ВВЕДЕНИЕ

Предмет стереометрии. Школьный курс геометрии состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии. В планиметрии изучаются свойства геометрических фигур на плоскости. Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» — объемный, пространственный и «метрео» — измерять.

Простейшими и, можно сказать, основными фигурами в пространстве являются точки прямые и плоскости. Наряду с этими фигурами мы будем рассматривать так называемые геометрические тела и их поверхности. Представление о геометрических телах дают окружающие нас предметы. Так, например, кристаллы имеют форму геометрических тел, поверхности которых составлены из многоугольников. Такие поверхности называются многогранниками. Одним из простейших многогранников является куб (рис. 1, а). Капли жидкости в невесомости принимают форму геометрического тела, называемого шаром (рис. 1,6). Такую же форму имеет футбольный мяч. Консервная банка имеет форму геометрического тела, называемого цилиндром (рис. 1,в).

В отличие от реальных предметов геометрические тела, как и всякие геометрические фигуры, являются воображаемыми объектами. Мы представляем геометрическое тело как часть пространства, отделенную от остальной части пространства поверхностью — границей этого тела. Так, например, граница шара есть сфера, а граница цилиндра состоит из двух кругов — оснований цилиндра и боковой поверхности.

а) Куб.а) Куб.в)в)Цилиндр.Цилиндр.

а) Куб.

а) Куб.

в)

в)

Цилиндр.

Цилиндр.

Изучая свойства геометрических фигур — воображаемых объектов, мы получаем представление о геометрических свойствах реальных предметов (их форме, взаимном расположении и т. д.) и можем использовать эти свойства в практической деятельности. В этом состоит практическое (прикладное) значение геометрии. Геометрия, в частности стереометрия, широко используется в строительном деле, архитектуре, машиностроении, геодезии, во многих других областях науки и техники.

I1ри изучении пространственных фигур, в частности геометрических тел, пользуются их изображениями на чертеже. Как правило, изображением пространственной фигуры служит ее проекция на ту или иную плоскость. Одна и та же фигура допускает различные изображения. Обычно выбирается то из них, которое создает правильное представление о форме фигуры и наиболее удобно для исследования ее свойств. На рисунках 2, а, б изображены два многогранника — параллелепипед и пирамида, а на рисунке 2, в — конус. При этом невидимые части этих фигур изображены штриховыми линиями. Правила изображения пространственных фигур приведены в приложении 1.

В X классе мы будем изучать взаимное расположение прямых и плоскостей, многогранники и векторы в пространстве, а в XI классе — метод координат в пространстве, «круглые» геометрические тела — цилиндр, конус, шар и рассмотрим вопрос об объемах тел.

Аксиомы стереометрии. В планиметрии основными фигурами были точки и прямые. В стереометрии наряду с ними рассматривается еще одна основная фигура — плоскость. Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.

Как и ранее, точки будем обозначать прописными латинскими буквами А, В, С и т. д., а прямые — строчными латинскими буквами а, Ь, с и т. д. или двумя большими латинскими буквами АВ, CD и т. д. Плоскости будем обозначать греческими буквами а, р, у и т. д. На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма (рис. 3, а) или в виде произвольной области (рис. 3,6).

Параллелепипед.Параллелепипед.Пирамида.Рис. 2.Пирамида.Рис. 2.

Параллелепипед.

Параллелепипед.

Пирамида.

Рис. 2.

Пирамида.

Рис. 2.

Рис. 3.Рис. 4. Иллюстрация к

аксиоме Л|: пластинка, поддерживаемая тремя точками Л, В и С, ие лежащими на одной прямой.

Ясно, что в каждой плоскости лежат какие-то точки пространства, но не все точки пространства лежат в одной и той же плоскости. На рисунке 3, б точки А и В лежат в плоскости 0 (плоскость 0 проходит через эти точки), а точки Af, N, Р не лежат в этой плоскости. Коротко это записывают так: А £8, В 6 В, МФ^, N^, Р^.

Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах. Вся система аксиом стереометрии состоит из ряда аксиом, большая часть которых нам знакома по курсу планиметрии. Полный список аксиом и некоторые следствия из них приведены в приложении 2. Здесь мы сформулируем лишь три аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве.

А|. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Иллюстрацией к этой аксиоме может служить модель, изображенная на рисунке 4. Плоскость, проходящую через точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, иногда называют плоскостью АВС.

Отметим, что если взять не три, а четыре произвольные точки, то через них может не проходить ни одна плоскость. Иначе говоря, четыре точки могут не лежать в одной плоскости. Каждый знаком с таким наглядным подтверждением этого факта: если ножки стула не одинаковые по длине, то стул стоит на трех ножках, т. е. опирается на три «точки», а конец четвертой ножки (четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе.

Аг. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

В таком случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую (рис. 5, а).

Прямая АВ лежит в Прямая а и плоскость аПрямая АВ лежит в Прямая а и плоскость аПлоскости аир пере-Плоскости аир пере-плоскости а.плоскости а.пересекаются.пересекаются.секаются по прямой а.секаются по прямой а.Рис. 5.Рис. 5.

Прямая АВ лежит в Прямая а и плоскость а

Прямая АВ лежит в Прямая а и плоскость а

Плоскости аир пере-

Плоскости аир пере-

плоскости а.

плоскости а.

пересекаются.

пересекаются.

секаются по прямой а.

секаются по прямой а.

Рис. 5.

Рис. 5.

Свойство, выраженное в аксиоме Аг, используется для проверки «ровности» чертежной линейки. С этой целью линейку прикладывают краем к плоской поверхности стола. Если край линейки ровный (прямолинейный), то он всеми своими точками прилегает к поверхности стола. Если край неповный, то в каких-то местах между ним и поверхностью стола образуется просвет.

Из аксиомы Аг следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются (рис. 5,6).

Аз. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

В таком случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой (рис. 5, в). Наглядной иллюстрацией аксиомы Аз является пересечение двух смежных стен, стены и потолка классной комнаты.

Прежде чем перейти к первым следствиям из данных аксиом, отметим одно важное обстоятельство, которым будем пользоваться в дальнейшем. В пространстве существует бесконечно много плоскостей, и в каждой плоскости справедливы все аксиомы и теоремы планиметрии. Более того, признаки равенства и подобия треугольников, известные из курса планиметрии, справедливы и для треугольников, расположенных в разных плоскостях (см. приложение 2).

Некоторые следствия из аксиом.

Теорема. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Доказательство. Рассмотрим прямую а и не лежащую на ней точку М (рис. 6). Докажем, что через прямую а и точку М проходит плоскость. Отметим на прямой а две точки Р и Q. Точки М, Р и Q не лежат на одной прямой, поэтому согласно аксиоме Ai 6

через эти точки проходит некоторая плоскость а. Так как две точки прямой а (Р и Q) лежат в плоскости а, то по аксиоме Аг плоскость а проходит через прямую а.

Единственность плоскости, проходящей через прямую а и точку Af, следует из того, что любая плоскость, проходящая через прямую а и точку Af, проходит через точки М, Р и Q. Следовательно, она совпадает с плоскостью а, так как по аксиоме Ai через точки Af, Р и Q проходит только одна плоскость. Теорема доказана.

Теорема. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Доказательство. Рассмотрим прямые а и Ь, пересекающиеся в точке М (рис. 7), и докажем, что через эти прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Отметим на прямой 6 какую-нибудь точку N, отличную от точки Af, и рассмотрим плоскость а, проходящую через точку N и прямую а. Так как две точки прямой b лежат в плоскости а, то по аксиоме Аг плоскость а проходит через прямую Ь. Итак, плоскость а проходит через прямые а и Ь. Единственность такой плоскости следует из того, что любая плоскость, проходящая через прямые а и Ь, проходит через точку N. Следовательно, она совпадает с плоскостью а, поскольку через точку N и прямую а проходит только одна плоскость. Теорема доказана.

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

По рисунку 8 назовите: а) плоскости, в которых лежат прямые РЕ, МК, ВВ, АВ, ЕС; б) точки пересечения прямой ВК с плоскостью АВС, прямой СЕ с плоскостью АВВ; в) точки, лежащие в плоскостях ADB и ВВС; г) прямые, по которым пересекаются плоскости АВС и DCB, АВВ и СВА, РВС и АВС.

По рисунку 9 назовите: а) точки, лежащие в плоскостях ВСС\ и BQC; б) плоскости, в которых лежит прямая ААг, в) точки пересечения прямой МК с плоскостью АВВ, прямых ВК и ВР с плоскостью A|B|Ci; г) прямые, по которым пересекаются плоскости АА|В| и АСВ, РВ\С\ и АВС; д) точки пересечения прямых МК и DC, BiCi и ВР, С\М и ВС.

Верно ли, что: а) любые три точки лежат в одной плоскости; б) любые четыре точки лежат в одной плоскости; в) любые

Рис. 9.Рис. 9.

Рис. 9.

Рис. 9.

четыре точки не лежат в одной плоскости; г) через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна?

Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости, а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой? б) Могут ли прямые АВ и CD пересекаться? Ответ обоснуйте.

Докажите, что через три данные точки, лежащие на прямой, проходит плоскость. Сколько существует таких плоскостей?

Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все отрезки лежат в одной плоскости.

Две прямые пересекаются в точке Af. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку М и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку Af?

Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости; б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?

Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в плоскости а. Лежат ли две другие вершины параллелограмма в плоскости а? Ответ обоснуйте.

Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она: а) пересекает две стороны треугольника; б) проходит через одну из вершин треугольника?

Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости.

Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Пересекаются ли плоскости, проходящие через точки А, В, С и А, В, D?

Могут ли две плоскости иметь: а) только одну общую точку; б) только две общие точки; в) только одну общую прямую?

Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две из них проведена плоскость. Сколько всего проведено плоскостей?

Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.

Глава IПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ, ПРЯМОЙ ИПЛОСКОСТИ

Параллельные прямые в пространстве. Введем понятие параллельных прямых в пространстве.

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Параллельность прямых а и b обозначается так: а||6. На рисунке 10 прямые а и Ь параллельны, а прямые а и с, а и d не параллельны.

Докажем теорему о параллельных прямых.

Теорема. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Доказательство. Рассмотрим прямую а и точку Af, не лежащую на этой прямой (рис. 11). Через прямую а и точку М проходит плоскость, и притом только одна (п. 3). Обозначим эту плоскость буквой а. Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а, должна лежать в одной плоскости с точкой М и прямой а, т. е. должна лежать в плоскости а. Но в плоскости а, как известно из курса планиметрии, через точку М проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна. На рисунке 11 эта прямая обозначена буквой Ь. Итак, b—единственная прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а. Теорема доказана.

Рис. 10.Рис. 10.Рис. 11.

Рис. 10.

Рис. 10.

В дальнейшем нам понадобятся также понятия параллельных отрезков, параллельных отрезка и прямой, параллельных лучей. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой, а также параллельность двух лучей. На рисунке 12 отрезки CD и EF параллельны (CD\\EF), а отрезки АВ и CD не параллельны, отрезок АВ параллелен прямой а (АВ||а).

Параллельность трех прямых. Докажем лемму о пересечении плоскости параллельными прямыми, необходимую для дальнейшего изложения.

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Доказательство. Рассмотрим параллельные прямые а и Ь, одна из которых — прямая а — пересекает плоскость а в точке М (рис. 13, а). Докажем, что прямая b также пересекает плоскость а, т. е. имеет с ней только одну общую точку.

Обозначим буквой 0 плоскость, в которой лежат параллельные прямые а и Ь. Так как две различные плоскости аир имеют общую точку М, то по аксиоме А3 они пересекаются по некоторой прямой р (рис. 13,6). Эта прямая лежит в плоскости 0 и пересекает прямую а (в точке М), поэтому она пересекает параллельную ей прямую b в некоторой точке N. Прямая р лежит также в плоскости а, поэтому N — точка плоскости а. Следовательно, N — общая точка прямой b и плоскости а.

Докажем теперь, что прямая b не имеет других общих точек с плоскостью а, кроме точки N. Это и будет означать, что прямая b пересекает плоскость а. Действительно, если бы прямая b имела еще одну точку с плоскостью а, то она целиком лежала бы в плоскости а и, значит, была бы общей прямой плоскостей а и 0, т. е. совпадала бы с прямой р. Но это невозможно, так как по условию а||6, а прямые аир пересекаются. Лемма доказана.

Из курса планиметрии известно, что если три прямые лежат в одной плоскости и две из них параллельны третьей прямой, то эти две прямые параллельны. Докажем аналогичное утверждение для трех прямых в пространстве.

Теорема. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они па

раллельны.

Доказательство. Пусть а||с

и b ||с. Докажем, что а||6. Для этого

нужно доказать, что прямые а и b; 1) лежат в одной плоскости и 2) не пересекаются.

Отметим какую-нибудь точку К на прямой b и обозначим буквой а плоскость, проходящую через прямую а и точку К (рис. 14). Докажем, что прямая b лежит в этой плоскости. Действительно, если допустить, что прямая b пересекает плоскость а, то по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая с также пересекает плоскость а. Но так как с||а, то и прямая а пересекает плоскость а, что невозможно, ибо прямая а лежит в плоскости а.

Прямые а и b не пересекаются, так как в противном случае через точку их пересечения проходили бы две прямые (а и 6), параллельные прямой с, что невозможно. Теорема доказана.

Параллельность прямой и плоскости. Если две точки прямой лежат в данной плоскости, то по аксиоме Аг вся прямая лежит в этой плоскости. Отсюда следует, что возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:

прямая лежит в плоскости (см. рис. 5, а);

прямая и плоскость имеют только одну общую точку, т. е. пересекаются (см. рис. 5,6);

прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Параллельность прямой а и плоскости а обозначается так: а||а. Наглядное представление о прямой, параллельной плоскости, дают натянутые троллейбусные или трамвайные провода — они параллельны плоскости земли. Другой пример дает линия пересечения стены и потолка — эта линия параллельна плоскости пола (рис. 15, а). Заметим, что в плоскости пола имеется прямая, параллельная этой линии. Такой прямой является, например, линия пересечения пола с той же самой стеной. На рисунке 15, а указанные прямые обозначены буквами а и Ь. Оказывается, что если в плоскости а имеется прямая Ь, параллельная прямой а, не лежащей в плоскости а, то прямая а и плоскость а параллельны (рис. 15,6). Другими словами, наличие в плоскости а прямой Ь, параллельной прямой а, является признаком, по кото-

рому можно сделать вывод о параллельности прямой а и плоскости а. Сформулируем это утверждение в виде теоремы.

Теорема. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Доказательство. Рассмотрим плоскость а и две параллельные прямые а и Ь, расположенные так, что прямая b лежит в плоскости а, а прямая а не лежит в этой плоскости (рис. 15, 6). Докажем, что а||а. Допустим, что это не так. Тогда прямая а пересекает плоскость а, а значит, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая b также пересекает плоскость а. Но это невозможно, так как прямая b лежит в плоскости а. Итак, прямая а не пересекает плоскость а, поэтому она параллельна этой плоскости. Теорема доказана.

Докажем еще два утверждения, которые часто используются при решении задач.

1°. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Пусть через данную прямую а, параллельную плоскости а, проходит плоскость р, пересекающая плоскость а по прямой b (рис. 16). Докажем, что 6||а. Действительно, эти прямые лежат в одной плоскости (в плоскости 0) и не пересекаются: ведь в противном случае прямая а пересекала бы плоскость а, что невозможно, поскольку по условию а||а.

2°. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

В самом деле, пусть а и Ь — параллельные прямые, причем прямая а параллельна плоскости а. Тогда прямая а не пересекает плоскость а, и, следовательно, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая b также не пересекает плоскость а. Поэтому прямая b либо параллельна плоскости а, либо лежит в этой плоскости.

Рис. 16.Рис. 16.Рис. 17.Рис. 17.

Рис. 16.

Рис. 16.

Рис. 17.

Рис. 17.

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

Параллельные прямые а и b лежат в плоскости а. Докажите, что прямая с, пересекающая прямые а и Ь, также лежит в плоскости а.

На рисунке 17 точки М, N, Q и Р — середины отрезков DB, DC, АС и АВ. Найдите периметр четырехугольника MNQP, если AD=12 см, ВС=\4 см.

Точка С лежит на отрезке АВ. Через точку А проведена плоскость, а через точки В и С — параллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках В; и Сь Найдите длину отрезка СС\, если: а) точка С — середина отрезка АВ и ВВ\=7 см; б) АС:СВ = 3:2 и ВВ, = 20 см.

Стороны АВ и ВС параллелограмма ABCD пересекают плоскость а. Докажите, что прямые AD и DC также пересекают плоскость а.

Средняя линия трапеции лежит в плоскости а. Пересекают ли прямые, содержащие основания трапеции, плоскость а? Ответ обоснуйте.

Треугольники АВС и ABD не лежат в одной плоскости. Докажите, что любая прямая, параллельная отрезку CD, пересекает плоскости данных треугольников.

Точки А и В лежат в плоскости а, а точка С не лежит в этой плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков АС и ВС, параллельна плоскости а.

Точка М не лежит в плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая CD параллельна плоскости АВМ.

Точка М не лежит в плоскости трапеции ABCD с основанием AD. Докажите, что прямая AD параллельна плоскости ВМС.

Докажите, что если данная прямая параллельна прямой, по которой пересекаются две плоскости, и не лежит в этих плоскостях, то она параллельна этим плоскостям.

Сторона АС треугольника АВС параллельна плоскости а, а стороны АВ и ВС пересекаются с этой плоскостью в точках М и N. Докажите, что треугольники АВС и MBN подобны.

Точка С лежит на отрезке АВ, причем АВ:ВС = 4:3. Отрезок CD, равный 12 см, параллелен плоскости а, проходящей через точку В. Докажите, что прямая AD пересекает плоскость а в некоторой точке Е, и найдите отрезок BE.

На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты соответственно точки D

и Е так, что DE = 5 см и . Плос-

DA з

кость а проходит через точки В и С и параллельна отрезку DE. Найдите длину отрезка ВС.

В трапеции ABCD основание ВС равно 12 см. Точка М не лежит в плоскости трапеции, а точка К — середина отрезка ВМ. Докажите, что плоскость ADK пересекает отрезок МС в некоторой точке Н, и найдите отрезок КН.

Основание АВ трапеции ABCD параллельно плоскости а, а вершина С лежит в этой плоскости. Докажите, что: а) основание CD трапеции лежит в плоскости а; б) средняя линия трапеции параллельна плоскости а.

Плоскость а параллельна стороне ВС треугольника АВС и проходит через середину стороны АВ. Докажите, что плоскость а проходит также через середину стороны АС.

Плоскости аир пересекаются по прямой АВ. Прямая а параллельна как плоскости а, так и плоскости 0. Докажите, что прямые а и АВ параллельны.

Решение. Через точку А проведем прямую АМ, параллельную прямой а (рис. 18). Так как прямая а параллельна плоскостям а и р, то прямая АМ лежит как в плоскости а, так и в плоскости р (п. 6, утверждение 2°). Таким образом, АМ — прямая, по которой пересекаются плоскости а и р, т. е. она совпадает с прямой АВ. Следовательно, ДВ||а.

Докажите, что если три плоскости, не проходящие через одну прямую, попарно пересекаются, то прямые, по которым они пересекаются, либо параллельны, либо имеют общую точку.

§ 2. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХВ ПРОСТРАНСТВЕ.

УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИ

7. Скрещивающиеся прямые. Если две прямые пересекаются или параллельны, то они лежат в одной плоскости. Однако в пространстве две прямые могут быть расположены так, что они не лежат в одной плоскости, т. е. не существует такой плоскости, которая проходит через обе эти прямые. Ясно, что такие прямые не пересекаются и не параллельны.

Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Наглядное представление о скрещивающихся прямых дают две дороги, одна из которых проходит по эстакаде, а другая — под эстакадой (рис. 19).

Докажем теорему, которая выражает признак скрещивающихся прямых.

Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Доказательство. Рассмотрим прямую АВ, лежащую в плоскости а, и прямую CD, пересекающую эту плоскость в точке С, не лежащей на прямой АВ (рис. 20). Докажем, что АВ и CD — скрещивающиеся прямые, т. е. они не лежат в одной плоскости. Действительно, если допустить, что прямые АВ и CD лежат в некоторой плоскости 0, то плоскость 0 будет проходить через прямую АВ и точку С и поэтому совпадет с плоскостью а. Но это невозможно, так как прямая CD не лежит в плоскости а. Теорема доказана.

Рис. 19.Рис. 19.

Рис. 19.

Рис. 19.

Пересекающиеся пря- Параллельные прямые. Скрещивающиеся пряПересекающиеся пря- Параллельные прямые. Скрещивающиеся прямые.мые.Рис. 21.Рис. 21.мые.мые.

Пересекающиеся пря- Параллельные прямые. Скрещивающиеся пря

Пересекающиеся пря- Параллельные прямые. Скрещивающиеся пря

мые.

мые.

Рис. 21.

Рис. 21.

мые.

мые.

Итак, возможны три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве:

прямые пересекаются, т. е. имеют только одну общую точку (рис. 21, а);

прямые параллельны, т. е. лежат в одной плоскости и не пересекаются (рис. 21,6);

прямые скрещивающиеся, т. е. не лежат в одной плоскости (рис. 21, в).*

Докажем еще одну теорему о скрещивающихся прямых.

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Доказательство. Рассмотрим скрещивающиеся прямые АВ и CD (рис. 22). Докажем, что через прямую АВ проходит плоскость, параллельная прямой CD, и притом только одна.

Проведем через точку Л прямую АЕ, параллельную прямой CD, и обозначим буквой а плоскость, проходящую через прямые АВ и АЕ. Так как прямая CD не лежит в плоскости а и параллельна прямой АЕ, лежащей в этой плоскости, то прямая CD

параллельна плоскости а.

Ясно, что а — единственная плоскость, проходящая через прямую АВ и параллельная прямой CD. В самом деле, любая другая плоскость, проходящая через прямую АВ, пересекается с прямой АЕ, а значит, пересекается и с параллельной ей прямой CD. Теорема доказана.

Наглядной иллюстрацией этой теоремы служат две дороги, одна из которых проходит по эстакаде, а другая — под эстакадой (см. рис. 19). Нижняя дорога лежит в плоскости земли, параллельной дороге на эстакаде. Ясно, что и через дорогу на эстакаде проходит плоскость, параллельная плоскости земли, а значит, параллельная нижней дороге.

Углы с сонаправленными сторонами. Согласно одной из аксиом (см. приложение 2) любая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет эту плоскость на две части,

Рис. 23.Рис. 23.называемые полуплоскостями (рис. 23). Прямая а называется границей каждой из этих полуплоскостей. Любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а. а любые две точки разных полуплоскостей — по разные стороны от этой прямой (см. рис. 23).

Рис. 23.

Рис. 23.

Два луча ОА и ОЛь не лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они параллельны и лежат в одной полуплоскости с границей ООХ. Лучи ОА и О1Л1, лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они совпадают или один из них содержит другой. На рисунке 24 лучи ОА и OiЛ1, а также лучи А2В2 и О2В2 сонаправлены, а лучи ОА и О2А2, ОА и О3Л3, О2А2 и О2В2 не являются сонаправленными (объясните почему).

Докажем теорему об углах с сонаправленными сторонами.

Теорема. Если стороны двух углов соответственно со

направлены, то такие углы равны.

Доказательство. Рассмотрим углы О и Oi с соответственно сонаправленными сторонами и докажем, что Z_O= Z_OX.

Отметим на сторонах угла О какие-нибудь точки А и В и отложим на соответственных сторонах угла Ох отрезки ОХАХ = ОА

и О\В\ = ОВ (рис. 25).

Четырехугольник ОО\А\А является параллелограммом, так как противоположные стороны О А и Oi Л1 параллельны и равны. Отсюда следует, что ЛЛ1ЦОО1 и АА\ = ООХ. Аналогично четырехугольник 00\ВХВ является параллелограммом, поэтому ВВХ\\ОО\ и ВВ\=ОО\. Так как ЛЛ1ЦОО1 и FBillOOi, то по теореме о трех параллельных прямых ЛЛ|||ВВь Кроме того, АА\=ВВ\, поскольку каждый из этих отрезков равен 00х. Таким образом, в четырехугольнике АВВ\АХ про-

Рис. 26.

тивоположные стороны ДД1 и ВВ\ параллельны и равны. Следовательно, этот четырехугольник — параллелограмм, и, значит, АВ=А1В1.

Сравним теперь треугольники ЛОВ и А\О\В\. Они равны по трем сторонам, и поэтому Z_O= Z-O\. Теорема доказана.

Угол между прямыми. Любые две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости и образуют четыре неразвернутых угла. Если известен один из этих углов, то можно найти и другие три угла (рис. 26, а). Пусть а — тот из углов, который не превосходит любой из трех остальных углов. Тогда говорят, что угол между пересекающимися прямыми равен а.

Очевидно, 0°<а^90°. На рисунке 26, б угол между прямыми а и b равен 30°, а угол между прямыми тип равен 80°.

Введем теперь понятие угла между скрещивающимися прямыми. Пусть АВ и CD — две скрещивающиеся прямые (рис. 27, а). Возьмем произвольную точку М, пространства и проведем через нее прямые Д1В| и C\D\, соответственно параллельные прямым АВ и CD.

Если угол между прямыми AtBi и C\Dt равен ф, то будем говорить, что угол между скрещивающимися прямыми АВ и CD равен ф.

Докажем, что угол между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки Мь Действительно, возьмем любую другую точку М2 и проведем через нее прямые А2Вг и C2D2, соответственно параллельные прямым АВ и CD (рис. 27, а). Так как А\Вх\\А2В2, C|Di||C2D2 (объясните почему), то стороны углов с вершинами М\ и М2 попарно сонаправлены (на рис. 27, а такими углами являются Z_A\M\C\ и Z.A2M2C2, Z.A1M1D1 и ZLA2M2D2 и т. д.). Поэтому эти углы соответственно равны. Отсюда следует, что угол между прямыми А2В2 и C2D2 также равен ср.

В качестве точки Afi можно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых. На рисунке 27, б на прямой CD отмечена точка М и через нее проведена прямая А'В', параллельная АВ. Угол между прямыми А'В' и CD также равен <р.

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

Точка D не лежит в плоскости треугольника АВС, точки М, N и Р — середины отрезков DA, DB и DC соответственно, точка К лежит на отрезке BN. Выясните взаимное расположение прямых: a) ND и АВ; б) РК и ВС; в) MN и АВ; г) МР и АС; д) KN и AC; е) MD и ВС.

Через точку М, не лежащую на прямой а, проведены две прямые, не имеющие общих точек с прямой а. Докажите, что по крайней мере одна из этих прямых и прямая а являются скрещивающимися прямыми.

Прямая с пересекает прямую а и не пересекает прямую Ь, параллельную прямой а. Докажите, что b и с — скрещивающиеся прямые.

Прямая т пересекает сторону АВ треугольника АВС. Каково взаимное расположение прямых т и ВС, если: а) прямая т лежит в плоскости АВС и не имеет общих точек с отрезком АС; б) прямая т не лежит в плоскости ЛВС?

Через вершину А ромба ABCD проведена прямая а, параллельная диагонали BD, а через вершину С — прямая Ь, не лежащая в плоскости ромба. Докажите, что: а) прямые а и CD пересекаются; б) а и b скрещивающиеся прямые.

Докажите, что если АВ и CD скрещивающиеся прямые, то AD и ВС также скрещивающиеся прямые.

На скрещивающихся прямых а и b отмечены соответственно точки М и N. Через прямую а и точку N проведена плоскость а, а через прямую b и точку М — плоскость р. а) Лежит ли прямая b в плоскости а? б) Пересекаются ли плоскости а и р? При положительном ответе укажите прямую, по которой они пересекаются.

Может ли каждая из двух скрещивающихся прямых быть параллельна третьей прямой? Ответ обоснуйте.

Даны параллелограмм ABCD и трапеция АВЕК с основанием ЕК, не лежащие в одной плоскости, а) Выясните взаим-

ное расположение прямых CD и ЕК. б) Найдите периметр трапеции, если известно, что в нее можно вписать окружность и АВ = 22,5 см, ЕК = 27,5 см.

Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника* являются вершинами параллелограмма.

Прямые ОВ и CD параллельные, а ОА и CD — скрещивающиеся прямые. Найдите угол между прямыми ОА и CD, если: а) ZAOB = 40°; б) /1АОВ= 135°; в) /1АОВ = 90°.

Прямая а параллельна стороне ВС параллелограмма ABCD и не лежит в плоскости параллелограмма. Докажите, что а и CD — скрещивающиеся прямые, и найдите угол между ними, если один из углов параллелограмма равен: а) 50°; б) 121°.

Прямая т параллельна диагонали BD ромба ABCD и не лежит в плоскости ромба. Докажите, что: а) tn и АС — скрещивающиеся прямые — и найдите угол между ними; б) m и AD — скрещивающиеся прямые — и найдите угол между ними, если Z_ABC = 128°.

В пространственном четырехугольнике ABCD стороны АВ и CD равны. Докажите, что прямые АВ и CD образуют равные углы с прямой, проходящей через середины отрезков ВС и AD.

§ 3. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ

Параллельные плоскости. Мы знаем, что если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой (аксиома Аз). Отсюда следует, что две плоскости либо пересекаются по прямой (рис. 28, а), либо не пересекаются, т. е. не имеют ни одной общей точки (рис. 28,6).

Определение. Дее плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Представление о параллельных плоскостях дают пол и потолок комнаты, две противоположные стены, поверхность стола и плоскость пола.

Плоскости аир пересекаются.Плоскости аир пересекаются.Плоскости аир параллельны.Плоскости аир параллельны.

Плоскости аир пересекаются.

Плоскости аир пересекаются.

Плоскости аир параллельны.

Плоскости аир параллельны.

Рис. 28.

* Четырехугольник называется пространственным, если его вершины не лежат в одной плоскости.

9Л

Параллельность плоскостей а и Р обозначается так: а||р. Рассмотрим признак параллельности двух плоскостей.

Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство. Рассмотрим две плоскости аир (рис. 29). В плоскости а лежат пересекающиеся в точке М прямые а и Ь, а в плоскости р — прямые а\ и Ь\, причем a||ai и b||bi. Докажем, что а||р. Прежде всего отметим, что по признаку параллельности прямой и плоскости а||р и 6 Ц р.

Допустим, что плоскости а и р не параллельны. Тогда они пересекаются по некоторой прямой с. Мы получили, что плоскость а проходит через прямую а, параллельную плоскости р, и пересекает плоскость р по прямой с. Отсюда следует (по свойству 1°, п. 6), что а\\с.

Но плоскость а проходит также через прямую 6, параллельную плоскости р. Поэтому b||с. Таким образом, через точку М проходят две прямые а и Ь, параллельные прямой с. Но это невозможно, так как по теореме о параллельных прямых через точку М проходит только одна прямая, параллельная прямой с. Значит, наше допущение неверно и а||р. Теорема доказана.

И. Свойства параллельных плоскостей. Рассмотрим два свойства параллельных плоскостей.

1°. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Наглядным подтверждением этого факта служат линии пересечения пола и потолка со стеной комнаты — эти линии параллельны. Для доказательства данного свойства рассмотрим прямые а и Ь, по которым параллельные плоскости аир пересекаются с плоскостью у (рис. 30). Докажем, что а\\Ь. Эти прямые

21

лежат в одной плоскости (в плоскости у) и не пересекаются. В самом деле, если бы прямые а и b пересекались, то плоскости а и р имели бы общую точку, что невозможно, так как а||р. Итак, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются, т. е. оЦЬ.

2°. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Для доказательства этого свойства рассмотрим отрезки АВ и CD двух параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями аир (рис. 31). Докажем, что AB = CD. Плоскость у, проходящая через параллельные прямые АВ и CD, пересекается с плоскостями а и р по параллельным прямым АС и BD (свойство 1°). Таким образом, в четырехугольнике ABDC противоположные стороны попарно параллельны, т. е. ABDC — параллелограмм. Но в параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому AB = CD.

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

Укажите модели параллельных плоскостей на предметах классной обстановки.

Прямая m пересекает плоскость а в точке В. Существует ли плоскость, проходящая через прямую m и параллельная плоскости а?

Плоскости аир параллельны, прямая пг лежит в плоскости а. Докажите, что прямая пг параллельна плоскости р.

Докажите, что плоскости аир параллельны, если две пересекающиеся прямые пг и п плоскости а параллельны плоскости р.

Две стороны треугольника параллельны плоскости а. Докажите, что и третья сторона параллельна плоскости а.

Три отрезка А1А2, В1В2 и С\С2, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости А\В\С\ и А2В2С2 параллельны.

Точка В не лежит в плоскости треугольника ADC, точки М, N и Р — середины отрезков ВА, ВС и BD соответственно, а) Докажите, что плоскости MNP и ADC параллельны, б) Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольника ADC равна 48 см2.

Докажите, что если прямая а пересекает плоскость а, то она пересекает также любую плоскость, параллельную плоскости а.

Решение. Рассмотрим произвольную плоскость р, параллельную плоскости а. Через какую-нибудь точку В плоскости р проведем прямую Ь, параллельную прямой а. Так как прямая а пересекает плоскость а, то прямая b также пересекает эту плоскость. Следовательно, прямая b пересекает плоскость р (а не лежит в ней). Поэтому прямая а также пересекает плоскость р.

Плоскости аир параллельны, А — точка плоскости а. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку А и параллельная плоскости р, лежит в плоскости а.

Прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей. Докажите, что прямая а либо параллельна другой плоскости, либо лежит в ней.

Докажите, что если плоскость у пересекает одну из параллельных плоскостей а и р, то она пересекает и другую плоскость.

Решение. Пусть плоскость у пересекает плоскость а по прямой а. Докажем, что плоскость у пересекает также плоскость р. Проведем в плоскости у прямую Ь, пересекающую прямую а. Прямая b пересекает плоскость а, поэтому она пересекает и параллельную ей плоскость р (задача 55). Следовательно, и плоскость у, в которой лежит прямая Ь, пересекает плоскость р.

Докажите, что через точку А, не лежащую в плоскости а, проходит плоскость, параллельная плоскости а, и притом только одна.

Решение. Проведем в плоскости а две пересекающиеся прямые а и 6, а через точку А проведем прямые си и Ьь соответственно параллельные прямым а и Ь. Рассмотрим плоскость р, проходящую через прямые си и Ь\. Плоскость р — искомая, так как она проходит через точку Д и по признаку параллельности двух плоскостей параллельна плоскости а.

Докажем теперь, что р — единственная плоскость, проходящая через точку А и параллельная плоскости а. В самом деле, любая другая плоскость, проходящая через точку А, пересекает плоскость р, поэтому пересекает и параллельную ей плоскость а (задача 58).

Две плоскости аир параллельны плоскости у. Докажите, что плоскости аир параллельны.

Даны пересекающиеся прямые а и b и точка А, не лежащая в плоскости этих прямых. Докажите, что через точку А проходит плоскость, параллельная прямым а и Ь, и притом только одна.

Для проверки горизонтальности установки диска угломерных инструментов пользуются двумя уровнями, расположенными в плоскости диска на пересекающихся прямых. Почему уровни нельзя располагать на параллельных прямых?

Параллельные плоскости аир пересекают сторону АВ угла ВАС соответственно в точках А\ и Д2, а сторону АС этого угла — соответственно в точках В\ и Bi. Найдите: а) АА2 и АВ2, если AiA2 = 2AiA, AiA2=12 см, ДВ|=5 см; б) А2В2 и АА2, если Д1В1 = 18 см, ДД1=24 см, ЛЛ2=-|-Д1Д2.

Три прямые, проходящие через одну точку и не лежащие в одной плоскости, пересекают одну из параллельных плоское -

тей в точках Ai, Bi и С\, а другую — в точках Л2, В2 и С2. Докажите, что треугольники А\В\С\ и Л2В2С2 подобны.

Параллельные отрезки А1А2, В1В2 и CiC2 заключены между параллельными плоскостями аир (рис. 32). а) Определите вид четырехугольников А1В1В2А2, В1С1С2В2 и AiC\C$A2. б) Докажите, что /\AiBtCi = = ^хАгВгСг-

ТЕТРАЭДР И ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

Тетраэдр. Одна из глав нашего курса будет посвящена многогранникам — поверхностям геометрических тел, составленным из многоугольников. Но уже теперь, до подробного изучения многогранников, мы познакомимся с двумя из них — тетраэдром и параллелепипедом. Это даст нам возможность проиллюстрировать понятия, связанные со взаимным расположением прямых и плоскостей, на примере двух важных геометрических тел.

Прежде чем ввести понятия тетраэдра и параллелепипеда, вспомним, что мы понимали под многоугольником в планиметрии. Многоугольник мы рассматривали либо как замкнутую линию без самопересечений, составленную из отрезков (рис. 33, а), либо как часть плоскости, ограниченную этой линией, включая ее саму (рис. 33, б). При рассмотрении поверхностей и тел в пространстве будем пользоваться вторым толкованием многоугольника. При таком толковании любой многоугольник в пространстве представляет собой плоскую поверхность.

Перейдем теперь к определению тетраэдра.

Многоугольник ABCDE— Многоугольник ABCDE—Рис. 34.

фигура, составленная нз часть плоскости, ограни-

отрезков.ценная линией ABCDE.

Рис. 33.

Рис. 35.Рис. 35.FFРассмотрим произвольный треугольник АВС и точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединив точку D отрезками с вершинами треугольника АВС, получим треугольники DAB, DBC и DCA. Поверхность, составленная из четырех треугольников АВС, DAB, DBC и DCA, называется тетраэдром и обозначается так: DABC (рис. 34).

Рис. 35.

Рис. 35.

F

F

общих вершин, называются противоположными. На рисунке 34противоположными являются ребра AD и ВС, BD и AC, CD и АВ.Иногда выделяют одну из граней тетраэдра и называют ее ос-общих вершин, называются противоположными. На рисунке 34противоположными являются ребра AD и ВС, BD и AC, CD и АВ.Иногда выделяют одну из граней тетраэдра и называют ее ос-Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями, их стороны — ребрами, а вершины — вершинами тетраэдра. Тетраэдр имеет четыре грани, шесть ребер и четыре вершины. Два ребра тетраэдра, не имеющие

общих вершин, называются противоположными. На рисунке 34противоположными являются ребра AD и ВС, BD и AC, CD и АВ.Иногда выделяют одну из граней тетраэдра и называют ее ос-

общих вершин, называются противоположными. На рисунке 34противоположными являются ребра AD и ВС, BD и AC, CD и АВ.Иногда выделяют одну из граней тетраэдра и называют ее ос-

нованием, а три другие — боковыми гранями.

Тетраэдр изображается обычно так, как показано на рисунках 34 и 35, т. е. в виде выпуклого или невыпуклого четырехугольника с диагоналями. При этом штриховыми линиями изображаются невидимые ребра. На рисунке 34 невидимым является только ребро АС, а на рисунке 35 — ребра EK, KF и KL.

Параллелепипед. Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A\B\C\DX, расположенных в параллельных плоскостях так, что отрезки ААХ, ВВХ, ССХ и DDX параллельны (рис. 36, а).

Четырехугольники

ABBtAv, ВСС\ВХ, CDDXC\, DAAXDX(1)

также являются параллелограммами, так как каждый из них имеет попарно параллельные противоположные стороны (например, в четырехугольнике АВВХАХ стороны ААХ и ВВХ параллельны по условию, а стороны АВ и АХВХ — по свойству линий пересечения двух параллельных плоскостей третьей (свойство 1°, п. И)). Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов

Рис. 36. Параллелепипед.Рис. 36. Параллелепипед.

Рис. 36. Параллелепипед.

Рис. 36. Параллелепипед.

ABCD и A\B\C\D\ и четырех параллелограммов (1), называется параллелепипедом и обозначается так: ABCDAxB\CxD\.

Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями, их стороны — ребрами, а вершины параллелограммов — вершинами параллелепипеда. Параллелепипед имеет шесть граней, двенадцать ребер и восемь вершин. Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными, а не имеющие общих ребер — противоположными. На рисунке 36, б противоположными являются грани ABCD и A\B\C\D\, АВВхАх и DCCiDi, ADDXAX и ВССхВх. Две вершины, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Каждый параллелепипед имеет четыре диагонали. На рисунке 36, б диагоналями являются отрезки ЛС1, BD\, САХ и DB\.

Часто выделяют какие-нибудь две противоположные грани и называют их основаниями, а остальные грани — боковыми гранями параллелепипеда. Ребра параллелепипеда, не принадлежащие основаниям, называются боковыми ребрами. Так, если в качестве оснований выбрать грани ABCD и Д1В1С1Оь то боковыми гранями будут параллелограммы (1), а боковыми ребрами — отрезки ААх, ВВХ, ССХ и DDX.

Параллелепипед изображается обычно так, как показано на рисунке 36, б. При этом изображениями граней являются параллелограммы; невидимые ребра и другие невидимые отрезки, например диагонали, изображаются штриховыми линиями*.

Рассмотрим два свойства параллелепипеда.

1°. Противоположные грани параллелепипеда параллельны** и равны.

Докажем, например, параллельность и равенство граней АВВхАх и DCCiDi параллелепипеда ABCDAiBtCxDi (рис. 36,6). Так как ABCD и ADDxAx — параллелограммы, то ДВЦОС и ДЛЛРДь Таким образом, две пересекающиеся прямые АВ и ААх одной грани соответственно параллельны двум прямым CD и DD\ другой грани. Отсюда по признаку параллельности плоскостей следует, что грани АВВхАх и DCCXD\ параллельны.

Докажем теперь равенство этих граней. Так как все грани параллелепипеда — параллелограммы, то AB = DC и AAX=DDX. По этой же причине стороны углов А\АВ и D\DC соответственно сонаправлены, и, значит, эти углы равны. Таким образом, две смежные стороны и угол между ними параллелограмма АВВхАх соответственно равны двум смежным сторонам и углу между

* Более подробно об изображении пространственных фигур на плоскости, в частности параллелепипеда, рассказано в приложении I.

** Две грани параллелепипеда называются параллельными, если их плоскости параллельны.

26

Рис. 37.

ними параллелограмма DCCXDX, поэтому эти параллелограммы

равны.

2°. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Чтобы доказать это свойство, рассмотрим четырехугольник AiDiCB, диагонали которого Л1С и DXB являются диагоналями параллелепипеда ABCDAXBXCXDX (рис. 37, а). Так как 4iDi||BC и A\DX=BC (объясните почему), то AXDXCB — параллелограмм. Поэтому диагонали АХС и D\B пересекаются в некоторой точке О и этой точкой делятся пополам.

Далее рассмотрим четырехугольник ADXCXB (рис. 37,6). Он также является параллелограммом (докажите это), и, следовательно, его диагонали АСХ и DXB пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Но серединой диагонали DXB является точка О. Таким образом, диагонали АХС, DXB и АСХ пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам.

Наконец, рассматривая четырехугольник Л^CD (рис. 37, в), точно так же устанавливаем, что и четвертая диагональ DBX параллелепипеда проходит через точку О и делится ею пополам.

Задачи на построение сечений. Для решения многих геометрических задач, связанных с тетраэдром и параллелепипедом, полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями. Уточним, что понимается под сечением тетраэдра или параллелепипеда. Назовем секусцей плоскостью тетраэдра (параллелепипеда) любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра (параллелепипеда). Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра (параллелепипеда) по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра (параллелепипеда). Так как тетраэдр имеет четыре грани, то его сечениями могут быть только треугольники и четырехугольники (рис. 38). Параллелепипед имеет шесть граней. Его сечениями могут быть треугольники, четырехугольники (рис. 39, а), пятиугольники (рис. 39,6) и шестиугольники (рис. 39, в).

При построении сечений параллелепипеда на рисунке следует учитывать тот факт, что если секущая плоскость пересекает две 27

противоположные грани по каким-то отрезкам, то эти отрезки параллельны (свойство 1°, п. 11). Так, на рисунке 39,6 секущая плоскость пересекает две противоположные грани (левую и правую) по отрезкам АВ и CD, а две другие противоположные .грани (переднюю и заднюю) — по отрезкам АЕ и ВС, поэтому AB\\CD и ЛЕЦВС. По той же причине на рисунке 39, в AB\\ED, AF\\CD, BC\\EF. Отметим также, что для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами тетраэдра (параллелепипеда), после чего остается провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной и той же грани.

Рассмотрим примеры построения сечений.

Задача 1. На ребрах АВ, BD и CD тетраэдра ABCD отмечены точки М, N и Р (рис. 40, а). Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP.

Решение. Построим сначала прямую, по которой плоскость MNP пересекается с плоскостью грани АВС. Точка М является общей точкой этих плоскостей. Для построения еще одной общей точки продолжим отрезки NP и ВС до их пересечения в точке Е (рис. 40,6), которая и будет второй общей точкой плоскостей MNP и АВС. Следовательно, эти плоскости пересекаются по

Рис. 39.Рис. 39.

Рис. 39.

Рис. 39.

прямой ME. Прямая ME пересекает ребро АС в некоторой точке Q. Четырехугольник MNPQ — искомое сечение.

Если прямые NP и ВС параллельны (рис. 40, в), то прямая NP параллельна грани АВС, поэтому плоскость MNP пересекает эту грань по прямой ME', параллельной прямой NP. Точка Q, как и в первом случае, есть точка пересечения ребра АС с прямой ME'.

Задача 2. Точка М лежит на боковой грани ADB тетраэдра DABC (рис. 41, а). Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно основанию АВС.

Решение. Так как секущая плоскость параллельна плоскости АВС, то она параллельна прямым АВ, ВС и СА. Следовательно, секущая плоскость пересекает боковые грани тетраэдра по прямым, параллельным сторонам треугольника АВС (п. 6, утверждение 1°). Отсюда вытекает следующий способ построения искомого сечения. Проведем через точку М прямую, параллельную отрезку АВ, и обозначим буквами Р и Q точки пересечения этой прямой с боковыми ребрами DA и DB (рис. 41,6). Затем через точку Р проведем прямую, параллельную отрезку АС, и обозначим буквой R точку пересечения этой прямой с ребром DC. Треугольник PQR — искомое сечение.

Задача 3. На ребрах параллелепипеда даны три точки А, В и С. Построить сечение параллелепипеда плоскостью АВС.

Решение. Построение искомого сечения зависит от того, на каких ребрах параллелепипеда лежат точки А, В и С. В самом простом случае, когда эти точки лежат на ребрах, выходящих из одной вершины (см. рис. 39, а), нужно провести отрезки АВ, ВС -и СА, и получится искомое сечение — треугольник АВС. Если три данные точки А, В и С расположены так, как показано на рисунке 39, б, то сначала нужно провести отрезки АВ и ВС, а затем через точку А провести прямую, параллельную ВС, а через точку С — прямую, параллельную АВ. Пересечения этих прямых с ребрами нижней грани дают точки Е и D. Остается провести отрезок ED, и искомое сечение — пятиугольник ABCDE — построено.

Более трудный случай, когда данные точки А, В и С расположены так, как показано на рисунке 39, в. В этом случае можно поступить так. Сначала построим прямую, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Для этого проведем прямую АВ и продолжим нижнее ребро, лежащее в той же грани, что и прямая АВ, до пересечения с этой прямой в точке М. Далее через точку М проведем прямую, параллельную прямой ВС. Это и есть прямая, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Эта прямая пересекается с ребрами нижнего основания в точках Е и F. Затем через точку Е проведем прямую, параллельную прямой АВ, и получим точку D. Наконец, проводим отрезки AF и CD, и искомое сечение — шестиугольник ABCDEF — построено.

ЗАДАЧИ

Назовите все пары скрещивающихся (т. е: принадлежащих скрещивающимся прямым) ребер тетраэдра ABCD. Сколько таких пар ребер имеет тетраэдр?

В тетраэдре DABC дано: ZADB = 54°, Z В DC = 72°, Z-CDA =90°, DA =20 см, BD = 18 см, DC = 21 см. Найдите: а) ребра основания АВС данного тетраэдра; б) площади всех боковых граней.

Точки М и N — середины ребер АВ и АС тетраэдра ABCD. Докажите, что прямая MN параллельна плоскости BCD.

Через середины ребер АВ и ВС тетраэдра SABC проведена плоскость параллельно ребру SB. Докажите, что эта плоскость пересекает грани SAB и SBC по параллельным прямым.

Докажите, что плоскость, проходящая через середины ребер АВ, АС и AD тетраэдра ABCD, параллельна плоскости BCD.

Изобразите тетраэдр DABC и на ребрах DB, DC и ВС отметьте соответственно точки М, N и К. Постройте точку пересечения: а) прямой MN и плоскости АВС; б) прямой KN и плоскости ABD.

Изобразите тетраэдр DABC и постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно плоскости грани АВС, если: а) точка М является серединой ребра AD; б) точка М лежит внутри грани ABD.

В тетраэдре A BCD точки М, N и Р являются серединами ребер АВ, ВС и CD, АС=\0 см, BD=\2 см. Докажите, что плоскость MNP проходит через середину К ребра AD, и найдите периметр четырехугольника, полученного при

пересечении тетраэдра плоскостью MNP.

ЧА. Через точку пересечения медиан грани BCD тетраэдра ABCD проведена плоскость, параллельная грани АВС. а) Докажите, что сечение тетраэдра этой плоскостью есть треугольник, подобный треугольнику АВС. б) Найдите отношение площадей сечения и треугольника АВС.

Изобразите тетраэдр KLMN. а) Постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через ребро KL и середину А ребра MN. б) Докажите, что плоскость, проходящая через середины Е, О и F отрезков LM, МА и МК, параллельна плоскости LKA. Найдите площадь треугольника EOF, если площадь треугольника LKA равна 24 см2.

Дан параллелепипед ABCDAXBXC\D\. Докажите, что ДСЦД1С1 и BD\\B\D\. *

Сумма вбех ребер параллелепипеда ABCDAXB\C\D\ равна 120 см. Найдите каждое ребро параллелепипеда, если из

вестно, что ВС 5 BBi 6

На рисунке 42 изображен параллелепипед ABCDAiBtCiDb на ребрах которого отмечены точки М, N, М\ и ^l так, что AM = CN=A\M\==CXNX. Докажите, что MBNDM\B\N\D\—

параллелепипед.

Изобразите параллелепипед ABCDA\BxCxDx и постройте его сечение: а) плоскостью АВСХ; б) плоскостью АСС\. Докажите, что построенные сечения являются параллелограммами.

Изобразите параллелепипед ABCDAtB\C\Dt и постройте его сечения плоскостями АВС\ и DCBX, а также отрезок, по которому эти сечения пересекаются.

Изобразите параллелепипед ABCDAXB\C\D\ и отметьте точки М и N соответственно на ребрах ВВ\ и СС\. Постройте точку пересечения: а) прямой MN с плоскостью АВС; б) прямой ДАТ с плоскостью Д1В1С1.

Изобразите параллелепипед ABCDAXBXCXDX и отметьте внутреннюю точку М грани ААХВХВ. Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через точку М параллельно: а) плоскости основания ABCD; б) грани ВВХСХС; в) плоскости BDDX.

Изобразите параллелепипед ABCDAXBXCXDX и постройте его сечение плоскостью, проходящей через: а) ребро ССХ и точку пересечения диагоналей грани AA1D1D; б) точку пересечения диагоналей грани ABCD параллельно плоскости АВХСХ.

Изобразите параллелепипед ABCDAXBXCXDX и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки BXl Dx и середину ребра CD. Докажите, что построенное сечение — трапеция.

Изобразите параллелепипед ABCDAXBXCXDX и постройте его сечение плоскостью BKL, где К — середина ребра ААХ, a L — середина ребра ССХ. Докажите, что построенное сечение — параллелограмм.

Изобразите параллелепипед ABCDAXBXCXDX и постройте его сечение плоскостью, проходящей через диагональ АС основания параллельно диагонали BDX. Докажите, что если основание параллелепипеда — ромб и углы АВВХ и СВВХ прямые, то построенное сечение — равнобедренный треугольник.

Изобразите параллелепипед ABCDAXBXCXDX и постройте его сечение плоскостью MNK, где точки М, N и К лежат соответственно на ребрах: а) ВВХ, ААХ, AD; б) ССХ, AD, ВВХ.

ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ I

Верно ли утверждение: если две прямые не имеют общих точек, то они параллельны?

Точка М не лежит на прямой а. Сколько прямых, не пересекающих прямую а, проходит через точку М? Сколько из этих прямых параллельны прямой а?

Прямые а и с параллельны, а прямые а и b пересекаются. Могут ли прямые b и с быть параллельными?

Прямая а параллельна плоскости а. Верно ли, что эта прямая: а) не пересекает ни одну прямую, лежащую в плоскости а; б) параллельна любой прямой, лежащей в плоскости а; в) параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости а?

Прямая а параллельна плоскости а. Сколько прямых, лежащих в плоскости а, параллельны прямой а? Параллельны ли друг другу эти прямые, лежащие в плоскости а?

Прямая а пересекает плоскость а. Лежит ли в плоскости а хоть одна прямая, параллельная а?

Одна из двух параллельных прямых параллельна некоторой плоскости. Верно ли утверждение, что и вторая прямая параллельна этой плоскости?

Верно ли утверждение: если две прямые параллельны не которой плоскости, то они параллельны друг другу?

Две прямые параллельны некоторой плоскости. Могут ли эти прямые: а) пересекаться? б) быть скрещивающимися?

Могут ли скрещивающиеся прямые а и b быть параллельными прямой с?

Боковые стороны трапеции параллельны плоскости а. Параллельны ли плоскость а и плоскость трапеции?

Две стороны параллелограмма параллельны плоскости а. Параллельны ли плоскость а и плоскость параллелограмма?

Могут ли'быть равны два непараллельных отрезка, заключенные между параллельными плоскостями?

Существует ли тетраэдр, у которого пять углов граней прямые?

Существует ли параллелепипед, у которого: а) только одна грань — прямоугольник; б) только две смежные грани — ромбы; в) все углы граней острые; г) все углы граней прямые; д) число всех острых углов граней не равно числу всех тупых углов граней?

Какие многоугольники могут получиться в сечении: а) тетраэдра; б) параллелепипеда?

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

Параллельные прямые АС и BD пересекают плоскость а соответственно в точках А и В. Точки С и D лежат по одну сторону от плоскости а, ,4С = 8 см, ВО = 6 см, АВ = ^ см. а) Докажите, что прямая CD пересекает плоскость а в некоторой точке Е. б) Найдите отрезок BE.

Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Медианы треугольников АВС и CBD пересекаются соответственно в точках Mi и Мг. Докажите, что отрезки AD и МХМ2 параллельны.

Вершины А и В трапеции ABCD лежат в плоскости а, а вершины С и D не лежат в этой плоскости. Как расположена прямая CD относительно плоскости а, если отрезок АВ является: а) основанием трапеции; б) боковой стороной трапеции?

Через каждую из двух параллельных прямых а и b и точку М, не лежащую в плоскости этих прямых, проведена плоскость. Докажите, что эти плоскости пересекаются по прямой, параллельной прямым а и Ь.

Плоскость а и прямая а параллельны прямой Ь. Докажите, что прямая а либо параллельна плоскости а, либо лежит в ней.

3333Прямые а и b параллельны. Через точку М прямой а пройдена прямая MN, отличная от прямой а и не пересекающая прямую Ь. Каково взаимное расположение прямых MN и Ь?

33

33

2 Заказ 106

Даны две скрещивающиеся прямые и точка В, не лежащая на этих прямых. Пересекаются ли плоскости, каждая из которых проходит через одну из прямых и точку В? Ответ обоснуйте.

Прямая а параллельна плоскости а. Докажите, что если плоскость р пересекает прямую а, то она пересекает и плоскость а.

Докажите, что отрезки параллельных прямых, заключенные между плоскостью и параллельной ей прямой, равны.

Докажите, что два угла с соответственно параллельными сторонами либо равны, либо их сумма равна 180°.

Прямая а параллельна плоскости а. Существует ли плоскость, проходящая через прямую а и параллельная плоскости а? Если существует, то сколько таких плоскостей? Ответ обоснуйте.

Докажите, что три параллельные плоскости отсекают на любых двух пересекающих эти плоскости прямых пропорциональные отрезки.

Даны две скрещивающиеся прямые и точка А. Докажите, что через точку А проходит, и притом только одна, плоскость, которая либо параллельна данным прямым, либо проходит через одну из них и параллельна другой.

Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Докажите, что плоскость а, проходящая через середины двух ребер основания тетраэдра и вершину, не принадлежащую основанию, параллельна третьему ребру основания. Найдите периметр и площадь сечения тетраэдра плоскостью а, если длины всех ребер тетраэдра равны 20 см.

На ребрах ОЛ, DB и DC тетраэдра DABC отмечены точки М, N и Р так, что DM:MA = DN:NB = DP*.PC. Докажите, что плоскости MNP и АВС параллельны. Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольника АВС равна 10 см2 и DM:МА = 2:1.

Изобразите тетраэдр ABCD и отметьте точку М на ребре АВ. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно прямым АС и BD.

Изобразите тетраэдр DABC и отметьте точки М и N на ребрах BD и CD и внутреннюю точку К грани АВС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK.

Изобразите тетраэдр DABC, отметьте точку К на ребре DC и точки М и N граней АВС и ACD. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK.

Изобразите тетраэдр ABCD и отметьте точку М на ребре АВ. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно грани BDC.

8*. В тетраэдре DABC биссектрисы трех углов при вершине D пересекают отрезки ВС, СА и АВ соответственно в точках А\, Bi и С|. Докажите, что отрезки ААЬ ВВХ и СС\ пересекаются в одной точке.

Две плоскости, каждая из которых содержит два боковых ребра параллелепипеда, не принадлежащих одной грани, пересекаются по прямой а. Докажите, что прямая а параллельна боковым ребрам параллелепипеда и пересекает все его диагонали.

НО. Докажете, что в параллелепипеде ABCDAXBXCXDX плоскость AXDB параллельна плоскости DXCBX.

Докажите, что диагональ параллелепипеда меньше суммы трех ребер, имеющих общую вершину.

Докажите, что сумма квадратов четырех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его ребер.

По какой прямой пересекаются плоскости сечений AXBCDX и BDDXBX параллелепипеда ABCDAXBXCXDX7

Изобразите параллелепипед ABCDAxBiCxDx и отметьте на ребре АВ точку М. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку М параллельно плоскости АССХ.

Точка Л4 лежит на ребре ВС параллелепипеда ABCDAXBXCXDX. Постройте сечение этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку М параллельно плоскости BDCX.

Глава II

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХИ ПЛОСКОСТЕЙ

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ прямой и плоскости

Перпендикулярные прямые в пространстве. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90°. Перпендикулярность прямых а и b обозначается так: аА_Ь. Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися. На рисунке 43 перпендикулярные прямые а и b пересекаются, а перпендикулярные прямые а и с скрещивающиеся.

Докажем лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Доказательство. Пусть а||6 и а±с. Докажем, что Ы.С. Через произвольную точку М пространства, не лежащую на данных прямых, проведем прямые МА и МС, параллельные соответственно прямым а и с (рис. 44). Так как а_1_с, то Z-AMC = = 90°.

По условию леммы Ь\\а, а по построению а||МД, поэтому b ||МА. Таким образом, прямые b и с параллельны соответственно прямым МА и МС, угол между которыми равен 90°. Это означает, что угол между прямыми b и с также равен 90°, т. е. b_Lc. Лемма доказана.

Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости.

Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

ЧАЧАРис. 43.Рис. 43.Рис. 44.Рис. 44.

ЧА

ЧА

Рис. 43.

Рис. 43.

Рис. 44.

Рис. 44.

Перпендикулярность прямой а и плоскости а обозначается так: а±а. Говорят также, что плоскость а перпендикулярна к прямой а.

Если прямая а перпендикулярна к плоскости а, то она пересекает эту плоскость. В самом деле, если бы прямая а не пересекала плоскость а, то она или лежала бы в этой плоскости, или была бы параллельна ей. Но тогда в плоскости а имелись бы прямые, не перпендикулярные к прямой а, например прямые, параллельные ей, что противоречит определению перпендикулярности прямой и плоскости. Значит, прямая а пересекает плоскость а.

На рисунке 45 изображена прямая а, перпендикулярная к плоскости а.

Окружающая нас обстановка дает много примеров, иллюстрирующих перпендикулярность прямой и плоскости. Не- покосившийся телеграфный столб стоит прямо, т. е. перпендикулярно к плоскости земли. Так же расположены колонны здания по отношению к плоскости фундамента, линии пересечения стен по отношению к плоскости пола и т. д.

Докажем две теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.

Теорема. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Доказательство. Рассмотрим две параллельные прямые а и а\ и плоскость а, такую, что a_La. Докажем, что и ai_La.

Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости а (рис. 46). Так как a±a, то а1_х. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей ai±x. Таким образом, прямая а\ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости а, т. е. ai-La. Теорема доказана.

Докажем обратную теорему.

Рис. 46.Рис. 46.Теорема. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Рис. 46.

Рис. 46.

Рис. 45.

Доказательство. Рассмотрим прямые а и Ь, перпендикулярные к плоскости а (рис. 47, а). Докажем, что а||6.

Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую Ь\, параллельную прямой а. По предыдущей теореме 6iJ_a. Докажем, что прямая 61 совпадает с прямой 6. Тем самым будет доказано, что а\\Ь. Допустим, что прямые 6 и 6t не совпадают. Тогда в плоскости 0, содержащей прямые 6 и 61, через точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с, по которой пересекаются плоскости а и 0 (рис. 47,6). Но это невозможно, следовательно, а||6. Теорема доказана.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Как проверить, перпендикулярна ли данная прямая к данной плоскости? Этот вопрос имеет практическое значение, например, при установке мачт, колонн зданий и т. д., которые нужно поставить прямо, т. е. перпендикулярно к той плоскости, на которую они ставятся. Оказывается, что для этого нет надобности проверять перпендикулярность по отношению к любой прямой, как о том говорится в определении, а достаточно проверить перпендикулярность лишь к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости. Это вытекает из следующей теоремы, выражающей признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Теорема. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Доказательство. Рассмотрим прямую а, которая перпендикулярна к прямым р и q, лежащим в плоскости а и пересекающимся в точке О (рис. 48, а). Докажем, что a±a. Для этого нужно доказать, что прямая а перпендикулярна к произвольной прямой пг плоскости а.

38

Рис. 48.

Рассмотрим сначала случай, когда прямая а проходит через точку О (рис. 48,6). Проведем через точку О прямую I, параллельную прямой т (если прямая т проходит через точку О, то в качестве / возьмем саму прямую т). Отметим на прямой а точки А и В так, чтобы точка О была серединой отрезка АВ, и проведем в плоскости а прямую, пересекающую прямые р, q и / соответственно в точках Р, Q и L. Будем считать для определенности, что точка Q лежит между точками Р и L (рис. 48,6).

Так как прямые р и q — серединные перпендикуляры к отрезку АВ, то АР = ВР и AQ = BQ. Следовательно, &APQ = &BPQ по трем сторонам. Поэтому Z_APQ= Z.BPQ.

Сравним теперь треугольники APL и BPL. Они равны по двум сторонам и углу между ними \АР = ВР, PL—общая сторона, Z.APL — Z.BPL), поэтому AL — BL. Но это означает, что треугольник ABL равнобедренный и его медиана LO является высотой, т. е. /J_a. Так как 1\\т и /_1_а, то m_La (по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей). Таким образом, прямая а перпендикулярна к любой прямой /н плоскости а, т. е. а±а.

Рассмотрим теперь случай, когда прямая а не проходит через точку О. Проведем через точку О прямую П|, параллельную прямой а. По упомянутой лемме а, Д_р и a\l_q, поэтому по доказанному в первом случае а\1_а.. Отсюда (ио первой теореме п. 16) следует, что a±a. Теорема доказана.

Воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости для решения следующей задачи.

Задача. Доказать, что через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.

Решение. Обозначим данную прямую буквой а, а произвольную точку пространства — буквой М. Докажем, что существует плоскость, проходящая через точку М и перпендикулярная к прямой а.

Рис. 49.Рис. 49.Рис. 50.Рис. 50.

Рис. 49.

Рис. 49.

Рис. 50.

Рис. 50.

Проведем через прямую а две плоскости аир так, чтобы М С а (рис. 49). В плоскости а через точку М проведем прямую р, перпендикулярную к прямой а, а в плоскости р через точку пересечения прямых р и а проведем прямую q, перпендикулярную к прямой а. Рассмотрим плоскость у, проходящую через прямые р и q. Плоскость у является искомой, так как прямая а перпендикулярна к двум пересекающимся прямым р и q этой плоскости.

Замечание. Можно доказать, что у — единственная плоскость, проходящая через точку М и перпендикулярная к прямой а (задача 133).

Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости.

Теорема. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Доказательство. Данную плоскость обозначим буквой а, а произвольную точку пространства — буквой М. Докажем, что:

через точку М проходит прямая, перпендикулярная к плоскости а;

такая прямая только одна.

Проведем в плоскости а произвольную прямую а и рассмотрим плоскость р, проходящую через точку М и перпендикулярную к прямой а (рис. 50). Обозначим буквой b прямую, по которой пересекаются плоскости а и р. В плоскости р через точку М проведем прямую с, перпендикулярную к прямой Ь. Прямая с и есть искомая прямая. Она перпендикулярна к плоскости а, так как перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости (с _Lb по построению и cJ_a, так как p_La).

Предположим, что через точку М проходит еще одна прямая (обозначим ее через Ci), перпендикулярная к плоскости а. Тогда (по обратной теореме п. 16) Ci||c, что невозможно, так как прямые С\ и с пересекаются в точке М. Таким образом, через точку М проходит только одна прямая, перпендикулярная к плоскости а. Теорема доказана.

ЗАДАЧИ

Дан параллелепипед ABCDAXBXCXDX. Докажите, что:

DC_LB\CX и AB_LAXDX, если Z_BAD = 90°;

ЛВ±СС! и DDXA_AXBX, если AB_LDDX.

В тетраэдре ABCD известно, что ВС-LAD. Докажите, что AD.LMN, где М и N — середины ребер АВ и АС.

Точки А, М и О лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости а, а точки О, В, С и D лежат в плоскости а. Какие из следующих углов являются прямыми: Z_AOB, Z-MOC, Z_DAM, Z_DOA, Z_BMO?

Прямая OA перпендикулярна к плоскости ОВС, и точка О является серединой отрезка AD. Докажите, что: a) AB = DB; б) АВ=АС, если ОВ=ОС; в) ОВ = ОС, если АВ=АС.

Через точку О пересечения диагоналей квадрата со стороной а проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки К до вершин квадрата, если ОК = Ь.

В треугольнике АВС дано: Z.C = 90°, ЛС = 6 см, ВС = 8 см, СМ — медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем СК=12 см. Найдите КМ.

Прямая CD перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС. Через центр О этого треугольника проведена прямая ОК, параллельная прямой CD. Известно, что АВ = = 16^3 см, ОК = 12 см, CD = 16 см. Найдите расстояния от точек D и К до вершин Л и В треугольника.

Докажите, что если две плоскости аир перпендикулярны к прямой а, то они параллельны.

Решение. Проведем какую-нибудь прямую, параллельную прямой а, так, чтобы она пересекала плоскости аир в различных точках Л и В. По первой теореме п. 16 плоскости аир перпендикулярны к прямой АВ.

Если допустить, что плоскости а и р не параллельны, т. е. имеют хотя бы одну общую точку М, то получим треугольник АВМ с двумя прямыми углами при вершинах Л и В, что невозможно. Следовательно, а||р.

Прямая PQ параллельна плоскости а. Через точки Р и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости а, которые пересекают эту плоскость соответственно в точках Рх и Qt. Докажите, что PQ = PXQX.

Через точки Р и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости а и пересекающие ее соответственно в точках Р< и Qi. Найдите P\Qi, если PQ = 15 см, РР\ = — 21,5 см, QQi=33,5 см.

Прямая МВ перпендикулярна к сторонам АВ и ВС треугольника АВС. Определите вид треугольника MBD, где D — произвольная точка прямой АС.

В треугольнике АВС сумма углов Л и В равна 90°. Прямая BD перпендикулярна к плоскости АВС. Докажите, что CD.LAC.

Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая ОМ так, что МА = МС, MB = MD. Докажите, что прямая ОМ перпендикулярна к плоскости параллелограмма.

Прямая АМ перпендикулярна к плоскости квадрата ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О. Докажите, что: а) прямая BD перпендикулярна к плоскости АМО; б) MO3.BD.

Через вершину В квадрата ABCD проведена прямая ВМ. Известно, что Z.MBA = Х.МВС=90°, МВ — т, АВ = п. Найдите расстояния от точки М до: а) вершин квадрата; б) прямых АС и BD.

В тетраэдре ABCD точка М— середина ребра ВС, АВ = = АС, DB = DC. Докажите, что плоскость треугольника ADM перпендикулярна к прямой ВС.

Докажите, что если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна к прямой, то и другая плоскость перпендикулярна к этой прямой.

Докажите, что через любую точку пространства проходит только одна плоскость, перпендикулярная к данной прямой. Решение. Согласно задаче и. 17 через данную точку М проходит плоскость а, перпендикулярная к данной прямой а. Предположим, что через точку М проходит еще одна плоскость щ, перпендикулярная к этой прямой. Тогда плоскости а и «1 параллельны (см. задачу 123). Но это невозможно, так как эти плоскости имеют общую точку М. Следовательно, наше предположение неверно, и через точку М проходит только одна плоскость, перпендикулярная к прямой а.

Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку М прямой а и перпендикулярные к этой прямой, лежат в плоскости, проходящей через точку М и перпендикулярной к прямой а.

Прямая а перпендикулярна к плоскости а и перпендикулярна к прямой Ь, не лежащей в этой плоскости. Докажите, что b II а.

Докажите, что если точка X равноудалена от концов данного отрезка АВ, то она лежит в плоскости, проходящей через середину отрезка АВ и перпендикулярной к прямой АВ.

Докажите, что через каждую из двух взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых проходит плоскость, перпендикулярная к другой прямой.

ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННЫЕ.УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ

Расстояние от точки до плоскости. Рассмотрим плоскость а и точку А, не лежащую в этой плоскости. Проведем через точку А прямую, перпендикулярную к плоскости а, и обозначим буквой Н точку пересечения этой прямой с плоскостью а (рис. 51). Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости а, а точка Н — основанием перпендикуляра. Отметим в плоскости а какую-нибудь точку М, отличную от Н, и проведем отрезок АМ. Он называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости а, а точка М — основанием наклонной. Отрезок НМ называется проекцией наклонной на плоскость а. Сравним перпендикуляр АН и наклонную АМ: в прямоугольном треугольнике АМН сторона АН — катет, а сторона АМ — гипотенуза, поэтому АН-<АМ. Итак, перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой плоскости.

Следовательно, из всех расстояний от точки А до различных точек плоскости а наименьшим является расстояние до точки Н. Это расстояние, т. е. длина перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости а, называется расстоянием от точки А до плоскости а. Когда мы говорим, что некоторый предмет, например лампочка уличного фонаря, находится на такой-то высоте, скажем, 6 м от земли, то имеем в виду, что расстояние от лампочки до поверхности земли измеряется по перпендикуляру, проведенному от лампочки к плоскости земли (рис. 52).

Замечания. 1. Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости. В са-

мом деле, рассмотрим перпендикуляры ЛЛ0 и ММ0, проведенные из двух произвольных точек Л и М плоскости а к параллельной ей плоскости р. Так как ЛЛ0±р и ММ0±р, то ЛЛо||Л1Л1о. Отсюда следует, что ММо = ААо (свойство 2°, п. 11), т. е. расстояние от любой точки М плоскости а до плоскости р равно длине отрезка ЛЛ0. Очевидно, асе точки плоскости р находятся на таком же расстоянии от плоскости а.

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями.

Как уже отмечалось, примером параллельных плоскостей служат плоскости пола и потолка комнаты. Все точки потолка находятся на одинаковом расстоянии от пола. Это расстояние и есть высота комнаты.

Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости (задача 144). В этом случае расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью.

Если две прямые скрещивающиеся, то, как было доказано в п. 7, через каждую из них проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна. Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Теорема о трех перпендикулярах.

Теорема. Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Доказательство. Обратимся к рисунку 53, на котором отрезок АН — перпендикуляр к плоскости а, АМ — наклон

ная, а — прямая, проведенная в плоскости а через точку М перпендикулярно к проекции НМ наклонной. Докажем, что a_LAM.

Рассмотрим плоскость АМН. Прямая а перпендикулярна

к этой плоскости, такк этой плоскости, таккак она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым АН и МН (а!_НМ по условию и a_LAH, так как АН J_a). Отсюда следует, что прямая а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости АМН, в частности a_LAM. Теорема доказана.

к этой плоскости, так

к этой плоскости, так

Эта теорема называется теоремой о трех перпендикулярах, так как в ней говорится о связи между тремя перпендикулярами АН, НМ и АМ.

Справедлива также обратная теорема: прямая, проведенная в

Рис. 54.Рис. 54.

Рис. 54.

Рис. 54.

плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции. По аналогии с доказательством прямой теоремы, используя рисунок 53, докажите эту теорему самостоятельно (задача 153).

Угол между прямой и плоскостью. В п. 19 было дано определение проекции наклонной на плоскость. Введем теперь понятие проекции произвольной фигуры. Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, если точка не лежит в плоскости, и сама точка, если она лежит в плоскости. На рисунке 54 точка Mi — проекция точки М на плоскость a, a N — проекция самой точки N на ту же плоскость (Я^а).

Обозначим буквой F какую-нибудь фигуру в пространстве. Если мы построим проекции всех точек этой фигуры на данную плоскость, то получим фигуру F\, которая называется проекцией фигуры F на данную плоскость. На рисунке 54 треугольник Fx — проекция треугольника F на плоскость а.

Докажем, что проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является прямая.

Данную плоскость обозначим буквой а, а произвольную прямую, не перпендикулярную к плоскости а,— буквой а (рис 55). Из какой-нибудь точки М прямой а проведем перпендикуляр МН к плоскости а и рассмотрим плоскость р, проходящую через а и МН. Плоскости аир пересекаются по некоторой прямой ах. Докажем, что эта прямая и является проекцией прямой а на плоскость а. В самом деле, возьмем произвольную точку Mi прямой а и проведем в плоскости р прямую М\Н\, параллельную прямой МН (Я! — точка пересечения прямых МХНХ и а). По первой теореме п. 16 МхНхЛ_а и, значит, точка Нх является проекцией точки Мх на плоскость а. Мы доказали, что проекция произвольной точки прямой а лежит на прямой ах. Аналогично

м/ доказывается, что любая точка прямой ах / является проекцией некоторой точки пря- *' мой а. Следовательно, ах — проекция пря

Рис. 56.Рис. 56.мой а на плоскость а.

Рис. 56.

Рис. 56.

Из доказанного утверждения следует, что проекцией отрезка АВ, не перпендикулярного к плоскости, является отрезок, концами которого служат проекции точек А и В. Поэтому определение проекции наклонной (п. 19) полностью согласуется с общим определением проекции фигуры.

Используя понятие проекции прямой на плоскость, дадим определение угла между прямой и плоскостью.

Определение. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Можно доказать, что угол <ро между данной прямой АМ и плоскостью а (рис. 56) является наименьшим из всех углов ф, которые данная прямая образует с прямыми, проведенными в плоскости а через точку А (задача 162).

Если прямая перпендикулярна к плоскости, то ее проекцией на эту плоскость является точка пересечения этой прямой с плоскостью. В таком случае угол между прямой и плоскостью считается равным 90°.

Если данная прямая параллельна плоскости, то се проекцией на плоскость является прямая, параллельная данной. В этом случае понятие угла между прямой и плоскостью мы не вводим. (Иногда договариваются считать, что угол между параллельными прямой и плоскостью равен 0°.)

ЗАДАЧИ

Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен ф. а) Найдите наклонную и ее проекцию на данную плоскость, если перпендикуляр равен d. б) Найдите перпендикуляр и проекцию наклонной, если наклонная равна т.

Из некоторой точки проведены к плоскости две наклонные. Докажите, что: а) если наклонные равны, то равны и их проекции; б) если проекции наклонных равны, то равны и наклонные; в) если наклонные не равны, то большая наклонная имеет большую проекцию.

Из точки А, не принадлежащей плоскости а, проведены к этой плоскости перпендикуляр АО и две наклонные АВ и АС. Известно, что Z.OAB = Z_BAС = 60°, ДО = 1,5 см. Найдите расстояние между основаниями наклонных.

Один конец данного отрезка лежит в плоскости а, а другой находится от нее на расстоянии 6 см. Найдите расстояние от середины данного отрезка до плоскости а.

Концы отрезка отстоят от плоскости а на расстояниях 1 см и 4 см. Найдите расстояние от середины отрезка до плоскости а.

Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника АВС равно 4 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости АВС, если АВ =6 см.

Прямая а параллельна плоскости а. Докажите, что все точки прямой а равноудалены от плоскости а.

Решение. Через какую-нибудь точку прямой а проведем плоскость 0, параллельную плоскости а (задача 59). Прямая а лежит в плоскости 0, так как в противном случае она пересекает плоскость 0, а значит, пересекает и плоскость а (задача 55), что невозможно. Все точки плоскости 0 равноудалены от плоскости а, поэтому и все точки прямой а, лежащей в плоскости 0, равноудалены от плоскости а, что и требовалось доказать.

Через вершину А прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С проведена прямая AD, перпендикулярная к плоскости треугольника, а) Докажите, что треугольник CBD прямоугольный, б) Найдите BD, если ВС = а, DC — b.

Прямая а пересекает плоскость а в точке М и не перпендикулярна к этой плоскости. Докажите, что в плоскости а через точку М проходит прямая, перпендикулярная к прямой а, и притом только одна.

Из точки М проведен перпендикуляр МВ к плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что треугольники AMD и MCD прямоугольные.

Прямая АК перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС, М — середина стороны ВС. Докажите, что MK-LBC.

Отрезок AD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника АВС. Известно, что АВ =АС = 5 см, ВС= = 6 см, ДО = 12 см. Найдите расстояния от концов отрезка AD до прямой ВС.

Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая АК, перпендикулярная к плоскости прямоугольника. Известно, что KD = § см, КВ = 7 см, КС = 9 см. Найдите: а) расстояние от точки К до плоскости прямоугольника ABCD; б) расстояние между прямыми АК и CD.

Прямая CD перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. Докажите, что: а) треугольник АВС является проекцией треугольника ABD на плоскость АВС; б) если СН — высота треугольника АВС, то DH — высота треугольника ABD.

Через вершину В квадрата ABCD проведена прямая BF, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояния от точки F до прямых, содержащих стороны и диагонали квадрата, если BF — 8 дм, АВ = 4 дм.

Докажите, что прямая а, проведенная в плоскости а через основание М наклонной АМ перпендикулярно к пей, перпендикулярна к ее проекции НМ (см. рис. 53).

Решение. Прямая а перпендикулярна к плоскости АМН, так как она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости (а±ДЛ4 по условию и a_LAH, так как АН ±а). Отсюда следует, что прямая а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости АМН, в частности аД_НМ, что и требовалось доказать.

Прямая BD перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. Известно, что BD—^ см, АС= 10 см, ВС = ВА — = 13 см. Найдите: а) расстояние от точки D до прямой АС; б) площадь треугольника ACD.

Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника АВС проведена прямая СМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ, если АС = 4 см, а СМ—2 ^/7 см.

Один из катетов прямоугольного треугольника АВС равен т, а острый угол, прилежащий к этому катету, равен ср. Через вершину прямого угла С проведена прямая CD, перпендикулярная к плоскости этого треугольника, CD — n. Найдите расстояние от точки D до прямой АВ.

Прямая ОК перпендикулярна к плоскости ромба ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О. а) Докажите, что расстояния от точки К до всех прямых, содержащих стороны ромба, равны, б) Найдите это расстояние, если ОК = 4,5 дм, АС = 6 дм, BD — % дм.

Через вершину В ромба ABCD проведена прямая ВМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояния от точки М до прямых, содержащих стороны ромба, если ДВ = 25 см, Z. BAD = 60°, ВМ=\2,5 см.

Прямая ВМ перпендикулярна к плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая, по которой пересекаются плоскости ADM и ВСМ, перпендикулярна к плоскости АВМ.

Концы отрезка АВ лежат на двух параллельных плоскостях, расстояние между которыми равно d, причем d<_AB. Докажите, что проекции отрезка АВ на эти плоскости равны. Найдите эти проекции, если АВ = 13 см, d = 5 см.

Луч ВА не лежит в плоскости неразвернутого угла CBD. Докажите, что если /_ABC— zLABD, причем Z.ABC<90°, то проекцией луча ВА на плоскость CBD является биссектриса угла CBD.

162.162.Прямая МЛ проходит через точку Л плоскости а и образует с этой плоскостью угол фо ф 90°. Докажите, что <ро является наименьшим из всех углов, которые прямая МЛ образует с прямыми, проведенными в плоскости а через точку Л.

162.

162.

Решение. Обозначим буквой Н основание перпендикуляра, проведенного из точки М к плоскости а, и рассмотрим произволь

ную прямую р в плоскости а, про

ходящую через точку Л и отличную от прямой АН (рис. 57). Угол между прямыми АМ и р обозначим через ф и докажем.

ЧТО ф>фо-

Из точки М проведем перпендикуляр MN к прямой р. Если точка N совпадает с точкой А, то ф = 90° и поэтому <р>фо- Рассмотрим случай, когда точки А и N не совпадают (см. рис. 57). Отрезок АМ — общая гипотенуза прямоугольных треугольников ANM и АНМ, поэтому sin ср=^^, 5тф0=—-. Так как MN>MH (M/V — наклонная, МН — АМ

перпендикуляр), то из двух этих равенств следует, что sin ф> sin фо и поэтому ф>фо.

Наклонная АМ, проведенная из точки А к данной плоскости, равна d. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если угол между прямой АМ и данной плоскостью равен: а) 45°; б) 60°; в) 30°?

Под углом ф к плоскости а проведена наклонная. Найдите ф, если известно, что проекция наклонной вдвое меньше самой наклонной.

Из точки А, удаленной от плоскости у на расстояние d, проведены к этой плоскости наклонные АВ и АС под углом 30° к плоскости. Их проекции на плоскость у образуют угол в 120°. Найдите ВС.

§ 3. ДВУГРАННЫЙ УГОЛ.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ

Двугранный угол. Углом на плоскости мы называем фигуру, образованную двумя лучами, исходящими из одной точки. В стереометрии наряду с такими углами рассматривается еще один вид углов — двугранные углы. Чтобы ввести понятие двугранного угла, напомним, что любая прямая, проведенная в данной плоскости, разделяет эту плоскость на две полуплоскости (рис. 58, а).

49

Прямая а разделяет плоскостьПрямая а разделяет плоскостьна две полуплоскости.на две полуплоскости.5)Двугранный угол.5)Двугранный угол.

Прямая а разделяет плоскость

Прямая а разделяет плоскость

на две полуплоскости.

на две полуплоскости.

5)

Двугранный угол.

5)

Двугранный угол.

Рис. 58.

Представим себе, что мы перегнули плоскость по прямой а так что две полуплоскости с границей а оказались уже не лежащим! в одной плоскости (рис. 58, б). Полученная фигура и есть двугран ный угол. Таким образом, можно дать такое определение дву гранного угла: двугранным углом называется фигура, образован ная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей a, nt принадлежащими одной плоскости. Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями. У двугранного угле две грани, отсюда и название — двугранный угол. Прямая а — общая граница полуплоскостей — называется ребром двугранного угла.

В обыденной жизни мы встречаемся с предметами, имеющими форму двугранного угла. Такими предметами являются двускатные крыши зданий, полураскрытая папка, стена комнаты совместно с полом и т. д.

Мы знаем, что углы на плоскости (обычные углы) измеряются в градусах. А как измеряются двугранные углы? Это делается следующим образом. Отметим на ребре двугранного угла какую- нибудь точку и в каждой грани из этой точки проведем луч перпендикулярно к ребру. Образованный этими лучами угол называет -

Рис. 59. Линейный угол двугранного угла.

Рис. 60.Рис. 60.

Рис. 60.

Рис. 60.

ся линейным углом двугранного угла. На рисунке 59, а угол АОВ — линейный угол двугранного угла с ребром CD. Так как OAA.CD и OBJlCD, то плоскость АОВ перпендикулярна к прямой CD. Таким образом, плоскость линейного угла перпендикулярна к ребру двугранного угла. Очевидно, двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов (рис. 59, б).

Докажем, что все линейные углы двугранного угла равны друг другу. Рассмотрим два линейных угла ЛОВ и Л10151 (рис. 59,6). Лучи О А и OMi лежат в одной грани и перпендикулярны к прямой 001, поэтому они сонаправлены. Точно так же сонаправлены лучи ОВ и О\В\. Поэтому Z_A 1O1S1 = Z.AOB (как углы с сонаправленными сторонами).

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла. На рисунке 60, а градусная мера двугранного угла равна 45°. Обычно говорят коротко: «Двугранный угол равен 45°».

Двугранный угол называется прямым (острым, тупым), если он равен 90° (меньше 90°,,больше 90е). Двугранный угол, изображенный на рисунке 60, б, прямой, на рисунке 60, а — острый, а на рисунке 60, в — тупой.

Признак перпендикулярности двух плоскостей. Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла е общим ребром (рис. 61, а). Если один из этих двугранных углов равен ср, то другие три угла равны соответственно !80° — <р, ср и 180° — у

(объясните почему). В частности, если один из углов прямой (<p = 90°), то и остальные три угла прямые. Если ср — тот из четырех углов, который не превосходит каждого из остальных, то говорят, что угол между пересекающимися плоскостями равен q). Очевидно, 0°<(р^90°.

Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90° (рис. 61,6).

Примером взаимно перпендикулярных плоскостей служат плоскости стены и пола, стены и потолка комнаты.

Ясно, что все четыре двугранных угла, образованные взаимно перпендикулярными плоскостями, прямые.

Рассмотрим признак перпендикулярности двух плоскостей.

Теорема. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Доказательство. Рассмотрим плоскости аир такие, что плоскость а проходит через прямую АВ, перпендикулярную к плоскости р и пересекающуюся с ней в точке А (рис. 62). Докажем, что а±р. Плоскости аир пересекаются по некоторой прямой АС, причем AB.LAC, так как по условию ДВ_кр, и, значит, прямая АВ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости р.

Проведем в плоскости р прямую AD, перпендикулярную к прямой АС. Тогда угол BAD — линейный угол двугранного угла, образованного при пересечении плоскостей а и р. Но Z_BAD = 90° (так как ДВ±р). Следовательно, угол между плоскостями аир равен 90°, т. е. а±р. Теорема доказана.

Рис. 63. Если V-La, то у±а и Y-Lp.Рис. 63. Если V-La, то у±а и Y-Lp.Следствие. Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей (рис. 63).

Рис. 63. Если V-La, то у±а и Y-Lp.

Рис. 63. Если V-La, то у±а и Y-Lp.

Рис. 64. Прямоугольный параллелепипед.

Прямоугольный параллелепипед. Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники. Форму прямоугольного параллелепипеда имеют многие предметы: коробки, ящики, комнаты и т. д. На рисунке 64 изображен прямоугольный параллелепипед ABCDA\B\C\D\. Его основаниями служат прямоугольники ABCD и A\B\C\D\, а боковые ребра ЛДь ВВ\, CCi и DD\ перпендикулярны к основаниям. Отсюда следует, что AAi-LAB, т. е. боковая грань АА\В\В—прямоугольник. То же самое можно сказать и об остальных боковых гранях. Таким образом, мы обосновали следующее свойство прямоугольного параллелепипеда:

1°. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней — прямоугол ьники.

Полуплоскости, в которых расположены смежные грани параллелепипеда, образуют двугранные углы, которые называются двугранными углами параллелепипеда.

Докажите самостоятельно еще одно свойство:

2°. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда — прямые.

Перейдем теперь к рассмотрению одного из самых замечательных свойств прямоугольного параллелепипеда.

Длины трех ребер, имеющих общую вершину, назовем измерениями прямоугольного параллелепипеда. Например, у параллелепипеда, изображенного на рисунке 64, в качестве измерений можно взять длины ребер АВ, AD и ЛЛь

В обыденной практике, говоря о размерах комнаты, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, вместо слова «измерения» используют обычно слова «длина», «ширина» и «высота» комнаты. Ясно, что длина, ширина и высота комнаты — это и есть ее измерения.

Прежде чем сформулировать свойство параллелепипеда, связанное с его измерениями, вспомним, что в прямоугольнике квадрат диагонали равен сумме квадратов смежных сторон.

Длины смежных сторон можно назвать измерениями прямоугольника и поэтому можно сказать, что квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений. Оказывается, аналогичным свойством обладает и прямоугольный параллелепипед.

Теорема. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Доказательство. Обратимся к рисунку 64, на котором изображен параллелепипед ABCDA\B\C\D\, и докажем, что

ЛС? = ДВ2 + ЛО2+ДЛ?.(1)

53

Так как ребро ССХ перпендикулярно к основанию ABCD, то угол ЛСС\ прямой. Из прямоугольного треугольника АСС\ по теореме Пифагора получаем

AC^AC^-VCCY

Но АС— диагональ прямоугольника ABCD, поэтому АС2 = = AB2 + AD2. Кроме того, ССХ = ААХ. Следовательно

ДС? = ДВ2 + ДО2 + ДЛт.

Теорема доказана.

Следствие. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом. Все грани куба — равные друг другу квадраты.

ЗАДАЧИ

Неперпендикулярные плоскости аир пересекаются по прямой MN. В плоскости р из точки А проведен перпендикуляр АВ к прямой MN и из той же точки А проведен перпендикуляр АС к плоскости а. Докажите, что Z.ABC — линейный угол двугранного угла AMNC.

В тетраэдре DABC все ребра равны, точка М— середина ребра АС. Докажите, что Z.DMB—линейный угол двугранного угла BACD.

Двугранный угол равен <р. На одной грани этого угла лежит точка, удаленная на расстояние d от плоскости другой грани. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла.

Даны два двугранных угла, у которых одна грань общая, а две другие грани являются различными полуплоскостями одной плоскости. Докажите, что сумма этих двугранных углов равна 180°.

Из вершины В треугольника АВС, сторона АС которого лежит в плоскости а, проведен к этой плоскости перпендикуляр ВВХ. Найдите расстояния от точки В до прямой АС и до плоскости а, если АВ = 2 см, Z_BAC=\50° и двугранный угол ВАСВХ равен 45°.

Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости а, а катет наклонен к этой плоскости под углом 30°. Найдите угол между плоскостью а и плоскостью треугольника.

Катет АС прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С лежит в плоскости а, а угол между плоскостями

а и ABC равен 60°. Найдите расстояние от точки В до плоскости а, если АС = 5 см, АВ = 13 см.

Ребро CD тетраэдра ABCD перпендикулярно к плоскости АВС, АВ = ВС = АС = б, BD = 3^7. Найдите двугранные углы DACB, DABC, BDCA.

Найдите двугранный угол ABCD тетраэдра ABCD, если углы DAB, DAC и АСВ прямые, АС — СВ = 5, DB = 5^j5.

Докажите, что если все ребра тетраэдра равны, то все его двугранные углы также равны. Найдите эти углы.

Через сторону AD ромба ABCD проведена плоскость ADM так, что двугранный угол BADM равен 60°. Найдите сторону ромба, если Z.BAD = 45° и расстояние от точки В до плоскости ADM равно 4 д/З.

Докажите, что плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

Плоскости аир взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой с. Докажите, что любая прямая плоскости а, перпендикулярная к прямой с, перпендикулярна к плоскости р.

Решение. Проведем в плоскости а произвольную прямую АС, перпендикулярную к прямой с, С^с. Докажем, что СА ± р.

В плоскости р через точку С проведем прямую СВ, перпендикулярную к прямой с. Так как СА_Lc и СВ±с, то Z-ACB — линейный угол одного из двугранных углов, образованных плоскостями аир. По условию задачи aJ_p, поэтому Z-ACB — прямой, т. е. CAJlCB. Таким образом, прямая СА перпендикулярна к двум пересекающимся прямым с и СВ плоскости р, поэтому С A JLp.

Плоскости аир взаимно перпендикулярны. Через некоторую точку плоскости а проведена прямая, перпендикулярная к плоскости р. Докажите, что эта прямая лежит в плоскости а.

Докажите, что плоскость и не лежащая в ней прямая, перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны.

Плоскости а и Р пересекаются по прямой а. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ соответственно к плоскостям аир. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. Докажите, что МС±а.

Плоскости аир взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой а. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ к этим плоскостям. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. а) Докажите, что четырехугольник АСВМ является прямоугольником, б) Найдите расстояние от точки М до прямой а, если АМ = т, ВМ = п.

Плоскости аир пересекаются по прямой а и перпендикулярны к плоскости у. Докажите, что прямая а перпендикулярна к плоскости у.

Общая сторона АВ треугольни ков АВС и ABD равна 10 см. Плоскости этих треугольников взаимно перпендикулярны. Найдите CD, если треугольники: а) равносторонние; б) прямоугольные равнобедренные с гипотенузой АВ.

Прямая а не перпендикулярна к плоскости а. Докажите, что существует плоскость, проходящая через прямую а и перпендику

лярная к плоскости а.

Решение. Через произвольную точку М прямой а проведем прямую р, перпендикулярную к плоскости а, и рассмотрим плоскость 0, проходящую через прямые аир. Плоскость 0 является искомой, так как

она проходит через прямую а и по признаку перпендикулярности двух плоскостей перпендикулярна к плоскости а.

Докажите, что существует, и притом только одна, прямая, пересекающая две данные скрещивающиеся прямые а и b и перпендикулярная к каждой из них.

Решение. Рассмотрим плоскость а, проходящую через прямую а и параллельную прямой Ь. Через прямые а и b проведем плоскости 0 и у так, чтобы 0±а и у±а (задача 185). Докажите самостоятельно, что прямая р, по которой пересекаются плоскости 0 и у является искомой.

Докажем, что р — единственная прямая, удовлетворяющая условию задачи. Предположим, что существуют две прямые Д1В1 и А2В2, пересекающие данные скрещивающиеся прямые а и b и перпендикулярные к каждой из них (рис. 65). Прямые А\В\ и А2В2 перпендикулярны к плоскости а (объясните почему), поэтому они параллельны. Отсюда следует, что скрещивающиеся прямые а и b лежат в одной

плоскости, что противоречит определению скрещивающихся прямых.

Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны: а) 1, 1, 2; б) 8, 9, 12; в) -\/39, 7, 9.

Ребро куба равно а. Найдите диагональ куба.

Найдите расстояние от вершины куба до плоскости любой грани, в которой не лежит эта вершина, если: а) диагональ грани куба равна т; б) диагональ куба равна d.

Дан куб ABCDA\B\C\D\. Найдите следующие двугранные углы: а) АВВ\С; б) ADD\B; в) А\ВВхК, где К — середина ребра AXD\.

Дан куб ABCDA\B\C\D\. Докажите, что плоскости АВС\ и AXB\D перпендикулярны.

Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX дано: D\B = d, АС — т, АВ=п. Найдите расстояние между: а) прямой Л1С1 и плоскостью АВС; б) плоскостями АВВХ и DCCX; в) прямой DDX и плоскостью АССХ.

Ребро куба равно а. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими: а) диагональ куба и ребро куба; б) диагональ куба и диагональ грани куба.

Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда ABCDAXBXCXDX, если АСХ = 12 см и диагональ BDX составляет с плоскостью грани AAXDXD угол в 30°, а с ребром DDX — угол в 45°.

Изобразите куб ABCDAXBXCXDX и постройте его сечение плоскостью, проходящей через: а) ребро ААХ и перпендикулярной к плоскости BBXDX; б) ребро АВ и перпендикулярной к плоскости CDAX.

ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ II

Верно ли утверждение: если две прямые в пространстве перпендикулярны к третьей прямой, то эти прямые параллельны? Верно ли это утверждение при условии, что все три прямые лежат в одной плоскости?

Параллельные прямые b и с лежат в плоскости а, а прямая а перпендикулярна к прямой Ь. Верно ли утверждение: а) прямая а перпендикулярна к прямой с; б) прямая а пересекает плоскость а?

Прямая а перпендикулярна к плоскости а, а прямая b не перпендикулярна к этой плоскости. Могут ли прямые а и b быть параллельными?

Прямая а параллельна плоскости а, а прямая b перпендикулярна к этой плоскости. Верно ли утверждение, что прямые а и b взаимно перпендикулярны?

Прямая а параллельна плоскости а, а прямая b перпендикулярна к этой плоскости. Существует ли прямая, перпендикулярная к прямым а и 6?

Верно ли утверждение, что все прямые, перпендикулярные к данной плоскости и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости?

Могут ли две плоскости, каждая из которых перпендикулярна к третьей плоскости, быть: а) параллельными плоскостями; б) перпендикулярными плоскостями?

Можно ли через точку пространства провести три плоскости, каждые две из которых взаимно перпендикулярны?

Диагональ квадрата перпендикулярна к некоторой плоскости. Как расположена другая диагональ квадрата по отношению к этой плоскости?

Сколько двугранных углов имеет: а) тетраэдр; б) параллелепипед?

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

Отрезок ВМ перпендикулярен к плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая CD перпендикулярна к плоскости МВС.

Точка А лежит в плоскости а, а точка В удалена от этой плоскости на расстояние 9 см. Точка М делит отрезок АВ в отношении 4:5, считая от точки А. Найдите расстояние от точки М до плоскости а.

Точка 5 равноудалена от вершин прямоугольного треугольника и не лежит в плоскости этого треугольника. Докажите, что прямая SM, где М — середина гипотенузы, перпендикулярна к плоскости треугольника.

Докажите, что любая точка прямой, которая проходит через центр окружности, описанной около многоугольника, и перпендикулярна к плоскости многоугольника, равноудалена от вершин этого многоугольника.

Найдите угол между скрещивающимися прямыми АВ и PQ, если точки Р и Q равноудалены от концов отрезка АВ.

Точка удалена от каждой из вершин прямоугольного треугольника на расстояние 10 см. На каком расстоянии от плоскости треугольника находится эта точка, если медиана, проведенная к гипотенузе, равна 5 см?

Через центр О окружности, вписанной в треугольник АВС, проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки К до сторон треугольника, если АВ — ВС= 10 см, АС = 12 см, ОК — 4 см.

Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС и проходит через центр О этого треугольника, ОМ = а, Z_MCO = q>. Найдите: а) расстояние от точки М до каждой из вершин треугольника АВС и до прямых АВ, ВС и С А; б) длину окружности, описанной около треугольника АВС; в) площадь треугольника АВС.

Через вершину С прямого угла прямоугольного треугольника АВС проведена прямая CD, перпендикулярная к плоскости этого треугольника. Найдите площадь треугольника ABD, если СА=3 дм, СВ = 2 дм, CD=\ дм.

Стороны треугольника равны 17 см, 15 см и 8 см. Через вершину А меньшего угла треугольника проведена прямая АМ, перпендикулярная к его плоскости. Определите расстояние от точки М до прямой, содержащей меньшую сторону треугольника, если известно, что АМ =20 см.

В треугольнике АВС дано: АВ = ВС = 13 см, АС =10 см. Точка М удалена от прямых АВ, ВС и АС на 8 — см. Найдите расстояние от точки М до плоскости АВС, если ее проекция на эту плоскость лежит внутри треугольника.

Из точки К, удаленной от плоскости а на 9 см, проведены к плоскости а наклонные КС и КМ, образующие между собой прямой угол, а с плоскостью а — углы в 45° и 30° соответственно. Найдите отрезок LM.

Углы между равными отрезками АВ и АС и плоскостью а, проходящей через точку А, равны соответственно 40° и 50°. Сравните расстояния от точек В и С до плоскости а.

На рисунке 66 двугранные углы НАВР и PABQ равны. Докажите, что каждая точка плоскости АВР равноудалена от

плоскостей АВН и ABQ.

Плоскости правильного треугольника KDM и квадрата KMNP взаимно перпендикулярны. Найдите BN, если КМ =а.

Точка С является проекцией точки В на плоскость треугольника АВС. Докажите, что площадь треугольника ABD

равна — ■ -, где S — площадь треугольника АВС, а а — угол между плоскостями АВС и ABD.

Правильные треугольники АВС и ВВС расположены так, что вершина В проектируется в центр треугольника АВС. Вычислите угол между плоскостями этих треугольников.

Проекцией прямоугольника АВСВ на плоскость а является квадрат АВС\В\. Вычислите угол ф между плоскостью а и плоскостью прямоугольника АВСВ, если АВ:ВС=\ :2.

Параллельные прямые АВ и СВ лежат в разных гранях двугранного угла, равного 60°. Точки А и В удалены от ребра двугранного угла соответственно на 8 см и 6,5 см. Найдите расстояние между прямыми АВ и СВ.

Точки Д и В лежат на ребре данного двугранного угла, равного 120°. Отрезки АС и ВВ проведены в разных гранях и перпендикулярны к ребру двугранного угла. Найдите отрезок СВ, если АВ = АС = ВВ = а.

Сумма площадей трех граней прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, равна 404 дм , а его ребра пропорциональны числам 3, 7 и 8. Найдите диагональ параллелепипеда.

Глава III

МНОГОГРАННИКИ

§ 1. ПОНЯТИЕ МНОГОГРАННИКА. ПРИЗМА

Понятие многогранника. В главе I мы рассмотрели тетраэдр и параллелепипед: тетраэдр — поверхность, составленная из четырех треугольников (рис. 67, а), параллелепипед — поверхность, составленная из шести параллелограммов (рис. 67,6). Каждая из этих поверхностей ограничивает некоторое геометрическое тело, отделяет это тело от остальной части пространства.

Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником. Тетраэдр и параллелепипед — примеры многогранников. На рисунке 68 изображен еще один многогранник — октаэдр. Он составлен из восьми треугольников. Тело, ограниченное многогранником, часто также называют многогранником.

Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями. Гранями тетраэдра и октаэдра являются треугольники (рис. 67, а и 68), гранями параллелепипеда - параллелограммы (рис. 67,6). Стороны граней называются ребрами, а концы ребер — вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону

Тетраэдр.Параллелепипед.Октаэдр.

Рис. 67.Рис. 68.

Рис. 69. Невыпуклый многогранник.Рис. 69. Невыпуклый многогранник.^t + ^+^s <360°Рис. 70. q>i+ф2 + фз<360°.^t + ^+^s <360°Рис. 70. q>i+ф2 + фз<360°.

Рис. 69. Невыпуклый многогранник.

Рис. 69. Невыпуклый многогранник.

^t + ^+^s <360°

Рис. 70. q>i+ф2 + фз<360°.

^t + ^+^s <360°

Рис. 70. q>i+ф2 + фз<360°.

от плоскости каждой его грани. Тетраэдр, параллелепипед и октаэдр — выпуклые многогранники. На рисунке 69 изображен иевыпуклый многогранник, составленный из восьми многоугольников.

Ясно, что все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками. Можно доказать, что в выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360°. Рисунок 70 поясняет это утверждение: многогранник «разрезан» вдоль ребер и все его грани с общей вершиной А развернуты так, что оказались расположенными в одной плоскости а. Видно, что сумма всех плоских углов при вершине А, т. е. ф1 + фг + фз, меньше 360°.

26. Геометрическое тело. Мы отметили, что многогранник ограничивает некоторое геометрическое тело. Уточним это понятие.

Точка М называется граничной точкой данной фигуры F, если среди сколь угодно близких к ней точек (включая ее саму) есть точки, как принадлежащие фигуре, так и не принадлежащие ей. Множество всех граничных точек фигуры называется ее границей. Так, например, границей шара является сфера.

Точка фигуры, не являющаяся граничной, называется внутренней точкой фигуры. Каждая внутренняя точка фигуры характеризуется тем, что все достаточно близкие к ней точки пространства также принадлежат фигуре. Так, любая точка шара, не лежащая на сфере — его границе, является внутренней точкой шара.

Фигура называется ограниченной, если ее можно заключить в какую-нибудь сферу. Очевидно, шар, тетраэдр, параллелепи-

пед — ограниченные фигуры, а прямая и плоскость — неограниченные.

Фигура называется связной, если любые две ее точки можно соединить непрерывной линией, целиком принадлежащей данной фигуре. Примерами связных фигур являются тетраэдр (см. рис. 67, а), параллелепипед (см. рис. 67, б), октаэдр (см. рис. 68), плоскость. Фигура, состоящая из двух параллельных плоскостей, не является связной.

Геометрическим телом (или просто телом) называют ограниченную связную фигуру в пространстве, которая содержит все свои граничные точки, причем сколь угодно близко от любой граничной точки находятся внутренние точки фигуры. Границу тела называют также его поверхностью и говорят, что поверхность ограничивает тело.

Плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тела, называется секущей плоскостью. Фигура, которая образуется при пересечении тела плоскостью (т. е. общая часть тела и секущей плоскости), называется сечением тела.

Призма. Рассмотрим два равных многоугольника Д1Л2... Ап и BiB2... Вп, расположенных в параллельных плоскостях аир так, что отрезки АХВХ, А2В2АпВп, соединяющие соответственные вершины многоугольников, параллельны (рис. 71). Каждый из п четырехугольников

АхА2В2Вх, А2АзВзВ2, ..., АпАхВхВп(1)

является параллелограммом, так как имеет попарно параллельные противоположные стороны. Например, в четырехугольнике А\А2В2Вх стороны Д1В1 и А2В2 параллельны по условию, а стороны АхА2 и ВхВ2 — по свойству параллельных плоскостей, пересеченных третьей плоскостью (п. 11).

Многогранник, составленный из двух равных многоугольников АхА2...Ап и ВхВ2...Вп, расположенных в параллельных плос-

Рис. 71. Призма. Многоугольники Л 1Д2Д3...Д„ и ВхВ2...Вп — основания призмы. Параллелограммы Д1Д2В2Вь ....АпАхВ1ВП — боковые грани.Рис. 71. Призма. Многоугольники Л 1Д2Д3...Д„ и ВхВ2...Вп — основания призмы. Параллелограммы Д1Д2В2Вь ....АпАхВ1ВП — боковые грани.

Рис. 71. Призма. Многоугольники Л 1Д2Д3...Д„ и ВхВ2...Вп — основания призмы. Параллелограммы Д1Д2В2Вь ....

АпАхВ1ВП — боковые грани.

Рис. 71. Призма. Многоугольники Л 1Д2Д3...Д„ и ВхВ2...Вп — основания призмы. Параллелограммы Д1Д2В2Вь ....

АпАхВ1ВП — боковые грани.

костях, и п параллелограммов (1), называется призмой (см. рис. 71).

Многоугольники А\А2...Ап и В\В2...Вп называются основаниями, а параллелограммы (1)—боковыми гранями призмы. Отрезки А\В\, А2В2, ..., АпВп называются боковыми ребрами призмы. Эти ребра как противоположные стороны параллелограммов (1), последовательно приложенных друг к другу, равны и параллельны. Призму с основаниями А\А2...Ап и В\В2...Вп обозначают AiA2 ... АпВ\В2„,Вп и называют п-угольной призмой. На рисунке 72 изображены треугольная и шестиугольная призмы, а на рисунке 67, б — четырехугольная призма, т. е. параллелепипед.

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае — наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Прямая призма называется правильной, если ее основания — правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани — равные прямоугольники (объясните почему). На рисунке 72 изображена правильная шестиугольная призма.

Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности призмы — сумма площадей ее боковых граней. Площадь 5П0ЛН полной поверхности выражается через площадь 5бок боковой поверхности и площадь S0CH основания призмы формулой

5ПОЛИ = ^бок 4" 23ОСН.

Докажем теорему о площади боковой поверхности прямой призмы.

Теорема. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Доказательство. Боковые грани прямой призмы — прямоугольники, основания которых — стороны основания призмы, а высоты равны высоте h призмы. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей указанных прямоугольников, т. е. равна сумме произведений сторон основания на высоту А. Вынося множитель h за скобки, получим в скобках сумму сторон основания призмы, т. е. его периметр Р. Итак, S бок=Ph. Теорема доказана.

ЗАДАЧИ

Докажите, что: а) у прямой призмы все боковые грани — прямоугольники; б) у правильной призмы все боковые грани — равные прямоугольники.

В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плос-

костью основания угол в 45°. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

Основанием прямого параллелепипеда является ромб с диагоналями 10 см и 24 см, а высота параллелепипеда равна 10 см. Найдите большую диагональ параллелепипеда.

Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро равно 6 см. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания.

Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 25 см и 9 см и высотой 8 см. Найдите двугранные углы при боковых ребрах призмы.

Через два противолежащих ребра куба проведено сечение, площадь которого равна 64 -\/2 см2. Найдите ребро куба и его диагональ.

Диагональ правильной четырехугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь сечения, проходящего через сторону нижнего основания и противолежащую сторону верхнего основания, если диагональ основания равна 4 д/2 см.

Диагональ правильной четырехугольной призмы образует с плоскостью боковой грани угол в 30°. Найдите угол между диагональю и плоскостью основания.

В правильной четырехугольной призме через диагональ основания проведено сечение параллельно диагонали призмы. Найдите площадь сечения, если сторона основания призмы равна 2 см, а ее высота равна 4 см.

Основание призмы — правильный треугольник АВС. Боковое ребро АА\ образует равные углы со сторонами основания АС и АВ. Докажите, что: а) ВС±ДД|; б) СС\В\В — прямоугольник.

Основанием наклонной призмы ДВСД1В1С1 является равнобедренный треугольник АВС, в котором АС=АВ= 13 см, ВС = 10 см, а боковое ребро призмы образует с плоскостью основания угол в 45°. Проекцией вершины А\ является точка пересечения медиан треугольника АВС. Найдите площадь грани СС\ВХВ.

В правильной n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площадь боковой и полной поверхностей призмы, если: а) п = 3, а=10 см, Л= 15 см; б) п = 4, а=12 дм, /1 = 8 дм; в) п = 6, а = 23 см, Л = 5 дм; г) п = 5, а = 0,4 м, А = 10 см.

Основание прямой призмы — треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом, равным 120°, между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см2. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Стороны основания прямого параллелепипеда равны 8 см и 15 см и образуют угол в 60°. Меньшая из площадей диаго-

нальных сечений равна 130 см2. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда, равная d, образует с плоскостью основания угол ф, а с меньшей боковой гранью — угол а. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Основанием прямой призмы АВСАХВХС\ является прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В. Через ребро ВВ\ проведено сечение BB\D\D, перпендикулярное к плоскости грани АА\С\С. Найдите площадь сечения, если ЛД1 = 10 см, AD = 27 см, DC — 12 см.

Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник. Через середину гипотенузы перпендикулярно к ней проведена плоскость. Найдите площадь сечения, если катеты равны 20 см и 21 см, а боковое ребро равно 42 см.

Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с острым углом ср. Через катет, противолежащий этому углу, и через противоположную этому катету вершину основания проведено сечение, составляющее угол 0 с плоскостью основания. Найдите отношение площади боковой поверхности призмы к площади сечения.

Докажите, что площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно 12 см, а перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

В наклонной треугольной призме две боковые грани взаимно перпендикулярны, а их общее ребро, отстоящее от двух других боковых ребер на 12 см и 35 см, равно 24 см. Найдите плошадь боковой поверхности призмы.

ПИРАМИДА

Пирамида. Рассмотрим многоугольник Д|Д2...ДП и точку Р, не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединив точку Р отрезками с вершинами многоугольника, получим п треугольников (рис. 73):

РАХА2) РА2Ад, ..., РАпАх.(1)

Многогранник, составленный из n-угольника Д|Д2...ДП и п треугольников (1), называется пирамидой. Многоугольник АхА2...Ап

Рис. 73. Пирамида. Многоугольник Л |Л2Дз...Л„ — основание пирамиды. Треугольники АхРАг, АгРА^ .... Л„РЛ, — боковые грани. Р — вершина пирамиды.Рис. 73. Пирамида. Многоугольник Л |Л2Дз...Л„ — основание пирамиды. Треугольники АхРАг, АгРА^ .... Л„РЛ, — боковые грани. Р — вершина пирамиды.

Рис. 73. Пирамида. Многоугольник Л |Л2Дз...Л„ — основание пирамиды. Треугольники АхРАг, АгРА^ .... Л„РЛ, — боковые грани. Р — вершина пирамиды.

Рис. 73. Пирамида. Многоугольник Л |Л2Дз...Л„ — основание пирамиды. Треугольники АхРАг, АгРА^ .... Л„РЛ, — боковые грани. Р — вершина пирамиды.

называется основанием, а треугольники (1) — боковыми гранями пирамиды. Точка Р называется вершиной пирамиды, а отрезки РАХ, РА<>, ..., РАп — ее боковыми ребрами. Пирамиду с основанием AtA2...An и вершиной Р обозначают так: РАхА2...Ап— и называют n-угольной пирамидой. На рисунке 74 изображены четырехугольная и шестиугольная пирамиды. Ясно, что треугольная пирамида — это тетраэдр.

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. На рисунке 73 отрезок РН — высота пирамиды.

Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней (т. е. основания и боковых граней), а площадью боковой поверхности пирамиды — сумма площадей ес боковых граней.

Очевидно,

Зщ>лн — Збок + SOCH. (2)

Правильная пирамида. Пирамида называется правильной, если ее основание — правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой (рис. 75).

Докажем, что все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Рассмотрим правильную пирамиду РАхА2...Ап (рис. 75). Сначала докажем, что все боковые ребра этой пирамиды равны.

Рис. 75.Рис. 75.Любое боковое ребро представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, одним катетом которого служит высота РО пирамиды, а другим — радиус описанной около основания окружности (например, боковое ребрр PAi — гипотенуза треугольника ОРА\, в котором OP = h, OA\=RV По терреме Пифагора любое боковое ребро равно V^2 + R1» поэтому РА\ = = РА2 = ... = РАп.

Рис. 75.

Рис. 75.

равны друг другу, такравны друг другу, такМы доказали, что боковые ребра правильной пирамиды РА1А2...Ап равны друг другу, поэтому боковые грани — равнобедренные треугольники. Основания этих треугольников также

равны друг другу, так

равны друг другу, так

как AiA2..JU — правильный многоугольник. Следовательно, боковые грани равны по третьему признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой. На рисунке 75 отрезок РЕ — одна из апофем. Ясно, что все апофемы правильной пирамиды равны друг другу.

Докажем теорему о площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Теорем а. Площадь боковой поверхности правильной пи- рамиЗы ^лвна половине произведения периметра основания на апофему.

Доказательство. Боковые грани правильной пирамиды - рапные равнобедренные треугольники, основания которых — стороны основания пирамиды, а высоты равны апофеме. Площадь S боковой поверхности пирамиды равна сумме произ

Рис. 76. Усеченная пира мнда.Рис. 76. Усеченная пира мнда.ведений сторон основания на половину апофемы d. Вынося множитель —d за скобки, получим в скобках сумму сторон основания пирамиды, т. е. его периметр. Теорема доказана.

Рис. 76. Усеченная пира мнда.

Рис. 76. Усеченная пира мнда.

Усеченная пирамида. Возьмем произвольную пирамиду РА\А2...Ап и проведем секущую плоскость р, параллельную плоскости а основания пирамиды и пересекающую боковые ребра в точках В\, В-2, ... Вп (рис. 76). Плоскость р разбивает пирамиду на два многогранника. Многогранник, гранями которого являются п-угольники

Л1Л2...ЛП и ВхВ2...Вп (нижнее и верхнее основания), расположенные в параллельных плоскостях, и п четырехугольников АХА2В2ВХ, А2А3В3В2, ..., АпА\В\Вп (боковые грани), называется усеченной пирамидой. Отрезки AiBi, А2В2, .... АпВп называются боковыми ребрами усеченной пирамиды.

Усеченную пирамиду с основаниями А\А2...Ап и ВхВ2...Вп обозначают так: А\А2...АпВ\В2...Вп.

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой усеченной пирамиды. На рисунке 76 отрезок СП — высота усеченной пирамиды.

Докажем, что боковые грани усеченной пирамиды — трапеции. Рассмотрим, например, боковую грань АХА2В2В\ (рис. 76). Стороны АхА2 и ВхВ2 параллельны, поскольку принадлежат прямым, по которым плоскость РАхА2 пересекается с параллельными плоскостями аир. Две двугие стороны АХВХ и А2В2 этой грани не параллельны — их продолжения пересекаются в точке Р. Поэтому данная грань — трапеция. Аналогично можно доказать, что и остальные боковые грани — трапеции.

Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Основания правильной усеченной пирамиды — правильные многоугольники, а боковые грани — равнобедренные трапеции (докажите это). Высоты этих трапеций называются апофемами.

Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней.

Докажите самостоятельно следующую теорему:

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

ЗАДАЧИ

Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если высота ее проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см.

Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны которого равны 20 см и 36 см, а площадь равна 360 см2. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 м и 4 м и меньшей диагональю 3 м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Основанием пирамиды является квадрат, одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания. Плоскость боковой грани, не проходящей через высоту пирамиды, наклонена к плоскости основания под углом 45°. Наибольшее боковое ребро равно 12 см. Найдите: а) высоту пирамиды; б) площадь боковой поверхности пирамиды.

Основанием пирамиды DABC является треугольник АВС, у которого АВ = АС = 13 см, ВС = 10 см; ребро AD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник АВС, у которого гипотенуза АВ равна 29 см, катет АС равен 21 см. Ребро DA перпендикулярно к плоскости основания и равно 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Основанием пирамиды является прямоугольник, диагональ которого равна 8 см. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, а две другие боковые грани образуют с основанием углы 30° и 45°. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Высота треугольной пирамиды равна 40 см, а высота каждой боковой грани, проведенная из вершины пирамиды, равна 41 см. а) Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в ее основание, б) Найдите площадь основания пирамиды, если его периметр равен 42 см.

Двугранные углы при основании пирамиды равны. Докажите, что: а) высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание; б) высоты всех боковых граней, проведенные из вершины пирамиды, равны; в) площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани, проведенную из вершины.

Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 12 см, 10 см и 10 см. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

В пирамиде все боковые ребра равны между собой. Докажите, что: а) высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания; б) все боковые ребра пирамиды составляют равные углы с плоскостью основания.

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом 120°. Боковые ребра образуют с ее высотой, равной 16 см, углы в 45°. Найдите площадь основания пирамиды.

Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник с гипотенузой ВС. Боковые ребра пирамиды равны друг другу, а ее высота равна 12 см. Найдите боковое ребро пирамиды, если ВС — 10 см.

Основанием пирамиды DABC является равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ = АС, ВС=6 см, высота АН равна 9 см. Известно также, что DA = DB — DC = 13 см. Найдите высоту пирамиды.

Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция с основаниями 6 см и 4 -\/б см и высотой 5 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Найдите ее высоту.

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, высота равна Н. Найдите: а) боковое ребро пирамиды; б) плоский угол при вершине пирамиды; в) угол Между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды; г) угол между боковой гранью и основанием пирамиды; д) двугранный угол при боковом ребре пирамиды.

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, а плоский угол при вершине равен ф. Найдите высоту пирамиды.

В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна т, а плоский угол при вершине равен а. Найдите: а) высоту пирамиды; б) боковое ребро; в) угол Между боковой гранью и плоскостью основания; г) двугранный угол при боковом ребре пирамиды

Высота правильной треугольной пирамиды равна к, а двугранный угол при стороне основания равен 45е. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Бокойое ребро правильной четырехугольной пирамиды образует угол в 60° с плоскостью основания. Найдите площадь поверхности пирамиды, если боковое ребро равно 12 см.

В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 60°. Найдите боковое ребро пирамиды.

В правильной треугольной пирамиде DABC через боковое ребро DC и высоту DO пирамиды проведена плоскость а. Докажите, что: а) ребро АВ перпендикулярно к плоскости а; б) перпендикуляр, проведенный из вершины С к апофеме грани ADB, является перпендикуляром к плоскости ADB.

Докажите, что в правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся ребра взаимно перпендикулярны.

Докажите, что плоскость, проходящая через высоту правильной пирамиды и высоту боковой грани, перпендикулярна к плоскости боковой грани.

В правильной пирамиде MABCD точки К, L и N лежат на ребрах ВС, МС и AD, KN\\BA, KL\\BM. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью KLN и определите йид сечения. б) Докажите, что плоскость KLN параллельна плоскости АМВ.

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, если сторона ее основания равна а, а площадь боковой грани равна площади сечения, проведеи-

ного через вершину пирамиды и большую диагональ основания.

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. Через сторону основания проведена плоскость под углом 30° к плоскости основания. Найдите площадь сечения, если сторона основания равна 12 см.

Основанием пирамиды, высота которой равна 2 дм, а боковые ребра равны друг другу, является прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Найдите площадь сечения, проведенного через диагональ основания параллельно боковому ребру.

Пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию. Докажите, что боковые ребра и высота пирамиды делятся этой плоскостью на пропорциональные части.

Плоскость, параллельная плоскости основания правильной четырехугольной пирамиды, делит высоту пирамиды в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды. Апофема полученной усеченной пирамиды равна 4 дм, а площадь ее полной поверхности равна 186 дм2. Найдите высоту усеченной пирамиды.

Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 4 дм и 2 дм, а боковое ребро равно 2 дм. Найдите высоту и апофему пирамиды.

Основаниями усеченной пирамиды являются правильные треугольники со сторонами 5 см и 3 см. Одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания и равно 1 см. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ

Симметрия в пространстве. В планиметрии мы рассматривали фигуры, симметричные относительно точки и относительно прямой. В стереометрии рассматривают симметрию относительно точки, прямой и плоскости.

Точки 4 и 41 называются симметричными относительно точки О (центр симметрии), если О — середина отрезка АА> (рнс. 77, а). Точка О считается симметричной самой себе.

Рис. 78.Рис. 78.

Рис. 78.

Рис. 78.

Точки Д и Д1 называются симметричными относительно прямой а (ось симметрии), если прямая а проходит через середину отрезка ДД1 и перпендикулярна к этому отрезку (рис. 77, б). Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе.

Точки Д и Д| называются симметричными относительно плоскости а (плоскость симметрии), если плоскость а проходит через середину отрезка ДД1 и перпендикулярна к этому отрезку (рис. 77, в). Каждая точка плоскости а считается симметричной самой себе.

Введем понятия центра, оси и плоскости симметрии фигуры.

Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры.

На рисунке 78, а, б, в показаны центр О, ось а и плоскость а симметрии прямоугольного параллелепипеда. Фигура может иметь один или несколько центров симметрии (осей симметрии, плоскостей симметрии). Например, куб имеет только один центр симметрии и несколько осей и плоскостей симметрии. Существу-

Рис. 80.Рис. 80.

Рис. 80.

Рис. 80.

ют фигуры, имеющие бесконечно много центров, осей или плоскостей симметрии. Простейшими из таких фигур являются прямая и плоскость. Любая точка плоскости является ее центром симметрии. Любая прямая (плоскость), перпендикулярная к данной плоскости, является ее осью (плоскостью) симметрии. С другой стороны, существуют фигуры, не имеющие центров, осей или плоскостей симметрии. Например, тетраэдр нс имеет ни одного центра симметрии.

С симметрией! мы часто встречаемся в природе, архитектуре, технике, быту. Так, многие здания симметричны относительно плоскости (рис. 79), некоторые виды деталей имеют ось симметрии. Почти все кристаллы, встречающиеся в природе, имеют центр, ось или плоскость симметрии (рис. 80). В геометрии центр, оси и плоскости симметрии многогранника называются элементами симметрии этого многогранника.

Понятие правильного многогранника. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани — равны; правильные многоугольники и, кроме того, в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер. Примером правильного многогранника является куб. Все его грани — равные квадраты, н к каждой вершине сходятся три ребра.

Очевидно, все ребра правильного многогранника равны друг другу. Можно доказать, что равны гакже все двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром.

Докажем, что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще п-угольники при п^б. В самом деле, угол правильного n-угольника при п ^6 не меньше 120° (объясните почему). С другой стороны, при каждой вершине многогранника должно быть не менее трех плоских углов. Поэтому если бы существовал правильный многогранник, у которого грани — правильные n-угольники при п^б, то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не меньше чем 120°-3 = 360°. Но это невозможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360° (п. 25).

По этой же причине каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной либо трех, четырех или пяти равносторонних треугольников, либо трех квадратов, либо трех правильных пятиугольников. Других возможностей нет.

В соответствии с этим получаем следующие правильные многогранники:

Правильный тетраэдр (рис. 81) составлен из четырех равно-

Рис. 81.Рис. 81.Рис. 83.Рис. 83.

Рис. 81.

Рис. 81.

Рис. 83.

Рис. 83.

сторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.

Правильный октаэдр (рис. 82) составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240°.

Правильный икосаэдр (рис. 83) составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300°.

Куб (рис. 84) составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270°.

Правильный додекаэдр (рис. 85) составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°.

Других видов правильных многогранников, кроме перечисленных пяти, нет.

Элементы симметрии правильных многогранников. Рассмотрим элементы симметрии правильных многогранников.

Правильный тетраэдр не имеет центра симметрии. Прямая, проходящая через середины двух противоположных

ребер, является его осью симметрии. Плоскость а, проходящая через ребро АВ перпендикулярно к противоположному ребру CD правильного тетраэдра ABCD, является плоскостью симметрии (рис. 86). Правильный тетраэдр имеет три оси симметрии и шесть плоскостей симметрии.

Куб имеет один центр симметрии точку пересечения его диагоналей. Прямые а и Ь, проходящие соответственно через центры противоположных граней и середины двух противоположных ребер, не принадлежащих одной грани, являются его осями симметрии (рис. 87). Куб имеет девять осей симметрии. Все оси симметрии проходят через центр симметрии. Плоскостью симметрии куба является плоскость, проходящая через любые две оси симметрии. Куб имеет девять плоскостей симметрии.

Правильный октаэдр (см. рис. 82) .правильный икосаэдр (см. рис. 83) и правильный додекаэдр (см. рис. 85) имеют центр симметрии и несколько осей и плоскостей симметрии. Попробуйте подсчитать их число.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

На рисунке 88 изображена развертка правильного тетраэдра. Перерисуйте ее на плотный лист бумаги в большем масштабе, вырежьте развертку и склейте из нее тетраэдр.

На рисунке 89 изображена развертка куба. Перерисуйте ее на плотный лист бумаги в большем масштабе, вырежьте развертку и склейте из нее куб.

На рисунке 90 изображена развертка правильного октаэдра. Перерисуйте ее на плотный лист бумаги в большем масштабе, вырежьте развертку и склейте из нее октаэдр.

Рис. 88.Рис. 88.Рис. 89.Рис. 89.Рис. 91.Рис. 91.

Рис. 88.

Рис. 88.

Рис. 89.

Рис. 89.

Рис. 91.

Рис. 91.

На рисунке 91 изображена развертка правильного додекаэдра. Перерисуйте ее на плотный лист бумаги в большем масштабе, вырежьте развертку и склейте из нее додекаэдр.

На рисунке 92 изображена развертка правильного икосаэдра. Перерисуйте ее на плотный лист бумаги в большем масштабе, вырежьте развертку и склейте из нее икосаэдр.

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

Сколько центров симметрии имеет: а) параллелепипед; б) правильная треугольная призма; в) двугранный угол; г) отрезок?

Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) правильный треугольник; в) куб?

Сколько плоскостей симметрии имеет: а) правильная четырехугольная призма, отличная от куба; б) правильная четырехугольная пирамида; в) правильная треугольная пирамида?

Найдите угол между двумя диагоналями граней куба, имеющими общий конец.

Ребро куба равно а. Найдите площадь сечения, проходящего через диагонали двух его граней.

В кубе ABCDAXBXCXDX из вершины Dx проведены диагонали граней DXA, D\C и DXBX и концы их соединены отрезками. Докажите, что многогранник DXABXC—правильный

тетраэдр. Найдите отношение площадей поверхностей куба и тетраэдра.

Найдите угол между двумя ребрами правильного октаэдра, которые имеют общую вершину, но не принадлежат одной грани (см. рис. 82).

В правильном тетраэдре DABC ребро равно а. Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через центр грани АВС; а) параллельно грани BDC;, б) перпендикулярно к ребру AD.

284*. От каждой вершины правильного тетраэдра с ребром 2 отсекают правильный тетраэдр с ребром 1. Какая фигура получится в результате?

Докажите, что в правильном тетраэдре отрезки, соединяющие центры граней, равны друг другу.

В правильном тетраэдре h — высота, т — ребро, ап — расстояние между центрами его граней. Выразите: а) т через Л; б) п через т.

Ребро правильного октаэдра равно а. Найдите расстояние между: а) двумя его противоположными вершинами; б) центрами двух смежных граней; в) противоположными гранями.

ВОПРОСЫ к ГЛАВЕ III

Какое наименьшее число ребер может иметь многогранник?

Призма имеет п граней. Какой многоугольник лежит в ее основании?

Является ли призма прямой, если две ее смежные боковые грани перпендикулярны к плоскости основания?

В какой призме боковые ребра параллельны ее высоте?

Является ли призма правильной, если все ее ребра равны друг другу?

Может ли высота одной из боковых граней наклонной призмы являться и высотой призмы?

Существует ли призма, у которой: а) боковое ребро перпендикулярно только одному ребру основания; б) только одна боковая грань перпендикулярна к основанию?

Правильная треугольная призма разбивается плоскостью, проходящей через средние линии оснований, на две призмы. Как относятся площади боковых поверхностей этих призм?

Будет ли пирамида правильной, если ее боковыми гранями являются правильные треугольники?

Сколько граней, перпендикулярных к плоскости основания, может иметь пирамида?

Существует ли четырехугольная пирамида, у которой противоположные боковые грани перпендикулярны к основанию?

Могут ли все грани треугольной пирамиды быть прямоугольными треугольниками?

Можно ли из куска проволоки длиной 66 см изготовить каркасную модель правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания, равной 10 см?

На какие многогранники рассекается треугольная призма плоскостью, проходящей через вершину верхнего основания и противолежащую ей сторону нижнего основания?

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

Докажите, что число вершин любой призмы четно, а число ребер кратно 3.

Докажите, что площадь полной поверхности куба равна 2 д'2, где d — диагональ куба.

Угол между диагональю основания прямоугольного параллелепипеда, равной /, и одной из сторон основания равен ф. Угол между этой стороной и диагональю параллелепипеда равен 0. Найдите площадь боковой поверхности данного параллелепипеда.

В прямоугольном параллелепипеде диагональ, равная d, образует с плоскостью основания угол ф, а с одной из сторон основания — угол 0. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

В правильной четырехугольной призме сторона основания равна 6 см, боковое ребро равно 8 см. Найдите расстояние от стороны основания до не пересекающей ее диагонали призмы.

В правильной четырехугольной призме ABCDA iBtCtDl диагонали BXD и D\B взаимно перпендикулярны. Докажите, что угол между диагоналями А^С и B\D призмы равен 60°.

Правильная четырехугольная призма пересечена плоскостью, содержащей две ее диагонали. Площадь полученного сечения равна So, а сторона основания равна а. Вычислите площадь боковой поверхности призмы.

Основанием наклонного параллелепипеда ABCDAXB\CXD\ является ромб. Боковое ребро ССХ составляет равные углы со сторонами основания CD и СВ. Докажите, что: a) CCX±.BD; б) BBXDXD— прямоугольник; в) В£)±ДЛ1Сь г) плоскости ААХСХ и BBXDX взаимно перпендикулярны.

Высота правильной треугольной призмы равна h. Плоскость а, проведенная через среднюю линию нижнего основания и параллельную ей сторону верхнего основания, составляет с плоскостью нижнего основания острый двугранный угол ф. Найдите площадь сечения, образованного плоскостью а.

Основанием треугольной призмы АВСАХВХСХ является правильный треугольник ABC, BD — высота этого треугольника, а вершина Ах проектируется в его центр. Докажите, что: a) AXBD Д_ААХСХ; б) ЛЛ1О±ВВ1С; в) грань ВВХСХС — прямоугольник.

Основанием параллелепипеда с боковым ребром b является квадрат со стороной а. Одна из вершин верхнего основания равноудалена от всех вершин нижнего основания. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна т, а площадь боковой поверхности вдвое больше площади основания.

В правильной треугольной пирамиде DABC точки Е, F и Р — середины сторон ВС, АВ и AD. Определите вид сечения, проходящего через эти точки, и найдите его площадь, если сторона основания пирамиды равна а, боковое ребро рав- но Ъ.

Двугранный угол при боковом ребре правильной треугольной пирамиды DABC равен 120°. Расстояние от вершины Я до бокового ребра DA равно 16 см. Найдите апофему пирамиды.

Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 3 см к 7 см и одной из диагоналей 6 см. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 4 см. Найдите боковые ребра пирамиды.

Основанием пирамиды является ромб. Две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания и образуют двугранный угол в 120е, а две другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом в 30°. Найдите площадь поверхности пирамиды, если ее высота равна 12 см.

В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен 60°. Докажите, что двугранный угол между боковой гранью и основанием пирамиды вдвое меньше двугранного угла при боковом ребре.

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна h, плоский угол при вершине равен а. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Высота правильной четырехугольной пирамиды равна h и составляет угол q> с плоскостью боковой грани. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

В правильной пирамиде MABCD AM — b, AD = a. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью а, проходящей через диагональ BD основания параллельно ребру МА, и найдите площадь сечения, б) Докажите, что точки М и С равноудалены от плоскости а.

Основанием пирамиды является ромб со стороной 5 см и меньшей диагональю 6 см. Высота пирамиды, равная 3,2 см,

проходит через точку пересечения диагоналей ромба. Най дитс высоты граней пирамиды.

Основанием пирамиды с равными боковыми ребрами является прямоугольник со сторонами 6 дм и 8 дм. Высота пирамиды равна 6 дм. Найдите площадь сечения, проведенного через меньшую сторону и середину высоты.

В пирамиде DABC ребро DA перпендикулярно к плоскости АВС. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если АВ = АС = 25 см, 5С = 40 см, АН =8 см, где АН — высота пирамиды.

Основанием пирамиды DABC является треугольник со сторонами АС = 13 см, АВ = 15 см, СВ =14 см. Боковое ребро DA перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. а) Найдите площадь полной поверхности пирамиды, б) Докажите, что основание перпендикуляра, проведенного из вершины А к плоскости грани BDC, лежит на высоте этой грани, и найдите длину этого перпендикуляра.

В правильной п-угольной пирамиде боковые грани составляют с плоскостью основания угол q>. Найдите тангенс угла между плоскостью основания и боковым ребром.

Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 12 дм и 6 дм, а ее высота 1 дм. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

В правильной четырехугольной усеченной пирамиде высота равна 63 см, апофема — 65 см, а стороны оснований относятся как 7:3. Найдите стороны оснований пирамиды.

Докажите, что центры граней правильного октаэдра являются вершинами куба.

Докажите, что центры граней правильного тетраэдра являются вершинами другого правильного тетраэдра.

Докажите, что центры граней куба являются вершинами правильного октаэдра.

Докажите, что сумма двугранного угла правильного тетраэдра и двугранного угла правильного октаэдра равна 180°.

Сколько плоскостей симметрии, проходящих через данную вершину, имеет правильный тетраэдр?

Глава IV

ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

§ 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ

Понятие вектора. В курсе планиметрии мы познакомились с векторами на плоскости и действиями над ними. Основные понятия для векторов в пространстве вводятся так же, как и для векторов на плоскости.

Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой — концом, называется вектором. Направление вектора (от начала к концу) на рисунках отмечается стрелкой. Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется нулевым. Начало и конец нулевого вектора совпадают, и он не имеет какого-либо определенного направления. На рисунке 93, а изображены ненулевые векторы АВ и CD и нулевой вектор ТТ, а на рисунке 93, б — ненулевые векторы а, b и с, имеющие общее начало. Нулевой вектор обозначается также символом б.

Длиной ненулевого вектора АВ называется длина отрезка АВ. Длина вектора АВ (вектора а) обозначается так: \АВ\ ( jaj ). Длина нулевого вектора считается равной нулю: |0| =0.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или^ на параллельных прямых. Если два ненулевых вектора АВ и CD коллинеарны и если при этом лучи АВ и CD сонаправлены, то векторы АВ и CD называются со-

направленными,десли эти лучи не являются сонаправленными, то векторы АВ и CD называются противоположно направленными. Нулевой вектор условимся считать сонаправленным с любым вектором. Запись а 1^6 обозначает, что векторы а и b сонаправ- лены, а запись cf|d— что векторы с и d противоположно направлены. На рисунке 94 изображен параллелепипед. На этом рисунке AM^DK, AD\\EK, AB^DC-, векторы AD к АМ не являются ни сонаправленными, ни противоположно направленными, так как они не коллинеарны.

Изучая векторы на плоскости, мы отмечали, что многие физические величины, например сила, перемен.еиие, скорость, являются векторными величинами. При изучения электрических и магнитных явлений появляются новые примерь' векторных величин. Электрическое поле, создаваемое в пространстве зарядами, характеризуется в каждой точке пространства вектором напряженности электрического поля. На рисунке 95, а изображены векторы напряженности электрического поля положительного точечного заряда.

Электрический ток, т. е. направленное лпижение зарядов, создает в пространстве магнитное поле, кот; рое характеризуется в каждой точке пространства вектором магнитной индукции. На рисунке 95, б изображены векторы магнитной индукции магнитного поля прямого проводника с током.

Равенство векторов. Векторы назымаотся рафиями, если они сонаправлены и их длины равны. На рисунке 94 AE = DK, так как AE^DK и |ДЕ| = |£)К|, а АВ-^-vC, так как AB^DC.

Если точка А — начало вектора а, то говорят, что вектор а отложен от точки А. Нетрудно доказать, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один. В самом деле, пусть а—данный вектор, М—данная точка (рис. 96). Проведем через начало и конец вектора a is точку М

Рис. 95.Рис. 95.

Рис. 95.

Рис. 95.

плоскость и в этой плоскости построим вектор MN = a. Очевидно, что вектор MN искомый. Из построения ясно также, что MN — единственный вектор с началом М, равный вектору а.

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

В тетраэдре ABCD точки М, N и К — середины ребер АС.. ВС и CD соответственно, АВ = 3^см,_ВС = 4 ем^ ВР==5 см. Найдите длины векторов: а) АВ, ВС, BD, NM, BN, NK; б) СВ, BA, DB, NC, KN.

Измерения прямоугольного параллелепипеда ABCDAXBXCXD. таковы: AD = % см. ЛВ —9 см и ААХ — 12 см. Найдите длины векторов: а) СС\, СВ, СО; б) DCX, DB, DBX.

На рисунке 97 изображен параллелепипед ABCDAXBXCXD\. Точки М и К — середины ребер ВХСХ и AXDX. Укажите на этом рисунке все пары: а) сонаправленных векторов; б) противоположно направленных векторов; в) равных векторов.

На рисунке 98 изображен тетраэдр ABCD, ребра которого равны. Точки М, N, Р и Q — середины сторон АВ, AD, DC, ВС. а) Выпишите все пары равных векторов, изображенных на этом рисунке, б) Определите вид четырехугольника MNPQ.

Справедливо ли утверждение: а) два вектора, коллинеарные ненулевому вектору, коллинеарны между собой; б) два вектора, сонаправленные с ненулевым вектором, сонаправлены; в) два вектора, коллинеарные ненулевому вектору, сонаправлены? >>

Известно, что ААХ=ВВХ. Как расположены по отношению друг к другу: а) прямые АВ и Л1В1; б) прямая АВ и плоскость, проходящая через точки Ах и Вх; в) плоскости, одна из которых проходит через точки Л и В, а другая проходит через точки Л» и В(?

На рисунке 97 изображен параллелепипед, точки М и К — середины ребер ВХСХ и Л1О1. Назовите вектор, который получится, если отложить: а) от точки С вектор, равный DDX; б) от точки_^Z) вектор, равный СМ; в) от точки Л, вектор, равный АС; г) от точки Ci вектор, равный СВ; д) от точки М вектор, равный КАХ.

§ 2. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ.УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

Сложение и вычитание векторов. Введем правило сложения двух произвольных векторов а и Ь. Отложим от какой- нибудь точки А вектор АВ, равный а (рис. 99). Затем от точки В отложим вектор ВС, равный Ь. Вектор АС называется суммой векторов а и Ь: АС = а-}-Ь.

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Рисунок 99, а поясняет это название. Отметим, что по этому же правилу складываются и коллинеарные векторы, хотя при их сложении и не получается треугольника. Рисунки 99, б, в иллюстрируют сложение коллинеарных векторов.

Точно так же, как в планиметрии, доказывается, что сумма а + b не зависит от выбора точки А, от которой при сложении откладывается вектор а. Иными словами, если при сложении векторов а и b по правилу треугольника точку А заменить другой точкой Аь то вектор АС заменится равным ему вектором А)С> (рис. 100). Докажите это утверждение самостоятельно.

Правило треугольника можно сформулировать в такой форме: для любых трех точек А, В и С имеет место равенство

АВ + ВС = АС.

Для сложения двух неколлинеарных векторов можно пользоваться также правилом параллелограмма, известным из курса планиметрии. Это правило пояснено на рисунке 101.

°)5)б)

Рис. 99.

Рис. 100.Рис. 100.Рис. 101. Правило параллелограмма сложения двух неколлинеарных векторов.Рис. 101. Правило параллелограмма сложения двух неколлинеарных векторов.

Рис. 100.

Рис. 100.

Рис. 101. Правило параллелограмма сложения двух неколлинеарных векторов.

Рис. 101. Правило параллелограмма сложения двух неколлинеарных векторов.

Свойства сложения векторов, изученные в планиметрии, имеют место и для векторов в пространстве. Напомним их.

Для любых векторов а, b и с справедливы равенства: a-V*b = b-Va (переместительный закон);

(а + 5) + с = а-(-(ь + с) (сочетательный закон).

Два ненулевых вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположно направлены. Вектором, противоположным нулевому вектору, считается нулевой вектод. Очевидно, вектор ВА является противоположным вектору АВ (рис. 102).

Разностью векторов а и b называется такой вектор, сумма которого с вектором b равна вектору а. Разность а — b векторов а и b можно найти по формуле

a — b = a-V( — b),(1)

где (—Ь) — вектор, противоположный вектору Ь.На рисунке 103 представлены два способа построения раз-где (—Ь) — вектор, противоположный вектору Ь.На рисунке 103 представлены два способа построения раз-ложные Векторы^=_ АВ=-"ьОА=а, OB="bложные Векторы^=_ АВ=-"ьОА=а, OB="b0В=а+(-Т)=а-ЬВА = а-Ь0В=а+(-Т)=а-ЬВА = а-ЬРис. 103.Рис. 103.а)а)б)б)Рис. 102.Рис. 102.

где (—Ь) — вектор, противоположный вектору Ь.

На рисунке 103 представлены два способа построения раз-

где (—Ь) — вектор, противоположный вектору Ь.

На рисунке 103 представлены два способа построения раз-

ложные Векторы^=_ АВ=-"ьОА=а, OB="b

ложные Векторы^=_ АВ=-"ьОА=а, OB="b

0В=а+(-Т)=а-ЬВА = а-Ь

0В=а+(-Т)=а-ЬВА = а-Ь

Рис. 103.

Рис. 103.

а)

а)

б)

б)

Рис. 102.

Рис. 102.

Рис. 104.Рис. 104.

Рис. 104.

Рис. 104.

Доказательства законов сложения и гл» листва (I) для век торов в пространстве ничем нс отличаютс- от доказательств длу векторов на плоскости.

Сумма нескольких векторов. Сложение нескольких векторов в пространстве выполняется так же, как и на плоскости: первый вектор складывается со вторым, затем их сумма — с третьим вектором и т. д. Из законов сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит m того, в каком порядке они складываются.

На рисунке 104 показано построение суммы трех векторов а, 6 и с: от произвольной точки О отложен вектор ОА = а, затем от точки А отложен вектор АВ = Ь, и, наконец, от точки В отло- жен^вектор ВС —с. В результате получается вектор ОС, равный а -|- b -j- с.

Аналогично можно построить сумму любого числа векторов. На рисунке 105 построена сумма ОЕ пяти векторов: a, b, с, d и е. Это правило построения суммы нескольких векторов называется правилом многоугольника. Заметим, однако, что в отличие от случая векторов на плоскости «многоугольник», который получается при построении суммы векторов в пространстве, может оказаться пространственным, т. е. таким, у которого не все вершины лежат в одной плоскости. Таковым является, например, «четырехугольник^ОЛВС на рисунке 104, с помощью которого построен вектор ОС.

Правило многоугольника можно сформулировать также следующим образом: если Аь Аг, .... Ап — произвольные точки, то

Д,Д2+ A^j-bAjA^ + A^As*- A5A6aA(iA7-A1A7

M2+ Мз+ 'M4+ АМ5+ A5A6+AsM 0

Рис. 106.

В частности, если точки А\ и Ап, т. е. начало первого вектора и конец последнего, совпадают, то сумма векторов равна нулевому вектору (рис. 106).

Умножение вектора на число. Произведением ненулевого вектора а на число к называется такой вектор Ь, длина которого равна I A; i io!, причем векторы о и b сонаправ гены при к^О и противоположно направлены при А:<0. Произведением нулево го вектора на любое число считается нулевой вектор.

Произведение вектора а на число к обозначается так: ка. Из определения произведения вслора на число следует, что для любого числа к и любого вектора а векторы и и. ка коллинеарны. Из этого определения следует также, что произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.

Напомним основные свойства умножения вектора на число, известные нам для векторов на плоскости. Они им-ют место и для векторов в пространстве. Для любых векторов а, h и любых чисел k, I справедливы равенства:

(&•а =к Ца) (сочетательный закон);

к (а-4-Ь) = ка А-к_Б (первый распределительный закон);

(к + 0 а — ка -}- 1а (второй распределительный закон).

Отметим, что (— V) а является вектором, противоположным вектору а, т. е. (— 1)а=— а. Действительно, длины векторов (— 1)а и а равны: | (— 1) а\ = | - 11 • |а| = ia|. Кроме того, если вектор а ненулевой, то векторы (— 1)а и а противоположно направлены.

Точно так же, как в планиметрии, можно доказать, что если векторы а и b коллинеарны иаФ^, то существует число к такое, что b = ка.

ЗАДАЧИ

На рисунке 97 изображен параллелепипед ABCDAXBXCXDX. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: a) АВА- —|—Л i jD i б) ЛВ^ЛО^ в) ОД-}-^!^» г) DDXA~DB; д) DBxA* А-ВС.

Дан тетраэдр ABCD. Докажите, что: а) АВ A" BD=ACA* А-CD; б) ABA-BC = DCA-AD; в) Ш: А вЬ^АС АВА.

Назовите все векторы, образованные ребрами параллелепипеда ABCDA\B\C\D\, которые: а) противоположны вектору СВ; б) противоположны вектору ВХА; в) равны вектору — DC; г) равны вектору — AtBt.

Нарисуйте параллелепипед ABCDAXBXCXDX и обозначьте векторы CXDX, ВАХ, AD соответственно через а, Ь, с. Изобразите на рисунке векторы: а) а — Ь; б) а —с; в) Ь — а; г) с — Ь; д) с —а.

Пусть ABCD — параллелограмм, а О — произвольная точка пространства. Докажите, что: a) OB — ОА = ОС— OD;

ob — oc=da.

На рисунке 97 изображен параллелепипед ABCDAXBXCXDX. Представьте векторы АВХ и DК в виде разности двух векторов, начала и концы которых совпадают с отмеченными на рисунке точками.

В пространстве даны четыре точки А, В, С и D. Назовите вектор с началом и концом в данных точках, равный сумме векторов: а) (ЛВ + СА ADC)A(BC A CD); б) (АВ —АС) А A-DC.

Дан прямоугольный параллелепипед KLMN K\LXMXNX. Докажите, что^ a) |MK + MMi | = |МК —MMi |; б) \KXLX — — NLX\ = \MLAММ\\; a) \nl-mTl\ = \iCn-ln\.

Упростите выражение: а) АВ A MN А ВС АСА APQA^M;

fka^Qakpamiaqkapf; в) kmadfaaca А ^А CD А-СА А МР; Г) ABA-BAA-CDA-MN A-DCA- ANm.

Даны точки Л, В, С и D. Представьте вектор АВ в виде алгебраической суммы^след^ющих векторов: а) AC, DC, BD; б) DA, DC, СВ; в) DA, CD, ВС.

Упростите выражение: а) ОР — EP-V KD — КА; б) ADA- -V MJP А-Ёк—ЁР — MD; в) АС—ВС—РМ — АРА-ВМ._^

Дан параллелепипед ABCDAXBXCXDX. Докажите, что ОАА- А-ОС,=ОСА-ОАь где О — произвольная точка пространства.

Дан параллелепипед ABCDAXBXCXDX. Укажите вектор х, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, такой, что: a) DCA~ D\AX + CDX +х + АХСХ = DB; б) daa-xa-d7ba-adxa-ba=dc.

Дана треугольная призма АВСАХВХСХ. Укажите вектор х, начало и конец которого являются вершинами призмы, такой, что: а) ААХ А-ВХС — х = ВА; б) АСх-ВВхА-х=АВ; в) АВХ А-х = АС — хА"ВСх.

Основанием четырехугольной пирамиды с вершиной Р является трапеция ABCD. Точка О — середина средней линии трапеции. Докажите, что РА А-РВ + PC A" PD = 4 РО.

Точка Р — вершина правильной шестиугольной пирамиды. Докажите, что сумма всех векторов с началом в точке Р, образованных боковыми ребрами пирамиды, равна сумме всех векторов с началом в точке Р, образованных апофемами.

Известно, что АО = -^-АВ. Докажите, что точки А и В симметричны относительно точки О.

Диагонали куба ABCDA। В, С^О ^пересекаются в точке О. Найдите число к такое, что: а) АВ = к- CD; б) АСх=к-АО; в) ОВх=к-BXD.

Точки Е и F — середины оснований АВ и ВС параллелограмма ABCD, а О — произвольная точка пространства. Выразите: а| вектор ОА— ОС через вектор ЕЕ; б) вектор ОА — ОЕ через вектор DC.

Точки М и N — середины оснований АВ и CD трапеции ABCD, а О — произвольная точка пространства. Выразите вектор ОМ —ON через векторы AD и ВС.

Упростите выражение: а) 2 (тА-^)— 3(4/л— п)4-w; б) т — 3 (п — 2тА~р)А~5 (р — 4т).

Дан параллелепипед ABCDAXBXCXDX. Докажите, что АСХ + А-вГо = 26С.->

Три точки А, В и М удовлетворяют условию АМ = К-МВ, где Ху= — 1. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой и для

89

любой точки О пространства выполняется равенство. ОМ - _ОД+Х-6в

1+Х

Р е ш е н и е. Из равенства АМ — Х-МВ следует, что векторы АМ и МВ коллинеарны, поэтому прямые АМ и МВ либо па раллельны, либо совпадают. Так как эти прямые имеют об щую точку М, то они совпадают, и, следовательно, точки А, В_^и М^лежэт на_одной прямой. Поскольку AM =O?vl — — ОА, МВ = ОВ — ОМ, то из равенства АМ = Х-МВ имеем ОМ — ОА =Х ^ОВ — ОМ\ или (1 Н-Л) ОМ = ОА + Х-ОВ. Отсюда, разделив на 1+^, получаем искомое равенство.

Известно, что р — а-\-ЬА-с, причем векторы а, b и с попарно не сонаправлены. Докажите, что !р| < |а|+ I&I + Й-

Векторы а и с, а также b и с коллинеарны. Докажите, что коллинеарны векторы: а) а-Vb и с; б) а — Ь и с; в) а4-36 и с; г) -а-Д-2Ь и с.

35*?. Векторы а + и а— b коллинеарны. Докажите, что векторы а и b коллинеарны.

Векторы аА*2Ь и а — ЗЬ коллинеарны. Докажите, что векторы а н b коллинеарны.

Докажите, чти если векторы а ;- b и а — b не коллинеарны,, то: а)^ некгоры а и b не коллинеарны; б) векторы а4-2Ь и 2а — b не коллинеарны.

§ 3. КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ

Компланарные векторы. Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. Другими словами, векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

Ясно, что любые два вектора компланарны; три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны (объясните почему), а три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. На рисунке 107 изображен параллелепипед. Векторы ВВ\, OD и ОЕ компланарны, так как если отложить от точки Одектод, равный SSi, то получится вектор ОС, а векторы ОС, OD и ОЕ лежат в одной плоскости ОСЕ. Векторы ОА, ОВ и ОС не компланарны, так как вектор ОС не лежит в плоскости О АВ. Рассмотрим признак компланарности трех векторов.

Рис. 107Рис. 107

Рис. 107

Рис. 107

Если вектор с можно разложить по векторам а и Ь, т. е. представить в виде

c — xa-^-yb, (1) еде х и у — некоторые числа, то векторы а, b и с компланарны.

Докажем этот признак. Будем ^считать, что векторы а и b не Коллинеарны (если векторы а и b коллинеарны, то компланарность векторов а. о и с очевидна). Отложим от произвольной точки О векторы ОА = а и ОВ = Ь (рис. 108). Векторы О А и ОВ лежат в плоскости ОАВ. Очевидно, в этой же плоскости лежат векторы ОАх=х-ОА и ОВх=у-ОВ, а следовательно, и их сумма— вектор ОС = х-ОААуОЗ, равный вектору с. Итак, векторы ОА=а, ОВ = Ь и ОС —с лежат в одной плоскости, т. е. векторы а, b и с компланарны. _ _

Справедливо и обратное утверждение: если векторы а,^Ь и с компланарны, а векторы а и Ьне коллинеарны, то вектор с можно разложить по векторам а и b (т. е. представить б виде (1)), причем коэффициенты разложения (т. е. числа х, у в формуле (1)) определяются единственным образом. Пользуясь теоремой о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам, известной из курса планиметрии, докажите это утверждение самостоятельно.

Правило параллелепипеда. Для сложения трех некомпланарных векторов можно пользоваться так называемым правилом параллелепипеда. Опишем его.

Пусть а, Ь, с — некомпланарные векторы. Отложим от произвольной точки О пространства векторы ОА=а, ОВ=Ь, ОС = с и построим параллелепипед так, чтобы отрезки О А, ОВ и ОС были его ребрами (см. рис. 107). Тогда диагональ OD этого

91

параллелепипеда изображает сумму векторов а, b и с: OD = --- a-Vb + с. Действительно, OD = OE-VED = (OA + ДЕ) + ED = -OA-\-OB-VOC = a-\-bA-c.

Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.

Если вектор р представлен в виде

р = ха + yb + zc,(1)

где х, у и г — некоторые числа, то говорят, что вектор р разложен по векторам а, b и с. Числа х, у, z называются коэффициентами разложения.

Докажем теорему о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.

Теорема. Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Доказательство. Пусть а, b и с — данные некомпланарные векторы. Докажем сначала, что любой вектор р можно представить в виде (1).

Отметим произвольную точку О и отложим от этой точки векторы (рис. 109):

ОА=а, ОВ = Ь, ОС —с, ОР = р.(2)

Через точку Р проведем прямую, параллельную прямой ОС, и обозначим через Р\ точку пересечения этой прямой с плоскостью АОВ (если Р^ОС, то в качестве точки Р\ возьмем точку О). Затем через точку Р\ проведем прямую, параллельную прямой ОВ, и обозначим через Рг точку пересечения этой прямой с прямой О А (если Р\^ОВ, то в качестве точки Р2 возьмем точку О). По правилу многоугольника

ор=ор2^р7р\^р7р. (3)

Векторы ОР2 и ОД, P2PV и ОВ, Р{Р и ОС коллинеарны, поэтому

существуют числа х, у, z такие, что ОР2 = х-ОА, Р2Р\=у-ОВ,

P\P = Z‘OC. Подставив эти выражения в равенство (3), получим

ОР=у*ОА A-yOB-Vz-OC.

Отсюда, учитывая равенства (2), приходим к равенству (1).

Докажем теперь, что коэффициенты разложения в формуле (1) определяются единственным образом. Допус-

тим, что наряду с разложением (1) имеется другое разложение вектора р: p = xxa-Yy\b -Vzxc. Вычитая это равенство из равенства (1) и используя свойства действий над векторами, получим

б=(х — хх)а+(у — yi) & + (z — Z|) с.

Это равенство выполняется только тогда, когда х — Х|=0, у — £/|=0, г — Z|=O. В самом деле, если предположить, например, что z —Z|=#0, то из этого равенства находим:

Z — Z1 2 — 21

откуда следует, что векторы а, 6 и с компланарны. Но это противоречит условию теоремы. Значит, наше предположение неверно, и х = хх, у — ух, z —zi. Следовательно, коэффициенты разложения (1) определяются единственным образом. Теорема доказана.

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

Дан параллелепипед ABCDAXBXCXDX. Какие из следующих трех векторов компланарны: а) ДД1, CC'i, ВВХ; б) АВ, AD, дХ; в) ВХВ, AC, DDX; г) ДО, ССХ, А^ВХ?

Отрезок EF соединяет середины д>ебер^Д С и BD тетраэдра ABCD. Докажите, что 2FE = BA -V DC. Компланарны ли векторы FE, ВА и ОС?

Даны параллелограммы ABCD и ABXCXDX. Докажите, что векторы ВВХ, ССХ и DDX компланарны.

Дан параллелепипед ABCDAXBXCXDX. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами па^аллеле- пипеда, равный сумме векторов: д) ABA-AD-YAAX; б) DA-V DC-V DDX \ в) Д151 ~ТС|51 ~Т501; г) АХА Д-Д XDX ~Т + ДВ; д) вХ+вХ+ВС.

В вершинах Ах, В и D куба ABCDAXBXCXDX, ребро которого равно а, помещены точечные заряды q. а) Выразите результирующую напряженность создаваемого^ ими электрического поля в точках А и Ci через вектор АСХ. б) Найдите абсолютную величину результирующей напряженности в точках С, Вх, в центре грани Д|В|С|О| и в центре куба.

Дан параллелепипед ABCDAXBXCXDX. а) Разложите век —>—► —►•—►•

тор BDX по векторам ВА, ВС и ВВХ. б) Разложите вектор B\D\ по векторам АХА, АХВ и АХЬХ.

Диагонали параллелепипеда ABCD_AXBXCXDX пересекаются в точке О. Разложите векторы CD и DXO по векторам ААь АВ и AD.

Точка К —дередина ребра ВС тетраэдра ABCD. Разложите вектор DK по векторам a = DA, Ь=АВ и с=АС.

Решение. Так как точка К — середина отрезка ВС, то DK=-^DB-VDCy Но DB = DA-VAB—a-Vb, DC — DA-V A-AC = a-V-c. Поэтому

£>К=у(а + 6+а-Нс) = а+у6 4-~с.

Основанием пирамиды с вершиной О является параллело грамм ABCD, диагонали которого пересекаются в точке М Раз.южите векторы OD и ОМ по векторам а = ОА, Ь = ОВ и с —ОС.

То-пл К—середину ребра ВХСХ куба ABCDAxBxCxDv Раз . >жите вектор АК по векторам а —АВ, b=AD, с=АА, и видите длину этого вектора, если ребро куба равно т.

Вне плоскости параллелограмма ABCD взята точка О. Точ ка М — середина АВ, а точка К — середина МД^азложи те векторы ОМ и ОК по векторам а = ОА, b — ОВ, с = ОС.

Докажите, что если М — точка пересечения медиан треугольника АВС, а О — произвольная точка пространства, то

OM—L(6a^-OBA-6C).(4)

Р е ш е н и е. По теореме о точке пересечения медиан тре

угольника АМ — 2МАХ, где ЛЛ|—медиана треугольника АВС (рис. НО). Согласно задаче 349

0д^ 04 + 20Д । О А + 2ОД|

“1+2“3

Но 0Ах =-у(ОВ + ОС) (объясните по чему), поэтому ОМ = ОАВОВ^ОС, .

В тетраэдре A BCD медиана АА\ грани АВС делится точкой К так, что АК:КАХ=ЗЛ. Разложите вектор DK по векторам DA, DB, DC.

Точки М и N являются серединами ребер АВ и параллелепипеда ЛВСРЛ >81 GDi^ Разложите, если это возможно, по векторам АВ и AD вектор: а) АС; б) СМ; в) C?N; г) АСх; д) A?N; е) AN; ж) MD.

Медианы грани АВС тетраэдра О АВС пересекаются^ в точ- ке M. Разложите вектор ОА по векторам ОВ, ОС, ОМ.

Высоты АМ и DN правильного тетраэдра ABCD пересекаются в точке К. Разложите по векторам a = DA, b = DB, c = DC вектор: a) DN; б) DK; в) АМ; г) МК.

В тетраэдре ABCD медианы грани BCD пересекаются в точке О. Докажите, что длина отрезка АО меньше одной трети суммы длин ребер с общей вершиной А.

Докажите, что диагональ АСХ параллелепипеда ABCDAXB\C\D\ проходит через точки пересечения медиан треугольников AXBD и CBXDX и делится этими точками на три равных отрезка (рис. 111).

Решение. Обозначим через Мх точку пересечения медиан треугольника AXBD. Применив формулу(4) п тетраэдру AAXBD, получим AMi ==~(ЛЛ( + 484-AD\ По правилу параллелепипеда ААХ -\-AB-VAD— АСХ, поэтому АМХ — =А-АСх. Отсюда следует, что точка АН принадлежит диа гонали АСХ и АМХ =^-АСх.

Точно так же можно доказать, что точка М^ пересечение медиан треугольника CBXDX принадлежит диагонали АСХ и СхМг=-^АСх.

Рис. 111.Рис. 111.

Рис. 111.

Рис. 111.

Из равенств ЛМ]=-|-ЛС1 и С[Л12 = -|-АС1 следует, чт< точки /И1 и М2 делят диагональ АС, параллелепипеда я< три равных отрезка AMi, MtM2 и М2С\.

Точки Л|, В\, С\ и Afj —основания перпендикуляров, про веденных к плоскости а из вершин треугольника АВС и и? точки М пересечения медиан этого треугольника (рис. 112). Докажите, что MMt =-L(AAi -VBB\ + СС,). Останется ли верным равенство, если какие-то стороны треугольника АВС пересекаются с плоскостью а?

Отрезки АВ и CD не лежат в одной плоскости, точки М и N — середины этих отрезков. Докажите, что

М^-^АСА-ВОу

В тетраэдре ABCD точки К и М — середины ребер АВ и CD Докажите, что середины отрезков КС, KD, МА и МВ являют ся вершинами некоторого параллелограмма.

ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ IV

Справедливо ли утверждение: а) любые два противоположно направленных вектора коллинеарны; б) любые два коллинеар ных вектора сонаправлены; в) любые два равных вектора кол линеарны; г) любые два сонаправленных вектора равны; д) ес ли af^Z/, 6f)-c, то af|c; е) существуют векторы а, b и с такие что а и с не коллинеарны, b и с не коллинеарны, а а и b кол линеарны?у ,

Точки А и С симметричны относительно точки О и AD = BC Симметричны ли точки В и D относительно точки О?

Точки А и С симметричны относительно прямой а и AD = BC. Могут ли точки В и D быть: а) симметричными относительно прямой а; б) несимметричными относительно прямой а?

Точки А и С, а также точки В и D симметричны относитель

но плоскости а. Могут ли векторы АВ и CD быть: а) равными; неравными?

Известно, что векторы а и a-Vb коллинеарны. Коллинеарны ли векторы а и 6?

Может ли длина суммы двух векторов быть меньше длины каждого из слагаемых?

Может ли длина суммы нескольких ненулевых векторов быть равной сумме длин этих векторов?

Может ли длина разности двух ненулевых векторов быть равной сумме длин этих векторов?

Может ли длина разности двух ненулевых векторов быть равной разности длин этих векторов?

Может ли длина суммы двух ненулевых векторов быть равна длине разности этих векторов?

На какое число нужно умножить ненулевой вектор а, чтобы получить вектор Ь, удовлетворяющий следующим условиям: а) 6f fa и \b\ = |а|; б) b f |a и \b\ =3 |а|; в) b f |а и \b | = к |а|; г) 6 = 0?

Известно, что AB = k-CD, причем точки А, В и С не лежат на одной прямой. При каком значении к прямые Л С и BD являются: а) параллельными; б) пересекающимися? Могут ли прямые АС и BD быть скрещивающимися?

Компланарны ли векторы: а) а, 6, 2а, 36; б) а, 6, а + 6, а —6?

Известно, что векторы а, 6 и с компланарны. Компланарны ли векторы: а) а, 26, Зс; б) а-\-Ь, а4-2с, 26 — Зс?

Точки Л, В и С лежат на окружности, а точка О^не дежить плоскости этой окружности. Могут ли векторы ОА, ОВ и ОС быть компланарными?

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

Дан параллелепипед MNPQMiN\P\Q\. Докажите, что: а) J^^-^Qi—nTp^NP; б) PQ + NP, = NQX\ в) Q1P.+ + QQi = q7i.

На рисунке ИЗ изображен правильный октаэдр. Докажите, что: а) AB^FR^DB; б) AC-CF^EC; в) ЛВ+ЛС4- -VAD-VAESAF.

Докажите, что разность векторов а и 6 выражается формулой a— 6 = a + ( — 6).х

Дан тетраэдр ABCD. Найдите сумму векторов: а) АВ 4- 4-в"О4-ОС; б) AD-PCB^-DC; в) AB^CD-VBCA-DA.

Дан параллелепипед ABCDA\BXC\D\. Найдите сумму векторов:а) AB-VBXCX 4-DOi -VCD;д

B^x-VAB^-^Dv-VCBx-VBC^-A^A;

BA-VAC-VCB^-DC-V-DA.

Даны треугольники ЛВС, Л1В1С1 и две // । точки О и Р пространства. Известно, что ^^^ \Еу^ ° оа-нэр^оАь ов-рор=6вх, ос4-\l//

ОР = ОС\. Докажите, что стороны тре- угольника Л|В]С1 соответственно равныy

и параллельны сторонам треугольника АВС.Рис- из-

При каких значениях к в равенстве a = kb, где Ь^=б, векторы а и Ь: а) коллинеарны; б) сонаправлены; в) противоположно направлены; г) являются противоположными?

Числа к и I не равны друг другу. Докажите, что если векторы а-\-кЬ и а-\-1Ь не коллинеарны, то: а) векторы а и b не коллинеарны; б) векторы а + к^Ь и 5 + СЬ не коллинеарны при любых неравных числах к\ и 1\.

Точки А,, В\ и С| — середины сторон ВС, АС и АВ треугольника АВС, точка _О— произвольная точка пространства. Докажите, что О А । + ОВ! 4- ОС\ = ОА -\-ОВ + ОС.

Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника ABCD, пересекаются в точке М. Точка

О — произвольная точка пространства. Докажите, что ОМ =^-(О4 + ОВ +ОС+ 00).

Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что для любой точки М пространства справедливо неравенство МО <.~^АМА A- MB А- МС A- MD).

Три точки М, N и Р лежат на одной прямой, а точка О не лежит на этой прямой. Выразите вектор ОР через векторы ОМ и ON, если: a) NP = 2MN; б) МР ——^"^^! в) МР= =k*MN, где к—данное число.

Докажите, что векторы р, а и b компланарны, если: а) один из данных векторов нулевой; б) два из данных векторов коллинеарны.

На двух скрещивающихся прямых отмечены по^три точди: А ।, А2, Аз и В\, В2, Вз, причем А1А2 = к • А )А3, ВХВ2 — k • ВХВ3. Докажите, что прямые AiB^ А2В2, А3В3 параллельны некоторой плоскости.

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDAXB\C\D\, в котором AB = AD = a, ААХ ~2а. В вершинах Вх и Dx помещены заряды q, а в вершине А — заряд 2q. Найдите абсолютную величину результирующей напряженности электрического поля: а) в точке Л г, б) в точке С; в) в центре грани A iB1C1Di; г) в центре грани ABCD.

В тетраэдре ABCD точка К — середина медианы ВВ\ грани BCD. Разложите вектор АК по векторам а = АВ, Ь = АС, c=AD.__

392 На трех некомпланарных векторах р=АВ, q = AD, r=AAx построен параллелепипед ABCDA|В|С|О|. Разложите по векторам р, q и г векторы, образованные диагоналями этого параллелепипеда.

В параллелепипеде ABCDA\B\C\D\ точка К—середина ребра ССь Разложите вектор: а) АК по векторам АВ, AD, ААХ; б) DAi по векторам ЛВь ВС\, CDX.

В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX диагонали грани DCCXDX пересекаются в точке М. Разложите вектор АМ по векторам А.В, AD и ААХ.

Докажите, что если точки пересечения медиан треугольников АВС и АХВХСХ совпадают, то прямые ААХ, ВВХ и СС\ параллельны некоторой плоскости.

В тетраэдре ABCD точка М — середина ребда ВС. Выразите через векторы Ь=АВ, с = АС и d—AD следующие векторы: ВС, CD, DB и DM.

В тетраэдре ABCD точки М и N являются соответственно точками пересечения медиан граней ADB и BDC. Докажите, что MN|^C, и найдите отношение длин этих отрезков.

Треугольники АВС, АХВХСХ и Л2В2С2 расположены так, что точки А, В, С являются серединами отрезков АХА2, ВХВ2, СХС2 соответственно. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников АВС, АХВХСХ и А2В2С2 лежат на одной прямой.

Докажите, что треугольник, вершинами которого являются точки пересечения медиан боковых граней тетраэдра, подобен основанию тетраэдра.

11 класс

Глава V

МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ

КООРДИНАТЫ ТОЧКИ И КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА

Прямоугольная система координат в пространстве. Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление (оно обозначается стрелкой) и выбрана единица измерения отрезков*, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве (рис. 114). Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка — началом координат. Она обозначается обычно буквой О. Оси координат обозначаются так: Ox, Оу, Oz — и имеют названия: ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат. Вся система координат обозначается Oxyz. Три плоскости, проходящие соответственно через оси координат Ох и Оу, Оу и Oz, Oz и Ох, называются координатными плоскостями и обозначаются Оху, Oyz, Ozx.

Точка О разделяет каждую из осей координат на два луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, а другой луч — отрицательной полуосью.

В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются ее координатами. Они определяются аналогично координатам точек на плоскости. Проведем через точку М три плоскости, перпендикулярные

* Напомним, что при выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом. В дайной главе под длиной отрезка подразумевается это число.

ieo

Рис. 116.Рис. 116.

Рис. 116.

Рис. 116.

к осям координат, и обозначим через М|, Mt и Мз точки nepi чения этих плоскостей соответственно с осями абсцисс, орди и аппликат (рис. 115). Первая координата точки М (она назь ется абсциссой и обозначается обычно буквой х) определяе так: x = OMi, если Mi—точка положительной полуоси;

= —OMi, если Mi — точка отрицательной полуоси; х = 0, е Mi совпадает с точкой О. Аналогично с помощью точки Мг опр< ляется вторая координата (ордината) у точки М, а с помощью ■ ки Мз — третья координата (аппликата) z точки М. Координ точки М записываются в скобках после обозначения то1 М (х; у; z\ причем первой указывают абсциссу, второй — ордр ту, третьей — аппликату. На рисунке 116 изображены ' ки А (9; 5; 10), В(4; — 3;6), С (9; 0; 0), D (4; 0; 5), £ (0; 8 £ (0; 0; -3).

Если точка М (х; у, z) лежит на координатной плоскости на оси координат, то некоторые ее координаты равны нулю. 1 если М^Оху, то аппликата точки М равна нулю: г = 0. Аналоги если M^Oxz, то i/ = 0, а если М^Оуг, то х = 0. Если М^Ох ордината и аппликата точки М равны нулю: у = 0 и z = 0 (наг мер, у точки С на рисунке 116). Если М £ Оу, то х = 0 и z = 0; е М^ Oz, то х = 0 и у = 0. Все три координаты начала координат [ ны нулю: О (0; 0; 0).

Координаты вектора. Зададим в пространстве прямоуп ную систему координат Oxyz. На каждой из положительных п( осей отложим от начала координат единичный вектор, т. е. век длина которого равна единице. Обозначим через I единичный тор оси абсцисс, через / — единичный вектор оси ординат и Ч' £ — единичный вектор оси аппликат (рис. 117). Векторы I, j, к зовем координатными векторами. Очевидно, эти векторы не к( ланарны. Поэтому любвй вектор а можно разложить по коорди ним векторам, т. е. представить в виде

a=xi-Vyj -V^k,

ггРис. 118.Рис. 118.причем коэффициенты разложения х, у, z определяются единственным образом.

г

г

Рис. 118.

Рис. 118.

Коэффициенты х, у и z в разложении вектора а по координатным векторам называются координатами вектора а в данной системе координат. Координаты вектора а будем записывать в фигурных скобках после обозначения вектора: а\х; у; г}. На рисунке 118 изображен прямоугольный параллелепипед, имеющий следующие измерения: OAi=2, ОЛ2 = 3, у- ОЛз = 5. Координаты векторов, изображенных на этом рисунке, таковы: а {2; 3; 5}, 6 {2; 3; - 1}, ЛИ{2; 3; 0}, Z{1; 0; 0}, / {0; 1; 0},

к {0; 0; 1}.

Так как нулевой вектор можно представить в виде 0 = 0/ +0/ -VOk, то все координаты нулевого вектора равны нулю. Далее, координаты равных векторов соответственно равны, т. е. если векторы я{хь ух; Zi) и b (х2; у2; z2} равны, то xt=x2, ух=у2, Zi=z2 (объясните почему).

Рассмотрим правила, позволяющие по координатам данных векторов найти координаты их суммы, разности и произведения вектора на данное число.

1° Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

Другими словами,^если а (xi; ух; z^ и b (х2; у2; z2} — данные векторы, то вектор а+ 6 имеет координаты {х, + х2; y\-\-yi\ zi+z2).

2°. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

Другими словами, если а {х,; ух; z,} и b (х2; у2; z2} — данные векторы, то вектор а — Ь имеет координаты {х, — х2; у\—у2; Z| — z2}.

3°. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

Другими словами, если а (х; у; z} — данный вектор, а — данное число, то вектор аа имеет координаты {ах; ay; az}.

Утверждения 1° — 3° доказываются точно так же, как и для векторов на плоскости.

Рассмотренные правила позволяют находить координаты любого вектора, представленного в виде алгебраической суммы данных векторов, координаты которых известны. Рассмотрим пример.

Задача. Найти координаты вектора р = 2а—— 6 + с, если а{1; -2; 0}, 6(0; 3; -6}, с (-2; 3; 1}.3

Решение. По правилу 3° векюр 2а имеет координаты (2; —4; 0), а вектор ^--^-6 ) — координаты {0; — 1; 2’}. Так как р = =(2а)+^ —^"^+с,то его координаты {х; у; zi можно вычислить по правилу 1°: х = 2 + 0 — 2 = 0, у — — 4 — 1 + 3= — 2, z = 04-2 4- 4-1=3. Итак, вектор р имеет координаты {0; —2; 3}.

Связь между координатами векторов и координатами точек. Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало — с началом координат, называется радиус-вектором данной точки. Докажем, что координаты любой точки равны соответствующим координатам ее радиус-вектора.

Обозначим координаты данной точки М через (х; у; z\ Пусть Мь М2, Мз — точки пересечения с осями координат плоскостей, проходящих через точку М перпендикулярно к этим осям (рис. 119). Тогда

ОМ = ОМ1 + ОМ2 + ОМз. (2)

Докажем, что 0Мх=х1. В самом деле, если точка Mi лежит на положительной полуоси абсцисс, как на рисунке Н9, то x = 0Mi, а векторы ОМ, и / сонаправлены. Поэтому ОМ i = ОМ ।-I — xi. Если точка М, лежит на отрицательной полуоси абсцисс, то х = = _OMt, а векторы OMi и 7 противоположно направлены. Поэтому OMi = — ОМ, -i = xi. Наконец, если точка Mi совпадает с точкой О, то х = 0, OMi=0. Поэтому xi = 5, и снова справедливо равенство OMx=xi. Таким образом, в любом случае 0Mx=xi. Аналогично доказывается, что OM2 = yj, OM3 = zk.

Подставив эти выражения в равенство (2), получим

ОМ = xi 4~ yj 4- zk.

Отсюда следует, что координаты вектора ОМ равны {х; у; z), т. е. координаты точки М равны соответствующим координатам ее радиус-вектора ОМ, что и требовалось доказать.

Рис. 119.Рис. 120.

к ь доказанным утверждением, выразим координаты

,.а АВ через координаты его начала А и конца В. Пусть точ- .1 /1 имеет координаты (xi; yv, zi), а точка В — координаты

(*.■; у/, z2\ Вектор АВ равен разности векторов ОВ и О А (рис. 120), пол ому его координаты равны разностям соответствующих координат векторов ОВ и ОА. Но координаты векторов ОВ и ОА совпадают с соответствующими координатами точек В и Л: ОВ {х2; у2, z2}, ОА {xi; уг, zi}. Поэтому вектор АВ имеет координаты |x2--xi; у2 — уг, z2 —Zi}.

Итак, каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Простейшие задачи в координатах.

Координаты середины отрезка. В системе координат Oxyz отметим точку А с координатами (xi; yv, zj и точку В с координатами (х2; у2; z2\ Выразим координаты (х; у; z) середины С отрезка АВ через координаты его концов (рис. 121).

Так как точка С — середина отрезка АВ, то

6с=х^6а+6в\(1)

(Справедливость этого равенства доказана в курсе планиметрии.)

Координаты векторов ОС, ОА и ОВ равны соответствующим координатам точек С, А и В: ОС^х; у; z}, ОЛ(Х1; yv zi} и ОВ (х2; у2; z2\ Записав равенство (1) в координатах, получим х = у(х!+х2), y = ^Ay\^Vy2\ z = ^-(zi+z2).(2)

Таким образом, каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

Вычисление длины вектора по его координатам. Докажем, что длина вектора а {х; у, z} вычисляется по формуле

Отложим на осях координат векторы OAi=xi, OA2 = yj, ОА3 = = zk и рассмотрим вектор О А = ОАХ А-ОА2-\"ОАз = х1А-У]А" zk = a (рис. 122). Длина вектора ОА выражается через длины векторов OAi, ОАг и ОАз следующим образом:

I оа । = ^\6ах\2а-\6а2\2а-\6аз\2. (4)

В самом деле, если точка А не лежит на координатных плоскостях (рис. 122), то равенство (4) справедливо в силу свойства диагонали прямоугольного параллелепипеда: ОА2 = OA2-VOA2-V 4-ОЛз- Во всех других случаях расположения точки А (точка А лежит на координатной плоскости или на оси координат) равенство (4) также верно (рассмотрите эти случаи самостоятельно).

Так как | О A11 = I xt | = | х |, | ОЛ 21 = I yV I ОЛ3| = |z| и О А = а, то из равенства (4) получаем формулу (3):

|а| = л/^|2-|_ \y\2^_^z\'2^^fx2A-y2A-z2.

Расстояние между двумя точками. Рассмотрим две произвольные точки: точку Mi с координатами (xi; yv, Zi) и точку М2 с координатами (х2; уг; z2) (рис. 123). Выразим расстояние d между точками Мх и М2 через их координаты.

С этой целью рассмотрим вектор MjM2. Его координаты равны (х2 — м; у2— У\; z2 — z^. Следовательно по формуле (3) |Л4ГЛ4^1 =л/(х2 — х1)2 + (У2 — У1)'2 + (22 — г1)2. Но d=IAM^L Таким образом, расстояние между точками Mt (.ti; yv, Zi) и М2 (х2; 1/2, z2) вычисляется по формуле

d^^X2 — — Zi)2. (5)

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

Даны точки Л (3; — 1; 0), В (0; 0; -7), С (2; 0; 0), D (-4; 0; 3), £ (0; — 1;0), F(l;2;3), G (0; 5; — 7), Н (- V5; -фЗ; 0). Какие из этих точек лежат на: а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) оси аппликат; г) плоскости Оху; д) плоскости Oyz; е) плоскости Oxz?

Найдите координаты проекций точек Л (2; —3; 5), В (3; —5;-0 и С^ —д/3; — ^; V^ —V^) на: а) координатные плоскости Oxz, Оху и Oyz; б) оси координат Ох, Оу и Oz.

Даны координаты четырех вершин куба ABCDAXB\C\D\; А (0; 0; 0), В (0; 0; 1), D (0; 1; 0) и Л1 (1; 0; 0). Найдите координаты остальных вершин куба.

Запишите координаты векторов:a = 3iA-2j—5к,

Ь=—5i-V3j — k, c=i — j, d = j-\~k, m = k—t, n = 0,lk.

Даны векторы а {5; — 1; 2}, М-3; -1; 0}, с {0; -1; 0}, d {0; 0; 0}. Запишите разложения этих векторов по координатным векторам i, /, к.

На рисунке 124 изображен прямоугольный параллелепипед, у которого ОЛ=4,ОВ = 6,

координат Oxyz.106. Докажите, что каждая координата суммы (разности) двух векторов равна сумме (разности) соответствующих координат этих векторов.координат Oxyz.106. Докажите, что каждая координата суммы (разности) двух векторов равна сумме (разности) соответствующих координат этих векторов.OOi=5. Найдите координаты векторов ОЛь ОВХ, OOi, ОС, OCi, BCi, ЛС1, OiC в системе

координат Oxyz.

106. Докажите, что каждая координата суммы (разности) двух векторов равна сумме (разности) соответствующих координат этих векторов.

координат Oxyz.

106. Докажите, что каждая координата суммы (разности) двух векторов равна сумме (разности) соответствующих координат этих векторов.

Ю7. Даны векторы а{3; —5; 2}, b (0; 7; — 1}, с{^-; 0; о} и d{ —2,7; 3,1; 0,5}. Найдите координаты векторов: a) a-Vb; б) _а4-с;~в) Б-\-с; r^d-\-b; д) d-Va; е) аА-Ь-\-с-, ж) Ь-Р^Л- -Vd; з) a-Vb-Vc-Vd.

•08. По^ данным рисунка 125 найдите координаты векторов Л С, СВ, АВ, MN, NP, ВМ, ОМ, ОР, если ОЛ=3, OS =7, ОС = 2, а М, N и Р — середины ребер АС, ОС и СВ.

09. Даны векторы а (5; — 1; 1}, b ( — 2; 1; 0}, с (°; 0,2; 0} и ^{—^-; 2-|-; —1-|. Найдите координаты векторов: а) а — Ь; б) Ь — а; в) а —с; г) d — а; д) с — d; е) а — Ь^-с; ж) а — Ь — с; з) 2а; и) —ЗЬ; к) —6с; л) --yd; м) 0,26.

НО. Даны векторы а{—1; 2; О'), b {0; —5; —2} и с {2; 1; —3). Найдите координаты векторов

р — ЗЬ — 2а4-с и q = 3c — 2b А-а.

Рис. 125.Рис. 125.

Рис. 125.

Рис. 125.

Даны векторы 5(—1; 1; 1}, 6(0; 2; —2}, с{— 3; 2;^0} и 5{ —2; 1; —2}. Найдите координаты векторов: а) За + 26— с; б) —а + 2с —5; в) 0,15 + 36 + 0,7с — 5d; г) (25 + 36) — -(5-26) + 2(5-6).

Найдите координаты векторов, противоположных следующим векторам: I, j, к, а (2; 0; 0}, b {— 3; 5; —7}, с { — 0,3; 0; 1,75}.

Коллинеарны ли векторы: а) а {3; 6; 8} и b {6; 12; 16}; б) с{1; — 1; 3} и 5 (2; 3; 15}; в) Г{1; 0; 0} и / (0; 1;0};г) in {0; 0; 0} и 5 {5; 7; —3}; д) р{-у; —• 1; 5j и ^{—1; —3; —15}?

Решение, а) Координаты вектора а (3; 6; 8} пропорциональны координатам вектора b {6; 12; 16}: -|"=::"^" = "^'=:^’ где к=-^-. Поэтому a — kb, и, следовательно, векторы а и b коллинеарны.

б) Координаты вектора с{1; — 1; 3} не пропорциональны координатам вектора d {2; 3; 15}, например -^-^ —|-- Поэтому векторы с и d не коллинеарны. В самом деле, если предположить, что векторы с и d коллинеарны, то существует такое число к, что c = kd. Но тогда координаты вектора с пропорциональны координатам вектора d, что противоречит условию задачи.

Найдите значения т и п, при .которых следующие векторы коллинеарны: а) а (15; т; 1} и b (18; 12; п}; б) с (т; 0,4; —1} и d^—р п; 5 }.

Компланарны ли векторы: а) 5{ —3; —3; 0}, i и /; б) 6(2; 0; — 3}, i и /; в) с{1; 0; — 2}, i и к; г) 5{1; — 1; 2}, е{ —2; 0; 1} и /{5; -1; 0); д) ш{1; 0; 2), 5{1; 1; -1} и р{—1; 2; 4}; е) q (0; 5; 3}, г {3; 3; 3} и s {1; 1; 4)?

Р е ш е н и е. г) Векторы d (1; — 1; 2} и е {— 2; 0; 1} не коллинеарны, так как координаты одного не пропорциональны координатам другого. Если вектор /{5;_— 1; 0} можно разложить по векторам d и с, то векторы d, е и f компланарны. Если же вектор f нельзя разложить по векторам d и е, то вею торы d, е и f не компланарны (в противном случае вектор } можно было бы разложить по векторам d и е). Таким образом, для решения задачи нужно установить, можно ли вектор f разложить по векторам d и е, т. е. существуют ли числа х и у такие, что

f=xd-Vye.

Записывая это равенство в координатах, получим

5 = х —2у,— 1 = — х,0 = 2х + у.

Если эта система уравнений имеет решение относительно х и у, то вектор f можно разложить по векторам d и е, а если не имеет решения, то вектор f нельзя разложить по векторам d и е. В данном случае система имеет решение: х = 1, у= — 2. Поэтому вектор f можно разложить по векторам d и е, и, значит, векторы d, е и f компланарны.

Даны векторы

ОД (3; 2; 1}, OB {1; -3; 5} и 6с\—Ь 0,75; -2-Ц.Запишите координаты точек Д, В и С, если точка О — на-

чало координат.417. Даны точки Д (2; — 3; 0), В (7; -12; 18) и С (-8; 0; 5). Запишите координаты векторов ОА, ОВ и ОС, если точка О —чало координат.417. Даны точки Д (2; — 3; 0), В (7; -12; 18) и С (-8; 0; 5). Запишите координаты векторов ОА, ОВ и ОС, если точка О —418.418.419.420.419.420.421.421.422.422.начало координат._>

чало координат.

417. Даны точки Д (2; — 3; 0), В (7; -12; 18) и С (-8; 0; 5). Запишите координаты векторов ОА, ОВ и ОС, если точка О —

чало координат.

417. Даны точки Д (2; — 3; 0), В (7; -12; 18) и С (-8; 0; 5). Запишите координаты векторов ОА, ОВ и ОС, если точка О —

418.

418.

419.

420.

419.

420.

421.

421.

422.

422.

Найдите координаты вектора АВ, если: а) Д (3; — 1; 2),

В (2; — 1; 4); б) Д(-2;6; -2), 6(3; -1;0);в) Д^1;А;Д_у

Вершины треугольника АВС имеют координаты: Д(1; 6; 2), В (2; 3; — 1), С ( —3; 4; 5). Разложите векторы АВ, ВС и СА по координатным векторам i, j и к.

Даны точки Д (3; -1; 5), В (2; 3; -4), С(7; 0; -1) и D (8; —4; 8). Докажите, что векторы АВ и DC равны. Равны ли векторы ВС и AD?

Лежат ли точки Д, В и С на одной прямой, если: а) Д (3; -7; 8), В (-5; 4; 1), С(27; -40; 29); б) Д ( —5; 7; 12), В (4; -8; 3), С (13; -23; -6); в) А (-4; 8; -2), В ( —3; -1; 7), С (-2; -10; -16)?

Р е ш е н и е. а) Если векторы АВ и АС коллинеарны, то точки Д, В и С лежат на одной прямой, а если не коллинеарны, то точки Д, В и С не лежат на одной прямой. Найдем координаты этих векторов: АВ { — 8; 11; —7}, ДС{24; —33; 21). Очезидно, АС = —ЗАВ, поэтому векторы АВ и АС коллинеарны, и, следовательно, точки Д, В и С лежат на одной прямой.

Лежат ли точки Д, В, С и D в одной плоскости, если: а) А (-2; -13; 3), В (1; 4; 1), С (— 1; -1; -4), D (0; 0; 0);

Л (0; 1; 0), В (3; 4; -1), С ( — 2; -3; 0), 0(2; 0; 3);

Л (5; -1; 0), В(-2; 7; 1), С (12; -15; -7), 0(1; 1; -2)?

Докажите, что точка пересечения медиан треугольника АВС с вершинами A (xi; yv; zx\ В (х2; ух, гз\ С (х3; у3; z3) имеет координаты

/ х, + х2 + хя . УI А-И2-V-Уз . Zi+z2 + z3 X

X 333/'

Точка Л4 — середина отрезка АВ. Найдите координаты: а) точки М, если А (0; 3; —4), В ( — 2; 2; 0); б) точки В, если Л (14; —8; 5), М (3; — 2; — 7); в) точки Л, если В (0; 0; 2), М(-12; 4; 15).

Середина отрезка АВ лежит на оси Ох. Найдите т и /г, если:

а) А ( —3; т; 5), В (2; -2; п); б) А (1; 0,5; -4), В (1; т; 2пу, в) Л (0; т; п + 1), В(1; п; —т+1); г) Л (7; 2тА-п; — В (— 5; — 3; т — 3).

Найдите длину вектора АВ, если: а) А (— 1; 0; 2), В (1; — 2; 3); б) Л (-35; -17; 20), В (-34; -5; 8).

Найдите длины векторов: а (5; — 1; 7}, b (2 V$; —6; 1}, с = < + / + ^, d=—2k, m = i — 2j.

Даны векторы а {3; —2; 1), b ( — 2; 3; 1} и с ( — 3; 2; 1}. Найдите: а) |а + ^1; б) |а| + 1^1; в) |а| —Ш; г) |а —5|; д) |3с|; е) -\[\А |с|; ж) 12а —Зс|.

Даны точки М ( — 4; 7; 0) и N (0; — 1; 2). Найдите расстояние от начала координат до середины отрезка MN.

Даны точки Л 0-; 1; — 2), В (2; 2; -3)иС(2;0; -1). Найдите: а) периметр треугольника ЛВС; б) медианы треугольника АВС.

Определите вид треугольника АВС, если: а) Л (9; 3; —5), В (2; 10; -5), С (2; 3; 2); б) Л (3; 7; -4), В (5; -3; 2), С(1;3; -10); в) Л (5; -5; -1), В (5; -3; -1), С (4; -3;0); г) Л (-5; 2; 0), В (-4; 3; 0), С (-5; 2; -2).

Найдите расстояние от точки Л ( — 3; 4; — 4)до:а) координатных плоскостей; б) осей координат.

На каждой из координатных плоскостей найдите такую точку, расстояние от которой до точки Л ( — 1; 2; — 3) является наименьшим среди всех расстояний от точек этой координатной плоскости до точки Л.

На каждой из осей координат найдите такую точку, расстояние от которой до точки В (3; —4; у/7) является наименьшим среди всех расстояний от точек этой оси до точки В.

Даны точки А (1; 0; k), В (— 1; 2; 3) и С (0; 0; 1). При каких значениях к треугольник АВС является равнобедренным?

Даны точки А (4; 4; 0), В (0; 0; 0), С (0; 3; 4) и D (1; 4; 4). Докажите, что АВ CD— равнобедренная трапеция.

Найдите точку, равноудаленную от точек А (— 2; 3; 5) и В (3; 2; — 3) и расположенную на оси: а) Ох; б) Оу; в) Oz.

Даны точки Л ( — 1; 2; 3), В ( — 2; 1; 2) и С (0; — 1; 1). Найдите точку, равноудаленную от этих точек и расположенную на координатной плоскости: а) Оху; б) Oyz; в) Ozx.

Даны точки О (0; 0; 0), Л (4; 0; 0), В (0; 6; 0), С (0; 0; -2). Найдите: а) координаты центра и радиус окружности, описанной около треугольника ЛОВ; б) координаты точки, равноудаленной от вершин тетраэдра О АВС.

Отрезок CD длины т перпендикулярен к плоскости прямоугольного треугольника АВС с катетами АС = Ь и ВС = а. Введите подходящую систему координат и с помощью формулы расстояния между двумя точками найдите расстояние от точки D до середины гипотенузы этого треугольника.

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Угол между векторами. Возьмем два произвольных вектора а и Ь. Отложим от какой-нибудь точки О векторы ОА=а и ОВ = Ь. Если векторы а и b не являются сонаправленными, то лучи ОА и ОВ образуют угол ЛОВ (рис. 126). Градусную меру этого угла обозначим, буквой а и будем говорить, что угол между векторами а и b равен а. Если же векторы а и b сонаправлены, в частности один из них или оба нулевые, то будем считать, что угол между ними равен 0°. Если угол между векторами равен 90°, то векторы называются перпендикулярными. Угол между векторами а и b обозначается так: а Ь.

На рисунке ^27 изображено несколько векторов. Углы между ними таковы: ab=30°, ас=120°, b с = 90°, dJ=O°, dc=180°. Ha этом рисунке b_Lc, b_Ld, b_Lf.

Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов^а и b обозначается так: ab. Таким образом, ab = |а) • |6| -cos (ab\

Как и в планиметрии, справедливы утверждения: скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны;

скалярный квадрат вектора (т. е. скалярное произведена тора на себя) равен квадрату его длины.

Докажите эти утверждения самостоятельно.

Скалярное произведение двух вектор*ов можно вычислить координаты этих векторов: скалярное произведение eet а{хх; ух; zx] и b {х2; у2; г2]. выражается формулой

ab = xxx2-}-yxy2-}-zxz2.

Это утверждение доказывается точно так же, как в пла1 рии.

Косинус угла а между ненулевыми векторами а{хг, ух b \х2; у2; z2} вычисляется по формуле

COS а =.

4" У? 4" 21 * ^г + Уг + гг

В самом деле, так как ab= |о| • |6| cos а, то cos а = — |а

Подставив сюда выражения для ab, | а | и |6| через коорд векторов а и Ь, получим формулу (1).

Сформулируем основные свойства скалярного произве векторов.

Для любых векторов а, Ь, с и любого числа к справедлие венства^_

1°. а2^0, причем а2>0 при а=#0.

2°. аф = Ьа_ (переместительный закон).

3°. (а 4-6) с = асА-Ьс (распределительный закон).

4°. 6(а6) = (6а)6 (сочетательный закон).

Утверждения 1°—4° доказываются точно так же, как в i метрии.

Нетрудно доказать, что распределительный закон имеет для любого числа слагаемых. Например, (а4-b4-с) d = -Vbd-Vcd (су. задачу 458).

Вычисление углов между прямыми и плоскостями вычисления угла между двумя прямыми, а также между пр$ плоскостью во многих случаях удобно использовать ска; произведение. Прежде чем рассмотреть две такие зада вычисление углов, введем понятие направляющего вектор; мой.

Ненулевой вектор называется направляющим векторол мой а, если он лежит либо на прямой а, либо на прямой, пара.

ной а. На рисунке 128 вектор АВ является направляющим ром прямой а.

дРис. 128.дРис. 128.Задача 1. Найти угол между двумя прямыми (пересекающимися или скрещивающимися), если известны координаты направляющих векторов этих прямых.

д

Рис. 128.

д

Рис. 128.

угол между этимиугол между этимиРешение. Пусть р {xj; ур, zi) и q (х2; 1/2; 22} — направляющие векторы прямых а и Ь. Обозначим буквой ф искомый прямыми. Для решения задачи достаточно

угол между этими

угол между этими

найти cos ф, так как значение cos ф позволяет найти угол ф.

Введем обозначение: Q = pq. Тогда либо ф = 0, если 0^90° (рис. 129, а), либо ф = 180° —0, если 0>9О° (рис. 129, б). Поэтому либо cos ф = соз 0, либо cos ф = —cos 0. В любом случае |cos ф| = = |cos 01, а так как ф^90°, то cos ф^О, и, следовательно, cos ф = = |cos0|. Используя формулу (1) п. 47, получаем

(2)(2)\x1x2-V-y1y2-VziZ2\

(2)

(2)

+ У1 + Z| • -\М + </2 + Z2

Задача 2. Найти угол между прямой и плоскостью, если известны координаты направляющего вектора прямой и координаты ненулевого вектора, перпендикулярного к плоскости.

Решение. Пусть р (хь ур, z(} — направляющий вектор прямой а, п {х2; 1/2; 22} — ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости а. Это означает, что прямая, на которой лежит вектор п, перпендикулярна к плоскости а. Обозначим буквой ф искомый угол между прямой а и плоскостью а, а буквой 6 — угол р п.

Пользуясь рисунком 130, нетрудно доказать (сделайте это самостоятельно), что sin ф= |cos 0|. Поэтому для sin ф получается такое же выражение, как и в правой части равенства (2). Зная sin ф и учитывая, что ф^90°, можно найти угол ф.

Рис. 129.

ЗАДАЧИ

Дан куб ABCDAXB\C\D\. Найдите угол между векторами: а) В\В и ВХС; б) DA и BXDX; в) АХСХ и АХВ; г) ВС и АС; д) ВВХ и АС; е) ВХС и ADX; ж) Д1О1 и ВС; з) ААХ и СХС.

Уго/i межд^ векторами АВ и CD равен ср. Найдите углы BA DC, BA CD, АВ DC.

Ребро куба ABCDAXBXCXDX равно а, точка Ох — центр грани AXB\C\DX. Вычислите скалярное произведение векторов: a) AD и ВХС\; б) АС и С|Д1; в) DXB и АС; г) ВАХ и ВСХ; д) Д1О1 и Д|Сь е) DXOX и ВХОХ; ж) ВОХ и СХВ.

Даны векторы а {1; — 1; 2}, b {— 1; 1; 1) и с {5; 6; 2}. Вычислите ас, ab, be, аа, -\[bb.

Даны векторы а = 3/— 5/ + ^ и b=j— 5^. Вычислите: a) ab; б) ai; в) bj; г) (а + 6)£; д) (a—2bHk-H — 2j\

Даны векторы а {3; — 1; 1}, b {—5; 1; 0} и с {— 1; — 2; 1}. Выясните, какой угол (острый, прямой или тупой) между векторами: а) а и Ь; б) b и с; в) а и с.

Дан вектор а (3^—5; 0}. Докажите, что: а) а/<90°; б) а/>90°; в) а £ = 90°.

Даны векторы а {— 1; 2; 3) и b {5, х; — 1}. При каком значении х выполняется условие: a) аЬ — З; б) ab = — 1; в) а ±6?

Даны векторы e = rni-V3j -V^k и b=4i-\-Hij—7k. При каком значении т векторы а и Ь перпендикулярны?

Даны точки А (0; 1; 2), В (^2; 1; 2), С(^; 2; 1) и 0(0; 2; 1). Докажите, что ABCD — квадрат.

Вычислите угол между векторами: а) а (2; —2; 0} и b {3; 0; -3}; 6) а ^[2; ^2; 2} и b {—3; —3; 0); в) л {0; 5; 0} и

ИЗ

6(0; -V3; 1}; г) а {—2,5; 2,5; 0} и В (-5; 5; 5^};

Д) 5|—^; -V2; -21 и 6^;-1}.

Вычислите углы между вектором а (2; 1; 2} и координатными векторами.

Даны точки А (1; 3; 0), В (2; 3; — 1) и С (1; 2; — 1). Вычислите угол между векторами СА и СВ.

Найдите углы, периметр и площадь треугольника, вершинами которого являются точки А(1; —1; 3;), В (3; —1; 1) и С(—1; 1; 3).

Дан куб ABCDAXBXCXDX. Вычислите косинус угла между векторами: a) AAi и АСХ; б) BDX и DBX; в) DB и АСХ.

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDAXBXCXDX, в котором АВ = 1, ВС = ССХ = 2. Вычислите угол между векторами DBX и В^.

Известно, что a с = Вс = 60°, 1 а| = 1, |^| = |с| = 2. Вычислите (а+ 6) с.

Докажите справедливость равенства (а -{- b -Т- с) d = ad -|- bd -Т- cd.

Решение. Запишем сумму трех векторов а, В и с в виде а + & + с = (а + Ь)4-с. Пользуясь распределительным законом скалярного произведения векторов, получаем (а + В + с) d = ((а + 6) + с) d = (а + 6) d + cd = (ad + Bd) + cd = ad bd cd./x

Векторы а и В перпендикулярны к вектору с, а В= 120°, |а| = \В\ = |с| = 1. Вычислите: а) скалярные произведения (а + ^ + с)(26) и (а —6 + с)(а —с); б) |а — В\ и |d + £ —cl-

Докажите, что координаты ненулевого вектора в прямоугольной системе координат равны {|a|cos<|i; |а|со5ф2;

I а | cos фз}, где срi = а Т, q2 = a], ^2 = а к.

Решение. Если вектор а имеет координаты {х; у, г}, то a = xi-Vyj~VZB. Умножив это равенство скалярно на i и используя свойства скалярного произведения, получим

ai = ^xi-Vyj-Vzk) i = x ^if)-Vy (jiWz^i\ Так как //=1, // = 0, ki = 0, то ai = x. С другой стороны, по определению скалярного произведения ai = |a||/| cos ф1 = |a| cos фь Таким образом, x=|a| cos фь Аналогично получаем равенства у=\а\ cos фг, z= |a| cos фз.

Все ребра тетраэдра АВ CD равны друг другу. Точки М и N — 114

середины^ ребер AD и ВС. Докажите, что МД/ Д£) — = MN ВС = 0.

В параллелепипеде ABCDAXBX C,DX AAX—AB=AD=\ Z_DAB — ^Q , Z_ A iAD — Z_ A XAB = 90°. Вычислите:

a) BA-DXCX; 6) BCVDXB; в) ACX-ACX; г) 12)5,1;

Д) 1ЛС|; е) cos (DAX DxВ); ж) cos (ДС, DB^.

В тетраэдре ABCD противоположные ребра AD и ВС, а также BD и АС перпендикулярны. Докажите, что противоположные ребра CD и АВ также перпендикулярны.

Решение. Введем векторы a = DA, b — DB, c = DC (рис. 131). Тогда АВ = Ь — а, АС = с — а, ВС = с — Ь. По условию AD.LBC и BDA-AC, поэтому а±(с — Ь) и b_L(c— а). Следовательно.^а (с — ^) = 0 и Цс-а^О. Отсюда получаем ac = ab и Ьс = Ьл. Из этих двух равенств следует, что ас =

АВ DC = 0, ВычислитеАВ DC = 0, ВычислитеЬс, или (Ь а) с — 0. Но b— а = АВ, c = DC, поэтому

АВ DC = 0, Вычислите

АВ DC = 0, Вычислите

464.464.465.465.и, значит, АВ У CD, что и требовалось доказать.

464.

464.

465.

465.

если:если:угол между прямыми АВ и CD

если:

если:

4\?(4;z ~1; 2^> С^6; ~3;2)- W; -з; IX б) Л (5; -8; -1), В ^; -8; -2), С (7; -5; -11), В^ —7; —9); в) Д(1; 0; 2), В (2; 1; 0), С (0; —2- —4) О (-2; -4; 0); г) Д(-6; -15; 7), В (-7; -15- 8) С (14; —10; 9), D (14; —10; 7).’’

Дана правильная треугольная призма АВСАХВХСХ, в которой ААх=^[2АВ (рис. 132,а). Найдите угол между прямыми АС, и А,В.

Решение. Пусть АВ —а, тогда ААХ = yflu. Введем прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке

Рнс. 131.Рис 132Рнс. 131.Рис 132

Рнс. 131.Рис 132

Рнс. 131.Рис 132

Вершины А, В, Ах, Ci имеют следующие координаты (объясните почему): А ( °^-; -^*; 0 ), В (0; а; 0), ^'С^'’^0^)'С|(°;0;_ Отсюда находим координаты векторов АСХ и ВАг.

ЛС,{-^2.; -f;a^}, б7,{^; -f;a^}.

Векторы ACi и ВА( являются направляющими векторами прямых АСХ и АХВ. Искомый угол ф между ними можно найти по формуле (2):

I -4а2+та2+2а211

cos ср =■■=—т=== —,

откуда ф = 60°.

В кубе ABCDA\BXC\D\ точка М лежит на ребре ААХ, причем АМ:МАХ=3:1, а точка N — середина ребра ВС. Вычислите косинус угла между прямыми: а) MN и DDX\ б) MN и BD; в) MN и B\D; г) MN и АХС.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX АВ = = ВС=-^-ААх. Найдите угол между прямыми: а) BD и CDX\ б) АС и АСХ.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX АВ — \, ВС —2, ВВХ = 3. Вычислите косинус угла между прямыми: а) АС и DXB; б) АВХ и ВСХ; в) AXD и АСХ.

В кубе ABCDAXBXCXDX диагонали грани ABCD пересекаются в точке N, а точка М лежит на ребре AXDX, причем AXM:MDX = 1:4. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани: а) ABCD; б) DDXCXC; в) AAXDXD.

В тетраэдре ABCD zLABD= Z_ABC= Z_DBC = ^\ АВ = = BD = 2, ВС=\. Вычислите синус угла между прямой, проходящей через середины ребер AD и ВС, и плоскостью грани: а) ABD; б) DBC; в) АВС.

Докажите, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых содержит диагональ куба, а другая — диагональ грани куба, равен 90°.

Дан куб MNPQMXNXPXQX. Докажите, что прямая РМХ перпендикулярна к плоскостям MNXQX и QNPX.

Лучи ОА, ОВ и ОС образуют три прямых угла АОВ, АОС и ВОС. Найдите угол между биссектрисами углов СОА и АОВ.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX Z_BAC\ = Z_DACx=60°. Найдите ^= Z_AXACX.

Решение. Зададим прямоугольную систему координат Охуг так, как показано на рисунке 133, и рассмотрим единичный вектор а, сонаправленный с вектором Л С,. Вектор а имеет координаты {cos 60°; cos 60°; cos <р), или {-р -р cos<p|. Так как |а| = 1, то —{--■—|-cos2q)=l.

4 4

475.476.477.475.476.477.Отсюда получаем cos2 Ф = "^"> или со5ф=+ду- 1 ак как угол ф острый, то cos ф — -р, откуда Ф = 45°.

475.

476.

477.

475.

476.

477.

В тетраэдре DABC DA = § см, ЛВ = 4 см, ЛС = 3 см, Z-BAC — 90°, Z_ DAB =60°, Z.DAC = 45°. Найдите расстояние от вершины А до точки пересечения медиан треугольника DBG.

Угол между диагональю Л С, прямоугольного параллелепипеда ABCDA\B\C\D\ и каждым из ребер АВ и AD равен 60°. Найдите Z_CAC\.

Проекция точки К на плоскость квадрата ABCD совпадает с центром этого квадрата. Докажите, что угол между прямыми АК и BD равен 90°.

ДВИЖЕНИЯ

Центральная симметрия. В курсе планиметрии мы познакомились с движениями плоскости, т. е. отображениями плоскости на себя, сохраняющими расстояния между точками. Введем теперь понятие движения пространства. Предварительно разъясним, что понимается под словами отображение пространства на себя. Допустим, что каждой точке М пространства поставлена в соответствие некоторая точка Л1|, причем любая точка Mt пространства оказалась поставленной в соответствие какой-то точке М. Тогда говорят, что задано отображение пространства на себя. Говорят также, что при данном отображении точка М переходит (отображается) в точку Мх. Под движением пространства понимается отображение пространства на себя, при котором любые две точки А и В переходят (отображаются) в какие-то точки Л, и Д так, что Л]В| = АВ. Иными словами, движение пространства — это отображение пространства на себя, сохраняющее расстояния между точками. Примером движения может служить центральная симметрия — отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М, относительно данного центра О.

Докажем, что центральная симметрия является движением. Обозначим буквой О центр симметрии и введем прямоугольную систему координат Oxyz с началом в точке О. Установим связь между координатами двух точек М (х; у; г) и Mt (xi; ух\ zx\ симметричных относительно точки О. Если точка М не совпадает с центром О, то О — середина отрезка ММ\. По формулам для координат середины отрезка получаем

£±^L=n У+У1 =n ±+£l=q2 ’ 2 ’ 2

откуда Х|=—х, у\~— у, 21 = —z. Эти формулы верны и в том случае, когда точки М и О совпадают (объясните почему).

Рассмотрим теперь любые две точки A (xt; ух; zx) и В (х2; </2; z2) и докажем, что расстояние между симметричными им точками Ах и Bi равно АВ. Точки Д| и Bi имеют координаты Д|( — Xi; — ух\ — z^ и В\ (—х2; — у 2; — z2). По формуле расстояния между двумя точками находим: ЛВ = ~\Z(x2~xi)2 + (y2 —I/i)2 + (z2 — Zi)2, АХВХ = =-^/(^Х2 + х|)2 + ( — </2 + t/i)2 + (— 22 + zi)2- Из этих соотношений ясно, что АВ=АХВХ, что и требовалось доказать.

Осевая симметрия. Осевой симметрией с осью а называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М, относительно оси а.

Докажем, что осевая симметрия является движением. Для этого введем прямоугольную систему координат Oxyz так, чтобы ось Oz совпала с осью симметрии, и установим связь между координатами двух точек М (х; у; z) и Мх (хх; ух; zx), симметричных относительно оси Oz. Если точка М не лежит на оси Oz, то ось Oz; 1) проходит через середину отрезка ММХ и 2) перпендикулярна к нему. Из первого условия по формулам для координат середины отрезка получаем --+—= 0 и ^i^=0, откуда хх = — х и ух = — у. Второе условие означает, что аппликаты точек М и Мх равны: Z| =z. Полученные формулы верны и в том случае, когда точка М лежит на оси Oz (объясните почему).

Рассмотрим теперь любые две точки A (xt; ух; 2J и В (х2; у^-, Z2) и докажем, что расстояние между симметричными им точками Ах и Вх равно АВ. Точки Ах и Вх имеют координаты А ( — хх; —ух; 2|) и Вх (—х2; —у^; 22). По формуле расстояния между двумя точками находим: АВ =^(х2—хх^ + \yi — ух)2 + (г2 — гх)~, АХВХ = VC~Яг+яТТН^ Из Этих соотношений ясно, что АВ =АХВХ, что и требовалось доказать.

Зеркальная симметрия. Зеркальной симметрией (симметрией относительно плоскости а) называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей относительно плоскости а точку Мх.

Докажем, что зеркальная симметрия является движением. 118

Для этого введем прямоугольную систему координат Oxyz так, чтобы плоскость Оху совпала с плоскостью симметрии, и установим связь между координатами двух точек М (х; у; z) и Mi (хй ух\ Zi), симметричных относительно плоскости Оху. Если точка М не лежит в плоскости Оху, то эта плоскость: 1) проходит через середину отрезка MMt и 2) перпендикулярна к нему. Из первого условия по формуле координат середины отрезка получаем -^- =0, откуда 21 = --z. Второе условие означает, что отрезок ММХ параллелен оси Oz, и, следовательно, х, = х, ух — у. Полученные формулы верны и в том случае, когда точка М лежит в плоскости Оху (объясните почему).

Рассмотрим теперь любые две точки A (xt; ух; zx) и В (х2; t/2; z2) и докажем, что расстояние между симметричными им точками Ах и В\ равно АВ. Точки Ах и Вх имеют координаты Ах (xt; ух; — Zi) и Вх (х2; у2; — z2). По формуле расстояния между двумя точками находи1\г__^^^3 = д^^ Д i В t = =^(^2^-х]У^НуГ—у?У4-7~~2Г+^^ Из этих соотношений ясно, что AB=AtBx, что и требовалось доказать.

Параллельный перенос. Приведем еще один пример движения пространства. Возьмем какой-нибудь вектор р. Параллельным переносом на вектор р называется отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в такую точку Mi, что MMi=p (рис. 134,а).

Докажем, что параллельный перенос является движением. При параллельном переносе на вектор р любые две точки Д и В переходят в точки Д1 и Bi такие, что ААх=р и ВВх=р. Требуется доказать, что Л\В\=АВ. По правилу треугольника АВХ = ДД, Д-Д\ВХ. С другой стороны, АВХ =АВ А~ВВХ (рис. 134,6). Из этих двух равенств получаем ААХ Д-Д1В1 =AB-VBBX, или р-\-АхВх = AB-Vp, откуда АХВХ=АВ. Из последнего равенства следует, что АХВХ = =АВ, что и требовалось доказать.

Можно доказать (это делается так же, как и в планиметрии),

Рис. 134.

что при любом движении отрезок переходит в отрезок, прямая — в прямую, плоскость — в плоскость. Можно доказать также, что понятие наложения, с помощью которого в нашем курсе вводится равенство фигур (см. приложение 2), совпадает с понятием движения, т. е. любое наложение является движением и, обратно, любое движение является наложением. Это утверждение доказывается аналогично тому, как это делалось в планиметрии.

ЗАДАЧИ

Найдите координаты точек, в которые переходят точки Л (0; 1; 2), В (3; — 1; 4), С(1; 0; —2) при: а) центральной симметрии относительно начала координат; б) осевой симметрии относительно координатных осей; в) зеркальной симметрии относительно координатных плоскостей.

Докажите, что при центральной симметрии: а) прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.

Докажите, что при центральной симметрии: а) плоскость, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей плоскость; б) плоскость, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.

Докажите, что при осевой симметрии: а) прямая, параллельная оси, отображается на прямую, параллельную оси; б) прямая, образующая с осью угол <р, отображается на прямую, также образующую с осью угол гр.

При зеркальной симметрии прямая а отображается на прямую щ. Докажите, что прямые а и ах лежат в одной плоскости.

При зеркальной симметрии относительно плоскости а плоскость р отображается на плоскость р,. Докажите, что если: а) Р||а, то Pi||a; б) р±а, то pt совпадает с р.

Докажите, что при параллельном переносе на вектор р, где р=/=0; а) прямая, не параллельная вектору р и не содержащая этот вектор, отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, параллельная вектору р или содержащая этот вектор, отображается на себя.

Треугольник Л|В|С, получен параллельным переносом треугольника АВС на вектор р. Точки М| и М — соответственно точки пересечения медиан треугольников Л|В|С1 и АВС. Докажите, что при параллельном переносе на вектор р точка М переходит в точку М\.

Докажите, что при движении: а) прямая отображается на прямую; б) плоскость отображается на плоскость.

Докажите, что при движении: а) отрезок отображается на отрезок; б) угол отображается на равный ему угол.

Докажите, что при движении: а) параллельные прямые отображаются на параллельные прямые; б) параллельные плоскости отображаются на параллельные плоскости.

Докажите, что при движении: а) окружность отображается на окружность того же радиуса; б) прямоугольный параллелепипед отображается на прямоугольный параллелепипед с теми же измерениями.

ВОПРОСЫ к ГЛАВЕ V

Как расположена точка относительно прямоугольной системы координат, если: а) одна ее координата равна нулю; б) две ее координаты равны нулю?

Объясните, почему все точки, лежащие на прямой, параллельной плоскости Оху, имеют одну и ту же аппликату.

Даны точки А (2; 4; 5), В (3; х; у), С (0; 4; z) и D (5; t; и). При каких значениях х, у, z, t и и эти точки лежат: а) в плоскости, параллельной плоскости Оху, б) в плоскости, параллельной плоскости Oxz\ в) на прямой, параллельной оси Ох?

Какие координаты имеет вектор СА, если АВ ^xt; ух; zt}, ВС {х2; у2; z2}?

Первая и вторая координаты ненулевого вектора а равны нулю. Как расположен вектор а по отношению к оси: a) Oz; б) Ох; в) Оу?

Первая координата ненулевого вектора а равна нулю. Как расположен вектор а но отношению: а) к координатной плоскости Oxz; б) к оси Ох?

Коллинеарны ли векторы: а) а {—5; 3; — 1}и6{6; —10; —2}; б) а {—2; 3; 7} и 6{—1; 1,5; 3,5}?

Длина радиус-вектора точки М равна 1. Может ли абсцисса точки М равняться: а) 1; б) 2?

Длина вектора а равна 3. Может ли одна из координат вектора а равняться: а) 3; б) 5?

Абсцисса точки Mi равна 3, а абсцисса точки М2 равна 6. а) Может ли длина отрезка М|М2 быть равной 2? б) Как расположен отрезок М|М2 по отношению к оси Ох, если его длина равна 3?

Векторы а и b имеют длины а и Ь. Чему равно скалярное произведение векторов а и Ь, если: а) векторы а и b сонаправ- лены; б) векторы а и b противоположно направлены; в) векторы а и b перпендикулярны; г) угол между векторами а и 6 равен 60°; д) угол между векторами а и b равен 120°?

При каком условии скалярное произведение векторов а и Ь:

а) положительно; б) отрицательно; в) равно нулю?

Дан куб ABCDA\B\C\D\. Перпендикулярны ли^векторы:

а) ЛО и оТсх\ б) BD и ССХ; в) АХСХ и AD; г) DB и ОХСХ; д) ВВ и АС?

Первые координаты векторов а и b равны соответственно 1 и 2. Может ли скалярное произведение векторов а и b быть: а) меньше 2; б) равно 2; больше 2?

Какие координаты имеет точка А, если при центральной, симметрии с центром А точка В (1; 0; 2) переходит в точку С (2; -1; 4)?

Как расположена плоскость по отношению к осям координат Ох и Oz, если при зеркальной симметрии относительно этой плоскости точка М (2; 1; 3) переходит в точку Mt (2; —2; 3)?

В какую перчатку (правую или левую) переходит правая перчатка при зеркальной симметрии? осевой симметрии? центральной симметрии?

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

Даны векторы а(—5; 0; 5), 6{—5;~5; 0] и с(1; —2; — 3). Найдите координаты вектора: а) 36 —3а4-3с; б) —0,1с + + 0,8а — 0,56.

Коллинеарны ли векторы: а) а ( — 5; 3; — 1} и 6 (6; — 10; — 2}; б) а ( — 2; 3; 7} и 6(-1; 1,5; 3,5}; в) а{—р -р и 6(6; -5; 9}; г) а (0,7; -1,2; -5,2} и 6 (-2,8; 4,8; -20,8}?

Даны точки А ( — 5; 7; 3) и В (3; — 11; 1). а) На оси Ох найдите точку, ближайшую к середине отрезка АВ. б) Найдите точки, обладающие аналогичным свойством, на осях Оу и Oz.

Компланарны ли векторы: а) а{—1; 2; 3), J + j и I— к; б) 6 (2; 1; 1,5}, 7+/ + ^ и 7-/; в) а{1; 1; 1}, 6(1; -1; 2) и с (2; 3; -1}?

Даны точки А (3; 5; 4), В (4; 6; 5), С (6; —2; 1) и D (5; —3; 0). Докажите, что ABCD — параллелограмм.

Даны точки А (2; 0; 1), В (3; 2; 2) и С (2; 3; 6). Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника АВС.

Даны координаты четырех вершин параллелепипеда ABCDAXBXCXDX; А (3; 0; 2), В (2; 4; 5), А, (5; 3; 1), D (7; 1; 2). Найдите координаты остальных вершин.

Середина отрезка АВ лежит в плоскости Оху. Найдите k, если: а) А (2; 3; - 1), В (5; 7; 6); б) А (0; 4; к), В (3; -8; 2); в) А (5; 3; к\ В (3; -5; 36).

Найдите координаты единичных векторов, ^направленных соответственно с векторами а (2; 1; —2) и 6(1; 3; 0).

Длина вектора а (х; у; z) равна 5. Найдите ординату вектора а, если х=2, z — —^/5.

Даны точки М (2; — 1; 3), N ( — 4; 1; — 1), Р ( — 3; 1; 2) и Q (1; 1; 0). Вычислите расстояние между серединами отрезков MN и PQ.

Найдите расстояние отточки В ( — 2; 5; д/3) до осей координат.

На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек А (13; 2; -1) и В (-15; 7; -18).

503*. Найдите координаты центра окружности, описанной около треугольника с вершинами А (0; 2; 2), В (2; 1; 1), С (2; 2; 2).

Вершины треугольника АВС расположены по одну сторону от плоскости а и находятся от этой плоскости на расстояниях 4 дм, 5 дм и 9 дм. Найдите расстояние от точки пересечения медиан треугольника до плоскости а.

505*.Медианой тетраэдра называется отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противоположной грани. Докажите, что медианы тетраэдра пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 3:1, считая от вершины.

Даны векторы а {— 1; 5; 3}, b (3; 0; 2}, с (у-; — 3; 4^ и d (2; 1; 0}. Вычислите скалярное произведение: a) ab; б) ас; в) dd; г) (а + 6 + с)5; д) (а —6) (с —5).

В тетраэдре DABC DA = DB = DC, Z_ADB = 45°, Z_BDC = = 60°. Вычислите угол между векторами: a) DA и BD; б) DB и СВ; в) ВО и ВА.

Все ребра тетраэдра ABCD равны друг другу, Dx — проекция точки D на плоскость АВС. Перпендикулярны ли векторы:

a) DXB и DXD; б) DDX и ВС; в) DA и ВС; г) 1>Гв и DC?

Вычислите косинус угла между прямыми АВ и CD, если:

а) А (7; -8; 15), В (8; -7; 13), С (2; -3; 5), О(-1; 0; 4); б) А (8; -2; 3), В (3; -1; 4), С (5; -2; 0), 0(7; 0; -2).

В кубе ABCDA\B\C\D\ точка М — центр грани ВВХСХС. Вычислите угол между векторами: a) AXD и АМ; б) MD и ВВХ.

В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX Z_BAAX = Z_BAD = = Z- DAA i =60°, AB — AAX = AD = 1. Вычислите длины векторов ACX и BDX.

Проекция точки М на плоскость ромба ABCD совпадает с точкой О пересечения его диагоналей. Точка N — середина стороны ВС, ЛС = 8, DB = МО = 6. Вычислите косинус угла между прямой MN и прямой: а) ВС; б) DC; в) АС; г) DB.

В кубе ABCDAXBXCXDX точка М лежит на ребре ВВХ, причем ВМ;МВХ =3:2, а точка N лежит на ребре AD, причем AN:ND = 2:3. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани: a) DDXCXC; б) AXBXCXDX.

Лучи ОД, ОВ, ОС и ОМ расположены так, что Z_AOB = = ^ВОС = Z СОД =90°, Z_AOM=^\, Z1BOM=^, Z_COM = срз. Докажите, что

cos2 <pi +cos2 фг+cos2 ф3 = 1.

Лучи ОД, ОВ и ОС расположены так, что Z_BOC = = Z-BOA = 45°, zLAOC — W. Прямая ОН перпендикулярна к плоскости АОВ. Найдите угол между прямыми ОН и ОС.

Дан двугранный угол CABD, равный ф (ф<90°). Известно, что АС±АВ и Z_DAB = ^. Найдите cos Z_CAD.

Отрезки СА и DB перпендикулярны к ребру двугранного угла CABD, равного 120°. Известно, что АВ=т, СА = п, BD = p. Найдите CD.

При движении прямая а отображается на прямую а,, а плоскость а — на плоскость at. Докажите, что: а) если a||a, то ai||ai; б) если a±a, то at±ai.

При зеркальной симметрии относительно плоскости а плоскость р отображается на плоскость р(. Докажите, что если плоскость р образует с плоскостью а угол ф, то и плоскость Pi образует с плоскостью а угол ф.

Докажите, что при параллельном переносе на вектор р:

плоскость, не параллельная вектору р и не содержащая этот вектор, отображается на параллельную ей плоскость;

плоскость, параллельная вектору р или содержащая этот вектор, отображается на себя.

Глава VI

ЦИЛИНДР, КОНУС И ШАР

цилиндр

Понятие цилиндра. Рассмотрим две параллельные плоскости а и р и окружность L с центром О радиуса г, расположенную в плоскости а (рис. 135). Через каждую точку окружности L проведем прямую, перпендикулярную к плоскости а. Отрезки этих прямых, заключенные между плоскостями аир, образуют цилиндрическую поверхность. Сами отрезки называются образующими цилиндрической поверхности (на рисунке 135 изображены образующие ААи ММ] и др.).

По построению концы образующих, расположенные в плоскости а, заполняют окружность L. Концы же образующих, расположенные в плоскости р, заполняют окружность L\ с центром Oi радиуса г, где О\ — точка пересечения плоскости р с прямой, проходящей через точку О перпендикулярно к плоскости а.

Справедливость этого утверждения следует из того, что множество концов образующих, лежащих в плоскости р, получается из окружности L параллельным переносом на вектор ОО\. Параллельный перенос является движением и, значит, наложением, а при наложении любая фигура переходит в равную ей фигуру. Следовательно, при параллельном переносе на вектор ОО\ окружность L перейдет в равную ей окружность L\ радиуса г с центром в точке О|.

Рис. 135. Цилиндрическая поверхность.Рис. 135. Цилиндрическая поверхность.Ось цилиндра XОсь цилиндра XРис. 136. Цилиндр.Рис. 136. Цилиндр.

Рис. 135. Цилиндрическая поверхность.

Рис. 135. Цилиндрическая поверхность.

Ось цилиндра X

Ось цилиндра X

Рис. 136. Цилиндр.

Рис. 136. Цилиндр.

Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L и L\, называется цилиндром (рис. 136). Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги — основаниями цилиндра. Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра, прямая ОО\ — осью цилиндра.

Все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу как отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями аир. Длина образующей называется высотой цилиндра, а радиус основания — радиусом цилиндра.

Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. На рисунке 137 изображен цилиндр, полученный вращением прямоугольника ABCD вокруг стороны АВ. При этом боковая поверхность цилиндра образуется вращением стороны CD, а основания — вращением сторон ВС и AD.

Рассмотрим сечения цилиндра различными плоскостями. Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник (рис. 138,а), две стороны которого — образующие, а две другие — диаметры оснований цилиндра. Такое сечение называется осевым.

Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра, то сечение является кругом. В самом деле, если у — такая секущая плоскость (рис. 138,6), то она отсекает от рассматриваемого цилиндра тело, также представляющее собой цилиндр (объясните почему). Основаниями этого цилиндра служат два круга, один из которых и есть рассматриваемое сечение.

Замечание. На практике нередко встречаются предметы, которые имеют форму более сложных цилиндров. На рисунке 139,а изображен цилиндр, каждое основание которого представляет собой фигуру, ограниченную частью параболы и отрезком. На рисунке 139,6 изображен цилиндр, основаниями которого являются

Рис. 137. Цилиндр получен Осевое сечение вращением прямоугольника цилнидра.ABCD вокруг стороны АВ.126Рис. 137. Цилиндр получен Осевое сечение вращением прямоугольника цилнидра.ABCD вокруг стороны АВ.126Сеченне цилиндра плоскостью, перпендикулярной к оси.Сеченне цилиндра плоскостью, перпендикулярной к оси.Рис. 138.Рис. 138.

Рис. 137. Цилиндр получен Осевое сечение вращением прямоугольника цилнидра.

ABCD вокруг стороны АВ.

126

Рис. 137. Цилиндр получен Осевое сечение вращением прямоугольника цилнидра.

ABCD вокруг стороны АВ.

126

Сеченне цилиндра плоскостью, перпендикулярной к оси.

Сеченне цилиндра плоскостью, перпендикулярной к оси.

Рис. 138.

Рис. 138.

круги, но образующие цилиндра нс перпендикулярны к плоскостям оснований (наклонный цилиндр). Однако в дальнейшем мы будем рассматривать только такие цилиндры, которые были определены в этом пункте. Их называют иногда прямыми круговыми цилиндрами.

Площадь поверхности цилиндра. На рисунке 140,а изображен цилиндр. Представим себе, что его боковую поверхность разрезали по образующей АВ и развернули таким образом, что все образующие оказались расположенными в некоторой плоскости а (рис. 140,6). В результате в плоскости а получится прямоугольник АВВ'А'. Стороны АВ и А'В' прямоугольника представляют собой два края разреза боковой поверхности цилиндра по образующей АВ. Этот прямоугольник называется разверткой боковой поверхности цилиндра. Основание АА' прямоугольника является разверткой окружности основания цилиндра, а высота АВ — образующей цилиндра, поэтому АА' = 2лг, AB=h, где г — радиус цилиндра, h — его высота.

За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь ее развертки. Так как площадь прямоугольника АВВ'А' равна АА' -АВ = 2лгН, то для вычисления площади 5бок боковой поверхности цилиндра радиуса г и высоты h получается формула 5бок = 2лг/7.(1)

Фб)

Рис. 140.

Итак, площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.

Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. Так как площадь каждого основания равна лг2, то для вычисления площади 5ЦНЛ полной поверхности цилиндра получаем формулу

5иил=--2лг (г + п\

ЗАДАЧИ

Докажите, что осевое сечение цилиндра является прямоугольником, две противоположные стороны которого — образующие, а две другие — диаметры оснований цилиндра. Найдите диагональ осевого сечения, если радиус цилиндра равен 1,5 м, а высота —4 м.

Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60°. Найдите: а) высоту цилиндра; б) радиус цилиндра; в) площадь основания цилиндра.

Осевое сечение цилиндра — квадрат, диагональ которого равна 20 см. Найдите: а) высоту цилиндра; б) площадь основания цилиндра.

Осевые сечения двух цилиндров равны. Равны ли высоты этих цилиндров?

Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 м2, а площадь основания — 5 м2. Найдите высоту цилиндра.

Площадь основания цилиндра относится к площади осевого сечения как ^Зл:4. Найдите: а) угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания; б) угол между диагоналями осевого сечения.

Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен г, его высота — h, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найдите: а) /г, если г = 10 дм, d = % дм, Д5 = 13 дм; б) d, если h = 6 см, г = 5 см, АВ= 10 см.

Докажите, что если секущая плоскость параллельна оси цилиндра и расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра меньше его радиуса, то сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, две противоположные стороны которого — образующие цилиндра.

Высота цилиндра равна 8 см, радиус равен 5 см. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси, если расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра равно 3 см.

Высота цилиндра равна 12 см, а радиус основания равен 10 см. Цилиндр пересечен плоскостью, параллельной его оси.

так, что в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости.

Высота цилиндра равна 10 дм. Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра и удаленной на 9 дм от нее, равна 240 дм2. Найдите радиус цилиндра.

Через образующую ДД| цилиндра проведены две секущие плоскости, одна из которых проходит через ось цилиндра. Найдите отношение площадей сечений цилиндра этими плоскостями, если угол между ними равен <р.

Высота цилиндра равна /г, а площадь осевого сечения равна S. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси, если расстояние между осью цилиндра и плоскостью сечения равно d.

Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в 120°. Найдите площадь сечения, если высота цилиндра равна /г, а расстояние между осью цилиндра и секущей плоскостью равно d.

Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в 60°. Образующая цилиндра равна 10-\/3 см, расстояние от оси до секущей плоскости равно 2 см. Найдите площадь сечения.

Через образующую цилиндра проведены две взаимно перпендикулярные плоскости. Площадь каждого из полученных сечений равна S. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

Диаметр основания цилиндра равен 1 м, высота цилиндра равна 'длине окружности основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна S. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

Сколько понадобится краски, чтобы покрасить бак цилиндрической формы с диаметром основания 1,5 м и высотой 3 м, если на один квадратный метр расходуется 200 г краски?

Высота цилиндра на 12 см больше его радиуса, а площадь полной поверхности равна 288л см2. Найдите радиус основания и высоту цилиндра.

Сколько квадратных метров листовой жести пойдет на изготовление трубы длиной 4 м и диаметром 20 см, если на швы необходимо добавить 2,5% площади ее боковой поверхности?

Угол между образующей цилиндра и диагональю осевого сечения равен <р, площадь основания цилиндра равна S. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Угол между диагоналями развертки боковой поверхности цилиндра равен ср, диагональ равна d. Найдите площади боковой и полной поверхностей цилиндра.

Из квадрата, диагональ которого равна d, свернута боковая поверхность цилиндра. Найдите площадь основания цилиндра.

5 Заказ 106129

Цилиндр получен вращением квадрата со стороной а вокруг одной из его сторон. Найдите площадь: а) осевого сечения цилиндра; б) боковой поверхности цилиндра; в) полной поверхности цилиндра.

Один цилиндр получен вращением в пространстве прямоугольника ABCD вокруг прямой АВ, а другой цилиндр — вращением того же прямоугольника вокруг прямой ВС. а) Докажите, что площади боковых поверхностей этих цилиндров равны, б) Найдите отношение площадей полных поверхностей этих цилиндров, если АВ = а, ВС = Ь.

§ 2. КОНУС

Понятие конуса. Рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОР, перпендикулярную к плоскости этой окружности. Каждую точку окружности соединим отрезком с точкой Р. Поверхность, образованная этими отрезками, называется конической поверхностью (рис. 141), а сами отрезки — образующими конической поверхности.

Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом (рис. 142). Коническая поверхность называется боковой поверхностью конуса, а круг — основанием конуса. Точка Р называется вершиной конуса, а образующие конической поверхности—образующими конуса (на рисунке 142 изображены образующие РА, РВ и др.). Все образующие конуса равны друг другу (объясните почему). Прямая ОР, проходящая через центр основания и вершину, называется осью конуса. Ось конуса перпендикулярна к плоскости основания. Отрезок ОР называется высотой конуса.

Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. На рисунке 143 изображен конус, полученный вращением прямоугольного треугольни-

Рис. 141. Коническая поверхность.Рис. 141. Коническая поверхность.Рис. 142. Конус.Рис. 142. Конус.

Рис. 141. Коническая поверхность.

Рис. 141. Коническая поверхность.

Рис. 142. Конус.

Рис. 142. Конус.

Рнс. 143. Конус получен вращением прямоугольного треугольника АВС вокруг катета АВ.Рнс. 143. Конус получен вращением прямоугольного треугольника АВС вокруг катета АВ.Рис. 144. Осевое сечение конуса.Рис. 144. Осевое сечение конуса.

Рнс. 143. Конус получен вращением прямоугольного треугольника АВС вокруг катета АВ.

Рнс. 143. Конус получен вращением прямоугольного треугольника АВС вокруг катета АВ.

Рис. 144. Осевое сечение конуса.

Рис. 144. Осевое сечение конуса.

на АВС вокруг катета АВ. При этом боковая поверхность конуса образуется вращением гипотенузы АС, а основание — вращением катета ВС.

Рассмотрим сечение конуса различными плоскостями.

Если секущая плоскость проходит через ось конуса (рис. 144), то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого — диаметр основания конуса, а боковые стороны — образующие конуса. Это сечение называется осевым.

Если секущая плоскость перпендикулярна к оси ОР конуса (рнс. 145), то сечение конуса представляет собой круг с центром О,, расположенным на оси конуса. Радиус г\ этого круга равен

Рис. 145. Сечение конуса плоскостью а, перпендикулярной к его оси,— круг с центром <Э| РО, радиуса п=-^-г.Рис. 145. Сечение конуса плоскостью а, перпендикулярной к его оси,— круг с центром <Э| РО, радиуса п=-^-г.

Рис. 145. Сечение конуса плоскостью а, перпендикулярной к его оси,— круг с центром <Э| РО, радиуса п=-^-г.

Рис. 145. Сечение конуса плоскостью а, перпендикулярной к его оси,— круг с центром <Э| РО, радиуса п=-^-г.

^г, где г — радиус основания конуса, что легко усмотреть из подобия прямоугольных треугольников РОМ и РО\М\. Доказательство этого факта приведено в решении задачи 556.

Площадь поверхности конуса. Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих (рис. 146,а,6). Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор (см. рис. 146,6), радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора — длине окружности основания конуса.

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки. Выразим площадь 5бок боковой поверхности конуса через его образующую / и радиус основания г. Площадь кругового сектора — развертки боковой поверхности конуса (рис. 146,6) — /2

равна -^-а, гДе а — градусная мера дуги АВА', поэтому

^бок ~ 360 а"(* ^

Выразим а через / и г. Так как длина дуги АВА* равна 2лг (длине окружности основания конуса), то 2лг=-^ а, откуда 180 а=-^р-. Подставив это выражение в формулу (1), получим

5бОк = лг/.(2)

Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Для вычисления площади SK0H полной поверхности конуса получается формула

5к01, = лг G + 4(3)

Усеченный конус. Возьмем произвольный конус и проведем секущую плоскость, перпендикулярную к его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей представляет собой конус, а другая называется усеченным конусом (рис. 147). Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усеченного конуса, а отрезок, соединяющий их центры, — высотой усеченного конуса.

Часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, заключенные между основаниями, называются образующими усеченного конуса. Все образующие усеченного конуса равны друг другу (докажите это самостоятельно).

Рис. 148. Усеченный конус получен вращением прямоугольной трапеции ABCD вокруг стороны CD.Рис. 148. Усеченный конус получен вращением прямоугольной трапеции ABCD вокруг стороны CD.Рис. 147. Усеченный конус.Рис. 147. Усеченный конус.

Рис. 148. Усеченный конус получен вращением прямоугольной трапеции ABCD вокруг стороны CD.

Рис. 148. Усеченный конус получен вращением прямоугольной трапеции ABCD вокруг стороны CD.

Рис. 147. Усеченный конус.

Рис. 147. Усеченный конус.

Усеченный конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям. На рисунке 148 изображен усеченный конус, полученный вращением прямоугольной трапеции ABCD вокруг стороны CD. При этом боковая поверхность образуется вращением боковой стороны АВ, а основания усеченного конуса — вращением оснований СВ и DA трапеции.

Выразим площадь S6aK боковой поверхности усеченного конуса через его образующую / и радиусы гиг, оснований (г>г,).

Пусть Р — вершина конуса, из которого получен усеченный конус, AAi — одна из образующих усеченного конуса, О и О\ — центры оснований (рис. 149). Используя формулу (2), получаем S6oK = лг-РД — ЛГ|РД। =лг (РА। + ДД,) — лг, • РА,. Отсюда, учитывая, что AAi— I, находим:

56ок = лг/ + л (г —г^РДь(4)

Выразим РА\ через /, г и гх. Прямоугольные треугольники РО\АХ и РОА подобны, так как имеют общий острый угол Р, по- РАХ г,РА( г,

этому -рд— или + ■ = —. Отсюда получаем

РД,=-^-.г —г,

Подставив это выражение в формулу (4), приходим к формуле

5бОк = л (г + о)/.

Таким образом, площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.

ЗАДАЧИ

Высота конуса равна 15 см, а радиус основания равен 8 см. Найдите образующую конуса.

Образующая конуса, равная 12 см, наклонена к плоскости основания под углом а. Найдите площадь основания конуса, если: а) а = 30°; б) а = 45°; в) а = 60°.

Высота конуса равна 8 дм. На каком расстоянии от вершины конуса надо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы площадь сечения была равна: а) половине площади основания; б) четверти площади основания?

Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник. Найдите площадь этого сечения, если радиус основания конуса равен 5 см.

Осевое сечение конуса — правильный треугольник со стороной 2г. Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие конуса, угол между которыми равен: а) 30°; б) 45°; в) 60°.

Высота конуса равна /г, а угол между высотой и образующей конуса равен 60°. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две взаимно перпендикулярные образующие.

Найдите высоту конуса, если площадь его осевого сечения равна 6 дм2, а площадь основания равна 8 дм2.

Образующая конуса равна I, а радиус основания равен г. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу: а) в 60°; б) в 90°.

Высота конуса равна 10 см. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в 60°, если плоскость сечения образует с плоскостью основания конуса угол: а) 30°; б) 45°; в) 60°.

Основанием конуса с вершиной Р является круг радиуса г с центром О. Докажите, что если секущая плоскость а пер- .пендикулярна к оси конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром Oi радиуса г\, где О\ — точка пересечения плоскости а с осью РО, a ri="^Lf (см- Рис- 145).

Решение. Докажем сначала, что любая точка Mi, лежащая в плоскости а на окружности радиуса rt с центром Оi, лежит на некоторой образующей конуса, т. е. является точкой рассматриваемого сечения. Обозначим буквой М точку пересечения луча РМ\ с плоскостью основания конуса. Из подобия прямоугольных треугольников РО\М\ и РОМ (они подобны, так как имеют общий острый угол Р) находим: ОМ = =7~ • О|М| —^~ О = г> т- е- точка М лежит на окружности основания конуса. Следовательно, отрезок РМ, на котором лежит точка Mi, является образующей конуса.

Докажем теперь, что любая точка Мх, лежащая как в плоскости а, так и на боковой поверхности конуса, лежит на окружности радиуса rt с центром О,. Действительно, из подобия треугольников РО\МХ и РОМ (РМ — образующая, проходящая через точку Mi) имеем

ОхМх=^.ОМ=^.г=гх.

РОРО

Таким образом, окружность радиуса rt с центром О] является сечением боковой поверхности конуса плоскостью а, поэтому круг, границей которого является эта окружность, представляет собой сечение конуса плоскостью а.

Две секущие плоскости перпендикулярны к оси конуса. Докажите, что площади сечений конуса этими плоскостями относятся как квадраты расстояний от вершины конуса до этих плоскостей.

Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с дугой а. Найдите а, если высота конуса равна 4 см, а радиус основания равен 3 см.

Найдите дугу сектора, представляющего собой развертку боковой поверхности конуса, если образующая конуса составляет с плоскостью основания угол в 60°.

Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор с дугой, равной: а) 180°; б) 90°; в) 60°.

Вычислите площадь основания и высоту конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор, радиус которого равен 9 см, а дуга равна 120°.

Угол между образующей и осью конуса равен 45°, образующая равна 6,5 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Площадь осевого сечения конуса равна 0,6 см2. Высота конуса равна 1,2 см. Вычислите площадь полной поверхности конуса.

Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом ф. В основание конуса вписан треугольник, у которого одна сторона равна а, а противолежащий угол равен а. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращается вокруг меньшего катета. Вычислите площади боковой и полной поверхностей образованного при этом вращении конуса.

Равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна т, а угол при основании равен ф, вращается вокруг основания. Найдите площадь поверхности тела, получаемого при вращении треугольника.

Найдите образующую усеченного конуса, если радиусы оснований равны 3 см и 6 см, а высота равна 4 см.

Радиусы оснований усеченного конуса равны 5 см и 11 см, а образующая равна 10 см. Найдите: а) высоту усеченного конуса; б) площадь осевого сечения.

Радиусы оснований усеченного конуса равны R и г, где R>r, а образующая составляет с плоскостью основания угол в 45°. Найдите площадь осевого сечения.

Площадь боковой поверхности конуса равна 80 см2. Через середину высоты конуса проведена плоскость, перпендикулярная к высоте. Найдите площадь боковой поверхности образовавшегося при этом усеченного конуса.

Дана трапеция ABCD, в которой /1Л=90°, /10 = 45°, ВС = 4 см, CD = 3yl2 см. Вычислите площади боковой и полной поверхностей усеченного конуса, образованного вра- . щением данной трапеции вокруг стороны АВ.

Ведро имеет форму усеченного конуса, радиусы оснований которого равны 15 см и 10 см, а образующая равна 30 см. Сколько килограммов краски нужно взять для того, чтобы покрасить с обеих сторон 100 таких ведер, если на 1 м2 требуется 150 г краски? (Толщину стенок ведер в расчет не принимать.)

СФЕРА

Сфера и шар.

Определение. Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства,, расположенных на данном расстоянии от данной точки (рис. 150).

Данная точка называется центром сферы (точка О на рисунке 150), а данное расстояние —радиусом сферы. Радиус сферы часто обозначают буквой R.

Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы. Очевидно, диаметр сферы равен 2R. Отметим, что сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг ее диаметра (рис. 151).

Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара. Очевидно, шар радиуса R с центром О содержит все точки пространства, которые расположены от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая и точку О), и не содержит других точек.

Уравнение сферы. Пусть заданы прямоугольная система координат Oxyz и дана некоторая поверхность F, например плоскость или сфера. Уравнение с тремя переменными х, у, z называется уравнением поверхности F, если этрму уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности F и не удовлетворяют 136

AAРис. 151. Сфера получена вращением полуокружности АСВ вокруг диаметра АВ.Рис. 151. Сфера получена вращением полуокружности АСВ вокруг диаметра АВ.

A

A

Рис. 151. Сфера получена вращением полуокружности АСВ вокруг диаметра АВ.

Рис. 151. Сфера получена вращением полуокружности АСВ вокруг диаметра АВ.

координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности. Отметим, что понятие уравнения поверхности аналогично понятию уравнения линии, которое было введено в курсе планиметрии.

Выведем уравнение сферы радиуса R с центром С (хо; t/o; 2о) (рис. 152).

Расстояние от произвольной точки М (х; у; z) до точки С вычисляется по формуле МС = л[(х — x0)2 + (t/ — y^2-Wz~ zo)2- Если точка М лежит на данной сфере, то MC = R, или MC2 = R2, т. е. координаты точки М удовлетворяют уравнению

• (x-XO)2+(l/-l/o)2 + (2-Zo)2 = /?2. (1)

Если же точка М (х; у; z) не лежит на данной сфере, то MC2#=R2, т. е. координаты точки М не удовлетворяют уравнению (1). Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром С (ху; у0; z0) имеет вид (х — х0)2 4- (у — у oj2 + (z — Zo)2 = R2.

Взаимное расположение сферы и плоскости. Исследуем взаимное расположение сферы и плоскости в зависимости от соотношения между радиусом сферы и расстоянием от ее центра -до плоскости.

Обозначим радиус сферы буквой R, а расстояние от ее центра до плоскости а — буквой d. Введем систему координат так, как показано на рисунке 153: плоскость Оху совпадает с плоскостью а, а центр С сферы лежит на положительной полуоси Oz. В этой системе координат точка С имеет координаты (0; 0; d\ поэтому сфера имеет уравнение x24-t/2+(z — d)2 — R2. Плоскость а совпадает с координатной плоскостью Оху, и поэтому ее уравнение имеет вид z = 0 (объясните почему).

Если координаты какой-нибудь точки М (х; у; z^ удовлетворяют обоим уравнениям, то точка М лежит как в плоскости а, так и на сфере, т. е. является общей точкой плоскости и сферы. Если же система этих двух уравнений не имеет решений, то сфе-

ра и плоскость не имеют общих точек. Таким образом, вопрос о взаимном расположении сферы и плоскости сводится к исследованию системы уравнений

Г z = 0,\xHy2^(z-dy = R2.

Подставив z = 0 во второе уравнение, получим

(2)(2)х2-\-у2 = R2 — d2.

(2)

(2)

Возможны три случая.

dcR. Тогда R2 — d2>0, и уравнение (2) является уравнением окружности радиуса r^^/R2 — d2 с центром в точке О на плоскости Оху. Координаты любой точки М (х; у; 0) этой окружности удовлетворяют как уравнению плоскости а, так и уравнению сферы, т. е. все точки этой окружности являются общими точками плоскости и сферы (рис. 153, а). Таким образом, в данном случае сфера и плоскость пересекаются по окружности. Итак, если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность.

Ясно, что сечение шара плоскостью есть круг. Если секущая плоскость проходит через центр шара, то d = 0 и в сечении получается круг радиуса R, т. е. круг, радиус которого равен радиусу шара. Такой круг называется большим кругом шара (рис. 154). Если секущая плоскость не проходит через центр шара, то d^>0 и радиус сечения r=x[R2—d2, очевидно, меньше радиуса шара (см. рис. 153, а).

Рис. 153.Рис. 153.

Рис. 153.

Рис. 153.

Рис. 154.Рис. 154.

Рис. 154.

Рис. 154.

d — R. Тогда /?2— d2 = 0, и уравнению (2) удовлетворяют только.значения х = 0, у = 0. Следовательно, только координаты точки О (0; 0; 0) удовлетворяют обоим уравнениям, т. е. О — единственная общая точка сферы и плоскости (см. рис. 153, 6). Итак, если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют только одну общую точку.

d>>R. Тогда R2— d2<.0, и уравнению (2) не удовлетворяют координаты никакой точки. Следовательно, если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек (см. рис. 153, в).

Касательная плоскость к сфере. Рассмотрим более подробно случай, когда сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы. На рисунке 155 плоскость а — касательная к сфере с центром О, А — точка касания. Касательная плоскость к сфере обладает свойством, аналогичным свойству касательной к окружности. Оно выражено в следующей теореме:

Теорема. Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Доказательство. Рассмотрим плоскость а, касающуюся сферы с центром О в точке А (рис. 155). Докажем, что О А ±а.

Предположим, что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к плоскости а, и, следовательно, расстояние от центра сферы до плоскости а меньше радиуса сферы. Поэтому сфера и плоскость пересекаются по окружности. Но это противоречит тому, что плоскость а — касательная, т. е. сфера и плоскость а имеют только одну общую точку. Полученное противоречие доказывает, что ОЛ±а. Теорема доказана.

Докажем обратную теорему.

Теорема. Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Доказательство. Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведенным из центра сферы к данной плоскости. Поэтому расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, и, следовательно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Это и означает, что данная плоскость является касательной к сфере. Теорема доказана.

Площадь сферы. В отличие от боковой поверхности цилиндра или конуса сферу нельзя развернуть на плоскость, и, следовательно, для нее непригоден способ определения и вычисления площади поверхности с помощью развертки. Для определения площади сферы воспользуемся понятием описанного многогранника. Многогранник называется описанным около сферы (шара), если сфера касается всех его граней. При этом сфера называется вписанной в многогранник. На рисунке 156 изображены описанные около сферы тетраэдр и куб.

Пусть описанный около сферы многогранник имеет п граней. Будем неограниченно увеличивать п таким образом, чтобы наибольший размер каждой грани описанных многогранников стремился к нулю. За площадь сферы примем предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани. В п. 73 мы докажем, что этот предел существует, и получим следующую формулу для вычисления площади сферы радиуса R:

5 = 4л/?2.

ЗАДАЧИ

Точки А и В лежат на сфере с центром О^АВ, а точка М лежит на отрезке АВ. Докажите, что: а) если М — середина отрезка АВ, то ОМ J_ АВ; б) если ОМ J_ АВ, то М — середина отрезка АВ.

Точка М — середина отрезка АВ, концы которого лежат на сфере радиуса R с центром О. Найдите: а) ОМ, если /? = 50 см, ЛВ=40 см; б) ОМ, если /?=15 мм, АВ = 18 мм; в) АВ, если /?=10 дм, ОМ=60 см; г) АМ, если R = a, ОМ = Ь.

Точки Л и В лежат на сфере радиуса R. Найдите расстояние от центра сфера до прямой АВ, если АВ = т.

Найдите уравнение сферы радиуса R с центром А, если: а) А (2; -4; 7), R = 3; б) А (0; 0; 0), /? = V2; в) А (2; 0; 0), R = 4.

БП. Напишите уравнение сферы с центром А, проходящей через точку N, если: а) Л ( — 2; 2; 0), N (5; 0; — 1); б) Л (— 2; 2; 0), N(0; 0; 0); в) А (0; 0; 0), N (5; 3; 1).

Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением: а) х24-у2 + г2 = 49; б) (х — 3)2 + (z/ + 2)2 + z2 = 2.

Докажите, что каждое из следующих уравнений является уравнением сферы. Найдите координаты центра и радиус этой сферы: а) х2 — 4x + y24-z = 0; б) a^ + ^ + z2 —. — 2z/ = 24; в) x2 + 2x + y2 + z2 = 3; г) х2— х-^у2 A-3yA-z2 — — 2z = 2,5.

Шар радиуса 41 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 дм от центра. Найдите площадь сечения.

Вершины треугольника АВС лежат на сфере радиуса 13 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если ЛВ = 6 см, ВС = 8 см, АС — 10 см.

Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16 см.

Стороны треугольника касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если его стороны равны 10 см, 10 см и 12 см.

Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если ЛВ= 13 см, ВС = 14 см, СЛ = 15 см.

Все стороны ромба, диагонали которого равны 15 см и 20 см, касаются сферы радиуса 10 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости ромба.

580. Отрезок ОН—высота тетраэдра ОАВС. Выясните взаимное расположение сферы радиуса R с центром О и плоскости АВС, если: a) R = 6 дм, ОН = 60 см; б) R = 3 м, ОН = 95 см; в) R = 5 дм, ОЛ = 45 см; г) /? = 3,5 дм, ОН = 40 см.

Расстояние от центра шара радиуса R до секущей плоскости равно d. Вычислите: а) площадь S сечения, если R — 12 см, d = 8 см; б) R, если площадь сечения равна 12 см2, d = 2 см.

Через точку, делящую радиус сферы пополам, проведена секущая плоскость, перпендикулярная к этому радиусу. Радиус сферы равен R. Найдите: а) радиус получившегося сечения; б) площадь боковой поверхности конуса, вершиной которого является центр сферы, а основанием — полученное сечение.

Секущая плоскость проходит через конец диаметра сферы радиуса R так, что угол между диаметром и плоскостью равен а. Найдите длину окружности, получившейся в сечении, если: a) R = 2 см, а = 30°; б) R = 5 м, а —45°.

Через точку сферы радиуса R, которая является границей данного шара, проведены две плоскости, одна из которых является касательной к сфере, а другая наклонена под углом <р к касательной плоскости. Найдите площадь сечения данного шара.

Сфера касается граней двугранного угла в 120°. Найдите радиус сферы и расстояние между точками касания, если расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла равно а.

Радиус сферы равен 112 см. Точка, лежащая на плоскости, касательной к сфере, удалена от точки касания на 15 см. Найдите расстояние от этой точки до ближайшей к ней точки сферы.

Найдите площадь сферы, радиус которой равен: а) 6 см; б) 2 дм; в) д/2 м; г) 2 д/З см.

Площадь сечения сферы, проходящего через ее центр, равна 9 м2. Найдите площадь сферы.

Площадь сферы равна 324 см2. Найдите радиус сферы.

Используя формулу площади сферы, докажите, что площади двух сфер пропорциональны квадратам их радиусов.

Вычислите радиус круга, площадь которого равна площади сферы радиуса 5 м.

Радиусы двух параллельных сечений сферы равны 9 см и 12 см. Расстояние между секущими плоскостями равно 3 см. Найдите площадь сферы.

Радиусы сечений сферы двумя взаимно перпендикулярными плоскостями равны гд и го. Найдите площадь сферы, если сечения имеют единственную общую точку.

Используя формулу площади сферы, докажите, что площадь полной поверхности цилиндра, полученного при вращении квадрата вокруг одной из его сторон, равна площади сферы, радиус которой равен стороне квадрата.

ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ VI

Чему равен угол между плоскостью основания цилиндра и плоскостью, проходящей через образующую цилиндра?

Что представляет собой сечение цилиндра плоскостью, параллельной его образующей?

На основаниях цилиндра взяты две не параллельные друг другу хорды. Может ли кратчайшее расстояние между точками этих хорд быть: а) равным высоте цилиндра; б) больше высоты цилиндра; в) меньше высоты цилиндра?

Две цилиндрические детали покрываются слоем никеля одинаковой толщины. Высота первой детали в два раза больше высоты второй, но радиус ее основания в два раза меньше радиуса основания второй детали. На какую из деталей расходуется больше никеля?

Равны ли друг другу углы между образующими конуса и:

а) плоскостью основания; б) его осью?

Что представляет собой сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину?

Точки А и В принадлежат шару. Принадлежит ли этому шару любая точка отрезка АВ?

Могут ли все вершины прямоугольного треугольника с катетами 4 см и 2 -\j2 см лежать на сфере радиуса уо см?

Могут ли две сферы с общим центром и с неравными радиусами иметь общую касательную плоскость?

Что представляет собой множество всех точек пространства, из которых данный отрезок виден под прямым углом?

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

Площадь осевого сечения цилиндра равна S. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей через середину радиуса основания перпендикулярно к этому радиусу.

Вершины А и В прямоугольника ABCD лежат на окружности одного из оснований цилиндра, а вершины С и D — на окружности другого основания. Вычислите радиус цилиндра, если его образующая равна а, АВ=а, а угол между прямой ВС и плоскостью основания равен 60°.

Докажите, что если плоскость параллельна оси цилиндра и расстояние между этой плоскостью и осью равно радиусу цилиндра, то плоскость содержит образующую цилиндра, и притом только одну. (В этом случае плоскость называется касательной плоскостью к цилиндру.)

При вращении прямоугольника вокруг неравных сторон получаются цилиндры, площади полных поверхностей которых равны Si и S2. Найдите диагональ прямоугольника.

Найдите отношение площади полной поверхности цилиндра к площади боковой поверхности, если осевое сечение цилиндра представляет собой: а) квадрат; б) прямоугольник ABCD, в котором ДВ:ЛО = 1:2.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади круга, описанного около его осевого сечения. Найдите отношение радиуса цилиндра к его высоте.

Найдите высоту и радиус цилиндра, имеющего наибольшую площадь боковой поверхности, если периметр осевого сечения цилиндра равен 2р.

Толщина боковой стенки и дна стакана цилиндрической формы равна 1 см, высота стакана равна 16 см, а внутренний радиус равен 5 см. Вычислите площадь полной поверхности стакана.

Четверть круга свернута в коническую поверхность. Докажите, что образующая конуса в четыре раза больше радиуса основания.

Найдите косинус угла при вершине осевого сечения конуса, имеющего три попарно перпендикулярные образующие.

Площадь основания конуса равна Si, а площадь боковой поверхности равна So. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Отношение площадей боковой и полной поверхностей конуса равно -^-. Найдите угол между образующей и плоскостью основания конуса.

Через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в 120°, проведено сечение, составляющее с плоскостью основания угол в 45°. Найдите площадь сечения, если радиус основания равен 4 см.

Найдите угол между образующей и высотой конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор с дугой 270°.

Прямоугольный треугольник с катетами а и b вращается вокруг гипотенузы. Найдите площадь поверхности полученного тела.

Равнобедренная трапеция, основания которой равны 6 см и 10 см, а острый угол 60°, вращается вокруг большего основания. Вычислите площадь поверхности полученного тела.

Высота конуса равна 4 см, а радиус основания равен 3 см. Вычислите площадь полной поверхности правильной п-уголь- ной пирамиды, вписанной в конус, если: а) п = 3; б) п=4; в) л—6.

Диагонали осевого сечения усеченного конуса перпендикулярны. Одно из оснований осевого сечения равно 40 см, а его

площадь равна 36 дм2. Вычислите площади боковой и полной поверхностей усеченного конуса.

Докажите, что: а) центр сферы является центром симметрии сферы; б) любая прямая, проходящая через центр сферы, является осью симметрии сферы; в) любая плоскость, проходящая через центр сферы, является плоскостью симметрии сферы.

Вершины прямоугольного треугольника с катетами 1,8 см и 2,4 см лежат на сфере, а) Докажите, что если радиус сферы равен 1,5 см, то центр сферы лежит в плоскости треугольника. б) Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если радиус сферы равен 6,5 см.

Расстояние от центра сферы радиуса R до данной прямой равно d. Докажите, что: а) если d«CR, то прямая пересекает сферу в двух точках; б) если d = R, то прямая имеет только одну общую точку со сферой; в) если d>R, то прямая не имеет со сферой ни одной общей точки.

Найдите координаты точек пересечения сферы, заданной уравнением (х —3)24-t/24-(z4-5)2 = 25, с осями координат.

Найдите радиус сечения сферы х2 4-у2 4- z2 = 36 плоскостью, проходящей через точку М (2; 4; 5) и перпендикулярной к оси абсцисс.

Два прямоугольника лежат в различных плоскостях и имеют общую сторону. Докажите, что все вершины данных прямоугольников лежат на одной сфере.

Расстояние между центрами двух равных сфер меньше их диаметра, а) Докажите, что пересечением этих сфер является окружность, б) Найдите радиус этой окружности, если радиусы сфер равны R, а расстояние между их центрами равно 1,6/?.

Точки Л, В, С и D лежат на сфере радиуса R, причем Z_ ADB = Z_BDC = ДСП А = 2<р, AD = BD = CD. Найдите: а) АВ и AD; б) площадь сечения сферы плоскостью АВС.

Радиус сферы равен 10 см. Вне сферы дана точка М на расстоянии 16 см от ближайшей точки сферы. Найдите длину такой окружности на сфере, все точки которой удалены от точки М на расстояние 24 см.

Тело ограничено двумя сферами с общим центром. Докажите, что площадь его сечения плоскостью, проходящей через центры сфер, равна площади сечения плоскостью, касательной к внутренней сфере.

РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ НА МНОГОГРАННИКИ, ЦИЛИНДР, КОНУС И ШАР

Поясним некоторые термины, которые встречаются в задачах этого раздела. Напомним, что многогранник называется описанным около сферы, если сфера касается всех его граней. При этом сфера называется вписанной в многогранник. Мно-

гогранник называется вписанным в сферу, если все его вершины лежат на сфере. При этом сфера называется описанной около многогранника.

Докажите, что если одна из граней вписанной в цилиндр треугольной призмы проходит через ось цилиндра, то две другие грани взаимно перпендикулярны.

В конус высотой 12 см вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Найдите отношение площадей полных поверхностей пирамиды и конуса.

В усеченный конус вписана правильная усеченная п-уголь- ная пирамида (т. е. основания пирамиды вписаны в основания усеченного конуса). Радиусы оснований усеченного конуса равны 2 см и 5 см, а высота равна 4 см. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды при: а) п = 3; б) п = 4; в) п =6.

Докажите по если в правильную призму можно вписать сферу, то центрог сферы является середина отрезка, соединяющего центры оснований этой призмы.

Докажите, что центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, лежит на высоте этой пирамиды.

Радиус сферы равен R. Найдите площадь полной поверхности описанного около сферы многогранника, если этот многогранник является: а) кубом; б) правильной шестиугольной призмой; в) правильным тетраэдром.

Около сферы радиуса R описана правильная четырехугольная пирамида, плоский угол при вершине которой равен а. а) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. б) Вычислите эту площадь при R = 5 см, а = 60°.

Докажите, что если в правильную усеченную четырехугольную пирамиду можно вписать сферу, то апофема пирамиды равна полусумме сторон оснований ее боковой грани.

Докажите, что центр сферы, описанной около: а) правильной призмы, лежит в середине отрезка, соединяющего центры оснований этой призмы; б) правильной пирамиды, лежит на высоте этой пирамиды или ее продолжении.

Докажите, что: а) около любого тетраэдра можно описать сферу; б) в любой тетраэдр можно вписать сферу.

Радиус сферы равен R. Найдите площадь полной поверхности: а) вписанного в сферу куба; б) вписанной правильной шестиугольной призмы, высота которой равна R; в) вписанного правильного тетраэдра.

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, а боковое реоро равно 2а. Найдите радиусы вписанной и описанной сфер.

a)5)a)6)

Рис. 157.Рис. 158.

В правильной четырехугольной пирамиде радиусы вписанной и описанной сфер равны 2 см и 5 см. Найдите сторону основания и высоту пирамиды.

Сфера вписана в цилиндр (т. е. она касается оснований цилиндра и каждой его образующей, рис. 157, а). Найдите отношение площади сферы к площади полной поверхности цилиндра.

В конус с углом <р при вершине осевого сечения и радиусом основания г вписана сфера радиуса R (т. е. сфера касается основания конуса и каждой его образующей, рис. 158, а). Найдите: а) г, если известны R и ср; б) R, если известны г и (р; в) (р, если R= \ см, г— уЗ см.

В конус вписана сфера радиуса г. Найдите площадь полной поверхности конуса, если угол между образующей и основанием конуса равен а.

Цилиндр вписан в сферу (т. е. основания цилиндра являются сечениями сферы, рис. 157, б). Найдите отношение площади полной поверхности цилиндра к площади сферы, если высота цилиндра равна диаметру основания.

Конус с углом <р при вершине осевого сечения и радиусом основания г вписан в сферу радиуса R (т. е. вершина конуса лежит на сфере, а основание конуса является сечением сферы, рис. 158, б). Найдите: а) г, если известны R и ср; б) R, если известны г и (р; в) у, если R = 2r.

Глава VII

ОБЪЕМЫ ТЕЛ

ОБЪЕМ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА

Понятие объема. Понятие объема тела вводится по аналогии с понятием площади плоской фигуры. Из курса планиметрии известно, что каждый многоугольник имеет площадь, которая измеряется с помощью выбранной единицы измерения площадей. В качестве единицы измерения площадей обычно берут квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков.

Аналогично будем считать, что каждое из рассматриваемых нами тел имеет объем, который можно измерить с помощью выбранной единицы измерения объемов. За единицу измерения объемов примем куб, ребро которого равно единице измерения отрезков. Куб с ребром 1 см называют кубическим сантиметром и обозначают см5.

Аналогично определяются кубический метр (м3), кубический миллиметр (мм3) и т. д. Процедура измерения объемов аналогична процедуре измерения площадей. При выбранной единице измерения объем каждого тела выражается положительным числом, которое показывает, сколько единиц измерения объемов и частей единицы содержится в данном теле. Ясно, что число, выражающее объем тела, зависит от выбора единицы измерения объемов, и поэтому единица измерения объемов указывается после этого числа. Например, если в качестве единицы измерения объемов взят см3 и при этом объем V некоторого тела оказался равным 2, то пишут Е = 2 см3.

Если два тела равны, то каждое из них содержит столько же единиц измерения объемов и ее частей, сколько и другое тело, т. е. имеет место следующее свойство объемов:

1°. Равные тела имеют равные объемы.

Замечание. Равенство двух фигур, в частности двух тел, в стереометрии определяется так же, как и в планиметрии: два тела называются равными, если их можно совместить наложением. Примерами равных тел являются два прямоугольных параллелепипеда с соответственно равными измерениями (рис. 159, а), две прямые призмы с равными основаниями и равными высотами, две правильные пирамиды, у которых соответственно равны стороны оснований и высоты (рис. 159, б). В каждом из указанных случаев равенство двух тел можно доказать на основе аксиом наложения и равенства фигур (см. приложение 2). 148

Рис. 159.Рис. 159.

Рис. 159.

Рис. 159.

Рассмотрим еще одно свойство объемов. Пусть тело составлено из нескольких тел. При этом мы предполагаем, что любые два из этих тел не имеют общих внутренних точек, но могут иметь общие граничные точки (см. рисунок 160, на котором цилиндр Q и конус F имеют общие граничные точки — точки их общего основания). Ясно, что объем всего тела складывается из объемов составляющих его тел. Итак,

2°. Если тело составлено из нескольких тел, то его объем, равен

сумме объемов этих тел.

Свойства 1° и 2° называют основными свойствами объемов. Напомним, что аналогичными свойствами обладают длины отрезков и площади многоугольников. В дальнейшем на основе этих свойств мы выведем формулы для вычисления объемов параллелепипеда, призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, шара.

Предварительно отметим одно следствие из свойств 1° и 2°. Рассмотрим куб, принятый за единицу измерения объемов. Его ребро равно единице измерения отрезков. Разобьем каждое ребро этого куба на п равных частей (п — произвольное целое число) и проведем через точки разбиения плоскости, перпендикулярные к этому ребру. Куб разобьется на и3 равных маленьких кубов с ребром -^-. Так как сумма объемов всех маленьких кубов равна объему всего куба (свойство 2°), т. е. равна 1, то объем каждого из маленьких кубов равен -7- (объемы маленьких кубов равны друг другу по свойству 1°). Итак,

объем куба с ребром -^- равен Др.

Этот факт нам понадобится в следующем пункте при выводе формулы объема прямоугольного параллелепипеда.Рис 1б0

Объем прямоугольного параллелепипеда.

Теорема. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерении.

Доказательство*. Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда Р буквами а, Ь, с, а его объем буквой V и докажем, что V = abc.

Могут представиться два случая.

Измерения а, b и с представляют собой конечные десятичные дроби, у которых число знаков после запятой не превосходит п (можно считать, что п^1). В этом случае числа а-10п, 6-10п и с-10" являются целыми. Разобьем каждое ребро параллелепипеда на равные части длины ^ и через точки разбиения проведем плоскости, перпендикулярные к этому ребру. Параллелепипед Р разобьется на abc-103" равных кубов с ребром -^-. Так как объем каждого такого куба равен ^~ (см. п. 63),

параллелепипеда Р равенпараллелепипеда Р равен^с.103'г.^ = д6с.^с.103'г.^ = д6с.то объем всего Итак, V = abc.

параллелепипеда Р равен

параллелепипеда Р равен

^с.103'г.^ = д6с.

^с.103'г.^ = д6с.

Хоти бы одно из измерений а, b и с представляет собой бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим конечные десятичные дроби ап, Ь„, сп, которые получаются из чисел а, Ь, с, если отбросить в каждом из них все цифры после запятой, начиная с ^п4-1)-й. Очевидно, а„^а^а,', где а^ = аГ1 + у^-, и аналогичные неравенства справедливы для b и с. Перемножив эти неравенства, получим

a„btlcna„btlcnabc^abc^ацЬцС n,ацЬцС n,(1)(1)

a„btlcn

a„btlcn

abc^

abc^

ацЬцС n,

ацЬцС n,

(1)

(1)

где ^^„-(-J^, с; = с„+-^г.

По доказанному в первом случае левая часть (1) представляет собой объем V,: прямоугольного параллелепипеда Р. с измерениями ап, Ьп, сп, а правая часть — объем V',t прямоугольного параллелепипеда Р', с измерениями а'п, Ь'п, с'п. Так как параллелепипед Р содержит в себе параллелепипед Рп, а сам содержится в параллелепипеде Ph (рис. 161), то объем V параллелепипеда Р заключен между Vn = a,tb,tcn и Vh = ahbhch, т. е.

БудемБудемнеограниченнонеограниченноUnbncrl ^ V ^ahbhch.Unbncrl ^ V ^ahbhch.увеличивать п. Тогда числоувеличивать п. Тогда число, 6<2)— будет ста-, 6<2)— будет ста-новиться сколь угодно малым, и поэтому число ahbhch будет сколь угодно мало отличаться от числа апЬпсп. Отсюда в силу неравенств (1) и (2) следует, что число V сколь угодно мало отличается от числа abc. Значит, они равны: V — abc, что и требовалось доказать.новиться сколь угодно малым, и поэтому число ahbhch будет сколь угодно мало отличаться от числа апЬпсп. Отсюда в силу неравенств (1) и (2) следует, что число V сколь угодно мало отличается от числа abc. Значит, они равны: V — abc, что и требовалось доказать.

Будем

Будем

неограниченно

неограниченно

Unbncrl ^ V ^ahbhch.

Unbncrl ^ V ^ahbhch.

увеличивать п. Тогда число

увеличивать п. Тогда число

, 6<2)

— будет ста-

, 6<2)

— будет ста-

новиться сколь угодно малым, и поэтому число ahbhch будет сколь угодно мало отличаться от числа апЬпсп. Отсюда в силу неравенств (1) и (2) следует, что число V сколь угодно мало отличается от числа abc. Значит, они равны: V — abc, что и требовалось доказать.

новиться сколь угодно малым, и поэтому число ahbhch будет сколь угодно мало отличаться от числа апЬпсп. Отсюда в силу неравенств (1) и (2) следует, что число V сколь угодно мало отличается от числа abc. Значит, они равны: V — abc, что и требовалось доказать.

Рис. 161.Рис. 161.Рис. 162.Рис. 162.

Рис. 161.

Рис. 161.

Рис. 162.

Рис. 162.

Следствие 1. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

В самом деле, примем грань с ребрами а и b за основание. Тогда площадь S основания равна ab, а высота h параллелепипеда равна с. Следовательно, V = abc = Sh.

Следствие 2. Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.

Для доказательства этого утверждения дополним прямую треугольную призму с основанием ABC (zLA прямой) до прямоугольного параллелепипеда, как показано на рисунке 162. В силу следствия 1 объем этого параллелепипеда равен 2SABC-h, где SABC—площадь треугольника ABC, h— высота призмы. Плоскость В\ВС разбивает параллелепипед на две равные прямые призмы, одна из которых — данная. (Эти призмы равны, так как имеют равные основания и равные высоты.) Следовательно, объем V данной призмы равен половине объема параллелепипеда, т. е.

V=-L(2SABr-h) = SABr-h, что и требовалось доказать.

ЗАДАЧИ

Тело R состоит из тел Р и Q, имеющих соответственно объемы И1 и И2. Выразите объем V тела R через V, и Уг, если: а) тела Р и Q не имеют общих внутренних точек; б) тела Р и Q имеют общую часть, объем которой равен "^“^ь

Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого равны а и Ь, а высота равна А, если:

a) ti=ll, 6 = 12, 6 = 15; 6) a = 3^, Ь = л]5, 6=10V10; в) a=18, 6 = 5д/3, 6=13; г) a = 3-^-, 6 = д/5, 6=0,96.

Найдите объем куба ABCDAXB\C\D\, если: а) АС = 12 см; б) ACi =Зд/2; в) DE=\ см, где Е— середина ребра АВ.

Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 8 см, 12 см и 18 см. Найдите ребро куба, объем которого равен объему этого параллелепипеда.

Кирпич имеет форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями 25 см, 12 см и 6,5 см. Плотность кирпича равна 1,8 г/см3. Найдите его массу.

Найдите объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA\B\C\D\, если АС, = 13 см, BD = 12 см и ВС\ = 11 см.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 18 см и составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани и угол в 45° с боковым ребром. Найдите объем параллелепипеда.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет угол а с плоскостью боковой грани и угол 0 с плоскостью основания. Найдите объем параллелепипеда, если его высота равна 6.

Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны а и Ь. Диагональ параллелепипеда составляет с боковой гранью, содержащей сторону основания, равную 6, угол в 30°. Найдите объем параллелепипеда.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\BVC\DX диагональ B\D составляет с плоскостью основания угол в 45°, а двугранный угол A\B\BD равен 60°. Найдите объем параллелепипеда, если диагональ основания равна 12 см.

Найдите объем прямоугольного параллелепипеда АВСВА\В\С\В\, если: а) AC\ = h м, Z_CXAC=45O, Z_C\AB = 60°; б) АСХ=24 см, Z_C\AA\=45°, АС\ составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани.

Найдите объем прямой призмы АВСАХВХСХ, если Z_BAC = = 90°, ВС = 37 см, АВ =35 см, Л Л j = 1,1 дм.

§ 2. ОБЪЕМ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ И ЦИЛИНДРА

65. Объем прямой призмы.

Теорема. Объем прямой призмы равен произведению пло- щади основания на высоту.

Доказательство. Сначала докажем теорему для треугольной прямой призмы, а затем — для произвольной прямой призмы.

Рассмотрим прямую треугольную призму АВСАХВХСХ с объемом V и высотой 6. Проведем такую высоту треугольника АВС (отрезок BD на рисунке 163), которая разделяет этот треугольник на два треугольника (по крайней мере одна высота треуголь-

ника этому условию удовлетворяет). Плоскость BB\D разделяет данную призму на две призмы, основаниями которых являются прямоугольные треугольники ABD и BDC. Поэтому объемы Vi и 1^2 этих призм соответственно равны SABD-h и SBD(.-h. По свойству 2° объемов I7 = Vi -Н Иг, т. е.

V = SABD*h "VSRDC*h = (SABD + SBDC)• h.

Таким образом,

V = SABC.h- (1)

Докажем теперь теорему для произвольной прямой призмы с высотой h и площадью основания S. Такую призму можно разбить на прямые треугольные призмы с высотой h. Например, на рисунке 164 изображена пятиугольная призма, которая разбита на три прямые треугольные призмы. Выразим объем каждой треугольной призмы по формуле (1) и сложим эти объемы. Вынося за скобки общий множитель й, получим в скобках сумму площадей оснований треугольных призм, т. е. площадь S основания исходной призмы. Таким образом, объем исходной призмы равен произведению S-h. Теорема доказана.

Объем цилиндра. Говорят, что призма вписана в цилиндр, если ее основания вписаны в основания цилиндра (рис. 165), и призма описана около цилиндра, если ее основания описаны около оснований цилиндра (рис. 166). Ясно, что высота любой призмы, вписанной в цилиндр или описанной около него, равна высоте самого цилиндра.

Теорема. Объем цилиндра равен произведению плои^ади основания на высоту.

Доказательство. Впишем в данный цилиндр Р радиуса г и высоты h правильную п-угольную призму Fn (рис. 167), а в эту призму впишем цилиндр Рп (основания этого цилиндра на рисунке 167 заштрихованы). Обозначим через V и Vn объемы цилиндров Р и Рп, через гп — радиус цилиндра Р». Так как объем

Рис. 165. Призма, вписанная в цилиндр.Рис. 165. Призма, вписанная в цилиндр.Рис. 166. Призма, описанная около цилиндра.Рис. 166. Призма, описанная около цилиндра.

Рис. 165. Призма, вписанная в цилиндр.

Рис. 165. Призма, вписанная в цилиндр.

Рис. 166. Призма, описанная около цилиндра.

Рис. 166. Призма, описанная около цилиндра.

призмы Fn равен Sn*h, где Sn — площадь основания призмы, а цилиндр Р содержит призму Fn, которая, в свою очередь, содержит ЦИЛИНДР Ра, ТО

Va<Sa-hVa<Sa-h(1)(1)

Va<Sa-h

Va<Sa-h

(1)

(1)

Будем неограниченно увеличивать число п. При этом радиус гп цилиндра Рп стремится к радиусу г цилиндра Р (rn = г cos—•—>г при п->оо). Поэтому объем цилиндра Рп стре

мится к объему цилиндра Р: lim Vn = V. Из неравенств (1) сле-

дует, что и lim Sn-h=V. Но Нт 5„ = лг2. Таким образом, П * ооП-* оо

К = лг2/г.(2)

Обозначив площадь кг2 основания цилиндра буквой S, из

формулы (2) получаем

V = S-h.

Теорема доказана.

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

Найдите объем прямой призмы АВСАХВХСХ, если:

a) /СВАС=\20°, АВ —5 см, АС = 3 см и наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см2; б) Z_ABXC = 60°, АВХ = 3, СВХ=2 и двугранный угол с ребром ВВХ прямой.

Найдите объем прямой призмы АВСЛХВХСХ, если АВ = = ВС = т, Z_ABC — v\> и BBX=BD, где BD - высота треугольника АВС.

Найдите объем прямой призмы АВСАХВХСХ, если АВ = = ВС, ZlABC = a, диагональ АХС равна / и составляет с плоскостью основания угол 0.

Основанием прямой призмы является параллелограмм. Через сторону основания, равную и, и противолежащую ей сторону другого основания проведено сечение, составляющее угол Р с плоскостью основания. Площадь сечения равна Q. Найдите объем призмы.

Найдите объем правильной n-угольной призмы, у которой каждое ребро равно а, если: а) п—3; б) и =4; в) л = 6; г) и —8.

В правильной треугольной призме через сторону нижнего основания и противолежащую ей вершину верхнего основания проведено сечение, составляющее угол в 60° с плоскостью основания. Найдите объем призмы, если сторона основания равна а.

Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 8 см и составляет с боковым ребром угол в 30°. Найдите объем призмы.

Пусть V, г и h соответственно объем, радиус и высота ци- липдра. Найдите: а) V, если г — 2 -у2 см, h = 3 см; б) г, если V = 120 см3, h = 3,6 см; в) /г, если r — h, К = 8л см3

Алюминиевый провод диаметром 4 мм имеет массу 6,8 кг. Найдите длину провода (плотность алюминия 2,6 г/см3).

Какое количество нефти (в тоннах) вмещает цилиндрическая цистерна диаметра 18 м и высотой 7 м, если плотность нефти равна 0,85 г/см3?

Площадь основания цилиндра равна Q, а площадь его осевого сечения равна S. Найдите объем цилиндра.

Свинцовая труба (плотность свинца 11,4 г/см3) с толщи-

ной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм. Какова масса трубы, если ее длина равна 25 м?

В цилиндр вписана правильная n-угольная призма. Найдите отношение объемов призмы и цилиндра, если: а) и = 3; б) и = 4; в) п=6; г) и = 8; д) п произвольное целое число.

В цилиндр вписана призма, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетом а и прилежащим к нему углом а. Найдите объем цилиндра, если высота призмы равна к.

. ОБЪЕМ НАКЛОННОЙ ПРИЗМЫ, ПИРАМИДЫ И КОНУСА

Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла. Рассмотрим способ вычисления объемов тел, основанный на понятии интеграла, которое известно из курса алгебры и начал анализа.

Пусть тело Т, объем которого нужно вычислить, заключено между двумя параллельными плоскостями аир (рис. 168). Введем систему координат так, чтобы ось Ох была перпендикулярна к плоскостям а и р, и обозначим буквами а и b абсциссы точек пересечения оси Ох с этими плоскостями (а<6). Будем считать, что тело таково, что его сечение Ф (х) плоскостью, проходящей через точку с абсциссой х и перпендикулярной к оси Ох, является либо кругом, либо многоугольником для любого х^[а; 6] (при х = а и х = Ь сечение может вырождаться в точку, как, например, при х — а на рисунке 168). Обозначим площадь фигуры Ф (х) через S (х) и предположим, что S (х) — непрерывная функция на числовом отрезке [а; 6].

Разобьем числовой отрезок [а; 6] на п равных отрезков точками а = х0, хн х2, .... хп = Ь и через точки с абсциссами х, проведем плоскости, перпендикулярные к оси Ох (рис. 169). Эти плоскости разбивают тело Т на п тел: Т\, Т2, .... Тп. Если сечение Ф (х,) — круг, то объем тела Т, (заштрихованного на рисунке 169) приближенно равен объему цилиндра с основанием Ф (х,) и вы-

сотой Дх. = х| —х.-, =-—-. Если Ф (х.) — многоугольник, то объем тела Г, приближенно равен объему прямой призмы с основанием Ф (х.) и высотой Ах,. И в том и в другом случае объем тела h приближенно равен S (х.)-Ах., а объем V всего тела Т можно приближенно вычислить по формуле

п

V«Vn = 2 S (х.) Ах,.(1)

Приближенное значение V,, объема тела Т тем точнее, чем больше п и, следовательно, меньше Ах.. Примем без доказательства, что lim Vn равен объему тела, т. е. V= lim Vn. С другой стороны, сумма Vn является интегральной суммой для непрерывной функции S (х) на числовом отрезке [а; Ь], поэтому lim Vn = ( S (х) dx.

Таким образом, мы получили формулу для вычисления объема тела с помощью интеграла:

6

^ = $ S (х) dx.(2)

а

Назовем ее основной формулой для вычисления объемов тел. Пользуясь этой формулой, вычислим объемы некоторых тел, изученных нами в главах III и VI.

Объем наклонной призмы.

Теорем а. Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.

Доказательство. Докажем сначала теорему для треугольной призмы, а затем — для произвольной призмы.

Рассмотрим треугольную призму с объемом V, площадью основания S и высотой h. Отметим точку О на одном из оснований призмы и направим ось Ох перпендикулярно к основаниям (рис. 170, а). Рассмотрим сечение призмы плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и, значит, параллельной плоскости основания. Обозначим буквой х абсциссу точки пересечения этой плоскости с осью Ох, а через S (х) — площадь сечения. Докажем, что площадь S (х) равна площади S основания призмы. Для этого заметим, что треугольники АВС (основание призмы) и AiBiCi (сечение призмы рассматриваемой плоскостью) равны. В самом деле, четырехугольник ААХВХВ — параллелограмм (отрезки АА| и ВВ\ равны и параллельны), поэтому АХВХ=АВ. Аналогично доказывается, что ВХСХ=ВС и АХСХ=АС. Итак, треугольники Л|В]С1 и АВС равны по трем сторонам. Следовательно, S (x)=S. Применяя теперь основную формулу для вычисления объемов тел при а = 0 и b=h, получаем

Рис. 170.

hhh

K=$ S (x) dx=^ Sdx = S $ dx = S«x| q —5.^. 000

Докажем теперь теорему для произвольной призмы с высотой h и площадью основания S. Такую призму можно разбить на треугольные призмы с общей высотой h (на рисунке 170, б показано разбиение для пятиугольной призмы). Выразим объем каждой треугольной призмы по доказанной нами формуле и сложим эти объемы. Вынося за скобки общий множитель h, получим в скобках сумму площадей оснований треугольных призм, т. е. площадь S основания исходной призмы. Таким образом, объем исходной призмы равен S-h. Теорема доказана.

Замечание. Для наклонной призмы существует и другой способ вычисления объема, а именно: объем наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь сечения призмы плоскостью, перпендикулярной к боковым ребрам и пересекающей их. Коротко говорят так: объем наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь перпендикулярного ему сечения (см. задачу 682).

Объем пирамиды.

Теорема. Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Доказательство. Сначала докажем теорему для треугольной пирамиды, а затем — для произвольной пирамиды.

Рассмотрим треугольную пирамиду ОАВС с объемом V, площадью основания S и высотой h. Проведем ось Ох (рис. 171, а, где ОМ — высота пирамиды), и рассмотрим сечение Д1В1С1 пирамиды плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и, значит, параллельной плоскости основания. Обозначим через х абсциссу точки Mi пересечения этой плоскости с осью Ох, а через

Рис. 171.Рис. 171.

Рис. 171.

Рис. 171.

S (х) — площадь сечения. Выразим S (х) через S, h и х. Заметим, что треугольники AiBiCi и АВС подобны. В самом деле, А|В|||АВ, поэтому А ОА\В\со △ О АВ. Следовательно, -^-“ ~"^^- Прямоугольные треугольники ОЛ|М> и ОАМ также подобны (они имеют общий острый угол с вершиной О). Поэтому —=—=—.

Таким образом, AA=2L. Аналогично доказывается, что АВ h

и АВС подобныи АВС подобны, или S' V h /, или S' V h /&& —-L и AL1 — 2L Итак, треугольники А\В\СХ ВС h СА h

и АВС подобны

и АВС подобны

, или S' V h /

, или S' V h /

с коэффициентом подобия —. Следовательно,

S (х) = AxJ.

/г

Применяя теперь основную формулу для вычисления объемов тел при а —О, b = rt, получаем

I' = s иdx=S г ^=Но хч1х-pt- s - *•

Докажем теперь теорему для произвольной пирамиды с высотой h и площадью основания S. Такую пирамиду можно разбить на треугольные пирамиды с общей высотой h (на рисунке 171, б показано разбиение для пятиугольной пирамиды). Выразим объем каждой треугольной пирамиды по доказанной нами формуле и сложим эти объемы. Вынося за скобки общий множитель —h, получим в скобках сумму площадей оснований

Рис. 172.Рис. 172.

Рис. 172.

Рис. 172.

треугольных пирамид, т. е. площадь S основания исходной пирамиды. Таким образом, объем исходной пирамиды равен -^-Sh. Теорема доказана.

Следствие. Объем V усеченной пирамиды, высота которой равна h, а площади оснований равны S и St, вычисляется по формуле

v=-^h(s+s,+^s;). (3)

Пользуясь тем, что усеченная пирамида получается из обычной пирамиды путем отсечения от нее меньшей пирамиды и, следовательно, объем усеченной пирамиды равен разности объемов данной пирамиды и отсеченной, выведите эту формулу самостоятельно.

Замечание. В ходе доказательства теоремы об объеме пирамиды мы установили, что в сечении треугольной пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания, получается треугольник, подобный основанию. Оказывается, имеет место и более общее свойство. Рассмотрим какую-нибудь фигуру Ф, лежащую в плоскости а, и точку О, не лежащую в этой плоскости. Проведем через каждую точку М фигуры Ф прямую ОМ и рассмотрим множество Ф| точек пересечения этих прямых с плоскостью а\, параллельной плоскости а (рис. 172). Можно доказать, что фигура Ф| подобна фигуре Ф.

Это свойство широко используется на практике. Например, на нем основано устройство кинопроектора, фотоаппарата, телескопа и других оптических приборов.

Объем конуса.

Теорема. Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Доказательство. Рассмотрим конус с объемом V, радиусом основания R, высотой h и вершиной в точке О. Введем ось Ох так, как показано на рисунке 173 (ОМ — ось конуса). Произвольное сечение конуса плоскостью, перпендикулярной к оси Ох, является кругом с центром в точке Mi пересечения этой плоскости с осью Ох (п. 55). Обозначим радиус этого круга через Ri, а площадь сечения через S (х\ где х — абсцисса точки М>. Из подобия прямоугольных треугольников ОМ|Д| и ОМА следует, что -2^ = 22 или JL — Bl откуда Rt .

ОМ Rh R ?h

Так как 5(х) = л/?2, то S(x) = ^-x2.

Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а = 0, b = h, получаем

x2dx=^$-\x2dx=^-—\ —-~-лR2h.

оо

Площадь S основания конуса равна л/?2, поэтому V = -^-Sh. Теорема доказана.

Следствие. Объем V усеченного конуса, высота которого равна h, а площади оснований равны S и Si, вычисляется по формуле

V = -^h(SA-SxA-^STS\\(4)

Пользуясь рисунком 174, выведите эту формулу самостоя

тельно.

ЗАДАЧИ

Сечение тела, изображенного на рисунке 175, плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и проходящей через точку с абсциссой х, является квадратом, сторона которого равна —. Найдите объем этого тела.

Фигура, заштрихованная на рисунке 176, вращается вокруг оси Ох, Найдите объем полученного тела.

Фигура, заштрихованная на рисунке 177, вращается вокруг оси Оу. Найдите объем полученного тела.

Найдите объем наклонной призмы, у которой основанием является треугольник со сторонами 10 см, 10 см и 12 см, а боковое ребро, равное 8 см, составляет с плоскостью основания угол в 60°.

Найдите объем наклонной призмы АВСА\В\С\, если АВ = = ВС = СА—а, АВВ\А\—ромб, /1Z?i<£M|, ?1В|=6, двугранный угол с ребром АВ прямой.

Основанием призмы АВСА\В\С\ является равносторонний треугольник АВС со стороной т. Вершина А, проектируется в центр этого основания, а ребро А А ] составляет с плоскостью основания угол (р. Найдите объем призмы.

Основанием наклонной призмы /4SC/4|S|Ci является прямоугольный треугольник АВС с катетами АВ = 7 см и ДС = 24 см. Вершина /^ равноудалена от вершин А, В и С. Найдите объем призмы, если ребро АА । составляет с плоскостью основания угол в 45°.

Основанием наклонного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами а и Ь. Боковое ребро длины с составляет со смежными сторонами основания углы, равные ф. Найдите объем параллелепипеда.

Все грани параллелепипеда — равные ромбы, диагонали которых равны 6 см и 8 см. Найдите объем параллелепипеда.

Докажите, что объем наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь сечения призмы плоскостью, перпендикулярной к боковым ребрам и пересекающей их.

Найдите объем наклонной треугольной призмы, если расстояния между ее боковыми ребрами равны 37 см, 13 см и 30 см, а площадь боковой поверхности равна 480 см2.

Найдите объем пирамиды с высотой к, если: a) Д = 2 м, а основанием служит квадрат со стороной 3 м; б) к = 2,2 м, а основанием служит треугольник АВС, в котором АВ = 20 см, ВС = 13,5 см, zCABC = 2>0°.

Найдите объем правильной треугольной пирамиды, высота которой равна 12 см, а сторона основания равна 13 см.

Найдите объем правильной треугольной пирамиды с боковым ребром I, если: а) боковое ребро составляет с плоскостью основания угол <р; б) боковое ребро составляет с прилежащей стороной основания угол а; в) плоский угол при вершине равен р.

В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен ф, а сторона основания равна а. Найдите объем пирамиды.

Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если:

а) ее высота равна Н, а двугранный угол при основании равен Р; б) сторона основания равна т, а плоский угол при вершине равен а.

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно т и составляет с плоскостью основания угол <р. Найдите объем пирамиды.

Найдите объем и площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды, если ее боковое ребро равно 13 см, а диаметр круга, вписанного в основание, равен 6 см.

Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник ЛВС, в котором АВ = ВС =13 см, v4С = 10 см. Каждое боковое ребро пирамиды образует с ее высотой угол в 30°. Вычислите объем пирамиды.

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами а и Ь. Каждое ее боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом ср. Найдите объем пирамиды.

Основание четырехугольной пирамиды — прямоугольник с диагональю b и углом а между диагоналями. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом. Найдите этот угол, если объем пирамиды равен V.

Основанием пирамиды является ромб со стороной 6 см. Каждый из двугранных углов при основании равен 45°. Найдите объем пирамиды, если ее высота равна 1,5 см.

Найдите объем треугольной пирамиды SABC, если: a) £_ САВ = = 90°, ВС = с, Z_ABC=^ и .каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 6; б) АВ=12 см, ВС = = СД = 10 см и двугранные углы при основании равны 45°; в) боковые ребра попарно перпендикулярны и имеют длины а, b и с.

Основанием пирамиды DABC является треугольник, в котором АВ = 20 см, АС = 29 см, 6С = 21 см. Грани DAB и DAC перпендикулярны к плоскости основания, а грань DBC составляет с ней угол в 60е. Найдите объем пирамиды.

Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды равны а и 0,5а, апофема боковой грани равна а. Найдите объем усеченной пирамиды.

Основания усеченной пирамиды — равнобедренные прямоугольные треугольники, гипотенузы которых равны тип ^т>»п\ Две боковые грани, содержащие катеты, перпенди-

699.

700.

701.

702.

703.

704.

705.

706.

707.

708.

709.

кулярны к основанию, а третья составляет с ним угол ср. Найдите объем усеченной пирамиды.

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, катеты которого равны 24 дм и 18 дм. Каждое боковое ребро равно 25 дм. Пирамида пересечена плоскостью, параллельной плоскости основания и делящей боковое ребро пополам. Найдите объем полученной усеченной пирамиды. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде стороны оснований равны 6 см и 4 см, а площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани, равна 15 см2. Найдите объем усеченной пирамиды.

Пусть h, г и V — соответственно высота, радиус основания и объем конуса. Найдите: а) V, если // = 3 см, г = 1,5 см; б) h, если г = 4 см, 1/ = 48л см3; в) г, если h — m, V = p. Высота конуса равна 5 см. На расстоянии 2 см от вершины его пересекает плоскость, параллельная основанию. Найдите объем исходного конуса, если объем меньшего конуса, отсекаемого от исходного, равен 24 см3.

Найдите объем конуса, если площадь его основания равна Q, а площадь боковой поверхности равна Р.

Высота конуса равна диаметру его основания. Найдите объем конуса, если его высота равна //.

Найдите объем конуса, если его образующая равна 13 см, а площадь осевого сечения равна 60 см2.

Высота конуса равна 12 см, а его объем равен 324л см3. Найдите угол сектора, который получится, если боковую поверхность конуса развернуть на плоскость.

Площадь полной поверхности конуса равна 45л дм2. Развернутая на плоскость боковая поверхность конуса представляет собой сектор с углом в 60°. Найдите объем конуса.

Радиусы оснований усеченного конуса равны 3 м и 6 м, а образующая равна 5 м. Найдите объем усеченного конуса. В усеченном конусе известны высота h, образующая / и площадь S боковой поверхности. Найдите площадь осевого сечения и объем усеченного конуса.

§ 4. ОБЪЕМ ШАРА И ПЛОЩАДЬ СФЕРЫ

71. Объем шара.

Теорема. Объем шара радиуса R равен -^-л/?3.

Доказательство. Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось Ох произвольным образом (рис. 178). Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и проходящей через точку М этой оси, является кругом с центром в точке М. Обозначим радиус этого круга через г, а еге площадь через S .(x), 164

Рис. 179. Шаровой сегмент.

где х — абсцисса точки М. Выразим S (х) через х и R. Из прямо угольного треугольника ОМС находим:

Г = Vo^-OM5 = ^R2 — X2.

(1)(1)Так как 5(х) = лг2, то

(1)

(1)

5^ = я(Кг-г\

Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре Л В, т. е. для всех х, удовлетворяющих условию — R^x^R. Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при a - -R, b = R, получим

V =

Теорема доказана.

Объем шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора.

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью. На рисунке 179 секущая плоскость а, проходящая через точку В, разделяет шар на два шаровых сегмента. Круг, получившийся в сечении, называется основанием каждого из этих сегментов, а длины отрезков АВ и ВС диамора АС, перпендикулярного к секущей плоскости, называются высша ми сегментов.

Если радиус шара равен R, а высота сегмента равна // ны рисунке 179 Н=АВ), то объем V шарового сегмента вычисляем и по формуле

К = лА2(в-у/г).Г)

И,',

Рис. 180.Рис. 180.Рис. 181. Шаровой сектор.Рис. 181. Шаровой сектор.

Рис. 180.

Рис. 180.

Рис. 181. Шаровой сектор.

Рис. 181. Шаровой сектор.

Действительно, проведем ось Ох перпендикулярно к плоскости а (рис. 179). Тогда площадь S (х)произвольного сечения шарового сегмента плоскостью, перпендикулярной к оси Ох, выражается формулой (1) при R — h^.x<LR. Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при a = R — h, b = R, получим

Е = л (R~ — x2) dx = n ( R-x— -M = лк2( R— h\.

J\3/ 1 r -h \3/

R - h

Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями (рис. 180). Круги, получившиеся в сечении шара этими плоскостями, называются основаниями шарового слоя, а расстояние между плоскостями — высотой шарового слоя.

Объем шарового слоя можно вычислить как разность объемов двух шаровых сегментов. (Так, на рисунке 180 объем шарового слоя равен разности объемов шаровых сегментов, высоты которых равны ЛС и /1В.)

Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора с углом, меньшим 90°, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов (рис. 181). Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса. Если радиус шара равен R, а высота шарового сегмента равна И, то объем V шарового сектора вычисляется по формуле

V = ^-nR2k.(3)

Выведите эту формулу самостоятельно.

Площадь сферы. В п. 62 мы привели без доказательства формулу для вычисления площади S сферы радиуса R;

S = 4nR2.(4)

Выведем эту формулу, пользуясь формулой для объема шара. Рассмотрим сферу радиуса R с центром в точке О и описанный около нее многогранник, имеющий п граней. Занумеруем грани 1-66

в произвольном порядке и обозначим через 5( площадь i-й грани (1=1, 2, ..., п). Соединив центр О сферы отрезками со всеми вершинами многогранника, получим п пирамид с общей вершиной О, основаниями которых являются грани многогранника, а высотами — радиусы сферы, проведенные в точки касания граней многогранника со сферой. Следовательно, объем z-й пирамиды ра- объем Vn всего описанного многогранника равен:в произвольном порядке и обозначим через 5( площадь i-й грани (1=1, 2, ..., п). Соединив центр О сферы отрезками со всеми вершинами многогранника, получим п пирамид с общей вершиной О, основаниями которых являются грани многогранника, а высотами — радиусы сферы, проведенные в точки касания граней многогранника со сферой. Следовательно, объем z-й пирамиды ра- объем Vn всего описанного многогранника равен:вен •^'SiR, авен •^'SiR, аП1П1где Р„ = 2 5, — площадь поверхности i= Iгде Р„ = 2 5, — площадь поверхности i= Iмногогранника. Отсюдамногогранника. Отсюдаполучаемполучаем, ЗУп п R, ЗУп п R(5)(5)Будем теперь неограниченно увеличивать п таким образом, чтобы наибольший размер каждой грани описанного многогранника стремился к нулю. При этом объем V» описанного многогранника будет стремиться к объему шара. В самом деле, если наибольший размер каждой грани описанного многогранника не превосходит 6, то описанный многогранник содержится в шаре ра- ' с * центром в точке О. С другой стороны, описанный содержит исходный шар радиуса R. ПоэтомуБудем теперь неограниченно увеличивать п таким образом, чтобы наибольший размер каждой грани описанного многогранника стремился к нулю. При этом объем V» описанного многогранника будет стремиться к объему шара. В самом деле, если наибольший размер каждой грани описанного многогранника не превосходит 6, то описанный многогранник содержится в шаре ра- ' с * центром в точке О. С другой стороны, описанный содержит исходный шар радиуса R. Поэтомудиуса R + 6 сдиуса R + 6 смногогранникмногогранник^-л^<уп<А-л^-^3.з3^-л^<уп<А-л^-^3.з3ТакТаккакПРИ 6-0. то иул ^-лР' при 6 О (п — <”)•какПРИ 6-0. то иул ^-лР' при 6 О (п — <”)•ПереходяПереходяк пределу в равенстве (5), получимк пределу в равенстве (5), получимппп р — Нт =— Нт hm — пт R R п_,ооR зп р — Нт =— Нт hm — пт R R п_,ооR з,3=4л/?2.,3=4л/?2.пп

в произвольном порядке и обозначим через 5( площадь i-й грани (1=1, 2, ..., п). Соединив центр О сферы отрезками со всеми вершинами многогранника, получим п пирамид с общей вершиной О, основаниями которых являются грани многогранника, а высотами — радиусы сферы, проведенные в точки касания граней многогранника со сферой. Следовательно, объем z-й пирамиды ра- объем Vn всего описанного многогранника равен:

в произвольном порядке и обозначим через 5( площадь i-й грани (1=1, 2, ..., п). Соединив центр О сферы отрезками со всеми вершинами многогранника, получим п пирамид с общей вершиной О, основаниями которых являются грани многогранника, а высотами — радиусы сферы, проведенные в точки касания граней многогранника со сферой. Следовательно, объем z-й пирамиды ра- объем Vn всего описанного многогранника равен:

вен •^'SiR, а

вен •^'SiR, а

П1

П1

где Р„ = 2 5, — площадь поверхности i= I

где Р„ = 2 5, — площадь поверхности i= I

многогранника. Отсюда

многогранника. Отсюда

получаем

получаем

, ЗУп п R

, ЗУп п R

(5)

(5)

Будем теперь неограниченно увеличивать п таким образом, чтобы наибольший размер каждой грани описанного многогранника стремился к нулю. При этом объем V» описанного многогранника будет стремиться к объему шара. В самом деле, если наибольший размер каждой грани описанного многогранника не превосходит 6, то описанный многогранник содержится в шаре ра- ' с * центром в точке О. С другой стороны, описанный содержит исходный шар радиуса R. Поэтому

Будем теперь неограниченно увеличивать п таким образом, чтобы наибольший размер каждой грани описанного многогранника стремился к нулю. При этом объем V» описанного многогранника будет стремиться к объему шара. В самом деле, если наибольший размер каждой грани описанного многогранника не превосходит 6, то описанный многогранник содержится в шаре ра- ' с * центром в точке О. С другой стороны, описанный содержит исходный шар радиуса R. Поэтому

диуса R + 6 с

диуса R + 6 с

многогранник

многогранник

^-л^<уп<А-л^-^3.

з3

^-л^<уп<А-л^-^3.

з3

Так

Так

какПРИ 6-0. то и

ул ^-лР' при 6 О (п — <”)•

какПРИ 6-0. то и

ул ^-лР' при 6 О (п — <”)•

Переходя

Переходя

к пределу в равенстве (5), получим

к пределу в равенстве (5), получим

п

п

п р — Нт =— Нт hm — пт R R п_,ооR з

п р — Нт =— Нт hm — пт R R п_,ооR з

,3=4л/?2.

,3=4л/?2.

п

п

По определению плошали сферы S = Jim Р.. следовательно.

5=4л/?2.

ВОПРОСЫ и ЗАДАЧИ

Пусть V -объем ™аРа/^У^.^’/^Л4 см^б^и ^если

Диаметр Луны составляет (приблизительно) четвертую часть диаметра Земли. Сравните объемы Луны и Земли, считая их шарами.

Шар и цилиндр имеют равные объемы, а диаметр шара равен диаметру основания цилиндра. Выразите высоту цилиндра через радиус шара.

Стаканчик для мороженого конической формы имеет глубину 12 см и диаметр верхней части 5 см. На него сверху положили две ложки мороженого в виде полушарий диаметром 5 см. Переполнит ли мороженое стаканчик, если оно растает?

В цилиндрическую мензурку диаметром 2,5 см, наполненную водой до некоторого уровня, опускают 4 равных металлических шарика диаметром 1 см. На сколько изменится уровень воды в мензурке?

Сколько кубометров земли потребуется для устройства клумбы, имеющей форму шарового сегмента с радиусом основания 5 м и высотой 60 см?

Два равных шара расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Как относится объем общей части шаров к объему одного шара?

Найдите объем шарового сегмента, если радиус окружности его основания равен 60 см, а радиус шара равен 75 см.

Диаметр шара разделен на три равные части и через точки деления проведены плоскости, перпендикулярные к диаметру. Найдите объем получившегося шарового слоя, если радиус шара равен R.

В шаре проведена плоскость, перпендикулярная к диаметру и делящая его на части 6 см и 12 см. Найдите объемы двух полученных частей шара.

Найдите объем шарового сектора, если радиус окружности основания соответствующего шарового сегмента равен 60 см, а радиус шара равен 75 см.

Круговой сектор с углом 30° и радиусом R вращается вокруг одного из ограничивающих его радиусов. Найдите объем получившегося шарового сектора.

О

Вода покрывает приблизительно — земной поверхности. Сколько квадратных километров земной поверхности занимает суша? (Радиус Земли считать равным 6375 км.)

Сколько кожи пойдет на покрышку футбольного мяча радиуса 10 см? (На швы добавить 8% от площади поверхности мяча.)

Докажите, что площадь сферы равна площади полной поверхности конуса, высота которого равна диаметру сферы, а диаметр основания равен образующей конуса.

ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ VI!

Каким соотношением связаны объемы К| и Кг тел Р\ и Р^ если: а) тело Р\ содержится в теле Ру, б) каждое из тел Pt и P-г. составлено из п кубов с ребром 1 см?

Какую часть объема данной прямой треугольной призмы составляет объем треугольной призмы, отсеченной от данной плоскостью, проходящей через средние линии оснований?

Изменится ли объем цилиндра, если диаметр его основания увеличить в 2 раза, а высоту уменьшить в 4 раза?

Как изменится объем правильной пирамиды, если ее высоту увеличить в п раз, а сторону основания уменьшить в п раз?

Основаниями двух пирамид с равными высотами являются четырехугольники с соответственно равными сторонами. Равны ли объемы этих пирамид?

Как относятся объемы двух конусов, если их высоты равны, а отношение радиусов оснований равно 2?

Из каких тел состоит тело, полученное вращением равнобедренной трапеции вокруг большего основания?

Один конус получен вращением неравнобедренного прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов, а другой конус — вращением вокруг другого катета. Равны ли объемы этих конусов?

Диаметр одного шара равен радиусу другого. Чему равно отношение: а) радиусов этих шаров; 6) объемов шаров?

Сколько нужно взять шаров радиуса 2 см, чтобы сумма их объемов равнялась объему шара радиуса 6 см?

Во сколько раз объем шара, описанного около куба, больше объема шара, вписанного в этот же куб?

Как изменится площадь сферы, если ее радиус: а) уменьшить в 2 раза; б) увеличить в 3 раза?

Отношение объемов двух шаров равно 8. Как относятся площади их поверхностей?

В каком отношении находятся объемы двух шаров, если площади их поверхностей относятся как тЧп2?

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

Площади трех попарно смежных граней прямоугольного параллелепипеда равны Si, S2 и S3. Выразите объем этого параллелепипеда через Si, S2, S3 и вычислите его при Si =6 дм2, S2=12 дм2, S3=18 дм2.

В прямоугольном параллелепипеде диагонали трех граней, выходящие из одной вершины, равны 7 см, 8 см и 9 см. Найдите объем параллелепипеда.

Боковое ребро прямоугольного параллелепипеда равно а. Сечение, проведенное через две стороны разных оснований, является квадратом с площадью Q. Найдите объем параллелепипеда.

Стороны основания прямого параллелепипеда равны 7 см и 3 V2 см, а острый угол основания равен 45°. Меньшая диагональ параллелепипеда составляет угол в 45° с плоскостью основания. Найдите объем параллелепипеда.

В прямом параллелепипеде ABCDAXBXCXDX диагонали BDX и АХС взаимно перпендикулярны и равны 6 см и 8 см, АВ = = 3 см. Найдите объем параллелепипеда.

В прямой призме, основанием которой является прямоугольный треугольник, пять ребер равны а, а остальные четыре ребра равны друг другу. Найдите объем призмы.

Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен 3 м3, а наименьшая и наибольшая из площадей боковых граней равны 3 м2 и 3 V5 м2. Найдите длины ребер призмы.

Диагональ боковой грани правильной тругольной призмы равна d и составляет угол ф с плоскостью другой боковой грани. Найдите объем призмы.

Докажите, что объем треугольной призмы равен половине произведения площади боковой грани на расстояние от этой грани до параллельного ей ребра.

На трех данных параллельных прямых, не лежащих в одной плоскости, отложены три равных отрезка ЛЛь ВВХ и ССХ. Докажите, что объем призмы, боковыми ребрами которой являются эти отрезки, не зависит от положения отрезков на данных прямых.

Площади боковых граней наклонной треугольной призмы пропорциональны числам 20, 37, 51. Боковое ребро равно 0,5 дм, а площадь боковой поверхности равна 10,8дм2. Найдите объем призмы.

Найдите объем правильной треугольной пирамиды, если боковая грань составляет с плоскостью основания угол <р, а не лежащая в этой грани вершина основания находится на расстоянии т от нее.

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды составляет с основанием угол ф, а середина этого ребра удалена от основания пирамиды на расстояние, равное т. Найдите объем пирамиды.

Высота правильной треугольной пирамиды равна к, а двугранный угол, ребром которого является боковое ребро пирамиды, равен 2ф. Найдите объем пирамиды.

В правильной «-угольной пирамиде плоский угол при вершине равен а, а сторона основания равна а. Найдите объем пирамиды.

Основанием пирамиды является треугольник, два угла которого равны (р! и ф2- Высота пирамиды равна h, а каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол ф3. Найдите объем пирамиды.

Ht. Основанием четырехугольной пирамиды, высота которой равна Н, является параллелограмм. Диагонали параллелограмма пересекаются под углом а. Попарно равные противоположные боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания углы 0 и у. Найдите объем пирамиды.

Основанием пирамиды является ромб со стороной и. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания и образуют тупой двугранный угол ф. Две другие боковые грани составляют с плоскостью основания двугранные углы 0. Найдите объем пирамиды.

Два ребра тетраэдра равны 6, а остальные четыре ребра равны а. Найдите объем тетраэдра, если ребра длины Ь: а) имеют общие точки; б) не имеют общих точек.

В усеченной пирамиде соответственные стороны оснований относятся как 2:5. В каком отношении делится ее объем плоскостью, проходящей через середину высоты этой пирамиды параллельно основаниям?

Найдите объем цилиндра, если: а) площадь боковой поверхности равна S, а площадь основания равна Q; б) осевое сечение является квадратом, а высота равна h; в) осевое сечение является квадратом, а площадь полной поверхности равна S.

Докажите, что объемы двух цилиндров, v которых площади боковых поверхностей равны, относятся как их радиусы.

Конический бак имеет глубину 3 м, а его круглый верх имеет радиус 1,5 м. Сколько литров жидкости он вмещает?

РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ НА МНОГОГРАННИКИ,ЦИЛИНДР, КОНУС И ШАР

В конус вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник. Меньшая сторона прямоугольника равна а, а острый угол между его диагоналями равен ц ,. Боковая грань, содержащая меньшую сторону основания, составляет с плоскостью основания двугранный угол ф2. Найдите объем конуса.

Основанием пирамиды является ромб со стороной а и острым ут лом ц. В пирамиду вписан конус, образующая которого составляет с плоскостью основания угол 0. Найдите объем конуса.

В нн тиндр вписан шар. Найдите отношение объемов цилиндра и шара.

Найдите объем конуса, если радиус его основания равен 6 дм, а радиус вписанной в конус сферы равен 3 дм.

В конус, радиус основания которого равен г, а образующая равна /, вписана сфера. Найдите длину линии, по которой сфера касается боковой поверхности конуса.

В усеченный конус, радиусы оснований которого равны г и Г\, вписан шар. Найдите отношение объемов усеченного конуса и шара.

В правильную треугольную пирамиду с двугранным углом а при основании вписан шар объема V. Найдите объем пирамиды.

В пирамиду, основанием которой является ромб со стороной а и углом а, вписан шар. Найдите объем шара, если каждая боковая грань пирамиды составляет с основанием угол 0.

В сферу радиуса R вписан цилиндр, диагональ осевого сечения которого составляет с основанием угол а. Найдите объем цилиндра.

В шар вписан цилиндр, в котором угол между диагоналями осевого сечения равен а. Образующая цилиндра равна /. Найдите объем шара.

В шар вписан конус, радиус основания которого равен г, а высота равна Н. Найдите площадь поверхности и объем шара.

В шар вписана пирамида, основанием которой является прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 2 см. Найдите площадь поверхности и объем шара, если каждое боковое ребро пирамиды составляет с основанием угол а.

В шар вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник с диагональю 10 см. Каждое боковое ребро пирамиды составляет с основанием угол 0. Найдите площадь поверхности и объем шара.

Цистерна имеет форму цилиндра, к основаниям которой присоединены равные шаровые сегменты. Радиус цилиндра равен 1,5 м, а высота сегмента равна 0,5 м. Какой длины должна быть образующая цилиндра, чтобы вместимость цистерны равнялась 50 м3?

Куб, шар, цилиндр и конус (у двух последних тел диаметры оснований равны высоте) имеют равные площади поверхностей. Какое из этих тел имеет наибольший объем и какое — наименьший?

Будет ли плавать в воде полый медный шар, диаметр которого равен 10 см, а толщина стенки: а) 2 мм; б) 1,5 мм? (Плотность меди 8,9 г/см3.)

ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ

Даны две скрещивающиеся прямые, угол между которыми равен 90°. Найдите множество середин всех отрезков данной длины d, концы которых лежат на этих прямых.

Дан тетраэдр, все ребра которого равны. Докажите, что периметры фигур, которые получаются при пересечении этого тетраэдра плоскостями, параллельными двум противоположным ребрам, равны.

Докажите, что сумма квадратов двух противоположных ребер тетраэдра вдвое больше суммы квадратов отрезков, со-

единяющих соответственно середины остальных противоположных ребер.

Известно, что из любого равностороннего треугольника можно склеить тетраэдр, перегибая его по трем средним линиям и склеивая соответствующие части его сторон (см. рис. 88). Какому условию должны удовлетворять углы произвольного треугольника, чтобы из него указанным способом можно было склеить тетраэдр?

Найдите множество оснований всех перпендикуляров, проведенных из данной точки А, не лежащей на прямой ВС, к плоскостям, проходящим через эту прямую.

Докажите, что если одна из высот тетраэдра проходит через точку пересечения высот противоположной грани, то и остальные высоты этого тетраэдра проходят через точки пересечения высот противоположных граней.

Все плоские углы тетраэдра ОАВС при вершине О равны 90°. Докажите, что площадь треугольника ЛОВ равна среднему геометрическому площадей треугольников АВС и О\АВ, где 01 — проекция точки О на плоскость АВС.

Все плоские углы тетраэдра ОАВС при вершине О прямые. Докажите, что квадрат площади треугольника АВС равен сумме квадратов площадей остальных граней (пространственная теорема Пифагора).

Сколько существует плоскостей, каждая из которых равноудалена от четырех данных точек, не лежащих в одной плоскости?

Докажите, что прямая, пересекающая две грани двугранного угла, образует с ними равные углы тогда и только тогда, когда точки пересечения равноудалены от ребра.

Докажите, что сечением куба может быть правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник, но не может быть правильный пятиугольник и правильный многоугольник с числом сторон более шести.

Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин куба до прямой, проходящей через его центр, не зависит от положения этой прямой.

Разбейте куб на шесть равных тетраэдров.

Комната имеет форму куба. Паук, сидящий в середине ребра, хочет, двигаясь по кратчайшему пути, поймать муху, сидящую в одной из самых удаленных от паука вершин куба. Как должен двигаться паук?

Докажите, что в кубе можно вырезать сквозное отверстие, через которое можно протащить куб таких же и даже больших размеров.

Площадь боковой грани правильной шестиугольной пирамиды равна S. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середину высоты пирамиды и параллельной плоскости боковой грани.

Какую наибольшую длину может иметь ребро правильного тетраэдра, который помещается в коробку, имеющую форму куба со стороной 1 см?

Дан куб ABCDA\B\C\D\. Докажите, что пересечение тетраэдров AB\CDX и C\BAXD есть правильный октаэдр.

Докажите, что из конечного числа попарно различных кубов нельзя составить прямоугольный параллелепипед.

Внутри куба с ребром 1 см расположена ломаная, причем любая плоскость, параллельная любой грани куба, пересекает ее не более чем в одной точке. Докажите, что длина ломаной меньше 3 см. Докажите также, что можно построить ломаную, обладающую указанным свойством, длина которой сколь угодно мало отличается от 3 см.

Докажите, что для любого выпуклого многогранника сумма числа граней и вершин больше числа ребер на 2 (теорема Эйлера).

Докажите, что центры граней правильного додекаэдра являются вершинами правильного икосаэдра.

Докажите, что центры граней правильного икосаэдра являются вершинами правильного додекаэдра.

В правильном треугольнике АВС сторона равна а. Отрезок Л5 длины а перпендикулярен к плоскости АВС. Найдите расстояние и угол между прямыми АВ и SC.

В правильном треугольнике АВС сторона равна а. На сонаправленных лучах BD и СЕ, перпендикулярных к плоскости АВС, взяты точки D и Е так, что BD=— , СЕ = а^Й.

Докажите, что треугольник ADE прямоугольный, и найдите угол между плоскостями АВС и ADE.

Используя векторы, докажите, что сумма квадратов четырех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его ребер.

Основание АВС тетраэдра ОАВС прозрачное, а все остальные грани зеркальные. Все плоские углы при вершине О прямые. Докажите, что луч света, вошедший в тетраэдр через основание АВС под произвольным углом к нему, отразившись от граней, выйдет в противоположном направлении по отношению к входящему лучу. (На этом свойстве основано устройство уголкового отражателя, который, в частности, был запущен на Луну для измерения расстояния до нее с помощью лазера.)

Из точки А исходят четыре луча АВ, AC, AD и АЕ так, что zLBAC=60”, Z_BAD = Z_DАС = 45°, а луч АЕ перпендикулярен к плоскости ABD. Найдите угол САЕ.

Докажите, что высоты тетраэдра пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда противоположные ребра тетраэдра перпендикулярны.

Три боковые ребра тетраэдра равны друг другу. Докажите, что прямая, образующая равные углы с этими ребрами, перпендикулярна к плоскости основания.

Все плоские углы тетраэдра ОАВС при вершине О прямые. Докажите, что проекция вершины О на плоскость АВС есть точка пересечения высот треугольника АВС.

Из точки сферы проведены три попарно перпендикулярные хорды. Докажите, что сумма их квадратов не зависит от положения этих хорд.

Найдите множество центров всех сечений шара плоскостями, проходящими через данную прямую, не пересекающую шар.

Найдите множество всех точек, из которых можно провести к данной сфере три попарно перпендикулярные касательные прямые.

В тетраэдр с высотами hi, hi, Нз, h4 вписан шар радиуса R.

Докажите, что —=-—г-т'+т + т" • R hi hi ha h,

Какому условию должны удовлетворять радиусы трех шаров, попарно касающихся друг друга, чтобы к ним можно было провести общую касательную плоскость?

На плоскости лежат четыре шара радиуса R, причем три из них попарно касаются друг друга, а четвертый касается двух из них. На эти шары положены сверху два шара меньшего радиуса г, касающиеся друг друга, причем каждый из них касается трех больших шаров. Найдите радиус маленьких шаров.

На плоскости лежат три шара радиуса R, попарно касающиеся друг друга. Основание конуса лежит в указанной плоскости, а данные шары касаются его извне. Высота конуса равна XR. Найдите радиус его основания.

Плоскости ABxCi и А\ВС разбивают правильную треугольную призму Л6СД1В1С1 на четыре части. Найдите отношение объемов этих частей.

Докажите, что объем тетраэдра равен ^-a&csincp, где а и b — противоположные ребра, а ср и с — соответственно угол и расстояние между ними.

Докажите, что плоскость, проходящая через ребро и середину противоположного ребра тетраэдра, разделяет его на две части, объемы которых равны.

Основанием пирамиды OABCD является параллелограмм ABCD. В каком отношении делит объем пирамиды плоскость, проходящая через прямую АВ и среднюю линию грани OCD?

Даны три параллельные прямые, не лежащие в одной- плоскости. На одной из них взят отрезок АВ, а на двух других — точки С и D соответственно. Докажите, что объем тетраэдра ABCD не зависит от выбора точек С и О.

Точки Е и Г — середины ребер DC и ВВХ куба ABCDAXBXCXDX с ребром 1 см. Найдите объем тетраэдра ADXEF.

В двух параллельных плоскостях взяты два многоугольника. Их вершины соединены отрезками так, что у полученного многогранника все боковые грани — трапеции, треугольники и параллелограммы. Докажите, что

V=-f (Si+S2 + 4S3).

где V— объем многогранника, h— его высота. Si и S2— площади оснований, а S3 — площадь сечения плоскостью, параллельной плоскостям оснований и равноудаленной от них. 809. Два равных цилиндра, высоты которых больше их диаметров, расположены так, что их оси пересекаются под прямым углом и точка пересечения осей равноудалена от оснований цилиндров. Найдите объем общей части этих цилиндров, если радиус каждого из них равен 1 см.

Вокруг данного шара описан конус с углом а при вершине осевого сечения. При каком значении а конус имеет наименьший объем?

В конус вписан шар. Докажите, что отношение объемов конуса и шара равно отношению площадей полной поверхности конуса и сферы, являющейся границей шара.

Правильная четырехугольная пирамида, у которой сторона основания равна а, а плоский угол при вершине равен а, вращается вокруг прямой, проходящей через вершину параллельно стороне основания. Найдите объем полученного тела вращения.

Шар образован вращением полукруга вокруг прямой, содержащей диаметр. При этом поверхность, образованная вращением некоторой хорды, один конец которой совпадает с концом данного диаметра, разбивает шар на две равные по объему части. Найдите косинус угла между этой хордой и диаметром.

Все высоты тетраэдра пересекаются в точке Н. Докажите, что точка Н, центр О описанной сферы и точка G пересечения отрезков, соединяющих вершины с точками пересечения медиан противоположных граней тетраэдра, лежат на одной прямой (прямая Эйлера), причем точки О и Н симметричны относительно точки G.

Дан тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке. Докажите, что точки пересечения медиан всех граней, основания высот тетраэдра и точки, которые делят каждый из отрезков, соединяющих точку пересечения высот с вершинами, в отношении 2:1, считая от вершины, лежат на одной сфере, центр которой расположен на прямой Эйлера (сфера Эйлера).

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР

При изучении стереометрии важное значение имеет изображение пространственных фигур на чертеже. Мы познакомимся здесь с некоторыми правилами построения изображений. С этой целью введем сначала понятие параллельной проекции фигуры, а затем с его помощью понятие изображения фигур и рассмотрим примеры изображений плоских и пространственных фигур.

Параллельная проекция фигуры. Пусть л — некоторая плоскость, а / — пересекающая эту плоскость прямая. Отметим произвольную точку Ло пространства. Если точка До не лежит на прямой /, то проведем через До прямую, параллельную прямой /, и обозначим через Л точку пересечения этой прямой с плоскостью л (рис. 182). Если же До— точка прямой /, то обозначим через Д точку пересечения прямой / с плоскостью л. Точка Д называется проекцией точки До на плоскость л при проектировании параллельно прямой I. Обычно предполагается, что плоскость л и прямая I заданы, поэтому точку Д кратко называют параллельной проекцией точки До-

Пусть Ео — плоская или пространственная фигура. Параллельные проекции всех точек фигуры Ёо образуют некоторую фигуру F на плоскости л (см. рис. 182). Фигура F называется параллельной проекцией фигуры Fo. Говорт также, что фигура F получена из фигуры Fo параллельным проектированием.

Рис. 183. Проекция прямой т0 есть прямая т.Рис. 183. Проекция прямой т0 есть прямая т.Рис. 184. Проекция отрезка А0В0 есть отрезок АВ.Рис. 184. Проекция отрезка А0В0 есть отрезок АВ.

Рис. 183. Проекция прямой т0 есть прямая т.

Рис. 183. Проекция прямой т0 есть прямая т.

Рис. 184. Проекция отрезка А0В0 есть отрезок АВ.

Рис. 184. Проекция отрезка А0В0 есть отрезок АВ.

Сформулируем основные свойства параллельного проектирования при условии, что проектируемые отрезки и прямые не параллельны прямой /.

1°. Проекция прямой есть прямая (рис. 183).

2е. Проекция отрезка есть отрезок (рис. 184).

3". Проекции параллельных отрезков — параллельные отрезки (рис. 185) или отрезки, принадлежащие одной прямой.

4°. Проекции параллельных отрезков, а также проекции отрезков, лежащих на одной прямой, пропорциональны самим отрезкам (рис. 186).

Из свойства 4° следует, что проекция середины отрезка есть середина проекции отрезка.

Изображение фигуры. Выберем некоторую плоскость л и назовем ее плоскостью изображений. Затем возьмем прямую /, пересекающую плоскость л, и спроектируем данную фигуру Fo на плоскость л параллельно прямой /. Полученную плоскую фигуру F' или любую ей подобную фигуру F на плоскости л будем называть изображением фигуры Fo (рис. 187). Построенное таким образом изображение фигуры соответствует зрительному восприя-

Рис. 185. Проекции параллельных отрезков Ло^о и CoDo есть параллельные отрезки АВ и CD.Рис. 185. Проекции параллельных отрезков Ло^о и CoDo есть параллельные отрезки АВ и CD.

Рис. 185. Проекции параллельных отрезков Ло^о и CoDo есть параллельные отрезки АВ и CD.

Рис. 185. Проекции параллельных отрезков Ло^о и CoDo есть параллельные отрезки АВ и CD.

тию фигуры при рассмотрении се из точки, расположенной далеко от нее.

Выбирая различные плоскости изображений и различные направления проектирования (т. е. различные прямые /), будем получать различные изображения данной фигуры. Обычно берется такое изображение фигуры, которое являв н я наиболее наглядным и удобным для выполнения на нем дополни нен.ных построений. Это изображение и воспроизводится на черюже.

Изображение плоских фигур. Построение изображений фигур основано на свойствах параллельно!о проектирования, сформулированных в и. I. Рассмотрим некоторые примеры изображений плоских фигур.

Отрезок. По свопе ту 2' проекция отрезка есть отрезок, поэтому изображением огрета является отрезок. Ясно, что произвольный отрезок на чертеже мо.жно счи t d i н н инфнжением данного отрезка.

При рассмотрении изображений i рс\i олышка, параллелограмма И Т. Д. будем СЧ!11Л11, 410 П.1ОСКОС1Н этих фигур не параллельны направлению проектирования (прямой /).

Треугольник.Пусть AJ^C т реуч ольник, расположенный в пространстве, .Г, /Г и С,' проекции ючек Л ,, Btt и Со на плоскость л (рис. 188, а). Гак как проекция отрезка есть отрезок, то треугольник Л'В'С' (а также любой i реугольник АВС, подобный треугольнику /17ГС') является изображением треугольника AoBoCq. В качестве изображения данного треугольника на чертеже можно брать произвольный треугольник. Например, на рисунке 188, б изображением прямоугольного равнобедренного треугольника АЛоСо служит разносторонний треугольник ЛВС.

Параллелограмм. Так как проекциями равных параллельных отрезков являются равные параллельные отрезки (свойства 3Г| и 44 п. 1), то изображением параллелограмма является параллело-

Рис. 188.Рис. 188.грамм. Как и в случае треугольника, произвольный параллелограмм на чертеже можно считать изображением данного параллелограмма, в частности изображением данного прямоугольника, ромба, квадрата (рис. 189).

Рис. 188.

Рис. 188.

Трапеция. Нетрудно видеть, что изображением трапеции AJ^X'J),, г основаниями А0В0 и СиОо является трапеция ABCD, причем ио свойству 4° п. 1

АВ _ СР

А«Вг> СаРд

(1)(1)т. е. основания изображения трапеции пропорциональны основаниям самой трапеции. Поэтому не любую трапецию можно считать изображением данной трапеции. Укажем способ построения изображения данной трапеции A^B^CoD^. С этой целью рассмотрим вспомогательный отрезок С0Е0, параллельный отрезку A0D0 и разбивающий трапецию на параллелограмм AoDoCoEo и треугольник В^СоЕа (рис. 190, а). В качестве изображения параллелограмма A0D0CnEa возьмем произвольный параллелограмм ADCE (рис. 190,6). Так как AE = DC, то пропорцию (I) можно запи-

(1)

(1)

сать так:сать так:Рис. 189.Л0В..С«1)д •- прямоугольник. ЛВС!) параллелограмм.Рис. 189.Л0В..С«1)д •- прямоугольник. ЛВС!) параллелограмм.(2)(2)Л В ____ АГ

сать так:

сать так:

Рис. 189.

Л0В..С«1)д •- прямоугольник. ЛВС!) параллелограмм.

Рис. 189.

Л0В..С«1)д •- прямоугольник. ЛВС!) параллелограмм.

(2)

(2)

Л^Вд CglA '

Используя пропорцию (2), нетрудно построить теперь точку В — изображение точки В-). Это построение выполнено на рису икс 190, б, где АА2 = CJ)^ ЛЛ । = AftB0. Построенная трапеция ABCD является изображением тралении A^BoCoDo (для нес выполнена пропорция (1)).

Отметим, что изображением равнобедренной трапеции AJ3bC0D0 может быть и неравнобедренная трапеция ABCD. При этом изображением оси симметрии

Рис. 190.

равнобедренной трапеции является прямая //', проходящая через середины оснований AD п ВС. и. следовательно, отрезок EF является и выражением высои,! равнобедренной трапеции (рис. 191).

Окружность. Параллельная проекция окружное mi называется эллипсом (рис. 192). Окружность является частным случаем эллипса, поскольку се проекция на плоскость, параллельную плоскости окружности, есть окружность, равная данной (объясните почему). Из свойств параллельного проектирования следует, что проекция центра О данной окружности является центром симметрии эллипса (точка О' на рисунке 192). Эч у точку называют

центром эллипса.

Таким образом, изображением окружности является эллипс, причем изображением центра окружности является центр эллипса.

Эллипс используется при изображении на плоскости цилиндров, конусов, усеченных конусов и сфер (см. главы VI и VII). Эл

липс часто встречается и в различных вопросах естествознания. Например, движение планет вокруг Солнца происходит по орбитам, близким к эллипсам.

Изображение пространственных фигур. Рассмотрим теперь изображения на плоскости некоторых многогранников при условии, что ни одна из плоскостей граней не параллельна направлению проектирования. При этом под изображением многогранника будем понимать фигуру, состоящую из проекций всех его ребер.

Тетраэдр. Пусть AoBoCoDo — произвольный тетраэдр, А, В, С и D — параллельные проекции его вершин на плоскость изоб

ражений (рис. 193). Отрезки АВ, ВС, СА, AD, BD, CD служат сторонами и диагоналями четырехугольника ABCD. Фигура, образованная из этих отрезков (или любая другая фигура, подобная ей), является изображением тетраэдра A0B0C0D0.

Можно доказать, что фигура, состоящая из сторон и диагоналей лю-

эллипсэллипсокружностьокружностьРис. 192.Рис. 192.Рис. 193.

эллипс

эллипс

окружность

окружность

Рис. 192.

Рис. 192.

бого (выпуклого или невыпуклого) четырехугольника, является изображением тетраэдра при соответствующем выборе плоскости изображений и направления проектирования (рис. 194, а, б, в). (На этих рисунках невидимые ребра изображены штриховыми линиями.)

Параллелепипед. Для построения изображения произвольного параллелепипеда AoBoCoDoAoBoCoDo заметим, что точки Ао, Во, Do и Ао являются вершинами тетраэдра AoBoDoAo (рис. 195). Поэтому в качестве их изображения можно взять вершины произвольного четырехугольника ABDA'. Другими словами, любые три отрезка АВ, AD и АА' плоскости изображения с общим концом А, никакие два из которых не лежат на одной прямой, можно считать изображением ребер А0В0, AoDo и АОА6 параллелепипеда. Но тогда изображения остальных ребер строятся однозначно, так как все грани параллелепипеда являются параллелограммами, и, следовательно, их изображения также будут параллелограммами. На рисунке 195 параллелепипед ABCDA'B'C'D' является изображением параллелепипеда AqBqCoDoAoBoCoDo.

Пирамида. Изображение основания пирамиды строят по описанным в п. 3 правилам, а за изображение вершины можно при-

Рис. 194.

нять любую точку, не принадлежащую сторонам изображения основания. На рисунке 196 дано изображение правильной пирамиды SoAuBoCqDo, основанием которой служит квадрат A0BuCuD0. Изображением основания является параллелограмм ABCD.

Замечание. Частным случаем параллельной проекции фигуры является прямоугольная проекция (см. п. 21). Прямоугольные проекции широко используются в техническом черчении. Какая-либо деталь обычно проектируется на две плоскости — горизонтальную и вертикальную, и обе проекции изображаются в плоскости чертежа. На рисунке 197 изображены две проекции цилиндрической втулки.

Рис. 197.Рис. 197.

Рис. 197.

Рис. 197.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ОБ АКСИОМАХ ГЕОМЕТРИИ

Аксиомы геометрии представляют собой исходные положения, на основе которых строится вся геометрия, т. е. путем логических рассуждений устанавливаются свойства геометрических фигур. В аксиомах выражены свойства основных геометрических понятий. К таковым в нашем курсе относятся понятия точки, прямой и плоскости, понятие «лежать между» для точек прямой и понятие наложения. Кроме того, в аксиомах геометрии и вытекающих из них утверждениях используются такие общематематические понятия, как «принадлежать» (или «лежать на»), «множество», «число» и т. д.

Здесь мы приведем все аксиомы геометрии, включая и те три аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей, которые были сформулированы во введении, а также дадим доказательства на основе аксиом некоторых наглядно очевидных ут- верж деп mi, которые использовались в курсе стереометрии.

Первая группа аксиом характеризует взаимное расположение точек, прямых и плоскостей.

На каждой прямой и в каждой плоскости имеются точки.

Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой, и по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

С. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Из трех точек прямой одна, и только одна, лежит между двумя другими.

Иногда вместо слов «точка В лежит между точками А и С» говорят, что точки А и С лежат по разные стороны от точки В, или точки А и В лежат по одну сторону от точки С (аналогично точки В и С лежат по одну сторону от точки А).

Каждая точка О прямой разделяет ее на две части — два луча — так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от точки О, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки О.

Напомним, что отрезком АВ называется геометрическая фигура, состоящая из точек А и В и всех точек прямой АВ, лежащих между ними. Если отрезок АВ и прямая а лежат в одной 184

плоскости и не имеют общих точек, то говорят, что точки А и В лежат по одну сторону от прямой а; если же отрезок АВ пересекается с прямой а в некоторой точке, лежащей между Л и 8, то говорят, что точки А и В лежат по ра нние стороны от прямой а.

Каждая прямая а, лежащая к плоскости. разделяет эту плоскость на две чисти (две полуплоскости) тик, что любые две точки одной и гой же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой и, и любые due ючкн разных полуплоскостей лежат по ризные стороны от примой а.

Если отрезок по имеет общих точек с .тайной плоскостью, то говорят, что копти от ре чкч лт жат1 по оапу с тропу от плоскости; если же отрезок пересекается с и. ;оскос ч ч.ю п не которой своей внутренней точке, то говорят, что копны mpi’iha ,т< /кач по разные стороны от плоскости.

Каждая п.ин юк it, о ри uh'Kiel ирос I рин< I но ни две части (дви по ii/npoii ришл ни) гик. чю люоыс Нее гички одного и того .же полупространства uoicur но oihiy сторону от плоскости а, и любые две ючкн разных полупрос транств лежат по разные стороны от плоскости а.

При этом точки плоскости а не принадлежат ни одному из указанных полупространств. Плоскость а называется границей каждого из полупространств.

Следующая группа аксиом относится к нонятям наложения и равенства фигур.

Под наложением мы понимаем отображение пространства на себя. Однако не всякое отображение пространства на себя называется наложением. Наложения это такие отображения пространства на себя, которые обладаю! свойствами, выраженными в аксиомах 11— 17. В формулировках этих аксиом используется понятие равенства фигур, которое определяется так: пусть Ф и Ф, — две фигуры; если сущее/ ацет налит ение, при котором фигура Ф отображается на фигуру Ф|, то мы говорим, что фигуру Ф можно совместить наложением с фигурой Ф, или что фигура <9 равна фигуре Ф|.

Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки.

На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.

От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один.

Два равных угла hk и Нф., лежащие в плоскостях, являющихся границами полупространств Р и Ра можно совместить наложением так, что при этом совместятся полупространства Р и Р\, причем это можно сделать двумя способами: в одном случае совместятся лучи h и h\, к и к\, а в другом — лучи h и к\, к и h\.

Любая фигура равна самой себе.

Если фигура Ф равна фигуре Фь то фигура Ф| равна фигуре Ф.

Если фигура Ф1 равна фигуре Ф2, а фигура Ф2 равна фигуре Фз, то фигура Ф| равна фигуре Ф3.

Следующие две аксиомы связаны с измерением отрезков. Прежде чем их сформулировать, напомним, как измеряются отрезки. Пусть АВ — измеряемый отрезок, PQ — выбранная единица измерения отрезков. На луче АВ отложим отрезок AA\ = PQ, на луче А\В — отрезок A\A^ = PQ и т. д. до тех пор, пока точка Л„ не совпадет с точкой В либо точка В не окажется лежащей между Ап и Лл+ь В первом случае говорят, что длина отрезка АВ при единице измерения PQ выражается числом п (или что отрезок PQ укладывается в отрезке АВ п раз). Во втором случае можно сказать, что длина отрезка АВ при единице измерения PQ приближенно выражается числом п. Для более точного измерения отрезок PQ делят на равные части, обычно на 10 равных частей, и с помощью одной из этих частей измеряют описанным способом остаток АпВ. Если при этом десятая часть отрезка PQ не укладывается целое число раз в измеряемом остатке, то ее также делят на 10 равных частей и продолжают процесс измерения. Мы утверждаем, что таким способом можно измерить любой отрезок, т. е. выразить его длину при данной единице измерения конечной или бесконечной десятичной дробью. Это утверждение кратко сформулируем так:

При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом.

Кроме того, мы принимаем аксиому существования отрезка данной длины.

При выбранной единице измерения отрезков для любого положительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.

И наконец, последняя аксиома в стереометрии, как и в планиметрии, есть аксиома параллельных прямых.

В любой плоскости через точку, не лежащую на данной прямой этой плоскости, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Как уже отмечалось во введении, из аксиом геометрии следует, что признаки равенства и подобия треугольников, известные из курса планиметрии, справедливы и для треугольников, расположенных в разных плоскостях. Докажем, например, первый признак равенства треугольников.

Пусть треугольник А В С расположен в плоскости а, а треугольник Д1В1С1 — в плоскости ai и АВ=А\В\, АС=А\С\, Z_A= Z_AV. Докажем, что &АВС = ЛЛ1В1С1, имея в виду, что под треугольником в стереометрии обычно понимают фигуру, содержащую не только три стороны, но и соответствующую внутреннюю область.

Рассмотрим наложение, при котором угол Д совмещается с углом Д1 так, что луч АВ совмещается с лучом AxBi, а луч АС— с лучом Д1Сь Такое наложение существует в силу аксиомы 14. Так как по аксиоме 12 на луче А\ВХ можно отложить от его начала только один отрезок, равный отрезку АВ, то точка В совместится с точкой В\. Аналогично точка С совместится с точкой Сь Следовательно, по аксиоме II совместятся отрезки АВ и Д1В1, АС и Д1СЬ ВС и ВХСХ, т. е. совместятся стороны треугольников АВС и Д1В1С1.

Докажем теперь, что при указанном наложении внутренняя область треугольника АВС совместится с внутренней областью треугольника Д1В1С1. Для этого нужно доказать, что любая точка внутренней области треугольника АВС совместится с некоторой точкой внутренней области треугольника A1B1C1 и, обратно: на любую точку внутренней области треугольника Д1В1С1 наложится некоторая точка внутренней области треугольника АВС. Пусть М — произвольная точка внутренней области треугольника АВС. Проведем через точку М какой-нибудь отрезок PQ с концами на сторонах АВ и АС треугольника АВС. Так как сторона АВ совмещается со стороной Д1В1, то точка Р совместится с некоторой точкой Р\ на стороне A|Bi. Аналогично точка Q совместится с некоторой точкой Qi на стороне Д1С1. Поэтому по аксиоме 11 отрезок PQ совместится с отрезком PXQ\, а значит, точка М отрезка PQ совместится с некоторой точкой Mi отрезка PiQi, т. е. наложится на точку Mi внутренней области треугольника Д1В1С1. Таким же образом можно доказать и обратное: на любую точку внутренней области треугольника Л1В1С1 наложится некоторая точка внутренней области треугольника АВС. Итак, при указанном наложении треугольники АВС и AtBiC\ полностью совместятся, т. е. они равны.

В качестве еще одного примера приведем доказательство равенства двух прямых треугольных призм, имеющих равные основания и равные высоты.

Напомним, что равенство таких призм использовалось при рассмотрении вопроса об объеме прямой призмы (п. 64, следствие 2).

Пусть прямые призмы ABCDEF и A\B\C\D\E\F\ имеют равные основания АВС и АХВ\С\ и равные высоты AD и A\D\, причем АВ = А\В\, AC=AtC\ и Z_A= Z_A\. Полупространство, границей которого является плоскость АВС, содержащее точки D, Е и F, обозначим буквой Н, а полупространство, границей которого является плоскость Д1В1С1, содержащее точки D\, Е\ и F\, обозначим Нх.

Рассмотрим наложение, при котором угол А совмещается с углом А\ так, что луч АВ совмещается с лучом AxBXl луч АС — с лучом Д1СЬ а полупространство Н совмещается с полупространством Н\. Такое наложение существует в силу аксиомы 14. При этом наложении, как было доказано выше, треуголь-

ник АВС (т. е. его стороны и внутренняя область) совместится с треугольником ЛХВ\С\. Далее, луч AD совместится с некоторым лучом /11О2, расположенным в полупространстве /Д, поэтому углы DAB и DAC совместятся соответственно с углами D2A\B\ и D2AvCt. Но так как углы DAB и DAC — прямые, то углы D2A\BX и D2A\C\ также прямые, а, значит, луч AXD2 перпендикулярен к плоскости А\В\С\ и, следовательно, совпадает с лучом /1|О|. Итак, при указанном наложении луч AD совместится с лучом ЛiZ?i, а так как AD = AXDX, то точка D совместится с точкой Dx. Аналогично точки Е и F совместятся соответственно с точками Ех и Ft. Следовательно, основание DEF и боковые ребра одной призмы совместятся соответственно с основанием DXEXFX и боковыми ребрами другой призмы. Нетрудно доказать теперь, что при этом совместятся и соответствующие боковые грани, а также внутренние точки призмы. Это можно сделать подобно тому, как при доказательстве первого признака равенства треугольников было доказано совмещение внутренних областей треугольников АВС и vAfSfC,. Таким образом, призмы ABCDEF и A\B\C\DXE\F\ полностью совместятся, т. е. они равны.

Аналогично можно доказать равенство двух прямоугольных параллелепипедов с соответственно равными измерениями и равенство двух правильных пирамид с равными основаниями и равными высотами.

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ

10 класс

ВВЕДЕНИЕ

а) Д.1; б) nei; в) нет; i ) пег. 5. Вщкощ зное множен во. 7. Пег. У к a i а и и с. Восполыова । вся акпв ача .!_■. 8. a) Hei, о) ла 9. Да 10. а) Да, 6) нн. 12. Да. 13. а) Пег, б) пег; и) да. 14. Три п. гое кис i и, если прямые не лежлг в одной плоскости, и одна плоскость, если прямые лежат в oviBoii плоскости.

ГЛАВА 1

2() см. 18. а) 3,5 см; б) 12 см. 20. Нет. 27. 48 см. 28. 8--- см 29. 6 см.

Указание. Пусть а, [3 и ?— данные плоское! и, а а — ливня пересечения плоскостей а и (3. Рассмотреть взаимное расположение прямой а и плоскости у. 34. а), б) Пересекаются; в), г) параллельны; д), е) скрещивающиеся. 37. а) Пересекаются; б) скрещивающиеся. 40. а) Нет, б) да, прямая А1 \ 41. Пет. 42. а) Параллельны; б) 100 см. 44. а) 40’; б) 45’; в) 90". 45. а) 51; ; б) 59’’. 46. а) 90°; б) 64°. 49. Нет. 54. 6) 12 см’. 56. Указание. Воспользоваться задачей 55. 57. Указание. Воспользоваться задачей 56. 60. У к а- з а и и е. Воспользоваться задачей 58. 63. а) А.12-- 18 см, АВ:~- 15 см; б) А2В2 — = 54 см. .4.4.. = 72 см. 65. а) Параллелограммы. 66. Три пары ребер. 67. a) s» 17 см, «23 см, « 29 см; б) «116 см', «210 см-’, «180 см?. 72. Указание, а) Учесть, что секущая плоское!!, иро\оди1 через середины ребер DB и DC тетраэдра; 6) учесть, что секущая плоскость пересекает боковые грани тетра >д- ра по трескам, параллельным сторонам треугольника АВС.. 73. 22 см. 74. б) -*- . 75. б) 6 см'. 77. 8 см. К) см, 12 гл 79. а) Параллело

грамм .4ВC.D।; б) пара i.ie ни рамм .!(.'(,;.1 . 81. Точка пересечения прямых: а) ММ и ВС; б) .4.31 и /П/Т. 82. У к а з а и и с Задача решается аналогично задаче 2, п. 14. 83. Ука i а и и е. ('начала построить отресок, по которому секущая плоскость перкекае! ipain,: а) AA.D.D; б) ABCD. 84. У к а з а и и е. Сначала построить отрезок, ио которому секущая плоскость пересекает |рань ABCD. 85. Параллело! рамм BKDJ.. 86. Указание. Сначала построить точку пересечения секущей плоскости с ребром DDX. 87. Указание. (Зиа- чала построить отрезок, по которому секущая плоскость пересекает: а) грань ВССХВХ; б) грань AA\DXD. 88. б) 12 см. 90. Прямая CD; а) параллельна

IRQ

плоскости а; б) пересекает плоскость а. 92. Указание. Использовать свойство 2П, я (> 93. MN и b скрещивающиеся. 94. Да. 95. Указание. Ис- потьзовагь задачу 55. 98. Существует только одна плоскость. 100. Указание. Ик пользовать вторую теорему п. 7 и задачу 59. 102. 10:2 \/3+1) см и 25 Vil см2- 4

4 — см2. 108. Указание. Предварительно доказать, что плоскости

АДА., BDB, и СОС\ пересекаются по прямой. 112. Указание. Учесть, чао сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. 113. Прямая BDt.

ГЛАВА II

ДАОВ, Z.MOC и ADOA. 120. \Ab V2a i2i (3 см |22 кд = = КВ = 20 см, DA -- DB =32 см. 125. 9 см. 126. Прямоугольный. 130. а) МЛ = =-/щ2МВ = т, MC=V"^ + ""' М О = л.Гпг^^Р; б) умЧу"2, т- d

.’> I. .1 .iihic В'» no :i, юнапА-я ппачей 1.31138. а) , d tg ф;

cos ф

6)ш-ли ц 140. 3 см. 141. 3 см. 142. 2,5 см или 1,5 см.

2 см. 145. б) \u" + b2. 146. Указание. Воспользоваться теоремой о трех перпендикулярах п обратной к ней. 149. 4 см и 4 д/10 см. 150. а) 2 см; б) 4 д'2 см. 152. 8 дм. 8 дм, 1 \5 дм, 4 \5 дм, 8 дм, 6 \2 дм. 154. а) 15 см; б) 75 см’. 155. 6 см. 156. -\П"-j-т2 ып'ц. 157. б) 5,1 дм. 158. 12,5 см, 12,5 см, 25 см, 25 см. 160. 12 см. 161. Указание. Использовать перпендикуляры, проведенные из точки .4 к прямым ВС и BD и к плоскости CBD. 163. а) б) 4; в) . 164. 60°. 165. 3d. 168. -4-. 170. 1 см 222sin ф

и ^ см. 171. 45°. 172. 6V3 см. 173. 90°, 45° и 60°. 174. 60°. 175. cosa=y, a«70°32'. 176. 8 д2. 179. Указание. Восполь юват ься задачей 178. 180. Указание. Воспользоваться задачей 179. 182. б) -^m'-Vn2. 184. а) 5 д/б см; б) 5д2 см. 187. а) <6; б) 17; в) 13. 188. а^. 189. а) ^^ ; б) ^^ . 190. а) 90°; б) 45°; в) tgф^y, ф«26°34'. 192.1931 а> V^2“m2;

Vfrr—rr; в) Плт —П . 194. а) ^~ ; б). 195. 6 см, 6 см и 6 см.

4 см. 199. Указание. Пусть точка О — проекция точки S на плоскость треугольника. Доказать, что точка О совпадает с точкой М. 201. 90°. 202. 5 л.З см. Указание. Воспользоваться задачей 199. 203. 5 см. 204. а) — , 'sin ф

——-—VI +4"tg5"<p; б) 4”; в) ? ?^а • 205. 3,5 дм2. 206. 25 см. 207. 8 см. 2 tg Фtg <р 4 tg2 ф

9 уб см. 209. Расстояние от точки В до плоскости а меньше расстояния

190

от точки С’ до этой плоскости. 211. a v"2. 213. соьф = у, ф«70°33'. 214. 60°.

у \217 см. 216. 2а. 217. 2 х Г22 дм.

ГЛАВА III

13 см. 220. 26 см. 221. 8 Х21 смд 222. 45°, 135", 15\ 135' 223. 8 см и 8 У? см. 224. 16 \7 см2. 225. 45". 226. 2 х3 см’. 228. 80 \2 ем2. 229. а) 430 см2 и я; 536 см2; б) 384 дм' и 672 дм2, в) 69 дм2 и % 97 дм2; г) 0,2 м2 и % 0,8 м2, 230. 75 см2. 231. 20(23-4-6 у+) см2. 232. 2d2 sin ф (Vcos (а |- <р) cos (а — '(!+ sin а).

Г- /Л \

2 V2 cos ( — 1 sin 0

180 см2. 234. 580 см2. 235. .236. Указание.

Учесть, что боковые грани наклонной призмы являются параллелограммами.

240 см2. Указание. Воспользоваться задачей 236. 238. 2016 см2. 239. у58 см, -у/58 см, у*65 см, у'б5 см. 240. 768 см2. 241. (2 v34+22) м2. 242. а) 4 уЗ см; б) 48(^2 4-1) см2. 243. 192 см2. 244. 790 см2. 245. 8(3 + 3 V3-I <б) см2 246. б) 189 см2. 248. 48 У2 см2. 250. 64 у/3 см2. 251. 13 см. 252. 12 см. 253. 12 см.

. V9/F+3?За .х , 2<ЗН

а); б) 2 arcsin-—=-— ; в) arctg —; г) arete —,

32 УЭ^ + За*иа '

. «. у/ЗЯ^+а24_ ,1 . , фх tn cos а т

Д) 2 arctg—. 255. V1”^^ о • 256‘ а> • б>

. Ф V <5*.ос

tgy2sm — 2sm^

в) arccosltg— ); г) 2 arcsin () . 257. 3 V3(I + \ 2)/г. 258. 72(1 + х,7) см

\2 /\ а /•

cos

3 у^ см. 263. а) Трапеция. 264. За2. 265. 54 см2. 266. 13 дм2 268. х7 дм. 2

у Уб дм, Уз дм. 270. 16 см2. 276. а) Одни; б) не имеет; в) не имеет; г) одни. 277. а) Бесконечное множество; б) три; в) девять 278. а) Пять; б) четыре; в) три или шесть. 279. 60°. 280. Площадь сечения, проходящего через диагонали

а2 Уз

смежных граней, равна —-—. Площадь сечения, проходящего через диагонали

противоположных граней, равна a2 ^2- 281. У5. 282. 90°. 283. а) ° ^ , б) —у—.

Правильный октаэдр. 286. a) m=2^-h\ б) п = ^т. 287. а) а-у'2; б) ~^а. /л \

COS I ф — I

в) а ^- . 290. 2 +2/2 — y'sin (0 + ф) sin (0 —ф). 291. 2d2 sin <f (cos 0 +

COS U

+ -\/sin (0+ф) sin (0 —ф)). 292. 4,8 см. 294. 4 \So —а1 или 2 -\,2So. 296. ^^^ f°S SHT ф

Указание. Учесть, что искомое сечение является трапецией.

2а2 + 2а J4b2 — а". 299. O.orzz. 300. Прямоугольник, S = ~г - 301. 4 х6 см.

4

5 см, 5 см, 6 см, G см. 303. 288(3+^3) см2. 305. 2/г2 tg а. 306. 4/г2 t^2 «рХ х( 1 Н — ) . 307. а) -^ ab. 308. 4 см, 4 см, 4 см, 4 см. 309. дм2. 310. 540 см2.

X sin <р /43

а) 315 см2; 6) 7,2 см. 312. tg <р cos ■■ ^-. 313. 54 дм’. 314. 56 см, 24 см. 319. Три.

ГЛАВА IV

а) 3 см, 4 см, 5 см, 1,5 см, 2 см, 2,5 см, б) 4 см, 3 см, 5 см, 2 см, 2,5 см. 321. а) 12 см, 8 см, 9 см; б) 15 см, </145 см, 17 см. 323. a) MN— QP,

QM = PN, DP —PC; б) квадрат. 324. а) Да; б) да; в) пет. 325. а) Параллель-

иы или совпадают; б) прямая параллельна плоскости или лежит в пей; в) плоскости параллельны, пересекаются или совпадают. 326. а) СС\; б) ВК; в) Д।С।; г) (ВВ,; д) МВ,. 327. а) АС;б)АС,; в)СКВ; г) DB,;д)DC). 329.а)ВС,

AD, Л^В), В^Сь б) АВ), 1Гсх;в)CD, ВА, в'А), сТв,;г)В Гл,, CJ)),СТ),

ВЛ 333. а) (7, б) ВВ 335. a)PQ; б) ЛК;в) СР; г)(Г336. а)АС —

/В. ВВ. б) ВС\ СВ ВА;и)-(/4.4 -1СВ |-ВС). 337.a)AD + OE;б)ЛК;

и) (). 338. Указание. Учесть, что ОА — ОА) — ОС — ОС,. 339. а) С)В; б) АС. 340. а) АС; б) СВ; в) ВС. 344. а) -I; б) 2; в) —^. 315. а) -2/+; б) —-^ DC. 346. - у (.4 В-| ВС). 347. а) 5п-9т; б) 2/7 - -\Лт-Зп. 355. а), в). 356. Да. 358. а) АС,; б) DB,; в) DB>; г) /ТГс; д) ВВ,. 359. а) -^АС), ^^-АС); б)+ 4 ?3, ^ V19 + 4 V^.

а2аЗа"За

\Т05.. 360. a) BDi=BA+BC-\-b1b; б) B*D, = АЛ - А^В + A^D,.

361. СВ О • ЛА! - АВ + 0• АВ, в"хО = - ~~ .4 Л, }--^ лЪ - -^ АВ. 363. С)Б=а — -Ь [-<". СН1=4-а + 0-^ + у с. 364. АК = <г-\--^-Ь-\-с, |ЛК|=уМ. 365. yd + 31-1——►—►

+ — &+0-G — и — — b-V^ с. 367. ОК = ^ЛПАА-^Л^ОВА-^ДЬОС. 368. а) АС =

:---АВ-\ AI). б) см= --1 АВ-AD; в) C^N = - АВ-^ AD; д) >+V = 0-AB + + 4" ^Х ж) МВ= -2- АВ+АВ. 369. ОЛ =ЗОМ-ОВ-ОС. 370. a) DN =

т^^т^+т^ б) d/<=tj+t6+7т^^т^+т^ б) d/<=tj+t6+7। - 1 _

т^^т^+т^ б) d/<=tj+t6+7

т^^т^+т^ б) d/<=tj+t6+7

г) Л1 Д'г) Л1 Д'1 - 1л । -T"-i26-i2C'1 - 1л । -T"-i26-i2C'371. Указание.371. Указание.Воспользоваться задачами 350Воспользоваться задачами 350АМ= — а+у b +у с;

г) Л1 Д'

г) Л1 Д'

1 - 1л । -

T"-i26-i2C'

1 - 1л । -

T"-i26-i2C'

371. Указание.

371. Указание.

Воспользоваться задачами 350

Воспользоваться задачами 350

и 366. 373. Нет. Указание. Сначала доказать, что Л1, — точка пересечения медиан треугольника A )BtC), а затем воспользоваться задачей 366. 379. а) АС; б) А В;

в) 0. 380. a) ADv, 6) /ICi; в) DB. 381. Указание. Сначала доказать, что ДД^лГЯь ВС^вТс,. СА=С^А-. 382.а) к любое; б) А-^О; в) к<0; г) к = — 1. 386. Указание. Сначала доклеив, чн> Ио |ДЫ |-,МУ I-AIC + MO).

a) 'AON — 2ОМ; б) ‘20М-о\. в) kON | Л kvOM 389. ('п.-мы.-ы доказать компланарность векторов .l:/fi, 1 В . в .1390. а) —. кд; б) ' ---^—кд;

•"Г> <5а?

в) ^ кд; г) Л?-"-- / i'll. 1/\| ' Л I 1 <392. А С । = р 4-д + г;

CAt=-pV; I 1, ВО. ч /1 |I. DB. д|р | к393j)АКАВ |AD +

+у aai;б) ПЛу ^АВ-- - 6С, -jCD.. 394. . 1 W-^ АВ; 1/''.11395.У казн н и е.Сначала док.; '.а I в >-.:i: и парное1 вь.1юр"Н1I,. ВВ, иССу.

ВС -г- к, СО d ■ к. DB к /в ОМ.^к |../39/. ',398.Ука

зание. Воспользоваться задачей ЗбО. 399. Указание. Вт поль :овз 1ы я задачей 397.

ГЛАВА V

а) С; б) Е; в) В; г) А, С, Е, Н; д) В, Е, 6; е) В. С, О. 402 В! ;1; 0, 1), (ДО; 1; I), СД1; I; 1.), /Д(1; 1; 0). 403. а {3; 2; — 3), Ь|-5; 3; -I). с [I; - I; о;. </ {0. 1; П, т {- I; 0, I), п (0; 0; 0,7). 409. а) (7; -2. I). 6) : 7; 2; - I); в) (5; -1,2; lj; г) {-З^; Ц- ; -1 у} ; д) {у; -2,2; у}; е) ;/. -1,8; I); ж) (7; -2,2; 11; з) (10; -2, 2); н) (6; -3; 0); к) (0; -1,2, 0), л) (у; - у ; у} ; м) (-0,4; 0,2; 0). 410. р (4; -18; -9), Д5; 15; — Г>| 411. а) (0; а; -I); б) (-3; 2; I); в) (7,8; 2.5; 4,11; г) (-3; 9; -3). 412. -< (-!; 0; 0), -/ (0; -I; 0); -АДО; 0; -I), -а (-2. 0; 0). — 5 »3, -5; 7), -с (0.3. 0. - 1,75) 413. в) Нет; г) да; д) нет. 414. а) т=1(), п = 1у; б) м;=0,1, п=—2 415. а) Да; б) нет; в) да; д) нет; е) нет. 418. а) (— I; 0; 2); б) {5; —7; 2); в) {—— ; — -—; ——|

6) 0.5:42 +3.46) 0.5:42 +3.4419. AB^7-3i-'3k, ВС - - лк \-]А-бк, СА =-- 4Н' 2/"- Ак. 420. Да. 421. б) Да в) нет. 422. а) Да; б) вег; в) да. 423. Указание. Воспользоваться за дачей 366. 424. а) М (— I; 2.5; -2); б) В (-8; 4; -19); в) /1( -21; 8; 28) 425. а) т = 2, п = — 5; б) т —0,5, п =2; в) m — I, л = — 1; г) т 2, п — — I 426. а) 3; б) 17. 427. |н|:-5 \/3, |5| =7. |с| =\3, |5|=2, |mi^ 428. a) V6 б) 2 VI4. в) 0; г) 5 v'2; Д) 3 /14; е) 14; ж) /326. 429. \ 14. 430. а) 3 + 2/2

6) 0.5:42 +3.

4

6) 0.5:42 +3.

4

-у—. 431. а) Правильный; б) прямоугольный разносторонний

в) прямоугольный разносторонний; г) прямоугольный равнобедренный. 432. а) 4, 4, 3; б) 4д/2, 5, 5. 433. (0; 2; — 3), (—1; 2; 0), (—1; 0; — 3). 434. (3; 0; 0),

№;4; 0), (0; 0; V^)- 435. 3,75; 2; 4; I—2-^2 и 1 —|-2 д/2. 436. Указание.

Доказать, что: а) точки А, В и С не лежат иа одной прямой; б) АВ и DC — —>*—>-

неравные сонаправленные векторы; в) |ДО| = |СВ|. 437. а) (—1,6, 0; 0); -g-; О); б) ( 0; 1; 4);

в) (~Т; 0; т) • 4391 а) (2: 3: 0)1 ^ б) (2; 3; -1). 440. "^^^т2 441. а) 45°; б) 135°; в) 60°; г) 45°; д) 90°; е) 90°; ж) 0°; з) 180°. 442. BADC = ^ BA CD=AB^DC=\W-^. 443. а) а2; б) -2а2; в) 0; г) а2; д) а2; е) — у ; ж) —|- а2.444. ас = 3, ab=0, Ьс = 3, аа = 6, ">Jbb = ^. 445. a) —10;

б) 3; в) 1; г) —4; д) 28. 446. а) Тупой; б) острый; в) прямой. 448. а) 5,5; б) 3,5; в) 4. 449. /п = 4. 450. Указание. Доказать, что AB = DC, АВ AD=0, |ДВ| = |Лг>|. 451. а) 60°; б) 135°; в) 150°; г) 45°; д) 90°. 452. аГ^ЗОЧб', а/«63°26', аА^50°46'. 453. 60°.

454. 2.Д = 120°, ЛВ= ЛС = Ж, P^^^-V^Y S=l^. 455. а) ^; б) —у;

в) 0. 456. 90°. 457. 3. 459. a) 1, у; б) з/З, V2. 461. Указание. Выразить -*■“ >,► -е— > г ■• >■

векторы MN и ВС через векторы a = DA, b = DB, c = DC. 462. а) — 1; б) —1,5;

в) 4; г) ^; д) 2; е) -у; ж) 464. а) 30°; б) 60°; в) 0°; г)4^; в) -U; г) 4671 а> ~71°34'; б) «59°44'. \оОо/"у4 : в) • 469. а) • б) -7="; в) —-—. 470.V130V182V134V134V1342у- 471. Указание. Пусть ABCDAXBXCXDX — данныйв) 4; г) ^; д) 2; е) -у; ж) 464. а) 30°; б) 60°; в) 0°; г)4^; в) -U; г) 4671 а> ~71°34'; б) «59°44'. \оОо/"у4 : в) • 469. а) • б) -7="; в) —-—. 470.V130V182V134V134V1342у- 471. Указание. Пусть ABCDAXBXCXDX — данныйз45°. 466. а) —з45°. 466. а) —468. а)468. а)у; б)у; б)'29 3_. 76'з :'29 3_. 76'з :куб. Требуется,куб. Требуется,

в) 4; г) ^; д) 2; е) -у; ж) 464. а) 30°; б) 60°; в) 0°; г)

4^; в) -U; г) 4671 а> ~71°34'; б) «59°44'. \оОо/"у

4 : в) • 469. а) • б) -7="; в) —-—. 470.

V130V182V134V134V134

2

у- 471. Указание. Пусть ABCDAXBXCXDX — данный

в) 4; г) ^; д) 2; е) -у; ж) 464. а) 30°; б) 60°; в) 0°; г)

4^; в) -U; г) 4671 а> ~71°34'; б) «59°44'. \оОо/"у

4 : в) • 469. а) • б) -7="; в) —-—. 470.

V130V182V134V134V134

2

у- 471. Указание. Пусть ABCDAXBXCXDX — данный

з

45°. 466. а) —

з

45°. 466. а) —

468. а)

468. а)

у; б)

у; б)

'29 3_. 76'

з :

'29 3_. 76'

з :

куб. Требуется,

куб. Требуется,

например, доказать, что AC1-LA1B. Разложить векторы АСХ и АХВ по векторам а = АВ, ii=AD, с = ААх и доказать, что ЛС1-Л1В=0. 473. 60°. 475. уд/70+15 з/2. 476. 45°. 477. Указание. Доказать, что AKBD = 0.

479. Указание. Рассмотреть плоскость, проходящую через центр симметрии и данную прямую, и свести задачу к задаче 1149 «Геометрия 7—9». 481. Указание. Воспользоваться следующими свойствами движений: при движении прямая отображается на прямую, параллельные прямые — иа параллельные прямые, а угол — на равный ему угол. 484. Указание. Учесть, что параллельный перенос есть движение, поэтому при параллельном переносе прямая отображается на прямую. 485. Указание. Доказать, что ММХ = ААх=р. 487. Указание. Утверждение доказывается точно так же, как: а) теорема п. 114 «Геометрия 7—9»; б) решается задача 1150 «Геометрия 7—9». 488. Указа-

н и е. а), б) Доказательство провести методом от противного. 490. а) (3; 9; — 24}; б) {—1,6; —2,3; 4,3}. 491. а) Нет; б) да; в) да; г) ист. 492. а) (— I; 0; 0); б) (0; —2; 0), (0; 0; 2). 493. а) Да; б) да; в) пет. 494. Указан и е. Доказать, что: а) точки А, В и С не лежат на одной прямой; 6) середины отрезков АС и BD С (6; 5: 5). О, (9, 4; 1), В, (4. 7; 4), С, (8; 8; 4).— : —— }.; — ; 0 f . 499. 4 илн —4.з з) Vio Jн и е. а), б) Доказательство провести методом от противного. 490. а) (3; 9; — 24}; б) {—1,6; —2,3; 4,3}. 491. а) Нет; б) да; в) да; г) ист. 492. а) (— I; 0; 0); б) (0; —2; 0), (0; 0; 2). 493. а) Да; б) да; в) пет. 494. Указан и е. Доказать, что: а) точки А, В и С не лежат на одной прямой; 6) середины отрезков АС и BD С (6; 5: 5). О, (9, 4; 1), В, (4. 7; 4), С, (8; 8; 4).— : —— }.; — ; 0 f . 499. 4 илн —4.з з) Vio Jсовпадают. 495.совпадают. 495.L .А;33’3’L .А;33’3’I 2 497. а) 1; б) -2; в) 0. 498.;I 2 497. а) 1; б) -2; в) 0. 498.;

н и е. а), б) Доказательство провести методом от противного. 490. а) (3; 9; — 24}; б) {—1,6; —2,3; 4,3}. 491. а) Нет; б) да; в) да; г) ист. 492. а) (— I; 0; 0); б) (0; —2; 0), (0; 0; 2). 493. а) Да; б) да; в) пет. 494. Указан и е. Доказать, что: а) точки А, В и С не лежат на одной прямой; 6) середины отрезков АС и BD С (6; 5: 5). О, (9, 4; 1), В, (4. 7; 4), С, (8; 8; 4).

— : —— }.; — ; 0 f . 499. 4 илн —4.

з з) Vio J

н и е. а), б) Доказательство провести методом от противного. 490. а) (3; 9; — 24}; б) {—1,6; —2,3; 4,3}. 491. а) Нет; б) да; в) да; г) ист. 492. а) (— I; 0; 0); б) (0; —2; 0), (0; 0; 2). 493. а) Да; б) да; в) пет. 494. Указан и е. Доказать, что: а) точки А, В и С не лежат на одной прямой; 6) середины отрезков АС и BD С (6; 5: 5). О, (9, 4; 1), В, (4. 7; 4), С, (8; 8; 4).

— : —— }.; — ; 0 f . 499. 4 илн —4.

з з) Vio J

совпадают. 495.

совпадают. 495.

L .А;33’3’

L .А;33’3’

I 2 497. а) 1; б) -2; в) 0. 498.;

I 2 497. а) 1; б) -2; в) 0. 498.;

500. 1. 501. 2 V7. д/7, /29. 502. (0; 42,4; 0). 503. (1; 1,5; 1,5). Указание. Учесть, что ДЛСВ =90°. 504. 6 дм. 505. Указание. Ввести систему координат и обозначить координаты вершин данного тетраэдра ABCD так: А (хх; ух; zx\ В (х2; Уз, z2). С (х3; у3; z3), D (х4; у4; z4). Учесть, что точка пересечения медиан имеет ( х, + х2 + х3-Ьх4У1+У2 + У3 + У4 . zi+z2 + z3 + z4кпе q

координаты I. ^у ■ оио-

б) —3,5; в) 5; г) 7; д) —10. 507. а) 135°; б) 60°; в) 67°30'. 508. а) Да; б) да; в) да; г) нет. 509. а) ——— ; б) —. 510. а) 90°; б) ^114°06'. 511. а) \/б;

Vй4 9

744323

б) д/2. 512. а) б) в) -; г) . 513. а) —; б) —. 515. 45°.

516. sin 0 cos ф. 517. д^Я^п^Г+Р”- 518. Указание, а) Доказать методом от противного; б) пусть М — точка пересечения прямой а с плоскостью а, А — точка иа прямой а, В и С — точки в плоскости а, отличные от точки М. К треугольникам АМВ и АМС применить теорему Пифагора. 519. Указание. Рассмотреть линейные углы двугранных углов, образованных плоскостями а и р, а и pt. 520. Указание. Взять на плоскости а две пересекающиеся прямые н восполь

зоваться задачей 484.

ГЛАВА VI

5 м. 522. а) 24 см; б) 12д/3 см; в) 432л см2. 523. а) 10 д/2 см; б) 50л см2. 524. Нет. 525. д^л м. 526. а) 30°; б) 60°. 527. а) 5 дм; б) 3 см. 529. 64 см2. 530. 8 см. 531. 15 дм. 532. ——. 533. д/S2 —4/i2d2. 534. 2^dh. 535. 40 см2. COS ф

5д/2. 537. л2 м2. 538. — . 539. 1,125л кг. 540. 6 см, 18 см. 541. 0,82 л « *л

«2,58 м2. 542. 4S-ctg?. 543. S6oK = y d2 sin ф, 5цил = у d2 sin ф + ^ d2 sin2 ^- или $цнл=-±-d2 sin V 4-^d2 cos2-^. 544. ^ . 545. a) 2a2; б) 2ла2; в) W.

6) —. 547. 17 см. 548. а) 108л см2; б) 72л см2; в) 36л см2. 549. а) 4 д/2 дм; а.—

4 дм. 550. 25 см2. 551. а) г2; б) г2 д/2; в) г2 д/3. 552. 2А2. 553. 6 у у Дм-

г Amrz?г л^Р — г2,100 о . 200 д/з 2

а) —; б) —. 555. а) 200 см2; б) — д/б см2; в)— см2.

а = 216°. 559. 180°. 560. а) 60°; б) 2 arcsin у ; в) 2 arcsin-^ . 561. 9л см2,

6 <2 см. 562.см2. 563. о,9л см'. 564. -:. 565. 8бок = 80л см2,

о2 sin' a cos ([

SK1)I1= 144л см2. 566. 2лпг sin гр. 567. 5 см. 568. а) 8 сч; б) 128 см2. 569. R2 — г2.

570. 60 см2. 571.33 у/2л см2, (33 у2* ф 65) л см2. 572. 2,55л 8,011 кг. 574. а) 10 V2T см;

12 мм; в) 16 дм; г) vr — b'. 575. -^4——. 576. а) (х — 2/4-(у 4-4)3 4- -| Д —7)" -9, б) л2 {-у2 | 2, в) v 2г i у : г' Юб. 577. а) (х4-2)г4- 4 G'/-2)2 4-2 ' = 54; б) (,г 4-2/'4-0/- 2/4-г2 8; в) ,v'4 у2 4 г2 ^35. 578. а) (0; 0; 0), 7; б) (3; -2; 0), ^‘2. 579. а) (2; 0; 0), 2; б) (0; 1; 0), 5; в) (-1; 0; 0), 2; Г) ^у ; — v i 1 J • V6- 58°- 1600л дм2. 581. 12 см. 582. 6 см. 583. 4 см. 584. 3 см.

8 см. 586. а) Плоскость является касательной к сфере; б), в) плоскость пересекает северу; г) плоскость и сфера нс имеют общих точек. 587. а) 80л см2; б) л/~л~^ СМ' ^'Зл см; б) 5 у'2л м.

л/?* sin-<| 591. —j—, —^—. 592. 1 см. 593. а) 144л см2; б) 16л дм2;

Ю 8.1 м . I) -18л см. 594. 36 м . 595. — ем. 597. 10 м. 598. 900л см2.

V^.22

4л(,тфД). 601.^.602.-^. 604.605. а) А; б) 2

23V 2л (814-82)2

или 4- 606.607. 4608. 4Ил см’. 610.611. ^1”-'

42243л

arccos — . 613. 4 уФ см'. 614. arcsill 4 • 615. ла^4 + ^ 616. 40 уФл см2 ‘4

617. а) —у-(\73ф3) см2; б) (18рбу'41) см2; в) ~ (у'91 -)-3 у'З) см2. 618. 12 у Юл дм", 4(3 у 104-5) л дм*. 620. а) Указание. Доказать, что диаметр сферы равен гипотенузе треугольника; б) 2 у 10 ем. 622. (3; 0; 0), (0; 0; -9), (0; 0; - П. 623. 1 у 2. 625. б) 0.6R. 626. a) 2R"^j — 4 ®.ml*, 4R sin 4^--—; б' у л/?2 sin2 i| :3 — 4 sin2 <р. 627.^ л см. 630.

4 у 10 4-4 1 17 |-8Зх3—-,„

^_...631. а) -29 |-7д73) ем-; б) (58 4-11 у'41) см8

П) ■'^^-^см 634. a) 2iR'; б) 12 X3R2; в) 21 X3R2. 635. а) —-—S21^;

(1 - sin a)tg4

б) 100 х3 (2 ;-\3> см". 636. Указание Рассмотреть сечение данной пирамиды плоскостью, проходящей через середину стороны основания перпендикулярно к ней. 639. a) 8R2; б) ^-^-R2; в) А?2. 640.^3^1«.

434 V3311

641. 4 у.З см, 6 см или 4 х2 см, 8 см. 642. 4 . 643. а) R ( — 4-— ) '

3\ 44 /

/\2лГ COS"3r

б) r t£ ; B) c,'>,• 6441 G45- T 646‘ a) R s,n <p; G) ;

в) 30’ IL 11! 150°.

ГЛАВА VII

a): Г< <') I "j I । i I • #>1H. a) I'rai, i,) .100; в) 1170\3;

r) 3,2 \ 649. a) 43? xr.r, G> f> yti m1; b) 0,32 x> im' 650. I'1 ‘" 651. 3,.)1 кг.

/1 1 sill 'L |ПЬ Sill •<2"

240 -2 cm1. 653. 72'* .2 cm' 654.S|H''ц, b' " ' v ""

432 \ ’. i м1. 657. a) • 'м.й) 1/28 x ? cm 658.2310-м' 659. a) cm;

.... . Г sill p-. .>. |t,, ,sill 20

1,5 - J 660. Warn .in <| иг. (661.6b_.1(^

42

a) ; б) a1; в) 1,5 уЗа3; г) t-^qT" • 664- -Цр-. 665. 72 cm3.

a) 21a cm1; 6) — - - cm; b) 2 cm. 667. «208 m. 668. « 1513 t. 669. —- S \n.Q.

( I 360° \

«61 кг. 671. a) 3X3 : la; 6) 2 : л; в) 3^3: 2л; г) 2y2 : л; д)^ ч - мп -— J :л.

672. —. 673. 0.5. 674. 4.675. —. 676. 192 х3 см1. 677. 4 cos' а678. -^- т ' 1” <сУказами е.685.169 х3672. —. 673. 0.5. 674. 4.675. —. 676. 192 х3 см1. 677. 4 cos' а678. -^- т ' 1” <сУказами е.685.169 х3679. 1050 см1. 680. abc \ - cos 2ф. 681.18 узо см1. 683. 1080 см1.679. 1050 см1. 680. abc \ - cos 2ф. 681.18 узо см1. 683. 1080 см1.ВоспользоватьсяВоспользоватьсясм2 686. а)см2 686. а)предыдущей задачей. 684. а) 6 м1; б) 4950 см1.предыдущей задачей. 684. а) 6 м1; б) 4950 см1.^- /3 sin 2<p cos q ; б)^- /3 sin 2<p cos q ; б)4 cos' а;4 cos' а;3-43-4■ 2 Рsin — .■ 2 Рsin — .а3 Л/ 3 — 4 sin2 -у687. 24 sin -^а3 Л/ 3 — 4 sin2 -у687. 24 sin -^688.688.4//34//3zh3 \ cos а б sin8--* V- см3. 692. ya2+b2 tgq>. 693. arctg• 694- 9 CM’-I1.7 y47u!a) c' sin 2<p tg 0, 6) 48 cm1; b) ~^abc. 696. 1400 уЗ см . 697. —.-L^p-^tg <r. 699. 1260 дм3. 700. 38 ^ cm1. 701. a) 2,25л см1; б) 9 см;702. 375 см3. 703. -^^AL^L. 704. -1 л//3. 705. 240л см1 илил.то лIZzh3 \ cos а б sin8--* V- см3. 692. ya2+b2 tgq>. 693. arctg• 694- 9 CM’-I1.7 y47u!a) c' sin 2<p tg 0, 6) 48 cm1; b) ~^abc. 696. 1400 уЗ см . 697. —.-L^p-^tg <r. 699. 1260 дм3. 700. 38 ^ cm1. 701. a) 2,25л см1; б) 9 см;702. 375 см3. 703. -^^AL^L. 704. -1 л//3. 705. 240л см1 илил.то лIZ689.689.— гп— гпcos2 $ • sin <p. 690. С) y^V 1cos2 $ • sin <p. 690. С) y^V 16 у498 см2.6 у498 см2.

672. —. 673. 0.5. 674. 4.675. —. 676. 192 х3 см1. 677.

4 cos' а

678. -^- т ' 1” <с

Указами е.

685.169 х3

672. —. 673. 0.5. 674. 4.675. —. 676. 192 х3 см1. 677.

4 cos' а

678. -^- т ' 1” <с

Указами е.

685.169 х3

679. 1050 см1. 680. abc \ - cos 2ф. 681.18 узо см1. 683. 1080 см1.

679. 1050 см1. 680. abc \ - cos 2ф. 681.18 узо см1. 683. 1080 см1.

Воспользоваться

Воспользоваться

см2 686. а)

см2 686. а)

предыдущей задачей. 684. а) 6 м1; б) 4950 см1.

предыдущей задачей. 684. а) 6 м1; б) 4950 см1.

^- /3 sin 2<p cos q ; б)

^- /3 sin 2<p cos q ; б)

4 cos' а;

4 cos' а;

3-4

3-4

■ 2 Рsin — .

■ 2 Рsin — .

а3 Л/ 3 — 4 sin2 -у

687.

24 sin -^

а3 Л/ 3 — 4 sin2 -у

687.

24 sin -^

688.

688.

4//3

4//3

zh3 \ cos а б sin

8--* V- см3. 692. ya2+b2 tgq>. 693. arctg• 694- 9 CM’-

I1.7 y47u!

a) c' sin 2<p tg 0, 6) 48 cm1; b) ~^abc. 696. 1400 уЗ см . 697. —.

-L^p-^tg <r. 699. 1260 дм3. 700. 38 ^ cm1. 701. a) 2,25л см1; б) 9 см;

702. 375 см3. 703. -^^AL^L. 704. -1 л//3. 705. 240л см1 или

л.то лIZ

zh3 \ cos а б sin

8--* V- см3. 692. ya2+b2 tgq>. 693. arctg• 694- 9 CM’-

I1.7 y47u!

a) c' sin 2<p tg 0, 6) 48 cm1; b) ~^abc. 696. 1400 уЗ см . 697. —.

-L^p-^tg <r. 699. 1260 дм3. 700. 38 ^ cm1. 701. a) 2,25л см1; б) 9 см;

702. 375 см3. 703. -^^AL^L. 704. -1 л//3. 705. 240л см1 или

л.то лIZ

689.

689.

— гп

— гп

cos2 $ • sin <p. 690. С) y^V 1

cos2 $ • sin <p. 690. С) y^V 1

6 у498 см2.

6 у498 см2.

100л см3. 706. 216°. 707. дм3. 708. 84л м3. 709. — -L л/7/2 ‘л/ 12\100л см3. 706. 216°. 707. дм3. 708. 84л м3. 709. — -L л/7/2 ‘л/ 12\3 с2-л2+^л!3 с2-л2+^л!710. а) 64л см2, —— л см3;710. а) 64л см2, —— л см3;36л см2; в) 4 см, ^|^л см336л см2; в) 4 см, ^|^л см3711. Объем Земли в 64 раза больше объема Луны. 712. Н =— R, где Н —3711. Объем Земли в 64 раза больше объема Луны. 712. Н =— R, где Н —3высо-высо-та цилиндра, R радиус шара. 713. Нет. 714. Уровень воды повысится на — см.75942715‘ "125 л н3' 716‘ 5:|6" 7171 58 500л см3 или 504 000л см3. 718. — л/?381та цилиндра, R радиус шара. 713. Нет. 714. Уровень воды повысится на — см.75942715‘ "125 л н3' 716‘ 5:|6" 7171 58 500л см3 или 504 000л см3. 718. — л/?381719. 252л см3 и 720л см3. 720. 112 500л см3. 721. —л/?3.7 22. 63752;3719. 252л см3 и 720л см3. 720. 112 500л см3. 721. —л/?3.7 22. 63752;31,28.10е1,28.10екмкм2= 128-Ю6 км2. 723. 432л «1357 см2. 725. ^“Sa-Ss. 36 дм32= 128-Ю6 км2. 723. 432л «1357 см2. 725. ^“Sa-Ss. 36 дм3726. 48726. 48см3. 727. a ^-Qa2. 728. 105 см3. 729. 16 УГГ см3. 730. — . 731. 1 м.см3. 727. a ^-Qa2. 728. 105 см3. 729. 16 УГГ см3. 730. — . 731. 1 м.2 м, -/5 м,2 м, -/5 м,733. Указз а н и е. ]733. Указз а н и е. ]3 м, 3 м, 3 м. 732. —d3sin2y д/3cos2ср— sin2 у или ——d333 м, 3 м, 3 м. 732. —d3sin2y д/3cos2ср— sin2 у или ——d33sin2 <pV3 — 4 sin2 у.sin2 <pV3 — 4 sin2 у.। а н и е. Достроить треугольную призму до параллелепипеда. 734. У к а-Воспользоваться задачей 733. 735. 6,12 дм3. Указание. Вос-। а н и е. Достроить треугольную призму до параллелепипеда. 734. У к а-Воспользоваться задачей 733. 735. 6,12 дм3. Указание. Вос-пользоваться задачей 682. 736. ^3 73716”f27 sin2 ф cos ф ' 3 tg2 фпользоваться задачей 682. 736. ^3 73716”f27 sin2 ф cos ф ' 3 tg2 ф738. ^h34738. ^h34зх(31е2ф-1). 739.Ц—24 tg —6 пзх(31е2ф-1). 739.Ц—24 tg —6 п741.741.740.740.2/z3 sin у । - sin y2 • sin (yi -|- y2)2/z3 sin у । - sin y2 • sin (yi -|- y2)з tg2 Фзз tg2 Фз1tg^ tg22Н3 sin а1tg^ tg22Н3 sin а1180° *п1180° *п3tgp-tgY3tgp-tgY742.-^- a3 sin2 ф tg 6.742.-^- a3 sin2 ф tg 6.743. а) ^^№=?^743. а) ^^№=?^=>4=>47065 л. 748. — g 4)224 sin2~tg-^7065 л. 748. — g 4)224 sin2~tg-^

100л см3. 706. 216°. 707. дм3. 708. 84л м3. 709. — -L л/7/2 ‘л/ 12\

100л см3. 706. 216°. 707. дм3. 708. 84л м3. 709. — -L л/7/2 ‘л/ 12\

3 с2

-л2+^л!

3 с2

-л2+^л!

710. а) 64л см2, —— л см3;

710. а) 64л см2, —— л см3;

36л см2; в) 4 см, ^|^л см3

36л см2; в) 4 см, ^|^л см3

711. Объем Земли в 64 раза больше объема Луны. 712. Н =— R, где Н —

3

711. Объем Земли в 64 раза больше объема Луны. 712. Н =— R, где Н —

3

высо-

высо-

та цилиндра, R радиус шара. 713. Нет. 714. Уровень воды повысится на — см.

75

942

715‘ "125 л н3' 716‘ 5:|6" 7171 58 500л см3 или 504 000л см3. 718. — л/?3

81

та цилиндра, R радиус шара. 713. Нет. 714. Уровень воды повысится на — см.

75

942

715‘ "125 л н3' 716‘ 5:|6" 7171 58 500л см3 или 504 000л см3. 718. — л/?3

81

719. 252л см3 и 720л см3. 720. 112 500л см3. 721. —л/?3.7 22. 63752;

3

719. 252л см3 и 720л см3. 720. 112 500л см3. 721. —л/?3.7 22. 63752;

3

1,28.10е

1,28.10е

км

км

2= 128-Ю6 км2. 723. 432л «1357 см2. 725. ^“Sa-Ss. 36 дм3

2= 128-Ю6 км2. 723. 432л «1357 см2. 725. ^“Sa-Ss. 36 дм3

726. 48

726. 48

см3. 727. a ^-Qa2. 728. 105 см3. 729. 16 УГГ см3. 730. — . 731. 1 м.

см3. 727. a ^-Qa2. 728. 105 см3. 729. 16 УГГ см3. 730. — . 731. 1 м.

2 м, -/5 м,

2 м, -/5 м,

733. Указз а н и е. ]

733. Указз а н и е. ]

3 м, 3 м, 3 м. 732. —d3sin2y д/3cos2ср— sin2 у или ——d3

3

3 м, 3 м, 3 м. 732. —d3sin2y д/3cos2ср— sin2 у или ——d3

3

sin2 <pV3 — 4 sin2 у.

sin2 <pV3 — 4 sin2 у.

। а н и е. Достроить треугольную призму до параллелепипеда. 734. У к а-Воспользоваться задачей 733. 735. 6,12 дм3. Указание. Вос-

। а н и е. Достроить треугольную призму до параллелепипеда. 734. У к а-Воспользоваться задачей 733. 735. 6,12 дм3. Указание. Вос-

пользоваться задачей 682. 736. ^3 73716”f

27 sin2 ф cos ф ' 3 tg2 ф

пользоваться задачей 682. 736. ^3 73716”f

27 sin2 ф cos ф ' 3 tg2 ф

738. ^h34

738. ^h34

зх(31е2ф-1). 739.Ц—24 tg —6 п

зх(31е2ф-1). 739.Ц—24 tg —6 п

741.

741.

740.

740.

2/z3 sin у । - sin y2 • sin (yi -|- y2)

2/z3 sin у । - sin y2 • sin (yi -|- y2)

з tg2 Фз

з tg2 Фз

1

tg^ tg2

2Н3 sin а

1

tg^ tg2

2Н3 sin а

1

180° *

п

1

180° *

п

3tgp-tgY

3tgp-tgY

742.-^- a3 sin2 ф tg 6.

742.-^- a3 sin2 ф tg 6.

743. а) ^^№=?^

743. а) ^^№=?^

=>4

=>4

7065 л. 748. — g 4)2

24 sin2~tg-^

7065 л. 748. — g 4)2

24 sin2~tg-^

А2

б) — 74а2 —2й2. 744. 31:73. 745. а) —-\1 — ' б) —•

122 V л ’ ' 4 ’

749. ар'"3 ^lg 6" 750‘ у •

751. 96л дм3. 752. 2лг

l-r

/

. 753.

2гг{

754- ^tgactg3^-!/

755. ^- a3 sin3 « <g3 у ■ 756.

л/?3 sin 2а cos а. 757.

л/3

6 cos3

л

7f

4л

sin2 2а

2 4л чЮОл

см2, . . — см3. 760. —

з sin3 2аSin2 2р

761. ^6,56 м. 762. Наибольший объем имеет шар, наименьший объем имеет

см2,

500л-

3sin3 2р СМ *

конус. 763. а) Нет; б) да. У к а з а н и е. Сравнить плотность шара, считая его однородным, с плотностью воды.

ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ

764. Окружность, расположенная в плоскости, параллельной данным прямым. Радиус окружности равен L^^tf, где й - расстояние между данными скре-

h

щивающимися прямыми, а центр находится на расстоянии — от каждой из дан

ных прямых. 765. Указание. Доказать, что все эти сечения представляют собой параллелограммы с периметрами, равными удвоенной длине ребра. 766. Указание. Доказать, что четырехугольник с вершинами в серединах противоположных ребер — параллелограмм, и воспользова!вся формулой, связывающей длины сторон и диагоналей параллелограмма. 767. Все углы треугольника должны быть острыми. 768. Окружность, расположенная в плоскости, перпендикулярной к прямой ВС, построенная на перпендикуляре AD к ВС как на диаметре, без точки А. 769. Указание. Допустим, что вершина тетраэдра проектируется в точку пересечения высот основания. Тогда любое ребро тетраэдра перпендикулярно к противоположному ребру. Затем применить обратную теорему о трех перпендикулярах. 770. Указание. Учесть, что О| — точка пересечения высот треугольника АВС. 771. Указание. Воспользоваться задачей 770. 772. Семь. 773. Указание. Через биссектрису линейного угла данного двугранного угла и его ребро провести плоскость и спроектировать точку пересечения данной прямой с этой плоскостью на грани. Затем воспользоваться равенством полученных треугольников. 775. Указание. Пусть А — произвольная вершина, О — центр куба, Л( — проекция точки А па данную прямую. Тогда ЛД|=ОЛ-5Ш <р, где <р — угол между ОА и ОАХ. Записать сумму квадратов расстояний от прямой ОА\ до вершин куба и воспользоваться теоремой косинусов. 776. Указание. Указанные тетраэдры имеют общую вершину, а их основания — равнобедренные прямоугольные треугольники, катеты которых равны ребру куба. 777. Указание. Рассмотреть развертку куба. 778. Указание.

25

Взять в качестве оси отверстия диагональ куба. 779. — S. 780. д^ см. Указа

ние. Воспользоваться тем, что тетраэдр должен находиться внутри сферы, описанной около куба. 781. Указание. Доказать, что все вершины полученного многогранника — середины граней куба. 782. Указание. Взять какую- нибудь грань параллелепипеда, выбрать наименьший куб, примыкающий к этой грани, и выяснить, как к нему могут быть приставлены остальные кубы. 783. Указание. Спроектировать вершины ломаной на три ребра куба с общей вершиной и воспользоваться соотношениями между сторонами треугольника.

Указание. Отделив от поверхности данного многогранника, имеющего f граней, к ребер и е вершин, внутреннюю область одной из граней, получим многогранную поверхность Pi. Отделив затем одну из тех граней поверхности Pt, которая имеет граничное ребро (т. е. ребро, являющееся стороной только этой грани), получим многогранную поверхность Pz- В Pz сохранены те вершины и ребра удаленной грани, которые принадлежат другим граням. Продолжая этот процесс, через s шагов (где 1 •<$■</) получим поверхность Ps. Доказать методом математической индукции по числу граней, что fs + ^ — к$ = 1,

где fs = f — s, ks и es — числа граней, ребер и вершин поверхности Ps. При этом

учесть, что это равенство при f$=l, т. е. когда s — f—1, очевидно, так как в этом случае ks = es. При s=l получается искомое равенство (f — 1) + е — к— 1.

Указание. Воспользоваться симметрией. 786. Указание. Восполь-

зоваться симметрией. 787.зоваться симметрией. 787.a, arccos ^~. 788. arccos ~. 789. Указание.

зоваться симметрией. 787.

зоваться симметрией. 787.

743

Выразить векторы, задающие диагонали, через векторы, задающие ребра.

Указание. Рассмотреть векторы, определяющие направления падающего и отраженного лучей. 791. Два решения: 45° и 135°. 792. Указание. Исходя из

условия задачи, записать соотношения для векторов, задающих три ребра тетраэдра с общим 'концом. 793. Указание. Рассмотреть вектор, образующий равные углы с боковыми ребрами, и доказать, что он перпендикулярен к векторам, задающим два ребра основания. 794. У к a ! а н и е. Пусть О] —

проекция О на плоскость АВС. Доказать, что ОХА • ВС = ВОХ • АС = СОХ • АВ = 0. 795. Указан и е. Доказать, что эта величина равна квадрап" диаметра шара. 796. Дуга окружности, расположенная внутри шара, диаметр которой равен рас- сгоянпю от центра тара до данной прямой, а плоское! ь окружности перпендикулярна к данной прямой. 797. Сфера, центр которой совпадает с центром данной сфе-

ры. а радиус равен *^— R, где R — радиус данной сферы. 799. г t>—, где

2+уг?У

гз — радиус меньшегогз — радиус меньшегоприприХфТ. и "г R приоХфТ. и "г R приоОППон. 2 V^-- 1)-1^+12из шаров. 800. r—^—R. 801. —-——— R33(Л —2)vА = 2. 802. — V, V, -^- V и V, где V — объем призмы. 1244121ОППон. 2 V^-- 1)-1^+12из шаров. 800. r—^—R. 801. —-——— R33(Л —2)vА = 2. 802. — V, V, -^- V и V, где V — объем призмы. 1244121

гз — радиус меньшего

гз — радиус меньшего

при

при

ХфТ. и "г R прио

ХфТ. и "г R прио

ОППон. 2 V^-- 1)-1^+12

из шаров. 800. r—^—R. 801. —-——— R

33(Л —2)v

А = 2. 802. — V, V, -^- V и V, где V — объем призмы. 1244121

ОППон. 2 V^-- 1)-1^+12

из шаров. 800. r—^—R. 801. —-——— R

33(Л —2)v

А = 2. 802. — V, V, -^- V и V, где V — объем призмы. 1244121

803. Указание. Достроить тетраэдр до треугольной призмы и воспользо-

|шния пначи'мЗЗ 804. У к «1 i л и и е. Дока шть, ч , о ио. ц ченные тетраэдры имеют

оошее основание и равные высоты. 805. 5:3. S06. У к i з а и и е. Взяв за ос-

нование какую-нибудь грань с ребром АВ, заметить, что ни ее площадь, ни вы

сота тетраэдра нс зависят от положения точек С и D. 807.сота тетраэдра нс зависят от положения точек С и D. 807.см .см .Указание.Указание.

сота тетраэдра нс зависят от положения точек С и D. 807.

сота тетраэдра нс зависят от положения точек С и D. 807.

см .

см .

Указание.

Указание.

ссчеиие фигуры плоскостями, па рал дельны мнссчеиие фигуры плоскостями, па рал дельны мносям814.осям814.

ссчеиие фигуры плоскостями, па рал дельны мн

ссчеиие фигуры плоскостями, па рал дельны мн

осям

814.

осям

814.

Воспользоваться задачей 803. 808. Указ а н п с. Взягь точку А внутри

16 сечения в разбить многогранник на пирамиды с общей вершиной А. 809. — см3.

Указание. Рассмотреть

цилиндров. 810. 2 arcsin

Указание. Ввести радиус-векторы вершин тетраэдра, приняв за на

чало точку //. 815. Указание. Применить векторы и воспользоваться за

дачей 814.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Абсцисса точки 101

Аксиомы стереометрии 4

Апофема правильной пирамиды 67

—- усеченной пирамиты 6К

Аппликата точки 101

Боковая грань параллелепипеда 26

— пирамиды 66

призмы 63

- усеченной пирамиды 68

— поверхность конуса 130

— - усеченною конуса 132 цилиндра 126

Боковые ребра параллелепипеда 26

— - пирамиды 66

— приемы 63

усеченной пирамиды 68

Большой круг шара 138

Век гор 81

— НуЛгИЯ)!! 81

— про7 шмиюложный данному 85

Вершина конуса 130

— пирамиды 66

Вершины много! раиника 60

Взаимное расположение сферы и н-юс- костя 137

Внутренняя ’’очка (фигуры 61

Высота конуса 130

— пирамиды 66

— призмы 63

— усеченного конуса 132

- усеченной пирамиды 68

— цилиндра 126

— шарош я о (чч мен га 165

— - слоя 166

Вычисление длины вектора по его координатам 101

— коордипл tipi M1HIJ oipciKa 101 объемов io । < 1111м<>111».и। определен- него Hinci рл и 13(.

- рассюинич мг/k i\ ними ншками 105

уЧЛОВ МгЖД\ прямыми И ПЛОСКОСТЯ

МИ 111

Вычитание векторов 84

Геометрическое' тело 61

Градусная мера двугранного угла 51 Граница i сомстричсской фигуры 61 Граничная ючкз фигуры 61 Грань дву гр., п ।к>i о у । л a 30 — мнотограни иi а 60 Движения 1 1 7 Двугранный у । ол 30

Диагональ многогранника 60

- нараллеленипс ш 26

Диаметр сферы (шара) 133

Длина векюрл 81

Додекаэдр правильный 74

Единица и iMep- -ata обы лов 1 IN

11 1Мсрешш прямых i ОЛЫЮ1 о параллелепипеда 53

И !обраЖ( нш- плоских (J».fT\p I 75

И юбраженпе прои ране i псиных фигур 181

Икосаэдр правильный 74

Касательная плоскость к сфере' 139 Коллинеарность векторов 81 Компланарность векторов 90 Коническая поверхность 130 Конус 130

Координатные векторы 101

плоскости 100

Координаты вектора 102

— точки 100

Куб 54

Кубический метр, миллиметр, сантиметр 148

Линейный угол двугранного угла 50

Многогранник 60

— вписанный в сферу 146

выпуклый (невыпуклый) 60

описанный около сферы 145

правильный 73

Наклонная, проведенная из точки к плоскости 43

Наложение фигур 185

Наложения и движения 120

Направляющий вектор прямой 111

Начало координат 100

Образующая конуса 130

— усеченного конуса 132

— цилиндра 126

Обьем ьшусл 161

накл1шпон приамы 157

пирамиды 158

прямой призмы 152

— прямоугольного параллелепипеда 149

усеченного конуса 161

усеченной пирамиды 160

— цилиндра 153

Объем тела, основные свойства 148

шара 164

шарового сегмента 165

— — сектора 166

— — слоя 166

Октаэдр 60

— правильный 74

Ордината точки 101

Осевое сечение конуса 131

— — цилиндра 126

Оси координат 100

Основание конуса 130

— наклонной 43

— перпендикуляра 43

— пирамиды 66

— шарового сегмента 165

Основания параллелепипеда 26

призмы 63

усеченного конуса 132

усеченной пирамиды 68

— цилиндра 126

Ось конуса 130

симметрии фигуры 72

— цилиндра 126

Откладывай не вектора от точки 82

Параллелепипед 25

— прямоугольный 53

Параллельная проекция точки 177

— фигуры 177

Параллельность плоскостей 20

— прямой и плоскости I 1

— прямых 9

Параллельный перенос 119

Переместительный закон скалярного произведения векторов 111 — — сложения векторов 85 Пересекающиеся плоскости 6

Перпендикуляр, проведенный из точки к плоскости 43

Перпендикулярность векторов 110 плоскостей 52

— прямой и плоскости 36

— прямых 36

Пирамида 65

— правильная 66

Илоскопь 3

симметрии фигуры 72

Площадь боковой поверхности конуса 132

— — — пирамиды 66

- — призмы 63

— — усеченного конуса 133 усеченной пирамиды 68

- - цилиндра 127

Площадь полной поверхности конуса 132

— — — пирамиды 66

— — - - призмы 63

— — — цилиндра 128

— сферы 140, 166

Поверхность геометрического тела 62

Правило многоугольника 86

— параллелепипеда 91

— параллелограмма 84

— треугольника 84

Призма 62

— наклонная 63

— правильная 63

прямая 63

Признак параллельности двух плоскостей 21 — — прямой и плоскости 11, 12 — перпендикулярности двух плоскостей 52

— — прямой и плоскости ЗЯ

— скрещивающихся прямых 15

Проекция наклонной на плоском в 45

— точки на плоскость 45

— фигуры на плоскость 45

Противоположно направленные векторы 82

Прямая 3

Прямоугольная система координат в пространстве 100

Равенство векторов 82

— фигур в пространстве 185

Радиус сферы (тара) 136

— цилиндра 126

Развертка боковой поверхности конуса 132

— — — цилиндра 127

Разложение вектора по трем некомпланарным векторам 92

Разность векторов 85

Распределительный закон скалярного умножения векторов 111 Распределительные законы произведения вектора иа число 87

Расстояние между двумя параллельными плоскостями 44

— — прямой и плоскостью 44

— — скрещивающимися прямыми 44

— от точки до плоскости 43

Ребро двугранного угла 50

— многогранника 60

Секущая плоскость 27, 62

Сечение конуса 131

— параллелепипеда 27

— тела 62

— тетраэдра 27

— цилиндра 126

— шара 138

Симметрия зеркальная осевая, центральная 117, 118

Скалярное upon ни-лсиис векторов 110

Скалярный кнадра! вектора 111

('крешпнаюш неся прямые 15

(‘ло/Кгиш- вей юрон 84

( он а и р a ii icii н ыг век юры 81 аучн I/

Сочна юльный икон скалярного про- и шедения некюрии 11 1 сложении век юроп К:>

— умножения нгкюра и.। число 87

Сфера 136

вписанная в мши oi ранннк 145

. описанная около мны oi рянпнка 146

Тетра щр 24

правильный 73

Точка 3

Точки, симметричные относительно плос

кости (прямой, точки) 71, 72

Угол между векторами 1 10

— — прямой И ПЛОСКОСТЬЮ 46

— — скрещивающимися прямыми 18

Умножение вектора на число 87

Уравнение поверхноии 136

— сферы 137

Усеченная пирамида 67

— правильная 68

Усеченный конус 132

Фигура ограниченная 61

— связная 62

Центр симметрии фигуры 71

— сферы (шара) 136

Цилиндр 126

Цилиндрическая поверхность 125

Шар 136

Шаровой сегмеи! 165

— сектор 166

— слой 166

Элементы симметрии многогранника 73

— — правильных многогранников 74

Эллипс 181

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение 3

Предмет стереометрии —

Аксиомы стереометрии 4

Некоторые следствия из аксиом 6

Вопросы и задачи 7

Глава I. Параллельность прямых и плоскостей 9

§ 1. Параллельность прямых, прямой и плоскости —

1 кчрал.ил.ныг прямые н ир<н । рани не —

1кцщллелыюи ь ipex прямых 10

Параллельность прямой и плоскости 11

Вопросы и задачи 13

§2. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми 15

Скрещивающиеся прямые -

Углы с сопаправлениымн сторонами 16

Угол между прямыми 18

Вопросы и задачи 19

§ 3. Параллельность плоскостей 20

Параллельные плоскости —

Свойства параллельных плоскостей 21

Вопросы и задачи 22

§ 4. Тетраэдр и параллелепипед 24

Тетраэдр —

Параллелепипед 25

Задачи на носпроенне сечений 27

Задачи 30

Вопросы к клаве I 32

Дополнительные задачи 33

Глава II. Перпендикулярность прямых и плоскостей 36

§ 1. Перпендикулярность прямой и плоскости —

Перпендикулярные прямые в пространстве —

Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости ....

Признак перпендикулярности прямой и плоскости 38

Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости 40

Задачи 41

Перпендикуляр и яак-топные. Угол между прямой и плоскостью ...43

Расстояние or точки до плоскости

Теорема о трех перпендикулярах 44

Угол между прямой н илоскоиыо 4э

Задачи 46

Двугранный угол. Перпендикулярностьплоскостей 49

Дв\ трапный угол

Признак перпендикулярности двух плоскостей 31

Прямоугольный параллелепипед33 Задачи

Вопросы к главе 11 37

Дополнительные задачи 38

Глава Ш. /Многогранники 30

§ 1 Понянь1 многогранника, Призма

Hohhihc мноин ранппка..

Гео Ле I ри веское /ело ^^

Приена 62

Задачи

Пирамида (*3

Пирамида

Правильная пирамида <,()

Усеченная пирамида ^7

Задачи ()^

§3- Правильные многогранники71

Симметрия в пространстве

Понятие правильного многогранника

Элеметы симмс^рпн права и.ных многогранников 74

Прамнческие задания7а Вопросы и задачи/() Вопросы к гл аве III

Дополнительные задачи'8

Глава /I . Векторы в пространств*- 81

Поля:ие векюра в Bpocvp. шт ле

I 1 huta i Hi1 чемора

.) Ра71 нс। во вскгс-у^в83 Вопросы а задачи^

Слежение и выпи i мни* ж сюров N множсинс г--, кюра на чиею •34

3(С Сложение и bhhhvmhio векюров

. С\чма нискольких векюров 86

Умножение векюра на число87 Задачи ®8

Компланарные векторы^^ 39, Компланарные

]1рлвило параллелепипеда-^

Расюжение вектора но трем пскомпланарным векторам .92

Винр'к ы и задачи^‘^

205

Вопросы к главе IV 96

Дополни।единые задачи97

Глава Г. Метод координат в пространстве100

Координаты точки и координаты вектора —

Прямоугольная система координат в пространстве

Координаты вектора101

Спя ш между координатами векторов и координатами ючек ...103

Простейшие задачи вкоординатах104

Вопросы и задачи105

Скалярное произведениевекторов110

Угол между векторами

Скалярное произведение векторов —

Вычисление углов между прямыми и плоскостями111

ЗадачиИЗ

§ 3. ДвиженияЦ7

Центральная симметрия —

Осевая симметрия118

Зеркальная симметрия —

1 l-i'i 1-И- и.и I а и перенос1 19

Ki bee120

Вопросы к главе V121

Дополнительные задачи 122

Глава 17. Цилиндр, конус и шар125

Цилиндр

Понятие цилиндра

Площадьповерхностицилиндра127

Задачи128

Конус1зо

Понятие конуса —

Площадьповерхностиконуса132

Усеченный конус Задачи134

§ 3. Сфера136

Сфера и шар

Уравнение сферы

Взаимное расположение сферы и плоскости137

Касательная плоскость к сфере139

Площадь сферыЦО

Задачи щ

Вопросы к главе VI143

Дополнительные задачи

Разные задачи на многогранники,цилиндр, конус и шар145

Глава VIГ Объемы тел148

§ 1. Объем прямоугольного параллелепипеда

Понятие объема

Объем прямоугольного параллелепипеда149

Задачи151

§ 2. Объем прямой призмы и цилиндра152

Объем прямой призмы —

Объем цилиндра153

Вопросы и задачи155

§ 3. Объем наклонной призмы, пирамиды и конуса156

Вычисление объемов тел с помощью определенно! о иничрала .•—

Обьем наклонной призмы157

Обьем пирамиды158

Обь ем конуса161

Задачи —

§ 4. Обвез шара и площадь сферы164

Объем тара —

Объем шаровою cei мента, шарового слояишаровою секюра ..165

Площадь сферы166

Bonn,,гы и задачи167

Вопросы к главе VII169

Дополнигег!ьные задачи —

Разные задачи на многогранники, цилиндр, конуси шар171

Задачи повышенной трудности172

Приложение 1. Изображение пространственныхфигур177

Параллельная проекция фигуры

Изображение фигуры178

Изображение плоских фигур179

Изображение пространственных фигур161

Приложение 2. Об аксиомах геометрии164

Ответы и указания169

Предметный указатель201

Учеб пое изда и ие

Атанасян Левон СергеевичБутузов Валентин ФедоровичКадомцев Сергей БорисовичКиселева Людмила СергеевнаПозняк Эдуард Генрихович

ГЕОМЕТРИЯ

Учебник для 10—11 классов средней школы

Зав. редакцией Т. А. БурмиароваРедактор Л. В. ТуркестанскаяМладший редактор Т. Ю. ФедороваХудожник Е. П. Титков,Художественный редактор Ю. В. ПахочовТехнический редактор С. С. ЯкушкинаКорректоры И. А. Корогодина, Г. И. Мосякина

И Б № 13903

Сдано в набор 17.07.91. Подписано к печати 09.01.92. Формат G0X90'/i6. Бум. типограф. № 1. Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. неч. л. 13,0+0,25 форз. Усл. кр.-отт. 13,09. Уч.-изд. л. 12,57 + 0,34 форз. Тираж 1 877 000 экз. Заказ 106.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение'» Министерства печати и информации Российской Федерации. 127521, Москва, З й проезд Марьиной рощи, 41.

Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Министерства печати и информации Российской Федерации. 410004, Саратов, ул. Чернышевского, 59.

ГЕОМЕТРИЯ

УЧЕБНИК

ДЛЯ 1011 КЛАССОВСРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

УтвержденоМинистерством образованияРоссийской Федерации

МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1992

ББК 22.151я72

Г36

Авторы

Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев,Л. С. Киселева, Э. Г. Позняк

Издание подготовлено под научным руководствомакадемика А. Н. Тихонова

Учебник занял первое место на всесоюзном конкурсеучебников по математике для средней общеобразовательной школы.

Геометрия: Учеб, для 10—И кл. сред. шк./Л. С. Ата- Г36 насян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.— М.: Просвещение, 1992.— 207 с.: ил.— ISBN 5-09-003870-8.

4306020000— 287

Г103(03)—92'

ISBN 5-09-003870-8

ииф. письмо — 92, доп. М 1

ББК 22.151я72

© Атанасян Л. С. и другие, 1992

10 класс