. Найдите площадь ромба, если его большая диагональ в 4 раза больше радиуса описанной окружности.
Основанием пирамиды служит прямоугольник, площадь которого равна S. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углами 30° и 60°. Найдите объем пирамиды.
Рассмотрим следующие свойства числа а:
а) сумма цифр числа а делится на 3; б) а — четное число;
в) остаток от деления числа а на 6 равен 1; г) а делится на 9.
Покажите, что никакое число не обладает одновременно свойствами а)-г).
Верно ли, что если число а обладает свойством в), то число а + 2 обладает свойством б)?
Вариант 2
Для каждого натурального числа п определена функция
(6 + 3ж)|ж —2|*
Найдите область определения этих функций.
Нарисуйте график функции д(х) = I/2 (ж) — 1|-
Решите неравенство log^^g (/б(ж) V^ + ж) > log1/3(5 — х).
Решите уравнение д/3 — sin 7х = 2 д/3 cos2 2ж — cos (^" + ж) •
Найдите радиус окружности, описанной около равнобочной трапеции с основаниями 2 и 14 и боковой стороной 10.
Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб ABCD со стороной а и острым углом 60°. Ребро AAi также равно а и образу-
ет с ребрами АВ и AD углы 45°. Определите объем параллелепипеда и площадь его поверхности.
Дана функция fa(x) = Va — х.
Покажите, что при любых различных числах а и b графики функций fa(x) и /ь(х) не пересекаются.
Верно ли, что если а > Ь. то область определения функции fa(x) содержится в области определения функции fb(x)7
Ответы
Вариант 1
(—оо; —п — V^i2 — 7) U (—п +(—оо; —п — V^i2 — 7) U (—п +а) (—оо; +оо), если п = 2;
(—оо; —п — V^i2 — 7) U (—п +
(—оо; —п — V^i2 — 7) U (—п +
+ Vti2 — 7; +оо), если п 3;
в) а = 0 или а ^ 2.в) а = 0 или а ^ 2.см. рис. 80; здесь д^ = |ж + 4|, х Е (-оо; -7) U (-1; +оо);
в) а = 0 или а ^ 2.
в) а = 0 или а ^ 2.
,~ тг , 2тгп7тг , 2тгп
keZ или io + — <х< зо+— ’ п Е Z.
о 8/?2V3, sVs
. 4. .
33
2) Неверно: например, а = 13 обладает свойством в), но а + 2 не является четным.
Вариант 2
а) (—2;1], если п = 1; (-2; 2), если п = 2; (-2; 2) U (2; п],
если п ^ 3;
а = 3 и b = 2, то а > Ь,а = 3 и b = 2, то а > Ь,ноноб) см. рис. 81; здесь д^ =
а = 3 и b = 2, то а > Ь,
а = 3 и b = 2, то а > Ь,
но
но
= 1з^+б-11’ ж€^-2’2^
(к \/7 \
ж = — + ^- kEZ или ж =
84
= (_1)п+1^ + ^) nEZ.
3
5V2.4. у; a2(V3 + 2V2).
б) Неверно: например, если (-оо;3] 0 (-оо;2].
35 В. А. Бачурин
Российский государственный технологическийуниверситет им. К. Э. Циолковского (МАТИ)
Вариант 1
Решите уравнение V^2 + Пж — 9 = \/8ж — 5.
Решите уравнение 8тЗ|ж| + V3 созЗж = V2.
Решите неравенство log5log6 ~^ру ^ 0.
Отношение суммы первых трех членов геометрической прогрессии к сумме последних трех членов равно 1 : 5, а отношение суммы всех ее членов без первых трех к сумме всех членов без последних трех равно 7:5. Найдите количество членов прогрессии.
При каких значениях параметра а уравнение
V^ + 2a2 (ж2 + (2 - а) х - 2а) = 0 имеет ровно два различных корня?
В трапецию ABCD с острым углом D вписана окружность, точки касания которой с основанием AD и боковой стороной CD делят длину окружности на части 1 : 2. На сторонах AD и CD выбраны точки Е и Т так, что отрезок ЕТ касается окружности и перпендикулярен AD. Найдите отношение площадей трапеции ABCD и треугольника ЕТD, если АВ = 4ТЕ.
Вариант 2
Решите уравнение V^2 + 2ж — 8 = Зж — 8.
Решите уравнение sin (д/ж + V? — ж) = 0.
Решите неравенство loga,+43 + log2a,+93 ^ 0.
В арифметической прогрессии четное число членов. Разность между последним и первым членами равна 153, разность между суммой четных и суммой нечетных членов равна 81, а четвертый член равен 20. Найдите сумму членов прогрессии.
При каких значениях параметра а уравнение
Vж Т За2 (ж2 + 2(2 — а) ж — 8а) = 0
имеет ровно два различных корня?
Окружность вписана в трапецию ABCD с тупым углом В. Точки ее касания с боковой стороной АВ и основанием ВС делят длину окружности на части 1:5. Точки Т и N выбраны на сторонах АВ и ВС так, что ТВ = NB и TN — касательная к окружности. Найдите отношение площадей трапеции ABCD и треугольника TBN, если СD в 4 V3 раза больше радиуса окружности.
Ответы
Вариант 1
1. 2. ± (-1)”—-- + — ,п^1; ± —+ — ,n^0,neZ. \У О /\о /
(-оо;-31)и^;+ооУ 4. 19.
_о 1 / / 1 л / / 1a 8(3V3-2)
а = -2; -1 < а <0 < а < 1. 6. v
^3(V3-i)2
Вариант 2
,._ 7 + 7Г V14 — 7Г2 7 — 7Г V14 — 7Г27 ..„
4.1251. 5. а = -2; —^= О < + 0 < а <6. —
V3 3V3 7-4V3
Российский государственный университетнефти и газа им. И. М. Губкина
Вариант 1
2. Решите уравнение2. Решите уравнение1V^2 — 811V^2 — 8111ненияненияУпростите и вычислите при а = 3 V2 а + 8У8 a3-8V8 а + л/ва — л/в
2. Решите уравнение
2. Решите уравнение
1
V^2 — 81
1
V^2 — 81
1
1
нения
нения
Найдите произведение корней уравнения Ж310®27 ж = Зж2 .
ABCD — трапеция, в которой ADAB = ААВС = ^, ACDA = = а, причем sin а = 0,3. Окружность радиуса 5 касается сторон AD. АВ, ВС и пересекает сторону СD в точках М и N, причем MN = 8. Найдите площадь трапеции.
В правильную треугольную пирамиду SABC с основанием АВС вписан шар, к нему проведена касательная плоскость, параллельная грани AS С. Эта плоскость пересекает ребро SB в точке М, такой, что ВМ : MS = 1,55. Найдите косинус угла между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды SABC.
Вариант 2
Упростите и вычислите при а = ^16 + 1
16 — 12v4a + 6v2a — а(^16 -а)2
.14-Зж1о8з—Г".14-Зж1о8з—Г"Найдите наибольшее целое значение ж, входящее в область определения функции
.14-Зж
1о8з—Г"
.14-Зж
1о8з—Г"
У =
Найдите 19-й член арифметической прогрессии, если известно, что ее 9-й член равен 22, а разность прогрессии равна 4.
Решите уравнение |ж + 1| = |ж + 7|.
Решите уравнение V^T^+s = уф8ж+4.
Дано: lg0,2 = 0,301. Вычислите lg8VT6.
Найдите наименьшее значение функции у = 10 sin ^ sin 10ж).
Найдите в градусах наименьший положительный корень уравненияtga. _ !
1 —tg2a? 2а/3
Прямая, параллельная оси Ож, пересекает график функции 12
у = 4 у^ж в точке М. а график функции у = —— — в точке N. Най-
УЖ
дите наименьшее возможное значение, которое может принимать длина отрезка MN.
Решите уравнение V^°^x V0Дж • log0 т ж = — 1.
В треугольнике АВС проведены высоты АМ и BN. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если АВ = = V5, MN = 1.
Образующая конуса составляет с плоскостью его основания угол a, cos а = 0,25. В конус вписан шар, через окружность касания шара и боковой поверхности конуса проведена плоскость. Объем части конуса, лежащей ниже этой плоскости, равен 37. Найдите объем части конуса, лежащей выше этой плоскости.
Ответы
Вариант 1
—24. 2. 11. 3. 48. 4. -0,2. 5. -11. 6. 3. 7. 0,25.
-70°. 9. -16. 10. 9. 11. 150. 12. 0,7.
Вариант 2
1. -1. 2. 4.3. 62. 4. -4. 5. -14. 6. 1,403. 7. -5.
15°. 9. 6. 10. 100. 11. 1,25. 12. 27.
Санкт-Петербургский государственныйполитехнический университет
Вариант 1(физико-механический факультет)
1. Упростите выражение1. Упростите выражениеа3 — а — 24 а3 + 6а —7а3 — а — 24 а3 + 6а —7а — 3а — 3а — 1а — 1
1. Упростите выражение
1. Упростите выражение
а3 — а — 24 а3 + 6а —7
а3 — а — 24 а3 + 6а —7
а — 3
а — 3
а — 1
а — 1
Решите уравнение V^2 — 4ж + 4 = 2 — х.
Решите неравенство arcsine > — —.
6
Вычислите log4_2v^ (V3 — 1).
Решите уравнение ж^5 15 = log5(4 — Зж) + ж.
Решите уравнение ^5^-35-ж = 45.
Найдите область определения функции у = ^3—1 log3 ж|.
Найдите количество различных корней уравнения 8т(тгж2) = = — на промежутке [2; 3].
Решите уравнение 2(ж2 — 2) = (ж2 + ж)(|ж| — 1).
Решите неравенство |ж + 3|ж-6 ^ 1.
Второй член убывающей геометрической прогрессии равен 192, а ее четвертый член равен 48. Сколько членов данной прогрессии являются двузначными натуральными числами?
Решите неравенство 5 i/ж2 — 4|ж| +4 2(4 — ж2).
Найдите третий член арифметической прогрессии, если для любого натурального числа п справедливо равенство 5п+з — Sn = = 24п + 39, где 8п — сумма первых п членов прогрессии.
Для скольких натуральных чисел п число П о лежит в про- Г1 1Ъи + 6
межутке ; 2J *
Найдите корни уравнения 18тж| + sin |ж| = 0 на промежут-
Г 7Г ЗтГ 1 ке --; — .
Решите неравенство (ж + 2) • Зж < (ж + 2) • 93 ж.
Диагонали трапеции ABCD делятся в отношении 1 : 4 их точкой пересечения О. Большее основание трапеции ВС равно 8, а площадь треугольника ВОС равна 1. Найдите площадь трапеции.
Вычислите площадь поверхности, полученной вращением ромба, площадь которого равна 4, вокруг своей стороны.
Найдите точки на графике функции у = |ж — 5| — 3, ближайшие к точке Л4(5; 3).
При каких действительных значениях параметра а уравнение
1 - азе2 = 2|аж + 1|
имеет хотя бы один корень на интервале
Вариант 2^физико-технический факультет)
Найдите число А > 0, если оно составляет 20 % от 2Л2 — А.
4 2ж +1
Решите уравнение =.
ж — 1 х + х — 2
Вычислите. Убедитесь, что это число целое.
log8 27 — log2 27 Д4
Решите уравнение log5(l + ж) = log25(l - 2ж).
Вычислите, если tg а = 2.
cos(o + -) .2тг
Какое число больше: а = sin 17° или 6 = cos — ? 5
Решите уравнение 2ж+1 — 23-ж = 6.
Найдите /(3), если /(log2ж) = ^4(2ж).
Решите уравнение 8тЗж + со82ж = 8тж.
Найдите количество целых решений неравенства
|ж2 - 1||ж2 - 7|.
Решите уравнение 2(ж + 4)2 = V^2 + 8ж +19.
Напишите уравнение касательной к графику у = ж2 — 4ж, проходящей через точку Л4(2; —4).
Решите неравенство ^^ ^^ > 1.
Решите неравенство (tg2ж + 2)| со8ж| 2.
Найдите область определения функции
У = у^2Ж — 1 + V 7ГЖ — Ж2.
Найдите все пары натуральных чисел (ж;?/), являющиеся решениями системы уравнений
ж3 = 5ж2 — у2,ж3 = 5ж2 — у2,
ж3 = 5ж2 — у2,
ж3 = 5ж2 — у2,
Отрезок, параллельный основанию трапеции, делит трапецию на части, площади которых относятся как 3:5. Найдите длину этого отрезка, если основания трапеции равны 2 и 6.
Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна V17, площадь его основания равна 6, а тангенс угла, образованного диагональю 2
параллелепипеда с его основанием, равен ——. Найдите объем параллелепипеда.^13
Н- х
Найдите множество значений функции у = —-.
4xz-\-x 2+ 8
Найдите все положительные значения параметра а, при которых промежуток [—3; — 1] содержится во множестве решений нера
венствавенства|ж + а\ < 2а2(а — х) 1|ж + а\ < 2а2(а — х) 1
венства
венства
|ж + а\ < 2а2(а — х) 1
|ж + а\ < 2а2(а — х) 1
Ответы
Вариант 1
2а + 1. 2. |;|. 3. [-|;1]. 4. 15. log32. 6. 3.
[^; 27]. 8. 12. 9. ±1; 2;
(-4; -3)U(-3; -2)О[6;+оо). И. 4. 12. [-2;Д] U [ j; 2].
21. 14. 4. 15. {0}и[тг;^]. 16. (-2; 2). 17. ||.
16тг. 19. (1;1), (9;1). 20. ^;+ooJ.
Вариант 2
3. 2. -1. 3. -1. 4. 0. 5. -4. 6. Ъ>а. 7. 2.
2. 9.+ ^; (-l)n+1^ + 7rn, п е Z. 10. 5. 11. -3;-5.
у = —4. 13. (—1; 1). 14. тгп, neZ. 15. [^) U (^; ^].
16. (1;2). 17. 4;V24.
20. (V3;+oo).
18. 12.
19.
-^;0 U 0;^ .
6/\6
Приложение IV
СВОДНАЯ ТАБЛИЦА ФОРМУЛ
§ 1. Алгебра и начала анализа
Степени и корни
Если а > 0 и п — натуральное число, то:
1) (+а)п = +ап. 2) (—аУ11) (+а)п = +ап. 2) (—аУ1-Van для п четных, — ап для п нечетных.
1) (+а)п = +ап. 2) (—аУ1
1) (+а)п = +ап. 2) (—аУ1
Если а > О, b > 0, тЕсли а > О, b > 0, ти п — любые действительные числа, то:
Если а > О, b > 0, т
Если а > О, b > 0, т
при 0 < а < 1, при а = 1, при 1 < а < оо.при 0 < а < 1, при а = 1, при 1 < а < оо.
при 0 < а < 1, при а = 1, при 1 < а < оо.
при 0 < а < 1, при а = 1, при 1 < а < оо.
ат -ап = ат^п-
^ату = ати-
9) а’” = 4; а
ат : ап = ат~п;
(а-Ь)т = ат -Ьт;
а0 = 1;
'О
lim а” = < 1
п^-+ос
ОО
т, п, k — натуральные числа, то:
Если а > 0, b > 0,
12) V^b= Va- Vb-
14) ^?= ^
16) "Va^ = t/a™";
17)
Va? =
Г а при [ —а при
а ^ 0,
а < 0.
18) а"т/п = —V-
7т п
а '
1)
2)
3)
/ 2
ж2+рж + ^ = 0; Х1,2 = -^М ^ -q.
азе2 + Ьх + с = 0; xi^ =
ах2 + 26ж + с = 0; xi^ =
— 6 ± VЬ2 — 4ас‘la
— b±: aJb^ — асa
Здесь a, b, с, р, q — действительные числа и а ^ 0.
Формулы Виета:
।с
Ж1 + х2 = -р =; Ху • х2 = q = -.
аа
Разложение квадратного трехчлена на линейные множители:
х2 -Vpx-Vq = (х — xi)(x — х^;
ах2 + Ьх + с = а(х — xi)(x — х2).
Прогрессии
Общий (n-й) член арифметической прогрессии: ап = сц + (п — 1) d.
где d — разность прогрессии.
Сумма п членов арифметической прогрессии: Q _di + dn _ 2ai + (n - 1) d
Op — о ^ — о ^ •
Общий (n-й) член геометрической прогрессии: ип = ui-qn-1,
где q — знаменатель прогрессии.4) Сумма п членов геометрической прогрессии:Если q = 1, то каждый член прогрессии равен и иЕсли q / 1, тогде q — знаменатель прогрессии.4) Сумма п членов геометрической прогрессии:Если q = 1, то каждый член прогрессии равен и иЕсли q / 1, тоSn — пи.Sn — пи.с ui-unq1-qSn = —;= ^1 -;= ^11-q1-qс ui-unq1-qSn = —;= ^1 -;= ^11-q1-qqn -iqn -iq-1q-1
где q — знаменатель прогрессии.
4) Сумма п членов геометрической прогрессии:
Если q = 1, то каждый член прогрессии равен и и
Если q / 1, то
где q — знаменатель прогрессии.
4) Сумма п членов геометрической прогрессии:
Если q = 1, то каждый член прогрессии равен и и
Если q / 1, то
Sn — пи.
Sn — пи.
с ui-unq1-q
Sn = —;= ^1 -;= ^1
1-q1-q
с ui-unq1-q
Sn = —;= ^1 -;= ^1
1-q1-q
qn -i
qn -i
q-1
q-1
(при 1^1 < 1):(при 1^1 < 1):lim Sn = -^./мх1 — qlim Sn = -^./мх1 — qСумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
(при 1^1 < 1):
(при 1^1 < 1):
lim Sn = -^.
/мх1 — q
lim Sn = -^.
/мх1 — q
Логарифмы
Логарифмы, взятые по основанию 10, называются десятичными (бригговыми), а по основанию е = 2,71828... — натуральными (неперовыми) и обозначаются соответственно 1g и In. Если за основание взято любое положительное число, не равное единице, то применяется символ log: loga N, а > 1, а / 1.
^«^6, Ь>0.
loga ab = b, b — любое действительное число.
loga bc = с loga 6, b > 0, с — любое действительное число.
loga6c = loga6 + logac, b > 0, с > 0.
loga6c = loga(-6) + loga(-c), 6<0, с < 0.
bga | = loga b - loga c, b > 0, с > 0.
bga^ = log0(-6)-log0(-c), 6<0, с < 0.
lOga6=^, 6>0, О 0, с / 1. ba logc a ’’
log061og(,a = l, 6>0, 6/1.
v^8ad = ^8bl 6>Qc>0d>0
loga c log,, c
Тригонометрические функции
Измерение углов
1 радиан = — «57°17'45"; 2) 1° =« 0,01745 рад.
тг
Формули перехода от градусных мер к радианными обратного перехода
2) « = 5 '80,
где ф — радианная, а — градусная мера угла.
Таблица знаков и некоторых значенийтригонометрических функций
Название функции
Четверти
I
II
III
IV
I
II
Ill
IV
0°
30°
45°
60°
90°
180°
270°
360°
sin a
+
+
-
-
0
1
2
V2
Vs
1
0
-1
0
cos a
+
-
-
+
1
Vs "T
V2
1
2
0
-1
0
1
tg a
+
-
+
-
0
Vs T
1
V3
±oo
0
±oo
0
ctg a
+
-
+
-
±oo
V5
1
Vs "s”
0
±oo
0
±oo
Соотношения между тригонометрическими функциямиодного и того же аргумента
\* 2।21sin а
sin a + cosza = l; 2) = tga;
cos a
cos a ,i
—= ctg a; 4) coseca = ——, или sin a • cosec a = 1;
sincesina
sec a =, или cos a • sec a = 1:
cos a
ctg a =, или tg a • ctg a = 1;
tg a
1+ tg2a = sec2 a; 8) 1+ ctg2a = cosec2 a.
5. Таблица формул приведения
Функция \УГОЛ
90° =F ce
180° =F a
270° =F a
360% =F о
sin
— sin ф
+ cosce
±sin a
— cosce
=Fsin ce
cos
+ cosy>
±sin a
— cosce
p=sin ce
+ cosce
tg
-tgp
±ctg a
Ttga
±ctg ce
Ttga
ctg
-ctg 9?
±tg ce
=pctgce
±tga
=pctgce
sec
+ secy>
± cosec a
— secce
=F cosec ce
+ secce
cosec
— cosecф
+ secce
± cosec ce
— secce
^P cosec ol
6. Формулы сложения и вычитания аргументов
1)2)3)4)5)1)2)3)4)5)7)7)sin (се+ ^) = since cos 0 + cos a sin /3;
1)
2)
3)
4)
5)
1)
2)
3)
4)
5)
7)
7)
sin (се — 0) = since cos0 — cosce sin0;
cos(ce + /3) = cosce cos0 — since sin /3;
cos(ce — 0) = cosce cos 0-V since sin 0^
t (Q + ^)= tga + tg^ 6)(} tga-tg/?
1 —tgcetg/3l + tgcetg/3
^a^p) = ^^^l- 8) ctg(a-/3) = ^^gW
vctg a + ctg 0vctg a — ctg 0
Формулы умножения и деления аргумента
1)1)sin 2се = 2 sin се cos се;sin 2се = 2 sin се cos се;2) cos2ce = cos2 се — sin2 се;2) cos2ce = cos2 се — sin2 се;3)3)tg 2 се =tg 2 се =2tg а .1 — tg2ce2tg а .1 — tg2ce4)4), 2!, о ctg се-1ctg 2се = —;62ctgce ’, 2!, о ctg се-1ctg 2се = —;62ctgce ’5) sin се =5) sin се =6)6)1-tg -cos a =^-;1 + tg2^1-tg -cos a =^-;1 + tg2^7)7)2tg^ tg« = i-tg -Ь 22tg^ tg« = i-tg -Ь 28) ctg се =8) ctg се =_2tg£.1 + tg2^’1-tg2-b 2 .2tg-_2tg£.1 + tg2^’1-tg2-b 2 .2tg-
1)
1)
sin 2се = 2 sin се cos се;
sin 2се = 2 sin се cos се;
2) cos2ce = cos2 се — sin2 се;
2) cos2ce = cos2 се — sin2 се;
3)
3)
tg 2 се =
tg 2 се =
2tg а .
1 — tg2ce
2tg а .
1 — tg2ce
4)
4)
, 2!
, о ctg се-1ctg 2се = —;
62ctgce ’
, 2!
, о ctg се-1ctg 2се = —;
62ctgce ’
5) sin се =
5) sin се =
6)
6)
1-tg -
cos a =^-;
1 + tg2^
1-tg -
cos a =^-;
1 + tg2^
7)
7)
2tg^ tg« =
i-tg -
Ь 2
2tg^ tg« =
i-tg -
Ь 2
8) ctg се =
8) ctg се =
_2tg£.1 + tg2^’1-tg2-
b 2 .
2tg-
_2tg£.1 + tg2^’1-tg2-
b 2 .
2tg-
9)
• 2 «
1 — cos ce
. ce
= =Ьа
/1 — cos ce.
SUI
2’
SUI-
I 2 ’
10)
2 ce
C0S I =
_ 1 + cos ce e
“2’
ce cos —
= ±4
/1 + cos ce.
/ 2 ’
11)
tg 2 =
1 — cos ce
. a
tg^^
= =Ьа 1
/1 — cos ce e
1 + cos ce ’
1 + cos ce ’
12)
ctg2^ =
_ 1 + cos ce e
1 — cos ce ’
a
ctg 2
= ±4
/1 + cos ce
J 1 — cos ce
Формулы преобразования алгебраических суммтригонометрических функций в произведениеи обратных преобразований
since + sinр = 2sin—cos—
~ . а-Ра + Р
sin а — sin р = 2 sin —cos —;
cos а + cos р = 2 cos —cos —;
cos a -cos Р = -2sin а^ sin a ^ ^;
1 + cosa = 2 cos2 ^;1- cos а = 2 sin2 ^;
sin а • cos Р = | (sin (a + Р) + sin (a — Р)У
cos a -cos P = | (cos (a — P) + cos (a -V РУр
sin a • sin P = | (cos (a — P) — cos (a + РУ.
Замечание. Следует иметь в виду, что одна часть тригонометрических формул является верной при всех значениях аргумента; например, все восемь формул данного пункта. Другая часть формул применима не при всех значениях аргумента: например, формула 2 . ЛsinaA
из и. 4 tg а = справедлива при всех значениях а. кроме а =
^\cos а/
= —+ &7Г. Из-за экономии места в данном задачнике приходится об этом только напоминать. В учебниках этот вопрос исчерпывающе освещается.
Обратные тригонометрические функции
Определения:
Если х = sin г/ и — ^ ^ у ^ ^, то у = arcsin ж.
Если х = cosy и 0 ^ у ^ тг, то у = arccosж.
Если х = tg у и — ^ ^ у ^ ^, то у = arctg х.
Если х = ctg ?/ и 0 ^ ?/ ^ тг, то у = arcctg х.
Основные тождества:
arcsin х + arccos х = —;arctg х + arcctg х = —.
Выражения одних обратных тригонометрических функций через Другие:
arcsin х = arccos V1 — ж2 = arctg —=
— ж2
= arcctg ^^ Ж = ^ — arccos x (0 < x < 1).
arccos ж = arcsin V1 — ж2 = arctg —— =
х
= arcctg —= — — arcsin х (0 < х < 1).
у 1 - ж2 2
,1. Ж1 7Г,
arctg х = arcctg — = arcsin —,= arccos —,= — — arcctg x
$ Vi+S VT+^ 2 , nx
.,1.1Ж 7Г ,
arcctg x = arctg - = arcsin —= arccos —= — — arctg x
жVl + ж22 z x
(ж>0).
Простейшие тригонометрические уравнения
8шж = 0 О х = &тг; 8тж = 1 О х = ^ + 2&тг; 8шж = — 1 О О ж = — ^ + 2&тг.
cos ж = 0 О ж =+ 2&тг; cos ж = 1 О ж = 2&тг; cos ж =
= — 1 О ж = (2k +1) тг.
tg ж = 0 О ж = ^тг; tg ж = 1 ^ ж = ^ + ^тг; tg ж = —1 О О ж = — + ктг.
4
ctg ж = 0 О ж = — + ^тг; ctg ж = 1 О ж = — + ^тг; ctg ж = 324
= — 1 О ж = - 7Г + kir.
Комбинаторика
Размещения: А1^ = п(п — 1)(п — 2)...(п — т + 1), п^т.
Перестановки: Рп = А1^ = 1 • 2 • 3...п = п\
Сочетания: С™ = 4^ = n(w ~~~ w + ^ .
п Pmт!
Полезно запомнить следующие соотношения:
љљР,Р,С°п = С°0 = 1.С°п = С°0 = 1.
С™
С™
Р,
Р,
С°п = С°0 = 1.
С°п = С°0 = 1.
Бином Ньютона
Возведение биномов (двучленов) в степень производят по формуле бинома Ньютона:
(ж + а)п = хп 4-пахп-1 + 'ИкИ_31 а2хп~2 +
Цп-1).Дп-к^1) кТп-к^
(ж - а)” = ж” - С^ажп-1 + С^а2хп~2 -...
Общий член разложения
Тк+1 = (М)кСкакЖп-к.
Формулы дифференцирования
1. (ж)'= 1.2. (С)' = 0.3. (и + «У = u' + v'.
4. (uy)' = u,-y + u-y'. 4*. (Cvy = Cv'.
5. (uvwy = и' • у • w + и • и' • w + и • v • w'.
6***- (Д=_Л- 7- У = КиУ u = <xY y'$ = yV<-
8. (ипу = п • ип-1 • и*.8*. (V^)'= ^Д= • ^^
(sinv)' = cosV • v1.10. (cosv)' = — sinv • и'.
(tgv)/ =—— = sec2 и • v1.12. (ctgv)/ =——5— = — cosec2v • v1.
cos vsin v
(secy) =—2—v — tg v-secv-v .
cos2 V
\ / COS V /./
(cosec v) = ——5— - u — — ctg и • cosec v • v .
sin и
(arcsine)' = — 1• v1.16. (arccosv)' =1
yl -V2yl -V2
(arctgv)' =—18. (arcctgv)^ 1 + ^1 + ^
(logou)' = ^-19*. (Inu)'19**. (1пж)' = -.
(avy = av-Ina-v7. 20*. (axy = ax • Ina. 20**. (evy = ev • v’.
20***. (exy = ex. 21. (uv)f = и-ux-1 •u,Jrux-Ina-C.
Формулы интегрирования представлены в Приложении 1, § 14, и. 3.
§ 2. Геометрия
Треугольники
Обозначения: а, Ь, с — длины сторон треугольника; а, /5, 7 — величины углов; h — длина высоты; Р, 2р — периметр, R — радиус описанной окружности.
Два треугольника равны, если:
а) a = ai, Ь = Ьу^ = 71; б) c = ci, a = Qi, Д = Дх;
в) а = ai, b = 61, с = су.
Два треугольника подобны, если:
\QQсС\О,Ь\О ЬС
a)q = qi,р= рго)—= —,7 = 71;в)— = — =—.
Ul01Ol01Cl
Рис. 82Рис. 83Рис. 82Рис. 83Метрические соотношения между элементами прямоугольного треугольника (рис. 82):
Рис. 82Рис. 83
Рис. 82Рис. 83
Метрические соотношения между элементами любого треугольника:
а2 = Ь2 + с2 — ^Ьс'^ а < 90° (квадрат стороны против острого угла; рис. 83, а);
с2 = а2 + Ь2: а = 90° (квадрат стороны против прямого угла);
а2 = Ь2 + с2 + ^Ьс'^ а > 90° (квадрат стороны против тупого угла; рис. 83, б).
Длина высоты (А), длина медианы (т) и длина биссектрисы (/) в треугольниках вычисляются по формулам:
Ла = | л/ГГ-аГр-Жр--с), ... ;
та = | /26^2^^, ; 1А = Ъ^^Р., ...
Теорема синусов: а == 2R.
sin о smpsin 7
Теорема косинусов:
а2 = Ь2 + с2 — 2bccos а,Ь2 = а2 + с2 — 2accos Д,с2 = а2 + b2 — 2а6со8 7.
Теорема тангенсов:
, а + /3, 7, /3 + 7, а
а + 6 = ^^-= с^2 .b + c = ^8— = ctg- _
в 0 tg ^i tg° c tgtg
Окружность
Обозначения: R — радиус, D — диаметр окружности.
Длина окружности: С = 2ivR = nD.
Длина дуги в n°: I = ^^.
Правильные многоугольники
Выражение сторон (ап) правильных многоугольников через радиус вписанной (г) и описанной (R) окружностей:
а3 = 2rV3 = RA а4=2т = RA,
a5 = 2rx/5-2V5= V10-2V5; a6 = ^rA= R-
Формула удвоения числа сторон правильного вписанного мно
гоугольника:
/2
a2n = mR^-SRj R2-^.
Измерение площадей
Площади прямоугольника и параллелограмма:
S = ah,
где а — основание и h — высота названных фигур;
5= siny>,
где d\ и d2 — диагонали названных фигур и ср — угол между диагоналями;
S = a^sina,
где b — боковая сторона, а — любой угол параллелограмма.
Площади квадрата и ромба:
,21
S = a2; S = ah; S = S = ^dT-d2.
Площадь треугольника: о ahabc1 ,.
;S=4^ S = -bcsma,
где a — угол между сторонами бис;
s = ^(р-°)(р-ь)(р-с); s = рг^
где г — радиус вписанной окружности.
Площадь трапеции:
S = -у- * ^; S = | dy • d2 sin</>,
где а и b — основания, ср — любой угол между диагоналями.
Площадь описанного многоугольника:
S=^Pn-r,
где Рп — периметр, г — радиус вписанной окружности.
Площадь правильного вписанного многоугольника: S=^Pn-a,
где Рп — периметр, а — апофема.
Площадь круга:
S = тг R2 = | iv D1.4
Площадь сектора (рис. 84):
£ = ^;S = LpR\
oOUДД
где / =— длина дуги; / = ф • К — длина дуги; а — градуснаямера центрального угла; ср — радианная мера центрального угла.6 = 2/Zsin^ — длина хорды; h = 2R • sin2 у — длина стрелки;, a 2h ,2.4tg — = — (полезные формулы).Площадь сегмента (рис. 84):IR — b^R — h)5 “2’где / =— длина дуги; / = ф • К — длина дуги; а — градуснаямера центрального угла; ср — радианная мера центрального угла.6 = 2/Zsin^ — длина хорды; h = 2R • sin2 у — длина стрелки;, a 2h ,2.4tg — = — (полезные формулы).Площадь сегмента (рис. 84):IR — b^R — h)5 “2’, ivRa,
где / =— длина дуги; / = ф • К — длина дуги; а — градусная
мера центрального угла; ср — радианная мера центрального угла.
6 = 2/Zsin^ — длина хорды; h = 2R • sin2 у — длина стрелки;
, a 2h ,2.4
tg — = — (полезные формулы).
Площадь сегмента (рис. 84):
IR — b^R — h)
5 “2’
где / =— длина дуги; / = ф • К — длина дуги; а — градусная
мера центрального угла; ср — радианная мера центрального угла.
6 = 2/Zsin^ — длина хорды; h = 2R • sin2 у — длина стрелки;
, a 2h ,2.4
tg — = — (полезные формулы).
Площадь сегмента (рис. 84):
IR — b^R — h)
5 “2’
Многогранники ^поверхности и объемы)
Обозначения: Р и Q — периметр и площадь основания многогранника; р и q — периметр и площадь верхнего основания усеченной пирамиды; pi и Qi — периметр и площадь перпендикулярного сечения наклонной призмы; a, ai и Н, h — апофемы и высоты правильной пирамиды и правильной усеченной пирамиды; I — длина ребра наклонной призмы; а, b и с — измерения прямоугольного параллелепипеда.
Боковая поверхность прямой призмы:
8 = РН.
Боковая поверхность наклонной призмы:
S = pvl.
Объем прямой призмы:
V = QH.
Объем наклонной призмы:
V = qv^ V = QH.
Полные поверхности и объемы параллелепипеда и куба:
*$пар — 2(аЬ + Ьс + ас), ^куба — 6(1 , Vnap — ttbc^ ^куба — ^ •
Боковая поверхность правильной пирамиды:
S = ^Ра.
36 В. А. Бачурин
Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды:
S = j(P + p)ai.
Объем пирамиды:
Объем усеченной пирамиды:
v = - (Q + ^ + Vq^ *^.
Цилиндры (поверхности и объемы)
Боковая поверхность цилиндра:
S = 2ttRH.
Полная поверхность цилиндра:
S = 2ttR(H^R).
Объем цилиндра:о
V = ttR2H.
Объем стенок полого цилиндра:
^(R21 — г2) Я, где г — внутренний радиус.
Конус (поверхности и объемы)
Боковая поверхность конуса:
S = irRl, где I — образующая.
Полная поверхность конуса:
S = irR(UR).
Объем конуса:
и = |тгЯ2Я.
Боковая поверхность усеченного конуса:
S = 7г(Я + г)/1, где /1 — образующая усеченного конуса, г — радиус верхнего основания.
Полная поверхность усеченного конуса:
S = тг(Я + г) /1 + тгЯ2 + тгг2.
Объем усеченного конуса:
V = | тг(Я2 + г2 + Rr) h.
Шар и его части ^поверхности и объемы)
Поверхность шара:
S = 4тг R2 = it D2.
Объем шара:.1
Поверхность шарового сегмента и шарового слоя (рис. 85 и 86):
S = 27rRh.
Объем шарового сегмента:
V = uh? ^R — ^, или V = ^7vh(h2 + 3r2).
Объем шарового слоя:
V = 17rh(3r2 + 3г^ + h?).
Объем шарового сектора:
У = |тгЛ2/г, где А — высота шарового сегмента.
36*
Приложение V
ЛАТИНСКИЙ И ГРЕЧЕСКИЙ АЛФАВИТЫ
§ 1. Латинский алфавит
А а
а
N п
ЭН
В b
бэ
О о
О
С с
цэ
Р р
ПЭ
D d
дэ
Q q
ку
Е е
э
R г
эр
F f
эф
S 8
ЭС
G д
гэ (жэ)
Т t
тэ
Н h
ха (аш)
и и
У
/ г
и
V и
вэ
J 3
йот (жи)
W W
дубль-вэ
К к
ка
X х
икс
L 1
эль
Y у
игрек
М т
эм
Z z
зэт
§2.
Греческий алфавит
А а
альфа
N v
ни (ню)
В р
бета
КСИ
г 7
гамма
Оо
омикрон
△ 6
дельта
П 7Г
пи
Е б,е
Z (
эпсилон
V р,
0 ро
дзета
S а
сигма
Н у
эта
Тт
тау
0 9,9
тэта
Tv
ипсилон
I i
йота
Ф ф,
ср фи
К к,х
каппа
Хх
хи
А А
ламбда
ф ф
пси
Мр
ми (мю)
fi ш
омега
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ
Раздел I. Арифметика
Целые числа и действия над ними
1) 100 000; 2) 975 603; 3) 24 754191; 4) 20 004.
1) 41дм2 60 см2; 2) 64 ара; 3) 231°28'48"; 4) 9 сут 13 ч 26 мин.
1) 33; 2) 9; 3) 96; 4) 8; 5) 234; 6) 32.
Текстовые задачи с целыми числами
12. 1440; 10080. 13. 40. 14. По 28 км. 15. 16, 24.
16.
Через 4 часа. 17.
2
3'
18. 4. 19. 7
часов.
. 20. 300 стоп.
21.
3 стопы. 22. 84.
23.
Через 5 часов.
24.
16; 8. 25. 340
26.
760 км. 27. Через 10 мин. 28. 720.
29.
4 стопы.
30.
20 галок, 15 берез.
31.
450. 32. 17.
33.
800 м.
144 кг. 35. В 3 раза.
1) Например, 996; 2) например, 4509.
1) Например, 1296; 2) например, 512.
1) Например, 1350; 2) 5 262 723.
а) Первые два; б) ни одно.
Например: 21 и 63; 55 и ПО; 14 и 21; 72 и 144; 605 и 1210; 7021 и 14042; 294 и 441.
а) Наименьшее общее кратное 3900; дополнительные множители 25 и 20.
3) 49; 4) 198. 43. 1) В 2 раза; 2) 2520.
1) 2; 1; 7; 2; 2) а) увеличить на 37.
1) а) Увеличится в 5 раз; 2) частное увеличится в три раза и на две единицы, а остаток будет равен 18.
1) Нулем. 2) На 4998; в 120 раз.
Через 4 оборота, 7 оборотов. 48. 450 и 45. 49. 120 м.
40 подарков; 8 орехов, 6 конфет и 5 пряников.
В 17 ч. 52. 1) 60, 140; 2) 22,13. 53. 1) Hal; 2) на 7.
1) 208, 624, 1040; 2) 368, 12880.
Через 60 мин; 3, 4, 5, 6 кругов.
§ 3. Обыкновенные и десятичные дроби
62. 1) На 12 частей; 2) 5, 10, 15;3) 14, 35;4) в) 6250 м2.
2) а) е) 1,(37);2) а) ж) 8^;2) а) е) 1,(37);2) а) ж) 8^;0,225; б) 0,6875; в) 0,(6); г) 0,(01); д) 0,(123); ж) 2,41(6); з) 7,3(108).
2) а) е) 1,(37);
2) а) ж) 8^;
2) а) е) 1,(37);
2) а) ж) 8^;
г б) ^ в) 1гФ г> п^ д)3^ е)17^
19^-
1) Решение. Имеем
78^ + 24^-99^ = 78 + 24-99+=3+^ =4±
97966'97966'214
97
966'
97
966'
±67. 7^. 68.
585
Решение. Обозначим выражение в первых скобках через А, а во вторых — через В. Последовательно находим: А =0,Ь =
= 11,6 - 0,6 = 11. Числитель дроби В: 1) 42 • 3 - = 42 • 3 + — = 161; 66
3,3:0,03 = 110; 3) (161 + ПО) • 15 = 271 • 15. Знаменатель дроби В:
15 5О\21 \ 100 ллл orD
т) Т : 8 = 6; 2| S0 = + 3Ч6- й) ' — = 20“ - 35 = 1Ю: В =
271 15271 пд d ц 271
==. Окончательно получаем А • В = 11= 271.
16511J11
12. 71. 8. 72. 1. 73. 4 74. 2^. 75.
380280
16 км. 77. За 8 дней. 78. 15; 22; 88. 79. На 9 мин.
70. 81. Не изменится. 82. — ц. 83. 1,8 кг.
16
На 2 месяца. 85. За 6 дней. 86. 144 км. 87. 60 л.
14 89. 450 м3. 90. 14,4 км. 91. В 12 ч 50 мин.
7
§ 4. Проценты (первая серия задач)
2) 1,5= 150%. 93. 1) 5,3% = 0,053. 94. 3) 8 руб.
1,23 кг. 96. 1) 240. 97. «510 млн. км2. 100. 45%.
13464 руб. 102. На 55 %. 103. 100-| %.
85%-17% = 68%. 105. ЗбОчел.
80 кг, 120 кг и 180 кг; 40 кг и 100 кг.
Серы 3 кг, селитры 19,5 кг, угля 2,5 кг. 108. 2,6 т.
На 50%. 110. 120 кг. 111. 1) 11,8%; 2) На 12,5%.
33. 113. 200%.
1) 30 %0; 72 %0; 200 %0; 825 %0; 1000 %0; 4%0;
50%; 8,5%; 1%; 0,6%; 0,05%.
§ 5. Задачи на кратные пропорции,пропорциональности величин и другие задачи
1) а) 119:34; в) 25:20:6; 2) 1,25.
1) 2003; 6009; 16024; 24036; 30045; 2) 0,48; 0,8; 1,1.
£ = |. 118. 21 :| =Ц :Р; 7: 2 = 7: 2 и др. и 72 727
Указание. Прибавить (или отнять) к обеим частям пропорции по 1.
13 ч 20 мин. 122. На 170°. 123. 850 км/ч. 124. 736.
7,5 км; 12 км; 20 км. 126. 8 пароходов; 9 пароходов.
920 станков. 128. 15 оборотов. 129. Вб|раза.
112 г. 131. Первая бригада. 132. На 161 %.
8,2; 8,9; 9,6. 134. 280 м3; 120 м3; 80 м3. 135. 72 и 48.
1440 оборотов. 137. На 44 %. 138. 8820; 150150.
На 20%.
Например, 7832 — (7 + 8 + 3 + 2) = 7 -1000 — 7 + 8 -100 — 8 + 3 -10 — -3 + 2-2 = 7-999 + 8-99+3-9 + 0.
12,5 га. 142. 62,25 т и 41,5 т. 143. 320 км и 240 км.
Через 1 ч 20 мин. 145. 22,5 км/ч. 146. « 674,55 т.
5. 148. 5. 149. На 85,09%. 150. Через Ц мин.
98,56 т. 152. 0,2 кг. 153. ^. 154. 2,25. 155. 0,5.
8,5.
Раздел II. Алгебра и начала анализа
Предварительные понятия
1) 2п; 2) 5п; 3) 2п + 1 или 2п — 1; 4) 7п;
2-Зп или 6п, где п — целое число (п Е Z).
1) 10m + n; 2) 100p + Q;
100а+ 106 +с, где m, n,p, Q, а, 6, с — цифры, отличные от нуля.
1) а) 7-103+ 3 • 102+8 • 10 + 4; б) 106 + 2• 105+4• 103 + 5;
2) а) 32005; б) 7 057 043.
4) Доказательство. Пусть Ni = a1 А2 = а + 1, А3 = а + 2. Тогда 5 = М + А2 + А3 = а + а + 1 + а + 2 = 3(а + 1). Получили число, кратное трем. (Здесь а Е Z.)
Доказательство. Пусть TV = 2n + 1 и М = 2т + 1. Тогда S = М + N = 2т + 1 + 2n + 1 = 2т + 2п + 2 = 2(т + п + 1). Получилось число четное. (Здесь т Е Z и п Е Z.) Или: N = 2п +1, М = 2т — 1; S = 2т — 1 + 2п + 1 = 2т + 2п = 2(т + п). Опять получили четное число.
Одночлены и многочлены
1) т2 - 2тп + п2 = (т - п)2. 48. 1) а2 + 6а + 9 = (а + 3)2.
л/о \ 2
1) а4 — За2 + ^ = (а2 — ^ ) .
4\2/
2) ^ а2т — ^ ат&4п + °,(Мб8” = (^ ат—°,264”) .
2) (0,5 + 0,7п2)2. 52. 1) (ж + 2)2.
п / . р\2 . р2 / . р\2 р2 —4у4\2137
1) ж + ? +9-Т= (ж + ^)1—; 2) (За-- +— -
/6\262 + 4а
2) -^--J + —+ а = Дж--,) +—-—.
3,46ж — 6,7у — 1 ^. 56. р-Зрж2. 67. 12,5.
ах -0,801. 69. 0,7ж2 + 18,58жу - 0,4у2.
—0,7а3—3,78а2 + 1,95а —5,76. 71. 8m3-1. 72. a4-b4.
а5 + 65. 74. т6-64. 75. ж8 + ж4 + 1. 76. 16с12-п8.
За4 + 1264. 78. 5п7 + 19п6ж.
32а5ж10 + 5а2ж4у9 — ^ у15. 80. а3 + Ь3 + с3 — ЗаЬс.
а2 + 62—с2—2а6.82. ж2 + 2ж + 1 —у2.83. ж6—10ж4 + 9ж2.
4а2ж5 +4а6ж5 + 62ж5 -5а4ж3 - а262ж3 + а6ж. 85. 2а2ж3.
а10. 87. 9а6 + 6а56-23а462-8а363 + 16а264.
— (п4ж6+4п8ж2). 89. ж8 — 0,0625у24.
0,ба6ж22 + 29,97а4ж16 + 75ж4.
За463 + 11а764 - 15а1О65 - 18а1366 + 10а1667.
|ж26-8ж2. 93. а16ж24 - 32 а8ж16у12 + 25бж8у24.
a4z4-a4n"4.95. Зжпу” - - ж”-2уп+2 + — жп-4уп+4
216
49ж2и — ^ ж2”-2+ ж2и-3 — ^ ж2”-4. 97. 2) -^ab. Zu04Zu
2) -l^a2b2c. 99. 2) 1; 4) ж2.100. 0,03ау2.
5а(а + 1)2. 102. 0,75а3(ж - 2)п. 103. Зж(а + 6)2.
106. а3-2а2 + 4а + 0,2.106. а3-2а2 + 4а + 0,2.За(с-1)и. 105. За2+4аж + ж2.
106. а3-2а2 + 4а + 0,2.
106. а3-2а2 + 4а + 0,2.
—6а2 — ^ ab3 + Ь4. 108. 1 - 2L 109. 1) а — 2; 2) 2а + 1.
1) 4а2-1; 2) 1 + -^--
1) a4 + a3b + a2b2 + ab3 + Ь4; 2) а4 - a3b + a2b2 - ab3 + Ь4.
Решение. Расположим делимое и делитель по убывающим степеням буквы ж и разделим «углом» (см. Приложение I, §3):
6ж4 — 13аж3+13а2ж2 — 13а3ж — 5а42ж2 — Заж — а2
6ж4 — 9аж3 — За2ж26ж4 — 9аж3 — За2ж2Зж2 — 2аж + 5а2Зж2 — 2аж + 5а2—4аж3+16а2ж2 — 13а3ж — 5а4-4аж3+ 6а2ж2 + 2а3ж10а2ж2 — 15а3ж — 5а410а2ж2 — 15а3ж — 5а4—4аж3+16а2ж2 — 13а3ж — 5а4-4аж3+ 6а2ж2 + 2а3ж10а2ж2 — 15а3ж — 5а410а2ж2 — 15а3ж — 5а4Ответ*. Зж2 —2аж + 5а2.а2 —2а6 + 362. 114. а2 — ЗаЬ + ЬЬ2. 115. ж2 — 2ху + 3?/2.ж + 23—.Ответ*. Зж2 —2аж + 5а2.а2 —2а6 + 362. 114. а2 — ЗаЬ + ЬЬ2. 115. ж2 — 2ху + 3?/2.ж + 23—.Решение. Поступаем, как и в задаче 112:Решение. Поступаем, как и в задаче 112:-Зж5 + 2ж3-Зж2+2ж—Зж5 + 2ж3-Зж5 + 2ж3-Зж2+2ж—Зж5 + 2ж3—Зж2+2ж-Зж2 + 2—Зж2+2ж-Зж2 + 2-Зж2 + 2-Зж2 + 2ж3 +1ж3 +1з , 1 , 2(ж — 1) Ответ*, ж + Ц— .2 —Зж2з , 1 , 2(ж — 1) Ответ*, ж + Ц— .2 —Зж22ж-2.2ж-2.2(ж — у) — х. 119. 4с2ж2 — 5с4 Н—42(ж — у) — х. 119. 4с2ж2 — 5с4 Н—4ж3 + 2ж2—3 +5-.1 — Зж — ж2ж3 + 2ж2—3 +5-.1 — Зж — ж26п3ж6 - 4п4ж3 + п5 +—-. 122. 0,8а2ж + 10аж2 — 2ж3.6п3ж6 - 4п4ж3 + п5 +—-. 122. 0,8а2ж + 10аж2 — 2ж3.2ж — п2ж — п5а2 + 3аж —2ж2 + 9 9,т.Зйж2-4(14-2ж427а3 - 9а2пх2 + 3ап2ж4 - п3ж6 49.12а + 4пж25а2 + 3аж —2ж2 + 9 9,т.Зйж2-4(14-2ж427а3 - 9а2пх2 + 3ап2ж4 - п3ж6 49.12а + 4пж25 21020407 Ж 49 Ж 343 + 343(2 - 7ж)"5 21020407 Ж 49 Ж 343 + 343(2 - 7ж)"
6ж4 — 9аж3 — За2ж2
6ж4 — 9аж3 — За2ж2
Зж2 — 2аж + 5а2
Зж2 — 2аж + 5а2
—4аж3+16а2ж2 — 13а3ж — 5а4
-4аж3+ 6а2ж2 + 2а3ж
10а2ж2 — 15а3ж — 5а4
10а2ж2 — 15а3ж — 5а4
—4аж3+16а2ж2 — 13а3ж — 5а4
-4аж3+ 6а2ж2 + 2а3ж
10а2ж2 — 15а3ж — 5а4
10а2ж2 — 15а3ж — 5а4
Ответ*. Зж2 —2аж + 5а2.
а2 —2а6 + 362. 114. а2 — ЗаЬ + ЬЬ2. 115. ж2 — 2ху + 3?/2.
ж + 23—.
Ответ*. Зж2 —2аж + 5а2.
а2 —2а6 + 362. 114. а2 — ЗаЬ + ЬЬ2. 115. ж2 — 2ху + 3?/2.
ж + 23—.
Решение. Поступаем, как и в задаче 112:
Решение. Поступаем, как и в задаче 112:
-Зж5 + 2ж3-Зж2+2ж
—Зж5 + 2ж3
-Зж5 + 2ж3-Зж2+2ж
—Зж5 + 2ж3
—Зж2+2ж
-Зж2 + 2
—Зж2+2ж
-Зж2 + 2
-Зж2 + 2
-Зж2 + 2
ж3 +1
ж3 +1
з , 1 , 2(ж — 1) Ответ*, ж + Ц— .
2 —Зж2
з , 1 , 2(ж — 1) Ответ*, ж + Ц— .
2 —Зж2
2ж-2.
2ж-2.
2(ж — у) — х. 119. 4с2ж2 — 5с4 Н—4
2(ж — у) — х. 119. 4с2ж2 — 5с4 Н—4
ж3 + 2ж2—3 +5-.
1 — Зж — ж2
ж3 + 2ж2—3 +5-.
1 — Зж — ж2
6п3ж6 - 4п4ж3 + п5 +—-. 122. 0,8а2ж + 10аж2 — 2ж3.
6п3ж6 - 4п4ж3 + п5 +—-. 122. 0,8а2ж + 10аж2 — 2ж3.
2ж — п
2ж — п
5а2 + 3аж —2ж2 + 9 9,т.
Зйж2-4(14-2ж4
27а3 - 9а2пх2 + 3ап2ж4 - п3ж6 49.
12а + 4пж2
5а2 + 3аж —2ж2 + 9 9,т.
Зйж2-4(14-2ж4
27а3 - 9а2пх2 + 3ап2ж4 - п3ж6 49.
12а + 4пж2
5 2102040
7 Ж 49 Ж 343 + 343(2 - 7ж)"
5 2102040
7 Ж 49 Ж 343 + 343(2 - 7ж)"
1) -ж2 + ^^.
Решение. Снова поступаем, как и в задаче 112:
2ж4ж2 —ж + 3
2ж4-2ж3+6ж22ж2 + 2ж -4
2ж3 -6ж2
2ж3-2ж2 + 6ж
-4ж2 - 6ж
-4ж2 + 4ж -12
— 10ж + 12
Ответ: 2ж2 + 2ж-4+Д^——U ж2 — х + 3
3> 21 + 1+2^-
1)1)1)1)4ж(®2 + 1)..5ж2 —4.(ж2 + 2)2(ж2 —1)(ж + 2)2,5-10 = 25; 2) 2-128 = 256. 130. 2)4ж(®2 + 1)..5ж2 —4.(ж2 + 2)2(ж2 —1)(ж + 2)2,5-10 = 25; 2) 2-128 = 256. 130. 2)12 *1 — ах12 *1 — ах1-625 _1-25 “1-625 _1-25 “
1)
1)
1)
1)
4ж(®2 + 1)..5ж2 —4.
(ж2 + 2)2(ж2 —1)(ж + 2)
2,5-10 = 25; 2) 2-128 = 256. 130. 2)
4ж(®2 + 1)..5ж2 —4.
(ж2 + 2)2(ж2 —1)(ж + 2)
2,5-10 = 25; 2) 2-128 = 256. 130. 2)
12 *
1 — ах
12 *
1 — ах
1-625 _1-25 “
1-625 _1-25 “
1) ж(2 —ж2). 132. 2) (a-b)(a^b)(x-l). 133. 2) (а2 + 1)2.
2) (а^Ь)2Ь. 135. 2) (а - 1)2(а + 1)(а2 + а + 1).
^| а6 - 0,0267) ^ а6 + 0,0267).^| а6 - 0,0267) ^ а6 + 0,0267).2) ап(а^1\137. (
^| а6 - 0,0267) ^ а6 + 0,0267).
^| а6 - 0,0267) ^ а6 + 0,0267).
(^а62 + ^с3</4) . 139. а363(26 — За)3. \24/v 7
140. (0,2а — 1)(36 + 5).142. ((п2 - 2пж) + ж)2.140. (0,2а — 1)(36 + 5).142. ((п2 - 2пж) + ж)2.141.143.141.143.а(1 — а)(2 + а).(а + п - р)(а - п + р).а(1 — а)(2 + а).(а + п - р)(а - п + р).
140. (0,2а — 1)(36 + 5).
142. ((п2 - 2пж) + ж)2.
140. (0,2а — 1)(36 + 5).
142. ((п2 - 2пж) + ж)2.
141.
143.
141.
143.
а(1 — а)(2 + а).
(а + п - р)(а - п + р).
а(1 — а)(2 + а).
(а + п - р)(а - п + р).
(у - z^(x - у + z).
Решение. Имеем
2а2 — а2п + (п — 2) (ап — а)2 = а2(2 — п) — (2 — п)(п — 1)2а2 =
= а2 (2 - п)(1 - (п - I)2) = а2(2 - п)(2п -п2) = а2п(2 - п)2.
Зп2(п-2)3. 147. с4(2с2 + 3)3. 148. (ж2п+4)3.
х3(х — 1)3(ж2 + х +1). 150. 7Ь(Ва — Ь\
(ху -Vx)(xy + Зж3?/4 - 1). 152. (5ж + 2а - 36) (5ж - 2а + 36).
(ж + 2)(ж2-ж + 2).154. (ж - ^2) (ж + ^2) (х2 + 2).
(а + 6 — с)(а — 6 + с).156. (а + Ь)(а — 6)(а2 + ab + 62).
Решение. При раскрытии скобок члены, содержащие ж3, у3, z3, взаимно уничтожаются. Оставшиеся восемь членов разлагаем на множители:
Sx2y + 3ж?/2 + 3ж2^ -VSxyz + 3?/2z -VSxyz + 3ж^2 + 3?/z2 =
= Зху(х + у) 4-3xz(x4-y) + 3?/;Дж + ?/) + 3^2(ж + ?/) =
= 3(ж + т/)(ж + ^)(т/ + ^).
^a-b^b-c^c-aY 159. 2(ж + 2)(ж + 3).
(ж + 1)(ж + 2)(ж + 5).161. х^х — 3)(х -4) (ж-5).
(а2 + Ь2)(х2 + у2\163. z2{x — z)(y — zY
ж(ж + 2)(ж2 + 2ж + 2).165. 4ж?/(3ж2+ ?/2)(ж2+ 3?/2).
Решение, х4 +1 = х4 + 2ж2 +1 — 2ж2 = (ж2 +1)2 — (л/^ж2)2 =
= (ж2 + 1 + ж д/2) (ж2 + 1 — ж д/2).
(п + ж)(п — ж)2.168. 9(а + ж)(а2 + аж + ж2).
Зж(ж2 — 2)2(ж2 + 2)(ж4+ 4).170. (а — п2)(а3 + ап — п3).
(а2 + z2)(a2 -Va2z2 + z2)(a2 — a2z2 + z2).
(а2ж — 2п)2(а2ж + 2n + 1)(а2ж + 2n — 1).173. (ж —?/2 + z3)2.
(2а-ж3)(2а-ж)3(2а + ж).175. (ж + 1)(ж2 - ж - а).
(ж2 + 1)(ж4 - ж2 +1).177. (ж2 + 2ж?/ + 2?/2)(ж2-2ж?/ + 2?/2).
(ж2 + ж + 1)(ж2-ж + 1).
(а2 + (а +1) (2 — л/2)) (а2 + (а +1) (2 + л/2)) •
(ж2 + у2 + ху)(х2 + у2 — xyY
2(а2 + п2)(а4 + 16а2п2 + п4).
(ж2 + ж д/2 + 1) (ж2 — ж д/2 + 2).183. 2; при а = 7.
2; при ж = 5. 185. Учетверенное произведение тех же чисел.
Алгебраические дроби
При делении (а5 — Ь5) : (а — Ь) или ж5 : (1 — ж3) (задачи 111 и 127) имелось в виду, что а ^ b и соответственно ж ^ 1, поскольку при этих значениях букв делители обращаются в нуль, а на нуль делить нельзя. Поэтому во всех дробных выражениях, в том числе и во входящих в уравнения, следует не забывать о допустимых значениях букв, входящих в знаменатели. Например, в задаче 213: а / ±1, в задаче 216: n^Y 'п-Y _1; п 0.
В дальнейшем будут встречаться корни четной степени из буквенных выражений. Следует напомнить, что в области действительных чисел корень четной степени из отрицательного числа не имеет смысла. Область допустимых значений букв, входящих под знак радикала с четным показателем, есть такое множество действительных чисел, при которых подкоренное число не может быть отрицательным. Например, если имеем V1 — ж2, то — 1 ^ ж ^ 1. Далее в таких оговорках нет необходимости.
199.202.205.207.210.214.219.223.229.233.199.202.205.207.210.214.219.223.229.233.4)4)2)2)4)4)1)1)-. 200. 4) -(а2 + 62). 201. 4). ч..У7X77 8а—6аж + 4ас-. 200. 4) -(а2 + 62). 201. 4). ч..У7X77 8а—6аж + 4ас5а^_1^Г Зж2(жп-1 + 2)2,2ар — Ьт 3 2 3'а п р5а^_1^Г Зж2(жп-1 + 2)2,2ар — Ьт 3 2 3'а п р203. 4) -^. 204. 4)203. 4) -^. 204. 4)206. 2)206. 2)4m2 — ^тп — 28п2т(т2 — 4п2)4m2 — ^тп — 28п2т(т2 — 4п2)11асас2)2)п — ап — а208.208.24244 *4 *209.209.-1. 211.-1. 211.771 — 1.771 — 1.22• — а*22• — а*22212.212.1Н —1Н —2 *2 *213.213.215. 3.215. 3.216.216.п — 1п — 1217.217.220. 2ж + 1.220. 2ж + 1.1-1. 224. — жах1-1. 224. — жахV 230.V 230.1-1а1-1а2ж2 — Зж +12ж2 — Зж +1221.221.227.227.2жз2жз3жп + 33жп + 3(g-6)2ab(g-6)2ab222d -|- 12d -|- 1а + п\. 218. 2. а^а—Зп)а + п\. 218. 2. а^а—Зп)п + И-1. пп + И-1. пжп + 5.жп + 5.231."9 ,.ах —^ах231."9 ,.ах —^ах232. 1+ 2а6232. 1+ 2а6
199.
202.
205.
207.
210.
214.
219.
223.
229.
233.
199.
202.
205.
207.
210.
214.
219.
223.
229.
233.
4)
4)
2)
2)
4)
4)
1)
1)
-. 200. 4) -(а2 + 62). 201. 4). ч..
У7X77 8а—6аж + 4ас
-. 200. 4) -(а2 + 62). 201. 4). ч..
У7X77 8а—6аж + 4ас
5а^_1^Г Зж2(жп-1 + 2)
2,2
ар — Ьт 3 2 3'
а п р
5а^_1^Г Зж2(жп-1 + 2)
2,2
ар — Ьт 3 2 3'
а п р
203. 4) -^. 204. 4)
203. 4) -^. 204. 4)
206. 2)
206. 2)
4m2 — ^тп — 28п2т(т2 — 4п2)
4m2 — ^тп — 28п2т(т2 — 4п2)
1
1
ас
ас
2)
2)
п — а
п — а
208.
208.
2
4
2
4
4 *
4 *
209.
209.
-1. 211.
-1. 211.
771 — 1.
771 — 1.
22
• — а
*
22
• — а
*
2
2
212.
212.
1
Н —
1
Н —
2 *
2 *
213.
213.
215. 3.
215. 3.
216.
216.
п — 1
п — 1
217.
217.
220. 2ж + 1.
220. 2ж + 1.
1-1. 224. — жах
1-1. 224. — жах
V 230.
V 230.
1-1
а
1-1
а
2ж2 — Зж +1
2ж2 — Зж +1
221.
221.
227.
227.
2ж
з
2ж
з
3жп + 3
3жп + 3
(g-6)2ab
(g-6)2ab
2
2
2d -|- 1
2d -|- 1
а + п\. 218. 2. а^а—Зп)
а + п\. 218. 2. а^а—Зп)
п + И-1. п
п + И-1. п
жп + 5.
жп + 5.
231."9 ,.
ах —^ах
231."9 ,.
ах —^ах
232. 1+ 2а6
232. 1+ 2а6
Уравнения первой степени с одной переменной.Системы уравнений первой степении приводящиеся к ним
1) а 0;2) а = 0; 3) а = b = 0.
1) а^1;2) а = 1. 238. 1) аг = -2;а2 = 1; 2)а = 2.
Да. 240.Да. 241. Да. 242. Нет.243. Нет.
Нет. 246. 2,5. 247. -3.
1) а = т, b ^ п, 2) а = т, Ь = п.
1) х = -—2) нет корней: 3) х — любое число, п — 1
ж = 79. 251. 1) х = 0; 2) х = 1; 3) жх = 2; х2 = -3.
1) Ж1 = -5; ж2 = 1; ж3 = -у; 2) ж = 13,5.
1) х = 5; 2) xi = —5; х2 = 3. 254. Нет корней.
х — любое число. 256. Нет корней. 257. х = 17.
Ж1 = —1; х2 = 1.
Ж1 =0; х2 — любое отрицательное число.
Xi = 0; х2 = 2.261. Нет корней.
Ж1 = —2,5; ж2 = 0,5. 263. жх =-1; х2 = 4. 264. ж = 1.
4
х = 0,1. 266. я = ^. 267. я = 6,3. 268. х = 10.
я = 0,5. 270. я = 2. 271. я = 1. 272. ж = 0,75.
ж = 1. 274. ж = 8. 275. ж = 0,5(1 + д/2).
ж = 2^2-3. 277. ж = 0,75 . 278. ж = 1 + д/2.
ж = \/2 + 2.
Решение. Приведем данное уравнение к виду - = 0. 6я 2я + 1 п 6я2 — (2я + 1) (Зя — 1) л
Имеем= 0, или Ц- = 0. Из условия
Зя-1 хя(Зя-1)J
равенства нулю дроби следует: если х(3х — 1) ^ 0, то 6я2 — (2я +1) х х (Зя — 1) = 0, или —х + 1 = 0. При полученном значении х = 1 знаменатель х^х — 1) в нуль не обращается: 1(3 • 1 — 1) = 2 / 0. Следовательно, х = 1 является корнем уравнения.
Ответ*, х = 1.
9
я = -2|. 282. я = 15. 283. я = 0,1. 284. х = -0,2.
ж = |. 287. ж = 0. 288. ж = 1|.
1 \Т/Г3(2 я) ~ Зя + а 6
1) Решение. Имеем3 = 0, -=0, =
72-я’2-я’2-я
= 0. Если 2 — х 0, то Зя + а — 6 = 0, я = а . Знаменатель 2 — я _ 6 — а6 — 6 + аа
при полученном корне обращается в 2— == —. Отсюда
получаем такой ответ*, уравнение имеет единственный корень х = = —^, если а 0; уравнение не имеет корней, если а = 0;
если а / — 1, то я = ° ^ р если а = — 1, то корней нет;
если а / 3, то я = ° ^ ^; если а = 3, то корней нет.
я = 0,25; п^±1.
а ±1. Если а —|, то я = а; если а = —|, то я — любое действительное число.
а / 0; b / 0; с / 0. Если ab + Ьс + ас / 0, то я = а + b + с; если ab + Ьс + ас = 0, то х — любое действительное число.
я = а + Нс; а ^ 0; Ь^^* с ^ 0. 294. х = а\ а^М.
Если а / —Ь, то я = 0,5(а + 6); если а = —Ь, то корней нет.
Если а = 6, то х — любое действительное число; при а ^ Ь: если а — о, то я = если а = — о, то корней нет.
Если а 2п, то я = ———; если а = 2п, то я — любое дейст- — а вительное число.
Если а / Ь, то я = а + Ь' если а = Ь, то я — любое действительное число.
Если п = 1, то корней нет; если а / 0 и п / ±1, то ж = = а(п + 1); в остальных случаях ж — любое действительное число, не равное нулю.
Если а ф — 1 и а / 0, то ж = ^-; если а = — 1, то ж — любое действительное число; если а = 0, то решений нет.
Если а / —2п, то ж = -^^—; если а = —2п / 0, то корней нет; а + 2п
если а = —2п = 0, то ж — любое действительное число, не равное нулю.
Если а / 2с, то х = а^а ; если а = 2с / 0, то нет корней; а 2 с
если а = 2с = 0, то ж — любое действительное число, не равное нулю.
42 км. 304. 3060 руб. 305. 4 ч. 306. 3 кг; 5 кг.
Решение. Первый рабочий в один день выполняет — часть 1п
задания, а второй — часть задания. За ж дней оба рабочих выполняют
все задание, принимаемое за единицу. Получаем уравнение —I= 1,
тп /пт
откуда ж = (дней),
m + n
4 кг. 309. 20 см3; 25 см3. 310. 144 об/мин. 311. 300 г.
760 г; 300 г. 313. « 15800 м3. 314.29. 315.2240 км.
150 и 200. 317. 4,5 м; 9 м; 3,5 м; 8 м. 318. 224 м.
За 24 сек. 320. «39,3° С. 321. и 890 м. 322. 2 л.
40000. 324. -^-%. 325. ^^ л. 328. (3;2).
Нет решений. 330. (59; 369). 331. Нет решений.
3. 333. -|. 334. 16. 335. -з|.
Таких значений нет. 337. а G R, а ^4. 338. а —0,2.
а = 2,5. 340. а е R. 341. (-1;0). 342. (-2,7; 0,4). / \/з д\
(5; 4). 344. (-2; 0,6). 345. (6; 8). 346. (--^;-|).
/414 \I). 349. (0;0). 350. (^; А). о /\ OU 1U //414 \I). 349. (0;0). 350. (^; А). о /\ OU 1U /(3;2). 348. (1,1;
/414 \
I). 349. (0;0). 350. (^; А). о /\ OU 1U /
/414 \
I). 349. (0;0). 350. (^; А). о /\ OU 1U /
(5; 9). 352. (2;3). 353. (4; 4). 354. (1;1).
(5; 10). 356. (5;3). 357. (0,5; 2,5).
^2V2-1;^=^^. 359. (4,5; 1).
Если а ^ Ь, то ж = —1,6; у = 1,92; если а = Ь. то решений бесконечно много.
(2;1). 362. (0,8; 0,6). 363. (25; 2,5). 364. (1;0,2).
(1;6). 366. (8; 5) (ограничиваемся случаем, когда ж / "У)"
367. (1,32; 3,44). 368367. (1,32; 3,44). 368369. (6; 2). 370. (1,25; 0,25).
367. (1,32; 3,44). 368
367. (1,32; 3,44). 368
371 и 373 — единственное решение.
372 и 375 — бесконечное множество решений.
374 и 376 — решений не имеют.
379. Нет. 380. (5;3; —2). 381. (6; 5; 2). 382. (|; 10; |).
383. (0,64; 0,72; 0,84). 384. (-2;-1,5; 10,5). 385. (9; 6; 7).
/4’386. (^;-4;2/4’386. (^;-4;2H^f)' 388. (6; 4; 5).H^f)' 388. (6; 4; 5).
/4’
386. (^;-4;2
/4’
386. (^;-4;2
H^f)' 388. (6; 4; 5).
H^f)' 388. (6; 4; 5).
389. (2;3;1). 390. (20; 30; 40). 391. (2;3;4).
393. (12; 24; 36).393. (12; 24; 36).12 16 40\41’ 41’ 41712 16 40\41’ 41’ 417395. Решение (схематическое). Введем обозначения: = и:1х v72ж + у= v; = w. Тогда Зу — z ох — z395. Решение (схематическое). Введем обозначения: = и:1х v72ж + у= v; = w. Тогда Зу — z ох — z5n + 2v -2w = ^, 10n + 5v — 3w = ^, 5и — v — w = — —.5n + 2v -2w = ^, 10n + 5v — 3w = ^, 5и — v — w = — —.-2-2-3-3
393. (12; 24; 36).
393. (12; 24; 36).
12 16 40\
41’ 41’ 417
12 16 40\
41’ 41’ 417
395. Решение (схематическое). Введем обозначения: = и:
1х v72ж + у
= v; = w. Тогда Зу — z ох — z
395. Решение (схематическое). Введем обозначения: = и:
1х v72ж + у
= v; = w. Тогда Зу — z ох — z
5n + 2v -2w = ^, 10n + 5v — 3w = ^, 5
и — v — w = — —.
5n + 2v -2w = ^, 10n + 5v — 3w = ^, 5
и — v — w = — —.
-2
-2
-3
-3
3w + 4v = |i3w + 4v = |i-2-2Далее.Далее.1111и = —; и = —; w =20’10’111111и = —; и = —; w =20’10’111115'115'1’ 2х + у 20’ Зу- z 10’ 5x-z 5’’ 2х + у 20’ Зу- z 10’ 5x-z 5’
3w + 4v = |i
3w + 4v = |i
-2
-2
Далее.
Далее.
1
1
11
и = —; и = —; w =20’10’
1111
11
и = —; и = —; w =20’10’
1111
1
5'
1
1
5'
1
’ 2х + у 20’ Зу- z 10’ 5x-z 5’
’ 2х + у 20’ Зу- z 10’ 5x-z 5’
Складывая первое уравнение с третьим и второе также с третьим и исключая w, получаем:
—5ж + Зг/ = 5
2ж + т/ = 20
-3
-Пж =-55
'2х^у = 2^.)< Зр - % = 10,Ьх — z = 5.
Ответ*, х = 5; у = 10; z = 20.
х = а; у = b; z — c при а / 0, Ь^0, с / 0. 397. (3;2;1). ^-с с-а
cab
Если а / b. b / с, с ^ а* а / 0, b / 0, с / 0, то х = _ d(d — b)(c — d)._ d(a — d){d — с). _ d(b — d){d — a)
а^а — Ь^с — аУ^ Ь^а — ЬуЬ — сУ^ с(Ь-сУс-а)*
(1;3;4;2). 401. (1; —1;0;2).
Решение. Пусть — —искомая дробь. Тогда по условию за-Решение. Пусть — —искомая дробь. Тогда по условию за-х — 11дачи имеем = -у 5ж = 6; у = 25.Ответ: ^.8 чел., 6 ди.х — 11дачи имеем = -у 5ж = 6; у = 25.Ответ: ^.8 чел., 6 ди.ии1 = -, откуда Ьх — 5 = у и1 = -, откуда Ьх — 5 = у и150 ми 60 м. 405.150 ми 60 м. 405.кгкг4х = у — 1;4х = у — 1;пр и пр и кг.кг.
Решение. Пусть — —искомая дробь. Тогда по условию за-
Решение. Пусть — —искомая дробь. Тогда по условию за-
х — 11
дачи имеем = -
у 5
ж = 6; у = 25.
Ответ: ^.
8 чел., 6 ди.
х — 11
дачи имеем = -
у 5
ж = 6; у = 25.
Ответ: ^.
8 чел., 6 ди.
и
и
1
= -, откуда Ьх — 5 = у и
1
= -, откуда Ьх — 5 = у и
150 ми 60 м. 405.
150 ми 60 м. 405.
кг
кг
4х = у — 1;
4х = у — 1;
пр и
пр и
кг.
кг.
406. 24 и 16. 407. 60 км, 40 км и 25 км.
4 лошади и 21 корова.
252 — с Зс —5251
——— ч и ——— ч, где 175 < с < 252.
Решение. Пусть в данном куске латуни х г меди, тогда
11г, а ж г «теря-г, а ж г «теря-цинка (124 —ж) г. Один грамм меди «теряет» в воде — 10±
1
1
г, а ж г «теря-
г, а ж г «теря-
ют» — х г. «Потеря» массы цинка соответственно равна -(124 —ж) г.
89101'
По условию задачи имеем — ж + - (124 — ж) = 15. Отсюда 70ж +
+ 124 • 89 - 89ж = 15 • 7 • 89; 19ж = 124 • 89 - 105 • 89 = 19 • 89; ж = 89 г.
Ответ: меди 89 г, цинка 35 г.
1,8 г/см3; 1,2 г/см3. 412. 15 г; 8 г. 413. 15 м/с, 10 м/с.
71. 415. 156. 416. 24 ч; 36 ч. 417. 20 дн; 30 дн; 60 дн.
Ц ч; 3^ ч; 7 ч. 419. 608.
200, 175, 125 и 100 станков.
Масса первого куска равна 4 кг; второй кусок 900-й пробы; третий кусок 720-й пробы, его масса равна 8 кг.
N N N
——, ——- и ——, где N = (а+ 6 +2)#.
а + 1 ab — 16 + 1
а(п3 + 3(п + 1)2)п а(п2+ 3(п + 1))п а(п + 3(n + 1)) и2
60°; 40°; 0°; -20°.
§ 5. Извлечение квадратного корня
1) 19; 2) 365. 426. 1) 8099; 2) 250047.
2) 90290046. 428. 1) 8,9; 4) 321,321.
429. 1) 0,001024; 3) 156,0001; 4) 1234,4321.
430-432. Все девять задач рекомендуется решить и проверить устно.
1) «1,414; 2) «3,606; 4) «99,995.
1) «0,071. 435. 1) «2,769. 436. 2) «264,577.
1) «2,713.
§ 6. Квадратные уравнения
а) жх = —2 и х2 = — 5; б) х = 0; в) Ху = — 1 и х2 = — 6; г) ни при каких.
/, \22
+-^^с.
V 2VaJ 4а
1) ах2 + Ьх = 0; 2) ах2 = 0; 3) ax2-Vc = ^.
а =+2. 444. х = -1; а = -2. 445. х = -1; т = -4.
q = p — l. 447. а = с; |6| > 2а. 448. аг = -2,5; а2 = 1,5.
449. а = 0,5. 450. а = 1; с = 4. 451. хг = -5; х2 = 7.
452. Ж1=2,6;ж2 = 1- 455. | < f <+оо. 456. 0. 457. Да.
458. Нет. 459. Да. 460. Нет. 461. жх = 0; ж2 = 13,7.
462. жх =0,5(4V2-2); ж2 = 0,5(2-4\/2).
463. Ж1 = —0,9; ж2 = 1,5. 464. жх = -2; ж2 = 2,4.
465. Жх = -14; ж2 = 5. 466. ж =-9. 467. жх =-27; ж2 =-1.
468.жх = -3; ж2 = 7. 469. жх =-5; ®2 = 4^.470.ж= 2.
471.0. 472. ж = 8. 473. жх =-1,5; ж2 = 1.474.ж= 32.
475. ж = 1|. 476. Ж1,2 = ±2,16. 477. 0. 478. ж = 3.
479.ж = 9. 480. жх =-1; ж2 = 7. 481. жх = 1,4; ж2=3.
ж = 1. 483. ж=4- 484. ж = 2^.
163
485. Решение. Дискриминант данного уравнения Зж2 — Ьах — — 2а2 = 0 равен D = 25а2 + 24а2 = 49а2; D ^ 0, следовательно, уравнение имеет корни при любом значении а.
Если а = 0, то D = 0; уравнение имеет единственный корень. Действительно, при а = 0 данное уравнение принимает вид Зж2 = 0, откуда х = 0.
Если а ^ 0, то D > 0; уравнение имеет два корня, которые .5а±7аа~
вычисляются по формуле х = —-—, откуда хх = — — и х2 = 2а.
Ответ: если а = 0, то Xi = 0; если а 0, то х2 = — ^ и хз = 2а. 486. Если b = —7, то Xi = —3; если b ^ —7, то х2 = — 3 и хз = ^ ^ • 487. Xi = 2; х2 = 2(п-1).488. Ж1=3-а; ж2 = 3 + а.
489.490.491.489.490.491.Xi = 2; х2 =Xi = 2; х2 =2п — 532п — 53Если а ^ —1, то Xi = —3, х2 =Если а ^ —1, то Xi = —3, х2 =V2 + l,lV2 + l,lж2 = х/2 + 1,1.ж2 = х/2 + 1,1.1 — 2а1 + а492.1 — 2а1 + а492.; если а = —1, то х = —3.; если а = —1, то х = —3.Ж1 =Ж1 =а + b а — b—?; ж2 = — а — о а + оа + b а — b—?; ж2 = — а — о а + о
489.
490.
491.
489.
490.
491.
Xi = 2; х2 =
Xi = 2; х2 =
2п — 5
3
2п — 5
3
Если а ^ —1, то Xi = —3, х2 =
Если а ^ —1, то Xi = —3, х2 =
V2 + l,l
V2 + l,l
ж2 = х/2 + 1,1.
ж2 = х/2 + 1,1.
1 — 2а
1 + а
492.
1 — 2а
1 + а
492.
; если а = —1, то х = —3.
; если а = —1, то х = —3.
Ж1 =
Ж1 =
а + b а — b
—?; ж2 = — а — о а + о
а + b а — b
—?; ж2 = — а — о а + о
37 В. А. Бачурин
а / 0. Если а / ±1, то жх = а, Ж2 = -——; если а = ±1, то ж3 = 0.а
Если а ^ 0, то жх = —2а, Ж2 = За; если а = 0, то корней нет.
495. Если а ^ Ь, то жх = 2Ь — а, Ж2 = 2а — 6; если а = Ь. то реше495. Если а ^ Ь, то жх = 2Ь — а, Ж2 = 2а — 6; если а = Ь. то решений нет.ний нет.496. Если а2 / Ь2, то жх = а + 6, Ж2 =496. Если а2 / Ь2, то жх = а + 6, Ж2 == 2а; если а = — Ь, то ж< = 0.= 2а; если а = — Ь, то ж< = 0.2аЬ,-; если а = о. то жз = а + 6’’2аЬ,-; если а = о. то жз = а + 6’’497.нет.497.нет.Если а 0, то жх = ° +? Ж2 = а + 1; если а = 0, то корней аЕсли а 0, то жх = ° +? Ж2 = а + 1; если а = 0, то корней а
495. Если а ^ Ь, то жх = 2Ь — а, Ж2 = 2а — 6; если а = Ь. то реше
495. Если а ^ Ь, то жх = 2Ь — а, Ж2 = 2а — 6; если а = Ь. то реше
ний нет.
ний нет.
496. Если а2 / Ь2, то жх = а + 6, Ж2 =
496. Если а2 / Ь2, то жх = а + 6, Ж2 =
= 2а; если а = — Ь, то ж< = 0.
= 2а; если а = — Ь, то ж< = 0.
2аЬ,
-; если а = о. то жз = а + 6’’
2аЬ,
-; если а = о. то жз = а + 6’’
497.
нет.
497.
нет.
Если а 0, то жх = ° +? Ж2 = а + 1; если а = 0, то корней а
Если а 0, то жх = ° +? Ж2 = а + 1; если а = 0, то корней а
Если а ^ 0, то жх = За, Ж2 = —2а; если а = 0, то корней нет.
а ^ 0; b / 0. Если а + b = 0, то уравнению удовлетворяет любое значение ж, кроме ж = 0; если а + b / 0, то жх = — а; Ж2 = —Ь.
Ж! = ^3 + ^2; ж2 = ^- 501. ж2-4ж±1=0. 502. ±235.
Решение. Искомые числа имеют вид: ж; ж + 1; ж+ 2, где х Е Z. По условию задачи составляем уравнение:
ж(ж + 1)(ж + 2) । ж(ж + 1)(ж + 2) । ж(ж + 1)(ж + 1) _ хж + 1ж + 2'
При ж ^ 0; ж % — 1; ж ^ —2 получаем: ж2 + Зж + 2 + ж2 + 2ж + ж2 + ж = = 107, или Зж2 + 6ж — 105 = 0; ж2 + 2ж — 35 = 0, откуда жх = —7; Ж2 = 5.
Ответ*. —7; —6; —5 или 5; 6; 7.
6 и 8, или 8 и 6. 505. 15. 506. ж2-15ж + 50 = 0.
ж2 + ж2=р2-2^.
а) ж2 — Ж2 = ±р л/р2 — 4g;
б) Жх + Ж2 = —р(р2 — 3q), ж3 — ж| = ±(р2 — q) \/р2 — 4q.
а) т = -^. 510. q = -16.
((а + Ь) х + (а — 6)) ((а — Ь) х — (а + 6)).
Два различных действительных корня.
Оба отрицательные.
Например: 1) ж2 —Зж + 2 = 0; 2) ж2 + ж —6 = 0;
ж2 + 4ж + 4 = 0.
1- V2; ж2 —2ж —1 = 0. 517. 400 км/ч; 320 км/ч.
5 ч; 7 ч. 519. 14 дней; 11 дней. 520. 5%.
521. 22 участника. 522. Восьмиугольник. 523. 10 л.
32 км/ч. 525. 18 т; 15 т. 526. 8,8 г/см3; 7,8 г/см3.
20 см3; 30 см3. 528. 160 г; 30%. 529. «72 м.
±/ut + V k2t24-4kts/ /—гх
М* 531. \а — vab) л.
n — at + A/^^+T^OatJ/_ о о — Зи + лАЬН-взй,
532. км/ч. 533. км/ч.
20 автомашин. 535. 75 км/ч. 536. 7 дней и 12 дней.
7ы-bk + ^2^2 + 400bks
-. 538. Играли; 12 чел. 539. ——.
52d
30 км/ч.
| (60с/ + а/3600с/2 + t2u2). Указание. Если ж — скорость вестового относительно местности, то относительно движущейся в том же направлении колонны она равна ж —ж, а при обратном движении она равна ж + ж.
§ 7. Степени и радикалы. Обобщение понятия степени
1) 5,83-102; 3) 1,2-1010.
ж2 + у^ + % + 2(ж?/2 + ж+ У2V^) •
545. 4Aa4-2a3V^+a2b(l + 2bVb)-2ab3 + b5), а ^ 0, 6^0. а b
547. а + 6 + с + й + 2(л/аб + -/ас + Vad + Vbc + Vbd + Vcd) ■
549. 15-IQ-5; 23-IO-7; 124-IO-8; 2000003•IO”6.
m — 1, m^l, m ^ 0.
6(3а2 — Заб + 62)(a — 6) 4, a ^ ±6, «^0, b^0.
6. 562. 0, а^±ж. 563. V», « ^ 0. 564. m-n.
0,5V2. 566. OjVIO. 567. 2. 568. 2. 569. 14.
2V3. 571. ж +V^-y2,572 V3 + V2.
У
n^h 574. 2(^3--^2)(\/3+^2)(3 + \/2).
Va-b
\8/Ж- 576-ж^0.
V 243v ,
(аб)1-ти mVambn - anbm, a 0, b^0.
1, a^0, b^0. 579., ж ^ 0, y^0. 580. ж2’5.
аж, а ^ 0, ж ^ 0. 582. ^b^ — 3\^ab2 + 2 ^а26, b^0.
5^a-9V^-7 v^, a^0.
Уа — $УаЬ+Ус. Указание. Разложить делимое на множители.
0,5(с/2 —с2), d^0. 586. (1 — Уп-V УпА) п-1/2, п 0.
Решение. Полагаем 0 < а < 1. Второе слагаемое множимого можно упростить:
1 — а _ V1 — а • V1 — а _ V1 — а
Далее будем последовательно упрощать так:
V1 + а + V1 — a V1— °2 — 1 _(1 + а) —(1 —а)^/1 — а2 — 1
Vl + a-Vl-а а (1 + а) - 2 \/1-а2+(1 - а) °
_ 2а \/1 — а2 — 1 _2-2 \/1-а2°
Vb — л/а, a^b, а ^ 0, Ь^О. 589. 3, х ^ 0, х^у.
2^Уах, а^х. 591. 0, у ^ 0, х^у, а^0.
2 — 1
141 + 140V6. 595. --, ж = ±1.
а —1, а^0, а/±1. 597. 32. 602. 0, а^0, а^Ь.
1, а ^ Ь. а ^ 0, Ь^0. 604. 0, а ^ — Ь, а^0, Ь^О.
2^fx, а ^ х.
Решение. Имеем
4-(2а6)3/4(2d6)1/2 а^а - 26) - 4Ь(а - 86) - 4862 _
(дА-V26)(d + 26) ^2^6(а/26 + аА)(а-86)(а-26)
_ Bab а+ 26 _ Bab — а2 — 4ab — 462 _ 4аЬ — а2 — 462 _
d2 _ 452 а - 26а2 _ 452а2 _ 4^2
(d 26) (26 а) 2Ь а / ~>/ q i
= -тг22—о—- =а# 0, 6 + 0, а + 26, а+ 86.
d2 -462« + 267777
-2.
Уравнения высших степеней.Рациональные уравнения )
1) Xi = Х2 = 0; ж3д = ±3; 2) Ж1,2 = ±0,5; ж3д = ±1.
яд 2 = ±ft; ж34 = ±0,5. 611. Ж12 = ± —; ж34 = ± —. ’’’ п ’ т
Ж1?2 = ±(^ + 6); Жзд = ±(а — 6).613. Ж1?2 = ±д/3; жзд = ±3.
Xi = х2 = -3; x3)4 = ±VT6 — 3.
Ж1 = Ж2 = 1; хз = 2; ^4 = 0,5.
Ж1,2 = -1±2х/2; ж3 = —4; ж4 = 2. 618. 9ж4- 148ж2+ 64 = 0.
ж4 —25ж2 + 144 = 0. 620. (ж - 2)(ж + 2) (ж - 2 V2) (ж + 2^2).
(ж — а)(ж + а)(ж — а + 1)(ж + а — 1).622. ^—“•
22а —9
^^-. 624. Ж1 = -5;ж2 = 1.
Ж — 1
Решение. Пусть х2 = у. тогда у2 — 2(2 + V^) у + 8V5 = 0. Отсюда
у = (2+^)±/(2±Л)Т^7Л= (2 + -/3)±/(2±/?У =
= (2 + V3)±(2-V3); yi=2V3; у2 = 4.
Ответ: Ж1)2 = ±^Т2, ж3д = ±2.
жх = ж2 = 3; ж3,4 = 3±2х/5.
Ж1 = |; ж2 = -|; ж3 = |; ж4 = 5. 628. ж =-3.
Ж1,2 = ±1; ж3,4 = 2^±1- 630. ж = 2^/2.
Ж1 = -2; ж2 = 0; ж3 = 1.
Решение. Разлагаем левую часть уравнения на множители: х4 — 2ж3 — 8ж2 + 16ж ±3ж — 6 = ж3(ж — 2) — Вх(х — 2) + 3(ж — 2) =
= (ж —2) (ж3 — 9ж±ж±3) = (ж — 2) (ж ± 3) (ж2 — Зж + 1) = 0. Получили уравнение, равносильное исходному. Отсюда находим четыре корня: жх = 2; ж2 = — 3; ж3д = 0,5 (3 ± V5).
Ж1)2 = ±2.634. жх = 24; ж2 = —2; ж3 = 1; Ж4 = 3.
жх = 1; ж2 = 3. 636. жх = — 5; ж2 = —1; ж3 = 0; Ж4 = 8.
Ж12 = ±-.638. Ж1=0,5; ж23 = ±1: ж45 = ±2\/2.
’ а
Ж1,2 = ±2.640. Ж1,2 = ±3; ж3,4 = ±2; ж5 = 2.
Ж1?2 = ±1; ж3д = ±3.
жх = 6; ж2 = 8. Указание. Положить 7 — ж = у.
1 о'т24 т2
Решение. Имеем11 = 0, или — = 0;
ж + 1 ж-2’ (ж + 1)(ж-2)’
тогда ж2 — 4ж — 2 = 0 при (ж + 1)(ж — 2) ^ 0. Корнями уравнения ж2 — 4ж — 2 = 0 являются числа 2 — V6 и 2 + V6, причем (ж + 1) (ж — 2) ^ ^ 0. Следовательно, получаем ответ: xi^ = 2zE V6.
Ж1-4 = ±(\/б±1).645. Ж1-4 = ±(УП±х/2).
Ж1_4 = ±0,5(\/30±\/2).647. Ж1_4 = ±0,5(5±7).
Ж1-4 = ±0,5(д/5±2). 649. ж4,2 = ±д/2; ж3,4 = ±^.
Ж1,2 = ±^. 651. Ж1,2 = ±2л/3. 652. ж4_4 = ±0,5(V16± 1). ’21
Ж1 =-2; ж2 = --; ж3 =--; ж4 = 1.
a;i_4 = ±|(V7±V2).
Xi = —2; ж2 = 0; жзд = —0,5(2± д/бб) •
жх=0; ж2 = 1. 657. жх = 0,5; ж2 = 2.
Ж1 = —2; ж2 = 0. 659. жц2 = ±2; ж3,4 = ±3.
жх,2 = 0,5(-5±^). Указание. Разделить числители и знаменатели дробей левой части на ж (ж ^ 0) и сделать замену хА— = у.
хг =0,5; ж2 = 3,5.
Xi = 3; ж2 = 5; жз4 = 9±д/66. Указание. Положить х +
, 15’
+ — = ?/.
х
§ 9. Иррациональные уравнения
1) 0,5 ^ х ^ 2; 2) 0; 3) 3 ^ х < оо; 4) — 4 ^ х < оо.
1) Левая часть данного уравнения при всех допустимых значениях х положительна, а правая отрицательна.
2) Левая часть данного уравнения при всех допустимых значениях х больше трех.
Да: корни одни и те же.
Нет: первое уравнение имеет корень 105, второе не имеет корней.
Да: корни одни и те же.
Нет: корень второго уравнения х = 1 не является корнем первого уравнения.
Решение. После возведения обеих частей данного уравнения V^2 — 2 = д/ж (х > 0) в квадрат получаем квадратное уравнение ж2 — х — 2 = 0, корни которого Ж1 = — 1; ж2 = 2. Первый корень Ху = = — 1 не годится. Второй корень удовлетворяет исходному уравнению.
Ответ*. х = 2.
ж = 2. 672. ж = 5. 673. х = 5. 674. хг = 0; ж2 = 0,5.
675. ж = 5. 676. ж = 8. 677. хг = 1; ж2 = 7.
жх= — |; ж2 = 2. 679. жх = — 2; ж2 = 1. 680. Ж1 = 0; ж2 = 1.
681. ж = —1. 682. ж = 2. 683. ж = 0,0625.
686. Ж1,2 = ±0,5.689. ж = 3^.4692. жц2 = ±3.686. Ж1,2 = ±0,5.689. ж = 3^.4692. жц2 = ±3.684. жх = —1; ж2 = 3. 685. х = 6.
686. Ж1,2 = ±0,5.
689. ж = 3^.
4
692. жц2 = ±3.
686. Ж1,2 = ±0,5.
689. ж = 3^.
4
692. жц2 = ±3.
7
687. ж = 0. 688. Ж1 = 0; ^2 = Ц.
690. ж = 1.691. жх = -|; Ж2=3.
Решение. Имеем ж2 — 4ж + 20 — 3 V^2 — 4ж + 20 — 10 = 0. Заметим, что трехчлен ж2 —4ж + 20 положителен при любом действительном ж. Пусть V^2 — 4ж + 20 = у, у > 0. Тогда уравнение принимает вид у2 — Зу — 10 = 0; корнями этого уравнения являются числа yi =
= — 2 и у2 = 5. Первый корень не подходит, так как у > 0. Второй корень дает ж2 — 4ж + 20 = 25, или ж2 — 4ж — 5 = 0, откуда Ж1 = — 1; ж2 = 5. Оба корня удовлетворяют исходному уравнению.
Ответ, жх = — 1; ж2 = 5.
жх = -7; ж2 = 2. 695. ж1?2 = ±10. 696. ж =-0,5.
^ = Д. 698. ж = 64. 699. ж = 2. 700. ж = 1.
701. ж=-7. 702. ж = 2. 703. ж = 3. 704. ж = -(а + 1).
§10. Системы нелинейных уравнений
Решение (один из приемов). Имеем систему —+ — = —; у X 6 x-Vy = 5. Из второго уравнения выражаем у через ж и подставляем г х , 5 — х 13 н
его в первое уравнение: у = 5 — х*1= —. Далее получим:
5 — х х 6
ж2+(5-ж)21зГ 6(ж2+(5 - ж)2) = 13ж(5 - ж), Гж2-5ж + 6 = 0,
ж(5-ж)6’[ж(5-ж)/0;|ж(5-ж)/0,
откуда жх = 2; Ж2 = 3. Тогда yi = 3; у2 = 2.
Ответ*. (2; 3); (3; 2).
(0;0); (-2,4; 48). 707. (17; 10); (4;-3). 708. (4; 2 5); (2 5; 4).
(8; 4); (4; 8). 710. (1;0,5); (-1;-0,5); (0,5; 1); (-0,5;-!).
(3; 0); (1;-2). 712. (2; 6); (1;3). 713. (3; 2); (2; 1).
(1; V2); (1;-V2); (2; 1); (2;-1). 715. (2;-1); (—1;2).
716. (1;3); (3; 1); (-1;-3); (-3;-1). 717. (1; 9); (9;1).
(8; 2); (2; 8). 719. (3;2); (-3;-2). 720. (4; 1); (1;4).
721. (5; 4); (4; 5). 722. (1;81); (81; 1). 723. (121; 12).
724. fll^;2T f—11^;—2^1 725. (2; 1); (-2;-1).
(2; 4); (4; 2). 727. (4; 1); (1;4). 728. (3; 2); (-3;-2).
(3;1); (3;-1).
(0; 0); ^аМ; ЬМ); (-аМ; -ЬМ), где Л/ = —±^=. а>0, 6>0. уеЛ-Гб2
(2;1); (-1;-2). 732. (5; 2); (-2;-2).
Решение. В данной системе ^ж + у + ^х — у = 6 и ^(ж + у)3(х — уУ = 8 сделаем замену: ^х + у = п; ^х — у = ж, и ^ 0; ж ^ 0*). Тогда система примет вид п + ж = 6 и их = 8. Решаем эту систему методом подстановки: ж = 6 — и; п(6 — и) = 8; и2 — би + 8 = 0;
tti =4; tt2 = 2; тогда Di = 2; 02 = 4. Переходя к искомым неизвестным х и у, получим
4 = Jx + v Ifl6 = x + vlf х = 12
2 = ^ж-у J( 8 = ж - у JIУ = 4
( 2 = ^х + у 1Г 4 = х + у 1( х = 34 1
14 = ^Jx -у )[64 = х-у)[?/ = -30j
Ответ: (12; 4); (34; -30).
(30; 6); (35; 1); (-0,5(7 + V61); 0,5(7 + V61));
(-0,5(7-V61); 0,5(7-V61)).
735. (4; 9); (9; 4).736. (3; 1).737. (-у;-у -у735. (4; 9); (9; 4).736. (3; 1).737. (-у;-у -у); (2;5;1).
735. (4; 9); (9; 4).736. (3; 1).737. (-у;-у -у
735. (4; 9); (9; 4).736. (3; 1).737. (-у;-у -у
738. (1;4;5); (—1;6;7). 739. (2;3;4); (-2;-3;-4).
740. (2;-4; 5); (-2; 4;-5). 741. (3;-4;2); (—3;4; —2).
(3;4;5); (4;3;5). 743. (4;6;3); (4;3;6).
-7^=;, 2в . 745. 0,16; 0,18.
V 4а2 — b2 V 4а2 — Ь2
Указание. Пусть а и b — катеты, с — гипотенуза. Тогда по условию а -\- b = т, и в силу свойства элементов прямоугольного треугольника ab = ch. Далее, а2 + b2 + 2аЬ = т2, или с2 + 2Ас —т2 = = 0; тогда с = — h ± V^2 + тп2.
Ответ: с = -h-V- V/й2 + т2.
7см; 4 см; 7 см; 9 см. 748. 40 см; 15 см.
0,17 м/с; 2 мин. 750. 2 ч 12 мин; 1 ч 50 мин.
12 ч; 12 ч или 10 ч; 15 ч. 752. 8 м/с; 7,2 м/с.
48 км/ч; 40 км/ч. 754. 4 км/ч; 6 км/ч.
10 га, 20 ц; 12 га, 25 ц, или: 8 га, 25 ц; 10 га, 30 ц.
36 км/ч; 30 км/ч. 757. 80 Н; 39 Н.
12 г; 48 г; 1,5 г/см3. 759. 32. 760. 30 км/ч; 24 км/ч.
с(t + V^4-4nt)с(- t + V^4-4nt)
м/с;м/с.
2nt7 ’2nt'
, ° м/с;м/с, где < а < d. 763. 35 :12.
V^a — d2
105 км; 135 км; 175 км. 765. fa + c+^) мин. 766. 8 ч.
§11. Множество действителън'ых чисел
В = {0; 1; 2; 3; 7}. 768. 2 е {0; 2; 5}; 3 {0; 2; 5}.
769. {0; 1;2} С {0; 1;2;3;5}. 770. С = АПВ.
N = {1; 2; 3; 4;...} — множество всех натуральных чисел.
Множество всех нечетных положительных чисел.
АпВ = 0. 774. NcZocZcQcR.
Красный, оранжевый, синий, фиолетовый. 776. В С А.
Да. 778. а) {15; 20; 25}; б){а;в;г;е}. 779. а) {1; 2; 5; 10}.
{90; 45}. 781. а) {9; 10}; б) {7; 8; 9; 10; 11; 12; 13}.
Л П В = {6; 12}; Л U В = {3; 6; 9; 12; 18}.
Л П В = {1; 2; 3; 4; 6; 12}; 12.
{14; 21}; {15; 16; 17; 18; 19; 20; 22}.
Множество равнобедренных треугольников.
а) Пересечение — множество четных чисел; объединение — множество целых чисел;
б) пересечение — множество нечетных чисел; объединение — множество целых чисел.
Решение. Из условия задачи следует, что делителями числа а могут быть лишь делители числа 24, т. е. элементы множества Л = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}. С другой стороны, число а должно удовлетворять неравенству 7 < а < 17. Отсюда получаем ответ: а = 8 или а = 12.
22 школьника. 789. а) Л-В = {0;1;2}.
Множество иррациональных чисел.
а) Множество, состоящее из целых отрицательных чисел и нуля; б) множество, состоящее из одного элемента — нуля: {0}.
10%.
§12. Понятие функции. Графики функций
796. 1) у = 4х;796. 1) у = 4х;2) точка Л4(2; 5) не лежит на данной прямой, поскольку ее2) точка Л4(2; 5) не лежит на данной прямой, поскольку ее795. у = 2х.
796. 1) у = 4х;
796. 1) у = 4х;
2) точка Л4(2; 5) не лежит на данной прямой, поскольку ее
2) точка Л4(2; 5) не лежит на данной прямой, поскольку ее
координаты (2; 5) не удовлетворяют уравнению у = 4х : 5 / 4 • 2.
802. -1. 803. 2.
1) 6; 2) -1; 3) 0,5; 4) 1,5.
5.
k = b = 1. Указание. Координаты точек М и N должны удовлетворять уравнению у = кх + Ь. Из системы
(3 = 2к^Ь,
[-4= -5к^Ь
найти к и Ь. потом построить требуемый график функции у = х + 1 (рис. 87).
Рис. 88Рис. 88
Рис. 88
Рис. 88
Решение. 1) График (1) функции у = ж2 — парабола. В учебниках алгебры показывается, как его строить. Воспроизведем его (рис. 88).
График (2) функции у = (ж — I)2 — это та же парабола (1), но сдвинутая целиком (без деформации) на единицу по горизонтали в положительном направлении оси Ож. Ее вершина — 02(1; 0), а ось симметрии — прямая ж = 1.
Если график (2) функции у = (ж — I)2 сдвинуть на единицу по вертикали в отрицательном направлении оси ж = 1, то получим график (3) функции у = ж2 — 2ж = (ж — I)2 — 1.
Если график (1) функции у = ж2 сдвинуть на две единицы в положительном направлении оси Ож и на четыре единицы в отрицательном направлении вдоль оси ж = 2, то получим график (4) функции у = ж2 — 4ж = (ж — 2)2 — 4.
Решение. Если точка принадлежит кривой, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой кривой. Подставив координаты данной точки М(2; 8) в уравнение гиперболы у = —, мы получаем соотношение 8 = откуда т = 16.
216
Уравнение гиперболы имеет вид у = —.
ж
Вершиной кривой называется точка пересечения кривой с ее осью симметрии. В данном случае осью симметрии является биссектриса I и III координатных углов. Уравнение этой биссектрисы у = х. Ре- ^16
шая совместно уравнение гиперболы у = — и уравнение биссектрисы у = х, получаем искомые координаты вершин: Л(—4; —4); В(4;4) (рис. 89).
1) Графиком функции является кривая (1), изображенная на рис. 90.
График функции у =^ строим с помощью графика (1)
4ж —3
(пунктирная линия на рис. 91). Через точки Л(1; 0) и В(3;0) пересечения параболы с осью Ох проводим прямые х = 1; х = 3, которые будут асимптотами искомого графика. Проводим прямую у = — 1 и получаем точки С^х^ — 1) и D^x^ — 1) пересечения ее с параболой. Далее используем прием, изложенный в Приложении 2, § 1. В результате получаем кривую (2), изображенную на рис. 91 сплошной линией (три ветви).
§13. Прогрессии
Арифметическая прогрессия
-6. 844. 584,8. 845. а^Ь* 9(5а + 4ж).
1; 14(29 + 279). 847. 5050; ^-(п + 1). 848. 2550.
4905. 850. 2п-1; п2. 851. 2n; п(п + 1).
7; 11; 15;...; 31; 35. 853. 1; 5; 9;...; 21; 25.
2; 4; 6;...; 24; 26. 855. а; ат + 6; «("»-!) +26 т + 1 т + 1
856. 14; -7; 8. 857. 2; 3 или 14; -3. 858. 8; -3.
859. 10; 2,5; 19. 860. 0; 3 или -12; 4,2. 861. 123300.
Указание. По условиям задачи составляем систему уравнений и решаем ее: ai + d^m — 1) = n; ai + d^n — 1) = m; d = — 1; ai = = m + n-l; am+n = 0.
Ответ*. Sm^n = | (m + n — 1)(m + n).
n2.
Решение. Имеем ai = 1; d = 3; тогда x = an = 1 + I О/C 2ai + d(n -1)2 + 3(n-l)-
+ 3(n — 1). Формула Sn = • n дает • n = 117,
откуда n = 9.
Ответ*, x = 25.
1. 866. ^+ 867. !^^)_ хж + а
b = -у-, гДе а, b и с — три последовательных члена арифметической прогрессии.
705,6 м. 870. «20 с. 871. 122,5 м. 872. «30 с.
1) 41° С; 2) 2745 м. 874. 3.
5; 7; 9 или -9; -7; -5. 876. 41 м. 877. Через 3 ч.
Через 6 с. 879. Через 5 мин или через 10 мин.
Через 8 с. 881. 1160 м. 882. 1275. 883. 1280.
7; 16; 25. 885. а = -5; d = 3. 886. 8.
Любая арифметическая прогрессия, в которой разность равна удвоенному первому члену.
15300.
Указание. Воспользоваться формулой I2 + 22 + З2 + 42 + + ... + п2 = п(п + 1)(2п + 1).
Ответ*. 385 ядер.
Геометрическая прогрессия
15; 3. 893. 32^. 894. -4; 76,5. 895. з|;10-^.
1; 2048. 897. 6. 898. |. 899. 2. 900. 3^. ч
7; 4^. 902.908. 27; 81. 909. 80; 40; 20; 10.
644777
^7; ^49; ^343; ^2401; ^16807; ^117649. 911. q = ^.
912. 1;2. 913. 1; 3; 4. 914. -3;-2; 10.
121 и 11^. 916. 96; 48; 24; 12; 6; 3. 917. 24; 12; 6; 3.
2; 6; 18. 919. 9; 3; 1 или 1; 3; 9. 920. а = 8; q = |.
2222
7; -28; 112; -448 или -11-; -46-; —186-; -746-. ’’’3’3’3’3
п = 5. 923. 5; 405. 924. 3; 15; 27;3; 9; 27;
12; 16; 20; 25. 926. 2; 8; 32.
1; 5; 9; 13; ...; 1;3;9;27;... 928. 2; 8; 32;... 929. 10.
Решение. Имеем a; aq; aq2; aq3; а — 2; aq — 1; aq2 — 7;
aq3 — 27. Согласно свойству арифметической прогрессии следует:
aq2-7 + a-2 = 2aq-2; 2) aq3 - 27 + aq - 1 = 2aq2 - 14.
Отсюда: 1) a(q — I)2 = 7; 2) aq^q — I)2 = 14.
Ответ*, q = 2; a = 7.
931. 200.
932....;aqn~k равен aq равно aq932....;aqn~k равен aq равно aqДоказательство. Имеем a; aq; aq2; ...; aqk 1Доказательство. Имеем a; aq; aq2; ...; aqk 1k-iк-1k-iк-1и требовалось доказать.и требовалось доказать.; aqn~2; aqn-1; к < n. Так как к-й член от начала , а к-й член от конца равен aqn~k, то их произведение • aqn~k = a2qn-i — произведению крайних членов, что; aqn~2; aqn-1; к < n. Так как к-й член от начала , а к-й член от конца равен aqn~k, то их произведение • aqn~k = a2qn-i — произведению крайних членов, что
932.
...;aqn~k равен aq равно aq
932.
...;aqn~k равен aq равно aq
Доказательство. Имеем a; aq; aq2; ...; aqk 1
Доказательство. Имеем a; aq; aq2; ...; aqk 1
k-iк-1
k-iк-1
и требовалось доказать.
и требовалось доказать.
; aqn~2; aqn-1; к < n. Так как к-й член от начала , а к-й член от конца равен aqn~k, то их произведение • aqn~k = a2qn-i — произведению крайних членов, что
; aqn~2; aqn-1; к < n. Так как к-й член от начала , а к-й член от конца равен aqn~k, то их произведение • aqn~k = a2qn-i — произведению крайних членов, что
933. а”9"("-1)/2.934. VT^T7^)”- 935. 1) 23-314-д/2; 2) -^
936. to 12 л. 937. to 10 ч. 938. to 53 мм рт. ст.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
939. |. 940. 18 или 54. 941. 243 или 486. 942. 9.
943. 0,4. 944. 1,28. 945. 7,5. 946. ±0,2.
а) |; б) 2(а/2-1); в) 6 + 4^2; г) Зд/2 + 4.
а) 2; б) ^2; в) 2. 949. ^-.
При х > 0, если а > 0; при х < 0, если а < 0; если а = 0, то данная геометрическая прогрессия не является убывающей ни при
каком значении х. Сумма прогрессии S = —-—-—7—г, а / zLx.
4 Q ЭС (ЭС )
809 . 1110’809 . 1110’х 91 . х 1001А) 11100’ е' 9000х 91 . х 1001А) 11100’ е' 900012. 952. а) |; б) Д; в) ^; г) 5^.
809 . 1110’
809 . 1110’
х 91 . х 1001
А) 11100’ е' 9000
х 91 . х 1001
А) 11100’ е' 9000
а) —; б) 1—; в) 2——;
7 30’790’7 330’
Решение. Имеем у 2 у 2 V2V2- ■ ■ = 22 -24 -2s -216... =
2l + l+i+ii+ ". Показатель степени — сумма бесконечно убываю
щей геометрической прогрессии, равная 1.
Ответ*. 2.
3^2. 959. 4 960. зДД. 961. 4; I- 8’2’416’ 4
а а а а' 2’ 4’ 8’а а а а' 2’ 4’ 8’2; j. 963. 12; 6; 3;... 964.0,25.
а а а а' 2’ 4’ 8’
а а а а' 2’ 4’ 8’
Указание, а) Стороны треугольников равны: поэтому 5перим = 3f = 6ft.
12
б) Площади этих треугольников также образуют бесконечно убы- „ a2V3 1 вающую геометрическую прогрессию, в которой а-v = —-—; q = -.
Ответ*. а
25 см2. 967. 2тгЯ2; 4Я2. 968. 4a(2±^2); 2a2.
a2V3; 6a(2±V3). 970. ^-;971. А В.
§14. Показательные и логарифмические функции
1) 51/2 < 52/3; 2)< 1^49;1) 51/2 < 52/3; 2)< 1^49;/1ПХ 534/1004> (п)/1ПХ 534/1004> (п)/ 2 \3/4а) (-) <1;д) (2,36)° = 1./ 2 \3/4а) (-) <1;д) (2,36)° = 1.WX 16/3117WX 16/3117. А’7/8мв) U) >1;. А’7/8мв) U) >1;3V5/63V5/6
1) 51/2 < 52/3; 2)< 1^49;
1) 51/2 < 52/3; 2)< 1^49;
/1ПХ 534/100
4> (п)
/1ПХ 534/100
4> (п)
/ 2 \3/4
а) (-) <1;
д) (2,36)° = 1.
/ 2 \3/4
а) (-) <1;
д) (2,36)° = 1.
WX 16/3
117
WX 16/3
117
. А’7/8мв) U) >1;
. А’7/8мв) U) >1;
3V5/6
3V5/6
а) т > п; б) т < п; в) т < п; г) 0 < т < 1;
д) — 3 < т < —2; е) т = п = 0.
а) а > 1; б) а < 1; в) а < 1; г) а = 1.
а) —ос < х < +оо; б) — ос < х < +оо;
в) — ос < х < +оо, х ^ 0; г) 0^ж<оо; д) — оо < х < +оо, х ^ 2;
е) — ос < х < +оо; ж) 1 ^ |ж| < оо.
1) 3 = log28; 2) -4 = log3 3) i=log162.
1) | = log84; 2) 0 = log137l; 3) -l = log64(|).
1) -1; 2) 4; 3) -3; 4) -0,5; 5) 0,5; 6) -2,5;
7) 3,5; 8) 0.
1) Возрастающая; 2) убывающая.
1) Убывающая; 2) возрастающая. 986. 0 < х < оо.
—оо < х < 0. 988. —оо < х < 0; 0 < х < +оо.
990. 1 < х < оо. 991. —оо < х < 1.
1) ж = 10; 2) 0< ж < оо, ж/1; 3) ж = л/10; 4) ж = ^/п.
1) 4; 2) 7; 3) 2; 4)
1) ж = ^; 2) ж = 4; 3) ж = 8-3“4/3.
72’ v 27’7
1) ж = а26; 2) ж = ах/26-3/2; 3) ж = 1.
1) ж = 4; 2) ж = 4; 3) ж =-2.
1) ж = —3; 2) ж = VW2^3; 3) ж = 2.
1007. Igx = 1g5 + 21gа. 1008. Igx = lg3 + lga — 21g6.
1g x = 1g 2 + lg (a + b) — 1g a — 1g (a — b).
Igx = lg7 + lg(a2 — b2) — lg 3 — 31gc — 41g с/.
lg V = lg 4 + 3 lg / + 21g sin ^ + | Igcosa — lg3.
IgV = lg2 + | lgS + 61gsin^+lgtga-lg3-| IgTr.
^ж= |(lga-lg6). 1014. ^ж=lg3+^ lg2.
1015. ж =—. 1016. ж = (а6)2/3. 1017. х = ^.
С 26
1018. х — (а + Ь\_ 1019. х = —Ur. 1020. ж = а2/36"3/2.
(а — 6)5а/Л3
1021. ж =1022. х = ^±^_
Va — bVт3 • л/тп — Ti
1023. ж =Ю24. ж = J(m + ^
4(а — 6)3V тп
1025. ж = ^—1026. ж = (а + 26)1/з0-2/з6-1/б, а о
1027. ж = 1,2. 1028. ж = 2х/2. 1029. ж = 10. 1030. ж = 0,02.
1031. ж = 0,64. 1032. ж = 66,155. 1033. ж = 0,501.
1034. ж = 0,2046. 1035. ж = 0,00787.
4/о,26758-
1046. Решение, х =\ ————^-—• у 0,006422
1§ж = 1 (lg0,26758+1 lg0,4 —lg0,006422);
IgO,26758 = 1,4275,
| lg0,4 = 1,8674;
_1,2949;
IgO,006422 = 3,8076;
1,4873.
3) Iga; = | -1,4873 = 0,3718; x = 2,354.
1047. 4,520.
1048. 0,726.
1049. 2,402.
1050. 1,058.
1051. 31,31.
1052. 1,3553.
1057. -3<
ж < +3.
1058. —схэ <
ж < —3; 1,5 < ж
< схэ. 1059.
— 1 < ж < 0.
1060. —схэ <
: ж < схэ. 1061.
-2 < ж < 3.
1062. -2 < ж < 2
§15. Доказательные и логарифмические уравнения
1) жх = 2; ж2 = 3, или {2;3}; 2) {0,5; 1}.
1) 35; 2) 5.
1) {-0,5(l + V13); —0,5(1 —V13)}; 2) 9. 1066. 1,5.
1067. 4. 1068. 4. 1069. {2;3}. 1070. {1;2}.
Р4}. Ю72. 3. 1073. {9; (3-21og23)2}.
1074. 3-2V2. 1075. 3. 1076. 1,5. 1077. 0,5. 1078. ^.
1079. « 2,09. 1080. 20. 1081. 3. 1082. {10; 10“4}.
1083. 0,5. 1084. -. 1085. 64. 1086. 80. 1087. {-9; 9}. а
1088. 0,5. 1089. |. 1090. ±. 1091. 1. 1092. {100; 1000}.
1093. 13. 1094. 0,001. 1095. 2. 1096. 18.
1097. {0,1; 1000}. 1098. 29. 1099. 5,5. 1100. 10.
1101. to-0,2849. 1102. 2. 1103. to 90,4806. 1104. i.
1105. 3. 1106. 19. 1107. 29. 1108. {0,001; 10}.
1109. {IO-4/3; 100}. 1110. {2;log32-4}. 1111. ^YT^^-
1112. Жх = 4; $2 = 9. 1113. 100. 1114. {2; 1}. 1115. -1,25.
1116. 2. 1117. 4-VTT. 1118. 7. 1119. 2. 1120. 100.
1121. 2. 1122. {-2; 2}. 1123. {a9; ^a^, где a > 0, a/1.
1124. 9. 1125. {2-4/3;4}. 1126. {2; 16}.
1127. {0,04; 5^5}. 1128. 9.
1129. Решение. Покажем один из примеров решения. Известно, что loga N = loga™ Nn. Имеем log16 ж + log16 ж2 + log16 ж4 = 7, или log16ж + 21og16ж + 41og16ж = 7, откуда 7^16ж = 7.
Ответ*. 16.
ИЗО. {2-V5;2V5}. 1131. {у^;2}- 11321 {^3}- 11331 31
1134. (2;1). 1135. (100; 10). 1136. (10000; 10).
1137. (3;9). 1138. (5; 5).
1139. Решение. Имеем lg(a;2±y2) = 2, log2 ж — log2 3 = 4 — log2 у.
Область определения системы: ж > 0, у > 0. Из первого уравнения получаем ^(ж2 + у2) = IglOO, или ж2 + у2 = 100. Из второго имеем log2 ж-h log2 ?/ = log2 16 + log2 3, или ху = 48. Выводная система квадратных уравненийГ ж2 + ^2 = 100?
[ ху = 48 равносильна исходной системе; решаем ее методом подстановки: у = —; ж2 + ^- = 100; ж4 — 100ж2 + 482 = 0, откуда Ж1-4 = жх
= ±V50±V502 -482 = ±\/50 ±1/49=4 = ±V50±7-2 = ±V50±14, или Жц2 = =Ь6; Жзд = ±8. Отрицательные корни не подходят, так как ж > 0 и у > 0. Если ж = 6, то у = 8; если ж = 8, то у = 6.
Ответ*. (6; 8); (8; 6).
1140. (4; 16). 1141. {(16; 25); (25; 16)}. 1142. {(10; 4); (4; 10)}.
1143. {(4; 2); (4;-2)}. 1144. (3;2). 1145. (17; 9).
1146. («2,272; « 1,825). 1147. (4; 1). 1148. (4; 2).
1149. (5; 5). 1150. ^; ^j. 1151. (5;1).1152. (1;1).
1153. {(9а; 2а); (а; 18а)}, где а > 0, а/1. 1154. (2; 6).
1155. {(3;3); (V3;9)}. 1156. {(2; V2); (V2; 2)}.
1157. {(1;8); (8; 1)}. 1158. (1; 1).
1159. {(а3/2; а”1/2); (а"1/2; а3/2)}.1160. (1;2).
1161. {(1;1); (3; 9)}.
1162. 1) а) — оо <ж<-и1<ж<оо; б) -< х <-; в) -< х < 1;
а) —оо < х < — 1 и 3 < ж < оо;
-1<$<1-V3h1 + V3<z<3; в) 1-хА^ж^1 + хА.
1165.^. 1166. to 0,3010; «0,6990. 1167. 4(3~О\
22 —а 3+0
1168. 1. 1169. 2 + n-4m. 1170. 2^. 1172. =—^.
а + Ь
. Проценты ^вторая серия задачу
1173. 28,4%; 1790 кг. 1174. 4 млн. руб. 1175. 342 детали.
1176. На 8000 руб. 1177. На 40 %. 1178. На 12 %.
1179. 98490 чел. 1180. На 7,1 %. 1181. 5000 изделий.
1182. «28. 1183. На 20 %. 1184. 5. 1185. 2 л.
1186. 144900 млн. руб. 1187. «4,5%. 1188. «41,4%.
Зг — р — q — —
1189. На «5,5%. 1190. 100 + р 100^° %-
100100 V 100
100-а 100 — Ь
100100
2) Решение. Пусть А — начальная величина продукции; тогда 2А ™ ^ * (^ ^) ’= ^ПЮ ^ ’ р = Ю0(21/9 — 1). Обозначим
N = 21/9; тогда lg N = ^ 1g2 « 0,0335; N « 1,08; р = 100(1,08 - 1) « 8.
Ответ*. « 8%.
. Тригонометрические функции
. Измерение углов и дуг
1193. a) J; б)1194. а) 0,8901;1195. —; —; -тг;1193. a) J; б)1194. а) 0,8901;1195. —; —; -тг;в) |; 0 ^; д) |; е) ^; ж) о,9.
1193. a) J; б)
1194. а) 0,8901;
1195. —; —; -тг;
1193. a) J; б)
1194. а) 0,8901;
1195. —; —; -тг;
б) 0,5009; в) 1,2802; г) 3,7737.
7г(п —2) З71"’ п ’
38 В. А. Бачурин
В левой части равенства опущено наименование «радиан».
0,6283; 1,0472; 1,4661.
30°, 30° и 75°; ^, ^ и |^. 1199. ^ « 1,5708.
1) 11°15'; 2) ^«1,196. 1201. а) см «1,57 см.
Решение. Длина окружности радиуса R равна L = 2ttR.
Длина дуги, содержащей а°, равна I = 2-ivR-^— = тгТ?-^-. 360180
Ответ*. irR лин. ед.
0,85. 1204. 1) 31,25 см; 2) «62,83 см. 1205. 100 см.
1) 1; 2) 2. 1207. 1) « 720000 град/с; 2) « 4000 рад/с.
1208. 15°; 15'; 15". 1209. 1 ч 12 мин 4 с. 1210. 135°3'10".
1) Ютг рад/с; 2) «6,28 м/с; 3) 12тг м/с;
Решение. Длина окружности радиуса г равна L = 2тгг. Если точка окружности за t секунд совершает п оборотов, то скорость „~ п 2тгп 2тгп
вращения этой точки равна и = 2иг — = г ——. Но —— есть угловая скорость ш, поэтому линейная скорость вращения этой точки равна V = гш.
« 200.
2. Тригонометрические функции острых углов
1213.1215.1220.1223.1227.1231.1234.1237.1213.1215.1220.1223.1227.1231.1234.1237.) cos20°; 2) sin50°; 3) ctg40°; 4) tg50°. 1214. -1.
1213.
1215.
1220.
1223.
1227.
1231.
1234.
1237.
1213.
1215.
1220.
1223.
1227.
1231.
1234.
1237.
. 1216. ^VS. 1217.1218. ^. 1219. 4.
3254
8. 1221. _®У|+2, 1222 _15a/2 + 14
~^. 1224. -5. 1225. 15. 1226. (a + 02.
bV^-a. 1228. 3a(2 —a). 1229. (a + 6)2. 1230. ^-.
a — b
2 + ab + b2. 1232. 1; V2; 1. 1233. 0; 2 + /3; ^.
л2V32
+2V3. 1235. 2(1-V2). 1236. -2.
V3(V2 + 1). 1238. V3-
3. Тригонометрические функции углов от 90° до 360°и отрицательных углов
В I четверти; нет. Исходя из определения всех шести тригонометрических функций, следует утверждать, что все шесть тригонометрических функций положительны только в I четверти. Все шесть тригонометрических функций не могут быть отрицательными ни в какой одной четверти.
Косинус, тангенс, котангенс, секанс в тупоугольном треугольнике.
Знак плюс. 1242. От 0 до 2.
1243. Первое и третье при т = 0 и п / 0, при п = 0 и т / 0.
1244. Нет. 1245. 0. 1246. zEoo. 1247. 0. 1248. а2-Ь2.
1255.1256. ^Ц1^. 1257. 0.
1258. а2(1 + 12д/3). 1259. 2. 1260. |(V2 + V6).
1261. Л(а/3-3). 1262. £. 1263. f^^f. 1264. 8.
1265. -| (1 + V2 + 2V3).
1266. Указание. Для III четверти, например, таблица имеет вид
.Зтг
тг—
2
. .Зтг тг a — 2
Зтг тг a < — 2
0 ^ sin a ^ — 1
— 1 ^ cosa ^ 0
0 ^ tg a < 00
Зтг тг < a — 2
Зтг тг a < — 2
Зтг
7Г < a — 2
00 > ctg a ^ 0
— 1 ^ seco > — oc
—oc < cosec a ^ — 1
1267. 4) Решение. Известно, что 1 + ctg2 a = cosec2а, откуда cosec а = ± vT+~ctg2a; sin а = —-— = ±—1=; sec а =
ztg^ + l1—; cos а =ctg asec аztg^ + l1—; cos а =ctg asec а1ctg2a1ctg2actg о . V ctg2a + lctg о . V ctg2a + l, cosec а у^1 + ctg2 а
ztg^ + l1
—; cos а =
ctg asec а
ztg^ + l1
—; cos а =
ctg asec а
1ctg2a
1ctg2a
ctg о . V ctg2a + l
ctg о . V ctg2a + l
= zbi/l + tg2a = zb
х 1 tg а =.
ctg а
х2V5V52
1268. 1) cosa = -; sin а = ± —; tg а = zb-—; ctg а = zb ——;
3 з32V5
sec а = -; cosec а = ±——;
V5
48415*-L15, 8.17
ctg а = —; tg а = —; sin а = zb —; cos а = zb —; sec а = zb —;
15817178
cosec а = zb —:
15^/10
ctg а = — 3; tg а = — -; coseca = ±УТО; seca = zb ——; sin а =
। 1। 333
= ± —=; cos а = zb —=.
VioVio
1269. sin а = -—7; cosa = ±-—tg а = ± а JL* ctg а = а + 6’а + 6’62д/^6
. abх а-\-Ьа-\-Ь
= ±—; sec а = dz —-=; cosec а = .
a-b^Vaba-b
; ctg a =; ctg a =. ь . ь
; ctg a =
; ctg a =
1270. cosa = —; sin a = ±-; tg a = ±—
ааVа2 — ь2
. Vа- —а.а
= ± —— ; sec a = —.; cosec a = ± -.
cosec a =cosec a =bVa2 ~ b2b
cosec a =
cosec a =
0 < a < —; tg a = 4 — ; ctg a = —; seca = 5—; ДУУ
320
- 7Г < a < 2тг; ctg a = —1,05; tg a = — —; cosec a =
, _1 8.2021
= —1,45; sec a = 1—; sin a =; cos a = —.
’ ’21’29’29
m2 — 1
1273. sma-cosa. 1274. seca = — ——.1275. .
ctg a2
1276. m2 — 2 и m3-3m.
1287. Решение. Освобождаемся от иррациональности в каждом слагаемом левой части, умножая числитель и знаменатель первой дроби на V1 + sin а и второй — на Vl — sin а; получаем
1 + sina| cosa|1 + sina| cosa|1 — sin a| cos a |1 — sin a| cos a |= 2tg a,= 2tg a,
1 + sina| cosa|
1 + sina| cosa|
1 — sin a| cos a |
1 — sin a| cos a |
= 2tg a,
= 2tg a,
если cos a > 0, что и требовалось доказать.
Формули приведения.
Тригонометрические функции произвольного аргумента
1288. 1) cos31°40'; 2) -sin8°21'; 3) -ctg39°18'.
1289. -sin2a. 1290. 0. 1291. 1. 1293. а) 1; б) 1; в) 0.
1294. 0. 1295. -1. 1296. Например: cos50° =-cos 130°.
1297. 2cosa. 1298. 0. 1299. 0. 1300. ctg a.
1301. -cosa. 1302. 0. 1303. -ctg240°.
1304. Например: a) sin (a — 90°) = —sin (90° — a) = —cos a;
) cos (a — 180°) = cos (180° — a) = — cos a;
r) tg(a — 360°) = — tg (360° — a) = tg a.
1305. 1) 15°; 135°; 255°; 2) 300°; 3) 45°; 135°; 4) Ь |тг.
1306. 1) (-l)n^ + n7r; 2) (-1)п^+п7г.
1307. 1) (-1)И^ + П7г; 2) ±^+2птг.
1308. 1) ±|+2п7г; 2) ±^+2птг.
1309. 1) ^+П7г: 2) ^+П7Г. 1310. 1) ^ + птг; 2) ^+птг.
47 37 47 6
1311. 1) ^тг + птг; 2) ^7Г.
47 2
1312. 1) (-1)"+!^ + ^; 2) ±^ + (2п + 1)у.
24 о2о(
1313. 1) -^ + ^7г; 2) J+ПТГ.
1314. 1) А^ + ^тг; 2) 1+п.1315.
1316. 1) (2п + 1)тг; 2) -^+2п7г; 3) -^+2птг; 4)2птг.
1317. 1) 2п7г; 2) ^ + 2птг; ^+2птг; 4) 2птг.
Тригонометрические функции суммыи разности двух углов
1318. 0,2 + УЩбЗ; -^/ОДТ-У0Д2.
1319. a) ^(V3 + l); ^(V3-l); б) ^(V3-l); ^(V3 + l).
1321. Указание. Данное выражение можно записать так: sin (се + Д + 7) = sin ((а + Д) + 7)? или sin (се + Д + 7) = sin (се + (Д + 7)).
Ответ*, sin а • cos Д • cos 7 + sin Д • cos а • cos 7 + sin 7 • cos a • cos Д — — since - sin Д - sin7.
1322. sin3,14^0. 1479. 0,5. 1324. созД. 1325. 2.
1326. ^A, 1327. -1. 1328. — sin40°. 1329. ctg 7
cos(a + ^)6 4
1338. 1. 1339. tg0,78«tg^ = l. 1340. 0. 1341. 1.
1342. 1. 1343. sin40°.
1351. Доказательство. Имеем
tg(a+^) = д^±ма = Ы = 1.
l-tga•tgД
6
Следовательно, a + Д = 45°, так как углы а и Д — острые (по условию).
Тригонометрические функции двойныхи половинных углов
2
1354sec Q
2tg^
-X,2 а
2 — sec ce
±oOO.,
1+tg ?
!+tg7
1356. Решение.
Например, для since и cos се имеем
о . а а
2 sin — • COS—
22
2tg^i 2а’l+tg I2tg^i 2а’l+tg I2 а , . 2 а COS — + Sin — 222 а , . 2 а COS — + Sin — 222 се . 2 acos a = cos — — sin — 222 се . 2 acos a = cos — — sin — 222 а .2аCOS — — Sin —222 а .2аCOS — — Sin —222а..2аCOS — + sin —222а..2аCOS — + sin —22-x , 2 аi+tg2f-x , 2 аi+tg2fsin се = 2 sin — • cos — = 22
2tg^
i 2а’
l+tg I
2tg^
i 2а’
l+tg I
2 а , . 2 а COS — + Sin — 22
2 а , . 2 а COS — + Sin — 22
2 се . 2 a
cos a = cos — — sin — 22
2 се . 2 a
cos a = cos — — sin — 22
2 а .2а
COS — — Sin —
22
2 а .2а
COS — — Sin —
22
2а..2а
COS — + sin —
22
2а..2а
COS — + sin —
22
-x , 2 а
i+tg2f
-x , 2 а
i+tg2f
1357- S; A;2’4- 1358- L
1359. 3sina-4sin3a; 4cos3 а - 3cos а;
1 — 3tg2a
1360. 4sin а • cos3 а — 4cos а • sin3 a: cos4 а — 6 cos2 а • sin2 a + sin4a.
Указание. Имеем sin2 + cos2 = 1 и 2sin^-cos^ = 22 22
= sin а; отсюда найдем sin — + cos — = ±V1 + sin а и sin — — cos — =
I22. a 2 a 2
=1 — sin а. С помощью этих равенств для sin— и cos— полу
чаем по четыре значения. Однако если перед тем и другим корнем знак можно будет выбрать, добавив какое-нибудь дополнительное условие, то задача будет иметь только одно решение.
—1 ± Vl + tg^ ctga± ^ctg^ + l. 1363. ^. tg a2
- —. 1365. —. 1366. —. 1367. 4. 1368. -1. 223
1369. cos 10°. 1370. 1. 1371. 1. 1372. 0,5ctg2a.
1373. tg2(45° —a). 1374. 1. 1375. sin2a. 1376. 2|cos(45°-a)|.
7. Преобразование произведениятригонометрических функций в сумму
1397.1398. ^+2. 1399.1400.
4442
1401. i 1402. |. 1403. cos4a + cos2a.
24
| (cos 2a - cos8a).1405. 0,5.1406. | (sin 6a + sin 2a).
1407. sin3a. 1408. cos24° + cos 12° + cos8° + cos4°.
l + cos8a + cos6a + cos2a. 1410. - (sin4a —sin6a + sin2a).
2(cos (2a - 2^) + cos (2a - 27) + cos (27 - 2/3) +1).
j(l-cos2a). 1413. j(l + cos2a). 1414. j (1-cos2ma:).
1415. ifl + cos— 1 1416. 0,75. 1417. 0,25. 1418. cosa. 2 \ m )
0,25. 1420. 1. 1421. i (cos(mx + n) + cos3(mx + n))
i (sin (ax - b) - 8тЗ(аж - 6)). 1423. i (3 + 4cos2a + cos4a).
1424. i (3 - 4cos 2a + cos4a). 1425. i(l-cos4a).
^ (2 cos a — cos 5a — cos 3a). 1427. -^ (2 sin a —sin 5a + sin 3a).
^ (2sin (1 — ж) — sin5(1 — ж) + sin3(1 — ж)).
Решение. Применяя формулу cos2 а = | (1 + cos 2а), имеем cos4 Зж • cos2 5ж = ^ (1 + cos 6ж)2 * | (1 + cos Юж) =
cos 6ж + | + | cos 12ж) (1 + cos Юж) =
= ^ (3 + 4 cos 6ж + cos 12ж)(1 + cos Юж) и т. д.
Ответ*. — (6 + cos 2ж + 4cos 4ж + 8cos 6ж + 6cos Юж + 2 cos 12ж + + 4 cos Юж + cos 22ж).
^ (10 +15cos 6ж + 6cos 12ж + cos 18ж).
1435. Решение. Преобразуем в суммы произведения крайних и средних сомножителей:
cos 10° cos30° cos 50° cos 70° = | (cos80° + cos 60°) • | (cos80° + cos 20°) =
= 7 fcos2 80° + cos 80° • cos 20° + 7 cos 80° + 7 cos 20°) =
4 \22/
= 7 d + 7 cosl60° + ^ cosl00° + ^ cos60° + ^ cos80° + ^ cos20°l 4 \222222/
Ho cos 160° = — cos 20° и cos 100° = — cos 80°. Поэтому выражение в 11313
скобках равно: - + - = -; отсюда cos 10° • cos 30° • cos 50° • cos 70° = 77 = 32444 4
= 7-, что и требовалось доказать.
16
Преобразование сумми тригонометрических функцийв произведение
1443. У1ф. 1444. sin 18°. 1445. 0. 1446. -sin 18°.
1447. V2 cos (45° -а). 1448. sin (а - 45°).
1449. sin (а -V 0) -sin (а — 0).1450. sin (0 + а) • sin (0 - а).
1451. 2 cos2 (15° —-^). 1452. -2sin2 (15° - ^). 1453. cos 2а.
и 1 V2 sin (45° ± а)V2 sin (а ±45°)
1454. -cos 2а.1455. -. 1456. г-.
cos аsina
1457. 2sin(45° + ^l
1458. Указание. Возьмем арифметические корни:
уТ+соГа — Vl — cos а = y^2cos2 ^ — y^2sin2 ^ =
= vy|cos^^in^)=vy|cos^-|c°s(^^^ и т.д.
Ответ*. ±2sin ( — ± — ). \ 42 /1459. —4sin2 ^-cosa. 1460.Ответ*. ±2sin ( — ± — ). \ 42 /1459. —4sin2 ^-cosa. 1460./7 аУ 2 • COS —2sin (45° - ^)/7 аУ 2 • COS —2sin (45° - ^)1461.1461./7. аNA • Sin — 2 sin (45° - ^)/7. аNA • Sin — 2 sin (45° - ^)
Ответ*. ±2sin ( — ± — ). \ 42 /
1459. —4sin2 ^-cosa. 1460.
Ответ*. ±2sin ( — ± — ). \ 42 /
1459. —4sin2 ^-cosa. 1460.
/7 а
У 2 • COS —
2
sin (45° - ^)
/7 а
У 2 • COS —
2
sin (45° - ^)
1461.
1461.
/7. а
NA • Sin — 2 sin (45° - ^)
/7. а
NA • Sin — 2 sin (45° - ^)
1462. 1463. Sm*“—
V2.sin^.sin(45°-^)cosmos (45°-^)
1464. 4 cos а • sin — • cos —.
У1 = 90° - ^ и ^ = 90° - 7т22227 А7= COS -7 2/2У1 = 90° - ^ и ^ = 90° - 7т22227 А7= COS -7 2/21471. Решение. Преобразуем левую часть, обозначив ее через F: F = sin а + sin (3 + sin 7 = 2 sin а^ . cos а^ + 2 sin ^ cos ^.
У1 = 90° - ^ и ^ = 90° - 7т2222
7 А7
= COS -7 2/2
У1 = 90° - ^ и ^ = 90° - 7т2222
7 А7
= COS -7 2/2
По условию, а + Р + 7 = 180°, откуда
Sm 2Sm 2= sin= sinиИмеемиИмеемПоэтому,
Sm 2
Sm 2
= sin
= sin
и
Имеем
и
Имеем
• 7• /ало О + /3 \ а + Р
sin = sin 190—1 = cos —-—
г = 2 cos I cos —h sin
о 7 / а — р , аА-Р\ о 7 о а Р = 2 cos -7- • cos ——- + cos ——- = 2 cos -7- • 2 cos — • cos 7-.
2 \22 7222
Итак, sin a + sin P + sin 7 = 4 cos ^ • cos ^ • cos .
1478. Указание. Используя такой же прием, как и в задаче 1471, сначала получим 2 sin (а + 3) • cos (а — 3) — 2 sin (а + 3) • cos (а — 3).
I486. 4sin^ + 30°)-sin^ —30°).
1481. 4cos (з0° + ^)-sin (з0° — ^).
1482. 4sin(а+ 30°)-sin (а — 30°).
1483. 4cos a • cos (30° + ^ cos (з0° -^.
1484. 4sin2a - cos ^ +30°) cos ^ - 30°).
1485. 4cos2а - sin (з0° + ^ sin (30° - ^).
Обратные тригонометрические функции
1) arctgm + тгп; m 6 R (любое действительное число), п 6 Z (любое целое число);
±arccosm + 27rn; — 1 ^ т ^ 1; п Е Z.
(—l)narcsinm + 7rn; — 1 ^ т ^ 1; п Е Z.
7Г. 1\ 7Г. ।। о \ 7Га/2
1) — = arcsin-; 2 — — = arcsin —— ; 3) — = arccos ——.
7 62’74\ 2 /7 42
1) ^ = arccos0; 2) -^ = arctg(-1); 3) 0 = arctg0.
1) ^ = arcctgV3; 2) ^ = arcctg^; 3) x = arcsin0,23.
1490. 1) х = arccos0,5762; 2) х = arctg0,468.
1493. 1) 0; 2) Ь 3) J; 4) тг.
1494. 1) 0; 2) Ь 3) -^; 4) -J.
1495. 1) 0; 2) J; 3) -J; 4)
1496. 1) J; 2) Ь 3) |тг; 4) | тг. 1497. тг. 1498. ^тг.
1499. -тг. 1500. тг. 1501. 0.1502. 15тг.1503. 0.
1504. ~тг. 1505. —Ютг. 1506. -0,37. 1507.
2’3
1508. - —. 1509. -. 1510. —. 1511. -. 1512. —.
52т6т
1513. |тг. 1514. 0. 1515. 1. 1516. 0. 1517.
42
1518. 0,6. 1519. —. 1520. ^. 1521. -. 1522. 2,4. 1743
1523.1524. —X- 1525. ^. 1526. ^. 1527. -^.
15V5614129
1528. 1. 1529. i 1530. ^. 1531. оо. 1532. оо. 285
1533. Решение. Известно, что tg(a + ВА = ^8 а + tg /^ и
tg (arctgж) = ж. Поэтому
. /. 2d — b ,. 26 — а \
tg I arctg— + arctg— I =
2a — b । 2b — a b Уза Уз _ (2a — b)(2b — a)ab • 31534. ^.1535. 2mVl-m2.491538. x.2a — b । 2b — a b Уза Уз _ (2a — b)(2b — a)ab • 31534. ^.1535. 2mVl-m2.491538. x.332a2 — ab + 262 — ab3ab — 4ab — abA- 2a2 + 2622a2 — ab + 262 — ab3ab — 4ab — abA- 2a2 + 2621536. ^. 1537. —^521 + ?ti1536. ^. 1537. —^521 + ?ti1539.1539.35351540. Решe n и e. arccos1540. Решe n и e. arccos/3\3Указание, sin I kir + arctg -j =± sin arctg-./3\3Указание, sin I kir + arctg -j =± sin arctg-.Уз.Уз.\ бУз dy3 /
2a — b । 2b — a
b Уза Уз _ (2a — b)(2b — a)
ab • 3
1534. ^.1535. 2mVl-m2.
49
1538. x.
2a — b । 2b — a
b Уза Уз _ (2a — b)(2b — a)
ab • 3
1534. ^.1535. 2mVl-m2.
49
1538. x.
3
3
2a2 — ab + 262 — ab
3ab — 4ab — abA- 2a2 + 262
2a2 — ab + 262 — ab
3ab — 4ab — abA- 2a2 + 262
1536. ^. 1537. —^
521 + ?ti
1536. ^. 1537. —^
521 + ?ti
1539.
1539.
3
5
3
5
1540. Решe n и e. arccos
1540. Решe n и e. arccos
/3\3
Указание, sin I kir + arctg -j =± sin arctg-.
/3\3
Указание, sin I kir + arctg -j =± sin arctg-.
Уз.
Уз.
Или: arccos1541.6Или: arccos1541.6= arccos514^= arccos514^514514
Или: arccos
1541.
6
Или: arccos
1541.
6
= arccos
5
14^
= arccos
5
14^
5
14
5
14
(. 7Г \ 7Г./ . 7Г \
sin — = — — arcsin sin — =
7/2V 77
1542. ^. 1543. 2\/5.
5
1557. Решение (один из вариантов). При т > 0 и п > 0 имеем О < arctgт < — и 0 < arctgп < —. Наряду с этим, согласно определению арккосинуса,
0 ^ arccos0 ^ arccos1 — тп1 — тпV(i+^2)(i+™2)V(i+^2)(i+™2)
0 ^ arccos
0 ^ arccos
1 — тп
1 — тп
V(i+^2)(i+™2)
V(i+^2)(i+™2)
Поэтому общим интервалом для левой и правой части является (0; тг).
На интервале (0; тг) из равенства синусов не следует равенство дуг, а из равенства тангенсов следует равенство дуг.
Возьмем тангенсы левой и правой частей данного соотношения и проверим, окажутся ли одинаковыми результаты. При этом используем формулы, х
tg (arctgж) = ж;
, zх sin (arccosж)(cos (arccosж))2—~
tg(arccosж) =77 = — = ,0 < ж < 1.
cos (arccos ж)жж
Итак, получаем
т + п _ V(1 +т2)(1 +и2) Г(1 — тп)2 _ т + п
1-тп1-тп у (1 + т2)(1 + п2)1-тп*
Действительно, тангенс левой части равен тангенсу правой части, а это и означает, что исходное равенство справедливо.
При т = п > 0 справедливость исходного равенства очевидна.
Графики тригонометрических функций
1582. Решение. Исходя из графика функции у = sin ж (1), изображенного на рис. 92 пунктиром, построим график функции у = = sin2 ж (2). Прежде всего отметим, что график функции (2) будет
расположен в верхней полуплоскости, так как sin ж ^ 0 при всех ж. Период функции равен не 2тг, а тг.
Как известно, при возрастании аргумента ж от 0 до — ординаты синусоиды возрастают от нуля до единицы, а квадраты этих ординат также возрастают от нуля до единицы. Нуль в квадрате равен нулю, и единица в квадрате равна единице. Однако внутри этого интервала sin2 ж < sin ж. Например, sin = ^, a sin2 = |. (Квадрат правильной дроби меньше самой дроби.)
При возрастании аргумента х от — до тг ординаты синусоиды убывают от единицы до нуля, а квадраты этих ординат также убывают от единицы до нуля. Внутри этого интервала снова sin2 ж < sin ж. Например, sin | тг = |, a sin2 (| ^ — ^- График функции у = sin ж изображен на рис. 92 сплошной линией.
Рис. 93
1588. На рис. 93 изображены графики функций у = cos ж (1) и у = sec ж (2).
Тождественные преобразованиятригонометрических выражений
1600. Решение. Данное выражение есть тангенс суммы двух углов 25° и 20°, т. е. -^Й^ = tg (25° + 20°) = tg 45° = 1.
1 — tg 25 -tg20
1635. Решение. cos2ce + sin2ce • tg a = cos2ce + sin2ce • SmQ = cos2ce • cosce+ sin2ce • since cos(2ce — a) cosce .cosce
= = = = 1. При этом а Ф
cos acos acos a
1672. Решение. Используя формулу 2sin2ж = 1 — соз2ж, находим 2sin2 ^45° — ^ = 1 — cos(90° — се) = 1 — since (по формуле приведения).
1702. Решение.
cos6 а — sin6 а = (cos2 се)3 — (sin2 се)3 =
= (cos2 а - sin2 се) • ((cos2 се)2 + cos2 а • sin2 а + (sin2 се)2) =
= cos 2ce(cos2 ce(cos2 а + sin2 се) + (sin2 се)2) =
= cos2ce(cos2 се + (1 — cos2 се)2) = cos2ce(cos2 се + 1 — 2cos2 се + cos4 се) =
= cos2ce(l — cos2 се + cos4 ce) = cos2ce(l — cos2 ce(l — cos2 ce)) =
= cos2ce(l — cos2 a • sin2 ce) = cos2ce fl — i sin22ce). \4/
Вычислительные задачи
1711. 1) «0,9988; 2) «0,4823; 3) «3438; 4) «23,37;
«0,2094; 6) «-0,6169; 7) «-0,0707; 8) «3,7444.
1712. 1) « 23°9'; 2) «63°21'; 3) «69°30'; 4) «8°.
1713. 1) «0,9036; 2) «-0,9825; 3) «-0,6334; 4) «-0,6873.
1714. 1) « 1,5580; 2) «2,3843.
1715. 1) «28°13'; 2) « 22°55'; 3) «27°3'.
1716. 1) «0,3420; 2) «1,2514; 3) «0,9397; 4) «-2,7726.
1717. 1) «-0,18093; 2) «-5,7588; 3) «0,3115; 4) «0,8241.
1718. 1) «34°5Г; 2) « 67°5'; 3) «48Т1'.
1719. 1) «22°10'; 2) «9°51'; 3) «20°19'.
1720. 1) « 113°35'; « 246°25'; 2) « 231°4'; «308°56'.
1721. «0,0010936.
1722. — ctg а = tg ip', х = а • sin а • secy? « 0,009327.
§18. Тригонометрические уравнения
1724. 1) х = (-1)" ^ + тгп; 2) Ж1,2 = ±^+2тгп;
ж = (-1)”+1^+тгп; 4) ж1>2 = ±^+ 2тгп.
1725. 1) ж = (—l)n+1 ^ + тгп; 2) Ж1>2 = ±| тг + 2тгп;
О \7Г4 \7Г
ж=—+ тгп; 4) ж=—+ тгп.
1726. 1) ж = —^ + тгп; 2) ж = — ^ + тгп; 3) ж = 2тгп; 7Г 7Г
^=I5+5n-
1) ж=^-; 2) Ж1 = |тг + 2тгп; ж2 = |тг;
3) ж= ^ + (-1)^+7ГП.
1) ж = ^ + 2,5 + ^; 2) ж = тгп; 3) Ж1,2 = ±^ + ^.
1) ж = -^+тгп; 2) ж1>2 = ±^ + i + тгп.
Решение. Данное уравнение sinx-cos2x = 0 распадается на два уравнения:
8тж = 0, откуда ж = птг;
соз2ж = 0, откуда 2ж=^(2п + 1) и ж = ^(2п + 1).
Ответ*, жх = птг; Ж2 = ^(2п + 1).
1731. Жх = —; Ж2 = -7г + тгп. 1732. Ж1 = — + тгп; Ж2 = — + тгп.
Ж1 = -^ + тгп; ж2 = ^(2п + 1).1734. ж = тгп.
1735. Жх = тгп; Х2 = -^-\-тгп.1736. ж=^+27гп.
1737. ®12 = ±^+2тгп.1738. Ж12 = ±^+тгп.
1739.жх = тг(2п + 1); Ж2= 4тгп.1740.жх = 2тгп; Ж2 = ^ + 2тгп.
1741.ж1?2 = ±—+ тгп.1742. ж = —.1743. ж = —.
1744.ж = -^ + ^.1745. жх= 2тгп;ж2 = j + vrn.
1746.®1,2 = ±^+2тгп.1747.хх = ^(2n +1); ж2 = ^.
Ж1 = |(2п + 1); ж2 = ^(2п + 1).
Ж1 = ^+2тгп; ж2 = ^ + ^. 1750. ж = 2тгп. 2тг
1751. Ж1 2 = ±-тг + 2тгп. 1752. жх 2 = ±—Ьтгп.
жх = ^(2п + 1); Ж2 = тгп.
1) зтж = —0,5; 2) tgж = -l.
1) ж=^; 2) ж = ^; 3) ж = д/3;
ж = 3sina, а е [—^; ^]; 5) ж = acos -, - е [0; тг] и а ^ 0, с ^ 0; ( 7Г 7Г \
ж = ctgа, а е ^--;
ж = ^+тгп. 1757. Жх = 7Г + 7ГП; Ж2 = —^+7ГП. 6185
1758. С08ж = --.1759. <4еж = ±—.1760.
36362
1761. ж = ^(2А; + 1). 1762. жх = &тг; ж2 = ^+ &тг.
1763. ж = arctg ^ ^ ,1764. ж = arctg | ±л ———^ | +тгп.
12 — 2тг\ V 16 + Зтг I
ж = ^ + 2ктт при а ^ ^ + ^тг; ж — любое действительное число при а = — +.
ж = тг(4?г + 1).1767. Ж1,2 = ±^ + 2тгп.
1768. ж = ^(4п + 1). 1769. ж = (-1)”^ + ^.
Ж1,2 = ±^+тгп.
Q
жх = 2(-l)narcsin -+ 2тгп; ж2 = тг(1 + 2п).
Указание. Заданные в уравнении функции выразить
1 cos ж о 1 COS Ж / ТГ I 1 X/I 1 \
через косинус: = 8 -, х Ф — (2п + 1) и х Ф idZn + 1).
COS Ж1 + СО8Ж2
Затем решить это уравнение.
Ответ*. Жц2 = ±arccos | + 2птг.
Ж1 = ж2 = ^ + ^и. 1774. ж = ^+птг. 824
1775. Ж1,2 = 2arctg^^+2nTr. 1776. ж = |тг + 2п7г.
Ж1 = ^ + 2птг; Ж2 = 2arctg2 + 2птг.
Ж1)2 = -^±^+27гп.1779. ж = jarctg(V2 +1) + ^.
Жх = ж2 = ^ (4п + 1). 1781. Жх = ^п; ж2>3 = ±^+2тгп.
а) ж = (-1)"^ + птг; б) Жх = ^; ж2 = ^тг.
а) х = ^ (2п +1); х = (-l)narcsin | + птг;
б) xi = arcsin-; ж2 = —; жз = тг — arcsin -; ж4 = -тг.
а) Жц2 = 4тг(3п± 1); б) нет.
а — ^ = 2птг; а -V (3 = (2п +1) тг. 1786. а — ^ = птг.
1787. а-(3 = ^(2п + 1). 1788. х = пи.
х = arctg (— ^ + птг, а^О.
Жц2 = (—l)n arcsin ^qV^^7171"*
xi = ^; ж2,з = ±^ + 2тгп.
tg Xi = tg ^2 = ^; 6^0.1793. жх = птг; Ж2 = —^ + птг.
жх = — — + тгп; х^ — —Ьтгп; Хз = —Ьтгп. 463
tg х = tg а • tg b • tg c; a ^(2k + 1), b ^(2m + 1), c ^
^^(2n + l).
Ж1 = -^+птг; X2 = -^тг + птг.
xi = ^(2n + l); X2 = 2arctg — + 2птг; a ^ 0.
Жц2 = TiTT zE —.1799. xi^ = ±2arctg — + 2птг.
Указание. Заменить sin2Зж —sin2ж произведением.
Ответ*, жх = птг; Ж2,з = ±^ + птг.
жх = ^; ж2?3 = ±arctg^+ п7г. 1802. ж = ^(4п + 1).
ж2 = ° ^ + 2a6cosy?^ Указание. Если а + 3 = то sin2 у>(1 + cos2 у?)
cos (а + 3) = cos ф, откуда cos а • cos 3 — sin а • sin 3 = cos ф. Но sin а = —
. bГ а^ Vх2— a2Q у/ х2 — b2 „
и sin 3 = —, а также cos а = а 1 = и cos 3 = • Но-
ГрДГргр
JU\X^*^
gg‘2 , а/ др‘2 ^2" Q
лучаем соотношение —^^ = cosy?, из которого
следует ответ.жж
Решение. Выразим квадраты синусов через косинусы двойных углов: - — - cos 2х + - — - cos4х + - — - cos ож = -; cos 2ж + -h cos 4ж + cos 6ж = 0. Сумму крайних членов левой части преобразуем в произведение: 2соз4ж • соз2ж + со8 4ж = 0; со84ж(2со8 2ж + 1) = 0.
со84ж = 0; 4ж = ^(2п + 1); ж = ^(2п + 1).
19
2со82ж + 1 = 0; со82ж = --; 2ж = ±-тг + 2птг; ж = ± — + птг.
Ответ*. Ж1 = ^(2п + 1); ж2д = ±^ + п7г.
Ж1 = J(2n + 1); ж2 = |(2п + 1).
ж1 = j(2n + l); Ж21з = ±^ + ^.
Ж1 = 2тгп; Ж2 = ^+2тгп.
234 —V21
х = 7гп + (— 1)п arcsin - — arcsin -; или Ж1 = 2тгп — 2arctg —-— о о 4 + V21 и ж2 = ZiTTi + 2arctg.
7ГП I 1 /. V5 1. 2V5
ж = -— + -1) arcsin — arcsin ——.
и ии ии
ж =—0,7452+ тгп.
ж = тгп + (—1)”arcsin А= + arcsin —1=.1812. ж = ^ + ^.
V41V4163
Ж = п 7Г.1814. ж = | ((—l)n arcsin (д/3 — 1) + птг).
Ж1?2 = iarccos i + (2n + 1) тг.
жх = птг; ж2з = ±—+ п7г. ’6
7Г2
Ж1 = — + п7г; ж2?з = ±-тг + 2п7г.
Ж1 = П7г; ж2 = (-1)п+1^+ п7г. 1819. ж = ^.
ж = ^. 1821. Ж1)2 = iarccos ^Ц—- + 2тгп.
9
жх = -тгп; ж2 = (2n + 1) тг; ж3 = (2п + 1)—.
Ж1,2 = |тг(3п±1); ж3 = |(4п + 1).
Ж1 = ^(2п + 1); ж2 = ^.
= ж2 = ^(4п-1); ж3 = ^(4п + 1).
ж = ^(Зп + 1). 1827. Ж1 = ^(2п + 1); ж2 = ^ + (-1)”^.
жхд = Tvn ± ^ ж3д = кп ± ^. 1829. жхд = -^ (Зп ± 1).
ж = ^(2п + 1). 1831. х1 = ^ + ^ Ж2 = ^ + (-1)^.
Ж1 = п7г + ^; Ж2 = птг — arctg3.
7Г7
Ж1 = П7г + —; Ж2 = птг — arctg-.
ж = —(4п + 1); ж2 = arctg - + птг.
жх = тг(2п + 1); ж2,3 = — (Зп±1). 1836. ж = -arctg- + птг.
1837. ж = птг. 1838. Ж1 = ^(4п-1); ж2 = ^(8п + 1).
1839. ж = ^.1840. Ж1 = ^(4п-1); ж2 = птг.
^ |оо^ |оо1841. Ж|= j(4n — 1); Ж2 = П7г. 1842. Жх = ^; Ж2 = (2п + 1)
^ |оо
^ |оо
1843. Ж1 = П7г —^; Ж2 = arctg5 + П7Г. 1844. ж = ^ + п7г.
1845. Ж1?2 = =Ь—+Ж3?4 = ±—+П7Г.1846. Жх^ = —.
99
1847. жх = - (2n + 1) тг; Ж2 = - (2n + 1) тг. 1848. ж = птг + —.
1849. жх = П7г; Ж2 = ^U^1 тг. 1850. жх = птг; Ж2 = (4п + 1)^.
1851. жх,2 = 2птг ± ^.1852. жх = £тг; Ж2 = —j + ^tt.
жх = -^- + ^тг; Ж2,3 = ±^ + 2ктг.
жх = 2/^тг; Ж2 = -^- + 2^тг.
жх = 2&тг; Ж2 = а + 2&тг при а ^ 2&тг; если а = 2ктг, то ж — любое действительное число.
1856. ж = 0. 1957. ж = 0. 1858. ж =
1859. Ж1,2 = ±л/2. 1860. Ж1 = 0; ж2 = |. 1861. Ж1,2 = ±V3.
1862. Решение. Возьмем косинус от левой и правой частей данного уравнения arccos — = 2arctg(ж — 1). Получим
— = cos2(arctg (ж — 1)) — sin2 (arctg (ж — 1))
(так как cos2q = cos2 а — sin2 а, где а = arctg(ж — 1)). Используя фор мулыЛ
sin arctg т =,у 1 + т21 —ж2 + 2ж —1_ ж(2 —ж) .ж2 —2ж + 2 ж2 —2ж + 2sin arctg т =,у 1 + т21 —ж2 + 2ж —1_ ж(2 —ж) .ж2 —2ж + 2 ж2 —2ж + 2cos arctg т =,
sin arctg т =,
у 1 + т2
1 —ж2 + 2ж —1_ ж(2 —ж) .
ж2 —2ж + 2 ж2 —2ж + 2
sin arctg т =,
у 1 + т2
1 —ж2 + 2ж —1_ ж(2 —ж) .
ж2 —2ж + 2 ж2 —2ж + 2
у 1 + т2 имеем
ж _1(ж — I)2
2 ~ 1 + (ж-1)21 + (ж-1)2
ж2 - 2ж + 2 > 0 при любом ж; ж(ж2 - 2ж + 2) - 2ж(2 - ж) = 0; ж х х (ж2 — 2ж + 2 — 4 + 2ж) = 0, ж(ж2 — 2) = 0, откуда получаем корни Ж1 = = 0, ж2,3 = ±^.
Исследуем полученные корни, подставляя их в исходное уравнение.
Если ж = 0, то слева будем иметь arccosO = ^ а справа получим 2arctg(—1) = 2^— ^ = — ^; ^ — ^. Таким образом, первый корень жх = 0 исходному уравнению не удовлетворяет, следовательно, он не является ответом.
i v2 \ 3
Если ж = —у2, то слева имеем arccos I—— 1 = -тг, а справа получаем 2arctg (—V2 — 1) < 0 — это дуга во второй отрицательной четверти. Следовательно, ж2 = — V2 также не является корнем дан
ного уравнения.
Если ж = V2, то слева имеем arccos-— = —, и справа получаем 2arctg (V2 - 1) = j.
Окончательно получаем ответ*, х = V2.
1863. Ж1 = 0; ж2 = Т жз = -|- 1864. ж = ^"^\
1865. ж = -. 1866. Ж1=0; ж2 = -. 1867. ^ = -у.
1868. ж = ^. 1869. ж = 0. 1870. Ж1=0; ж2,з = ±^.
1871. ж =-. 1872. ж =^. 1873. Ж1 2 = ±-.
54’6
1874. Решение. При ж / 1, ж ^ —1 приравняем тангенсы равных дуг слева и справа (используя формулу tg(a — /5) = ^^—^t ^ ) * Тогда из данного уравнения arctg—5— — arctg—5— = arctg а получаем х iж 1ж —I— 1
-—-—откуда Ж t'*'—Ж + ^ = а (ж 7^ ±1, поэтому мы сокра-
+ ——ж -1 + 1
ж -12
тили на ж2 — 1); — = а. Следовательно, а > 0.
ж
Ответ*, жхд
39 В. А. Бачурин
§19. Неравенства первой степении исследование уравнений первой степени
1) 20 > -10; 2) 18 > 15.
1) —3 > —4; 4) Дж<-|. 1877. Да. 1878. Да.
1879. Нет. 1880. Нет. 1881. Нет. 1882. Да. 1883. Нет.
Да.
1) — с» < ж < 6; 2) —2 < ж < +оо; 3) — оо < ж < — ^;
4) —ос < х < -2,8.
1) Решение. Имеем (ж + 1) • 2 — 3 > 0, откуда 2ж + 2 > 3, или 2ж > 1; получаем ответ: | < ж < +ос;
2) | < ж < +ос.
1) — ос < ж < —6; 2) -ос < ж < 3.
1888. За+ 46 < 16 — 2а. 1889. 2ж >-5. 1890. 30 > 6.
1891. — ос<ж<-.1892. — 2 < ж <+ос. 1893. —ос < ж < 4.
4
1894. 0 (нет решений). 1895. ж < 96. 1896. ж > 234.
1897. ж <4. 1898. ж > ^-. 1899. 6 < ж <+оо.
1900.0 (система несовместна). 1901.4 < ж<+ос.1902.0.
1903.0.1904. 9 < ж < +ос. 1905.О < ж< +ос.
1906.— оо < ж < 10. 1907. 4; 5; 6;...1908.3; 4; 5.1909.Да.
1910.3 < ж < 5.1911. —ос < ж < | и4 < ж< +ос.
1912. -оо < ж < | и 4 < ж < +оо. 1913. 3 < ж < 12.
1914. —2 < ж < 1,6.1915. —ос <ж<6 и 6<ж< +ос.
—ос < ж < 5,4 и 6 < ж < +ос.
1) —1 ^ ж ^ 1; 2) —ос < х < — 3 и 3 < ж < +ос.
1) 0; 2) -ос <ж< -2 и -2<ж< +ос.
1) Решение. Данное неравенство |1 — ж| > 1 равносильно неравенствам 1 — ж < — 1 и 1 — ж > 1, откуда получаем ответ: — ос <ж<0и2<ж< +ос;
—ос < ж ^ — 1 и 5 ^ ж < +ос.
31
1920. -- < ж < +ос. 1921. -ос <ж< -1 и - <ж< +ос.
1922. 0. 1923. |<ж<+оо.1924. 0. 1925. ж = 0,75.
1926. —оо < ж <+оо. 1927. ж = 0. 1928. 0.
1929. -оо < ж < +оо. 1930. 0.
1931. — ос < х <4 < х < +оо.
7
1932. Решение. Искомое двузначное число имеет вид 10а + 6, где а — цифра десятков и b — цифра единиц. По условию, а = b — 2, или 6 = а + 2. Имеем 10а + а + 2 = 11а + 2. Согласно второму условию, 21 < 11а+ 2 < 38, или 19 < 11а < 36. Отсюда ах = 2, а2 = 3 и 61=4, 62 = 5.
Ответ*. 24; 35.
1933. 86. 1935. 1; |; |; f; |;
1940. 1) V2 + V3>V7; 2) V11-V2<V5 + 1;
V8-V15 = |(V30-V2).
1) 5 < ri < +oo; 2) — oo < n < 4 и 6 < n < oo.
1) — (X) < к < 3 и 5 < к < oo;
-oo<A;<-2V3; -2^3 < к <| и у < к < +оо.
—оо < а < 0 и — оо < b < 6; 0 < а < 2 и — оо < b < 6; 2 < а < +оо и 6 < b < +оо;
—оо < а < 0 и 6 < b < +оо; 0 < а < 2 и —oo < b < 6; 2 < а < +оо и 6 < b < +оо;
а = 0 и —оо < b < +оо; b = 6 и —оо < а < 2; Ь = 6 и 2 < а < +оо;
а = 2 и b = 6; д) а = 2 и — оо < b < 6; а = 2 и 6 < b < +оо.
1944. 1) —оо < а < 3 и 4 < а < +оо;
—оо < а < — и 3 < а < +оо.
1945. —(n — qY 1946. Через i(a —26)дней.
1947. Через х = -—у дней; х > 0 при q > р. а > b: q < р. а < Ь. а — о
1948. — (это расстояние искомой точки от центра меньшей
окружности).
1949. 28 < т < 30. 1950. 10 < п < 12.
1951. 1) 2 < т < 15; 2) не существует.
1952. 1) —оо < п < —12; 2) не существует.
1953. 1) m = 10; п = 6;
mi = 1 и m = 2; Ш2 = —12- и п^ = — 3.
1) а = ^; 2) О1=0иа2 = -^.
Единственное решение, если т ^ — 1 и т ^ — 5; бесконечное множество решений, если т = —5; нет решений, если т = — 1.
Единственное решение, если т — 1 и т -; бесконечное 3 1 множество решений, если т = — 1; нет решений, если т = -.
Единственное решение, если ш ^ — |; нет таких значений т. при которых будет бесконечное множество решений; нет решений, 5 если т = — -.
Единственное решение, если т / 1 и т / 2; бесконечное множество решений, если т = 1; нет решений, если т = 2.
1959. а) т = -9; п = 5; б) т = -9; п ^ 5.
1960. а) mi = 5; П1 = 24 и m2 =—1; ^2 = 0;
б) 7771=5; 771^24 И 777 2 = —!; 77 2 ^0.
т-1Зттг2 + Юттг + 7Пуш+14
Единственное решение ж =~; у = —~,
т + 8тп + 7 т + 8тп + 7 если 777 ^ —1 и 777 ^ —7; бесконечное множество решений, если т = = — 1; нет решений, если т = —7.
II772 —77 —22 — 71
Единственное решение ж =; у = —~, если
п— Зтг + 2п— Зп + 2
77 ^ 1 и 77 ^ 2; бесконечное множество решений, если п = 2; нет решений, если 77 = 1.
/ о2(3 +a) 2 + 2(z + (z2
1) Если |ж| = ж и (7 + 2, то ж =-; у = —.
2 а2 а
о\ т-1 II2(3 + ci)2 — 2d — а
7’2 + а ’ у 2 + а
Если |ж| = ж и а = 2, то решений нет.
Если |ж| = — ж и а = 2, то ж = —|; у = — |.
Если |ж| = ж и а = —2, то х = |; у = |.
Если |ж| = —ж и а = —2, то решений нет.
1964. 1) Если \у\ = у и а/±1, то ж = ° ^а—-; у = —^2- — 11 — az
Если \у\ = — у и а — любое, то ж = 1; у = —1.
Если \у\ = у и а = ±1, то решений нет.
ап — Ьт а — Ь,
1965. кг и кг при а > Ь. п > т.
п — тп — т
1966. Решение. Из условия задачи следует, что т > п и b > а. Пусть второй автомобиль догонит первый через t ч, начиная с указанного момента. Тогда за эти t ч первый пройдет at км, второй — bt км. Разница в пройденных автомобилями расстояниях bt — at должна быть равна расстоянию между автомобилями в исходный момент отсчета времени, т. е. т — 77; bt — at = т — п. Отсюда получаем t ——. Искомое расстояние (в километрах) равно
Ь — а
, т — п bm — ап, , т — п bm — ап
s = m + а = —, или s = п + и = —
о — а о — ао — а о — а
§ 20. Исследование квадратного трехчлена.Неравенства второй степени.Рациональные неравенства
1967. Данная функция, как и всякая целая рациональная функция, существует при любом действительном значении аргумента ж: х Е R. Говорят также, что данная функция определена на всей действительной оси.
График ее — парабола, которая расположена в верхней полуплоскости, обращена ветвями вверх, симметрична относительно прямой х = 4 и касается оси абсцисс в точке Л (4; 0).
Функция имеет наименьшее значение, равное нулю: у = 0 при х = 4.
а) — схэ < х < 4; б) 4 < х < +оо; в) у = 0 при х = 4.
М(0;16).
1968. 1) у = (х-^2.
Данная функция представлена в виде квадрата двучлена без минуса впереди, а это и показывает, что эта функция не может принимать отрицательных значений.
а) —схэ < х < 2; б) 2 < х < схэ;
функция имеет наименьшее значение, равное нулю: у = 0 при ж = 2;
у = 0 при ж = 2.
Точка пересечения с осью ординат Mi(0;4); точка касания с
осью абсцисс М2(2; 0).
1970. 1) Имеем у = ж2 + рх + q = (ж + j — j + q = (ж + J +
4^ ^ ^ . Отсюда следует ответ на первый вопрос: D = 4^ ^ ^ = р,
2расположена в верхней2расположена в верхнейили р2 — 4q = 0.
2
расположена в верхней
2
расположена в верхней
В этом случае парабола у =
полуплоскости, обращена ветвями вверх, симметрична относительно прямой ж = — ^ (ее оси), пересекает ось ординат в точке Л(0; q) иполуплоскости, обращена ветвями вверх, симметрична относительно прямой ж = — ^ (ее оси), пересекает ось ординат в точке Л(0; q) икасается оси абсцисс в точке В ( —0J. ЭтсКвадратный трехчле^н при ж = — ^,касается оси абсцисс в точке В ( —0J. ЭтсКвадратный трехчле^н при ж = — ^,ее вершина.ее вершина.имеет наименьшее значеимеет наименьшее значение, равное уние, равное у-Р 4-Р 4Ординаты параболы у =Ординаты параболы у =|2 J- 4<?~^214|2 J- 4<?~^214, в том числе и ор, в том числе и ордината ее вершины, отличаются от ординат параболы у =дината ее вершины, отличаются от ординат параболы у =2| на2| на
полуплоскости, обращена ветвями вверх, симметрична относительно прямой ж = — ^ (ее оси), пересекает ось ординат в точке Л(0; q) и
полуплоскости, обращена ветвями вверх, симметрична относительно прямой ж = — ^ (ее оси), пересекает ось ординат в точке Л(0; q) и
касается оси абсцисс в точке В ( —0J. Этс
Квадратный трехчле^н при ж = — ^,
касается оси абсцисс в точке В ( —0J. Этс
Квадратный трехчле^н при ж = — ^,
ее вершина.
ее вершина.
имеет наименьшее значе
имеет наименьшее значе
ние, равное у
ние, равное у
-Р 4
-Р 4
Ординаты параболы у =
Ординаты параболы у =
|2 J- 4<?~^2
14
|2 J- 4<?~^2
14
, в том числе и ор
, в том числе и ор
дината ее вершины, отличаются от ординат параболы у =
дината ее вершины, отличаются от ординат параболы у =
2
| на
2
| на
4q-p
величину —-— при тех же абсциссах. Поэтому координаты вершины _49р
параболы у = х -V рх-V q следует вычислять по формулам ж0 = —- л2
1971. ?/ = 2ж2-4ж + 2 = 2(ж2-2ж + 1) = 2(ж-1)2.
а) ?/ = 0приж = 1; б) — оо < х < 1; в) 1 < х < +оо.
На рис. 94 изображены графики функций у = 2ж2 (1) и у = = 2ж2 — 4ж + 2 = 2(ж — I)2 (2).
Обе параболы расположены в верхней полуплоскости, обращены ветвями вверх и касаются оси абсцисс. Вторая парабола сдвинута на единицу вправо относительно первой.
Первая парабола симметрична относительно оси Оу, вторая — относительно прямой х = 1. Координаты вершин 0(0; 0), Л(1; 0).
1) D = Ь2 — 4ас = 16 — 48 = —32 < 0. Дискриминант — отрицательное число, а это означает, что данный трехчлен не имеет действительных корней.
у = —2(ж2 — 2ж + 3) = — 2((ж — I)2 + 2). Выражение в скобках положительно, перед скобкой стоит минус, поэтому при любом значении аргумента х значения функции у < 0.
у = — 4 при х = 1.
—оо < у < —4 при —оо < х < 1 и —4 > у > —оо при 1 < х < оо.
График изображен на рис. 95.
6—41Ь2 — 4ас 16 — 48.
Дополнительные сведенияк исследованию квадратного трехчлена
Если функция на некотором интервале убывает (возрастает), принимает наименьшее (наибольшее) значение у^ при некотором значении аргумента xq, затем возрастает (убывает), то такое наименьшее
(наибольшее) значение функции называют минимумом (максимумом) функции на этом интервале при ж = жо и обозначают T/mjn (т/тах)-
Функция у = ах2 + Ьх + с — квадратный трехчлен — всегда имеет либо только минимум, если а > 0, либо только максимум, если а < 0. График квадратного трехчлена — парабола — наглядно иллюстрирует определение этого понятия.
Минимум и максимум функции в совокупности называют экстремумом функции, или экстремальным значением функции.
1977. утах = 4 при Ж =—1.1978. ^/шах = 0,25приж = 1,5.
1979. 7/min = —0,125 приЖ = 1,5.1980. 7/min =—5 приж =— 3.
1981. Ж1 = -2; ж2 = 3.1982. жх =-2; ж2 = 5.
1983. ж4 = —2; ж2 = -1;ж3>4 = 0,5(3±д/13).
1984. жх = -2,4; ж2 = 0;ж3 = 0,4; ж4 = 2.
1990. — схэ < ж < 3 и 4 < ж < +оо. 1991. 3 < ж < 4.
1992. 0 (решений нет).
1993. -оо < ж < 0,25(3-V65); 0,25(3 + V65) < ж < +оо.
1994. — оо < ж < оо. 1995. 5 — д/14 < ж < 5 + V14-
1996. -схэ < ж < схэ. 1997. -5 < ж < 5. 1998. 0.
1999.
— схэ
< ж <
+оо. 2000.
-2,5<ж<1. 2001. -оо
< Ж < ОО
2002.
5-^
/14 <
ж 3; 7 ж
5 + V14- 2003. -оо < ж
< +оо.
2004.
1) -
2 < ж
< -0,5; -0,5 ■
< ж < 1; 2) 0 < ж < 2; 2 <
: ж < 8.
2005.
-6<
ж<2
. 2006. -Ц
<ж<|. 2007. 1|<®<
:8, ж2
2008.
— схэ
< ж <
-4; -2 < ж <
3; 5 < ж < оо.
2009.
— схэ
< ж <
-2; --<ж<
-1; 1 < ж < 5.
2010.
— схэ
< ж <
55,
— -; — - < ж ^ 2’2
: i 2011.ж 2.
'88
2012.
— схэ
< ж ^
1; 2 < ж < +ос
2013. —2 < ж < 0; 6 <
ж < +оо
2014. -1 < ж < 2; 3 < ж < +оо.
2015. —схэ < ж 1; 2 ж < 3; 3 < ж < +оо.
2016. -1 < ж < 0; 3 < ж < 4; 4 < ж < +оо.
2017. 1 < ж < 1,5; 2 < ж < +оо.
2018. -оо < ж < -2,5; -2,5 < ж -1; | ж 3.
2019. Указание. Данное неравенство равносильно неравенству ж2 — 15ж + 36~ (ж —3)(ж —12)
(ж + 7)2(ж+ 7)
Знаменатель больше нуля при всех ж / —7. Следовательно, числитель должен быть неотрицательным, что имеет место при ж ^ 3 и ж ^ 12.Ответ*. —оо < ж < —7; —7 < ж ^ 3; 12 ^ ж < оо.Знаменатель больше нуля при всех ж / —7. Следовательно, числитель должен быть неотрицательным, что имеет место при ж ^ 3 и ж ^ 12.Ответ*. —оо < ж < —7; —7 < ж ^ 3; 12 ^ ж < оо.2020.2021.2022.2024.2020.2021.2022.2024.— схэ < ж <— схэ < ж <— схэ < ж <— схэ < ж <— схэ < ж <— схэ < ж <— схэ < ж <— схэ < ж <-1;-1;2233< ж < 1.< ж < 1.—4; —3 < ж < —2,5; —2 < ж < — 1; 0 < ж < схэ.—4; —3 < ж < —2,5; —2 < ж < — 1; 0 < ж < схэ.-2; -1 < ж < 0. 2023. - 1 < ж < 3.-2; -1 < ж < оо. 2025. -8 < ж < 1.-2; -1 < ж < 0. 2023. - 1 < ж < 3.-2; -1 < ж < оо. 2025. -8 < ж < 1.2026. 1 < ж < 6.2028. —оо < ж <2029. -оо < ж <2026. 1 < ж < 6.2028. —оо < ж <2029. -оо < ж <2027. -оо < ж < -3; -2 < ж < -1.2027. -оо < ж < -3; -2 < ж < -1.-1; -1 <ж<2.-1; -1 <ж<2.-7; -1 < ж < 0; 0 < ж < 1; 3 < ж < оо.-7; -1 < ж < 0; 0 < ж < 1; 3 < ж < оо.
Знаменатель больше нуля при всех ж / —7. Следовательно, числитель должен быть неотрицательным, что имеет место при ж ^ 3 и ж ^ 12.
Ответ*. —оо < ж < —7; —7 < ж ^ 3; 12 ^ ж < оо.
Знаменатель больше нуля при всех ж / —7. Следовательно, числитель должен быть неотрицательным, что имеет место при ж ^ 3 и ж ^ 12.
Ответ*. —оо < ж < —7; —7 < ж ^ 3; 12 ^ ж < оо.
2020.
2021.
2022.
2024.
2020.
2021.
2022.
2024.
— схэ < ж <
— схэ < ж <
— схэ < ж <
— схэ < ж <
— схэ < ж <
— схэ < ж <
— схэ < ж <
— схэ < ж <
-1;
-1;
2
2
3
3
< ж < 1.
< ж < 1.
—4; —3 < ж < —2,5; —2 < ж < — 1; 0 < ж < схэ.
—4; —3 < ж < —2,5; —2 < ж < — 1; 0 < ж < схэ.
-2; -1 < ж < 0. 2023. - 1 < ж < 3.
-2; -1 < ж < оо. 2025. -8 < ж < 1.
-2; -1 < ж < 0. 2023. - 1 < ж < 3.
-2; -1 < ж < оо. 2025. -8 < ж < 1.
2026. 1 < ж < 6.
2028. —оо < ж <
2029. -оо < ж <
2026. 1 < ж < 6.
2028. —оо < ж <
2029. -оо < ж <
2027. -оо < ж < -3; -2 < ж < -1.
2027. -оо < ж < -3; -2 < ж < -1.
-1; -1 <ж<2.
-1; -1 <ж<2.
-7; -1 < ж < 0; 0 < ж < 1; 3 < ж < оо.
-7; -1 < ж < 0; 0 < ж < 1; 3 < ж < оо.
2030. —2 < ж < оо. 2031. 1,5 < ж < 2. 2032. 1 < ж < 3.
2033. -2 < ж < 1,6; 2 < ж < оо. 2034. -оо < ж < 3.
2035. —оо < ж < 0; 0 < ж < 1; 1 < ж < оо.
9
2036. — оо < ж ^ —-; 0,5<ж<2.
75
2037. -оо < ж < -; - < ж < оо.
4 2
2
2038. 1) -оо < ж < 3; 3 < ж < +оо; 2) -оо < ж < --; 2 < ж < +оо.
2039. 1) 1 < т < +оо; 2) 0 < т < 28;
3) Решение. Всякое неравенство вида ах2 + Ьх + с < 0 справедливо при любом ж, если а < 0 и Ь2 — 4ас < 0. В данном случае неравенство справедливо для любого значения ж, если одновременно выполняются условия: 5 — т < 0; (1 — т)2 — 2(1 — т)(5 — т) < 0. Решая эту систему, находим т > 9. Получаем ответ*. 9 < m < +оо;
2040. 1) т = ^|; 2) mi=2;m2 = ^.
2041. а = 2; 6 = -16; с = 24. 2042. а =-4; 6 = 4; с = 24.
2043. а = 3; 6 =-36; с = 96 . 2044. а = 2; 6 = 8; с = 15.
оп._ а /9-2^579 + 2^57,
2045. а) —оо < т <— и —< т < +оо;
,х 9-2V579 + 2V57 х 9-2^5?9 + 2V57
Ш1 = И 7772 = :; В) < ГП <
14949’74949
2046. а) - < т < +оо; б) т =-; в) — оо < т <-.
24
2047. а) —оо < т < 0 и — < т < +оо;
24 х „24
б) 7711=0 И ?772 = —; В) 0<Ж<—.
2048. а) 0; б) 0; в) -оо < т < +оо.
2049.(Va262 + 4000a6s ± аб) л.
тп(тп -\- 4 s) — тп) км / ч; — ч
^плУтп^тп + 4s) — тп
(^/H(fc?T4m) ± kt) т.
^ ^(к — а)±у/(к — а)2 — 4с) м, (к — а)2 ^ 4с.
^Ур2!2 4-4пpt 4zpt^) га.
За | ((2с — b ± а) + ^(а “ 6)2 +4с(с — 6)) мин.
2055. (а(2 ± 6) + а2(62 + 4) + 4а6с) рабочих.
60 км/ч.
§21. Неравенства с двумя переменными и их системы
а) Да; б) да; в) нет; г) нет.
а) Решение. Построим на координатной плоскости прямую у = 2ж — 1 (рис. 96). Так как ордината любой точки, лежащей ниже прямой у = 2ж — 1, меньше, чем ордината точки, имеющей такую же абсциссу, но лежащей на прямой, то множество точек плоскости, расположенных ниже этой прямой, и будет геометрическим изображением решений данного неравенства.
Указание. Данное неравенство х + у — 2 ^ 0 записать предварительно в виде у ^ 2 — х.
2059. а) См. рис. 97. 2060. Нет; да; да; нет.
а) См. рис. 98.
а) Множество всех внутренних точек круга единичного радиуса с центром в начале координат.
а) Да; в) нет. 2064. Да; нет; нет; нет.
2065. а) Решение. Геометрическим изображением решений системы неравенств,
J > О,t У О
является множество точек I координатного угла, включая точки полуосей Ох и Оу (рис. 99).
2066. а) См. рис. 100.
2067. а) Верхняя половина круга с центром в начале координат (границы полукруга входят в это множество точек).
мы неравенствмы неравенств2068. Решение. Геометрическим изображением решений систе
мы неравенств
мы неравенств
' У^зс,
< у ^ 2ж,k У < 4
является множество точек плоскости треугольника, ограниченного прямыми у = х, у = 2т: у = 4 (рис. 101). Границы треугольника входят в это множество точек.
2069. См. рис. 102.
2070. а) Луч [ОМ), где точка М принадлежит биссектрисе I координатного угла.
2071. а) В I и III четвертях координатной плоскости, включая и точки осей координат.
2072. а) Кольцо с центром в начале координат, причем точки окружностей, ограничивающих это кольцо, входят в заданное множество.
2073. Луч [АВ), определяемый второй прямой и содержащий начало координат. А — точка пересечения двух данных прямых.
2074. Луч, отсекаемый первой прямой на второй и не содержащий начало координат.
2075. Два вертикальных прямых угла, образованных прямыми х = 2 и у = 3, один из которых содержит начало координат.
2076. Угол в верхней полуплоскости, заключенный между биссектрисами координатных углов.
2077. Полоса, заключенная между прямыми х = ±8 и окружностью, причем точки окружности входят в искомое множество, а точки прямых не входят.
2078. Две четверти круга, расположенные в I и III координатных углах; границы секторов входят в искомое множество.
2079. Угол. 2080. Полоса.
2081. Полуплоскость, определяемая вторым неравенством.
2082. Треугольник с вершинами А(1;2), В(—1; 0) и С(5; —2).
2083. Треугольник с вершинами А(0; 0), В(—2; 1) и С^ 2).
2084. Треугольник с вершинами А(—1; 0), В(0,5; 0) и С(2; 3).
2085. Треугольник с вершинами А(—1;0), bQ;O^ и С(—1;2).
2086. Шестиугольник с вершинами А(1; 0), В(4; 0), С(6; 2), D^ 7), В(0;3),В(0;1).
§22. Иррациональные неравенства
3) -1<ж<0;3) -1<ж<0;2087. 1) 1<ж<оо; 2) -оо < х < 1;
3) -1<ж<0;
3) -1<ж<0;
— оо < ж < — V?, V7 ^ ж < оо.
2088. 1) -Ц—53) -5 < х < 1.2088. 1) -Ц—53) -5 < х < 1.сильно системесильно системе< ж < 1; 2) -1 < х < —-—;
2088. 1) -Ц—5
3) -5 < х < 1.
2088. 1) -Ц—5
3) -5 < х < 1.
сильно системе
сильно системе
Решение. Неравенство V^ + 5 < 1 —ж равно
ж + 5 > О,
< 1 - х > О,х + 5 < (1 - ж)2.
Из первых двух неравенств системы находим —5 ^ ж < 1. Решая третье неравенство ж + 5 < (1 — ж)2, т. е. ж2 — Зж — 4 > 0, получаем ж < — 1; ж > 4. Из совокупности полученных неравенств составляем ответ*. — 5 ^ ж < — 1, или [—5; — 1);
2 < ж ^ 6.
2089. 1) -1-У5<ж<-3, 1<ж<Уб-1;
—схэ < ж < — |, 1 < ж < схэ.
2090. 1) -оо < ж < -3, 13 < ж < оо; 2) 1 < ж < 6.
2091. 1) -1<ж<15; 2) | < ж < ^.
2092. 1) -^ < ж -1, 2 2 ж < 3;
—схэ < ж < 1. Указание. Положить V2 — х = t (i ^ 0).
1) 1 < ж 3; 2) 2<ж^2\/2.
1) -К ж ^2; 2) -2-2^<ж<-1, -2 + 2^^ж^З.
1) 0 < ж ^ 1; 2) 0,5(V13 - 5) < ж 1.
1) -оо<ж^-у, 1 ж < 10; 2) 6 < ж 8.
1) -оо < ж < 2, Уу^ < ж < 3; 2) -6 ж < 0, 3 < ж 4.
1) -2 < ж < 1, 1 < ж < оо; 2) -1 < ж ^ -^у, -у ж 1.
1) 0 ^ ж ^ 81, 1296 < ж < оо;
—0,4 < ж < —0,2; 124,6 < ж < оо. Указание. Пусть -^2 + 5ж = = у (^ 0) и т. д.
1) 0^ж<у; 2) 0 < ж < 4.
1) Решение. Имеем д/25 — ж2 + д/ж2 + 7ж > 3. Обе части заданного неравенства неотрицательны, поэтому оно равносильно системеz 9
х2 25,
< ж(ж + 7) > О,
k (д/25 — ж2 + д/ж2 + 7ж)2 > З2, откуда
(0<ж<5,
(^ 2д/^б^ж2 • д/ж^+Тж > -16— 7ж.
При 0 ^ х ^ 5 последнее неравенство системы удовлетворяется, поэтому отрезок [0; 5] и является ответом;
решений нет.
1) 1 < ж < 4; 2) -оо < ж < 2 V5 - 4.
1) 1<ж<; 2) -2<ж<-1, -^<ж<^.
1) 0 < ж < у; 2) -<ж<-, - <ж<4.
§ 23. Показательные и логарифмические неравенства
1) Решение. Имеем 4Ж < 2ж+1 +3, иначе (22)ж < 2Ж• 2 + 3, или (2Ж)2 — 2 • 2Ж — 3 < 0. Пусть 2х = у, у > 0; тогда получаем у2 — -2у - 3 < 0, или (у + 1) • (у - 3) < 0, откуда -1 < у < 3.
Эти неравенства заменим такими: 0 < у < 3, поскольку у > 0. Итак, 0 < 2х < 3. 2х —> 0 при х —> —оо и 2х = 3 при х = log23.
Ответ*. —оо < х < log23, или (—оо; log23);
2) — оо < х ^ — 2; 3) log0 42 <x<oo; 4) — 1 ^ х ^ х.
1) -оо < ж ^0,6; 2) -y^^ji 3) "V3 ж д/З;
—оо < х < 2 — log2 6.
2107. 1) Нет решений; 2) 2,5 < х < оо.
2108. 1) —4 < ж < 0; 2) 7<ж<7^;
-оо < ж < 1, 4 < ж < оо; 4) 0 < ж < 1.
1) 2 < ж < 3; 2) 1 < ж < 3; 3) -0,5<ж<оо; 4) 0<ж<3.
1) 1 +V1 + & < ж < оо; 2) Vl + «2 < ж < оо;
1 > ж > а; 4) 3 < ж < 4, 4 < ж < оо.
1) 4 < ж < 6; 2) —оо < ж < —2, | < ж < оо;
2,5 < ж <3; 4) 6 < ж < 7.
2112. 1) log2 — ж < оо; 2) 1 < ж < оо.
2113. 1) 0<ж<1; 2) —оо < ж < —1.
2114. 1) 0,5 < ж <2; 2) -оо<ж<^23.
2115. 1) -х/7<ж<-х/3, \/3<ж<х/7; 2) -10 < ж < 5.
2116. 1) -оо < ж < 0, 1 < ж < оо; 2) 1 < ж < оо.
2117. 1) -5 < ж < 5; 2) log3 Ц < ж < оо.
2118. 1) 0<ж<Д^-; 2) 0,5^ж<1.
lgl>5
2119. 1) -оо<ж<-1; 2) 2 < ж < 3, 3 + 2д/2 < ж < оо.
1) -оо < ж < 4-V2, 4+V2 < ж <-оо;
—оо < ж < —0,5, 1 < ж < оо. Указание. Этот ответ получается в результате совместного решения следующих систем неравенств:
Г0 < 4ж2 + 2ж +1 < 1, Г4ж2 + 2ж + 1>1,
1 ж2 — ж < 0;1 ж2 — ж > 0.
2121. 1) —оо < ж < 0, 3 < ж < оо;
2)2)Указание. Решение данного неравенстваУказание. Решение данного неравенства
2)
2)
Указание. Решение данного неравенства
Указание. Решение данного неравенства
является объединением решений следующих двух систем:
О < Зж + 5 < 1, 9ж2 + 8ж + 2 < (Зж + 5)2;О < Зж + 5 < 1, 9ж2 + 8ж + 2 < (Зж + 5)2;Зж + 5 > 1, 9ж2 + 8ж + 2 > (Зж + 5)2.Зж + 5 > 1, 9ж2 + 8ж + 2 > (Зж + 5)2.
О < Зж + 5 < 1, 9ж2 + 8ж + 2 < (Зж + 5)2;
О < Зж + 5 < 1, 9ж2 + 8ж + 2 < (Зж + 5)2;
Зж + 5 > 1, 9ж2 + 8ж + 2 > (Зж + 5)2.
Зж + 5 > 1, 9ж2 + 8ж + 2 > (Зж + 5)2.
2122. 1) 0,5 < ж < 4; 2) 1 < ж < 2.
§ 24. Тригонометрические неравенства
2123. См. задачу 1266.
2126. 1) тг + 2тг^ < ж < -^ + 2тг^; 2) —^ + тг& < ж < ^ + тг&; 7 4426
7
— тг + 2тг^ ж ^ —тг + 2тг^;
4)4)Решение.Решение.Имеем cosИмеем cosV 2< ——. Это неравенство выпол-V 2< ——. Это неравенство выпол-няется тогда, когда | ^ + 2тг^ < ^ + ^ < ^ ^ + 2тг&, или 5тг 1..< х < —h2127. 1) ^~ + |няется тогда, когда | ^ + 2тг^ < ^ + ^ < ^ ^ + 2тг&, или 5тг 1..< х < —h2127. 1) ^~ + |Зтг — 1.,—Н4^тг <Зтг — 1.,—Н4^тг <ТГ к 7ГТ " 9ТГ к 7ГТ " 923’23’442 ’2 ’
4)
4)
Решение.
Решение.
Имеем cos
Имеем cos
V 2
< ——. Это неравенство выпол-
V 2
< ——. Это неравенство выпол-
няется тогда, когда | ^ + 2тг^ < ^ + ^ < ^ ^ + 2тг&, или 5тг 1..
< х < —h
2127. 1) ^~ + |
няется тогда, когда | ^ + 2тг^ < ^ + ^ < ^ ^ + 2тг&, или 5тг 1..
< х < —h
2127. 1) ^~ + |
Зтг — 1.,
—Н4^тг <
Зтг — 1.,
—Н4^тг <
ТГ к 7Г
Т " 9
ТГ к 7Г
Т " 9
2
3’
2
3’
4
4
2 ’
2 ’
^ + 2тг^<ж< ^ + 2тг^;
66
2тг2
2ктг—— ^ ж 2&тг; - тг + 2&тг ж тг + 2&тг.
2128. 1) -^ + 2тгА:<ж<^+27гА:; 2) — ^ + 2тгА; < ж < ^ + 2тгА:; 73344
2тг& жтг + 2тг&; 4) тгк — ^ < ж < тгк + ^.
2129. 1)+ тгк х + тгк; 2) — + тгк ж + тгк:
7 44744
3) 2тг& ^ ж ^ ^ + 2тг&; 4) ^ + 2тг& < ж < | тг + 2тг&.
2130. 1) ж = ^ + тг&; тгк — ^ ^ ж ^ тгк — ^; тгк + ^ ^ ж ^ тгк + ^;
Решение. Имеем
Следовательно, илиСледовательно, или8ес2ж+ (2-Уз) tgж < 2Уз + 1.
Следовательно, или
Следовательно, или
l + tg2ж + (2-Vз)tgж<2Vз + l,tg2ж+(2- Уз) tgж-2Уз < 0.
Пусть tg ж = у, тогда у2 + (2 — Уз) у — 2д/3 < 0, откуда находим —2 < < у < УЗ, или —2 < tg ж < УЗ. Итак, получаем ответ*, ктг — arctg2 < < ж < ктг + ^.
2131. 1) 2тгА — — < ж < 2тгА + —;
— arctgy2 + тгк ^ ж ^ тгк*, arctgv^ + тгк ^ ж < — + тгк.
/тгк ТГ у -г• 6I 6
2132. 1) —— < ж < — + —. Указание, sin ж + cos°ж =
/1 —cos2a?\3 , /l + cos2a?\3 5,3.
= + = - + - со8 4ж;
V2/V2/88’
3
тгк + arctg - ж < тгк + тг — arctg4.
2133. 1) тгк +^ ж < тгк +2) 2тг^ —< ж 2тг^.
/4272
1) 1 < ж 10; 2) | ^ ж < 1.
1) Ink ^ ж < Ink + тг; 2) 0 < ж tg —.
1) irk + ^ < ж < Trfc + J; 2) ^(2fc + l) < ж < ^ (fc + 1).
1) ^<^<^(4^ + 1);
2тгАт тг2тгА? тг 2тгА? , тг2тгА? , 7тг
2>~ Ki <~+ io < ж < ^Г+зо'
2138. 1)<;с<2) 0?г
тгтгу тг
1) — < х 1. Решение. ОДЗ переменной х данного неравенства агссозж < arcsine является отрезок х Е [— 1; 1] (— 1 ^ х ^ 1).
Как известно, значения данных функций определяются неравенствамитг ... тг
что соотчто соот0 arccos х тг и — — arcsin х .
что соот
что соот
Пересечением этих неравенств является отрезок
ветствует изменению переменной х в пределах х Е [0; 1]. Однако при х = 0 исходное неравенство не удовлетворяется, поэтому будем искать значения х на полуинтервале х Е (0; 1].
На полуинтервале (б; ^] функция косинус положительна и монотонно убывает, поэтому при х Е (0; 1] исходное неравенство равносильно неравенству cos(arccosж) > cos(arcsinж). (Знак неравенства исходного
неравенства изменился на противоположный, поскольку меньшей дуге соответствует большее значение косинуса.) Значит, ж > V1 — ж2, что при ж Е (0; 1] равносильно неравенству 2ж2 > 1, из которого находим решения, входящие в полуинтервал ж Е (0; 1]. (Рекомендуется проиллюстрировать приведенное решение рисунками.);
2) 1 < ж < оо.
1) 2тг& < ж < 2тг& + —; - тг + 2тг& < ж < тг + 2тг&;
74 4
0 < ж < ^.
. Комплексные числа
2142. 1) Нет; 2) нет. 2143. 1) 3 и 2.
2144. 1) Натуральных; 2) целых; 3) рациональных;
натуральных; 5) действительных.
2145. D = b2-4ac<0. 2146. 1) —5 + 2г; 3) (a + cH(b + d)i.
™ -п 3611 . ох V3 , V2 .
2147- 11 т~18,; 21+
2148. 1) 10m + 8m; 2) 3 + 32+ 3 + 2V3-,
2149. 1) Юг; 2) -21; 3) -З + Зг; 4) -21 + 24г.
2150. 1) 3—11г; 3) 26; 4) 7. 2151. 1) т2 + гг2; 3) (а-Ь)2.
2152. 1) ab(b-aV2abVabi; 2) ° Д’ . 2153. 1) 2г; 4) |.
2154. 1) —Зг; 3) -3 + 2г; 5) 1-2г. 2155. 1) г.
2156. 3)_ 2 + 3V22157 3j a-b-lV^b.
'55' a+b а+Ь
2158. 1) —г;
2) 1; 3) г- 4) -г; 7) -г; 8) -г; 9) г; 10) 1.
1) 2г; 2) -2г; 3) -5 +12г;
1) -4. 2161. 1)0; 2) Ц —"
Дискриминант D < 0.
1) г = 3; Ф = ^ 2) г = 1; 99 =
4) (1 — 4а2)+4аг.
18
г.
Г; 3) г = 0,5; ^ = Ь
4) г = 2;
V = -^; 5) г = 0,5; 99 =
2’
7Г
2
У
3
2
1
О
-1
-2
У
А
С
Е
В
D
Рис. 103
3
-3
-6
2
О
Рис. 104
(рис. 103).
(2-Зг) - (2 + Зг) = -6г (рис. 104).
1) 1; 2) 28;
3) —7 —24г; 4) 212.
Два сопряженных комплексных числа, например, 2 + г и 2 — г:
б) (2 + г)(2 — г) = 5;
в частности, два чисто мнимых числа, например, 2г и —2г:
2г - 2г = 0;
(2г) • (—2г) = 4.
2168. Например, два комплексных числа 2 —4г и — 2 +г. Их сумма равна Зг, а произведение равно Юг.
2169.
1.
2170. 1) ж2 + 1 = 0; 3) ж2 —2ж + 2 = 0.
2171.
1)
±2; ±2г; 2) ±
2172.
2173.
1)
1)
1; 2;-l±zV3;
cos0 + ^sin0; costt+ г sin?r;
1 — 1 i г V 3 ~
2’4’ "
7Г . . 7Г/ 7Г
cos —+ г sin—; cos ( — — // тг \. . / тг\\
(^cos ( — — J +г sin —jj cos — + г sin -
//12 \
13 cos arctg — + г sin
+ г sin
5тт , . . 5тг\ cos —- + г sin —- ; . 6 6 7
7Г , . . 7Г \ cos— + гsin — ;
.44 7
/ 2 \
;4)cos I —— тг) + г sin
2175. 1) 2д/3 + 2г; 2) 6. 2176. 1) 4x/2 + 4?V2; 2) 2 + 2? х/З.
2181. 10 (cos^- + ? sin ^-1 2182. -^V2+^V2?. 2183. -|?.
2184. 1) (Va + гV2)(V«-<V2); 2) (2 + ?V3)(2-?х/з).
V9 л/9
2185. 1) cos45° + г sin45° =-^-+-^-г; 2) 2г.
2 186. 1) 107г; 2) —1013г; 3)^; 4) -^. 2187. 64г.
2188. -236. 2189. -7728\/2г. 2190. -2. 2191. 6,24 + 0,5г.
2192.2196.2199.2192.2196.2199.1. 2193. -(4,5 + 2V2).-9. 2197. -|г. 2198.1) 16 + 16гУЗ; 2) -З6.1. 2193. -(4,5 + 2V2).-9. 2197. -|г. 2198.1) 16 + 16гУЗ; 2) -З6.2194. —0,25г. 2195.2194. —0,25г. 2195.|(3 + 02200. 1)|(3 + 02200. 1)-0,25.-0,25.
2192.
2196.
2199.
2192.
2196.
2199.
1. 2193. -(4,5 + 2V2).
-9. 2197. -|г. 2198.
1) 16 + 16гУЗ; 2) -З6.
1. 2193. -(4,5 + 2V2).
-9. 2197. -|г. 2198.
1) 16 + 16гУЗ; 2) -З6.
2194. —0,25г. 2195.
2194. —0,25г. 2195.
|(3 + 0
2200. 1)
|(3 + 0
2200. 1)
-0,25.
-0,25.
Решение. По формуле Муавра: z6 = 64(cos360° + г sin360°) = = 64(1 + г • 0) = 64; в алгебраической форме:
^6 = 64^+г^) = 64(1 + г л/з)6 = ((1 + г д/з)2)3 =
= (1 + 2г V3 — З)3 = (2г V3 — 2)3 = 8(V3z — I)3 =
= 8(—3 х/Й+ 3-3 + 3 хАг — 1) =8-8 = 64.
2201. 1) -1; 2) 1.
оопо по-lL/V32 + 42 + 3 , . Д/з2 + 42-з\
2202. 1) Ре ш е н и е. уЗ + 4г = ±1у -2/ =
= ±(2 + г); получили ответ*. ±(2 + г)?
±(1-2г).
2203. 1) ±^(л/3-г); 2) ±^2(д/15 + г).
2204. 1) зЦуЗ-г); 2) ±2(1-г-/3).
2205. 1) ±-2= (VlT-г); 2) -2; 1±г^3.
2206. 1) «1 = cos 45° + г sin 45°; а2 = cos 165° + г sin 165°; а3 = = cos 285° + г sin 285°;
Qi = cos30° +г sin30°; q2 = cos 120° + г sin 120°; q3 = cos210° + + г sin 210°; «4 = cos 300° + г sin 300°.
2207. 1) Qi = cos 45° + г sin 45°; a^ = cos 117° + г sin 117°; аз = = cos 189° +г cos 189°; a4 = cos 261° + г sin 261°; a5 = cos 333° + г sin 333°;
= cos 10° + г sin 10°; ...; a6 = cos 310° + г sin310°.
2208. Решение (в алгебраической и тригонометрической фор-
ж3 — 1 = (ж-1)(ж2 + ж + 1) =0; Ж1 = 1; ж2;3 = ^^^*.
х = ^1 = ^1 (cos ^^ + г sin -у~У При к = 0 x-v = 1; при к = 1
22; при к = 2 хз =; при к = 2 хз =222тг . . 2тг7Г..7Г
2
2
; при к = 2 хз =
; при к = 2 хз =
2
2
ж2 = cos — + г sin — = - cos - + г sin - =
4тт , . . 4тттг , . /. тг \
= cos — + г sin — = — cos — + % у— sin — J =
40 В. А. Бачурин
2209. 1) -1; 0,5(1±гV3); 2) ±0,5 л/2(1 + 0
2210. 1) 3; 1,5(—1±гV3); 2) ±1; ±г.
1) ±(2±?V2); 2) 0,5\/2(1±г); —0,5 V2 (1 ± г) -
1) ±(2 —г); ±(1±2г); 2) ±0,5(\/3±г); ±0,5(1 - г V3).
1) ±1; ±0,5(l + ?V3); ±0,5(1 - г V3);
—V3±i
2) =Ег; —-—; .
’’2’2
1) ±^(V5-i); ±^(1±гд/3);
7Г . 7Г13?Г , . . 13ТГ
= cos - + z -;...; ж4 = cos -^- + % sin -^-.
2215. 1) ±| (V2-л/2±г V2±V2); ± j (V2± л/2 - г V2 - V2); н 8/й / 7тт . . 7тг\о 8 43тг . . 43тг\
^ = 2^3^08 — ± г sin — у...; ж4=2\/3(со8 — ±«sin — у
2216. 1) ж2±4 = 0; 2) ж2±7ж± 18,5 = 0.
2217. 1) Ж1 = -|(13±4г); ж2 =-| (13-4г);
жх =3; ж2 = 0,5 (—3 ± г \/3) •
2218. -; 0. 2225. -1-г. 2226. ±5; ±5г. а
2228. 1) Все точки окружности с центром в начале координат и радиусом 1;
все точки круга радиуса 1 с центром в начале координат, не
включая точки самой окружности;
Рис. 105Рис. 105все точки круга, включая точки окружности радиуса 1;
Рис. 105
Рис. 105
все точки за пределами окружности;
все точки кольца между окружностями радиусов 1 и 2, причем точки окружностей в это множество не входят.
2229. Точка z + 1 получается из точки % сдвигом на единицу вправо параллельно действительной оси Ох (рис. 105).
2230. Точки 1 + 2z расположены на окружности радиуса 2 с центром в точке (1; 0).
. Комбинаторика и бином Ньютона
2231. 1) Р3 = 1-2-3 = 6; 2) Р4 = 1 • 2 • 3 • 4 = 24.
2233. 1) Л3 = 60. 2233. С| = С| = 10.
2234. 1) 120; 2) 6; 3) 10.
2235. 1) 24; 2) 56; 3) 116; 4) 60,5. 2236. 1) ^; 2) 720.
2237. 1) 4950; 2) 1431; 3) 330; 4) 13. 2239. Р4 = 24.
2240. Л|о = 870. 2241. Af0 = 30240. 2242. 59280.
2243. 15120. 2244. 120.
2245. 1) n(n2 —1); 2) (m — п)(т — п — l)(m — п — 2)... (п + 2).
2246. 1)2247. 1)2246. 1)2247. 1)1-2-3-4...&(& + !); 2) 1-2-3...2п(2п + 1)(2п + 2).
2246. 1)
2247. 1)
2246. 1)
2247. 1)
(m + 1) т(т — 1)... (m — п + 3), „, (п — 1)(п — 2)... (и — к — 2) 1-2-3...(п-1)’1-2-3.. .(/г + 2)
2248. 1) 1; 2) ш; 3) 2п; 4) (n-l)n.
2250. 1) 2n(2n + 1); 2) (n + l)(n + 2)...2п; 3),;
o11k-11
) ешение. ^„ц, fc! - i.2-3...(fe-2)(fe-l)fe “ (k-^'.k’ 1
получаем ответ: ——т^гт- yK Zip К
2251. 6. 2252. 8. 2253. 7. 2254. 10. 2255. 1.
2256. 7. 2257. х = 12; у = 5.
2259. Решение. В перестановках из пяти цифр следует исклю
чить случаи, когда нуль окажется впереди, что соответствует перестановкам из четырех других цифр. Поэтому из данных пяти цифр можно составить Р^ — Р4 = 5! — 4! = 96 пятизначных чисел.
2260. 3120. 2261. 96; 114; 118. 2262. 126; 70.
2264. 100.12264. 100.1(п + 1)(п + 2) ’(п + 1)(п + 2) ’2263. Ж1 = -3; ж2 = -12.
2264. 100.
1
2264. 100.
1
(п + 1)(п + 2) ’
(п + 1)(п + 2) ’
2265. 1) ^; 2) ф; 3)
2267.15015.30240.2267.15015.30240.42. 2268. 12.2272. 2520.2275. С"-?к.42. 2268. 12.2272. 2520.2275. С"-?к.4) (п + к - 2)(п + к - 1)(п + к). 2266. 1) 5; 2) 6; 3) 3; 4) 5. 2269. 8008. 2270. 42. 2271.
2267.
15015.
30240.
2267.
15015.
30240.
42. 2268. 12.
2272. 2520.
2275. С"-?к.
42. 2268. 12.
2272. 2520.
2275. С"-?к.
2273. 210. 2274. 1) 55440; 2)
2276. 246480. 2278. х = 5; п = 5. 2279. х = 12; п = 7.
жители:жители:2280. Решение. Разложим данное число на простейшие мно
жители:
жители:
2357172357173570 1785
2
3
5
7
17
2
3
5
7
17
595119
171
Очевидно, количество четных делителей таково:
С^ + С^ + С^ + С^+ 01 = 1 + 1 + 4 + 6 + 4 = 16.
2282. 14; 5. 2283. Не имеет решений. 2284. 16. 2285. 3640.
2286. 60. 2287. 64. 2288. 104. 2296. 101376ж5.
2297. CxV4- 2298- -6435ж4у7/4, 6435ж7/2у2. 2299. 40.
2300. 36ж7у2. 2301. Нет такого члена. 2302. 1856466ж-1.
2303. С®7. 2304. Нет такого числа. 2305. 5. 2306. 8.
2307. 10. 2308. 35. 2309. 9. 2310. 7. 2311. 10-й.
2312. 84ж. 2313. 120а. 2314. 3. 2315. ±2; ±1.
2316. 1000; 0,1. 2317. 9. 2318. 2.
2319. 1) Юж2; 2) 1; 2730; 25740; 3640; 3) 625; 7000; 1120; 16.
2320. 824. 2321. -11. 2322. 2; 3; 5.
2323. Решение. Последний член равен \log38
1\_ ^-5/Зу°ё38 _ ^log38)-5/3 _5/3 _ 23-(-5/3) _
С другой стороны, этот же последний член равен ±(2-1/2)п = ±2-п/2. Поэтому 2-5 = 2-п/2, отсюда п = 10. Тогда искомый член разложения будет равен С140(21/3)6(2-1/2)4 = yyyj • 22 • 2”2 = 10 • 3 • 7 = 210.
2324. п + 1. 2325. 6. 2326. 240.
2328. Решение. Полагая п = 5, по формуле Муавра находим (cos ср + г sin ср)5 = cos Ьср + г sin Ьср. По формуле бинома Ньютона
(cos ср + г sin ср)5 = cos5 ср + 5 cos4 ср • г sin ср + 10 cos3 ср • г2 sin2 ср +
+10 cos2 ср • г3 sin3 ср + 5 cos ср • г4 sin4 ср + г5 sin5 ср =
= (cos5 ср — 10 cos3 ср sin2 ср + 5 cos ср sin4 ср) +
+ г (5 cos4 ср sin ср — 10 cos2 ср sin3 ср + sin5 ср).
Левые части полученных разложений равны, следовательно, равны и правые. Поэтому
C0S5y? = cos5 ср — 10 cos3 ср • sin2 ср + 5 cos ср • sin4 ср-,sin 5</? = 5cos4 ср • sin ср — lOcos2 ср • sin3 ср + sin5 ср.
. Теорема Безу и ее npujioDfceHua
2329. 1) 7; 2) 4; 3) —16^; 4) -39|. 2330. -3.
Решение. Имеем ж2 + ж — 2 = (ж + 2)(ж — 1). Условие делимости данного многочлена на трехчлен ж2 + ж — 2 равносильно условию делимости этого многочлена на множители (ж+ 2) и (ж —1). Это означает, что числа (—2) и (+1) должны обратить в нуль данный многочлен.
—8а+ 46 + 74 +14 = 0,Г2а-6 = 22,
а + 6 —37+14 = 0 ИЛИ \а^Ь = 23.
Ответ-. 15; 8.
2332. 3; 9.
2334. 1) Да; 2) да; 3) нет; 4) нет; 5) нет; 6) нет.
2335. 1) Да; 2) да.
2336. 1) (ж —2)2(ж —3); 2) (ж - 1)2(ж +1)(ж - 2);
(ж- 1)2(ж2+4); 4) (ж-2)2(ж + 2)(ж-3).
2337. 1; 1; 6. 2338. 1; 2; ±1. 2339. 4; ±2; -1.
2340. 0; 1; 1; 1; -2.
2341. 1) ж3 — ж2 — 4ж+ 4 = 0; 2) ж3 — Зж3 — 2ж+ 6 = 0;
ж3 — Зж2 + 7ж — 5 = 0; 5) ж4 — 5ж3 + Юж2 — Юж = — 4.
2342. 1) ж3 — 2ж2+ ж — 2 = 0; 2) ж4 - 8ж3+ 24ж2 - 32ж+ 20 = 0;
(ж — 1)3(ж2 + 2ж+ 2) =0.
2343. 1 + г; 2± +
2344. 1) -3; |(1±гд/3); 2) |; |(-1±г^З); 3) ±2; ±1; ±г V3-
лАлАлА99
2345. 1) ±V; г^т 2) ±^; ±и 3) ±±г^=.
3’3'22 ’’^з’
2346. 1) -1,6; 1; 2) 1; 2; 0,5(-1±гд/3).
2347. 1) ±2; ±2г; ±0,5; ±0,5г; 2) -2; —7±г д/3; -1; -4±гд/3.
2348. 1) ±2 V2;
2) Указание. Положить (1 + Зж)1/4 = у, тогда у2 — Зу — 4 = 0;
У1 = — 1; 7/2 = 4 нт. д.; получаем ответ: 85.
2349. 3; 3; 3±2Уб. 2350. 0; ±1; ±гУТТ.
2351. 2; -4; -1±г^6. 2352. 1; 0,5 (—1 ± г д/23) -
2353. -1; 12; | (11±гV159). 2354. 1; а; 1-а.
2355. -2; -1; 0; -1±г\/Л. 2356. ±0,5V3; 3±г\/б.
2357. ±2; ±г. 2358. а = 1.
§28. Принцип математической индукции
Во всех формулах п — натуральное произвольное число, п Е N.
2359. Доказательство. 1) При п = 1 утверждение справедливо, так как 1 = I2.
Допустим, что утверждение справедливо при каком-нибудь произвольном натуральном п = к, т. е. 1 + 3 + 5 + 7 + ... + ((Ik — 1) = к2.
Докажем, что формула верна и при п = к + 1: в самом деле, 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2А; - 1) + (2(А; + 1) - 1) = &2 + (2& + 1) = (& + 1)2.
формулаформулаУтверждение оказалось справедливым и для n = & + 1. На основании аксиомы математической индукции заключаем, что справедлива
формула
формула
1+ 3 + 5 + 7 +...+(2п — 1) = п2.
2361. Доказательство. 1) При n = 1 утверждение справедливо, так как.. 2
1,= (1^+1Л L 1 = 1
Допустим, что утверждение справедливо при п = к, т. е.
13 + 23 + З3 + ...+ А;3 = (^)2.
Тогда при п = к + 1 имеем
13 + 23 + 33 + А;3Я^ + 1)3= (^^У + (А: + 1)3 =
= (k + I)2 ^ + к + 1) = (к +1)2^+ + = (+±1Ж±+) . Утверждение оказалось верным и для п = & +1. Следовательно, формула верна при всяком натуральном п.
2374. Доказательство. 1) Для n = 1 утверждение справедливо по условию.
Предположим, что an-i = 2n-1 +1, ап = 2n +1.
Тогда ап+1 = 3(2n +1) — 2(2П-1 +1) = 2n+1 + 1. Следовательно, ап = 2п + 1.
ап = (n — l)d — (n — 2).
§ 29. Числовые последовательности и их пределы
1) 1; 2; 3; 4;3) 1; 3; 5; 7;5) тТТТ
1;Н;1; -; 9) 5; т; э; и;n) i; о; -i; о;...;
V3; l;tgb
2378. 1) п; 2) 2п-1; 3) 2п; 4) (-1)”+12; 5) + ; п
(-i)"-1-^; 7) -Лр s) tg^.y. 2п+1X 2 2 /
2379. 1) Возрастающая; 2) убывающая; 3) колеблющаяся;
убывающая.
2380. 1) Ограниченная; 2) ограниченная 3) не ограниченная;
ограниченная.
23456
022222
11111>
«1 П2 ^з П4 asа
Рис. 106
2381. 1) |; |; |; |; |; ... 2) См. рис. 106.
По мере возрастания порядкового номера п данной числовой г П + 1
последовательности общий член ее ап = —-— неограниченно растет. Это значит, что для каждого положительного числа А существует п^, в данном случае по ^ 2 А — 1, такое, что для каждого п > по
_п+12Л-1+1
°и ”2>2
Символически этот процесс записывают так: lim ап = lim = схэ, n^-ос п^-ос 2
где символ схэ (не число!) означает процесс неограниченного роста ап. 4) 2002; 20002; 2000002.
разности:разности:2382. Решение. Данную последовательность представим в виде
разности:
разности:
_ 2n +1 _ х _2
2н -Р 3 2п -р 3
Из единицы вычитается правильная положительная дробь -,
22п + 3
которая убывает от - до 0, когда п пробегает все значения натураль- 522
ного ряда чисел от 1 до схэ; при п = 1 имеем = - и при п —> ос
22п + 35
имеем lim = 0. При этом разность, т. е. числовая последова-
положительная дробь,положительная дробь,п^-ос 2п + 32
положительная дробь,
положительная дробь,
тельность ап = 1, также правильная
2и + 3^р
которая возрастает от - до 1. 5
1357911
0257911131
I.11.I..11.II>
ai U2 аз а4 asа
Рис. 107
Следовательно, данная числовая последовательность возрастаю- 3
щая и ограниченная: - ап < 1 при 1 п < схэ, п Е N (рис. 107).
1Г_Пп+12т? - 1
2383. 1) а) п!; б) 1; в) АЛ; г) Л_1; д) 5-3п. ННи- 1
2384. 1) Предел равен нулю; 2) предела не имеет;
предел равен нулю; 4) предел равен единице.
2386. 1) Решение. Предел алгебраической суммы переменных равен алгебраической сумме пределов слагаемых, поэтому
131
lim (вп - 6„) = lim an - lim bn = --- =
n^-ocn^-oc n^-oc 244
2) ^ 3) ^
2390. Решение. До перехода к пределу разделим числитель и
П11 л
знаменатель на п: = г. Если теперь п —> оо, то> 0.
8п + 18+£1’ п
Поэтомуп
lim П = lim ——г = .
П—У(Х) ОН + 1 п—Уоо g | _8
п
2395. 0.2395. 0.2391. 0. 2392. 4. 2393. 2,5. 2394. 0,5.
2395. 0.
2395. 0.
2396. -0,75. 2397. 0. 2398. УЗ.
§ 30. Исследование функции без применения производной.Предел функции. Производная функции.Исследование функции с помощью производной
2399-2402 1). См. «Числовые промежутки» в учебнике и в § 1 Приложения I.
2402. 2) Решение. Имеем (ж — 2)2 ^ 4, откуда ж2 — 4ж ^ 0, или ж(ж — 4) ^ 0. Тогда: или ж < 0 и ж — 4 > 0, т. е. ж < 0 и ж > 4, что невозможно; или ж ^ 0 и ж — 4^0, т. е. ж ^ 0 и ж ^ 4.
Ответ*. 0 ^ ж ^ 4.
Эта же задача легко решается методом интервалов или с помощью графика функции у = (ж — 2)2.
2403. 1) Решение. Функция определена для всех значений ж, кроме тех, при которых знаменатель дроби обращается в нуль. Имеем 2ж — 6 = 0, ж = 3. Получаем ответ*. —оо < ж < 3; 3 < ж < оо.
2404. 1) —оо < ж Д —2; 4 ж < оо; 2) —5 ж 2.
2405. 1) 0<ж<4; 2) 5 < ж < оо.
2406. 1) 0<ж<4; 2) -1 < ж < 2.
2407. 1) —оо < ж < 0; 4 < ж < оо; 2) —оо < ж Д —2; 2 ж < оо.
2408. 1) ж = 1; 2 < ж < оо; 2) жх = 0; ж2 = 1; 3 < ж < оо.
2409. 1) -3<ж<+оо; ж ^ 5;2409. 1) -3<ж<+оо; ж ^ 5;2) Решение. Должно иметь место неравенство2) Решение. Должно иметь место неравенствоЗж — 22ж + 6Зж — 22ж + 6^ 0, или^ 0, или(Зж — 2)(2ж + 6) ^ 0 и 2ж + 6 ^ 0. Отсюда получаем ответ*. —оо < ж <(Зж — 2)(2ж + 6) ^ 0 и 2ж + 6 ^ 0. Отсюда получаем ответ*. —оо < ж << -3;< -3;2323< ж < оо.< ж < оо.
2409. 1) -3<ж<+оо; ж ^ 5;
2409. 1) -3<ж<+оо; ж ^ 5;
2) Решение. Должно иметь место неравенство
2) Решение. Должно иметь место неравенство
Зж — 2
2ж + 6
Зж — 2
2ж + 6
^ 0, или
^ 0, или
(Зж — 2)(2ж + 6) ^ 0 и 2ж + 6 ^ 0. Отсюда получаем ответ*. —оо < ж <
(Зж — 2)(2ж + 6) ^ 0 и 2ж + 6 ^ 0. Отсюда получаем ответ*. —оо < ж <
< -3;
< -3;
2
3
2
3
< ж < оо.
< ж < оо.
2410. 1) 0 < ж < +оо; ж / п, где п = 1; 2; 3; ...;
2) И^а/1 и V?^-1)^^^1)- VVV
2411. 1) —оо < ж 0; 2) -1 ж <-0,5; -0,5 < ж 1.
2412. 1) 0^ж^0,5; 2) -1,5 <ж^ 2,5.
2413. 1) 2/гтг < ж < (2А; + 1)тг; 2) 0 < ж < 1; 1 < ж < оо.
2414. 1) -1^ж<1; 2) Д ж 1-
2415.1)ж^ ктт" х ^ ^ + ^; 2)7<ж < с».
2416.1)-5^ж<9, ж^8; 2) 1^ж^ 4.
2417.1)1 ^ ж < 2; 2) 2 ж < 3;3<ж 4.
2418.1)-оо < ж <-1; 3 < ж < 5;2)-ос < ж ^ 0.
2419. 1)
функция имеет единственное значение у = 0 при х = 1.
1) |т/|^1; 2) -1 < у < 1.
1) -V^^y <V26; 2) 0<?/<2.
1) 0,75 < у < оо; 2) -оо < у < -2; 2 < у < оо.
1) —0,25 ^ т/ С 20; 2) 1 < у < 3.
1) О С т/ 0,5; 2) -оо < у < lg3.
1) Убывает на интервале —оо < х < 0; возрастает на интервале 0 < х < оо. Этот ответ будем записывать короче: убывает на (—оо; 0); возрастает на (0; оо);
возрастает на (—оо; 0); возрастает на (0; оо).
2426. 1) Убывает на (—оо; 0); убывает на (0; оо);
возрастает на (—оо; 0); убывает на (0; оо).
2427. 1) Возрастает на (—1; оо) (на —оо < х ^ — 1 эта функция не существует);
возрастает на ^тг — ^; ^тг + ^У
2428. 1) Возрастает на (—оо; 2); убывает на (2; оо);
возрастает на (—оо; +оо).
2429. 1) Убывает на (—оо; 0); возрастает на (0; оо);
убывает на (—оо; 0); возрастает на (0; оо).
1) Возрастает на ^тг —^; ^тг + ^У убывает на ^тг+^; ^тг + ^У
2) убывает на (—оо; — 1); возрастает на (—1; 1); убывает на (1; оо).
1) Четная; 2) ни четная, ни нечетная.
1) Четная; 2) ни четная, ни нечетная.
2433. 1) Четная; 2) нечетная. 2434. 1) Нечетная; 2) нечетная.
2435. 1) См. рис. 108. 2438. 2) См. рис. 109.
2455. 1) 0; 2) 1.
2456. 1) Решение. По правилу вычисления предела целой рациональной функции находим: lim (ж3 + ж — 5) = З3 + 3 — 5 = 25;
13.
2457. 1)2459. 1)2462. 1)2) Реше 3-2 _ 1Тз" “ 92463. 1)2465. 1)2457. 1)2459. 1)2462. 1)2) Реше 3-2 _ 1Тз" “ 92463. 1)2465. 1)-1; 2) -12. 2458. 1) 8; 2) 54.-1; 2) -12. 2458. 1) 8; 2) 54.-3; 2) -6. 2460. 1) -0,6; 2) 3. 2461. 1) 4; 2) 3.-3; 2) -6. 2460. 1) -0,6; 2) 3. 2461. 1) 4; 2) 3.0,4;н и е.0,4;н и е.р ж2 —5ж + 6 пт~ж^3 Зж — 9жр ж2 —5ж + 6 пт~ж^3 Зж — 9жр (ж — 2)(ж — 3) р ж —2 пт ' /——— = пт —-— ж—^з Зж(ж 3) ж—^з Зжр (ж — 2)(ж — 3) р ж —2 пт ' /——— = пт —-— ж—^з Зж(ж 3) ж—^з Зж0,25; 2) -1. 2464. 1) 1; 2) -^.0,25; 2) -1. 2464. 1) 1; 2) -^.1; 2) 0,5V2.1; 2) 0,5V2.
2457. 1)
2459. 1)
2462. 1)
2) Реше 3-2 _ 1
Тз" “ 9
2463. 1)
2465. 1)
2457. 1)
2459. 1)
2462. 1)
2) Реше 3-2 _ 1
Тз" “ 9
2463. 1)
2465. 1)
-1; 2) -12. 2458. 1) 8; 2) 54.
-1; 2) -12. 2458. 1) 8; 2) 54.
-3; 2) -6. 2460. 1) -0,6; 2) 3. 2461. 1) 4; 2) 3.
-3; 2) -6. 2460. 1) -0,6; 2) 3. 2461. 1) 4; 2) 3.
0,4;
н и е.
0,4;
н и е.
р ж2 —5ж + 6 пт~
ж^3 Зж — 9ж
р ж2 —5ж + 6 пт~
ж^3 Зж — 9ж
р (ж — 2)(ж — 3) р ж —2 пт ' /——— = пт —-— ж—^з Зж(ж 3) ж—^з Зж
р (ж — 2)(ж — 3) р ж —2 пт ' /——— = пт —-— ж—^з Зж(ж 3) ж—^з Зж
0,25; 2) -1. 2464. 1) 1; 2) -^.
0,25; 2) -1. 2464. 1) 1; 2) -^.
1; 2) 0,5V2.
1; 2) 0,5V2.
ОГ 1g Ж Г1 1-1
2466. 1) Решение, пт ”= пт—= - пт —=
ж—>-7Г 81Г12жж—>-тг СО8Ж • 2 81ПЖ СО8Ж2 ж^-тг
i 1 _ i i _ i
2 cos27t 2 (—I)22
-V2.
2467. 1) |; 2)
2468. 1) 6;
— V5. Указание. Умножить числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель, т. е. на (V5 — ж + V5 + ж).
199
2469. 1) -^; 2) -0,5. 2470. 1) |; 2) |.
2471. 1) 3;
Решение, lim (ж2 —Зж + 7) = lim (ж2 (1 — — + X = ( lim ж)2 х ж^-осж^-ос \\ Ж Ж Хж^-ос 7
./37 А
х lim 11I = схз.
ж—^ос \Жж /
2472. 1) оо; 2) -оо. 2473. 1) 3; 2) 0,5.
2474. 1) 0,4;
2
-. Указание. Можно решить двумя способами:
разделив числитель и знаменатель на ж в высшей степени, т. е. на ж2;
положив ж = —.
а
2475. 1) 4; 2) -2,5.
2476. 1) -2;
схз. Указание. Разделить числитель и знаменатель на высшую степень аргумента ж в знаменателе, т. е. на ж3.
2477. 1) -^; 2) V3.
2478. 1) 1,5. Указание. Умножить и разделить данное выражение на Уж2 + 3ж + ж;
1,5.
зш4ж v ЛзЫаЛзш(4ж) .
2479. 1) Решение, hm= hm 4 = 4 hm . . = 4:
1ж-Ш Ж ж-Ш x 4ж / ж-Ш (4ж)
2480. 1) 1; 2) |. 2481. 1) |; 2) 0,5.
2482. 1) -;
П1 — cos ж2sin2^ж
Решение, lim = lim- = lim ж 2 • lim sin — = ж—ШЖж—Ш Жж—Ш —ж—Ш2
= 1-0 = 0.2
2483. 1) 0; 2) 0. 2484. 1) ос; 2) 0. 2485. 1) 6; 2) 0,5.
2ж8ШЖ .. 2жзшж .. 2Ж8ШЖСО8Ж
2486. 1) Решение, hm = hm —:= hm— =
ж ^-0 sec ж — 1 ж-Ш 1| ж-Ш 1 — cos ж
,cos ж х
2ж • 2sin- cos- cosх/ 2 - х \
= lim2 о 2= 2 lim I cos — cos ж = 4;
ж^о 2 sin2-ж^о\8ш-2/
2X 2/
0,5m2.
2487. 1) 3; 2) lim 2^!H£! = -V2. ж^-0 Ж
Г»г 8ш4ж р 8ш4ж-(Уж + 1 + 1)
2488. 1) Решение, hm ,= hm —,х,7— =
Уж + 1 — 1(Уж +1 — 1) (Уж +1 + 1)
р 8ш4ж(Уж + 1 + 1). р 8ш4ж / /——г ,о
= hm = 4 hm(Уж + 1 + 1) = 8;
ж-ШЖж^-0 4ж х
2) Решение, lim sm—= lim ж-ш У1 + ж81пж — cos ж ж^-о2) Решение, lim sm—= lim ж-ш У1 + ж81пж — cos ж ж^-оlim ж—Шlim ж—Шsin2 ж (У 1 + ж sin ж + cos ж)sin ж + ж sin жsin2 ж (У 1 + ж sin ж + cos ж)sin ж + ж sin жlim . ж ж^0 sin жlim . ж ж^0 sin ж8Ш2Ж (У 1 + ж sin ж + cos ж) _(1 + Ж sin ж) — СО82Ж(У 1 + ж sin ж + cos ж) =8Ш2Ж (У 1 + ж sin ж + cos ж) _(1 + Ж sin ж) — СО82Ж(У 1 + ж sin ж + cos ж) =
2) Решение, lim sm—= lim ж-ш У1 + ж81пж — cos ж ж^-о
2) Решение, lim sm—= lim ж-ш У1 + ж81пж — cos ж ж^-о
lim ж—Ш
lim ж—Ш
sin2 ж (У 1 + ж sin ж + cos ж)sin ж + ж sin ж
sin2 ж (У 1 + ж sin ж + cos ж)sin ж + ж sin ж
lim . ж ж^0 sin ж
lim . ж ж^0 sin ж
8Ш2Ж (У 1 + ж sin ж + cos ж) _(1 + Ж sin ж) — СО82Ж
(У 1 + ж sin ж + cos ж) =
8Ш2Ж (У 1 + ж sin ж + cos ж) _(1 + Ж sin ж) — СО82Ж
(У 1 + ж sin ж + cos ж) =
2489. 1) -1; 2) 3.
2490. 1) Решение. Пусть ж + 1 = а, тогда ж = а — 1; если ж —> — 1, то а —> 0. Следовательно,2490. 1) Решение. Пусть ж + 1 = а, тогда ж = а — 1; если ж —> — 1, то а —> 0. Следовательно,r ®3 + 1 hm -V——ж^~1 Sin (ж + 1)r ®3 + 1 hm -V——ж^~1 Sin (ж + 1)limж—>■—1limж—>■—1(ж + 1)(ж2 - ж + 1)sin (ж +1)(ж + 1)(ж2 - ж + 1)sin (ж +1)= lim -^(а2-3а + 3) = 3; о^о sin а= lim -^(а2-3а + 3) = 3; о^о sin а2) 1.2491. 1) Решение.2) 1.2491. 1) Решение.limlim1 \п+51 + - )= lim. П /п^-ос1 \п+51 + - )= lim. П /п^-ос= lim= limlimlim= е • 1 = е;= е • 1 = е;
2490. 1) Решение. Пусть ж + 1 = а, тогда ж = а — 1; если ж —> — 1, то а —> 0. Следовательно,
2490. 1) Решение. Пусть ж + 1 = а, тогда ж = а — 1; если ж —> — 1, то а —> 0. Следовательно,
r ®3 + 1 hm -V——
ж^~1 Sin (ж + 1)
r ®3 + 1 hm -V——
ж^~1 Sin (ж + 1)
limж—>■—1
limж—>■—1
(ж + 1)(ж2 - ж + 1)sin (ж +1)
(ж + 1)(ж2 - ж + 1)sin (ж +1)
= lim -^(а2-3а + 3) = 3; о^о sin а
= lim -^(а2-3а + 3) = 3; о^о sin а
2) 1.
2491. 1) Решение.
2) 1.
2491. 1) Решение.
lim
lim
1 \п+5
1 + - )= lim
. П /п^-ос
1 \п+5
1 + - )= lim
. П /п^-ос
= lim
= lim
lim
lim
= е • 1 = е;
= е • 1 = е;
2492. 1)2493. 1)2494. 1)2) е6.2492. 1)2493. 1)2494. 1)2) е6.в2. Указание. Положить х = 2у, 2) -^.
2492. 1)
2493. 1)
2494. 1)
2) е6.
2492. 1)
2493. 1)
2494. 1)
2) е6.
е2
в4;2) в2.
./ ж \ж .1.11
Решение, lim I = lim —г——-= lim .—- = -;
ж—>-ос\14~Ж/ж—Юс М + ж^оо Л । 1 е
ж 'ж '
2495. 1) е~3/2; 2) е-4.
। З\ж+3_ 1 I 4\(ж-1)+4
2496. 1) в4. Решение, lim (-)= lim (—)
ж—>оо\Ж —1/жю-ос \ Ж —1 /
= lim (14-)• lim (14-)= lim (14-)-1.
жю-ос \Ж —1/ жю-ос \Ж —1/ жю-ос \Ж —1/
Пусть теперь х — 1 = 4а, тогда х = 4а + 1; если х —> схэ, то и
а -4 схэ.
„.п_-2 Л,г /Зж-2\2ж.. /(Зж +1) - зУ®
2497. 1) е . Указание, пт = lim I———=
2Жж^оо\Зж4-1/ж—>оо у Зж 4-1 у
= lim (1 —-) . Пусть Зж + 1 = —За, тогда если ж ^ схэ, то
ж^-ос \ Зж + 1 /
а -4- —схэ; Зж = —За — 1, ж = —а — -. 2ж = —2а — -:
2) е.
2498. 1) е"1;1П
в10. Решение. Имеем lim (1 + 2ж)5/ж = lim | 1 + -г- I ж^Ож^О I 1
/ у 1\10\ ^/
lim [1 + ^-ж X 2жlim [1 + ^-ж X 2ж= в10= в10
lim [1 + ^-
ж X 2ж
lim [1 + ^-
ж X 2ж
= в10
= в10
2499. ж = 0. 2500. ж = -0,5. 2501. ж = 1. 2502. ж = ±1.
2503. ж = 1. 2504. ж = 2 и ж = 4. 2505. ж = 0 (рис. 114).
2506. ж = ^(2^-1). 2507. ж = 0 (рис. 115). 2508. ж = 1.
2509. ж = 0 (рис. 116). 2510. ж = 0.
2511. 1) 2ж; 2) -^; 3) -^; 4) со8ж.
2512. 1) 6ж —5; 2) 2аж + 6.2512. 1) 6ж —5; 2) 2аж + 6.2513. 1) (ж-2)2; 2) (ж2-1)2.2513. 1) (ж-2)2; 2) (ж2-1)2.
2512. 1) 6ж —5; 2) 2аж + 6.
2512. 1) 6ж —5; 2) 2аж + 6.
2513. 1) (ж-2)2; 2) (ж2-1)2.
2513. 1) (ж-2)2; 2) (ж2-1)2.
+ ж)2/1 \
2514. 1)2) 1-4 .
ЖуЖ /
2515. 1) 3(1 —2) 35ж4 + ^-10жл/ж.
2516.1) т^-и^5
Решение, у = L/a-^/xA ; у' = ‘iL/a -— )=-^х
/х7х7 \ 2 уж/ л/ж
2517.2518.2519.2517.2518.2519.1)1)1)1)1)1)2(Зж2 + Зж-1); 2) 4ж3 - Зж2 - 8ж+ 9.
2517.
2518.
2519.
2517.
2518.
2519.
1)
1)
1)
1)
1)
1)
1 .
(ж —I)2’2V^(V^ + 1)2
211 п 2ж 2m2
3/ 94/ о 5223
уж2 у ж3 п х т х
2520. 1) — (ж V3 — ж х/4); 2) ^т^ж+^п^Н^=.
7 2 v 6 v2жУ^
2521. 1) 24(ж2 + ж + 1)(2ж3+Зж2 + 6ж + 1)3; 2)^ .
2522. 1); 2) 5(Ж•
JU W JU \W JU /JU W JU \W /
2523- X) Т^ТтЙЧ^ТбТГК- Решение, у = (ж - 5)1/3 х
х (ж2 + 4-V15; у' = 1 (ж _ 5)-2/3(ж2 + 4)"V15 + (ж _ 5)1/3 . (_1) х
х(ж2+4) 16/15-2ж = (ж —5) 2/3(ж2 + 4) 16/15 4 (ж2 + 4) — 4 U — ^)) =
_5ж2 + 20-2ж2 + 10ж
”15(ж-5)2/3(ж2+4)16/15;
2 — Зж — ж3 / 1 — ж
2(1 —ж)(1 + ж2) у 1 + ж2
2524. 1) /'(0) = 1; /'(1) = 0; f(-l) = 4; 2) 8,25;
Г(0) = -1; Г(2) = -^; /'(-2) = -^; 4) -90.
2525. 1)2526. 1)2527. 1)2528. 1)2529. 1)2525. 1)2526. 1)2527. 1)2528. 1)2529. 1)1 — cos ж = 2 sin2 |-; 2) 1 — sec2 ж = —tg2x.1 — cos ж = 2 sin2 |-; 2) 1 — sec2 ж = —tg2x.. 2ж(б!п2ж + ж)-ctg2x; 2)^cos ж. 2ж(б!п2ж + ж)-ctg2x; 2)^cos жcos ж — 2ж8ШЖ .2 Vx ’cos ж — 2ж8ШЖ .2 Vx ’2)2)ж(бш2ж — ж)sin жж(бш2ж — ж)sin ж6cos6x; 2) 6sin(a — bx).6cos6x; 2) 6sin(a — bx).1212Ж . Ж \q 9 о 19 ^cos — —sin— J; 2) 3secz3x — -cosecz —Ж . Ж \q 9 о 19 ^cos — —sin— J; 2) 3secz3x — -cosecz —
2525. 1)
2526. 1)
2527. 1)
2528. 1)
2529. 1)
2525. 1)
2526. 1)
2527. 1)
2528. 1)
2529. 1)
1 — cos ж = 2 sin2 |-; 2) 1 — sec2 ж = —tg2x.
1 — cos ж = 2 sin2 |-; 2) 1 — sec2 ж = —tg2x.
. 2ж(б!п2ж + ж)
-ctg2x; 2)^
cos ж
. 2ж(б!п2ж + ж)
-ctg2x; 2)^
cos ж
cos ж — 2ж8ШЖ .
2 Vx ’
cos ж — 2ж8ШЖ .
2 Vx ’
2)
2)
ж(бш2ж — ж)
sin ж
ж(бш2ж — ж)
sin ж
6cos6x; 2) 6sin(a — bx).
6cos6x; 2) 6sin(a — bx).
1
2
1
2
Ж . Ж \q 9 о 19 ^
cos — —sin— J; 2) 3secz3x — -cosecz —
Ж . Ж \q 9 о 19 ^
cos — —sin— J; 2) 3secz3x — -cosecz —
окоп। COS Ж ~х . ~ 8шуж
2530. 1) sm2xd; 2) -sin2x— .
2 v sin ж2 уж
2531. 1) ^^ sin2x • sin (ж — ^; 2) 3tg4x.
2532. 1) —cosec6x; 2) Зж8т(2ж3).
2533. 1)2534. 1)2533. 1)2534. 1)
2533. 1)
2534. 1)
2533. 1)
2534. 1)
2) -
1 — sin ж
2(2cos2 ж +1).sin2 2ж
2 + sin ж(1 + 28тж)2
2535. 1) £2L^—Lcosl- 2) sin - 12cos24x-sin4x. 72у^ ж2 ж’ 733
2 ж2 ж
2536. 1) Тес2(^У) +—Н=! 2)^,.
V 2 / 4^Т| sin - У(1+^2^8т2У1+ж2
2537. 1) 44——; 2) агсвтжНЖ . у 1 + Ж_ ж2
2538. 1)1; 2) ^Ж .
2539. 1)2) 42540. 1) 2V1 — я?2; 2) arccos®.
1 + ®2ж+ж
1 + у^ 1 Qx 1пж 4Х 110,4343
2541. 1) ; 2) 1пж; 3)4) —— • - « -4.
жж2 1п10 ж ж
2(ж + 1) 1пж + у^X Ж2
2542. 1) Ц2) —. 2543. 1) -tg-: 2) ctgx-cos2x.
ж(ж + 2)7 ж76 2’76
п ।] 213• 3
ж +жт ж —пт ж sin ж
2544. 1) —:; 2) .
®п+1-1п2®cos®
2545. 1) *пЖ j~ ^ + 2ж logo ж +; 2) хп 1(п1пж+1)Н*ПЖ .
Ы0|п3xVl + h^
2546. 1)7^; 2) J
2 у ж2 — ж у а2 + ж2
2547. 1) -4=1; 2) 2ж
зл/ж2 ^/ж- V2 +л/ж 81п(2ж2) 2д/ж
2548. 1)2548. 1)22? ’22? ’
2548. 1)
2548. 1)
2
2? ’
2
2? ’
) Решение, р = \па —ЁЕ^— = (In I sin2x| — In 11 — 8ш2ж|).
у \ 1-81п2ж 2V 117
Тогда( 2соб2ж (—2со8 2ж)\ _ соб2ж — 8т2ж соб2ж+ зт2ж соб2ж _
огда р 2 I 81П2ж1 —8ш2ж /8т2ж(1 — 8т2ж)
_ ctg 2ж
1 — 8т2ж '
2549. 1) 2ж1п2 + 2ж; 2) 10ж1п10 + Зх2.
1) -^ + —2) еж-Л>. ’3 2уЧж2
1) еж(1 + ж); 2) ж-2ж(2 + ж1п2). ех
1) еж (cos ж — sin ж); 2) . 2 (sin ж —cos ж), sin х
1) еж/2 + е-ж/2; 2)^ _
'' (1 —еж)2
1) — — е-ж/°; 2)-ч. 2555. tg^.
2 V (еж-е"ж)26
, 4a?sina?2 COS6C2 л/х
2556. — 8ш2ж + 2жсо8ж^Ч.
cos х 4 ^х ctg V^
11 tgV^-cos —
— 2ж tg ж2;т sin—I— sec2л/х • ctg2 —— H
ж ж2 уж—
4л/(ж2 + а2)3. Решение. Имеем
у = ж(ж2 + а2)3/2 + | а2ж(ж2 + а2)1/2 + | а41п (ж + V^+o2) •
Тогда
у' = (ж2 + а2)3/2 + | ж(ж2 Та2)1/2 • 2ж + | а2(ж2 + а2)1/2 +
+1 ®2ж Ч ^ + ®2)”1/2 • 2ж + | а41(1 + — 2ж ) =
222 ж ^/ж2 + а2 V 2 у^2 + °2'
= Уж2 + а2 (ж2 + а2 + Зж2) + | а2а4 1=
2 у^ж2 + а2 ^V^2 + °2
о / 2 .2 \ 2
== 4 ^2 + ^)3,
2^/ж2 + а2
Va^-x2. 2560. Vx^Ta2. 2561. k = У2 2/1 .
Х2 ~ Ж1
а) 0; б) -4; в) ^х = 2; k2 = 4.
1) (-1;-1); (1;1).
Решение. Так как у' = Зж2, то угловой коэффициент касательной равен т/^=1 = 3. Следовательно, уравнение касательной у — 1 = = 3(ж — 1), или у = Зж — 2. Уравнение нормали у — 1 = — - (ж — 1), или
2564. 1) ж + 2у-4 = 0;
у = —4ж + 8; у = - ^ ж - 2; ср = arctg ^62°.
1) т/ = 4ж; у = — 4ж + 16; 2) ?/ = ж + 1.
1) (|;21); 2) (0;2). 2567. 1) (0; 0); 2) (j; 1).
2568. 1) Не может, поскольку у1 = Зж2 ^ 0 при любом х.
2569. 1)2570. 1)2571. 1)2569. 1)2570. 1)2571. 1)45°; 2) 60°.
2569. 1)
2570. 1)
2571. 1)
2569. 1)
2570. 1)
2571. 1)
arctg | и arctg^; 2) arctg | « ll°20' и arctg|«7°7'.
arctg (±Y^Y или 40°54' и 139°6'.
/115 X44
2572.. 2573. 1) arctg- и 180°-arctg-; 2) arctg 3.
2574. 1) arctg2 V2 « 70°30';
в точке (—5; 45): y = — 20ж — 55; y = — 13ж — 20.
2575. 1) (4;0); (1; -27).
2) Решение. Находим ординаты точек А и В параболы, которые стягивает хорда: уА = yx=i = 12 — 2 1 + 5 = 4; ув = ух=з = = З2 — 2 • 3 + 5 = 8. Итак, координаты концов хорды АВ вычислены: А(1;4), В(3;8). Угловой коэффициент хорды АВ равен кАВ = _ ^в—У А _ 8—4 _ ^ (см задачу 2561). (Составлять уравнение хорды
жв “ ХА 1
в данной задаче нет необходимости.) Абсциссу точки М касания находим из условия ккас = у' = кАВ1 т. е. 2ж —2 = 2, х = 2. Итак, хм = 2. Вычисляем ординату точки касания: у м = ух-^ = 22 — 2 • 2 + 5 = 5. Точка касания имеет координаты М(2; 5). Составляем уравнение касательной: у — 5 = 2(ж — 2), или ?/ = 2ж + 1.
1) а) (—|д); б) (-1; 1) и Q; 1); 2) (2; 4).
2) Не может, поскольку tg ip = у' = —^ < 0 для любой 1х
точки ж, в которой функция у = — определена.
X
1) В точке (0; 1) для функции ех и в точке (1; 0) для функции In ж;
2) ( —1; —4); (1;0).
1) у = 2ж —2; у = 2ж + 2; 2) ж + 25у = 0; ж + у = 0.
1) д = ж2 — Зж + 4. Указание. Параметр b находится из условия у' = 2ж +6=4+6= 1, а параметр с — из условия, что (2; 2) — точка касания;
2) 62-4ас = 0.
1) -1 < к < 1;
По закону косинусоиды, т. е. к = tg а = (sin ж)' = cos ж, где ж — абсцисса точки касания синусоиды. Например, если ж = 0, то к = = tg а = (sin ж)'^, = cos0 = 1; если ж = j, то к = tg а = (81пж)ж=7Г/4 = 7Г а/2^ 7Г . / .\ / 7Г , < = cos — =——;если ж = —,то к= tg а = (sinж)'/9 = cos — = 0.
422ь \/ж=тг/22
Угловой коэффициент касательной к синусоиде численно равен cos ж в соответствующих точках касания.
1) |ж| < | и у < |ж| ^ тг. 2584. 2) При ж = ^; I = р
Решение. Скорость движения точки в любой момент времени t равна и = s' = 6 — 2t. Полагая и = 0, найдем t: 6 — 2t = О, t = 3. Скорость движущейся точки равна нулю в конце 3-й секунды.
2и ^ = 2а ^ = 2аи, отсюда ускорение а = ^ = а.
^ = ЦА — ж). Указание. Из условий x*t = Ake-kt и ж = Л(1 — e~kt} исключить e~kt.
3 град/с.
Решение. Дифференцируя уравнение
s = ^gt2 + vot + so,(1)
получаем
у = ^ = ^ + у0-(2)
Дифференцируя уравнение (2), получаем а == д.
dt dt
Примечание. Если ускорение некоторого движения постоянно и равно д. то скорость выражается равенством (2), а расстояние — равенством (1) при условии vt=o = жо и st=o = sq.
Решение. Дифференцируя уравнение движения точки s = 2t3 +t2 — 4, получаем скорость движения точки в любой момент ds
времени t: v = — = 6t2 + 2t. Вычисляем скорость движения точки в момент t = 4: щ=4 = 6 • 42 + 2 • 4 = 104 (м/с). Ускорение движения точки в любой момент времени t равно а = — = 12t + 2. Вычисляем ускорение движения точки в момент времени t = 4: сц=4 = 12 • 4 + 2 = = 50 (м/с2).2
dxdu. а а ,
и = — = а — at: а = — = —а: через t = -; х = — (выс- dt у 1 dtу\
шая точка).
Движение тела определяется уравнением х = 10 + 20t — gt2 dx, du D„ dx n ,20
— -—; и =— = 20 —qt: — = — q.В наивысшей точке —= 0;t = — to
2 ’dt’ dt ydt ’ g
to 2,04 c; ж = 10+ — to 30,4 м.
92
2593. ^ = b-2ct; ^ = -2c; t =-^-. 2594. 35 A/c. dt’ dt2^c7
1) На интервале —oo < ж < 0 функция убывает, на интервале 0 < ж < схэ функция возрастает;
на (—схэ; 0) возрастает; на (0; схэ) возрастает.
2597. 1) На (—схэ; 0) убывает; на (0; схэ) возрастает;
на (—схэ; 4) убывает; на (4; схэ) возрастает. Решение. Находим производную функции у = ж2 — 8ж + 12: д' = 2ж — 8 = 2(ж — 4).
Приравниваем ее нулю: 2(ж — 4) = 0, получаем х = 4. При х = 4:
р'^ = 0, у(4) = —4. При х < 4: у' = 2 х х (х — 4) < 0 — функция убывает. При х > 4: у' = ^х — 4) > 0 — функция возрастает (рис. 117).
2598. 1) На (—оо; 1) убывает; на (1; оо) возрастает;
на (—оо; 2) убывает; на (2; оо) возрастает.
2599. 1) На (—оо; 0) возрастает; на (0; 4) убывает; на (4; оо) возрастает;
2) на (—оо; 1) возрастает; на (1; 2) убывает; на (2; оо) возрастает.
2600. 1) На f— ^ + 2^тг; ^ + 2&тг) возрастает; на f^ + 2^?r; ^тг + 2^тг убывает;
монотонно возрастает на (—оо; оо).
2601. 1) На (— ^ + ктт* ^ + ктг^ возрастает;
на (&тг; (& + 1)тг) убывает.
2602. 2) Решение. Находим производную функции у = arctgx —
-122
|| | дрдр
— х: у' =_ — 1 =— =-. Мы видим, что у* при лю-
1 + ж21 + ж21 + ж2
бом х меньше нуля, а это и означает убывание этой функции на всей действительной оси.
2603. 1) На (—оо; 0) возрастает; на (0; оо) возрастает; /2\/2\
на ( — оо;убывает; на ^-; ooj убывает.
2604. 1) На (—оо; 0) возрастает; на (0; оо) убывает;
на (—оо; 0) возрастает; на (0; оо) возрастает.
2605. 1) На [0; оо) возрастает;
на [0; 0,5) возрастает; на (0,5; 1) убывает.
2606. 1) На (—оо; оо) убывает;
на (—оо; 0) возрастает; на (0; оо) убывает.
птт (сх ^ А(^ 5тг \(5тг\
2607. На 0; — убывает; на —; — возрастает; на —; 2тг V Ч 7 JV Ч Ч 7V Ч7
убывает.
2608. 1) На (0; оо) возрастает;
на (0; 1) возрастает; на (1; оо) убывает.
2609. 1) 2/min = 7/(0,5) = —0,25. (Условная запись т/(0,5) вместо т/ж=о,5-) Решение. Находим у’ = 2ж — 1. Далее, 2ж — 1 = 0, х = = -. Итак, У\- \ = 0. Оцениваем знак производной в окрестности критического значения х = -: если х < -, то у' = 2 I х —< 0; если
х > -, то у’ = 2 ^х — -) > 0. Таким образом, производная равна нулю
при х = - (необходимое условие экстремума), а ее знак изменяется с
211 /
минуса на плюс соответственно при х < - и при х > - (достаточное
условие минимума). Отсюда следует ответ (рис. 118);
7/min — 2/(4) — 4.
2610. 1) т/тах = т/(—0,5) = 6,25; 2) утт = у(-1) = 4.
2611. 1) Утах — 2/(0) — 0; 7/min — 2/(2) — 4;
Утах = у( — 2) = —; 7/min = у (2) = — — .
2612. 1) ymax = y(l) = L ymin = y(3) = l (рис. 119);
7/min = 2/(1) = 2; Утах = 2/(4) = 25.
2613. 1) 2/min — 2/(0) — 0; 2) 2/min — У^^2^ — 4; Утах — 2/(0) — 0.
2614. 1) Утах = 2/(0) = 2; 7/min = 2/(±2) = —14;
2/min = У^-^ = -4; т/тах = у(0) = 60; 7/min = у(3) = -149.
2615. 1) 7/тах = 7/(1) = 2; 7/min = 7/(3) =-26; 2) 7/min = т/(2) = 0.
2616. 1) Утах — У{~2) — — 2; 2/min — = 7/(2) = 2;
Утах = 2/(0) = 0; Т/min = 2/(4) = 8 (рис. 120). Указание. Найти производную функции
2
У =ж У 2: у ж-2’
, х(х — 4)п.
у =v^; Ж1=0; ж2=4.
(ж-2)2
При ж ^ 2 знаменатель (ж-2)2 > 0, поэтому знак производной совпадает со знаком числителя ж (ж —4). Далее оценить изменение знака производной в окрестности критических значений жх = 0 и Ж2 = 4 аргумента ж.
2617. 1) Т/min — 7/(—3) — 6; Т/max — 7/(—1) — 2;2) 7/тах — 7/(2) — 0,5.
2618. 1) Утш = у(-2) = -^; z/max = y(2) = -l;
Утах = У^-^ = 4,5; З/min = У (^) = 4,5.
2619. 1) З/тах = 3/(1) = —4; З/min = 3/(5) = 4;
Утах = У^-^ = 2; З/min = 3/(1) = 0.
2620. 1) т/min = у(0) = — 1; 2) з/тах = 3/(0) = О так называемая
3 точка возврата; 7/min = у(1) = —1. Если у = 0, то Ж1 = 0 и ж2 = 3- (рис. 121).
Рис. 122Рис. 122
Рис. 122
Рис. 122
2) З/тах — 3/( 1) — 1-2) З/тах — 3/( 1) — 1-/ 5?Г А А 41 Д) З/min = У у-^J ^ 0,4;/ 5?Г А А 41 Д) З/min = У у-^J ^ 0,4;2623. 1) З/тах — У2623. 1) З/тах — У« 2,45;« 2,45;/3-^ « -2,45;2) Утт = У Т )/3-^ « -2,45;2) Утт = У Т )222,57; З/тах — У2,57; З/тах — УУтт — У3,71.Утт — У3,71.
2) З/тах — 3/( 1) — 1-
2) З/тах — 3/( 1) — 1-
/ 5?Г А А 4
1 Д) З/min = У у-^J ^ 0,4;
/ 5?Г А А 4
1 Д) З/min = У у-^J ^ 0,4;
2623. 1) З/тах — У
2623. 1) З/тах — У
« 2,45;
« 2,45;
/3-^ « -2,45;
2) Утт = У Т )
/3-^ « -2,45;
2) Утт = У Т )
2
2
2,57; З/тах — У
2,57; З/тах — У
Утт — У
3,71.
Утт — У
3,71.
2621. 1) утах = у(0,5) = 0,25 V2;
2622. 1) Утах-у (-)-- + -
З/тах = У ( "Г ) = “Z7Г ^ 0,34; З/min = У ( —7? ) ~ —0,34.
\ 6 /26\ 6 /
2624. 1) г/тах = у(1) = 1;
ymin = У(0,5) = | - J « -0,28; утах = у(-0,5) « 0,28.
2625. 1) 2/тах = у(2) = -|;
Утах = у(0) = 1 (кривая Гаусса; рис. 122).
2626. 1) ymin = y(|)=-|; 2) Утах = у(е) = ^ «0,4.
2627. 1) Утах = У(О) = О;
З/min = 3/(2^тг) = 0; утах = у^к + 1)тг) = V2. В точках минимума у* не существует (угловые точки).
2628. 1) з/тах = У ^ + ki?j = 1; при х = ^ + ки — разрывы;
З/тах — УЗ/min — У — В З/тах — У — 1,5.
2629). т =—1 при ж = —1; М = 27 при ж = 3.
2630.2631.2632.2633.2634.2635.2636.2637.2638.2630.2631.2632.2633.2634.2635.2636.2637.2638.т = 6 при ж = ±2; М = 8 при ж = 0.т = — 1 при ж = 2; М = 3 при ж = 0.т = 0 при ж = 0 и при ж = 6; М = 32 при ж = 4.т = —10 при ж = 2; М = 10 при ж = 0.т = — 25 при ж = ±2; М = 2 при ж = ±1.т = 6 при ж = ±2; М = 8 при ж = 0.т = — 1 при ж = 2; М = 3 при ж = 0.т = 0 при ж = 0 и при ж = 6; М = 32 при ж = 4.т = —10 при ж = 2; М = 10 при ж = 0.т = — 25 при ж = ±2; М = 2 при ж = ±1.т = 0 при ж = 0; М = 8 при ж = 4.т = 6 при ж = 8; М = 10 при ж = 0.т = — 1 при ж = 0; М = 0,6 при ж = 4.Решение. Дифференцируя функцию12т = 0 при ж = 0; М = 8 при ж = 4.т = 6 при ж = 8; М = 10 при ж = 0.т = — 1 при ж = 0; М = 0,6 при ж = 4.Решение. Дифференцируя функцию12У =У =2 ’2 ’получаем у' =получаем у' =-^. Далее, у' = 0, т. е. 1 — ж2 = 0, жх =-^. Далее, у' = 0, т. е. 1 — ж2 = 0, жх =
2630.
2631.
2632.
2633.
2634.
2635.
2636.
2637.
2638.
2630.
2631.
2632.
2633.
2634.
2635.
2636.
2637.
2638.
т = 6 при ж = ±2; М = 8 при ж = 0.
т = — 1 при ж = 2; М = 3 при ж = 0.
т = 0 при ж = 0 и при ж = 6; М = 32 при ж = 4.
т = —10 при ж = 2; М = 10 при ж = 0.
т = — 25 при ж = ±2; М = 2 при ж = ±1.
т = 6 при ж = ±2; М = 8 при ж = 0.
т = — 1 при ж = 2; М = 3 при ж = 0.
т = 0 при ж = 0 и при ж = 6; М = 32 при ж = 4.
т = —10 при ж = 2; М = 10 при ж = 0.
т = — 25 при ж = ±2; М = 2 при ж = ±1.
т = 0 при ж = 0; М = 8 при ж = 4.
т = 6 при ж = 8; М = 10 при ж = 0.
т = — 1 при ж = 0; М = 0,6 при ж = 4.
Решение. Дифференцируя функцию
12
т = 0 при ж = 0; М = 8 при ж = 4.
т = 6 при ж = 8; М = 10 при ж = 0.
т = — 1 при ж = 0; М = 0,6 при ж = 4.
Решение. Дифференцируя функцию
12
У =
У =
2 ’
2 ’
получаем у' =
получаем у' =
-^. Далее, у' = 0, т. е. 1 — ж2 = 0, жх =
-^. Далее, у' = 0, т. е. 1 — ж2 = 0, жх =
/3.4 ’/3.4 ’= — 1; ж2 = 1. Вычисляем значение функции при критических значени
/3.
4 ’
/3.
4 ’
ях жх = — 1 и Ж2 = 1 и на концах отрезка [—V3; V3] • y(—V%) = —
. Отсюда легко получаем ответ*.. Отсюда легко получаем ответ*.у(—1) = —^; y(i) = j; y(V3) = ^
. Отсюда легко получаем ответ*.
. Отсюда легко получаем ответ*.
т = —0,5 при ж = — 1; М = 0,5 при ж = 1.
т = —при ж = ^; М = при ж = —
2 Р 2’2 Р2
т — нет; М = 1 при ж = j.
1) 5 и 5. Указание. Пусть одно из слагаемых равно ж; тогда другое слагаемое равно 10 — ж. Обозначив произведение этих слагаемых через у, имеем у = ж(10 — ж), или у = Юж — ж2. Далее нужно исследовать эту функцию на экстремум;
2) 4 и 4.
1) Va^Va* 2) 1.
1) 30 мх 60 м; 2) 0,8Я V5 и 0,5Я V5.
1) 0,25а/г; 2) 0,25mV3 и 0,5m.
1) Квадрат со стороной Офр; 2) квадрат со стороной Нл/^.
2646. 1) Решение. Проведем высо-
дТУ ВН трапеции (рис. 123). Пусть |ЛЯ| = ж,
\ю тогда \ВН\ = V100 —ж2 и у = Sabcd =
/\= 0ф(|АВ| + |ВС|)|ВЯ| = (10 + ж)х/Ю0-ж2.
/\ Далее,
л ж я ° V = Vioo^- M^L = ^М^^Д Рис- 1232 У100-Ж2 Уюо-®2 ’
у' = 0 при жх = —10 и Ж2 = 5. По смыслу задачи ж ^ 0 и функция у определена при ж ^ 10. Поэтому будем искать наибольшее
значение функции на отрезке 0 ^ х ^ 10. Так как р(0) = 100, р(5) = = 75 V3 и 7/(Ю) = 0, то ртах на отрезке [0; 10] равно 75 V3 при х = 5; при этом |AD| = 10 + 2ж = 20 см;
^-«2,5.
7Г + Г
2647. 1) ж = 1,5;
расстояние хорды от точки А должно быть равно - диаметра окружности.
2648. 1) Отрезки на осях х = 3 и у = 6;
прямая отсекает на осях координат отрезки 2жо и 2т/о -
2649. 1) Основание и высота треугольника равны 0,5а;
равносторонний треугольник со стороной a V3.
2650. 1)2) 4 мх4 мх 2 м.
2651. 1) Радиус основания равен высоте: г = h =
H^R.
2652. 1) ^^; 2) ^R. 2653. 4R. 2654. В 3 км от лагеря.
2655. 3 м/с. 2656. ^-.
2657. Боковая сторона равна Офр; основание равно Офр.
2658.2658.d V6 Т"d V6 Т"n</V3
2658.
2658.
d V6 Т"
d V6 Т"
Стороны прямоугольника равны —— и
§31. Дифференциал функции
2659. 1) dy^nx^^dx*, 2) dy = 3(х - I)2 dx.
2660. 1) dy = ®d$ • 2) ds=gtdt.
yl + Ж2
2661. 1) dr = 4sin2 <p d^\ 2) dx = —
2662. 1) snx2tdt, 2) sin-adu.
a3 dx(a 4-1) da1 . p ,
2663- G " 2/ 2 ■ 2V 2) a ; 3) ~281П2^; ж +ж )aд д
dx
/ 2 Г
ж уж -1
2664.2665. —^.2666., dx .2667. -^2-
ж(1 ж)^У®
2668. -‘Zxe-^dx. 2669. 1пж</ж.2670.
2671.2672. —^r.2673.
sin <p1 + e1 + ж
5(агс81пж)4 dx5(агс81пж)4 dxV1 — ж2 sin ж cos ж (/жV1 + sin2 ж—5ctg4(#2 +V1 — ж2 sin ж cos ж (/жV1 + sin2 ж—5ctg4(#2 +2674.2676.2678.2679.2681.2674.2676.2678.2679.2681.. 2675. 2t82$.ln2-2tg2:p- cos2 ж
5(агс81пж)4 dx
5(агс81пж)4 dx
V1 — ж2 sin ж cos ж (/ж
V1 + sin2 ж—5ctg4(#2 +
V1 — ж2 sin ж cos ж (/ж
V1 + sin2 ж—5ctg4(#2 +
2674.
2676.
2678.
2679.
2681.
2674.
2676.
2678.
2679.
2681.
2677. ж2(1 + 31п ж) дж.
,3)|у (Зж2 + 2ж) dx.
’ sin^ + ^V
Р. 2680.Р. 2680.dxdx2(1 + ж2) д/1 + arctgх2(1 + ж2) д/1 + arctgх1 —жагс1£ж ,2 sin ж (/ж2ж1п2(/ж
Р. 2680.
Р. 2680.
dx
dx
2(1 + ж2) д/1 + arctgх
2(1 + ж2) д/1 + arctgх
y^dx. 2682. -=. 2683. .(1 + ж2)3/2За/2 + со8жУ1-22ж
2684. (2жarctgж — 1) дж. 2685. Ду = 0,0090001; ду = 0,009.
2686. а) ду = 16, А % = 5,88%;
dy = 8, А?р;/ % = 3,03%; в) dy = 1,6, Ay"dy % = 0,62%.
2687. Ha 565 cm3.
2688. Радиус нужно измерить с погрешностью не более - %.
2689. 1) 5 = тг/?2; AS^dS = 2тгRdR-
V = ^irR3, ^V ^dV = 4irR2dR.
2690. 5. 2691. 1,1. 2692. 0,93. 2693. 2,02. 2694. 2,96.
2695. -0,1. 2696. 0,485.
§ 32. Неопределенный интеграл
,—тт1+и/т1
2700. ^Vx^+C. 2701. —+ С. 2702. С--.
п + тх
2703. to 0,4343 -10ж + С. 2704. -Р—+ С. 2705. ^ж + С.
+ та
2706. ^Ус- 2707- «4,1ж°’83 + С. 2708. и-и^^С.
2709. ^x2V$ + $ + C. 2710. С^-еж+1п|ж|.
v%xVx1
2711. С — Юж-0,2 + 15ж0,2 — З,62ж1,38. 2712. z - 21п Izl - 1 + С.
_ 2ж - 12ж - 6. 3186 2।
2713. —VC. 2714. -Ух АхУхАх^Ух^-С.
ЗлД2713
2715. - \/^ — - \/^ А-С. 2716. arcsin х + С.
Зж
2717. Зжрр +С. 2718. |^ж + ж) + С.
2719. C-ctgx-tgx. 2720. tgx-x + C. 2721. C-ctgx-ж.
2722. x-sinx + C. 2723. arctgx-- + C. ж
2724. In |ж| + 2arctgx + С. 2725. tgx + C. 2726. ^х^С.
.2,42
2727. ^-^ + С. 2728. ^ + С. 2729. 2VT+^+C. 24
2730. ^±1^ + С. 2731. С3. 2732. Ц^^ + С.
168(2®-З)4 6(1-с)
2733. С- ^(8-Зж)11/5. 2734. С - ^НИИ.
^ Р« + 6® + С. 2736. | ^/(ж2 + I)3 + С.
2737. С - | ^(1-ж2)3. 2738. ^ ^/(ж3 + 2)6 + С.
д/ж^+Т + С. 2740. |а/4 + ж5 + С. 2741. | У^+Тр + С'.
д/Зж2 —5ж + 6 + С. 2743. isin4® + C. 2744. зесж + С.
4
З^пж + С. 2746. С- | cos5ж. 2747. ^^/Оожр+С.
2748. ^р^ + С. 2749. С 32(агс81пж)2
2750. 2Vl + tgx + C. 2751. 8тЗж + С. 2752. tg(1 + 1пж) + С.
|sin3x + C. 2754. х cos а — | sin 2ж + С.
С - | cos (2ж - 3). 2756. С - ^ sin (1 - 2ж).
i tg ^2ж — ^) + (7, или ^ (tg 4ж — 8ес4ж) + С.
С —соз(еж). 2759. 1п(1 + ж2) + С'. 2760. ln|arcsin®| + C.
2761. 1и(ж2-Зж + 8) + С'. 2762. i In |2ж -1| + С.
1п|сж + т| + С. 2764. |1п(ж2 +1) + С.
2765. j 1п|ж3 + 1| + С. 2766. 1п(еж + 1) + С'.
2767. 11п(е2ж + а2) + С. 2768. C-ln|cos®|. 2769. ln|sin®| + C.
2770. С-|1п|соб3ж|. 2771.In|sin(2ж +1)| + <7.
2772. С-1п(1+со82ж). 2773. 1п|1пж| + С. lnm+1 г
- + С, если т^-1 и 1п|1пж| + С, если т = —1. т + 1ill
е8‘пж + С. 2776. es™x^rC. 2777. -^—^С.
31nd
2778. С-^. 2779.. 2780. 0,5еж +С.
In а3
2781.2784.2786.2788.2790.2792.2794.2796.2798.2800.2802.2803.2804.2806.2808.2810.2812.2814.2816.2818.2820.2822.2824.2781.2784.2786.2788.2790.2792.2794.2796.2798.2800.2802.2803.2804.2806.2808.2810.2812.2814.2816.2818.2820.2822.2824.С— 2е + 2782. arcsin ^ +С. 2783. 2 arcsin5ж + С.
2781.
2784.
2786.
2788.
2790.
2792.
2794.
2796.
2798.
2800.
2802.
2803.
2804.
2806.
2808.
2810.
2812.
2814.
2816.
2818.
2820.
2822.
2824.
2781.
2784.
2786.
2788.
2790.
2792.
2794.
2796.
2798.
2800.
2802.
2803.
2804.
2806.
2808.
2810.
2812.
2814.
2816.
2818.
2820.
2822.
2824.
2arctgЗж + C. 2785. arcsin ^ + С.
-2—arctg 42 ж + С. 2787. 2 arcsin j^ + С.
3v2332
2789.2789.| arctg ж2 + С.
2789.
2789.
1з
-arctg 4 + С.
1। е
- arctg — + С.
1. since ,
- arctgh С.
аа
2791.2791.2793.2793.12. Ж- arcsinhС.аarcsin ж4 + С. 4arcsin 2Ж12. Ж- arcsinhС.аarcsin ж4 + С. 4arcsin 2Ж2795. еж + е2795. еж + е^ е3ж + ^ е2ж + 3еж +ж + С.
2791.
2791.
2793.
2793.
12
. Ж
- arcsinhС.
а
arcsin ж4 + С. 4
arcsin 2Ж
12
. Ж
- arcsinhС.
а
arcsin ж4 + С. 4
arcsin 2Ж
2795. еж + е
2795. еж + е
11п(ж2 + 9) - | arctg | + С.
2 arctg ж2 — 2 In (ж4 +1) + С.
2(ж3-VCr2-l)3)^ + C.
2797. arcsin ж — V1 — ж2 + С.2797. arcsin ж — V1 — ж2 + С.2799. arcsin ж + V1 — ж2 + С.2799. arcsin ж + V1 — ж2 + С.2801. arcsin ж 41V1 — ж22801. arcsin ж 41V1 — ж2С — 2 V1 — ж2 — 2 ^(arcsinж)3.
2797. arcsin ж — V1 — ж2 + С.
2797. arcsin ж — V1 — ж2 + С.
2799. arcsin ж + V1 — ж2 + С.
2799. arcsin ж + V1 — ж2 + С.
2801. arcsin ж 41
V1 — ж2
2801. arcsin ж 41
V1 — ж2
2805. ж — 41п |ж+ 4| + С.2805. ж — 41п |ж+ 4| + С.С — 2 (VI — 9ж2 + (arccos Зж)3).
2805. ж — 41п |ж+ 4| + С.
2805. ж — 41п |ж+ 4| + С.
2 (4-j 1п|2ж + ++С. 2807.
С-ж-61п|3-ж|. 2809. 2ж+ 31п |ж — 2| + С.
| ж + ^ In |2ж — 1| + С. 2811. х + 1п(ж2 + 1) + С.
ж —2arctgж + Cf. 2813. С — ^ ж4 — | ж3 — | ж2 — ж — In |1 — ж|.
—ж + arctg ж + С. 2815. In I ——-1 + С.
3I ж I
InIniVlnIV1 1 |2ж-3 12 П I 27+3iVlnIV1 1 |2ж-3 12 П I 27+32817. jln|^-2| + C'.
In
In
iVlnIV
1 1 |2ж-3 12 П I 27+3
iVlnIV
1 1 |2ж-3 12 П I 27+3
5 Iж+1I
-l+C. 2819. ж + 1п|^4|
ж!I ж + 1 I
-C. 2821. lln|^4|+C.
7 |ж + 5|
l+C. 2823. In
1 ж 1-arctg—^— +С.1 ж 1-arctg—^— +С.2825. 4= arctg ^4 + С.2825. 4= arctg ^4 + С.I2V6 V2-a
1 ж 1
-arctg—^— +С.
1 ж 1
-arctg—^— +С.
2825. 4= arctg ^4 + С.
2825. 4= arctg ^4 + С.
2826. | arctg + С. 2827. ^arctg^^ + C.
2828. ^ arcsin(2® + 3) + С. 2829. arcsin(® — 2) + С.
2830. -arcsinhC. 2831. -arcsin———hc7. 33з V3
2832. - + ^^ + C. 2833. £_^L^ + C-, 2834. C-ctg-. 24242
2835. tg(f-^)+C'- 2836- 2tg^-® + C.
2837. 2tg^ + ^-® + C. 2838. |tg3® + C.
2839. ln(2 + sin2®) + C. 2840. C - i f ^^ + cos 2®1 4 \ 2/
2841.8Й15ж + | sinx + C. 2842. зтЗж - -^- 8Й17ж + C.
| ^2® + sin 2® + ^ sin4® + ^ sin6®) + C.
ln|tg (^ + |)|+C- 2845- ln(l + sin®) + C. 2..
2846. ^2|_£-ln|Cos®| + C. 2847. -44- + C.
sin® 3sin ж
2848. 2Vcosa (^-^ - 1) + C. 2849. tg ® + ^ tg3® + C.
2850. sin ж — Sm^ Ж + C. 2851. - tg3x — tg x + ж + C.
2852. C — cos ж + - cos3 ж — - cos5 ж.
2853. x — i 8т2ж + 8т4ж + C. 2854. itg2ж + ln |со8ж| + C. 84322
2855. C — ctg ® — ^ ctg3® — ^ ctg5®.
2856. 2(VaT+T-ln(l + V5TT))+C.
2857. 2V4^(5®3+6®2 + 8® + 16)+C. 2858. C
2859. In2859. In35 v72(®-2)2 ж-2
2859. In
2859. In
+ C. 2860. 2 V®^2 +V2arctg4—y2+ C.
2861. 2(V^-ln(l + V^))+C. 2862. 2arctg^® + C.
2863. 2(y® — arctg^®) + (7.
| (ж +1)2/3 - 3(® +1)1/3 + 31n 11 + 4^ + 11 + C.
^ (л/аж + 6 —mln|V«® + 6 + m|) +C.
ж + ^^ + ^^- + 2 ^ж + 3\/ж + 6^ж + 6In | ^ж - 1| + С.
3^ + 31п|^-1|+С.
2V^-4^ + 41n(l+^)+C.
| (v^ + 2 х/ж^ + 2In | v^- 1|) +C.
— (Зеж-4) Ме^ + ПЗ + С. 2871. In ^ + еЖ ~ 1 + (7.
2 V1 + 1пж — In | Inж| + 2In |V1 + 1пж — 1| + C.
jln2tgж + C,. 2874. C - | Va3-®3 (2a3 + ж3).
^-^ + ^—+41п|ж2-4| + С.
2 arcsin y^ — д/2ж — ж2 + C.
§ 33. Определенный интеграл
2877. Решение. Имеем
2878. 3(е —1). 2879. ^тг. 2880.2881. 1.62878. 3(е —1). 2879. ^тг. 2880.2881. 1.62882. -^ ~ 1. 2883. i 2884. 1^^. 2885. ^тг. 232162882. -^ ~ 1. 2883. i 2884. 1^^. 2885. ^тг. 23216
2878. 3(е —1). 2879. ^тг. 2880.2881. 1.
6
2878. 3(е —1). 2879. ^тг. 2880.2881. 1.
6
2882. -^ ~ 1. 2883. i 2884. 1^^. 2885. ^тг. 23216
2882. -^ ~ 1. 2883. i 2884. 1^^. 2885. ^тг. 23216
2886. |(V8-1). 2887. e-Ve. 2888. 2.
их Ч" 1 /1\ц2/-
Решение. [sin- = — [ sin — d I — ) = cos— = J X ж2J Ж X Ж /Ж 11/тг
7Г. V^r1/тг
= COS — — COS 7Г =
—5(л/16 —1). 2891. 7^. 2892. -cos</>0- 2893. 12. Х737Г
2894. 0,2(е-1)5. 2895. 31п ——. 2896. |. 2897. v 7b-a42
2S = 2 (4 — ж2) dxо2S = 2 (4 — ж2) dxо2898. Решение. Искомая площадь выражается интегралом (сделайте рисунок):
2
S = 2 (4 — ж2) dxо
2
S = 2 (4 — ж2) dxо
= 2 (4^-|ж3) I2 = 2 (8-|) = 10|.
\3 / I о\3 /3
9
2899. 10^. 2900. 36. 2901. 12. 2902. 81п2. 2903. 1.
2904. у. 2905. 17,5 = 61п6. 2906. 1.2907. Решение. Графики парабол у = ж2 и у = | ж3 пересекаются в двух точках: 0(0; 0) и Л(3;9). Искомая площадь выражается интегралом: 32904. у. 2905. 17,5 = 61п6. 2906. 1.2907. Решение. Графики парабол у = ж2 и у = | ж3 пересекаются в двух точках: 0(0; 0) и Л(3;9). Искомая площадь выражается интегралом: 3х3х34 X |34 X |3оо= 9-51 = 21122 4"= 9-51 = 21122 4"о2908. Решение. Запишем уравнения парабол в виде у = - х2 +1 5и у = - ж2 + 3 и построим эти параболы (рис. 124). Для нахождения точек их пересечения решим системуУ = 1®2 + !, у = |ж2 + 3, откуда жх = — 3, ж2 = 3. Так как фигура симметрична относительно оси Оу, то найдем половину ее площади, взяв пределы интегрирования от 0 до 3, и результат удвоим.Искомая площадь будет равна разности между площадями криволинейных трапеций OBQD и OAQD.о2908. Решение. Запишем уравнения парабол в виде у = - х2 +1 5и у = - ж2 + 3 и построим эти параболы (рис. 124). Для нахождения точек их пересечения решим системуУ = 1®2 + !, у = |ж2 + 3, откуда жх = — 3, ж2 = 3. Так как фигура симметрична относительно оси Оу, то найдем половину ее площади, взяв пределы интегрирования от 0 до 3, и результат удвоим.Искомая площадь будет равна разности между площадями криволинейных трапеций OBQD и OAQD.Первая трапеция сверху ограничена параболой у = |ж2 + 3, снизу — осью Ох, с боков — прямыми ж = 0 и ж = 3; вторая трапеция сверху ограничена параболой у = - ж2 +1, снизу и с боков — теми же прямыми: у = 0; ж = 0; ж = 3. ПоэтомуПервая трапеция сверху ограничена параболой у = |ж2 + 3, снизу — осью Ох, с боков — прямыми ж = 0 и ж = 3; вторая трапеция сверху ограничена параболой у = - ж2 +1, снизу и с боков — теми же прямыми: у = 0; ж = 0; ж = 3. Поэтомузf 2зf 2зз3333оо~37 ж9 Т~37 ж9 Т33оо
2904. у. 2905. 17,5 = 61п6. 2906. 1.
2907. Решение. Графики парабол у = ж2 и у = | ж3 пересекаются в двух точках: 0(0; 0) и Л(3;9). Искомая площадь выражается интегралом: 3
2904. у. 2905. 17,5 = 61п6. 2906. 1.
2907. Решение. Графики парабол у = ж2 и у = | ж3 пересекаются в двух точках: 0(0; 0) и Л(3;9). Искомая площадь выражается интегралом: 3
х3
х3
4 X |3
4 X |3
о
о
= 9-51 = 21
122 4"
= 9-51 = 21
122 4"
о
2908. Решение. Запишем уравнения парабол в виде у = - х2 +1 5
и у = - ж2 + 3 и построим эти параболы (рис. 124). Для нахождения точек их пересечения решим систему
У = 1®2 + !, у = |ж2 + 3, откуда жх = — 3, ж2 = 3. Так как фигура симметрична относительно оси Оу, то найдем половину ее площади, взяв пределы интегрирования от 0 до 3, и результат удвоим.
Искомая площадь будет равна разности между площадями криволинейных трапеций OBQD и OAQD.
о
2908. Решение. Запишем уравнения парабол в виде у = - х2 +1 5
и у = - ж2 + 3 и построим эти параболы (рис. 124). Для нахождения точек их пересечения решим систему
У = 1®2 + !, у = |ж2 + 3, откуда жх = — 3, ж2 = 3. Так как фигура симметрична относительно оси Оу, то найдем половину ее площади, взяв пределы интегрирования от 0 до 3, и результат удвоим.
Искомая площадь будет равна разности между площадями криволинейных трапеций OBQD и OAQD.
Первая трапеция сверху ограничена параболой у = |ж2 + 3, снизу — осью Ох, с боков — прямыми ж = 0 и ж = 3; вторая трапеция сверху ограничена параболой у = - ж2 +1, снизу и с боков — теми же прямыми: у = 0; ж = 0; ж = 3. Поэтому
Первая трапеция сверху ограничена параболой у = |ж2 + 3, снизу — осью Ох, с боков — прямыми ж = 0 и ж = 3; вторая трапеция сверху ограничена параболой у = - ж2 +1, снизу и с боков — теми же прямыми: у = 0; ж = 0; ж = 3. Поэтому
з
f 2
з
f 2
з
з
3
3
3
3
о
о
~3
7 ж
9 Т
~3
7 ж
9 Т
3
3
о
о
ооо
о
о
= ((5 + 9) - 0) - ((7 + 3) - 0) = 14 - 10 = 4.
В связи с тем, что оба интеграла имеют одни и те же пределы О и 3 и эти интегралы вычисляются непосредственно («просто», без специальных преобразований подынтегральных функций), искомую площадь можно выразить одним интегралом:
Ответ*. S = 2Si = 8 кв. ед.Ответ*. S = 2Si = 8 кв. ед.dx =dx == 4.= 4.
Ответ*. S = 2Si = 8 кв. ед.
Ответ*. S = 2Si = 8 кв. ед.
dx =
dx =
= 4.
= 4.
944тг 1
2909. ^.2910. 27г + | и бтг-^. 2911.
43323
2912. Решение. В этой задаче целесообразно принять переменную у за аргумент, а х — за функцию (рис. 125).
Вместо у = х3 будем писать х = у1^3. Искомая площадь равна
2913. Решение. Решая совместно уравнения данных парабол х2х2
у = — и у = 2а — —, найдем координаты точек их пересечения. Ко- 4а4а
ординатами этих точек являются А(—2а; а) и С(2а; а). Фигура симметрична относительно оси Оу. На рис. 126 изображена ее правая половина. За пределы интегрирования возьмем 0 и 2а, а затем резуль
таты удвоим.
Как и в задаче 2908, искомую площадь выразим одним интегралом:
2d8 = 2о2d8 = 2оdx =2(2ах—dx =2(2ах—2d02d0
2d
8 = 2
о
2d
8 = 2
о
dx =2(2ах—
dx =2(2ах—
2d
0
2d
0
2915. Р9^2917. жс = 0;2915. Р9^2917. жс = 0;
2915. Р9^
2917. жс = 0;
2915. Р9^
2917. жс = 0;
ага 0 \\ ха . 24П 8 216 2
= 2 2а -2а -_ 2а - 0- — = 2 4а - - а -О = 2- - а = — а .
\\6а )\6а))\\3//33
2914. 1411200 Н, на нижнюю половину 1058 400 Н.
2 Г у • dx
J У 2
о44
2916. жс=0; ус =2 =-а«-а.
0,5тга d7r у
2
J у2 dx
УС = Ц= |- 2918. 10876ТГ Дж.
2J у dx
о
2919. 2450тгЛ4 Дж. 2920. t = [ 51 d®= 100 с.
о 0,652 \р^9$
Раздел III. Геометрия. Планиметрия
Начальные понятия геометрии
20%.2. Три различных отрезка и шесть различных лучей.
Не больше 9,5 см.
Точки А и В лежат в одной из полуплоскостей.
Такая ломаная может:
а) не пересекать границу; б) пересекать границу.
На три различные части, если данные две прямые не пересекаются; на четыре различные части, если эти прямые пересекаются.
При пересечении двух прямых образуются 4 луча. Каждая пара этих лучей определяет два угла. Всего таких углов будет 12 (считая и развернутые углы).
6 углов.
1) ML = MA^AB^BL = MB^BL = MA^AL,
2) BL= ML-MB = AL-AB.
Точки А, В, С расположены соответственно внутри окружности, вне окружности, на окружности.
1) 90° или 120°; 2) 30° или 0°.
разность, то меньший из искомых отрезков будеразность, то меньший из искомых отрезков будеУказание. Если I — сумма искомых отрезков, ad — их l-d
разность, то меньший из искомых отрезков буде
разность, то меньший из искомых отрезков буде
т равен .
Начальные понятия геометрии (продолжение)
21. 30 см. 22. 60 см. 23. 8,1м.
I А(7|5
Решение. По условию задачи = - (рис. 127). Составля- |АС| 5 |АС| 5
ем производную пропорцию= ррр или ^1 = —. Отсюда
чАчАн1D СРис. 127н1D СРис. 127ч-Вч-В
ч
А
ч
А
н1
D С
Рис. 127
н1
D С
Рис. 127
ч-
В
ч-
В
\АС\ = ^ | АВ|. Точно так же | АВ| = ^ |АВ|. Тогда\CD\ = |АС|-|АВ| = = (^ - А) 1ЛВ1 = A W?\. Значит, |ЛВ| = ^\CD\ = ^ -10 = 96 (м). 10/ии
72° и 108°. 26. ^--180°. 27. 67°30' и 112°30'.
т + 1
Да. 29. l|d. 33. Юм. 34. 2м.35. Юм. 37. 4см.
1,5(р-а). 39. Юм.
Дорога должна проходить через середину отрезка ВС.
Доказательство. В любом треугольнике длина одной стороны меньше суммы длин двух других сторон: |а| < \Ь\ + |с|. Прибавив по | а | к левой и правой частям этого неравенства, получим 21 а | < < |6| + |с| + |а|. Отсюда |а| < ^ + ^ + ^ , что и требовалось доказать.
2; 7; п-3. 52. 4; 6; п-2. 53. 3.
6; 10; 190; 0,5п(п-1).
Решение. Из одной вершины можно провести (п — 3) диагоналей; из п вершин — (п — 3)п диагоналей. При этом одну и ту же диагональ мы фиксируем дважды: с одного конца и с другого. Поэтому их будет вдвое меньше, т. е. 0,5(п — 3) п диагоналей.
2т + 3; (4; 5; 7; 8). 61. 4 угла по 45° и 4 угла по 135°.
^<Z. 63. 135°; 45°. 64. 36°; 144°. 65. 50° или 130°.
16
^d. 67. 48°; 72°; 60°. 68. 40°; 60°; 80°. 69. 42°; 42°; 96°. 446
82°; 32°; 66°. 71. 60°. 72. 60°. 73. 40°. 74. ^-d^d^d.
777
1,2 м.76.18см и9 см.77. 4,8 см.78.1,75 см; 5,25 см.
50°.80.^-d.81.70°.82.^ d;^ d;d;d.
1711111111
Доказательство. Из середины D гипотенузы АВ опустим
перпендикуляр DE на катет АС (рис. 128). Этот перпендикуляр DE будет параллелен катету ВС (два перпендикуляра к одной прямой параллельны), и точка Е будет делить АС пополам (по теореме Фа
леса). Следовательно, отрезок DE в треугольнике ACD будет высотой и медианой, что, в свою очередь, означает, что треугольник AC D равнобедренный, т. е. |CD| = = |AD|, или |CD| = 1|АВ|, что и требовалось доказать.
Увеличится на 10с/.
17; 26; невозможно.
В четырехугольнике.
2т + 2 (4,6,8).
Решение. Пусть внешний угол многоугольника есть а, тогда 2с/(п — 2) + а = 23с/. Это соотношение может иметь смысл, только если а выражается целым числом d. Но ни 2с/, ни Зс/ и т. д. составлять внешний угол многоугольника не могут. Остается допустить, что а = d. Тогда 2d(n — 2) + d = 23с/; 2п = 26.
Ответ*. п = 13.
У казан и е. Через вершину данного угла провести перпендикуляр к одной из его сторон. Этот перпендикуляр образует искомый угол с другой стороной.
Указание. На произвольном расстоянии |а| от стороны угла провести параллельную ей прямую и раствором циркуля в 2|а| сделать на ней засечку, считая от вершины данного угла.
§ 3. Параллелограмм и трапеция
0,6 м; 0,8 м. 102. 3 см; 2 см; 3 см. 106. 10 дм.
^d;l^d. 110. ^d. 111. 1,2м.
Решение. Пусть ж — искомый угол (рис. 129), тогда, по
Рис. 129Рис. 129условию,
Рис. 129
Рис. 129
((3 + ж) : а = 3 : 1.
12а составляет - d. Тогда искомый угол ж равен - d,12а составляет - d. Тогда искомый угол ж равен - d,Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам при пересечении. Следовательно, треугольник AMD равнобедренный: Д = 7. С другой стороны, а = 7, как углы, дополняющие угол ABD до прямого. Отсюда а = Д. Это озна-
12
а составляет - d. Тогда искомый угол ж равен - d,
12
а составляет - d. Тогда искомый угол ж равен - d,
чает, что угол т. е. 45°.
12 см. 114. 25 см и 10 см или 18,75 см и 7,5 см.
143
8 м. 125. ^dnl^-d. 126. 80° и 100°. 127. 150°. 1717
12,5 см. 129. 64 см. 130. 1) Задача не имеет решения.
1 м. 134. 2 м. 136. 2 см. 137. 4 м и 8 м.
2,4 м; 3,2 м; 4,8 м.
3 дм. Указание. Провести через В прямую параллельно М N и опустить на нее перпендикуляры из Л и О.
Здм. 141. 4см; 5 см; 1 см.
Указание. Соединить вершину угла А с точкой М. Продолжить этот отрезок на такую же длину до точки В. Если построенный таким образом отрезок АВ принять за диагональ параллелограмма, то другая диагональ будет являться искомым отрезком.
13 см; 16 см; 19 см; 22 см; 25 см. Указание. Сначала доказать (вспомогательным построением), что длины параллельных отрезков возрастают равномерно.
4 м. 145. 6 дм и 10 дм. 146. 1 : 2. 147. | d и 1 ^d.
Q
1,7м.149. m-h-m^h. 150. 10см.151.
4
42 В. А. Бачурин
152. а+^.
4
1) Построение возможно лишь в том случае, когда разность оснований трапеции меньше суммы двух боковых сторон и больше их разности. Указание. Сначала построить треугольник, у которого боковые стороны равны боковым сторонам трапеции, а основание равно разности оснований трапеции.
Задача имеет решение лишь при условии, что сумма оснований трапеции меньше суммы диагоналей и больше их разности. Указание. Построить треугольник, у которого боковые стороны равны диагоналям трапеции, а основание равно сумме ее оснований.
1) и 2) параллелограмм; 3) ромб; 4) прямоугольник;
5) квадрат; 6) параллелограмм.
Доказательство. Расстояния данной точки М основания АВ от боковых сторон АС и ВС треугольника АВС выражаются длинами перпендикуляров ME и MF, проведенными из этой точки к сторонам АС и ВС (рис. 130).
Проведем высоту BD, она параллельна ME: два перпендикуляра BD и ME к одной прямой АС параллельны. Далее проведем прямую ML параллельно боковой стороне АС. Из построения следует: \МЕ\ = |LD|
и |MF| = |BL|. Последнее равенство отрезков вытекает из равенства прямоугольных треугольников BML и BMF. Отсюда \ЕМ\ + \MF\ = = |DL| + |BL| = |BD|, что и требовалось доказать.
Окружность и круг
4 см. 164. ^Л 166. 120°. 167. 2 см. 168. R.
2
2,2 м. 173. 60°.174. 2 дм. 175. 1дм. 176. 8 см.
R-т. 178. 5 см.
У казан и е. Центр окружности лежит на биссектрисе угла.
2 см. 184. 2 см. 185. 16 см. 187. R и 60°.
Указание. Разделить круг на три равных сектора и в каждый из них вписать по окружности.
2 дм. 190. 1дм. 194. 5°. 195. |.
1) 150°; 2) 47°30'; 3) 155°. 197. 77°59'23".
105°14'. 199. 123°45' и 56°15'. 200. 52°30'; 82°30' и 45°.
108°. 204. 40°; 40° и 100°.
Стороны треугольника делятся пополам, полуокружность — на три дуги по 60°.
Окружность, диаметром которой служит отрезок, соединяющий центр данной окружности с данной точкой.
67°30'. 211. 33°20'. 212. 105°. 213. 60°. 214. 4 см.
Рис. 131Рис. 13150° и 130°.
Рис. 131
Рис. 131
Построение. Данным радиусом R опишем окружность, чтобы она касалась данного основания АВ в его середине С (рис. 131). Из концов Аи В основания сделаем засечки на окружности в точках Е и F отрезком, равным половине основания. Через А и Е. а также и через В и F проведем прямые до их взаимного пересечения в точке D. Полученный треугольник ABD и является искомым.
6:5. 218. р-г. 220. 60 см.
Указание. На касательной к данной окружности, как на стороне, построить данные углы и провести касательные, параллельные двум другим сторонам.
143°; 37°; 143° и 37°. 223. Зсм. 224. 25 см. 225. j Я.
3 м; 6 м; 9 м; 6 м. 227. 45°; 90°; 135°; 90°. 228. 70°; 110°.
8. 230. 1,6Я^2.
Симметрия фигур и некоторые другие вопросы
Равны.
Одна пара соответствующих точек А и Ai задает центральную симметрию, так как по ним можно построить центр симметрии. Центр симметрии — середина отрезка AAi (если Ai не совпадает с Л) или точка А (если Ai совпадает с Л).
Центром симметрии отрезка является его середина. Любая точка прямой является ее центром симметрии. Луч не имеет центра симметрии. Центром симметрии пары пересекающихся прямых является точка их пересечения.
Отрезок АВ перпендикулярен оси и делится ею пополам.
В любом параллелограмме центрально-симметричные точки получаются при пересечении всякой прямой, проходящей через точку пересечения диагоналей, с противоположными сторонами этого параллелограмма (выполнить рисунок).
Обозначим данные отрезки через АВ и А^Ву. Центром поворота служит середина наименьшего (или наибольшего) из отрезков ЛЛ1, ВЛ1, BBi, ЛВ1. Угол поворота равен 180°.
1) 90°; 2) 180°; 3) 180°; 4) 72°.
Пучок параллельных прямых определяет два направления.
При параллельном переносе отрезок превращается в равный отрезок, луч — в луч, прямая — в прямую, окружность — в равную окружность, круг — в равный круг, треугольник — в равный треугольник.
Один, на расстояние |OOi| в направлении луча ОСД.
1) Отрезок АВ ([АВ]); 2) отрезок АВ ([АВ]);
луч АВ ([АВ)).
1) Прямую MN: 2) луч MN ([М N));
прямую АВ ((АВ)).
Векторы
Одинаково направленные лучи: АВ и DC, ВС и AD, CD и В A, DA и СВ. Противоположно направленные лучи: АВ и CD, ВС и DA, DC и В A, AD и СВ.
а) Два возможных параллельных переноса;
четыре возможных параллельных переноса.
1) а) Нет; б) нет. Ненулевой вектор а задается его длиной и направлением (оба условия обязательны!).
Векторы называются равными, если они одинаково направлены и имеют одинаковую длину.
Точки А, В и D, С*, точки В, С и A, D*, точки В, А и С, D*, точки С, В и D, А *, точки А, О и О, С*, точки С, О и О, А *, точки В, О и О, D-, точки D, О и О, В.
АС = вЪ.
Следует заметить: в векторной алгебре длина суммарного вектора может быть не только меньше суммы длин векторов слагаемых, но и меньше длины любого из них.
АВ = ^3,-ЬУ В"С = ^(a + by CD = 1(6 - а,у DA = = -!(« + &)■
Решение. 1) а ± Ь. Каждую часть равенства можно истолковать как длину диагоналей параллелограмма, построенного на данных векторах а и Ь, отнесенных к одному началу. Длины диагоналей могут быть равными только в таком параллелограмме, который является прямоугольником, т. е. параллелограммом с прямыми углами. Отсюда заключаем, что данное соотношение |а + 6| = \а — Ь\ есть условие перпендикулярности векторов а и Ь',
а = k2b. В соответствии с равенством |а + 6| = \а\ + \Ь\ параллелограмм или треугольник на данных векторах а и b построить нельзя, так как это равносильно абсурдному утверждению: длина одной стороны треугольника равна сумме длин двух других сторон.
Длина суммы двух векторов может быть равной сумме длин слагаемых векторов только в том случае, когда эти векторы коллинеарны и направлены в одну сторону;
и 4) векторы коллинеарны и противоположно направлены: а = — к^Ь.
1) Да, а и b — любые неколлинеарные векторы либо одинаково направленные ненулевые;
да, а и b противоположно направлены или хотя бы один из них нулевой вектор;
нет.
Замыкающий вектор равен сумме составляющих векторов.
0.
|а| = \Ь\. Указание. Вспомнить, в каком параллелограмме диагонали его делят углы при вершинах пополам.
АМ = с+^а = Гс-b); BN = а + Г = Га - с); СР =
,1 I2222
= ь + ^с= -(Ь-а).
АМ = -(н|а); BN = a+^b- СР = ^(Ь-а).
Указание. Пусть точка О отлична от А и В; тогда АВ = = ОВ — О А, откуда и следует равенство указанных расстояний |АВ| и |ОВ-ОА|.
CD = b-a\ DE =—a; EF =-b; ЕА = а-Ь\ аЪ = 26; АЕ = 2Ь — а.
АС = | (3m + n); AD = т + п; AF = | (n-m); EF = -™±™.
с = 0,5(а + 6); а = 2с-Ь.
1) Угол между а и b острый; 2) угол между а и b тупой.
с = 26-а-х/3. 280. ^-Ь^^. 281. |а + 6| = 20.
|а + 6| = У129, |а-6| = 7. 283. |а + 6| = У19, |а-6| = 7.
Указание. Построить ромб, приняв центр данного треугольника и две его любые вершины за три вершины ромба.
СА =-АС =-(АВ + ВС); АВ = АВ + ВС + СВ; ЕС = = -СЕ = -(CD + DE^ АЕ = AB + BC + CD + DE.
Вектор АВ + AiBi параллелен оси I. Вектор АВ — AiBi перпендикулярен оси I.
Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
а) ^>0; б) к <0. 297. а) |п|<1; б) |п|>1; в) Н = 1.
а) к > — 1; б) к < — 1; в) к = — 1; г) к = 0.
Вектор называется единичным, если абсолютная величина (длина) его равна единице.
1)2) -4-.
1«1|6|
1) Векторы а и b коллинеарны;
2) векторы а и b коллинеарны и одинаково направлены.
Решение. Координата вектора О А равна 4, поэтому этот вектор может быть получен умножением единичного вектора (орта) г направления вектора О А на его координату 4, т. е. О А = г • |ОЛ| = = г • 4 = 4г. Аналогично получаем ОС = з • | ОС | = 5J; АВ = | ОС | = = 5J; ВС = — |ОА| = —4г. Координатами точки D являются 3 и 2. Компонентами (составляющими) вектора OD будут Зг и 2J, отсюда О D = Зг + 2^. Аналогично получаем ОЕ = 2г + 4j.
3.1) АЪ = -г^2з* DE = -i + 23' FD = -г - 2з; DC = = —3?+ З/;
7?+2j; 4?+10;; -4?+5;; 8Г+Ю/.
OA = -2з* О"В=4г^2з- ОС = 4г-2у, АВ = 4? + 4j; вс = -43.
Единичные векторы а, с, d. е; векторы а, е коллинеарны. 34
|а\ = 5; cosq = -, cos/3 = -.
ОМ = -&г + бу, | ОМ | =3^5.
а) Различные векторы; б) один и тот же вектор.
ш = 12. 311. 614§); е2 f-§;-4)- 312. (-^2;2а/2).
\13 13/\ 55/х7
±3-^(7?+2j). 314. (-6; 8). 315. -^-а.
эЗ| а |
—^(12г+5>). 318. Г>(-2;0).
1) а) (—1;1); б) (-7;-2); 2) а) (-8; 13); б) (-5; 9).
В треугольник с вершинами в точках (0; —1); (2; —5); (—3; —4).
1) a + b = 3i-5j; 2) т + п = Т. 323. а = 26-0,8с.
1) (0;1); 2) (-1;-2). 325. с = 2Ь -2а.
1) |с|=5; cosa = —^, cos/З = ^;
|с] = 13; cosa = —, cos^ = —.
1) |р| = 17; cosa = ^, cos^ = 4;
|p| = 13; cosq = —, cos^ = - —.
а и c; b и d.
Векторы а и с одинаково направлены; векторы b и d противоположно направлены; |а| = \d\; \b\ = |с|.
1) т = 2; 2) п = 2. 331. 1) 39; 2) 30.
1) с(—6; —8); 2) J(12;7). 333. 1) 10; 2) 15.
ж = 14а. 335. ж = |а. 336. ж = ^ (56-За).
ж=— (ш — pj). 338. р = 2с —За. 339. ж = 4; у = — 2.
ж = 3 или ж =—2. 341. ж = -1. 342. ж = 0,4.
ж = — 1; у = 0. 350. Равенства 1), 2), 4), 6) справедливы.
— |а| • \b\ = ab, если векторы а и b коллинеарны и противоположно направлены; ab = |а| • \Ь\, если векторы сонаправлены.
1) Острый; 2) прямой; 3) тупой. 357. 90°.
1) Теорема косинусов;
свойство диагоналей параллелограмма.
1) m = 2; 2) ж = 15. 360. 2 + УЗ. 361. 40.
362. 10 единиц работы. 363. (-4; 6). 364. 1) 7; 2) 1.
368. 45°.13 V5 , , г —5— (±гт2;).368. 45°.13 V5 , , г —5— (±гт2;).±(1;2). 367. 1) arccos^j.
368. 45°.
13 V5 , , г —5— (±гт2;).
368. 45°.
13 V5 , , г —5— (±гт2;).
4\5/4\5/370. arccos370. arccos1) р=1^(2Г+/); 2) р =
4\
5/
4\
5/
370. arccos
370. arccos
Решение. Согласно законам механики, момент суммарной массы тел относительно некоторой точки равен сумме моментов слагаемых масс относительно той же точки (см. рис. 13): (pi+p2)^o =
.Р1Ж1+Р2Ж2
= Р1Ж1+р2ж2, откуда ж0 =.
Pl + Р2
372100 . Pi£i±P2^2 %
^сах Pl + Р2
Решение. Пусть |А4А^| = tcax = 6; С — точка центра тяжести самолета с пилотом и грузом; D — точка, в которой сосредоточена масса пассажира; Е — искомая точ
ка (рис. 132). Имеем \МЕ\ = жо, С £J DN
|МС| = ж1 = ^6; |МД = ж2 = ^х
х b + а. Приравнивая момент сум-рис 132
марной массы т + п относительно
точки М сумме моментов масс тип относительно той же точки, получим3
откудаоткуда(ш + п)жо = mxi + пж2 =—
откуда
откуда
3m6 + n(36 + 10d)10(т + п)
Таким образом, центровка самолета в процентах от средней аэродинамической хорды tcax составит
\МЕ\ _ а?о _ Ю ЗтЬ + п(ЗЬ + 10а)
|M7V| b bт + п°'
Под все опоры самолета устанавливаются подмостки по уровню, затем вместо подмостков подставляются по очереди весы, не нарушая установленного положения самолета по уровню.
§ 7. Подобие фигур
7,2 см; 4,8 см. Указание. Применить теорему о свойстве биссектрисы внутреннего угла треугольника.
9 : 4. 377. 4,2 см; 5,6 см. 378. 2 см. 379. 7,5 см. ,2_ 2
9 см и to 13,8 см. 381. 18,75 см. 382. 2—Д. 384. 8 см.
’’26
16см; 20 см; 20см.386. 50 см. 387. 10 см и 12 см.
10см и 18 см.389.10 см и 26 см. 390. 100 м и 40 м.
50см и 72 см.392.18 см и 98 см. 393. 42,5 см.
13,44 см. Указание. Соединить точки касания и провести к ним радиусы, далее использовать свойство: в прямоугольном треугольнике произведение катетов равно произведению гипотенузы и высоты, опущенной на нее, т. е. а • b = с - Нс.
13 м. 396. 21 см и 28 см. 397. 65 см.
25 см. Указание. Ввести вспомогательное неизвестное — расстояние от центра до одной из хорд.
1 см. 400. 9 см и 24 см. 401. 7 см и 15 см; « 6,9 см.
6 см или 12,5 см и 2,5 см. 403. 25 см, 8 см, 15 см.
405. 0,6Л.
Решение. Из подобия данного треугольника АВС и
402. 9404. 4406. -402. 9404. 4406. -СМ исм. adСМ исм. adотсеченного BMN (рис. 133) следует = \BN\ r.d
402. 9
404. 4
406. -
402. 9
404. 4
406. -
СМ и
см. ad
СМ и
см. ad
= ^^ • Согласно свойству биссектрисы внут-
реннего угла треугольника, имеем Составим производную пропорцию
\BN\ _ а\CN\ d*\BN\ _ а\CN\ d*\BN\\BN\аа|ВУ| + |СУ| a^rd' где |ВУ| + |СУ| = |ВС|. Получаем = ^^- Тогда
\BN\ _ а
\CN\ d*
\BN\ _ а
\CN\ d*
\BN\
\BN\
а
а
d а dа d
\BN\ = |ВС|\BN\ = |ВС|Указание. Воспользоваться теоремой о свойстве парал
\BN\ = |ВС|
\BN\ = |ВС|
лельных прямых, пересекающих стороны угла.
На 20 см. 410. Jpq. 411. -^-. 413. -^-. 414. V^ar.
Na + h.a + 2h
Imar
. 416. .
I + m2r + a
Построение. Пусть mJn = \AB\; h2 = mn (рис. 134). Строим полукруг с диаметром АВ. Проводим хорду CD, параллельную диаметру АВ на расстоянии h от него. Перпендикуляры DE и СЕ, опущенные на АВ, делят этот диаметр на искомые отрезки: \АЕ\ = т и \ВЕ\ = п, или |AF| = m и |ВВ| = п.
^/2(2m + n) (m + n) и i/2n(m+"n). 420. 6.
Указание. Рассмотреть подобие треугольников: данного и одного из отсеченных перпендикуляром, опущенным из вершины прямого угла на гипотенузу.
a:b = V2«l,4- 424.“^ .
2(2 + V3)
Указание. Из подобия треугольников: а2 = с • ас', Ь2 = с • Ьс.
|ДЮсм. 427. т- тД 2т. 428. 60° и 30°.
^У1. 430. |^3. 431. 2т(2 + ^3). 432. 4 см.
° "^h . 434. 4 см; 8 см; 2 д/2 см; 2 V2 см. 435. V2Rr.
0,75. 437. |р 438. Зг. 439. а(л/2-1) иа(2-^).
а(2 —у2). 441. nJ и mJ. 442. ЗуЗ.
х 7ут—п ут—п
0,8г д/5. 444. ^. 445. 4:5. 446. 6г V3.
.2шт 2пг(m + n)r
Основания и , боковая сторона -—.
ymn ymnymn
37 м и V769 « 27,7 м.
3,6V10 см; 1,2/10 см; 1,8д/10 см; Зд/10 см. 451. 13; 14; 15.
| см; | см; ^ см. 453. VR2 + Зг2.
5 см; 12,5 см; 5 см; 20 см.
Решение. Пусть |ДВ| = |ВС| = |ЛВ| = |СВ| = а; |ЛС| = = /; \BD\ = т (рис. 135). По условию, а2 = 1т. Проведем высоту
ромба BE. Тогда из подобия треугольников BDE и С DO следует W\=W\ ™ W\ = Т Отсюда |ВЕ| = 27 = й = 2- Итак' " прямоугольном треугольнике ВСЕ катет BE равен половине гипотенузы — стороны а = \ВС\ ромба; следовательно, ВСЕ = 30°.
456. 6 и 2V3. 458. 5^2.
тх и пх, где х = ^^—^. Указание. Воспользоваться п — т
теоремой: произведения секущих, проведенных к окружности из одной и той же внешней точки, на их внешние части равны между собой.
10. 462. 2 Уб см. 463. 270 км. 464. 15 см; 20 см; 25 см.
465. £. 466. b + c + d. 467. - V4r2-a2. 2г
469. 7 см; 24 см; 25 см. 470. -г. 472. — V"V4Rr - R2 - т2. 56
473. 5 см. 474. V^ar.
§ 8. Правильные многоугольникии вычисление длины окружности
60°; 90°; 108°; 120°; 135°; 144°; 150°; 165°36'.
1) 8; 12; 2) 10; 15. 477. 2 V2 to 2,8 см. 478. V3^1,7cm.
to 4,4 см. 480. 4; 6; 8. 481. (3 + ^3) R « 4,73/?.
484. 2) 2m V3. 485. 1) г = | V4/?2-a2; 2) a^VR2-r2.
486. 2 см; 4 см; 2 V3 см; 0.
1)2)3) а; 4) | V4 + 2V2; 5) a V2 + V3.
1) 2А;; 2) k^ 3)4) к У4-2х/2.
Ьп = —^^=.
V4R? - а2
ап : bn = г : R', a3 : 63 = 1 : 2; a6 : 66 to 0,866.
1) ^1 2) ^1 494. |(2 + V2). 496. |.
498. —; —. 499. 2^6 дм. 500.501.
3’323
502. ^(3±V3). 503. а. 504. £.
6 х 76
Указание. Провести биссектрисы углов между диагоналями ромба до пересечения со сторонами ромба. Точки пересечения и будут являться вершинами искомого квадрата.
Ba^-V^Y 507. 1) ^1 2) (/?\/2-1).
508. 1: У3:2«1:1,7:2. 509. с(УЗ + 1). 510. |л.
5П. Доказательство. Из подобия треугольников BOD и
Рис. 136Рис. 136BCN (рис. 136) следует \ВР\ _ \ВС\ |ол| |C'^г
Рис. 136
Рис. 136
Но \ОР\ = г; |ВС| = 2г; |ВВ| = = ^/(Зг)2 — г2 = 2г V2. Поэтому 2rV2_ 2т _ ,r/V|_ г _rV2
г \CNV 11 722 "
Тогда отрезок |M7V| = rV^ что и требовалось доказать.
60. 513. «5,9 м/с. 514. 1) ^; 2) ^; 3) ^£
1) ^- 2) ^. 516. 133°20'. 517. «21°5'. Зтг 8тг
144°. 519. 1|см. 520. 7,2 см.
ж=^-; 1) —; 2) —. 522. «57T8'. 7гЯ7Г7Г
1) ^« 1,05а; 2) ^Д « 1,11а; 3) ^“^ « 1,21а.
1) — «0,95/; 2) ^-^«0,90/; 3) ^-^«0,83/. 7Г7Г2?Г
1) На 2тгт;
I
2) оба радиуса увеличатся на одну и ту же величину — «0,16 м.
3
182 мм. 527. 50тг « 157 см. 528. ^/. 530. 40 см и 42 см.
Площади фигур
1080.532. а) Да; б) нет; в) да (сообразить, почему).
533. -. 534. 2Я2. 535. 2аг.
а) 2тг (см); б) тг(2Я +1) (см2).538. В два раза.
30°. 541. тп. 542. 1:3. 543. тп. 544., аЬ .
Vd2 + 62
у. 546. 1) ^а2; 2) ^/г2. 547. | VWSQ.
,.Q 3За/ЗЛ2тгЯ2L тЧп
-Q. 549. . 550. ——. 551. a Q —.
444V 2mn
а2(3 + д/3). 555. 2а2(д/2-1).
6 см. Указание. Биссектриса среднего угла данного треугольника разбивает его на два треугольника с одинаковой высотой,
равной искомому радиусу. Сумму площадей полученных треугольников приравнять площади всего данного треугольника, выраженную по формуле Герона.
Решение. Пусть |ЛВ| = a; |СВ| = b; |BF| = I (рис. 137) и Sadc : Sabc = 3:7. Тогда - = Имеем ж = Sefcd • Sabfe = а 7
b +1 а +1 b +1 тт , а + b
= -—— :=-. Но / = —-—, поэтому
22а^12 ’J
558. h?. 559. у. 560. Е. 561. ^ (а + 6\/3)(б + аV3).558. h?. 559. у. 560. Е. 561. ^ (а + 6\/3)(б + аV3).
558. h?. 559. у. 560. Е. 561. ^ (а + 6\/3)(б + аV3).
558. h?. 559. у. 560. Е. 561. ^ (а + 6\/3)(б + аV3).
^~' а20,183а2. 564. 1) ^25^3; 2) ^тг5.
‘iV^R2; SR2. 567. 2(а2 + ab + Ь2). 568. |. 569. h^L
1) 1; 2) 1; 3) |. 572. V2:l.
угла, имеемугла, имеемРешение. Имеем [1^! = —, CD — высота данного треугольника АВС (рис. 138). Проведем биссектрису AF угла А: точка F пересечения этой биссектрисы AF со стороной АВ является второй вершиной вписанного ромба AMFN. Пусть Si = \ АМ| • |ВВ| и S2 = = - |ЛВ| • |СВ|. Согласно свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника и свойству параллельных прямых, пересекающих стороны
угла, имеем
угла, имеем
m _ \АВ\ _ \BF\ _ \ВМ\ _ \DE\” \АС\ ” \СЕ\ \АМ\ \СЕ\ *
Составим производные пропорции:
|ВВ| _ т |ВВ| _ т|ВВ|_ т .
\СЕ\ ~~|CB| + |DB| “ т + пИЛИ|CD|“ m + и’
\ВМ\ _ т|BM| + |AM| _ m + n|ИВ|_ m + n
\АМ\|ЛЛ/|“ и ИЛИ |ЛЛ/| “ и
Поэтому
575.575.579.583.585.гольник579.583.585.гольникS1 _9s2S1 _9s28,4 м2.3:5:7.8,4 м2.3:5:7.\АМ\ \РЕ\\АМ\ \РЕ\\АВ\\АВ\\CD\\CD\_ 2 пт_ 2 пт2mn2mn576.576.580.580.270 см2. 577. 216 см2.10V2^ 14,14 м. 581.270 см2. 577. 216 см2.10V2^ 14,14 м. 581.« 355 см2.Доказательство. Дан треу- АВС, и вокруг него описана ок-« 355 см2.Доказательство. Дан треу- АВС, и вокруг него описана ок-ружность (рис. 139; рекомендуем сделать другие варианты рисунков). Из вершины В проведем диаметр ВР и точку Р соединим с вершиной С данного треугольника. Из подобия прямоугольных треугольников В DC и АСЕ следует\ВР\ _ \АС\\ВС\ \СЕ\*ружность (рис. 139; рекомендуем сделать другие варианты рисунков). Из вершины В проведем диаметр ВР и точку Р соединим с вершиной С данного треугольника. Из подобия прямоугольных треугольников В DC и АСЕ следует\ВР\ _ \АС\\ВС\ \СЕ\*30.30.144 кв. ед.144 кв. ед.582.582.2578. у2578. уОтсюдаОтсюда\АС\ • \ВС\ = \ВР\ • \СЕ\, что\АС\ • \ВС\ = \ВР\ • \СЕ\, чтои требовалось доказать.и требовалось доказать.
575.
575.
579.
583.
585.
гольник
579.
583.
585.
гольник
S1 _9
s2
S1 _9
s2
8,4 м2.
3:5:7.
8,4 м2.
3:5:7.
\АМ\ \РЕ\
\АМ\ \РЕ\
\АВ\
\АВ\
\CD\
\CD\
_ 2 пт
_ 2 пт
2mn
2mn
576.
576.
580.
580.
270 см2. 577. 216 см2.
10V2^ 14,14 м. 581.
270 см2. 577. 216 см2.
10V2^ 14,14 м. 581.
« 355 см2.
Доказательство. Дан треу- АВС, и вокруг него описана ок-
« 355 см2.
Доказательство. Дан треу- АВС, и вокруг него описана ок-
ружность (рис. 139; рекомендуем сделать другие варианты рисунков). Из вершины В проведем диаметр ВР и точку Р соединим с вершиной С данного треугольника. Из подобия прямоугольных треугольников В DC и АСЕ следует
\ВР\ _ \АС\
\ВС\ \СЕ\*
ружность (рис. 139; рекомендуем сделать другие варианты рисунков). Из вершины В проведем диаметр ВР и точку Р соединим с вершиной С данного треугольника. Из подобия прямоугольных треугольников В DC и АСЕ следует
\ВР\ _ \АС\
\ВС\ \СЕ\*
30.
30.
144 кв. ед.
144 кв. ед.
582.
582.
2
578. у
2
578. у
Отсюда
Отсюда
\АС\ • \ВС\ = \ВР\ • \СЕ\, что
\АС\ • \ВС\ = \ВР\ • \СЕ\, что
и требовалось доказать.
и требовалось доказать.
2) Указание. Воспользоваться результатом задачи 585.
1) /?2; 2) R-хД 3) /?2V3; 4) 2/?2. 588. ^.
г = 2. 590. 1) 1 : 4; 2) 1 : 2; 3) 3 : 4. 591. и 10,7 см2.
256 см2. 595. и 26 кН. 596. 10 см. 597. J.
у 7г(4тг — 1)
\/3:4:6\/3. 599. 8,64 см2 и 15,36см2.
600.602. 360°603. -7ГГ2.604. —
4тгг6тг(т2 + п )
y(V4 + 7r + V4 — тг) и y(V4 + 7r — V4 — тг). 606. Q. „22
^-(4tt-3V3). 608. ^-(2тг-3\/3).
2,2 2
a b сq
тг—. где 5 — площадь треугольника.
16S2
^-7T(Z2, ИЛИили ^"ТГС2.611.(а2 + Ь2) —.
160’40’6408 v 72
7Г (дм2).
§10. Приложение алгебры к геометрии
Указание. Пусть требуется построить отрезок у/т, где т — натуральное число. Строим отрезок, равный т + 1, и принимаем его за диаметр полуокружности. Тогда перпендикуляр к диаметру, восстановленный из общей точки отрезков т и 1 до пересечения с окружностью, и будет искомым отрезком.
615. Указание. 4) Строим отрезок
порциональный по отношению к данным „2
искомый отрезок ж = - у.
ab„у = — как четвертый протрем а, Ь. с. Затем строимab„у = — как четвертый протрем а, Ь. с. Затем строим22Сначала строим отрезок у = ^-, используя прием предыдущей задачи. Затем повторяем такой же прием для построения отрезка 2
ab„
у = — как четвертый протрем а, Ь. с. Затем строим
ab„
у = — как четвертый протрем а, Ь. с. Затем строим
2
2
8617.8617.618.619.618.619.stСторона квадрата ж =Радиус искомого круга х = R \pi.Радиус концентрической окружностиstСторона квадрата ж =Радиус искомого круга х = R \pi.Радиус концентрической окружностиRV22RV22620.620.621.условию621.условию/зСторона квадрата ж = \ - ah.VУказание. Пусть ж — радиус искомого круга. тгж2 = iv(R2 — г2); отсюда ж = VW^^Wh3)-/зСторона квадрата ж = \ - ah.VУказание. Пусть ж — радиус искомого круга. тгж2 = iv(R2 — г2); отсюда ж = VW^^Wh3)-лУ(R — r)(R -V- г) строим методом, указанным в задаче 613. радиус ж = у/R2 — г2.лУ(R — r)(R -V- г) строим методом, указанным в задаче 613. радиус ж = у/R2 — г2.Тогда по Отрезок ИскомыйТогда по Отрезок Искомый622.622.623.623.Высота искомого треугольника равна —.«(V5-1)°Ьольшая часть х = —— ; меньшая часть а — х =Высота искомого треугольника равна —.«(V5-1)°Ьольшая часть х = —— ; меньшая часть а — х =«(3-V5)2«(3-V5)2624.624.625.625.629.629.Искомое расстояние точки от центра ж = г V5.^(V5 + l). 627. 2r\/V5-2.Расстояние искомой прямой от вершины треугольникаИскомое расстояние точки от центра ж = г V5.^(V5 + l). 627. 2r\/V5-2.Расстояние искомой прямой от вершины треугольника2 ’630. Сторона прямоугольника, параллельная высоте треуголь-2 ’630. Сторона прямоугольника, параллельная высоте треуголь-bhn ника, у = -bn + mhbhn ника, у = -bn + mh, где b — основание и h — высота треугольника., где b — основание и h — высота треугольника.631.631.Стороны прямоугольника ж =Стороны прямоугольника ж =di(3±V3)_ <Z2(3±V3)6 и У -6di(3±V3)_ <Z2(3±V3)6 и У -6632.632.Расстояние искомого перпендикуляра от вершины меньше-Расстояние искомого перпендикуляра от вершины меньше-го углаго углапри основании треугольника ж =при основании треугольника ж =, где b — основание, где b — основание_ ру _ pq
8
617.
8
617.
618.
619.
618.
619.
st
Сторона квадрата ж =
Радиус искомого круга х = R \pi.
Радиус концентрической окружности
st
Сторона квадрата ж =
Радиус искомого круга х = R \pi.
Радиус концентрической окружности
RV22
RV22
620.
620.
621.
условию
621.
условию
/з
Сторона квадрата ж = \ - ah.
V
Указание. Пусть ж — радиус искомого круга. тгж2 = iv(R2 — г2); отсюда ж = VW^^Wh3)-
/з
Сторона квадрата ж = \ - ah.
V
Указание. Пусть ж — радиус искомого круга. тгж2 = iv(R2 — г2); отсюда ж = VW^^Wh3)-
лУ(R — r)(R -V- г) строим методом, указанным в задаче 613. радиус ж = у/R2 — г2.
лУ(R — r)(R -V- г) строим методом, указанным в задаче 613. радиус ж = у/R2 — г2.
Тогда по Отрезок Искомый
Тогда по Отрезок Искомый
622.
622.
623.
623.
Высота искомого треугольника равна —.
«(V5-1)°
Ьольшая часть х = —— ; меньшая часть а — х =
Высота искомого треугольника равна —.
«(V5-1)°
Ьольшая часть х = —— ; меньшая часть а — х =
«(3-V5)
2
«(3-V5)
2
624.
624.
625.
625.
629.
629.
Искомое расстояние точки от центра ж = г V5.
^(V5 + l). 627. 2r\/V5-2.
Расстояние искомой прямой от вершины треугольника
Искомое расстояние точки от центра ж = г V5.
^(V5 + l). 627. 2r\/V5-2.
Расстояние искомой прямой от вершины треугольника
2 ’
630. Сторона прямоугольника, параллельная высоте треуголь-
2 ’
630. Сторона прямоугольника, параллельная высоте треуголь-
bhn ника, у = -
bn + mh
bhn ника, у = -
bn + mh
, где b — основание и h — высота треугольника.
, где b — основание и h — высота треугольника.
631.
631.
Стороны прямоугольника ж =
Стороны прямоугольника ж =
di(3±V3)_ <Z2(3±V3)
6 и У -6
di(3±V3)_ <Z2(3±V3)
6 и У -6
632.
632.
Расстояние искомого перпендикуляра от вершины меньше-
Расстояние искомого перпендикуляра от вершины меньше-
го угла
го угла
при основании треугольника ж =
при основании треугольника ж =
, где b — основание
, где b — основание
633.636.633.636.639.639.
633.
636.
633.
636.
639.
639.
треугольника, т — проекция боковой стороны, прилежащей к этому углу, на основание.
. Решение треугольников. Задачи по планиметриис применением тригонометрических функций
2°57'; «727 м. 634. «40 м. 635. «21см.
1278 м. 637. «36°39'. 638. —^.
2 sin о
40°13' и « 49°47'. 640. « 21750 км.
й йй й1) Решение. В = 90°-32°20' = 57°40'; а = 18,2-sin 32°20' 18,2 • 0,5349 to 9,74; 6 = 18,2 • cos32°20' to 18,2 • 0,8450 to 15,40; S 0,5-9,74-15,4 to 75,00;
й й
й й
2) a to 0,7323; 6 to 0,3168; В = 23°24'; S to 0,1160.
1) b to 79,46; c to 79,715; В = 88°25'; S to 253,08;
2) a to 0,1259; c to 0,2146; В = 54°5'; S to 0,0109.
1) b to 16,788; c to 24,616; A = 47°; 5 to 151,12;
2) a to 0,6158; c to 0,6830; A = 64°22'; 5 to 0,0910.
1) b to 455; Ato49°15'; Bto40°45'; S to 120120;
2) a to 1499,2; Ato61°14'; В to 28°46'; S to 616910.
1) c to 461; Ato34°29'; В to 55°31'; 5 to 49590;
2) c to 0,1399; Ato44°22'; Bto45°38'; S to 0,0049.
1) A to 73°24'; Bto33°12'; a to 30,219; b to 17,267;
62 to 26,715;3) В to 34°26'; x tg A to 69,55.62 to 26,715;3) В to 34°26'; x tg A to 69,55.2) Bi to 34°51'; Ai to 72°35'; bi to 8,385 или B2 to 145°9'; A2 to 17°26';
62 to 26,715;
3) В to 34°26'; x tg A to 69,55.
62 to 26,715;
3) В to 34°26'; x tg A to 69,55.
. Д/ h\2
a = p : 2cos2 у to 15,682; b to 9,2864; S = (^j x
647.648.651.647.648.651.Jsina dsin/3
647.
648.
651.
647.
648.
651.
sin(a + /3) sin(a + /3)'
_ a sin В sin Csin (B + G) cos —-— hf sin В2sin A • sin (A + B)_ a sin В sin Csin (B + G) cos —-— hf sin В2sin A • sin (A + B), _ a sin C - _a sin В,
_ a sin В sin C
sin (B + G) cos —-— hf sin В
2sin A • sin (A + B)
_ a sin В sin C
sin (B + G) cos —-— hf sin В
2sin A • sin (A + B)
— Th 7 ’ r —/
sin(—+ C) sin(B + -)
(/2siny?d + 6.
———.652. —— -c-sina. 653.
22
1) b to 541; c to 421; Ato43°2'; S to 77700;
2) a to 13,311; 6 to 5,337; Ctoll0°2'; 5 to 33,372.
1) c to 533; Ato68°23'; Bto35°18'; 5 to 78540;
2) a to 43,922; Bto61°46'; С«44°34'- S to 621,4.
1) Решение, a) sinB = ^sinG IgsinB = lg6 + lgsin A —Iga.
Ig6 = 1g 354,9 = 2,25501
1g 492,0 = 2,6920-lg492,0 = 3,30801g 492,0 = 2,6920-lg492,0 = 3,30801g sin A = 1g sin 50° 12' = 1,8855
1g 492,0 = 2,6920
-lg492,0 = 3,3080
1g 492,0 = 2,6920
-lg492,0 = 3,3080
-lga = -1g 492,0 = 3,3080
1g sin В = 1,7436
В to 33°39';
б) C = 180° - (A + B) to 180° - 83°51' to 96°9';
н) c = “ j^1^ i Ige = lga + lg sinC — 1g sin A.
Iga = 1g 492,0 = 2,6920lg sin С = 1g sin 96°9' = 1,9975— 1g sin A = — lg sin50°12' = 0,1145Iga = 1g 492,0 = 2,6920lg sin С = 1g sin 96°9' = 1,9975— 1g sin A = — lg sin50°12' = 0,1145lg sin 96°9' = lg sin 83°51' = 1,9975 lg sin 50°12'= 1,8855 — lgsin50°12' = 0,1145lg sin 96°9' = lg sin 83°51' = 1,9975 lg sin 50°12'= 1,8855 — lgsin50°12' = 0,1145lgc = 2,8040c« 636,8;
Iga = 1g 492,0 = 2,6920
lg sin С = 1g sin 96°9' = 1,9975
— 1g sin A = — lg sin50°12' = 0,1145
Iga = 1g 492,0 = 2,6920
lg sin С = 1g sin 96°9' = 1,9975
— 1g sin A = — lg sin50°12' = 0,1145
lg sin 96°9' = lg sin 83°51' = 1,9975 lg sin 50°12'= 1,8855 — lgsin50°12' = 0,1145
lg sin 96°9' = lg sin 83°51' = 1,9975 lg sin 50°12'= 1,8855 — lgsin50°12' = 0,1145
r) S = iabsmC; IgS to lg246 + lg355 + lgsin83°51' to 2,3909 + + 2,5502 + 1,9975 to 4,9386; S to 86864. Итак, В to 33°39'; C to 96°9'; c to 636,8; S to 86864;
6 to 2573,4; Bto49°28'; C to 10'; 5 to 9804,4.
1) A to 16°26'; В to 30°24'; C to 113°10'; 5 to 235,56;
A to 10°51'; В to 20°56'; C to 148°13'; S to 0,7626.
1) C to 119°31'; a to 20,865; 6 to 55,293; c to 68,04;
A to 59°41'; c to 5,9344; b to 59,92; a to 57,154; S to 153,48.
1) A to 77°4'; c to 0,5227; b to 6,7127; a to 6,6154; S to 1,7099;
C to 118°4'; a to 17; 6 to 28; c to 39; S to 210.
1) A to 27°16'; Bi to 63°42'; Ci to 89°2'; a to 50,189; Si to to 517,43 или A to 27°16'; B2 to 116°18'; C2 to 36°26'; c2 to 29,807; S2 to 307,3.
1) Cl to 30°; Bl to 103°4'; Ai to 46°56'; ci to 4,1063 или C2tol50°; B2 to 17°12'; A2 to 12°48'; c2 to 13,533.
1) Atol27°10'; Bto32°5'; Cto20°45'; a to 33,882; b to 22,588; ch 15,059; S н 135,53. Указание. Из известных соотношений S =
а b с
1 *
Это равенство показывает, что искомый треугольник АВС подобен
треугольнику А'В'С* со сторонами
Следовательно, углы треугольника АВС равны углам треугольника А'В'С'^ которые находятся по сторонам а', У, d^
°2) А н 135°11'; В « 27°7'; С « 17°42'; а «
Рис. 140 to 64,933; S = 414,47.
Решение. Пусть |ЛВ| = а и |CD| = b (рис. 140). Тогда |ЛВ| = а = 2Bsin^^-; |СВ| = b = 2Btg 1§2_. Из первого соотноше-
ния находим выражение для R: R = —-. Подставляя его во
2 sin
второе соотношение, получаемп
= а= а180°sec.п180°sec.п180°ft tg b = 2^
= а
= а
180°sec.п
180°sec.п
о . 180 2 sin
664.666.664.666.о 180°180°
664.
666.
664.
666.
2а-cos. 665. nR2!^.
+ sin a+ sin aп2п
+ sin a
+ sin a
a2 sin a -cosа = — sin 2а. 667. R2
668. 30°.668. 30°.™ о о180° a 90°
668. 30°.
668. 30°.
669. 1) 2/t = acosec; 2) -• cosec. n2n
670. 4r2 cosec a to 167. 671. у Qctg ^ to 24,66.
672. -na2ctg: 1119,6 см2. 673. -n/Z2sin: 147. 4° n2n
to 71 cm. 675. S9 : 5Х0 = lOctg 20° : 9ctg 18° to 0,9919.
to 21,7495 cm2.
R2a
— (a — sin а), где a = 2arcsin—; 0,59 см2.
to 3,215 2 см и to 7,7848 см.
Vft2 + ^2 =Ь 2ab cos a • -^—; 4^-. since sina
6 — ^ 7Г + | a^ to 0,46425 (м2), где a = arcsin0,6.
etg (45°-^)sin aetg (45°-^)sin aa = 4 b2 + c2 — - be или a = 4 b2 + e2 + -be. V5V5
etg (45°-^)sin a
etg (45°-^)sin a
682. 16 см и 9 см. 683. — r
|ЛВ| = |BC| = ^^21- |ДС| = 2B(V3 + 2).
686. 1 I QS™«S™P
162 A /sin^±£ cos^
V 22
оa j a 90
Q = —; d=-^—.
градусная мера угла, илиградусная мера угла, илио о о 2 (7Г 7Г а \
градусная мера угла, или
градусная мера угла, или
Л2Л2R ytg а — ^ + ]^J5 если а
Л2
Л2
etg a — — + aJ , если a — радианная мера угла.
| V13 + 12cosa.
Решение. Дано: А = 60°; |A4D| = a; \МВ\ = b. Требуется вычислить ^АМ^. Из несложного соответствующего построения (см.
43 В. А. Бачурин
Рис. 142Рис. 142
Рис. 142
Рис. 142
рис. 141) следует: 1ДЕ1 = actg 60° = -^=; IDEI = |A4C| = 6 • -^= = -^
ТогдаV3V3 V3
|ДМ| = V\AD\2 + \MDV = y/(\AE\ + \DE\y + \MD\2 =
691.691.693.693.695.695.697.697.33^tT x/^^-ka^bW. I 4ab v1 / qл 6sinQ-Vosm2a. 694. ;3a — о cos aa cos —/_^tT x/^^-ka^bW. I 4ab v1 / qл 6sinQ-Vosm2a. 694. ;3a — о cos aa cos —/_692. /ictgp a sin о’ b — a cos а '692. /ictgp a sin о’ b — a cos а 'sin (45° + ^) 2dy2sin^±^. 4(m + п)sin (45° + ^) 2dy2sin^±^. 4(m + п)
691.
691.
693.
693.
695.
695.
697.
697.
3
3
^tT x/^^-ka^bW. I 4ab v
1 / qл 6sinQ
-Vosm2a. 694. ;
3a — о cos a
a cos —/_
^tT x/^^-ka^bW. I 4ab v
1 / qл 6sinQ
-Vosm2a. 694. ;
3a — о cos a
a cos —/_
692. /ictgp a sin о
’ b — a cos а '
692. /ictgp a sin о
’ b — a cos а '
sin (45° + ^) 2dy2sin^±^. 4(m + п)
sin (45° + ^) 2dy2sin^±^. 4(m + п)
\BD\ = \CD\ треугольника треугольника\BD\ = \CD\ треугольника треугольника|ДЛ|2 = а2+|ДЛ|2 = а2+2222a ~ aa , a~2 cos a = — H— 16 cos2 о 4 cos о216 cos2 о22222a ~ aa , a~2 cos a = — H— 16 cos2 о 4 cos о216 cos2 о2= ^(8+sec2Q0 = ^(э+^оО-= ^(8+sec2Q0 = ^(э+^оО-22Ответ*. |ЛВ| = ^ i/9 + tg2a.. . a + /3a — /34 sincos / _699. -2-. 700. vW^'tg (т-Д.7rsina-sin/3\42/701. r2ctg2 --- ctg-. 702. ^———.Ответ*. |ЛВ| = ^ i/9 + tg2a.. . a + /3a — /34 sincos / _699. -2-. 700. vW^'tg (т-Д.7rsina-sin/3\42/701. r2ctg2 --- ctg-. 702. ^———.
\BD\ = \CD\ треугольника треугольника
\BD\ = \CD\ треугольника треугольника
|ДЛ|2 = а2+
|ДЛ|2 = а2+
2222
a ~ aa , a
~2 cos a = — H— 16 cos2 о 4 cos о216 cos2 о
2
2222
a ~ aa , a
~2 cos a = — H— 16 cos2 о 4 cos о216 cos2 о
2
= ^(8+sec2Q0 = ^(э+^оО-
= ^(8+sec2Q0 = ^(э+^оО-
2
2
Ответ*. |ЛВ| = ^ i/9 + tg2a.
. . a + /3a — /3
4 sincos / _
699. -2-. 700. vW^'tg (т-Д.
7rsina-sin/3\42/
701. r2ctg2 --- ctg-. 702. ^———.
Ответ*. |ЛВ| = ^ i/9 + tg2a.
. . a + /3a — /3
4 sincos / _
699. -2-. 700. vW^'tg (т-Д.
7rsina-sin/3\42/
701. r2ctg2 --- ctg-. 702. ^———.
698. Решение. Дано: |ЛС| = |ВС|; |ЛВ| = а; А = В = а,
(рис. 142). Требуется найти |ЛВ|. Из прямоугольного
ВСЕ следует \ВС\ = ——. Тогда |В£>| = ——. Из 2 cos о4coso
ABD по теореме косинусов имеем
703.706.709.712.714.717.703.706.709.712.714.717.2 sin 2а • sin2 а2 sin 2а • sin2 а^ab cos —704. А^ab cos —704. А705.705.2л/3 cos а + sin аsin а2л/3 cos а + sin аsin аV^sf по-V^sf по-2аcos4707. 7^-2аcos4707. 7^-7Г81П — 2 о2— cos2a. 711.47Г81П — 2 о2— cos2a. 711.41 + arcsin —-— .К —г1 + arcsin —-— .К —гVsV32 sin —4708. ZL±^7VsV32 sin —4708. ZL±^7РРarcsin —-— и arccos —- 44arcsin —-— и arccos —- 44гс^ 2^15 sin а ?, Vd2 + 62 + 2a6cos2asin2a2а —sina2sin2aгс^ 2^15 sin а ?, Vd2 + 62 + 2a6cos2asin2a2а —sina2sin2ayl + sin2a _. л 3 . D 45г. 718. sin A = -; sin В = -.sin2 a55yl + sin2a _. л 3 . D 45г. 718. sin A = -; sin В = -.sin2 a55
703.
706.
709.
712.
714.
717.
703.
706.
709.
712.
714.
717.
2 sin 2а • sin2 а
2 sin 2а • sin2 а
^ab cos —
704. А
^ab cos —
704. А
705.
705.
2л/3 cos а + sin аsin а
2л/3 cos а + sin аsin а
V^sf по-
V^sf по-
2аcos4
707. 7^-
2аcos4
707. 7^-
7Г81П — 2 о2
— cos2a. 711.
4
7Г81П — 2 о2
— cos2a. 711.
4
1 + arcsin —-— .К —г
1 + arcsin —-— .К —г
VsV3
2 sin —
4
708. ZL±^7
VsV3
2 sin —
4
708. ZL±^7
Р
Р
arcsin —-— и arccos —- 44
arcsin —-— и arccos —- 44
гс^ 2^15 sin а ?, Vd2 + 62 + 2a6cos2a
sin2a2а —sina2sin2a
гс^ 2^15 sin а ?, Vd2 + 62 + 2a6cos2a
sin2a2а —sina2sin2a
yl + sin2a _. л 3 . D 4
5г. 718. sin A = -; sin В = -.
sin2 a55
yl + sin2a _. л 3 . D 4
5г. 718. sin A = -; sin В = -.
sin2 a55
Раздел IV. Геометрия. Стереометрия
§ 1. Начальные понятия
Плоскость, параллельная данной плоскости.
\I а 2 ~ \ /7а 2 \ /
al; I—; 0; а к 10;—; al (это коор
динаты вершин верхней грани; для нижней грани координата % везде равна 0).
(1; 0; 0); (0; 2; 0); (0;0;3); (1; 2; 0); (1; 0; 3); (0;2;3).
Расстояние от плоскости хОу равно 3, от плоскости хО% рав
но 2, от плоскости yOz равно 1; расстояния от осей Ox, Оу, Oz со
ответственно равны V13, V10, V5; расстояние от начала координат равно V14-
М(6;4;3).
_3^26Q.л/З
cosa = -; cosp = -; cos7=-; cos ад = cospi = cos71 = ± —.
(2; 2; 2); (-2;-2;-2). 11. M(0; 1;-2).
(2; 1; —2); r = 3. Указание. Найти центр шара как точку, равноудаленную от указанных четырех точек.
В(0;-1;3).
Симметричные относительно координатной плоскости хОу. М1(0; -1; -2); М(1;0; -3).
(0; 1; -2); (-1; 0; -3).
Симметричные относительно начала координат: (—3; 1; —2); (—а; —Ь; —с).
а = 1; Ь = 1; с = -2.
1) Не существует; 2) существует. 21. (—1; —2; 1).
В треугольник с вершинами (2; —3; 1), (—2; 0; —1), (1; —1; 2).
§ 2. Векторы в пространстве
^ = ±3. 29. W(4;l;l). 30. (—1;2;3).
1) А; 2) -А; 3) _±; 4) о. 1«11«11«1
1) 0,5; 2) -1; 3) 2; 4) -3; 5) -j; 6) -|.
Равных векторов нет. 34. М(Зл/2; 3; — 3).
ш = 4;п = -1. 36. 1) Bi(-2;3;0); 2) £>2(2; 1; -2).
OCfl; —2; 1); | ОС | = ^6; АВ = (-1; 4; 1); |АВ|=3^2.
/9 1 \9QА
( —; — ;0). 39. ±6&; cos а = -; cosP = —;cos7 = ±-.
\3 3 )777
Р = R cosa; Q = Я sin а.
cosa = cosP = COS7 = ^; р = (2; 2; 2). 42. (4\/2; ±4; 4).
(^Р;ЦУ 44. (-4;3;-1); (28;-21; 7).
^(20; 9; 12); cosa = 0,80; cosР = 0,36; COS7 = 0,48.
V3; V3; V2 на координатные плоскости соответственно хОу, xOz, yOz.
15 Н. 49. b = -3a. 51. m = 4;n = -l,5.
Решение.
d = -с° • 75 = - Д • 75 = -(1бГ-15; + 12fc) • ,75= =
lCl\/16'2 + 15'2 + 12'2
= — ^| (16г — 5/+12^) = —3(16?—157+ 12fc) = -48?+45j-36fc.
(—3;15;12). 54. В(6;-4; 5), 6/(9;-6; 10); С'А(-7; 1;-7).
Да. 64. 1) -6; 2) 9; 3) 16; 4) -61. 65. 17.
Решение. Механический смысл скалярного произведения двух векторов а и b есть работа W, которая производится силой а на пути b (или силой b на пути а). Координаты вектора АВ таковы: АВ = (хв — хд^ У в — Уа\ zb — za\ или АВ = (1; 1; —6). Искомая работа W = / • АВ = 3 • 1 - 2 • 1 - 5(-6) = 31.
cosw =^« 0,316; w«71°35'. 68. 90°. 69. 60°.
Vio
|Я| = ^(а + б + с + Д2 = 10V4 + 2V2 « 25,3 (Н).
1) п=-1; 2) п = 4. 72. В(-1; 1; 1); ф = 120°.
ОМ(2;2;4); ОЛ^(2;4;2); cos<^ = |. 74. В(0;0;1). 77.45°.
78,4 Дж; cosy? = ^^. 79. у//аЛ+7>2^^
(1; 0,5;-0,5). 81. 1) cosy?=-^; 2) (р = 90°.
(—3;3;3). 83. 60°. 84. (1; 0; 1) или
Решение. Из условия следует, что вектор г произвольной длины, направленный вдоль луча ОМ^ должен иметь положительные и равные координаты: r^ q^ q\ q > 0. Тогда
nn-D = 1й1 ■== 9(4-3 + 2) = V3
РгР |рП IpIH И 9V3 v
(2V5;V5;-5). 87. i^;-^;^). 88. 5.
±(1; 1; 1). 90. -6^. 91. (-24;-32; 30).
cosy? = -0,25.
§ 3. Прямая и плоскость
A/a2 + —. 94. 9 см. 95. 4 см. 96. 1см. 97. -/2 см.
У7Г
45°. 99.6,5 см. 100. 2,5 см; \КВ\ = ДД25 « 3,2 (см).
VP-a2- 102- 37 см- 103- 8 см и 17 см. 104. 3,5 дм2.
2 см. 107. 30°. 108. aV2.
aV6. 110. 3a. 111. 35° или 115°.
из. Доказател ьство. Пусть |ЛВ| = = а, тогда из рис. 143 следует АВ By = 45°, AC By = 45° (так как ВуС ± АВу\ Следовательно,/-
|ДВ1| = |ВВ1| = ^
(из треугольника АВВуУ
\В1С\ = \АВ1\ = ^
(из треугольника АВуСУ |^4С| = а и |ВС| = а (из прямоугольных треугольников АВуС и ВВуС соответственно). Треугольник АВС — равносторонний, откуда ВАС = 60°.
36 см или 44 см. 115. 14 дм. 116. 2a. 117. Va?V№.
28 см. 121.122. Зсм. 123. 3,5 см.
О
19 см и 17 см. 125. 5 см и 3 см. 126. 6 дм.
25 см или 39 см. 128. 1) Vc2-62 + a2; 2) 8 см.
6 дм. 130. 120 см. 131. 45 см. 132. 2 м.
212 ।212 ।22
о о а — и с о + с — а _. r
; .134. 5 см; 9 см; 12 см.
2с2с
Va^+b^T^. 136. /г^’+РТё^бс = 25.
^аД2 + —138. а^. 140. 30°. 141. 110°. К у з к
2а. 143. 7 см. 144. а) 2а; б) 4. 145. 5 дм.
13 см. 147. 3,36 см. 148. 4. 149. 2а. 150. 7,3 см.
1:1.
Или одну, или бесконечное множество плоскостей.
109 см. 155. Va^VtP^c2; у/ а2 + с2', V^2 + с2.156. 0,5а.
Рис. 144Рис. 14455° < х <95°. 158. Уб см.
Рис. 144
Рис. 144
1) ^-L 161. 60°. 162. 90°. 72
45°. 164. д/2. 165. Здм.
Решение. Непосредственно из рис. 144 следует х2 = \ОМ\2 = |ОЛ^|2 + + |M7V|2 = \PN\2P\OP\2P\MN\2 = 22 + + б2 + 32 = 49; х = 7.
2У15см;8см.168. « 1400 Н. 169. Лежит в плоскости а.
O.SV^Tm2. 172. 9,80 см и 2 /15 и 7,75 см. 174. 60°.
to 4,3км или to 2 км. 176. а/3:1. 178. j (Р +/г2 + М
90°.180. 2у/2дм.
§ 4. Многогранники
76° и 104°.
Равнобедренный треугольник; равнобедренная трапеция; пря
моугольник.
2аЛ =24 см. 188. 45°. 190.192.
VlP + P216
За2. 194. 2\/2F. 195. h3V^.
а) Остроугольный; б) тупоугольный; в) прямоугольный.
1,5а2.198. « 4,38а2.199. Объем увеличится в три раза.
^-. 201. ^а2. 202. 6,928 м2. 203. 12. 488
6 см и 3 см или 4 см и 7 см. 205. 12 см2. 206. 16.
-а3. 208. 0,5а3 V2. 209. 4«3V2. 210. 0,75а3. 824
^^. 212. /ТТ куб. ед. 213. 27:98. 214. 1:9:1:27. 3^3
1900 м3. 216. 7т2+4ти + ^, 217. ^.
Чп + 4mn + m216
ад/2 = л/2 см. 219. у. 220. a2V2;2:l. 221. д/З:1.
а(2-\/2). 223. 2QV2. 224. ^. 225. |sVS.
120°. 227. -r3V3; 24г2. 228. 12 см. 229. М ^.
310V5
2VM2 + 2Qh2. 231. а2(4 + \/3). 232. 2VM2 + N2.
|а3. 234. Зм2. 235. 3d3 ^2.
9»7 60
2371'
Решение. Пусть
\AB\ = \BC\ = \CD\ = \DA\ = a-
\AF\ = \DF\ = \CF\ = \BF\ = b
(рис. 145). Непосредственно из рисунка
следует
5полн = 2а2 + 4а^2^ =
= 2а(а + V462 -а2).
тПС ^^Г—■ 240- a6(V2 + l). 12(m2 + n2)V
-^-. 243. — А3.
a + h2
236. V-^ + V^hHP2.236. V-^ + V^hHP2.-^; ^; ^;...; (w ^^ (16; 64; 144; 256). п п пп
236. V-^ + V^hHP2.
236. V-^ + V^hHP2.
За2 и246.247. Q V^Q 248- 3 2
333
1VI!I1. 250. |а2. 251. у V1 + V5.
2я
y(V3 + V15). 253. |<Эа/3. 254. a-b.
^a3(\/2-l). 256. ^ (Q - q). 257. 1 : V2.
Доказательство. Пусть а и b — стороны верхнего и мгр Q1 а
нижнего основании, т — сторона среднего сечения. 1огда — = —^
Q2ь2Vo^аVQ2b ~
и — = —или = — и = —. Сложим эти равенства:
Мт2VMтVMт
VQi + л/Q2 _ a + b _ 2m _ 2л/Мт т '
Отсюда л/М = ^^ ^ VH. чт0 и Требовалось доказать.
— (а3-63). 260. Д^ . 261. 4т2д/3.
6w+^
Решение. Пусть а и b — соответственно стороны нижнего и верхнего оснований пирамиды (рис. 146). Тогда Q = a2; Qi = 62; Р = 4 • —^— \LM\; |ЛС|2 = 2а2 = 2Q; |£7A^|2 = 2Qi. Из треугольника KL М следует
£ 2 = Р2 _ (a-bf = Р2-^-^ = P^-(Q-Q^
4(& + 6)244(а + 6)24(у^+у^07)2
Искомая площадь сечения равна Е^Д^Д\|ЛС| + |Е7У| ..
/ ;: \\\=V^Q + VWi V^W^Qi^
/\\С2" 2(^+^) "
{о кумR
АВОтвет: — ^Р2 - (Q - Qi)2.
Рис. 146263. 3:4.
^ (Q + 49 + 4VQ?) =8; ^ (4Q + q+4VQq) = 18.
ДлДбО7^2^. 266. 5:9. 267. mnQ VQ, т + п
VQi-^-Qs- 269.270. 1,5а.
jacV12a2-3c2. 272. am2 куб. ед. 273. a2V3; Ду^.
yiZ; 60°. 275. 1 : (^2-1) : (^3-^2) «50:13:9.
1) ^У + ab + b2) ^/ЗР-Са-б)2. 277. 0,5(а3-63).
V9 VQ , 279. abh. 280. -^ Р3. 281. ^/i(/2-/i2).
QVQ-qV^44
2а/2й3.283. 2:1.284. 104 см2; 64 см3.
28 см3 (средняя часть); 12 см3. 286. 5,84 м2; 224 кг.
Д; ^(2 + V6). 288. ^а2- 289. ^ЬЦа + Ь). 290. За2.
§ 5. Цилиндр и конус
40^3^70 (см2). 292. 90°. 293. |а3. 294. Здм.
Юм. 296. 1 м и Зм. 297. «3,65 кг.
4 см и 14 см. 299. « 40 м2. 300. « 116 м2.
«77 м. 302. 1) тг; 2) Н = | R. 303. |р = 75см2.
1) 6 см; 2) Н = R. 305. 1) 75 см; 2) « 26,2 см.
ttM + 2Q. 307. 1) Н = 27?(2±^3); 2) Н = 2P(2 + V5).
тг : 3.
Расстояние секущей плоскости от плоскости основания равно | ^Н ± VН2 — R2 у, должно быть Н R.
тга2(х/2 + 1). 311. 2тга2 «628 (см2). 312. 45°.
-^«0,7Н. 314. 1) ^тгР2; 2) тгР2 ■^ „.
2' 4’’ (т + и)2
500 кв. ед. 316. Д2. 317. 2Я2.
1) ^у^; 2) 100 V2« 141,4 (см2). 319. ^1. 320. Зсм.
HR^ 322. HR^ 323. »25,3 м2.
H + RVs h + rVs
«38 листов. 325. «17,1м.
1) 240тг см2; 2) 286,72тг м2.327. 11 см; 11 см; 8 см.
2:1. 329. 1) 1 : 2 :3; 2) тгЯ2. 330. 2:3.
Радиус основания равен большей части образующей, разделенной в среднем и крайнем отношении.
1) Образующая равна диаметру основания (равносторонний конус);
радиус основания равен большей части образующей, разделенной в среднем и крайнем отношении.
1) 216°; 2) 360° • ^; в случае равностороннего конуса 180°;
а) « 255°; б) «312°.
1) 30°; 2) 1м. 335. 1) 25 см2; 2) 11см2; 3) ^Д^.
тг:\/7« 1,2.338.20 см.
— (nH^VnUP^nHLV, ^Н; ^ Н.
2nv'44
Доказательство. В осевом сечении фигуры введем обозначения: |SO| = h; |AS| = I. Тогда |ЛО| = h. Далее, 5бок кон = 'кНЦ 5ПОЛН.ЦИЛ. = WC? + 2тг. |ОС| - |СЕ| = 2Tr(|0Cf + |ОС| ■ \СЕ\) (см.
рис. 147). Но |ОС| = \КЕ\ = \KS\-, \СЕ\ = h - \KS\. Поэтому ^полн.цил. = 2tt[|KS|2 + |KS|(/z - |KS|)] = З/кН • |KS|. По условию, ivhl = ^тгк -\КS\. Отсюда 1 = 2\К8\, что и требовалось доказать.
а и 2а.342. 9 кв. ед. и 16 кв. ед.
1 : 2, считая от большего основания. 344. 4 см.
2тг(Я2 —г2). 346. 100 см2.
1) 15 м; 2) 28 дм и 12 дм. 348. « 1,04 м2.349. « 4,3 кг.
350. 5 см. 351. 2тгК 352..
S Н
1) ——. Решение. Пусть ABCD — осевое сечение данного усеченного конуса (рис. 148), где Н = |D£'| — его высота и L = м|ЛВ| + |СВ| „
= |Л/2| — образующая. Искомая площадь равна ж = J1 • Н. Имеем S =.£ = - £(|ЛВ| + |СГ>|); Ы£1±1££1 =
^222тг L
х = —- • Н:
tv L
2) -VS^Q^q?- TV
1 +V6to 3,45 (см). 355. to 4500 л. 356. to 630 см3.
4:1. 358.359. 1) А 2)
4тг4тг 4тг
v : г2 = 1 :2; 51 : S2 = 1 :1. 361. to 4,0 кг. 362. to 1,6 т.
96тг см2 to 300 см2. 364. -Д= V52 - Q2. 3 тх
1) V2:V3to0,8; 2) V3 : V2 to 1,145.
1) ^; 2) ^ММ x/^M^+Q^. 367. 25:36. 7Г3
to 2,9 дм3. 369.^ ; ^(а + 6)
3 уе^ + б2 у^а2 + 62
448тг см3 « 1,4 дм3; 216тг см2 « 6,8 дм2.
240тг см3 « 0,75 дм3; 84тг V5 см2 « 4,6 дм2.
63тг to 200 (куб. ед.). 374.54 см3. 375. ^тг2(/?3-г3).
10 см и 20 см. 377. 3020тг см3; 476 см2. 378. 14 см.
7:19:37. 380. ^uRrh.
§ 6. Шар и комбинации геометрических фигур
1) 16тг«50(м2); 2) 3:4. 382. 2 см. 383. «4.8 см.
^тгЯ2. 385. ^тгй2. 386. 1) тгй; 2) «785 км.
387. 12 см. 388. 12 см. 389. 24тг « 75 м. 392. 4тг м.
Зсм. 394. 8см. 395. 36дм2. 396. V^i+^I- 397- 5см-
«67 см. 399. 1) ^тг«4,2(м3); 2) в 27 раз; в 64 раза.
«14 см. 401. 1) «39 см; 2) 6 см. 402. «168.
1) 1000; 20 см; 2) 216.
Прибавка в весе у свинцового шара равна 0,000012 Н, у стеклянного — 0,028 Н. Следовательно, опустится стеклянный шар.
1) 331%; 2) «47,6%. 407. «2148 см3.
1866 г «1,9 кг. 409. 10 см и 7 см. 410. R \ Р^-Г
у 2тг
RV15«2,5R. 412. 45тг см3 и 243тг см3. 413. 0,028.
^. 415. 5:16. 416. 3528тг см3. 417. «640 см3.
24
^тгД3. 419. 112,5тг дм3. 420. | (2 - д/З) тгЛ3.
^тгД3; ^тгД3; |тгЛ3. 423. 34182тг см3 « 107 дм3.
3’3’3
Указание. В выражение объема тела V = - тг а3 не входит 6
радиус круга. Следовательно, величина объема тела вращения не зависит от радиуса круга.
1) 4 м2; 2) М* ^ Зтг/?2.
1) «314,16 см2; 2) 562,5тг м3; 3) ^ЗбТЙ2.
1) Увеличится в 16 раз и в 64 раза; в 25 раз и в 125 раз.
2) Vm3 : Vn3; 3) ^m2 : д/п2.
Большая поверхность равновелика сумме двух других.
25тг м2. 432. 3. 433. 5Ш : 5Ц = ^18 : 3 « 0,87.
400тг м2 или ПООтг м2. 436. (д/З—1) Л.
910тг см2 «29 дм2. 438. 2- —- R; ^ Я. 440.
т 24TT-3V3
1) 180тгсм2; 2) ЗЯ. 443. 2(4- ^2) Q « 5,2Q. 444. |.
512тг см2 « 16 дм2. 446. 8 дм. 447. 4 м. 448. 13 см.
1:2:3. 450. 1:5. 451. ^ а; — а. 452. 1:3:9. ЛЛ412
^а«0,7а; ^а«0,4а. 454. 8,1 см. 455. 54 см3.
456. 1,5Л. 457. 2 дм. 458. 5 дм. 459. 13 см.
460. Scer„= (2-V2)tt/?2; S_ = ^R2V^. 461. 24т + п
^. 463. 8 см или 2 см. 464. 9тг м2; Зтг м3.465. 9:4.
2тгг^. 468. (5^2 + 7) тгг2 «44г2. 469. 12 см.
5 м. 471. VRt. 473. | R; ^yirR«l£R. 474. 9 дм.
^R. 476. -^; IR. 477. 9:64.
т + Г 3т + 2 2
тга3\/2; 4тга2\/2. 479. 1:2:3. 481. ^тга3; 2тга2\/3.
-7га3д/3; 9тга2. 4
1) тга3; 2?ra2V3; 2) ^тш3х/3; 3,5тга2.
9тга3; 12?ra2V3.
3400тг см3 « 11 дм3; 1440тг см2 « 45 дм2. 487. 4irQ.
| (5 + Зх/2)тга3; 3(1 + V2) тга2.
^ (7 + 2^3) я/?3; | (3,5 + а/2+?3) mR2 = | (7 + V6 + д/2) х X 7ГЙ2.
^ TZ(V2m + l + V2m-3) и ^ fl(V2m + 1 - V2m - 3).
1) 3:5; 2) |. 493. 8:1.
494. Решение.494. Решение.Напомним, что конус называется равносторонним, если в его осевом сечении получается равносторонний треугольник.
494. Решение.
494. Решение.
Изобразим осевое сечение фигуры (рис. 149).
Пусть |ЛО| = \ВО\ = R. Тогда
|Л5| = 2/?;|SOi| = \ES\_|ЛО| HS|’№1 = |я.|Л5| = 2/?;|SOi| = \ES\_|ЛО| HS|’№1 = |я.\AE\ = ^R-,
|Л5| = 2/?;
|SOi| = \ES\_
|ЛО| HS|’
№1 = |я.
|Л5| = 2/?;
|SOi| = \ES\_
|ЛО| HS|’
№1 = |я.
\ES\ = 2R-^R = ^R-,
I^Oil _ ЗЯ _ 3
R - 2-2 Я “ 4’
Боковая поверхность данного равностороннего конуса ASB равнаSi = 7гЯ-2/? = 27гЯ2.
Боковая поверхность отсеченного конуса SEF равна
S2 = 7r|E'Oi|-|E'S| =7г|л|я = |тгЛ2.
Тогда боковая поверхность усеченного конуса ABFE равна
53 = Si - 52 = 27г/?2 - | я#2 = ^ тг/?2.
Следовательно, боковая поверхность данного конуса окружностью касания разделится в отношении
52:5з = ^7гЯ2:^7гЯ2 = 9:7.
Пусть |O£J| = |ОС| = г, тогда h = |OiC| = |OiO| = ^, так как OEOi = 30°.
Поверхность полушара S = 2тгг2; сегментная поверхность полушара Si = Ъягк = 2тгг - = тгг2. Следовательно, поверхность полушара той же линией разделится пополам.
Г.
3
1) ^- (5-2V2) to 160 м3;
2) J (За2б + Заб2 + 2а3 + 2б3 - 2(а2 + б2) д/^+б2).
тгаб V«2 + б2; 2тг(а + б) V«2 + б2. 499. ^бтг см3.
1) 7 м; 2) 5 : 4; 3) в призме 5 : 4; в усеченной пирамиде 5 : 8.
Задачи по стереометриис применением метода координат и векторов
1
1
казан ие. Восполь-
/8511/8511векторов скалярноевекторов скалярное507. 0,5 куб. ед.507. 0,5 куб. ед.
/85
11
/85
11
векторов скалярное
векторов скалярное
507. 0,5 куб. ед.
507. 0,5 куб. ед.
зоваться тем, что для взаимно перпендикулярных произведение равно нулю.
2-х/103V13
7Г7Г п7Г7Г7Г п7Гcosy?i = ^—; cos р2 = —; cos <рз =
7Г7Г п7Г
7Г7Г п7Г
1) р2+р2+р2=р2;
2) Рх+Р2+Рз = 2р2 (рис. 150).
.7 о 6,6
cos а = —; cosp = —; cos 7 = ± —
Z(0; 0; ±6); Bx(9; 5; 11); B2(9; 5; -1).
7Q
3,5 кв. ед. 506. ж = 1; у = -|
508. (2;-3;0).
509. Решение. Нам нужно найти координаты вершин параллелепипеда С(ж3; у3, z3), Bi^-y^z^), C^x'^y^z1^, D^x^, yV, z'^
(рис. 151). Обозначим точку пересечения диагоналей основания параллелепипеда через N(xn*, yN; zN\ а точку
^1
■41/"
Ci
В
Рис. 151
пересечения диагоналей параллелепипеда — через М(х0- у0- z0).
1. Так как N есть середина BD,xo
5 + 8 р,4 + 4 л
xN ==6,5; yN ==4;
%n ==0,5.
А
= ^N
2.
= 0,5, откуда
ж3
Далее, так 3 + ж3m
-^— = XN
= Ю; у3 = 1;
как N есть середина
= 6,5
. 74j/3
2
= yN = 4;
АС, то
1 + ^з _
2“
^з = 0. Мы нашли С(10;1;0).
Так как М есть середина САу,
9 Г0 + 2
= 3,5; z0 =
то Жо =
10 + 1. .1+6
^=5,5; Уо = —
= 1. Итак, центр симметрии — точка М пересечения
всех диагоналей параллелепипеда найдена: Л4(5,5; 3,5; 1).
3. Так как М есть середина ACi, то
9 г 1 + ^3 = Уо = 3,5;
3/ = Жо = 5j5; 7 + ^ =
= ^o = l; откуда ж'3 = 8; y'3 = 0; ^3 = 1. Мы наш-
ли Ci(8; 0; 1). Координаты вершин Ву и Dy вычисляются еще проще.
510.
512.
514.
515.
1 1
1 1
516.516.34
516.
516.
cos a = -; cos(3 = -; cos7 = 0. Указание. Вычислить 55з
направляющие косинусы вектора АВ: cos а* = — -; cos Д' = -; cos 7х =
= 0; направляющие косинусы оси Оz (или вектора z(0*, 0; 1)): cos а" = = cosP" = 0; cos7" = 1. Если обозначить через а, 3, ^ углы, образованные искомым вектором с осями координат, то вследствие условий перпендикулярности их косинусы удовлетворяют двум условиям: — - cosa + - cos Д = 0 и 1-cos7 = 0.
55
517. С(4;—5;—2).
llT’llT’и другие точки деления:и другие точки деления:/14
ll
T’
ll
T’
и другие точки деления:
и другие точки деления:
518. А^- -8; 12
М \/ 1
^; —2; 2 ; Е -|; р
519. 1) Компланарны; 2) не компланарны; 3) компланарны;
не компланарны.
1) (2А;-А;-2А); 2) (А; 5А;-А); 3) (ЗА;-2А;0), где А - любое число.
ж + 4?/ —2^ = 2.
Решение. Уравнение плоскости, содержащей ось Oz, имеет вид Ах + By = 0. Эта же плоскость должна содержать и данную точку Л71(2;4;3), поэтому имеем 2 А + 4В = 0, А = —2В. Тогда —2Вж + В?/ = 0, или 2х — у = 0.
cosq = ^; cos/3 = -^ cos7 = 1; а « 48°11'; 0 к 13T49'; 7«70°32'.333
2д/2. 527. y = ±z.528. (12;0;0), (0;-8;0), (0;0; —6).
8 куб. ед. 530. (0; 7; 0) или (0; — 5;0).
Вх — 4у — 4z + 5 = 0 или 4х + 24т/ + 4z + 7 = 0. Указание. Пусть точка М^ у^ z) принадлежит искомой плоскости, .., 2х - 14?/ + 6z - 1
тогда ее расстояние до первой плоскости равно di = —,=
2ж —14y + 6z —1V4 + 196 + 36
=V236 И Расстояние эт°й же точки Д° второй плоскости равно d^ = ^^У5z + 3. цо условию |c/i| = \dsV или 2х — 14?/ +
V 59
+ ^z — 1 = ±2(3ж + by — bz + 3). Существуют две такие плоскости.
(6;4;5). 533. 2?/-3z + 7 = 0. 534. x^y^z = 4.
45°. 536. ж —2?/ —3^ = 4. 537. 2ж + 3?/ + 4^ = 3.
538. 2x-2y-^z = 2. 539. 2x-y^z = b.
Зж — у = 0 или ж + Зу = 0. 541. ^ + | + | = 1.
^ + | + ^ = 1. 543- ® — 2у+ 2г = 11 и ж — 2у+ 2г = —1.
ж —8у + 9г = 21.
§ 8. Задачи по стереометриис применением тригонометрических функций
«35°16'. 546. -^ V4 + tg2a. 547. arctg^^.
4V3sin£
»82°49' и »41°25'.
sin ж = sin 20° cos 25°; ж « 18°3'28" « 18°. 550. «39°48'.
30°. 552. 1) ^aV«2 + 262; 2) arctg^.
Секущая плоскость параллельна большей диагонали основания и составляет с плоскостью основания угол ср, такой, что cosy? = а
= ‘«2-
^«2V3sec а (1 + V1 + 3sin2 а).
9• f тг\ . / тг \9 sin2 a- cos В
-rsecaJsm а + - sinкк-- .556. аг5.
4 У \6/ V 6/sin2(a + /3)
4/г2 • ctg а • ctg ^. 558. /2-sin2а-cos2 ^-sec99.
2/ 7Г2
a ctg — — — ; а V2 cos — cosec — — — . 6 \42 7’2\42/
и(а + 6) ka-bf . 2180° , ,2 , а2 + Ь2 , 180° 560. — \ -——— ctg 2h h2 + п— ctg.
2 у 4п4п
7 2 m + 1 • х 180°
пк sina-tg. т — 1п
V^2sin2 а + d2 cos2 а. Указание. Пусть (рис. 152): О — центр основания цилиндра, А — точка касания, В — точка пересечения касательной прямой с плоскостью основания, С — нижний конец образующей, проходящей через A, OD — перпендикуляр из точки О
на касательную АВ. Тогда АВС = а, |ОЛ| = d и |ОС| = R. Соединив также С и D. получим в треугольнике О DC при вершине С прямой угол: OCD = 90°.
563.564.563.564.6sin2a
563.
564.
563.
564.
2 V5 sin (^ + a)
Zsina-v^ , ..9
—— = I sin a -sin ср, где ср определяется из равенст-
V2 + tg a
a j 2
ва -^=- = ctg ip.
565. Решение. Пусть |AS| = l (рис. 153). Тогда h, = |OS| = I x xsina; r = 1ЛО1 = I • cos a: Q = i • 2 • r • h = i /2sin2a; C =;
’22’ sin 2a’
5Полн = 7ГГ2 + irrl = тг/2 cos2 a + тг/2 cos a = тг/2 (1 + cos a) cos a =
= 7Г
2Qsin 2a
O 2 a
• 2 cos — • cos a =
^'rQcos — cos a
CX(CX *^^'
2 cos a 2 sin — cos —
v 22
= 7TCtg - Q.
566.566.
566.
566.
тг(Л2-г2)567 (fl2-r2)sina 568 Q-q
cos a '* 2cos/3 '* cos a '
569.
V = abcV- cos 2a; sin x = V~ cos 2a (ж = 45°).570. 516 м.
571.
63sin2 • д/cosa. 572. sin • д/cosa. 573..
32624sin -
574.
c3 dte ф r, a 2. 22 a
чА- и 5,4 т. 575. ——- sin a-ctg - = -тгЯ -sin a-cos2 -.
24tt23 232
3/-l/+ritga + r2tg^
576.
r = \ ^ 3,43 m; hi = (r — ri) tg a to
Vtga + tg^’’1 V1/5
to 19,02 м; hz = (г — г^^ tg /3 to 3,93 м.
577.
579.
to 3562 км. 578. to 36720 км; to 15930 км.
^ tg £ Ctg —. 580. to 70°32'. 581. sin ^ = ^; a to 70°32'.
2 6 2 6 и23’
582.
584.
586.
587.
588.
592. Решение. Пусть\AB\ = \BC\ = \CD\ = \AD\ = a, CAS = a (рис. 154, а); тогда |ЛС| = a V^ |OS| = |ЛО| tg a = —^ tg а. Пусть II/П Cl
ребро куба равно ж, тогда |Л4Л^| = ж ^ И \MN\ |OiS| *РИС" 154, ^^’
44 В. А. Бачурин
а
a л/2 tg
1
2tg а
жa V2 tg а — 2ж ’
а ^ tg а — 2ж = 2ж tg а;
«У2 tg a _ a v^sina _ a Vasina 2(tga + l)2(sin a + cos a)2 (sin a + sin (^ + a
593.
594.
2 • 2sin (^ + a) • V$l3 cos3 a sin2 a • sin/3
a • sin a
2sin(^ + a
595.
12 cos- 2
49 . 2 О /77
-a5 sin — -y —cos 2a.
32 v
4sin2(a + /3)
596.
3sina
2 •
180'
597.
7ГГ SIM
599.
sin —
2
а , 180° х ф
2 ctg — tg-.
598. |тг
Аз sin(2a — /3) sin/3sin a-sin (a — p)
600. Решение. На рис. 155, а изображена n-я часть пирамиды;
|АВ| = а — сторона основания
б
Рис. 155
1
пирамиды, |SOi| — высота пирамиды, ASB = a; |CS| — апофема, |ОВ| = = |OOi| = ж искомый радиус шара. На рис. 155, б изображен разрез этой фигуры. Имеем |CS| = — ctg —;
। а . 180°22
100x1 =-ctg—;
|5Oi| = V|C'5|2-|COi|2 =
a22 a °2 + 2180°
Tc,s 2"TC,S — =
а
d /2 a ^2180
2yctg 2-ctg —•
Из подобия треугольников CSOi и DbO следует 11 =,
|SO| = |SOi| — ж;1111
180° a • ctg
2^
а • ctg -
, 180°Ctg
а
2ctgj^^
t x 2180° n
- — ctg2— 2ж
Отсюда легко находим искомый радиус шара:
a , 180° ж = - ctga , 180° ж = - ctg601.603.606.607.610.612.614.615.618.620.623.624.627.629.631.634.636.638.601.603.606.607.610.612.614.615.618.620.623.624.627.629.631.634.636.638.V^-IL ^ = arctg(V2tg/3).V^-IL ^ = arctg(V2tg/3).\DE\ = /sin^; \AE\ = \CE\ = l\DE\ = /sin^; \AE\ = \CE\ = l2 /66 ’2 /66 ’r sin — J cosr sin — J cosV = 2a3 sinV = 2a3 sin+ /3 a — /3—— cos—.22/ . 3a . a/ sin — sin —./22+ /3 a — /3—— cos—.22/ . 3a . a/ sin — sin —./22619. tg 7 = ^ctg2a + ctg2/L619. tg 7 = ^ctg2a + ctg2/L32.1a cos a sin a1621. . 622. 4arctg-.4tt232.1a cos a sin a1621. . 622. 4arctg-.4tt2s.s.2 .2 /тгтгт since cos — — м2 .2 /тгтгт since cos — — м2 cos —22 cos —2625.625.71^V. 626. 2arctg-.71^V. 626. 2arctg-.628. 2arctg?r.628. 2arctg?r._ 7r/a3sin2 a sin2 /3_ 7r/a3sin2 a sin2 /3630. 2arcsin(tg a).630. 2arcsin(tg a).— зЕГТ.2 Vein2""V 2— зЕГТ.2 Vein2""V 2
a , 180° ж = - ctg
a , 180° ж = - ctg
601.
603.
606.
607.
610.
612.
614.
615.
618.
620.
623.
624.
627.
629.
631.
634.
636.
638.
601.
603.
606.
607.
610.
612.
614.
615.
618.
620.
623.
624.
627.
629.
631.
634.
636.
638.
V^-IL ^ = arctg(V2tg/3).
V^-IL ^ = arctg(V2tg/3).
\DE\ = /sin^; \AE\ = \CE\ = l
\DE\ = /sin^; \AE\ = \CE\ = l
2 /6
6 ’
2 /6
6 ’
r sin — J cos
r sin — J cos
V = 2a3 sin
V = 2a3 sin
+ /3 a — /3
—— cos—.
22
/ . 3a . a
/ sin — sin —.
/22
+ /3 a — /3
—— cos—.
22
/ . 3a . a
/ sin — sin —.
/22
619. tg 7 = ^ctg2a + ctg2/L
619. tg 7 = ^ctg2a + ctg2/L
32.1
a cos a sin a1
621. . 622. 4arctg-.
4tt2
32.1
a cos a sin a1
621. . 622. 4arctg-.
4tt2
s.
s.
2 .2 /тг
тгт since cos — — м
2 .2 /тг
тгт since cos — — м
2 cos —
2
2 cos —
2
625.
625.
71
^V. 626. 2arctg-.
71
^V. 626. 2arctg-.
628. 2arctg?r.
628. 2arctg?r.
_ 7r/a3sin2 a sin2 /3
_ 7r/a3sin2 a sin2 /3
630. 2arcsin(tg a).
630. 2arcsin(tg a).
— зЕГТ.
2 Vein2""V 2
— зЕГТ.
2 Vein2""V 2
м3
^2—(l + 2ctg2a)3.
2arctg-.604. i Я3ctg a ctg (3. 605. 2arctg —.
a3, 7гп
arccos —Д 608. —-.609.
44 cos a
” 1
611. arcctg ——
arccos |.
aa3
8б<ж = 4a2 cos2 — sin a tg /3; Ц = — sin 2a sin a tg p.
arctg ^w .616. 2Я2 ctg P \/2 + ctg2a.617. ^
m + «(1 + V2ctga)2
^-VsVScosa.
.2 • a. . (a , тг
Viva sin—sin —+ — 2 v 2 n
sin —
v _ sin2 a cos a 24cos6—
2
(!-c°s^)
4 it a3 ctg /3
24sin —
2
,3
тг/z
3(ctg^-ctga) 3sin2(a-^)
p _ Q
arcsin-—$A 632. 45°. 633.
arctg|. 635. 2d2 V^ sin (a + ^ sir2ctg a-ctg/3637 тг , a^tg2a
7r(ctg2a + ctg2/3)6 cos2a
cosa = ?A a « 32°46'. 639. ? . A• V 2V sin2a cosa
640. 17rc/3ctg3^ ctg a. 641. 2arcsin
643. 2arctg^. 644. arctg—,.
5V^^2
2
645.
646.
J3sin/3 sin 2/3 sin 2а
8
з
647. — tgatg—.
649.
4 V3 m2 cos a cos2 ^
650.
652.
V2 cos а
655.
2 sin —
2
(а3 — 63) tg а.
s
653. arccos—.
657.
660.
663.
666.
668.
642. 2 3
a2sin2(a — /3)sin2(a + /3)
3/4Vctg -
648. \^
V 7Г
arccosi. 651.
654.
sin
V 3
656. arccos —-.
| • (2Q)3/2sin1/22a.
3 ’
658. arcsin ^.
1 2S cos a
cos — 2
3
arcsin —-
661. c3 sin2 2а tg 0.
24
| S • /cos (a - 0).664. 2?ra3sina sin ^.
cos 2а : 1, считая от основания. 667.
659. 63V^_ sin а
. V12cV
662. arcsin2—
с
.665. Vsin2^.
4
d3 V2 cos а
d3ctg ip sin a sin /312sin2(a + /3)
669.
2.2 Q a sin a cos p
2 sin —
2
. 2 sin
(^ + /3)
670.
,2 ?rd
о . 2 /тг
2sin (- — м
671. a(l-ctga) =:
sma
672.
674.
aS sin а
о 2 тг + <8 cos
4
2
675. 7Г — arccos —2 • th
7
25
676.
673. 2a2sin2^ctg^.тга3
677.
2R-X 4R2--
V7Г
678.
2?rS6sina
3
679.
3sin2 ф cosy? cos2 ^
A 133, 3 a
4тг/ cos atg — b 2
3
680.
683.
/?3sin2a
V2 2tt 9л/3*
681.
4тгг2
. 2sin a
682 . 27r/?2sin—21 cos—-
24
Приложение III. Экзаменационные задачи
13. ж = 5. 14. x = 0,05. 15. ж = 100. 16. ж = 2,3.
26. Решение. Здесь х ^ 0; а ^ 0. Имеем
-2 а
"^2
2
а
а
2
21
а
Решение. Здесь а / 0, b^O, а^^сЬ. а^4Ь. Имеем
(a^4b^4— (z1/4^3/4) а а1^^-^^ b 4а2+8а6 + 462 + а2 — ab —1262— а2 — 21а6 _
а^Ч1/42(а-4Ь>^Ь)"
а2 _ 52a 2(а — 4b) (а + Ь)_ а । b ^а — 46)(2а + Ь)_ аb2a + b _a2 + 2ab + b2_ а + Ьa-Vb a 2(а — 4b) (a + b) a-Vbaa-Vb a^a-Vb) аа2 _ 52a 2(а — 4b) (а + Ь)_ а । b ^а — 46)(2а + Ь)_ аb2a + b _a2 + 2ab + b2_ а + Ьa-Vb a 2(а — 4b) (a + b) a-Vbaa-Vb a^a-Vb) а
а2 _ 52a 2(а — 4b) (а + Ь)
_ а । b ^а — 46)(2а + Ь)_ аb2a + b _a2 + 2ab + b2_ а + Ь
a-Vb a 2(а — 4b) (a + b) a-Vbaa-Vb a^a-Vb) а
а2 _ 52a 2(а — 4b) (а + Ь)
_ а । b ^а — 46)(2а + Ь)_ аb2a + b _a2 + 2ab + b2_ а + Ь
a-Vb a 2(а — 4b) (a + b) a-Vbaa-Vb a^a-Vb) а
Решение. Пусть |ЛО| = |СО| = R и |DOi| = г; AC D = ^ (рис. 156). Выразим через радиусы R и г сторону AD треугольников ADO и ADOv-
|AD| = |ЛО| • sin AOD = R • sin a;|AD| = rx
Следовательно, R • sin a = r •t . t (iv a\-=sin«-tg (---).38. б|см. 39. /?(2 + ^Следовательно, R • sin a = r •t . t (iv a\-=sin«-tg (---).38. б|см. 39. /?(2 + ^^. Отсюда получаем ответ*.^. Отсюда получаем ответ*.9г2Т9г2Т
Следовательно, R • sin a = r •t . t (iv a\-=sin«-tg (---).
38. б|см. 39. /?(2 + ^
Следовательно, R • sin a = r •t . t (iv a\-=sin«-tg (---).
38. б|см. 39. /?(2 + ^
^. Отсюда получаем ответ*.
^. Отсюда получаем ответ*.
9г2
Т
9г2
Т
S^2^-3^.4(2тг + 3л/3)2101 см. 46. | cm.9 cm; 9 V3 cm; 18 cm.S^2^-3^.4(2тг + 3л/3)2101 см. 46. | cm.9 cm; 9 V3 cm; 18 cm.42.42.R sin —2R sin —2+ sin —2_ 8 25 K4r- S T’5-7,25 cm.+ sin —2_ 8 25 K4r- S T’5-7,25 cm.43.43.2244.44.2ab2ab48. IrV^. 49. 6548. IrV^. 49. 65см.см.54.54.m4 — m2a21m4 — m2a21
S^2^-3^.
4(2тг + 3л/3)2
101 см. 46. | cm.
9 cm; 9 V3 cm; 18 cm.
S^2^-3^.
4(2тг + 3л/3)2
101 см. 46. | cm.
9 cm; 9 V3 cm; 18 cm.
42.
42.
R sin —
2
R sin —
2
+ sin —
2
_ 8 25 K
4r- S T’5-
7,25 cm.
+ sin —
2
_ 8 25 K
4r- S T’5-
7,25 cm.
43.
43.
2
2
44.
44.
2ab
2ab
48. IrV^. 49. 6
5
48. IrV^. 49. 6
5
см.
см.
54.
54.
m4 — m2a2
1
m4 — m2a2
1
Доказательство. Соединим данную точку М с вершинами А, В, С треугольника (рис. 157). Площадь треугольника АВС
равна сумме площадей треугольников ABM, ACM, BCM: 2S = = \BC\- ж -V\AC\-y -V\AB\- z\ но |BC| = ^; |ЛС| = ^; |ЛВ| = ^. м о е2S 2S2Sх уz 1
Поэтому 25=— х + —- у Нz, откуда—Н ^ +- = 1.
а оса ос
Решение. Обозначим через х кг количество железа в 500 кг руды. При удалении 200 кг примесей было удалено чистого железа 12 5
200 •= 25 кг. В 300 кг руды, таким образом, стало чистого желе
за (х — 25) кг. Составляем уравнение:
х — 25 х 20х — 25 х
~ЗОО™ ” 500 = 100 ИЛИ —5=20-
Умножаем все члены уравнения на 15: Ьх — 125 — Зх = 300; 2х = 425; х = 212,5 кг. Следовательно, после обогащения стало чистого железа х -25 = 212,5 -25 = 187,5 кг.
aq — 1006 1006 — ар о
—; -. Задача имеет решение, если:
q-p q-p
1) aq > 1006 > ар при q > р; 2) ар > 1006 > aq при q < р.
61. 103.61. 103.c(b — d^ c(d — a)—6с+v62c2+4d6c
61. 103.
61. 103.
—- т; — т. 60. ^——
b — a b — а2Ь
40 часов. 63. ———; ——— (а > с).
Оба насоса работали ———^—— ч; один насос работал К^а-^-г^-^ рr(m-n)
— ч. Если все время работал один насос, то Ki =
— п)
т N2т N
=7если оба насоса, то R2 = 7г. Легко видеть, что
а — (т — п)2а — (т — п)
R2 < Лл; кроме того, чем меньше величины т, N и разность (т — п) и чем больше величина а, тем стоимость работ R будет меньше.
За 12 ч. 66. 8 чел. 67. ^ (а + 36 +V^2 — Юа6 + 962) км/ч.
15. 69. 6188. 70. 3. 71. 28 и 20 деталей. 72. 4 и 6.
150 г и 450 г.150 г и 450 г.V3 R sin а* 2sin(| + a)‘6 • sin — • coso114. ./тг , V 2 cos - + —М 2. ,22 а4irb -cos —117. —и9sino-sin2o119. 2arcsin.m + nV3 R sin а* 2sin(| + a)‘6 • sin — • coso114. ./тг , V 2 cos - + —М 2. ,22 а4irb -cos —117. —и9sino-sin2o119. 2arcsin.m + nЧерез ——r« 56 лет. p lg81-lg80112. ^lsma ,113, —,2 + tgaV2 + ctgo_ 8а/Зтгг27ra2-sin2o115. 5.116. 7—x7-77.3sin2 a2 cos (o + /3) • cos (o - /3)Через ——r« 56 лет. p lg81-lg80112. ^lsma ,113, —,2 + tgaV2 + ctgo_ 8а/Зтгг27ra2-sin2o115. 5.116. 7—x7-77.3sin2 a2 cos (o + /3) • cos (o - /3)144,3 м2. 118.144,3 м2. 118.120. ^65°33'.120. ^65°33'.V2tg2^(l-tg2^)'121. I /Z3sin32(/?-tg ф-sina.V2tg2^(l-tg2^)'121. I /Z3sin32(/?-tg ф-sina.
150 г и 450 г.
150 г и 450 г.
V3 R sin а
* 2sin(| + a)‘
6 • sin — • coso
114. .
/тг , V 2 cos - + —
М 2
. ,22 а
4irb -cos —
117. —и
9sino-sin2o
119. 2arcsin.
m + n
V3 R sin а
* 2sin(| + a)‘
6 • sin — • coso
114. .
/тг , V 2 cos - + —
М 2
. ,22 а
4irb -cos —
117. —и
9sino-sin2o
119. 2arcsin.
m + n
Через ——r« 56 лет. p lg81-lg80
112. ^lsma ,113, —,
2 + tgaV2 + ctgo
_ 8а/Зтгг27ra2-sin2o
115. 5.116. 7—x7-77.
3sin2 a2 cos (o + /3) • cos (o - /3)
Через ——r« 56 лет. p lg81-lg80
112. ^lsma ,113, —,
2 + tgaV2 + ctgo
_ 8а/Зтгг27ra2-sin2o
115. 5.116. 7—x7-77.
3sin2 a2 cos (o + /3) • cos (o - /3)
144,3 м2. 118.
144,3 м2. 118.
120. ^65°33'.
120. ^65°33'.
V
2tg2^(l-tg2^)'
121. I /Z3sin32(/?-tg ф-sina.
V
2tg2^(l-tg2^)'
121. I /Z3sin32(/?-tg ф-sina.
^/?3sin2 ^; 7r/?2sin ^ ^2tg ^ +1). 123. «62°22'.
2arctg^. 125. и 82°49'. 126. arctg (V2 tg а xm-Vn.
^Р^Р а^аЬ^Р ^5 |(p-«)(p-6)(p-c)tga (р — полупериметр основания).
а2 оa2sina2 • з15A2ctgo
—tg^.129. .130. (Tsin^Q. 131. .
4216sino
cl2 sin2 2a • coso. cos о
~.133. sinx =-.
sin2 Заcin 180
2
—^—Vs™ (a-30°) sin (a+ 30°).
4cosa v
4 (sin — + V2 coso)V 2 7. gsin — + cos — + V2 cos a 224 (sin — + V2 coso)V 2 7. gsin — + cos — + V2 cos a 222a/Z2sina-sin^-sin(Q + ^) sin(/?.
4 (sin — + V2 coso)
V 2 7. g
sin — + cos — + V2 cos a 22
4 (sin — + V2 coso)
V 2 7. g
sin — + cos — + V2 cos a 22
ft%in2a 137
8sin (30° + a) ■ sin (30° — a)
Плоскостью, пересекающей боковые ребра при вершинах тупых углов основания, параллельно его большей диагонали, так чтобы двугранный угол с плоскостью основания был равен arccos I tg — 1.
,х 6V2„ sin о т
arctg.140. -—- = —.
asmp n
Как и всякая целая рациональная функция, эта функция определена на всей действительной оси: — оо < х < оо, иначе (—оо; оо).
[2/гтг; (2^ + 1)тг]. 143. (—2;0]. 144. (-1;1).
[—4; —3] U [3; 4].146. R, ж^0;1;2.
(-оо;-1) U (-1;оо). 148. (-оо;-1) U (-1; оо).
(—оо;оо). 150. (—оо; 0) U (0; оо). 151. ж = ^+2тг/г.
(—оо; оо). 153. (—оо; 0) U (0; оо). 154. (2/гтг; (2А; +1) тг).
155. (0; 1]. 156.155. (0; 1]. 156.158. ж^±158. ж^±(-оо;|]. 157. [—1; 0) U (0; оо).
155. (0; 1]. 156.
155. (0; 1]. 156.
158. ж^±
158. ж^±
(-оо;-1] U [1; оо). 160. x = k, keZ.
Решение. Должно иметь место неравенство lg sin х ^ 0. Но |sinx| ^ 1; поэтому множество значений аргумента ж, при которых данная функция определена, есть х = — (4к + 1).
х^2ктг. 163. (0; оо), кроме х Е Z. 164. (—оо; — 1] U [3; оо).
[-1;U [б;-1. 166. f ^ + 2А:тг; я + 2А:тг\
L 3J L 2J\447
(1;2]. 168. (6;оо), ж ^ 7. 169. |ж|^жеХ0|.
(-4; 4) U (4; 5]. 171. (-оо;-2) U [Д; оо).
(—оо; 0) U (0; 2] U [3; оо). 173. [(2^тг)2; (2А: + 1)2тг2], UZ0.
(1; 2) U (2; 4].175. (-оо; -1 - V5) U (-1 - V5; -3) U [2; оо).
(2;3)U(3;9]. 177. [1; 2) U (2; 2,5). 178. [-8;-3) U (-3; 0).
Решение. Так как |у| ^ 0, то 1 — ж2 ^ 0, или (ж — 1)(ж +1) ^ ^ 0, откуда — 1 ^ ж ^ 1.
Ответ*. [—1; 1].
1) [—1; 1]; 2) (0; 1].
1) Решение. Разрешим данное выражение относительно ж: ж = ^^; откуда у / 1; ответ*. (—оо; 1) U (1; оо);
[0;
2-^НЯ5 2) (-°°;|]-
1) Приведем одно из решений. Преобразуем данную функцию следующим образом:
/ \/2. л/2^ •।IАА y=V 2 I— СО8Ж+— S1H Ж 1 = V 2 I COS Ж COS-+SIH Ж SIH - 1 = v 2 СО81ж — - 1.
Так как —1 cos (ж — ^1, то — \р2 у V2; ответ*. [—V2; V5];
2) [1;2].
1) (-оо;оо); 2) [|;1]. 186. См. рис. 158.
См. рис. 159. 192. См. рис. 160. 193. См. рис. 161.
Рис. 165Рис. 165
Рис. 165
Рис. 165
См. рис. 162. 197. См. рис. 163. 203. См. рис. 164.
См. рис. 165.
Решение. В учебнике показано, как строить графики функций у = 2Ж (1) и у = ( - 1 =2 ж (2). Воспроизведем их (пунктирные линии на рис. 166). Если теперь при одних и тех же значениях абсцисс из ординат графика (1) вычесть ординаты графика (2), то получим
график функции у = 2х — 2~х. Если же сложить ординаты графиков (1) и (2) при одних и тех же значениях абсцисс, то получим график функции у = 2Ж + 2-ж (рис. 166).
Рис. 167Рис. 167
Рис. 167
Рис. 167
См. рис. 167. 217. См. рис. 168.
Решение. Сначала построим графики функций у = х (1) и у = sin ж (2) (пунктирные линии на рис. 169). Затем при одних и тех же значениях абсцисс сложим ординаты графиков (1) и (2). Получим график функции у = х + sin х.
Рис. 170Рис. 170
Рис. 170
Рис. 170
Решение. После умножения ординат графиков функций у = х (1) и у = sin ж (2) при одних и тех же значениях абсцисс получим график функции ?/ = ж8тж (рис. 170).
График состоит из отдельных точек оси Ох с абсциссами ж = ^ + 2^тг, где к = 0; ±1; ±2;...
Решение. Строим вспомогательные графики (рис. 171): у = х (1) и у = 2Ж (2); затем ординаты графика (1) делим на ординаты графика (2) при одних и тех же значениях абсцисс и получаем график функции у = —.
Решение. Построим график функции у = lg cos х по графику функции у = cos ж (рис. 172). Сначала строим косинусоиду, а
Рис. 172
затем через точки ее пересечения с осью Ох проводим вспомогательные прямые, параллельные оси Оу. При х = 0 косинус равен единице: cos 0 = 1, а логарифм единицы есть нуль: lg cosO = 0. Если аргумент х возрастает от 0 до —, то косинус убывает до нуля. Тогда логарифм косинуса будет отрицательным, а по абсолютному значению будет возрастать. Иначе говоря, если 0 х < ^, то 0 Igcosx > —оо. График функции у = lg cos ж изображен на рис. 172 сплошной линией.
Рис. 173
График состоит из частей графиков трех разных функций (рис. 173).
жх = 5. При решении получается второй корень Ж2 = 165, являющийся посторонним.
жх = 2. При решении получается второй корень х^ = — 1, являющийся посторонним.
Решение (один из приемов). Здесь х ^ 0. Преобразуем правую часть следующим образом:
_ (Убж +1 — V^x + 1) (Убж +1 + V^x + 1) _4 ж
V^x + 1 + V^x + 1л/вх + 1 + V^x + 1
Отсюда Уж (Убж +1 + У2ж +1) = 4ж;
Уж = 0, xi = 0;
У6ж 4~ТУ2ж + 1" = 4 Уж, что в совокупности с исходным уравнением Убж +1 — У2ж +1 = Уж дает 2У2ж +1 = ЗУж, откуда 8ж + + 4 = 9ж, ж2 = 4.
Необходима проверка. Оба полученных корня исходному уравнению удовлетворяют.
Ответ*. жх = 0, ж2 = 4.
Указание. Преобразовать уравнение так:
6ж2 —13ж + 12— — + 4 = 0; б(ж2 +44 -13^ + 1) +12 = 0.
JL др\X '\ JU /
Положить ж + — = у, тогда ж2 + Ду = У2 — 2 и т. д.
ЖЖ 32
Ответ*, жх = г; Ж2 = —г; жз = -; Ж4 = -.
Указание. Положить ж2 + 4ж + 5 = у.
Ответ*. жхд = —2±Уб; жзд = — 2±У2г.
ж = 2.
Решение. Здесь ж > 0; ж У 1. Имеем (Уж)21°8^^2ж^ = 4; (Уж)1оё^^2ж^ = 4; (2ж)2 = 4; жх = —1; Ж2 = 1. Однако жх и Ж2 не вхо-
дят в область определения данного уравнения. Следовательно, оно не имеет решений.
жх = —2; ж2 = 2. Указание. Преобразовать первое слагае
V2-Уз-У2 + УзУ _ / 1,V2 + V3)W2 + V3V2-Уз-У2 + УзУ _ / 1,V2 + V3)W2 + V3мое так:
V2-Уз-У2 + УзУ _ / 1
,V2 + V3)W2 + V3
V2-Уз-У2 + УзУ _ / 1
,V2 + V3)W2 + V3
(У^у^у =
х = ^(2^ + 1). 288. х^ = а-1/2; ж2 = а-4/3, где а > 0, а / 1.
Ж1 = 0,001; ж2 = 0,1. 290. жх = ^ - 1; ж2 = ^ + ^-1.
жх = 2тг/г; ж2 = ^(4А: + 1). 292. ж = ^Д^тг.
ж = ±^ + ^.
Решение. Переходим в левой части к косинусу:
/ ТГ\/. хcos I — — ТГ COS X 1 = cos (тг Sin X) .Согласно условию равенства косинусов, имеем х sin ж + 2тгп, откуда।sin х + cos х = - — 2n;sin х — cos x = 2n — -./ ТГ\/. хcos I — — ТГ COS X 1 = cos (тг Sin X) .Согласно условию равенства косинусов, имеем х sin ж + 2тгп, откуда।sin х + cos х = - — 2n;sin х — cos x = 2n — -.— — ТГ COS Ж = ±7Г X— — ТГ COS Ж = ±7Г X(1)(1)(2)(2)Решаем уравнение (1): sin х + sinРешаем уравнение (1): sin х + sinо . ТГ2 sin — • cos4о . ТГ2 sin — • cos41 — 4n—-— или cos1 — 4n—-— или cos— 2п, откудатг \1 — 4n— 2п, откудатг \1 — 4nи11 —4n . .Должно иметь место неравенство — 1 ^ — ^ 1, что возможно2 v2 только при п = 0. Итак,( ТГ \17Г .V5 , „ ,и11 —4n . .Должно иметь место неравенство — 1 ^ — ^ 1, что возможно2 v2 только при п = 0. Итак,( ТГ \17Г .V5 , „ ,coscosРешая уравнение (2), получаем еще два ответа:Решая уравнение (2), получаем еще два ответа:тг • V 2 , о 7 хз = — — arcsin —— + 2тгАд 44тг • V 2 , о 7 хз = — — arcsin —— + 2тгАд 44тгл/ 2ж 4 = — + arcsin —— + тг(2^ + 1).44 х 7тгл/ 2ж 4 = — + arcsin —— + тг(2^ + 1).44 х 7295.писатьили295.писатьили— 1 + V 5sin 18° = . Указание. Вместо sin36° = cos54° за-42 sin 18° cos 18° = cos 36° cos 18° - sin 36° sin 18°,2 sin 18° cos 18° (1 +sin 18°) = (1-2 sin218°) cos 18°.— 1 + V 5sin 18° = . Указание. Вместо sin36° = cos54° за-42 sin 18° cos 18° = cos 36° cos 18° - sin 36° sin 18°,2 sin 18° cos 18° (1 +sin 18°) = (1-2 sin218°) cos 18°.Сокращая на cos 18°, получаем квадратное уравнение относительно sin 18°.Сокращая на cos 18°, получаем квадратное уравнение относительно sin 18°.80121620Ж1 = —, Цл = —: жо = —,= —169’ у 23’7 ’ у 780121620Ж1 = —, Цл = —: жо = —,= —169’ у 23’7 ’ у 7Решение. Преобразуем первое уравнение:Решение. Преобразуем первое уравнение:1 — cos2a?21 — cos2a?21 — cos 2т/ _ 32“ 4’1 — cos 2т/ _ 32“ 4’
/ ТГ\/. х
cos I — — ТГ COS X 1 = cos (тг Sin X) .
Согласно условию равенства косинусов, имеем х sin ж + 2тгп, откуда।
sin х + cos х = - — 2n;
sin х — cos x = 2n — -.
/ ТГ\/. х
cos I — — ТГ COS X 1 = cos (тг Sin X) .
Согласно условию равенства косинусов, имеем х sin ж + 2тгп, откуда।
sin х + cos х = - — 2n;
sin х — cos x = 2n — -.
— — ТГ COS Ж = ±7Г X
— — ТГ COS Ж = ±7Г X
(1)
(1)
(2)
(2)
Решаем уравнение (1): sin х + sin
Решаем уравнение (1): sin х + sin
о . ТГ
2 sin — • cos
4
о . ТГ
2 sin — • cos
4
1 — 4n
—-— или cos
1 — 4n
—-— или cos
— 2п, откуда
тг \1 — 4n
— 2п, откуда
тг \1 — 4n
и11 —4n . .
Должно иметь место неравенство — 1 ^ — ^ 1, что возможно
2 v2 только при п = 0. Итак,
( ТГ \17Г .V5 , „ ,
и11 —4n . .
Должно иметь место неравенство — 1 ^ — ^ 1, что возможно
2 v2 только при п = 0. Итак,
( ТГ \17Г .V5 , „ ,
cos
cos
Решая уравнение (2), получаем еще два ответа:
Решая уравнение (2), получаем еще два ответа:
тг • V 2 , о 7 хз = — — arcsin —— + 2тгАд 44
тг • V 2 , о 7 хз = — — arcsin —— + 2тгАд 44
тгл/ 2
ж 4 = — + arcsin —— + тг(2^ + 1).
44 х 7
тгл/ 2
ж 4 = — + arcsin —— + тг(2^ + 1).
44 х 7
295.
писать
или
295.
писать
или
— 1 + V 5
sin 18° = . Указание. Вместо sin36° = cos54° за-
4
2 sin 18° cos 18° = cos 36° cos 18° - sin 36° sin 18°,
2 sin 18° cos 18° (1 +sin 18°) = (1-2 sin218°) cos 18°.
— 1 + V 5
sin 18° = . Указание. Вместо sin36° = cos54° за-
4
2 sin 18° cos 18° = cos 36° cos 18° - sin 36° sin 18°,
2 sin 18° cos 18° (1 +sin 18°) = (1-2 sin218°) cos 18°.
Сокращая на cos 18°, получаем квадратное уравнение относительно sin 18°.
Сокращая на cos 18°, получаем квадратное уравнение относительно sin 18°.
80121620
Ж1 = —, Цл = —: жо = —,= —
169’ у 23’7 ’ у 7
80121620
Ж1 = —, Цл = —: жо = —,= —
169’ у 23’7 ’ у 7
Решение. Преобразуем первое уравнение:
Решение. Преобразуем первое уравнение:
1 — cos2a?
2
1 — cos2a?
2
1 — cos 2т/ _ 3
2“ 4’
1 — cos 2т/ _ 3
2“ 4’
откуда cos2x + cos2?/ = -; или cos (ж + у) • cos (ж — у) = -. Тогда ।24
cos75° • соб(ж — у) = -;
/ х 11cos 15° cos 15°.
cos (ж — у) =о =о =оо =о = cos 15 . 4cos75 4sinl5 4sinl5 cosl5 2sin30
Исходная система примет вид
ж -у = 360%±15°, ж + ?/ = 75о.
Отсюда получаем ответ:
у через ж:у через ж:ж1%(4^ + 1)> У1= ^С1”6^;ж2= ^(6А + 1), у2 = ^ (1 — 4*).
у через ж:
у через ж:
Решение. Из второго уравнения выражаем 7Г
у = — — х и, подставляя в первое уравнение, имеем
sin ж + cossin ж + cos= 1, или 2 sin ж = 1.= 1, или 2 sin ж = 1.
sin ж + cos
sin ж + cos
= 1, или 2 sin ж = 1.
= 1, или 2 sin ж = 1.
Отсюда sin ж = i; ж = (—1)п ^ + тгп;Отсюда sin ж = i; ж = (—1)п ^ + тгп;Ж1 =+ 2т%;3/1 — 2 Ж1 — зЖ1 =+ 2т%;3/1 — 2 Ж1 — з' $2 = -^ +тг(2А: + 1);У2 =- ж 2 = у - тг (2А: +1).' $2 = -^ +тг(2А: + 1);У2 =- ж 2 = у - тг (2А: +1).Получили две серии решений данной системы.Получили две серии решений данной системы.299. Решение. Складывая и вычитая данные уравнения, полу299. Решение. Складывая и вычитая данные уравнения, получаем системучаем системуcos ж cos у + sin х sin у = | + а, ..1cos ж cos у — sin ж sin у = - — а,cos ж cos у + sin х sin у = | + а, ..1cos ж cos у — sin ж sin у = - — а,откуда cos (ж — у) = | + a, cos (ж + у) = | — а.Накладываем ограничения на а так, чтобы выполнялись соотно-откуда cos (ж — у) = | + a, cos (ж + у) = | — а.Накладываем ограничения на а так, чтобы выполнялись соотно-
Отсюда sin ж = i; ж = (—1)п ^ + тгп;
Отсюда sin ж = i; ж = (—1)п ^ + тгп;
Ж1 =+ 2т%;
3/1 — 2 Ж1 — з
Ж1 =+ 2т%;
3/1 — 2 Ж1 — з
' $2 = -^ +тг(2А: + 1);
У2 =- ж 2 = у - тг (2А: +1).
' $2 = -^ +тг(2А: + 1);
У2 =- ж 2 = у - тг (2А: +1).
Получили две серии решений данной системы.
Получили две серии решений данной системы.
299. Решение. Складывая и вычитая данные уравнения, полу
299. Решение. Складывая и вычитая данные уравнения, полу
чаем систему
чаем систему
cos ж cos у + sin х sin у = | + а, ..1
cos ж cos у — sin ж sin у = - — а,
cos ж cos у + sin х sin у = | + а, ..1
cos ж cos у — sin ж sin у = - — а,
откуда cos (ж — у) = | + a, cos (ж + у) = | — а.
Накладываем ограничения на а так, чтобы выполнялись соотно-
откуда cos (ж — у) = | + a, cos (ж + у) = | — а.
Накладываем ограничения на а так, чтобы выполнялись соотно-
шения:шения:121212121 откуда - -1 откуда - -1212
шения:
шения:
1
2
1
2
1
2
1
2
1 откуда - -
1 откуда - -
1
2
1
2
При этом условии имеем ।/1\ о
ж — у = iarccos I - + а 1 + 2тгп, </1\
x-Vy = zEarccos I - — a J + 2тг^.
Полученная система распадается на четыре алгебраические системы, решение которых не представляет затруднений.
%= > i 301. V5 + V6 > V21. V1952
Решение. Здесь имеются в виду арифметические корни. Возведем оба числа в квадрат: (V5 + V3) =8 + 2д/15; (д/б + д/2) =
= 8 + 2 V12. Квадрат первого числа больше квадрата второго числа. Так как каждое из данных чисел больше единицы, то V5 +V3 > V6 +V2-
(i +V5)100 > з100.
Доказательство. В известном неравенстве (ж — у)2 ^ О, или ж2 + у2 ^ 2ху положим х = а и у = 1; тогда а2 + 1 ^ 2а. Отсюда а-\— ^2, что и требовалось доказать. а
(—1;0) U (1;оо). 313. (-оо;-1) U (0; 1). 314. (0;1).
(—оо; 0) U (1;оо). 316. (1;оо). 317. (-оо;оо).
(1;2) U (-2; -1). 319. (^+^;U (1; 4).
(—оо; 1). 321. ^
„99 Г -5-2V2\/-5 + 2V2 А
322’ “1;8 / ° (8’ Л
У Казани е. V^ +1)2 + ^Дж^Тр < ^ (Зж + 2)2; |ж + 1| + + |ж-1| < |Зж + 2|, и т. д.
Ответ*. (—оо; —2) U (0; оо).
4\374\37(—оо; 1) U (2;оо). 325. [^; |]. 326. (-оо;оо). 327. (—1;3].
4\
37
4\
37
328. (-1; 1) U (1; 2,5)328. (-1; 1) U (1; 2,5)329.
328. (-1; 1) U (1; 2,5)
328. (-1; 1) U (1; 2,5)
(2; 3) U (8;оо). 332. (-оо;-2) U (2; оо).
Решение (методом интервалов, см. учебник).
Так как множитель (ж2 — ж +1) > 0 при всех ж, то на него можно сократить неравенство. Знак множителя (2 + ж)3 совпадает со знаком (2 +ж), поэтому, не нарушая неравенство, заменим (2 + ж)3 на (2 +ж). Двучлен (1 — 2ж) разделим на —2, вследствие чего знак неравенства изменится на противоположный. Наконец, множители знаменателя перенесем в числитель, и после этого получим следующее приведенное неравенство:
/(ж) = (ж+ 2) (ж — ^ (ж —У2)(ж —3) > 0.
Это неравенство равносильно исходному. Корни функции /(ж) таковы: —2; |; д/2; 3 (рис. 174). Если ж < —2, то /(ж) > 0, поскольку все
Рис. 174Рис. 174
Рис. 174
Рис. 174
четыре множителя будут отрицательными: (—)(—)(—)(—)• Далее, вследствие того, что все корни функции /(ж) действительны и раз-
личны, ее знаки будут чередоваться при прохождении аргумента ж в положительном направлении через корни. Это чередование в данном случае легко установить непосредственно, исследуя множители, на которые разложена функция /(ж).
Ответ*. (—оо; —2) U (0,5; V2) U (3; оо).
(—оо; —0,5). 335. (0;1,5).
(—оо;-^ (V273 + 1)) U Q (V273 —1); оо). 337. (у;з).
(0; 1) U (V3;9). 339. [-3;-1) U (1; 3].
341. (—4; 0) U (6; 10).341. (—4; 0) U (6; 10).(—00; —
341. (—4; 0) U (6; 10).
341. (—4; 0) U (6; 10).
(0;оо). 343. (2"4/3; 0,5) U (0,5; 1) U (1; оо).
Г^ + 2&тг; ^7г + 2/гтг\ 345. ( —^- + А;7гД+ &тг1
R, х ^^. 347. (2&тг; ^+ 2&тг) U (^+ 2&тг; тг + 2А:7г).
Равенство возможно, если либо а = 2&тг, либо 3 = 2&тг, либо а -V 3 = 2ктг.
Решение.
• 2, • 2, , • 21 —cos2d , 1 —cos26 . 12
sin а + sin о + sin с =1hl — cos с =
= 2cos c = 2 — cos + b) cos (a — b) — cos (тг — (a + b)) =
= 2 — cos (a + b) cos (a — b) — cos2 (a + b) =
= 2 — cos (a + b) (cos (a — b) + cos (a + 6)) =
= 2 — cos (тг — c) • 2 cos a • cos b = 2 + 2 cos a • cos b • cos c.
Ho 2cos a • cos b • cosc > 0 (поскольку a,b,c — острые углы). Поэтому sin2 a + sin2 b + sin2 c > 2.
Решение. Запишем данное неравенство в виде — > 0,
х у откуда следует:
1) ж > 0 и у > 0; 2) ж < 0 и у < 0.
Ответ*, все внутренние точки I и III четвертей координатной плоскости.
Все внутренние точки II и IV четвертей координатной плоскости.
Все точки верхней полуплоскости, ограниченные параболами у = ж2 и у = 9 — ж2. Граничные точки области входят в это множество точек.
Все точки II и IV четвертей координатной плоскости, ограниченные концентрическими окружностями и координатными осями. Граничные точки этих фигур входят в это множество точек.
357). Полукруг.
Пересечение внешней области круга и полуплоскости.
Кольцо, ограниченное концентрическими окружностями.
Параболический сегмент. 361. Параболический сегмент.
Часть плоскости, ограниченная параболами.
См. рис. 175. 364. См. рис. 176.
Параллелограмм с вершинами М{—1;0), Л/(3; —4), Л/(3;0), М(-1;4).
Параллелограмм с вершинами М(—3; — 1), Л/(1;3), Л/(4;3), М(0; —1).
Трапеция с вершинами Л/(0;—1), М(—6; 5), Л/(2; 1), М(2;—2).
Трапеция.
Выпуклый четырехугольнике вершинами М(—1;0), М(— 1; 1), М(3;5) и М^оу
Выпуклый четырехугольник. 371. Сектор.
Часть круга между прямыми. 373. 1-. 374. 4,8 л.
^S/cos(q-^). 376. 0,5. 377. 2 км и 2,5 км.
(а + b) + V^abW. 379. tger 380. 25. 382. -2^.
4
1. 384. -115. 385. . 386. х = 4.
а + у & Т 1
аЧ^Ьх-с2 = 0. 388. 0.
х = — (а + 6 + с); у = ab + ас + Ьс; % = —abc.
10 (жх = Г ж2 = 7^; 7 (жх = |; ж2 = б).
395. V2 + V6.7Г7ГЖ1 = -8; Ж2=8;395. V2 + V6.7Г7ГЖ1 = -8; Ж2=8;17. 393. 24; 10. 394.
395. V2 + V6.
7Г7Г
Ж1 = -8; Ж2=8;
395. V2 + V6.
7Г7Г
Ж1 = -8; Ж2=8;
396. 10 тысяч и 15 тысяч. 397.
400. Нет.400. Нет.398. lg2$ + lg2y = 1. 399. /= /1 - л/1 - sin212°.
400. Нет.
400. Нет.
Нет. 403. ж = 1. 404. 2 < ж ^ 3. 405. -оо < ж ^ log2 3.
log2/33< х < log2/32. Поскольку 1,55 < 10, получаем
51gl,5<l; 51g2 < ^^ = log3/2 2 = — log2/3 2.
Значит, lg^ = —51g2 > log2/32, т. e. lg^ не является решением.
log3(log27) < х < 1. 408. 1 < ж < ——.
Указание. Уравнение равносильно системе
1 — д/2 sin х = 4 cos2 х, cos ж ^ 0.
Ответ*, ж = —^ + 2А;тг. 4_
v3уЗ
жх = —arccos —+2&тг;х^ = arccos —7г + 2птг.
ж = ±у + 2&7г.412.ж = ^(6А:±1).413. ж =-3.
Ж1 = 0; yi = 0; ж2=4; у2 = 2; ж3 = -2;у3 = -4.
—оо < ж < —20.417.(ж —1)(ж + 3)2.418. ж = 5.
419. ж = 1. 420. 48шж-81п--cos421. -
222
з.
За 14 дней и 11 дней. 423. а « 50,36 см2.
424. 2 < х < 10. 425. ^/ж.
426.428.432.426.428.432.Действительные корни Ж1 = 1; Ж2 = 3.427. — 5 ^ ж < 9; ж ^ 8.Действительные корни Ж1 = 1; Ж2 = 3.427. — 5 ^ ж < 9; ж ^ 8.ж = 10. 429.2d2(V2 ctg o + i)2ж = 10. 429.2d2(V2 ctg o + i)21• о— - 81п8ж.« 129,1 см2.1• о— - 81п8ж.« 129,1 см2.430. 20% и 60%. 431. 3 и 4.433. а2 + 3 = 4^. 434. ж = 1.430. 20% и 60%. 431. 3 и 4.433. а2 + 3 = 4^. 434. ж = 1.
426.
428.
432.
426.
428.
432.
Действительные корни Ж1 = 1; Ж2 = 3.427. — 5 ^ ж < 9; ж ^ 8.
Действительные корни Ж1 = 1; Ж2 = 3.427. — 5 ^ ж < 9; ж ^ 8.
ж = 10. 429.
2d2
(V2 ctg o + i)2
ж = 10. 429.
2d2
(V2 ctg o + i)2
1• о
— - 81п8ж.
« 129,1 см2.
1• о
— - 81п8ж.
« 129,1 см2.
430. 20% и 60%. 431. 3 и 4.
433. а2 + 3 = 4^. 434. ж = 1.
430. 20% и 60%. 431. 3 и 4.
433. а2 + 3 = 4^. 434. ж = 1.
436. 40. 437. 60 Н или 40 Н.
438.441.443.445.438.441.443.445.^^ л /sin f + sin — —Y439. ж = 8. 440. 5 см.sin a? VV 2/\2 /or v. 2a sin — • sin100 км; 10 км/ч и 15 км/ч. 442. 2Q3/2 • Vctg 3^—since— + 2тг^ < a < - 7Г + 2тг^.444. b — a = — —.2636^^ л /sin f + sin — —Y439. ж = 8. 440. 5 см.sin a? VV 2/\2 /or v. 2a sin — • sin100 км; 10 км/ч и 15 км/ч. 442. 2Q3/2 • Vctg 3^—since— + 2тг^ < a < - 7Г + 2тг^.444. b — a = — —.2636V2 cm;V2 cm;V5 cm; V10V5 cm; V10CM.CM.446. 2; 5; 8.446. 2; 5; 8.A A/ О * 4 I 1447. a -VS-sin I —1.A A/ О * 4 I 1447. a -VS-sin I —1.
438.
441.
443.
445.
438.
441.
443.
445.
^^ л /sin f + sin — —Y439. ж = 8. 440. 5 см.
sin a? VV 2/\2 /o
r v. 2a
sin — • sin
100 км; 10 км/ч и 15 км/ч. 442. 2Q3/2 • Vctg 3^—
since
— + 2тг^ < a < - 7Г + 2тг^.444. b — a = — —.
2636
^^ л /sin f + sin — —Y439. ж = 8. 440. 5 см.
sin a? VV 2/\2 /o
r v. 2a
sin — • sin
100 км; 10 км/ч и 15 км/ч. 442. 2Q3/2 • Vctg 3^—
since
— + 2тг^ < a < - 7Г + 2тг^.444. b — a = — —.
2636
V2 cm;
V2 cm;
V5 cm; V10
V5 cm; V10
CM.
CM.
446. 2; 5; 8.
446. 2; 5; 8.
A A/ О * 4 I 1
447. a -VS-sin I —1.
A A/ О * 4 I 1
447. a -VS-sin I —1.
ттк < х < ^irk. 449. Xi = 1000; ж2 = 0,1. 450.108°. 4
32.
4arctg-; 2 : 3 (от сферической поверхности к вершине).
17
454.455. жх = 1; ж2 = 5. 456. 105°.
27
9 ведер и 3 ведра. 458. cos а =; tg р =.
т + нт — н
-. 460. V«® = 1,75 . 461. 3 м и 4 м. 462. 12 и 1232. 4v ’
sin а = —464. 4 cos ( — + ж ) cos ( — — Ж ). V2\ 6/\ 6/
465. ж = 2; т/= 4. 466. ж = 1. 468. 40 см. 469. 74 кг и 46 кг.
470. 2arctgJ—-. 471. 2 < а < 4. 472. 271. у н
473. В ти-1 раз. 474. 13,44 дм.
т+п+2Р
| R3-sin32y9-tg ср-sina. 476. ж = ^-
т > 0,1. 478. V^ + SVb = 11,22. 479. 3:2. 480. 30 ч.
2,2 2тг а о с
21 гДе Р — полупериметр основания.
4 sin2 (2о) р (р — а) (р — Ь) (р — с)
^ у^а2 + 62 =р 2 ^fa^b2 — 4Q2. При Q > ^ решений нет. При^ у^а2 + 62 =р 2 ^fa^b2 — 4Q2. При Q > ^ решений нет. При485.485.483. — оо < ж < —4; — 1 < ж < оо. 484. ж = 2.
^ у^а2 + 62 =р 2 ^fa^b2 — 4Q2. При Q > ^ решений нет. При
^ у^а2 + 62 =р 2 ^fa^b2 — 4Q2. При Q > ^ решений нет. При
485.
485.
ab „
У < — — два решения: верхний знак, если угол между хордами острый; нижний, если этот угол тупой. При Q = ^ — одно решение, хорды взаимно перпендикулярны.
200 об/мин; 600 об/мин. 487. ^ a3 sin2 ^ • V— cos2<r.
ж = ^. 489. 3,1. 490. х = 5. 491. х = 5.
4
492. ж = 0,5. 493. ж = 3. 494. 4. 495. -21.
496. 1. 497. 5 см. 498. 45°. 499. 1. 500. ж = -1.
501. ж = ±4; т/ = ±3; ху = 12. 502. 72. 503. ж = 5.
504. ж = —1. 505. 2. 506. 13,5. 507. -1. 508. 1.
509. 27. 510. 72. 511. 1. 512. —^— = 0,5. 513. -1,5.
v 3 а
514.ж = 2; у = 1;г = 1; жу^= 2.515.72. 516.х = -9.
517.2.518.1.519. 4.520.2.521. х = 0.522.2.
523.1.524.ж = 8. 525.3. 526.9. 530. 0.531.0.
532.0.533.i534. 0.535.|.536. -2,5.537.4.
24
538. Ложное:539. Истинное: —6 < 0. 540. 1.
з з4
541.542. 39. 543. 31п2. 544.545..
301 + ®62\/1^
546. . 547. -cos2x. 548. у = х^А.
550. Зж + ?/ + 6 = 0. 551. 2ж —т/ —1 = 0. 552. ^.
553. (1;0) или (-|
^У 554. 21 м/с; 24 м/с2.
555. vi = 8m/c; v2 = 10 м/с и vi = 24m/c; v2 = 22m/c.
х = 0,5 — точка минимума, т/min = 0,25 — In 2.
х = 1 — точка максимума, утах = 4; х = — 1 — точка минимума, 7/min = —4; у = 11,25ж + 13.
562. Утах — 175 ^/min — 0.563. 7/min — lj 'Утах — 2,125.
з
Утах — $5 ^/min —1*
18 дм3. 567. H = R
4Яа/5 rV^
—-— и —-—. 55
x = — 1 — точка максимума, х = 0 — точка минимума; возрастает на (—оо; — 1) и на (0; оо), убывает на (—1; 0).
565. Утах — 2 ’ ^min —2
568.
571. х = ±2 — точки минимума, х = 0 — точка максимума; возрастает на (—2; 0) и на (2; оо), убывает на (—оо; —2) и на (0; 2).
572. х = 0 — точка максимума, х = 2 — точка минимума; возрастает на (—оо; 0) и на (2; оо), убывает на (0; 2).
573. х
растает на
= ±1 — точки максимума, х = 0 — точка минимума; воз- (—оо; —1) и на (0; 1), убывает на (—1; 0) и на (1; оо).
574. х на (0; оо).
= 0 — точка максимума; возрастает на (—оо;0), убывает
575. х
— точка минимума; убывает на (—оо; 0) и на
, возрастает на
576.
577. Точка убывания (0; 1)
578. Точка возрастания (—
минимума х = е, точек максимума нет; промежутки и (1; е); промежуток возрастания (е; +оо).
1
максимума х = -, точек минимума нет; промежуток
Ц 3
оо; -J, промежуток убывания ^-; ooj.
579. 2^. 580. 8V2. 581.
4
15-д-
Л V 3 \ V3 Л , V3\ FQQ 200
582. 1-— a, —a, 1+— a. 583.—.
- R. ^ R. 585. 0;— и;0 . 586. J——.
39X 27/ X 27 /у 7Гл/з
(2,4). 588. а) й = 0; t2 = 8; б) й = 0; t2 = 4; t3 = 8.
x = (-lY^^ + Ttk. 590. i.
Доказательство. f(x) = 6 [ж8 + ж2(1 — ж3) + (1 — ж)] = = 6[ж5(ж3 — 1) + ж(ж — 1) + 1]. Из первой записи видно, что /Дж) > 0 при ж ^ 1, из второй — что /Дж) > 0 при ж > 1.
(—оо; —3] U [1;+оо). 594. 2. 595. 2. 596.597. 0.
з3
598. ^т-^12.
При жх = 0 (касательная у = —ж — 1) и х2 = 4 (касательная У = -ж + 7).
Промежутки возрастания (—оо; — 1) и (1; +оо); промежуток убывания (—1; 1).
602.603.602.603.max /(ж) = /(1) = 24, min /(ж) = /(0) = 0.
602.
603.
602.
603.
у^ж+Ц-^тг). 604. ^. 607. 2|; -2|.
Хо О /у Z7TОО
тт/2(ж) = [3;6]тт/2(ж) = [3;6]608. [—3; —2) U (1; 3]; тах/2(ж) = /2(3) = log1/310; =/2(6) = log1/340.[3;61
тт/2(ж) = [3;6]
тт/2(ж) = [3;6]
UU ^;+оо ;
’ 2/ V 2’ 2/\2’/’
=ГН) = §;
Пт /(ж) =—2 i; при ж предела нет; г) —2^. ж^-1/2222
В точке (^; In41 611.224.
Функция возрастает на (0; е) и убывает на (е; +оо); у(е) = - — максимум.
5тг\ 5тг л/з/ 7Г \ 7Г , л/з
г= минимум, г=— макси-
мум.614.618.мум.614.618.V 12/122J J V 12/122
мум.
614.
618.
мум.
614.
618.
|(V8-1). 615. ^. 616. —5(^/16 —1). 617. 2.
. 619. -. 620. —. 621. 0. 622. 1120,4.
24’
623. 0,51n-. 624. 3^~11 625. i. 626. 2. 627. 1.
244
^. 629.^. 630.^. 631.5632.Д-.633.2-.
165431210
12 —51п5.635. —. 636. -.637. 2^.
334
^(4tt + V3) и ^(8tt-V3). 639. |. 640. 31п|.
-In—.
68
При а Е (0; +оо) критическая точка х = Ina, при а ^ (0; +оо) критических точек нет.
Решение. По формуле Ньютона-Лейбница
(2 - 4х + Зж2) dx = (2ж - 2ж2+ ж3)|о = 2а-2а2 + а3.
„(2а — 2а2 + а3 а,
(а-1)2<0, а > 0.(а-1)2<0, а > 0.Задача свелась к решению системы неравенств п
(а-1)2<0, а > 0.
(а-1)2<0, а > 0.
которая равносильна системе
Ответ*, а = 1.
1Q99х/Ч1
2Д 645. -. 646. - + -. 647. —. 648. 114-.
48тг323
21п2. 650. Нет: 5 = е-- « 2,34. 651. а <4 652. ^.
7Г663
32. 654. |((2 + втж)-(1 + со82ж))</ж = ^-+2.
V3 —у- 656. ^|zf. 657. у. 658. ж3 + ж + 1.
9. 660.661. е + --2. 662. 13^. 663. 6.
е3
6641 21^2' 665' L 666‘ Р(-1’4; -5’2)’ 6671
669. ki = 1; k2 = -2. 670. р = q = l.
MN = Лт АС +-Лт BD.
1 + k1 + k
k = -4R2 cos Л cos В cos С, где cos Л =(b2 + с2 - a2),
2bcx7
cos В = -— (с2 + a2 — b2), cosC = -—- (a2 + b2 — c2), R — радиус ZiCCLZiCLu
описанной окружности.
C"D=\CBfc"A + \CA\2CB, 675 ^0 = —1(д^ + л^)
\CA\2 + \CB\22cos2^
(V6;-^-;-^y 679. (4;3;-5). 680. (-48; 64; 60).
|a + 6| = 15; |a-6| = V593- 682. ^;-^;-^. 683. arccos . 77765
684. (-24;-32; 30). 685. -62.
Ci(2- V3;2- V3); C2(2 + V3; 2 + V3). 687. (-1; |;-1).
(ж-1)2 + (у-1)2 = 1. 689. B(12; 5), C(—5; 12), £>(12; —5).
(ж-3)2 + (у + 3)2 + (^-3)2 = 9. 692. ^.
Указание. Девятый член 7g является наибольшим тогда Tg . T^g . н
и только тогда, когда —1 и ——1.Достаточность этого условия
Tgzх
вытекает из того, что функция к —> —— убывает —— = —— .
Тк\ тк Ю(^ + 1) )
Ответ*. 98 < п < 109.
1 _|_ л/х77 — V17
Боковая сторона равна р, основание равно —р.
696696казан и е. у = | (sin3x — sin ж).
696
696
Учебное издание
БАЧУРИН Виктор Андреевич
ЗАДАЧИ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕИ НАЧАЛАМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Редактор В. С. АроловичОригинал-макет: Л.К. ПопковаОформление переплета: А.Ю. Алехина
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 30.12.04.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 44,5. Уч.-изд. л. 49,0. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивовв ОАО «Ивановская областная типография»153008, г. Иваново, ул. Типографская, 6.
E-mail: 091-018@adminet.ivanovo.ru
ISBN 5-9221-0563-9
11) 111-21-| + 10:11=9; 12) 1 • 131 - 11 -21 - 71:11 = 2.
7 432 597 17133422
62. 1) Единица разделена на три равные части, каждая из этих частей разделена пополам и еще раз пополам. На сколько равных частей окончательно разделена единица?
2) Сколько пятых частей единицы содержится в одной единице? в двух единицах? в трех единицах?
3) Сколько седьмых частей единицы содержится в двух единицах? в пяти единицах?
4) Поле площадью в 5 га разбито на 8 равных участков.
а) Какую часть всей площади занимает каждый участок?
б) Какую часть гектара занимает каждый участок?
42®1/3 _
ж-2/3 +0,25 -
1383. tg 15°+ ctg 15° = 4.
1384. 4 sin3 a • cos Зсе + 4 cos3 a • sin Зсе = 3 sin 4ce.
ж-)—1 Sin (ж + 1)
Число е
Числом е называется предел
3. Найти орт е, перпендикулярный векторам а = (5; 7; 1) и 6 = (4; 2; -1).
Решение. Искомый орт параллелен вектору с = а х Ь:
*) Заметим, что здесь и в дальнейшем произвольные постоянные, входящие по определению в каждый из слагаемых интегралов, объединяются в одну произвольную постоянную.
1 \ж3
• + 1 /3
.,, 1 sin3 2ж
cos 4ж dx H=
163
1. Основные приемы решенияпоказатеяъных уравнений
1. Приведение обеих частей уравнения к одному основанию.
Примеры.
1. 9Ж = 27ж—1; — оо < х < +оо. (Левая и правая части уравнения
определены при любом ж, х Е R.) Имеем (32)ж = (З3)ж-1, или 32ж =
а) 73ж = 1, Зж = 0, ж = 0;
б) 73ж = — |, решений нет, так как согласно свойству показательной функции при а > 0 (7 > 0) а3ж > 0.
Ответ*, ж = 0.
Задачи.
Решить уравнения (1-8). 1. 22ж — 4 • 2ж+1 +16 = 0.
/ 1 \ж—3
2. З^-Ч^)-6 = 0.
1 +ctg 2a ctg a 1 ,
tg a + ctg a 2
7 ж3 + ж2 +2ж +1 — 111ж + ж — ж2 = 7 ж3 +109;
V$*Vy 'Ужу (ж-у)
_ X А” У . Уху( — х — у) _ X А” У у — Х_
V$ + Vy' V^y^-v) V® + Vv х + у ^У
V14,7456 - ^11,4921 = 3,84 - 3,39 = 0,45.
Ответ*. 0,45.
*) Учащемуся рекомендуется проиллюстрировать рисунком решение этой задачи.
3. Решить уравнения:
1) ^^-р^_У=0; 2) ж + 5(1 - ж-1) + 3ж(ж2 + ж - 5)-1 = 0.
Решите неравенствоо—h 1 ^ ж.
ж — 2
Решите неравенство 32-ж +6- (V3)2 2Ж
4. Пункт С расположен между пунктами Л и В, АС = 2ВС. Из пунктов С и В одновременно навстречу друг другу вышли два поезда. Время, затраченное вторым поездом на путь от В до Л, не менее чем в 6 раз превосходит время, затраченное первым поездом на путь от С до В. Третий поезд, скорость которого равна разности скоростей первых двух, затратил на путь от Л до В не менее чем в 9 раз больше времени, которое первый поезд затратил на путь от С до места встречи со вторым. Чему равно отношение скоростей первого и второго поездов?
5. Найдите все решения уравнения
18т2ж| + cos ж = 0,
1 (ж — а)2 = 25.
Это: -4,4,6, 14.
Теперь перепишем исходную систему:
1. 40 км. 2.3. 7^. 4. (-оо; -log23). 5. 6.
4’ 18’ 18’ 124 v ’62 7
4. Решите неравенство 0,4|ж — 0,4| ^ ж2+ 0,2.
5. Решите неравенство зУ^+и 26^ж+ТТ./ 4 \
6. Вычислите log4916-log7^ — j.
7. Вычислите sin2 13° + cos 47° cos 73°.
8. Найдите в градусах наибольший отрицательный корень урав
sin (ж + 16°) — sin (ж + 4°) = sin 6°.
9. На графике функции
у = а + — (ab ^ 0)
взята точка с абсциссой 8 и в ней проведена касательная к графику. Прямая, параллельная этой касательной, проходит через начало координат и пересекает график в двух различных точках М и N. Абсцисса точки М равна (—4). Найдите абсциссу точки N.
1) АС- 2) 0. 511. 1:3.
ОА = -ОВ-ОС^ОМ. 513. 1) 90°; 2) 90°.
1) 0,5а2; 2) -0,5а2; 3) -0,25а2; 4) 0,75а2.
\ —. 583. sin — =; 60 .
у sin 2а2 m + n
7Г«22 а как ^^ 81ПТ ./77 О"
— sec 4"5851 cos2y ’ ГДе tgT’^tg-.
sin В • sin С • cos i (В — С) i 2 □ -2
99 х7 T z 1 q Sin D Sin Су
Va : Vb: 14 = cosec A : cosec В : cosec C.
87ГГ2
589.2 cos2145 - — 1.
sin2 a \2/^
590. 5 = 8тгЯ sin - cos2-; V = - tvR6 sin -.591. тга2 ctg-;—-.
24’346 4’ 6
УДК 51
ББК 22.1
Б 32
Бачурин В. А. Задачи по элементарной математике и началам математического анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 712 с. — ISBN 5-9221-0563-9.
В книге представлены задачи по всем разделам элементарной математики и по началам математического анализа. К большинству задач даются ответы; приводятся также примеры решения задач и указания к решениям.
Дополнительно к школьным учебникам в пособии дается изложение важных разделов математики, например: алгоритм извлечения квадратного корня из числа; теорема Безу и ее применение; векторное произведение; прямая в пространстве.
В главе «Дополнительные задачи и образцы их решения» выделены задачи, которые вызывают наибольшие затруднения у лиц, занимающихся самообразованием. Решения этих задач приводятся с соответствующими комментариями.
© ФИЗМАТЛИТ, 2005
ISBN 5-9221-0563-9ISBN 5-9221-0563-9© В. А. Бачурин, 2005
ISBN 5-9221-0563-9
ISBN 5-9221-0563-9
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
К предисловию 9
Раздел I