ТРЕХМЕРНАЯ ОРТОГОНАЛЬНАЯ ГРУППА

Ортогональная группа в л-мерном пространстве

По определению n-мерной ортогональной группой О(м) называется совокупность всех линейных преобразований в п-мер- ном линейном пространстве, оставляющих инвариантной сумму квадратов компонент всякого вектора x = ^xaV а = 1, 2, ..., п из этого пространства

Х^ = ХаХа = хйа = xX-V xX-V . . . А- Хп.(1.1)

Здесь и в дальнейшем по дважды повторяющимся индексам предполагается суммирование в пределах их возможных значений). Пусть О = (Оар) — квадратная матрица рассматриваемого линейного преобразования. Тогда

•га = Оа^х^(1*2)

или

х' — Ох = хО.(1.3)

Тильда (~) обозначает транспонированную матрицу

Оа^О,а.(1.4)

В выражениях вида (1.3) всегда будет предполагаться условие суммирования по соседним индексам стоящих рядом векторов или матриц (см. П. 1). Случаи, когда это условие не должно применяться, мы будем отмечать точкой между стоящими рядом величинами. Таким образом, если

ху = хауа = ух, хА = (жаАаР),(1.5)

то

х • У = (хау^ , X • А = (ЯаАРт) .(1.6)

Условие ортогональности преобразования О можно теперь написать в виде

х^ = (Ох)2 = (Ох)Ох = хООх = х2 =xlx. (1.7)

Поскольку это равенство является тождеством относительно вектора х, то отсюда следует

(1.8)(1.8)00= 1.

(1.8)

(1.8)

Мы подразумеваем здесь под 1 единичную матрицу надлежащего порядка. В случаях, когда необходимо указать порядок единичной матрицы, мы будем ставить при ней соответствующий индекс. Таким образом, 1П будет означать единичную матрицу порядка п. Всюду в дальнейшем мы не будем делать различия в записи между числом к и соответствующей ему скалярной матрицей любого порядка

к 0 0 ... О 01

к =к =(1.9)(1.9)О к 0 ... О О

к =

к =

(1.9)

(1.9)

10 0 0 ... О к

Из (1.8) следует также

00 = 1.00 = 1.(1.10)(1.10)б = о-1,

00 = 1.

00 = 1.

(1.10)

(1.10)

С помощью индексов соотношение (1.8) запишется в виде

ОарОрт = О^аО^ = бар(1.1 (У)

Здесь 6ат — известный символ Кронекера, который можно рассматривать как общее выражение для элементов единичной матрицы: 1= (6ар). В соотношении (1.10') индекс р, по которому производится суммирование, нумерует строки матрицы О, в то время как номера столбцов а и 7 фиксированы. Таким образом, согласно (1.10') ОраОрт = 0 при а #= 7 и 0^0^ = О|а = 1. Если рассматривать элементы каждой строки как компоненты некоторого n-мерного вектора, то (1.10') означает, что строки ортогональной матрицы образуют ортонормированную систему векторов. Из (1.10) аналогичным образом вытекает Оа^О^ = б«т, следовательно, такое же утверждение справедливо и для столбцов ортогональной матрицы.

Взяв детерминант от обеих частей (1.8), получим

|О|2=1,|О|=±1.(1.11)

Поэтому при любом числе измерений пространства ортогональные преобразования подразделяются на два типа: собственные О+(|О+|=1) и несобственные О_(|О_|= —1) ортогональные преобразования.

Из них только собственные ортогональные преобразования 0^ образуют группу, которая обозначается SO (п) и называется специальной ортогональной групппой в ^-мерном пространстве. Слово «специальная» означает условие равенства единице детерминанта матрицы преобразования. Очевидно, группа собственных преобразований является подгруппой группы всех ортогональных преобразований.

Всякое бесконечно малое преобразование имеет вид 1+Ат причем все элементы матрицы А малы, так что их произведениями между собой можно пренебречь. Налагая условие ортогональности (1.8), получим (1 + Л) (1 + А) = 1, откуда следует А = — А, т. е. матрица А должна быть антисимметричной. Итакт бесконечно малое ортогональное преобразование имеет вид

0=1+ А, А = -А. (1.12)

Таким образом, существует связь между ортогональной и антисимметричной матрицей. Уравнение (1.8), выражающее равенство двух симметричных матриц, равносильно п(п + 1)/2 условиям, налагаемым на элементы ОаР. Поэтому ортогональная матрица зависит от п2 — п^п + 1) /2 = п^п — 1) /2 параметров. Столько же независимых элементов имеет антисимметричная матрица А. Легко убедиться в справедливости общей формулы, выражающей собственную ортогональную матрицу через антисимметричную:

<Н1+4 (1 - Л)-1 =^-2 ~ (1~ Л) = 2 (1 - Л)-1 - 1. (1ЛЗ>

Запись в виде дроби допустима в данном случае, поскольку 1+Л и 1—А коммутируют между собой. Транспонируя равенство (1.13), получим 0 = (1+Л)-1(1—Л) = (1—Л)/(1+Л) = = О-1, т. е. условие (1.10). Кроме того, |1 — Л| = |1+Л| = = 11 + А |, откуда следует |О|=1, т. е. выражение (1.13) действительно является собственной ортогональной матрицей.

Разумеется, выражение (1.13) имеет смысл лишь при условии^ что (1—А)-1 существует, т. е.

11 _Л| =#0. (1.14)

Покажем, что для вещественных антисимметричных матриц А условие (1.14) всегда выполняется. Действительно, характеристическое уравнение матрицы А имеет вид

|х — ЛI =0, (1.15)

где X — собственное значение матрицы А. Поэтому равенство* 11 — А | = 0 означало бы, что матрица А имеет собственное значение, равное единице. Это невозможно, так как при А = А* =

= —4 (звездочка означает комплексное сопряжение) матрица 4 антиэрмитова: 4+= 4* = —4 и поэтому может иметь лишь чисто мнимые собственные значения (см. П. 1).

Соотношение (1.13) легко разрешается относительно матрицы 4

4 = 1 - 2(0 + I)-1 = (О - 1)/(О +1),(1.15')

причем условие О = О-1 приводит к антисимметрии 4. Действительно,

Д = — 1 = °-1 ~ 1 = 1 —° = _ д0 4-1о-1 4-1 ” 1 4- О —*

Эти соотношения справедливы всегда, за исключением случая, когда (0 + I)”1 не существует, т. е. при условии

|0+1| =0.(1.15")

Из (1.13) имеем 0 + 1 = 2(1—4)~\ следовательно, |О + 1| = = 2П|1 — 4|“1, поэтому (1.15") может иметь место лишь в случае, когда некоторые элементы матрицы 4 бесконечно велики.

Для (1 — 4)~1 мы можем написать ряд Неймана [10]

(1 -4)-1 = 1 + 4 +42 + 43 + ...,(1.16)

предполагая сходимость этого разложения. Согласно теореме Гамильтона — Кэли (П. 1) всякая квадратная матрица является корнем своего характеристического полинома, степень которого равна порядку матрицы п (либо корнем полинома степени s < п (см. П. 1)). Поэтому n-я и более высокие степени матрицы О выражаются в виде линейных комбинаций ее низших степеней. Отсюда следует согласно (1.13), что n-мерная матрица О всегда может быть представлена в виде полинома от 4 не выше (п — 1)-й степени

О = ахА""х + а^А^ + ... + аи_хА + ап. (1.17)

Поскольку каждой антисимметричной матрице А согласно (1.13) соответствует собственная ортогональная матрица О, то п^п — 1)/2 независимых элементов 4аР(а<Р) можно рассматривать как параметры, определяющие собственное ортогональное преобразование.

Заметим, что вместо выражения (1.13), называемого формой Кэли, собственную ортогональную матрицу О любого порядка можно выразить через антисимметричную матрицу А более общим образом:

О =/(4)//(—4),(1.17')

где /(4)—любая функция, ограниченная условием /(4)=/= ^t^—4). Впрочем, как указывалось выше, всякая функция от

матрицы тг-го порядка А может быть выражена в виде полинома от А степени не выше п— 1. Разумеется, представление (1.17') справедливо, лишь когда /(Л) является неособенной матрицей: |/(Л) | #= 0. В частности, взяв /(Л) = ехр {Л/2}, придем к представлению

О = ехрЛ.(1ЛГ)

Важную роль играют соотношения коммутации между бесконечно малыми преобразованиями (1.12). Легко убедиться, что коммутатор двух антисимметричных матриц А = — А и А' = = — А’ также является антисимметричной матрицей

А" = {ЛЛ'}_ = АА' — А'А = —1".(1.18)

Выраженное через элементы матриц, это соотношение имеет вид,

Лар = Ла^Л^р Ло^Л^р = Лра (а, Р = 1, 2, ..., м). (1.19)

Всякую антисимметричную матрицу А можно написать в виде А = А- А»^, Ja6 = - Jp“,(1.20)

где базисные антисимметричные матрицы JaP не зависят от элементов матрицы ЛаР. Элементы матриц JaP определяются следующим образом):

/ра — барбра ^аа^рр = 26[apj[paj.(1.21)

Здесь 6[apj[pa] — обобщенный символ Кронекера (П. 1), обладающий свойствами:

6[ap][pa]6[Pa][nv] = 6[aP][pv],(1.22)

8[ap][Pa]^Pa = ^[ap] = -j- (^ap “ ^pa)-(1-23)

Последнее свойство позволяет рассматривать 6[арИро] как оператор альтернирования. Непосредственной проверкой с помощью (1.21), либо используя соотношения (1.18) — (1.20), можно убедиться^ что для матриц JaP при любом п имеют место следующие соотношения коммутативности:

W'p'}_ = - 6aaVpp' + 6apVPa' +6p«VaP ~ 6ppVaa\ (1.24)

Рассмотрим уравнение для собственных векторов ф и собственных значений X ортогональной n-мерной матрицы О

Оф = Хф, ф=(фа),а=1, 2, ..., м. (1.25)

Поскольку О = О-1, то, умножая это уравнение на О, получим

Охр —-у-хр.(1.26)

После скалярного умножения уравнений (1.25), (1.26) на хр имеем хрОхр = Ххр2, хрОхр — '4“ ^(1.27)

Здесь хрОхр = храОаРхрр = хррОРахра = хрОхр, хр2 = храхра = хра = хр? + + хр? + • • • + 'фп- Разность уравнений (1.27) дает соотношение

(х—^)-ф2 = 0.(1.28)

Отсюда следует либо X2 = 1, либо хр2 = 0. Таким образом, собственные векторы хр любой ортогональной матрицы, обладают свойством хр2 = 0, за исключением тех, которые отвечают собственным значениям X = ± 1.

Рассмотрим уравнения Oxpi = Xixpi, Охр2 = Хгхрг. Второе из них заменим уравнением Охр2 = (1/Хг)хр2. Умножив первое на хр2 и второе на xpi, получим после вычитания, поскольку xpiOxp2 = хргОхрь

ФхФз = 0-(1.29)

Таким образом, два собственных вектора xpi, хр2 ортогональной матрицы при условии Xi ^= >2 Ортогональны между собой в смысле Хр1Хр2 = Хр1аХр2а = 0.

Трехмерная группа вращений

Собственная ортогональная группа в трехмерном вещественном пространстве называется группой вращений и обозначается 50(3). Согласно (1.17) в этом случае

О = О+ = Л1Л2 -}- й^Л “И аз.(2-1)

Как показано в П. 1, характеристическое (оно же и минимальное) уравнение антисимметричной трехмерной матрицы Л имеет вид

А»-А-№А = 0.(2.2)

Для нахождения коэффициентов «1, а^ аз используем соотношение (1.13), согласно которому

(1 _ Л)О = а3+ (а2 — а3)Л + (ах — а^А2 — а^3 = 1 + А.

Используя (2.2) и сравнивая коэффициенты в обеих частях этого

равенства при независимых степенях матрицы Л, найдем ах = = «2 = 2/[1 — У2(Л2) J, аз = 1, следовательно,

О = 1 + 2(Л + Л2)/[1 - ’^Л2),].(2.3)

Вместо матрицы А удобно ввести дуальный ей вектор*)

с = (cd) с помощью соотношений (см. П. 1) **)

А = Сх, Адь — Са^ = ^adb^di ^а == ^"! ^abcA^c*(2 Л)

Здесь e«db — трехмерный символ Леви-Чивита.

1 — с2 + 2с-с + 2сх14-е2'1 — с2 + 2с-с + 2сх14-е2'(2.5)(2.5)Согласно (П. 1.78) сх = с-с— с2, следовательно,(сХ2)( =—2с2. Таким образом, мы получим вместо (2.3)

1 — с2 + 2с-с + 2сх

14-е2'

1 — с2 + 2с-с + 2сх

14-е2'

(2.5)

(2.5)

о = О (с) = Ос =^^ = 1 + 2е—^-^ = х ’1 — сх14-С2

Наряду с 0(c) мы будем пользоваться также обозначением Ос. Явное выражение для матрицы преобразования (2.5) имеет следующий вид:

0(c)-0(c)-11 + с211 + с2НсМЧ2 (^2^1 + ^з)2 (Vl-C2)НсМЧ2 (^2^1 + ^з)2 (Vl-C2)1 +С1С2-сзС1Сз+С2= -1 + т+2С2С1+ сз1 +С2С2С3-С11 4- с+ С1сзс1-С2С3С21 + С31 +С1С2-сзС1Сз+С2= -1 + т+2С2С1+ сз1 +С2С2С3-С11 4- с+ С1сзс1-С2С3С21 + С32(С1С2~Сз)2 (^1^3 + ^2)Ц-^-^-^з2^-^)2(С3С2~С1)^^-^"^2(С1С2~Сз)2 (^1^3 + ^2)Ц-^-^-^з2^-^)2(С3С2~С1)^^-^"^(2.5')(2.5')

0(c)-

0(c)-

1

1 + с2

1

1 + с2

НсМЧ

2 (^2^1 + ^з)

2 (Vl-C2)

НсМЧ

2 (^2^1 + ^з)

2 (Vl-C2)

1 +

С1С2

-сз

С1Сз+С2

= -1 + т+2

С2С1

+ сз

1 +

С2

С2С3-С1

1 4- с

+ С1

сзс1

-С2

С3С2

1 + С3

1 +

С1С2

-сз

С1Сз+С2

= -1 + т+2

С2С1

+ сз

1 +

С2

С2С3-С1

1 4- с

+ С1

сзс1

-С2

С3С2

1 + С3

2(С1С2~Сз)2 (^1^3 + ^2)

Ц-^-^-^з2^-^)

2(С3С2~С1)^^-^"^

2(С1С2~Сз)2 (^1^3 + ^2)

Ц-^-^-^з2^-^)

2(С3С2~С1)^^-^"^

(2.5')

(2.5')

Из самого вывода формулы (2.5) следует, что при любом векторе с матрица О будет ортогональной. Впрочем, нетрудно непосредственной проверкой убедиться, что выражение (2.5) обладает свойством (1.8), причем |0|= + 1. Однако еще неясно, всякая ли собственная ортогональная матрица 0+ может быть представлена в виде (2.5), т. е. для любой ли 0+ найдется соответствующий вектор с. Для выяснения этого вопроса рассмотрим выражения

1 + 0,=1 + 0,=41 + С41 + С4сх1 4- с2’4сх1 4- с2’(2.6)(2.6)

1 + 0,=

1 + 0,=

4

1 + С

4

1 + С

4сх

1 4- с2’

4сх

1 4- с2’

(2.6)

(2.6)

с помощью которых находим

(2.7)(2.7)0-0

(2.7)

(2.7)

i + ote

♦) Жирным шрифтом обозначаются трехмерные векторы.

♦♦) Всюду в дальнейшем индексы a, b, с, d,... прооегают значения от 1 до 3. Индексы I, j, кч I,... изменяются от 1 до 4, а греческие индексы а, р, ... р, v, ... принимают значения от 1 до п (л > 4).

Поскольку выражение в правой части является антисимметричной матрицей, то вектор с в общем случае определяется однозначно (см. П. 1). Особого рассмотрения требует лишь частный случай 1 + Ot = 0. При этом согласно (2.7) длина вектора обращается в бесконечность. Однако и в этом случае формула (2.5) сохраняет смысл. Действительно, пусть с = Ссх (с2 = 1). Подставляя это выражение для с в (2.5) и устремляя С к бесконечности, получим

0=1 + 2^2 = 2^.^ - 1.(2.8)

Видно, что это есть преобразование поворота вокруг направления сх на 180°). Отметим, что в этом случае О = О, так что О2 = ОО = 1. Наоборот, если положить 0 — 0 = 0, то из (2.6) следует сх/(1 + с2) = 0, что при с + О приводит к с2 = оо.

Нетрудно убедиться, что условие 1 + О, = 0 соответствует отмеченному в предыдущем параграфе особому случаю (1.15"). Действительно, согласно (П. 1.67)

|1 + О| =1 + О, + О,+ |О| =2(1 + Ое) = О, поскольку из О = О+ следует_|О| = 1 и (см. (П. 1.58)) 0 = = | О | О-1 = О, следовательно, Ot = Ot = Ot.

Итак, мы можем сделать вывод, что при любом векторе с формула (2.5) определяет собственное ортогональное преобразование О = О+, и наоборот, для каждого преобразования вращения О+ существует единственный вектор с, через который О+ выражается в форме (2.5) (если считать вектор бесконечной длины, параллельный заданному направлению, единственным).

При этом каждая компонента вектора с может принимать всевозможные значения от — oq до + оо без каких-либо ограничений. Иными словами, существует взаимнооднозначное соответствие между всевозможными преобразованиями вращения О+ и совокупностью всех векторов с в трехмерном вещественном пространстве. При этом вектору с = 0 соответствует тождественное преобразование О+ = 1, и наоборот, из 0=1 согласно (2.5) следует с = 0. Поэтому вектор с = (со) можно рассматривать как совокупность параметров группы вращений — мы будем называть его вектор-параметром группы вращений [11] ).

Нетрудно определить геометрический смысл вектор-параметра с. Из (2.5) следует, поскольку схс = [се] = 0, что

О (/гс) с = сО (кс) = Осс = Ос1 с = с,(2.9)

т. е. преобразование Ос оставляет вектор с (и любой параллельный ему вектор) неизменным.

Но последнее означает, что преобразование О (кс) можно рассматривать как поворот пространства вокруг направления с. Пусть угол этого поворота равен а, тогда единичный вектор а?(#2=1), перпендикулярный к с^хс = 0\ преобразуется в вектор х' = Охх причем ж'2 = 1 и

cos а = хх' = хОсх = 1+2 жсХж + ^^ =1-2^^ =

1 + С21 + С2 1 + с2

Отсюда имеемо 1 — cos а , 2 ас=—

или

|c| = tg-^.(2.10)

Итак, направление вектора с задает ось поворота, а его длина численно равна тангенсу половинного угла поворота.

Поскольку в данном случае хг = Осх = ((l — c2)# + + 2 [ся?])/(1 + с2), то легко убедиться, в соответствии с определением векторного произведения, что поворот от х к хг образует правый винт с направлением вектор-параметра с. В соответствии с ранее сказанным (см. (2.8)) мы видим, что при а = л длина вектор-параметра с обращается в бесконечность.

Отметим, что по ходу рассуждений мы фактически доказали теорему Эйлера о том, что всякое вращение вокруг точки в трехмерном пространстве сводится к повороту вокруг некоторой фиксированной оси [12].

Мы уже отмечали, что

0(0) = 1.(2.11)

Кроме того, преобразование, обратное к О (с), получается в результате изменения направления вектор-параметра с на противоположное. Действительно, согласно (1.10) и (2.5)

О"1 (с) = о (с) = 1 + 2 (- сХ + сХ2)/(1 Д-с^ = О (- с). (2.12)

Поскольку нулевому значению вектор-параметра с соответствует единичное преобразование (2.11), то бесконечно малое преобразование вращения О (см. § 1) мы получим при |с|->0. Согласно

такое преобразование можно написать в виде

О=1+2сХ(|с|<1).(2.13)

Пусть заданы два произвольных вектора р и р' одинаковой длины: р'2 = р2. Выясним, какие преобразования вращения О (с) преобразуют р в р':

р' = Оср=^р.(2.14)

Очевидно, задача заключается в отыскании вектор-параметра с, удовлетворяющего последнему соотношению. Из него следует

р —р'= — [с, р + р'].(2.15)

Отсюда ясно, что с (р — р') = 0, поэтому можно искать с в виде линейной комбинации двух векторов р + р' и [рр'], перпендикулярных к р —- р':

с = В(р + р') +

Подставляя в (2.15), получим т] = (р(р + р'))-1, следовательно, с = ^(р + р') + [рр4/р(р + р'),(2.16)

где В — произвольное вещественное число.

Таково общее выражение для вектор-параметра преобразования вращения, преобразующего р в р'.Поскольку с^р — р') = О, то направление с всегда лежит в плоскости, перпендикулярной кр — р'. Таким образом, совокупность преобразований вращения, переводящих вектор рв равный ему по длине векторр',образует однопараметрическое семейство, являющееся подгруппой группы вращений. Очевидно, наименьшее значение | с | получается для | = 0:

С = [рр']/р(р + р')-(217)

При этом ось вращения перпендикулярна к плоскости векторов р, р' и | с | = tg (а/2), где а — угол между р и р'. Такое вращение является наименьшим в смысле величины угла поворота из веех преобразующих р в рг.

Пусть мы имеем два правых (левых) ортогональных нормированных репера еа и еа (а = 1, 2, 3) ):

СаС(, === ^а^Ь == ^аЬ» [Сдв^] — db ^abc^ci [сдС^ ^ ^abc^c* (2.18)

Выясним, какое преобразование вращения 0(c) переводит каждое еа в еа. Как известно (см. П. 1), такое преобразование будет

единственным. На основании (П. 1.44) и (2.18) оно может быть написано сразу:

О = О^ = еа*еа.(2.19)

Легко убедиться с помощью (2.18), что 00=1, и с помощью (П. 1.67), что |0|= +1. Формула (2.7) позволяет найти вектор- параметр этого преобразования

Сх= (ва-ео — еа-ва)/(1 + еьеО.

Поскольку (см. (П. 1.79)) а-Ь—b-a=\baVS то отсюда следует

С = [еова]/(1 + еьвь).(2.20)

Ортогональная группа в трехмерном пространстве наряду с матрицами вращений О+ содержит также матрицы О_, обладающие свойствами О_О_ = 1, |0_| = — 1. Очевидно, умножая матрицу 0+ на —1, мы получим матрицу типа О- и наоборот. Таким образом, можно определить общее преобразование 0- (вращение с отражением) следующим образом:

О_ = О_^ = -О^сУ(2.21)

Ни от какой матрицы 0+ (с) нельзя перейти путем непрерывного- изменения ее элементов к какой-либо матрице 0_, так как детерминант |0| должен был бы при этом скачком измениться от + 1 до — 1. В то же время очевидно, что внутри каждой из совокупностей 0+ (с) и О- (с) можно, непрерывно изменяя с, перейти от всякой матрицы к любой другой. Поэтому говорят, что группа 0(3) состоит из двух компонент связности 0+ и 0_.

Согласно (П. 1.29) мы имеем для матриц трехмерной группы 0+ характеристическое уравнение

(X-1)[V+ (l-Ot)X + l] =0(2.22}

и для матриц О-

(X + 1) [X2 - (1 + О^Х +1] = 0.(2.23)

Таким образом, матрицы О± всегда имеют соответственно собственные значения X = ± 1. Отвечающий им собственный вектор есть не что иное, как вектор-параметр с точностью до множителя (см. (2.9), (2.21)).

/1 о о\ 1=010,—\0 О 1//1 о о\ 1=010,—\0 О 1/Рассмотрим группу Р, состоящую из двух чисел + 1 и — 1 или, что равносильно, двух матриц /-100\

/1 о о\ 1=010,—

\0 О 1/

/1 о о\ 1=010,—

\0 О 1/

1 =о-1о.(2.24)

\ о о— 1/

2 ф. и. Федоров

Здесь (+1) обозначает тождественное преобразование, а (— 1) — преобразование инверсии в трехмерном пространстве (изменение знаков у всех координат любого вектора). Группу Р называют группой инверсии, очевидно, она является подгруппой ортогональной группы 0(3). Ортогональную группу можно тогда представить как прямое произведение двух групп): непрерывной группы вращений 0+ и дискретной группы Р

О = РХО+.(2.25)

При этом нужно иметь в виду, что оба элемента группы Р коммутируют со всеми элементами группы 0+.

Композиция вектор-параметров группы вращений

Поскольку преобразования вращения 0(c) образуют группу, то

О (с) О (с') = О (с"),(3.1)

где вектор-параметр с" результирующего преобразования является некоторой функцией от векторов с и с'. Эту функцию мы бу дем записывать в виде

с" = (с, с'>.(3.2)

Она определяет закон композиции вектор-параметров группы вращений. Чтобы определить вид функции (3.2), подействуем обеими частями матричного равенства (3.1) на вектор с". С учетом (2.9) имеем ОсОсгс" = с" или после умножения на 0_с ^О'сх

<ОС. -О_^ с” = 0.

Умножим это равенство на векторы с и с". Снова учитывая (2.9), получим

с <ОС, - 1) с" = 0, с' (1 - О_с^ с" = 0.(3.3)

С помощью (2.5) эти соотношения приводятся к виду

С (с'Х + с'Х2) с" = 0, с' (сх — СХ2) сп = О, откуда следует, что вектор с" перпендикулярен к двум векторам [сс'1 + [[сс'] с'] и [с'с] — [[с'с] с], следовательно, он пропорционален их векторному произведению

с" = с [[сс'] — [с' [сс']], [сс'1 + [с [сс']]].

После элементарных вычислений получаем

С" = Со (с + с' + [сс'1).(3.4)

Чтобы найти скалярный множитель Со, запишем соотношение (3.1) в виде (см. (2.5))

(1 - с"х) ОСОС, = 1 + с"х

или, после умножения справа и слева на cf

Yc'c^Oec' = сЧОс-^с-г(3.5)

Используя (2.5), находим

[с'с"] (сх 4- с-с)с' = — [сс']2,

откуда с учетом (3.4) следует

Со = (1_^)-1.

Таким образом, формула композиции (3.2) имеет вид)

с» = <с,с') = £±£±Э1.(3.6)

1 — сс

Эта формула имеет фундаментальное значение для всей теории группы вращений и ее представлений. Из (3.6) следует, что, если оба вектора с и с' достаточно малы (|с|, |с'|<^1), то, с точностью до величин второго порядка малости, можно написать: с"=с + с'. Таким образом, малые вращения складываются по обычному векторному закону — факт, который в другой трактовке требует специального доказательства. При сс1 = 1 из (3.6) следует | о" | = оо, т. е. наложение любых двух вращений, вектор-параметры которых удовлетворяют условию сс’ = 1, всегда дает поворот на 180°. Если сЦс', то можно написать с = = tg(a/2)c1? cr = tg (а72) сь и формула (3.6) дает

<с, С'> = £+4 = tg(a/2) + tg(a'/2)=

1—сс 1 — tg (a/2) tg (a /2)2

Следовательно, как и должно быть, при последовательных вращениях вокруг одной и той же оси углы поворота складываются. В случае ссг = 0 имеем

<с, с'> = с + с' + [cc'L(3.8)

Формула (3.6) обладает следующими очевидными свойствами:

<с, 0> = <0, с> = с,(3.9)

<с, -с>^<- с. с> = 0.(3.10)

Очевидно,

<с', с> = Z+£±l£fL <с, с'),(3.11)

1 — с с

исключая единственный случай с |[с'. Наконец, путем непосредственного вычисления нетрудно проверить равенство

«а, Ь>, с> = <а, <6, с» = <а, &, с> =

_ а + 6 + с + [а6] + [ас] + [6с] — «Ь с + [[а&] с] /Q „ох -1 — ab — ас — be — а\Ьс\*

Соотношения (3.9) — (3.12) говорят о том, что закон композиции (3.6) имеет характер операции группового умножения. Действительно, если рассматривать всевозможные векторы с трехмерного пространства как элементы некоторой группы, а (3.6) — как закон умножения этих элементов, то согласно (3.9) нулевой вектор (с = 0) является единичным элементом группы, а вектор (— с)— обратным элементом по отношению к с. Из (3.11) следует, что рассматриваемая группа некоммутативна, а (3.12) выражает свойство ассоциативности группы. Последнее вытекает также из того, что

(ОаО^) О с — О a ^PbOcV

ввиду ассоциативности формулы умножения матриц.

Нетрудно видеть, что из<#, а> = <у, а) следует# = у. В этом можно убедиться, «умножив» обе части первого равенства справа на —«:<<#, а>, —а> = «у, а}, —а> и используя последовательно (3.12), (3.10), (3.9). Впрочем, это ясно также из только что доказанных групповых свойств операции (3.6).

Отметим еще следующие соотношения:

— (а, Ь> = <— &, — а>, — <а, &, с> = <— с, — 6, — а>, (3.13)

которые могут быть получены непосредственно из (3.6), но которые можно рассматривать также как следствие равенств (см. (2.12))

О"? (<«, 6» = (О (а) О ^Уг = О'1 (6) О'1 (а) =

= О (- 6) О (- а) = О «- Ъ, - а».

Как известно, совокупность векторов всякого линейного пространства по определению образует коммутативную группу относительно векторного сложения как групповой операции. Согласно сказанному выше в трехмерном векторном пространстве может быть введен также закон умножения (3.6), по отношению к которому все векторы снова образуют группу, но уже некоммутативную. Мы будем называть эту группу группой вектор-параметров. Очевидно, она изоморфна группе вращений О+, поскольку

между с и О+ (с) существует взаимно однозначное соответствие, выражаемое соотношениями (2.5), (2.7). Отсюда ясно, что все свойства группы О+ в конечном итоге должны вытекать из соотношения (З.'б).

Используя соотношение (П. 1.58) и определение |О±| = ± 1, имеем для матрицы, взаимной к О±:

О± = \О±\О^ - ±О±.(3.14)

С другой стороны, из общей формулы (П. 1.87) следует

О± [иг] = [О-ь», О±г].

Подставляя сюда (3.14), находим

-Ь Од- [tor] = [б±Ю, 9±у]

или также

О+ [иг] = [О+н, О+г], O+mx = (О+и)х О+, O^uZO^ = (О+и)х

(3.15)

О_ [иг] = — [О_и, О_г] = [O-v, О-и].(3.16)

Геометрический смысл формулы (3.15) заключается в том, что результат применения преобразования вращения к векторному произведению двух векторов и и г равен векторному произведению повернутых векторов О^_и и О+г. Согласно (3.16) для несобственных преобразований трехмерной ортогональной группы результат отличается от предыдущего знаком.

Скалярное произведение векторов а и 6 не меняется, если оба они подвергаются произвольному преобразованию группы 50(3)

(Ои) (06) = аООЪ = ab.(3.17)

Это свойство справедливо для ортогональной группы в пространстве любого числа измерений.

С помощью (3.15) —(3.17) и (3.6) нетрудно убедиться в справедливости равенств

0+ <и, 6> = <0^ 0^(3.18)

0_ <и, 6> = <0_6, 0_а>.(3.19)

Легко проверяется соотношение

<С, с'У = k + l^+Ml = « су. (3.20) ц сс)

Из него следует, что от порядка компонируемых вектор-параметров с и с' может зависеть лишь направление, но не величина

результирующего вектор-параметра. Если написать согласно (3.6) с <С)С^>= ^ + г + кс2^ с =<с, > = c+e'-vcC'\

1 — сс1 — сс

то из сравнения этих формул можно сделать вывод, что вектор- параметры с+ и с-^ соответствующие композиции двух векторов с и с' в разном порядке, симметрично расположены относительно плоскости, проходящей через векторы с ъ с'.

Отметим еще соотношения

+ <«> ь>2 = "^Г^А(3-21)

(1 — ао)

+ <а,ь,с>. = *Л±^У_<Ц>3_ =

х(1-а<6,с>)2

_ G_+_<5!5J^H^^= ^ + ^ (1 + ^2) (1 + с^ (3 21')

(1 — <а, b> с^ (1 — аЬ — ас — Ьс — а [6с])2

Вектор <а,6> (см. (3.6)) с помощью (2.5) можно представить в следующих двух формах:

, _ а + (ц-дХ)б _ а + ^-а^О^ _

<а, 6> —^ — ab ~1 — аЬ — Wab, а>, (3.22)

/- ъ\ = Ь+(1-Ьх)« _ 6 + U + ь^ °-ъа _ ,ь 0 .

\«»о> i — ab —1 — аЬ — vMJ-ъа). (3.23)

Здесь учтены соотношения (см. (2.9))

О^а = О^аа = а, аОаЪ = ЪО-ъа = аЪ.

Компонируя равенство (3.22) справа с вектором —а, получаем

<a,b. — а> = ОаЬ.(3.24)

Смысл этого соотношения заключается в следующем. Его левая часть есть вектор-параметр преобразования ОаОьОа\ которое является преобразованием подобия (см. П. 1) матрицы O(b)t произведенным с помощью матрицы Оа. Согласно (3.24) этот вектор-параметр получается из Ъ путем поворота Оа. Поскольку (ОаЪ)2 = Ь2, то можно сделать вывод, что все матрицы О+(с), соответствующие повороту на один и тот же угол (определяемый I с |, см. (2.10)) вокруг осей различного направления, должны быть подобны (эквивалентны) друг другу. При этом, если 1^1 = 1^1, то матрица преобразования подобия от Ов к Ос» совпадает с матрицей поворота от с к с'.

Закон композиции (3.6) дает возможность определить для вектор-параметров операцию «возведения в степень». Действи-

тельно, мы можем написать

с^ = (с, с> =с^ = (с, с> =2с1-с2’2с1-с2’с^ =с^ =г-г1 —Зс2г-г1 —Зс2с,с,с<4> =с<4> =4 (1-с2)1 — 6с2 + с44 (1-с2)1 — 6с2 + с4с (3.25)с (3.25)

с^ = (с, с> =

с^ = (с, с> =

2с1-с2’

2с1-с2’

с^ =

с^ =

г-г

1 —Зс2

г-г

1 —Зс2

с,

с,

с<4> =

с<4> =

4 (1-с2)

1 — 6с2 + с4

4 (1-с2)

1 — 6с2 + с4

с (3.25)

с (3.25)

и т. д. Аналогично можно определить также операцию «извлечения корня из вектор-параметра». Если речь идет о квадратном корне, то задача сводится к отысканию решения уравнения (см. (3.25))

2с1-с22с1-с2= а= а(3.25')(3.25')

2с1-с2

2с1-с2

= а

= а

(3.25')

(3.25')

при заданном а. Возводя это уравнение в квадрат, имеем (1 — —с2)2 + 4 (1 — с2) а2 — 4/а2 = 0, откуда следует 1 — с2 = 2 (1 ± ± V 1 + а2)-1 •

При этом из (3.25') находим с = а/(1 ± V 1 + а2)- Если наложить естественное условие, чтобы из а = Оследовало с = О, то нужно выбрать верхний знак (при знаке «—» дляа = 0 имели бы с = 0/0). Таким образом, «квадратный корень» из вектор- параметра а определяется однозначно)

(3.25")(3.25")а,(с, с> = с<2> = а.1 + У 1 + а2

(3.25")

(3.25")

С помощью формулы (3.6) можно представить любой вектор в виде композиции некоторых фиксированных по направлению векторов. Это представление в известной мере аналогично обычному разложению векторов по трем линейно независимым векторам. Ввиду важности этого вопроса мы остановимся на нем подробнее.

Пусть единичный вектор с задает некоторое фиксированное направление. Как известно, любой вектор п можно представить в виде суммы векторов параллельного и перпендикулярного с. Такое разложение имеет вид

причемпричемп = b! + ^, 6^ = 0, с2 = 1,(3.26)

причем

причем

^ = пс,Ъх = [с [пс]].(3.27)

Рассмотрим вместо (3.26) представление

л = <»,£<?>, Ьс=0, с2 = 1.(3.28)

Согласно (3.6) имеем

n = b + ^c+Ubcl.(3.29)

Отсюда сразу находим ^^пс.(3.30)

после чего из (3.28) с помощью (3.10), (3.12) получаем

<п, — £с> = «Ъ, 1с) — ^с) = Ъ.

Следовательно (см. (3.6), (3.30)),

Ъ=<п,- Ее> = _^Z1^£±[^ = ^Х-лсИпс! 3

1 + («с)21 + (лс)2 V '

Таким образом, представление (3.28) всегда возможно и является однозначным. Нетрудно убедиться тем же путем, что в представлении

п = <^с, V). Ь'с = 0 (3.32) вектор V определяется равенством

Ъ'-7 ^ п\- [£15£ll±^£dM _ («с + сх) [ле] ,ч _

6 - <- п> - 4 + (яс)2 - 1 + (3.33)

при том же значении £ (3.30). Как и должно быть, 6'2 = &2 (см. (3.20)). Все формулы (3.18) — (3.33) остаются в силе и для комплексных векторов а, с.

Изложенную выше векторную параметризацию группы вращений можно назвать ковариантной в том смысле, что совокупность параметров образует в пространстве параметров вектор, который преобразуется с помощью тех же матриц О, что и векторы основного координатного пространства х (см. (1.3) и (3.24)). Разумеется, в пространстве параметров можно выбирать базис по-разному. Если выбрать в нем ортогональный декартов базис, определяемый правой тройкой вещественных ортонорми- рованных векторов еа (2.18),

ва^ъ = ^ab> [^a^bl ®abc^ci (3.34) то каждый вектор-параметр с может быть представлен в виде разложения

с = Саеа) с' = Сава- (3.35) При фиксированных еа последнее равенство позволяет с помощью

(3.34) свести закон композиции (3.6) к совокупности трех соотношений

са = спеа = <с, с,х)еа =са = спеа = <с, с,х)еа =cg + са + eabdCbCd1 - cgcscg + са + eabdCbCd1 - cgcs(3.36)(3.36)

са = спеа = <с, с,х)еа =

са = спеа = <с, с,х)еа =

cg + са + eabdCbCd

1 - cgcs

cg + са + eabdCbCd

1 - cgcs

(3.36)

(3.36)

иля, в раскрытом виде,

- С1 + ^ + С2С3 - С3С2" С2 + С2 + С8^ - С1С3

^1 — 777гГ» с2 = 777™FT»

(3.37)(3.37)- (С1С1 + С2С2 + С3Сз)1 - (С1С1 + С2С2 + С3Сз)

(3.37)

(3.37)

” = С» + С3 + С1С2 — С2С1

81 - (с А + С2С2 + сзсз)

Однако практически при рассмотрении различных вопросов, относящихся к группе 50(3), нет необходимости переходить к покомпонентному выражению закона композиции (3.36) или (3.37). Гораздо удобнее пользоваться непосредственно векторным равенством (3.6). Точно так же, вместо использования матрицы 0(c), выраженной через компоненты вектор-параметра с в форме (2.5'), значительно удобнее применять форму (2.5) этой матрицы. Такой подход составляет основу ковариантного изложения, принятого во всей данной книге.

При решении различных вопросов приходится сталкиваться с ситуацией, когда какое-либо направление с0 является выделенным. В таких случаях целесообразно воспользоваться следующим разложением вектор-параметра с:

с = аосо 4- рое + ро^,(3.38)

где с0 — единичный вещественный вектор выделенного направления, а е — комплексный вектор, обладающий свойствами

[сое] = ie, |е|2 = ее* = 1, сое=О.(3.39)

Из первой формулы следует после комплексного сопряжения

(3.40)(3.40)(3.41)(3.41)[сое*1 = —- ie*.

(3.40)

(3.40)

(3.41)

(3.41)

и после возведения в квадрат

е2 = е*2 = 0.

Векторы е, в* удовлетворяющие условию (3.41)*), мы будем называть круговыми векторами (см. [12.1 — 13]). Очевидно также

(3.42)(3.42)сйе* — 0.

(3.42)

(3.42)

Векторы с01 е, е* могут быть реализованы, например, в реперном базисе (3.34) следующим образом:

Со = с3, С = (в! — ге2)//2, е* = (^ + ге2)//2.(3.43)

Легко проверить, что при этом имеют место все свойства (3.39)-(3.42).

Очевидно, при вещественном ао и любом комплексном Ро вектор с, определенный разложением (3.38), будет вещественным. Базис с0, е, е* будем называть аксиальным. То обстоятельство, что векторы с01 е, е* действительно образуют базис трехмерного пространства, проверяется путем умножения соотношения (3.38) скалярно на с01е и е*. С помощью свойств (3.39), (3.41), (3.42) находим

а0 = с^с. ро = е*^ Ро = ес,(3.44)

т. е. коэффициенты ао и Ро всегда определяются однозначно.

При фиксированных съ и е любой вещественный вектор согласно (3.38) однозначно определяется заданием вещественного числа ао и комплексного числа Ро, так что можно писать с « с (а0, ро), с = с (ад, Ро), с" = е(ао, Ро)- Если с есть вектор- параметр группы вращений, для которого согласно § 2 допустимы все значения без ограничений, то, соответственно, для него ао(Ро) может быть произвольным вещественным (комплексным) числом. Таким образом, мы приходим к выводу, что группу вращений можно также параметризовать двумя произвольными числами — одним вещественным и одним комплексным.

Разумеется, если заданы такие «смешанные» параметры (ао, Ро) для некоторых преобразований 0(c), то пара (а0, Ро)» соответствующая произведению этих преобразований, может быть найдена из формулы композиции (3.6) путем подстановки в нее выражений (3.38). После несложных выкладок, учитывающих соотношения (3.39) — (3.42) и следующее из них равенство

[ее*1 = i [е [сое*П = 1с0,(3.45)

находим

«0 + а0 + 2 Im (РОРО )_ Рр + Po + 1 (арРр — Ppao) /у ^gx

° l-«o%-2Re(₽X)’l-«o%-2Re(Po₽;) '‘ ’

Очевидно, эти формулы композиции параметров ао, Ро много сложнее предельно простого соотношения (3.6). Тем не менее в ряде случаев использование аксиального базиса является целесообразным.

Заметим, что представляет интерес векторная параметризация с вектор-параметром d, связанным с с соотношением

d = с/гЛ1 + с2,(3.47)

откуда следует

1 + с2 - (1 - d2)", с = dlVV^dK (3.48)

При этом в (3.47) и (3.48) подразумеваются положительные значения квадратных корней. Подставляя это выражение в (2.5), находим

О (с) = 0’^ -1 + 2 (Г'Г^2 + dx) dx. (3.49)

Очевидно, для того чтобы матрица (3.49) была вещественной, необходимо выполнение условия

d2<l.(3.49')

Таким образом, конец вектора d может лежать в любой точке внутри и на поверхности единичного шара. В предельном случае d2 = 1 матрица (3.49) сводится к О' —2d-d—1, что, как мы знаем (см. (2.8)), соответствует повороту вокруг оси d на 180°.

Закон композиции для вектор-параметра d находится следующим образом. Согласно (3.47) должно быть (см. (3.21))

/Я Д-\ == с + с' + Гсс]/о Г АХ

’°/1 + <С,с')2/(1 + с2) (1 + б'2) ’’

Заменяя здесь с^ с? согласно (3.48), получаем

<d, d'>0 = d/l-d'2 + d' /l^d2 + \dd’Y (3.51)

Выражения (3.49) и (3.51) для Од и <d,d'>0 отличаются отсутствием знаменателей, что является известным преимуществом при использовании такой параметризации для комплексной группы вращений (см. § 8). Однако наличие иррациональности усложняет соотношения по сравнению с (2.5), (3.6). С точки зрения геометрической интерпретации вектор-параметра d изменение по сравнению с с сводится к тому, что длина его равна не тангенсу половинного угла поворота (см. (2.10)), а синусу того же угла

| d | = ■ . tg(a/2)= sin ?L(3.52)

V 1 + tg2 (a/2)2

Направление же вектора d совпадает с с и по-прежнему определяет ось поворота.

Заметим, что согласно (3.51)

Таким образом, если d2^l, d'2^l, то <d, d'>o^ 1. Вместо (3.21) получим соответственно

1 - <d, d', d"^ = (/(1-d2) (l-d'2)(l-d"2) - ddr V^d^ - - dd” /1 - d^ - d'd" /Г=^ + d \drd"\y. (3.54)

Видно также, что аналогично (3.24)

(3.55)(3.55)(d, dr, — d\ = Odd'.

(3.55)

(3.55)

Кроме того, для закона композиции (3.51) выполняются также свойства (3.9), (3.10) и (3.18)-(3.20).

§ 4. Вектор-параметр и углы Эйлера

Группу вращений можно параметризовать различными способами. Одной из весьма распространенных является параметризация с помощью углов Эйлера (см., например, [3, 4]).

Пусть рассматриваемое вращение переводит систему координат ОХ1Х2Х3 в О^А^Мрис. 4.1), причем прямая О А является линией пересечения плоскостей 0x^X2 и 0x^2- Это преобразование можно рассматривать как результат трех последовательно выполненных поворотов системы Оххх^х^х

вокруг оси О^з

на угол (рв 01 = О^с^,

вокруг оси О А (4Л) на угол 6: О2 = О(с2),

вокруг оси О^з

на угол фг: Оз.= О^с^.

Углы фь 0, фг называются эйлеровыми углами. Заме

тим, что направления всех трех поворотов образуют левый винт с положительными направлениями осей (рис. 4.1).

Согласно § 2 рассматриваемое вращение можно также характеризовать вектор-параметром с = (со). Возникает вопрос: как выражается с через эйлеровы углы, и наоборот — какова зависимость ф1, 0, ф2 от ci, С2, С3. Проще всего этот вопрос решается с помощью закона композиции параметров (3.6). Пусть в1» е2» ез — единичные векторы в направлении, соответственно,

осей 0^1, Ох^ Ох^. Тогда вектор-параметр первого поворота (4.1) выражается следующим образом (см. (2.10)):

c1 = ai63, ai = — tgy(4.2)

Знак «—» в ai обусловлен тем, что поворот вокруг ^совершается по левому винту. В результате этого поворота ось Ox\s т. е. вектор ev принимает направление О А = Охех = О ^с^ еп а вектор-параметр второго поворота (4.1) будет равен согласно (2.5), (4.2)

«2 = —tgy016! = — tg-|-——у^1 ^ -—, б2 = [636J. (4.3) 221 + aj

При втором повороте ось Ох3 || е3 переходит в Ох3 || О2е3 и, соответственно, вектор-параметр третьего поворота равен

с3 = — tg^O(ca)e3.(4.4)

Результирующий вектор-параметр полного вращения согласно (3.6) будет равен <с3, с2, <а> = с, или, если учесть (3.22) и переставить с3 с с2,

/ Ф» Фт \

с= \С2, — tgye3, — tg-^e3/).(4.5)

Согласно (3.7) имеем

с = <с2, ae3>, а = — tg ^у-^-(4.6)

Здесь б3с2 = — tg (0/2) 63О (с,) ех = 0, так как сг || е3 (см. (4.2)) и e3ex = 0. Поэтому (ср. (3.29))

с = с2 + ае3 + а[с2е3].(4.7)

Отсюда находим компоненты вектора с в первоначальной системе координат Ож^гжз

/, х .0 Ф1 - Ф2 / Ф1 + Ф2

61 = 661= б2 (61+ О62)=— tg — cos —у—£ COS —2,

/X.0 . Vl-Vj Ф1 + Ф2„ох

с2 = се2= с2 (е2— aei)=tg -у sin ^—'|cos —2—~*^-8)

. Ф1+Ф2 с3 = се3 = a = — tg—^-.

Заметим, что в соотношении (4.5) последние два члена в угловых скобках можно переставить, после чего результирующий

вектор-параметр принимает вид <с2, сх, —- tg (ф2/2) е3> или, если использовать (3.22) и (4.3),

С = с(<Р1, 6, ф2) = у— tg ^-е3, — tg-|~eb -tg^-e3y. (4.9)

В этой формуле с получается как результат композиции вектор- параметров, направленных вдоль осей первоначальной системы координат.

Разрешая соотношения (4.8) относительно фь фг, 0, получим

m = arctg —-, ф2 = — arctg—-,

С2С3-С1С2Сз + С1

0 = 2arctgl/ ^_1.(4.10)

К 1 + с|

Отметим еще соотношение

1 + с2 = I cos2 cos2.(4.11)

С помощью формул (4.8) для компонент вектор-параметра с мы можем получить в явном виде выражение для матрицы (2.5) соответствующего преобразования вращения О (с) через эйлеровы углы:

0 =0 =COS фх cos ф2 — cos 6 sin фх sin ф2, sin фх cos ф2 — cos 6 cos фх sin ф2, sin ф2 sin 6,

0 =

0 =

(4.12)(4.12)cos фх sin ф2 + cos 6 sin фх cos ф2, sin фх sin 6

(4.12)

(4.12)

— sin фх sin ф2 + cos 6 cos фх cos ф2, cos фх sin 0

— cos ф2 sin 6,cos 6

Эта матрица отличается от приведенной в других руководствах [3, 4] изменением знаков углов фь 0, фг. Последнее связано с тем, что положительным эйлеровым углам, определяемым согласно рис. 4.1, соответствуют отрицательные углы поворотов, в соответствии со смыслом вектор-параметра с (см. § 2)).

Компактная формула (2.5) для общего преобразования вращения полностью равносильна громоздкой матрице (4.12), но несравненно более удобна для получения всевозможной информации о свойствах группы вращения. В еще большей степени эти преимущества сказываются применительно к композиции

параметров. Для углов Эйлера соответствующие формулы имеют вид (см. [9.1])

cos 0" = cos 0 cos*0' — sin0 sin 0' cos (ф2 + ФJ,

^iq)i = (e^i/sin 0") [sin 0 cos 0' + cos 0 sin 0' cos (ф2 + Ф1) +

+ i sin 0' sin (ф2 + фЭ]% (4.13)

e^ =e^ =^(ф1+ф2-<Р1)cos (б"/2)^(ф1+ф2-<Р1)cos (б"/2)e o' .1#cos — cos — e 2e o' .1#cos — cos — e 2.6.6' -* — sin—sin — e.6.6' -* — sin—sin — eФг+Ф!2Фг+Ф!2

e^ =

e^ =

^(ф1+ф2-<Р1)

cos (б"/2)

^(ф1+ф2-<Р1)

cos (б"/2)

e o' .1#

cos — cos — e 2

e o' .1#

cos — cos — e 2

.6.6' -* — sin—sin — e

.6.6' -* — sin—sin — e

Фг+Ф!

2

Фг+Ф!

2

Чтобы окончательно выразить 0", фх, ф2 через 0, фн ф2< 0'^ф^ , ф2, нужно еще подставить 0" из первой формулы во вторую, и полученный результат — в третью формулу, а затем перейти к обратным функциям arccos и In.

Формулы (4.13) настолько громоздки, что никогда никем не использовались. В то же время эквивалентное им простое векторное соотношение (3.6), как будет видно из дальнейшего, играет самую фундаментальную роль в качестве основного средства описания, изучения и анализа свойств группы вращений (и других групп), а также ее представлений.

Сверх того, векторная параметризация характеризуется свойствами (3.9), (3.10), в силу которых нулевое значение всех параметров соответствует единичному преобразованию, а изменение знака всех параметров — обратному преобразованию. Параметризацию, обладающую этими простыми и удобными свойствами, мы будем называть естественной. Нетрудно видеть, что параметризация с помощью углов Эйлера не является естественной, поскольку переход к обратному преобразованию связан не с изменением знаков углов фЬ 0, ф2, а с заменой ф1 -> л—ф2, 0 0, ф2-> л—фь

Выше отмечалось соотношение (3.24), согласно которому преобразование подобия произвольной матрицы группы вращений с помощью любой другой матрицы той же группы сводится к линейному преобразованию вектор-параметра. Параметризацию,, обладающую этим свойством, мы будем называть линейной. Параметризация с помощью эйлеровых углов не обладает этим свойством и, следовательно, не является линейной.

Из других преимуществ векторной параметризации следует отметить равноправие всех параметров (компонент вектора с), чему соответствует определенная симметрия основных соотношений теории группы вращений в этой параметризации.

Эта симметрия проявляется и в том, что все компоненты с изменяются в одних и тех же пределах от —оо до +°°. Все это влечет за собой весьма существенное упрощение многих вычис-

лений и доказательств основных соотношений для группы вращений.

Заметим, что, как показано в П. 2, закон композиции (3.6) является простейшим (после обычного векторного сложения) возможным групповым законом умножения для трехмерных век торов.

Довольно часто группа вращений параметризуется с помощью вектора Z, который, как и с, направлен по оси вращения, но длина которого численно равна углу поворота <р. Такой вектор- параметр связан с нашим вектором с соотношениями

I = фс/|с| = 2(c/|c|)arctg^|,(4.14)

е = (Z/|Z|) tg(|Z |/2).(4.15)

Такая параметризация является естественной и линейной. Однако закон композиции для вектор-параметров имеет вид

Г = <1, Г> = ^arctg———^^(4.16)

у Q4 1 — tg (| I|/2) tg(| I |/2)-Н IV14 2

где

С = (Z/| I1) tg (1I|/2) + (Г/| V I) tg (I I' I/2) +

+ tg(|l|/2)tg(|r|/2) \ll'Wl4'4.

Таким образом, и при этой параметризации закон композиции параметров оказывается весьма сложным по сравнению с (3.6).

Мы видим, что группу вращений можно параметризовать самым различным образом. По существу при этом дело сводится к тому или другому выбору базиса или координатной системы в пространстве параметров. Положенная в основу нашего рассмотрения векторная параметризация (§ 2) соответствует выбору декартова базиса в пространстве вектор-параметров. Выше в § 3 мы воспользовались также аксиальным базисом, когда выражали г в виде с = аосо 4- 0ое 4- Ров*- Если выбратьс0, е, е* согласно (3.43), то связь параметров ао, Ро с вектором с имеет вид (3.44).

Считая с = саеа1 получим

«0 = ССд = С3, ро = се* = (сх + ZC2)//2^ ^ = (<а — zc2)//2.

(4.17)

Через эйлеровы углы параметры ао, Ро выражаются следующим образом (см. (4.8)):

tgl^, р. = - „4 „р (- f.

(4.18)

Заметим, что в пространстве вектор-параметров можно выбрать также обычную сферическую систему координат. Роль дли-

ны радиуса вектора с будет тогда играть | с | = tg (%/2), где х — угол поворота вокруг с. При этом

Ci=tg(x/2) втОоСозфо, ca=tg(x/2)smOo8in<pot cs=tg(x/2)cOsOo-

Очевидно, углы *0*0 и фо определяют направление с, т. е. играют роль полярного угла и азимута.

§ 5. Двумерный вектор-параметр и группа SU (2у

Как известно, направление любого вектора х в пространстве, или, что то же самое, положение точки на сфере единичного радиуса с центром в начале координат может быть задано с помощью угловых сферических координат *0* и ф. Аналогично переходу от эйлеровых углов к трехмерному вектор-параметру с можно перейти от сферических координат О, ф к компонентам двумерного вектора V. Для этого фиксируем единичный вектор с9

в направлении северного полюса сферы единичного радиуса, совпадающем с осью О^з правой декартовой системы координат (рис. 5.1). Любая точка на сфере и соответствующее ей направление единичного вектора х могут быть получены путем поворота вектора с0 на угол Ф вокруг оси, перпендикулярной к плоскости (^ог ф\ Такой поворот осуществляется с помощью преобразования O(v), причем вектор v определяется формулой (2.17)’

v = [c0®]/(l + c0®), c5 = ®2=lt vc=v® = 0t (5.1)

I v | = tg (0/2),; О (v) c0 = x. (5.2)

Эти формулы однозначно определяют вектор v во всех случаях, кроме х = — с0, что соответствует южному полюсу сферы. В последнем случае О (v) осуществляет поворот на 180°, поэтому 3 Ф. и. Федоров

| v | = оо (2.8), а направление v может быть произвольным в плоскости, перпендикулярной с0.

Очевидно, с помощью соотношений (5.1) каждой точке А сферы, отвечающей единичному вектору х с координатами

х\ = sin О cos ф, Х2 = sin О sin ф, х^ = cos *0*,(5.3)

можно поставить в соответствие точку А1 и вектор v, лежащие в плоскости Р центрального сечения сферы, перпендикулярного оси Ох^. причем согласно (2.10)

|v|=tg(O/2),0<0<л.(5.4)

Компоненты вектора v равны (рис. 5.1)

vx = — tg (-0/2) sin ф, v2 = tg (0/2) cos ф. (5.5) Находя отсюда О и ф, получим

0 = 2 arctg | v |, ф = — arctg ^i^^-(5.6)

Таким образом, между (О, ф) и (vb v2) существует взаимно однозначная связь, т. е. каждой точке на сфере будет соответствовать определенный вектор v в плоскости Р или, иначе говоря, то,чка в этой плоскости, определяемая концом вектора V. Следовательно, формулы (5.5) определяют отображение сферы на плоскость (и наоборот).

Очевидно, северному полюсу сферы N будет соответствовать v= 0, т. е. точка О плоскости Р. Для всех точек верхней полусферы О < л/2, поэтому |v| < 1,—следовательно, эти точки будут отображаться на круг единичного радиуса, образуемый при сечении сферы плоскостью Р. Точки, лежащие на сфере по окружности этого сечения, остаются на последней при отображении, однако смещаются по дуге на 90°. Точки нижней полусферы отображаются на всю остальную часть плоскости Р, лежащую за пределами упомянутого круга сечения. При этом южный полюс отображается на окружность бесконечного радиуса. Очевидно, компоненты вектора v могут принимать все значения от —оо до оо.

Описанное отображение аналогично хорошо известной стереографической проекции сферы на плоскость (см., например, [3]) и отличается от нее несущественными чертами. Напомним, что при стереографической проекции отображение сферы на плоскость устанавливается следующим образом (рис. 5.2). Из южного полюса S сферы единичного диаметра через точку А на сфере проводится прямая SA до пересечения в точке А* с плоскостью Р, касательной к сфере в северном полюсе N. При этом южному полюсу соответствует окружность бесконечно большого радиуса на плоскости Р. Для нас изложенный выше способ отображения (см. рис. 5.1) имеет то преимущество, что вектор V,

определяющий точку на плоскости, соответствующую заданной точке сферы заявляется вектор-параметром преобразования поворота полярной оси с0 к направлению х.

Тем самым всем точкам поверхности сферы ставится в соответствие бесконечная непрерывная совокупность преобразований

Рис. 5.2.

вращения O(v) с условием vco=O. Правда, согласно закону композиции (3.6) произведению двух таких вращений O(v)O(v') (vc0 = Vc0= 0) будет соответствовать вращение О" = 0(<х% V», вектор-параметр которого <v, v') не будет перпендикулярен к с0 и следовательно, О" не будет относиться к рассматриваемой совокупности. С другой стороны, ясно, что при любом с преобразование 0(c), примененное к с0, даст некоторую точку сферы, для которой существует однозначно определенный вектор-параметр v. Этот вектор v при заданном с определяется формулами (3.28) —(3.31), которые мы перепишем здесь в виде

(5.7)

причем а0 = сс0, v"c0 = 0. Очевидно, О (с) с0 = О (v") О (аосо) се = =O(v")c0 (см. (2.9)), следовательно, полагая c = <v,v'>, имеем О ((V, v'>) с0 = О (v") с0, V'c0 = 0, и этим соотношением однозначно ставим в соответствие произведению вращений O(v)O(v') вращение O(v"), принадлежащее той же совокупности. Из (5.7), (3.6) при c = <v, V> находим

v а6св>+ jvv<р1 (э.о)

где «»= <v, V> с, = с» [ w'] /(1 — w'). Поскольку vc0 = v'c, = О, 3*

то [vv'J||e0, и можно написать е0 = ± [vv']/| [w'] |. С помощью этого выражения для с0 можно убедиться, что

Co-Co[vv'] =(vv'], е0 [VVZ].[e0, v + v'] = [[w'], v + v']

в результате (5.8) принимает вид

V" = <V, v'^ =V" = <V, v'^ =(5.9)(5.9)(1 — vv' + [vv']x) (v + v')(1 — w')2 + [vv']2

V" = <V, v'^ =

V" = <V, v'^ =

(5.9)

(5.9)

Здесь символ (v, v')i обозначает композицию двумерных вектор- параметров v и v' (ve0 = v'e0 = 0), результатом которой является снова двумерный вектор-параметр V (v"c0 = 0) такой, что O(v)O(V)c0 = O(v")c0.

Нетрудно убедиться, что композиционная формула (5.9) обладает следующими свойствами, аналогичными свойствам соотношения (3.6):

<0, V>! = <V, 0>! = V, <V, — V>x = <— V, V>! = 0t

<v, v'>i = <VZ, V>1 =<v, v'>i = <VZ, V>1 =(v + v')2(v + v')21 — 2vvz + vV2’1 — 2vvz + vV2’1 + <v, V>1 =1 + <v, V>1 =(1 + v2) d + v'2) 1 — 2vv' + v2v'2(1 + v2) d + v'2) 1 — 2vv' + v2v'2(5.10)(5.10)

<v, v'>i = <VZ, V>1 =

<v, v'>i = <VZ, V>1 =

(v + v')2

(v + v')2

1 — 2vvz + vV2’

1 — 2vvz + vV2’

1 + <v, V>1 =

1 + <v, V>1 =

(1 + v2) d + v'2) 1 — 2vv' + v2v'2

(1 + v2) d + v'2) 1 — 2vv' + v2v'2

(5.10)

(5.10)

<V, v'^ = <v', V>! ЛИШЬ при V || v',

<— V, <V, ¥'>!>! = «— V, V>j, V'>! = VZ.(5.11)

Однако легко проверить, что, например,

<v, <vz, — v'W = V, «V, vz>!, —Vz>! ^ V,(5.12)

т. e. свойство ассоциативности в общем случае не имеет места. Поэтому формула композиции двумерных вектор-параметров (5.9), в отличие от (3.6), не обладает свойствами группового закона умножения. Кроме того, исходя из (5.9), видно, что — <V, ¥'>! = <— V, — Т'>!^<—V', — V>i(cp. (3.13)).

Формула композиции двумерных векторов v, V гораздо сложнее, чем (3.6). Однако ее можно значительно упростить, если перейти к аксиальному базису (см. § 3). Пусть с0— ось базиса ([сое] = Ze). Тогда любые вещественные векторы v, v', лежащие в плоскости, перпендикулярной к с0, могут быть написаны в виде

v = qe + q*e*, v'= q'e + q'*e*. (5.13)

Здесь q, q' — произвольные комплексные числа. Если выбрать eiQO#!, вДОх^ и ввести е, е* согласно формулам (3.43), то

Vi = ve! = (q + ^/V^ = y^Req, v2 = w2 = 1^2 Imq,

следовательно (см. (5.5)),

= - MgU (5.1У)

Подставляя выражения (5.13) в (5.9), получим после несложных преобразований с учетом свойств (3.39)— (3.41)

v" = т)"е + if***,где параметр ц" определяется соотношением

Л" = 0Ъ V> = h + i)')/(l — Зт)*^'),(5.14)

которое есть не что иное, как закон композиции для аксиального базиса. Нетрудно убедиться, что

01,. 0> = <0, т)> = т), 0), — П> = <“ П, П> = 0

|01, V> I2 = I <V, П>12,

+ 21 <П, П'> I2 = (1 + 2 h I2) (1 + 21 n' |2)/| 1 - W I2,15)

<— П, 01, *1'» = «— т), П>, *Г> = П,'

01, <11', — V» = 11 ^ «11, ч'>, — V),

— <1, V) = <— 11, — V) ^ <— V, — 11>-

Равенство (т|, т]'} =<г)', ц) возможно лишь в случае тщ'* = ц*ц', т. е. когда произведение т)*1)' — вещественное число. Эти соотношения полностью соответствуют приведенным выше формулам (5.10) —(5.12), но получаются гораздо более простым путем. Большое удобство использования аксиального базиса связано здесь с тем, что двумерный вектор-параметр v полностью определяется одним комплексным числом т), для которого закон композиции имеет весьма простой вид (5.14).

Соотношения вида (3.28) — (3.31), (5.7), (5.8) при заданном векторе с0 (ср = 1) позволяют каждому преобразованию О (с) в трехмерном пространстве поставить в соответствие преобразование, переводящее любой двумерный вектор v (vc0 = 0) в некоторый другой вектор V ^f сй =0). Это соответствие устанавливается следующим образом. Как известно, 0(c) О (v) = O«c, V». Представим вектор (с, v) аналогично (5.7) в форме <с, v)— = <v', ас0\ где v'c0= 0. В результате получим (ср. (5.8) — (5.13))

(V <с, v> — с*)<с, V>1

V = «с, v>, - с6 <с, v>.c0>= кл_2_JL^1 =

= 1)'е + т1,*е*. (5.16)

Используем здесь аксиальный базис, взяв для с выражение (3.38)

и для V— (5.13). С помощью (3.46) найдем

, «\ (“о + 2 Im (М) со + (00 + Ч + 4*0 е + (00 + < - iovT) **

<С‘ V> =<-2B«№)'

откуда следует согласно (5.16)

(5.17)(5.17)0о+О_+ЧГП_.l-iao-20*r) *

(5.17)

(5.17)

В соответствии_с (5.13) можем написать ц = Ч + hi^lV2, ч' — = « 4- ч)//2, р0 = (С1 + ic^jV2, в результате чего (5.17) принимает форму

^^M + PJA-p^ + aD,(5-18)

где

^ = V! + IV21 ^' — V1 4- ZVo,(5.19)

аг = 1 + ic3, рх = Cj + zc2.(5.20)

Таким образом, преобразованию 0(c) мы поставили в соответствие дробно-линейное преобразование (5.18) в комплексной плоскости £.

Рассмотрим матрицу коэффициентов преобразования (5.18)

(5.21)(5.21)„ _ [С1 + ,С2|

(5.21)

(5.21)

l-0iau 1~с1 + 'са ^-1% J

Очевидно, если осуществить еще одно преобразование £" =(aiC'+ + Pi)/(~ Pi ^ + «1 ), то в результате снова получим дробнолинейное преобразование над первоначальной переменной: г = («й + АК- К'£ + «1 ), причем соответствующие матрицы перемножаются по обычному правилу

(5.22)(5.22)

(5.22)

(5.22)

Вычислим детерминант матрицы их и произведение ее на эрми- товски-сопряженную

|и1| = 1+с! + ^ + ^ = 1+с2,(5.23)

“i^ = (_ £ <) (р* У = (I«I2 +1012) (j ?] = 1 + с2- (5.24)

Следовательно, если ввести матрицу

и - -.1^= = ( “ М,(5.25)

/1 + с2 |— Р “ )

а = а' + ia" = ± 4=> р = Р' + Ф" = ± 4^+

1/ 1 + с2К 1 + с

то она будет унитарной: ии* = иЛи = 1, и детерминант ее будет

(5,26)(5,26)равен единице:

(5,26)

(5,26)

Ы = Ы!+1№= ^

т. е. матрица и будет унимодулярной. При этом преобразование (5.18) не изменяется, так как оно определено с точностью до общего для всех коэффициентов множителя. Очевидно, совокупность всех унитарных унимодулярных комплексных матриц второго порядка образует группу. Эта группа обозначается как группа SU (2) и называется специальной унитарной группой матриц второго порядка.

Соотношения (5.25) легко разрешаются относительно вектор- параметра с и дают

Cl = р'/а', с2 = р'7а', Сз = а'7а', а' = ±(1 Ч-с2)-^ (5.27)

при этом предполагается, что a, р удовлетворяют условию (5.26).

Мы видим, что заданному с соответствуют две матрицы и (5.25), отличающиеся знаком. Таким образом, отмеченное выше соответствие между 50(3) и 50(2) является двузначным в том смысле, что каждой матрице 0(c) из группы 50(3) соответствуют согласно (5.25) две матрицы и и —и группы 50(2)*). Ввиду указанного соответствия комплексные числа a, р, ограниченные условием [а|2 + |р|2=1, можно, наряду с компонентами вектора с или углами Эйлера ф1, ф2, 9, рассматривать как параметры группы вращения. Такая параметризация широко используется, причем аир называются параметрами Кэли —- Клейна. С помощью (5.27) находим из (2.5х)

О = -1 + 2О = -1 + 2V2 । r'2 a + рP'r" t р “J- a aa p — a pV2 । r'2 a + рP'r" t р “J- a aa p — a pp'p" - a a"a,2 + P"2a"p" + a p'p'p" - a a"a,2 + P"2a"p" + a p'Qr „ . IcxIIX Pa + a Pa p — a p i ~ i2Qr „ . IcxIIX Pa + a Pa p — a p i ~ i2(5.28)(5.28)

О = -1 + 2

О = -1 + 2

V2 । r'2 a + р

P'r" t р “J- a a

a p — a p

V2 । r'2 a + р

P'r" t р “J- a a

a p — a p

p'p" - a a"a,2 + P"2a"p" + a p'

p'p" - a a"a,2 + P"2a"p" + a p'

Qr „ . IcxIIX Pa + a P

a p — a p i ~ i2

Qr „ . IcxIIX Pa + a P

a p — a p i ~ i2

(5.28)

(5.28)

Заметим, что поскольку мы воспользовались схемой соответствия между точками плоскости и сферы (см. рис. 5.1), несколько отличной от стереографической проекции (см. рис. 5.2), то введенные нами параметры a, р соответственно отличаются от принятых в литературе (см., например, [3, 4]). В частности,

приведенная в [4] матрица вращения, выраженная через параметры а, р, получается из (5.28) при замене р7->-р77, Р77->—Р'» т. е. р->—1$. Использованный здесь способ введения соответствия, основанный на соотношениях (5.1), (5.2), (5.16), непосредственно опирается на закон композиции вектор-параметров (3.6) и позволяет наиболее естественным путем ввести унитарные матрицы и.

Закон композиции для параметров а, р сводится к простому матричному умножению

(«202 ]_(“0 W«101

^2I О*~* I ии1 IQ**1 IО**

(Г2a2jIГа J [Pi0Ь1

и имеет вид

а2 = аа2 — №ь 02 = «0! + 0а;.(5.29)

Из него следует, что данная параметризация является линейной (см. § 4), поскольку из равенства Нг = ии\и~х = иихиЛ вытекает линейная зависимость параметров аг, Рг от ai, рь

Однако определенным неудобством параметров а, р является то, что они не являются независимыми. Поэтому при вычислениях всегда необходимо учитывать дополнительное условие (5.26). Эти параметры также не являются естественными (см. § 4), так как a = р = 0 не соответствует единичному преобразованию и пара (—a, —Р) определяет преобразование вращения, не обратное преобразованию (a, р), а совпадающее с ним.

Выражение (5.25) для и можно написать в виде

u = ± (1 + iceaa) /]/1 + Cat a = 1,2, 3.(5.3ОГ

где

-=(?_о).ни №

— так называемые матрицы Паули, удовлетворяющие соотношению

СаОъ — бай—IBabcOc*СаОъ — бай—IBabcOc*(5.32)(5.32)

СаОъ — бай—IBabcOc*

СаОъ — бай—IBabcOc*

(5.32)

(5.32)

Эти матрицы находят широкое применение во многих вопросах теоретической физики.

§ 6. Инвариантное интегрирование на группе вращений

Пусть каждому собственному ортогональному преобразованию О = О+ поставлено в соответствие некоторое число /. В таком случае говорят, что на группе вращений задана функция. По-

скольку вектор-параметр с однозначно определяет преобразование О, то / будет функцией от с:

/ = / (в) = / (Со) = / (сь С2, С8).(6.1)

Инвариантный интеграл от функции / определяется следующим образом:

1 = J J J / (с) К (с) (de), (de) = dcydc2dc3, (6.2) — ОО —ОО —ОО

причем весовая функция К (с) должна быть выбрана так, чтобы при любом с° имело место равенство

J / «с», с» К (с) (de) = J/ (е) К (c)(dc).(6.3)

Произведем замену переменных

с' = <с°, с>, с = <— с°, с'>.(6.4)

При этом бесконечные пределы интегрирования не изменятся, и условие (6.3) примет вид

J / (с') К «- с», с'» ^_ (de') = ^f^K (с) (de),(6.5)

где

D (cW (o') = | dcbidc’a | = | d <- c°, c’^dca |(6.6)

— якобиан преобразования. Если условие (6.5) будет выполняться для любого бесконечно малого вектора с°, то оно будет справедливо п вообще. При малом с° (см. (3.6))

с = <- с\ с'> = (- с° + cf - [eV]) (1 - eV) =cr + Sc', (6.7) причем

Sc' = — c° (1 + c'-c' + c'x).(6.8)

Мы пренебрегли здесь членами, квадратичными по с°. Для весовой функции К получаем

К (с) = К «- с\ с'» = К(с' + 6с') = К (с') + 6К. (6.9) Последний член имеет следующий вид:

6К = бе' (8 К ^18^ = 6сь (дК/дсь\ (6.10) Вычисляем якобиан (6.6) с учетом (6.7), (6.8):

= 6„6 - 8 (С^ь + сМ/дСа = 6ab ~(.СОаСь + С»с'6аЬ ~ С^\ (6.11)

В прямой (безындексной) записи это соотношение имеет вид (д/дс>с = 1 — р, Р = с°с' + с^с1 — сох, (6.12) причем р — бесконечно малая матрица ввиду малости | с° |. Поэтому (см. П.1.67))

D ^Ш (с') = | <8!Эс^ .с| = |1-р| = 1-ре=1- W. (6.13)

Теперь формула (6.5) с учетом (6.9), (6.13) принимает вид

J / (с') (К (с') + 6К) (1 - 4cV) (de') = \f(c)K (с) (de)

или с точностью до членов первого порядка малости j / (с’) (6К - WK (с')) (de') = 0.(6.14)

Здесь согласно (6.10), (6.8)

ЬК — 4с°с' К (с') = - с° [(1 + сс1 + с'х) дК!дс' + 4Ксг\. (6.15)

Поскольку интеграл (6.14) должен обращаться в нуль при любой функции / (с') и любом малом с°, то должно быть

(1 + с' • сг + с’^ 8К/Эс' = - 4с'К.(6.16)

Это дифференциальное уравнение решается весьма просто. Умножая его слева скалярно на с\ получим

c'8KI8c' = - 4с'2/Г/(1 + с'2).(6.17)

Для оператора, стоящего слева, имеем общее выражение )

=<618>

где для вещественного вектора с'

I с' I = VP^ = у"^ = V^c'^+c^ + c?.(6.19)

Таким образом, уравнение (6.17) принимает вид

1 дК41 с' |

(6.20)

К »|с'| = 1 + |с'|2’

следовательно,

<в21>

♦) Пусть х = (ха^ а = 1, 2,..., п. Введем новые переменные р = ^х2»

Ev = *v/P. v = 1,2, ..., п — 1. Тогда А

Легко убедиться, что эта функция удовлетворяет исходному уравнению (6.16). Постоянная С находится из условия нормировки J К (de) = 1. Переходя к сферическим координатам в пространстве векторов с1 получим

(de) = | с |2d | с | sin OdOt^(6.22)

следовательно,

| с |2d | с | sin OdOdcp(1 + |с|2)2

откуда находим С = 1/л2. Окончательно инвариантный интеграл на группе вращений имеет вид

<6-23)

Соответственно скалярное произведение двух функций / и ф, заданных на группе, можно определить выражением

U (с), ^ (с)) = ^- j /* (с) Ф (С) ^^Г.(6.24)

Переход к углам Эйлера ф1, 6, ф2 согласно (4.8) — (4.11) дает

I = (8л2)"1 J / (фь 6д ф2) sin 6 йф1й6йф2. (6.25)

§ 7. Инфинитезимальные вектор-операторы группы вращений

Согласно (2.13) при бесконечно малом преобразовании вращения О (с°) = 1 + 2сох радиус-вектор х переходит в вектор

х' = О (с°) х = (1 + 2с0Х) х = х + 2 [с0#].(7.1)

Рассмотрим некоторую функцию от координат / (х) = / (ха) = = /(#ь Х2, Хз). Если подставить в нее вместо а? его выражение через я/, полученное из (7.1):а? = О(—с°)а?',то мы получим новую функцию /i (х*). Таким образом, при вращении вид функции / (х) изменяется, и она переходит в другую функцию

11(х) = 1ф^х\(7.2)

Поскольку О (— с°) х = х — 2 [с°ж] = х + ба?, то

/1 (») = /(»+ б») = (1 + б» у / (X),(7.3)

причем

6ж»ж = 6ж“ 5^ = ~ 2 [с°ж1 ^ = ~ 2с° [^ ^j-(7-4)

Здесь квадратные скобки означают векторное произведение радиус-вектора на вектор градиента. Аналогичным образом можно рассмотреть изменение в результате малого вращения функции, заданной на группе (§ 6). Аргументом такой функции /(с) является вектор су который при вращении, определяемом вектор- параметром с°, переходит вс'=<с°, с>. Аналогично (7.2) /(с) переходит в А (с), причем

/1М = /«-^0^».(7.5)

Согласно (6.7), (6.8) при | с° | С 1

<— с°, с) = с + 6с = с — с° (1 + с-с 4- сх\ (7.6) поэтому

/1(с) = /(с + 6с) = (1 + 6с ®\f^’(7-7)

где

6с^=-сЧ1+с.с + сх)^.(7.8)

Рассмотрим, наконец, изменение функции /(У*, ф) или /(v),; заданной на сфере (§ 5), в результате вращения, определяемого вектор-параметром с. Согласно (5.2) функцию точки х на сфере можно рассматривать как функцию двумерного вектор-параметра v: t^—t (М = ф (v). При вращении О (с) такая функция переходит (см. (7.2)) в

/1 (**0 ~ / ^Р-С3^ = / (O-cOv^o) = / (^<-C,V>^o) ~ / (^V^o) — ф (v ).

Для того чтобы найти v', нужно, аналогично (5.7), представить <— с, v> = v — с(1 + v*v + Vх) (см. (7.6)) в виде <v',ac0>, ограничиваясь членами первого порядка по с. Используя (5.16), находим

V' = v+ 6v = V — с(1 + v-v + Vх — (с0 + [vc0])-(c0 + [vc0])).

(7.9)

Полученное выражение для 6v нужно подставить в формулу аналогичную (7.7):

/i(v) = (l + 6v^j/(v).(7.10)

При этом следует использовать соотношение (см. П. 1.81)

[vc0] • [vcol = v1 (1 — с0- с0) — V- V,

а также учесть, что c^dldx = cov = 0. В результате получим Sv^= — с(1— v84-2w +vx+ c0-[cev])^.

Но

<V[CoV] = с0-с0 v^] = (co2 + l)[v^j = vx^, (7.10') так как

хГ д1 Г Г дП 99 а

С° Г ^1= Г Г^Л = v'c° ^ “ c°v' ^=°-

Поэтому получаем окончательно

6v^ = — с(1 —v2 + 2v.v + 2vx)^.(7.11)

В соотношениях (7.1), (7.3), (7.7), (7.10) изменение при малом вращении различных величин: радиуса-вектора точки трехмерного пространства х, функции от х, функции на группе / (с) и функции на сфере / (v) — определяется операторами, которые согласно (7.1), (7.4), (7.8), (7.11) во всех четырех случаях могут быть представлены в форме

2? = 2c°J = 2cVa.(7.12)

где J = (Ja)линейный вектор-оператор *). При этом для радиуса- вектора х оператор J является матричным, и поскольку согласно (7.1) и (2.4) c^J^bc = с^ = еьасе®, то

^а)ье 8ь.с — 8аЬе»J7.13)

Для функции /(а?) согласно (7.4) это будет векторный дифференциальный оператор

(7-14)

для функции на группе вращений / (с) (см. (7.8))

^--|(1 + «-« + <=х)^=-^(1+О.)й (7-15) и для функции на сфере / (v) (см. (7.11))

J' = -4(1 -vS + 2v-v + 2vx)Д = -1 (1 + v=)0.1. (7.16)

♦) Термин вектор-оператор или векторный оператор обозначает, что оператор Jсостоит из трех компонент Ja* Jb, JCl преобразующихся при вра* щениях как компоненты трехмерного вектора, что следует из (3.24).

Здесь v рассматривается как вектор в трехмерном пространстве, ограниченный условием vc0 = 0.

Все операторы J, определенные соотношениями (7.13) — (7.16), называются инфинитезимальными операторами группы вращений. Мы приведем их явные выражения в компонентах. Оператор (7.13)

/0 0 Ох/ 0 0 1\/0—10\

J1= 0 0-1 I J2 =0 0 0 , J3= 100. (7.17)

\0 1 0/\—10 0/\0 о^о/

Оператор (7.14)

J а^аЬс^ЬдТ(7.18 >

с

ИЛИ 8д —х 88 —др 88

(7.19)

Оператор (7.15)

Л = — Т ^ + ®о?Ь ^ + ®abd^b ^Ф *20)

ИЛИ

Оператор (7.16) при с01кз

/2 = - у (1 + V2)^- - v^^-,(7.22)

а д

A-v^-Vx до

вели вместо Ci, С2, Сз ввести углы Эйлера ф1, 0, фг согласно (4.8), (4.10), то формулы (7.21) принимают вид

Л = cos Ф14 - sin Ф1 ctg 6^ + ^.^

Л = - sin Ф1 - cos Ф1 ctg 6^ +^,П.23)

Л=

8 »Фх

Соответственно, если перейти в формулах (7.22) от vi, V2 к сферическим координатам О, ф согласно (5.5), (5.6), то мы получим

Л = Sin ф ^ + COS ф ctg о —,

_ созф^ + 51Пф^0^,(7.24)

1,3 -»ф-

К этим же формулам мы придем, если произведем в (7.19) замену декартовых координат на сферические:

хг = |я|з1П0со8ф, х2 = | #| sin-Osinф# х3 = | л? [cosy. (7.24')

Покажем, что соотношение (7.16) является частным случаем (7.15). Из (5.7), заменив v" на v, имеем

(7.25)(7.25)(7.26)(7.26)с = <v, ас0> = v + ас0 + а [vc0],асе* + сс^2

(7.25)

(7.25)

(7.26)

(7.26)

v =°0 ■, а = сс0.

Очевидно, с переходит в v при а = 0, однако (7.15) не переходит в (7.16) в результате простой замены с на v из-за наличия производной д!дс. Чтобы получить правильный результат, вычислим д/дс, рассматривая с как функцию величин v и а. Мы имеем

дс dv, * дс даа а о а

или, в безындексной записи,

дс ^c’j^v + деда •(7.27)

Очевидно, да/дс = с0; для вычисления же первого члена рассмотрим выражение

дV — = — dvдV — = — dvсх сосх содdvдdv

д

V — = — dv

д

V — = — dv

сх со

сх со

дdv

дdv

8 48 _ 2асо ,9с / dv (! 4. а»)Я8 48 _ 2асо ,9с / dv (! 4. а»)Яи продифференцируем его по вектору с

8 48 _ 2асо ,9с / dv (! 4. а»)Я

8 48 _ 2асо ,9с / dv (! 4. а»)Я

С (а + Со) С^^- -A—^.c-V а + сх) сх1.

Используя (7.25), (7.10') и соотношенияcov = ced/dv = 0х получим после простых преобразований согласно (7.27)

(7.28)(7.28)88,1 — «с,-* — «сх + Vх 8

(7.28)

(7.28)

8с ~ С° 8а +1 + a8 8V

Отсюда ясно, что

^/(c)l«=o = (l + vx)^/(v),(7.29)

следовательно,

(H-c.c+cx)^|a=o = (l + v.v + vx)(l + vx)^ = = (1 — va + 2w 4- 2vx) Д,

т. е. соотношение (7.15) при a = 0 действительно переходит в (7.16).

Формулу (7.16) можно получить также из (7.14), если произвести замену переменных «1, ®2, хз на |®|, vi, V2. Для этого в соотношениях (5.1), (5.2) отбрасываем ограничение ®2=11что сводится к умножению на | х |:

viJlYco® '1 ® = I ® I ° (v) со-(7.30)

® а|»|д|»|® а|»|д|»|со +(^/1^1 + 00)-^ 8I ж | + Со® Эх*со +(^/1^1 + 00)-^ 8I ж | + Со® Эх*Отсюда следует

® а

|»|д|»|

® а

|»|д|»|

со +(^/1^1 + 00)-^ 8

I ж | + Со® Эх*

со +(^/1^1 + 00)-^ 8

I ж | + Со® Эх*

8 _ а | ® | а ./ а \ аа® а® а | ® | ■ (_ а®"v) ах

Подставляя в (7.14), получим

_<V»-e0»4-[»<r,|-v 9| ® 14- с0®ах*

Если заменить здесь х согласно = о, о (,)«, =-^ih^Co,Если заменить здесь х согласно = о, о (,)«, =-^ih^Co,(7.30) и учесть, что cov=cod/dv =; то после простых преобразова(7.30) и учесть, что cov=cod/dv =; то после простых преобразова

Если заменить здесь х согласно = о, о (,)«, =-^ih^Co,

Если заменить здесь х согласно = о, о (,)«, =-^ih^Co,

(7.30) и учесть, что cov=cod/dv =; то после простых преобразова

(7.30) и учесть, что cov=cod/dv =; то после простых преобразова

ний снова получим соотношения (7.16).

Вычислим для всех четырех случаев сумму квадратов компонент инфинитезимального вектор-оператора J2 = Jy

В случае (7.13) имеем (см. П.1.38)

*^2 — Ja — ^abc^acd) ^acb^acd) —2(6bd)2.(7.31)

В случае (7.14)

Ж 8х la L 8х la ~ 6abc$b 8х"с ^^ axg*

Используя (П. 1.38), получаем

W = (Mcg - 6bg6cd) хъ ^ xd ^.(7.32)

Поскольку dxbldxt = б»е, dxJ8xc = 3, то

Используем обозначения

(7.33)(7.34)(7.33)(7.34)22 А _ ^ _ ^ — ^ _L ^ -L ^

(7.33)

(7.34)

(7.33)

(7.34)

Жь - ® Ax 8xi 9$»8$г + 8хг + 8х^

В результате получим

( J*)2 = Х^х - х У1 + х-^Л х 'ОХ\ОХ )

На основании (7.15) имеем

ОТ = ^ (So6 + О^ А (1 + с2) (6od + 0^ ^. (7.35)

Поскольку саОаЪ (с) = саОЬа (с) = сь, ОаЬОас = 6Ьс и (см. (2.5))

80 „дО ,60 ,80. с

г\ ad аЪ аЪ Ьа о а V°b 8с. —v»4 8с.'8с. - 8с. - i + c2*

Оооо * ~ v

ТО

Oab ^ Id + ^ Oadl = дГь К1 + ^OabOadl - (1 + С2) Оа4^ = 0.

С помощью этих соотношений получаем после несложных вычислений

(;7 = 1+^[д, + с » (14-6^(7.36)

24 \ дс \ дс / /

и аналогично (см. (7.16))

(Jv)2 = А^-и^д^(7.37)

Здесь использованы обозначения

Д =J1 = J1 Д =^i = ^i_i-ZГ7ЧЯ>

с 8с4 дс4’ Av dv2 д^4"^"^(7-38)

Если перейти к углам Эйлера (4.8) —(4.10), то вместо (7.36) получим

ОТ =ОТ =^5<р2^5<р2д25Vid<P2д25Vid<P2(7.39)(7.39)а2

ОТ =

ОТ =

^5<р2

^5<р2

д25Vid<P2

д25Vid<P2

(7.39)

(7.39)

+ 2. 2 созб дф!

В свою очередь при переходе к сферическим координатам (7.24'), 4 ф. и. Федоров

5.5) выражения (7.34), (7.37) дают совпадающий результат

W.=W=_^[(si„e^y + ^].(7.40)

Если ввести здесь переменную £ посредством соотношения

E-lntg^,(7.41)

то sin У ^^ =-^- и соотношение (7.40) принимает вид

(j^ = ch4(^+^-2).(7.42)

Комплексная трехмерная ортогональная группа

Рассмотрим трехмерное комплексное линейное пространство. Всякий вектор z в этом пространстве и сопряженный к нему z* можно написать в виде

z = a + tb, a* = a — ib, (8.1)

где а, b—трехмерные вещественные векторы. Если задан второй комплексный вектор z' = a' + tb', то скалярное произведение векторов z и z' можно определить формулой

zz' = (a + zb) (a' + ib^ = aa' -bb' + z (ab' + ba'),; (8.2) где аа'и т. д.— скалярное произведение вещественных векторов (см. § 2). Наряду с этим можно определить скалярное произведение векторов z и z' с помощью соотношения

z*z' = (a - ib) ^ + ^ = aa' + bb'-H (ab' - ba'). (8.3)

Скалярное произведение, определенное согласно (8.3), мы будем называть эрмитовским скалярным произведением. При z' = z из (8.2) получаем скалярный квадрат комплексного вектора

z2 = a2 - b2 + Slab, (8.4)

который может быть любым комплексным числом. При том же условии z = z' эрмитовское скалярное произведение (8.3) дает квадрат модуля комплексного вектора

| z |2 = z*z = a2 + b2. (8.5)

Очевидно, как и в случае комплексных скалярных чисел, квадрат модуля комплексного вектора является вещественным положительным числом, которое может равняться нулю лишь в том случае, когда вектор z есть нулевой вектора = a = b = 0.

Отметим различие в определении квадрата модуля вектора в и числа z = а + ib. Если для чисел всегда справедливо соотношение | z21 = | z |2 = а2 + Ь2, то согласно (8.4)

| z21 = + /(а2 - 62)2 + 4 (аЬ)2 = У (а2 + Ь2)2 - 4 [аб]2 =

= V\IF74№$(8.6)

следовательно, в общем случае |z2|^=|z|2. Из (8.6) следует, что равенство | z21 = | z |2 может иметь место тогда и только тогда, когда [аЬ] = 0. Согласно (8.1)

[zz*] = — 2i [аб],(8.7)

следовательно, соотношение (8.6) можно написать в виде [12.1— 13]

| z212 = | z |4 + [zz*]2.(8.8)

Видно, что из равенства [zz'] = 0 следует z' = Cz, где С — произвольное комплексное число.

Так же, как в § 2, можно определить комплексную трехмерную ортогональную группу, обозначаемую 0(3, С), как совокупность комплексных линейных преобразований (матриц), остав* ляющих неизменным скалярный квадрат (8.4) произвольного комплексного вектора [z]. Повторяя рассуждения § 2 с заменой вещественных величин на комплексные, получаем следующие выражения для произвольного преобразования комплексной группы «вращений» 50(3, 0), т. е. совокупности ортогональных преобразований с детерминантом, равным единице (собственных комплексных ортогональных преобразований):

о (5) = ^ = (1 + qW - gX) - 2 (1 - qxy1 - 1(8.9)

или (ср. (2.5))

Oq = 1 + 2Oq = 1 + 29х +дхг1 + д29х +дхг1 + д21 — g2 + 2g-g + 2gxa1 + д21 — g2 + 2g-g + 2gxa1 + д2(8.10)(8.10)

Oq = 1 + 2

Oq = 1 + 2

9х +дхг

1 + д2

9х +дхг

1 + д2

1 — g2 + 2g-g + 2gxa

1 + д2

1 — g2 + 2g-g + 2gxa

1 + д2

(8.10)

(8.10)

Здесь q = а + ib — комплексный трехмерный вектор-параметр. При этом очевидно

О (д*) = О* (g) = 1 + 2 (д*х + д*х«)/(1 + q*^.(8.11)

Существенное отличие матриц (8.10) от матриц (2.5) заключается в том, что первые имеют смысл не при всех комплексных векторах q. Очевидно, матрица Оч (8.10) имеет смысл в том случае, когда все ее элементы ограничены. Между тем для комплексных векторов возможно равенство

1+да = 0,(8.12)

или

а2 — 6а +1 = 0, аЬ = 0,(8.13)

когда выражение (8.10) теряет смысл. В выражении (2.5) всегда 1 + с2 =/= 0 ввиду вещественности вектор-параметра с. Именно поэтому для компонент вектора с были допустимы все значения. Условия (8.12), (8.13) могут удовлетворяться при конечных векторах а, &,причем очевидно, что такие векторы не задают определенного преобразования Oq (8.10) и не могут служить век- тор-параметрами. Однако матрица (8.10) может потерять смысл и при бесконечно больших векторах q. Подчеркнем, что когда мы говорим о конечности или бесконечности комплексного вектора 5, то это означает соответственно | g |2 < оо или | д2| = оо . Для комплексных векторов возможно такое положение, когда |д|а = оо (что означает а2 = оо, либо &2 = оо, либо, наконец, а2 = Ь2 = оо), но в то же время | д21 < оо. Действительно, например, для кругового вектора g имеем | g2| = g2=0, т. е. а2—&2 = = ab = 0. Очевидно, последние равенства могут выполняться и при бесконечно больших векторах а и 6, если последние равны и перпендикулярны друг другу. При этом модули комплексных элементов матрицы (8.10) будут бесконечно велики. Следовательно, наряду со случаем (8.12) 1 + д2 = 0 следует исключить также случай | g |2 = оо, | д21 < оо.

Таким образом, в определении матриц Oq группы 50(3, С) должны содержаться условия, ограничивающие допустимую область значений комплексных вектор-параметров д, которые можно сформулировать в виде соотношений двух видов: 1.1 + 92 7^0 и II. при |д |2 = оо должно быть | д21 < оо. Однако можно сформулировать условия, ограничивающие допустимую область значений вектор-параметра g в виде одного соотношения. Для этого аналогично (3.47), (3.48) введем новый комплексный вектор-параметр р посредством соотношения

(8Л4)

Здесь подразумеваются значения квадратных корней с положительной вещественной частью, чтобы при переходе к вещественным вектор-параметрам получить соответствие с группой 50(3). С помощью вектор-параметра р получим вместо (8.10) выражение (см. (3.49))

О(р)=О, = 1+2(ГГ=72 + рх)рх. (8.15)

Очевидно, необходимое и достаточное условие для того, чтобы это преобразование имело смысл, сводится к требованию | р| <оо, лли (см. (8.14))

-J = —= gg* < оо. (8.15') |i + t2l K(i + »*2) (1 +^’^

Однако наложив это условие, мы должны еще убедиться, что при умножении любых двух матриц (8.10) Oq и Oqrs для комплексных вектор-параметров которых выполняется соотношение (8.15'), результирующий вектор-параметр также будет ему удовлетворять. Для этого необходимо использовать закон композиции комплексных вектор-параметров, который, очевидно, будет иметь прежний вид (3.6)

д-_<д,д->=»±«1 + 11У.(8.16)

1 — 99

Точно так же для вектор-параметров р (8.14) аналогично (3.51) получим

<Р. Р'>о = Р/1 —P^ + P'Kl — Р2 + (РР'1-(8-17)

Отсюда ясно, что если| р |2 < оо, | р' |2 < оо, то и | <р, р'>012 <оо. Следовательно, вышеуказанное требование для вектор-парамет- ра р выполняется, а значит, и условие (8.15') выполняется для соответствующих векторов д, т. е.

^Хт < ~-(8.18)

<9. 9 > I

Заметим, что 1 — <р, р'>о = (К(1 — Р2) (1 — Р'2) — PP'Y *)•

Произвольный комплексный вектор q может быть представлен как в виде суммы, так и в виде композиции трех векторов, пропорциональных с0, е и е*, где согласно (3.39) — (3.42)

[сое] = + ie,[ее*] = icQ.(8.19)

Действительно, если написать

g = ае0 + ре + ?е*(д2 = а2 + 2ру),(8.20)

то коэффициенты этого разложения определяются однозначно: a = qc01 p = ge*, ^ = qe.(8.21)

Покажем, что всегда можно написать также

q = <^о, Пе, ^*>.(8.22)

Отсюда следует <gf — £е*> = <ЛС^ Л5) или с учетом (8.19) —(8.21)

♦) При такой параметризации совокупность точек в пространстве параметров, в которых преобразования (8.15) теряют смысл, отодвинута на бесконечность. Преобразование (8.14) является примером той допустимой замены параметров, которая отмечена в П.2, причем X (а) = ]^1 + а*.

(8.24)(8.25)(8.26)(8.26')(8.27)(8.24)(8.25)(8.26)(8.26')(8.27)

(8.24)

(8.25)

(8.26)

(8.26')

(8.27)

(8.24)

(8.25)

(8.26)

(8.26')

(8.27)

Сравнивая коэффициенты при независимых векторах с0, е, е*, находим■

(8.23)(8.23)а — i (а2 + Ру) _ (1 —ia) р г _ у

(8.23)

(8.23)

1 + Ру—ia 1 J 1+g2 ’ ’1 — ia'

Таким образом, представление (8.22) всегда возможно и является однозначным.

Обратные выражения для a, р, у через £, т), £, разумеется, также являются однозначными. Чтобы получить их, достаточно раскрыть выражение (8.22) согласно (3.12) и умножить скаляр- но нас0, е, е*. Таким путем найдем

„ _ S 4- гпС « 4- fS) о _ n d +Ф „ _£(!-£)

l-nCd + ig)1 Р- 1-^(1 + ^)’ l-^d + ig)*

С помощью (2.5), (8.19) нетрудно убедиться, что О(±^0)е = 1^|е, О(±^о)е* = ^е*, причем согласно (8.24)

1 — ig _ (1 — ia)2 _(1 — ia)2

1 + 'i ~ 1 + g2 “ 1 + a2 + 2py ‘ Используя эти соотношения, а также (3.22), получаем <£cei т)е> = <т)О (£с0) е, £с0> = <т|'е, gc0>, <^о, W = ^0 (ge0)e*x £с0> = <^е\ &»>, где

„' - „1+1Р г' - fI^l! - Vd-ia) ’11 - ig “ 1 - ia’ Ь ~ b 1 + ig - 1 + g2 '

Поэтому, наряду с (8.22) для g возможны представления

» = <n'e, |с0, £е*> = <т|'е, ^'е*, |с0>.(8.27')

Еще одно представление можно получить из (8.22), (8.20), если на основании (3.13) написать

— g = — ас0 — Ре — уе* = <— £е*, — i]e, — Ес0> или

gi = ахс0 + рхе + ухе* = <^е*, т]^, ^с^,(8.28)

где величины, снабженные индексом 1, лишь знаком отличаются от тех же величин без индекса. С учетом этого мы можем переписать соотношения (8.23) в виде

-(l + ia^P.1,1—п^Г’-(l + ia^P.1,1—п^Г’£• = гйч- <8-29>£• = гйч- <8-29>ai + ‘(«i + PiVi)1 + Pi?! + i«x ’

-(l + ia^P.

1,1—п^Г’

-(l + ia^P.

1,1—п^Г’

£• = гйч- <8-29>

£• = гйч- <8-29>

Поскольку формулы (8.28), (8.29) справедливы при любых gt и соответственно ai, Pi, ^ь то мы можем отбросить у этих величин индекс 1 и в результате получим

g = ас0 + Ре + уе* = <^е*, те, ^с»),(8.30)

. а + i (а2 + Ру)(l + ia)P г _ V ГКЧП

®х 1 + ia + Р? ’ ^х 1 -{- g2 ’ ®х 1 + ia" ' "'

Мы можем здесь снова осуществить перестановку (см. (8.26х) У (ДА lie0> = <1хсо» О (— £ico) Лх®) и с помощью (8.25) получим

Ч = ^ie*» Вхсо» Лх®), Лх = । _|_ ^ Лх = । ^ tai (8.32)

Ч = <^0, &*, те), £ =(8.33)

Формулы (8.22), (8.24), (8.27х), (8.30) —(8.33) дают представления произвольного комплексного вектора q в виде композиции векторов, пропорциональных с0, е$ е*, для всех шести возможных перестановок с0, е, е*. В любом случае, при заданном порядке с^ е, е* в композиции, представление является совершенно однозначным.

Если ?с0 = a = 0,то из (8.27х), (8.32) получаются особенно простые представления

9 = Ре + уе * = \ Ре, 1 + pv°, уе* > = <^уе*, р^, ре^>- (8.34) Аналогично, при р = де* = 0 имеем д2 = а2 и (см. (8.22), (8.23)?

д = ае0 + уе*==аСо\, (8.35)

а при у = де = О

д = ас0+ре=^ас0,г^> = ^г^, ОИ0. (8.36)

Представления для вещественного вектора g = д* = с отличаются тем, что a = а*, у = р*, с2 = а2 + 21 р |2. Поэтому, например, согласно (8.22), (8.23)

с = ас0 + Ре + Р*е* = <|е0, це, ^е*>,.(8.37)

где

q_i(a- + |P|2)(1 - ia) р г _ р* .„ _.

l + |P|2-ia 1 n-l + a2 + 2|P|2t1—ia" ^"db>

В случае (8.34) будем иметь

(8.39)(8.39)е = ре + Р*е* = <^ре, -^,2°, ₽*е+41+IPI /

(8.39)

(8.39)

Отметим одно интересное п важное обстоятельство. Рассмотрим двумерное комплексное пространство, натянутое на векторы с0 и е (или с0 и e*Y Нетрудно убедиться, что результат композиции двух векторов из этого пространства

5* = <9, 9'> = <ас0 + 0е» «'со + Р'е> =

= (1 - аа')-1 {(а + а') с0 + [0 + 0' + i (0а' - 0'а) ]«}

также принадлежит к этому пространству. Более того, если взять а и а' вещественными, то в векторе q" = а"с0 + 0"е коэффициент а" также будет вещественным. При этом квадрат вектора д2 = (ас0 + Ре)2 = а2 будет вещественным числом, которое, однако, может равняться нулю при q Ф 0 (для q = ре).

Совокупность вещественных вектор-параметров с группы вращений образует векторное линейное пространство, которое является группой по отношению к двум различным групповым операциям одновременно. Оно является абелевой группой по отношению к операции векторного сложения, как и всякое векторное пространство. Кроме того, оно является неабелевой группой по отношению к операции композиции параметров <с, с'> (3.6). При этом для обеих операций единичный (0) и обратные (— с) элементы совпадают.

Этими же свойствами обладает вышеупомянутое двумерное пространство с01 е(с01 e*Y каждый вектор в котором характеризуется одной вещественной и одной комплексной компонентой. В дальнейшем мы увидим, что это пространство, рассматриваемое как группа относительно закона композиции (3.6), тесно связано с группой движений евклидова двумерного пространства £(2).

векторов(8.40)(8.41)(8.42)и явля-векторов(8.40)(8.41)(8.42)и явля-В ряде случаев существенным является то обстоятельство, что любой вектор-параметр, как комплексный, так и вещественный, может быть представлен в виде композиции двух £с0 + т]е и ^е*. Таким образом, мы можем написать

векторов

(8.40)

(8.41)

(8.42)

и явля-

векторов

(8.40)

(8.41)

(8.42)

и явля-

g = ас0 + 0е + уе* = <£с0 + т)е, £е*>.

Аналогично (8.22), (8.23), (8.24) находим отсюда

t _ а — i (а2 + 0у)Р (1 — ia)о у

1 — ia + 0у ’ 11 — ia + Ру ’ ’1 — ia’

= Т ‘ЧЪ Q = Ч=1 — п^* Р 1 — п£*= Т ‘ЧЪ Q = Ч=1 — п^* Р 1 — п£*5(1-£)

= Т ‘ЧЪ Q = Ч=

1 — п^* Р 1 — п£*

= Т ‘ЧЪ Q = Ч=

1 — п^* Р 1 — п£*

Таким образом, представление (8.40) всегда возможно ется однозначным. Из сравнения с (8.24) видим, что только выражение для т] отличается от соответствующего выражения при представлении (8.22). Случай вещественного вектора g соответст-

вует а = а*, Р* = ^ при этом имеем из (8.41)

t _ а — i (а2 + I РI2)„ _ Р (1 — '«)? — Р* (8 43)

Как уже отмечалось выше, совокупность векторов ас0 + Ре образует группу по отношению к закону композиции (3.6). Векторы £е\ разумеется, также образуют группу, а именно однопараметрическую, аддитивную абелеву группу:

<^*, £'е*> =(£ + £')**•<^*, £'е*> =(£ + £')**•(8.44)(8.44)

<^*, £'е*> =(£ + £')**•

<^*, £'е*> =(£ + £')**•

(8.44)

(8.44)

Следовательно, существование представления (8.40) для вектор- параметра означает, что любое преобразование комплексной или вещественной трехмерной группы вращений всегда может быть представлено в виде произведения преобразований, относящихся к двум более простым группам.

Очевидно, представление типа (8.40) может быть реализовано еще в трех разновидностях:

9 = <^о + ^*,щв>,(8.45)

д = <^М2с0 + Пге>,(8.46)

q = <Пзв, ^о + ^*>-(8.47)

§ 9. Подгруппы комплексной группы вращений 50(3, С)*)

Ввиду взаимно однозначного соответствия между 0(g) и q каждой подгруппе группы О (q) соответствует подгруппа вектор- параметров q п наоборот (поскольку закон композиции (3.6) имеет групповой характер). Следовательно, важный вопрос о типах подгрупп и их структуре для группы 50(3, С) может быть целиком рассмотрен на основе закона композиции (3.6), без обращения к самим группам. Для этого следует отыскать такие совокупности векторов д, элементы которых в результате композиции (3.6) снова давали бы элемент той же совокупности.

Рассмотрим сначала группу 80 (3), являющуюся подгруппой группы 50(3, С) при условии q= q*=c. То, что это действительно подгруппа, сразу следует из того, что композиция вещественных векторов а согласно (3.6) дает снова вещественный вектор. В дальнейшем мы будем обозначать через с произвольный вещественный вектор, с0 — фиксированный вещественный единичный вектор (cq = 1), е—-круговой комплексный вектор, обладающий свойствами (3.39). У группы 50(3) имеются подгруппы

♦) См. [15].

только одного типа*), соответствующие g = Сс0, поскольку

(91)

Это — однопараметрическая Подгруппа поворотов вокруг фиксированной оси с0 на произвольные углы y(tg(<p/2) = С).

Совокупность подгрупп группы 50(3, С) является несравненно более богатой. Мы уже знаем две подгруппы д = q*=c и q=Cc9. В комплексной области последнее соотношение дает четыре подгруппы. Действительно, наряду с С = а = а* возможны значения С = la, т. е. С является чисто мнимым числом, поскольку из (9.1) ясно, что это свойство сохраняется при композиции. Однако фактически мы получаем в последнем случае не одну, а две группы. Чтобы показать это, используем соотношение (3.21)

Из него следует, что если 1 + д2 > О и 1 + д'2 > О, то и 1 + <5>9')2>0 (если qq' вещественно). При С = 1а имеем 1 + ?2= 1 — а2. Таким образом, совокупность векторов q = ia при а2 < 1 образует подгруппу, для всех элементов которой 1 + д2 > 0. Более широкая подгруппа получается при любых других значениях а (а2#=1). Наконец, С может быть произвольным комплексным числом: С = а + 1а'.

Отметим, что преобразования O(iac0), a2 < 1, и O(iac0), a2 >• 1, получаются одни из других путем умножения на преобразование обычного поворота вокруг с0 на 180°, которому со- ответствут вектор-параметр бесконечной длины q = оо с0. Согласно (2.8) имеем

О (оо с0) = 1 + 2cq = 2с0-с0 — 1.

Примечательно, что тот же результат получается, если взять д =iooc01 т. е. чисто мнимый вектор-параметр с бесконечно большим модулем. Поэтому подгруппы д = ас0 и q=iac0 (а = а*) имеют в качестве общих элементов наряду с групповой единицей также обычный поворот на 180°**). На основании (8.16) имеем < оо с0, iac0> = icja. следовательно, О (оо с^ О (iac^ = О (ta'c0)s где а' = а”1. Поэтому, если а2 ^ 1, то а'2^ 1, как и утверждалось выше. Заметим, что

<ООС0, ас0> <оос0, оос0> = —<оо^о» оо^о) = 0.

асосо

(9.2)

♦) Мы не рассматриваем дискретных подгрупп, примером которых являются кристаллографические группы.

♦♦) Элементы 0(0) = 1 и О(сос0) образуют дискретную подгруппу.

Вектор yr = (а + ia') с0 всегда можно представить в виде (а 4- 1а') с0 = <£с0, igc^, | | < 1, где

а = TtS- ^ = ^ (а2 + а'2 1 + Р^^+^^УЧ^) • »'=^S, ^ = 2^(“2 + а'2 + 1 -V(«2 + а'2 + !)2 - 4а'2)- Действительно, можно проверить с помощью (8.16), что <5<?о> ^о^^Л^о» ^Ч'^оХ Ч=^-1, Ч'^'""1- Таким образом, комплексный вектор-параметр g = (a + ia^ с0 соответствует произведению коммутирующих между собой преобразований обычного и гиперболического поворота вокруг с0.

Аналогичную совокупность четырех типов подгрупп мы получим, рассматривая все вектор-параметры вида q=Cqv. где qt— фиксированный комплексный вектор, причем qX = 1.И здесь мы имеем четыре подгруппы: С = а; С = 1оц a2<l; С = га, а2 > 1, и С = а + га'. Заметим, что любой комплексный вектор q с неравным нулю квадратом д2 Ф 0 может быть представлен в виде flf = Cqv где С = V q2, qL = q(Vq2 (5? = 1).

Рассмотренные выше четыре подгруппы g = Cqx изоморфны соответствующим подгруппам для q = Сс0. Это ясно как из непосредственного сравнения, так и благодаря соотношениям (см. (3.24), (2.16))

91 = Oqc0 = <qw си - q0>, q6 = | (с0 + 5i) + 1+^» (9-3)

где | — любое комплексное число. Поэтому преобразования О (CgJ и О (Сс0) эквивалентны: О (Cq^ = Oqo О ^Сс^ Од^. Тем не менее можно рассматривать g = Сс0 и q = CqT как разные типы рассматриваемых подгрупп (или как различные их реализации) ввиду того, что в определение комплексного вектора gi входят дополнительные по сравнению с с0 параметры.

Очевидно, случай д2 = О (д — круговой вектор) является особым. При этом д всегда можно представить в виде

q = Се. ^ = 0, ее* = 1. (9.4)

При фиксированном е и различных С такой вектор-параметр порождает две подгруппы С = а и С = a + га' (а, а' вещественны) . Значения С = га не дают новый тип подгруппы, так как мнимую единицу можно включить в е. пе меняя условий (9.4), определяющих круговой вектор. Для этого случая композиция (8.16) сводится к простому сложению

<Се. Сге> = (С + С') е. (9.5)

Таким образом, используя различные виды фиксированных векторов: вещественные (с0), круговые (в) и общие комплексные (дх), мы получаем 10 типов однопараметрических абелевых подгрупп группы 50(3, С).

Отметим, что подгруппа q = Се поддается простой интерпретации. Рассмотрим 2Х2-матрицы (см. (5.30), (5.31))

=(9'6)

И 1 + д2(*1 ~ !?2¥3 |

Легко убедиться, что

v (g) V (д') = V «д, д'», IУ (g) I = 1.(9.7)

Следовательно, матрицы V (д) образуют группу, изоморфную 50(3, С). Полагая q = Се и выбирая круговой вектор е в виде

е = (в! — ie^/V^,

где еа — орты декартовой системы координат (еаеъ = 6аЬ), получим для компонент вектора q = Се = (а + га') е выражения 91 = *92 = O/V2, дз = 0. При этом матрица (9.6) принимает вид у (ле\ __ [1 1 V2 С]

k ” (о 1 Г

Такие треугольные матрицы реализуют представление группы смещений точки евклидовой плоскости (см., например, [9.1]). Действительно, пусть z = х\ +ix2 определяет точку комплексной плоскости (^i, ^2), тогда

V(Ce)|zJ = (ZJ, +

Таким образом, подгруппа О (Се) комплексной группы вращений изоморфна группе Z сдвигов на двумерной плоскости. При этом С = а = а* соответствует сдвигам вдоль фиксированной прямой (оси х2), а С = а + 1а' — произвольным сдвигам.

Для дальнейшего мы воспользуемся разложением вектор-па- раметра в аксиальном базисе. Рассмотрим совокупность векторов q, определяемую формулой

q = Сс0 + а^е + b$*e*t а = а*, Ь = Ь*.(9.9)

При этом вещественные числа а и Ъ мы считаем фиксированными. Результат композиции вектора (9.9) с вектором того же типа qr = С'с0 + ар'е + Ь^'*е* имеет вид (см. (8.16), (8.19))

<9, q'> = С"с0 + а^е + Ъ^*е*.(9.10)

где

Г„ _ С + С'+^ЬОТ-РР'*),А Л П

- i-CC'-aHpP^ + P'P*)’

В" = Р + Р' + * (^Р —^Р )/о 4 0^

Р i-CC'-aHPP^ + P'P*)''

Мы видим, что при любых вещественных С и комплексных Р композиция двух векторов типа (9.9) снова дает вектор того же типа (при аЪ = 0 условие вещественности С отпадает). Поэтому совокупность таких векторов определяет некоторую подгруппу группы 50(3, С) или, вернее, несколько подгрупп, отличающихся за счет выбора чисел а и Ь.

Рассмотрим сначала случай, когда одно из чисел a, 6 обращается в нуль. При этом второе число можно включить в соответствующее р (или р*), и мы получим q = Сс0 + ре (6 = 0) или q = Сс0 + Ре* (а = 0). Видно, что случай а = 0 не дает ничего нового по сравнению со случаем 6 = 0. Действительно* различие между е и е* проявляется лишь в том, что [сое] = te* а [еое*] = — /е*. Но если заменить е0 на — Cq, то [еое]= — ге и [е^е*]= fe*, т. е. по отношению к вектору с^ противоположного- направления векторы е и е* меняются ролями. Поэтому ясно, что, положив С = —С, с0 = — е0, мы придадим вектору q = = Се0 + Рв свойства вектора q = Сс0 + ре*.

Итак, соотношение

9 = Сс0 + Ре(9.13)

определяет совокупность комплексных вектор-параметров, замкнутую по отношению к закону композиции (8.16), т. е. группу.. Мы имеем

+Р., с. + у.> -(9.14>

1 —

1 + g2 = 1 + С2.(9.15}

Из этих соотношений видно, что вектор-параметры вида (9.13) определяют по существу четыре подгруппы, в зависимости от значения С: I. С = С*. II. С = to, a2 < 1 (1 + g2 > 0). III. С = = to, a2 #= 1 (1 + g2 ф 0). IV. С = а + to'.

Вектор-параметр (9.13) может быть однозначно представлен как результат композиции (8.35), (8.36)

Сс0 + ре = <|с0, Ле> = £е0 + Л (1 — г?) е, откуда следует £ = С, ц = р/(1—гС). Таким образом,

Ч = Сс6 + Ре = <Сс0, ре/(1 — i(7)>,(9.16}

т. е. каждый элемент группы (9.13) может быть представлен в

виде произведения соответствующих элементов рассмотренных ранее групп # = Сс0 и q = Се.

Заметим, что наряду с (9.13) можно было бы рассмотреть также вектор-параметры

9 = С50 + ре, ^ = 1, \ч6е\ = ^1е,(&17)

где q^ — комплексный вектор. Однако такой вектор-параметр не дает ничего нового по сравнению с (9.13). Действительно, аналогично (9.9) вектор д0 может быть представлен в виде q^ = = С'с^ + Р'е (член е* отпадает, поскольку q^e = 0^ и мы возвращаемся к выражению (9.13).

При С = а = а* вектор q = ас0 определяет вращение на угол <р = 2 arctg а вокруг направления с^ перпендикулярного е. Поэтому произведение <£с0, т)е> есть произведение элементов двух абелевых групп, в совокупности дающее сдвиг точки на плоскости и поворот плоскости. Но такое преобразование характеризует группу Е^ движений евклидовой плоскости [9.1]. Следовательно, при вещественных С группа (9.13) изоморфна группе Е(2), которая, в частности, может быть представлена с помощью тре- (в<Ф

О 1J (СР- (9-8), а также [9.1]).

Согласно (8.40) —(8.42) общий комплексный вектор-параметр всегда можно представить как результат композиции двух векторов

q = ас0 + Ре + уе* = <£с0 + ^е, £е*>.(9.18)

Это означает, что всякое преобразование группы комплексных вращений 50(3, С) может быть представлено как произведение преобразований комплексной*) группы 5(2) и группы q = £е*. Последняя может быть представлена аналогично (9.8) треуголь- ными матрицами, но левыми: J.

Представление (9.18) возможно и для вещественных векторов q, когда а=а* и Y=p* (см. (8.43)). Следовательно, любое преобразование вещественной группы вращений может быть выражено через произведение преобразований двух подгрупп комплексной группы вращений: Е (2) и q = ^е*. Указанная возможность представления всех преобразований групп 50(3, С) и 50(3) через произведения преобразований групп q = £с0 + це и q = = £е* широко используется в теории представлений группы вращений и группы Лоренца. Представление (9.18) может быть осуществлено и в другом порядке (см. (8.45) — (8.47)).

Обратимся теперь к случаям, когда в выражении (9.9) ни а, ни b не равны нулю. Из (9.10)— (9.12) следует, что при этом

♦) В том смысле, что коэффициент С в (9.16) является не вещественным, а комплексным.

С может быть вещественным (С = а). Мы имеем

1+92 = 1+а2 + 2а6|р|2>(9Л9)

откуда следует, что случаи аЬ > О и аб < О существенно отличаются один от другого, поскольку в первом — всегда l + g2>0s а во втором 1 + д2 может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Если положить а = 6, то согласно (9.19) q = q* = с. т. е. мы получим вещественную группу вращений 50(3). При любых а #= Ь, ab > 0 получается группа, изоморфная SO^. Чтобы показать это, учтем, что е0, е, е* являются собственными векторами преобразования О^Сс^ с любым С^=±Л Пусть С = is (в = = е* =/= ±1), тогда

OiMo Со = Со» OiMe = Ас, Оис„С* = 4- е*. к = 4-4^-. (9.20} Поэтому

<iec0, q, — ie<?0> = OUc6q = ac0 + ak^e + 4- P*e*. (9.21}

Очевидно, при ab > 0 всегда можно так выбрать &(s), чтобы ак = b[k. X это означает, что преобразования са=Ьиа=#& эквивалентны между собою. Тем не менее мы будем рассматри* вать случай ab > 0, а =/= Ъ как новый тип подгруппы, поскольку в выражение (9.9), которое можно написать в виде

q = ae0 + Ре + ^*е* (а = а*),(9.22)

входит дополнительный параметр х = х*.

При ab < 0 рассмотрим сначала случай b = —а. Включая а в р, получим из (9.9)

q = ae0 + Ре — Р*е*.(9.23)

Пусть 1 + д2 = 1 + а2 — 21 р |2 > 0. Тогда вектор-параметры (9.23) определяют группу, изоморфную группе SL^ вещественных унимодулярных матриц второго порядка. Действительно, положим Р = Р1 + $2 И

е0 = е2, е = (ej — ге3)/К2, е* = (ет + ie^[V^.

qx = ^Рг, 92 = а, дз = —iV2Pi.qx = ^Рг, 92 = а, дз = —iV2Pi.При этом пз (9.23) следует g = gaeo, где

qx = ^Рг, 92 = а, дз = —iV2Pi.

qx = ^Рг, 92 = а, дз = —iV2Pi.

Подставляя эти выражения в формулы (9.6), найдем

12 —

v (9) = ly11

21

±±2^АFi + g2 ’

Л2) ^з|’

Т7 1 + 1/2 Р1

a-V2 р2 _ 1-V2 р,

ГГ+7 ’ 22 rr+?;o/v

(9.24}

Мы видим, что все элементы матриц У (?) (9.6) (в данном случае мы будем обозначать эту группу матриц Уо (?)) оказываются вещественными. Следовательно, вектор-параметры (9.23) действительно определяют группу, изоморфную 5L(2).

Более широкую группу мы получим, наложив более слабое условие 1 + д2^=0. При этом все элементы матриц Уо(?) для 1 + д2 < 0 согласно (9.24) будут чисто мнимыми числами.

Отметим, что группа (9.23) содержит в качестве своих подгрупп рассмотренные выше группы 5 = ас0; q = iac0; q = aq^

Таблица 9.1

Таблица подгрупп комплексной группы вращений

№

Вид вектор-параметра

Изоморфные группы

1

I. q=Cce, с0=Са > с§=1 С=а=а*

5, 80 (2)

2

С=1а, а2<1

6

3

С=1а, а2^=1

7, 80 (1,1), 5Я(2)

4

C=a-\-iaf

8

5

II. q=Cqt, q^=l, qt^±qt

C=a=a*

6

C=ta, а2<1

2

7

С=1а, а2=/=1

3

8

С=а-\-гаг

4

9

III. q — Ce, е2=0, ее*=1 С=а=а*

Z

10

И

C=a+ia'

IV. q = ССо+Ре, [coe]=te, ее*=1 С=а=а*

Е^

12

13

14

15

С=1оц а2<1

С=1оц а2^=1

C=a-Via*

V. д=ас0+аРе4-бр*е*, а=а*, b=b*, ab<9 a=b=i

16, 80 (3)

16

a^b

15, 80 (3)

17

VI. д=асо+аре—&р*е*, а=а*, b=b*1 ab*>0 а=Ь=^ 1+а2>2 рр

19, 80 (2,1)

18

а=Ь=1, 1+а2#=21 р 2

20

19

а^Ь, 1+а2>2ад|РР а#=Ь, Ц-а^ад] р |2

17, 80 (2,1)

18

20

q = iaqx и q = ае. Таким образом, трехпараметрическая группа (9.23) гораздо богаче подгруппами, чем 50(3).

Если ab <. О, но b #= —а, то мы получим группу, изоморфную предыдущей, что доказывается с помощью того же соотношения (9.21).

Таким образом, вектор-параметр вида (9.9) порождает все типы подгрупп, ^рассмотренные выше, сводка которых дана в

табл. 9.1*). Действительно, при а = Ь = О получаем из (9.23) подгруппы типа g = Сс0, при С = Ь = 0 — подгруппы g = ре и, наконец, при а = —6 = 1 и соответствующем значении р из (9.9) следует 9= Cgi(gi2 = 1).

Отметим, что во всех случаях, приведенных в табл. 9.1, кроме 4, 8 и 14, вектор-параметр является каноническим, т. е. удовлетворяющим условию q = q*.

Из рассмотренных 20 подгрупп 7 пар групп изоморфны между собой. Это пары групп (1,5), (2,6), (3,7), (4,8), (15,16), (17,19), (18,20). Следовательно, неизоморфных между собой групп насчитывается 13, а именно, 1—-4, 9, 10, 11—15, 17, 18.

Хорошо видно, что все группы 1—10 являются частными случаями по отношению к типу IV. Для типов I, III это очевидно, а тип II получается, если положить £ = хС при фиксированном комплексном С. При этом самой богатой подгруппами является группа IV, насчитывающая 12 подгрупп.

Проведенный здесь анализ подгрупп группы 50(3, С) и их структуры, использующий исключительно свойства трехмерного комплексного вектор-параметра и закона композиции (8.16), можно рассматривать как иллюстрацию эффективности векторной параметризации.

*) Заметим, что подгруппы 5—8 получаются из 11—14, если взять вектор-параметр в виде q = С (с0 + Рое) и фиксировать р0 (так как (с0 + + Рое)2 = 1).

5 Ф. и. Федоров

Глава II

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ

10. Представления. Перестановочные соотношения для инфинитезимальных операторов

Представлением группы G называется группа линейных преобразований (в частности, квадратных матриц) в линейном пространстве R. элементы которой Tg находятся в определенном соответствии с элементами g группы G. Это соответствие: gx-^Tgn g2”^Tg4 и т. д. характеризуется следующими свойствами:

Т gxTgtТ gxTgt— Tgxg,— Tgxg,Те = 1,Те = 1,(10.1)(Ю.2)(10.1)(Ю.2)

Т gxTgt

Т gxTgt

— Tgxg,

— Tgxg,

Те = 1,

Те = 1,

(10.1)

(Ю.2)

(10.1)

(Ю.2)

где е — единица группы G, а 1 обозначает единичную матрицу в пространстве R. При этом каждому элементу g^G поставлен в соответствие один вполне определенный оператор Tg) однако обратное соответствие T-^G в общем случае не является однозначным. Иными словами, представление группы может быть беднее элементами, чем сама группа. Это обстоятельство выражают словами: представление группы является ее гомоморфным ) отображением на группу матриц.

Пространство R называется пространством представления. Элементы этого пространства (векторы) будем обозначать ф.

В зависимости от того, конечно или бесконечно число измерений пространства Rt различают конечномерные и бесконечномерные представления. Число измерений конечномерного пространства представления п называют размерностью представления. Под действием преобразования представления Tg вектор ф переходит в некоторый другой вектор ф' того же пространства R, что мы будем записывать в виде

ф7 = ^ф, ф, ф7 ^ R.(10.3)

Линейное преобразование Т в линейном векторном пространстве R можно задавать по-разному. Пусть /«, а = 1, 2, ..., п,— базисные векторы некоторого n-мерного пространства. Это означает, что любой вектор ф данного пространства может быть представлен в виде линейной комбинации

Ф = Wa- (10.4)

Совокупность комплексных чисел фа называют компонентами (или координатами) вектора ф относительно базиса (/«). Их задание (при фиксированном базисе) однозначно определяет любой вектор ф. Действие линейного оператора Т на любой вектор ф полностью определяется, если указать, как он действует на векторы базиса

Т]а = /а* (10.5)

Каждый из векторов /а в свою очередь может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов /р

7a = Tap/p-(Ю.6)

Матрица TaP есть матрица оператора Т в базисе /р. Она полностью определяет линейный оператор Т. Чтобы убедиться в этом, подействуем оператором Т на вектор ф (10.4). В силу линейности Т и соотношений (10.6) мы получим

т^ = фаПа = фоХ = фаГар/р = фр/р = гр', (10.7) где

Фр = Фа^ар*(10.8)

Таким образом, знание матрицы оператора (Тар) позволяет найти компоненты фр вектора ф', являющегося результатом действия оператора Т на любой вектор гр. Если, в соответствии с принятыми в § 1 обозначениями, написать

то в безындексной записи соотношение (10.8) будет иметь вид

(10.10)(10.10)ф' = фГ = Гф.

(10.10)

(10.10)

Таким образом, если известна матрица (ТаР) оператора Т*) в ба-

зисе (/р), то матрица-столбец компонент преобразованного вектора ф' получается из матрицы-столбца компонент вектора ф (в том же базисе (/₽)) путем операции умножения на транспонированную матрицу Т.

С другой стороны, векторы ф можно задавать не в виде разложений (10.4) по базисным векторам, а непосредственно в виде матриц-столбцов ф = (фа) (10.9), поскольку базис (/«) обычно является фиксированным для всего пространства. Тогда линейный оператор Т, преобразующий ф в ф', задается соотношением

ф' = Гф, фр = Графа-(10.11)

Мы будем обычно пользоваться вторым способом задания оператора Т непосредственно в виде матрицы, умножаемой справа на матрицу-столбец преобразуемого вектора. Однако в литературе часто используется также задание оператора посредством его действия на базисные векторы, т. е. с помощью формул (10.5) —-(10.10). Таким образом, оба способа задания оператора Т отличаются транспозицией его матрицы.

Подпространство Rx пространства R называется инвариантным относительно представления g->Tg1 если из феД1? следует Tg^^Rx для всех geG и всех ф^Яь т. е. если действие всех Tg на векторы подпространства R\ не выводит их за пределы R\. Представление Tg в R называется неприводимым, если в R нет инвариантных относительно Tg подпространств, исключая тривиальные: нулевое и все пространство R.

Согласно (2.5) преобразования группы вращений ОДс) являются непрерывными и дифференцируемыми матричными функциями вектор-параметра с. Для краткости мы будем опускать индекс «+». Очевидно, соответствие g->-Tg в случае группы вращений можно записать в виде О (с) -> Т (с). Поскольку (см. (3.1) и (3.6))(

О (с') 0^ = 0 Uc’, с» = О\ £±l±Vcc\ \(10 12)

\1 — с с /

то условия (10.1), (10.2) принимают соответственно вид

Т(с') 1^ = т«с', с» = Т\ С' + С + 1С'С1 У (10.13) \1 — с с /

Т(0)=1.(10.14)

Заметим, что соотношение (10.14) является следствием (10.13). Действительно, при с' = 0 имеем

Г(0)Т(с) = Г(с)

для любого с, что после умножения справа на Т-1 (с) приводит

к (10.14). Таким образом, условие (10.13) полностью определяет представление группы вращений.

В дальнейшем мы будем в основном иметь в виду матричные представления, не считая особо оговоренных случаев. Очевидно, при этом соотношение (10.13) по своему характеру будет матричным функциональным уравнением.

Отметим еще, что из (10.13), (10.14) при с' = — с следует Т(-с) Г (с) = 7(0) = !, т. е.

Т"1^)- T^-cY(10.15)

Из сравнения (10.12) и (10.13) ясно, что сами матрицы О. (с) реализуют одно из представлений группы вращений, так называемое основное представление.

Пусть в пространстве представлений R осуществлено преобразование базиса с помощью произвольной постоянной неособенной матрицы S. Под этим подразумевается, что все векторы ф пространства R испытывают преобразование ^-^Sil). При этом действующие в пространстве R операторы представления Т (с) претерпевают преобразование подобия

Г (c)=ST(c) S~\

Как видно, соотношение (10.13) остается в силе для матриц Tr ^cY какова бы ни была не зависящая от с матрица S. Следовательно, матрицы Т' (с) также реализуют представление группы вращений, которое называется эквивалентным представлению Т (с). В теории представлений групп эквивалентные представления рассматриваются не как существенно различные, а как разные формы одного и того же представления, отличающиеся за счет выбора базиса.

При малом с, разлагая Т (с) в ряд Маклорена, получим с учетом (10.14)

T(c) = T(0) + c(^)e=e+...=l + 2cJ, (10.16)

где постоянный матричный вектор-оператор J = (JaY определяемый соотношением

(10.17)(10.17)1 /дТ(с)\

(10.17)

(10.17)

2 \ дс )с=о'

называется инфинитезимальным вектор-оператором представления группы вращений. Подчеркнем, что J следует рассматривать как трехмерный вектор, компонентами которого являются матрицы Ja (а=1, 2, 3), определяемые по формуле

дс/

a/c1=ct=c1=o

(10.1Г)

Аналогично (7.12) введем обозначение

с = cJ = caJQ.(10.18)

Таким образом, для бесконечно малых преобразований представления группы вращений имеем

Т(с) = 1 + 2с.(10.19)

Величину с при любом с мы будем называть инфинитезимальным оператором представления. Покажем, что задание вектор- оператора 3 однозначно определяет представление группы вращений. Для этого положим в (10.13) |с'| бесконечно малым. Мы получим

Т (с') Т (с) = Т «с', с» = Т(С) + 8с 9-^t(10.20)

причем (ср. (6.8))

6с = с'(1 4-с.с + сХ).(10.21)

С другой стороны, согласно (10.19) Т’(с') = 1 + 2с', поэтому (10.20) принимает вид

2с'Т (с) = с' (1 + с с + ex) ^ Т (с).(10.22)

Это соотношение справедливо при любом направлении бесконечно малого вектора с'; полагая с' = кс и учитывая, что ссх = ^= [се] = 0, получим после сокращения на к

2^Т(с) = (1+с^с^Т(с).

Поскольку с (д/дс) = | с | (д/д | с |) (см. (6.18)) и с = | с|Сц где с® = 1, последнее уравнение принимает вид

<10-23>

Это обыкновенное дифференциальное уравнение для матрицы Т легко интегрируется, поскольку матрица сх не зависит от |с|:

Т (с) = С ехр ^ j d | с |/(1 +1 с |2)} = С ехр {2^ arctg | с |}.

Вследствие условия (10.14) постоянная матрица С равна единичной, и мы имеем окончательно:

Т (с) = ехр \2сх arctg | с |}.(10.24)

Таким образом, достаточно найти инфинитезимальный вектор- оператор 31 чтобы тем самым полностью определить соответст-

вующее представление группы вращений Т (с). Следовательно, решение вопроса о построении представлений группы вращений упирается в определение вида вектор-оператора J.

Обратимся к соотношению (3.24), которое перепишем в следующем виде:

с" = О (с) сг = <с, с', —- с>.

Отсюда следует в соответствии с (10.13)

Т (с") = Т (с) Т (с') Т (- су(10.25)

Для малого с1 (а значит и с") получаем согласно (10.19)

с” = Т (с) с'Т (- с) = б^с'.(10.25')

Если вектор с также мал, то с учетом (2.13) получаем

с' + 2 [сс'] = (1 + 2с) с* (1 - 2с)

или, ограничиваясь членами второго порядка малости,

[ее'] = ccf — с’с.

Используя для коммутанта (антикоммутанта) операторов Л, В обозначение

<АВ^ = АВ^ ВА,(10.26)

перепишем полученное соотношение в виде

{cPU = [^1-(10.27)

Поскольку это равенство однородно по векторам с и с', то мы можем отбросить предположение о их малости и считать здесь сие' произвольными по направлению и величине.

Мы получили перестановочные соотношения для инфинитезимальных операторов. Из их вывода ясно, что они имеют один и тот же вид для любых представлений группы вращений, хотя матрицы Л, разумеется, различны для разных представлений. Раскрывая (10.27) с учетом (10.18), получим

Са^ь {<^а*^ь}— = ^abc^aCbJс>

откуда следует ввиду произвольности cQl сь

{JaJb}- == Gabele(10.281

или

{J1J2}- = И. {<^2/3}- = 7b {^1}- = /2.

Нетрудно убедиться путем непосредственной проверки, что все операторы (7.14) — (7.24) удовлетворяют этим перестановочным соотношениям.

Соотношения (10.27), (10.28) непосредственно вытекают из (10.13), т. е. из того факта, что 7(c) является представлением группы вращений. Следовательно, эти перестановочные соотношения являются необходимыми условиями, которым должны удовлетворять матрицы Ja, для того чтобы они являлись инфинитезимальными операторами некоторого представления группы вращений. Можно доказать, что они являются и достаточными условиями. А именно, справедливо следующее утверждение: если какие-либо три матрицы Ja удовлетворяют условиям (10.27) или равносильным им (10.28), то эти матрицы являются инфинитезимальными операторами (генераторами) некоторого представления группы вращений [5].

. Унитарность представлений группы вращений

Скалярное произведение F двух векторов ф и х в конечномерном комплексном пространстве R определяется следующим образом:

г = ^ЛХ = ^аЛарХр-(Н.1)

Здесь матрица ц должна быть эрмитовой

Л+ = Л* = Л, Лра = Лар(11.2)

и положительно определенной, т. е.

ф*трР>0 (ф^О).(11.3)

Во всяком конечномерном пространстве может быть введено скалярное произведение, например, путем выбора ц = 1.

При линейном преобразовании базиса пространства все векторы этого пространства изменяются: ф-^ф', х^Х» •••» причем это изменение сводится к линейному преобразованию векторов с помощью одной и той же неособенной матрицы 8

ф = 5^, х = 5/, .... ISI^O. (11.4)

Подставляя эти выражения в (11.1), получим

F = (Sip') *nW) = (S*^*) Л^х' = ^*S*4Sx'.

Мы видим, что в новом базисе скалярное произведение принимает вид F = ip'^'x', причем

Ч' = 5+л$, л = S*1-^-1.(11.5)

Всякая эрмитова положительно определенная матрица может быть представлена в виде

ц = А+А,(11.6)

где А — некоторая неособенная матрица. Действительно, с по-

мощью некоторой унитарной матрицы U, т. е. матрицы, обладающей свойствами

U^U = UU* = 1, U* = и-\(11.7)

можно привести т) к диагональной форме т)о- Л = U”x%\oU = = U^t\U (см., например, [16]), причем элементы, стоящие по диагонали матрицы Цо, будут положительны. Поэтому квадратный корень Утю будет диагональной матрицей с вещественными элементами, т. е. эрмитовой матрицей, и мы можем написать г]о = (Ут)о)2 = (Учо)+Уло- Отсюда ясно, что, положив 4 = Ут)о17, мы представим ц в форме (11.6). Из (11.6), (11.7) следует, что, выбрав 8 = 4"1, мы получим т/ = 1. Таким образом, путем линейного преобразования базиса пространства матрица любого скалярного произведения всегда может быть сделана единичной, т. е. скалярное произведение может быть представлено в простейшей форме

F = г|)*х = фаХа-(118)

Преобразование с помощью некоторой матрицы У, действующее в пространстве Я, называется унитарным, если применение У к обоим векторам скалярного произведения (11.1) не меняет последнего, т. е. если

(Уф)*т](Ух) = ф*(У+т)У)х = Ф*т]Х-

Поскольку это соотношение справедливо при любых ф, х» то

У+цУ = ц.(11.9)

Таково общее определение унитарного преобразования. Очевидно, свойство (11.7) является частным случаем (11.9) при т) = 1.

При преобразовании базиса (11.4) У, как и всякий линейный оператор, испытывает преобразование подобия

V' = SVS-\(И.юу

Выбирая в качестве 8 преобразование, обращающее т)' в единичную матрицу, т. е. полагая n = s+ S-1 (см. (11.5)), и подставляя последнее выражение вместе с (11.10) в (11.9), получим У/+У7 = 1, т. е. свойство (11.7). Следовательно, матрица всякого унитарного преобразования путем линейного преобразования базиса может быть сделана унитарной в смысле определения (11.7). Иначе это можно выразить словами: матрица унитарного преобразования подобна унитарной.

Покажем, что преобразования представлений группы вращений являются унитарными относительно надлежаще определенного скалярного произведения. Пусть Т (с) — преобразование

представления и Л — произвольная постоянная неособенная матрица. Построим матрицу

Л^с) = Т+(с) АТ^(11.11)

и обозначим через ц инвариантный интеграл от этой матрицы по группе вращений (см. § 6)

ПW (1 + с2)2 - J (1 + с2)2 W

Роль функции /(с) (см. § 6) играют здесь элементы матрицы (11.11). Вследствие свойства инвариантности (6.3) интеграл (11.11) не изменяется, если в Лг(с) мы произведем правый сдвиг аргумента с-><с, с°>, т. е.

Но согласно (11.11) при любом се

А «с, с»» = Т* «с, с«» Л Г «с, с«» =

= (Г (с) Г (с°))+ЛТ {с) Г (с°) = Т* (с°) Лх (с) Т (с°).

Поэтому из (11.13) следует

п = С Т+ (с°)Л1 (с) Т (с°) , ^ = ^+ W ЧТ W, (11.14)

т. е. при любом с° для преобразования Т (с°) удовлетворяется условие (11.9). Таким образом, преобразования представлений группы вращений унитарны по отношению к скалярному произведению с матрицей (11.12). Согласно доказанному выше мы всегда можем так выбрать базис в пространстве представлений, чтобы матрицы Т^ были унитарны в смысле (11.7). Как отмечалось в предыдущем параграфе, преобразование базиса несущественно для представления, поэтому мы всегда будем считать базис выбранным таким образом, чтобы ц = 1 и выполнялось условие (11.7) унитарности матриц представления

^(с) = Г"1 (4 = Т(—с).(11.15)

Применяя это условие к соотношению (10.24), получим

(ехр {2^7 arctg | с |})+ = exp {2c1J+ arctg | с |) =

= ехр {— 2с tJ arctg | с |}, откуда следует

J+=-J, j+ = -Ja, с+ = -с (с = с*),(11.16)

т. е. инфинитезимальные операторы представления группы вращений являются антиэрмитовыми матрицами. Вместо 7в можно ввести эрмитовы инфинитезимальные операторы

I = iJ, Ia=Ua1 1 = 1.(11.17)

Перестановочные соотношения (10.28) для операторов 1а принимают вид

VW- = UabJc(И.18)

Соответственно соотношение (10.24) заменяется следующим:

Г(с) = exp ( — 2icr arctg [ с |), ст = с/|с|,(11.19)

где введено обозначение (см. (10.18))

с = cl = са1 а = ic,с+ = с (с* = с).(11.20)

При этом перестановочные соотношения (11.18) принимают форму

{c^L = i[^1.(11.21)

Мы будем, в основном, пользоваться этими перестановочными соотношениями вместо (10.27), ввиду эрмитовости инфинитезимального оператора с.

Рассмотрим сумму квадратов компонент 1в инфинитезимального вектор-оператора любого неприводимого представления группы вращений

Р = la = IJa = laWb = HL(11.22)

Здесь 1 обозначает единичную трехмерную матрицу. Из перестановочных соотношений (11.18) следует*)

<14 bV = <IJa1 IbV = lAIJbV + UJbVa =

= isobc(ZoZc + /Ja)=0, (11.23)

так как Sa6C антисимметрично по отношению к индексам а, с, а выражение в скобках симметрично по отношению к тем же индексам. Таким образом, квадрат вектор-оператора Р коммутирует со всеми тремя своими компонентами, а, следовательно, и с любой их линейной комбинацией. Поэтому можно написать

VPcV = U^- = 0(11.24)

для любого вектора с, в том числе комплексного, Оператор Р = К^ коммутирующий со всеми 7», называется оператором Казимира.

Инфинитезимальные операторы неприводимых представлений

Нашей задачей является определить вид матрицы инфинитезимального оператора с неприводимого представления группы вращений для любого вектора с. Предположим, что пространство представления R имеет конечное число измерений. Важнейшей характеристикой любой матрицы служит набор ее собственных значений, которые являются корнями характеристического полинома матрицы. Согласно теореме Гамильтона — Кэли (см. П.1) всякая матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению. Пусть 5 — размерность пространства представлений, тогда общее характеристическое уравнение для матрицы с можно написать в виде

Р{с ) = с8 + а^8"1 + ... + а^с + а8 = 0.(12.1)

Матрица с линейно и однородно зависит от компонент вектора поэтому, очевидно, все члены матричного уравнения (12.1) должны быть однородными функциями от са степени 5. В противном случае уравнение (12.1) не могло бы оставаться справедливым для любого с. Отсюда следует, что каждый коэффициент ак должен быть однородной целой функцией степени к от са. При этом коэффициенты характеристического полинома являются инвариантами преобразования подобия, т. е. они одинаковы для матрицы си матрицы ScS-1 при любой 8 (см. П.1).

Перейдем в соотношении (10.25') к операторам с (11.20)

сп =6^=т (с') сГ’1 (с').(12.2)

Отсюда следует, что при любом повороте вектора с матрица с испытывает преобразование подобия. Следовательно, характеристические полиномы для матриц с" и с должны совпадать, т. е. их коэффициенты ак (с*) и а^ (с) должны быть одинаковы. Это значит, что ак должны быть такими целыми однородными функциями от со, которые не меняются при любых поворотах вектора с, т. е. инвариантны относительно вращений. Существует лишь один независимый инвариант вектора с по отношению к вращениям: с2. Поэтому отличными от нуля могут быть лишь коэффициенты ак с четным к = 2к\ и они должны иметь вид ак = <4k' = Ьк» W\ где Ьн» не зависят от с. Вследствие этого полином Р^ может содержать либо только четные, либо только нечетные степени с, и уравнение (12.1) принимает форму

Р(с) = с3 + Ъхс^ + b/^ + ... = 0.(12.3)

коэффициент при кото- Тогда 5 — г = 2к — четкоэффициент при кото- Тогда 5 — г = 2к — четПусть ст будет наинизшей степенью с, рой в полиномеР(с) отличен от нуля.

коэффициент при кото- Тогда 5 — г = 2к — чет

коэффициент при кото- Тогда 5 — г = 2к — чет

ное число, и характеристический полином можно представить

с\^2j + Ьк = 0.с\^2j + Ьк = 0.в форме

с\

^2j + Ьк = 0.

с\

^2j + Ьк = 0.

^(^ ) = кс^к сГ [^ j +Ь1^^г] + • • • + Ьк-1

Полином в квадратных скобках по теореме Гаусса разлагается на биномы с2/с2 —- £р, р = 1, 2, ..., к, причем числа §р должны быть вещественными положительными, так как эрмитовская матрица с имеет вещественные собственные значения. Поэтому 6р = Хр, и характеристическое уравнение в общем случае должно иметь вид

Р(с) = Cr (с2 - ^сг) (с2 - Х?с2) ... (с2 - ^с2) = 0. (12.4)

Отсюда следует важный вывод о том, что отличные от нуля собственные значения матрицы с всегда входят парами, отличающимися знаком, и имеют вид ± Х|с|, где к не зависит от с. Согласно (12.4) собственные значения матрицы с не зависят от направления вектор-параметра с, а лишь от его длины | о |. Кроме того, отсюда следует, что каждому собственному вектору фх, отвечающему собственному значению X, в пространстве представления должен соответствовать собственный вектор ф-х.

Отыскание матрицы инфинитезимального оператора представления с = са1а сводится к нахождению трех матриц Zi, /2, Z3. Вместо этого можно поставить задачу несколько иначе. Всякий вектор-параметр с можно представить в виде слегка видоизмененного разложения по векторам аксиального базиса (см. (3.38))

с = ас0 + ре+ + Р*е_,(12.5)

причем

е+ = е* = («! + *еа) //2, е„ = е = е+ = (ег - 1е^<2г е+е_ = 1, (12.5')

i [сее±] = ± е±, [е+е_] = — icOl е± = 0.

Очевидно с = с/ = ас0/ + Pe+Z + р*е_/ или

с = ас0 + Ре+ + Р*е_.(12.6)

Подчеркнем, что матрица с0 = сй1 эрмитова; cj = с0, так как вектор с0 вещественна матрицы 1а (см. (11.17)) эрмитовы. Что касается операторов е± = e±Zt то

(»±)+ = 4/+ = е^1 = ет.(12.7)

Таким образом, матрицы е^ и е_ эрмитовски-сопряжены одна другой: (е±)+ = ет.~

Согласно (12.6), если мы найдем матрицу с0 для фиксированного единичного вещественного вектора с0 и матрицы е-^ для соответствующих нормированных круговых векторов е^ то для любого вектор-параметра с матрица с получится с помощью коэффициентов а, £ разложения (12.5) в виде линейной комбинации (12.6). Пусть

соФт = ^Фт>(12.8)

где т — какое-нибудь собственное значение матрицы с0, а грт — соответствующий собственный вектор.

Перестановочные соотношения (11.21) линейны и однородны относительно каждого из векторов с и с'. Поэтому, хотя при их выводе мы предполагали векторы сие' вещественными, эти соотношения сохраняют силу и для комплексных векторов. Действительно, если

с = ^а + т)6,

где а, 6 — вещественные векторы, a g, т) — любые комплексные числа, то, по определению (11.20), с = £а + т]6. Поэтому (см. (11.21))

{сс'}_ = {£а + т)6, Р}_ = g {ас'}_ + г) {6с'}_ =

= i£ [ас'] + ft] [frc'J = I [сс'].

Аналогично можно показать, что соотношение (11.21) остается справедливым, если оба вектора с, с’ являются произвольными комплексными векторами. Следовательно, мы можем применить соотношение (11.21) к векторам с0, е^ и, учитывая (12.5'), получим

1м±1- = г [сое±] = ± е±.(12.8')

Действуя обеими частями этого матричного равенства на вектор фт с помощью (12.8), находим

(сое± — е± с0) фт = ± е±^т. с0 (е±^т) = (тп ± 1) е±^т.

Следовательно, вектор с-}-фт (если он не нулевой) является собственным вектором матрицы с0, отвечающим собственному значению т± 1, т. е.

С+фт — <Хт"^фт+1,(12.9)

С-фт — ®т ^фт-ь(12.9')

где ат — некоторые коэффициенты.

Коэффициенты а^ будут иметь определенные значения лишь при условии нормировки векторов фт. В качестве такого условия МЫ ВОЗЬМСМ фтфт = фт±1фт±1= 1- С другой стороны, поскольку с0—эрмитова матрица, то ее собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны. Таким образом,

фтфт* — ^тт'-(12.10)

Очевидно, этими условиями фт определяется с точностью до произвольного фазового множителя ехр(г’х)- Каковы бы ни были комплексные коэффициенты а^или ат\ мы всегда можем подобрать в соотношениях (12.9), (12.9') эти фазовые множители так, чтобы либо aS\ либо а^ для всех т были вещественными положительными числами. Предположим это условие выполненным для а^\

Если подействовать оператором е± на вектор фт к раз, то получим

^±фтп = ^тфт±Ь»(12.11)

±

где

Ат = а^^^х ... а^т2(л-1)*(12.12)

±

Предположим, что матрица с0 имеет наибольшее собственное значение I, и пусть ф: будет ее собственным вектором, относящимся к этому собственному значению. Действуя на ф^ повторно оператором в-, мы получим совокупность собственных векторов ф;, ф<-1, фг—2, • ••, ф^-к ... Эта совокупность должна заканчиваться вектором ф-z, так как, по доказанному выше, каждому собственному значению X отвечает собственное значение — X. Таким образом, при некотором целом к мы должны получить

е^( = ^tipt-h = С^-ь

Отсюда следует I — к = —Z, к = 2Z, т. е. Z = А/2. Значит, собственное значение Z в любом случае должно быть половиной положительного целого числа к. Если подействовать оператором е* на ф-z, то должен получиться нулевой вектор, иначе согласно (12.9') мы имели бы е.ф_1 = о^/ф-и+х), чт0 невозможно, так как для собственного значения — (Z+1) по предположению не найдется пары I + 1 > I. Следовательно, е_-ф_ t = 0. Таким образом, из одного вектора ф путем применения операторов е\ к =

= 0,1,..., 2Z, мы получим 2Z + 1 векторов ip(, ^-i, ipt—2, ..., ф-н-ь •ф—t. Очевидно e+i|)i = 0, поскольку не существует вектора ^z+i- С другой стороны, согласно (12.9), (12.9х) е±^±< = aS4±(i+i)« Это соотношение можно согласовать с равенствами

е±ф±1 = 0,(12.13)

если положить

а^? = 0,(12.13х)

где следует одновременно брать верхние или нижние знаки. Далее, по условию (12.9х) ф:—i = (l/aj-)) e-ipi и согласно (11.21) и (12.5')___

{e+e_}_ = e+e_ — е_е+= с0-(12.14)

Поэтому (см. (12.13), (12.9))

e-nN-i = -ну e+e_^t = —^у (е2е+ + с0) t^ = -L i^. (12.15)

Аналогично можно написать, используя (12.9), (12.14),

- ,1 — ,1-х,a^’)«Ui + »* ,

^+фт—1 — ^\ ^4-^—фт — ^_) \^—^+ Ч~ ^о) фш(_) фт,

ататат

(12.16)

откуда ясно, что из е+фт ~ фт+1 следует е+фт-1 ~ фт и т. д. Таким образом, операторы е^ действуя на любой вектор фт совокупности ф^, ф/-1, ..., ф_,, снова дают векторы, относящиеся к ней, с точностью до множителей «т±\ причем а^г = 0.

Итак, совокупность всех векторов, полученных из собственного вектора ф/ матрицы с0, отвечающего максимальному собственному значению Z, путем повторного применения оператора е_, обладает тем свойством, что, применяя к любому из них произвольное число раз любой из операторов с0, е± или любое их произведение, мы снова будем получать векторы той же совокупности или нулевой вектор, т. е. не выйдем за ее пределы. Но тогда, очевидно, тем же свойством будет обладать любая степень оператора с (12.6) для любого вектор-параметра с, а значит, и матрица Т (с) преобразования (11.19), которая согласно § 1 представляется в виде полинома от с. Следовательно, полученная выше совокупность 2Z + 1 векторов фт, —-I < т < Z, образует базис представления.

Чтобы найти коэффициенты а^ (см. (12.9), (12.9')), рассмотрим скалярное произведение обеих частей уравнения (12.9)

на i|)m+i. Учитывая нормировку (12.10), получим

фт+1®+фт = ^т(12.17)

С другой стороны, на основании (12.7), (12.9') имеем

1pm+1^+ = [ в+фт+1] = (е—Фт+1) = «m+llpm-

Поэтому из (12.17) следует

ап»+1фтфт = ®m+l — Ctm*-(12.18)

Поскольку выше было показано, что коэффициенты «т> всегда можно выбрать вещественными и положительными, то согласно (12.18) такими же будут и коэффициенты а^. Умножая равенство (12.14) слева на фт и справа на фт, получим с учетом (12.9), (12.9'), (12.7), (12.18)

(фт^+) (в_фт) (фт®-) (^+фт) = (от-1) (dm ) = ^-

Сумма этих соотношений от т = I до т +1 дает (поскольку а|+) = 0).

(с4+))2 = Z + (Z- 1) + (Z - 2) + ... + (тп + 1) =

= A(Z + m + 1)(Z —т).

Следовательно (см. (12.18))*),

«{^ = а£+) = а^чл = ]/у (Z + m + 1) (Z — тп) =

= "|/4(Z(Z+l)-m(Tn + 1)). (12.19)

Заметим, что отсюда следует а±р = 0, как и должно быть согласно (12.13'). Легко убедиться, что для ос^±) справедливы также соотношения

«т1 = |/ 4[(Z + I) - (т ± -I) ] = V ^Ц Т т) (Z ± т + 1),;

(12.20)

„К±) _ „«Т) _ ~К±)Н9 9П

— ОСщ — OL-m •

Поскольку любая матрица в n-мерном пространстве однозначно определяется результатом ее действия на п линейно незави-

♦) Мы вводим в коэффициенты а^ верхний индекс I, чтобы явно подчеркнуть их зависимость от I.

6 ф. и. Федоров

симых векторов этого пространства, то формулы (12.6), (12.8), (12.9), (12.9'), (12.20) полностью задают операторы с в пространстве, натянутом на векторы фт, — I ^ т < I.

Резюмируем полученные результаты. Рассмотрим п-мерное комплексное линейное пространство Я, в котором выбран ортонор- мированный базис фт, фтфт' = ^ттЛ ТП, in/ = —Z, —Z + 1, . . . ..., Z — 1, Z; Z = (п — 1) /2, n = 2Z +1, и определим в этом пространстве три линейных оператора с, e+te_, действующие на векторы базиса следующим образом:

^оФт — ^фт, #±фт = ^т^фт^Ы*(12.22)

При этом с0 = Со, Со = е+е- = 1, [coe-]J = =F ie^ [е+е_] = —- icv Операторы (12.22) удовлетворяют соотношениям

е_ = е+, (сое±}_ = ± е±, |е+е_}_ = с0.(12.23)

Очевидно, если с2=тМл то умножая соотношение c^m = тпфт (ci = 1) на | с | = j/c2, получим

сфт = т|с|фт.(12.24)

Для любых векторов с, с' можно построить операторы (см. (12.5))

с = ас0 + Ре+ + Р*с-, сг = а'с0 + Р'е+ + Р'*с-, (12.25) которые, как нетрудно проверить с помощью (12.22), удовлетворяют соотношению (11.21) и поэтому согласно § 10 реализуют некоторое представление группы вращений.

Это представление будет неприводимым, поскольку в пространстве R, натянутом на векторы фт, не может быть подпространства, инвариантного относительно операторов е+ и е— Действительно, если бы в R существовало инвариантное подпространство R' размерности к (0<fc<n = 2Z + l), то в нем имелось бы не более чем к линейно независимых векторов. Но любой вектор х из R' может быть представлен в виде линейной комбинации х = атфт. Нетрудно убедиться, что согласно (12.9), (12.9'), действуя на этот вектор операторами е+ и е-,мы можем получить из него п = 2Z + 1 линейно независимых векторов, каковы бы ни были коэффициенты ат, не равные одновременно нулю. Таким образом, в Я не может существовать подпространства, инвариантного относительно е±, а значит, и относительно с (12.25), что и означает неприводимость представления.

Можно доказать [3, 4], что соотношениями (12.22), (12.5) для Z = 0, 1/2, 1, 3/2 ... определяются все неприводимые представления трехмерной вещественной группы вращений. Таким

образом, любое неприводимое представление группы вращений однозначно определяется заданием числа Z, которое называется весом представления.

Поскольку для неприводимого представления все собственные значения т = — Z, —Z+ 1, • ••, Z —1, Z различны, то для матрицы с минимальный полином совпадает с характеристическим и имеет вид (см. (12.4)) в случае целого I:

Р1(с) = [с2 —- Рс^ [с2 —- (Z —- 1)2с2] ... [с2 — 22с2] [с2 — с2] с = 0t

(12.26)

в случае полуцелого Z:

Р' (с) = [с2 - ZV] [с2 — (Z — 1)2с2] ... | с2 -(-Г d = 0. (12.27) I \ 2 / J

Эти выражения можно объединить в одном полиноме: Р1 (с ) = [с2 - Рс2] [с2 — (Z — 1)2С2] ...

... [с2 — (3 + (Т ^Т с2] cV2(i+(-i)2') = 0(12.28>

Степень уравнений (12.26) —(12.28) равна 2Z + 1.

Соотношения (12.26) — (12.28) справедливы не только для вещественных, но и для комплексных векторов с и соответствующих операторов с. В частном случае круговых векторов е^ (12.23) они принимают вид

е±+1 = 0.(12.29)

На основании (12.22) мы можем^написать ковариантные явные выражения для операторов с0, е± через собственные значения и собственные векторы фт (см. П.1)

*

Со = 5 ^фт'фт,(12.30)

т=-1

I е±= 5(12.31)

т=-1

Здесь выражения вида трт-фт обозначают матрицы-диады, которые определяются соотношением (см. П.1)

(Ф * x)nv = фмХ*.(12.32)

Нетрудно убедиться, что операторы (12.30), (12.31), при действии на все векторы фт дают результаты, совпадающие с (12.22).

Матрицу неприводимого представления группы вращений веса Z будем обозначать Т1 (с). 6»

Рассмотрим совокупность матриц Г* (с), комплексно сопряженных к матрицам Т (с) произвольного представления группы вращений. Взяв комплексное сопряжение от равенства (10.13), получим

Т* (с) Т* (o') = Т* «с, с'».(12.33)

Следовательно, матрицы Т* (с) также образуют представление группы вращений. Ясно, что если матрицы Т (с) = Т (с) образуют неприводимое представление веса Z, то и совокупность Т1* (с) будет неприводимым представлением той же размерности и соответственно того же веса I. Но поскольку неприводимое представление веса I группы вращений, как вытекает из способа его построения, единственно с точностью до эквивалентности, то Т1* (с") должно быть эквивалентно Tz(c), т. е.

T14c')=St4c)S"1~t4c').(12.34)

Поэтому можно утверждать, что в случае группы вращений любое представление совпадает с комплексно сопряженным к нему (или, что то же самое, эквивалентно ему).

В § И было показано, что оператор Казимира К = Р коммутирует со всеми компонентами 1а инфинитезимального вектор- оператора I (см. (11.23), (11.24)). Поскольку для неприводимого представления три матрицы I» образуют неприводимую совокупность, то согласно лемме Шура (П.4) матрица К должна быть кратна единичной: К = X. Чтобы найти число X, достаточно определить результат действия К на любой из векторов -фт (см. (12.22)), например, на фь Используя для единичной матрицы в пространстве вектор-параметров выражение (см. П.1) 1 = с0-с0 + е+-е_ + е-е^ получим с помощью (11.22)

Р = Ш = Цс0-с0 + е+-е_ + e_-e^ I = с^ + е^е- + е_е+.

(12.35)

Но согласно (12.14) е^е. = е_е+ + с0, поэтому

К = Р = eg 4- Со + 2е_е+.(12.35')

Поскольку e+ipi = 0, с0-ф! = Zipi, то 2Сфг = I (I 4-1) г|){. Следовательно, для неприводимого представления группы вращений веса I

К = Р = 1(1 + 1)(12.36)

и соответственно (см. {11.17))

J2 = _/(Z + 1).(12.36')

С помощью этого соотношения можно получить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют все элементы матрицы неприводимого представления Т1 (СУ Для этого используем соотношение (10.22), из которого вследствие произвольности вектора с* вытекает, поскольку с' = crJc,

JcTl (с) = -L (1 + С .С + с*) т1 (с).(12.37)

Таким образом, согласно (10.22) умножение Г1 (с") на матричный вектор-оператор Jc равносильно применению к Т1 (с) дифференциального оператора (7.15). Применяя еще раз к обеим частям операцию Jc (7.15), получим с учетом (7.36)

Ц^-2 (А« +с 4г (! +с 4гЬ1,1 (с) + И? +1) Г' (с) = 0. (12.38)

Таким образом, каждый элемент матрицы преобразования неприводимого представления группы вращений веса I должен удовлетворять уравнению

[ас+4}1+с4-))/м+^W1 ^=°- (12-38,)

До сих пор мы ограничивались неприводимыми представлениями. Если рассматриваемое представление приводимо, то его матрица в надлежащем базисе может быть представлена в виде (см. П. 3)

Т(с) = 2е(1г4® ^(с)),(12.39)

где Т г (с) — неприводимые представления веса 1^ на которые распадается Т (с), п — их кратность. Как следует из вывода, соотношения (11.23), (11.24) имеют место и для инфинитезимальных операторов приводимых представлений, т. е. квадрат инфинитезимального вектор-оператора коммутирует со всеми своими компонентами в случае любого представления группы вращений как неприводимого, так и приводимого. Для инфинитезимального преобразования соотношение (12.39) примет вид (см. (10.19))

1 + 2с = 2 е [ц 0 (i4 + 2с4)] = 5 ф (i,t 014) +

+ 2 s Ф (1ч 0»‘) = 1 + 2 2 Ф (1П ® *'$ (12.40)

Следовательно, в общем случае инфинитезимальный оператор

приводимого представления имеет вид

6 = 2®^®»'*), с = 5 Ф (^Фс*’).(12.41)

Соответствующие выражения имеют место и для операторов е^.

«± = 2®^®^).(12.42)

Поэтому на основании (12.35) можно написать (см. П.З)

r-S®^®^'")2).(12.43)

Поскольку (/**) есть квадрат инфинитезимального вектор-оператора, относящегося к отдельному неприводимому представлению с весом lit то для него справедливо соотношение (12.36)

(/'*)2 = /, (Z<4-1).(12.44)

Таким образом,

/г = 2 ® (1П ® 1Ч) ^ Gi + 1) = S Ф к (к + 1) Ъ^ц+х). (12.45)

т. е. каждому неприводимому представлению веса It соответствует скалярный блок /<(/< +1), который для представлений, имеющих кратность г^ входит г< раз.

Конечные преобразования представлений группы вращений

В предыдущем параграфе были найдены инфинитезимальные операторы всех неприводимых представлений группы вращений. С их помощью, на основании формулы (10.24), мы можем определить соответствующие конечные преобразования

Т (с) = ехр {2сг arctg | с | } = ехр {— 2^ arctg | с | }, сх = -щ.

(13.1)

Очевидно, этой формулой неудобно пользоваться для непосредственных вычислений, так как экспоненциальная функция от матрицы выражается бесконечным степенным рядом

e« = l + a + -^+ + 4rah--*(1312)

Однако поскольку матрица с удовлетворяет характеристическому уравнению (12.28) (оно же минимальное), то с2,+1 выража-

ется в виде линейной комбинации низших степеней с. То же справедливо и для всех степеней выше, чем 2Z +1. Поэтому бесконечный ряд (13.2) для матрицы с должен сводиться к полиному от с степени не выше 2Z.

В данном параграфе нам будет удобнее пользоваться антиэр- митовским оператором сх (10.18), для которого полином (12.28) перепишется следующим образом:

РХ^-

i+(~i)2^

= [3 + z2] [3 + (Z —1)2]... [с? + (^Ц^)2] ^ 2 = 0.

(13.3)

Очевидно, этот полином разлагается на множители вида (<?i — Zzn), —Z < т < Z.

Общее выражение для разложимой в степенной ряд функции от матрицы а, приводимой к диагональному виду, определяется интерполяционным полиномом Лагранжа — Сильвестра (см. [15.1])

Р, (а)

Здесь Р(а) = (а — Хм)Рм(а) = 0 — минимальное уравнение матрицы а, Хк — собственные значения. Поскольку собственные значения матрицы сг равны — игц то собственные значения матрицы Г (с) (13.1) равны ехр {— 2im arctg |с|) и формула (13.4) в нашем случае принимает вид

Т1 (с) = Т1 ( I С I, С^ = У _£^1L e-Zimarctgld, (13.5)

причем

P‘(Cl)=(Cl+^)^m(Ci).(13.6)

Используя равенство

exp {2im arctg | c |} = (1 - i | c | )m (1 + i | c | )"m,(13.6')

выражение (13.5) можно преобразовать к виду

Т'(с) = (Ц-с2)-‘ 2 ^^'d-ilcD'^U + ilcDi-m. (13.7)

Показатели степени 1±.тп будут целыми числами как при целом,

так и при полуцелом I. Из (13.3), (13.6), (13.7) следует, что (1 + с^1 Т1 (с) является полиномом от сг степени 2Z, коэффициенты которого, в свою очередь, будут полиномами от | с | степени не выше 2Z. Введем обозначение

Tl (c) = Tl(]c |, ^ = (1 + с2)-' & (Iс I, ^,(13.8)

причем на основании сказанного мы можем написать

21

СМ^ИЛ)- 2 ^кГс?.(13.9)

x,k=o

Очевидно, полином Qi полностью определяется соотношениями (13.7), (13.6), (13.3) и может быть вычислен с их помощью для любого Z. Однако этот путь связан с утомительными выкладками, поэтому мы используем другой способ, приводящий к рекуррентному соотношению для коэффициентов Ь^.

Подставляя (13.8) в (10.23), получим

2 (с? + I1 с |) Qt (| с |, cj = (1 +^^Г^-(13Л°)

Полагая в (13.8), (13.10) |с| = 0, имеем

»(0,«,) = l,(13.11)

Взяв производную г-го порядка по |с| от обеих частей уравнения (13.10) и полагая |с|=0, найдем

^г+1) (0, с^ = 2^^ (0, cj + г (2Z - г + 1) ^ (0, ^. (13.12)

Если придавать здесь г значения 1, 2, 3, ..., то получим с учетом (13.11) следующий ряд равенств:

^2) (0, cj = 2^ (0, cj + 2Z$0) (0, cj = (2сху + 2Z,

?i3) (0, с^ = ^У + 2 (3Z - 1) (2^,(13 13)

<?14)(0, с^ = (йху + 4 (3Z - 2) (2сху + 12Z (Z - 1),

Из (13.11) — (13.13) ясно, что в общем случае Q*i^ (0, с^ является полиномом от сХ1 который содержит только четные (нечетные) степени сх соответственно при г четном (нечетном). При этом старший член в Qi (0, с^) равен (2e1)r. С другой стороны, согласно (13.9) имеем

21

^(O.c^rlS^et(13.14)

Ь=0

Сопоставляя (13.14) с (13.13), получаем ряд выводов. Во-первых, коэффициенты blrk должны равняться нулю при & > г, так как Q^ (0, с^ не содержит сг в степени выше г. Во-вторых, Ьук = 0, если гик являются числами неодинаковой четности. В-третьих,

=(13Л5)

Мы можем теперь определить коэффициенты при членах с^ и cfz-1B выражении (13.9) для Qi. Для старшего члена с^1 имеем

So bU | С Г = bxti,tt | С |2' = ^ | С |2'(13.16)

вследствие (13.15) и условия Ь^дг = 0 при к < 21. Для второго члена имеем аналогично

2lo2t —1

х5 &U-1 Н* = 62,-1.2Z-11 С I2'-1 = -А_ | С |2'-\ (13.17)

так как 621,21-1 = 0 ввиду различной четности 2Z и 2Z — 1.

Перейдем к выводу рекуррентных соотношений между конечными преобразованиями неприводимых представлений группы вращений с весами, отличающимися на единицу. Введем обозначение

R (с) = Т1 (с) - Т1-1 (с).(13.18)

Следует иметь в виду, что здесь под Т1 (с) и Т1-1 (с) мы понимаем не матрицы соответствующих преобразований*), а алгебраические выражения для этих преобразований в виде полиномов от операторов с^ с коэффициентами, зависящими от |с|, в соответствии с (13.8), (13.9). Поэтому R (с) также будет некоторым полиномом от сь коэффициенты которого, как функции от |с|, нам нужно определить. Ясно, что степень R (с) относительно сг будет равна степени Т1 (с), т. е. 2Z. Согласно (13.1) для любого Z

Т1 (с) = exp {2сх arctg | с |},(13.19)

причем, разумеется, для разных Z матрица сг будет различной,

♦) Для матриц Т1(с) и Tl-1W формула (13.18) не имела бы смысла, так как эти матрицы имеют разные размерности 2Z+1 и 2Z—1 и поэтому их нельзя складывать.

что можно учесть с помощью обозначения с^. Однако с^ и Ci""^ согласно результатам предыдущего параграфа будут иметь 2Z — 1 одинаковых собственных значений гт, — \l — V^m^. ^Z—1. Поскольку вид функции (13.19) от ск один и тот же для Z и Z — 1, то при замене сг на любое из вышеупомянутых общих собственных значений im полином R (с) = R ((с |, с^) согласно определению (13.18) обращается в нуль. Но тем же свойством обладает полином Р1-1^) (см. (13.3)) степени 2Z—1. Следовательно, полином Я(|с|, с^ степени 2Z может отличаться от Р1"1^) лишь биноминальным множителем, линейным относительно cv Таким образом, мы можем написать

R^-I^A-^"1^,(13.20)

где коэффициенты g, т] являются функциями от |с|. Для того чтобы найти их, достаточно определить коэффициенты при старших степенях с^1 и eV-1 в Г1 (|с|, Cj), так как в Т1-1 (| с |, cj эти степени не входят, а в R (с) согласно (13.20) и (13.3) соответствующие члены имеют вид (^i +11) с?11- Учитывая (13.8), (13.9), (13.16), (13.17), получаем

(13.21)(13.21)22' | с I21г^-^с!2'-1

(13.21)

(13.21)

(20! (1 +с2)1 ’ 11(2Z - 1)! (1 + с2)'’

Если ввести обозначение (см. (13.3))

Р'(с) = |<Н2'+1^(С1) =

Г- /3 + (-П21\2l-1^

= [с2 + ZV] ... [с2 + (^^ ■ J с2] с 2 , (13.22)

то с помощью (13.18), (13.20) —(13.22) находим рекуррентную формулу

Т' и - 7- № +-^f±K- Р'-Я (13.23)

Подставляя сюда выражение (13.8), получим рекуррентное соотношение для полиномов Qi (с)

Qi (с) = (1 + с2) &_, (с) + ^-£ + Ц Р1-1 (с).(13.24)

Чтобы применять эти формулы, необходимо знать выражения Qx (с) для начальных, наименьших значений веса Z. В случае

целого Z таким значением будет Z = 0. При этом Тг (с) превращается в тривиальное представление Т°(с) = 1, а полином (13.22) принимает вид Р° (с) = с. Соответственно @0 (с) = 1 (см. (13.8)). Таким образом, из (13.23) получаем

Т2 (с) = 1 4 22 ^ + *> ро ил 4- 2< (с + 2* Р1 (с\

W+ 2!(14с2) W + 41 (1 4 с2)2( }

и т. д. Отсюда ясно, что общее выражение для конечного преобразования неприводимого представления группы вращений при целочисленном весе Z имеет вид

Tz (с) = 1 + У - -htc + kL Р6"1 (с).(13.25)

к '^ (2А)1 (14 c2)k х 'v *

В случае полуцелого веса Z нужно положить Р-1/1(с) = 1, так как Р1 (с) является полиномом степени 2Z+1 с равным единице коэффициентом при старшем члене. Поскольку при отрицательных Z представления Т1 (с) не существуют, то следует положить Г"1'» (с) = 0. Тогда из (13.23) следует

Tv, м __ 2(с+ 1/2)з/,_ 2(с + 1/2)23(С + 3/2) pi/,г

W 11(1 +с2)1/»’ W~l!(l + c2)V. + 3!(l + c2)^ W

и т. д. Общее выражение для Тх ^ при полуцелом Z имеет вид 1-1/2. А

Тх22 +1 (с + А: + 1/2) рк-1/2 ГХ /д О ос\

(с) - A ^Fw^FF^ Р kcY (13126)

Для иллюстрации выпишем окончательные выражения для конечных преобразований неприводимых представлений с весами f = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, 3, вытекающие из формул (13.25), (13.26), (13.22):

Г (с) = 1, Т*7* (с) = -4=-.(13.27)

У14^

Т1(с) = 14-2^4*),(13.28)

1 + с

♦) Очевидно, Т1 (с) (13.28) совпадаете О (с) (см. (2.5)), причем 7 = сх» Аналогично матрица Тг'^(с) (см. (13.27)) совпадает с и (см. (5.30)), причем 1а = Оа/2.

(13.29)(13.30)(13.29)(13.30)1 + Зс2/2 + (2 + 7с2/3) с + 2с2 + 4с3/3d+c2)*/.

(13.29)

(13.30)

(13.29)

(13.30)

Г (с) = 1 + 2Г (с) = 1 + 2(3 + 5с2) с + (3 + 4с2) с2 + 2с3 + с43(1 + с2)2

Г (с) = 1 + 2

Г (с) = 1 + 2

fu (с) = (1 + с2)-6/* [1 + 4 с2 + ^с4 + (2 + ^- с2 + ^ с^с +

(13.31)(13.31)+ (2 + 4 С2) с2 + (4 + 2с2) 0s + 4 с4 + -Д-уб

(13.31)

(13.31)

рИ =1 + (T^v К1 + F+4И °+(1+^+^‘Р’+ + 4(1 + 2«‘+ + (А + 4 С‘)ё- + ^> + + «•]. (13.32)

При выводе формулы (13.23) для неприводимых представлений мы использовали только соотношение (13.1) и выражение для характеристического (минимального) полинома (13.3). Рассмотрим теперь приводимое представление, распадающееся на неприводимые представления только с целыми (либо только с полуцелыми) весами Zi, Z2, ..., 18. Матрицу этого представления Т (с), как и любого приводимого представления группы вращений, всегда можно представить в некотором базисе в виде прямой суммы матриц неприводимых представлений

Т (с) = Т1* (с) ф Т11 (с) ф ... ф Т1‘ (с). (13.33)

Пусть I— максимальный из весов Zi, Z2, ..., Z8. Тогда, как легко видеть, минимальный полином матрицы с будет совпадать с характеристическим полиномом Р1 (с) матрицы с^. Поэтому исходные основные соотношения (13.1) и (13.3) для матрицы Т (с) будут те же, что и для матрицы Т1 (с). Следовательно, вытекающее из них соотношение (13.25) или (13.26) будет справедливо также для приводимых представлений группы вращений, распадающихся на неприводимые представления соответственно только с целым или только с полуцелым весом, если Z равно максимальному весу из всех Zi, Z2, ..., Z8.

Запишем равенство (13.1) в виде

Т (с) = ехр {2с arctgj/c2/]/с2}. (13.34)

При такой записи очевидно, что правая часть зависит от вектора с, как целого, причем все его компоненты са входят равноправно. Соотношение (13.34) допускает обобщение на случай, когда с является произвольным трехмерным комплексным вектором. Очевидно, в последнем случае Т^ будет преобразованием

представления комплексной ортогональной группы (см. § 8) в трехмерном пространстве. Ясно также, что и минимальное уравнение Р1 (с) = 0, где Р1 (е) определяется формулой (13.22), сохраняет свое значение для любого комплексного вектора с. Поэтому и формулы (13.25), (13.26) сохраняют свой смысл и значение в случае комплексного вектора с. Все сказанное справедливо и тогда, когда вектор с является круговым комплексным вектором с = е, е2 = 0, хотя при этом соотношения значительно видоизменяются по форме._

При замене с на е выражение (arctgy^)/]/^ входящее в (13.34), очевидно, будет равно единице, так как

lim “2^6=1.

Таким образом, при с = е формула (13.34) сильно упрощается и принимает вид

Т (е) = ехр (2е) = ехр (— 2ге).(13.35)

Минимальное уравнение (12.32) при с = е принимает вид

Р1 (е) = е21+1 = О, е2,+1 = 0.(13.36)

В том, что это действительно есть минимальное уравнение для сдвигающего оператора е^ можно убедиться и непосредственно. Согласно (12.9) е±гр1 = e+'pi-i = ... = е++1тр_1 = 0. Поскольку всякий вектор ф в пространстве неприводимого представления с весом I может быть представлен в виде линейной комбинации *ф = вщ^т, то оператор е^+1 обращает в нуль любой вектор в пространстве представления. Но оператор, обращающий любой вектор пространства в нулевой вектор, равен нулю, т. е. ^++1 = =0. В то же время никакая низшая, чем 2Z + 1, степень оператора е+ не будет обладать этим свойством, так как, например, e+xp-i = Л!1^ ^ 0(ом. (12.11)). Поэтому (13.36) действительно +

является минимальным уравнением для оператора е+ и, очевидно, также для эрмитовски-сопряженного оператора е_ =— ej. Условие (13.36) позволяет сразу написать выражение для Т ^е^ (13.35) в виде полинома. Для этого достаточно разложить функцию ехр (2е±)в степенной ряд, который оборвется вследствие (13.36). Следовательно,

Т1 (е±) = ехр (2е±) = 2 "Нг"’(13.37)

причем это выражение будет верным и для приводимого представления, распадающегося на неприводимые представления только с целыми (полуцелыми) весами, максимальным из которых является L Заметим, что этот же результат можно получить и на основании формул (13.25), (13.26), в чем проще всего можно убедиться на частных примерах (13.27) —(13.32).

С помощью выражений (13.27), (13.28) и последующих можно получить алгебраические соотношения между инфинитезимальными операторами представлений группы вращений. Для неприводимого представления с весом I = 1/2 имеем*)

(1 + 27) (1 + 2?) = 1 + 2? с„ = , с,.

Z(1 + с2) (Ц-с'2) /1 + с"2 ’ ’

или (см. (3.6), (3.21))

(1 + 2с) (1 + 2?) = 1 — сс' + 2с + 2с' + 2 [сс'1,

откуда следует

4сс' = — сс' + 2 [сс']«

Учитывая (10.18), можем переписать это соотношение в виде Са^ъ (^Ja^b^ ^ab2eo6cJc) = 0,

откуда, вследствие произвольности са, Сь, получаем

(13.38)

Если ввести вместо Ja эрмитовы матрицы

а0 = 2iJa = а+,(13.39)

то согласно (13.38) будем иметь

ОаОъ == 6аЪ “|“ ISobcOc.^13.40)

Нетрудно убедиться, что если в (5.31), (5.32) заменить Oi на — 01, то получим (13.40).

Аналогичным образом для 1 = 1 соотношения (13.28), (10.13) дают

(1 + С2 + 2с + 2с2) (1+с'2+2с'+2?2) = (1 + с2) (1 + с'2) +

+ 2 (1 — сс') (с + ? + [с?]) + 2 (с"+ с' + W (13.41) Ввиду произвольности с и с' мы можем приравнивать здесь по

♦) Для I = 1/2 пространство представлений имеет 2Z + 1 = 2 измерения.

отдельности члены, содержащие одинаковое число сомножителей с и с'.Таким путем получаем [сс'1 = сс' — с'с, т. е. перестановочное соотношение (10.27), и далее с его помощью

с^с' + сгсг + с^с' + ос* с = 0.(13.42)

Справедливо также аналогичное соотношение, получающееся при перестановке с и с'. Сравнение членов четвертой степени по с, сг в (13.41) дает

с'2с2 4- с2с'2 + 2с2с'2 + ссг [се'] — [се']2 = 0. (13.43)

Соотношение (13.42) можно переписать в виде

CaCbCd ^Ja {Jb^ d}+ + ^АД Ь*^ d}+*^ а + ^bd^ а + у (Sab^d + ^ad^b)! =®е

Используя (10.28), получим ЛД = ЛЛ + edbg7g, поэтому опуская cacbcd1 имеем

•ZаАbJd + ^d^bJа Н 2* ^dbS {*Za*Zg}— “И ^bd^а Н 2* ^а-Ъ^ d “И ^ad^b) ^*

Еще раз используя (10.28), а также (П.1.38), и вводя h = Uai получим окончательно

ЫДс + Ubla = 6abZc + Ma.(13.44)

Нетрудно убедиться, что (13.43) есть следствие (10.27) и (13.44).

Алгебра матриц Za, определяемая соотношением (13.44), носит название алгебры Даффина — Кеммера. Аналогичным образом можно с помощью (10.13), (10.27) и (13.29) — (13.32) установить алгебраические соотношения для инфинитезимальных операторов представлений с другими весами I.

Матричные элементы неприводимых представлений

В § 13 были получены рекуррентные соотношения, позволяющие находить выражения для конечных преобразований неприводимых представлений группы вращений с любым весом I. При этом преобразование Тх (с) выражается в виде полинома степени 2Z от оператора с = cJ, коэффициенты которого являются полиномами от с2. Полученные в § 13 соотношения имеют ковариантный характер в том смысле, что они сохраняют свой вид при любом выборе базиса как в трехмерном пространстве вектор-параметров с, так и в (2Z + 1)-мерном пространстве представления веса I.

Для того чтобы написать матрицы тЦс^в раскрытом виде, в форме квадратной таблицы их элементов, необходимо выбрать в

пространстве представлений какой-нибудь базис. Наиболее распространенным является следующий выбор базиса. В трехмерном пространстве параметров фиксируется некоторое направление с помощью единичного вектора со(со = 1). После этого в пространстве представлений выбирают в качестве базиса систему 2Z+ 1 ортонормированных собственных векторов фm(c0)(—Z^7n^

Z) оператора с0 = cj*.

фт(со) фт' (с0) " (фтп)а (фт')а = ^тт'*(14.1)

В таком базисе матрица с0 принимает диагональную форму

I

(14.2)(14.2)1 + 1

(14.2)

(14.2)

Отсюда и из соотношений софт = тпфтследует, что базисные векторы фт должны иметь следующий вид:

с точностью до фазовых множителей ег<Рт,не нарушающих нор

мировку.

Указанный базис мы будем называть каноническим с0 -базисом.

Если в пространстве представлений задан произвольный линейный оператор (матрица) В = (ВаР), то в каноническом с0- базисе матричные элементы Втт* определяются, как обычно, следующим образом;

(14.4)(14.4)Втт* фт (^о) ^фт' (^0) — (фт)а-®оф (фт')р*

(14.4)

(14.4)

С помощью этого общего соотношения мы можем найти матричные элементы Ттт' (с) преобразования представления группы вращений в каноническом с0-базисе.

Если векторы с и с0 линейно зависимы: с = | с | с0, то матричные элементы Т^т* получаются сразу. Действительно, в этом случае векторы фт (с0) будут собственными векторами оператора Т'М = Т'(Ис0) (см. (13.1))

Т1 (I с | с0) фт (с0) = exp (— 2im arctg | с |) Ч*т (с0). (14.5)

Поэтому матрица Тх (| с | с0) в каноническом с0 -базисе будет диа-

гональной, причем ее диагональные элементы равны

Ттт = ехр(—2iTnarctg|c|).(14.6)

В общем случае из (13.25), (13.26) ясно, что отыскание Утт'М согласно (14.4) сводится к вычислению матричных элементов для различных степеней оператора с, т. е. выражений ^с^тт* = фщ (с0) сАфт* (с0).(14.7)

Вещественный вектор с можно однозначно представить в аксиальном базисе в форме (12.5)

с = ас0 + Ре+ + р*е_.(14.8)

Соответственно оператор с представляется в виде (см. (12.6))

с = ас0 + Ре+ + р*е_.(14.9)

Действие операторов с^ в± на любой базисный вектор фт определяется формулами (12.22):

Мт = Мт. Мт = «т Чт±Г

Поэтому с учетом (14.1) мы получаем

Сщт’ = фт (асо -р Р®+ *р Р в—) Трщ' =

= ip™ (ат'^т- + Pa^m'+i 4- Р*аУфт.-1) =

= OCTZl'fimm' + Рат^бт.т'+Х "Р Р*®т^6т,т'-1>(14.10)

Поскольку

= а2Со + Р2е+ + Р*2е— + ар (сое+ + е+с0) +

+ «Р* (сое _ + е_20) + | р |2е+е _,(14.11)

то ясно, что таким путем в принципе можно вычислить выражение (14.7) при любом к и затем найти Tmm'(с) (см. § 13). Однако этот путь связан с громоздкими выкладками, объем которых очень быстро возрастает с увеличением I. Поэтому для решения поставленной задачи удобнее использовать полученное в § 8 представление вектора с в виде композиции векторов, пропорциональных с0, е = е^ и е* = е+ (см. (8.37)). При этом в соответствии со свойствами представлений (см. (10.13)), если

с = <ge, т)е*, ^0>,(14.12)

то

Т1 (с) = Iх (Ее) Тх (це*) Тх ^сй\(14.13)

7 Ф. и. Федоров

Аналогичное будет иметь место при выборе других представлений для с (§ 8). Что касается матрицы Tl(C<?0)t то ее действие на вектор ^'(^о) определяется формулой (14.5)

Т* (^0) Tpm' = Хт.^т.,X™- = ехр (— 2гтп' arctg Р = ^|^4|р .

(14.14)

Для матриц Т1 (£е), Т1 (це*) на основании (13.37) мы имеем, поскольку е±+1 = О,

Т1^^^-(14.15)

А=0

и аналогичное выражение —- для оператора Т1 (це*). Согласно (12.11)

^±^m* (^о) = ^т'^т'^к (^о)*(14.16)

±

Здесь, как и в (14.14), не предполагается справа суммирование по повторяющимся индексам тп' и к. Это ясно также из того, что слева эти индексы входят однократно. Множитель Ат* опреде- ±

ляется следующим образом (см. (12.12), (12.20)):

дк —— 1/ (^ + rn)!(Z ± тп +А:)Г

лт — ат ат^х • • • ^т±(к-1) — у _h м . х|21 гг? Ц^л/) ±Т У (Z ± тп)! (Z + т — ку.

При подстановке (14.13) в (14.4) следует учесть еще, что

I’m (с.) Т1 (|е) = (Г,+ (g*e*) Х|)т (с^* = (Гг (- Е*е*) ^т (с0))*.

(14.18)

Таким образом, при использовании представления (14.12) мы получим

TU' (с) = Хт- (т1 (- l*e*) ^т ^У (Т1 (т]е*) я|)т. (с0)), (14.19)

где £, т), ^ берутся из (8.27), (8.27'). Если бы мы вместо (14.12) использовали для с представление с = <^с0, це*, £е>, то аналогичным образом получили бы

TU- = ^m‘ (Г' (- П*е) 1р„)‘ (Т1 (|е) ф„Д

Хт = e-2<m arctgE = fcjY”(14.20)

т

Согласно (14.15), (14.16)

Л-т* ^к,1+т',

Т (£е) Трт* = 2 ^р]“ ^w/ ” 2 "ру ^т'^т'+ЛЧ(14.21)

к'=0к'=0+

поскольку члены со значениями т' — к' < — Z, т. е. к' > V + т\ обратятся в нуль. Аналогично имеем

х-т* к

ТЧче*^т-= 2 TT^m'+fe-(14.22)

к=0* +

Здесь исчезают члены с т' + к > Z, т. е. с к > I — т'.

Тх *-^ тт'Тх *-^ тт'Таким образом, мы получим согласно (14.19), (14.22)

Тх *

-^ тт'

Тх *

-^ тт'

I jS РТ ^т'^т'+Ь'(14.23)

\fe'=0+/

Учитывая (14.1), мы должны сохранить лишь члены, в которых т' + к' = т + к, т. е. к' = т — тг + к. Поскольку 0 ^ ^ к' = т — тг + к ^ Z — т'^ то т' — т ^ к ^ Z — тп, следовательно,

I—mк ^

Ттт' = ^т' 2" ^т^т'-(14.24)

fe=H++

Здесь с определяется согласно (14.12) и

ц = тах(0, тп' —тп).(14.25)'

Поскольку Ат определяется формулой (14.17), то +

дк* / (Z — т')1 (l 4- и/ + к')1 N1^2

+\ 2к 0 + т )! О — т ~ к )1 /+

(14.26)(14.26)(Z — m')! (Z + m + fe)!

(14.26)

(14.26)

2m-m'-Vk (Z _|_ mry ^__m__ k)\

Окончательно формула (14.24) принимает вид

1 , (С\ = „m-т' (1~^\т' ((Z-m)l(Z-m')!V/2

тт ^1\1 + i^ / \ 2т -т (Z + т)! (Z + т')| /

у (-^(Z + m + /c)!

^^ 2кк'(т -т'-^-к^Ц! — т — Л)! Аналогично с помощью формул (14.20) , (14.21) получим ml ( \ tm'-m (1 + \т / (Z + тп)! (Z + т )!^ v

kr^т — т + л)! (Z + т — Л)! ’

причем

с = <^с^ х\е*, £е>,р' = max (0, т — т'У (14.29)

Вообще, используя любое из представлений с, приведенных в § 8, мы можем получить шесть различных по форме выражений для матричного элемента Т^*.

Матричные элементы Ттт* (с) удовлетворяют дифференциальным уравнениям, для получения которых мы используем соотношение (12.37), в котором заменим 7* на выражение (см. (12.35))

I = II = (св-св + е-е* + е*-е) 11 = с0-с0 + е-е* + е* -е. (14.30)

В результате формула (12.37) принимает вид

_ ^.(1 + се + сх) ^.Г« (с) = ГТ1 (с) = (ce.ao+e.e*+e*.e) Т1 (с).

(14.31)

Умножим это равенство на базисные векторы канонического се- базиса: слева — нагрт(с0), справа — на грт* (с0). Поскольку функция ^т^Сд^ не зависит от с, то в левой стороне (14.31) ее можно переставить с оператором д/дс. С другой стороны,

■фтС0 = ( С^т)* = (Мт)‘ = тф* ,

•/^+ х* /(Т) •(14.32)

фт^ = \^±Фт/ = \^тФт) = От фт=Р1*

В результате получим из (14.31)

/^тТ' (с) Х|)т' = (св-^тСв + в-^тв* + в*-^^в) Т* (с) 1|)тЧ или

-^(1+с.с + сх)-±ти'(с) =

= ТУЬСдТтт* Vc^ 4” ^т ^вТ-т—1,т' (с) 4" &т^ Тт-^1,т' (#)• (14.33)

Умножая на векторы с01 е±, найдем

Сд1 Тщт' (с) = ITtTmm' (б)$

е±1 Ттт* (с} = О*т^ Тт^х^т* {c)i

где Сд1с ^-с0 (1 + с*с + сх^-^ и т. д. Если зафиксировать

индекс тг. то эти соотношения аналогичны уравнениям (12.8), (12.9).

Рассмотрим инвариантный интеграл следующего вида:

X = f Т,+ (с) ВТ1' (с) dr, dr = -7^^(14.35)

где Т\ Tv — матрицы неприводимых представлений группы вращений весов Z, V и В — произвольная постоянная прямоугольная матрица размерности (2Z + 1) X(2ZZ + 1). Очевидно, X также будет постоянной прямоугольной матрицей той же размерности. Вследствие унитарности представлений группы вращений Т* (с) = Т"1 (с) = Т (—с) (см. § 11). Поскольку X — инвариантный интеграл, то (см. § 6)

X = f Тг (- с) ВТ1' (с) dr = ( Т1 (- <с, с.» ВТ1’ «с, с.» dr.

(14.36)

Но согласно (3.13) Т1 (—<с, с,» = Т1«— с,, — с)) = = Т\—с0) Т1 (—с), поэтому последнее равенство можно написать в виде

X = Т1 (- с0) [J Г* (- с) ВТ1' (с) dr] Г1' (с.) = Г1 (- с.) ХТг (с0)

(14.37)

Считая се бесконечно малым вектором, имеем Т1 (± с0) = 1 ± ± 2cJ, где Со — инфинитезимальный оператор неприводимого представления веса I. Поэтому соотношение (14.37) принимает вид

X = (1 - 2^) X (1 + 2с^) = X - 2 (cozX - Х^, (14.38) откуда следует

с^Х = Хс10\(14.39)

Поскольку X — фиксированная прямоугольная матрица, а с£ и с\— неприводимые совокупности матриц, то согласно лемме Шура (П.4) матрица X отлична от нулевой лишь при условии I = V, причем в этом случае квадратная матрица X должна быть скалярной, т. е.

Х = хбП',(14.40)

где х — число. Итак, мы имеем для произвольной постоянной квадратной (2Z + 1) X (2Z + 1)-матрицы В

j7’,(-c)S7’,(c)dr = xl2z+i.(14.41)

Взяв след от обеих частей этого равенства, получим [ j Т1 (- с^ВТ1 (с) dr], = j [(т1)"1 BTl\t dr =

= j5,dr = St = (2Z+l)x,

следовательно,

x = S,/(2Z+l),(14.42)

или

J Т1+ (с) ВТ1 (с) dr = ВД21 + 1).

Выписывая это соотношение с помощью индексов, получим

J ^ХрТр^т=svp J TModT=в^да+1)

или также (поскольку Bw = Bvp6Vp)

Bw (J Т^Т^ - 6vp6Ua/(2Z + 1)) = 0.(14.43)

Это равенство справедливо для произвольной матрицы В = (Bvp), поэтому

J H^dT = ^f.(14.44)

Возвращаясь к исходному выражению (см. (14.35), (14.40)), получим

J Раат = - 2i ^_ 1—.(14.45)

Мы получили соотношения ортогональности для матричных элементов неприводимых представлений группы вращений.

Полученные соотношения позволяют определить коэффициенты разложения любой функции /(с) на группе*) по матричным элементам неприводимых представлений Т1. Такое разложение можно написать в виде

/ м=2 w ^ 1=°, -г» I- 4- • • • - <14-46> f=o

где С1 = (Ci₽) — некоторые постоянные матрицы. Действительно, ^СХТХ\ = С1арТра(с) поэтому выражение (CzTz)t для любого? представляет собой линейную комбинацию матричных элементов Тра(с), коэффициентами которой являются элементы СгаР матрицы С1. Таким образом, задача сводится к отысканию мат-

♦) Для того чтобы/(с) была разложима в ряд, членами которого служат матричные элементы T^m, (с), необходимо (и достаточно), чтобы она была функцией с интегрируемым квадратом, т. е. чтобы было р/(с) Р^+с^ < “ (СМ. [3, 4]).

риц С1 для любого I. На основании (14.45) имеем

( Тг;* {с) / (с) dr = S Г Т1^ (с) CV^ (с) dr =

^i.v^i.v(14.47)(14.47)J1=0 J

^i.v

^i.v

(14.47)

(14.47)

ZiP C rpp* mV T pF ^Vp^HO

J2* + 1

Таким образом,

С^ = (2Г + l)J^v+(c)/(c)dT

или в безындексной записи

С1 = (2Z + 1) j Тх+ (с) / (с) dT = (2Z + 1) J Т1 (- с) f (с) dr. (14.48)

Последнее соотношение однозначно определяет матричные коэффициенты разложения (14.46).

Произведение неприводимых представлений

Пусть заданы два произвольных представления группы вращений: ^(с) и Т2(с). Рассмотрим прямое произведение матриц этих представлений (см. П.З)

Т(с) = Л(»)®Г2(с).(15.1)

Нетрудно убедиться, что матрица Т (с) также будет реализовать некоторое представление группы вращений. Действительно, согласно (П.3.24) и (10.13)

Т (с) Т ^ = (Л (с) ® Т2 (с)) (Л (с') ® Т2 (с')) =

= Л (с) Тх ^®Тй (с) Та (^-Тх «с, с'»® ^ «с, с'»=Т «с, с'».

Пусть ^(с) и Т2(с) являются неприводимыми представлениями с весами V и I" соответственно: Тх^ = Т1 (с), Т2(с) = Т1"^. Выясним, будет ли представление

Т(с) = Т1'(с)®Т1"(с)(15.2)

приводимым. Для этого перейдем к инфинитезимальным операторам (см. (10,19), (11.20))

T(c) = l-2ic, Tv {с) = Г - 2icr, Т1" (с) = 1" - 2icl\ (15.3)

Здесь V и 1" обозначают единичные матрицы порядка 2Z' +1 и 2Z" + 1 соответственно и

c = cl, 'cv = clr, cl* = cl",(15.4)

причем Г = Ivх I" = Iх”. Подставляя (15.3) в (15.2), ограничи-

ваясь членами первого порядка малости по с и учитывая, что 1' 0 1" = 1 — единичная матрица размерности (2Z' + 1) (2Z"+1), получим

с = Г ® сг + с1' 0 Г = с (Г ® Г + 7'0 Г) или

с = cl, 1 = Г® V + Г 0 Г-(15.5)

Пусть фт, = фт', *^т" = фт" — канонические базисные векторы в пространствах представлений Т1 и Тг соответственно HC0=e/|e|t тогда (см. (12.8))

#0 Фт' = ^^rn'i Cq фт" — т^^тп^(15.6)

Прямому произведению матриц (15.2) соответствует прямое произведение векторов фт# 0 фт”, причем (см. (П.3,20)) ^0 (фт' ® фт") (1' ® ^о Н” 60 ® 1 ) (фт' ® фт")

^ фт' ® ^о фт" "Ь ^о фт' ® фт" ~ (^ ~Н ^ ) (фт' ® фт")« (15.7) Таким образом, вектор фт' ® фт" есть собственный вектор матрицы coi отвечающий собственному значению т/ + тп":

Софт=7Пфт, фт — фт'® фт", Ш = ТП,'+ ТП,".(15.8)

Векторов вида (15.8) с — Г ^ т' ^ 1\ — 1П < тп" < Z" будет всего (2Z'+ 1) (2Z" + 1) и все они будут линейно независимы, поэтому они образуют полный базис в пространстве R = R'^R", число измерений которого как раз равно (2Z'+1) (2Z" + 1). Согласно П.З базис в Я, образованный векторами фт (15.8J, будет ортонормированным, если такими будут системы фт' и фт*.

Из (15.7) и (15.8) следует, что в общем случае одному и тому же т отвечает несколько различных пар чисел тп' и тп" и, соответственно, несколько независимых собственных векторов фт' ® фт", т. е. имеет место случай кратных собственных значений. Поскольку согласно § 12 в случае любого неприводимого представления группы вращений собственные значения оператора с0 однократны, то представление 7(c) (15.2), соответствующее прямому произведению двух неприводимых представлений, приводимо. Последнее ясно также из того, что максимальное возможное значение тп равно V + Z" и неприводимое представление с таким весом имело бы размерность s = 2(Z' + Z") + 1, в то время как представление (15.2) имеет размерность (2Z' + 1)(2Z" + l) = s + 4Z'Z".

Остается выяснить, какие неприводимые представления содержатся в произведении Т = ТХ ^)ТХ. Предположим, что V < Z".

Очевидно, в совокупности векторов (15.8) будет только один вектор с т = V + Z", а именно фг-н* = фг ® Фи (соответственно для т = —(Z' + Z"),i|>-r-H= ф-r ® Ф-и)- Значению т = V + + Z" — 1 будет соответствовать два независимых вектора (15.8) ф^+и-1 = фг-i ® фи» фг+и-i = Фр ® фи-v (15.9)

Для т = V + Z" — 2 таких векторов будет три: фг-2® фи» фг-i® ® фи-1» Фг ® Фи-a и Т. д. Эта ситуация наглядно поясняется

Рис. 15.1.

на рис. 15.1. Поскольку каждый вектор (15.8) определяется парой чисел т^ т", то последние можно рассматривать как дискретные координаты точки на плоскости, Совокупность всех этих точек образует решетчатый прямоугольник, изображенный на рис. 15.1. При этом все точки, соответствующие одной и той же сумме т = т' + т", лежат на наклонных прямых, показанных на рисунке. Из рисунка видно, что с уменьшением т от Z' + I" до Z" — V число соответствующих векторов фт увеличивается от 1 до 2Z' +1, затем остается постоянным до т =, = —- (Z" —- Z') и после этого убывает. Поскольку для неприводимых представлений (см. § 12) максимальное собственное значение оператора с0 равно весу представления, то можно сделать вывод, что в Тх ® Т1" входит неприводимое представление группы вращений с весом Z = V +1" и притом только одно, так как вектор фг+и — единственный.

С помощью круговых векторов е^ = ± i [сое+] (§ 12) мы можем построить сдвигающие операторы (см. (15.5))

е± = ej = е± (Г ® I" + Z' ® Г) = Г ® е'± + Z® 1". (15.10)

Повторно действуя оператором е_ на вектор *фг+г = ^v ® ^г» мы получим полный набор 2(Z' + Z") +1 собственных векторов Чгт+Г представления Т1 +г. В частности,

Wr+i^ = Се- (грг 0 гри) = С (грр 0 в- грр + е1грр 0 грг) =

= С (аи^^г 0 грг„! + ^/“^r-i ® ^"Y (15.11)

Таким образом, собственный вектор оператора с0, отвечающий m = V + I" — 1 для неприводимого представления Т1 +г, является линейной комбинацией векторов (15.9). Построив из двух векторов (15.9) другую линейную комбинацию, ортогональную к (15.11), мы можем рассматривать ее как базисный вектор неприводимого представления свесом Z' + Z"—1, отвечающий максимальному собственному значению, равному этому весу. Последовательно действуя на этот вектор оператором в- (15.10), мы получим все канонические базисные векторы представления гг+1»-1 После этого в подпространстве трех векторов tpr+r-a останется неиспользованным лишь один независимый вектор, поскольку два войдут в уже построенные представления Т1 +Р и Т1 +г-1*Поступая с ним таким же образом, построим представление Т1 +Р-2 и т. д. Очевидно, этот процесс можно повторять до ш = Z" — Z', но не дальше, поскольку в подпространстве с m = l" — V — 1 уже будут использованы все независимые векторы. Таким образом, мы построим представления Г1 +I , Г1 +1"-1, е е. ..., Тх -х. Сумма их размерностей, как легко проверить, равна

[2(Г + Z") + 1] +[2(Z' + I" - 1) + 1] +... +[2(Г - Z') + 1] = = (2Z' + 1){2Z" + 1), т. е. совпадает с размерностью представления Тх 0 Тх. Следовательно, произведение двух неприводимых представлений с весами Z' и I" разлагается на неприводимые представления с весами \V— Z"|, |Z' — Z"| + 1, ..., Z' + Z", причем каждое из этих представлений встречается в разложении один раз.

Приводимость матрицы Т (с) = Тх (с) 0 Тх (с) означает, что существует базис, в котором она принимает (для всех с) блочнодиагональную форму или, что то же самое, разлагается в прямую сумму матриц Т^1'*"1"^ Т^х ~р/+\ ..., Тх^х (см. П.З)

Г|Г-И.Н = ^^ $ г|г_,1+1 е ф Tv+r (15 12)

Упомянутый базис есть именно тот, который мы строили с по-

мощью процедуры, описанной выше. Матрица Tl ® Tl f как следует из определения прямого произведения (см. (П.3.19)), не имеет формы (15.12), но, согласно изложенному выше, приводится к такому виду преобразованием базиса. Поэтому матрица Т1 ® Т1 не равна, но подобна матрице (15.12). Используя символ подобия со, можем написать:

т1’ ® т^со ти'~и ф т11'-1"1^ ф ... ф т1’^”.

Это же соотношение может быть написано в виде

S (тг ® Т1") 5"1 = Г11'"11 ф т1г'и+1 ф ... ф т141’,(15.13)

где S — матрица размерности (2Z' + 1) (21" + 1), осуществляющая переход от базиса прямого произведения фт* ® ^т" к каноническим базисам представлений, стоящих справа. Подчеркнем, что матрица 5, согласно смыслу понятия приводимости, должна быть одной и той же для всех с, т. е. она не должна зависеть от с. В применении к инфинитезимальным операторам (см. (15.3)) соотношение (15.13) запишется следующим образом:

ScS'1 = с11-”1"1 ф clv-n +1 ф ... ф cv+v\ (15.14) или также

SIS-1 = I11'-1"1 ф ф ... ф Zr+r. (15.15) Квадрат этого равенства дает

SPS'1 = (z"'-1"1)2 ф ... ф (lv+ry.

Если учесть соотношение (12.36), справедливое для матриц любого неприводимого представления, то мы получим

SFS-1SFS-1(15.16)(15.16)ЦГ — г' | (| Г-Г| + 1)

SFS-1

SFS-1

(15.16)

(15.16)

,(v + vw + г +1)

В этой матрице каждый блок 1(1 + 1), \V — l"\ ^ I ^ V + I" является скалярной матрицей порядка 21 + 1. Поскольку подобные матрицы имеют одинаковые минимальные полиномы, то минимальный полипом матрицы Рп как следует из (15.16), будет равен

Q(F) = (F - g^^-r^F - ^r-H+i)• • .(/2 - gr^ = 0, (15.17)

где

(15.18)(15.18)gi = l(l+lV

(15.18)

(15.18)

Таким образом, при разложении произведения неприводимых представлений группы вращений в прямую сумму неприводимых

представлений каждому слагаемому веса I соответствует свой корень минимального полинома (15.17), равный gb Все корни минимального полинома различны, т. е. каждый из них является однократным. Собственные векторы представлений Tl (| V — I" | <

I < V + Z") мы будем обозначать посредством Ч^— Z ^ тпZ).

Блочная форма (15.16) оператора Р соответствует разбиению пространства R = Rv 0 Rr на сумму взаимно ортогональных подпространств Rt(\l'— Z"| ^ Z ^ Z'+ I"), в каждом из которых ортонормированная система 2Z + 1 базисных векторов состоит из ^U-Km^iy

Рассмотрим подробнее квадрат оператора (15.5),

Р = Г 0 1"а + Г2 0 1" + 2Г 0 Г. (15.19)

Согласно (12.36)

Г2 = Г (Г + 1) Г, I^-V^'-V^V.(15.20)

Поскольку V 0 1" = 1, то можно написать

Р = Г(1' + 1)4-/"(/, + 1) + 2Л/, М=Г®Г. (15.21)

Очевидно, матрица М, как и Р, распадается на блоки соответственно представлению (15.16). Заметим, что

/2^ = /(/ + 1)^, ^Х = тУ^ (15.22)

Поэтому, применяя обе части равенства (15.21) к вектору Ут, получим

мтк = 4" (Р ™ r V' + !) - r V* + W ^ = т (^ Г И ^,

(15.23) где

?G; V. Z") = 4-[Z G + 1) - г (Г+ 1)-/"(/" + !)]. (15.24)

Оператор М можно преобразовать аналогично (12.35):

М = Г 0 Г’ = Га 0 Г» = боЬ7а® /ь = (с,-с0 + е+е_ +

е_ • е+)оЬ Га 0 1ъ = cj' ® cj" + е^Р ® еЛ" +

+е_/'0е+7" = с''®сГ+е+0еГ + «1'0^. (15.25)

В таком виде легко определяется действие М на векторы ipm' ® 0t|W'.

В дальнейшем нам понадобятся два элементарных соотношения из комбинаторики. Как известно, биноминальный коэффици-

ент определяется формулой

__ и (и — 1) ... (и — А: + 1)

(15.26)(15.26)(15.27)(15.27)При положительном п он может быть написан в виде

(15.26)

(15.26)

(15.27)

(15.27)

\к) ~ к! ^п — ку?

а при отрицательном п= — тп (тп > 0) — в виде

\ к )к к /'А:Цт-1)! *

Сравнивая коэффициенты при хр-с в обеих частях тождества (1 4-я)р(1 +#)”’ = (1 + ху-4, придем к соотношению (при

Р — 9 < 0)

(15.28)(15.28)h /^ + с — к — 1 \ _/? — р + с — 1\ с — к )\ с

(15.28)

(15.28)

Полагая здесь р = — (а + 1), q = b — с + 1, получим после элементарных преобразований

(15.29)(15.29)(15.30)(15.30)у (а — ку ф — ку = а! (6-с)! (а 4-6 + 1)!

(15.29)

(15.29)

(15.30)

(15.30)

А к (с —ку с! (а+ 6 — с +1)! *

Если же положить в (15.28) р = q — 1 = а, то получим

V / л хк (а + с — А:)!_ .

А, к\ (а—ку (с-ку ~ 1е

Предполагается, что а. Ь, с, к — неотрицательные целые числа. Суммирование производится по тем значениям к, для которых все факториалы имеют смысл.

§ 16. Коэффициенты Клебша — Гордана

Как было показано в предыдущем параграфе, при перемножении двух неприводимых представлений группы вращений Г1 и Z1 , заданных соответственно в пространствах R' и Я", в результирующем пространстве R = R' 0 R" можно выбрать базис двояким образом. С одной стороны, этот базис может быть задан всевозможными прямыми произведениями ортонормирован- ных собственных векторов матриц Т4 и Т1 :

число которых равно (2Z' + 1) (2Z" + 1) — размерности пространства R. С другой стороны, базис в R можно задать с помощью

собственных векторов Т™ (— I ^ т ^ Z) матриц Tl (| V —- I" | < I ^ ^ Z' + Z") тех неприводимых представлений, на которые разлагается произведение Т1 ® Т1 . Число векторов Т™ равно t=r+r

2 (2Z + 1) = (2Z' + 1)(2Z" + 1), т. е. также равно размерно- wi'-iq,* 1

сти пространства, и они также ортонормированы: Т^Т^ = ~ 6ut6mmi.

Переход от одного базиса к другому совершается с помощью некоторого линейного преобразования 8 (см. (15.13)). Элементы матрицы этого преобразования или, что то же самое, коэффициенты линейных комбинаций, при помощи которых векторы Ч7™ выражаются через фт'® фт", носят название коэффициентов Клебша — Гордана. Мы можем утверждать (см. П.1), что матрица 8 (15.13) должна быть унитарной, поскольку она преобразует один ортонормированный базис в другой.

Коэффициенты Клебша — Гордана (ККГ) имеют исключительно важное значение для многих разделов теоретической физики и необозримо широкие применения. Им посвящена весьма обширная литература. После Клебша и Гордана их вычислением занимались такие крупнейшие ученые, как Вигнер, Фок, Вандер-Варден, Рака, Швингер, Редже и многие другие. Среди десятков руководств, где излагается теория ККГ, по-видимому, не найдется двух книг, содержащих одинаковый вывод этих коэффициентов. Причиной такого обилия различных способов получения ККГ, наряду с их важностью, является значительная громоздкость их вывода, побуждающая авторов изыскивать новые более простые пути. Однако до сих пор этот вывод оставался достаточно сложным*).

Ниже излагается вывод ККГ, который значительно короче и проще всех известных до сих пор и опирается на весьма элементарные соображения (см. [22]). Вначале мы введем некоторые обозначения и определения. Поскольку индекс тп, входящий в вектор Ym, согласно (15.8) равен m = m' + m”, то можно обозначить

фти' ® фти" ~ фш* ® фт-тп' = 47mmS Ч^тп'Ч7 / = бттП1б /. т^т-^т т^

(16.1)

Здесь и в дальнейшем при индексации различных величин опускаются веса V и I" перемножаемых неприводимых представлений, поскольку в данном случае они фиксированы. Выражение

♦) Так, в монографии [7], где, по заявлению ее автора, приведен самый простой из всех выводов, последний занимает шесть страниц.

для Тщ через Tmm' теперь можно написать в виде

^ = SC^mm.(16.2)

т*

Входящие в эту линейную комбинацию числа Стт' и есть коэффициенты Клебша — Гордана. Заметим, что в существующей литературе (см., например, [17] — [21]) употребляется свыше десятка различных обозначений для ККГ, например, Ст'т"пн ^Wlm | /Т'тп'тп") и т. п. Принятое нами обозначение обладает тем преимуществом, что, при максимальной компактности, оно однозначно определяет, какие векторы из числа Vm и 4%^ связывает данный коэффициент. Пределы суммирования по индексу т' устанавливаются из следующих соображений. Будем считать V ^ Z", тогда наибольшее значение т', с одной стороны, не должно превосходить V (так как —Z'^ т' ^ V). С другой стороны, при фиксированном т должно быть \т — m'\ = |тп"| ^ I". Поскольку нас интересует верхний предел для т'. то считаем т' > т*^ тогда \т — т'\ = т' — тп < Z", т' ^ I" + т, т. е. мы получаем еще одно ограничение сверху на т'. Следовательно, т' не должно превышать меньшего из чисел Z' и I" + т. т. е.

т' ^ т^ т+ = min (Z', V' + тп).(16.3)

Допустимые значения т' в соотношении (16.2) ограничены снизу условием — т' ^ Z'; кроме того, при т' < т из | т — т' | == = т — т' ^ Г следует — т' ^ Z" — т. Таким образом, аналогично (16.3) получаем

— т' ^ тп-, тп' > — тп-, т- = min (Z', I" —- тп). (16.4)

Окончательно имеем

т+

^ = s CU^,™-, Ш± = min (Г, Г ± тп), (16.5) т=-т_

причем

(16.6)(16.6)l-^l^l+l Z± = K±H. -l^m^l.

(16.6)

(16.6)

Применяя сдвигающие операторы е± (15.10) к обеим частям равенства (16.2), получаем аналогично (15.11) с учетом (16.1)

£ ^^m = 2 Стт* (1pm' ® ® ±lpm-m' 4" в J^m' ® lpm-m')

♦) Неравенство т' ^ т невозможно лишь в том случае, если т *> V. Тогда верхней границей для т' служит V.

или, снова пользуясь (16.2), «т Tmj-i — ат ^jbm^hm'im^miii —

(16.7)(16.7)2 Стт* (обт^т'Уп^!,!»' + Bm^^i^i.n^i)* т'

(16.7)

(16.7)

Здесь для сокращения принято обозначение а^ = <Хт:>» <Хт'±) = = а*5°, oj»^ = «т^Л Сравнивая в (16.7) коэффициенты при одинаковых Ттт'> находим рекуррентное соотношение для ККГ,

(16.8)(16.8)<*»?Cm^i.m' — tlm^m'Cmm' 4* C^n^Cm.m'^v

(16.8)

(16.8)

Теперь мы можем перейти непосредственно к вычислению ККГ. Полагая в (16.8) т = ± I и заменяя т' на т' ± 1, получим a^^jCii.m. = — «±$ш'±1)С±|,т'±1» откуда следует (см. (14.17))

j*l'Tm'

C±l,m' = (— 1) vrx^ С±1,±Г ■

Am£v

-(-aV'^J^^I+I^^(16 9)

1J L(2r)!(l + <-)!(r-l±7n,)!(r + m,)!j’ Vioy)

Согласно (16.2), (16.1), (12.11) Clmm. можно представить в виде CU = T*m.Y^ = (ЛЙ"1)-1 ^и (ет)'^^ =

*=(Л§т)-1((;±)'ТтУтт.)*¥?ы.(16.10)

Здесь T^ = SC^¥±wh (см. (15.10)) Я'

(?±)'TmTmm. = (е^ ® 1" + Г ® е^')'ТтТтт. -

- 2( V)((^®(t9w)(*®*^- л=о \ ^ /

Подставляя (16.11) в (16.10), используя (14.17), (16.9) и учитывая, ЧТО ^i.m^feVj-i.^ssfim^fe,^» ПОЛУЧИМ ПОСЛв ПрОСТЫХ ВЫЧИСлений

cU = cUo' U^rY12 (- i)r:Fm'"ft (1 т т\ х

т Т\ к )

х (^"'Г'^ул^ (16.12)

яойоНдф и ф g

-эеоиычя вяхэроМХ эеоиио я BJXdtf xXdtf эиМпивнкопоМ ‘JHH ик^ (9F9l) кинэжвdня uatf XeBdo иеиьХеоп ни ‘noeBdpo иияв^

чч•мине (иинжин) nnHxdea иэичеоя (О > w) о < ^ Hdn иеээ ‘ииьХеоп ни эииХо я яонэеь оеэиь ээш -чнэи охь ‘онЕияэьо (И’9Т) ‘(0F9V) еи оявнМо ‘XxXdM jXdM нняв5 оннэяхээМжох иивявне иииоро о винэжвйня ихе ‘вохээиХевд

ч

ч

/от-от ^ • 1^+^ т 1 — л) 1(3 —± л) 1(з—« ± ?) л кУ Г У Н 1(3 — ,Ш ± 1 + „1) 1(3 + zto 4- д) ч+,ш±4(» —)

Х•/ЛХ•/Л1(,№ + №±„1>1(,«< + Л)|(ш—})|(м+;)|()—+|)(Ц-1г) 1-+11(,№ + №±„1>1(,«< + Л)|(ш—})|(м+;)|()—+|)(Ц-1г) 1-+1,ШШ/^,ШШ/^

Х

•/Л

Х

•/Л

1(,№ + №±„1>1(,«< + Л)|(ш—})|(м+;)|()—+|)(Ц-1г) 1-+1

1(,№ + №±„1>1(,«< + Л)|(ш—})|(м+;)|()—+|)(Ц-1г) 1-+1

,ШШ/^

,ШШ/^

Мия xoBHHHHdn (gF9l) 9iBX4EXedd g • (j —) = ig (08*51) оиМюиоп э ииьХе -on ‘-J — 2 + ХЧ = Ч •HHHBflodnnnXo эяэМни ввнэиве и д — = ди Д — = ш ‘иоявне HHHxddfl о лохвея * (51*91) иинэшонхооэ я ввхвеоц ф,э OHaEaMadno эн иной nodoxoH я ‘,«*ш^ HIfy aинэжвdня онМо oina вэхэвьХеоп (gpgi) ‘(3F91) еи х^ине хинжин ndQ •еинэЕэиьня xntaoiBtaodnX ончЕэхиьвне вичээя ‘(51*51) ‘(И’9Т) ‘(01*91) иинэшонхооэ иинвяосчеопэи я вэхэвь(НЕяве яоМ -ояня xHxkdM хо еиьиЕхо охэ эоняонэ0 евохэшш1эяее Мояня инн -vo иех и ‘BHBMdoj —- вшрэЕц яохнэиМиффеоя веМ эинэяс^ня хэ -вМ иоявне HHHxddfl э (gr9l) я Л\Э нннэьине охохе вяяонвхэМоц

teF9t) 4== = ,. :.p1, = .1-:-3 чД10 ^Л^?,}^, '^-'Р нийохвн

(Я‘91) ‘(SF9T) 8и и01в И^П "ииннчиэлижокоп — -ид в ‘иинннэа -1ЭЭ1ПЭЯ «ш"у ээя чхвиэйэ онжол евф лойодня ли^пвжэкИвц

(ьтпт) lU + ?z)i(i —+?) <(з — ? — +;)|з ^ i(v +1 ++i) i(-i—i)i(~i + :) 1(3- jz)i(^ + ~i+i) ^

ХМия я хвявне хиоро ndn ^ nnMoandn ‘(65*5Т) чэвХячеоп и ^ = ^±,1 ввьвнеоро 1 — ,Д > ,ш > д— эявне иэнжин ибп в ‘д ^ ди ^ ,д — 2 9нвне иэнхйэя ndn чоэМд

(£191)(£191). jx^jjj^j£!)i(j^_±_£tL ^ ^—iLi+’hy?) |G«± 1 + J)i(,to + д) A.^p’^’^liG^+z)

(£191)

(£191)

((ZIM) ‘(8'91) ‘(1'91)

•иэ) ияяойилйон вияоеэХ еи лиМохвн Л^1^Э нхнэиМиффео}£

8П8ПVHVMdOJ — УШЭЭЕЯ НХНЭИПИФФвОЯ *9Т §

8П

8П

ния этих коэффициентов. Заметим, что второе выражение (16.16) не может быть получено из первого путем преобразования индекса суммирования, поскольку множители при сумме в обоих выражениях различны и, кроме того, различны числа членов суммы. Выражения (16.16) могут быть получены одно из другого с помощью соотношения: Стт' = (— 1)<+ 1С1-т-т*.

Перейдем к выводу рекуррентных соотношений для ККГ. Существует много рекуррентных соотношений для коэффициентов Клебша — Гордана, они насчитываются десятками (см., например, [19]). Большинство из них аналогично (16.8) могут быть получены без знания явных выражений для Стт^ Однако практическая ценность этих соотношений, за редким исключением, весьма незначительна. Причина заключается в следующем. Как известно, смысл всякого рекуррентного соотношения состоит в том, что с его помощью, зная значения некоторой величины для одного или нескольких значений какого-либо дискретного параметра, мы можем последовательно определять искомую величину для его последующих значений, отстоящих от первоначальных на некоторые интервалы. Наибольший интерес представляют такие рекуррентные соотношения, из которых путем последовательного их применения можно определить значение искомой величины для любых значений параметров, если известны ее значения для одного или нескольких исходных значений параметров. Соотношение (16.8) не предоставляет такой возможности, поскольку значения Cm±i,m'выражаются через С’т.т'ти т. е. через значение этой величины, в котором изменены два индекса (тп и тп'). Очевидно наиболее удобны такие рекуррентные соотношения, которые связывают значения Сттч отличающиеся между собой вследствие изменения лишь какого-либо одного из трех индексов.

Подставляя в (15.23) выражение (16.2), получим рекуррентное соотношение для Cmm' по индексу т':

О^т* ^т-^т'Ст.т'-! + [^ (^ — ^') — 7 G» ^ 01 Стт* +

+ Obm'+lOCrnim'-lCm.m'+i — 0. (16.17)

Кондон и Шорт ли [21] в результате довольно громоздких вычислений получили рекуррентное соотношение по индексу Z*). Ниже излагается значительно упрощенный вывод этого соотношения.

♦) Вывод этого соотношения в [21] занимает около 10 страниц. Ввиду громоздкости вычислений даже в фундаментальных монографиях (см. [18, 6] и др.) указанное соотношение приводится без вывода.

Обозначая К = Г 0 1", нетрудно убедиться в справедливости соотношений (ср. (11.18), (15.21), (15.5))

(16.18)(16.19)(16.18)(16.19)= UabcKc. IK = KI.

(16.18)

(16.19)

(16.18)

(16.19)

Kl¥m = 4 [Z2 + к2 - (Z - К)2] T^ - о,^,at=4[Z(Z+l)-M^ + l)l.

Всякий вектор-оператор К, удовлетворяющий (16.18), можно представить в виде

K=BI-VK°,(16.20)

где В — некоторый скалярный оператор (матрица), причем

{Za#g}-= iSabcKc, {BI}- = К01 = IK0 = 0.(16.21)

Действительно, умножая (16.20) на Z и полагая Кй1=К1 — — BI2 = 0, получим согласно (16.19), (15.22)

Bi^lm = i(i + t}B^lm = mlm, в^ = пт^тЛи (16.22) т. е. с помощью (16.20), (16.21) матрица В, а значит и К0, определяется однозначно. Если ввести аналогичное», е± операторы Н = сйК, Н± = е±К, Н°^= е±К° {Ht = Н+, Н°-+= Н°+), то (16.20) примет вид Н = Вс6 + Н°, Н^ = Ве^ + Hj., а из (16 21) получим

{с0Я°}_ = 0, \с0Н°±}_ = ± Н± = - \е±Н»}_,(16.23)

(е±Н°±)_ = 0, {е±Я^]_ = ± Н°, с0Н° + е+Н°_ + е_Н°+ = 1К°=0.

(16.24)

Из (16.23), (15.8) следует е0 (ЯЛ*.) = т{Н°¥т\ с0 (нЗД = = (тп±1)(ЯЛи, поэтому должно быть

ЯЛ^-^яМ, ЯЛ^ = 2^-^±1,(16.25)

hh ±

причем из эрмитовости № следует Dm = Dm*. Применяя соотношения (16.24) к Тт, получим

а1^№ = a^D1^ D1^ = ± (a^^1^ - a^№)t (16.26) ±dz±±

mDm1 “Ь ^т-\АРтХ + ^m-^Dm = 0.(16.27)

Здесь а^ , ат ^ определяются согласно (12.20). Из (16.26) находим

+ 2а’<(±)

^m* = (I — 1^(1 + 1х + 1) ± 2m(16.28)

что дает после подстановки в (16.27) и простых преобразований: m (Z + W + к + 2)[(Z - кУ - 1)= 0.(16.28')

Отсюда ясно, что Dm ^ 0 для всех т лишь при условии к = I ± ± 1 *).

Из (16.20) находим Я02 = Я02 + Я°+Я2 + Н°_Н°+ = Кг- В1!*. Умножим это равенство, так же как {Я+Я_}_ = Я, слева на Тт и справа на Ут-С помощью (16.19), (16.20), (16.22), (16.25), (16.28) получим после некоторых преобразований, учитывая, что К2 = /'(Г + 1),

!-/^।I1 + (1 +1) „ ,2't3. Iо«"I’- I — т,— Th

= Г (Г + 1) -(16.29)

/^|о”’1|г_7ГТЪ^|й”'+‘|! = Р7^и^

I —т(11) —тl (t -р 1)

Путем выбора фаз можно сделать все Дт!±1 вещественными и положительными. В результате из (16.29) находим

д^"1 = Dm1'1 =д^"1 = Dm1'1 =(16.30)(16.30)(f - тт^ ^ - Z2 ) [(Z+ +1)2 - 1^ 11/24Z2 (4Z2 — 1)J

д^"1 = Dm1'1 =

д^"1 = Dm1'1 =

(16.30)

(16.30)

Если теперь подставить (16.2) в первое соотношение (16.25) и умножить на V^^, то получим рекуррентное соотношение для Стт' по индексу I [21]

1Л_Х l-V /^1ит Ьтт' “Р^ ЦЬ-V^1Л_Х l-V /^1ит Ьтт' “Р^ ЦЬ-V^— ш' ) Стт' 4™ ^т Стт* — 0.— ш' ) Стт' 4™ ^т Стт* — 0.(16.31)(16.31)

1Л_Х l-V /^1

ит Ьтт' “Р^ ЦЬ-V^

1Л_Х l-V /^1

ит Ьтт' “Р^ ЦЬ-V^

— ш' ) Стт' 4™ ^т Стт* — 0.

— ш' ) Стт' 4™ ^т Стт* — 0.

(16.31)

(16.31)

Рекуррентные формулы (16.17) и (16.31) позволяют определять изменение Стт' в зависимости от индексов т' и I по отдельности. Очевидно, желательно дополнить их рекуррентным соотношением по третьему независимому индексу т. Чтобы найти

♦) Случай I = Ц = 0 реализуется только при V = Z"; при этом вектор Y^ = V® соответствует тривиальному одномерному представлению.

последнее, достаточно с помощью (16.8) исключить из (16.17) CVww В результате получим [22]

^а^-Сиг.т' ~ (т (т' - т) + Р<) С1тт- +

'4" <Xm+iam-m'+iCm+l,m' = 0,(16.32)

где

Pi = 4 [Z(Z + 1) +/-(^ + 1)1-

Совокупность формул (16.17), (16.31), (16.32) образует систему рекуррентных соотношений для коэффициентов Клебша —- Гордана, полную в том смысле, что она определяет их изменение в зависимости от каждого из трех индексов т'^ I, т по отдельности. С помощью этой системы мы можем последовательно вычислить все члены Cmms зная один-единственный из них, например, С±Х ±р=1.

В теории представлений группы вращений (и других групп) фундаментальную роль играют операторы типа е^ (12.7), преобразующие ipm в 1рт±ь Мы назвали их сдвигающими (§ 12) *). В ряде случаев может оказаться полезным оператор, сдвигающий по I для вектора Фт, поскольку с его помощью можно переходить от любого из неприводимых представлений, на которые разлагается Tv ® Т1*, к соседним представлениям.

Пусть операторы Х± являются сдвигающими по Z, т. е. обладают свойствами

XXX1,(16.33)

где Pm*1 —некоторые числа, зависящие от I и т. Отсюда, используя (15.22) получаем

{/гХ±}_^ = ±2^+4-±4)¥±^(16-34)

Введем эрмитовы матрицы С±, удовлетворяющие соотношениям ^С±П- = 0, С^т = ± + 4- ± Т-) ^<16-35)

откуда следует

С+ + С_ = 1, С± - С± = Р.(16.36)

С помощью матриц С± свойствам (16.34) можно придать форму матричных соотношений

VPX±V = 2Х±С±.(16.37)

♦) Применяется также термин лестничный (ladder) оператор.

Нетрудно убедиться, что и, наоборот, из (16.37), (16.35), в предположении, что Х± не влияют на индекс тп, следует (16.33). Та^ ким образом, задача сводится к отысканию матриц Х^ удовлетворяющих равенству (16.37). С помощью перестановочных соотношений (16.23), (16.24) можно показать, что операторы Х± имеют вид

Х+ = 2Н°+е_ + я° (с0 - с±) = - 2Я® е+ - Я0 (с0 + С±\ (16.38)

Действительно, согласно (12.25), (12.7), (16.23) Р — с^ + со+ + 2е_е+, причем {c0X-f-}_ = 0, поэтому, учитывая (16.24),имеем

4(^±}- = (*-*+, Х±}_ = ( е_Я^ + Я” е+) с0 - 2Я°е_ е+ -

-(Я®е+- е_Я9 С±, откуда получаем после некоторых преобразований

-^APX^v - х±с± = я0 (4 - с± - z2) = о.

Остается определить коэффициенты Р^^ Для этого используем вытекающее из (16.38) соотношение

Х^ - Х_ = Я0 (С_ - С+).(16.39)

Умножая его слева на Ч^1* и справа на Y^, получим на основании (16.33), (16.35)

p^T^Z + l)^^^

Учитывая (16.25), (16.30), имеем Р™^ = 4= (2Z + 1) Я^1-1^ откуда следует

Р”+)=- 1Шг 0™1(-)’(16-4С)

+(16.41)

При этом операторы Х+ будут обладать необходимыми свойствами

= Х-Т^ = 0.(16.42)

Нетрудно убедиться, чтооператоры, эрмитовски-сопряженные к

Х±, будут обладать обратным действием, т. е.

Умножая слева на Т^1*, получаем отсюда

^т = №£т‘ = (Х±Ч^Т^ = р^.(16.44)

При сложении моментов мы имеем дело с двумя совокупностями базИСНЫХ веКТОрОВ 2 ^mm' = 'фт' ® 'фт-т* и ^. Для Ч^ сдвигающими операторами по индексу т' будут е± ® е^ а по индексу ml 1'®е^Для Тт сдвигающими операторами по индексу т являются е± = е ± ® 1" + 1' ® е±. Вместе с найденными выше операторами Х±, сдвигающими по индексу Z, мы получаем полную систему операторов, позволяющих по желанию изменять любой индекс каждого из векторов ^mm' и Т™.

Глава III

ГРУППА ЛОРЕНЦА

§ 17. Пространство Минковского

Согласно частному принципу относительности линейное преобразование координат и времени, соответствующее переходу от одной инерциальной системы к другой, должно оставлять инвариантной квадратичную форму

f = x;+x;+x;-c«t«,(i?.i)

где с —скорость света в вакууме. Пространственно-временной континуум можно рассматривать как линейное пространство. Если ввести в нем четырехмерный вектор

Ъ=Цха, #о) = (#, ^о), х = (#«), х^— ct, a=i, 2, 3, (17.2) то форма F может быть представлена в виде

Ft=:№(17.2а)

8.(17.3)0-1/8.(17.3)0-1/где метрическая матрица ^ имеет вид И О О О .„010 0 g “ 0 0 1 0 .0 0 O~1J

8.(17.3)

0-1/

8.(17.3)

0-1/

В последней матрице мы использовали блочную запись, причем 1з означает трехмерную единичную матрицу. Впрочем, индекс 3 мы будем обычно опускать.

Следуя Минковскому, можно ввести мнимую временную переменную

х^ = ixo = let.(17.4)

Соответственно радиус-вектор точки (события) в четырехмерном пространстве Минковского будет теперь определяться следующим образом:

х = (»*) = (»., х^ = (®, ix^, fc= 1, 2, 3, 4. (17.5)

Переход от вещественного вектора | (17.2) к вектору ж (17.5) осуществляется с помощью унитарной матрицы U fl 0\/1 0\

® = UL и = (о i). U+ = (о - i) = ^-1’ и4 = ^. (17.6)

Инвариантная квадратичная форма (17.1) превращается при этом в сумму квадратов компонент вектора х

F = хХ + хХ + *! + ^4 = хкХк = х1 = х» = ®й — хХ, (17.7)

т. е. ее можно рассматривать как скалярный квадрат 4-вектора ж. Соответственно скалярное произведение двух 4-векторов ж и ж' определяется следующим образом:

жж = ж^ж^ = жажа -}- ж^х^ = хх жожй. (17.8)

При жж' = 0, т. е. хх' = хйжй1 4-векторы ж, ж' ортогональны друг ДРУГУ- Основным преимуществом метрики Минковского, т. е. выбора чисто мнимой четвертой (временной) компоненты каждого вектора, является то, что при этом отпадает необходимость введения метрического тензора g° (17.3). В соответствии с (17.5) всякий 4-вектор в пространстве Минковского должен иметь три первые (пространственные) компоненты вещественные, а четвертую (временную) компоненту — чисто мнимую.

Четырехмерные векторы а = (а, 1а0) в пространстве или, как говорят иногда, в мире Минковского могут быть трех разновидностей:

пространственноподобные при а2 > О, а2 > а^; (17.9) времениподобные при а2 < 0, а2 < а^ (17.10) светоподобные при а2 = 0, а2 = а^. (17.11)

Очевидно, у пространственноподобных векторов не может равняться нулю пространственная часть а, а у времениподобных векторов «о #= 0. Для краткости мы будем обозначать векторы (17.9) —(17.11) как 5-вектор, t-вектор, Z-вектор (space, time, light).

Очевидно также, что два вектора, относящихся к разным типам (17.9) — (17.11), не могут быть линейно зависимы.

Рассмотрим приращение трехмерного радиуса-вектора Lx движущейся частицы за время At. Если 4-вектор Lж= (LxacLt) будет пространственноподобным, то (Аж2) = (Аж)2 — с2 (At)2 > 0,; или (Аж/At)2 = v2> с2, где г— вектор скорости частицы. Поскольку движение материальных тел со скоростью, равной или превы

шающей скорость света, невозможно, то перемещение частиц может описываться только времениподобными векторами: (Дж)2<

<0. Поэтому 4-вектор импульса частицы р = кР^Р^ также всегда должен быть времениподобным.

Если рассматривать две различных точки в пространстве Минковского в один и тот же момент времени, то соответствующие им мировые векторы имеют вид х = (a?, ix0), я' = (a?', ix^ и kx = (х — х\ 0), следовательно, (Ах)2 = (а? — а/)2 > 0. Таким образом, все точки обычного трехмерного пространства, взятые в один и тот же момент времени, связаны между собой мировыми векторами, обладающими свойством (17.9). Отсюда и происходит название «пространственноподобный» вектор.

Наконец, если две мировые точки (события) (а?, гх^ и ^х\ 1х^ относятся к движению фронта световой волны в вакууме, то (а/ — x^t' — £))2 = с2 или (а?'—а?)2—с2 (£'—£)2=(Ax)2=0, т. е. связывающий эти события мировой вектор будет светоподобным.

В дальнейшем изложении мы будем пользоваться метрикой Минковского, т. е. считать четвертую координату всякого вектора чисто мнимой. Это обстоятельство накладывает определенные условия на элементы матрицы каждого линейного преобразования Л, переводящего некоторый 4-вектор х в другой 4-вектор х': х' = Ах. Запишем матрицу А в блочной форме

/ а а \,

Л = I z , I, а = I ®21 *22 агз I = (аа6), и' = и2 ,

х 1\«31а32«3з/(»;

о' = 4, ^2, Уз)- (17.12)

Тогда равенство х' = Ах примет вид

ах + « в' Vx + ikxQах + « в' Vx + ikxQ

ах + « в' Vx + ikxQ

ах + « в' Vx + ikxQ

Поскольку при любых вещественных х, xq величины х\ х0 также должны быть вещественны, то трехмерная матрица а и число к должны быть вещественны, а трехмерные векторы иг и V — чисто мнимы: »' = iu, v' = Id. Поэтому матрица всякого допустимого линейного преобразования в пространстве Минковского должна иметь вид

Л =Л =(a in' Id к(a in' Id к(17.13)(17.13)

Л =

Л =

(a in' Id к

(a in' Id к

(17.13)

(17.13)

Заметим, что произведение любых двух матриц вида (17.13), так же как их линейная комбинация с вещественными коэффициентами, снова дает матрицу того же вида.

Рассмотрим, какие векторы типов (17.9) — (17.11) могут быть ортогональны между собой. Пусть даны два пространст-

веиноподобных вектора а = (а, га0), b = (6, г60), т. е. а2 > а^ Ъй > 6g- Очевидно, для таких векторов условие ортогональности ab = ab — а0Ь0 = О может быть выполнено, так как трехмерное скалярное произведение аб = | а | • | Ь | cos ф, ф = Z («, 6) путем выбора угла ф может быть сделано равным величине aobo < | а |*| Ъ |. Если векторы а и Ь времениподобны, то|а|<|а0|, |6|<|М и равенство ab = а060, очевидно, не может быть достигнуто. Итак, времениподобные векторы не могут быть взаимно ортогональны. Для светоподобных векторов а, b должно быть а0 = ± | а |, 60 = = ±|&|, и равенство ab = айЬ^ возможно лишь, когда а||&, причем, если аоЬо>О, то а и Ь параллельны, а при аоЬо<О — ан- типараллельны. Во всех случаях это означает, что Ь = ха и Ь^ = = хао, т. е. а и Ь — линейно зависимые 4-векторы: b = ха. Итак, ортогональность двух светоподобных векторов равносильна их линейной зависимости, т. е. пропорциональности всех их компонент.

Если обратиться к парам разнотипных векторов, то легко убедиться, что s-вектор и 2-вектор могут быть взаимно ортогональны. В то же время Z-вектор может быть ортогонален s-вектору и не может быть ортогонален 2-вектору. Таким образом, из шести различных попарных сочетаний 4-векторов (17.9) — (17.11) свойство взаимной ортогональности возможно лишь в том случае, если один из векторов будет пространственноподобным (и, в виде исключения, для случая двух пропорциональных светоподобных векторов).

Пусть заданы два произвольных фиксированных линейно независимых 4-вектора а = (а, гай\ b = (Ь, ib0). Рассмотрим совокупность векторов, являющихся их линейными комбинациями,

x = ^a-Vx\bt л = £а4-т)Ь, х0 = £а0 + т)60 (17.14)

при произвольных вещественных |, ц. Такая совокупность образует двухмерное линейное многообразие в пространстве Минковского или гиперплоскость. Векторы а и b могут относиться к различным типам (17.9) —(17.11). Выясним, каковы могут быть векторы х при различных а, Ь. Прежде всего ясно, что при любых ао и Ьо надлежащим выбором | и т) можно получить хо = 0.

При этом ^=/=0, иначе векторы а и b были бы линейно зависимы. Будем называть вектор (а, 0) пространственным вектором, а вектор (0, ia^) — временным вектором. Из вышесказанного следует, что пространственный вектор может быть получен как линейная комбинация любых двух линейно независимых векторов. Другими словами, всякая гиперплоскость в пространстве Минковского обязательно содержит пространственные векторы.

В общем случае

Xй = ^а1 + Ч^2 + ^4ab = т|2 (^а2 + 2^аЬ + Ъ»), |. = В/Ч.

(17.15)

Квадратный трехчлен относительно go, стоящий в скобках, будет сохранять свой знак при любых вещественных go, если его дискриминант отрицателен, т. е. если

о (а, Ь) = Оеь = (аЬ)2 - а2Ъ2 < 0.(17.16)

Если же Оаь > 0, то ж2 может иметь в зависимости от go любой знак или равняться нулю. Легко видеть, что при b = %сц т. е. когда а и Ъ линейно зависимы, овъ = 0.

В раскрытом виде для общих 4-векторов a =(а, ia^, b=^bv ib^ выражение для оаъ записывается следующим образом:

оаь = («Ь - «.Д)1 - («2 - «о) О2 - b^) = (aeb - Ь^* - [аЬ]2.

(17.17)

Гиперплоскость, определяемая векторами (17.14), не изменяется, если вместо а и b взять два других вектора а', Ъ\ являющихся произвольными независимыми линейными комбинациями векторов а и Ь:

а' = pa + vb, Ъ' = р'а + Vb.(17.18)

Действительно, любой вектор вида

gV + x^V = (g'p + nV)» + (g'v + r]V) b

сводится к (17.14), если положить g'p + nV = g, g'v + nV = n. Любым g, п будут однозначно соответствовать g', nz и, наоборот, при условии отличия от нуля детерминанта:

WW= pv' — p'v =/= 0,= pv' — p'v =/= 0,

W

W

= pv' — p'v =/= 0,

= pv' — p'v =/= 0,

что означает независимость линейных комбинаций (17.18).

Вычислив выражение

о^ь* = WY - а'ЧУ2 = (pv' - p'v)2 VW - »2Ь21 =d?oabt (17.19)

убеждаемся, что знак оО'Ь'всегда совпадает со знаком Оаь

Поэтому при рассмотрении гиперплоскости (17.14) можно заменить векторы а, b их любыми независимыми линейными комбинациями. Уже указывалось (стр. 123), что в качестве одного из векторов всегда можно выбрать чисто пространственный вектор а0 = (а, 0). Сверх того, второй вектор b можно заменить такой линейной комбинацией V = Ъ + ^а?, которая будет

ортогональна к а®: cW = а°Ь + £а02 = 0. Для этого нужно положить £ = —a°bla02. Таким образом, любая гиперплоскость (17.14) может быть получена как множество всех линейных комбинаций чисто пространственного вектора а° = (а, 0) и некоторого другого вектора 6, ортогонального к нему: а°Ь=0. При этом (см. (17.16)) ао0д= — а02д2а262. Таким образом, знак

(Jo противоположен знаку Ь2. Если b есть s-вектор, то о«ь < 0 и х2 = (£а° + ц&)2 = 62а02 + ц2Ь2 > 0 при всех значениях | и ц, т. е. гиперплоскость будет содержать только s-векторы. Ц частном случае, когда Ь=(Ь, 0) = 6° — пространственный вектор, гиперплоскость будет чисто пространственной. Если Ь2 = 0, то Оеь = 0. При этом х2 = |2а02 > 0, т. е. гиперплоскость будет состоять из s-векторов, но будет включать также единственный светоподобный «луч», который соответствует х2 = 0, т. е. 6=0, х = т)д. Очевидно, этот луч представляет собой совокупность векторов, пропорциональных Ь. Наконец, когда b есть ^-вектор: Ь2 «< 0, имеем оаъ > 0, и х2 = ^2а02 + ц2&2 может иметь любой знак или равняться нулю в зависимости от значений коэффициентов 6, ц. Равенство х? = 0 имеет место только при условии т| = ± V”™ а?21Ъ2 6, чему соответствует я = £ (а° ± "К— а02/62 б), т. е. в этом случае гиперплоскость содержит два независимых светоподобных луча, определяемых Z-векторами а° ± V a?2lb2 b.

Резюмируя, приведем сводку возможных свойств гиперплоскостей в пространстве Минковского:

гиперплоскость Н: х = |а° + т)&, а° = (а, 0), а^Ь = 0

Ъ2 > 0. Н содержит только s-векторы: ж2 > 0;

Ъ2 = 0. Н содержит s-векторы и один светоподобный луч: х = ц&;

Ъ2 < 0. Н содержит s- и Z-векторы и два светоподобных луча: я = £ (а° ±a02/b2 b).

Полученные три типа гиперплоскостей различаются в зависимости от свойств вектора Ь. Наряду с этим из приведенной сводки следует еще один признак классификации. А именно, к типу I относятся гиперплоскости, не содержащие ни одного светоподобного луча, к типу II — содержащие один такой луч и к типу III — содержащие два светоподобных луча. Инвариантным критерием для различия рассматриваемых трех типов гиперплоскостей служит значение величины паь (17.16). Согласно (17.15) при Оаь < 0 и любых вещественных 6 и ц имеем а^ > 0, т. е. все векторы гиперплоскости Я являются пространственноподобными, что соответствует типу I. При овь = 0 уравнение х2=^0 (см. (17.15)) будет давать один двухкратный корень для |о, т. е. один светоподобный луч (случай II). Наконец, при Оаь > 0 будем иметь два различных корня 6о, удовлетворяющие уравнению х2 = 0 (случай III).

§ 18. Антисимметричные тензоры. Дуальность

С помощью двух произвольных

векторов в пространстве

Минковского можно построить тензор :

простейшего вида — диаду

(см. П.1)

V1 х^

V3 V4'

Х-у = (хку,) = 21

V h U V1 Va

Х^г V«(18л)

Vs V<1

Vi Va

Сумма двух диад с различным порядком векторов х, у дает симметричный тензор

(х • у) = х • у + у • х = (х • у), (х- у)м = xkyt + УкХь (18.2)

который мы будем называть симметрированной диадой (симметрии?). Аналогичным образом разность таких диад образует антисимметричный тензор

(18.3)записи(18.4)(18.5)(18.3)записи(18.4)(18.5)[я . у] = х • у — у • х, [я • у\м = xhyt — yhXi

(18.3)

записи

(18.4)

(18.5)

(18.3)

записи

(18.4)

(18.5)

или альтернированную диаду (альтернант). В блочной (см. (17.13)) эти тензоры принимают следующий вид:

V^+V)-2 Vo /

[а.^| = / ^у-у» i^-VOY^-i^x-x^)0/

Используя соотношение (П. 1.79), можем написать [х • у] в виде

[х.у]=[х.у]=[у®1х‘(УО®-®ОУ)(v-v)0[у®1х‘(УО®-®ОУ)(v-v)0(18.6)(18.6)

[х.у]=

[х.у]=

[у®1х‘(УО®-®ОУ)

(v-v)0

[у®1х‘(УО®-®ОУ)

(v-v)0

(18.6)

(18.6)

Отсюда видно, что альтернант полностью определяется двумя трехмерными векторами [ух] = — [ху] и уох— х0у.Хотя 4-векторы х и у вместе имеют восемь независимых компонент, однако тензор (18.6) содержит лишь шесть компонент, входящих в упомянутые два трехмерных вектора. Но на самом деле эти компоненты не являются независимыми, так как 3-векторы [ху] и уох— хоу всегда ортогональны между собою: [ху] (уоХ—хоу) — =0, каковы бы ни были 4-векторы х и у. Следовательно, альтернант (18.6) зависит лишь от пяти независимых параметров и поэтому не может служить прототипом общего антисимметричного тензора в пространстве Минковского, который должен содержать шесть независимых компонент.

Антисимметричные тензоры играют очень важную роль как в геометрии мира Минковского, так и в физических теориях. Достаточно сказать, что электромагнитное поле, одно из фундаментальнейших физических полей, представляет собой антисимметричный тензор. Такие тензоры получили специальное название «шестивекторы» или «бивекторы». Оба эти названия обусловлены тем, что их структура в общем случае полностью определяется заданием двух 3-векторов, насчитывающих шесть компонент. Антисимметричные тензоры играют существенную роль в теории группы Лоренца (и вообще ортогональных групп, см. § 1), а также во многих других вопросах. Ввиду этого мы подробно рассмотрим их свойства.

Как показано в П.1, характеристическое уравнение анти- симетричной 4X4 матрицы а имеет вид

а4 — Ааа2 + | а | = О, Аа =-^-(a2)t (а = — а).(18>7>

Следовательно, такая матрица имеет только два инварианта — квадрат ее следа Аа и детерминант |а|. Собственные значения матрицы являются корнями биквадратного уравнения

V-Aa%2 + |a| = 0(18.7')

и равны

К1.2 = ± У^УдГ+^лСТ^

Хм = ± V"Г ^А« - ’^^^Й- (18.8)

В блочной записи (см. (17.13)) любая антисимметричная матрица а выражается следующим образом:

(18-9) \ — to 0 у

т. е. она однозначно определяется двумя 3-векторами а и & (бивектор!). Два вещественных вектора а и Ъ можно объединить в один комплексный вектор

q = а + ib(18.10)

и таким образом установить взаимно однозначное соответствие между всеми векторами комплексного трехмерного пространства и всеми антисимметричными матрицами в пространстве Минковского. В тех случаях, когда применяется это соответствие, мы будем писать (см. [102], [104])

aaRegx ilmg\ _j_/(« + «*)x «-«*\ no in -ilmg 0 )~ 2 \ 5* — S 0/' U°,M'

a

a

Отсюда вытекает, что если а = О, то g = О и наоборот, а также —- что из равенства двух антисимметричных матриц следует равенство соответствующих им по формуле (18.11) векторов g и наоборот. Следовательно, связь а и g имеет взаимно однозначный характер.

Заметим, что если С — вещественное число, то справедливо соотношение

a (Cg) = Са (д) (С = С*),(18.12)

которое, однако, не имеет места для комплексных С.

Используя (18.9), находим (см. (П.1.78))

—2[ Ct^ "V" Ь ‘Ъ i [<®Ь]\ д 1 / 2\~2 (А О А

— а*. (18.13) \ i[ab] 62/2

Чтобы вычислить |а| ковариантным путем, используем след от матричного тождества (18.7)

41 а | = 2Д„ — (a4)t.(18.14)

Заметим, что из этого соотношения вытекает равносильность соотношений |а|=0 и (a4)t = 2А«. С помощью (18.13) получим, возводя матрицу а2 в квадрат:

а< =/(«хг + ь-6)2 - [«6НяЬ1 •••\(18.14')

\. . .Ъ4 — \аЪ^)

Мы выписываем здесь лишь диагональные блоки, нужные для вычисления следа. Учитывая (см. (П.1.78)), что аХ4 =—аяаХ2, получаем после простых вычислений

(a4)f = 2 (а4 + 64 - 2 [аб]2).(18.15)

Подставляя это выражение вместе с (18.13) в (18.14), находим | a, = [a&]2 - <№ = - (ab)2.(18.16)

Учитывая соотношения (18.13), (18.16), имеем (см. (18.8))

А» — 41 a| = (а2 + Ь2)2 — 4 [ab]2.

Но

| q |2 = qq* = a2 + у, [ад*] = - 2t [ab],(18.16')

следовательно, собственные значения (18.8) матрицы a (18.9) равны

X = ± 2~'/‘ /&2 - а2 ± /1g14 + [gg*]2 = ± -^-(/^ V^Y

Здесь возможны любые сочетания знаков. Очевидно, два собственных значения будут вещественны: X — =Е У№^У~<Р—V9*2), а два других чисто мнимы: X = ± (z72) (Уд2 + Уд*2)- Мы полагаем здесь и всюду в дальнейшем Уд*2 = У^г* Сопоставляя (18.13) —(18.16) с равенством д2 = а2 — Ь2 + 2гаЬ, видим, что основные инварианты антисимметричной матрицы а (18.9), (18.11) связаны с комплексным вектором д соотношениями

А« - 4" Wt = - Re q" = - -|- (»2 + ^) = »’ - «2,

41 а | = - (Im g2)2 = - 4 (g2 - g*2)2 = - 4 (аб)2,(18.17)

(a4)t = 2 (Re g2)2 + (Im g2)2 = (Re g2)2 +1 g2|2.

Заметим, что произведение a+a дает положительно определенную эрмитову матрицу, след которой равен

(a+a)t = 21 q |2 = 2 (a2 + &2).(18.18')

Отметим еще соотношения

a*(g) = a(g*), a(g) = a(— g), a+(g) = a (—g*), (18.18") (a(g), a(g')}_ =a([gg']).

Характеристическое уравнение матрицы a (18.7') при учете (18.17) может быть написано в виде

X4 + (а2 - Ь2) X2 - (аб)2 = 0(18.18'")

ИЛИ■

-2 । -*2/~2„*2\2

X4 + ? 2g~ V + (^“77 =0-(18.18"")

Если антисимметричная матрица является альтернантом векторов х, у (18.3), (18.6), то для инвариантов получаются выражения (см. (17.16)):

-^-([я-У]2)* = С^)2 — х^ = СхУ1 | [я-у] 1 = 0.(18.19)

Последнее равенство сразу следует из (18.9), (18.16), (18.6). Несложный расчет показывает, что тензор [х • у] удовлетворяет не только уравнению [ж • у]2([ж • у]2 — 0^) = 0, которое получается из общего характеристического уравнения (18.7) при учете соотношений (18.19), но и более простому уравнению

[я • у] ([ж • у]2 — Оху) = 0.(18.20)

Это есть минимальное уравнение для [ж • у] (см. П.1), которое в данном случае имеет низшую степень, чем характеристическое. 9 ф. и. Федоров

Отсюда снова следует вывод, что альтернированная диада не является общим случаем антисимметричной матрицы.

Заметим, что в этом отношении четырехмерное пространство отличается от трехмерного. Действительно, в трехмерном пространстве всякая антисимметричная матрица а = —а дуальна некоторому вектору: а =ах (см. (2.4)). С другой стороны, трехмерная альтернированная диада х*у— у-х равна \ух\х согласно (П.1.79). Но векторное произведение [уж] может равняться любому трехмерному вектору, а следовательно, дуальная к нему матрица может представлять любую антисимметричную матрицу в трехмерном пространстве.

Всякому антисимметричному тензору а= (aJft) в пространстве Минковского можно однозначно сопоставить дуальный ему антисимметричный тензор ах с помощью соотношения

djh = ”2™&jkln «In, (18.21)

П.1). Вы- раскрытомП.1). Вы- раскрытомгде г^щ — четырехмерный символ Леви-Чивита (см.

П.1). Вы- раскрытом

П.1). Вы- раскрытом

' 0

“12

“13

“14’

Г 0

-%

°2

ibl

-“12

0

“23

“24

a3

0

-“1

«>г

— “18

-“23

0

“34

~a2

“1

0

ib3

— “14

-“24

-“84

0

ribi

-,62

-i63

0

в

. (18.22)

a =

пишем общую антисимметричную матрицу a (18.9) виде:

Вычисляя последовательно элементы матрицы ах с помощью определения (18.21), например, ax = (//2) (е1234а34 + е1243а43) = =/а34 = — Ь3 и т. д., получим

— га0— га0(18.23)(18.23)0 -*з

— га

0

— га

0

(18.23)

(18.23)

\0-\~*а2

~62ьк0 -ia3

ia^ia^ia^ 0

Видно, что если a = a(g), то ах = —a(ig). Действительно, согласно (18.11)

a(io)= хч' '.(18.24)

хч' Х-Иш^ 0 /''

Но если g = а + гЬ, то гд = — 6 + ia, т. е.

Re(ig) = — ling = — b, Im (iq) = Re q = a, (18.25)

следовательно, (18.23) можно написать в виде

ax (g) = (-Ке^Х=-a(iq).(18.26)

i Im (г#)0 у

Итак, мы имеем важное соотношение (см. [102], [103])

(«(?))Х = ах (д) = — а (iq^ = а (— iq^ (18.27)

с помощью которого легко получаются различные выводы относительно свойств дуальных антисимметричных матриц.

Двукратное применение операции дуальности дает

«ХХ (») = («Х («))Х = (“ (— i9))X = а (— g) = — a (q1).

Таким образом, для любой а = —а имеем

ахх = - а.(18.28)

Рассмотрим инварианты дуальной матрицы. Согласно (18.17), (18.27)

(аХ2 (fl))t = (а2 (_ iq^ = _ 2 Re (-iq^ = - 2 Re (- g2) =

= 2Reg2 = — (a2(g))t,

следовательно, для любого тензора a = —a

(aX2), = — (a2),.(18.29)

Аналогично находим (см. (18.17))

I ax (д) | = | a (— ig) | = — 1 (Im (— ig)2)2 = | a (g) |. (18.30)

Из (18.7), (18.29), (18.30) следует, что характеристическое уравнение тензора ах имеет вид

аХ4 + Ааах2 + | а | = аХ4 — (а2 — б2)ах2 — (аЬ)2 = 0. (18.30')

Это уравнение получается из (18.18"') путем перестановки а и 6, что равносильно изменению знака Аа. Нетрудно видеть, что собственные значения матрицы ax (д) равны (см. (18.16"))

X = ± у (/д2 ± /д*2). (18.30")

Отметим еще соотношения, легко проверяемые с помощью (18.9) и (18.23):

а2 — ах2 = Ь2 — а2 = Да, а3 = (b2—a^a — abax =

(18.30'")(1-8.30"")(18.30'")(1-8.30"")= Даа —У—|а|ах,

(18.30'")

(1-8.30"")

(18.30'")

(1-8.30"")

[a (g) a (g')lt = 2 (66' — аа') = — 2 Re (дд'), [а (д) ах (д')]( = — 2 (ab'+W) = — 2 Im (дд'), [а (д) (а (д') + гах (g'))]t = — 2дд'.

Корень из квадрата вектор-параметра q в общем случае есть некоторое комплексное число В = Bi + 1В2. Для него имеем уравнение

62 = Й -11 + 2i^= q» = a»-b» + 2iab, следовательно,

=^ = ab.

Исключая В2 или Вь получим для этих величин биквадратные уравнения

В? - («2 - Ь2) Й - W = 0, Й + («2 - Ь2) £2 - W - 0.

Сравнивая с (18.18"') и (18.30'), убеждаемся, что Bi есть собственное значение матрицы ах(д), Вг — собственное значение матрицы а. Различия собственных значений (18.30") и (18.16") сводятся к тому, что одни получаются из других умножением на г. Используя выражения (18.9), (18.23), получаем

_ Iа^Ь^—Ъ-а 0 \< / v\ '

аах = (0__ аЪ ) = — ab = аха = -^ (аах)/ (18.31)

пли (см. (18.16))•

а (?) ах (?) = ах (?) а (?) = — -| Im ?2 = — /— | а (?) |. (18.32)

Отсюда следует, что если |а| =/= 0, то матрица, обратная к а, пропорциональна ах и равна

а"1 = — ах/У— |а|(|а|#=0).(18.33)

Тензор а(д) согласно (18.17) является особенным (|а| = 0) при условии вещественности квадрата комплексного вектора q

Imq^ = 2а& = 0, g2 - q^.(18.34)

Вследствие (18.32) условия |а|=0 и аах = 0 равносильны. Поскольку (см. П.1) а= |а|а-1, то тензор, взаимный к а=—а, в силу (18.33) имеет вид

а = У— |а|ах.(18.35)

Отсюда следует, что при а #= 0 равенства | а | = 0 и а = 0 вытекают одно из другого.

Выше было показано (см. (18.19)), что если антисимметричный тензор является альтернированной диадой, то его детерминант равен нулю. Можно показать, что и наоборот — из равенства |а|=0 следует, что а= [а - 6]. Действительно, всякий тензор

может быть представлен в виде суммы не более четырех диад а = а • а'+6 • Ь' + с • c' + d • d'. (18.36)

Если |а| =/= О, то все векторы а, Ь, с, d должны быть линейно независимы и то же относится к векторам а\ Ь^ с', д'. Если же |а| = 0, то тензор а представляется в виде суммы не более трех диад

а = а • а' + Ъ • Ь' + с • с', (18.37) поскольку векторы а, &, с, d (или а', b\ с', d') линейно зависимы. Если а — антисимметричный тензор, то, как _было показано (см. (18.35)), равенство |а| =0 влечет за собой а = 0. Но взаимный тензор а имеет своими компонентами трехмерные миноры детерминанта а. Поэтому равенство а= 0 означает, что и векторы а, 6, с (или а', Ь' с'^ линейно зависимы и тензор а = —а должен представляться в виде суммы не более чем двух диад, откуда и следует, что а = а • Ъ — Ъ • а = [а • 6]. Путем непосредственного вычисления нетрудно проверить, исходя из формы (18.9), что при условии аЬ = |а| = 0 тензор а удовлетворяет минимальному уравнению вида (18.20)

а(а2 —Да) =0 (а = —а). (18.38)

Таким образом, равенство |а| =0 есть необходимое и достаточное условие для того, чтобы антисимметричный тензор а был альтернантом.

Пусть тензор а =—а задан в форме (18.9), причем ab = = |а|=0.Тогда существуют такие два 4-вектора ж и у, что ос = [а; • yY Возникает вопрос, как найти ж и у, если задан а = = ос(д),т. е. известен вектору = а + ib.Прежде всего заметим, что векторы ж и у заведомо не могут быть определены однозначно. Действительно, поскольку справедливы соотношения

О • л:] = 0, [(s + z) • у] = [ж • у] + [z • у] (18.39) для любых 4-векторов ж, у, г (см. определение (18.3)), то

|>- у] = [(* + |у)- У] = [^ ■ (у Ч- т]^)]

при любых скалярах ^ и ц. Пользуясь этими свойствами, мы всегда можем один из векторов ж или у привести к виду ж = = ж9 = (х, 0), т. е. сделать его чисто пространственным вектором. Кроме того, в общем случае можно, не меняя альтернанта [я • у], тем же путем добиться того, чтобы векторы ж, у были взаимно ортогональны: жу = 0. Действительно, пусть жу ^ 0. Тогда берем вместо у вектор у' = у + В# и требуем, чтобы жу' = х^у + |x) = жу + ^ж2 = 0. Если а;2 =/= 0, т. е. ж не есть /-вектор, то отсюда находим ^=—жу]ж2 и альтернант [х • у]

принимает вид [ж • у'], причем ху' = 0. Если х2 = 0, но у2 ^ 0, то аналогичную операцию производим над вектором х. Единственный случай, когда этот способ непосредственно не приводит к ортогонализации векторов х и у, имеет место при х2 = у2 = 0, т. е. когда оба вектора светоподобны. И это понятно, ибо если при х2 = у2 = 0 справедливо также ху = 0, то согласно § 17 мы имеем линейную зависимость у = Сх и альтернант равняется нулю. Однако при х2 = у2 = 0 мы также можем получить х = = ж° = (ж, 0) и привести альтернант к виду [я0 • уА, после чего, взяв у' = у + |ж° при | = —x^ylx^2, получим [я° • у] = — [#° * у'] с ^V = 0- Здесь реализуется цепочка преобразований [^ • у] = [я0 • у] = [ж0 • у'].

Итак, во всех без исключения случаях любой альтернант [я • у], не изменяя его значения, можно представить в виде [ж® ф У'], гДе х° = ^ж' ®) и ^V = Q- Отсюда следует, что можно рассматривать всего три возможности: у' является $-, t- или 2-вектором.

Таким образом, нужно найти х = (х, 0), у = (у, iy~) из соотношений (см. (18.6), (18.9))

а = ( °Х ib\=Vx-y\=( №Х ‘^^Х аЬ = ху = 0. (18.40) \— ib 0/\ — iyox 0 )

Отсюда имеем [уж] = а, уож = 6, by = 0 или х = Ь!у^ [бу] = = — Уоа.Умножая второе равенство векторно на Ь. то^чтиуЪ2 = = Уо \ab\.

Таким образом, значения х=Ыу^ у = у<ДаЬ\!Ь2 удовлетворяют требуемым условиям при любом уо. Проще всего положить </о = 1, после чего получаем окончательно (см. [102])

а = [ж-у], х = (6,0), У = (1/62)([а6],/62) (аЬ = 0). (18.41)

Поскольку у2 = (а2 —- 62)/62, то при | а | < | 61 (Аа > 0) вектор у будет соответственно $-, Z- или /-вектором. Иными словами, знак у2 совпадает со знаком Re у2. Заметим, что из соотношения (18.41)

[ж-у] = а(у)

следует (см. (18.6))

У = [У#] + * (Уо^ ~ ^оУ)-

Отсюда имеем для квадрата вектора q

q2 = [уж]2 — (уож — хоуУ = х2у2 = — охУ. (18.41')

Коммутант двух антисимметричных матриц в пространстве любого числа измерений снова дает антисимметричную матрицу. Действительно, если А = —Л, В = —В, то

^ABV = АВ-ВА = ВА-АВ= -<ЛВ}_(18.42)

В трехмерном пространстве этому соответствует соотношение (см. П.1.76)

(ахЬх}_ = ахЪх — Ъхах = b-а — а-b = [аЬ]х. (18.43)

В пространстве Минковского имеем

<a(g),a(g')}. = a(g").(18.44)

Чтобы найти комплексный вектор q" по заданным q = а + ib q'^a'-Vib', используем (18.9). После простых вычислений получаем

/ [аа']х — [66']x i ([аб'] — [а'б]) а(9 ) = ^([«б'] -[а'б])О

откуда следует

q" = [аа'] — [&&'] + i ([«&'] — [а'&]) = [gg'b (18.45)

Таким образом, справедливо соотношение

{a (q^ a (q')}_ = a ([gg1).(18.46)

Отсюда следует, что две матрицы а и а' коммутируют тогда и только тогда, когда 199'1 = 0 или 9' = Cq, т. е. векторы q и q' линейно зависимы (пропорциональны). Если коэффициент С вещественный, то это означает (см. (18.12)), что a' = Ca. Если же С = С\ + гС^ то согласно (18.12), (18.26)

a' = а (д') = a VCxq + ^2g) = Сга (д) + С2а (гд) = Сга — С2ах.

Итак, мы получаем следующий результат: антисимметричная матрица а', коммутирующая с другой антисимметричной матрицей а, в самом общем случае должна быть линейной комбинацией ос и ах.

Пусть а" = а(д") = {аа'}_, тогда

(a"2)t = - 2 Re [gg' F, | а" | = - 1 (Im [gg']2)2.(18.47)

Простота этих выражений характерна для многих соотношений, основанных на использовании соответствия a*^q (см. (18.11)).

Заметим, что коммутант двух альтернантов, будучи антисимметричным тензором, не является в общем случае альтернантом, как следует из соотношений (18.46), (18.47). Действительно, при |ос| = |ос'| = 0, что соответствует Im д2 = Img'2 =0, получим Im[gg']2 = — Im(gg')2^0, следовательно, |ос"| =# 0.

Рассмотрим 4-вектор следующего вида:

р=[а-Ь]хс(18.48)

или в индексной записи (см. (18.21), (18.3))

Pi = 4 б)Ып [a-b]Incft = 1бтпагЪпск = tejhlnahbxcu. (18.49)

Вследствие известных свойств символа Леви-Чивита (см. П.1) отсюда следует ра = рЪ = рс = 0, т. е. вектор р ортогонален к каждому из векторов а, Ь, с. Из формулы (18.49) ясно, что все три вектора а, 6, с входят в р одинаковым образом и перестановка любых двух из них ведет к изменению знака. Вводя для р обозначение [а, 6, с], имеем р — [а, Ь, с] = [а • 6]хс = —[6 • а]хс =

= —[с • 6]ха = [6 • cVa = [с • а\хЬ = — [а • с]х6. (18.50)

Видно, что вектор р отличен от нуля лишь при условии, что все векторы а, 6, с линейно независимы. Воспользовавшись (18.6) и (18.23), нетрудно убедиться, что

[я, 6, с] = [а • Ъ^хс = — («о[Ьс] + Ьо[са] + са|аЬ], i а[&с]).

(18.50')

Вычислим квадрат вектора р

Р^ — Рз — РзРз^зМи^к^’п’&кЬ^п&к’ЬХ’Сп’ •Р^ — Рз — РзРз^зМи^к^’п’&кЬ^п&к’ЬХ’Сп’ •Согласно ПЛСогласно ПЛ^зМи^зк' Гп* —^зМи^зк' Гп* —^кк' ^kU &кп' ^lk' ^IU ^ln* ^пк' ^nU ^пп'^кк' ^kU &кп' ^lk' ^IU ^ln* ^пк' ^nU ^пп'(18.51)(18.52)(18.51)(18.52)

Р^ — Рз — РзРз^зМи^к^’п’&кЬ^п&к’ЬХ’Сп’ •

Р^ — Рз — РзРз^зМи^к^’п’&кЬ^п&к’ЬХ’Сп’ •

Согласно ПЛ

Согласно ПЛ

^зМи^зк' Гп* —

^зМи^зк' Гп* —

^кк' ^kU &кп' ^lk' ^IU ^ln* ^пк' ^nU ^пп'

^кк' ^kU &кп' ^lk' ^IU ^ln* ^пк' ^nU ^пп'

(18.51)

(18.52)

(18.51)

(18.52)

поэтому из (18.51) следует

a2 ab ас

р2 = [а, 6, с]2 = — аЬр2 = [а, 6, с]2 = — аЬасасЪ2 ЬсЪс с2Ъ2 ЬсЪс с2(18.53)(18.53)

р2 = [а, 6, с]2 = — аЬ

р2 = [а, 6, с]2 = — аЬ

ас

ас

Ъ2 Ьс

Ъс с2

Ъ2 Ьс

Ъс с2

(18.53)

(18.53)

т. е. р2 равен детерминанту Грама (см. [10]) векторов а, 6, с с обратным знаком. Заметим, что равенство [а, 6, с]2 = 0 является необходимым, но недостаточным условием линейной зависимости векторов а, 6, с. Причина этого —- индефинитность метрики пространства Минковского. В частности, в пространстве с дефинитной метрикой ортогональность двух ненулевых векторов достаточна для их линейной независимости. В метрике Минковского дело обстоит иначе, поскольку, например, два светоподобных вектора а (а2 = 0) и Ъ = С а, будучи линейно зависимыми, в то же время взаимно ортогональны: ab = 0. Аналогично в трехмерном комплексном пространстве круговые векторы е (е2 = 0) и е' = Се ортогональны в смысле ее1 = 0, несмотря на свою линейную зависимость.

При рассмотрении возможных свойств вектора р=[а-&]хс- мы, как отмечалось выше, можем считать в альтернанте [а • 6] вектор а пространственным: а = а? = (а, 0). Записав р в виде (см. (18.50)) р = [а0 • Ь^хс = [Ь • с]ха°, мы можем теперь применить те же соображения к альтернанту [6 • с] и заменить вектор Ь на № = (6, 0). Таким образом, вектор р всегда представляется в виде р = [а° • Ь°]хс. В альтернанте [а0 - 6°] всегда можно считать, что а°Ь° = 0. Действительно, если это условие не имеет места, то вводя вместо 6° вектор Ь0' = 6° + £д° и выбирая* | = —а°Ь°/а02, получим требуемый результат: b^ci? = 0. Итак, будем считать, что а?№ = 0. Заменяя вектор с на с' = = с -j- т)а°+ £6°, мы не изменим р, поскольку [а • Ь]ха = = [а • ЦХЬ = 0. Налагая условия а°с = №сг = 0, получим т] = = —awcld?\ £ = —-6°с/602. Таким образом, всегда можно считать, что

р = [а0 • 6°]хс, с№ = а?с = №с = 0.(18.54)

При этом (см. (18.53)) р2 = —а^б^с2, следовательно, знак pY противоположен знаку с2. Отсюда следует, что если с есть 5-вектор (/-вектор), то р будет соответственно /-вектором (5-вектором). Если же с2 = 0, то и р2 = 0, т. е. с и р одновременно светопэдобны. В. этом случае, поскольку р2 = с2 = рс = 0, то согласно § 17 р = Хс.

Для того чтобы определить коэффициент %, мы предварительно выведем полезное соотношение, которое неоднократно будет использоваться в дальнейшем. Пусть а, £ — два произвольных антисимметричных тензора. Вычислим произведение ахрх. Согласно определению (18.21)

(ax0x)jp =^ 8j/iZnOQn8Aj'Fn'Prn' = "^ fyijtnfyij'Fn'O&tnPpn'•(18.55)

Используя (18.52), получим после несложных вычислений или в безындексной записи

axpx = pa_^_(ap)f.(18.56)

Возвращаясь к соотношению (18.54) для случая с2=0, подставим в него с = р/% и итерируем

Р=4- [«°Ь°1Х Р =-^ ^а».Ъ°Ахар. (18.57)

Согласно (18.56)

[ао.ьорг = [ao.boj2 _ _4_Qao.bOJa)t(18.58)

Поскольку (см. (18.3), (18.2))

[а0 . №р = W . (а0 . 6°) - а026° • № — IW • а? (18.58')и «°р = 6°р = О, то [а°-Ь°]2р = 0. Следовательно (см. (18.19)),\ай.Ь»\^ р = — -L([ao.&op)t у = aVp = а^р

и равенство (18.57) дает Х2=а2Ь2. Таким образом,

р = [а°. 6°р с = ± | а | • | Ь | с (с2 = aQc - №с = <W = 0). (18.59)

Следовательно, тензор [а0 • 6°]х имеет собственные значения ± | а | • 161 и, соответственно, имеет Z-вектор с в качестве собственного вектора. Фактически двум различным собственным значениям ± | а | • | Ь | будут соответствовать два светоподобных собственных вектора, которые мы обозначим е±. Чтобы найти е± в явном виде, раскроем матрицу [а0 • Ь°] с помощью (18.6), (18.23):

[flo.bo1=([6«lx оу ^ojx^.O^ '^ (18.60)

Теперь можно убедиться, что собственные векторы е± имеют вид е± = ([а6], тг|[аЬ]|) (| [аб] | = |а |.| 61).(18.61)

Действительно,

Гл°.Ь01х^ = ^°,1°6IW [аЬ] \ = f ± И®*] 11«*П =

\— г [аб] 0 / \ + i | [аЬ] р \ —1 [«6р /

= ± | [аб]|е±.

Если нормировать векторы а, 6, т. е. заменить их единичными векторами alt 6lt а® = 6^ = 1, «А = 0, | [лА] | = 1» то получим

Ya6.bVe±= ±e±i е± = ([aAl, т t),

a° = (a1, 0), Ь° = А, 0), a? = 6^ = 1, aA = 0.* "

Векторы e± удовлетворяют соотношениям

e^a^ = e^bQ = 0, e^ = 0, в-= e+, e+e_ = 2. (18.63) Кроме e±, тензор [a°- Ь°]х имеет два собственных вектора а? и 6°, отвечающих нулевым собственным значениям

[а°. &0]М= [а0 - 6°]хЬ° = 0.

Четыре линейно независимых вектора а0, 6°, в± можно рассматривать как базисные векторы пространства Минковского. В этом случае удобно нормировать е± так, чтобы

е+е_ = 1, е± = -^([«АЬ ^ 0-(18.64)

Напомним, что в §§ 3, 12 был введен аксиальный базис трехмерного пространства, состоящий из единичного вещественного вектора сои двух круговых векторов е±. Все эти векторы являются собственными векторами ЗХ 3-тензора с^, дуального вектору се:

Со сй = 0, <?о е± = =F ie^.(18.65)

и обладают свойствами

сое±=е± = О, Со = е+е_ = 1, е- = е^.(18.66)

Мы видим, что введенный выше базис а0, &°, е± в пространстве Минковского обладает большой аналогией с аксиальным базисом трехмерного пространства. Это непосредственно следует из сравнения (18.65), (18.66) с соотношениями

[а0 • 6а] х а0 = [а0 • &°]х &° = О, [а0 • &°]х с+ = ± с+,

,* (18.67)

е\ = а°е^. = Ь°е±: = а°Ь° = 0, а02=602 = е+е_ = 1, е_ = ^+.

В аксиальном базисе особую роль играет «ось» — единичный вектор с0. Аналогично в случае (18.67) особую роль играют два единичных пространственных вектора а0, Ь°, определяющих пространственную гиперплоскость. Поэтому указанный базис в мире Минковского естественно назвать планалъным.

Из формулы (18.56) можно получить ряд других соотношений. Взяв след от обеих частей равенства, получим

(aV)f = -(ар)ь(18.68)

Напомним, что во всех нижеследующих соотношениях а и ^ — антисимметричные тензоры. Полагая р = а, имеем для любого ос

аХ2 = а2_ Да? (аХ2)< = _(а2)ь(18.69)

Заменим в (18.56) 0 на ^х. На основании (18.28) получим

axp = -pxa + _l_(apx)(i (apx^ = (axp)p (18.70)

Аналогично, заменив а на ах, придем к соотношению

арх = _ р*х + _|_ (apx)t.(18.71)

С помощью формулы (18.52) можно преобразовать любое выражение, в которое дважды входит символ дуальности (<Х)). Таким путем получим

ахуРх = (ар7)( + (у — yj M-(«P)t — Р«) — P(ya + ay). (18.72)

Здесь ч — произвольная матрица. Далее легко убедиться, что

{арх^ = {ахр}^ = {ахрх}_ = -{ар}-(18.73)

Заменив здесь р на рх, получим

{ар}* = {ахр}_ = {арх}_ = {ахрх,х. (18.74) Тем же путем получаются соотношения

[а • ах&]х = — [оса • &] + ab • а,(18.75)

где а, 6 — произвольные векторы. Заменяя а на ах, получим отсюда

Ya • ад]х = -[& • аха] - ab • ах.(18.76)

Справедливы также формулы

[ (0=Р) а2 + [ (ар*),]2 = 4(а2р2), - (а2), (р2) „(18.77)

aaxb* c$xd = ad*b$ac — ас* b^ad + be • da^a — bd • ca^a +

+ -~ (aP)f (ac*bd — ad-bc) — a^b-cad. (18.78)

Эта формула может быть получена из (18.72), если положить у = 6 . с и умножить результат слева на а и справа на d. Частным случаем (18.78) является соотношение

(aax6)2 = 2ab • aq?b — a2ba2b — Ъ2аа?а + ДаОаь — ^ааЬу. (18.79) Приведем еще равенство

([a - &][?• d])t = 2(ad- be-ас* bd^ (18.80)

Пусть (см. (П.1.41))

| а, Ь, с, d\ =| а, Ь, с, d\ =ai а2 аз а4 \ 62 \ Ъ4 С1 с2 Ч с4 dl d2 d3 d4ai а2 аз а4 \ 62 \ Ъ4 С1 с2 Ч с4 dl d2 d3 d4^jhlnQ'j^k^l^n^jhlnQ'j^k^l^n(18.81)(18.81)

| а, Ь, с, d\ =

| а, Ь, с, d\ =

ai а2 аз а4 \ 62 \ Ъ4 С1 с2 Ч с4 dl d2 d3 d4

ai а2 аз а4 \ 62 \ Ъ4 С1 с2 Ч с4 dl d2 d3 d4

^jhlnQ'j^k^l^n

^jhlnQ'j^k^l^n

(18.81)

(18.81)

— детерминант, составленный из компонент четырех линейно независимых векторов at b, с, d. Этот детерминант является чисто мнимым числом, так как а4 = ia^ bt = ib0 и т. д. С другой стороны (см. (18.48), (18.49)),

aVb • c]xd = 1г№а3Ькс^п;(18.82)

сравнивая с (18.81), находим

aYb* с^=1\а, Ь. с. d\.(18.83)

С помощью (18.50') находим соотношение uYb*cpd = dYa*byc =

= — («o[6c]d— 6o[cd]a+ co[dalb— do[«&]c). (18.83')

Совокупность приведенных выше алгебраических векторнотензорных соотношений позволяет решать многие задачи ковариантным путем, т. е. не обращаясь к рассмотрению отдельных компонент векторов и тензоров. Приведем некоторые примеры. Пусть задан вектор а и требуется найти общее выражение для вектора ж, ортогонального к а: ха = 0. Ответ будет х = аа, где а — произвольный антисимметричный тензор. Действительно, ах = ааа = 0. Если требуется найти вектор, ортогональный к двум векторам а и Ъг то выражение для него может быть написано сразу: х = [а • Ь]хс, где с — произвольный вектор.

Собственные векторы антисимметричной матрицы ^обладают специфическими свойствами. Пусть ах = Хх (а = — а), тогда, поскольку для всякой антисимметричной матрицы тождественно хах = 0, имеем Хх2 = 0. Следовательно, все собственные векторы антисимметричной матрицы, отвечающие ненулевым собственным значениям, имеют скалярный квадрат, равный нулю. Это справедливо для пространства любого числа измерений. В мире Минковского это свойство можно выразить так: собственные векторы антисимметричного тензора при X ^ 0 светоподобны. В общем случае при |а|=#0 все собственные значения антисимметричного тензора отличны от нуля и, следовательно, все четыре собственных вектора его светоподобны. При |а| =0 согласно (18.38) мы имеем, наряду с нулевым собственным значением, два других X = ±VAa. Очевидно, нулевое собственное значение будет двукратным, что вытекает из условия at = 0, справедливого для любой антисимметричной матрицы. Таким образом, если | а | = 0, Аа =# 0, то бивектор а имеет два светоподобных собственных вектора. Возможен также случай Аа = 0, |а (®) | =/= 0, что соответствует равенству а2 = &2 или Re ®2 = 0. При этом характеристическое (оно же минимальное) уравнение для а принимает вид а4 = — | а |, и а имеет четыре свето- подобных собственных вектора. Наконец, возможен случай |а|=А«=0 или а2 —&2 = а& = 0. При этом комплексный вектор® является круговым (®2 = 0), а уравнение (18.38) принимает вид а3 = 0 и является минимальным уравнением для а, поскольку а2 =# 0 согласно (18.13). Мы встречаемся здесь со случаем, когда все собственные значения а равны нулю и минимальный полином имеет трехкратный корень. Согласно П.1 структура тензора а в этом случае ясна — он состоит из одной жордановой клетки третьего порядка и «диагонального» нуля. Жорданова клетка имеет всего один собственный вектор (П.1), а второй отвечает диагональному нулю. Разумеется, тензор а при этом неприводим к диагональному виду. Собственный вектор, отвечающий жордановой клетке третьего порядка, находится без всякого труда. Написав аа2 = 0, видим, что столбцы тензора а2 (см. (18.13)) можно рассматривать как собственные векторы

(П.5). Проще всего взять четвертый столбец а2, в результате чего получим жорданов собственный вектор в виде

х = ([ад], - ia2). х2 = VabP — а4 = О, (18.84)

таким образом, он оказывается светоподобным. Таким путем получаем лишь один собственный вектор, так как остальные столбцы матрицы а2 (18.13) при fl2 = 0 пропорциональны найденному х (18.84). Убедиться в этом можно, взяв, например, в соответствии с условиями а2 — д2 = ab = О

0

/О\/0\/0 0 0\

, 6= 1 , [ад] = 0 , аХ2 + Ь-Ь= ООО . (18.85) \0/\1/\0 0 1/

В результате матрица а2 (18.13) принимает вид

(

0 00 0\

0 00 0]/ 4 Q AAV

О 0 [i 1/

и мы видим, что третий столбец отличается от четвертого множителем г. Чтобы найти все собственные векторы, нужно использовать минимальный полином эрмитовой матрицы (см. П.5)

л -4- (—ах ib\ / ах Л = а+а =., А к\— to 0/ \— toл -4- (—ах ib\ / ах Л = а+а =., А к\— to 0/ \— toibО,ibО,-aX2 + bb — i[ab]i [ад] д2

л -4- (—ах ib\ / ах Л = а+а =., А к

\— to 0/ \— to

л -4- (—ах ib\ / ах Л = а+а =., А к

\— to 0/ \— to

ib

О,

ib

О,

Вычисляя Л2 с учетом условий»2 — д2=ад=0 получим А2 = 2а2А или А (А — 2а2) = 0. Следовательно, столбцы матрицы А — 2а2 должны содержать все собственные векторы тензора а, отвечающие нулевым собственным значениям. Таким образом, имеем

А-2а2А-2а2b*b — а-а — с?i [ад]b*b — а-а — с?i [ад]— i [ад]— а2— i [ад]— а2(18.87)(18.87)

А-2а2

А-2а2

b*b — а-а — с?i [ад]

b*b — а-а — с?i [ад]

— i [ад]— а2

— i [ад]— а2

(18.87)

(18.87)

Четвертый столбец дает уже известный нам жорданов собственный вектор (18.84). Собственный вектор, отвечающий диагональному нулевому собственному значению, содержится в трех первых столбцах матрицы Л — 2а2. Снова используя (18.85), получим вместо (18.86) на основании (18.87)

Л—2а2 —Л—2а2 —— 2 0О 0 в О О 0— 2 0О 0 в О О 0О О-1 гО О-1 гО'О— iО'О— i

Л—2а2 —

Л—2а2 —

— 2 0

О 0 в О О 0

— 2 0

О 0 в О О 0

О О

-1 г

О О

-1 г

О'

О

— i

О'

О

— i

откуда видим, что «диагональный» собственный вектор пропор-

ционалеп первому столбцу и равен (см. (18.85))

(

1\

О I = (". °)-

о/

Действительно, как и должно быть,

о)(о")-О-

Таким образом, при условии у2 = О антисимметричный тензор a(jf) имеет только нулевые собственные значения и два собственных вектора

хй = (а, 0), х = ([аб], — 1а^.(18.88)

причем первый из них — чисто пространственный, является диагональным, а второй — светоподобный, является жордановым собственным вектором (П.5). Построим альтернант векторов ж0 и х (см. (18.6))

[х°.а:] = /П«^]«]х -'«2в\ =а2/ 6х -i«V агах. (18.89) 1ia2a\ia 0 /1

Как видим, этот альтернант с точностью до множителя»2 равен дуальной матрице ах.

Полученный результат не является случайным. Рассмотрим тензор, дуальный альтернанту двух векторов а и Ь: [а • 6]х. Поскольку детерминант этого тензора равен нулю, то он, по доказанному выше, должен сам равняться некоторому альтернанту

[a - Ь]х = [c-d].(18.90)

Возникает задача — найти end при заданных а и Ь. Разумеется, все векторы предполагаются ненулевыми, и а, 6 (так же как с, d) линейно независимы. Поскольку [а • Ь^ха = [а-6]х6 = = 0, то

[с . d] а = ad • с — ас • d = 0, [с • d] Ь = bd • с — Ъс • d = 0.

(18.91)

Вследствие независимости с и d должно быть ad = ас = bd = = be = 0, т. е. векторы с и d должны быть ортогональны каждый к каждому из векторов а и Ъ. Предположим вначале, что ([а • Ь]2)/ =И= 0. Тогда, как показано выше, тензор [а • д]х имеет два нулевых собственных значения (которым соответствуют собственные векторы а и 6) и два ненулевых, которым отвечают светоподобные векторы g+ и g-. Пусть [а • 6]xg± = X±g±, тогда и [с • d]g± = X±g± или

dg+ . с — cg+ • d = X+g+, dg- • c — eg— • d = K-g-.

144144гл. m. группа лоренцагл. m. группа лоренца

144

144

гл. m. группа лоренца

гл. m. группа лоренца

Разрешая эти уравнения относительно векторов end, получим, что каждый из них есть линейная комбинация собственных векторов g+ и g-: с = ^ig+ + 4i£—, d = ^g + T]2g-, следовательно, [с • d] = (§142 — §241) [5+ 1 g-] •

Таким образом,

[a-6]x = C[g+-g-], (18.92)

т. е. матрица VabY* при оаь = 0 представляется в виде альтернанта своих собственных векторов, отвечающих ненулевым собственным значениям. Можно в виде иллюстрации осуществить проверку этого результата на примере матрицы [а° Ь°]х и векторов е± (см. (18.60), (18.61)). Случай, когда ооь=0, требует особого рассмотрения. Напомним, что, не меняя альтернанта [а-Ы (а значит, и [«-Ых), всегда можно представить его в виде [а0 Ы, где а°=(а,0)—пространственный вектор и а°Ь = О. Следует особо подчеркнуть, что при любых а и Ъ переход к этому представлению совершается по существу однозначно. Действительно, пусть «о = О (или 6о = О), тогда нужно лишь ортогонализировать а и Ь. Если «о ¥= 0 и Ьо #= 0, то берем вместо а вектор а + |6, где | = —сц^Ъ^ при этом а + ^b =(а — а^ЫЬ^ 0). Если взять вместо b вектор b + ца, где ц = — ЬоМо, то получим вектор, который отличается от а + ^b множителем —boJao.

Таким образом, с точностью до общего численного множителя переход от общего альтернанта [а • 6] к альтернанту [а0 • 6] совершается однозначно. После этого, если а°Ь #= 0, то берем вместо b вектор b + £«° и требуем, чтобы а°Ь + ^а02 = 0, ^ = = -—a^bla^. Так как всегда а02 #= 0, то и этот переход осуществляется однозначно. Итак, всякий альтернант без изменения своего значения, по существу однозначно*) приводится к виду [а0 • 6], где а0 = (а, 0), а°Ь = 0. Следовательно, все возможные варианты связаны с характером вектора 6, для которого возможны случаи: I. b = (6, 0), II. Ь = (6, ib^, Ь2 >> 0, III. Ь2 < 0, IV. Ь2 — 0. Случай I был рассмотрен выше (см. (18.60), (18.61)). В случае II тензор [а0 - 6]х имеет минимальный полином (см. (18.38))

[а0 - 6]х([а°- 6]Х2-а0262)=0. (18.93)

Нормируем вектор а0 так, чтобы а02 = а2 = 1, включив соответствующий множитель в 6, тогда ненулевые собственные значения будут равны ±fb2, а соответствующие собственные векторы будут пропорциональны столбцам матриц (см. П.1) [а°-6]хХ

Х([ар • Ь]Х±УЬ2). Выписав такую матрицу в явном виде и взяв ее четвертый столбец, получим

[а0 &]х х± = ±К^±, ж± = (бь6 ± УЖаЬА, №\. 4= 0. (18.94) Нетрудно убедиться, что

K-z-J^y^aO-d].(18.95)

В случае III минимальный полином (18.93) вследствие 62 < < 0 будет иметь мнимые ненулевые корни. Соотношения (18.94) г (18.95) сохранят силу и в этот случае, однако векторы х^ будут содержать мнимости в пространственной части.

Случай IV является особым и соответствует выполнению условия Оа»ъ= 0. При этом соотношение (18.92) теряет силу, так как отсутствуют ненулевые собственные значения. Однако при этом справедливо соотношение (18.89), аналогичное (18.92). Правда, в формуле (18.89) векторы ж0 и ж являются собственными векторами матрицы а, хотя х одновременно есть и собственный вектор матрицы а\ Это обстоятельство вообще характерно для данного случая —- светоподобный вектор х является общим собственным вектором матриц а и ах. То, что эти матрицы должны иметь общие собственные векторы, вытекает из коммутации а и ах (см. (18.32)).

Рассмотрим еще один важный тип антисимметричных матриц. Операция дуальности (18.21) линейна, т. е. (|а+т)^)х = = |ax+r]fix, где |, Ц — любые числа а, £ — антисимметричные матрицы. Введем оператор дуальности D путем определения Da = ах. Тогда согласно (18.28)

О2а = ахх = „а(18.96}

Поставим задачу отыскания «собственных матриц» для операции дуальности, т. е. таких антисимметричных а, для которых Da = Ха. Тогда из (18.96) сразу следует, что X2 = — 1, Х*= = ± i. Нетрудно построить собственные матрицы оператора дуальности D. Пусть а—-любая антисимметричная матрица. Тогда матрицы

а± = а ± iax(18.97)

будут искомыми, поскольку Da± = а± = =Р га±. Матрицы а± обладают рядом важных свойств. Вычислим квадраты этих матриц

a^ = а2 — аХ2 ± г (аах + аха).

С помощью (18.31), (18.69) получим

4 = 4" [(a2)t ± i (aax)J, (4), = 2 [(a2)t ± i (aaX)J, (18.98)

10 ф. и. Федоров

. &1 является скалярной комплексной матрицей. Назовем а+ самодуальной матрицей и a-антидуальной матрицей. Очевидно, всякая матрица а однозначно представляется через эти две матрицы:

a = -L(a+ + a_),(18.99)

так же как и дуальная к ней

ax = -L i (а+ - а_).(18.100)

Поскольку, как мы знаем (см. (18.31)), матрицы а и ах коммутируют между собой, то это справедливо также для а+ и а-:

{аах}- = {а+а-}- = 0.(18 101)

Более того, любая самодуальная матрица а+ коммутирует с любой антидуальной а_. Действительно,

{a+aiL= {(a + tax), (а' —га'х)}- =

= {аа'}_ + {аха'х}_ + г({аха'}_ — {аа'х}_).

Но согласно (18.73), (18.74) {аха'х}~ = — {аа'}_, {аха'}_ = = {аа'х}-, поэтому рассматриваемый коммутант равен нулю:

{a+al)_ = 0, a+al = ala+.(18.102)

Вычислим след от произведения самодуальной и антидуальной матриц

(a+al)t = (aa')t + (axa'x)t + i [(axa')t — (aa'x)tl.

С помощью (18.68), (18.70) убеждаемся, что этот след равен нулю:

(a+al)< = 0.(18.103)

Из (18.102) следует, что произведение самодуальной и антидуальной матриц в любом порядке является симметричной матрицей. Действительно, пусть х = a+a_, тогда

х = ala+ = ala+ = a+ai — х.(18.104)

Итак, произведение самодуальной и антидуальной матриц является симметричной матрицей со следом, равным нулю.

Рассмотрим теперь произведение двух однотипных матриц, т. е. двух самодуальных или двух антидуальных

a±al = aa' — axa'x ± г ^аха! + aa'x). (18.105)

Используя (18.56) и (18.71), можно привести правую часть к виду

4" [(аа')(± i (аа'х),] + (аа'}_ ± i (аХа'}- = -у (aa±)f + (а±а'}-.

Но согласно (18.99), (18.103), (18.102):

(aa±)f = 4" ((«+ + «-) «±) = 4" (а±а+)о

{а±а'}- = 4" {а±, (а+ + а!))- = 4" {«±«±1—

Поэтому из (18.105) следует

а±а± = 4" (“Г (а±а±)« + {а±а±|Д(18.106)

Используем теперь соответствие между а и комплексным вектором q = a+ib (см. (18.9), (18.11), (18.26)). Тогда опреде- ление (18.97) можно написать в виде

а± (?) = a («) ± i«x (?) =

млнмлнI ах ib\ [bx—ia\ f (^ ± ib)x ± (а ± ib)\ \— ib 0 / ? \ia 0 / \+ (a ± ib) 0 /

млн

млн

«+(8) = (_*Х?) = 8+,(18.107)

а- (?) = (j/ ~о *) = q—(18.108)

С помощью соотношений (18.98), (18.106), либо непосредственно используя явные выражения (18.107), (18.108), получим

а\^ = — Чг, »-(g) = —д*2,(18.109)

а+а+ = а+ (д) а+ (д') = — дд' + [дд')+,(18.110)

а_а! = а_ (д) а_ (д') = — (дд')* + [дд']_,(18.111)

чх g^fe'** —ч'*\= ( — qq'* + q-q'* ’ q'* q — [дд'*Г) -q 0)\q'*0 / k -lgg*lqq'* )‘

(18.112)

Сразу видно, что последняя матрица симметрична, и нетрудно проверить, что ее след равен нулю в соответствии с (18.103), (18.104). 10»

Преобразования Лоренца

Всякое линейное преобразование х' = Lx вектора х (17.5) в пространстве Минковского с матрицей L вида (17.13), оставляющее инвариантным квадрат вектора х (17.7), называется об- щим преобразованием Лоренца.

Таким образом, в пространстве Минковского матрица Лоренца является комплексной ортогональной матрицей (см. § 1) специального вида (17.13). Используя общие результаты § 1, мы сразу можем написать условия, которым должна удовлетворять матрица Лоренца

LL = LL = 1,L = L-\(19.1)

|L|2 = 1, |L|=±1.(19.2)

Поскольку преобразования L оставляют инвариантной квадратичную форму (17.1), в которую квадраты трех переменных входят с плюсом и квадрат одной переменной —- с минусом, то группу Лоренца обозначают символом О (3,1). Аналогично, в пространстве любого числа измерений символом О(тп, п) обозначают группу линейных преобразований (тп+п)-мерного пространства, оставляющих инвариантной форму вида х^ + х^ + ... ...+ Хт—ж^^—Хт^—. • • "“^m+n . Если детерминанты таких преобразований равны +1, то ограниченную этим условием подгруппу обозначают SO^m, п).

Все преобразования L вида (17.13), удовлетворяющие условиям (19.2), образуют общую группу Лоренца. Собственные преобразования Лоренца £+, для которых |L+|^= + 1, также образуют группу являющуюся подгруппой общей группы Лоренца. Несобственные преобразования Лоренца L-, для которых |£_| = —1, не образуют группы.

Используя для L блочную форму (17.13), имеем [24]

l = (.₽г“1 г = (ЛгЛ(19.з)

\гу к)1\iu к)х '

Подставляя эти выражения в (19.1), получим

(19.4)(19.4)[ РР — и • и I (Ру -|- ки) /1 0\ Vi^-Vku) ^-^ /

(19.4)

(19.4)

Здесь использованы правила перемножения прямоугольных матриц (см. П.1)

“А/“1У1 К1У2 VeX

U2 I (Рр P2, Pg) = I “2^ % V3 I = “ • D.

.VVW “зУ2 W

(vn р2,р3) I “2 I = ^«1 + и»и» + ^з^з =

Из (19.4) находим

РР = 1-}-и-и, р» = i?p = — ка, v2 = к2— 1.(19.5)

Если исходить из равенства LL = 1, то аналогично получим

PP = 14-v.d, pa = — ко, и2 = к2 — \.(19.6)

Отсюда для элемента L^ = к матрицы L следует соотношение

Ц4 = к2 = 1 + и2 = 1 4- г2> 1.(19.7)

Таким образом, имеют место две возможности: первая из них соответствует условию

Lu = k>V L = LW,(19.8)

в этом случае преобразование L называется ортохронным. Такие преобразования образуют группу. Действительно, нетрудно убедиться, что взяв

_ ,(+) \ю к / получим

(LwL'w)44 = (Zd, й) ^“J = кк' - са'. (19.9) Согласно (19.5), (19.6) (си')2 < е2»'2 = (А*2 - 1) (к'4 - 1)» поэтому (1 + »и'У < 1 + 2d»' + (А2 - 1) (А/2 - 1) =

= кЧ^ — ^ — и'^^к^к'1. (19.10)

Следовательно, кк'— vu'>1 и произведение матриц LWUW обладает свойством (19.8), т. е. также является ортохронной матрицей Лоренца. Матрица, обратная к Lw, равна транспонированной, поэтому для нее, также как и для единичной матрицы, выполняется условие (19.8). Следовательно, совокупность матриц Lw содержит обратные матрицы и единичную матрицу. Таким образом, ортохронные матрицы образуют подгруппу общей группы Лоренца; она называется полной группой Лоренца.

Преобразуя вектор х с помощью ортохронной матрицы L, получим х4 = ^Lx^4 = iox 4- кх4 или х'0 = ох-\- кх0. Пусть х — времениподобный вектор; тогда | х01 > | х | и, поскольку для ортохронной матрицы ft>|o| (19.5), то х^ всегда имеет тот же зИак, что х0. Таким образом, ортохронная матрица преобразует каждый времениподобный вектор х с ^о > 0 (#о < 0) снова во времениподобный вектор х1 с х\ > 0 (^ < 0).

Нетрудно убедиться, что скалярное произведение двух времениподобных положительных (отрицательных) векторов) р, р' всегда отрицательно. Действительно, в этом случае рр' = =рр' —роРо< 0, так какроро>Ои |р0|>|р|, | Ро | >| р' |. Аналогично доказывается, что скалярное произведение положительного и отрицательного времениподобных векторов всегда есть п о- ложительное число. Отсюда, между прочим, снова следует, что два времениподобных вектора не могут быть ортогональны между собой, т. е. равенство рр' = 0 невозможно (см. § 17). Для времениподобного вектора р ни при каком L невозможно также равенство pLp = 0, поскольку вектор Lp также будет времениподобным. Заметим, что для пространственноподобных векторов нельзя высказать аналогичных общих утверждений.

Вторая возможность, вытекающая из (19.7), соответствует условию

L^ = Л^-1, L = U-\(19.11)

Преобразования (и матрицы) Лоренца, удовлетворяющие этому условию, называются неортохроннымщ они не образуют группы.

Рассмотрим преобразование с помощью матрицы L (19.3) времениподобного вектора xs= (0, гх^у

х = Lx = к.

Поскольку ж0 ^ кх0 = L^, то в случае неортохронной матрицы временная составляющая вектора х изменяет знак на обратный. Если рассматривать L как матрицу перехода от одной системы координат К к другой К', то в случае L = L^ во второй системе К' направление течения времени изменяется на обратное. В случае же L = Lw меняется лишь масштаб измерения времени, а направление временной оси остается неизменным. С этим и связаны названия ортохронное (L = LU)^ и не- ортохронное (£»= £(-)) преобразования Лоренца.

Очевидно, переход от одной инерциальной системы к другой должен переводить всякий положительный времениподобный вектор, характеризующий реальное движение, снова в такой же вектор. Видно, что соответствующее преобразование L должна быть ортохронным. Следовательно, только преобразования, принадлежащие к полной группе Лоренца, могут описывать переход от одной инерциальной системы координат к другой — они называются преобразованиями Лоренца.

Для ортохронной матрицы |L(+)| может равняться как +1, так и — 1. В первом случае мы имеем дело с преобразованиями

1^\ совокупность которых образует собственную ортохрон- ную группу Лоренца. Во втором случае |L(+h= —1 мы имеем несобственные ортохронные преобразования Лоренца 1£У\ которые не образуют группы.

Различные виды преобразований Лоренца могут быть сведены в следующую таблицу:

|L| = + 1

|LI=—1

^44^1

^44<~1

+

Приведем сводку соответствующих определений и терминов: Ь=\Ь^\ L^\=<L^ L_}={L(+\ L^\ L^\ №\ - общая группа Лоренца (общее преобразование Лоренца) jL^^lL^^Ll^}— полная группа Лоренца (преобразование Лоренца); £+= (L(^\ L^}—собственная группа Лоренца (собственное преобразование Лоренца); 1^ —собственная ортохронная группа Лоренца; L- — несобственное преобразование Лоренца; 2/_) — неорто- хронное преобразование Лоренца.

Можно убедиться, что при перемножении двух преобразований Лоренца различных типов характер результирующего преобразования определяется по простому правилу: одинаковые знаки у сомножителей дают в результате плюс, а различные — минус, причем это справедливо независимо для верхних и нижних знаков. Таким образом, например, L^L^=L^\ L^L^=L^ и т. д. Проверка этого правила тривиальна, за исключением, быть может, соотношений L^L^n—Lw и LWL^ = L^. Оба они следуют из формул (19.10), (19.11) с учетом того, что в первом случае кк' > 0, а во втором кк' < 0.

Преобразование Р, изменяющее знак у пространственной части х 4-вектора ж: Рх = Р (ж, я4) = (— х, х4^ называется пространственной инверсией. Матрица его имеет вид

Р = (~0 1)’ Р=Р* = Р+ = Р, Р2 = 1. (19.12)

PL^ = L^\PL^ = L^\Так как РР*=Л, |Р| = — 1, Р« = + 1, то преобразование Р является частным случаем несобственного ортохронного преобразования Лоренца L^. Поскольку | PL^ | = | Р| • | L^ | = т 1, то

PL^ = L^\

PL^ = L^\

Таким образом, путем умножения на матрицу Р мы можем осуществить переход от собственных к несобственным преобразованиям Лоренца и наоборот.

Преобразование

Р'^ —Р = ^_°), Р' = Р'* = Р'+ =F, Рп=\ (19.14) изменяет знак у временной компоненты х4 4-вектора: Р' (а?, #4) = (*> — ^4) и поэтому называется инверсией "(отражением) времени. Поскольку Р'Р' = 1, |Р'| = — 1, Р44 = — 1, то это есть неортохронное несобственное преобразование Лоренца L^. Наконец, произведение

неортохронным собственным преобразованием Лоренца. Умножая на операторы Р, Р', РР' = — 1, мы можем переводить любое преобразование L^ в преобразование любого другого типа.неортохронным собственным преобразованием Лоренца. Умножая на операторы Р, Р', РР' = — 1, мы можем переводить любое преобразование L^ в преобразование любого другого типа.РР' = - 1 е 1>; \ (19.15) которое можно назвать полной инверсией, является простейшим

неортохронным собственным преобразованием Лоренца. Умножая на операторы Р, Р', РР' = — 1, мы можем переводить любое преобразование L^ в преобразование любого другого типа.

неортохронным собственным преобразованием Лоренца. Умножая на операторы Р, Р', РР' = — 1, мы можем переводить любое преобразование L^ в преобразование любого другого типа.

Используя блочную форму (19.3) матрицы Лоренца, можно получить ряд дополнительных соотношений. Для вычисления детерминанта матрицы L умножим четвертый ее столбец диадно на ii)lk и вычтем из первых трех

|Z| =|Р + Вор/Л ™| = д|р + ^-|.(19.16)

Применяя здесь формулу (П.1.67), получим

|L| = Л|р| + »р«.(19.17)

С помощью той же формулы (П.1.67) находим из (19.6)

|рр| = |РР = |Ц-г.Р| = 14-с« = Л. (19.18)

Таким образом, всегда | р | 5^ 0. Поэтому второе из соотношений (19.5) можно написать в виде р-1» = — »/к. Умножая на | Р |» и учитывая, что | р | Р-1 = Р, получим vP« = — | Р | »4(к.

В результате соотношение (19.17) принимает вид (см. (19.18)) |^| = \№(19.18')

Следовательно, согласно (19.2) имеем соответственно

Ш=±*(1^1 =±1).(19.19)

Умножая вторые уравнения (19.5) и (19.6) на и и а соответственно, получим

u^v = v^u = — kuv.

Дальнейшие сведения об L можно получить с помощью характеристического полинома [24]. Согласно (П.1.30) для L, как для всякой матрицы четвертого порядка, справедливо соотношение

L4 - LJ? + 4 KLt)2 - СЬ2Ы Ь2 - LtL + | L | = 0. (19.20)

Учтем, что для матрицы Лоренца L = |£|£-1 = |L|L, и умножим равенство (19.20) на А-2 = L2; мы получим

V + ILIL2 - Lt (L 4-1LIZ) 4- 4 ^L^ - W = 0. (19.21)

При |L| = 1 это матричное уравнение для элемента Lu принимает вид

4LtLu = (L,)2 + 3(L2)44- (£2)««.

С помощью (19.7) получаем отсюда

4LtLw= (.L^ 4- 3 к1 - 2»г-(Р2)г(19.22)

Известное неравенство Коши — Буняковского (см., например, [10]) имеет вид

(ЗДР)2< (^Р)2(у.)2,(19.23)

где все х^ у, вещественны. Если положить хр = раь, уР = Рьа, то

(ММ2 = (tm2< (M2(W2= (W).)2.(19.24)

Это общее соотношение справедливо для вещественной матрицы любого порядка. Учитывая (19.5), получим отсюда [24]

та2 < «1+«• «>а2 = (з + и^ = (2 + *2)2.

Кроме того, очевидно, (av)2<a2v2 = (/c2—I)2.

Из последних двух соотношений следует

|2нР4-№М<2|МРШ(Р2)(1<2(А2-1)4-2 4-^^

Поэтому (19.22) приводит к неравенству (при |L| = 1)

Lt (^ -Lt) = Lt (3L44 - М 0.(19.25)

Поскольку Lt>= р( + A, L^ = Л, то из (19.25) следует

(& + М (3& — Ре) >0.(19.26)

Рассмотрим теперь случай Lt = 0, по-прежнему считая |L| = 1. При этом (19.22) сводится к

(P2)f = ЗА2 — 2мг.(19.27)

Вычислим выражение

т((М)2)< = (Н<- ш<-

Вследствие (19.27), (19.5), (19.6) оно принимает вид |((Р-Р)2)е = 2(«2-ИР)>0.(19.28)

Но р — р, как трехмерная антисимметричная матрица, всегда может быть представлена в виде Р— Р = ах (см. П.1), поэтому -у ((Р — P)2)t = — а2 ^ 0. Это равенство совместно с (19.28) лишь при условии и2 — ио = 0, р = р, откуда следует w = и и L = L. Наоборот, если L = L, то LL = L2 = 1 и уравнение (19.21) при |L| = 1 дает Lt^Lt — 4L) = 0, т. е. Lt = 0. Итак, при \L\ = 1 условия Lt = 0 и L = L равносильны. При этом Pt = — к.

В случае |L| = — 1, взяв след от (19.21), получим

kL2V = kLty.(19.29)

При этом условии уравнение (19.20) принимает вид

(L2 - 1) (L2 - LtL + 1) = 0.(19.30)

Следовательно, несобственная матрица Лоренца всегда имеет два собственных значения, равных ± 1. Два других собственных значения зависят только от следа матрицы L и равны 1/2(Z,(±№)2-T).

В § 1 было показано, что ортогональная матрица n-го порядка может быть представлена в виде полинома степени не выше п — 1 от антисимметричной матрицы а. В нашем случае п = 4, поэтому в соотношении (1.18) мы можем начинать с третьей или второй степени*). Рассмотрим следующее выражение для£:

L = ао + aia + а^а2(a=—а).(19.31)

♦) Можно проверить, что с помощью полинома первой степени от a нельзя построить ортогональную матрицу порядка выше второго.

Поскольку скалярные множители ах и а2 стоят при произвольной антисимметричной матрице а, то на них можно наложить томили иное условие. Положим а2 = ах и потребуем, чтобы LL<= 1. Поскольку а2 = а2, то мы получим

LL = (а0 4-^а2)2 - а?а2 = 1.(19.32)

Согласно (П.1.33)

а4 = Даа2- |а|,(19.33)

поэтому условие (19.32) принимает вид

av (2а0 — ^AJ а2 + <?о ~ «i I«| — 1 = 0.

Приравнивая нулю порознь коэффициент при а2 и свободный член и решая полученные уравнения, находим следующее выражение для матрицы Лоренца:

(19.34)(19.34)1 - да 4- 2 (а 4- а2)/(1-Да)2_4|а | *

(19.34)

(19.34)

Покажем, что связь между L и а, выражаемая формулой (19.34), взаимно однозначна, т. е. заданной L = L-X1 |L| = 1 соответствует вполне определенная антисимметричная матрица а. Для этого выпишем выражения

L - 2 = ... 4а, Lt =4, (19.34')

^(1 — Да)2 — 41 а | *1/ (1 — Да)г _ 41 а |''

откуда следуетоткуда следуета =а =L-LЧL-LЧL2~i -ЦЬ ” а*L2~i -ЦЬ ” а*(19.34")(19.34")

откуда следует

откуда следует

а =

а =

L-L

Ч

L-L

Ч

L2~i -

ЦЬ ” а*

L2~i -

ЦЬ ” а*

(19.34")

(19.34")

Последняя формула однозначно определяет а, исключая случай Lt = 0. Как показано ранее, при Lt = 0 должно быть L = L, кроме того, согласно (19.34') какие-то элементы матрицы а должны быть бесконечно велики. Этот особый случай будет рассмотрен в следующем параграфе.

Согласно (1.13), (1.15') должна существовать антисимметричная матрица а' такая, что

L =«' = ^2 = _ а'.(19.35)

Сравнивая эти выражения с (19.34), (19.34"), видим, что а не совпадает с а. Однако а' и а должны выражаться одна через другую. В 4-мерном пространстве общая ковариантная функциональная зависимость одной антисимметричной матрицы а' от другой а может иметь только следующий вид:

а' = /(а) =§а+ца3.(19.36)

Действительно, всякая функция от матрицы является полиномом от нее степени не выше размерности матрицы, а вследствие антисимметрии а' этот полином должен содержать лишь нечетные степени а. Подставляя (19.35) в (19.36), имеем (L + 1) (|а + ца3) = L — 1. Используя здесь (19.34) и (19.33), получим после некоторых вычислений

/(1-Да)2-4|а|-(1 - Да)/(1-Да)2_4|а|

621 а |» ч —21 а |*

Следовательно, выражение (19.35) для L оказывается гораздо более сложным, чем (19.34).

Согласно (19.34) матрица Лоренца выражается через произвольную антисимметричную матрицу а, ограниченную условием

(1 —Да)2 —4|а| =#0.(19.37)

Более подробно об ограничениях, налагаемых на матрицу а или, точнее, на определяющий ее комплексный вектор q (см. (18.11)), речь будет идти в § 20.

Интересно отметить, что выражение (19.34), если рассматривать а как трехмерную антисимметричную матрицу, полностью совпадает с формулой (2.2) для преобразования О группы вращений. Чтобы убедиться в этом, нужно только учесть, что в трехмерном случае | а | = 0, а = сх, Да = — с2-

Заметим, что при |а| = 0 согласно (18.38) а3 = Даа, а выражение (19.34) принимает вид

L = 1 + 2^1.

Если учесть, что при этом (1 — а)-1— 1 + г™-?■, то для L получаем, в соответствии с (1.13), выражение L = 2(1 — а)-1 — 1 = = (1+а)/(1 — а). Таким образом, при |а|=0 согласно (19.35) а' = а.

Матрица а, как всякая матрица, действующая на вектор в пространстве Минковского, должна иметь структуру (17.13). Антисимметрия а приводит к уже известной нам форме (18.9) 06 = (“^ о) = “^' ^=a^ib-(1938>

Теперь все величины, входящие в (19.34), получаются с помощью формул (18.13), (18.16):

2( а*а + Ъ*Ъ — с? i [а6]\ А ,«

При этом условие (19.37) принимает вид

(1 - Да)2 - 41 а | = (1+ а2 - &2)2 + 4 (аб)2 ^ 0, (19.40) иными словами, не должны одновременно выполняться равенства

№ = агА^ ab^O.(19.41)

Очевидно, шесть независимых компонент произвольного антисимметричного тензора а, удовлетворяющего условию (19.37) г можно рассматривать как параметры преобразования Лоренца L, число которых, согласно § 1, должно равняться шести.

Рассматривая а как тензор-параметр, можно написать на основании (19.34) £ = £(«), причем, как нетрудно убедиться с помощью (19.34), (19.37), L(0) = 1, L"x^ = Z/(a) = = L(a) = Ц-аУ

Формула (19.34") позволяет найти закон композиции для этих тензорных параметров группы Лоренца. Пусть L(a^ L(a') — два преобразования Лоренца, тогда £(a)L(a') = = L(a"), причем тензор-параметр а" находится из соотношения (19.34")

L (a) L (д') — L (a') Z (а)[L(g)£(g')h

Подставляя сюда выражение (19.34) для L(a), получим после ряда преобразований а" = <а, а'> =

_ (Ij-AJajH^ZJ^^

то вектор а будет также собственным вектором матрицы Лоренца

Lei = Х^а,Lei = Х^а,(19.45)(19.45)х1-Да + 2Х(Ц-Х)

Lei = Х^а,

Lei = Х^а,

(19.45)

(19.45)

1 /(1-Аа)2+41«1 '

Справедливо и обратное — всякий собственный вектор матрицы L должен быть собственным вектором матрицы а, входящей в выражение (19.34). Действительно, из (19.34), (19.45) следует

(а + а2) а = ха, (19.46) где х — число. Умножим это соотношение на а и а2 (см. (18.7)):

(19.47)(19.47)(а2 + а3 — ха)а = О,((Да + х)а2 + а3)« = |а|а.

(19.47)

(19.47)

Исключая из трех уравнений (19.46), (19.47) два вектора а2а и а3а путем умножения на соответствующие числа и сложения, придем к соотношению аа = Ха*). Таким образом, задача определения собственных векторов и собственных значений произвольного собственного преобразования Лоренца сводится к гораздо более простой задаче отыскания собственных векторов и значений антисимметричной матрицы а (см. § 18).

Выясним, при каких условиях матрица собственного преобразования Лоренца может иметь собственное значение, равное единице. Для этого заменим в уравнении (19.21) |L|, L и L на единицу. В результате получится соотношение

^-Lty= (L^t. (19.48)

С помощью выражения (19.34), используя (18.7), вычисляем (L2),:

4(1 — ^ + 8 (1 - Д„) Да + 8Д„(1 + Д„)2 _ 4 | а |

V(1 —Да)2 —4|а|-4(1_Да)г_4|аГ

Подставляя эти выражения и Lt (19.34') в (19.48), получаем после простых преобразований: f(l — Да)2 — 4|а| = 1 — Да, из этого соотношения следует |а|=0. Итак, условие |а|=0 необходимо для того, чтобы матрица L имела собственное значение, равное единице, т. е. \L— 11 = 0. Это условие также достаточно, потому что, если |а| = 0, то матрица а име-

♦) Аналогичное утверждение справедливо в любом пространстве для любой матричной функции от матрицы: если а = /(f), то из аа = Ха следует Ра = Xia и наоборот.

ет собственное значение Х = 0 и тогда согласно (19.45) Xi = 1. Таким образом, условия |а|=0 и |L—1|=0 равносильны. Заметим, что в этом случае матрица а имеет двукратное нулевое собственное значение. Действительно, при | а | = 0 минимальное уравнение (18.38) для а имеет корни 0, ±УАа, равные возможным собственным значениям а. Поскольку след антисимметричной матрицы а равен нулю, а с другой стороны, он равен сумме всех собственных значений, то ясно, что нуль должен быть двукратным собственным значением.

Итак, собственное преобразование Лоренца L (19.34) имеет собственное значение, равное единице, тогда и только тогда, когда |а| = 0. Это собственное значение всегда будет двукратным, а соответствующие собственные векторы матрицы L будут совпадать с двумя независимыми собственными векторами а и а' матрицы а, для которых аа = аа' = 0.

Комплексный вектор-параметр

Воспользуемся полученным в § 18 представлением произвольной антисимметричной матрицы а = — а = а (д) с помощью собственных матриц оператора дуальности а± = ± fa^ (см. (18.99))

а = у(а+ + а_).(20.1)

Введем несколько измененные обозначения. Согласно (18.107), (18.108)

Jq4^ а_^ = ^ -» ).(20.2)

Матрица a+ (д) целиком определяется вектором q, а матрица «-(д) - комплексно сопряженным вектором q*. Удобно использовать такие обозначения, в которых явно фигурировал бы вектор, определяющий антисимметричную матрицу. Обозначением такого рода мы уже пользовались в § 2 для трехмерных антисимметричных матриц, определяя их через дуальный вектор с: А = сх. Это соотношение (см. (2.4)) однозначно ставит в соответствие каждому трехмерному вектору с трехмерную же антисимметричную матрицу. В четырехмерном пространстве также можно поставить в соответствие любому трехмерному вектору q четырехмерную антисимметричную матрицу, причем не одну, а две [23—25]:

^-(тГ^о)"(20.3)

При этом, в соответствии с (20.2), (20.1), можно написать «+ (д) = д+, а-(д) = д*-(20.4)

Выпишем здесь в новых обозначениях установленные в § 18 свойства матриц q-^-e.

М- = (’ ’',+ ’ ’ “~ Ч1) - М-.(20.5)

\ — к? 1 qq /

{?+?-}- = 0, (g+gl)( = 0,(20.6)

5±е± = - М' + [И'к. (е±»±)-= 2 [qq' ]±,

Ч^ 1д±д±к = -2qq'

Заметим, что операция перехода от вектора q к матрицам q^ (20.3) линейна, т. е.

(В? + т|д')± = lq± + ng±-(20.8)

Из (20.7) следует, что минимальное уравнение для матриц q^- жмеет вид

gl + fl^taz-i/^Hfl^ + i/g5)^.(20.9)

Следовательно, собственные значения как д+, так и q- равны ^ V*?- Поскольку след антисимметричных матриц четвертого порядка q+ равен нулю, а с другой стороны, равен сумме всех собственных значений, то каждое из собственных значений ± i ^q2 является двукратным. Детерминант матрицы равен произведению всех ее собственных значений, поэтому

|g±l = g4-(20.Ю)

Из (20.9) следует, что при д2=/=0

g± =~g±/g2-(20.11)

Соответственно имеем для взаимной матрицы (см. П.1)

g± = I g± I g± = - g2g±-(20.12)

Из (20.9) следует также, что матрицы q^_ приводимы к диагональному виду всегда, кроме случая

g2=0, а2 —&2 = ab = 0 (д =« + *&),(20.13)

поскольку при этом минимальный полином д± = 0 имеет кратные корни.

Преобразуем выражение (19.34) для матрицы Лоренца с учетом приведенных выше соотношений. Согласно (20.1) имеем

« = « (5) = 4 (»+ + 9*)(20.14)

и на основании (20.6), (20.7)

а2=4(-«2-Г2 + 2д+?‘-), До=-у^ + в*2)- (20Л5>

Знаменатель формулы (19.34) равен (см. (19.40)) /(1-Аа)2-4|а| = /(1-а2-62)2 + 4(а6)2 =

= /ЦТ?ЙГ+"^7 = 11 + ff21. (20.16)

Окончательно получаем, подставляя в (19.34) выражения (20.14)-(20.16),

L = (1 + ?+) (1 + а)(2017)

Следовательно, матрица Лоренца представляется в виде произведения двух коммутирующих матриц

L = е+ (д) е_ (д*) = е_(д*)е+ (д),.(20.18)

где

1 + а,

8± (9) = 7=^»<8+ ^’ 8- ^- = Ое (20Л9)

V 1+^

Полученные соотношения благодаря простым свойствам матриц д± позволяют с большим удобством исследовать матрицу Лоренца во всех деталях.

Вычислим детерминант L. Детерминант матрицы 1 + д± равен произведению ее собственных значений, равйых 1 ± i )/д2. Следовательно, при любых g

I 6± (?) | == 1,(20.20)

поэтому и | L | = 18+ (g) |.| е_ (g*) | = 1. Элемент £44 согласно (20.17), (20.5) определяется выражением

L44 == £±Ш2 > 1(20 2П

44 Н + ?21|1 + ?2Г(}

Действительно,

(1 + I ? I2)2 - 11 + 8212 = (1 + «2 + &2)2 - (1 +а2-Ь^ - 4 («6)2=

= 4(62 + [аЫ2)>0.

11 Ф. И. Федоров

(20.22)(20.22)Свойство LL = 1 получается сразу с помощью (20.18), (20.19), (20.7), так как

(20.22)

(20.22)

Отметим, что хотя 4 X 4-матрицы е± удовлетворяют свойствам 8±е± = 1, 18± | =. 1, однако их нельзя рассматривать как матрицы Лоренца, поскольку они не имеют структуры (19.3). Таким образом, формулы (20.17) —(20.19) для любого трехмерного комплексного вектора g = а + Ь, при котором выражение для матрицы L сохраняет смысл, определяют собственное преобразование Лоренца L^ (см. § 19). Наоборот, если задано собственное преобразование Лоренца L, то можно найти соответствующий вектор q. Действительно, взяв след от равенства (20.17), получим с учетом (20.6)

L^4/|l + g2|.(20.23)

С другой стороны, поскольку д± антисимметричны, а g+g* — симметричная матрица, имеем

Л — Г = 2 (9++ ^1)/| 1 + «2|.(20.24)

Разделив (20.21) на (20.25), найдем (ср. (19.34'))

4-^ + ^)-^ = »=^^.(20.25)

Таким образом, зная L = L^\ по этой формуле определяем q = а + ib. Единственный особый случай, который мы сейчас рассмотрим, соответствует Lt = 0. Поскольку |L| = 1, то, как показано в конце § 19, при этом L = L и соотношение (19.34) дает неопределенность вида 0/0. Согласно (20.23) Lt = 0 лишь при |д2|=оо. Используя (20.3), (20.5), выпишем выражение (20.17) для L в развернутом виде:

Т 1||1 + 92ЦТ 1||1 + 92Ц1 — I q I2 + (9 + 9*)х + q q* + 9*9 9 — 9* — (99*] А - (9 ~ 9*) — [99*11 + I 9 I2 /

Т 1|

|1 + 92Ц

Т 1|

|1 + 92Ц

(20.26)

Если перейти к пределу |д2|~>оо, то здесь останутся лишь члены, квадратичные по д, и мы получим

£= 1 /»•»* +»*-»-l»|2 -[»»*] \(20.27)

1«г1\—[??*]|?12/

Введем множитель 1»21 1=(92д*2) 1,1 внутрь матрицы и обозначим ?i = ?//F.5i* = 5*//^*,5? = 5^= 1,(20.28)

-М1\-М1\(20.29)(20.29)тогда (20.27) примет вид

-М1\

-М1\

(20.29)

(20.29)

/«r^ + Zi-^-Hil2

ч -Ml

Мы видим, что, действительно, L = Z, причем выражения (20.28), (20.29) полностью сохраняют смысл при | д21-^ оо. Таким образом, в случае Lt = 0 задача сводится к нахождению комплексного единичного вектора ^(д2 = 1) из соотношения (20.29), где L —-заданная симметричная матрица Лоренца,

L = L = (^ 1И\ р = р, (20.30) \iii к /

со свойствами (см. (19.5))

Р, + к = Lt = 0, Р2 = 1 + и • и, р» = — ки, к2 = 1 + и4-

(20.31)

Из сравнения (20.29) и (20.30) получаем

1«112 = ^.(20.32)

9r9? + 9r9i = P + |9i|2 = P4-/c.(20.33)

Первое из равенств (20.32) дает (см. (П.1.79))

[9i9i]х = 9г 91 — 9г 9? = - ™Х-

Вычитая это из (20.33), находим

9г91* = -г(Р + ^ + ^Х)-(20-34)

Для того чтобы это равенство было непротиворечиво, необходимо, чтобы матрица х = -^-(Р + к + г«х) обладала свойствами, которые имеет левая часть, а именно:

(9г9?)+ = 9г9:, (9r9j)t = l9il2 = ^ («г 91)’= л«г «г

Справедливость двух первых свойств: х+ = х, х( = к устанавливается сразу на основании (20.31). Для выполнения последнего свойства

х2 = -j- р2 + к2 — иХ2 4- 2к (р + шх) + i (рих + ихР) = кх,

как можно убедиться с помощью тех же соотношений (20.31), нужно только, чтобы антисимметричная матрица у = Ра х + ®хр равнялась нулю. Поскольку 7 — вещественная матрица, для этого достаточно, чтобы (т2)е = 0. Используя (20.31) и (П.1.90), 11*

нетрудно убедиться в справедливости последнего равенства. Следовательно, соотношение (20.34) непротиворечиво, и мы можем определить из него вектор qv умножая обе стороны на произвольный вектор с:

91 = (2g*c)-1 (р + k-Viax) с = С(^ + к + iux) с, (20.35) при условии, что(р + к + 1их^с^0. Заметим, что последнее неравенство исключает с = а, так как согласно (20.31) (Р + & + + iux^u = 0. Постоянная С находится из условия нормировки д2= 1.

Таким образом, и в случае Lt = 0 связь между матрицей Лоренца L и комплексным вектором д, определяемая формулой (20.17), имеет взаимно однозначный характер, если не считать того, что из (20.29), (20.34) вектор gT (g2 = 1) определяется с точностью до знака, не играющего никакой роли. Ситуация здесь вполне аналогична случаю (2.8) для группы вращений, когда с2оо, однако соответствующее преобразование задается единичным вектором сг = с!\ с |, также определяемым из (2.7) с точностью до знака, причем последний также не имеет значения. Заметим, что как там, так и здесь, условия Z = Z, £2 = = 1(0 = 0, О2 = 1) и |д2|->оо(с2-^оо) оказываются равносильными, т. е. вытекают одно из другого.

Итак, мы доказали, что комплексному трехмерному вектору g однозначно соответствует по формуле (20.17) собственное ортохронное преобразование Лоренца //^ и, наоборот, каждому собственному преобразованию Лоренца L^ однозначно соответствует комплексный трехмерный вектор д. Следовательно, мы можем рассматривать g = а + ib как комплексный вектор-параметр группы Лоренца, который объединяет в себе шесть параметров «1, а^ «з> bi, b^ 63. Представление (20.17), полученное впервые в [23—25], является весьма компактным, простым и удобным для выяснения всех свойств матрицы Лоренца и всевозможных вычислений с ее помощью.

В заключение выпишем развернутое выражение для матрицы Лоренца через векторы а, 6, являющиеся вещественной и мнимой частью комплексного вектора д. Мы можем при этом исходить как из формы (19.34), так и из формы (20.26). После несложных преобразований получим £ = [(1 + а2 - 62)2 + 4 Wr4* X

х /1 - (а2 + 62) + 2ах + 2 (а а + 6 6) 2i (Ь + [а6])\(20.36)

\— 2i(6 —[аЬ])Ц-а2 + Ь2/

Рассмотрим общее выражение (20.36) для частных значений комплексного вектор-параметра g = в + ib.

Линейный вектор q: [gg*] = — 2г [аЬ] = 0, q = £с, с = с*, с2 = 1, В = |1 + г|2- При этом согласно (20.26) имеем

(20.36а)(20.36а)_,/1-1^|2 + 2^сх+2|5|гс.с 2i^c\

(20.36а)

(20.36а)

£^ = ГТ+Т1\ ~2iV l + |5l2/

Канонический вектор: д2 — q*4 = 4iab = 0. При этом (см. (20.36))

^ =1/1 — (а2 + Ь2) + 2ах + 2аа + bb 2i(b+ [аЬ])\

’~ 1 + «2 -b4 ^_ 2i (Ь _ [аЬ])1 + а2 + Ь2/'

(20.366)

Круговой вектор q: q4 = а4 — b4 = аЬ = 0. При этом а-а+ + Ь-Ь + [а6]«[аЬ1/а2 = а2 (см. П.1). Из (20.36) следует

Lg —Lg —(20.36в)(20.36в)1 + 2ах — 2 [аЬ] • [аЬ]/а2 2гЬ + [аб]— 2i (Ь — [аЬ])1 + 2а2

Lg —

Lg —

(20.36в)

(20.36в)

Обратимся теперь к выяснению физического (геометрического, кинематического) смысла комплексного вектор-параметра q = а + ib. Пусть преобразование Лоренца представляет собой поворот одной системы координат относительной другой, причем обе системы покоятся. Тогда матрица L должна иметь вид (см. (2.5))

(О0\с^Д-с^

ЧоЛ- о = + 2-ГТ7-<2о37>

Выясним, какой вектор-параметр q будет соответствовать данному случаю. Используем общее соотношение (20.25)

4-^+»:)-(^6о)-+г.<20-38)

причем в данном случае

.I ! + с2 0 I

£(=1+Ot= * L-L = \.(20.39)

с\/

Пусть Lt#=0, тогда из (20.38), (20.39) следует а=с, 6=0, т. е. q = q* = c. Если же Lt = 0, тос2^-оои О = 2с1«с1— 1 (см. (2.7)), т. е. согласно (20.37), (20.38)

поэтому

[919^ = 0,19i I2 = 919^ = 4.91 Ч* + ^-91 = 2crcv

Из первого уравнения следует q*= Cqx и, после умножения на 81:19112 = Cq^ т. е. С = 1, g* = qY = с1Ф Итак, если преобразование Лоренца сводится к чистому вращению, то вектор-параметр q либо является вещественным, либо только бесконечно большим скалярным (комплексным) множителем отличается от единичного вещественного вектора. Иначе говоря, в последнем случае вектор q является линейным комплексным вектором с бесконечно большим модулем. Этот случай соответствует повороту системы координат вокруг некоторого направления на угол л. Легко проверить, что и наоборот: если q = q* = с, или q = Сс1э С->оо, то преобразование Лоренца сводится к вращению (во втором случае на угол л).

Пусть теперь L есть матрица Лоренца, соответствующая переходу от координатной системы К к системе К' с осями, параллельными осям К^ движущейся относительно К с произвольной по направлению скоростью и (| и | < 1, скорость света с=1). Такое преобразование имеет вид (см., например, [27])

/1 + (?—1) У-у/у2 iyy\ 1

L = I, у = ■-\ — nv Y / /1 - у2

В этом случае

Z,, = 2(1 + т),Z,, = 2(1 + т),L — L = 2гу . \—у О/L — L = 2гу . \—у О/

Z,, = 2(1 + т),

Z,, = 2(1 + т),

L — L = 2гу . \—у О/

L — L = 2гу . \—у О/

Поскольку здесь невозможенПоскольку здесь невозможен(20.38) дает окончательно(20.38) дает окончательнослучай Lt = 0, то соотношениеслучай Lt = 0, то соотношение

Поскольку здесь невозможен

Поскольку здесь невозможен

(20.38) дает окончательно

(20.38) дает окончательно

случай Lt = 0, то соотношение

случай Lt = 0, то соотношение

ах— ibах— ibib\0/ib\0/iy / 0 у\1 + У^у о/’iy / 0 у\1 + У^у о/’

ах

— ib

ах

— ib

ib\

0/

ib\

0/

iy / 0 у\

1 + У^у о/’

iy / 0 у\

1 + У^у о/’

откуда следует

а = 0,а = 0,уу _ У1 +уу _ У1 +|Ь| < 1.(20.42)|Ь| < 1.(20.42)

а = 0,

а = 0,

уу _ У

1 +

уу _ У

1 +

|Ь| < 1.(20.42)

|Ь| < 1.(20.42)

Таким образом, в случае «чистого движения» (20.41) вектор- параметр должен быть чисто мнимым вектором (g = гб), по модулю меньшим единицы.

Если ввести угол гиперболического поворота 6 с помощью формулы

(20.43)(20.43)th 6 = | v| < 1,

(20.43)

(20.43)

то для вектор-параметра q = th получим согласно (20.42) соотношение

5 = i»ithy, Р1=|7р(20.44)

Эта формула аналогична соответствующей формуле для вектор- параметра чистого вращения (см. (2.11)): g=c1tg (ср/2), сх=с!\ с |. Мы рассмотрели два основных частных случая преобразования Лоренца: поворот без движения и движение без поворота. В общем случае преобразование Лоренца представляет собой некоторое сочетание движения и поворота системы координат. Возникает вопрос, какое движение и какой поворот связаны с собственным преобразованием Лоренца, заданным общим комплексным вектор-параметром q = а + ib. Для решения его нам понадобится закон композиции комплексных вектор-параметров группы Лоренца, который рассматривается в § 21.

В §§ 19 и 20 мы встретились с двумя способами параметризации группы Лоренца. В формуле (19.34) шесть параметров группы Лоренца объединяются в один антисимметричный тензор а, который можно назвать тензор-параметром группы Лоренца, а саму параметризацию—-тензорной. В формуле (20.17) те же шесть параметров объединяются в один комплексный вектор-параметр q, в результате чего появляется комплексная векторная параметризация группы Лоренца. Разумеется, между обеими параметризациями существует теснейшая связь, устанавливаемая соотношением а = — а = а (д) (18.11), однако векторная параметризация обладает весьма существенными преимуществами в отношении простоты и удобства. При обеих параметризациях на тензор-параметр а или вектор-параметр q приходится налагать ограничения, чтобы выражение для L (19.34) или (20.17) сохраняло смысл. В отличие от трехмерной группы вещественных вращений, где вектор-параметр с мог принимать любые значения, в случае группы Лоренца целые области значений а или q приходится рассматривать как недопустимые. С аналогичным положением мы уже сталкивались (см. § 8) в случае комплексной группы 0(3, С), которая находится в теснейшей связи с группой Лоренца и при нашем подходе параметризуется также комплексным вектор-параметром. С наличием недопустимых областей значений параметров связано то, что группа Лоренца (как и группа 0(3, С)) относится к числу так называемых некомпактных непрерывных групп (см., например, [3, 4]).

Как и в случае группы 50(3, С) (см. (8.14)), мы можем переопределить вектор-параметр группы Лоренца q и ввести вместо него другой комплексный вектор-параметр р

Р= ч/Vl-V^. q =p!V 1 — Р2,1 — Р2 = MV 1 + д2- (20.45)

В результате выражение (20.17) для собственной матрицы Лоренца принимает вид

L = (/1 - р1 + р+) (/1 - р»* + р*_\(20.46)

Это форма обладает тем преимуществом, что условие, ограничивающее допустимые значения вектор-параметра р, имеет простую форму | р | < оо. Напомним, что аналогичное условие ограничивало значения вектор-параметра р в группе 50(3, С) (см. § 8).

Заметим, что матрица а' (см. (19.36)) выражается через вектор-параметр р следующим образом:

(20.46')(20.46')р+ + р!

(20.46')

(20.46')

■/1 — р1 + V1 — р*г

В то же время согласно (20.25), (20.45) имеем для матрицы а

а = 4-| -^Х:-. - , р~ . (20.46") 2 V/1-P2 V1-P*1)

Для плоских преобразований Лоренца, т. е. когда ^2=д*2и, соответственно, р2 = р*2 (см. (20.45)), имеем а'= а = (р+ + + Р-)/2/1-р2 = (»+ + ^)/2.

Последний случай играет важную роль. Как показано в § 18, антисимметричная матрица а = а(д), входящая в выражение (19.34) для матрицы Лоренца, имеет в этом случае детерминант, равный нулю. Поэтому согласно (19.34) имеем

L= 1+2(а + а2)/(1 — Аа). (20.47)

При этом (см. § 18) матрица а может быть представлена в виде альтернанта двух 4-векторов а=[а°*д], где a° = (a1,0)f b = (6, /60), «1 = 1, а°Ь = агЪ = 0. Такая матрица а зависит не более чем от пяти параметров, два из которых входят в единичный пространственный вектор an а три остальных содержатся в 4-векторе &, ограниченном условием а°Ь = 0. Поскольку Ааоь = = 1/2([а0 • bp^t = —b2 (18.19), то общее выражение для матрицы L (2$ АТ) может быть написано в виде

L = 1 + 2([а0-6] + [а0•Ь]2)/(1 + Ъ2). (20.48)

Как уже отмечалось ранее (§ 18), альтернанты [а0-6], входящие в плоское преобразование (20.48), могут подразделяться в зависимости от свойств вектора Ъ = (6, ib^ на несколько типов: 1) Ьо = 0; 2) Ь2 > 0, Ьо =/= 0; 3) 6 = 0; 4) Ь2<0,. b#=0; 5) 62 = 0. Согласно (18.6), (18.11) альтернанту [а0 • 6]

сопоставляется комплексный вектор-параметр

[а°-6] = а (g), g = [&aj + iboau q^ = № — bo = №. (20.49)

Следовательно, указанные выше типы преобразований можно классифицировать также по свойствам вектора д. А именно, случай 1) отвечает вещественному д = д*, т. е. чисто пространственному повороту; случай 2) соответствует д2 = д*2 > 0; случай 3) означает чисто мнимый вектор д = —д*, т. е. чистое движение (или движение с поворотом на 180° при Ь^> 1, § 21). Случай 4) означаетд2 = д*2 <0и может быть подразделен на два: —1< < д2 < 0 и д2 < — 1 (так как д2=/= — 1, см. (20.17)). Наконец, случай 5) отвечает круговому вектору д : д2 = 0.

Матрицу L (20.48) с учетом свойств векторов а0 и Ъ можно преобразовать к виду

£ = 1 + 2(20.49')

1 + ь

Следует, однако, помнить, что произведение таких матриц в общем случае не будет матрицей того же типа, т. е. эти преобразования не образуют подгруппы. Тем не менее выражение (20.48), ввиду его простоты и явной четырехмерной ковариантности, является удобным для применения при решении ряда вопросов. Заметим, что преобразования чистого вращения и чистого движения (см. (20.37)), так же как многие другие важные преобразования, относятся к виду (20.48).

Если b есть светоподобный вектор: № = 0, то преобразование (20.48) еще более упрощается и принимает вид

• L= 1 + 2[а°- &] +2[а°- &]2 = 1 + 2[а° • ЬД -2Ъ • Ъ. (20.50$

Поскольку при этом [а°-д]3 = 0, то минимальный полином ло- ренцовой матрицы (20.50) принимает вид (L—I)3, т. е. она неприводима к диагональному виду, имеет трехмерную клетку Жордана и все ее собственные значения равны единице Два собственных вектора этой матрицы определены в (18.88).

Отметим, что матрица L (20.48) обладает тем свойством, что она преобразует вектор вида ^а° + т) Ь с любыми коэффициентами |, т) снова в вектор того же вида. Это означает, что она оставляет инвариантной гиперплоскость, натянутую на векторы а°, Ь. Поэтому преобразование вида (20.48) или, что то же самое, преобразование Lq при д2 = д*2, можно назвать плоским преобразованием. Если д = а + ib, то, очевидно, условие для плоского преобразования будет ab = 0.

Рассмотрим матрицу Лоренца, отвечающую преобразованию чистого движения, т. е. положим g = iu (| и | < 1). Согласно

(20.26) получим

Lie=l + -Г • г-(20.51)

— а \— in а )

Введем ^-вектор w = (и, i), w2 = и2 — 1 < 0. С его помощью Liu может быть представлена в виде

Lia=T-2-i^, Т = (\ °).(20.52)

Здесь Т — преобразование временной инверсии (Т2 = 1, |Т| = = —1). Очевидно, для любого мирового вектора а=(а, 1а0) справедливо соотношение

Та = аТ = а* = (а, — гаоу(20.53)

Поэтому можно написать

Ьги -TL^L^T,(20.54)

где

Lw = Lw = 1 - Sw-w/w*, L^ = 1, | Lw | = - 1. (20.55) Матрица Lw (как и T] относится к несобственным преобразованиям Лоренца. Таким образом, преобразование чистого движения получает простое четырехмерное ковариантное выражение.

1. Композиция вектор-параметров группы Лоренца

В § 3 и последующих параграфах глав I и II мы видели, что основную роль в теории группы вращений и ее представлений играет закон композиции вектор-параметров группы вращений

<с,с'> = -с + с'+^.(21.1)

1 — со

Как мы сейчас убедимся, этот же закон справедлив и для группы Лоренца. Рассмотрим произведение (см. (20.19), (20.7)) е± (?) 8+ (^ = Ц1+^1±йк ==

* /й+М+Т^Г Р'ТТТ+ТчТ^

= -^6= = е± (5"), (21.2) где

«"=<».»'>= ’V (2t3)

1 — 55

Очевидно, что

9"* = <д», q'*> = <g, q'>* = 9* ^ ^^Г1* '(2L4>

Отсюда ясно, что перемножая две матрицы (20.17), отвечающие вектор-параметрам q и qr получим согласно (20.18), (20.19), (21.2)

LqLq. = е+ (д) е_ (д*) 8+ (д') 8_ (д'*) =

= (8+ (д) 8+ (д')) (е_ (д*) е_д'*) = 8+ (д") 8_ (д"*).

Поскольку матрица Лоренца определяется заданием комплексного вектор-параметра д, то можно написать L = L(q) или L — Lq. Однако наиболее полная запись должна отражать, что на самом деле в определение матрицы Лоренца, кроме д, входит еще комплексно сопряженный вектор д*. В ряде случаев это обстоятельство приходится непосредственно учитывать. Поэтому в дальнейшем мы будем использовать различную форму записи

L = L^ = Ц = Ь^Л*У(21.5)

В частности, полное определение закона композиции вектор-параметров группы Лоренца имеет следующий вид:

L (q, q*) L tf, q'*) = L «q, q'>, <q, qW (21.5')

Таким образом, комплексные вектор-параметры g группы Лоренца компонируются в точности по тому же закону (21.1),что и вещественные вектор-параметры с группы вращений. Справедливость простой формулы (21.1) и раздельная композиция векторов д, д' (21.3) и сопряженных им д*,д'* (21.4) чрезвычайно упрощают рассмотрение как самой группы Лоренца, так и ее представлений.

Заметим, что матрицы 8^ (д) образуют представления комп-» лексной группы вращений 50(3, С) (см. § 8). Следовательно, матрицу Лоренца £ (g, д*) можно рассматривать как произведение матриц представлений комплексной группы вращений, отвечающих вектор-параметрам g (8+(д)) и д* (е_ (д*)).

В общем случае из закона композиции (21.3), как и для группы вращений (см. § 3), вытекает ряд соотношений группового характера. Мы выпишем их здесь все вместе еще раз для комплексного вектора д:

<9.0> = <0, q> = q,(21.6)

<9, — q> = <- 9.9> = 0*(21.7)

«9. 9' >. 9"> = <9. <9' 9"» = <9.9'. 9"Х(21.8)

-<?,?'> = <-?'.-?>,(21.9)

<?, q' >= <Pqq\ q> = <q', O_q q>,(21.10)

<q, q'Y = <q\ qy, 1 + <q. q'y = (i + q^ (i + ?'2)/(i - qqT-

(21.11)

Напомним, что в формулах (21.10) Oq означает преобразование трехмерного поворота 0(c) (2.4), в котором вещественный вектор-параметр с заменен на комплексный q. Таким образом, 0(g) представляет собой комплексное ортогональное преобразование в трехмерном пространстве, т. е. преобразование группы 50(3, С) (см. § 8)

/у | л

о (?) = О+ (?) = 1 4- 2 -^Т^ ■•(21-12)

Как уже отмечалось ранее, выражения (21.12) и (20.17) имеют смысл не при всех значениях комплексного вектора q. Так, например, ясно, что если 1 + д2 = 0, то выражения (21.12) и (20.17) теряют смысл. Что касается закона композиции (21.3) и вытекающих из него следствий (21.6) —(21.11), то здесь тоже нужно иметь в виду, что вектор q не может быть произвольным. Для соотношений (21.10) это следует уже из того, что туда входит преобразование О (q) (21.12), которое не определено при 1 + д2 = 0. При этом же условии равенство (21.7), справедливое в общем случае, не вытекает из формулы (21.3). Действительно, согласно последней

i + g2 ’

что при 1 + д2 = О дает неопределенность вида 0/0.

Ниже мы рассмотрим детально вопрос о тех ограничениях, которые следует наложить на комплексный вектор д, чтобы 6н мог рассматриваться как вектор-параметр группы Лоренца (и группы 50(3, С)). Сейчас же мы обратимся к вопросу о представлении произвольного собственного преобразования Лоренца Lq (20.17) в виде произведения преобразования движения без поворота Ьги на преобразование поворота без движения L с

Lq = LcLiu.(21.13)

Этому соответствует представление общего вектор-параметра q в виде

q = <с, 1и>.(21.14)

С помощью групповых свойств (21.6) —(21.8) поставленная за-

дача получает очень простое решение. Уравнение, комплексно сопряженное к (21.14), имеет вид

q* = (с, — 1и>.(21.15)

На основании (21.6) —(21.8) имеем согласно (21.14)

«с, iu>T — 1и> = <с, in, — iu> = <с, 0) = с = <q, — iu> (21.16) и аналогично из (21.15) с* = с = <д*, to), следовательно, <д,— to) = (g*, to). «Умножая» в смысле формулы (21.3) обе части этого равенства слева на — q* и справа на I», получим, используя (21.7),

<— q*^ q^ = ^tt, to) = 2гю/(1 + w2).(21.17)

Согласно (20.42) при чисто мнимом вектор-параметре q=iu (| и | < 1) последний связан со скоростью соотношением

в =у- .(21.18)

1 + Kl-v2'’

Возводя это равенство в квадрат и разрешая относительно и2, получим

после чего из (21.18) находим вектор скорости

р = 2в/(1 + в2), гр = <гв, 1и>.(21.19)

Сравнивая с (21.17), видим, что

” = - i <- 5*, 5> = i <~ 9, q*> = --^У1 • (21.19')

i + lel

С помощью (21.9), (21.3) находим также

(21.20)(21.20)„2(6 — [аб])

(21.20)

(21.20)

1 + аг + 62‘

Таким образом, скорость р однозначно выражается через д, д*.

Заметим, что если задана величина <—g*,g>= гр, то из уравнения (21.17) или (21.19) вектор и определяется неоднозначно. Разумеется, направление в всегда совпадает с направлением Р, но для абсолютной величины | в | получается квадратное уравнение | р | (1 +1 в |2) = 21 в | или | в |2— 21 в |/| р | -|- 1 = 0. Поскольку свободный член этого уравнения равен единице, то два его решения|bj | и | в21 обратны друг другу по величине: | в2| = = 1/|вх |. Следовательно, если|в1|<1, то |в2|>1 и наоборот. Таким образом, представление любого комплексного вектора g в форме (21.14) оказывается неоднозначным, поскольку для

вектора и возможны два значения и = v/(l + P^l — у2), |»| < > 1, либо и' = v/(l — V1 — v2) = ю/а2, | а' | > 1.

Существенное различие между этими двумя выражениями состоит в том, что при v-^О из первого следует также и->0, а второе выражение для а' приводит к неопределенности 0/0. Как мы уже знаем из предыдущего параграфа, q = iu при | и | < 1 соответствует чистому движению. Следовательно, именно значение и соответствует искомому нами разложению общего преобразования Лоренца на движение и вращение. Что же касается вектора и\ то он соответствует суперпозиции движения с той же скоростью v и поворота на 180° вокруг направления движения. Действительно, рассмотрим композицию (при С-^оо)

у• \ Си 4- VU IU . /

<ш, Си> = <Св, ш> = ■^-+ — = ш'.

1 — iCu6 и6

Поскольку вектор Си при С-хю задает поворот на 180° вокруг и || v, то это доказывает высказанное утверждение.

Таким образом, чисто мнимый вектор-параметр q = iu при | и | > 1 задает не чистое движение, но движение в сочетании с поворотом на л вокруг направления скорости. Существенно, однако, то, что мы всегда можем однозначно представить любой вектор q (21.14) как результат суперпозиции вектор-параметров, отвечающих чистому движению и чистому вращению, выбрав |ю|<1. Из (21.20) находим с помощью (21.3), (21.11)

1 - У2 = ! + <_ q* qy = I ! + д212/(1 + I q]2)2 ^ Оф (24.21)

Отсюда следует, что всегда v2^l. Равенство |и| = 1 означает, что скорость относительного движения систем отсчета равна скорости света. Согласно теории относительности это невозможно. Как следует из (21.21), выражением этого обстоятельства является неравенство

|1+<Н/(Ж912)>0.(21.22)

Сравнивая его левую часть с общим выражением (20.26) для матрицы Лоренца, убеждаемся, что всегда

£"-гЙ^Г)47=’-(21'23>

Таким образом, это соотношение справедливо не только в случае чистого движения без поворота (см. (20.41)), но для любого собственного преобразования Лоренца. Из (21.23) ясно, что условие Ь<4^1 (см. (19.7)) имеет тот смысл, что скорость d всегда меньше скорости света. С возрастанием v увеличивается и |^44|, а случай ^24 = 1 соответствует нулевой скорости :i? = 0.

Отсюда мы можем сделать вывод, что любое из равенств

Ьм = 1, |1 + 5г|=1 + |5р(21.24)

является необходимым и достаточным условием того, чтобы собственное преобразование Лоренца являлось чистым вращением. Действительно, согласно (19.5) — (19.7) из (21.24) следует, что при этом и = d = 0, рр = 1, т. е. L = ^ Jj, где р — матрица трехмерного вращения.

С помощью (21.19), (21.21) находим

U = = _ t g-gt^Vgq^ i + /i+<-g, »*>2 i + kl2+|i + »2|

(21.25)(21.25)2 (6 —[«&]) 1 + а2 + 62 + /(1 + а2 - 62)2 + 4 (аб)2 '

(21.25)

(21.25)

Теперь из (21.16) вычисляем вектор с, определяющий вращение системы координат

«-<».- w - J^f^M^^-< 21-26>

Вещественность этого вектора становится очевидной, если с учетом равенства 11 + q21 = К1 + д21^1 + д2* написать его в виде

С = ^1 + g2*g+V 1 + gV = Re (1^1 + g2g*),21 27)

V7+?*+/l + »2 ReKl+g2 ‘'

Пусть <p — аргумент комплексного числа 1 + q2, т. е.

1 + ^2 = 11 + 921 е^(21.28)

тогда выражение (21.26) для с можно написать также в виде q^g* е^д^-е^д» = Re(e^M ,94 oq\ 1 _|_ егфе-гф/2 _|_ егф72COS (ф/2) *\*/

Рассмотрим подробнее важный частный случай, когда квадрат вектор-параметра является вещественным числом:

g2 = (g2)* = д*2 = а2 _ 62, аЪ = Оф(21.30)

Здесь имеются две возможности:

l)l + g2>0, l+g2 = |l + 92|, с = 4-(9 + «*)«(21.31)

В частности, при q*=— q, т. е. q=ibt 1+g2 = 1 — b2 > 0, &2<1

получаем с = О, т. е. мы приходим к уже известному нам случаю чистого движения без поворота

2) l + g2<0,; l + g2 = —|1 + д2|.(21.32)

При этом числитель выражения для с (21.26) становится чисто мнимым вектором 21ЬЭ а знаменатель обращается в нуль. Таким образом, здесь с = СЬ1г где bX = 1, С-*- оо. Мы уже встречались выше (§ 20) с таким случаем и знаем, что он соответствует повороту на угол л вокруг направления Ъ. В частности, к этой возможности относится случай

q = - q* = ib, № > 1.(21.33)

Хотя здесь вектор-параметр является чисто мнимым, но он не удовлетворяет условию | & | < 1, поэтому преобразование Лоренца не должно сводиться к чистому движению без поворота. Поскольку в данном случае появляются бесконечности, мы рассмотрим его детальнее, исходя непосредственно из общего выражения (20.17). Полагая в нем q = ib^ 1 + g2 = 1 — Ь2 < 0, 11 + g21 = Ь2 — li получим

,1/l-62 + 2d d 2ib \_

Если сравнить это выражение с (20.41), то нетрудно убедиться, что они не сводятся друг к другу, например, уже потому, что пространственные части матриц (20.41) и (21.34) равны соответственно 1 + (у — 1) d-d/d2 и — 1 + 2&«6/(Ь2 — 1) и вследствие различия в знаке при единице никак не могут совпасть. Согласно общей формуле (21.25) имеем в данном случае и = b№t и соответствующее преобразование Лоренца равно (см. (20.26)1, q =5 iblb^

LiuLiu(21.35)(21.35)= 1 /б2 -1 + 2Ь-ЫЪй 2ib \d2-l\ -2ib tf-W

Liu

Liu

(21.35)

(21.35)

Сравнение с (20.41) дает d = 2Ь/(Ь2 + 1) в соответствии с (21.20). Что же касается вектора с, то, как было показано в случае (21.32), с=СЪи С-^оо, 61 = Ь/|Ь|, а при этом соответствующее преобразование Лоренца принимает вид (20.40)

Ьс ~ к О 1?Ьс ~ к О 1?(21.36)(21.36)

Ьс ~ к О 1?

Ьс ~ к О 1?

(21.36)

(21.36)

(21.37)(21.37)Перемножая (21.36) и (21.35), получаем (21.34) LcL^ = Ьц.

(21.37)

(21.37)

Таким образом, непосредственная проверка показывает, что общие формулы (21.20), (21.25), (21.26) дают правильный ре-

зультат и в особом случае (21.32), несмотря на появление бесконечно больших величин. Из (21.37), в соответствии с законом композиции, должно следовать соотношение

ib = <ct in> =ib = <ct in> =C^-Viblb^ + iC [bb]/b2

ib = <ct in> =

ib = <ct in> =

1 - ICb^lV '

Поскольку [&&] = 0, bxb = | & |, / & | &x = &, то при С-*оо правая часть равна ib, как и должно быть.

То обстоятельство, что при чисто мнимом вектор-параметре мы, вообще говоря, не имеем чистого движения, становится особенно ясным в предельном случае | а | -* оо. Действительно, при этом общее выражение, вытекающее из (20.26) при q = in:

Li,uLi,u1 —и2 + 2и-и 2ш— 2iu 1 + и21 —и2 + 2и-и 2ш— 2iu 1 + и2(21.38)(21.38)

Li,u

Li,u

1 —и2 + 2и-и 2ш

— 2iu 1 + и2

1 —и2 + 2и-и 2ш

— 2iu 1 + и2

(21.38)

(21.38)

принимает вид

L I о 1/’ lap

т. e. изменить порядок пространственного поворота и движения, правления и на 180°.

Вместо представления q в виде (21.14) можно потребовать, чтобы

q = а + ib = <ia', с'>,q = а + ib = <ia', с'>,(21.39)(21.39)

q = а + ib = <ia', с'>,

q = а + ib = <ia', с'>,

(21.39)

(21.39)

т. е. изменить порядок пространственного поворота и движения. Поступая так же, как в случае (21.14), получим

(21.40)(21.41)(21.40)(21.41)0' = i <п* — а\ = 121лЛ±ЖА _ о » + [«»]«>11 + |?р-21 + о2 + 62.;

(21.40)

(21.41)

(21.40)

(21.41)

с' = с.с' = с.^_ • g* — g + [gg*]

с' = с.

с' = с.

1+/1_„'21 + |5|2 + |1 + ?2|1

Заметим, что t/2 = я2 (см. (21.20)) и а'2 = а2 (см. (21.25)), Таким образом, при изменении порядка операций поворота и движения, из которых состоит заданное преобразование Лоренца, вектор-параметр поворота с не меняется, а векторы u', V сохраняют свою длину, изменяя лишь направление. Непосредственным расчетом можно убедиться, что это изменение направления осуществляется ортогональным преобразованием с век- тор-параметром с:

о'=Осг1 u' = Oeut O,= l + 2—t^’.(21.42)

1 + с

Последний результат следует из (21.39), (21.14) и равенства с' = с. Действительно, соотношение

q = <с, iu> = <га', с>(21.43)

приводит вследствие (3.24) к

in' = <с, in, — с> = iOcU,(21.43')

а поскольку г'||а', г||а, то отсюда следует и первое соотношение (21.42).

Наряду с (21.42) справедливы также формулы

и' = OqV = Oq*Dv и' = OqU = Oq*U,(21.44)

которые получаются, если учесть вытекающее из (21.43) равенство с = <g, — га> = <— iu\ q^n комплексно сопряженное к нему. Из них следует

<g, — га, — q) = — га', <д*, га, — д*> = га', что равносильно (21.44).

Полученные выше соотношения в самом общем случае дают ответ на вопрос о том, какая скорость и вращение соответствуют любому собственному преобразованию Лоренца, заданному произвольным комплексным вектор-параметром q. Наоборот, если известна относительная скорость двух систем Координат и и вектор-параметр поворота с, то с помощью (21.18), (21.14) либо (21.39) находим q и затем соответствующее результирующее преобразование Лоренца Lq по формуле (20.26). При этом мы можем по желанию либо объединять скорости и вращения, включая их в единый комплексный вектор-параметр д, либо рассматривать их раздельно в любом порядке.

Теперь мы можем установить ограничения, которые следует наложить на комплексный вектор-параметр q для того, чтобы выражение (20.17) для преобразования Лоренца имело смысл. Как уже отмечалось, соответствующие условия вытекают из требования, чтобы элементы матрицы (20.17) оставались конечными. Обращение их в бесконечность возможно, как следует из (20.17), в двух случаях

) i + g2 = 0;(21.45)

2)|l + g2|<oo, |д|2=оо.(21.46)

Видно, что оба эти случая исключаются одним неравенством (21.22). Однако необходимо еще показать, что если это условие выполняется для двух вектор-параметров q и д', то оно будет выполняться и для вектор-параметра g" =<д, д'>, являющегося результатом их композиции. Поскольку (см. (21.21))

ГГтУ = ^ + <“?*- 9>г>(21-47)

(21.48)(21.48)то вместо (21.22) мы рассмотрим неравенство 1 + <— g*, д>2 > 0.

(21.48)

(21.48)

Если из выполнения этого неравенства для g и д' будет следовать в общем случае его выполнение для д" = <5>9'>> тогда (21.48) будет необходимым и достаточным условием того, что вектору g соответствует преобразование Лоренца согласно соотношению (20.17).

Чтобы показать это, воспользуемся тождеством (см. [26])

(1 - а&)(1 - а'&') (1 + <«, ЪХ^. &'»=

= (1 +««')(! + ЬЬ')(1 + <- < «ХЬ^ - 6», (21.49)

которое без труда проверяется с помощью (21.3). Здесь а, &, а', &' — произвольные векторы, в том числе комплексные. Согласно (21.47) имеем

1 + <—д"*, д">2 =1 + <—д"*, д">2 =(21.50)(21.50)A I V'2 1 + g

1 + <—д"*, д">2 =

1 + <—д"*, д">2 =

(21.50)

(21.50)

1 +1 Г I2

Знаменатель этого выражения равен

1 + 15"|2 = 1 + <5, q'Xq*, Г*У (21.51)

Воспользуемся тождеством (21.49), положив в нема=д, Ь=д', а' = д*, &' = д'*. В результате получим

1 + | ^ |2 = (l + I^Xl + l»' Г) (1 + <_ ^

— дд I

(21.52)

С другой стороны, для числителя (21.50) имеем (см. (3.21))'

1 + »"2 = 1 + <q, ГУ = ■ ° ^ ^^^ •(21.53)

Подставляя (21.52), (21.53) в (21.50), получим

1+<-»"М">2= т^2 а-|гпй (t+t-iW*-}'»-1

1 + 1?1|1 + И I

или (см. (21.47))

1 + <- Г*, ГУ = ^ЦУ^У^У^^^^ (21-54> (1 + <— д*, д><д *, — д »

Отсюда ясно, что если условие (21.48) выполняется для вектор- параметров g и д', то оно будет выполняться и для их композиции. 12*

1 + д"2 =1 + д"2 =О,О,

1 + д"2 =

1 + д"2 =

О,

О,

Заметим, что согласно (21.53) вектор-параметры группы Лоренца обладают еще и тем свойством, что из условий 1 + 52 #= 0е 1 + 8'2 ^0 вытекает 1 + 9"2:#0, где q" = <q, q').

Если переопределить вектор-параметр согласно (20.45), то для векторов р = qlV 1 + 52 будет справедлив закон композиции, установленный в § 8 для группы 50(3, С) (см. (8.17))

<Р, Р'>о = pV^ — p'2 + Р* /1 — р2 + [рр'1.(21.55)

Такое же соотношение будет справедливо для комплексно сопряженных вектор-параметров р* = g*/K 1 + д2*.

Вообще, все изложенное выше относительно представления д= <с, ш)и условий, ограничивающих допустимые значения вектора д, относится и к вектор-параметру комплексной группы вращений 50(3, С). Ввиду совпадения законов композиции параметров для группы Лоренца 50(3, 1) и группы 50(3, С) эти группы, очевидно, изоморфны.

С физической точки зрения формула композиции вектор-параметров (21.3) по существу представляет собой своеобразную форму общего релятивистского закона сложения любых скоростей и вращений. В частности, иапример, складывая два чистых движения с вектор-параметрами

g = ги^ = zV (а2 < 1, а'2 < 1), получим согласно (21.3)

g = (ш, ги > = ——! —г.(21.00)

1 + аа

Поскольку д" не является чисто мнимым, то в общем случае суперпозиция чистых движений сопряжена с некоторым поворотом. Из формулы (21.20) получаем в данном случае

„9 а (1 — а'2) + а' (1 + »2) + 2и -ии

(1 + «2)(1 + «2)+4|ш'

Переходя здесь от и, и' к и, i/, с помощью (21.18) находим

(21.57)(21.57)., _ у/1 - р'2+ ./ [1 + ^7 (1+ Г1 -1/2)]1 +

(21.57)

(21.57)

(!-„*)(!-„'*)(Ц-виТ(!-„*)(!-„'*)(Ц-виТЭто есть общая формула сложения произвольных скоростей в теории относительности (см., например, [27]). Кроме того, в данном случае движению со скоростью 1)" будет сопутствовать последующий поворот системы координат, определяемый согласно (21.27), (21.29) вектор-параметром с. Поскольку здесь (см. (21.56))

(!-„*)(!-„'*)(Ц-виТ

(!-„*)(!-„'*)(Ц-виТ

то мы имеем случай (21.30), (21.31), откуда следует

с = -= 7^. (21.58)

Ось этого поворота перпендикулярна к плоскости векторов скоростей v и v'.

С помощью (21.54) можно получить довольно простое соотношение, связывающее величины скоростей v, и и v" [26]. Как известно (см. (21.19'))9*, g>=^* С другой стороны,

если д' = <с', ги'У то <д'*, — д'> = <с', — tV, — ш', — с'> = = <с',—W^ — c'}=—iOC'V' (см. (21.19), (3.24)). Поэтому соотношение (21.54) может быть написано в виде

- (i+vO^- (i+vO^(21.59)(21.59)

- (i+vO^

- (i+vO^

(21.59)

(21.59)

Отметим, что равенство tv = <?«, za> (см. (21.19)) можно интерпретировать следующим образом: вектор 11) есть результат группового умножения вектора ги самого на себя, т. е. tv является групповым «квадратом» вектора ги. В свою очередь ги можно трактовать как «квадратный корень» из tv. Таким образом, вектор-параметр iu преобразования движения, отвечающего некоторому вектору д, является групповым «квадратным корнем» из мнимого вектора и), пропорционального относительной скорости систем отсчета.

Выражение (20.17) и формула композиции параметров (21.3) позволяют установить целый ряд свойств матрицы Лоренца в дополнение к приведенным в § 18. Запишем соотношение (21.5') для краткости в виде

LqLq' = L^q’^(21.60)

тогда (21.6), (21.7) равносильны свойствам

^0 = 1, Lq = Lq = L-q.(21.61)

Кроме того, из (20.17) следует

L*q = Lq*.(21.62)

Ввиду установленного в § 20 однозначного соответствия между L и соответствующим вектор-параметром g мы можем утверждать, что из равенства Lq = Lq* следует g = g' (и, разумеется, наоборот). Заметим еще, что из (21.62), (21.61) вытекает, что матрица комплексно или эрмитовски-сопряженная к матрице Лоренца, также является матрицей Лоренца с другим вектор-параметром

L+ (g) = L* ^ = L*(-q) = L (- g*).(21.63)

Выясним, например, когда матрица собственного преобразования Лоренца симметрична. В этом случае должно быть

Lq = LqLq — L^qy = 1 = L01

т. е.^согласно (21.61) <g, g> = 2g/(l — д2) = 0. Следовательно, L = L только при q = 0, когда L = 1, либо при | q |2 = оо, когда L имеет вид (20.29).

Условие вещественности матрицы L имеет вид Lq = Lq* = Lq и сводится к вещественности g: g = g*. Следовательно, матрица Лоренца вещественна только для преобразования чистого вращения.

Для того чтобы матрица L была эрмитовой Lq = Lq (см. (21.63)), необходимо и достаточно, чтобыд =— д*, т. е. вектор- параметр должен быть чисто мнимым. Как мы уже знаем, в этом случае L задает либо чистое движение (д2> — 1),либо движение с поворотом вокруг направления скорости на 180° (д2 < — 1).

Матрица L унитарна, если Lq — L_q* = Lq1 = L_q. Следовательно, g = g*, т. e. условие унитарности совпадает с условием вещественности и выполняется лишь в случае преобразования вращения без движения.

Две матрицы Лоренца коммутируют, если LqLq- = L^q^ = = L^ qy Для этого необходимо, чтобы <д, д'> = <д', д>, что согласно (21.3) приводит к условию [qq'l = 0.

Матрица называется нормальной, если она коммутирует со своей эрмитовски-сопряженной матрицей. Соответствующее условие для матрицы Лоренца имеет вид

L^Lq = L^q*qy — L(q_q*'>1

т. е. <g, — g*> = <— g*, g> или, на основании предыдущего результата, [gg*] =0, т. е. вектор-параметр g должен быть линейным.

Заметим, что согласно (21.19'), (21.40) <—g*, д> = iv, <q, — 9*) = ^i поэтому

L^Lq = L^ LqLq = (21.64) т. e. умножение матрицы Lq на эрмитовски-сопряженную к ней слева или справа дает матрицу Лоренца, вектор-параметр которой всегда является чисто мнимым и равен соответствующей скорости, умноженной на г. Соотношению to = <ia, iu') (см. (20.25)) соответствует

LiuLitt = L^u = L^d. (21.65)

Следовательно, матрица Lq с вектор-параметром q — iu является «корнем квадратным» из матрицы с соответствующим вектор- параметром io.

До сих пор мы ограничивались собственной группой Лоренца. Полная группа Лоренца получается в результате добавления матрицы пространственной инверсии (19.12)

Р=(”о 1), Р2=1, Р = Р-1 = Р, (21.66) с помощью которой каждой матрице L^ = Lq ставится в соот- ветствие матрица

L^ = Lq = PLq.(21.67)

Очевидно, из Lq — Lqf следует g = д'. Используя (21.66), (20.3), легко убедиться, что

Рд± = q+P, Pq±P^ = Pq^P = q^ С^-бЗ) таким образом, матрицы д+ и д_ подобны (эквивалентны). На основании этого и формулы (20.17) имеем

(! + »+>(! + »*)(! + »_)(! +<)

’[7+71- h + t'l

следовательно,

PLq = Lq*P, PLqP = Lq*(21.69)

или более точно

PL (g, g*) = L (g*, g) P.(21.70)

Соотношения (21.66) — (21.69) позволяют исследовать свойства матриц Lq так же, как мы это делали для Lq. Вместо (21.60) мы имеем теперь

LqLqf = PLqPLq' = Lq*Lq. = Li<q*tq’y (21.71)

Мы будем выписывать дальше без пояснений соотношения, соответствующие формулам (21.61) и последующим:

Lo = PL0 = Р,(21.72)

Lq1 = Lq = PLq = L_qP = PL_q. = L_q*,(21.73)

lq = Lq«, Lq = lq. = L-q.(21.74)

Из (21.71) следует

L?q = L<q.iq> = 1 при <q*, 9>=0, т. e. при q* = — q, или [gg*l = 0, | q | = oo;

Lq = Lq приq = q*,(21.75)

Lq = lq = l-q при q = — q = o.(21.76)

Таким образом, из несобственных преобразований Лоренца только матрица Lq = Р является эрмитовой. Условие унитарности: Lq = L-q = Lq^ ™ L—q*^ Ч = 5* совпадает с соответствующим условием для собственной матрицы Лоренца. Условие нормальности матрицы Lq имеет вид LqL^ = L(q*f_q) = L^Lq = L^.q*^ откуда <g*, — g> = <— g*, g>, т. e. g = g* или | g| = oo.

Остальные два возможных типа матриц Лоренца (см. § 17) отличаются от рассмотренных лишь знаком: L^ = —- L^\ L^ = = - PL^ = -L.

Рассмотрим вопрос об инвариантах и собственных значениях матриц Lq и Lq. Матрицу Lq имеет два независимых инварианта, поскольку) L | = 1 и L = \ L IL, ,,22

<^- = 1777?<21'77>

У матрицы Lq вследствие (19.29) имеется лишь один независимый инвариант

(£,), = 2Uli^l $HW (21.78)

Собственные значения X матрицы Lq = е+ (д) е_ (д*) (20.18) сразу получаются как всевозможные произведения собственных значений коммутирующих между собой матриц е+(д) и е_(д*):

Gti^GtiK?5) mm

•(2179)

В общем случае, используя все сочетания знаков, получим четыре различных собственных значения. Однако при условии д2 = д*2 получаются кратные собственные значения:

. U + tV?y . _ i + »2 I+1 при ! + 92>о АМ- |1 + д2|•Л3,4]1 + д2|-{_1 при 1+92<0.

(21.80) Наконец, в наиболее частном случае, когда вектор-параметр д является круговым вектором

»2 = (а + i&)2 = 0, а2 - Ъ1 = аЬ = 0,(21.81)

получим из (20.17)

L = (1 + 9+) (1 + 9-)*(21.82)

Нетрудно проверить, что при этом(£ — I)2 = 2g+gl, (L — I)8 = 0.

Следовательно, в данном случае минимальный полином матрицы имеет трехкратный корень, и собственная матрица Лоренца будет неприводимой к диагональному виду. Вместо четырех она будет иметь только два собственных вектора, один из которых будет соответствовать жордановой клетке третьего порядка (см. П.1).

Собственные значения несобственной матрицы Лоренца Lq согласно (19.30), (21.78) равны

- ± 1, 442=ГТ+ЭТ'

(21.83)

В общем случае они также все различны, а кратные значения могут иметь место лишь при Lt = ±2, т. е. при условии <g, q*y =0. Подставляя сюда q = а + ib, получим а2= [аЬ]2.При этом матрица также будет неприводимой к диагональному виду.

Аналогично (3.25") можно определить произвольную групповую степень комплексного вектор-параметра q:

qW = —tg (/с arctg Кд2)(21.84)

Vq1

.i 1 1 — ix

или, если использовать соотношение arctg ж = -у in ^^^

1-tK?1-tK?i + i Кд2i + i Кд2К? 62 + i9К? 62 + i9

1-tK?

1-tK?

i + i Кд2

i + i Кд2

К? 62 + i9

К? 62 + i9

(21.85)

В частности, для «квадратного корня» из д получим (см.

д<1/2> =

q

<д<1/», д»!^ = 9,

(3.26))

(21.86)

Соотношения (21.85) определяют любую степень матрицы Лоренца L^ пли матрицы комплексной ортогональной группы 0(g)

I? ^ = L ^Y Ок (д) = О kq^Y (21.87)

Отметим, что для круговых вектор-параметров q приведенные соотношения чрезвычайно упрощаются и сводятся к следующим:

(21.88)(21.88)^> = kq, (д2 = 0),К (д) = L (Ад), Ok^ = O^kqY

(21.88)

(21.88)

Рассмотрим различные частные случаи комплексных вектор- параметров q и соответствующих им лоренцовых матриц. Как известно, трехмерные комплексные векторы могут быть трех типов (см. [12.1, 12.2,13] и П.1). Линейные комплексные векторы q удовлетворяют соотношению [gg*]= О или |д2| = | д |2. Для круговых векторов д2 = 0. Если ни то, ни другое условие не выполняется, то мы имеем дело с общим эллиптическим комплексным вектором q.

Пусть q — линейный комплексный вектор, тогда он может быть представлен в виде произведения комплексного скалярного множителя £ на единичный вещественный вектор d: g=^d. Согласно (21.19'), (21.27) в этом случае получим

с =(21.89)

1 + 1б|2ReKl+l2

Таким образом, в этом случае ось поворота с совпадает с направлением скорости и, ввиду чего соответствующее преобразование Лоренца можно назвать винтовым.

Для кругового вектора q = е, е2 = 0 имеем из тех же соотношений

= 2 Im е-i[ee*]р = Re е(2190)

l + le|2 ’V 1

Заметим, что — i [ее*] = | е |2е1? где сг—единичный вещественный вектор, ортогональный к е и е* (см. (3.39)). Таким образом, в этом случае ось поворота с лежит в плоскости кругового вектора е, а направление движения образует с ней некоторый угол, отличный от прямого. Преобразованиям Лоренца с круговым век- тор-параметром мы дадим условное название циклических преобразований.

Поскольку всякое собственное преобразование Лоренца может быть представлено в виде (21.13) Lq = LcLiu, то, используя (20.54), можем написать

Lq = Lc ТЬШ, w = (u, i).(21-91)

Но согласно (20.37)

(Ос 0\

^=L J, LeT = TLe,(21.92)

поэтому для любого Lq справедливо общее выражение

Lq = TLcL^, w = (и, i)(21.93)

или (см. (21.43))

Lq = TL^Lc, и/ = (Оси, i) = Lcw.(21.94)

Согласно (21.64), поскольку^ = Lc, L^ = TLWT = L^*, находим с помощью (21.93)

Z/g Lq = L^v = LW*LCT2LCLW = L^)*LW = TLw^ (21.95)

где w0 = (v, i), LWo = LWTLW.

Мы упоминали в § 20 о плоских преобразованиях Лоренца, причем был установлен ряд критериев, по которым можно было судить о том, что заданное преобразование L является плоским. К числу их относятся условия |а[ =0, q2=q*2s ab=Q, \L—1| =0 (§ 20), которые все эквивалентны между собою и являются необходимыми и достаточными. Воспользовавшись представлением (21.43) q = <е, ш> = <zV, е>, можно получить еще один критерий. Согласно (21.11)

1 . „2 _ Jj^Hl^z^ - (1 + с2)(1-«2) (1 — icu^(Д — icu^ ’

откуда сразу следует, что необходимым и достаточным условием для плоского преобразования Лоренца Lq = L «с, iu)) является си = cuf = 0, т. е. перпендикулярность оси поворота с к направлению движения (а). При этом д2 = е2 — и2 (1 + с2), поэтому знак q^ = b^ (см. (20.49)) совпадает со знаком разности (см. (20.43), (20.44))

—£_ — ц2 = sin2^__ th2-y.(21.96)

Плоские преобразования Лоренца представляют собой, хотя и не общий, но весьма широкий и важный класс преобразований, обладающих к тому же сравнительно простыми свойствами. Ввиду этого представляет интерес установление связи произвольных преобразований Лоренца с плоскими. Такая связь легко устанавливается на основании доказанного выше свойства, что преобразование Лоренца Lq является плоским тогда и только тогда, когда в его вектор-параметре, который всегда однозначно может быть представлен в виде q = <е, ш), векторы спи взаимно перпендикулярны: си = 0. Заметим, что отсюда следует справедливость того же утверждения для представления q = <ги', с} (см. (21.43')), поскольку и' = Оси и cuf = сОси = си = 0. Очевидно, всегда можно написать

g = (с, — с°, с°, iu} = <с', q°), сг = <е, — е°>, д° = <е°, га>.

(21.97)

Эти соотношения верны при любом е°. Если выбрать вещественный векторе0 так, чтобы с°и = 0, то вектор-параметр д° будет задавать плоское преобразование Лоренца, а вектор с' вследствие своей вещественности будет соответствовать преобразованию

чистого вращения. Разумеется, из представления g= <?V, с> вытекает аналогично q = <5?, ct>, гдед? = О»', с°>, сг = <— с°4 с>8 с°и' = 0. Два этих варианта соответствуют различной последовательности выполнения плоского преобразования и поворота. Поскольку пространственное вращение также есть плоское преобразование Лоренца, то справедливо также утверждение: всякое преобразование Лоренца может быть представлено в виде произведения не более двух плоских преобразований.

Следует иметь в виду, что представление (21.97) заведомо неоднозначно, поскольку вещественный вектор с° ограничен единственным условием с°и = 0, т. е. он может быть любым вектором в плоскости, перпендикулярной к направлению движения.

В самом общем случае можно утверждать, что каков бы ни был вектор с в представлении q = <с, lu}, всегда можно так выбрать с°(с0а=0), что вектор дополнительного поворота с'=<с,—с°> будет иметь произвольное направление а. Действительно, положим с' = <с, — с°> = Си, где С — параметр, подлежащий определению. Отсюда имеем, пользуясь групповой композиционной алгеброй (21.6) — (21.11),с° = — <— с. Са> = <— Са, с>. Налагаем условие

с°и = <— Са, с> и = 0 или (с — Са + С [са]) и = 0,

откуда однозначно следует

си

а(и-\- [сю])

си*аа (и + [сю]) *си*аа (и + [сю]) *и соответственно

си*а

а (и + [сю]) *

си*а

а (и + [сю]) *

С° = <— с, с> = —^—^i (21.98)

1 — сс х '

При си = 0, как и должно быть, С = 0.

Таким образом, любому выбранному направлению а соответствует однозначное представление q = <с', g0>, q^ = gj2, с'^а.

Следовательно, справедлива следующая теорема: любое не-. плоское преобразование Лоренца может быть бесчисленным количеством способов представлено в виде произведения преобразования вращения Lc. на плоское преобразование Lgo, соответствующее той же скорости с. При этом направление оси вращения с’ может быть выбрано произвольно, и этот выбор однозначно определяет разложение Lq = LeLqQ.

Рассмотрим некоторые частные случаи. Пусть a = us тогда

7 си с =К и = си. и.. и21 п7 си с =К и = си. и.. и21 п.0^J-o^c»^’1 + (С»!)2.0^J-o^c»^’1 + (С»!)2и^^. (21.99)и^^. (21.99)

7 си с =К и = си. и.. и21 п

7 си с =К и = си. и.. и21 п

.0^J-o^c»^

’1 + (С»!)2

.0^J-o^c»^

’1 + (С»!)2

и^^. (21.99)

и^^. (21.99)

Таким образом, если дополнительный поворот пмеет осью на-

правление исходного движения и, то соответствующий вектор- параметр с* равен проекции с на направление и.

Пусть с'||[са], т. е. дополнительный поворот происходит вокруг оси, перпендикулярной к плоскости (с, а). Полагая в (21.98) а = [си], получим

с, _ с», [св], со = (св — с2вх) [св](21.100)

[си]2 ’[си]2

Очевидно, выражения (21.98) для с' и с° не зависят от величины вектора а, а только от его направления.

Поставим задачу об отыскании такого с% чтобы дополнительный поворот был минимальным, т. е. чтобы с'2=<с, — с°>2 = min. Поскольку с°и = 0, то общее выражение для с° имеет вид

с° = £ [си] + Г) [и [си]].(21.101)

Вместо того, чтобы искать минимум с'2, удобнее взять (см. (3.21))

1 + с'2 = 1 + <с,- с»У = ^Ц^-+£^.(21.102)

(1 + СС )

Поскольку (1+с2) постоянно, то задача сводится к отысканию минимума выражения

р 1 + с021+£2 [св]2 + т]2»2 [св]2

(1 + сс0)2(1 + Т) [си]2)2*

Из уравнения dFld^ = 2£ [си]2 =0 следует | =. 0, значит, с° = т|[и[си]]. Решение уравнения дЕ1дч\ = 0 дает т] = 1/и2. В результате получаем, опять-таки совершенно однозначно,

(21.103)(21.103)оХ2 ,СИ.(1 + сХ)и

(21.103)

(21.103)

С° = — Л, с' = з75-^.

1’1 — [С^]2

Заметим, что если задан некоторый единичный вектор и1У то любой трехмерный вектор и можно однозначно представить в виде (см. П.1)

а = ^и^ —И12а, (21.104)

где первый член справа есть проекция вектора и на направление нп а второй член — проекция и на плоскость, перпендикулярную к »v Таким образом, согласно (21.103) минимальный дополнительный поворот с' соответствует такому выбору вектора с°, когда последний равен проекции вектора с, входящего в исходное представление 5 = <с, ги>, на плоскость, перпендикулярную к и.

Все содержание этого параграфа с особой очевидностью свидетельствует о том, каким мощным средством является векторная

параметризация при изучении свойств преобразований Лоренца., С ее помощью оказывается возможным легко и просто решать такие задачи, которые при другом подходе, например, при использовании столь широко распространенной эйлеровой параметризации, были бы практически непосильными для решения. Основная причина этого огромного упрощения заключается в том, что благодаря предельно простому закону композиции вектор- параметров (21.3), как правило, нет необходимости производить вычисления с помощью громоздких 4Х4-матриц Лоренца, и вместо них можно иметь дело непосредственно с векторами g. Нижеследующие расчеты могут служить дополнительной иллюстрацией справедливости этих утверждений.

Мы познакомились с различными частными видами преобразований Лоренца, которые характеризуются теми или иными условиями, налагаемыми на комплексный вектор-параметр q. Дадим здесь сводку таких преобразований.

Винтовые преобразования: [gg*l = 0; (| g1 = | g |2);

Плоские преобразования: д2 = д*2.

Частными случаями плоских являются нижеследующие преобразования:

Преобразования вращения: д = д*;

Преобразования движения: q = — д*;

Циклические преобразования: д2 = 0.

Выше было показано, что любое преобразование Лоренца однозначно представляется в виде суперпозиции вращения и движения: g = <с, ги^ = <гн', с> (см. (21.43)). Это представление имеет наиболее непосредственный кинематический смысл. Кроме того, согласно (21.97) каждое преобразование Лоренца бесчисленным множеством способов может быть представлено как произведение вращения и плоского преобразования (см. (21.97), (21.98)), т. е. двух плоских преобразований. Покажем, что возможны и различные другие представления общего преобразования Лоренца в виде произведения двух преобразований перечисленных выше более простых типов.

. Преобразование Лоренца Lq при любом g можно представить как произведение вращения на винтовое преобразование. Действительно, любой вектор g = <е, z<O можно написать в виде q = (с', д°>, где с' = <с, — Си> определяет вращение, а д° = <Сн, to?)—винтовое преобразование. Вещественный коэффициент С при этом произволен. Если поставить условие, чтобы дополнительное к винтовому преобразованию вращение с* было минимальным, то задача сведется к минимизации выражения

следовательно,

с' = <С, - Си> = (^^11Е£1, с'2 =^l2, (21.105)

х'игАА™^u^AAucY

. . ис 4- iu2 q° = <Си, iu) = и. 44ю2 (1 - iuc^

Таким образом, ось с' минимального поворота перпендикулярна к направлению движения и.

Б). Любое преобразование Lq можно представить как произведение двух циклических преобразований. Задача сводится к представлению произвольного дв виде

9 = <^, У>, л2 = д2 = 0.(21.106)

Отсюда имеем у = <—xs q\ и условие д2= 0 приводит к уравнению (поскольку х2 = 0)

(д — х + [дя])2 = 1 + д2 — (1 + да?)2 = 0, откуда следует

1 + qx = KT+g5,(21.107)

, =(21.108)

kilt*

Итак, мы можем выбрать любой круговой вектор а? (а?2 = 0), удовлетворяющий условию (21.107), после чего круговой вектор у однозначно определяется формулой (21.108). Разумеется, аналогично можно было бы выбирать вектор у (д2 = 0), тогда

1 + »У = УТ+р и х = <5, — у> = (q — у — (ду))//!^- »2.

Очевидно, рассматриваемое представление неоднозначно, так как комплексный вектор зависит от шести параметров, а условия а?2 = 0 и (21.107) дают четыре уравнения. Поэтому на х можно налагать дополнительные условия, например, потребовать, чтобы вектор х лежал в плоскости вектора д, что приводит к уравнению х [gg* ] = 0.

. Справедливо следующее утверждение: плоское преобразование Лоренца всегда может быть представлено в виде произведения двух преобразований с чисто мнимыми вектор-пара- метрами. Задача сводится к представлению q в виде

• /\ i (и +— [ни'),

g = <iu, =(21.109)

Отсюда следует, что д2=д*2,т. е. преобразование Lq должно быть

плоским. Аналогично Б) имеем, считая g = а + z*6, ab = 0f — 9 — г» +* tg»] __ а~[6а]+£(6 —

\>9914- iqu1 — Ьи + iau

(21.110)

Приравнивая вещественную часть последней дроби нулю, получим

(1 — 6а) (а — [6а]) + аа- (6 — а + [аа]) = 0.(21.111)

Умножив на а, получим аа (1 — а2) = 0, т. е. аа = 0. Поэтому (21.111) сводится к (1—6а)(а—[6а]) = 0. Hol — 6а=/=0,так как иначе знаменатель выражения (21.110) обращался бы в нуль. Следовательно,

[6а] = а.(21.112)

Поскольку аа = 0, то ищем а в виде: а = £ [аб] + т)6. Подставляя в (21.112), получим 5 = — 1/62при произвольном т). В результате имеем

а = [а6]/62 + т]6.(21.113)

Отсюда с помощью (21.110) находим

1 / (1 ~ т]) Ь2 — а2 62 у 1 — Т)621 / (1 ~ т]) Ь2 — а2 62 у 1 — Т)626—[аб]^.(21.114)

1 / (1 ~ т]) Ь2 — а2 62 у 1 — Т)62

1 / (1 ~ т]) Ь2 — а2 62 у 1 — Т)62

Согласно (21.11) 1 + g2 = (1 — а2)(1 — a'2),z(l + аа')2. Поэтому при 1 + д2 > 0 одновременно должно быть а2 < 1, а'2 < 1 или а2 > 1, а'2>1,т. е. оба преобразования а, а' должны быть либо чистыми движениями, либо движениями с поворотом на л вокруг направления движения. Если же 1 +д2 <0, то a2<l, а'2> 1 или наоборот. Из (21.113), (21.114) имеем

1-„2= 1-^1-^(21.115)

1 - и'» = 1 + <— in, <>г = (1 — и2) (1 + д2)/(1 - т]Ь)2. (21.116) Если а2 < 1, то согласно (21.115) должно быть О^т)2< (62—а2)/64. Поскольку т) вещественно, то это возможно лишь при 62^а2, т. е. д2<0. Наоборот, а2 > 1 при т)2 > (62 —- а2)/64; последнее неравенство может быть удовлетворено всегда. Если мы потребуем, чтобы!—а'2>0,то при выполнении (21.115) необходимо будет, чтобы 1 + а2— 62>0 или 62< а2+1. Таким образом, должно быть a2<62<a2 + l.(21.117)

Итак, для того чтобы плоское преобразование представлялось в виде суперпозиции двух чистых движений, необходимо, чтобы его вектор-параметр g=a+ ib удовлетворял неравенствам (21.117) и, конечно, условию ab = 0. Однако если вектор g для плоского

преобразования не удовлетворяет требованиям (21.117), он тем не менее всегда может быть представлен в форме (21.109), хотя к, пли а', либо оба эти векторы будут по длине больше единицы. Как мы знаем, это будет означать, что одно, либо оба движения будут сопряжены с поворотом на л.

Если положить ц = 0, то получим

» = -^-, и' = -^^-а^Ь-\аЬ\\ (21.118)

Можно вместо этого наложить условие перпендикулярности направлений обоих движений: ии/ = 0. Оно выполняется для значений т) = у (1 ±/К 1 — 4а4/Ь8).

§ 22. Преобразования векторов в мире Минковского

Рассмотрим изменение мировых векторов под действием различных преобразований Лоренца. Простейшим является случай, когда вектор-параметр g веществен: g = с = с*. При этом преобразование Лоренца есть чистое вращение

т

и действие его на любой вектор х = (a?, ix^ сводится к повороту пространственной части этого вектора

х’ = Lcx = (О^ж, 1х й\(22.1)

Обратимся теперь к случаю чистого движения (20.51)

L = £<„ = ! + -J-(ви iB\, |В|<1.(22.2)

1 —1Г\—1В и6] х

Рассмотрим действие этого преобразования на основные типы векторов. Пусть у = (у, гу^п причем у2 = ж2. Выясним, когда справедливо равенство L^ttx = у. Оно распадается на два уравнения

. их —«V — их—

(22.3)

Отсюда однозначно следует

иих — у^о + У»х — у^о + У»(22.4)(22.4)

и

и

х — у^о + У»

х — у^о + У»

(22.4)

(22.4)

причем удовлетворяются оба уравнения (22.3). Однако при этом должно также удовлетворяться условие в2 < 1.

Итак, если (л — у)2/^» + Уо)2 < 1, то существует единственное преобразование чистого движения такое, что у = L\ttx. Однако, 13 ф. и. Федоров

разумеется, это возможно не для всяких 4-векторов ж, у с равными квадратами. Действительно, не нарушая равенства у2 = ж2, можно сделать сумму ^о + Уо как угодно малой и, соответственно, | и | как угодно большим. Условие и2 — 1 < О можно интерпретировать как требование, чтобы 4-вектор (а? —у, ЦхйА- уЛ\ =

q 1отражение времени) .

Последний результат сразу следует из формул (20.54), (20.55). С их помощью получаем у = ЬгиХ = TLwx = Г(1 — — 2w • wluy^x или у— Тх —— 2Tw • wxfw2. Но w = ^u,i^ в случае а2 < 1 есть времениподобный вектор. Таким же будет и вектор Twn а значит, и у — Тх (скалярный коэффициент — 2wx!w2 не играет роли). Вместо Т можно использовать матрицу пространственной инверсии Р = —Т.

Отметим, что если векторы х, у — времениподобные: х2 = = у2 < 0, то условие а2 < 1 согласно (22.4) заведомо будет выполняться, если четвертые компоненты х^ и у0 имеют одинаковый знак. Если и2> 1, то из (20.26) следует

Ь1а = -1--Ц(и-а 1“Аи2>1.(22.5)

1 — а \— in в У

Как видим, выражение для Ьщ в этом случае отличается от (22.2) знаком. Аналогично соотношения, соответствующие (22.3), (22.4), будут отличаться лишь знаком при у и уе. Таким образом, вместо (22.4) получим

(22.6)(22.6)®-V»

(22.6)

(22.6)

Х„-Уо ■

Следовательно, если (а? + уУ/(хи — у0)2 >1, то существует преобразование Лоренца, переводящее х в у при условии и2 — 1 > 0, что равносильно требованию, чтобы 4-вектор (ж + У. Ц$о—Уо)) = = х + Ту был пространственноподобным. В случае (22.4) должно выполняться условие «2 < 1 или

(я — У)2 — (же + У0)2 = 2 (а?2 — «у — х^^ = 2 (я2 — хТу) < 0.

(22.7)

В случае (22.6) должно быть «2 — 1 > (^откуда следует

х2 + хТу > 0.(22.8)

Поэтому, чтобы вектор х можно было преобразовать в вектор у с помощью матрицы Лоренца с чисто мнимым вектор-парамет- ром, необходимо, чтобы выполнялось одно из соотношений:

®У + х0у6 > х2 = х2 — х» = у\ ху + хйуй > — х2.(22.9)

Таким образом, преобразование Littx = у возможно не для всяких векторов х, у с равными квадратами.

С помощью общего плоского преобразования Лоренца также можно осуществить переход от х к у (у2 = ж2). Удобнее всего воспользоваться для этого выражением для L в форме (1.13)

L = L^ = ^ (а = — а).(22.10)

Как показано в § 19, для плоских преобразований такое представление всегда возможно, причем а = а (д) = 1/2 (g+ + q*_\ Уравнение Lx = у сводится теперь к следующим:

(1 + а) х = (1 — а) у, ах^ = х-. х^ = у ^ х = (ж±, 1х^\

(22.11)

Поскольку х2 = у2, то х^х- = 0. Раскрывая (22.11), получаем

или

[ая+] — х^Ь = х-,— Ьх^ = х^.(22.12)

При этом следует иметь в виду (см. § 18), что для плоских преобразований | а | = аЬ = 0. Умножая первое уравнение (22.12) скалярно на х^ и учитывая, что х^х- = х^х- — я^о = 0, убеждаемся, что второе уравнение есть следствие первого. Из первого уравнения находим

Ь = -4 ([«»+]- агу(22.13)

Таким образом, мы можем задать вектор а и определить b согласно последнему равенству. Из условия ab=0 следует ах~ = — 0, т. е. выбор а ограничен лишь требованием перпендикулярности этого вектора к х- = у — х. Такой вектор определяется двумя параметрами, и общее выражение для а будет иметь вид а = £ [#- [#+#-]] + т) [ж+а?-].(22.14)

Вещественные параметры | и ц произвольны, за исключением условия (21.22), которое в данном случае имеет вид

11 + а2 - Ь21/(1 + А2 + Ь2) > 0.(22.15)

Заметим, что формула (22.13) теряет смысл при ^ = 0, т. е. при уо = — хо. В этом случае первое уравнение (22.12) имеет вид: [аа;+] =х~. Нетрудно убедиться, что при этом для а, b получаются выражения (поскольку х^х~= 0):

a = ^++^? 1ж+а?"Ь Ь = - ^ х+ + г)#' + ^ [ж+ж-] 13*

с произвольными §, т). Таким образом, всегда существует двухпараметрическая совокупность плоских преобразований Лоренца, переводящих вектор ж в у при ж2 = у2.

Обратимся теперь к вопросу о том, каково общее собственное ортохронное преобразование Лоренца Lqi осуществляющее переход от ж к у: Lqx = y при ж2 =у2 [29]. Любое Lq можно представить в виде (см. § 21) Lq—LcLiU, и2< 1, где q ={с, iu), следовательно, LcLiax = У, или Ьщх = Ь-сУ^ или также (см. (20.51))

[м[м21 — а221 — а2и*и iuYU х\ _(О_С 0\1 у\- tu ю2Д \Ч/ ~ \° V \~ Ч/

[м

[м

2

1 — а2

2

1 — а2

Отсюда следуют уравнения их — хих — X

® + 2 ^ и = О-сУ, Хо — 2 ^ = — у0, (22.16)

1 — и1 — и

которые отличаются от (22.8) лишь заменой у на О_су. Поэтому решение для и может быть написано сразу на основании (22.4)

(кК1)- (22.17)

Аналогично (22.6) при условии Lq = L LtOl »г > li мы получим

* + О-ЛХо-У«* + О-ЛХо-У«(|»|>1).(|»|>1).(22.18)(22.18)

* + О-ЛХо-У«

* + О-ЛХо-У«

(|»|>1).

(|»|>1).

(22.18)

(22.18)

Нетрудно убедиться, что подстановка выражения (22.17) в уравнения (22.16) обращает их в тождества, справедливые при любом с. Разумеется, как и в случае преобразования чистого движения, переходы х -> у = Lqx возможны лишь для тех ж, у^жд = у2), для которых выполняется условие

и2 =и2 =®-О_сУУ 4+ ^о /®-О_сУУ 4+ ^о /(22.19)(22.19)

и2 =

и2 =

®-О_сУУ 4+ ^о /

®-О_сУУ 4+ ^о /

(22.19)

(22.19)

или, что то же самое, вектор х— TL_cy— времениподобный.

Вообще, с помощью собственного ортохронного преобразования Лоренца заведомо нельзя перевести любой вектор ж в любой другой вектор у с тем же квадратом. Это ясно, например, из того, что вектор ж = (0, i) может быть преобразован в вектор у = (0, — i), только с помощью неортохронного преобразования.

При выполнении условия (22.19) существует трехпараметрическое семейство преобразований Лоренца, осуществляющих

переход от х к у. Матрицы этого семейства зависят от произвольного трехмерного вещественного вектора, cf поскольку они содержат вектор-параметр и (22.17).

В качестве примера применения вышеприведенных формул рассмотрим важный для теории элементарных частиц случай преобразования 4-импульса частицы от системы покоя к движению или наоборот. Четырехмерный вектор энергии-импульса частицы р = (р, tp0) удовлетворяет известному соотношению

р^ = р^ — р^ = — т2.(22.20)

Здесь р —- трехмерный вектор импульса, ро — энергия частицы, т — ее масса покоя. Как следует из (22.20), вектор 4-импульса является времениподобным. Для покоящейся частицы вектор 4-импульса равен р° = (0, im^. Если

Р° = LiaP,(22.21)

то в формуле (22.4) следует положить х = р, хй = рм у = 0, Уо = тп. Таким образом,

и = —1—.(22.22)

Легко убедиться с помощью (22.20), что при ро > 0 всегда будет в2 < 1. Если ввести вектор 4-скорости частицы путем определения

^(г,^)^, ^ = ^-^ = -^-^-=-1, (22.23) wт

то для вектор-параметра (22.21) получаем

“ = ТТ<<22-24>

Обратный переход от покоящейся частицы к движущейся = L_^upQ осуществляется путем изменения знака и. Преобразование чистого движения Lia с вектор-параметром (22.22), (22.24), осуществляющее переход от системы, где частица движется с импульсом р (скоростью v), к системе покоя частицы, называется преобразованием «бустак

Рассмотрим в заключение вопрос об отыскании «минимального» преобразования Лоренца L от одного вектора х к другому ух у = Lx. Для «минимального» преобразования можно дать следующее общее определение. Пусть мы имеем группу SO(n, С) комплексных ортогональных преобразований n-мерного пространства. Тогда согласно § 1 общее преобразование О этой группы может быть написано в виде

О=О(а) = 1±£ а = -а,(22.25)

причем комплексная антисимметричная матрица а является матрицей-параметром группы. Поставим вопрос об отыскании такого преобразования у = О^х (у2 = я2), где х. у — векторы n-мерного пространства, для которого

(а+а)< = min.(22.26)

Такое ортогональное преобразование будем называть минимальным преобразованием от х к у. Условие у = Ох аналогично (22.11) можно написать в виде ая+ = х-, х^ = у ±х. Поскольку х^ заданы, то речь идет о нахождении минимума величины (a+a)t =—(a*a)t при условии ах^ = х-. Пользуясь методом Лагранжа, образуем величину

F = - A- (a*a)( + X (Ж- - a®+) + X* <х~* - а*ж+*), (22.27) где % — неопределенный комплексный n-мерный вектор, играющий роль лагранжева множителя. Здесь Хх рассматривается как скалярное произведение векторов X и х. Искомой величиной является антисимметричная комплексная матрица a = (а^, причем ana* рассматриваются как независимые.

Для получения условий минимума нужно приравнять нулю производные от F по а и а*. Расчет можно вести ковариантно, для чего следует воспользоваться общими формулами, справедливыми при a = —a:

^(ctf)t = ^(P«)t = P-0,(22.28)

ЭЕ Ida = —1/2 (a* —а*) — ^Х-х^ — х*^ =

= а* — [Х-х+] — 0*),(22.29)

ЭР] да* = а— [X* • ж+*] = 0.(22.30)

Получившиеся уравнения — комплексно сопряженные. Таким образом, имеем

а=[Х*-ж+*].(22.31)

Кроме того, х~* = a*x+*. Подставляя сюда значение а из (22.31),

♦) По определению под производной от скаляра F по матрице a = = (аць) мы понимаем матрицу, элементы которой равны производным от F по соответствующим элементам матрицы a: OF) да = (dFIda^) = — kF i*v) • Если F == (®P) t = ацуРуц, то dFjda^N == Pvg == P^v, т. e. д(оф) tlda^^ = d(Pa)t/^a = p. При этом предполагается, что все элементы матрицы a независимы. Если aMV = —Ovg, т. е. а антисимметрична, то a^pvi* =- = 2 anvPvn+ 2 anvPvn= 2 %Л₽ — ^VU’ ПОЭТОМУ ^о^Р»»)/^ =

U<V ~^>V^<V

= (P —P)vu, или d(aP)</da = P —p. Формула (22.29) вытекает из предыдущей, если положить р = y-xs так как ((y-z)a)f = хау.

получим х * — Х-х+х+* + х+-Хх+* = 0, откуда

^ = ^г^-, С = 1х+*, %* = ^У5^.(22.32)

С помощью этого значения X находим из (22.31)

а = [х-.х+*]/х+х+*,(22.33)

откуда следует

22(a+a)t =(a+a)t =1-+Г1-+Г(22.34)(22.34)

2

2

(a+a)t =

(a+a)t =

1-+Г

1-+Г

(22.34)

(22.34)

Таково общее решение рассматриваемой экстремальной задачи. Применим его к случаю трехмерной вещественной ортогональной группы (§ 2). Пусть х = с. у — с', с2 = с'\ тогда

_ (с' — СУ(с' + g) — (с' + СУ(р' — с) с' с — сс' __ [сс']ха—(с + с')г_ с2 + сс' ~е(е + с')*

что совпадает с выражением (2.17) для вектор-параметра минимального поворота от вектора с к с'.

В общем случае из (22.33) следует, что |а| = 0 во всех пространствах размерности п > 2. Обращаясь к матрице Лоренца, приходим к выводу, что минимальное преобразование должно быть плоским, причем матрице а= [я--я+*]/|я+|2 (см. (22.33)) согласно (18.6), (18.9), (18.10) соответствует вектор-параметр

*+2+42*+2+42[л+лГ1 + i (—а:+аГ — х“я+)

*+2+42

*+2+42

или с учетом значений х*

„ = 9 l^l + i^-M) _ [^1+4^-^») ,99 а.х 4 ^ + У)2 + (^ + у^~ х(х + у)+у^ + у^ ^6Ь’

Полученный вектор соответствует плоскому преобразованию Лоренца, поэтому в представлении q=<c, iu) векторы сии взаимно перпендикулярны. При этом (см. (21.27))

<22.35')

следовательно, при разложении минимального преобразования на произведение вращения и движения вектор-параметр вращения ортогонален к пространственной части векторов х и у. Что же касается вектора и, то он будет определяться формулой (22.17), в которой с следует взять в виде (22.35х).

Согласно (18.18хх) 1/2('a+a)* = IЧ|2» следовательно найденное нами минимальное преобразование от х к у соответствует наименьшему значению квадрата модуля комплексного вектор-пара-

(22.35)(22.36)(22.35)(22.36)kl2 = 4kl2 = 4I * + у I4 'I * + у I4 'метра q при заданных х и у ^х2 = у2У При этом из следует

(22.35)

(22.36)

(22.35)

(22.36)

kl2 = 4

kl2 = 4

I * + у I4 '

I * + у I4 '

Применим минимальное преобразование с вектор-параметром (22.35) к случаю перехода от системы покоя х = (0, ип) к движению: У=(р, гро). Мы получим q = — ip/(p0+ тп\ т. е. соотношения (22.21), (22.22). Таким образом, преобразование буста является минимальным преобразованием Лоренца от покоя к движению частицы (или наоборот).

Рассмотрим некоторые другие случаи минимальных преобразований. Пусть х = (а, 0), у = (6, гЬ^. Ъ2 — Ъ^ = а2. Согласно (22.35) при этом

4 а(а + &) + ^’4 а(а + &) + ^’(22.37)(22.37)

4 а(а + &) + ^’

4 а(а + &) + ^’

(22.37)

(22.37)

В случае светоподобных векторов х = (а, г | а |), у = (6, i | Ь |) имеем

«-а(а + Ь) + |Ь|(|а| + |д|)-^^

Заметим, что полученным здесь минимальным преобразованиям (22.33) можно дать специфическую интерпретацию. Векторы х и у задают две точки в n-мерном пространстве, лежащие на гиперповерхности х2 = у2 = С. Выражение V2(a+a)<, являющееся функцией двух точек на упомянутой гиперповерхности, можно рассматривать как меру «расстояния» между этими двумя точками. Для бесконечно близких точек имеем у = х + dx, и в (22.34) можно положить х" = у — х = dx, х* = 2x-Vdx ~ ~ 2х (с точностью до дх2^. При этом из х2 = С следует, что х dx = 0. В результате получаем

1 / . х 7 2, I X Р ( dx)2 — f X*dx j2 J *? /ПАПАХ

-у- (а+а), = ds2 = 411 ^^L = dx*g dx. (22.39)

где g можно рассматривать как «метрический тензор» на гиперповерхности х2 = С, который имеет вид

g=^?^x^-x,x*vg=^?^x^-x,x*v(22.40)(22.40)

g=^?^x^-x,x*v

g=^?^x^-x,x*v

(22.40)

(22.40)

Тем самым мы устанавливаем эрмитову метрику на комплексной сфере в пространстве любого числа измерений.

Рассмотрим частные примеры. В вещественном трехмерном пространстве х—х*. х2 = |ж|2 = С2, xdx=x*dx = 0. и из (22.39) следует ds2 = Vxdx\2,2x4 = dx2!2C2. Полагая х = С (sin 6 cos <р,

sin 0 sin <р, cos 6), получим известное выражение для дифференциала длины дуги на сфере ds2 = V2 (^62 + sin2 Odq^).

В случае группы Лоренца ж2 = ж2 — х^ = С, | х |2 = а?2 + xj = = 2а?2 — С, xdx* = x*dx = xdx + xodxo. Дифференцируя x2=C, получим xdx = xodxo. Таким образом, мы можем исключить xq и перейти к трем независимым координатам х = (а?а) на поверхности а?2 — х^ = С. В результате из (22.39) получим

ds2 = -1-4г2 [ (2»2 - С) Ах» -(^*)21 = dxgdx$

2(2а:г-С)г[ж2 — С х J

(22.41) где

g(2^-С) (а?2-С)/(

В случае светового конуса С = 0 и формула (22.41) дает

ds2 = [a?da?]2/4a?4.(22.43)

Формально это выражение отличается от ds2 на поверхности сферы в трехмерном вещественном пространстве лишь добавочной двойкой в знаменателе. Однако на самом деле в (22.43) все три координаты х= (а^) независимы и xdx^ 0.

§ 23. Малые группы и другие подгруппы группы Лоренца

Рассмотрим совокупность всех преобразований Лоренца Lqt оставляющих неизменным некоторый фиксированный 4-вектор х = (а?, гя0)

Lqx = x. (23.1)

Совокупность таких преобразований образует группу. Действительно, из (23.1) следует, что x=LqXx, —следовательно, рассматриваемая совокупность наряду с каждым Lq содержит обратное преобразование^1. Преобразование £$=1, разумеется, обладает свойством (23.1), и произведение двух преобразований, не меняющих х, также не изменяет х. Таким образом, совокупность Lqi удовлетворяющих (23.1), образует подгруппу группы Лоренца, которую Вигнер [33] назвал малой группой Лоренца. Ее называют также стационарной подгруппой, сохраняющей вектор х, или малой группой, принадлежащей вектору х.

Поскольку согласно (23.1) вектор х есть собственный вектор матрицы Lq^ отвечающей собственному значению, равному единице, то, как показано в § 19, преобразование Lq должно быть п л о с к и м. Если взять Lq в виде (1 + а)/(1—а), то (1—а^х =

= (1 +а)ж, т. е. должно быть

ах = ( °Х ^ V ж ) = 0.(23.2)

\— ib 0 ) \ixj

Отсюда следует

[аж] — х0Ь = 0, Ъх = 0.(23.3)

Если жо =/= 0, то второе уравнение следует из первого при скалярном умножении на х. Следовательно, в этом случае вектор а можно выбрать произвольно и

b = [ах]!х^ q = а + ib = (1 — ixx]x^ а. (23.4) Таким образом, вектор-параметр q малой группы является линейной функцией произвольного вещественного вектора а. Компоненты последнего ai, «2, «з можно рассматривать как параметры, и малая группа, очевидно, будет трехпараметрической. Если хо = 0, то из (23.3) имеем [ах] = 0, т.е. а = Сх. Вектор b должен быть перпендикулярен к ж и, следовательно, содержит два параметра. Значит, малая группа, принадлежащая чисто пространственному вектору х = (ж, 0), также будет трехпараметрической. Если х = (0, гж0), то b = 0, вектор а произволен и q = а= =q*, т. е. малая группа в этом случае есть подгруппа пространственных трехмерных вращений. При светоподобном векторе ж = (ж, г|ж]), выражение (23.4) для вектор-параметра q сохраняет силу и принимает вид

g = (l — ix^a, хх = х(\х\, ж? = 1.(23.5)

Итак, каков бы ни был 4-вектор ж = (ж, 1хй\ принадлежащая ему малая группа всегда будет трехпараметрической непрерывной группой Ли.

Выражение (23.4) пригодно во всех случаях, кроме того, когда х есть чисто пространственный вектор, т. е. х= (ж, 0). Как показано выше, при этом вещественная часть вектор-параметра q параллельна вектору ж, а мнимая — перпендикулярна к нему. Такой вектор может быть представлен в виде

q = ^хх + i (т)е + т]*е*),(23.6)

где е—круговой вектор (см. П.1), перпендикулярный кжх: [жхе] = ie (см. (3.39)). Параметр | — вещественный, а ц — комплексный.

Обозначим в выражении для q (23.4)

и = х/х0(23.7)

и рассмотрим совокупность всех комплексных векторов вида

q = qe = (1 — ггх) а(23.8)

при фиксированном и, получающихся, когда вещественный вектор а принимает всевозможные значения. Видно, что эта совокупность изоморфна трехмерному вещественному линейному пространству. Действительно, если g' = (1 — ггх)а', то вектор

£д + П?' = (1 “ ^х) (£« + V) = (1 “ il)X) a 'i(23-9)

где а"=^а+ца'— вещественный вектор, если | и т) вещественны. Таким образом, любая линейная комбинация вектора (23.8) с вещественными коэффициентами снова будет вектором того же типа. Кроме того, скалярное произведение любых двух векторов вида (23.8) вещественно:

g^ = (а + г [аг]) (а' + I [а'и]) = аа' — [аг] [а'и] = а (1 + иХ2}а'

как, разумеется, и скалярный квадрат:

д2 — о2 _ [ау]2 = а^а> р = 1 -|- рХ2 = 1 — у2 _[_ y.Ve (23.10)

Наконец, векторное произведение векторов д®, дУ

[g^] = (1 — ?их)а", а" = (1 — v-v) [аа'](23.11)

также есть вектор вида (23.8). Таким образом, в пространстве комплексных вектор-параметров qe (23.8) мы можем производить все те операции, что и в обычном трехмерном вещественном пространстве, и будем получать при этом векторы вида (23.8), либо вещественные числа. При фиксированном и вектор а однозначно определяет д®, поэтому а можно рассматривать как вектор-параметр малой группы. Все векторы д, в том числе (23.8), компо- нируются согласно (3.6), поэтому закон композиции для вектор- параметров а находится из соотношения

(1 — ггх) а" = <(1 — zrx) а, (1 — гих) а'>.(23.12)

Поскольку

(t _/„X)-. = l^z^+i^,(23.12-)

то мы получаем

а" - <а, «->. -(23.13)

4 7'1 — аа 4- [га] [га ]х ’

Легко убедиться, что <а, 0>v=<0, а>у=а, <а, — а>®=<—а, а>д = = 0 и т. д. При г=0 мы возвращаемся к закону композиции (21.3). Заметим, что при и2 = 1 соотношение (23.12') теряет смысл, так как матрица 1 — ггх не имеет обратной. Тем не менее соотношение (23.13) остается справедливым и в этом случае и сохра-

няет свои групповые свойства. Непосредственным расчетом можно получить соотношение

<а, а', — a>v = А« (а) а',(23.14)

где

<23Л5>

Ясно, что группа ЗХЗ-матриц Л» (а) изоморфна малой группе Lqv =L^qe, q*y Эти формулы обобщают (3.24), (2.5) и переходят в них при D = 0. Формулы (23.14), (23.15) можно получить также из соотношения (3.24), записанного для комплексных векторов q (23.8)

<q,q'1-q> = Oqq'.(23.16)

Подставляя сюда q = (1 — zrx) a, q' = (1 — wx) а' и умножая обе части на (1 — г»х)-1, получим

Л.(а) = (1 - ivVO^x^ - i»XY (23.17)

что совпадает с (23.15). Нетрудно показать, что (1 — v-v^a = = (l=Ffvx)-1[(l =F ivx)a]x(l =F ix)x\ поэтому из (23.17) получаем

Av (a) = 1 + 2 (a + a2)/(l + at\ a = (1 - d-u) ax. (23.18)

Сравнивая c (2.3), видим, что A® (a) отличается от 0(a) лишь заменой ах на (1 — v*v)ax, следовательно,

(гзлзэ 1 —(1—D-p)axх '

Характерной чертой выражений (23.13), (23.15) является то, что они не меняются при замене г? на — и. При любом фиксированном вещественном векторе d матрицы А® (а) (23.15) образуют непрерывную трехпараметрическую группу вещественных линейных преобразований в трехмерном пространстве. При этом |Ag(a)| = l при всех г и а, что сразу следует из (23.17). Из того же соотношения (23.17) вытекает, что группа матриц А» (а) при данном d изоморфна (эквивалентна) подгруппе (см. § 8) комплексной группы вращений 0(g), где g определяется из (23.8).

Заметим, что

£ = (1 + ^Х) а = 1±^. (1 - to^ а = О* (23.19) 1 — Z0A

Поскольку для любого собственного ортогонального преобразования О справедливо соотношение (см. (3.15))

О^О'1 = (Oq^,(23.20)

то

0 W = Г^Р = 0^0^'<23-21)

т. е. группы О (д*) и О (gv) отличаются преобразованием подобия (за исключением случая г2 = 1, когда 0^ не существует).

Кроме малых групп различных типов, группа Лоренца обладает рядом других подгрупп. Вопрос об их нахождении тесно связан с соответствующим вопросом, решенным в § 8 для группы комплексных вращений 0(3, С). Группа Лоренца или, иначе, группа 50(3, 1) изоморфна группе 50(3, С). При использовании векторной параметризации этот факт не требует доказательства. Действительно, обе группы параметризуются комплексным вектор-параметром q = а + ib с одним и тем же законом композиции (8.11), (21.3), следовательно, наличие взаимно однозначного соответствия между элементами этих групп очевидно. Следует отметить, что условие, ограничивающее допустимые значения комплексного вектор-параметра д, также одно и то же для обеих групп, а именно 11 + g2|/(l + | g |2) > О (см. (21.47), (21.48)). Хотя оно выводилось для группы Лоренца, но оно является также необходимым и достаточным для того, чтобы элементы матрицы комплексного вращения 0(g) (8.9) имели определенные конечные значения.

Поскольку мы использовали для определения подгруппы группы 0(3, С) не свойства ее самой, а лишь закон композиции вектор-параметров, который справедлив и для группы Лоренца, то все выводы, полученные в § 8 относительно подгрупп группы 50(3, С), без каких-либо изменений переносятся и на случай группы 50(3, 1). В частности, приведенная в § 8 таблица возможных видов подгрупп полностью относится к группе Лоренца. Нам остается лишь добавить некоторые комментарии, связанные с интерпретацией отдельных подгрупп.

Обратимся к подгруппе, связанной с вектор-параметром вида (9.22),

g = ае0 + Ре + хр*е*, 0<х^1.(23.22)

Нетрудно видеть, что этот случай соответствует малой группе Лоренца, принадлежащей времениподобному вектору. Согласно (23.4) вектор-параметр такой группы может быть написан в виде

g = (1 — ivx) a, v = х!хй. у2 < 1.(23.23)

Условие v2 < 1 соответствует а?2 — ^ < 0, т. е. времениподобному вектору х. Вещественный вектор а всегда можно представить в виде а = аг +Р1в + pje*, [ve] = — i | о | е, а = а*. Подставляя в (23.23), получим

« = CCV + рх(1 — | Vj)e + РГ (1 + | V |)е*,(23.24)

т. е. выражение вида (23.22), где d = с01 р = Pi (1 — |г|), х — = (i+HVt1-Н)-

Если в общем выражении (9.9)

q = Сс0 + аре + 60*е*,(23.25)

где а, b вещественны, положить 0 > а/6 =/= — 1, то мы получим малую группу Лоренца, принадлежащую пространственноподобному вектору х = (а?, ix^, v = х/х01 и2 > 1. Действительно, исходя из прежнего выражения (23.22), тем же путем мы придем к соотношению (23.24), в котором, однако, (1 — | г |) (1 + | г |) = ab= = 1 —г2<0. Если 1 + 52>0, то это будет группа 50(2, 1) (см. § 9). При наложении более слабого ограничения 1 + </2 ^ О мы получим подгруппу группы Лоренца, принадлежащую вектору х, которая преобразует его в ± х. Эту подгруппу, отмеченную в [56], можно назвать расширенной малой группой. Несмотря на изоморфизм со случаем Ъ = —а (что соответствует согласно (23.24) 101 = оо), эти подгруппы не следует отождествлять.

Наконец, третий тип малой группы — принадлежащей светоподобному вектору х = (a?, i | х |), d —х/ | х |, г2=1, —также охватывается формулой (8.61) при а = 0 (6 = 0). Действительно, при | и | = 1 из (23.23), (21.24) имеем q = аг + (1 + | v |) р*е*, что соответствует (9.13).

§ 24. Группа О (4) и комплексная группа Лоренца SO (4, С)

Группа 0(4) есть четырехмерная вещественная ортогональная группа. Согласно общему определению (см. § 1) линейные преобразования, образующие эту группу, оставляют неизменной сумму квадратов четырех вещественных координат gft, к = 1, 2, 3, 4. Таким образом, если V =О|, 0^0(4), то V2 = В2- Соотношения, характеризующие эту группу, в большинстве случаев находятся в самой тесной аналогии с соответствующими формулами для группы Лоренца. Поскольку группа 0(4) находит ряд применений в проблемах физики, мы остановимся кратко на основных ее свойствах.

Как и для всякой ортогональной группы (§ 1), преобразования О группы 0(4) определяются соотношениями

00 = 00 = 1,(24.1)

|0|2 = 1,|0±|=±1,(24.2)

где 0+(0-) — собственное (несобственное) преобразование группы 0(4). В отличие от группы Лоренца, ввиду полного равноправия всех переменных |я здесь отсутствует разделение преобразований по признаку ортохронности (§ 19).

По аналогии с (20.17) рассмотрим матрицу

О = ^“^/W = е+ («) е_ (6) = е_ (6) е+ (а), (24.3) / (1 + а2) (1 + д2)

где а, Ь — произвольные вещественные трехмерные векторы. На основании свойств антисимметричных матриц а+, Ь_ (см. § 20) получим

00 = 1,|0|=1,(24.4)

следовательно, выражение (24.3) представляет матрицу собственного преобразования группы 0(4). Наоборот, если мы имеем матрицу О, удовлетворяющую условиям (24.4), то, как в § 20 можем найти векторы а, Ъ из соотношения (24.3). Действительно,

О. =4-L (О - О) = ,+-(24.5)

/ (1 + а1) (1 + 6")2У (1 + а2) (1 + Ь2)

поэтому

<,+ + »_=f<« + b>X(24.6)

Отсюда определяются векторы а, Ь. Особый случай 0( = О имеет место согласно (24.5) при |а|->оо, либо при |&|->оо, либо, наконец, когда оба вектора имеют бесконечно большую длину. Из (24.3) ясно, что этим возможностям соответствуют преобразования

О = ац-8_(Ь),0 = Ь1_8+(а), О = а1+Ь1_,(24.7)

где av = а/\а |, Ьг = &/| b |. Таким образом, и при Ot = 0 соотношение (24.3) сохраняет смысл. Кроме того, весьма существенно, что, в отличие от группы Лоренца, формула (24.3) дает собственное преобразование группы 0(4) для всех без исключения значений векторов а, Ь. Таким образом, в данном случае отсутствует ограничение, подобное (21.48).

Ясно, что векторы а, & можно рассматривать как параметры группы 0(4). Следовательно, группа 0(4) параметризуется с по-

мощью двух произвольных независимых вещественных трехмерных векторов.

Наряду с этим очевидно, что группу 0(4) можно было бы параметризовать с помощью антисимметричной матрицы а, причем формулы (19.34), (19.34") останутся справедливыми и в этом случае. Отличие от группы Лоренца будет лишь в том, что отпадает условие (19.37) и матрица а будет вещественной антисимметричной матрицей.

В отличие от группы Лоренца, матрицы е+ (а) и е_ (&), удовлетворяющие свойствам (24.4), также принадлежат к группе 0(4). Однако они являются частными видами преобразований, поскольку каждое из них является трехпараметрическим. Действительно, е+(а) и 8_ (&) получаются из (24.3), если положить Ь = 0 или а = 0 соответственно.

Тем же путем, как в § 21, можно убедиться, что вектор-пара- метры а, Ъ группы 0(4) компонируются независимо один от другого по формуле (21.3)

<а. ^ = “V'+^'V <Ъ, Ъ'> = Ц^£№(24.8)

Поэтому каждая из совокупностей коммутирующих между собой матрице+(а), 8_(&) является представлением трехмерной группы вращений, поскольку

8± («) 8± (#') = 8± «а» а'»(24.9)

и, следовательно, для них выполняются условия (10.13).

Таким образом, по существу, все свойства группы 0(4), как следует из соотношений (24.3), (24.8), (24.9), могут быть получены как следствие свойств группы 0(3) и ее представлений.

Инвариантный интеграл на группе 0(4) может быть написан сразу по аналогии с (6.23)

, 6) [da] [db] = л -4 J / «а., а>, <Ь0, 6» [da] [db] =

= л-4 j / «а, а0>, <Ь, b0>) [da] [db] = л"4 J / (— а, — b) [da] [db]t [da] = (da)/(l + a2)2, [db] = (db)/(l + b2)2,(24.10)

причем имеет место нормировка

л-4 J [da] [db] =1.(24.11)

Широкое применение в аксиоматической квантовой теории поля имеет группа 0(4, С), т. е. группа ортогональных 4X4- матриц, все элементы которых комплексны, как и компоненты 4-векторов, преобразуемых посредством этих матриц. Эта группа содержит в качестве одной из своих подгрупп группу Лоренца и получила название комплексной группы Лоренца. Для нее

справедливы условия (24.1), (24.2). Таким образом, общее преобразование группы 50(4, С) является комплексной 4 X 4-матрицей 3, удовлетворяющей прежним условиям 33 = 33 = = \3\ = 1. Легко убедиться, что такие матрицы, аналогично матрице 0(4) (см. (24.3)), могут быть параметризованы с помощью двух независимых трехмерных комплексных векторов g = а + 1Ъ и g = d + th [36]

(9, S) = 8+ (9) е- ^ = + ^Л^., (24.12) /(1 + ?2)(1 + *2)

причем (см. (21.48))*)

1 + <~ 9*, 9>2 > 0,1 + <- g*, gV > 0.(24.13)

Действительно, из свойств матриц е± сразу следует выполнение условий 33 = \3\ = 1 при любом знаке корня. С другой стороны, имеем аналогично (24.6)

+0 )(24.14)

Поскольку при заданной 3 правая часть является известной антисимметричной 4 X 4-матрицей, то отсюда однозначно находятся векторы g и g. Таким образом, согласно (24.12), (24.14) матрица 3 и пара комплексных трехмерных векторов g, g (с условиями (24.13)) взаимно однозначно определяют друг друга. Следовательно, пара комплексных векторов g, g задает 12 параметров комплексной группы Лоренца.

Итак, самое общее преобразование 3 (д, g) согласно (24.12) всегда может быть представлено в виде произведения двух коммутирующих между собой матриц е+ (д), е_ (g), каждая из которых зависит лишь от одного комплексного вектора. Разумеется, не нарушая этого разделения параметров, можно от компонент каждого из вектор-параметров g, g перейти к каким-либо шести другим параметрам, например, сопоставить каждому из g и g по три независимых комплексных угла Эйлера. Формулы, осуществляющие такой переход, будут совпадать с соответствующими формулами для трехмерной вещественной группы вращений. Это обстоятельство, наряду с чрезвычайной простотой всех соотношений, позволяет весьма легко изучать и анализировать многие важнейшие свойства комплексной группы Лоренца и ее представлений. Целый ряд основных соотношений, установленных для вещественной группы Лоренца в гл. III, непосредственно без всяких выкладок может быть перенесен на группу

♦) Отметим, что именно эти условия (как и в случае обычной группы Лоренца) ответственны за некомпактность группы SO^ Су

14 ф. и. Федоров

SO(4, С). По существу, при этом все будет сводиться к замене д* на g и рассмотрению следствий, которые вытекают из этой замены.

Аналогично обычной группе Лоренца имеем

S’ (<Ь g) S’ (д', g') = S’ (<g, q'\ <g, g'», (24.15)

т. e. вектор-параметры q и g компонируются независимо. В § 20 было показано, что вещественному вектор-параметру q = q* соответствует преобразование чистого вращения

°), (24.16)

где 0(g) определяется соотношением (2.5). В свою очередь чисто мнимому вектор-параметру q = — q* отвечает преобразование чистого движения — гиперболический поворот (см. § 20)

I 1 + 0 I \ — 2д 1 — g /

Из сравнения (20.17) с (24.12) сразу ясно, что формулы (24.16), (24.17) останутся справедливыми и для матриц комплексной группы Лоренца, но соответственно при условиях g = q или g = — q- При этом в выражении $ (д, д), в отличие от (24.16), д будет комплексным вектором и соответственно О (q) — трехмерным комплексным вращением. Аналогично в выражении S’ (д, — д), в отличие от (24.17), вектор д будет произвольным комплексным вектором, а не чисто мнимым.

В § 21 было показано, что общий комплексный вектор-параметр д всегда может быть представлен в виде д = <с, гю), где ct и —вещественны. Этому соответствует

L (Ч, Ч*^ = кс«» c>i L — ^UY (24.18)

т. е. разложение произвольного преобразования Лоренца в произведение гиперболического и обычного поворотов. При этом векторы с, in находятся из соотношений (см. (21.17), (21.25))

</а, га> = 2ш/(1 + а2) = <— д*, д>,

1и = <” g* g> = g - g* + Igg*l (24.19) 1±/1+<_9*.?/ 1 + I » |2 ± 11 +»2|

ис = (д, —га>. Выбирая здесь верхний знак, получим а| < 1, чему соответствует преобразование 1Дгии —iu^ чистого движения. Второе значение для и равно u^uju^ поэтому и2 > 1. При этом L (iu^ — ш2) также дает преобразование движения с той же скоростью, что и в первом случае, но в сочетании с коммутирующим пространственным поворотом на 180° вокруг направления и. В случае группы Лоренца естественно можно

ограничиться первым случаем, как более простым, тем более, что при этом получается разложение L в произведение чистого движения и чистого вращения. При этом следует лишь наложить дополнительное условие и2 < 1.

Эти результаты непосредственно переносятся на комплексную группу Лоренца $ (д, g). Аналогично (24.18) всегда можно написать

$ (q, 8^ = 2? (5., q^ 2? (51, - 51),(24.20)

где q = <g0, q^, g = <g0, — q^, причем аналогично (24.19)

(24.21)(24.21)<- g, g> =q-g + [gg]

(24.21)

(24.21)

1 ± /1 + <- g^ i + qg±VU + g2)(i + g2)

И

9o ~ <9*9i>-(24.22)

Однако теперь у нас отсутствуют приведенные выше основания для выбора знака в (24.21). Поэтому в комплексной группе Лоренца разложение (24.20) может быть осуществлено двумя способами (24.21).

Итак, всякое преобразование группы 50(4, С) может быть представлено двумя способами (24.21), (24.22) в виде произведения (24.20) преобразований более простых основных типов (24.16) и (24.17), которые можно назвать комплексными пространственным и гиперболическим поворотом соответственно. Заметим, что в произведении (24.20) можно изменить порядок сомножителей в правой части, т. е. взять 3 (q, g^ = = $ (5ь — q^ $ (»о. q^- При этом оказывается, аналогично (21.41), (21.42),

q» = q^ qi = O<q^qv (24.23)

Отметим, что как следствие формулы (24.12) мы сразу получаем соответствующее выражение для любого преобразования вещественной четырехмерной группы вращений (24.3).

В векторной параметризации получает простое общее решение задача приведения матрицы комплексного преобразования Лоренца к так называемой регулярной форме [34], [35]

^=1^5, R = — R. (24.24)

Поскольку любая антисимметричная матрица в четырехмерном пространстве может быть представлена в виде суммы матрицы типа д+ и матрицы типа g_e то можно искать R в виде

R = ^ + 48- (24.25)

Используя (24.12), соотношение (24.24) можно переписать в форме

(1 +1»+ + п^-)(1 + »+)(! + 84 =

= /(1 + д2)(1 + g4) (1- Iq^^g-V

Раскрывая здесь скобки и пользуясь тем, что д± =—д2(20.7), получим, приравнивая коэффициенты при линейно независимых матрицах 1, g+, g-, q+g-, четыре уравнения для |, ц, которые все оказываются совместными и дают

z -v^+?=,(24.2в)

Vi + ^ + Vi + e* H+^+Ki+i1

Таким образом, матрица R определяется однозначно.

Заметим, что и в случае группы 50(4, С) можно проделать замену параметров (см. (8.14))

q = qilV^-qL g=gilVk-gl, (24.27) в результате которой матрица S’ (24.12) принимает вид

S’ = (КГ^ + д1+)(/Г^ + &-).(24.28)

При этом формулы композиции вектор-параметров qlt gi будут иметь известный вид (8.17)

<5i, qV> = qi К1 — 5? + qi К1 — qX + f?^]- (24.29)

Вопрос о подгруппах группы 50(4, С) может быть решен на основе общей теории непрерывных групп. Однако при этом мы получим абстрактное описание подгрупп, в то время как в теоретической физике используется конкретная их реализация, связанная с той или иной параметризацией. Наиболее просто и элементарно этот вопрос может быть рассмотрен на основе комплексной векторной параметризации группы 50(3, С) (см. § 8, 9) и 50(3, 1) (см. § 23). Если для группы 50(3, С) возможные подгруппы (§ 9) определялись заданием вида вектора д, то для группы 50(4, С) подгруппы будут определяться заданием вида пары векторов g, g. Каждый из них мы можем взять в одной из форм, соответствующих рассмотренным в § 9 двадцати подгруппам группы 50(3, С). Рассмотрим сначала 13 неизоморфных между собой подгрупп 1—4, 9, 10, 11—15, 17, 18. Каждому сочетанию двух различных векторов, например, g = ас0, подгруппа 1) и g = га'с + Ре (погруппа 13) соответствует подгруппа группы 50(4, С). Число таких сочетаний равно 13-12/2 = 78, чему соответствует такое же число неизоморфных между собою подгрупп комплексной группы Лоренца. Сюда следует еще доба-

вить 13 подгрупп, получающихся при 5 = g, которые будут изоморфны соответствующим подгруппам 50(3, С). Кроме того, взяв, например, q = ас0, мы получим разные подгруппы 50(4,0), полагая g = ас0, g = ас, g = а'с0, либо g = а'с. Первые две, будучи однопараметрическими, изоморфны между собой, хотя и различаются за счет векторов с0 и с. Подобным же образом различаются между собой две последние изоморфные подгруппы, являющиеся двухпараметрическими.

Аналогично при других сочетаниях q и g, взятых из числа упомянутых 13 подгрупп, мы можем выбирать параметры а, £ и базисные векторы с0, е в выражениях для q и g как одинаковыми, так и различными. При этом необходимо, чтобы предполагаемое равенство некоторых параметров в обоих векторах сохранялось при композиции. Во всяком случае, мы можем брать векторы q и g, относящиеся к одному и тому же типу, но со всеми различными параметрами а, р. Это даст еще 13 неизоморфных с другими подгрупп. Таким образом, общее число полученных описанным способом неизоморфных подгрупп группы 50(4, С) достигает 78 + 2 • 13= 104. Если же мы будем учитывать всевозможные сочетания векторов q и g, относящихся ко всем 20 приведенным выше подгруппам группы 50(3, С), включая изоморфные, но отличающиеся между собой по реализации, то общее число соответствующих подгрупп комплексной группы Лоренца превысит 200.

Приведенное рассмотрение еще раз показывает, что простой закон композиции (24.8) представляет собой мощное и эффективное средство для изучения различных свойств групп 50(3), 50(3, С) п связанных с ними групп 50(2), 5L(2, С), 50(4), S0(3, 1), 50(4, О).

Глава IV

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ЛОРЕНЦА

Конечномерные представления собственной группы Лоренца

Как показано в § 20, каждое преобразование собственной группы Лоренца L^ = L (q, q*) однозначно характеризуется заданием комплексного вектор-параметра д, причем (см. (21.5))

L (g, g*) L(q\ д'*) = £«д, д'>, <д, д'>*).(25.1)

Поэтому согласно § 10 представление собственной группы Лоренца определяется соответствием L (q, g*) -► Т (g, g*), причем аналогично (10.13)

т (д, д*) т (д', д'*) - Т «д, д'>, <д, д'>*).(25.2)

Ввиду совпадения формул композиции параметров (21.3) и (21.1) тесная связь представлений группы Лоренца с представлениями группы вращений является совершенно очевидной. Действительно, пусть Т (с) — некоторое представление группы вращений. Подставим в матрицу Т (с) вместо ее аргумента — вещественного вектора с—комплексный вектор д,; при этом для Т (q) по- прежнему будет выполняться условие (если Т (с) — аналитическая функция)

Г(д)Т(д')=Т«д,д'»,(25.3)

так как равенство (10.13) является тождеством относительно с, с'. Но соотношение (25.3) есть частный случай соотношения (25.2), поскольку в Т (q, g*) не фиксирован вид функциональной зависимости от каждого из аргументов. Следовательно, можно считать Т (g, д*) = Т (д). Ясно, что матрица Т (д*), где Т (с) — представление группы вращений, также будет представлением собственной группы Лоренца.

Итак, мы видим, что всякое представление Т (с) группы вращений при замене вещественного вектора с комплексным вектором g превращается в представление собственной группы Ло-

ренца. Одновременно оно будет представлением комплексной группы вращений 50(3, С).

Если рассматриваемое представление группы вращений будет неприводимым представлением веса I: Т1 (с), то полученное из него представление группы Лоренца Tl (д) будет также неприводимым. Действительно, если бы Tl (д) было приводимым, то это свойство по самому смыслу понятия приводимости имело бы место для всех значений д, в частности, для g = с, т. е. тогда и Т1 (с) было бы приводимым представлением группы вращений в противоречии с условием.

До сих пор мы рассматривали соответствие L (g, д*) ->■ Т (д) или L (q, д*) ->■ Т (д*), при котором представление зависит лишь от части параметров группы Лоренца. Но если мы рассмотрим соответствие

ь (q, q^ т (q, д*) = Тг (д) ® Tt ^*Y (25.4)

где Т\ (с), Т2 (с) — два совершенно произвольных представления группы вращений, то по правилу умножения прямых произведений матриц (см. П. 3) получим

т (q, q*) т (q', q'*) = Tt (g) Тг (д') ® Ta (g*) Ta (q'*) =

= Tt «д, д'» ® Та«д, д'>*) = Т «д, д'>, <д, д'>*). (25.5)

Таким образом, выполняется основное условие (25.2), и поэтому соответствие (25.4) является представлением собственной группы Лоренца. Следовательно, с помощью представлений группы вращений мы можем получать в форме (25.4) представления группы Лоренца, «полные» в том смысле, что они, в отличие от (25.3), зависят от полного набора параметров. Очевидно, представления (25.4) содержат (25.3) как частный случай, соответствующий тому, что одно из представлений Т\ или Т^ является тривиальным: ^(с) = 1 или Т2(с) = 1.

Пусть представления Т\ и Гг являются неприводимыми представлениями группы вращений с весами I и V соответственно. Покажем, что соответствующее представление

ь (5, g*) -> Tlv (q, д*) = Tl (д) ® Tv (q*) (25.6)

будет неприводимым представлением собственной группы Лоренца. Для доказательства мы используем следствие из леммы Шура (см. П.4) которое утверждает, что если со всеми преобразованиями представления коммутирует лишь матрица, кратная единичной, то представление является неприводимым.

Рассмотрим бесконечно малое преобразование вида (25.6), которое получается, очевидно, при условии |д|<;1. При этом

аналогично (15.3) —(15.5) имеем

Т1 (д) = 1‘ - 2ig', Tv (q*) = I1 — 2iqv

И ■

Txv {q, g*) = 1 - 2i (g1 ® lr 4-11 ® q*V\

где

gz® lr + l‘® g*1'= /”'(», g*)(25.8)

является инфинитезимальным оператором для представления (25.6). Пусть некоторая матрица Л коммутирует с Ти (g, q*^ или, что то же самое, с оператором iu4q, g*)(25.8)

{Л, g1 ® lr + I1 ® g*r}_= О(25.9)

при любых q. Поскольку векторы q и q* в общем случае линейно независимы, то для выполнения (25.9) необходимо и достаточно, чтобы

(Л, g‘(g) lz')_ = О(25.10)

И

{Л, 1‘ф ?“')_ = 0.(25.11)

Поскольку при всевозможных q как ql, так и q*1 представляют собой неприводимые совокупности матриц, то согласно П. 3

Л = % (1‘ ® 1Г) = M(2l+1X2r+1).(25.12)

Следовательно, матрица Л, коммутирующая с I ^ g*)t а значит, и с Ти (q, q*^ может быть только скалярной. Отсюда (см. П. 3) следует неприводимость представления (25.6).

Итак, выражения вида

Ти' (q, q*) = т1 (g) ® Tv (q*),(25.13)

где Z, V — веса некоторых неприводимых представлений группы вращения (т. е. целые или полуцелые числа), определяют неприводимые конечномерные представления группы Лоренца. Можно показать (см. § 26), что выражения вида (25.13) исчерпывают все возможные конечномерные неприводимые представления группы Лоренца. Последние, таким образом, характеризуются заданием пары чисел (Z, Г), каждое из которых может быть целым либо полуцелым.

Заметим, что если мы наложим на возможные значения век- тор-параметра q условие q = q* = с,т. е. ограничимся преобразованиями вращения в пространстве Минковского (§ 20), то представление TIV (24.13) станет приводимым, поскольку оно

сведется к прямому произведению неприводимых представлений группы вращений (см. § 15)

Iй' (<•) = т1 (с) ® Tv (с) оо Ти"Г| (с) ф ... ф Tw-х (с) ф Tw’ (с).

(25.14)

Весьма существенно то, что пары (Z, V) и (Z', Z) при Z =/= Z' определяют различные неприводимые неэквивалентные друг другу представления. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим соответствующие представлениям Ти (25.13) и т11 = Tl (g) 0 Tl (д*) инфинитезимальные операторы (см. (25.8))

1^ = ql 0lr + lz ® q*l\ Iw- qv 0 V + lr 0 g*1.(25.15)

Их собственные векторы будутиметь ВИД1|'т0) ^т' И Ф^® фтп*

соответственно (ср. §§ 15, 16), причем

— l^m.m^^.1,— V ^ т’, т^ ^ Z',(25.16)

q4lm = ^Vrq^vVJmiq*V ф\/ nV V"q^m'- (25.17)

Поэтому собственные значения операторов Z(1), Z(2) (25.15) равны соответственно

хт = т Vq^ + ^' Vq*\ ^2 = ^i Vq^ + ^ч Vq*2* (25.18) В общем случае q^^q^t и поскольку при Z =/= V т и тх (так же как nV и т\) изменяются в разных пределах, то всегда найдутся такие значения непрерывно изменяющегося комплексного вектор-параметра q и такие тп, т\ что равенство Xi = Х2 будет невозможно ни при каких mk1 mv Следовательно, при l=# V совокупности собственных значений операторов Z(1) и Z(2) не совпадают, а значит, Z(1) и Z(2) или, что то же самое, Ти и Т11 при Z =/= Z' неэквивалентны (.см. П.1).

В этом отношении представления группы Лоренца существенно отличаются от представлений группы вращений. Как мы видели (см. § 12), любые два неприводимых представления группы вращений одинаковой размерности всегда эквивалентны. Здесь же представления Ти и Т1 \ имеющие одну и ту же размерность (2Z + 1) (2Z'+ 1) при l^V. неэквивалентны между собой. Более того, в общем случае существует целый ряд неэквивалентных неприводимых представлений одной и той же размерности s. Нетрудно видеть, что их число равно числу различных способов, какими можно представить s в виде произведения упорядоченной пары целых чисел. Так, для $, равного простому числу, имеем s = 1 • $ = $ • 1 и, вводя l=42(s — 1), получаем два неприводимых неэквивалентных представления: Т°1 (qt q*), T^q, q*) И Т. д.

Преобразования Лоренца L(q, q*^ разумеется, сами образуют представление группы Лоренца — основное или векторное представление. Возникает вопрос, является ли это представление неприводимым? Положительный ответ на него нетрудно получить с помощью леммы Шура (см. П.4). Для этого рассмотрим матрицу С, коммутирующую со всеми преобразованиями собственной группы Лоренца. В число последних входят преобразования вида (20.37), отвечающие чистым поворотам, без движения. Матрица, коммутирующая со всеми матрицами (20.37), на основании леммы Шура должна иметь вид

£ _ /х о\с “ \о к)1

где х — трехмерная скалярная матрица. Если наложить на С еще условие коммутации с матрицей (20.54), отвечающей относительному движению систем координат, то сразу получаем х = к, т. е. матрица С, коммутирующая с преобразованиями Лоренца, должна быть скалярной. Итак, преобразования Лоренца образуют неприводимое представление группы Лоренца, а потому должны выражаться в форме (25.13). Поскольку размерность 5 пространства Минковского, где действуют преобразования Лоренца, равна четырем, то, как было установлено выше, нужно сделать выбор между тремя возможными неприводимыми представлениями: (0, 3/2), (3/г, 0) и (V2, V2). Вопрос решается однозначно, если учесть, что при органиченип условием q=q* = = с преобразования Лоренца приводимы (см. (20.37)). Между тем представление (0, 3А) согласно (25.13) при q = q* = с имеет вид

т0*^ (с) = Г0 (с) ® т‘и {с} = Т*1' (с)

и совпадает с 7’’/,0(с). Следовательно, представления (0, 3/г) и (3/г, 0) будут неприводимы также при q = q* = с^ что противоречит (20.37). Таким образом, преобразования самой группы Лоренца образуют представление (V2, V2), т. е.

L (8. 8*) со Тч?1е (8, 8*) = Т4* ^ ® ТМ* (8*).(25.19)

Действительно, для 181^1 имеем согласно (20.17)

L = 1 4- 8+ + q*-(25.20)

С другой стороны (см. § 13),

т1/^^ _ 1 + ^(5)=^1-^(25.21)

К1 + «аV«i+?2 -^з'

^з Оtqt 4- ?2о^з Оtqt 4- ?2оО ^зО'^ 4- ?2О ^зО'^ 4- ?241 - ?2О“^зО41 - ?2О“^зОО‘Л - ?2О-^з .О‘Л - ?2О-^з .®№ ОО w^®№ ОО w^^3^+92ОО^3^+92ОО‘?1-?2-^зОО‘?1-?2-^зОООО^з^1+^2ОО^з^1+^2ОО^1-92— ^з )ОО^1-92— ^з )

^з О

tqt 4- ?2о

^з О

tqt 4- ?2о

О ^з

О

'^ 4- ?2

О ^з

О

'^ 4- ?2

41 - ?2О

“^зО

41 - ?2О

“^зО

О

‘Л - ?2О

-^з .

О

‘Л - ?2О

-^з .

®№ ОО w^

®№ ОО w^

^3^+92О

О

^3^+92О

О

‘?1-?2-^зО

О

‘?1-?2-^зО

О

О

О^з^1+^2

О

О^з^1+^2

О

О^1-92— ^з )

О

О^1-92— ^з )

И ДЛЯ | ? | < 1

Т'1* (5) 0 тх'* (8*) = (12 + W (8)) ® (12 4- W (8*)) =

= 14 4-10(8)012 + 12 0^(8*).(25.22)

Напомним, что согласно определению (см. П.З)

(^1 - ?2) *2- ^2(^1 - ?2) *2- ^2w(8)0 12= ( f 4^XA

(^1 - ?2) *2- ^2

(^1 - ?2) *2- ^2

ч'\(41 4- q^ 12

Сравнивая (25.22) с (25.20), приходим к выводу, что для эквивалентности L со Т1'1 (8) 0 Т1*1 (8*) необходимо и достаточно, чтобы существовала такая неособенная постоянная 4 X 4-матрица 5, что

(10(8)012)5 = ^8+. (12010 (8*)) 5 = 5»-. (25.23)

Нетрудно убедиться, путем непосредственного расчета, что такая

матрица существует и равна

5 = ^=1/25 = ^=1/21 i О О О О 1— 1 i1 i О О О О 1— 1 iО -1 -1ОО -1 -1ООI — гООI — гО(25.24)(25.24)

5 = ^=

1/2

5 = ^=

1/2

1 i О О О О 1— 1 i

1 i О О О О 1— 1 i

О -1 -1

О

О -1 -1

О

О

I — г

О

О

I — г

О

(25.24)

(25.24)

причем 55+ = S^S = 1, т. е. она унитарна.

Выражение для неприводимого представления {25.13) можно написать в форме

Txv ^. 8*) = А (8) в ^ = В ^ A (8)t(25.25)

где

А ^ = Т1 (8) 01'',. В (8*) = 1'0 Г1'(8*)-(25.26)

Таким образом, всякое неприводимое представление группы Лоренца разлагается в обычное произведение двух коммутирующих между собой матриц 4(g) и В (q*Y Это утверждение остается в силе и для любого приводимого конечномерного представления

в виде(25.27)(25.28)(25.29)в виде(25.27)(25.28)(25.29)группы Лоренца, поскольку последнее можно написать

в виде

(25.27)

(25.28)

(25.29)

в виде

(25.27)

(25.28)

(25.29)

т (8, 8*) = ктчч^т4 (д*^ ф ^ТЧ (д) ® г'2 (8*)) Ф...

... Ф кт'к (8) ® Т1* (8*)) = Л (8) 5 (9*) = В (9*) А (д), где

Л (д) = (т'1^ ® 1'1) Ф •.. ®^Tlk(g)®Vk\

В (8*) = (1Ч ® Т^ (д*)) ф ... ф (l'fc ® /* (g*)).

Подчеркнем, что соотношение

Т^ 9*) = Л(д)5(д*) = 5(д*)Л(д)

остается справедливым в любом базисе, т. е. и тогда, когда ^ (#> 9*) не выражается в виде прямой суммы матриц неприводимых представлений. Следовательно, выражение (25.29) является совершенно общим и универсальным для всех конечномерных представлений группы Лоренца в произвольном базисе. Последнее ясно из того, что преобразование подобия STS-1 = Т1 не может нарушить коммутативность матриц Л(д) и В (q*) и изменить их аргументы (см. П.1). Можно убедиться с помощью (25.26), что

А (8) А (д') = А «8, 8'», В (д*)В (д'*) = В «д, д')*).(25.30)

Для преобразований самой группы Лоренца возможность представления в виде (25.29) была по существу установлена еще в § 20 (см. (20.18)), причем

А (е) = е+ (8), В (д*) = €_ (д*).

Теперь не представляет труда написать общее выражение для неприводимого представления четырехмерной группы вращений 50(4). Сохраняя по-прежнему букву Т для обозначения представлений и этой группы, имеем аналогично (25.13)

О = О(а, Ъ)-*Ти'(а, 6) = Tl (а) ® Tv (Ъ).(25.31)

Почти все рассуждения этого параграфа, лишь с заменой q на а и q* на &, могут быть перенесены на случай группы О(4)\ Таким образом, мы можем резюмировать, что неприводимые представления группы 50(4) выражаются через прямые произведения двух неприводимых представлений группы 50(3), параметризованных посредством двух независимых вещественных трехмерных вектор-параметров а и Ь. Как п в случае конечномерных представлений группы Лоренца, каждое неприводимое представ-

ление группы 50(4) задается парой чисел Z, V, принимающих значения из ряда 0, 1/2, 1, 3/2, ...

Соотношения (25.25)— (25.29), очевидно, также сохраняют силу, так что неприводимое представление группы 50(4) всегда может быть написано в виде

Ти‘ (а, 6) = Л (а) 5 (6) = S (6) А (а),(25.32)

где операторы Л (а) и В (6) определяются формулами, аналогичными (25.26):

Л(а) = Т‘(«)®1Г. В (b) = 1' ® TV (Ь).(25.33)

Соответственно будут справедливы и аналогичные выводы, относящиеся к приводимым представлениям группы 50(4), которые также всегда могут быть написаны в виде

Т (а, Ь^ = А (а) 5 (6) = 5 (6) А (а).(25.34)

где А (а) и 5(6) выражаются формулами, аналогичными (25.28), с заменой q на а и q* на 6.

Инфинитезимальные операторы и конечные преобразования группы Лоренца. Произведение представлении

Согласно (25.20) для бесконечно малого преобразования Лоренца (| q | С 1) имеем

5-l + g+ + gl.(26.1)

Операторы д+, д_, линейно зависящие от векторов д, д*, можно написать в виде

9+ = 2qlw = 2дЛ+), q*. = 2q*l^ = 2qUV. (26.2)

Из (20.3) получаются выражения для инфинитезимальных операторов /а^ через элементы матричной алгебры в пространстве Минковского (см. также (1.20), (1.21))

^ = - ^гаЬсеЪс ± (е4" - е"4)) = -^Г‘- 4-eobcJbc). (26.3)

С помощью этих выражений нетрудно убедиться, что для операторов 1^ справедливы следующие перестановочные соотношения: {7<±№)_ =(26.4)

- 0.(26.5)

Эти соотношения являются следствием формул (20.6), (20.7)

1з±9±}- = 2 [99']±. \М-к = 0.(26.6)

С другой стороны, на основе соотношения (25.19) мы можем получить другие выражения для инфинитезимальных операторов группы Лоренца. Согласно (25.23)

9+ = S+ (w (g) ® 12) 5, q_ = S+ (12 ® w (g)) S.

Поскольку для представлений группы соотношение эквивалентности равносильно равенству, то, учитывая, что w(q^ = iqQoa (9.6), можем написать

9+ = 2да^ = w (q) ® 12 = iqa (а„ ® 12),

q_ = 2qjV = ii®w(q) = iqa (12 ® ao), откуда следует

Д^-у*»®^ 1^ = ^^®0О.(26.7)

Рассмотрим операторы

К^ = i^ti = /(±'2.(26.8)

Нетрудно убедиться, что они коммутируют со всеми инфинитезимальными операторами 1^- Действительно,

{^<+>Z<b+>}_ = Д+> (Д+)Д+))_ + {Д+)Д+))_ Д+> =

= sabA№c+4i^i^

вследствие того, что оператор в круглых скобках симметричен по отношению к перестановке индексов а и с. Аналогичным путем убеждаемся, что

(^Д^)-= 0,(26.9)

причем это равенство справедливо для всех четырех сочетаний знаков (±). Операторы, коммутирующие со всеми инфинитезимальными операторами группы, называются операторами Казимира. Как следует из леммы Шура, они должны быть скалярными матрицами. Действительно, согласно (26.7) в силу свойств матриц Паули (см. § 12) имеем

д+>2=- 4- °«® *2=—г=д~12.

так как Од = о? + о^ + Од = 3.

Одним из распространенных способов параметризации группы Лоренца является выбор в качестве параметров компонент анти-

симметричного тензора а в пространстве Минковского (см. § 19), Для бесконечно малого преобразования Лоренца, т. е. когда все компоненты ам тензора а настолько малы, что их квадратами можно пренебречь, мы получим из (19.34)

L=l + 2a (a=—a).(26.10)

Используя представление (1.20) для четырехмерного антисимметричного тензора а, получим

tt = ^.aMJh\ ам=-аии JM = -Jlk, (26.11)

где Jkl — постоянные антисимметричные матрицы, элементы которых задаются формулой (1.21)

J тп = ^кт^Хп вкпвхт*(26.12)

Если воспользоваться элементами матричной алгебры ем в пространстве Минковского (см. П.1), то матрицы Jkl могут быть определены следующим образом:

Г = ekl - е1\(26.13)

Матрицы Jkl представляют собой инфинитезимальные операторы группы Лоренца, если в качестве параметров группы выбрать компоненты антисимметричного тензора а. Согласно (1.22) эти операторы удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям:

{JftVmnL = - SkmJln + wlm + SimJkn - Wkm. (26.14)

которые нетрудно проверить с помощью (26.13). Однако необходимость в этой проверке отпадает, если учесть, что согласно (21.3), (21.4) векторы д, д' и сопряженные к ним д*, д'* ком- понируются независимо друг от друга по одному и тому же закону, совпадающему с законом композиции для группы вращения. А соотношения коммутации, как мы видели в § 10, вытекают из закона композиции. Поэтому формулы (26.4) совпадают с соответствующими соотношениями (10.28) для группы вращений, а равенство (26.5) является следствием независимой композиции вектор-параметров g и д*.

Инфинитезимальные операторы любых представлений группы Лоренца при комплексной векторной параметризации (которые мы будем обозначать теми же буквами /^О также удовлетворяют соотношениям (26.4), (26.5). Результаты предыдущего параграфа позволяют сразу написать выражения для инфинитезимальных операторов неприводимых конечномерных представлений группы Лоренца через соответствующие операторы группы

вращений. Вспоминая, что согласно (10.18)

qX = qj\ ?V = q*JV, (26.15) получим аналогично (25.7), (25.8), (10.16) для бесконечно малого преобразования представления

Ти' = 1 + 27й', 7"' = qlwt + q*IHX\ (26.16) где

IWI = J1 g> V', ^ = 1' ® Jv. (26.17)

Справедливость соотношений (26.4), (26.5) для этих операторов очевидна, если учесть правила перемножения прямых произведений матриц (см. П.З) и перестановочные соотношения (10.28) для группы вращений.

Мы можем теперь обосновать сделанное в предыдущем параграфе утверждение о том, что соотношения (25.6) определяют все неприводимые конечномерные представления группы Лоренца. Действительно, поскольку перестановочные соотношения (26.4) для Z(-) совпадают с соответствующими соотношениями (10.28) для группы вращений, то из них следуют для Z(-) те же выражения, что и в случае группы вращений. Поэтому (см. (12.39)) в наиболее общем случае вектор-оператор Z(-) должен выражаться в виде прямой суммы неприводимых операторов группы вращений, т. е.

7(")=S®(lrft®^',‘). (26.18)

где Jlk — инфинитезимальный оператор неприводимого представления группы вращений с весом lkl гк — кратность этого представления в сумме (26.18). Коммутирующие с Z(-) операторы Z(+) согласно (П.З) должны иметь вид

7(+) = Se (Nk® l'ft), (26.19) ft x J

где Nk = ^Nk>) — тройки матриц размерности rk. Но, вследствие (26.4), для Iw, а значит и для всех N\ справедливы те же перестановочные соотношения, т. е. Nk должны выражаться через представления группы вращений формулой, аналогичной Х26.18). Нас интересуют неприводимые операторы ^\ а такими могут быть лишь отдельные слагаемые прямой суммы: iTk®Jlk» Nh ® 1 к и лишь в том случае, если Nk будет неприводимо (см. П.4). Но в таком случае из (26.4) следует, что Nk долж-

ны быть неприводимыми инфинитезимальными операторами J1. Таким образом, мы с необходимостью приходим к операторам (26.16), (26.17), а тем самым и к соотношению (25.6).

Минимальные полиномы для операторов

qw = 2ql^\ q4"^ = 2q*IH(26.20)

могут быть написаны сразу по аналогии с (12.4). Они не будут отличаться от минимальных полиномов операторов gZ®lZ> I1® ql , так как ^1 (26.17) является прямой суммой одинаковых матриц J1 , a Iwl эквивалентно прямой сумме матриц J1 (см. П.З). Таким образом,

Р (qW) = [(g(+))2 - Z2^2][(»(+>)2 - (^ - 1) VI • • • = 0, (26.21)

р ^q*^ = [Vм)2 -- U' -1) V2] • • • = 0.

(26.22)

Заметим, что в отличие от операторов с1 неприводимых представлений группы вращений эти минимальные уравнения не будут совпадать с характеристическими. Последние в соответствии с (26.17) будут иметь вид

[Р (g(+))]2P+1 = 0, [Р (g*H)]2,+1 = 0.(26.23)

Согласно (26.10) при бесконечно малом преобразовании Лоренца вектор х переходит в вектор

х' = х + 2ах.(26.24)

Аналогично § 7 рассмотрим функцию Кх^ = ^х^ которая при преобразовании (26.10) переходит в функцию

/1 (*) = / (Ь”1^) = / (^ — 2аж) = / (ж + 6я) =

= (1 + 6жА)/(ж),(26.25)

причем

бх-^ = (- 2а^ = 2хаА = 2^«ftzVz. (26.26)

Аналогично (26.11) мы можем написать

^kl^^l = ”2” ^hl^ 7

где

= x^i — xi^k(26.27)

представляют собой дифференциальные инфинитезимальные операторы группы Лоренца.

15 ф. И. Федоров

Как и в § 7, можно рассматривать функции, аргументами которых являются комплексные векторы { и {*: функции на группе Лоренца / (g, д*). При преобразованиях Лоренца, характеризуемых вектор-параметром д°, аргументы такой функции принимают значения д' = <д°, д>, д'* = <д0*, д*>- Поскольку закон композиции для д, д* и с одинаков, то, повторяя рассуждения § 7 (см. (7.5) —(7.8)), мы придем к выводу, что изменение функции / (д, д*) при бесконечно малом преобразовании Лоренца характеризуется формулой

6/ (9, 9*) = — 5° (1 + qq + 9х) df/dq —

-q°*^A-q*-q* A-q^Qtldq*, (26.28)

откуда аналогично (7.15) получаем для соответствующих инфинитезимальных операторов

л,--^(\ + ч-ч + ч^--'-т£(1 + о(ч»-^1

++ '-^ (1 + О(ч»» ^..

(26.29)

Разумеется, для операторов (26.27), как легко проверить, справедливы перестановочные соотношения (26.14), а для операторов (26.29) — соответственно соотношения (26.4), (26.5).

Соотношения (26.10) — (26.14) для тензорной параметризации без изменений переносятся на случай группы SO (4), лишь антисимметричная матрица а должна быть вещественной. Вместо (26.1) мы в этом случае получим

О = 1 + а+ + Ъ_.(26.30)

причем

а+ = 2^Л, Ъ_ = 2&В,(26.31)

где Л, В будут инфинитезимальными операторами группы 50(4) в векторной параметризации. Соотношения (26.3) —(26.5) останутся справедливыми при замене Z(+) на Л и 1^ на 5, так же как и последующие соотношения (26.16), (26.17), (26.21) — (26.23) для представлений группы 50(4). Будут верны также формулы (26.27), если под ж = (жА) понимать радиус-вектор в вещественном четырехмерном пространстве. Наконец, рассматривая функцию /(а, 6) на группе 50(4), получим аналогично (26.29) следующие выражения для инфинитезимальных

операторов:

Л» = -4(1+„.„ + <)^_-Ц^(1+0(«))-1, (26.32) в1 - - 4 (1 + »■» + 6х) 4 - - Ц^ (1 + О(6)) 4(26.33)

Операторами Казимира для группы 50(4) будут 42 и В2.

Соотношения (25.25), (25.29) совместно с результатами § 13 позволяют без труда получить выражения для конечных преобразований неприводимых представлений группы Лоренца в виде полиномов от инфинитезимальных операторов. Для этого достаточно получить соответствующие выражения для матриц A(q^ и В^ по отдельности. Соотношение (25.26) для В(д*) можно переписать следующим образом (см. П.З):

в (д*) = 1' ® Tv (g*) = Tl (g*) ф Tv (g*) ф ... ф Tv (g*), (26.34)

причем прямая сумма содержит 2Z +1 слагаемое.

Таким образом, с точки зрения группы вращений матрица В(д*) представляет собой (2Z + 1) -членную прямую сумму матриц неприводимых представлений Т1 группы 50(3), в которых аргумент с заменен на q*. Согласно рассуждениям, приведенным в конце § 13 (см. (13.33)), для В(д*) будет справедливо выражение (13.25) или (13.26) соответственно для целого или полу- целого веса Z', очевидно, с заменой с на q*. При этом, разумеется, оператор q имеет смысл q*l^ (см. (26.16), (26.17)). Оператор А^ = rz(g) 0 11 непосредственно не выражается в виде прямой суммы, так как матрица 1 стоит в прямом произведении на втором месте. Однако согласно (П.З), A\q^ эквивалентна (2Z' + 1)-членной прямой сумме матриц Tl (д)

А (д) ^ I1' ® Г1 (д) = 7й (д) ф Т1 (д) ф ... ф Т1 (д). (26.35)

Поскольку все соотношения § 13 имеют ковариантную форму, то они справедливы при любом выборе базиса или, иными словами, одинаковы для всех эквивалентных между собой матриц. Поэтому выражения (13.25), (13.26) будут справедливы и для 4(g) соответственно при целом (полуцелом) Z, если заменить с на g п понимать подд оператор qIM = qJx 0 I1 (см- (26.16), (26.17)).

Таким образом, конечные преобразования неприводимых конечномерных представлений группы Лоренца Ти (д, д*) получаются в виде произведений полиномов (13.25), (13.26) с соответ- 15*

ствующей заменой с на q или q* п учетом соотношений (26.16), (26.17):

q = 4lM = 4J^V\ q* = q*lH = V(&q*Jv. (26.36)

Полученные выводы будут справедливы п для приводимых представлений группы Лоренца

т= Г44 ©I44© ... ®Т№(26.37)

при условии, что все первые веса Zi, Z2, ..., 1к являются одновременно целыми или полуцелыми и что то же самое справедливо для вторых весов/1? Z2,..., Zft. В этом случае в формулах (13.25), (13.26) под Z следует понимать максимальный вес из ряда Zi, Z2, ..., К или Zb Z2,..., Ik соответственно.

С незначительными видоизменениями эти результаты переносятся и на случай группы 50(4) (см. (25.32) —(25.34)). Для этого нужно лишь в приведенных выше рассуждениях заменить q на а и q* на Ъ.

Перейдем к рассмотрению прямого (кронекеровского) произведения неприводимых представлений собственной группы Лоренца. В § 15 было показано, что прямое произведение неприводимых представлений группы вращений с весами Z и V распадается на неприводимые представления с весами |Z—-V |, |Z —Z'| +1, ..., Z-j-Z'. Выражение (25.13) позволяет легко установить аналогичный результат для неприводимых конечномерных представлений собственной группы Лоренца.

Итак, рассмотрим прямое произведение

TtV (q, 9*) ® Г114 (q, q*) - Tl (9) 0 Tv (q^ 0,

® Ти (9) 0 Т4 (q*).(26.38)

Согласно (П.3.21)

Tv (q*) 0 Г'* (9)Т1' (9) 0 Tv (9*),

поэтому

Ти 0 г'14 со Тх (9) 0 Ти (9) 0 Tv (9*) 0 ТЧ (9*).

Но, как показано в § 15,

T4q)® Tl4q^ 2 ®Tx(q),

Tv (9*) 0 T 1 (9*) co 5 ©Tv (q*Y

x'-k-hl

Таким образом, , ,'/ i+ii\

T"'(g,g*)®7’11(g,g*)^ s e^to ® V=u-i.l !

®2 ©^'(g*) .

V'-b'-hl /

Поскольку согласно (25.13)

Тх (g) ® Tv ^ = Txv (g, g*),

ТО

,Wx r+zi

Tu ^q, q*w T44^, g*)^ 2 © 2 © Txv (q, g*).

X-B 'i| v=|r-zi|

(26.39)

Следовательно, прямое произведение представлений Ти и Т ‘1 представляется в виде прямой суммы неприводимых представлений Тхх , где А и Г независимо пробегают значения

X = IZ — Zr I, JZ-ZJ+1,..., l + h, / I(26.40)

х' = ]^_г1|, Iz'-zJ + i,..-, i'+ ii.

Повторяя те же рассуждения, можно показать, что прямое произведение двух неприводимых представлений группы SO(4) аналогичным образом раскладывается на неприводимые представления:

!^+4^ + ^1

Тп' (а, 6) ® Т44 (а, Ь) ^ 2 ©2 ®ТххЧа, 6),(26.41)

где X, X' пробегают те же значения (26.40).

Конечномерные представления полной группы Лоренца.

Инвариантная билинейная форма

Согласно §19 полная группа Лоренца состоит из ортохрон- ных преобразований Лоренца, как собственных ^L^^ так и несобственных (Ь^). Она может быть получена путем добавления к собственной группе Лоренца преобразования пространственной инверсии Р, поскольку PL^-L^ (см. (19.13)).

Исходя из формул (19.12), (20.3)

\ 0 11\+ »01

и соотношений

р2 = !р-1 = р(27.1)

нетрудно убедиться, что

Pg± = q^P, Pq^P - q^(27.2)

и аналогично (см. (20.19))

Рв± (д) = 8Т (g) Р, ре± (g) Р = 6,т (д).(27.3)

Отсюда согласно (20.18) следует

РЬ (g, q*') Р = Ps+ (g) е_ (g*) Р = (Ре+ (д) Р) (Ре_ (д*) Р) =

= 6- (д) 8+ (д*) = е+ (д*) 8_ (д) = L (д*, д).(27.4)

Рассмотрим теперь представления полной группы Лоренца. Поскольку собственная группа Лоренца является подгруппой полной группы Лоренца, то в представлении полной группы будет содержаться представление собственной группы (см. (25.1), (25.2))

} (5, «*) = L (Ч, 4*1 Т (д, д*).

Преобразованию пространственной инверсии Р будет соответствовать оператор П, который согласно определению представления должен обладать свойствами (27.1)

П2 = 1,П-1 = П,(27.5)

а также удовлетворять соотношению, соответствующему (27.4): ПТ (д, д*) П = ПТ (д, д*) П’1 = Т (д*, д).(27.6)

Мы будем называть П оператором (преобразованием) представления пространственной инверсии. Таким образом, представление собственной группы Лоренца Т (g, д*), порождаемое представлением полной группы, эквивалентно представлению собственной группы Т (g*, д) *), которое получается при перестановке аргументов д и д*.

Конечномерное представление Т (д, д*) собственной группы, порождаемое неприводимым представлением полной группы, может быть неприводимым, либо приводимым. Рассмотрим первую возможность: Т (д, д*) является неприводимым представлением

*) Очевидно, если соответствие L (q, q*^->T (g, g*) есть представление собственной группы Лоренца, то и соответствие £ (g, д*)->-Г (д*, д)также будет представлением той же группы.

собственной группы. Тогда согласно (25.13) Т (g, д*) должно выражаться следующим образом:

т (д, д*) = Ти (g, д*) = Г1 (g) ® Т1' (д*).(27.7)

Из {27.6) следует, что это представление должно быть эквивалентно представлению Т (д*, д)

(д, д*) со Т11 (д*,д)(27.7')

ИЛИ

т1 (д) ® Тг (д*) СО Т1 (д*) ® Т1' (д).(27.8)

Согласно (П.3.21)

Тг (д*) ® Т1' (д) со Tv (q) ® Т1 (д*) = Тгх (д, д*).

Из последних соотношений следует Тп (g, д*) со Т1 1 (д, д*). Но в § 25 было показано, что представления собственной группы Лоренца Ти (д, д*) и 7и(д, д*) при I ф V неэквивалентны. Следовательно, рассматриваемый случай, когда Ти (д, д*) является неприводимым представлением собственной группы Лоренца, может быть реализован лишь при условии I = V. При этом мы сразу можем определить и оператор П, соответствующий пространственной инверсии. Действительно, из (27.6) при

т (д, д*) = г" (д, д*) = Т1 (д) ® Т1 (д*)(27.9)

следует

т1 (д*) ® Т1 (д) = П (Iх (q) ® Т1 (д*)) П"1,(27.10)

и сравнение с (П.3.8) приводит к выводу:

П = ±5, 5 = 5 = 5-!, 52= 1,(27.11)

т. е. преобразование представления, отвечающее пространственной инверсии, в данном случае с точностью до знака равно ортогональному симметричному преобразованию 5, переставляющему сомножители в прямом произведении TZ (д) ® Т1 (д*).

Обратимся ко второй возможности, когда представление собственной группы, порождаемое неприводимым представлением полной группы Лоренца, является приводимым. Это приводимое представление собственной группы не может иметь в качестве своей неприводимой компоненты преобразование Ти (q, g*), поскольку, по доказанному выше, последнее вместе с соответствующим П = 5 (27.11) уже давало бы неприводимое представление полной группы. Итак, представление собственной группы Г (?» 9*)» если оно приводимо, может содержать лишь компоненты Ти (д, д*) с 1ф V. Но согласно (27.6) в любом случае

представленпе полной группы наряду с Т (q, q*) должно содержать преобразование T4q*, qY Следовательно, приводимое представление собственной группы вместе с преобразованием TlV (Я> 9*) = ^1 (9) ® Тх (q*) должно содержать также неэквивалентное ему преобразование

ти’ (д*. q) = т1 (g*) ® Tv (q) со Tv (q) 0 Tl (g*) = Tvl (g, g*).

Иными словами, неприводимые представления собственной группы с I ф V должны входить парами Ти (q, g*) и Гн(д, g*). Каждая такая пара

Т (q, q*) = ти' (g, g*) ф TVI (g, g*)(27.12)

образует неприводимое представление полной группы Лоренца, если для нее существует преобразование П, обладающее свойствами (27.5), (27.6). Чтобы найти П, рассмотрим преобразования т^лЧ=тхг^л*^®тгЧ^чЦт4^ ,, ° , )

и

g) = 7n'(g^ g)©?1'''^ д)= (Г'(9*)0Г^0 У

\0 Тг (д*)®Г‘(д) /

(27.14)

На основании (П.3.8) имеем

Tu4qM^ = T4q*^Tv =

= S ^Tv (д) 0 Т1 (д*)) S"1 = ST1'1 (д, д*) 8, Tv4q*, q)=Tv (д*)® Tl (q)=S~1 (T\q) 0 Tl\q*j)S=STll\q, q^S, где 5 = S-1 — ортогональная матрица перестановки сомножителей в прямом произведении Т1(^)Т1 . Поэтому (см. (27.14)) Г(д.,д)„|»Г‘',<«.»1)5°1 =

\0 Sr”' (?, д1) 5/

= /»П/г"(4.8*> О )(SOX (27.15) \ О S / \ о Tir (д, д*) / \ 0 5 /

Но

/Гг‘(д, д*)0\ = / 0 1 \ /Ти' (q, q*')0\ / ° П

\0T^^q.q*^)\10Ц О Т1'1 (q, q*) / х1 °/’

следовательно (см. (27.13), (27.6)),

П«*.«) =П«*.«) =О SS оО SS от11' (», 9*)От11' (», 9*)ОpV IpV I0 V0(#, q*vV0 V0(#, q*vVS^=KT(q, 5*)П,(27.16)S^=KT(q, 5*)П,(27.16)

П«*.«) =

П«*.«) =

О S

S о

О S

S о

т11' (», 9*)

О

т11' (», 9*)

О

pV I

pV I

0 V0

(#, q*vV

0 V0

(#, q*vV

S^=KT(q, 5*)П,

(27.16)

S^=KT(q, 5*)П,

(27.16)

где / О.

П - ± ~, П = П = П'\ П2 = 1.(27.17)

Из структуры матриц Т (g, д*) (27.13) и П (27.17) ясно, что они образуют неприводимую совокупность, т. е. мы действительно получили неприводимое представление полной группы Лоренца.

Резюмируем полученные результаты. Неприводимые конечномерные представления полной группы Лоренца могут быть построены двумя способами. В первом случае они состоят из преобразований неприводимого конечномерного представления собственной группы Лоренца с одинаковыми весами Ти (д, д*) с добавлением преобразования П, отвечающего пространственной инверсии, которое с точностью до знака равно ортогональному симметричному преобразованию перестановки сомножителей в прямом произведении Т ® Т1. Во втором случае они состоят из прямой суммы двух неприводимых представлений собственной группы Лоренца с переставленными весами: Ти (д, д*)ф ®Tvl(q, д*) ^l^V) с добавлением симметричного ортогонального преобразования П вида (27.17).

Как видим (см. (27.11), (27.17)), в обоих случаях представление собственной группы Лоренца Ти или

pUV'y _ грIVpUV'y _ грIV© тп© тп

pUV'y _ грIV

pUV'y _ грIV

© тп

© тп

может быть дополнено до неприводимого представления полной группы двумя различными способами, отличающимися знаком оператора П, отвечающего пространственной инверсии.

Общая группа Лоренца получается в результате добавления к полной группе неортохронных преобразований L^ (§ 19). Для этого достаточно дополнить полную группу оператором инверсии времени (19.14)

Р' = -P = V °\ Р^ = Р1 1

\о — 1/

пли оператором полной инверсии РР' = —1, который коммутирует со всеми операторами общей группы Лоренца. Тем же свойством должен обладать и соответствующий ему оператор У представления общей группы Лоренца. Поэтому для неприводи-

мого представления общей группы из леммы Шура следует, что оператор ^ должен быть кратным единичному. Но поскольку ^2 = 1, то имеются лишь две возможности: ^ = 1 или ^ = —1.

Если Z = 1» то дополнение представления полной группы таким оператором ничего не меняет, поскольку единичный оператор всегда содержится в группе. Поэтому в данном случае мы можем рассматривать неприводимое представление полной группы как неприводимое представление общей группы, отображая матрицы L и —L на одно и то же преобразование представления полной группы Т. Если же ^ = — 1, то L будет отображаться на Т. а — L на —Т.

Что касается оператора представления П', отвечающего инверсии времени Р'= — IP = Р(—1), то из соответствия Р—>П, — 1^-Z следует, что П' = ^П = П^ = ± П.

Рассмотрим совокупность матриц [Ти (g, д*)]*, комплексно сопряженных к матрицам неприводимого представления Ти (д, д*). Согласно (25.13)

[ Ти’ (q, 9*)Г = (Iх (q^ ®(ТХ (q*^*. (27.18)

Напомним (см. (10.24)), что для любых представлений группы вещественных вращений

7(c) = exp ^^Jarctgl/c2}. (27.19) Поскольку с = с*, то взятие комплексного сопряжения от Т (с) сведется к замене инфинитезимального оператора J на J*. В формуле (25.13) Т1 (д) и Тг Vq*^ — конечномерные неприводимые представления комплексной группы вращений, которые получаются из (27.19) путем замены вещественного вектор-пара-

метра с на комплексный вектор д (д*)

Тг (д) = ехр (2 (qJ1//^) arctg -/q^,

Tv (q*) = exp {2 (q*Jv/vr^ arctg /q^V (27.20)

Введем следующие обозначения:

T* (9) = ехР I2 (ч^*/У ^ arctg Vд2},(27.21)

Т (q*) = ехр [2 ^q*j(Vq*1) arctg Vq*2},(27.22)

(T^g)!* = exp{2(gVV/5*2)arctg/g*5}.(27.23)

Последняя из этих формул определяет «полное» комплексное сопряжение, в то время как первая содержит комплексное сопряжение только от инфинитезимального оператора, а вторая — только от вектор-параметра. Подчеркнем еще раз, что в соотношении (27.19) и в последующих формулах инфинитезимальные операторы J ^J1^ — одни и те же. Поэтому из унитарности пред-

ставлений вещественной группы вращений (§ 11) мы можем извлечь выводы относительно соответствующих свойств конечномерных представлений группы Лоренца. Согласно (11.15), (11.16)

т+ (с) = 7”1 (с) = Т (- с)(27.24)

и

J+ = -J, Jt = -Ja.(27.25)

Равенства (27.24) можно записать в виде

Т (с) = Т-1 (с) = Т (- с).(27.26)

Очевидно, они останутся в силе при замене вещественного вектора с на комплексный вектор д, так как звездочка при Т означает комплексное сопряжение только инфинитезимальных операторов. Таким образом,

Г* (»)= Г'1 (») = ?(-»),(27.27)

^(д^Г^^Н*).(27.28)

В то же время согласно (27.23)

[Т’(9)]*= 7’*(9*) = Г(-д*), МОТ* = Т*^=Тк-»У

(27.29)

Отсюда следует (см. (27.18))

[Г"' (9,8*)Г = Ст1 kq*Y-1 ® <TV ^Yv = Гт»' kq*. з)]"1-

(27.30)

Условие унитарности (11.7) U^ = U-X можно написать также в виде

U* = U"X.(27.31)

Матрица А-1 называется контрагредиентной по отношению к матрице А. Таким образом, свойство унитарности можно определить следующим образом: матрица унитарна, если комплексно сопряженная и контрагредиентная к ней матрицы совпадают*). Заметим, что если мы имеем произвольную группу матриц А, В, С, ..., то из С = АВ следует, что С-х = А”ХВ-Х1 т. е. совокупность А”\ В”1, С-х также образует группу, изоморфную исходной. Если совокупность А, В является представлением некоторой группы, то А”1, В~\ ... также образуют представление, ко-

торое называется контрагредиентным к первому. Очевидно, если Л' = Л-1, то Л=Л'-1, т. е. отношение контрагредиентности двух матриц является симметричным.

Из (27.30) следует, что~1Гп (g, д*)]* не совпадает с конт- рагредиентной матрицей [Гп (д, д*)]"1, а отличается от нее перестановкой { и {*. Следовательно, конечномерные представления группы Лоренца не унитарны. Единственным исключением является случай тривиального представления: Z=Z'=O, Г00 (д, д*) = 1.

Очевидно, неунитарность конечномерных представлений группы Лоренца обусловлена комплексностью вектор-параметра д.

Обратимся теперь к вопросу о билинейной инвариантной эр- митовской (невырожденной) форме в пространстве конечномерного представления группы Лоренца. Такая форма имеет вид ^ = t*W = I^WPv, П = П+> Ы^О. (27.32)

Для возможности построения такой формы, очевидно, прежде всего необходимо, чтобы, наряду с вектором ф, рассматриваемое представление содержало и комплексно сопряженный вектор ф*. В случае группы вращений дело обстоит просто. Если ф преобразуется посредством Tl(c^ то ф* — посредством Т1* (с). Как показано в § 12 {см. (12.33), (12.34)), Т1* (с) также будет представлением группы вращений и притом неприводимым. Так как для группы вращений все неприводимые представления одной и той же размерности эквивалентны, то согласно (12.34)

Т1* (с) = ST1 (с) S'\(27.33)

Следовательно, Т1 (с) и Т1* (с) по существу дают одно и то же представление, поэтому в случае группы вращений первое основное условие для существования формы (27.32) всегда выполняется для любого представления.

Иначе обстоит дело с группой Лоренца. И в этом случае, очевидно, [^'(з, 9*)Г наряду с Ти (g, д*) будет представлением и притом неприводимым. Из (27.33) следует: поскольку это равенство является тождеством относительно вектора с, то

Т1* (q) = ST1 (g) S"1, Тг* (g*) = ST1 (g*) S"1.(27.34)

В то же время [Т1' (g)]* = Тг* (g*) V= ST1 (g) S-1. С помощью (27.34) получаем

k"' (9. 9*)Г = ST1 (g*) S"1 ® S'TV (q) S'-1 =

= (5 ® S') (T1 (g*) ® Tv (q) (S ® S')"1) =

= ((S ® S') So) Tvl (g, q*)«S ® S') S,)"1,(27.34')

где So — матрица, осуществляющая перестановку сомножителей в произведении Tl ® Tv (П.З).

Таким образом, комплексно сопряженное представление эквивалентно Т1 1, т. е. имеет место ситуация, аналогичная случаю полной группы Лоренца — для построения формы (27.32) необходимо, чтобы либо Т = Ти. либо Т = Ти' ф Т1 1 = Т^и \ Иными словами, для конечномерных представлений полной группы Лоренца условие, чтобы в пространстве представления наряду с ф содержалось также ф*, всегда выполняется.

Инвариантность формы (27.32) по отношению к некоторому преобразованию представления Т выражается условием ф'*цф' = = ф*г]ф, если ф' = Тф, ф' = Тф, откуда следует ф*Т+т)Тф = = ф*т)ф, или вследствие произвольности ф, ф

Т+т]Т = ц.(27.35)

В частности, для неприводимого представления Txv (g, g*) соответственно должно быть

[Г'Г(9,9*)] + П7’Н'(9, q*^W (27.36)

Здесь подразумевается тождество относительно всевозможных значений д. Вследствие унитарности представлений группы вращений и, соответственно, тождественной относительно с справедливости соотношения (27.24), можем написать

Tl+(q) = (T*Y1(q'),Tv+(q*) = (Tl'Y1(q*).(27.37)

Здесь, аналогично (27.28), (27.29), следует различать Tt+ (q') = = ?'*(») и*

[ Т1 (q)]+ = [7* (g)]* = 7,+ (q^ = Т* (- q*Y (27.38)

Мы имеем, таким образом (см. (27.34)), [г”' (q, g*)]+ = [7' (g)]+ ® [Г1 (g*)]+ =

= Tl+ (q*) 0 Tr+ (g) = Tl (- q^ 0 Tv (- q) = [Г11' (q*, g)]"1.

(27.39)

Поэтому соотношение (27.36) можно написать в виде

1\Ти' (q, q*) rf1 = Ти* (q*, qY(27.40)

Но это есть условие (27.7'), которое, как мы знаем, удовлетворяется для представлений Ти пли Т^и > = Т11 ®ТИ полной группы Лоренца. Сравнивая с равенством (27.6), убеждаемся, что всегда можно положить

(27.41)(27.41)г] = аП,

(27.41)

(27.41)

где число а должно быть вещественным, так как ц+ = т). Мы доказали, таким образом, что для любого неприводимого конечномерного представления полной группы Лоренца матрица билинейной инвариантной формы с точностью до вещественного числового множителя совпадает с матрицей преобразования представления, отвечающего пространственной инверсии. Поскольку для матрицы П найдены общие выражения (27.11), (27.17), то тем самым матрица билинейной формы т) для неприводимого представления полной группы Лоренца определяется в самом общем случае.

Заметим, что простейший пример соотношения (27.41) доставляет само основное представление группы Лоренца в мире Минковского. Действительно, в этом случае ф= (ж, ix^s ф*= = (ж, — tx^s а инвариантная форма имеет вид F = 1р*тр|) = = ^о — #2, причем

(27.42)

Следует иметь в виду, что, при преобразовании базиса с помощью матрицы Л : ф' = Лф, матрицы П, Г и т) преобразуются по-разному, а именно:

П' = Л ПЛ-1, Г = АТА-\ ^^Л+'^Л-1. (27.43)

Поэтому равенство (27.41) справедливо не в любом базисе. Однако, если матрица А унитарна: Л+—Л-1, то т/= Лт]Л-1 и соотношение (27.41) остается в силе. Существенно то, что всегда можно так выбрать базис представления, что (27.41) будет верно. Для любого конечномерного приводимого представления полной группы Лоренца, поскольку последнее распадается на прямую сумму неприводимых представлений, т) представляется в виде прямой суммы

т] = Л1П1 © «гПг ©... ®агПг,

П* =1, Щ = Щ,(27.44)

где Щ относятся к отдельным неприводимым представлениям полной группы Лоренца. Путем надлежащей нормировки ба

П = Щ © П2 ф ... © Пг =П = Щ © П2 ф ... © Пг =П п.П п.зиса каждого неприводимого представления вещественные числа ак всегда могут быть сделаны равными ±1. Действительно, согласно (27.43), (27.44) для этого достаточно выбрать Л = = Л1 ® Лг © ... ©Лг, причем матрицы Ак скалярны п равны А^ 1^1 «й |. При этом матрица отражения

П = Щ © П2 ф ... © Пг =

П = Щ © П2 ф ... © Пг =

П п.

П п.

не изменится. В результате ц всегда может быть приведена к виду

(+ IL

я = (± Щ) ф (± Щ) ф ... ф (± Пг) =

(27.46) когда она обладает свойствами

т] = ц* = т] = ц+ = ц-1.(27.47)

Обратимся теперь к преобразованию полной инверсии, которое изменяет знаки у всех компонент мирового вектора х' = — х,

Хк = —

IIВыше было показано, что для неприводимого представления собственной группы Лоренца оператор представления полной инверсии может быть равен +1 или —1. Если же мы имеем приводимое представление Т = Т\ © Т^ Ф ... ©Ть то

I

I

(27.49)

где индексы при единичных матрицах относятся к соответствующим неприводимым представлениям, входящим в Т.

Представления малых групп и комплексной группы Лоренца

В § 23 были рассмотрены малые группы Лоренца. Приведем здесь краткую сводку полученных там результатов. Если для некоторого мирового вектора х = (а?, 1х^

L^x^x,(28.1)

то вектор-параметр q соответствующих преобразований Лоренца Lq имеет вид

g = 9tl=(l —zdx)c,

г =(28.2)

причем с — произвольный вещественный вектор. В зависимости

от свойств вектора х возможны три существенно различных случая:

Вектор х — времениподобный:

жЗ = Ж2 — 4 < о, и2 < 1.(28.3)

Вектор х — светоподобный:

z2 = x2-^ = 0, п2 = 1.(28.4)

Вектор х — пространственноподобный:

я2 = х2 — ^ > О, v2 > 1.(28.5)

Согласно § 23 в любом случае малая группа является подгруппой 0(9®) комплексной группы вращений SO (3, С), отвечающей совокупности вектор-параметров qe (28.2). Для вещественных векторов с (см. (28.2)) справедлив закон композиции [14]

/с с'\ - е + с' + (1-»-Р)[сс1,28 6х

А _ сс, + [рс] [w,j ,(2«.b)

причем

<с, с', - с>® = Л® (с) с',(28.7)

где (см. (23.18))

Л® (с) = 1 4-2а = (1-р.»)сх.(28.8)

1 +

Из изоморфизма O^q^ и Av(c) следует, что представления подгруппы 0(5®) комплексной группы вращений будут одновременно представлениями группы Ло (с). Согласно (11.17) и (10.16) для бесконечно малых преобразований представлений группы О (.q^ получим

Т lq^ = 1 — 2/gvJ,

q^J = с (1 4- zdx) J = cJ’,(28.9)

J” = (14-iDX)j, t. e.

J1 = J1 + * (^2^*3^3*^2)1

•^2 — J1 A" (У^ 1^1*^з)>

J3 = J3 A~ (^1«^2V^J 1),

где J — инфинитезимальный вектор-оператор представления обычной вещественной группы вращений, Jv— такой же оператор

для группы Ad^cY С помощью (11.21) находим следующие перестановочные соотношения для Jv:

\cJ\ eV”) _ = i [се'] (1 -о-о^-(28.10)

Эти соотношения имеют ковариантную форму относительно преобразований вращения в пространстве параметров. Если выбрать в этом пространстве систему ортов с^

c№cW = 6abi c(3) = v/|d|,(28.11)

то (28.10) принимает вид

{J2/3}- = i/L (ЛЛ)- = ^. №Х\- = i (1 - »2) Л- (28.12)

Оператор Казимира в ковариантном виде и, соответственно, в базисе (28.11) имеет вид

К - Л (1 - г. г) J” = J?2 + JT + (1 - »2) Л1-(28.13)

Заметим, что все соотношения (28.10) — (28.13) останутся в силе и для ^ = (1 + ?их) с, поскольку при этом v переходит в — V, что, как указывалось выше, ничего не меняет.

Формулы (28.6), (28.8) определяют существенно различные группы матриц в зависимости от того, каковы свойства вектора х (28.3)-(28.5).

Если х— времениподобный вектор, то х2 < 0, v2 < 1; при этом можно изменить нормировку праметров, введя сг^ = = (1— ^-^^^^^(l — v2)-1/2 с<2\ что повлечет за собой соответственное изменение инфинитезимальных операторов: J^ — = V 1 — у2 ^1,2- Тогда перестановочные соотношения (28.12) для Jin J*n А принимают вид

UM = и'Л №- и", U?\ ЛТ = ^,

е. они совпадают с перестановочными соотношениями (11.12) для группы вращений. Таким образом, в этом случае малая группа Лоренца изоморфна группе 50(3).

Если х — светоподобный вектор (ж2 = 0, v2 = 1), то перестановочные соотношения (28.12) принимают вид

= их, (/”/?}- = *Л, {Л/^)- = о (28.14)

И будут такими же, как у группы движений евклидовой плоскости Ё(2), которой изоморфна соответствующая малая группа (§ 9).

16 Ф. и. Федоров

В базисе (28.11) согласно (28.9) получим

Л = и^ A = J4.(28.15)

следовательно, здесь имеется лишь два независимых инфинитезимальных оператора Ji и J”, удовлетворяющих перестановочному соотношению

(28.16) Соответственно,

сГ = с^Х 4- cjX + <V? = (Ci 4- ic^ A + cJ^v ^Al^ т. e. в качестве параметров можно взять одно вещественное (сз) и одно комплексное (ci + tc^) числа. Заметим, что общее выражение (28.13) для оператора Казимира в этом случае обращается в нуль.

Наконец, для пространственноподобного вектора л:(х2>0, d2> 1), нормируя вещественные вектор-параметры с, как в случае I, но с помощью (и2 — 1)~1/2, получим вместо (28.12)

ЦХД\- = UX. UML = iJX. I/”/”)- = - U». (28.18)

Это — перестановочные соотношения для группы SO (2,1), оставляющей инвариантной форму я2 4- хХ — я|.

Этим трем случаям соответствует различная метрика пространства комплексных векторов д® (см. § 23). При выборе ортов (28.11) матрица р = 1 + яХ2(23.10) принимает вид

/1-У2о0\

Р=| О1-е2°),(28.19)

\ 001/

следовательно, форма с^с = q^ дефинитна лишь в случае I. В случае II форма вырождена, а в случае III — индефинитна.

Ортам с^ (28.11) соответствуют комплексные орты ^ (28.2), которые также ортогональны в смысле ^^ = 0 при а^Ь. Вместо того, чтобы нормировать вещественные орты с^а\ часто бывает удобно нормировать ^. При этом согласно (23.10), (23.11), (23.19) имеем (g(1))2 = (g(2))2 = 1 - d\^Y = = 1. Таким образом, в случае I возможна нормировка (д(1))2 = = (®(2))2=1, т. е. мы получим q(a)q(b} = 6ab. В случае II (д(1))2 = (д(2))2 = 0, и в случае III возможна нормировка (при вещественном с) (?(1))2 = (?(2))2 = — !•

Таким образом, использование векторной параметризации естественным образом приводит нас к единой трактовке трех малых групп 50(3), 5(2) и 50(2,1). Вое они описываются общими формулами (28.6)— (28.13) и отличаются между собой лишь за счет того, к какой из трех областей значений принадлежит г2: я2 <1, v2 — 1 или о2 > 1 соответственно. Заметим, что при г2 = 1 формулы (28.6), (23.15) упрощаются и принимают вид

<=■ с'>’ - <28'20>

^<‘)-,+2гп$лх- (28'21)

Очевидно, наличие указанных общих соотношений позволяет изучать на основе единого подхода три труппы 50(3), 5(2) и 50(2,1), а также связи между этими группами и комплексной группой вращений. Разумеется, это относится в равной мере как к самим группам, так и к их представлениям, В частности, весьма существенным является тот факт, что все эти три группы по существу являются подгруппами комплексной группы вращений. Именно отсюда наиболее простым и естественным путем получаются все приведенные выше соотношения, характеризующие рассматриваемые группы.

Подчеркнем, что согласно (28.9) инфинитезимальные операторы конечномерных представлений групп 5(2) и 50(2,1) могут быть получены в виде простых линейных комбинаций инфинитезимальных операторов группы 50(3). Таким образом, каждому представлению группы 50(3) соответствует определенное конечномерное представление групп 5(2) и 50(2,1).

Рассмотрим теперь конечномерные неприводимые представления комплексной группы Лоренца. Согласно (25.6) конечномерные неприводимые представления вещественной группы Лоренца выражаются следующим образом:

Iй' kg, 5*) = т1 (я) ® Т1' (д*), (28.22)

где Т1 (с) — преобразование неприводимого представления веса I вещественной группы вращений. Отсюда по аналогии вытекает следующее выражение для преобразований конечномерных неприводимых представлений комплексной группы Лоренца [36]:

TtV kg, 8) = Т1 (g) ® Tv (g)^A(q)Bkg) = B(g)A(g), (28.22) где

A^ = T4qWV, B(g) = il^Tl'{g). (28.23^ 16*

Таким образом, формула (28.22) определяет преобразование конечномерного неприводимого представления комплексной группы Лоренца, разлагающееся в произведение двух коммутирующих матриц, каждая из которых зависит от одного вектор-параметра.

Не представляет труда распространить на случай комплексной группы ^ (g, g) результаты § 26 по построению полиномиальных выражений для конечных преобразований представления группы L(q, g*) через инфинитезимальные операторы.

После замены q* -> g для операторов Ти (g, g) произвольного конечномерного неприводимого представления (Z, V) (Z, V = = 0, 1/2, 1, 3/2; ...) группы ^(g, g^ будем иметь (см. § 13)

Ти'^ ^=AX^BV^Y

Ах ^ = Р1 (д+)/(1 + q^\ Bv (g) = Pv (g_)/(i 4- ^v. (28.24) Здесь

q* = qJw, g_ = g/"\(28.25)

причем (см. (26.3), (26.5))

A10 = 4 (- 4e«bc/bc ± Ja4\ I/+VM- - 0. (28.26)

Для полиномов Pz(g+), Pl (g_) останутся в силе полученные в § 13 выражения 2121

р1 G±) = 22 ькпп^f^q*-(28.27)

fe=0 П=Й

To же самое будет справедливо и для минимальных уравнений 21+1

2 ttk*^yi«W^-^ = о(28.28)

Ь=0

и для рекуррентных соотношений между коэффициентами

2Ь^х.« = (« + !) ^Ui-(2Z-n + l)^„_i (n < 2Z), (28.29) Ъ^-l + 2^21,2. = ^ak'V^Z)!.(28.30)

Представления (28.22) были рассмотрены в [36]. В [37] было показано, что комплексная группа Лоренца обладает более общими конечномерными представлениями вида

TW1X‘ {q, g) = TXxl* (g, g*) ® Tx‘l‘ (g, g*).(28.31)

Рассматриваемые представления выражаются в виде кронекеров- ских произведений матриц неприводимых представлений вещественной группы Лоренца 50(3,1)Т'-'Ч», 9*) и TM‘(g, g*),:

соответствующих двум независимым комплексным векторам q и

g. Не представляет труда убедиться, что выражение (28.31) является конечномерным представлением группы 50(4,0). Действительно, каждому преобразованию $ (д, g) однозначно соответствует выражение (28.31), причем согласно закону композиции это соответствие сохраняется при перемножении преобразований. Представление (28.31) является неприводимым, так как коммутирующая с ним матрица должна быть кратна единичной, что следует из тех же соображений, с помощью которых доказывалась неприводимость представления группы SO (3,1) (см. §§ 25, 26). Разумеется, каждый из весов Zi, Z2, Z3, Ц может принимать значения 0, 1/2, 1, 3/2 ...

Очевидно, представление (28.22) получается как частный случай (28.31), если положить по одному весу из каждой пары (Zi, Z2) и (Z3., Z4) равным нулю.

Можно показать, что представления (28.31) исчерпывают все возможные неприводимые конечномерные представления группы 50(4, С). Действительно, в качестве 12 параметров этой группы можно выбрать комплексные компоненты векторов g, g*, g, g*. Тогда бесконечно малое преобразование представления будет иметь вид (ср. (26.16))

Т (8, #) = 1 + 2qlw + 2q*l1^ + 2gK(+' + 2g46~\ (28.32) где /(±), К(±) —инфинитезимальные вектор-операторы, отвечающие вектор-параметрам g, д*, g, g*. Если положить g = 0, то Т (q) = Т (q, д*; 0, 0) будет удовлетворять соотношению (10.13), откуда следует, что каждый из вектор-операторов ^ и /(-) удовлетворяет перестановочным соотношениям, характерным для группы 50(3), а между собой Iw и /(-) коммутируют. Аналогичные свойства имеют операторы Kw и К(“\ Далее, поскольку (см. (24.12))

$ (9, 5) = е+ (g) е_ (g) = 8_ (g) 8+ (д), (28.33)

то К^ и К^ коммутируют с Iw и /“^ Таким образом, любой из четырех вектор-операторов 1^~\ К^ удовлетворяет перестановочным соотношениям для группы 50(3), и все эти вектор-операторы коммутируют между собой. Отсюда, повторяя те же рассуждения (см. § 26), которые приводят к выражениям (25.6) для неприводимых представлений группы 50(3,1), придем к общему выражению для неприводимого конечномерного представления группы 50(4, С):

jl.».l.U ^ д*. g, g*} = Th (^ (g) Т1, (д») ^ ТН (<) 0 JU (g*)

ИЛИИЛИ(28.34)

ИЛИ

ИЛИ

т(5, 5*; g, g*) = А^В (я*) С (g) D(g*),(28.35)

где

А (5) = Г11 (9) ® lu ® Г* ® lz*. В (9*) = 1'-® Tl4q*) ® 1^® Iй, С^ = I'1® 1г‘® ТгЦ8Ш I'4, D(g*) = l'-®1'2® 1'3® TX48*Y

(28.36)

Существенно, что все операторы А, В, С, D коммутируют между собой, что ясно из их структуры (28.36). Выражение (28.35) справедливо и для приводимого конечномерного представления группы 80(4, Су В этом случае как T(q, q*; g, g*y так и все операторы А, В, С, D будут прямыми суммами выражений того же вида.

Таким образом, любое конечномерное неприводимое представление комплексной группы Лоренца определяется заданием четырех весов Zi, Z2, /3, Z4 и выражается в виде прямого произведения матриц соответствующих четырех представлений комплексной группы вращений 80(3, С). Повторяя рассуждения, приведенные в §§ 13 и 26, нетрудно показать, что любое конечное преобразование (28.34), (28.35) может быть представлено в полиномиальной форме

,*. *х = Р'- (?+)) Р1‘ (?->*) Р1» (?+)) Р1‘ (7'Р

КЧЛ(1 +(1 + ^2),, (1 +(1 + ^2),. .

(28.37) где

q^ = ql^\ g^ = gK^\(28.38)

а полиномы Р1к определяются теми же формулами, что в § 13.

Бесконечномерные представления группы Лоренца

Группа Лоренца обладает, наряду с конечномерными, также бесконечномерными неприводимыми представлениями [3,4]. Чтобы получить выражения для инфинитезимальных операторов бесконечномерных неприводимых представлений группы Лоренца, нам удобнее будет воспользоваться тензорной параметризацией (см. (26.10) —(26.14)). Введем обозначения

Jab = i^bJc. JQ4=iKa; (1^ = 1, (/Q=K, (29.1) тогда, как легко убедиться, перестановочные соотношения (26.14) сведутся к следующим:

VJbV = teabJc,(29.2)

ЦаКъ>_ = ^ьсКс,(29.3)

VKaKbV = ieobcIc.(29.4)

Соотношения (29.2) совпадают с перестановочными соотношениями (11.18) для группы вращений, как и должно быть, поскольку из шести инфинитезимальных операторов Jhl (к, 1 = 1, 2, 3, 4)’ группы Лоренца три оператора 1аЪ (а, Ь = 1, 2, 3) отвечают чисто пространственным поворотам. На основании результатов гл. II можно утверждать, что операторы I» в общем случае соответствуют некоторому приводимому представлению группы вращений, распадающемуся на неприводимые представления с весами Iq ^ 1\... ^ 1к ^ ..., разумеется, целыми или полуцелыми. При этом, поскольку возможные значения весов неприводимых представлений группы вращений неотрицательны, т. е. ограничены снизу, то в этом ряду всегда будет наименьший вес, который мы п обозначим Iq. Что же касается наибольшего веса, то он может и не существовать — последний случай будет соответствовать, очевидно, бесконечномерному представлению группы Лоренца.

Положив в (29.3) b = а, получим

I. К . = К . I • , 1К = К1 = 1аКа.а аа аа а

С другой стороны, с помощью (29.2), (29.3) легко убедиться аналогично (11.23), что

№ 1а}_ = {XI, /0}_ = 0.(29.5)

Кроме того, согласно (29.3), (29.4)

№ Кь}_ = (7о^а, Kb>_ = I» (КаКь}~ +=

= ^«Ьс VJ= + W = 4" ®«ьс ^IJcV + VW = 0.(29.6)

Поэтому оператор IK, как коммутирующий co всеми инфинитезимальными операторами неприводимого представления группы Лоренца, на основании леммы Шура (см. П.4) должен быть скалярной матрицей:

1К = К1 =с\(29.7)'

Поскольку вектор-операторы I и К удовлетворяют равенствам (11.18), (16.18), то для них справедливы соотношения (16.20), (16.21) и последующие формулы § 16 с тем изменением, что матрица В в формуле (16.20) определяется равенством

В^т ™ ц^ _|_ |) фтп>(29.8)

где фт — канонические собственные векторы неприводимых представлений I1 группы вращений, входящих в 1*.

I^^I1, l = l63v..., lh.(29.9)

Отличие (29.8) от (16.22) обусловлено заменой равенства (16.19) соотношением (29.7). Однако все последующие соотношения § 16 вплоть до (16.28') остаются в силе и, как следствие их, мы имеем в рассматриваемом случае

К = В1 + К91(29.10)

UaKbL = i6abcKOc,(29.11)

{57}- =

Я° я0^

= 0, К°1 = 1К° = 0,(29.12)

= с6К°,5± = е^К%(29.13)

= £»& Я°^ = 2 7>^±1,(29.14)

hц ±

D ±

Ui _zamDlh15x

m (Z-^XZ + Z^l) ± 2m^m ’'

Zi = Z±l.(29.16)

Вследствие (29.8) —(29.10) определение оператора К сводится к нахождению К0. В свою очередь, эта задача согласно (29.14) —(29.16) сводится к отысканию Dm^V

Из (29.11) следует {е±Я±]__ = 0, (е± = ej\ Применяя это соотношение к 4>т, получим с помощью (29.14)

а^Ж - «^№±1.(29.17)

Если выражение (29.15), взятое с верхним знаком, подставить в (29.17), то после простых преобразований получим, полагая l\ = Z±1,

рМ+1pWDM-1nl,l-i

/(Z + I)2 - Kg + l)2 - (rn + l)2’ Kz2 - m2Vl4+

(29-18)

Таким образом, все стоящие здесь отношения не зависят от т, поскольку они не меняются при замене т на т + 1. Поэтому мы можем написать

Р^-1 = D1,1"1 Vl4 - т4, Dlm1J = D1"1*1 VP - m4,(29.19)

где D*-1-1, ТУ-1-'— некоторые функции от l. Из (29.15) находим теперь

Я^"1 = ± D'-'-^’, D^1-1 = т Z»1-1^^*!,(29.20)

±±

где

рт±} = >/ -^ (Z =F т^1 т т - 1) = р^\(29.21)

Полученные формулы при произвольных Z, т определяют матрицы Я0, Н°± и, тем самым, дают общее решение задачи отыскания матричного вектор-оператора К0

К0 = 1К° = (с0.с0 + eve_ + е_-е^К0 = с.Н° +

4- е+Я° + е_Н\.(29.22)

удовлетворяющего условиям (29.11), (29,12).

Заметим, что если условию (29.3) удовлетворяют какие-либо два матричных вектора Кг и К\ то матричный вектор К= = С'К' + С”К”, где матрицы С", С" коммутируют с 7, также будет удовлетворять этому условию. Действительно,

{7ОА'Ь}_= (70, С'К'Ь + С"К^\_ = С' (7оА;]_ + С" UjQ_ =

= i£abc <С'Кс + С"Ас) = ieabcKc.

Можно также взять К = К'С' + К"С" или К = A'K'B' + ■VA"K"B", при условии, что А', В', С'\ А", В", С" коммутируют с I. На основании (29.10), (29.4), (29.13) можем написать

{е^К, е_К>_ = i [е+е_] Z = с0 = (#«- + Н°+, Ве_ + Я®|_

или, после раскрытия правой части,

(В2 - 1) с0 + \Н\Н°_}_ + (Ве+, Я® |_ А- [Я®., В е_}_ = 0. (29.23)

При применении этого соотношения к 4m следует учесть, что мы получим векторы с тем же весом I только из двух первых членов в выражении (29.23). Таким образом, действуя оператором ^В^ — 1) с0 + \H\H_\ - на Л1т и приравнивая в полученном результате нулю коэффициент при векторе трт, получим (см. (29.8))

(2Z - 1)Dt - (2Z + З^х = 1 - c'2/Z2(Z + I)2,{29.24)

где (см. (29.14), (29.20))

Di = Dl l-^D -x(29.25)

Умножая равенство (29.24) на 2Z+1, можем переписать его следующим образом:

(4Z2- l)A + Z2 + c'2/Z2 =

= [4(Z + l)2-l]Z),+1+(Z + l)2 + cZ2/(Z + l)2

Это соотношение имеет вид Ft = Ft+x, где

Fz = (4Z2-l)Df + /2 + c'2/Z2;

таким образом, величина Ft на самом деле не зависит от Z, т. е.

F^= с". Величину с", не зависящую от I, проще всего можно найти, придав I частное значение, а именно, положив U= Zq. При этом должно быть Du = 0, поскольку Zo по условию —- минимальное значение веса Z, а в выражение (29.25) для Dt входит вес I—1. Следовательно,

(4Z2 - 1) Dt + Iй + с^П» = с" = Fle = Z# + с'»/1ев,

откуда

(29.26)(29.26)Dt = (Z2 - Z^) (c'2/Z^Z2 - 1)/(4Z2 - 1).

(29.26)

(29.26)

Ввиду произвольности величины с' введем для упрощения обозначение с'= Zoc и получим из (29.8), (29.26)

1 г с ,— ^)(с2 - z2)

Очевидно, соотношение (29.27) определяет лишь произведения Dll*xDl*xl коэффициентов, входящих в формулу (29.19), но не сами коэффициенты по отдельности. Следовательно, при известных Dh определяемых заданием Zo, с и Z = Zo + Д, мы можем произвольно выбирать любой из коэффициентов D1*1**1 либо Dl-X*\ Однако при этом мы не получим различных неприводимых представлений, так как нетрудно показать, что изменение, связанное с выбором Dl*l-X, сводится к некоторому линейному преобразованию базисных векторов хр^. Действительно, пусть

'ф™ — Pz^m» (29.28)

где pt — некоторые числа. При этом операторы Ze, не действующие на веса Z неприводимых представлений группы вращений, останутся без изменений. Что же касается оператора К0, то нетрудно убедиться, что выражение для К°грт будет совпадать с К^^, если заменить грт на хр^и коэффициенты D1*1-1, D1"1*1 на следующие:

D4J-1 = (р^) П1’1Л D4"1’1 = (р^/рОР1'1’1.

При этом Dl l-XD1-X l = Dn*l-xD,l*x*\ т. е. величины Dt (29.25) не меняются. Следовательно, сохраняя выражения (29.27) для Dh мы можем выбрать pz так, чтобы по возможности упростить соотношение между Dll-X и Dl-X l. Проще всего выбрать pt так, чтобы D,ll-X = Dn”x*\ для чего достаточно положить

Pi =Pi =П (D'^/D8*8'1) _ S=loП (D'^/D8*8'1) _ S=lo(29.29)(29.29)

Pi =

Pi =

П (D'^/D8*8'1) _ S=lo

П (D'^/D8*8'1) _ S=lo

(29.29)

(29.29)

В результате согласно (29.27) мы получим

d^-i^-^Vd^-^/ ^"^у™- (29-3°)

Поскольку представления, соответствующие базисам, отличающимся за счет линейных преобразований, эквивалентны, то мы всегда можем считать выполненным преобразование (29.28), (29.29), т. е. полагать коэффициенты Dll~x и Dl-U совпадающими между собой и равными выражению (29.30). Что касается знака квадратного корня в (29.30), то он, очевидно, может быть выбран любым при условии выполнения равенства

Dll"x =Dl-x«l = Ab(29.31)

В частности, всегда можно считать вещественную часть корня (29.30) положительной.

Итак, в общем случае неприводимое представление группы Лоренца задается в пространстве Я, являющемся прямой суммой подпространств R\ в которых действуют неприводимые представления группы вращений (Z — целое или полуцелое)

R = Ru ф 7?'о+1 ф Rw ф ...,(29.32)

базисные векторы которых обозначаются грт (— l^m^l). В каждом из этих подпространств действие инфинитезимальных операторов с = с! (см. (29.2) — (29.4)) определяется прежними

формулами § 12 (с = £с0 4- г^ + П*®-)

Cll’m = ^^^т 4" Л®т+Чт41 ~Ь Л*®»» Чт-Н (29.33)

]/-!-(/тт)(/±т + 1),

а операторы сК = Вс + сК° действуют по формулам 1Cl1

Вс^т = | ^ । ^'^рт,

cK^X^V = Лг (}^2 — ТП? 4'т 1 4“ Рт^Чт-Н — Р^тЧтА) 4"

+ Л!+1 (Hz + l)2-^^-1 - р^^ЧтД + Р^ЧтА), (29.34)

./(Z2-Z2Wc2_Z2)г-

^1 = ТУ 4Z2-!’ ^"^ 4(Z4=m)(ZTm-l).

(29.35)

При этом все перестановочные соотношения (29.2) —(29.4) удовлетворяются.

Операторы с и Вс согласно (29.33) не выводят вектор гр™ за пределы подпространства В}. В отличие от этого операторе К0 (см. (29.35)) переводит вектор грт из В1 в векторы соседних подпространств 7?z+1 и Rl-X. Этот сдвиг в сторону уменьшения I ограничен минимальным значением I = Zo, так как при Z = Zo коэффициент Л1о (29.35) обращается в нуль. В сторону же возрастания Z процесс может оборваться согласно (29.35) лишь в том случае, если число с одновременно с Zo (и со всеми Z) будет целым либо полуцелым и притом с > Zo. Следовательно, если с — Zo = к > 0 (к — целое), то представление будет конечномерным. Если же с будет любым другим (в общем случае комплексным) числом, то формулы (29.33) — (29.35) будут определять бесконечномерное представление группы Лоренца.

Нетрудно убедиться, что в конечномерном случае формулы (29.33) — (29.35) определяют неприводимое представление вида (25.6) Txv, причем Z = с — Zo. V = с + Zo.

Глава V

ПРИМЕНЕНИЯ ГРУППЫ ЛОРЕНЦА В ТЕОРИИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ

Релятивистские волновые уравнения

первого порядка

Применения группы Лоренца в теоретической физике необычайно обширны, поскольку она является основной группой симметрии пространства и времени. Наиболее фундаментальную роль играет эта группа в вопросах теории элементарных частиц (квантовой теории поля). Ввиду ограниченности объема настоящей книги мы остановимся в этой главе лишь на некоторых относящихся сюда задачах.

Первые релятивистские волновые уравнения для описания элементарных частиц были предложены полвека тому назад. К ним относятся: скалярное уравнение второго порядка

(V2 —m2)to = O, v2 = vt Мк = 91д*к, хр0 = to (ж). (30.1)

называемое уравнением Клейна — Фона [37.1, 37.2], и уравнение для четырехкомпонентной волновой функции ф = (фк)

(fVh+m^ = 0, фк = фк(ж)(30.2)

— уравнение Дирана [37.3]. В последнем уравнении ^к обозначают четверку 4 X 4-матриц, удовлетворяющих следующим соотношениям (алгебра Дирака):

Т^ + 7¥=26м.(30.3)

В дальнейшем общая теория релятивистских волновых уравнений развивалась многими авторами.

В теории элементарных частиц обычно используется предположение, что свойства свободных, невзаимодействующих частиц описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, удовлетворяющими требованию релятивистской ковариантности.

Предположение, что волновая функция частицы может быть получена, как решение некоторого дифференциального уравнения, является совершенно естественным в связи с огромными успехами, достигнутыми при описании атомных и молекулярных систем уравнением Шредингера. Тем не менее, это предположение нельзя считать необходимым или единственно возможным. Существуют теории, в которых состояния частиц описываются с помощью интегральных уравнений. Предположение о линейности уравнений вытекает из принципа суперпозиции, являющегося одним из фундаментальных положений квантовой механики. Однако и для этого допущения существует альтернатива в виде нелинейных теорий, которые получили определенное развитие и с которыми связываются надежды на преодоление некоторых принципиальных трудностей.

Предположение о том, что дифференциальные уравнения для элементарных частиц должны иметь постоянные коэффициенты, является необходимым, если речь идет об описании свободных частиц. Действительно, если бы в уравнение входили какие-то заданные функции координат или времени, то это означало бы, что различные точки пространства или моменты времени неравноправны для частицы. Это равносильно наличию некоторого поля, действующего на частицу, т. е. последнюю нельзя было бы считать свободной. Наконец, требование релятивистской ковариантности есть прямое следствие принципа относительности.

В настоящей книге мы не будем заниматься нелокальными и нелинейными теориями.

ттНаиболее общая система линейных однородных дифференциальных уравнений для тг-компонентной волновой функции ф(;г) = (фа(;1:к)), а = 1, 2, ..., п; к = 1, 2, 3, 4, может быть написана в виде (^ = 1, 2, ..., п)

т

т

(30.4)

Мы рассматриваем «квадратную» систему, т. е. предполагаем число уравнений равным числу компонент неизвестной функции. Если в системе (30.4) встречаются производные выше первого порядка по каким-либо из переменных, то путем введения новых неизвестных функций

(30.5)(30.5)9фа/дЖ1 = фп+b Зфп+1/^2 = фп+2

(30.5)

(30.5)

и т. д. всегда можно привести все уравнения (30.4) к такому виду, когда в них будут входить только производные первого порядка п сами неизвестные функции. Присоединяя к измененной та-

ким образом системе (30.4) все соотношения (30.5) *), получим квадратную систему линейных уравнений первого порядка

^ + ^ + ^ + 7^ + М. = О,

VwC#^Ve^2^***3

которую можно короче записать в виде

(*Yft Va + Т0)** = °-(30-6)

Здесь 7h, 7°, (Л = 1, 2, 3, 4) — постоянные матрицы. Если |7°| =# N= 0, то, умножая уравнение (30.6) слева на 70-1, получим

(7<>-Yvft+ 1)гр = 0.

Обычно вводят в это уравнение постоянную т. Обозначая m70-17h снова через 7\ получим

(??л + ^)Ф = О.(30.7)

Еще раз подчеркнем, что уравнения (30.6) и (30.7) равносильны только при неособенной матрице 7°. Очевидно, уравнение (30.6) целиком определяется заданием постоянных матриц 7к, 7°, а (30.7)—заданием 7* и т. Следовательно и все свойства объектов, описываемых этими уравнениями, в конечном итоге зависят от 7h, 7°, т.

В качестве примера преобразования (30.5) можно рассмотреть уравнение Клейна —Фока (30.1)

(vi + vi + Vs + V4 — m2) ip0 = 0.(30.8)

Введем функции фк путем соотношений

\7лфо + тфк = О.(30.9)

Тогда исходное уравнение (30.8) принимает вид

VA + ^o = O.(30Д0)

В итоге из одного уравнения второго порядка (30.8) получается система пяти уравнений первого порядка (30.9), (30.10) для пятикомпонентной функции**)

Ф = (фо, ф1, Ф2, фз. ф4)|=(фо, фь)« (30.11)

♦) Каждое из таких соотношений вводит новую функцию, но одновременно оно является и дополнительным уравнением первого порядка, содержащим эту функцию, так что число уравнений останется равным числу неизвестных функций.

♦♦) Многокомпонентные функции ф мы будем записывать как в виде /ф0\

матрицы столбца, так и матрицы строки, например, ф = UJ = (K %).

Эта система может

быть записана в стандартной форме (30.7),

причем матрицы у имеют следующий вид:

0 10 0 0

0 0 1 0 О1

1 0 0 0 0

0 0 0 0 0

т1-

0 0 0 0 0

, Y2 =

1 0 0 0 0

1

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0.

0 0 0 1 О1

0 0 0 0 1)

(30.12)

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

тз =

0 0 0 0 0

, т4 =

0 0 0 0 0

1 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

1

1 0 0 0 0

Обратимся теперь к требованию релятивистской ковариантности уравнений (30.7) и (30.6). Из него в первую очередь следует, что функция г|) должна быть задана в пространстве некоторого представления группы Лоренца. Мы ограничимся конечномерными представлениями, которые для общности будем считать приводимыми. В дальнейшем мы убедимся, что при использовании конечномерных представлений группы Лоренца уравнения вида (30.7), (30.6) не могут быть построены с помощью одного неприводимого представления. Пусть функция г|) преобразуется по представлению Т. Это означает, что если вектор х в мире Минковского испытывает преобразование Лоренца

хг = Lqx, (30.13)

то функция гр одновременно испытывает преобразование хр'(^) = Tq^xy (30.14)

Опуская 5, запишем (30.13) в виде хк = Lklxr Тогда согласно (30,13) и свойствам матрицы Лоренца (§ 19) имеем х = = Lrxx' = Lx' пли хг = Llkxk = Lklxk. Отсюда следует

_a_=^i_8_=L a ^ = ь^. (зо.15) Эхк ЭхкЭх1 ki Эхг v v

Осуществим над уравнением (30.7) преобразование (30.13) — (30.15). Физически это означает переход от одной инерциальной системы к другой. Согласно принципу относительности, при этом закономерность, определяемая уравнением (30.7),не должна измениться. Последнее означает, что в результате преобразования Лоренца система (30.7) должна перейти в равносильную ей систему уравнений. Но равносильные, эквивалентные между собой системы линейных уравнений отличаются тем, что уравнения одной из них являются линейными комбинациями уравнений, входящих в другую. Иными словами, одна система получается из

другой путем умножения на некоторую неособенную матрицу 8. Следовательно, должно быть справедливо соотношение

(Wh + m) < W = 8 ^к + m) ф (ж).(30.16)

Подставляя сюда (30.14), (30.15), получим

(l^uVi + m)^^) =S(^ VA+m)ip(^), или

Тф = 5^, -fL^T^ = S^v»'!’ = S*ti V lip. (30,17) Из первого тождества следует S = Т, а из второго (поскольку Т не зависит от х^

4kTLkl = Т41.(30.18)

Последнее равенство можно написать также в виде

Т-^Т = ЬшЧ\(30.19)

Таким образом, уравнение (30.7) будет релятивистски ковариантным, если основные матрицы ^к удовлетворяют соотношению (30.19). Если L есть преобразование пространственной инверсии

L-P-h* °),

\ о 1/

то Т = Т”х = П (см. § 27). При этом соотношение (30.19) сводится к следующим:

74П = П74, 7аП = — П^а.(30.20)

Будем называть матрицы уа (а = 1, 2, 3) пространственными, а матрицу у4 — временной. Тогда условие ковариантности уравнения (30.7) по отношению к пространственной инверсии согласно (30.20) можно сформулировать следующим образом: временная матрица у4 должна коммутировать, а пространственные матрицы 7“ — антикоммутировать с П.

В теоретической физике фундаментальную роль играет принцип наименьшего действия. Если уравнения движения (уравнения поля) могут быть получены из принципа наименьшего действия, то последний приводит также к законам сохранения для основных физических величин — энергии, импульса, момента количества движения, заряда. Принцип наименьшего действия для поля может быть сформулирован как условие минимума функционала действия W (см., например, [38])

W = I S' ^^ ^dxx^dx^dx^(30.20')

где $ — плотность функции Лагранжа. Отсюда следуют уравнения Лагранжа для поля

V>^-^f = °-(30.21)

17 ф. и. Федоров

Для того чтобы уравнения поля были релятивистски ковариантными, необходимо, чтобы функция Лагранжа была релятивистски инвариантной. С другой стороны, линейные уравнения поля получаются лишь в том случае, если функция Лагранжа будет билинейной относительно ф. Таким образом, $ должна быть билинейным инвариантом. В § 27 было показано, что билинейная инвариантная форма F = фт]ф может быть построена для представлений полной группы Лоренца. Таким образом, для того чтобы уравнения (30.7) могли быть получены из вариационного принципа, необходимо, чтобы пространство, в котором задана функция ф, было пространством представления полной группы Лоренца. Инвариантную форму можно написать в виде

F = ф*т)ф = фф, ф = ф*ц = т)ф*.(30.22)

Ясно, что мы имеем здесь дело с двойным набором независимых полевых величин ф= (фа) и ф* = (ф^). Вместо последней величины удобно рассматривать в качестве независимой величину ф*). Поэтому полная система полевых уравнений будет наряду с (30.21) содержать также уравнения

Vk -^=- - ^ = О,(30.23)

поскольку инвариантная функция Лагранжа должна зависеть от ф, Ф, УлФ, УлФ- Легко убедиться, что функция Лагранжа для уравнения (30.7) с точностью до постоянного множителя может быть взята в виде

^ = — тпфф — -|- (ф^^лФ — (У»Ф) ТЧ)-(30.24)

Выражение ф7*7&ф является инвариантом, поскольку при преобразовании (см. (30.13) —(30.15)) х' = Lx, ^' = L у, ф' = Тф имеем

ф'у^Ф' = Ф'*^’^?^' =

= ^У^Ь^Т^ = ф*Т+г1Т7’"1ткТ£й1ф<ф

и согласно (27.35), (30.18)

Т*ЧТ = л, T-t^TLu = Т',следовательно,ф'у^кф' = Ф*Т)Т,ф1ф = ФТ^ФлФ = ^пУ*

Аналогично можно показать, что (V^)^ также является инвариантом. Таким образом, функция Лагранжа (30.24), как и должно быть^ представляет собой билинейный инвариант относительно *ф и ф. Общее уравнение (30.23) для лагранжиана (30.24) принимает вид

Чк Vk^ + ^^ = 0,(30.25)

т. е. совпадает с (30.7). В то же время уравнение (30.21) дает у^гр^* — т^ = 0.(30.26)

Заметим, что лагранжиан (30.24) можно написать в форме

S’ = — -L^ (7ь?д 4. m) ^ 4- ^_ (?й47л — ПЦ,) Тр,откуда видно, что в силу уравнений поля (30.25), (30.26) он об-ращается в нуль. Между двумя системами уравнений (30.25) и(30,26) должна быть связь, поскольку гр получается из гр в ре-зультате комплексного сопряжения и умножения на матрицу би-линейной формы ц (см. (30.22)). Проделав эти операциинад уравнением (30.25),получим (yft*V^* + ^*) Л = 0 или

V^*?^!! +~ 0- Сравнивая полученное уравнение с (30.26),

видим, что они не противоречат одно другому лишь при уело- вии V^KflY^TlH—Vh^- Поскольку ^^(Vfc) =

=(Vai —£Vo)» то отсюда следует

тпв+т] = — Iе» 'ПТ4+т1 = T4(30.27)

или

T)'Ya+ = — 7% t|T4+ = Y<Tb(30.28)

Эти уравнения могут быть объединены в следующей форме: пт^+п = p^i, (рм) = р = (-1 о\ (30 29) \ и

и отличаются от (30.20)

П^П = Рыч*(30.30)

тем, что слева т] заменено на П и f на 7*+. Из сравнения левых частей (30.29) и (30.30) следует

т»+ = D^D р = пп = Пт|. (30.31)

Здесь учтено, что согласно (27.45), (27.46) т) и П коммутируют. Очевидно,

D2 = т)Пт]П = т]2П2 = 1.(30.32)

Если матрицы ^ эрмитовы, то из (30.31) следует D^^^D. Но совокупность четырех матриц чк Для нераспадающегося уравнения должна быть неприводимой. Поэтому на основании леммы Шура матрица D, как коммутирующая со всеми матрицами неприводимой совокупности, должна быть пропорциональна единичной. А поскольку D2 = 1, то D = ± 1, т. е. ц = + П. Наоборот, если ц = ± П, то D = ± 1 и 4м" = Чк- Итак, матрицы чк для нераспа- дающейся системы релятивистских волновых уравнений (30.7) могут быть эрмитовыми тогда и только тогда, когда т| = ± П. Соотношения (30.27) можно написать в виде (поскольку т|+ = = П (27,47))

(ПК")+ = — ПК’» (П?)+ = ПК4,(30.33)

или

(fn)+ = — ТЧ, (к4п)+ =(30.33')

Таким образом, матрицы т)^4 и 74ц всегда эрмитовы, а ц^3 и уац — антиэрмитовы.

Лагранжиан (30.24) не содержит явно координат хк. Как известно, на основании теоремы Нетер (см. [38]) отсюда следует, что имеет место закон сохранения энергии-импульса в форме яду— яду

VAz=0t Ем = L6M - ^^ V^« - Vk^a ц^' “(30.34)

где Ekl — тензор энергии-импульса поля ф. Кроме того, лагранжиан (30.24) инвариантен по отношению к градиентному преобразованию 1-го рода: ф-^е^ф, ф->е_гфф, откуда следует закон сохранения заряда

Vk/k = 0,jk = ^a—^а^»Гх Фа. (30.35)

где jk — вектор четырехмерного тока. Подставляя (30.24) в (30.34), (30.35), получим

Ем = -у (ФТ1 Vkt - (?кФ) Т'Ф).(30.36)

А = ФкЧ-(30.37)

Разумеется, выражения (30.36), (30.37) определяют тензор энергии-импульса и вектор тока с точностью до коэффициентов.

Следуя В. Паули [39], введем понятие различных классов неприводимых конечномерных представлений группы Лоренца Ти . Последние задаются парой весов (Z, Z'), которые могут принимать целые либо полуцелые значения (§ 25). Представления (Z, Z') относятся к

классу + 1, если Z и Z' — целые;

классу — 1, если Z и Z'— полуцелые;

классу +$, если I — целое, V — полуцелое;

классу — е, если I — полуцелое, V — целое.

Как показано в § 24, при перемножении двух представлений (Z, Z') и (Zn ZJ получается сумма представлений (X, X'), в которых |Z — Zi|<X< Z + Zi, | V — li |<X'< V + к- Поскольку все X (и X') отличаются между собой на целые числа, то все пары (X, X'), получающиеся при перемножении представлений (Z, Z') и (ZT, Z^) будут относиться к одному и тому же классу. В частности, если (Z, Z') и (Z1? Zi) относятся к классу + 1, то и их произведение будет содержать только неприводимые представления класса +1. Если (Z, Z') принадлежит к классу +1, a (Zlf 1^ к классу — 1, то их произведение даст представления класса — 1 и т. д. Таким образом, убеждаемся, что справедлива следующая «таблица умножения» для представлений:

+1

-1

+8

-8

+1

+1

—1

+е

— 8

-1

—1

+1

— 8

+е

+е

+ е

— 8

+ 1

— 1

—е

— 8

+е

— 1

+1

В уравнении (30.7) в общем случае функция ф преобразуется по некоторому приводимому представлению: (Z, Z') ф (Zn Z^) ф ®(Z2, Z2) ф ..., а вектор градиента V = (Vft), как всякий мировой вектор, преобразуется по представлению (V2, V2) (см. § 25). Поэтому стоящая в (30.7) производная V ф преобразуется как произведение (V2, V2) ® [(Z, Z') ф (Zn 1^)® ...], которое распадается на сумму [(V2, V2)®(Z, ^)]^[(V2, V2)0(?i, Zj)] Ф • • • В слагаемых этой суммы согласно § 26 будут содержаться представления \l ± V2, V ± V2), (Zi ± V2, ^i ± и т. д.

Релятивистская ковариантность системы (30.7) означает, что в каждом ее уравнении компоненты слагаемых ^ V Аф и тпф должны преобразовываться одинаково, т. е. относиться к одному и тому же неприводимому представлению и, тем более, к одному и тому же классу. Но если (Z, Z') относится к классу + 1, та (Z ± V2, V ± V2) принадлежит классу — 1 и вообще, если (7, Z') ~ ± 1, ±е, то соответственно (Z ± V2, V ± V2) ~ + 1, Те. Отсюда следует, во-первых, как указывалось выше, что используя одно (любое) неприводимое конечномерное представление, нельзя построить ковариантное уравнение (30.7). Во-вторых, для его построения необходимо, чтобы в наборе представлений (Z, Z'),

(Zn ^1) для функции ф наряду с каждой парой (Zs, Q входило хотя бы одно из представлений (Z, ± V2, Zs ± 1/2). Пара (Z8, Zs) и любая из пар (Zs ± V2, Zs ± г!^ называются зацепляющимися. Очевидно, система (30.7) может быть построена только из зацепляющихся между собой представлений группы Лоренца. Но зацепляться между собой могут только представления классов +1 и — 1 либо классов + е и — е. Таким образом, мы приходим к фундаментальному выводу, что ковариантные системы уравнений (30.7) могут существовать только в двух разновидностях*): содержащие представления классов ± 1, либо представления классов ± е (в том и другом случае обязательно обоих классов).

В первом случае уравнения описывают частицы с целым спином и во втором случае — частицы с полуцелым спином.

Обозначая через ф+ все функции, относящиеся к представлениям класса +1(+е), и соответственно определяя ф-, можем в любом случае написать волновую функцию уравнения (30.7) в виде

^=(J+y<30-38)

Такому разбиению функции ф будет соответствовать разделение матриц 7* на блоки

I30-39»

Соответственно система (30.7) разобьется на две подсистемы

= 0, .кл(30.40)

Y_+Vk^+ + TLVh^- + ^- = 0.

Но V^ принадлежит к классу фр, и поскольку каждое уравнение (30.40) может содержать компоненты -ф лишь одного класса, то у* + = у*- = 0. Следовательно, для функции ф (30.38) матрицы ^к (30.39) должны иметь вид

/л \

Тк = * 12 |.(30.41)

о_у

Здесь 0± обозначают нулевые квадратные матрицы размерности, равной числу компонент функции ф± соответственно.

Очевидно, представление (Z, Z) всегда относится к классам ± 1 и соответствует целому спину. Если представление (Z, Z')

♦) При наличии всех четырех классов уравнение (30.7) распадается на две независимые, не связанные между собой системы (±1) и (±8).

относится к классу + 1(— 1), то к тому же классу принадлежит и представление с переставленными весами (Z', Z). В случае полуцелого спина представления (Z, Z') и (Z, Z') принадлежат к противоположным классам (если (Z, Z') относится к 4-8, то (Z', Z) — к — е, и наоборот).

Как показано в § 27, если ф принадлежит к представлению (Z, Z'), то ф* относится к представлению (Z', Z). Отсюда следует, что переход к комплексно сопряженному представлению не меняет его класса в случае целого спина

(30.42)

(30.42')(30.42')Наоборот, в случае полуцелого спина

(30.42')

(30.42')

При разбиении функции ф согласно (30.38) матрица инвариантной билинейной формы ц, аналогично 7* (30.39), может быть записана в блочном виде

р++п+_\(3043)

а сама форма F = ф*цф (27.32) принимает вид

F = Ф*П++Ф+ + Ф*т)+-Ф- + Ф1П-+Ф+ + ф!П—Ф- (30.44)

В случае целого спина согласно (30.41) имеем

ф*т]ф ~ ф+1Т|++ф+1 + Ф-1Ц—Ф-1+Ф+1Ц+-Ф-14- Ф-1Т)-+Ф+1« (30.45)

Сюда входят произведения представлении ф±1 во всех возможных четырех сочетаниях. Эти произведения разлагаются на неприводимые представления в соответствии с формулой (26.39). Но форма F должна быть инвариантной, а это значит, что в правой части должны получаться величины, преобразующиеся по тривиальному представлению (0, 0), которые являются числами (скалярами, инвариантами). Согласно (26.39) Г00 может получиться лишь при перемножении двух одинаковых представлений, а это возможно только, если перемножаемые представления относятся к одинаковому классу. Поэтому в (30.45) должно быть ц+- = т)_+ = О, и следовательно, для целого спина матрица ц должна иметь вид

Если выписать формулу (30.44) для полуцелого спина, то с учетом (30.42') получим

Ф*ПФ ~ ф-.Т^+ф+е + Ф-.П+-Ф-» + Ф+еТ)-+Ф+« + Ф+еП—Ф—Те же соображения приводят теперь к выводу, что справа могут

4 =4 =остаться лишь второй и третий члены, следовательно, для полу- целого спина матрица ц должна иметь вид

4 =

4 =

(30.47)

Согласно (30.22) ф = цф*; подставляя сюда (30.38) и (30.46) или (30.47), получим в случае целого спина (см. (30.42))

Ф =Ф =^1 о\0 ^2/^1 о\0 ^2/t-Jt-JП1^2П1^2t-Jt-Jи в случае полуцелого спина (см. (30.42'))и в случае полуцелого спина (см. (30.42'))t =t =*+1\ t-J*+1\ t-J

Ф =

Ф =

^1 о\0 ^2/

^1 о\0 ^2/

t-J

t-J

П1

^2

П1

^2

t-J

t-J

и в случае полуцелого спина (см. (30.42'))

и в случае полуцелого спина (см. (30.42'))

t =

t =

*+1\ t-J

*+1\ t-J

Таким образом, в любом случае разбиению (30.38) функции ф по классам соответствует такое же разбиение функции ф, т. е. мы имеем одновременно

ф= (ф+, ф-), ф= (ф+, ф-).(30.47')

Заметим, что согласно § 27 такую же структуру, как т), должна иметь матрица П преобразования представления, отвечающего пространственной инверсии, т. е. для целого спина

П = п 1(30.48)

\ 0 П2/

и для полуцелого спина

n = f„ П1\(30.49)

Vz 0 /

Если уравнение (30.7) ковариантно относительно отражений (что мы предполагали), то (см. § 27) для полуцелого спина каждому представлению (Z, Z'), входящему в ф+е, будет соответствовать представление (Z', Z), входящее в ф-в. Представления (Z, Z') и (Z', Z) имеют одну и ту же размерность, равную (2Z + 1) (2Z' + + 1). Поскольку для полуцелого спина одна из этих скобок всегда будет четным числом, то функции ф+8 и ф-в будут в этом случае иметь одинаковое и притом четное число компонент. Отсюда следует, что для любой частицы полуцелого спина система (30.7) всегда будет содержать число уравнений, кратное четырем. Кроме того, в представлениях (30.41), (30.47), (30.49) матрицы Тр т)ь Щ и у^, т]2, П2 все будут квадратными матрицами одинаковой (четной) размерности.

Согласно § 27 матрицы ц и П обладают свойствами т) = ц = 5= т)-1 = т)+ и т)П = Пт). Теми же свойствами будут обла-

дать в случае целого спина матрицы т)1, П1 и т]2, Пг (см. (30.46) г (30.48)). В случае полуцелого спина из этих же свойств ц и П следует согласно (30.47), (30.49)

Пх = Пх = Пг. Щ = П* = П2, ЦхЦг = ПХП2 = 1М (30.50)

так что вместо (30.47) можно написать

^ = f ° ^lП = ^ H1) = f °, П1\ (30.51)

\Пх 0/ Х^Г1 о/\П1 о /\П1 о/

(30.52)(30.53)(30.52)(30.53)Используя (30.41), (30.46), (30.48), получим из соотношений (30.29), (30.30) в случае целого спина

(30.52)

(30.53)

(30.52)

(30.53)

Пх?^ = Т ТхгПг, П11& = т Ь1ПпП1Т12 = Т Т^Щ, П2у21?21П1.

Здесь знак « — » относится к 7е, а знак « + » к f4. Из второго равенства (30.52) следует 7^= — riaY^1!!, Y4i= ^V^i, следова

тельно,

-Мх^х 0 /Wi^i 0-Мх^х 0 /Wi^i 0(30.54)(30.54)

-Мх^х 0 /Wi^i 0

-Мх^х 0 /Wi^i 0

(30.54)

(30.54)

Таким образом, для определения к" достаточно знать у*2, Ць Цг- При этом на у*2 налагаются еще условия, вытекающие из первых уравнений (30.53)

(30.55)(30.55)Пхт;2 = - ^2п2, п1Т<2 = у42п2.

(30.55)

(30.55)

Что касается первого уравнения (30.52) и второго уравнения (30.53), то они являются следствием приведенных соотношений.

В случае полуцелого спина с помощью (30.41), (30.51) аналогично находим из (30.29), (30.30)

причем на у*2 налагаются условия

(30.57)(30.57)Т?2 = - ПхТ^Пх. Yj2 = Пх^г

(30.57)

(30.57)

Следует помнить, что, кроме этого, матрицы 7* должны удовлетворять условиям, вытекающим из (30.19).

Применим общее условие ковариантности (30.19) к случаю полной инверсии, когда L = — 1, а Т = 1 (см. (27.49)). При этом оно принимает вид

(30.58)(30.58)Z^* = —^ч^

(30.58)

(30.58)

т. е. матрица представления полной инверсии должна антикоммутировать со всеми 7*. С помощью (30.41) нетрудно убедиться, что (с точностью до общего знака) матрица I должна иметь вид

(30.59)(30.59)

(30.59)

(30.59)

где 1± — единичные матрицы в подпространствах -ф±. Очевидно, I будет антикоммутировать с любой матрицей

л = (° “Y(зо.бо)

\Р о/

имеющей структуру матриц f* (30.41)

IA = - AL(30.61)

В то же время I коммутирует с любой матрицей структуры*) В = (а °\(30.

ко р/v

Отсюда следует важный вывод о том, что матрица представления полной инверсии I для целого спина коммутирует с матрицей билинейной инвариантной формы ц (30.46), а для полуце- лого спина — антикоммутирует с ней (см. (30.47)).

В теории элементарных частиц важную роль играют конечные преобразования приводимых представлений группы Лоренца в пространствах, где определены релятивистские волновые уравнения (30.7). В §§ 26, 28 рассматривался вопрос о нахождении конечных преобразований для случая, когда все первые (и все вторые) веса неприводимых представлений (Zft, к\ входящих в приводимое, одновременно являются целыми, либо по- луцелыми. Однако приводимое представление, по которому преобразуется волновая функция элементарной частицы, как показано выше, должно состоять из зацепляющихся неприводимых представлений, оба веса которых отличаются на + 7г. Пусть lh h, • • •, In — совокупность первых весов неприводимых представлений и I — максимальное значение из этого ряда. Тогда по условиям зацепления в этом ряду вместе с I обязательно должен быть вес Z—7г- Аналогично в ряду вторых весов Zi, Z2, ..., Zn должен присутствовать вес V — 7г. Поэтому в случае конечномерных релятивистских уравнений минимальный полином для оператора qw = qj^ (как и для q4^»q*J<a^ будет равен произведению минимального полинома для максимального целого (полуцелого) веса на минимальный полином для ближайшего

♦) Разумеется, мы предполагаем, что размерности блоков матриц Л и В такие же, как в 7*.

меньшего на V2 полуцелого (целого) веса. Таким образом, если в § 13 при построении конечных преобразований использовались минимальные полиномы (12.26), (12.27), в которых собственные значения изменялись через единицу, то теперь нам придется иметь дело с полиномом, в котором собственные значения изменяются через V2. Такой полином в общем случае будет иметь вид (g2 = 1)

(?(+)2 4- $ (»(+)2 + Уо- ^ (»(+)2 + (Zo - I)2)...

...(g(+)2 + C/8)2)g(+) = o- (30-63>

Аналогичный вид с заменой I на V будет иметь минимальный нолином для оператора д(-). При этом по-прежнему будут справедливы соотношения (см. (11.19)).

^(д, g*) = ^(д^-Цд^-Г-Цд^^’^),(30.64)

где_

Т^ (g) = exp {2д(±) arctg V^IV^ L(30.65)

Если ввести новые инфинитезимальные операторы по формуле (см. [49])

д(±) = 2д(±),(30.66)

то нетрудно убедиться, что уравнение (30.63) для д(±> примет вид минимального уравнения для целого веса Zo = 2Z. Замене (30.66) должна отвечать замена вектор-параметра g -»• д' в формулах (30,65), такая, чтобы эти соотношения сохранили свою форму. Действительно, в результате замены (30.66) получим иэ (30.65)_

Т(±)(д)=ехр {д(±) arctg VчНF^L(30.67)

Положим здесь д = /д':

Т(±) (д) = ехр[д'(±) arctg (jVH^IF^g72}

и подберем / таким образом, чтобы

arctg (/ V ^^ = 2 arctg V" Чг-(30.68)

Если мы найдем такое /, то выражение (30.67) будет иметь вид Т^ (д) = ехР {2g'l±) arctg V^1"V д'2},(30.69)

т. е. будет полностью совпадать по форме с (30.65), причем оператор д^ будет удовлетворять минимальному уравнению

Ч ^ + 1) (? + 4) ... (д2 + 4Z?) = 0.(30.70)

Поэтому в данном случае можно будет использовать результат!» § 13.

Из условия (30.68) следует после взятия тангенса

илиили» ~1-9^ 1 1-9'2 1-92//2/2 _ 2/— ^ = 0, /=1±/ГТ55.

или

или

Здесь необходимо выбрать верхний знак, иначе при g -> 0 вектор д' = д// будет неопределенным. Между тем, очевидно, g и д' одновременно должны стремиться к нулю. Итак, мы имеем

(30.71)(30.71)5=5

(30.71)

(30.71)

1 4-У 1 + ?21 +/1+?

Заметим, что по закону композиции (3.6) <д', д') = д, т. е. вектор д' есть «композиционный квадратный корень» из вектор- параметра д (см. (3.25")).

(30.72)(30.72)Поскольку функциональная зависимость Т^ (д) (30.69) и минимальный полином (30.70) полностью совпадают с теми соотношениями, которые применялись в § 13, то можно непосредственно перенести на рассматриваемый случай полученные там результаты. Таким образом, получим

(30.72)

(30.72)

(i + g'2)2U "(i + g2//2)21’’

где полином Р(21о) определяется формулами § 13, В итоге для конечного преобразования приводимого представления, распадающегося на прямую сумму зацепляющихся неприводимых представлений, получим [49]

(30.73)(30.73)

(30.73)

(30.73)

Эти выражения для конечных преобразований представлений, соответствующих уравнениям для частиц с различным спином, находят применение при решении различных вопросов теории, в частности, при вычислении матричных элементов различных взаимодействий (см. § 36). При этом матрицы Р^1^ (q (+)) и Pf.Xg-'" О коммутируют между собой.

Плоские волны (свободные частицы)

В соответствии с фундаментальными идеями де-Бройля, лежащими в основе квантовой механики, любой свободной частице сопоставляется плоская волна. Поэтому волновую функцию, удовлетворяющую уравнению (30.7), будем искать в виде

-ф = ф°ег>*, фО _ фО(р),(31.1)

где рх = ркхк = рх — р0х01 р = (рк) = (р, гр^ — четырехмерный вектор энергии-импульса частицы. При этом мы полагаем скорость света и постоянную Планка равными единице (с = Й = 1). Согласно теории относительности для 4-импульса справедливо соотношение

р2 = р2 _ р2 = _ тг$ р2 = р2 + т?1(312)

где т — масса покоя частицы, ро — ее энергия. Подставляя (31.1) в (30.25), получим после сокращения на eipx алгебраическое уравнение для амплитуды волновой функции

(W + тп) 1р° = 0.(31.3)

Введем матричный оператор

Р = 1РкЧк-(31.4)

Отбрасывая нулевой индекс при ф0 = ф° (р), получим уравнение

(р + тп)ф = О.(31.5)

Аналогичным путем из (30.26) получается уравнение

ф(р-тп) =0.(31.5')

Основной задачей является отыскание ф(р). Для этого удобно воспользоваться методом проективных операторов (см. П.5), который предполагает знание минимального полинома матрицы р. Общий вид последнего можно найти из соображений, аналогичных тем, с помощью которых был найден минимальный полином оператора с (см. (12.4)).

Умножим соотношение (30.18) справа на Т-"1 и затем на ipi—в результате получим ТрТ"х = i^ Lklpb HoL^p^ = Р^есть вектор р, преобразованный с помощью матрицы Лоренца L. Учитывая (31.4), придем к соотношению

^-1 = ^, р'= Lp.(31.6)

Но это равенство полностью аналогично соотношению (12.2), из которого следует форма (12.4) минимального полинома для с.

Таким образом, по аналогии мы можем сразу написать выражение для минимального полинома матрицы р

Р(р) = рт(р2 + ^2р2) (р2 + ^2р2) • • • (р2 + ^Р^ = 0. (31.7) Как и в § 12, здесь используется то свойство, что единственный инвариант, который можно построить из 4-вектора р, есть его квадрат (в различных степенях).

Заметим, что соотношения (30.33), (30.33') могут быть написаны в виде

ПР+ = РП» (ЧР')* = ПР1 Оп^=3ч-(31Л^

Рассмотрим систему покоя частицы и временно заменим постоянную m в (31.5) на тп°. В системе покоя р = 0, р^ = im, Р = — ш^, где m — масса частицы, и уравнение (31.5) принимает вид

74ф = Хф, X = тп?]тп.(31.8)

Очевидно, X есть собственное значение матрицы у4, и если оно известно, то масса частицы находится из равенства m = тп°/Х. Следовательно, если матрица у4 имеет различные по величине собственные значения, то им соответствуют различные массы. Таким образом, уравнение (31.5), вообще говоря, может описывать частицы, которые могут находиться в состояниях с различными массами покоя. Минимальное уравнение (31.7) в системе покоя принимает вид

Р (т4) = (т4)г [(т4)2 - М] [(т4)2 - М]... [(у4)2 - X?]=о, (31.9) т. е. Xi, Хг, ..., входящие в (31.7), являются собственными значениями матрицы у4. Из (31.9) ясно, что у матрицы у4 ненулевые собственные значения всегда входят парами ±Х. Из (31.8) следует, что противоположным знакам X отвечают противоположные знаки т. Отрицательным значениям т соответствуют античастицы, о которых речь будет ниже. При X = 0 т = = тп°/Х = оо, поэтому нулевым собственным значениям матрицы у4 не отвечают какие-либо физические состояния частицы. Из рассмотрения исключаются матрицы у4, имеющие комплексные собственные значения, поскольку им соответствовали бы комплексные массы.

Среди ненулевых корней X минимального полинома (31.9) в общем случае могут быть и совпадающие. Однако из физических соображений случай кратных ненулевых корней должен быть исключен из рассмотрения.

Чтобы показать это (см. [40]), рассмотрим выражения для тензора энергии-импульса и вектора тока в случае плоской вол-

вы с фиксированным вектором р. Подставляя (31.1) в (30.36), получим

Еы = ipi*^ = ipidi-(31.10)

Пусть минимальное уравнение (31.7) или, что то же самое, (31.9) имеет ненулевой кратный корень М, т. е. скобка(р2— Х^т?^ входит в некоторой степени п > 1. Написав Р(74) = (74 — — M^i(l4) = 0, мы определим Pi(^4) ^ 0 как соответствующий усеченный минимальный полином (см. П.5). Нетрудно видеть, что кратность корня Х\Ш повлечет за собой условие [^(к4)]2 == = 0*). Рассмотрим выражение Q = Pt (у4) Л^Рх С?4)* Согласно (30.27) ,у4+т] = цу4, поэтому и Р^Су4)?) = цР^у4), следовательно, (? = t^ITM'Y4)]2 = 0. Величина Q представляет собой матрицу, элементы которой получаются путем умножения строк матрицы Pi" (у4) на тп4 и затем на столбцы матрицы Р^'у4). Но среди столбцов Р\^^ как показано в П.5, содержатся жордановы собственные векторы матрицы 74, отвечающие собственному значению Xi, а среди строк Pt (у4) содержатся те же векторы, комплексно сопряженные. Поэтому среди элементов матрицы Q будут содержаться (с некоторыми коэффициентами) величины ф*т)'у4<ф = 'ф'у4!)) = /4. Равенство их нулю означает согласно (30.37) отсутствие заряда, а значит, и тока. Действительно, величины /* преобразуются как компоненты мирового вектора. Чтобы убедиться в этом, вычислим jk = гр'^гр^ где ф' = Т^ а хк = Ьк1хг. Имеем

fk = (ту) /т^ = (Т-ф)*^*^^ = ^*Т+ПТ*^-

Но согласно (27.35), (30.19)

rW? - (rV) (fV?) - т)£мТ'х следовательно,

fk = ^П^ытЧ = Ьк1 (т^Ч) = ЕмЬ- (31.11)

Поскольку движение с импульсом р может быть получено путем перехода от системы покоя с помощью преобразования буста (22.22), то полный вектор тока получается путем того же преобразования из своей четвертой компоненты в системе покоя. В самом деле, если / = (0, /<)> то из (31.11) следует, что 1к — bkdi = LkJ±. Поэтому, если заряд (/<) равен нулю в системе покоя, то / = (д) будет равен нулю в любой системе. Но тогда в силу соотношения (31.10) равен нулю также тензор энергии-импульса Е^.

♦) Наоборот, из этого равенства следует кратность корня Хь

Итак, мы доказали, что если минимальный полином матрицы р (31.4) содержит кратные ненулевые корни, то им отвечают такие волновые функции, которым соответствуют нулевой заряд и энергия частицы [40]. Поскольку всякая частица должна иметь энергию, то уравнения (31.5), обладающие таким свойством, следует исключить из рассмотрения, и мы можем считать, что в минимальных уравнениях (31.7), (31.9) все ненулевые корни М, Хг, .,., X, однократны.

Как было показано выше, различным X соответствуют различные массы частицы. Если ограничиться случаем, когда частица имеет одно значение массы покоя и который представляет наибольший физический интерес, то минимальное уравнение (31.9) будет иметь вид (т4)г[ (74)2 — X2] = 0. Очевидно, в этом случае всегда можно нормировать матрицу 74 так, чтобы X2 = 1. В результате мы приходим к фундаментальному выводу о том, что для любой одномассовой частицы минимальное уравнение матрицы 74 должно иметь вид

W) = (T4)r[(T4)2_l]=0(31.12)

и, соответственно, минимальное уравнение матрицы р (см. (31.7))

Р (р) = ? G2 - тп2) = 0.(31.13)

Поскольку последнее равенство является тождеством относительно р = (j)^, то из него следует, что минимальное уравнение (31.12) справедливо не только для у4, но и для любой матрицы *у\ входящей в (31.3):

pw = (т №)2 -1] = о. (31.14)

Таким образом, оказывается, что для любых одномассовых частиц такие важные их характеристики, как минимальные полиномы матриц ч\ могут различаться лишь кратностью г нулевого корня полинома.

Рассмотрим простейший случай г = 0. При этом имеем согласно (31.13),(31.4) — (рк!к>)2 = т2 = — р2 = — ркрм или

Pk^Pil1 = б^РкРь что можно написать в виде PkPiVxl2Vtk4l + + ^к) — бы] = 0. Ввиду тождественности этого соотношения относительно ph, можно опустить множители pkpi (именно для этого и произведена симметризация: 4k4x^M2VtK4l А* 4l4KYh и мы получим соотношение (см. (30.3))

^Y + lY = 26«-(31.15)

Нетрудно убедиться, что в общем случае из (31.14) следует соотношение

2 ?*т'тт • • • Vs = 2 ^мТ • • • Y^(31.16)

рр

где 2 означает сумму по всем перестановкам индексов к, I, р

т., .s. Эти равенства определяют алгебру матриц релятивистских волновых уравнений. Алгебра (31.15) называется алгеброй Дирака.

Поскольку ^к^е^ = грк^е^, то уравнение (31.13) остается справедливым при замене р = гр^ на V — N^* При этом, однако, следует также заменить тп? = — р2 на V2 = V*- В результате согласно (30.7) и (31.13) имеем уравнения

(V + ^) ^ = 0, vr (V2 — V2) = 0. (31.17)

Согласно первому^уравнению ф = —т-х^ ф. Итерируя, получаем ф = (— zn-1v)r^ = (— тп-1 v)r+2^- Но согласно второму уравнению vr+2 = V2Vr» поэтому

(V2 — ТП2)ф = 0, (V2 —^2)^a = 0, ф = (фа). (31.18) В этом уравнении слева стоит скалярный оператор Клейна — Фока (см. (30.1)). Таким образом, каждая компонента волновой функции одномассовой частицы удовлетворяет уравнению Клейна — Фока. Согласно (31.5) рф = — тп^ т. е. ф есть собственный вектор матрицы р, отвечающий собственному значению — т. Но из (31.13) следует, что матрица р имеет также собственный вектор ф', отвечающий противоположному по знаку собственному значению:

(р — т) ф' = 0. (31.19)

Эту ситуацию можно интерпретировать несколько по-иному. А именно, изменение знака можно относить не к тп, а к р, и писать (—р + тп)ф' = О. Дело в том, что решения исходного дифференциального уравнения (30.7) в виде плоских волн (31.1) существуют для всевозможных р, удовлетворяющих условию р2 = —тп2 (31.2). Каждое из этих решений определяет некоторое возможное состояние свободной частицы. Поэтому можно сказать, что совокупность всех состояний делится на два множества, элементы которых отличаются друг от друга заменой Р = (Р> ip^ на — р = (—р, — 1р0). Изменение знака трехмерного импульса р-> — р означает движение частицы с той же скоростью в противоположном направлении. Более радикальным является изменение знака четвертой компоненты, т. е. энергии. Поэтому разделение всей совокупности состояний на два упомянутых множества естественно производить следующим образом: к одному множеству относить все состояния с любыми ри ро = | р01 > 0 (их называют положительно-частотными состояниями)^ к другому — состояния также со всевозможными р, но с р0 = — |р0| (отрицательно-частотные состояния). Еще пол- 18 ф. и. Федоров

века назад Дирак показал (для случая электрона), что адекватная теория необходимо должна учитывать обе эти совокупности состояний.

Решения ф' уравнения (31.19) могут быть получены очень просто в общем виде из волновых функций ф — решений уравнения (31.5). Умножим уравнение (31.5) слева на оператор I представления полной инверсии (30.59). Вследствие свойства (30.58) он антикоммутирует с р:

Гр =. - р/,(31.20)

поэтому Цр + тп)ф = (~р + тп)7ф = 0, откуда следует, что ^ = ^ = ^(-р)(р-^-р).(31.21)

Таким образом, если ф — совокупность всех положительно-частотных решений, то /ф дает совокупность всех соответствующих отрицательно-частотных решений основного уравнения (30.7). На основании (30.38), (30.59) сразу получим

Ф=(Ф+, "Ф-), Ф' = Ок, — Ф-к (31.22)

Таким образом, действие оператора 1 сводится к изменению знака у ф_ (или у ф+).

Мы дадим теперь чрезвычайно простое доказательство одной весьма важной общей теоремы теории элементарных частиц. Выражение для вектора тока (30.37) имеет вид

А = Ф*тпЧ-(31.23)

Вычислим это выражение для состояния, описываемого функцией ф' (31.21). Напомним, что оператор I (30.59), как и ц (27.47), обладает свойствами

I = T=I* = Z+ = Z-1.(31.24)

Поэтому ф'* = (/ф) * = ф*/ и (см. (30.58))

/^ = гр'*цулгр' = ф*1т)<ук1ф = — гр* (Zt]Z) у^гр. (31.25)

Но в случае целого спина согласно § 30 1т\1 = ц, следовательно, К = — jk. В случае полуцелого спина 1т\1 = — Ц и А = ]к. Таким образом, для любой частицы целого спина всегда возможны такие состояния гр и гр', в которых А, а значит, и заряд частицы, имеют противоположные знаки. Иными словами, заряд частицы с целым спином индефинитен. Для частиц с полуцелым спином из равенства jk—jki разумеется, нельзя сделать вывода о дефинитно- сти заряда, так как оно относится лишь к соответствующим состояниям гр и гр', а не ко всем возможным.

Обращаясь к тензору энергии-импульса (31.10), получаем противоположные свойства, поскольку Ем содержит множитель р,

изменяющий знак при переходе от ф к ф' (см. (31.21)). Следовательно, для частиц с полуцелым спином энергия индефинитна.

Оба этих утверждения составляют содержание теоремы Паули [39], которая обычно доказывается путем более сложных рассуждений (см., например, [41]).

Отрицательно-частотные решения (31.21) не могут рассматриваться как волновые функции состояний частицы с отрицательной энергией (и массой), поскольку последние в силу ряда обстоятельств физически неприемлемы. Эти решения связывают с состояниями частицы, в которых она обладает противоположным знаком заряда при тех же массе и спине — состояниями античастицы. Различие в знаке заряда может сказаться лишь в результате взаимодействия с электромагнитным полем. Последнее вводится в уравнения (30.7) путем замены Vh на Vh~ гДе е — заряд частицы, Лк — вектор-потенциал электромагнитного поля. Таким образом, волновое уравнение для заряженной частицы в электромагнитном поле имеет вид

(т'(^-^)+тп)ф = О.(31.26)

Если ф® — волновая функция соответствующей античастицы, то уравнение для нее должно иметь вид (е->—в, ф->ф®)

Ш^к + ieA^ + тп)ф® = 0.(31.27):

Уравнению (31.27) должно соответствовать уравнение, получающееся из (31.26) путем умножения на матрицу представления полной инверсии Z:

VtXVk — ieAK) — m^' = 0, ф' = /ф.(31.28)

Чтобы найти связь ф® с ф', возьмем комплексное сопряжение от (31.28) и умножим его на матрицу т). Поскольку (см. (30.27)) тп®* = — ^Л» ЦТ4* = Т4тЬ то

П ^к* (Va + ieAt) — m) Ч'* = — ^к (Vh + ^А) + ”0 ЯЧ'* = °- (31.29)

Здесь туф'* =■ цТЧ* = ± ^14* = ±^Ч = ± Ч', причем знак «+» («—») соответствует целому (полуцелому) спину. В результат» уравнение (31.29) принимает вид

(?(Vb+ «А^ + m^ = 0.(31.30)

Предположим, что существует постоянная матрица С, обладающая свойством

С^=^С.(31.31)

Тогда, умножая (31.30) на эту матрицу, получим уравнени» (31.27), где

(31.32)(31.32)^ = С^'.

(31.32)

(31.32)

В следующем параграфе мы найдем матрицу С для частиц со спином О, V2, 1. Функция гр® называется зарядово-сопряженной по отношению к гр, а С — матрицей зарядового сопряжения*).

Описание спиновых свойств частиц

Согласно результатам предыдущего параграфа волновая функция гр (31.1) свободной частицы при заданном импульсе р находится из алгебраического уравнения (31.5) как собственный вектор (в пространстве представления группы Лоренца) линейного оператора (матрицы) р. Поскольку гр определена в пространстве приводимого представления группы Лоренца, содержащего несколько неприводимых зацепляющихся представлений (см. § 30), то она содержит ряд компонент (ниже мы увидим, что их число не может быть меньше четырех). Матрица р для одномассовой частицы (см. (31.13)) имеет лишь два ненулевых собственных значения ± т (второе из них связано с античастицей). Отсюда ясно, что в общем случае уравнению (31.5) при фиксированном р должны удовлетворять несколько линейно независимых функций гр. Причина этого вырождения хорошо известна — при заданном р состояния частицы могут различаться за счет спиновых проекций.

Как обычно в квантовой механике, классификация различных гр, являющихся решениями уравнения (31.5), может быть осуществлена по собственным значениям дополнительного оператора, коммутирующего с р. Такой оператор легко находится из условия релятивистской ковариантности (31.6). Предположим, что преобразование Лоренца// = Lq таково, чтор' = Lqp = р.Тогда первое уравнение (31.6) примет вид ТрТ-х = р или

Tqp=pTq. (32.1)

Но если/^р = р, то совокупность таких Lq образует малую группу Лоренца (см. § 23), принадлежащую вектору 4-импульса р. Итак, матрицы представления Tq, отвечающие преобразованиям малой группы, образуют совокупность операторов, коммутирующих с р, которая может быть использована для общего определения спинового оператора свободной частицы. Отсюда ясна роль малых групп Лоренца в теории элементарных частиц.

Векторная параметризация группы Лоренца позволяет весьма просто изложить теорию спиновых свойств элементарных частиц [14, 48—53]. Согласно (23.7), (23.8) общее выражение для вектор-параметра малой группы имеет вид "

q = qP = (1 — iv^a, v = plp6. (32.2)

♦) Применяющийся в литературе термин «матрица зарядового сопряжения» относится к матрице (/ = CL которая вместо (31.31) обладает свойством C'y* = — укС' (см., например, [41—47]).

Мы ввели здесь вместо ^ (23.9) обозначение ?р, поскольку с — скорость частицы — целиком определяется заданием р. Поскольку вектор 4-импульса частицы времениподобен (р2 = — тп2 < 0), то, как показано в § 23, принадлежащая ему малая группа изоморфна группе вращений 50(3).

Вместо конечного преобразования представления Tq в качестве оператора, коммутирующего с р, гораздо удобнее выбрать инфинитезимальный оператор того же представления, полностью определяющий Т (см. § 26), который мы здесь обозначим

<т = ст (gp) = — i ^qpIw + 9р^Н), аР = Ра- ' (32-3)

Поскольку он линейно зависит от др и д* и умножение ®р на любой вещественный множитель не играет роли, то следует нормировать вектор-параметр др (32.2):

^ = q^ = &- [саР = а2 (1 - и2) + (га)2 = 1.(32.4)

Заметим, что, поскольку при времениподобном р имеем v2 < 1, то такая нормировка при любом а всегда возможна.

Вектор-параметр (32.2) малой группы можно представить в другом виде. Рассмотрим равенства (32.1), (32.2) в системе покоя частицы (р = v = О, р = р° — (О, Im), qp = q° = g0*)

Tqop» = p°Tqo.(32.5)

Перейдем теперь с помощью преобразования буста (см. § 22) к системе отсчета, в которой частица движется с импульсом р. Согласно (22.21), (22.22)

р = L.ittp% и = р/(р0 + т).(32.6)

Полагая в (31.6) р' = р, р = р°, получим

T-i«P°Ti„ = р, р° = TtopT-itt.(32.7)

Подставим это выражение для р° в (32.5):

ТqoT\ирТ-га = ТiaP?-гиТq*

ИЛИ

Тр = рТ,(32.8)

где (см. (3.24))

Т = T_ittTq.Tiu = Tqt q = <- ги, q«, iu) = O_ittq«. (32.9) Равенство (32.8) совпадает с (32.1), следовательно, совпадают и вектор-параметры (32.2) и (32.9). Обозначив g°= д°* = с, с2 = lt получим

qp — (1 tv ) ct — О—^цСеqp — (1 tv ) ct — О—^цСе(32.10)(32.10)

qp — (1 tv ) ct — О—^цСе

qp — (1 tv ) ct — О—^цСе

(32.10)

(32.10)

Отсюда

c = Oia(l-iDX)a.(32.11)

A priori не ясно, что это равенство должно удовлетворяться, потому что с и a — вещественные векторы, а О^ (1 — zvx) = х — комплексная матрица. Однако (см. [53]), если вспомнить, что согласно (21.19) Id = <iut 1и>г O-io = 0<-ш %-u> = (1 — ^х)/(1 + +^х)$то можно написать

х = О^а (1 Id ) = 0$а0(_$а%-1а> (1 И- Id*') =

= 0_<Д1+и>х) = х*((32.12)

откуда следует, что на самом деле х вещественна. Зная и (32.6) а нетрудно вычислить матрицу х

х = 1+= х = -^ (О„ +<?_„)= — fl 4- —Лт-хУ (32.13)

1 + а2 2 '1 Ро \ m + "О/

Представляет интерес выражение для обратной матрицы

X"1 = 1 - 2^ = * (Рга 4- O-i«) = Re Oia = -^ f 1А4—Л-

1 —в22 v ш 1т \ рДр0 + т))

(32.14)

Подчеркнем, что изложенные рассуждения и, в частности, соотношение (32.11) справедливы только для малой группы, принадлежащей времениподобному вектору р, так как только тогда существует преобразование буста (32.6).

Основной вывод из вышеприведенных рассуждений заключается в том, что для частицы, движущейся с произвольным импульсом р, существует оператор а, коммутирующий с оператором р, имеющий вид (см. (32.3), (32.10), (32.11))

o = -i [(O_iac) lw + (Ojec) Z(-)]

ИЛИ (поскольку Oy«c = сО^и = cO^ia)

a = cS, S = - i ^ОШ1М + CUJ^Y (32.15)

Здесь с — произвольный единичный вещественный трехмерный вектор. Оператор а имеет вид проекции вектор-оператора S на единичный вещественный вектор с, который мы называем осью спиновых проекций. Оператор 8 и есть вектор-оператор спина частицы, движущейся с импульсом р.

Напомним, что согласно (26.3)

= 4- (± ^О4V 8obcJbc),(32.16)

где Jkl—инфинитезимальные операторы представления группы Лоренца в тензорной параметризации. В системе покоя частицы в = 0 и оператор о (32.15) принимает вид

O* = cS°, S^-ifj^ + I^), 80а=4-8аЪе^в- (32.17)

При этом компоненты S2 удовлетворяют обычным перестановочным соотношениям для момента количества движения*)

№?}- = isobcS°.(32.18)

Общий вектор-оператор 8 (32.15) можно представить следующим образом (см. (32.14), (32.17)):

5 = S (р) = —L [(Ote + O_ie)(z<+> + /(->) +

+ (OtB - О.и^ - 1^) ] = x^S» + f-^Vz^» - ZH) — и J

или, поскольку (см. (32.6)) 2o/(l — u2) = plm,

S^ = x^S0 + m-1 [p, 1^ — ZH]. (32.19)

Раскрывая это выражение с учетом (32.14), (32.16), (32.17), получим для компонент вектор-оператора S

SM = ^ ^[(рЛь-;^) ^-Згр^4]-(32.20)

Введем антисимметричную 4 X 4-матрицу

~/ (х-1с)х 1т-1 [ср]\

а = -а=/, ар = 0. (32.21)

\— im [ср] 0)

Тогда с ее помощью общий оператор о можно написать в виде о = — iat a = -у a^ JM.(32.22)

Матрица а есть не что иное, как антисимметричный тензор, который согласно (18.11) можно сопоставить вектор-параметру малой группы (32.10) Чр = О—и0*Матрица а есть не что иное, как антисимметричный тензор, который согласно (18.11) можно сопоставить вектор-параметру малой группы (32.10) Чр = О—и0*а=а^ =а=а^ =Ке(°-шс)Х-ilm (O_iec)Ке(°-шс)Х-ilm (O_iec)iIm(0_jec)0iIm(0_jec)0(32.23)(32.23)

Матрица а есть не что иное, как антисимметричный тензор, который согласно (18.11) можно сопоставить вектор-параметру малой группы (32.10) Чр = О—и0*

Матрица а есть не что иное, как антисимметричный тензор, который согласно (18.11) можно сопоставить вектор-параметру малой группы (32.10) Чр = О—и0*

а=а^ =

а=а^ =

Ке(°-шс)Х

-ilm (O_iec)

Ке(°-шс)Х

-ilm (O_iec)

iIm(0_jec)0

iIm(0_jec)0

(32.23)

(32.23)

В нашей трактовке особенно просто определяется изменение оператора проекции спина a = a (gp) = о (gp, gp) при произволь-

♦) Или, что то же самое, для инфинитезимальных операторов группы вращений (11.18).

ном преобразовании Лоренца Lq. Как всякий оператор, заданный в пространстве представления, о изменяется по формуле

а' = ТчоТ"ч\(32.24)

Поскольку вообще (см. (3.24))

Т (q) Т (др) Т (- g) = Т «д, др, - q^ = Т (Oqqp^ (32.25) или, в более подробной записи, т к», ^ Т ^ ^ Tk-q, -q.4=Tk<L ^У < = OqqPl (32.26) a o = o^qpi g) (см. (32.3)) есть инфинитезимальный оператор представления Tqp1 то

а' = а (д', д'*) = - i lq'Iw + ^*1Н\(32.27)

т. е. изменение о сводится к замене qp на д', причем (см. (32.10)J д' = Oqqp = ОчО_шс.(32.28)

Соотношения (32.10), (32.26), (32.28) показывают, что при определении вектор-параметра малой группы и его изменений при переходе к другой системе отсчета основную роль играют преобразования комплексной группы вращений 50(3, С).

На основании (32.9), (32.10), (32.17), (32.15) имеем

Г-г«о°Ла = о(р)(32.29)

или

T.ittS°Tia = S(p).(32.30)

Таким образом, общий вектор-оператор спина S (32.19) частицы с импульсом р получается из соответствующего оператора 5° покоящейся частицы с помощью преобразования представления Т-<и, соответствующего лоренцову преобразованию буста (32.6). При этом вектор с оси спиновых проекций остается неизменным.

Поскольку оператор а(дР) (см. (32.3)) коммутирует с оператором р при любом векторе с, входящем в выражение (32.10) для др,то отсюда следует, что для частицы, движущейся с произвольным импульсом р, может иметь определенное значение проекция ее спина на любое направление с*).

Одной из основных задач релятивистской кинематики является следующая. Пусть в некоторой системе отсчета задано состоя-

ние частицы, в котором она имеет импульс р и определенное значение проекции спина на некоторую ось с. Спрашивается, каково будет состояние частицы в любой другой системе отсчета, т. е. после применения произвольного преобразования Лоренца Lqx. На основе векторной параметризации группы Лоренца эта задача получает чрезвычайно простое общее решение (см. [50], [14], [53]). Что касается импульса р' частицы в новой системе отсчета, то он находится известным путем: р' —Lqip, где qx—вектор- параметр соответствующего преобразования Лоренца. Оператор проекции спина о (32.8), (32.15) полностью определяется заданием вектора 5Р, а последний, в свою очередь, заданием р и с (см. (32.6), (32.10)). Поэтому можно написать

9р О-гиС = q (р, с).(32.31)

Согласно (32.28) при преобразовании Лоренца Lqi этот вектор переходит в следующий:

9' = 9 (p'l с') = OqA {Р^ с) OqP-га^с — 0<qit-ia>Ct (32.32) где и (р) = р/(р0 + т) (см. (32.6)). Из равенства р' = Lqx р, подставляя р = L-ittp9, р' = L-itt*p0, получим L-itt*p°=L^1L„ittp° или

L ^“', #1» “ ’“» Р° = Р°«“' = р'Чро + т).(32.33)

Поскольку р° = (0, im), то отсюда следует, что'

<гю', 9i, — t»> = п= п*(32.34)

есть вещественный вектор, определяющий некоторый пространственный поворот. Этот поворот называется вагнеровским вращением (см., например, [45]). Согласно (32.34)<?i,— iu') = <—iu'x п)$ следовательно (см. (32.32)),

Ч' ~ Ч kp' i ^ = 0<-ги'% п>С = О_^а'О№С.

Сравнивая с (32.31), можем написать

q (р^ с') = О.^с1, с1 = Опс.(32.35)

Таким образом, в общем случае при произвольном преобразовании Лоренца Lqx импульс р частицы переходит в p'=Lqxpx а ось спиновых проекций с испытывает вигнеровское вращение: с1 = Опс.

Поскольку левая часть равенства (32.34) вещественна, то можно написать

<^', 91, “ *»> = О’»', 91, “ *»>* = <“ 1и^ Ч*г ™\

откуда следует соотношение (см. (21.19), [53])

Ч* = \iuf, zV, qlt — in, — zw> = <zV, qu — zv>, (32.36)

где v = p/Poi v' = p'/pOe

Чтобы вычислить вектор-параметр в вигнеровского вращения (32.34), представим qv в форме (21.39)

8i = <i»u "i>-(32.37)

Тогда р' = L1xp = LiutLn,p = biH1pL причем

Pi = ЬП1р = (pi, 1р0), pi = ОП1р = (р0 + тп) ОП1и. (32.38)

Используя выражение (20.54) для Е^аи получим

//9/®1*®1/ Рг \

Р = i«,Pl - Pl + 1_и2 в2 )’

откуда следует

(*—;)'';+2(-Ау.)-.(32.38Э

Р0 + т (1-в1)(т + ^о)~2(в1Р1-^ев1)

Выражение (32.34) для в можно написать в форме (см. (32.37))

в = «iu'w iui>, <пъ — гв».(32.39)

Сначала находим согласно (21.3), (32.38')

х Ч»' + °i) ~ lB'Bi] i (р; + (т - р„) В1) - [рХ]

V" г ‘“1/. ।/

1 + в В1р0 + т — в1р1

_ i(Ottlu-u4^-\O„u, в,]П1_((1_„х)ОпВ

—1 _ «^„о1ги> —1 + i«xB •

Подставляя эти выражения в (32.29), находим, после некоторых вычислений с помощью приемов, изложенных в П.1,

(32.40)

1 —^(Ц-»! )»

Таково самое общее явное выражение для вектор-параметра вигнеровского вращения—оно получено здесь впервые. Использование векторной параметризации позволило получить его в простой и компактной, легко обозримой форме.

В частном случае, когда преобразование Лоренца ЬЧи сводится к чистому движению (^ = 0, qt = iu^, вектор-параметр вигнеровского вращения равен [56], [14], [53]

п = <za', iuu — iu> = [»i»]/(l — u^.(32.41)

Заметим, что согласно (32.34)

<9н — t»> = <— iu\ ”>,(32.42)

т. е. — гю' и п появляются как результат представления вектор- параметра <Яц — г»> в соответствии с (21.39) в виде композиции чисто мнимого и вещественного векторов. Этот результат может быть сформулирован в виде общего утверждения (по существу равносильного (32.36)), не связанного со спиновыми свойствами, а являющегося лишь следствием закона композиции вектор-па- раметров:

Произведение преобразования буста, отвечающего некоторому импульсу р, на произвольное лоренцово преобразование ♦) равно произведению вигнеровского вращения на преобразование буста, отвечающее результирующему импульсу р'. Это утверждение можно рассматривать как определение вигнеровского вращения.

Рассмотрим еще некоторые частные случаи соотношений (32.35), (32.40). Если преобразование Лоренца является чистым вращениемLCn то в (32.37) ик = 0, пх = Сх и согласно (32.40) п=Сх- Таким образом, в этом случае

Р' = (У, ipo) = (ОС1р, гр^, с' = ОС1с, (32.43)

т. е. импульс р и ось спиновых проекций с испытывают одинаковый пространственный поворот ОС1.

Представляет интерес случай, когда преобразование Lqt относится к малой группе, принадлежащей вектору р, т. е. (см. (32.10))

5i — O—ittCx) р = LqiP = р«(32.44)

При этом согласно (32.32)

fl' — 0<^lt-i«>^ = О ^O«^ttCx) ^^) ^*

Но (см. (3.22)) <Р-гиСх1 — и*> = <— г», Сх), следовательно,

Ч* = °qA (Рг ^) = O-XttOCxc — 5 (р, с'), с' = ОСхс. (32.45) Таким образом, с помощью преобразования малой группы, принадлежащей 4-импульсу р, можно, не меняя импульса частицы, повернуть ось спиновых проекций произвольным образом.

Нетрудно найти также вектор-параметр преобразования Лоренца, не меняющего оси спиновых проекций, но преобразующего импульс р в любой другой заданный импульс р' (разумеется, при р'2 = р2). Это преобразование играет роль, обратную предыдущему преобразованию. Поскольку с остается неизменным, 1b в (32.34) должно быть п = 0, следовательно,

5х = < — iu ^ ш>,

Ч' = @qi4 (Pf с) = ^-Ш'Ла^-Ш^ = O-iu'^ = ? (Р » CV (32.46) С помощью найденных выше преобразований мы можем без тРУДа решить теперь следующую наиболее общую задачу: пусть

♦) Подразумевается собственное и ортохронное.

заданы рис для некоторой частицы — найти такое преобразование Лоренца Lqn чтобы эти векторы приняли некоторые другие, произвольно заданные значения р' и с'. Иными словами, нужно найти такой вектор-параметр q^ чтобы

q (р', с') = Oqiq (р, с), р'2 = р2, с'4 = с4 = 1. (32.47) Искомое преобразование можно провести в два этапа. Сначала согласно (32.45) ищем такое 91, при котором импульс р останется без изменения, а ось с принимает направление с*. Для этого должно быть (см. (32.44), (2.16))

9^ = 0-^ с, = £ (с + С^ + М/(1 + сс^ (32.48) где | — произвольное вещественное число. В результате мы получим вектор q(p, c'Y Применяя к нему преобразование (32.46) с вектором 91 = <— ги*, ш), получим вектор-параметр результирующего преобразования в виде (см. (3.23))

91 = <9ь 9i> = <— г“\ г“. O-iuC^ = <— in', cu iu>. (32.49) Тот же результат можно получить, выполняя преобразования (32.45) в обратном порядке.

Волновую функцию состояния частицы с импульсом р и значением s проекции спина на ось с будем записывать в виде ^(р, с). Она должна быть собственной функцией операторов р и а

(р + т?) i|)s (р, с) = 0, (о — s) т|), (р, с) = 0. (32.50)

При любых преобразованиях Лоренца Lqx операторы р и о преобразуются аналогично (32.7), (32.9)

Р' = TqxpT_qxX o' = TqxoT_qn р' = Lqxp (32.51) и соответственно волновая функция

ips = Tq^^p., с). (32.52) При таком преобразовании значение проекции спина $, как и любое собственное значение, не изменится, т. е.

о'грз = sips, ips = ips (pz, c'Y (32.53) где p' и с' определяются согласно (32.10), (32.25), (32.51). Таким образом, рассмотренные выше преобразования (32.31) — (32.49) позволяют от функции ^(р, с) переходить к функциям с любыми р' и с', но с тем же самым $, т. е. без изменения значения проекции спина.

Однако не представляет труда построить операторы, которые будут изменять волновую функцию состояния с любыми р и с

таким образом, что она будет описывать состояния с теми же р и с, но с любыми возможными значениями проекции спина 5. Для этого нужно лишь учесть, что операторы Sa удовлетворяют тем же перестановочным соотношениям (32.18), что и инфинитезимальные операторы представлений группы вращений (см.

Операторы So(p) отличаются от Sq преобразованием подобия, поэтому и для них будут иметь силу те же перестановочные соотношения (32.18). Но эти соотношения полностью определяют (при заданном представлении) и спектр собственных значений проекций спина, и свойства волновых функций (см. §§ 10—12). Поэтому мы можем применить к S«(p) те же рассуждения, которые в § 12 привели к операторам е = е/, е* = =е+, где е— круговой вектор: [се] = — ie (см. (12.5')). В полной аналогии с этим мы можем построить операторы [57], [53]

a+= eS (р), a_ = e*S(p), (32.54) которые будут действовать на волновую функцию ф, (р, с) по формулам (12.9)

^±^S (р» с) = а^Ч«±1 (р, СУ (32.55)

где (см. (12.20)) а^ = VXU (I т s) (I ± s + 1), I — значение спина.

Таким образом осуществляется переход к волновым функциям, отвечающим любым значениям проекции спина. Наличие такой возможности является существенным во многих случаях и, в частности, при расчете вероятностей переходов между различными состояниями (см. § 36).

Мы можем резюмировать полученные выше результаты следующим образом. Для того чтобы прийти от состояния гр8 (р, с) частицы с произвольным спином к любому другому возможному состоянию *ф8 (р^ с'^ с тем же значением проекции спина s, достаточно применить к волновой функции гр8 (р, с) (преобразование представления группы Лоренца ТЧх с надлежащим значением вектор-параметра q^ (32.49). Чтобы изменить значение проекции спина s, нужно подействовать на волновую функцию операторами (32.54), которые, хотя сами и не являются операторами представления, но построены из его инфинитезимальных операторов /(±).

Указанные свойства позволяют сделать выводы относительно зависимости вектора тока ]к = ф^ф и тензора энергии-импульса (см. (31.10)) Е^ = ip^t от различных спиновых состояний частицы. Как показано в § 31 (см. (31.11)), ]к действительно ведет

себя при преобразованиях Лоренца как числовой вектор*). Поскольку ]к для свободной частицы зависит только от 4-вектора (рк^ (и не зависит от координат х^, то из соображений ковариантности возможно лишь следующее выражение для jk:

J* = Срк,(32.56)

где С — скаляр_ (инвариант). Поэтому инвариантом будет и свёртка i]kpk = Tppip = iCpl— — im^C. Пусть qx есть вектор-параметр малой группы, тогда согласно (32.45), (32.52) преобразование ТЧ1 будет менять лишь ось спиновых проекций

^VP = т^з (Р, <0 = 'Фз (Р, с^ = гр'. (32.57)

При этом гр'ргр' = гр* Tqxx\pTqx^. Поскольку ТЧх есть преобразование представления малой группы, принадлежащей вектору р, то pTqx — ТЧхр. С другой стороны^ всегда (см. § 27) Т+т)Т»=т), следовательно, гр рф' = iphjk = грргр = iphlk^ Отсюда следует Н = /а- Таким образом, мы доказали, что вектор тока (а значит, и тензор энергии-импулъса ipjji) свободной частицы не зависит от того, на какое направление спроектирован ее спин.

Рассмотрим теперь изменение значения проекции спина на фиксированную ось с. Такое изменение осуществляется по формуле (32.55) с помощью операторов о± (27.35). Из (33.16) следует, что o+ti = тщ, но (см. (32.15)) o = cS(p), и поскольку с произвольный вещественный вектор, то при любом р

5+(p)i]=nS(P)-(32.58)

Отсюда вытекает, что

(а^+т) = (eS)+r) = e*s+4 = ne*S = т^-(32.59)

и аналогично (o-)+i)*= т)°+* Снова рассмотрим ф'рф', где (см. (32.55))

Имеем

^'р-ф' = (rJ±ip8)*TlP^±^Pe = 4>з (ст±)+11Р<т±^.(32.60)

Как показано выше, (о±)+т) = Т)от. Далее, поскольку ор = ра, или (cS) р = P\CS^ при любом с (см. (32.3)), то S (р) р = pS (р),, значит, и о±р = ро±. В результате соотношение (32.60) принимает вид

“^^siiPa^^ii («s^^iPl^i = ^Р°т ("±^8)-(32.61)

♦) Мы употребляем термин «числовой вектор», чтобы отличать рассматриваемую величину от вектор-операторов, например S, 1^ц т. д.

Но ат (<т±ф,) = а^±)<ТтЧ*з±1— a^’aSi^* = (а«±))а'Ф« согласно (12.25> В результате получаем из (32.61)

^.±1Л*±1 = Ч’-Р'Ф» или ^±пЧ±1 = МЧ- {32.62} Тем самым строго доказано, что вектор тока и тензор энергии- импульса свободной частицы с любым спином не зависят ни от направления оси спиновых проекций с, ни от значения проекции спина 5 на это направление.

Очевидно, никакое собственное (и несобственное) ортохрон- ное преобразование Лоренца не может изменить знак четвертой компоненты времениподобного вектора (§ 22), в частности, /^ Сопоставляя вышесказанное с результатами § 31, относящимися к дефинитности заряда и энергии, мы приходим к следующему фундаментальному выводу: свободная одномаосовая частица в случае целого спина всегда имеет дефинитную энергию и индефинитный заряд, в случае полуцелого спина — наоборот. При этом изменение знака заряда в первом случае и энергии — во втором может произойти только в результате преобразования полной инверсии (§ 31), т. е. переходя к античастице. Этот вывод обосновывается приведенным выше рассмотрением всех возможных состояний одномассовой частицы и соответствующих значений вектора тока /.

Заметим, что в современной научной литературе в подавляющем большинстве случаев ограничиваются рассмотрением состояний частиц с определенным значением проекции спина на импульс (а не на какое-либо другое направление). Такие состояния получили название спиральных, а само значение проекции спина на импульс соответственно называется спиральностью. Ясно, что такой подход является весьма частным по отношению к развитому в данном параграфе. Широкое использование спиральностей,, вместо рассмотрения проекций спина на любое направление обусловлено прежде всего значительным упрощением соотношений, поскольку вектор-параметр (32.10) при с||р||ю просто сводится к с (см. (2.9)) и малая группа в этом случае не только изоморфна, но и совпадает с группой вращений. Поэтому рассмотрение спиральностей движущихся частиц становится аналогичным рассмотрению спина покоящихся частиц.

Однако векторная параметризация настолько упрощает всю трактовку спиновых свойств частиц, что ограничение рассмотрением только спиральностей становится совершенно неоправданным. Кроме того, имеются и другие существенные обстоятельства^ которые лишают спиральность преимущественной роли при описании спиновых свойств частиц.

В самом деле, из (32.35), (32.38), (32.40) следует, что если сВр|1ю, то с' = One не будет параллельно и'. Проще всего можно убедиться в этом на примере преобразования (32.45), не меняю-

щего р, но меняющего с. Это означает, что если проекция спина на импульс (спиральность) частицы равна $, то при переходе к другой лоренцовой системе отсчета это же значение s будет иметь проекция спина на другое направление с', а не на новый импульс частицы ^p'Y Иными словами, если в некоторой системе отсчета о есть оператор спиральности, то при переходе к другой системе отсчета он преобразуется в новый оператор о', который не будет оператором спиральности. Следовательно, спиральность не является характеристикой частицы, инвариантной по отношению к преобразованию Лоренца.

Обычно при описании процессов рассеяния частиц с использованием оператора спиральности приходится проектировать спины падающих и рассеянных частиц каждой на свое направление импульса. Между тем соотношение (32.2) естественным образом приводит к возможности описывать спиновые состояния систем из двух любых частиц с помощью проекций спина на одно общее направление [50], [14].

Поставим задачу: найти такой вектор-параметр q^ чтобы одновременно Lqp = р и Lqp' = р', где р, р' — два произвольных 4-импульса различных (или одинаковых) частиц. Согласно (32.2) для этого должно быть (1 — ivx) а =(1 — 1ох^а', откуда следует а' = а, [vaj — [v'a'] = [v — v', a] = 0, или

a —C(v —v'), (32.63)

где С — произвольное вещественное число. Соответствующий комплексный вектор-параметр (32.2) имеет вид

q = С (v — v' + i [vv']) = Схг <— zv, zv'>. (32.64)

Направление a (32.63) обладает тем свойством, что проекции на него спина обеих частиц одновременно будут иметь определенные значения. Как следует из вывода, это будет справедливо и в том случае, когда обе частицы имеют различные массы. Отметим, что согласно (32.63) указанное направление а параллельно вектору относительной скорости обеих частиц. То, что такой вектор может играть особую роль для систем двух частиц, вполне естественно. Однако интересно то, что это есть относительная скорость в классическом нерелятивистском смысле, хотя вся теория является строго релятивистской.

Метод проективных операторов в теории частиц

Волновые функции *ф (31.1) свободных частиц находятся как решения линейных однородных алгебраических уравнений (31.5) или, иначе говоря, как собственные функции оператора р:

(33.1)(33.1)р^ = —mip.

(33.1)

(33.1)

Хотя в уравнении (31.5) не учитываются никакие взаимодействия, однако решения вида (31.1) играют во всей теории элементарных частиц самую фундаментальную роль. В частности, с их помощью строится матрица рассеяния (см., например, [43]), в которой учитывается и взаимодействие частиц.

Поскольку общий вид минимального полинома для оператора р известен (см. § 31), то при отыскании функции ф, являющейся решением уравнения (35.1), может быть использован метод проективных операторов [58], общие математические основы которого изложены в П.5. Ограничиваясь случаем одномассовых частиц), используем минимальное уравнение (31.13) для матрицы р:

Р (р) = рт ^ _ т2) ^ Ое(33.2)

Чтобы найти решение уравнения (33.1) (р + ^)ф = О, записываем (33.2) в виде

Р(?) = (р + т)Р+(р) =0, Р^ = ^-™)^. (33.3)

Согласно (П.5.9) проективный оператор для решения ip (33.1) равен

(33.4)(33.4)= Р+(р) = р r (р — т)+ р^ (_ т) 2 (_ ту^

(33.4)

(33.4)

Аналогично для решений уравнения рф = тпф, соответствующих античастицам, получим Р^ —кР — т)Р-кр) = 0» Р- кР) = = рЧрЛ-тп^ откуда следует

(33.5)(33.5)= Р- ^ = рг (р + т)P-W W^ '

(33.5)

(33.5)

Подчеркнем, что для возможности построения операторов х± существенно то, что ненулевые корни минимального полцдома Р(р) (33.2) однократны. Это будет обеспечено, если мы заранее исключим возможность наличия нефизических состояний с нулевой энергией ([40], § 31),

Как правило, каждый из операторов х+ и х- выделяет подпространство пространства представлений, имеющее несколько измерений. Число измерений этих подпространств равно следу проективных операторов х± (П.5). Если след равен п, то это означает, что уравнения (р ± т) ф = 0 имеют при заданном импульсе р по п независимых решений. Можно показать, что всегда

(х+),= (%-)/. Действительно, матрица р согласно (31.4), (30.41) /0 а\.

имеет структуру , так же как любая ее нечетная степень, \Р

Напротив, всякая четная степень матрицы р имеет структуру /р 0\

. Поэтому отличными от нуля могут быть только следы от \0 v /

четных степеней р (или ^, Если г —четное, то (х+)( = = (рг) +/2тг = (х-)(. При нечетном г также (х+)«= (рг+1)(/ (2тг+х = (х_)ь

Различные независимые решения уравнения (33.1) (так же как уравнения (р — 7п)-ф = 0) отличаются за счет проекций спина (§ 32), т. е. они являются решениями уравнения (см. (32.50))

охр = sip(33.6)

для различных значений проекции спина s на некоторое направление с. Оператор проекции спина о (32.3) коммутирует с р. Уравнение (33.6) тоже удобно решать методом проективных операторов (см. П.5). Для этого необходимо знать минимальный полином матрицы о. Но о лишь преобразованием подобия (см, (32.29)) отличается от о0 (32.17), поэтому о и о0 имеют одинаковые минимальные полиномы. Поскольку о0 = cS° (32.17) и вектор-оператор 8° удовлетворяет тем же перестановочным соотношениям (32.18), что и соответствующий инфинитезимальный вектор-оператор 7 группы вращений (см. (11.18)), то минимальный полином оператора о при любом импульсе р будет иметь тот же вид (12.26) или (12.27), что и минимальный полином для c—cl. Поскольку с2 = 1,то для целого спина s будем иметь

Р(о) = 0^ _ I) (02 _ 4) ... (02 _ s2) = о (33.7)

и для полуцелого спина

Р (а) = (а2 - 4") (а2 - 4") " 1 ^ ” (2s + 1)2/4) 01 (33-8>

Зная минимальный полином о, можно построить (см. П.5) проективный оператор

^ = Pft(o)/Pft(sA), (o-sA)PA(o) =Р(о) = 0,(33.9)

выделяющий из любой волновой функции х|) содержащуюся в ней часть, отвечающую проекции спина, равной sA. Согласно (П.5.29') имеет место тождество

SpA^i,(ззло>

к

поэтому для любого состояния -ф можно написать

^S^» ^a = M> °^ = Mv (зз.н)

Эти соотношения определяют разложение любого состояния на состояния, отвечающие всевозможным проекциям спина sh.

Поскольку {ор}_ = 0, то (см. П.5) проективный оператор, выделяющий состояние, отвечающее заданному импульсу р, знаку ±т и проекции спина sM будет равен произведению операторов (33.4) (или (33.5)) и (33.9):

т(±) = х±рА = р,х±.(33.12)

Так как соответствующее состояние единственно, то согласно (П.5.16) должно быть

тШ^грШ.ф.(33.13)

Здесь предыдущий вектор диады ф^ является вектором рассматриваемого состояния. Последующий вектор ф нам пока неизвестен, однако его нетрудно определить. Для этого достаточно учесть, что матрица р и матрица инвариантной билинейной формы q удовлетворяют соотношению (31.7')

рт) = цр+.(33.14)

С другой стороны, согласно (27.40) цГ (g, д*) = Г (д*, д)т]. Поскольку оператор проекции спина о (32.3) есть инфинитезимальная часть оператора представления Т, то для него справедливо то же соотношение

Л» (д, д*) = о (g*,,g) Л-(33.15)

Согласно (32.3) a (g, д*) = — t (,qlw + д*7(-)), причем (/(±))+ = = — 7(±) (см. (11.16)). Поэтому о+(д, д*) — о (д*, д), и вместо (33.15) можно написать

° (д. д*) л = чст+ (з> д*)-(зз.1б)

Следовательно,

роп = ПР+°+(33.17)

и такое же соотношение справедливо для любых степеней рк и о1. Поэтому матрица т(±) удовлетворяет тому же соотношению (33.14), что и р : т^’п = Ц (т1±))+« Подставляя сюда правую часть равенства (33.13), получим

з|).фгр= п('|’*ф) + = ПФ*(33.18)

Умножая это соотношение слева на любой вектор %, справа на ц 19*

и учитывая свойства (27.47), получим ф^= С-ф, где число С равно Х^Ф*^^- Отсюда следует для проективного оператора т = Тд^ выражение

т = Сф-ф. (33.19)

Так как матрица т проективна и выделяет единственное состояние, то (см. П.5)

т, = Сфф = 1.

(33.20)

Поскольку ц — эрмитова матрица, то "фф = ‘Ф*т)'Ф -

- вещественное

число, поэтому С также всегда вещественно. Заменяя ф_на С ф,

можно нормировать С на +1 при фф > 0 и на —

1 при фф < 0.

Следовательно,

т^0 = x±pft = ± фл^-фл*’

(33.21)

или короче:

т = ±ф-ф^

(33.21')

причем соответственно имеет место нормировка

фф = ±1.

(33.22)

Вместо этой инвариантной нормировки часто

употребляется

нормировка по заряду, согласно которой

фЧ4ф = ±1.

(33.23)

Переход от одной нормировки к другой осуществляется весьма

просто, если учесть, что согласно (33.1)

фрф = —тпфф.

(33.24)

С другой стороны (см. (32.56)),

Фт*ф = Срк.

(33.25)

Умножая на грк и сравнивая с (33.24), получим /Ср2 = — iCm? =

= — тпфф. Следовательно, С=— (^тп)фф и согласно (33.25)

ФК4Ф = Cpt = <р0/т)фф.

(33.26)

Таким образом, при нормировке (33.22)

ФТ4Ф = ±pdm.

(33.27)

Если же взять нормировку (33.23), то

фф = ±т1рй.

(33.28)

Соответственно при такой нормировке мы получим вместо (33.21)

Т = ±(роМ)ф(±) ’Ф(±).

(33.29)

Как показано в предыдущем параграфе, для частиц с целым опином ф'^4ф' = — 1 лишь в том случае, если ф' отличается от ф преобразованием полной инверсии (т^ е. ф' относится к состоянию античастицы). При этом ^'ф' = фф = тп/|ро|, так как при нижнем знаке в (33.28) нужно также изменить знак у ро вследствие полной инверсии. Итак, в случае целого (полуцелого) спина возможна такая нормировка:

Целый спин

Полуцелый спин

Частица

Античастица

Ф^^л, ^ф=т/|р0|

■^ Yif'=—i .V’l’^"i/ipol ^(±1,1|)(±)= (т/|рор Т(±)

1ру4Х|?= 1, Iplp—7Z&/lpol ipW=l, ф'1р'=—т/|р0| ip± if^ = + (т/|р0|)т±

(33.30)

Если же нормировать по формуле (33.22), то соответственно получим

Целый спин

Полуцелый спин

Частица

Античастица

W=l, ^^Ipol/m ^V^l, t'Y,'l’'=—l₽o|''m

фф=1, ^Ч=|р0|/т

^'ip'=—1, ip'Y4^'—|p0|//n

(33.31)

Мы видим, что во всех случаях знак нормировки (33.22) соответствует знаку энергии.

Итак, знания минимальных полиномов операторов рис достаточно для того, чтобы получить в инвариантной форме решение уравнения (33.1) для любого состояния свободного поля, нормированное по условиям (33.22) или (33.23), знаки в которых связаны с дефинитностью энергии или заряда соответственно.

Из формулы (33.21) следует для вектора тока выражение

14 = Ф7йф = ± W) ((33.32)

и соответственно (см. (31.10)) для тензора энергии-импульса

Еы = ±1рк(т^) ь(33.33)

Знак, например, в соотношении (33.32) определяется уже известным образом: для целого спина знак «+» отвечает частице, а «—» — античастице; для полуцелого спина /*=.(т7к)< во всех случаях.

Мы видим, что хотя проективная матрица т дает не саму волновую функцию ф, а диаду ±ф-ф, тем не менее такие фундамев-

тальные величины, как заряд и энергия поля, выражаются непосредственно через т согласно (33.32), (33.33). Это обстоятельство имеет общее значение, и все основные билинейные по гр выражения, имеющие прямой физический смысл, вычисление которых является главной задачей теории, могут быть выражены непосредственно через т.

Рассмотрим, в частности, вероятность перехода некоторой частицы из состояния ipi в состояние грг в результате некоторого взаимодействия. Как известно, общее выражение для этой вероятности пропорционально квадрату модуля соответствующего матричного элемента перехода:

w ~ I фг^ф! |2 = (^Ipi) * (^ti), (33.34) где Q — оператор, вид которого определяется характером взаимодействия. Так как

Сф2<?^1)* = ^*^*^1 = ^1<?+Т1^2 = ^Ч^^г, то (33.34) можно написать в виде

U? -~ Ipt^^-Т^2)<24|1= [^('ф2--ф2)^,(-ф1--ф1) ]#,

где Q = ц^+т]. Согласно (33.21) tpripi = Ti, гр2-'ф2 = Т2, где Ti, Т2 — проективные операторы (33.12), (33.21), (33.2Г) для состояний ipi и гр2 соответственно. Знаки опущены для краткости. Таким образом, вычисление вероятностей переходов или эффективных сечений для различных процессов в общем случае сводится к вычислению следов от произведения операторов:

w~ (Q^QtxV (33.35)

Так как вычисление следов может быть осуществлено инвариантным путем, то выражение (33.35) может быть получено без использования явного вида матриц чк в каком-либо частном базисе.

Очень часто при вычислении различных эффектов взаимодействия приходится находить соответствующие вероятности, просуммированные по спинам конечных состояний и усредненные по спинам начальных состояний. В выражении (33.35) суммирование по спинам осуществляется чрезвычайно просто. Согласно (33.10) для частицы со спином s выражение (33.35), усредненное по опинам начального состояния и просуммированное по спинам конечного состояния, будет иметь вид (см. (33.21))

(33-М> 81,8»

При этом предполагается, что оператор Q не зависит от спина частицы.

В качестве еще одного применения метода проективных операторов вычислим с их помощью общие перестановочные соотношения для вторично квантованных волновых функций частиц с произвольным спином. Как известно (см., например, [43] ^ во вторично квантованной теории волновые функции i|)(#) и *ф(^) рассматриваются как операторы, действующие на вектор состояния многочастичной системы в пространстве, где переменными являются числа частиц, находящихся во всевозможных состояниях (числа заполнения). Такая операторная волновая функции представляется в виде суперпозиции

^(ж) =S«nW*) + ^’(я). (33.37) п

где гЩя)— волновая функция отдельной частицы в n-м состоянии, а величина ап является оператором, действующим на числа заполнения n-го состояния. Операторы аи подчиняются перестановочным соотношениям

{^n^ml^F ~ Snm, {anam}z^ = |а+а+]^- — 0, (33.38) где знак «—» соответствует частицам, подчиняющимся статистике Бозе — Эйнштейна (статистикесимметричных состояний), азнак « + » — частицам, подчиняющимся статистике Ферми — Дирака (статистике антисимметричных состояний).

В рассматриваемом нами случае системы свободных частиц с произвольным спином, описываемых релятивистским волновым уравнением (^Vh-t- тп)1р = О, волновые функции всех возможных состояний имеют вид (см. (31.1)) ^(zkp^exp^dzipx^ где индекс s нумерует спиновые состояния при заданном импульсе. Соответственно представление (33.37) будет иметь вид

•ф (х) = (2л)"3/2 2 f l^ [as (Р) 'l’’ (Р) е‘₽“ +

S и

+ at(-p)^(-p)e~ipx]. (33.39)

Здесь (dp) = dpidp2dp3, а (2л)~3/2 — обычный нормировочный множитель. Для сопряженной функции 1|)(х) получим аналогично ф (х) = (2л)~3/г [ (dp) [4 (р) ? (р) е-^ 4- at (- р) ? (- р) е**.]

(33.40) Обозначим at (—р) = &s(p), as(—- р) = bt (р) и вычислим выражения {'фa(^,), ^(ж")}:? (ос, Р —индексы компонент ip), полагая, что операторные амплитуды ав(р) = а8Р1 Ъ8^ру= Ъ8Р подчиняются соответствующим перестановочным соотношениям (33.38)

\aspi a«Vk = 1ь«р, b«VU = 6ss'6 (p — p'), (33.41) а все остальные коммутанты (антикоммутанты) величин а и Ь

равны нулю. В результате получим, полагая х'— х" = х, {%(*'), ^Wh =

= (2л)-3 2 J (dp) [фа (р) Фр (р) eipx т ф*а (- р) ^ (- р) e-ipx].

Мы можем отбросить здесь индексы компонент и написать это соотношение с помощью диадной символики в виде [58]

= (2л)-32{ (dp) [ф8(р)-?(р)е,рх =Рф’(-р).?(-р)е-^].

5(33.42)

Нетрудно видеть, что при условиях (33.41)

{ip(a:z) -ф(И}* = {ФЬ') *Ф(*")Ь = 0.(33.42')

До сих пор мы не делали различия между целым и полуцелым спином. Теперь учтем, что при целом спине (при нормировке (33.23)) согласно (33.29), (33.30)

Ф8 (± Р)-Ф8 (± Р) = (т/| Ро |) т^ = (тп/| р01) х± (р) р,. (33.43)

Аналогично при полуцелом спине имеем ф*(±р)-ф*(±р)= ±WIPo|)x±(p)P..(33.44)

Здесь мы вместо ^^(см. (33.13)) пишем ф*(±р).

Предположим вначале, что целый спин квантуется с коммутатором, а полуцелый — с антикоммутатором. Подставляя в (33.42) при верхнем знаке соотношения (33.43), а при нижнем знаке — (33.44), получим в обоих случаях справа одинаковое выражение [58]

(Ф W • Ф Wb = (2л)-3т ( £ [х+ (р) eipt - х_ (р) е^У (33.45)

Сумма 2 исключается вследствие соотношения (33.10). Очевидно, справедливо равенство

х± (р) e±ipx = хд (± V) е*'”*, V = V*^, ж согласно (33.4), (33.5)

±tP) 2(+m)r+1'

Нетрудно убедиться, что х-(—V)= x+(4-V), поэтому x-VpVt,e = х-(—V)e-,,” = x+f+VJe-**.

При этом соотношение (33.45) принимает вид

(тр (ж')(ж")}т = тп (2л)"8х+ (v) f(-^ (eipx — e"ipx) =

= -2ix+(V)AeW, (33.46) где

Ao (ж) = (2л)-3 [^- elp* sin рА(33.47)

— инвариантная дельта-функция. При х0 = О имеем Ао(ж, 0) = О, а поскольку До (я) —инвариантная функция, то она обращается в нуль для любого пространственноподобного мирового вектора (я2>0).

Если сделать обратное предположение, а именно — что целый спин квантуется с антикоммутатором, а полуцелый—с коммутатором, то, повторяя те же рассуждения, мы придем к соотношению (33.45), в котором справа вместо минуса будет стоять плюс, В результате получим [58]

{гр(х') -^(лг")}^ = 2Tnx+(V)Ai(x),(33.48)

где

Д1 (х) = (2л)-8 [ ^ eipx cos РА-(33.49)

Эта инвариантная функция не обращается в нуль при пространственноподобном векторе ж (ж2 > 0). Именно это обстоятельство заставляет отбросить вторую возможность, приводящую к соотношениям (33.48), (33.49).

Физические основания, приводящие к такому выводу, заключаются в следующем. Если две мировые точки ж' и ж" соединены пространственноподобным интервалом ж = ж' — ж'\ ж2 > 0, то согласно принципу относительности любые процессы, происходящие в таких точках, протекают независимо друг от друга. Математически на языке квантовой теории это выражается в том, что операторы любых физических (наблюдаемых, измеряемых) величин, относящихся к одной и к другой точке, должны коммутировать между собой. Возьмем для примера операторы заряда /4 = гр (ж') у4гр (ж') и /4 = гр (я") у4ф (ж") и рассмотрим их коммутатор {гр (а/) у4гр (я'), гр (ж") у4гр (#")]- =

= ТаР^-р- {^ (ж') фр (ж'), фа. W фр, ^1, В случае целого спина для ж2 > 0 при условиях (33.46), (33.42'У все функции коммутируют между собой, поэтому [У^]- = 0, как и должно быть. В случае полуцелого спина при тех же условиях

все функции антикоммутируют, следовательно, их произведения по две — коммутируют, т. е. также получается правильный результат {7'4/<|_ = 0.

Если же принять перестановочные соотношения (33.48), то коммутация операторов тока, взятых в точках, разделенных пространственноподобным интервалом, не будет иметь места, что противоречит принципу причинности. То же самое будет справедливо и в отношении других операторов физических величин, билинейно выражающихся через ф и ф, в частности, оператора энергии-импульса. Поэтому вторую возможность (33.48) следует отбросить. Тем самым мы доказали в общем виде известную теорему Паули: частицы с целым спином подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна, а частицы с полуцелым спином — статистике Ферми — Дирака.

§ 34. Уравнения для частиц со спином 1/2, 0, 1

0 ^Л .l^! 0 Г0 ^Л .l^! 0 ГЗадача нахождения релятивистских волновых уравнений, описывающих элементарные частицы с тем или иным значением спина, сводится к отысканию соответствующих матриц *хк (см. (30.7)). В § 30 было установлено, что при разбиении волновой функции по классам ±1 или ±8: ф = (ф+, ф-) матрицы ^к должны иметь следующую структуру — для целого спина (см. (30.54), (30.53)):

0 ^Л .l^! 0 Г

0 ^Л .l^! 0 Г

(34.1)(34.1)°4

(34.1)

(34.1)

-МпЧ °/

П1Т12 =Т12П2, Щу^ = У1г112;

для полуцелого спина (см. (30.56), (30.57)):

0 ?Ч 4 = f ° ^ -П17;2П1 о/ 7 W^ о;’(34.2)

Т?2 = - ЛхТ^^Пг. 7?, = Т] iT^Tli-

Дальнейшие сведения о блоках у*2 матриц у* можно получить только с помощью основного условия ковариантности (30.19) при использовании преобразований собственной группы Лоренца и ее представлений. Введем четырехмерный матричный вектор 7 = = ^к>). Тогда соотношение (30.19) можно переписать в виде

ЧТ = Т(Ь^.(34.3)

Поскольку (см. (20.18)) L = s+(8)s-(g*) и

«± (?) = (1 +?±)//1 + ?2,е;1 (5) = е± (— д),

то из (34.3) следует

(6+ (- д) у) Г (д) = Г (g) (е_ (д*) у).(34.4)

Здесь нужно иметь в виду, что матрицы L, е± действуют на верхние индексы матрицу^, и поэтому их можно переставлять с матрицами Т, действующими на нижние индексы. Применим соотношение (34.4) к случаю бесконечно малых преобразований (|д|<1), когда (см. § 26)

е+ (— 5) = 1 — ?+,8_ (д*) = 1 + д*,

Т (д) = 1 + 2gZ(+) + 2g*ZH.(34.4')

В результате получим

(!-»+)?) (l + 2gZ<+) + 2g*ZH) =

=(1 + 2gZ(+) + 2g*Z(">) ((1 + gl) у).(34.5)

Операторы д± можно написать в виде

nn r(±) n НзВ

(34.6)

где согласно (20.3)

' 0

0 0 ± n00 1 0 1

т(±) _0

o—l 0.(±) _ 00 0 ± 1

-0

100 ’ Ja—1 0 0 0’

(+ 1

0 00 J0 +1 0 0 ,

0—100 1

j(±) _ 1 000

“ 0 00 +1

.(34.7)

10 0 + 1 0

Отсюда следует, что

№)ье = - 80ЬС, №Xt = -= ± бо6. (34.8)

Приравняем в (34.5) отдельно члены, содержащие независимые векторы 5 и д*:

2у (gZ(+)) — g+y = 2 (gZ(+)) у, 2у (g*ZH) = 2(g*Z (~ 0 у + 9-У»

2g (yZ(+) - Z(+)y) = g+y, 2g* (yZ(-) - Z(-)y) = g* у или, наконец, учитывая (34.6),

t. e.t. e.2 {yZ(±))- = J(±)y, 2 №>)_ = Л^у, (34.9)

t. e.

t. e.

2 {y^l- = (Л^ыу'.(34.10)

Здесь также нужно помнить, что I^ действует на нижние индексы v^v, а У^— на верхние. Поскольку а= 1, 2, 3, то условия (34.9) содержат шесть матричных уравнений для четырех матриц f . Однако не все они независимы. Подставляя (34.8)

в (34.10), получим

2 №>}_ = - еоЬсус ±(34.11)

2 {у^Ч- = 4= 60bV6 = т у°.(34.12)

Все матрицы J^ удовлетворяют соотношению («Т^)^— 1 (здесь по а не суммируется, что обозначено точкой). Поэтому, умножая (34.9) на J^, получим

(34.13)

ИЛИ

Т* = 2{/;±,,(/;±,)1,т,}_.(34.14)

Если фиксировать индекс к, то в (34.14) справа, ввиду антисимметрии матриц J^\ будет отсутствовать матрица ^\ Таким образом, согласно (34.14) каждая из матриц ^к может быть шестью способами выражена через три остальные, благодаря возможности выбрать а = 1, 2, 3 и любой из знаков ±. Формулы (34.14) с учетом (34.8) принимают вид

v‘-2{e.MV-T6.iV<,/'f)_,(34.15)

У* = 3= 2^= ± ^-lyVS1’!..(34.16)

Взяв сумму и разность уравнений (34.11), (34.12) для верхнего И нижнего знака, получим

- ео6сус = |у\ ^ + Л~Т,(34.17)

(у4, ^а+) + ^о"’!- = 0,(34.18)

W = l?b, l^-^)-,(34.19)

-/-{т4,^-^}-.(34.20)

Разность уравнений (34.16) для обоих знаков эквивалентна соотношению

(т -7; + z; j_ =°-(т -7; + z; j_ =°-(34.20')(34.20')

(т -7; + z; j_ =°-

(т -7; + z; j_ =°-

(34.20')

(34.20')

Их сумма совпадает с (34.19) (при а = Ь).

Согласно (34.20) все матрицы уа выражаются через 74. Таким образом, для отыскания всех чк достаточно найти одну матрицу Y4, поскольку 1^ заданы. Для отыскания у4 могут быть использованы соотношения (34.18). Кроме того, итерируя уравнение (34.13), получим, поскольку = — 1»

(/<)т —р; V"^1»!-’1» )- = _Ц^; )_'; )_• (34.21)

Таким образом, каждая из матриц ^к удовлетворяет каждому из шести уравнений (34.21) второго порядка относительно инфинитезимальных операторов 7^ \ Уравнение (34.21) можно написать в виде

(7^) У + ТА ^Y ~ ^f^^^ + 1/4^ = °- (34-)

В частности, из него следуют дополнительные к (34.18) соотношения для 74.

До сих пор наше рассмотрение свойств элементарных частиц имело общий, универсальный характер и относилось к частицам с любым спином, описываемым с помощью релятивистских волновых уравнений первого порядка (30.7)*). В этом параграфе мы рассмотрим простейшие из таких уравнений, которые используются для описания частиц с наименьшими значениями спина.

Исходным пунктом для построения любого релятивистского уравнения является определение набора неприводимых представлений группы Лоренца. Последние, как мы знаем, задаются двумя весами I и V (§ 25), принимающими целые и полуцелые значения. Выпишем ряд простейших представлений:

(

4 \ / 4 \ / 4 4 \ 0 4} (4 °)’ (4 4)« (°1)» (^ °)»

(4- 4 (4 4-)» (^^ (° 4)» (4 °) • • • <34->

Учитывая-результаты § 30, чтобы построить уравнение, которое может быть получено из вариационного принципа, следует брать либо представления типа (Z, Z), либо пары представлений (Z, Zz) ®(Z\ 0- Далее нужно, чтобы все взятые представления относились к классам ±1 (или ±е), причем обязательно должны присутствовать представления обоих классов. Наконец, необходимо, чтобы все взятые представления могли быть соединены между

собою цепочкой зацеплений (§ 30). Простейшие наборы представлений, удовлетворяющих этим требованиям, имеют вид

(34.24)

(34.25)

(34.26)

(34.27)

и т. д. Напомним, что размерность всего представления равна сумме чисел (2Z + 1) (2Z' + 1). Таким образом, для схемы (34.24) размерность равна 4, для (34.25)—5, (34.26)—10, (34.27)—16. Простейшей — во всяком случае, по размерности пространства — является схема (34.24). Мы и рассмотрим ее в первую очередь.

Поскольку представления (34.24) относятся к классам ±8, то искомое уравнение (30.7) будет описывать частицы полуцелого спина. Задача заключается в отыскании вида матриц 7*. Согласно (30.56) они должны иметь вид (34.2)

(34.28)(34.28)0 v5A а / о ??2МД о ) х \-п^п, о

(34.28)

(34.28)

(34.29)(34.30)(34.29)(34.30)причем (ом. (30.17))

(34.29)

(34.30)

(34.29)

(34.30)

Yu = ’ll?# 'll Yu = - 1ЪТ^П1>

оЩоЩгде (см. (30.51))

о

Щ

о

Щ

— матрицы представления пространственной инверсии и билинейной формы соответственно. В нашем случае представление (34.24) является неприводимым представлением полной группы Лоренца. Поэтому согласно (27.41) можно взять т| = П, T]i = Пь Представления ^0-~) и ^-~ о) двумерны, следовательно, П и?^"- 2Х2-матрицы. Операторы представлений ^0-^ и ^-|-0j могут быть написаны в виде (см. (25.13)) ТйХ^ = Г° (д) ® Тш (д*) и у 1/20 = ^/2 ^ ^ ^о ^*) соответственно. Но Т° — тривиальное

mQl/2 7^1/2 /„ 7^1/20

единичное представление, поэтому 1= 1\Ч) и 1—

= Т1^ (д). Матрица Пл согласно § 27 должна переставлять сомножители в прямом произведении Т°® Т1/2, но переставлять здесь нечего, так как Г° = 1, поэтому П1 = r]i является единичной 2Х2-матрицей

ц = П =ц = П =0 0 10 0 0 0 1 10 0 0

ц = П =

ц = П =

0 10 0)

Следовательно (см. (34.28), (34.29)),

«4 __ «4+*12*12 ’«4 __ «4+*12*12 ’Y® — — ,ма+12*12Y® — — ,ма+12*120 Т?2\ ар т?2\

«4 __ «4+*12*12 ’

«4 __ «4+*12*12 ’

Y® — — ,ма+

12*12

Y® — — ,ма+

12*12

Т?2 0/’ Т \-^2 О/

(34.31)(34.31)Отсюда следует, что

(34.31)

(34.31)

W О/ W о/

т. е. матрицы 7* в данном случае эрмитовы, как и должно быть при ц = П (см. § 30).

Общая матрица преобразования представления (34.24) принимает теперь вид (см. (25.18), (25.27), (13.41) — (13.43))

т/ Г1/2 (5*)0\\0Г1/2(»)/т/ Г1/2 (5*)0\\0Г1/2(»)/1 + ('72) а а' Т4 ; а2 °" (34.32)1 + ('72) а а' Т4 ; а2 °" (34.32)

т/ Г1/2 (5*)0\

\0Г1/2(»)/

т/ Г1/2 (5*)0\

\0Г1/2(»)/

1 + ('72) а а

' Т4 ; а2 °" (34.32)

1 + ('72) а а

' Т4 ; а2 °" (34.32)

где о« — инфинитезимальные операторы представления Т1/2 группы вращений (матрицы Паули). Таким образом, в данном случае

— РLJ°a °\(ЗА QQ\

° “ 2 (О nJ’ 1аО/(d4.dd)

Условие (34.18) для 74 (34.31) сводится к ^j3» = ^аЧ^- Но матрицы Оа образуют неприводимую совокупность, поэтому коммутирующая с ними матрица у|2 должна быть кратна единичной. Полагаем у?2 = 1л при этом

(34.34)(34.34)Т4 = (° Ц = п = П.

(34.34)

(34.34)

\1 о/ 1

С помощью (34.20) находим

Y° = {4+) - lV\ т*}- = (.° ~ г°4•(34.35)

V°a 0 /

Легко убедиться, что найденные матрицы к* удовлетворяют со-

отношениям (30.3). Согласно (32.17) оператор проекции спина имеет в данном случае вид (в системе покоя частицы)

О =О =а2^ = 0, (34.35'

О =

О =

следовательно, спин частицы, описываемой уравнением (30.7) с матрицами 7* (34.34), (34.35), равен 1/2. Полученное уравнение есть знаменитое уравнение Дирака, описывающее электроны и позитроны.следовательно, спин частицы, описываемой уравнением (30.7) с матрицами 7* (34.34), (34.35), равен 1/2. Полученное уравнение есть знаменитое уравнение Дирака, описывающее электроны и позитроны.Выпишем полностью матрицы (34.34), (34.35) с учетом (13.4)-(13.43) ат = /0 Г' - l0-iX11 ° VВыпишем полностью матрицы (34.34), (34.35) с учетом (13.4)-(13.43) ат = /0 Г' - l0-iX11 ° V(ОООО 0 — г(ОООО 0 — гV = Oi(i ОV = Oi(i ОооооОООООО((Г =Г =о о оо о о(—1(—1О о 1 оО о 1 оо 1 о оо 1 о о\i о-п\i о-п<^3<^3При ЭТОМ ричны:При ЭТОМ ричны:о о оо о о>>,з,з(ОО(ООо оо о— i Oi— i Oir= i Оr= i О10 — I(О О 1 0110 — I(О О 1 01о о оо о о11 О ’О)11 О ’О)т =т =матрицы 71 и 73 антисимметричны,матрицы 71 и 73 антисимметричны,ооО 0 1О 0 11 0 0 0е 0 10 01 0 0 0е 0 10 0(34.36)(34.36)а 72 и 74 — симмет-а 72 и 74 — симмет-7I —— ^1 «уЗ ——^з 72 —— 72 7^ == 7'В соответствии с алгеброй Дирака имеем1*4* + 11Хк = 26«-7I —— ^1 «уЗ ——^з 72 —— 72 7^ == 7'В соответствии с алгеброй Дирака имеем1*4* + 11Хк = 26«-(34.37)(34.37)(34.38)(34.38)

следовательно, спин частицы, описываемой уравнением (30.7) с матрицами 7* (34.34), (34.35), равен 1/2. Полученное уравнение есть знаменитое уравнение Дирака, описывающее электроны и позитроны.

следовательно, спин частицы, описываемой уравнением (30.7) с матрицами 7* (34.34), (34.35), равен 1/2. Полученное уравнение есть знаменитое уравнение Дирака, описывающее электроны и позитроны.

Выпишем полностью матрицы (34.34), (34.35) с учетом (13.4)-(13.43) ат = /0 Г' - l0-iX11 ° V

Выпишем полностью матрицы (34.34), (34.35) с учетом (13.4)-(13.43) ат = /0 Г' - l0-iX11 ° V

(ООО

О 0 — г

(ООО

О 0 — г

V = Oi

(i О

V = Oi

(i О

о

о

о

о

О

О

О

О

О

О

(

(

Г =

Г =

о о о

о о о

(—1

(—1

О о 1 о

О о 1 о

о 1 о о

о 1 о о

\i о

-п

\i о

-п

<^3

<^3

При ЭТОМ ричны:

При ЭТОМ ричны:

о о о

о о о

>

>

,з

,з

(О

О

(О

О

о о

о о

— i Oi

— i Oi

r= i О

r= i О

10 — I

(О О 1 01

10 — I

(О О 1 01

о о о

о о о

11 О ’

О)

11 О ’

О)

т =

т =

матрицы 71 и 73 антисимметричны,

матрицы 71 и 73 антисимметричны,

о

о

О 0 1

О 0 1

1 0 0 0е 0 10 0

1 0 0 0е 0 10 0

(34.36)

(34.36)

а 72 и 74 — симмет-

а 72 и 74 — симмет-

7I —— ^1 «уЗ ——^з 72 —— 72 7^ == 7'

В соответствии с алгеброй Дирака имеем

1*4* + 11Хк = 26«-

7I —— ^1 «уЗ ——^з 72 —— 72 7^ == 7'

В соответствии с алгеброй Дирака имеем

1*4* + 11Хк = 26«-

(34.37)

(34.37)

(34.38)

(34.38)

Квадрат каждой из 7* равен единице, и все они между собой антикоммутируют. Легко убедиться, что матрица

у5 — у1^2^3^4 — у 5+ —у5 — у1^2^3^4 — у 5+ —(1 о о10(1 о о10о 1 о оо 1 о ооо-1ооо-1оо о оо о о(34.39)(34.39)

у5 — у1^2^3^4 — у 5+ —

у5 — у1^2^3^4 — у 5+ —

(1 о о

10

(1 о о

10

о 1 о о

о 1 о о

оо-1о

оо-1о

о о о

о о о

(34.39)

(34.39)

наряду со всеми 7k(& = 1, 2, 3, 4) удовлетворяет алгебре (34.38). Сравнив с (30.59), убеждаемся, что 75 является матрицей представления полной инверсии: 75 = L

Матрицы 7*, обладающие свойствами (34.38), можно построить также из матриц/^ (34.7), алгебра которых имеет вид (см. (20.5) —(20.7))

W + JW = - 2боЬ,(34.40)

= 0.(34.41)

Из (34.40) следует, что тройки матриц U^ и ijV^ по отдельности

удовлетворяют алгебре Дирака (34.38)*). Пять матриц могут быть построены, например, следующим образом:

/ = /<-)/<+),^ = ijV\(34.42)

Здесь 7“ = 7% ^4 ^ — ^\ ^5 = — 'у5. Вообще матрицы Дирака (34.38) могут быть выбраны бесчисленным множеством способов» Однако любые два их набора 7к и ^ всегда связаны преобразованием подобия, т. е. если чк и Ч'к удовлетворяют (34.38), то всегда существует матрица 8 такая, что для всех к = 1, 2, 3, 4 7'h = S^S”.(34.43)

Мы докажем это предложение с помощью метода проективных операторов. Перепишем равенство (34.43) в виде 7'kS —S7* = 0 или~

Vp/v^vX ^HvYvX = (yuv^xp $hvYx ) ^vp = 0 или, наконец

№8 = 0. Mk = ч'к ® 1 - 1 ® Чк- (34.44) Минимальное уравнение матрицы № с учетом (34.38) имеет вид Мк(№ — 1) = 0. Поскольку согласно (34.44) матрица 8 есть собственный «вектор» оператора Мк. отвечающий нулевому собственному значению, то соответствующий проективный оператор равен (см. П.5) Nk = 1 -(Mk)2fc = V2(l + 7'*® У)**). Мы имеем четыре уравнения (34.43) для 8 и соответственно четыре оператора Nx. N2. N. N4. которые все между собой коммутируют» Поэтому полный проективный оператор равен их произведению N = NXN2N3N4 =

= -^ (i + т'1 ® ?) С1 + т'2 ® ?) (1 + /3 ® ?) (I + V4 ® ?)•

(34.45) След оператора N равен числу независимых решений системы уравнений Мк8 = 0, к = 1, 2, 3, 4 (см. П. 5). След от выражения (34.45) легко вычисляется, если учесть, что (Л ®B)t = AtBt (см. П. 3) и что следы от произведений различных матриц Дирака равны нулю. Действительно, согласно (30.41) след от произведения нечетного числа 7* всегда равен нулю, из (34.39) следует у? = 0» а взяв след от равенства (34.38), получим ^к11) t = = 46w. Поэтому Nt = 1, следовательно, существует единственная (с точностью до множителя) матрица 8. удовлетворяющая (34.43) при заданных матрицах Дирака ^ и 7'\ Чтобы найти 8, достаточно умножить проективный оператор N на произвольную

♦) Эти тройки матриц удовлетворяют также алгебре Паули (13.40):

матрицу Л: S = NA или в развернутом виде

S)w — ^бщл'буу' 4" Tmh'Yw' 4* 2 ?щх'Yw' 4* YmvYw' 4" Yw' YvvA Л^', \h<l/

где к*' = ^^', <(5* = ^5Ч \ Окончательно имеем

S = Л + y'^y* + 2 Vм А^к 4- V5kA^h5 4- y'My6. (34.46) к<1

•Следует иметь в виду (см. П. 5), что для некоторых А правая часть этого выражения может обращаться в нуль. Однако всегда имеются такие 4, что S =/= 0<— любая из них дает решение.

Условие (31.31) для матрицы зарядового сопряжения С име- *ет вид (34.43), поскольку транспонированные матрицы ^к удовлетворяют алгебре Дирака. Поэтому из изложенного выше следует, что для уравнения Дирака всегда существует матрица зарядового сопряжения С. Легко убедиться, что при матрицах (34.36) С = ^3, а в случае матриц (34.42) С = ^ъ. Вообще, если две из четырех матриц Дирака симметричны и две — антисимметричны, то С равна произведению антисимметричных матриц. Если же три матрицы Дирака симметричны, а одна антисимметрична, то С равна произведению трех симметричных матриц или, что то же самое, произведению антисимметричной матрицы на у5. В случае трех антисимметричных матриц и одной симметричной последняя и будет матрицей зарядового сопряжения. Если чк = = — ^ft (к = 1, 2, 3, 4), то С = *y5, а при ^ = ^ (к = 1, 2, 3, 4) должно быть С = 1.

Рассмотрим совокупность 16-ти матриц: 1, ^\ fyV (&<Z), ^5^^ ^5 (^ Z = 1, 2, 3, 4). Обозначим их следующим образом: Г, В = 1, 2, ..., 16:

Г1 = 1, Г2 = ч5, Г36 = ^*, Г710 = 1^к,

’ (34.46х) рп,..., 16 — ^1^ ^2^3, 1^1^ ^1^ г^4? ^3^4

Нетрудно убедиться, что квадраты всех матриц Гв равны единичной матрице: (Гв)2 = 1, все они эрмитовы и следы произведений любых двух различных матриц Гв равны нулю. Таким образом, имеет место соотношение

(ГВГВ')( = 46Вв'.(34.47)

Отсюда следует, что все Гв линейно независимы между собою, так как из авГв = 0 после умножения на Гв/ и взятия следа, в силу (34.47), получаем ав = 0, В = 1, 2, ..., 16.

С помощью Гв выражение (34.46) для S можно написать в виде

S = Г'В4ГВ(34.48)

(суммирование по В от 1 до 16 подразумевается, как обычно).

Из определения S (34.43) следует, что при ^'к = чк матрица S должна быть кратна единичной: S = а. В этом случае равенство (34.48) принимает вид

б1б^ = r^x^xx^xv*(34.49)

Отсюда ясно, что число а линейно зависит от элементов матрицы ЛХх; в то же время оно является инвариантом. Единственный линейный инвариант матрицы есть ее след, поэтому а = gAt = = gAxxbxu, где g — некоторый числовой множитель. Подставляя это значение в (34.49) и учитывая произвольность Ах^ получим №v = Mv. Сворачивая по X и х, будем иметь rMjJ\v = = (rB)£v ~ 4g6MV- Но (rB)£v = 166MV, поэтому g = 4. Окончательно имеем

Г^ГВ =46*.(34.50)

Произвольная 4 X 4-матрица р может быть представлена в виде линейной комбинации матриц Гв:

Р = ЬВТВ,(34.51)

причем Ьв находятся с помощью (34.47)

Ъв= m)t!^(34.52)

Можно сказать, что матрицы Гв образуют ортогональный нормированный базис в пространстве 4 X 4-матриц, в котором скалярное произведение матриц аир равно (а+Р),/4.

С помощью (34.50) преобразуем выражение ГВ рС , рВ рС с с ХМ1 vp ■ 1 ХХ'1 M'pOx'uOM/v,

полагая Sx'g6g/V = (1/4) ГВц'Г^, к виду

r^p-A(rBrDrc)XprB.

Матрицу ГВГСГС, как всякую 4Х4-матрицу, можно представить в виде (34.51), (34.52)

гвг°гс = 6BrB$ Ъв = А(ГВГ°ГСГВ)1.

В итоге получим

Г^Г® = A. (rBrorcrB)trfprvB .(34.53)

Положим адесь Гв = Гс = 7* и просуммируем по к:

VknYvp = "^ (т6Г VrB)trfprB.(34.54).

Нетрудно убедиться, что

/ГУ = 4Г\ YW = -4т^ yW = -2y\

?WY = 46,m, ТУ7У = - 2yV. (34.55)

Подставляя эти соотношения в (34.54) и учитывая (34.46'), получим

YxhYvp = Sxp6Vg YxpYvu2* YxpYvh —2* (^Т^Кр (y5Y )vn* (34.56)

Матрицы Дирака и всевозможные соотношения между ними имеют самое широкое применение в теории элементарных частиц. Выше мы познакомились с некоторыми из таких соотношений. Как правило, приходится иметь дело с выражениями, содержащими произведения различного числа матриц Дирака. Значительное упрощение подобных вычислении может быть достигнуто с помощью нижеследующего простого рекуррентного соотношения для произведений дираковских матриц [60]:

^^^ = Sp,vyp — SppY + SVpY^ 2* ^m-vpotY^Y1* (34.57)

Справедливость этой формулы вытекает непосредственно из алгебры Дирака. Здесь греческие индексы ц, v, р, о, т принимают значения 1, 2, 3, 4, 5, 8gvpaT — пятимерный символ Леви-Чивита (см. П. 1). С помощью этой формулы произведение любого числа матриц Дирака сводится к произведению не более чем двух матриц. Заметим, что аналогичной формулы не существует для четырех матриц *у\ Если не объединять *у5 с остальными *у\ то эта формула распадается на две:

W1 = 6MTm - 6hmV + W + еЫтт^\ (34.58)

№ = W - 4 eftlmnyV.(34.59)

С применением формул (34.56) — (34.59) мы встретимся в § 36.

Уравнение (30.7) для частиц со спином 0 (скалярных мезо- йов) мы фактически уже получили, когда в § 30 перешли от уравнения Клейна —Фока (30.8) к уравнению первого порядка с матрицами (30.12). Действительно, {0 0) есть скаляр, а (1/2 1/2) —вектор в соответствии с компонентами фо и ф* функции ф (30.11). Легко проверить также, что все условия (34.9) — (34.22) удовлетворяются для матриц (30.12), причем инфинитезимальные операторы 1^ представления Т — 7700 ф Т1/21/2 имеют вид

/О 0\

4"= 0 н±) ,(34.60)

так как Т2/11/2 = L — матрица Лоренца

вии с (30.46), (30.48), (30.59)

1 О

п = ч-

(о

о

-1 о о о

о о

-1 о о

для О О О

— 1 О

этого

0) о

о

1

(см. § 26). В соответст- уравнения имеем

(34.61)

ся частицы равенся частицы равенх+ -уТ^Н- 4) =х+ -уТ^Н- 4) =1 О О О .11 О О О .10 0 0 1] 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 1] 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1(34.66)(34.66)

ся частицы равен

ся частицы равен

х+ -уТ^Н- 4) =

х+ -уТ^Н- 4) =

1 О О О .1

1 О О О .1

0 0 0 1] 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 1] 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

(34.66)

(34.66)

а матрица зарядового сопряжения С = 1, поскольку *^ =^ (см. (31.31)). С помощью элементов матричной аглебры еАВ (см. П. 1) можно написать выражения для всех матриц чк (30.12) к компактной форме

^еО^и (34.62)

Вопрос о спине частицы, описываемой данным уравнением, не так прост, как в случае электрона Дирака.

Оператор спина для покоящейся частицы равен согласно (32.17), (34.6), (34.7)

/о о \_ /о о \

S0 = ц0 _|_/(-) у, о0 = cS = гj,

c± = cl^\ с2 — 1.(34.63)

Можно убедиться (см. (20.5)—-(20.71)), что

00(002^4) =Ое(39.64)

Поскольку собственные значения оператора проекции спина о0 равны 0, ±1, то на первый взгляд рассматриваемое уравнение описывает частицы со спином 1 или, возможно, с двумя значениями спина 0 и 1. Чтобы выяснить этот вопрос, следует построить соответствующие полные проективные операторы состояний с различными спинами. Все матрицы ^к (34.62), (30.12) имеют минимальные уравнения вида

тЧ/2-!) =0.(34.65)

х+ (33.4) для покоящейх+ (33.4) для покоящейследовательно, проективный оператор

х+ (33.4) для покоящей

х+ (33.4) для покоящей

Оператор Казимира для неприводимого представления группы вращений с весом 1 равен К = Z(Z + 1) (см. (12.36)). Если представление приводимо, то минимальное уравнение для оператора

Казимира содержит произведение скобок (К —-Z(Z + 1)) для всех значений весов Z входящих в него представлений. В нашем случае, если Z = 0 и Z = 1, то минимальное уравнение для К должно иметь вид

Х(£-2) = 0.(34.67)

С помощью (34.7), (34.63) нетрудно убедиться, что

0000O'02000K==S»4 =002000002000000.0000O'02000K==S»4 =002000002000000.(34.68)(34.68)

0

0

0

0

O'

0

2

0

0

0

K==S»4 =

0

0

2

0

0

0

0

0

2

0

0

0

0

0

0.

0

0

0

0

O'

0

2

0

0

0

K==S»4 =

0

0

2

0

0

0

0

0

2

0

0

0

0

0

0.

(34.68)

(34.68)

т. е. уравнение (34.67) действительно справедливо. С его помощью строим проективные операторы для опина 0 и 1 (см. П.5). Согласно (34.45) они имеют вид

1 0000 00 00 0jr0 = l-l^ =00000vz00000Ц0001.1 0000 00 00 0jr0 = l-l^ =00000vz00000Ц0001.0000O'01000k1 = 1k =001000001000000,0000O'01000k1 = 1k =001000001000000,

1 0

0

0

0 0

0 0

0 0

jr0 = l-l^ =

0

0

0

0

0

vz

0

0

0

0

0

Ц

0

0

0

1.

1 0

0

0

0 0

0 0

0 0

jr0 = l-l^ =

0

0

0

0

0

vz

0

0

0

0

0

Ц

0

0

0

1.

0

0

0

0

O'

0

1

0

0

0

k1 = 1k =

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0,

0

0

0

0

O'

0

1

0

0

0

k1 = 1k =

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0,

спиномспиномПолные проективные операторы состояний частицы со 0 и 1 равны (см. § 33)

спином

спином

т(0+) = и^К^ = х+, т^) = х+Кх = 0.

Следовательно, состояния рассматриваемой частицы, отвечающие спину 1, отсутствуют, т. е. уравнение (30.7) с матрицами 7* (34.62) действительно описывает частицу со спином 0.

Еще в 1936 г. Прока предложил уравнения, которые, как впоследствии выяснилось, описывают частицу со спином 1 (векторный мезон). Они имеют вид (с несущественными переобозначениями)

V^m + m% = 0, V^k — V* + m^ki = о. (34.69)

Здесь ф* —- 4-вектор, фл/ = — <ф^ — антисимметричный тензор, имеющий шесть независимых компонент, поэтому полное число компонент волновой функции

ф='(фь, Фм) (34.70)

равно десяти. Вектор фк преобразуется по представлению (7г 7г), а тензор фы = — ф/ь — по представлению (0 1)®(1 0). Таким образом, уравнениям (34.69) соответствует набор представлений (34.26).

Уравнения (34.69) могут быть написаны в общей форме (30.7), причем матрицы 7* имеют вид

(34.71)(34.71)^h = elUkI + eUAP.

(34.71)

(34.71)

Здесь подразумевается суммирование по Z, а сложный индекс [А:/] принимает шесть значений [23] =—[32], [31] =—[13], [12] = — [21], [14] = — [41], [24] = -[42], [34] = — [43], которые соответствуют номерам строк (столбцов) матрицы с 5-го по 10-й. Таким образом, например, еШ21 обозначает единицу, стоящую на пересечении первой строки и седьмого столбца. В тех же случаях, когда встречается, например индекс 2[21] = = —2[12] на соответствующем месте (2-я строка, 7-й столбец), следует ставить — 1. Элементам с индексами вида 1[11] ничего не соответствует, и они пропускаются. Перемножаются элементы ек1щ по правилу

^кЦк^тп^ __ g^WJI»»! — e[Al][AnJ eMhUe[mnlm =(34 ?2)

где 6[WnmnJ =6km6ln — 6kn6lm (cm. [62]). Даффин [63] установил, что как матрицы (34.62), так и матрицы (34.71) подчиняются одной и той же алгебре

1к11Т ^^ь = у^п ^_ ^ь.(34.73)

Кеммеру [64] принадлежит общее исследование свойств матриц, подчиняющихся этой алгебре, которая носит название алгебры Даффина — Кеммера. Отметим, что матрицы (34.71), как и (34.62), являются вещественными и симметричными. Рассмотрению их свойств посвящен ряд исследований*). Ввиду эрмитово- сти: ^к = у*+— матрица билинейной формы совпадает с матрицей пространственной инверсии и равна

Т1 = П = 2(^)2- 1.(34.74)

Как и в случае скалярного мезона, матрица зарядового сопряжения равна единичной.

Уравнения для частиц со спином V2, 0 и 1 являются наиболее простыми из всех уравнений (30.7) для частиц с различными спинами**). Соответственно эти уравнения и свойства описываемых ими частиц наиболее изучены. Частицы со спинами, превышающими единицу, принято называть частицами с «высшими спинами». Очевидно, с возрастанием спина сложность уравнений быстро увеличивается. Кроме того, имеется мало экспериментальных данных, относящихся к частицам с высшими спинами (если не считать атомных ядер). Поэтому уравнения для конкретных частиц со спином, превышающим 2, практически не рассматривались. Уравнения для частиц со спином 3/2 были получены и исследованы многими авторами [68—71]. Уравнения первого

♦) См., например, [65—67].

♦*) В частности, можно показать (см., например, [4]), что только в этих уравнениях матрицы *хк могут быть эрмитовыми.

порядка для частицы со спином 2 были впервые получены в [72], впоследствии те же уравнения были выведены Редже [73]. Свойства частиц со спином 3/2 изучались в работах [74—76*. Рассмотрению частиц со спином 2 посвящены работы [77—80 .

В работах [81, 82] изложена общая теория релятивистских волновых уравнений, построенных с использованием кратных представлений группы Лоренца, т. е. таких приводимых представлений, в которых некоторые неприводимые представления содержатся более одного раза.

Частицы во внешнем поле

Уравнение для частицы во внешнем электромагнитном поле имеет вид (31.26)

(^А-геЛ)+7п)ф = 0,(35.1)

где А*— четырехмерный вектор-потенциал. Как правило, точное решение такого уравнения не удается получить, и поэтому задача приближенного его решения имеет важное значение. В [83] был предложен общий универсальный метод приближенного решения уравнений вида (35.1) для частиц с любым спином в произвольном электромагнитном поле не слишком большой интенсивности. Обозначим Н = V + т, V = ^V^, U = —1еАк^к и предположим, что нам известно решение фо уравнения для свободной частицы Яфо = 0. Таким образом, нужно решить уравнение (Я4-Я)ф = 0, которое формально можно написать в виде

Я(1 + Я-1Я)ф = 0.(35.2)

Сравнивая с Яфо = 0, видим, что (1 + Я-1Я)ф = фо, откуда следует

ф = (1 + Н-ШГЧо = (1 - Н-Ш + (Я-’Я)2 - .. .)ф0. (35.3)

Мы воспользовались здесь разложением оператора (1+^-1^) в ряд Неймана [10], предполагая условия, допускающие такое разложение, выполненными. Эффективность разложения (35.3) зависит от возможности выразить Я"1 в замкнутом виде. Согласно (31.17) оператор V для одномассовой частицы удовлетворяет минимальному уравнению Vr (V2 — V2) = 0, где V2 — даламбер- тиан. В этом и следующем параграфах мы будем для всех 4-векторов (в том числе р) применять обозначение

q = ?4*(35-4)

вместо р = гр^*, которое использовалось в §§ 31—33. Если q удовлетворяет минимальному уравнению

gr(^_g2)_ 0,(35.5)

то оператор (g+m)-1 имеет вид

6+m>M-i)r^+“I2(-£)>- (35-6)

Это выражение получается, если написать (д + ^)-1 в виде полинома от q степенп г +1 с неизвестными коэффициентами и затем потребовать, чтобы произведение этого полинома на q + т равнялось единице. Аналогично мы можем написать формальное выражение

Я-1 = (V + ту1 J- ^Y (m-V) (тп2-^)"1 + m'12 - У • *A=0X

(35.7)

Таким образом, определение Н-х сводится к определению (иг2 — — V2)"1. Результат его применения к функции ф можно легко вычислить, если она имеет вид плоской волны: ф ~ ф°е1рх. В таком случае

(m2_vTi^=(35.8)

В общем случае можно представить (тп2— V2)"1 с помощью известной функции Грина для уравнения Клейна — Фока (см., например, [38]). Тем самым будет определена функция Грина (точ* нее, матрица, Грина) оператора (V + тп)’1 для одномассовой частицы с любым спином. Таким образом, изложенный метод позволяет выразить матричную функцию Грина для (V + m)"1 через хорошо известную функцию Грина скалярного оператора (т2 — V2)-1. Такой подход оказался эффективным в применении к решению различных задач теории элементарных частиц (см., например, [83, 84, 86]).

Если вектор-потенциал Ак определяет поле плоской электромагнитной волны, то уравнение (35.1) для частиц с различными спинами допускает точное решение. Впервые такое решение было получено для дираковского электрона Волковым [85]. Пусть к = (ki) — волновой вектор, тогда для пдцской монохроматической волны любой поляризации можно написать

Ак = А*(ф), ф =кх =. ktxh к? = 0.(35.9)

Из условия Лоренца VtAt = 0 вытекает соотношение

Ы'= 0, А' = д4/дф, кА = const. (35.10)

Поскольку постоянная слагающая в вектор-потенциале несущественна, то можно считать, что

кА =:0.{35.10')

Решение фо для свободной частицы имеет вид фо(р)е<рх. Очевидно, применение к нему оператора (1 + Я"1?/)"1 (35.3) приведет к тому, что экспоненциальный множитель eip* будет умножаться на некоторую функцию от к, р, ф. Следовательно, можно написать (см. [86])

t= Х(ф)е<1”, х(<р) = Ф(Л, Р, фНо(Ро), (ip + тп)^о(р) = 0.

(35.11)

Здесь Ф(А, р, ф) —матрица, элементы которой зависят от х только через посредство ф = кх. Подставляя выражение для ф (35.11) в уравнение (35.1), получим после простых преобразований уравнение для вектор-функции х (ф)

*х' + (^ +^)х = 0, х' = 5х/д<Р, Ъ = р — еА. (35.12)

Таким образом, использование выражения (35.3) позволило нам получить обыкновенное дифференциальное уравнение для волновой функции частицы с произвольным спином в поле плоской монохроматической электромагнитной волны [86]. Это уравнение во многих случаях допускает точное решение, которое может быть получено ковариантным путем и в ковариантной форме (см. [86-90], [75], [80]).

Минимальное уравнение (35.5) для матрицы к принимает вид кт+2 = 0 (поскольку А2 = 0). Соответственно матрица к является особенной: |А| = 0. Поэтому среди уравнений системы (35.12) содержатся алгебраические условия, накладываемые на вектор- функцию х- Эти условия можно получить,^умножив (35.12) на кг+х: Аг+1(тп + i^)x = 0. Однако матрица к всегда является неприводимой к диагональному виду. Действительно, даже при г = = 0 ее минимальное уравнение (А2 = 0) содержит кратные корни. Поэтому (см. П. 5) умножение на Ar+1 в общем случае выделит не все алгебраические условия, а лишь те, которые связаны с клетками Жордана высшего порядка.

Однако это затруднение можно обойти, если учесть, что согласно (31.7') умножение на ц делает матрицу р = ip^1 эрмитовой: (цр) + = цр. В нашем случае, поскольку мы опустили множитель г, матрица х = цА будет антиэрмитовой: х+ = —х. Как известно [15.1], эрмитова (и антиэрмитова) матрица всегда приводится к диагональному виду, поэтому ее минимальный полином не будет иметь кратных корней. Этот полином можно написать в виде хР(х) = 0, где Р(0) =/= 0, так как он будет иметь один нулевой корень, поскольку х, как и А,— особенная матрица. Поэтому Р(х)/Р(0) будет проективным оператором, выделяющим все без исключения векторы х, Для которых хх = 0, а значит, и Ах = 0,

(см. П. 5). Итак, вместо (35.12) мы рассматриваем уравнение

*х'+п(™ + ^)Х = О,(35.13)

которое отличается от (35.12) умножением на ц и потому равносильно ему (ц2 = 1). Умножая (35.13) наР(х), получим полную совокупность алгебраических условий, налагаемых на вектор- функцию х» в виде

Р(х)ц(тп + id)x = 0.(35.14)

Следовательно, ц(^ + тп)х можно рассматривать как собственный вектор матрицы Р(х) для нулевого собственного значения. Но Р(х)х = 0, значит, матрица х пропорциональна проективно- ному оператору, выделяющему все собственные векторы матрицы Р(х) с нулевыми собственными значениями. Согласно П.5 отсюда следует, что ц(тп + ib^x = ххо = чМ^ где хо = Хо(ф) — произвольный вектор в пространстве представлений уравнения Х35.12). Таким образом, для решения х уравнения (35.12) справедливо представление [86]

х = (тп + ib) -*&хо.(35.15)

Неопределенность в зависимости хо от <р следует понимать таким образом, что алгебраические условия (35.14) ничем ее не ограничивают. Однако фактически выражение (35.15) ограничивает возможный вид функции х благодаря тому, что в него входит особенная матрица к. Для отыскания хо(ф) нужно использовать полное уравнение (35.13).

Вследствие наличия в (35.15) оператора (тп + td)”1, который согласно (35.6) содержит в знаменателе выражение Tn?-Vb\ целесообразно несколько переопределить волновую функцию (35.11), введя в нее дополнительную скалярную функцию. Таким образом, мы будем искать ф в виде [87]

t = X(<p)exp{i(px —s)},(35.16)

где

\ Ь т в А (еА 2 р^г bb /ос *

* ==g=—. (35.17)

При этом основное уравнение (35.11) принимает вид ^+(?n + ic)x = 0.(35.18)

Здесь с — 4-вектор следующего вида:

с = b — gk = р — еА — gk, c'=—eA' — g'k. (35.19)

Для него справедливы соотношения (см. (35.10))

с2 = р2 = — тп2, сс* = ко' = be' = kb' = 0, кс = kb = ц = const.

(35.20)

До сих пор все полученные выше результаты имели общий характер и были пригодны для частиц с любым спином. Перейдем теперь к нахождению решений уравнения (35.18) для конкретных частиц.

Спин 1/2. В этом случае согласно алгебре Дирака (30.3) и рекуррентным соотношениям (34.58) имеем после умножения указанных равенств на ahbtcm

ab-Vba = 2ab,(35.21)

abc = d-Yifk,(35.22)

где (см. (34.58))

d = (аб + [а-6])с, Н=\а-ЬУс.(35.23)

Соотношением (35.15)применительно куравнению (35.18) мы

не можем воспользоваться, так как матрица т -f- ic является особенной ввиду равенства с2 = —пг2 и не имеет обратной. Умножая (35.18) на к и учитывая, что согласно (35.21) к2 = к2 = 0, имеем Рх = 0, где ^ = k(m-Vic). С помощью (35.21) — (35.23) находим

Р2 = 1кск(т — ic) = 2ipk(m + ic) = 2ipp.

Следовательно, матрица p имеет минимальное уравнение р (р — — 2ip.) = 0, откуда ясно, что уравнение Рх = 0 имеет решение X =•■ (Р — 2ip.)xo, где хо — произвольный биспинор ). Поскольку кек = 2рк, то р — 2ip = (тп — ic)k. Подставляя X = (^ — ic)kxo в (35.18), получим, поскольку (m + ic)x = (тп2 + с2)кхо =0, кх' к [(т — ic) kx0Y = к — ic’kXo + (m — tc) кх». (35.23')

Но согласно^ (35.22), (35.23), (35.20) кс'к = 2кс'к = 0, поэтому кх' = — ikскхо= — 2гр.А:Хо = 0. Следовательно, хо — произвольный постоянный биспинор. Окончательно имеем

Х = (т —гс)^хо, ф = хехр [i(pz — е)].(35.24)

Это решение по существу (хотя и не по форме) совпадает с решением Волкова [85].

Спин 0. В этом случае согласно (30.12) матрицы к, с имеют вид (см. (30.12))

(0 к\ ~/0 с\

к = (к Ор с — ^с oj- Волновую функцию х будем искать в виде

Х= (тио, и),(35.25)

где ио — скаляр, и—-4-вектор. Очевидно, &х = (Ли, ти^к), сх= (си, ти^ и уравнение (35.18) распадается на два:

ku' + icu + ?u2u0 = 0, иок + ги^с + и = 0.

Исключая отсюда и, получим согласно (35.20) и0 = 0, и^ = гС и окончательно [87]

Х = С(т,с).(35.26)

Спин 1/2 со взаимодействием Паули [87, 88]. Взаимодействие Паули описывается дополнительным членом в операторе уравнения (35.1), который равен гпРы^э где х —константа взаимодействия, Fw = — Flk = VNAZ — ЧгАК — тензор напряженности электромагнитного поля. Для функции (35.16) вместо (35.18) при этом получается уравнение

Ы + (тп + гВ^х = 0, В =7 + 2икА\ (35.27)

Аналогично случаю 1 имеем к^т + гВ^х = к^т + tc) = 0, откуда следует х= кт— ^с)Лхь Подстановка этого выражения в (35.27) дает

к^х = 2iHA'kxv(35.28)

В отличие от (35.23'), при произвольном А(ф) это уравнение непосредственно не интегрируется. Поэтому рассмотрим случай линейной поляризации, когда 4(ф) = /(ф)и, где /(ф) —скалярная функция, а = (az) —постоянный 4-вектор ^ка = 0у В этом случае уравнение кхг ~ 21}акхгнмеет решенпе

&Х1 = ^Хак^ = (cos X + га sin X) к^ X = 2х/,(35.29)

где Хо — произвольный постоянный биспинор. Окончательное решение задачи имеет вид (см. (35.16))

ф = (тп — ib) (cosX +iasinX)fcxoexp [f(px — e)]. (35.30)

Спин 1. В этом случае, аналогично случаю спина 0, удобнее пользоваться не алгеброй матриц (34.73), а определением их действия непосредственно на волновую функцию. Согласно (34.69) имеем

G (М = (vi ^)

Отсюда следует, если мы обозначим искомую функцию % = (mu, а), где и — 4-вектор, а = —а — антисимметричный тензор, что

^Х = (а^, т[и-А]).(35.31)

Подчеркнем, что в функции х мы понимаем под а шесть независимых компонент этого тензора, а под ак — результат умножения 4-вектора к на полный тензор. Здесь мы также ограничимся случаем линейной поляризации: А = f^a. Из (35.18), (35.31) следуют уравнения

а= [fc-n'J + t[c-n], а'к + lac + т2и =0.(35.32)

Подставляя а из первого уравнения во второе и учитывая (35.31), получим после некоторых преобразований

21\х,и' + (ки" + гси'^ к + (ikuf — сн)с + iku • с7 = 0.(35.33)

Умножая на к, находим отсюда ku' = leu, ku" = i(cu'+ с'и), с учетом чего (35.13) принимает вид

2^и' — Цс'и + 2cu") к + 2си • с — iku • с' = 0.(35.34)

Для дальнейшего будет удобнее переопределить базис, взяв в качестве основных вместо а и с векторы (аб = ас = v)

d = ц-^а-^с = a — (v/p)fc, е = ц-^с-^с = с+ (zn2/p,)fc,

(35.35) причем справедливо соотношение с = ^“^е • к\е. Кроме того, введем вектор v с помощью определения

v = ^кр^^к • а^хр, v2=l, kv = av = pv = 0. (35.36)

Векторы к, a, pt v или, соответственно, векторы kt d, с, v образуют «естественный» базис [87] четырехмерного пространства Минковского, наиболее удобный для решения задачи. Векторы к, d, е, v обладают следующими свойствами:

dk = dv = de = de = ev = ec = 0, d2 = 1, e2 = m2^ ke = p d' — U'M k, e* = c' = — fd, dd' = ее' = ec' = ce' = ke' = 0.

(35.37)

Соответственно вектор и в уравнении (35.34) будем искать в виде разложения по векторам естественного базиса

и= ^\к + ^2^ + бзв + ^vt(35.38)

и- = & + /7ц) ^ + & - Ю d + & + &•(35.39)

С учетом этих соотношений, умножая уравнение (35.34) последовательно на kt d, е, и, получим соответственно

^4 = -С ^ = ^3, ta^-U'WU ^; = 0. (35.40)

Последнее равенство не связано с остальными; из него следует §4 = С, что приводит к решению

X = С (imp, [v • с]).(35.41)

Второе и третье уравнения (35.40) дают (|2 -F Im^sY = = ±(i/72m) (|2 + im|3), откуда следует |2 =Fimg3 = С±Х X6xp(±ifl2m.Y Полагая здесь С- = 0, либо С+ = 0, находим, согласно (35.38),

(1г, |з)± = С±(+ im, 1)ехр(± i//2m), ^ = ifbIW. (35.42)

В результате получаем еще два решения

Х± = с± (4. а?) ехР (± 7/2т), и* = е т imd ± (/'/2m) к,(35.43)

а? = 72/' [«•&) + Цс*(е т imd)].

Эти же решения могут быть получены на основе использования алгебры Даффина—Кеммера (34.73) матриц чк [89]. В этом случае решения получаются сразу для скалярного и векторного мезона, поскольку алгебры соответствующих матриц совпадают. Методом, аналогичным изложенному выше, получены точные решения для векторного мезона с аномальным магнитным и квадрупольным электрическим моментами в поле плоской электромагнитной волны [90], а также для частиц со спином 3/2 [91] и 2 [92]. Во всех случаях число независимых решений равно 2s + 1, где s — значение спина частицы. Отметим, что некоторые из задач, относящихся к спинам 1/2, 0, 1, решались в работах [94—97] нековариантным путем. Изложенный в настоящем параграфе метод отличается своей универсальностью и ковариантностью как самого расчета, так и окончательного результата.

Матричные элементы квантовой электродинамики

Расчет вероятностей всевозможных процессов взаимодействия между элементарными частицами — основных величин, подлежащих экспериментальному определению, сводится к вычислению квадратов модулей элементов матрицы рассеяния (см., например, [42, 43]).

Согласно (33.35) эти величины для частиц с произвольным спином могут быть представлены в виде

w = С ^Q^-zQ^x)t" С (^х^Рг^^тР!^»(36.1)

где С — некоторая константа,, Q — оператор, характеризующий взаимодействие, п, Т2, Xj, Х2, Рь ?2— проективные операторы начального и конечного состояний. Оператор Q обычно представляется в виде некоторой линейной комбинации из матриц волновых уравнений чк и различных их произведений. Операторы х, £, т также могут быть выражены через матрицы 7*, поэтому в конечном итоге задача сводится к вычислению следов от различных произведений матриц При этом в (36.1) остаются лишь члены, содержащие четное число сомножителей *у\ поскольку согласно (30.41) след от произведения нечетного числа матриц чк для частиц с любым спином равен нулю. Число матриц, входящих в выражения (36.1), зависит от характера процесса и типов взаимодействующих частиц. Оно возрастает с увеличением спина частицы и повышением степени минимального полинома (31.7). Для большинства процессов даже в случае частиц со спином 1/2 это число превышает десять. Вычисление следов от произведений матриц релятивистских волновых уравнений представляет по существу одну из основных трудностей, с которыми приходится сталкиваться при теоретическом расчете вероятностей различных процессов, происходящих при участии элементарных частиц.

Эта трудность может быть в значительной степени уменьшена при использовании подхода, основанного на непосредственном вычислении матричных элементов (вместо квадратов их модулей) [98, 99]. Очевидно, матричный элемент 2И = ф2@ф1 несет больше информации, чем |Л/|2, и если он известен: М = Мх-^гМ^ то вычисление \ М |2 = М^ + М* сводится к нахождению суммы двух квадратов. Однако до сих пор, как правило, вычислялся непосредственно квадрат модуля матричного элемента. Причина заключается в том, что по общей формуле (36.1) нахождение u;=|Af|2*) сводится к выполнению ковариантной операции — взятию следа от произведения матриц. В то же время при вычислении самого матричного элемента приходится использовать явный вид волновых функций и матриц, расписанных по компонентам, что приводит к резкому возрастанию объема вычислительной работы. Однако вычисление самого матричного элемента М тоже можно производить ковариантно, если согласно [99] использовать оператор представления, преобразующий волновую функцию СОСТОЯНИЯ ф1 В функцию фг,

^2 = Тфь(36.2)

Поскольку Т—оператор представления, то (см. (27.35)) можно написать

^WJ = (ЖГ т] = ^Т+т) = ^n^'1 - V\ (36.2а)

♦) Мы опускаем множитель С.

откуда следует

М = ipiT-'^i = (-ф1 • ^Г-’ф),.

Но согласно (33.21') фгф! = ti, поэтому

М = ^(?ф1 = (пТ-^) ь(36.3)

Таким образом, с помощью этого соотношения можно вычислять сам матричный элемент, используя ковариантную операцию взятия следа. Выражение (36.3) содержит меньше матриц y\ чем (36.1), поэтому его вычисление значительно проще и менее громоздко. Этот подход можно применять к частицам с любым спином (см. [100, 101, 76]). Здесь мы рассмотрим подробно его применение к задачам квантовой электродинамики [102—107]. В этом случае ф1, ф2 — волновые функции свободного электрона (позитрона) и соответственно ti — проективный оператор электрона в начальном состоянии, Т — матрица преобразования бис- пинорного представления (34.24).

Поскольку для электрона минимальное уравнение оператора р имеет вид (гр)2— тп2 = 0 (см. (31.14), (31.15)), то проективный импульсный оператор (33.4) равен

х+ = V2(l — iv), v = plm = ^i),w^ у2= —1.(36.4)

Напомним, что здесь, как и в предыдущем параграфе, и = vk4k (а не v = iv^, как было в §§ 20—34). Спиновый оператор согласно (32.21), (32.22) равен

о = —ia, а = il2aMJk\(36.5)

причем антисимметричная матрица а имеет вид

а = (^/^‘J*1) =«(«»)» 4« = 0-tuc> av = 0, (36.6) где с2 = 1 и (см. (32.14))

х-1 = Re О_и = v0 — d • е/(1 4- v0).(36.7)

Согласно (34.35') оператор о имеет минимальный полином о2 — — 1/4 = 0, следовательно, проективный оператор состояния с проекцией спина +1/2 на направление с имеет вид (см. (33.9)) Р = a + 1/2. Инфинитезимальные операторы Iм = — 7'* очень просто выражаются через матрицы Дирака

7“ = Т^-М(36.8)

Действительно, нетрудно убедиться с помощью (32.16), что все соотношения (34.9) — (34.22) при этом выполняются. Минимальное уравнение о2 — 1/4 при этом также справедливо, в чем проще 21 ф, и. Федоров

всего убедиться в системе покоя, когда d = 0, vo = 1 и

|0 — 1 О О

/сХ 0^1000

06\0 0/ - ОООО’

to ООО

что соответствует оси спиновых проекций с, направленной вдоль х3. При этом согласно (36.5), (36.8) получим а = (i/2)'f1'Y2, о2 = = 1/4. Таким образом, проективный спиновый оператор равен

^ — ‘Ml-taj,(36.9)

причем здесь и всюду в дальнейшем мы определяем матрицу а для электрона следующим образом:

а = хкам^\(36.10)

Заметим, что в случае электрона нам не понадобится вводить отдельно проективный оператор второго спинового состояния (с проекцией нас, равной — 1/2), потому что для его получения достаточно изменить направление с на противоположное.

Таким образом, проективный оператор состояния начального свободного электрона с импульсом р = mv и проекцией спина 1/2 на некоторое направление с согласно (36.4), (36.9) равен (см. (33.21))

Т1 =-|-(1 — <V1) (1 — «ХЖ), a1 = a(,q1\(36.11)

где антисимметричная 4Х4-матрица ai определяется по (36.6),

через их и cv

Для нахождения общего вида преобразования Т в биспинор- ном пространстве, входящего в (36.3), используем соотношения (30.71), (30.72). Поскольку в этом случае представление имеет вид (0 V2)®(V2 0), то оба максимальных веса Zo равны 1/2, следовательно, 2Zo = 1. Но вес 1 соответствует основному представлению группы SO (3), т. е. преобразованию 0(g) (2.5). Таким образом, имеем

т (Д, 9*) = 1 + 2 а±2_ 1 + 2 а+^— . (36.12) \1 + g / \1 + g )

Здесь в соответствии с (26.3), (36.8) следует положить

q'<ti = q.fti = _1_?' (_1_е^оуь ± 7у),(36.13)

где ^к — матрицы Дирака. В результате получим общее конечное преобразование представления группы Лоренца для частицы со

спином 1/2 в следующем, виде (см. [49, 102—105]):

Т (g) - Re р + ty5 Im р + a (pg), р = (1 + д2)-1^. (36.14)

Заметим, что если согласно (20.45) ввести вектор-параметр р = llV 1 + д2, то выражение (36.14) примет вид

Т^ = Re/1 — р2 + i^ Im}/1 — р2 + а(р).(36.14')

Следует подчеркнуть, что столь простое и компактное, удобное для вычислений выражение для самого общего преобразования представления группы Лоренца в биспинорном пространстве может быть получено лишь на основе векторной параметризации. Ранее с таким же обстоятельством мы встретились применительно к самому преобразованию Лоренца (20.17). Поскольку оператор Q в (36.3) обычно выражается в виде линейной комбинации произведений матриц /, то, как отмечалось выше, задача сводится к вычислению следов от произведений четного числа матриц /*). Нетрудно показать (см., например, [42, 41]), что

(кY). = 46ftZ, ^'f^, = 4 (SwSmn — 6Ш6,„ + 6kn6im) и т. д., причем число слагаемых, содержащих произведения символов Кронекера Sw в произведении 2п матриц, равно (2п —1)!! = = 1.3.5 ... (2п — 3) (2п — 1). При п = 5 это число составляет 945, а при п = 6 достигает 10 395. Между тем во многих самых основных процессах квантовой электродинамики квадрат модуля матричного элемента (см. (36.1)) при учете спиновых состояний всех частиц содержит произведения по 12 матриц /. Отсюда ясно, насколько трудоемкой может быть задача вычисления |Jf|2 при общепринятом подходе, особенно когда учитываются поляризации взаимодействующих частиц.

Поэтому в большинстве случаев (см. [41, 42]) ограничиваются вычислением дифференциальных сечений процессов, происходящих с неполяризованными частицами, или учитывают поляризацию только некоторых из них. В то же время очевидно, что опыт, учитывающий поляризацию частиц, несет гораздо больше информации об их свойствах. Технические возможности для постановки таких экспериментов в последние десятилетия также значительно увеличились. Все это делает актуальной задачу вычисления вероятностей различных процессов взаимодействия элементарных частиц с учетом их поляризации.

♦) Следует иметь в виду, что когда мы говорим о четном числе матриц в произведении, то не включаем в это число 75, так как эта матрица имеет иную структуру, чем ^ (ср. (34.34), (34.35) и (34.39)). Например, (71^8^4^) f = 4 ^ о.

21*

Матричный элемент (36.3) запишем в виде

М = kQ^T-^t = 4"(36.15)

где (см. (36.11), (36.14))

B=4xT-x = ^-toxH^-^T<-4V(36.16)

причем Pi = (»i, Zv10) и

МТ11! <3617> \ ЧСЛ1 и •

Что же касается вектор-параметра g преобразования Т (д), которое осуществляет переход от % =tp (Pi, cj к %=,ф(Р2> с»), то согласно (32.49), (32.48) он равен (полагаем £ = 0)

g = <— Zo2, с, iu^, с = [с1с2]/(1 + схс^. (36.18)

Поскольку — g = <—i»i, — с, iu^, то Т(— д) = Т _ tolT _еТ ш*- С другой стороны (см. (32.23), (32.25)),

®i = a(^-i«,®i) = Т_ ia,cc (cj Tje,,(36.19)

поэтому

(1 - ZaJ Г (- д) - Т_ iHl (1 - Za (cj) Т_СТie,. (36.19')

В последующих расчетах основную роль играют соотношения (34.58), (34.59). Умножая первое из них на akbicm, получим, учитывая (18.21) (см. также (35.22))

abc = d + ^g, к0 = Z^5,

d = (ab +[a-5])c = ЦЬс + [Ь-с]) = ((a-c) — ac^b, (36.20) g = [a • b]xc = — a[b • c]x.

После умножения равенства (34.59) на гакЬ( получим

•fab = abf - [a • Ь]х.(36.21)

Введение матрицы f вместо f удобно потому, что при этом из основных соотношений (36.20), (36.21) исчезает мнимая единица к Если умножить (34.59) на (i/2)aw, где а=— а, то получим соотношение (см. (36.10))

fa = afах.(36.22)

Отсюда следует после умножения на f^f2 = — 1)

fa>< = a.(36.23)

Поэтому из (36.21) следует после умножения на у®

аЬ = аЬ + [а • Ь]‘(36.24)

Между прочим, поскольку [а^Ь] ^— [5 • а], из последнего равенства следует соотношение аЪ + Ьа = 2аЬ (35.21), эквивалентное алгебре матриц Дирака (30.3).

Умножив (34.58) на 'камйт и x/iakaim, получим после простых преобразований

аа = аа + ^а^а, аа = аа + *t°axa, (36.25) откуда следует

{оса}- = 2аа, {аа}+ = 2ч°<аха.(36.26)

Если умножить равенства (36.25) на у° и учесть (36.22), то получим

аха = аха — у®аа, аах = аах — у°аа. (36.27)

Умножим (34.59) на (V^Owamn (а = — а, а' = —а'). После некоторых преобразований получим [103]

аа' = -у- (аа')( + 4 у® (аха')< + {аа'}-.(36.28)

Отсюда следует (см. (18.28), (18.70))

аха' = аа'х, {аа'}- = 2{аа')-,

(36.29) {аа'}+ = (аа')( + -fV^a'V

При а' = а имеем

«2 = 4 K«2)t + 7° (а«хМ-(36.30)

Используя соотношения (18.18"), (18.30""), получим из (36.28)

а (д) а (д') = а ([дд']) — Re дд' — у® Im дд'. (36.31)

Совокупность приведенных здесь соотношений (36.20) — (36.31) образует специфическое исчисление операторов Дирака, которое позволяет ковариантным путем с большим упрощением производить разнообразные расчеты, встречающиеся в квантовой электродинамике и других разделах теории частиц, где используются матрицы Дирака. Операторами Дирака мы называем величины у®, а, а. Вместе с алгеброй антисимметричных тензоров, изложенной в § 18, это исчисление образует математический

аппарат, удобный для всевозможных квантовоэлектродинамиче- ских расчетов.

С помощью приведенных выше соотношений не представляет труда вычислить следы от различных произведений операторов Дирака [103, 105]. Ниже приводится сводка наиболее часто встречающихся выражений. Все входящие в последующие формулы матрицы а, р, ai, аг, ... антисимметричны:

(ad) t = 4ад, а, = (^а) t = (^ад) ( = 0,(36.32)

(^), = 2(ар)„ W), = -2(ax?)„ (а2), = 2 (а2),, (36.33) (abcd)t = 4(а6 • cd — ас • bd + ad • be), (36.34) ^°abcd)t = 4a[b • c]xd,

(aab) t = 4aab, (^aba) t = 4aaxb, (36.35) (анатаз) t = 4(а1«2аз)«.(36.36)

(aia2asa4)t = (ai«2)t (as«4)t — («i«?)t (asa4 )t + 4 ({а1аг}- asa4)t,

(36.37)

(аВД, = _ 4a(ap + ax₽x) b = 2ab(оф) , - 4a^)+b, (36.38) ^°аа^Ь)t = 4a(axp — офх)b = 4a{axp}+& — 2ab(офх) e. (36.39) Входящий в матричный элемент (36.3) оператор Q содержит произведения операторов Дирака. С помощью соотношений (36.20) — (36.30) он в самом общем случае может быть приведен к универсальной форме [105]

Q = 6 + тп° + а + ^Ь + а.(36.40)

В таком виде может быть представлена любая 4 X 4-матрица. Здесь £, т) — числа: a, b — 4-векторы, а = — а — матрица. Все эти величины могут быть как «вещественными», так и комплексными. Для векторов a, Ъ и тензора a

а = (а, 1ав), «=(_.£ **)(36.41)

«вещественность» означает, что a, а0, к, к вещественны. Если какие-либо из этих величин комплексны, то всегда можно написать а = а? + га", a = a' + to", где а', а", а', а" вещественны в указанном выше смысле. Совокупность величин £, ц, а, 6, а содержит 16 параметров: 1 + 1 + 4 +4 + 6 = 16. В совокупности операторов 1, ^°, а, ^Ъ, а содержатся все матрицы Гв (34.46')’ с некоторыми коэффициентами.

Пять операторов 1, 7°, а, ^Ь, а обладают свойством «ортогональности», которое заключается в том, что след от произведения любых двух различных из их числа равен нулю. Поэтому, если имеется второй оператор Q' = V + ц^0 + а' + ч°Ь' + а', то след от произведения QQ' вычисляется просто: (<?<?') * = (&' - лл' + ^' + w + ^), =

= 4 (^ - тщ' + аа' + W + 72{аа'),). (36.42)

Очевидно, Qt = 4^. Оператор Q (36.40) можно задавать следующим образом: Q = Q(£, т), а, 6, а). С помощью (36.20) — (36.30) нетрудно убедиться, что

Q (В, т>. а, Ь, «)£(£', т/, < У, а') = Q (В", л", а", Ъ", а"), (36.43)

причем

^ = К' - ЛЛ' + аа' + &У + 4 (аа')п

Л" = £л' + л£' — «У + ba' + 4 (аха')ь

а" = (В' —а')а + (| + а)а,+ (л' — а'х)Ь — (т)+<хх)6', (36.44)

6" = (-г/ + а'х) а + (Л + ах)а' + (^ -«')&+(£ + а) Ъ\ а” = В®' — V® — (л®' + л'«)х + [« 1 а'] + [6 • И +

+ [«-Их-[Ь-«,]х+{аа'}-

Поскольку матрицы Q произвольны, то при условии | Q | =5^ 0 они образуют полную линейную группу в четырехмерном пространстве GL (4). Формулы (36.43) показывают, что В, Л, °, ^, а являются параметрами этой группы с законом композиции (36.44). Положив а = Ъ = 0, мы получим 8-параметрическую подгруппу этой группы. Если обозначить ее элементы Q (В, Л> ®) = В + + Ц7° + а, то закон композиции параметров В, Л» ® имеет вид (нужно положить в (36.44) а = а' = Ъ = Ь' = 0)

Г = ^ - ЛЛ' + 4 Wb Л" = 6л' + ^'Л + 4 (aXa')o ,oR,=x а" — ^а' + ?'а — (^а' + т]'а)х + {аа'}_.

Матрицы Т (36.14) очевидно образуют 6-параметрическую подгруппу этой группы, которой изоморфна также группа Лоренца.

Матрица ^ = ^ + 'ПК°"Ьа совпадает с Т (36.14), если £, т) и a связаны соотношением

(g + it))2 = 1 + (a(a + iax) ),/4.(36.46)

Действительно, если § = Re р, т| = Im р, то £ + rq = р. В то же время согласно (18.13), (18.32)(а2 (рд))« = — 4 Re (pg)2r

(а (pg) ах (рд))< = — 41m (pg)2, следовательно, соотношение (36.46) превращается в р2 = 1 — р2д2, т. е. в тождество. Из (36.46) следует

В2 = (4 + D^if = (A- D)I2,

r (36.46')

A = V D4 + ((aax)t/4)2, Z) = 1 +(a2)t/4.

В выражении (36.19') согласно {36.14), (36.18)

T (— с) = (1 — a (с))/'/1 + с2, 1 + с2 = 2/(1 + сгс4У

поэтому (1 — ia (с^) Г (— с) = /Ч» (1 + сх с2) (1 — ia (с^ (1 —

—а (с)). Поскольку (см. (36.31)) а (с^ а (с) = а ([<?!<?]), так как сгс = 0, то

(1 — ia^)) Г(—с) = ^у (1+сгс2) [1—a(c)—ia^J+iadc^])]^

= / -^(l + ^Ml-p), (36.47) где

~/Г«Х л\

P = -P = (o о?(36-47 )

Здесь С есть комплексный 3-вектор следующего вида*):

С = ^4^т^~^ = ^С2’ “^ = ^с'ic^’ (36-48)

Для С справедливы соотношения

1 + С2 = 0, Ц-|С|2 = 4/(1 + С1сг). (36.49) Таким образом, матрица В (36.16) имеет вид (см. (36.19'), (36.47))

В = /2/(1+ |С|2) (1 - ivj Т_{„, (1 - Р) Tia,. (36.50)

Следует подчеркнуть, что спиновые векторы сг и с2 входят в это выражение и в матричный элемент М (36.15) не по отдельности, а только в специфической комбинации (36.48), образующей комплексный вектор С.

Заметим, что произвольный оператор (36.40) может быть представлен в виде суммы Q = Qo + Q\i ^о = ^ + тп° 4" а>

9 Заметим, что матрица р, ввиду комплексного характера с, не будет евещественной» в указанном выше смысле.

Qi =а+^°6, причем Qo — четный, a Q\— нечетный оператор в смысле числа матриц *у\ входящих в члены, из которых слагается оператор. В матричном элементе (36.3), (36.15) всегда можно добиться того, чтобы оператор Q относился к одному из типов Qo или ^ь Действительно, из соотношений (36.20) — (36.25) следует, что члены, содержащие произведение четного (нечетного) числа *у\ всегда сводятся к типу Qo(Qi). В выражении Оф1 = = (& + <П70 + ^+'К°^ + а)'Ф1 можно в любом из слагаемых заменять ф1 на — ^1ф1, так как ф1 есть решение уравнения Дирака для свободной частицы (toi + 1)гр1 = 0. Тем самым мы можем менять четность оператора, стоящего при фь в любом выражении и таким путем свести Q к Qo или Qi. Будем считать, что Q = = Qx = а + ^Ъ. В этом случае в выражении (36.15) для матричного элемента в операторе В (36.50) следует оставить только нечетные по чк члены, и таким образом мы получаем

л/ = - Mn^Y*^1-^1 - ^ Т^ь (36-51)

поскольку Tq и Р — четные операторы (см. (36.14)). Следовательно, задача сводится к вычислению выражений

Dx = ^T-^Ttu.Q^i = to-to^ (а + fb^n (36.52)

Da = ^Т.^Ти, (a + fb^t.(36.53)

Поскольку (i»i)8, (г«2)2, <— i“i, 1»г>г вещественны< то согласно (36.14)

Т -ia.Т -ia.-l-a^)_l+a(i»2)vr^i ’ ie* /1“a ’-l-a^)_l+a(i»2)vr^i ’ ie* /1“a ’^<-i«i,i«»>^<-i«i,i«»>l + a«-i»v i»2>) V1 + <- i»v i»2>al + a«-i»v i»2>) V1 + <- i»v i»2>a(36.54)(36.54)

Т -ia.

Т -ia.

-l-a^)_l+a(i»2)

vr^i ’ ie* /1“a ’

-l-a^)_l+a(i»2)

vr^i ’ ie* /1“a ’

^<-i«i,i«»>

^<-i«i,i«»>

l + a«-i»v i»2>) V1 + <- i»v i»2>a

l + a«-i»v i»2>) V1 + <- i»v i»2>a

(36.54)

(36.54)

Вычисление следов в D\ дает (см. (36.32), (36.35))

Dt = 4 [(1 — »0(1 — »2)]-1/2(1 — »i»a) vt (a + aa — ax5).

(36.55)(36.55)a = a «— шь ih2>).

(36.55)

(36.55)

При вычислении Di учтем, что согласно (31.6), (22.21)

Vl^-ie, — Т-iutT\uxViT-ia, — T_\u^\ Vе — DtttlVx — (0, i)

и (см. (36.25), (36.47')) p°p = 7°^° (так как v°0 = O), причем

согласно (18.23)

<36-56)

Таким образом (см. (36.54)), обозначив ^ = a (/kJ, р2 = «(й^)* имеем

Ра = <T_ltt^Ttol (а + ?Я)4 = 1(1 - »D(1 - »!)]'*7*Х

X 1(1 - Р i) w» (1 + р2)(а + f S)],.(36.57)

С помощью (36.35), (36.39) находим

D2 = 4 [(1 - «0(1 - «г)]"*7* we ^Ga + Hb^ (36.58)

где (см. (22.24), (18.9), (18.23))

[(1 ®1)(1 “I)] 7* = /(1 + PW)(1 + Vgo) = /,

6—1 — 6 4-6 4-6 6 4-6X6X - Р-"1“г + (вГ»2) Чи2-е1Л

^-1 P1+P2+P1P2+P1P21 + вл J,

(36.59)

ЛГ = Pl — Р2 + Р^Р2 ~ PlPs =

_(°Ч^-^+^ЛЩ

V («2 ” “1 + [“Al)0])*

Поэтому, если а = (а, ia6V b — (6, ibe), то,

ю" (Ge + Hb) = CN,

N = (1 — «i^s + (“i -«2)) ® + («0 — &o)(“i — “2) — b0 (w^b (36.60) Поскольку

' 0 J, (36.64)

aI|«A|0<36'62>

то для D\ имеем: Dv = — iVo V2/(1 + | G |2) N61 где

^e = ”i ((1 — »1»г) а + («о — bxXut — a.^ —

— (60 + ах)[и1а21) — v10 ((1 — a^g) a„ +

+ «(»! — а2) + b [i»i»2]).(36.63)

В результате получим для матричного элемента выражение M=-iVe/2/(1+ |С|2) (TV, + NC). (36.64)

Чтобы получить явный вид М для любого процесса, нужно лишь знать величины а, а0, Ь, Ъ^ определяющие оператор Q\ (см. стр. 329).

Введем светоподобные 4-векторы с1=(с1, 0, c^=^c^iY ст = = Сг = 0. Легко убедиться в справедливости соотношений

с*са = Сг4 = 1 + Сгс2 = 4/(1 + | С|2), . —, .(36.65)

NC = c*N+cJc2cv

Здесь N+ — антисимметричная матрица вида (20.3)

Если а, b — произвольные «вещественные» 4-векторы, то при любом комплексном 3-векторе g имеет место равенство

(ag±b)* = aq^b.(36.66)

Действительно, согласно (19.12) а* = —Ра = —аР, Ь* = —РЬ, поэтому

(aq±b')* = a*q*1.b* = a^q^Pb.

Но (см. (27.2)) Pg±P = g*, таким образом, равенство (36.66) доказано. Нетрудно доказать также следующее соотношение, справедливое для произвольных «вещественных» светоподобных векторов а, Ь: а? =а? — а^= 0, Ьг = Ьг — Ь^ = Ои произвольных q, q'- aq^b-aq'^b = ab-aq^q'^b.(36.67)

Это равенство можно написать еще в виде (см. (18.80)) ([a‘g±a][b.g^])f = 0(«‘ = ^ = 0).(36.68)

Тождество (36.67) устанавливается прямым вычислением ag± = ((ах т ia0) q, ± aq\ q'^b = ((— bx Tii0) q', ± bq'\

aq^b = (— [ab] ± t (boa — ajb^ q, aq^b = = (- [ab] т г (boa - a6b^ q\ (36.68')

aqjb-aq^b = g([ab]-[ab) ± i ([ab]-(60a — aob) —

—<bea — a06) • [a6]) + (b^ — a^ • (J)^ — aeb)}g'.

Но согласно (П.1.79), (П.1.81) [a6][«6] = [л&]2 + («•»- ba)2 = = a^b4 — (ab)2 + ab(a-b + b-a) — b4a»a — a'b-b.

[ об] • (6еа — а0Ь) — (60а — а06) • [«Ь] =

= [6еа — а0Ь, [а6]]х = ах (boab — а062) —

— Ъх (jb^a8 — аоаЬ) = ab (Ьоа + а06)х.

Поскольку а8 = а^, Ъ8 = Ьц, то, как нетрудно проверить,

[а&] • [а&1 + (Ьоа — аеЬ) • (Ьоа — а0Ь) = ab ^а • Ъ + Ъ-а — аЬ — ».&.).

Следовательно,

aq^b-aq'^b = ab-q [а-Ь + b-a ± ЦЬоа + а^^— ab-aj^ q'.

(36.69)

С другой стороны, согласно (36.68')

аЧ±ЧтЬ = q [(— ах =F ia0)(— bx =F ib^ + a-b] q*. (36.70)

Квадратные скобки в (36.69) и (36.70) совпадают (см. П.1), что доказывает равенство (36.67).

Вычислим квадрат модуля Д/, пропорциональный дифференциальному сечению w:

w ~ | м|8 = (75/2(1 + 1<7Р)) |7Vop| Ц-»ср, n = NIN0.

Используя (36.65), получим

I м I8 = (75/8) IN618 с^ (1 4- c^lc*^ +

+ (<?i»+<?i)*/Ci<?i + I с*п+сг |7(е*С1)2).

Вводя c^Cj под скобку и учитывая (36.66), (36.67), можем написать

I М |8 = (75/8) | Ne |8 (с^ + с*п+С1 + сКсх + сХп-Ci) =

= (F5/8) I Ne I8 С; (1 + »+Х1 + ni) сг =

Ч75/8)/Л^2|1 + л2|с;д,си

где Ln — преобразование Лоренца (20.17), отвечающее вектор- параметру п = N/No. Окончательно находим

| М |8 = (75/8) | N4» + N 2| c2*L„C1.(36.71)

Мы получили общее выражение (с точностью до множителя) для вероятности любого процесса квантовой электродинамики, описываемого матричным элементом вида (36.3). Замечательной чертой выражения (36.71) является то, что зависимость от спинов начального и конечного электрона (позитрона), как оказывается, имеет простой и универсальный характер. Эта завися-

мость целиком определяется величиной

(36.72)(36.72)R — с^ Lncu

(36.72)

(36.72)

где светоподобные векторы с1=(с1, i), с2 = (с2, i) задают направления проектирования спинов, а вся зависимость от характера конкретного процесса сосредоточена в трехмерном (в общем случае комплексном) векторе и = N/N^ Простота выражения для R позволяет произвести его общий анализ и получать общие выводы, пригодные для любого процесса типа (36.3). Здесь нам удобно будет воспользоваться блочной формой матрицы Лоренца (см. (19.3), (20.26),п = n1-V in^

р = 11 + П2 Г1 (1 - |» |2 + 2 (»^ +»г»1 + »2-"г)).

(36.73)

г = 211 + л2 Г1 (л2 + [ЛхЛ2]), s = - 211+ л21"1 (»2 - [»хЛ2]),

к = 11 + л2 Г1 (1 + I л I2), г2 = s2 = к» - 1,

pp = l + s«s, pp=l + r-r, р8 =—кг, рг =—ks. (36.74)

Выражение для R теперь принимает вид

R = CgpCx + cxs — с^т^-к (с2 = с2 = 1).(36.75)

Чтобы найти экстремум R в зависимости от ск и с2, образуем функцию F = R + (Л1/2)(с2 — 1) + (Хг/2)(с| — 1). Уравнения дЕ[дсг = дЕ!8сг = 0 имеют вид

р<?2 + з + Хх^х = 0, рсх — г + Х2с2 = 0. (36.76)

Подставляя значение сх из первого уравнения во второе и значение с2 из второго в первое, получим, учитывая (36.74),

(36.77)(36.77)(1 — ХхХ2) Сх + (к + sex — Х2) 8 = 0,(1 — ХгХ2) «г + (Xj + гс2 — к) г = 0.

(36.77)

(36.77)

Отсюда следует, что сх li s,c21| г, а поскольку сисй— векторы единичные, T0Cx = ±s/|s|, с2= ± r/|r|(|s| = |г|) (см. (36.74)). Кроме того, уравнения (36.76) удовлетворяются, если 1 — ХгХ2 = = к + scv — Х2 = Хх + гс2 — к = 0, т. е. к^=к + scu кг = к — гс2, (X + sc^k — rc2) = 1. При этом из (36.76) имеем

(36.78)(36.78)с =- = »МЦ

(36.78)

(36.78)

2 x + s^*1 гсг—к'

Эти уравнения совместны, так как подстановка значений съ с2 пз одного уравнения в другое приводит к тождеству, что можно показать с помощью (36.74). Подстановка с2 или сх из (36.78)

в (36.75) дает R = 0. Легко проверить также, что с| = с| = 1 и ^*1^2 ==

Таким образом, справедливо общее утверждение: для любого процесса, описываемого матричным элементом (36.3), при произвольных импульсах электронов каждому направлению оси Cj(c2) одного электрона всегда соответствует направление оси с2(с3) второго электрона — такое, что вероятность процесса равна нулю, т. е. процесс с такими спинами запрещен. Соответствие между сх и с2задается формулами (36.78), которые справедливы при любых импульсах частиц. Эта общая закономерность с особой силой подчеркивает роль спиновых соотношений в процессах взаимодействия: при любых импульсах существуют такие корреляции спинов, для которых процесс невозможен. Случаи с^ = ± s/| $ |, с2 = ± г/| г | с одинаковыми знаками являются частными по отношению к (36.78) и дают R = |Л/12 = 0. Если же Ci = ± s/| s |, с2= =F г/| г |, то соответственно

R = 2(k^\r\^(36.79)

| м Р = (У$/8) I Ne Р(1 +1» р ± 2 Уп^ + ^р ). (36.80)

Очевидно, здесь верхний знак соответствует абсолютному максимуму R и \М |2.

Таким образом, любой процесс типа (36.3) имеет максимальную вероятность для следующих направлений осей спиновых проекций:

С1 = $/|$|, с2 = — г/|г|.(36.81)

Рассмотрим еще случай, когда Cj = ± с2 = с. В первом из них имеем

|ЛР = (П/8)|^р|«с-гр(С1 = с2 = с). (36.82)

Во втором случае

IМ р = (Vj/8) I Ne р (I [пс] Р + 2с 1»х»а1)(сх - - с2 =с).

(36.83)

Усреднение (суммирование) по спиновым состояниям осуществляется очень просто. Усреднить по спинам означает взять полусумму значений |ЛГ|2 (36.71) для проекций спина +1/2 и — 1/2, что соответствует Ci и—с,. Поскольку R (36.72) линейно зависит от с£ и с2, то усреднение по спинам начальной или конечной частицы сводится к вычеркиванию в R членов, содержащих сг или с2 соответственно. В результате получим (см. (36.75))

R1 = к — rc2, R2 = к + sc^(36.84)

где — 1 (—2) означает усреднение по спинам первой (второй) частицы. Усреднение по спинам обеих частиц дает

| МI21’2 = (У2/8) IN2. + N» I к = (Kq/S) | ЛГо I2 (1 + I»I2) =

= (^/8)(|^0|2 + |2V|2).(36.85)

Во многих случаях величины No, N (36.62), (36.63) являются вещественными. Если n=N/N0 — вещественный вектор, то

L =( о J н выражение (36.71) сводится к

| м I2 = (F2/8) 12V^ + № I (1 + сгО„сху (36.86) При этом для зависимости вероятности |2И|2 от спинов справедливы дополнительные простые закономерности:

Вероятности процессов, отличающихся одновременным изменением знаков проекций спина обоих электронов, одинаковы.

Действительно, для сп с2 ъ—сх, — с^ |Л/|2 (36.81) имеет одно и то же значение.

Если сг = с2 =-- с, то (см. (2.5))

IМ I2 = (Fo2/4) | N612 (1 + »2 COS2 <р),(36.87)

где ф — угол между» и с.

Следовательно, вероятность процесса, в котором оба электрона имеют одинаковую проекцию спина на одно и то же направление с, есть линейная функция от соз2ф. Эта вероятность постоянна для всех с, лежащих на круговом конусе с осью п и углом раскрытия 2ф. Она минимальна: | М |2 = (Vq/4) | N^ |2 при Ф = л/2, т. е. когда общая ось с лежит в плоскости, перпендикулярной к п. Ее максимум | М |2 = (Го/4) | No + ЛГ2| достигается при с || п.

Если с£ = — с2 = с, то (см. (2.5))

| М I2 = (У^/4) IN I2 Sin2<p.(36.83)

Таким образом, вероятность процессов с переворотом спина пропорциональна sin2 ф. Она также постоянна на поверхности конуса (П.2) и максимальна: | М |2 = (Fq/4) | N |2 при с | п. В случае с || п процессы с переворотом спина запрещены.

Запрещены все процессы, для которых с2 = — Опсг, поскольку при этом |Л/|2 = 0 (36.86). Это частный случай по отношению к (36.78).

Вероятность имеет абсолютный максимум

|^|2 = (Г2/4)|^ + №|>(36.89)

когда с2 = O,cv

Усреднение по спинам начальных состояний (т. е. вычеркивание членов с с^, либо по спинам конечных состояний дает один и тот же результат, совпадающий с результатом усреднения по всем спинам; при этом

|M|2 = (Pg/8)|2V§ + №|.(36.90)

Таким образом, вероятность, усредненная по спинам, равна полусумме максимальной (36.89) и минимальной (0) вероятности.

В качестве иллюстрации применения полученных выше общих соотношений к конкретным расчетам рассмотрим матричный элемент процесса, для которого оператор Q определяется формулой

Q = ТгЖ - 1)^ - v^h ^ - 1)9.(36.91)

где /1 = Р1 + Х1, /2=^2—Х2, У1.2 = Р1,2М, Х1,2=А1,2/т, Х1 = %2 =0 v? = р| = — 1; pi, Р2 — импульсы электронов, Ai, &2 — импульсы фотонов. Придавая различные значения 4-векторам g, А, можно с помощью (36.91) описать целый ряд процессов (см., например, [41—43]): комптон-эффект, тормозное излучение, рождение пары фотоном в поле ядра, рождение пары двумя фотонами, аннигиляцию пары. Приведем оператор Qj^ универ^ сальной форме Q = Qi = а + 7°Ь путем замены —gh и —Kg на ighv\ и ihgv\. С помощью (36.20) получим

^ = i(a + Y°b),(36.92)

причем

а = 2 fee - т^ + ^g^ ™ gh^ х+’ <36-93) \¥i Vi /

6 = [A.g]xx_, х± = ^±^-.(36.94)

1*112

Подстановка этих выражений в соотношении (36.60), (36.63), (36.64) сразу дает значение матричного элемента М. При этом No и N вещественны, следовательно, для | Л/|2 имеют место выражение (36.86) и все справедливые для него выводы.

Отметим, что полученные легко обозримые выражения содержат в себе общую зависимость матричного элемента (а тем самым и вероятности процесса) от произвольных поляризаций и импульсов всех участвующих в процессе частиц. Эквивалентные по информативности выражения, полученные методами, изложенными в общеизвестных руководствах [41, 42], заняли бы несколько страниц п потребовали бы значительной вычислительной работы.

(36.95)(36.96)(36.97)(36.98) т(36.95)(36.96)(36.97)(36.98) тВ качестве второго примера рассмотрим применение изложенных в данном параграфе методов к расчету процессов, описываемых матричными элементами несколько иного типа. А именно, речь пойдет о процессах рассеяния мюона и электрона (позитрона) на электроне и превращении электронной пары в мюонную [107, 109]. Соответствующие матричные элементы (за исключением скалярных множителей) имеют вид (см. [41, 42]):

(36.95)

(36.96)

(36.97)

(36.98) т

(36.95)

(36.96)

(36.97)

(36.98) т

Рассеяние мюона на электроне

Мец = ф2?Ч1 • ФгтЧх/9%-9 = P»~ Pi-

Превращение электронной пары в мюонную Mw = Ф (— Рг) тЧгФгтЧ (— Рг)^*

Рассеяние электрона на электроне

м ее = Мее/q2 — мЦq'\ qr = Р» —Ри

Мее = ip2Y41 • ФеТЧь Мее = Фг?Ч1* ^тЧх-

Рассеяние позитрона на электроне

мер = Мер!92 Мер!91, 91 = Р1 + Рц

Мер = фгтЧгФг (— рЭ y4 (— р'г\

Мер = ф (- рЭ тЧ1 • ФгтЧ (~ pi) •

Здесь подразумевается, что -ф, = ф(р1), ф^ = ф(Р1) и

дираковские волновые функции свободных частиц, характеризуемых 4-импульсами pi, pl .. ♦ В (36.95) рь р2 — импульсы на- чального и конечного электронов, р^ рг— то же для мюонов. В (36.96) pi, рг относятся к электрону и позитрону, Pi, ра — к мюону и антимюону. В (36.97) pnpi — импульсы начальных электронов, р2, Рг — конечных электронов. В (36.98) pi, pi — начальные, а р^ Рг — конечные импульсы электрона и позитрона. Системы отсчета и поляризации всех частиц произвольны.

В работе [110] был предложен способ описания спиновых состояний электронов, который получил довольно широкое распространение в научной и учебной литературе [41, 42, 45, 54]. В качестве оператора, коммутирующего с р, используется оператор

о' = ^8, sp = O, {ozp}- = 0, $2=1, о'2 = 1. (36.99) Четырехмерный вектор s называется спиновым вектором. Собственным значениям ±1 оператора о' отвечают состояния электрона с проекцией сппна ±1/2. Нетрудно установить связь опе- 22 ф. и. Федоров

ратора о' с введенным выше оператором а = — /а, ар = 0 (см.

(36.6), (36.10)). Согласно (36.25) имеем av = ^axv. Вектор ахи ортогонален к и (vaxv = 0). Кроме того, (axv)2 = = — vaX2v. Согласно (18.69) аХ2 = а2—72(а2)(. Поскольку аи = 0, то (ахи)2 = V2^2(<%2) t. Из (36.6) имеем 1/2(»2)t = = [со]2 — (х"1с)2= v2 — (vc)2 —(v2 “ b^Yh = v2 = — 1. Таким образом, 4-вектор axv обладает свойствами вектора s (36.99): (axv)2 = 1 и paxv = 0. Следовательно, o' = av = tov (см. [103]), т. е. оператор о', коммутирующий с р, или, что то же самсе, с v, отличается от истинного оператора проекции спина о = — ia множителем tv.

Оператор о (32.22), (32.21) непосредственно связан с малой группой, изоморфной группе вращений, и через нее (посредством теоремы Нетер)—с моментом количества движения. В то же время оператор о' (36.99) вводится более формально. Если в о трехмерный вектор с имеет прямой смысл оси спиновых проекций, то в о' физический смысл 4-вектора s неясен. Кроме того, оператор вида (36.99) удается ввести только в случае электрона, тогда как оператор (32.22) универсален и пригоден для частиц с любым спином.

Используя оператор о', нельзя непосредственно получить простые соотношения, приведенные в § 32, позволяющие осуществлять переходы между различными состояниями свободной частицы, а также соотношения (36.71), (36.86), приводящие к простым общим закономерностям для зависимости вероятностей процессов от спинов. Для этого нужно перейти от о' к а.

Тем не менее оператор о' и спиновый 4-вектор s широко применяются в силу двух обстоятельств. Во-первых, математическая структура 5 проще, чем а, поскольку в s матрицы 7* входят однократно, а в a — двукратно. Кроме того, s есть 4-вектор, а a — тензор. Во-вторых, с помощью s осуществляется явно четырехмерно ковариантное описание спина, в то время как в а входит трехмерный вектор с. Поэтому, например, соотношения (36.62) — (36.64) внешне выглядят как трехмерно ковариантные (будучи по существу четырехмерно ковариантными).

Уже упоминалось, что вектор s не имеет непосредственного физического смысла. Приписать ему последний можно лишь с помощью установленного выше соотношения $ = (ах ^0) — аХу» которое в раскрытом виде сводится к равенствам (см. (32.6), (18.23))

s = с + vc-v/(l + v0), s0 = vc/(l+v0)w (36.100) или, если ввести вектор-параметр буста (22.24) и = v/(l + v0), S=c + cu-l)1 s^ = си.(36.101)

Таким образом, зная р (либо v,» ), всегда можно перейти от с к $, а также обратно:

с = s — $ог.(36.102)

Поскольку о'2 = (^s)2 = 1, то проективный спиновый оператор имеет вид (см. П.5) 72(1нР^°5).

Обобщая соотношение (33.35), полученное в § 33 на основе теории проективных операторов, можем написать

1|)2^11рГ (^^l)* = (Т1^2Т2^1)«,(36.103)

где Q\, Q^ — произвольные матричные операторы, причем Q = =

Т1 = tr'pi = 74(1—iPi) (1—т°$1) = 74(1—ivi—t°Si + ip?1), Т2 = i|)2-i|)2 = 74(1—i«2—Ч^г + ipl),(36.104)

Pl = [УГ»1], P2 = [V2-S2], V1$1 = V2S2 = 0, vi, V2 — 4-скорости частиц 1 и 2._

Матричный элемент (36.95) запишем в видеЛГ ='фаагр1*гр2ахр1» где а — произвольный 4-вектор. Вычислим выражение

и = ^«^r^aipr^^J’^Hi)**(36.105)

которое сводится к | Л/|2, если положить_а-а = 6-6 = 1. Согласно (36.20) — (36.30) имеем (поскольку 6 = 746+^4 = —6)

le^e’pr (^2^1)* = —16(т16т2а) = Si—Sa,(36.105')

где

Si = [ (zv! + 7°в1)6(гй + T°S2)a]t =

= 4a((vrv2)—V1V2 + (Sr$2)— Sl»2 + i[v2-Si]x 4- i[s2-Vi]x)6,

(36.106)

S4 = [(1 + ip?) b (1 + ipOa]t =

= 4a (1 + P2P1 + P?P? + ip? — гр?)б. (36.107) Поскольку (см. (18.56)) p?p? = PiP2 — V^PiPj,, to (36.105') после простых преобразований приводится к виду

4^,. (^)* = —a(e+ + i^b, (36.108) где

8± = 8± = N^N^ + 6V - (0v),/2, Р = - Р = [У-- $+1,А^ = ^ = 1 ± v,/2 т v, N3±=N± = 1 ± ^Д Т 9, (36.109)V=(V1-V2), 6=($1-82), V± = V1 ± V2, S± = S1±$2.

Отметим, что матрица е± полностью симметрична по отношению к v и 0. Совершенно аналогично получаем

4ф^а грх • (i^b фЭ* = — а (8+ + Ф'х) Ь,(36.110)

где 8+,р' отличаются от е+, £ штрихами при всех величинах. Таким образом (см. (36.105)),

4617= а (е+ + фх) b-а (е+ + $ТЬ =

= а (е+ + 70х) b-b (е+ — фх) а.

Полагая здесь 6-6 = а-а = 1, получим (см. (36.95)) W| Мец|8 = [(е+ + фх)(< - ф'х)], =

= (е+6; 4- рхр'х\ = (8+е/-рр' )t. (36.111)

Подставляя значения е+, е+, р, р', согласно (36.109) находим окончательное явное выражение для |Л7ер|2

16g<| M^l1 = [(^^^^ + Ov - (0v)t/2)(^№; + OV -

— (0,v')f/2)]( - ([P-.$+] [у!-4])( =

=/(yi, «15 v2. «2; ”1-51'; ^>4) = / (1, 2, Г, 2'),(36.112)

где цифры 1, lz,... символизируют пары (yi, si), (vi,si)h t. д. •Это выражение, определяющее зависимость вероятности рассеяния мюона на электроне от импульсов и поляризаций всех частиц, является вполне обозримым, его симметричная структура и зависимость от всех величин непосредственно просматриваются. Усреднение по любым из спиновых переменных осуществляется в (36.112) путем простого вычеркивания всех членов, содержащих соответствующие векторы s. Так, например, результат усреднения по «2 и s2 выглядит следующим образом:

46д<ГмЛ« =- ([у.-зЖ^]), =

= 2 (2 + УхУ2 4- У^2 + "1^1 ’ У2У2 — V1V2 • У2У1 +

4-v-yl-s^ — vsvv'-s^. (36.113)

При этом вследствие законов сохранения

Pi + Pi = ^У1 + m,yi = my2 + m'y2, v'_ = — ry_, r = mlm',

— v’-/2 = — r2yi = (1 + у^у2) = r2 (1 4- yry2), (36.114) Piv'i = VgVg, yiy2 = yly2>

(ylyl)8 + (У1У«)2 = (У1у1)2 4- 2уХ-У1У2 =

= (14- У1У2)(1 + уХ) 4- гУ^^-УхУа.

Поэтому имеем

8g4 |M^F = (^О8 4- (у^г)8 —

— (1 + г2) р2/2 — г (^*14 — v-Sp v_si), (36.115)

что совпадает с известным результатом (см. [111]).

Обращаясь к процессу II (36.96), следует учесть, что (см. (31.21), (34.39))__

4(—Р) = Т54(р), 4(—Р) = —Ф(р) Т5-(36.116)

Поэтому из 4(р)4(р) = 1 вытекает ф(—р^к—р) =₽ —1 (см. § 31). Из (36.116) следует тдкже

т(—р) = 4(— Р) -4(— Р) = — 7Ч(Р) -ШИ5 = —Т5т(р)Т5 =

= — СЛ)Т5(1 - Й (1 - Y°s)Т5 = -СМ (1 + to) (1 + T°s).

(36.117)

Таким образом, т(—р) отличается от т(р) изменением знака как V, так и s. Учитывая эти соотношения, запишем М^у. (36.96)’ аналогично Mw (36.95) в виде

q%M^ = ■фгу^а.'ф'у5^(36.118)

и соответственно

g4| Л/£|2 ^[^у5^-^?5^)’^^^(36.119)

Поскольку у^д = у4(у5Ь)+74 = by5, то согласно (36.117), (36.103) получим

^у^фг (ifel5^!)* = (тлЬуЧгу5®^ =

= — [^(Рь $1)Ьт(— pi, —s2)a](.(36.120)

Мы видим, что это выражение отличается от (36.105') лишь заменой р2, $2 на —р2, _— s2. Аналогично второй множитель в (36.119) отличается от ipz0^!"(4*2^1)* заменой рь sf, р2, s2 на р2, s2; — рп — $! соответственно. Следовательно, используя функцию /, введенную в (36.112) для процесса I, можем сразу написать для процесса II

16g41 ^Г = / (vu »v — v2, — s2; р2, s2; — и'ъ — s[) =

= /(1, -2, 2', -1).(36.121)

Для рассеяния электрона на электроне имеем согласно (36.97)

j Мее I2 = I М« \^^ + I м". №'* - 2 Re (M^M^/q^- (36.122)

Из (36.97) ясно, что Мее совпадает с выражением (36.112), а Мее отличается от последнего лишь перестановкой фг и 'Фг» т. е.

|м;;|2=/(1,2', г, 2).

Таким образом, для определения 1Мее12 необходимо вычислить лишь выражение Re (Мее Мее)- Для этого воспользуемся следующим приемом. Согласно (34.56) имеет место равенство Мее = 'ФгУЧг’ФгтЧх — ^ipi'^i — 'М’Чг ^г?Чх -

— 1 /2 (ыЧх' 'МЧх + 'ргГ^Чх '^yV^D •(36 •123)

Отсюда следует

Re (м'* М",,) = Me- Ч» (| Мее Р + Мг\ (36.124) где

Мо = Re \Мее бЫч-ф^г — ^Чх-'МЧх)! = R® (U6U'o — ZZ^), Мг = Re (Ме.хМ^Чх’Ф^Чх) = R® ^2^1.

Uo = ^^i • (^oipi) * = (ti«t2) < = — (ti«t2) ,,(36.125)

Ui =1)275фг (if2ai|)i)* = — (tiot^5),,

U2 = iM5Hi- (^2^1)* = — (Т1ат2к56)(,

a U^U^U^ отличаются от этих выражений лишь штрихами при ф1, фг или соответственно при и и s. Заметим, что здесь аналогично (36.105) мы рассматриваем выражения вида 'фг^'Фи (^a^i) с тем, чтобы положить впоследствии а-а = 6-6 = 1.

Вычисление выражений (36.125) с помощью формул (36.20) — (36.30) и соотношений § 18 не представляет труда и дает

4(70 = ($+Р? + iv^N^a, 4UT = (v-psX + isj^)a,

4U4 = a^-i(X + p^+p^b,(36.126)

где

P, = IVvV^e p, = [SfS8l« |i = P+S+ + S- -V- — P+-S+,

X = X = PiP? - Pi^ p2 = P1P^ + P^Pi - (piP?)t/2 =

= A — (У1*У2Р^) — (srs2P?). (36.127)

A = ViP^^ = SiP^s2 = i | Pn v2, sn s21.

Здесь | Pi, p2, Si, s2| —детерминант, построенный из компонент 4-векторов vi, ^2, ^ь s2- Таким образом, согласно (36.125) —

(36.127)

16Me = Me(l,2, Г, 2') =

= S.NdN'dS- + y-PsXPsXy- — V-t-NgN'eV^ — S+Pe p^XS+, (36.128) lej/i = m^i, 2, r, 2')=(pi?)( - [(x+px+px) (v-p? -p;x)L - = [(s-«P-— P+-S+) (pL-sL — «+«Р+)]<— [(Pe + Ps) (P» + Ps)]t — - U^-^) + («1-^)][(^-^PsX)+ Gl^P^)]}*- 4D, (36.129)

где,,,

"^г vi4 V2

d=-^= "^ ^ V^1 V2.

S1V2 *1*1 Sl$2

Vl S2V2 Vl $2$2

В результате имеем (см. (36.122) —(36.124))

l6m4Meef = Hp^^ (Vl-V2)("l-^)4

. (36.130). (36.130)(^-^("l-^)2(^-^("l-^)2/ d. 2, Г, 2') - 2М0 (1, 2, Г, 2') + Мх (1, 2, Г, 2')

. (36.130)

. (36.130)

(^-^("l-^)2

(^-^("l-^)2

Подставляя сюда выражения (36.112), (36.128), (36.129) для /, Л/о, Afi, получим искомое сечение в явном виде.

Нужно иметь в виду, что здесь (и для процесса IV) соотношения, вытекающие из закона сохранения энергии-импульса, вследствие равенства т=т/ имеют более простой вид, чем (36.114):

^1 + ^1 = ^2 + ^2> V- = — V-,^^ = У1У2,^1^1 = ^2^2, У1У2 = ^2^1-

Чтобы вычислить |Afep|2 согласно (36.98), учтем, что (см. (36.116), (36.117))

Мер = гр2?Ч1 • ’ФтуЧг, Мер = ■фа'У^Чг ‘ tivVti-(36-131)

Поэтому (ср. (36.118), (36.121))

1б|л/;р|2=/(1, 2, 2', Г), 1б|л/;р|2=/(1, -1', -2', 2). (36.132)

Остается вычислить Re (.Мер, М^>\ для чего аналогично (36.123), используем соотношение (34.56)

М"ер = — (Ч>2^1 * ^Ча — ■фгТ5^ • tiT6^) —__

— 1/-1 ('р2?,1^г^1ТЧ2 + ^2Т5тЧ1ЧУтЧг)-

Сравнивая с (36.123), (36.124), (36.127) — (36.129), видим, что

16Ке(КЖр) = -^/0(1,2,2,) 1')—^(iGlAf^p+^tl, 2, 2', 1'))

и, соответственно,

1 em* | м„ I- =+ 'М*^®

,/(1,2, 2', Г) + 2М„ (1, 2, 2', Г) + М, (1, 2, 2/ Г)

■<зе- Зо)

Следовательно, сечение процесса IV может быть сразу написано, исходя из сечения процесса III без всяких вычислений, с помощью перестановок переменных. Таким образом, чтобы получить выражения для сечения любого из рассматриваемых четырех процессов, достаточно вычислить три величины: / (36.112), Mq (36.128) и Мх (36.129) [109]. Следует отметить четко выраженную симметрию этих выражений относительно и и $.

Аналогично (36.113) результат усреднения, например, выражения (36.130) по спинам конечных электронов получается путем вычеркивания членов, содержащих $2 и s2. При этом согласно (36.112), (36.128), (36.129)

и выражение (36.130) принимает види выражение (36.130) принимает вид1бме = S1 (n^-p^Vi -v^v 7=(^w-[y_.s1][vL.s;i)1,16УЙ1 = [($! • Р_ — Р+ - S2) (pL • si — Sr P+) — PopiL

и выражение (36.130) принимает вид

и выражение (36.130) принимает вид

(36.134)(36.134)= Ло + Л ви + в са + с(^-"г)4ОЧ-^)4("i-^)2^-^)2

(36.134)

(36.134)

где

Ло = (/V^JV” )< = Ло(рп р2, vi, pi), В„ = Ло (ръ pi, pi, р2),

Со-^Ж-рЛ+грХ, (36.135)

Л = ([Р_.sj К.si]), = Л (1, 2, Г, 2'), В = Л (1, 2', Г, 2),

С =Л + 2si(p?pix— N\N^ si + [(p+'Si — srp_) (si-P+— pl-sj^b

Выражения (36.112), (36.121), (36.130), (36.133) имеют чрезвычайно общий характер, поскольку они справедливы при произвольных импульсах и поляризациях всех четырех частиц и соответственно содержат обширную информацию. Отметим, что до работ [107, 109] в столь общем виде вычислялось лишь дифференциальное сечение для рассеяния электрона на электроне [112]. Более простые случаи, когда все или некоторые частицы неполя-

ризованы, рассчитывались рядом авторов. Так, для неполяризо- ванных частиц сечение реакции I (рассеяние мюона на электроне) рассчитано в [ИЗ, 114], кроме того, в [114] получено сечение реакции I для поляризованных начальных электрона и мюона. Сечение реакции II (превращение электронной пары в мюонную) было рассчитано в [115] лишь для неполяризованных частиц. В работе [111] было вычислено сечение процесса III (рассеяние электрона на электроне) для случая, когда частицы в конечном состоянии неполяризованы, что соответствует формулам (36.134), (36.135), Однако в работе [111] допущены ошибки (выражение для С содержит неправильные члены, хотя Ло, Во, Со, Л, В вычислены правильно). Эта ошибка воспроизведена в книге [41] и в статье [112]. В последней, сверх того, неправильны все члены, содержащие по четыре спиновых вектора Si, $2, $ь $2* Таким образом, по существу, весь расчет, приведенный в [112], является ошибочным.

Эти данные отчетливо характеризуют ситуацию в области расчетов вероятностей процессов с участием поляризованных частиц. Из них следует, что лишь в работах [113—115] были получены правильные результаты, но они, во-первых, относятся к более простым реакциям (это ясно из сравнения (36Л12), (36.121) с (36.130), (36.133)) и, во-вторых, либо совсем не учитывают поляризацию, либо учитывают ее лишь у половины частиц, участвующих в процессе. Разумеется, это обусловлено сложностью и громоздкостью расчетов реакций с учетом поляризаций частиц при использовании общепринятых методов. Действительно, если хоть одна частица неполяризована, то расчет упрощается в несколько раз, поскольку отпадают самые сложные и громоздкие члены, содержащие по четыре спиновых вектора s. Заметим еще, что в [112] окончательные формулы занимают несколько страниц, в то время как соответствующий пм результат (36.130) после подстановки значений входящих туда величин /, М^ М займет несколько строк. Очевидно, вероятность совершить ошибку при вычислении в простых и симметричных выражениях вида (36.112), (36.128), (36.129) относительно невелика.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Некоторые сведения из линейной алгебры

Прямоугольная таблица, составленная пз любых тп чисел

А А ^хх^хг • •А • лхпА А ^21^22 • •• ^2п^ml^m2 е• • ^тпА А ^хх^хг • •А • лхпА А ^21^22 • •• ^2п^ml^m2 е• • ^тпА — (^nv) —А — (^nv) —р = 1, 2, ..., тп, v = 1, 2п, (П-1-1)р = 1, 2, ..., тп, v = 1, 2п, (П-1-1)

А А ^хх^хг • •

А • лхп

А А ^21^22 • •

• ^2п

^ml^m2 е

• • ^тп

А А ^хх^хг • •

А • лхп

А А ^21^22 • •

• ^2п

^ml^m2 е

• • ^тп

А — (^nv) —

А — (^nv) —

р = 1, 2, ..., тп, v = 1, 2п, (П-1-1)

р = 1, 2, ..., тп, v = 1, 2п, (П-1-1)

содержащая тп строк и п столбцов, называется m X п-матрицей, величины А^ — ее элементами. Общим свойством всякой такой таблицы является следующее: из каких бы взятых наугад чисел Аи» она ни была составлена — всегда числа имеющихся в ней линейно независимых строк и линейно независимых столбцов будут одинаковы. Это число г называется рангом матрицы А. Очевидно г не может превышать меньшего из чисел тп, п. Для двух матриц, имеющих одинаковые числа строк и столбцов, определена операция сложения, причем элементы матрицы, равной сумме нескольких таких матриц, равны суммам соответствующих элементов складываемых матриц. Для всякой отдельно взятой матрицы А определены операции:

Умножения на число — сводящегося к умножению на это число всех элементов:

(П.1.2)(П.1.2)кА — Zc(Xgv) — (A?Xgv) •

(П.1.2)

(П.1.2)

Комплексного сопряжения — сводящегося к взятию комплексного сопряжения от всех элементов:

А* = (Л^).(ПЛ.3)

Транспонирования, т. е. перестановки строк и столбцов, в результате чего получается n X ш-матрица:

— (А>ц).— (А>ц).(ПЛ.4)(ПЛ.4)^11^21 • • • 4»1^12*^22 * е е Ап2

— (А>ц).

— (А>ц).

(ПЛ.4)

(ПЛ.4)

^1П^2П е е е ^тп

Эрмитовского сопряжения, которое сводится к одновременному выполнению операций комплексного сопряжения и транспонирования

(П.1.5)(П.1.5)А* — Л*

(П.1.5)

(П.1.5)

Операции 2, 3, 4 обладают свойством симметричности, т. е.

(^♦ = 4, А=А, (4+) + = 4.(П.1.6)

Для двух матриц А =(4^), В = (BNp) определена операция умножения АВ при условии, что число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы

АВ = С == (^цр), Сцр == 2v4|ivSvp = А^В^р»(П.1.7)

Во всей книге подразумевается суммирование по дважды повторяющимся индексам в пределах их возможных значений. Отдельные случаи, когда это правило не следует применять, мы будем отмечать точкой над индексом: А д . Бели какие-либо две буквы, обозначающие векторы или матрицы, стоят рядом, то подразумевается суммирование по соседним индексам. Например, 4ф = (4цvфv), фф = фцфц, ф4 = = фц4^ и т. д. В случаях, когда суммирования нет, между буквами ставится точка. Например, А • В = (4^4рст), хотя АВ = (А^В^) (см. (П.1.7)). Нетрудно убедиться в справедливости соотношений

АВ — ВА. (АВ) + = В+А*(П.1.8)

для любых А, В, для которых существует произведение АВ.

Частными случаями прямоугольных матриц являются матрица-столбец

= ф(П.1.9)

и матрица-строка

^=(фь ф2, • •фп) = Ф,(П.1.10)

которые можно называть также векторами. Эти матрицы можно перемножить в порядке ВА лишь в случае т = п; при этом получим 1 X 1-матрицу, т. е. число

ВА = ф|ф| + ф2ф2 + • • • + фтфт = фф.(П.1.11)

Перемножение же в порядке АВ возможно всегда и дает m X п-матрицу специального вида

АВ =

Mi

Ml

Ф1ф2••

М2 • •

•м»

’Мп

= ф.ф, (.АВ^ = Ф^. (П.1.12)

%»Ф1

Мг

-V»

Такая матрица, элементы которой состоят из всевозможных попарных произведений компонент двух векторов ф и ф, называется диадой. Мы будем использовать для диады обозначение ф • ф. Можно убедиться, что

Ф^Т = Ф 1 Ф, (ф • ф)+= ф* • ф* (П.1.12')

Очевидно диада является матрицей первого ранга, так как любая пара ее строк (и столбцов) пропорциональны между собой. Заметим, что в большинстве случаев, когда это не вызовет недоразумений, мы, для сокращения записи, будем изображать вектор в виде матрицы-строки (П.1.10).

Матрицы-диады являются основными элементами, из которых можно построить любую матрицу. Действительно, справедливо утверждение: всякая матрица ранга г может быть представлена в виде суммы г и только г независимых диад:

л = ^(О • ф< 1> -|- ф(2). ф(2>+ . . . + ф(г). ф(г)е(П.1.13)

Независимость диад означает, что все векторы ф<1>, ф<2),..., ф(т\ так же как все векторы фС1)^ ф(2),..., ф(г), являются линейно независимыми. Наличие какой-либо линейной зависимости между фО), ф<2>,..., ф<г> или фО), ..., ф<г> привело бы к уменьшению числа диад в сумме (П.1.13). Действительно, если, например, ф<2> = k^<v\ то

ф(О. ф(1)-|- ф(2), ф(2)— ф(1) . (ф(1)^. &ф(2)) --- ф(1) . ф'

и, таким образом, сумма двух диад фактически сводится к одной диаде.

Прямоугольную т X n-матрицу А = (Л^) можно рассматривать как линейный оператор, преобразующий n-мерный вектор ф = (tpv), v = 1, 2,..., п, в m-мерный вектор ф = (фц), ц = 1, 2,..., тп,

ф = Лф, фц = Лцvфv•(П.1.14)

Если А =(Л^), то А =(Л^) или

А^ = А^(П.1.15)

поэтому фц = фуЛуц или

Лф = фЛ.(П.1.16)

С помощью векторов ф=(фц), ф=(ф^ и матрицы Л =(Л^) можно образовать число

фЛф = фцЛцуфу = фvЛvцфц == фЛф.(П.1.17)

Очевидно, все приведенные выше утверждения остаются справедливыми и в частном случае m = п. т. е. когда матрицы являются квадратными.

Для всякой заданной квадратной матрицы А можно поставить вопрос об отыскании всех возможных чисел X и векторов ф, удовлетворяющих уравнению

Лф = Хф.(П.1.18)

При этом ф называется собственным вектором матрицы А, а X — соответствующим собственным значением этой матрицы. Можно доказать [16], что всякая квадратная матрица А имеет по крайней мере один собственный вектор ф. Собственные значения X п X n-матрицы являются корнями характеристического уравнения

| X - А | = V — aiX"”1 + а^-1 -... + (-1) пап = О, (П.1.19) коэффициенты которого аь а^..., ап являются однородными полилинейными функциями соответственно степени 1, 2,..., п от элементов матрицы А.

Если все векторы пространства испытывают некоторое линейное преобразование: ф' = оф, то заданная в нем матрица А претерпевает преобразование подобия

А1 = SAS-Ч(П.1.20)

При этом характеристическое уравнение не меняется, так как

|Х — Л'| = IX — SXS”l| = |S(X —Л)^~Ч = |5| . |Х — лI • |5"Ч =

= |Х —Л|.

Поэтому все коэффициенты ах характеристического уравнения (П.1.19) являются инвариантами преобразования подобия. Матрицы А' и А (см. (П.1.20)) называются подобными или эквивалентными. Коэффициент аг выражается следующим образом:

ai = Ai + А2 +... + Ап = Ац + А22 +... + АПп * А#.(П.1.21}

Здесь Аь А2,..., Ап — корни уравнения (П.1.19), А< —след матрицы А. Коэффициент ап имеет вид

ап = А! А2... Ап = |АЬ(ПЛ.22)

е. он равен детерминанту матрицы А. Коэффициент а2 можно представить в виде

°2 = ^14 + Vs + • • • + Ап-1Ап = у [(Ах + А2 + ... + Ап)* —

-(А? + А1+..+А*)]. (П.1.23)

Поскольку сумма к— х степеней всех собственных значений матрицы А равна следу матрицы Ак

%* + %*+... + ^ = (л%(П.1.24)

то

а2 = у[(Л)2-<А1-(пл.25>

Аналогично все коэффициенты ах могут быть выражены через следы от различных степеней матрицы А. Более точно коэффициент ах выражается через следы от степеней А, А2, ...,Ак. Выражения для ах могут быть, получены из рекуррентных соотношений, известных под названием формул Ньютона [116]:

как = U*\ - <4 (Л*1-1), + а2 U^X “♦••+(- D*"4-iA- (ПЛ.26>

Согласно теореме Гамильтона — Кэли [16] всякая квадратная матрица А является корнем своего характеристического уравнения (П.1.19). Таким образом, имеет место матричное равенство

А^ — ахА^^агАп-2_ ...+(—!)”«* = (А-М (А - Х2).. .(А — Хп) = 0.

(П.1.27)

Следовательно, для квадратной матрицы размерности n X п всегда существует полином n-й степени, который аннулируется при подстановке в него матрицы А. Поэтому степени матрицы А:А° = 1, А, А2, ..., Ал всегда линейно зависимы между собой, и любая степень, начиная с п-й И ?Т’ м°жет быть представлена в виде линейной комбинации степе-

Из формул (П.1.27), (П.1.21), (П.1.26) вытекают следующие тождества: для матриц второго порядка

A2 — AtA + |А| =0;(П.1.28)

для матриц третьего порядка ♦)

А3 - А,А2 + А,А- |А| s 0;(П.1.29)

♦) Матрица А, называемая взаимной к А, может быть определена соотношением А = [AJA"1 (см. (П.1.58)).

для матриц четвертого порядка

л4 - ^л3 + А [(л,)2 - (л2),] л2 - л<л +1 ЛI=0.(П.1.30)

ственно вид (для п = 2, 3, 4, 5, 6)л2+ |Л| =0,(П.1.31)Л3 + Л^ = Л3 — А (Л2)(Л = 0,(П.1.32)Л4-А(Л2),Л2 + |Л| = 0,(П.1.33)л5 -А (л2),Л3 4- А [((Л2),)2 - (Л4),] л = О, (П.1.34)ственно вид (для п = 2, 3, 4, 5, 6)л2+ |Л| =0,(П.1.31)Л3 + Л^ = Л3 — А (Л2)(Л = 0,(П.1.32)Л4-А(Л2),Л2 + |Л| = 0,(П.1.33)л5 -А (л2),Л3 4- А [((Л2),)2 - (Л4),] л = О, (П.1.34)Если матрица А антисимметрична: А = —А, то и любая ее нечетная степень будет антисимметричной, поэтому (Л2к+1)< = 0. Кроме того, для антисимметричных матриц нечетного порядка |А| = 0, так как при перестановке строк и столбцов детерминант не должен меняться, а, с другой стороны, вследствие антисимметрии матрицы и нечетности ее порядка он должен изменить знак. С учетом этих свойств уравнения Гамильтона — Кэли для антисимметричных матриц упрощаются и принимают соответ

ственно вид (для п = 2, 3, 4, 5, 6)

л2+ |Л| =0,(П.1.31)

Л3 + Л^ = Л3 — А (Л2)(Л = 0,(П.1.32)

Л4-А(Л2),Л2 + |Л| = 0,(П.1.33)

л5 -А (л2),Л3 4- А [((Л2),)2 - (Л4),] л = О, (П.1.34)

ственно вид (для п = 2, 3, 4, 5, 6)

л2+ |Л| =0,(П.1.31)

Л3 + Л^ = Л3 — А (Л2)(Л = 0,(П.1.32)

Л4-А(Л2),Л2 + |Л| = 0,(П.1.33)

л5 -А (л2),Л3 4- А [((Л2),)2 - (Л4),] л = О, (П.1.34)

Л6 - А (Л2),Л4 + | [((Л2)^2 - (Л4),] Л2 - I ЛI=0. (П.1.35)

Во многих случаях степень полинома, который обращается в нуль при подстановке в него матрицы А, меньше степени характеристического полинома, т. е. размерности матрицы п. Полином наименьшей степени /(X) со старшим коэффициентом, равным единице, для которого /(А) = 0, называется минимальным полиномом матрицы А, а уравнение /(А) =0 — минимальным уравнением. Минимальный полином всегда существует, определен однозначно и имеет степень не выше п. Он является делителем характеристического полинома, и все различные корни последнего, т. е. все различные собственные значения, являются также корнями минимального полинома, хотя кратность корней минимального полинома может быть меньше кратности тех же корней характеристического полинома [16].

Таким образом, среди корней минимального полинома матрицы содержатся все ее собственные значения. Если минимальный полином матрицы не содержит кратных корней, то матрица приводима к диагональному виду [16]. Если же какой-либо из корней минимального полинома X имеет кратность к, то это означает, что при приведении матрицы к нормальной форме Жордана [16] она будет содержать одну или несколько жордановых клеток размерности к

к

Г100... 0О О'

(П.1.36)(П.1.36)0 X10... 00 0

(П.1.36)

(П.1.36)

00X1

000 X

или любых низших размерностей и не будет содержать жордановых кле* ток размерности выше к (для X).

Неприводимость матрицы к диагональному виду является выражением того факта, что число различных линейно независимых собственных век-

торов матрицы меньше ее размерности, т. е. из этих собственных векторов нельзя составить базис полного пространства, в котором определена матрица. При этом каждой жордановой клетке любого порядка отвечает только один собственный вектор.

Если же матрица приводима к диагональному виду, т. е. ее мини мальный полином не имеет кратных корней, то, при выборе в качестве базиса пространства совокупности всех собственных векторов матрицы, она принимает диагональную форму, причем по диагонали будут стоять собственные значения матрицы.

Во многих вопросах линейной алгебры находит применение так называемый символ Леви-Чивита. В n-мерном пространстве этот символ записывается в виде причем число индексов равно размерности пространства и каждый индекс может принимать значения от 1 до ти Символ Леви-Чивита однозначно определяется условием полной антисимметрии, т. е. тем, что он меняет знак при транспозиции любых двух из его индексов

и условием

3|23***п = 1.

Отсюда следует, что символ Леви-Чивита равен нулю, если среди его- индексов есть совпадающие. Когда все индексы различны, то символ Леви- Чивита равен +1 или —1 в зависимости от того, получается последовательность он, аг,..., о„ из 1, 2, 3,..., п путем четной или нечетной перестановки.

(П.1.37)(П.1.37)Для произведения Двух символов Леви-Чивита справедлива формула

(П.1.37)

(П.1.37)

^aaz

^ab'

^ac‘

^ba'

^bb'

^bc‘

^ca*

^cb*

^cc*

^аЬс^а’Ь'с'

Здесь 6ОО/, 6а6,—известные символы Кронекера. Мы ограничились случаем та = 3, но аналогичные формулы справедливы при любом п. Действительно, при а = а’ = 1, Ь = V = 2, с = с' = 3 слева и справа получается единица. Любое же изменение порядка индексов а, Ъ, с или а\ V, с'вы

зовет одинаковое изменение знака слева и справа, поскольку при этом в детерминанте произойдет перестановка строк и столбцов. Таким образом, равенство (П.1.37) справедливо при любых значениях индексов.

ливо соотношениеeai...aftaft+1...an8ai^^^= кХливо соотношениеeai...aftaft+1...an8ai^^^= кХДля свёртки символов Леви-Чивита по нескольким индексам справед

ливо соотношение

eai...aftaft+1...an8ai^^^= кХ

ливо соотношение

eai...aftaft+1...an8ai^^^= кХ

^/i+l^A+l ^аА+1РА+2 * * * ^аА+1Рп

$anPfe+i ^anPfe+2 * * * ^anPn

(П.1.38)

Доказать эту формулу можно методом индукции. Для к = 0 последняя формула верна, так как она аналогична (П.1.37). Предполагая (П.1.38) справедливым для некоторого к < п, положим Ph+i = a^+i, тогда имеем

e«i... «fc+iafc4-2* • -an8ai... afe+iPfc-i-2* • • Pn ^e«i... «fc+iafc4-2* • -an8ai... afe+iPfc-i-2* • • Pn ^^a/i+la/t+l ^aA+lPA+2 * * * ^aft+lPn

e«i... «fc+iafc4-2* • -an8ai... afe+iPfc-i-2* • • Pn ^

e«i... «fc+iafc4-2* • -an8ai... afe+iPfc-i-2* • • Pn ^

^апад+1 ^anPfe+2 * * * ^«nPn

(П.1.39)

Разлагая здесь детерминант по элементам первого столбца, нетрудно убедиться, что соотношение (П.1.38) справедливо при замене к на Л +1, а значит, при любом к. В частности,

8at...an„1an8at...an_10n,

(ПЛ.40) = л!

<Х1...0&71 Oti.-.a^

С помощью символа Леви-Чивита можно записать выражение для детерминанта матрицы А = (Лвр) в виде

| Л | = 6aias...an^iat^2aa * * * Агап»(ПЛ.41)

или

eaiav..anAat&A^s * * * Axn0n = I ^ I 80ip,...0ne(ПЛ.42)

Матрица U, преобразующая совокупность ортонормированных векторов n-мерного пространства ф<к>, к = 1, 2,..., л, в совокупность п также ортонормированных векторов -фс^), является унитарной, т. е. обладает свойством U* = U-x. Действительно, пусть

фС^ф^ = ^(^фС^) = ^^ к, к' = 1,2, ..., л, (ПЛ.43) и

ф(М = и^е(П.1.43')

Тогда

(П.1.44)

так как U<^^ = ф^ )-ф(д )*ф(^ = 6Ауф^^ = ф^. Прп этом U+U = 1, так как Z7+= ф^-ф^'^и согласно (П.1.43) U^U = ф^'.ф^'^ф^.ф^* = = б^ф^-ф^* = ф^-ф^*. Легко проверить, что

ф(*).ф(*>* = ф(*).ф(*)* = 1.(П.1.45)

Для доказательства достаточно подействовать матрицей ф<*> • ф<*)* на любой вектор х = ад*Ф(А ^

(ф(А>.ф<А>*)х = аА,ф<А).ф(А>*ф(*'>= ^кк.ак,^ = ак^к = %.

Легко показать, что унитарная матрица U (П.1.44) при заданных ф(А) и ф<к> (П.1.43) будет единственной.

Во многих случаях находит применение полная матричная алгебра, состоящая из л^матриц в®^. Матрицы е®^ имеют все элементы, равные нулю, за исключением единственного элемента, стоящего на пересечении a-й строки и Р-го столбца, равного единице. Любая п X л-матрица А = = (Лар) может быть представлена в виде суммы А = Ларе®^. Матрицы е^ перемножаются по правилу

ea₽epa = ^рв®0.(П.1.46)

Элементы матриц е®^ определяются следующим образом:

^УХ = бахбрх.(П.1.47)

Пусть некоторая квадратная матрица А размерности п преобразует п заданных линейно независимых векторов ф<*\ к = 1, 2,..., п, в п других

заданных векторов tpW;

ф(М = Лф<м.(П.1.48)

Задание ф<к> и -ф^) позволяет однозначно определить матрицу а: она имеет вид суммы п диад

А = ф<м • xw,(П.1.49)

где векторы xw определяются с помощью символов Леви-Чивита следующим образом:

(ft) = ^...ай-^+г.^п, (1) (Д-D (д+!)(п)щ4 50)

а величина |ф(1), ф(2),..., ф(п) | обозначает детерминант, составленный из компонент линейно независимых векторов ф<*>. Действительно, векторы xw согласно (П.1.41), (П.1.50) обладают свойствами

Xtk4W = xM = 6M,(П.1.51)

поэтому матрица а (П.1.49) будет удовлетворять условию (П.1.48).

Рассмотрим подробнее основные свойства векторов и матриц (тензоров) в трехмерном пространстве (см. [12.1, 12.2, 13]). Общая формула (П.1.42) примет в этом случае вид

^n’b’c* ^аа'^ЬЬ'^сс' 1^1 8аЬс*(ПЛ.52)

Умножая (П.1.52) на еаьс, получим еще одно соотношение, определяющее детерминант трехмерной матрицы с помощью тензора Леви-Чи- вита:

1

М I = ^abAfc’b’e* Aia*^ЬЬ’Ax'*(ПЛ.53)

Если же (П.1.52) умножить на eabd, то согласно (П.1.39) получим 1

2 ^abd^a'b'c' ^аа^ЬЬ* ^сс' = I I ^cd*(П.1.54)

Введем матрицу А с составляющими следующего вида: -1

Ac'd = 2 ^abd^a^'c* ^аа^Ы)**(ПЛ.55)

Тогда соотношение (П.1.54) можно написать в виде

АаъАъе = |Л |6ас(П.1.56)

В бескоординатной. записи это соотношение принимает следующий вид:

АА = АА = |Л|.(П.1.57)

Если матрица А имеет обратную (|Л| ^ 0), то, умножая слева на А~\ получим

Л = |Л 1Л-1.(П.1.58)

Матрица А, определяемая соотношением (П.1.56) или (П.1.58), называется взаимной к матрице А. Хотя (ПЛ.58)_имеет смысл лишь при |Л| #= 0, тем не менее все свойства матрицы Л, вытекающие из этого соотношения, сохраняют силу в общем случае и притом для п X ^-матрицы о 23 ф. и. Федоров

любым 71. Поэтому можно использовать соотношение (П.1.58) при выводе различных свойств взаимной матрицы.

Детерминант матрицы А, умноженной на число к, равен

\кА\ = к3\А\.(П.1.59)

Поэтому, так как |Л| есть число, имеем из (П.1.58)

|Л| = |Л |2,(П.1.60)

поскольку |Л~!| = |Лl"1, что следует из AA~l = 1. Матрица, взаимная к обратной, согласно (П.1.58) имеет вид

5^= л-1,(п.1.61)

т. е. операции перехода к обратной и к взаимной матрице перестановочны. Для двукратно взаимной матрицы "Л имеем

Л = |Л|Л.(П.1.62)

Взаимная матрица от матрицы А, умноженной на число к, равна

кА = к^А.(П.1.63)

Легко убедиться, что~_

А=А.(П.1.64)

Вычислим еще взаимную матрицу от произведения двух матриц. Согласно (П.1.58)_

АВ = ВА.(П.1.65)

Следовательно, матрица, взаимная к произведению двух матриц, определяется по тому же правилу, что и матрица, обратная к произведению двух матриц. С помощью (П.1.53) можно получить выражение для детерминанта от суммы двух матриц

1

М + ВI = -g- ЧьсЧ'ЪЧ- + Ваа-') кАЪЪ- + Вьь^ (Ле' + S^)' (ПЛ.66)

Раскрывая скобки и снова учитывая (П.1.53), получим

|Л+В| = ^1 + 151+^ + ^, где

^1 = 6 еаЬсеа'Ь'с' (^aa^bb^cc* + ^аа^ЬЬ'^сс’ + ^aa^bb^cc^»

а К2 отличается от Кх перестановкой А и В. Изменяя обозначения немых индексов и учитывая свойства тензора Леви-Чивита, убеждаемся, что все три члена Кх равны между собой. Поэтому

^1 = 2 6abcea'b'c' ^aa,®bb,^c<l, = (^^)<ф

Переставляя А и Вэ получим £2 = (АВ) t. Окончательно

|Л + В\ = |Л | + (AB)t + (AB)t + |В|.(П.1.67)

С помощью тензора Леви Чивита можно представить векторное произведение двух векторов в следующем виде:

l^a = eaboUb”c-W'1'68)

Справедливость этого представления проверяется непосредственно. Правую часть соотношения (П.1.68) можно рассматривать как результат умножения вектора у на тензор второго ранга юх, компоненты которого определяются следующим образом:

иаЬ = eabcuC(П.1.69)

Вследствие свойств еабс тензор их является антисимметричным: в х=—их Компоненты этого тензора, как следует из определения (П.1.69), линейно и однородно выражаются через компоненты вектора и. Тензор их называется дуальным вектору». В раскрытом виде определение (П.1.69) записывается следующим ооразом:

/ 0 — и3 «Д

их = из 0 -Uj .(П.1.70)

\-“2“1°/

Таким образом, тензор Леви-Чивита позволяет поставить в соответствие каждому вектору антисимметричный тензор второго ранга. Это соответствие оказывается обратимым, поскольку каждому антисимметричному тензору второго ранга у = —у в свою очередь можно поставить в соответствие вектор и с помощью соотношения

1ua=TWcb-(П1-71>

Раскрывая это соотношение, получим их = у32, ю2 = Т1з» иг = Тгь Сравнивая с (П.1.70), видим, что у = юх. Таким образом,

“а = “У eabcud)*(П.1.72)

Вектор ю, определяемый согласно (П.1.71), называется дуальным антисимметричному тензору у. Операция дуальности, как следует из ее определения, обладает свойством линейности. Это означает, что

(аю + Ъи^ = аих + bvx,(П.1.73)

где а, Ь — скалярные множители.

С помощью дуального тензора юх соотношение (П.1.68) можно написать в виде

[юу] = юху.(ПЛ.74)

Это равенство также можно рассматривать как определение тензора юх дуального ю, если оно справедливо при любом у. Вследствие антисимметрии юх можно также написать

уюх = — юху = — [юу] = [ую].(П.1.75)

Рассмотрим произведение двух матриц юх, ух. Пользуясь (П.1.68) и учитывая, что (см. (П.1.39)) еаЬсеа,ь,с = даа,6ьь, — 6аЬ,6Ьа,, получим

kuXvX)ab = vaub - ucvc6ab или в прямой записи

23*23*юхух = ую — ую.(П.1.76)

23*

23*

Умножая обе части последнего равенства справа на произвольный вектор W, получим, учитывая (П.1.74),

uxcxw = [к [yiy]] = u-uw — du-w.(П.1.77)

Это известная из элементарной векторной алгебры формула для двойного векторного произведения. В частном случае v=u имеем из (П.1.76)

их2 = и*и— а2, ихз = — и?их.(П.1.78)

Выражение для тензора, дуального векторному произведению: [ас] х, просто получается с помощью (П.1.74) и (П.1.77). При любом векторе А имеем [[ас]хл]= (у-в — и-у) Л, следовательно,

[ау]х = у. и —• a-у.(П.1.79)

Полезная в ряде случаев формула получается путем преобразования выражения для диады, образованной из двух векторных произведений. Согласно (П.1.76) имеем [ad]«[cd] = [cd]x [ад]х + [ад] [cd], Используя (П.1.79), находим после простых выкладок

[ab]*[cd] = [ad] [cd] + ad-c*b + bc-da — acdb — bdca. (П.1.80)

В частности,

[ad]-[ad] = [ad]2 + ab-^a-b + d-а) — a2dd — d2a-a. (П.1.81)

Приведем еще формулы с векторными произведениями, известные из элементарной векторной алгебры,

[ad] [cd] = ac-bd — adbc,(П.1.82)

[аб]2 = а=62 — (abf.(П.1.83)

В частном случае, когда а = nv b = пу в2 = в2 = 1, п1п2 = 0, формула (П.1.81) с учетом (П.1.83) дает [n^]-!»^] = 1 — в1-л1 —в2-»2 или

в1-в1 + в2в2 + в3в3 = 1,(П.1.84)

где

П3=[”1”2Ь ”а”ь = 6аЬ-(П.1.85)

Формула (П.1.84) дает выражение для единичного тензора через тройку взаимно ортогональных единичных векторов*).

Найдем выражение для тензора, взаимного к ах.С помощью (П.1.55) (П.1.69), (П.1.79) получим

ах = аа.(П.1.86)

В выражении а [ау] тензор а может быть введен под знак векторного произведения. Действительно, на основании (П.1.55), (П.1.68) можем

♦) Индекс, стоящий при букве, набранной жирным шрифтом, служит для обозначения различных векторов. Его не следует смешивать с индексом, стоящим при той же букве обычного шрифта пО) который служит для обозначения различных компонент одного и того же вектора.

написать (а [к»])а = еоЬс (»а)ь (оа)с или

а [к»] = [па, па] = [ап, ар].(П.1.87)

В случае симметричного или антисимметричного тензора а = ±а

а [по] = [ап, ао].(П.1.88)

Если тензор а — неособенный (|а| #= 0), то (П.1.87) можно записать в виде (см. (П.1.58))

а-1 [по] = | а |-1 [ап, ао].(П.1.89)

Обозначив здесь а-1 = 0, а = 0-1, |а]—1 = |0|, получим, поскольку а-1 = а-1,

F[»»] = I Pl tp-1», Р"М.(П.1.90)

Для случая ортогональной матрицы, полагая ^ = Р-1 = 0 . , получим (см. § 1)

0^ [по] = ± [О±п, 0±о].(П.1.91)

Аналогично (П.1.67) можно получить выражение для тензора, взаимного к сумме двух тензоров а, 0. Используя (П.1.55), получим после несложных вычислений

а + 0 = а+ 0 + а0 + 0а — а<0 — 0<а + а<0< —(а0) <.(П.1.92)

Отсюда находим:

(МТ) t - at + Ft + at0t - (af) t(П.1.93)

Абстрактный вывод закона композиции вектор-параметров

Приведенный в § 3 вывод закона композиции трехмерных вектор- параметров (3.6) основан на использовании свойств группы 50(3). Этот закон имеет фундаментальное значение для таких важнейших групп, как группа трехмерных вещественных и комплексных вращений и группа Лоренца. По существу, он определяет все основные свойства как самих групп, так и их представлений. Любые ортогональные группы обладают подгруппами, параметры которых компонируются по этому закону. В связи с этим представляет интерес более детальное исследование закона композиции (3.6).

В настоящем параграфе мы покажем, что формула (3.6) или, точнее, некоторое ее обобщение, может быть получена только на основании групповых свойств, которыми она должна обладать по самому своему смыслу. Итак, мы будем искать векторную функцию от двух трехмерных векторов

Ж = <а, Ъ> = /(а, 6),(П.2.1)

обладающую следующими свойствами:

ассоциативность

<а, <6, с» = <<а, 6>, с>;(П.2.2)

наличие единичного элемента, равного нулевому вектору,—

<0, а> = <а, 0> = а;(П.2.3)

наличие обратного элемента, равного противоположному вектору,—

<а, — ау = < — а, ау = 0.(П.2.4)

При этом мы будем исходить из того, что любая векторная функция двух векторов может быть представлена в виде

<а, by = g (а, 5) а + т) (а, d) д 4- g (а, д) [а, д],(П.2.5)

где функции g, т), g являются числами (инвариантами). Очевидно, задача сводится к отысканию функций g (а, д), т) (а, д), g(a, Ь).Соотношение ассоциативности (П.2.2) с учетом выражения (П.2.5) может быть написано в виде

<х, с> = <а, уу,(П.2.6)

где х = <а, Ьу,у=<Ь, су. Раскрывая (П.2.6) с помощью (П.2.5), получим после ряда элементарных преобразований

[g (ж, с) g (а, д) — bet, (а?, с) g (а,6)] а +

+ [6 к, с) П («, 6) 4- act, (х, с) g (а, 5)] 5 4- П (ж, с) с 4-

g (а?, с) t, (a,b) [а, д] 4- g (^ с) т) (а, д) [5с] 4- t, (a?, с) g (а, д) [ас] =

= 6 («, У)« + И («, У) 6 (6, с) 4- act, (а, у) g (д, с)] b 4-

+И («, У) П (6, с) — abt, (а, у) g (д, с)] с 4- g (а, у) g (д, с) [ад] 4-

+ П («, У) 5 (6, с) [дс] 4- g (а,у) т) (д,с) [ас].(П.2.7)

Вследствие тождественности этого функционального соотношения для любых а^ Ь^ с мы можем приравнять между собой коэффициенты, стоящие справа и слева при векторах», д, с, [ад], [ас] и [дс]. В результате получаем систему из шести функциональных уравнений от трех векторных аргументов:

g (ж, с) g (а, д) — deg (ж, с) g (а, д) = g (а, у^

g (ж, с) Т) (а, д) 4- act, (х, с) g (а, д) = т) (а, у) g (д, с) 4- act, (а, у) g (д, с),

ц (х, с) = ц (а, у) ц(д, с) — adg (а, у) g (д, с),(П.2.8)

^(х, сПка, b) = g(a, y)g(d, с),

£(^, с)П(«, 6) = т)(а, y)g(d, с), g(«, c)g(a, д) = g(a, у)т](д, с).

В дальнейшем мы будем всюду писать вместо знака тождественного равенства знак обычного равенства.

Полагая в (П.2.5) а= 0 или д = 0, получим на основании (П.2.3)

g(a, 0) = т) (0, д) = 1.(П.2.9)

Если же в (П.2.5) положить д = — а или а = — д, то с помощью (П.2.4) получим

g( а, — а) = т) (а, — а) = р (а).(П.2.10)

Если теперь полагать в каждом из уравнений (П.2.8) последовательно a = 0, д = 0 ис =0, то с учетом (П.2.9) получим ряд соотношений, из которых половина будут очевидными тождествами, а остальные накладыва-

ют определенные ограничения на функции g, т], g. Выпишем последние: а =0, g (6, с) g (0, 6) - 6cg (6, с) g (0, 6) = g (0, у),

g (Ь, с) С (0, 6) = g (0, у) g (6, С),(П.2.11)

g(6, c)g(O, 6) = g(0, у) ц (6, С);

Ъ =0, g (а, С) Т) (а, 0) + act, (а, с) g (а, 0) = т](а,с)g (0, с)+ас^(а,с) g (0, с),

g (а, с)Ца, 0)=g (а, c)g(O, с), g (а, с)т)(а,0)=т](а,с)g (0,с);(П.2.12)

с =0, г) (ж, 0) = г) (а, 6) т) (6, 0) — abg (а, 6) g (6, 0),

g (ж, 0) г) (а, 6) = г) (а, 6) g (6, 0),

g (х, 0) g (а, 6) = g (а, Ь) т] (», 0).(П.2.13)

Из второго соотношения (П.1.11) следует g(0, 6) = g(0, у),а поскольку би у независимы, то g (0, 6) не зависит от Ъ, т. е.

g (0, а) = const = к.(П.2.14)

Аналогично из второго равенства (П.2.13) получим

g (а, 0) = const = к'.(П.2.15)

Выпишем соотношения(П.2.11) —(П.2.13) для векторов а, Ъ с учетом

(П.2.14), (П.2.15)

g (0, а) g (а, 6) - kabt, (а, 6) = g (0, <а, 6»,(П.2.16)

g (0, а) g (а, 6) = Ат) (а, 6),(П.2.17)

т) (а, 0) g (а, 6) + k'abt, (а, 6) = g (0, 6) ц (а, 6) + kabt, (а, 6), (П.2.18) к^ (a, b) = g (0, 6) g (а, 6),(П.2.19)

11 (а, 0)g (а, Ь) = к^ (а, Ь),(П.2.20)

И (<а, 6> 0) = т) (6, 0) т) (а, 6) — k'abt, (а, Ь),(П.2.21)

к'^, (а, 6) = т) (6, 0) g (а, 6).(П.2.22)

В свою очередь в этих последних соотношениях можно полагать а=0 или 6 = 0. С учётом того, что согласно (П.2.9) g(0, 0) =ц(0, 0)=1, при а = 0 соотношения (П.2.16) —(П.2.22) дают тождества, за исключением (П.2.19) и (П.2.22), из которых следует

к = к', т] (а, 0) = g (0, а) = Х {а). (П.2.23)

При этом равенства (П.2.17) и (П.2.20) совпадают, так же как (П.2.19) и (П.2.22). В результате система (П.2.16) — (П.2.22) сводится к следующей:

к (a) g (а, Ь) - каЦ, (а, Ь) = к «а, 6»,(П.2.24)

к (а) g (а, 6) = Ат) (а, 6),(П.2.25)

к (a) g (а, 6) = к (b) 1) (а, 6),(П.2.26)

Ag (а, Ь) = к (Ь) g (а, 6).(П.2.27)

Уравнение (П.2.21) оказывается следствием (П.2.16) и (П.2.18) и потому может быть отброшено. Система (П.2.24) —(П.2.27) тождественно удовлетворяется при а = 0 и Ъ = 0. Если же положить 6 = — а и обозначить

g(a, — a) =v(a), (П.2.28)

то она сведется к следующей:

X (a) fi (а) + kaS (а) = 1, X (a) v (а) = A;pi (а),(П.2.29)

X (а) р, (а) = X (— а) fi (а), Api (а) = X (— а) v (а).(П.2.30)

Первое уравнение (П.2.30) дает

X (— а) = X (а) = л (а, 0) = п (— а, 0) = £ (0, а) = £ (0, — а). (П.2.31) При этом вторые уравнения (П.2.29) и (П.2.30) совпадают. Из них следует к

w = + v (а) =(П’2,32)

Заметим, что (П.2.26) есть следствие (П.2.25) и (П.2.27). Следовательно, остаются только три независимых уравнения: (П.2.24), (П.2.25) и (П.2.27), из которых находим

^а, 6) = X (6) g(a, 6), т) (а, 6) = X (а) g (а, 6), £ (а, 6) = kg (а, 6),(П.2.33)

где

6 (а’ 6) =(П.2.34)

л (л) X (о) к ао

Если положить в (П.2.33) и (П.2.34) Ъ= — а, то снова придем к соотношениям (П.2.32). Подставляя выражения (П.2.33), (П.2.34) в (П.2.5), получим

X «а, 6» (X (6) а + X (а) Ь + к [аб]) 6> ' ,П 2'35)

<«, » _ "Д<") + № № +1 [аД (а), ЫХ (6)1

А (<«,&»1— k2ab/K(a)K(b)'( ■ ^ >

В этом соотношении X (а)— неопределенная скалярная функция векторного аргумента, относительно которой нам известно (см. (П.2.23), (П.2.9), (П.2.31)), что

М0) = 1, Х^—а^Х^.(П.2.37)

Величина к является произвольной постоянной. Если ввести обозначение а' = а/Х (а), Ъ' = Ъ(Х (6), <а', 6'>г = <а, Ь>(Х (<а, 6>), (П.2.38)

то соотношение (П.2.35) примет вид

Эта формула композиции отличается от (3.6) в двух отношениях. Во-первых, в ней предполагается, что вектор-параметр а' отличается от первоначального а вследствие «нормировки» (П.2.38), причем нормировочный множитель X (а) зависит от а. По существу, это есть замена переменных. Во-вторых, в (П.2.39) входит постоянный параметр к, который в (3.6) равен единице. Впрочем, если к ^= 0, то его тоже можно исключить из (П.2.39). Для этого умножим уравнение (П.2.39) па к и вместо (П.2.38) введем следующие обозначения:

кокЬк <а.

Ь"=Ш’ <a"'b">.=wd^y

а" + Ъ" + Ха^ЪЧ1—а"Ь"'а" + Ъ" + Ха^ЪЧ1—а"Ь"'<а\ Ъ">2 =<а\ Ъ">2 =(П.2.41)(П.2.41)В результате мы придем к формуле (3.6)

а" + Ъ" + Ха^ЪЧ

1—а"Ь"'

а" + Ъ" + Ха^ЪЧ

1—а"Ь"'

<а\ Ъ">2 =

<а\ Ъ">2 =

(П.2.41)

(П.2.41)

Если же к = 0, то закон композиции (П.2.39) сводится к простому векторному сложению

.(а/, 6'> = а' + Ь' = <Ь\ а'>,(П.2.42)

которое, разумеется, обладает всеми необходимыми групповыми свойствами (П.2.2)— (П.2.4).

Мы можем резюмировать результаты нашего рассмотрения следующим образом. В трехмерном пространстве вектор-параметров общий закон композиции (П.2.5), обладающий групповыми свойствами (П.2.2) — (П.2.4), должен иметь вид (П.2.36), где X (а)—произвольная функция, удовлетворяющая условиям (П.2.37), а к — произвольная константа. При к Ф 0 формула композиции (П.2.36) лишь преобразованием переменных (П.2.40) отличается от (3.6), (П.2.41). К соотношению (3.6), (П.2.41) мы придем также, если положим к = X (а) = 1. При к = 0 композиция сводится к простому векторному сложению, т. е. соответствующая непрерывная группа будет абелевой.

Таким образом, формулы композиции (П.2.41) и (П.2.42) по существу являются единственными возможными (с точностью до изоморфизма), которые могут быть получены из условий (П.2.2) — (П.2.5).

Прямые суммы и произведения пространств и матриц

Рассмотрим два линейных пространства R' и R” размерностей д' и д" соответственно, не имеющие общих элементов (векторов). Пусть

t' = №, ^. • • •, О» F = (*Т, *2» • •»tv) (п.з.1)

будут векторами соответственно из пространств R' и R". Рассмотрим линейное пространство R размерности д = п' + д", состоящее из всех векторов вида

t = (Г; *') = (*;, • • •, ^-; <, • •.. СО- (п-3-2)

Пространство R называется прямой суммой пространств R' и R", и этот факт выражается соотношением R = R' ф R". Соответственно мы можем написать для вектора ф

*=(*'; ф")=ф'фф"(П.3.3)

и рассматривать его как прямую сумму векторов ф' и ф". По смыслу определения ясно, что для прямой суммы пространств справедливо соотношение R* ф Я" = R" ф R'. В то же время согласно (П.3.3) имеем

Ч» 1 = Ф" © *' = (Ф"; Ф') # (Ф'; Ф") = Ф' Ф Ф".

Таким образом, для прямой суммы двух различных векторов коммутативность не имеет места. Однако векторы ф' ф ф" и ф" ф ф' отличаются друг от друга лишь порядком расположения компонент. Поэтому они могут быть получены один из другого с помощью простейшего ортогонального преобразования S в пространстве R:

/О 1ПЛ ~/0 LA

5=^ о j.)•(П.3.4)

где In обозначает единичную матрицу размерности д. Очевидно, все эти

определения и соотношения тривиальным образом обобщаются на число пространств или векторов, большее двух. При этом, очевидно, будет иметь место свойство ассоциативности

(Ф1 ®'ЫФ'Фз = 4ie(*2© *Фз) = *Ф1 © Фг Ф Фз.

Скалярное произведение вектора (П.3.3) и соответствующего вектора Ф = Ф7 Ф ф" получается с помощью формулы

ф*г|) = (ф'* ф ф"*) (гр' ф гр") = ф'*гр' + ф"*гр".(П.3.5)

Аналогичным образом из двух квадратных матриц А1 и А", определенных в пространствах R\ R", можно построить одну блочно-диагональную квадратную матрицу А размерности п' + п"

.(А' 0 \

А = А ф А" = 10 А А(П.3.6)

Матрица А называется прямой суммой матриц А' и А". Эта операция обладает также свойством ассоциативности

(

Аг 0 0 \

0 Л2 0

0 0 Л3/ однако коммутативность не имеет места, так как при А' Ф А”

1А* 0 \( А” 0 \

А ф Л"=^о ^/J * ^0 ^zj = Л" ф А .

Очевидно, 1П, ф 1П» = lnzz Ф ln, = lnz+n». При условии, что в прямых суммах ф = ф^фф^фф^, Л = Л(*>фЛ(2>фЛ<3> слагаемые ф(,>, Л<*> относятся соответственно к одному и тому же пространству В<‘), имеет место соотношение

лф = л<|>ф<|>фл<2>ф<2)фл(3)ф<3>.(п.з.7)

Легко убедиться, что различие между А = А' фЛ" и Л1=Л"фЛ' сводится к преобразованию подобия с помощью той же ортогональной матрицы S (П.3.4):

Л, = SAS-1 = $Л&(П.3.8)

Из определения (П.3.6) непосредственно вытекают соотношения

(Л ф Л') + (В © 5') = (Л + В)ф (Л' + В'),

(Л ф Л') (В ф В') = ЛВ ф А'В', л'фЛ/ = Л ф Л', (Л ф Л') + = Л+ ф А'*,(П.3.9)

|ЛфЛ'| = |Л| • |Л'|, (А ф А'^t= А< + A't,

(Л фЛ')-'= л-1 фл'-‘,

ЛфТ= |Л ФЛ'КЛ фЛ')-‘= |Л'|Л ф |Л I А'.

Рассмотрим наряду с векторами ф' = ('Ф^), ф" = (фд») (П.3.1) вектор

Ф = (ФвФ") = (Ф^Ф"; ФзФ"; • • •; Ф^Ф") =

= (фХ-фХ> •••>Ф1Фп- ФЖ> •••.ФХ»’ •••; Фп'Ф^---.Фп-Фп’)- (П.3.10)

Линейное пространство R размерности п'п", состоящее из всех векторов вида (П.3.10), называется прямым (кронекеровским) произведением пространств Д' и Л". Это обстоятельство выражается соотношением

R = R' ® R". (П.3.11)

Соответственно можно написать для вектора (П.3.10)

(П.3.12)(П.3.12)ф = ф' 0 ф"

(П.3.12)

(П.3.12)

и рассматривать его как прямое произведение векторов ф', ф".

Отметим, что вместо того, чтобы компоненты прямого произведения векторов ф', ф"„ = Л5,5„ выстраивать в одну строку (П.3.10), можно расположить их в виде прямоугольной таблицы с числом строк, равным числу компонент первого вектора, и числом столбцов, равным числу компонент второго вектора:

*1*,. *1*2’*1*п"*2*Г *2*2’ •••Л2*п"*1*,. *1*2’*1*п"*2*Г *2*2’ •••Л2*п"1= (Л5,5,) = Л.1= (Л5,5,) = Л.

*1*,. *1*2’*1*п"

*2*Г *2*2’ •••Л2*п"

*1*,. *1*2’*1*п"

*2*Г *2*2’ •••Л2*п"

1

= (Л5,5,) = Л.

1

= (Л5,5,) = Л.

Следовательно это прямое произведение можно рассматривать также как прямоугольную матрицу-диаду Л размерности nr X " . Такое представление во многих случаях является полезным, и мы в подобных случаях будем писать вместо ф = ф'®ф"

(П.3.12')(П.3.12')Л = ф' • ф".

(П.3.12')

(П.3.12')

Очевидно, что по смыслу определения (П.3.11) R'^R" = Rn^R\ Однако из (П.3.10) ясно, что в общем случае

ф(1) = ф' ф ф" ^ ф" 0 ф' = ф(2)е

Следовательно, для прямого произведения двух линейно независимых векторов коммутативность не имеет места. Но, аналогично случаю прямой суммы, векторы ф' ® ф" и ф" ® ф' состоят из одних и тех же компонент, расположенных в различном порядке. Поэтому они могут быть получены один из другого с помощью ортогонального преобразования

ф(2) = 5ф(О, 5 = 5-1. (П.3.13)

Вид матрицы этого преобразования нетрудно установить на основании сравнения фа^=(ф',ф")с ф(2^= (ф^ф'). Ясно, что элементы S будут равны 0 и1, причем в каждой строке и каждом столбце S будет только по одной единице. Кроме того, очевидно, что вид S зависит только от размерностей векторов ф' и ф", но не от значений их компонент. Исходя из этого, можно показать, что при одинаковых размерностях пространств R' и R" матрица 5 должна быть симметричной. Действительно, в этом случае наряду с (П.3.13) должно быть справедливо соотношение ф<!) = =5ф(2), откуда следует ф<2> = З^фО) = 3ф(1), т. е. 3 = S-1 = S, S2 = 1. Запишем векторы ф^1), ф<2> в виде

Компонента Ф^Ф^ стоит в векторах ф(1\ ф<2> соответственно на местах

(П.3.13')(П.3.13")(П.3.13')(П.3.13")s<0 = (/ — 1) д" + s", s™ = (s" — 1) n' + s'.

(П.3.13')

(П.3.13")

(П.3.13')

(П.3.13")

Поэтому матрица S (П.3.13), преобразующая ф(1> в ф<2>, имеет вид П' П"п' п"

5 = 5 2 е® 2 S<1 =22 es'+n'(s*-i), s"+n"(s'-i., 8'=1S"=1S,=1S"=1

где eAB— элементы полной матричной алгебры в пространстве R = =Я'0Я" (см. П.1).

Легко убедиться, что для прямого произведения трех и более векторов справедлив закон ассоциативности

ф 0 (ф' 0 ф") = (Ф 0 Ф') 0 ф" = Ф 0 Ф' 0 ф".(П.3.14)

Имеют место также левый и правый законы дистрибутивности

(Ф + Ф') 0 Ф" = Ф 0 Ф" + Ф' 0 Ф",(П.3.15)

ф 0 (ф' + ф") = ф 0 ф' + Ф 0 Ф".(П.3.16)

Если здесь обычную сумму векторов заменить на прямую (П.3.3), то левый закон дистрибутивности (П.3.15) останется справедливым:

(ф Ф ф') 0 ф" = ф 0 ф" ® ф' 0 ф",(П.3.17)

а правый —нет (см. (П.3.2), (П.3.10)).

Для скалярного произведения имеем

(ф 0 ф') * (ф 0 ф') = Ф*ф . ф'*ф'.(П.3.18)

Отсюда следует, что если сами векторы ф^\..., ф^ иф(1) , . , . , ф^^ образуют ортонормированные базисы в пространствах R' и R” соответственно, то векторы ^8,s^ = ф<8') 0 ф(8") образуют ортонормированный базис в пространстве R = R' 0 R".

Прямое произведение матриц определяется аналогично (П.3.10). П^сть в пространствах R' и R" заданы квадратные матрицы Л' = (л^/х,,), л" = = (^^v") порядка (размерностей) п' и п" соответственно. Тогда матрица А размерности п'п"

А = А,®А» = (а^,а'')А = А,®А» = (а^,а'')(П.3.19)(П.3.19)А^А" А^А" ...А'1п,А" а'^а" А^А* ...А^А*

А = А,®А» = (а^,а'')

А = А,®А» = (а^,а'')

(П.3.19)

(П.3.19)

а' А"А*, А” А1 .А1 ^n'l^ лп'2л • • • ^п^п'^-

называется прямым (кронекеровским) произведением матриц А1 и А4. Заметим, что определение (П.3.19) естественно обобщается на случай, когда Л' и Л" являются произвольными прямоугольными матрицами. Поэтому, если рассматривать вектор ф как матрицу-столбец, то определение (П.3.10), (П.3.12) будет частным случаем (П.3.19). Используя блочное умножение, можно убедиться, что действие матрицы А (П.3.19) на вектор ф (П.3.10), (П.3.12) определяется формулой

Лф = (А' ® А") (ф' 0 ф") = Л'ф' ® Л"ф". (П.3.2Р)

Произведение (П.3.19) некоммутативно, однако Л" ® А' отличается от Аг ®Л" лишь перестановкой строк и столбцов, соответствующей преобразованию (П.3.13). Поэтому

(П.3.21)(П.3.21)Л" ® Лл = 5(Л' 0 A^S-X = £(Л' 0 Л")5,

(П.3.21)

(П.3.21)

где 5 — ортогональная матрица (П.3.13). Как и ранее, в случае п* = п" матрица S будет симметричной и В2 = 1.

Прямое произведение матриц ассоциативно и дистрибутивно:

(Л ® В) ® С = А ® (В ® С) = А ® В ® С,(П.3.22)

(А + В) ® С = А®С + В®С. А® ф + С) = А®В + А®С. (П.3.23)

Если вместо обычной суммы взять прямую сумму матриц, то первое из соотношений (П.3.23) останется в силе:

(А ф В)® С = А ® С ф В ® С.(П.3.23')

Но второе, как и в случае векторов, не будет справедливо. Однако, хотя А ® (В ф С) не выражается автоматически в виде прямой суммы (А ®В)ф(А ®С), но имеет место эквивалентность

А ® (В ф С) со (Л ® В) ф (Л ® С)(П.3.23")

вследствие свойства (П.3.21).

Очевидно, прямое произведение матриц линейно относительно каждого из сомножителей, поэтому

(£л+т)В)®е= м ®с + чв® с.

где g, т) — произвольные комплексные числа.

Аналогично (П.3.20) имеем

(Л ® В) (Л' ® В') = ЛЛ' ® ВВ\(П.3.24)

если А и Л', так же как В и В', имеют одинаковый порядок. Поскольку

in ® V = in' ® in = inn',(П.3.24')

то согласно (П.3.24)

(Л ® В)-1 = Л-* ® В-1.(П.3.25)

Нетрудно убедиться, что

А®В = А® В, (Л ® В) + = А + ® В+.(П.3.26)

Из определения (П.3.19) непосредственно следует, что

(Л ®В)(=Л(В(.(П.3.27)

Отсюда и из (П.3.24) находим, что также

[ (Л ® В)2] (= (Л2 ® В2), = (Л2) ((В2) h [(Л ® В) Ч (= (Л^), (В^)

Если ф', ф" — собственные векторы матриц Л' и Л" соответственно, т. е.

Л'ф' = Х'ф', Л"ф" = Х"ф",

то согласно (П.3.20)

(Л' ® Л") (ф' ® ф") = Л'ф' ® А"^" = Х'Х"(ф' ® ф").

Таким образом, собственные векторы прямого произведения матриц А'®А" равны прямым произведениям собственных векторов сомножителей ф' и ф", а собственные значения матрицы Л' ® Л" равны всевозможным попарным произведениям соответствующих собственных значений X', X" матриц Л' и Л". Отсюда следует, что

| А' ® А" | = | А* Н | А" Г'.(П.3^8)

Для матрицы, взаимной к прямому произведению, имеем на основании

(П.3.25), (П.3.28) А'®А"=\ А'® А" | (Л'® АТ1= I А' |п'| А" р'л'-1® А" 1 =

=л'® л" U'K-^л"!"'—1

Если обозначить

Л = (Л^/^), Л = (Л^/z^/),^ ~ (Aw)»

то соотношение (П.3.19) запишется в виде

Л^ = (^ ® ^ )^v = A^tA^in(П.3.29)

причем, как следует из (П.ЗЛЗ'),

g = пн^ - 1) + ^ v = ^(v' - 1) + v".(П.3.30)

С помощью аналогичной (лексикографической) нумерации можно каждой квадратной матрице В = (В^) в n-мерном пространстве сопоставить вектор Ф = (Фр), в п2-мерном пространстве —

Фр = В^ р = п (ц — 1) + v.(П.3.31)

Рассмотрим произведение трех квадратных матриц n-го порядка

Л В А" = (Лц^/Вц/у/Л^,¥) = ^А^гА^.В^^.

Используя соотношения (П.3.29), (П.3.31), можно написать

4^ = GW),p. ^v = Yp(П.3.32)

и, таким образом, произведение трех квадратных матриц n-го порядка представить как линейное преобразование вектора Ф с помощью матрицы Л' 0 Л^ порядка п2:

Л'ВЛ" = (А' 0 А") Ф.(П.3.33)

Отметим еще следующее важное свойство прямых произведений. Пусть А = Л1 0 Л 2 ® ... 0 А к 0 ... 0 Л s(П.3.34)

и пусть какая-либо из матриц А к подобна матрице В

Ак со В, Ак = SBS-L(П.3.35)

В таком случае матрица А будет подобна матрице

А' = Л] 0 Лг ® ... 0 В 0 ... ®Л8, отличающейся от А заменой Ак на В. Действительно, А = Ai 0 ... 0 SBS-i 0 ... ® А, = гЛ'!-1,(П.3.36)

где матрица 5 имеет вид

5 = 1(0 0 1(2) 0 ... 01(к-1) 0 S 0 I(h+I)0 .. . 0 i(s)e (п.3.37)

Тем же путем можно показать, что при замене любого числа любых матриц А к, входящих в прямое произведение (П.3.34), на какие-либо матрицы подобные им, мы также получим в результате матрицу, эквивалентную первоначальной. Таким образом, произвольная перестановка сомножителей в прямом произведении любого числа матриц и также замена этих сомножителей на произвольные эквивалентные им матрицы всегда приводит к матрице, эквивалентной первоначальному прямому произведению.

Нетрудно убедиться, что прямое произведение любого числа симметричных, эрмитовых, ортогональных, унитарных, нормальных (Л+Л =

=ЛЛ+), проективных (идемпотентных), неотрицательно или положительно определенных, приводимых к диагональному виду матриц является матрицей того же типа. Прямое произведение нечетного числа антисимметричных (антиэрмитовых) матриц снова будет матрицей того же типа, а в случае четного числа сомножителей — симметричной (эрмитовой) матрицей.

Лемма Шура

Рассмотрим две совокупности квадратных матриц, причем первая совокупность {а} состоит из матриц порядка т, а вторая — {0} — из матриц порядка п. Рассмотрим также всевозможные прямоугольные матрицы А, имеющие т строк и п столбцов (тп X ^-матрицы). Тогда имеет смысл произведение матриц а на Л справа: оЛ, которое будет являться прямоугольной т X n-матрицей. Аналогично, произведение Л0 также дает т X п-матрицу.

Совокупности {а} и {0} могут составлять каждая независимо от другой конечное, бесконечное счетное или континуальное множество. Пусть совокупности {а}, {0} неприводимы, т. е. не имеют инвариантных подпространств, отличных от нулевого или пространства размерности т, п соответственно. Предположим, что существует такая т X п-матри- ца А, что равенство

(П.4.1)(П.4.1)аА = Л0

(П.4.1)

(П.4.1)

выполняется для всех а или 0. Последнее означает, что для каждой матрицы а из первой совокупности может быть найдена некоторая матрица 0 из второй совокупности такая, что оЛ = Л0, и наоборот, для каждой 0 найдется такая а, что справедливо (П.4.1). Очевидно, что (П.4.1) выполняется для любых а и 0 (в том числе и приводимых), если А = 0, т. е. когда А — нулевая матрица. Утверждение леммы Шура сводится к тому, что для неприводимых совокупностей {а} и {0} матрица А может отличаться от нулевой только в случае, когда эти совокупности эквивалентны: а = Л0Л-1. Это равносильно тому, что т = п и |Л| ^0, т. е. А является квадратной неособенной матрицей.

Докажем это утверждение. Пусть матрица А имеет вид

лпл12... л1п

(П.4.2)(П.4.2)^21^22 * * * ^2П

(П.4.2)

(П.4.2)

А А А^тх^тг • • • ^тп

Матрицы а (0) можно рассматривать как линейные операторы, действующие в тп-мерном (n-мерном) пространстве Яа(Яр). В свою очередь столбцы матрицы А можно рассматривать как векторы р^\ pw,..., р<п>:

(П.4.3)

заданные в тп-мерном пространстве R». Тогда матрица аА будет иметь в качестве своих столбцов векторы apt1), ap<2),.. .,ap<n). Напишем вы-

ражение для элементов Л-го столбца тп X n-матрицы Лр

^A^kfk = S Ak'l^lk< к' = 1, 2, ..т.

1—1

Выписанный в явном виде этот столбец имеет вид (см. (П.4.3))

п

2

лн

АЪ1

01А— S Plh^(1)*

1=1

Ат1

1=1

Приравнивая соответствующие столбцы в обеих частях равенства (П.4.1), получим

п ар^* = 2 ^ikPW« А: = 1, 2, ..., п.(П.4.4)

1=1

Это равенство означает, что действие каждой из матриц а на любой из п тп-мерных векторов pW сводится к линейной комбинации этих же векторов, т. е. векторы р^х\ Р^Л-.^Р^ определяют подпространство Я', инвариантное по отношению к совокупности всех матриц а. Но поскольку эта совокупность по условию неприводима, то подпространство Я' должно быть либо нулевым, либо совпадать с полным тп-мерным пространством R». В первом случае Л = 0. Если же Л 0, то среди векторов Р^Л Р^\ •••> Pw имеется т линейно независимых векторов, следовательно, должно быть п ^ т.~

Транспонируя обе части равенства (П.4.1), получим 0Л = Ла. Теперь Л будет прямоугольной п X тп-матрицей, а совокупности матриц Т«}> ® очевидно будут неприводимы, как и {а}, {0}. Повторяя снова те же рассуждения и считая Л ^ 0 (значит и Л ^ 0), придем к выводу, что должно быть т ^ п. Следовательно, если Л 0, то т = ns т. е. Л является квадратной матрицей и притом неособенной, поскольку все т ее столбцов линейно независимы. Лемма Шура доказана.

Пусть аЛ = 0 для всех тп-мерных квадратных матриц а из некоторой неприводимой совокупности и для некоторой тп X n-матрицы Л. Тогда ар^ = apW = ... = apW = 0 и пространство, натянутое на векторы р<^, ..., pWt будет инвариантным подпространством для совокупности матриц а. Поэтому либо Л = 0, либо среди векторов pW есть тп линейно независимых. Но в последнем случае матрицы а будут обращать в нуль любой вектор из пространства R», т. е. а = 0. Таким образом, для неприводимой совокупности {а} равенство оЛ = 0 возможно лишь, когда Л = 0 или а = 0. С помощью транспозиции нетрудно доказать аналогичное утверждение для случая Ла = 0. Случай, когда все а = 0, не представляет интереса, так как тогда неприводимая совокупность матриц а фактически отсутствует. Отбрасывая его, мы можем сформулировать утверждение: если для всех квадратных т X тп-матриц а из некоторой неприводимой совокупности аЛ = 0 или Ва = 0, где Л (В)—фиксированная т X п~ (в X ”0-матрица с любым п, то Л = 0 (В = 0).

Из доказанной выше общей леммы Шура вытекает важное следствие, которое часто также называют леммой Шура. Пусть {а} — неприводимая совокупность квадратных матриц и Л — квадратная матрица той же размерности тп X тп, коммутирующая со всеми а: аЛ = Ла. Но в таком случае также аЛ' = Л'а, где Л' = Л — Mm (X — любое число). В силу леммы

Шура А' должно быть либо нулевой, либо неособенной матрицей, но вторая возможность отпадает, если X есть собственное значение матрицы А. Поэтому должно быть А — Мщ = 0, т. е. А = X. Итак, матрица, коммутирующая с неприводимой совокупностью матриц, должна быть скалярной матрицей.

Рассмотрим теперь некоторую вполне приводимую совокупность квадратных матриц {а}. Последнее означает, что существует базис, в котором все матрицы а принимают блочно-диагональную форму

а(2)

а =а == а(1)фа<2)® ... ®aw® ...,(П.4.5)

а =

а =

причем блок a<fe> является квадратной матрицей порядка пк1 одного и того же для всех а. Будем считать, что матрицы a(ft) далее неприводимы, т. е. каждая a(ft> не может быть никаким выбором базиса приведена к блочно-диагональному виду для всех а. Со всеми матрицами а рассматриваемой совокупности будет коммутировать матрица

= \Ч ®Мп2® ••• ®v4® ••••

(П.4.6) где Хк — произвольные числа. Очевидно, матрица А не является скалярной. Таким образом, если совокупность {а} вполне приводима, то заведомо существует матрица, отличная от скалярной, коммутирующая со всеми а.

Во многих случаях и, в частности, для представлений наиболее важных групп имеет место такое положение, когда совокупность {а} может быть либо неприводимой, либо вполне приводимой. В таком случае из леммы Шура вытекает критерий для суждения о неприводимости или полной приводимости рассматриваемой совокупности {о). Именно, если единственной матрицей А, коммутирующей со всеми а, является скалярная матрица, то совокупность {а} неприводима. И наоборот, если матрица А, коммутирующая со всеми а, может отличаться от скалярной, то совокупность {а} вполне приводима.

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением представлений групп вместо совокупности матриц вообще. Общее выражение для матрицы Т вполне приводимого представления некоторой группы в соответствующем базисе можно написать в виде прямой суммы

Т = Тх Ф Тх ф ... ф Тг ф Т2 ф Т2 ф ...,(П.4.7)

в которую отдельные неприводимые представления Гь Г2,... могут входить неоднократно. Очевидно,

тк ф Тк ф ... ф Тк = 1Тк ® тк,(П.4.8)

24 ф. и. Федоров

где гк — кратность неприводимого представления Тк, входящего в Т. Поэтому вместо (П.4.7) можно написать

(П.4.9)(П.4.9)

(П.4.9)

(П.4.9)

где 2ф обозначает прямую сумму. Найдем общее выражение для матрицы А, коммутирующей с матрицей приводимого представления Т (П.4.7), (П.4.9). Матрицу А можно разбить на блоки, соответствующие представлениям, входящим в (П.4.7): •

(П.4.10)(П.4.10)л(11) ^(12) JА = ^(21) ^(22)

(П.4.10)

(П.4.10)

.

причем мы здесь пока будем предполагать, что индексы нумеруют все блоки Тк подряд независимо от того, соответствуют ли они одинаковым или различным представлениям. Условие коммутации ТА = АТ запишется в блочном виде с учетом квазидиагональной формы Т следующим образом:

1^-= №ТЬ (П.4.11)

Если Тк и Г, являются различными, неэквивалентными представлениями, то на основании леммы Шура АМ = 0. Если же Тк = Ть то на основании той же леммы А^ = Хк11п^ гДе Ам — произвольное число и пк — размерность пространства неприводимого представления Тк. Для наглядности рассмотрим случай, когда

(

7\ 0 0 0^0

0 0 Т^

тогда согласно доказанному выше

Л(12)Л(22) 0Л(12)Л(22) 0^11^ ^21 ^1 о^11^ ^21 ^1 о^12^Tii ^22^ 0^12^Tii ^22^ 0000^33^s0^33^s= ^(1)®1П1®МП,»= ^(1)®1П1®МП,»

Л(12)

Л(22) 0

Л(12)

Л(22) 0

^11^ ^21 ^1 о

^11^ ^21 ^1 о

^12^Tii ^22^ 0

^12^Tii ^22^ 0

0

0

0^33^s

0^33^s

= ^(1)®1П1®МП,»

= ^(1)®1П1®МП,»

где Х^ есть произвольная матрица второго порядка

\^21^22/

♦Очевидно, в общем случае каждому блоку 1ГД ® Тк в матрицах Т будет соответствовать в коммутирующей с ними матрице А блок Х^ 0 1Пд> где XW—произвольная матрица порядка тк. Для представлений Тк, входящих в Т однократно, матрица XW будет сводиться к числу. Следовательно, общее выражение для матрицы А имеет вид

(П.4.12)(П.4.12)

(П.4.12)

(П.4.12)

Докажем еще одно простое утверждение, являющееся по сути дела

-следствием леммы Шура. Пусть квадратичная матрица А порядка тпп

коммутирует с двумя совокупностями матриц: 1т® а и р ® 1п, где а и Р — квадратные матрицы порядка п и т соответственно,, относящиеся к двум неприводимым совокупностям {а} и {р}. Тогда матрица А должна быть скалярной.

Для доказательства разобьем матрицу А на блоки

л11 л12...л1т

.л21 л22... л2т

^тп1 дтг , дтт

где все Ahl — квадратные матрицы размерности п. Соответственно напишем

а 0 ... О \

1т® « =1т® « =О а ... О |

1т® « =

1т® « =

.... О а/

Из коммутации А с матрицей 1 m ® а согласно только что доказан* ному следует, что А = у ® 1П, где ч— произвольная квадратная матрица размерности т. Условие коммутации А с р ® 1п:

{(7®1п), (Р®1п)}- = №}-01п

приводит к равенству 7р — 07, что, вследствие неприводимости совокупности матриц Р, влечет за собой скалярность матрицы 7: 7 = XI т. Но в таком случае

А = Xlm ® In == Х1тп)

что доказывает предложение. Заметим, что оно справедливо и тогда, когда совокупности {а} и {р} совпадают. В этом случае А будет скалярной матрицей размерности т2.

В заключение отметим, что если мы имеем прямое произведение С = А 0 В, где А и В — квадратные матрицы из некоторых двух совокупностей, то можно утверждать следующее: если хотя бы одна из совокупностей А или В приводима, то совокупность С также будет приводима. Это ясно из того, что если каждая А может быть представлена в виде Л = Л'фЛ", то А ® В = (Л' ® В) ф(Л" ® В). В то же время из неприводимости А и В не следует неприводимость С, примером чего является приводимость прямого произведения неприводимых представлений группы вращений (§ 15).

Метод проективных операторов [58]

Если известно минимальное уравнение матрицы а

Р(а) = (а - Xi) (а — Х2).. .(а - Хп) = О,(П.5.1)

то решение уравнения

(а —Х&)гр& = 0(П.5.2)

для собственного вектора *фк может быть получено без использования явного вида а в каком-либо базисе, т. е. ковариантным путем. Минимальное уравнение (П.5.1) можно написать в виде

Р^-Ца-Х^Р^а) = 0,

(П.5.3)

где

Рк(а)= (ос — X,).. .(ос —Xh—i) (ос — Хд+1).. .(а — Хп) ^ 0.(П.5.4)

Мы будем называть полином Рк№, получающийся после удаления из Р(а) бинома (а — Хь), усеченным минимальным полиномом, соответствующим собственному значению Хь, или короче, к-м усеченным полиномом.

Сравнивая матричное уравнение (П.5.3) с векторным уравнением (П.5.2), видим, что каждый ненулевой столбец матрицы Рк(а) можно рассматривать как собственный вектор *ф&, отвечающий собственному значению Хк. Отсюда ясно, что матрица Ph (а) доставляет столько различных решений уравнения (П.5.2), сколько она содержит линейно независимых столбцов. Возникает вопрос, все ли независимые решения уравнения (П.5.2) содержатся среди столбцов матрицы Р^(а)? Ответ будет утвердительным при условии, что Хк является однократным корнем минимального полинома [58]. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим пример матрицы, приведенной к нормальной жордановой форме (см. § 36):

Хх 0 0

0 Хх 0

о о хг

Ч 1

о Ч

■ц о

о х2

Ч 1 0

о Ч 1

о о x2J

(П.5.5)

Минимальное уравнение этой матрицы имеет вид

Р(а) = (а—Xi) (а —Х2)3= 0.

(П.5.6)

Построим усеченные минимальные полиномы

Рг (а) = (а-Х)3 =

\Ч-Ч? о 0

0(\~Ч)30

о о (Ч-Ч?

о

,(П.5.7)

°)

Рг(а) = (а-Х1) (а-Х2)2 =

ООх2—хх

00о

00о

(П.5.8)

Однократному корню Xi минимального полинома (П.5.6)

соответствует

в полиноме (П.5.7) скалярный ящик некоторого (в данном случае третьего) порядка. Вообще если X — однократный корень минимального полинома, то матрица а диагонализируется по собственному значению X. При этом число собственных векторов, отвечающих X, равно размерности соответствующего блока в нормальной форме матрицы. Из (П.5.7) следует, что независимые столбцы усеченного полинома

\ч-ч?

0 0

.^2 =

0

0

0

0

0

0

0

0

являются собственными векторами: аф1 = Х1фь и, кроме них, не существует других собственных векторов, отвечающих собственному значению Xi. Ясно, что так будет и в общем случае. Следовательно, если Хь является однократным корнем минимального полинома Р (а), то все собственные векторы, отвечающие собственному значению Х^, содержатся среди независимых столбцов матрицы соответствующего усеченного полинома.

Хотя мы проводили рассуждения для нормальной, а не для исходной формы матрицы а, однако, очевидно, они имеют общее значение, так как нормальная форма подобна матрице а, а для подобных матриц минимальные полиномы, собственные значения и число отвечающих им собственных векторов одинаковы.

По-иному обстоит дело, если X является кратным корнем минимального полинома Р(а). В этом случае в нормальной форме матрицы обязательно содержится одна или несколько клеток Жордана, порядок которых равен кратности корня X в минимальном полиноме. В нашем частном примере (П.5.4) такая клетка одна:

Х2 1 ° \

О Х2 1

о о х2/

Однако, кроме того, в общем случае матрица а при том же минимальном полиноме может содержать люоое число клеток Жордана с тем же X, того же или любых меньших порядков, включая первый. При этом в усеченном минимальном полиноме, отвечающем такому X (П.5.8), отличными от нуля будут лишь столбцы, соответствующие клеткам Жордана максимального порядка.

Итак, если Хь — корень минимального полинома кратности гд, то столбцы усеченного полинома Рь(а) будут содержать лишь собственные векторы, соответствующие жордановым клеткам порядка т^ (по одному на каждую такую клетку).

Пусть Xh — однократный корень минимального полинома Р(а). Построим матрицу

f«(«>

(П.5.9)

Здесь Рк (X*) # 0 именно вследствие однократности X* (см. (П.5.4)). Согласно (П.5.3) aP»(a) = Х^Р^а) и вообще anPh (а) = Х^Рк (а), поэтому

ясно, что умножение PkW на любой полином Q^a) равносильно умножению на Q^Xk):

Q(a)Ph^= Q(Xk)Pk(a).Q(a)Ph^= Q(Xk)Pk(a).(П.5.10)(П.5.10)

Q(a)Ph^= Q(Xk)Pk(a).

Q(a)Ph^= Q(Xk)Pk(a).

(П.5.10)

(П.5.10)

Вследствие этогоВследствие этогоРй =Рй =' 1 о о' 1 о о1г И О oj1г И О oj(П.5.12)(П.5.12)

Вследствие этого

Вследствие этого

Рй =

Рй =

' 1 о о

' 1 о о

1г И О oj

1г И О oj

(П.5.12)

(П.5.12)

(П.5.11)(П.5.11)г _ Рк (“) рь («) _ Рк («) _

(П.5.11)

(П.5.11)

Pft (W PhM Ph‘

Таким образом, матрица рк (П.5.9) является идемпотентной, так как все ее степени равны между собой. Написав (П.5.11) в виде ph (ph—1) = 0, видим, что это есть минимальный полином матрицы ph. Поскольку он не имеет кратных корней, то ph всегда приводится к диагональному виду, причем по диагонали будут стоять лишь единицы и нули — корни минимального полинома или собственные значения ph- Итак, матрица ph путем надлежащего выбора базиса всегда может быть приведена к виду

1

1

О

Здесь индексы ths указывают размерности квадратных матриц единичной и нулевой соответственно. Действуя ph на произвольный вектор ф, получим

А+З.А+З.*2

А+З.

А+З.

оо 1

Таким образом, оператор р* сохраняет в любом векторе if лишь те составляющие, которые соответствуют подпространству, натянутому на т первых базисных векторов. Иными словами, ph проектирует любой вектор на упомянутое подпространство. Вообще, всякая идемпотентная матрица р (р2 = р) является проективной матрицей.

Заметим, что р' = 1 — р также является проективным оператором, поскольку р' (р' — 1) =—(1 — р) р = 0. Этот оператор будет дополнительным к оператору р, так как он проектирует на дополнительное пространство.

Так как ph (П.5.9) лишь числовым множителем отличается от Ph (а), то столбцы ph также являются собственными векторами матрицы а, отвечающими собственному значению Хъ. Из (П.5.12) ясно, что след матрицы ph ((ph) t = г)равен числу таких независимых собственных векторов, причем эта характеристика является инвариантной, поскольку след матрицы не зависит от выбора базиса.

Пусть ф — произвольный вектор. В таком случае вектор

if = р»ф (П.5.13)

согласно (П.5.3) и (П.5.9) удовлетворяет уравнению аф = Х/,ф. Поэтому либо р*Ф = О, либо рАф является собственным вектором матрицы а, отвечающим собственному значению Хд.

(П.5.14)(П.5.14)Если матрица р обладает свойствами

(П.5.14)

(П.5.14)

р2 = р, Pi = 1,

то это означает, что она является проективным оператором, выделяющим единственный вектор. Наоборот, если известно, что р есть проективная матрица, выделяющая единственный вектор, то pt = 1. Из записи рр = = 1р ясно, что этот вектор можно рассматривать как собственный вектор ф самой матрицы р, отвечающий собственному значению, равному единице: рф = ф. Поскольку он один, то все столбцы матрицы р должны быть

причем некоторые из чисел ф, могут равняться нулю, но, разумеется, не все одновременно, так как pt = 1. Соотношения (П.5.14), (П.5.15) означают, что р является матрицей-диадой

р = ф • ф,(П.5.16)

первый вектор которой ф является собственным вектором матрицы р. При этом из (П.5.14) следует

Pt = фф = 1.(П.5.17)

Легко проверить теперь, что р2 = ф • фф • ф = ф • ф = р.

Если матрица р симметрична, то р=~р = ф- ф = ф-ф. Умножая это равенство справа на любой вектор х, получим ф • ФХ = Ф • Фх или Ф = (ФХ/ФХ)Ф = ^Ф» Следовательно, р = Сф • ф, или р = ф' • ф', где ф' =уСф. Таким образом, если матрица обладает свойствами

р2 = р = р, р, = 1,(П.5.18)

то она всегда может быть представлена в виде

р = ф • ф, фф = фафа = 1.(П.5.19)

Для эрмитовой матрицы р из (П.5.17) имеем аналогично

р = ф . ф — р+ ='р* = ф* . ф*.

Отсюда, после умножения на произвольный вектор х слева, получим

ф = (хф*/х*Ф) Ф* = Сф*.(П.5.20)

Следовательно, в этом случае

р = Сф • ф*,(П.5.21)

причем из р = р+ следует С* = С, т. е. число С вещественно. Взяв след от (П.5.21), получим согласно (П.5.18)

Pt = Сфф* = 1, С = 1/ф*ф > 0.

Поэтому можно ввести нормировку ф' = уСф и представить р в виде р = ф' . ф'*. Итак, матрица р, обладающая свойствами

р2 = р = р+ р, = 1,(П.5.23)

всегда представляется в виде

р = ф • ф*, ф*ф = 1.(П.5.24)

Заметим, что представления (П.5.19), (П.5.24) не вполне однозначны вследствие возможности умножения ф на фазовый множитель. В случае (П.5.19) он равен ±1 и в случае (П.5.24) ег'Р с любым вещественным р.

Частным случаем (П.5.2) является уравнение

аф = 0.(П.5.25)

Условие существования ненулевых решений для ф имеет вид ]а] = 0. С помощью взаимной (см. П.1) матрицы а это соотношение можно написать в виде аа = 0. Следовательно, векторы ф пропорциональны столбцами взаимной матрицы а. Аналогично (П.5.13) для вектора аф (ф —любой вектор) справедливо утверждение: либо аф = 0, либо аф — ф — собственному вектору матрицы а для нулевого собственного значения. Если известно, что нулевое собственное значение является однократным корнем характеристического полинома, то ему. будет соответствовать единственный собственный вектор. Поэтому аналогично (П.5.16) в этом случае можно написать а = Сф • ф, и еслп матрица а симметрична, то а = Сф • ф. Взяв след, получим at = Сф2. Поэтому а/а( = ф • ф/ф2 = ф' • ф', где ф' = ф/Уф2 (ф'2 = 1). Таким образом, если a = а и а имеет однократное нулевое собственное значение, то

a/a, = ф • ф, аф = 0, ф2 = 1.(П.5.26)

Эти соображения полностью распространяются и на уравнение (П.5.2), если Ха — однократный корень характеристического полинома для а. В этом случае в (П.5.26) следует вместо а подставить a — Ха :

а-ЧКа-Н^ = ^к^к' («-4)^ = °- ^ = i. “ = «•

(П.5.27)

Если характеристический полином матрицы а известен

Q ^ = (а - Х^... (а - Xhf-h.. .(а - Х^"5 = (а - Х^ Qh = 0,

(П.5.28) то

(a —XA)t = 9а(Ха).(П.5.29)

В этом можно проще всего убедиться, взяв а в нормальной жордановой форме. Тогда матрица a — Ха будет иметь единственный нулевой диагональный элемент, а матрица а—Ха, наоборот, единственный диагональный элемент, отличный от нуля, равный (П.5.29).

Если минимальное уравнение (П.5.1) не имеет кратных корней, то между различными проективными операторами (П.5.9) имеет место соотношение

2р„ = 1.(П.5.29')

Действительно, пусть /(х)—полином степени п, все корни которого ха

различны. Обозначая fh^x) = fWl^x— хн^ построим новый полином степени п — 1:

пфм = 1- 2 i^wА=1

Так как /а(^) = 0 при к ^= I, то Ф^) = 0 при к = 1, 2,..., п. Но полином степени п — 1 может иметь п различных корней лишь тогда, когда он п

тождественно равен нулю. Следовательно, O(z) = 0 и 5 /А ^Ик Vхк^ — fe=i

= 1. Это и дает равенство (П.5.29') в котором 1 означает единичную матрицу.

Применение проективных операторов позволяет существенно упростить решение ряда задач квантовой теории поля (см. [58]). Проективная матрица р(р2 = р), действуя на любой вектор состояния, выделяет из него составляющую, которая удовлетворяет определенным требованиям (например, описывает заданный спин, энергию и т.п.). Если состояние характеризуется рядом признаков, каждому из которых отвечает свой проективный оператор, то возникает задача построения из частных проективных операторов такого проективного оператора, который выделял бы состояния, обладающие одновременно всеми требуемыми характеристиками. Если проективные операторы, отвечающие отдельным признакам, коммутируют между собой, то вопрос решается весьма просто — искомый проективный оператор будет равен произведению проективных операторов для отдельных характеристик состояния. Если же частные проективные операторы не коммутируют, то задача усложняется. Рассмотрим этот вопрос в общем случае [117].

Пусть а, р — две проективные матрицы, действующие в некотором линейном n-мерном пространстве Я, и ф — вектор этого пространства. По определению

а (а-1) = Р(Р -1) = О,(П.5.30)

п матрица а проектирует любой вектор на некоторое подпространство Ra, соответственно матрица р— на Яр. Задача заключается в нахождении проективной Матрицы 7(72 = 7)» которая проектировала бы любой вектор на подпространство RVl являющиеся пересечением подпространств Ra и Яр: Я? = Я« П Яр. Мы будем называть такую проективную матрицу у матрицей пересечения а и р. Обобщение задачи на случай, когда имеется более чем два проективных оператора, очевидно.

Для всякого вектора ф® е R» должно быть аф® = ф®, соответственно для фр е Яр имеем Рф₽ = фр. Для любого вектора ф? = Я? должны одновременно выполняться условия

(а — l)фv = (р — 1) ф? = о.(П.5.31)

Таким образом, проективная матрица должна выделять в пространстве Я все векторы, являющиеся одновременно собственными векторами операторов а и Р, отвечающими собственному значению, равному единице. Введем дополнительные проективные операторы

а' = 1—а, р' = 1-р, а'(а'-1)=р'(Р'-1)=0(П.5.32)

п прямоугольную матрицу

имеющую п столбцов и 2п строк. Тогда условия (П.5.31) запишутся в виде pxpv = 0.(П.5.34)

В такой постановке задача становится частным случаем проблемы определения вектора гр из уравнения Л гр = 0, где А — любая прямоугольная матрица с числом столбцов, равным числу компонент гр. Для решения этой задачи можно использовать метод проективных операторов [117]. Умножая на эрмитовски-сопряженную матрицу Л+, получим С гр = 0, где С = Л+Л является квадратной (n X п)-эрмитовой неотрицательно определенной матрицей. Действительно, рассмотрим форму F’= х*Л+Л%, где х —любой вектор нужной размерности. Эту форму можно написать в виде скалярного произведения двух комплексно сопряженных векторов, так как Х*Л+’= (Лх)*, поэтому F = М%)^ Мх)^^0. Легко показать, что уравнения Лгр = ОиСгр = О эквивалентны. Действительно, из первого следует второе, а из второго, умножая скалярно на гр, получаем гр*Л+Лгр = = (Лгр)*(Лгр) = 0. Но скалярное произведение вектора на самого себя равно нулю* лишь когда вектор равен нулю, т. е. Л гр = 0. Следовательно, первое уравнение следует из второго. Таким образом, все решения уравнения Сгр = 0 с квадратной матрицей С будут решениями уравнения Л гр = 0 с прямоугольной матрицей Л и наоборот. Поскольку С — эрмитова матрица, то ее минимальный полином не содержит кратных корней. Если |С| Ф 0, то нетривиальных решений нет. Если же |С| = 0, то минимальное уравнение для С имеет вид Р(С) = CPQ(C) = 0, причем Ро(О)=й= #= 0. Поэтому проективный оператор, выделяющий все решения уравнения Л гр = 0, равен Ро(£)/Ро(О). Подчеркнем, что такой подход целесообразно применять и в том случае, когда Л — квадратная матрица, неприводимая к диагональному виду, поскольку при этом нельзя непосредственно использовать метод проективных операторов, изложенный выше.

Применяя эти результаты к матрице р (П.5.33), следует учесть, что обычно а', Р' являются эрмитовыми матрицами. В таком случае т = = р+р = а'2 + Р'2 = а' + р'. Если вместо двух проективных операторов ищется пересечение любого числа к таких операторов аь аг, ..., ал, то соответствующая матрица т будет равна сумме дополнительных к ним проективных операторов

т = а' + а' 4- ... 4- а' = к — (ах + а2 + ... + ад). (П.5.35)

Итак, справедливо утверждение: пространство, являющееся пересечением пространств проектирования эрмитовых проективных матриц a, (s = = 1, 2,..., Л), состоит из векторов гр, удовлетворяющих условию тгр = 0, где т — сумма дополнительных к а, проективных матриц. Если Р(т) = = тР0(т) = 0 —минимальное уравнение для т, то соответствующий проективный оператор пересечения о равен

о = Р0(т)/Р0(0).(П.5.36)

Для иллюстрации рассмотрим случай двух коммутирующих проективных операторов аир (ар = Ра). Согласно (П.5.35) при этом т = =2 —(а + Р). Ищем минимальный полином Р(т):

(т — 2)2 = а + р 4- 2ар = 2 — т 4- 2ар,

Р(т) = тРо(т) = т(т — 1) (т —2) = 2арт = 2ар(2 - а — Р) = 0.

Таким образом, проективный оператор пересечения в этом случае равен о = (т — 1) (т — 2)/2 = ар,

как и должно быть. Отметим, что способ, примененный для решения уравнения (П.5.34), может быть использован для любой «прямоугольной» системы линейных однородных уравнений, т. е. такой системы, в которой число неизвестных не равно числу уравнений.

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

х — (ха^ —трехмерный вектор; ха(а = 1, 2, 3)—его компоненты; индексы a, b, с, d... принимают значения от 1 до 3;

ео — тройка независимых векторов (репер);

р = (pk)= (Р, Р*) = (Р, ip0)—четырехмерный вектор в мире Минковского; индексы /, к, I, т принимают значения от 1 до 4. Греческие индексы а, 0,..., ц, v,... принимают значения от 1 до п > 4. По дважды повторяющимся индексам подразумевается суммирование в пределах всех возможных их значений;

ху=хауа = ^1У1 + x^yi + х^у^— скалярное произведение трехмерных векторов х и у\

з? = х* 4- х^ + х^ = Хц — скалярный квадрат трехмерного вектора;

I 5 ^V^* — W2 + Чг — модуль комплексного вектора ^=^'+ i#";

рр’ = Php^ = РР' — P^Pq — скалярное произведение четырехмерных векторов в мире Минковского;

1^] — векторное произведение трехмерных векторов х, у;

eQbc — трехмерный символ Леви-Чивита;

~ (тильда) — знак транспонирования матрицы;

6ар — символ Кронекера;

Ах — умножение матрицы А = (Л«р) на вектор х = (яр): (Ля) а = яЛ = (жрЛра);

сх — антисимметричная 3 X 3-матрица, дуальная вектору с = (cQ): /0~^з

с?ь = eadbcd’ сХ = I сз 0 ~С1 )> сух = \сх^ жсх = [жс];

\-с2 ci 0/

х*у = (®aVb) — Диада, образованная из трехмерных векторов х = (ха^ у=(уь);

х • у = (xkyi)—диада, образованная из четырехмерных векторов $ =(^1 У =(yiVi

\Х*у) =х*у+ух, (х-у) =х-у + у- х — симметризованные диады (симметранты);

[ж-У] = ху -У-х, [х>у]=х-у-ух- альтернированные диады (альтернанты);

a -f- Ъ 4~ [яб]

<а, о> =1 _ е^— — композиция двух 3-векторов а и Ъ;

At = Лаа— след квадратной матрицы А = (Л«р);

| — детерминант квадратной матрицы Л;

А — матрица, взаимная к матрице А (АА = | Л |);

* — знак комплексного сопряжения;

Л+ = А*—матрица, эрмитовски-сопряженная к А;

О (а) = Оd—ортогональная 3X3 матрица, отвечающая вектор-пара- метру а;

О+ — собственная ортогональная матрица). _ ,

О-— несобственная ортогональная матрица / 1и±1 — ±1? д!дх = (5/дяа)— операторный вектор градиента;

(da?) = dx\dx2dx^ — элемент объема в пространстве векторов х;

Т (с)— матрица преобразования представления группы вращений, отвечающего вектор-параметру с;

Г* (с)—матрица преобразования неприводимого представления группы вращений веса I;

® — символ прямого произведения пространств (векторов) и матриц; ф —символ прямой суммы матриц;

(ЛВ}_ = АВ—В А — коммутатор операторов Л, В;

{ЛВ}+ = АВ + ВА — антикоммутатор операторов А, В;

J = i/2 (9Г (с)ldc)c=Q— инфинитезимальный вектор-оператор представления группы вращений;

I = iJ = /+ — эрмитовский инфинитезимальный вектор-оператор представления группы 50(3);

с = cJ=caJa = — с+;

^= cl = cj q = с+;

а^ = V "Т ^ * ^^ ~ т + ^

^тт' — коэффициент Клебша — Гордана;

е± — сдвигающие операторы: e±^ = a^^mir е±=±Чсое±], с0 = <, с» = 1;

s-вектор а — пространственноподобный вектор в мире Минковского (а2>0);

^-вектор а — времениподобный вектор (а2 < 0);

Z-вектор а — светоподобный вектор (а2 = 0); емтп —четырехмерный символ Леви-Чивита;

ах — 4 X 4-матрица, дуальная антисимметричной матрице а = —а:

хi•

аМ2 ehlmnamn’

Ь^— собственное ортохронное преобразование Лоренца ) I L^|=±l, L^ — несобственное ортохронное преобразование Лоренца j ^44 ^ 1 >

Ь^— собственное неортохронное преобразование Лоренца llL^^il; £(-)— несобственное неортохронное преобразование Лоренца J £44 ^ — 1; д± = ^^ —^j—антисимметричные 4Х4-матрицы, отвечающие 3-вектору q;

L (q) = Lq= L ^q, q*) — собственное ортохронное преобразование Лоренца, отвечающее комплексному вектор-параметру q;

круговой комплексный вектор q: q^ = 0;

линейный комплексный вектор q: [^*] = 0;

Т (5» ^*) — преобразование представления группы Лоренца, отвечающее вектор-параметру q;

Ти (^, q*) = T\q) ® Tv (q*) — неприводимое конечномерное преобразование представления группы Лоренца с весами Z, V;

7h — матрицы релятивистского волнового уравнения первого порядка к; р .= ipft^k (кроме §§ 35, 36, где g = q^Y^

ln — единичная матрица порядка п;

I1 — единичная матрица порядка 21 + 1-

ЛИТЕРАТУРА

Вигнер Е. Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории спектров.— М.: ИЛ, 1961.

Верле Ю. Релятивистская теория реакций.— М.: Атомиздат, 1969.

Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро 3. Я. Представления группы вращений и группы Лоренца.— М.: Физматгиз, 1958.

Наймарк М. А. Линейные представления группы Лоренца.— М.: Физматгиз, 1958.

Мурнаган Ф. Теория представлений групп.— М.: ИЛ, 1950.

Любарский Г. Я. Теория групп и ее применения в физике.— М.: Наука, 1967.

Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам.— М.: Мир, 1966.

Хейне Б. Теория групп в квантовой механике.— М.: ИЛ, 1963.

Ван дер Варден Б. Л. Метод теории групп в квантовой механике.— Харьков: ОНТИ, 1938.

Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представлений групп.— М.: Наука, 1965.

Курант Р.' Гильберт Д. Методы математической физики.— М.: ГТТИ, 1933 т. 1.

* Федоров Ф. И.— ДАН БССР, 1958, т. 2, с. 408.

Корн Г., Корн Т. Справочник по математике.— М.: Наука, 1973.

Уиттекер Е. Аналитическая динамика.— М., ОНТИ, 1937.

Федоров Ф. И. Оптика анизотропных сред.— Минск: изд. АН БССР, 1958.

Федоров Ф. И. Теория упругих волн в кристаллах.— М.: Наука, 1965.

Федоров Ф. И. Теория гиротропии. Наука и техника.— Минск, 1976.

Федоров Ф. И.— В сб.: Гомельская школа по физике высоких энергий.— Дубна, препринт ОИЯИ 2-63-71, 1972, с. 3—27.

Федоров Ф. И.— Изв. АН БССР, сер. физ.-матем. н., 1973, № 2, с. 63.

Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.— М.: Наука, 1967.

Мальцев А. И. Основы линейной алгебры.— М.: Наука, 1970.

^^17. Edmonds A. Angular momentum in quantum mechanics.— Princeton,

Юцис A. Я., Левинсон И. Б., Ванагас В. В. Математический аппарат теории момента количества движения.— Вильнюс, 1960.

Юцис А. Я., Бандзайтис А. А. Теория момента количества движения в квантовой механике.— Вильнюс, 1965.

Варшалович Д. А., Москалев А. Я., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента.— М.: Наука, 1975.

Кондон Е., Шортли Г. Теория атомных спектров.— М.: ИЛ, 1949.

Федоров Ф. И., В сб.: Проблемы теоретической физики, памяти В. А. Фока.— Л.: изд. ЛГУ, 1975, т. II, с. 43.

Федоров Ф. И.— ДАН БССР, 1961, т. 5, с. 101.

Федоров Ф. И.— ДАН БССР, 1961, т. 5, с. 194.

Федоров Ф. И.— ДАН БССР, 1962, т. 143, с. 56.

Федоров Ф. И.— ДАН БССР, 1973, т. 17, с. 208.

Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения.— М.: Физматгиз, 1961.

Федоров Ф. И., Богуш А. А.— ДАН БССР, 1962, т. 6, с. 690.

Богуш А. А., Федоров Ф. И.— ДАН БССР, 1962, т. 5, с. 241.

Богуш А. А., Мороз Л. Г., Федоров Ф. И.— Изв. АН БССР, сер. физ- матем. н., 1970, № 4, с. 85.

Широков Ю. М.— ДАН СССР, 1954, т. 99, с. 737.

Hori 8.— Progr. Theor. Physics, 1959, т. 21, с. 613.

Borgmann V., Wigner Е.— Proc. Nat. Acad. Sci., 1948, t. 14, c. 211.

Боголюбов H. H., Логунов А. А., Тодоров И. T. Основы аксиоматиче- ческого подхода в квантовой теории поля.— М.: Наука, 1969.

Йо ст Р. Общая теория квантованных полей.— М.: Мир, 1967.

Богуш А. А., Федоров Ф. Я.—ТМФ, 1972, т. 13, с. 67.

Федоров Ф. И.— ДАН СССР, 1973, т. 209, с. 70.

Березин А. В., Федоров Ф. И.— Изв. АН БССР, сер. физ.-матем. н., 1975, № 1, 118.

Klein О.— Zs. Phys., 1926, т. 37, с. 895.

Fock V.— Zs. Phys., 1926, т. 38, с. 242.

Dirac Р.—Proc. Roy. Soc. (bond.), 1928, т. 117, с. 610, 118, 351.

Богуш А. А., Мороз Л. Г.— Введение в теорию классических полей. Наука и техника.— Минск, 1968.

Паули В. Релятивистская теория элементарных частиц.— М.: Гос- техиздат, 1947.

Федоров Ф. И.— ДАН СССР, 1951, т. 79, с. 787.

Ахиезер А. И., Верестецкий В. Б. Квантовая электродинамика.— М.: Наука, 1969.

Bjorken L, Drell 8. Relativistic Quantum Mechanics.—N. Y.: McGraw- Hill, 1964.

Боголюбов H. H., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей.— М.: Наука, 1976.

Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля.— М.: ИЛ, 1963.

Газиорович С. Физика элементарных частиц.— М.: Наука, 1969.

Новожилов Ю. В. Введение в теорию элементарных частиц.— М.: Наука, 1972.

Нишиджима К. Фундаментальные частицы.— М.: Мир, 1965.

Богуш А. А., Федоров Ф. И.— Изв. АН БССР, сер. физ. матем. техн., 1962, № 2, с. 26.

Тхарев Е. Е., Федоров Ф. Я.—ЯФ, 1967, т. 5, с. 1112.

Федоров Ф. И.— ТМФ, 1970, т. 2, с. 343.

Тхарев Е. Е., Федоров Ф. И.— ДАН БССР, 1970, т. 14, с. 212.

Тхарев Е. Е., Федоров Ф. И.— ТМФ, 1971, т. 7, с. 322.

Федоров Ф. И.— Изв. АН БССР, сер. физ.-матем. н., 1973, № 1, с. 86.

Верестецкий В. Б.^ Лифшиц Е. М.^ Питаевский Л. П. Релятивистская квантовая теория, ч. I.— М.: Наука, 1968.

Мурадян Р. М. Препринт ОИЯИ, Р2-3902, 1968.

Федоров Ф. И.— ТМФ, 1970, т. 2, с. 343.

Федоров Ф. И., Тхарев Е. Е.— ЯФ, 1968, т. 7, с. 189.

Федоров Ф. И.— ЖЭТФ, 1958, т. 35, с. 495.

Fierz М,— Zs. Phys., 1937, т. 7, с. 347.

Федоров Ф. И.— Изв. АН БССР, сер. физ.-матем. н., 1967, № 1, с. 127.

Proca A.— J. Phys. et. rad., 1936, т. 7, с. 347.

Богуш А. А., Федоров Ф. И.— ДАН БССР, 1968, т. 12, с. 21.

Duffin В — Phys. Rev., 1938, т. 54, с. 1114.

Kemmer Н.— Proc. Roy. Soc., 1939, т. 173, с. 91.

Богуш А. А., Федоров Ф. И.— ДАН БССР, 1961, т. 6, с. 81.

Волсун А. И., Федоров Ф.И.— ^зъ. АН БССР, сер. физ.-матем. н., 1966, № 1, с. 99.■

Федоров Ф. И.— Изв. АН БССР, сер. физ.-матем. н., 1972, № 5, 73.

Rarita Ж., Schwinger L— Phys. Rev., 1941, т. 60, с. 61.

Гельфанд И. М., Яглом А. И.— ЖЭТФ, 1947, т. 18, с. 703.

Петраш И.— Чехосл. физ. ж., 1955, т. 5, с. 160.

Fieri М., Pauli Ж — Proc. Roy. Soc., А, 1939, т. 173, с. 211.

Федоров Ф. И.— Уч. зап. БГУ, 1951, № 12, с. 156.

Regge Т — Nuovo Cimento, 1957, т. 5, с. 325.

Гронский В. К., Федоров Ф. И.— ДАН БССР, 1960, т. 4, с. 278.

Радюк А. Ф., Федоров Ф. И.— Изв. АН БССР, сер. физ.-матем. н., 1976, № 4, с. 64.

Гурин И. И., Федоров Ф. И.— Изв. АН БССР, сер. физ.-матем. н., 1976, № 4, с. 72; 1977, № 6, с. 65.

Крылов Б. В., Федоров Ф. И.— ДАН БССР, 1967, т. 11, с. 681.

Богуш А. А., Крылов Б. В.э Федоров Ф. И.— Изв. АН БССР, сер. физ.- матем. и., 1968, № 1, с. 74.

Крылов Б. В.—Изв. АН БССР, сер. физ.-матем. н., 1972, № 6, с. 82.

Крылов Б. В., Федоров Ф. И.— Изв. АН БССР, сер. физ.-матем. н., 1976, № 2, с. 47.

Федоров Ф. И.^ Плетюхов В. А.— Изв. АН БССР, сер. физ.-матем. н., 1969, № 6, с. 81; 1970, № 3, с. 78; 1974, № 6, с. 63.

Плетюхов В. А., Федоров Ф. И.— Изв. АН БССР, сер. физ.-матем. и., 1970, № 2, с. 79; № 3, с. 84; 1972, № 6, с. 59.

Федоров Ф. И.— ДАН СССР, 1949, т. 65, с. 813.

Файнберг В. Я — В сб.: Тр. ФИАН,— М.: Наука, 1955, т. 6, с. 269.

Volkow D.— Zs. Phys., 1935, т. 94, с. 250; ЖЭТФ, 1937, т. 7, с. 1286.

Федоров Ф. И.— ДАН СССР, 1967, т. 174, с. 334.

Федоров Ф. И,— ДАН БССР, 1974, т. 18, с. 17.

Радюк А. Ф., Федоров Ф. И.— ДАН СССР, 1973, т. 211, с. 1091.

Федоров Ф. И., Радюк А. Ф.— ЯФ, 1974, т. 20, с. 509.

Радюк А. Ф.^ Федоров Ф. И.— ДАН БССР, 1974, т. 18, с. 118.

Радюк А. Ф., Федоров Ф. И.— Изв. АН БССР, сер. физ.-матем. н., 1971, № 4, с. 64.

Крылов Б. В.э Федоров Ф. И.— Изв. АН БССР, сер. физ.-матем. и., 1976, № 2, с. 47.

Крылов Б. В., Радюк А. Ф., Федоров Ф. И.— Препринт № 113, Ин-т физики АН БССР, Минск, 1971.

Тернов И. М., Багров В. Г., Бордовицкий К. А., Маркин Ю. А.— ЖЭТФ, 1967, X 52, с. 1584.

Тернов И. М., Багров В. Г., Клименко Ю. И.—Изв. вузов, физика № 2, 1968, с. 50.

Боргардт А. А., Карпенко Д. Я.— ЖЭТФ, 1967, т. 50, с. 1167.

Becker Ж, Milter И.— J. Phys. A: Math, and Gen., 1974, т. 7, с. 1261; Acta phys. austr., 1975, т. 43, с. 395.

Соколов А. А. Введение в квантовую электродинамику.— М.: Физматгиз, 1958.

Богуш А. А.—Изв. АН БССР, сер. физ., техн., 1964, № 2, с. 29.

Федоров Ф. И., Энгельманн 3.— Изв. АН БССР, сер. физ.-матем. н., 1974, № 1, с. 55; № 3, с. 66.

Богуш А. А., Курочкин Ю. А., Федоров Ф. И.— ДАН СССР, 1976, т. 231, с. 312.

Федоров Ф. И.— ЯФ, 1973, т. 17, с. 883.

Федоров Ф. И.— ТМФ, 1974, т. 18, с. 329.

Федоров Ф. И.— Изв. АН БССР, сер. физ.-матем. н., 1974, № 2, с. 58; 1975, № 3, с. 51; 1976, № 1, с. 63; ДАН БССР, 1975, т. 19, с. 492.

Федоров Ф. И.— Изв. АН БССР, сер. физ.-матем. н., 1977, № 1, с. G8.

Федоров Ф. И. Межд. школа (Сочи) по физ. высок, энергий.—Дубна, Р. 1, 2-8529, 1975.

Федоров Ф. И., Фонг X. В.— Изв. АН БССР, сер. физ.-матем. н., 1975, № 4, с. 54; 1975, № 6, с. 47; 1976, № 1, с. 63; ДАН БССР, 1976, т. 20, с. 304.

Богуш А. А., Курочкин Ю. А., Федоров Ф. И.— Изв. АН БССР, сер. физ.-матем. н., 1976, № 2, с. 55.

Федоров Ф. И.— Изв. АН БССР, сер. физ.-матем. н., 1976, № 5, с. 61.

Michel L., Wightman А.— Phys. Rev., 1955, т. 98, с. 1190.

Hl. Ford G., Mullin C.— Phys. Rev., 1957, t. 108, c. 477.

Sarkar S.— Nuovo Cimento, 1962, t. 24, c. 139.

Bhabha H.— Proc. Roy. Soc., 1938, t. 164, c. 257.

Massey H., Corben H.— Proc. Cambr. Phil. Soc., 1939, t. 35, c. 461.

Берестецкий В. В., Померанчук И. Я.— ЖЭТФ, 1955, т. 29, с. 864.

Фаддеев Д. К.э Фаддеева В. Н.— Вычислительные методы линейной алгебры.— М.: Физматгиз, 1963.

Федоров Ф. И.— Изв. АН БССР, сер. физ.-матем. н., 1967, № 4, с. 112.

6 I 1/ л _L «2

1 + с'2 = (1 + с2) (1 + С W (1 + СсиУ

Ф. И. ФЕДОРОВ

ГРУППА

ЛОРЕНЦА

МОСКВА «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1979

22.31 Ф 33

УДК 539.1

Группа Лоренца. Федоров Ф. И.— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979.

Изложение теории группы вращений, группы Лоренца и связанных с ними групп, а также их представлений. Впервые в научной литературе теория группы Лоренца излагается на основе комплексной векторной параметризации, что позволяет достигнуть значительных упрощений при рассмотрении многих вопросов. При изложении широко используются прямые методы векторного и тензорного исчисления.

Отдельная глава посвящена применениям группы Лоренца и некоторым основным вопросам теории элементарных частиц. Книга не требует от читателя специальной математической подготовки — необходимые дополнительные сведения изложены в приложениях. Книга рассчитана на студентов старших курсов, аспирантов и научных сотрудников. специалИ' зирующихся в области теоретической физики.

Рис. 4. Табл. 3. Библ. назв. 117.

Федор Иванович Федоров

ГРУППА ЛОРЕНЦА

М., 1979 г., 384 стр. с илл.

Редактор Б. А. Миртов

Техн, редактор С. Я. Шкляр

Корректоры О. А. Бутусова, Л. Н. Боровика, Т. А. Панькова

ИБ № 11342

Сдано в набор 17.05.79. Подписано к печати 01.11.79. Т-18631. Бумага 60x90716, тип. № 1. Обыкновенная гарнитура. Высокая печать. Условн. печ. л. 24. Уч.-изд. л. 24,57. Тираж 4950 экз. Заказ № 552. Цепа книги 2 р. 70 к.

Издательство «Наука»

Главная редакция физико-математической литературы

117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15 4-я типография издательства «Наука». 630077, Новосибирск, 77, Станиславского, 25

©Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979©Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979Ф^У^!? 129"79- 1704020000

©Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979

©Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979

Uud- / У

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие

Глава I. Трехмерная ортогональная группа 7

Ортогональная группа в я-мерном пространстве ...7

Трехмерная группа вращений ...12

Композиция вектор-параметров группы вращений..18

Вектор-параметр и углы Эйлера28

Двумерный вектор-параметр и группа SU^) . ...33

Инвариантное интегрирование на группе вращений..40

Инфинитезимальные вектор-операторы группы вращений43

Комплексная трехмерная ортогональная группа.. .50

Подгруппы комплексной группы вращений 50(3, С)57

Глава II. Представления группы вращений66

Представления. Перестановочные соотношения для инфинитезимальных операторов66

Унитарность представлений группы вращений ...72

Инфинитезимальные операторы неприводимых представлений 76

Конечные преобразования представлений группы вращений 86

Матричные элементы неприводимых представлений..95

Произведение неприводимых представлений ....103

Коэффициенты Клебша-Гордана109

Глава III. Группа Лоренца 120.

Пространство Минковского120

Антисимметричные тензоры. Дуальность126

Преобразования Лоренца148

Комплексный вектор-параметр159

Композиция вектор-параметров группы Лоренца ..170

Преобразования векторов в мире Минковского...193

Малые группы и другие подгруппы группы Лоренца.201

Группа О (4) и комплексная группа Лоренца50(4,С)206

Глава IV. Представления группы Лоренца214

Конечномерные представления собственной группы Лоренца 214

Инфинитезимальные операторы и конечные преобразования группы Лоренца. Произведение представлений ..221

Конечномерные представления полной группы Лоренца. Инвариантная билинейная форма229

Представления малых групп и комплексной группы Лоренца 239

Бесконечномерные представления группы Лоренца ..246

Глава V. Применения группы Лоренца в теории элементарных частиц253

Релятивистские волновые уравнения первого порядка .253

Плоские волны (свободные частицы)269

Описание спиновых свойств частиц276

Метод проективных операторов в теории частиц ...288

Уравнения для частиц со спином 1/2, 0,1....298

Частицы во внешнем поле312

Матричные элементы квантовой электродинамики..319

Приложения346

Некоторые сведения из линейной алгебры346

Абстрактный вывод закона композициивектор-параметров 357

Прямые суммы и произведения пространств и матриц ..361

Лемма Шура367

Метод проективных операторов371

Список обозначений379

Литература381

ПРЕДИСЛОВИЕ

Существует много превосходных и широко известных монографий, в которых излагается теория группы Лоренца и ее представлений (см., например, [1—7] и др.). При этих условиях появление новой книги, посвященной тому же вопросу, требует некоторого обоснования. Настоящая книга радикально отличается от всех существующих руководств по группе Лоренца в ряде отношений. Как известно, группу Лорепца можно параметризовать различными способами. В качестве ее параметров используются углы Эйлера и компоненты скорости, либо углы обычных в гиперболических поворотов, параметры Кэли — Клейна, комплексные углы Эйлера. В данной книге впервые в основу теории группы Лоренца положена комплексная векторная параметризация, предложенная автором около 20 лет назад. При такой параметризации все шесть параметров произвольного преобразования Лоренца объединяются в один трехмерный комплексный вектор, подчиняющийся весьма простому закону композиции. Кроме того, матрица самого общего преобразования Лоренца также принимает в этой параметризации предельно простой вид.

Комплексные вектор-параметры вместе с формулой композиции, как законом группового умножения, образуют группу, изоморфную группе Лоренца. Поэтому большинство основных свойств преобразований Лоренца может быть получено без обращения к матрицам этих преобразований, а непосредственно на уровне определяющих их вектор-параметров. Эта задача чрезвычайно облегчается ввиду крайней простоты закона композиции. Многие важные факты становятся при этом почти очевидными. Таким образом, в принятом здесь изложении самую фуйдаментальную роль играет закон композиции параметров, который для других параметров не только не использовался, но даже никогда не был выписан в явном виде вследствие его сложности.

Указанные обстоятельства позволяют при рассмотрении группы Ло1 ренца отойти от общепринятой схемы изложения, которая с некоторыми вариациями повторяется практически во всей существующей литературе и которая основана на использовании с самого начала инфинитезимального подхода. Благодаря простоте закона композиции и общего выражения для матрицы Лоренца оказывается возможным изучать многие основные свойства этой группы на уровне не инфинитезимальных, а конечных преобразований. Вообще, векторная параметризация позволяет по-новому взглянуть на многие свойства группы вращений и группы Лорепца, а также связанных с ними групп 50(3, О), 50(4), 50(4, О).

При изложении широко используются прямые методы векторного и тензорного исчисления. Вследствие этого в книге содержится лишь сравнительно небольшое число формул и соотношений, в которых встречаются отдельные компоненты векторов или элементы матриц и, соответственно, применяются индексы. Как правило, основные рассуждения и выводы проводятся с трехмерными, четырехмерными и многомерными векторами

и матрицами, как едиными объектами, причем используются их инвариантные (ковариантные) алгебраические свойства.

В первых двух главах излагается теория трехмерной группы вращений и ее представлений на основе векторной параметризации. Два последних параграфа первой главы посвящены рассмотрению комплексной группы вращений 50(3, О), которая играет большую роль в теории малых групп Лоренца (§23) ив теории спина (§ 32). Главы третья и четвертая содержат теорию группы Лоренца и ее представлений. В частности, довольно подробно рассмотрены алгебраические свойства антисимметричных тензоров (бивекторов), их связь с комплексными трехмерными векторами и соотношения дуальности (§ 18). В § 24 кратко изложена теория четырехмерной группы вращений 50(4) и комплексной группы Лоренца SO (4, О) на основе векторной параметризации.

Пятая глава посвящена применениям группы Лоренца и ее представлений в теории элементарных частиц. В этой почти необозримой области приложений рассмотрены лишь некоторые вопросы, в основном связанные с интересами автора. Здесь можно отметить изложение общей теории спиновых свойств частиц (§ 32), где проявляется существенная роль группы 50(3, С). С помощью векторной параметризации получено явное выражение для вигнеровского вращения в самом общем случае. В § 33 изложен метод проективных операторов в теории элементарных частиц. В § 35 излагается общий метод отыскания точных решений волновых уравнений для спиновых частиц в поле плоской электромагнитной волны. В § 36 рассмотрены новые эффективные методы вычисления мат» ричных элементов и дифференциальных сечений различных процессов квантовой электродинамики. В приложениях, имеющих справочный характер, приведены некоторые сведения из линейной алгебры. Отметим, что список литературы ни в малейшей степени не претендует на полноту.

При изложении мы не стремились к скрупулезной математической строгости формулировок, выводов и доказательств. Главной целью автора было изложить в доступной форме удобный и эффективный (с его точки зрения) аппарат, позволяющий с существенным упрощением рассматривать многие вопросы, связанные с применением в теоретической физике таких фундаментальных групп, как 50(3) и 50(3, 1). В какой мере эта цель достигнута — судить читателю.

Автор считает своим долгом выразить искреннюю благодарность А. А. Богушу и М. Б.^ Менскому, прочитавшим рукопись и сделавшим ряд ценных, замечаний. Автор признателен также А. В. Березину, Ю. А. Курочкину и В. С. Отчику, просмотревшим отдельные главы и указавшим на замеченные неточности.

Ф. И. ФедоровФ. И. ФедоровМинск, сентябрь 1978 г.

Ф. И. Федоров

Ф. И. Федоров

Глава I