Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
Предисловие
Настоящее издание является первой частью учебно-методического пособия, содержащего решения задач из учебника «Геометрия 7-9» Л. С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева, Э.Г. Позняка, И.И. Юдиной (М.: Просвещение, 1990 и последующие издания). Данный выпуск содержит решения задач, относящихся к 7 классу; в последующих двух выпусках будут представлены решения задач, относящихся к 8 и 9 классам.
Нумерация задач в пособии такая же, как в учебнике издания 2000 года и последующих изданиях. Вслед за формулировкой задачи дается ее решение. В каждой главе приведены решения всех задач к параграфам (за исключением большинства практических заданий), затем — решения дополнительных задач и после этого — решения задач повышенной трудности.
Приведенные решения не следует рассматривать как образец, которого нужно придерживаться при оформлении решений задач. Так, например, мы не разбиваем решение задачи на отдельные занумерованные пункты, хотя вполне допускаем, что учитель в своей практике может это делать, акцентируя тем самым внимание учащихся на последовательных шагах в решении задачи.
Большинство решений снабжено рисунками. Это относится в первую очередь к задачам первой и второй глав. В дальнейшем, в особенности при решении задач четвертой главы, рисунки даются не всегда. Для простых задач решения часто приведены без рисунка. Это также не следует рассматривать как обязательное правило. Читатель по своему усмотрению может снабдить рисунками решения и таких задач.
Остановимся особо на задачах первой главы, в которых отрабатываются основные понятия и свойства простейших геометрических фигур — точек, прямых, отрезков, лучей, углов. На наш взгляд, при решении этих задач следует опираться прежде всего на наглядные представления основных понятий. Отметим в связи с этим, что в первой главе учебника «Геометрия 7-9» не вводится понятие аксиомы и сами аксиомы не формулируются, а необходимые определения и исходные положения приведены в описательной форме на основе наглядных представлений. Этим и следует руководствоваться при решении задач первой главы.
Авторы
Глава 1
НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Прямая и отрезок
Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Обозначьте все точки пересечения этих прямых. Сколько получилось точек? Рассмотрите все возможные случаи.
Решение. Проведем сначала две прямые а и Ь, обозначим буквой О точку их пересечения. Проведем теперь третью прямую с. Возможны два случая: а) прямая с не проходит через точку О. Тогда она пересекает прямые а и b в точках А и В. Таким образом, получилось три точки: О, А, В (рис. 1); б) прямая с проходит через точку О. Получилась всего одна точка О (рис. 2).
Рис. 1Рис. 2
Ответ. Возможны два случая: три точки и одна точка.
Проведите прямую и отметьте на ней три точки. Сколько отрезков получилось на прямой?
Решение. На рисунке 3 проведена прямая и на ней отмечены три точки А, В и С. Каждые две из этих точек определяют отрезок с концами в этих точках. Поэтому АВС
на прямой получилось три отрезка: АВ,—•••—
АС и ВС.
Ответ. Три отрезка.Рис"
Луч и угол
Проведите прямую, отметьте на ней точки Л и В и на отрезке АВ отметьте точку С. а) Среди лучей АВ, ВС, С А, АС и В А найдите пары совпадающих лучей; б) назовите луч, который является продолжением луча С А.
Решение. На рисунке 4 изображен отрезок АВ и на этом отрезке — точка С. а) Лучи совпадают, если они лежат на одной прямой, jСВ имеют общее начало и ни один из них
•••—не является продолжением другого луча. Лучи АВ и АС удовлетворяют Рис 4
4этим условиям, поэтому они совпада
ют. Точно так же совпадают лучи ВС и В А. б) Луч СВ является продолжением луча С А, так как лучи СВ и С А лежат на одной прямой, имеют общее начало и не совпадают.
Ответ, а) Лучи АВ и АС, а также ВС и В А; б) луч СВ.
Начертите три луча h, к, и I с общим началом. Назовите все углы, образованные этими лучами.
Решение. На рисунке 5 изображены три луча h, к и I с общим началом О. Эти лучи образуют три угла: Zhk, Zhi и Zkl.
Ответ. Zhk, Zhi и Zkl.
Начертите неразвернутый угол АО В и проведите: а) луч ОС, который делит угол АОВ на два угла; б) луч OD, который не делит угол АОС на два угла.
Решение. На рисунке 6 изображен угол АОВ. а) Проведем какой- нибудь луч ОС, который исходит из вершины О угла АОВ и проходит внутри этого угла. Луч ОС делит угол АОВ на два угла, б) Луч OD на рисунке 6 не делит угол АОС на два угла, так как он не проходит внутри этого угла.
Сколько неразвернутых углов образуется при пересечении двух прямых?
Решение. Пусть прямые АВ и CD пересекаются в точке О (рис. 7). Образуются четыре неразвернутых угла: АОС, AOD, ВОС и BOD.
Ответ. Четыре угла.
Рис. 8Рис. 8
Рис. 8
Рис. 8
Какие из лучей, изображенных на рисунке 8 (рис. 18 учебника), делят угол АОВ на два угла?
Решение. Лучи h, k, I, т и п исходят из вершины О угла АОВ, но только два из них — лучи h и I — проходят внутри этого угла, поэтому только лучи h и I делят угол АОВ на два угла.
Ответ. Лучи h и I.
§ 3. Сравнение отрезков и углов
На луче с началом О отмечены точки А, В и С так, что точка В лежит между точками О и Л, а точка А — между точками О и С. Сравните отрезки ОВ и О А, ОС и О А, ОВ и ОС.
Решение. 1. Сравним отрезки ОВ и О А. По условию задачи точка В лежит между точками ОВАС
и А (рис. 9). Значит, отрезок О В••••
составляет часть отрезка О А, по
этому ОВ < О А.рис g
Сравним отрезки ОС и О А.'
Точка А лежит между точками О и С. Значит, отрезок О А составляет часть отрезка ОС, поэтому О А < ОС и, следовательно, ОС > О А.
Сравним отрезки ОВ и ОС. По доказанному ОВ < ОА, а О А < ОС, следовательно, О В < ОС.
Ответ. ОВ < ОА, ОС > ОА, ОВ < ОС.
Точка О является серединой отрезка АВ. Можно ли совместить наложением отрезки: а) О А и ОВ; б) О А и ЛВ?
Решение, а) По условию задачи точка О — середина отрезка АВ. Отсюда следует, что отрезки О А и ОВ равны и поэтому их можно совместить наложением.
Отрезок О А наложен на отрезок АВ так, что они имеют общий конец А, но два других конца этих отрезков — точки О и В — не совмещены. Отсюда следует, что отрезки О А и АВ не равны и поэтому их нельзя совместить наложением.
Ответ, а) Да; б) нет.
Луч ОС делит угол АОВ на два угла. Сравните углы АОВ и АОС.
Решение. Так как луч ОС делит угол АОВ на два угла, то угол АОС составляет часть угла АОВ. Отсюда следует, что угол АОС меньше угла АОВ.
Ответ. ZAOC < ZAOB.
Луч I — биссектриса угла hk. Можно ли наложением совместить углы: a) hl и 1к; б) hl и hk?
Решение, а) По условию задачи луч I — биссектриса угла hk. Отсюда следует, что углы hl и Ik равны и поэтому их можно совместить наложением.
Так как луч I — биссектриса угла hk, то он делит угол hk на два угла. Согласно задаче 21 Zhi < Zhk. Таким образом, углы hl и hk не равны и поэтому их нельзя совместить наложением.
Ответ, а) Да; б) нет.
Измерение отрезков
Найдите длины всех отрезков, изображенных на рисунке 10 (рис. 31 учебника), если за единицу измерения принят отрезок: a) KL; б) АВ.
С 1111111 D А ।11В
Е ।111। FК ।। L
Р 1111 Q
Рис. 10
Решение, а) Так как KL — единица измерения, то KL = 1.
В отрезке АВ отрезок KL укладывается два раза, поэтому АВ = 2. Аналогично, PQ = 3, EF = 5, CD = 6.
Так как АВ — единица измерения, то АВ = 1. Половина отрезка АВ укладывается в отрезке KL один раз, поэтому KL = -. В отрезке PQ отрезок АВ укладывается один раз, и в остатке половина отрезка АВ укладывается также один раз, поэтому PQ =! + - = !-. Анало-
1
гично, EF = 2-, CD = 3.
Ответ, a) KL = 1, АВ = 2, PQ = 3, ЕЕ = 5, CD = 6; б) KL = 1, АВ = 1, PQ = 11 ЕЕ = 21 CD = 3.
Начертите прямую АВ. С помощью масштабной линейки отметьте на этой прямой точку С, такую, что АС = 2 см. Сколько таких точек можно отметить на прямой АВ?
Решение. На прямой АВ из точки А исходят два луча — луч АВ и луч АВ\, являющийся продолжением луча АВ. На каждом из этих лучей можно отметить только одну точку — точку С на луче АВ и точку С\ на луче АВ\ — так, чтобы АС = 2 см и АС\ = 2 см. Следовательно, на прямой АВ можно отметить две такие точки.
Ответ. Две точки.
Точка В делит отрезок АС на два отрезка. Найдите длину отрезка АС, если АВ = 7,8 см, ВС = 25 мм.
Решение. Так как точка В делит отрезок АС на два отрезка АВ и ВС, то АС = АВ + ВС. По условию АВ = 7,8 см, ВС = 25 мм = = 2,5 см, поэтому АС = 7,8 см + 2,5 см = 10,3 см.
Ответ. 10,3 см.
Точка В делит отрезок АС на два отрезка. Найдите длину отрезка ВС, если: а) АВ = 3,7 см, АС = 7,2 см; б) АВ = 4 мм, АС = 4 см.
Решение. Так как точка В делит отрезок АС на два отрезка: АВ и ВС, то АС = АВ + ВС. Отсюда следует, что ВС = АС — АВ.
По условию АС = 7,2 см, АВ = 3,7 см, поэтому ВС = 7,2 см — - 3,7 см = 3,5 см.
По условию АС = 4 см = 40 мм, АВ = 4 мм, поэтому ВС = = 40 мм — 4 мм = 36 мм.
Ответ, а) 3,5 см; б) 36 мм.
Точки А, В w С лежат на одной прямой. Известно, что АВ = 12 см, ВС = 13,5 см. Какой может быть длина отрезка АС?
Решение. Возможны два случая.
Точка С лежит на луче В А (рис. 11, а\ В этом случае
АС = ВС - В А = 13,5 см - 12 см = 1,5 см.
Точка С лежит на продолжении луча АВ (рис. 11, б). В этом случае АС = АВ + ВС = 12 см + 13,5 см = 25,5 см.
Ответ. 1,5 см или 25,5 см.
13,5 см13,5 см12 см 13,5 см б12 см 13,5 см б
13,5 см
13,5 см
12 см 13,5 см б
12 см 13,5 см б
Рис. 11
Точки В, D и М лежат на одной прямой. Известно, что BD = 7 см, MD = 16 см. Каким может быть расстояние ВМ?
Решение. Возможны два случая.
Лучи DB и DM совпадают (рис. 12, а\ В этом случае ВМ = = DM - DB = 16 см - 7 см = 9 см.
16 см16 см7 см7 смDD16 см16 см
16 см
16 см
7 см
7 см
D
D
16 см
16 см
Лучи DB и DM не совпадают, и, следовательно, точка М лежит на продолжении луча DB (рис. 12, б). В этом случае ВМ = BD + + DM = 7 см + 16 см = 23 см.
Ответ. 9 см или 23 см.
Точка С — середина отрезка АВ, равного 64 см. На луче С А отмечена точка D так, что CD = 15 см. Найдите длины отрезков BD и DA.
Решение. Так как точка С — середина отрезка АВ и АВ = = 64 см, то С А = СВ = 32 см. По условию точка D лежит на луче С А, ADСВи так как CD = 15 см, ^^ = ^2 см,
••••то CD < С А, и поэтому точка D де
лит отрезок АС на два отрезка: CD
РИС1 13и DA (рис. 13). Следовательно,
DA = С А - CD = 32 см - 15 см = 17 см;
BD = CD + СВ = 15 см + 32 см = 47 см.
Ответ. BD = 47 см, DA = 17 см.
Расстояние между Москвой и С.-Петербургом равно 650 км. Город Тверь находится между Москвой и С.-Петербургом в 170 км от Москвы. Найдите расстояние между Тверью и С.-Петербургом, считая, что все три города расположены на одной прямой.
Решение. Пусть М — Москва, Т — Тверь, Р — С.-Петербург. По условию задачи точка Т лежит между точками М и Р, поэтому МТ + TP = МР. Так как МР = 650 км, МТ = 170 км, то ТР = = МР -МТ = 480 км.
Ответ. 480 км.
Точка С — середина отрезка АВ, точка О — середина отрезка АС. а) Найдите АС, СВ, АО и ОВ, если АВ = 2 см; б) найдите АВ, АС, АО и ОВ, если СВ = 3,2 м.
Решение. На рисунке 14 изображены данный отрезок АВ и данные точки С и О.
АсВ а) Так как точка С — середина отрезка
• ••АВ и АВ = 2 см, то АС = СВ = 1 см.
Точка О — середина отрезка АС, Рис. 14поэтому АО = ОС = ^АС = 0,5 см.
ОВ = ОС А СВ = 1,5 см.
СВ = 3,2 м, поэтому АВ = 2 СВ = 6,4 м, АС = СВ = 3,2 м, ос = АО = ^АС = 1,6 м, ОВ = ОС + СВ = 1,6 м + 3,2 м = 4,8 м.
Ответ, а) АС = 1 см, СВ = 1 см, АО = 0,5 см, ОВ = 1,5 см; б) АВ = 6,4 м, АС = 3,2 м, АО = 1,6 м, ОВ = 4,8 м.
На прямой отмечены точки О, А и В так, что О А = 12 см, О В = = 9 см. Найдите расстояние между серединами отрезков О А и ОВ, если точка О; а) лежит на отрезке АВ; б) не лежит на отрезке АВ.
Решение. Пусть М и N — середины отрезков О А и ОВ.
Если точка О лежит на отрезке АВ (рис. 15, а\ то MN = МО + + ON. Но МО = ^ОА = 6 см, ON = ^ОВ = 4,5 см, следовательно, MN = 10,5 см.
Пусть точка О не лежит на отрезке АВ (рис. 15, б). Так как
АОВАОВ
"• / • / • тА—•—тА—• ”• Z • Z • тА—•—тА—•
МNМN
аб
Рис. 15
ОМ = ^ОА = 6 см, ON = ^ОВ = 4,5 см, то ON < ОМ, и поэтому точка N лежит на отрезке ОМ. Следовательно, MN = ОМ — ON = = 6 см — 4,5 см = 1,5 см.
Ответ, а) 10,5 см; б) 1,5 см.
Отрезок, длина которого равна а, разделен произвольной точкой на два отрезка. Найдите расстояние между серединами этих отрезков.
Решение. На рисунке 16 на отрезке АВ длины а отмечена произвольная точка О, точки М и N — середины отрезков АО и ОВ. Поэтому
МО = ^АО, ON = ^ОВ.
MN = МО + ON = ^(АО + ОВ) = ^АВ = |.
Ответ.
Отрезок, равный 28 см, разделен на три неравных отрезка. Расстояние между серединами крайних отрезков равно 16 см. Найдите длину среднего отрезка.
Решение. Пусть отрезок АВ равен 28 см, а точки С и D делят его на три неравных отрезка: AC, CD и DB (рис. 17). Пусть точка
АОВ АС D В
/—•—/—•тА•тА•■•А•у"••тА•тА•
МNМN
Рис. 16Рис. 17
М — середина отрезка АС, точка N — середина отрезка BD. Тогда АВ = АС + CD + DB, поэтому
AC A CD A DB = 28 см.(1)
MN = МС + CD + DN = ^АС + CD + ^DB = 16 см, откуда
АС + 2 CD + DB = 32 см.(2)
Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем: CD = 4 см.
Ответ. 4 см.
Измерение углов
Начертите угол АОВ и с помощью транспортира проведите луч ОС так, чтобы луч ОА являлся биссектрисой угла ВОС. Всегда ли это выполнимо?
5Решение. Предположим, что можно про
вести луч ОС так, чтобы луч ОА являлся биссектрисой угла ВОС (рис. 18). Тогда A ZBOC < 180°. Так как О А — биссектриса угла ВОС, то ZBOC = ZAOB + ZCOA = 2ZAOB.
ХхххСледовательно, ZAOB < 90°, т. е. угол АОВ
острый или прямой. Отсюда следует, что если угол АОВ тупой, то построение луча ОС невыполнимо.
Рис. 18Рис. 18Ответ. Нет. Построение выполнимо, когда угол АОВ — острый или прямой.
Рис. 18
Рис. 18
Градусные меры двух углов равны. Равны ли сами углы?
Решение. Предположим, что данные углы не равны, тогда один из них меньше другого, и, следовательно, градусная мера одного угла меньше градусной меры другого угла, что противоречит условию задачи. Следовательно, два угла, имеющие равные градусные меры, равны.
Ответ. Да.
Луч ОЕ делит угол АОВ на два угла. Найдите ZAOB, если: a) ZAOE = 44°, ZEOB = 77°; б) ZAOE = 12°37/, ZEOB = 108°25'.
Решение. По условию луч ОЕ делит угол АОВ на два угла: АОЕ и ЕОВ, поэтому ZAOB = ZAOE + ZEOB.
ZAOB = 44° + 77° = 121°.
ZAOB = 12°37' + 108°25' = 121 °2Z.
Ответ, а) 121°; б) 121°2'.
Луч ОС делит угол АОВ на два угла. Найдите угол СОВ, если ZAOB = 78°, а угол АОС на 18° меньше угла ВОС.
Решение. Луч ОС делит угол АОВ на два угла: АОС и СОВ, поэтому ZAOB = ZAOC + ZCOB, откуда
ZCOB = ZAOB - ZAOC.ZCOB = ZAOB - ZAOC.(1)(1)
ZCOB = ZAOB - ZAOC.
ZCOB = ZAOB - ZAOC.
(1)
(1)
По условию задачи
ААОВ = 78°, ААОС = АСОВ - 18°.
Подставим эти значения в равенство (1):
АСОВ = 78° - (ZCOB - 18°) = 96° - АСОВ.
Отсюда 2 АСО В = 96°, АСОВ = 48°.
Ответ. 48°.
Луч ОС делит угол АОВ на два угла. Найдите угол АОС, если ААОВ = 155° и угол АОС на 15° больше угла СОВ.
Решение. Задача решается так же, как и задача 48.
ААОВ = ААОС + АСОВ, поэтому
ААОС = ААОВ - АСОВ.(1)
По условию задачи АСОВ = ААОС -15°, ААОВ = 155°. Подставим эти значения в равенство (1):
ААОС = 155° - (ААОС - 15°).
Отсюда следует, что ААОС = 85°.
Ответ. 85°.
Угол АОВ является частью угла АОС. Известно, что ААОС = 108°, ААОВ = ЗАВОС. Найдите угол АОВ.
Решение. Так как угол АОВ — часть угла АОС, то луч ОВ делит угол АОС на два угла: АОВ и ВОС. Поэтому
Z АОС = Z АОВ + АВОС.(1)
По условию задачи
ААОС = 108°, ААОВ = ЗАВОС.
Подставим эти значения в равенство (1):
108° = ЗАВОС А АВОС.
Отсюда следует, что
АВОС = 27°, а ААОВ = ЗАВОС = 81°.
Ответ. 81°.
На рисунке 19 (рис. 38 учебника) угол АОВ — прямой, ААОВ = = АВОС = АСОВ. Найдите угол, образованный биссектрисами углов АОВ и СОВ.
Решение. По условию задачи угол АОВ, равный 90°, разделен лучами О В и ОС на три равных угла: АОВ, ВОС, СОВ. Следовательно, ААОВ = АВОС = АСОВ = 30°.
Пусть ОХ и 0Y — биссектрисы углов АОВ и COD (см. рис. 19).
Тогда ZXOB = 15° и /У ОС =15°. Угол XOY лучами О В и ОС разделен на три угла: ХОВ, ВОС, COY, поэтому ZXOY = ZXOB + + ZBOC + ZCOY = 15° + 30° + 15° = 60°.
52. На рисунке 20 (рис. 39 учебника) луч OV является биссектрисой угла ZOY, а луч OU — биссектрисой угла XOY. Найдите угол XOZ, если ZUOV = 80°.52. На рисунке 20 (рис. 39 учебника) луч OV является биссектрисой угла ZOY, а луч OU — биссектрисой угла XOY. Найдите угол XOZ, если ZUOV = 80°.Рис. 19Рис. 19Ответ. 60°.
52. На рисунке 20 (рис. 39 учебника) луч OV является биссектрисой угла ZOY, а луч OU — биссектрисой угла XOY. Найдите угол XOZ, если ZUOV = 80°.
52. На рисунке 20 (рис. 39 учебника) луч OV является биссектрисой угла ZOY, а луч OU — биссектрисой угла XOY. Найдите угол XOZ, если ZUOV = 80°.
Рис. 19
Рис. 19
Рис. 20
Решение. Так как лучи OV и OU — биссектрисы углов ZOY и XOY, то
ZZOY = 2/УОУ, XOY = 2ZYOU.
Складывая эти равенства, получаем
ZZOY + ZXOY = 2(ZVOY + ZYOU) = 2ZUOV = 160°.
Но ZZOY + ZXOY = ZXOZ, поэтому ZXOZ = 160°.
Ответ. 160°.
Луч I является биссектрисой неразвернутого угла hk. Может ли угол hl быть прямым или тупым?
Решение. Так как луч I — биссектриса угла hk, то Zhi = -Zhk.
По условию задачи угол hk — неразвернутый, поэтому Zhk < 180°. Отсюда следует, что Zhi < 90°. Таким образом, угол hl не может быть прямым или тупым.
Ответ. Нет.
§ 6. Перпендикулярные прямые
Найдите угол, смежный с углом АВС, если: a) ZABC = 111°; б) ZABC = 90°; в) ZABC = 15°.
Решение. Пусть ZCBD — угол, смежный с углом АВС. По свойству смежных углов ZABC + ZCBD = 180°, следовательно,
ZCBD = 180° -ZABC.
Подставляя в эту формулу значения ZABC из условий задачи, получаем градусную меру угла CBD, смежного с углом АВС;
ZCBD = 180° - 111° = 69°,
ZCBD = 180° - 90° = 90°,
ZCBD = 180° - 15° = 165°.
Ответ, а) 69°; б) 90°; в) 165°.
Один из смежных углов прямой. Каким (острым, прямым, тупым) является другой угол?
Решение. Пусть Zhi и Zlk — смежные углы и Zhi = 90°. По свойству смежных углов Zhi + Zlk = 180°. Отсюда имеем: Zlk = 180° — — Zhi = 90°, т. е. Zlk — прямой угол.
Итак, если один из смежных углов прямой, то и другой угол прямой.
Ответ. Прямым.
Верно ли утверждение: если смежные углы равны, то они прямые?
Решение. Сумма смежных углов равна 180°, поэтому, если они равны, каждый из этих углов равен 90°, и, следовательно, эти углы прямые.
Ответ. Да.
Найдите смежные углы hk и kl, если: a) Zhk меньше Zkl на 40°; б) Zhk больше Zkl на 120°; в) Zhk больше Zkl на 47° 18'; г) Zhk = 3Zkl; д) Zhk ;Zkl = 5 : 4.
Решение. Углы hk и kl — смежные, поэтому
Zhk A Zkl = 180°.(1)
По условию Zhk = Zkl - 40°. По формуле (1)
(Zkl - 40°) Z Zkl = 180°.
Отсюда имеем:
Zkl =110°, Zhk =110°- 40° = 70°.
Zhk = Zkl + 120°. По формуле (1)
(Zkl А 120°) A Zkl = 180°,
откуда Zkl = 30°, Zhk = 30° + 120° = 150°.
Zhk = Zkl + 47° 18'. По формуле (1)
(Zkl А 47АВ') A Zkl = 180°,
откуда 2Z&Z = 132°42', Zkl = 66°21', Zhk = 66°21' + 47° 18' = 113°39'.
Zhk = BZkl. По формуле (1)
BZklzZkl = 180°,
откуда Zkl = 45°, Zhk = 3 • 45° = 135°.
55
Zhk : Zkl = -, поэтому Zhk = - Zkl. По формуле (1)
Zkl Zkl = 180°.
4
Отсюда получаем: Zkl = 80°, Zhk = - • 80° = 100°.
Ответ, а) 70° и 110°; б) 150° и 30°; в) 113°39' и 66°21'; г) 135° и 45°; д) 100° и 80°.
На рисунке 21 (рис. 46 учебника) углы BOD и COD равны. Найдите угол AOD, если ZCOB = 148°.
Решение. Углы АОС и СОВ — смежные, поэтому ZAOC + + ZCOB = 180°. Отсюда находим: ZAOC = 180° - ZCOB = 180° - - 148° = 32°.
Так как OD — биссектриса угла СОВ и ZCOB = 148°, то ZCOD = = ^ZCOB = 74°.
ZAOD = ZAOC + ZCOD = 32° + 74° = 106°.
Ответ. 106°.
Даны два равных угла. Равны ли смежные с ними углы?
Решение. Пусть Zl = Z2, a Z3 и Z4 — соответственно смежные с ними углы. По свойству смежных углов Zl + Z3 = 180°, Z2 + Z4 = = 180°. Так как Zl = Z2, то из этих равенств следует, что Z3 = Z4. Следовательно, если данные углы равны, то смежные с ними углы также равны.
Ответ. Да.
64. На рисунке 22 (рис. 41 учебника) найдите углы: а) 1,3, 4, если Z2 = = 117°; б) 1, 2, 4, если Z3 = 43°27/.
Рис. 21Рис. 22
Решение, а) Углы 1 и 2 смежные, поэтому Zl + Z2 = 180°. Так как по условию Z2 = 117°, то Z1 = 180° - 117° = 63°.
Углы 3 и 1 вертикальные, поэтому Z3 = Z1 = 63°.
Углы 4 и 2 вертикальные, следовательно, Z4 = Z2 = 117°.
Углы 1 и 3 вертикальные, поэтому Zl = Z3 = 43°27'.
Углы 2 и 3 смежные, поэтому Z2 + Z3 = 180°. Отсюда находим: Z2 = 180° -43°27' = 136°33'.
Углы 4 и 2 вертикальные, поэтому Z4 = Z2 = 136°33'.
Ответ: a) Zl = Z3 = 63°, Z4 = 117°; б) Zl = 43°27', Z2 = Z4 = = 136°33'.
Найдите неразвернутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если: а) сумма двух из них равна 114°; б) сумма трех углов равна 220°.
Решение. При пересечении двух прямых образуются четыре неразвернутых угла, которые на рисунке 22 обозначены цифрами 1, 2, 3 и 4.
Так как сумма двух из этих углов равна 114°, то они не могут быть смежными, а значит, эти углы — вертикальные, например, углы 1 и 3.
По свойству вертикальных углов Zl = Z3, поэтому Zl = Z3 = = 114° : 2 = 57°.
Углы 2 и 1 смежные, следовательно, Zl + Z2 = 180°, откуда Z2 = = 180° -57° = 123°.
По свойству вертикальных углов Z4 = Z2, поэтому Z4 = 123°.
Пусть, например, Zl + Z2 + Z3 = 220°. Так как углы 1 и 2 смежные, то Zl + Z2 = 180° и, следовательно, Z3 = 220° — 180° = 40°.
Z3 + Z2 = 180°, откуда Z2 = 180° - 40° = 140°.
Zl = Z3 = 40°, Z4 = Z2 = 140°.
Ответ, а) 57°, 123°, 57°, 123°; б) 40°, 140°, 40°, 140°.
На рисунке 22 (рис. 41 учебника) найдите углы 1, 2, 3, 4, если: a) Z2 + + Z4 = 220°; б) 3(Z1 + Z3) = Z2 + Z4; в) Z2 - Z1 = 30°.
Решение, а) По условию Z2 + Z4 = 220°. Эти углы вертикальные, поэтому Z2 = Z4 = 110°.
Углы 1 и 2 смежные, поэтому Zl + Z2 = 180°, откуда Z1 = 180° - - 110° = 70°.
Углы 3 и 1 вертикальные, поэтому Z3 = Z1 = 70°.
Углы 1 и 3, а также 2 и 4 вертикальные, поэтому Z3 = Zl, Z4 = = Z2. Подставив эти выражения в данное равенство, получим:
3(2Z1) = 2Z2,
или
3Z1 = Z2.
Углы 1 и 2 смежные, поэтому Zl + Z2 = 180°. Из этих двух равенств находим Z1 и Z2: Z1 = 45°, Z2 = 135°.
Z3 = Z1, поэтому Z3 = 45°; Z4 = Z2, поэтому Z4 = 135°.
По условию Z2 — Z1 = 30°. Эти углы смежные, следовательно, Zl + Z2 = 180°. Из этих двух равенств имеем: Z1 = 75°, Z2 = 105°.
Z3 = Z1, поэтому Z3 = 75°; Z4 = Z2, поэтому Z4 = 105°.
Ответ, a) Zl = Z3 = 70°, Z2 = Z4 = 110°; б) Zl = Z3 = 45°, Z2 = = Z4 = 135°; в) Zl = Z3 = 75°, Z2 = Z4 = 105°.
На рисунке 23 (рис. 47 учебника) изображены три прямые, пересекающиеся в точке О. Найдите сумму углов: Zl + Z2 + Z3.
Решение. Пусть Z4 и Z1 — вертикальные углы (см. рис. 23). Тогда по свойству вертикальных углов Z4 = Z1, поэтому Zl + Z2 + + Z3 = Z2 + Z4 + Z3. Сумма этих углов равна развернутому углу АО В, поэтому Z2 + Z4 + Z3 = 180°, а значит, Zl + Z2 + Z3 = 180°.
Ответ. 180°.
На рисунке 24 (рис. 48 учебника) ZAOB = 50°, ZFOE = 70°. Найдите углы АОС, BOD, СОЕ и COD.
Рис. 23Рис. 24Рис. 23Рис. 24
Рис. 23Рис. 24
Рис. 23Рис. 24
Решение. Введем цифровые обозначения для углов (см. рис.24). По условию Z1 = 50°, Z2 = 70°.
ZAOC = Zl + Z3. Углы 2 и 3 вертикальные, поэтому Z3 = Z2. Таким образом,
ZAOC = Z1+ Z2 = 120°.
Углы 1 и BOD — смежные, поэтому ZBOD Е А\ = 180°. Отсюда находим:
ZBOD = 180° -50° = 130°.
Углы 2 и СОЕ — смежные, поэтому Z2 + ZCOE = 180°, откуда
ZCOE = 180° -70° = 110°.
Углы COD и АОС — смежные, поэтому ZCOD + ZAOC = 180°, откуда
ZCOD = 180° - Zl - Z3 = 180° - 50° - 70° = 60°.
Ответ. ZAOC = 120°, ZBOD = 130°, ZCOE = 110°, ZCOD = = 60°.
Прямая а пересекает стороны угла А в точках Р и Q. Могут ли обе прямые АР и AQ быть перпендикулярными к прямой а?
Решение. Обе прямые АР и AQ не могут быть перпендикулярными к прямой а, так как они пересекаются в точке А, а две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются (п. 12 учебника).
Ответ. Нет.
Через точку А, не лежащую на прямой а, проведены три прямые, которые пересекают прямую а. Докажите, что по крайней мере две из них не перпендикулярны к прямой а.
Рис. 25Рис. 25Решение. Пусть АР, AQ и AR — прямые, пересекающие прямую а в точках Р, Q и R. Допустим, что прямая АР перпендикулярна к прямой а (см. рис. 25). Тогда прямая AQ не может быть перпендикулярной к прямой а, так как две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются, а прямые АР и AQ пересекаются в точке А. Аналогично, прямая AR не перпендикулярна к прямой а.
Рис. 25
Рис. 25
Таким образом, по крайней мере две из трех прямых, проходящих через точку А, не перпендикулярны к прямой а.
Дополнительные задачи
точек пересечения имеют эти прямые, если через каждую точку пересеченияточек пересечения имеют эти прямые, если через каждую точку пересеченияДаны четыре прямые, каждые две из которых пересекаются. Сколько
точек пересечения имеют эти прямые, если через каждую точку пересечения
точек пересечения имеют эти прямые, если через каждую точку пересечения
проходят только две прямые?
точкаточкапрямая с не проходитпрямая с не проходитРис. 26Рис. 26Решение. Пусть а, Ь, с и d — данные прямые, А
точка
точка
прямая с не проходит
прямая с не проходит
Рис. 26
Рис. 26
пересечения прямых а и Ь. По условию задачи
через точку А и пересекает прямые а и b в некоторых точках, которые обозначим буквами В и С (рис. 26). Прямая d пересекает каждую из прямых а, b и с и не проходит через точки А, В и С, поэтому получаем еще три точки: D, Е и F, в которых прямая d пересекается с прямыми а, b и с. Таким образом, данные четыре прямые имеют шесть точек пересечения (см. рис. 26).
Ответ. Шесть точек.
Сколько неразвернутых углов образуется при пересечении трех прямых, проходящих через одну точку?
Решение. При пересечении трех прямых, проходящих через точку О, образуется шесть лучей, исходящих из точки О, которые на рисунке 27 обозначены так: h\, hs, h^, h^, ^5 и h^.
каждый угол учитывается и Z^4^2-Таким образом, всегокаждый угол учитывается и Z^4^2-Таким образом, всегоЛуч h\ образует с остальными лучами пять углов, один из которых (угол ^1^4) — развернутый. Итак, образуется четыре неразвернутых угла со стороной h\; Zhyhs, Zhyhs, Zhyhs и Zhyh^.
каждый угол учитывается и Z^4^2-
Таким образом, всего
каждый угол учитывается и Z^4^2-
Таким образом, всего
Аналогично, каждый из других пяти лучей является стороной четырех неразвернутых углов. При таком подсчете дважды, например, Zhyh^ и ZK>hy, Zh^h/y
получается (4-6) : 2 = 12 неразвернутых
углов.
Ответ. 12 неразвернутых углов.
Точка N лежит на отрезке МР. Расстояние между точками М и Р равно 24 см, а расстояние между точками N и М в два раза больше расстояния между точками N и Р. Найдите расстояние: а) между точками N и Р; б) между точками N и М.
Решение. Точка N лежит на отрезке МР, поэтому
MN + NP = MP.(1)
По условию расстояние между точками М и Р равно 24 см, т. е. МР = 24 см, a MN = 2NP. Подставим эти значения в равенство (1):
2NP + NP = 24 см.
Отсюда находим: NP = 8 см.
Из равенства (1) получаем:
MN = МР — NP = 24 см - 8 см = 16 см.
Ответ, а) 8 см; б) 16 см.
Три точки К, L, М лежат на одной прямой, KL = 6 см, LM = = 10 см. Каким может быть расстояние КМ? Для каждого из возможных случаев сделайте чертеж.
Решение. Возможны два случая.
Точки К и М лежат на разных лучах, исходящих из точки L (рис. 28, aY В этом случае
КМ = KL + LM = 6 см + 10 см = 16 см.
Точки К и М лежат на одном луче, исходящем из точки L, т. е. лучи LK и LM совпадают (рис. 28, б). В этом случае LM = LK + + КМ, откуда КМ = LM - LK = 10 см - 6 см = 4 см.
Ответ. 16 см или 4 см.
К LМL К М
аб
Рис. 28
. Отрезок АВ длины а разделен точками Р и Q на три отрезка АР, PQ и QB так, что АР = 2PQ = 2QB. Найдите расстояние между: а) точкой А и серединой отрезка QB; б) серединами отрезков АР и QB.
Решение. Пусть М — середина отрезка АР, a N — середина отрезка QB (рис. 29). Тогда АМ = МР, поэтому АР = 2АМ = 2МР. По условию задачи АР = 2PQ = 2QB.
Следовательно, 2АМ = 2МР = 2PQ =РОВ
= 2QB, т. е. точки М, Р и Q делят отре- е /• /••// е^е
зок АВ на четыре равные части. ОтсюдаМN
Рис. 29Рис. 29следует, что
Рис. 29
Рис. 29
АМ = QB = ^.
Так как АВ = AN + NB, то AN = АВ — NB, а так как N — середина отрезка QB, равного то NB = Следовательно, AN = а7л м7
= а — - = - а, т. е. расстояние между точками А и N равно - а.
AN = АМ + MN, откуда
MN = AN - АМ ДаД Да,848
5
т. е. расстояние между точками М и N равно - а.
758
Ответ, а) - а; б) -а.
88
Отрезок длины т разделен: а) на три равные части; б) на пять равных частей. Найдите расстояние между серединами крайних частей.
Решение. Обозначим данный отрезок через АВ. По условию задачи АВ = т.
Пусть точки С и D делят отрезок АВ на три равные части, а М и N — середины крайних частей АС и DB (рис. 30, а\ Тогда MN =
А С D В?•*/»Л
*ЕF
аб
Рис. 30
= АВ — АМ — NB. Но АС = CD = DB = у, следовательно,
АМ = Ас=Л, nb=x-db = ^.
Таким образом, MN = т -= ^-т.
663
Пусть точки Р, Q, R и S делят отрезок АВ на пять равных частей, а Е и F — середины крайних частей (рис. 30, б). Тогда
ЕЕ = АВ - АЕ - ЕВ,AP = SB = ^, АЕ=^-, ЕВ = ^-.
51010
Таким образом, т т 4 EF =~ Ki - 10 = 5
24
Ответ, а) - т; б) - т.
Отрезок в 36 см разделен на четыре не равные друг другу части. Расстояние между серединами крайних частей равно 30 см. Найдите расстояние между серединами средних частей.
Решение. На рисунке 31 АВ — данный отрезок, С, D и Е — точки деления, а Р, М, N и Q — соответственно середины отрезков АС, CD, DE и ЕВ. По условию АВ = 36 см, PQ = 30 см, а нужно найти MN...
PQ = АВ - ^АС - ^ЕВ, откуда
АС + ЕВ = ^АВ - PQ) = 2(36 - 30) см = 12 см.
Далее, АС + СЕ + ЕВ = АВ, следовательно: СЕ = 36 см — — 12 см = 24 см.
Рис. 31
Наконец, MN = MD + DN = ^CD + ^DE = ^СЕ.
Таким образом, MTV = 12 см.
Ответ. 12 см.
Точки А, В и С лежат на одной прямой, точки М и TV — середины отрезков АВ и АС. Докажите, что ВС = 2MN.
Решение. Возможны два случая.
Точки В и С лежат на разных лучах, исходящих из точки А (рис. 32, а). В этом случае
ВС = В А + AC, MN = МА + AN.
Так как В А = 2 МА, АС = 2 AN, то
ВС = 2(МА + AN) = 2 MN.
Точки В и С лежат на одном луче, исходящем из точки А. Пусть, например, точка В лежит на отрезке АС (рис. 32, б). Тогда АВ < АС,
ВАСАД С
ММММ
аб
Рис. 32
а так как АВ = 2 АМ, АС = 2 AN, то АМ < AN. Поэтому ВС = = АС — АВ, MN = AN — АМ и, следовательно,
ВС = 2 AN - 2 АМ = 2(AN - АМ) = 2 MN.
. Известно, что ZAOB = 35°, ZBOC = 50°. Найдите угол АОС. Для каждого из возможных случаев сделайте чертеж с помощью линейки и транспортира.
Решение. Возможны два случая.
Лучи ОА и ОС лежат по разные стороны от прямой О В (рис. 33, а). Тогда
ZAOC = ZAOB + ZBOC = 35° + 50° = 85°.
Лучи О А и ОС лежат по одну сторону от прямой О В (рис. 33, б). Так как ZAOB < ZBOC, то ZAOC = ZBOC - ZAOB = 50° - 35° = = 15°.
Рис. 33
Ответ. 85° или 15°.
. Угол Нк равен 120°, угол Нт равен 150°. Найдите угол кт. Для каждого из возможных случаев сделайте чертеж.
Решение. Возможны два случая.
Лучи кит лежат по одну сторону от прямой, содержащей луч Н (рис. 34, а). В этом случае
Zkm = Zhm - Zhk = 150° - 120° = 30°.
Рис. 34Рис. 34
Рис. 34
Рис. 34
Лучи кит лежат по разные стороны от прямой, содержащей луч h (рис. 34, б). В этом случае продолжение hx луча h делит угол кт на два угла, и, следовательно,
Zkhx + Zhxm = Zkm.(1)
Углы hk и khi смежные, поэтому
Zkhx = 180° — Zhk = 60°.
Аналогично,
Zhxm= \W -Zhm = W.
Подставив эти значения в равенство (1), получим: Zkm = 60° + + 30° =90°.
Ответ. 30° или 90°.
Найдите смежные углы, если: а) один из них на 45° больше другого; б) их разность равна 35°.
Решение. Пусть Z\ и Z2 — данные смежные углы и Zl > Z2. По свойству смежных углов
Zl+Z2=180°.(1)
По условию Zl = Z2 + 45°. Отсюда и из равенства (1) находим: Zl = 112°30', Z2 = 67°30'.
Zl — Z2 = 35°. Отсюда и из равенства (1) находим: Z1 = 107°30', Z2 = 72°30'.
Ответ: а) 112°30z и 67°30'; б) 107°30' и 72°30'.
Найдите угол, образованный биссектрисами двух смежных углов.
Решение. Пусть ZAOB и ZCOB — данные смежные углы, а ОР и OQ — их биссектрисы (рис. 35).
ZPOQ = ZPOB + ZQOB.ZPOQ = ZPOB + ZQOB.(1)(1)Тогда
ZPOQ = ZPOB + ZQOB.
ZPOQ = ZPOB + ZQOB.
(1)
(1)
Так как ОР — биссектриса угла АОВ, то ДРОВ = ^-ZAOB. Ана- 1
логично, ZQOB = -ZBOC. Подставив эти значения в равенство (1), находим:
ZPOQ = ^ZAOB + ^ZBOC = ^(ZAOB + ZBOC\
Углы АО В и ВОС — смежные, поэтому ZAOB + ZBOC = 180°. Следовательно,
ZPOQ =180° =90°.
Ответ. 90°.
Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.
Решение. Пусть АО В и А\ОВ\ — данные вертикальные углы, ОМ — биссектриса угла АОВ, а ОМ\ — продолжение луча ОМ (рис. 36). Докажем, что ОМ{ — биссектриса угла А\ОВ\.
Рис. 35Рис. 36
Углы АОМ и А\ОМ\ — вертикальные, поэтому ZAOM = = ZAiOMi. Аналогично, ZBOM = ZB\OM\. Так как ZAOM = = ZBOM, то ZA\OM\ = ZB\OM\. Луч ОМ{ проходит внутри угла А\ОВ\, следовательно, О Му — биссектриса этого угла. Таким образом, биссектрисы вертикальных углов АОВ и А\ОВ\ лежат на прямой ОМ.
Докажите, что если биссектрисы углов АВС и CBD перпендикулярны, то точки А, В и D лежат на одной прямой.
Решение. Задача будет решена, если мы докажем, что угол ABD развернутый. Предположим, что это не так. Пусть ВМ и BN — биссектрисы углов АВС и CBD. По условию ZMBN = 90°. Возможны два случая.
Луч ВС проходит внутри угла ABD и поэтому делит этот угол на два угла: АВС и CBD (рис. 37, а\ Тогда
ZABC + ZCBD = ZABD, или
(Z1 + Z2) + (Z3 + Z4) = ZABD (см. рис. 37, а).
Рис. 37
Но Zl = Z2, Z3 = Z4 и ZABD < 180°, следовательно,
2Z2 + 2Z3 <180°,
или ZMBN = Z2 + Z3 < 90°.
Это неравенство противоречит условию задачи.
Луч ВС лежит во внешней области угла ABD (рис. 37, б). В этом случае ZABC + ZCBD > 180°, поэтому (Zl + Z2) + (Z3 + Z4) > > 180°. Так как Zl = Z2 и Z3 = Z4, то ZMBN = Z2 + Z3 > 90°. Это неравенство также противоречит условию задачи.
Таким образом, угол ABD — развернутый и, следовательно, точки А, В и D лежат на одной прямой.
Даны две пересекающиеся прямые а и b и точка А, не лежащая на этих прямых. Через точку А проведены прямые тип так, что т ± а, п ± Ь. Докажите, что прямые т и п не совпадают.
Решение. Предположим, что прямая п совпадает с прямой т. Тогда а ± т, b ± т. Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, не пересекаются, поэтому прямые а и b не пересекаются. Это противоречит условию задачи, следовательно, прямые т и п не совпадают.
Задачи повышенной трудности к главе 1
Пусть а — число, выражающее длину отрезка АВ при единице измерения CD, a b — число, выражающее длину CD при единице измерения АВ. Как связаны между собой числа а и Ь?
Решение. Пусть CD — исходная единица измерения, тогда CD = = 1 и АВ = а. Если АВ — новая единица измерения, то АВ = = 1 и CD = b. При переходе от единицы измерения CD к единице измерения АВ числа, выражающие длины всех отрезков, умножаются на некоторое число к. Поэтому 1 • к = Ь, а • к = 1 и, следовательно, ab = 1.
Ответ, ab = 1.
Длина огрезка АВ при единице измерения Е\Е\ выражается числом т, а при единице измерения E2F2 — числом п. Каким числом выражается длина отрезка Е\Е\ при единице измерения F2F2?
Решение. При единице измерения Е\Е\ имеем: E\F\ = 1, АВ = = т, а при единице измерения E2F2 получаем: E2F2 = 1, АВ = п. При переходе от единицы измерения Е\Е\ к единице E2F2 числа, выражающие длины всех отрезков, умножаются на некоторое число к. Поэтому E\F\ = 1 • к, п = кт, откуда к = —, Е\Е\ = —. Следовательно, при ттп
единице измерения E2F2 длина отрезка Е\Е\ выражается числом —.
пт
Ответ. —. т
Пусть Zhk — меньший из двух смежных углов hk и hl. Докажите, что
Zhk = 90° - ^(Zhl - Zhk),
а
Zhl = 90° + ^<Zhl - Zhk).
Решение. По свойству смежных углов
Zhk A Zhl = 180°.(1)
Из равенства (1) следует:
2Zhk = \№ - Zhl A Zhk, откуда
Zhk = 90° - ^ZM - Zhk).
Аналогично, из равенства (1) получаем:
2Zhl = 180° + Zhl - Zhk, откуда
Zhl = 90° + ^(ZM - Zhk).
Пять прямых пересекаются в одной точке (рис. 38) (см. рис. 147 учебника). Найдите сумму углов 1, 2, 3, 4 и 5.
Решение. Обозначим точку пересечения данных прямых буквой О, углы, вертикальные с углами 3 и 4, цифрами 6 и 7, а прямую, содержащую стороны углов 2 и 5, через АВ (рис. 38).
По свойству вертикальных углов Z3 = = Z6 и Z4 = Z1, поэтому
Zl + Z2 + Z3 + Z4 + Z5 = Zl + Z2 + Z6 + Zl + Z5.
Но сумма углов 5, 6, 1, 7 и 2 равна развернутому углу АОВ и, следовательно,
Zl + Z2 + Z6 + Z7 + Z5 = 180°.
Поэтому
Zl + Z2 + Z3 + Z4 + Z5 = 180°.
Ответ. 180°.
Даны шесть попарно пересекающихся прямых. Известно, что через точку пересечения любых двух прямых проходит по крайней мере еще одна из данных прямых. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку.
Решение. Пусть сц и а2 — две из данных шести прямых — пересекаются в точке А.
По условию задачи через точку А проходит по крайней мере еще одна из данных прямых, которую обозначим ад (рис. 39). Докажем, что оставшиеся три прямые также проходят через точку А.
Допустим, что какая-то из них, например, прямая ад, не проходит через эту точку. Прямая а^ по условию задачи пересекает каждую из прямых а\, а2, аз. Обозначим точки пересечения буквами Ai, А2, A3 (см. рис. 39).
Точки А\, А2, A3 и А попарно различны, и по условию задачи через каждую из точек Ai, А2, A3 должна проходить по крайней мере еще одна из данных прямых, отличная от а\, 02, аз, а^. Но это невозможно, так как даны всего шесть прямых.
Мы пришли к противоречию, поэтому наше предположение неверно и, следовательно, все данные прямые проходят через точку А.
Даны шесть точек. Известно, что прямая, проходящая через любые две точки, содержит по крайней мере еще одну из данных точек. Докажите, что все эти точки лежат на одной прямой.
Решение. Задача решается аналогично задаче 326. Пусть А\ и А2 — две из данных шести точек, ad — прямая А1А2. Докажем, что все данные точки лежат на прямой d.
По условию задачи на прямой d лежит по крайней мере еще одна из данных точек, которую обозначим через A3 (рис. 40). Докажем, что
оставшиеся три точки также лежат на прямой d. Допустим, что какая- то из них, например, точка Дд, не лежит на этой прямой. Тогда прямые d, А1А4, А2Д4, АМ4 попарно различны. По условию задачи на каждой из прямых Л1Л4, А2Д4, АМ4 должна лежать по крайней мере еще одна из данных точек, отличная от точек Ai, А2, A3, А4. Но это невозможно, так как дано всего шесть точек.
Мы пришли к противоречию, поэтому наше предположение неверно и, следовательно, все данные точки лежат на прямой d.
Глава 2
ТРЕУГОЛЬНИКИ
Первый признак равенства треугольников
Сторона АВ треугольника АВС равна 17 см, сторона АС вдвое больше стороны АВ, а сторона ВС на 10 см меньше стороны АС. Найдите периметр треугольника АВС.
Решение. АС = 2АВ = 34 см, ВС = АС - 10 см = 24 см,
Равс = АВ АВС А АС = (17 + 24 + 34) см = 75 см.
Ответ. 75 см.
Периметр треугольника равен 48 см, а одна из сторон равна 18 см. Найдите две другие стороны, если их разность равна 4,6 см.
Решение. Пусть в треугольнике АВС
АВ + ВС АСА = 48 см, АВ = 18 см, ВС - С А = 4,6 см.
Тогда ВС + С А = 48 см — АВ = 30 см.
Складывая равенства
ВС - С А = 4,6 см и ВС + С А = 30 см,
находим: 2ВС = 34,6 см, откуда
ВС = 17,3 см, С А = 30 см - ВС = 12,7 см.
Ответ. 17,3 см и 12,7 см.
Периметр одного треугольника больше периметра другого. Могут ли быть равными эти треугольники?
Решение. Данные треугольники не могут быть равными, так как у равных треугольников стороны соответственно равны и поэтому равны и их периметры, а у данных треугольников периметры не равны.
Ответ. Нет.
Отрезки АЕ и DC пересекаются в точке В, являющейся серединой каждого из них. а) Докажите, что треугольники АВС и EBD равны; б) най-
дите углы А и С треугольника АВС, если в треугольнике BDE ZD = 47°, ZE = 42°.
Решение, а) АВ = BE и СВ = BD, так как по условию точка В — середина отрезков АЕ и DC (рис. 41); ZCBA = ZDBE, так как эти углы вертикальные. По первому признаку равенства треугольников ААВС = AEBD.
В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, поэтому
ZA = ZE = 42°, ZC = ZD = 47°.
Ответ, б) ZA = 42°, ZC = 47°.
94. На рисунке 42 (рис. 52 учебника) АВ = AC, Z\ = Z2. а) Докажите, что треугольники ABD и ACD равны; б) найдите BD и АВ, если АС = = 15 см, DC = 5 см.94. На рисунке 42 (рис. 52 учебника) АВ = AC, Z\ = Z2. а) Докажите, что треугольники ABD и ACD равны; б) найдите BD и АВ, если АС = = 15 см, DC = 5 см.Рис. 41Рис. 42Рис. 41Рис. 42
94. На рисунке 42 (рис. 52 учебника) АВ = AC, Z\ = Z2. а) Докажите, что треугольники ABD и ACD равны; б) найдите BD и АВ, если АС = = 15 см, DC = 5 см.
94. На рисунке 42 (рис. 52 учебника) АВ = AC, Z\ = Z2. а) Докажите, что треугольники ABD и ACD равны; б) найдите BD и АВ, если АС = = 15 см, DC = 5 см.
Рис. 41Рис. 42
Рис. 41Рис. 42
Решение, а) АВ = AC, Zl = Z2 по условию; AD — общая сторона треугольников ABD и ACD. Следовательно, AABD = A ACD по первому признаку равенства треугольников.
АВ = АС = 15 см.
BD = DC, так как эти стороны лежат против равных углов 1 и 2, поэтому BD = 5 см.
Ответ, б) BD = 5 см, АВ = 15 см.
На рисунке 43 (рис. 53 учебника) ВС = AD, Zl = Z2. а) Докажите, что треугольники АВС и CD А равны; б) найдите АВ и ВС, если AD = 17 см, DC = 14 см.
Решение: а) ВС = AD, Zl = Z2 по условию; АС — общая сторона треугольников АВС и CDA. Следовательно, ААВС = ACD А по первому признаку равенства треугольников.
б) ВС = AD = 17 см.
АВ = DC, так как эти стороны лежат против равных углов 1 и 2, поэтому АВ = = 14 см.
Ответ, б) АВ = 14 см, ВС = 17 см.
На рисунке 44 (рис. 54 учебника) О А = OD, О В = ОС, Z1 = 74°, Z2 = 36°. а) Докажите, что треугольники АО В и DOC равны; б) найдите ZACD.
Решение, а) О А = OD, ОВ = ОС по условию; ZAOB = ZCOD, так как эти углы — вертикальные. Следовательно, АЛОВ = ADOC по первому признаку равенства треугольников.
ZOCD = Z1, так как эти углы лежат против равных сторон OD и О А, поэтому ZOCD = 74°.
ZACD = Z2 + ZOCD = 36° + 74° = 110°.
Ответ, б) 110°.
97. Отрезки АС и BD пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что ААВС = ACDA.
Решение. Пусть отрезки АС и BD пересекаются в точке О (рис. 45).
Рис. 44Рис. 45
Тогда АО = ОС и ВО = OD по условию; ZAOB = ZCOD, так как эти углы — вертикальные. Следовательно, АЛОВ = АСОВ по первому признаку равенства треугольников.
Из равенства треугольников АОВ и СОВ следует, что АВ = СВ и Z1 = Z2.
В треугольниках АВС и CDA имеем: АВ = СВ, АС — общая сторона, Zl = Z2, поэтому ААВС = АС В А по первому признаку равенства треугольников.
В треугольниках АВС и А\В\С\
АВ = А\В\, АС = АхСх, ZA = ZAx.
На сторонах АВ и АхВх отмечены точки Р и Рх так, что АР = АхРх. Докажите, что АВ PC = АВхРхСх.
Решение. ААВС = ААхВхСх по первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что ВС = В\С\ и ZB = ZB\.
Так как АВ = А\В\ и АР = А\Р\, то ВР = ВхРх.
АВ PC = АВхРхСх по первому признаку равенства треугольников (ВС = ВхСх, ВР = ВхРх, АВ = ZBxY
На сторонах угла CAD отмечены точки В и Е так, что точка В лежит на отрезке АС, а точка Е — на отрезке AD, причем АС = AD и АВ = АЕ. Докажите, что ZCBD = ZDEC.
Рис. 46Рис. 46Решение. В треугольниках АСЕ и ADB имеем: угол А — общий, АС = AD и АЕ = АВ по условию (рис. 46), поэтому ААСЕ = AADB по первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что ZABD = ZAEC.
Рис. 46
Рис. 46
Углы CBD и DEC — смежные с равными углами ABD и АЕС, поэтому ZCBD = = ZDEC.
§ 2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
Точки А и С лежат по одну сторону от прямой а. Перпендикуляры
АВ и CD к прямой а равны, а) Докажите, что AABD = ACDB; б) найдите ZABC, если ZADB = 44°.
Рис. 47Рис. 47Решение, а) Так как АВ ± а и CD ± а, то ZABD = ZCDB = = 90° (рис. 47).
Рис. 47
Рис. 47
АВ = CD по условию, BD — общая сторона треугольников ABD и CDB. Следовательно, AABD = ACDB по первому признаку равенства треугольников.
б) Из равенства треугольников ABD и CDB следует, что ZCBD = ZADB. Поэтому ZCBD = 44°.
ZABC + ZCBD = ZABD = 90°.
Отсюда получаем:
ZABC = 90° - ZCBD = 90° - 44° = 46°.
Ответ, б) 46°.
Медиана AD треугольника АВС продолжена за сторону ВС на отрезок DE, равный AD, и точка Е соединена с точкой С. а) Докажите, что AABD = AECD; б) найдите ZACE, если ZACD = 56°, ZABD = 40°.
Решение, а) В треугольниках
ABD и ECD имеем: BD = DC, так
как AD — медиана; AD = DE по уело- //
вию; ZADB = ZEDC, так как эти уг- //
лы — вертикальные (рис. 48). Следова
тельно, AABD = AECD по первому
признаку равенства треугольников.Рис. 48
б) Из равенства треугольников
ABD и ECD следует, что ZECD = ZABD, поэтому ZECD = 40°.
ZACE = ZACD + ZECD = 56° + 40° = 96°.
Ответ, б) 96°.
2 Л. С. Атанасян и др.
В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите стороны треугольника.
Решение. Пусть основание равнобедренного треугольника равно ж, тогда каждая боковая сторона равна 2х. Следовательно,
х + 2х + 2х = 50 см, откуда х = 10 см, 2х = 20 см.
Ответ. 10 см, 20 см, 20 см.
Периметр равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС равен 40 см, а периметр равностороннего треугольника BCD равен 45 см. Найдите стороны АВ и ВС.
Решение. Так как треугольник BCD равносторонний, то каждая его сторона равна 45см : 3 = 15 см. Итак, ВС = 15 см.
Поэтому АВ + АС = 40 см — ВС = 25 см. По условию ВС — основание равнобедренного треугольника АВС, следовательно, АВ = = АС = 25 см : 2 = 12,5 см.
Ответ. АВ = 12,5 см, ВС = 15 см.
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена медиана АМ. Найдите медиану АМ, если периметр треугольника АВС равен 32 см, а периметр треугольника АВМ равен 24 см.
Решение. Из условия задачи следует:
АВ + АС + ВС = 32 см, или 2АВ А ВС = 32 см;
АВ + ВМ + АМ = 24 см.
Но ВМ = ^ ВС, так как точка М — середина стороны ВС, поэтому
АВ + ВС + АМ = 24 см.
Отсюда
АМ = 24 см - ^АВ + | ВС^ == 24 см — ^ (2АВ + ВС) = 24 см — ^ • 32 см = 8 см.
Ответ. 8 см.
ПО. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник равнобедренный.
Решение. Пусть АМ — медиана и высота треугольника АВС. Тогда ВМ = МС, А АМ В = ZAMC = 90°, АМ - общая сторона треугольников АМВ и АМС. Следовательно, ЛАМВ = ААМС по первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что АВ = АС, т. е. ААВС — равнобедренный.
На рисунке 49 (рис. 65 учебника) CD = BD, Zl = Z2. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.
Решение. AADB = AADC по первому признаку равенства треугольников (AD — общая сторона, DB = DC и Zl = Z2 по условию). Отсюда следует, что АВ = АС, т. е. ААВС — равнобедренный.
На рисунке 50 (рис. 66 учебника) АВ = ВС, Z1 = 130°. Найдите Z2.
Решение. Так как АВ = ВС, то ААВС — равнобедренный. Поэтому ZA = ZC (углы при основании равны).
Углы 1 и С — смежные, следовательно,
ZC = 180° - Z1 = 180° - 130° = 50° и ZA = 50°.
Углы А и 2 — вертикальные, поэтому Z2 = ZA = 50°.
Ответ. 50°.
Точки М и Р лежат по одну сторону от прямой Ь. Перпендикуляры MN и PQ, проведенные к прямой Ь, равны. Точка О — середина отрезка NQ. а) Докажите, что ZOMP = ZOPM; б) найдите ZNOM, если ZMOP = 105°.
Решение, a) AMNO = APQO по первому признаку равенства треугольников: MN = PQ по условию; QO = NO, так как точка О — середина NQ; ZMNO = ZPQO = 90°, так как MN ± Ь и PQ ± b (рис. 51). Отсюда следует, что ОМ = ОР. Поэтому треугольник ОМР — равнобедренный и, следовательно, углы при его основании равны:
ZOMP = ZOPM.
б) Из равенства треугольников MN0 и PQO следует, что
ZNOM = ZQOP.
Углы N0M, МОР и QOP составляют развернутый угол, поэтому
ZNOM + ZMOP + ZQOP = 180°, или
2ZNOMP 105° = 180°,
откуда
ZNOM = j (180° - 105°) = 37°30'.
Ответ, б) 37°30'.
Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведенные к равным сторонам, равны.
Решение. Пусть в равных треугольниках АВС и АХВХСХ\ АВ = = АХВХ, ВС = ВХСХ, АВ = АВХ, АМ и АХМХ — медианы (рис. 52). Тогда
ВМ = ^ВС,ВХМХ = ^ВХСХ,
и, следовательно, ВМ = ВХМХ.
115. Медиана АМ треугольника АВС равна отрезку ВМ. Докажите, что один из углов треугольника АВС равен сумме двух других углов.Решение. ВМ = МС, так как АМ — медиана, АМ = ВМ — по условию, поэтому АМ = МС (рис. 53).115. Медиана АМ треугольника АВС равна отрезку ВМ. Докажите, что один из углов треугольника АВС равен сумме двух других углов.Решение. ВМ = МС, так как АМ — медиана, АМ = ВМ — по условию, поэтому АМ = МС (рис. 53).Рис. 52Рис. 52ЛАВМ = ААХВХМХ по первому признаку равенства треугольников, поэтому АМ = АХМХ, что и требовалось доказать.
115. Медиана АМ треугольника АВС равна отрезку ВМ. Докажите, что один из углов треугольника АВС равен сумме двух других углов.
Решение. ВМ = МС, так как АМ — медиана, АМ = ВМ — по условию, поэтому АМ = МС (рис. 53).
115. Медиана АМ треугольника АВС равна отрезку ВМ. Докажите, что один из углов треугольника АВС равен сумме двух других углов.
Решение. ВМ = МС, так как АМ — медиана, АМ = ВМ — по условию, поэтому АМ = МС (рис. 53).
Рис. 52
Рис. 52
Рис. 53
Таким образом, треугольники АМВ и АМС — равнобедренные. Следовательно, Zl = Z3 и Z2 = Z4, откуда
Zl + Z2 = Z3 + Z4, т. е. АВ А АС = АА, что и требовалось доказать.
Докажите, что в равностороннем треугольнике все углы равны.
Решение. Пусть треугольник АВС — равносторонний. Тогда АВ = АС и В А = ВС. Из первого равенства следует, что АВ = = АС (углы при основании равнобедренного треугольника равны), а из второго, что АА = АС. Итак,
АА = АВ = АС,
что и требовалось доказать.
На рисунке 54 (рис. 67 учебника) АВ = ВС, CD = DE. Докажите, что ABAC = AGED.
Решение. Треугольники АВС и CDE — равнобедренные, следовательно,
ABAC = АВС А и AGED = ADCE.
Но углы ВС А и ВСЕ — вертикальные, поэтому ZBCA = ZBCE.
Из этих равенств следует, что ZBAC = ZCED.
На основании ВС равнобедренного треугольника АВС отмечены точки М и N так, что ВМ = CN. Докажите, что: a) АВ АМ = AC AN; б) треугольник AMN — равнобедренный.
Решение, a) ZB = ZC (углы при основании равнобедренного треугольника равны).
АВАМ = AC AN по первому признаку равенства треугольников (В А = С А и ВМ = CN по условию, ZB = ZC, рис. 55).
б) Из равенства треугольников В АМ и CAN следует, что АМ = = AN, т. е. треугольник AMN — равнобедренный.
В равнобедренном треугольнике ВЕК с основанием В К отрезок ЕЕ — биссектриса, ВК = 16 см, ZBEF = 43°. Найдите KF, ZBEC, ZEFB.
Решение. В равнобедренном треугольнике ВЕК биссектриса ЕЕ, проведенная к основанию ВК (рис. 56), является медианой и высотой. Поэтому
KF = | ВК = 8 см, ZEFB = 90°.
Так как ЕЕ — биссектриса угла ВЕК, то ZBEK = 2ZBEF = 86°. Ответ. KF = 8 см, ZBEK = 86°, ZEFB = 90°.
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана ВВ. На сторонах АВ и СВ отмечены соответственно точки Е и F так, что АЕ = CF. Докажите, что: a) ABBE = ABBF; б) ААВЕ = ACBF.
Решение, а) По условию В А = ВС и АЕ = = СЕ, поэтому BE = BE (рис. 57).
Медиана ВВ, проведенная к основанию АС равнобедренного треугольника АВС, является также биссектрисой, следовательно, Zl = Z2.
ABDE = ABDF по первому признаку равенства треугольников (BE = BE, BD — общая сторона, Zl = Z2).
б) Так как треугольник АВС равнобедренный, то ZA = ZC. AADE = ACDF по первому признаку равенства треугольников (AD = CD, так как BD — медиана; АЕ = СЕ по условию; ZA = ZC\
§ 3. Второй и третий признаки равенстватреугольников
CD = 26 см, AD = 15 см.CD = 26 см, AD = 15 см.Рис. 58Рис. 58Отрезки АВ и CD пересекаются в середине О отрезка АВ, ZOAD = = ZOBC. а) Докажите, что АСВО = ADAO; б) найдите ВС и СО, если
CD = 26 см, AD = 15 см.
CD = 26 см, AD = 15 см.
Рис. 58
Рис. 58
Решение, а) АС ВО = ADAO по второму признаку равенства треугольников: ОВ = О А и ZOBC = ZOAD по условию; Zl = Z2, так как эти углы — вертикальные (рис. 58).
Ответ, б) ВС = 15Ответ, б) ВС = 15б) Из равенства треугольников СВО и DAO следует, что ВС = AD и СО = OD. Поэтому ВС = 15 см, СО = ^ CD = 13 см. см, СО = 13 см.
Ответ, б) ВС = 15
Ответ, б) ВС = 15
На рисунке 43 (рис. 53 учебника) Zl = Z2, Z3 = Z4. а) Докажите, что ААВС = ACDA; б) найдите АВ и ВС, если AD = 19 см, CD = 11 см.
Решение, а) ААВС = ACDA по второму признаку равенства треугольников (АС — общая сторона; Zl = Z2 и Z3 = Z4 по условию).
б) Из равенства треугольников АВС и CD А следует, что АВ = CD и ВС = AD. Поэтому АВ = 11 см, ВС = 19 см.
Ответ, б) АВ = 11 см, ВС = 19 см.
На биссектрисе угла А взята точка D, а на сторонах этого угла — точки В и С такие, что ZADB = ZADC. Докажите, что BD = CD.
Решение. AABD = AACD по второму признаку равенства треугольников: AD — общая сторона; ZBAD = ZCAD, так как AD — биссектриса угла A; ZADB = ZADC по условию (рис. 59). Отсюда следует, что BD = CD.
По данным рисунка 60 (рис. 73 учебника) докажите, что ОР = ОТ, ZP = ZT.
Решение. АОВР = АООТ по второму признаку равенства треугольников (ОВ = ОС и ZB = ZC по условию; ZBOP = ZCOT, так как эти углы — вертикальные). Отсюда следует, что ОР = ОТ и ZP = ZT.
Рис. 59Рис. 60Рис. 59Рис. 60
Рис. 59Рис. 60
Рис. 59Рис. 60
На рисунке 61 (рис. 74 учебника) ZDBC = ZDAC, ВО = АО. Докажите, что ZC = ZD и АС = BD.
Решение. ААОС = ABOD по второму признаку равенства треугольников (АО = ВО и ZOAC = ZOBD по условию; ZAOC = = ZBOD, так как эти углы вертикальные). Отсюда следует, что ZC = = ZD и АС = BD.
Рис. 61Рис. 61На рисунке 61 (рис. 74 учебника) ZDAB = ZCBA, ZCAB = ZDBA, С А = 13 см. Найдите DB.
Рис. 61
Рис. 61
Решение. ADAB = АС В А по второму признаку равенства треугольников (АВ — общая сторона, ZDAB = ZCBA и ZDBA = = ZCAB по условию). Отсюда следует, что DB = С А и, следовательно, DB = 13 см.
Ответ. 13 см.
В треугольниках АВС и А\В\С\ АВ = АхВх, ВС = В\С\, ZB = = ZB\. На сторонах АВ и А\В\ отмечены точки D и Dx так, что ZACD = = ZA\C\D\. Докажите, что ABCD = ABxCxDx.
Решение. ААВС = АА\В\Сх по первому признаку равенства треугольников (рис. 62). Поэтому ZACB = ZAiCiBi. Из равенства
Рис. 62
этих углов, а также равенства углов ACD и A\C\Dx следует, что ZBCD = ZBxCxDx.
ABCD = ABxCxDx по второму признаку равенства треугольников (ВС = ВхСх, ZB = ZBX, ZBCD = ZBxCxDxY
Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, проведенные к соответственно равным сторонам, равны.
Решение. Пусть ААВС = ААхВхСх, причем АА = ААх, АВ = = АВх, АВ = А\В\ (рис.63), и пусть AD и AxDx — биссектрисы треугольников АВС и А\В\С\. Докажем, что AD = A\D\.
Рис. 63Рис. 63
Рис. 63
Рис. 63
AABD = AAxBxDx по второму признаку равенства треугольников (АВ = АхВх; АВ = АВх; ABAD = АВх AxDx, так как AD и AxDx — биссектрисы равных углов А и Ai). Отсюда следует, что AD = AxDx.
Отрезки АС и BD пересекаются в середине О отрезка АС, АВСО = = ADAO. Докажите, что АВОА = ADOC.
Решение. АВОС = ADO А по второму
® С признаку равенства треугольников: ОС = О А
и ^ВСО = ADAO по условию; АВОС =
//= ADO А, так как эти углы — вертикаль
ные (рис. 64). Поэтому OB = OD.
DABO А = ADOC по первому признаку ра
венства треугольников (ОА = ОС; OB = OD;
Рис. 64А\ = Z2, так как эти углы — вертикальные).
В треугольниках АВС и А\В\С\ отрезки СО и С\О\ — медианы, ВС = В\С\, АВ = АВ\ и АС = АС\. Докажите, что: а) ААСО = AAiCiOi; б) АВСО = АВхСхОх.
Решение, а) ААВС = ААхВхСх по второму признаку равенства треугольников (рис.65). Отсюда следует, что АВ = АхВх, АС = АхСх и АА = ААХ.
Так как АВ = АхВх, а точки О и Ох — середины сторон АВ и АхВх, то АО = ОВ = АХОХ = ОХВХ.
/ААСО = ЛЛ1С1О1 по первому признаку равенства треугольников (АС = АхСх, АО = АхОх, АА = ААХ\
б) ЛВСО = АВхСхОх по первому признаку равенства треугольников (ВС = ВхСх, ВО = ВхОх, АВ = АВХ\
В треугольниках DEF и MNP ЕЕ = NP, DE = МР и ZF = ZF. Биссектрисы углов Е и D пересекаются в точке О, а биссектрисы углов М и N — в точке К. Докажите, что ZDOE = ZMKN.
Решение. ADEF = AMNP по первому признаку равенства треугольников (рис. 66). Поэтому
DE = MN, AD = АМ, АЕ = AN.
Рис. 67Рис. 67Отсюда следует, что АМ = AN, т. е. треугольник AMN — равнобедОтсюда следует, что АМ = AN, т. е. треугольник AMN — равнобедренный.ренный.
Рис. 67
Рис. 67
Отсюда следует, что АМ = AN, т. е. треугольник AMN — равнобед
Отсюда следует, что АМ = AN, т. е. треугольник AMN — равнобед
ренный.
ренный.
Рис. 66
Так как DO, EO, МК, NK — биссектрисы углов, то
zi = Nd = Nm = /2,22
Z3 = I ZE = ZN = Z4,
ADEO = AMNK по второму признаку равенства треугольни
ков (DE = MN, Zl = Z2, Z3 = Z4).
Отсюда следует, что ADOE = AMKN.
Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, пересекает стороны угла в точках М и N. Докажите, что треугольник AMN — равнобедренный.
Решение. Пусть О — точка пересечения биссектрисы угла А и прямой MN, перпендикулярной к АО (рис. 67).
ААОМ = AAON по второму признаку равенства треугольников (АО — общая сторона, АОАМ = AOAN, ААОМ = AAON = 90°).
Докажите, что если биссектриса треугольника совпадает с его высотой, то треугольник — равнобедренный.
Решение. Пусть AD — биссектриса и высота треугольника АВС (рис. 68). Тогда AABD = AACD по второму признаку равенства треугольников (AD — общая сторона, ZBAD = ZCAD, ZADB = = ZADC = 90°). Отсюда следует, что АВ = АС, т. е. треугольник АВС — равнобедренный.
Докажите, что равнобедренные треугольники равны, если основание и прилежащий к нему угол одного треугольника соответственно равны основанию и прилежащему к нему углу другого треугольника.
Решение. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Поэтому, если основание и прилежащий к нему угол одного равнобедренного треугольника соответственно равны основанию и прилежащему к нему углу другого равнобедренного треугольника, то равны также два других угла, прилежащих к этим основаниям, и, следовательно, треугольники равны по второму признаку равенства треугольников.
Докажите, что если сторона одного равностороннего треугольника равна стороне другого равностороннего треугольника, то треугольники равны.
Решение. Так как треугольники равносторонние, то из равенства двух сторон этих треугольников следует, что все стороны этих треугольников равны друг другу и, следовательно, треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников.
136. На рисунке 69 (рис. 52 учебника) АВ = AC, BD = DC и ZBAC = = 50°. Найдите ZCAD.
Рис. 68Рис. 69
Решение. AABD = AACD по третьему признаку равенства треугольников (АВ = АС, BD = DC, AD — общая сторона), поэтому Z\ = Z2. По условию ZBAC = Z\ + Z2 = 50°. Отсюда следует, что ZCAD = Z2 = 25°.
Ответ. 25°.
На рисунке 70 (рис. 53 учебника) ВС = AD, АВ = CD. Докажите, что АВ = AD.
Решение. ААВС = ACDA по третьему признаку равенства треугольников (АВ = CD, ВС = AD, АС — общая сторона), поэтому АВ = AD.
На рисунке 71 (рис. 75 учебника) АВ = CD и BD = АС. Докажите, что: a) ACAD = AADB; б) ABAC = АСОВ.
Рис. 70Рис. 71
Решение, a) AABD = AACD по третьему признаку равенства треугольников (АВ = CD, BD = АС, AD — общая сторона). Отсюда следует, что AADB = ACAD.
б) ААВС = ADCB по третьему признаку равенства треугольников (АВ = CD, АС = BD, ВС — общая сторона). Отсюда следует, что ABAC = АСОВ.
На рисунке 72 (рис. 76 учебника) АВ = СО, АО = ВС, BE — биссектриса угла ABC, DF — биссектриса угла ADC. Докажите, что: а) ААВЕ = AADF; б) ЛАВЕ = ACDF.
Решение, а) ААВС = АС О А по тре
тьему признаку равенства треугольни- В ^С
ков (АВ = СО, ВС = АО, АС — общая ZV
сторона). Отсюда следует, что АВ = АО. гг
Отрезки BE и DF — биссектрисы в рав- /
ных треугольниках, проведенные к рав
ным сторонам, поэтому BE = OF (за
дача 128) и ААВЕ = AADF, ААВЕ =Рис 72
= ACDF.'
б) ААВЕ = ACDF по первому признаку равенства треугольников (АВ = CD, BE = DF, ААВЕ = ACDF\
В треугольниках АВС и А\В\С\ медианы ВМ и ВХМХ равны; АВ = = А\В\, АС = А\С\. Докажите, что ААВС = АА\В\С\.
Решение. Так как АС = А\С\, а точки М и М\ — середины сторон АС и А\С\, то АМ = А\М\ (рис. 73).
ААВМ = АА\В\М\ по третьему признаку равенства треугольников (АВ = А\В\, ВМ = В\М\, АМ = А\М\\ Отсюда следует, что АА = ААХ.
ВВВВ
В
В
В
В
Рис. 73
ААВС = АА\В\С\ по первому признаку равенства треугольников (АВ = АХВХ, АС = АхСь ZA = ZAX\
В треугольниках АВС и АхВхСх отрезки AD и AxDx — биссектрисы, АВ = АхВх, BD = BxDx и AD = AxDx. Докажите, что Z\ABC = ZXAxBxCx.
Решение. AABD = AAiBiDi по третьему признаку равенства треугольников (рис. 74). Отсюда следует, что Zl = Z2 и ZB = ZB\.
Рис. 75Рис. 75
Рис. 75
Рис. 75
Рис. 74
Так как AD и AxDx — биссектрисы и Zl = Z2, то ZA = ZA\.
ААВС = ААхВхСх по второму признаку равенства треугольников (АВ = АхВх, ZA = ZAX) ZB = ZBx).
Равнобедренные треугольники ADC и CBD имеют общее основание DC. Прямая АВ пересекает отрезок CD в точке О. Докажите, что: a) ZADB = ZACB; б) DO = ОС.
Решение, а) По условию АС = AD и ВС = = BD. Отрезок АВ — общая сторона треугольников АВС и ABD (рис. 75, на этом рисунке точка В лежит на луче АО; случай, когда точка В лежит на продолжении луча АО, рассматривается аналогично). Поэтому А АВС = AABD по третьему признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что ZADB = ZACB.
Из равенства треугольников АВС и ABD следует также, что ZCAB = ZDAB. Это означает, что АО — биссектриса равнобедренного
треугольника ACD. Следовательно, АО — также медиана треугольника ACD, т. е. DO = ОС.
§ 4. Задачи на построение
Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС равны; в) ZBAD = ZBCD.
Решение, а) ААОС = ABOD по двум сторонам и углу между ними: О А = О В и ОС = OD, так как эти отрезки — радиусы окружности; ZAOC = ZBOD, так как эти углы — вертикальные (рис. 76). Отсюда следует, что АС = BD.
Аналогично, из равенства треугольников AOD и ВОС следует, что AD = ВС.
AABD = ACDB по трем сторонам: АВ = CD, так как эти отрезки — диаметры окружности; AD = ВС (п.б); BD — общая сторона. Отсюда следует, что ZBAD = ZBCD.
Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, а МР и РК — равные хорды этой окружности. Найдите ZPOM.
Решение. Отрезок РО — медиана равнобедренного треугольника МРК (рис. 77). Поэтому РО — также и высота этого треугольника, т. е. ZPOM = 90°.
Ответ. 90°.
Отрезки АВ и CD — диаметры окружности с центром О. Найдите периметр треугольника AOD, если известно, что СВ = 13 см, АВ = 16 см.
Решение. Обратимся к рисунку 76. В задаче 144 б) доказано, что AD = ВС, поэтому AD = 13 см.
Так как О А и OD — радиусы окружности, то О А = OD = - АВ = = 8 см.
Следовательно, Paod = AD + О А + OD = 29 см.
Ответ. 29 см.
147. На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол АОВ — прямой. Отрезок ВС — диаметр окружности. Докажите, что хорды АВ и АС равны.
Решение. АЛОВ = /ХАОС (рис. 78) по двум сторонам и углу между ними. Отсюда следует, что АВ = АС.
На прямой даны две точки Л и В. На продолжении луча ВА отложите отрезок ВС так, чтобы ВС = 2ЛВ.
Решение. Проведем окружность радиуса В А с центром в точке В. Она пересекает прямую АВ в точках Аи D (рис. 79).
Далее проведем окружность радиуса DB с центром в точке D. Она пересекает прямую АВ в точках В и С.
Отрезок ВС — искомый, поскольку АВ = BD = DC, и поэтому ВС = 2ЛВ.
149. Даны прямая а, точка В, не лежащая на ней, и отрезок PQ. Постройте точку М на прямой а так, чтобы ВМ = PQ. Всегда ли задача имеет решение?
Решение. Построим окружность с центром В, радиус которой равен PQ (рис. 80). Если эта окружность имеет общую точку М с прямой
Рис. 79Рис. 80
а, то М — искомая точка, поскольку ВМ = PQ. Если же построенная окружность не имеет общих точек с прямой а, то задача не имеет решения.
Ответ. Не всегда.
Даны окружность, точка А, не лежащая на ней, и отрезок PQ. Постройте точку М на окружности так, чтобы АМ = PQ. Всегда ли задача имеет решение?
Решение. Построим окружность с центром А, радиус которой равен PQ (рис. 81). Если эта окружность имеет общую точку М с данной окружностью, то М — искомая точка, поскольку АМ = PQ. Если же построенная окружность не имеет общих точек с данной окружностью, то задача не имеет решения.
Даны острый угол ВАС и луч XY. Постройте угол YXZ так, чтобы ZYXZ = 2ZBAC.
Решение. Сначала от данного луча XY отложим угол DXY, равный данному углу ВАС (рис. 82). Построение угла, равного данному, описано в п. 23 учебника.
Затем от луча XD отложим угол ZXD, равный углу ВАС, как показано на рисунке 82.
Угол YXZ — искомый, так как ZYXZ = 2ZBAC.
Ответ. Не всегда.
Рис. 81Рис. 81152. Дан тупой угол АО В. Постройте луч ОХ так, чтобы углы ХОА152. Дан тупой угол АО В. Постройте луч ОХ так, чтобы углы ХОАи ХОВ были равными тупыми углами.
Рис. 81
Рис. 81
152. Дан тупой угол АО В. Постройте луч ОХ так, чтобы углы ХОА
152. Дан тупой угол АО В. Постройте луч ОХ так, чтобы углы ХОА
Решение. Построим биссектрису OY данного тупого угла АОВ (рис. 83). Построение биссектрисы угла описано в п. 23 учебника.
Проведем далее прямую OY и обозначим через ОХ луч, являющийся продолжением луча OY. Докажем, что луч ОХ является искомым.
В самом деле, углы ХОА и ХОВ являются смежными с равными острыми углами YOA и YOB. Поэтому АХО А и АХОВ — равные тупые углы.
Рис. 83Рис. 83Дан треугольник АВС. Постройте: а) биссектрису АК; б) медиану ВМ; в) высоту СН треугольника.
Рис. 83
Рис. 83
Решение, а) Построим биссектрису угла А (как это сделать, описано в п. 23 учебника) и обозначим буквой К точку пересечения построенной биссектрисы со стороной ВС. Отрезок АК — искомая биссектриса треугольника АВС.
Построим середину отрезка АС (как это сделать, описано в п. 23) и обозначим ее буквой М. Проведем отрезок ВМ. Этот отрезок и есть искомая медиана треугольника АВС.
Построим прямую, проходящую через точку С и перпендикулярную к прямой АВ (см. задачу 153). Обозначим буквой Н точку пересечения построенной прямой и прямой АВ. Отрезок СН — искомая высота треугольника АВС.
С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный: а) 45°; б) 22°зо'.
Решение. Проведем прямую и отметим на ней точки А и В. Затем построим прямую АС, перпендикулярную к прямой АВ (как это сделать, описано в п.23 учебника). Очевидно, ABAC = 90°.
Построим биссектрису AD угла ВАС. Тогда ABAD = 45°.
Построив теперь биссектрису АЕ угла BAD, получим угол ВАЕ, равный 22°30'.
Дополнительные задачи
Периметр треугольника АВС равен 15 см. Сторона ВС больше стороны АВ на 2 см, а сторона АВ меньше стороны АС на 1 см. Найдите стороны треугольника.
Решение. По условию
АВ + ВС + АС = 15 см, ВС = АВ + 2 см,
АВ = АС - 1 см.
Отсюда получаем
АВ + (АВ + 2 см) + (АВ + 1 см) = 15 см,
или ЗАВ = 12 см.
Следовательно, АВ = 4 см, ВС = 6 см, АС = 5 см.
Ответ. АВ = 4 см, ВС = 6 см, АС = 5 см.
В равнобедренном треугольнике основание больше боковой стороны на 2 см, но меньше суммы боковых сторон на 3 см. Найдите стороны треугольника.
Решение. Пусть ВС — основание равнобедренного треугольника АВС. Тогда
АВ = АС, ВС = АВ + 2 см, ВС = АВ + АС - 3 см.
Отсюда получаем:
АВ + 2 см = АВ + АВ - 3 см
и, следовательно, АВ = 5 см.
Поэтому ВС = 7 см, АС = 5 см.
Ответ. 5 см, 5 см, 7 см.
Основание равнобедренного треугольника равно 8 см. Медиана, про
веденная к боковой стороне, разбивает треугольник на два треугольника так,
Рис. 84Рис. 84что периметр одного треугольника на 2 см больше периметра другого. Найдите боковую сторону данного треугольника.
Рис. 84
Рис. 84
Решение. Пусть в треугольнике АВС; ВС = 8 см, АВ = АС, ВМ — медиана (рис. 84). Возможны два случая: а) Равм = Рсвм + + 2 см; б) Рсвм = Равм + 2 см.
АВ + ВМ + АМ = ВС + ВМ + МС + + 2 см. Отсюда, учитывая равенство АМ = = МС, получаем: АВ = ВС + 2 см = 8 см + + 2 см = 10 см.
ВС + ВМ + МС = АВ + ВМ + АМ + 2 см. Отсюда получаем: ВС = АВ + 2 см, т. е. АВ = ВС - 2 см = 8 см - 2 см = 6 см.
Ответ. 10 см или 6 см.
Докажите, что два равнобедренных треугольника равны, если боковая сторона и угол, противолежащий основанию, одного треугольника соответственно равны боковой стороне и углу, противолежащему основанию, другого треугольника.
Решение. Указанные треугольники равны по двум сторонами и углу между ними.
Прямая а проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к нему. Докажите, что: а) каждая точка прямой а равноудалена от точек А и В; б) каждая точка, равноудаленная от точек Л и В, лежит на прямой а.
Решение. Пусть точка О — середина отрезка АВ (рис. 85).
Точка О, очевидно, равноудалена от то
чек А и В, т. е. АО = ВО.а
Пусть М — произвольная точка прямойА
а, отличная от точки О. Тогда ААОМ =/ \
= АВОМ по двум сторонам и углу меж-/\
ду ними (АО = ВО, МО — общая сторона, /\
ZAOM = ZBOM = 90° по условию). Отсюда /\
следует, что МА = МВ, т. е. точка М равно- / , у , \ удалена от точек А и В.О5
Пусть точка М равноудалена от точек А
и В, т. е. МА = МВ. Докажем, что точка МРис- $5
лежит на прямой а.
Если точка М лежит на прямой АВ, то она совпадает с точкой О и, следовательно, лежит на прямой а. Если же точка М не лежит на прямой АВ, то точки М, А и В являются вершинами равнобедренного треугольника МАВ. Отрезок МО — медиана этого треугольника, а следовательно, и высота, т. е. МО ± АВ. Отсюда следует, что прямая МО совпадает с прямой а и, значит, точка М лежит на прямой а.
В треугольниках АВС и А\В\С\ медианы АМ и AiMi равны, ВС = = В\С\ и ZAMB = ZA\M\B\. Докажите, что А АВС = АА\В\С\.
Решение. Так как ВС = В\С\, то ВМ = ^ ВС = ^BiCi = В\М\. Следовательно, ААВМ = АА\В\М\ по двум сторонам и углу между ними (рис. 86). Из равенства этих треугольников следует, что АВ = = А\В\ и ZB = ZB\.
Так как АВ = А1ВЬ ВС = ВХСХ и ZB = ZBX, то ААВС = = /ХАхВхСх (по двум сторонам и углу между ними).
На рисунке 87 (рис. 92 учебника) треугольник ADE — равнобедренный, DE — основание. Докажите, что: а) если BD = СЕ, то ZCAD = ZBAE и АВ = АС; б) если ZCAD = ZBAE, то BD = СЕ и АВ = АС.
Решение. Так как треугольник ADE — равнобедренный с основанием DE, то AD = АЕ и ZD = ZE.
Если BD = СЕ, то DC = BE и тогда AADC = /ХАЕВ по двум сторонам и углу между ними (AD = АЕ, DC = ЕВ, ZD = ZE\ Отсюда следует, что АС = АВ и ZCAD = ZBAE.
Если ZCAD = ZBAE, то ZXADC = /ХАЕВ по стороне и двум прилежащим углам (AD = АЕ, ZCAD = ZBAE, ZD = ZE\ Отсюда следует, что АС = АВ и DC = BE. Последнее равенство запишем в виде: BD + ВС = ВС + СЕ, откуда получаем BD = СЕ, что и требовалось доказать.
Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника.
Решение. Пусть треугольник АВС — равнобедренный с основанием ВС, а точки Ах, Вх, Сх — середины его сторон (рис.88). Тогда АВ = AC, ZB = ZC, ВС{ = ^ АВ = ^ АС = СВХ, ВАХ = САХ. Следовательно, /ХВАхСх = /ХСАхВх по двум сторонам и углу между ними. Отсюда следует, что АХСХ = АХВХ, т. е. треугольник АХВХСХ — равнобедренный, что и требовалось доказать.
На сторонах равностороннего треугольника АВС отложены равные отрезки AD, BE и СЕ, как показано на рисунке 89 (рис. 93 учебника). Точки D, Е, F соединены отрезками. Докажите, что треугольник DEF — равносторонний.
Решение. Так как треугольник АВС — равносторонний, то ZA = = ZB = ZC, а так как AD = BE = СЕ, то CD = АЕ = BF. Отсюда следует, что треугольники ADE, BEF и CFD равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому DE = ЕЕ = FD, т. е. треугольник DEF — равносторонний.
Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине О. На отрезках АС и BD отмечены точки К и Ку так, что АК = ВКу. Докажите, что: а) ОК = ОКу; б) точка О лежит на прямой К Ку.
Решение, а) /ХАОС = /XBOD по двум сторонам и углу между ними (рис. 90), откуда следует, что ДА = ДВ.
ААОК = АВОКу по двум сторонам и углу между ними, поэтому ОК = ОКу.
б) Из равенства треугольников АОК и ВОКу следует также, что Z1 = Д2.
Пусть луч ОК2 — продолжение луча ОК. Тогда Z1 = ДВОК^.
Из последних двух равенств следует, что Z2 = ДВОК^, т. е. ДВОКу = ДВОК2, а это означает, что лучи ОКу и ОК2 совпадают, т. е. луч ОКу является продолжением луча ОК. Поэтому точки О, К и Ку лежат на одной прямой.
Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине О. Точки М и N — середины отрезков АС и BD. Докажите, что точка О — середина отрезка MN.
Решение. /ХАОС = /XBOD по двум сторонам и углу между ними (см. рис. 90), поэтому АС = BD и, следовательно, АМ = - АС = 1
= -BD = BN. Отсюда, используя задачу 165, получаем, что ОМ = = ON и точки О, М и N лежат на одной прямой. Поэтому точка О — середина отрезка MN.
Стороны равностороннего треугольника АВС продолжены, как показано на рисунке 91 (рис. 94 учебника), на равные отрезки AD, СЕ, BF. Докажите, что треугольник DEF — равносторонний.
Решение. Так как треугольник АВС — равносторонний, то углы А, В и С равны друг другу. Отсюда следует, что смежные с ними углы DAE, FBD и ECF также равны друг другу, а так как АЕ = = BD = CF и AD = BF = СЕ, то треугольники ADE, BED и CEF равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства этих треугольников следует, что DE = FD = ЕЕ, т. е. треугольник DEF — равносторонний.
В треугольнике АВС АА = 38°, АВ = 110°, АС = 32°. На стороне АС отмечены точки D и Е так, что точка D лежит на отрезке АЕ, BD = DA, BE = = ЕС. Найдите ADBE.
Решение. Так как треугольники ADB и ВЕС — равнобедренные (рис.92), то А\ = АА = 38°, А2 = = АС = 32°. Поэтому
ADBE = АВ - А\ - А2 = 110° - 38° - 32° = 40°.
Ответ. 40°.
На рисунке 93 (рис. 95 учебника) ОС = OD, OB = ОЕ. Докажите, что АВ = ЕЕ. Объясните способ измерения ширины озера (отрезка АВ на рисунке 93), основанный на этой задаче.
Рис. 93Рис. 93Решение. АВОС = ЛВОЕ по двум сторонам и углу между ними, поэтому AD = АС и ВС =
Рис. 93
Рис. 93
= DE.
ЛАОС = AFOD по стороне и двум прилежащим к ней углам (ОС = OD по условию; АС = = AD; ААОС = AFOD, так как эти углы — вертикальные). Отсюда следует, что АС = DF, а так как ВС = DE, то АВ = ЕЕ, что и требовалось доказать.
Докажите, что треугольники АВС и АХВХСХ равны, если АВ = АХВХ, А А = ААХ, AD = AXDX, где AD и AXDX — биссектрисы треугольников.
Решение. ЛАВЕ = AA1B1D1 по двум сторонам и углу между ними (рис.94). Отсюда следует, что АВ = АВХ.
ЛАВС = ЛАХВХСХ по стороне и двум прилежащим к ней углам (АВ = АХВХ, АА = ААХ, АВ = АВХ\
В треугольниках АВС и ADC стороны ВС и AD равны и пересекаются в точке О, ZOAC = ZOCA. Докажите, что треугольники АВО и CDO равны.
Решение. Обратимся к рисунку 95. ААВС = AADC по двум сторонам и углу между ними (АС — общая сторона, СВ = AD, ZACB = = ZCADY Отсюда следует, что АВ = CD, ZB = ZD и ZB AC = = ZACD. Из последнего равенства получаем, что Z\ = Z2 (рис.95).
ДАВО = ACDO по стороне и двум прилежащим углам (АВ = CD, ZB = ZD, Z\ = z^y
На рисунке 96 (рис. 96 учебника) AC = AD, AB ± CD. Докажите, что ВС = BD и ZACB = ZADB.
Решение. Так как треугольник ACD — равнобедренный, то высота, проведенная к основанию CD, является биссектрисой, и поэтому ZCAB = ZDAB.
/ZACB = AADB по двум сторонам и углу между ними. Отсюда следует, что ВС = BD и ZACB = ZADB.
Рис. 95Рис. 96Рис. 95Рис. 96
Рис. 95Рис. 96
Рис. 95Рис. 96
Рис. 97Рис. 97
Рис. 97
Рис. 97
173*. Докажите, что угол, смежный с углом треугольника, больше каждого
из двух других углов треугольника.
Решение. Пусть угол BAD — смежный с углом А треугольника
АВС (рис. 97). Докажем, например, что ZBAD > ZB.
Отметим середину О стороны АВ и на продолжении отрезка СО отложим отрезок ОЕ, равный СО. Тогда АВОС = = /\АОЕ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда следует, что ZB = = Z\. Но ZBAD > Z1 и, следовательно, ZBAD > ZB.
. Докажите, что ZZABC = Z\A\B\C\, если ZA = ZAi, ZB = ZBi, ВС = BiCi.
Решение. Наложим треугольник АВС на треугольник АуВуСу так, чтобы сторона ВС совместилась с ВуС\, а сторона В А наложилась
на луч ВуАу. Это можно сделать, так как ВС = ВуСу и ZB = ZBy. Если допустить, что точки А и Ау не совместятся (рис. 98), то получится треугольник СААу, у которого один из углов, прилежащих к стороне ААу, равен углу, смежному с другим углом треугольника СААу (на рисунке 98 ZA = = АВА\С\ Но этого не может быть (см. задачу 173). Следовательно, точка А совместится с точкой Ау, а поэтому и весь треугольник АВС совместится с треугольником АуВуСу, т. е. эти треугольники равны.
175* На сторонах угла XOY отмечены точки А, В, С и D так, что О А = OB, АС = BD (рис. 99). Прямые AD и ВС пересекаются в точке Е. Докажите, что луч ОЕ — биссектриса угла XOY. Используя эту задачу, опишите способ построения биссектрисы угла.
Решение. ЛОАВ = ЛОВС по двум сторонам и углу между ними (ОА = OB, О В = ОС, угол О — общий). Отсюда следует, что YODA = ZOCB.
Сравним треугольники BDE и АСЕ. В этих треугольниках BD = = АС, ZBBE = ZACE и углы с вершиной Е равны как вертикальные.
Рис. 99Рис. 99Поэтому ЛВВЕ = ЛАСЕ (см. задачу 174), и, следовательно, BE = АЕ.
Рис. 99
Рис. 99
ЛОАЕ = ЛОВЕ по трем сторонам. Отсюда следует, что ZAOE = ZBOE, т. е. луч ОЕ — биссектриса угла XOY.
Биссектрису данного угла с вершиной О можно построить следующим образом. На сторонах угла откладываем равные отрезки О А и ОВ, АС и BD, как показано на рисунке 99. Затем проводим отрезки AD и ВС. Они пересекаются
в некоторой точке Е. Остается провести луч ОЕ — это и есть биссектриса данного угла.
176* Докажите, что треугольники АВС и АуВуСу равны, если АВ = = АуВу, АС = АуСу, АМ = АуМу, где AM w АуМу — медианы треугольников.
Решение. На продолжениях отрезков АМ и АуМу отложим отрезки MD и MyDy, равные АМ и АуМу (рис. 100). ЛАМС = ЛВМВ по двум сторонам и углу между ними (АМ = MD по построению; ВМ = МС, так как АМ — медиана; ZAMC = ZBMD, так как эти углы — вертикальные). Отсюда следует, что BD = АС.
Аналогично, из равенства треугольников АуМуСу и By Му Dy следует, что By Dy = АуСу, а так как АС = АуСу (по условию), то BD = = ByDy.
AABD = AA\B\D\ по трем сторонам (АВ = АхВх; BD = BxDx; AD = A\D\, так как AD = 2AM, A\D\ = 2AiMi и AM = A\M\Y Отсюда следует, что медианы ВМ и В\М\ в этих треугольниках равны (см. задачу 114). Поэтому ВС = 2ВМ = 2В\М\ = В\С\ и ААВС = = АА\В\С\ по трем сторонам.
177* Даны два треугольника: АВС и А\В\С\. Известно, что АВ = = AiBi, АС = AiCi, ZA = ZAi. На сторонах АС и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки К и L, а на сторонах АхСх и ВхСх треугольника А\В\С\ — точки Кх и Lx так, что АК = АхКх, LC = LxCx. Докажите, что: a) KL = KxLx; б) AL = AxLx.
Решение. /\АВС = ZXAxBxCx по двум сторонам и углу между ними, поэтому АС = ДСх (рис. 101).
Рис. 101Рис. 101
Рис. 101
Рис. 101
DD
D
D
Так как АС = АХСХ и АК = АхКх, то КС = КХСХ.
AKCL = ZXKxCxLx по двум сторонам и углу между ними. Отсюда следует, что KL = KxLx.
Аналогично, из равенства треугольников ACL и AxCxLx следует, что AL = AxLx.
178* Даны три точки А, В, С, лежащие на одной прямой, и точка D, не лежащая на этой прямой. Докажите, что по крайней мере два из трех отрезков AD, BD и CD не равны друг Другу.
Решение. Пусть точка В лежит между А и С. Предположим, что AD = BD = = CD (рис. 102). Тогда треугольники ADB, BDC и ADC — равнобедренные, откуда следует, что Zl = Z2, Z3 = Z4 и Zl = Z4,
т. е. углы 1, 2, 3 и 4 равны друг другу. Но углы 2 и 3 — смежные, поэтому Z2 + Z3 = 2Z2 = 180°, откуда Z2 = 90°. Итак, Z1 = Z2 = = Z3 = Z4 = Z90°, т. е. из точки D проведены три перпендикуляра к прямой АС, чего не может быть. Следовательно, наше предположение о равенстве отрезков AD, BD и CD неверно. Поэтому хотя бы два из этих отрезков не равны друг другу.
На боковых сторонах АВ и АС равнобедренного треугольника АВС отмечены точки Р и Q так, что ZPXB = ZQXC, где X — середина основания ВС. Докажите, что BQ = СР.
Решение. Так как треугольник АВС — равнобедренный с основанием ВС, то ZB = = ZC (рис. 103).
/\АВРХ = ZZCQX по стороне и двум приле
жащим углам (ВХ = СХ и ZPXB = ZQXC /по условию, ZB = ZC\
РГХ Ха /Отсюда следует, что BP = CQ.
В х С АВРС = ACQB по двум сторонам и углу между ними (BP = CQ, ВС — общая сторона, Рис. 103ZB = ZC\ поэтому СР = BQ, что и требова
лось доказать.
Постройте окружность данного радиуса, проходящую через данную точку, с центром на данной прямой.
Решение. Проведем окружность данного радиуса с центром в данной точке М (рис. 104). Пусть О — общая точка этой окружности и данной прямой а. Проведем теперь окружность данного радиуса с центром в точке О. Эта окружность является искомой.
Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.
Решение. Проведем окружности данного радиуса с центрами в данных точках А и В (рис. 105). Пусть эти окружности имеют общую точку О. Проведем окружность данного радиуса с центром в точке О. Эта окружность — искомая.
Даны прямая а, точки Л, В и отрезок PQ. Постройте треугольник АВС так, чтобы вершина С лежала на прямой а и АС = PQ.
Решение. Проведем окружность с центром в точке А и радиусом, равным PQ (рис. 106). Пусть С — общая точка этой окружности и прямой а. Проведем отрезки АВ, ВС и С А. Если точки А, В и С не лежат на одной прямой, то они являются вершинами искомого треугольника АВС.
Даны окружность, точки Л, В и отрезок PQ. Постройте треугольник АВС так, чтобы вершина С лежала на данной окружности и АС = PQ.
Решение. Проведем окружность с центром в точке А и радиусом, равным PQ (рис. 107). Пусть С — общая точка проведенной и данной
Рис. 107Рис. 107
Рис. 107
Рис. 107
Рис. 108Рис. 108
Рис. 108
Рис. 108
окружностей. Проведем отрезки АВ, ВС и СА. Если точки А, В и С не лежат на одной прямой, то они являются вершинами искомого треугольника АВС.
На стороне ВС треугольника АВС постройте точку, равноудаленную
от вершин А и С.
Решение. Построим середину отрезка АС (точка D на рисунке 108) и прямую, проходящую через точку D и перпендикулярную к прямой АС (как это сделать, описано в п.23 учебника). Точка М пересечения построенной прямой и прямой ВС является искомой точкой, так как МА = МС (см. задачу 160).
С помощью циркуля и линейки разделите данный отрезок на четыре равные части.
Решение. Построим середину данного отрезка (как это сделать, описано в п. 23 учебника), а затем построим середины каждого из двух получившихся отрезков. Построенные три точки разделяют данный отрезок на четыре равные части.
Задачи повышенной трудности к главе 2
Точки Сх и С2 лежат по разные стороны от прямой АВ и расположены так, что АСх = ВС2 и ZBACx = ZABC2. Докажите, что прямая С1С2
проходит через середину отрезка АВ.
Решение. Пусть точка О — середина отрезка АВ (рис. 109). Докажем, что точки Q, О и С2 лежат на одной прямой. Отсюда
последует, что прямая С1С2 проходит через середину О отрезка АВ.
ЛАОСх = АВОС2 по двум сторонам и углу между ними, поэтому ZAOCx = = ZBOC2.
Пусть луч ОС — продолжение луча ОС\. Тогда углы АОСх и ВОС — вертикальные и поэтому ZAOCx = ZBOC. Отсюда и из равенства углов АОСх и ВОС2 следует, что ZBOC = ZBOC2. Эти равные углы отложе
ны по одну сторону от луча ОВ, поэтому лучи ОС и ОС2 совпадают, т. е. луч ОС2 является продолжением луча ОСх, а значит, точки Сх, О и С2 лежат на одной прямой.
Докажите, что если угол, прилежащая к нему сторона и сумма двух других сторон одного треугольника соответственно равны углу, прилежащей к нему стороне и сумме двух других сторон другого треугольника, то такие треугольники равны.
Решение. Пусть в треугольниках АВС и АхВхСх*. ZA = ZAx, АС = АхСх и АВ + ВС = АхВх + ВхСх. Докажем, что ААВС = = ААхВхСх.
Продолжим сторону АВ на отрезок BD, равный ВС, а сторону АхВх — на отрезок BxDx, равный ВхСх (рис. 110). Тогда
AD = АВ + BD = АВ + ВС,АхВх = АхВх + BxDx = АхВх + ВхСх,
откуда следует, что AD = A1D1.
/ZADC = Z\AXDXCX по двум сторонам и углу между ними, поэтому DC = DXCX и ZD = ZDX.
Равнобедренные треугольники BCD и BXCXDX равны по основанию и прилежащему углу, и, следовательно, BD = BXDX, а так как AD = = AXDX, то АВ = АХВХ.
ААВС = ААХВХСХ по двум сторонам (АВ = АХВХ, АС = = Л1С1) и углу между ними (ZA = ZAX).
Сторона и два угла одного треугольника равны какой-то стороне и каким-то двум углам другого. Могут ли эти треугольники быть неравными?
Решение. Приведем пример неравных треугольников, удовлетворяющих условиям задачи.
Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС, в котором АС = = ВС ^ АВ (рис. 111). В этом треугольнике ZA = ZB.
продолжении рассмотримпродолжении рассмотримРис. 111Рис. 111Пусть АН — высота треугольника АВС. На луча НВ отложим отрезок HD, равный НВ, и треугольники АНВ и AHD. Они равны по двум сторонам (НВ = HD, АН — общая сторона) и углу между ними (ZAHB = ZAHD = 90°). Отсюда следует, что АВ = AD и ZB = ZADH.
продолжении рассмотрим
продолжении рассмотрим
Рис. 111
Рис. 111
Так как АВ ^ АС, то точка D не совпадает с точкой С. Поэтому треугольники АВС и ABD не равны. Вместе с тем эти треугольники имеют общую сторону АВ, общий угол В и равные углы САВ и ADB, т. е. эти неравные треугольники удовлетворяют условиям задачи.
Ответ. Да.
Две стороны и угол одного треугольника равны каким-то двум сторонам и углу другого треугольника. Могут ли эти треугольники быть неравными?
Решение. Приведем пример неравных треугольников, удовлетво
ряющих условиям задачи.
Рис. 112Рис. 112Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с основанием АВ и отметим какую- нибудь точку D на продолжении стороны АВ (рис. 112).
Рис. 112
Рис. 112
Треугольники ADC и BDC удовлетворяют условиям задачи (они имеют равные стороны АС и ВС, общую сторону CD и общий угол D\ но не являются равными.
Ответ. Да.
Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. Докажите, что ОС = = OD, если АС = АО = ВО = BD.
Рис. 113Рис. 113Решение. Треугольники АОС и BOD — равнобедренные, поэтому АС = = Z1 и Z2 = AD (рис. 113). Но углы 1 и 2 равны как вертикальные. Поэтому АС = AD.
Рис. 113
Рис. 113
/ХАОС = ABOD по стороне (АО = = ВО), прилежащему к этой стороне углу (Zl = Z2) и противолежащему углу (АС = AD). Этот признак равенства треугольников содержится в задаче 174.
Из равенства треугольников АОС и BOD следует, что ОС = OD.
Глава 3
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
Признаки параллельности двух прямых
На рисунке 114 (рис. 106 учебника) прямые а и b пересечены прямой с. Докажите, что а || Ь, если: a) Z1 = 37°, Z7 = 143°; б) Zl = Z6; в) Z1 = 45°, а угол 7 в три раза больше угла 3.
Решение, а) Так как Z7 и Z8 — смежные углы, то по свойству смежных углов Z7 + Z8 = 180°. По условию Z7 = 143°, поэтому Z8 = = 180° - 143° = 37°. Итак, Zl = Z8 = 37°, а углы 1 и 8 — соответственные углы при пересечении прямых а и b секущей с, следовательно, а || Ь.
Zl = Z6 по условию, Z6 = Z8, так как углы 6 и 8 — вертикальные, поэтому Zl = Z8, а значит, как и в задаче а), а || Ь.
По условию Z7 = 3Z3, Z1 = 45°. Но Zl = Z3, так как углы 1 и 3 — вертикальные, поэтому Z7 = 3Z1 = 135°. Так как Z7 и Z8 — смежные углы, то по свойству смежных углов Z7 + Z8 = 180°. Отсюда следует, что Z8 = 180° — 135° = 45°, т. е. Zl = Z8. Тем самым, как и в задаче а), а || Ь.
По данным рисунка 115 (рис. 107 учебника) докажите, что АВ || DE.
Решение. Z1 = Z2, Z3 = Z4, так как углы 1 и 2, 3 и 4 — углы при основании равнобедренных треугольников АВС и CDE соответственно, Z2 = Z3, так как углы 2 и 3 — вертикальные, поэтому Zl = Z4. Углы 1 и 4 — накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и DE секущей АЕ, следовательно, АВ || DE.
Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине. Докажите, что прямые АС и BD параллельны (рис. 116).
Решение. Треугольники АОС и BOD равны по двум сторонам и углу между ними (АО = OB, СО = OD, так как точка О — общая середина отрезков АВ и CD, Zl = Z2, так как углы 1 и 2 — вертикальные). Из равенства этих треугольников следует, что Z3 = Z4. Углы 3 и 4 — накрест лежащие при пересечении прямых АС и BD секущей АВ, следовательно, АС || BD.
Решение. По условию треугольник АВС — равнобедренный (АВ = ВС), поэтому Zl = Z3, так как Z1 и Z3 — углы при его основании. Zl = Z2 по условию, а значит, Z2 = Z3. Углы 2 и 3 - накрест лежащие углы при пересечении прямых ВС и AD секущей АС, следовательно, ВС || AD.
На рисунке 118 (рис. 109 учебника) АВ = ВС, AD = DE, ZC = 70°, ZEAC = 35°. Докажите, что DE || АС.
Решение. По условию треугольник АВС — равнобедренный (АВ = ВС), поэтому его углы при основании равны: ZA = ZC = 70°. ZA = Z1 + + 35°, поэтому Z1 = 35°. Треугольник ADE — также равнобедренный (по условию AD = DE), поэтому его углы при основании равны: Z1 = = Z2 = 35°.
С Итак, ZEAC = Z2, а эти углы — накрест лежащие при пересечении прямых DE и АС секущей Рис. 118 АЕ. Следовательно, DE || АС.
Отрезок В К — биссектриса треугольника АВС. Через точку К проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке М так, что ВМ = МК. Докажите, что КМ || АВ.
Решение. По условию треугольник ВМК — равнобедренный (МВ = МК), поэтому его углы при основании рав-
ны: Z2 = Z3 (рис. 119). Так как отрезок ВК — биссектриса треугольника АВС, то Z2 = Z1. Следовательно, Zl = Z3. Но углы 1 и 3 — накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и КМ секущей ВК, поэтому КМ || АВ.
В треугольнике АВС угол А равен 40°, а угол ВСЕ, смежный с углом АС В, равен 80°. Докажите, что биссектриса угла ВСЕ параллельна прямой АВ.
Решение. Пусть луч СЕ — биссектриса угла ВСЕ, равного 80° (рис. 120). Тогда Zl = Z2 = 40°, поэтому Z2 = ЕА. Но углы А и 2 — соответственные при пересечении прямых СЕ и АВ секущей АС, следовательно, СЕ || АВ.
В треугольнике АВС ЕА = 40°, ЕВ = 70°. Через вершину В проведена прямая BD так, что луч ВС — биссектриса утла ABD. Докажите, что АС || BD.
Решение. По условию луч ВС — биссектриса угла ABD (рис. 121), поэтому EABD = 2ЕАВС = 140°. Углы А и ABD - односторонние углы при пересечении прямых АС и BD секущей АВ, а так как ЕА + EABD = 40° + 140° = 180°, то AC || BD.
Аксиома параллельных прямых
Дан треугольник АВС. Сколько прямых, параллельных стороне АВ, можно провести через вершину С?
Решение. По аксиоме параллельных прямых через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Поэтому через точку С можно провести только одну прямую, параллельную стороне АВ.
Ответ. Одну прямую.
197. Через точку, не лежащую на прямой р, проведены четыре прямые. Сколько из этих прямых пересекают прямую р? Рассмотрите возможные случаи.
Решение. Пусть А — данная точка. Возможны два случая:
все четыре прямые, проходящие через точку А, пересекают прямую р;
одна из прямых параллельна прямой р. Тогда остальные три прямые пересекают ее, так как через точку А, не лежащую на данной прямой р, проходит только одна прямая, параллельная прямой р.
Ответ. Четыре или три прямые.
Прямые а и b перпендикулярны к прямой р, прямая с пересекает прямую а. Пересекает ли прямая с прямую Ь?
Решение. По условию прямые а и b перпендикулярны к прямой р, поэтому они не пересекаются (см. п. 12 учебника), т. е. а || Ь. По условию прямая с пересекает одну из параллельных прямых (прямую а), поэтому, согласно следствию 1° из аксиомы параллельных прямых, она пересекает и прямую Ь.
Ответ. Да.
Прямая р параллельна стороне АВ треугольника АВС. Докажите, что прямые ВС и АС пересекают прямую р.
Решение. Прямая ВС пересекает прямую АВ, параллельную прямой р, а значит, согласно следствию 1° из аксиомы параллельных прямых, она пересекает и прямую р. По той же причине прямая АС пересекает прямую р.
Рис. 122Рис. 122На рисунке 122 (рис. 115 учебника) AD || р. Докажите, что прямая р пересекает прямые АВ, АЕ, АС, ВС и PQ.
Рис. 122
Рис. 122
Решение. Прямые АВ, АЕ и АС пересекают прямую AD, а по условию AD || р. Согласно следствию 1° из аксиомы параллельных прямых, прямые АВ, АЕ и АС пересекают прямую р. Аналогично, прямые ВС и PQ пересекают прямую AD, поэтому они пересекают и параллельную ей прямую р.
Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 210°. Найдите эти углы.
Решение. Пусть Z1 и Z2 — накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых а и b секущей с (рис. 123). По условию Zl + Z2 = 210°, а по теореме о накрест лежащих углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей, Zl = Z2. Следовательно, Zl =Z2= 105°.
Ответ. 105°, 105°.
На рисунке 124 (рис. 116 учебника) прямые а, b и с пересечены секущей d, Zl = 42°, Z2 = 140°, Z3 = 138°. Какие из прямых а, b и с параллельны?
Решение. 1°. Рассмотрим прямые а и b. Z1 и Z2 — односторонние углы при пересечении прямых а и b секущей d и Zl + Z2 = 42° + + 140° = 182°. Следовательно, прямые а и b не параллельны. В самом деле, если предположить, что а || Ь, то по свойству односторонних углов (третья теорема п.29 учебника) Zl + Z2 = 180°, что противоречит условию задачи.
2°. Рассмотрим прямые а и с. Z1 и Z3 — односторонние углы при пересечении прямых а и с секущей d и Zl + Z3 = 42° + 138° = 180°. Следовательно, по признаку параллельности двух прямых а || с.
3°. Рассмотрим прямые b и с. Углы 2 и 3 — соответственные углы при пересечении прямых Ъ и с секущей d и Z2 7^ Z3. Следовательно, прямые b и с не параллельны.
Ответ, а || с.
Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей с, если: а) один из углов равен 150°; б) один из углов на 70° больше другого.
Решение. На рисунке 125 углы, указанные в условии задачи, обозначены цифрами.
Рис. 123Рис. 124Рис. 125Рис. 123Рис. 124Рис. 125
Рис. 123Рис. 124Рис. 125
Рис. 123Рис. 124Рис. 125
Воспользуемся теоремами об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. Имеем: Zl = Z5, Z3 = Z7 как соответственные, a Z5 = Z3 как накрест лежащие углы при пересечении прямых а и b секущей с. Следовательно,
(1)(1)(2)(2)Zl =Z3 = Z5 = Z7.
(1)
(1)
(2)
(2)
Аналогично получим:
Z2 = Z4 = Z6 = Z8.
По условию один из углов равен 150°. Пусть, например, Z1 = = 150°. По свойству смежных углов Zl + Z2 = 180°, откуда Z2 = 30°. Из равенств (1) и (2) находим: Zl = Z3 = Z5 = Z7 = 150°, Z2 = Z4 = = Z6 = Z8 = 30°.
3 Л. С. Атанасян и др.
По условию один из углов на 70° больше другого. Поэтому если один из них фигурирует в равенстве (1), то другой должен фигурировать в равенстве (2). Пусть, например, Z1 = 70° + Z2. По свойству смежных углов Zl + Z2 = 180°. Следовательно, Z1 = 125°, Z2 = 55°. Из равенств (1) и (2) получаем: Zl = Z3 = Z5 = Z7 = 125°, Z2 = Z4 = = Z6 = Z8 = 55°.
Ответ, а) Четыре угла по 150°, четыре угла по 30°; б) четыре угла по 125°, четыре угла по 55°.
Концы отрезка АВ лежат на параллельных прямых а и Ь. Прямая, проходящая через середину О этого отрезка, пересекает прямые а и b в точках С и D. Докажите, что СО = OD.
Решение. Рассмотрим треугольники АОС и BOD (рис. 126). Имеем: АО = ОВ, так как точка О — середина отрезка АВ; Zl = Z2, так как углы 1 и 2 — вертикальные; Z3 = Z4, так как углы 3 и 4 — накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых а и b секущей АВ. Следовательно, треугольники АОС и BOD равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому СО = OD.
По данным рисунка 127 (рис. 117 учебника) найдите Z1.
Рис. 126Рис. 126Рис. 127Рис. 127
Рис. 126
Рис. 126
Рис. 127
Рис. 127
Решение. Так как ZBDE и Z2 — смежные углы, то Z2 = = 180° - ZBDE = 73°, следовательно, ZABK = Z2. Углы АВК и 2 — соответственные при пересечении прямых СВ и ED секущей АЕ, поэтому СВ || ED. Угол 1 равен углу КЕМ, так как эти углы — соответственные при пересечении параллельных прямых ВК и DM секущей КР. По условию ZKPM = 92°, поэтому Z1 = 92°.
Ответ. Z1 = 92°.
Угол АВС равен 70°, а угол BCD равен 110°. Могут ли прямые АВ и CD быть: а) параллельными; б) пересекающимися?
Решение. Возможны два случая: точки А и D лежат по одну сторону от прямой ВС (рис. 128, Е); точки А и D лежат по разные стороны от прямой ВС (рис. 128, б). В первом случае углы
аабб
а
а
б
б
Рис. 128
АВС и BCD — односторонние углы при пересечении прямых АВ и CD секущей ВС, а так как ZABC + ZBCD = 70° + 110° = 180°, то АВ || CD. Во втором случае углы АВС и BCD — накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и CD секущей ВС, а так как ZABC 7^ ZBCD, то прямые АВ и CD не параллельны, т. е. пересекаются.
Ответ, а) Да; б) да.
Ответьте на вопросы задачи 206, если ZABC = 65°, a ZBCD = = 105°.
Решение. Решение задачи аналогично решению задачи 206. В первом случае прямые АВ и CD не параллельны (рис. 129, а\ так как ZABC + ZBCD ф 180°. Во втором случае прямые АВ
аабб
а
а
б
б
Рис. 129
и CD не параллельны, так как ZABC ф ZBCD (рис. 129, б). Таким образом, и в том, и в другом случае прямые АВ и CD пересекаются.
Ответ, а) Нет; б) да.
Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50°. Найдите эти углы.
Решение. Пусть Z\ и Z2 — односторонние углы при пересечении параллельных прямых а и b секущей с. Тогда Zl + Z2 = 180°. По условию Zl - Z2 = 50°, следовательно, Z1 = 115°, Z2 = 65°.
Ответ. 115° и 65°.
На рисунке 130 (рис. 118 учебника) а || Ь, /с/d с || d, Z4 = 45°. Найдите углы 1, 2 и 3.
а /3/ 4Решение. 1) Z3 и Z4 — смежные углы,
"/1/ поэтому Z3 = 180° - Z4 = 135°.
//2) Z1 и Z3 — накрест лежащие углы при
-ЛсV-- пересечении параллельных прямых с и d секу//щей а, следовательно, Zl = Z3 = 135°.
рис ^3) Z2 и Z4 — соответственные углы при
'пересечении параллельных прямых а и b секу
щей d, следовательно, Z2 = Z4 = 45°.
Ответ. Zl = Z3 = 135°, Z2 = 45°.
Два тела Рх и Р^ подвешены на концах нити, перекинутой через бло
ки Л и В (рис. 131, рис. 119 учебника). Третье тело Рз подвешено на той же нити в точке С и уравновешивает тела Рх и Р2. (При этом АРх || ВР) || СРз\ Докажите, что ZACB = АСАРх + ZCBP2.
Рис. 131Рис. 131Решение. Пусть прямая СР3 пересекает отрезок АВ в точке D. Углы 1 и 2 — накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АР\ и СР3 секущей АС, поэтому Z1 = Z2. Углы 3 и 4 — накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых ВР2 и СР3 секущей ВС, поэтому Z3 = Z4. Так как луч CD проходит внутри угла АСВ, то ZACB = Z2 + Z4, а значит, ZACB = = ZCAPx + ZC В Р2.
Рис. 131
Рис. 131
Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что: а) биссектрисы накрест лежащих углов параллельны; б) биссектрисы соответственных углов параллельны; в) биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.
Решение, а) Пусть АВ || CD и лучи BE и СЕ — биссектрисы накрест лежащих углов АВС и BCD соответственно (рис. 132, а\ Углы АВС и BCD — накрест лежащие углы при пересечении парал-
Рис. 132Рис. 132
Рис. 132
Рис. 132
лельных прямых АВ и CD секущей ВС, поэтому ZABC = ZBCD. Лучи BE и СЕ — биссектрисы углов АВС и BCD, поэтому Z1 =
= Z2. Равные углы 1 и 2 являются накрест лежащими углами при пересечении прямых BE и СЕ секущей ВС, следовательно, BE || СЕ, т. е. биссектрисы накрест лежащих углов параллельны.
Пусть АВ || CD, лучи АЕ и СЕ — биссектрисы соответственных углов МАВ и ACD (рис. 132, б), а АК — продолжение луча АЕ. Так как АЕ — биссектриса угла МАВ, то луч АК — биссектриса вертикального с ним угла В\АС. Поэтому АЕ || СЕ (см. задачу а).
Пусть лучи АЕ и СЕ — биссектрисы односторонних углов при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущей АС (рис. 132, в). Поскольку ABAC + ZACD = 180° (эти углы односторонние), то
Zl+Z2,^ + ^2=90-.
Следовательно, треугольник АЕС — прямоугольный с прямым углом Е. Но это и означает, что биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.
Дополнительные задачи
Рис. 133Рис. 133На рисунке 133 (рис. 121 учебника) СЕ = ED, BE = ЕЕ и КЕ || AD. Докажите, что КЕ II ВС.
Рис. 133
Рис. 133
Решение. Треугольники ВЕС и FED равны по двум сторонам и углу между ними (BE = ЕЕ, СЕ = ED по условию и ZBEC = ZFED, так как эти углы — вертикальные). Из равенства треугольников
следует, что Zl = Z2. Но углы 1 и 2 — накрест лежащие при пересечении прямых ВС и AD секущей CD, поэтому ВС || AD. Итак, по условию КЕ || AD, по доказанному ВС || AD. Следовательно (согласно следствию 2° из аксиомы параллельных прямых), КЕ || ВС.
Прямая, проходящая через середину
биссектрисы AD треугольника АВС и перпендикулярная к AD, пересекает сторону АС в точке М. Докажите, что MD || АВ.
Решение. В треугольнике AMD (рис. 134) отрезок МО является медианой (так как прямая МО проходит через середину отрезка AD^ и высотой (так как МО ± AD\ поэтому треугольник AMD — равнобедренный с основанием AD, а значит, Z2 = Z3. Поскольку AD — биссектри
са угла А, то Z2 = Z1. Но Z2 = Z3, поэтому Zl = Z3. Углы 1 и 3 -
накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и DM секущей
AD. Следовательно, АВ || DM.
По данным рисунка 135 (рис. 122 учебника) найдите угол 1.
Решение. Углы FCD и BCD — смежные, поэтому ZBCD = 180° — - 115° = 65°. Отсюда следует, что ZABC = ZBCD = 65°. Углы АВС и BCD — накрест лежащие при пе-
Рис. 135ресечении прямых АВ и CD секущей
ВС, поэтому АВ || CD. Углы EDC и EDM — смежные, следовательно, ZEDC = 180° — 121° = 59°. Углы
1 и EDC — соответственные углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущей ED, поэтому Z\ = ZEDC = 59°.
Ответ. 59°.
На рисунке 136 (рис. 123 учебника) DE — биссектриса угла ADF. По данным рисунка найдите углы треугольника ADE.
Решение. Углы МАВ и СВ А — односторонние углы при пересечении прямых АЕ и BF секущей АВ и ZMAB + ZCBA = 78° + + 102° = 180°, следовательно, АЕ || BE. Z\ = ZADB = 48°, так как Z\ и ZADB — накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АЕ и BD секущей AD. Углы ADB и ADE — смежные, поэтому ZADF = 180° - 48° = 132°.
Так как по условию луч DE — биссектриса угла ADE, то Z2 = = Z4 = 66°. Углы 3 и 4 — накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АЕ и BF секущей DE. Следовательно, Z3 = Z4 = 66°. Итак, в треугольнике ADE ZA = 48°, ZD = ZE = 66°.
Ответ. 48°, 66°, 66°.
Прямые а и b параллельны прямой с. Докажите, что любая прямая, пересекающая прямую а, пересекает также и прямую Ь.
Решение. По условию а || с и b || с, следовательно (согласно следствию 2° из аксиомы параллельных прямых), а || Ь (рис. 137). По условию прямая т пересекает прямую а, а значит (согласно следствию 1°
Рис. 136Рис. 137Рис. 136Рис. 137
Рис. 136Рис. 137
Рис. 136Рис. 137
из аксиомы параллельных прямых), она пересекает и параллельную ей прямую Ь.
Рис. 138Рис. 138Прямые а и b пересекаются. Можно ли провести такую прямую, которая пересекает прямую а и параллельна прямой 5? Ответ обоснуйте.
Рис. 138
Рис. 138
Решение. На прямой а отметим точку М, не лежащую на прямой Ь, и проведем через нее прямую с, параллельную прямой b (рис. 138). Прямые а и с не совпадают, так как прямая а пересекает прямую Ь, а с || Ь. Таким образом, прямая с пересекает прямую а и параллельна прямой Ь.
Ответ. Да.
219* Даны две прямые а и Ь. Докажите, что если любая прямая, пересекающая прямую а, пересекает и прямую Ь, то прямые а и b параллельны.
Решение. Предположим, что прямые а и b не параллельны, т. е. пересекаются. Тогда можно провести такую прямую с, которая пересекает прямую а и не пересекает прямую b (задача 218). Но это противоречит условию задачи. Значит, наше предположение неверно, и а || Ь.
Докажите, что если при пересечении двух прямых а и b секущей накрест лежащие углы не равны, то прямые а и b пересекаются.
Решение. Пусть при пересечении прямых а и b секущей с накрест лежащие углы 1 и 2 не равны (рис. 139). Предположим, что а || Ь. Тогда по первой теореме п. 29 накрест лежащие углы равны, т. е. Z1 = = Z2, что противоречит условию задачи. Значит, наше предположение неверно, и прямые а и b пересекаются.
Даны треугольник АВС и точки М и N, такие, что середина отрезка ВМ совпадает с серединой стороны АС, а середина отрезка CN — с серединой стороны АВ. Докажите, что точки М, N и А лежат на одной прямой.
Решение. Поскольку середины отрезков АВ и CN совпадают (рис. 140), то AN || ВС (см. задачу 188). Аналогично, середины
Рис. 139 Рис. 140Рис. 139 Рис. 140
Рис. 139 Рис. 140
Рис. 139 Рис. 140
отрезков ВМ и АС совпадают, поэтому АМ || ВС. Таким образом, через точку А проходят прямые АМ и AN, параллельные прямой ВС. Но через точку А можно провести только одну прямую, параллельную
прямой ВС. Поэтому прямые АМ и AN совпадают, т. е. точки М, А и N лежат на одной прямой.
Даны прямая а и точка А, не лежащая
на ней. С помощью циркуля и линейки через точку
А проведите прямую, параллельную прямой а.
Решение. Через точку А (рис. 141) проведем прямую АВ, перпендикулярную прямой а (задача 153). Затем через точку А проведем прямую с, перпендикулярную к прямой
Рис. 141Рис. 141АВ. Прямые с и а параллельны. Действитель-
Рис. 141
Рис. 141
но, по построению с ± АВ и а ± АВ, значит, а || с (п. 12).
Глава 4
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИИ УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА
Сумма углов треугольника
Найдите угол С треугольника АВС, если: а) /Л = 65°, ZB = 57°; б) ZЛ = 24°, ZB = 130°; в) ZA = a, ZB = 2а; г) ZA = 60° + а, ZB = 60° - а.
Решение. ZA + ZB + ZC = 180°, откуда ZC = 180° - ZA - ZB. Поэтому:
ZC = 180° -65° -57° = 58°;
ZC = 180° - 24° - 130° = 26°;
ZC = 180° - а - 2а = 180° - За;
ZC = 180° - 60° - а - 60° + а = 60°.
Ответ, а) 58°; б) 26°; в) 180° - За; г) 60°.
Найдите углы треугольника АВС, если ZA : ZB : ZC = 2:3:4.
Решение. Из условия задачи следует, что ZA = 2а, ZB = За, ZC = 4а, где а — некоторый угол (рис. 142). Поскольку ZA + ZB + + ZC = 2а + За + 4а = 9а = 180°, то а = ^- = 20°, а значит, ZA = = 40°, ZB = 60°, ZC = 80°.
Ответ. ZA = 40°, ZB = 60°, ZC = 80°.
Докажите, что каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.
Решение. Все углы равностороннего треугольника равны друг другу и составляют в сумме 180°. Поэтому каждый из них 180°™
равен —— = 60 .
Докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника — острые.
Решение. Пусть а — угол при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию (рис. 143). Поскольку сумма
углов треугольника равна 180°, то сумма двух углов при основании равна 180° — а, а значит, каждый из них равен
180° - а2180° - а2= 90°= 90°| < 90°.| < 90°.
180° - а
2
180° - а
2
= 90°
= 90°
| < 90°.
| < 90°.
Найдите углы равнобедренного треугольника, если: а) угол при основании в два раза больше угла, противолежащего основанию; б) угол при основании в три раза меньше внешнего угла, смежного с ним.
Решение, а) Из условия задачи следует, что если а — угол при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию (см. рис. 143), то углы при его основании равны 2а. Имеем: а + + 2а + 2а = 5а = 180°, откуда а = 36°. Таким образом, угол при вершине равен 36°, а углы при основании 2 • 36° = 72°.
б) Пусть а — угол при основании данного равнобедренного треугольника (рис. 144). Поскольку смежные углы составляют в сумме
Рис. 142Рис. 143Рис. 144Рис. 142Рис. 143Рис. 144
Рис. 142Рис. 143Рис. 144
Рис. 142Рис. 143Рис. 144
180°, то а + За = 4а = 180°, откуда а = 45°. Итак, углы при основании равнобедренного треугольника равны 45°, а значит, угол при его вершине, противолежащей основанию, равен 180° — 45° — 45° = 90°.
Ответ, а) 36°, 72°, 72°; б) 45°, 45°, 90°.
Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его углов равен: а) 40°; б) 60°; в) 100°.
Решение, а) Если данный угол в 40° лежит при основании
равнобедренного треугольника, то другой угол при основании также равен 40°, а значит, угол при вершине, противолежащей основанию, равен 180° — 40° — 40° = 100°; если же данный угол в 40° лежит при
вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, то сумма углов при его основании равна 180° —40° = 140°, а значит, 140°
каждый из них равен —— = 70°.
Если данный угол в 60° лежит при основании равнобедренного треугольника, то другой угол при основании также равен 60°,
а значит, угол при вершине равен 180° — 60° — 60° = 60°; если предположить, что данный угол лежит при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, мы получим, очевидно, тот же
результат.
Угол при основании равнобедренного треугольника не может быть тупым (задача 226), поэтому данный угол в 100° является углом при его вершине, противолежащей основанию. Следовательно, углы
при основании равныпри основании равны180° - 100° =4()О180° - 100° =4()О
при основании равны
при основании равны
180° - 100° =4()О
180° - 100° =4()О
Ответ, а) 40°, 40° в) 100°, 40° и 40°.Ответ, а) 40°, 40° в) 100°, 40° и 40°.и 100° или 40°, 70° и 70°; б) 60°, 60° и 60°;
Ответ, а) 40°, 40° в) 100°, 40° и 40°.
Ответ, а) 40°, 40° в) 100°, 40° и 40°.
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса AD. Найдите ZADC, если ZC = 50°.
Решение. Поскольку AD — биссектриса (рис. 145), то ZCAD = 50°
== 25 , а значит,
ZADC = 180° - 50° - 25° = 105°.
Ответ. 105°.
Биссектрисы углов A w В треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите ZAMB, если ZA = 58°, ZB = 96°.
Решение. Поскольку АМ и ВМ — биссектрисы (рис. 146), то
АМ АВ = ^ = 29°,= ^ =48°,
а значит,
ZAMB = 180° - 29° - 48° = 103°.
Ответ. 103°.
Медиана АМ треугольника АВС равна половине стороны ВС. Докажите, что треугольник АВС — прямоугольный.
Решение. Из условия задачи следует, что треугольники АВМ и АСМ — равнобедренные (рис. 147), поэтому углы при основании каждого из них равны. Следовательно, ZA = ZB + ZC. С другой стороны,
ZA = 180° - ZB - ZC = 180° - ZA,
откуда находим: ZA = 90°.
ВВ
В
В
Докажите, что если один из внешних углов треугольника в два раза больше угла треугольника, не смежного с ним, то треугольник равнобедренный. Верно ли обратное утверждение?
Решение. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. Поэтому если он в два раза больше одного из них, то он в два раза больше и другого. Следовательно, указанные углы равны, а значит, треугольник равнобедренный (см. следствие 2 п. 32).
Справедливо и обратное утверждение: в равнобедренном треугольнике один из внешних углов в два раза больше угла треугольника, не смежного с ним. В самом деле, внешний угол при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, равен сумме двух углов при его основании, а значит, он в два раза больше каждого из них.
Ответ. Да.
Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедрен
ного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию.
Рис. 148Рис. 148Решение. Пусть BD — биссектриса внешнего угла равнобедренного треугольника АВС с основанием АС (рис. 148). Указанный внешний угол равен сумме двух углов при основании и, следовательно, в два раза больше каждого из них. Поэтому ZCBD = = ZACB. Но углы CBD и АСВ — накрест лежащие при пересечении прямых АС и BD секущей ВС, значит, прямые АС и BD парал
Рис. 148
Рис. 148
лельны.
Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 115°. Найдите углы треугольника.
Решение. Из условия задачи следует, что угол треугольника, смежный с данным внешним углом, равен 180° — 115° = 65°.
Если этот угол лежит при основании равнобедренного треугольника, то другой угол при основании также равен 65°, а значит, угол при вершине, противолежащей основанию, равен 180° — 65° — 65° = 50°; если же этот угол лежит при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, то сумма углов при его основании равна 180° — 65° = 115°, а значит, каждый из них равен —— = Ь7°ЗС.
Ответ: 67°ЗС, 67°ЗС и 65° или 65°, 65° и 50°.
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса AD. Найдите углы этого треугольника, если ZADB = 110°.
Решение. Угол ADB является внешним углом треугольника ACD (рис. 149), поэтому он равен сумме двух углов этого треуголь-
ника, не смежных с ним. Кроме того, поскольку AD — биссектриса, то ACAD = ^-. Таким образом, ZC + ^- = 110°, откуда АС = = 73°20'. Следовательно, АА = АС = 73°20', АВ = 180° - 73°20' - - 73°20' = 33°20'.
Ответ. 73°20', 73°20' и 33°20'.
§ 2. Соотношения между сторонами и угламитреугольника
Сравните углы треугольника АВС и выясните, может ли быть угол А тупым, если: а) АВ > ВС > АС; б) АВ = АС < ВС.
Решение. В тупоугольном треугольнике тупой угол больше каждого их двух других углов, поэтому против тупого угла лежит наибольшая из трех сторон. Следовательно:
поскольку сторона ВС не является наибольшей, то угол А не может быть тупым;
поскольку сторона ВС является наибольшей, то угол А может быть тупым.
Ответ, а) Не может; б) может.
Сравните стороны треугольника АВС, если: а) АА > АВ > АС; б) АА > АВ = АС.
Решение. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Поэтому:
а) ВС > С А > АВ; б) ВС > С А = АВ.
Докажите, что в равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий любую точку основания, отличную от вершины, с противоположной вершиной, меньше боковой стороны.
Решение. Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС, на основании АС которого взята точка D, отличная от вершины (рис. 150). Смежные углы ADB и CDB составляют в сумме 180°, поэтому один из них тупой или прямой. Пусть, например, угол ADB тупой или прямой. Тогда в треугольнике ADB против этого угла лежит наибольшая сторона. Следовательно, АВ > BD.
Докажите, что в треугольнике медиана не меньше высоты, проведенной из той же вершины.
Решение. Рассмотрим треугольник АВС, в котором проведены высота ВН и медиана ВМ (рис. 151). Если точки Н и М совпадают, то высота равна медиане. Если же точки Н и М не совпадают, то в прямоугольном треугольнике ВНМ гипотенуза ВМ больше катета ВН, т. е. медиана больше высоты.
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС биссектрисы углов А и С пересекаются в точке О. Докажите, что треугольник АОС — равнобедренный.
Решение. Углы А и С треугольника АОС в два раза меньше углов А и С треугольника АВС (рис. 152). Следовательно, углы А
Рис. 152Рис. 152
Рис. 152
Рис. 152
Рис. 153Рис. 153
Рис. 153
Рис. 153
и С треугольника АОС равны друг другу, а значит, этот треугольник равнобедренный.
Прямая, параллельная основанию равнобедренного треугольника АВС, пересекает боковые стороны АВ и АС в точках М и N. Докажите, что треугольник AMN — равнобедренный.
Решение. Углы М и N треугольника AMN (рис. 153) равны углам В и С треугольника АВС как соответственные углы, образованные при пересечении параллельных прямых ВС и MN секущими АВ и АС. Следовательно, углы М и N треугольника AMN равны друг другу, а значит, этот треугольник — равнобедренный.
Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна стороне треугольника, то треугольник равнобедренный.
Решение. Рассмотрим треугольник АВС, биссектриса BD внешнего угла которого параллельна стороне АС (рис. 154). Углы CBD и АСВ равны как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых АС и BD секущей ВС, поэтому внешний
угол при вершине В треугольника АВС в два раза больше угла С этого треугольника. С другой стороны, указанный внешний угол равен сумме углов А и С треугольника АВС. Следовательно, АА = АС, а значит, треугольник АВС — равнобедренный.
243. Через вершину С треугольника АВС проведена прямая, параллельная его биссектрисе ААх и пересекающая прямую АВ в точке D. Докажите, что АС = AD.
Решение. Углы А\АС и ACD (рис. 155) равны как накрест
Рис. 154 Рис. 155
лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых ААх и CD секущей АС, поэтому внешний угол при вершине А треугольника ACD в два раза больше угла С этого треугольника. С другой стороны, указанный внешний угол равен сумме углов С и D треугольника ACD. Следовательно, АС = AD, а значит, АС = AD.
Отрезок AD — биссектриса треугольника АВС. Через точку D проведена прямая, параллельная АС и пересекающая сторону АВ в точке Е. Докажите, что треугольник ADE — равнобедренный.
Решение. Углы CAD и ADE (рис. 156) равны как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых АС и DE секущей AD. Следовательно, в треугольнике ADE АА = AD, а значит, треугольник ADE — равнобедренный.
Через точку пересечения биссектрис ВВх и ССх треугольника АВС проведена прямая, параллельная прямой ВС и пересекающая стороны АВ и АС соответственно в точках М и N. Докажите, что MN = ВМ + CN.
Решение. Пусть точка О — точка пересечения биссектрис ВВ\ и ССх (рис. 157). Углы ВОМ и СВО равны как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых ОМ и ВС секущей ВО. Следовательно, в треугольнике ВОМ АВ = АО, а значит, ОМ = ВМ.
Углы NOC и ОСВ равны как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых ON и ВС секущей СО. Следовательно, в треугольнике CON АС = АО, а значит, ON = CN.
Рис. 156Рис. 156Рис. 157Рис. 157
Рис. 156
Рис. 156
Рис. 157
Рис. 157
Итак, ОМ = ВМ, ON = CN. Поэтому
MN = ОМ + ON = ВМ + CN.
На рисунке 158 (рис. 129 учебника) лучи ВО и СО — биссектрисы углов В и С треугольника АВС, ОЕ || АВ, OD || АС. Докажите, что периметр треугольника EDO равен длине отрезка ВС.
Решение. Углы ВОЕ и АВО равны как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых ОЕ и АВ секущей ВО. Следовательно, в треугольнике ВОЕ ZB = ZO, а значит, ОЕ = BE.
Углы DOC и АСО равны как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых OD и АС секущей СО. Следовательно, в треугольнике COD ZC = ZO, а значит, OD = CD.
Итак, ОЕ = BE, OD = CD. Поэтому
ОЕ + ED + DO = BE + ED + CD = BC.
На рисунке 159 (рис. 130 учебника) AB = AC, AP = AQ. Докажите, что: а) треугольник ВОС — равнобедренный; б) прямая О А проходит через середину основания ВС и перпендикулярна к нему.
Решение, а) Поскольку АВ = АС и АР = AQ, то BP = CQ. Следовательно, треугольники СВР и BCQ равны по первому признаку равенства треугольников (BP = CQ, сторона ВС у них общая, а углы СВР и BCQ равны как углы при основании равнобедренного
треугольника АВС\ Поэтому углы В и С треугольника ВОС равны, а значит, этот треугольник — равнобедренный.
б) Из рассуждений, приведенных в части а) решения, следует, что ВО = ОС. Следовательно, треугольники АВО и АСО равны по третьему признаку равенства треугольников. Поэтому луч АО является биссектрисой угла А. Но в равнобедренном треугольнике АВС биссектриса угла А является медианой и высотой. Таким образом, прямая О А проходит через середину основания ВС и перпендикулярна к нему.
Существует ли треугольник со сторонами: а) 1 м, 2 м и 3 м; б) 1,2 дм, 1 дм и 2,4 дм?
Решение. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Имеем:
1 м + 2 м = 3 м, поэтому треугольника со сторонами 1 м, 2 м и 3 м не существует;
1,2 дм + 1 дм = 2,2 дм < 2,4 дм, поэтому треугольника со сторонами 1,2 дм, 1 дм и 2,4 дм не существует.
Ответ, а) Нет; б) нет.
В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25 см, а другая равна 10 см. Какая из них является основанием?
Решение. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Поэтому если предположить, что основанием является сторона, равная 25 см, то получится противоречие: 10 см + 10 см = = 20 см < 25 см. Следовательно, основанием является сторона, равная 10 см.
Ответ. Сторона, равная 10 см.
Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны: а) 5 см и 3 см; б) 8 см и 2 см; в) 10 см и 5 см.
Решение, а) Если сторона, равная 5 см, является боковой стороной данного треугольника, то неизвестная сторона также равна 5 см; если же боковой стороной данного треугольника является сторона, равная 3 см, то неизвестная сторона также равна 3 см.
Поскольку данный треугольник равнобедренный, то его неизвестная сторона равна либо 8 см, либо 2 см. Если предположить, что она равна 2 см, то получится противоречие: 2 см + 2 см = 4 см < < 8 см (в то время как каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон). Следовательно, эта сторона равна 8 см.
Поскольку данный треугольник равнобедренный, то его неизвестная сторона равна либо 10 см, либо 5 см. Если предположить, что она равна 5 см, то получится противоречие: 5 см + 5 см = 10 см (в то время как каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон). Следовательно, эта сторона равна 10 см.
Ответ, а) 5 см или 3 см; б) 8 см; в) 10 см.
Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Периметр треугольника равен 74 см, а одна из его сторон равна 16 см. Найдите две другие стороны треугольника.
Решение. Смежные углы составляют в сумме 180°, поэтому если два внешних угла треугольника при разных вершинах равны, то равны и углы треугольника при этих вершинах, а значит, данный треугольник — равнобедренный.
Сторона, равная 16 см, может быть либо основанием, либо боковой стороной этого треугольника. Но боковой стороной она быть не может: иначе стороны треугольника были бы равны
16 см, 16 см и 74 см — 16 см — 16 см = 42 см,а 16 см + 16 см = 32 см < 42 см,
в то время как каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Следовательно, эта сторона является основанием, а значит, каждая из боковых сторон равна
О т в е т. 29 см и 29 см.
Периметр равнобедренного треугольника равен 25 см, разность двух сторон равна 4 см, а один из его внешних углов — острый. Найдите стороны треугольника.
Решение. Смежные углы составляют в сумме 180°, поэтому если один из внешних углов треугольника острый, то угол треугольника при этой вершине тупой. Поскольку данный треугольник равнобедренный, то тупым является угол между его боковыми сторонами (углы при основании равнобедренного треугольника равны, а тупым может быть только один угол треугольника), а значит, основание является наибольшей из его сторон. Таким образом, если каждая из боковых сторон равна ж, то сторона основания равна х + 4 см. Периметр треугольника равен
х + х + (х + 4 см) = 25 см,
откуда Зх = 21 см, х = 7 см, х + 4 = 11 см. Итак, стороны треугольника равны 7 см, 7 см и 11 см.
Ответ. 7 см, 7 см и 11 см.
Прямоугольные треугольники
Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника.
Решение. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, а поскольку данный треугольник равнобедренный, то его острые углы равны друг другу. Следовательно, углы этого треугольника равны 45°, 45° и 90°.
Ответ. 45°, 45° и 90°.
В равнобедренном треугольнике CDE с ос-D
нованием СЕ проведена высота СЕ. Найдите ZECF, если ZD = 54°.
Решение. Поскольку данный треугольник равнобедренный, то ZC = ZE, а значит, 2ZE + + ZD = 180° (рис. 160), откуда
_ 180° - ZD _ 180° - 54° _ ™
-2“2“’Рис. 160
Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника CEF равна 90°, поэтому
ZECF = 90° -63° =27°.
Ответ. 27°.
Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см. Найдите гипотенузу треугольника.
Решение. Один из острых углов данного треугольника равен 60°, а значит, другой его острый угол равен 90° — 60° = 30°. Угол в 30° меньше угла в 60°, поэтому меньший катет лежит против угла в 30° и, следовательно, равен половине гипотенузы. Таким образом, если длина гипотенузы равна х, то
х + ^ = 26,4 см, откуда х = 17,6 см.
Ответ. 17,6 см.
В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120°, АС + АВ = 18 см. Найдите АС и АВ.
Решение. Смежные углы составляют в сумме 180°, поэтому угол А треугольника АВС равен 180° — 120° = 60°, а значит, его угол В равен 90° — 60° = 30°. Следовательно, катет АС равен половине гипотенузы АВ. Учитывая, что АС + АВ = 18 см, получаем: АС = = 6 см, АВ = 12 см.
Ответ. АС = 6 см, АВ = 12 см.
Рис. 161Рис. 161Из середины D стороны ВС равностороннего треугольника АВС проведен перпендикуляр DM к стороне АС. Найдите АМ, если АВ = 12 см.
Рис. 161
Рис. 161
Решение. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Поэтому в прямоугольном треугольнике ВМС (рис. 161) угол D равен 90° - 60° = 30°. Следовательно, МС =
DCВСАВ о
= —— = —— = —— = 3 см, а значит, АМ = 244
= 12 см — 3 см = 9 см.
Ответ. 9 см.
Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведенная к боковой стороне, равна 9 см. Найдите
основание треугольника.
Решение. Каждый из углов при основании данного треугольника 180° - 120° Qno п
равен - = 30 . Поэтому проведенная высота является кате
том прямоугольного треугольника, лежащим против угла в 30°, а основание данного треугольника — гипотенузой. Следовательно, искомое основание равно 2 • 9 см = 18 см.
Ответ. 18 см.
Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 7,6 см, а боковая сторона треугольника равна 15,2 см. Найдите углы этого треугольника.
Решение. Проведенная высота является катетом прямоугольного треугольника, а боковая сторона — его гипотенузой. Поскольку 15,2 см = 2 • 7,6 см, то гипотенуза этого треугольника в два раза больше катета, а значит, угол, лежащий против этого катета, равен 30°. Но этот угол является углом при основании данного треугольника. Поэтому углы данного треугольника равны 30°, 30° и 180° — 30° — -30° = 120°.
Ответ. 30°, 30° и 120°.
Докажите, что в равнобедренном треугольнике две высоты, проведенные из вершин основания, равны.
Решение. Указанные высоты являются катетами прямоугольных треугольников с общей гипотенузой — основанием данного треугольника — и равными острыми углами — углами при основании данного треугольника. Поэтому эти прямоугольные треугольники равны, а значит, равны и указанные высоты.
В треугольниках АВС и А\В\С\ углы А и Ai — прямые, BD w B\D\ — биссектрисы. Докажите, что ZZABC = АД^Сь если ZB = ZBx и BD = B\D\.
Решение. Поскольку ZB = ZB\ и BD и B\D\ — биссектрисы (рис. 162), то ZDBA = ZD1B1A1, а значит, прямоугольные треугольники ABD и A\B\D\ равны по гипотенузе и острому углу.
Следовательно, АВ = АХВХ. Поэтому треугольники АВС и АХВХСХ равны по катету и прилежащему к нему острому углу.
Высоты, проведенные к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если ZBMC = 140°.
Решение. Пусть Н — основание высоты, проведенной из вершины В (рис. 163). Угол ВМС, будучи внешним углом прямоугольного треугольника СМН, равен сумме его углов при вершинах С и Н. Поэтому ZHCM = 140° - 90° = 50°, а значит, ZA = 90° - ZHCM = = 40°. Следовательно, каждый из углов В и С треугольника АВС равен
180°-40° = 7()О
Ответ. 70°, 70° и 40°.
Высоты ААХ и ВВХ треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите ZAMB, если ZA = 55°, ZB = 67°.
Решение. Из прямоугольных треугольников ААХВ и АВВХ (рис. 164) находим: ZAXAB = 90° - ZB = 90° - 6 7° = 2 3°, ZBXBA = = 90° — 55° = 35°. Поэтому угол АМ В можно найти из треугольника АМ В;
ZAMB = 180° - 23° - 35° = 122°.
Ответ. 122°.
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведены биссектриса AF и высота АН. Найдите углы треугольника AHF, если ZB = = 112°.
Решение. В равнобедренном треугольнике АВС угол В равен | gQ° 112° 112° (рис. 165), поэтому каждый из углов А и С равен =
34°
= 34°. Следовательно, угол BAF равен -^- = 17°. Из треугольника BAF находим угол F треугольника AHF: ZF = 180° - ZB - ZBAF =
= 180° — 112° — 17° = 51°. Таким образом, углы прямоугольного треугольника AHF равны 51°, 90° и 90° - 51° = 39°.
Ответ. 90°, 39° и 51°.
На сторонах угла О отмечены точки Aw В так, что О А = ОВ. Через эти точки проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла и пересекающиеся в точке С. Докажите, что луч ОС — биссектриса угла О.
Решение. Прямоугольные треугольники О АС и ОВС (рис. 166) равны: гипотенуза ОС у них общая, а катеты О А и ОВ равны по условию задачи. Следовательно, ZAOC = ZBOC, а это и означает, что луч ОС — биссектриса угла О.
Рис. 166Рис. 166
Рис. 166
Рис. 166
Докажите, что два остроугольных треугольника равны, если сторона и высоты, проведенные из концов этой стороны, одного треугольника соответственно равны стороне и высотам, проведенным из концов этой стороны, другого треугольника.
Решение. Рассмотрим остроугольные треугольники АВС и А\В\С\ с высотами AD, СЕ и AXDX, СХЕХ (рис. 167), у которых АС = АХСХ, AD = AXDX, СЕ = СХЕХ. Прямоугольные треугольники
Рис. 167
АСЕ и АХСХЕХ равны по гипотенузе и катету, поэтому углы А и Ах этих треугольников равны. Прямоугольные треугольники ACD и AXCXDX также равны по гипотенузе и катету, поэтому углы С и Сх этих треугольников равны. Следовательно, треугольники АВС и А\В\С\ равны по второму признаку равенства треугольников (АС = = АХСХ, ZA = ZAX, ZC = ZCX\
Сформулируйте и докажите признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу.
Решение. Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу (если, конечно, он имеет место) должен формулироваться так: если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника равен катету и противолежащему ему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Рассмотрим прямоугольные треугольники АВС и А\В\С\ с прямыми углами А и Ах, у которых АВ = А 1^1, ZC = ZCx. Приложим треугольник АВС к треугольнику А\В\С\ (рис. 168) так, чтобы вершина А совместилась с вершиной Ах, вершина В — с Вх, а вершины С и Сх оказались по разные стороны от прямой AiBi. Поскольку углы А и Ах прямые, то точки С, Ах и Сх окажутся при этом лежащими на одной прямой.
В треугольнике СВ\С\ углы С и Сх равны,
WBXWBXРис. 168 поэтому этот треуголь-Рис. 168 поэтому этот треуголь-269. Докажите, что ААВС = ААхВхСх, если /Л = ZAx, ZB = ZBx и ВН = ВхНх, где ВН и ВхНх — высоты треугольников АВС и АхВхСх.Решение. Прямоугольные треугольники АВН и АхВхЩ (рис. 169) равны по катету и противолежащему углу (задача 268),269. Докажите, что ААВС = ААхВхСх, если /Л = ZAx, ZB = ZBx и ВН = ВхНх, где ВН и ВхНх — высоты треугольников АВС и АхВхСх.Решение. Прямоугольные треугольники АВН и АхВхЩ (рис. 169) равны по катету и противолежащему углу (задача 268),ник равнобедренный: В\С = В\С\. Следовательно, треугольники АВС и АуВуСх равны по гипотенузе и катету.
WBX
WBX
Рис. 168 поэтому этот треуголь-
Рис. 168 поэтому этот треуголь-
269. Докажите, что ААВС = ААхВхСх, если /Л = ZAx, ZB = ZBx и ВН = ВхНх, где ВН и ВхНх — высоты треугольников АВС и АхВхСх.
Решение. Прямоугольные треугольники АВН и АхВхЩ (рис. 169) равны по катету и противолежащему углу (задача 268),
269. Докажите, что ААВС = ААхВхСх, если /Л = ZAx, ZB = ZBx и ВН = ВхНх, где ВН и ВхНх — высоты треугольников АВС и АхВхСх.
Решение. Прямоугольные треугольники АВН и АхВхЩ (рис. 169) равны по катету и противолежащему углу (задача 268),
поэтому АВ = А\В\. Следовательно, треугольники АВС и А\В\С\ равны по второму признаку равенства треугольников.
Внутри угла дана точка А. Постройте прямую, проходящую через точку А и отсекающую на сторонах угла равные отрезки.
Решение. Построим сначала биссектрису данного угла (рис. 170), а затем через точку А проведем прямую, перпендикулярную к этой биссектрисе. Проведенная прямая — искомая.
§ 4. Построение треугольника по трем элементам
Из точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонная, сумма длин которых равна 17 см, а разность длин равна 1 см. Найдите расстояние от точки до прямой.
Решение. Пусть х — искомое расстояние, или, что то же самое, длина проведенного перпендикуляра. Поскольку перпендикуляр меньше наклонной, то длина наклонной равна х + 1 см. Следовательно, х + х + 1 см = 17 см, откуда х = 8 см.
Ответ. 8 см.
В равностороннем треугольнике АВС проведена биссектриса AD. Расстояние от точки D до прямой АС равно 6 см. Найдите расстояние от вершины А до прямой ВС.
Решение. Биссектриса равностороннего треугольника является высотой, поэтому искомое расстояние — это длина отрезка AD. Проведем из точки D перпендикуляр DE к прямой АС (рис. 171). По условию DE = 6 см. Учитывая, что отрезок DE является катетом прямоугольного треугольника ADE, лежащим против угла в 30°, получим: AD = 2 • 6 см = 12 см.
Ответ. 12 см.
Сумма гипотенузы СЕ и катета CD прямоугольного треугольника CDE равна 31 см, а их разность равна 3 см. Найдите расстояние от вершины С до прямой DE.
Решение. Пусть х — искомое расстояние, равное, очевидно, длине катета CD (рис. 172). Поскольку катет меньше гипотенузы, то гипотенуза равна х + 3 см. Следовательно, ж + ж + 3см = 31 см, откуда х = 14 см.
Ответ. 14 см.
Докажите, что в равнобедренном треугольнике середина основания равноудалена от боковых сторон.
Решение. Пусть М — середина основания АВ равнобедренного треугольника АВС (рис. 173), МН и МК — перпендикуляры, про-
веденные из точки М к прямым АС и ВС. Поскольку отрезок СМ является медианой равнобедренного треугольника, а значит, и его биссектрисой, то ZHCM = ZKCM. Следовательно, прямоугольные треугольники НСМ и КСМ равны по гипотенузе и острому углу, а значит, МН = МК.
На основании АВ равнобедренного треугольника АВС взята точка М, равноудаленная от боковых сторон. Докажите, что СМ — высота треугольника АВС.
Решение. Пусть МН и МК — перпендикуляры, проведенные из точки М к прямым АС и ВС (см. рис. 173). Поскольку МН = МК, то прямоугольные треугольники НСМ и КСМ равны по гипотенузе и катету. Следовательно, отрезок СМ является биссектрисой треугольника АВС, а значит, и его высотой.
Через середину отрезка проведена прямая. Докажите, что концы
отрезка равноудалены от этой прямой.
Рис. 174Рис. 174Решение. Пусть М — середина отрезка АВ (рис. 174), ААх и ВВх — перпендикуляры, проведенные из концов отрезка к данной прямой. Поскольку углы АМ Ах и ВМВх равны как вертикальные углы, то прямоугольные треугольники ААхМ и ВВ^М равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, ААх = ВВх.
Рис. 174
Рис. 174
Расстояние между параллельными прямыми а и b равно 3 см, а между параллельными прямыми а и с равно 5 см. Найдите расстояние между прямыми b w с.
Решение. Если прямые b и с лежат по одну сторону от прямой а, то расстояние между ними равно 5 см — 3 см = 2 см; если же эти прямые лежат по разные стороны от прямой а, то расстояние между ними равно 5 см + 3 см = 8 см.
Ответ. 2 см или 8 см.
Рис. 175Рис. 175Прямая АВ параллельна прямой CD. Найдите расстояние между этими прямыми, если ZADC = 30°, AD = 6 см.
Рис. 175
Рис. 175
Решение. Пусть АН — перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой CD (рис. 175). Поскольку в прямоугольном треугольнике ADH угол D равен 30°, то АН = = ^=3см.
Ответ. 3 см.
279* Докажите, что все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудаленные от нее, лежат на прямой, параллельной данной.
Решение. Пусть а — данная прямая, А — одна из тех точек, о которых идет речь в условии задачи, d — расстояние от точки А до прямой а. Проведем через точку А прямую Ь, параллельную прямой а (рис. 176). Требуется доказать, что если точки А и В лежат по одну сторону от прямой а, причем точка В не лежит на прямой Ь, то расстояние от точки В до прямой а не равно d. Докажем это.
Проведем через точку В прямую, перпендикулярную к а, и обозначим буквами Н и К точки пересечения этой прямой с прямыми а и b соответственно. По теореме п.37 КН = d, а поскольку точки В и К не совпадают (точка В не лежит на прямой Ь), то ВН 7^ d. Но это и означает, что расстояние от точки В до прямой а не равно d.
Даны неразвернутый угол АВС и отрезок PQ. Что представляет собой множество всех точек, лежащих внутри данного угла и удаленных от прямой ВС на расстояние PQ^
Решение. Все точки искомого множества лежат, очевидно, по ту же сторону от прямой ВС, что и точка А. Выберем одну из них и проведем через нее прямую, параллельную ВС (рис. 177). По теореме п. 37 все точки этой прямой удалены на расстояние PQ от прямой ВС, а согласно утверждению задачи 279 все интересующие нас точки лежат на этой прямой. Таким образом, искомым множеством точек является часть указанной прямой, заключенная внутри угла АВС, т. е. луч с началом на стороне АВ.
Ответ. Луч с началом на стороне АВ, параллельный стороне ВС.
Что представляет собой множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных параллельных прямых?
Решение. Пусть d — расстояние между данными прямыми. Все точки искомого множества лежат, очевидно, между данными прямыми и удалены от них на расстояние -. Выберем одну из них и проведем через нее прямую, параллельную данным. По теореме п. 37 все точки этой прямой равноудалены от данных прямых, а согласно утверждению
задачи 279 точки, не лежащие на этой прямой, искомому множеству не принадлежат. Таким образом, проведенная прямая и является искомым множеством точек.
Ответ. Прямую, параллельную данным прямым и находящуюся на равных расстояниях от них.
Прямые а и b параллельны. Докажите, что середины всех отрезков XY, где X Е а, где Y Е Ь, лежат на прямой, параллельной прямым а и b и равноудаленной от этих прямых.
отрезка XY прямую, и обозначим буквамиотрезка XY прямую, и обозначим буквамиРис. 178Рис. 178Решение. Проведем через середину М перпендикулярную к прямым а и b (рис. 178), Н и К точки пересечения этой прямой с прямыми а и b соответственно. Прямоугольные треугольники ХНМ и YKM равны по гипотенузе и острому углу, поэтому МН = = МК. Следовательно, точка М равноудалена от прямых а и Ь, а значит, согласно результату задачи 281, лежит на прямой, параллельной прямым а и b и равноудаленной от этих прямых.
отрезка XY прямую, и обозначим буквами
отрезка XY прямую, и обозначим буквами
Рис. 178
Рис. 178
Что представляет собой множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой?
Решение. Согласно теореме п.37 и утверждению, сформулированному в задаче 279, множество всех точек, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от нее, представляет собой прямую, параллельную данной прямой. Поэтому искомым множеством точек являются две прямые, параллельные данной прямой и расположенные на данном расстоянии по разные стороны от нее.
Ответ. Две прямые, параллельные данной прямой и расположенные на данном расстоянии по разные стороны от нее.
Задачи на построение
Даны пересекающиеся прямые а и b и отрезок PQ. На прямой а постройте точку, удаленную от прямой b на расстояние PQ.
Решение. Проведем прямую, параллельную прямой b и удаленную от нее на расстояние PQ (как это сделать, написано в решении задачи 284, см. учебник). Поскольку все точки этой прямой удалены от прямой b на расстояние PQ, то точка ее пересечения с прямой а — искомая. В соответствии с результатом задачи 283 данная задача имеет два решения.
Рис. 179Рис. 179Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведенной из вершины этого угла.
Рис. 179
Рис. 179
Решение. Построим угол hk, равный данному углу (рис. 179),и на луче h от его начала А отложим отрезок АВ, равный данной стороне треугольника. Затем проведем биссектрису угла hk и отложим на ней отрезок АМ, равный данной биссектрисе. Наконец,
проведем прямую ВМ до пересечения с лучом к в точке С. Треугольник АВС — искомый.
Постройте треугольник по стороне, медиане, проведенной к одной из двух других сторон, и углу между данными стороной и медианой.
Решение. Построим угол hk, равный данному углу (рис. 180), и на луче h от его начала А отложим отрезок АВ, равный .^/xLданной стороне треугольника, а на луче
к — отрезок АМ, равный данной меди- jу ане. Затем проведем луч ВМ и отложим
на нем отрезок МС = ВМ. Наконец, со- Рис. 180единим точки А и С отрезком. Треуголь
288. Даны отрезок288. Даны отрезокPQPQи угол hk. Постройте треугольник АВС так,и угол hk. Постройте треугольник АВС так,чтобы: а) АВ = PQ, ZABC = Zhk, ZB АС = ^ Zhk, б) АВ = PQ, ZABC =чтобы: а) АВ = PQ, ZABC = Zhk, ZB АС = ^ Zhk, б) АВ = PQ, ZABC =Рис. 181Рис. 181ресечения с искомый.ресечения с искомый.лучомлучомРешение, а) Построим отрезок АВ = PQ. От лучей ВА и АВ отложим углы АВМ и BAN, равные углу hk, так, чтобы точки М и N лежали по одну сторону от прямой АВ (рис. 181). Затем проведем биссектрису угла BAN до пересечения с лучом ВМ в точке С. Треугольник АВС — искомый.б) Выполним построение, описанное в решении части а) задачи, но точку С обозначим иначе — например, буквой Е. Затем проведем биссектрису угла ВАЕ до пе- ВМ в точке С. Треугольник АВС —Решение, а) Построим отрезок АВ = PQ. От лучей ВА и АВ отложим углы АВМ и BAN, равные углу hk, так, чтобы точки М и N лежали по одну сторону от прямой АВ (рис. 181). Затем проведем биссектрису угла BAN до пересечения с лучом ВМ в точке С. Треугольник АВС — искомый.б) Выполним построение, описанное в решении части а) задачи, но точку С обозначим иначе — например, буквой Е. Затем проведем биссектрису угла ВАЕ до пе- ВМ в точке С. Треугольник АВС —ник АВС — искомый.
288. Даны отрезок
288. Даны отрезок
PQ
PQ
и угол hk. Постройте треугольник АВС так,
и угол hk. Постройте треугольник АВС так,
чтобы: а) АВ = PQ, ZABC = Zhk, ZB АС = ^ Zhk, б) АВ = PQ, ZABC =
чтобы: а) АВ = PQ, ZABC = Zhk, ZB АС = ^ Zhk, б) АВ = PQ, ZABC =
Рис. 181
Рис. 181
ресечения с искомый.
ресечения с искомый.
лучом
лучом
Решение, а) Построим отрезок АВ = PQ. От лучей ВА и АВ отложим углы АВМ и BAN, равные углу hk, так, чтобы точки М и N лежали по одну сторону от прямой АВ (рис. 181). Затем проведем биссектрису угла BAN до пересечения с лучом ВМ в точке С. Треугольник АВС — искомый.
б) Выполним построение, описанное в решении части а) задачи, но точку С обозначим иначе — например, буквой Е. Затем проведем биссектрису угла ВАЕ до пе- ВМ в точке С. Треугольник АВС —
Решение, а) Построим отрезок АВ = PQ. От лучей ВА и АВ отложим углы АВМ и BAN, равные углу hk, так, чтобы точки М и N лежали по одну сторону от прямой АВ (рис. 181). Затем проведем биссектрису угла BAN до пересечения с лучом ВМ в точке С. Треугольник АВС — искомый.
б) Выполним построение, описанное в решении части а) задачи, но точку С обозначим иначе — например, буквой Е. Затем проведем биссектрису угла ВАЕ до пе- ВМ в точке С. Треугольник АВС —
Даны два угла hk wh\k\ и отрезок PQ. Постройте треугольник АВС так, чтобы АВ = PQ, ZA = Zhk, ZB = ^Zh\k\.
Рис. 182Рис. 182Решение. Построим отрезок АВ = = PQ. От лучей ВА и АВ отложим углы АВМ и BAN, равные соответственно углам h\k\ и hk, так, чтобы точки М и N лежали по одну сторону от прямой АВ (рис. 182). Затем проведем биссектрису угла АВМ до пересечения с лучом AN в точке С. Треугольник АВС — искомый.
Рис. 182
Рис. 182
Постройте прямоугольный треугольник: а) по двум катетам; б) по катету и прилежащему к нему острому углу.
Решение, а) Построим сначала прямой угол с вершиной А, а затем на его сторонах отложим отрезки АВ и АС, равные данным катетам. Наконец, соединим точки А и С отрезком. Треугольник АВС — искомый.
б) Построим отрезок АВ, равный данному катету. Через точку А проведем прямую, перпендикулярную к АВ. От луча ВА отложим угол, равный данному углу, и продолжим его сторону до пересечения с проведенной прямой в точке С. Треугольник АВС — искомый.
Постройте равнобедренный треугольник: а) по боковой стороне и углу, противолежащему основанию; б) по основанию и углу при основании; в) по боковой стороне и углу при основании; г) по основанию и боковой стороне; д) по основанию и медиане, проведенной к основанию.
Решение, а) Боковые стороны равнобедренного треугольника равны, поэтому задача сводится к построению треугольника по двум сторонам и углу между ними, а эта задача решена в учебнике.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому задача сводится к построению треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам, а такую задачу мы уже решали (см., например, решение задачи 288).
От произвольного луча h отложим Zhky, равный данному углу (рис. 183), а затем от луча к\ отложим Zkyk^ = Zhk\ и проведем луч h\, являющийся продолжением луча h. Угол hyk^ равен, очевидно, углу, противолежащему основанию искомого треугольника. Таким образом, задача в) свелась к задаче а).
Боковые стороны равнобедренного треугольника равны, поэтому задача сводится к построению треугольника по трем сторонам, а эта задача решена в учебнике.
Построим отрезок АВ, равный данному основанию, и найдем его середину М (рис. 184). Поскольку медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой, то поступим так. Через точку М проведем прямую, перпендикулярную к АВ, и отложим на одном из ее лучей с началом М отрезок МС, равный данной медиане. Треугольник АВС — искомый.
Рис. 183Рис. 183Рис. 184Рис. 184
Рис. 183
Рис. 183
Рис. 184
Рис. 184
Даны: отрезки FiQi, P2Q2 и P3Q3. Постройте треугольник АВС так, чтобы: а) АВ = PxQx, ВС = P2Q2, С А = 2F3Q3; б) АВ = 2PxQx, ВС = P2Q2, 3
С А = - F3Q3. Всегда ли задача имеет решение?
Решение, а) Построим отрезок, равный 2P3Q3. Теперь задача сводится к построению треугольника по трем сторонам, а эта задача решена в учебнике (она имеет решение не всегда).
3
Построим отрезки, равные 2PxQx и -P3Q3. Теперь задача сводится к построению треугольника по трем сторонам, а эта задача решена в учебнике (она имеет решение не всегда).
Ответ, а) Не всегда; б) не всегда.
Постройте треугольник по двум сторонам и высоте к одной из этих сторон.
Решение. Проведем произвольную прямую а (рис. 185), а затем прямую Ь, параллельную прямой а так, чтобы расстояние между прямыми а и b было равно данной высоте искомого треугольника (см. задачу 284). На прямой а отметим точки А и В так, чтобы отрезок АВ был равен той из данных сторон, к которой проведена высота. Проведем теперь окружность с центром А, радиус которой равен второй из данных сторон, и обозначим через Сх и С2 точки пересечения этой окружности и прямой Ь. Каждый из треугольников АВСх и АВС2 удовлетворяет условию задачи и тем самым является искомым.
Из построения ясно, что задача может иметь два решения (проведенная окружность пересекает прямую b в двух точках,
см. рис. 185, а), одно решение (проведенная окружность пересекает прямую b в одной точке, см. рис. 185, б) или не иметь ни одного решения (проведенная окружность не имеет общих точек с прямой Ь, см. рис. 185, в).
ВВРис. 186Рис. 186Постройте треугольник по двум сторонам и медиане к одной из этих сторон.
В
В
Рис. 186
Рис. 186
Решение. Построим отрезок АВ, равный той из данных сторон, к которой проведена медиана, и найдем его середину М (рис. 186). Затем построим треугольник АМС, сторона АС которого равна второй из данных сторон, а МС — данной медиане (задача о построении треугольника по трем сторонам решена в учебнике). Треугольник АВС — искомый.
Дополнительные задачи
В равнобедренном треугольнике АВС биссектрисы равных углов В и С пересекаются в точке О. Докажите, что угол ВОС равен внешнему углу треугольника при вершине В.
Решение. Пусть в треугольнике АВС ДВ = АС = а. Из треугольника ВОС (рис. 187) находим:
ZBOC = 180° - ^ - ^ = 180° -а = 180° - ZB, что и требовалось доказать.
На стороне AD треугольника ADC отмечена точка В так, что ВС = = BD. Докажите, что прямая DC параллельна биссектрисе угла АВС.
Решение. Треугольник BCD — равнобедренный (рис. 188), а угол АВС — внешний угол этого треугольника при вершине, противоположной основанию. Поэтому биссектриса угла АВС параллельна основанию DC (см. задачу 233).
С ВС ВРис. 189Рис. 189На рисунке 189 (рис. 145 учебни-
С В
С В
Рис. 189
Рис. 189
ка) АВ || BE, АС = АВ и ВС = BE. Докажите, что угол ВСЕ — прямой.
Решение. Поскольку треугольники АВС и ВСЕ равнобедренные, то
ВСЕ = 180° - |(180° - ZA) -
- 1(180° -ZS) = 1(Z4 + ZS).
Но углы А и В являются односторонними углами, образованными при пересечении параллельных прямых АВ и BE секущей АВ, поэтому ZA + ZB = 180°, а значит, ZBCE = 90°.
На рисунке 190 (рис. 146 учебника) АВ = АС, АР = PQ = QR = = RB = ВС. Найдите угол А.
Решение. Обозначим угол А треугольника АВС буквой а. Треугольник APQ — равнобедренный, и угол RPQ — внешний угол этого треугольника, поэтому ZRPQ = 2а. Треугольник RPQ также равнобедренный, а значит, ZPRQ = ZRPQ = 2а.
7?С7?СРис. 190Рис. 190Угол BQR — внешний угол треугольника AQR, поэтому ZBQR = а + 2а = За. Треугольник BQR — равнобедренный, следовательно,
7?
С
7?
С
Рис. 190
Рис. 190
ZRBQ = ZBQR = За.
Угол ВВС — внешний угол треугольника ABR,
поэтому ZBRC = а + За = 4а, а поскольку треуголь
ник BCR равнобедренный, то ZBCR = ZBRC = 4а.
Итак, в равнобедренном треугольнике ABC ZA = a, ZB = ZC = = 4а. Имеем:
а + 4а + 4а = 180°, откуда а = 20°.
Ответ. 20°.
Докажите, что в тупоугольном треугольнике основание высоты, проведенной из вершины тупого угла, лежит на стороне треугольника, а основания
Рис. 191Рис. 191jвысот, проведенных из вершин острых углов, —
Рис. 191
Рис. 191
4на продолжениях сторон.
, Решение. Докажем сначала, что в ту- ।поугольном треугольнике основание высоты,
1проведенной из вершины тупого угла, лежит
-.на стороне треугольника. Воспользуемся мето
дом доказательства от противного. Рассмотрим
треугольник АВС с тупым углом А и допу-
стим, что основание его высоты АН не лежит
на стороне ВС. Пусть, например, оно лежит на продолжении стороны ВС за точку В (рис. 191). Поскольку в прямоугольном треугольнике АВН угол В острый, то смежный с ним угол АВС тупой. Следовательно, в треугольнике АВС два тупых угла: А и В, чего не может быть. Это означает, что наше предположение неверно — точка Н не может лежать на продолжении стороны ВС за точку В. Аналогично доказывается, что точка Н не может лежать на продолжении стороны ВС за точку С, а значит, она лежит на стороне ВС.
Докажем теперь, что в тупоугольном треугольнике основание высоты, проведенной из вершины острого угла, лежит на продолжении стороны треугольника. Вновь воспользуемся методом доказательства от противного. Рассмотрим треугольник АВС с тупым углом В и допустим, что основание его высоты АН лежит на стороне ВС (рис. 192). Тогда окажется, что в прямоугольном треугольнике АВН угол В — тупой, чего не может быть. Это означает, что наше предположение неверно — точка Н не может лежать на стороне ВС, а значит, она лежит на продолжении этой стороны.
Из точки А к прямой а проведены перпендикуляр АН и наклонные АМ\ и АМ^. Докажите что: а) если НМ\ = НМ2, то АМ\ = АМ2; б) если НМ\ < НМ2, то АМХ < АМ2.
Решение, а) Прямоугольные треугольники АНМх и АН М2 равны по первому признаку равенства треугольников, поэтому их гипотенузы АМх и АМ2 равны.
Если точки Мх и М2 лежат по разные стороны от точки Н, то на луче НМ2 отложим отрезок НМ3 = НМх (рис. 193); согласно доказанному в части а) АМ3 = АМх. В противном случае примем за точку М3 точку Мх.
Угол АМ3М2 является внешним углом треугольника АНМ3, поэтому он больше прямого угла Н этого треугольника. Следовательно, в тупоугольном треугольнике АМ3М2 сторона АМ2, лежащая против тупого угла, больше стороны АМ3 = АМх, лежащей против острого угла.
4 Л. С. Атанасян и др.
Из точки Л к прямой а проведены перпендикуляр АН и наклонные АМх и АМ^. Докажите, что: а) если АМх = АМ^, то НМх = НМ2; б) если АМх < ЛМ2, то НМх < НМ2.
Решение, а) Допустим, что НМх 7^ НМ2. Если НМх < НМ2, то, согласно задаче 301, АМх < АМ2; если же НМх > НМ2, то АМх > > АМ2. И то, и другое противоречит условию. Следовательно, НМх = = НМ2.
Допустим, что НМх А НМ2. Если НМх = НМ2, то, согласно задаче 301, а, АМх = АМ2; если же НМх > НМ2, то, согласно задаче 301,6, АМх > АМ2. И то и другое противоречит условию. Следовательно, НМх < НМ2.
303* Два населенных пункта Л и В находятся по одну сторону от прямой дороги. Где на дороге надо расположить автобусную остановку С, чтобы сумма расстояний АС + СВ была наименьшей?
Решение. Рассмотрим такую точку Ах, что дорога проходит через середину М отрезка ААх и перпендикулярна к нему (рис. 194). Прямоугольные треугольники АМС и АхМС равны по первому признаку равенства треугольников, поэтому их гипотенузы АС и АхС равны. Следовательно, АС + СВ = АхС + СВ. Если точка С не лежит на прямой АхВ, то АхС + СВ > АхВ (неравенство треугольника); если же точка С лежит на прямой АхВ, то АхС + + СВ = АхВ. Таким образом, сумма АхС + СВ, а значит и сумма АС + СВ, принимает наименьшее значение в том случае, когда точка С представляет собой точку пересечения прямой АхВ с дорогой.
Ответ. В точке пересечения дороги с отрезком АхВ, где Ах — такая точка, что дорога проходит через середину отрезка ААх и перпендикулярна к нему.
304* Докажите, что если точка М лежит внутри треугольника АВС, то МВ + МС < АВ + АС.
Решение. Пусть N — точка пересечения прямой ВМ и отрезка АС (рис. 195). Применяя теорему о неравенстве треугольника к треугольнику ABN, получим:
BN = MB + MN < AB + AN, откуда
MB < AB + AN - MN.
Применяя теорему о неравенстве треугольника к треугольнику MNC, получим:
МС < MN + NC.
Складывая полученные неравенства и учитывая, что AN + NC = = АС, найдем:
МВ + МС < АВ + АС.
Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин меньше периметра треугольника.
Решение. Пусть М — произвольная точка, лежащая внутри треугольника АВС. Согласно задаче 304,
МВ + МС < АВ + АС,МС + МА < ВС АВА
ИМА + МВ < С А + СВ.
Складывая эти неравенства и деля обе части полученного неравенства на 2, найдем:
МА + МВ + МС < АВ + ВС + С А.
Докажите, что если АВ = АС + СВ, то точки А, В и С лежат на одной прямой.
Решение. Допустим, что точки А, В и С не лежат на одной прямой. Применяя теорему о неравенстве треугольника к треугольнику АВС, получим:
АВ < АС + СВ.
Но это противоречит условию, а значит, точки А, В и С лежат на одной прямой.
В прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины прямого угла. Докажите, что данный треугольник и два образовавшихся треугольника имеют соответственно равные углы.
Решение. Каждый из образовавшихся прямоугольных треугольников имеет по одному общему острому углу с данным прямоугольным треугольником, поэтому другие их острые углы также соответственно равны углам данного прямоугольного треугольника.
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС, равным 37 см, внешний угол при вершине В равен 60°. Найдите расстояние от вершины С до прямой АВ.
Решение. Поскольку внешний угол при вершине В равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, равен сумме двух равных углов при основании (рис. 196), то каждый из них равен 30°. Следовательно, высота СН треугольника АВС, равная расстоянию от вершины С до прямой АВ, является катетом прямоугольного треугольника АСН с гипотенузой АС, лежащим против угла в 30°. Поэтому СН = 4^ = 18,5 см.
Ответ. 18,5 см.
В треугольнике с неравными сторонами АВ и АС проведены высота АН и биссектриса AD. Докажите, что угол HAD равен полуразности углов В и С.
Решение. Пусть, например, АВ > АС и, следовательно, АС > > АВ (рис. 197). Угол ADC является внешним углом треугольника ABD, поэтому
Рис. 196Рис. 196Рис. 197
Рис. 196
Рис. 196
Докажите, что в равных треугольниках высоты, проведенные к равным сторонам, равны.
Решение. Рассмотрим равные треугольники АВС и А\В\С\, у которых, в частности, АВ = А\В\ и АВ = АВ\ (рис. 198). Пусть АН и А\Н\ — их высоты. Прямоугольные треугольники АВН и А\В\Н\ равны по гипотенузе (АВ = А\В\^ и острому углу (АВ = ABi), поэтому АН = AiHi.
Рис. 198
Что представляет собой множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных пересекающихся прямых?
Решение. Пусть а и b — данные прямые, пересекающиеся в точке О, М — точка, равноудаленная от этих прямых (рис. 199). Проведем из точки М перпендикуляры МД и МН2 к данным прямым. Поскольку МД = МН2, то прямоугольные треугольники МОЩ и МОН2 равны по гипотенузе и катету, а значит, луч ОМ — биссектриса угла дод.
Обратно, если точка М лежит на биссектрисе одного из четырех углов, образованных при пересечении прямых а и Ь, то перпендикуляры МНХ и МН2, проведенные к сторонам этого угла, равны, поскольку прямоугольные треугольники МОНХ и МОН2 равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, точка М равноудалена от прямых а и Ь.
Итак, искомое множество состоит из биссектрис четырех углов, образованных при пересечении данных прямых.
Ответ. Две прямые, содержащие биссектрисы углов, образованных при пересечении данных прямых.
Отрезок соединяет вершину треугольника с точкой, лежащей на противоположной стороне. Докажите, что этот отрезок меньше большей из двух других сторон.
Решение. Рассмотрим треугольник АВС, в котором АС > АВ, и возьмем на его стороне ВС произвольную точку М (рис. 200). Угол АМС является внешним углом треугольника АВМ, поэтому он больше угла В этого треугольника. С другой стороны, АС > АВ,
следовательно, угол В больше угла С. Таким образом, в треугольнике АМС угол М больше угла С, а значит, АС > АМ.
. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.
Решение. На произвольной прямой отложим последовательно отрезки ВМ и МВ\, равные данной медиане (рис.201). Далее, построим треугольник ВСВ{, стороны ВС
Рис. 201Рис. 201и В\С которого равны данным сторонам искомого треугольника. Наконец, проведем отрезок СМ и продолжим его за точку М на отрезок МА = СМ. Поскольку треугольники МСВ\ и МАВ равны (по первому признаку равенства треугольников), то треугольник АВС — искомый.
Рис. 201
Рис. 201
Постройте прямоугольный треугольник: а) по гипотенузе и острому углу; б) катету и противолежащему углу; в) гипотенузе и катету.
Решение, а) Построим угол, равный данному углу, на одной из его сторон отложим от вершины отрезок, равный данной гипотенузе, и из конца этого отрезка проведем перпендикуляр к другой стороне угла. Построенный треугольник — искомый.
Построим угол hk, равный данному углу, и проведем ту прямую, параллельную h и находящуюся от h на расстоянии, равном данному катету (см. задачу 284), которая пересекает луч к. Из точки пересечения проведем перпендикуляр к лучу h. Построенный треугольник — искомый.
Построим прямой угол и отложим на одной из его сторон от вершины отрезок, равный данному катету. Затем проведем окружность радиуса, равного данной гипотенузе, с центром в конце этого отрезка. Соединим точку пересечения окружности и второй стороны прямого угла с ее центром. Построенный треугольник — искомый.
С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный: а) 30°; б) 60°; в) 15°; г) 120°; д) 150°; е) 135°; ж) 165°; з) 75°; и) 105°.
Решение, а) Построим равносторонний треугольник со стороной, равной произвольному отрезку. Каждый из его углов равен 60°. Теперь проведем биссектрису одного из этих углов и получим угол, равный 30°.
См. а).
Построим угол, равный 30° (см. а), и проведем его биссектрису. Получим угол, равный 15°.
Построим угол, равный 60° (см. б). Тогда смежный с ним угол равен 120°.
Построим угол, равный 30° (см. а). Тогда смежный с ним угол равен 150°.
Построим прямой угол и на его сторонах от вершины отложим равные отрезки. Соединяя концы этих отрезков, получим равнобедренный прямоугольный треугольник, углы при основании которого равны 45°. Углы, смежные с этими углами, равны 135°.
Построим угол, равный 15° (см. в). Тогда смежный с ним угол равен 165°.
Построим угол, равный 150° (см. д), и проведем его биссектрису. Получим угол, равный 75°.
Построим угол, равный 75° (см. з). Тогда смежный с ним угол равен 105°.
316* Постройте треугольник по стороне, высоте, проведенной к ней, и ме
диане, проведенной к одной из двух других сторон.
равный данной стопараллельную прямойравный данной стопараллельную прямойСаСаРис. 202Рис. 202С перпендикуляры ВН\С перпендикуляры ВН\Решение. Построим отрезок АВ, роне (рис. 202), и проведем прямую а, АВ и находящуюся от нее на расстоянии, равном данной высоте (см. задачу 293). Затем проведем прямую Ь, параллельную АВ и равноудаленную от прямых АВ и а. Далее построим окружность с центром А, радиус которой равен данной медиане, и отметим точку М пересечения этой окружности с прямой Ь. Наконец, проведем прямую ВМ до пересечения с прямой а в точке С. Треугольник АВС — искомый.
равный данной стопараллельную прямой
равный данной стопараллельную прямой
Са
Са
Рис. 202
Рис. 202
С перпендикуляры ВН\
С перпендикуляры ВН\
В самом деле, проведем из точек В и
и СН2 к прямой b и рассмотрим прямоугольные треугольники ВМЩ
и СМН2. Углы М этих треугольников равны как вертикальные углы, поэтому их углы В и С также равны. Катеты ВН\ и СН2 этих треугольников равны по построению. Следовательно, рассматриваемые
треугольники равны по первому признаку равенства треугольников, а значит, ВМ = МС, т. е. отрезок АМ — медиана треугольника АВС.
Из построения ясно, что задача может иметь два решения (рис. 203, а), одно решение (рис. 203, б) или не иметь решения (рис. 203, в\
Дан треугольник АВС. Постройте отрезок DE, параллельный прямой АС, так, чтобы точки D и Е лежали на сторонах АВ и ВС и DE = AD + ЕСЕ.
Решение. Построим биссектрисы углов А и С треугольника АВС (рис. 204). Через точку пересечения этих биссектрис проведем прямую, параллельную АС, и отметим точки D и Е пересечения этой прямой с прямыми АВ и ВС. Отрезок DE — искомый (см. задачу 245).
Даны равносторонний треугольник АВС и точка В\ на стороне АС. На сторонах ВС и АВ постройте точки Ai и Ci так, чтобы треугольник А\В\С\ был равносторонним.
Решение. Отложим на сторонах ВС и АВ отрезки СА\ и ВС\, равные АВ\ (рис. 205). Точки А\ и С\ — искомые, поскольку треугольники АВ\С\, А\ВС\ и А\В\С равны по первому признаку равенства треугольников.
319*. Постройте треугольник по углу, высоте и биссектрисе, проведенным из вершины этого угла.
Решение. Построим сначала прямоугольный треугольник ADH (рис. 206), гипотенуза AD и катет АН которого равны соответственно данной биссектрисе и данной высоте (см. задачу 314, в). Затем разделим данный угол пополам и отложим от лучаАР по обе стороны углы, равные половине данного угла. Точки пересечения сторон отложенных углов с прямой DH обозначим буквами В и С. Треугольник АВС — искомый.
320*. Постройте треугольник по стороне, высоте и медиане, проведенным к этой стороне.
Решение. Построим отрезок АВ, равный данной стороне, и найдем его середину М (рис. 207). Проведем прямую, параллельную АВ и находящуюся от нее на расстоянии, равном данной высоте (см. задачу 284). Затем проведем окружность с центром М радиуса, равного данной медиане, и обозначим буквой С точку ее пересечения с проведенной прямой. Треугольник АВС — искомый.
Рис. 206Рис. 206Рис. 207Рис. 207
Рис. 206
Рис. 206
Рис. 207
Рис. 207
321* Дан треугольник АВС с прямым углом А. На стороне АВ постройте точку М, находящуюся на расстоянии АМ от прямой ВС.
Решение. Проведем биссектрису угла С (рис. 208). Точка М ее пересечения с отрезком АВ — искомая. В самом деле, пусть МН — перпендикуляр, проведенный из точки М к прямой ВС. Треугольники АСМ и НСМ равны по гипотенузе и острому углу, поэтому МА = = МН.
Задачи повышенной трудности к главам 3 и 4
Прямые, содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС, пересекаются в точке О. Найдите угол ВОС, если угол А равен а.
Решение. Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны (см. задачу 83), поэтому ZOBC = 90° - ДД, ZOCB = 90° -
ZC
— (рис. 209), а значит,
ZBOC = 180° - (90° - ^) - (90° - ^) =
_ ZB + ZC _ 180° - ZA _0 Z^_qno а
2222'
Ответ. 90° —
Через каждую вершину данного треугольника проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе треугольника, исходящей из этой вершины.
Отрезки этих прямых вместе со сторонами данного треугольника образуют три треугольника. Докажите, что углы этих треугольников соответственно равны.
Решение. Пусть АВС — данный треугольник. В ходе решения задачи 333 было установлено, что углы одного из трех образовавшихся треугольников равны 90° —, 90° — и 90° —. Аналогично доказывается, что углы двух других треугольников также равны
90°90°^, 90° - ^ и 90° - ^.^, 90° - ^ и 90° - ^.
90°
90°
^, 90° - ^ и 90° - ^.
^, 90° - ^ и 90° - ^.
В каждом из следующих случаев определите вид треугольника: а) сумма любых двух углов больше 90°; б) каждый угол меньше суммы двух других углов.
Решение, а) Сумма трех углов треугольника равна 180°, поэтому из условия задачи следует, что каждый угол треугольника меньше 90°, а значит, данный треугольник — остроугольный.
б) См. а).
Ответ, а) Остроугольный; б) остроугольный.
Рис. 210Рис. 210и углами треугольника ки углами треугольника кДокажите, что угол треугольника является острым, прямым или тупым, если медиана, проведенная из вершины этого угла, соответственно больше, равна или меньше половины противоположной стороны.
Рис. 210
Рис. 210
и углами треугольника к
и углами треугольника к
если АМ > (=, <)ВМ, тоесли АМ > (=, <)ВМ, тоРешение. Пусть АМ — медиана треугольника АВС (рис. 210). Применяя теорему о соотношениях между сторонами треугольникам АВМ и АСМ, получим, что
если АМ > (=, <)ВМ, то
если АМ > (=, <)ВМ, то
АВ АМ < (=, >)ZB и АСАМ < (=, >УС,
а значит,
АА = АВ АМ + АСАМ < (=, >)АВ + АС = 180° - АА,
откуда находим:откуда находим:АА < (=, >)90°.АА < (=, >)90°.
откуда находим:
откуда находим:
АА < (=, >)90°.
АА < (=, >)90°.
Внутри равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС взята точка М, такая, что АМ ВС = 30°, АМСВ = 10°. Найдите угол АМС, если ABAC = 80°.
Решение. Поскольку угол А равнобедренного треугольника АВС равен 80°, то
ZB = ZC = 180° ~ 80° = 50°.
Пусть О — точка пересечения биссектрисы угла А с прямой ВМ (рис. 211). Треугольники АОВ и АОС равны по первому признаку равенства треугольников. Поэтому
ZACO = ZABO = 50° - 30° = 20°,
ZAOB = ZAOC = 180° - 40° - 20° = 120°.
Обратимся теперь к треугольникам АОС и МОС. В этих треугольниках
ZMOC = 360° - 120° - 120° = 120° = ZAOC,
ZOCM = 50° - 10° - 20° = 20° = ZOCA.
Следовательно, рассматриваемые треугольники равны по второму признаку равенства треугольников, а значит, АС = МС.
В равнобедренном треугольнике АСМ угол С, противоположный основанию АМ, равен 40°, поэтому ZAMC == 70°.
Ответ. 70°.
Докажите, что любой отрезок с концами на разных сторонах треугольника не больше наибольшей из сторон треугольника.
Решение. Рассмотрим треугольник АВС, на сторонах АВ и ВС которого взяты точки М и N (рис. 212). Если одна из этих точек совпадает с вершиной В или отрезок MN совпадает со стороной АС, то утверждение, сформулированное в задаче, очевидно. Случай, когда один из концов отрезка MN совпадает с вершиной А или С, рассмотрен в задаче 312. Осталось рассмотреть случай, когда оба конца отрезка MN не совпадают ни с одной из вершин треугольника.
В треугольнике BMN один из углов — острый. Пусть, например, острым является угол М. Тогда смежный с ним угол AMN — тупой. Согласно утверждению, сформулированному в задаче 312, отрезок AN меньше большей из сторон АВ и АС. С другой стороны, этот отрезок лежит против тупого угла треугольника AMN, поэтому MN < AN. Следовательно, отрезок MN также меньше большей из сторон АВ и АС, а значит, он меньше наибольшей из сторон треугольника АВС.
Рис. 213Рис. 213
Рис. 213
Рис. 213
Отрезок ВВх — биссектриса треугольника АВС. Докажите, что ВА > ВХА и ВО ВхС.
Решение. Внешний угол треугольника больше каждого из углов треугольника, не смежных с ним (см. задачу 173). Поэтому ZABxB > ^^ (рис. 213) и ZCBxB > ^^. Применяя теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника к треугольникам АВВх и С ВВх, получим:
ВА> ВХА и ВС > ВХС.
Внутри треугольника АВС взята точка D, такая, что AD = АВ. Докажите, что АС > АВ.
Решение. Пусть Е — точка пересечения прямой AD и отрезка ВС (рис. 214). Поскольку точка D лежит внутри треугольника АВС, то АЕ > AD = АВ. С другой стороны, согласно утверждению, сформулированному в задаче 312, отрезок АЕ меньше большего из отрезков АВ и АС. Следовательно, большим из этих отрезков является отрезок АС.
Рис. 215Рис. 215В треугольнике АВС, в котором сторона АВ больше АС, проведена биссектриса AD. Докажите, что ZADB > ZADC и BD > CD.
Рис. 215
Рис. 215
Решение. Отметим на стороне АВ такую точку Сх, что АСх = АС (рис. 215). Треугольники ADC и ADCx равны по первому признаку равенства треугольников. Следовательно,
ZADC = ZADCx < ZADB.
В треугольнике BDCx угол Сх равен
180° - ZC = ZA + ZB > ZB,
поэтому DB > CxD = CD.
Докажите теорему: если в треугольнике биссектриса является медианой, то треугольник — равнобедренный.
Решение. Рассмотрим треугольник АВС, биссектриса AD которого является медианой: BD = DC. Допустим, что АВ > АС.
Тогда согласно утверждению, сформулированному в задаче 341, BD > DC, что противоречит условию задачи. Предполагая, что АВ < АС, мы придем к аналогичному противоречию. Следовательно, АВ = АС.
Рис. 216Рис. 216Две стороны треугольника не равны друг другу. Докажите, что медиана, проведенная из их общей вершины, составляет с меньшей из сторон больший угол.
Рис. 216
Рис. 216
Решение. Рассмотрим треугольник АВС, в котором ВС < АВ. Продолжим его медиану ВМ за точку М на отрезок ME = = ВМ (рис. 216). Треугольники ВСМ и АЕМ равны по первому признаку равенства треугольников, поэтому АЕ = ВС и ZAEM = = ZCBM.
344. В треугольнике АВС, где АВ А АС, проведен отрезок АМ, соединяющий вершину А с произвольной точкой М стороны ВС. Докажите, что треугольники АМВ и АМС не равны друг другу.Решение. Если угол АМ В прямой (рис. 217, а), то смежный344. В треугольнике АВС, где АВ А АС, проведен отрезок АМ, соединяющий вершину А с произвольной точкой М стороны ВС. Докажите, что треугольники АМВ и АМС не равны друг другу.Решение. Если угол АМ В прямой (рис. 217, а), то смежныйРис. 217Рис. 217В треугольнике АВЕ сторона АЕ = ВС меньше стороны АВ. Следовательно, угол АЕМ, а значит, и равный ему угол СВМ, больше угла АВМ.
344. В треугольнике АВС, где АВ А АС, проведен отрезок АМ, соединяющий вершину А с произвольной точкой М стороны ВС. Докажите, что треугольники АМВ и АМС не равны друг другу.
Решение. Если угол АМ В прямой (рис. 217, а), то смежный
344. В треугольнике АВС, где АВ А АС, проведен отрезок АМ, соединяющий вершину А с произвольной точкой М стороны ВС. Докажите, что треугольники АМВ и АМС не равны друг другу.
Решение. Если угол АМ В прямой (рис. 217, а), то смежный
Рис. 217
Рис. 217
с ним угол АМС также прямой. В этом случае прямоугольные треугольники АМВ и АМС не равны друг другу, поскольку их гипотенузы АВ и АС не равны друг другу.
Если угол АМВ тупой (рис. 217, б), то смежный с ним угол АМС острый. Допустим, что треугольники АМВ и АМС равны. Тогда треугольник АМС — тупоугольный с тупым углом А или С. Но углы А и С меньше тупого угла М треугольника АМВ (см. задачу 173),
поэтому тупоугольные треугольники АМВ и АМС не могут быть равными друг другу.
Наконец, если угол АМВ острый, путем аналогичных рассуждений мы придем к тому же выводу.
Через вершину А треугольника АВС проведена прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, а из вершины В проведен перпендикуляр ВН к этой прямой. Докажите, что периметр треугольника ВСН больше периметра треугольника АВС.
Решение. Продолжим отрезок В А за точку А на отрезок AD = / д
= АС (рис. 218). Каждый из углов НАС и HAD равен 90° + —, где АА — угол треугольника АВС. Следовательно, треугольники АСН и ADH равны по первому признаку равенства треугольников, а значит, СН = DH.
Применяя теорему о неравенстве треугольника к треугольнику BDH, получим:
ВН + DH > BD, или
ВН + СН > В А + AD = В А + АС,
откуда
ВН + СН + ВС > В А + АС + ВС.
В треугольнике АВС, где АВ < АС, проведены биссектриса AD и высота АН. Докажите, что точка Н лежит на луче DB.
Решение. Из утверждения, сформулированного в задаче 341, следует, что угол ADC тупой (рис. 219). Тем самым отрезок АН является высотой тупоугольного треугольника ADC, проведенной из вершины острого угла. Поэтому согласно утверждению, сформулированному в задаче 300 (см. также решение этой задачи), точка Н лежит на луче DB.
Докажите, что в неравнобедренном треугольнике основание биссек трисы треугольника лежит между основаниями медианы и высоты, проведенных из этой же вершины.
Рис. 220Рис. 220Решение. Пусть AD, АМ и АН — биссектриса, медиана и высота треугольника АВС, сторона АВ которого меньше АС (рис. 220). Согласно утверждению, сформулированному в задаче 341, CD > BD, поэтому середина М отрезка ВС лежит на луче DC. С другой стороны, точка Н лежит на луче DB (см. задачу 346). Следовательно, точка D лежит между точками М и Н.
Рис. 220
Рис. 220
Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой, проведенными из той же вершины, пополам.
Решение. Пусть AD, АМ и АН — биссектриса, медиана и высота треугольника АВС с прямым углом А (рис. 221). Из утверждения, сформулированного в задаче 336, следует, что АМ = ВМ. В самом деле, если АМ < ВМ, то угол А тупой, а если АМ > ВМ, то этот угол острый. И то и другое противоречит условию задачи, поэтому АМ = ВМ.
Треугольник АВМ равнобедренный, поэтому углы при его основании АВ равны. В треугольнике АВС углы В и С составляют в сумме 90°, а в треугольнике АСН углы А и С составляют в сумме 90°. Следовательно, АСАН = АМВА = АВ АМ.
Биссектриса AD делит пополам угол ВАС, следовательно, она делит пополам и угол МАН.
Медиана и высота треугольника, проведенного из одной вершины угла треугольника, делят этот угол на три равные части. Докажите, что треугольник — прямоугольный.
Решение. Пусть АМ и АН — медиана и высота треугольника АВС, делящие угол А на три равные части (рис. 222). Прямоугольные треугольники АВН и АМН равны по первому признаку равенства
треугольников, поэтому ВН = НМ =
Проведем из точки М перпендикуляр MD к прямой АС. Прямоугольные треугольники АМН и ADM равны по гипотенузе и острому
углу, а значит, DM = НМ =
В прямоугольном треугольнике ВМС катет DM равен половине гипотенузы, поэтому угол С равен 30°. Следовательно, в прямоугольном треугольнике АСН угол САН равен 60°, а значит, угол А треугольника АВС равен - • 60° = 90°.
В треугольнике АВС высота ААх не меньше стороны ВС, а высота ВВх не меньше стороны АС. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный и прямоугольный.
Решение. Имеем: ААх ^ ВС (рис.223, а). С другой стороны, поскольку гипотенуза прямоугольного треугольника больше его катета, то AC ^ ААх, причем знак равенства возможен только в том случае, когда точки Ах и С совпадают. Итак, АС ^ ААх ^ ВС, причем знак равенства возможен только в том случае, когда точки Ах и С совпадают.
Аналогично получаем: ВС ^ ВВх ^ АС, причем знак равенства возможен только в том случае, когда точки Вх и С совпадают.
Неравенства АС ^ ВС и ВС ^ АС выполняются одновременно только тогда, когда АС = ВС. Поэтому из условия задачи следует, что АС = ААх = ВС = ВВх, причем точки Ах, Вх и С совпадают. Но это и означает, что треугольник АВС — равнобедренный, а его угол С — прямой (рис. 223, б).
Даны две точки А и В и прямая а, не проходящая через эти точки. На прямой а постройте точку, равноудаленную от точек А и В. Всегда ли задача имеет решение?
Решение. Через середину отрезка АВ проведем прямую Ь, перпендикулярную к этому отрезку (рис.224, а\ Точку пересечения прямых а и b обозначим буквой С. Точка С лежит на прямой а и равноудалена от точек А и В (см. задачу 160). Задача может иметь одно решение (если прямые а и b пересекаются, рис. 224, а), не иметь ни одного решения (если прямые а и b параллельны, рис. 224, б) или иметь бесконечно много решений (если прямые а и b совпадают, рис. 224, в).
Ответ. Не всегда.
аб
ббРис. 224Рис. 224
б
б
Рис. 224
Рис. 224
Постройте точку, лежащую на данной окружности и равноудаленную от концов данного отрезка. Сколько решений может иметь задача?
Решение. Пусть даны отрезок АВ и окружность с центром О (рис. 225). Через середину отрезка АВ проведем прямую а, перпендикулярную к этому отрезку (рис. 225, а\ Одну из точек пересечения прямой а с данной окружностью обозначим буквой С. Точка С — искомая (см. задачу 160). Задача может иметь два решения (если прямая пересекает окружность в двух точках, рис. 225, а), одно решение (если прямая и окружность имеют одну общую точку, рис. 225, б), или не иметь ни одного решения (если прямая и окружность не имеют общих точек, рис. 225, в).
Ответ. Два, одно или ни одного.
Через три данные точки проведите окружность. Всегда ли задача имеет решение?
Решение. Пусть даны три точки А, В и С (рис. 226). Через середины отрезков АВ и ВС проведем прямые а и Ь, перпендикулярные к этим отрезкам (рис. 226, а\ Если точки А, В и С не лежат на одной прямой, то прямые а и b пересекаются в некоторой точке О. Эта точка равноудалена от концов отрезков АВ и ВС (см. задачу 160), т. е. равноудалена от точек А, В и С. Поэтому окружность с центром О радиуса О А — искомая (рис. 226, а\ Если же точки А, В и С лежат на одной прямой, то прямые а и b параллельны. В этом случае задача решения не имеет (рис. 226, б).
Ответ. Не всегда.
бб
б
б
Рис. 226
Точки А и В лежат по одну сторону от прямой а. Постройте точку М прямой а так, чтобы сумма АМ + МВ была меньше суммы АХ + ХВ, где X — любая точка прямой а, отличная от М.
Решение. Построим отрезок АА\ так, чтобы данная прямая а проходила через его середину и была перпендикулярна к нему (рис. 227). Тогда каждая точка X прямой а равноудалена от точек А и Ль то есть АХ = А\Х (см. задачу 160). Проведем прямую А\В. Она пересечет прямую а в некоторой точке М (так как точки В и Ai лежат по разные стороны от прямой а). Точка М — искомая. Действительно, пусть X — произвольная точка прямой а, отличная от точки М. Тогда Ль X и В не лежат на одной прямой и, следовательно, А\Х + ХВ > А\В (неравенство треугольника).
Но А\В = А\М + МВ = АМ + МВ, А\Х = АХ, поэтому
АМ + МВ < АХ + ХВ.
Постройте прямоугольный треугольник АВС, если даны острый угол В и биссектриса BD.
Решение. Пусть hk — данный угол с вершиной В (рис. 228). Построим сначала биссектрису этого угла и отложим на ней отрезок BD, равный данному отрезку. Затем построим прямую, проходящую через точку D и перпендикулярную к лучу h. Обозначим точку пересечения этой прямой со сторонами угла h и к буквами Л и С. Треугольник АВС — искомый.
На данной окружности постройте точку, равноудаленную от двух пересекающихся прямых. Сколько решений может иметь задача?
Решение. Точки, равноудаленные от двух данных пересекающихся прямых, лежат на биссектрисах углов, образованных этими прямыми (задача 311). Поэтому если построить прямые а и Ь, содержащие биссектрисы углов, образованных данными прямыми, то искомыми точками будут точки пересечения прямых а и b с данной окружностью. Задача может иметь четыре решения (рис. 229, а), три решения (рис. 229, б), два решения (рис. 229, в), одно решение (рис. 229, а) или не иметь ни одного решения (рис. 229, б).
Ответ. Четыре, три, два, одно или ни одного.
Рис. 230Рис. 230Даны три попарно пересекающиеся прямые, не проходящие через одну точку. Постройте точку, равноудаленную от этих прямых. Сколько решений имеет задача?
Рис. 230
Рис. 230
Решение. Пусть А, В и С — точки, в которых попарно пересекаются данные прямые (рис. 230). Согласно задаче 311, искомой точкой является каждая из точек пересечения прямых, содержащих биссектрисы углов с вершинами А, В и С, отличная от А, В и С. Указанных прямых шесть: это прямые а\, а2, аз, а^, аз, аз на рисунке 230. Построим их. Они попарно пересекаются
в четырех точках О\,в четырех точках О\,О2, О3 и О4, отличных от А, В и С. Каждая
в четырех точках О\,
в четырех точках О\,
из этих четырех точек — искомая.
Ответ. Четыре.
Дана окружность с центром О и точка А вне ее. Проведите через точку А прямую, пересекающую окружность в точках В и С, таких, что АВ = ВС.
Решение. Построим треугольник OAD, в котором AD = R, OD = = 2R, где R — радиус данной окружности (рис. 231). Пусть В — точка пересечения прямой OD и данной окружности. Проведем прямую АВ и обозначим буквой С вторую точку пересечения прямой АВ с данной окружностью. Прямая АВ — искомая. Действительно, равнобедренные треугольники ABD и СВО равны по первому признаку равенства треугольников: их боковые стороны равны по построению, Zl = Z2 = = Z3 = Z4, а значит, их углы при вершинах также равны. Следовательно, АВ = ВС.
Постройте треугольник по периметру, одному из углов и высоте, проведенной из вершины другого угла.
Решение. Пусть даны АА, высота ВН искомого треугольника АВС и отрезок PQ, равный его периметру (рис. 232). Построим прямоугольный треугольник АВН по острому углу А и катету ВН. На луче
АН отложим отрезок АЕ, равный данному периметру, а затем на луче ЕА отложим отрезок ED = АВ. Через середину отрезка BD проведем прямую а, перпендикулярную к BD, и точку пересечения прямой а и прямой AD обозначим буквой С. Треугольник АВС — искомый.
Действительно, угол А равен данному углу по построению, ВН — заданная высота, ВС = CD (см. задачу 160), DE = АВ по построению. Поэтому
PQ = АС + CD + DE = AC + ВС + АВ.
Постройте треугольник по периметру и двум углам.
Решение. Пусть даны Zh\k\ и Zh^k^, равные углам А и С искомого треугольника АВС, и отрезок PQ, равный его периметру (рис. 233, а). Построим треугольник BDE по стороне DE, равной
Рис. 233Рис. 233
Рис. 233
Рис. 233
отрезку PQ, и двум прилежащим к ней углам ZD = —-— и ZE = = ^^ (рис. 233, б). Затем через середины отрезков BD и BE проведем прямые а и Ь, перпендикулярные к ним. Эти прямые пересекут прямую DE в точках А и С. Треугольник АВС — искомый.
В самом деле, АВ = AD, ВС = СЕ, поэтому периметр треугольника АВС равен отрезку DE = PQ. Далее, ZA = 2ZD, поскольку треугольник ABD — равнобедренный. Следовательно, ZA = Zh\k\. Аналогично ZB = Zh^.
Постройте треугольник по стороне, разности углов при этой стороне и сумме двух других сторон.
Решение. Пусть ВС, АС + АВ и а = ZB — ZC — данные элементы искомого треугольника АВС. Построим сначала треугольник ВСА\ по двум сторонам ВС, СА\ = АС + АВ и углу А\ВС = 90° + ^ (рис. 234). Затем через
середину отрезка А\В проведем прямую а, перпендикулярную к этому отрезку. Она пересечет прямую А\С в точке А. Треугольник АВС — искомый. Действительно, угол А\АВ —внешний угол треугольника АВС, поэтому
ZAxAB = ZBzZC,
а значит,а значит,ZBAVA = 90° - ^ - ^.ZBAVA = 90° - ^ - ^.
а значит,
а значит,
ZBAVA = 90° - ^ - ^.
ZBAVA = 90° - ^ - ^.
Сумма углов треугольника А\ВС равна 180°:
(90о - ^ - ^ + АС + (90° + 5) = 180°, откуда ZB — ZC = а.
Учебное издание
АТАНАСЯН Левон СергеевичБУТУЗОВ Валентин ФедоровичКАДОМЦЕВ Сергей БорисовичЮДИНА Ирина Игоревна
ГЕОМЕТРИЯ. 7 КЛАСС
Редактор В. С. АроловичОригинал-макет: А.М. СадовскийОформление переплета: А.А. Логунов
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 30.12.04.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 7,5. Уч.-изд. л. 8,3. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литератураМАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивовв ОАО «Ивановская областная типография»153008, г. Иваново, ул. Типографская, 6
E-mail: 091-018@adminet.ivanovo.ru
УДК 373.167.1:514
ББК 22.151я.721
Г 36
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Юдина И. И. Геометрия. 7 класс. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 120 с. — ISBN 5-9221-0572-8.
Настоящее издание является первой частью учебно-методического пособия, содержащего решения задач из учебника «Геометрия 7-9» Л. С. Атанасяна, В. Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева, Э. Г. Позняка, И. И. Юдиной (М.: Просвещение, 1990 и последующие издания). Данный выпуск содержит решения задач, относящихся к 7 классу.
© ФИЗМАТЛИТ, 2005
ISBN 5-9221-0572-8ISBN 5-9221-0572-8С. Б. Кадомцев, И. И. Юдина, 2005С. Б. Кадомцев, И. И. Юдина, 2005© Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов,
ISBN 5-9221-0572-8
ISBN 5-9221-0572-8
С. Б. Кадомцев, И. И. Юдина, 2005
С. Б. Кадомцев, И. И. Юдина, 2005
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 4
Глава 1. Начальные геометрические сведения 5
1.Прямая и отрезок 5
2.Луч и угол 6
.Сравнение отрезковиуглов 7
.Измерение отрезков 8
.Измерение углов 12
.Перпендикулярные прямые 14
Дополнительные задачи 19
Задачи повышенной трудности к главе 1 26
Глава 2. Треугольники 30
. Первый признак равенства треугольников 30
. Медианы, биссектрисы и высотытреугольника 33
. Второй и третий признаки равенства треугольников 38
. Задачи на построение 45
Дополнительные задачи 48
Задачи повышенной трудности к главе 2 58
Глава 3. Параллельные прямые 61
. Признаки параллельности двух прямых 61
. Аксиома параллельных прямых 63
Дополнительные задачи 69
Глава 4. Соотношения между сторонами и углами треугольника 73
1. Сумма углов треугольника 73
. Соотношения между сторонами иуглами треугольника 77
. Прямоугольные треугольники 82
. Построение треугольника по тремэлементам 88
Задачи на построение 91
Дополнительные задачи 95
Задачи повышенной трудности к главам 3 и 4 105