Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ТАБЛИЦЫ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Редактор Е.Ю. Ходан
Корректор Л.Т. ВарьяшОригинал-макет: В.В. ХудяковОформление переплета А.Ю. Алехиной
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 05.11.02.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 12,5. Уч.-изд. л. 18,54. Тираж 5000 экз. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997 Москва, Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов в ПФ «Полиграфист»160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3.
Тел.: (8172) 72-55-31, 72-61-75, факс (8172) 72-60-72.
E-mail: form.pfp@votel.ru http://www.vologda/~pfpv
ISBN 5-9221-0331-8ISBN 5-9221-0331-8© ФИЗМАТЛИТ, 2003
ISBN 5-9221-0331-8
ISBN 5-9221-0331-8
ОГЛАВЛЕНИЕ
1212Предисловие
12
12
Введение .........................................13
Основные интегралы .................................13
Общие формулы ....................................13
Алгебраические функции .............................14
Интегралы вида J хр(ахт + by dx
Г жт dx 2.2. Интегралы вида .
J хп + ап
f жт ^ж 2.3. Интегралы вида .
J хп — ан
f хр dx
Интегралы вида — .
J (ж + аУ
f dx
Интегралы вида :—■
J хР^х 4- аУ
Интегралы вида хр I ) dx ........................ .
J \ х + b J
Г хр dx
Интегралы вида —:—■
J (ж + а)^(ж + Ь)т
Интегралы вида J х^т^аУ + Ьх + сУ dx
f dx
Интегралы вида - ........................
J (аж2 + 6ж + с)п
Г жт dx
Интегралы вида -—
J (аж2 + 6ж + сУ
fdx
Интегралы вида :— .....................
J хтух2 + Ьх + с)п
Интегралы вида J^ + d)±m(аж2 + Ьж + с)п с/ж ...............
f (ж + d)m dx
Интегралы вида --— .......................
J (аж2 + Ьх + сУ
Гdx
Интегралы вида :-—.................
J (ж + с/)т(аж2 + Ьх + с)п
Г жт dx
Интегралы вида -— —— ...........................
J (ж2 + а2)п
Г dx
Интегралы вида :——
141516161819202222232425262727141516161819202222232425262727J хт(х2 + а2У
14
15
16
16
18
19
20
22
22
23
24
25
26
27
27
14
15
16
16
18
19
20
22
22
23
24
25
26
27
27
2.17. Интегралы вида
Г хт dx
1 (ж2 — а2-^
2.18. Интегралы вида
Гdx
........................32
1 жт(ж2 — а2)п
2.19. Интегралы вида
Г х^т dx ........................... зз
1 (ж3 + а3)та
2.20. Интегралы вида j
Г жт dx ...........................34
1 (ж4 + а4)та
2.21. Интегралы вида
Гаж 35
1 жт(ж4 + а4)п
2.22. Интегралы вида
Г хт dx
1 (ж4 — а4)п
2.23. Интегралы вида
Гdx
........................36
1 жт(ж4 — а4)п
2.24. Интегралы вида
Гх^т dx
1 (аж4 + Ъх2 + с)п
2.25. Интегралы вида J ж±т(аж2/г + bxk + с)^п dx 38
2.26. Интегралы вида J жт+1//2(аж ± 6)±n dx ................... .39
2.27. Интегралы вида j
Г (аж ± Ь)±п , 1жт + 1/2
Г жт + 1/2
2.28. Интегралы вида
———— dx ........................ .40
1 (ж2 + а2)та
Г х^1^
2.29. Интегралы вида
dx ........................ .41
1 (ж2 — а2)та
2.30. Интегралы вида J хт(ах + 6)n+1/2 dx .................... .41
2.31. Интегралы вида
Г (аж + Ь)^ dx 42
|жт
2.32. Интегралы вида
Гжт dx
43
1 (аж + 6)п+1/2
2.33. Интегралы вида j
[ 43
1 жт^ах + Ь)п+М"2
2.34. Интегралы вида ^аж + b)±m+1/2(еж + d)±n-+1/2 с/ж ............44
2.35. Интегралы вида J хр(ах + by^1^ dx ..................... .46
2.36. Интегралы вида /(ж — а^т(ах + by^n dx ................. .46
2.37. Интегралы вида
f,/ ах 4-b\p^n
(ж — a)±m ( ] dx 47
J\ сх + d J
2.38. Интегралы вида
f $p/nd$_
-— .......................... 48
J (ж2 + a2)m
2.39. Интегралы вида
f xp/n dx„
49
J (ж2 — a2)m
2.41. Интегралы вида
Р (Ж2 +а2р + 1/2
1dx ..................... .50
хт
2.42. Интегралы вида j
\=^dx52
(ж2 + а2)"+1/2
2.43. Интегралы вида
[ d$53
Жт(Ж2 _|_ о2^п + 1/2
2.44. Интегралы вида
Рdx^
i (ж + Ь)п(ж2 + а2)1/2
2.45. Интегралы вида
fdx
J (ж2 ± 62)т(ж2 + а2)" + 1/2
2.46. Интегралы вида J жт(ж2 — a2^n+i/2 dx55
2.47. Интегралы вида
иж2-^1/2 dx ..................... .56
1хт
2.48. Интегралы вида
Гхт dx
1 (ж2 - а2)^1/2
2.49. Интегралы вида
Гd$да
1 жт(ж2 _ а2^п+1/2
2.50. Интегралы вида j
Гdx
1 (ж + 6)п(ж2 — а2)1/2
2.51. Интегралы вида
г 60
(ж2 ± 62)(ж2 _ а2)1/2
2.52. Интегралы вида J жт(а2 — ж2^п+1/2 dx ....................60
2.53. Интегралы вида
Г (а2 - ж2)^1/2 dx 61
1жт
2.54. Интегралы вида
Гжт dx
1 (а2 — ж2)"+1/2
2.55. Интегралы вида
[64
1 жт(а2 — ж2)п+1/2
2.56. Интегралы вида
[65
1 (ж + Ь)п(а2 — ж2)1/2
2.57. Интегралы вида
Г 65
1 (62 ± Ж2)т(а2 — ж2)п + 1/2
2.58. Интегралы вида
1* жт(аж2 + bx + c)n+1/2 dx ................ .66
2.59. Интегралы вида
Г (аж2 + Ьж + с)п+1/2
аж ..................
|жт
2.60. Интегралы вида
Г 68
1 (аж2 + Ьх + с)п+1/2
2.61. Интегралы вида
Гжт dx^
1 (аж2 + Ьх + с)п+1/2
2.62. Интегралы вида
Г: 69
1 хт^ах‘2 + Ьх + с^Т-1/2
2.63. Интегралы вида
Г^+бж + с)^/^ 70
|(ж + р)т
2.64. Интегралы вида2.64. Интегралы видаdxdx72727676777778798183848585909091929293939576767777787981838485859090919292939395
2.64. Интегралы вида
2.64. Интегралы вида
dx
dx
72
72
76
76
77
77
78
79
81
83
84
85
85
90
90
91
92
92
93
93
95
76
76
77
77
78
79
81
83
84
85
85
90
90
91
92
92
93
93
95
(ж2 + рж + д)т(аж2 + 6ж + с)1/2
Показательная функция ..............................73
Интегралы вида J f(eax) dx ............................73
Интегралы вида J хреаж dx 73
Г еаж
Интегралы вида dx 74
J ж?9
Интегралы вида J хре^ах dx ...........................74
f
Интегралы вида dx 75
Гиперболические функции ............................76
Интегралы вида J shp ж dx ............................. \ dx
Интегралы вида ...............................
J shp ж
Интегралы вида J chp х dx ............................. Г dx
Интегралы вида ...............................
J chp х
Интегралы вида J shp ж ch9 ж dx .......................... f shp ж
Интегралы вида dx
J ch9 ж
Г ch9 ж
Интегралы вида dx ............................. J shp ж
Г dx
Интегралы вида ...........................
J shp ж ch9ж
Интегралы вида J thp ж dx .............................
Интегралы вида J cthp ж dx ............................
Г(Л + В ch ж + С sh ж) dx
Интегралы вида -—:— . . . . .
J (a + b ch ж + с sh ж)п(а1 + bi ch ж + ci sh х)?
Интегралы вида J sh (аж + Ц sh (сж + d) d^,J ch (аж + b) ch (сж + d) dx, J sh (аж + b) ch (сж + d) dx
Интегралы вида | shp ж sh ax dx .........................
Интегралы вида J shp ж ch ax dx .........................
Интегралы вида J chp ж sh ax dx .........................
Интегралы вида J chp ж ch аж dx .........................
Интегралы вида J Vth ж dx, J Vcth ж dx
Интегралы вида | xp sh9 ж dx ........................... f жр
Интегралы вида -^— dx ............................
Г dx
4.20. Интегралы вида
J хРsh9ж
4.21. Интегралы вида
4.22. Интегралы вида
4.23. Интегралы вида
tP
—™— dx
ch9 ж
dx
xPch9ж
4.24. Интегралы вида J жг shp ж ch9 ж dx
4.25. Интегралы вида хр thn х dx
4.26. Интегралы
вида жр cthn ж dx
4.27. Интегралы
4.28. Интегралы
f хр chm х dx f xp shn x dx
J (a + ЬвЬж)9 J (,a b ch х)ч вида J(^ + c)^ sh ax dx . . . .
Интегралы вида J(Ьж + с)^п ch ах dx
Интегралы вида J хреЬж sh ах dx . .
Интегралы вида J хреЬж ch ах dx . .
Тригонометрические функции
Введение ...............
Интегралы вида J sinp ж dx . . . .
Г dx
Интегралы вида — . . . . .
J sinp ж
Интегралы вида J cosp ж dx . . . . t dx
Интегралы вида . .
J COSP X
Интегралы вида J sinp ж cos9
г sin^ ж
Интегралы вида dx
J COS9 ж
Г cos9 ж
Интегралы вида dx
J sinp ж
Г dx
х dx
Интегралы вида
J sinp ж cos9 х
Интегралы вида J tgp х dx . .
5.11. Интегралы
вида J ctgp х dx
Интегралы вида j*
Интегралы вида j* -
5.14.
Интегралы вида j*
’Л + В cos х + С sin х
;; dx . (а + b cos ж + с sin ж)п(с11 + &i cos ж + ci sin ж)р
dx
(a + b sin2 ж)п
dx
(a + b cos2 ж)п
95
96
97
98
98
99
99
99
100
100
100
101
102
102
102
103
104
105
105
108
109
111
112
113
113
117
f Л cos2 ж + В sin ж cos х + С sin2 ж
Интегралы вида -:ах ..........118
J a cos2 ж + 6 sin ж cos ж + с sin2 ж
г[ Л tgж + В
Интегралы вида -dx ....................119
J a tg2 ж + b tg ж + с
Интегралы вида J вт(аж + 6) вт(сж + d) с?ж,| cos (аж + b) cos (сж +
+ d) с?ж,| sin (аж + b) cos (сж + d) dx ..........................119
120121122122123124124125125120121122122123124124125125Интегралы вида J sinp х sin ах dx ........................
120
121
122
122
123
124
124
125
125
120
121
122
122
123
124
124
125
125
Интегралы вида J sinp ж cos ах dx ........................
Интегралы вида J cosp ж sin ах dx ........................
Интегралы вида J cosp ж cos ах dx ........................ г sinm ж f cosm ж
Интегралы вида —dxA dx ................... J sin пж J cos пж
f sinm ж
Интегралы вида dx ........................... J СО8ПЖ
f cosm X
Интегралы вида dx ........................... J sin тьх
Интегралы вида J sin^ ж cosm ж sinn+1/2 2ж с?ж ................
f sin±z ж cos±m x , 5.26. Интегралы вида -—7тdx ..................... .
J sinn+1/22a;
Интегралы вида J sin^ ж cosm ж со8±п+1/2 2ж dx ...............126
Интегралы вида J(a + b cos ж + с sin ж)±п+1/2 dx ..............127
Интегралы вида J sin±m ж(1 — к2 sin2 хУ^2 dx ............... .127
г sin~^^ ж dx
Интегралы вида —--:~——......................128
J (1 — к2 sin ж)п/2
Интегралы вида J cos±m ж(1 — к2 sin2 ж)те/2 dx ...............129
f cos~^^ ж dx
Интегралы вида — .......................129
J (1 — к2 sin2 x)n/z
130131132132134130131132132134Интегралы вида J sinm ж cosn ж(1 — к2 sin2 ж)р dx ..............
130
131
132
132
134
130
131
132
132
134
С sinm ж/
Интегралы вида (1 — к2 sin2 ж)1//2 dx ................ .
J cosn ж
f COSm X2,
Интегралы вида (1 — к sin ж) • dx ................
J sin™ х
гf s^nP ж cos9 ж ,
Интегралы вида —-— dx
J (1 — к2 sin2 ж)г
Г sinp х dx
Интегралы вида ...................
J cos9 X (1 - к2 sin2 хУ
Г cosp ж dx
Интегралы вида:——-...................
J sin9 ж (1 — к2 sin2 ж)г
5.39. Интегралы вида
(1 - к2 sin2 ж)1/2sinm ж cosn х
dx .................... .
136
Гdx
Интегралы вида -^—--———— ..............136
J sin ж cosn ж(1 — к1 sin2 ж)1/2
-fsinm ж cosn ж dx
Интегралы вида —:~гд;~:ог;7»..............137
J (1 + asm2 ж)(1 - к2 sin2 ж)1/2
Г sin~^^ ж cos”^^ ж
Интегралы вида —dx .....................138
J V 1 + a2 sin2 ж
„ ,о „f sin±Tn ж cos±n ж ,
Интегралы вида — * dx 138
J Va2 sin2 ж — 1
Интегралы вида J tgm ж(а2 tg2 ж ± ^2)±п+1/2 ^ж ..............138
Интегралы вида J ctgm ж(а2 ctg2 ж ± 62)±п+1/2 с?ж .............139
Интегралы вида J tgm х(а2 — 62 tg2 ж)±п+1/2 dx ..............140
Интегралы вида J ctgm ж(а2 — b2 ctg2 ж)±п+1/2 ^ж140
Интегралы вида J хр sin9 ж dx ..........................141
Интегралы вида — dx ........................... .142
f жр
Интегралы вида dx ........................... .144
J sin9 ж
Интегралы вида J хр cos9 х dx 145
Интегралы вида dx (см. замечание в начале 5.49)........146
f хр
Интегралы вида dx ........................... .147
J cos^ ж
Интегралы вида J хр tg9 ж dx ...........................148
Интегралы вида J хр ctg9 ж dx ..........................149
Интегралы вида J хт sinp ж cos9 х dx 149
f хр sinm ж cosn ж
Интегралы вида -:— dx.150
J (а + b cos х + с sin хр
Г ж sinm ж cosn ж
Интегралы вида —-— dx ...................... 151
J (1 — к2 sin2 ж)г
Интегралы вида J(ж + b)^n sin ах dx ......................151
Интегралы вида J(ж + b^H cos ах dx ......................151
Интегралы вида J еаж sinp bx dx152
Интегралы вида J еаж cosp bx dx .........................153
Интегралы вида J еаж sinp bx cos9 ex dx ....................153
Интегралы вида J еаж tgp ж dx ..........................154
Интегралы вида J еаж ctgp ж dx .........................155
Интегралы вида J хреаж sin (bx + с) dx ....................155
Интегралы вида J хреаж cos (Ьж + с) dx ....................155
Интегралы вида J бЬт(аж + b)sinn(cx + d) dx ................156
Интегралы вида J бЬт(аж + b)cosn(cx + d) dx ................157
Интегралы вида J сЬ^аж + b) sinn (еж + d) dx ............... .158
Интегралы вида J chm (аж + b) cosn (сж + d) dx ...............159
Интегралы вида J жрвтж2 dx ..........................160
Интегралы вида J жрсозж2 dx ..........................161
Логарифмическая функция ...........................162
Интегралы вида J хр In9 ж dx ...........................162
Г хр dx
Интегралы вида 163
J In9 ж
Интегралы вида /(ж + a)p In х dx .........................163
Интегралы вида J хр In (аж + b) dx 164
Интегралы вида хр In —— dx 165
J ж — а
Интегралы вида J ж±т In (ж2 + a2) dx ......................166
Интегралы вида J х^т In |ж2 — a2| dx ......................167
Интегралы вида J хр In (ж + V®2 + a2 ) dx ...................167
Интегралы вида J хр In (ж + \/ж2 — a2 ) dx 168
Интегралы вида— In (ж + V^ i °2 ) dx .............169
J уж2 ± a2
Интегралы вида J 1пр(ж + Vж2 i °2 ) dx ................... .170
Обратные тригонометрические функции..................171
ИнтегралыИнтегралывида arcsinp — dxJ aвида arcsinp — dxJ a171171ИнтегралыИнтегралывида xp arcsin — dxJaвида xp arcsin — dxJa171171ИнтегралыИнтегралывидавида1• ж a— arcsin — dx1• ж a— arcsin — dxхрхраа172172ЧА. ИнтегралыЧА. Интегралывидавидаarcsin — dx aarcsin — dx a172172ИнтегралыИнтегралывидавидаa2a2arcsinr — dx аarcsinr — dx а173173ИнтегралыИнтегралывида arccosp — dxJa,вида arccosp — dxJa,175175
Интегралы
Интегралы
вида arcsinp — dxJ a
вида arcsinp — dxJ a
171
171
Интегралы
Интегралы
вида xp arcsin — dxJa
вида xp arcsin — dxJa
171
171
Интегралы
Интегралы
вида
вида
1• ж a
— arcsin — dx
1• ж a
— arcsin — dx
хр
хр
а
а
172
172
ЧА. Интегралы
ЧА. Интегралы
вида
вида
arcsin — dx a
arcsin — dx a
172
172
Интегралы
Интегралы
вида
вида
a2
a2
arcsinr — dx а
arcsinr — dx а
173
173
Интегралы
Интегралы
вида arccosp — dxJa,
вида arccosp — dxJa,
175
175
175175Интегралы вида xp arccos — dx Ja
175
175
176176flx
176
176
Интегралы вида — arccos — dx J xpa
Интегралы видаИнтегралы видаИнтегралы видаИнтегралы видаж)±п+1/2 arccog _ ^ж aa2 — ж2)9 arccosr — dx'aж)±п+1/2 arccog _ ^ж aa2 — ж2)9 arccosr — dx'a176176177177
Интегралы вида
Интегралы вида
Интегралы вида
Интегралы вида
ж)±п+1/2 arccog _ ^ж a
a2 — ж2)9 arccosr — dx
'a
ж)±п+1/2 arccog _ ^ж a
a2 — ж2)9 arccosr — dx
'a
176
176
177
177
ж
Интегралы вида — arctg — dx ........................ .179
J жР а
Интегралы вида жр(ж2 + a2)9 arctg — dx .................. .180
Jа
Интегралы вида хр arcctg — dx ........................ .181
flх
Интегралы вида — arcctg — dx ........................181
J жРa
Интегралы вида жр(ж2 + a2)9 arcctg — dx ..................182
Jа
Обратные гиперболические функции ....................184
Приложение I. Некоторые элементарные функции и их свойства 185
Степенная, показательная и логарифмическая функции . . . . .185
Гиперболические функции ...........................186
Тригонометрические функции ........................188
Обратные тригонометрические функции ................196
Приложение П. Специальные функции и символы ..........200
ПРЕДИСЛОВИЕ
Этот справочник предназначен для студентов высших учебных заведений, инженеров и научных работников. Он содержит таблицы неопределенных интегралов от элементарных функций. В книге помещены в основном интегралы, выражаемые через элементарные функции; для простейших интегралов, не обладающих этим свойством, но часто встречающихся в приложениях, даны представления через специальные функции. Определения этих специальных функций, а также основные свойства элементарных функций, которые могут быть использованы при вычислении интегралов, приведены в приложениях. Другие неопределенные интегралы от элементарных функций можно найти в более полном справочном руководстве Х).
Постоянная интегрирования в правых частях формул для краткости опущена; например, вместо
J sin х dx = — cos х + С пишем
J sin х dx = — cos ж.
Переменные интегрирования ж, t и параметры а, 6, с, d считаются действительными, а, р, q, г — комплексными, к, I, т, п = 0, 1, 2, . . .; остальные ограничения указываются в квадратных скобках после соответствующих формул. Некоторые формулы при определенных значениях параметров теряют смысл. Если эти значения следуют из структуры формулы, то соответствующие разъяснения опускаются. Выражения для интеграла при этих значениях параметров, как правило, даются в последующих формулах.
Прудников А.П., Брмчков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. — М.: Наука, 1981; в этой книге помещены также и определенные интегралы. Неопределенные и определенные интегралы от специальных функций можно найти в книгах: Прудников А.П., Брыч- ков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. — М.: Наука, 1983; Прудников А.П., Бр-ычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. — М.: Наука, 1985.
ВВЕДЕНИЕ
1.1. Основные интегралы.
хр dx
жр+!
р + 1
[Р^ -!]•
_ fdx , , .
2.— = In | ж |.
3™7: [а ф 0]
_ _ Г dx . I ж I
=ln tg - .
J sin x I 6 2 I
f dx
— = — ctgж.
J 8ПГЖ
3.
4.
5.
dx
х2 + а2
= ™ arctg ™. а а
Г dx1х — а
J ж2 - а22аж + а
[ — = In (ж + Vх2 + а2
J V^2 + а2 V
( ^= = In |ж + ^ж2 — а2 |.
J уж2 - а2
_ f dx. х
J V«2 ™ ж2 Ы
j еж dx = еж.
Гдж
аж dx = [а > 0, а ^ 1].
JIn а
j sh х dx = ch ж.
n. f^L =inK|.
J sh ж I 2 I
fcthж.
J sh x
j ch x dx = sh x.
1 . f dxж
—— = 2 arctg e .
J ch ж
[=th®.
J ch2 x
j th x dx = In ch ж.
j cth ж dx = In | sh ж|.
sin x dx = — cos ж.
21.
J cos х dx = sin ж.
22.
f dx, I / 7Г ж
- In tg ( — + -
23.
24.
J cos x\ 42
Г dx
2 =tg®'
J cos 2ж
Г sin ж1
I„ dx —.
25.
J cos 2жcos ж
f cos ж ,1
dx =:.
26.
J sin жsin ж
tg x dx = — In | cos x |.
27. j ctg ж dx = In | sin ж|.
Общие формулы.
1. |(а/(ж) + bg^x^ dx =
= a j / (ж) dx + b j g(x) dx.
\dJMdx = n$Y
J dx
„ Г df(x) , x .
,g($) dx =
J ax
= f^g^ -1 f($d^ d$
[интегрирование по частям].
|/(ж)йж = j/(g-(y))g-'(y)o!y.
[интегрирование подстановкой; ж = g^A
Дифференцирование ленного интеграла: 5.[ /(ж) dx = /(ж).
ах J
неопреде-
2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
2.1. Интегралы вида жр(ажг + b)q dx.
1. хр(ахт + by dx =
х^^ах^Ьу
дг^р^1
qrb
qr + р + 1
хр(ахт + b)q 1 dx.
2.
3.
4.
xp^Haxr ^b)^1(q + l)rb
qr + г + р + 1(q + iyb
хр(ахг + Ь)^1 dx.
7.
10.
11.
12.
13.
14.
xp+1(axr + by qraр + 1р + 1
| хр^т(ахт + ьу 1 дх
(q + 1)га
р — г + 1 (q + 1)га
ахт + by^1 dx.
хр г+1(ажг + Ь)^1 (р-г + 1)6 Г р„т r q
= ;™™7м-хр (ах + Ь)4 dx.
(qr + р + 1)а (qr + р + 1)а J
__ (9г + г + р + 1)а Г +
- (р + 1)б(р+1)б р W + b) d.
хр(ахт + by dx = ^2 С и fc = O
^n^p+fer+lр + кг + 1
хр dxжр+1(q — 1)г — р — 1 Г хр dx
(ахт + by (q — ХуЪ(ахт + by™1 (q — l)rb J (ахт + by™1
жр™г+1р — г д. 1 г хр™т dx
(q — Уга(ахт + by™1 (q — l)ra J (ахт + ЬУ™1 ’
хт 1 dx(axr + by
хг 1 dx ахт + b
xr dxахт + b
dx
(axr + by
1
(q — 1)га(ахт + ьу™1
— In |ажг + Ь\. га
х Ь Г a a J
dxахт + b
(q — X^rb(axT + by™"1
кч - 1)г - 1(q — l)rb
dx
(axr + by™1
dx1
хр(ахт + b)q (q — l)rbxp™1(axT + b)4™1 p + (q ™ l)r -If dx
(q — l)rb J xp(axT + by™1'
15.
dx
xp(axr + 6)
1
(р — l)bxp-1
а f dx
b J xp™T(axT + b)'
16.
dx
11
—7TV ™ ™ In x^axT + b) rb
axT + b
2.2. Интегралы
f Xth dx вида
dx
x2n + a2n
1
2na2n 1
fc = O
2& + 1 cos 2n
1 ( 292A; + 1
7Г In ж — 2ax cos \2n
2
1
па*2п 1
fc=O
2k + 1
—тг arctg
2n
2k + 1
x — a cos7Г
2n
. 2/c + l
a sin7Г
2n
dx
2.
J ж2п + 1д2п + 1
1
4.
1
(2n + l)a2n
(2n + l)a2n
2k + 1
> cos
2n + 1 k=0
In | ж + a | —
7Г In ( Ж2
2
(2n + l)a2n
fc=O
xm dx
COS
fc=O
Xth dx
1
2na2n~m~1
(m + 1) (2/г + 1)тг
2n
1
na2n m 1
fc=O
ж2п + 1д2п + 1
(-1)"
(2n + l)a:
7x—о 2 COS
(2n + l)a2n™m
2
(2n + l)a:
o 2A: + 1
— 2a x cos ~
2n 1
2k A 1,
тг arete 2n + 16
2
2A? + 1
x — a cos
2rz 4" 1
. 2A: + 1
a sin7Г
2*п + 1
1/292A: + 1
In ж — 2ax cos
\2n
(m + 1)(2A? + 1)тг
2n
arctg
2
2A? + 1
x a cos7Г
2n
. 2/c + l
a sin7Г
2n
[1 m 2(n — 1)].
In \x + a\ —
(m + 1)(2& + 1)тг . / 2 o 2A; + 1
—^—-— In ж — 2аж cos
2n + 1
fc=O
(тп + 1) (2/г + 1)тг2n + 1
2
2rz "bl J
2k + 1
x — a cos T
+2ti + 1
arctg—:2k+i
°Sm 2n + Iх
[1 m 2n — 1].
1.
2.
3.
4.
1.
2.3. Интегралы вида
dx
— а2п
dx
1
2na2n"1
In
1
2тш2п 1
ж2п + 1 _ а2п + 1
1
(2п + 1)а2п
Xth dx.2п __ а2п
1
dx
хп — ап'
х — а
Ecos
к=1
п
п/С7Г 2
т ж — 2аж cosh а
\п
1па2"™1
sin— arctg
к=1asm —
п
1
(2а + 1)а2п
4Д 2k + 1
In |ж — а | —
к=0
2n + 1
2
2па2п™гп™1
1
т In [ ж2 + 2аж cos
(2п + 1)а2п
k=0
1
2к + 1
2п + 1
2
. 2А; + 1
sm О—х arctS 2tl И™ 1
,2А? + 1
ж + a cos 2п + 1
. 2к + 1
a sin 7 -к
2ti 1
2аа2п-т-1
(т + 1)А?тг
к=1
п
(т + 1)&тт
па^п-т 1 Z-^
к=1
Xth dxд» 2 714“ 1 q 2 71 -|-1(_1)т+1^
(2п + 1)а2п
к^о
п
1
(2п + 1)а2п'
, / 2„ кт
т ж — 2ах cosИ \п
кл
х — a cos —
arctg—гл^-a sin —
а
In |ж а| +
(т + 1) (2 А; + 1)тг
2(^l)m+1
(2а + l)a2n™m
2а И™ 1
52 sin
к=0
2.4. Интегралы вида
хр dx
(х + а)9
2 а
In ( ж2 + 2аж
2к + 1
COS -7
2
(т + 1) (2 А; + 1)тг
2а + 1
arctg
2n + 1)
2к + 1
ж + а cosтг
2п + 1
. 2А: + 1
a sin7 7Г
2n + 1
жр dx
(х + а)9
хрр f хр 1 dx
(q — 1)(ж + a)4™1 q — 1 J (ж — а)4™1'
J (ж + a)4 “q m^q-k-l^x-^фq-k-1, если к = q — 1, то вместо соответствующего члена в сумме следует взять
1(п — 1)(ж + а)п-11(п — 1)(ж + а)п-1
1
(п — 1)(ж + а)п-1
1
(п — 1)(ж + а)п-1
4. = In |ж + а|.
J х + а
$ f хdx11
J (ж + а)п (п — 2)(ж + а)п™2 (п — 1)(ж + а)71-1
6.
" ж2dx
(ж + а)п
12аа2
(п - 3)(ж + а)п"3 * (п — 2)(ж + а)п~2 (п — 1)(ж + а)п-1'
7.
Г ж3 t/ж _1
(ж + а)п(п — 4)(ж + а)п-4 "*~
ЗаЗа2а3
+ (п — 3)(ж + а)п™3 (п — 2)(ж + а)п™2 * (п — 1)(ж + а)72™1
8.
\xmdx ^ ^-qhakxm-k..
\X/+ ( а) In ж + а .
1 $ А ат — к
fc = 0
9.
Г ж dx1.
= ж - а In ж + а . ж + а
10.
f ж2 d« ж22 , I .|
J ж a 2
11.
Г ж3 dx ж3 ах22з, ,, ,
,= оп + а ж а In ж + а|.
J ж + а32
12.
f xmdxккак-1хт-к (-l)m"1am
J (ж + а)2^^т — кж + а
+ (^l)7"™1 та^™1 In ж + а|.
13.
f ж dxа, .,
=+1п ж + а .
J (ж + а)2 ж + а
14.
f ж2 dxа2п 1.
J (ж + а)2ж + а11
15.
— = 2аж НН За In ж + а .
J (ж + а)22ж + а11
16.
f х dx _1а
] (ж + а)3ж + а * 2(ж + а)2
17.
f ж2 dx2аа2. ..
J (ж + а)3 ж + а 2(ж + а)2
18.
f ж3 dxЗа2а3.
= хН ттгл — За In ж + а .
J (ж + а)3ж + а 2(ж + а)2
2 А.Ю. Брычков и др.
19.20.19.20.ж dx(х + а)4ж2 dx(х + а)4ж dx(х + а)4ж2 dx(х + а)421.21.ж3 dx(х + а)4ж3 dx(х + а)41а2(ж + а)23(ж + а)3 '1аа2х + а (ж + а)23(ж + а)3 *За За2а3ж + а 2(ж + а)23(ж + а)31а2(ж + а)23(ж + а)3 '1аа2х + а (ж + а)23(ж + а)3 *За За2а3ж + а 2(ж + а)23(ж + а)3
19.
20.
19.
20.
ж dx
(х + а)4ж2 dx
(х + а)4
ж dx
(х + а)4ж2 dx
(х + а)4
21.
21.
ж3 dx
(х + а)4
ж3 dx
(х + а)4
1а
2(ж + а)23(ж + а)3 '
1аа2
х + а (ж + а)23(ж + а)3 *
За За2а3
ж + а 2(ж + а)23(ж + а)3
1а
2(ж + а)23(ж + а)3 '
1аа2
х + а (ж + а)23(ж + а)3 *
За За2а3
ж + а 2(ж + а)23(ж + а)3
Интегралы вида —;—.
J жр(ж + а^
f dx _1р + q — 2 f dx
J xp^xAaY (p — 1)ажр"1(ж + а)*?™1 (p — 1)а J жрЧ(ж + a)q
_1p + q — 2 f dx
(q — 1)ажр"1(ж + a)4™1 (q — l)a J x^^xAaY™1
dx =1k (хАаГ^1 .
если k = m — 1, то вместо соответствующего члена в сумме следует взять (-1ГС^Д_21п|^|.
(/ж_11 In I ° I
ж(ж + а)п ^ kan~k(x + а)к an I ж I
6.
fdx_1n y411 i ж + a
J ж2(ж + a)nаж(ж + a)"™1 a [ Z^ kan™k(x + aY anж
7.
fdx(n + 1)ж — an(n + 1) f dx
J ж3(ж + a)n 2а2ж2(ж + a)"™12a2 J x^x + a)n
8.
f dx = y.1(-l)fc+ НГ ]np + a|
J жто(ж + а) Z^ (m _ Цакхтп^кamж
5.
dx L ж
—- = — In .
ж(ж + а) а ж + а
f dx11 , I ж + a I
] ж2(ж + а) аха2 I ж I
f dx111I ж + a I
) ж3(ж + а) а2ж2аж2а3I ж I
f dx111 I x + a I
J ж(ж + а)3 а2(ж + а) 2а(ж + a)2 a3 ° I x Г
f dx _1213 ы | Ж + a I
J ж2(ж + a)32а2(ж + a)2 а3(ж + a)a^xa4 I x I
f dx _ 13a 3 a 6| ж + a I
J ж3(ж + a)3a4 x + a 2(ж + a)2 x2ж2al x I '
f ( x + a \
Интегралы вида жр I-I dx.
J \ x + b J
f ю f x A a\q . (x + aMx + b^xp-1 (x + a V ж г dx = —- --
J \ x + b Jp + 1\ x + b J
q(b - a) A p(b + a) f f x A a\q t (p - l)ab ff x A a V /
- xF 7 dx — -— XF 7 dx
p + 1 J yxAbyp + 1 J yxAby
Г f x A a\q
ж ( 7 I dx =
J \xAb)
_ (x A a)q b^x A a^q o[(q - l)(a - b) - 2b] f/ж + ay-1
™ 2(ж + 6)^2 + (q ™ iyx A by™1 +2(g™ 1) J
_ (ж + a)4^1 q(b ™ a) A a A b ( бх A a\q
2(ж + by™12 J yxAb)
f (хАаУ = (xAa)pp f (ж + a)^1
J (ж + by (q - 1)(ж + by™1 q - 1 J (ж + by™1
f (xAa)p _1 /ж + «у+1
J (ж + ЬУ^2 (p + l)(b - a) \ x + b )‘
f (ж + ay _ (ж + а)р+1[ж + (p + l)(b ™ a) A b"\
J (ж + Ь)р+3 Ж (p + l)(p + 2)(b ™ а)2(ж + Ь)р+2
f 1( x + a У
7.7— 7 dx =
J (ж + c)p \ x + b J
1/1 (xAa)q+1
(p — l)(a — c)(b — с) [ (ж + сУ™1 (x + b)9-1
+ [(p-2)(a + 6-2c) -g(b-a)] [\ t (zt|) dx +
J (ж + c)p 1 \ ж + о /
/(x + a\q , 1
+ (P - 3) —™ 7 dx >.
J (ж + сУ 2 \ ж + b / J
ж + а\та _ vpn(ж + a)n k
x A b ) Ж ^^ (n — kyn ™ k ™ 1) (ж + ьу™к™г
+ п(ж + a) — n(b — a) In |ж + b|.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
= - 52 С"+1 н 2h\k + x + n(a-b) In |« + bj.
х + а х + b
dx = х + (а — 6) In |ж + Ь\.
х + а , ж2 ,, х, lx
- dx = — + (а — ЬМх — 6 In |ж + Ц).
х + о 2
х2- dx = — + (а — 6)1 —6ж + о In \х + 6|
х + о 3V 2
х + а
ж(ж + 6)
dx = ™ In \х\о
а — 6 , .,.
7— In |ж + Ь\.
х + а\ ,(а — 6)2х,
) dx = х — —h 2(а — 6) In ж + 6 .
Ж + 6 /Ж + 6
dx = ^-+2(а —6)ж + (а —6)
Ь^а — 6)ж + 6
+ (а — 36) In |ж + 6|
Иж + а\2 , ж3 ,26(а — 6)2ж
—- dx =Н (а - 6)ж2 +h
ж + b}3 к 7 ж + 6
+ (а — 6)[(а — 36)(ж + 6) — 26(а — 26) In |ж + 6|].
f 1 /ж + а\2 , (а — 62)а2 . . . fa2 Д . .,.
- —— dx = Д zД In ж - — - 1 In ж + 6 .
J ж\ж + 6/6(ж + 6) Ь2\Ь2)
[dx =+ (2а — 6)ж + (а — 6)2 In |ж + 6|.
J ж + о2
[х^Х dx =+ (2а — 6)^- + (а — 6)2(ж — 6In |ж + 61).
J ж + 632
Р,\243/ 2\
ж dx =h (2а — 6)h (а — 6)6ж + 6 In ж + 6 .
I ж + 64 v 3\ 217
dx = ж + у [а2 In Iж| — (а — 6)2 In |ж + 61]. с(ж + 6)6
ж + а , а ™ 6. ,,,
77w ^Tb + W+ V
f ж + а ,6(а — 6), х,
жт<^ж = ж Н— Д + (а — 26) In ж + 6 .
J (ж + 6)2ж + 6
[dx = ™Н (а — 26)ж —_ Ь(2а — 36) In |ж + 61.
J (ж + 6)221 ж + 6 к1
f ж + аа ™ 6 а ж + 6
J ж(ж + 6)2= 6(ж + 6) - б2 П ’
2.7. Интегралы вида
хр dx
(х + а)ч^х + 6)г
хр dx _1 Гжр™х
(ж + a)q(x + 6)г р q г + 1 [ (ж + а)<?™1(ж + 6)г™1
г/ чf хр™г dx ,_ , f хр™2 dx 1
Up — т)а + (р — q)b\ тл(р — 1)а6 — >.
J (ж + a)q(x + b)TJ (ж + а)9(ж + 6)r J
2.
xp dx
ж + а)т(ж + by
^ ^ (-£^А? + тп+р+1
а1
k=l
k(x + а?У
P1/ i \m
^^ k(x + by
m+n —fe —Z —2
1=0
7 ,^P^m^n-k-l^
1 = 0
^y ^^m+n —A; —Z —1
(-by-11 ,
^ Q^m-Vn — k — l — 1
ap-k
I r— 1( Ь^
p-k
^p^m + n-k-2 ^a)m+n„fc„i
In |ж + b\.
3.
1
l)(a — byx + а)9-1(ж + b) q + r -2 f
dx
1)(а — b) J (ж + аУ(х + b)'
4.
1
(q ™ l)(a ™ ЬУх + а)*?-1(ж + by™1
g + г ™ 2
(q - 1)(« -
dx
5.
dx
m+n —2 m-pn 2
b) J (ж + а^-^ж + by '
k
6.
7.
8.
9.
ж + ay^x + by (b - a^^
k=0k^n — 1
m+n"2
k=i
dx
(x + a \
/\m-V-k z-in-"!
k(b - a)m+n-k-1(x + a^k
ж + аУх + b)x dx
—!—in a — b
ж + b
(-1)
(b a)m+n
111
ж + b
\17 m-Vn-- k--2,
k(b - a)m+n~k-1(x + Ь)к
(b a)m+n
In
ж + b
ж + a)(x + b)ж2 dx
ж + a)(x + b)
dx
—(a In |ж + a\ — b In |ж + b\). a — b
—(b2 In |ж + b\ a2 In |ж + al). a — b
1.
= —Г 1П Ж + ж(ж + аух + о) ab
_L_ in |$ + e|_ _L_ 1п|ж + ь|.
dx
ж2(ж + а)(ж + b)
1 a 7 b . ,1..1..
=— In ж In ж + a + —In ж + b .
abx a2b2a2(a — b)b2(a — b)
12.13.14.15.12.13.14.15.dx(ж + а?Ух + bydx(ж + а?Ух + by1. (аж2 + 6ж + c)n dx1. (аж2 + 6ж + c)n dx
12.
13.
14.
15.
12.
13.
14.
15.
dx
(ж + а?Ух + by
dx
(ж + а?Ух + by
1. (аж2 + 6ж + c)n dx
1. (аж2 + 6ж + c)n dx
11ж + а
(а — ЬУх + Ь) (а — byх + Ь
х dxЬаж + а
(ж + аУх + Ь)2(а — Ь)(х + Ь)(а — byх + Ь
ж2 dx
(ж + а)(ж + by
Ь2а2 . .. Ь2 — 2аЬ . .,.
= “ (^6)ДТб) + (а - ЬР П ^' “Н Д^бр П I® +
f dx _
J ж(ж + а)(ж + by
1।26 — а . .,.
dx
/ 1 уж + а
+
1 ' ж + b
\2
) (а — by
In
ж + а ж + b
(ж + а)2(ж
+ 6)2 -
(а - б)2
ж dx
1 /
а
Ь \
aib
(а-6)3 "
ж + а
(ж + а)2(ж
+ 6)2 “
(а - 6)2 V
ж + а
ж
+ ь)
я
• + b
ж2 dx
1
/ а2
+
ь2 '
\2аЬ
) (а — by
In
ж + а
(ж + а)2(ж
+ 6)2 “
(а - б)2
уж + а
ж + Ь^
х + b
16.
17.
18.
2.8. Интегралы вида ж±т(аж2 + 6ж + с^ dx.
2.
FT
ОТ 2(2п + 1)!
2аж + 62а
х
х £(-im
fe=O
b2 — 4аса
(аж2 + Ьх + с)к.
f (аж2 + Ьх + с)(аж" + Ьх + с) +
— dx =Цh
J хт(m — 1)сжт-1
6(п — т + 2) f (аж2 + Ьх + с)п , а(2п — m + 3) f (аж2 + Ьх + cW , с^т — 1) J жт-1c(m — 1) J жт-2
2.9. Интегралы2.9. Интегралывидавидаdx(аж2 + Ьх + с)пdx(аж2 + Ьх + с)п
2.9. Интегралы
2.9. Интегралы
вида
вида
dx
(аж2 + Ьх + с)п
dx
(аж2 + Ьх + с)п
f dxJ (аж2 + Ьх + с)пf dxJ (аж2 + Ьх + с)п
f dx
J (аж2 + Ьх + с)п
f dx
J (аж2 + Ьх + с)п
™2ах ™ Ь
(п — 1)(62 — 4ас)(аж2 + Ьх + сУ1™1
2(2п — 3)а fdx
(п — 1)(62 — 4ас) J (аж2 + Ьх + с)п-1
2.2.
2.
2.
2аж + b
2п - 1
71™™ 2
^о (п — 1)(п ™ 2) . . . (п ™ k — 1)(4ас ™ б^+^аж2 + bx + с)
^42^j5yU42a^[ dz
(п — 1)!(4ас — 62)n-1 J аж2 + Ьх + с
dx _1 |п ^аж + 6 ™ Vb2 — 4ас
ах2 + Ьх + с ^Ь2 — 4ас 2ах + b + Vb2 — 4ас
22аж + b
4'V4a= »= “ГС'е А„: »•
2аж + b
„1, ж — р
6.= -77 1П ,
Лр - я) ® - я
где р, g — действительные корни многочлена аж2 + Ьх + с.
5.
[б2 — 4ас > 0].
[б2 — 4ас < 0].
[б2 = 4ас].
dx _2ах + b2а Г dx
(аж2 + Ьх + с)2 (4ас — Ь2Уах2 + Ьх + с) 4ас — 62 J аж2 + Ьх + с dx2аж + Ь
(аж2 + Ьх + с)32(4ас — Ь2Уах2 + Ьх + с)2
За(2аж + Ь)6а2 f dx
(4ас — Ь2У(ах2 + Ьх + с) (4ас — b2)2 J аж2 + Ьх + с
2.10. Интегралы вида --
J (аж2 + Ьх +
f xmdx _ -----------ж^^1
J (аж2 + Ьх + с)п (2п — m — 1)а(аж2 + Ьх + с)п™1
(ш — 1)с f жт”2 dx(n — m^b f жт™х dx
(2n — m — 1)а J (аж2 + bx + c)n (2n — m — l)a J (аж2 + bx + c)n
x^™xdx
(аж2 + bx + c)n
= 1 f ж2п™3&
a J (аж2 + bx + c)n-1
ж2п™3&
(аж2 + bx + c)n
ж2п 2 dx
(аж2 + bx + c)n
ж dx1
(аж2 + bx + c)n 2(n — 1)а(аж2 + bx + cy1™1
b f dx
2a J (аж2 + bx + c)n
bx + 2c
(n ™ 1)(62 ™ 4ас)(аж2 + bx + c)n-1
(2n — 3)6 f dx
(n — 1)(62 — 4ac) J (аж2 + bx + с)п™г"
ж2 dx _(62 — 2ас)(2аж + 6) — 6(62 — 4ac)
(аж2 + bx + c)n 2(n — 1)а2(Ь2 — 4ас)(аж2 + bx + c)n-1
dx
2(n — l)a(62 — 4ac)J (аж2 + bx + c)"™1
11.
1.
х dx1 . . 9 ,,
— = — In аж" + ox + с —
ax2 + Ьх + с2а 11
ь
a^l^2 — 4ас|
ж2 dx
ах2 + Ьх + сж3 dx
ах2 + Ьх + с
х dx
а
51"
arctg
2ах + Ь — Vb2 — 4ас
2ах + b + Vb2 ™ 4ас
2ах + Ь
V4ac — Ь2
™™ In |аж2 + Ьх + с\ +
ах2 — 26ж
2а2
Ь2 — ас
2а3
In \ах2 + Ьх + с| —
[62 > 4ас],
[Ь2 < 4ас].
62 — 2ас
dx
2а2 J аж2+Ьх +с
(аж2 + Ьх + с)2
Г ж2 dx
) (аж2 + Ьх + с)2
ж3 dx
(аж2 + Ьх + с)2
Ьх + 2с
(Ь2 — 4ас)(аж2 + Ьх + с)
(2ас — 62)ж — Ьс
Ь(Ь2 Зас) f
2а3J
Ьf
dx
ах2 + Ьх + сdx
Ь2 — 4ас J аж2 + Ьх + с
2с
dx
а(62 — 4ас)(аж2 + Ьх + с) b2 — 4ас J аж2 + Ьх + с с(2ас — Ь2) + Ь(3ас ™ Ь2)х
а2(4ас — Ь2)(ах2 + Ьх + с)
+ ^- In \ах2 А Ьх + с| +
2.11. Интегралы вида
dx
(аж2 + Ьх + с)
dx
ж(аж2 + Ьх + с)
dx
ж(аж2 + Ьх + с)
Ь(6ас — Ь2
dx
2a2(b2 — 4ас) J аж2 + Ьх + с
dx
ах2 + Ьх + с)п
1
(т — 1)сжт™1(аж2
2АЬ fdx
(т — 1)с
г-1(аж2 + Ьх + с) (т + 2п — 3)а f
(m — 1)с J a
1
2(п — 1)с(аж2 + Ьх + с)
6 f dx1
2с J (аж2 + Ьх + с)п с
— In 2с
|аж2 + Ьх + с\
dx
™2(аж2 + Ьх + с)п
dx
ь
S1"
с^/| 62 — 4ас\
arctg
2ах + Ь — \/Ь2 ™ 4а,с
2ах + Ь + Vb2 ™ 4ас
2ах + Ь
V\4ac - 62|
[62 > 4ас],
[62 < 4ас].
dx
ж2(аж2 + Ьх + с)
_16ж252 — 2ас f dx
сх 2с2 П |аж2 + bx + с| 2с2 J аж2 + Ьх + с
dx2Ьх — с Ь2 — асж2
ж3(аж2 + Ьх + с) 2с2ж22с3 |аж2 + Ьх + с|
b(3ac — 62) f dx
2с3 J аж2 + Ьх + с
fdx
b(b + 2аж)
J ж(аж2 + bx + c)2
2с(аж2 + bx + c)
b2 ™ 4ac
1ж2Ь / 2ас \ f dx
2с2 \ах2 + Ьх + с| 2с2 \52 — 4ас) J аж2 + Ьх + с
dx_(Ь2 — ЗасрЬ + 2аж)с + Ьх
ж2(аж2 + Ьх + с)2 с2(4ас — 52)(аж2 + Ьх + с) с2ж(аж2 + Ьх + с)
b ^ ж21/Ь4 6Ь2а 6а2 \ f dx
с3 |аж2 + Ьх + с\ 62—4ас\с3 с2 с ) J ах2 + Ьх + с
dx_36ж — с
ж3(аж2 + Ьх + с)22с2ж2(аж2 + Ьх + с)
352 — 2ас f dx9ab f dx
с2 J ж(аж2 + Ьх + с)22с2 J (аж2 + Ьх + с)2
2.12. Интегралы вида (ж + d)^m(ax2 + bx + c)n dx.
1.1.ж + dppax2 + bx + c)n dxж + dppax2 + bx + c)n dx
1.
1.
ж + dppax2 + bx + c)n dx
ж + dppax2 + bx + c)n dx
1(m + 2п + 1)а1(m + 2п + 1)а
1
(m + 2п + 1)а
1
(m + 2п + 1)а
(ж + d)m 1(ах2 + Ьх + ср4"1 +
+ (m + n)(2ad — 6) |(ж + d)m ^ах2 + bx + c)n dx ™
— (m — l)(ad2 — bd + с) (ж + d)m 2(ах2 + bx + c)n dx
(аж2 + Ьх + с)п ^(аж2 + Ьх + с)п
(ж + d)m(m — 2n — 1)(ж + d^m™x
2n(ad2 — bd + c) f (аж2 + bx + c)n-1
m — 2n — 1 J (ж + d)m
n(b ™ 2ad) f (аж2 + bx + cP™1
m — 2n — 1 J (ж +1
— 1Г (аж2 + bx + c)n+1
(m — l)(ad2 — bd + с) [ (ж + d)7”™1
/л Г (аж2 + bx + cp ,
+2)(6 - 2ad) jd® +
+ (m - 2n - 3)a fdT
4.4.(аж2 + Ьх + с)п(т — 1)(ж + d)m-1(аж2 + Ьх + с)п(т — 1)(ж + d)m-1n(b ™ 2ad) Г (аж2 + Ьх + с)п 1т — 1 J (ж + dp-1n(b ™ 2ad) Г (аж2 + Ьх + с)п 1т — 1 J (ж + dp-1dx +dx +2паm — 12паm — 1f (аж2 + Ьх + с) ,J (ж + dp 2f (аж2 + Ьх + с) ,J (ж + dp 25.5.f (аж2 + Ьх + с)п ,,dx = (ad2 — bd + с) In ж + d +J ж + df (аж2 + Ьх + с)п ,,dx = (ad2 — bd + с) In ж + d +J ж + d+ (аж + b — ad)+ (аж + b — ad)n —1■У^ (ad2 — bd + c)'n™k™1 (ax2 + bx + c)k k=o•n —1■У^ (ad2 — bd + c)'n™k™1 (ax2 + bx + c)k k=o•dx.dx.
4.
4.
(аж2 + Ьх + с)п(т — 1)(ж + d)m-1
(аж2 + Ьх + с)п(т — 1)(ж + d)m-1
n(b ™ 2ad) Г (аж2 + Ьх + с)п 1т — 1 J (ж + dp-1
n(b ™ 2ad) Г (аж2 + Ьх + с)п 1т — 1 J (ж + dp-1
dx +
dx +
2па
m — 1
2па
m — 1
f (аж2 + Ьх + с) ,
J (ж + dp 2
f (аж2 + Ьх + с) ,
J (ж + dp 2
5.
5.
f (аж2 + Ьх + с)п ,,
dx = (ad2 — bd + с) In ж + d +
J ж + d
f (аж2 + Ьх + с)п ,,
dx = (ad2 — bd + с) In ж + d +
J ж + d
+ (аж + b — ad)
+ (аж + b — ad)
n —1■
У^ (ad2 — bd + c)'n™k™1 (ax2 + bx + c)k k=o•
n —1■
У^ (ad2 — bd + c)'n™k™1 (ax2 + bx + c)k k=o•
dx.
dx.
2.13. Интегралы2.13. Интегралывидавида(ж + dp dx(аж2 + bx + c)n
2.13. Интегралы
2.13. Интегралы
вида
вида
1.1.(ж + dp dx _
1.
1.
(аж2 + bx + c)n
_ (2ad — b)(2ax + b) + 4ac — b2 (x-Ydp1
2(n — l)(4ac — 62)(ad2 — bd + с) (аж2 + bx + c)”"1
2(m — 2n + 4)a(ж + dp^1
(n — l)(n — 2)(4ac — b2)(ad2 — bd + с) (аж2 + bx + c)n™2
4(2n — 3)a2(m — n + 2) f (ж + dp dx
_(n — l)(4ac — b2) (n — l)(ad2 — bd + c)_ J (аж2 + bx + c)”"1
2(m — 2n + 4)(m — 2n + 5)a f (x A dp dx
(n — l)(n ™ 2)(4ac ™ b2)(ad2 — bd + c) J (аж2 + bx + c)n"2 '
2.
= 7[7—2$ P—Г + (m - n)(2«d - 6) x
(m — 2n + l)a цаж2 + bx + c)n-1
(xAdp^dx(аж2 + bx + c)n
— (m — l)(ad2 — bd + c)
(xAdp™2dx " (аж2 + bx + c)n
1Г (2аж + b)(x + dp(n — l)(4ac — b2) [ (аж2 + bx + c)n-11Г (2аж + b)(x + dp(n — l)(4ac — b2) [ (аж2 + bx + c)n-1— rrt(b — 2ad)— rrt(b — 2ad)
1Г (2аж + b)(x + dp
(n — l)(4ac — b2) [ (аж2 + bx + c)n-1
1Г (2аж + b)(x + dp
(n — l)(4ac — b2) [ (аж2 + bx + c)n-1
— rrt(b — 2ad)
— rrt(b — 2ad)
— 2(m — 2n + 3)a
(xAdpdx(аж2 + bx + c)n-1
(x + dp^dx(аж2 + bx + c)n-1
4‘ j aPPc = 1П |a$2 + 6ж + cl +
2ad — b
«Vl^2 — 4ac\
arctg
lln
2ax + b
V4ac ™ b2
2ax + 6 — \/b2 ™ 4ac
2ax + b + Vb2 ™ 4ac
[62 < 4ac],
[62 > 4ac].
5.
+- d)2 dx+ bx + c
ad2 ™ c
dx
2ad — b
x dx
a
a J аж2 + bx + c
a J аж2 + bx + c
6.
(ж + d) dx
(аж2 + bx + c)2
(b — 2ad)x + 2c — bd(b2 — 4ас)(аж2 + bx + c)
b ™ 2ad
dx
b2 — 4ac J аж2 + bx + c
2.
3.
4.
5.
6.
1.
2.
2.14. Интегралы вида
dx
(ж + d^^ax2 + bx + c)
"1
dx
(ж + d^^ax2 + bx + c)n *
1
(т — l)(ad2 — bd + с)
(ж + dy^yax2 + bx + c)n”: fdx
1
+ (m + п — 2) (6 — 2ad) х
(ж + с/)т-1(аж2 + bx + c)n
+ (m + 2n - 3)a ) J (ж + d)^^2
2(ad2 — bd + с)
(n — 1)(ж + dy dx
-1(аж2 + bx + c)
1
1
Уах2 + bx + c) m + 2n — 3 f
dx
(аж2 + bx + с)п
+ ^ad — 6) х
dx
n — 1 J (ж + dy^ax2 + bx + c)
1
(m + n — l)(2ad — 6) _(ж + d)m(ax2 + bx + c)
+ (m + 2n - 2)a --—
J (ж + d)
fdx
J (ж + dyax2 + bx + c)
J (ж + d)C
dx
dx
(аж2 + bx + c)n _
1"
[ad2 — bd + c =
1
ad2 — bd + c _2(n — 1)(аж2 + bx + c)
dx
(аж2 + bx + c)
1
dx
аж2 + bx + c) 2(ad2 — bd + c)
2ad — b
2(ad2 — bd + c)^^2 — 4ac\
dx
(ж + d)2(ax2 + bx + c)
1"
1
_ 2аж + b
2arCtgT5=^f
V 4ac ™ b2
J (ж + dyax2 + bx + c)
In (ж + а)2+
|аж2 + bx + c\
[b2 < 4ac],
In
2аж + 6 — \/b2 ™ 4ac
2ax + b + Vb2 ™ 4ac
2ad — b
2
ad2 — bd + c _x A d 2(ad2 — bd + c)
2c(ad2 — bd + c) — 2ad + b2
[b2 > 4ac].
|аж2 + bx + c\
dx
2(ad2™bdAcy f жт dx
2.15. Интегралы вида
ax2 + bx + c
xmdx
,m + l
2(n — 1)а2(ж2 + a2)
(m — 2n + 1)(ж2 + a2)
m — 2n + 3 f xm dx -2(n — l)a2 J (ж2 + a2)’
(m — l)a2 f жт”2 dxm ™ 2n A 1 J (ж2 + a2)n
3.
2(n — 1)(ж2 + а2)
4.
dx
— а2
m — 1
1 2(n - 1 m-2d$
2 dx
5.
х2т dx
,2тп+1
1
2(n — l)a2
Y^ (2n — 2m — 3)(2n — 2m — 5) . . . (2n — 2m — 2k — 1)
fe=l
2k(n - 2)(n - 3) . . . (n - k - 1)
1"
6.
7.
8.
9.
| ( l)mд2тп""2п + ^ (2^
ж2т+1 dx
fc = O
1
2a2(n™m™1)
x2m dx
2
k=0
2m — 3)(2n — 2m — 5) . . . (3 — 2m) (1 — 2m)
2n™
(-l)fc /ЖХ2^1ж"
7 ( - )+ arctg - .
2k — 1 \ a )a
-k
(n — m + k ™ 1)(ж2 + ti2)n^m + fe™l
Д\7n + fe + l
2
k=0
2k 2m — 2k — l
k a2m—-1
2^21^7+ ("1) a
arctg —. a
ж2т+1 dx
2
1
2
m~1 ( .xfc
У
m ™ k k=0
2m —2k
2
In (ж2
2а2(ж2 + а2)
2m - 1 2m—3
7a
2
2fe-l
_k=l
2A? - 1
+ ПГarctg .
11.
dx
2(n — 1)а2(ж2 + а2)
2n —
2(n - 1
dx
12.
2n — 1
k = l
(2n - l)(2n - 3) . . . (2n - 2fe + 1)2k(n — l)(n — 2) . . . (n — А?)а2/г(ж2 + a^)n™k,(2n-3)!!.
2ri
arctg —. a
dx
л2
1 ж
= —arctg —.
a
a
dx
(ж2 + a*
2а2(а2 + ж2)
1ж
+ —^ arctg-.
2а3a
15.
f dxжЗж3ж
J (ж2 + а2)34а2(ж2 + а2)2 ' 8а4(ж2 + а2)8а5 arc^^ а '
16.
Г ж dx12 2х
9 , 9 = 9 МЖ + а
J х2 + а2 2
17.
f ж2dxх
99 = ж а arctg .
J х2 + а2а
18.
Г Ж3 dxх2 а2 . . 2 ,2|
]^ + в2= 22 ПЖ +а|"
19.
f ж4 dxЖ323Ж
9 ,9=0 а ж + а arctg .
J ж2 + а2 3а
20.
Г ж dx1
J (ж2 + а2)22(ж2 + а2)
21.
Г ж2dxх1ж
](ж2 + «2)2“ 2(®2+ «2) + 2« arctg «’
22.
[ х3 dx _а2I 1 , / 2 I 2\
] (ж2 + а2)2 “ 2(ж2 + «2) + 2 П
23.
f ж4 dxа2хЗаж
J (ж2 + а2)22(ж2 + а2)2а
Интегралы вида —.
J жт(ж2 + а2)п
Г dx1
J х2т(х2 + а2)п (2т — 1)а2ж2т-1(ж2 + а2)п-1
2т + 2п — 3 f dx
(2т — 1)а2 J ж2т™2(ж2 + а2)п
(2т + 2п — 1)(ж2 + а2)71™1
A (z^1
(2т — 1)(2т — 3) . . . (2т — 2k + l)a2fcЖ2т-2Н1
т (2п — l)(2n + 1) . . . (2п + 2т — 3) f dx
+ (-1) (2^1)"^J (ж2 + а^ [см. 2.15.11-12].
3.3.112та2 х2тп (х2 + а2)”^12та2 х2тп (х2 + а2)”^1т + п — 1 та2т + п — 1 та2dx(ж2 + а2)пdx(ж2 + а2)п
3.
3.
1
1
2та2 х2тп (х2 + а2)”^1
2та2 х2тп (х2 + а2)”^1
т + п — 1 та2
т + п — 1 та2
dx
(ж2 + а2)п
dx
(ж2 + а2)п
=1(-1)I х Аа \
2(-tt2)m+n ^ ft-П|1т+^ ж2 )'
dx _11 f dx
ж(ж2 + а2^2(п — 1)а2(ж2 + а2^™1 а2 J ж(ж2 + а2)71™1
_ 1 у1 ж2
2 (п — к^а2к(х2 + a2)n”fc 2а2п ж2 + а2
7- .1
"dx_(-I)-"-»(-ipX
ж2т(ж2 + а2)—^ (2k А Уа2^™^х2к^г * a2m+1^ a
8.
[d$1 - 1(-l)^!(-1Г .^
ж2т+1 (ж2 ti2) 2 "^ (m — ^a2(k+i)x2(m-k)2a2(m+1) ж2 + a2
J
"dx_ ^ (т^Чт - k) _
ж2т(ж2 + а2)2 - Zv (2fc + 1)a2m-2/c+2a.2fc+l
2а2т+2(ж2 + а2) 12a2m+3 arc8a-
10.
fdx_ 1ж2
J ж(ж2 + a2)2a2 ° ж2 + a2 ‘
11.
fdx1 1ж
J ж2(ж2 + а2)azxa
12.
fdx11ж2
J ж3(ж2 + а2)2а2ж22a,4 x2 + a2
13.
fdx111ж
J ж4(ж2 + а2)За2ж3 а4ж а5 а ^'^ a
14.
Гdx_11ж2
J ж(ж2 + a2)22а2(а2 + ж2) * 2a4 ж2 + a2
15.
fdx_1ж3ж
J ж2(ж2 + a2)2а4ж 2а4(ж2 + a2) 2a^a C ^ a
16.
Гdx_111ж2
J ж3(ж2 + а2)22a4x22а4(ж2 + a2) a6 ° ж2 + a2 '
17.
1 ж4(®2 + a2)23«4ж3 a6x 2a6(x2 + a2 A ^a7MC^® a '
18.
fйж1 Fl ! , M 1 1 / 2 , 2\ , 6
9= 9In Ж + 6In ж +a + arctg .
J (ж + b)(x2 + a2) a2 + b2'2aa J
f жт dx
2.17. Интегралы вида—^-
1.
2.
3.
4.
5.
xm dx
?2 — a2
жт+1m — 2n + 3 f xm dx
2(n — 1)а2(ж2 — a2)n-12(n ™ l)a2 J (ж2 — a2)7
ж"'"1 (m - l)a2
(m — 2n + 1)(ж2 —
2(n — 1)(ж2 — а2У
жт™2 dx 2
-1 m — 2n + 1 J (ж2 - m — 1 f жт”2 dx
2(n — 1) J (ж2 — a2)n" ^dx
ж2т dx
r2 — a2)
n-2
,2m + l
1
2(n — l)a2 _(ж2 — a2)n 1
k (2n — 2m — 3)(2n — 2m — 5) . . . (2n — 2m — 2k — 1)
k = l
2k(n 2)(n3) .. . (n k 1)
7.
9.
+ (-l)n+1
2т-2?г+1 а
(®2 — e2)n
x2m dx x2 — a2
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
1
а2^(а2 — а
(2п — 2m — 3)(2n — 2m — 5) . . . (3 — 2m) (1 — 2m)2^1(п^- 1)!
1 /хх2^"1 lj х + а ^2k — l\a) 2 П x — a k=i
2 J“ (n ™ m + к ™ 1)(ж2 ™ a2)n-m + fe-l *
e2p-n+l
2
E
fe=O
Г\m + fe + l
V M тг — т — 2 [ X \
m + ^ + 1\X2 — a2 )
m™X ^2fe 2m-2fe™ln2m-l
Vл Cl XCl
2m — 2к — 1 +2
k=0
Г dx
J (ж2 — a2)2
1 (ж2
dx
- a2)^
dx
x2 — a2
[n m + 2].
x — a
x + a
x + a
x — a
dx
(x2 ™ a2)n”l
Жv£_nк(2n - l)(2n - 3). . . (2n - 2fe + 1)
2n — 1 Z^ 2k(n — l)(n — 2) . . . (n — k)a2fe(x2 — a2)"^
M J 2"™1(n™lN2n™1
x + a
x — a
= —In2a
x + a
x ™ a
dxx1 x + a
(x2 — a2)22a2(x2 — a2)4a3 ° x — a
(x2 — a2)34a2(x2 — a2)28a4(x2 — a2)16a5
x dxx2 — a2x2 dxx2 — a2x3 dxx2 — a2x4 dxx2 ™ a2
x — a
x + a
20.
ж dx
2 - л2Р
1
2(ж2 -
21.
ж2 dx
2 — л2А2
ж3 dx
2 — л2А2
2(ж2 - a2
+ 2-in
4a
х — а
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
ж4 dx
2 -
2(ж2 — a2 а2 ж
™ 2(ж2 -
1 1 i 2 2i + - m | ж - a |.
3a 1
-Tln
х — а
2.18. Интегралы вида
dx
dx1
?2 — a2)-(2m — 1)а2ж2т”1(ж2 — a2)-™1
2m + 2n
(2m — 1
1
к = 1
dxx2m™2^$2 a*
(2m + 2n — 1)(ж2 — a2)-™1
(2m + 2n — l)(2m + 2n — 3) . . . (2m + 2n — 2k + 1)
(2m — l)(2m — 3) . . . (2m — 2k + 1)а2кх2пг™2к”^1
(2n — l)(2n + 1) . . . (2n + 2m — 3)
dx
x2 — a:
1
2a2(m+n)
dx
dx
k=i
x2m(x2 —
dx
(ж2 — a:
dx
p2 — л 2^2
dx
(2m — l)!!a2m
2та2х2тп(х2
H)' Ck
k = 0
1
2(n — 1)а2(ж2 —
/1
— k)a2k(x2 —
k=0
1
(ж2 —
m + n — 1ma2
2 — a2
dx
■2 — a*
:-i)n, ж2
-— In 2a2-|ж2 -
аЧ
1
(2k + l)a2^m^^x2W2a2m+1
In
1
1
[см. 2.17.11].
dx
' x2 — a
x — a
—^ (m — /^аМ^+^ж^-1 fe) 2a2^m+1)
(m — k)
(2^ 1)a2^
2а2т + 2(ж2 _
1
° \x2-a2\*
2m + 1
4^+з °
x — a
10.
|ж2^а2|
2а2 ж2
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
dx
11 1
a2 ж 2a3 °
x — a
ж2 (ж2 — a2)
x + a
dx
_ 11
2а2ж22a4
ln -
- G
2.
ж3 (ж2 — a2)
Ж
■2
dx
11
3a2 ж3a4 ж
1
+ 2^5
In
Ж — (2,
ж4 (ж2 — a2)
x + a
dx
_1
1
1
n I»2 -
2
ж(ж2 — a2)2
2a2(a2 — ж2
)2a4
■a2
г
dx
1
ж
3
In
Ж — (2,
ж2 (ж2 — a2)2
a4 ж2a4 (ж2 — a
=2)
4a5
ж + a
dx
_ 1
1
_ J
611
ж2
ж3 (ж2 — a2)2
2а4ж22a4 (ж2 -
- a
2) + a
1 |ж2
«Т
dx
_ 1
2
X
5
+ ~7 4a7
In
ж + а
ж4 (ж2 — а^У
3a4 ж3a'
6 ж2a6 (ж2 — с
=2)
ж — а
dx
(ж + 6)(ж2 —
a2)
a2
_62 lnl® + 6| +
1
2a(a 3
b
3ni® ■
- a
1 + 2a!
1
[а
_ ь^ 1п|ж + а|
dx
ж(ж2 — а2)
2.19. Интегралы вида.
](ж3 + а3)п
f хт dxхm+1m — Зп + 4 f xmdx
’ J (ж3 + a3)n3(n — 1)а3(ж3 + a3)””13(n — l)a3 J (ж3 + a3)””1'
2.
жт 2(т ™ 2)a3 f хт 3 dx
(т — Зп + 1)(ж3 + a3)n-1 т — Зп + 1 J (ж3 + a3)n
3.
Г жт dx _ x^pL _ 3 Г £211^
J ж3 + а3 т — 2J ж3 + а3
4.
fdxжЗп — 4 fdx
J (ж3 + а3)п За3(п — 1)(ж3 + а3)п™1 ' За3(п 1) j (ж3 + а3)п™х
5.
Г ж dxж2Зп — 5 Гж dx
J (ж3 + а3)п За3(п ™ 1)(ж3 + а3)п™х * За3(п 1) j (ж3 + а3)п™х
6.
f dx1 .(ж + а)212ж — а
J ж3 + а3 6а2 ж2 - ах + а2 а2-^алД
7.
f ж dx1 , ж2 — ах + а212ж ™ а
J ж3 + а3 6а(ж + а)2алДалД
8.
Г x2dx1зз
J ж3 + а3 = 3 П Ж +а|-
9.
f ж3 dxа . ж2 — аж + а2а2ж — а
J ж3 + а36(ж + а)2V3aV^
3 А.Ю. Брычков и др.
11.
fdx11(ж + а)212ж а
J ж2(ж3 + а3)а3ж * 6а4 ж2 — аж + а2 а4-^ Са-^З
12.
fdx11 1(ж + а)212ж — а
J ж3(ж3 + а3)2а3ж26а5 ж2 — аж + а2 а5-уЗа^З
13.
f dx
J (ж3 + а3)2
ж1 ,(ж + а)222ж — а
За3(ж3 + а3)9а5 ж2 - аж + а2 За5-^алД
14.
Г ж dx
J (ж3 + а3)2 ж21ж2 — аж + а212ж а
ЗаЧ-г1 1 а3) ' 18а4 " (ж + а)21 3a4V3& aV&
ж(ж3 + а3) За3
ж3 + а3
Г ж2 dx1
J (ж3 + а3)2 З(ж3 + а3)Г dx _11 ж3J ж(ж3 + а3)2 За3(ж3 + а3) За6 ж3 + а3f dx _14J ж2(ж3 + а3)2 За3ж(ж3 + а3) За6ж+ 2_1П_У±У^_ 9а7 ж2 — ах + а2f dxJ ж3(ж3 + а3)215(ж + afЗа3ж2(ж3 + а3)6а2ж218а8 ж2 ™ аж + а2J (ж3 + а3)2 З(ж3 + а3)Г dx _11 ж3J ж(ж3 + а3)2 За3(ж3 + а3) За6 ж3 + а3f dx _14J ж2(ж3 + а3)2 За3ж(ж3 + а3) За6ж+ 2_1П_У±У^_ 9а7 ж2 — ах + а2f dxJ ж3(ж3 + а3)215(ж + afЗа3ж2(ж3 + а3)6а2ж218а8 ж2 ™ аж + а243a7V^43a7V^arctgarctg2ж — а2ж — аа-\/^а-\/^53e8Vs53e8Vsarctgarctg2ж — аалД2ж — аалД
J (ж3 + а3)2 З(ж3 + а3)
Г dx _11 ж3
J ж(ж3 + а3)2 За3(ж3 + а3) За6 ж3 + а3
f dx _14
J ж2(ж3 + а3)2 За3ж(ж3 + а3) За6ж
+ 2_1П_У±У^_ 9а7 ж2 — ах + а2
f dx
J ж3(ж3 + а3)2
15(ж + af
За3ж2(ж3 + а3)6а2ж218а8 ж2 ™ аж + а2
J (ж3 + а3)2 З(ж3 + а3)
Г dx _11 ж3
J ж(ж3 + а3)2 За3(ж3 + а3) За6 ж3 + а3
f dx _14
J ж2(ж3 + а3)2 За3ж(ж3 + а3) За6ж
+ 2_1П_У±У^_ 9а7 ж2 — ах + а2
f dx
J ж3(ж3 + а3)2
15(ж + af
За3ж2(ж3 + а3)6а2ж218а8 ж2 ™ аж + а2
43a7V^
43a7V^
arctg
arctg
2ж — а
2ж — а
а-\/^
а-\/^
5
3e8Vs
5
3e8Vs
arctg
arctg
2ж — аалД
2ж — аалД
Интегралы вида
РJ (ж4 + а4)п
f хт dxжт+14n — m — 5 f хт dx
J (ж4 + а4)п4(п — 1)а4(ж4 + а4)71™14(п — 1)а4 J (ж4 + а4)71™1
(m ™ 4n + 1)(ж4 + а4)п™х m — 4n + 1 J (ж4 + а4)п "
3.
f xmdx
—3г
= а4
т — 3J
’ ж^21^ж ж4 + а4 *
J ж4 + а4
4.
f dx
1 1п ж2
+ аж-^2 + а2
1ах-хД
J ж4 + а4
4а3-\/2 ж2
— ажу^ + а2
+ 2a3V^«2 "
5.
Г ж dx
1ж2
= 2^arCtg^
J ж4 а4
ж2 dx 1. ж2 — ажу^ + а2 1ажу^
= |п1arctg -.
ж4 + а4 4aV2 ж2 + ажу^ + а2 2ау^ а2 - ж2
7.
f ж dx1,44.
J ®4 + e44 v7
8.
f жт dx _жт+13 — m f xm dx
| (ж4 + a4)24а4(ж4 + а4) *4a4 J ж4 + a4
" dxж3ж2 + axV^ + «2
(®4 + a4)24a4(e4 + ®4) 1 16e7V2 " ®2 - e$V^ + «2 +
3axV^
+arctg 99.
8a7 v^a2 ж2
10.
f ж dxж21ж2
J (®4 + e4)24a4(в4 + ж4) + 4a6 aFCtg a2 '
11.
f ж2 dx _ж31 j ж2 — ахлД + a2
](ж4 + а4)24а4(ж4 + й4) 1 16a5^2 ° ж2 + ахлД + a2 +
1axV^
+ rarctg 99.
8a5V2« - ж
12.
f ж3dx1
J (ж4 + a4)24(ж4 + a4)
Интегралы вида ;— .
Jxm(x4 + a4)n
f dx1
J жт(ж4 + a4)n (m — 1)а4хт”г(х4 + a4)””1
m + 4n — 5 f dx (m — l)a4 J xm™4(x4 + a4)n
If dxIf dx
a4 J жт(ж4 + a4)n™x a4 J xm™4(x4 + a4)n
f dx _ 1 ж4
J ж (ж4 + a4)4a4 ° ж4 + a4 '
f dxIlf ж2dx
J ж2 (ж4 + a4)a4жa4 J ж4 + a4 *
f dx11 ж2
J ж3 (ж4 + a4)2a4ж22a6 аГС '$ a2 '
f dx11 In 3)4
J ж(ж4 + a4)24а4(ж4 + a4)4a8 ж4 + a4
f dx1ж35 f ж2 dx
]ж2(ж4 + а4)2 а8ж 4а8(ж4 + а4)4a8 J ж4 + a4
f xm dx
Интегралы вида J
f xm dxжт+1m — 4n + 5 f xm dx
J (ж4 — a4)n 4(n — 1)а4(ж4 — a4)n™x 4(n — l)a4 J (ж4 — a4^™1
f xm”4dx
(m — 4n + 1)(ж4 — a4)n™x m — 4n + 1 J (ж4 — a4)n
5.
6.
жт dx
ж™~3
4 г ®2ll^
=====,
ж4 — а4
т — 3
J ж4 — а4
dx
1
, ж + а1
—
ж4 — а4
4а3
ж — а 2а3
ж dx
|ж2 — а2|
arctg —. а
4а2 ж2 + а2 '
А ™ а4 ж2 dx з4 а4
— In
4а
ж — а
1ж
+ — arctg
2аа
7.
[ ж3dx
2 In |ж4 — а4|.
J ж4 — а4
8.
Г xmdx
m — 3
хт dx
J (ж4 — а4)2
4а4(ж4 — а4)
+ 4а4 ,
[ i
а4*
9.
f dx
ж
3 , 16а7 П
ж + а
+
| (ж4а4)2
4а4 (ж4 — а4)
ж
— а
10.
f х dx
ж2
) + 8а6 *П
2 .2
с + а
J (ж4 — а4)
24а4 (ж4 — а4
|ж2 —
а2|
11.
f ж2 dx
ж3
Li
ж —
а
J (ж4 — а4)
24в4(ж4 - в4
)16а5
ж + а
12.
f ж3 dx
_1
J (ж4 — а4)
24(ж4 — а4)
2.23. Интегралы вида
'dx
жт(ж4 —
а4
1.
fdx
1
+
J жт(ж4 — а
4)п(ш _ 1)а4ж
т™х(ж4 -
а4
3
1
т + 4п
8а7 arctgT'
1 ^arCtg~'
а
а
dx
ж4 — а
2.
dx
14 - а'
1
а4
dx
3.
4.
5.
6.
7.
dx1 ж4
ж(ж4 — а4)4а4|ж4 — а4|
dx _ 1 If ж2 dx
ж2(ж4 — а4)а4ж ^ а4 J ж4 — а4
dx11|ж2 — а2|
ж3 (ж4 — а4)2а4ж24а6ж2 + а2
dx _11 ж4
ж(ж4 — а4)24а4(ж4 — а4)4а8|ж4 — а4|
dx1ж35 f ж2 dx
ж2(ж4 — а4)2 а8ж 4а8(ж4 — а4)4а8 J ж4 — а4
[б2 >4ас\.[б2 >4ас\.
[б2 >4ас\.
[б2 >4ас\.
Интегралы вида - —-— —-.
J (ах4 + Ьх2 + с)п
f Хт dxЖ™”3
J (ах4 + 6ж2 + c)n (т ™ 4п + 1)а(аж4 + 6ж2 + с)п^
(т — 3)с Г хт”4 dx (т — 2п — 1)6 f хт”2 dx
(т — 4n + 1)а J (ах4 + 6ж2 + c)n (т — 4n + 1)а J (ах4 + 6ж2 + с^
™с f жто^4 dx
a J (ах4 + 6ж2 + с^™1 a J (ах4 + 6ж2 + с^
b Г жт~2 dx
a J (ах4 + 6ж2 + с)п
dxabx3 + (62 — 2ас)х
(ах4 + Ьх2 + с)п 2(п — 1)с(62 — 4ас)(аж4 + 6ж2 + с)п“х
(4n — 7)ab f х2 dx
2(п — 1)с(62 — 4ас) J (ах4 + 6ж2 + с)п“х
2(п — 1)(62 — 4ас) + ^ас 62 fdx
2(п — 1)с(62 — 4ас) J (ах4 + 6ж2 + с^™1
dx1
_1। v^ х2 + v^v^c ™™б ж +।
4^/с(2^/ас — 6)^^a ж2 ™ ^J2^/ac — 6 ж + л/с
Нarctg Жс > 0; 62 <.
2 л/ с(2л/ас + 6)ж -/2^acAb
dxабж3 + (62 — 2ас)ж
(аж4 + 6ж2 + с)22с(62 — 4ас)(аж4 + 6ж2 + с)
62 — бас f dxab Г ж2 dx
2а(62 — 4ас) J аж4 + 6ж2 + с 2с(62 — 4ас) J аж4 + 6ж2 + с
2ах2 + 6 — V62 — 4ас2ах2 + 6 + V62 — 4ас2ах2 + 6 — V62 — 4ас2ах2 + 6 + V62 — 4ас[б2 > 4ас].[б2 > 4ас].х dx1
2ах2 + 6 — V62 — 4ас
2ах2 + 6 + V62 — 4ас
2ах2 + 6 — V62 — 4ас
2ах2 + 6 + V62 — 4ас
[б2 > 4ас].
[б2 > 4ас].
аж4 + 6ж2 + с 2\/Ь2 - 4ас
[б2 < 4ас].[б2 < 4ас].[62 > 4ac].[62 > 4ac].12ах2 +b
[б2 < 4ас].
[б2 < 4ас].
[62 > 4ac].
[62 > 4ac].
,=■ arctg ,=■
V4ac — b2л/4ас — Ь2
ж2 dx _ ^ + Vb2 — 4ас fdx
ах + Ьх2 + с Vb2 — 4ас J 2ах2 + b + \/Ь2 — 4ас
6 — Vb2 — 4ас fdx
Vb2 — 4ас J 2 аж 2 + b — Vb2 — 4ac
'4a[Vc/(4a) - b/(4a)^/2
x dx
|J x2 — 2[^/c/(4a) — 6/(4а)]т/2ж + 2^/c/(4a)
fx dx1 r 2
J x2 + 2[-^/с/(4a) — bl(4a)]1/2x + 2^J c](4a) J
Интегралы вида jx±m(ax2k + bxk + c)^n dx.
x (ax + bx + c) dx = —;-
J+ l)c
(ж + nk 4" k + 1)6 f m+fez 2 k . . k . \n i
7— ж (ax + bx + c) dx —
(m + l)c J
(m + 2nk + 2k + l)a f m^2k/ 2k . , k , -
/\I 5C ( G; 3vI 0 3v I C
(m + l)c J v
$m+1(ax2k + bxk + c)n nkb f m+kk n_i
= ж (аж +6ж +c) dx™
m + 1m + 1 J
_ f ^^(ax21" + bxk + dx.
_ $2l44<«£!l+_^l±£)24. _ (m-2fc + l)c x
(m + 2nk + l)e(m + 2nk + l)a
x [ хт"2к(ах2к+Ьхк+сГ dx-^^^Ji+^k f xm-k(ax2k+bxk+c)n dx.
J V (m + 2nfe + l)a J K7
_ x2p(ax^+bxM cy^2nkc x
*m + 2nk + 1mA 2nk +1
x [ xm(ax2k + bxk + c)”^1 dx 4T^kb xm^k (ax2k A bxk A dx.
5.5.J7mA 2nk + 1 J K7
5.
5.
dx1
xm(ax2fc + bxk + сУ (m — ^сж^^^аж2*1 + bxk + c)n™x
(m + nk — k — 1)6 fdx
(m — l)c J xm™k(ax2k + bxk + c)nm + 2nk — 2k — 1 fdx
(m — l)c J xTn™2k(ax2k + bxk + сУ '
Интегралы вида j x^^^ax ± b)^n dx.
1. [ жт+1/2(аж ^b)n dx = 2жт+3/2 V
J;n 2fe + 2m + 3
2 Г $m+1/2 dx _J (ax ± 6)n3.2m+ 1 Гdx(n — l)a(ax ± by™1 * 2(n — l)a j (ax ± by™1r ^2m+2 ^^————U =CM- 2.15.11-12, 2.17.11-12].1 (t2 ± bjay1J2 Г $m+1/2 dx _J (ax ± 6)n3.2m+ 1 Гdx(n — l)a(ax ± by™1 * 2(n — l)a j (ax ± by™1r ^2m+2 ^^————U =CM- 2.15.11-12, 2.17.11-12].1 (t2 ± bjay1J4.4.жт+1/2 dx ax ± 6жт+1/2 dx ax ± 65.5.6.6.7.7.8.8.9.9.ж1/2 dx _ ax + 6ж3/2 dx _ ax + 6ж1//2 dx(ax + 6)2ж3/2 dx(ax + 6)2ж1^2 dx ax — 6ж1/2 dx _ ax + 6ж3/2 dx _ ax + 6ж1//2 dx(ax + 6)2ж3/2 dx(ax + 6)2ж1^2 dx ax — 63a23a2"(2m — 2k + l^W"(2m — 2k + l^W-" ДА а \a/-" ДА а \a/2ах3/2 - бЬаД22ах3/2 - бЬаД2dx ж1/2(ах ± 6)'dx ж1/2(ах ± 6)'a2 (ax + 6)a2 (ax + 6)a(ax + 6)(a36)x/2a(ax + 6)(a36)x/22^a2^a
2 Г $m+1/2 dx _
J (ax ± 6)n
3.
2m+ 1 Гdx
(n — l)a(ax ± by™1 * 2(n — l)a j (ax ± by™1
r ^2m+2 ^^
————U =CM- 2.15.11-12, 2.17.11-12].
1 (t2 ± bjay1J
2 Г $m+1/2 dx _
J (ax ± 6)n
3.
2m+ 1 Гdx
(n — l)a(ax ± by™1 * 2(n — l)a j (ax ± by™1
r ^2m+2 ^^
————U =CM- 2.15.11-12, 2.17.11-12].
1 (t2 ± bjay1J
4.
4.
жт+1/2 dx ax ± 6
жт+1/2 dx ax ± 6
5.
5.
6.
6.
7.
7.
8.
8.
9.
9.
ж1/2 dx _ ax + 6
ж3/2 dx _ ax + 6
ж1//2 dx
(ax + 6)2
ж3/2 dx
(ax + 6)2
ж1^2 dx ax — 6
ж1/2 dx _ ax + 6
ж3/2 dx _ ax + 6
ж1//2 dx
(ax + 6)2
ж3/2 dx
(ax + 6)2
ж1^2 dx ax — 6
3a2
3a2
"(2m — 2k + l^W
"(2m — 2k + l^W
-" ДА а \a/
-" ДА а \a/
2ах3/2 - бЬаД2
2ах3/2 - бЬаД2
dx ж1/2(ах ± 6)'
dx ж1/2(ах ± 6)'
a2 (ax + 6)
a2 (ax + 6)
a(ax + 6)(a36)x/2
a(ax + 6)(a36)x/2
2^a
2^a
10.
f xA^ dx _ 2аж3//2 + 66ж1//2/ 63 V^2|n Vb + л/ах
\ ax-b3a2\a5 jVb - ^ax
11.
f ж1//2 dxж1/21Vb ™ Vox
J (ax - b)2a(ax - 6) 1 2(a36)x/2 ° Vb + л/ах '
12.12.ж3/2 dx(ax — 6)2ж3/2 dx(ax — 6)22аж^-36ж^ _ 3 fb_V/2a2 (ax — 6)2 \a3 у2аж^-36ж^ _ 3 fb_V/2a2 (ax — 6)2 \a3 у_f (ax ± bpn .
12.
12.
ж3/2 dx
(ax — 6)2
ж3/2 dx
(ax — 6)2
2аж^-36ж^ _ 3 fb_V/2a2 (ax — 6)2 \a3 у
2аж^-36ж^ _ 3 fb_V/2a2 (ax — 6)2 \a3 у
Интегралы вида -—ax.
Г(аж±Ь)п2 A kah(±b)n-kxh
J Жт+1/2 йЖ $m-l/2 2^- 2m + 1 '
Jk=0
(2m + 2n — 3)a
da
2 f
dt
T
(2m - 1)6 J
xm x/2(ax±6)n
a
n J ^
im(;
-2
: ± b/a)
n
3.
[ ^ж —
2/ ax
(a6)l/2arCtgV 6
J x1/2(ax + 6)
4.
fdx
2
z^V/2
arctg^T.
J ж3/2(аж + 6)
6®V2
5.
fdx
x1/2
) 1 (ab3)
Гаа
J xT/2(ax + b)2
b(ax + 6'
1/2'
aibi^
N I
b
6.
fdx_
Зах + 2b
< a V/2!ax
J ж3/2 (аж + b)2
-62$l/2(
ax + 6)
vb5 )
7.
fdx
1 . (a6)i/2ln
Vb
a®
J ж1/2^ — b)
Vb + г
ax
8.
fdx
2/
6®V2 + V
5Fln
Vb
ax
J ж3/2(аж — b)
' + V
ax
9.
fdx_
6) 1 2(«
1
+ л/ах
J ж1/2 (аж — b)2
b^ax —
63)l/2
Vb
— ^/ax
10.
fdx
™ 26 ™
3a x
-5|
mV
/2 In
Уь - Л
/ax
J ж3/2(аж — b)2
” 62®V2(,
ax — b)
2 '
L5/
Vb + V®^
dx2
xm+i/2(ax ± 6)n(2m — l)6xm™1/2(ax ± bV™1
2.28. Интегралы вида
т + 1/2ГТ—dx.т + 1/2ГТ—dx.
т + 1/2
ГТ—dx.
т + 1/2
ГТ—dx.
1.
.m + 1/2
г™—dx =
ж^ + 3/2
2(n — 1)а2(ж2 + a2)n^x
4n — 2m — 7
2.
,m+l/2
22 dx =
4(n — l)a2
"m —1 /22 Ж,
x z — а — dx. 2m — 1J x2 + a2
,m + l/2
г dx.
f Ж2^+У2
J x2 + a2
dx = 2 ^^ k=i
(2\k-lr 1/2
\™a J2m-2H3/2/ 2im Ж
4m — 4k + 3 1J x2 + a2
dx.
1.
2,
3.
4.
5
6.
2.
3.
4.
2.29. Интегралы вида
,т + 1/2
;^гг dx
т + 1/2
^2 dX =
х2 ™ а2
2т + 1/2
ж2 - а2 1
2т+3/2
ж2 — а2
ж1/2 dx
ж2 — а2 ж3/2 dx
2 — а2
т + 1/2
;— dx.
,т + 3/2
2(п — 1)а2(ж2
2
2т — 1
ж
2(fc^l)
4т — 4к + 3
Лк
4п — 2т — 7 4(п — 1)а2
2 Г ®т"3/2 ,
;— dx.
I ж2 — а2
т + 1/2
г dx.
2т-2/г+3/2 . 2т Г Ж dxх т ' 4а —-.
I х2 — а2
4т — 4к + 1 к=О
,2т —2/г + 1/2 ■ 2т
ж3^2 dx
ж2 — а2
= in
= 2ух Н—— In
14- Г®
-= arctg a - .
/а \ а
4Г^
= + Va arctg J .
2у а
2.30. Интегралы вида жт(аж + Ь^^1^ dx.
= ^ах + Ь^УУ ^ ^УСктЬк
2т + 2п - 2к + 3 1 j
[(аж +dx = — (аж +
Г(2п43>х
|жт(аж + б)1^2 dx =
_2
(2т + 3)а
жт(аж + 6)3//2 —
2т6
(2т + 3)а
жт х(аж + Ь)1/2 dx.
^ax^bfyy куЬУ221
ат+12к + 3
(аж + Ь)к.
5. [(аж + б)1^2 dx = -^ (аж + Ь)3^2.
6. | ж(аж + б)1^2 dx = ^('^^^^ ^ах д- fc)3//2.
7.
8.
Г 2/. ,х1/2 ,2 Г (аж + Ь)3
ж (аж + о) ' ах = —
Jа3 7
26(аж + Ь)
5
3
(аж + 6)3^2.
ж3 (аж + 6)1/2 dx =
_ 2 (аж + Ь)3 а4 9
36(аж + Ь)2
7
я'(" 111 ЬЛ“ I а-'-.53
9.9.(ax + bf^.
9.
9.
ba
10. | x(ax + bf^2 dx = "^^ 2 ^ (аж + 6)5/2.
x\ax + b)^dx= ^Г1^±^1x\ax + b)^dx= ^Г1^±^1992 2b(ax + 6)627+ Y2 2b(ax + 6)627+ Y2 (ax + 6)3 3b(ax + 6)22 (ax + 6)3 3b(ax + 6)2лл111199ЗЬ2(ахАЬ) ^31/ I м5/2 -v (ах + 6) 7 .7оЗЬ2(ахАЬ) ^31/ I м5/2 -v (ах + 6) 7 .7о
x\ax + b)^dx= ^Г1^±^1
x\ax + b)^dx= ^Г1^±^1
9
9
2 2b(ax + 6)62
7+ Y
2 2b(ax + 6)62
7+ Y
2 (ax + 6)3 3b(ax + 6)2
2 (ax + 6)3 3b(ax + 6)2
л
л
11
11
9
9
ЗЬ2(ахАЬ) ^31/ I м5/2 -v (ах + 6) 7 .
7о
ЗЬ2(ахАЬ) ^31/ I м5/2 -v (ах + 6) 7 .
7о
f (ax + b^2
Интегралы вида —dx.
2.2.(a® + 6)n+V2(аж + 6)n+3/2 dx = — 77 +xm(m — l)6xm 1(2n — 2m + 5)a f (ax + 6)n+1^2(a® + 6)n+V2(аж + 6)n+3/2 dx = — 77 +xm(m — l)6xm 1(2n — 2m + 5)a f (ax + 6)n+1^2(2n — 2 m + 3)x(2n — 2 m + 3)x2(m — 1)6 Jжт-1(2n + 1)6 f (ax t ^ dx2n — 2m + 3 J xm 12(m — 1)6 Jжт-1(2n + 1)6 f (ax t ^ dx2n — 2m + 3 J xm 1dx.dx.
2.
2.
(a® + 6)n+V2(аж + 6)n+3/2
dx = — 77 +
xm(m — l)6xm 1
(2n — 2m + 5)a f (ax + 6)n+1^2
(a® + 6)n+V2(аж + 6)n+3/2
dx = — 77 +
xm(m — l)6xm 1
(2n — 2m + 5)a f (ax + 6)n+1^2
(2n — 2 m + 3)x
(2n — 2 m + 3)x
2(m — 1)6 Jжт-1
(2n + 1)6 f (ax t ^ dx
2n — 2m + 3 J xm 1
2(m — 1)6 Jжт-1
(2n + 1)6 f (ax t ^ dx
2n — 2m + 3 J xm 1
dx.
dx.
3.3., ^ax^bY^^ , , f (ах^Ьу-х^ ,dx = —h 6 dx.
3.
3.
2n +1 J x
4.4.dx = “7(m — 1)6жdx = “7(m — 1)6ж5.5.dx = 2(ах + 6)1/2 + <dx = 2(ах + 6)1/2 + <(5 — 2m)a f (ax + 6)1//22(m — 1)6 J жт™1 ж‘(a® + 6)V2 + bV2 I-2H)1/2arctg^5X±^ p(5 — 2m)a f (ax + 6)1//22(m — 1)6 J жт™1 ж‘(a® + 6)V2 + bV2 I-2H)1/2arctg^5X±^ p7.7.(ax + 6)1/2dx = -(ax + 6)1/2dx = -dx = —dx = —(ax + 6)17a f dxx 2 J x(ax + 6)1/2 "ax + 26 ,, xi/2 ®2 f A^™7 ™ (ax 4” 6)ч.46ж286 J x(ax + 6)1/2(ax + 6)17a f dxx 2 J x(ax + 6)1/2 "ax + 26 ,, xi/2 ®2 f A^™7 ™ (ax 4” 6)ч.46ж286 J x(ax + 6)1/2
4.
4.
dx = “7
(m — 1)6ж
dx = “7
(m — 1)6ж
5.
5.
dx = 2(ах + 6)1/2 + <
dx = 2(ах + 6)1/2 + <
(5 — 2m)a f (ax + 6)1//2
2(m — 1)6 J жт™1 ж‘
(a® + 6)V2 + bV2 I
-2H)1/2arctg^5X±^ p
(5 — 2m)a f (ax + 6)1//2
2(m — 1)6 J жт™1 ж‘
(a® + 6)V2 + bV2 I
-2H)1/2arctg^5X±^ p
7.
7.
(ax + 6)1/2
dx = -
(ax + 6)1/2
dx = -
dx = —
dx = —
(ax + 6)17a f dx
x 2 J x(ax + 6)1/2 "
ax + 26 ,, xi/2 ®2 f A^
™7 ™ (ax 4” 6)ч.
46ж286 J x(ax + 6)1/2
(ax + 6)17a f dx
x 2 J x(ax + 6)1/2 "
ax + 26 ,, xi/2 ®2 f A^
™7 ™ (ax 4” 6)ч.
46ж286 J x(ax + 6)1/2
8.
9.
dx =—-—
bx
dx.
10.10.—dx. x—dx. x
10.
10.
—dx. x
—dx. x
dx = - -— + —— (a® + bf' + — \26ж2462ж/262
11.
dx = 2(ах + 6)1/2
In
+ \ас + &|1/2<
(ах + 6)1/2 + (ас + 6)1/2
2.32. Интегралы вида J (^Д^ПЛ'
Г жт d® 2А _МДДЧ—
J (ах + 6)п+1/2 ат+1(аж + 6)n-1/2 2m — 2n — 2k + 1
[ас + 6 > 0],
[ас + 6 < 0].
10.
11.
12.
Хт dx _
2 тп/. /\1/2
(ах + 6)1/2
2(ах
а
~ (2т + 1)а*"
+ 6)V2 - (_1№б/=
m+i2т - 2k + 1
fc=0
dx_
= ™ (аж + 6)1//2.
2(ах — 2ЦкА/2
(ах + Ь)1/2 х dx
(ах + 6)1/2 х2 dx
2 Г
За2 ку '
(аж + ЬУ2Ь(ах + 6)
(ах + &)1/2 ж3 dx _
а3 [
- 2 [
. 53
(а® + 6)336(а® + 6)2
(ах + Ь)1/2 dx
а4 [
. 75
2
(ах + 6)3/2
Г х dx
а(ах + &)1/2 * 2(ах + 2Ь)
J (ах + Ь)3/2
Г х2 dx
а2
(аж + &)1/2
Г (аж + ЬУ.
Г2Ь(ах + Ь)
J (ах + 6)3/2
Г ж3 dx
а3
dx2
(ах + b)n+V2 (2n — 1)а(ах + by-1/2
2m6
(2т + 1)а J (ах + 6)1/2 '
+ ab2 х (ax-Vb)1^2.
+ b2 (ах + 6)1//2.
(ах + Ь)3/2
- Ь2
хт 1^ж
1
_ (ах + 6)1/2 '
™— Ь(ах + Ь)2 + ЗЬ2(ах + Ь) + Ь3
а4 5
2.33. Интегралы вида [;.
J хт(ах + by^1/2
f ^ж
J хт(ах + Кул-А2
1
1
(ах + 6)1/2 *
(т — 1)жт"1(аж + byW2
(2п + 1)а fdx
2(т — 1) j хт-1(ах + 6)п+3/2 *
2.
3.
4.
dx
2
(2n — l)axm(ax + by™1/2 m — l f d'^
1 J t2n(t2 - b)m
2
2m
(2n — l)a
dx
xTn”^”1(ax + by™1/2 "x + b ; cm. 2.16, 2.1s].
5.
6.
x(ax + b)n+1/2(2n — iy(ax + b)n-1/2
dx
(m — l)bx
1
b
dx
(2m — 3)a
2(m — l)b
x(ax + by™1/2
f dx
| xTn™1(ax + b)1/2
dxx(ax + by/2
dx
ьг^ ln
2
(ax A b)1/2 — b1/2 (ax Aby/2 + bV2
Oy^ arctS(ax + b)1/2
* J x2(ax + by/2bx
f dxЗах — 2b
J x^ax + by/24b2 x2
л f dx2
(ax + b)1/2
(-ьу/2
a f dx
2b J x(ax + b)1/2 ‘
/, z.Z/2 , Зд2 f d®
^ЯЖ+ )+ 862 J ж(ож + 6)1/2"
1
dx
x(ax + by/2 b(axAby/2 b J x(ax + b)1/2 ‘
dx
—Зах — b
A(ax + by/2 b2x(ax + b)1/2
dxx^(ax + by/2
1 5a
2bx2 4b2x
3a f dx
2b2 J x(ax + by/2
15a2\1
4b3 ) (ax + by/2
15a2
dx
x(ax + b)1/2 '
Г (ax + by/2 + c ,_c — dT, ,xi/2„
J (ax A b)1/2 A da
2.34. Интегралы вида Uax A b)^^1/2(ex A d)^^"1/2 dx.
т+1/2(Сж + <+1/2 dx =
(aE + b)m+1/2(c$ + d)n+3/2
(2m + l)(ad — be)2(m + n + 2)c
(m + n + 2)c
(ax + b)m”1Z2(cx + d)n+1Z2 dx.
2.
= (cz + <+3/2 x
A ( —l)fc(2m + l)(2m - 1) . . . (2m - 2fc + 3)(ad - bc)k
k=0
k=0
(m A n A 2)(m + n + 1) . . . (m + n — k + 2)с/г+1
X (ЙЖ + 6)-^/2 +^^7^6 X
2k(m + n + 2)(m + n + 1) . . . (n — k + l)afc+1
x (cxAdf™w/2
ш!Ы!Ы^Дс£ДД2
dx
(m A n A 2y-2Cy^ J ^(аж + b^cx + d)
4.
5.
7.
8.
9.
Г (ах + Ь)т^1/2
J (сх + d)^P dX
1(ах + &)т+1/2(2т + l)(ad - be) Г (ах + 6)т"1/2
(т — п + 1)с (сх + d)n-1/22(т — п + 1)с J (сх + d)n+1/2 Ж
2 (ax^bT^l
(2п — l)(ad — be) (сж + d)n~x/2
2(п — т — 2)а Г (аж + 6)т+1^2
+ (2n — l)(ad — be) j (сж + d)”^1/2 Ж
= (аж + 6)т+3/2 х
п ^ 2 (п — т — 2)(п — т — 3)... (п — т — k — l)2*+1a*
Х ^(2п - 1)(2п - 3) . . . (2п - 2к - l)(ad - bc^1 Х
х 7-—п т + 2 .
(сж + d)7^1^1/2
J (аж + 6)т+1/2(сж + d)n+1/2
2
(2т — l)(ad — Ьс)(ах + 6)т™х/2(сж + d)n™x/2
2(т + п — 1) fdx
(2т — l)(ad — be) J (аж + b)m-1P(cx + d)^1/2
1
(сж + d)n-1/2 Х
у-л1 (т + п ™ 1)(т + п ™ 2) . . . (т + п ™ к)(™2)к^гск
Х (2т ™ 1)(2т — 3) . . . (2т — 2к — l)(ad ™ Ьс)к^Т
К °1(™2с)т1/2
Х (аж + by™k^P + (т^ 1)!!Х
v^ (тп + п ™ 1)(т + п ™ 2) . . . (п ™ к)2к”^”1ак1
Х (2п “ 1)(2п — 3) . . . (2п — 2к — l)(ad ™ Ьс)п^к^г (сх + d)n™fc™1/2 '
[In (^/с(аж + Ь) + Уа(сж + d) )
J V^Pb^cx-Vd) Vac к) v \)
™dfc)Y
10.
11.
VdC
™<i(c)Y
1. c(ax + b) + a(cx + d)
=^= arcsin pX-—
V™ac\ad ™ bc\
dx
(ж — a) V (ax + b) (ex + d)
(ca + d)(ax + b) — V (aa + b)(cx + d)1П ::—(ca + d)(ax + b) — V (aa + b)(cx + d)1П ::—11
(ca + d)(ax + b) — V (aa + b)(cx + d)
1П ::—
(ca + d)(ax + b) — V (aa + b)(cx + d)
1П ::—
1
1
V(аа + b)(ca + d)|ж ™ tt|
[(aa + b)(ca + d) > 0; (ca + d)(ax + 6) > 0; (aa + b)(cx + d) > 0].
12.12.1у (аа + b)(ca + d)^—(са + d)(ax + b) — ^—(аа + b)(cx + d) х In —..1у (аа + b)(ca + d)^—(са + d)(ax + b) — ^—(аа + b)(cx + d) х In —..[(act + b)(ca + d) > О, (ca + d)(ax + b) < О, (аа + b)(cx + d) < О].[(act + b)(ca + d) > О, (ca + d)(ax + b) < О, (аа + b)(cx + d) < О].13.13.11^-(аа + b)(ca + d). (ca + d)(ax + 6) + (act + b)(cx + d) a CS| (ad — bc^x — a) |^-(аа + b)(ca + d). (ca + d)(ax + 6) + (act + b)(cx + d) a CS| (ad — bc^x — a) |[(act + b^ca + d) < 0].[(act + b^ca + d) < 0].2.35. Интегралы вида J xp(ax + b)^1^ dx.[ / (ж, л/ах + b ) dx = — [ / f , Д tn™1 dt Ja J \ а /2.35. Интегралы вида J xp(ax + b)^1^ dx.[ / (ж, л/ах + b ) dx = — [ / f , Д tn™1 dt Ja J \ а /'4'4| хр^ах + bA™ dx =(пр + п + 1)аЖ V«® + b)(np + n + l)aj^Ж +f xm(ax + b)1/n dx = (ax + b)1+1/n V(a.r ,J '' Уam + lX' 'A/"1 k + ^U™’| хр^ах + bA™ dx =(пр + п + 1)аЖ V«® + b)(np + n + l)aj^Ж +f xm(ax + b)1/n dx = (ax + b)1+1/n V(a.r ,J '' Уam + lX' 'A/"1 k + ^U™’(ax + bV/n dx = ™(ax + bV^"1^.J(n + l)aK 7„ f (ax + b)1/"(a® + b)1+1^n (mn — 2n — l)a f (аж + by^J xm(m — 1)6жт^1 (m — l)n6 J[t = (ax/b + l)1//n; см. 2.з].(ax + bV/n dx = ™(ax + bV^"1^.J(n + l)aK 7„ f (ax + b)1/"(a® + b)1+1^n (mn — 2n — l)a f (аж + by^J xm(m — 1)6жт^1 (m — l)n6 J[t = (ax/b + l)1//n; см. 2.з].7.7.8.8.® d-®^m /. t\l —1/n, M / = 7аж + о z -(аж + b)T/n (mn An — l)a7mnb f жт-1 dx(mn An — l)a J (аж + by/n "-am+X°®+^2-^m-k^x-x^va»^»).k=0'® d-®^m /. t\l —1/n, M / = 7аж + о z -(аж + b)T/n (mn An — l)a7mnb f жт-1 dx(mn An — l)a J (аж + by/n "-am+X°®+^2-^m-k^x-x^va»^»).k=0'9.9.dx(аж + Ьубdx(аж + Ьубn(n — l)an(n — l)a(аж + b)1 T^n.(аж + b)1 T^n.
12.
12.
1
у (аа + b)(ca + d)
^—(са + d)(ax + b) — ^—(аа + b)(cx + d) х In —..
1
у (аа + b)(ca + d)
^—(са + d)(ax + b) — ^—(аа + b)(cx + d) х In —..
[(act + b)(ca + d) > О, (ca + d)(ax + b) < О, (аа + b)(cx + d) < О].
[(act + b)(ca + d) > О, (ca + d)(ax + b) < О, (аа + b)(cx + d) < О].
13.
13.
1
1
^-(аа + b)(ca + d)
. (ca + d)(ax + 6) + (act + b)(cx + d) a CS| (ad — bc^x — a) |
^-(аа + b)(ca + d)
. (ca + d)(ax + 6) + (act + b)(cx + d) a CS| (ad — bc^x — a) |
[(act + b^ca + d) < 0].
[(act + b^ca + d) < 0].
2.35. Интегралы вида J xp(ax + b)^1^ dx.
[ / (ж, л/ах + b ) dx = — [ / f , Д tn™1 dt Ja J \ а /
2.35. Интегралы вида J xp(ax + b)^1^ dx.
[ / (ж, л/ах + b ) dx = — [ / f , Д tn™1 dt Ja J \ а /
'4
'4
| хр^ах + bA™ dx =
(пр + п + 1)аЖ V«® + b)(np + n + l)aj^Ж +
f xm(ax + b)1/n dx = (ax + b)1+1/n V(a.r ,
J '' Уam + lX' 'A/"1 k + ^U™’
| хр^ах + bA™ dx =
(пр + п + 1)аЖ V«® + b)(np + n + l)aj^Ж +
f xm(ax + b)1/n dx = (ax + b)1+1/n V(a.r ,
J '' Уam + lX' 'A/"1 k + ^U™’
(ax + bV/n dx = ™(ax + bV^"1^.
J(n + l)aK 7
„ f (ax + b)1/"(a® + b)1+1^n (mn — 2n — l)a f (аж + by^
J xm(m — 1)6жт^1 (m — l)n6 J
[t = (ax/b + l)1//n; см. 2.з].
(ax + bV/n dx = ™(ax + bV^"1^.
J(n + l)aK 7
„ f (ax + b)1/"(a® + b)1+1^n (mn — 2n — l)a f (аж + by^
J xm(m — 1)6жт^1 (m — l)n6 J
[t = (ax/b + l)1//n; см. 2.з].
7.
7.
8.
8.
® d-®^m /. t\l —1/n
, M / = 7аж + о z -
(аж + b)T/n (mn An — l)a7
mnb f жт-1 dx
(mn An — l)a J (аж + by/n "
-am+X°®+^2-^m-k^x-x^va»^»).
k=0'
® d-®^m /. t\l —1/n
, M / = 7аж + о z -
(аж + b)T/n (mn An — l)a7
mnb f жт-1 dx
(mn An — l)a J (аж + by/n "
-am+X°®+^2-^m-k^x-x^va»^»).
k=0'
9.
9.
dx
(аж + Ьуб
dx
(аж + Ьуб
n
(n — l)a
n
(n — l)a
(аж + b)1 T^n.
(аж + b)1 T^n.
Интегралы вида Ux — a)^m(ax A b)pH dx.
жт(аж + b)p^n dx =
n
(mn + n + p)a
xm(axAb)^p/n-
mnb
(mn + n + p)a
xm х(аж + by^H dx.
2.
= ^(аж + 6)1+р/п x
Ллm(m — 1) . . . (m — к + 1)/ bn\k
^q (mn + p + n)(mn + p) . . . (mn + n + p ™ kn) \ a )
3.
п
— (аж + b)
™ ^ + l)n + p
4.
dx = -—П(аж + Ь)г^р^п
(п + р)а
5.
(ax+by^n , dx =
1
(аж-ИО^
2)п -
(аж + 6)р/
6.
L — 1)(аа + Ь) (ж — а) = (аж + Ь)^р/н х
(т — 1)п(аа + Ь) J (ж — а)
dx.
fc=i
к (т — р — 2п)(тп — р — Зп) . . . (тп — р — nk)ak 1(m — l)(m — 2) . . . (m — А^п^^аа + b)k
1
р(р + 1) . . . (р + m - 1)а' — !)!(&« + Ь)т
ax + b)p/n ,
:dx.
ж ™ a
7.
па
— 1)п — р
/। L \ ~ m+p/n
(аж + Ь)
[аа + 6 = 0].
8.
(аж + b^n
dx =
п + р™1
——Г dy
У" - 1
2.37. Интегралы вида (ж —
1.
„ („ ax A b\ . n(ad^bc)
j ж, 4 dx = —-
\ ' V ex + d Jac
2.
), ах +b (ах
dx = —
а усх
p(ad — be) б aV^H f t
ас
tn - 1
3.
п ах + 6
у = J; см. 2.3 у аа + b
р/п
dx.
— adtn + be
_ ac(tn — 1) ’
c J (tH ™ I)2
c(ax + 6) у a(cx + d)
dt
m (ax + b\p , (ax + b)(cx + d)x ж dx = ™
\cx + d J+ l)ac
(ad ™ bc)p + mn^ad + be) f
_ „Иав + б)
t — 4. СМ» Д . и
у а(сх + а)
/ i L \ Р/п
/ах+о\ 1
\ ex + d )
(m + 1)пас
р/и
dx.
(ах + Ь)(ех + d)2ае(ах + Ь)(ех + d)2аеах + Ь\р^п ех + d )ах + Ь\р^п ех + d )xp/n dx(ж2 + a2)mxp/n dx(ж2 + a2)mEfc=lEfc=l1 f dxa2 J жр/п™2(ж2 + a2)1 f dxa2 J жр/п™2(ж2 + a2)
(ах + Ь)(ех + d)2ае
(ах + Ь)(ех + d)2ае
ах + Ь\р^п ех + d )
ах + Ь\р^п ех + d )
xp/n dx
(ж2 + a2)m
xp/n dx
(ж2 + a2)m
E
fc=l
E
fc=l
1 f dx
a2 J жр/п™2(ж2 + a2)
1 f dx
a2 J жр/п™2(ж2 + a2)
p(ad — be) + n(ad + be) f /ax + 6\p/2nacJ \ex + d )
1(ax b\p^ ,. (ax + b)(cx + d) (ax + b\p^
1; dx = A-;- -+
(x ™ a)m”H ycx A d J(x — a)m ycx + dJ
Г 1( ax + b\ 'f 1( ax + b\ '
J (x — a)m ycx + dJJ (ж — a)m ycx + d J
1^ -n(m — l)(ad + bc-V 2aca) + p(ad — be)
m(aa + b)(ca + d)1mn(aa + b)(ca + d)
D = 4m - 2)ac
m(aa + b)(ca + d)
f 1 (ax + b^
6.,
J x ™ a ycx + dy
, p/^ ) dx =
faa + b\p/"( С-1/а\р/Чл
= n dt ™ n —ds
yea + d)J tn ™ 1\ c ) J sn - 1
_ n/(ca +«)(«$ +6)_ п/с(«ж + 6) .
t — 4• S — 4 /. CM» A«0 .
у (aa + b)(cx + d)у a\cx + d)
2.38. Интегралы вида
жр/та dxжр/"+1pm - 3)n - p f жр/та dx
(ж + a2)m 2(m — 1)а2(ж2 + a2)m-12(m — l)na2 J (ж2 + a2)™"1
= жр/п+1 x
(2mn — 3n — p)(2mn — 5n — p) . . . (2mn — 2kn + n — p)
(m — l)(m — 2) . . . (m — ^)nfe-1(2a2)fe
1(n — p)(3n — p) . . . (2mn — 3n — p) f xp^n dx
(ж2 + a2)m"fc(m — l)!(2a2n)m"1J ж2 + a2
xp^n dx n p/n-i 2 f ^p^n 2 dx xz A a- p ™ nJ xz + az
dx _ пж1 p^n xP/n^x2^a2) (n — p)a2
5.5.xp^n dx _1
5.
5.
ж2 + a2 аг™р/п
. 4k, + 1/ о / Л 1 i / 4k + 1,
> sinЮ7Г In a x2/n ™ 2a1/nx1/n cosтг + a2<n +
2.2.2.39. Интегралы вида2.39. Интегралы вида(ж2 — а2)т(ж2 — а2)тXXхр/п dx^ -а^тхр/п dx^ -а^т= хр^г= хр^гЕм)"fc=lЕм)"fc=lжр/п + 12(т — 1)а2(ж2 — а2)™"1(2m — 3)п — р f хр^п dx2(m — 1)па2 J (ж2 — а2^™1жр/п + 12(т — 1)а2(ж2 — а2)™"1(2m — 3)п — р f хр^п dx2(m — 1)па2 J (ж2 — а2^™1(2mn — 3n — p)(2mn — 5n — p) . . . (2mn — 2nk + n — p)(m — l)(m — 2) . . . (m — k)nk-1(2a,2)k(x2 — a2)m™fc(2mn — 3n — p)(2mn — 5n — p) . . . (2mn — 2nk + n — p)(m — l)(m — 2) . . . (m — k)nk-1(2a,2)k(x2 — a2)m™fcm (n — p)(3n — p) . . . (2mn — 3n — p)(m — l)!(2a2n)m-1m (n — p)(3n — p) . . . (2mn — 3n — p)(m — l)!(2a2n)m-1f ®p/n dxJ ж2 — a2f ®p/n dxJ ж2 — a23.3.®p/n dx ж2 — a2®p/n dx ж2 — a2np/n —1 , 2
2.
2.
2.39. Интегралы вида
2.39. Интегралы вида
(ж2 — а2)т
(ж2 — а2)т
X
X
хр/п dx
^ -а^т
хр/п dx
^ -а^т
= хр^г
= хр^г
Ем)"
fc=l
Ем)"
fc=l
жр/п + 1
2(т — 1)а2(ж2 — а2)™"1
(2m — 3)п — р f хр^п dx
2(m — 1)па2 J (ж2 — а2^™1
жр/п + 1
2(т — 1)а2(ж2 — а2)™"1
(2m — 3)п — р f хр^п dx
2(m — 1)па2 J (ж2 — а2^™1
(2mn — 3n — p)(2mn — 5n — p) . . . (2mn — 2nk + n — p)(m — l)(m — 2) . . . (m — k)nk-1(2a,2)k(x2 — a2)m™fc
(2mn — 3n — p)(2mn — 5n — p) . . . (2mn — 2nk + n — p)(m — l)(m — 2) . . . (m — k)nk-1(2a,2)k(x2 — a2)m™fc
m (n — p)(3n — p) . . . (2mn — 3n — p)(m — l)!(2a2n)m-1
m (n — p)(3n — p) . . . (2mn — 3n — p)(m — l)!(2a2n)m-1
f ®p/n dx
J ж2 — a2
f ®p/n dx
J ж2 — a2
3.
3.
®p/n dx ж2 — a2
®p/n dx ж2 — a2
xF + a—-— p — nj x2 — a2
dxпж1 p^n 1 f dx
хр/п^х2 — a2) (n — p)a2 a2 J xp/n™2(x2 — a2)
xp/n. na^1 (t^-1 . na^1 (f^^dt
dx = at
■2 - a22J 4" - 12J 4" + 1
[t = (xfa^1^ a > 0; см. 2.з].
Интегралы вида жт(ж2 + а2^^^2 dx.
1. |жт(ж2 + а2)п+1/2(^ =
(m-l)a2 f т„222xn+i/2
2.2.,U2 л2\п+3/2 Гh a^'^dx = l^±^jL2—1 +72т + 2n + 2 [к (2т ™ 1)(2т — 3) . . . (2т — 2k + 1) 2к(т + n)(m + п ™ 1) . . . (т + п ™ k + 1) + ( ir(2т-1)!! a2-2т(т + п + 1)(т + п) . . . (п + 2),U2 л2\п+3/2 Гh a^'^dx = l^±^jL2—1 +72т + 2n + 2 [к (2т ™ 1)(2т — 3) . . . (2т — 2k + 1) 2к(т + n)(m + п ™ 1) . . . (т + п ™ k + 1) + ( ir(2т-1)!! a2-2т(т + п + 1)(т + п) . . . (п + 2)2k 2m—-2k—-X а х2k 2m—-2k—-X а х2Г^2 dx.2Г^2 dx.3.3.[ Т2т+хГТ2 । o2\n+i/2I e.GI e.G j LO 1[ Т2т+хГТ2 । o2\n+i/2I e.GI e.G j LO 1dx = ^2,C™k = 0dx = ^2,C™k = 0(-а2)т~к(-а2)т~к(ж2 + a2)"+'=+3/2(ж2 + a2)"+'=+3/22n + 2/г + 32n + 2/г + 3т + 2п + 2 т + 2п + 2 J7
2.
2.
,U2 л2\п+3/2 Г
h a^'^dx = l^±^jL2—1 +
72т + 2n + 2 [
к (2т ™ 1)(2т — 3) . . . (2т — 2k + 1) 2к(т + n)(m + п ™ 1) . . . (т + п ™ k + 1) + ( ir(2т-1)!! a2-
2т(т + п + 1)(т + п) . . . (п + 2)
,U2 л2\п+3/2 Г
h a^'^dx = l^±^jL2—1 +
72т + 2n + 2 [
к (2т ™ 1)(2т — 3) . . . (2т — 2k + 1) 2к(т + n)(m + п ™ 1) . . . (т + п ™ k + 1) + ( ir(2т-1)!! a2-
2т(т + п + 1)(т + п) . . . (п + 2)
2k 2m—-2k—-X а х
2k 2m—-2k—-X а х
2Г^2 dx.
2Г^2 dx.
3.
3.
[ Т2т+хГТ2 । o2\n+i/2
I e.GI e.G j LO 1
[ Т2т+хГТ2 । o2\n+i/2
I e.GI e.G j LO 1
dx = ^2,C™
k = 0
dx = ^2,C™
k = 0
(-а2)т~к
(-а2)т~к
(ж2 + a2)"+'=+3/2
(ж2 + a2)"+'=+3/2
2n + 2/г + 3
2n + 2/г + 3
f x(x2 + a2)p+1/2 dx = -2— (Ж2 + a2)"+3/2.
K Г/ 2 I 2\n+l/2 Jж(ж2 + a2)n + 1^2(2n + l)a2 Г, 2 . 2\n-l/2 ,
](ж+а)/ ^ = ^—^ + ^_^JC. +a)/ dx.
4 А.Ю. Брычков и др.
6.
х
7.
= жС^ + а2)1^
2(n + 1) Х
2 , 2,« , Л (2п + 1)(2П - 1) . . . (2n - 2k + 3)
+ а) ^Х^^^уТд^к^лГ"
2к г 2 ,2 \ п — к
а (ж + а )
(2п + 1)!!а2п+22п+1(п + 1)!
In [ж + (ж2 + а2)1,/2].
2т™1
^(ж^+а^
72(т + 1)
Л * (2т - 1Д2т - 3) . . . (2т -
к = 1
2кт(т — 1) . . . (т — к + 1) (2m - 1)!! (-а?
4 2т(т + 1)!
2& + 1) 2к 2т — 2к — 1
L г. ж
2)1/2 ^ж.
j\®2 + а2)1/2 </ж = -^ (ж2 + а2)1/2 + у In [ж + (ж2 + а2)1^2].
j" ж(ж2 + а2)1,/2 dx =(ж2 + а2)3^2.
х2(х2 + a2)1/2 dx =
24
= 1(х2 + а2)3^2 -(ж2 + а2)1/2 - у In [ж + (ж2 + а2)1/2].
И. [ж3(ж2 + а2)1^2 dx =(ж2 + а2)5^2 - - (ж2 + й2)3/2.
|(ж2 + а2)3^2 dx =
=(ж2 + а2)3/2 +(ж2 + а2)1/2 + ^ 1П [ж + (ж2 + а2)1/2].
488
[ ж(ж2 + а2)3//2 dx = - (ж2 + а2)5//2.
р2
12/ 2 .2\3/2 j Ж / 2 .2x5/2 О, X , 2 .2\3/2
ж (ж + а ) ' «ж = ™ (ж + а ) ' (ж + а ) ' ™
J624
46
а Ж / 2 . 2x1/2 а 1 г . / 2 . 2xl/2i ™ (ж + а ) ' ™ — In [ж + (ж + а ) 1
1010
| ж3(ж2 + а2)3^2 dx = | (ж2 + а2)7^2 Т у (ж2 + «2)Б/2.
2.41. Интегралы вида
(ж2 + а2)п+1/2жт
dx.
1.
2.
(ж2 + а2)п+1/2 л(ж2 + а2)п+3/2
хт(т — 1)а2жт"1
2п ™ т + 4 Г (ж2 + а2)та+1//2 l)a2 j жт™21
(т — 1)жт"1 т — 1 j жт-2 Ж"
3.3.5.5.6.6.
3.
3.
5.
5.
6.
6.
(ж2 + а2)п+1/2, =(ж2 + а2)п+3/2 Г 1
ж2тХ (2т — 1)а2ж2т~1 +
ул1 (—2)k(m — п — 2)(т — п — 3) . . . (т — п — k — 1)
— 3)(2т — 5) . . . (2m — 2к — 1)а2кх2т-2к-1
(-2)m(m - П - 2)(т - 71 - 3) . . . (-п)(-п - 1) [ 22ХП+1/2 ,
(2т -1)!! а2-а ) dx
(ж + а )7 улCm_n_2 / X А а \
(^a2)m“n“^2n+32п + 2к + 3 \ ж2 /
[т п + 2].
1^^
+ (2n + 1) (ж2 + а2)1/2 dx.+ (2n + 1) (ж2 + а2)1/2 dx.= _ у.1 (271 + 1X^0^)22^/
+ (2n + 1) (ж2 + а2)1/2 dx.
+ (2n + 1) (ж2 + а2)1/2 dx.
[(2п ™ 2к)2 — i]^2n™2fc™i
(ж2 + ^^^ d$ =(х^^
ж2т+х Ж 2п — 2т + 1
ул (2п — 2т + 1)(2п — 2т + 3) . . . (2п — 2т + 2^ — 1)
2кт(т — 1) . . . (т ™ к А 1)а2кх2т^2к+2
(2п 2т + 3)(2п 2т + 5) . . . (2n + 1) Г (ж2 + а2)п+1/2 ^ т! (2а2)тJ жЖ
(х^а2^1/2 ,
аж =
= а2к(х2 a2y™w/2О2^1(ж2 + а2)1/2 а
2п — 2к + 12(ж2 + а2)1/2 + а
я Г (ж2 + а2)^2/2а + (ж2 + а2Г/2
о f ^Аа2у12 Л (х2Аа2^2, f2^/2,
J'
Jж32ж2+ 2а|ж|*
И. f <А±АА1 = 1 (ж2+а2)3/2+а2(ж2+а2)1/2_аз]п a + t»2^2)1/2,
Jж2
= JA+AA1 + 3 ж(ж2 ++ ^ 1п [ж + (ж2 + «2)1/2].
ж2'2'
13.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
(ж2 + а2Г+1/2 л
^Z5d® =
k=0
(x2 + a2C+t/2 л
d$
1
2n - 2k + 1
|2 +
,т2
2 \ n-fc + 1/2
— )+ In [ж + (ж2 + а2)1/2.
2.42. Интегралы
жт dx
ж2 + a2)n+1/2
ж'
10.
вида
(2n +
f жт dx
(2п - 1)(ж2 + а2)7^1^
m — 1
2n - 1
2 dx
2п ™ т ™ 2
жт dx
(2n-l)a2(x2+ a2)n-62(2n ™ l)a2 J (ж2 + a2)77™1/2
жт-1(m — l)a2 f жт-2 dx
(m — 2n)(®2 + a2)*1-1/2 m — x2mdx Х^+Чх2+ CXW4
n J (ж2 + a2)n+1/2
1
Ж2 +а2)п + 1/2
fc = l
(2n — l)a2 (ж2 + a2)
2k(n — m — l)(n — m — 2) . . . (n — m — k)
(2n - 3)(2n - 5) . . . (2n - 2k - 1)(x2 + a
2n(n — m — l)(n — m — 2)... (—m + 1)(—m)
2т —2п = а
2 m.--1
X
fc=i
х^ dx
fc=O
«"2fc
ж2т dx
(2п^1)Па2^J (x2Aa2y/2-
(i-4kc^_m_1 ( X2 ^+fc+V2 2m + 2k + l \ж2+а2/[n / m
2m
(—l)fc(2m - l)(2m - 3)(2m -
2k(m ™ l)(m — 2) . . . (m — k)
' 2mm!
2k + 1) 2fc 2m —2fc —11
- a x
In [ж + (ж2 + а2)1/2].
ж2т+1dx
'x2 +a2)n + V2dx
x.2 +a2)n + V2
_2n™l
X
(2n — 1)(ж2 + a2)77™1/2
m/ i\m+fc + l z^tk 2m —2k
^ (2п - 2Й - 1)(ж2 + «2)п-*=-1/2 '
(2п — 1)а2(к2 + а2)*1-1/2
2n - 2(2n — l)a2
dx
1
(2п — 1)а2
fc=i
2fc(n — l)(n — 2) (n — /г)(2n - 3)(2n - 5) . . . (2n - 2fe - 1)
1
a2k^x2 + а2)п k
11.
а2п ^ 2k + 1 п 1
к = 0
х2 \fc+1/2
ж2 + а2 /
1 о f х dx _1
2е J (ж + a2)«+V2 =(2п^1)(ж2 +а2)-“/2-
13.+ (®2 + «2)1/2]-
J (ж2 + а2)1/2•
1 Г ж dx/ 2 .2x1/2
141Т^Гх—2x777 = ж + а )•
J (ж2 + а2)1/2
1 к f^^ж(ж + Й ) ^ а г / 2 .2\l/2i
16[- 1(ж2+а2-)3/222x1/2
J (ж2 + а2)1/2 - з) а (х + а ).
J (ж2 + а2)3/2 = а2(ж2 + а2)1/2 '
1 о fх dx1
J (ж2 + а2)3/2 = ^(ж2 + а2)!/2-
fX dxЖ2 \ 1
72Т2W2 = ~72Т2П/2 + In ж + (ж + О ) Z .
J (ж2 + а2)3/2(ж2 + а2)1/2
Г ж3 dxж2 + 2а2
=
J (х2Аа2)3/2(ж2 +а2)!/2“
2.43. Интегралы вида
dx
xm
(ж2 + a2)"+V2
1.
2.
3.
4.
f dx
J жт(ж2 + a2)n+1/2
1m + 2n — 2 f dx
(2n — 1)а2жт™1(ж2 + a2^™1/2(2n— l)a2 J жт(ж2 + a2)"™1/2
_1m+1 fdx
(2n — 1)жт+1(ж2 + a2)^™1/2 2n — 1 J жт+2(ж2 + a2)71™1/2 '
12/^2
(m — 1)жт-1(ж2 + a2)^1/2 m ™ 1
dx1
dx
™2(ж2 + a2^n+3/2
'x2 + a2)"+V2
(22m.+2n m+n — l
д x fc--m. + l/2
k=0
2k ™ 2m + 1 m
2
dx11 f dx
ж(ж2 + a2)n+1/2(2n — 1)а2(ж2 + a2^™1^2 a2 J ж(ж2 + a2)"™1/2
(2n - 2k ™ 1)а2^+2(ж2 + a2)n™fc™i/2
dx
ж (ж2
+а2)1/2 dx
ж2 (ж
2 + а2)1/2 dx
1 а + ^ + а2)1/2 аI ж I
* J х‘Ух2Аа2'У^2 inf
J ж(ж2 + а2)3/2
Г dx
а2х
Ча^ 2а2ж2
1
11
+ —4п2аЛ
a^x2 Аа^уР
2ж2 + а2
а6
2)1/2
а + (ж2+а2)1/2
ж2 (ж2 + а2)3/2dx
а4х(х2 + а2)1/2 '
1.
2.
1.
2.
ж3 (ж2 + а2)3/2
1
3
2а2ж2(ж2 + а2)!/2
2.44. Интегралы вида
dx
(ж2 + a2)V2 =
, fdx
2а4(х2 Аа^уР dx
3 !
+ л-^-Ь2а5
(ж + ВУ(х2 + а2)1/2
1Г(ж2 + а*
(п — 1)(а2 + 62) (ж + 6)
7 J (х + ВУ^ + а^уР dx
(ж + бХж^а2)1/2
* , In
2.45. Интегралы вида
dx
(ж2 + 62)т(ж2 + а2)п+1/2
2)1/2
2)1/2
dx
(ж + Ьу^Ух2 + а2)1/2
а2-ЬЖ-(а2 + 62)1/2(Ж2 + а2)1/2
ж + 6
dx
2(m - l)(a2 - Ь2)Ь2(ж2 + 62)т-1(ж2 + а2' (2m — 3)а2 — (4m + 2n — 6)62 fdx
2(m ™ 1)(а2 ™ 62)62 J (ж2 + 62)т™1(ж m + п ™ 2 Г
(т ™ 1)(а2 — byi)2 J (ж2 + 62
dx
dx
т — 2
(ж2 + 62)(ж2 + а2)^1/2 “(2П - 1)(а2 - 62)а2(ж2 + а2)"™1/2
(4п - 3)а2 - (2п - 2)62 Гdx
+(2n — l)(a2 — b2)a2 J (ж2 + Ь2)(ж2 + а2)"-1^
2п — 2 Сdx
(2n- 1)(«2 - 62)«2 J (ж2 + Ь2)(ж2 + а2Г-3/2’
dx!]l^-a2)^^^!^
ТУ^ьЦСЛТЛУ72 = Ь(№ - а2)1/2 1п(ж2 + 62)1/2
1ж(а2 - 62)1/2г ,21
6(а262)V2arT*g6(3:2_^^>61-
dx_
д^г^удгд^рТг =
_1х^Ь^-Цх^а2)1/2
2б(а2 + £2)1/2 ж(а2 + £2)1/2 + Цж2 + а2)1/2 *
2.46. Интегралы вида жт(ж2 — a2)n+1^2 dx.
1.1.|>Чж^^ dx == хт™\х2 а2)^3/2 т + 2п + 2|>Чж^^ dx == хт™\х2 а2)^3/2 т + 2п + 2(т — 1)а2т + 2п + 2(т — 1)а2т + 2п + 2т-2(х2-а2^/2 dx.т-2(х2-а2^/2 dx.2.2.2т / 2X (X2т / 2X (Xa2f+lpdx =a2f+lpdx =2 тп 4" 2п 4~ 22 тп 4" 2п 4~ 22m-l X2m-l X
1.
1.
|>Чж^^ dx =
= хт™\х2 а2)^3/2 т + 2п + 2
|>Чж^^ dx =
= хт™\х2 а2)^3/2 т + 2п + 2
(т — 1)а2т + 2п + 2
(т — 1)а2т + 2п + 2
т-2(х2-а2^/2 dx.
т-2(х2-а2^/2 dx.
2.
2.
2т / 2
X (X
2т / 2
X (X
a2f+lpdx =
a2f+lpdx =
2 тп 4" 2п 4~ 2
2 тп 4" 2п 4~ 2
2m-l X
2m-l X
— 1)!! a2m L _ 2\n+i/2 , , 2m(m + n + l)(m + n) . . . (n + 2) JЖ— 1)!! a2m L _ 2\n+i/2 , , 2m(m + n + l)(m + n) . . . (n + 2) JЖ3.3.a2Y^1/2a2Y^1/2dx = ^Cmfc=Odx = ^Cmfc=O2(m™fc)/ 2 _2xn+fc + 3/2C€I еЛуC€ /2(m™fc)/ 2 _2xn+fc + 3/2C€I еЛуC€ /2n 4" 2 k 4" 32n 4" 2 k 4" 3
— 1)!! a2m L _ 2\n+i/2 , , 2m(m + n + l)(m + n) . . . (n + 2) JЖ
— 1)!! a2m L _ 2\n+i/2 , , 2m(m + n + l)(m + n) . . . (n + 2) JЖ
3.
3.
a2Y^1/2
a2Y^1/2
dx = ^Cmfc=O
dx = ^Cmfc=O
2(m™fc)/ 2 _2xn+fc + 3/2
C€I еЛуC€ /
2(m™fc)/ 2 _2xn+fc + 3/2
C€I еЛуC€ /
2n 4" 2 k 4" 3
2n 4" 2 k 4" 3
^(2т — 1)(2т — 3)... (2т — 2k + 1)^^m-^-i
^^ 2fc(m 4- n)(m + n — 1) . . . (m + n — /с + 1)
f ЖД2 - a2)”+1/2 dx =- a2)^3/2.
J72n + 3v 7
[(ж2 - a2)"+1/2 dx = 44Z4444 _ (2и + 1)а2 L 2 _ а2)те-1/2 d
Г '2(n+l)2(n + l) P ’
6.6.х^-лу^2(n + l)х^-лу^2(n + l)k (2n + l)(2n - 1) . . . (2n - 2fe + 3) 2kk (2n + l)(2n - 1) . . . (2n - 2fe + 3) 2k2\ n — k2\ n — kk = lk = l2kn(n — 1) . . . (n — k + 1) (гг^ьрд-аррр2kn(n — 1) . . . (n — k + 1) (гг^ьрд-арррIn |ж + (ж2 — а2)1^2!-In |ж + (ж2 — а2)1^2!-7.x2m(x2-a2)1/2dx7.x2m(x2-a2)1/2dx=2 - a2)3/2 2(m + 1)=2 - a2)3/2 2(m + 1)2m-l2m-l(2ml)(2m - 3) . . . (2m ™ 2k + 1)^ 2fcm(m — 1) . . . (m — k 4-1)(2m — 1)!! c(2ml)(2m - 3) . . . (2m ™ 2k + 1)^ 2fcm(m — 1) . . . (m — k 4-1)(2m — 1)!! c2k 2m-2k-l a x2k 2m-2k-l a x2 m.2 m.2m(m + 1)!2m(m + 1)!22x1/2 ,1 — a ) 1 dx.22x1/2 ,1 — a ) 1 dx.
6.
6.
х^-лу^
2(n + l)
х^-лу^
2(n + l)
k (2n + l)(2n - 1) . . . (2n - 2fe + 3) 2k
k (2n + l)(2n - 1) . . . (2n - 2fe + 3) 2k
2\ n — k
2\ n — k
k = l
k = l
2kn(n — 1) . . . (n — k + 1) (гг^ьрд-аррр
2kn(n — 1) . . . (n — k + 1) (гг^ьрд-аррр
In |ж + (ж2 — а2)1^2!-
In |ж + (ж2 — а2)1^2!-
7.x2m(x2-a2)1/2dx
7.x2m(x2-a2)1/2dx
=2 - a2)3/2 2(m + 1)
=2 - a2)3/2 2(m + 1)
2m-l
2m-l
(2ml)(2m - 3) . . . (2m ™ 2k + 1)
^ 2fcm(m — 1) . . . (m — k 4-1)
(2m — 1)!! c
(2ml)(2m - 3) . . . (2m ™ 2k + 1)
^ 2fcm(m — 1) . . . (m — k 4-1)
(2m — 1)!! c
2k 2m-2k-l a x
2k 2m-2k-l a x
2 m.
2 m.
2m(m + 1)!
2m(m + 1)!
22x1/2 ,
1 — a ) 1 dx.
22x1/2 ,
1 — a ) 1 dx.
|(ж — a2)1/2 dx = ™ (ж2 — а2)1/2 — ^— In |ж + (ж2 — а2)х^2|.
| ж(ж2 — а2)1/2 dx = ^ (ж2 — а2)^2.
| ж2(ж2 — а2)1/2 dx =
24
=(ж2 - а2)3/2 + ^ (ж2 -In |ж + (ж2 - a^V
3/22x1/2 ,1 / 22x5/2 , а / 22x3/2
ж (ж — а ) ' dx = - (ж — а ) 1 + — (ж — а ) ' .
|(ж2 - а2)3/2 dx =
=(ж2 - а2)1/2 + | а In |ж + (ж2 - а2)х/2|.
f ж(ж2 — а2)3,/2 dx = - (ж2 — а2)®^2.
j х^х2 - а2)3/2 dx = | (ж2 - а2)®/2 + ^ (ж2 - «2)3/2 -
46
IL4(V а2)'/2 р чж Лж2
3 / 22x3/2 ,1 / 22x7/2 . ^/ 22x5/2
ж (ж - а ) ' dx = - (ж - а ) 7 + — (ж - а ) ' .
f (ж2 - a^V^12
2.47. Интегралы вида —dx.
Г (ж2 ™ а2)п+1/2 ^ _ Р^о^Г^ т - 2п - 4 Г (ж^а^Г^ dx
Jжт Х (т — 1)а2жт™1(m — 1)а2 J жт™2 х
= (ж2 - а2)и+1/2 2n-l f (x^a^m dx
(m ™ 1)жт-1 m ™ 1 J жт-2
f (ж2а2Г+1/2 /(х2^а2Г^/Ч1
J ж2т(2m - l)a2 I ж2^""""1
2fc(m — n — 2)(m — n — 3) . . . (m — n k 1)1
5.5.ж2пж2пdx =dx =fc=0fc=0(2nAl)(x2[(2n - 2k)2 ™ ^ж2^"2^1(2nAl)(x2[(2n - 2k)2 ™ ^ж2^"2^1+ (2n + 1) (ж2 — a2)1/2 dx.+ (2n + 1) (ж2 — a2)1/2 dx.™ 3)(2m — 5) . . . (2m — 2k ™ l)a2k ^m-^k-i _ +
5.
5.
ж2п
ж2п
dx =
dx =
fc=0
fc=0
(2nAl)(x2
[(2n - 2k)2 ™ ^ж2^"2^1
(2nAl)(x2
[(2n - 2k)2 ™ ^ж2^"2^1
+ (2n + 1) (ж2 — a2)1/2 dx.
+ (2n + 1) (ж2 — a2)1/2 dx.
ж2т+1 Ж 2п — 2m + 1
fc (2n — 2m + l)(2n — 2m + 3) . . . (2n — 2m + 2k — 1)
• 2fcm(m — 1) . . . (m — k + 1^а2кх2т™2к^2
(2n^2m + 3)(2n^2m + 5)...(2n + l) Mx2 ™ a2^1/2
( Jm!(2a2)-J x
7.7.x2 - a2^^2 , ::dx =x= Ek=0x2 - a2^^2 , ::dx =x= Ek=02n — 2k A 12n — 2k A 1+ (™l)na2n+1arcsin |™|.+ (™l)na2n+1arcsin |™|.
7.
7.
x2 - a2^^2 , ::dx =
x
= E
k=0
x2 - a2^^2 , ::dx =
x
= E
k=0
2n — 2k A 1
2n — 2k A 1
+ (™l)na2n+1arcsin |™|.
+ (™l)na2n+1arcsin |™|.
f (ж2 - a2)1/2, 22x1/2I a I
:dx = (x — a V — aarccos — .
J ^dx =+ In |ж + (ж - а ) z |.
f C®2 “ a2)3/21 , 22x3/22/ 22x1/2 .3 I I
:dx = - (ж — a ) ! ™ a (x — a ) ' + a arccos — .
Jж3I ж I
JX2
(ж2 — a2)3/2 Зж , 22x1/2 За2 I . / 22xl/2|
=+ — (« -a V - — In « + (ж - a ) z .
.„ f (^ - а2)3/2 ,(ж2 - a2)3/2 ^3.22x1/2 За | I
131 J ^^d$ =2^^+2(ж "a)"Та™|ж|-
Г (ж2 »2Г+1/2 Л
^^’ Jж2п + 2^ж
k=0k=0112n — 2/c + 12n — 2/c + 12\n™fc + l/2a \I 1 I / 22—+ ln ж + (ж - ax2 JI2\n™fc + l/2a \I 1 I / 22—+ ln ж + (ж - ax2 JI
k=0
k=0
1
1
2n — 2/c + 1
2n — 2/c + 1
2\n™fc + l/2
a \I 1 I / 22
—+ ln ж + (ж - a
x2 JI
2\n™fc + l/2
a \I 1 I / 22
—+ ln ж + (ж - a
x2 JI
f(^^2r+1/2.15- I ^4 dXf(^^2r+1/2.15- I ^4 dX2.48. Интегралы2.48. Интегралы= (ж2^а2)п+3/2“ ^2nA^a2x^^"f xm dxB И Д а (ж2 _ a2\n+l/2 •= (ж2^а2)п+3/2“ ^2nA^a2x^^"f xm dxB И Д а (ж2 _ a2\n+l/2 •
f(^^2r+1/2.
15- I ^4 dX
f(^^2r+1/2.
15- I ^4 dX
2.48. Интегралы
2.48. Интегралы
= (ж2^а2)п+3/2
“ ^2nA^a2x^^"
f xm dx
B И Д а (ж2 _ a2\n+l/2 •
= (ж2^а2)п+3/2
“ ^2nA^a2x^^"
f xm dx
B И Д а (ж2 _ a2\n+l/2 •
xm dxxm dx2 dx2 dx2.2.3.3.12 — a2)n+1/2(2n — 1)(ж2 — a2)n™T/2 2n — 1 J (ж2 — a2)n-1/2_жт+1m — 2n + 2 f xm dx(2n — 1)а2(ж2 — a2)n™T/2(2n — l)a2 J (ж2 — a2)n™T/2_жт-1(m — l)a2 f жт-2 dx(m — 2п)(ж2 — a2p™i/2 + ш _ 2n J (ж2 — a2)n+i/2 *12 — a2)n+1/2(2n — 1)(ж2 — a2)n™T/2 2n — 1 J (ж2 — a2)n-1/2_жт+1m — 2n + 2 f xm dx(2n — 1)а2(ж2 — a2)n™T/2(2n — l)a2 J (ж2 — a2)n™T/2_жт-1(m — l)a2 f жт-2 dx(m — 2п)(ж2 — a2p™i/2 + ш _ 2n J (ж2 — a2)n+i/2 *
xm dx
xm dx
2 dx
2 dx
2.
2.
3.
3.
12 — a2)n+1/2(2n — 1)(ж2 — a2)n™T/2 2n — 1 J (ж2 — a2)n-1/2
_жт+1m — 2n + 2 f xm dx
(2n — 1)а2(ж2 — a2)n™T/2(2n — l)a2 J (ж2 — a2)n™T/2
_жт-1(m — l)a2 f жт-2 dx
(m — 2п)(ж2 — a2p™i/2 + ш _ 2n J (ж2 — a2)n+i/2 *
12 — a2)n+1/2(2n — 1)(ж2 — a2)n™T/2 2n — 1 J (ж2 — a2)n-1/2
_жт+1m — 2n + 2 f xm dx
(2n — 1)а2(ж2 — a2)n™T/2(2n — l)a2 J (ж2 — a2)n™T/2
_жт-1(m — l)a2 f жт-2 dx
(m — 2п)(ж2 — a2p™i/2 + ш _ 2n J (ж2 — a2)n+i/2 *
Г ж21”^= ж2т+1(ж2-а2)1/2Г1
J (ж2 - a2)-*+V2 -(2п — 1)а2[(ж2 - а2)'* '
у4 (—2)fc(n — т — l)(n — m — 2) . . . (n — m — k)a™2k
(2^ — 3)(2п — 5) . . . (2n — 2k — 1)(ж2 — а2)п-к _
2)™(n — т — l)(n — m — 2) . . . ^—т + 1)(—m) f х^ dx
+(2^1)!!^J (ж2 - а2)1/2'
n — m — 1 / -«\krik/2\m+fe + l/2
м /2\ т— п X \I
’а '-^ 2т + 2fe +1 \ж2 — а2 /
2-а2)1/22т2-а2)1/22тГ ж2т йж6‘ J (ж2 - а2)1/2Г ж2т йж6‘ J (ж2 - а2)1/2[п ^ т + 1].
2-а2)1/2
2т
2-а2)1/2
2т
Г ж2т йж6‘ J (ж2 - а2)1/2
Г ж2т йж6‘ J (ж2 - а2)1/2
, 2т~1 . ^т ~ 1)(2ш — 3) . ■ . (2т — 2к — 1),2m-2fc + ll .
Ж2fc(m — 1)(т — 2) . . . (т —/с) а хj
(2т —l)!!n2m I , 22xi/2I
2mrn! I к 7 I
7.8.9.7.8.9.х1^ dx2 - c^n+ip[ж2т+1dxJ (ж2 - а2)п + 1/2dx(ж2 _ а2)п + 1/2х1^ dx2 - c^n+ip[ж2т+1dxJ (ж2 - а2)п + 1/2dx(ж2 _ а2)п + 1/2ж2п™!(2п — 1)(ж2 — а2)71™1/2тr~ik 2т-—2к^^ (2п — 2к — 1)(ж2 — a2^n-fc-i/2ж2п™!(2п — 1)(ж2 — а2)71™1/2тr~ik 2т-—2к^^ (2п — 2к — 1)(ж2 — a2^n-fc-i/2х(2п — 1)а2(ж2 — а2^п-1/2х(2п — 1)а2(ж2 — а2^п-1/22п - 2(2п — 1)а22п - 2(2п — 1)а2dx(ж2 - а2)«“1/2-dx(ж2 - а2)«“1/2-11.11.15.15.ж(ж2-а2)1/2Г1(2п — 1)а2(ж2 — а2)пж(ж2-а2)1/2Г1(2п — 1)а2(ж2 — а2)пу2 (-2)fc(n-l)(n-2)...(n-fc)1(2п — 3)(2п — 5) . . . (2п — 2к — 1) а2к^х2 — а^тг™ку2 (-2)fc(n-l)(n-2)...(n-fc)1(2п — 3)(2п — 5) . . . (2п — 2к — 1) а2к^х2 — а^тг™ка2пх dxа2пх dx/ lU ,/ Т2 \W/22к + 1 П™Х \ х2 — а2 /к=ох 71/ lU ,/ Т2 \W/22к + 1 П™Х \ х2 — а2 /к=ох 71(Ж2 - а2)п + 1/2 dx(ж2 -a2)V2 = х dx(ж2 - а2)1/2 = ж2 dx(ж2 - а2)1/2 = ж3 dx(Ж2 ^а2)1/2 =(Ж2 - а2)п + 1/2 dx(ж2 -a2)V2 = х dx(ж2 - а2)1/2 = ж2 dx(ж2 - а2)1/2 = ж3 dx(Ж2 ^а2)1/2 =(2п-1)(ж2 -а2)^1/2'In |ж + (ж2 — а2)1/21.(2п-1)(ж2 -а2)^1/2'In |ж + (ж2 — а2)1/21.х^х^а^1^ а\ I z 22+ у in |» + (ж2 - а2|(ж2_а2)з/2 + а2(ж2_а2)1/2.х^х^а^1^ а\ I z 22+ у in |» + (ж2 - а2|(ж2_а2)з/2 + а2(ж2_а2)1/2.
7.
8.
9.
7.
8.
9.
х1^ dx
2 - c^n+ip
[ж2т+1dx
J (ж2 - а2)п + 1/2dx
(ж2 _ а2)п + 1/2
х1^ dx
2 - c^n+ip
[ж2т+1dx
J (ж2 - а2)п + 1/2dx
(ж2 _ а2)п + 1/2
ж2п™!
(2п — 1)(ж2 — а2)71™1/2
тr~ik 2т-—2к
^^ (2п — 2к — 1)(ж2 — a2^n-fc-i/2
ж2п™!
(2п — 1)(ж2 — а2)71™1/2
тr~ik 2т-—2к
^^ (2п — 2к — 1)(ж2 — a2^n-fc-i/2
х
(2п — 1)а2(ж2 — а2^п-1/2
х
(2п — 1)а2(ж2 — а2^п-1/2
2п - 2(2п — 1)а2
2п - 2(2п — 1)а2
dx
(ж2 - а2)«“1/2-
dx
(ж2 - а2)«“1/2-
11.
11.
15.
15.
ж(ж2-а2)1/2Г1
(2п — 1)а2(ж2 — а2)п
ж(ж2-а2)1/2Г1
(2п — 1)а2(ж2 — а2)п
у2 (-2)fc(n-l)(n-2)...(n-fc)1
(2п — 3)(2п — 5) . . . (2п — 2к — 1) а2к^х2 — а^тг™к
у2 (-2)fc(n-l)(n-2)...(n-fc)1
(2п — 3)(2п — 5) . . . (2п — 2к — 1) а2к^х2 — а^тг™к
а2п
х dx
а2п
х dx
/ lU ,/ Т2 \W/2
2к + 1 П™Х \ х2 — а2 /
к=ох 7
1
/ lU ,/ Т2 \W/2
2к + 1 П™Х \ х2 — а2 /
к=ох 7
1
(Ж2 - а2)п + 1/2 dx
(ж2 -a2)V2 = х dx
(ж2 - а2)1/2 = ж2 dx
(ж2 - а2)1/2 = ж3 dx
(Ж2 ^а2)1/2 =
(Ж2 - а2)п + 1/2 dx
(ж2 -a2)V2 = х dx
(ж2 - а2)1/2 = ж2 dx
(ж2 - а2)1/2 = ж3 dx
(Ж2 ^а2)1/2 =
(2п-1)(ж2 -а2)^1/2'
In |ж + (ж2 — а2)1/21.
(2п-1)(ж2 -а2)^1/2'
In |ж + (ж2 — а2)1/21.
х^х^а^1^ а\ I z 22
+ у in |» + (ж2 - а2
|(ж2_а2)з/2 + а2(ж2_а2)1/2.
х^х^а^1^ а\ I z 22
+ у in |» + (ж2 - а2
|(ж2_а2)з/2 + а2(ж2_а2)1/2.
17.18.19.20.17.18.19.20.dx(ж2 - а2)3/2х dx(ж2 - а2)3/2ж2 dx(ж2а2)3/2ж3 dx(ж2а2)3/2dx(ж2 - а2)3/2х dx(ж2 - а2)3/2ж2 dx(ж2а2)3/2ж3 dx(ж2а2)3/2ж
17.
18.
19.
20.
17.
18.
19.
20.
dx
(ж2 - а2)3/2х dx
(ж2 - а2)3/2ж2 dx
(ж2а2)3/2
ж3 dx
(ж2а2)3/2
dx
(ж2 - а2)3/2х dx
(ж2 - а2)3/2ж2 dx
(ж2а2)3/2
ж3 dx
(ж2а2)3/2
а2(ж2 — а2)1/2 *
1
“(ж2 - а2)1/2*
"(ж2 -«2)1/2 + In |® + (ж2 - а2)1/21.
ж2 - 2«2
(ж2а2)1/2'
2.49. Интегралы вида I ^2>+1/2 ■
ч
"dx_
жт(ж2 — а2)п+т/2
_1m + 2п — 2 fdx
(2п ™ 1)а2жт-1(ж2 — а2)^™1/2(2n — 1)а2 J жт(ж2 ™ а2)"™1/2 *
2.
_1m +1 fdx
(2п — 1)жт+1(ж2 — а2)п-1/2 2п — 1 J жт+2(ж2 ™ а2)п-1/2 '
3.
_12п — 1 fdx
(т — 1)жт-1(ж2 — а2)п+1/2 т — 1 J жт-2(ж2 — а2)п+3/2
4.
Гdx1
Ж2т(ж2 — а2)п+1/2fl2m+2n
т+п™1(xk/2\ fc —т+1/2
21—2т + 1 ^"Ч^-а2/*
к=0х7
5.
Гdx_11 fdx
ж(ж2 — a2)^+!/2(2п — 1)а2(ж2 — а2)«“1/2 а2 J ж(ж2 _ а2'^п™1/2 *
6.
(-142ч1)1^1|«1
^ (2п-2/8-1)а2'=+2(ж2-а2)"-'=-1/2а2"*1 агссо8|ж|'
7.
Гdx1I а I
Г 22М/2 = arccos .
1 ж(ж2 — а2)1/2 а1 ж 1
8.
Гdx(ж2 — а2)1/2
ж2(ж2 ™ а2)1/2а2х‘
9.
Гdx(ж2 — а2)1/21I а |
Жз(ж2 _ а2)1/2 -2^3:2+ 2а3 аГСС°® ж Г
10.
fdx11а I
J ж(ж2 — а2)3/2а2(х2 ™ а2)1/2 а3 аГСС°8 ж 1
11.
fdx2ж2 — а2
J ж2(ж2 — а2)3/2а4ж(ж2 — а2)1/2 '
12.
fdx
J ж3(ж2 — а2)3/2
_133
_ 2«2Ж2(ж2 - a2)V22«4(ж2 - «2)1/22а® arCCOS 1 ж Г
2.50. Интегралы вида | .
РJ (ж + Ь)”(ж2 - а2)1/2
1.
fdx1(ж2 — а2)1/2
J (ж + Ь)”(ж2 - а2)1/2 ~ (п - 1)(Ь2 - а2) [ (ж + Ь)""1
(2П^.И^2) j (ж + Ь)п-2(ж2 _ о2)1/2 _ •
2.
Г_
J (ж + 6)(ж2 — а2)1/2 ■
=1Л + Ьх + ^-а^^-а2)1/2
(62 — а2)1/2х + а'
3.
1, ^-Ь^'Ч®2-»2^г2
= /2 МП/2 arCt821а > Ь •
(а2 — о2)1/2а2 + ож
4.
1аЬхг о ж
= (а2- Ь2)!/2"^ + Ь)
5.
ах1 ( х — а\
J (ж + а)(ж2 — а2)1/2 а \ж + а )
6.
fdx1 /ж + aV^2
J (ж — а)(ж2 ™ а2)1/2а \ж — а )'
2.51. Интегралы вида | (ж2 ± Ь2)(ж2 _ а2}1/2'
1.
Гdx!ж(а2+62)1/2 + Ь(ж2_а2)1/2
J (ж2+ 62)(ж2 - а2)!/2Ь(а2+ 62)1/2 111(ж2 + 62)1/2'
2.
fdx1\xkb2-a2^2-4x2-a2^2\
J (ж2 - Ь2)(ж2 - а2)1/2 - ь^ - й2)1/2 1п(Ж2 _ 62)1/2
Vb2>a2y
3.
_1. b(x2-a2y/2r2 h2.
6(а2 - 62)V2 arc“m д(ж2 - 62)V2Са > 6 1 •
4.
_1Ь(ж2 — а2)1/222
- 6(а2 - 62)V2 arctg ж(а2 _ б2)1/21° >6J-
2.52. Интегралы вида хт(а2 — х2)п+1^2 dx.
1.
jxm(a2-x2)n+1/2 dx =
m + 2n + 2m + 2n + 2 J'
2.
= «2.11(а!±f ^’«(a2 _ s2)"-1/2 dx m + 2n + 2m + 2n + 2 J
jж2т(а2jж2т(а2ж2)п+1/2ж2)п+1/2dx = —dx = —3.х4.5.6.3.х4.5.6.7.7.(а2 - ж2)^3/2
jж2т(а2
jж2т(а2
ж2)п+1/2
ж2)п+1/2
dx = —
dx = —
3.
х
4.
5.
6.
3.
х
4.
5.
6.
7.
7.
2п + 2т + 2
2т~1 , v^ (2т — 1)(2т — 3) . . . (2т — 2fe + l) 2fc 2m-2fc-i
Ж ^^ 2fc(m + n)(m + n — 1) . . . (m + n — k + 1) a $
।(2rn-l)!!d2mL 22\n+i/2 ,
2m(m + n + l)(m + n) . . . (n + 2) J v '
ж2т+1(а2 - ж2)^1/^ = V(a2 - ж2)^^2.
Jfc —0' °
f ж(а2 - ж2)п+1/2 dx =
J72n + 3 K 7
[(а2-ж2)’1+1/2йж= —[(^у-!/^.
= ж(а2 - ж2)1/2“ 2n + 2= ж(а2 - ж2)1/2“ 2n + 2fe=ife=iJ '2n + 2 v '2n + 2 Jv ’
= ж(а2 - ж2)1/2
“ 2n + 2
= ж(а2 - ж2)1/2
“ 2n + 2
fe=i
fe=i
(2n + l)!!a2n+224X414(2n + l)!!a2n+224X414arcsin ■:—rarcsin ■:—r(2n + l)(2n-l)...(2n-2fc + 3) 2k 2_ 2 n_fc ^Лп — 1).. . (n — k + 1)‘
(2n + l)!!a2n+224X414
(2n + l)!!a2n+224X414
arcsin ■:—r
arcsin ■:—r
f2
o / 22x1/2 , ж / 22x1/2 .°. Ж
(ft — x ) ' dx = ™— x ) ' + — arcsin ।—
|ж(й2 — ж2)1/2 dx = — | (a2 — ж2)3//2.
| ж2(а2 — ж2)1/2 dx = ^ (2ж2 — ft2)(ft2 — ж2)1//2 + arcsin
f 3/ 22x1/2 ,1/22x5/2°2 / 22x3/2
ж (ft — x ) ' dx = ™ (a ™ x V— ж ) ' .
J75 K 73 K 7
J48’8|ft|
| ж(а2 — ж2)3/2 dx = — ™ (ft2 — ж2)5^2.
f x2^2 ^ж2)3//2 dx =(8ж4™14й2ж2+Зй4)(с12™ж2)1/2 + ^™ arcsin
J’48'16\a\
1 -3/22x3/2 ,1 / 22x7/2«/ 22x5/2
ж (ft — x ) z dx = - (ft — x ) '— (ft — x ) ' .
f (ft2 - x2'T^xl2
3. Интегралы вида —:dx.
. f (ft2 - ж2)п+1/2 д (a2 ™ ж2)^+3/2
J xm(m — 1)й2жт™1
m^2n^4 f (ft2 ж2Г+1/2 , (m - l)ft2 J жт™2 1 '
2.
3.
х
4.
5.
6.
7.
8.
9.
2п+1
(т — 1)жт-1 т — 1
(а2-^"1/2
dx.
f (а2 - х2)^1/2 ,(а2 - ж2)п+3/2
J ж2т(2т — 1)а2
1Т™^1 2fc(m — п — 2)(т п 3) . . . (т — п — k — 1) а”2к
x2m™i(2т — 3)(2т — 5) . . . (2т — 2k — 1)ж2т-2к-1
2т(т — п — 2)(т — п — 3) . . . (—n)(—п —
'2a
dx =
(2m — 1)!! a2m
n „2k
ГХктг'-'
k=0
2\п-А; + 1/2
„2П+1
— ,П
/p2n-[-2
dx =
fc=O
ул - ж2)1/2
2ж2
V-^n+l^
а-^Л-х2)^2 a + (a2 — ж2)1/2 '
(-Dfe+1 ^X-XV"™ , , ^i . к2n-2k + l\-^ U V) ^’"ы
(a2 ™ ж2)п+3/2
(a ™x V —am
■x
. x
™ arcsin -—r |a|
+ 2-in
2 a
а + уЛ^Л)^
X
11. fdx = --ya2- x2f^2 - — (a2 - Ж2)1/2 - —
J x2x'22
(a2 - ®2)3/22®2
3 r 2
2(°
2xi/2 . 3a
И z 4In
72
а + уЛ-х2)1/2
X
2.54.
Интегралы
f xm dx
ВИДа J (a2 - ж2)^1^ •
1.
2.
xmdx_ж”1-1т-1 Г xm^2dx
(a2 - ж2)^1/2 - (2n - l)(a2 - ж2)™-1/22n - 1 J (a2 - ж2)11-1/2 '
_ жт+1m-2n + 2 Г xm dx
(2n — l)a2(a2 — ж2)”'™1/2(2n ™ l)a2 J (a2 — ж2)п”х/2
3.
(m — l)a2
4.
5.
(m — ж2т+!д$ (fl2 - ж2)п + 1/2
ж2т dx(a2 ™ x2)n+i/2
2n)(a2 — ж2)п“х/2 m —
m / nfc 2m-2fc
2n^2k^lk=oK
_ ж2^1^2™^)1/2 Г
(2n — l)a2
fc=i
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
'^dx
ж2)^1/2'
1
ж2^п™к™1/2 *
1
2k (n — m — l)(n — m — 2). . . (n — m — k)
(2n - 3)(2n - 5) . . . (2n - 2k - 1)
2n(n — m — l)(n — m — 2) . . . (—m
1д2п™-2т
$2n-2d$
a2 - $2)n+l/2
ж2т dx _
a2 ^ж2)1/2 “
2m-l
fc = l
dx
a2 — ж2)п+1/2 n™l ^
fc=l
(2n ™ 1)!! a2n
— m — l\ m + fc + 1/2
n — m — 1 /I
2m + 2k + 1 \ a2 ™ ж2 )
k=o । i \/
^2n-l
(2n — l)a2(a2 — ж2)п“х/2
2 m
(2m — l)(2m — 3) . . . (2m —
2k^m — l)(m — 2) . . . (m — k^
2
2n - 1
■1
a2 (a2 — x'
— l)(n — 2) . . . (n — k)
(2n - 3)(2n - 5) . . . (2n - 2k - 1)
n —172\ fc + 1/2
fc = 0
x dx
_ ж2уп.+1/2 dx
x dx ^Ж2)!/2 ж2 dx
™ ж2)1/2 =
ж3 dx
-Ж2)Х/2 dx
™ ж2)3/2
1
(2n — l)(a2 — ж2)"™1/2
. ж arcsin -—-.
|a|
2 _2x1/2
Ж / 2
(a
2 K
1 / 2 3(“
ж2т dx
(a2 ^ж2)1/2’
2k + 1) 2fc 2m-2fc-l a x
(2m ™1)!! ^m
2mm! a
2
2x1/2 a-^
- ) ' /arcsin -—-
■2\a\
2x3/22/ 22x1/2
x ) ' ™ a (a — x ) '
ж
2 ™ ж2)1/2'
arcsin
1].
17.18.19.17.18.19.1(а2 - ж2)1^’1(а2 - ж2)1^’
17.
18.
19.
17.
18.
19.
1
(а2 - ж2)1^’
1
(а2 - ж2)1^’
ж dx
(й2 _ ж2)3/2ж2 dx
(а2 - ж2)3/2ж3 dx
(а2 - ж2)3/2
х
(а2 - ж2)1^
2а2 - ж2
(а2 - ж2)1/2
. ж
™ arcsin -—г
Ы
2.55. Интегралы вида2.55. Интегралы вида1.2.3.4.1.2.3.4.dx(а2 ™ ж2)п"^1/2"1dx(а2 ™ ж2)п"^1/2"1
2.55. Интегралы вида
2.55. Интегралы вида
1.
2.
3.
4.
1.
2.
3.
4.
dx
(а2 ™ ж2)п"^1/2"
1
dx
(а2 ™ ж2)п"^1/2"
1
dx_
а2 — ж2)п+1/2(2п — 1)а2
m + 2п — 2 f dx(2п — 1)а2 J жт(а2 ™ ж
_1
(т — 1)а2жт“х(а2 — ж2)"™1/2
m + 2п — 2 fdx
(m — 1)а2 J жт™2(а2 — ж2)п+1/2
_1m + 1 fdx
(2n — 1)жт+1(а2 — ж2)71”1/2 2п — 1 J жт+2(а2 — ж2^п^1/2
,иm + n —1/ 22 \ m — k — 1/2
dx 1 х л С— /а Ж \
Х2т(а2 _ ж2\п+1/2а2т + 2п2т — 2А? — 1 \ Ж2 /
V7к=0х7
1].
5.
dx
1
dx
6.
а2 ™ ж2^п+1/2(2п — 1)а2(а2 — ж2)71™1/2
1
к=0
:n — 2k 1)а2А:+2(а2 — ж2)п fe V2
fl2fc + l 111
а + ^Л-х2//2
X
7.
8.
9.
10.
11.
12.
f dx
J ж(а2 - ж2)1^
fdx
J ж2(а2 — ж2)1/2
fdx
J ж3(а2 — ж2)1/2
1 а + ^^ж2)1/2
ах
а^х■
1
2а2 ж2
/ 22x1/211
а + ^ж2)1/2
f dx
J ж(а2 ™ ж2)3/2 = fdx
J ж2(а2 — ж2)3/2 fdx
J ж3(а2 — ж2)3/2
_1
2а2ж2(а2
а4ж(а2 — ж2)1/2
_ж2)1/2
+ 2а4(а2 - ж2)1/22а5 *П
a + (а2 Ж2)У2
Ж
2.56. Интегралы вида J (ж + 6)„(а2 _ ж2)1/2 •
f dx _1P (°2 — ж2)1/2
J Ы-рД2 -ж2)1^ - (п _ !)(Ь2 _ а2)+
ж2)1/2ж2)1/2+ (2п - 3)6 j ^ + 6^_^о2 _ж2р/2 - (п - 2) j ^ + ^„-2^2
ж2)1/2
ж2)1/2
3.
[6 / ±а].
1Г^-ж2)1/2
(2п — 1)а _ (ж + «)п
dx
1(а2 — ж2)1/2, fdx
(2п — 1)а (ж — а)п П J (ж — а)"™1^2 — ж2)1/2
dx_
(ж + Ь)(а2 — ж2)1/2
(а2 — 62)1/2ж + 6
1(Ь2™а2у/2(а2™^)1/2
({,2 - a2p/2 arctgа2 + 6ж
1. а2 + Ьх
(^TZ^JTp arcsm а\ж^Ц
dx_1 / а — ж \ 7
(ж + а)(а2 — ж2)1/2 а \а + ж/
dx_1 / а + ж \ 1^2
(ж — а)(а2 — ж2)1/2 а \а ™ ж/
2.57. Интегралы вида [ . „ ,———1 .
РJ (62 ± ж2)т(а2 - ж2)п+т/2
fdx
J (62 — ж2)т(а2 — ж2)п+1/2
х
2(т — 1)(а2 — 62)62(62 — ж2)”г”1(а2 — ж2)71”1/2
(2m — 3)а2 — 2(2m + n — 3)62 fdx
+г^ДЛр^^б2)^ J (б2 - ж2)т-!(а2 - ж2)^1^ +
। т + п 2[dx
+J (б2_ж2)т-2(а2_ж2)п+1/2-
dxх
(Ь2 - ж2)(а2 - ж2)”+!/2 = “ (2п - 1)(а2 - 62)а2(а2 - ж2)”-1^ +
(4п — 3)а2— 2(n —1)62 fdx
+ “(г^ТТД^ТГ^рр- J (62 - ж2)(а2 - ж2)”-1/2 ~
2(гг — 1)Гd$
~ (2п - 1)(а2 - 62)а2 J (62 - ж2)(а2 - ж2)”-3/2"
5 А.Ю. Брычков и др.
dx =1\х(а2™Ь2у/2^Ь(а2^х2у/2\
(62 - ж2)(а2 - ж2)1/^ ■ b^ - b^Y^ °(ж2 - bY1^
_1t ДЬ2 - а2)1/22
Ь(Ь2 - a2)V2 arctg b(o2 _ ж2)1/2[“ < 6 1 "
_1. ДЬ2 - а2)1/22
- а2)1/2 a''CSm а(Ь2[“ <bV
dx_1ж(а2 + 62)1/2
” Y^WFarctg W1 - ж2)1/2'
2.58. Интегралы вида j xm(ax2 + bx + c)n+1^2 dx. Обозначение: X = ax2 + bx + c.
1.
(2m + 2п + 1)6 f . 2(т + 2п + 2)а J Ж
(т + 2п + 2)а
x„+1/2 d$ _ (m-l)c Г жт_2х„+1/2 д$(m + 2n + 2)a J
2.
|жХп+1/2& =
j^- п+З / 2
(2п + 3)а
n+1/2 dx.
3.
4.
[ Xn+1/2 d® = ^X6
J4(n + l)a
_ (2a®_+b)X^ [ 4(n + l)a [
/4ac-b2V+1
k=0
.2
5.
j $mX1/2d$ =
а / жт™1Х3/2
8(n + 1)« J1 '
(2n + 1)(2п - 1) . . . (2n - 2k + 1)
8fc+!n(n — 1) . . . (n — k)
(2n + l)!! /4ас-62\п+1 Г < b 8n+1(n + l)! \ а ) JX
(2т + 1)6
(т + 2)а2(т + 2)а
в.
4ас — 62
8а3/2 П
(т + 2)
2аж + 6
-2X1/2d$.
7.
2аж + 64а
62 — 4ас . 2аж + 6
arcsin ,^
8a.yjaj V^^^ac
> 4ас].
8.
9.
| ЖХ^2 dx = ;| ж2Х1^2 dx =
ХХ3/2_ A fx!/2
За 2а J
баж — 5624а2
5Ь2 - 4ас
16а2
10.ж3Х1/2^ж =
48а2ж2 — 42abx + 3562 — 32ас
240а2
хЗ/2_
7b3 - 12а6с32а3
1.
f (ax2 + bx + c) + / 2.59. Интегралы вида :dx.
Обозначение: X = ax2 + bx + c.
p j^n+l/2j^n+3/2
J xm(m — 1)сжт™1
(2n — 2m + 5)6 f 2(m — l)c J
,(2n -
dx + -—;—
m + 4)a f Х"41^
l)c
.m —2
dx.
2.
j^n+l/2^лп+1/2
dx =
x2n + 1
3.
dx =
b f 1 2 J 2(ax
n ^2dic + c
^рбжр^
(2n ™ 2m + 3)6жт
2(m ™ 2n ™
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
dx.
X
(2n — 2m + 3)6
X1/21/2 b f dx f dx
— = x +2J
Xx^ ,X1^ f dx b [ dx
x2x J л1/22 J xXv!2
Xх12 dx ж3 (ax2 + бж)1/2
ж3
X3Z2 dx =
X3/2
X3Z2
—— dx =
.2(ax2
dx =
1
2P
dx = —
4cx)\
2(ax2 + 6ж)3^236ж3
(ax2 + 6ж)п+1/2 л
; dx.
dx
(ax2 + бж)1/2
2 \ f dx
J жХ1/2’
2abx + b2 + 8ac ^1/2(12ac — b2
8a16a
X^i2 ax^bex c
dxжХ1/2 '
4
3(4ac + 62) f dx 3bc f dx
8 J X1/2 + "T J жХ1/2'
аж2 + 6ж)3/2 (аж2 + bxf/2 3621/2
:—:dx = :h (аж + bx 7 +
ж22ж4•
X3^2_ б 1 b \ 5/2
ж3— I 2cx2 + 4c2x /
362 f dx
8 J (аж2 + бж)1/2
abx + 2ac + b2 ^3/2
^(abx + 2ac + b2)3a6 f
S+ IT J
4c2
dx 3(4ac+62) f dx
X1/2
dx =
8 J xXx!2 = dx
(ax2 + бж)1/2
Интегралы вида7—--— ;—
J (ах2 + bx + c)n+V2
Обозначение: X = ах2 + Ьх + с.
f dx _2(2ах + b)8(п — 1)а f dx
J Х^ЙТа - (2п - 1)(4ас - Ь^Х"-1/2 + (2п - 1)(4ас - b2) J X”"1/2' 2(2аж + 6)
= (2n™l)(4ac™b2)X^™1P Х
8fc(n — 1)(п — 2) . . . (n — k) / аХ V
Х +(2п - 3)(2п - 5) . . . (2n - 2k - 1) \4ас - Ь2 )
3.3.dx 1 ,Indx 1 ,In2ax + b2v^2ax + b2v^4.4.1 Л 1= —= Arsh1 Л 1= —= Arsh5.5.a1X^aa1X^a2ax A bл/4ac ™ b22ax A bл/4ac ™ b24ас].4ас].6.6.7.7.dxdx1.1.2.2.3.3.4.4.5.5.6.6.7.7.8.8.9.9.. 2ax + barcs in ,=Vb2 - 4ac. 2ax + barcs in ,=Vb2 - 4ac= In (2ax + b)V a'2(2ax + b)= (4ac™b2)X1/2‘= In (2ax + b)V a'2(2ax + b)= (4ac™b2)X1/2‘2.61. Интегралы вида2.61. Интегралы видахт dxхт dx(ах2 + Ьх + c)n+V2(ах2 + Ьх + c)n+V2Обозначение: X = ax2 + bx + c.f xm dxж"1™1(2m ™2n™ 1)6J j^n+i/2 (ш _ 2n)aXn™1/22(m — 2n)aОбозначение: X = ax2 + bx + c.f xm dxж"1™1(2m ™2n™ 1)6J j^n+i/2 (ш _ 2n)aXn™1/22(m — 2n)a2n dx2n dxx dx"x^M2x dxx dx"x^M2x dxx2 dxx2 dxx3 dxx3 dxx dxx dxdxdx= 4ас].= 4ас].2xm(2n - 1)6X^"V21 (x^dxca J X'^-M2a2xm(2n - 1)6X^"V21 (x^dxca J X'^-M2a(m —(m —2(2n — m 1) f Xth™1 dx(2n - 1)6 J X"“V2 “(m —(m —2(2n — m 1) f Xth™1 dx(2n - 1)6 J X"“V2 “dxdxX^+V2X^+V2(2n - l)aX'^V21(2n - l)aX'^V21(2n - l)aX^"V2(2n - l)aX^"V2X1^2 b f dx2^ J XV2ax 36 i /24«2X +X1^2 b f dx2^ J XV2ax 36 i /24«2X +dxdx2c f Xth™1 dx b J Xn+V2 ’2c f Xth™1 dx b J Xn+V2 ’b2ab2ab2ab2ab f a a J - ,2n —1b f a a J - ,2n —1xm™xdxX^1/2 ‘xm™xdxX^1/2 ‘dxdxX^1/2dx"x^w2*X^1/2dx"x^w2*1 a1 a362 — 4ac f dx§^2 J xV362 — 4ac f dx§^2 J xV8a2x2 — Юабж + 1562 — 16ac8a2x2 — Юабж + 1562 — 16ac24a32(bx + 2c)24a32(bx + 2c)563 — 12a6c f dx16X J XV563 — 12a6c f dx16X J XVX3/2(62 -4ac)XV2*X3/2(62 -4ac)XV2*
3.
3.
dx 1 ,
In
dx 1 ,
In
2ax + b2v^
2ax + b2v^
4.
4.
1 Л 1
= —= Arsh
1 Л 1
= —= Arsh
5.
5.
a
1X^a
a
1X^a
2ax A bл/4ac ™ b2
2ax A bл/4ac ™ b2
4ас].
4ас].
6.
6.
7.
7.
dx
dx
1.
1.
2.
2.
3.
3.
4.
4.
5.
5.
6.
6.
7.
7.
8.
8.
9.
9.
. 2ax + barcs in ,=
Vb2 - 4ac
. 2ax + barcs in ,=
Vb2 - 4ac
= In (2ax + b)V a'
2(2ax + b)
= (4ac™b2)X1/2‘
= In (2ax + b)V a'
2(2ax + b)
= (4ac™b2)X1/2‘
2.61. Интегралы вида
2.61. Интегралы вида
хт dx
хт dx
(ах2 + Ьх + c)n+V2
(ах2 + Ьх + c)n+V2
Обозначение: X = ax2 + bx + c.
f xm dxж"1™1(2m ™2n™ 1)6
J j^n+i/2 (ш _ 2n)aXn™1/22(m — 2n)a
Обозначение: X = ax2 + bx + c.
f xm dxж"1™1(2m ™2n™ 1)6
J j^n+i/2 (ш _ 2n)aXn™1/22(m — 2n)a
2n dx
2n dx
x dx
"x^M2
x dx
x dx
"x^M2
x dx
x2 dx
x2 dx
x3 dx
x3 dx
x dx
x dx
dx
dx
= 4ас].
= 4ас].
2xm
(2n - 1)6X^"V2
1 (x^dxc
a J X'^-M2a
2xm
(2n - 1)6X^"V2
1 (x^dxc
a J X'^-M2a
(m —
(m —
2(2n — m 1) f Xth™1 dx(2n - 1)6 J X"“V2 “
(m —
(m —
2(2n — m 1) f Xth™1 dx(2n - 1)6 J X"“V2 “
dx
dx
X^+V2
X^+V2
(2n - l)aX'^V21
(2n - l)aX'^V21
(2n - l)aX^"V2
(2n - l)aX^"V2
X1^2 b f dx
2^ J XV
2ax 36 i /2
4«2X +
X1^2 b f dx
2^ J XV
2ax 36 i /2
4«2X +
dx
dx
2c f Xth™1 dx b J Xn+V2 ’
2c f Xth™1 dx b J Xn+V2 ’
b2ab2a
b2ab2a
b f a a J - ,2n —1
b f a a J - ,2n —1
xm™xdx
X^1/2 ‘
xm™xdx
X^1/2 ‘
dx
dx
X^1/2dx"x^w2*
X^1/2dx"x^w2*
1 a
1 a
362 — 4ac f dx
§^2 J xV
362 — 4ac f dx
§^2 J xV
8a2x2 — Юабж + 1562 — 16ac
8a2x2 — Юабж + 1562 — 16ac
24a3
2(bx + 2c)
24a3
2(bx + 2c)
563 — 12a6c f dx
16X J XV
563 — 12a6c f dx
16X J XV
X3/2(62 -4ac)XV2*
X3/2(62 -4ac)XV2*
10.11.10.11.ж2 dxж3 dxж2 dxж3 dx(4ас — 2б2)ж — 2bc 1 f dxa^b2 - 4ас)Х1/2 + a J Х1^"а^4ас — 62)ж2 + Ь^Юас — 3b2)x + с(8ас — 362)^^3^2^172(4ас — 2б2)ж — 2bc 1 f dxa^b2 - 4ас)Х1/2 + a J Х1^"а^4ас — 62)ж2 + Ь^Юас — 3b2)x + с(8ас — 362)^^3^2^172362а2362а2dxX1/2'dxX1/2'
10.
11.
10.
11.
ж2 dx
ж3 dx
ж2 dx
ж3 dx
(4ас — 2б2)ж — 2bc 1 f dx
a^b2 - 4ас)Х1/2 + a J Х1^"
а^4ас — 62)ж2 + Ь^Юас — 3b2)x + с(8ас — 362)^^3^2^172
(4ас — 2б2)ж — 2bc 1 f dx
a^b2 - 4ас)Х1/2 + a J Х1^"
а^4ас — 62)ж2 + Ь^Юас — 3b2)x + с(8ас — 362)^^3^2^172
36
2а2
36
2а2
dx
X1/2'
dx
X1/2'
Интегралы вида [;—-—г
РJ жпЧаж2 +
Обозначение: X = аж2 + 6ж + с.
f dx _1
J жтХп^1/2 ^т _ ij^m-ijn-l/2
(2m + 2n —3)6 f dx(m + 2n — 2)a f dx
2(m — l)c J xm”1Xn+1/2 (m — l)c J жт”2 j^n+i/2 '
[ dx16 [ dx ( 1 [ dx
J жХ^1/2 ” (УУТ/ЛУ^ _ ^ J x„+i/2 + c J жХп-1/2'
fdx_2
J жт(аж2 + 6ж)п+1/2(2m + 2n — 1)6жт(аж2 + бж)™^1/2
2(m + 2n — l)a fdx
(2m + 2n — 1)6 J жт^т(аж2 + 6ж)п+1/2 '
4.
f dx
_ 1
- In
2с + 6ж + 2УсХ1/2
X
j жХ1/2
1
. 2c 4- бж
5.
1
Arth —7™
2^X^2
Л . 2c + бж
6.
7.
8.
3in
Vе
1
Arsh—;
жу4ас — 62
X 2c + бж 2c + bx
2V^XV2
1. 2c + бж
9.
arcsin —7-
Vжуб2 — 4ас
10.
2л/Ьх + ах2 Ьх
[с > 0; 62
[с > 0; 62
[с < 0; 62
[с > 0].
[с > 0].
< 4ас].
= 4ас].
[с < 0].
> 4ас].
[с = 0; 6/0].
12.
13.
15.
dx
dx
сх
2
3
ж2 (аж2 + бж)1/2
dx (1
ж3ХО2 = \ 2сж2
dx2
ж3 (аж2 + бж)1/25
6 f dx
2с J жХ1/2
/1 2а \ ,2 , , xi/2
Хаж + Ьж) •
\ бж2 Ь2х)
3b \ i/2/ 362а \ f dx
4с2ж/\8с22с J J жХ1'
/1 4а 8а2 V 2 , ,
\ бж3 362ж2363ж)^°Ж9
1/2
dxхХ3/*2
2(abx 2ас + б2)1 Г
"Дб^ЛасухГ^ + с J
йж
ЖХХ2-
dx
2
х(ах2 + ЬхУ^ 3
14а8а2ж
ЬхЬ2Ь3
1
(аж2 + бж)1/2
17.
18.
dx _ ж2Х3/2
dx
16(10ас — 362) а(8ас —362)ж1136 Г dx
сх
с2 (4ас — 62)
ж2 (аж2 + 6ж)3/2
19 f d$ =‘ J ж3Х3/2
dx
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1сж2
2 /1
5 \ Ьх2
56
2с2ж а6(1562
I с2(4ас2а 8а2
b2x 63
- 62) J X4/2 2с2 J жХ1/2’
16а3 ж
1
Ь4 ) (ах2 + бж)1/2 "
1564 - 62ас62 +24а2с22с3(62 ™4ас)
— 52ас)ж
2с3(62 — 4ас)
12XV2
1562 — 12ас f dx
8с3
жХ1/2*
ж3 (аж2 + 6ж)3/2
_ 2 /1
7 \ 6ж3
8а _ 16а264а3
562ж2 5Ь3ж ^ 564
2.63. Интегралы вида
128а4ж
1
565 / (аж2 + бж)1/2
(аж2 + Ьх + с)±п+1/2
Обозначение: X = аж2 + Ьх + с.
: dx =
х +р)т
^ п + 3/2
1)(ар2 - Ьр + с)(ж + р)’ r j^-n+1/2
X 77 dx + ™ J (ж + р)™”1('
2Х п4"3 / 2
(ж + р)
dx.
(2п — 2т + 5)(6 — 2ар)
12(т — 1)(ар2 — Ьр + с) Х
(2п-т + 4)а Г Х"+У2 ^
™ 1)(ар2 — bp + с) J (ж + р)т™2 1
2(2п — т + 3)а
(2п — 2т + 3)(6 — 2ар)(ж + р)т (2п — 2т + 3)(6 — 2ар)
f j^n+l/2
X dx \ар2 — bp + с = 0; 6 — 2ар /.
J (ж +
j^n+l /2
dx = ж + р
_ X^+Va ь _ 2ар2п + 1 +2
х1/2^х1/2
х + р)
х Ар
dx
(т - 1)(ж + р)
1 f (Ь + 2аж)
2(m — 1) J (ж + р^™1
аж + 6 - ар ,, 2
-—^ dx + (ар
1
dx.
J ж + р
dx
dx
(ж + р)X1/2 '
(m — 1)(ар2 — bp + с) (ж + р)
(2m + 2п ™ 3)(6 ™ 2ар)
dx
2(т — 1)(ар2 — bp + с) J (ж + р)т™хХ"^1/2
(т + 2п — 2)а fdx
(т ™ 1)(ар2 — bp + с) J (ж + р)т“2Хп+1/2 '
(2т + 2п — 1)(6 — 2ар)(х + р^тХп-1^
2(m + 2п ™ 1)а[dx
(2m + 2n — 1)(6 — 2ар) J (ж + р)т-1%М-1/2
[ар2 — Ьр + с = 0; b — 2ар А О] •
8.8.dx1
8.
8.
(ж + р)^^1^ = (2п - 1)(ар2 -bp + с)Х"~1/2 +
1 Г dx2ар — Ь Г dx
ар2 — ^р х с J (ж + р)Хп™х/2 2(ap2 — bp + с) J Хп+1/2
9.9.1Ь ™ 2ар(2n + l)Xn+V2 +21Ь ™ 2ар(2n + l)Xn+V2 +2dxdx[ар2 Ьр + с = 0].[ар2 Ьр + с = 0].
9.
9.
1Ь ™ 2ар
(2n + l)Xn+V2 +2
1Ь ™ 2ар
(2n + l)Xn+V2 +2
dx
dx
[ар2 Ьр + с = 0].
[ар2 Ьр + с = 0].
_(2m3)(6 2ар)
(т — 1)(ар2 — Ьр + с)(ж + p)m-12(т — 1)(ар2 — Ьр + с)
f dx(т — 2)а f dx
J (ж + р^™1 Х1^(т — 1)(ар2 — bp + с) J (ж + p)m™2JC1/2
(2т — 1)(2ар — Ь)(х + р^
2(т — 1)а f dxг 9,
Ч;“г777; 777ут [ар — Ьр + с = 0; 2ар — 6 ^ Ок
2(т ™ l)(2ap — b) J (ж+р)т-1Хх/2
12.12.[а + (b ™ 2ap)t + (ар2 ™ Ьр + с)^]1/2[а + (b ™ 2ap)t + (ар2 ™ Ьр + с)^]1/2Г dx1J (ж + р)X1/2 (ар2 ™ Ьр + с)1/2Г dx1J (ж + р)X1/2 (ар2 ™ Ьр + с)1/2х Inх In(ар2 — Ьр + с)1/2 + Х1^2Ь ™ 2арж + р2(ар2 — Ьр + с)1/2(ар2 — Ьр + с)1/2 + Х1^2Ь ™ 2арж + р2(ар2 — Ьр + с)1/2[ар2 ™ Ьр + с > 0].[ар2 ™ Ьр + с > 0].14.х In14.х In_12(ар2 — Ьр + с)1/2(ар2 — Ьр + с)1/2 — Х1^2Ь ™ 2арж + р2(ар2 — Ьр + с)1/2_12(ар2 — Ьр + с)1/2(ар2 — Ьр + с)1/2 — Х1^2Ь ™ 2арж + р2(ар2 — Ьр + с)1/2[ар2 — Ьр + с > 0].[ар2 — Ьр + с > 0].16.16.1. (Ь 2ар)ж — Ьр + 2с|ар2 — bp + cl1/2 aicsm (ж р)(Ь2 — 4ас)х/2[ар2 — Ьр + с < 0; Ъ2 > 4ас].9 У1/2[ар2 — Ьр + с = 0].1. (Ь 2ар)ж — Ьр + 2с|ар2 — bp + cl1/2 aicsm (ж р)(Ь2 — 4ас)х/2[ар2 — Ьр + с < 0; Ъ2 > 4ас].9 У1/2[ар2 — Ьр + с = 0].(Ь ™ 2ар)(ж + р)(Ь ™ 2ар)(ж + р)
12.
12.
[а + (b ™ 2ap)t + (ар2 ™ Ьр + с)^]1/2
[а + (b ™ 2ap)t + (ар2 ™ Ьр + с)^]1/2
Г dx1
J (ж + р)X1/2 (ар2 ™ Ьр + с)1/2
Г dx1
J (ж + р)X1/2 (ар2 ™ Ьр + с)1/2
х In
х In
(ар2 — Ьр + с)1/2 + Х1^2Ь ™ 2ар
ж + р2(ар2 — Ьр + с)1/2
(ар2 — Ьр + с)1/2 + Х1^2Ь ™ 2ар
ж + р2(ар2 — Ьр + с)1/2
[ар2 ™ Ьр + с > 0].
[ар2 ™ Ьр + с > 0].
14.
х In
14.
х In
_1
2(ар2 — Ьр + с)1/2
(ар2 — Ьр + с)1/2 — Х1^2Ь ™ 2ар
ж + р2(ар2 — Ьр + с)1/2
_1
2(ар2 — Ьр + с)1/2
(ар2 — Ьр + с)1/2 — Х1^2Ь ™ 2ар
ж + р2(ар2 — Ьр + с)1/2
[ар2 — Ьр + с > 0].
[ар2 — Ьр + с > 0].
16.
16.
1. (Ь 2ар)ж — Ьр + 2с
|ар2 — bp + cl1/2 aicsm (ж р)(Ь2 — 4ас)х/2
[ар2 — Ьр + с < 0; Ъ2 > 4ас].
9 У1/2
[ар2 — Ьр + с = 0].
1. (Ь 2ар)ж — Ьр + 2с
|ар2 — bp + cl1/2 aicsm (ж р)(Ь2 — 4ас)х/2
[ар2 — Ьр + с < 0; Ъ2 > 4ас].
9 У1/2
[ар2 — Ьр + с = 0].
(Ь ™ 2ар)(ж + р)
(Ь ™ 2ар)(ж + р)
2.64. Интегралы вида [х „-
J (ж2 + рж + д)т(аж2 + Ьж + с)1/2
Обозначение: X = аж2 + Ьх + с.
Р+Vp2- 4д\/?2/Р+Vp2- 4д\/?2/dxdx[р2 > 4q; см. 2.63].[р2 > 4q; см. 2.63].
Р+Vp2- 4д\/?
2/
Р+Vp2- 4д\/?
2/
dx
dx
[р2 > 4q; см. 2.63].
[р2 > 4q; см. 2.63].
2.2.dxж2 + р2)^1/2dxж2 + р2)^1/2
2.
2.
dx
ж2 + р2)^1/2
dx
ж2 + р2)^1/2
(ск — p)(t + 1) dt
3.
(ах + р) dx(р +Х)тХх/2
a f du
a J (р + а2)т
2ра ™ ab f (1 — аи2^ 1 du
2а J\
р + с ™ apuz\4а/
Ь + 2ах 2UX1/2 ’
см. 2.15, 2.17
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
3. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
3.1. Интегралы вида |/(еож)^ж.
ax i 1 ax
e dx = — e a
Ьж
Г dx = — In b
dxеаж + b
dx
10.
-- dt
■ ж In 6\ j
e ) dx
Vb
Vb
1
ab
In (e^+6)].
Ьеаж + ce~ax
1
—= arctg
1
In
axV-bc
eax x
dx
dx
Vb + сеаж
2 1. ax
= — In ch —.
a
2
= In
Vb + сеаж
b
2
-= arctg
Vb + сеаж + Vb
Vb ceax
b
\t = eax\.
0, b^v
0, b^v
[be > 0].
[be < 0].
[6 > 0].
[6 < 0].
3.2. Интегралы
p ax i
x e dx.
1 I P ax ДP ax P I 1 ax Д
1. x e dx = — x eж e dx.
Ja- d J
e ax dx =
ИГ»
(n - p^n - p - 1) . . . (1 - p)
— ax n™ 1
4.
fc=O
p)(n - p - 1) . . . (1
-p - ky
n ax jax
x e dx = e
fc n(n - 1) . . . (n -
xfe=i
ax f1 \
\ aaz I
aW
7.
Р^х^е
dx
ЕР
ак
dkdxk
Г(ж),
где Р(х) — многочлен степени т.
f еаж
Интегралы вида dx. J хР
г еаж1.dx =J жрг еаж1.dx =J жреa Ге,
г еаж
1.dx =
J жр
г еаж
1.dx =
J жр
^(р — 1)жр 1 р — 1 J жр™х
а хп 1к — 1п — 1
dx = ™е 2 7—;—г + 77 Ei (ахУхР(п ™ 1)(п — 2) . . . (п — Цхн™к (п — 1)! к 7
[а + 0].[а + 0].г еаж
[а + 0].
[а + 0].
dx = Ei (аж)
J ж
= 1пИ + £к=1= 1пИ + £к=1(ах^к”кЧГ*(ах^к”кЧГ*
= 1пИ + £
к=1
= 1пИ + £
к=1
(ах^к
”кЧГ*
(ах^к
”кЧГ*
г g2
——— dx =™ е™аж ™ 2у^га erf )[а > 0].
Интегралы вида J хре аж dx.
f е^аж dx =
J2 у a
жре аж dx = -——е аж +— жр е аж dx.
J2a2a J
„ Г 2n ,(2а.™1)!!ж2-^Ъ<-
ж e dx = x
J2a
V^1(2n™l)!!^TT, p .
4.4.2n+l -™-ax2X e2n+l -™-ax2X edx = —dx = —ж2п^ — аж22aж2п^ — аж22aЁfe=0Ёfe=0h\(n ™ ky.akx2kh\(n ™ ky.akx2k
4.
4.
2n+l -™-ax2
X e
2n+l -™-ax2
X e
dx = —
dx = —
ж2п^ — аж22a
ж2п^ — аж22a
Ё
fe=0
Ё
fe=0
h\
(n ™ ky.akx2k
h\
(n ™ ky.akx2k
Г21
. же dx =e
J2a
л |2 -аж2 >®— аж2 .\
ж е аж = — — е + -»7о е“ (Vа ж)-
J2а4аЛ/2
Г з _аал . ах + 1 —аж2
ж е ах =— е .
J2а2
г е™аж
3.5. Интегралы вида dx. J жр
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
-аж2-а?
_ dx =
хр(р—1)жР~”"^
1 —аж2 »
аж =
(2п - 1)!! 2а
2а Г
р — 1 J жр™2
^Н)^™ -2k- 1)!! okxzk ‘z" x -
(-2rzV^4!2z42
(2n - 1)!!
erf (Va ®).
f 1,
„ ,.e аж =
= ^j^e-^2 2(-1)\w - ky. акх1к"^1 + 2^- Ei (-a®2).
dx = - Ei (™аж2).
[ ™— dx =™ V^a erf (Va ж).
J ж2ж
[ ^4“ dx =- ^ Ei (-«ж2)- ®32®22’
е-(аж2 + 6ж + с) ^ж =1e(b2-4ac)/(4a)
e dt
Г -(«^+6=,+=) dx = A_ J^e^_4ac)/W/ж _6 у
J2 V aV 2Va )
4. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
1.
2.
4.1. Интегралы вида jshpжdж.
[ shp ж dx = — shp-1 ж ch ж — - [ shp”2 ж dx.
JРР J
sh2m®& = (-l)mC2™+ ^-Ц- У J Ут sh (2m — 2fc)®.
IV /2m22m т 22m_12m- 2k V7
Jfe=O
sh2m+1 X dx = У(^X.
}2A? + 1
fc=O
= — > ;—™ ch (2m — 2k + 1)ж.
22m 2m 2k + 1 k1
k=0
= ch ж.
sh2 ж dx = ™ sh 2ж — ™.
42
sh3 ж dx = — | ch ж + ™ ch Зж = — ch ж + ™ ch3 Зж.
sh4 x dx = - ж — ™ sh 2ж + ™ sh 4ж =8432
4.2. Интегралы вида
dxch ж
shp ж Ж (p-l)shp
dx
ch ж
2m — 1
1 sh2"1”1
k-i
3.
f dx
J ^+T
fc=i
ch ж
2m
k=i
4.
33 ,,1 , з ,
- ж — - sh ж ch ж + - sh ж ch ж.
dx
shp ж
p ™ 2 f dx
p 1 J shp™2
2k(m - l)(m - 2) (m - ft) gh2fc-2m+i (2m — 3)(2m — 5) . . . (2m — 2k ™ 1)
1
sh2m
fc^i (2m ™ l)(2m - 3) . . . (2m -2/^ + 1)2k™2m 1
2fc(m — l)(m — 2) . . . (m — k) S
(2m^l)!!
J (2m)!!
In th ™ .
2
dx ,, ж
-— = In th — sh ж~
2
1 . ch ж — 1
= — In
2 ch ж + 1
5.
6.
7.
dxsh2 жdxsh3 жdxsh4 ж
— cth ж.
ch ж
2 sh2 ж
— - cth3 ;
3
1 ,, ж
In th — .
2
+ cth ж.
2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
1.
2.
3.
4.
5.
4.3. Интегралы
вида |chp ж dx.
chp ж dx = — sh ж chp
P
v ™ Гт ж
। X UX —„
22m
ch2m+1 ж dx = У2 k = 0
P ™ 1
P
1
1 2 ж dx.
i k
2m
22m1 2m ™ 2k k = 0
ch (2m — 2А;)ж.
2k + 1
sh2fc+1
.Qjm+l.
2m ™ 2k + 1 k=0
ch ж dx = sh ж.
sh (2m — 2k + 1)ж.
2,1 . _ Ж
i жаж = -зЬ2ж +-. 42
з311 з
i ж б?ж = - sh ж + — sh Зж = sh ж + - sh ж.
4,333
i x dx = - ж +™ sh 2ж+™ sh 4ж =- ж+- sh ж ch ж+™ sh ж chж.
8432884
4.4. Интегралы вида
dx
chp ж
dx d^"
,sh ж
dx =
(p — 1) chp sh ж
dx
chp ж
p ™2 f dx
p ™ 1 J chp”2ж
dx
ch2m+1 ж
1
2m - 1 ch2"1”1
k=i
2k(m — l)(m — 2) . . . (m — k)
(2m - 3)(2m - 5) . . . (2m - 2k - 1)
sh ж Г 1
2^T [_ch2m x + ^
dx_ж
—— = arctg sh ж = 2 arctg e . ch ж
dx .
—5— = th ж.
ch ж
^2Ь-2т+1
(2m - l)(2m - 3) . . . (2m - 2k + 1)
2k(m — l)(m — 2) . . . (m — Ц
x ch2fc™2m
(2m-1)!!+ ,
/„ xM arctg sh x. (2m)!!
6.
7.
dxch3 жdxch4 ж
sh ж 1.
1— arete; sh ж.
2 ch2 ж 28
— - th ж + th ж.
4.5. Интегралы вида зЬржсЬ9ж^ж.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
- p , g , shp+1 ®ch9 1 ® q - 1 f p g_2
str ch4 ж dx =1str ж ch4 ж dx.
p^q p + q]
shp 1 жch9+1ж
PTqshp-1жch9+1жq +1shp+1жch9”1жp + 1shp+1жchg+1жp + 1
[ shp 2 ж ch9 ж dx.
p + q J
f shp”2 ж ch9+2 ж dx.
9 + 1 J
[ shp+2 ж ch9^2 ж dx.
p+ 1 J
EdzJLzL^ f shp+2 ж ch9 ж dx.
P + 1 J
shp+1 ж ch9+1 ж p + g + 2 f+2
к - sir ж ch9 xdx.
9+19+1 J
2n i
i жаж =
shp+1 ж Г 2n-l
ch
2n + p [
y-1(2n - l)(2n - 3) . . . (2n - 2fe + 1) ch2n-2fc-i
(2n Pp - 2)(2n + p — 4) . . . (2n Pp - 2k) C
(2n- 1)!!
(2n + p)(2n + p - 2) . . . (p + 2)
shp ж dx [p Ф -2, —4, . . . , -2n].
8.
shp+1ж
ch2n
2n + p + 1 |_
2kTiAji — 1) . . . (n — k + 1)
(2n + p — l)(2n + p — 3) . . . (2n + p — 2k + 1)
ch2n™2^
[p^—1, —3,, —27i — 1].
9.
2n , p , chp+1 X " i ж ch^ ж dx = i
sh2n™x
2n + P L
^ рср№^р^sh2"-2^1
^ (2n + p — 2)(2n + p — 4) . . . (2n + p — 2k) S
(-1П2П-1)!!
(2n + p)(2n + p - 2) . . . (p + 2)
chp x dx [p -2, -4, . . . , —2n].
sh2n+1 X chp X dx = -®
sh2n
2n + p + 1 [
V^ (™2)kn(n — 1) . . . (n ™ k г 1) s^2n™2k
(2n + p ™ l)(2n + p — 3) . . . (2n + p 2k + 1) S
[p Ф — 1, — 3, . . . , — 2n — 1].
11.
Г ., ,,сЬ(а + 6)ж ch(a —6)ж
sh ах ch ох ах = —;1;——.
J2(а + 6)2(а - Ь>
12.
[ sh ж ch ж dx = - ch 2ж.
J4
13.
[ sh ж chp х dx = —-— chp+1 ж.
Jp + 1
14.
[ sh2 ж ch2 ж dx = — — + —- sh 4ж.
J832
15.
sh2 ж ch3 ж dx = - sh3 ж ch2 ж + ™ sh3 x.
J515
16.
sh2 ж ch4 ж dx = — — sh 2ж + ™ sh 4ж Hsh 6ж.
J166464192
17.
sh3 ж ch2 ж dx = - sh2 ж ch3 ж— ch3 ж.
J515
18.
f sh3 ж ch8 x dx = - sh6 x + sh4 x = — ch6 x — 4 ch4 x.
J6464
19.
[ sh3 ж ch4 ж dx = - sh2 ж— sh2 ж ch5 ж.
J735
20.
sh4 ж ch2 ж dx = —— sh 2ж — sh 4ж H ^ sh 6ж.
J166464192
21.
[ sh4 ж ch3 ж dx = ™ ch2 ж + ™ sh5 ж ch2 ж.
J735
22.
f 1 4 1 4*Зж11
J1281281024
23.
Г .. ,.,сЬ(а + 6 + с)ж ch( —а + 6 + с)ж
J4(a + 6 + c)4(^a + 6 + c)
ch (a — 6 + с)жch (a + b — с)ж
4(a — b + c)4(a + b — c) '
24.
Г .. ,.,зЬ(а + 6 + с)ж sh(—а + 6 + с)ж
J4(a + 6 + c)4(™a + 6 + c)
sh (a — b + с)ж sh (a + b ™ с)ж
4(a — b + c)*4(a + b ™ c) '
25.
Г .. ,.,сЬ(а + 6 + с)жch(—а + 6 + с)ж
sh аж ch ox ch ex dx = —h
J4(a + 6 + c)4(-a + 6 + c)
ch (a — 6 + c)x ch (a + 6 — c)® +4(a*4(a_ c)
26.
f .1 ,,,зЬ(а + 6 + с)ж sh( —а + 6 + с)ж
ch ax ch bx ch ex dx = —™;;177;xк
J4(a + 6 + c)4(-a + b + c)
4.6. Интегралы вида4.6. Интегралы видаshp ж dx.ch4 жshp ж dx.ch4 жsh (а — b + с)ж sh (а + b — с)ж + 4(а+ с) + 4(а_ с)
4.6. Интегралы вида
4.6. Интегралы вида
shp ж dx.
ch4 ж
shp ж dx.
ch4 ж
shp ж1 shp 1 ж р — 1 Г shp 2 ж .
-—— ах =—;——- ах
ch4 ж р — q ch9 ж р — q J ch9 ж
2.2.3.3.1 shp+1жq ™ 1 ch9™1ж1 sh^1q 1 ch9™11 shp+1жq ™ 1 ch9™1ж1 sh^1q 1 ch9™1p — q 4- 2 f shp жp — q 4- 2 f shp ж4.4.shp ж ,—оаж =ch2n жshp ж ,—оаж =ch2n жshp+1жshp+1жq J ch9™2p ™ 1 fshp™2ж— 1 J ch9™2ж1q J ch9™2p ™ 1 fshp™2ж— 1 J ch9™2ж1dx.dx.dx.dx.k=ik=i5.5.fc=ifc=i6.6.7.7.8.8.9.9.2n - 12n - 1ch2"™1ch2"™1(2n ™p™ 2)(2n -p-4) . .. (2n ^p^2k)2k^2n+1(2n — 3)(2n — 5) . . . (2n — 2k — 1) C3(2n -p- 2)(2n - p - 4) . . . (-p У 2)(-p)(2n-l)!!(2n ™p™ 2)(2n -p-4) . .. (2n ^p^2k)2k^2n+1(2n — 3)(2n — 5) . . . (2n — 2k — 1) C3(2n -p- 2)(2n - p - 4) . . . (-p У 2)(-p)(2n-l)!!, shp+1жаж = 2n, shp+1жаж = 2n1 d?"1 d?"( — l)k(2n — p — l)(2n — p — 3) . . . (2n — p — 2k + 1)( — l)k(2n — p — l)(2n — p — 3) . . . (2n — p — 2k + 1)2fc(n — l)(n — 2) . . . (n — k)2fc(n — l)(n — 2) . . . (n — k)ch2^2nch2^2n(2n —(2n —p — l)(2n — p — 3) . . . (3 — p)(l — p) p shp ж , ch жp — l)(2n — p — 3) . . . (3 — p)(l — p) p shp ж , ch ж2htiA2htiASh2m;ch жSh2m;ch жk = lSh2m+1 X , v—Cda: = zch жk = lSh2m+1 X , v—Cda: = zch жsh2m+1 ch2" жsh2m+1 ch2" ж/i \m-Vk-—Лsh2^™1 ж + (—l)m arctg sh ж.2лс — 1/i \m-Vk-—Лsh2^™1 ж + (—l)m arctg sh ж.2лс — 1fe=ife=i2k2ksh2fcsh2fc+ (™l)m In ch Ж = У2 ^^m ch2fc ж + ( —l)m In ch Ж. k = l'm /1 \ m-Vk z-ikdx = V 4^Ch2p 2-’11 X.^ 2k - 2n + 1k=O+ (™l)m In ch Ж = У2 ^^m ch2fc ж + ( —l)m In ch Ж. k = l'm /1 \ m-Vk z-ikdx = V 4^Ch2p 2-’11 X.^ 2k - 2n + 1k=Osh2m+4 ,—5—ri— dx =sh2m+4 ,—5—ri— dx =
2.
2.
3.
3.
1 shp+1ж
q ™ 1 ch9™1ж
1 sh^1
q 1 ch9™1
1 shp+1ж
q ™ 1 ch9™1ж
1 sh^1
q 1 ch9™1
p — q 4- 2 f shp ж
p — q 4- 2 f shp ж
4.
4.
shp ж ,
—оаж =
ch2n ж
shp ж ,
—оаж =
ch2n ж
shp+1ж
shp+1ж
q J ch9™2
p ™ 1 fshp™2ж
— 1 J ch9™2ж
1
q J ch9™2
p ™ 1 fshp™2ж
— 1 J ch9™2ж
1
dx.
dx.
dx.
dx.
k=i
k=i
5.
5.
fc=i
fc=i
6.
6.
7.
7.
8.
8.
9.
9.
2n - 1
2n - 1
ch2"™1
ch2"™1
(2n ™p™ 2)(2n -p-4) . .. (2n ^p^2k)2k^2n+1
(2n — 3)(2n — 5) . . . (2n — 2k — 1) C3
(2n -p- 2)(2n - p - 4) . . . (-p У 2)(-p)(2n-l)!!
(2n ™p™ 2)(2n -p-4) . .. (2n ^p^2k)2k^2n+1
(2n — 3)(2n — 5) . . . (2n — 2k — 1) C3
(2n -p- 2)(2n - p - 4) . . . (-p У 2)(-p)(2n-l)!!
, shp+1ж
аж =
2n
, shp+1ж
аж =
2n
1 d?"
1 d?"
( — l)k(2n — p — l)(2n — p — 3) . . . (2n — p — 2k + 1)
( — l)k(2n — p — l)(2n — p — 3) . . . (2n — p — 2k + 1)
2fc(n — l)(n — 2) . . . (n — k)
2fc(n — l)(n — 2) . . . (n — k)
ch2^2n
ch2^2n
(2n —
(2n —
p — l)(2n — p — 3) . . . (3 — p)(l — p) p shp ж , ch ж
p — l)(2n — p — 3) . . . (3 — p)(l — p) p shp ж , ch ж
2htiA
2htiA
Sh2m;
ch ж
Sh2m;
ch ж
k = l
Sh2m+1 X , v
—Cda: = z
ch ж
k = l
Sh2m+1 X , v
—Cda: = z
ch ж
sh2m+1 ch2" ж
sh2m+1 ch2" ж
/i \m-Vk
-—Лsh2^™1 ж + (—l)m arctg sh ж.
2лс — 1
/i \m-Vk
-—Лsh2^™1 ж + (—l)m arctg sh ж.
2лс — 1
fe=i
fe=i
2k
2k
sh2fc
sh2fc
+ (™l)m In ch Ж = У2 ^^m ch2fc ж + ( —l)m In ch Ж. k = l
'm /1 \ m-Vk z-ik
dx = V 4^Ch2p 2-’11 X.
^ 2k - 2n + 1
k=O
+ (™l)m In ch Ж = У2 ^^m ch2fc ж + ( —l)m In ch Ж. k = l
'm /1 \ m-Vk z-ik
dx = V 4^Ch2p 2-’11 X.
^ 2k - 2n + 1
k=O
sh2m+4 ,
—5—ri— dx =
sh2m+4 ,
—5—ri— dx =
m (-1 xm-Vk
2k ™ 2n
m / 1 \ m + fc
10.10.C^ch^^x
10.
10.
^ 2k-2n m
k=O
11.11.12.12.sh ж ,—dx = ™chp жshp ж , dx =chp+2жsh ж ,—dx = ™chp жshp ж , dx =chp+2ж11(p — 1) chpthp+1 p +1(p — 1) chpthp+1 p +1
11.
11.
12.
12.
sh ж ,
—dx = ™
chp ж
shp ж ,
dx =
chp+2ж
sh ж ,
—dx = ™
chp ж
shp ж ,
dx =
chp+2ж
1
1
(p — 1) chp
thp+1 p +1
(p — 1) chp
thp+1 p +1
sh ж ,1,
—— аж = In ch ж.
ch ж
sh2 ж ,.,
—dx = sh ж — arctg sh x. ch ж
15.
f sh ж_ ]n ch ж
J ch ж2
16.
Г sh4 х .11
—:dx = ™ sh х — sh х + arctg sh x.
J ch ж3
17.
f sh ж ,1
—™ dx =.
J ch жch ж
fsh2 ж ,.
18.
I —5— dx = x ™ th ж.
J ch ж
fsh3 ж ,.1
19.
I —z— dx = ch x 4—■—.
J ch жch ж
fsh4 ж ,31 ..
20.
—5— dx =ж + ™ sh 2ж + th ж.
J ch2 ж24
f sh ж ,
21.
—~— dx = - th" ж.
J ch3 ж2
f sh2 ж ,sh ж1,
22.
—о— dx =51— arctg sh ж.
J ch3 ж2 ch2 ж 28
23.
fdx = — i th2 ж + In ch ж.
J ch3 ж2
f sh4 ж ,.sh ж3.
24.
J ch3 ж2сЬ2ж 28
25.
Г зЬж1
J ch4 x '3 ch3 ж
26.
f sh2 ж1 з
J ch4 X3
27.
fsh3 ж ,11
—5— dx = — 1о—•
J ch жch ж 3 ch ж
28.
f sh4 ж ,1131
—т— аж = — - th ж ™ th ж + ж.
J ch ж3
Интегралы вида—;—dx.
J shp х
1.2.3.4.1.2.3.4.Г ch9 х_1ch9-1хq —1 Гch9-2 x
1.
2.
3.
4.
1.
2.
3.
4.
J shp xЖq™p shp-1xq —p Jshp x $
1ch9+1 x q - p + 2 [ ch9 x .
p—1shp 1 xp —1J shp 2 x
1ch9”1 x 9 - 1f ch9-2 x .
p — 1 shp 1 ж p — 1 J shp 2 x
f chp ж_ chp+1 ж Г 1
J=sh2”"^ +
k (2n - p - 2)(2n - p - 4) . . . (2n - p - 2fe) gh2fc-2n+i (2n - 3)(2n - 5) . . . (2n - 2fe - 1) S
/ . xП (2n — p — 2)(2n - p - 4) . . . (-p + 2)(-p)
'(2n —1)!!
6 А.Ю. Брычков и др.
5.5.f chp ж , chp+1 ж Г 1
5.
5.
Ьь2п+1ж2и |sh2nx
k (^n-^P^^M^lZ^^h2k"2n -
2k(n — l)(n — 2) . . . (n — k)S Ж
n (2n™p™ l)(2n - p - 3) . . . (3 - p)(l - p) f chp ж
7.
[ sh® d« = ^L 2k + lnisM = 5 2Д sh ® + 1гфИ.
Jfc=lk=l
8.
f Д-m+l ж0 k2fc™2n + l
J sh2 ж^ 2fc - 2n + 1
9.
f к2т+1m
dx = V^~ g|12fc™2n0П |n I g^ ж|[n m],
J sh2 +1 ж^ 2k - 2nij
10.
[n > m\.
^^2fc — 2n2k ™2n8^^2fc — 2n2k ™2n8
^^2fc — 2n
2k ™2n8
^^2fc — 2n
2k ™2n8
fc=0
f ch ж ,1
11.
J shp ж(p — 1) shp-1 ж
12.
[,f dx =— cthp+1 ж.
J shp+2 жp + 1
13.
f ^-^ dx = In I sh ж|.
J 8Ьж
fch2 ж ,,1 . ж I
14.
—dx = ch x + In th — .
J sh ж12 1
15.
f chx = 12|nI
J зЬж211
16.
f ch4 ж ,1,31i I i ж I
—аж = - ch x + ch ж + In th — .
J зЬж3121
17.
f ch ж ,1
dx =.
J sh xsh ж
f ch2 x
18.
—5— аж = ж ™ cth x.
J sh x
19.
fch3 ж ,11
—у— аж = sh ж—.
J sh жзЬж
fch4 ж ,31 ..
20.
—— dx = - ж + - sh 2ж — cth ж.
J sh2 ж24
f ch ж ,1
21.
—о— dx = — cth ж.
J sh3 ж2
Г ch2 ж ,ch ж ili^l
22.
J sh3 ж2 sh2 ж12 1
23.
f ch3 ж ,1мill,
—о— dx = cth" ж + In sh ж .
J sh ж2
fch4 x ,,ch ж3 , M ж 1
24.
—5— dx = ch xуh - In th — .
J sh3 ж2зЬ2ж 2121
Г ch ж ,1
25.
J sh4 x3 sh3 x
fch2 ж ,
26.
—4— dx = - cth3 ж.
J sh ж3
27.
fch3 ж ,11
——— dx = —.
J sh жsh ж 3 sh x
28.
fch4 ж ,1 i з1
—4— аж = — - cth x — cth ж + x.
J sh ж3
4.8. Интегралы вида f —-—.
J srr xch4 x
1.
f dx1p + q — 2 fdx
J shpж ch9ж(p — 1) shp-1 x ch9-1 жр™1 J зЬр-2жсЬ9ж
2.
1p + q - 2 fdx
(q — 1) shp-1 x ch9™1 x ' q™l J shpж ch9™2ж
3.
P,m+n —1, x^
“Ж_V Mrkf12fc™2m + l
МММ Г- ^m M l '№1
dfc=0
4.
Гdx
J sh2m+1 x ch2n+1 x
= E2тж I ( ■lJnTC+nln|tlKr|.
q A litД гъ
5.
f = У Ц ch2^-2—1 ж + In th - .
J sh ж ch2m ж ^ 2m - 2& + 112 1
6.
f\ Л1-1 2k-2m-2, ] I i 1
J sh ж ch2m+1 x ^ 2m - 2k + 211
7.
8.
k = l
Г dx,,
9.
T= ln ^Ьж .
J sh ж ch ж
f dx11 , ж I
10.
.— = ™Цп th- .
J sh ж ch x ch ж12 1
f dx1 о,
11.
— =th2 ж + In th ж .
J sh ж ch3 ж211
f dx11„ i ж I
12.
+ln th™ .
J sh ж ch x ch x 3 ch ж12 1
13.
fdx1.
— = —arctg sh x.
J sh ж ch жsh ж
f dx
14.
———— = — 2cth2ж.
J sh xch x
f dx1sh ж31
15.
~™, оarctg sh x.
J sh2 x ch3 xsh ж 2 ch2 ж 2
f dx18 ,
16.
= о™cth2ж.
J sh ж ch ж 3 sh ж ch ж 3
IT.
f — dx =1 ^^2 ж jn Iж ,
J sh ж ch ж2
18.
fdx1ch ж3 , 1 . ж I
J sh3 x ch2 xch ж2 sh2 ж22
19.
f —о—о— = ” th2 ж — - cth2 ж — 2 In 1 th ж .
J sh3 ж ch3 ж 2211
20.
fdx21ch ж5, I . ж I
—— = —|n th ™ .
J sh3 x ch4 xch ж 3 ch3 ж 2 sh2 ж 22 1
f dx11
21.
— = —к arctg зЬж.
J sh ж ch ж sh x 3 sh ж
f dx18 ,
22.
—— =скЬ2ж.
J sh ж ch ж3 sh ж ch ж 3
23.
f dx21sh ж5,
—— =11— arctg sh x.
J sh4 x ch3 x sh ж 3 sh3 ж 2 ch" ж 2
fdx84
24.
—д4— = 8 cth 2жcth3 2ж.
J sh x ch x3
4.9. Интегралы вида
1.
2.
3.
4.
5.
6.
2п
2n+1 ж dx
1
2
—-— thp 1 ж + f thp 2 x dx.
P - 1 J
A th2"™2fc+1 x
- > iк x. 2n - 2k + 1
nth2^,,
= — > ;к ID Ch Ж.
2n™2k^2
k=i
, \kH Ь ch x. к drfc x
= In ch ж.
i2 ж dx = ж — th х.
Интегралы вида jcthpжdж.
cthp х dx =— ct^™1 x + cthp-2 x dx.
J1 J
Гn л4.к2п-2к + 1 _
f cth2n x dx = - У —- + x.
cth2n+1 x dx = — V^-—Hln|sh^|.
J2n™2P + 211
i AL
= У+ In I зЬжк
2^Psh2fc^ 11
| cth x dx = In | sh ж|.
| cth2 x dx = x — cth x.
Интегралы вида
(A + В ch x + C sh ж) dx
(a + b ch x + c sh жрр! + bi ch x + ci sh x)p
f Д + В ch ж + Csh ж , 7;—iidx =
J (a + b ch x + c sh x)n
Be — Cb + (Ac — Ca) ch ж + (Ab — Ba) зЬж1
(n — l)(a2 — b2 + c2)(a + b ch ж + c sh ж)”™1 (n ™ l)(a2 — b2 + c2)
(n — 1)(Да — Bb + Cc) — (n — 2) (Ab — Ba) ch x — (n — 2) (Ac -Ca) sh ж ^ (a + b ch x + c sh жр-1
Г 2 ।2 / 121
[a + c 70 у
2.
Be — Cb — Ca ch x — Ba sh ж (n ™ l)a(a + b ch ж + c sh ж)п
"Aa
п(ВЬ™Сс)Д,. (n ™ 1)!
(c ch x + b sh x) V77 (n™l)a2 P1 (2n™ 1)!!
p (2n - 2fe - 3)!! 1
(n — k l)!afc (a + b ch ж + c sh x)n^k
x
[a2 + c2 = b2Y
AABchxACshxCb—Bc
a + b ch x + c sh ж Ж b2 ™ с2
Bb^Cc ( ,Bb^Cc
ж + Д ™ a,
In I a + b ch x + c sh ж | +
dx
a + b ch x + c sh x
[b^e2].
c - В
e
2a
A a
(C - B^b"2a2
C + B A (C- B)b , .,
;1n а + 6e1 2b a 2a211
[6 = c].
5.
В AC
2 a,
"A
_a
"С ™ В
(ВаС)Ь
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
2Ь
2 а2
А
а
(B + Cf
2 а2
In \ а + be ж |
dx
a + b ch x + c sh x
2
Vb2 - а2 - с2
(b - a) th - + c g V62 - a2 - C2
Гк2
1
Va2 — b2 А с2
1x
= - In a + c th —
с
2
In
2
b) th ™ + c
dx
(a ch x + b sh x)
1
(Ь2 _ а2
(a — b) th ™ — с + Va2 ™ b2 A c2
(а — 6) th — — с
ЬЧГ
dx
chn (x A Arth ™
\a
dx
shn (x + Arth ™\b
AaBAxxACAxx .
:— OX =
a ch x + b sh x
A
Va2 ™ b2
2
[Ь2
arctg sh [ x + Arth —
\a
1
a,2 — b2
(С а — Bb) In ch [ х + Arth — ) + (Ba — Cb)x
A
Vb2 ™ a2
1
b2 - a2
dx
x + Arth -“
In th
2
(Cb — Ba)x + (Bb — Ca) In sh [ x + Arth у
1 Гв + с
а
2
1\В -С
а
2
1
a + b sh x Va2 + b2
2
Va2 + b2
B^C .
e ™ Ae
4
В + C 2x . Д : —™— e + Ae
In
а th ^ — b + Va2 + b2
a th — — b — Va2 + b2
a thb
Va2 + b2
Vb^^cY
■ с2; а ф 6].
■ c2; a 6].
= 6; с ф 0].
= a2+c2].
[a> |6|].
[6> l<
+
[a> |6|].
Ф> К
[a = 6].
[a =
18.
dx
1
a + b ch x Vb2 - a2
. b + a ch x arcsm—-— a + b ch x
Г/22
p > a
19.
1
Vb2 - a2
. b + a ch x arcsm-—-— a + b ch x
Vr2 2 p > a ;
20.
In
a + b + V»2 ™ b2 th —
a + b- Va2 — b2 th —
;2 >62L
21.
A + В ch x + C sh ж ^^ _В sh жC
(1 + сЬж)п ' (n — 1)(1 + ch ж)п (n —1)(1 + сЬж)
n
n — 1
(«-^ sh x Ya + ch xY"
(2n-l)!!^ (n — A: — 1)! Г + cha;)
22.
A + B ch ж + C sh ж ,„x^хсЬж —1
dx = Bx + C In (1 + ch ж) + (A - B) 1 + ch жsh ж
23.
A + B ch ж + Csh ж,В sh жС
(1—сЬж)п(n — 1)(1 — ch x)n (n — 1)(1 — ch ж)”™1
/ n\ (n — 1)!(2n — 2k — 3)!! ,xk-n
+ В - A Ash ж >(1 - ch хГ n
\n™l /(2n™l)!!1
24.
A + B ch ж + C sh ж ,„пхсЬж + 1
dx = ™Bx - Gin 1 - ch ж + (A + B)— 1 — ch жsh ж
25.
A + В ch ж + C sh жdx ™
>i ch ж + ci sh ж) (a,2 + 62 ch ж + C2 sh ж)
= Ao In
ai + bi ch x + ci sh x
02 + b2 ch X + C2 sh X
dx.
где
dx
a2 + 62 ch ж + C2 sh ж ’
ai + bi ch x + ci sh x
где
Л2 —
Oi
С В
C2 62
0.2
2"
di bi
<2'262
6i
A
C2 02
62
Ci
В
62
Л
02
С-2
61
62
Ci
С2
2
ai
a2
2 ’
Ci
С2
bl
62
2
Ui
0'2
bl
62
С2
2
2"
ci
C2
«1
«2
A ch2 ж + ВзЬжсЬж + С sh2 ж , ~~аж =
a ch ж + бзЬжсЬж + с sh ж
+ I [(A + C)b — B(a + c)] In \a ch2 ж + ЬзЬжсЬж + с sh2 ж| +
+ |(Д-С)Ь2 + |вЬ(а-с) + (Са- A<a c^
/(®) =
Vb2 - 4ac
2
V4ac — b2
2
2c th ж + 6 — VV^^4ac
2c th ж + b + Vb2 — 4ac
2c th ж + b arete; —,—
V4ac — b2
[b2 > 4ac],
2с th ж + 6
[b2 = 4ас].
AaBAxxACAxx .
7:— г OX =
sh ж (a + 0 sh ж)
1
a
A In th — + b In
A + В ch ж + C sh ж ,
—;7;—i—;— аж =
sh x (a + och ж)
1
a2 - b2
29.
30.
31.
sh ж
a + b sh x
|(Aa + Bb) In th I A (Ab™ Ba.) In
fA + B ch ж + Csh ж, В + A 1. x
7:— dx = In th —
J sh ж (1 + ch ж)22
А + ВсЬж + СзЬж _sh ж (1 ™ ch ж) Ж
В ™ A
2
In
cth™ 2
ГА + ВсЬж + СзЬж , 1—;7—x— dx =
J ch x (a + b sh ж)
2 ^ ^o I (Aa + Cb) arctg sh ж + (Ab ™ Ca) In
+ (Co. - Ab)
dx
a + 6 sh ж
a + b ch xsh x
A ™ В
4
dx
a + 6 ch ж
th2 ™AC
ch ж ™ 1sh x
A + В 2 x ch ж + 1
— cth - + C
42 sh ж
a. + b sh xch ж
dx
a + 6 sh ж
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
А + ВсЬж + СзЬжch х (а + b ch ж)
1
а
dx
a A b sh2 х
dx =
A arctg sh х — С In
1
^/ЛЬ - а)
а + b ch хch х
— 1 th х
а (а — b)\V а
1
^/а(а — 6)
= — th жа
— (АЬ — В а) ——
кa + bch
[Ь/а > 1].
[0 < Ь/а < 1] или [6/ а < 0; sh2 ж < — а/ 6].
Arcth
= —Arth (V2 th ж)
= —Arcth (V2 th ж)
[б/а < 0; sh2 ж > — а/Гр
[а = Ц.
[а = —b; sh2 ж < 1].
[а = — 6; sh2 ж > 1].
dx1 бзЬжсЬж ,. f dx
(aAbsh^x)2 2a(b — а) а + 6зЬ2жJ а + 6зЬ2ж
1/ ГТ Ц 1 А г .
—77— = —;— arctg а — 1 н cth ж\Ь а < -1 .
а + ЬсЬ2ж ^аДаАЦ \у к)
1
а(а + Ь)
1
л/а(а + Ь)
Arth
— cth ж а
[—I < b/a < 0; ch2 ж > — а/Гр
Arcth
[6/а > 0] или [—I < Ь/а < 0; ch2 ж < — а/b].
= —Arcth (V2 cth ж)
1 ,
= — cth жа
dx
(а + b ch2 ж)2
1
2а, (а, + Ь)
b sh ж ch жа + b ch2 ж
+ (2а + Ь)
t/ж 1 г Гь Г [ь . \ — = 7— arctg 4/ — th ж а + b th2 ж а. + b [ V а \ \ а )
1 Г b
гр _|_ а + 6 2aJ™ab
11 1
= — ж + — sh 2ж
2 а4а
[а = 6].
[а = —6].
dx
а + b ch2 ж
V^ab ™ b th ж
V™a-b + b th ж
\_ab > 0; а + b А 0].
[аЬ < 0; а + Ь 7^ 0].
[а + b = 0].
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1.
2.
4.12. Интегралы вида |sh (аж + 6) sh (сж + d) dx, | ch (аж + b) ch (сж + d) dж, | sh (аж + 6) ch (сж + d) dx.
J sh (аж + b) sh (сж + d) dx =
=—г sh [(а + с)ж + b + d] - ———- sh [(a - с)ж + b - d].
2(a + c)2(a — c)
| ch (аж + b) ch (сж + d) dx =
= -—^-—- sh [(a + с)ж + b + d] + ——^—? sh [(a - с)ж + b - d]. 2 (a + c)2 (a — c)
| sh (аж + b) ch (сж + d) dx =
= ——-—- ch [(a + с)ж + b + d] H;—-—- ch [(a — с)ж + 6 — d]. 2(a + c)2 (a — c)
fж1
sh (аж + b) sh (аж + d) dx = — — ch (6 — d) + — sh (2аж + b + d).
fж1
ch (аж + b) ch (аж + d) dж = — ch (6 — d) + — sh (2аж + b + d).
| sh (аж + b) ch (аж + d) dx = ™ sh (b ™ d) + ^- ch (2аж + b + d).
4.13. Интегралы вида shpжshaжdж.
| shp ж sh ах dx =
1
р + а _
shp ж ch аж — р | shp 1 ж ch (а — 1)ж dx^ .
J shp ж sh 2пж dx = 2п
shp+2ж
_ р + 2
к=х
(2fc + l)!(2fc + р + 2)
[p Ф --2, —4, . . . , —2n].
| shp ж sh (2n + 1)ж dx = (2n + 1) | shp+1 ж dж +
A [(2n + I)2l2][(2n + I)232] . . . [(2n + I)2 (2fc I)2]
x | sh2fc+p+1 ж dx .
shp ж sh (p + 2)ж dx = —shp+1 ж sh (p + 1)ж.
5.
sh 2пжsh ж
n-—1 dx = 2 ^2 fc=O
sh (2n — 2k ™ 1)ж2n ™ 2k ™ 1
sh (2n + 1)жsh жsh (2n + 1)жsh жsh (2n — 2^)x2n — 2^sh (2n — 2^)x2n — 2^
sh (2n + 1)жsh ж
sh (2n + 1)жsh ж
sh (2n — 2^)x
2n — 2^
sh (2n — 2^)x
2n — 2^
n — 1
dx = 2
fc=O
sh 2ж shn x
dx = —-— sh2 n x
2 — п
[n + 2].
dx = 2 In | sh x |. sh x
зЬЗж ,,
—dx = sh 2ж + x. sh x
_ _ sh Зж ,„ ,I , x I
10.—— dx = 4 ch ж + 3 In th — .
J sh xI 2 I
sh Зж ,.,
—л— dx = 4ж — 3 cth x.
sh x
Интегралы вида shp ж ch аж с/ж.
1.2.3.1.2.3.| shp x ch ax dx =| shp x ch ax dx =11shp x sh аж — pp + a [Jshp x sh аж — pp + a [Jshp 1 x sh (а — 1)ж dx .shp 1 x sh (а — 1)ж dx .| shp x ch 2пж dx =| shp x ch 2пж dx =22fcn2(n2I2). . Jn2 (+I)2]22fcn2(n2I2). . Jn2 (+I)2]fc=ishp x ch (2n + 1)ж dx = -J1fc=ishp x ch (2n + 1)ж dx = -J1W\W\11shp+1x +shp+1x +
1.
2.
3.
1.
2.
3.
| shp x ch ax dx =
| shp x ch ax dx =
1
1
shp x sh аж — p
p + a [J
shp x sh аж — p
p + a [J
shp 1 x sh (а — 1)ж dx .
shp 1 x sh (а — 1)ж dx .
| shp x ch 2пж dx =
| shp x ch 2пж dx =
22fcn2(n2I2). . Jn2 (+I)2]
22fcn2(n2I2). . Jn2 (+I)2]
fc=i
shp x ch (2n + 1)ж dx = -
J1
fc=i
shp x ch (2n + 1)ж dx = -
J1
W\
W\
1
1
shp+1x +
shp+1x +
k=ik=i4.4.[n + 1, 3].[n + 1, 3].2fc+p+l
k=i
k=i
4.
4.
[n + 1, 3].
[n + 1, 3].
12.12.ch Зж sh3 жch Зж sh3 жdx = — ™ cth2 ж + 4 In | sh ж |.dx = — ™ cth2 ж + 4 In | sh ж |.
12.
12.
ch Зж sh3 ж
ch Зж sh3 ж
dx = — ™ cth2 ж + 4 In | sh ж |.
dx = — ™ cth2 ж + 4 In | sh ж |.
Интегралы вида chp жshаж с/ж.
chp ж sh ах dx =chp ж sh ах dx = chp ж ch ax p + a _ chp ж ch ax p + a _+ p chp 1 x sh (а — 1)ж dx+ p chp 1 x sh (а — 1)ж dx
chp ж sh ах dx =
chp ж sh ах dx =
chp ж ch ax p + a _
chp ж ch ax p + a _
+ p chp 1 x sh (а — 1)ж dx
+ p chp 1 x sh (а — 1)ж dx
4.4.chp x sh (p + 2)ж dxchp x sh (p + 2)ж dx-— chp+1 x ch (p + 1)ж.-— chp+1 x ch (p + 1)ж.
4.
4.
chp x sh (p + 2)ж dx
chp x sh (p + 2)ж dx
-— chp+1 x ch (p + 1)ж.
-— chp+1 x ch (p + 1)ж.
j chp x sh 2пж dx =
Гchp+2 ЖA (n - l2)(n2 - 22) . . . (n2 - fe2) , 2fe+p+2
[ p + 2^(2fe + 1)! (2fe + p + 2)
[p ^ —2, —4, . . . , —2n].
f chp ж sh (2n + 1)ж dж = -—chp+1 ж +(—l)n k x
JP + 1
5.5.sh 2пжch xsh 2пжch xchp ж sh ax + pchp ж sh ax + px ch (a — 1)x dx .x ch (a — 1)x dx .
5.
5.
sh 2пжch x
sh 2пжch x
chp ж sh ax + p
chp ж sh ax + p
x ch (a — 1)x dx .
x ch (a — 1)x dx .
Vch (2n - 2^ - 1)ж.2n - 2^ - 117
fc=O
f —dx = 2 V Уch (2n - 2Л)ж + (-1)" In ch ж.
Jch ж^2n-2k v ' v ’
Jk=0
Г зЬ2ж2
7' J^f,:C ^СЬ "[^2b
f зЬ2ж ,,
—— dx = 2 In ch x.
J ch x
— dx = cli xch1 xn^ 1, 3 .
J ch ж 3 — n1 — n
_ f sh Зж ,_ . 9,.
—:dx = 2 sn x ™ In ch x.
J ch x
f sh Зж ,12, ., ,
—5— dx = — th ж + 4 In ch ж.
J ch3 x2
Интегралы вида с11ржсЬаж^ж.
j chp ж ch (2n + 1)ж dx = ( —l)n(2n + 1) | j chp+1 x dx + ^^C-1)^ [(2n + I)2 - l2][(2n + I)2 - 32] ... [(2n + I)2 - ^k - l)2] Г 2,+p+i
X(2fe + l)!J
chp x ch (p + 2) ж dx = —-— chp+1 ж sh (p + 1)ж.
Jp + 1
[^^(/ж = 2У—Уsh (2n — 2^ — 1)ж + arcsin th x.
Jfc=O
f сЬ(2п + 1)ж ,_ v4 l)fc .
^ = 2£A_^sh(2n_2fc)a; + (_1) ж
Jfc=O
f ch 2ж , o 1
—dx = 2 sh x — arcsin th x.
J ch x
f сЬ2ж ,1„
—~— dx = — th x + 2ж.
J ch2 x
f сЬ2ж , sh ж 3.,
J ch®2ch2®2
л f сЬЗж ,,
—dx = sh 2ж — x.
J ch x
г (^ti 3 x
—dx = 4 sh ж 3 arcsin th x.
J ch x
—dx = 4ж — 3 th x.
J ch x
4.17. Интегралы вида4.17. Интегралы вида
4.17. Интегралы вида
4.17. Интегралы вида
1.2.1.2.Vth ж dx = Arth Vth ж — arctg Vth ж .
1.
2.
1.
2.
Vcth ж dx = Arcth Vcth ж — arctg Vcth ж .
Интегралы вида jжpsh9жc/ж.
[ жр sh9 ж dx = — sh9-1 ж ch ж —— sh9 ж +
+f жр™2 sh9 x dx ™ f xp sh9™2 x dx.
f жт sh2n $d$ = ГГ^Гжт+1 +
жт ch (2n — 2^)ж dx.жт ch (2n — 2^)ж dx.+ ^tEh№
жт ch (2n — 2^)ж dx.
жт ch (2n — 2^)ж dx.
fc=0
4.
x^xdx = —— V(-2n + 1 ^-
fc=O
х / sh^z^
\ 2п — 2^
fe (2n + 1)(2п - 1) . . . (2п ™ 2^ + 1)
2fc+1n(n — 1) . . . (п — &)
.12n —2fc —11
+ Ж shЖ СП Ж
(2п - 1)!! ж2 (2n)!! Т
ж sh2n+1 ж dx =
1v^ /чк ^^п + 1)п . . . (п — & + 1)
n + 1' (2n + 1)(2п - 1) . . . (2п ™ 2^ + 1)
sh^"2^1 ж
2п - 2^ + 1
+ Ж8112п 2кжс1зж
жр sh ж dx = жр ch ж — р жр 1 ch ж dx.
гГ™2fe+i ■
ж2п sh ж dx = (2п)! V^ , ch ж — V^ —ZубЬж
j ж2"+1 sh ж dx = (2п + 1)! У [(2fc + 1)! ch ж " ^fey, sh ж
ж sh ж dx = ж ch ж — sh ж.
| ж2 sh ж dx = (ж2 + 2) ch ж — 2ж sh ж.
ж" sh2 ж dx = +
J2(n + 1)
Г[п/2][(г^1)/2] тп^к™Х'
Tl!ЖЖ—Лж
4 22fc(п — 2^)!22fc+1(n2^1)!
Г ж sh2 ж с/ж = — sh 2ж ™ — ch 2ж — —. J484
[ ж2 sh2 ж dx = у Гж2 + sh 2ж — ™ ch 2ж — —.
J4 V 2 У 46
жп sh3 ж dx = ™ V^ ™ |— 3 ch ж ) ™
n! 1(п уУ ж"-2*-1 /зЬЗж4 у^ (п - 2fe - 1)! (з2<:+2
— 3 sh ж |.
I ж sh3 ж dx = ™ sh ж sh Зж — у ж ch ж —™ ch Зж.
J436412
16.
ж2 sh3 ж dx = —
ch ж +
ch Зж +
с хр
Интегралы вида —dx.
J sh9 х
f хррхр~гхрch ж
J shQ ж 1 (q — 1)(q — 2) shQ 2 ж (q — 1) sh^ 1 ж
р(р - 1)f хр™2q - 2 f хр
(q - l)(q - 2) J sh""2 x9 - 1 J sh»"2 x
Гx^^ 2k+p
[|ж| < тг; p > 0].[|ж| < тг; p > 0].x2k+p^lx2k+p^lJ sh® ® E (2fe)!(2fe+ p) Ж
[|ж| < тг; p > 0].
[|ж| < тг; p > 0].
x2k+p^l
x2k+p^l
™P00n2fc о
3.3.d$ =cth ж + p E ЛмШкТ^Г)
3.
3.
[|ж| < тг; p > 1].
4.4.sh2nsh2nk = lx ch xgh^"2^1жk = lx ch xgh^"2^1жk 2n(2n — 2) . . . (2n — 2k + 2)(2n - l)(2n - 3) . . . (2n ™ 2^ + 1)k 2n(2n — 2) . . . (2n — 2k + 2)(2n - l)(2n - 3) . . . (2n ™ 2^ + 1)1(2n - 2k) sh2n™2fc x1(2n - 2k) sh2n™2fc x(2n — 2)!! Г x , "7\77 7 dx(2n — 1)!! J sh2 x(2n — 2)!! Г x , "7\77 7 dx(2n — 1)!! J sh2 x6.6.dx =dx =112n + 1 ^2n + 1 ^k (2n + l)(2n1) . . . (2n ™ 2^ + 3)2n(2n — 2) . . . (2n — 2^ + 2)k (2n + l)(2n1) . . . (2n ™ 2^ + 3)2n(2n — 2) . . . (2n — 2^ + 2)x ch xg|^2n™2fe + 2x ch xg|^2n™2fe + 21(2n^2T+T)sh2;;T2^+T1(2n^2T+T)sh2;;T2^+T+ ((2n)!l J sh®+ ((2n)!l J sh®ж2^22fcзЬж Ж ^(2^)!(2^ + l)ж2^22fcзЬж Ж ^(2^)!(2^ + l)B,kx^B,kx^[|®| < тг].[|®| < тг].
4.
4.
sh2n
sh2n
k = l
x ch x
gh^"2^1ж
k = l
x ch x
gh^"2^1ж
k 2n(2n — 2) . . . (2n — 2k + 2)
(2n - l)(2n - 3) . . . (2n ™ 2^ + 1)
k 2n(2n — 2) . . . (2n — 2k + 2)
(2n - l)(2n - 3) . . . (2n ™ 2^ + 1)
1
(2n - 2k) sh2n™2fc x
1
(2n - 2k) sh2n™2fc x
(2n — 2)!! Г x , "7\77 7 dx
(2n — 1)!! J sh2 x
(2n — 2)!! Г x , "7\77 7 dx
(2n — 1)!! J sh2 x
6.
6.
dx =
dx =
1
1
2n + 1 ^
2n + 1 ^
k (2n + l)(2n1) . . . (2n ™ 2^ + 3)
2n(2n — 2) . . . (2n — 2^ + 2)
k (2n + l)(2n1) . . . (2n ™ 2^ + 3)
2n(2n — 2) . . . (2n — 2^ + 2)
x ch x
g|^2n™2fe + 2
x ch x
g|^2n™2fe + 2
1
(2n^2T+T)sh2;;T2^+T
1
(2n^2T+T)sh2;;T2^+T
+ ((2n)!l J sh®
+ ((2n)!l J sh®
ж2^22fc
зЬж Ж ^(2^)!(2^ + l)
ж2^22fc
зЬж Ж ^(2^)!(2^ + l)
B,kx^
B,kx^
[|®| < тг].
[|®| < тг].
8.9.1.2.8.9.1.2.xx ch x—5— dx =■—sh3 x2 sh2 xxx ch x--------— dx =-—5—sh4 x3 sh3 xxx ch x—5— dx =■—sh3 x2 sh2 xxx ch x--------— dx =-—5—sh4 x3 sh3 xk ^ n / 2k ^ n / 2
8.
9.
1.
2.
8.
9.
1.
2.
xx ch x
—5— dx =■—
sh3 x2 sh2 x
xx ch x
--------— dx =-—5—
sh4 x3 sh3 x
xx ch x
—5— dx =■—
sh3 x2 sh2 x
xx ch x
--------— dx =-—5—
sh4 x3 sh3 x
k ^ n / 2
k ^ n / 2
—?— dx = ™x cth ж + In I sh ж|.
J sh2 x
11 f ж ,
—: — dx.
2 sh x 2 J sh x
1 2ж ,2, , , ,
p ! 2+ cth ж ™ ™ In I sh ж|.
6 sh ж 33
Интегралы вида——™—.
J sn X
f dxpch x
J xp sh9 x (q — 1)(q — 2)жр+1 sh9-2 ж (q — 1)жр sh9-1 ж
Q - 2 f dxp^p +1) f dx
q ™ 1 J xp sh9™2 ж(q — 1)(q — 2) J ж^+2 sh9-2 ж
f dx r z xni2n™T™l „ , , ,2-22fc„ 2fc^n
^77—1 ' i ') iBnln ® + V 7777777;7 B2hx
[|ж| < тг; n ^ 1].[|ж| < тг; n ^ 1].J жп811жn!{2k)\[2k — n)
[|ж| < тг; n ^ 1].
[|ж| < тг; n ^ 1].
3.3.dxxH sh2 xdxxH sh2 xcth x p . n, 2 n
3.
3.
dx
xH sh2 x
dx
xH sh2 x
ОС
®n+1^0(2k)!(2k-n-l) Ж
fc/(n + l)/2
Интегралы вида жрсЬ9жс/ж.
1.1.xp ch9 x dx = -— sh ж ch9qxp ch9 x dx = -— sh ж ch9qP®P 1 1 9,ж— ch4 x +q2P®P 1 1 9,ж— ch4 x +q2fcTL^ch^dx + i^lq JqfcTL^ch^dx + i^lq Jq2 x dx.2 x dx.2.2.2n ji x dx =2n ji x dx =C^nC^n22n(m + 1)22n(m + 1)fc=0fc=0xm ch (2n — 2^)ж dx.xm ch (2n — 2^)ж dx.xm ch2n+1 x dx = ^^ У2 ^2n+i ж™ ch (2n — 2k + 1)ж dx. Jfe=0Jxm ch2n+1 x dx = ^^ У2 ^2n+i ж™ ch (2n — 2k + 1)ж dx. Jfe=0J4.4.„ chI, т =1^ (2„,)(2„>)(2„ 21+П2n + 12fc+1n(n — 1) . . . (n — k)„ chI, т =1^ (2„,)(2„>)(2„ 21+П2n + 12fc+1n(n — 1) . . . (n — k)Ch ^ Ж,, 2n-2fc-l— + x sh x ch2n 2k 12n - 2kCh ^ Ж,, 2n-2fc-l— + x sh x ch2n 2k 12n - 2k(2n - 1)!! ж2(2n)!! Г(2n - 1)!! ж2(2n)!! Г5.5.i 2n+i ,1 v^ 2fc(n + l)n . . . (n ™ k + 1)n + 1(2n + l)(2n — 1) . . . (2n — 2k + 1)/ pi-,2n™2fc + l\x Ih x sh x ch ж ).V 2n - 2k + 1Ji 2n+i ,1 v^ 2fc(n + l)n . . . (n ™ k + 1)n + 1(2n + l)(2n — 1) . . . (2n — 2k + 1)/ pi-,2n™2fc + l\x Ih x sh x ch ж ).V 2n - 2k + 1J6.6.xp ch x dx = xp sh ж — p жр 1 sh ж dx.xp ch x dx = xp sh ж — p жр 1 sh ж dx.ГГ ”2fe + l■ж2п ch x dx = (2n)! V^ / , x. sh ж — V^ — ch жГГ ”2fe + l■ж2п ch x dx = (2n)! V^ / , x. sh ж — V^ — ch жж2^+т"Sil X ™ 7^777 ch X .(2^ + 1)!(2^)! Jj x ch x dx = x sh ж — ch x.| ж2 ch x dx = (ж2 + 2) sh ж — 2ж ch ж.жп ch2 x dx = ™г +J2(n + 1)22fe+i(n™2^™l)!ж2^+т"Sil X ™ 7^777 ch X .(2^ + 1)!(2^)! Jj x ch x dx = x sh ж — ch x.| ж2 ch x dx = (ж2 + 2) sh ж — 2ж ch ж.жп ch2 x dx = ™г +J2(n + 1)22fe+i(n™2^™l)!ж2п+1 ch x dx = (2n + 1)! ^ж2п+1 ch x dx = (2n + 1)! ^+ X ^ ^(n -2k)! sh ж X Lfc=0 X7k=0ж ch2 x dx = ™ sh 2ж — - ch 2ж + —.+ X ^ ^(n -2k)! sh ж X Lfc=0 X7k=0ж ch2 x dx = ™ sh 2ж — - ch 2ж + —.
1.
1.
xp ch9 x dx = -— sh ж ch9q
xp ch9 x dx = -— sh ж ch9q
P®P 1 1 9,
ж— ch4 x +q2
P®P 1 1 9,
ж— ch4 x +q2
fcTL^ch^dx + i^lq Jq
fcTL^ch^dx + i^lq Jq
2 x dx.
2 x dx.
2.
2.
2n j
i x dx =
2n j
i x dx =
C^n
C^n
22n(m + 1)
22n(m + 1)
fc=0
fc=0
xm ch (2n — 2^)ж dx.
xm ch (2n — 2^)ж dx.
xm ch2n+1 x dx = ^^ У2 ^2n+i ж™ ch (2n — 2k + 1)ж dx. Jfe=0J
xm ch2n+1 x dx = ^^ У2 ^2n+i ж™ ch (2n — 2k + 1)ж dx. Jfe=0J
4.
4.
„ chI, т =1^ (2„,)(2„>)(2„ 21+П
2n + 12fc+1n(n — 1) . . . (n — k)
„ chI, т =1^ (2„,)(2„>)(2„ 21+П
2n + 12fc+1n(n — 1) . . . (n — k)
Ch ^ Ж,, 2n-2fc-l
— + x sh x ch2n 2k 1
2n - 2k
Ch ^ Ж,, 2n-2fc-l
— + x sh x ch2n 2k 1
2n - 2k
(2n - 1)!! ж2
(2n)!! Г
(2n - 1)!! ж2
(2n)!! Г
5.
5.
i 2n+i ,1 v^ 2fc(n + l)n . . . (n ™ k + 1)
n + 1(2n + l)(2n — 1) . . . (2n — 2k + 1)
/ pi-,2n™2fc + l\
x Ih x sh x ch ж ).
V 2n - 2k + 1J
i 2n+i ,1 v^ 2fc(n + l)n . . . (n ™ k + 1)
n + 1(2n + l)(2n — 1) . . . (2n — 2k + 1)
/ pi-,2n™2fc + l\
x Ih x sh x ch ж ).
V 2n - 2k + 1J
6.
6.
xp ch x dx = xp sh ж — p жр 1 sh ж dx.
xp ch x dx = xp sh ж — p жр 1 sh ж dx.
ГГ ”2fe + l■
ж2п ch x dx = (2n)! V^ / , x. sh ж — V^ — ch ж
ГГ ”2fe + l■
ж2п ch x dx = (2n)! V^ / , x. sh ж — V^ — ch ж
ж2^+т"
Sil X ™ 7^777 ch X .
(2^ + 1)!(2^)! J
j x ch x dx = x sh ж — ch x.
| ж2 ch x dx = (ж2 + 2) sh ж — 2ж ch ж.
жп ch2 x dx = ™г +
J2(n + 1)
22fe+i(n™2^™l)!
ж2^+т"
Sil X ™ 7^777 ch X .
(2^ + 1)!(2^)! J
j x ch x dx = x sh ж — ch x.
| ж2 ch x dx = (ж2 + 2) sh ж — 2ж ch ж.
жп ch2 x dx = ™г +
J2(n + 1)
22fe+i(n™2^™l)!
ж2п+1 ch x dx = (2n + 1)! ^
ж2п+1 ch x dx = (2n + 1)! ^
+ X ^ ^(n -2k)! sh ж X Lfc=0 X7k=0
ж ch2 x dx = ™ sh 2ж — - ch 2ж + —.
+ X ^ ^(n -2k)! sh ж X Lfc=0 X7k=0
ж ch2 x dx = ™ sh 2ж — - ch 2ж + —.
[ ж2 ch2 ж dx = ™ (ж2 + sh 2ж — ™ ch 2ж + —.J4 у 2/46ж ch ж dx = — >—т— 3 sh ж —J4_ 20 УЗ2^1)j 4nO/2] n-^k-l /сНЗж\T (n - 2fc - 1)! UM+2 ” 3с1Ж Г| x ch3 x dx = ™™ ch ж — ™ chЗж + ^ж sh ж + ™ shЗж.Л f 2 1 3 ,/Зж2 3\ ,/Ж2 1 \ зж ch ж dx = () sh ж + I) sh Зж —J\ 42/\1254/31 ж— - ж ch ж — — ch Зж. 218[ ж2 ch2 ж dx = ™ (ж2 + sh 2ж — ™ ch 2ж + —.J4 у 2/46ж ch ж dx = — >—т— 3 sh ж —J4_ 20 УЗ2^1)j 4nO/2] n-^k-l /сНЗж\T (n - 2fc - 1)! UM+2 ” 3с1Ж Г| x ch3 x dx = ™™ ch ж — ™ chЗж + ^ж sh ж + ™ shЗж.Л f 2 1 3 ,/Зж2 3\ ,/Ж2 1 \ зж ch ж dx = () sh ж + I) sh Зж —J\ 42/\1254/31 ж— - ж ch ж — — ch Зж. 2181.1.2.2.с жр4.22. Интегралы вида—™—^ж-J ch9 жf $Р dx — рхр™ХЖР sh ЖJ ch9 ж Ж (g - 1)(д - 2) ch9-2 ж + (g - 1) ch9-1 жр(р — 1) Г жр™2 з q — 2 Г жрг жр ^ s2^2k+p+1dx = > ™—— гж < тг/2: р > .J ch ж ^ (2^)!(2^ + р+ 1)с жр4.22. Интегралы вида—™—^ж-J ch9 жf $Р dx — рхр™ХЖР sh ЖJ ch9 ж Ж (g - 1)(д - 2) ch9-2 ж + (g - 1) ch9-1 жр(р — 1) Г жр™2 з q — 2 Г жрг жр ^ s2^2k+p+1dx = > ™—— гж < тг/2: р > .J ch ж ^ (2^)!(2^ + р+ 1)3.3.— dx = жр th жJ ch2 ж— dx = жр th жJ ch2 жс*2к (1 \ о2™2fc+р-1(2fe)! (2fe + р - 1) ®с*2к (1 \ о2™2fc+р-1(2fe)! (2fe + р - 1) ®[|ж| < тг/2; р 5? 1].f ж _ 12п(2п - 2)(2п - 2к + 2)‘J ch2" ж Ж2п 2^ (2п — 1)(2п — 3). .. (2n — 2k + 1) ХжзЬж1 "I(2п — 2)!! f ж,,.[ch2"-2fe+1 ж(2п - 2к^ ch2"-2fe ж J(2п - 1)!! J ch2 ж1Ь[|ж| < тг/2; р 5? 1].f ж _ 12п(2п - 2)(2п - 2к + 2)‘J ch2" ж Ж2п 2^ (2п — 1)(2п — 3). .. (2n — 2k + 1) ХжзЬж1 "I(2п — 2)!! f ж,,.[ch2"-2fe+1 ж(2п - 2к^ ch2"-2fe ж J(2п - 1)!! J ch2 ж1Ьf ж , _1 A (2n + l)(2n-l)...(2n-2fe + 3)‘ J ch2"+1 ж dX “ 2п + 1 ^2п(2п - 2) . . . (2п - 2к + 2) ХжвЬж1(2п — 1)!! f жХ+ (2n-2k + pch2"-2k+1a:\ + (2n)!! J d4f ж , _1 A (2n + l)(2n-l)...(2n-2fe + 3)‘ J ch2"+1 ж dX “ 2п + 1 ^2п(2п - 2) . . . (2п - 2к + 2) ХжвЬж1(2п — 1)!! f жХ+ (2n-2k + pch2"-2k+1a:\ + (2n)!! J d4(2ку.(2к + 2)(2ку.(2к + 2)[|ж| < тг/2].[|ж| < тг/2].7.—?— dx = ж th ж — In ch ж.J ch2 ж7.—?— dx = ж th ж — In ch ж.J ch2 ж-4— йж =J ch х-4— йж =J ch хх sh ж2 ch2 жж sh ж3 ch3 жх sh ж2 ch2 жж sh ж3 ch3 ж
[ ж2 ch2 ж dx = ™ (ж2 + sh 2ж — ™ ch 2ж + —.
J4 у 2/46
ж ch ж dx = — >—т— 3 sh ж —
J4_ 20 УЗ2^1)
j 4nO/2] n-^k-l /сНЗж\
T (n - 2fc - 1)! UM+2 ” 3с1Ж Г
| x ch3 x dx = ™™ ch ж — ™ chЗж + ^ж sh ж + ™ shЗж.
Л f 2 1 3 ,/Зж2 3\ ,/Ж2 1 \ з
ж ch ж dx = () sh ж + I) sh Зж —
J\ 42/\1254/
31 ж
— - ж ch ж — — ch Зж. 218
[ ж2 ch2 ж dx = ™ (ж2 + sh 2ж — ™ ch 2ж + —.
J4 у 2/46
ж ch ж dx = — >—т— 3 sh ж —
J4_ 20 УЗ2^1)
j 4nO/2] n-^k-l /сНЗж\
T (n - 2fc - 1)! UM+2 ” 3с1Ж Г
| x ch3 x dx = ™™ ch ж — ™ chЗж + ^ж sh ж + ™ shЗж.
Л f 2 1 3 ,/Зж2 3\ ,/Ж2 1 \ з
ж ch ж dx = () sh ж + I) sh Зж —
J\ 42/\1254/
31 ж
— - ж ch ж — — ch Зж. 218
1.
1.
2.
2.
с жр
4.22. Интегралы вида—™—^ж-
J ch9 ж
f $Р dx — рхр™ХЖР sh Ж
J ch9 ж Ж (g - 1)(д - 2) ch9-2 ж + (g - 1) ch9-1 ж
р(р — 1) Г жр™2 з q — 2 Г жр
г жр ^ s2^2k+p+1
dx = > ™—— гж < тг/2: р > .
J ch ж ^ (2^)!(2^ + р+ 1)
с жр
4.22. Интегралы вида—™—^ж-
J ch9 ж
f $Р dx — рхр™ХЖР sh Ж
J ch9 ж Ж (g - 1)(д - 2) ch9-2 ж + (g - 1) ch9-1 ж
р(р — 1) Г жр™2 з q — 2 Г жр
г жр ^ s2^2k+p+1
dx = > ™—— гж < тг/2: р > .
J ch ж ^ (2^)!(2^ + р+ 1)
3.
3.
— dx = жр th ж
J ch2 ж
— dx = жр th ж
J ch2 ж
с*2к (1 \ о
2™2fc+р-1
(2fe)! (2fe + р - 1) ®
с*2к (1 \ о
2™2fc+р-1
(2fe)! (2fe + р - 1) ®
[|ж| < тг/2; р 5? 1].
f ж _ 12п(2п - 2)(2п - 2к + 2)
‘J ch2" ж Ж2п 2^ (2п — 1)(2п — 3). .. (2n — 2k + 1) Х
жзЬж1 "I(2п — 2)!! f ж,,.
[ch2"-2fe+1 ж(2п - 2к^ ch2"-2fe ж J(2п - 1)!! J ch2 ж1Ь
[|ж| < тг/2; р 5? 1].
f ж _ 12п(2п - 2)(2п - 2к + 2)
‘J ch2" ж Ж2п 2^ (2п — 1)(2п — 3). .. (2n — 2k + 1) Х
жзЬж1 "I(2п — 2)!! f ж,,.
[ch2"-2fe+1 ж(2п - 2к^ ch2"-2fe ж J(2п - 1)!! J ch2 ж1Ь
f ж , _1 A (2n + l)(2n-l)...(2n-2fe + 3)
‘ J ch2"+1 ж dX “ 2п + 1 ^2п(2п - 2) . . . (2п - 2к + 2) Х
жвЬж1(2п — 1)!! f ж
Х+ (2n-2k + pch2"-2k+1a:\ + (2n)!! J d4
f ж , _1 A (2n + l)(2n-l)...(2n-2fe + 3)
‘ J ch2"+1 ж dX “ 2п + 1 ^2п(2п - 2) . . . (2п - 2к + 2) Х
жвЬж1(2п — 1)!! f ж
Х+ (2n-2k + pch2"-2k+1a:\ + (2n)!! J d4
(2ку.(2к + 2)
(2ку.(2к + 2)
[|ж| < тг/2].
[|ж| < тг/2].
7.—?— dx = ж th ж — In ch ж.
J ch2 ж
7.—?— dx = ж th ж — In ch ж.
J ch2 ж
-4— йж =
J ch х
-4— йж =
J ch х
х sh ж2 ch2 жж sh ж
3 ch3 ж
х sh ж2 ch2 жж sh ж
3 ch3 ж
7 А.Ю. Брычков и др.
1.
2.
3.
1.
2.
4.23. Интегралы вида
dx
xpch9x
dx
xn ch ж
dx
xn ch2
~Р
dx
xpch9x*
(q — l)(g — 2)жр+1 ch9 2 ж g - 2 f dx q — 1 J xp ch9-2
fc=O
fe + (n-l)/2
th ж
(2&)!(2& - п + 1)
п
sh x
(q — 1)жр ch9-1 x
. p(p + 1) Г ^ж
(q - 1)(q - 2) J жр+2 ch9-2 x *
2/с —п+1
Ж
fc = lfe/(n+l)/2
(2fc)!(2fc-n-l) 1 1 ;
4.24. Интегралы вида жг shp ж ch9 ж dx.
xT shp ж ch9 ж dx = -— \(p + q\xT shp+1 ж ch9 1 ж ™
VP Eq)2
— rxT 1shp x ch9 x + r(r + 1) xT 2 shp x ch9 x dx +
+ rp | xT 1 shp 1 x ch9 1 x dx + (q —
2 x dx].
—p [(p + q)$T shP 1 x ch9+1 x ™
— rxT 1 shp x ch9 x + r(r — 1) xT 2 shp ж ch9 ж dx ™
— rq xT 1 shp 1 x ch9 1 ж dx ™
(p-l)(p+9) | $r shp 2
x ch9 x dx].
p 1 2 mГ P
3- J^^^-D-^M^^-
4.4.xpxpsh2m+i xchn xsh2m+i xchn xdx = Y,HF+kc^fe = Odx = Y,HF+kc^fe = Oxp sh xdF^s;xp sh xdF^s;dx.dx.
4.
4.
xp
xp
sh2m+i xchn x
sh2m+i xchn x
dx = Y,HF+kc^
fe = O
dx = Y,HF+kc^
fe = O
xp sh xdF^s;
xp sh xdF^s;
dx.
dx.
J ‘ ch” z " (n — 1) ch” 1 x n — 1 J ch” 1 x
f sh ж , x,
6.x—»— dx = — h arctgshж.
J ch xch x
fт, Г TP
J shn xJ shn™2fc X
8.
xp
ch2m+1 shn x
^dx
xp ch ж shn”2fc X
dx.
1.
2.
3.
1.
2.
3.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7*
p chxxp
Ж shn x Ж (n - 1) shn-1 x f ch ж , x , I , ж I
J sir x sh x I 2 I
Р
x^1
n - 1 J shn
4.25. Интегралы вида жр1Ьпжс/ж.
k=i
2T2^-1)B^ 2fc+p(2fe)!(2fe + p) Ж
TP+!
2n j
, x dx =
k=0
2n+1 x dx = xp th x dx +
nl ^n^k
2n, ™ 2k k=0
dx.
р I 2fc —2п 1х ch хах.
p ^2k—2n.
— xp ch X + p
4.26. Интегралы вида жpcthnжdж.
n2fe о
2 D2k
^o(2^)!(2^ + p)
tp+i
xp cth2n x dx =
k=0
2fe+p
k \ xpsh2k^nxdx.
2n+1 x dx = xp cth x dx +
-k
\ Л Гп ( p 1 2k™2n.
> — sh x + p
2n - 2k \
*=o4
4.27. Интегралы вида
xp ch x dx(a + b sh ж)9xpshxdx(a + b ch ж)9
x dx
1 + ch xx dx
1 — ch x
2k — 2п д |
. x dx .
p —1 i2k-2n i |
* sh xdx .
®p chm ® d® f ®pshn®d®
(a + b sh $Y ’
,p
(a + b ch x)q '
(q — l)b(a + b sh x^™1
P
(q ™ i>
P
xp 1 dxa + b sh x)q™хр™гdx
(q ™ 1)Ь(а Г b ch х)4™1 (q — l)b J (а + b ch ж)^-1
= ж th — — 2 In ch —.
2
2
= x cth 2 In2
f x sh x dx
J (1 + ch ж)2f x sh x dx
J (1 — ch ж)2
x
ch ж ™ 1
Hl-
+ th^.
— cth '—.
Г пьн\(Ьх + c)n sh ах dx = —-Jv 7ап^гГ пьн\(Ьх + c)n sh ах dx = —-Jv 7ап^гИнтегралы вида (Ьж + с)^п shах dx.
Г пьн
\(Ьх + c)n sh ах dx = —-
Jv 7ап^г
Г пьн
\(Ьх + c)n sh ах dx = —-
Jv 7ап^г
ch [ tn sh t dt — sh f tn ch t dt .6 J6 J
[t = ax + ac/by
\(bx + c) sh ax dx = — (bx + c) ch ax sh ax.
Jaa2
|(Ьж + c)2 вЬаж dx = ™[а2(Ьж + c)2 + 2b2] ch ax — ^Н^Г c)
j (bx + c)3 sh ax dx =
= ^^Jl ^(bx + c)2 + 6b2] ch ax — ™ [а2(Ьж + c)2 + 2b2] sh ax.
[t = ax + ac/by
Интегралы вида (Ьж + с)^п ch ах dx.
(bx + of ch ах dx = —-—- ch — tH ch t dt — sh — tH sh t dt
J«n+1 L b Jb J
[t = ax + ac/by
f (bx + c) ch ax dx = — (bx + c) sh ax ch ax.
Jaa2
|(Ьж + c)2 ch ax dx = ™ [а2(Ьж + c)2 + 2b2] sh ax — ^Н^Г c)
|(bx + c)3 ch ax dx =
= ^^Jl [a2(bx + c)2 + 6b2] sh ax — ™ [а2(Ьж + c)2 + 2b2] ch ax.
55ch ax , a f 1 ac fcht ,. ac fsht ,
5
5
= с]з _ sh —dt
(bx + c)n bn \ b J tnb J tn
[t = ax + ас/by
Интегралы вида xpeb3C sh ax dx.
f xpebx sh ax dx = - f хре^а+ь^ж dx ™ ™ f xpe^b а^ж dx. 22
j ebx shax dx =—™(achbx ™ bshax).
гbx Г /i L2 \■
же sh ax dx = ™гаж H— — ch аж — I bx H— — sh аж
Ja2 — b2 \ a2 ™ b2 J\ a2 ™ b2 J
ч
Г 2 ^ к лete Г 24«62а(4+362)1
а2 — о2 [а2 — о2(а2 — о2)2
еЬх Г 2 , 2(4 + 4), 26(34 + 4)1 ,
2 О+2 О Ж +/ 27 2\2 ^ЪаХ.
а2 — о2 [а2 — о2[а2 — о2)2
еах shaxdx = ^е^® — —. 4а2
р2аж /1 \2
аж 1,е(1 \X
же sh аж аж = ж.
14а \ 2а)4
р2ах /1\3
ч
2 аж 1.в/2Ж1\Ж
же sh аж dx = жч19 ).
14а \а 2а2/6
ч
Г — ах 11 — 2аж , Ж
е shaxdx = — еН.
14а2
р2— 2аж /1 \
ч
-ах 1,же/1 \
же sh ах dx = — Н- ( ж Н.
144а у 2а /
р3— 2аж /1 \
10.
2 -аж 1,Жв/2Ж1\
ж е sh ах dx =+.ж ++ о 9 ■
J64а \а 2а2 /
4.31. Интегралы вида хреЪж ch ах dx.
1.
| хреЬж ch аж dx
Аж + | j жре<ъ-а^ dx.
2.
| еЬж ch аж dx =
—— (ash ах ™ b ch axY
а2 ™ о2■
3.
| хеЪж ch аж dx =
еЬх
f2ab \
аж Н— ™г sh аж ™
\а2 — о2 )
(, , 4 + 4> V^+a2 -№ )
ch аж
а2 — Ь2
4.
Г 2 ь. .,Ч$ Г 24а62а(4+34)1
же ch ах dx = 9 ,9 аж + 9,9 ж + z 9 , 9Х9 sh аж
Jа2 ™ о2 [а2 ™ о2[а2 ™ Ь2)2 _
еЬж Г, 2 , 2(4 + 4)| 26(34 + 4)1 ,
2ЬХ +2Ж +/ 2^<1Ж-
а2 — о2 [а2 — о2(а2 — Ь2)2 _
5.
Г ах 1j1 2аж , Ж
е ch аж аж = —е Н.
J4а2
6.
Г аж 1,е2ож /1 \ ж2
же ch аж аж = ™™— жН—™.
J4а \2а)4
7.
Г 2 аж 1j( 2 Ж1 \Ж
же ch аж аж =— ж1 Н.
J4а \а 2а2)6
8.
I ™ах 11Ж1 ^2ах
е ch аж аж =™е.
J2 4а
р2—2аж /1 \
9.
™ах 1,же/1 \
же ch аж аж = ж Н.
J44а \ 2а)
р3—2ах /1\
10.
21IЖе/2Ж1\
ж е ch ах dx =1 I ж Н1.
J64а \а 2а2 /
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Введение.
Если R — рациональная функция своих аргументов, то интегралы вида | R^sinx^ cos ж, tgж, ctgx)dx приводятся к интегралам от рациональных функций.
j R(sinx, cos ж, tgж, ctgж)dж =
['=<]■['=<]■[t = COS ж].[t = COS ж].[t = sin ж].[t = sin ж].f / 2f1-t2 2t l-t2\ 2dt
['=<]■
['=<]■
[t = COS ж].
[t = COS ж].
[t = sin ж].
[t = sin ж].
- J тi •i + e’ i -r it / i i p
Если
Я(8тж, cos ж) = -Д(-8тж, cos ж),
то
j E(sin ж, cos ж) <^ж = — | fi( V1 — t2 , t) ^^
Если
Д(з1пЖ, COS ж) = — R(sin Ж, -СО8ж), то
ЖзШЖ, COS ж) 6?Ж = R(R V1 —);-
Если
Д(зтж, cos ж) = Д(-зтж, — cos ж),
то
[ ft(sin Ж, COS ж) dx = f R (I= tg
Интегралы вида |зтржб/ж.
i f • p jI P 1 f • p —2i
sin x dx =sin x cos x Hsin ж dx.
Jpp J
q f • 2n jCOS X . 2n-™l.
sin ж dx =sin x +
J2n _
^ (2n-l)(2n-3)...(2n-2fc + l) . 2п_2к_г 1(2n-l)!!
“г 2fc(n — l)(n — 2)... (n — k) Sm Ж] 2nn!
3.3.(_l)n n^ к fe sin (2n - 2к)ж 22n-i' 2n "in- Ik
3.
3.
k™0
5
6.
7.
1.
2
3.
sin'
,COS X
x dx =
2n + 1
™22^
k=O
fc=O
k™0
2fc + 1 "
— cos ж.
. 2n sin
2fe+1n(n - 1) ... (И - A) . 2n-2fc-2
(2n - l)(2n - 3) . . . (2n - 2fc - 1) Sm
,fc cos (2n — 2k + 1)ж
2n 2k + 1
2fe + l COS
sin2 x dx = — “ sin 2ж +4
sin3 x dx = ™ cos Зж —
. 4 sin
. 5sin
ж dx
ж dx
. 6sin
ж dx
Зж
T
1
2
3
1 .
— - sin X
1 r
1 cos Ж + - Ж.
"7 COS Ж = - COS 4
3
ж — cos ж.
— ™ sin 2ж + — sin 4ж =
5
— cos
8
5
16
3 .
1 .
Sin Ж COS Ж7 Sin
8
51
x + -— cos Зжcos 5ж =
4880
1 . 4
=sin
5
15 - о ।3* л
— sin 2x Hsin 4ж —
6464
1.55.3
sin X cos xsin
624
5.3. Интегралы вида
dxsinp x
dx sin2n
dx
Sin2n+1
k=i
4
3
L X cos
3
8
ж cos ж
4
4
, - з -
Hcos xcos x.
155
1 •
—— Sin 6ж = 192
5 .
X cos xsin X
16
5cos ж Hж.16
cos x
(p — 1) sinp™x
cos x
2n ™ 1
cosec
k = l
COS X
2n
dxsinp x
p^2
dx
p — 1 J sinp 2
2k(n — l)(n — 2) . . . (n — k)
(2n3)(2n5) . . . (2n2k
2n cosec
(2n - l)(2n - 3). . . (2n 2fe + 1)
2fc(n — l)(n — 2) . . . (n — k)
2n^2k cosec
-1)
cosec/
2n — 2k — l
(2n - 1)!!
2nn!
lnKI-
= ln|tg||=ln
1 — COS Xsin x
= In
sin x
1 + cos x
lln
1 — COS X
1 + cos X
dx
— = — ctg X. sin X
1.1.22P ™ f p-2> cos x dx.p JP ™ f p-2> cos x dx.p J
1.
1.
2
2
P ™ f p-2>
cos x dx.
p J
P ™ f p-2>
cos x dx.
p J
6.
COS X
2 sin2 x
+ llnltgll-
J sin3 x
7.
f dx _
COS X
2
- - ctg ж = -
13
-3 ctg ж -
ctg X.
J sin4 x
3 sin3 x
8.
f dx _
COS X
3 cos x
8 sin2 x
J sin5 x
4 sin4 x
9.
f dx
COS X
43
-^ctg x-
4
- etg ж =
О
Ctg x -
0
23
7 ctg ® - ctg X
J sin6 x
5 sin5 x
cosp х dx.
5.4. Интегралы
ви
cosp х dx = — sin х cosp 1 P
2п™12п™12n , sin ж Г ; cos x dx = cos
2п™1
2п™1
2n
y^ (2n - l)(2n - 3) . . . (2n - 2fc + 1)2n_2fc_1 1(2n — 1)!!
“^ 2k^n — l)(n — 2) . . . (n — k)J 2nn!
_ 1 n 1k sin (2n - 2Арж
22„ °2na- + 22n_! 2^ C2" 2n — 2 k"
k=0
. f 2n+l j $Ш Ж Г 2n ,
cos x dx = cos x +
J2n + 1 [
+ ^ (2n - l)(2n - 3) . . . (2n - 2fc - 1) C°S
_ 1sin (2n - 2k + 1)ж
k=0
^ij ,. 2fc+1
= > ™:sin x.
k=0
7.
8.
9.
cos x dx = sin x.
2.1._ Ж 1.1
cos x dx = - sin 2x H= - sin ж cos ж H— ж.
4222
з ,1 • о 3 ..1,з
cos ж аж = — sin Зж + - sin ж = sin ж — - sin ж.
j cos4j cos512. [cos®j cos4j cos512. [cos®
j cos4
j cos5
12. [cos®
j cos4
j cos5
12. [cos®
,31 . „1 . .33 .1 .3
x dx = - ж + - sin lxHsin 4ж = - ж + - sin ж cos ж + - sin ж cos ж.
8432884
ж dx = - sin ж + —- sin Зж + 7777 sin 5ж =
84880
4 .4 . з 14.
= - sin жsin x H—cos ж sin ж.
5155
,515 . o 3 . „1 .
x dx = — ж H sin 2x H7 sin 4ж Hsin ож =
166464192
55 .5 . з 1 .5
= — ж Hsin X cos ж H7 sin X cos ж H— Sin X COS Ж.
1616246
1.
2.
5.5. Интегралы вида
dx
cosp x
dx
cos2™ ;
sin ж
dx
COSp X
p — 2 f dx
(p — 1) COSp™X X p — 1 J cosp-2
sin x
2n ™ 1
2n-l sec
k=ik=i2n — 2k — l sec2n — 2k — l sec
k=i
k=i
2n — 2k — l sec
2n — 2k — l sec
2k(n - l)(n - 2)... (n - ft)
(2п3)(2п5) . . . (2п2k - 1)
3.
dx
COS2n + 1 X
sin x
2n 1
2n sec
k™ik™i2n-2k sec2n-2k sec
k™i
k™i
2n-2k sec
2n-2k sec
(2nl)(2n - 3) . . . (2n - 2fe + 1)
(2n - 1)!!
2™n!
,/ 7Г X
In tg(- + -
4.
5.
6.
7.
8.
9.
dx,
/ 7ГX \
7Г
X \
1.
1 + sin x
= In
tg [+]
= In
ctg
—_
- In
COS X
\42 /
4
2 )
2
1 — sin x
dx
о =tg^.
COS^ X
dx
sin x1 ,
/ 71
•X '
+ In
tg( -
cos3 x 2
cos x 2
\4
: 2y
dx
sin x2
1
о+ о ^
X = ™
■ tg x + tg X.
cos4 x 3
cos3 x 3
3
dx
sin x3 sin x
3 ,
l 7Г
x \
+ ~ —
- - In
tg — +
cos5 x 4
COS4 X 8 COS2 X
8
\ 4
2 )
dx
sin x4
4
16
2
cos6 x 5
.+ . _ tg x +
cos5x 15
7 tg^ 5
= 7 tg ® +
0
™ tg ж 4" tg ж
Интегралы вида j sinp x cos9 x dx.
f . p qsinp-1 ЖСО89+1 Ж р™1 Гq+2,
Sin^ X cos x dx =7 sin™ X cos x dx.
Jg + 1 p + 1 J
2.
_ sinp 1 x cos9+1
P + 9
X
. P 1 Г • p-—2q j
4sin x cos x dx.
p + q J
3.
_ sinp+1 ж cosl?+1 ж
p + 1
+
p + q + 2 r . p+2
smF X
p + 1 J
cos9 x dx.
4.
sinp+1 x cos9-1 x p + 1
+
q If .q-
sinp x cos4
p +1J
ж dx.
5.
_ sinp+1 x cos9-1 x p + q
+
f sinp ж cos9-2 P + 9 J
ж dx.
6.
_ sinp+1 ж cos9"1"1
X
p + g + 2 f ^.^р COS9+2 x dx q + X J
“9 + 1
106
5. Тригонометрические функции[5.(
7.
sinp-1 ж cos9-1 ж / . 2Q — 1 А
= Sin ж+
р + q\р + q - 2/
(р - l)(g - 1) f . р-2«-2,
+:—с sin ж cos ж dx
(р + 9)(р + 9-2) J
8.
. р2n ,sinP Ж Г 2п™1,
sin ж cos ж ах = cosж +
2n + р [
77(2п + р — 2)(2п + р — 4) . . . (2п + р — 2fc) J
(2п - 1)!!f • =,,,
(2n + p)(2n + p-2)...(p + 2) J,j
9.
" . р2n+l,
sin ж cosж ах =
sinp+1 ж2n , v^2kn(n — 1) . . . (п — к + 1) cos2n™2fc ж
2п + р + 1 [' *(2^ + р ™ 1)(2п + р — 3) . . . (2п + р — 2к + 1)_
[р#-1, -3,, -(2п + 1)]
10.
Гр . 2п jCOSP Ж . 2тг —1.
cos^ ж sin ж ах =sinж +
J2п + р
(2п + р — 2)(2п + р — 4) . . . (2п + р — ^к^ J
(2п - 1)!!Г
+ -—— ; cosp ж dx[р ф -2, ™4, . . . , -2п]
(2n + p)(2n + p-2)...(p + 2) JJ
11.
Гр • 2n+l jCOSP Ж. 2п ,
cos ж sinж dx =sin ж +
J2п + р + 1 [
v\2кп(п — 1) . . . (п — к + 1) sin2n™2fc ж
^п + Р 1)(2п + р — 3) . . . (2п + р — 2А? + 1)
[р ^^3, . . . , ™(2п + 1)]
12.
[ sin ж cosp ж dx =— cosp+1 ж.
Jр + 1
13.
Г -2,1 ( 1 о ,ACOS3 Ж
sin ж cos ж аж = — - 1 ™ cos Зж + cos ж 1.
14.
Г .3,cos4 ж
sin ж cos ж аж =—.
J4
15.
Г .4,COS5ж
sin ж cos ж dx =.
16.
Г . 2,1 /1 . о• \ sin3 ж
sin ж cos ж аж = - - - sin Зж — sin ж = .
J4 V3)3
17.
Г . 21 ( 1 . лА
sin ж cos ж dx = sin 4ж — ж .
J8 U
18.
Г ■ 2з ,1 / 1 . г , 1 о• А
sin ж cos ж аж = sin 5ж 3— sin Зж — 2 sin ж =
J16\53/
sin3 ж /22 A sin3 ж /5. 2 А
=COS ж +=sin ж .
5 у3 у5 у 3у
19.
Г . 24,Ж1о1■ р
sin ж cos ж аж = — + — sin 2ж — — sin 4ж— sin 6ж.
J166464192
20.
f . з,1/1A sin ж
sin ж cos ж аж = - 1 - cos 4ж — cos 2ж 1 = —-h const.
21.
f • 32 I1/11\
1 sin x cos ж аж = ™ 1 - cos 5ж — - cos Зж — 2 cos x j =
1513
= - cos’ xcos x + const.
53
22.
j sin3 x cos3 x dx = ^ ^ cos ~ $ cos ^^ •
23.
f - 34,13/23.2. . 4 A
sin x cos ж аж = - cos жsin ж + sin ж .
J7\ 55/
24.
f . 4,sin5 X
sin x cos x dx = —™—.
25.
sin x cos ж аж = — жsin lxsin 4ж 3sin 6ж.
J166464192
26.
Г . 43,1 • 3/ 2324\
sin ж cos ж аж = ™ sin ж - + - cos ж — cos ж .
J7\55/
27.
Г . 44 j
sin ж cos ж аж = ж8ш4ж Н sin 8ж.
J1281281024
28.
f .. ,.,1 Feos (а — 6 + с)ж со8(6 + с™а)ж
sin аж sin ож sin ex dx = — - :1тh
J4 | а — о + со + с — а
cos (а + b — с) ж cos (а + b + с) ж а + 6 — са + b + с
29.29.cos (b + с — а)ж6 + с — аcos (b + с — а)ж6 + с — а.,,1 cos (а + b + с)ж
29.
29.
cos (b + с — а)ж6 + с — а
cos (b + с — а)ж6 + с — а
sin аж cos ож cos сж dx = -:—
4 а + b + с
cos (а + b — с)ж cos (а + с — Ь)х
а + 6 — са + 6 — са + с — 6а + с — 6
а + 6 — с
а + 6 — с
а + с — 6
а + с — 6
30. cos ах sin bx sin сж dx =
1414sin (а + b + с)ж sin (6 + с — а)жа + b + сb + с — аsin (а + b + с)ж sin (6 + с — а)жа + b + сb + с — а
1
4
1
4
sin (а + b + с)ж sin (6 + с — а)жа + b + сb + с — а
sin (а + b + с)ж sin (6 + с — а)жа + b + сb + с — а
sin (а + 6 — с)жа + 6 — с
sin (а + с — Ь)х
31.31.1414sin (а + b + с)жsin (а + b + с)жsin (6 + с — ( 6 + с — аsin (6 + с — ( 6 + с — аsin (а + с — Ь)хsin (а + с — Ь)хsin (а + b — с)жsin (а + b — с)жа + 6 — са + 6 — с
31.
31.
1
4
1
4
sin (а + b + с)ж
sin (а + b + с)ж
sin (6 + с — ( 6 + с — а
sin (6 + с — ( 6 + с — а
sin (а + с — Ь)х
sin (а + с — Ь)х
sin (а + b — с)ж
sin (а + b — с)ж
а + 6 — с
а + 6 — с
cos аж cos bx cos сж dx =
г sinp х
Интегралы вида dx.
J COS9 X
sinp xsinp-1 x p — 1 f sinp-2 x
dx = — 71dx.
J cos9 x\P ™ 4) cos9 ж P — 4 J cos9 ж
_ sinp+1 x p — q + 2 f sinp x
(q — 1) cos9-1 x q — 1 J cos9-2 x
smp x p — 1 sirr ж
(q — 1) cos9-1 x q — 1 J cos9-2 x
f sinp x dx sinp+1 x
J cos2n + l ж2n
' 2n ^ (2n-p-l)(2n-p-3)...(2n-p-2fe + l) 2n-2fc ] , ^2k(n - l)(n - 2) . . . (nk)J
। (2n — p — l)(2n — p — 3) . . . (3 — p)(l — p) f sinp x ^ 2™n!I cos ж
smp x smp+1 x
-dx =
-ri —12n-l ,sec x + >-fe=i-ri —12n-l ,sec x + >-fe=icos2™ x 2n — 1
-ri —1
2n-l ,sec x + >
-fe=i
-ri —1
2n-l ,sec x + >
-fe=i
(2n - p - 2)(2n - p - 4) . . . (2n - p - 2fc) 2n_2k_t (2n - 3)(2n - 5). . . (2n - 2fc - 1) S®C
sin₽ ж dx.sin₽ ж dx.(2n - p - 2)(2n - p - 4) . . . (-p + 2)(-p)(2n - 1)!!
sin₽ ж dx.
sin₽ ж dx.
6.6.sin XC.OS2n+l xsin XC.OS2n+l xdxdx1 m2fe—2n*У(^ + (-1Р+1^1п|Со8ж|2n — к'1 m2fe—2n*У(^ + (-1Р+1^1п|Со8ж|2n — к'7.7.1122k=0k=0^ cos^ cosn ™ kn ™ k[n ^ m].[n > m].[n ^ m].[n > m].8.8.f sn?21^J cos2n Xf sn?21^J cos2n Xdx = ^(-l)^1^k=0dx = ^(-l)^1^k=0,k co7k-2"+1,k co7k-2"+12k ™ 2n + 12k ™ 2n + 1
6.
6.
sin X
C.OS2n+l x
sin X
C.OS2n+l x
dx
dx
1 m2fe—2n
*У(^ + (-1Р+1^1п|Со8ж|
2n — к'
1 m2fe—2n
*У(^ + (-1Р+1^1п|Со8ж|
2n — к'
7.
7.
1
1
2
2
k=0
k=0
^ cos
^ cos
n ™ k
n ™ k
[n ^ m].
[n > m].
[n ^ m].
[n > m].
8.
8.
f sn?21^
J cos2n X
f sn?21^
J cos2n X
dx = ^(-l)^1^k=0
dx = ^(-l)^1^k=0
,k co7k-2"+1
,k co7k-2"+1
2k ™ 2n + 1
2k ™ 2n + 1
sin X ,1
dx = -.——. cos9 x [q — 1) cos9™1 x
10.
11.
12.
13.
sinp X t — dx =
COSp+2 X
sin'
COS X
sin2n x dx
COS X
1
p + 1
tgp+1X.
sin2fc
2k
— In I COS X I.
^^k^i2k
^k 2k
Gn cos
ж — In I COS ж|.
k=l
sin2^1 ;
2k - 1
+ In
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
f ^^dx = — In | cos ж |.
J COS X
sin2 X .
dx
= — sin x 4
cos X
sin3 x .
1 . 2
dx
=Sin ;
cos X
2
sin4 x .
1 . 3
dx
=Sin3 ;
cos X
3
sinp x t
sinp-1 x
9 dx
cos2 X
COS X
sin x dx
1
cos2 X
cos X
sin2 x dx
= tg ж — ж
cos2 X
sin3 x dx
= cos x + -
cos2 X
<
sin4 x dx
1
= ^Ж + -
cos2 X
2
sin x dx
12
= ^tg ж.
cos3 X
2
sin2 x dx
sin x
cos3 X
2 cos2 x
sin3 x dx
1
cos3 X
2 cos2 x
sin4 x dx
sin x
cos3 X
2 cos2 x
sin ж dx _
_ 1
3 cos3 x
: 4 3
- In tg
In tg
7Г X
4 + 2
12
x — In | COS X | = - cos x — In I COS X I.
.,/ 7Г Ж
x — sin ж + In tg I — + —
sinp 2 x dx.
1
COS X
.3
sin X cos x — - X.
7Г
4
2
+ In I COS X I.
.3 ,
+ sin ж — — In
(7Г X
4 + 2
1.
2.
3.
COS4 Xsin2 x dx
COS4 Xsin3 x dx
COS4 Xsin4 x dxcos4 x
!1
COS X
1
3 cos3 x
1 з
= “ tg x - tg x + X.
„f cos9 X .
5.8. Интегралы вида —dx.
J sinp x
cos9 x ,cos9 1 ж q — 1 f cos9 2 ж ,
^—-— dx = -—j1——dx.
sinp x [q — p) sinp ж q — p J sinp ж
cos9+1 x q — p + 2 f cos9 ж
(p™ l)sinP™^ p—1 J sinP 2 Жcos9-1 xq — 1 f cos9-2 x
(p — 1) sinp-1 xp — 1 J sinp-2 x '
4.
f COSP Ж dxcosp+1 X Г2n
J sin2 +1 ж2n [
+ (2n - p - l)(2n - p - 3) . . . (2n - p - 2fc + 1)2n-2k,
2k(n — l)(n — 2) . . . (n — k)J
। (2n — p — l)(2n — p — 3) . . . (3 — p)(l — p) f cosp x ^ 2nn!J sin ж
5.
f COSP X dxCOSp+1 X Г2n-l
. 2n=о1 COSeCЖ +
J sin2 ж2n — 1
+ (2n — p — 2)(2n - p - 4) . . . (2n - p - 2fe)2n-2k-i 1 ,
(2n — 3)(2n — 5) . . . (2n — 2k — 1)cosec
+ (2n - P - 2№n - P - 4). .. (2 - p)(-p) f p ,
+(2n — 1)!!J
л _ 2n+l-i n- 2fc-2m
6.
fi1 X / i\k^k SIHX,i i ■i
Lin2m+1 T = 2 L ( ^m_k +( X) СП1П|81ПЖ|
J billdv^ ^QlitПу
[m^n].
7.
= 2^( 4 C- m_k^>n^
k=0
8.
9.
f cos ж_1
J sinp ж(p —1)з1пр-1ж
10.
Г cos9 ж4g+1
Q dx =ctg4 x.
J sin^2 x9 + 1
11.
f cos2n+1 x dxcos2fc x.
; = > :к In Sin X .
Jsin Ж2k11
Jk = l
12.
=2sm ж + In Sin X 1.
13.
f cos2n x dxcos2fc-1 xж I
8;пж =+ 2k_x +ln+2|-
Jk=l
14.
f cos x dx 1.
: = In sin x . J sin ж
15.
f cos2 ж dx. I ж |
.=cosж + lntg .
J sin xI 2 I
16.
f cos3 x dx cos2 x . , .,
I+ In sin ж .
J sin ж2
17.
f cos4 ж dx13I x I
= - COS x + cos x + In tg — .
J sin ж312 1
5.9]
5. Тригонометрические функции111
18.
Г COSP Ж ,COSP™X Ж,f,
5— dx =:(р — 1) cos " ж dx.
J sin" жsin жJ
19.
f cos ж ,1
—9— ах = —;.
J sin" жsin ж
20.
Г cos2 ж , 5— ах = — ctg ж — ж.
J sin" ж
21.
Г cos3 ж ,.1
5— ах = — sin ж.
J sin" жsin ж
22.
Г cos4 ж ,1 .3
9— ах = — ctg ж — - sin ж cos ж — - ж.
J sin ж22
23.
Г cos ж ,1
о ах =9.
J sin ж2 sin" ж
24.
Г cos2 Ж ,COS Ж1.1 Ж I
J sin3 ж2 sin2 ж 22
25.
Г cos3 ж ,11 11
о— ах =9In J sin ж .
J sin ж2 sin" ж
26.
Г cos4 ж ,cos ж3 . I ж I
„ ах =„cos жIn tg 1.
J sin3 x2 sin2 x21 6 2 1
27.
f cos ж ,1
— dx =—.
J sin ж3 sin ж
28.
f cos2X13
- 4^ = о ctg Ж’
J sin ж3
29.
fcos3 Ж11
4 ax =.о .
J sin жsin ж 3 sin ж
30.
fcos4 ж ,13
5— dx = — ctg ж + ctg ж + ж.
J sin ж3
w Лfdx
5.9. Интегралы вида -^—
I sinp ж cos9 ж
1.
*dx1p + q — 2 fdx
sinP Ж COS9 Ж(p — 1) 8ШР~Х Ж COS9™1 ЖP™1 J 8И1Р~2 ЖСО89Ж
2.
1p + q 2 fdx
(q — 1) sinp^x ж cos9™1 жq ™ 1 J sinp ж cos9™2 ж
[см. также 5.6].
3.
*m + n-l2fc-2m + l
dx ktgЖ
sin2m ж cos2" ж^t^ m+n l 2fc — 2m + 1
4.
'dx,fp.2'=-2m
. 2m+1,n+1 = E Ст+Л. .+ C^ 1П | tg$|.
5.
d x1111
81п2т+1ЖСО8Ж£^ (2ш ™ 2A; + 2) sin2m™2fc+2 ж ^" g '
6.
Рdx
У
~( (2m — 2&
1
+ In
^g
/ 7Г
ж А
J sin2m х cos х
+ l)sin2m 2fc+1
ж
\4
+ 2/
7.
Гdx
J sin x cos2m+1
X
5^ (2m - 2fc
k=l v
1
+ 2) COs2m™2fc+2
: ж
- +ln
tg®l-
8.
fdx
J sin x cos2m x
=i
k=
рж 2^ +
1
1) cos2m™2fc +
1 ж
+ In tg
ж
2
9.
f dx
In |tg®|.
J sin x cos x
10.
[dx
1- In tg -
s x12
1
J sin x cos2 x
co
11.
[dx
2+ 1П | tg
OS2 X
J sin x cos3 x
” 2c
12.
fdx
L1
+ оз
SX 3 cos3 X
+ !п^|.
J sin x cos4 x
co
13.
[dx
= In
/ 7Г Ж A tg (4 + 2)
1
J sin2 x cos x
sin ж *
14.
[dx
2 ctg 2ж.
J sin2 x cos2 x
15.
Гdx
1
। 1
- In 2
tg
7Г
ж
J sin2 x cos3 x
2 cos2 x 2 у
' sin ж
4
'4
1
16.
fdx
1
■ |ctg2®.
J sin2 x cos4 x
3
sin x cos3 x
17.
fdx
1. . .
. 2 +ln|tgX.
2 sin x
J sin3 x cos x
18.
Гdx
1 /1
1 ■ 1"’!'
-g
J sin3 x cos2 x
cos ж \2sin2
ж 2y
-
2 \
I-
19.
fdx
2 cos2ж _. ,,
. 29+ 21n tg®
sin 2ж
J sin3 x cos3 x
20.
Гdx
21
ds ж 3 cos3 ;
cos ж
к 2 sin2 ж
5
in к
J sin3 x cos4 x
c<
" 2
21.
fdx
1 1
- + In ж
/ 7Г
tg (4
+
ж
J sin4 x cos x
sin x 3 sin3
2
22.
Гdx
1
- |ctg2®.
J sin4 x cos2 x
3 cos ж sin3 ж
23.
fdx
21
!ж + 2
sin ж
+
5
In
tg
^7Г
- +
жА
J sin4 x cos3 x
sin ж 3 sin£
cos2 ж
2
ч4
2 7
24.
fdx
84
8 ctg 2ж — - ctg3 2ж.
J sin4 x cos4 x
5.10. Интегралы вида | tg
;p ж dx.
1.
I 4" ГТ
' 2 ж dx.
Ig X их —
Jp -
_ tgxtg
/tg- ^ = Е 5^£т1 tg"‘^ ж + ^^
Гп Г 1Л+1
tg2n+1 ж dx = V —tg2n™2fc+2 ж + (™l)n+1 In | cos ж|.
j2п ™ 2k + 2 6к 711
= У2 ^n cos™2fc ж + (™l)n + 1 In | cos ж|.
J tg ж dx = — In | cos ж |.
J tg2 ж dx = tg ж — ж.
Jtg3 ж dx = ™ tg2 ж + In | cos ж |.
Vtg ж dx = [In (sin ж + cos ж — Vsin 2ж ) + arcsin (sin ж ™ cos ж)].
.11. Интегралы вида jctgpжdж.
1.1.ctgp ж dx =— ctgp-1 ж — ctgp~2 ж dx.
1.
1.
JP - 1J
ctg2n ж dx = y^ fc=ictg2n ж dx = y^ fc=i2n - 2k + 12n - 2k + 1ctg2n™2W ж + рц^ctg2n™2W ж + рц^
ctg2n ж dx = y^ fc=i
ctg2n ж dx = y^ fc=i
2n - 2k + 1
2n - 2k + 1
ctg2n™2W ж + рц^
ctg2n™2W ж + рц^
ctg2n+1 x dx = ^ 5тZ^TTо <'tg2"^ x + (-1)" In | sin ж|.
= y^ ^G^ sin™2fc ж + (™l)n In | sin ж|.
fc=i
J ctg ж dx = In | sin ж|.
J ctg2 ж dx = — ctg ж — ж.
I ctg3 ж dx = — ^ ctg2 ж — In | sin ж|.
.12. Интегралы вида
ГА + В cos ж + С sin ж,
;:;:“ж-
J (а + о cos ж + с sin xp\_ai + bi cos ж + ci sin ж)р
Г A + В cos ж + C sin ж ,
;:dx =
J (а + о cos ж + с sin хр
(Вс ™ Cb) + (Ас — Са) cos ж — (Ab — Ba) sin ж1
(п ™ 1)(а2 ™ Ь2 ™ с2)(а + ^ cos ж + с sin ж)"™1 (п — 1)(а2 ™ Ь2 ™ с2) Х f (п — 1)(Ла ™ Bb ™ Сс^) ™ (п ™ 2) [(Л b ™ В a) cos ж — (Ас ™ С a) sin ж]
J(а + bcos ж + csin ж)п™х
[п^2; а2^Ь2 + с2].
А.Ю. Брычков и др.
2.2.Cb Вс + С a cos ж — В a sin ж (п — 1)а(а + 6 cos ж + с sin ж)пCb Вс + С a cos ж — В a sin ж (п — 1)а(а + 6 cos ж + с sin ж)пх (—с cos ж + b sin ж)х (—с cos ж + b sin ж)(2п - 1)!!(2п - 1)!!п — 1Ек=0п — 1Ек=0А п(ВЬ + Сс) а (п — 1)а2А п(ВЬ + Сс) а (п — 1)а2(21^2^3)!! (п — к — l)!afc(21^2^3)!! (п — к — l)!afc1(а + b cos ж + с sin x)H™k1(а + b cos ж + с sin x)H™k
2.
2.
Cb Вс + С a cos ж — В a sin ж (п — 1)а(а + 6 cos ж + с sin ж)п
Cb Вс + С a cos ж — В a sin ж (п — 1)а(а + 6 cos ж + с sin ж)п
х (—с cos ж + b sin ж)
х (—с cos ж + b sin ж)
(2п - 1)!!
(2п - 1)!!
п — 1
Е
к=0
п — 1
Е
к=0
А п(ВЬ + Сс) а (п — 1)а2
А п(ВЬ + Сс) а (п — 1)а2
(21^2^3)!! (п — к — l)!afc
(21^2^3)!! (п — к — l)!afc
1
(а + b cos ж + с sin x)H™k
1
(а + b cos ж + с sin x)H™k
Г2,2 ।21
\п 2; а = о + с J.
А + В cos ж + С sin ж , Вс — СЬ , .,..
-:аж = —— In а + о cos ж + с sin ж +
а + о cos ж + с sin жЬ2 + с2
ВЬ + СсВЪтСс \ Гdx
62 + С2 Ж + I ^2 с2 ] а + ^ cos ж 4- с sin х '
dx(а + b cos ж + с sin ж)dx(а + b cos ж + с sin ж)d(x — а)[а + т cos (ж — а)]пd(x — а)[а + т cos (ж — а)]п
dx
(а + b cos ж + с sin ж)
dx
(а + b cos ж + с sin ж)
d(x — а)
[а + т cos (ж — а)]п
d(x — а)
[а + т cos (ж — а)]п
6.6.7.7.10.10.[г cos а = 6, г sin а = с].[г cos а = 6, г sin а = с].dxa Ab cos ж + с sin жdxa Ab cos ж + с sin ж2(а - b) tg ^ + сVa2 -№ arCtg Va2 - 62 -[а > 0 + С J .2(а - b) tg ^ + сVa2 -№ arCtg Va2 - 62 -[а > 0 + С J .Vb2 + с2 ™ а2Vb2 + с2 ™ а2= - In= - Ina + ctg^a + ctg^(а - b) tg ™ + с - Vb2 + с2 - а2(а - 6) tg ^ + с + Vb2 + с2 - а2[а2 < 62 + с2].(а - b) tg ™ + с - Vb2 + с2 - а2(а - 6) tg ^ + с + Vb2 + с2 - а2[а2 < 62 + с2].с + (а - 6) tgdx^ж(а cos ж + bsinx)H ДГТ^Г^Т J /а\v v 1smn ж + arctg тс + (а - 6) tgdx^ж(а cos ж + bsinx)H ДГТ^Г^Т J /а\v v 1smn ж + arctg тА + В cos ж + С sin ж , ВаТСЬ —dx = —-™- а cos ж + о sin жа2 + оА + В cos ж + С sin ж , ВаТСЬ —dx = —-™- а cos ж + о sin жа2 + оВЪ^Саа2 + Ь2ВЪ^Саа2 + Ь21•/. аIn sin ж + arctg ™ \b1•/. аIn sin ж + arctg ™ \bА In tgVa2 + 62А In tgVa2 + 621212[а = 6].[а = 6].Г 2,2 | ^211^0, = b + С j .Г 2,2 | ^211^0, = b + С j .[см. 5.5].[см. 5.5].
6.
6.
7.
7.
10.
10.
[г cos а = 6, г sin а = с].
[г cos а = 6, г sin а = с].
dx
a Ab cos ж + с sin ж
dx
a Ab cos ж + с sin ж
2(а - b) tg ^ + с
Va2 -№ arCtg Va2 - 62 -
[а > 0 + С J .
2(а - b) tg ^ + с
Va2 -№ arCtg Va2 - 62 -
[а > 0 + С J .
Vb2 + с2 ™ а2
Vb2 + с2 ™ а2
= - In
= - In
a + ctg^
a + ctg^
(а - b) tg ™ + с - Vb2 + с2 - а2
(а - 6) tg ^ + с + Vb2 + с2 - а2
[а2 < 62 + с2].
(а - b) tg ™ + с - Vb2 + с2 - а2
(а - 6) tg ^ + с + Vb2 + с2 - а2
[а2 < 62 + с2].
с + (а - 6) tg
dx^ж
(а cos ж + bsinx)H ДГТ^Г^Т J /а\
v v 1smn ж + arctg т
с + (а - 6) tg
dx^ж
(а cos ж + bsinx)H ДГТ^Г^Т J /а\
v v 1smn ж + arctg т
А + В cos ж + С sin ж , ВаТСЬ —dx = —-™- а cos ж + о sin жа2 + о
А + В cos ж + С sin ж , ВаТСЬ —dx = —-™- а cos ж + о sin жа2 + о
ВЪ^Саа2 + Ь2
ВЪ^Саа2 + Ь2
1•/. а
In sin ж + arctg ™ \b
1•/. а
In sin ж + arctg ™ \b
А In tg
Va2 + 62
А In tg
Va2 + 62
1
2
1
2
[а = 6].
[а = 6].
Г 2,2 | ^21
1^0, = b + С j .
Г 2,2 | ^21
1^0, = b + С j .
[см. 5.5].
[см. 5.5].
Г Sin Ж ,1/,IX
аж = "™(ож ™ am асозж + обтж ).
J a cos ж + о sin ж а2 + Ь2
. _ f COS Ж ,1,
аж = "™(аж + ош acos ж + osin ж ).
J a cos ж + о sin ж а2 + Ь2
^^ fdx1 аз1пж™6со8ж
* J (acos ж + 6sin ж)2 a2 A b2 acosxTbsinx'
15.
17.
19.
20.
21.
22.
23.
8*
dx
а + b sin ж
dx
1
Vb2 — а*
2a tg э + 6
=^ arctg;^7;
— 1п 2
2
2 \ ь21
a tg ™ + b ™ \/Ь2 — а2
a tg ™ + b + Vb2 ™ а2
а + b cos жV»2 - Ь2
Va2 -b2 tg^ aretg—г а + о
2 > 62L
1 1п
V62 - а2
Vb2 - а2 tg - + а + 6
Vb2 — а2 tg — — а — b
А + В cos ж + С sin ж ^1
(1±81ПЖ)П™ 2п“Х
fc=O
tg2 w-
п-1 2ft+ 1
п-2
fc=O
,91. II / 7Г Ж
71-2 2fe + 1
В
(п — 1)(1 ± sin ж)
= ±Сж + (Л =F С) tg ^^ =р ^^ ± В In (1 ± sin ж)
А + В cos ж + С sin ж
(1 ± cos ж)
,1
dx =
2„™i
'п-2 tg±(2fc+l) £
2=£ti. 2tV
к=0
к
к=0
tgWD^2^ + 1
1)(1 ± COS х^™1
= ^Вх ±(А^В) tg±1 - =f С In (1 ± cos ж)
Л + В cos ж + С sin ж , :77— аж =
sin ж (а + о sin ж)
= — ln |tg|| - — In
Л + В cos ж + С sin ж , :7;т— аж =
sin ж (а + b cos ж)
а + b sin жsin ж
Са ™ АЬа
dx
а + b sin ж
1
а2 ™Ь2
(Ла — Bb) In |tg ™ | + (Ab — Ba) 1п
А + В cos ж + С sin ж , :гГТ\Ах = sin ж (1 ± cos ж)
± В 1 I ж I
— *П КЬ
а + b cos жsin ж
В^ А 1
21 ± cos ж
dxа + b cos ж
26.
27.
28.
где
Л2 =
A + В cos x + C sin жcos x (a + b sin ж), 1 k4 [(Aa-Cb) In
a2 ™ b2 \
A + В cos x + C sin жcos ж (1 ± sin ж)
2
dx =
(x x
4 + 2
dx =
— (Ab — Са) In
1П Ч4Л
A + В cos x + C sin ж , 7:; dx = cos x (a + b cos ж)
A
А л / x ж
= Tln tg( 4 + 2
a
HIna
а + b sin х
COS X
+ В f dk- •
J a + b sin ж
AtC2(1 ± sin ж)
a + b cos жcos ж
AT В cos x + C sin x
+ bi cos x + ci sin x^a^ + b^ cos x + C2 sin ж)
= Ло In
dx
C
c2
в
^2
ai
ai
ai bi
си b2
+ Stg
dx =
ai + bi cos ж + ci sin ж a2 + b2 cos ж + C2 sin ж
ai + bi cos ж + ci sin ж
Ai
C
c2
2
dx
a + b cos ж
dx
a2 + b2 cos ж + C2 sin ж ’
Ло =
2
2
2 ’
ai
«2
bi
^2
bl
Ь2
Ci
C2
ci
C2
ai
a2
A
a2
bi
b2
bi ci
^2 c2
2
A
a2
вb2
ci
C2
2
Cl
C2
ai
a2
o-i
0-2
bi
62
2
Cl
c2
«1
«2
2
bi
62
Cl
C2
2"
13. Интегралы вида Г-. J (а + бзт2ж)п
[Ь/а > -1].
2.=ArthV-а(а + 6)V-«(« + 6)2.=ArthV-а(а + 6)V-«(« + 6)tgж 1[6/a < — 1; sin2 ж > — а/б].tgж 1[6/a < — 1; sin2 ж > — а/б].
2.=Arth
V-а(а + 6)V-«(« + 6)
2.=Arth
V-а(а + 6)V-«(« + 6)
tgж 1
[6/a < — 1; sin2 ж > — а/б].
tgж 1
[6/a < — 1; sin2 ж > — а/б].
[ . Т 2 = A; arctg (^ £■
J 1 + sin ж у 2
_ Г dx
= tg®.
J 1 — sin ж
$ f dx1f dx b sin ж cos ж
J (a+ 6sin2 ж)2 2a(a + b) _J a + бsin2ж a + бsin2ж
dx(1 + sin2 ж)2dx(1 + sin2 ж)2arctg (V2 tg ж) +arctg (V2 tg ж) +sin ж cos ж 1 + sin2 жsin ж cos ж 1 + sin2 жdx1 Г /23 A ,.7- 9 A3 = б—з3 + "A + "A arctg(ptgж) +J (a Tb sin ж)3 8pa3 L\p^p4 )/23 A ptgж A 219 A 2ptgж\ p2 p4/l+p2tg2Ж \ p2 p2 /(l+p2tg2ж)2dx1 Г /23 A ,.7- 9 A3 = б—з3 + "A + "A arctg(ptgж) +J (a Tb sin ж)3 8pa3 L\p^p4 )/23 A ptgж A 219 A 2ptgж\ p2 p4/l+p2tg2Ж \ p2 p2 /(l+p2tg2ж)2[p2 = 1 + b/a > 0].[p2 = 1 + b/a > 0].9.9.= A^ (3 - -A + Л) Arth^tg®) + Bqax q2 q4), f о _ 2 _ qt>gx /212 A tg ж\ q2 g4/l — g2 tg2 ж \ g2 g2 /(1 —g2tg2ж)2= A^ (3 - -A + Л) Arth^tg®) + Bqax q2 q4), f о _ 2 _ qt>gx /212 A tg ж\ q2 g4/l — g2 tg2 ж \ g2 g2 /(1 —g2tg2ж)2[g2 = — 1 — b/a > 0; sin2 ж < --а/Ь^ при sin2 ж > —а/6 следует Arth(gtgж) заменить на Arcth (g tg ж)].[g2 = — 1 — b/a > 0; sin2 ж < --а/Ь^ при sin2 ж > —а/6 следует Arth(gtgж) заменить на Arcth (g tg ж)].К 1Л Ыf dx14. Интегралы вида ——.J (а + о cos2 ж)пК 1Л Ыf dx14. Интегралы вида ——.J (а + о cos2 ж)пdxa + b cos2 жdxa + b cos2 жsign а( а + b^===г arctg d ctg жл/а(аТЬ)V аsign а( а + b^===г arctg d ctg жл/а(аТЬ)V аф/а > -1].ф/а > -1].2.2.3.3.sign а.,//« + 6\, ь =- Arth а/ctg®V-<^ + b) А а;9[6/а < —1; cos" ж < —а/б].ArcthCtg®)у— a(a + 6)a J[b/a < —1; cos2 ж > —а/б].sign а.,//« + 6\, ь =- Arth а/ctg®V-<^ + b) А а;9[6/а < —1; cos" ж < —а/б].ArcthCtg®)у— a(a + 6)a J[b/a < —1; cos2 ж > —а/б].
dx
(1 + sin2 ж)2
dx
(1 + sin2 ж)2
arctg (V2 tg ж) +
arctg (V2 tg ж) +
sin ж cos ж 1 + sin2 ж
sin ж cos ж 1 + sin2 ж
dx1 Г /23 A ,.
7- 9 A3 = б—з3 + "A + "A arctg(ptgж) +
J (a Tb sin ж)3 8pa3 L\p^p4 )
/23 A ptgж A 219 A 2ptgж
\ p2 p4/l+p2tg2Ж \ p2 p2 /(l+p2tg2ж)2
dx1 Г /23 A ,.
7- 9 A3 = б—з3 + "A + "A arctg(ptgж) +
J (a Tb sin ж)3 8pa3 L\p^p4 )
/23 A ptgж A 219 A 2ptgж
\ p2 p4/l+p2tg2Ж \ p2 p2 /(l+p2tg2ж)2
[p2 = 1 + b/a > 0].
[p2 = 1 + b/a > 0].
9.
9.
= A^ (3 - -A + Л) Arth^tg®) + Bqax q2 q4)
, f о _ 2 _ qt>gx /212 A tg ж
\ q2 g4/l — g2 tg2 ж \ g2 g2 /(1 —g2tg2ж)2
= A^ (3 - -A + Л) Arth^tg®) + Bqax q2 q4)
, f о _ 2 _ qt>gx /212 A tg ж
\ q2 g4/l — g2 tg2 ж \ g2 g2 /(1 —g2tg2ж)2
[g2 = — 1 — b/a > 0; sin2 ж < --а/Ь^ при sin2 ж > —а/6 следует Arth(gtgж) заменить на Arcth (g tg ж)].
[g2 = — 1 — b/a > 0; sin2 ж < --а/Ь^ при sin2 ж > —а/6 следует Arth(gtgж) заменить на Arcth (g tg ж)].
К 1Л Ыf dx
14. Интегралы вида ——.
J (а + о cos2 ж)п
К 1Л Ыf dx
14. Интегралы вида ——.
J (а + о cos2 ж)п
dx
a + b cos2 ж
dx
a + b cos2 ж
sign а( а + b
^===г arctg d ctg ж
л/а(аТЬ)V а
sign а( а + b
^===г arctg d ctg ж
л/а(аТЬ)V а
ф/а > -1].
ф/а > -1].
2.
2.
3.
3.
sign а.,//« + 6\
, ь =- Arth а/ctg®
V-<^ + b) А а;9
[6/а < —1; cos" ж < —а/б].
ArcthCtg®)
у— a(a + 6)a J
[b/a < —1; cos2 ж > —а/б].
sign а.,//« + 6\
, ь =- Arth а/ctg®
V-<^ + b) А а;9
[6/а < —1; cos" ж < —а/б].
ArcthCtg®)
у— a(a + 6)a J
[b/a < —1; cos2 ж > —а/б].
[/^ ,=^- arctg (V5 ctg ж).
J 1 + cos2 ж у 2
, Г Аж .
1- ctg ж.
J 1 — cos2 ж
dx b sin ж cos жa + b cos2 ж a + b cos2 ж 'dx b sin ж cos жa + b cos2 ж a + b cos2 ж 'dx1
dx b sin ж cos ж
a + b cos2 ж a + b cos2 ж '
dx b sin ж cos ж
a + b cos2 ж a + b cos2 ж '
(a + b cos2 ж)2 2a(a + b)
dx(1 + cos2 ж)2dx(1 + cos2 ж)21414™r arctg (V5 ctg ж)™r arctg (V5 ctg ж)sin ж cos ж1 + cos2 жsin ж cos ж1 + cos2 ж
dx
(1 + cos2 ж)2
dx
(1 + cos2 ж)2
1
4
1
4
™r arctg (V5 ctg ж)
™r arctg (V5 ctg ж)
sin ж cos ж
1 + cos2 ж
sin ж cos ж
1 + cos2 ж
1 Г /23 \x
7—=—7 3 +arctg (pctgж) +
J (a + b cos2 ж)3 8pa4 p2 p4 J
+ A , A _ A^ + Л _ A _ A cte2 А 2р^ж
\ p2 p4) 1 + p2 ctg2 ж \ p2 p2 ) (1 + p2 ctg2 ж)2
[p2 = 1 + b/a > 0].
.=( 3 A + Л ) Arth(gctg:r) +
Sqa4 q q J
, f о _ 2 _ M 9 ctsж । A । 2 । 12 32^ ct-gж "
\ q2 q4 ) 1 ™ q2 ctg2 x \ q2 q2 ’/ (1 — q2 ctg2 ж)2
[g2 = —1 — b/a > 0; cos2 ж < — «/6; при cos2 x > — a/b следует Arth (q ctg ж) заменить на Arcth (q ctg ж)].
f A cos" ж + В sin ж cos ж + C sin" ж , 5.15. Интегралы вида ^dx.
J a cos2 x + b sin ж cos ж + c sin" ж
1.1.dxa cos2 ж + b sin ж cos ж + с sin2 жVb2 ™ 4асdxa cos2 ж + b sin ж cos ж + с sin2 жVb2 ™ 4ас2c tg ж + 6 — Vb2 ™ 4ac2c tg x + b + Vb2 ™ 4ac2c tg ж + 6 — Vb2 ™ 4ac2c tg x + b + Vb2 ™ 4ac[b2 > lac].[b2 > lac].22c tg x + b= 7==- arctg\/4ac ™ b2 V4ac ™ b222c tg x + bA cos2 ж + В sin ж cos ж + C sin2 ж , a cos2 ж + о sin ж cos ж + с sin ж22c tg x + b= 7==- arctg\/4ac ™ b2 V4ac ™ b222c tg x + bA cos2 ж + В sin ж cos ж + C sin2 ж , a cos2 ж + о sin ж cos ж + с sin ж[62 <lac].[62 <lac].[б2 = lac].[б2 = lac].11b2 T (a —b2 T (a —|[B6 + (A-C)(a|[B6 + (A-C)(a+ | [(д с^ь ™ В (a ™ c)] In | a cos2 ж + b sin ж cos ж + csin2 ж| + + | (A + C^b1 - | ВЦа + c) + (Ca - Ac^a - c)]+ | [(д с^ь ™ В (a ™ c)] In | a cos2 ж + b sin ж cos ж + csin2 ж| + + | (A + C^b1 - | ВЦа + c) + (Ca - Ac^a - c)]где/(ж) =где/(ж) =;1 InVb2 ™ 4ас 1V4ac ™ Ь2;1 InVb2 ™ 4ас 1V4ac ™ Ь22c tg ж + 6 — Vb2 — 4ac2c tg x + b + Vb2 — 4ac2c tg x — b arctg -—V4ac — b22c tg ж + 6 — Vb2 — 4ac2c tg x + b + Vb2 — 4ac2c tg x — b arctg -—V4ac — b2[b2 < lac],[b2 < lac],
1.
1.
dx
a cos2 ж + b sin ж cos ж + с sin2 ж
Vb2 ™ 4ас
dx
a cos2 ж + b sin ж cos ж + с sin2 ж
Vb2 ™ 4ас
2c tg ж + 6 — Vb2 ™ 4ac
2c tg x + b + Vb2 ™ 4ac
2c tg ж + 6 — Vb2 ™ 4ac
2c tg x + b + Vb2 ™ 4ac
[b2 > lac].
[b2 > lac].
22c tg x + b
= 7==- arctg
\/4ac ™ b2 V4ac ™ b2
2
2c tg x + b
A cos2 ж + В sin ж cos ж + C sin2 ж , a cos2 ж + о sin ж cos ж + с sin ж
22c tg x + b
= 7==- arctg
\/4ac ™ b2 V4ac ™ b2
2
2c tg x + b
A cos2 ж + В sin ж cos ж + C sin2 ж , a cos2 ж + о sin ж cos ж + с sin ж
[62 <lac].
[62 <lac].
[б2 = lac].
[б2 = lac].
1
1
b2 T (a —
b2 T (a —
|[B6 + (A-C)(a
|[B6 + (A-C)(a
+ | [(д с^ь ™ В (a ™ c)] In | a cos2 ж + b sin ж cos ж + csin2 ж| + + | (A + C^b1 - | ВЦа + c) + (Ca - Ac^a - c)]
+ | [(д с^ь ™ В (a ™ c)] In | a cos2 ж + b sin ж cos ж + csin2 ж| + + | (A + C^b1 - | ВЦа + c) + (Ca - Ac^a - c)]
где
/(ж) =
где
/(ж) =
;1 In
Vb2 ™ 4ас 1
V4ac ™ Ь2
;1 In
Vb2 ™ 4ас 1
V4ac ™ Ь2
2c tg ж + 6 — Vb2 — 4ac
2c tg x + b + Vb2 — 4ac
2c tg x — b arctg -—
V4ac — b2
2c tg ж + 6 — Vb2 — 4ac
2c tg x + b + Vb2 — 4ac
2c tg x — b arctg -—
V4ac — b2
[b2 < lac],
[b2 < lac],
1.
j* sin I
(аж + b) dx = ™— cos (аж + b).
2.
j* cos
(ax + b) dx = — sin (аж + b).
3.
| sin I
,sin [(a - с)ж + b ™ d]
\axо)a) ax —,x
2(a — c)
4.
j* cos
/, x,sin [(a ™ с)ж + b ™ d]
1 L</ еду [ (/ J Cub 1 Су еду | О/ 1 О/ еду у.
2(а — с)
5.
sin (
[ах + b) cos (сж + d) dx =
5.17. Интегралы вида | cos (аж + b) cos (сж + d) dx,
sin [(a + с)ж + b + d] 2(a + c)
sin [(a + с)ж + b + d] 2(a + c)
222с tg ж + 6dx(a cos2 ж + b sin ж cos ж + с sin2 ж)21b cos 2ж + (с ™ a) sin 2ж ।4ас — b2 a cos2 ж + b sin ж cos ж + с sin2 ж। 2(а + с) fdx4ас ™ Ь2 J a cos2 ж + b sin ж cos ж + с sin2 жГ ^ж= 16а--—;—J (2а cos ж + о sin ж)42с tg ж + 6dx(a cos2 ж + b sin ж cos ж + с sin2 ж)21b cos 2ж + (с ™ a) sin 2ж ।4ас — b2 a cos2 ж + b sin ж cos ж + с sin2 ж। 2(а + с) fdx4ас ™ Ь2 J a cos2 ж + b sin ж cos ж + с sin2 жГ ^ж= 16а--—;—J (2а cos ж + о sin ж)4[б2 =4ас].[б2 =4ас].[б2 ф 4ас].[б2 = 4ас].[б2 ф 4ас].[б2 = 4ас].1.2.1.2.„ лГ Д tg ж + В ,Интегралы вида л-dx.J a tg2 ж + b tg ж + сГ tgxdx 1 г = -т ж - a In a cos ж + sin ж .J tgж + а 1 + а21и„ лГ Д tg ж + В ,Интегралы вида л-dx.J a tg2 ж + b tg ж + сГ tgxdx 1 г = -т ж - a In a cos ж + sin ж .J tgж + а 1 + а21иж — а ,1 — а2—■— dx = ——-ж — а ,1 — а2—■— dx = ——-tg ж + аdxtg2 ж + а2dxtg2 ж — а2dx+ tg2 ж tg ж dxtg2 ж + а2tg ж + аdxtg2 ж + а2dxtg2 ж — а2dx+ tg2 ж tg ж dxtg2 ж + а22а 1 I,\I7 ш | sin (ж + arctg а) |.2а 1 I,\I7 ш | sin (ж + arctg а) |.11а2 ™ 1(а2 — 1)аж1а2 ™ 1(а2 — 1)аж1tg ж arctg.tg ж arctg.2(1 + а2)а2(1 + а2)аInInаtg ж — а tg ж + ааtg ж — а tg ж + аж 1 . о=+81п2ж.24In (а2 cos2 ж + sin2 ж)ж 1 . о=+81п2ж.24In (а2 cos2 ж + sin2 ж)2(1™ а2)2(1™ а2)зт(аж + 6) зт(сж + d) dx,зт(аж + 6) зт(сж + d) dx,sin (аж + b) cos (сж + d) dx.sin (аж + b) cos (сж + d) dx.6.6.7.7.2(a — c)| sin (аж + b) sin (аж + d) dx = ™ cos (6 — d) ™j* cos (аж + b) cos (аж + d) dx = — cos (b ™ d) +2(a — c)| sin (аж + b) sin (аж + d) dx = ™ cos (6 — d) ™j* cos (аж + b) cos (аж + d) dx = — cos (b ™ d) +cos [(а — с)ж + b ™ d] cos [(a + с)ж + b + d]cos [(а — с)ж + b ™ d] cos [(a + с)ж + b + d]2(а + с) sin (2аж + b + d)2(а + с) sin (2аж + b + d)4asin (2аж + b + d)4a4asin (2аж + b + d)4a
2
2
2с tg ж + 6
dx
(a cos2 ж + b sin ж cos ж + с sin2 ж)2
1b cos 2ж + (с ™ a) sin 2ж ।
4ас — b2 a cos2 ж + b sin ж cos ж + с sin2 ж
। 2(а + с) fdx
4ас ™ Ь2 J a cos2 ж + b sin ж cos ж + с sin2 ж
Г ^ж
= 16а--—;—
J (2а cos ж + о sin ж)4
2с tg ж + 6
dx
(a cos2 ж + b sin ж cos ж + с sin2 ж)2
1b cos 2ж + (с ™ a) sin 2ж ।
4ас — b2 a cos2 ж + b sin ж cos ж + с sin2 ж
। 2(а + с) fdx
4ас ™ Ь2 J a cos2 ж + b sin ж cos ж + с sin2 ж
Г ^ж
= 16а--—;—
J (2а cos ж + о sin ж)4
[б2 =4ас].
[б2 =4ас].
[б2 ф 4ас].
[б2 = 4ас].
[б2 ф 4ас].
[б2 = 4ас].
1.
2.
1.
2.
„ лГ Д tg ж + В ,
Интегралы вида л-dx.
J a tg2 ж + b tg ж + с
Г tgxdx 1 г = -т ж - a In a cos ж + sin ж .
J tgж + а 1 + а21и
„ лГ Д tg ж + В ,
Интегралы вида л-dx.
J a tg2 ж + b tg ж + с
Г tgxdx 1 г = -т ж - a In a cos ж + sin ж .
J tgж + а 1 + а21и
ж — а ,1 — а2
—■— dx = ——-
ж — а ,1 — а2
—■— dx = ——-
tg ж + аdx
tg2 ж + а2dx
tg2 ж — а2dx
+ tg2 ж tg ж dx
tg2 ж + а2
tg ж + аdx
tg2 ж + а2dx
tg2 ж — а2dx
+ tg2 ж tg ж dx
tg2 ж + а2
2а 1 I,\I
7 ш | sin (ж + arctg а) |.
2а 1 I,\I
7 ш | sin (ж + arctg а) |.
1
1
а2 ™ 1(а2 — 1)а
ж1
а2 ™ 1(а2 — 1)а
ж1
tg ж arctg.
tg ж arctg.
2(1 + а2)а
2(1 + а2)а
In
In
а
tg ж — а tg ж + а
а
tg ж — а tg ж + а
ж 1 . о
=+81п2ж.
24
In (а2 cos2 ж + sin2 ж)
ж 1 . о
=+81п2ж.
24
In (а2 cos2 ж + sin2 ж)
2(1™ а2)
2(1™ а2)
зт(аж + 6) зт(сж + d) dx,
зт(аж + 6) зт(сж + d) dx,
sin (аж + b) cos (сж + d) dx.
sin (аж + b) cos (сж + d) dx.
6.
6.
7.
7.
2(a — c)
| sin (аж + b) sin (аж + d) dx = ™ cos (6 — d) ™j* cos (аж + b) cos (аж + d) dx = — cos (b ™ d) +
2(a — c)
| sin (аж + b) sin (аж + d) dx = ™ cos (6 — d) ™j* cos (аж + b) cos (аж + d) dx = — cos (b ™ d) +
cos [(а — с)ж + b ™ d] cos [(a + с)ж + b + d]
cos [(а — с)ж + b ™ d] cos [(a + с)ж + b + d]
2(а + с) sin (2аж + b + d)
2(а + с) sin (2аж + b + d)
4a
sin (2аж + b + d)
4a
4a
sin (2аж + b + d)
4a
«. /, ж . zcos (2ах + о + d)
8. sin (аж + о) cos (аж + а) аж = — sin (о — а)
5.18. Интегралы вида | sinp ж sin ах dx.
f . р ., 8тржсозаж р f,
1. sin^ ж sin аж ах =1sin^ ж cos (а — 1)ж ах.
Jр+а р+а]
^8тржсозаж psinp™x ж sin (а ™ 1)ж
’pda(р + а)(р + а-2)
— 7— f sinp~2 ж sin (а — 2)ж dx
(р + а)(р + а™2) J;
о Г . р оо f sinp+2 ж
3. sinr ж sin 2пх dx = 2п<Н
J( р + 2
fc (4n^)(4n^^2kw 1
У J(2^ + 1)!(2^ + р + 2)81J
[р ф —2, —4, . . . , — 2п].
sinp+1 ж dx +
fc=ifc=ik [(2n + I)2 - l2][(2n + I)2 - 32] . . . [(2n + I)2 - (2k - I)2](2fc + l)!
fc=i
fc=i
gjn2fc+p+l ^ ^ I
5.6.7.5.6.7.sinp 1 ж sin (р + 1)ж dx = — sinp ж sin рж.рsinp 1 ж sin (р + 1)ж dx = — sinp ж sin рж.рsin1sin1sin аж ,_dx = 2sinp жsin аж ,_dx = 2sinp ж\ / 7Г ।,1. у/ X4- 1)ж dx = — sin^ ж cos р —\2рсоз(а^1)ж , Гб1п(а™2)ж , ■ 7-! ' dx + \ р ' dx.sinp XJ smp X\ / 7Г ।,1. у/ X4- 1)ж dx = — sin^ ж cos р —\2рсоз(а^1)ж , Гб1п(а™2)ж , ■ 7-! ' dx + \ р ' dx.sinp XJ smp X
5.
6.
7.
5.
6.
7.
sinp 1 ж sin (р + 1)ж dx = — sinp ж sin рж.р
sinp 1 ж sin (р + 1)ж dx = — sinp ж sin рж.р
sin1
sin1
sin аж ,_
dx = 2
sinp ж
sin аж ,_
dx = 2
sinp ж
\ / 7Г ।,1. у/ X
4- 1)ж dx = — sin^ ж cos р —
\2р
соз(а^1)ж , Гб1п(а™2)ж , ■ 7-! ' dx + \ р ' dx.
sinp XJ smp X
\ / 7Г ।,1. у/ X
4- 1)ж dx = — sin^ ж cos р —
\2р
соз(а^1)ж , Гб1п(а™2)ж , ■ 7-! ' dx + \ р ' dx.
sinp XJ smp X
81п2пж ,v-^ sin (2^ ™ 1)ж
—;dx = 2 >
sin ж2к ™ 1
fc=l
9.9.sin (2n + 1)жsin жsin (2n + 1)жsin жd® = Tfc=ld® = Tfc=lsin 2k xksin 2k xk
9.
9.
sin (2n + 1)жsin ж
sin (2n + 1)жsin ж
d® = T
fc=l
d® = T
fc=l
sin 2k xk
sin 2k xk
sin 2ж ,2
sin ж(n — 1) sinn 2 ж
f sin 2ж.
к—аж = 2 In sin ж .
J sin" ж
f sin Зж dx.
= x + 8ш2ж.
J sin ж
f sin Зж ,„. I ж I ,
—7— dx = 3 In tg ™ +4 cos x.
J sin" ж12 1
ГзтЗж , o.
о— dx = ™3 ctg ж — 4ж.
J sin ж
Интегралы вида j sinp х cos ах dx.
Г . р, smpxsmax р f . p-i . /,
sin^ х cos ах ах =sin х sin а — 1)ж ах.
JрТа рТaJ
^sinp х sin ах р sinp-1 х cos (а — 1)ж
р + а(р + а) (р + а - 2)
"22)рпр-2 х cos (а - 2)Ж dx
| sinp ж cos 2n® d® = | sinp ж d® +
+ ^(-i)^^!^Z.ZZgill fж dx
, Г pi sinp+1 ж
x sin2fc+p+1 XA billXx sin2fc+p+1 XA billXJ sin x cos (2n + 1)ж dx = , h
x sin2fc+p+1 X
A billX
x sin2fc+p+1 X
A billX
6.
sinp 1 x cos (p + 1) f ™
cos ax ,Г sin (a — 1)ж , f cos (a — 2)ж ,
dx = ^2; dx + \ dx.
sinp XJ sinp жJ sinp X
8.8.cos 2пжsin xcos 2пжsin xdx = 2 ^^dx = 2 ^^cos (2A; — 1)ж, I ж IL , H4=5l-cos (2A; — 1)ж, I ж IL , H4=5l-
8.
8.
cos 2пжsin x
cos 2пжsin x
dx = 2 ^^
dx = 2 ^^
cos (2A; — 1)ж, I ж I
L , H4=5l-
cos (2A; — 1)ж, I ж I
L , H4=5l-
cos 2 жsin xcos 2 жsin x11.11.cos 2 ж sin2 x cos 2ж sin3 x cos Зжcos 2 ж sin2 x cos 2ж sin3 x cos Зжdx = — ctg ж — 2ж.dx = — ctg ж — 2ж.dx = —dx = —sin,b xsin,b xdx =dx =cos x 3,1 ж Ii^-2ln|tg2l'4cos x 3,1 ж Ii^-2ln|tg2l'411- 3) sinn"3- 3) sinn"3(n — 1) sinn 1 x(n — 1) sinn 1 x
cos 2 жsin x
cos 2 жsin x
11.
11.
cos 2 ж sin2 x cos 2ж sin3 x cos Зж
cos 2 ж sin2 x cos 2ж sin3 x cos Зж
dx = — ctg ж — 2ж.
dx = — ctg ж — 2ж.
dx = —
dx = —
sin,b x
sin,b x
dx =
dx =
cos x 3,1 ж Ii^-2ln|tg2l'
4
cos x 3,1 ж Ii^-2ln|tg2l'
4
1
1
- 3) sinn"3
- 3) sinn"3
(n — 1) sinn 1 x
(n — 1) sinn 1 x
_ f соб(2п + 1)ж ,cos2kx , , ..
Ц™dx=> Un sin ж .
J sin xk
dx = 2 cos ж + In |tg ™ |.
л fcosЗжJ sin xfcosЗжI оJ sin xл fcosЗжJ sin xfcosЗжI оJ sin x
л fcosЗж
J sin x
fcosЗж
I о
J sin x
л fcosЗж
J sin x
fcosЗж
I о
J sin x
dx = ™2 sin2 ж + In | sin ж|.
dx =4 In I sin xl.
2 sin2 x 11
5.20. Интегралы вида cosp х sin ах dx.
1.
2.
р, cosp ж cos аж ( р Г,
cos х sin ах dx =1cos х sin (а — 1)ж ах.
р + а р + a J
„., ^n(cosp+2x
k=i
7 ( р + 2
k (422lL+Z^^cos2A:+p+2
(2fc + 1)1(2^ + р + 2)
[р + —2, —4, . . . , —2п].
3.
4.
5.
6.
J cosp х sin (2n + 1)ж dx = (—1) + |к
A , №n + l)2 - P][(2n + I)2 - 32] ... [(2n + I)2 - (2fe - I)2] +/’(2fe)!(2fe + p + l)
X cos2fc+p+1 x | [p +, ^(2n + 1)].
cosp™x x sin (p + 1)ж dx = — — cosp ж соврж.
JP
f sin ax , f sin (a — 1)ж , f sin (a — 2)ж , dx = 2 1 dx — ™ dx.
J COSP XJ COS^™1 XJ COSP X
Г sin (2n + 1)® d$ = A +fc+1cos2te + (-1)n+i ln | cosa.|.
J cos xк
sin 2пж , dx
COS X
= 2Еи)
n+fc+i cos(2fe - 1)ж 2k - 1
f 81п2ж2
dx = —.
J cosn x— 2) cosn 2 x
f вт2ж ,,
— dx = —2 In cos x .
J COS2 X
в!пЗж ^ _41
cosn x (n — 3) cosn™3 x (n — 1) COSn™X X
dx = 2 sin ж + In собж .
J COS X
f 81пЗж1.,
— dx =4 In I cos x .
J cos3 x2 cos2 x
5.21. Интегралы вида cosp ж cos ax dx.
pj со8ржвтаж p f.
cos x cos ax dx =1cos ж cos (a — 1)ж dx.
p + a p + a J
cosp x cos 2nx dx =
cosp x dx +
cos2fc+p x dx >.cos2fc+p x dx >.
cos2fc+p x dx >.
cos2fc+p x dx >.
fc4n2[2n2 - 22] . . . [4n2 - (2k - 2)2]
k=lk=l(2fe)!
k=l
k=l
3.
cosp+1 x dx +
k=i
k [(2n + I)2 - T][(2n + I)2 - 32] . . . [(2n + I)2 - (2fe - I)2]
(2fe + l)!
cos2fc+p+1 x dx >.
4.
cosp 1 x cos (p + 1)ж dx = — cosp ж sin px.p
5.
c_2^Ldx = ^c_2PzPd$_
COSp XJ COS?3™1 X
? (a — 2)ж , —™ dx.
COSP X
6.
cos 2пж
cos ж
& = 2£(-l)
k^X
fc sin ^k — 1)ж
2k - 1
+ (-1) In tg ( 4 + 2
7.
"2n + 1)ж cos x
k sin 2kx
k=i
k
8.
9.
cos 2 ж
dx = 2 sin ж — h
COS X
cos 2ж
— dx = 2ж — tg x.
COS2 X
_ _ f cos 2ж
40.—
J COS4 X f cos Зж
sin x
dx —-
2 cos^ x
1 2
7Г
Ж
tg (1
Б V 42
COS Xcos ЗжCOS2 Xcos Зжcos3 ж
dx = sin 2ж — x.
dx = 4 sin ж — 3 In tg
dx = 4ж — 3 tg ж.
42
f sin X , f COS X , 5.22. Интегралы вида —аж, dx.
J sin nx J cos nx
sinm x dxsin (2n + 1)ж
1
2n + 1
2n
n+fc cos'1
fc=O
f sin2m ж
J 8ш2пж
(-I)n г
dx =
2n
In | COS X
k ‘
COS
Lfc = 1
sin2m+1$,(-l)n
—:dx =
sin 2пж2n
k=i
In tg
tg
4
sin
k ™ nж
_2(2n + 1)+ 2
sin
k + n + 1x
_2(2п + 1)7Г2,
2k + 1
X In
_2(2n + l) %
ku 2. ;
— In cos x — sin
2
2
2n
2
n + k ж \
n — k4n
2n].
ku
2n
ж
2
4.
COS™ Ж ,1\ к '
dx = - > ( •■■■■■■■■■■ 1)'с cos'
СО8ПЖП
fc=O
2^ + 1 .
7Г Ш
2п
.(2k +1ж
8111 —i 7Г + ™
\ 4п2
.(2k +1ж
Sin 7Г ™ —
\ 4п2
\т + п].
1.
2.
3.
1.
5.23. Интегралы
sin X
—7-— dx = 5 (2n + 1)ж
вида
sin ж , ах.
cos пх
И+Н L
In
2n + 11
(TV ж 4~2
. Г2п + 2А; + 1
X In tg —~c-
6 [ 4(2n + 1)
sin" ' Ж
cos (2n + 1)ж 2n + 1
i X i +2m + l
+ > (-1) cos ■
sin™ x
cos 2пж
k=l
2
v' k=l
Г2п - 2fe + 1tg [ 4(2n + 1) 77
In | cos ж | +
ku
2n + 1
i2.2
In COS X — sin
2
ku
2n + 1
ku
2n + 1
dx = — V (™l)n+fccos‘
2n k 7
fc=O
2k + 1
4n
x In
. (2k™2nTXsin
\ 8n
. (2kT2nTl sin
\ 8n
2
2
\m < 2n].
r nCOS Ж
5.24. Интегралы вида —dx.
J sin nx
cos2m + 1 xsin (2n + 1)ж
dx =
1
2n + 1
In | sin ж | +
, X i \ k 2m+l ^^ i -2• 2
+ > — 1) COS In sin X — sin
}2n + 1
ku
2n + 1
\m + n].
f cos2m X ,1 I Ж I
2.— dx = In tg - +
J sin (2n + 1)ж 2n + 1 |_ I 6 2 I
k :cos
k=i
ku
2n + 1
,/ xku \(x
In tg —Itg —
6 \ 2 4n + 2 J \ 2
ku \
4n + 2 /
\m + n].
3.
cos2m+1 X
sin 2пж
,1
dx = — 2n
lnltgll +
n — 1
I1 \2m + l
+ c°s
fc=i
ku .
— In
2n
(x kn\tg(2 + 4dtg
X
2
ku \
4n /
\m < n].
4.
cos2m X sin 2пж
dx = — 2n
In I sin ж |cos2m In
2-^2n
■fc=i
.2. 2 ku
sin x — sin —
2n
Интегралы вида j sinZ х cosm ж sinn+1//2 2ж dx.
Гр.2(2m + n + 2)
sin2m+1 ж sinn+1^2 2ж dx = 2n+3/2 —— dt\t = Vtg ж 1 •
JJ (f4|\m+n+2L v ь j
о,n n+3 / 2,г/ , i
= — 27; — att = v ctg Ж .
J M 4. ^\m+n+2L v & j
Pp.2(2m + n + 2)
cos2m+1 x sinn+1//2 2ж dx = _2n+3/2 —— dt
JJ (f4 + l)m+^+2
[t = Vctg$].
Pf2(n+l)
= 2n+3/2 —— dt\t = Vtg^l -
j। |\m+n+2L v ь j
pp f2(n+2)
sin x cos2m x sinn+1^2 2ж dx = 2n+3^2 ——■—— dt
JJ (t4 + l)m+n+2
[t =
Pp .2(n+2)
cos x sin2m x sin"+1//2 2ж dx = ^2n+3//‘2 —— dt
JJ (t4 + l)m+n + 2
7.7.= — | cos xVsill 2ж +
7.
7.
+ ” [In (sin x + cos x + Vsin 2ж ) + arcsin (sin ж — cos ж)].
8.
cos ж Vsin 2ж dx = —
1 .
- sin X
2
V sin 2 ж +
cos ж)].cos ж)].
cos ж)].
cos ж)].
Vsin 2ж ) + arcsin (sin ж
„f sin±z ж cos±m ж ,
Интегралы вида -гутdx.
J sinn+1/2 2ж
f 8Ш2т+1Ж
J sin^Va 2ж d$ -
[n m + 1].[n m + 1].tg3/^ktg2—"+2^
[n m + 1].
[n m + 1].
2n-i/2 2^”“m“4m-2n + 4fe + 3
fe=O
f cos2m+1 X
J «п^гж
[n m 4- 1].[n m 4- 1].= _ ctg^ykctg2—+2^
[n m 4- 1].
[n m 4- 1].
2n™i/2 Z^ n m 1 4Ш _ 2n 4- 4P 4- з fc=O
Sin Ж1 r , .г™,—.• / •
-^=^= dx = - In sin x + cos ж — Vsin 2ж ) + arcsin sin ж — cos ж) .
J vln^ 2 L x7x
л f COS Ж ,1 ri / -Г".—
-dx = - In sin x + cos ж + Vsin 2ж ) + arcsin sin ж — cos ж) .
J2
fdxJ sin2m+1 ж sinn+1/2 2жfdxJ cos2m+x х sinn+1//2 2жfdxJ sin2m+1 ж sinn+1/2 2жfdxJ cos2m+x х sinn+1//2 2ж_ctg^^ k
fdx
J sin2m+1 ж sinn+1/2 2ж
fdx
J cos2m+x х sinn+1//2 2ж
fdx
J sin2m+1 ж sinn+1/2 2ж
fdx
J cos2m+x х sinn+1//2 2ж
2n™1/2 Z^ m+n 4Ш 2n — 4k + 1 fc=O
tg^tgW^^
2n-i/2 Z^ m+™ 4Ш 2n — 4k + 1 fc=O
1ЖСО8±2тЖ = tg3/2Жn^1 ktg2^X
■s x sin±2m x _ctg3//‘2 x ^^Zy 1ctg2k™n x
9.9.lk^m+n^i^k жm+7ZlTO + 2/7X=F 2Llk^m+n^i^k жm+7ZlTO + 2/7X=F 2L1.1.sin x cosn+1//2 2ж dx =C°S Ж Vcos 2ж x 2(n + 1)"l4fc(2n + l)(2n^l)...(2n^2fe + l)sin x cosn+1//2 2ж dx =C°S Ж Vcos 2ж x 2(n + 1)"l4fc(2n + l)(2n^l)...(2n^2fe + l)fc = Ofc = O2.2.cos x cosn+ ' 2ж dxcos x cosn+ ' 2ж dx2fc+xn(n — 1) . . . (n — k) (2n + l)!!V (2n + 2)!!V2sin ж ,——-V cos 2 x x2(n + 1)2fc+xn(n — 1) . . . (n — k) (2n + l)!!V (2n + 2)!!V2sin ж ,——-V cos 2 x x2(n + 1)cos 2x +cos 2x +, // cos 2жIn I cos ж + у —2—, // cos 2жIn I cos ж + у —2—x cos11 2ж + ^2 _fc=Ox cos11 2ж + ^2 _fc=O(2^(2^2fc+1n(n — 1) . . . (n — k)2fc+1n(n — 1) . . . (n — k)cos 2x +cos 2x +(2n +1)!!• / A • 'i arcsm (V2 sin ж).(2n +1)!!• / A • 'i arcsm (V2 sin ж).m^+V2 2ж = ” 2—V2 £v
9.
9.
lk^m+n^i^k ж
m+7ZlTO + 2/7X=F 2L
lk^m+n^i^k ж
m+7ZlTO + 2/7X=F 2L
1.
1.
sin x cosn+1//2 2ж dx =C°S Ж Vcos 2ж x 2(n + 1)
"l4fc(2n + l)(2n^l)...(2n^2fe + l)
sin x cosn+1//2 2ж dx =C°S Ж Vcos 2ж x 2(n + 1)
"l4fc(2n + l)(2n^l)...(2n^2fe + l)
fc = O
fc = O
2.
2.
cos x cosn+ ' 2ж dx
cos x cosn+ ' 2ж dx
2fc+xn(n — 1) . . . (n — k) (2n + l)!!
V (2n + 2)!!V2
sin ж ,—
—-V cos 2 x x
2(n + 1)
2fc+xn(n — 1) . . . (n — k) (2n + l)!!
V (2n + 2)!!V2
sin ж ,—
—-V cos 2 x x
2(n + 1)
cos 2x +
cos 2x +
, // cos 2ж
In I cos ж + у —2—
, // cos 2ж
In I cos ж + у —2—
x cos11 2ж + ^2 _fc=O
x cos11 2ж + ^2 _fc=O
(2^
(2^
2fc+1n(n — 1) . . . (n — k)
2fc+1n(n — 1) . . . (n — k)
cos 2x +
cos 2x +
(2n +1)!!• / A • 'i
arcsm (V2 sin ж).
(2n +1)!!• / A • 'i
arcsm (V2 sin ж).
3.3../, cos x /„1 1 //cos 2ж
3.
3.
sin xv cos 2x dx =v cos 2x H In cos ж + v
22V2\ V 2
4.4./— , sin x /—1- /x
4.
4.
созжу cos 2x dx = усоз2ж H arcsm V2 sin ж).
22V2
5.
sin x dx
cos x
cosn+1/2 2ж (2n — 1) cosn x/2 2ж
n —2
fc=O
(2n - 3)(2n - 5) . . . (2n - 2k - 3)
cosfc+1 2ж .
COS Ж y4 (-l)"+'=+l2'= ck cos2*=Vcos 2ж “ 2fc + 1"-1 cos^ 2ж "
Г cos жsin ж
’ J cosn+1/2 2ж Ж (2п — 1) cos71™1/2 2ж Х
X h + V 2^(n-lXn-2)^^fc^l) cos W 2ж [^ (2n-3)(2n-5)...(2n-2fe-3)
.n — 1_ k
R_ Sin Ж ул 2sin ж
'Vcos 2® ^ 2fe + 1 n-1 cosfe 2® ’
f sin ж ,1 . //со8 2ж\
^=^=- аж = In cos ж — л/ .
J Vcos 2ж V2 \ V 2/
f COS Ж1• /• X
аж =arcsin (v2 sin ж .
J Vcos 2 жV2
Интегралы вида |(a + bcos ж + csin ж)^^O2 Дж.
i । • xn+i/2 , T T .\i/2 v^/ !(1 T sin а$У
1. (1±81паж)^/ dx = =F-(1 ^81пж) '—2A? + 1
dx
(1 ± sin аж)п+1/2
cos ажзТ™1 (2n — l)(2n — 3) . . . (2n — 2A? — 1)
2™na(l ± 8таж)п+1/2j“ (2n — 2)(2n — 4) . . . (2n — 2A? — 2)
x2"-^l±sinM)<^x2"-^l±sinM)<^2"+V2a ln2"+V2a lnV2 +(1T sin аж)1/2V2 — (1 =F sin аж)1/2V2 +(1T sin аж)1/2V2 — (1 =F sin аж)1/2
x2"-^l±sinM)<^
x2"-^l±sinM)<^
2"+V2a ln
2"+V2a ln
V2 +(1T sin аж)1/2
V2 — (1 =F sin аж)1/2
V2 +(1T sin аж)1/2
V2 — (1 =F sin аж)1/2
4.4.5.5.1.1.2.2.dx_sin аж(1 ± cos аж)п+1/2 2nna(l + cos аж)п+1/2dx_sin аж(1 ± cos аж)п+1/2 2nna(l + cos аж)п+1/2-n — 22”-1 + 52■k=0-n — 22”-1 + 52■k=0(2n - l)(2n - 3) . . . (2n - 2k - 1)(2n - 2)(2n ™ 4) . . . (2n - 2A? - 2)(2n - l)(2n - 3) . . . (2n - 2k - 1)(2n - 2)(2n ™ 4) . . . (2n - 2A? - 2)2nk2 /-1 I\и+1(1 ± cos аж)2nk2 /-1 I\и+1(1 ± cos аж)(2n-l)!!1 V2 + (1 ^pcosa®)1/2(2n)!!' 2"+V2a n ^2 - (1 =p cos a®)1/2 '(2n-l)!!1 V2 + (1 ^pcosa®)1/2(2n)!!' 2"+V2a n ^2 - (1 =p cos a®)1/2 '(c cos x — b sin ж) dx(a + b cos ж + c sin ж)р(c cos x — b sin ж) dx(a + b cos ж + c sin ж)р(c cos x — b sin x) dxa + b cos x + c sin ж(c cos x — b sin x) dxa + b cos x + c sin ж—-—(a + 6 cos x + c sin ®) p+1 1 -p—-—(a + 6 cos x + c sin ®) p+1 1 -pIn | a + b cos ж + c sin ж |.In | a + b cos ж + c sin ж |.5.29. Интегралы вида j sin±m ж(1 — k2 sin2 x)ndx. Обозначение: A = \/l — k*2 sin*2 ж , 0 < к2 < 1.iCOS Ж 1 — к2 ixJ2 2k V15.29. Интегралы вида j sin±m ж(1 — k2 sin2 x)ndx. Обозначение: A = \/l — k*2 sin*2 ж , 0 < к2 < 1.iCOS Ж 1 — к2 ixJ2 2k V1sin3 x dx =sin3 x dx =2k2 sin2 x + ЗА?2 - 12k2 sin2 x + ЗА?2 - 1A cos x +A cos x +ЗА?4 - 2k2 - 18 A?3ЗА?4 - 2k2 - 18 A?3In (A? cos x + A).In (A? cos x + A).
4.
4.
5.
5.
1.
1.
2.
2.
dx_sin аж
(1 ± cos аж)п+1/2 2nna(l + cos аж)п+1/2
dx_sin аж
(1 ± cos аж)п+1/2 2nna(l + cos аж)п+1/2
-n — 2
2”-1 + 52
■k=0
-n — 2
2”-1 + 52
■k=0
(2n - l)(2n - 3) . . . (2n - 2k - 1)
(2n - 2)(2n ™ 4) . . . (2n - 2A? - 2)
(2n - l)(2n - 3) . . . (2n - 2k - 1)
(2n - 2)(2n ™ 4) . . . (2n - 2A? - 2)
2nk2 /-1 I\и+1
(1 ± cos аж)
2nk2 /-1 I\и+1
(1 ± cos аж)
(2n-l)!!1 V2 + (1 ^pcosa®)1/2
(2n)!!' 2"+V2a n ^2 - (1 =p cos a®)1/2 '
(2n-l)!!1 V2 + (1 ^pcosa®)1/2
(2n)!!' 2"+V2a n ^2 - (1 =p cos a®)1/2 '
(c cos x — b sin ж) dx(a + b cos ж + c sin ж)р
(c cos x — b sin ж) dx(a + b cos ж + c sin ж)р
(c cos x — b sin x) dxa + b cos x + c sin ж
(c cos x — b sin x) dxa + b cos x + c sin ж
—-—(a + 6 cos x + c sin ®) p+1 1 -p
—-—(a + 6 cos x + c sin ®) p+1 1 -p
In | a + b cos ж + c sin ж |.
In | a + b cos ж + c sin ж |.
5.29. Интегралы вида j sin±m ж(1 — k2 sin2 x)ndx. Обозначение: A = \/l — k*2 sin*2 ж , 0 < к2 < 1.
iCOS Ж 1 — к2 ix
J2 2k V1
5.29. Интегралы вида j sin±m ж(1 — k2 sin2 x)ndx. Обозначение: A = \/l — k*2 sin*2 ж , 0 < к2 < 1.
iCOS Ж 1 — к2 ix
J2 2k V1
sin3 x dx =
sin3 x dx =
2k2 sin2 x + ЗА?2 - 1
2k2 sin2 x + ЗА?2 - 1
A cos x +
A cos x +
ЗА?4 - 2k2 - 1
8 A?3
ЗА?4 - 2k2 - 1
8 A?3
In (A? cos x + A).
In (A? cos x + A).
3.3.A3 sin ж dx =A3 sin ж dx =2 А?2 sin2 ж + ЗА?2 — 5 А A cos ж82 А?2 sin2 ж + ЗА?2 — 5 А A cos ж83(1 - А?2)23(1 - А?2)2In (A; cos ж + А).In (A; cos ж + А).4.4.A3 sin3 ж dxA3 sin3 ж dx8А;4 sin4 ж + 2А?2 (5А?2 - 7) sin2 ж + 15 А?4 - 22А;2 + 38А;4 sin4 ж + 2А?2 (5А?2 - 7) sin2 ж + 15 А?4 - 22А;2 + 348 А?2л5 А'6 - 9k4 + ЗА;2 + 1 , И ,х A cos ж—In (A? cos ж + А).16k,48 А?2л5 А'6 - 9k4 + ЗА;2 + 1 , И ,х A cos ж—In (A? cos ж + А).16k,
3.
3.
A3 sin ж dx =
A3 sin ж dx =
2 А?2 sin2 ж + ЗА?2 — 5 А A cos ж
8
2 А?2 sin2 ж + ЗА?2 — 5 А A cos ж
8
3(1 - А?2)2
3(1 - А?2)2
In (A; cos ж + А).
In (A; cos ж + А).
4.
4.
A3 sin3 ж dx
A3 sin3 ж dx
8А;4 sin4 ж + 2А?2 (5А?2 - 7) sin2 ж + 15 А?4 - 22А;2 + 3
8А;4 sin4 ж + 2А?2 (5А?2 - 7) sin2 ж + 15 А?4 - 22А;2 + 3
48 А?2
л5 А'6 - 9k4 + ЗА;2 + 1 , И ,
х A cos ж—In (A? cos ж + А).
16k,
48 А?2
л5 А'6 - 9k4 + ЗА;2 + 1 , И ,
х A cos ж—In (A? cos ж + А).
16k,
Г А^ж J sin ж f ^ dx J sin3 жГ А^ж J sin ж f ^ dx J sin3 ж1 . А + cos ж , , /,л х
Г А^ж J sin ж f ^ dx J sin3 ж
Г А^ж J sin ж f ^ dx J sin3 ж
— |пр k In (к cos ж + А).
2 А - cos ж 4’
^ cos ж 1 — к2 , А + cos ж —.— — _|_—,
2 sin ж 4 А — cos ж
„f sin±m ж dx
Интегралы вида -—-——.
J (1 - к2 sin2 ж)”/2
Обозначение: Д = V1 — &2 sin2 ж , 0 < к2 < 1.
1.1.f sin жcos ж( р ™ 3 f sin ж
1.
1.
J XX Ж = ХХХХХДдЛ2 + (p-2)(l-fc2) J ДХ^ Ж'
f sin ж ,
dx =
J Д2п + 1
= _ cos ж V2((п — 1)(п — 2) . . . (п — Z — 1)
'4^ (2п - 1)(2п - 3) . . . (2n - 2Z - 1)(1 - к2у+г Д2» 2/ I '
1 VX (-^ cos2i+x С1 — х2)г‘ ^ " 1 2Z + 1 Д2^1
ДР+З(р + ^^^ _ £2)Др+1'
2(р — l)fc2 -р + 2 Г sinp-2 жр — 3 f sinp-4 ж
+ ДХИДдХГру J др+1 d$ + (УДЛДДТ^к2) J др-1 dx
_ f sin” ж , sin” 3 ж .
—т— dx = -—A cos ж +
J А(п^1)к2
(п — 2)(1 + к2) f 81пп™2ж. , п ™ 3 f sinn™4 ж ,
(п ™ 1)к2 J А(п 1)к2 J А
л f sin ж,1 ,А ™ A; cos ж1.х1. , ., х
—;— dж = — ш = — — In (A; cos ж + А = - In А - к cos ж).
J А 2кА + A; cos жк v1к v1
_ f sin3 ж , A cos ж 1 + к2 . ,.. х
j__da; = ____1п(ксо8ж+д).
sin ж _ cos ”^dx= (l^F)A
9.9.sin3 ж ,cos ж1 , zл x
9.
9.
^da: = -W^)A+^ ( °8Ж+ }’
f dx
J A sinn x
Асовж (n —2)(1 + A;2) f dx (n ™ 3)k2 f dx(n — 1) sinn™x ж n — 1 J Asinn”2 ж n — 1 J Asinn”4 ж
11.
f dx1 , A + cos x , A + cos ж
= -^ In "7 = In:•
12.
J A sin x2 A ™ cos жsin ж
f dxA cos ж 1 + k2 , A + cos ж
1.
J A sin x2 sin ж4A — cos ж
5.31. Интегралы вида Jcos±m ж(1 — k2 sin2 x)n^2 dx. Обозначение: A = V1 ™ ^2 sin2 ж , 0 < k2 < 1.
f A,A sin x 1.x
A cos ж dx = h — arcsin (k sin ж).
J22k
2.
f A з ,2A?2 cos2 x + 2k2 + 1 Л .4A?2 — 1..
A cos x dx = — A sin x H—-— arcsin (k sin ж
JoK
3.
Г лЗг—2A?2 sin2 ж + 5 . .3•\
A cos x dx = A sin ж + — arcsin (k sin x).
J8ok
4.
A3 cos3 x dx =
8 А?4 sin4 ж - 2 А?2 (6 А?2 + 7) sin2 ж + 30A?2 + 3
5.
A dx
cos ж
48P
V1 — &2 , A + V1 — &2 sin ж
In —==:=
2
A — V1 ~ k2 sin ж
6.
A dx
COS3 X
A sin ж
2 cos2 ж
5.32. Интегралы
1.
2.
3.
4.
д . 6fc2-l .,
A sin ж H—— arcsin (k sin ж).
16Ar
+ k arcsin (k sin ж).
1. A + V1 — &2 sin x
—,In,
4V1 — k2 A — V1 ~ A:2 sin ж
f cos±m x dx
Д J (1 — k2 sin2 ж)п/2
Обозначение: A = V1 ™ ^2 sin2 ж , 0 < k2 < 1.
cos xsin x
—;— dx = -——-
A? (p - 2)A^™2
COS X ,.
A o . dx = - sin ж >
Д2п+1Z_v
/=0
Z=0
COS X
—;— dx =
A
p — 3 f cos x .
то dx.
p - 2 J Ap™2
(2n - l)(2n - 3) . . . (2n - 2/ - i)A2n-2z-
4k21 sin2Z+1 X
n-1 (21 + 1)А2г+1 •
cosn™3 x A .
(n — 2) (2A?2 — 1) f cos™ 2 x
(n — l)k2 J А Ж
(n - 3)(1 - A?2) f cos™"4 ж
— 1)A?2 J А Ж
„ f cos ж ,1. /, .\sin ж
—г— dx = — arcsin k sin ж) = — arctg —-—.
J A k x 1 k
_ f cos3 ж , A sin ж 2k2 — 1.. x
J dx =+ 2fc3 arcsin (k sin
_ f cos x , sin x
л q dx =.
J A3 A
9 А.Ю. Брычков и др.
8.
9.
cos3 ж
А3
dx
dx
Acos™ х
(1 — k2) sin x1.x
= — —7-7h — arcsm (k sin ж).
k2k,
_A sin ж
(n — 1)(1 — k2) cos™™1 x
(п^ф2Аг^1) f dx(n-^k2 f dx
(n — 1)(1 — k2) J A cos™”2 ж (n — 1)(1 — k2) J A cos™”4 ж
10.11.10.11.dxA cos xdxA cos3 xdxA cos xdxA cos3 x1, A — V1 ~ A?2 sin x
10.
11.
10.
11.
dx
A cos x
dx
A cos3 x
dx
A cos x
dx
A cos3 x
, In, .
2V1 — k2 A + V1 — A?2 sin x
A sin x2k2 — 1 A — V1 — A?2 sin ж
2(1 - k2) cos2 ж + 4(1 - A?2)3/2 ° A + V1 - k2 sin ж '
Интегралы вида j sinm ж cos™ ж (1 — k2 sin2 ж )p dx. Обозначение: A = V1 ~ k2 sin2 ж , 0 < k2 < 1.
△
1.1.p • m n *1f Л p+2 • m —3n + 1,
1.
1.
sin x cos ж аж = -—— <sin ж cos ж +
(m + n + p)k2 I
+ [m + n — 2 + (m + p — 1)A?2] J Ap sinm™2 ж cos™ ж dx —
— (m — 3) f Ap sinm-4 x cos™ ж t/ж J.
2.
-—— { Др+2 sin' + n + p)k2 I
n — 3,
X cos x +
+ [(n + p — 1)A?2 — (m + n — 2)(1 — A?2)] Ap sinm ж cos™ 2 ж dx +
+ (n — 3)(1 — A?2) Ap sinm x cosn 4 ж t/ж J.
3.4.5.6.7.8.3.4.5.6.7.8.Ap sin x cos™ ж dx =Ap sin x cos™ ж dx =др+2 CQSn~i ж(n + p + 1)A?2др+2 CQSn~i ж(n + p + 1)A?2Ap sinm x cos ж dx =(m + p + T)k2Ap sinm x cos ж dx =(m + p + T)k2A3A sin x cos x dж =.3k2A3A sin x cos x dж =.3k2n 1)(1 k ) f .p .n__-2,A^ sin x cos x dx.(nTpTl)k2 Jn 1)(1 k ) f .p .n__-2,A^ sin x cos x dx.(nTpTl)k2 J^ 1[ a p • m — 2j—7 A^ sin x cos x dx (m + p + l)k2 J^ 1[ a p • m — 2j—7 A^ sin x cos x dx (m + p + l)k2 JA sin x cos2 x dx =2k2 cos2 ж + 1 — A;A sin x cos2 x dx =2k2 cos2 ж + 1 — A;A sin x cos3 x dx = —A sin x cos3 x dx = —sin x cos4 x dx =sin x cos4 x dx =8k28k2;2 a (1 ™ А?2)2 л H— A cos x + -——-'In (A? cos ж + A).;2 a (1 ™ А?2)2 л H— A cos x + -——-'In (A? cos ж + A).ЗА?4 cos4 x™ k2 (5A?2 + 1) sin2 ж + 5A?2 ™ 2ЗА?4 cos4 x™ k2 (5A?2 + 1) sin2 ж + 5A?2 ™ 215F15FA.A.—8A?4 sin4 x + 2k2 (7k2 + 1) sin2 ж — ЗА?4 — 8A?2 + 3—8A?4 sin4 x + 2k2 (7k2 + 1) sin2 ж — ЗА?4 — 8A?2 + 348 A?448 A?4
3.
4.
5.
6.
7.
8.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Ap sin x cos™ ж dx =
Ap sin x cos™ ж dx =
др+2 CQSn~i ж(n + p + 1)A?2
др+2 CQSn~i ж(n + p + 1)A?2
Ap sinm x cos ж dx =
(m + p + T)k2
Ap sinm x cos ж dx =
(m + p + T)k2
A3
A sin x cos x dж =.
3k2
A3
A sin x cos x dж =.
3k2
n 1)(1 k ) f .p .n__-2,
A^ sin x cos x dx.
(nTpTl)k2 J
n 1)(1 k ) f .p .n__-2,
A^ sin x cos x dx.
(nTpTl)k2 J
^ 1[ a p • m — 2j
—7 A^ sin x cos x dx (m + p + l)k2 J
^ 1[ a p • m — 2j
—7 A^ sin x cos x dx (m + p + l)k2 J
A sin x cos2 x dx =
2k2 cos2 ж + 1 — A;
A sin x cos2 x dx =
2k2 cos2 ж + 1 — A;
A sin x cos3 x dx = —
A sin x cos3 x dx = —
sin x cos4 x dx =
sin x cos4 x dx =
8k2
8k2
;2 a (1 ™ А?2)2 л H
— A cos x + -——-'In (A? cos ж + A).
;2 a (1 ™ А?2)2 л H
— A cos x + -——-'In (A? cos ж + A).
ЗА?4 cos4 x™ k2 (5A?2 + 1) sin2 ж + 5A?2 ™ 2
ЗА?4 cos4 x™ k2 (5A?2 + 1) sin2 ж + 5A?2 ™ 2
15F
15F
A.
A.
—8A?4 sin4 x + 2k2 (7k2 + 1) sin2 ж — ЗА?4 — 8A?2 + 3
—8A?4 sin4 x + 2k2 (7k2 + 1) sin2 ж — ЗА?4 — 8A?2 + 3
48 A?4
48 A?4
л A . 2,2A;2 sin2 ж ™ 1 A .1..
Asin x cos x dx = —A sin ж H— arcsin (A; sin ж).
JOK"OK
. _ f 93,—8A;4 sin4 ж + 2A;2(6A;2 + 1) sin2 ж — 6A;2 + 3
A sin" ж cos x dx = ——-
J48A;4
x A sin x 4-- arcsin (k sin ж).
16A;3
11. A sin3 x cos x dx =11. A sin3 x cos x dx =ЗА;4 sin4 x — k2 sin2 ж — 2 A
11. A sin3 x cos x dx =
11. A sin3 x cos x dx =
15A;4’
12. A sin3 x cos2 x dx =12. A sin3 x cos2 x dx =8A;4 sin4 x — 2k2^k2 + 1) sin2 x — ЗА;4 + 2k2 — 3
12. A sin3 x cos2 x dx =
12. A sin3 x cos2 x dx =
48 A;4
a (1^A;2)2(A;2 + 1)1 m
x A cos ж + L In (k cos ж + A).
16A;5v7
A sin4 x cos x dx =Bk4 sin4 x — 2k2 sin2 ж — 3A sin4 x cos x dx =Bk4 sin4 x — 2k2 sin2 ж — 348/г448/г4A sin x Harcsin (k sin x).16ArA sin x Harcsin (k sin x).16ArA3 sin x cos x dx = —A3 sin x cos x dx = —15. A3 sin x cos2 x dx =15. A3 sin x cos2 x dx =A55fc2—8k4 sin4 ж + Sk2(k2 + 7) sin2 ж + 3fe4 - 8k? - 3A55fc2—8k4 sin4 ж + Sk2(k2 + 7) sin2 ж + 3fe4 - 8k? - 3A3 sin2 x cos x dx =—8A;4 sin4 x + 14k2 sin2 ж — 3A3 sin2 x cos x dx =—8A;4 sin4 x + 14k2 sin2 ж — 348 A;2A (1 - A;2)3 ,xx A cos x + ;5-In (A; cos ж + A).16кл48 A;2A (1 - A;2)3 ,xx A cos x + ;5-In (A; cos ж + A).16кл48fe248fe2A sin ж + (1/(16fc3)) arcsin (fc sin ж).A sin ж + (1/(16fc3)) arcsin (fc sin ж).
A sin4 x cos x dx =
Bk4 sin4 x — 2k2 sin2 ж — 3
A sin4 x cos x dx =
Bk4 sin4 x — 2k2 sin2 ж — 3
48/г4
48/г4
A sin x Harcsin (k sin x).16Ar
A sin x Harcsin (k sin x).16Ar
A3 sin x cos x dx = —
A3 sin x cos x dx = —
15. A3 sin x cos2 x dx =
15. A3 sin x cos2 x dx =
A5
5fc2
—8k4 sin4 ж + Sk2(k2 + 7) sin2 ж + 3fe4 - 8k? - 3
A5
5fc2
—8k4 sin4 ж + Sk2(k2 + 7) sin2 ж + 3fe4 - 8k? - 3
A3 sin2 x cos x dx =
—8A;4 sin4 x + 14k2 sin2 ж — 3
A3 sin2 x cos x dx =
—8A;4 sin4 x + 14k2 sin2 ж — 3
48 A;2
A (1 - A;2)3 ,x
x A cos x + ;5-In (A; cos ж + A).
16кл
48 A;2
A (1 - A;2)3 ,x
x A cos x + ;5-In (A; cos ж + A).
16кл
48fe2
48fe2
A sin ж + (1/(16fc3)) arcsin (fc sin ж).
A sin ж + (1/(16fc3)) arcsin (fc sin ж).
1.2.3.4.1.2.3.4.A + V1 ™ A;2 sin x К ™ V1 — A;2 sin ж— к arcsin (A; sin ж).A + V1 ™ A;2 sin x К ™ V1 — A;2 sin ж— к arcsin (A; sin ж).
1.
2.
3.
4.
1.
2.
3.
4.
A + V1 ™ A;2 sin x К ™ V1 — A;2 sin ж
— к arcsin (A; sin ж).
A + V1 ™ A;2 sin x К ™ V1 — A;2 sin ж
— к arcsin (A; sin ж).
К Ыf/2.2 xl/2 ,
Интегралы вида (1 — к sin ж) ' dx.
I COSn X
Обозначение: A = \/lA;2 sin2 ж , 0 < к2 < 1.
f sin ж a , f a , a V1 — A;2 , A + V1 ™ A;2 A dx = A tg x dx = — A 4In;
J cos ж J2 A - V1 - A;2
Olli a >I 1 IAX
-—A dx =A; In (A; cos ж + A).
J COS2 XCOS X
f sin ж A ,△&21 A + V1 ™ A;2
J cos3 ж 2 cos2 ж 4V1 - A;2 A - V1 - A;2
f sin ж a ,™(2A;2 + 1)A;2 sin2 ж + ЗА;4 ™ A;2 + 1
—Ad ж = ——A.
J cos4 ж3(1 — A;2) cos3 ж
f sin2 ж a , A sin ж 2k2 — 1. z4
А аж =1arcsin (A; sin ж) +
I cos ж22k
sin ж д2A;2 — 1A + V1 — A;2 sin ж
2 cos2 ж4V1 — A;2A — V1 ™ A;2 sin ж
K ыf x2 . 2 1/2
5.35. Интегралы вида— к sin ж) 7 dx.
J sin X
Обозначение: A = V1 ™ k2 sin2 ж , 0 < к2 < 1.
f cos ж A ,Г A, A 1 , 1 — A
1.
A dx = A ctg x dx — A 4— In—.
J sin xJ 621 + A
2.
f cos2 ж A ,A cos ж к2 + 1 , ,,A x 1 , A + cos ж
J sin x22/cv’2 A - cos x
3.
Г cos3 x . .k2 sin2 x — 3k2 — 1 .1 . 1 — A
J sin x3k221 + A
4.
f cos4 x . ,—2k2 sin2 ж + 5k2 + 1 A
—A dx = —A cos x +
J sin ж8к2
A + cos ж ЗА;4 + 6A;2 — 1 .A\
H— In —1—In к cos ж + A).
2 A - cos®8k3’
5.
f cos® . ,A ,..
5—A dx = :к arcsin (A; sin ж).
J sin" xsin x
6.
f cos3 ж A ,sin2 ж + 2 A 2k2 + 1.x
о— A dx =Aarcsin к sin ж).
J sin2®2sin®2kv7
7.
f cos x . ,Ak2 , 1 + A
о—A dx =751—r In
J sin x2 sin" x 41 — A
8.
f cos ж A ,A3
—7—А аж =б—.
J sin x3 sin x
9.
f cos2 x A ,cos x A k2 + 1 . A + cos ж , . zx
q—A dx =—A— In -гA? In (A? cos ж + A).
J sin x2 sin x4A — cos ж
Д 4- ^1 _ Р'2 sin ж
In
А — у 1 ™ k2 sin ж
7.f sin3 X A , А^ж =J cos жk2 sin x + 3k2 — 1 A V1 — k2 . .Д+28.f sin3 ж A ,9 ^dx =J cos2 Xsin2 ж — 3 Л ЗА;2 ~ 1 . z, AIn (A; cos x V 2 cosx2k9.f sin4 ж A , А^ж =J cos ж2k2 sin2 x + 4A;2 — 1 A .№ Азтж +8k4+ —— 4/c2 — 1.— &2arcsin sin ж) +o8A;327.f sin3 X A , А^ж =J cos жk2 sin x + 3k2 — 1 A V1 — k2 . .Д+28.f sin3 ж A ,9 ^dx =J cos2 Xsin2 ж — 3 Л ЗА;2 ~ 1 . z, AIn (A; cos x V 2 cosx2k9.f sin4 ж A , А^ж =J cos ж2k2 sin2 x + 4A;2 — 1 A .№ Азтж +8k4+ —— 4/c2 — 1.— &2arcsin sin ж) +o8A;32а + ух еА - к2а + ух еА - к2А).А).5.36. Интегралы вида -^—— dx.
7.
f sin3 X A , А^ж =
J cos ж
k2 sin x + 3k2 — 1 A V1 — k2 . .
Д+2
8.
f sin3 ж A ,
9 ^dx =
J cos2 X
sin2 ж — 3 Л ЗА;2 ~ 1 . z, AIn (A; cos x V 2 cosx2k
9.
f sin4 ж A , А^ж =
J cos ж
2k2 sin2 x + 4A;2 — 1 A .
№ Азтж +
8k4
+ —
— 4/c2 — 1.— &2
arcsin sin ж) +o
8A;32
7.
f sin3 X A , А^ж =
J cos ж
k2 sin x + 3k2 — 1 A V1 — k2 . .
Д+2
8.
f sin3 ж A ,
9 ^dx =
J cos2 X
sin2 ж — 3 Л ЗА;2 ~ 1 . z, AIn (A; cos x V 2 cosx2k
9.
f sin4 ж A , А^ж =
J cos ж
2k2 sin2 x + 4A;2 — 1 A .
№ Азтж +
8k4
+ —
— 4/c2 — 1.— &2
arcsin sin ж) +o
8A;32
а + ух е
А - к2
а + ух е
А - к2
А).
А).
J (1 - Fain2®)1,
sinp x cos9 x Ar
dx =
™k2 sinp+1 ж cos9+1 ж p ™ q ™ (2 — k2)(p ™ r + 3)
’ (r -2)(1- k2^^2(r™
2)(1- к2)
f sinp x cos9 x ,p + q ™ r + 4
XJ A-21 (r-2)(l-fc2
f sinp ж cos9 ж , г ллdx
)JАг"4
1 sinp
X COS9 Ж1 f 81пР™2ЖСО89Ж
ДгД.2Дг-2
dx.
1.
2.
3.
Обозначение: А = V1 — &2 sin2 х , 0 < к2 < 1.
к2 — 1 f sinp х cos4 2 ж If sinp x cos9
= J^&+ ^ JA^
" sin ж cos ж1
Ar- (г 2)А-2 АГ-....СГ
" sin ж cos ж ,А
A d$=
" sin ж cos2 ж ,A cos ж 1 — А?2 _ z,АХ
ААЖ= 2k211п(Асо8Ж + А)'
7.
[ ™ Ж cos3 Ж dx=_l ^ cos2 х _ 2 + 2&2) д АЗк47
8.
Г sin ж cos4 ж , ;dx =
1 А
3 - 5к2 + 2к2 sin2 ж .Зк4 - 6к2 + 3 ,л,
= —A cos ж—In cos ж + А).
ОКок
9.
Г sin2 ж cos ж ,A sin ж arcsin (к sin ж)
1 A2F '№'
р • 23
10.
sin ж cos ж ,
;dx =
J А
2к2 cos2 ж + 2к2 - 3 . .4к2 - 3..
=—A sin ж Ч—— arcsin sin ж).
ОКок
11.
f sin3 Ж COS Ж ,1_.. 2 х л
JAdX = Зк4 ^ + к ®1П Ж)Л'
р • 32
12.
sin Ж COS Ж ,
тdx =
2^,2 cog2 ж_р2_^^,43
=g^4A cos жg^5In (к cos ж + А).
13.
f sin3 ж cos3 ж ,ЗА4 sin4 ж — (5А4 — 4к2) sin2 ж — 10А2 + 8 л
X “ж = 7V7А2А.
JА15&6
14.
f sin3 ж cos4 ж ,8А4 sin4 ж — 2к2(7к2 — 5) sin2 ж + ЗА4 — 22к2 + 15
X dx = ZX77 х
JА48А6
лА6 + ЗА4^9А2+51 о
х A cos жIn к cos ж + А).
16fe7v7
15.
f sin4 ж cos ж ,2k2 sin2 ж + 3 . .3..
дdx =, ,A sin ж + , c arcsin (k sin ж).
JA8k48k5v7
16.
f sin4 ж cos3 ж ,8k4 sin4 ж — 2k2 (6k2 — 5) sin2 ж — 18k2 + 15 . .
\dx =xАзшж +
JA48A6
6fc2-5..
4arcsin sin ж).
p • mri• m — 1n — 1
17.
sin X cos ж ,sinX COSX
JA3A2A
m ” 1 f sinm-2 x cosn ж ,и - 1 f sinm ж cosn™2 ж ,
/2Лd®+/2лЙЖ-
к2 jAk2 JA
18.
f sin x cos x1
A3 d$=k^-
f sin Ж COS2 Ж , COS Ж1 ! /,л х
77“ж = 777777 lncos Ж + Д).
J Д3к2Д к4
f sin ж cos3 ж , к2 sin2 х + к2 — 2
—dx = —.
J Д3А;4Д
f sin ж cos4 ж , к2 sin2 ж + 2к2 — 33(1 — к2А . ,.. х
J Аж =cos ж +№ In (/= cos ж + А).
Г sin2 ж cos ж , sin ж 1.х
—dx =— arcsin (A; sin ж).
J Д3к2^ к3 к 7
f sin2 ж cos3 ж , к2 sin2 ж + 2к2 — 3 .2к2 — 3.х
—dx = ——sin ж—— arcsin (к sin ж).
J Д32к4А2к57
„ , f sin3 ж cos ж ,2 — к2 sin2 ж
dx = —.
J Д3А;4Д
f sin3 ж cos2 ж ,3 — к2 sin2 жк2 — 3 . ,.. х
—dx = cos ж Н-V— In (к cos ж + А).
J Д32к4^2кь v1
Г sin4 ж cos ж ,3 — к2 sin2 ж .3.х
—dx = sin ж-7 arcsin (A; sin ж).
J А32к4А2к^ к 7
Г sinp ж dx
5.37. Интегралы вида -—.
J cos9 ж (1 - к2 sin2 ж)г
Обозначение: Д = V1 — к2 sin2 х , 0 < к2 < 1.
f sinp ж dxsinp+1 ж
J cos9 ж Дг (q — 1)(1 — А;2)ДГ™2 cos9”1 ж
р — g + 2 — (р — 2g — г + 5)А;2 f sinp ж dx
(q ™ 1)(1 — к2) J cos9”2 ж Дг
(р — q ™ г + 4)А;2 f sinp ж dx (q ™ 1)(1 — к2) J cos9-4 ж Дг
^ Г sin ж dx
* J cog2m ж Д2п + 1
= („--^тп + п
i2(m + n^l) rn + n-l
(1 - A;2)m+n1
i(-7(
COS X \ 2n™2Z™l
Д J
3.
f sin ж dx
f dx1
, A + Vl-fe2
Г*'д -2vT^T
J cos ж Д
A - V1 - k2
4.
f sin ж dx
Д
J cos2 x Д
(1 — к2) cos x
f sin x dx
Г2 X dx
5.
J cos3 x Д
: tgж (1 + tg ж) —
_ Д_
A + Cl - fe2
2(1 - A;2)
cos2 x 4(1 — A;2)3/2
A - V1 - к2
f sin x dx
2к2 cos2 ж — 1 + к2
Д.
6.
J cos4 x Д
3(1 — A;2)2 cos3 x
f sin2 ж dx
1 ln A + ^
— к2 sin ж 1. z,
— — arcsin ( к sin ж)
J cos x Д
2V1 - A:2 A - VT
-fc2sin® к
f sin2 х dx A sin х1А + V1 — ^2 sin х
J cos3 ж А 2(1 — k2) cos2 х 4(1 — к2^2 А — V1 ™ &2 sin х
[* sin3 х dx А 1 ]п Л + V1 ™ &2
J cos х А к2 + 2V1 - к2 ° А - V1 - к2 ‘
f sin4 х10.J COS Xf sin4 х10.J COS Xdx "Аdx "Аf sin3 x* J COS2 Xf sin3 x* J COS2 XdxА?dxА?A sin х2k2 +12V1 - к2АA sin х2k2 +12V1 - к2АInIn(1 — к2) cos х(1 — к2) cos хА + V1 — к2 sin х 2к2 + 1. х=^^— arcsin (к sin х).A ^-^T^I2 sin ж 2F '+ ™ In (к cos х + А).А + V1 — к2 sin х 2к2 + 1. х=^^— arcsin (к sin х).A ^-^T^I2 sin ж 2F '+ ™ In (к cos х + А).
f sin4 х
10.
J COS X
f sin4 х
10.
J COS X
dx "А
dx "А
f sin3 x
* J COS2 X
f sin3 x
* J COS2 X
dx
А?
dx
А?
A sin х
2k2 +
1
2V1 - к2
А
A sin х
2k2 +
1
2V1 - к2
А
In
In
(1 — к2) cos х
(1 — к2) cos х
А + V1 — к2 sin х 2к2 + 1. х
=^^— arcsin (к sin х).
A ^-^T^I2 sin ж 2F '
+ ™ In (к cos х + А).
А + V1 — к2 sin х 2к2 + 1. х
=^^— arcsin (к sin х).
A ^-^T^I2 sin ж 2F '
+ ™ In (к cos х + А).
_ л [ n dx3 x A
* P A (n-l)(l- к2) cos2 ж
(n — 2)(2 — к2) ftgn™2ж ,n — 3 ftgn“4ж ,
(n — 1)(1 — к2) J A (n — 1)(1 — к2) J A
f cosp x dx
PJ sin9 ж (1 - &2 sin2 ж)г
Обозначение: A = у 1 — к2 sin2 ж , 0 < к2 < 1.
1.
Г cos9 ж dxcosg+1 жр — q — 2 + (р + г — 3)к2
sinp ж Аг(р — 1) sinp-1 жАг™2 'р ™ 1
f cos9 ж dx (р ™ q Т т ™ 4)к2 f cos9 ж dx
] sjnP“2 ж Дг 1р — 1J sinp™4 ж Аг
2- J
" COS Жdxт+^ 1^(m^n-l-l) in X \ 2n-2Z-l
sin2m ж Д2^1 ~2п - 2/ - 1 V A J■
/=0
" cos ж dxfdx1 . 1 - А
sin ж AJА21 + А
" cos2 ж dx1 , А + cos ж1 . /,
.а = о л+ , т (к cos ж + А),
sin ж А2 А — cos жк
5.
Г cos3 ж с/жА11 + А
sin ж Ак22 П 1 — А'
" cos4 ж dx A cos ж 1 , А + cos ж Зк2 ™ 1 , ,,А х
•Л =п 1п А+In {к cos ж + А),
sin ж А2к22 А — cos ж2fc3
7.
Г cos х dxА
sin2 ж Asin ж
8.
Г cos3 ж dxА1. /, . х
^ =arcsin (к sin ж).
1 sin" ж Asin жк
" cos ж dx _Ак2 1 + А
sin3 ж А2 sin2 ж 4 ° 1 - А ’
10.
f cos2 ж dxA cos ж1 — к2 . А + cos ж
J sin ж А2 sin ж4А — cos ж
11.
f cos ж dx2А;281п2ж + 1д
J sin4 ж А3 sin3 ж
n dxctg х — =n dxctg х — =Stg^r A _n-22
n dxctg х — =
n dxctg х — =
n — 1 COS2 X П — 1
5.39. Интегралы вида5.39. Интегралы видаctg™ 2 XActg™ 2 XAdx —dx —n — 3n — 1n — 3n — 1ctg™ 4 XActg™ 4 XAdx.dx.— k2 sin2 x)1^2 Vdx.— k2 sin2 x)1^2 Vdx.sin x cos1sin x cos1
5.39. Интегралы вида
5.39. Интегралы вида
ctg™ 2 X
A
ctg™ 2 X
A
dx —
dx —
n — 3
n — 1
n — 3
n — 1
ctg™ 4 X
A
ctg™ 4 X
A
dx.
dx.
— k2 sin2 x)1^2 Vdx.
— k2 sin2 x)1^2 Vdx.
sin x cos1
sin x cos1
Обозначение: A = Vl ™ &2 sin2 x , 0 < k2 < 1.
1.
f A dx _
1 1 - Д Vl - k2 ! △ + Vl - k2
J sin x cos x
21 + Д 12Д - Vl - k2
2.
f A dx
Д1 , Д + cos x
=+ In A.
cos x 2 A — cos ж
J sin ж cos2 ж
3.
f A dx
_ Д11 + Д 2- k2 Д + Vl - k2
J sin x cos3 x
2 cos2 x 21 - Д 1 4Vl - k2Д - Vl - k2
4.
f A dx
_ (2k2 — 3) sin2 ® — 3fc2 + 4 д 1] Д + cos x 3(1 — k2) cos3 x* 2 °A™ cos ж'
J sin x cos4 x
5.
f A dx
_ A1 + k2A — Vl — k2 sin ж
J sin2 x cos x
sin ж 2V1 — k2 A + Vl™A?2sinж
6.
f A dx
_ Зsin2ж —2д 2k2 ™ 3 A + Vl™A?2sinж
J sin2 x cos3 x
2 sin x cos2 x4 Vl - k2 A - Vl - k2 sin ж
A dxA Vl - A?2 , A + Vl - A?2 k2 -2. 1 + A
—_|_Imzzz~ -f-■ In T-.
sin3 x cos x 2 sin2 x 2 A — Vl — k2 41 ™ A
A dx 3 sin2 ж — 1 Л k2 — 3 , A — cos x
77™ =А н-— In -.
sin x cos2 x 2 sin x cos x 4 A + cos x
^dx (3 — k2) sin2 x + 1 A Vl — &2 i A — Vl — &2 sin x 7 = - O A к . sin x cos x3 sin x2 A + Vl — &2 sin x
Интегралы вида [-.
J sin x cosn ж(1 — k2 sin" ж)1/2 Обозначение: A = Vl ™ A:2 sin2 ж , 0 < k2 < 1.
- Г dx L _ Xdx 1 . 1 — A
J A sin ж cos ж JA 21 + A
1, A + V1 ™ A:2
2V1 - k2 A - Vl - k2
f dxA1 ^ A — cos x
J A sin ж cos2 ж(1 — k2) cos ж2 A + cos ж
« Г dxf zз x dx
.-7—— = (ctg x + 2tgx + tg3 ж)— =
J A sin ж cos3 ж JA
_ Д11 + Д 2 - 3/V Д + Vl - &2
2(1 - fc2) cos2 x2 “ Т^Д + 4(1 - /г2)з/2 |П Д - VT^fe2 "
4.4.dxA sin ж cos4 жdxA sin ж cos4 ж(5A;2 — 3) sin2 ж — 6k2 + 4 д1 j △ + cos ж
4.
4.
dx
A sin ж cos4 ж
dx
A sin ж cos4 ж
3(1 — k2)2 cos3 ж2 ПА — cos ж'
f dxК1. А —sin х
—гх = —;, In, .
I A sin2 ж cos ж sin ж 2 VI - &2 A V VI ™ ^2 sin ж
f dx(3 — 2k2) sin2 x — 2(1 — k2) д
I д sin2 ж cog3 ж 2(1 — A;2) sin ж cos2 ж
4A;2 — 3A + V1 — k2 sin ж
4(1 — k2)3/2A — -^1 — AV sin x
f dxA 1. A V V1 - k2 k2 + 2 , 1 V A
=1In In .
I A sin3 ж cos ж 2 sin2 ж 2V1 ™ k2 A — V1 — k2 41 —A
f dx(3 — k2) sin2 ж — 1 + k2 . k2 V 3 . A — cos ж
I A sin3 ж cos2 ж 2(1 — k2) sin2 ж cos ж4 A + cos ж
dx(3 + 2k2) sin2 ж + 1 .1. A — V1 — k2 sin ж
-д = - AIn —=====.
Asin ж cos жЗзпгж2V1 - k2 A + VI ™ k2 sin ж
-f sinm x cos™ x dx
5.41. Интегралы вида —;---:--—.
J (1 + asm" ж)(1 - k2 sin" ж)/2
Обозначение: A = V1 ™ ^2 sin2 ж , 0 < k2 < 1.
f sin x dx1
J (1 Vasin2 ж) A.^(1 + a)(AV v a) X
V1 V a A — Vk2 V a cos жr
X In — -= [a > -k2\.
(V1 + a - Vk2 V a ) V 1 V a sin2 x
1. (1 V a)A2 V (A;2 V a) cos2 ж
= ;arcsin-—-—- - — ; '7™—
2^(1 V a)(AV V a)(1 - AV)(1 V asm" ж)
[-1 < a < ™AV].
_1
У(1 V a)(k2 v a)
^/™(k2 V a) cos x ™(1 V a) A
[^/^(Р^Га) -+ a) ] V1 + a sin2 ж
[a < —I; О V sin2 ж < —l/a].
f sin x dxA
J (1 — sin2 ж) A(1 — k2) cos x
f sin ж dxcos x
J (1 — k2 sin2 ж)A(1 — k2)K
[a > k2y[a > k2ycos x dx1Vk2 -V a sin ж
[a > k2y
[a > k2y
7о—= /" arctg7
8.8.sin xsin x(iVasin2 ж) AVk2 T a,^
8.
8.
sin x
sin x
-Г sin±m ж cos±n ж ,
5.42. Интегралы вида —.., ах.
J у1 + а28Ш2ж
1.
f sin ж dx1. ( a cos ж \
— =arcsinг .
J V1 + a2 sin2 жаW1 + а2 )
2.
f cos ж dx1 i /.Лэ о ч
— In [a sin ж + V 1 + a sin" ж
J у 1 + a2 sin2 ж а
3.
fdx1. VI+ ^2 sin2 ж — cos ж
J sin ж у 1 + а2 sin2 жу 1 + °2 sin2 ж + cos ж
4.
fdx1, у1 + a2 sin2 х + V1 + n2 sin ж
: =^ = —ZZZZZZ- In:
J cos ж у 1 + a2 sin2 ж 2V1 + «2 у1 + а281п2ж — V1 + a2 sin ж
5.
f tgxdx1\A +a2 sin2 ж + V1 + a2
J \A + a2 sin2 ж 2V1 + й2 1/1 + а2в1п2ж — V1 + «2
6.
f ctg x dx1 — Vl + a2 sin2 ж
= ln
J у 1 + a2 sin2 x 2 i V1 + a2 sin2 ж
-f sin±rn ж cos±n ж ,
5.43. Интегралы вида —..dx.
J V a2 sin2 ж 1
Обозначение: a > 1.
1.
f sinжdж1. a cos ж
J V a2 sin2 ж — 1aл/a2 ™ X
2.
fCOS X dx1 1 /■/ 9 . 2\
— =In (a sin ж + V « sin ж 1
J V ®2 s™2 ж ™ 1 a
3.
fdxcos x
= arctg
J sin ж у a2 sin2 ж — 1yft2 sin2 ж — 1
4.
fdx1, Vo2 ™ 1 sin ж + V<i2 sin2 ж — 1
J cos ж у °-2 sin2 ж “ 12 V о2 — 1 Va2 ™ 1 sin ж - ya2 sin2 ж — 1
5.
f tg x dx1Vа2 “ 1 + V®2 sin2 ж — 1
J \/a2 sin2 ж — 12 Vо2 — 1V«2 ™ 1 — Va2 sin2 ж — 1
6.
f ctg ж dx.1
—= — arcsin —:.
J V°2 sin2 ж — 1a sin ж
5.44. Интегралы вида j tg"1 ж(а2 tg2 ж ± Ь2)±п+1^2
| tg х(а2 tg2 ж + b2^1^ dx =
= Va1 tg2 ж + 62 ^ ^2l + T(“2 tg2 Ж + ^У^ +
к=0
/+ 2 ,2\п + 1/2,/ a2 tg2 Ж + Ь2 Г 2 х ,2]
(-1) (а V ) rarctg у—д2 _ &2—[а > b ],
| 1 д? - In V№ Va" tg2 Ж + 62 [а2 < 62].
. 2Vb2 — а2 + Va2 tg2 ж + Ь2
+ ж - 12 - ip
кд + ж ^э гУ^ + р21лрТ
^/ - г® АLq ж ^э ^ (^/ - г® АLq ж ^э ^ (ЗрэлуЗрэлуu(l-)u(l-)
^/ - г® А
Lq ж ^э ^ (
^/ - г® А
Lq ж ^э ^ (
Зрэлу
Зрэлу
u(l-)
u(l-)
чк^ + ж Рэ г®)(Т + Р Р PPP
_ г/Р^ + ж^РгР) хр х Sp
г9 > г9 + ж К81 sp - го - ^ Рл+^г” к9) ;
- ч-ик^ + ж р рТ + ^_ “Д 21 PPP =
= жргЛ+р + жрэгр)жЭ^ Ч
■жр K/l+„P<? =F Ж рэ рж Ш3р в^иа i4irydj9J.HH ‘SP'S
7.q + 7.» л „ тЯ + ^Л ?ях г8» г»Л
• — N SpjB '- =
г9 - ж Рго/Iжр ж 31
- ж 31+ гр г<?+ грг _ г9 - ж ,8^ кр
г9 - ж р Ер/У + ж 31 д + ^Д Ul Iжр
D"^ ПТ - =
P+PlPV^ ^ гр - гр I
оSJL \ Siojy' _ = '—
гд + ж 31 гуIжр ж 81
гРР1г»Лгр^р
—1 Spjy1 -
‘У < г®]‘У < г®]® 81 г® - ^дЛт
‘У < г®]
‘У < г®]
р-рР1гР - ж 81 гд - 7» Л^-тРЛ 5 к9 + ж г81 гР Л
UT = -—
гррррр + ж 31 тЯ^тО/^Iжр
Ч о < ю]Ч о < ю]г9 + ж гЭ1 гр + ^Р - ^Л т+и^у - гд)г р+рРгр г® - к9Л I
Ч о < ю]
Ч о < ю]
Е9 + жЕ81гр/„(г-)
p4pPp(l+_P Р г9 + ж г81 гр _ ^^^р^-НРрДu-^^tq1) Д I ”ж?ж8^
681
пп^пннИф an^anndwawoHogndp *д
[5^5
dx1Уа2^!? ctg ж — 1/a2 ctg2 ж + Ь2
Уa2 ctg2 ж + Ь2 2Vа2 — b2 Уа2 — b2 ctg ж + Уa2 ctg2 ж + Ь2
1УЬ2 ™ a2 ctg ж
[a2:
[a2<
> b2
; b2
Vb2 ™ a2° У a2 ctg2 ж + b2
4.
fctg x dx1, a2 ctg2 x + b2
Го2 -
> b2
J Уa2ctg2ж + 62 Уа2™Ь2bV a2 ™ b2
La "
1, УЬ2 a2 + У a2 ctg2 x + b2
[a2 <
1 b2
2 УЬ2 ™ a2Vb2 ™ a2 ™ У a2 ctg2 ж + b2
dx1 Va2 + 62 ctg ж — 1/a2 ctg2 х — b2
У a2 ctg2 х — b2 2 Vа2 + Ь2У a2 A- b2 ctg ж + V®2 с^£2 ж ™ b2
ctg х dx1a2 ctg2 х — b2
у/a2 ctg2 х — b2Уft2 + b2 V а А- Ь“
Интегралы вида j tgm х(а2 — Ь2 tg2 ж)±п+1^2 dx.
| tg ж(а2 — b2 tg2 ж)п+1//2 dx =
+ 1 /2 + ь2р+1/2 1п У a2 ТЬ2 ™ У»2 ™ 62 tg2 ж
2Va2 + 62 + У а2 — b2 tg2 ж
2.3.4.2.3.4.tgxdx1у-4(а2 + b2)k п
2.
3.
4.
2.
3.
4.
У2 - Ь2 tg2 ж)п + !/2^2^2 tg2 ж ^L (2& + 1)(а2 _ b2 tg2 ж)^ +
!1Va2 + 62 — У а2™b2 tg2ж
+2 (а2 + Ь2)^1^П ^а2 + № + ^2_62 tg2ж •
dx1Va2 + 62 tg ж
У а2 ™ b2tg2 жУ а2+Ь2 У а2™b2 tg2 ж
tg ж dx1Va2 +62— У а2 ™ Б2 tg2 ж
У а2 ™ b2tg2 ж2V а2 + Ь2У а2 А-Ь2+ У а2 ™ b2 tg2 ж
Интегралы вида j ctgm х(а2 ™ b2 ctg2 ж)±п+1^2 dx.
j* ctg ж(а2 — b2 ctg2 ж)п+1^2 dx =
п /2 . ,2\fc
= -V«2 - b2 Ctg2 Ж ^2 99L 1 1 (°2 fe2 Ctg2 X^”k ”
k=O
_ 1 ,2 + fc2xn+i/2 ln Va2 + b2 - Pa2 -b2 ctg2 ж
2Va2 + 62 + ^a2 ™ b2 ctg2 x
ctg х dx1
(а2 - № ctg2 ж)’г+1/2^в2 _ bi ctg2 $ Х
Х -^ (2/г + 1)(а2 — 62 ctg2 ж)*
1— л/ а2 — b2 ctg2 х
2(а2 + Ь2^1/2 ° V^TF + V»2 ” 62 ^g2 ж
dx1V«2 + 62 ctg х
а2 — b2 ctg2 х Vct2 Т b2а2 — b2 ctg2 х
ctgxdx _1V«2 + &2 + V®2 ™ ^2 c^g2 ж
^а2 _ ^2 ctg2 ж 2Vа2 + b2Vа-2 Т Ь2 — а2 ™ b2 ctg2 х
5.48. Интегралы вида jxpsin9xdx.
хр sin9 х dx = —— sin9 х х
Jч
/ .. ,q “ 1 Г р . q —2,р(р™1)f,
х (р sin х —qx cos X) Нхр sin4х dx—-xF sin4 x dx.
^xdx=^o8x+^^
J ж™ sin2" $d$ = C5n+
xm cos (2n — 2k)x dx.xm cos (2n — 2k)x dx.+ ^E4irkc^
xm cos (2n — 2k)x dx.
xm cos (2n — 2k)x dx.
fc = O
xm sin2n+1 x dx = —™ 1)n+fcС^пЧ! $Tn sin (^n ™ 2A: + 1)ж dx.
2 fc=O
. x sin x dx = — 2 v kiCmx cos I x HI.
Jfe=O\2 /
| x2m sin x dx = rm — I2m--2k--lm2m —2 k'
= (2m)! l)fc-— sin ж ——l)fc-— cos x
k(2m ™ 2k ™ 1)!7 (2m™2kY.
Lk=o KJk=o K7■
| x2m+1 sin x dx = г m2m —2km2m — 2k41'
=+ !)! VD-T (2m_2ky.s"m ж - EyT(2m_2k + 1)pos ж
psm xdx = ____ +
1(2n + l)(2n - 1) . . . (2n - 2fe + 1)
2n + 1 2-^2t+1n(n — 1) . . . (n — k) X
k ° v"
X I ж sinж cos ж
\ 2n - 2k,
9. ж sin2n+1 ж dx =9. ж sin2n+1 ж dx =11Y^ 2fc(n + l)n . . . (п — к + 1)2^ (2n + 1)(2п - 1) . . . (2п - 2Л + 1) ХX ж sin ж cos ж\ 2п - 2к + 1Y^ 2fc(n + l)n . . . (п — к + 1)2^ (2n + 1)(2п - 1) . . . (2п - 2Л + 1) ХX ж sin ж cos ж\ 2п - 2к + 110.10.х sin х dx = sin x — x cos x.х sin х dx = sin x — x cos x.11.11.ж2 sin x dx = 2ж sin x — (ж2ж2 sin x dx = 2ж sin x — (ж22) cos x.2) cos x.12.12.
9. ж sin2n+1 ж dx =
9. ж sin2n+1 ж dx =
1
1
Y^ 2fc(n + l)n . . . (п — к + 1)
2^ (2n + 1)(2п - 1) . . . (2п - 2Л + 1) Х
X ж sin ж cos ж
\ 2п - 2к + 1
Y^ 2fc(n + l)n . . . (п — к + 1)
2^ (2n + 1)(2п - 1) . . . (2п - 2Л + 1) Х
X ж sin ж cos ж
\ 2п - 2к + 1
10.
10.
х sin х dx = sin x — x cos x.
х sin х dx = sin x — x cos x.
11.
11.
ж2 sin x dx = 2ж sin x — (ж2
ж2 sin x dx = 2ж sin x — (ж2
2) cos x.
2) cos x.
12.
12.
ж3 sin x dx = (Зж2 — 6) sin ж — (ж3 — 6ж) cos ж.
13.
m • 2,,
ж sin ж dx =7 4
2(m + 1)
т! Г[^21 (-l)^1»"1-^4 |_ 7-^ 22к(т — 2/г)!
[(m^l)/2] sin 2ж + У^ fc=0
; z-г cos 2 ж . 22fc+!(m ™ 2k ™ 1)!
,2
14.
1
ж sin ж dx = —7 sin 2жcos 2ж.
44
8
15.
ж3
ж2 sin2 x dx = — 6
,2
4
1 \x
- sin 2ж cos 2ж.
8/4
16.16.3 • 2,ж sin ж dx =—-8\ 43 • 2,ж sin ж dx =—-8\ 4
16.
16.
3 • 2,
ж sin ж dx =—-
8\ 4
3 • 2,
ж sin ж dx =—-
8\ 4
3«\. 9f3^3 A 9
— 8ш2ж —сов2ж.
8 /\ 816/
17.
, rW2] . з ,
sin ж dx = —7->
4
L fc=0
, m — 2 k
(m — 2k)\
cos Зж — 3 cos ж
[(m^l)/2]
1
k=0
(m - 2k - 1)! \32fc+2
sin Зж — 3 sin x
18.
1 . o 3x
x sin x dx = - sin xsin Зж —- ж cos ж + — cos Зж.
436412
Г sin9 ж ,
5.49. Интегралы вида dx.
Неопределенные интегралы, приведенные в этом разделе, при р > 0 не выражаются через элементарные функции, но могут быть при р = 1, 2, 3, . . . выражены через специальные функции — интегральный синус si (ж) и интегральный косинус ci (ж), которые определяются формулами
SI
sin t
dt.
t ’
CI
cos t , dt,
13 5x
и при p =— через синус-интеграл Френеля Ь(ж) и косинус-
интеграл Френеля С (ж), определяемые формулами
8(ж) =
С(Д =
2.
3.
4.
sin9 ж , dx = —
хр
о
sin9 ж(р — 1)жр™1
q sin9 1 ж cos ж(р — 1)(р — 2)жр-2
(p —l)(p —2) J
sin x1
(р — 1)жр-1 sin ж
(р — 1)жр™1
sin ж ,( —1) +1
—— dx = —-—
ж2т (2т-1)!ж
_ f sin ж , “ж =
I ^.2т + 1
(-1)т
(2т)! ж
О
„ f sin2n ж , 6.dx =
In 22n
f sin2n+1 ж
7.dx
sin9 2 ж , — аж ™
ЖР™2
92
sin9 x
(р — 1)(р — 2) J хр™2
dx.
р™1
cos x , dx. xp™x
cos ж
(р — 1)(р — 2)жр™2
L fc=O
1
sin X , / xx i о dx.
(p — l)(p — 2) J xp™2
COS X —
^, ^к^ку. .]
- Eb1) фг8тж +
к=0~
Т, ЬС фгСО8Ж +
L к=0
fc=O
(2fe + 1)!гр 2 fc-|-1
fc=O
sin ж _ С2пж2 Ж — 22пж
(zlT
22п^1
fc=O
(2m — 1)!
sin Ж + ™
J (2т)!
sin2n+1 x
22п-1 /^ fc=0
#2nci((2n - 2k)x).
2^+1 si ((2n - 2k + 1)ж).
lk [cos(2n™
2n
^N ^n — 2A?) si ((2n — 2Цх^ .
ть —|— fc —|— 1
к=0
sin (2n — 2k + 1)ж
x
- (2n - 2k + 1) ci ((2n - 2k + 1)ж) .
Л f sin ж ,.
10.аж = si ж.
11.
sin x , sin x . , .
—— dx =h ci (ж).
_ f sin X , sin X COS X 1
12.—dx =-
J ж32ж2 2ж 2
13.13.sin2 ж ,1 .1 . / x
13.
13.
dx = - In жci (2ж).
x22 K
f sin3 x14.f sin3 x14.31
f sin3 x
14.
f sin3 x
14.
dx = - si (ж) — - si (Зж).
f XP
5.50. Интегралы вида —dx.
J sin9 ж
1.1.xp—-— dx = — sin9 Xxp—-— dx = — sin9 Xхр 1 [р sin ж + (д — 2)ж cos ж]хр 1 [р sin ж + (д — 2)ж cos ж](g — l)(g — 2) sin9 1 жq — 2 f xp dx(g — l)(g — 2) sin9 1 жq — 2 f xp dx2.2.к = 1к = 1g ™ 1 J sin9 2 x(2fe)!(2fc + p) B2kg ™ 1 J sin9 2 x(2fe)!(2fc + p) B2kp(p ™ 1) Г жр 2 dx (q - 1)(9 - 2) J sin'p(p ™ 1) Г жр 2 dx (q - 1)(9 - 2) J sin'i9 2 жi9 2 ж
1.
1.
xp
—-— dx = — sin9 X
xp
—-— dx = — sin9 X
хр 1 [р sin ж + (д — 2)ж cos ж]
хр 1 [р sin ж + (д — 2)ж cos ж]
(g — l)(g — 2) sin9 1 ж
q — 2 f xp dx
(g — l)(g — 2) sin9 1 ж
q — 2 f xp dx
2.
2.
к = 1
к = 1
g ™ 1 J sin9 2 x
(2fe)!(2fc + p) B2k
g ™ 1 J sin9 2 x
(2fe)!(2fc + p) B2k
p(p ™ 1) Г жр 2 dx (q - 1)(9 - 2) J sin'
p(p ™ 1) Г жр 2 dx (q - 1)(9 - 2) J sin'
i9 2 ж
i9 2 ж
3.3.xp—?— dx = —xp ctg x + sin xxp—?— dx = —xp ctg x + sin xk=lk=lк 2 к + р -1(2fc)! (2А; + р - 1)к 2 к + р -1(2fc)! (2А; + р - 1)
3.
3.
xp
—?— dx = —xp ctg x + sin x
xp
—?— dx = —xp ctg x + sin x
k=l
k=l
к 2 к + р -1
(2fc)! (2А; + р - 1)
к 2 к + р -1
(2fc)! (2А; + р - 1)
4.4.ж cos жж cos ж115.5.6.6.7.7.8.8.sin9 Xsin9 Xx dx sin2nx dx sin2nx dx sin2n+1x dx sin2n+1dxxp sin9 xdxxp sin9 xdxb sin xdxb sin xq — 2 f x dxq — 2 f x dx(g ™ 1) sin9 1 x (g — l)(g — 2) sin9 2 ж g ™ 1 J sin9 2(g ™ 1) sin9 1 x (g — l)(g — 2) sin9 2 ж g ™ 1 J sin9 2ул2п(2п - 2) . . . (2п - 2Л + 2)^ (2п - 1)(2п - 3) . . . (2n - 2fe + 3)(2n - 2fc + 1)ул2п(2п - 2) . . . (2п - 2Л + 2)^ (2п - 1)(2п - 3) . . . (2n - 2fe + 3)(2n - 2fc + 1)sin x + (2n — 2k)x cos ж 2n ^n^l)!sin x + (2n — 2k)x cos ж 2n ^n^l)!(2п 2Ц sin2n 2fc+1(2п 2Ц sin2n 2fc+1(2п-1)!!(2п-1)!!(In | sin ж| ж ctg ж).(In | sin ж| ж ctg ж).12ti 4- 112ti 4- 1(2n + l)...(2n-2fe + l)(2n + l)...(2n-2fe + l)2n(2n2) . . . (2n 2k + 2)(2n 2Цsin x + (2n — 2k — 1)ж cos ж (2n — 1)2n(2n2) . . . (2n 2k + 2)(2n 2Цsin x + (2n — 2k — 1)ж cos ж (2n — 1)(2n - 2k - 1) sin2n 2fc(2n - 2k - 1) sin2n 2fc2пп2ппРРcos жcos ж(q — l)(g — 2)ж^+1 sin9 2(q — l)(g — 2)ж^+1 sin9 2q™2q™2dxdxq — 1 J xp sin9 2q — 1 J xp sin9 2(g — 1)жр sin9-1 xp(p + 1) Г dx(q ™ l)(g - 2) J жр+2 sin9™2(g — 1)жр sin9-1 xp(p + 1) Г dx(q ™ l)(g - 2) J жр+2 sin9™2i9n^i i—™7 + [1 + И)Т— nxnn!o V 22^х^1+^ (2k)\(2k^n^кЦ^п / 2i9n^i i—™7 + [1 + И)Т— nxnn!o V 22^х^1+^ (2k)\(2k^n^кЦ^п / 2|Bn| In |ж| +|Bn| In |ж| +1£ЫЖ2к-п1£ЫЖ2к-п
4.
4.
ж cos ж
ж cos ж
1
1
5.
5.
6.
6.
7.
7.
8.
8.
sin9 X
sin9 X
x dx sin2n
x dx sin2n
x dx sin2n+1
x dx sin2n+1
dx
xp sin9 x
dx
xp sin9 x
dx
b sin x
dx
b sin x
q — 2 f x dx
q — 2 f x dx
(g ™ 1) sin9 1 x (g — l)(g — 2) sin9 2 ж g ™ 1 J sin9 2
(g ™ 1) sin9 1 x (g — l)(g — 2) sin9 2 ж g ™ 1 J sin9 2
ул2п(2п - 2) . . . (2п - 2Л + 2)
^ (2п - 1)(2п - 3) . . . (2n - 2fe + 3)(2n - 2fc + 1)
ул2п(2п - 2) . . . (2п - 2Л + 2)
^ (2п - 1)(2п - 3) . . . (2n - 2fe + 3)(2n - 2fc + 1)
sin x + (2n — 2k)x cos ж 2n ^n^l)!
sin x + (2n — 2k)x cos ж 2n ^n^l)!
(2п 2Ц sin2n 2fc+1
(2п 2Ц sin2n 2fc+1
(2п-1)!!
(2п-1)!!
(In | sin ж| ж ctg ж).
(In | sin ж| ж ctg ж).
1
2ti 4- 1
1
2ti 4- 1
(2n + l)...(2n-2fe + l)
(2n + l)...(2n-2fe + l)
2n(2n2) . . . (2n 2k + 2)(2n 2Ц
sin x + (2n — 2k — 1)ж cos ж (2n — 1)
2n(2n2) . . . (2n 2k + 2)(2n 2Ц
sin x + (2n — 2k — 1)ж cos ж (2n — 1)
(2n - 2k - 1) sin2n 2fc
(2n - 2k - 1) sin2n 2fc
2пп
2пп
Р
Р
cos ж
cos ж
(q — l)(g — 2)ж^+1 sin9 2
(q — l)(g — 2)ж^+1 sin9 2
q™2
q™2
dx
dx
q — 1 J xp sin9 2
q — 1 J xp sin9 2
(g — 1)жр sin9-1 x
p(p + 1) Г dx(q ™ l)(g - 2) J жр+2 sin9™2
(g — 1)жр sin9-1 x
p(p + 1) Г dx(q ™ l)(g - 2) J жр+2 sin9™2
i9n^i i
—™7 + [1 + И)Т— nxnn!
o V 22^х^1
+^ (2k)\(2k^n^
кЦ^п / 2
i9n^i i
—™7 + [1 + И)Т— nxnn!
o V 22^х^1
+^ (2k)\(2k^n^
кЦ^п / 2
|Bn| In |ж| +
|Bn| In |ж| +
1£ЫЖ2к-п
1£ЫЖ2к-п
J
" d$ = _ct^ +n+2"nn+ ln +
xn sin2 xxn(n + l)xn+x(n + 1)!
+ ®n+1 S (2fe)!(2fc - n - 1) Ж^[1^1 <X-
fe^(n + l)/2
10.
f x dxv^ 22к™г — 1fc+1
=® + 2Vt^—TT B2fc ж +1.
J sin x“^ {2k + 1)!
11.
(x2dx x2 ^ 22fc-1-l ID . 2fc+2 J sin® ~ 2 1 E (2A:)!(fe + 1) ''
12.
f x dx,i1
z— = ™x ctg X + In sin X . J sin x
13.
f x dxsin x + x cos x 1 f x dx
J sin3 x2 sin2 ж2 J sin x
14.
f x dxx cos x122 , . .,
J sin4 жЗз1п3ж6 sin2 ж 33
1.1.5.51. Интегралы вида[ хр cos9 х dx = Ж cos9”1Jg2x (p cos x + qx sin x) H5.51. Интегралы вида[ хр cos9 х dx = Ж cos9”1Jg2x (p cos x + qx sin x) Hj xp cos9 x dx.X X1 f p q-2 J— xF cos4 x dx —j xp cos9 x dx.X X1 f p q-2 J— xF cos4 x dx —Xp4 f ж?-2 cos’ ж a$g2 JXp4 f ж?-2 cos’ ж a$g2 Jxp cos x dx = xp sin x — p \xp 1 sin x dx.xp cos x dx = xp sin x — p \xp 1 sin x dx.| xm cos2n x dx = ^n^^^j + 22^_1 52 ^n j жт cos (2n - 2k)x dx.^2n+lfc=O| xm cos2n x dx = ^n^^^j + 22^_1 52 ^n j жт cos (2n - 2k)x dx.^2n+lfc=Of xm cos2n+1 x dx = -д—J22nf xm cos2n+1 x dx = -д—J22nxm cos (2n — 2k + 1)ж dx.xm cos (2n — 2k + 1)ж dx.5.5.xm cos x dx = 55 ^Cm$m k sinfc=Oxm cos x dx = 55 ^Cm$m k sinfc=Ox2m cos x dx =Jpm2m-2km-12m-2k-l‘= (2m)! ^H)^sin ® + £ ( 1- cos ®Lfc=OV;k=0K7■| ж2т+1 cos x dx =Jp m2m~2k + lm2m~2k‘= (2- + Xi [|>l)fc ^=^^sin ® + ^-1^^—^- cos ®x2m cos x dx =Jpm2m-2km-12m-2k-l‘= (2m)! ^H)^sin ® + £ ( 1- cos ®Lfc=OV;k=0K7■| ж2т+1 cos x dx =Jp m2m~2k + lm2m~2k‘= (2- + Xi [|>l)fc ^=^^sin ® + ^-1^^—^- cos ®8.8.2n ix cos x dx =2n ix cos x dx =(2n - 1)!! ж2 1(2n)l!2 + 2n + l(2n - 1)!! ж2 1(2n)l!2 + 2n + lxEk=0xEk=0(2n + l)(2n - 1) . . . (2n - 2k + 1)2k^1n(n ™ 1) . . . (n — k)(2n + l)(2n - 1) . . . (2n - 2k + 1)2k^1n(n ™ 1) . . . (n — k)cosa:2"-^cosa:2"-^2n ™ 2k2n ™ 2k^ .•2n —2fe —1—Vx sin X cos^ .•2n —2fe —1—Vx sin X cos
1.
1.
5.51. Интегралы вида
[ хр cos9 х dx = Ж cos9”1
Jg2
x (p cos x + qx sin x) H
5.51. Интегралы вида
[ хр cos9 х dx = Ж cos9”1
Jg2
x (p cos x + qx sin x) H
j xp cos9 x dx.
X X
1 f p q-2 J
— xF cos4 x dx —
j xp cos9 x dx.
X X
1 f p q-2 J
— xF cos4 x dx —
Xp4 f ж?-2 cos’ ж a$g2 J
Xp4 f ж?-2 cos’ ж a$g2 J
xp cos x dx = xp sin x — p \xp 1 sin x dx.
xp cos x dx = xp sin x — p \xp 1 sin x dx.
| xm cos2n x dx = ^n^^^j + 22^_1 52 ^n j жт cos (2n - 2k)x dx.
^2n+lfc=O
| xm cos2n x dx = ^n^^^j + 22^_1 52 ^n j жт cos (2n - 2k)x dx.
^2n+lfc=O
f xm cos2n+1 x dx = -д—
J22n
f xm cos2n+1 x dx = -д—
J22n
xm cos (2n — 2k + 1)ж dx.
xm cos (2n — 2k + 1)ж dx.
5.
5.
xm cos x dx = 55 ^Cm$m k sinfc=O
xm cos x dx = 55 ^Cm$m k sinfc=O
x2m cos x dx =
Jpm2m-2km-12m-2k-l‘
= (2m)! ^H)^sin ® + £ ( 1- cos ®
Lfc=OV;k=0K7■
| ж2т+1 cos x dx =
Jp m2m~2k + lm2m~2k‘
= (2- + Xi [|>l)fc ^=^^sin ® + ^-1^^—^- cos ®
x2m cos x dx =
Jpm2m-2km-12m-2k-l‘
= (2m)! ^H)^sin ® + £ ( 1- cos ®
Lfc=OV;k=0K7■
| ж2т+1 cos x dx =
Jp m2m~2k + lm2m~2k‘
= (2- + Xi [|>l)fc ^=^^sin ® + ^-1^^—^- cos ®
8.
8.
2n i
x cos x dx =
2n i
x cos x dx =
(2n - 1)!! ж2 1
(2n)l!2 + 2n + l
(2n - 1)!! ж2 1
(2n)l!2 + 2n + l
xE
k=0
xE
k=0
(2n + l)(2n - 1) . . . (2n - 2k + 1)2k^1n(n ™ 1) . . . (n — k)
(2n + l)(2n - 1) . . . (2n - 2k + 1)2k^1n(n ™ 1) . . . (n — k)
cosa:2"-^
cosa:2"-^
2n ™ 2k
2n ™ 2k
^ .•2n —2fe —1
—Vx sin X cos
^ .•2n —2fe —1
—Vx sin X cos
10 А.Ю. Брычков и др.
9 f ж cos2"+1 ж dx =1 V 2fc(n + l)n...(n-fc + l)Jn +1 ^ (2n +l)(2n - 1) . . . (2n - 2fc + 1)9 f ж cos2"+1 ж dx =1 V 2fc(n + l)n...(n-fc + l)Jn +1 ^ (2n +l)(2n - 1) . . . (2n - 2fc + 1)cos2”-2^1 X2n - 2fe + 1cos2”-2^1 X2n - 2fe + 1■•2n — 2k+ x sin X cos■•2n — 2k+ x sin X cos1010s x cos x dx = cos x + x sin x.s x cos x dx = cos x + x sin x.ж2 cos x dx = 2ж cos x + (ж2 — 2) sin x.ж2 cos x dx = 2ж cos x + (ж2 — 2) sin x.ж3 cos x dx = (Зж2 — 6) cos ж + (ж3 — 6ж) sin ж.ж3 cos x dx = (Зж2 — 6) cos ж + (ж3 — 6ж) sin ж.жт cos2 ж dx =—J2(m + 1)m! rH2] ^у^^,[М/2]^^^^481П2Ж+22fc+1(m™2A:™l)!жт cos2 ж dx =—J2(m + 1)m! rH2] ^у^^,[М/2]^^^^481П2Ж+22fc+1(m™2A:™l)!14.14.2,Ж2Ж .1ж cos ж dx = — + — sin 2ж Н— cos 2ж.4482,Ж2Ж .1ж cos ж dx = — + — sin 2ж Н— cos 2ж.44815.15.16.16./ 2 22?ж cos ж dx =h —6\ 432 ,®4 . А3ж cos ж dx =h —8\ 4/ 2 22?ж cos ж dx =h —6\ 432 ,®4 . А3ж cos ж dx =h —8\ 41 \ж- sin 2ж + — cos 2ж.8/4Зж\ ./ Зж2— sin 2ж +8 )\ 81 \ж- sin 2ж + — cos 2ж.8/4Зж\ ./ Зж2— sin 2ж +8 )\ 8_3_\16 )_3_\16 )cos 2ж.cos 2ж.17.17.г[т/2] з ,cos ж dx = ——>4L fc=0г[т/2] з ,cos ж dx = ——>4L fc=0-2&)!-2&)!1132fc + l32fc + lsin Зж + 3 sin ж I +sin Зж + 3 sin ж I +[(m--l)/2][(m--l)/2]fc=0fc=018.18.1f COS X J (p - l)(p - 2) J ЖР™21f COS X J (p - l)(p - 2) J ЖР™2
9 f ж cos2"+1 ж dx =1 V 2fc(n + l)n...(n-fc + l)
Jn +1 ^ (2n +l)(2n - 1) . . . (2n - 2fc + 1)
9 f ж cos2"+1 ж dx =1 V 2fc(n + l)n...(n-fc + l)
Jn +1 ^ (2n +l)(2n - 1) . . . (2n - 2fc + 1)
cos2”-2^1 X
2n - 2fe + 1
cos2”-2^1 X
2n - 2fe + 1
■•2n — 2k
+ x sin X cos
■•2n — 2k
+ x sin X cos
10
10
s x cos x dx = cos x + x sin x.
s x cos x dx = cos x + x sin x.
ж2 cos x dx = 2ж cos x + (ж2 — 2) sin x.
ж2 cos x dx = 2ж cos x + (ж2 — 2) sin x.
ж3 cos x dx = (Зж2 — 6) cos ж + (ж3 — 6ж) sin ж.
ж3 cos x dx = (Зж2 — 6) cos ж + (ж3 — 6ж) sin ж.
жт cos2 ж dx =—
J2(m + 1)
m! rH2] ^у^^,[М/2]^^^^
481П2Ж+22fc+1(m™2A:™l)!
жт cos2 ж dx =—
J2(m + 1)
m! rH2] ^у^^,[М/2]^^^^
481П2Ж+22fc+1(m™2A:™l)!
14.
14.
2,Ж2Ж .1
ж cos ж dx = — + — sin 2ж Н— cos 2ж.
448
2,Ж2Ж .1
ж cos ж dx = — + — sin 2ж Н— cos 2ж.
448
15.
15.
16.
16.
/ 2 22?
ж cos ж dx =h —
6\ 4
32 ,®4 . А3
ж cos ж dx =h —
8\ 4
/ 2 22?
ж cos ж dx =h —
6\ 4
32 ,®4 . А3
ж cos ж dx =h —
8\ 4
1 \ж
- sin 2ж + — cos 2ж.
8/4
Зж\ ./ Зж2
— sin 2ж +
8 )\ 8
1 \ж
- sin 2ж + — cos 2ж.
8/4
Зж\ ./ Зж2
— sin 2ж +
8 )\ 8
_3_\
16 )
_3_\
16 )
cos 2ж.
cos 2ж.
17.
17.
г[т/2] з ,
cos ж dx = ——>
4
L fc=0
г[т/2] з ,
cos ж dx = ——>
4
L fc=0
-2&)!
-2&)!
1
1
32fc + l
32fc + l
sin Зж + 3 sin ж I +
sin Зж + 3 sin ж I +
[(m--l)/2]
[(m--l)/2]
fc=0
fc=0
18.
18.
1f COS X J
(p - l)(p - 2) J ЖР™2
1f COS X J
(p - l)(p - 2) J ЖР™2
/ 1Акхт™2к™г ( 1
™— ;I ; о cos Зж + 3 cos ж
ж2т (2тп ™ 1)! xv7 Lfc=0ж2т (2тп ™ 1)! xv7 Lfc=0Д2к + 1)! .Д2к + 1)! .fc=0fc=0(-l)m(2m — 1)!(-l)m(2m — 1)!(m ™ 2k 1)! \32fc+2
ж2т (2тп ™ 1)! x
v7 Lfc=0
ж2т (2тп ™ 1)! x
v7 Lfc=0
Д2к + 1)! .
Д2к + 1)! .
fc=0
fc=0
(-l)m(2m — 1)!
(-l)m(2m — 1)!
5.
Г COSS ,(-l)m fVz 11fc(2fc + l)!
J ж2т + 1(2т!жж2^ + 1
^’ x2k(2m.)! v 7
к=0J\7
6.
р2 nу' п1^ 1
ж dx = 22„ 1пж+ 32п-1 5ZC2nci((2n 2к)х\
Jк=0
7.
p2n4-l-In
ж dX = 22n E СХи C1 №П З^ + Ож).
Jk=0
8.
r cos2" X ,C'Sn
J x222пж
1Feos (2n — 2k)x ,x
^„-lE^2™ж+ (2n 2fc)si((2n 2fe)s) .
fc=0
9.
f COS2^1 X1 ГГ fc
$2d$= 22.EC2" + 1X
Jk=0
cos (2n — 2k + 1)ж.
x -h (2n — 2k + 1) si ((2n — 2k + 1)ж) .
X
10.
f COS X J.
dx = ci x.
11.
f COS X -COS X. , x
—™ dx =si (ж).
J Ж2X
12.
f COS X ,COS X sin X 1 . / x
J ж32ж22ж 2 к 7
13.
f COS2 Ж ,1 .1 . / X
dx = - In ж 3— ci 2ж).
J ж22v 1
14.
f cos3 ж ,3 . , .1 . x
dx =ci (ж) + - ci (Зж).
J ж4x ’4x 7
5.53. Интегралы вида dx.
J cos9 х
4
" xp dxжр”1 [p cos x ™ (q ™ 2)ж sin ж]
cos9 x(q l)(g — 2) cos9™1 ж
। q 2 f xp dxp(p ™ 1) f жр™2 dx
q ™ 1 J cos9™2 x(q ™ l)(q ™ 2) J cos9™2 ж
2.
r xp dx ^\E2k\x2k+p+1
COSS E (2fe)l(2fc + p + 1)P ’ Ж"
.1
" xMx^22fc(22fc-l)|B2fc| 2к+р_г
cos2 жb ^^^ку.^к + р- 1)№1 z J
4.4.х dxcos2™ хх dxcos2™ хx dxcos2n+i жx dxcos2n+i ж1 y4 (2n + l)(2n — 1) . . . (2n — 2fe + 1)2n + 1 ^ 2n(2n - 2) . . . (2n - 2A: + 2)(2n - 2fc)1 y4 (2n + l)(2n — 1) . . . (2n — 2fe + 1)2n + 1 ^ 2n(2n - 2) . . . (2n - 2A: + 2)(2n - 2fc)(2n — 2k + 1)ж sin x ™ cos x(2n — 2k — 1) cos2n™2fc x(2n — 2k + 1)ж sin x ™ cos x(2n — 2k — 1) cos2n™2fc x(2n-l)!!2™n(2n-l)!!2™nx dxCOS Xx dxCOS X
4.
4.
х dxcos2™ х
х dxcos2™ х
x dxcos2n+i ж
x dxcos2n+i ж
1 y4 (2n + l)(2n — 1) . . . (2n — 2fe + 1)2n + 1 ^ 2n(2n - 2) . . . (2n - 2A: + 2)(2n - 2fc)
1 y4 (2n + l)(2n — 1) . . . (2n — 2fe + 1)2n + 1 ^ 2n(2n - 2) . . . (2n - 2A: + 2)(2n - 2fc)
(2n — 2k + 1)ж sin x ™ cos x(2n — 2k — 1) cos2n™2fc x
(2n — 2k + 1)ж sin x ™ cos x(2n — 2k — 1) cos2n™2fc x
(2n-l)!!
2™n
(2n-l)!!
2™n
x dx
COS X
x dx
COS X
1 у42n(2n - 2) .. . (2n - 2fc + 2)
2n ^ (2n - l)(2n - 3) .. . (2n - 2A: + 3)(2n2Z-1)
(2n — 2к)ж sin ж — cos ж 2 (n — 1)! .. ...
™rxо—17— ж tg ж + In cos x ).
(2n — 2k) cos2n™2fc+1 x (2n — 1)!! v
dxpsin x
= :-1h
xp cos9 x (q — T)(q — 2)жр+1 cos9™2 x (q — T)xp cos9™1 x q — 2 dxp(p + 1) f dx
q — 1 J xp cos9™2 x(q — l)(q — 2) J жр+2 cos9™2 x
f Аж = i[1 - (-l)"].^""4 In |ж| +
[kl < тг/2].[kl < тг/2].J xH cos x 2(n — 1)!
[kl < тг/2].
[kl < тг/2].
+ £j (2fc)!(2fe-n + l)
#=^(n-l)/2
8.
/ж2 = ^ + [1 - (-1Нт^4м (2"+1 - ^l-Bn+illnN + xn cos2 x xn(n + 1)!
. n^_(2^1)hM_
ж^1^(2A:)!(2A: - n - 1)
fe/(n+l)/2
(2xfk
[|ж| < тг/2].
9.
x dx
COS X
^o(2fe)!(2fc + 2)-
10.
x dxcos2 x
X tg X + In | COS X I.
11.
12.
x dxcos3 x
x dxcos4 x
x sin x ™ cos x 1 f x dx
2 cos2 x 2 J cosx
x sin x
3 cos3 x
122
75H жtgж - - In I cos ж).
6 cos2 x 33
Интегралы вида xptggxdx.
p00 92fc z92fc-l _ 1 \
Vp -1; |ж| < тг/2].Vp -1; |ж| < тг/2].1. j«₽tg®d® = g-^-^Y^ylB2fel®2'+p
Vp -1; |ж| < тг/2].
Vp -1; |ж| < тг/2].
JFk=0J
[cm. 5.53].
3.
2п+1
к
.Р
2n — 2k псов2п™2Ьж k=0
хр tg ж dx —
(-l)fe f жр 1 dx
4.
F 2n™2k k=O
X2
x tg2 x dx = x tg x + In | cos x |.
cos2n^2fc
[см. 5.53].
1.
2.
3.
4.
5.55. Интегралы вида
xp ctg x dx = — ^2 k=O
;ч х dx.
2fc+p
(2к)Ц2кТр)
■2"xdx = (-ir^—
xpctg2n+1
к=О
.к
k=0
2n - 2k sin2n~2k
xp dxsin2n-2fc x
[см. 5.50].
хр ctg х dx +
хр 1 dx
к=О
2n — 2k
sin2n 2fc
[см. 5.50].
;2 х dx = — х ctg х + In | sin ж|
Ж2 т
Интегралы вида j xr sinp x cos9 x dx.
xT sinp x cos9 x dx = -—-—— (p + q\xT sinp+1 x cos9™1 x +
J(p + ^)2L
+ rT"1 sinp x co^4 x — t^t — 1) | жг™2 sinp x cos9 x dx —
— rp | хТ™г sin^™1 x cos9™1 x dx + (q ™ l)(p + q) | xr sinp x cos9™2 x dx
= -—-—— (p + q)xT sin^™1 x cos9+1 x +
kPTq)2 L
rxr™1 sinp x cos9 x ™ т^т ™ 1) | xr™2 sinp x cos9 x dx +
3.3.. p+lq-lX Sin^ X COS X ™. p+lq-lX Sin^ X COS X ™xq хт™г sin^™1 x cos9™1 x dx + (p — l)(p + q) xr sinp™2 x cos9 x dx
3.
3.
. p+lq-l
X Sin^ X COS X ™
. p+lq-l
X Sin^ X COS X ™
x sinp x cos9 x dx = —-— PT q
sinp+1 x cos9 1 x dx + (q 1) ж sinp ж cos9 2 ж dx
4.4.1PTq1PTq™x sinp 1 x cos9+1 x + sinp 1 ж cos9+1 ж dx +™x sinp 1 x cos9+1 x + sinp 1 ж cos9+1 ж dx +
4.
4.
1
PTq
1
PTq
™x sinp 1 x cos9+1 x + sinp 1 ж cos9+1 ж dx +
™x sinp 1 x cos9+1 x + sinp 1 ж cos9+1 ж dx +
+ (p — 1) ж sinp 2 x cos9 x dx
5.
j$p
sin2m x _
k=0J
xp dx
COSn X
cosn™2fc X
6.
|жр
sin2m+1 x
dx
COSn X
= £(-i)fcc^
k=0
f xp sin x t
J cos" 2fc X
7.
sin x ^^ _
xp
- - P [ жР~1 dx
cosn x|
^n — 1) cos"™1 X
:П ™ 1 J COS"™1 X
8.
cos2m X , . n dx =
smn X
^~Tckm [
fc=0J
xp,
— dx
sinn 2k x
ТПСР
tX^COSX ,
[см. 5.53].
[см. 5.53].
[см. 5.50].
t;r ^ ^ Ст J Ьс^Ьк d®’
10.
f „ COS X - xFdx
xp
(n — 1) sin”"1 x
+ T.
P
f $p"1 я
— dx 1 sin” 1 X
J sin
X
11.
f X COS X
J sin2 x
dx =
L In tg
sin X1
12.
f x sin x
J cos2 X
dx =
—In cos X
tg (
X
2 +
X \
4 )
sin” х
[см. 5.50].
1.
2.
„f ЖР81П ЖСО8 Ж ,
5.57. Интегралы вида --; dx.
J (а + о cos х + с sin хр
f xpcosxdx _хрР Г хр-1 dx
J (a + 6sinx)9 (q — T)b(a + b sin x)4™1 (q — l)b J (a + b sin x)9™1
f xpsmxdxxpP f xp-1 dx
J (a + 6cosx)9 (q — 1)Ь(а + b cos x)9™1 (q — l)b J (a + b cos x)9™1
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
x dx
1 + sin x
x dx
1 — sin x
x dx
1 + COS Xx dx
1 ™ COS X
11.
x - 2x
x ^6;h 2 In cos
= X ctg
x — 2x
4
. x — 2x
+ 2 In sin
4
®tg 2 +2In |cos-|.
— ж ctg ^ + 2 In |sin ^
x cos x dxx2x — x
=Lb
(1 + sinx)2 1 + sinx4
x cos x dxx2x — x
= i:+ ctS1*
(1 — sin xp 1 — sin x4
xsinxdxxx
=tg —.
(1 + cosx)2 1 + cosx 2
f x sin x dxxx
=ctg
I (1 — COSX)2 1 — COSX2
x dx
(cos x + a sin ж)2
—In I cos x + a sin x I + a2 + 1
x(tg x ™ a)
(a2 + l)(a tg x + 1)'
х dxх sin х + cos x
[(аж — b) sin x + (a + bx) cos ж]26[(аж — b) sin ж + (a + bx) cos ж]
cos2 ж dxtg ж
[a cos ж + (аж + 6) sin ж]2 a[a + (аж + b) tg ж]
„f Ж8111тЖСО8ПЖ .
58. Интегралы вида ™ ax.
PJ (1 k2 sin2 xy
Обозначение: A = \/l ™ ^2 sin2 ж , 0 < k2 < 1.
ж sin ж dxA3ж sin ж dxA3ж cos жж cos ж11vv^ Hi^k2)vv^ Hi^k2)arcsin (A; sin ж).arcsin (A; sin ж).
ж sin ж dx
A3
ж sin ж dx
A3
ж cos ж
ж cos ж
1
1
vv^ Hi^k2)
vv^ Hi^k2)
arcsin (A; sin ж).
arcsin (A; sin ж).
ж cos ж dxA3ж cos ж dxA3ж sin жAж sin жA+ v In (k cos ж + A). k '+ v In (k cos ж + A). k '
ж cos ж dx
A3
ж cos ж dx
A3
ж sin жA
ж sin жA
+ v In (k cos ж + A). k '
+ v In (k cos ж + A). k '
112.7.8.2.7.8.1.1.5.59. Интегралы5.59. Интегралы+ b)n sin аж dx =+ b)n sin аж dx =видавида. r[(n™l)/2] n!. r[(n™l)/2] n!aafc=0fc=0+ b) sin аж ax = — sin аж — a2+ b) sin аж ax = — sin аж — a2+ b)2 sin аж dx =+ b)2 sin аж dx =i3 sin аж dx =i3 sin аж dx =sin ax,: —— ax = a x + b)nsin ax,: —— ax = a x + b)nsin аж dx.sin аж dx.l-l^^ + bT-2^1 .“—-—-—, , sin аж -(n — 2k — 1)! a2fc+1l-l^^ + bT-2^1 .“—-—-—, , sin аж -(n — 2k — 1)! a2fc+1[n/2][n/2]fc=0fc=0 cos аж. a cos аж. a2/^)!a2fc2/^)!a2fccos ажcos аж2(ж + b) . a"^x + by™—-—™ sin аж:a2a32(ж + b) . a"^x + by™—-—™ sin аж:a2a33[a2(& + b)2 — 21 .—— - sin аж —3[a2(& + b)2 — 21 .—— - sin аж —a4a42 cos аж.2 cos аж.a3a3sinf ., f cost ,at — sin ab atsinf ., f cost ,at — sin ab attntnsin ax— dx = cos ab si (аж + ab) ™ sin ab ci (аж + ab).sin ax— dx = cos ab si (аж + ab) ™ sin ab ci (аж + ab).sin аж sin аж : , \ о d X — ~ ж + b)2 x + bsin аж sin аж : , \ о d X — ~ ж + b)2 x + bcos аж , — ax.cos аж , — ax.22cos аж.cos аж.[t = а(ж + b)"\.[t = а(ж + b)"\.sin аж ,sin аж ,sin ажsin ажa cos ажa cos аж2 (ж + 6)22 (ж + b)2 (ж + 6)22 (ж + b)a" f sin аж , ^/ж2 J x + ba" f sin аж , ^/ж2 J x + b5.60. Интегралы вида5.60. Интегралы видаcos аж dx.cos аж dx.n! Г[п/2] cos аж dx = ™ >aL k=0n! Г[п/2] cos аж dx = ™ >aL k=0n-—2kn-—2k2k)\a2k[(n™l)/2]2k)\a2k[(n™l)/2]sin ax +sin ax +k=0k=0(™lV4x + b)n^2k^"”—-— t™— ; ; cos аж (n — 2k — 1)! a2fc+1(™lV4x + b)n^2k^"”—-— t™— ; ; cos аж (n — 2k — 1)! a2fc+1
1
1
2.
7.
8.
2.
7.
8.
1.
1.
5.59. Интегралы
5.59. Интегралы
+ b)n sin аж dx =
+ b)n sin аж dx =
вида
вида
. r[(n™l)/2] n!
. r[(n™l)/2] n!
a
a
fc=0
fc=0
+ b) sin аж ax = — sin аж — a2
+ b) sin аж ax = — sin аж — a2
+ b)2 sin аж dx =
+ b)2 sin аж dx =
i3 sin аж dx =
i3 sin аж dx =
sin ax,
: —— ax = a x + b)n
sin ax,
: —— ax = a x + b)n
sin аж dx.
sin аж dx.
l-l^^ + bT-2^1 .
“—-—-—, , sin аж -
(n — 2k — 1)! a2fc+1
l-l^^ + bT-2^1 .
“—-—-—, , sin аж -
(n — 2k — 1)! a2fc+1
[n/2]
[n/2]
fc=0
fc=0
cos аж. a
cos аж. a
2/^)!a2fc
2/^)!a2fc
cos аж
cos аж
2(ж + b) . a"^x + by
™—-—™ sin аж:
a2a3
2(ж + b) . a"^x + by
™—-—™ sin аж:
a2a3
3[a2(& + b)2 — 21 .
—— - sin аж —
3[a2(& + b)2 — 21 .
—— - sin аж —
a4
a4
2 cos аж.
2 cos аж.
a3
a3
sinf ., f cost ,
at — sin ab at
sinf ., f cost ,
at — sin ab at
tn
tn
sin ax
— dx = cos ab si (аж + ab) ™ sin ab ci (аж + ab).
sin ax
— dx = cos ab si (аж + ab) ™ sin ab ci (аж + ab).
sin аж sin аж : , \ о d X — ~ ж + b)2 x + b
sin аж sin аж : , \ о d X — ~ ж + b)2 x + b
cos аж , — ax.
cos аж , — ax.
2
2
cos аж.
cos аж.
[t = а(ж + b)"\.
[t = а(ж + b)"\.
sin аж ,
sin аж ,
sin аж
sin аж
a cos аж
a cos аж
2 (ж + 6)22 (ж + b)
2 (ж + 6)22 (ж + b)
a" f sin аж , ^/ж
2 J x + b
a" f sin аж , ^/ж
2 J x + b
5.60. Интегралы вида
5.60. Интегралы вида
cos аж dx.
cos аж dx.
n! Г[п/2] cos аж dx = ™ >
a
L k=0
n! Г[п/2] cos аж dx = ™ >
a
L k=0
n-—2k
n-—2k
2k)\a2k
[(n™l)/2]
2k)\a2k
[(n™l)/2]
sin ax +
sin ax +
k=0
k=0
(™lV4x + b)n^2k^"
”—-— t™— ; ; cos аж (n — 2k — 1)! a2fc+1
(™lV4x + b)n^2k^"
”—-— t™— ; ; cos аж (n — 2k — 1)! a2fc+1
2.
cos аж dx =
О Г/л а2(ж + ЬУ-2 .2(® + Ь)
(ж + о) cos ах ах = :sin ах Н:—-—- cos ах.
Jа3а2
Л IД X + Ь . 2/ ..3[а2(ж + ьу ™ 2]
(ж + о) cos ах ах =—— [а (ж + о) — 6]8тажН—-— cos ах.
Г cos ажп™1Л , fsint, [cost \
J (ж + b)n\ J tnJ tn )
[t = а(ж + 6)].
cos ax-
dx = sin ab si (аж + ab) + cos ab ci (аж + ab).
7.8.7.8.cos аж , cos аж f sin аж ,
7.
8.
7.
8.
— dx =-a - dx.
(ж + b)2x + b J x + b
cos аж __ cos аж a sin аж а2 Г cos аж
(ж + b)3 Ж 2(ж + b)22(ж + Ь) 2 J ж + b Ж
5.61. Интегралы вида еаж8тр6ж<+ж.
1. еаж sinp bж dx = т——- sinp bxJа2 + Ь2р21. еаж sinp bж dx = т——- sinp bxJа2 + Ь2р2bx cosbx +bx cosbx +Ьреах . р_га2 + b2p2 S °
1. еаж sinp bж dx = т——- sinp bx
Jа2 + Ь2р2
1. еаж sinp bж dx = т——- sinp bx
Jа2 + Ь2р2
bx cosbx +
bx cosbx +
bx dx.bx dx.Ь^р^р - 1)а2 + Ь2р2
bx dx.
bx dx.
* J[а2 + (2п)2Ь2][а2 + (2п-2)Ч2]...[а2^
ул1Vlny.b^ e^
+ ^ (2n - 2&)![a2 + (2n)262][a2 + (2n - 2)262] . . . [a2 + (2n - 2&)262] X x [a sin2n-2fe bx — (2n — 2k)b sin2n-2,=-1 bx cos 6®]. аж
+ У o2(+462&2 C^;k^aeos2bkx + 2bk sin 2bkx).
j еаж sin2n+1 bx dx =
_ A(2п + 1)!еаж
[a2 + (2n + l)262][a2 + (2n — 1)262] . . . [a2 + (2n — 2k + 1)262]
x— [a sin2n™2fc+1 bx — (2n — 2k + l)6sin2n™2fc бжсозбж].
(2n — 2k + 1)!'
= еЙЖ Vx
22" ^a2 + (2fe + l)262 C2n+1
x [a sin yik + 1)6ж — (2A; + l)b cos (2k + 1)6ж].
ге«ж
еаж sin bx dx =—-(a sin 6ж — 6cos 6ж).
Ja2 + b2
e1® sin2 bx dx =--^ I — cos 2bx + b sin 2bx ).
J2a a2 + 462 \2/
Интегралы вида еах cosp bx dx.
ахl ах
ажл^6Р L । Оре. ,р —1 I ।
е cos ох ах = ——- cos bx Нsm bx cos ох +
а2 + о2р2а2 + о2р2
+ Т^ТТт [ сок'? 2 Ъж d$- а2 + b2p2 J
Оаж 2n ,,с
J е cos Ьж dx - ^ + (2пр&2ца2 + (2п _ 2р62] . . . [а2 + 462]а +
у.1(2n)'.b2k еаж
+ ^ (2п - Игра? + рпуьра2 + (2п - 2)2Ь2] . . . [а2 + (2п - 2к)262] Х
х [acos2n™2fc bx + (2n — 2k)b sin bx cos2n™2fe™x bx\. axax n pm-k
= C^ T a2 +1^^ ^ C0S ^^ + Uk Sb ^h^'
| eax cos2n+1 bx dx =
_(2п + 1)!еаж
[a2 + (2n + l)262][a2 + (2n — 1)262] . . . [a2 + (2n — 2k + 1)262]
x— [a cos2n™2fc+1 bx + (2n — 2k + 1)6 sin bx cos2n™2fc bxY
(2n — 2k +'
5.5.a2 + ^2k + 1)262a2 + ^2k + 1)262xx
5.
5.
a2 + ^2k + 1)262
a2 + ^2k + 1)262
x
x
x [a cos ^2k + l)bx + ^2k + 1)6 sin ^2k + 1)6ж].
reax
\ еаж co^bx dx = cos bx + 6 sin bx).
Ja2 + b2 '
еаж cos2 bx dx =1I — cos 2bx + b sin 2bx
J2a a2 + 462 \ 2
Интегралы вида еож sinp bx cos9 ex dx.
1. еаж sinp x cos9 x dx =
=71 е°Ж ginP ж cos<? 1 ж[а cos ж ++ q) sin ж] —
a2 T q)2 (
— pa f еаж sinp^X ж cos9™1 ж dx + (g — l)(p + q) [ еаж sinp ж cos9™2 ж dx
22= —— < еаж sinp 1 ж cos9 ж[а sin x — (p + q) cos ж] +
2
2
a2 + (p + g)2 [Lx7 J
+ ga | еаж sinp™T ж cos9™1 ж dx + (p — 1) (p H- g) J еаж sinp™2 ж cos9 ж dx L
I а ж ■ р -1а 1 /•.-2
.= —-<е sin ж cos ж (а sin ж cos ж + g sin ж —
а2 + (рТ д)2 (
— р cos2 ж) + g(g — 1) f еаж sinp ж cos9”2 ж dxTp(p™ 1) [ еаж sinp”2 ж cos9 ж dx
а2 + (р + д)2
х |еаж sinp-1 ж cos9”1 ж(а sin ж cos ж + q sin2 ж — р cos2 ж) + g(g — 1) х
х f еаж sinp”2 ж cos9”2 ж dx — (q — р)(р + q — 1) [ еаж sinp”2 ж cos9 ж dx
а2 + (р + q)2 Х
{
а ж • р — 1а — 1 /•।-22 \i \ ,
е sin ж cos ж(а sin ж cos ж + g sin ж — pcos х) + р(р ™ 1) х
х f еаж sinp”2 ж cos9”2 ж dx + (g — р)(р + g — 1) f еаж sinp ж cos9”2 ж dx
Г аж . i} еаж Га sin (b + с)ж — (b + с) cos (b + с)ж
е sin ox cos сх ах = :™:-h
J2 [а2 + (Ь + с)2
а sin (6 — с)ж — (6 — с) cos (6 — с)жа2 + (6 — с)2
| еаж sin2 6ж cos сх dx =
еаж Г а cos сх + с sin схa cos (26 + с)ж + (26 + с) sin (26 + с)ж
4 [ а2 + с2а2 + (26 + с)2
а cos (26 — с)ж + (26 — с) sin (26 — с)жа2 + (26 - с)2
8.8.еаж sin 6ж cosеаж sin 6ж cosi2 сх dx =i2 сх dx =раж Г-т2раж Г-т2а sin 6ж — 6 cos 6жа sin 6ж — 6 cos 6жа2 + 62а2 + 62а sin (6 + 2с)ж — (6 + 2с) cos (6 + 2с)жа2 + (6 + 2с)2! а sin (6 — 2с)ж — (6 — 2с) cos (6 — 2с)жа sin (6 + 2с)ж — (6 + 2с) cos (6 + 2с)жа2 + (6 + 2с)2! а sin (6 — 2с)ж — (6 — 2с) cos (6 — 2с)ж
8.
8.
еаж sin 6ж cos
еаж sin 6ж cos
i2 сх dx =
i2 сх dx =
раж Г
-т2
раж Г
-т2
а sin 6ж — 6 cos 6ж
а sin 6ж — 6 cos 6ж
а2 + 62
а2 + 62
а sin (6 + 2с)ж — (6 + 2с) cos (6 + 2с)жа2 + (6 + 2с)2
! а sin (6 — 2с)ж — (6 — 2с) cos (6 — 2с)ж
а sin (6 + 2с)ж — (6 + 2с) cos (6 + 2с)жа2 + (6 + 2с)2
! а sin (6 — 2с)ж — (6 — 2с) cos (6 — 2с)ж
5.64. Интегралы5.64. ИнтегралыI ах 1 р I вида е tg ж ах.I ах 1 р I вида е tg ж ах.
5.64. Интегралы
5.64. Интегралы
I ах 1 р I вида е tg ж ах.
I ах 1 р I вида е tg ж ах.
[ еаж tgp ж dx = tgp 1 ж[ еаж tgp 1 ж dx — [ еаж tgp 2 ж dx. Jр ™ 1р ™ 1 JJ
рахр ах
еаж tg ж dx = tg ж
Jaa J cos2
3
1 ах j 2*I,
. е tg ж ах =he tg ж — а е tg ж аж.
IаI
Интегралы вида j еаж ctgp ж dx.
| еаж ctgp х dx =
= —-ctgp~x х Н-— f еаж ctgp-1 х dx — f еаж ctgp”2 x dx.
p — 1p — 1 JJ
o f ax , еажIf еаж dx
e ctg x dx = ctg ж 4— 9—.
Jaa J sin" ж
f еаж ctg2 ж dx = — -еаж ctg ж + a [ еаж ctg ж dx.
Интегралы вида жреаж sin (6ж + c) dx.
Обозначение: sin, cos ф = ,—.
7a2 + 62+ 62
жр еаж sin bx dx = (a sin bx — b cos bx) —
Jа2 Т Ь2
хр™1еаж(а sin bx — b cos bx) dx. a2 T b2 Jv
p axp
= sin (bx + <p)хр™1еаж sin (6ж + ф) dx.
Va2 + b2 kVa2 + b2 JV
pn + x/ 1\& + 1 n-fc + 1
жпеож sin bx dx = n! eax V^ -—-— J , sin (bx + кф).
6.6.жп fc+1 sin (Ьж + с + кф).жп fc+1 sin (Ьж + с + кф).7.7.хеаж sin (Ьж + c) dx = хеажVa2 + b2хеаж sin (Ьж + c) dx = хеажVa2 + b2sin (Ьж + с + ф) ™sin (Ьж + с + ф) ™eax9 , sin (bx + С + 2ф). a2 + b2eax9 , sin (bx + С + 2ф). a2 + b2J(n - k + l)’(a2 + b2)k/2 v ’
6.
6.
жп fc+1 sin (Ьж + с + кф).
жп fc+1 sin (Ьж + с + кф).
7.
7.
хеаж sin (Ьж + c) dx = хеаж
Va2 + b2
хеаж sin (Ьж + c) dx = хеаж
Va2 + b2
sin (Ьж + с + ф) ™
sin (Ьж + с + ф) ™
eax
9 , sin (bx + С + 2ф). a2 + b2
eax
9 , sin (bx + С + 2ф). a2 + b2
. ax . ,, e / a" - b \ ./ Zab \
4. же sin bx dx = ™— аж— sin bx — bx— cos bx
Ja2 + b2 a2 T b2 )\ a2 T b2 )
2 ax • l л^ ' '
ж e sin b$ dx =-T-
’ 92(a2-62)2a(a2-3b2)"
ОЖ'ж +/ o
sin bx —
a2 + b2
_a2 + b2(a2 + b2)2 _
eo:c Г, 24ab2b(3a2 - I
cos bx.
3 + b2 La2 + b2(a2 + b2)
2
Интегралы вида жреаж cos (bx + c) dx.
Обозначение: sin ф =, cos ф = -—.
Va2 + b2Va2 + b2
fхреаж
хреаж cos bx dx = — (a cos bx + b sin bx) —
Ja2 + b2
9 хр™1еаж(а cos bx + bsin bx) dx. a2 + b2 J'
2.
TPpa®
7cos (bx T p) ™
Р
+™1
3.
n + l
ax г л। аж X
e cos bx dx = пл e
k=l
Va2 + b2 J
(-l)wxn”k^1
eax cos (bx + <p) dx.
(п - к + 1)!(а2 + Ь2)к/2
cos (bx + кр).
4.
xeax cos bx dx =
5.
2 CL Фу i
ж e cos bx dx =
eax
a2 + b2
eaxa2 + b2
a2 ™ 62 \, A 2ab
ax9 , со8бж+ bx9 , ,9
a2 T b2 I\ a2 + b2
sin bx .
6.
xneax cos (bx + c) dx =
eax
n + l
fc = l
7.
1.
2.
3.
4.
2 ax
eaxa2Tb2
2(а2 - b2)
2 4ab
X ” a2 + b2
2а(а^3^)"
(a2 Tb2)2
cos bx +
25(3a2 b2 (a2Tb2)2
sin bx.
. . (n — к + 2)
(a2 + 62)fc/2
,n k+1 cos (bx T с T k<p).
xeax cos (bx + c) dx =
хеаж
Va2 T b2
5.68. Интегралы вида
cos (bx + c + 92)
eax
9 , ,9 COS (bx + C + 2p). a2 + b2
J sh (ax + b) sin (ex + d) dx =
| shm(ax + b) sinn(ct+ + d) dx.
: 2 °—™ ch (ax + b) sin (ex + d) ™
sh (ax + b) cos (ex + d). a2 + b2 '
| sh x sin x dx =
1 . .1 ,
- ch x sin ж — - sh x cos x.
2
2
sin2n(ca: + d) dx =
22m+2n G2mb2n^ +
1
22m+2n™l
22m + 2n™l
£ 7^ C^ sh №m ” ^аж + 6)] + ,=o
52 РГ7ЗнаТ^ sin K2n “ 2к)(сж + d)l + fc=o ^n ^^
у у 22m+2n™2 / -v/ -у
j=0 к=0
2n
(2m — 2j)2a2 + (2n — 2k)2c2
x {(2m — 2j)a sh [(2m — 2j)(ax + 6)] cos [(2n — 2k) (ex + d)] +
+ (2n -| sh2m(a# + b) sin2n+1l/1 \m+n+ln
V Apm V^
■ 2k)c ch [(2m — 2j)(ax + b)] sin [(2n — 2k)(cx + d)]}.
(ex + d) dx =
/-1 \ к
22m+2n
fc=O
(2n - 2fe + l)c C^n+1 C°S ^2П “ 2k ++ ^ +
(-1)" у1 a (-iy+kcLcUi х
22m+2n-l ^ ^_ 2)^0? + (2п - 2fc + 1)2С2
х {(2m — 2j)a sh [(2m — 2j)(ax + 6)] sin [(2n — 2k + 1)(сж + d)] — — (2n — 2k + l)cch [(2m — 2j)(ax + 6)] cos [(2n — 2k + 1)(сж + d)]}.
j 8Ь2т+1(аж + b) 8ш2п(сж + d) dx =
= у ^ ^yy^ ch [(2m - 2j + 1)(йж + 6)] +22m+2n(2m - 2j + l)a LV J 1 n
+ 22m+2n-i zL 2^ (2m - 2j + l)2a2 + (2n - 2k)2c2
x {(2m — 2j + l)ach [(2m — 2j + 1)(аж + 6)] cos [(2n — 2k)(cx + d)] +
+ (2n — 2k)c sh [(2m — 2j + 1)(аж + b)\ sin [(2n — 2k)(cx + d)]}.
| sh2m+1(ay + 6) 8т2п+1(сж + d) dx =
- 22m+2n zZ zZ (2m _ 2j + l)2a2 у (2n - 2k + 1)2C2
x {(2m ™ 2j + l)a ch [(2m ™ 2j + 1)(аж + 6)] sin [(2n — 2k + 1)(сж + d)] — — (2n — 2k + l)csh [(2m — 2j + 1)(аж + 6)] cos [(2n — 2k + 1)(сж + d)]}.
5.69. Интегралы вида jsh^(ax + b) со8п(сж + d) dx.
J sh (ax + b) cos (ex + d) dx = 2 ^—™ ch (ax + b) cos (ex + d) +
4—™ sh (ax + b) sin (ex + d).
sh x cos x dx = - ch ж cos ж + ™ sh ж sin ж.
J22
j 8Ь2т(аж + b) со82п(сж + d) dx =
22m+2n 2m 2n‘22m + 2n^l(2ш — 2j)a
x sh [(2m - 2jKax + 6)] + ХУу? £ ^ ^^ sin [(2„ - Ik^cx + d^ +
22m+2n™2 zZ (2m — 2j)2a2 + (2n — 2kyc2
x {(2m — 2j)a sh [(2m — 2j)(ax + 6)] cos [(2n — 2k)(ex + d)] + + (2n — 2k)c ch [(2m — 2j)(ax + b)] sin [(2n — 2k)(cx + d)]}.
| зЬ2т(аж + b) со82п+1(сж + d) dx =
= тТ1 Уsin [(2n - 2k + 1)(сж + d)] +
22m+2n z_^^n-2k + l)c LVA n
,1у У G2mG2n+l
22m+2n™i^ (2m2j)2a2 4 (2n2A 4- l)2c2
x {(2m ™ 2j)a sh [(2m — 2^)(аж 4 6)] cos [(2n — 2k 4 1)(сж 4 d)] 4
4 (2n — 2k 4 l)c ch [(2m — 2j)(ax 4 b)"\ sin [(2n — 2k 4 1)(сж 4 d)]}.
| sh2m+1(aa: 4 b) со82п(сж 4 d) dx =
fin m /\3 p3
= /4 V 45Уch [(2m - 2j + l^ax + b)] +
22m+2n ^ (2m - 2j + l)a L»
-.m n —1/ i\jpj pk
22m+2n-i 2_^ 2^ (2m — 2j 4 l)2a2 4 (2n — 2k)2c2
x {(2m — 2j + l)ach [(2m — 2j + 1)(аж 4 6)] cos [(2n — 2k)(cx 4 d)] 4
4 (2n — 2k)c sh [(2m — 2j 4 1)(аж 4 b)\ sin [(2n — 2k)(cx 4 d)]}.
6. | sh2m+1(ay 4 6) со82п+1(сж 4 d) dx =
” 22m+2n Z, Z (2m 2j 4 l)2a2 4 (2n 2k 4 l)2c2
x {(2m — 2j 4 l)a ch [(2m — 2j 4 1)(аж 4 6)] cos [(2n — 2k 4 1)(сж 4 d)] 4
4 (2n ™ 2k 4 l)csh [(2m ™ 2j 4 1)(аж 4 6)] sin [(2n — 2k 4 1)(сж 4 d)]}.
Интегралы вида |сЬт(аж 4 b) sinn (ex 4 d) dx.
1.1.J ch (ax 4 b) sin (ex 4 d) dx = 2 —- sh (ax 4 b) sin (ex 4 d) —
1.
1.
92' ch (ax 4 b) cos (ex 4 d).
ch x sin x dx = - sh x sin xch x cos x. 22
3.3.| ch2m (axTb) sin2n(crz:4d) dx =| ch2m (axTb) sin2n(crz:4d) dx =Cm z^n/ 3\nz^m m 1 / ^xkz^k
3.
3.
| ch2m (axTb) sin2n(crz:4d) dx =
| ch2m (axTb) sin2n(crz:4d) dx =
22m+2n ж 22m+2n™x(2n ™ 2k)c
x sin [(2n - 2k((cx + d^ + ^7^71x sin [(2n - 2k((cx + d^ + ^7^7122m + 2n™2 5Z 5Zj=0 k=022m + 2n™2 5Z 5Zj=0 k=0^ (2m-2j(a(mkcLc-^ (2m-2j(a(mkcLc-sh [(2m — 2j)(ax 4 6)] 4sh [(2m — 2j)(ax 4 6)] 4ik '2nik '2n(2m — 2jya2 4 (2n — 2kyc2(2m — 2jya2 4 (2n — 2kyc2x {(2m — 2j)a sh [(2m — 2j)(ax 4 6)] cos [(2n — 2k)(ex 4 d)] 44 (2n — 2k)c ch [(2m — 2j)(ax 4 6)] sin [(2n — 2k)(cx 4 d)]}.x {(2m — 2j)a sh [(2m — 2j)(ax 4 6)] cos [(2n — 2k)(ex 4 d)] 44 (2n — 2k)c ch [(2m — 2j)(ax 4 6)] sin [(2n — 2k)(cx 4 d)]}.4.4.сЬ2т+1(аж 4 b) sin2n(ca: 4 d) dx =r^n, mp3U2m+1- 22т+2ч У (2m - 2j + l)aсЬ2т+1(аж 4 b) sin2n(ca: 4 d) dx =r^n, mp3U2m+1- 22т+2ч У (2m - 2j + l)ash [(2m — 2j + l)(a® + b)] +sh [(2m — 2j + l)(a® + b)] +/1 \n m/ I\kpj pk22m + 2n™l Z^ Z^ (2ш _ 2j + l)2a2 + (2n _ ^кУс2/1 \n m/ I\kpj pk22m + 2n™l Z^ Z^ (2ш _ 2j + l)2a2 + (2n _ ^кУс2XX
x sin [(2n - 2k((cx + d^ + ^7^71
x sin [(2n - 2k((cx + d^ + ^7^71
22m + 2n™2 5Z 5Z
j=0 k=0
22m + 2n™2 5Z 5Z
j=0 k=0
^ (2m-2j(a
(mkcLc-
^ (2m-2j(a
(mkcLc-
sh [(2m — 2j)(ax 4 6)] 4
sh [(2m — 2j)(ax 4 6)] 4
ik '2n
ik '2n
(2m — 2jya2 4 (2n — 2kyc2
(2m — 2jya2 4 (2n — 2kyc2
x {(2m — 2j)a sh [(2m — 2j)(ax 4 6)] cos [(2n — 2k)(ex 4 d)] 4
4 (2n — 2k)c ch [(2m — 2j)(ax 4 6)] sin [(2n — 2k)(cx 4 d)]}.
x {(2m — 2j)a sh [(2m — 2j)(ax 4 6)] cos [(2n — 2k)(ex 4 d)] 4
4 (2n — 2k)c ch [(2m — 2j)(ax 4 6)] sin [(2n — 2k)(cx 4 d)]}.
4.
4.
сЬ2т+1(аж 4 b) sin2n(ca: 4 d) dx =
r^n, mp3
U2m+1
- 22т+2ч У (2m - 2j + l)a
сЬ2т+1(аж 4 b) sin2n(ca: 4 d) dx =
r^n, mp3
U2m+1
- 22т+2ч У (2m - 2j + l)a
sh [(2m — 2j + l)(a® + b)] +
sh [(2m — 2j + l)(a® + b)] +
/1 \n m/ I\kpj pk
22m + 2n™l Z^ Z^ (2ш _ 2j + l)2a2 + (2n _ ^кУс2
/1 \n m/ I\kpj pk
22m + 2n™l Z^ Z^ (2ш _ 2j + l)2a2 + (2n _ ^кУс2
X
X
х {(2m — 2j + 1)а sh [(2m — 2j + 1)(аж + 6)] cos [(2n — 2k) (ex + d)] + + (2n — 2k)c ch [(2m — 2j + 1)(аж + b)\ sin \_(2n — 2k)(cx + d)]}.
j сЬ2т(аж + 6) 8т2п+1(сж + d) dx =
= ? Tm V 7—, 2nV cos W^ -2k + l)(c« + d^ +
22m+2„^ 2П-2Шс LVA
IG2mG2n+l
22m+2n™i zZ ^ (2m - 2J)2a2 + (2n - 2k + l)2c2
x {(2m — 2j)a sh [(2m — 2j)(ax + 6)] sin [(2n — 2k + 1)(сж + d)] —
— (2n — 2k + l)cch [(2m ™ 2j)(ax + 6)] cos [(2n — 2k + 1)(сж + d)]}.
j сЬ2т+1(аж + b) 8т2п+1(сж + d) dx =
22m+2n zZ zZ (2m — 2j + l)2a2 + (2n — 2k + l)2c2
x {(2m — 2j + l)a sh [(2m — 2j + 1)(аж + 6)] sin [(2n — 2k + 1)(сж + d)] — — (2n — 2k + l)cch [(2m — 2j + 1)(аж + 6)] cos [(2n — 2k + 1)(сж + d)]}.
5.71. Интегралы вида chm (аж + b) cosn (сж + d) dx.
1.1.аж + b) cos (сж + d) dx = 9 ^—™ sh (аж + b) cos (сж + d) +
1.
1.
H—- ch (аж +sin (сж + d).
a2 + c2
ppmpmpk
ch2m(аж + b) cos2n(ex + d) dx =ж +C2- уx
J22m+2n22m+2n™T(2n - 2ky
x sin [(2n - 2fe)(C« + d)] + Z^br T (Z?2j)^ Sh “ 2,)(оЖ + 6)] +
m —1 n —1
22m+2n™2 zZ zZ (2ш - 2j)2a2 + (2n - 2k)*2c2
x {(2m — 2j)ash[(2m — 2j)(ax + 6)] cos [(2n — 2k)(ex + d)] +
+ (2n — 2k)c ch [(2m — 2j)(ax + b)"\ sin [(2n — 2k)(cx + d)]}.
j сЬ2т+1(аж + b) со82п(сж + d) dx =
= X, У^ 7———— sh [(2m — 2j + l)(a® + b)l +
22m+2n(2m - 2J + l)a LVJ
m n—1
,1
22m+2n-i(2m — 2j + l)2a2 + (2n — 2k)2c2
x {(2m — 2j + l)a sh [(2m — 2j + 1)(аж + 6)] cos [(2n — 2k)(cx + d)] +
+ (2n — 2k)cch [(2m — 2j + 1)(аж + b)\ sin [(2n — 2k)(cx + d)]}.
j сй2т(аж + Ь) со82п+1(сж + d) dx = rim nz^fk
= о 7o У' 7ДУ— gjn r^2n — 2fc + l)(c® + d)] +
22m+2" ^ (2n - 2fc + l)c LKA n
m —1 n~j —
I X X '-Дт^Зп + Х
22m+2n-i Zv Z/ (2m - 2j)2a2 + (2n - 2k + l)2c2
x {(2m — 2j)a sh [(2m — 2j)(ax + 6)] cos [(2n — 2k + 1)(сж + d)] + + (2n — 2k + l)c ch [(2m — 2j)(ax + 6)] sin [(2n — 2k + 1)(сж + d)]}.
| сЬ2т+1(аж + b) со82п+1(сж + d) dx =
-i m n
22m+2n(2m _ 2j + l)2a2 + (2n — 2k + l)2c2
x {(2m — 2j + l)a sh [(2m — 2j + 1)(аж + 6)] cos [(2n — 2k + 1)(сж + d)] + + (2n — 2k + l)cch [(2m — 2j + 1)(аж + 6)] sin [(2n — 2k + 1)(сж + d)]}.
5.72. Интегралы вида |жpsinж2dж.
Интегралы j* ж2п+1 sin ж2 dx выражаются через элементарные функции, f i2п •2 i
интегралы х sin ж dx ™ через синус-интеграл Ъ\х) и косинус-интеграл С(ж) Френеля, а интегралы | ж”2””1 sin ж2 dx — через интегральный синус si (ж) и интегральный косинус ci (ж).
[ р .2 , ЖР 12 . Р ™ 1 Г2 ,
ж sin ж ах =cos ж Нж cos ж dx.
J2р J
| sin ж2 dx = ^^8(ж2).
о•2 ,12
ж sin ж dж =cos ж .
J2
- I 9 .2 121/ "ТГ / 9 \
ж^81пж dж = ™™cosж
Г21
К 3 .2 ,Ж2 , 1.2
ж sin ж dx =cos ж Н—sin ж .
J22
Г sin®21 _ 2
dx = - si (ж
J ж2
w Г sin ж2 , sin ж2
^dж =НУ2тгС(ж2 .
J ж2ж
аж2 + Ьх + саж2 + Ьх + с4ас — Ь2 _ / (2аж + Ь)2 cosS
аж2 + Ьх + с
аж2 + Ьх + с
4а \ 4а
+ sin+ sin4ас — Ь24а4ас — Ь24а(2аж + Ь)24а(2аж + Ь)24а
+ sin
+ sin
4ас — Ь2
4а
4ас — Ь2
4а
(2аж + Ь)24а
(2аж + Ь)24а
Интегралы вида jжpcosж2dж.
Интегралы | ж2п+1 cos ж2 dx выражаются через элементарные функции, интегралы | ж±2п cos ж2 dx — через синус-интеграл 8(ж) и косинус-интеграл С(ж) Френеля, а интегралы | ж™2п™х cos ж2 dx — через интегральный синус si (ж) и интегральный косинус ci (ж).
t f Р.2 Р 1 Г Р”2 •2 1
ж cos ж dx = sin жж sin ж dx.
J2р J
j* cos ж2 dж = ^^С(ж2).
of 2 ,1.2
ж cos ж dж = - sm ж .
( ж2 cos ж2 dx = — sin ж2 — - — 8(ж2).
J22 V 2 k 7
г 32 , ж -2 . 12
ж cos ж dж =—sin ж Ч—cos ж .
J22
[£^ж = А^ц2)-
J ж2
_ Г COS Ж2 ,COS Ж2
— dx =у2тг 8(ж2).
J ж2ж
cos (аж2 Т bx Т с\cos (аж2 Т bx Т с\4ас ™ Ь2 „ / (2аж + Ь)2 cosС
cos (аж2 Т bx Т с\
cos (аж2 Т bx Т с\
4а \ 4а
— sin— sin4ас — 624а4ас — 624а(2аж + 6)24а(2аж + 6)24а
— sin
— sin
4ас — 62
4а
4ас — 62
4а
(2аж + 6)24а
(2аж + 6)24а
11 !/‘2 А.Ю. Брычков и др.
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
Интегралы вида жр1п9жс£ж.
1.2.1.2.F(x) = f (ж) dxF(x) = f (ж) dx| /(ж) In g(x) dx = F(x) In ^(ж) — | ^F^-A^l дж | In g(x) dx = ж In ^(ж) — | Ж^^ dx.
1.
2.
1.
2.
F(x) = f (ж) dx
F(x) = f (ж) dx
7.8.9.7.8.9.J /(ж) lnn x dx = Р(ж) InJ /(ж) lnn x dx = Р(ж) Inxp In9 x dx =xp In9 x dx =жР+Чг^жжР+Чг^жжр+1 In9 x qp + 1 p + 1жр+1 In9 x qp + 1 p + 1p + 1p + 1xp lng+1 x dx.xp lng+1 x dx.x dx.x dx.F(x) = /(ж) dxF(x) = /(ж) dxгжр+1 ”\lF^k Xj ®p x d$ = ^jE(-1) (n + ^C” -1) • ■ • (» - ^ +1) (p + 1)fc+1 •гжр+1 ”\lF^k Xj ®p x d$ = ^jE(-1) (n + ^C” -1) • ■ • (» - ^ +1) (p + 1)fc+1 •— in im+ 52— in im+ 5210.10.In9 Xdx =жрf In9 X ]dx = -In9 Xdx =жрf In9 X ]dx = -k=lIn9 Xk=lIn9 XММ1'1 ж-ММ1'1 ж-(p — 1)жр 1 ln9+1 Xq + 1 "(p — 1)жр 1 ln9+1 Xq + 1 "q f In9 1x . dx.q f In9 1x . dx.p — 1 J xpp — 1 J xp
7.
8.
9.
7.
8.
9.
J /(ж) lnn x dx = Р(ж) In
J /(ж) lnn x dx = Р(ж) In
xp In9 x dx =
xp In9 x dx =
жР+Чг^ж
жР+Чг^ж
жр+1 In9 x q
p + 1 p + 1
жр+1 In9 x q
p + 1 p + 1
p + 1
p + 1
xp lng+1 x dx.
xp lng+1 x dx.
x dx.
x dx.
F(x) = /(ж) dx
F(x) = /(ж) dx
гжр+1 ”\lF^k X
j ®p x d$ = ^jE(-1) (n + ^C” -1) • ■ • (» - ^ +1) (p + 1)fc+1 •
гжр+1 ”\lF^k X
j ®p x d$ = ^jE(-1) (n + ^C” -1) • ■ • (» - ^ +1) (p + 1)fc+1 •
— in im+ 52
— in im+ 52
10.
10.
In9 X
dx =
жр
f In9 X ]
dx = -
In9 X
dx =
жр
f In9 X ]
dx = -
k=l
In9 X
k=l
In9 X
ММ1'1 ж-
ММ1'1 ж-
(p — 1)жр 1 ln9+1 X
q + 1 "
(p — 1)жр 1 ln9+1 X
q + 1 "
q f In9 1x .
dx.
q f In9 1x .
dx.
p — 1 J xp
p — 1 J xp
11.11.1ппж J1 dx —;—жт(nFl^x1^^11ппж J1 dx —;—жт(nFl^x1^^1E k = 0E k = 0(n + l)n . . . (n - к + 1) n„k(m — l)fc+x(n + l)n . . . (n - к + 1) n„k(m — l)fc+x
11.
11.
1ппж J1
dx —;—
жт(nFl^x1^^1
1ппж J1
dx —;—
жт(nFl^x1^^1
E k = 0
E k = 0
(n + l)n . . . (n - к + 1) n„k(m — l)fc+x
(n + l)n . . . (n - к + 1) n„k(m — l)fc+x
f lnn xdx = x ^^(™l)fc^l C„ lnn”fc ж.
Jfe = 0
| In x dx = x In x — x.
| In2 ж dx = x In2 ж ™ 2ж In ж + 2ж.
In3 x dx = x In3 ж ™ Зж In2 ж + 6ж In ж — 6ж.
17.
| хр In ж dx = жр+1
In X
1 -
_p + 1
(p+iH
18.
1 тр In2 v™ vp+1
Г In2 X
2 In ж
2"
1 (P + 1)3.
1 ьЪ 111 ьЪ U/ьЬ — ьЪ
[p + 1
(p + l)2
19.
Г In3 X
3 In2 x
6 In ж
6"
LP + 1
(p + l)2
1 (p + 1)3
(p + l)4l
20.
Г In ж ,In2 ж
J ж2
21.
f In жIn ж
I z- d x —-
J X2X
1
X
22.
f In жIn ж
2 dx
J xA2ж2
1
4ж2
23.
f In2 XIn3 X
dx =
J ж3
24.
f In2 xIn2 ж
I q d x —
JX
2 In ж
2
X
X
25.
f In2 xIn2 ж
у dx2
J хд2ж2
In X
1
4ж2
6.2. Интегралы
xp dx
вида ^
In9 X
1.
f xp dxжр+1
p + 1 f _
xp dx
J In9 x(q — 1) In9™1 x
9-1 J 1
n9™1 X
2.
f dx
1
P
-If dx
J жр In9 x(g — 1
)жр-1In9
ж q
“ 1 J жр In9'
-1
X
f dxI
— = In In ж .
J ж In ж
J ж In9 ж (g ™ 1) In9™1 ж
Интегралы вида j (ж + a)p In ж dx.
। я। i ^ f (ж + a)m+1 .
(ж + a) In x dx = (ж + a) In ж-dx.
Jm +1m + 1 J x
1’"'r»k"VX
=^^[(ж + а)-+1_а-+1]1пж_£с^^—^.
m + 1+ I)2
(ж + a) In x dx = - (ж2 + 2аж) In ж — ax—.
„i32
f /\2 i i 1/3 о 2 о 2 \ iж aX 2
(ж + a) In x dx = - (ж + Зах + За ж) In жаж.
П 1/2*
x + a)3 In x dx = ™ [(ж + a)4 — a4
f lnn x dx
6.7—
x lnn x
,,ж4аж3За2ж2 3
In жаж.
J1634
n f In"™1 x dx
(m — l)a J (ж + a)"1”1
m — 2 f lnn x dx
(m — l)a J (ж + аУп™
11.
12.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
In ж dx
In ж
(ж + a)m (m — 1)(ж + а)
1 + (ш l)arn™1
In x dx ,, ж + a T . /
= In Ж • inh L12
In ж dx
In x dx
In x dx(ж + a)1/2
In
X
к = 1
("l)kк
кл
a
In ж1 ,
+ - In в + aa
In x
а
1
2(ж + а)2 2а(ж + a)
2a2
ж
= 2 (In ж — 2)(ж + a)1/2 + a1/2 In
= 2 (Inж — 2)(ж + a)1/2 + 2( —a)1/2
6.4. Интегралы вида |xp In (аж + b) dx.
аж
In" t dt
| жт In (аж Л b) dx =
1
m+1 + (-l)
J In (аж + b) dx = — (аж + 6) In (аж + 6) —
| ж In (аж b) dx = ;| ж2 In (аж + 6) dx =
| ж3 In (аж + b) dx =
2
4
^^±4 dx = _
xp
(ж + а)1/^^2’ (ж + a)1/2 — a1/2 _
a^1
1
1
~ 4
In (аж + b) a f
,4
1/21
[t =
In (аж + 6) +
k=i
2
2
3
4
dx
ах + 6].
(m — к + 2)afc 1
bx ^
bx2 b2x
2a a2
bx3 b2x2 3a + 2a2
Ь3жa3
(p — 1)жр™1 p —1J хр™г(ахЛЬ)
8.8.
8.
8.
аж + Ь)In (аж + 6)
жт(т — 1)жт-1
In (аж + Ь) , а . . .—— c dx = yin жж2bIn (аж + Ь) , а . . .—— c dx = yin жж2bIn (аж + b).In (аж + b).6.5. Интегралы вида жр Indx. J x — a6.5. Интегралы вида жр Indx. J x — a[аб ф 0].[M < i<[M > 565].[аб ф 0].[M < i<[M > 565].1.2.1.2.„ ж + a , жр+ . ж + a 2a Г ж ,ж Indx = In1—у dxx — a p + 1 ж — a p + 1 J ж - a2„ ж + a , жр+ . ж + a 2a Г ж ,ж Indx = In1—у dxx — a p + 1 ж — a p + 1 J ж - a2f xm In ж a dx = —- [жт+1 —a)m+1] In (ж + a) —J ж — a m + 1f xm In ж a dx = —- [жт+1 —a)m+1] In (ж + a) —J ж — a m + 11m + 11m + 1(x^1 — a^1) In (ж — a) +(x^1 — a^1) In (ж — a) +a^1m + 1a^1m + 1m+l E k=lm+l E k=l1 (-l^+W /жуk ya/1 (-l^+W /жуk ya/
In (аж + Ь) , а . . .
—— c dx = yin ж
ж2b
In (аж + Ь) , а . . .
—— c dx = yin ж
ж2b
In (аж + b).
In (аж + b).
6.5. Интегралы вида жр Indx. J x — a
6.5. Интегралы вида жр Indx. J x — a
[аб ф 0].
[M < i<
[M > 565].
[аб ф 0].
[M < i<
[M > 565].
1.
2.
1.
2.
„ ж + a , жр+ . ж + a 2a Г ж ,ж Indx = In1—у dx
x — a p + 1 ж — a p + 1 J ж - a2
„ ж + a , жр+ . ж + a 2a Г ж ,ж Indx = In1—у dx
x — a p + 1 ж — a p + 1 J ж - a2
f xm In ж a dx = —- [жт+1 —a)m+1] In (ж + a) —
J ж — a m + 1
f xm In ж a dx = —- [жт+1 —a)m+1] In (ж + a) —
J ж — a m + 1
1
m + 1
1
m + 1
(x^1 — a^1) In (ж — a) +
(x^1 — a^1) In (ж — a) +
a^1
m + 1
a^1
m + 1
m+l E k=l
m+l E k=l
1 (-l^+W /жуk ya/
1 (-l^+W /жуk ya/
л f In (аж +/ аж\
—dx = In\b\ - In ж Li2 —-
J ж\ b J
_. . . . z , xГ In I ж I dx
= In ж - In (аж + 6) а — .
KJ ax +b
-= M4.|IеЦУ(Д
fc=l4
12^^n>i(±y
3.4.5.6.7.3.4.5.6.7.
3.
4.
5.
6.
7.
3.
4.
5.
6.
7.
dx = (ж + a) In (ж + a) (ж a) In (ж — a) = ж a
, Ж + a i/22\
= ж Inк a In (ж — a ).
ж ™ a
Г , ж E a , x — a _ ж -4- a ж Indx = Inк аж.
J ж ™ a2 ж ™ a
Г21 ж “к a, ж, ж | aai / 22 \ аж
J ж — a 3 ж — a33
f 3 ж + a ,ж4 —- а4 1 ж + а аж3 а3ж
ж Indx = In11.
1 кln ®±a(m — l)am 1 [x1 кln ®±a(m — l)am 1 [x8.9.8.9.+ In+ Indx = Li2 ж adx = Li2 ж a^о^ + 1)2^о^ + 1)2[a ^ 0].[a ^ 0].J x ™ a4 ж ™ a 62
1 кln ®±a
(m — l)am 1 [x
1 кln ®±a
(m — l)am 1 [x
8.
9.
8.
9.
+ In
+ In
dx = Li2 ж a
dx = Li2 ж a
^о^ + 1)2
^о^ + 1)2
[a ^ 0].
[a ^ 0].
л Г 1 , х + а ,1 , х — а1 х х2 — а2
— Indx = - InIn-—.
J ж2ж — a x ж + aa x2
Интегралы вида |x±m In (ж2 + a2) dx.
f ж2п In (ж2 + a2) dx = -—-—- Гж2"+1 In (ж2 + a2) —
J[
- 2 6 'll a2n^kx2k+1 + (-l)n2a2n+1 arctg -
k = 0■
| ж2п+1 In (ж2 + a2) dx =
1(n + l / - \ n — kX
1 I г 2n + 2 . /2n+2i 1/ 2 .2\ .2n-2k^2 2k I
1 Еж + ЬХ) a ]Ь(ж +aa ж к
f In (ж2 + a2) dx = x In (ж2 + a2) — 2ж + 2a arctg —.
| ж In (ж2 + a2) dx = ™ [(ж2 + a2) In (ж2 + a2) ™ ж2].
5.5.ж2 In (ж2 + a2) dx = ^- In (ж2 + a2) — | ж3 + | a2ж —ж2 In (ж2 + a2) dx = ^- In (ж2 + a2) — | ж3 + | a2ж —2 з , ж ™a arctg™3a2 з , ж ™a arctg™3aж3 In (ж2 + a2) dxж3 In (ж2 + a2) dx'4'/ 44\ i / 2 .2\ .2 2 ж(ж — a ) In (ж + a ) + a ж'4'/ 44\ i / 2 .2\ .2 2 ж(ж — a ) In (ж + a ) + a жf In (ж2 + a2)_1п(ж2+а2)J х2тп(2m — 1)ж2тп™1(2m — l)a2m™1 ^^ 2^ + 1 \ж /(2m — l)a2rn™x а C ^ af In (ж2 + a2)_1п(ж2+а2)J х2тп(2m — 1)ж2тп™1(2m — l)a2m™1 ^^ 2^ + 1 \ж /(2m — l)a2rn™x а C ^ a8.8.In (ж2 + a2)In (ж2 + a2)ж2т+х2тх2тп+. V bit (b2k'2ma2m x2k \x)Lk=ix 7■In (ж2 + a2)In (ж2 + a2)ж2т+х2тх2тп+. V bit (b2k'2ma2m x2k \x)Lk=ix 7■л Г1п(ж2 + а2) ,, 2 । I 1/ a2 \ dx = In | ж | 4— L12 I)J ж2\ ж2 /л Г1п(ж2 + а2) ,, 2 । I 1/ a2 \ dx = In | ж | 4— L12 I)J ж2\ ж2 /[a ^ 0].[a ^ 0].10.10.12 1 I I( x= In a • In |ж| — - Li2 I212 1 I I( x= In a • In |ж| — - Li2 I2[a ^ 0].[a ^ 0].11.11.1п(ж2 + а2) ,1п(ж2 + а2)2 ж—dx = 3— arctg —.x2xa a1п(ж2 + а2) ,1п(ж2 + а2)2 ж—dx = 3— arctg —.x2xa ap I / 2 ,2\2,21[ In (ж + a ) x +a , 2 . 2\ . liiidx = ----In (ж + a ) H™ In ж .J хд2a2x2a2p I / 2 ,2\2,21[ In (ж + a ) x +a , 2 . 2\ . liiidx = ----In (ж + a ) H™ In ж .J хд2a2x2a2
5.
5.
ж2 In (ж2 + a2) dx = ^- In (ж2 + a2) — | ж3 + | a2ж —
ж2 In (ж2 + a2) dx = ^- In (ж2 + a2) — | ж3 + | a2ж —
2 з , ж ™a arctg™
3a
2 з , ж ™a arctg™
3a
ж3 In (ж2 + a2) dx
ж3 In (ж2 + a2) dx
'4'
/ 44\ i / 2 .2\ .2 2 ж
(ж — a ) In (ж + a ) + a ж
'4'
/ 44\ i / 2 .2\ .2 2 ж
(ж — a ) In (ж + a ) + a ж
f In (ж2 + a2)_1п(ж2+а2)
J х2тп(2m — 1)ж2тп™1
(2m — l)a2m™1 ^^ 2^ + 1 \ж /(2m — l)a2rn™x а C ^ a
f In (ж2 + a2)_1п(ж2+а2)
J х2тп(2m — 1)ж2тп™1
(2m — l)a2m™1 ^^ 2^ + 1 \ж /(2m — l)a2rn™x а C ^ a
8.
8.
In (ж2 + a2)In (ж2 + a2)
ж2т+х2тх2тп
+. V bit (b2k'
2ma2m x2k \x)
Lk=ix 7■
In (ж2 + a2)In (ж2 + a2)
ж2т+х2тх2тп
+. V bit (b2k'
2ma2m x2k \x)
Lk=ix 7■
л Г1п(ж2 + а2) ,, 2 । I 1/ a2 \
dx = In | ж | 4— L12 I)
J ж2\ ж2 /
л Г1п(ж2 + а2) ,, 2 । I 1/ a2 \
dx = In | ж | 4— L12 I)
J ж2\ ж2 /
[a ^ 0].
[a ^ 0].
10.
10.
12 1 I I( x
= In a • In |ж| — - Li2 I2
12 1 I I( x
= In a • In |ж| — - Li2 I2
[a ^ 0].
[a ^ 0].
11.
11.
1п(ж2 + а2) ,1п(ж2 + а2)2 ж
—dx = 3— arctg —.
x2xa a
1п(ж2 + а2) ,1п(ж2 + а2)2 ж
—dx = 3— arctg —.
x2xa a
p I / 2 ,2\2,21
[ In (ж + a ) x +a , 2 . 2\ . liii
dx = ----In (ж + a ) H™ In ж .
J хд2a2x2a2
p I / 2 ,2\2,21
[ In (ж + a ) x +a , 2 . 2\ . liii
dx = ----In (ж + a ) H™ In ж .
J хд2a2x2a2
Интегралы вида ж±гп In |ж2 — а21 dx.
Г 2n 1 I 221 ,12n + l 1 I 221
ж In ж — а аж = ж In ж — а —
J 11 2п + 111
n 2n-2fc^2^ + 1n 2n-2fc^2^ + 1ж2к+1+а2„+1]п|£±^|
n 2n-2fc
^2^ + 1
n 2n-2fc
^2^ + 1
2. ]Ж2п+11п|Ж22. ]Ж2п+11п|Ж2■ а21 dx =■ а21 dx =I ж — а I
2. ]Ж2п+11п|Ж2
2. ]Ж2п+11п|Ж2
■ а21 dx =
■ а21 dx =
12п + 212п + 23.3.ж In (ж + Vж2 + а2 ) dxж In (ж + Vж2 + а2 ) dxIn (ж + Vх2 а2 ) — ™ Vх2 а2 .In (ж + Vх2 а2 ) — ™ Vх2 а2 .
1
2п + 2
1
2п + 2
3.
3.
ж In (ж + Vж2 + а2 ) dx
ж In (ж + Vж2 + а2 ) dx
In (ж + Vх2 а2 ) — ™ Vх2 а2 .
In (ж + Vх2 а2 ) — ™ Vх2 а2 .
/ 2п4-22та4~2 \ 1 I 22 । X ®
(ж ™ а ) In Iж — а, I 2 —
3. [ In |ж2 — а21 dx = ж In |ж2 — а21 — 2ж + a In I ж + а JI ж — а
4.
| ж In |ж2 — а21 dx = ™ [(ж2 — а2) In ж2 — а2| -
- Ж ].
5.
[ ж2 In ж2 ™ а2 \ dx = — In ж2 — а2| — - ж3 —
2 2, а3 1 I Ж + а
о а ж + о In
6.
| ж3 In ж2 — а2 \ dx = ™ (ж4 — а4) In ж2 — а2|
331 ж — а
41
Ж2 2
а ж .
2_
7.
f In |ж2 ™ а2_In |ж2 — а2|
J х2тпЖ(2m — 1)ж2тп”1
1m 2/ \ 2k4~lI
1v^1/ а А1ж + а
(2m — ^а27"™1 ^^ 2^ + 1 \ж /(2m — 1)а2тп”1 I ж — а I
Г1п|ж2™а2|1п|ж2 —а2|1 Г |ж2 — а2|
J ж2т+12тх2т 2ma2m [ ж2
f In |ж2 — а2|2 । ।1 г . /о2 \
— dx = In2 ж А— L12 ( I
J ж2 ух2/
= 1па2 • In |ж| - | 1л2 f ™Л
f In ж2 — а2 , In ж2 — а2|ж + а
—!-1 аж =!1ш
J х2жа I ж — а
р 1 I 221221
I In ж аж а । 221i i
dx = ---In ж ™ а In ж .
J ж42а2х2а2
Интегралы вида хр In (ж + Vж2 + а2 ) dx.
|жр1п(ж + ^Т^)^ = — 1пД + Г^+^)-— ]
In (ж + Vж2 + а2 ) с?ж = ж In (ж + Vж2 + а2 ) ™ Vж2 + а2 .
4.
5.
3/2 .2\3/22
ж ,/ ^ ■ ^ х(ж + а ) а
= у In (ж + Уж- + а2 )+ у
I ж3 In (ж + Уж2 + а2 ) dx = ( —^- j In (ж + Уж2 + а2 ) +
32 ж3
32 “ Ж 16
6.
х
f In (ж + Уж2 + а2 )_ In (ж + Уж2 + а2 )У ж2 + а2
)ж2пЖ (2п — 1)ж2п™1(2п — 1)(2п — 2) Х
11lfc (2n_-3)(2n2J^X2n_-^^
а2ж2п^2 а2п 2-/^(п — 2)(п — 3) . . . (п — Р — 1) \Ж/
(-1)п(2п — 3)!! 1п а + Уж2 + а2
~*~ (2п — 1)а2п™1 (2п — 2)!! ° ж
7.
f In (ж + У ж2 + а2 ) ,—~ dx =
_ In (ж + У ж2 + а2 )
2пж2п
У ж2 + а21
(2п — 1)2п _а2ж2п™х
1k П™ 1)(П - 2) . . . (n k) А
^^ и (2п ” 3)(2п ” 5) ' • • (2п “ 2к “ 1) \ж/
f In (ж + У ж2 + а2 ) ,1 I I I ।1 1 2 2ж
8.———dx = In |а| • In |ж + - Inк
Jж2 а
к (2^ — 1)!! /аУ (2^-2)!!(2^)3 \ж)
[ж/а > 1].
9.
= In |а| • In |ж| — - In2 — 2 а
к (2^1)!! (2^™2)!!(2^)3
[ж/а < — 1].
10.
= In |а| • In |ж| + У^(—l)fc fe = 0
(2^ + 1)!!
(2^)!!(2fc + l)3
/жХ2^1
[|ж| < а].
1.
In (ж + Уж^Уа2 ) , In (ж + Уж^Уа2 )
ХлX
In (ж + У ж2 + а2 )In (ж + У ж2 + а2 )
^аж =
1 , а + Уж^Уа2
-Inп
аI ж I
У ж2 + а2 2а2ж
6.9. Интегралы вида хр In (ж + Уж2 — а2 ) dx.
жр In (ж + Уж2 — а2 ) dx =
жр+1 р + 1
In (ж + Уж2 — а2 ) —
1 I* жр+1 dx
Р + 1 J Уж2 — а2
3. ж In (ж + Хж2 — а2 ) dx =3. ж In (ж + Хж2 — а2 ) dx =™ j In (ж + Хж2 — а2 ) — ™ Хж2 — а2 .
3. ж In (ж + Хж2 — а2 ) dx =
3. ж In (ж + Хж2 — а2 ) dx =
4 х74
4. j ж2 In (ж + V х2 — а2 ) dx =
3/22\3/22
= In (ж +- а2 ) -.
5.5.ж3 In (ж + Vж2 — а2 ) dxж3 In (ж + Vж2 — а2 ) dx/ ж4\Т/ ж4\Тj In (ж + V®2 — а2 ) -_, А 2\ 16 + 32 “j In (ж + V®2 — а2 ) -_, А 2\ 16 + 32 “V х2 — а2 .V х2 — а2 .
5.
5.
ж3 In (ж + Vж2 — а2 ) dx
ж3 In (ж + Vж2 — а2 ) dx
/ ж4
\Т
/ ж4
\Т
j In (ж + V®2 — а2 ) -
_, А 2
\ 16 + 32 “
j In (ж + V®2 — а2 ) -
_, А 2
\ 16 + 32 “
V х2 — а2 .
V х2 — а2 .
6.6.In (ж + Хж2 — а2 )_ In (ж + Хж2 — а2 ) Хж2 — а2
6.
6.
=(2п1)ж2—1+ (2^1)(2^2) >
"1L
а2ж2п™2 а2п Z^ 2k(n — 2)(n — 3) . . . (n — k — 1) \Ж/
1(2n — 3)!! Vx2 — a2
(2n - Ла2»1 (2^2)H arCtg a
f In (ж + Хж2 — а2 ) —" dx =
I/g2n + l
_ In (ж + Хж2 — а2 ) Хж2 — а2 1
2пж2п(2n — l)2n a2x2n™T
1 v^ 2k(n — l)(n — 2) . . . (n — k) ( аХП 2k 1
+ «2n+1 ^ (2n-3)(2n-5) . . . (2n - 2fe - 1) X/
8.8.In (ж + Хж2 — а2 )In (ж + Хж2 — а2 )1 •dx = In |a| • In |ж| + — In'1 •dx = In |a| • In |ж| + — In'2 2ж a2 2ж a
8.
8.
In (ж + Хж2 — а2 )
In (ж + Хж2 — а2 )
1 •
dx = In |a| • In |ж| + — In'
1 •
dx = In |a| • In |ж| + — In'
2 2ж a
2 2ж a
[kl > l<[kl > l<(2&-1)!! («Л(2& -2)!!(2&)3 Л/
[kl > l<
[kl > l<
9.9.In (ж + V^2 — а2 ) , In (ж + V^2 — а2 )1V^2 ™ а2
9.
9.
— dx = H— arctg
x2xaa
In (ж + V^2 — а2 )_ In (ж + V^2 ™ а2 ) Хж2 — а2
ж32ж2"^ 2а2ж
6.10. Интегралы вида6.10. Интегралы вида2. In (ж + Хж2 ± а2 ) dx.2. In (ж + Хж2 ± а2 ) dx.
6.10. Интегралы вида
6.10. Интегралы вида
2. In (ж + Хж2 ± а2 ) dx.
2. In (ж + Хж2 ± а2 ) dx.
1.1.=■ In (ж + Хж2 ± а2 ) dx = Хж2 ± а2 In (ж + Хж2 ± а2 ) —
1.
1.
Хж2 ± а2Р
ЖР (р^1)а2 Р жр™2
Р2 Р J Хж2 ± а2 v7
— In (ж + Хж2 ± а2 ) dx = - In2(ж + Хж2 ± а2 ).
Хж2 ± а22
Ж — In (ж + Хж2 ± а2 ) dx = Xж2 ± a2 In (ж + Хж2 ± а2 ) — ж.
Хж2 ± О
12 А.Ю. Брычков и др.
6.11. Интегралы вида 11пр(ж + Уж2 ± а2 ) dx.1. 11пр(ж + Vж2 ± а2 ) dx = ж 1пр(ж + Vж2 ± а2 ) —6.11. Интегралы вида 11пр(ж + Уж2 ± а2 ) dx.1. 11пр(ж + Vж2 ± а2 ) dx = ж 1пр(ж + Vж2 ± а2 ) —— pV х2 ± а2 1пр 1 (ж + Vж2 ± а2 ) + р(р — 1) |1пр 2(ж + Уж2 ± а2 ) dx.
6.11. Интегралы вида 11пр(ж + Уж2 ± а2 ) dx.
1. 11пр(ж + Vж2 ± а2 ) dx = ж 1пр(ж + Vж2 ± а2 ) —
6.11. Интегралы вида 11пр(ж + Уж2 ± а2 ) dx.
1. 11пр(ж + Vж2 ± а2 ) dx = ж 1пр(ж + Vж2 ± а2 ) —
2. J lnn(ж + Vж2 ± а2 ) dx =2. J lnn(ж + Vж2 ± а2 ) dx =[п/2]
2. J lnn(ж + Vж2 ± а2 ) dx =
2. J lnn(ж + Vж2 ± а2 ) dx =
^2 (п + 1)п • • • (п “2^ + 1) 1пп~2,г(ж + Vж2 ± а2 ) — к=О
[п/2]
— Уж2 ± а2 ^2 п(п —(и- — 2/г) 1пп^2,г™1(ж + Уж2 ± а2 ).
к=0
11п2 (ж + Уж2 ± а2 ) dx =
= ж 1п2(ж + Vж2 ± а2 ) — 2Vж2 ± а2 1п (ж + Vж2 ± а2 ) + 2ж.
Т. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Интегралы вида arcsinp — dx. а
arcsinp — dx = х arcsinph
Jcia
+ pVa2 — ж2 arcsin^1 — — p(p — 1) arcsinp~2 — dx. aJa
[n/2]
arcsin” — dx = x V^ afc=Oarcsin” — dx = x V^ afc=O22(-1)УА0!<Уагс8йГ-2'г-
arcsin” — dx = x V^ a
fc=O
arcsin” — dx = x V^ a
fc=O
2
2
[O+l)/2]
- V a2 - ж2 V (1)У/^Л
a
k=i
of . X ,. X /9
arcsin — dx = x arcsinV Va2 ™ x2 .
J aa
. f• 2 o / 99•о
arcsin — dx = x arcsinh IV ax — x2 arcsinlx. Jaaa
к fЖ. 3 X
arcsin — dx = x arcsinh
Jaa
+ 3 Va2 — x2 arcsin2 — — 6ж arcsin — — 6 Va2 — ж2 . aa
= In arcsin ж + ), , x. , arcsin x.
J arcsin ж 11^(2^)! 2^
Интегралы вида жр arcsin — dx. Jci
. f . x . жр+1 . x If жр+1 dx
arcsin — dx = arcsin,—.
Ja p + 1 a p + 1 J Vci2 - ж2
o f 2n . XЖ2п+1. X
ж arcsin — dx = arcsinh
Ja 2n + 1 a
V a2 - ж2 Г 2n . 2n2fc+1n(n ™ 1) . . .(n ™ к)/ ж
+ (2n + l)2|® +“^ (2n - l)(2n - 3) . . . (2n - 2k - 1)\a
3.
arcsin — dx =a
2n-
fc = l
Ж2 +. XVCl2 ™ x2
arcsinh — x 2n + 2 a (2n + 2)2
(2n + l)(2n — 1) . . . (2n — 2к + 3) /ж
2fen(n ™ 1) . . . (n ™ к + 1) \a
2n-2fc + l-i
(2n + l)!!a2n+2. x
———7™ТТЛ" arcsin —. n! 2n+2(n + I)2 a
2
2
х arcsin
,2
а
,з
2. X . X. X
x arcsin — dx = — arcsin4a 3
2
з . ж
х arcsin — а
,4
а
4
+ 2a
~9
4
2
— V а2 — ж2
arcsinh а
2ж3+За2 ж
32
.2
7.3. Интегралы вида
1. х .
— arcsin — ах.
хр
а
arcsin — dx = — а
1
(р — 1)жр-1
. x 1
arcsin1
a p ™ 1
dx
/ л 2 — п’2
n f 1. x .
2. arcsin — dx = —
x2n a
1а2ж2п™2
п-2
1. xVa2 ™ x2
(2n — 1)ж2п-1 a CS a (2n — l)(2n — 2)
fc = l
(2^3X2^-5^42^21^^ 6 a
2k(n ™ 2)(n — 3) . . . (n — к — 1) уж
2n-2fc-2i
3.
1
4.
5
6.
7.
1.
2
(2п ™ 3)!!
(n — 1)! 2n~x(2n — l)a2-
arcsin — dx = — a
1а2ж2п-1
1.
— arcsin
1
1
1п
a + V«2 ™ x2
1. ж Va2 — ®2
— arcsin—— x 2пж2п a 2n{2n — 1)
J 2k(n - l)(n - 2) ... (n - fc)
a21^1(2n ™ 3)(2n ” 5) . . . (2n - 2к ™ 1)
2пх2п
arcsin a
к = 0
1
2па2п
к=0
2].
\ Sn-Sk- a \
CLi /а2-ж2У"^1/2
2n — 21 — 1 \ ж2 /
(21—1)!! /ж
(21)!!(21 + I)2 V
2fc + l
1. х .1. х 1 .
— arcsin — dx =arcsinIn x2 ax a a
1. x .1. xVa2 — i
— arcsin — dx = — -™- arcsino xA a2x2 a 2a2x
7.4. Интегралы вида
n+1/2 arcsin — dx = ±a
1
a ± ж)п+3/2
Va^ x
arcsin — dx а
к=1
,2
,2
in+ 1/ 2• X ,
-' arcsin — dx.
а
2
2-n "4” 3
2п -4” 3
п+З/2. ж ,
7 arcsin — ± а
fc=O
2
2fc(2A: + 1)
(2п — 1)(а ± ж)п+1/2
arcsin а
(2n - l)(2n - 3) . . . (2n - 2k + 1) /a ± (2n - 2)(2n - 4) ... (2n - 2k)\^a
(2п - 1)!!23/2"п
+ (2п)!!(2п + 1)а"+!/2
уа ± ж
7.5. Интегралы вида жр(а2 — ж2)^ arcsinr — dx.
• 22\п + 1/2. Ж ,
а — ж )' arcsin — ах = —
'а
^(а2 - ж2)^3/2.
—arcsin
р "4” 2п -4” 2
а
1
р + 2п + 2
Fk = 0
Мусур У 2k(р - 1)«2р -4” 2а -4” 2
2n™2fc+2 p+2fe axF
- 22xn + l/2• Ж
а — ж ) z arcsin —аж.
'а
2.
3.
4.
5.
6.
7.
/ q. ж _ а
а2 — х2 arcsin — ах = — а 4
22хп+1/2. ж
а — ж )' arcsin — ах
а
- 2 а
• 2
. 2 ж ж о • ж а2 — ж2
arcsin1Vft - ж arcsin1
а 2а 4
2 _ _2хп+3/2
:arcsin
2 а -4- 3
2хр • л
— х у arcsin — ах а
2 Ргр
а
у
2п + 3
к=0
(-Усу 2.
2& + 1
™2fe+2^2fc+l
2
2р + 1
arcsinh а
2)р+1/2 2а2р
(2р + I)22р+1
-ж2)”’1
. Жarcsin — dx.а
1. р X ,1. р+1 ж
.— arcsin^ — ах = arcsin^—.
у &2 ™ ж2а р + 1а
dx. I . ж I
—у = In arcsin — .
Va? ~ ж2 arcsin —' а'
а
f Va2 ™ ж2 . ж ,. ж ,
arcsin — ах = у а- — х2 arcsinж +
J жаа
.2 Г 1. X
+ а —arcsin — dx.
J ху а2 ™ ж2 а
(а2 - ж2)^+1/2. х
arcsin — dx = — жр
(а2 ™ ж2)п+3/2
углу—-р arcsin1
(р — 1)а2жр-1 а р
2к -р+ 2
2п-2к 2к-р+2 а х F
2п ™ р + 4 f(р -1)«2 J
(а2 - ж2)”+1/2. ж л
77arcsin — dx.
ЖР™2а
9.
1
Р - 1
(а2 - ж2)"+1/2. ж
=;уг™ arcsin —
(р — 1)жр-1а
V^ (^^^п tt2n™2fc^2fe^p+2 2к р + 2"
к=0 р
2n + l f У-жДуУ
р- 1
ЖР™2
arcsin — dx. а
Если к = р/2™ 1, то соответствующий член в первой сумме следует заменить на (™1)р^2™1а2п™р^2С^з71 In |ж|, а во второй сумме — на (^i)p/2"1a2n"p+2 х х С^ЧпИ
10.
2 _ T2\n+l/2C 2 _2x„+l/2
Itb Je fly JI U>fly Je fly
-arcsin — dx = arcsin
1
2n + 1
fc=0
a
2P + 1
2п + 1
2n-2k 2k + l .2 f (tt2
а ж + a-—
a
^Г™1/2. Ж ,
—arcsin — dx.
ra
11.
1
arcsin — dx =a
1
2а2(р — 1)(а2 - 2р^3
arcsin а
1
(2p - 2)(2p - 3)а2(«2 - ж2)””3/2(2p - 2)«2 J (a2 - ж2)?
arcsin — dx. а
13.
18.
1. ж
——77 arcsin — dx
х2у/2 a
2 —
arcsin — +In Vа2 — ж2
а а2
.р
.2
.2
2
,2
р
arcsin — dx =a
xp ^5-. x
V ft — ж2 arcsin —
pa
I (р-1)«2 г
p J V
arcsin — dx = ™ Va2 — ж2 arcsin — + ж. aa
. ж , a2 . 2 ж arcsin — dx = — arcsin —
а
4
a 2
.р
p2
,P"2
2 __ ™2
,2
1
arcsin — dx. a
. x ж2arcsin1.
a 4
arcsin — dx =a
1
2(^ — 1)(а2 — ж'
arcsin а
.р-^
arcsin — dx = т—
a (2q - p - l)(a2 -
хр 1 dx
2g — P — 1 J (ft2 — ж2)^1/2
,p-i
2(q-l)(a2
" 2(q-l) J У
1
жр(а2 —
(Р”
20.
1
1 f
2(?-l) J У
arcsin — а
dx
Ж2р-1/2'
kp-vy2q-p-l
arcsin a
P- 1
—arcsin — dx = — ж2)^ a
dx
жр-^о2 - ж2)*-1^ +
arcsin — dx =a
1
2(9 -
.р-2
.р-2
2(g — 1) J (а2 — ж'
1
(p — 1)п2жр-1(п2 p^2q™3 f
(р-
1
2(9 — l)a2(a2 -
dx! 1
+ ^2
1
жр™2(а2
arcsin — dx. a
arcsin — dx. a
arcsinh а
— arcsin — dx.
q a
arcsin а
1
arcsin — dx. а
7.6. Интегралы
вида arccosp — dx. а
1.1.2.2.Г р х .р х
1.
1.
2.
2.
arccos — dx = х arccos
Jаа
— р\/а2 — ж2 arccosp-1 — — р(р — 1) |arccosp™2 — dx.
f,[п/2]
arccos” — dx = х У^ (—l)fc(2^)! C^k arccosn™2k — +
[O + l)/2]
+ Vd2 — ж2— 1)! arccos””2fc+1 —.
k=iа
arccos — dx = х arccosVа2 — ж2 .
J аа
Л Г2 % д2/ 99о
arccos — dx = х arccos2уож — ж2 arccos2х.
Jааа
к Г 3 Жз Ж
arccos — dx = х arccos
Jаа
— 3Vа2 — ж2 arccos26ж arccosh 6Vа2 — ж2 . аа
f dx _ ул (™lf^
J arccos ж (2k + 1)! (2k + 1)
7. Интегралы вида жр arccos — dx. J a
1.2.1.2.f p xжр+1x If жр+1 dx
1.
2.
1.
2.
ж arccos — dx = arccos1.—.
Jap + 1ap + 1 J Va2 - ж2
f 2nЖ2П+1Ж
ж arccos — dx = arccos
Ja 2n + 1 a
Va2 ™ x2 Г 2n 2n2fc+1n(n - 1) . . .(n- k) / ж
(2n + I)2 L + “ ^ (2n ™ !)(2и - 3) . . . (2n - 2A; - 1) \a
9 1xж2п + 2ж2n + l,^yJyx arccos — dx = arccos — a 2n + 2 a9 1xж2п + 2ж2n + l,^yJyx arccos — dx = arccos — a 2n + 2 aVa,2 ™ ж2 (2n + 2)2Va,2 ™ ж2 (2n + 2)22n+l . 2n+l x + a2n+l . 2n+l x + aEk=lEk=l(2n + l)(2n - 1) . . . (2n - 2fe + 3) (ж\2п 2k+1' 2fen(n — 1) . . . (n — k + 1) \a/(2n + l)(2n - 1) . . . (2n - 2fe + 3) (ж\2п 2k+1' 2fen(n — 1) . . . (n — k + 1) \a/(2n + l)!!a2n+2 n№+2(n + l)2(2n + l)!!a2n+2 n№+2(n + l)2x arccos —.ax arccos —.a
9 1xж2п + 2ж
2n + l,^yJy
x arccos — dx = arccos — a 2n + 2 a
9 1xж2п + 2ж
2n + l,^yJy
x arccos — dx = arccos — a 2n + 2 a
Va,2 ™ ж2 (2n + 2)2
Va,2 ™ ж2 (2n + 2)2
2n+l . 2n+l x + a
2n+l . 2n+l x + a
E
k=l
E
k=l
(2n + l)(2n - 1) . . . (2n - 2fe + 3) (ж\2п 2k+1' 2fen(n — 1) . . . (n — k + 1) \a/
(2n + l)(2n - 1) . . . (2n - 2fe + 3) (ж\2п 2k+1' 2fen(n — 1) . . . (n — k + 1) \a/
(2n + l)!!a2n+2 n№+2(n + l)2
(2n + l)!!a2n+2 n№+2(n + l)2
x arccos —.
a
x arccos —.
a
4.5.6.4.5.6.ж arccos — dx = aж arccos — dx = a
4.
5.
6.
4.
5.
6.
ж arccos — dx = a
ж arccos — dx = a
a2\xx9
— arccosVa2 ™ x2 .
4 /a 4
2 ж , ж ж ж2 + 2а29
ж arccos — dx = — arccosva2 ™ x2 .
a 3 a 9
_fl ж ,
8. Интегралы вида — arccos — dx.
J хр а
f 1Ж1X
— arccos — dx =7 arccos
J хр а (р - 1)жр™т а х
2. arccos — dx =I ж2п а2. arccos — dx =I ж2п а1(2п — 1)ж2п-11(2п — 1)ж2п-1Vd2 — ж211+ (2^ГЛ)(2^2)Vd2 — ж211+ (2^ГЛ)(2^2)arccosка(2т^^^^п — 2)(п — 3) . . . (п — & — 1)arccosка(2т^^^^п — 2)(п — 3) . . . (п — & — 1)
2. arccos — dx =
I ж2п а
2. arccos — dx =
I ж2п а
1
(2п — 1)ж2п-1
1
(2п — 1)ж2п-1
Vd2 — ж211
+ (2^ГЛ)(2^2)
Vd2 — ж211
+ (2^ГЛ)(2^2)
arccosк
а
(2т^^
^^п — 2)(п — 3) . . . (п — & — 1)
arccosк
а
(2т^^
^^п — 2)(п — 3) . . . (п — & — 1)
[n > 2].[n > 2].d Vn 2fc 2(2n — 3)!!d + Vd2 — ж2
[n > 2].
[n > 2].
x )(n — 1)! 2n"(2n — l)d2n"1x
Ж ,1Ж V«2 ” Ж2 1
arccos — dx =— arccos1; 7—r +
a2nx2n a 2n(2n — 1) fd^2"™1
1 у 2 (n —— 2) . . . (n — k) a\
+ a2n+i X^ (2n — 3)(2n — 5) . . . (2n — 2k — 1) уж/
4.
1
1
— arccosк
2пх2н a 2na2n
22\n--fe--l/2
d — ж \ z
5.
1
— arccos
6.
1x.
— arccos — dx
x2 a
7.
2n - 2k - 1 k=0
y, (2fe-l)!! /ж ^ (2fc)!!(2fc + I)2 k«
1 ж 1 .
arccos1In
a
a
1X .1X
— arccos — dx = arccos — x6a2x2a
7.9. Интегралы вида
2fc + l
1+^1п|жЬ
a + Va2 ™ ж2
2a2x
2
arccos — dx. a
1.
n+3/2Ж
' arccos — a
2.
1
a ± ж)п+3/2
arccos — dx =a
2
2n + 3
fc=O
(2n - l)(a ± ж)"+!/2 arccos a +
И^+i _fc+1 2k(2k + 1) a
xj a —p ж
n(2n + l)d(d ± ж)
k"k"InIn
k"
k"
In
In
(2n — 3)(2n — 5) . . . (2n — 2k — 1) /a
(2n - 4)(2n - 6) . . . (2n - 2A: - 2) V
(2n - l)!!23/2"n
” (2n)!!(2n + l)«n+V2
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
7.10. Интегралы вида жр(а2 ™ ж2)^ arccosr — dx. Ici
р / 2 хИ \а
2хп + 1/2Ж
' ) arccos — dx = — а
^(Л-ж2)^3/2
р "4” 2п + 2
arccos — а
п + 1 / i\kr~ik
12п-2к^2 р^2к .
р + 2п + 2 р + 2к
V а2 — х2 arccos — dx = а
а
4
(р-1)«2р + 2п + 2
• 2а
2хп + 1/2
1 arccos
- dx. а
2 X X7X (I2 ™ Ж2
arccos1Vd — ж2 arccos
а 2а 4
22хп + 1/2ж
. — ж )7 arccos — ах =
а
(а2 - ж2)"'3/2ж
= — -arccos —
2п + 3а
1/22х рЖ ,
(а — ж у arccos — ах =
ж(а2 — ж2)р2р + 1
ж arccos
а
1п+1
У 2п + 3 +;
И^+1 2п2к + 1 а
,™2к^2 Дк + 1
(а2 - ж2)р+1/2(2р + I)2
2а2р
2р+1
arccosp — dx =arccosp+1ар + 1
dx. I ж
—^ = — In arccos —
V&2 — ж2 arccos —। а
а
2ж
— arccos — dx = Vа2 ™а
ж2 arccos4 ж +а
а2
2
arccos
™ dx. а
а2 ™ ж2Г+1/2жр
arccos
™ dx = — а
п+1
к=0
1
2к — р + 2
2п — 2к а
2fc™p+2
(а2ж2Г+3/2
(р — 1)а2жр™1 2п — р + 4 f (а' (р ™ 1)а2 J
1
arccosг х
а р ™ 1
2 _ ж2р + 1/2
:тarccos
Жр™2
™ dx. а
2
,2)п + 1/2
(р — 1)жр-1
arccos а
р™ 1
ул (^l)^^ ft2n™2k^2k^p+2 2к — р + 2 а Ж
к=о F
2п + 1 f (а2™ж2Г™х/2
р™ 1
жр™2
arccos
— dx. а
Если к = р/2 — 1, то соответствующий член в первой сумме следует заменить на (™l)p^2+1 а2п™р+2С^2^11п |ж|, а во второй сумме — на (™1)р/2+1а2п™р+2 х х С^ЧпИ
10.
2 - Vf+I/2 ж ,(а2 - ж2)"+1/2
-arccos — dx = -4
1
2n + 1
к = 0
a
2fe + 1
2п + 1
arccosк
p / 2 2n-2k ^2k + l I 2 M61
a
Д""1/2ж
—arccos — аж. сa
1
arccos — dx =а
1
2a2(p — 1)(а2 — ж
2p™3|
arccosк а
1
(2p - 2)(2p - 3)а2(а2 - ж2)р™3/2(2p -
arccos — dx. a
12.
1X
—arccos — dx =
х2)Д/2a
arccos —
2 — X2»
1а2
,2
13.
.р
V^2 ™ ж2
x^p—i
arccos — dx =Va2 ™
а
р
ж2 arccos — a
,р
14.
Va2 — ж2
2
arccos — dx =а
15.
.2
arccos — dx =a
16.
- arccos — dx =
p a
_1
™ 2(^1)(^
17.
.р
1
18.
19.
(P - 1)«2p
p2 .p-2
у/а2 —
.2
arccos — dx. a
:2 arccosX.a
a2 -
— arccos
4
2 ж а
2
1
arccosк vvtv a 2(p-l)
^p—i
arccos — dx = -:
a (2q - p - l)(a2 - x
-^dx
2q — p — 1 J (а2 — ж2)^™1/2
2(q — 1)(а2 — х
1
хр 1 dx
2
x x2
arccos
a 4
dx
(а2 - х2^™1^’
(P - 1>2
2qr - p - 1
arccosк a
,p™2
а2 — х2)4
arccos
"dx. а
arccosк a
.р-2
2(q-1) J (а2 ™ х2)4™1/2
— arccos
— dx. а
1
хр(а2 ™
1 Г
(p - l)a2 J
f 1
—-7— arccos — dx = —
- ж2)*? a
dx
хР™1^а2 ™ ж2р™1/2 +
1
(p ™ 1)а2жр-1(а2 p + 2q - 3 f
arccos а
1
arccos — dx =a
(p — l)a2 J жр™2(а2
1
arccos
— dx. а
1
2(^ — 1)а2(а2
dx1
arccosк а
1
2(q — 1)а2
arccos
"dx. а
7.11. Интегралы вида
rprp P + 1rp
xF arctg — dx = arctg ap + 1a
a
p + 1
-dx.
a
fжр+1 dx
2 '
2.3.4.5.6.7.1.2.3.4.5.6.7.8.2.3.4.5.6.7.1.2.3.4.5.6.7.8.х^^12n + 1х^^12n + 1хarctg ахarctg аж2п + 22n -4- 2ж2п + 22n -4- 2xarctgh axarctgh ajQn + fe2k - 1jQn + fe2k - 1+ (-1) arctg-+ (-1) arctg-= -у1п|ж| + ^k=0= -у1п|ж| + ^k=0(-l)fc /a\2k+1 (2fc + I)2 \®)(-l)fc /a\2k+1 (2fc + I)2 \®)[ж/а < —1].[ж/а < —1].12ax12ax
2.
3.
4.
5.
6.
7.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
х^^1
2n + 1
х^^1
2n + 1
х
arctg а
х
arctg а
ж2п + 2
2n -4- 2
ж2п + 2
2n -4- 2
x
arctgh a
x
arctgh a
jQn + fe
2k - 1
jQn + fe
2k - 1
+ (-1) arctg-
+ (-1) arctg-
= -у1п|ж| + ^
k=0
= -у1п|ж| + ^
k=0
(-l)fc /a\2k+1 (2fc + I)2 \®)
(-l)fc /a\2k+1 (2fc + I)2 \®)
[ж/а < —1].
[ж/а < —1].
1
2ax
1
2ax
2п ,^
х arctg — dx = а
а2(2n + 1)а2(2n + 1), / 2 \ n i / 2 i 2 \+ ^a ) In (ж + a ), / 2 \ n i / 2 i 2 \+ ^a ) In (ж + a ),yt (—а2)*^®2 + а2)п-<!
а
2(2n + 1)
а
2(2n + 1)
, / 2 \ n i / 2 i 2 \+ ^a ) In (ж + a )
, / 2 \ n i / 2 i 2 \+ ^a ) In (ж + a )
' £< (™ - *)!&!(« - Ц
2n+l j X
x arctg — dx a
[n + l
2n + 22n + 2E
2n + 2
2n + 2
k=l
X2 \
aa= x arctg— In (ж + a
a
a
ж , ж2 + а2 ж ax
x arctg — dx = arctg—.
a2a 2
2 ж , ж3 ж аж2 а3 . , 22\
ж arctg — аж = —- arctgН — In (ж + а ).
а 3 а 66
з ж , ж4 — а4 ж аж3 а3ж ж arctg — dx = arctg1.
а4а 124
7.12. Интегралы вида — arctg —аж. J жр а
fl ж ,1ж a f dx
— arctg — dx =— arctg1- ———.
J xp b a(p — 1)жр 16 а p — 1 J xp 1(ж2 + а2)
[ ^ arctg ^dx = -_ 1 arctg-
J tLUvI Zi / 6± ) eZ/CZ
2(2n-1)а2"™! k^X \x)( J ° ж2 /
j^Tarct^^ = -^arct^ +
1 Г n / 1 \ k / \2n--2fe + l1
, ^ (-1)" faVk+1r ,
Г 1 x1 x 1 ж2
arctg - dx =arctg - + — In—7.
J x2 ax a 2a x2 a2
flж ,1/11 \x
— arctg - dx = - - — H arctg
J ж4a2 \ x2a2 Ja
„flж , а . ж + b а ™ Ьх ж
9. тттл arctg — ах = — In ,—;— arctg —
J (ж + by 6 а а2 + Ъ2 Vж2 + а2 а(х + 6)6 а
7.13. Интегралы вида жр(ж2 + а2у arctg - dx.
1. j жр(ж2 + а2у arctg — dx =
ж k а
= arctg - } Сп -а
к=О
2п-2кхр+2к + 1
р + 2к + 1
ft2n™2fc + l
р + 2^ + 1
жр+2к+1ж2 + а2
dx.
Если к =-— (к = 0, 1, . . . , п), то соответствующие члены
сумм
p+2n + l 1 ЖЖ ^ p^2n + 2 I 1, Ж
заменяются на Спар In — arctg — и Спар“- In — dx.
a aJ x2 + a2 a
2.
r tpTtp™iT
—7— arctg — dx = — —— ог arctgк
J (ж2 + а2У 6 a2(^ ™ 1)(ж2 + a2)9™16 a
a f xp-1 dx p — 1 f xp™2
+ 2(g — 1) J УГу + 2(9-l) J (ж2 + U2)»-1 3rCtg
-dx.
a
„flж ,xx
arctg — dx = ————- arctg к
J (ж2 + а2У 6 a 2(9 ™ 1)а2(ж2 + a2)9™16 a
1 2g ----- 3 f 1ж
4(q — 1)2а(ж2 + a2)9™1(2g — 2)a2 J (ж2 + a2)9™1 а ° ^ а Ж
flxx
^^arctg — dx = arctg — x
J (ж2 + a2)"6 a6 a
"yt (2n - 2k - 2)!!(2n - 3)!!ж1(2п-3)!П
X _^ (2™ - 2)!!(2n - 2fe - 1)!! ' ^2Щ2+^2Щ^ + 2a2”-1 (2« - 2)!! ] +
a y2 (2n - 3)!!(2n -2k- 2)!!1
2 2_^ (2n — 2)!!(2n — 2k — l)!!(n — k) a?*^®1 + a2)n-fc
xp
x2 + a2
™2m
arctg ™ dx = жр 2 arctg ™ dx a2 ti JaJ
,p””2x
arctg — dx.
+ a2a
6.
ж2 + a2
arctg — dx =
x v~-\
+ arctg - >
a k=i
p2m + l
a
HF"
2k - 1
(-1) 2
2m — 1 a
2m-2k 2k-X a X
2 X
arctgк
a
m / i \ m — кf2 к — 1
У ti) a2m-2fe+l a
2k — 1J x2 + a2
k=i
™ arctg — dx
.2 a
1X жд-л
2 arctg-^
МГ
к
2m-2k-l a
k=l
x2k dx
2
■)2m —2k 2k
а ж к
k=l
1X,
-ту-—у arctg - dx x2 + a2a
x2x
—- arctg -dx
x2 + a2a
1. 2 ®
= 77 arctg
2a a
™ arctg — dx.
2 a
Ж a ., 22\ tt 2 ж
= ж arctgIn (ж + a )arctg —. a2a
13.14.15.13.14.15.1.1.2.2.a f жр+1 dx p + 1 J ж2 + a2a f жр+1 dx p + 1 J ж2 + a2aa2\/е/ 2 । Rvn™k2\/е/ 2 । Rvn™k3.3.2(2n + 1) J2(2n + 1) Jk)lkl(n — Цk)lkl(n — Ц222n+1 arcctg — dx =a2n+1 arcctg — dx =aЖ2п+22n -I- 2a2n + 22n + 2Ж2п+22n -I- 2a2n + 22n + 2arcctgH ar^i? / iw+fe+i /^x2^"12j rv ±\ Ctr /LtarcctgH ar^i? / iw+fe+i /^x2^"12j rv ±\ Ctr /LtLfe=iLfe=i
13.
14.
15.
13.
14.
15.
1.
1.
2.
2.
a f жр+1 dx p + 1 J ж2 + a2
a f жр+1 dx p + 1 J ж2 + a2
a
a
2\/е/ 2 । Rvn™k
2\/е/ 2 । Rvn™k
3.
3.
2(2n + 1) J
2(2n + 1) J
k)lkl(n — Ц
k)lkl(n — Ц
2
2
2n+1 arcctg — dx =a
2n+1 arcctg — dx =a
Ж2п+2
2n -I- 2a2n + 22n + 2
Ж2п+2
2n -I- 2a2n + 22n + 2
arcctgH a
r^i? / iw+fe+i /^x2^"1
2j rv ±\ Ctr /Lt
arcctgH a
r^i? / iw+fe+i /^x2^"1
2j rv ±\ Ctr /Lt
Lfe=i
Lfe=i
-1 ж ,
Ю.arct’g ™ «ж =
J (ж + а2)2 а
хж 12 ж1
2а2(ж2 + a2) arctg а + 4а arctg а + 4а(ж2 +*
f 1р Ж1p_i_i ж
111~Т~;—? arctg - dx = 7——— arctg т
J х2 + аа (г + 1)аа
_ f,1,1 ж I
dx = — In arctg — .
J (ж2 + a2) arctg — a \ a\
жж и
,™ arctg — (/ж =
Va2 ™ Ж2а
+ ж• ж , R +^2 ж
= — V а^ — х2 arctga arcsin4 V2 a arctg—.
аауа2-ж2
arctg ж , ж arctg ж1ах2 + b г п
(аж2 + by/2bV ах2 + bЬУа — b V а — 6
ж arctg ж1, Уах2 + b — Vb — а.,
ЬУо-ж2 + b2bVb — аУax2 + b + Vb — a
Интегралы вида жр arcctg — t/ж.
ЖЖР”^”^ж
жр arcctg — dx = arcctgH ap + 1a
4.5.4.5.ж ,Ж a 1 z 2
4.
5.
4.
5.
arcctg — dx = x arcctg4 ™ In (ж + a
ж , ж2 + a2 x ax ж arcctg — dx = arcctg
адад
f2 ж, ж3жаж2а3 . z 2
ж arcctg — аж = — arcctg1In (ж + а
Jа 3а 66
_[ з ж , ж4 — а4 ж аж3 а3ж
ж arcctg — аж = arcctg—-.
Jа4а124
fl ж
Интегралы вида — arcctg — dx.
J жр ь а
fl ж ,1ж a f dx
— arcctg — dx =—т arcctg
J жр а(р — 1)жр™1 a p™lj жр-1(ж2 + а2)
2.2.1x ,arcctg — dx = — 7ж2п 8 a(2n1"1x ,arcctg — dx = — 7ж2п 8 a(2n1"1l)x2n™T n —2 /1l)x2n™T n —2 /arcctgharcctgh3.3.1rp 2 71 "4" 11rp 2 71 "4" 14.4.5.5.6.6.7.7.8.8.9.9.2(2n - 1)и2'?г^2(2n - 1)и2'?г^arcctg ™ dx = —a1arcctg ™ dx = —a11 x .™ arcctg ™ dx = x a1 x .™ arcctg ™ dx = x a= 7Г= 7Гk=0k=0n — k2fe + 2-+(-l)n"1lnn — k2fe + 2-+(-l)n"1lnLfe=O1Lfe=O1,2 i,2 iж2ж22^arCCtga"Г n r2^arCCtga"Г n r2na2n2na2nkkk=o x2fc + lk=o x2fc + lkkkk2fc + l2fc + l2n 2k + 12n 2k + 1k=01X.1X1- ж2— arcctg ™ dx =arcctgIn — x2axa2a x2 +k=01X.1X1- ж2— arcctg ™ dx =arcctgIn — x2axa2a x2 +. Ж Я V 1— arcctg -dx = -- —x4 a2 \x44- ж(^w s«. Ж Я V 1— arcctg -dx = -- —x4 a2 \x44- ж(^w s«1a21a22n-2fc + l2n-2fc + l+ (-l)+ (-l)x arcctg — .ax arcctg — .a2fc + l2fc + lX 1arcctg™ + -—.a 2axX 1arcctg™ + -—.a 2axa2 + 62a2 + 62InInx + bx + ba2 — bx a(x + b)a2 — bx a(x + b)x arcctg — ax arcctg — a2(ж + 6)'2(ж + 6)'
2.
2.
1x ,
arcctg — dx = — 7
ж2п 8 a(2n
1"
1x ,
arcctg — dx = — 7
ж2п 8 a(2n
1"
1
l)x2n™T n —2 /
1
l)x2n™T n —2 /
arcctgh
arcctgh
3.
3.
1
rp 2 71 "4" 1
1
rp 2 71 "4" 1
4.
4.
5.
5.
6.
6.
7.
7.
8.
8.
9.
9.
2(2n - 1)и2'?г^
2(2n - 1)и2'?г^
arcctg ™ dx = —a
1
arcctg ™ dx = —a
1
1 x .
™ arcctg ™ dx = x a
1 x .
™ arcctg ™ dx = x a
= 7Г
= 7Г
k=0
k=0
n — k2fe + 2
-+(-l)n"1ln
n — k2fe + 2
-+(-l)n"1ln
Lfe=O
1
Lfe=O
1
,2 i
,2 i
ж2
ж2
2^arCCtga"
Г n r
2^arCCtga"
Г n r
2na2n
2na2n
k
k
k=o x
2fc + l
k=o x
2fc + l
k
k
k
k
2fc + l
2fc + l
2n 2k + 1
2n 2k + 1
k=0
1X.1X1- ж2
— arcctg ™ dx =arcctgIn — x2axa2a x2 +
k=0
1X.1X1- ж2
— arcctg ™ dx =arcctgIn — x2axa2a x2 +
. Ж Я V 1
— arcctg -dx = -- —
x4 a2 \x4
4- ж
(^w s«
. Ж Я V 1
— arcctg -dx = -- —
x4 a2 \x4
4- ж
(^w s«
1a2
1a2
2n-2fc + l
2n-2fc + l
+ (-l)
+ (-l)
x arcctg — .
a
x arcctg — .
a
2fc + l
2fc + l
X 1
arcctg™ + -—.
a 2ax
X 1
arcctg™ + -—.
a 2ax
a2 + 62
a2 + 62
In
In
x + b
x + b
a2 — bx a(x + b)
a2 — bx a(x + b)
x arcctg — a
x arcctg — a
2(ж + 6)'
2(ж + 6)'
Интегралы вида j xp(x2 + a2)4 arcctg ™ dx.
1.1.xp(x2 + a2)H arcctg ™ dx =
1.
1.
_ JL n2n-2k p+2k+lел/ V—vел/= arcctg — 28 °p + 2^ + 1_ JL n2n-2k p+2k+lел/ V—vел/= arcctg — 28 °p + 2^ + 1,k,kk=0k=0^2n—2fc+l p жр+2А; + 1 p + 2k + 1 J ж2 + а2^2n—2fc+l p жр+2А; + 1 p + 2k + 1 J ж2 + а2p у 1Если k =— (k = 0, 1, . . . , n), то соответствующие члены суммзаменяются на G^ap+2n+1 In ™ arcctg ™ и С^ар+2гг+2 [—- In ™ dx.a aJ х2 + а2 аp у 1Если k =— (k = 0, 1, . . . , n), то соответствующие члены суммзаменяются на G^ap+2n+1 In ™ arcctg ™ и С^ар+2гг+2 [—- In ™ dx.a aJ х2 + а2 а
_ JL n2n-2k p+2k+l
ел/ V—vел/
= arcctg — 2
8 °p + 2^ + 1
_ JL n2n-2k p+2k+l
ел/ V—vел/
= arcctg — 2
8 °p + 2^ + 1
,k
,k
k=0
k=0
^2n—2fc+l p жр+2А; + 1 p + 2k + 1 J ж2 + а2
^2n—2fc+l p жр+2А; + 1 p + 2k + 1 J ж2 + а2
p у 1
Если k =— (k = 0, 1, . . . , n), то соответствующие члены сумм
заменяются на G^ap+2n+1 In ™ arcctg ™ и С^ар+2гг+2 [—- In ™ dx.
a aJ х2 + а2 а
p у 1
Если k =— (k = 0, 1, . . . , n), то соответствующие члены сумм
заменяются на G^ap+2n+1 In ™ arcctg ™ и С^ар+2гг+2 [—- In ™ dx.
a aJ х2 + а2 а
J (ж2 + а2)92(g ™ l)(x2 + a2)9™1
af хр™г dx p — 1 f xp™2x .
2(q - 1) J (ж2 + a2)-? + 2(q - 1) J (ж2 + a2)»"1 аГСС 8 a ®
x ,XX
J (ж2 + a2)98 a 2(q ™ l)a2(x2a2)4™18 a
12g ™ 3 f 1ж
4(q ™ 1)2а(ж2 + a2)^™12(q ™ l)a2 J (ж2 + a2)g-1 & CC^ a $
4.
хр
+ а2
2т
pP p-2
, Жp™2, Ж2 ЖРX
arcctg — dx = ж arcctg — dx — a — arcctg — dx.
a JaJ x2 + a2 a
— arcctg — dx =
2
2т-1, 2 Ж
, arcctgh
X2m —2k 2k-l
+arccts^E^^r« «
k=l
fc=i
2k - 1
Г 2fc —1
2m-2k+l Жj
a- dx.
f T2m+11™ l\m-k
л ЖX1X x к2 m —2 k 2 k .
6.— arcctg — dx = - arcctg — > a x +
J x2 + a2 a 2 aк
1 m ( ixm — kp ™2k j
i2m-2fc-l Ж dx
2 ^^ кJ ж2 + a2
+ (-l)m2m f ——- arcctg - dx.
J x2 + a2 a
7.
8.
9.
1
ж2 + a2
x .
arcctg — dx =a
-^arcctg2
X
a
XX ,X a ., 2 2x a2 ж
— arcctg — dx = x arcctg1In (ж + а мarcctg
x2 + a2 aa 22a
1x ,
-4-—— arcctg - dx = (ж2 + a2)2a
жж 1 x 2 ж
= —arcctg™r arcctg ™
2а2(ж2 + а2)8 a 4a3a
1
4а(ж2 + a2)
10.
11.
12.
Г 1. г Ж1г+1 X
—™—™ arcctg -dx =——- arcctg
J x2 + a2a(r + l)aa
T^Tx—^4- / / a =ln arcctg - .
J (ж2 + a2) arcctg (ж/а) al al
fж и
,™ arcctg — dx =
J Va2 - ж2 a
/-^7 ж• ж л?V2 x
= — V a2 — x2 arcctg —Ha arcsin —H V2 a arcctg ,_ .
aa6 Va2 - ж2
Arcosech ж = In ( — + \жArcosech ж = In ( — + \ж[ж > 0].[ж > 0].
Arcosech ж = In ( — + \ж
Arcosech ж = In ( — + \ж
[ж > 0].
[ж > 0].
ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Неопределенные интегралы от обратных гиперболических функций вычисляются по формулам раздела 7 «Логарифмические функции» после замены
Arsh ж = In (ж + ^ж2 + 1),
Arch ж =
± In (ж + Vж2 — 1 )
[ж
>i],
Arth ж =
У 1 + ж
2 П1 —ж
[И
< и.
Arcth ж =
1 ж + 1
Ч1пж-1
[И
>i],
Arsech ж = ± In ( — +
[О < ж 1],
Приложение I. Некоторые элементарные функции и их свойства
Степенная, показательная и логарифмическая функции
1. Формулы дифференцирования.1. Формулы дифференцирования.рр—1^ = Р® dxрр—1^ = Р® dxdx€dx€= ае= аеd ,а + ж2а— In—dxа — жа2 — ж2d ,а + ж2а— In—dxа — жа2 — ж2In (ж + Vж2 + а2 ) = dxIn (ж + Vж2 + а2 ) = dx1V^2 + а2 ’1V^2 + а2 ’d , , , 1— In ж = -dx хd , , , 1— In ж = -dx х— In I ж + Vж2 — а2 I = dx— In I ж + Vж2 — а2 I = dx1V^2 ™ а2 ’1V^2 ™ а2 ’
1. Формулы дифференцирования.
1. Формулы дифференцирования.
рр—1
^ = Р® dx
рр—1
^ = Р® dx
dx€
dx€
= ае
= ае
d ,
а + ж
2а
— In
—
dx
а — ж
а2 — ж2
d ,
а + ж
2а
— In
—
dx
а — ж
а2 — ж2
In (ж + Vж2 + а2 ) = dx
In (ж + Vж2 + а2 ) = dx
1
V^2 + а2 ’
1
V^2 + а2 ’
d , , , 1— In ж = -dx х
d , , , 1— In ж = -dx х
— In I ж + Vж2 — а2 I = dx
— In I ж + Vж2 — а2 I = dx
1
V^2 ™ а2 ’
1
V^2 ™ а2 ’
2. Степенные ряды.
(1 + < =
fc=O
[п = 0, 1, 2, . . .],
(1-®Г = £(-1)кСкхк
[п = 0, 1, 2, . . .],
fe = l"
[|ж < 1 при р <
; о, |ж| 6^ 1 при р > о].
ООfc
жуЖ
е
к=0
оок
Ь(1-ж) = -£ — fc = l
[—1 ж < 1],
In 1±£ = 2 у 4
1 - ж^ 2к + 1
[|ж| < 1],
, /• 3. • • (2k - 1) ж2/г+1
1п(ж + ^ + 1)-ж+Х( 1)2.4 \(2fe) ’ 2к + 1
[|ж| < 1],
+ 2у }2-4...(2Ц 2к
[ж > 1],
= 1п|2Ж|+Х( 1)2к
[ж < -1],
1п(ж + ^1)-1п2ж у 2.4...(2fc) 2к
[ж > 1],
In (Vж2 + 1 — ж) = — In (ж + Vж2 + 1), In (ж — Vх2 ™ 1 )
= — In (ж +-\/ж2 — 1 ).
13 А.Ю. Брычков и др.
Гиперболические функции
Некоторые соотношения.
sh ж = — sh ( —ж) = ± Vch2 ж — 1 = ^^^ (с^ 2ж — 1) = -
ch х = ch (—ж) = Vsh2ch х = ch (—ж) = Vsh2I (ch 2ж + 1) = 2 ch2 ^ - 1 =I (ch 2ж + 1) = 2 ch2 ^ - 1 =22еж Г eTеж Г eT
ch х = ch (—ж) = Vsh2
ch х = ch (—ж) = Vsh2
I (ch 2ж + 1) = 2 ch2 ^ - 1 =
I (ch 2ж + 1) = 2 ch2 ^ - 1 =
2
2
еж Г e
T
еж Г e
T
th ж = — th ( —ж) = —— = ch хcth х = — cth ( — ж) = sh xth ж = — th ( —ж) = —— = ch хcth х = — cth ( — ж) = sh xsh 2ж _ch 2ж + 1_ sh 2жch 2ж — 1sh 2ж _ch 2ж + 1_ sh 2жch 2ж — 1ch 2ж — 1 _sh 2ж_ ch 2ж + 1ch 2жch 2ж — 1 _sh 2ж_ ch 2ж + 1ch 2жe - eеж + e™$еж + eеж — ee - eеж + e™$еж + eеж — e
th ж = — th ( —ж) = —— = ch х
cth х = — cth ( — ж) = sh x
th ж = — th ( —ж) = —— = ch х
cth х = — cth ( — ж) = sh x
sh 2ж _
ch 2ж + 1
_ sh 2ж
ch 2ж — 1
sh 2ж _
ch 2ж + 1
_ sh 2ж
ch 2ж — 1
ch 2ж — 1 _sh 2ж
_ ch 2ж + 1
ch 2ж
ch 2ж — 1 _sh 2ж
_ ch 2ж + 1
ch 2ж
e - e
еж + e™$
еж + e
еж — e
e - e
еж + e™$
еж + e
еж — e
,1,1sech x = —— , cosech ж = —— , ch жsh жch2 x — sh2 ж = 1, th2 x + sech2 ж = 1, (sh ж + ch x)n = sh nx + ch nx,1,1sech x = —— , cosech ж = —— , ch жsh жch2 x — sh2 ж = 1, th2 x + sech2 ж = 1, (sh ж + ch x)n = sh nx + ch nxcth2 x — cosech2 ж = 1,[n = 0, ±1, ±2, . . . ].cth2 x — cosech2 ж = 1,[n = 0, ±1, ±2, . . . ].
,1,1
sech x = —— , cosech ж = —— , ch жsh ж
ch2 x — sh2 ж = 1, th2 x + sech2 ж = 1, (sh ж + ch x)n = sh nx + ch nx
,1,1
sech x = —— , cosech ж = —— , ch жsh ж
ch2 x — sh2 ж = 1, th2 x + sech2 ж = 1, (sh ж + ch x)n = sh nx + ch nx
cth2 x — cosech2 ж = 1,
[n = 0, ±1, ±2, . . . ].
cth2 x — cosech2 ж = 1,
[n = 0, ±1, ±2, . . . ].
2. Формулы дифференцирования.
d sh ж
d cosech ж
ch ж
d ch x
dx
C Ж’dx
sh2 x
dx
d th ж
1 2d sech x
sh x
d cth x, 2
oGCll eL ?
—CUbGCll X
dx
ax
ch2 x ’
dx
Связь с тригонометрическими функциями.
sh (гж) = г sin ж, сЬ(гж)=со8ж, th(2ж) = гtgж, cth (гж) = —2 ctg ж.
Гиперболические функции суммы и разности углов, sh (ж ± у) = sh ж ch у ± sh у ch ж, ch (ж zb у) = ch ж ch у ± sh ж sh у,
sh (ж ± гу) = sh ж cos у zb г sin у ch ж, ch (ж zb iу) = ch ж cos у zb i sh ж sin у,
,. th ж ± th у sh 2ж ± sh 2y
' Ж1 ± th x th у ch 2ж + ch 2y 1
sh 2ж zb г sin 2уch 2ж + cos 2y ’sh 2ж zb г sin 2уch 2ж + cos 2y ’
sh 2ж zb г sin 2у
ch 2ж + cos 2y ’
sh 2ж zb г sin 2у
ch 2ж + cos 2y ’
th (ж ± iy) =
th ж ± г tg у
cth (ж zb iy) =
sh 2ж =p 2 sin 2уch 2ж — cos 2y
Суммы и разности гиперболических функций.
sh ж ± sh у = 2 sh ж ^ ^ ch ж ^ ^ ch ж + ch у = 2 ch ж СН - У22 ’У22
ch ж — ch у = 2 sh -—- sh --,
у22
,, , sh (ж ±, sh (ж ±
th ж zb th у = —™—-—- , cth ж ± cth у = ±—™—-—- , ch ж ch уsh ж sh у
sh2 ж — sh2 у = ch2 ж — ch2 у = sh (ж + у) sh (ж — у),
sh2 ж + ch2 у = ch (ж + у) ch (ж — у).
Произведения гиперболических функций.
sh х sh у = ™ [ch (ж + у) — ch (ж — г/)], ch х ch у = ™ [ch (ж + у) + ch (ж — г/)], sh ж ch у = ™ [sh (ж + у) + sh (ж — г/)].
Степени гиперболических функций.
sh2n ж = ^ ТА-Гс^sh2(n - ЦЖ + ^Рс?„,
k=0
sh211+1 ® = i Ё(~' /ГД и sh (2n - 2& + 1Ц, fc=O
sh2 x =
11з1
- сЬ2ж —sh ж = ™ зЬЗж ™
22’4
3 .
™ sh ж, 4
sh4 x =
113 - ch 4жch 2ж H—, 828’
sh5 x =
— sh 5ж sh Зж 4— sh ж, 16168’
sh6 x =
— ch 6жch 4ж Hch 2ж —
5
321632
16’
ch2n x =
1n — l-1
= 22П-1 EC2„ch2(n fe)«+22, fc=O
ch2n+1.
1n
c = ^E^+ich(2n-2fe + l)
2 k=O
X,
1.1. 31!
3 ,
ch2 x =
- ch 2ж H—,ch ж = - ch Зж +
224
- ch ж, 4
ch4 x =
113 - ch 4ж + - ch 2ж + -,
ch5 x =
155
— сЬбжЗсЬЗжЗ— ch ж,
16168’
ch6 x =
1315
— ch 6ж Hch 4ж Нch 2ж +
321632
5
16'
Гиперболические функции кратных аргументов.
8ЬпЖ= £ C^sh^^dT-2*-1®, к=0
= 8Ьж у (-l^-^cLk-icW1-^-1 X, k=0
sh (2n + 1)ж = sh ж f 1 + 2 ^ ch 2^ж
= (—l)n f sh ж + 2 ch ж У2 (™l)fc sh 2^жfc=i
sh 2ж = 2 sh ж ch ж, shЗж = 4sh3 ж + 3sh ж,
sh 4ж = ch ж(4 sh ж + 8 sh3 ж), sh 5ж = 16 sh5 ж + 20 sh3 ж + 5 sh ж,
[п/2]
сЬпж = У^ sh2fc ж chn™2fc ж,
к=0
[n/2] — 1 /
= 2" 1 chn х + - У Ск к Л'1 ”к"
2^ + 1 п к 2
к=о
ch (2п + 1)ж = ch ж + 2 sh ж ^ sh 2^ж, к = 1 п
= ( —1)псЬж^1 + 2 У^(™l)fc ch2^ж к = Х
ch 2ж = 2 ch2 ж — 1, ch Зж = 4 ch3 ж — 3 ch ж,
ch 4ж = 8 ch4 ж — 8 ch2 ж + 1, ch 5ж = 16 ch5 ж — 20 ch3 ж + 5 ch ж.
Степенные ряды.
fc=Ofc=Oж2к+1(2& + 1)!’ж2к+1(2& + 1)!’ch ж =ch ж =ОО ж2к£ wОО ж2к£ w1sh ж1sh жfc=ifc=i22к-1 _ х(2&)!22к-1 _ х(2&)!гэ2 к — 1В^кХгэ2 к — 1В^кХ1ch ж1ch жth ж = ^^ fe=ith ж = ^^ fe=i^2к 2fcfew1Wk -1) 2к_г(2fc)! zk^2к 2fcfew1Wk -1) 2к_г(2fc)! zk100100[И < т],[И <тг/2],[И <^/2],[|ж| < т].[И < т],[И <тг/2],[И <^/2],[|ж| < т].
fc=O
fc=O
ж2к+1
(2& + 1)!’
ж2к+1
(2& + 1)!’
ch ж =
ch ж =
ОО ж2к
£ w
ОО ж2к
£ w
1sh ж
1sh ж
fc=i
fc=i
22к-1 _ х(2&)!
22к-1 _ х(2&)!
гэ2 к — 1
В^кХ
гэ2 к — 1
В^кХ
1
ch ж
1
ch ж
th ж = ^^ fe=i
th ж = ^^ fe=i
^2к 2fc
few1
Wk -1) 2к_г
(2fc)! zk
^2к 2fc
few1
Wk -1) 2к_г
(2fc)! zk
100
100
[И < т],
[И <тг/2],
[И <^/2],
[|ж| < т].
[И < т],
[И <тг/2],
[И <^/2],
[|ж| < т].
. Тригонометрические функции
1. Некоторые соотношения.
sin ж = — sin (™ж) = ±V1 — cos2 ж = ±у - (1 — cos 2ж) =
cos ж = cos (™ж) = ±V1 — sin2 жcos ж = cos (™ж) = ±V1 — sin2 ж= 2 cos2= 2 cos2(1 + cos 2ж) =(1 + cos 2ж) == 2 cos21 =2= 2 cos21 =22tg^/2)1 + tg2 (ж/2)2tg^/2)1 + tg2 (ж/2)l™tg2 (ж/2)1 + tg2 (ж/2)l™tg2 (ж/2)1 + tg2 (ж/2)ег® e гх2гeix + e-ix2ег® e гх2гeix + e-ix2
cos ж = cos (™ж) = ±V1 — sin2 ж
cos ж = cos (™ж) = ±V1 — sin2 ж
= 2 cos2
= 2 cos2
(1 + cos 2ж) =
(1 + cos 2ж) =
= 2 cos21 =2
= 2 cos21 =2
2tg^/2)
1 + tg2 (ж/2)
2tg^/2)
1 + tg2 (ж/2)
l™tg2 (ж/2)
1 + tg2 (ж/2)
l™tg2 (ж/2)
1 + tg2 (ж/2)
ег® e гх
2г
eix + e-ix
2
ег® e гх
2г
eix + e-ix
2
sin 2ж1 + cos 2жsin 2ж1 + cos 2ж
sin 2ж
1 + cos 2ж
sin 2ж
1 + cos 2ж
tg ж = — tg (—ж) = S™ Ж = ±Vsec2 ж1
cos ж
1 — cos 2ж _/1 ™ cos 2ж _ 2 tg (ж/2)_ ^ егж — e гж
з!п2ж У1 + соз2ж l™tg2(ж/2) г et$ e™ix '
, х cos X
ctg ж = — ctg (— ж) = sin X
sin 2ж
= ±Vcosec2 ж — 1 =
1 — cos 2х
1 + cos 2ж
1 — cos 2ж
1 + cos 2жsin 2ж
1 - tg2 (ж/2)2tg(ж/2)
+ е
= г —
егх — е
sec х
= ±Vi + tg2$ = ±
cos х1 — tg2 (ж/2)
cosec ж — cosec (—ж) = —-— = ± Vl + ctg2 х =sin х
1 + tgHx/^2tg($/2) ’
922222
sin" x + cos ж = 1, sec ж — tg ж = 1, cosec ж — ctg ж = 1.
2. Формулы дифференцирования.
d sin x
—- = cos X ,
dx
d cos x .
- = ™ sin X , dx
d tg x 2 d sec x sin ж
— = sec ж, — = —
dxdx cos2 x
d ctg x2 d cosec ж
- = — cosec x,- dxdx
cos x
sin2 x
3. Формулы Эйлера и Муавра.
z-Vix z /।\
e = e (cos ж + г sin ж),
(cos x + i sin ж)п = cos пж + г sin пж
[n = 0, ±1, ±2, .. . ].
4. Связь c sin (гж) = г sh ж, tg (гж) = г th ж, sec (гж) = sech ж,
гиперболическими функциями, cos(гж) = ch ж,
ctg (гж) = — г cth ж,
cosec (гж) = —гсозесЬж.
5. Тригонометрические функции суммы
и разности.
sin (ж ± у) = sin ж cos у ± sin у cos ж,
cos (ж ± у) = cos ж cos у =р sin ж sin у^ sin (ж ± iy) = sin ж ch у ± i sh у cos ж, cos (ж ± iу) = cos ж ch у =р г sin ж sh у, tg (ж ± у) = $ ctg
1 =F tg ж tg уtg ж ± tg у ’
,. . х tgж±гthn sin 2ж ± г sh 2у
tg (ж ± гш = — = ,
1 =р г tg ж th у cos 2ж + ch 2у
, , . х1 ± г ctg ж cth уsin 2ж =F г sh 2у
v 7— ctg ж ± г cth уch 2г/ ™ cos 2ж
6. Формулы приведения.
sin (ж ± птг) = ( —l)n sin ж, cos (ж ± птг) = (—l)n cos ж,
tg (ж ± птг) = tg ж, ctg (ж ± птг) = ctg ж,
. /, 2п + 1
sin I ж ± —™—
/ 2п Т 1 А /\ п .
cos ж ±7Г = =F Sin ж, \2/ к
/ . 2п +1 \f2п Т1 \
tg I ж ± —™— тг 1 = — ctg ж, ctg I ж ± —™— тг 1 = — tg ж,
tg
sin ж ± cos ж cos ж =р sin ж
(ж±1
tg ж ± 1
l=Ftgж’
ctS (®± J)ctS (®± J)cos х =р sin xctg x =p 1
ctS (®± J)
ctS (®± J)
sin x ± cos x1 zb ctg x '
функций.функций.Суммы и разности тригонометрических
функций.
функций.
.. .. х ± у х =р у
sin х ± sin и = 2 sincos, У22
„ x + у x — у
cos x + cos у = 2 coscos, y22
. x T у . x - у
cos x — cos у = — 2 sinsin —-—, y22
,sin (x ±,sin (x ±
tg x ± tg у = , ctg x ± ctg у =н—:—-,
COS X cos уsin X sin у
cos (x +
tg ® - ctg у =—:,
COS X sin у
a cos x + b sin x = t sin (ж + 99) = т cos (ж — ^ 1
где
г = Va2 + Ь2 , sin99 = a/r, cos ф = Ь^т1 sin^ = 6/r, cos^ = a/r, sin2 x — sin2 у = cos2 у — cos2 ж = sin (ж + у) sin (ж — у),
sin ж — cos у = — cos (ж + у) cos (ж — у), sec ж +cosec ж = sec ж cosec ж.
Произведения тригонометрических функций, sin ж sin У = ^ [cos (ж ~ У) ~ cos (ж + У^ >
cos ж cos у = ™ [cos (ж — у) + cos (ж + г/)], sin ж cos у = ™ [sin (ж — у) + sin (ж + г/)].
Степени тригонометрических функций. /1 \n n-l
sin2n® = ^zr 52(-13C'23cos2(n-fc)® + — C$n, k=0
. 2n+l sin
. 2sin
ж =
. (-1)
22n
1 n
^2(™l)kC2n^i sin (2n - 2^ + 1)ж, k=0
1
cos 2ж 3—, 22’
. 4sin
. 5sin
л 1»3
- cos 4жcos 2ж H—,
828’
1 . r 5 . o 5 .
sin 5ж — -— sin Зж + ™ sin ж,
16168’
. 31 * Q I 3 •
sin ж =sin Зж H— sin ж, 44
. 6sin
ж =
2п COS
1
COS
32
_ 1 1
22n-1
3,155
ож Hcos 4жcos 2ж 3,
163216
^2 Cin cos 2(n - k)x + ^C2„, k=0
2n + l COS
Ж =
1
2^
52 ^2n+i sin (2n — 2^ + 1)ж,
k=0
1
cos2 ж = ™ cos 2ж + ™,
22’
31з
cos ж = - cos Зж + - COS X,
44
4 COS
5 COS
6 COS
1 л 1 o 3
- cos 4ж H— cos 2ж H—,
828’
1 r 5 о 5
— cos 5ж Н cos Зж Н— cos ж, 16168’
1 л 3 л 15 о 5— cos 6ж Нcos 4ж Нcos 2ж Н.
32163216
Тригонометрические функции кратных аргументов.
[(п™1)/2]
•/ 1\fez-y2fe + l • 2fe + ln —2fe —1
81ППЖ =2 уsm Ж COS
fe=0
[(n™l)/2]
= sin® 52 (,-TCn-k-i^
k=0
n — 1/2n — 1/2k=lk=lsin 2пж = 2n cos ж sin ж +
n — 1/2
n — 1/2
k=l
k=l
P)(n2-22)...(n2-k2) k (2k -1)!
^-If^cos® 22”-1 sin2"-1 Ж +
।/ т\к(2и k l)(2n k 2) . . . (2n2k) O2n-2t-i . 2n-2&-i
1 2J ч,,2 sin
k=l
[n ^ 1],
sin (2n + 1)ж = (2n + 1) sin ж +
k=l
= Hr
k = 2
ь[(2и + 1У-П|]Х2п^^
(2fc + 1)!
(2fc - I)2]
D 2 ti • 2 tx 1 о 2 ть — 2 / dI -1 \ • 2 n — 1, ^ I
2 sin ж - 2(2n + 1) sin ж H— x
k (2n -
_ . 2fe+l
X sin
k)(2n ™™ 1) . . . (2n ™ 2/s + 2) ^2-n™2k41 g-n2n™2A; + l
k\
= sin ж I 1 + 2 J^ cos 2kx k=i-
= (-1)^
sin ж + 2 cos ж (™l)fc sin 2/гж
-k=l■
sin 2ж = 2 sin ж cos ж, sin Зж = 3 sin ж — 4 sin3 ж,
sin 4ж = cos ж (4 sin ж — 8 sin3 ж), sin 5ж = 5 sin ж — 20 sin3 ж + 16 sin5 ж, sin 6ж = cos ж(6 sin ж — 32 sin3 ж + 32 sin5 ж),
+ /2]
COS ПХ = 2^ к 1) sm ЖСО8 ж>
k=0
l(n-l)/2]l(n-l)/2]("I)'n — 2k("I)'n — 2k2n 1cosn —2Атж2n 1cosn —2Атж
l(n-l)/2]
l(n-l)/2]
("I)'
n — 2k
("I)'
n — 2k
2n 1cosn —2Атж
2n 1cosn —2Атж
cos2nx = 1 + У^ ( —1) fe=icos2nx = 1 + У^ ( —1) fe=i• • • [n2 — (^ — l)2] дк • 2kW sm• • • [n2 — (^ — l)2] дк • 2kW sm
cos2nx = 1 + У^ ( —1) fe=i
cos2nx = 1 + У^ ( —1) fe=i
• • • [n2 — (^ — l)2] дк • 2k
W sm
• • • [n2 — (^ — l)2] дк • 2k
W sm
cos (2n + 1)ж = cos xcos (2n + 1)ж = cos xi + E(-i)‘ xk=li + E(-i)‘ xk=l
cos (2n + 1)ж = cos x
cos (2n + 1)ж = cos x
i + E(-i)‘ xk=l
i + E(-i)‘ xk=l
[(2n + I)2 - l2][(2n + I)2 - 32] . . . [(2n + I)2 - (2fe - I)2] . 2A (2Ц!Sm
/(Xin. • 2n
= ( —1) cos x 2 sin
+ E(-+^k=l+ E(-+^k=l&)(2n ™ k ™ 1) . . . (2n ™ 2k + 1) 2n™2fe . 2n-2k
+ E(-+^
k=l
+ E(-+^
k=l
—_bL 2smx
= (~ 1)ПСО8Ж= (~ 1)ПСО8Ж= cos ж — 2 sin x У2 8^п 2&ж, fe=i
= (~ 1)ПСО8Ж
= (~ 1)ПСО8Ж
1 + 2 У2 (™l)fc cos 2kx k = X
cos 2ж = 2 cos2 ж — 1, cos Зж = 4 cos3 ж — 3 cos ж,
cos 4ж = 8 cos4 ж — 8 cos2 ж + 1, cos 5ж = 16 cos5 ж ™ 20 cos3 ж + 5 cos ж,
cos 6ж = 32 cos6 ж — 48 cos4 ж + 18 cos2 ж ™ 1,
tg 2s =2t® 2 , tg 3s =1 — tg2 жtg 2s =2t® 2 , tg 3s =1 — tg2 жЗtgж —tg3ж_ 4tgж —4tg3ж
tg 2s =2t® 2 , tg 3s =
1 — tg2 ж
tg 2s =2t® 2 , tg 3s =
1 — tg2 ж
1 — Зtg2ж ’^ Ж 1 — 6tg2ж + tg4ж
Тригонометрические функции некоторых углов.
sinnTT = 0, COSH7T = ( —l)n, tgnTT = 0.
sin(nTr/2) = (-1)^/2] 1CJ+, cos(nTr/2) = (_1)W2]1 + ^ ^^
П7Т _ 1 - (-1)П81Г 1 + (-!)"■3) Sin ^ = (-i)^/3]^ [1 _ (_1)[(«+1)/з]cos z?5 _ с_1-1[(>»+1)/з] 3jx-++2+3 k74174П7Т _ 1 - (-1)П81Г 1 + (-!)"■3) Sin ^ = (-i)^/3]^ [1 _ (_1)[(«+1)/з]cos z?5 _ с_1-1[(>»+1)/з] 3jx-++2+3 k74174[n четное],[n нечетное],[n четное],[n нечетное],[n четное],[n четное],[n нечетное],[n нечетное],
П7Т _ 1 - (-1)П
81Г 1 + (-!)"■
3) Sin ^ = (-i)^/3]^ [1 _ (_1)[(«+1)/з]
cos z?5 _ с_1-1[(>»+1)/з] 3jx-++2+
3 k74
174
П7Т _ 1 - (-1)П
81Г 1 + (-!)"■
3) Sin ^ = (-i)^/3]^ [1 _ (_1)[(«+1)/з]
cos z?5 _ с_1-1[(>»+1)/з] 3jx-++2+
3 k74
174
[n четное],
[n нечетное],
[n четное],
[n нечетное],
[n четное],
[n четное],
[n нечетное],
[n нечетное],
П7Г tgT
,_1)[(n+2)/3] УЗ ^(_ф„+1)/3]]
[n четное]
Г_^)[п/3][(^+l)/3]]
[n нечетное]
4) sin
4
/ П["/411^М)УУ1
[n четное]
/j\[(n™l)/4] 1
[n нечетное]
П7Г cos 4
(_i)["/4i 1±УуУУ2
[n четное]
1 '\[(n+1)/4] 1
[л нечетное]
П7Г
"1+ (-1)^/2]
[n четное]
,_1^[(2n+l)/4]
[n нечетное]
. П7Г
5) sin -— 5
1 (_1)["/B1^/1Q _ (_l)[(2n-10[n/5]-l)/3]2V5]
[n # 0, 5, 10,]
0
[n = 0, 5, 10,]
П7Г cos —- 5
l(_l)K"+2)/8l (^5 + (_1)[(2ч-10[>г/5]-1)/3]^
[n 0, 5, 10, . . . ]
(_1)K"+2)/5]
[n = 0, 5, 10,]
• П7Г
6) sin —
(X)[n/6]V3 [x _ ^_X)[(n+l)/3]j
[n четное]
Н)[п/в] зн-1У22У1
[n нечетное]
П7Г cos 6
[n четное]
(-^)[(n + l)/6] V^ [^(-_]j[(n + l)/3]]
[n нечетное]
П7Г ,glF
< l\[n/3] V^ Pi _ ^2)[(n+l)/3]j
[n четное]
' _ \ n / 31
[n нечетное]
.. П7Г
7) sin —
=
(_1)K”+l)/8]|^/2 - ( —1)[«/4] - (-l)[(3n+l)/4]
[n четное]
(-^^„(„фп + 1)/4].у^
[n нечетное]
П7Г
cos
8
(-l^l + B)/8!!^ + (-1)[«/4] + (-l)[(3n + l)/4]
[n четное]
(_l)Kn+3)/8lly/2 + (-1)К"+!)/4]С2
[n нечетное],
[п ф 0, 4, 8, . . . ],[п = 0, 8, 16, . . . ], [п нечетное].[п ф 0, 4, 8, . . . ],[п = 0, 8, 16, . . . ], [п нечетное].
[п ф 0, 4, 8, . . . ],
[п = 0, 8, 16, . . . ], [п нечетное].
[п ф 0, 4, 8, . . . ],
[п = 0, 8, 16, . . . ], [п нечетное].
= О
= 1)[(2п+1)/8! ^V2 — —1V72^1^4^ J
sin J5 = 5 (^ - !)’ sin 1V Z + 1)’ cos ^ = ^ ^10 + 275 , cos ^ = i у^Ю — 275 , tg^ = -LV5-2V5, tg ^ = -^5 + 275, ctg ^ = \3mT>, ctg ^ = ys - 2V5.
sin ™ = ^ (V6 - V2 ), cos ™ = ^ (V6 + V2 ), 124124
tg^=2^^ ctg^=2 + v^, 5тгг™ 5тгг™
tg 12 = 2 +’ Ctg 12 = 2 “’
sin 4 =(1 + 7з ), cos 4 = —4 (1 — 75), 1227212272
sin —- = —(-1 + V3), cos —- = —(-1 - Vs), 122V2122V2
tg^ = -2-V3, ctg^ = -2 + v^, tg^ = -2 + V3 ctgl^ = -2-V3.
Sin 4 = I [—V3 (V5 - 1) + 710 + 2^5 cos 4 = ^ ( V5 - 1 + V3 710 + 275 ), tg 4 = 7 (3 - V5 ) ( 2 V3 - 410-275 )
4\/
Ctg 4 = 7 (1 + V5 ) ( 273 + 410-275
sin= ™ ГV3 fv^ +™ 2v^
158 [\*
cos^ = ^(v^+l + V3ylO- 2 V5 ], 158 \/
tg^ = 7 (3 + T5)(-273 + 410 + 275 154у*
ctg 4 = 7 (V5 - 1) ( 2Тз + 410+ 2v^ 154\*
. 7тг ctg30
sin ^ = | £ + V2 £0-2^ - £- V2 (1 + Vs) , cos ^ = I V2- V5 V10-2V5 + V2 +V2 (1 + VS) , tg^ = ^(1 - Vs + 2V2) ^ю — 2Vs - V2(V5 -1) , etg |^ = ^(-! + VS + 2v^) VlTTVb + V^(V^ - 1) .
Sin S" V^V^XsT^) ,
ТГcos —60ТГcos —60£2 +V3)(5 +Vs) ,
ТГcos —60
ТГcos —60
tg60 =
ctg60 =
12. Степенные ряды._ ~ (-1)*12. Степенные ряды._ ~ (-1)*1sin ж1sin жfc=01fc=01(2fc + l)!(2fc + l)!q2 k — 1q2 k — 1fe=Ofe=OMV 2k (2Ц! ”MV 2k (2Ц! ”k=lk=l1cos ж1cos жk=lk=lI ^2fc | 2fe (2^)! XI ^2fc | 2fe (2^)! X^^ ^^^ - 1)^^ ^^^ - 1)k=lk=l(2Ц!(2Ц!Id I 2 fc — 1\Bik\xId I 2 fc — 1\Bik\x
12. Степенные ряды.
_ ~ (-1)*
12. Степенные ряды.
_ ~ (-1)*
1sin ж
1sin ж
fc=0
1
fc=0
1
(2fc + l)!
(2fc + l)!
q2 k — 1
q2 k — 1
fe=O
fe=O
MV 2k (2Ц! ”
MV 2k (2Ц! ”
k=l
k=l
1
cos ж
1
cos ж
k=l
k=l
I ^2fc | 2fe (2^)! X
I ^2fc | 2fe (2^)! X
^^ ^^^ - 1)
^^ ^^^ - 1)
k=l
k=l
(2Ц!
(2Ц!
Id I 2 fc — 1
\Bik\x
Id I 2 fc — 1
\Bik\x
ctg ж =ctg ж =CO o2fe
ctg ж =
ctg ж =
$T (2fc)! |B2fcl
Обратные тригонометрические функции
Некоторые соотношения.
Главные значения обратных тригонометрических функций определяются неравенствами
™тг/2 ^ агсз1пж ^ тг/2;™тг/2 ^ агсз1пж ^ тг/2;0 ^ arccos ж ^ тг0 ^ arccos ж ^ тг[-1 < ж < 1];[-1 < ж < 1];
™тг/2 ^ агсз1пж ^ тг/2;
™тг/2 ^ агсз1пж ^ тг/2;
0 ^ arccos ж ^ тг
0 ^ arccos ж ^ тг
[-1 < ж < 1];
[-1 < ж < 1];
[—сю < ж < сю].[—сю < ж < сю].™тг/2 < arctgж < тг/2;0 < arcctg ж < тг
[—сю < ж < сю].
[—сю < ж < сю].
arcsin (™ж) = — arcsin ж, arccos (™ж) = тг — arccos ж, arctg (™ж) = — arctg ж, arcctg (™ж) = тг — arcctg ж, sin (arcsin ж) = ж, cos (arccos ж) = ж, tg (arctg ж) = ж, ctg (arcctg ж) = ж.
arcsin (sin ж) = ж — 2птг[2птг — тг/2 ^ ж ^ 2птг + тг/2],
= —ж + (2п + 1)тг[(2п + 1)тг — тг/2 ^ ж ^ 2(п + 1)тг + тг/2].
arccos (cos ж) = ж — 2птг[2птг ^ ж ^ (2п + 1)тг],
= —ж + 2(п + 1)тг[(2п + 1)тг ^ ж ^ 2(п + 1)тг].
arctg (tg ж) = ж — птг[птг — тг/2 < Ж < П7Г + тг/2],
arcctg (ctg ж) = ж — птг[птг < ж < (п + 1)тг].
lim arctg ж = ±тг/2, lim arcctg ж = тг/2 ^ тг/2.
ж^±оо®^-±оо
гиперболиче-гиперболиче-Связь с логарифмической и обратными скими функциями.
гиперболиче-
гиперболиче-
arcsin z = — i In (iz + V1 — 22 ) = —г Arsh (г^),
arccos z = — г In ( 2 + V^2 — 1 ) = — г Arch
= — i Arth (iz)^= — i Arth (iz)^, г 1 1 + iz arctg z = - - In -™ 21 — %z
= — i Arth (iz)^
= — i Arth (iz)^
= i Arcth (iz).= i Arcth (iz).г iz — 1
= i Arcth (iz).
= i Arcth (iz).
arcctg z = — - In -
Б 2 iz + 1
Формулы дифференцирования.
d .1 d1
-— arcsin ж = ^=^=-,-— arccos ж =^=^=-,
dxV1 ™ ж2 dxV1 ™ ж2
dId1
— arctg ж = ——™ ’ 7Г arcctg ж =—2 *
dx1 + x2 dx1 + x2
Связь между обратными тригонометрическими
функциями.
. тг
arcsin ж = — — arccos ж,
1],1],= arccos V1 — ж2
1],
1],
= — arccos V1 — ж2'
= arctg^=^=-
= arcctg ж
V1 - Ж2
= arcctgтг
ж
= - arcsin (2ж сТ^ж2 )
= ™ — | arcsin (2ж^1 — ж2 )
= — — — - arcsin (2жу 1 — ж2 )
7Г.
arccos ж =arcsin ж,
2’
= arcsin V1 — ж2'
= тг — arcsin сТ^ж2
0],
^2 1/2],
[1/V2 < ж 1],
X
X
= arcctg ;
8 Vl ™ Ж2
= ™ arccos (2ж2 — 1)
= тг — | arccos (2ж2 — 1)
ТГ
= _ _ arcctg х,
.ж
= arcs in —--,
Vl + Ж2
arctg х
Vl - Ж2
= arctg
х
[О < ж 1],
[—1 ж < 0],
[-1 ж ^ 1],
[0 ж 1],
[—1 ж < 0].
1 arccos , т
V1 + Ж2
1— arccos;Vl + Ж2
7Г1
™ - arctg -
2х
ТГ
i
- arctg —
X
arcctg — х
ТГ
1 — ж
4
arctg
1 + X
Зтг1 — х
—
Л arctg 1 , 41 + х
1
2х
2
arctg
1 — Ж2
1
2ж7Г
2
arCtg!2
1
2ж7Г
2
arctg 1 - ж2 2
7Г 1.2ж
—
arcsm-
221 + ж2
1
. 2ж
—
arcsm
2
1 + ж2
ТГ
1. 2ж
arcsm
2
21 + ж2
1
1 - ж2
—
arccosт-
2
1 + ж2
11 - ж2
—
- arccos
21 + ж2
arctgтг
X
[ж > 0],
[ж 0],
[ж > 0],
[ж < 0],
[ж > 0],
[ж < 0],
[ж > -1],
[ж < -1],
[И<1],
[ж > 1],
[ж < -1],
[ж ^ -1],
[-1 ж 1],
[ж > 1],
[ж > 0],
[ж ^ 0].
7Г
arcctg ж = — — arctg ж,
.1
= arcsin
[ж > 0],
.1
= тг ™ arcsin
V1 + Ж2
[ж < 0],
= arccos;,
Vl + Ж2
1
= arctg —
[ж > 0],
= тг + arctg —
[ж < 0].
5. Степенные ряды.
arcsin ж = 2 ^ fe=O
(2/г)!/ж\2№
(М)2(2/г + 1) \2/
[|ж| < 1].
arccosж =
ТГ ~(2&)!/Ж\2№
2^(^(24:+ 1) bJ
[|ж| < 1].
.V-' ( —1)^2,+1
arctg ж = >—— ж
ZL _ V ( 1)*-2,-1
2,=o 2k + 1
7Гf, (-l)k2,-1
2,=o 2k + 1
[И < 1],
[ж > 1],
[ж < -1].
arcctgж =
7Г _ у ( I)* 2*+l
2,=o 2k + 1
[|ж| < 1],
,=o 2k + 1
[ж > 1],
V (-1)" x-^-i ^o2k + 1
Приложение II. Специальные функции и символы
8(ж)С(ж)8(ж)С(ж)1V2x1V2xf sin л—™ at — синус-интеграл Френеля, оf sin л—™ at — синус-интеграл Френеля, о1V5x1V5xcost .,^ at — косинус-интеграл Френеля.cost .,^ at — косинус-интеграл Френеля.
8(ж)
С(ж)
8(ж)
С(ж)
1
V2x
1
V2x
f sin л
—™ at — синус-интеграл Френеля, о
f sin л
—™ at — синус-интеграл Френеля, о
1
V5x
1
V5x
cost .,
^ at — косинус-интеграл Френеля.
cost .,
^ at — косинус-интеграл Френеля.
sisisint~
si
si
at — интегральный синус.
cost .„
—-— at — интегральный косинус.
Li2 (ж) = — —- dx =— — дилогарифм Эйлера.
J xk1
0fe = l
C^ = ———-— — биномиальные коэффициенты.
m!(n — my
= 1.
n! = 1 ■ 2 • 3. . . (n - l)n, 0! = 1! = 1.
(2n)!! = 2 • 4 • 6 . .. (2n) = 2nn!,
(2n + 1)!! = 1 • 3 • 5 ... (2n + 1),
„Г(2/г)!!, n = 2fe,
n!! = <
Ц2А: + 1)!’, n = 2fe + l,
0!! = (-1)!! = 1.
Bn — числа Бернулли.
Л’Л’Во = 1, B1 = --, В2 =-, В4 = - —, ’2630
Л’
Л’
в = —— вв .691
830’1066’122730’
В2п+1 = 0 при п = 1, 2, 3, . . Вп = ^2 С^Вк. к=0
Еп числа Эйлера.
Ео = 1, Е2 = -1, Е4 = 5, Е6 = -61, Е8 = 1385, £J10 = -—50 521, Е12 = 2 702 765, E2n4-i = 0.
[ж] = п (п х < п + 1, п = 0, ±1, ±2, . . .) — целая часть числа ж.
(ax2fe + bxk + c)n (m ™ ^nfe + 1)а(аж2/с + bxk + c)n™x
(m ™ 2k A l)c f xm™2kdx
3J x(ax + 6)1/2
[m n + 2].
,2
а2 + р2)£2 + (/З2 + р2)][(аа2 + Ьа + c)t2 + ар2 + Ьр + с]1/2
х — /3
t = ; а и р определяются из системы
уравнений 6(а + Р) + 2с — 2ар2 = 0, «3 + р2 = О
[p ^ -™3, -™5, . . . , -™2n1].
shp x ch (p + 2)ж dx = —-— shp+1 ж ch (p + 1)ж.
Jp + 1
„ f ch 2пж ,_ ch (2n — 2k — 1)ж, К ж |
5.—dx = 2 > — + In th - .
J sh x2n — 2k — 1 I 2 1
Jk=0
_ f сЬ(2п + 1)ж ,_ v4 ch (2n — 2k)x . . ,.
6.— . dx = 2 > —+ In sh ж .
J зЬж2n-2k11
Jk=0
_ f ch 2ж ,_ ,, К ж I
7" J^& = 2ch$ + ln|th2|-
f сЬ2ж ,,
8.—— dx = — cth x + 2ж.
J sh x
10.— dx = sh x + sh x
J shn X 3 - nn
11. f ^Ж dx = 2 sh2 ж + In I sh ж I.
J sh x
1. Г chp x ch ax dx = —™— < JрГ a _
k=o
31 ж
+ ™ ж sh ж — — sh Зж.
fT ’(2fc)!(2fc + p + l)
[p# -1, -3, -5,, -(2n + l)].
,1 . p . C IT
tg±z xj — ctgG2 ж
iin2m+i x sinn+1/2 2ж2n-1/2
cos2m+i ж sinn+i/2 2ж 2n™x/2m+™ 4k ± 21 — 2n + 1
5.27. Интегралы вида sinz x cosm x cos^n^1^2 2ж dx.
з ,31,3. x . ,
ж cos ж dx = - cos ж + — cos Зж + - ж sin ж Hsin Зж.
4oO4x
5.52. Интегралы вида J —dx (см. замечание в начале 5.49).
f cos9 ж _ cos9 жq sin ж cos9™1 ж
J жр Ж (p — 1)жр-1 (p ™ l)(p — 2)жр”2 q^q-l) f cos""2 x _ g2 f cos" ж (p l)(p 2)J жр-2(p- l)(p- 2) J ж?"2
f COS XCOS XS™ Ж J
Jdx = ™(р™1)жр™1 ”J
cos xsin x
(p — 1)жр-1 (p ™ l)(p — 2)жр™2
sin аж H- cos аж.
aa2
2. | In (ж + Уж2 — а2 ) dx = ж In (ж + У ж2 — а2 ) — У ж2 — а2 .
ж arccos — dx =arccosv a2 ™ x2 .
a \ 432 / a 32
УДК 519.6(083)
ББК 22.194
Б87
Брычков Ю. А., Маричев О. И., Прудников А. П. Таблицы неопределенных интегралов. — 2-е изд., исправ. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 200 с. - ISBN 5-9221-0331-8.
Книга содержит таблицы неопределенных интегралов от элементарных функций.
Для студентов высших учебных заведений, инженеров, научных работников.
Первое издание — 1986 г.
Учебное издание
БРЫЧКОВ Юрий АлександровичМАРИЧЕВ Олег ИгоревичПРУДНИКОВ Анатолий Платонович