Предисловие

Эта книга написана на основе курса лекций по применению методов теории групп к задачам квантовой механики, который читался авторами на физическом факультете Ленинградского университета студентам-теоретикам IV курса.

После известного периода недоверия к теории групп как средству исследования физических систем эта математическая теория завоевала всеобщее признание физиков. Аппарат теории групп в настоящее время широко используется в таких разделах квантовой физики, как теория атома, теория твердого тела, квантовая химия и др. Достижения последних лет в теории элементарных частиц, связанные с применением теории групп, значительно повысили интерес к возможности использования теоретико-групповых методов исследования и еще раз показали важность и естественность применения их в квантовой теории.

Вопросам применения теории групп в физике посвящено довольно большое число учебников и монографий. Наибольшую известность у нас получили книгиД) Вигнера [1], Ван дер Вардена [2], Вейля [3],\Л ю б а р с к о г о [4] и Хейне [5]. Очень ценными являются изложения теории групп для физиков, написанные математиками; в первую очередь следует отметить главу по теории групп в курсе высшей математики акад. В. И. Смирнова. Превосходное изложение теории представлений группы вращений и группы Лоренца имеется в книге И. М. Гельфанда, Р. А. Мин л оса, 3. Я. Шапиро [6]. Весьма полезными являются монографии Мурнагана [7] и Бёрнера [8]. По приложениям теории групп к физике можно также отметить книги Ло- монта [9], Хамермеша [10] и Макуини [11].

') Список этих книг см. на стр. 308.

Область применения в физике методов теории групп непрерывно расширяется, поэтому в настоящее время вряд ли возможно написать монографию, охватывающую все эти применения. По-видимому, более целесообразно включать соответствующие приложения теории групп в монографии или учебники, посвященные специальным физическим проблемам, как это, например, сделано в курсе теоретической физики Ландау и Лифшица. Можно ожидать, что со временем такая тенденция будет только усиливаться.

В то же время физику-теоретику полезно иметь общие представления об основных идеях и методах теории групп, применяемых в физике. Мы стремились к тому, чтобы наш курс способствовал этому. Кроме того, мы сочли целесообразным включить в книгу ряд вопросов, которые не рассматриваются в известных нам монографиях или излагаются там недостаточно подробно. Это в первую очередь относится к исследованию симметрии шредингеровской волновой функции, к объяснению «дополнительного» вырождения в кулоновском поле и к некоторым вопросам теории твердого тела.

В нашем курсе мы ограничили область приложений теории групп задачами квантовой механики. Таким образом, эту книгу можно рассматривать как первую часть более широкого курса, вторая часть которого должна быть посвящена применению теоретико-групповых методов в теории квантованных полей. Мы заканчиваем эту книгу изложением смежных вопросов, касающихся условий релятивистской инвариантности в квантовой теории.

Авторы выражают глубокую благодарность М. Н. Адамову, прочитавшему рукопись и сделавшему ряд ценных замечаний, А. Г. Жиличу и И. Б. Левинсону, просмотревшим отдельные главы. При подготовке рукописи к печати мы воспользовались любезной помощью А. А. Киселева, Б. Я. Фрезин- ского, Р. А. Эварестова, А. А. Березина и Г. А. Натанзона.

Глава I

Введение

В первой главе мы постараемся, насколько это возможно в начале книги, показать естественность и целесообразность применения теории групп к решению физических задач. Мы надеемся, что это поможет читателю, интересующемуся в основном приложениями теории групп к физике, усвоить некоторые общие сведения об абстрактных группах, необходимые для приложений.

Свойства симметрии физических систем

При исследовании различных физических систем часто удается представить обнаруженные свойства и закономерности в форме законов симметрии. Эти законы выражаются в инвариантности (независимости вида) уравнений движения рассматриваемой физической системы относительно некоторых определенных преобразований. Если, например, уравнения движения инвариантны относительно ортогональных преобразований декартовых координат в трехмерном пространстве, то можно сказать, что в данном случае симметрия проявляется в эквивалентности определенным образо^ориентиро- ваиных друг относительно друга систем отсчета при описании движения соответствующей физической системы. Эквивалентными системами отсчета принято называть такие системы, в которых тождественные явления протекают одинаковым образом, если для них созданы одинаковые начальные условия. Наоборот, если в физической теории постулируется эквивалентность некоторых систем отсчета, то уравнения движения должны быть инвариантны относительно преобразований, связывающих координаты в этих системах. Так, например, постулат теории относительности об эквивалентности систем отсчета, движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, выражается в инвариантности уравнений движения относительно преобразований Лоренца. Класс эквивалентных систем отсчета для данной задачи часто определяется из наглядных геометрических соображений, относящихся

к модели рассматриваемой физической системы, как это имеет место для симметричных молекул, кристаллов и т. д.

Однако не всегда преобразования, относительно которых инвариантны уравнения движения, можно интерпретировать как преобразования перехода к новой системе отсчета. Симметрия физической системы может не обладать геометрической наглядностью. Например, как было показано В. А. Фоком, уравнение Шредингера для атома водорода инвариантно относительно вращений в четырехмерном пространстве, связанном с пространством импульсов.

Свойства симметрии физической системы являются общими и очень существенными ее характеристиками. Общность этих свойств обычно обусловливает их стабильность в процессе уточнения наших знаний о данной физической системе. Не следует, однако, их абсолютизировать. Как и любое описание физической системы, они являются приближенными. Приближенность одних свойств симметрии связана с уровнем наших знаний, другие свойства симметрии являются следствием сознательного упрощения модели физической системы, облегчающего решение задачи.

Итак, под симметрией системы мы всегда будем понимать инвариантность ее уравнений движения относительно некоторой совокупности преобразований. Всегда имеет место следующее важное свойство: если уравнение инвариантно относительно преобразований А и В, то оно инвариантно также относительно преобразования С, представляющего результат последовательного применения преобразований А и В. Преобразование С принято называть произведением преобразований А и В. Таким образом, совокупность преобразований симметрии данной физической системы замкнута относительно определенной нами операции умножения. Такую совокупность преобразований называют группой преобразований симметрии рассматриваемой физической системы.

Дадим строгое определение группы.

Определение группы

Группой О называют совокупность объектов или операций (элементов группы), обладающих следующими свойствами.

Для этой совокупности определен закон «умножения», т. е. закон, по которому любым двум элементам А и В со-

вокупности О, взятым в определенном порядке, единственным образом сопоставляется некоторый элемент С этой совокупности, называемый произведением элементов А и В; С —- АВ.

Это умножение должно обладать свойством ассоциативности, т. е. должно выполняться равенство (AB)D = = A(BD) для любых элементов А, В и D совокупности. Переместительным свойством это умножение может не обладать; в общем случае АВ + ВА. Те группы, в которых умножение обладает переместительным свойством, называются абелевыми группами.

Среди элементов совокупности имеется единичный элемент, т. е. такой элемент Е, что равенство

АЕ — ЕА = А

имеет место для любого элемента А совокупности.

Наряду с элементом А в совокупности G всегда имеется элемент F такой, что

AF = E.

Этот элемент F называется обратным по отношению к элементу А и обозначается А-1.

Эти четыре свойства и определяют группу; мы видим, что она представляет собой совокупность, замкнутую относительно заданного в ней закона умножения. Из перечисленных свойств вытекают такие следствия:

В группе имеется только один единичный элемент. Если мы предположим, например, что в группе О существует два единичных элемента Е и Е', то в силу третьего свойства группы будем иметь

ЕЕ' = Е = Е'Е = Е',т. е. Е = Е'.

Если F — обратный элемент по отношению к А, то элемент А будет обратным по отношению к F, т. е. если AF = E, то и FA = Е. Действительно, умножая первое из этих равенств слева на F, получим

FAF=F.

Для элемента F, как и для всякого элемента совокупности G, в этой совокупности имеется обратный элемент Е~\ Умножая последнее равенство на Е~х справа, получаем faff-1 = рр-\ т. е. fa^e.

Для каждого элемента из совокупности существует только один обратный элемент. Допустим, что для элемента Д в G имеется два обратных элемента F и D, т. е. AF — E и AD — E. Тогда, умножая равенство AF=AD слева на Л""1, получаем F = D.

Если С = АВ, то C~Y = B~YA"Y в силу ассоциативности умножения в группе.

Отметим еще, что если число элементов в группе конечно, то группа называется конечной, в противном случае — бесконечной. Число элементов конечной группы называют порядком группы.

Приведем примеры групп:

Совокупность всех целых чисел вместе с нулем образует бесконечную группу, если в качестве группового умножения мы возьмем сложение. Единичным элементом в этой группе будет нуль. Обратным элементом для числа А будет — А. Эта группа, очевидно, абелева.

Совокупность всех рациональных чисел; за исключением нуля, образует группу с операцией умножения, совпадающей с обычным умножением. Единичным элементом будет единица. Это также бесконечная абелева группа. Положительные рациональные числа сами по себе образуют группу. Отрицательные рациональные числа группы не образуют.

Совокупность векторов «-мерного линейного пространства образует группу. Групповым умножением является сложение векторов; единичным элементом будет нулевой вектор, обратным элементом для вектора а будет вектор — а.

Примером неабелевой группы может служить совокупность всех неособых матриц п-ro порядка (или соответствующих им линейных преобразований в «-мерном пространстве), которые образуют так называемую общую линейную группу QL^. Очевидно, что элементы этой группы зависят от «2 непрерывно изменяющихся параметров (элементов матриц). Бесконечные группы, элементы которых зависят от непрерывно изменяющихся параметров, называются непрерывными группами. Единичным элементом в группе GZ.(n) является единичная матрица; обратным элементам соответствуют обратные матрицы. Операция группового умножения совпадает с правилом умножения матриц, которое, как известно, свойством коммутативности не обладает.

Примеры групп, имеющих приложение в физике

Перечислим теперь некоторые группы, которые будут использованы в приложениях.

Группа сдвигов (трансляций) в трехмерном пространстве: элементами ее являются преобразования переноса начала координат на произвольный вектор а;

г' = г -Уа.

Очевидно, что это трехпараметрическая (три составляющие вектора а) непрерывная группа.

Группа вращений О+ (3): ее элементы — преобразования вращения трехмерного пространства или соответствующие им ортогональные матрицы с определителем, равным единице. Это также непрерывная трехпараметрическая группа: 9 элементов ортогональной матрицы преобразования связаны, как известно, шестью условиями. В качестве независимых параметров вращения могут быть выбраны, например, углы {ср, 0, ф}. Полярные углы ср и 0 определяют положение оси вращения, проходящей через начало координат. Угол ф определяет поворот относительно этой оси ')• Инвариантность относительно группы О+(3) выражает свойство изотропности (т. е. равноправности направлений) трехмерного пространства.

Если к группе вращений добавить операцию инверсии х' =— х, у'=— у, х'=— х, то получим ортогональную группу 0(3).

Группы симметрии молекул, или точечные группы, состоят из некоторых ортогональных преобразований трехмерного пространства. Например, группа симметрии молекулы, имеющей конфигурацию октаэдра, состоит из 48 элементов: вращений и вращений, сопровождаемых инверсией, переводящих вершины куба друг в друга.

Группы симметрии кристаллов, или пространственные группы, состоят из конечного числа ортогональных преобразований, из дискретных сдвигов(трансляций)и произведений этих преобразований. Строго говоря, такой симметрией обладает лишь бесконечный кристалл или модель кристалла с так называемыми циклическими граничными условиями.

*) См. упр. 1.1,

Группа перестановок п символов, например координат п тождественных частиц. Это конечная группа порядка п\.

Группа Лоренца [/ состоит из преобразований, связывающих координаты двух систем отсчета, которые движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно. Эта группа включает в себя группу вращений (У (3) и зависит от 6 параметров: от трех углов, определяющих взаимную ориентацию пространственных осей, и от трех составляющих скорости относительного движения. Требование инвариантности уравнений движения относительно группы Лоренца является следствием постулатов теории относительности.

Перечисленные группы, конечно, не исчерпывают всех групп, которые находят применение в физике. Однако наше основное внимание в дальнейшем будет уделено именно этим группам.

4. Условия инвариантности уравнений движения

Выясним теперь условия инвариантности уравнений движения физической системы относительно преобразований ее группы симметрии. В классической механике движение системы описывается уравнениями Лагранжа. Поэтому симметрия физической системы относительно определенной группы преобразований находит свое выражение в инвариантности уравнений Лагранжа (и дополнительных условий, если таковые имеются) относительно этих преобразований. Так как уравнения движения, записанные через функцию Лагранжа S’, при любом выборе обобщенных координат qt имеют всегда один и тот же вид:

= (1.1)

at dqt dq. v 7

то их инвариантность будет обеспечена, если этим свойством будет обладать сама функция Лагранжа. Следует, однако, заметить, что требование инвариантности функции Лагранжа является слишком жестким. Мы знаем, что уравнения движения не изменятся, если функцию Лагранжа умножить на число или добавить к ней полную производную по времени от произвольной функции обобщенных координат. Например, свойство симметрии одномерного гармонического

осциллятора относительно взаимной замены координаты и импульса (так называемое касательное преобразование в классической механике) соответствует изменению знака его функции Лагранжа S’ — Р2 — у q2-

В квантовой механике состояние физической системы описывается волновой функцией ф(х, /), которая является решением уравнения Шредингера:

/?(х)ф(х, /) = /,?-^-ф(х, О- (1-2)

Поэтому симметрия квантовомеханической системы относительно некоторой группы проявляется как инвариантность уравнения Шредингера относительно преобразований из этой группы. Если группа симметрии состоит из преобразований конфигурационного пространства

х' = их,

то проверка инвариантности уравнения Шредингера осуществляется подстановкой

х = и-хх', ф' (х') = ф (и-хх'\ (1-3)

Если уравнение Шредингера инвариантно относительно преобразования и, то после подстановки (1.3) в (1.2) оно должно сохранить прежний вид. Очевидно, что это будет выполнено, если эта подстановка не изменит вид гамильтониана Н (х).

Теория групп дает возможность классифицировать состояния физической системы на основе только ее свойств симметрии, без решения самих уравнений движения. В этом и состоит ценность метода теории групп, так как известно, что даже приближенное решение уравнений движения часто оказывается весьма трудоемким. Применяя теоретико-групповые методы, мы можем установить свойства симметрии точных решений этих уравнений и тем самым получить важную информацию о физической системе.

Не имея сейчас возможности использовать аппарат теории групп, мы все-таки попытаемся проиллюстрировать эти соображения на примере из классической механики. Мы знаем, что в классической механике классификация движений данной системы проводится по значениям интегралов движения. Покажем, что наличие интегралов движения обусловлено

симметрией системы относительно групп непрерывных преобразований. Рассмотрим систему материальных точек, функция Лагранжа которой инвариантна относительно группы трансляций в трехмерном пространстве. Это означает, что приращение функции Лагранжа, обусловленное сдвигом

r; = r. + a, br. — a,(1.4)

должно быть равно нулю. Считая а бесконечно малым вектором, мы получаем

<L5>

Ii

Согласно уравнениям Лагранжа

А^ — А^А,(1.6)

dri dt дг;

и, следовательно, в силу произвольности а мы будем иметь AVA^q(1.7)

dt дг,

или

= ^Р1 = Р = const.(1.8)

Таким образом, из инвариантности функции Лагранжа относительно трансляций в трехмерном пространстве следует, что полный импульс системы есть интеграл движения.

Аналогично можно показать, что из требования инвариантности относительно трансляций по времени следует, что энергия системы есть интеграл движения.

Позднее мы докажем, что аналогичные результаты справедливы и в квантовой теории.

Упражнения

Доказать, что любое преобразование вращения трехмерного пространства может быть представлено в виде поворота на определенный угол вокруг некоторой оси, проходящей через начало координат.

Показать, что из инвариантности функции Лагранжа относительно группы трехмерных вращений следует, что полный момент количества движения системы есть интеграл движения.

Г лава II

Абстрактные группы

При исследовании общих свойств группы несущественна конкретная реализация ее элементов (преобразованиями, матрицами, перестановками и т. д.). Обозначив элементы группы некоторыми символами, для которых задан определенный закон умножения, мы получаем так называемую абстрактную группу. В этой главе мы рассмотрим некоторые свойства абстрактных групп.

Сдвиг по группе

Пусть группа О состоит из т элементов gv, g^gm. Умножим справа каждый из элементов группы на один и тот же элемент gt, или, как говорят, произведем правый сдвиг по группе. Тогда мы получим последовательность

g\gb giSigmgf(2-1)

Покажем, что в этой последовательности каждый элемент группы встречается один и только один раз. Действительно, пусть gt — произвольный элемент группы. Очевидно, что gl = ^glg"[^gv и- следовательно, элемент gt содержится в последовательности (2.1). Так как число элементов в нашей последовательности равно порядку группы, то каждый из элементов может содержаться в ней только по одному разу. Таким же свойством обладает последовательность элементов

gtgV glg^gtgm*(2.2)

получаемая с помощью левого сдвига.

Подгруппа

Часть элементов группы О, которые сами по себе образуют группу с тем же законом умножения, называют подгруппой группы О. Оставшаяся часть группы О не может образовывать группы, так как она не содержит, например, единичного элемента.

9 М. И Пртпяшрнь Р. И ТпигЬпынп

Порядок элемента

Возьмем произвольный элемент gx группы G и образуем различные степени этого элемента g., g^, g®, . . . Так как мы рассматриваем конечную группу, то члены в этой последовательности обязательно должны повторяться. Пусть, например,

^1=^2==§Г;, &2>аг

Тогда

gf g^g^t = g^-^ = g,,

и, следовательно, g^-^x ™— Е.

Наименьший показатель степени h, для которого имеет место равенство

называют порядком элемента gt. Совокупность элементов gt, g-g^ — E называется периодом или циклом элемента gt. Очевидно, период элемента образует подгруппу группы G. Легко видеть, что все элементы этой подгруппы коммутируют друг с другом, и, следовательно, эта подгруппа будет абелевой.

Если h—порядок элемента g, то ghi~i=g]'i- Поэтому для конечных групп существование обратных элементов является следствием трех других групповых свойств.

Сопряженные совокупности

Пусть Н—подгруппа группы G с элементами hx, /z2, . . . ..., hm; т — порядок группы Н. Составим следующую последовательность совокупностей элементов группы G. Сначала возьмем элементы подгруппы Н, затем выберем из группы G какой-нибудь элемент gv не содержащийся в Н, и составим совокупность элементов gxhv gxh2gxhm, которую будем обозначать через gxH. Выберем теперь из группы G элемент g2, который не содержится ни в Н, ни в gxH, и составим еще одну совокупность g2H. Мы можем продолжать построение таких совокупностей, пока не исчерпаем всю

группу. В результате мы получим следующую последовательность:

Н, gxH,. g2H, gk_xli.(2.3)

Совокупности элементов gtH называют сопряженными совокупностями слева по подгруппе Н.

Покажем, что построенные сопряженные совокупности не имеют общих элементов. Действительно, предположим, что в совокупностях gxH и g2H имеется один общий элемент, например, gihx = g2hT Тогда g2~ gxhxh^x = gxha, и мы получим, что g2 принадлежит совокупности gxH. Но этот результат противоречит построению. Таким образом, каждый элемент группы О входит только в одну из сопряженных совокупностей. Так как группа G содержит п элементов, а каждая из сопряженных совокупностей т элементов, то т—-у. Число к называют индексом подгруппы Н для группы G. Мы видим, что порядок подгруппы является делителем порядка группы.

Аналогичным образом можно провести разложение группы G на сопряженные совокупности справа:

Н. Hg'v Hg',Hg'k_v(2.4)

При построении сопряженных совокупностей имеется произвол в выборе элементов gt. Покажем, что при любом допустимом выборе элементов gt мы получаем один и тот же набор сопряженных совокупностей и, следовательно, одно и то же разложение. Этот результат непосредственно следует из теоремы: две сопряженные совокупности gtH и gkH (gt и gk — два любых элемента группы G) либо совпадают, либо не имеют ни одного общего элемента. Действительно, если эти совокупности имеют хотя бы один общий элемент giha = = gkhy то g^g^h”1 и, следовательно, g^g^i- Но тогда любой элемент совокупности gkH представим в виде gkh^~ gih-oh"^xh^ = g.h^ и также принадлежит сопряженной совокупности gjH.

Таким образом, группа G может быть однозначно разложена на сопряженные совокупности слева (или справа) по подгруппе Н. '

Сопряженные элементы и класс

Пусть g— некоторый элемент группы О. Составим элемент g' = gtgg^\ g^G- Элементы g и g называются сопряженными. Пусть теперь gt пробегает все элементы группы G. Тогда мы получим п элементов, среди которых могут оказаться одинаковые. Пусть число разных элементов равно к. Обозначим их через gv g2, . . ., gk. Очевидно, что эта совокупность включает в себя все элементы группы О, которые сопряжены с элементом g. Легко показать, что все элементы этой совокупности являются взаимно сопряженными. Действительно, пусть gx = gagg~\ g2=g6gg^- Тогда g = g^g,ga и ^2 = ^а^ед^Со

вокупность всех взаимно сопряженных элементов называют классом. Таким образом, элементы gv g^gk образуют класс сопряженных элементов. Как мы видим, класс вполне определяется заданием одного из элементов. Число элементов в классе называют порядком класса. Всякая конечная группа может быть разбита на несколько классов сопряженных элементов. Единичный элемент группы сам по себе образует класс. Легко убедиться в том, что все элементы одного и того же класса имеют одинаковый порядок.

Покажем, что совокупность произведений элементов двух классов состоит из целых классов. Условно это может быть записано в следующем виде;

CtCj^h^C,,(2.5)

где Ct— совокупность элементов 1-го класса, а к^к — целые числа. Прежде всего докажем, что если элемент gp^C^Cj, то и весь класс Ср, в который входит gp, принадлежит совокупности C^j. Действительно, пусть gp—gigj, gt^C^ gj £ Cj. Тогда при любом g £ G

g^gpg = g'^igg-'gjg Е cicp(2-6)

Для доказательства формулы (2.5) остается показать, что каждый элемент класса Ср входит в совокупность C^j одинаковое число раз. Пусть, например, элемент gp входит два

раза, т. е.раза, т. е.gigj = gp и gvgr=gp,gigj = gp и gvgr=gp,(2-7)(2-7)причемпричемgi + gf,gj + gj..gi + gf,gj + gj..(2.8)(2.8)

раза, т. е.

раза, т. е.

gigj = gp и gvgr=gp,

gigj = gp и gvgr=gp,

(2-7)

(2-7)

причем

причем

gi + gf,gj + gj..

gi + gf,gj + gj..

(2.8)

(2.8)

Тогда каждый элемент g' ‘ gpg' (g' £ О) будет содержаться в совокупности Ср} не меньше двух раз. Действительно,

(2.9)(2.9)g' 'gPg' = g' 'gigjg'^U' 'gig'Kg' lgjg'\ g'-’'gpg, = g'’'gi.grg, = (g,'Xgi.g'Kg''"lgrg'Y

(2.9)

(2.9)

причем из (2.8) следует, что

g' ’gtg' + g' *grg' и g' 'gjg'+g' Vgrg'. (2.10)

Ясно, что элемент g' 'gpg' не может содержаться больше чем два раза, так как в противном случае с помощью аналогичного рассуждения мы могли бы показать, что элемент gp также встречается больше двух раз, что противоречит сделанному вначале предположению.

Инвариантная подгруппа (нормальный делитель)

Пусть Н—подгруппа группы О и g^ О. Составим совокупность элементов g.Hgp (элемент g( фиксирован). Эта совокупность также является группой, так как для нее выполняются все групповые аксиомы. Такую подгруппу называют подобной подгруппе Н. Если gt £ Н, то подобная подгруппа, очевидно, будет совпадать с Н. Однако если g^H, то в общем случае мы получим некоторую подгруппу группы G, отличную от Н. В тех случаях, когда подгруппа Н совпадает со всеми своими подобными подгруппами, она назы- ваетсл инвариантной подгруппой или нормальным делителем. Инвариантную подгруппу мы будем обозначать буквой N. Из определения следует, что если инвариантная подгруппа содержит некоторый элемент g группы О, то вместе с ним она содержит и весь класс, к которому принадлежит g. Поэтому говорят, что инвариантная подгруппа состоит из целых классов группы.

Для инвариантной подгруппы N группы G сопряженные совокупности слева и справа совпадают. Действительно,

gtN ^g^g^g.^Ng.,(2-11)

так как

giNgTi=N.(2.12)

Всякая группа имеет две тривиальные инвариантные подгруппы: первая совпадает с самой группой, а вторая состоит из единичного элемента группы. Группы, не имеющие инвариантных подгрупп, отличных от тривиальных, называются простыми.

Фактор-группа

Пусть N — инвариантная подгруппа группы О. Разложим группу G на сопряженные совокупности по группе N;

N, gxN, g2N, gk_{N.

Образуем теперь совокупность gvNg2N, которая состоит из различных элементов ^«„g^p- к0ГДа па и п^ независимо пробегают всю подгруппу N. Легко видеть, что

gxNg2N = gxg2g^Ng2N = gxg2NN = gYg2N = g^N. (2.13)

Если совокупность gYNg2N называть произведением совокупностей gxN и g2N, то можно сказать, что произведения двух сопряженных с N совокупностей дают опять некоторую сопряженную с N совокупность. Далее, умножение (в указанном смысле) сопряженной с N совокупности на N слева или справа не изменяет этой сопряженной совокупности:

Ng1N = gxg-xNgxN=gxNN = g1N.(2.14)

Для каждой сопряженной совокупности gtN имеется такая сопряженная совокупность g^'N, что их произведение равно АЛ gy^g.N — NN ~ N.(2.15)

Из этих результатов следует, что сопряженные совокупности инвариантной подгруппы можно рассматривать как элементы некоторой новой группы, в которой N играет роль единичного элемента. Эту группу называют фактор-группой по инвариантной подгруппе. Ее порядок равен индексу инвариантной подгруппы.

Изоморфизм и гомоморфизм групп

Если между элементами двух групп существует взаимно однозначное соответствие, которое не нарушается при групповом умножении, то такие группы называются изоморфными. Пусть О и О —изоморфные группы. Тогда, если элементам gt и gfc группы G соответствуют элементы gt и gk группы О:

gk^gk< то

glgh = gl*^gl=^gtgh.

Установление изоморфизма групп позволяет свести исследование рассматриваемой группы к изучению другой группы, изоморфной с нею.

Другим важным понятием в теории rpygn является понятие гомоморфизма. Если каждому элементу группы G соответствует только один определенный элемент группы G, а каждому элементу группы О соответствует несколько элементов группы G, причем это соответствие сохраняется при групповом умножении, то говорят, что группа G гомоморфна группе G. Гомоморфные группы обладают следующими свойствами.

Если группа G гомоморфна группе G, то единичному элементу группы G соответствует единичный элемент группы G. Действительно, пусть £— единичный элемент группы G, тогда для любого g^G Eg = gE = g; пусть E и g— элементы из группы G, соответствующие Е и g, тогда, в силу гомоморфизма групп, Eg = gE — g, откуда следует, что Е — единичный элемент группы G.

Если группа О гомоморфна группе G, то взаимно обратным элементам группы G соответствуют взаимно обратные элементы группы G. Действительно, пусть gLgh-- E, тогда, в силу соответствия, gtgk = E.

Если группа G гомоморфна группе G, то все элементы группы G, которые соответствуют единичному элементу группы О, образуют инвариантную подгруппу N группы G. Действительно, пусть единичному элементу Е группы G соответствуют элементы g'v g'^g' группы G. Тогда про-

изведению gigk соответствует ЁЁ — Е. Следовательно, g'^ = = g' и совокупность gx, g2g'$ замкнута относительно группового умножения. Согласно свойству (а) в ней должен содержаться единичный элемент. Так как единичный элемент Ё является обратным к самому себе, то, в силу (б), для каждого элемента g'. найдется обратный элемент g'k. Далее, из равенства gEg-x =Ё. где g—произвольный элемент группы О, следует gg'ig"' = g'j для произвольного элемента g группы О. Установленных здесь свойств совокупности g', g'Y . . ., g' достаточно, чтобы утверждать, что она образует инвариантную подгруппу группы G.

Если группа G гомоморфна группе G, то элементы группы G, соответствующие элементу gt, образуют сопряженную совокупность Ngx, где gt — любой из элементов группы G, соответствующих элементу g^ a N — инвариантная подгруппа, соответствующая единичному элементу группы G.

Для доказательства этого свойства разобьем группу G на сопряженные совокупности

N, g^, g^gfe_xN.

Любому элементу совокупности gtN соответствует элемент gp = g[, т. е. один и тот же элемент gt группы G. Остается показать, что разным сопряженным совокупностям соответствуют разные элементы. Предположим обратное. Пусть совокупностям gxN и g2N соответствует один и тот же элемент gx группы G. Тогда элементу 8'j"18'2 соответствует gr1gi=£, откуда следует, что gxxg2 принадлежит N. Но тогда g~^g2 = g'k и g2 = gxg'k, что противоречит исходному предположению о том, что сопряженные совокупности gxN и g2N различны. Таким образом, между сопряженными совокупностями gxN и элементами группы О имеется однозначное соответствие. Следовательно, группа G изоморфна факторгруппе по инвариантной подгруппе N.

На этом мы закончим рассмотрение общих свойств конечных групп. Ряд более специальных теорем будет доказан позднее, непосредственно в приложениях методов теории групп к физическим задачам.

Упражнения

Элементы Е, А, В, С, D, F образуют группу S6 шестого порядка с таблицей умножения (первые множители стоят в строке, например, АВ = £>):

Е А В С D F

Е Е А В С D FА А Е D F В С

В В F Е D С А

С С D F Е А В

D D С А В F Е

F F В С А Е D

Найти порядки всех элементов.

Найти подгруппы.

Разбить группу на сопряженные совокупности; убедиться в единственности такого разбиения.

Разбить группу на классы сопряженных элементов.

Найти инвариантные подгруппы. Убедиться, что сопряженные совокупности справа и слева для инвариантной подгруппы совпадают.

Написать таблицу умножения для соответствующей факторгруппы.

Показать, что абстрактная группа S6 может иметь следующие реализации; группа перестановок трех элементов и группа матриц второго порядка, соответствующих вращениям и отражениям на плоскости, совмещающим вершины равностороннего треугольника.

Доказать, что порядок группы является целым кратным порядка любого ее элемента.

Используя понятие порядка элемента группы, построить таблицы умножения для возможных групп третьего порядка, четвертого порядка.

Доказать, что все элементы одного класса имеют один и тот же порядок.

Доказать, что любая подгруппа индекса 2 является инвариантной.

Доказать, что в совокупности ggig"x, где g пробегает всю группу, каждый элемент класса, которому принадлежит gi, встречается одинаковое число раз.

Глава III

Представления конечных групп

Определение представления группы

Рассмотрим некоторую конечную группу О с элементами gv, g2gm. Если группа Т линейных операторов Tg. в некотором пространстве R гомоморфна группе О, то говорят, что группа Т образует представление группы О. В силу гомоморфизма мы имеем

Т g? gk = T g.gk.(3-1)

Если пространство R есть я-мерное векторное пространство Rn, то любой его элемент х может быть разложен по п ортам ек, образующим базис этого пространства:

х = ххех + х2е2 4- .. . + хпе„..

Оператор Tg будет определен, если мы зададим его действие на каждый из ортов ек. Пусть

tgek = S В1к(^ег(3.2)

Мы видим, что каждому элементу gx нашей группы сопоставляется матрица || Drk (g^ ||. Ясно, что единичному элементу группы должна быть сопоставлена единичная матрица, а обратным элементам — обратные матрицы. Покажем, что для матриц D выполняется равенство

О (gd D (g^) = D (gigj). ^(3.3)

Действительно, применив к орту ек последовательно операторы Tg и Tg.> мы получим

TgTgje^T^D^g^ е,—

- 2 Dtb kg^ D)t (gi) e$ ^ 2 ( 2 D)r (gi) DTk (gj)) ef (3.4)

Но, с другой стороны,

Т gT g#k — ^gjgjCk — 2 Dfk (£iSj) ef-(3• 5)

Сравнивая окончательные результаты в (3.4) и (3.5), мы видим, что равенство (3.3) действительно выполняется. Мы будем

говорить, что матрицы D^g^ образуют представление порядка п группы О. Пространство Rn называют пространством представления, а базис в этом пространстве — бази

на произ-на произ-сом представления. При действии оператора Т

на произ-

на произ-

вольный вектор х пространства Rn мы получаем

Тg,* = 2 хкТgek = 2 xkDrb (^) er = 2 x'rer, (3.6) 1 к ‘ k, rr

где x(= 2 I\k(Si)xk. Рассмотрим, как изменяется матрица представления, если в пространстве R„ выбрать новый базис е'р связанный с базисом ек линейным преобразованием: е'г=^к1ек, e^V^e;(3.7)

Для этого подействуем на орт е'. оператором 7 . Исполь

зуя (3.7), мы получим

= 3 v4ortfr',)„<=2(v-,nv|,;<. (3.8)

Таким образом, при переходе к новому базису матрицы представления испытывают преобразование подобия. Представление матрицами V~XDV называется эквивалентным по отношению к представлению матрицами D.■

Если матрицы представления все унитарные, то представление называют унитарным.

Если группа матриц D(gj) изоморфна группе О, то говорят, что матрицы дают точное представление группы О.

Примеры представлений

Среди представлений группы всегда имеется тривиальное тождественное представление, в котором каждому элементу группы сопоставляется единица. Если элементами группы являются линейные преобразования, то матрицы этих пре-

образований сами дают представление, изоморфное группе. Эти два представления соответствуют двум тривиальным инвариантным подгруппам, которые упоминались в предыдущей главе.

Для иллюстрации других представлений группы рассмотрим получение одного из представлений группы матриц С собственных линейных преобразований п переменных xv х2Хп'

Xi ~ 2 Cikxk.(3.9)

к

Рассмотрим квадратичную форму

Ti<iikxixk. aik = akl.(3.10)

I, к

Преобразование переменных xv х2хп индуцирует преобразование коэффициентов этой формы. Действительно, если мы произведем подстановку

^•=2 [С ^jsx's.^•=2 [С ^jsx's.(З.Н)(З.Н)

^•=2 [С ^jsx's.

^•=2 [С ^jsx's.

(З.Н)

(З.Н)

то получим выражение квадратичной формы (3.10) в новых (штрихованных) переменных:

2 °ik ^ }о ^г ^ )w xi ~ 2 ajixjxi> (3.12)

где

(3.13)

Вводя обозначение j|oz6|| — А, мы можем записать преобразование коэффициентов atk в матричной форме:

А' ^С^АС""1,(3.14)

где С-1* — матрица, транспонированная относительно С-1. Применим теперь к переменным xv х2, ..., х„ последовательно преобразования Cv и С2. Тогда мы получим матрицу

А" = С^А'С^ = C^CxVAC^\

или

А(р2Сух.(3.15>

Мы видим, что последовательное применение сначала преобразования С, и затем преобразования С2 эквивалентно применению преобразования C2CV Поэтому можно утверждать, что преобразования (3.13) коэффициентов квадратичной формы образуют представление группы С.

Представление группы симметрии уравненияШредингера, реализующееся на егособственных функциях

Так как нашей основной целью является рассмотрение приложений методов теории групп к физическим задачам, то уместно сразу показать, насколько важным для этих приложений окажется изучение представлений группы. В качестве примера рассмотрим квантовомеханическую систему, которая описывается уравнением Шредингера:

[-^AW)]t(r) = W (3.16)

Предположим, что группа симметрии этой системы состоит из ср.огональных преобразований us;

r' = u5r.(3.17)

Как мы знаем из главы I, подстановка

r = u;V(3.18)

должна сохранять вид уравнения (3.16). Так как оператор Лапласа инвариантен относительно любых ортогональных преобразований координат, то в результате этой подстановки мы получим

[- ^Г Ar- + v К V)] * W = Е^ (“^(3'19)

В силу инвариантности уравнения Шредингера относительно преобразований us должно выполняться равенство

V^u;^=V(r\(3.20)

Поэтому преобразованная волновая функция

■ФЧН^^Ф^гфСмГ’г)(3.21)

также является собственной функцией уравнения Шредингера (3.9) с тем же собственным значением Е. Пусть ф, (г)Фа (И— полный набор ортонормированных собственных функций этого уравнения, соответствующих собственному значению Е. Докажем, что эти функции образуют базис представления группы. Действительно, каждую из преобразованных функций Т^фг (г) можно представить в виде

У Ф, ('') = Ф/(«5'1'') = 2 Dji^^j^Y (3.22)

Функции Тц^^г) (i~ 1, 2, ..., А) также должны быть орто- нормированы, поскольку замена переменной с помощью ортогонального преобразования (3.18) сохраняет условие орто- нормированности:

/ Ш'1'-) Ъ(ИГ’Г) ^Т = J Фг (г) фу (г) dx = Ьи. (3.23)

Отсюда следует, что матрицы || D^ (us) || должны быть унитарными. Таким образом, каждому преобразованию us из группы симметрии уравнения Шредингера сопоставляется унитарная матрица /г-го порядка. Покажем, что эти матрицы образуют представление группы. Пусть us и ut — два преобразования из группы. Тогда при последовательном применении их получим

Tuju^l = Ти ф. Qi?V) = Ф,- ^П^ =

= Ф/ ( ^зиУХг) = 2 Du (usu,) ф, (г). (3.24)

С другой стороны,

TuTu^i (г) = TUs 2 Djt (ut) фу (г) =кк

= ^Dn («1)2мж)=

=2 {D(zzs)O(«,)},^z(r).(3.25)

Сравнивая окончательные результаты в (3.24) и (3.25), мы получаем

(3.26)

что и требовалось доказать.

Важность изучения представлений групп для данной задачи заключается в том, что каждому собственному значению энергии мы можем сопоставить некоторое представление группы и установить возможные типы симметрии волновых функций системы, не решая уравнения Шредингера.

Перейдем теперь к изучению свойств представлений конечных групп.

Существование эквивалентного унитарного ■ представления •

Докажем, что всякое представление конечной группы эквивалентно унитарному.

Пусть задано некоторое представление D группы О, состоящей из т элементов gv g2, ..., gm. Будем рассматривать матрицы представления D^gj) как матрицы преобразования в векторном «-мерном пространстве Rn. Пусть х(хр х2, . .., х„) и у(уР у2у„)—векторы в этом пространстве. Скалярное произведение векторов определим, как обычно:

(X, у) = х|у1 + х2у2 + ... +х„у„.(3.27)

Преобразование D^g,) переводит вектор х в вектор x-Z):

. x^D^x, xW^ D^x (3.28)

Р=1

вектор у — в вектор y(Z):

yW^D^ay-(3.29)

Допустим, что преобразование D(gt) неунитарное и, следовательно, не сохраняет скалярное произведение (х, у). Покажем, что в пространстве Rn можно так выбрать новый базис, что матрицы преобразования составляющих векторов этого пространства будут унитарными. Для доказательства

усредним скалярное произведение (3.27) по группе, т. е. составим выражение

тт

5 Ф kg^ X, D (gl) у) = 2 (^-\ у О).(3.30)

Z-1е = 1

Покажем, что (3.30) можно представить в виде

т

s^’. ^ — фх, L^.(3.31)

Z ■= I

где L — некоторое линейное преобразование. Для этого запишем (3.30) следующим образом:

т[ т\

2 ф (gt) х, D (gi) у) = 2 D+ (gl) D (g() x, у . (3.32)

Z-l\Z—1/

Матрица 2 ^+ (gi) D (g^ эрмитова и поэтому может быть приведена к диагональному виду с помощью некоторого унитарного преобразования V. Мы получим .

т

d = y12 D+{g^D{gi)V,(3.33)

Z-l

откуда т ^D^gWg.^VdV-1,(3.34)

где d— диагональная матрица.

Если ввести обозначения D^g^ = V-1 D(g[) V, то мы можем написать

тт

d= 2 V^D^^gtWV^D^gtW^ 2 O+(gz)D(^). (3.35) z-i<=-1

Отсюда диагональные элементы матрицы d равны

т пт п

d„=2> SoitoDg.tg,)^^ ^S I бра («-,) Р>о. (3.36)

Определим диагональную матрицу d1'2 с элементами [d1/2}aa= —V^aa- Очевидно, что dXl2dXl2 = d. Используя самосопряженность матрицы d1^, мы получим

т

W\ y^^VdV^x, у) =

= (rf1/V/2l/-,jC, Г'уНА-'х, d'^-’y). (3.37)

Таким образом, мы действительно имеем равенство (3.31), причем искомое преобразование L имеет вид

L=.dxaV-\(3.38)

Теперь мы можем показать, что представление группы О, даваемое матрицами LDL~X, является унитарным. Сначала покажем, что для произвольного элемента gk группы О

(LD^g^x, LD^g^y^^Lx, Ly\ (3.39)

Действительно, согласно (3.30), (3.31)

(LD(gk)x, LD(gk)y) =

= 'ii(J4gi)D(gk)x, D^g^ D(gk)y) — i — X

= 2 (D^gig^x. D (.g^y). (3.40) Z = 1

Но мы знаем, что, когда элемент g; пробегает всю группу, элемент gtgk также пробегает всю группу. Поэтому мы можем окончательно написать

aD(gk)x, LD(gk)y)=£ (D(gt)x, D^yXLx, Ly\ (3.41)

Если теперь ввести векторы х'= L-1x и у — L"xy, то равенство (3.39) можно представить в виде

<LD(gkH"Vx. LO^IT^-Vx, /)•(3.42)

Отсюда следует, что матрицы LD{g£) L~l {gk £ О) действительно унитарные.

3 М. И. Петрашень, Е. Д. Трифонов

Приводимые и неприводимые представления группы

Пусть в пространстве Rn задано представление D группы О. Если в пространстве Rn существует подпространство Rb (k < п), инвариантное относительно всех преобразований D, т. е. если для x^Rb имеем Dx^Rb, то представление называется приводимым. Выберем в качестве первых к ортов в пространстве Rn орты подпространства Rb. Тогда матрица представления должна иметь следующий вид:

DXx

^12 ■

• Dxu

^1й+1■

• ^1л

^21

^22 •

. Dlb

^26+1•

оЬ1

^*2 •

■ ^kk

• ^кп

0

0 .

. 0

^Й+16+l •

* ^й + 1 п.

0

0 .

. 0

^п А+1•

D„„

Если же в пространстве Rn нельзя выделить инвариантное подпространство, то представление называется неприводимым.

Покажем, что если приводимое представление D унитарно, то ортогональное дополнение подпространства Rb, которое мы обозначим через Rn_b, также инвариантно относительно преобразований D. Действительно, пусть jc £ Rb, y£Rn_b. Тогда (лс, у) = 0. В силу инвариантности подпространства Rb имеем

(D(g)x, у) = 0,(3.43)

но

(D^x, У^х. D+^g)y>=(x, D~\g)y)=(x, D(g-~‘)y)=0, '(3.44)

откуда

D(g-^y€Rn_k.(3.45)

Когда g пробегает всю группу, обратный элемент g~x также пробегает всю группу. Поэтому (3.45) выполняется для всех матриц рассматриваемого представления, и инвариантность Rn_b доказана. Если теперь в качестве к первых ортов выбрать орты подпространства Rb, а в качестве последних п — к ортов — орты подпространства Rn_b. то матрицы представления

будут иметь следующий квазидиагональный вид:

»Н

012 •

• о16

0 .. .

0

O21

О22 •

• о2*

0 ...

0

^1

0*2 •

• о**

0 ...

0

0

0 .

. 0

O*+i6+1 •

• ^6 + 1 л

0

0 .

. 0

^«6+1

• D„n

Если пространство R может быть разложено на инвариантные подпространства, в каждом из которых реализуется неприводимое представление, то представление D называют вполне приводимым. Матрицы этого представления при соответствующем выборе ортов имеют квазидиагональный вид:.

Из проведенного рассмотрения следует, что

унитарное представление группы всегда либо неприводимо, либо вполне приводимо;

представление конечной группы или неприводимо или вполне приводимо (так как оно эквивалентно унитарному).

Если представление D приводимо, то приведение его матриц к диагональному виду осуществляется, как мы видели, с помощью перехода к новой системе ортов. Мы знаем, что в этом случае матрицы представления испытывают преобразование подобия:

D-*V'l)V,

где V — матрица, связывающая орты старого и нового базисов (см. (3.7)). Поэтому условие приводимости представления можно сформулировать следующим образом. Представление D является приводимым, если существует такая неособенная матрица V, что матрицы V-1£)V являются квазидиагональными.

Первая лемма Шура

Сейчас мы докажем важную для приложений теорему (первую лемму Шура):

Матрица, коммутирующая со всеми матрицами неприводимого представления, кратна единичной.

Пусть D(g") — матрицы неприводимого представления порядка п группы О, g £0. Предположим, что матрица М коммутирует со всеми матрицами D(,gy

MD(g)= D(g) М:(3.46)

Обозначим через Rn пространство, в котором реализуется представление D(g). В пространстве R„ должен существовать по крайней мере один собственный вектор матрицы М. Обозначим его через х. Мы имеем

(3-47)(3-47)Мх — Хх.

(3-47)

(3-47)

Применим к вектору х преобразование с матрицей представления D(gy

D(g)x = xg.(3.48)

Получившийся при этом вектор х^ также является собственным вектором матрицы М с тем же самым собственным значением X. Действительно, в силу (3.46) мы имеем

Л4х? — MD (g) х — D (g) Mx = XD (g) х — Xxg. (3.49)

Отсюда следует, что подпространство собственных векторов матрицы М, соответствующих одному и тому же собственному значению, инвариантно относительно преобразований D^gy Но так как по предположению представление D(g) неприводимо, то это подпространство должно совпадать со всем пространством Rn, а матрица М, умножающая любой вектор пространства Rn на число X, должна иметь вид

X00...О

ОXо...о

ООО. ..X

Таким образом, теорема доказана.

Если представление вполне приводимо, т. е. его матрицы имеют квазидиагональный вид, то всегда существует матрица, отличная от кратной единичной, которая коммутирует со всеми матрицами этого представления. Легко проверить, что в качестве такой матрицы можно взять диагональную матрицу, у которой диагональные элементы, соответствующие различным блокам матрицы представления, не равны друг другу.

Отсюда можно сделать заключение, что если единственной матрицей, коммутирующей со всеми матрицами некоторого представления группы, является матрица, кратная единичной, то такое представление неприводимо.

Вторая лемма Шура

Пусть D^\g) и D^ (g) —матрицы двух неприводимых неэквивалентных представлений группы G порядка пх и п., соответственно. Тогда всякая прямоугольная матрица М с пх столбцами и п^ строками, удовлетворяющая соотношению

MDW (g) = D^ (g) M(3.50)

для всех g^G, должна быть нулевой матрицей.

Доказательство. Возьмем эрмитово сопряжение от обеих частей равенства (3.50). Мы получим

Dw+ (g) Л4+ = М+О(2,+ (g).(3.51)

Если представления D^ и O(2) унитарные, то мы можем написать

Dw~' (g) М' = M+d^”' (g)(3.52)

ИЛИ

D(1)(g-"1)vM+= M+O(2,(g--1).(3.53)

Если элемент g пробегает всю группу, то элемент g~x тоже пробегает всю группу. Поэтому последнее равенство можно записать также в виде

Dw (g) М* = Мл D^ (g).-(3.54)

Умножим обе части этого равенства слева на матрицу /И:

7ИО(1) (g) Ж 1 = ММ 1 D^ (g).

Используя условия (3.50), найдем

О(2) (g) ШГ = vHvH+O(2) (g).(3.55)

Отсюда согласно первой лемме Шура заключаем, что матрица М7И+ должна быть кратна единичной:

ММ+ = ХЕП1.(3.56)

Здесь ЕП1—единичная матрица порядка п^.

Рассмотрим теперь три возможных случая: 1) п, —д2, 2) пг> пх и 3) пх > п^.

п1 = п2. В этом случае матрица М обязательно должна быть особой, т. е. det М = 0. Действительно, в противном случае из равенства (3.50) мы получили бы условие эквивалентности представлений:

D(1)(g) = М"^(g) М.(3.57)

Вычисляя теперь определители обеих частей равенства (3.56), мы получим

det TH det 7И+— X"2 = 0,(3.58)

откуда А. = 0. С другой стороны, из (3.56) находим

^-S^A- = Sl^zyP,(3.59)

7j

и, следовательно, X может равняться нулю только в том случае, если все матричные элементы Мц равны нулю.

n2>/iP Дополним матрицу М до квадратной п^—пх нулевыми столбцами и соответственно матрицу тИ+ таким же количеством нулевых строк. Новые матрицы обозначим соответственно через М и М+. Ясно, что для этих матриц также выполняется равенство (3.56):

ММ*— ХЕП1.(3.60)

Согласно построению матриц Л4 и М+

det М — det Л!+ = 0.

Поэтому, повторяя рассуждение, относящееся к первому случаи), мы опять получим

тИ#й^0.(3.61)

n2 < «,. Этот случай сводится к предыдущему, и рассмотрение его мы предоставляем читателю.

При доказательстве леммы Шура мы использовали унитарность представлений DW и D®. Покажем сейчас, что это ограничение является несущественным. Мы знаем, что всякое представление конечной группы эквивалентно унитарному. Пусть, например, Dw и О(2)—неунитарные представления. Всегда можно найти такие неособые матрицы V и W, что представления

DW = V"XDWV, D^^W-WW (3.62)

будут уже унитарными. Тогда условие (3.50) может быть представлено в виде

MVDWV"X = WD^W'XM.(3.63)

Отсюда мы получаем (Г^^О^О^О^МУ)(3.64)

или, вводя обозначение N =W~XMV,

N DW = D№N,(3.65)

и задача, таким образом, сводится к рассмотренной выше. Матрица N может быть только нулевой. Но если матрица N нулевая, то, конечно, и матрица M=WNV~L также будет нулевой.

Соотношение ортогональности для матричныхэлементов неприводимых представлений

С помощью первой и второй лемм Шура можно получить некоторые соотношения между матричными элементами неприводимых представлений группы. ■

Пусть DW (g) и D1^ (g)— матрицы двух неприводимых неэквивалентных унитарных представлений группы О, состоящей из m элементов. Обозначим через nt и tij порядки Этих представлений. Докажем, что между элементами матриц

D^1 и D^' существуют следующие соотношения:

2 D$Ag)6$(g) = 0.(3.66)

g^G

S °$ U^(g) = £ 6,a6vp.(3.67)

g^Q

Доказательство. Составим матрицу

M = 2 D^(g) X D^4g"x\ giG

где X—произвольная матрица с п1 строками и п^ столбцами.

Докажем, что матрица М удовлетворяет соотношению

D^M^MD^.(3.68)

Действительно,

D^ (g') TH = D^ (g') 2 DW (g) XD^ (g-1) = g^G

= 2 DW (g') D^ (g) XD^n (g-1) 0(7) (g'-1) DO' (g') = g?G

= 2 D^ (g'g) XD^ ((g'g)’1) DW (g') = g^G

= 2 D^(g")XD^(g"-1)DU4g') = MDU)(g'). g'^Q

Отсюда согласно второй лемме Шура следует, что Л4—нулевая матрица, т. е.

-^=2 2^(МА"‘М.(3.69)

g^G s, к

Так как матрица X произвольна, то мы можем положить Xsk— 1, если s —v и fe = p, и Xsk = 0 для других значений индексов s и к. Тогда мы получим

2 ^’(g) D^(g-’1) =0.(3.70)

g^G

Заметим, что до сих пор мы не предполагали унитарности представлений. Поэтому равенство (3.70) справедливо также для неунитарных представлений. Если же представления D^ и D^ унитарные, то из (3.70) мы получаем соотношение (3.66).

Перейдем теперь к доказательству второго соотношения ортогональности.

Составим матрицу

N = 2 D^^XD^^gY(3.71)

g^G

Здесь X — произвольная квадратная матрица порядка п^ Аналогично можно показать, что она коммутирует со всеми матрицами неприводимого представления О^. Следовательно, по первой лемме Шура матрица N кратна единичной, т. е.

N№ = 2 2 4» U) Xskd& (g-*) = Ц,„.(3.72)

g^G s, к

Выберем теперь такую матрицу X, у которой единственный отличный от нуля элемент Х,^ равен 1. Соответствующую константу X обозначим через Xvp. Тогда получим

2(3.73)

g^G

Для определения Xv^ положим в этом равенстве р = а и просуммируем обе его части по р от 1 до п^ Мы получим

2 2 4v (g') ^ (g~’) = Х^щ (3.74) g^Q и

или

2 &$ (Е) = бурт — Xvpnj.(3.75)

g^G

Отсюда находим, что

Ч-Ч^-<3-76>

Таким образом, мы имеем

2 4v U?) 4а (g-"1) - Wvp - J •(3.77)

g^Q1

Если представление D^ (g) унитарно, то из (3.77) мы получаем (3.67).

Доказанные нами соотношения ортогональности (3.66) и (3.67) могут быть объединены в одной формуле:

S 4^ (g') ^ (g-) - ™ ^;Wv₽-(3.78)

g^G1

Соотношение (3.78) можно интерпретировать как условия ортогональности и нормировки системы векторов в т-мерном пространстве. Каждый из этих векторов характеризуется тремя индексами: I, р, V, а его составляющие равны элементам матриц неэквивалентных неприводимых представлений. Вектор Z)<9, например, имеет составляющие OW^), D^^), ..., £^(б"т)- Число таких векторов, соответствующих одному неприводимому представлению, скажем Dw, равно п2.. Поэтому общее число ортонормированных векторов в этой системе равняется "

24 (3.79)

где суммирование проводится только по неэквивалентным неприводимым представлениям. В силу ортогональности все эти векторы должны быть линейно независимыми. Так как число линейно независимых векторов не может превышать размерности векторного пространства, то

II(3.80)

I

I

Отсюда, в частности, мы получаем важное утверждение о том, что число различных неприводимых представлений конечной группы конечно. В п. 10 этой главы мы покажем, что в действительности всегда имеет место равенство

(3.81)(3.81)2 ^ = т.

(3.81)

(3.81)

Характеры представлений

Введем понятие характера представления. Характером представления D(g) называют функцию элементов группы, определенную формулой

X(g-) = 2^(^) = Sp£>(^).(3.82)

Выясним некоторые свойства характеров представлений.

Эквивалентные представления имеют одинаковые характеры, так как след матрицы инвариантен относительно преобразования подобия и, следовательно, Sp V-1 D (g) V = = SpD(g).

Характеры матриц представления, соответствующие элементам одного класса, совпадают.

Характеры неприводимых представлений обладают свойством ортогональности:

(3.83)

где ^ (g) и х^1 (g) — характеры неприводимых представлений D^ и D^h соответственно. Учитывая свойство а), достаточно провести доказательство (3.83) для унитарных представлений. Из (3.78) мы имеем

5 4u (S') ^ (£) = v 6, А«-(3.84)

Просуммируем обе части этого равенства по ц и по а. Тогда получим

5^)iU) ^ = V ^ц = т^,(3.85)

g^a1

что и требовалось доказать. Для элементов одного и того же класса х(5") имеет одно и то же значение. Поэтому полученное соотношение можно также записать в виде

S^x№=mdir(3.86)

где k$ — число элементов в классе С$, а х$ > — значение характера представления, соответствующее элементам этого класса.

Характер приводимого представления D равен сумме характеров неприводимых представлений, на которые оно может быть разложено. Для того чтобы это стало очевидным, достаточно вспомнить квазидиагональный вид приведенного представления, а также учесть свойство а). Если обозначить через х(ё) характер приводимого представления, то

Х^-З^СП(3-87)

где число г j показывает, сколько раз неприводимое представление £)<^ входит в разложение приводимого представления D.

Из условия ортогональности (3.83) характеров мы легко получаем очень важную для приложений формулу

Г j = 4" 2 X (g) XU) (g)-(3-88)

g^G

Отсюда, в частности, следует, что разложение приводимого представления на неприводимые части может быть выполнено единственным образом.

Разложение приводимого представления D на неприводимые мы будем символически записывать в виде суммы:

Z) = 2® r^D^.

j

Значок © над знаком суммы должен напомнить, что выражение, стоящее в правой части равенства, не является суммой матриц в обычном смысле.

Регулярное представление

Введем понятие регулярного представления. Пусть задана группа G. Возьмем произвольный ее элемент gs и произведем операцию сдвига по группе, т. е. каждый из элементов группы умножим слева на gs. Тогда, как мы знаем (см. п. 1 главы II), если gs + E, то ни один из элементов группы «не останется на месте». Если же gs = E, то никакого сдвига не произойдет.

Сдвиг, соответствующий любому элементу gs, можно формально записать с помощью матрицы || R^ (gs) || порядка т;

g5gt = ^iRti<gs')gf(3-89)

t

Очевидно, что в каждом столбце матрицы R имеется только один элемент, отличный от нуля и равный единице. Если gsgt = gp то RrAgs^=X' а ^i(£s) = 0 "Ри t + j. Матрицы R ^gg), построенные таким образом, дают представление порядка т группы Q, которое называется регулярным.

Из определения регулярного представления следует, что его характеры таковы:

Х^Ч^^т. если gs = E, |

Х(й)(^) = 0- если gs + E. /

Разложим регулярное представление на неприводимые части, т. е. выясним, сколько раз в нем содержится каждое неприводимое представление О^. Для этого воспользуемся формулой (3.88). Мы получим

n = 4r^R4g^U4g) (-3.91) g

или, согласно (3.90),

г; = "^Г тХ(У) (5) = %(/) (£) = «,- (3.92)

Таким образом, мы видим, что каждое неприводимое представление содержится в регулярном представлении столько же раз, каков порядок этого неприводимого представления.

С помощью этой теоремы мы можем выразить порядок регулярного представления через порядки неприводимых представлений, на которые оно распадается. Мы получим

2 «2-= гаг. (3.93)

Вспомним теперь, что выражение, стоящее в левой части этого равенства, определяет число ортогональных векторов О^. Мы видим, что это число совпадает с размерностью векторного пространства и поэтому векторы Df/p образуют в нем полную систему. Этим результатом мы воспользуемся в следующем пункте для доказательства теоремы о числе различных неприводимых представлений конечной группы.

Число неприводимых представлений

Характеры представления % (gj), % (g^, ..., % (g^ также можно рассматривать как составляющие вектора в т-мерном пространстве Rm. При этом характеры неприводимых представлений, как это следует из (3.83), образуют систему орто- нормированных векторов. Так как для элементов одного класса характеры совпадают, то все такие векторы принадлежат подпространству Rz пространства Rm. Пространство Ry характеризуется тем, что составляющие векторов, соответствующие элементам одного класса, совпадают друг с другом. Составляющие произвольного вектора FQF^gy), F(g^, .. .)

подпространства Rx обладают свойством

F^ = F(g-1g'g)(3.94)

при любых g' и g из группы G. -Так как число различных составляющих вектора F не может превышать числа классов в группе О, то максимальное число к линейно независимых векторов в подпространстве Rx равно числу классов в группе. Покажем, что произвольный вектор F подпространства Rx может быть разложен по векторам ^А соответствующим неприводимым представлениям группы О.

Так как вектор F принадлежит пространству Rm, то он может быть разложен по полной системе векторов D^, и для составляющих этого вектора будем иметь

Р^ = 2(3.95)

j, а, Р

Используя свойство (3.94), мы можем написать

F(g')=F(g-ig'g)= 2 C^W^'1/^- (3.96) j, а, р

Усредним полученное равенство по элементу g. Тогда получим

g j. a, P

g j. о. P V, 6

=4-2 2 ^o^ o^ ^(3.97)

g j, a, p, y, 6

Используя соотношения ортогональности (3.67), мы получим

J, a, P, V. 6

= T 5 tiT^^-^^'W' <3-98> j, a, b 1j

где

8>=vSea

Мы видим, что произвольный вектор F^RZ может быть разложен по векторам у/А Отсюда следует, что система векторов у(2) является полной в подпространстве Rz, и, следовательно, число этих векторов равно числу и классов группы G.

Таким образом, мы получаем важную теорему: число различных неприводимых представлений группы равно числу ее классов.

Вычисление характеров неприводимых представлений

Мы знаем, что характеры неприводимых представлений удовлетворяют соотношениям ортогональности и нормировки (3.83). Кроме того, разбивая порядок группы m на х квадратов целых чисел, мы можем найти согласно (3.93) порядки неприводимых представлений, которые, очевидно, равны характерам этих представлений, соответствующим единичному элементу группы. Однако в общем случае этих условий недостаточно для однозначного определения значений всех характеров неприводимых представлений. Покажем сейчас, что для характеров неприводимых представлений можно дополнительно получить квадратичные соотношения, которые позволяют решить задачу. В главе II было доказано, что всевозможные произведения элементов двух классов группы образуют совокупность, состоящую из целых классов этой группы. Этот результат был записан нами в виде равенства (2.5):

С^ = 2 h4kCk. (3.99) k

Рассмотрим теперь одно из неприводимых представлений D^ порядка пр группы G. Составим произведения матриц этого представления, соответствующих произведениям элементов, образующих совокупность С^у.

dp4g^D^4g]\ g^c^ 8)£сг

Напишем теперь матрицы представления С^р\ соответствующие элементам совокупности 2 htpfik- Очевидно, что в силу (3.99) построенные таким образом совокупности

матриц представления должны совпадать. Ясно, что будет иметь место равенство

2 D^4^rip4g^ 2 Ьц^р (g^. (з.юо)

Если ввести обозначение

S^= 2 DVP4gtY(3.101)

то формула (3.100) может быть переписана в виде

8^8^ = 2 hljkS^.(3.102)

Но матрицы 8^ кратны единичным (см. упр. 3.3): ^^Х^(3.103)

Найдем след матрицы S'-fV С одной стороны, мы имеем

SpS?^ 2 SpDWg.^fe^,(3.104)

где Az — число элементов в классе' Cv С другой стороны,

Sp^=npkT.(3.105)

Поэтому

^^^Т-<3106>

Подставляя (3.103) в (3.102) и используя (3.106), мы получим соотношения

^kjWp = np^ht нк^\ (3.107)

которым должны удовлетворять характеры неприводимых представлений. Практически, как правило, нет необходимости решать эти уравнения, поскольку характеры представлений большинства конечных групп, используемых в приложениях, вычислены и затабулированы.

Упражнения

Доказать, что любое представление простой группы (т. е. группы без нормального делителя) изоморфно самой группе.

С помощью первой леммы Шура доказать, что все неприводимые представления абелевой группы первого порядка.

С помощью первой леммы Шура доказать, что сумма матриц неприводимого представления, соответствующих элементам одного класса, кратна единичной.

Построить матрицы регулярного представления для группы шестого порядка (см. упр. 2.1).

Доказать, что обратным элементам соответствуют комплексно сопряженные характеры представления.

Доказать, что равенство -^- ^ % (g1) X (g) = 1 является

8 достаточным условием неприводимости представления.

Доказать, что сумма по группе матричных элементов любого неприводимого представления, кроме тождественного, равна нулю.

Глава IV

Композиция представленийи прямое произведение групп

Перед тем как переходить к приложениям, введем еще понятие композиции, или прямого произведения, представлений группы и понятие прямого произведения групп. С этой целью введем сначала понятие прямого произведения матриц.

Прямое произведение матриц

Пусть имеются две квадратные матрицы: матрица А порядка п и матрица В порядка т с элементами

(4.1)(4.1)alk (I, &=1, 2п),)

(4.1)

(4.1)

bw («> ₽= Ь 2- i

Прямим произведением матрицы А на матрицу В называют суперматрицу Ау^В порядка п, (i, А)-й элемент которой есть матрица aikB порядка т. Для примера напишем прямое произведение двух матриц второго порядка:

«11«21«11«21а|2В' «22^<а|2В' «22^<«12^/^П ^12^ /«Ц-®

«11

«21

«11

«21

а|2В' «22^<

а|2В' «22^<

«22/v21 ^22/\«2Г®

(

«11^11«11^12 ’ «12^11«12^12 \

«11^21«11^22«12^21«12^22|^^

«21^11«21^12«22^11«22^12I

«21^!«21^22«22^21«22^22

Мы видим, что элементамиматрицыА X Вявляютсявсе

возможные произведения элементов матриц А и В. Для нумерации строк и столбцов прямого произведения двух матриц удобно использовать не один, а два индекса. Тогда мы можем

написатьнаписатьИ X S) toj *р «Zfc^ap-И X S) toj *р «Zfc^ap-(4.3)(4.3)

написать

написать

И X S) toj *р «Zfc^ap-

И X S) toj *р «Zfc^ap-

(4.3)

(4.3)

Очевидно, что порядок прямого произведения матриц равен произведению порядков сомножителей.

Из определения прямого произведения матриц следует, что прямое произведение диагональных матриц будет диагональной матрицей, а прямое произведение единичных матриц — единичной матрицей.

Рассмотрим некоторые свойства прямого произведения матриц.

Если Л(1) и Л(2)— матрицы порядка п, а В^ и В^ — матрицы порядка т, то

(Л(1) X BW) (Л(2) X В^ = Л(1)Л<2) X BW. (4.4)

Для доказательства напишем (Zu, Ар)-й элемент для левой и правой частей этого равенства. Элемент матрицы, написанной слева, равен

«л^хв^хв^

2 {Л(,> X В<2>)za-Z6 {Л^ X ВХ»р2 ЖЖ (4.5)

1,61,6

Элемент матрицы, написанной справа в формуле (4.4), можно представить в виде

«л">лй) X (в“>в'Х „=(Л<"ЛЙ)„ (в»'^^=

- 2 « 2ЭД - 2 »w«. (4.6)

и, следовательно, он равен соответствующему элементу матрицы, стоящей в левой части формулы (4.4). Таким образом, мы видим, что формула (4.4) действительно имеет место.

Если матрицы Л и В унитарные, то матрица АХ В тоже унитарная.

Действительно, из свойства а) следует, что

' (АХВГУ=А-уХВ-\(4.7)

С другой стороны, очевидно, что

(ЛХВ)+ = Л+ХВ+.(4.8)

Так как матрицы А и В унитарные, то Л+ = А \ В* — В \ и мы имеем

(А X В)+ = А+ X В* = А"1 X В"1 = (А X В)'1, (4.9) что и требовалось доказать.

Мы ввели понятие прямого произведения для квадратных матриц. Однако иногда оказывается полезным понятие прямого произведения прямоугольных матриц, которое определяется так же, как и для квадратных. Ясно, что можно рассматривать прямое произведение не двух, а произвольного числа матриц.

Композиция представлений группы

Теперь мы можем ввести понятие композиции, или прямого произведения, представлений группы.

Пусть заданы два представления D и D' (не обязательно неприводимых) группы О. Мы будем рассматривать матрицы этих представлений как матрицы преобразований соответственно в Ц- и /2-мерных пространствах Нц и Ri2. Тогда для ортов ик пространства R1y имеем

TgUt = 5 Dmt (g) ит,(4.10)

а для ортов <ок пространства Ri2 получим

Tg-ok = 2 D'nk (g) vn.(4.11)

п

Выберем в пространстве Rt( вектор x(xv х2, .... X/,), а в пространстве Rtl вектор у (у,, у2, . .., у/2). Образуем Ц1г произведений х^к составляющих векторов х и у и будем рассматривать эти числа как компоненты вектора в пространстве Rlltl. Этот вектор будем называть прямым произведением векторов х и у. Пространство Rij2 будем называть прямым произведением пространств R1y и R(2 и обозначать через Rtl X Rif Ясно, что базис пространства Rtl X Ri, может быть образован из прямых произведений базисных ортов ut и vk пространств Ril и Ri2:

(4.12)(4.12)Wit ^utx vk-

(4.12)

(4.12)

Определим теперь линейные операторы Tg, действующие в пространстве Rtl X Ri2- формулой

ТgWik = ТgUi X Т gOk ^^ S ^mi (S) ®m X Dnk kg) ®n =

.= 2 Dml (g) Dn^g) wmn. (4.13)

Мы видим, что операторам Tg соответствуют матрицы, являющиеся прямым произведением матриц D(g) и D'(g)- Проверим, что матрицы D (g) X О' (g) образуют представление группы О. Действительно, пусть gtgk — gt, так что

D(gi>D(gk)=D(gI\ 1

Тогда, используя свойство а) прямого произведения матриц, мы получим

(О (^) X D' kgb) Ф (gk) X D- (g^) =

= Ф (g^ D (gj )ХФЧ§1)О (gk)) = D <g^ X D' (gl). (4.15)

Представление матрицами D (g) X D' (g) называют композицией или прямым произведением представлений D(g) и D' (g). Если представления D и D' унитарны, то по свойству б) их прямое произведение также унитарно.

Если представления D^ и D^ неприводимы, то их прямое произведение оказывается в общем случае приводимым. Разложение композиции представлений на неприводимые представления называется разложением Клебша — Гордана:

Ф (g) X DU) (g) = 2® ЧиФ^ (g),(4.16)

где D^ (g) — неприводимые представления группы О. Мы знаем, что с помощью соотношений ортогональности для характеров неприводимых представлений и по известным характерам приводимого представления можно определить, сколько раз в нем содержится каждое неприводимое представление. Используя формулу (3.88), мы получим

^j^-=^r'Sx№(<g')7yr(gY.(417)

g

где через % гЛ (g) обозначены характеры представления D^ X D^- Найдем выражение для характеров ^Ч\ Так как элементы матрицы D^ X ^^ имеют вид

^Цу^Х1к¥-^(4.18)

то характер х^ этого представления, очевидно, равен

ХУЛ ^ - Sp (Dw (g) X ^h (g)) =

= ^^^ХВиЧ§К,га-

l, a

= 2 ^p (g) D^ (g) = x(Z) (g) X^ (g).(4.19)

l, a

Таким образом, характер композиции двух представлений равен произведению характеров сомножителей. Подставляя этот результат в формулу (4.17), мы получим

^Us = ^ 5 ^ <^ Х(9 (g) tn (g).(4 -20)

g

Пусть композиция неприводимых представлений D^ и О(Л разложена на неприводимые части, так что матрицы этого представления имеют квазидиагональный вид. Мы знаем, что такое разложение получается в результате перехода к новому базису. В нашем случае это происходит в результате перехода от базиса wpk = и^ X f^ к базису та^Х где значок s нумерует неэквивалентные неприводимые представления, а индекс у5 учитывает кратность неприводимого представления D^, причем новые орты являются линейной комбинацией старых:

w^ = 2 QP- jk | s, у,, ?) «^ X f^-<4-21)

Коэффициенты (ip, jk\s, y$, 9) в этой формуле называют коэффициентами Клебша — Гордана или коэффициентами Вигнера..

Если орты w('Ys) и a^1 X ^ образуют орт(1нормирован- ные базисы, то связывающая их матрица с элементами (ip, jk\s, Yj. 9) должна быть унитарной. В этом случае для

коэффициентов Клебша— Гордана выполняются следующие условия ортогональности:

^Jip7~jk\s74J^Qp. W, у;, q'^b^.b^.b^. (4.22)

2 д0рТ7ЦГЧ71)Qp', Jk'\s, у., 4) = ^^,. (4.23)

Аналогичным образом может быть рассмотрена композиция трех и большего числа представлений.

Прямое произведение групп

Введем понятие прямого произведения групп и исследуем неприводимые представления прямого произведения.

Пусть заданы две группы: GW с элементами gW и О^ с элементами g^X Определим новую группу О^ X G^2\ элементами которой являются пары (gW, ^p1)’ пРичем порядок расположения элементов в паре несуществен. Такая группа называется прямым произведением групп G^ и О(2). Закон умножения для нее определяется следующим образом:

«?• »№ ^=№- «■<4'24>

где

^ = ^№ ^ = ^W (4.25)

Легко показать, что единичный элемент прямого произведения группы — это пара единичных элементов сомножителей. Обратным элементом по отношению к (g-^, g^ будет элемент (g^1)-1, S"^-1)- Важной реализацией прямого произведения двух групп является случай, когда группы О(1) и G^ оказываются коммутирующими подгруппами одной группы. В этом случае пара элементов (gP), g®) понимается как результат группового умножения элементов. Покажем, что из некоммутирующих подгрупп таким образом нельзя составить прямого произведения. Действительно, согласно закону умножения (4.24) мы имеем

(g^’O (^^^ - ^'W^-<4'26>

Если теперь в качестве gW и g^) взять единичные элементы группы, то получим соотношение

(4-27)

которое не выполняется, если рассматриваемые подгруппы не коммутируют.

Докажем, что число классов группы Gw X О^ равно произведению чисел классов сомножителей. Для этого рассмотрим совокупность тех элементов группы G(1) X G^, в которых первый множитель принадлежит определенному классу группы Об*, а второй — определенному классу группы О(2). Покажем, что эти элементы группы G(I) X G(2) образуют класс. В самом деле, если элемент (g^, g^2)) принадлежит выделенной совокупности, то для любого элемента (S’y*’ ^^2)) ГРУППЫ мы будем иметь

(^’, g^y1^. g^)^, о-

-С^-1, sf-W™. 4W-

^(^-‘g^v1- S^-1^2^)’ (4'28) т. е. получим элемент, принадлежащий той же совокупности. Нетрудно увидеть, что все элементы совокупности могут быть получены с помощью сопряжения из одного. Таким образом, выделенная совокупность элементов действительно образует класс группы G(1) X О|2). Отсюда следует, что число классов прямого произведения равно произведению чисел классов сомножителей.

Неприводимые представления прямогопроизведения групп

Перейдем теперь к рассмотрению представлений прямого произведения групп. Пусть задано представление D^gW) порядка /, группы О(1) и представление D' ^g^ порядка /2 группы G<2\ Покажем, что прямое произведение матриц D(g"(a6)X ^Ч^’) образует представления порядка //2 группы GwXq<^

Действительно, если

№ 4?Ж'’Ф)=И^)'<4-29>

то согласно (4.4) для прямых произведений матриц

D^XD'^ и D^XD^

мы получаем аналогичное равенство:

W') X «ЖРИ X DW)) =

=(° И') о да) х (О' да О' да J = о да х о- да.

(4.30)

Докажем теперь, что если представления D и D' неприводимы, то представление D X D' группы G(1) X G^ также неприводимо. Для этого мы покажем, что единственная матрица, которая коммутирует со всеми матрицами DX^', кратна единичной. Обозначим эту матрицу через X. Мы знаем, что матрицу D X D' можно рассматривать как суперматрицу, элементами которой являются матрицы DlkD'. Запишем матрицу X в виде аналогичной суперматрицы с элементами Х1к, которые в свою очередь являются матрицами того же порядка, что и О'. Суперматрицы одинаковой структуры можно перемножать, как обычные матрицы (см. упр. 4.2). Итак, предположим, что матрица X коммутирует со всеми матрицами О X ^'- Напишем сначала условие коммутации с теми матрицами, которые соответствуют единичному элементу группы О(1), т. е. с матрицами Е^ X D'^g^. Записанные как суперматрицы, они имеют вид матрицы, кратной единичной, с диагональными элементами, равными матрице О'. Мы имеем

О'00...0

0О'0...0=

000...О'

О'00 ... 0

о о' о ... о *12 ••• %1,‘

или

2 XAjD'^li^D'X.j, к = \к=1

откуда

ХмО'=О'Х1р(4.31)

Таким образом, мы видим, что все субматрицы Xtj должны коммутировать со всеми матрицами неприводимого представления группы О®, и поэтому они по первой лемме Шура кратны единичным матрицам:'

Xlk = xuELi1(4.32)

где х1к — некоторые числа. Запишем теперь условие коммутации X с теми матрицами прямого произведения, которые соответствуют единичному элементу группы G(2\ Эти матрицы имеют вид D X Ец. Записанное через суперматрицы условие коммутации имеет вид

^X^DkjE^^DuE^Xfcj.(4.33)

Отсюда, используя формулу (4.32), мы имеем

(4.34) кк

Таким образом, мы показали, что матрица с элементами х1к порядка Ц коммутирует со всеми матрицами неприводимого представления О (§•(’)), следовательно, эта матрица кратна единичной и xlk = blkx. Но отсюда также следует, что матрица X, имеющая вид

хпЕц ^ц •■• ^Ц

Х1ЛЕЦ Х1АЕ!г 1 ‘ ' XQEh также кратна единичной. Таким образом, наше утверждение доказано.

Представления группы G(1) X О^, построенные таким образом из неприводимых представлений групп G(1) и G(2\ не эквивалентны. Это легко проверить по ортогональности характеров этих представлений, которые равны произведениям

характеров представлений D и D'. Доказательство предоставляем читателю. Число представлений D X В', очевидно, равно произведению числа различных неприводимых представлений D на число различных неприводимых представлений D' или произведению чисел классов в группах 0^ и О®. Но так как число классов прямого произведения равно как раз произведению чисел классов сомножителей, то, таким образом, мы получаем все неприводимые представления группы G(1) X 0^-

Упражнения

Доказать, что тождественное представление содержится в композиции двух неприводимых представлений только в том случае, если эти представления являются комплексно сопряженными.

Убедиться в том, что суперматрицы с одинаковым разбиением на строки и столбцы можно перемножать по тому же правилу, что и обычные матрицы.

Доказать, что построенные в п. 3 неприводимые представления прямого произведения двух групп не эквивалентны.

Показать, что подгруппы (gW, £(2)) и (£(1), ^^2)) будут нормальными делителями группы G^ X G1-^.

Доказать, что перестановка множителей в прямом произведении матриц эквивалентна некоторому преобразованию подобия: АХВ=УфХА) V~\

Глава V

Теорема Вигнера

После того, как мы познакомились с некоторыми основными понятиями и теоремами теории конечных групп, можно перейти к рассмотрению конкретных групп и к приложениям методов теории групп к физическим задачам. Большая часть приложений, как мы увидим, основана на теореме Вигнера, которая будет доказана в этой главе.

Симметрия квантовомеханической системыотносительно группы преобразований

Мы знаем, что состояние квантовомеханической системы описывается решением уравнения Шредингера. Поэтому симметрия этой системы относительно некоторой группы означает инвариантность соответствующего уравнения Шредингера относительно преобразований этой группы. Мы ограничимся сейчас рассмотрением стационарной задачи, для которой уравнение Шредингера имеет вид

Н (х) ф (х) — £ф (х),Н (х) ф (х) — £ф (х),(5-1)(5-1)

Н (х) ф (х) — £ф (х),

Н (х) ф (х) — £ф (х),

(5-1)

(5-1)

где х — совокупность переменных, характеризующих конфигурационное пространство системы. Напомним (см. главу III), что под инвариантностью уравнения Шредингера мы понимаем сохранение его вида при подстановке x->g-1x, ф(х)-> -» Г^ф (х) = ф (g-Ix), где g— преобразование из группы симметрии О системы. Очевидно, что инвариантность уравнения Шредингера относительно преобразования g является следствием инвариантности гамильтониана системы:

(5.2)(5.2)Н (g"x) = Н (х).

(5.2)

(5.2)

Покажем, что условие инвариантности уравнения (5.1) относительно группы О может быть записано в виде условия

коммутативности операторов Т и оператора энергии ЕЕ

(5.2а)(5.2а)HTg=TgH.

(5.2а)

(5.2а)

Пусть ф£ (х) — собственная функция оператора Н, соответствующая собственному значению Е. Тогда Д^ф^х)—также собственная функция оператора Н, соответствующая тому же собственному значению, т. е.

НоНоНТ^Е = ETg^E.

Но

Но

ETg^E^TgH^E.

Таким образом, для любой собственной функции оператора Н мы имеем

HTg^fgH^E.

Очевидно, что это равенство справедливо также для любой функции, которая может быть разложена по собственным функциям оператора Н.

Условие (5.2) инвариантности гамильтониана можно также записать в матричной форме. Если использовать некоторую полную систему ортонормированных функций фг(х), то из (5.2а) получим

^Н^О^^О^Н,,.(5.26)

кs

где Hlfe= J ^H^dx, Dis= J ^t^dx.

Практически при решении квантовомеханической задачи часто приходится ограничиваться некоторой неполной и не- ортонормированной системой функций. Докажем, что в этом случае условие инвариантности (5.2) сохранит свой вид, если только на выбранной системе функций реализуется унитарное представление группы О. Предположим, что для любого элемента g имеет место равенство

fg^t (х) = ф, <g-4) = S DM (g) фА (х).(5.3)

8к

Покажем, что матрицы D(g) образуют представление группы. С этой целью рассмотрим два преобразования gx и g^, и

пусть gxg^ = g^. Мы имеем, с одной стороны,

Ф/ ((^Г’*) = Ф,(5"з”’х) = 2 Dk. (g^ф6 (х);(5.4)

с другой стороны, ф/ ((^Г1 х)=ф/ (^"^г1^=

= 2 Djt {g^^x} = 2 Dn ^ 2 D,, (g^ Ф6 (xy (5.5)

Сравнивая результаты (5.4) и (5.5), мы получаем

Dkt (£з) = 2 Dkj (gx) D}1 (g2), или

D(.gx) D(g2) —D(g3).

Составим теперь матрицу гамильтониана

^ = / Ф/ W Н (х) ф6 (х) dx

и аналогичную матрицу на штрихованных функциях ф'(х) = ^ФЛё^х):_

Н'и = / Ф/ W И ^ Фа <х) йх-

Покажем, что в силу инвариантности гамильтониана относительно преобразования g

H'ik = Hlk.(5.6)

Действительно,

Ни = / Ф/ (^“1х) Н (х) ф6 (g-’x) dx.

Сделаем замену переменной g~xx = х' (dx = dx'). Тогда в силу (5.2) получим

Н'1к = J ф, (х') Н (gx') фй (х') dx' =

= f фг (х) Н (х) ф6 (х) dx = Hlh.

С другой стороны, согласно (5.3)

H'ik = У / Du (g) ф; (х) Н (х) Djk (g) фу (х) dx =.

j

= ^DuH4Djk,

t, j t. e.'

H'^D+HD.(5.7)

Если матрицы D унитарные, т. e. D* = D~x, to

H' = D~xHD.(5.7a)

Но так как H' — H, то окончательно получаем

D^H = HD^,(5.8)

что и требовалось доказать.

Таким образом, условие симметрии квантовомеханической системы относительно группы преобразований может быть выражено как условие коммутации матрицы гамильтониана с матрицами унитарного представления этой группы.

Симметрия системы частиц, совершающихмалые колебания

Энергия системы N частиц, совершающих малые колебания, представляется в виде суммы квадратичных форм для кинетической и потенциальной энергий:

3^■ о,3^

Т =У== 2 2(5-9)

i=i1,6=1

где mt — массы частиц, а х, — декартовы составляющие смещений из положений равновесия. Величина т^ при классическом рассмотрении обозначает составляющую импульса, а при квантовом — составляющую оператора импульса, имеющую вид —^^~' ^ак известно, решение задачи на малые колебания значительно упрощается в результате одновременной диагонализации матриц этих двух квадратичных форм.

Матрица Цу^Ц является вещественной эрмитовой матрицей. Если ввести новые переменные yz = ]/mzxz, то кинетическая энергия выразится в виде суммы квадратов:

3N

T = ^^Y(5Л0)

г-1

и следовательно, задача сводится теперь к диагонализации матрицы квадратичной формы потенциальной энергии, которая в новых переменных примет вид

Матрица ||vZfc||, так же как и ||у/6||, эрмитова. Поэтому ее можно привести к диагональному виду с помощью унитарного преобразования и;

a-1va = [Xp Х2, .X37v],

где Хр Х2, .... X3N— собственные значения матрицы у. Если мы введем новые переменные

'9< = 2««Уб.(5.12)

то получим

^-42Мг(5.13)

При этом матрица кинетической энергии в силу унитарности преобразования (5.12) сохранит свой вид:

'Т = 1 ^.(5.14)

Если система устойчива, т. е. в положении равновесия потенциальная энергия имеет минимум, то собственные значения Xt должны быть неотрицательны и могут быть представлены в виде

'^г = ^-(5.15)

Функция Лагранжа, записанная в переменных <?z,

приводит к системе независимых уравнений движения:

^ + ^ = 0.(5.17)

Отсюда следует, что величины qt(t) описывают независимые осцилляторы с частотами <bz. Переменные qt называют нормальными координатами системы. При квантовомеханическом описании рассматриваемой системы ее оператор Гамильтона Н = Т -VV в нормальных координатах принимает вид

ЗА'

+(5.16а)

2 Zt1 \ dh )

и уравнение Шредингера приводится к системе 3/V независимых уравнений

1 д2а?:

” 7z' ф ^ + "7 ^ф ^ = £ф С*7')' (5‘17а)

Предположим теперь, что положения равновесия частиц, совершающих малые колебания, образуют некоторую симметричную конфигурацию, например являются вершинами правильного шестиугольника, куба и т. п. При использовании обозначения для смещений из положений равновесия мы должны помнить, что значок I нумерует не только различные частицы, но и декартовы составляющие смещения одной частицы. Рассмотрим теперь поворот (или поворот с инверсией), который совмещает положения равновесия эквивалентных частиц. При этом, очевидно, сохраняется' взаимное расположение частиц. Совокупность всех таких преобразований образует группу симметрии О нашей системы. Фиксируем теперь конфигурацию частиц, которая характеризуется смещениями xv х2, . . ., xSN. Для каждой частицы введем систему декартовых осей с началом координат в положении равновесия. Соответственные оси для всех частиц будем считать параллельными. Если мы теперь рассмотрим совокупность 3^ ортов et, то смещениям хР х2x3N можно сопоставить вектор в 3^-мepнoм пространстве

х = ххех-\- х2е2-\- ... -|-x3NCaN. (5-18)

Произведем теперь поворот g, который совмещает положения равновесия эквивалентных частиц. Этот поворот переводит

5 М. И. Петрашень, Е. Д. Трифонов

каждый" орт et в некоторый другой орт или в линейную комбинацию ортов. Таким образом, каждому повороту g мы можем сопоставить определенный оператор Т^ действующий в ЗЛ/-мерном пространстве:

Tget = 2 Dki (g) ек.(5.19)

к

При действии оператором Т g на вектор X мы получим Tgx = х' = 2 XifgBi = 2 XiDH (£) ек,

ИЛИ

*'к = 2 DM (g) xt.(5.20)

Ясно, что операторы Т , так же как и матрицы D(g), образуют представление нашей группы. Конфигурация [х', .... x^j получается из конфигурации {Хр . .., x3yv) в результате поворота g всей системы частиц и последующей перенумерации частиц, соответствующей обратному повороту g~x (рис. 1).

Для того чтобы написать явный вид матрицы D^g^, удобно

ввести нумерацию смещений с помощью двух индексов: х1а. Первый индекс будет обозначать номер частицы, второй — номер декартовой составляющей смещения. Соответственно

элементы матрицы D теперь будут иметь вид Dto Ap (g). Определим положение равновесия Z-й частицы вектором /?;0),

а произвольное положение этой же частицы — вектором Rt, проведенными из центра инерции системы. Тогда вектор смещения z-й частицы можно представить в виде

ft = Rt - R^\

Обозначим через A (g) матрицу преобразования g в трехмерном пространстве. Если при преобразовании g вектор R^ переходит в R^, то мы можем написать

г; = Т gr, = A {g)Rk — A (g) ^ = A (g) Гк. (5.21)

Следовательно, илиСледовательно, или^Ла, ftp (^) ^eft^ (^)ар’D=R(g)XA(g\^Ла, ftp (^) ^eft^ (^)ар’D=R(g)XA(g\(5.22)(5.22a)(5.22)(5.22a)

Следовательно, или

Следовательно, или

^Ла, ftp (^) ^eft^ (^)ар’D=R(g)XA(g\

^Ла, ftp (^) ^eft^ (^)ар’D=R(g)XA(g\

(5.22)

(5.22a)

(5.22)

(5.22a)

где матрица R(g) состоит из нулей и единиц, причем если положение равновесия к-й частицы при операции g переходит в положение равновесия l-й частицы, то

RuAg)=^ Rij(.g) = 0, если j+k.

Напишем теперь выражение энергии системы для конфигурации смещений (5.20). Для упрощения записи мы возвратимся к прежней нумерации смещений с помощью одного индекса. Будем предполагать, что кинетическая энергия уже приведена к сумме квадратов. Тогда подстановка (5.20), соответствующая ортогональному преобразованию, сохранит ее вид. Для потенциальной энергии мы получим

= у SS ^иА^ь 5 DAxi =

j кI

= у tD 1M vij^jlXkxl = 2" vMxkxv i, у, k, lк, I

где

i. j

Матрицу V'~||v^|| можно, следовательно, представить в виде

V = DWD

или, в силу ортогональности матрицы D,

V' = D-XVD.(5.23)

Но, с другой стороны, ясно, что энергия для конфигурации {х7} должна совпадать с энергией для конфигурации (х|,

так как энергия рассматриваемой системы зависит только от взаимного расположения частиц, которое одинаково для обеих конфигураций. Следовательно, мы имеем

"2* ^ "°kixkxi ~ 2" 2 texi*к, t. к, i

откуда получаем

Поэтому условие инвариантности системы относительно преобразования g может быть записано согласно (5.23) в виде

VD^ — D(g) V,(5.24)

т. е. в виде условия коммутативности матрицы потенциальной энергии с матрицами . представлений группы симметрии.

3. Теорема Вигнера

Теперь мы докажем теорему Вигнера и получим следствия этой теоремы для задач, рассмотренных в пунктах 1 и 2.

Пусть /)(§■) — некоторое, вообще говоря, приводимое представление группы О. Выберем базисные элементы этого представления так, чтобы оно распалось на неприводимые части. Тогда матрица D(g) будет иметь квазидиагональный вид

DW(g)

D№(g)

Dp4g)

D(g) =

где ^^(g') — матрица z-го неприводимого представления группы О. Если представление D^ входит в представление D rt раз, то мы можем написать

D^-^E.VD1^).(5.25)

где Ег. — единичная матрица порядка г^ Пусть, далее, некоторая матрица Н коммутирует со всеми матрицами D^gy.

HD(g)—D(g)H.(5.26)

Докажем, что матрица Н должна иметь вид

H='21®H(i)XEi.,(5.27)

где Н111— некоторая матрица порядка г^ Ец—единичная матрица порядка Ц, а /;— порядок неприводимого представления D^'. Это утверждение и составляет содержание теоремы Вигнера.

Будем рассматривать квазидиагональную матрицу D как диагональную суперматрицу с элементами

Dtfc = D№bifc.(5.28)

Матрицу Н также представим в виде суперматрицы с аналогичной структурой:

Ни

#12

#13

н^

Нм

#23

#31

Н^

#33

Н =

Так как суперматрицы соответствующей структуры можно перемножать, как обычные матрицы (см. упр. 4.2), то условие коммутативности (5.26) можно представить в виде

5 DlAg)Hsit = '21HisDsb(g)

S$

или, учитывая (5.28),

D^H^H^Hgy(5.29)

Матрицы Dw (g) и D^ (g) — матрицы неприводимых представлений группы Q. Поэтому на основании первой и второй лемм Шура мы можем утверждать, что Н1к — нулевая матрица, если Z)(Z) и Dw — неэквивалентные представления, и Hik кратна единичной, если представления Dw и D^ совпадают. (Подчеркнем, что в последнем случае недостаточно.

чтобы представления D^' и О(6) были эквивалентными; матрицы этих представлений должны тождественно совпадать.) Для того чтобы представить себе явный вид матрицы Н, удобно ввести нумерацию элементов базиса представления D с помощью трех значков: I, v, а. Первый значок I нумерует неприводимые представления; индекс v нумерует базисы эквивалентных неприводимых представлений; значок а нумерует элементы базиса неприводимого представления. Соответственно матричные элементы матриц D и Н мы будем нумеровать с помощью шести индексов: i, v, a; i', v', а'. Тогда элементы матрицы Н могут быть представлены в виде

Иiw, Wa' — HvV^U'^aa'•(5.30)

Отсюда непосредственно следует, что матрица Н действительно может быть представлена в виде (5.28). Например, если матрица D имеет вид

то матрица Н будетто матрица Н будет000dw000D®000dw000D®иметь вид\Н^иметь вид\Н^оо

то матрица Н будет

то матрица Н будет

0

0

0

dw

0

0

0

D®

0

0

0

dw

0

0

0

D®

иметь вид

\Н^

иметь вид

\Н^

о

о

н^н^Л 12Л 12

н^

н^

Л 12

Л 12

uWЛ 21uWЛ 21zyt1)Л 22zyt1)Л 22Л 22Л 22оо

uW

Л 21

uW

Л 21

zyt1)

Л 22

zyt1)

Л 22

Л 22

Л 22

о

о

Л 21Л 21н^н^

Л 21

Л 21

н^

н^

ооН^Н^(2)11(2)11

о

о

Н^

Н^

(2)

11

(2)

11

Mi’

Если каждое неприводимое представление группы G входит в представление D не более одного раза, то матрица Н согласно (5.30) будет диагональной. Если же какое-либо неприводимое представление встречается в разложении представления D несколько раз, то, как мы видим, для полной диагонализации матрицы Н недостаточно соображений симметрии. Необходимо еще дополнительное преобразование в подпространстве всех базисных векторов, соответствующих одинаковым неприводимым представлениям. Следует, однако, заметить, что это дополнительное преобразование не изменяет квазидиагонального вида матрицы D и осуществляется с помощью диагонализации матриц Н^м. В самом деле, легко проверить, что матрица вида ^U^XE]., где t/(z) — матрица

I1

порядка rz, диагонализующая матрицу Н^, коммутирует с матрицей представления

D^^E^XDW.

Если матрица Н будет полностью диагонализована, то она может быть записана в виде

Н = 2 Н^ ХЕЬ,(5.31)

где № — диагональные матрицы. Если все собственные значения всех матриц Н^1 различны, т. е. нет случайного вырождения, то мы можем утверждать, что собственные векторы матрицы Н, принадлежащие одному собственному значению, преобразуются по одному из неприводимых представлений группы G. Следовательно, кратности вырождения собственных значений матрицы Н в этом случае должны совпадать с порядками неприводимых представлений группы G.

Рассмотрим теперь некоторые следствия, вытекающие из доказанной теоремы.

Полученные результаты могут быть непосредственно применены к задаче о малых колебаниях. Действительно, условие симметрии системы, совершающей малые колебания, может быть выражено как условие коммутативности матрицы V потенциальной энергии с матрицами представления D(g), которое реализуется на смещениях. Напомним, что такая форма условия инвариантности потенциальной энергии имеет

место только в силу ортогональности матриц упомянутого представления. Если мы построим симметризованные смещения, т. е. линейные комбинации смещений, преобразующиеся по неприводимым представлениям рассматриваемой группы, то соответствующая им матрица потенциальной энергии примет вид, определяемый формулой (5.27):

V = 2®V<Z' ХЕЧ. (5.32)

Мы видим, что построение симметризованных смещений значительно упрощает диагонализацию матрицы потенциальной энергии, а в тех случаях, когда в разложении представления D каждое неприводимое представление встречается не более одного раза, решает эту задачу полностью. Если нет дополнительного вырождения, то каждой собственной частоте соответствуют нормальные координаты, которые преобразуются по одному из неприводимых представлений группы О. Возможность дополнительного вырождения связана со случайным совпадением собственных значений матриц V<z). Изменением параметров задачи, не приводящим к изменению ее симметрии, можно всегда добиться того, чтобы случайное вырождение было снято. Поэтому утверждение о соответствии собственных частот системы неприводимым представлениям ее группы симметрии иногда делают без оговорки о возможности случайного вырождения, которое в большинстве случаев действительно отсутствует.

К аналогичным заключениям можно прийти и для квантовомеханической задачи, которая была рассмотрена в п. 1. Здесь, однако, следует еще раз подчеркнуть, что условие коммутативности (5.8) выполняется только в том случае, если на выбранной системе функций реализуется унитарное представление рассматриваемой группы симметрии. Выбирая в качестве системы функций некоторую полную ортонорми- рованную систему, мы придем к заключению, что при отсутствии случайного вырождения каждому собственному значению оператора энергии соответствует неприводимое представление, по которому преобразуются его собственные функции.

Если базис представления ортонормирован и скалярное произведение инвариантно относительно групповых операций.

то представление унитарно. Однако если известно, что представление унитарно, то нельзя еще утверждгть, что его базис ортонормирован. Теорема Вигнера позволяет получить некоторые сведения об ортогональности и нормировке элементов базиса унитарного представления D, если оно разложено на неприводимые части. Обозначим элементы базиса приведенного представления через cpZva. Значки i, v, а имеют прежний смысл. Введем матрицу ||Szva, rva'||> определив ее элементы равенством

"Siva, i’Va’ (Viva, Ti'v'a')* (5.33) где скобками обозначено инвариантное скалярное произведение. Если представление, реализующееся на элементах фгта, унитарно, то так же, как и для матрицы гамильтониана, условие инвариантности может быть записано в виде

SD(g) = D(g)S, (5.34) откуда согласно (5.30) мы получим

Siva, i'v'a' “ (<PZva> ViVaO — SvV^ii'^aa'’ (5.35) где || S™- II — некоторая матрица, порядок которой равен кратности Z-ro неприводимого представления в представлении D. Соотношение (5.35) выражает свойство ортогональности элементов базисов, соответствующих неэквивалентным представлениям, и различных элементов базиса каждого неприводимого представления. Неортогональными могут остаться лишь соответственные элементы базисов эквивалентных неприводимых представлений, причем скалярные произведения всех соответственных элементов двух эквивалентных неприводимых представлений должны совпадать. Заметим, что ортогональность элементов базисов неэквивалентных неприводимых представлений сохранится также и для неунитарного представления.

Г л а в a VI

Точечные группы

Точечными группами называют конечные подгруппы группы О (3), группы ортогональных преобразований в трехмерном пространстве. В физических приложениях точечные группы используются для описания симметрии молекул. Кроме того, знание точечных групп необходимо для исследования свойств симметрии кристаллов. Наши наглядные представления о симметрии геометрических фигур (призмы, куба, тетраэдра и т. д.) связаны со свойством совместимости этих фигур при преобразованиях, принадлежащих точечным группам. В этой главе мы рассмотрим точечные группы и их неприводимые представления. Полученные результаты будут применены для классификации электронных и колебательных состояний молекул.

Элементы точечных групп

Элементами точечных групп являются некоторые вращения трехмерного пространства, а также вращения, сопровождаемые инверсией. Мы знаем (см. упр. 1.1), что любой элемент группы вращений можно представить как поворот на некоторый угол ср вокруг определенной осн. Если группе принадлежит поворот на угол ф, то ей принадлежит и поворот на угол Аф, где k — произвольное целое положительное или отрицательное число. Поэтому в конечной группе угол ф должен быть рациональной частью 2л. Если наименьший „' 2л

угол поворота вокруг некоторой оси равен -^-, то такую ось называют осью n-го порядка. Преобразование поворота на угол-^- обозначают через Сп или ^-*(^~), гДе А—единичный вектор, направленный вдоль оси. Ясно, что если группа содержит поворот Сп, то она содержит также повороты С2п, С^, . . ., С„-1 на углы

(6.1)(6.1)2л „ 2л „ 2л .

(6.1)

(6.1)

— ■ 2,3—(п — 1).

« пп х 7

Эти преобразования вместе с единичным элементом группы образуют абелеву подгруппу точечной группы.

Рассмотрим теперь элементы точечных групп, содержащие инверсию L Преобразование инверсии переводит каждый вектор г в вектор —г. Так как матрица этого преобразования кратна единичной, то оно коммутирует с любым другим ортогональным преобразованием. Составим преобразование (Сь (л). Очевидно, что последовательное применение инверсии и поворота на угол л вокруг некоторой оси эквивалентно зеркальному отражению в плоскости, перпендикулярной к оси вращения. Преобразование отражения в плоскости, перпендикулярной к вектору ft, обозначают обычно через Он- Для произвольного поворота на угол ф, сопровождаемого инверсией, мы имеем

1С»(ф) = /Сб(л + (ф- л)) = o*Cft (ф — л). (6.2)

Преобразование о»Сй (ср) называют зеркальным поворотом и обозначают через 5*(ф). Таким образом, элементами точечных групп являются повороты и зеркальные повороты.

Рассмотрим теперь, какие элементы точечной группы могут входить в один класс. С этой целью составим элемент, сопряженный с элементом С*(ф):

^(ф)^-’, (6.3)

где g— произвольный элемент точечной группы (т. е. поворот или зеркальный поворот). Рассмотрим сначала случай, когда g — поворот. Пусть

gk=f(6.4)

и, следовательно,

g-V=fe.(6.5)

Поворот g-1 всегда можно представить себе как поворот R (ft, f), совмещающий вектор / с вектором к, вокруг оси, - перпендикулярной к плоскости этих векторов, и последующий поворот на некоторый угол а вокруг вектора к;

g'1 = Ch (a) R (к, f\g'1 = Ch (a) R (к, f\(6-6)(6-6)

g'1 = Ch (a) R (к, f\

g'1 = Ch (a) R (к, f\

(6-6)

(6-6)

Поэтому элемент, сопряженный с элементом Ск (ф), может

быть записан в виде

gCk (Ф) g-x = /Г1 (*, /) С» 1 (а) Ск (ф) Ск (а) R (к, f) =

=/)СЙ(Ф)/?(*,/)•(6.7)

Это преобразование можно интерпретировать как первоначальное совмещение оси / с осью к, затем поворот вокруг оси к на угол ф и затем обратный переход от оси к к оси /. В результате мы, таким образом, получаем преобразование поворота на угол ф вокруг оси /:

№(ф)^-’ = С/(ф) = С^(ф).(6.8)

Аналогично можно показать, что

gSfe(.4>)g-1 = Sgk^).(6.9)

Если же g— зеркальный поворот, то мы имеем следующие равенства:

gCk^g-x = c_gfe^, |

Из рассмотрения этих соотношений можно сделать следующие выводы:

Каждый класс точечной группы состоит из поворотов или зеркальных поворотов на один и тот же угол.

В каждый класс входят лишь те повороты или зеркальные повороты на один и тот же угол, оси которых могут быть совмещены с помощью преобразований, принадлежащих группе. При этом следует иметь в виду, что если g — зеркальный поворот, то ось к переходит в ось — gk. В частности, отсюда следует, что повороты на углы ф и — ф вокруг некоторой оси принадлежат одному и тому же классу, если группа содержит какой-нибудь зеркальный поворот вокруг этой оси или плоскость отражения, прэходящую через ось.

Точечные группы и их неприводимые представления

Установив число классов группы, мы одновременно определяем число ее неприводимых представлений. Порядки их можно найти из соотношения (3.81). Для определения характеров неприводимых представлений могут быть использованы

соотношения ортогональности (3.86) и уравнения (3.107). Ниже мы приведем таблицы характеров неприводимых представлений точечных групп, встречающихся в приложениях. Мы будем обозначать неприводимые представления первого порядка буквами А и В, представление второго порядка — буквой Е, представление третьего порядка — буквой F. Комплексно сопряженные представления первого порядка мы будем объединять в пары и каждую пару также обозначать буквой Е.

I. Группа Сп. В эту группу входят повороты С* на 2л ,„

углы — к относительно некоторой оси n-го порядка.

Группа Сп является одной из реализаций абстрактной циклической группы я-го порядка. Так как Сп— абелева группа, то все ее неприводимые представления первого порядка. Они определяются числами

V 6i. ^е”-1-

где et — exp—— I есть /-й корень уравнения е”=1. Приведем таблицы характеров неприводимых представлений для

групп

с2

С^, С3 и C^i

С.

Е С.

ci ci

£ С2

С3

Е С3 Сз

А

1 1

А

1

1

1

А

1 1

1 1

А

1 —1

1

Е1

Е1

В

1 -1

1 — 1

Е ■

1

Е1

Е1

Е |

11

1 — 1

—1 —t

1 Z

Группа С2 изоморфна группе инверсии I. Четное (Л^ и нечетное (Л2) неприводимые представления последней обозначают через Ag и Аа (значки g и и происходят от немецких слов «gerade», «ungerade» — четный, нечетный).

И. Группа Спк. Кроме элементов группы С„ в нее входит отражение оА в плоскости, перпендикулярной к оси вращения. Элементы Е и ок образуют подгруппу ок группы Спк, изоморфную группе i. Абелева группа Спк может рассматриваться как прямое произведение группы Сп и группы ок. Спк = С„Х°п- Группа Спк имеет 2я неприводимых представлений первого порядка. Смотря по тому, с каким из двух

неприводимых представлений группы ch (четным или нечетным) перемножаются представления группы С„, обозначениям неприводимых представлений группы Cnh приписываются индексы g или и. Например, для группы С2Л мы имеем следующие неприводимые представления:

C^hC^hЕ С2 oft oh • С2Е С2 oft oh • С2

C^h

C^h

Е С2 oft oh • С2

Е С2 oft oh • С2

^gBgАиВи^gBgАиВи1111

^g

Bg

Аи

Ви

^g

Bg

Аи

Ви

1-1-1 1

1 1—1—1

1-1 1-1

Если п—четное число, то инверсия г —С(л)ол является элементом группы Cnh, и в этом случае Cnil — СпХ i-

Группа Сп». Кроме элементов, входящих в Сп, она содержит еще отображения (операция о^ в п плоскостях, ,л

проходящих через ось л-го порядка и образующих угол — друг с другом. Это группа симметрии правильной л-угольной пирамиды, высота которой служит осью симметрии л-го порядка. Группа Спщ неабелева. Действительно, легко показать, что

Ско„ = о„Спк.(6.11)

Подсчитаем число классов группы Сю. Элементы С„ и Сп входят в один класс, и поэтому, если л четное, то элементы подгруппы С„ распадаются на -н-+1 классов, а если л нечетное, то на —g— классов. Все отражения входят в один класс, если л нечетное. В этом случае все плоскости отражения могут быть получены из одной поворо- 2л „2л

тами на —. Если л четное, то поворотами на — мы получим только половину всех плоскостей отражения, и следовательно, отражения распадаются на два класса. Таким образом, в случае четного л элементы группы распадаются на 2" + ^ классов, а в случае нечетного л на —g— классов.

Неприводимые представления группы можно построить следующим образом. Рассмотрим базисные элементы ifz (/ = 0, 1, 2п— 1) неприводимых представлений первого порядка группы Сп. Обозначая оператор представления, соответствующий элементу Скп, через С„, мы можем написать

2л& i

^z = <" т^.(6.12)

Наряду с элементами ifz рассмотрим элементы if_z, определив их соотношением

С^_, = е'” 1|>_г(6.13)

Элементы ipz и i|) ; образуют двумерное инвариантное подпространство для группы С„т. Действительно, используя (6.11), легко показать, что о^ Я^ —^„г ® СИЛУ (6.13) элемент ip_z линейно независим с if(, если I + 0 и I + ^ при п четном и если /^0 при п нечетном. Таким образом, в случае четного п можно рассмотреть п — 2 двумерных представлений группы Спт, даваемых матрицами

i к\

е "0\

0 е" /■

/0 1\л п

0]. /-1- 2, .... у-1, у+1л-1.

(6.14)

Очевидно, совокупности матриц, соответствующих элементам С„ и Сй\ входящим в один класс, совпадают в лг-м и в (л— т)-м представлениях, и, следовательно, мы таким путей Облучаем у — 1 неэквивалентных представлений второго порядка. Оставшиеся четыре неприводимых представления — первого порядка.

Если п нечетное, то из (16.14) мы получаем п— 1 двумер- „п — 1

ных неприводимых представлений, среди которых —— неэквивалентных.

Кроме того, в этом случае будем иметь два неприводимых представления первого порядка. Для иллюстрации приведем таблицы характеров неприводимых представлений групп Сз^ и Cte;

^Sv

Е ^Сг

3oD

Е

С2 2С4 2^ 2о»

1 1

1

А

1

1111

■^2

1 1

— 1

^2

1

1 1—1—1

Е

2 — 1

0

1

1 — 1 1 — 1

в2

1

1—1—1 1

Е

2

—2000

IV. Группа Sin» Элементами этой группы являются зеркальные повороты = о„С^-^-^:

Е, S2n, Sl„SlTX.(6.15)

Таким образом, S2n — циклическая группа порядка 2«. Четные степени S^ образуют подгруппу, совпадающую с группой С„.

Группа Dn. Кроме элементов группы Сп в нее входят

повороты на угол л относительно п осей, перпендикулярных к оси «-го порядка. Это группа поворотов, совмещающих правильную «-угольную призму саму с собой. Легко убедиться в том, что группа Dn изоморфна группе Спт, и,

следовательно, их неприводимые представления совпадают.

Группа Dnh — группа симметрии правильной «-угольной призмы. Кроме поворотов, входящих в группу Dn, она

содержит еще отражение оА ходящих через ось «-го и написать таблицу характеров ние, чтоDnh = D„X Он*иDnh^DnXL .содержит еще отражение оА ходящих через ось «-го и написать таблицу характеров ние, чтоDnh = D„X Он*иDnh^DnXL .и отражения в плоскостях, прооси второго порядка. Легко этой группы, приняв во внима-если « = 2«z-|- 1,если « = 2«г.и отражения в плоскостях, прооси второго порядка. Легко этой группы, приняв во внима-если « = 2«z-|- 1,если « = 2«г.

содержит еще отражение оА ходящих через ось «-го и написать таблицу характеров ние, что

Dnh = D„X Он*

и

Dnh^DnXL .

содержит еще отражение оА ходящих через ось «-го и написать таблицу характеров ние, что

Dnh = D„X Он*

и

Dnh^DnXL .

и отражения в плоскостях, прооси второго порядка. Легко этой группы, приняв во внима-

если « = 2«z-|- 1,

если « = 2«г.

и отражения в плоскостях, прооси второго порядка. Легко этой группы, приняв во внима-

если « = 2«z-|- 1,

если « = 2«г.

Группа Dn(t — группа симметрии тела, состоящего из двух правильных «-угольных призм, поставленных друг л на друга и повернутых одна относительно другой на угол—:

^2« + 1 d ~ ^2я + 1 X Е

Группа Т (тетраэдра) содержит все повороты, совмещающие правильный тетраэдр сам с собой. Через вершины тетраэдра (и центр противоположной грани) проходят оси третьего порядка, а через середины каждой пары не- пересекающихся ребер — оси второго порядка. Двенадцать элементов группы — единичный элемент, четыре поворота 2л4л

на -у, четыре поворота на -у и три поворота на л — распадаются на четыре класса. Поэтому группа Т имеет четыре неприводимых представления, порядки которых удовлетворяют соотношению (3.81):

12_|_12_|_12_|_32= 12.

Т Е ЗС2 4С3 4Сз

ЛЕFЛЕF1 11 11 13 —11 11 11 13 —11 1е е2е2 еО О1 1е е2е2 еО О

Л

Е

F

Л

Е

F

1 1

1 1

1 1

3 —1

1 1

1 1

1 1

3 —1

1 1

е е2

е2 е

О О

1 1

е е2

е2 е

О О

2л£

Здесь е = е 3 .

Группа Тк— T\i.

Группа Тй — группа симметрии тетраэдра. Она состоит из 24 элементов, распадающихся на пять классов. Кроме поворотов, входящих в группу Т, группа Тй содержит шесть отражений в плоскостях, проходящих через две вершины и середину третьей стороны, и два зеркальных поворота относительно трёх осей второго порядка. Таблица характеров неприводимых представлений имеет вид

<6<6Т«Е 8С3зс26"д6S4А,11111^2111— 1—1Е2— 1200Ъ30— 11—1Го30— 1— 11Т«Е 8С3зс26"д6S4А,11111^2111— 1—1Е2— 1200Ъ30— 11—1Го30— 1— 11

<6

<6

Т«

Е 8С3

зс2

6"д

6S4

А,

1

1

1

1

1

^2

1

1

1

— 1

—1

Е

2

— 1

2

0

0

Ъ

3

0

— 1

1

—1

Го

3

0

— 1

— 1

1

Т«

Е 8С3

зс2

6"д

6S4

А,

1

1

1

1

1

^2

1

1

1

— 1

—1

Е

2

— 1

2

0

0

Ъ

3

0

— 1

1

—1

Го

3

0

— 1

— 1

1

б м. И. Петрашень, Е. Д. Трифонов

Группа О (октаэдра) содержит все повороты, совмещающие куб сам с собой. 24 элемента этой группы распадаются на пять классов: элемент Е; три поворота на угол л вокруг осей, проходящих через середины противоположных граней; шесть поворотов на углы ± -^- относительно тех же осей; шесть поворотов на угол л вокруг осей, проходящих через середины противолежащих ребер; восемь поворотов на 2л„

угол -д- вокруг осей, проходящих через противолежащие вершины куба. Таким образом, группа О имеет пять неприводимых представлений, порядки которых удовлетворяют соотношению

12+ 12+ 22 + 32 + 32= 24.

Таблица характеров этих представлений имеет вид

0

Е

ЗС2

6С4

6С2

8С3

Ах

1

1

1

1

1

А2

1

1

— 1

— 1

1

Е

2

2

0

0

— 1

Fx

3

— 1

1

—1

0

F.

3

— 1

— 1

1

0

XII. Группа Oh

—

группа

симметрии

куба — представляет

собой прямое произведение группы О на группу инверсии:

Oh = OXi-

(6.16)

Поэтому группа Ок имеет 48 элементов и 10 неприводимых представлений. Пять из них являются прямым произведением матриц неприводимых представлений группы О на матрицы тождественного представления группы t. Эти представления, симметричные по отношению к инверсии, обозначают через A\g\ А#\ Е^, F]g\ Р^ или Г,, 1 = 1, 2, . . ., 5. Остальные пять представлений получаем, умножая представления группы О на знакопеременное представление группы I. Эти антисимметричные по отношению к инверсии представления обозначают через А^, А^, Е^, Fi“\ Р^ или через Г^, Z = 1, 25.

3. Классификация нормальных колебанийи электронных состояний молекулы

В предыдущей главе мы показали, что электронные состояния квантовомеханической системы, а также нормальные координаты системы, совершающей малые колебания, можно классифицировать по неприводимым представлениям групп симметрии этих систем.

Рассмотрим задачу о классификации нормальных колебаний молекулы. Мы будем рассматривать молекулу как систему материальных частиц (ядер), совершающих малые колебания относительно положений равновесия, образующих некоторую симметричную конфигурацию. Мы знаем, что нормальные координаты такой системы, соответствующие одной собственной частоте, преобразуются по неприводимым представлениям группы симметрии, в нашем случае точечной группы молекулы. Порядок вырождения частот равен порядку соответствующего неприводимого представления. Для определения свойств симметрии нормальных координат и кратности вырождения собственных частот надо представление D, по которому преобразуются составляющие смещений частиц х? разложить на неприводимые части. Мы знаем, что число, показывающее, сколько раз неприводимое представление матрицами Dw содержится в данном приводимом представлении, определяется по формуле

ri="'^'Sx(.g')7y4g\(6-17)

g

где y(Z> (g) — характер неприводимого представления Dw точечной группы, который можно считать известным, x^g)— характер приводимого представления, а т — порядок группы.

Как найти характеры приводимого представления D, которое реализуется на смещениях х;?

Очевидно, для этого нам надо подсчитать следы матриц преобразования смещений хх, х2x3N (N— число ядер молекулы) в смещения x'v х'2x'3N при применении к ним операций g из группы симметрии молекулы. Вид матриц D был определен нами в главе V (см. формулу (5.22)). Если положение равновесия ядра «а» переходит при некотором преобразовании симметрии в положение равновесия другого,

эквивалентного ему ядра «б», то ясно, что на диагонали в строках матрицы представления, соответствующих смещениям ядра «а», мы получим нули. Отличный от нуля вклад дадут лишь те ядра, которые при этом преобразовании переходят сами в себя. При этом, если преобразование g представляет собой поворот на угол ф, то декартовы составляющие смещения каждого из таких ядер будут преобразовываться (с точностью до подобного преобразования) с помощью матрицы

COS ф

sin ф

О'

5№ф

СОЗф

0 ,(6.18)

0

0

1 /

след которой равен 1 + 2 cos ф.

Для зеркального поворота на угол ф матрица преобразования имеет вид

СОЗф

51пф

0\

— $1пф

COS Ф

0 ’

(6.19)

0

0

— 1 /

след ее равен — 1+2 cos ф.

Суммируя эти результаты, можно сделать заключение, что характер представления, соответствующий элементу g точечной группы, равен

X(S") = tigO^ + 2cosф), если g— поворот, 1

X (£) = «£(—1 —^—2 cos ф), если g — зеркальный ((6.20)

поворот, J

где ng—число ядер, остающихся на месте при рассматриваемом преобразовании g. Подставляя эти выражения для характеров в формулу (6.17), мы выясним, по каким приводимым представлениям точечной группы преобразуются нормальные координаты рассматриваемой молекулы. Зная порядок каждого неприводимого представления, определим порядки вырождения собственных частот.

Среди рассмотренных 3N степеней свободы три степени свободы описывают поступательное движение молекулы и три степени свободы — вращение молекулы как целого. Так как

мы рассматриваем малые смещения ядер, то соответственно мы имеем малое поступательное движение и малый поворот молекулы. Эти степени свободы и соответствующие им представления должны быть исключены из нашего рассмотрения. Смещения ядер молекулы, соответствующие этим степеням свободы, могут быть представлены в виде

rt = а (поступательное движение),

rt = [фЯ^0)] (малый поворот).

где а — вектор поступательного смещения; ф—аксиальный вектор малого поворота относительно оси, проходящей через начало координат; вектор R^ определяет положение равновесия /-го ядра. Составляющие векторов а и ф можно рассматривать как нормальные координаты, соответствующие поступательному движению и повороту молекулы как целого. При преобразованиях вращения вектор а и вектор ф преобразуются, как обычные векторы трехмерного пространства. Характеры соответствующих матриц преобразования равны

-(- 2 cosq).

При зеркальном повороте характеры преобразований векторов а и ф. соответственно равны

— 1Ц-2со5ф (для вектора а),

— 2 cos ф (для аксиального вектора ф).

Если учесть эти замечания, то для характера представления, которое соответствует только колебательным степеням свободы, мы получаем

Х(5") = (га^ — 2) (1 + 2 cos ф)X^ = ng<— 1 + 2созф)Х(5") = (га^ — 2) (1 + 2 cos ф)X^ = ng<— 1 + 2созф)(6-21)(6-21)(если g — поворот),

Х(5") = (га^ — 2) (1 + 2 cos ф)

X^ = ng<— 1 + 2созф)

Х(5") = (га^ — 2) (1 + 2 cos ф)

X^ = ng<— 1 + 2созф)

(6-21)

(6-21)

(если g — зеркальный поворот).

Теперь вкратце остановимся на вопросе о классификации электронных состояний молекулы.

Если написать уравнение Шредингера для молекулы, считая ядра фиксированными в положениях равновесия, то можно утверждать, что собственные функции этого уравнения, т. е.

многоэлектронные волновые функции,, принадлежащие одному собственному значению, преобразуются по неприводимому представлению точечной группы молекулы. Кратность вырождения электронных уровней должна быть равна порядку неприводимого представления. Так, например, молекула NH3 с симметрией С3о имеет только или простые, или двукратно вырожденные электронные уровни.

Здесь мы ограничимся этим общим замечанием; конкретное применение теории представлений точечных групп к задаче рассмотрения электронных состояний молекулы связано с введением, некоторых приближений. Мы вернемся к этому вопросу в следующей главе.

Упражнения

Определить типы симметрии нормальных координат и вырождение собственных частот для молекулы NH3, имеющей симметрию С3г, (рис. 2).

Написать таблицу характеров неприводимых представлений группы Од.

Глава VII

Разложение приводимого представленияна неприводимые

В предыдущей главе мы научились определять неприводимые представления, по которым должны преобразовываться нормальные координаты симметричной молекулы. Однако во многих задачах необходимо также знать явные выражения этих нормальных координат через смещения ядер. Задача определения нормальных координат значительно упрощается, если мы предварительно из смещений xL ядер построим сим- метризованные смещения, т. е. найдем линейные комбинации смещений, преобразующиеся по неприводимым представлениям. Очевидно, набор таких линейных комбинаций, соответствующих одному неприводимому представлению, определяет некоторое инвариантное подпространство в пространстве переменных xt. Таким образом, мы должны разложить базисное пространство некоторого приводимого представления на подпространства, неприводимые относительно преобразований группы симметрии системы. Аналогичная задача возникает в квантовой механике при построении приближенных волновых функций молекул. Покажем, как решается эта задача. Наше рассмотрение имеет общий характер, т. е. относится не только к точечным, но и к любым конечным группам.

Построение базисов неприводимых представлений

Пусть совокупность элементов (фД (волновых функций или смещений) образует базис некоторого приводимого представления D группы О. Выберем из этого базиса один элемент, например фр и применим к нему все операции Т , соответствующие преобразованиям g из группы О. Тогда мы получим цепочку элементов, преобразующихся друг через друга. Затем из совокупности {ф,} элементов выберем элемент, который не содержится в этой цепочке (или, точнее, выберем элемент базиса, который был бы линейно независимым от элементов построенной цепочки). По этому новому элементу аналогично построим вторую цепочку и т. д.

Таким образом, мы получим некоторое предварительное разложение представления D. Это не будет полным разложением, так как представление, реализующееся в цепочке, вообще говоря, является приводимым. Поэтому теперь задача сводится к разложению представлений, реализующихся в цепочках. Из построения цепочек следует, что такие представления не могут быть шире регулярного (см. главу III). Рассмотрим сначала случай, когда представление, реализующееся на цепочке, является регулярным. Действуя на базисный элемент ф[ всеми операциями симметрии, мы получим цепочку, состоящую из пг линейно независимых элементов, где т — порядок группы Q;

^1^^ (Ф^Фе)-(7Д)

Мы знаем, что в регулярное представление входят все неприводимые представления группы О, причем неприводимое представление D^ порядка lj входит lj раз. Найдем ортонорми- рованные базисы, преобразующиеся по представлению D^V Для этого построим оператор:

Р$ =2 ^(^ f8-<7-2)

g

где DV^g-) — элемент матрицы этого представления, соответствующей операции g.

Покажем, что элементы

^ = P^ = V^^t№^g(7-3)

при фиксированном значке & образуют базис неприводимого представления ^\ Действительно, мы имеем

f = t V 11- V (g') Г ,= g'

gr

g"

- /4 2 S в/^ =№ fA= g" п

Л-1g"

= 5 ^ ^ ^ 2 ^ (^ ^(7-4)

Л-1Л=1

Мы видим, что под действием операторов Т элементы ф(^, Ф(2{>ф^^ преобразуются друг через друга с матрицами EP\g\ Так как в силу свойств ортогональности матричных элементов неприводимых представлений матрица перехода от элементов ф к элементам ф в формуле (7.3) является унитарной и, следовательно, неособой, то из независимости всех элементов цепочки следует независимость элементов ф^*. Более того, если элементы ф^ ортонормированы, то этим же свойством в силу унитарности преобразования будут обладать элементы ф(^. Придавая значку к значения 1, 2 /у,

мы получим /у независимых базисов, преобразующихся по представлению Z)u>.

Если число независимых элементов ф^ в цепочке меньше /п, т. е. если представление, реализующееся на цепочке, уже, чем регулярное, то не все полученные базисы неприводимых представлений будут независимыми. Выделение независимых базисов представляет некоторую дополнительную задачу. Однако в случае точечных групп эта задача оказывается тривиальной. Упрощение задачи в этом случае связано с тем, что порядки неприводимых представлений точечных групп, встречающихся в приложениях, не превышают 3. Если неприводимое представление одномерно, то оно может встретиться в представлении не более одного раза и соответствующий ему базисный элемент находится с помощью единственного возможного оператора Рп*. Двумерное неприводимое представление может встретиться не более двух раз. Если оно встретится два раза, то остается в силе рассмотрение, относящееся к регулярному представлению. Если один раз,

90 РАЗЛОЖЕНИЕ ПРИВОДИМОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ГЛ. VII то для получения базиса этого представления можно взять любую пару операторов PV\, Рта или Р^, Р^, не приводящую к нулю при действии на выбранный элемент. Трехмерное представление может встретиться в D не более трех раз. Если оно встречается три раза, то необходимо использовать все три тройки операторов

pvA\ Ж pv& (i=i, 2,з).

Если оно встречается один раз, то достаточно взять ту тройку операторов, результат действия которых на элемент ф дает отличный от нуля результат. Если же представление содержится два раза, то для получения базиса можно использовать любые две тройки операторов, дающие линейно независимые элементы.

Заметим, что для практического применения этого метода разложения приводимого представления на неприводимые требуется знание матриц неприводимых представлений соответствующей группы *).

Определение симметризованных смещенийядер молекулы

Для иллюстрации рассмотренного метода применим его для определения симметризованных смещений ядер молекулы UF6, обладающей симметрией группы Oh (рис. 3). Такая молекула имеет 21 степень свободы и, следовательно, 15 нормальных координат, соответствующих колебаниям. Применяя изложенный в предыдущей главе способ определения характеров представления D, которое реализуется на смещениях xt, у,, zt, мы получим следующую таблицу): '

Е

зс.

6С<

6С2

8С3

1

3C2i

6C4Z

6С^

8C3Z

21

—3

3

-1

0

—3

5

—1

3

0

*) Таблицы матриц неприводимых представлений точечных групп см. в работе: Е. М. Дедовская, Е. Д. Трифонов, Вестник ЛГУ, № 10 (1962), 21.

Симметричные (четные)смещениях3 х4 х2 х6 х5У1 — Уз У4 — Уг У5—Уб5*1#3 ^4 — ^2 ^е — ^5Симметричные (четные)смещениях3 х4 х2 х6 х5У1 — Уз У4 — Уг У5—Уб5*1#3 ^4 — ^2 ^е — ^5Антисимметричные (нечетные)смещенияХ1 + Х3 Х2 + Х4 Х5 + Х6У1 Ч~Уз У2 + У4Уз + Уе ^i + ^s^2+^4 ^5+^6Антисимметричные (нечетные)смещенияХ1 + Х3 Х2 + Х4 Х5 + Х6У1 Ч~Уз У2 + У4Уз + Уе ^i + ^s^2+^4 ^5+^6

Симметричные (четные)смещения

х3 х4 х2 х6 х5

У1 — Уз У4 — Уг У5—Уб

5*1#3 ^4 — ^2 ^е — ^5

Симметричные (четные)смещения

х3 х4 х2 х6 х5

У1 — Уз У4 — Уг У5—Уб

5*1#3 ^4 — ^2 ^е — ^5

Антисимметричные (нечетные)смещения

Х1 + Х3 Х2 + Х4 Х5 + Х6

У1 Ч~Уз У2 + У4

Уз + Уе ^i + ^s

^2+^4 ^5+^6

Антисимметричные (нечетные)смещения

Х1 + Х3 Х2 + Х4 Х5 + Х6

У1 Ч~Уз У2 + У4

Уз + Уе ^i + ^s

^2+^4 ^5+^6

Используя формулу (3.59) для определения структуры приводимого представления, мы с помощью таблицы характеров неприводимых представлений группы Oh (см. стр. 82) находим

О = Г,+ Г3+Г4+Г;+ЗГ'+Г5. (7.5)

Заметим, что в этом разложении содержатся также представления, по которым преобразуются координаты, описывающие

смещения и поворот системы как целого.

Обратим внимание также на то, что симметризованные смещения для всех неприводимых представлений, кроме Г(, будут одновременно и нормальными координатами, так как в разложение D каждое из неприводимых представлений, кроме Г', входит не более одного раза. Теперь мы можем приступить к нахождению сим-

метризованных смещений. Вместо того чтобы рассматривать всю группу Oh, мы можем ограничиться рассмотрением подгруппы О, если предварительно заменить смещения xt, yt, zt

их симметричными и антисимметричными относительно инверсии комбинациями:

х? у7 гч

Тогда базисные векторы четных представлений мы будем получать при действии операторов Р^ на четные смещения, а базисные векторы нечетных представлений — при действии операторов Р^ на нечетные смещения.

Таблица матриц неприводимых представлений группы О дана в приложении.

Подействуем операциями группы О на смещения (7.6), тогда мы получим следующие пять цепочек:

X,- х3, ^g—z5, у4 — у2,

у,—у3, ^ —г3, У5~ Уб- х4~ х2, z4 — z2, х6 —х5.

х7, у7, z7.

У1 + Уз> ^i + ^s- Уб + Уб- х4 + х2, z44-^2> х54"^6-

Х, + х3, Z6-\-Z5, У44Уг-

. Рассмотрим первую цепочку. Построим оператор Р^М- соответствующий тождественному представлению Гр

Действие этого оператора на любой из элементов первой цепочки, например X,—х3, дает

Ял (Xi — х3) = ^ (X, — х3 4- z^ — z5 4- у4 — у2)=qv (7.8)

В главе V было показано, что связь между смещениями Vm-iXi и координатами qk осуществляется с помощью унитарного преобразования. Поэтому, если мы имеем

Ч1-^Ь1кхкУ^(7.9)

(где для простоты записи значок к нумерует как атомы, так и декартовы составляющие), то

xk = -^=Vblkqt.(7.10)

Из равенства (7.10) мы можем получить величины смещений атомов, которые соответствуют отдельным нормальным координатам. Полагая все координаты qt, кроме q,, равными нулю, мы получим

•^6 =^«^S"(7.11)

Так как атомы, соответствующие одной цепочке смещений, эквивалентны и, следовательно, имеют одинаковые массы, то по известным соотношениям (7.9) мы можем найти /с точ-

ностью до множителя ) смещения (7.11). В частности, V т ]

используя равенство (7.8), мы находим, что нормальная координата qv соответствует полносимметричному смещению, которое изо-t^

бражено на рис. 4.’]

Из трех независимых смещений первой цепочки можно построить еще/

две нормальные координаты, которые могут быть только базисными векто- , / рами двумерного представления Г3,»?

так как в разложении (7.5) нет больше5

симметричных одномерных или двумерных неприводимых представлений.Рис. 4.

Для определения этих двух нормальных координат подействуем на смещение z6 — zg операторами Р^ и Ргь С помощью таблицы матричных элементов неприводимых представлений мы находим

^н^е - ^) =- у (z6 — z5 + у2 — у4) = ^2,(7.12)

Р^ (^ — z5) = ^ [2 (Х]—х3)+г-5—г6+у2—у4]=у3. (7.13)

Смещения, соответствующие нормальным координатам q2 и q3, изображены на рис. 5.

У нас осталась еще одна цепочка (II), в которой должны реализоваться симметричные представления Г4 и Г5. Для определения соответствующих нормальных координат построим

операторы Р$ и Рц (i=l, 2, 3) и подействуем ими, на

пример, на смещение у6— у5:

^ (Уб — У5) = 4 (Уе — Уб + ^4 — ^ ^4- Р^ (Уб - У5) = 4 (*6 - *5 + ^1 - ^з) = ^5' ^ (у6 - У5) = 4 (yi ~ уз+ *4 - *2) = Чб:

^ (У6 ~ Уб) = 4 0*6 - У5 + г2 - *4) = ^7

Р§1 (Уб - Уб)=4 (х5 - Х6 + ^ - ^ = ^8,

Р^ (Уб - У5) = 4 (Уз - У1 + Х4 - Хг) = ^9-

(7.14)(7.14)(7-15)(7-15)^7,^7,%%Соответствующие смещения изображены на рис. 6. Координаты q7, q%, q9, преобразующиеся по представлению Г5, описывают поворот молекулы как целого.

(7.14)

(7.14)

(7-15)

(7-15)

^7,

^7,

%

%

Теперь перейдем к цепочкам, состоящим из антисимме

тричных смещений.

(7.16)(7.16)Для цепочки III пет необходимости применять наш метод, так как всякий вектор преобразуется по неприводимому представлению Г5. Мы имеем:

(7.16)

(7.16)

*i = 9xo- $i = 9\x' zv=q№

Координаты ^i0, qxv qti не являются нормальными координатами, так как представление Г5 входит в разложение 3 раза. Элементы цепочки IV преобразуются по представлениям Г4 и Г5, Действуя операторами Р$ на смещение х24*4. получаем следующие нормальные координаты:

Л4? (*2 + *4) = 4 (- *6 - *5 + *2 + ^4) = ^1.3'

(7-17)(7-17)^ (X, + *4) = 1 (У6 + У5 — У1 * Уз) = ^14*

(7-17)

(7-17)

^ (Х2 ""I- *4) ~ У (г1 + 2о *2) ~ 9ха-

Соответствующие смещения изображены на рис. 7.Соответствующие смещения изображены на рис. 7.

Соответствующие смещения изображены на рис. 7.

Соответствующие смещения изображены на рис. 7.

При действии оператора дующие базисные элементы:При действии оператора дующие базисные элементы:Ил на Хг + *4 получаем сле-Ил на Хг + *4 получаем сле-

При действии оператора дующие базисные элементы:

При действии оператора дующие базисные элементы:

Ил на Хг + *4 получаем сле-

Ил на Хг + *4 получаем сле-

^ (х2 4- х4) = 1 (х2 + х4 + х5 4- х6) = q16.

^)(Х2+*4)==у(У1 + У3 + У5 + Уб)=9,17'(7-!8)

^Т (*2 + *4) = У (г4 + ^2 + ^3 + ^) = «'is- ।

которые также не являются еще нормальными координатами. Наконец, для последней цепочки V, состоящей из трех смещений, остается неприводимое представление Г5, и мы имеем еще три координаты:

Xi + x3 = tf19, z6-Vzs = q№ ^4 + У5 = ?2г (7-19)

Из девяти координат, преобразующихся по представлению, кратному неприводимому представлению Г5, нужно выделить координаты, которые соответствуют смещению молекулы как целого. Это легко сделать. Очевидно, что три координаты поступательного движения имеют вид

(7.20)

7 S mtzi

Для того чтобы из оставшихся шести координат построить нормальные координаты, надо решить вековое уравнение второго порядка для матрицы потенциальной энергии (см. главу V, стр. 71).

Метод линейной комбинации атомных орбит

Второй пример применения рассмотренного в п. 1 метода относится к исследованию электронных состояний молекулы.

Мы остановимся здесь лишь на постановке задачи, так как ее решение аналогично рассмотрению в п. 2. При исследовании стационарных состояний молекулы часто используют так называемое адиабатическое приближение: электроны молекулы рассматриваются в электростатическом поле ядер, образующих некоторую симметричную конфигурацию. Задача определения состояния электронов молекулы, т. е. задача определения собственной функции оператора электронной энергии молекулы, может быть приближенно сведена к одноэлектронной задаче; при этом каждый электрон рассматривается в некотором эффективном поле, которое создают

остальные электроны и ядра. Можно приближенно предполагать, что это эффективное поле обладает той же симметрией, что и конфигурация ядер.

Далее используют следующие рассуждения. Если бы атомы или ионы, образующие молекулу, находились на достаточно большом расстоянии друг от друга, то одноэлектронные функции молекулы совпадали бы с ионными или атомными одноэлектронными функциями. При этом одноэлектронные уровни энергии были бы вырожденными, одинаковые волновые функции, локализованные около разных, но эквивалентных атомов, соответствовали бы одному и тому же значению энергии. В действительности атомы в молекуле находятся на таких расстояниях, при которых влияние одного атома на другой имеет существенное значение; поэтому одноэлектронные функции свободных атомов или ионов не будут решениями уравнения Шредингера для одноэлектронных состояний молекулы. Однако можно предположить, что набор таких функций образует систему, достаточно полную для приближенного решения нашей задачи. Практически число функций в этом наборе конечно, и на функциях этого набора реализуется некоторое приводимое представление D точечной группы О.

В главе V было показано, что задача диагонализации матрицы гамильтониана значительно упрощается, если предварительно выбрать функции так, чтобы они образовывали базисы неприводимых представлений. Построение таких базисов аналогично выполненному в предыдущем пункте. Рассматриваемая «полная» система функций разбивается на цепочки функций, и в каждой цепочке с помощью операторов Р^Д строятся базисы неприводимых представлений. Если какое- нибудь неприводимое представление встречается в разложении только один раз, то построенные волновые функции будут собственными функциями нашей задачи. Если неприводимое представление D^ встречается гj раз, то после построения базисов этого неприводимого представления для нахождения собственных функций приходится решать вековое уравнение порядка гj. Этот метод нахождения одноэлектронных приближенных решений для молекулярной задачи носит название метода линейной комбинации атомных орбит.

М. И. Петрашень, Е. . Трифонов

Упражнение

Для кубического комплекса (типа f-центра в щелочно- галоидном кристалле) построить волновые функции, преобразующиеся по неприводимым представлениям группы куба Од. Считается»

что полная система функций состоит из шести s-функций, локализованных в окрестностях точек /, 2, ..., 6 (рис. 8).

Глава VIII

Пространственные группыи их неприводимые представления

Группой симметрии идеального кристалла или пространственной группой называют совокупность преобразований трехмерного пространства, переводящих любую точку кристалла в эквивалентную. Важно отметить, что при этом кристалл или предполагают бесконечным, или заменяют моделью, в которой отождествляются противоположные грани образца. В последнем случае кристалл топологически эквивалентен трехмерному тору.

Подгруппа трансляций

Характерной чертой симметрии кристаллов, отличающей их от молекул, является наличие трансляционной симметрии: идеальный кристалл представляет собой периодическое повторение определенной совокупности частиц. Трансляционную симметрию можно определить с помощью трех некомпланарных векторов:'

Др а2, а3,

называемых основными векторами решетки. Трансляция на вектор

а = nxav + п2а2 + ^^з-(8-1)

где и,, п2, п3—целые положительные или отрицательные числа, связывает эквивалентные точки г и г' кристалла:

г'=г+а.(8.2)

Вектор а называют вектором решетки. Если из одной точки (начала координат) отложить все векторы а, то их концы образуют так называемую решетку Браве, или «пустую» решетку, соответствующую данному кристаллу. Концы векторов при таком построении называют узлами решетки. Три основных вектора решетки обладают тем очевидным свойством, что внутри элементарного параллелепипеда, построенного на них, нет ни одного узла решетки. Заметим, что

выбор основных векторов решетки не является однозначным. Однако при любом возможном выборе этих векторов объемы элементарных параллелепипедов должны быть одинаковыми. На рис. 9 показано, как можно выбрать основные векторы

Рис. 9.

в случае квадратной двумерной решетки. Обычно в качестве основных векторов берут наиболее короткие из возможных.

Элементарные параллелепипеды называют также элементарными ячейками кристалла. Таким образом, в пространственной группе содержится в качестве подгруппы группа трансляций (8.2) на векторы решетки. Мы будем обозначать эту группу через Тв.

Сингонии

Решетки Браве обладают определенной симметрией относительно поворотов и отражений. Для каждой решетки Браве существует точечная группа К преобразований, которые переводят вектор решетки в вектор решетки. Ортогональное преобразование трехмерного пространства, принадлежащее группе К, будем обозначать через R. Существует семь систем {сингоний) кристаллических решеток, различающихся точечной группой К. Оказывается, не всякая точечная группа может быть группой симметрии решетки. Требование, чтобы одновременно с а вектор Ra также был вектором решетки, ограничивает круг допустимых точечных групп. Выясним, каковы эти ограничения.

Прежде всего отметим, что группа К должна содержать инверсию: вместе с трансляцией на вектор а в группу Тв всегда входит трансляция па вектор—а. Теперь установим, какие оси симметрии может иметь группа К. Выберем в ка-

честве ортов базиса пространства векторов а основные векторы решетки аР а2, а3 и запишем преобразование R в новом базисе, в котором все векторы решетки имеют целочисленные составляющие. Если матрицу ортогонального преобразования R в этом базисе обозначить через R, то мы будем иметь

R=U-1RU,

где U — матрица перехода от первоначального ортонормиро- ванного базиса к базису av а2, а3. Если R— поворот (или зеркальный поворот) на угол <р, то след матрицы R, так же как и след матрицы R, равен

Sp^ = Sp/? = ± 1 + 2cos<p.(8.3)

Однако из условия, что преобразование R должно переводить вектор решетки а в вектор решетки а' = Ra, следует, что все' элементы матрицы R, а следовательно, и ее след должны быть целочисленными. Отсюда вытекает, что cos ср может принимать лишь следующее значение:;

cos ср —cos= + 1, +-гг , 0.(8.4)

Следовательно, группа К может содержать только оси второго, третьего, четвертого и шестого порядков. Наконец, можно показать, что если группа К содержит подгруппу Ся, п > 2, то она'содержит также и подгруппу Сяу. Сформулированные выше три ограничения приводят к тому, что роль точечной группы кристалла могут играть лишь 7 точечных групп, а именно:

A- C2h, D2h, D3h, D^, D№ O,v

Это и является причиной того, что существует только 7 сингоний: триклинная, моноклинная, ромбическая, ромбоэдрическая, тетрагональная, гексагональная, кубическая.

Точечная группа решетки Браве накладывает определенные ограничения", на возможное расположение и относительные длины основных векторов решетки. Мы не будем проводить здесь соответствующего рассмотрения. Однако для полноты картины приведем таблицу, дающую более полные сведения о решетках Браве.

Метрика простого типа

Сингония

Тип

Отиоситель иые длины

Относительные расположения

М\\М 12-^13 Af[2-^22^23 Л^13^23-^33

триклинная 52

простой

любые

любое

Af11Af12 0 ^1)2^122 ^ 00 Л4зз

моноклинная С2*

»

с центрированными

основаниями

>

>

a3-L®12

C32J-ffI2

Л4Н 0 0

0 М22 0

0 0 М33

ромбическая D2h

простой с центрированными основаниями объемноцен- трированный гране

центрированный

>

»

»

®i _L®2-L®3_L®i ^32 JL®12®I J-®2

^3211-^12^11-^2

C21-L^l-L^31

М 0 0

0 М 0

0 0 м

Тетрагональная ^2Л

простой объемно- центрированный

а, = а2

а, = а2

01102103101

8'31210210]

м-^м»

М 2" ^ ^23 ^13-^23-^33

ромбоэдрическая

Dad

простой

G-^ ^^ И2

faizl^n

2л

0^2 — -g-

Продолжение

Метрика простого типа

Сингония

Тип

Относительные длины

Относительные расположения

0

-^ Л4 0

0 ОМ

гексагональная

простой

ах а2

O3-Lff12 2л

О; Л2 = ~^

М 0 0 0 М 0 0 0 м

Обозиа

вектор, леж

кубическая

1ения: с^ ащий в п

»

гранецентрированный

объемно-

центрированный

1

= а,- — у ак носкости век1

а, = а2 = а3

а, = а2

1

gm=v^ai

ах = а2

_ 1

8Гз\2 — "2'^1

gikj = ai — -i горов а/, а^.

®i _L<t2-к<Тз ®1 ±®2±^312±в1

aiJLa2A_g3i21_ax

2 (а* + «у); «it —

3. Общий элемент пространственной группы

Общий элемент симметрии пустой решетки может быть записан в виде toR; действие этой операции на трехмерный вектор X определяется формулой

.taRx = Rx-\-a.

(8.5)

Очевидно, мы будем иметь

ta1Rlta1R2X= /?i/?2x+ai +/?1«2,

(8.6)

VaR)^ х = R-1x — R "va.

(8.7)

Операции ta и R не коммутируют; мы имеем

toR-RtR-'a-

(8-8)

Отметим, что точечную группу К решетки удобнее всего

определять, рассмотрев все операции, переводящие векторы av а2, а3, — av — а2, — а3 друг в друга.

До сих пор мы рассматривали симметрию «пустых» решеток. Вернемся теперь к рассмотрению симметрии кристалла.

Кроме подгруппы трансляций То пространственная группа содержит также другие преобразования, вид которых обусловлен, во-первых, симметрией решетки Браве, во-вторых, симметрией компонентов кристалла, т. е. симметрией периодически повторяющейся совокупности частиц, образующей кристалл. Это второе обстоятельство часто приводит к тому, что не все преобразования из точечной группы К входят

Рис. 10. -Рис. 10. -в группу симметрии кристалла. Не все преобразования, совмещающие узлы решетки, совмещают также компоненты кристалла. Поэтому возможно, что точечная группа кристалла будет только подгруппой точечной группы пустой решетки.

Рис. 10. -

Рис. 10. -

В общем случае преобразование симметрии кристалла, не содержащее трансляции на вектор решетки, имеет вид t„R, где R — некоторое преобразование из точечной группы К, a ta — трансляция на вектор а, отличный от вектора решетки. Для пояснения таких несобственных трансляций

рассмотрим кристаллическую решетку алмаза. Решетку алмаза

можно составить из двух гранецентрированных кубических

решеток, сдвинутых друг относительно друга вдоль пространственной диагонали куба на 1/4 ее длины (рис. 10). Выберем в качестве центра симметрии положение какого-нибудь ядра, например точку А. Ближайшие к этому узлу ядра, принадлежащие другой подрешетке и отмеченные буквой В, образуют тетраэдр. Легко убедиться в том, что преобразования из группы тетраэдра будут совмещать решетку алмаза саму с собой. Преобразование инверсии i относительно точки А не будет элементом симметрии рассматриваемой решетки. Действительно, при таком преобразовании ядро В,

расположенное в вершине куба, окажется на середине пространственной диагонали. Однако если после инверсии произвести сдвиг по диагонали на четверть ее длины, то рассматриваемое ядро В займет положение ядра Л. Легко убедиться, что инверсия и сдвиг приводят к совмещению подрешеток А и В. То же можно утверждать для любых преобразований из совокупности lTd. Таким образом, элементами симметрии решетки алмаза будут преобразования точечной группы Td и преобразования из совокупности iTd, сопровождающиеся трансляцией /„, где а — вектор, направленный вдоль диагонали куба и равный 1/4 ее длины.

Заметим, что вектор а всегда должен быть рациональной частью вектора решетки а. Это связано с тем, что произведение преобразований, содержащих несобственные трансляции, может дать чистую трансляцию, которая должна совпадать с трансляцией на вектор решетки. Преобразования taR сами по себе не образуют группу, так как произведение таких преобразований может содержать трансляцию на вектор решетки. Если R — поворот, то элемент группы taR называют вращением вокруг винтовой оси; если R — отражение в плоскости, то говорят, что преобразование t„R соответствует плоскости скольжения.

Общий элемент пространственной группы может быть записан в виде

g=tatuR = t„vaR.(8.9)

Такая запись возможна, несмотря на то что трансляции ta не коммутируют с преобразованием taR. Для доказательства этого покажем, что элемент taRta также может быть представлен в виде (8.9). Действительно,

taRtax~ а + R (х + а) = а + Rx-г Ra. (8.10)

Так как R£K, то Ra — также вектор решетки, и, следовательно,

t«Rta = tRe+uR.(8.11)

Мы уже отмечали, что преобразования tuR не образуют группу. В то же время легко убедиться, что преобразования R образуют группу.

Действительно, мы имеем

kRL R' = Mr„RR' t„lR„ RR'. (8.12)

Отсюда следует, что вместе с R и R' всегда имеется преобразование RR'. Так как R£K, то эта группа, которую мы будем в дальнейшем обозначать через F, должна быть подгруппой группы К.

Кристаллы, имеющие одну и ту же группу F, относят к одному классу. Очевидно, число кристаллических классов равняется числу подгрупп в семи группах S2ОА, определяющих сингонии. Легко сосчитать, что эти группы содержат 32 различные подгруппы и, следовательно, существуют 32 кристаллических класса. Отметим, что кристаллы, принадлежащие одному и тому же классу, могут относиться к разным сингониям, а при заданном классе и заданной сингонии кристаллы могут еще отличаться несобственными трансляциями ta. Установлено, что существует всего 230 различных пространственных групп.

Неприводимые представления группы трансляций

Для того чтобы построить неприводимые представления пространственной группы, изучим сначала неприводимые представления ее подгруппы — группы трансляций Тв.

Если трансляции на основные векторы решетки обозначать соответственно через

^,. tai, t»,.(8.13)

то произвольный элемент из группы Тв может быть представлен в виде

ta^t^A(8.14)

где а = «!«] + п2а2 + п3а3.(8.15)

Все трансляции коммутируют друг с другом, и, следовательно, группа трансляций абелева. Рассмотрим кристалл, размеры которого определяются векторами Lvav L2a2 и L3a3. где Zp L2, L3—целые числа, и наложим на трансляции так называемые циклические условия:

t4*x = ta? /=1,2,3.(8.16)

Это мы и подразумевали, говоря, что отождествляем противоположные грани образца.

Поэтому группу трансляций Тя мы можем рассматривать как прямое произведение трех циклических групп Тя. с элементами

Е, tLrx.(8.17)

.ai aiai

Как мы знаем, неприводимые представления циклической группы одномерны. Для группы Тя„ имеющей порядок Lj, они определяются числами

2л/ 21 я

е Ч .(8.18)

Индекс m классифицирует неприводимые представления и может принимать значения 0, 1, 2 L,— 1. Число п

равно степени соответствующего элемента циклической группы (8.17). Поэтому неприводимыми представлениями группы Тв с элементами (8.14) будут числа

Мы видим, что каждое неприводимое представление группы Та определяется тройкой чисел (mv т2, т^, а число различных неприводимых представлений равно произведению LXL2L-^.

Введем в рассмотрение три вектора bv Ь2, 63, определив их условиями

(az66) = 2n6zft, i, ^=1, 2, 3.(8.20)

Очевидно, что

. 2л [a2a3] h 2л [a3ai] . __ 2л[а1аг]

~ (а, [а2а3]) ’2 ~ (а2 [ада,]) *3(а3 [а,а2]) '

Рассмотрим вектор"

А = ^-6, + ^-63 + ^63.(8.21)

Вектор к задан в пространстве, определяемом векторами Ьх, Ь2, Ь^ и называемом пространством обратной решетки (по отношению к решетке, определяемой векторами av а2 и а3). Очевидно, числа (8.19), дающие неприводимые представления группы Т„, можно записать в виде

ei^.(8.22)

Таким образом, каждое неприводимое представление группы То характеризуется своим вектором к. Мы будем обозначать эти представления через Г . Если qk — орт представления Г» и ta — оператор трансляции на вектор а, то

(8.23)

Два вектора к и к' пространства обратной решетки, различающиеся на вектор

b-= PxbxA- P-zb-iA- РзЬд,(8.24)

где pt—целые числа, называются эквивалентными; очевидно, они характеризуют одно и то же неприводимое представление. В качестве области изменения вектора к, определяющего неприводимые представления группы трансляций, удобно выбрать такую односвязную область в пространстве обратной решетки, которая содержит в себе начало координат и для которой выполняются следующие два условия:

эта область не содержит эквивалентных векторов,

для произвольного вектора пространства обратной решетки в этой области найдется эквивалентный вектор. Эту область называют приведенной зоной Бриллюэна.

Можно показать, что группы Ка прямой и Кь обратной решеток Браве совпадают. В самом деле, пусть R^Ka Тогда наряду с равенством (а&) = 2лп мы имеем ^Ra, b) = — Члт, откуда (а, /?-1д)=2лт. Следовательно, R~rb есть вектор обратной решетки. Но когда преобразование R пробегает всю группу К а- обратное преобразование R-1 также пробегает всю группу. Отсюда можно заключить, что КаС-Кь- Повторяя рассуждение для R^Kb, мы получим, что КьсКа- Отсюда следует, что группа Ка совпадает с группой Kb-

в. Звезда вектора к

Допустим, что нам известно некоторое неприводимое представление D пространственной группы О. По отношению к подгруппе трансляций Та оно является, вообще говоря, приводимым. Матрицы представления D, соответствующие трансляциям ta, коммутируют между собой; поэтому орты базиса представления всегда можно выбрать так, чтобы эти матрицы были диагональными. Эти орты будут ортами

неприводимых представлений Г* группы трансляций, поэтому их можно обозначить также через qk, где к — вектор из приведенной зоны Бриллюэна.

Выясним, как связаны между собой векторы к, соответствующие базису данного неприводимого представления D. Пусть qk — один из ортов этого базиса, тогда согласно (8.23) мы имеем.

taQ^ei^q^(8.25)

Рассмотрим теперь оператор tatttR, соответствующий произвольному элементу группы О. Действуя этим оператором на орт qk, получим некоторый единичный вектор q':

Ч'^а^Яг(8.26)

Выясним, как преобразуется q' при трансляциях на вектор решетки. Мы имеем

L 9' = Wa^^UaM^(8.27)

Используя соотношение

ta-R = RtVa-(8.28)

получаем

Чч' = №-.'?» = е*^'“'^А^ = еЦКк- а\'.

(8.29)

Отсюда следует, что вектору q' следует приписать значок Rk. Таким образом, общее преобразование tataR переводит орт qk в орт qRfe. Следовательно, если в базис неприводимого представления D пространственной группы входит орт qfc> то в него входит также и орт qRfe, где R — преобразование из точечной группы F. Совокупность всех неэквивалентных векторов Rk, где R^F, называют звездой вектора к. Если с помощью всех операций R^ F получаются т различных векторов’

к^ к, к> = R^k, . .., кт = Rm_^k,

то говорят, что вектору к соответствует звезда m-го порядка.

Группа вектора к

Пусть к — какой-нибудь вектор из приведенной зоны Бриллюэна. Рассмотрим все преобразования из G, оставляющие вектор к инвариантным. Они образуют подгруппу Нк группы G. Действие преобразования из О на вектор к нужно понимать в смысле равенства (8.29), рассматривая к как индекс базисного вектора, т. е. tataRk= Rk. Очевидно, все преобразования подгруппы Т„ оставляют вектор к инвариантным. Если группа G не содержит несобственных трансляций, то кроме трансляций ta в группу Нк входят еще только некоторые ортогональные преобразования, образующие подгруппу Рь группы F, и произведения этих преобразований на трансляции. Группу Нк будем называть группой вектора к. Если конец вектора к лежит на поверхности зоны Бриллюэна, то в группу Нк входят также элементы, которые переводят к в эквивалентный вектор.

Разложим группу G на совокупности, сопряженные слева относительно подгруппы Нк;

g\Hfe. g.Hfc, gmHk,(8.30)

где gx— тождественное преобразование группы. Выясним, какими свойствами обладают элементы g2, g3gm в этом разложении. Так как ни один из элементов совокупности g2Hk не должен содержаться в подгруппе Нк, то элемент g2 не может оставлять инвариантным вектор к. Легко убедиться в том, что все преобразования из сопряженной совокупности g2Hk переводят вектор к в один и тот же вектор к2 = g2k. Аналогично преобразования из других совокупностей переводят вектор к в векторы к3 — g3k, к4 = = g^kкт — gmk. Все эти векторы должны быть различными. Действительно, если бы преобразования g2 и g3 переводили вектор к в один и тот же вектор к2 = к3, то совокупность элементов g3xg2Hk должна была бы оставлять вектор к инвариантным и, следовательно, совпадала бы с группой нк. Но из g3xg2Hk = Hk следует g2Hk = g3Hk, чего не может быть, так как сопряженные совокупности не содержат общих элементов. Поскольку сопряженные совокупности исчерпывают всю группу, то векторы кхкт образуют звезду вектора к. Легко видеть, что группа век-

тора k^ принадлежащего этой звезде, может быть представлена в виде

H^g^^,(8-31)

откуда вытекает, что группы векторов звезды изоморфны друг другу.

Неприводимые представления пространственной -группы

Предположим, что представление D пространственной группы разложено на неприводимые представления подгруппы трансляций, т. е. что матрицы представлений, соответствующие трансляциям, диагональны. Выберем в пространстве о представления D те орты, на которых реализуется одно и то же представление Г* группы Тв. Обозначим через о6 линейное подпространство, образованное этими ортами. Если к любому вектору подпространства ок применить преобразование из группы Нк, то мы опять должны получить вектор, принадлежащий ок. На основании этого можно заключить, что в пространстве ок должно реализоваться некоторое представление Г группы Нк. Аналогичным образом из базисного пространства о представления D можно выделить подпространства ок., в каждом из которых реализуются представления группы соответствующего вектора. Каждое из подпространств ок. может быть получено из подпространства ок с помощью операций gt, Ясно также, что в каждом из подпространств о»г реализуются эквивалентные представления изоморфных групп Нк..

Покажем теперь, что из неприводимости представления D вытекает, что в каждом из подпространств ок. реализуется также неприводимое представление группы соответствующего вектора к^ Действительно, предположим противное, т. е. будем считать, что в пространстве ок можно выделить подпространство о', инвариантное относительно группы Нк. Подействуем на а'к операциями g^i — 1, 2, . .., т\ Тогда мы получим подпространства

°'b=ii°V(8-32>

Покажем, что тогда прямая сумма этих подпространств о' = 0к ©о; © . . . ©о^(8.33)

инвариантна относительно всей пространственной группы О. Любой элемент группы О согласно (8.30) может быть представлен в виде

^^ Ч^(8'34)

Тогда мы имеем

g?k°V=gjMA = g^'A = °'<8-35)

Таким образом, при преобразованиях из группы О каждое из подпространств o'fe переходит либо само в себя, либо в какое-нибудь другое подпространство о', и пространство о' оказывается инвариантным относительно преобразований из группы О. Но, с другой стороны, пространство о' является подпространством пространства о представления D, которое мы считаем неприводимым. Отсюда следует, что в каждом подпространстве ок. может реализоваться только неприводимое представление группы Нк, т. е. представление Вк неприводимо. Таким образом, мы приходим к результату, что каждое неприводимое представление определяется звездой вектора к и некоторым неприводимым представлением Г(а| группы Нк волнового вектора. Эти неприводимые представления пространственной группы будем обозначать D^. Очевидно, порядок пка представления О^ равен произведению порядка па неприводимого представления Г№ группы волнового вектора на m — число векторов в звезде: пка — лат.

Неприводимые представления группы вектора к

Мы еще должны выяснить вопрос, какие неприводимые представления Г<а) группы вектора Нк могут реализоваться в пространстве ок. Оказывается, что на возможные неприводимые представления группы Нк должны быть наложены некоторые ограничения. Действительно, в группу волнового вектора входят преобразования трансляций на векторы решетки. По определению все подпространство ок состоит из собственных векторов трансляций ta с собственным значе-

нием ехрг(Ла). Поэтому матрица представления, соответствующая трансляции, должна иметь вид

r№(^) = ei(*e)f;,a,(8.36)

где ЕПа — единичная матрица. Таким образом, допустимыми неприводимыми представлениями Г(а) группы Нк будут лишь те, в которых трансляциям на вектор а соответствуют матрицы (8.36). Такие неприводимые представления группы Нк мы будем называть нормальными.

Нормальные неприводимые представления легко определить, когда пространственная группа не содержит поворотов с несобственными трансляциями ta. Тогда группа Hh состоит из всевозможных произведений элементов группы То и точечной группы Ffcl которая в свою очередь состоит из тех элементов точечной группы F, которые оставляют инвариантным вектор It. Так как все векторы пространства ок являются собственными векторами операций трансляции с одним и тем же собственным значением, то из неприводимости представления относительно группы Нк следует неприводимость относительно точечной группы Fk. Таким образом, классификация нормальных неприводимых представлений группы Нк в рассмотренном случае проводится по неприводимым представлениям точечной группы Fk.

Пример

Прежде чем переходить к рассмотрению пространственной группы G, содержащей несобственные трансляции, мы проиллюстрируем введенные понятия на простейшем примере пространственной группы одноатомного кристалла с квадратной решеткой. В этом случае точечной группой F будет группа D4, имеющая восемь элементов (см. главу VI), зоной Бриллюэна будет квадрат со стороной 2 -^- (а — постоянная решетки кристалла). Так как вектор к полностью определяет свою звезду, то для классификации неприводимых представлений пространственной группы достаточно рассмотреть 1/8 этого квадрата (рис. 11).

8 М. Н. Петрашень, Е. Д, Трифонов

Рассмотрим сначала вектор к, не связанный с элементами

симметрии зоны Бриллюэна (например, вектор ОА). Применяя к такому вектору преобразования, входящие в группу D4, мы получим звезду, состоящую из восьми векторов (рис. 12).

Очевидно, группа Fb преобразований из О4, оставляющих этот вектор к инвариантным, содержит только один элемент Е и группа Нк в данном случае совпадает с груп- ^->^ пой трансляций То. Данному векто- "а 3 ру к соответствует одно неприводимое представление Dk\ группы О восьмого порядка. В этом представлении матрицы, соответствующие

рис цтрансляциям to, будут диагональны:

элементами их будут expi(kjd)> у = 1, 28(к — векторы звезды). Преобразования из

группы F производят перестановку ортов базиса представления; поэтому матрицы, соответствующие этим преобразова-

Рис. 12.

Теперь рассмотрим вектор к, конец которого лежит на оси симметрии (например, вектор О В на рис. 11). В этом случае группа Fk содержит кроме тождественного эл;мента£ еще одну операцию оу (отражение в плоскости XZ) и изоморфна группе С2, имеющей два неприводимых представления первого порядка. Звезда вектора к состоит из четырех векторов (рис. 12, бу Отметим, что из четырех векторов будет также состоять звезда вектора, оканчивающегося на границе зоны Бриллюэна (например, вектора ОС на рис. И). Остадь-

ные четыре вектора, получающиеся при применении к вектору ОС преобразований из группы Dv будут эквивалентны приведенным на рисунке. Рассматриваемому вектору к будут соответствовать два неприводимых представления четвертого порядка: D^ и О^- В этих представлениях матрицы, соответствующие трансляциям, совпадают; элементы других ма- гриц в этих представлениях могут отличаться только знаком.

Наконец, для вектора А = 0 группа Fk совпадает с D4. Поэтому вектору к = 0 соответствует столько различных неприводимых представлений D^\ сколько их имеется у группы D4 (четыре представления первого и одно второго порядка). Порядки представлений D^ будут совпадать с порядками представлений группы D^. Трансляциям ta в представлениях D^ соответствуют единичные матрицы; D^QR1) совпадают с соответствующими матрицами неприводимых представлений группы D4. Очевидно, тождественным представлением пространственной группы будет одно из неприводимых представлений, соответствующих А = 0.

Неприводимые представления пространственнойгруппы, содержащей несобственные трансляции

Рассмотрим теперь случай, когда группа вектора к содержит несобственные трансляции. Осложнение, которое возникает здесь, связано с тем, что преобразования Rta не образуют группы: произведение двух таких элементов может содержать трансляцию на вектор решетки. Однако, как мы сейчас увидим, классификация неприводимых представлений группы Нк, когда вектор к лежит внутри приведенной зоны Бриллюэна, также проводится по неприводимым представлениям точечной группы F к. Между представлениями групп Нк и Fk в этом случае можно установить однозначное соответствие. Пусть Г (А)— матрица представления группы Нк, соответствующая элементу h — tataR£Hk. Покажем, что матрицы

Г (Я) = Г (А) е'1"!»(“+«)](8.37)

дают представление группы Fk. Действительно, мы имеем

Г (/?,) Г (Я2) = Г (А,) Г Qi^e-i 1* (®.+«.)ls - z1» №+«>)]. (8.38)

Далее,

г <W = Г ^ta№MttlR^ = Г (W^,/?,^) =

= Г (R^) е1 (* а+ч.+яа+Яа)!, (8.39)

Подставляя (8.39) в (8.38), получим

Г (R^ Г (Я2) = Г (Z?!^) е‘ I* <*a-i я^- /Р («г! «2)1 =

^Т^^Д”'4"6’ °2+аг). (8.40)

Так как вектор It по условию лежит внутри приведенной зоны Бриллюэна, а преобразование Ri £ Fк, то

.R?4 = k,(8.41)

и окончательно мы получаем

Г^Г^-ПЗД)-(8.42)

Наоборот, можно показать, что по любому представлению группы Fk можно построить с помощью соотношения (8.37) представление группы Нк. Существование такой взаимно однозначной связи между представлениями приводит к тому, что если представление Г (/?) неприводимо, то Г (А) также неприводимо. Подчеркнем еще раз, что все проведенное здесь рассмотрение справедливо лишь для вектора Л, лежащего внутри зоны Бриллюэна.'

Пусть теперь вектор к лежит на поверхности приведенной зоны Бриллюэна. Тогда в группе Нк обязательно содержатся такие преобразования, которые переводят вектор к в вектор, отличающийся от к на вектор обратной решетки. Поэтому формула (8.41) оказывается в этом случае несправедливой. Если вектор к лежит на поверхности зоны Бриллюэна, то он либо равен рациональной части вектора обратной решетки, либо может быть разложен на два вектора, один из которых — рациональная часть вектора обратной решетки, а второй лежит внутри зоны Бриллюэна. Рассмотрим отдельно эти два случая.

к — рациональная часть вектора обратной решетки. В этом случае обязательно существуют три целых числа nv п2, п3 такие, что

(8.43)(8.43)Г(ОС

(8.43)

(8.43)

(практически каждое из чисел и, не больше 3). Соотношение (8.43) является следствием того, что матрицы нормального представления Г группы Нк имеют вид -

Г Чв) = е‘(*«)£.(8.44)

Построим абелеву группу ТЯ1„Л, гомоморфную группе грансляций Тв. Элементы т группы ТП1П2„3 мы определим в виде

т = Т^Т^з,

где sP s2, s3 принимают значения соответственно от 1 до flz+l. 1=1, 2, 3, причем т”г+1=е, где е—единичный элемент этой группы. Соответствие между элементами этих групп определим следующим образом:

ta^af^1(8.45)

где / — произвольное целое число. Важно то, что в случае (8.43) нормальные представления группы Нк изоморфны представлениям группы Нк, которая состоит из всевозможных произведений элементов teR и т^т^Тд3. Поэтому, для того чтобы найти неприводимые представления группы Нк, нужно найти все неприводимые представления группы Нк и из них отобрать те, у которых матрицы, соответствующие элементам тг т2, т3, имеют вид (8.44).

Пусть теперь к = кх-^ k2, где кх — рациональная часть вектора обратной решетки, а вектор й2 лежит внутри зоны Бриллюэна. В этом случае для нахождения неприводимых представлений группы Нк поступаем следующим образом. Находим три наименьших целых числа пх, п2, п3 таких, что еЧЧ"/^"11)^ 1.(8.46)

Строим конечную группу Нк1 (гомоморфную группе Нк), в которой элементам т;- соответствуют элементы to^a^ ;+ - Тогда можно показать, что неприводимые представления групп Нк1 и Нк связаны формулой

Г(Ч'Т^т^^ = Г (А)е' 1М<»+«Я,

где представление Г должно обладать тем свойством, что его матрицы, соответствующие элементам Ту, должны иметь вид (8.44).

Упражнения

Доказать, что подгруппа трансляций является нормальным делителем пространственной группы.

Доказать, что если вектор Л лежит в приведенной зоне Бриллюэна, то вектор Rk, где RCK, также принадлежит приведенной зоне.

Рнс. 13.Рнс. 13.

Рнс. 13.

Рнс. 13.

Построить зоны Бриллюэна для простой, гранецентрнрован- ной и объемноцентрированной кубических решеток. Основные векторы этих решеток изображены на рис. 13.

.'лава IX

Классификация колебательныхи электронных состояний кристалла

Используем теперь сведения о неприводимых представлениях пространственных групп для классификации колебательных и электронных состояний кристалла. Мы будем предполагать здесь, что 1) нормальные координаты кристалла, соответствующие одной частоте, преобразуются по неприводимым представлениям пространственной группы; 2)собственные функции уравнения Шредингера электронной задачи, принадлежащие одному и тому же собственному значению при фиксированных равновесных положениях ядер, также преобразуются по неприводимым представлениям пространственной группы ’).

Рассмотрим теперь классификацию колебательных и электронных состояний кристалла более детально. Для простоты мы ограничимся такими пространственными группами, которые не содержат несобственных трансляций.

Классификация нормальных колебаний

Мы будем рассматривать кристалл как систему материальных частиц, совершающих малые колебания относительно своих положений равновесия. Будем предполагать, что положения равновесия частиц образуют конфии рацию, обладающую симметрией пространственной группы О. Тогда, как известно (см. главу VI, п. 3), декартовы составляющие смещений частиц из положений равновесия преобразуются по некоторому приводимому представлению этой группы. Перейдем от декартовых смещений xt к нормальным координатам qj ).

') В некоторых случаях может быть дополнительное вырождение, связанное с инвариантностью относительно обращения времени (см. главу XIII). Подробнее об этом см. В. Хейне, Теория групп в квантовой механике, § 26, ИЛ, 1963.

Если под переменной xt понимать смещение, умноженное па корень из массы соответствующего ядра, то, как мы знаем, декартовы смещения xt и нормальные координаты qj связаны унитарным преобразованием

(9.1) j

qj='2iCuxl,(9.2)

где ]|с#уП— унитарная матрица. Нормальные координаты, соответствующие одной частоте, должны преобразовываться по неприводимому представлению пространственной группы. Их всегда можно выбрать так, чтобы они были собственными векторами оператора трансляции ta на вектор решетки. Будем считать, что это сделано. Тогда согласно (8.3) мы имеем

(9-3)

где kj — вектор, определяющий неприводимое представление группы трансляций Та, по которому преобразуется нормальная координата q^ Если же операцию трансляции применить к некоторому смещению х^ то мы получим смещение х^ эквивалентного ядра в элементарной ячейке, сдвинутой на вектор а по отношению к исходной ячейке. Поэтому, применяя оператор трансляции ta к обеим частям равенства (9.1), мы получим

= s сЛоЧр xv = 2 Ct / ^^qr (9.4)

Напомним, что величина q; изменяется с течением времени по гармоническому закону

Таким образом, мы видим, что смещения xt представляют собой суперпозицию гармонических колебаний. Колебания с одной частотой эквивалентных атомов в разных ячейках в силу (9.4) оказываются периодически сдвинутыми по фазе. Длина волны каждого колебания, очевидно, равна Х; = = 2л|йу|-1. Другими словами, каждому нормальному колебанию, выбранному так, чтобы оно преобразовывалось цо неприводимому представлению группы трансляций, соот-

ветствует плоская волна с волновым вектором, равным вектору 6 этого представления.

Сколько имеется независимых волн с одним и тем же волновым вектором 6? Для этого нам надо узнать, сколько раз неприводимое представление группы трансляций, соответствующее этому значению к, содержится в представлении D, которое реализуется на всех смещениях х(-. Заметим, что преобразование трансляций связывает составляющие смещений только эквивалентных атомов в различных ячейках кристалла. Если число атомов в ячейке равно s, то все многообразие смещений {х;} можно разбить на 3s многообразий, на каждом из которых будет реализоваться регулярное представление группы трансляций. Мы знаем, что неприводимые представления группы трансляций одномерны и поэтому в регулярном представлении могут встретиться лишь по одному разу. Поэтому в представлении D каждое неприводимое представление содержится точно 3s раз. Таким образом, мы получаем ответ на поставленный вопрос: число различных нормальных колебаний, или число различных плоских волн с одним и тем же волновым вектором, всегда равно 3s.

Среди всех нормальных колебаний особый интерес представляют так называемые предельные колебания с волновым вектором к—0. Их число также равно 3s. Из формул (9.4) видно, что при этих колебаниях движения эквивалентных атомов в различных элементарных ячейках происходят в фазе. Если представить себе кристалл состоящим из подрешеток эквивалентных атомов, то можно сказать, что предельным колебаниям соответствуют колебания подрешеток друг относительно друга. Различные предельные колебания отличаются друг от друга как фазами, так и частотами колебаний подрешеток. Ясно, что среди них должны быть три степени свободы, которые описывают синфазное движение всех подрешеток, т. е. движение кристалла как целого.

Нормальные координаты, соответствующие одному и тому же значению волнового вектора, должны преобразовываться по некоторому (приводимому) представлению группы Нк этого волнового вектора. Представление Г, как было показано в главе VIII, при отсутствии несобственных трансляций определяется представлением точечной группы Р6. Нормальные колебания, преобразующиеся по неприводимому представлению группы F&, должны иметь одинаковую частоту. Найдем

представление Г. С этой целью рассмотрим смещения атомов, принадлежащих некоторой фиксированной (нулевой) ячейке: х^ — ^с^, <=1,23s.(9.5)

Смещения атомов ячейки, отстоящей от данной на вектор решетки а, согласно (9.4) имеют вид

х^ = 2 сме1 ^qr(9.6)

i

Рассмотрим теперь некоторые специальные смещения ;ф и Да), которые получаются из (9.5) и (9.6), если положить равными нулю все нормальные координаты qv кроме тех, для которых kj = k. Мы можем написать

4” = 2 с q .(9.5а)

(*/-»)

з»

^ = е1^ 2 сцЧ(9.6а)

(»/-*)

Выясним закон преобразования смещений ^9*. Очевидно, величины qj(kj = k) будут преобразовываться подобно величинам хФ). При преобразовании из точечной группы F& смещения х(3> могут переходить либо в линейные комбинации смещений атомов этой же ячейки, либо в линейные комбинации смещений атомов соседних ячеек. Однако для рассматриваемых специальных смещений хФ> в силу (9.6а) можно всегда ограничиться линейными комбинациями смещений атомов одной ячейки. Вычислить характеры преобразования величин х^) можно с помощью обобщения способа, рассмотренного в главе VI. Если при преобразовании g из группы Рк атом нулевой ячейки переходит в атом ячейки а, то соответствующий вклад в характер равен

(1 + 2 со$ф)е‘<*«), если g— поворот;)

} (9 7) (—1 + 2 cos ф) е‘<6“\ если g— зеркальный поворот. J '

В результате мы получаем следующие формулы для характеров представления, которое реализуется на смещениях х^':

X — (1 + 2 cos ф) 2 пае1^ для поворота, (9.8)

/ = (—1 -|- 2 созф) 2 «aei(6a) для зеркального поворота, (9.9) * а

где па — число атомов нулевой ячейки, переходящих при соответствующем преобразовании в ячейку а.

Ясно, что такие же характеры имеет представление Г, по которому преобразуются координаты qj с волновым вектором Л; — к.

Теперь, применяя формулу (3.88), основанную на свойстве ортогональности характеров неприводимых представлений, мы получим разложение представления Г на неприводимые.

Резюмируем полученные результаты. Нормальные колебания кристалла классифицируются с помощью волнового вектора к, лежащего в бриллюэновской зоне. Каждому вектору к соответствуют 3s нормальных координат, где s — число атомов в элементарной ячейке. Нормальные координаты, преобразующиеся по неприводимому представлению группы Fь, имеют одинаковую частоту. Такую же частоту имеют соответствующие нормальные координаты, принадлежащие другим векторам звезды вектора к.

Мы провели наше рассмотрение для кристаллов, пространственные группы которых не содержат несобственных трансляций. Однако все результаты могут быть аналогичным образом получены и для более сложных групп. При этом классификация нормальных координат, соответствующих одному значению волнового вектора, должна проводиться не по представлениям группы Fk, а по представлениям группы Ни.

При получении сведений о нормальных колебаниях кристалла мы опирались только на соображения симметрии. Однако картина будет недостаточно полной, если мы не выясним некоторые дополнительные свойства спектра собственных частот кристалла. В гармоническом приближении

смещения атомов кристалла удовлетворяют уравнениям

х^-^^Ь^р.j=i ох^-^^Ь^р.j=i о(9.10)(9.10)

х^-^^Ь^р.j=i о

х^-^^Ь^р.j=i о

(9.10)

(9.10)

Будем искать решение, соответствующее вкладу одного нормального колебания, т. е. положим

Х^ — СрХ^ — СрVha^-itotVha^-itot(9.И)(9.И)

Х^ — Ср

Х^ — Ср

Vha^-itot

Vha^-itot

(9.И)

(9.И)

Тогда система (9.10) сведется к системе 3s линейных однородных уравнений для коэффициентов с^ Условием существования нетривиального решения этой системы будет условие равенства нулю ее определителя. Мы получим алгебраическое уравнение степени 3s относительно величин ю2. Решения этого уравнения и дадут собственные частоты нормальных колебаний для данного значения волнового вектора к, симметрию которых мы только что определяли. Мы получим 3s корней coj (Лг), (о2(й)MsjW- Рассматриваемые как функции вектора к величины со,, со2co3i называют ветвями упругого спектра. Значения этих функций при к = 0 называют предельными частотами. Раньше мы показали, что при й=0 имеется три нормальные координаты, которые описывают смещение кристалла как целого (поступательные степени свободы). Очевидно, этим координатам соответствуют частоты, равные нулю. Поэтому мы можем утверждать, что три из ветвей спектра должны начинаться со значения со, равного нулю. Эти три вётви называют акустическими ветвями спектра. Остальные 3s—3 ветвёй называют оптическими.

• Выше мы показали, что нормальные координаты, соответствующие одному волновому вектору и преобразующиеся по неприводимому представлению группы волнового вектора, соответствуют одной и той же частоте. Поэтому, если порядок неприводимого представления группы волнового вектора больше единицы, то в данной точке к зоны Бриллюэна имеет место вырождение частоты или, как говорят, происходит «слипание ветвей». Слипание ветвёй может происходить как в отдельных симметричных точках, так и вдоль осей симметрии зоны Бриллюэна.■

Классификация электронных состоянийкристалла

Рассмотрим теперь электронные состояния кристалла, предполагая, что ядра атомов фиксированы в узлах решетки. Оператор Гамильтона многоэлектронной системы, находящейся в поле этих ядер, очевидно, инвариантен относительно преобразований ссогветствующей пространственной группы. Поэтому собственные функции этого оператора, соответствующие одному и тому же собственному значению, преобразуются по неприводимому представлению ^'группы симметрии кристалла, и их можно выбрать так, чтобы они были также собственными функциями оператора трансляции на вектор решетки. Мы будем обозначать такие функции через ^ftay ^iГУ’ а собственное значение энергии через Е6а. Здесь индекс к обозначает один из векторов звезды неприводимого представления, значок а нумерует неприводимые представления группы волнового вектора, а значок / — орты базиса а-го представления. Мы имеем

L^kaj (г-ГУ = ^а; (П + °^+ «) =

Из соотношения (9.12) следует, что функция

и*'■-.’)=«,,"!>','1.АГ./»)• <•••»>

N'.

где R = -jj^^ri, инвариантна относительно трансляций. Дей- i-I

ствительно,

W^ г^ = ик(г^а^ + «) =

— е-1 (», Кга^ка^ ^v . г^ =

rN^Ufc^rxrNy

Отсюда следует, что собственные функции нашей задачи всегда могут быть представлены в виде

^k*Arv '' - ^У^е1^^^^(9.14)

где UkQjQ-v .. ., г^— периодическая функция. Функции Ukaj, соответствующие одному и тому же собственному значению энергии, преобразуются по неприводимому представлению группы волнового вектора к. Если теперь функцию Ukaj представить в виде ряда, расположенного по некоторой полной системе периодических функций, и подставить функцию ^„у^. • - • - г^, определенную соотношением (9.14), в уравнение Шредингера, то мы получим линейную систему уравнений для определения коэффициентов разложения. Корни соответствующего векового уравнения дадут нам собственные значения энергии как функции волнового вектора

£] (Л), Е, (6), . ..

Говорят, что каждая из этих функций определяет энергетическую зону кристалла. В симметричных точках зоны Бриллюэна, на осях или плоскостях симметрии, значения некоторых из этих функций Et могут совпадать. Тогда говорят о слипании энергетических зон. Это слипание обусловлено вырождением энергии для данного значения к, о котором мы говорили выше.

Одноэлектронное приближение

Практически метод теории групп применяется к упрощенным моделям рассматриваемой задачи. Успех этих приближений в значительной мере связан с тем, что в них учтены свойства симметрии точного решения.

Основным методом приближенного рассмотрения является метод самосогласованного поля, в котором задача о взаимодействующих электронах сводится к одноэлектронной. Взаимодействие электронов приближенно заменяется некоторым эффективным полем, обладающим симметрией кристалла. Тогда собственные, функции одноэлектронного оператора энергии, обладающего группой симметрии кристалла, могут быть записаны так:

ЗД>е>^Мг\(9.15)

где Ukaj(r) — периодическая функция:

Волновые функции (9.15), являющиеся базисными функциями некоторых неприводимых представлений пространственной группы, называют функциями Блоха. Эти функции могут рассматриваться как обобщенные плоские волны с переменной периодической амплитудой ик(г). Вектор к называют квазиимпульсом электрона. Собственное значение энергии Е = = Е (к). как функция волнового вектора к, определяет одноэлектронную энергетическую зону.

Один из возможных методов решения одноэлектронной задачи состоит в разложении функции Ч^у по одноэлектронным волновым функциям атомов или ионов, образующих кристалл. Фактически этот метод представляет собой обобщение метода линейных комбинаций атомных орбит, который был рассмотрен в главе VII.

Условимся обозначать положение ячейки вектором а, а положение атома в ячейке — вектором I. Таким образом, положение /-го атома в ячейке а будет определяться вектором а-VI- Обозначим через фу (г — а — I) волновые функции Z-го атома, находящегося в ячейке а. Из этих функций легко построить линейные комбинации, которые преобразуются по неприводимым представлениям группы трансляций:

Ф(Д (И = 2 е' ^"W(г- а — 0(9.17)

а1

Действительно, мы имеем

ГаФ(Д = Ф%(г + а)=: 2 е^^Чг^а' — a — I). (9.18) ау

Введем обозначение а" = а— а'. Переходя от суммирования по а к суммированию по а", мы получим

ia- Ф$ (Г) = 2 е‘"(6 (в'+“') W (Г — а" — 1) =

= el<ka’^Vry (9.19)

Функцию ^^(г) мы можем представить в виде ^ауЧИ^^Ф/Ш(9.20)

где коэффициенты bkij подлежат определению. Практически в разложении функции Ч^у ограничиваются конечным числом волновых функций атомов в каждой ячейке и, следовательно,

конечным числом функций Фу» в сумме (9.20). Корни соответствующего векового уравнения дадут нам приближенные одноэлектронные энергетические зоны.

Решение векового уравнения можно упростить, предварительно построив из функций Фу» линейные комбинации WfeQj, преобразующиеся по неприводимым представлениям группы волнового вектора 6. Это построение можно выполнить с помощью метода, который был изложен в главе VII. Однако для этого сначала‘надо выяснить; как преобразуются функции Фу» при преобразованиях из .группы Fk. Пусть преобразование g £ F^. Действуя на функцию Фу» оператором Tg, мы получим

Т^Ф^ = 2 eZ ^“’фу (g-1^ — а — Z) =

= 2 eZ<*“^y(S"-I(^ — ga — gt)Y (9.21)

Ясно, что вектор ga — снова вектор решетки:

ga — а'.(9.22)

Если при преобразовании g l-й атом нулевой ячейки переходит в эквивалентный V-й атом ячейки av то мы можем написать

^=С1 + Г.(9.23)

Таким образом, мы получим

Т^\ = 2 el Vka^j^~Чг — а' — ах — ЛУ (9.24)

Предположим теперь, что закон преобразования атомных волновых функций для операции g нам известен, т. е.

^^g-ir) = 2 c^AgWP^Y(9.25)

Используя это соотношение, мы найдем

ТгФ$ = 2 е1 2(g) Ф/') (г - а"),(9.26)

аI 1

где

Перейдя от суммирования по а к суммированию по а', мы получим

^ф%= S ei—(9.28)

а"I

Воспользуемся теперь тем, что ортогональное преобразование g принадлежит группе волнового вектора. Следовательно, е1 (*■ В-' (“"-«i)) — е1 ^к, {^’-а.^ — е1 (,к, (a''-аа).

В результате мы получим

tg^fc = е-1^^ сц^Ф^- (9.29)

Таким образом, функции Ф(Д при преобразованиях из группы Ffe преобразуются так же, как атомные функции в молекулярной задаче, с тем лишь отличием, что если при данном преобразовании g l-й атом нулевой ячейки переходит в l-й атом ячейки а, то функции Фф, в линейную комбинацию которых переходит функция Ф;*, дополнительно приобретают множитель e-i^ai\

Если решетка одноатомная, т. е. в каждой элементарной ячейке имеется только один атом, то построение функций ^kai, преобразующихся по неприводимым представлениям группы Ffe, сводится к построению линейных комбинаций фа(- атомных функций, которые преобразуются по этим неприводимым представлениям. Действительно, легко проверить, что в этом случае функции Ч^си могут быть представлены в виде ^(r^e^^^(9.30)

Если в разложении представления группы Fkl по которому преобразуются функции Фу^, какое-нибудь неприводимое представление содержится только один раз, то соответствующие ему функции Wfcai будут приближенными одноэлектронными волновыми функциями рассмотренной задачи. В общем случае, когда некоторое неприводимое представление Г(а) содержится в упомянутом представлении несколько раз, для

9 М. И. Петрашень, Е. Д. Трифонов

определения волновых функций ^^а/ надо решать вековое уравнение, порядок которого равен кратности представления Г(а’.

Упражнение

Получить классификацию нормальных колебаний для двухатомного кристалла с простой кубической решеткой (рис. 14).

Глава X

Непрерывные группы

До сих пор мы рассматривали конечные группы. Теперь мы перейдем к изучению бесконечных непрерывных групп.

Непрерывные группы линейных преобразований

Мы будем рассматривать группы линейных преобразований, элементы матриц которых являются аналитическими функциями вещественных параметров. Пусть g (av а2, . .., аг) — элемент нашей группы. Параметры аР а2, ..., аг выбираются таким образом, что существует однозначное соответствие между окрестностью начала координат в r-мерном пространстве параметров и окрестностью единичного элемента группы. Если

^(«Г “2агМ<’ а2аг) = ^«' °2О-то(10.1)

а" = фй(ар а2, . ... а.; а', а'а').(10.2)

Функции фй, определяющие закон умножения в группе, предполагаются дифференцируемыми по всем своим аргументам. Кроме того, на них должны быть наложены определенные ограничения, обусловленные общими групповыми постулатами. Рассматриваемые нами группы линейных преобразований, удовлетворяющие перечисленным требованиям, принадлежат к классу непрерывных групп Ли. Если параметры аг изменяются в некоторой ограниченной области r-мерного пространства, то группу называют компактной.

Перечислим некоторые группы Ли линейных преобразований:

Полная линейная группа GL(n) состоит из неособых комплексных матриц порядка п. Элементы этой группы зависят от 2л2 вещественных параметров.

Унимодулярная группа SL(n) состоит из всех комплексных матриц п-го порядка, определитель которых равен 1.

Для этой группы г = 2я2 — 2. Ее вещественная подгруппа зависит от я2 — 1 параметров.

Унитарная группа U (я) состоит из унитарных матриц я-го порядка. Так как на элементы унитарной матрицы накладываются я2 условий ортогональности и нормировки, то число параметров, определяющих произвольный элемент группы U (ri), равно 2я2—п?=п1. Унитарная группа является компактной, поскольку сумма квадратов модулей элементов унитарной матрицы я-го порядка равна п. Преобразования из унитарной группы сохраняют неизменной квадратичную форму

XjXi -)- х2х2 + ... + хпхп.

Унитарная унимодулярная группа SU (п) является подгруппой группы U (п); она состоит из унитарных матриц с определителем, равным 1. Число ее параметров г = п?—1.

Ортогональная группа О (п) является вещественной подгруппой группы U(п). На элементы произвольной орто- тональной матрицы накладываются п -| ^—- условий ортогональности и нормировки. Поэтому число параметров в этой группе равно ——^—-. Определитель ортогональной матрицы равен 1 или —1.

Группа вращений О4 (я) состоит из ортогональных матриц и-го порядка с определителем, равным 1. Ясно, что „п (п — 1)

число параметров в этой группе также равно ■ ■ 2— Особый интерес для физических приложений представляет группа О 4 (3) трехмерных вращений.

Общие свойства групп Ли

Рассмотрим группу О линейных преобразований с матричными элементами gik — gik (аР а2аг). Введем в рассмотрение производные от этих матриц по параметрам az в точке а» = О (А=1, 2, ...» г), т. е. введем матрицы /2 с элементами

(10.3)

Матрицы /г мы будем называть инфинитезимальными матрицами группы О.

Каждый элемент матрицы g мы можем разложить в ряд по степеням az. Удерживая в этих разложениях только линейные относительно az члены, мы сможем представить общий элемент группы в окрестности единичного элемента группы в виде

g^E^a^.(10.4)

z-i

В выборе параметров группы имеется известный произвол. Действительно, мы всегда можем перейти к новым параметрам, взяв в качестве их любые однозначные функции параметров ар .... ar:

a, — a, (ap Оз, .. ., a,),

ar = ar (ap a2, . . ., ar),

для которых функциональный определитель ¥= 0.

В частности, если каждый из параметров az умножить на число Zz, т. е. положить

az = Xzaz,

то для новых инфинитезимальных матриц, соответствующих параметрам az, мы получим

= 77

В общем случае мы будем иметь

Составим теперь сопряженный с g' элемент gg'g~x группы. Если ^'-бесконечно малое преобразование (10.4), то с точностью до линейных членов по az мы можем написать

gg'g~x = Е + 2 ghg"^- (Ю-6)

Мы видим, что преобразование gg'g"' можно характеризовать теми же значениями параметров а;, что и преобразование g', если в качестве инфинитезимальных матриц выбрать матрицы

T^gltg-V(10.7)

Преобразованию (10.6) согласно (10.2), очевидно, соответствует следующее преобразование параметров:

«а = Ф*(У; ф(“- Y))-

где у и у обозначают совокупности значений параметров, соответствующих матрицам g и g-1. Предположим теперь, что параметры у также являются малыми величинами. Тогда с точностью до членов более высокого порядка малости по у мы можем написать

^£ + 2уЛ, g^ = E-^kIk. (10.8) кк

Подставляя (10.8) в (10.7), получим

Л = I s + 2 U^s — J к) У к 4"

4-члены, содержащие более высокие степени у6. (10.9)

В левой части этого равенства согласно (10.5) стоит линейная комбинация инфинитезимальных матриц. Поэтому в силу независимости членов с разными степенями параметров у6 мы можем утверждать, что коммутатор IkIs— IJk также есть линейная комбинация инфинитезимальных матриц. Таким образом, мы имеем

,IklS — ^к = 2 cksJv(10.10)

Коэффициенты cksl называют структурными постоянными группы.

Инфинитезимальные матрицы однозначно определяют группу, т. е., зная эти матрицы, мы можем определить любой конечный элемент группы. Справедливость этого утверждения мы покажем для того случая, когда элемент группы матриц g (аР а2, .... аг) одновременно является элементом

однопараметрической подгруппы этой группы ’). Итак, рассмотрим однопараметрическую подгруппу группы G. Ее образует некоторая совокупность матриц g, параметры которых могут рассматриваться как дифференцируемые функции параметра 9: az=az(9). Параметр 9 предполагаем выбранным таким образом, что

g (9,) g (02) = g (9, + 62),(10.11)

gl^ = E.(10.12)

Продифференцируем обе части равенства (10.11) по 9! и положим затем 9|=0, 92 —9. Тогда получим

'-й^с0)-(10-13)

где /6 = (-^|-) есть инфинитезимальная матрица, соответствующая параметру 9. Уравнение (10.13) представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений для элементов матрицы £"(0), которая имеет единственное решение, удовлетворяющее начальному условию (10.12). Это решение можно записать в виде

^(9)==ехр/09,(10.14)

где через ехр /69 обозначен ряд

ехр/69 = 5+/69 + 1 (/69)2+^г№4- • •• (Ю.15)

Используя формулу (10.5), мы можем написать

™\/0=о»

откуда

g-(9) = exp/09 —exp У9.(10.14а)

г-1

Полученные нами результаты (формулы (10.10) и (10.14))

*) В теории непрерывных групп доказывается, что любой элемент группы либо является элементом однопараметрической подгруппы, либо может быть представлен как произведение таких элементов (см., например, Л. Эйзеихарт, Непрерывные группы преобразований, ИЛ, 1947, гл. 1).

относились к элементам группы линейных преобразований. Очевидно, что они справедливы также для любой группы матриц D(g), дающих представление группы G. Инфинитезимальные матрицы представления D определяются по формуле

As=l^D^: (10.16)

Для инфинитезимальных матриц представления выполняются те же перестановочные соотношения, что и для инфинитезимальных матриц группы. Это объясняется тем, что структурные постоянные группы однозначно определяются законом группового умножения (10.2), который одинаков для группы и для всех ее представлений.

Некоторые из *свойств представлений конечных групп, рассмотренных в предыдущих главах (например, леммы Шура), не были связаны с конечностью группы и поэтому справедливы также и для бесконечных групп. Однако доказательство унитарности представлений, свойства ортогональности матричных элементов неприводимых представлений и все вытекающие из них следствия основаны на возможности суммирования по группе, которое было определено нами для конечных групп. Для непрерывных групп суммирование по группе должно быть заменено интегрированием по параметрам группы. Оказывается, что интегрирование по группе можно ввести только для компактных групп. Поэтому упомянутые выше свойства конечных групп могут быть распространены только на компактные группы.

' 3. Инфинитезимальные преобразования и законы сохранения

В главе V мы выяснили, что условие инвариантности физической системы относительно преобразований ее группы симметрии О может быть записано в виде

HTg=TgH (10.17) или в матричной форме:

Н D — D ^ Н. (10.17а) Здесь Н—оператор Гамильтона системы, Т g— элемент группы операторов, изоморфной группе О, a D(g")- матрица представления группы G.

Если группа преобразований G есть непрерывная группа, то для того, чтобы выполнялось условие (10,17), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

НА} = А}Н,(10.18)

где At—инфинитезимальные матрицы представления группы О. Необходимость этого условия очевидна: если для всех элементов группы О выполняется условие (10.17), то в силу определения инфинитезимальных матриц А, условие (10.18) также выполняется. Легко убедиться и в достаточности условия (10.18). Мы показали справедливость формул (10.14). Поэтому, если выполняется условие (10.18), т. е. Н коммутирует с матрицами Аь то Н коммутирует также со всеми членами ряда, соответствующего произвольному элементу группы G.

Вместо инфинитезимальных матриц Aj введем матрицы Bj — — lAj. Докажем, что если представление унитарно, то матрицы Bj эрмитовы. Действительно, напишем условие унитарности представления /)(§■) с точностью до членов, линейных по параметрам группы. Мы получим

£=D+(g)O(g)=^-i 2B;4jjE Vi^Bjttj^ откуда находим

5 «/ (В/ - В^ = 0/

или, в силу независимости параметров «у,

В; - В,.(10.19)

Эрмитовы матрицы Bj также коммутируют с матрицей Н

HBj — BjH.(10.18а)

В квантовой механике эрмитовы матрицы или операторы сопоставляются физическим величинам, а соотношение коммутации (10.18а) означает, что соответствующая физическая величина является интегралом движения. Таким образом, законы сохранения в квантовой механике можно рассматривать как следствие симметрии гамильтониана относительно некоторой непрерывной группы преобразований. ■

Группа двумерных вращений О* (2)

Элементами этой группы являются вращения в трехмерном пространстве относительно некоторой оси или, что то же, вращения в плоскости, перпендикулярной к этой оси, вокруг начала координат. Если мы примем ось вращения за ось Oz, то элементами группы О*(2) будут преобразования

я' — хсозф— у$шф, у' — х sin ф + у cos ф, (10.20) где ф—угол поворота, 0^ф<2л. Таким образом, группа О+(2) является однопараметрической компактной группой. Так как она является абелевой, то все ее неприводимые представления первого порядка в силу компактности группы унитарны. Поэтому мы можем утверждать, что в неприводимом представлении каждому элементу группы сопоставляется число у(ф), по модулю равное единице. Кроме того, должны выполняться условия

Х(Ф1)Х(ф2) = Х(Ф1 + ф2), Х(0)~Х(2л), (10.21) откуда легко заключить, что

Х(ф) — expim^, где т — 0, ±1, ±2, . .. (10.22)

Группу О* (2) можно рассматривать как предельный случай точечной группы Сп при га->оэ. Поэтому ее иногда обозначают через Ск. Физический интерес представляют группа Созу = CooX<$y (группа симметрии двухатомной молекулы с различными ядрами) и группа D^h = Сео» X * (группа симметрии двухатомной молекулы с одинаковыми ядрами). Стационарные состояния и энергетические уровни таких молекул классифицируются по неприводимым представлениям этих групп. Характеры неприводимых представлений этих групп могут быть получены тем же способом, что и характеры неприводимых представлений групп Спу и Cnh (см. главу VI).

Группа трехмерных вращений О+ (3)

Перейдем к рассмотрению группы От(3) вращений в трехмерном пространстве. Как мы знаем, эта группа является трехпараметрической. В качестве ее параметров возьмем сейчас три составляющие ар а2, а3 вектора а, направленного по оси вращения и равного по длине углу поворота. Напра-

вление поворота определяется по правилу буравчика. Очевидно, что всегда можно считать | а | <^ л. Поэтому областью изменения параметров а, является шар с радиусом л, и, следовательно, группа О+(3) компактная. Обратим внимание на то, что различным внутренним точкам шара соответствуют различные вращения, в то время как любым двум точкам поверхности шара, лежащим на противоположных концах диаметра, соответствует одно и то же вращение (на угол л).

Найдем инфинитезимальные матрицы It группы вращения. Очевидно, при дифференцировании матрицы ^(а,, а2, а3), являющейся элементом группы О+ (3), по одному из параметров мы можем положить остальные параметры равными нулю. Поэтому для вычисления 1Х рассмотрим матрицу, соответствующую вектору а (а,, 0, 0), т. е. вращению на угол а, относительно оси Ох. Это будет матрица

/1°0 \

g"(ap 0, 0) = | 0 cos а, —sina, I, \0 sina, cosa,/ и, следовательно, /0 00\

о о -1)1 aa, |ai-o I\ 0 10/

Таким же образом находим / 0 0 Ь/0—10

/2 = 1000 V/3 = | 100

10О/ \000

Легко проверить, что эти матрицы удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям:

/,/2 72?х = /3,

(10.23)(10.23)/2/3 — /3/2 — /,,

(10.23)

(10.23)

^Г Л'з^2' ’

Покажем, что приращение произвольного вектора при повороте на бесконечно малый угол вокруг определенной оси может быть выражено через матрицы 7,. Для этого рассмотрим вектор

r' = g^av a2, а3)г = гД-бг.

Здесь матрица ^(ар а2, аз) — произвольный элемент группы О + (3). При малых значениях параметров мы можем воспользоваться формулой (10.4) и написать

г' — [С 4~ а/, -|" «2^2 ~Ь аз4} 1"•

(10.24)(10.24)В случае вращения вокруг одной из координатных осей, например Ох, с точностью до членов первого порядка малости относительно ал мы будем иметь

(10.24)

(10.24)

dr = a.Jxrdr = a.Jxr(10.25)

dr = a.Jxr

dr = a.Jxr

и, следовательно, изменение вектора г при вращении на малый угол относительно оси, соответствующей параметру az, определяется матрицей a/z.

Покажем теперь, каким образом можно любую матрицу, соответствующую вращению с заданными значениями параметров ap а2 и а3, выразить через инфинитезимальные матрицы. Для этого рассмотрим однопараметрическую группу поворотов относительно оси, направленной по вектору a(aP a2, a3). Интересующая нас матрица соответствует повороту относительно этой оси на угол a = 1^ -j- a^ 4- с^, причем, очевидно,

a, = a cos (Ox, a), a2 = a cos (Oy, a), a3 — a cos (Oz, a).(10.26)

Используя формулу (10.14а), мы можем написать

£(аР а2, а3) = ехр/„а =

= ехр (7, cos (Ох, а) -|- /2 cos (Оу, а) 4- /3 cos (Oz, а)} а =

= expect, 4-/2а2 +/3Оз). (10.27)

Упражнения

Найти матрицы неприводимых представлений группы С^.

Найти матрицы неприводимых предщавлении группы D^.

Глава XI

Неприводимые представления группытрехмерных вращений

В этой главе мы найдем все неприводимые представления группы О' (3). Для этой цели нами будет использован метод, основанный на рассмотрении инфинитезимальных преобразований группы.

Инфинитезимальные матрицыпредставлений группы О (3)

В предыдущей главе мы нашли инфинитезимальные матрицы группы О+ (3) и показали, что они удовлетворяют перестановочным соотношениям (10.23), которые можно условно записать с помощью символа векторного произведения:

[/,/] = /. (11.1)

Мы знаем, что инфинитезимальные матрицы представлений группы должны удовлетворять таким же перестановочным соотношениям. Эти матрицы мы будем обозначать буквами ■dp Л2, А3.

Из результатов, полученных в предыдущей главе, следует, что если известны инфинитезимальные матрицы At некоторого представления, то матрица представления, соответствующая произвольному повороту с параметрами ар а2, а3, может быть записана в виде

D (а,, а2, а3) = ехр[а1Л1Ч-а2А2 + а3Д3]. (11.2)

Таким образом, отыскание представлений группы О *" (3) сводится к нахождению матриц Av Л2, А3, удовлетворяющих перестановочным соотношениям (11.1).

Выясним некоторые свойства матриц А^. Группа вращений является компактной, и, следовательно, любое ее представление эквивалентно унитарному. Поэтому мы можем ограничиться рассмотрением только унитарных представлений. Пусть

/)(«Р а2, а3)— унитарное представление, т. е.

D+ (аР а2, а3)£)(ар с^, а^ — Е. (11.3)

Записывая это равенство с точностью до линейных членов по а,-, мы получим

(Е-J-aMi Д-яг-Лг ~Ь-аз^з )(^Д-Я1Л1 Д~яг-Лг-Д Я3Д3) = £?,

откудаAt = — А^откудаAt = — А^(Н.4)(Н.4)

откуда

At = — А^

откуда

At = — А^

(Н.4)

(Н.4)

Таким образом, матрицы At являются антиэрмитовыми.

Для дальнейшего удобно вместо матриц At рассматривать их линейные комбинации:

Н+ — 1А1 — А2, H_ = iA!4-A2, H3 = iA3. (11.5)

Легко видеть, что матрица Н3 эрмитова, а матрицы Н л. и Н_ эрмитово сопряжены. Используя соотношения (11.1), можно показать, что эти матрицы удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям:

(Н.6)(Н.6)Н+Н_ - HJE = 2/У3,Н_Н3-Н3Н_^Н_,

(Н.6)

(Н.6)

Выясним, какими свойствами обладают собственные векторы матрицы На. Прежде всего покажем, что если *ок — собственный вектор матрицы Н3, соответствующий собственному значению X, то Н.v^ будет собственным вектором матрицы Н3, соответствующим собственному значению %+1. Действительно, пусть

H3dk=^Xdx.(11.7)

Тогда

Н3Н^ = (Н,Н3^Н+-)Т^(Х^-\>НзЩ}..(11.8)

Аналогично доказывается, что Н_тх есть собственный вектор матрицы Н3, соответствующий собственному значению X—1. Мы имеем

HJi-Tx = (Н_Н3 - Н_) тк = (X - 1) H_Dk. (11.9)

Так как матрица Н3 эрмитова, то все ее собственные значения вещественны, а собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны друг другу.

Покажем теперь, что все собственные значения матрицы Н3 будут целыми или полуцелыми числами, различающимися на единицу, причем если наибольшее собственное значение равно у, то наименьшее собственное значение равно —у.

Будем считать все собственные векторы dk матрицы Н3 нормированными на единицу. Тогда в силу (11.8) и (11.9) мы можем написать

H.-Ок — Мк+р(11.10)

H_Dx = ax<ox_v(Н.П)

где рх и ах— некоторые числа, которые мы найдем, используя условие нормированности векторов d;. Так как матрицы Н и Н _ эрмитово сопряжены, то мы имеем

<н^к> яй+1) = М^1Р *0^ = ^ =

^^к’ Н-^к-ц) ~ ak-n ^k' ®*)~аАгГ Таким образом,

Р» = а»н-(11.12)

Для того чтобы получить явные выражения для этих коэффициентов, найдем рекуррентное соотношение для коэффициентов р6. Если А < у, то мы можем написать

= -^ («к,1Р& + 2A) vk = рд_ хтк.

Отсюда, учитывая (11.12), получаем

p2 + 2A = p^_r(11.13)

Если же k — j, то Н+<ок — й, и, следовательно,

P2_i~ 2у.(11.14)

Используя соотношения (11.13) и (11.14), мы по индукции получаем

Рб = /(7 + 1)-*(*+ 1).(11.15)

Отсюда, используя (11.12), находим, что

a^j'UA 1)-А(А- 1).(11.16)

Таким образом, матрицы Н+> Н_, Н3 действуют на норми* рованные векторы ®л следующим образом;

Н--», ^VjUA- D - к (к - 1)( (11-17)

/л^/л/+1)~*(*+^ )

Действуя последовательными степенями матрицы Н_ на собственный вектор Dp мы получим набор собственных векторов

^р ^м- »н- • ••^р ^м- »н- • ••(11.18)(11.18)

^р ^м- »н- • ••

^р ^м- »н- • ••

(11.18)

(11.18)

В силу (11.17) последним вектором в этом наборе будет собственный вектор D_p так как H_d_, = 0. Отсюда следует, что наименьшее собственное значение матрицы Н3 равно — j. Число всех собственных векторов, очевидно, будет равно 2/+L и, значит, j может быть либо целым, либо полу- целым числом.

Неприводимые представления группы О+ (3)

Ортонормированные собственные векторы

-”р fj-v Vj-2т-j

матрицы Н3 образуют базис пространства /?2;+г Этот базис в дальнейшем мы будем называть каноническим. Из формул (11.17) следует, что пространство R2j+1 инвариантно по отношению к преобразованиям с матрицами Н,., Н_, Н3, и, следовательно, в нем реализуется некоторое представление группы Оh (3). Покажем, что это представление неприводимо. Для этого докажем, что пространство R2j+1 не имеет инвариантных подпространств по отношению к преобразованиям с матрицами D(av «2, а3) этого представления. Допустим противное, т. е. предположим, что существует подпространство R' cR2pv инвариантное относительно всех преобразований О(аР а2, а3). Но тогда это подпространство должно быть инвариантно также относительно инфинитезимальных преобразований А; (или НЛ_, Н_, Н3\ Пусть h^_R'— собственный вектор матрицы Н3, соответствующий наибольшему собственному значению. Так как R'cR2pv то век-

тор h может быть представлен в виде линейной комбинации векторов уа;

Очевидно, что --

Н+к — 0.(11.20)

Следовательно, мы получаем jj

H+h= 2 ckH^Tb= 2 ^Л+1 = О- (П-21) k=-jk^-j

откуда в силу линейной независимости векторов уй с_у = с_у+1= ... =су_1 = 0.(11.22)

Таким образом, мы получаем, что

Н = с;Ч)3,(11.23)

и, следовательно, 4)j£_R'. Но тогда все векторы ®у_, ®у_2, •••• ®-у также должны принадлежать R', и, значит, R' совпадает с пространством Rsj+V Таким образом, неприводимость представления, реализующегося в пространстве R^v доказана.

Мы видим, что неприводимое представление группы О + (3) определяется заданием наибольшего собственного значения у матрицы Н3. Число у называют весом неприводимого представления. Неприводимое представление с весом у мы будем обозначать через dA. Порядок представления dj\ очевидно, равен 2/-]-1.

Докажем, что все орты базиса неприводимого представления являются собственными векторами матрицы

Д2=^ + ^+^,(11.24)

соответствующими собственному значению — /(/ + 1). Выражая матрицу А2 через матрицы Н+, Н _, Н3, мы будем иметь АХ = - (Н+Н_ - Н3 + Н^ Vk = (₽| - к + ^ т6.

откуда

42®6 = -/(у + 1)^=-/+1у).(11.25)

10 М. И. Петрашень. Е. Д. Трифонов

Определим теперь вид инфинитезимальных матриц А неприводимого представления О(у) в каноническом базисе- Из формул (Ц.5) и (11-17) мы получаем

АхЧ)к = — у{«»«»-, 4-н6 + 1®б11}, А®й="7{«Л-1~ а*п®*т|Ь1<11'26)

А^ = — iHfc.I

Отсюда

Mi}a< = №. -W ~ — 4 (“A *-i+“*rl^z.* + l}> j {^2}^ “ №• ^2^a) ” "^ {^A^Z, A —1aA t A, A t lb

(11.27)

Мз}м—№• M»)=- ^6<* и, следовательно, матрицы

, А, /=- At имеют

/, -/+1, вид

-л

0

2 a-j м

0.

.0

0

0

/

0—

1

"2"а-/+2 ■

.0

0

0

0

0.

.0

0

0

0

0

0.

• -^ аУ-1

0

i 2"а/

0

0

0.

.0

-V

0

0

1

— 2"“-/+i

0

0

0

0

1

2 "-/+1

0-

1

2 а -у + 2

0

0

0

а^ =

0

1

2"а-У+2

0

0

0

0

0

0

0

1

"2 а/-|

0

1

"2 ау

1

0

0

0

0

1

-2 «у

0

(11.28)

U о ... оо iU— 1) ... о

(11.28)(11.28)

(11.28)

(11.28)

О О ... —Ц

Для определения матриц D^' (аР а2, а3) можно воспользоваться формулой (11.2):

О(у)(ар а2, а3) = еа>л^^+а’л\(11.29)

Определим, например, вид матрицы £)(У)(0, 0, а3) в каноническом базисе. Согласно (11.29) мы имеем

D^\0, 0, a3)=^e“A.D^\0, 0, a3)=^e“A.(11.30)(11.30)

D^\0, 0, a3)=^e“A.

D^\0, 0, a3)=^e“A.

(11.30)

(11.30)

Так как в каноническом базисе матрица А3 имеет диагональный вид (см. (11.28)), то все степени этой матрицы также будут диагональными матрицами, и, следовательно, представляя (11.30) в виде ряда и затем суммируя ряды, соответствующие одинаковым элементам матриц, мы сможем написать

D^ (0, 0, а3) =D^ (0, 0, а3) =еИа30еИа30о ... оe'U-Uo» Оо ... оe'U-Uo» О(11.31)(11.31)оо0. . . е - ' Г'аз0. . . е - ' Г'аз

D^ (0, 0, а3) =

D^ (0, 0, а3) =

еИа3

0

еИа3

0

о ... о

e'U-Uo» О

о ... о

e'U-Uo» О

(11.31)

(11.31)

о

о

0. . . е - ' Г'аз

0. . . е - ' Г'аз

С помощью (11.31) легко сосчитать характеры неприводимого представления D^. Действительно, в один класс группы вращений входят повороты вокруг различных осей на один и тот же угол. Класс определяется лишь углом поворота, и в качестве представителя класса можно выбрать поворот на угол ф вокруг оси Oz. Из (11.31) следует, что характер класса вращений на угол ф равен

Х(У) (ф) =Х(У) (ф) =^Дф -^Дф -sin ^sin ^

Х(У) (ф) =

Х(У) (ф) =

^Дф -

^Дф -

sin ^

sin ^

Двузначные представления

Матрица (11.31) соответствует повороту на угол а3 вокруг оси Oz. Единичному элементу группы О4 (3) в представлении матрицами D^' соответствует единичная матрица Elj + V Поворот на 2л вокруг оси Oz также является единичным элементом группы О4 (3), но, в то время как при j целом О(^(0, 0, 2л) = — Е^^р при у полуцелом О*-^ (О, 0, 2л) — — E2j+v Таким образом, при полуцелом j единичному элементу группы О4 (3) соответствуют две матрицы Ей -Ей, следовательно, каждому элементу группы О+ (3) соответствуют две матрицы D11^ и —D^\ элементы которых различаются знаками. Говорят,

Рис. 15.

что в случае полуцелого j матрицы D^’ дают «двузначное представление» группы О* (3). Двузначные представления играют весьма важную роль в физических приложениях: они используются, как мы увидим ниже, при описании частиц с полуцелым спином.

Получим явный вид матриц двузначного представления /У1/2), Для этого заметим, что всякое вращение можно осуществить в результате трех последовательных поворотов: поворота вокруг оси Oz на угол фР поворота вокруг оси Ох на угол 6, поворота вокруг оси Oz на угол ф2 (рис. 15). Поэтому матрица D^ [фр 6, ф2], очевидно, может быть представлена в виде

/^[фр 9- ф2] = О(1/2) (О, 0, ф2) £>(1/2) (6, О, 0)0(1/2)(0, 0, ф,).

Параметры фр 6, ф2 называют углами Эйлера.

Согласно формуле (11.31) матрица Л(1/2'(0, 0, ср), соответствующая вращению вокруг оси Oz на угол ср, имеет вид

0\

О, ср) =.(11.34)

\0' 2 У

Матрицу О(1/2'(0, 0, 0), соответствующую повороту вокруг оси Ох на угол 0, можно найти, решая систему дифференциальных уравнений, аналогичную системе (10.13):

dD d^dD d^= AXD= AXD(11.35)(11.35)

dD d^

dD d^

= AXD

= AXD

(11.35)

(11.35)

с начальным условием D(0) = Е. Так как инфинитезимальная матрица Л, для представления D^ согласно (11.28) равна

А — — If0 Ц1—2 Н Ор

то система (11.35) может быть представлена в виде

d9

4 °2-

dDxl d9 "

' D '

" 2 '22' 1

(11.36)

йРгх d0 ~

4^.

^^22„

dO —

2 12’ j

а начальные условия-

— в виде

Пн(0)=О22

(0) = 1,

А2(0) =

021(0) = 0.

Легко проверить, что решение этой системы, удовлетворяющее начальным условиям, дает

/0. . 9 х

cos = г sin \

D°'2\9, 0, 0) =0.(11.37)

У zsin-g- COS’g" У

9

cos 2" e 2

. . 9 - i sin e

<p2—<Pi

2

O(1/2'[<Pp

9, ф2] =

. o

9 -

Ti + tp2

. (11.38)

tsin-^e z

cos-g-e

Подставляя (11.34) и (11.37) в (11.33), мы получим матрицу

^' ^(Фр 9, Фг) для произвольного вращения:

Матрица (11.38) унитарна, и, кроме того, ее определитель равен 1. Легко проверить, что в таком виде можно представить любую унитарную унимодулярную матрицу второго порядка. Отсюда можно сделать вывод, что всякой унитарной матрице второго порядка с определителем, равным единице, соответствует вращение в трехмерном пространстве. Наоборот, всякому вращению трехмерного пространства соответствуют две матрицы, элементы которых отличаются знаками. Таким образом, группа вращений О; (3) гомоморфна группе SU (2) унитарных унимодулярных матриц второго порядка.

Разложение любого представления группы О+ (3)на неприводимые

Покажем, каким образом в базисном пространстве любого унитарного представления D группы О+(3) следует выбирать орты, чтобы в новом базисе представление матрицами D(g} распалось на неприводимые представления матрицами О^*.

Пусть Rn— базисное пространство представления матрицами D порядка п. Для этого представления определим матрицы Н+, Н_ и Н3 и найдем наибольшее собственное значение ]' матрицы Н3. С помощью матрицы Н_ образуем цепочку собственных векторов <о .,, v j,_T 4)_j, матрицы Ну соответствующих собственным значениям, различающимся на единицу. Примем эти векторы за первые 2/'4-1 ортов в новом базисе пространства Rn; остальные орты этого базиса, определяющие подпространство R', возьмем пока произвольно. Пространство R„ можно рассматривать как прямую сумму подпространств /?2/'+1 и R':

Rn — Rzj' + i© R'.

Матрицы D в новом базисе принимают вид

Теперь найдем наибольшее собственное значение матрицы Н3 и соответствующий ему собственный вектор в пространстве R'; пусть это будут /" и <Dj„. Если /' было вырождено, то, оче-

видно, j" = jr', если же j' — простое собственное значение, то У" < j'- Образуем снова цепочку собственных векторов Н3, начиная с вектора уу„:

10г vr-x^-г-

и, считая первые 2У'-|-1 ортов нового базиса фиксированными, принимаем векторы этой цепочки за следующие 2у,/ + 1 ортов нового базиса в пространстве Rn. Остальные п — (2/'4-1) — (2У"+0 ортов, взятые произвольно, определят подпространство R". Теперь мы будем иметь

Rn = Rij' +1 © R2f+1 © R".

а матрицы D примут вид

IF1 DU =IF1 DU =00000Du">00Du">000D"00D"

IF1 DU =

IF1 DU =

0

0

0

0

0

Du">

0

0

Du">

0

0

0

D"

0

0

D"

Продолжая этот процесс дальше, мы после конечного числа шагов исчерпаем пространство Rn. В окончательном базисе матрицы D будут квазидиагональными матрицами, составленными из матриц О(у) найденных нами неприводимых представлений.

Неприводимые представления ортогональнойгруппы 0(3)

В заключение этой главы остановимся вкратце на группе 0(3)—группе ортогональных преобразований в трехмерном пространстве.

Полная ортогональная группа О (3) представляет собой прямое произведение группы вращений О1 (3) и группы инверсии:

0(3)—0+(3)Х<- (11.39)

Группа I имеет, как известно, два неприводимых представления первого порядка: тождественное и знакопеременное. Поэтому группа 0(3) имеет по два неприводимых представления порядка 2/ + 1 для каждого целого /. Эти представления мы будем обозначать D^g и D^. Матрицы, соответ-

ствующие вращениям в этих представлениях, совпадают, а элементы матриц, соответствующие вращениям, сопровождаемым отражениями, различаются знаком, Таким образом, число представлений нечетного порядка группы 0(3) в два раза больше, чем у группы О+(3).

Иначе обстоит дело с двузначными представлениями группы О+(3), в которых каждому элементу S'[<pt, 9, ф2] этой группы соответствуют две матрицы, элементы которых различаются знаками. Очевидно, представления группы О (3), полученные умножением двузначного представления на тождественное представление группы и умножением на знакопеременное представление, будут совпадать: в каждом из них как элементу g, так и элементу ig будут соответствовать две матрицы, различающиеся знаком. Поэтому группа О (3), так же как и группа 0^(3), имеет по одному двузначному •2«+1

представлению DUI для каждого j =—^—.

Глава XII

Свойства неприводимых представленийгруппы вращений

В этой главе мы рассмотрим конкретные базисы представлений группы и получим правило разложения композиции неприводимых представлений на неприводимые части. ■

Сферические функции как базис неприводимогопредставления

До сих пор, исследуя представление группы О+ (3), мы не конкретизировали пространство, в котором оно реализуется. Сейчас мы рассмотрим случай, когда пространством представления является пространство дифференцируемых функций /(«) — /(0, ф), определенных на поверхности сферы единичного радиуса. Здесь п — единичный вектор, задаваемый полярными углами 9 и ф. При вращении g вектор п переходит в вектор gn. Соответствующее преобразование функций / (и) определяется унитарным оператором Tg;

(12.1)(12.1)

(12.1)

(12.1)

Мы знаем, что операторы Т g должны образовывать представление группы О+(3)!). Найдем инфинитезимальные операторы At этого представления. Они будут определять приращение функции / (и), линейное относительно параметров вращения az. Для поворота вокруг оси Oz на угол а мы имеем ^/(9, ф) = /(9, ф-а) = /(0, ф)-а^<+... (12.2)

Следовательно,

Л3/(9,Л3/(9,5/ (9, <р)()(р5/ (9, <р)()(р(12.3)(12.3)

Л3/(9,

Л3/(9,

5/ (9, <р)()(р

5/ (9, <р)()(р

(12.3)

(12.3)

*) См. главу III, п. 3.

Для произвольного поворота, определяемого параметрами аР а2, а3, мы имеем

^/(9, Ф) = Ж, <₽') =

3

/ (^’ ф) “4“ / J 1 Лй I 1 I + ~7i I “А J f Ct; 4“ . . . , (12.4)

откуда

Л = «/(9- Ф)> + Ш Ф)^-(12.5)

где

«/(9- Ф) = (SrL ')(0' Ф^М^гЬ (12-6) \ /о\ аа£ /о

Рассмотрим поворот вокруг оси Ох:

п' — п., n' = n„cosa4-n.1sina, п' =— /г., sina + n., cosa.

(12.7)

Отсюда имеем

dnxdn',=0, da a^0dadnxdn',=0, da a^0da^3da^3da= — п2. (12.8) a=0= — п2. (12.8) a=0

dnxdn',

=0, da a^0da

dnxdn',

=0, da a^0da

^3da

^3da

= — п2. (12.8) a=0

= — п2. (12.8) a=0

Так как

пх = sin 0 cos ф, /г2 = sin 0 sin <p, /i3 = cos0,

то из (12.8) мы находим

COS 0 COS ф —— sin 0 Situp —= О, \ da Jor \ da /о

СО5 051Пф -3— —sin 0 COS ф -г- = cos 0, i (12.9)

\ da Jo\ da Joi x J

— SinO — =—sin 0 sin ф.

\ da Jo*

Из этих соотношений мы без труда получаем

М9. Ф)-^)0^51пФ’

^i (9. ф) = ^)o = cig9cosф.

Следовательно,

Л,/(9, ф) = sinф^ +ctg9cosф^-.(12.11)

Совершенно таким же способом находим

-cos ф-^ + ctg Osin фД£. (12.12)

Найдем теперь в пространстве функций /(0, ф) базис неприводимого представления веса j. Мы знаем, что любой элемент базиса неприводимого представления группы вращений должен удовлетворять уравнению

(л?+ЛН^)/(0- ф)--7(У+1)/(9, ф). (12.13)

Если мы хотим найти канонический базис, то, кроме того, должны потребовать, чтобы

/Дз/(0, Ф) = от/(0, ф), т~ — j, — У+ 1, . . ., j. (12.14)

После подстановки (12.3), (12.11) и (12.12) в (12.13) и (12.14) мы получим

^эт»-heS)+^iэтv+У(У+1)/=l,■ (,215)

(1216)

Уравнения (12.15) и (12.16) совпадают с уравнениями для сферических функций и имеют решение только при целых значениях j—l. Число линейно независимых решений этих уравнений равно 2Z —|— 1 и, следовательно, совпадает с порядком неприводимого представления Dw. Таким образом, орты канонического базиса неприводимого представления с целым весом / в пространстве непрерывных функций /(0, ф) имеют вид

У™ (О, ф):=-Д-^е''т'гР;"(со5 0),(12.17)

У 2 л

где Р” — нормированная присоединенная функция Лежандра, определяемая формулой

(/-|,”|)! 1/ Д-X

*г (/ + |т|)! '22'/!

21)(1218)

(Pz-m(x)=(-l)mAm(x)).

Напишем преобразование сферических функций при вращении. Зная инфинитезимальные матрицы At неприводимого представления, мы можем найти матрицы этого представления для произвольных вращений. Однако более простые выражения получаются, если в качестве параметров вращения выбрать углы Эйлера фр 0Р ф2. Не проводя вычислений, напишем сразу результат1). Пусть вращение ^[фр Ор ф2] переводит вектор «'(О', ф') в вектор «(О, ф): ^“'«'(в', ф') = д(0, ф). Тогда

TgY?^- ^Y?^, ф') =

= 2 ^т- [фР Ор Фг] ¥?’ (0, ф),(12.19)

т' = — I

где

dS.- №.. е„ мew« х

Г. 11п'т-т', т + т') /

X COS -у 0 Sin у 0 Pl-m(cosO), (12.20)

Рп’ (cos 9) — полиномы Якоби:

р"’ ^ = У" <r -^“t1 +^Г6 ^-Х

х[(1 — х)й,"(1+^)6+"].

Композиция неприводимых представленийТруппы О+ (3)

Рассмотрим два неприводимых представления С^ и D^1 1 группы О+(3), которые реализуются в пространствах /?2y + i и Rij'^i. Обозначим канонические базисы этих представлений соответственно через

и^ (А = — У, — У + 1У)

И^ <т = — f, - У' + 1У').

Образуем теперь композицию D1-^ X D^ 1 неприводимых представлений D(y) и D^ \ Построенное представление будет реализоваться в пространстве /?(2/+i)(2y-pi), которое является прямым произведением пространств R.2j+\ и /?2/ +1- В каче-

’) См., например, [9], стр. 150.

стве ортов в пространстве /?(2/+1)(2/'+п мы выберем всевозможные произведения ортов и^'О^Х которые будем обозначать через ^^Х Преобразование ортов w^'> определится формулой

s--jr/'

. -h^Vg^XD^Vg^^ km4»Vrn. (12.21) s, r’

Найдем инфинитезимальные матрицы прямого произведения. Разлагая каждую из матриц Dt?) и О(; * по степеням параметров аг, мы получим

D<^X D^ = (E2j+1 + МУЧ .. ,)Х

X Ч/' + 1 + «Ч/ Ч • • •)= ^2/+1 X ^2/'+ 1 +

+ ai Ч^ X E^f +1 -j- E^j+x X ^?' 0 + •••(12.22)

Отсюда следует, что инфинитезимальные матрицы нашего представления имеют вид

^П = ^ X Е^х + Е2ЬХ X ^Р-(12.23)

Покажем теперь, что орты w^'* пространства Чу+щг/'т!) будут собственными векторами матрицы H^j * = lA^11 ! с собственными значениями к-^-тп. Действительно,

Н^"^^ = W X Чч i + 4+i X НУ') wkm, нУикХЕ-2ГА х-ОтЛ-Е-и+хикХН^-От^(12 24)

= feUkVm + икт-0т = (k+m) ukvm =

= (А + m) wknv

Так как число к может принимать 2у + 1 значений — jj, а число т может принимать 2у'+1 значений —- j'j', то их сумма М = к X т. может принимать 2(у' + У') + 1 различных значений: —j' — j ^ Л4Х j -|- j'. Поскольку число ортов ^Е'> равно (2/-|-1) (2yv + 1), то некоторые из собственных значений Л4 будут вырожденными (если только j или j' не равны нулю). Отсюда следует, что, за исключением случая, когда У=0 или j' = 0, представление D^ XD^^

является приводимым и, следовательно, может быть разложено на неприводимые части. Это разложение, называемое разложением Клебша — Гордана (см. главу IV), мы можем получить, если разобьем пространство /?(2y+i)(2y + i) на инвариантные ортогональные подпространства, в каждом из которых реализуется одно из неприводимых представлений группы вращений. Для этой цели удобно воспользоваться таблицей (стр. 159), по которой можно определить кратность вырождения собственных значений оператора Нр \ Для определенности будем считать, что j' > j. Рассмотрим наибольшее собственное значение матрицы tiP \ Оно не вырождено и равно j + j'. Действуя на соответствующий орт ч/рр последовательными степенями матрицы нЧ* \ мы получим цепочку собственных векторов матрицы Нр *:

w(//), нЧ^чю^Рp4j ^и *^ чюр-^. (12.25)

Эти векторы согласно п. 2 главы XI должны образовывать базис неприводимого представления веса J—jPj'. Пространство, в котором реализуется это представление, обозначим через ./?2(у+у)т1- Рассмотрим теперь в пространстве ^(2y+i)(2/' + i) ортогональное дополнение к пространству /?2(у+у’)+1- Как следует из таблицы, в этом дополнении имеется лишь один вектор с собственным значением У+У'— 1. Действуя на этот вектор последовательными степенями матрицы НЧ1 \ получим цепочку из 2(У—]— У'—1)4-1 векторов. Эти векторы образуют базис неприводимого представления Р1 + ^ -1). В ортогональном дополнении к пространству /?2(y+y-i)+i мы найдем один вектор с максимальным собственным значением j-|- j' — 2. Повторяя рассуждение, мы в результате представим пространство /?(2/-ц> (2/-+1> в виде прямой суммы ортогональных подпространств:

^(2у + 1) (2у' + 1) = ^2 (У+У) + 1ф^2(У + У-1) + 1ф ■ ф ^2(У - у>

(12.26)

Следовательно, разложение Клебша — Гордана для группы О+ (3) имеет вид

DU)X Du’', = Du+n@Du+r~r>® . . . ®Dn/~r'\ (12.27)

С. з. матрицы Н^ )

С. в. матрицы H^J )!)

Кратность c. 3.

У + У'

1

У+7-1

-1

2

7-У+1

№-/+1 У"

^i i'-u+i

2У

j' — j

ю-/ Г'

ю-/+1 г-1

i'-^i

2У+1

f-j-X

™_ir_v

w-/+l /'-2

^j r-2j-l

2У+1

— W — У)

w-j -j'+ip

to -/+1 -/'+2/-1' • • •

Wj_r

2У+1

— (7 — У) — 1

«y-i-r

2У

— j — f

™_5_Г

1

*) Верхние индексы

векторов w^ 1 для

краткости опущены.

Таблица собственных значений (с. з.) и собственных векторов (с. в.) матрицы Н^ ^ ^(f^ j)

КОМПОЗИЦИЯ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

Таким образом, мы имеем следующий результат: прямое произведение неприводимых представлений с весами j и j' разлагается на неприводимые представления с весами j -|- j', j-V j'■—1, . ... |/— j'\, причем каждое из этих неприводимых представлений встречается в разложении только один раз.

Из этого правила непосредственно вытекает, что тождественное представление входит в представление D(^ X D^ * только в том случае, если j = j'. Из (12.27) также следует, что произведение двух двузначных представлений (у и У — полуцелые числа) является однозначным представлением.

Орты ио^ канонического базиса, в котором представление О(Л X О^ ’ распадается на неприводимые, будут линейными комбинациями ортов r ' кт , к т

(12.28)(12.28)IS^M— 2 сО/'7)о(/)'р(У').

(12.28)

(12.28)

М, mm М т т

т, т

Коэффициенты c^i^ называют коэффициентами Клебша — Гордана или коэффициентами Вигнера для группы О+(3)’). Матрица С<?; 1 с элементами сЧпД (индексы J, М нумеруют строки, а индексы т, т' — столбцы) является унитарной матрицей порядка (2у-|- 1)(2у'-|- 1). Матрица С(у? * приводит представление DU1X ^(У * к квазиди.агональному виду:

(с^Т1 ^п х Dw^ сип

0 I о. (12.29)0 I о. (12.29)Du*n 0.

0 I о

. (12.29)

0 I о

. (12.29)

О£)(/ + /"-1) _

00... D(O-/'l)

В некоторых задачах приходится рассматривать произведение не двух, а трех неприводимых представлений D1"1^ X

') Таблицы коэффициентов Вигнера см. в книге [5], стр. 468. '

X D^ X С^» которое реализуется в пространстве R = = Rj, X Rh X Rj»- При построении канонического базиса в этом пространстве мы можем сначала построить канонические орты ц^М в пространстве R^ X Rj, и затем комбинировать их с ортами суИз) пространства RJa. Полученные таким образом орты обозначим через tyiu'iz)/). Однако можно было избрать и другой путь построения канонического базиса в R. Сначала построим орты СУ<72з) и затем будем комбинировать их с ортами ttiH1*. В результате мы получим орты tyC/23)/), Ясно, что орты tyU/12) 7) являются линейной комбинацией ортов гуН/и) 7);

^А^ л=2 (У,У2 (У12) У3У | У,У2Уз (У23) У) ^а) л- (12.30)

Коэффициенты (у^Уг (У12) УзУ I У1У2У3 (Угз) У) называют коэффициентами Рака. Можно показать, что

(У1У2 С/12) УзУ I У1У2У3 (Угз) У) =

=5 cUxjJx^cUnkhcUJd^cU\j^(12.31)

т,т2тХ2 ml2m3m т2т3т23 mim^m'х 7

^i + т2+т2 — т

Тензорные и спинорные представления группывращений

Введем понятие тензора n-vo ранга в трехмерном пространстве. Мы будем говорить, что нам задан тензор n-vo ранга, если в каждой ортогональной системе координат определена совокупность 3" чисел Т)^...^, которая при переходе от одной системы координат к другой преобразуется по закону

Т'-- ;’ = 2 S • • ■ S gfl gfi • • • Sfi Тн t '

Ч12' п 1,-1 «2 = 11п-\ 11 2 2 1пп 12'" л

(12.32) где матрица ||g)t|| связывает орты «старой» и «новой» систем координат:

з

< = S«Ad2 33>

6 = 1

11 М. И. Петрашень, Е. Д. Трифонов

Мы видим, что матрица преобразования компонент тензора совпадает с матрицей представления, которое является прямым произведением п «векторных» представлений. Такое представление мы будем называть тензорным представлением и-го ранга. Тензорные представления являются, конечно, приводимыми. Разложение его на неприводимые представления можно получить по правилу Клебша— Гордана. Тензорное представление любого ранга является однозначным.

Аналогично можно ввести понятие спинора n-vo ранга и спинорного представления группы вращений. В то время как при определении тензорного представления основным было векторное представление (12.33), определение спинорного представления основано на двузначном неприводимом представлении О(1/2\ Матрица этого представления, выраженная через углы Эйлера, имеет вид (см, (11.38))

а р \

- - .(12.34)

...— Р а /

где1

Q . <Pi+q>2„ , Фг—q)i

a=±cos-2-e 2 , р = ср t sin-g-е 2 .

Мы будем говорить, что нам задан спинор n-vo ранга, если в каждой ортогональной системе координат определена совокупность 2” комплексных чисел х? х х (^z”’ 2)’ К0т0‘ рые при переходе от одной системы координат к другой преобразуются по закону ’)

х', ,, = X a , a , .. . a , х • (12.35)

^х.х. ...х X X'

12 п22п п 12 п

Этот закон преобразования определяет представление группы вращений, которое является прямым произведением п неприводимых представлений О(,/2). Такое представление мы будем называть спинорным представлением zz-го ранга. Разложение

спинорного представления на неприводимые также можно найти с помощью правила Клебша— Гордана, установленного в предыдущем пункте. Ясно, что спиноры четного ранга преобразуются по однозначным представлениям, а спиноры нечетного ранга — по двузначным.

Так как матрица преобразования (12.35) может быть записана в виде прямого произведения w матриц ||а;6|| представления D :

IIЧьIIх11"^IIх Xp'-xll- (12-36) то инфинитезимальные матрицы спинорного представления можно представить в следующей форме (ср. с формулой (12.23)):

Ai = ’21E2XE2X ... ХЕ2ХАЧ№ХЕ2Х ... X Е2, (12.37) где аГ> — инфинитезимальные матрицы неприводимого представления D^2\ а суммирование проводится по всем положениям этого множителя в произведении.

Введем спинор у, ,. , у которого в данной системе

координат отлична от нуля только одна компонента %, ,, ■

Л2 ... Л/(

Рассмотрим действие на такой спинор инфинитезимальной матрицы На—1А3. Напомним, что матрица 1А2'"' имеет вид

<Д(з1/2)=).(12.38)

\° -2 У

Учитывая это, мы получим

H&xv\хп = Д — f) V2... хп’ (12-39)

где р — число значков данной компоненты спинора, равных 1, a q—число значков, равных 2. Если вместо индексов Kt

11

ввести индексы а1 — — , — —, то мы сможем написать

^зХ<т1Сг2Стп = (°! + °г + ... H-oJy^ v (12.40)

Таким образом, спинор хст а ...а является собственным спинором матрицы На, соответствующим собственному значению, равному сумме спинорных значков о^

Комплексно сопряженные представления

Мы будем говорить, что нам задай j-векпюр, если каждой ортогональной системе координат сопоставлена совокупность 2/4-1 чисел £т, т — — у, —/+1, ••■> У", которые при переходе от одной системы координат к другой преобразуются по закону

^т= 2 D™r(«i.«2,«3)U(12.41)

m'--j

где || О1^-1| — матрицы неприводимого представления. Сопоставим теперь каждой системе координат совокупность комплексно сопряженных чисел ^, где ^ определены формулами (12.41). Ясно, что числа ^ и tm связаны с помощью комплексно сопряженных матриц:

V = У О<7) Л ,.(12.42)

т = — j

Матрицы D(y), так же как и матрицы D*^, образуют представление группы вращений. Так как представление О(у) неприводимо, то представление О(у)такженеприводимо.

Поскольку этипредставления имеютодинаковыйпорядок,

то они должныбыть эквивалентными:

0n = VDU)V~\(12.43)

Матрица V определяется этим равенством с точностью до множителя. Действительно, предположим, что имеются две матрицы V и IF такие, что

0 й = VD^V-1 = WDU V"1.

Тогда мы можем написать

D^W = V~AWDU\

Поэтому матрица F~’1F кратна единичной:

V^W^E.(12.44)

Следовательно,

W = >y.(12.45)

Равенство (12.43) означает, что компоненты £т комплексно сопряженного вектора преобразуются по тому же закону, по которому преобразуются линейные комбинации 2 ^i^k составляющих исходного j-вектора. Найдем матрицу V. Для этого напишем равенство (12.43) с точностью до линейных членов по параметрам аг:

Е —|— ct[СС2^2—Н ^з^з

= 5 + axVAy-1 + аулу-1 + а3ИД3И-1. (12.46)

Отсюда следует, что

у^уду-1 (z=l, 2, 3).(12.47)

Используя явный вид (11.28) матриц А^\ мы получим:

47)= ¥A\h¥~\ ]

А^= ¥А^¥"\ |(12.48)

А^=¥АУ'¥-х. J

Ясно, что в качестве матрицы ¥ можно выбрать матрицу представления поворота на 180° вокруг оси Оу. Следовательно,

¥ = еА».(12.49)

Найдем выражение матрицы ¥ для представления О(1/2\ Для этого воспользуемся следующим свойством матрицы А2''2)-

/П/2Л2 / 0 ~ZY Л

(2/дН Ц z о /(12'50)

Представляя экспоненту (12.49) в виде ряда, мы находим И1/2) = ^Н^) 2L cos л _ (. s.n „ )^.^ = м,1/2< Следовательно,

И1/2) = 11.(12.51)

Пусть нам задан спинор Н I. Введем комплексно сопряжен

/ а \

ный спинор - - Согласно доказанному мы можем утвер-

X Ъ /

ждать, что величина'

преобразуется, как спинор. Наоборот, величина

о)(12.53)

преобразуется, как комплексно сопряженный спинор. Комплексно сопряженный спинор называют также ковариантным спинором.

Упражнения

Используя свойства унитарности матриц C^i \ доказать равенство (12.31).

Найти разложение на неприводимые представления тензорных представлений третьего и четвертого рангов.

Доказать, что разложение тензорного представления на неприводимые можно найти с помощью следующего рекуррентного правила:

где и® — число, показывающее, сколько раз неприводимое представление веса Z содержится в тензорном представлении n-го ранга.

Доказать, что разложение спинорного представления на неприводимые части можно получить с помощью следующего рекуррентного правила:

(У) (44 (4)

Чп-Чп-! +П„-1 -

где г^—число, показывающее, сколько раз неприводимое представление веса У содержится в спинорном представлении n-го ранга. Используя эту формулу, найти разложения спинорных представлений для п = 1, 26,

Глава XIII

Некоторые приложения теориипредставлений группы вращенийк квантовомеханическим задачам

1. Частица в центральном поле. Орбитальный момент

количества движения

Рассмотрим уравнение Шредингера для одной частйцы в центральном поле

{-^-д + ^(г)}хр(г) = £ф(г).(13.1)

Так как потенциал V (г) зависит только от абсолютной величины радиуса-вектора, то гамильтониан Н этой системы инвариантен относительно группы О+(3). Мы знаем (см. главу V), что это условие инвариантности может быть записано в виде

(13.2)(13.2)Т gH = HTg,

(13.2)

(13.2)

где операторы Tg, образующие представление группы вращений, определяются формулой

Т?ф(г) = ф(^-1г).(13.3)

Найдем инфинитезимальные операторы Лр Л2, Л3 этого представления, соответствующие поворотам вокруг осей Oxv Ох2, Ох3. Инфинитезимальные операторы Л; определяют приращение функции ф(г), обусловленное поворотом радиуса-вектора, линейное по параметрам аР а2, а3. Поэтому мы можем

написать з

(13.4)(13.4)(13.5)(13.5)б/Ф = МгФ = б/^д "57" Ф>.ц-1 ц

(13.4)

(13.4)

(13.5)

(13.5)

где согласно (10.25)

б1х1 = 0,6,х2—а^з, б,х3 =—а^,

б^] = — а2-К3, б2х2 = 0,д^з"0^!’

б3х, = а3х2, б3х2 = — а3хр б3х3 = 0.

Отсюда мы получаем

у дд

d дх2 2 дх3

'(13.6)Т можно'(13.6)Т можноЛд . д

'(13.6)

Т можно

'(13.6)

Т можно

J дхх 11 ох3

л^^

Л3 = Хо X, -: .

ох, 1 dx2

Так как с точностью до линейных членов оператор представить в виде

Tg—- f 4" о. Л,а2Л24~ «з^з>(13.7)

то из условия коммутации (13.2) следует

.Afi^H^.(13.8)

Наоборот, поскольку оператор Tg можно представить согласно (12.2) в виде ряда

tg = exp (а, А, 4- а2 Л2 + а3Л3) =

— Е + (а. Л, о2Л2 + а3Л3) 4*

4-^(а,Л]-|-а2Л24-а3Л3)24- •(13.9)

то из (13.8) следует (13.2). Таким образом, равенства (13.8) являются необходимыми и достаточными условиями инвариантности гамильтониана относительно группы вращений. Операторы Aj являются антиэрмитовыми. Введем эрмитовы операторы Нj = iAp которые можно рассматривать как квантовомеханические операторы, соответствующие некоторым физическим наблюдаемым. Действительно, операторы Hj с точностью до размерного множителя А совпадают с операторами Lj составляющих момента количества движения Lj = hHj, например:

= hHx = th А, = th ^x3 -^- — x2 ^-) = x2p3 — x322,

■23(13.10)

где pj — составляющая оператора импульса: pj — — In

В силу (13.8) операторы Lj коммутируют с гамильтонианом Н нашей системы и, следовательно, являются операторами интегралов движения.1

Таким образом, мы показали, что операторы составляющих момента количества движения с точностью до множителя совпадают с инфинитезимальными операторами представления группы вращений и, если уравнение Шредингера инвариантно относительно этой группы, они являются интегралами движения.

Рассмотрим теперь, какие заключения можно сделать о свойствах симметрии решений уравнения (13.1). Собственные функции этого уравнения, принадлежащие одному собственному значению энергии, должны образовывать базис неприводимого представления группы вращений. Из предыдущей главы мы знаем, что в пространстве функций могут реализоваться только представления D^ с целыми /. При этом функции, преобразующиеся по неприводимому представлению D^l\ должны удовлетворять уравнению

(^ + /?1 + /?1)ф(г)^/(/ + 1)ф(г)

или(13.11)

(Z? + Z2 + Z3) Ф (Г) - ЬЧ (/ + 1) ф (г).

Если функции, соответствующие вырожденному собственному ' значению, образуют канонический базис представления D(il, то они удовлетворяют также уравнению

Я3ф(г)==;тф(г)(13.12)

или

Zзф (г) = Атф (г) (т =— /, —/+1, . .., /).

В главе XII был получен явный вид функций, образующих базис неприводимого представления группы вращений. Поэтому мы можем утверждать, что решения уравнения Шредингера (13.1) имеют вид

Ф/т(г) = ^(г)г^)(е, ф).(13.13)

Мы получаем, таким образом, следующий результат. Собственные функции уравнения Шредингера (13.1) с данным собственным значением образуют базис неприводимого представления группы вращений О*^ с целым /. Кратность

вырождения уровня Ег равна 2Z —]— 1. Соответствующие ему собственные функции являются также собственными функциями оператора квадрата момента количества движения. Их всегда можно выбрать так, чтобы они были еще и собственными функциями оператора Z3.

Следует еще отметить, что полной группой симметрии рассматриваемой задачи является группа О (3) = О+(3) X <• В зависимости от того, является ли волновая функция симметричной относительно инверсии I или меняет знак, соответствующему состоянию приписывается квантовое число четности w= + l. Очевидно, что для одной частицы в силу (13.13)

w = (—1/.

Для доказательства этого соотношения достаточно вспомнить связь сферических функций Ylm с однородными полиномами степени I переменных х, у, z. Таким образом, для одной частицы классификация по собственному значению орбитального момента содержит в себе уже классификацию по четности. Впоследствии мы увидим (см. главу XIX), что для многоэлектронных систем эта зависимость отсутствует.

Правило сложения моментов количествадвижения

В предыдущем пункте мы показали, что операторы составляющих момента количества движения с точностью до множителя совпадают с инфинитезимальными операторами группы вращений. Используя эту связь, докажем правило сложения моментов количества движения.

Пусть имеются две невзаимодействующие частицы, каждая из которых находится в центральном поле, т. е. описывается уравнением Шредингера типа (13.1). Волновые функции частиц обозначим соответственно через ф;,^^) и Ф^тХ^)1 Для того чтобы не усложнять сейчас рассмотрение учетом принципа тождественности частиц (см. главу XVII), будем считать, что это частицы различной природы (например, электрон и протон). Тогда волновые функции рассматриваемой системы могут быть записаны в виде произведений

4’/„»1(ri)'IV(r2)- <1314>

Задача, которую мы хотим решить, заключается в определении возможных собственных значений Z2Z(Z+1) оператора квадрата полного момента количества движения £2 = для состояний (13.14). Действие оператора £п,-]-£<2) определяется по формуле

(Z(,) + Z(2)) q),^ (Г,) ф^ (г,) = ^Х'Ч^ + Чт?Хтг-

(13.15)

Сравнивая (13.15) с (12.23), мы видим, что в рассматриваемом случае составляющие оператора полного момента количества движения совпадают (с точностью до множителя) с инфинитезимальными операторами прямого произведения представлений D^1^ и D^. Поэтому наша задача просто сводится к разложению прямого произведения двух неприводимых представлений группы вращений на неприводимые представления. Применяя правило Клебша — Гордана, мы получаем, что квантовое число L может принимать значения 1х-\-1г, ^+ -|-/2—1, ..., |/] — /2|. Собственные функции операторов Z2 и Z согласно (12.28) имеют вид

')= 2 ^^.„.(г,)^(13.16)

где ctV^L, — коэффициенты Клебша — Гордана^

Спин

В n. 1 для описания состояния частицы в центральном поле мы использовали решения уравнения (13.1), которые преобразуются по однозначным представлениям группы вращений. Е'опрос о том, насколько хороши такие решения (а также и само уравнение) для описания реальной физической частицы, должен решаться сравнением с экспериментом. Как показывает >n^”'- уравнение (13.1) не может объяснить некоторых наблюдаемых свойств электрона. В частности, было обнаружено, что нарушение сферической симметрии в результате включения внешнего магнитного поля приводит к расщеплению основного уровня энергии Ео (I = 0), который согласно развитой в п. 1 теории должен быть невырожденным. Однако это противоречие снимается, если предположить,

что волновая функция электрона преобразуется при вращениях по двузначному представлению группы О (3).

В нерелятивистской квантовой механике волновую функ- /Х1 (г) цию электрона полагают двухкомпонентной величиной , х ‘\Х2(г)

которая при вращениях системы координат преобразуется по закону

X/(r,)= 2 «Z/(g-)%y(r) (r' = grY (13.17) j

где г и г' координаты одной и той же точки в разных системах координат, а коэффициенты а,у образуют матрицу представления Dll/2, группы вращений (см. (12.34)). Такую двухкомпонентную величину, заданную в каждой точке трехмерного пространства, называют спинорным полем.

Вероятность того, что электрон находится в элементе объема dv около точки г, определяется теперь выражением

(IXiCrH+IXsCDI2)^(13.18)

Так как матрица || «;д || является унитарной, то величина (13.18) представляет собой инвариант относительно преобразования (13.17):

| Xi (г') |2 + | Х2 (г') |2 = | X, (г) |2 +1 Х2 (г) |2.(13-19)

Найдем вид инфинитезимальных операторов для спинорного поля. Закон преобразования (13.17) мы можем представить в виде

X/' ^ = 2 «иХ, (ff-1^(13.20)

или

Рассматривая, например, поворот вокруг оси Ох3, мы можем с точностью до линейных членов по параметру а3 написать

Х'(г) = (£ + Л^а3)Х + аз(х2^--х,^-)х, (13.21)

где А3№ — инфинитезимальный оператор неприводимого представления Z)(1/21 группы вращений. Отсюда следует, что

инфинитезимальный оператор Л3 для спинорного поля имеет (13.22а)

Аналогично для А( и Л2 мы получаем

А1 = А1,™ + х,^--х2^-.(13.226)

А^лГ+х.^-х,^.(13.22,)

Предположим теперь, что гамильтониан электрона Н обладает сферической симметрией. Условие инвариантности относительно группы вращений теперь может быть записано в виде

AlH—HAi=Q, (13.23)

где операторы Л,- определяются формулами (13.22). Введем эрмитовы операторы

Jk = ihAk (6=1, 2, 3).(13.24)

Эти операторы, являющиеся в силу (13.23) интегралами движения, называют операторами составляющих полного момента количества движения. Оператор J состоит из двух слагаемых: введенного нами ранее оператора орбитального момента количества движения L и оператора $ = iM(1/2), который называют спиновым моментом количества движения. Согласно (11.28) в представлении, в котором оператор З3 диагоналей, оператор S может быть представлен в виде

(13.25)(13.25)

(13.25)

(13.25)

Матрицы Пр о2 и °з называют матрицами Паули, ствии оператора 53 на спинор X мы получимМатрицы Пр о2 и °з называют матрицами Паули, ствии оператора 53 на спинор X мы получимПри дей-(13.26)При дей-(13.26)

Матрицы Пр о2 и °з называют матрицами Паули, ствии оператора 53 на спинор X мы получим

Матрицы Пр о2 и °з называют матрицами Паули, ствии оператора 53 на спинор X мы получим

При дей-

(13.26)

При дей-

(13.26)

/хЛ (^\

Отсюда следует, что спиноры п и I являются соб-

VU \Х2/

ственными векторами оператора 53 с собственными значениями у и —^-. Так как произвольное состояние электрона можно представить в виде суперпозиции таких состояний:

(13.27)(13.27)'хЛ/хЛ /°\.Хг/ \°/ + \Х2/

(13.27)

(13.27)

то величина l/J2^ определяет вероятность того, что электрон, находясь в объеме di), имеет проекцию спина на ось Oz, й। ю

равную -^, а величина |х2| “у имеет тот же смысл для й

проекции спина —-^.

Рассмотрим приближение, соответствующее уравнению (13.1), когда в гамильтониане можно пренебречь спиновыми операторами. Тогда волновую функцию электрона можно

представить в видепредставить в видегдегде'хЛ,Х2/'хЛ,Х2/W)\Mr))W)\Mr))= ф(Г)= ф(Г)'хЛ1X2/’'хЛ1X2/’(13.28)(13.28)— постоянный спинор, а функция ф(г) является ре— постоянный спинор, а функция ф(г) является решением уравнения Шредингера. Значки компонент спинора удобно выбирать равными соответствующим собственным значениям оператора tA3 = -^ о3, т. е. равными у и —у.шением уравнения Шредингера. Значки компонент спинора удобно выбирать равными соответствующим собственным значениям оператора tA3 = -^ о3, т. е. равными у и —у.Иногда их рассматривают как аргументы функции,Иногда их рассматривают как аргументы функции,может принимать лишь два значения:может принимать лишь два значения:ф(г, о) = ф(г)/(ог) =ф(г, о) = ф(г)/(ог) =ф(г)Х1/2>MX-l/i-ф(г)Х1/2>MX-l/i-1 а=т;1 а=т;которая(13.29)которая(13.29)

представить в виде

представить в виде

где

где

'хЛ

,Х2/

'хЛ

,Х2/

W)\

Mr))

W)\

Mr))

= ф(Г)

= ф(Г)

'хЛ

1X2/’

'хЛ

1X2/’

(13.28)

(13.28)

— постоянный спинор, а функция ф(г) является ре

— постоянный спинор, а функция ф(г) является ре

шением уравнения Шредингера. Значки компонент спинора удобно выбирать равными соответствующим собственным значениям оператора tA3 = -^ о3, т. е. равными у и —у.

шением уравнения Шредингера. Значки компонент спинора удобно выбирать равными соответствующим собственным значениям оператора tA3 = -^ о3, т. е. равными у и —у.

Иногда их рассматривают как аргументы функции,

Иногда их рассматривают как аргументы функции,

может принимать лишь два значения:

может принимать лишь два значения:

ф(г, о) = ф(г)/(ог) =

ф(г, о) = ф(г)/(ог) =

ф(г)Х1/2>

MX-l/i-

ф(г)Х1/2>

MX-l/i-

1 а=т;

1 а=т;

которая

(13.29)

которая

(13.29)

Если уравнение Шредингера для нашей задачи инвариантно относительно группы вращений, то его собственные функции должны преобразовываться по неприводимым представлениям группы вращений Dtl\ Тогда с учетом спинового состояния каждый уровень энергии окажется 2 (2/ -|- 1)-кратно вырожден и соответствующие волновые функции могут быть выбраны в виде

Ът^^а, 1/2’ Ът^а, -1/2

'<Рш\ / 0 \, о / VM'<Рш\ / 0 \, о / VMИЛИ

'<Рш\ / 0 \, о / VM

'<Рш\ / 0 \, о / VM

(т — — 1, —/+1/).(13.30)

Ясно, что функции (13.30) преобразуются по приводимому представлению, которое является прямым произведением Е^1' X D^ll2\ Согласно правилу Клебша—Гордана мы имеем

(13.31)(13.31)D^ X Е^^qU-xP) ® ^yz+i/2)

(13.31)

(13.31)

Из функций (13.30) мы можем построить с помощью коэффициентов Клебша — Гордана функции, преобразующиеся по неприводимым представлениям, или, другими словами, собственные функции операторов /2 и ^З' Мы получим

W — C(Z, 1/2, J) /]_l_c(Z, 1/2, J)—

,/М1/2, 1/2,/И n । сЩ+1/2,-1/2, М I т

_ /C^-lVl/2, M^t, M-tp^ \

V№-xp.m^.m^M

Теорема Крамерса

Теорема Крамерса. Если гамильтониан, электрона коммутирует с оператором

„ О -

(13.33)(13.33)e=^s2K.

(13.33)

(13.33)

где К — операция комплексного сопряжения, а о2— оператор проекции спинового момента на ось Ох2, то

уровни энергии электрона будут двукратно вырождены ’)• Если рассматриваемая система обладает еще дополнительной симметрией и связанным с ней вырождением, то полная кратность вырождения уровней должна быть обязательно четной.

Покажем сначала, что коммутативность с оператором 0 имеет место, если только гамильтониан не содержит члена, описывающего взаимодействие с магнитным полем. Действительно, в этом случае к гамильтониану Но уравнения Шредингера (13.1) мы должны добавить лишь член спин-орби- тального взаимодействия, который имеет вид )

"^sMt^-$>■. <13 М>

Поскольку гамильтониан Но веществен и не содержит спиновых операторов, то очевидно, что

0ЯО —Яо0.(13.35)

Докажем, что для оператора Hso также выполняется условие коммутации

©HS0=HSQ©.(13.36)

Действительно, согласно (13.10) оператор L чисто мнимый. Поэтому

02 = — 20.(13-37)

Используя явный вид матрицы St, легко показать, что для оператора $ имеет место такое же соотношение:

0S~ —S0.(13.38)

Из (13.37) и (13.38) мы получаем равенство (13.36).

*) Теорема Крамерса доказана для системы, состоящей из нечетного числа электронов. В этом случае оператор Q — ^^a') ••• ...^^у, где оператор S^ относится к z-му электрону.

Если же нашу систему поместить в магнитное поле Н, то в гамильтониане появится дополнительный член

— ^-^(L + 2S),(13.39)

который, как это следует из (13.37) и (13.38), не коммутирует с оператором ©.

На основании соотношений (13.37) и (13.38), а также легко проверяемых соотношений

0р —— р0, 0г = г©(13.40)

оператор 0 называют оператором обращения времени.

Перейдем теперь к доказательству теоремы Крамерса. Легко проверить, что .

.02—— 1.(13.41)

Рассмотрим два электронных состояния, которые описываются спинорами

V(r)= ’ J, Ф(г) = ' J .(13.42)

\ШW)/

Определим их скалярное произведение в виде

(Т, Ф) = ф1Ф1 + Ф2Ф2.(13.43)

Используя свойство эрмитовости оператора S2, мы можем написать

(0Т 0Ф) = (ТФ) = (Ф, Ч^.(13.44)

Поэтому имеют место следующие равенства:

(Т, 0Т) = (0Т, 02Т) = (02Т, ©Т)^ — (Т, 0Т), (13.45) откуда

(Y, 04^ = 0.(13.46)

На основании равенства (13.46) мы приходим к заключению, что состояния Т и 0Т ортогональны, а следовательно, линейно независимы. С другой стороны, оба состояния, Т и ©V, в силу (13.33) должны принадлежать одному и тому же уровню энергии. Теорема доказана.

12 М. И. Петрашень, Е. Д. Трифонов

Сделаем одно важное замечание. Если рассматриваемая система обладает пространственной симметрией, то обусловленное ею вырождение может включать в себя и крамерсово вырождение. Тогда инвариантность относительно «обращения времени» не приведет к дополнительному вырождению. В качестве такого примера рассмотрим случай, когда группа симметрии системы совпадает с группой вращений О+ (3). Мы знаем, что в такой задаче состояние электрона характеризуется полным моментом J и собственное значение энергии вырождено 2J-|-1 раз по собственному значению М проекции этого момента. С помощью (13.32) мы можем написать наиболее общий вид волновой функции:

VjM^ = Rf ±(г) 7 2VjM^ = Rf ±(г) 7 2V ^ , 2, (9, ч» " - М '+2V ^ , 2, (9, ч» " - М '+2(13.47)(13.47)

VjM^ = Rf ±(г) 7 2

VjM^ = Rf ±(г) 7 2

V ^ , 2, (9, ч» " - М '+2

V ^ , 2, (9, ч» " - М '+2

(13.47)

(13.47)

(М = — J, — J+1J).

(13.48)(13.48)Здесь R 1 (г) и R i (г) — некоторые вещественные функции, которые зависят только от | г |. Напомним, что Ит) = = Р(гт)е1тф, Р^-”^ = (—\ТPf Коэффициенты Клебша—Гордана также вещественны и обладают рядом свойств, из которых нам понадобится следующее:

(13.48)

(13.48)

лУ\Ц^ — ДМ»/)т^М —ти —т^ -NV

Подействуем на функцию '^^(f) оператором 0, который

в нашем случае имеет вид

(13.49)(13.49)

(13.49)

(13.49)

Мы будем рассматривать только первое слагаемое. Преобразование второго слагаемого аналогично. Используя определение сферических функций и свойство (13.48) коэффициентов Клебша— Гордана, мы получим

0/? 2 (г)

J 2

= Я 2 (г)

J 2

(13.50)

Таким образом, мы имеем

©^ (Г) - ^-l)^7 ^(г).(13.51)

Мы видим, что оператор 0 связывает состояния с противоположными значениями проекции полного момента и в рассмотренном случае действительно не приводит к дополнительному вырождению.

Глава XIV

Дополнительное вырождениев сферически симметричном поле

В предыдущей главе мы исследовали классификацию собственных функций уравнения Шредингера с произвольным сферически симметричным потенциальным полем. Однако известны два типа сферически симметричного потенциала, для которых имеет место дополнительное вырождение, и, следовательно, рассмотренная классификация состояний не является полной. Это кулоновское поле U = — и поле изотропной упругой силы U = кг2. В этой главе мы покажем, что дополнительное вырождение связано с инвариантностью соответствующих уравнений Шредингера относительно определенных групп преобразований, для которых группа вращений является только подгруппой.

Дополнительное вырождение

Наличие дополнительного вырождения для указанных полей известно из решений соответствующих уравнений Шредингера.

Рассмотрим уравнение Шредингера с кулоновским потенциалом, т. е. уравнение Шредингера для атома водорода. В атомных единицах (е — 1, т=1, 6 = 1) оно имеет вид

(-1Д-1)ф(г) = £ф(г). (14.1)

Известно, что собственные значения этого уравнения, соответствующие связанным состояниям, определяются главным квантовым числом п:

(14.2)

При заданном значении п азимутальное квантовое число может принимать значения 1~п — 1, п— 2, . .., 1, 0. Это

означает, что волновые функции, соответствующие вырожденному уровню £„, преобразуются по приводимому представлению группы вращений, которое распадается на неприводимые представления D(,n-1\D^.

Дополнительное вырождение имеет место также для уровней энергии изотропного гармонического осциллятора, уравнение Шредингера которого имеет вид (в атомных единицах)

(-^Л + <'2)ф(') = Дф(г). (14.3)

Положим для упрощения записи ц = ®=1. Будем искать решение уравнения (14.3) в виде

<P(n = ^(0- ЧОу/^е^-2, /(0) = 0.(14.4)

Для функции /(г) мы получим уравнение

— 2r/'+[2« + 2 — -Ц±^-]/ = 0,(14.5)

где

« = £—4.(14.6)

Решение этого уравнения, удовлетворяющее граничному условию в нуле, может быть выражено через вырожденную гипергеометрическую функцию

/№ = гмр^_^, z + |, r=).(14.7)

Для того чтобы волновая функция стремилась к нулю при г->оо, ряд для гипергеометрической функции должен обры- _п — Z

ваться. Это возможно только в том случае, если — целое число или нуль. Отсюда следует, что число п должно быть целым. При фиксированном значении п, которое определяет собственное значение энергии, азимутальное число I может принимать значения п, п— 2, п— 4, ... Поэтому соответствующие волновые функции будут преобразовываться по приводимому представлению группы вращений, которое распадается на неприводимые представления D^1, D^n~2\ ...

Связь с классической механикой

Исключительный характер рассмотренных потенциальных полей проявляется также и в классической механике. Напомним, что согласно классической механике движение частицы в центральном поле потенциала U (г) происходит в плоскости, перпендикулярной к вектору момента количества движения £ = [г, р]. Если в этой плоскости ввести полярные координаты, поместив начало координат в силовой центр, то полярный угол ср и радиус-вектор г нашей частицы будут связаны соотношением

ср = J . ££-—-J- const, (14.8)

г2 у 2ME-Uvn--L-

где Е—энергия, р—масса частицы. Неравенство

(U.9)(U.9)л 2

(U.9)

(U.9)

<Е

определяет область изменения радиуса-вектора г. Эта область

во всяком случае ограничена снизу значениями r = rmln, так как в левой части неравенства содержится растущий при г—>0 центробежный член -^у . Если, кроме того, имеется и верхняя граница г = rmax, то движение называется финитным и его траектория должна целиком лежать в кольце с внешним и внутренним радиусами, соответственно равными rmax и rmln. Для произвольного

центрального поля траектория бесконечное число раз касается внутренней и внешней окружностей этого кольца и является незамкнутой (рис. 16).

Это происходит потому, что величина

zmax

A fLdr

Аф= J ■=

rmin ^у 2ц [£- и (г)]-^

в общем случае не является рациональной частью 2л. Однако для кулоновского поля и поля изотропной упругой силы траектории движения будут замкнутыми. Для кулоновского поля Аф = -^, для изотропного осциллятора Аф = ^- при любых значениях Е и L.

Группа симметрии атома водорода

Группа симметрии уравнения Шредингера для атома водорода была исследована В. А. Фоком в"1935 году1). Преобразования из этой группы не сводятся к преобразованиям в обычном трехмерном пространстве. Кроме того, группы симметрии этого уравнения для связанных состояний (£ < 0) и для сплошного спектра (Е > 0) оказываются различными. Мы рассмотрим сейчас более подробно случай дискретного спектра.

Уравнение Шредингера (14.1) для атома водорода в импульсном представлении имеет вид

2 / Ч I 1 Г ^P'W Р0 , х мл ЩЧ з^^+^Г J -(р-р^- =—Т^<14Л°)

где'

ф(р) = (2л)-3/2 ^ ^ (г) е~ирг’>dr, —^- — Е. (14.11)

Сопоставим каждой точке р в импульсном пространстве точку на единичной сфере в четырехмерном пространстве с координатами £, т], С, %:

я _ ^РоРх г ^РоРг

6 pUpv Ро + р2 ’

_ 2РрРуРр — Р2*(14.12)

ПРо + Р2’ %Ро + Р2 ’

^ + т12+^ + %2==1.

Если теперь ввести функцию

Ф(р)=у^р^(р20+р2У<?(р) = Ч?^, Л( ^ %),(14.13)

>) В. А. Фок, Изв. АН СССР, ОТН (1935), стр. 169—179,

то уравнение (14.11) может быть преобразовано к виду

Ф^. Л. С. х) ='

~ 2я2р0 J I s —&T + I Л —лТ + 1£ —£'12 + 1х~хТ

где dQ. — элемент поверхности четырехмерной сферы единичного радиуса, по которой проводится интегрирование. Уравнение (14.14) инвариантно относительно вращений в четырехмерном пространстве, и, следовательно, его группой симметрии будет группа О + (4). На основании теоремы Вигнера мы можем утверждать, что собственные функции этого уравнения должны преобразовываться по неприводимым представлениям группы О ’ (4). Неприводимые представления группы О + (4) мы получим в главе XXI. Мы сможем тогда убедиться, что классификация состояний по этим представлениям группы Ол (4) совпадает с обычной классификацией состояний атома водорода и объясняет дополнительное вырождение.

Интересно получить явные выражения инфинитезимальных операторов представлений группы четырехмерных вращений !). Для нашей задачи они являются кваптовомеханиче- скими интегралами движения.

В четырехмерном евклидовом пространстве можно рассмотреть шесть независимых двумерных плоскостей: ^л, Й» £Х. ЛС> ЛХ’ £х- Поэтому в качестве шести параметров, от которых зависит произвольная вещественная ортогональная матрица четвертого порядка, можно выбрать параметры поворотов в этих двумерных плоскостях. Бесконечно малым поворотам в этих плоскостях соответствуют преобразования

f V = ^ — “зД(^ = ^ + «2^(Л' = Л~ «£’

л' — “з^ ~г л;I ^ = — «2^+^>Н/=«1Л+С;

= ^ + Р1Х’(л'^Л + РгХ,р'=£ + 0зХ,

I х' = — М + х;I х' = — М + х;I х' = — РзС + х-.

(14.15)

В пространстве импульсов этим поворотам соответствуют

*) Ю. А. Добронравов. Вестник ЛГУ, № 10 (1957), стр. 5.

согласно (14.12) следующие преобразования:

1 Ру^Ру-^Рг-

Р'х= Рх А-^Р2-

j Рх=Рх-

«зРу» '

1 ^«iPy + Pz'-

. p'z—^Px-Vp,.

1 Ру = ^Рх

+ ^у;

। рхР^ „

Рх-Рх^2f

0Рх-Рх

р'— р

’^ = Р.

, 2Ру +Ро " ^Ро

А.

,. РгРх

1 Р^Р^ a

VP^PZ Ро Р

:р'г = Рг

P'x-Px-V-^^

(14.16)

Преобразования (14.16) в свою очередь индуцируют бесконечно малые преобразования в пространстве функций

6Ф = d^ 6^ + d^ 6^У + d^ 6^'<14-17>

Учитывая связь функций Ф(р) и ф(р), для последней по

лучим6Р1ф = ₽,лучим6Р1ф = ₽,M = «i (-Pz-^4 ‘^ —Ру —Pz + ^O ^W , .2р0орхM = «i (-Pz-^4 ‘^ —Ру —Pz + ^O ^W , .2р0орх(14.18)(14.18)РхРу ^Ф (Р) "Г" ps друРхРу ^Ф (Р) "Г" ps друРхРг Жр^Ро dpzРхРг Жр^Ро dpz4 2 ~ Ф (р)1 Ро J4 2 ~ Ф (р)1 Ро J(14.19)(14.19)

лучим

6Р1ф = ₽,

лучим

6Р1ф = ₽,

M = «i (-Pz-^4 ‘^ —Ру —Pz + ^O ^W , .2р0орх

M = «i (-Pz-^4 ‘^ —Ру —Pz + ^O ^W , .2р0орх

(14.18)

(14.18)

РхРу ^Ф (Р) "Г" ps дру

РхРу ^Ф (Р) "Г" ps дру

РхРг Жр^

Ро dpz

РхРг Жр^

Ро dpz

4 2 ~ Ф (р)1 Ро J

4 2 ~ Ф (р)1 Ро J

(14.19)

(14.19)

и еще четыре равенства, получаемые круговой перестановкой х, у, z.■

Мы написали инфинитезимальные операторы, соответствующие бесконечно малым преобразованиям (14.15) в пространстве волновых функций ф(р), принадлежащих уровню

группы четырехмерных вращений, действующие на любую функцию, разложимую по собственным функциям дискретного спектра, мы должны величину р0 заменить на оператор У—2/7. Заменяя также производные ^~, д^-’ "5^~ с00т" ветственно на lx, iy, iz, мы получаем окончательные выражения для шести инфинитезимальных операторов:

(14.20)(14.20)(14.21)(14.21)У = /Су — Р^'Ly = Pxz — Pzx,Lz = РуХ — рху;

(14.20)

(14.20)

(14.21)

(14.21)

д^ __ 1 Г [Р, Цх [А РАх£.1 -1 У 2

х 2L2r\V—Н’

у— 2L2г J ’—Н’

z 2L2г J Г— Н'

Первые три инфинитезимальных оператора совпадают с тремя составляющими оператора момента количества движения. Эти интегралы, как мы знаем, имеют место для всех сферически симметричных потенциалов. Интегралы (14.21) присущи только кулоновскому полю. Их можно записать в векторной форме: N=- [^’.L] ~ 1^-41 _ £1 т/_Д_.(14.22)

L 2Jr — Н

Соответствующая величина в классической механике совпадает с радиусом-вектором второго фокуса эллипса. Таким образом, смысл этого интеграла уравнений движения заключается в фиксировании направления перигелия орбиты, что связано с ее замкнутостью.

А. Фоком было показано, что для состояний сплошного спектра уравнение (14.1) инвариантно относительно группы преобразований, изоморфной группе Лоренца.

Группа симметрии изотропного осциллятора

После того как было объяснено дополнительное вырождение состояний атома водорода, естественно было попытаться определить полную группу симметрии изотропного

осциллятора. Эта группа была независимо найдена Демковым, Хиллом и Яухом *).

Задача о трехмерном осцилляторе является частным случаем задачи об га-мерном изотропном осцилляторе. Так как наше рассмотрение группы симметрии не будет зависеть от размерности осциллятора, то естественно обсудить общий случай.

Гамильтониан изотропного п-мерного осциллятора (в атомных единицах) имеет вид

” / „2„2\

+(И123)

4-1

Для простоты мы считаем, что масса т=1. Введем в рассмотрение операторы

«4==(2ю)_1/2(®^ +«РА)- |(14 24)

а+ = (2Ю)-1/2(Ю^ —гр6). J

Из перестановочных соотношений для рк и q^ легко получить перестановочные соотношения для операторов ак и а+. Они имеют вид

aA — oiak = 0> “l^t — atak =^' ak»t —а1ак = Чг

(14.25)

Гамильтониан (14.23) теперь может быть представлен в виде п

Н = ^^аь+^\(14.26)

Вместо операторов ак можно ввести новые операторы а', которые связаны со старыми произвольным унитарным преобразованием:

< = 5«6Д- а+ = ^и*ка+.(14.27)

SS

Легко проверить, что в силу унитарности матрицы ||«^|| операторы а'к и й' + удовлетворяют прежним перестановочным соотношениям.

■) Ю. Н. Дем ков, Вестннк ЛГУ, № 11 (1953); F. L. Hill, J. М. Juch, Phys. Rev. 57 (1950). 641. Здесь мы будем следовать работе Бейкера (С. A. Baker, Phys. Rev. 103 (1956), 1119).

Действительно, мы имеем

(14.28)

Ясно также, что гамильтониан (14.26) должен быть инвариантен относительно преобразования (14.27). Действительно,

Отсюда следует, что группой симметрии «-мерного изотропного осциллятора является «-мерная унитарная группа U (п).

Для трехмерного осциллятора группой симметрии является, следовательно, трехмерная унитарная группа U (3), которая содержит группу вращений в качестве вещественной подгруппы. Действительно, если мы будем считать матрицу || uik\\ вещественной, то преобразования (14.27) могут быть записаны в виде

• 33

< = S V,- а? = 5 ик$а+. (14.31) 5 = 15=1

Такому преобразованию операторов as, а + соответствуют одинаковые преобразования операторов qk и рк:

^ = S«e^. ^ = S«^s.(14.32)

S5

которые представляют собой обычные вращения в трехмерном пространстве.

Обратимся снова к «-мерному изотропному осциллятору и найдем представления, по которым преобразуются его вырожденные волновые функции. Изотропный «-мерный осциллятор можно рассматривать как совокупность « одинаковых одномерных осцилляторов. Поэтому его волновая функция

может быть представлена в виде произведения

Фт_тп = Фт_ (?1) % ^ • ' ' <Чп> (14'33)

(14.34)(14.34)где фт^ — волновая функция одномерного осциллятора с собственным значением энергии ®^тг + у^ Волновая функция (14.33) соответствует собственному значению энергии

(14.34)

(14.34)

Е — ццт, -|- т2 + ••• + тл + "2

Ясно, что этому значению энергии соответствуют все функции Ф^/^/, для которых выполняется равенство

о)^т, +>«2 + ... -ф- т'п + "2) = Е- (14.35) Основное состояние нашего осциллятора описывается единственной функцией

Фо...о = Фо(?1) ••• ТоМ- О4-36)

Можно доказать, что функция Фо...о преобразуется по тождественному представлению унитарной группы. Волновые функции возбужденных состояний можно, как известно, построить, действуя на функции основного состояния операторами а^. Опуская нормировочные множители, мы можем написать

% ...т=(<4<2 • • • (^"X.-.o (14-37) и, следовательно, собственные функции, соответствующие собственному значению представимы в виде

а±а±...а+Ф 0. (14.38)

Так как порядок расположения операторов at несуществен, то при преобразованиях (14.27) эти функции преобразуются, как компоненты симметричного тензора m-го ранга в га-мер- ном пространстве.

В теории представлений унитарной группы доказывается, что такие представления, реализующиеся на компонентах симметричного тензора, являются неприводимыми ). Эти

представления, однако, не исчерпывают всех неприводимых представлений унитарной группы. Мы лишены здесь возможности проанализировать этот вопрос более подробно и ограничимся лишь подсчетом порядка представления, которое реализуется на компонентах симметричного тензора m-го ранга в «-мерном пространстве. Мы знаем, что порядок представления равен кратности вырождения соответствующего уровня энергии. Подсчитаем число независимых компонент симметрического тензора ранга т. в «-мерном пространстве. Пусть ^jt...jm — компонента такого тензора. Значки jv J2jm в силу симметрии тензора всегда можно расположить в неубывающем порядке:

В этом случае всегда будут выполняться неравенства

^1 < <2 < • • • < ^ш*

где ik = jk-\-k— 1. Числа 1к все различны и могут принимать значения от 1 до n-\-tn—1. Поэтому число различных компонент симметричного тензора равно числу различных сочетаний из n-V-m—1 значений по т. Таким образом, кратность вырождения уровня с — т-у- изотропного «-мерного осциллятора равна

Так как мы уже значительно вышли за рамки задачи о трехмерном осцилляторе, то позволим себе вкратце остановиться на свойствах симметрии волновых функций «-мерного изотропного осциллятора, если его координаты преобразуются по унитарному и вещественному представлениям некоторой группы симметрии, например точечной группы, как это имеет место в задачах о нормальных колебаниях молекул. Такое преобразование координат вызовет аналогичное преобразование операторов а^. Поэтому, опираясь на проведенное выше рассмотрение, мы можем утверждать, что волновые функции, принадлежащие собственному значению энергии т + ^, будут преобразовываться по /«-кратной «симметричной» степени представления, по которому преобразуются нормальные координаты (см. гл. XVI).

Глава XV

Группа перестановок

В этой главе мы рассмотрим группу Sn перестановок п символов и получим ее неприводимые представления. Конкретной реализацией этой группы в квантовой механике является группа перестановок переменных, описывающих тождественные частицы. Для того чтобы с самого начала была ясна цель нашего рассмотрения, начнем с постановки квантовомеханической задачи.

Квантовомеханическое описание системытождественных частиц

Рассмотрим уравнение Шредингера для системы, состоящей из п одинаковых частиц:

H(qv 42Чп)^^!9Л) == ^ (9р 424nY (15-1)

Здесь qt — совокупность переменных, относящихся к Z-й частице. Так как гамильтониан H(qv q2qn) должен быть инвариантен относительно перестановок переменных qt, то решение уравнения (15.1) должно преобразовываться по неприводимому представлению этой группы.

Для того чтобы теория согласовывалась с экспериментальными результатами, необходимо потребовать, чтобы волновая функция системы частиц с полуцелым спином была антисимметричной относительно перестановки любой пары частиц, а волновая функция системы частиц с целым спином — симметричной:

^(^р 924^ = — ^<42- 414^ ДЛЯ частиц

с полуцелым спином,

V^p 424^=^ <42- 414^ДЛЯ частиц (15'2)

с целым спином.

В квантовой теории поля эта связь получила объяснение в теореме Паули. Таким образом, для описания симметрии волновых функций системы тождественных частиц в действительности из всей совокупности неприводимых представлений группы перестановок используются два простейших одномерных представления: антисимметричное и симметричное. В дальнейшем, как правило, мы будем иметь дело с системами электронов и, следовательно, с антисимметричными волновыми функциями. Основное применение теории представлений группы перестановок в квантовой механике многих частиц связано с приближением, в котором гамильтониан системы предполагается не зависящим от спинов.

Тогда стационарное уравнение Шредингера для многоэлектронной системы имеет вид

H(rv г2гл)Ф(г„ • ... гп^ = Е^<гхгя). (15.3)

Полная «антисимметричная» волновая функция может быть построена путем антисимметризации произведения решения этого уравнения и спиновой функции х(ор о2, •••> °л):

^(Гр О,г„, о„) =

= S(— l/^^ip^^, гР1^Jz^,Орп). (15.4) р

где е(р) — четность перестановки р, а суммирование проводится по всем перестановкам п индексов. Координатная волновая функция ф(гр . ... гп), являющаяся решением уравнения Шредингера (15.3), не обязательно должна быть антисимметричной относительно перестановки своих аргументов. Так как гамильтониан H(rv r2, .... гп) инвариантен относительно перестановки переменных rv г2, . ... гп, то волновая функция ф(гр г2, • . гл) согласно теореме Вигнера должна преобразовываться по одному из неприводимых представлений группы перестановок 8П. Единственное ограничение, которое накладывается на класс допустимых неприводимых представлений, заключается в том, что результат антисимметризации в формуле (15.4) должен быть отличен от нуля. В главе XVI мы подробно рассмотрим вопрос о построении волновой функции многоэлектронной системы, а сейчас перейдем к изучению группы 8„ и всех ее неприводимых представлений.

Группа перестановок п символов

Элементами группы перестановок Sn являются л! операций -перестановок п символов. Перестановка s, которая на место символа с номером I ставит символ с номером sz, записывается в виде

(15.5)(15.5)

(15.5)

(15.5)

назы-назы-/1

назы-

назы-

Произведением двух перестановок s =

вают перестановку

ts = 1)•(15.6)

\ Ц /

/ Z\

Тождественным элементом группы является перестановка I а обратной для перестановки s является перестановка .

(15.7)

Особый интерес представляет циклическая перестановка т символов (/ип), в которой символ с номером Jk заменяется

на символ с номером fk+v если к < т, а символ с номером fm заменяется на символ с номером /г Такую перестановку мы будем записывать в виде скобки (/р /2/т).

Произвольную перестановку можно выразить с помощью произведения циклических перестановок. Поясним это на примере. Действительно,

1 2 3 4 5 6 7 8\

2 4 6 1 5 7 3 8Ь(124)(367)(5)(8)- <1518)

Циклическую структуру перестановки будем характеризовать совокупностью чисел ар а2, .. ., ап, где число af показывает, сколько циклических перестановок из I символов содержится в данной перестановке. Например, циклическая структура тождественной перестановки характеризуется следующей совокупностью:'

а, — п, а2 — а3 = ... = а„ — 0.

13 М. И. Петраи;ень, Е. Д. Трифонов

Циклическая структура перестановки (15.8) определяется следующими значениями:

' а, = 2, а2 = 0, а3 = 2, а4 = а5 = . . . = а8 = 0.

Так как число переставляемых символов равно п, то всегда имеется равенство

а1~]-2а2”]- . .. -|-иал — п.(15.9)

Рассмотрим две перестановки, обладающие одинаковой циклической структурой, например:

а = (123) (45) (6), b = (431) (26) (5).

Эти перестановки различаются лишь перенумерацией значков, которую можно выполнить с помощью перестановки /123456)

/=Д4 31265/’

т. е. a = C'bt. Следовательно, а и b принадлежат одному классу. Очевидно, что и, наоборот, перестановки, принадлежащие одному классу, т. е. отличающиеся друг от друга перенумерацией значков, обладают одинаковой циклической структурой. Таким образом, мы приходим к важному выводу, что перестановки с одинаковой циклической структурой образуют класс и, следовательно, число различных классов равно числу различных циклических структур. Число символов в циклической перестановке будем называть длиной цикла. Если обозначить через Ар А2, . .., \к (А] + А2+ • • • + ^й = п) длины циклов, на которые разлагается произвольная перестановка, то число различных циклических структур, совпадающее с числом классов, будет равно числу различных возможных разбиений п на целые положительные слагаемые. Из общей теории представлений конечных групп следует, что группа перестановок 8П имеет такое же число различных неприводимых представлений.

Неприводимые представления группы Sn

Перейдем теперь к нахождению всех неприводимых представлений группы 8„, Мы уже упоминали о двух одномерных, а следовательно, неприводимых представлениях — симметричном и антисимметричном, по которым преобразуются

волновые функции частиц с целым и полуцелым спином соответственно. В симметричном представлении любой перестановке сопоставляется 1, а в антисимметричном (—1)е^\ где е(р)— четность перестановки р, т. е. в этом представлении всем четным перестановкам сопоставляется 1, а нечетным — 1.‘

Задачу нахождения неприводимых представлений будем решать следующим образом. Рассмотрим функцию F^v у2, • • ■ • Ул)- являющуюся произведением п независимых функций, каждая из которых зависит от одного аргумента:

/"(Ун У2. •••■ У«) = Ф1(У1)Ф2(У2) ••• ФЛ(УЯ)- (15.10)

Определим теперь операцию перестановки аргументов функции F(yv у2у„) формулой

PF=F^P; у^Ур^МУхУ„). (15.11)

Применяя к функции F все п! перестановок, мы получим л! независимых функций Fp. При действии на функцию Fp произвольной перестановкой q мы получим

чрР^х- у2yn)=qF^p. уР2ур)=

= F(y , у , .... у )=F .(15.12)

Из формулы (15.12) следует, что функции Fp образуют базис регулярного представления группы перестановок. Напомним, что регулярное представление является приводимым и каждое неприводимое представление порядка I содержится в нем I раз.

Рассмотрим линейное и!-мерное пространство R, элементами которого являются произвольные линейные комбинации функций Fp.

2 cpFp.(15.13)

Р^п

Разложение регулярного представления, которое реализуется на функциях Fp, сводится к разложению пространства R на неприводимые инвариантные подпространства относительно группы 8п. Воспользуемся сейчас тем, что функцию F мы выбрали в виде произведения (15.10), Это позволит нам

наряду с оператором р перестановки аргументов рассматривать также оператор Р перестановки функций фр определяемый следующим равенством:

^ф^М^) M^p"xf- (1514)

Легко видеть, что операторы q и Р коммутируют друг с другом:

qP — Pq.(15.15).

Действие оператора Р на функцию F эквивалентно действию на эту функцию оператора р = qp~'q~\ Действи-

^=='МУ»,)Фр2(У»2) • ^р„(Ч)-(15-16)

С другой стороны,

qp-xq-xFq = 5p-^-^x^q^p^ ф„(увл) =

= 5^- *Ф, (У1) Ф2 (Уг) • • • Фя (У„) = = ^1(У1)Ф„з(У2) .. - ФРи(У„) =

= Ъ1(у?1)Фр2(У?2) • • • ^„(У»„)-(15-17)

Мы видим, что действие оператора Р на различные функции Fq эквивалентно действию различных перестановок аргументов. Поэтому результат применения оператора Р к произвольному элементу (15.13) пространства R не может быть выражен с помощью какой-либо перестановки аргументов.

Покажем, как с помощью операторов Р можно построить инвариантное подпространство пространства R. Выберем, например, из функций ф; К функций. Все перестановки номеров этих функций образуют группу SK. Составим оператор симметризации

&sx = 2 Р.(15.18)

Если оператором Qsx подействовать на все функции Fp, то получим п! функций, симметричных относительно перестановок X функций фР Ясно, что не все построенные таким

образом функции будут линейно независимыми и, следовательно, они образуют лишь некоторое подпространство R' пространства R. Докажем, что подпространство R' инвариантно относительно любых перестановок аргументов ур у2> • • •• Уп- Действительно, произвольный элемент пространства R' можно представить в виде

^2 cqFq = 2 С 2 PFq. (15.19)

Подействуем на него оператором произвольной перестановки / аргументов. Используя соотношения коммутации (15.15), мы получим

t 2 с 2 FF = ^cq^ PFtq=^SK 2 c'q,Fq„р^Ч ^4 р^Ч^4 4 4

(15.20) где c,q, = ct-lq.

Мы видим, что функция, стоящая в правой части этого равенства, принадлежит подпространству R' и, следовательно, подпространство R' инвариантно относительно любых перестановок аргументов. В частности, если Х — п, то подпространство R' будет состоять из одной функции Fs, симме,- тричной относительно любых перестановок функций фР

FS = QS„F = 2 PF..PtsnFS = QS„F = 2 PF..Ptsn(15.21)(15.21)

FS = QS„F = 2 PF.

.Ptsn

FS = QS„F = 2 PF.

.Ptsn

(15.21)

(15.21)

Аналогично можно получить инвариантное подпространство, антисимметричное относительно перестановок X функций фР Соответствующий оператор антисимметризации имеет вид

2 (-XfwP.(15.22)

р^Ч

Если X — п, то мы получим функцию, антисимметричную относительно группы Sn\

FA = &AnF= 2 (— lfwPF. (15.23)

Р^Ч.

Для выделения инвариантных подпространств можно проводить последовательно симметризацию и антисимметризацию по различным наборам функций фР Нельзя, конечно.

проводить антисимметризацию по тем функциям, по которым первоначально была выполнена симметризация (иначе мы получим нуль).

Мы покажем сейчас, что при определенном выборе операций симметризации и антисимметризации можно разбить все пространство R на инвариантные подпространства, преобразующиеся по неприводимым представлениям. Для того чтобы указать номера функций фг-, по которым нужно производить симметризацию и антисимметризацию, составим

таблицы (схемы Юнга), состоящие из п клеток. Клетки рас-

Клетки схемы Юнга заполним номерами функций ф? Напри-

Мы условимся сначала проводить антисимметризацию по номерам функций, расположенным в столбцах схемы, и последующую симметризацию — по номерам, расположенным в строках.

Укажем теперь конструктивный прием, позволяющий определить те операции симметризации и антисимметризации, которые разбивают пространство R на инвариантные неприводимые подпространства. Этот способ фактически сводится к нахождению соответствующих схем Юнга с определенным

J] НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ S„ 199 заполнением клеток и носит рекуррентный характер. Начнем с я — 1, в этом случае можно построить только одну схему Юнга, состоящую из одной клетки, п —2, здесь возможны две схемы Юнга, состоящие из одной строки или из одного столбца. п = 3, схемы Юнга получаются добавлением третьей клетки с цифрой 3. п = 4, добавляем четвертую клетку и т. д. Описанный способ построения мы иллюстрируем следующей таблицей:

п=7 0

и т. д.

Каждой схеме Юнга мы сопоставляем оператор Юнга:

Q(x,. х2x6)=SoS(-i)eO,,A

? р

где q пробегает все перестановки номеров в каждой строке схемы Юнга, ар — все перестановки в столбцах. На основании предыдущего рассмотрения можно утверждать, что каждый такой оператор Юнга выделяет в пространстве R некоторое инвариантное подпространство. Покажем, что эти инвариантные подпространства независимы. Затем, подсчитав их число и сравнив его с известным числом неприводимых представлений, на которые распадается регулярное представление, мы с необходимостью придем к заключению, что в каждом из построенных подпространств реализуется одно из неприводимых представлений группы 8п.

Итак, докажем, что инвариантные подпространства, построенные с помощью операторов Юнга, схемы которых находятся по указанному рекуррентному способу, не имеют общих элементов. Наше доказательство имеет эвристический характер

и основано на двух фактах, в которых читатель может убедиться, рассматривая таблицу юнговских схем:

Повторное действие одного и того же оператора Юнга на любой элемент пространства /? дает отличный от нуля результат.

Последовательное действие двух различных операторов Юнга на любой элемент пространства R дает нуль. В этом просто убедиться по крайней мере для одного порядка действия операторов. Действительно, легко убедиться, что один из этой пары операторов всегда содержит симметризацию по тем функциям, по которым другой производит антисимметризацию.

Если бы соответствующие инвариантные подпространства имели общие элементы, то мы пришли бы к противоречию с высказанными утверждениями.■

Наконец, легко понять, что подпространства, соответствующие схемам Юнга с одинаковой структурой {Х}=ХР Х2,.... ^h, но отличающиеся лишь заполнением клеток, преобразуются по эквивалентным представлениям. Отсюда следует, что число неэквивалентных представлений равно числу схем Юнга с различной структурой или числу разбиений п, на целые положительные слагаемые X]-|-Х2-|-. . . + ^* — л, т. е. как раз равно числу классов. Из рассмотрения нашей таблицы легко видеть, что для чисел r|xj эквивалентных представлений всегда выполняются равенства ■

S^.} = n!-(15.24)

Сравнивая это равенство с формулой (3.81), заключаем, что числа r^j равны порядкам неприводимых представлений /^^ /-|Kj = Z|x). На основании теоремы о разложении регулярного представления на неприводимые части можно утверждать, что число содержащихся в нем неприводимых представлений равно V/, ,. Но так как V/. = V, то это w к w U} Й W

число совпадает с числом построенных нами инвариантных подпространств. Отсюда следует, что в каждом из этих подпространств реализуется одно из неприводимых представлений группы перестановок S„. Будем обозначать эти неприводимые представления символами А (к).

Рассмотрим теперь свойства симметрии функции, принадлежащей базису неприводимого представления А(х). Для определенности рассмотрим функцию F^, которая получается в результате действия оператора Q(x^ на функцию F = = W • ■■ %(У„):

^{М = ^{х}^ = 2 Q 5 (-1)E(P) PF.(15.25)

Из этого определения следует, что функция Рщ должна быть симметричной по перестановкам функций ф(, номера которых расположены в строках схемы Юнга (т. е. относительно операторов Q). Однако, мы не можем утверждать, что функция Т7^ будет антисимметричной относительно операторов Р, поскольку операторы Р и Q не коммутируют. Но согласно (15.14) мы можем написать

РР^р^Р,(15.26)

и поэтому функцию Р^ можно также представить в виде ^{х} = 2о5(— ^pF.(15.27)

Так как операторы Q и р коммутируют друг с другом, то мы получаем

FM = ^(-lf№P^QF.(15.28)

■Р ■q

Наконец, используя еще раз равенство (15.26), можно написать

FW = S(— ^^p^qP.(15.29)

рq

Таким образом, вместо того, чтобы производить антисимметризацию и последующую симметризацию по номерам функций фр можно произвести сначала симметризацию, а затем антисимметризацию по номерам соответствующих аргументов. Это, в частности, показывает, что сделанное нами в начале предположение о возможности представления функции F в виде произведения не является принципиальным и носит лишь вспомогательный характер. Из формулы (15.28) или (15.29)

следует, что функция ^{;} должна быть антисимметричной по перестановкам аргументов, номера которых расположены в столбцах схемы Юнга.

Мы можем теперь резюмировать результаты.

Неприводимое представление A^j группы перестановок определяется разбиением п на целые положительные слагаемые:

В линейном пространстве R, образованном функциями f(y - • ■ •’ Ур )• где (Pi Pi • • • Рп) — всевозможные перестановки чисел 1, 2п, реализуется регулярное представление группы Sn. Не ограничивая общности результатов, можно представить функцию F(yv, у2. ..., у„) в виде произведения п функций ф] (У]) .. . ф„ (У„). Разложение этого представления на неприводимые части можно произвести с помощью операторов Юнга, соответствующих схемам Юнга, которые строятся по указанному выше рекуррентному правилу.

Упражнения

Убедиться в справедливости утверждений 1 и 2 (стр. 200) на примере, когда п = 3.

Доказать, что характеры представлений групп перестановок должны быть вещественными.

Определить число элементов в классе с циклической структурой («! а2 ... ат).

Доказать, что четность перестановки определяется четностью суммы «2 + а4 + а6 + • • •

Глава XVI

Симметризованные степени представлений

В этой главе мы введем понятие симметризованной степени представления, которое будет положено в основу большинства приложений теории группы перестановок к задачам квантовой механики.

Векторы и тензоры в n-мерном пространстве

Рассмотрим n-мерное векторное пространство R„. Компоненты вектора этого пространства в некотором выбранном базисе обозначим через VL, /= 1, 2, . .., п. Пусть в пространстве Rn задано представление некоторой группы О. Матрицы представлений, соответствующие элементам а, Ь, ... группы О, мы будем обозначать через ||ауу||, Ц^уу" II- Таким образом, элементу а, например, мы сопоставляем следующее преобразование векторов в Rn\

п

v'j- 2 ajrvr.(16.1)

i’-v

Матрицу представления единичного элемента мы будем обозначать через || ejj- ||, е,р = буу-.

Наряду с векторами рассмотрим в пространстве R„ тензор V^ m-го ранга, компоненты которого мы будем обозначать через Vj^...), Л=1, 2, . .., п. Каждому преобразованию (16.1) соответствует следующее преобразование тензора:

V. у у = У а -...а .V - .(16.2)

Лi m

Матрица этого преобразования является m-кратным прямым произведением матрицы ||ауу||. Мы будем обозначать ее через (of или 11а- -, 1|, где

а . .. / ./.- = а. а ■ ... а ; .(16.3)

1\1‘1 " ’ 1 nv RI’! ' ■" ^тЛ Л ^2^2 ^m^m

Матрицы (а)"1, так же как и матрицы По//' ||. образуют представление группы О.

Для дальнейшего нам будет удобно ввести в раевмотре- ние матрицу р(а)т с элементами

{/? («У"} , ., v ? = а . .> ’, (16.4)

Л^2iт? 'Vl^т *р\^рг "‘ рт

где (р^ • . ■ Рт) — некоторая перестановка чисел 1,2т.

Заметим, что матрицы (а)т обладают следующим свойством:

.,? =а .•;.- . (16.5)

,р1,рг"" рт р?рг"’"1 ртj\J2,,-,m’ hh'^m

Действительно, одинаковая перестановка первых и вторых значков элементов матрицы (а)т сводится к перестановке множителей в формуле (16.3).

•2. Матрицы перестановок тензорных значков

. - Введем тензор р¥^т\ определив его компоненты равенством

PV^.J-V, ) .(16.6)

' 1' т

Покажем, что компоненты этого тензора можно выразить через компоненты тензора V j^... j с помощью матрицы р{ет), где ||е/й|| — единичная матрица порядка п, а элементы матрицы (е)т, очевидно, имеют вид

е ,,/ .,/ = 6. /б. / ... б, .- .(16.7)

Действительно, мы можем написать

2 WTV , //V-

=s 6, / б. /. . (16.8)

/'Jm P^ )ртт iY‘" lmlpm

Покажем, что матрицы p ^ef1 образуют представление группы перестановок Sn, т. е. что

Ж.еТ р^еГ-ЧР<еГ.(16.9)

где д и р — некоторые произвольные перестановки чисел 1,2т. В действительности имеет место более общее равенство

д (b)m р (а)т = др (baf.д (b)m р (а)т = др (baf.(16.10)(16.10)

д (b)m р (а)т = др (baf.

д (b)m р (а)т = др (baf.

(16.10)

(16.10)

S<7(6), ГS<7(6), Гкоторое нам понадобится в дальнейшем и которое мы сейчас докажем. Ясно, что (16.9) является частным случаем (16.10) при а — Ь — е. Для доказательства (16.10) напишем UvJ2 • • • jm’ ^1^2 • • ■ ^™)"й элемент матрицы, стоящей в левой части формулы (16.10). Мы получим

S<7(6), Г

S<7(6), Г

1’ D ((Й ''=

(16.11)(16.11)= У b..- а -,.

(16.11)

(16.11)

!ЧХ'“’q^ *т *РХ !Рт *1 кт

Воспользуемся теперь тем, что одинаковая перестановка первых и вторых значков согласно (16.5) не изменяет матрицу (6)т. Поэтому мы можем написать

j 1J i(16J2>

I m

Тогда равенство (16.11) может быть продолжено следующим образом:

,<1рт,Рт ’Р'1р,п' кт

= ^j « ^.-л^РМ^...^^ (16.13) px m

Это выражение представляет собой не что иное, как (/1 • • • Jm' к\ • • • кт)*й элемент матрицы, стоящей в правой части (16.10), и, следовательно, равенство (16.10), а вместе с ним и (16.9) доказаны.

Связь между представлениями группы $п и группы О в тензорном пространстве

Мы определили представление группы перестановок матрицами р(е)т и представление группы О матрицами (а)т. Базисом этих представлений является базис тензорного пространства, т. е. совокупность пт тензоров, у которых отлична

от нуля и равна единице только одна компонента. Будем обозначать орты этого базиса через

Произвольный тензор V(m) с компонентами Vj ...j может быть представлен тогда в виде

VW= S V, . п. . .(16.14)

Покажем теперь, что матрицы р (е)т и (а)т коммутируют. Действительно, с помощью (16.10) мы можем получить следующие равенства:

q^kaf^q^af1, (а)т q (е)т = q (а)т,(16.15)

откуда

q(e)m(a)m = (a^mq(e),n.(16.16)

Перейдем теперь в тензорном пространстве к новому базису, выбрав его таким образом, чтобы представление группы перестановок распалось на неприводимые части. Матрицы приведенного представления мы можем представить в виде

9(e)-=S®{%}XAu}(9)).U)9(e)-=S®{%}XAu}(9)).U)(16.17)(16.17)

9(e)-=S®{%}XAu}(9)).U)

9(e)-=S®{%}XAu}(9)).U)

(16.17)

(16.17)

где r^j — кратность неприводимого представления A^j в представлении qie^, Ег —единичная матрица по W

рядка Г|х^. Матрицы q(e)m определяют закон преобразования компонент тензора, записанного в новом базисе. Орты нового базиса обозначим через т)^ ; значок {X} нумерует неприводимые представления группы перестановок, и различает повторяющиеся эквивалентные неприводимые представления, х=1, 2Г|А}, значок а нумерует орты

базиса неприводимого представления, а—1, 2Z^j. Выразим новые орты через старые:

п, , = s ^И”?j i\j / ... j • (16.18)

Коэффициенты Т^^ “”^у можно рассматривать как компоненты тензора т]^ в старом базисе.

Найдем теперь вид матриц (а)™ в новом базисе. Используя свойство коммутативности (16.16), мы с помощью леммы Шура получим (ср. рассмотрение в главе V на стр. 69)

(a)'" = 2®{/?M(a)X^,J(16-19)

{к} I

или

Щ^(16-20)

Матрицы /?М (а) имеют порядок Г{Лу. Они образуют пред

^{^} ха'^{^} ха'ставление группы О в пространстве с базисными ортами

^{^} ха'

^{^} ха'

пенью представления а, соответствующей неприводимому представлению Л{х) группы перестановок.пенью представления а, соответствующей неприводимому представлению Л{х) группы перестановок.х=1, 2гщ (при фиксированных {X} и а). Представление /?М (а) называют симметризованной т-й сте

пенью представления а, соответствующей неприводимому представлению Л{х) группы перестановок.

пенью представления а, соответствующей неприводимому представлению Л{х) группы перестановок.

Характеры симметризованной степени представления

В приложениях часто возникает задача разложения представления /?{х} (а) на неприводимые. Такое разложение мы сможем получить, если нам будут известны характеры этого представления.

Решим сначала вспомогательную задачу. Найдем след матрицы q^"1. Пусть перестановка q имеет циклическую структуру (а^ . . . ат). Если бы перестановка q состояла из одного цикла длины т, то мы нашли бы, что

(»<«)},/ , Л ... / =

'1 J т* -ЧJ т

= а.=а. /а ■ ...а./ . (16.21)

m—V Ч ' ” ^т ^т^1 ^1^2^т—Пт

Следовательно,

SP9(a)=2. aimixaixi, • • • °/m-17m = SPW'”' (16'22)

i\* "'' im’

Отсюда нетрудно заключить, что для произвольной перестановки имеет место равенство

5р9(О)т = (5р(а))а-(5р(О)2)а= ... (Sp(a№. (16.23)

Установим теперь связь между следами матриц ^(а) и Т?^-) (а). Для этого воспользуемся тем, что согласно (16.15) q(a)m = q(e)m(a)m или

^аТ = qX.eT (of1,(16.24)

и, следовательно, с помощью (16.17) и (16.19) мы получим

^m = S>Mx^^^^^^ {^^wx^j-

= 2® {flU}(«)XA.., (<?)}• (16-25)

Отсюда мы находим

Sp q(а)” = Sp q(а)т = 2 Sp /?^ (a)Sp Д{х) (?).(16.26)

Используя свойство ортогональности характеров Z^ (q) неприводимых представлений группы перестановок, мы найдем1) 8РЯ{Х) (‘7) = -^|-^sP‘7(«)'”x{x}(‘7).(16.27)

9

Подставляя в (16.20) полученное нами выражение (16.23) для Sp q(a)m и переходя от суммирования по элементам группы к суммированию по классам, получим

Sp /?{х} («)-^-2*{ Z|4(Spo)“i ...(Spam)V (16.28)

Здесь через ZЗдесь через ZставленияставленияЛ{ИЛ{ИМ а}М а}обозначен характер неприводимого предобозначен характер неприводимого пред(q), соответствующий классу {а); к(q), соответствующий классу {а); к(а)(а)—ЧИСЛО—ЧИСЛО

Здесь через Z

Здесь через Z

ставления

ставления

Л{И

Л{И

М а}

М а}

обозначен характер неприводимого пред

обозначен характер неприводимого пред

(q), соответствующий классу {а); к

(q), соответствующий классу {а); к

(а)

(а)

—ЧИСЛО

—ЧИСЛО

*) Характеры представлений группы перестановок вещественны (см. упр. 15.1).

элементов в этом классе (см. упр. 15.3),

А{а)А{а)т\а, 12°2аа! ... /п“тат!т\а, 12°2аа! ... /п“тат!(16.29)(16.29)

А{а)

А{а)

т\

а, 12°2аа! ... /п“тат!

т\

а, 12°2аа! ... /п“тат!

(16.29)

(16.29)

Особенно часто приходится иметь дело с симметричной или антисимметричной степенями представлений, т. е. с представлениями Rm(a) и 7?^ t ^ (а), которые соответ

ствуют тождественному и антисимметричному неприводимым представлениям группы перестановок. Характеры тождественного представления равны единице, ^"О = 1. Следовательно,

для характеров симметричной степени мы получим

Sp/W^V^1^(16.30)

а, I 2 2а2! .,. m mam!

{а)2т

Характеры антисимметричного представления (см. упр. 15.4) могут быть представлены в виде

Х(1 11}1)«2+«,4-...(16.31)

Подставляя (16.31) в (16.28), мы получим для характеров антисимметричной степени представления следующее выражение:

SP ^{i 1...!}(») =

= У Yf2+a‘+ -Л&ра£ц$ра^^, (16 32)

г >a,!2a2a2! ...ma,nam!

Упражнения

Написать выражения для характеров симметричного и антисимметричного квадратов представления.

Найти разложение на неприводимые представления симметричной второй и третьей степеней неприводимых представлений группы О. Результаты сравнить с разложением прямых произведений соответствующих представлений.

Найти представления, по которым преобразуются колебательные волновые функции октаэдрической молекулы, рассмотренной в главе VI, для всех двухквантовых возбужденных состояний.

Глава XVII

Свойства симметрии многоэлектронныхволновых функций

В п. 1 главы XV был намечен план теоретико-группового исследования многоэлектронной системы. Мы приступим теперь к реализации этого плана, используя те сведения о представлениях группы перестановок, которые были даны в главах XV и XVI.

Постановка задачи

Собственные функции уравнения Шредингера

Н(гх^^(г,г^ЕЧ^г,г„), (17.1) принадлежащие одному собственному значению, должны преобразовываться по некоторому неприводимому представлению A^j группы перестановок переменных гр г2гп. Однако кратность вырождения собственного значения, равная порядку неприводимого представления, не является еще кратностью вырождения (статистическим весом) соответствующего уровня энергии. Кратность вырождения уровня энергии должна быть определена как число полных (т. е. зависящих также от спиновых переменных) антисимметричных функций, собственных функций уравнения (17.1) с рассматриваемым собственным значением.

Пусть ^(Гр г2г„) — одна из вырожденных собственных координатных функций уравнения (17.1). Ясно, что

^(П- г2rJx^p »2^)-(17.2)

где у (ор о2, ..., оп) — спиновая функция (спинор «-го ранга), также будет собственной функцией уравнения (17.1). Если в (17.2) произвести перестановку аргументов:

^f гРгrpM°Pf °р2°рп> <17^ то мы опять получим собственную функцию уравнения Шредингера с тем же собственным значением. Это позволяет нам построить полную антисимметричную волновую функцию,

являющуюся собственной функцией нашего гамильтониана, в виде

^A-SC-l)8^^!Ч)^^Ор„> (17.4)

р

Однако, как мы увидим ниже, не для всякого решения У(Fjгд) уравнения (17.1) можно построить антисимметричную волновую функцию (17.4), отличную от тождественного нуля. Возможность построения полной антисимметричной волновой функции накладывает определенные ограничения. на неприводимые представления Д(х}, по которым могут преобразовываться решения уравнения (17.1), имеющие физический смысл. Для того чтобы выяснить эти ограничения, мы должны сначала определить представления А^,} группы перестановок, по которым могут преобразовываться спиновые функции у(Ор °2- •••■ °„)- Тогда мы сможем применить следующий критерий: допустимыми неприводимыми представлениями Д|А| будут такие представления, для которых в прямом произведении Лщ XA{xj содержится антисимметричное неприводимое представление.

Свойства симметрии спиновой волновой функции

Спиновая функция у (о,, о2°л) «-электронной системы представляет собою спинор я-го ранга относительно вращений трехмерного пространства. Напомним, что при вращении системы координат, определяемом углами Эйлера фр 9, Ф2, компоненты спинора я-го ранга преобразуются по закону хЧ^. <т2о„) =

= 2аа^[<Р1. 0. Ф^-^^Фр е’ Ф2]х«. «2°'п>(17.5)

где матрица Паоо* Гф!» 0, ф2] || — каноническая матрица неприводимого представления D^ группы вращений. Матрицы преобразований (17.5) образуют представление группы вращений, которое является я-кратной степенью представления матрицами а. Очевидно, что спинор у(ор аг, . .., о„) может быть рассмотрен как тензор я-го ранга в двумерном пространстве, и к нему применимы все результаты, полученные в предыдущей главе.

В заданной системе координат мы можем рассматривать совокупность 2я компонент спинора как значения функции от п спиновых переменных о,, каждая из которых может принимать два значения: у или —у. В результате некоторой перестановки р аргументов этой функции или значков спинора мы можем получить новую функцию

РХ(а1’ °2’ •••• ^^lA^Px' аРгОрп) =

= %„(»!• <т2. ол). (17.6)

Величины Хр(аг а2’ •••• а«) преобразуются при вращениях трехмерного пространства также по закону, определенному формулой (17.5), и, следовательно, являются компонентами некоторого нового спинора. Действительно, мы имеем

Х^^Р °2°nW^Px%) =

= Уа /а /...а(17.7)

Так как обозначение значков суммирования произвольно, то мы можем написать х;^- °2о=

Переставляя множители, окончательно получаем

у'<т)=Уа /...a(17.9)

KP\ I»/(JjOj в^пР' 1

Ясно, что любая линейная комбинация

Sc Xp^p о2о„)(17.10)

P^Sn

также определяет спинор.

Применяя к спинору х(оР . .., оп) все операторы перестановок р, принадлежащие группе 8п, мы получим п! спиноров. Однако не все из них, конечно, будут независимыми. Число независимых спиноров не может превышать числа компонент спинора, равного 2я. В качестве независимых спиноров мы могли бы взять совокупность 2я спиноров, у каждого из которых имеется по одной компоненте, отличной от нуля

и равной единице. В построенном многообразии спиноров будет реализоваться определенное в главе XVI представление р(е)" группы перестановок, где (е) — единичная матрица второго порядка.

Равложение представления р (е)” на неприводимые части может быть выполнено методом, аналогичным тому, который был применен в главе XV для разложения регулярного представления.

Составим таблицу схем Юнга, используя рекуррентное правило добавления клетки (см. стр. 199). Каждой схеме Юнга сопоставим оператор

C2u}=S(- 1)е(Р)р2?, (17.11) Р q

где суммирование по р означает суммирование по всем перестановкам аргументов, номера которых стоят в столбцах схемы Юнга, а суммирование по q— суммирование по всем

перестановкам аргументов, номера которых стоят в строках схемы Юнга. Действуя оператором (17.11) на спинор % (о,, а2, . .., ап\ мы получим спинор %. ., который принадлежит базису неприводимого представления Д{х| группы перестановок своих значков, Заметим, что если схема Юнга состоит более чем из двух строк, то спинор х^^0!- °2» •••• °„) должен обладать антисимметрией относительно перестановок по крайней мере трех значков. Однако все компоненты такого

спинора должны равняться нулю, поскольку из трех значков два обязательно совпадают. Поэтому схемы Юнга, состоящие более чем из двух строк, могут быть исключены из нашего рассмотрения. Допустимые схемы Юнга имеют вид:

Xi 7-2

Спиноры Х|хСпиноры Х|хкоторым соответствуют одинаковые по струк

Спиноры Х|х

Спиноры Х|х

туре схемы Юнга, образуют базис неприводимого представления Д^х| группы перестановок своих значков.

Подсчитаем число г.независимых компонент спинора

Хщ. Так как такой спинор должен быть антисимметричным

относительно перестановки значков, номера которых стоят в столбцах соответствующей схемы Юнга, то отличными от

нуля будут лишь те его компоненты, у которых эти значки принимают разные значения. При этом все компоненты, от

кам спинор %кам спинор %симметричен,симметричен,то независимых компонентто независимых компонент{х}{х}личающиеся лишь значением таких значков, совпадают друг с другом с точностью до знака. Так как по остальным знач

кам спинор %

кам спинор %

симметричен,

симметричен,

то независимых компонент

то независимых компонент

{х}

{х}

купности, очевидно, имеют вид

111

22"12’

111

22'112*

(17.12)

111

22 1 1 12 ‘

будет столько, сколько можно составить различных совокупностей из К, — Х3 чисел, равных ^ или —^. Эти сово-

Ясно, что их число равно ^—Х2+1- Таким образом, число независимых компонент спинора Х{х} равно r^j = Х^Х24~1. Это означает, что мы будем иметь такое же число незави

симых спиноров, соответствующих определенному заполнению клеток схемы Юнга. Используя таблицу на стр. 199,

легко подсчитать, что для каждого значения п мы получим, таким образом, 2" независимых спиноров.

Независимые компоненты симметризованного спинора x^j должны преобразовываться по представлению /?{,}(а) группы

вращений, которое является симметризованной степенью представления а. Найдем разложение представления /?{,}(а) на неприводимые представления. Мы знаем, что базис неприводимого представления группы вращений Dw может быть по

строен из 2/4*1 собственных векторов инфинитезимального оператора На с собственными значениями —/, —/-|-1, ... ..., I. Поэтому для того, чтобы провести разложение представления /?{к} (а) на неприводимые представления, достаточно установить кратности собственных значений оператора На в базисном пространстве представления R. В соответствии с законом преобразования (17.5) спинор, у которого (в данной системе координат) только одна компонента отлична от нуля, будет собственным вектором инфинитезимального

оператора Н3, который в данном случае с точностью до множителя совпадает с оператором S3 проекции на ось Oz полного спина:

§зХ(°1oj = ^/?3x(a,о„) =

= А(о1 + а2+...+о„)х(о1ап\ (17.13)

Учитывая, что «антисимметричные» индексы принимают противоположные по знаку значения, а значения «симметричных» индексов определяются совокупностями (17.12), мы получаем для независимых компонент нашего спинора следующие собственные значения:

1(Х,-Х2), l^-^)-!-у(А,-А2). (17.14)

и, следовательно, являются собственными векторами оператора 7?? + ^+^:и, следовательно, являются собственными векторами оператора 7?? + ^+^:Отсюда следует, что компоненты спинора x^j преобразуются по неприводимому представлению группы вращений D' 2 '

и, следовательно, являются собственными векторами оператора 7?? + ^+^:

и, следовательно, являются собственными векторами оператора 7?? + ^+^:

(7^1+^2 + 7^з)Х{^} (а1> а2Оп^ =

Наиболее важными для дальнейшего окажутся следующие результаты. Произвольная спиновая функция х^, о2, ..., ал) может быть разложена по спиновым функциям Х{^ (<тг о2, . . • .. ., оя), преобразующимся по неприводимым представлениям группы перестановок своих аргументов. При этом допусти

мыми неприводимыми представлениями будут лишь те, схема Юнга которых состоит не более чем из двух строк, {А} = = {Ар Аг). Компоненты спиновой функции х, t образуют базис неприводимого представления группы вращений с весом Л, — Л2 ,

—L-2— и, следовательно, являются собственными функциями

оператора квадрата полного спина с собственным значением

117.16)117.16)

117.16)

117.16)

.3. Связь между симметрией спиновой ■

и координатной волновых функций

Мы нашли представление р (е)п группы Sn, по которому преобразуется спиновая функция. Представление р (е)" разлагается на неприводимые представления, схемы Юнга которых состоят не более чем из двух строк. Неприводимое представление Д^}- по которому преобразуется координатная волновая функция, должно быть таким, чтобы в прямом г.роизведении Д(х} X Р ^У содержалось антисимметричное представление. Для определения допустимых представлений Д{?) используем следующую теорему:

Антисимметричное представление содержится в прямом произведении двух неприводимых представлений только в том случае, если соответствующие им схемы Юнга взаимно транспонированы (т. е. получаются друг из друга заменой строк столбцами).

Наметим план доказательства этой теоремы. Рассмотрим прямое произведение Д{к}ХАд, где Дл—антисимметричное неприводимое пр дставление, Дд^Д^ , ф а Д^у—произвольное неприводимое представление. Поскольку представление Дд одномерно, то представление Д^^ X Дл будет неприводимым. Поэтому мы можем написать

Ч}ХДЛ = А{~}.(17.17)

Найдем представление Дф. Пусть функция f щ (у^ Уг. ••• ..., у„) преобразуется по представлению Д(к}. Согласно (15.29) ее можно считать антисимметричной относительно перестановок аргументов, номера которых стоят в столбцах схемы Юнга {X}. Пусть функция РдУЧул) антисимметрична относительно перестановок своих аргументов. Тогда функция Р^Рд должна принадлежать базису неприводимого представления А{^}. Ясно, что функция fj^j^ будет симметричной относительно перестановок аргументов, номера которых расположены в столбцах схемы Юнга {X}. Можно убедиться, что при действии на функцию РщРд операторами ^^^ мы получим отличный от нуля результат только для того оператора, схема Юнга которого транспонирована

относительно схемы Юнга [X). Таким образом, мы приходим к результату: схема Юнга {X} должна быть транспонирована относительно схемы Юнга (X).

метричного представления Ал, очевидно, равен (—l^^. Для того чтобы найти число г^\ , ,, показывающее, сколько (х) {Х'}раз представление Ал содержится в прямом произведении А(к) X Ар.], воспользуемся формулой (3.88)’):метричного представления Ал, очевидно, равен (—l^^. Для того чтобы найти число г^\ , ,, показывающее, сколько (х) {Х'}раз представление Ал содержится в прямом произведении А(к) X Ар.], воспользуемся формулой (3.88)’):Рассмотрим теперь два неприводимых представления А^] и Ар'} группы S„. Обозначим характеры этих представлений соответственно через х^(Р) и Х^? (Р)- Характер антисим

метричного представления Ал, очевидно, равен (—l^^. Для того чтобы найти число г^\ , ,, показывающее, сколько (х) {Х'}

раз представление Ал содержится в прямом произведении А(к) X Ар.], воспользуемся формулой (3.88)’):

метричного представления Ал, очевидно, равен (—l^^. Для того чтобы найти число г^\ , ,, показывающее, сколько (х) {Х'}

раз представление Ал содержится в прямом произведении А(к) X Ар.], воспользуемся формулой (3.88)’):

р

Но

(-^Х^Ср)^'1^).(17.19)

Следовательно,

гД {rj^iXx^1^)^1'4^)-<17-20)

Используя свойство ортогональности характеров неприводи

что г(,А\ . , = 1, если(х) {х-}что г(,А\ . , = 1, если(х) {х-}мых представлений, мы получаем.

что г(,А\ . , = 1, если(х) {х-}

что г(,А\ . , = 1, если(х) {х-}

= 0 во всех остальных случаях. Таким

образом, теорема доказана.

Представление р(е)п, как мы показали в предыдущем

пункте, разлагается на неприводимые представления, схемы Юнга которых состоят не более чем из двух строк. Согласно доказанной теореме мы теперь можем утверждать, что допустимые неприводимые представления Д{,). по которым преобразуются координатные функции, могут иметь схемы Юнга, состоящие не более чем из двух столбцов. Решения уравнения Шредингера (17.1), которые преобразуются по другим представлениям группы перестановок, в нашей задаче не имеют физического смысла.

■') Характеры представлений группы перестановок вещественны

(см. упр. 15.2).

Предположим теперь, что нам известно решение V^j^Fp f2fJ уравнения Шредингера (17.1), преобразующееся по неприводимому представлению Д{х]. схема Юнга которого состоит не более чем из двух столбцов. Произвольную спино

ризованным спиновым функциямризованным спиновым функциям., ол), преобразу- Д(г}:., ол), преобразу- Д(г}:ющимся по неприводимым представлениямющимся по неприводимым представлениямвую функцию х(ст1- а2°л) можно разложить по симмет-

ризованным спиновым функциям

ризованным спиновым функциям

., ол), преобразу- Д(г}:

., ол), преобразу- Д(г}:

ющимся по неприводимым представлениям

ющимся по неприводимым представлениям

а2о„) = S с ^^(о,о„).(17.21)

Ясно, что при антисимметризации произведения W^j^Fp . .. .... rn),X(ai> •■•’ °п) отличный от нуля результат даст лишь та спиновая функция, которая преобразуется по неприводимому представлению с транспонированной схемой Юнга {X}.

Мы знаем, что все компоненты спиновой функции Х^;|(<Тр сг2ап^ являются собственными функциями оператора квадрата полного спина:

+ О3^}^а-> (17'22)+ О3^}^а-> (17'22)

+ О3^}^а-> (17'22)

+ О3^}^а-> (17'22)

Так как полная антисимметричная волновая функция имеет вид линейной комбинации таких функций, то она также будет собственной функцией оператора S2 с тем же собственным значением.

Таким образом, классификация собственных значений уравнения Шредингера (17.1) по неприводимым представлениям группы перестановок в силу принципа Паули оказалась равносильной классификации по собственным значениям квадрата полного спина.

Свойства симметрии координатной волновой функции

Координатная волновая функция, являющаяся решением уравнения Шредингера (17.1), должна преобразовываться по неприводимому представлению группы перестановок, схема

Юнга которого состоит из двух столбцов. Обладающая таким свойством симметрии функция Ч^.}^, f2гя) может быть построена из произвольной функции ф(гР г2г„) с помощью симметризации по номерам аргументов, расположенным в строках схемы Юнга, и последующей антисимметризации по номерам аргументов, расположенным в столбцах:

1122HiА+2HiА+2

1

1

2

2

Hi

А+2

Hi

А+2

п

Построенная таким образом функция Ч^^Гр г2, . .., г^ должна обладать свойством антисимметрии по перестановкам двух групп аргументов, например:

^{К}^' Г2^ + 1Гп^

(17.23)(17.23)= -^{^(П rV Г3'^'Нг ГпУ Г2

(17.23)

(17.23)

= —^{Л.}^!- Г2Гк\ГкА-г> rkW Гй+3' rJk>>n — к.

Очевидно, что такую функцию нельзя антисимметризовать более чем по к аргументам, так как для этого мы должны были бы антисимметризовать эту функцию по тем аргументам, по которым вначале была произведена симметризация. Это свойство функции ^^j может быть записано, например, в виде следующего равенства:

^(мкг г2гк\гк+\

= 2^U}kirt_v гк. Г^л, .... гк\гг гк+У...,гпу

(17.24)

Свойства симметрии (17.23) и (17.24) координатной волновой функции были впервые получены В. А. Фоком1).

В заключение рассмотрим метод построения координатной волновой функции, соответствующей определенному собственному значению оператора S2, из независимых одноэлектронных функций <рт (Fj), <р2(г2), Ч>гДгпУ Если собственное значение оператора S2 равно A2s(s + 1), то неприводимое представление, по которому должна преобразовываться координатная волновая функция, определяется схемой Юнга, состоящей из двух столбцов с длинами Х' = -^- + », Х' — -^-—s. Заполним клетки этой схемы Юнга номерами функций <pz. Затем построим соответствующий оператор Q|xj и подействуем им на произведение одноэлектронных функций:

йШФх(г1)---фв(гл)=

'■ =292(-1)Е(/,)Рф1(г1)<Р2(г2)...фп(г„). (17.25)

Я Р

В результате антисимметризации по столбцам мы получим

2 (— I)8 (Р) ^Ф1 (^1) • • • Ф« (г„) = р

(17.26)

*) В. А. Фок, ЖЭТФ 10 (1940), 388.

Затем полученное произведение двух определителей надо сим- метризовать по парам функций, номера которых расположены в строках. Поэтому окончательное выражение для многоэлектронной координатной функции будет иметь вид суммы таких произведений.

Упражнения

Задано шесть различных одноэлектронных функций <р, (г^, <р2 (г2)<р6(r6\ С помощью операторов Юнга построить коор

динатные волновые функции системы шести электронов, соответствующие различным возможным собственным значениям квадрата полного спина.

Доказать, что если одноэлектронные координатные волновые функции системы, состоящей из четного числа электронов, попарно совпадают, то собственное значение квадрата полного спина равно нулю.

Глава XVIII

Свойства симметрии волновых функцийсистемы тождественных частицс произвольными спинами

В этой главе мы обобщим рассмотрение, проведенное в главе XVII, на случай системы тождественных частиц с произвольными спинами. Такую систему частиц образуют, например, одинаковые ядра в многоатомной молекуле. Полученные в этой главе результаты будут также использованы в дальнейшем для классификации состояний многоэлектронного атома.

Постановка задачи

Опишем сначала постановку задачи. Как и раньше, мы имеем дело с уравнением Шредингера для системы тождественных частиц, не содержащим спиновых операторов. Спины частиц будем считать произвольными (т. е. не обязательно равными 1/2). В этом заключается первое обобщение предыдущего рассмотрения. Кроме того, мы будем предполагать, что в силу некоторых упрощений исходное уравнение Шредингера заменяется приближенным, в котором утрачена симметрия относительно перестановок тождественных частиц. Например, для системы тождественных ядер в молекулярной задаче (в адиабатическом приближении) мы имеем уравнение Шредингера

+R^V^E (18.1)

z=i

инвариантное относительно перестановок переменных Rt. В гармоническом приближении, когда потенциальная энергия U(RV R2R„)ваменяется квадратичной формой по малым смещениям из положения равновесия, мы получаем уравнение 'п

п)

+iSi(^)#,el«1(*- - /О(/г»-R^)!w-о. <18.2)

Уравнение (18.2) справедливо в малой окрестности точки {^0)} конфигурационного пространства переменных {/?J. Однако если мы учтем, что на вращательные степени свободы (которые описывают вращение молекулы как целого) не накладывается ограничение малости, то получим, что это уравнение справедливо также в окрестности любой точки {^^^З, гДе § — произвольное вращение. Для того чтобы получить уравнение, справедливое в другой области, например в окрестности точки {T?^, /?10), /?з0)/?^Т где Т?;?* и ^ — положения рав

новесия эквивалентных ядер, мы можем просто выполнить соответствующую перестановку переменных Rv и /?2 в уравнении (18.2). Очевидно, что решения нового уравнения могут быть получены из решения уравнения (18.2) такой же перестановкой. Относительно некоторых перестановок переменных Ri, описывающих эквивалентные ядра, уравнение (18.2) инвариантно. Именно, оно инвариантно относительно тех перестановок, которые соответствуют поворотам или зеркальным поворотам, совмещающим положения равновесия эквивалентных ядер. Действительно, нетрудно убедиться, что такая перестановка равносильна повороту (или зеркальному повороту) и последующей подстановке смещений, которая была нами рассмотрена в главе V (см. рис. 1). Поэтому мы будем предполагать, что собственные функции приближенного уравнения преобразуются по представлению лишь некоторой подгруппы группы Sn ^. В этом состоит второе обобщение. Допустим, что (приближенное) уравнение Шредингера решено, т. е. найдены его собственные значения и собственные функции. Важная задача, которая при этом возникает, заключается в определении статистических весов каждого уровня. Статистическим весом уровня называют число соответствующих ему независимых состояний, или, другими словами, число симметричных (антисимметричных) функций, которые можно построить из найденных собственных функций и произвольной спиновой функции. Под произвольной спиновой функцией мы понимаем спиновую функцию, имеющую (2s Д- 1)" независимых компонент, где s—

]) Это один из редких случаев, когда при переходе к более грубой модели происходит не повышение, а понижение симметрии.

максимальная проекция спина одной частицы, а л —число частиц в системе *).

Наметим план решения этой задачи. 1) Определим представление группы перестановок, которому соответствуют решения приближенного уравнения Шредингера. 2) Найдем представление группы перестановок, по которому преобразуется (2s -j- 1)"-компонентная спиновая функция. 3) Составим прямое произведение этих представлений и определим, сколько раз в нем содержится симметричное (или антисимметричное) представление. Это число и будет равно статистическому весу данного уровня.

Теорема Фробениуса

Обозначим через Н группу симметрии приближенного уравнения Шредингера. Собственные функции этого уравнения, соответствующие одному собственному значению, образуют многообразие Ro, инвариантное относительно подгруппы Н, но не всей группы 8п. Результаты, которые будут получены в этом пункте, носят общий характер и не связаны со спецификой группы перестановок. Поэтому вместо группы 8„ мы будем рассматривать произвольную группу О порядка N.

Разложим группу G на сопряженные совокупности по подгруппе Н;

Н, gxH, g,H. .... gmH.(18.3)

Преобразования gv g^gm будут переводить пространство Ro в новые пространства R,:

iiRc = Ri-

Прямая сумма пространств R = Rn® Rx@ • • • ® Rm инвариантна относительно всей группы О. Действительно, возьмем

*) Если рассматривается молекулярная задача, то следует учесть, что электронная волновая функция также обладает определенной симметрией относительно перестановок R;, принадлежащих упомянутой подгруппе. Эти перестановки эквивалентны вращениям или отражениям координат электронов. Поэтому при определении статистического веса уровня нужно рассматривать произведение Фэл'УядХспин. яд. Наше рассмотрение будет относиться к случаю, когда Уэд преобразуется по тождественному представлению группы симметрии молекулы.

произвольный элемент из О, например g — gik, к^Н. Тогда gRj^ gKgjRo^gkh'Ro-(18.4)

где к'^Н. Следовательно, "

gRj^ g^R^R^(18.5)

Обозначим через у представление группы Н, реализующееся в R6, и через Г — представление группы G в пространстве R. Задача заключается в том, чтобы определить характеры представления Г. Найдем сначала характеры X (й) представления Г для h^H. Для этого определим прежде всего число подпространств Rp остающихся инвариантными при преобразованиях из Н. Так как ,

kRj^TgjR^g ^g-^hg ^Ro,(18.6)

то требование инвариантности будет выполнено, если gfkg^H..(18.7)

Если это имеет место, то матрица преобразования в пространстве R;, соответствующая элементу А, будет совпадать с матрицей представления у, соответствующей элементу gjxkg j. Так как g. не принадлежит Н, то элемент gjxkg . может и не принадлежать тому же. классу С группы Н, что и элемент к, но, конечно, всегда принадлежит классу К группы О, который содержит С. Фиксируем элемент А £ Н и подсчитаем число подпространств Rp которые при преобразовании к преобразуются подобным образом. Для этого выясним, сколько элементов g~^hg. (1 — 0m) принадлежит одному и тому же классу С группы Н. Если для gj выполняется условие gfkg^C,'(18.8)

то этот же результат мы получим для всех элементов из сопряженной совокупности gtH. Поэтому определим сначала, сколько элементов g~xkg при g, пробегающем всю группу G, принадлежит С, а затем поделим результат на порядок группы Н. Если g пробегает всю группу G, то в совокупности g*xhg каждый элемент класса К встречается N

раз, где к — число элементов в классе К- Если с — число элементов в классе С, то в рассматриваемой совокупности

15 М- И. Петрашень, Е. Д. Трифонов

мы найдем N ^ элементов, принадлежащих этому классу. Если теперь учесть, что элемент g пробегает не всю группу, а принимает лишь значения g0, gvgm, то получим, что искомое число 1С, показывающее, сколько элементов совокупности g^hgj принадлежит классу С, содержащемуся в классе К, равно

=(18.9)

L NY кv ’

где Nx— порядок подгруппы Н. Если через Хс обозначить характер представления класса С подгруппы Н, которое реализуется в пространстве /?0, то характер представления класса К группы О, которое реализуется в пространстве R, будет равен

zcXc = 77^ ^ ^-Хс’(18.10)

С^Кс^к

где суммирование проводится по тем классам С, которые содержатся в К. Характеры классов К', у которых нет представителей в Н, равны 0, так как при преобразованиях из этих классов ни одно из подпространств Rt не остается инвариантным. Мы будем говорить, что представление у группы Н с характерами Хс индуцирует представление Г группы G с характерами Хк. Если представление у неприводимое, то представление Г в общем случае оказывается приводимым. Его разложение на неприводимые представления подчиняется следующей теореме.

Теорема Фробениуса. Представление Г группы О, индуцируемое неприводимым представлением у<*> подгруппы Н, содержит каждое неприводимое представление Г^ группы G столько же раз, сколько раз в представлении группы Н, даваемом матрицами F^, содержится у(,).

Доказательство этой теоремы теперь не может нас затруднить. Интересующие нас числа определяются по формуле

rM4=^S^)X^}'(1811>

к

где Х^к—характер представления Г, a Х^—характер неприводимого представления Г^'}. Подставляя выраже-

ния (18.10) для Хк, получим

кс^к1 с

что и требовалось доказать.

Возвращаясь к нашей задаче, мы можем сказать, что характер представления группы перестановок, по которому преобразуется рассматриваемая волновая функция, определяется формулой (18.10), а разложение этого представления на неприводимые можно найти с помощью теоремы Фробениуса.

s-тензоры

Теперь мы должны сделать следующий шаг и найти представление группы перестановок, по которому преобразуется (2s+ 1)”-компонентная спиновая функция. Такую спиновую функцию можно рассматривать как тензор n-го ранга в 2s + 1- мерном пространстве, поскольку при вращениях трехмерного пространства она преобразуется по закону

Х'(Ог »2°„)=SO ....D ,Ца'о'), (18.13)

V°'°I°1ап% V7

где || Dq ^'|| — матрица неприводимого представления веса s группы вращений. Для краткости будем называть ее s-тензором n-го ранга. Очевидно, что любой s-тензор n-го ранга можно разложить по (2s—|— 1)” независимым тензорам, образующим базис рассматриваемого тензорного пространства. В этом пространстве мы можем определить представление д(^+1)” группы перестановок1). Действие оператора перестановки на s-тензор может быть записано в виде

PF^v а2an^F^Px’ °р2°р„У (18.14)

s-тензор n-го ранга можно разложить по тензорам, преобразующимся по неприводимым представлениям группы перестановок. Такие тензоры можно получить с помощью операторов Юнга. Очевидно, что допустимыми операторами будут лишь те, схемы Юнга "которых содержат не более 2s-j-l строк. Это связано с тем, что s-тензор, антисимметричный более

*) См. п. 3 гл. XVI.

чем по 2s + 1 значкам, тождественно равен нулю. Можно показать, что кратность допустимых неприводимых представлений Д^} в представлении р (Е^^" равна1)

П Ui-i^

.’(18.15)

(т—1)!(т—2)!...2!'

где lj = Xj-V т—1, m = 2s+l. Величина 6{;} определяет число независимых компонент тензора, преобразующегося по неприводимому представлению Д{х} группы перестановок (ср. рассмотрение спиноров п-ге ранга в п. 2 гл. XVII).

Статистический вес энергетического уровня

После этих предварительных рассмотрений мы можем найти выражение для статистического веса / данного уровня. Для этого воспользуемся тем, что тождественное (симметричное) представление группы перестановок содержится только в прямом произведении эквивалентных неприводимых представлений, а антисимметричное представление содержится в прямом произведении неприводимых представлений с транспонированными схемами Юнга (см. главу XVI). Учитывая это, мы получим

/= Ss — целое число,

1 1(18.16)

/= 5s—полуцелое число,

где Аг — число, показывающее, сколько раз неприводимое представление ^W группы Н содержится в представлении, по которому преобразуются решения приближенного уравнения Шредингера. Числа Ft |^} и 6p.j определяются соответственно по формулам (18.12) и (18.15). Символ {X} обозначает транспонированную схему Юнга.

Интересно заметить, что, хотя само определение статистического веса существенно связано с группой перестановок, статистические веса уровней можно определить без привлечения представлений группы перестановок, рассматривая только

') Ф. Мурнаган, Теория представлений групп, ИЛ, 1950, стр. 185.

точечную группу Н. Действительно, мы могли бы рассуждать следующим образом. Поскольку спиновые функции образуют базис представления для группы перестановок, то тем самым они образуют и базис представлений точечной группы Н, являющейся подгруппой группы Sn. Можно легко найти характер этого представления. Пусть перестановка р имеет циклическую структуру (а,а2 . .. а„). Отличный от нуля вклад в характер дадут лишь те компоненты спиновой функции, которые при указанной перестановке остаются инвариантными, т. е. которые имеют одинаковые значки для каждого цикла перестановки р. Ясно, что число таких компонент равно характеру представления и может быть записано в виде формулы

(2s-H)“i4a2+(18.17)

Если мы составим всевозможные произведения спиновых и координатных функций, то получим некоторый базис Q представления у точечной группы. Это представление является прямым произведением представлений, по которым преобразуются спиновые и координатные функции. Рассмотрим представление точечной группы Н, которое получается из антисимметричного (симметричного) представления ДЛ(А5) группы Sn отбором соответствующих элементов. Обозначим его через уИ)(у(5))_ Мы покажем, что статистический вес рассматриваемого уровня равен кратности этого представления в представлении у. В самом деле, расширим пространство, натянутое на базис Q, так же, как мы делали выше, до пространства, инвариантного относительно группы Sn. В расширенном пространстве реализуется представление группы 8п, которое индуцируется представлением у группы Н. Представление АЛ(А5) согласно теореме Фробениуса может быть индуцировано только представлением у<л)(у<5)). Поэтому кратность представления Ал (As) в расширенном представлении должна быть равна кратности у('4)(у№) в представлении у. Это и доказывает наше утверждение.

Собственные значения оператора полного спина

В заключение этой главы мы коснемся вопроса о собственных значениях полного спина системы, соответствующих данному энергетическому состоянию. Мы видели, что для многоэлектронной системы каждому собственному значению

бесспинового уравнения Шредингера соответствует определенное собственное значение полного спина. В рассматриваемом теперь общем случае такое однозначное сопоставление не имеет места. Каждому энергетическому уровню будет соответствовать в общем случае несколько собственных значений полного спина. Это связано, во-первых, с тем, что s-тензор л-го ранга, соответствующий неприводимому представлению группы перестановок, преобразуется теперь по приводимому представлению группы вращений. (Неприво-

1 \

димость имеет место только для -^--тензоров или спиноров. J Во-вторых, так как уравнение Шредингера обладает симметрией точечной группы, то по отношению к группе перестановок его решение преобразуется в общем случае по приводимому представлению. Это означает, что в полную антисимметричную (или симметричную) функцию дадут отличный от нуля вклад s-тензоры, преобразующиеся по нескольким неприводимым представлениям группы Sn. Поэтому даже при s — -^ данному уровню энергии могут соответствовать состояния с различными полными спинами.

Вопрос об определении представления группы вращений, которое реализуется на компонентах s-тензора с определенной симметрией относительно перестановки, к сожалению, не может быть изложен достаточно компактным образом.

Обозначим через R^QD^ представление группы вращений, по которому преобразуются независимые компоненты s-тензора, соответствующего неприводимому представлению A^j группы перестановок. Для того чтобы найти собственные значения квадрата полного спина, надо представление /?^"1 ^Dts^ разложить на неприводимые части. Характеры этого представления можно было бы найти по формуле (16.28), однако это требует знания характеров неприводимых представлений группы Sn. Мы ограничимся тем, что приведем без доказательства способ, который позволяет найти разложение представления /?1Х1 (Ом), если такое разложение известно для представлений R” (D^h, соответствующих симметричному представлению группы Sn. Обозначим через /l’’п) характер представления R'^D^). Он может быть найден, например,

по формуле (16.30). Далее условимся считать у/5' °’ — 1 и у(5-*)=0, если k < 0. Тогда характер у/5’(Л^ представления RVA^DtsV^ равен следующему определителю ’):

у(- И) = у^ Ч’ ?-2> --чЧ^

7?'4-l}7(s’ Ч)

Так как нас интересует разложение представления rVA ^D1,5^ на неприводимые, то при вычислении этого определителя мы можем воспользоваться правилом Клебша— Гордана.

Упражнения

Найти статистические веса колебательных уровней октаэдрической молекулы YX6 для основного и одноквантовых возбужденных состояний. Рассмотреть случаи, когда спин ядра атома X равен

a) s= 1, б) s = 1.

Найти представление группы вращений, по которому преобразуется симметричный 1-тензор n-го ранга.

Найти представление группы вращений, по которому преобразуется 1-тензор 4-го ранга с различными схемами Юнга.

*) Е. Д. Трифонов, Вестник ЛГУ, № 22 (1958).

Глава XlX

Классификация состояниймногоэлектронного атома

В главе XVII мы рассмотрели свойства симметрии многоэлектронной волновой функции, которая является собственной функцией оператора Гамильтона, не содержащего спиновых операторов. Единственным свойством симметрии такого гамильтониана, использованным нами, была инвариантность относительно перестановок координат электронов. Мы видели, что в силу этой инвариантности и принципа Паули состояния многоэлектронной системы классифицируются по собственным значениям квадрата полного спина.

Сейчас мы перейдем к классификации состояний многоэлектронного атома. При рассмотрении этой конкретной квантовомеханической системы мы сделаем ряд дополнительных предположений относительно симметрии гамильтониана по сравнению с общей многоэлектронной задачей, а затем, отказавшись от модели бесспинового гамильтониана, учтем спин-орбитальное взаимодействие.

Конфигурация

Приближенно взаимодействие между электронами в атоме можно эффективно заменить некоторым сферически симметричным полем. Тогда каждый электрон можно рассматривать независимо находящимся в этом поле и в поле атомного ядра. Таким образом, мы получаем для атома модель «невзаимодействующих» электронов, обладающую, как мы увидим ниже, максимальной симметрией. Мы будем также пренебрегать сначала спин-орбитальным взаимодействием. Так как потенциальная энергия в этом приближении обладает сферической симметрией, то одноэлектронные состояния, как мы знаем, должны классифицироваться по неприводимым представлениям группы трехмерных вращений, т. е. с помощью азимутального квантового числа I (см. главу XIII).

Для того чтобы различать разные уровни с одним и тем же квантовым числом I, вводят дополнительное квантовое

число п, которое является аналогом главного квантового числа в атоме водорода. Значения главного квантового числа, разумеется, могут быть выбраны произвольно. Обычно их принято выбирать так, чтобы выполнялось соответствие с классификацией состояний в кулоновском поле. Каждый уровень энергии Еп1 вырожден по проекции момента или по квантовому числу т. Таким образом, одноэлектронные координатные волновые функции можно обозначать через фл1т (г). Если атом содержит N электронов, то его состояние будет определяться набором 3N одноэлектронных квантовых чисел п^ If, т,. Совокупность квантовых чисел п^ Lv определяющих в пашей модели энергию атома:

N

. Е=^Еп1 (19.1) i-i ''

называется конфигурацией. В спектроскопии приняты следующие обозначения. Одноэлектронные состояния с квантовыми числами / = О, 1, 2, . .. обозначаются соответственно буквами s, р, d, ... Перед этим символом пишут главное квантовое число, а число электронов с данными числами п и / записывают в виде показателя степени. Например, обозначение (Is)2 (2s)2 (2р)® 3 s говорит нам, что данная конфигурация состоит из двух электронов, находящихся в состоянии с квантовыми числами п— 1, / — 0, двух электронов в состоянии с квантовыми числами п =2, / = 0, шести электронов с квантовыми числами п = 2, / = 1 и одного электрона, находящегося в состоянии с квантовыми числами п = 3, 1=0. Каждой конфигурации мы можем сопоставить квантовое число четности w = ± 1, определяющее поведение волновой функции относительно инверсии. Как мы знаем (см. главу XIII), для одного электрона w = (—l)z. Поэтому для многоэлектронной системы мы будем иметь

ту = (—!)' . ■

Однако даже в модели невзаимодействующих электронов мы не можем полностью пренебречь их взаимным влиянием, так как должны учесть принцип Паули, запрещающий более чем двум электронам находиться в одном и том же состоянии

(без учета спина). Для каждой разрешенной принципом Паули конфигурации можно построить, вообще говоря, несколько антисимметричных полных волновых функций с различными собственными значениями квадрата полного спина. Между конфигурацией и собственным значением квадрата полного спина имеется определенное соответствие, на котором мы остановимся подробнее при рассмотрении более реалистической модели атома. Мы закончим обсуждение модели невзаимодействующих электронов указанием ее группы симметрии. Эта группа, очевидно, может быть представлена в виде прямого произведения N групп трехмерных вращений (точнее, ортогональных групп) и группы перестановок пространственных переменных:

G^O(3) X 0(3) X •XO(3)XS„.(19.2)

Термы

Теперь учтем взаимодействие между электронами непосредственно. Наличие членов типа у । в операторе энергии приводит к тому, что гамильтониан не будет инвариантным при независимых вращениях радиусов-векторов г; отдельных электронов. Инвариантность гамильтониана будет иметь место только при одинаковом повороте всех rz. Таким образом, группа симметрии этой модели может быть представлена в виде

G^OiXKX (19.3)

Классификация энергетических состояний атома по неприводимым представлениям группы 0(3) соответствует классификации по собственным значениям квадрата полного орбитального момента или по квантовому числу L и по квантовому числу четности ту. Заметим, что для терма квантовое число четности уже не будет определяться орбитальным квантовым числом, как это было для одного электрона. Классификация по неприводимым представлениям группы перестановок Sn эквивалентна, как мы знаем, классификации по собственным значениям квадрата полного спина или по квантовому числу S. Кратность вырождения уровня энергии ELS в этой модели

равна (2Z.-J-1) (2S+1). Совокупность вырожденных состояний, соответствующих данным значениям L и S, принято называть термом. Термы обозначаются большими латинскими буквами S, Р, D, ... с верхним левым индексом, равным мультиплетности 2S —]— 1. Например, терм ^/,= 1, S — i) обозначают через 2Р.

Одним из наиболее эффективных и широко распространенных методов решения многоэлектронной задачи является метод Хартри — Фока. В основе этого метода лежит вариационный принцип для энергии. Варьируемые волновые функции строятся из одноэлектронных функций, причем последние для атома берутся в виде

Фщт(г) = ^„/(г)Т)(9- Ф)- (19-4)

где Е/т> (0, <р)—сферические функции. Для функций Р^Ц") получается система интегро-дифференциальных уравнений, которая затем решается при помощи метода последовательных приближений. Сейчас нет необходимости подробно рассматривать этот метод решения многоэлектронной задачи. Для нас важно лишь то, что электронные функции выбираются в виде (19.4) и, следовательно, полная волновая функция строится из одноэлектронных функций, принадлежащих определенной конфигурации, т. е. набору квантовых чисел Пр /;, mt. Одноэлектронные состояния с одними и теми же значениями п, / образуют электронный слой. Если электроны занимают все состояния данного слоя (с учетом двух спиновых состояний), то говорят, что слой заполнен. Взаимодействие между электронами одного слоя, имеющими одну и ту же радиальную функцию, сильнее, чем взаимодействие между электронами, принадлежащими разным слоям. Последнее может быть учтено как некоторое эффективное экранирование поля ядра. В этом приближении задача сводится к построению волновых функций отдельных слоев. С другой стороны, мы видели, что полная волновая функция должна характеризоваться квантовыми числами L и S. Поэтому интересно выяснить, какие значения этих квантовых чисел или, другими словами, какие термы соответствуют заданной конфигурации одноэлектронных состояний. Этот вопрос мы рассмотрим для конфигурации, описывающей один слой.

Соответствие между конфигурацией и термами

Пусть в слое I содержится к электронов. Составим произведение координатных одноэлектронных функций этих электронов (для простоты записи мы опускаем индексы п, I):

Мг^Мг^ ••• ^(^)-о9-5)

При подстановке

r^g-^,(19.6)

где g— произвольное преобразование из группы вращений, каждая из одноэлектронных функций преобразуется по закону

'М/Г»- 2 C^g^,^.(19.7)

Матрица || D^-m(^)|| является матрицей неприводимого представления веса / группы вращений. Из (19.7) следует, что для произведения одноэлектронных функций (19.5) мы получим следующий закон преобразования:

4’mi(S-~1r1)'l’„2(S-,r2) ■ ■ • ф^ (£-») =

= 5 ^(g) ^ (g)... D^-(g) X

m' ml"4 m2'”2тЬтк

Xtm;(ri)^(r2)---tffl;(r^ (19.8)

Мы видим, что при преобразованиях из группы вращений произведение одноэлектронных функций, принадлежащих одному слою, преобразуется, . как /-тензор. Мы знаем, что координатная волновая функция .многоэлектронной системы должна преобразовываться при перестановке аргументов по одному из неприводимых представлений группы перестановок, схема Юнга которого должна состоять не более чем из двух столбцов. Поэтому построение шредингеровской волновой функции сводится к разложению произвольного /-тензора ранга к на симметризованные тензоры, преобразующиеся по неприводимым представлениям группы перестановок с разрешенными схемами Юнга (из двух столбцов). Такое разложение было рассмотрено в главе XVIII. Независимые компоненты

СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ КОНФИГУРАЦИЕЙ И ТЕРМАМИ 237 симметризованного /-тензора преобразуются, как мы знаем, по представлению rV^ (D':tl) группы вращений.

Для того чтобы ответить на поставленный в конце предыдущего пункта вопрос, нужно выяснить, на какие неприводимые представления группы вращений разлагается представление r^ ^1,\ В главе XVIII мы рассмотрели способ решения этой задачи. Используя развитый там метод, мы можем найти значения полного орбитального момента.

Для иллюстрации приведем таблицу возможных собственных значений полного орбитального момента для конфигурации (ркУ Симметрию относительно перестановок значков соответствующего 1-тензора мы будем обозначать разбиением числа А на целые слагаемые.

Таблица возможных собственныхзначений полного орбитальногомомента для конфигурации (р^

к

U}

L

1

1

р

2

2

SD

1 — 1

Р

3

2 + 1

PD

1 + 1 + 1

S

4

2 — 2

SD

2+1 + 1

Р

5

2 + 2 4- 1

Р

6

24-24-2

S

Из этой таблицы мы видим, что некоторым схемам Юнга соответствуют одинаковые полные моменты. Эти схемы Юнга получаются друг из друга либо вычеркиванием столбца, содержащего «максимальное» число (2/Д-1) клеток (в нашем случае равное 3), либо дополнением схемы Юнга до «максимальной», например;

Это общая закономерность, на доказательстве которой мы, однако, останавливаться не будем *).

Поскольку симметрия спиновой функции определяется транспонированной схемой Юнга, то для состояний, приведенных в таблице, можно легко определить собственные значения полного спина. Рассмотрим, например, конфигурацию (р)А. Для схемы (2, 2} транспонированная схема Юнга также будет задаваться разбиением (2, 2). Отсюда для возможного значения полного спина мы получаем S =—— = 0. Для схемы (2, 1, 1} находим транспонированную схему {3, 1} и 5 = = —2—— 1- Таким образом, для конфигурации (р)А оказываются возможными следующие термы: *S, XD, 3Р.

Спин-орбитальное взаимодействие

Рассмотрим теперь модель атома, учитывающую спин- орбитальное взаимодействие:

^Ыг^^,(19.9)

где s^ и Ц— операторы спинового и орбитального моментов z-го электрона, ^ — некоторые функции от г{ (см. главу XIII). Очевидно, что оператор (19.9) не коммутирует отдельно с операторами S= 2 si и L — 2 Ч- Легко проверить, что он коммутирует только с их суммой S-^L^. Это означает, что если раньше мы могли говорить в отдельности об инвариантности относительно преобразований вращений аргументов координатной функции и относительно индуцированных вращениями преобразований спиновых функций, то теперь остается инвариантность относительно одновременного применения этих преобразований. Уровни энергии будут теперь классифицироваться не по квантовым числам А и S, а по собственным значениям оператора полного момента атома

J— L + 5 = 2 (si4" ЧУ(19.10)

Э См., например, [10], стр. 461.

Оператор спин-орбитального взаимодействия (19.9) коммутирует с каждым из операторов s; -|- /;.

Если спин-орбитальное взаимодействие можно считать возмущением (случай L—S-связи), то собственные значения полного момента для уровней, на которые расщепится терм, могут быть получены по правилу Клебша— Гордана. Рассмотрим в качестве примера конфигурацию (р)4. Возможные значения квантового числа J для этой конфигурации даны в таблице:

Терм

J

Обозначение уровней энергии

•S

0

‘So

'D

2

'£>2

ip

0, 1, 2

^о. зрь зр2

В тяжелых атомах спин-орбитальное взаимодействие велико, и его нельзя рассматривать как возмущение. Если оно больше взаимодействия между электронами, то оно должно быть учтено в первую очередь1). Тогда в нулевом приближении каждый электрон можно рассматривать независимо, и одноэлектронные состояния следует характеризовать собственными значениями оператора полного одноэлектронного момента j — Ц-У sv Затем должно быть учтено взаимодействие между электронами, которое приведет к тому, что уровни энергии всего атома опять будут классифицироваться по собственным значениям полного момента. Это приближение называют j — /-связью. Если спин-орбитальное взаимодействие достаточно велико, так что одноэлектронные уровни энергии с разными значениями j сильно расщеплены, то можно ввести понятие /-оболочки, аналогичное понятию /-слоя. Так как многоэлектронная функция должна быть антисимметричной относительно перестановок электронов, то волновая функция /-оболочки с точки зрения симметрии относительно группы вращений будет антисимметричным /-тензором. Для того чтобы найти возможные собственные значения полного момента, нужно

’) Частично взаимодействие между электронами может быть учтено с помощью некоторого эффективного сферически симметричного потенциала. Поэтому величину спин-орбитального взаимодействия надо сравнивать лишь с той частью межэлектронного взаимодействия, которая не входит в этот эффективный потенциал.

разложить на неприводимые части то представление группы вращений, которое реализуется на компонентах этого тензора. Эта задача может быть решена тем же способом, что и для /-слэя. Практически, однако, нет необходимости каждый раз проводить довольно громоздкую процедуру, так как результаты известны и затабулированы. В заключение в качестве иллюстрации приведем таблицу полных моментов для нескольких /-оболочек. Максимальное число электронов в /-оболочке равно 2/+1. В таблице, однако, указаны со

. , , 2/4-1

стояния /-оболочки самое большее для —— электронов. Это связано с тем, что классификация состояний /-оболочки с к электронами п с 2/4-1—к электронами совпадает в силу правила, изложенного на стр. 237.

Таблица состояний для /-оболочек

.Число

7электронов

3

31

/ = у2

.51

.71

У22

3

.91

3/2

2, 0

5/2

2, 0

9/2, 5/2, 3/2

7/2

4, 2, 0

15/2, 11/2, 9/2, 7/2, 5/2, 3/2

9/2

6, 4, 2, 0

21/2, 17/2, 15/2, 13/2, 11/2, (9'2)2, 7 2, 5/2, 3/2

4

5

12, 10, 9, (8)2, 7, (6)3, 5, (4)3, 3, (2)2, (О)2 25/2, 21/2, 19/2, (17 2)2, (15/2)2, (13/2)2, (11.2)2, (9/2)3, (7/2)2, (5/2)2, 3/2> 1/2

Глава XX

Применение теории групп в задачах,связанных с теорией возмущений

Уравнение Шредингера, определяющее стационарные состояния квантовомеханическйй системы, может быть решено точно только в исключительных случаях. Одним из важных методов приближенного решения уравнения Шредингера является метод теории возмущений. Применение этой теории возможно в тех случаях, когда оператор Гамильтона удается представить в виде

H-Hg^V, (20.1)

где Н9 — гамильтониан задачи, которая допускает более простое решение, а V— оператор возмущения. Учет симметрии невозмущенного оператора Но и оператора возмущения V в ряде случаев значительно облегчает применение теории возмущений к конкретным задачам.

Расщепление уровней энергиипод влиянием возмущения

Пусть гамильтониан Но обладает группой симметрии О0, а оператор возмущения V — группой симметрии Gv Обычно требование относительной простоты оператора Но по сравнению с полным гамильтонианом H = HQ~VV подразумевает более высокую симметрию Но по сравнению с симметрией Н. Рассмотрим два случая: а) группа G, совпадает с группой О0; б) группа Gx является подгруппой группы О0.

Симметрия полного гамильтониана совпадает с симметрией невозмущенной задачи: G0=G1. Мы знаем, что собственные значения уравнения Шредингера можно классифицировать по неприводимым представлениям его группы симметрии. Следовательно, классификация и кратность вырождения уровней энергии нашей задачи остаются такими же, как и в невозмущенном случае. Мы можем ожидать лишь смещение

16 М. И. Петрашень. Е. Д. Трифонов

собственных значений Es оператора Н относительно собственных значений Е^ оператора Hq:

ES = E^AE$.(20.2)

Таким образом, в этом случае возмущение не может вызвать расщепление вырожденных уровней энергии. Исключение из этого правила может быть только при случайном вырождении, когда собственные функции уровня энергии невозмущенной задачи преобразуются по приводимому представлению группы О0.

Если изменять величину возмущения V, сохраняя его симметрию, то смещения \ES собственных значений будут также изменяться, и некоторые уровни энергии Es, как функции параметров возмущения, могут пересечься. В точках пересечения уровней будет иметь место случайное вырождение, так как собственные функции, соответствующие этому значению энергии, будут преобразовываться по приводимому представлению группы Go. Существует, однако, правило, которое в некоторых случаях запрещает пересечение уровней, соответствующих эквивалентным неприводимым представлениям. Рассмотрим для простоты два невырожденных уровня, предполагая, что соответствующие им волновые функции ф, и ф2 преобразуются по эквивалентным неприводимым представлениям группы Go. Допустим, что при некотором значении возмущения Vj рассматриваемые уровни энергии Е^ и Е2 почти совпадают. Выясним, может ли отклонение возмущения V от значения V, вызвать пересечение этих уровней. Обозначим через V' разность V—-V,. Новые уровни энергии мы найдем, решая вековое уравнение

(20.3)(20.3)(20.4)(20.4)+<2=()

(20.3)

(20.3)

(20.4)

(20.4)

®21^2 + ^22

Мы найдем.

= "2" (^1^2 + ^П + ^22) --

Для того чтобы корни векового уравнения совпадали, необходимо одновременное выполнение двух условий:

—— = о,

Эти условия накладывают сравнительно жесткие ограничения на возмущение. Если, например, возмущение определяется только одним параметром, то, вообще говоря, нельзя удовлетворить сразу двум условиям и, следовательно, пересечение уровней невозможно. Если волновые функции рассматриваемых уровней преобразуются по неэквивалентным неприводимым представлениям, то второе условие у'2 = 0 выполняется тождественно (см. (5.32)) и пересечение может произойти даже в том случае, когда возмущение зависит от одного параметра.

Перейдем к рассмотрению случая, когда группа G, является подгруппой группы Go. Классификацию собственных значений гамильтониана Н следует теперь проводить по неприводимым представлениям группы Gr Так как порядки неприводимых представлений подгруппы не превышают порядков неприводимых представлений группы, то в этом случае может иметь место расщепление уровней невозмущенной задачи. Когда мы говорим о расщеплении уровней, то считаем возмущение настолько малым, что уровни возмущенной задачи можно однозначно сопоставить собственным значениям оператора Нй.

Рассмотрим некоторое собственное значение Е^ оператора Но. Пусть соответствующие ему собственные функции фр ф2, . . ., ф6 при операциях g из группы Go преобразуются по неприводимому представлению Г (g). Обозначим через Е{ уровни энергии возмущенной задачи, на которых расщепился уровень Е^. Собственные функции ф^* оператора Н, соответствующие каждому из собственных значений Et при операциях из группы О, будут преобразовываться по неприводимым представлениям у(- группы Gv Введем обозначение у = 2® Yi- Будем теперь неограниченно уменьшать возмущение V, не изменяя его симметрии. При любом значении возмущения V мы можем утверждать, что волновые функции, принадлежащие всем уровням EL, будут преобразовываться по представлению у группы Gv В пределе У=0 мы получим собственные функции невозмущенного оператора, связанные с функциями фр ф2, . .., фй некоторым унитарным преобразованием, и поэтому представление Г (g) должно быть

эквивалентно представлению Y(S") ПРИ S"€^i:

и, следовательно,

У'Г (£)(/= 2® yz(£), g^ Gv (20.5) I

Этот результат может быть использован для того, чтобы узнать, на сколько компонент расщепится данный уровень энергии f(0> при включении возмущения. Очевидно, для этого достаточно разложить представление Г ^g) на неприводимые представления группы GP

Мы видим, что включение возмущения более низкой симметрии, чем симметрия исходной задачи, приводит к частичному снятию вырождения. Вырождение каждого из новых уровней определяется порядком соответствующего неприводимого представления группы GP Полученные результаты иллюстрируются следующей схемой:

Со1

!о),pRю> Е№(■""•V'2>1 ^г''--^^

\

= 0,(20.6)= 0,(20.6)V Е3 ^,ср№^,„.,у№

= 0,(20.6)

= 0,(20.6)

гдегде■»ik = J ^У^к^.■»ik = J ^У^к^.(20.7)(20.7)

где

где

■»ik = J ^У^к^.

■»ik = J ^У^к^.

(20.7)

(20.7)

Линейные комбинации функций фР ф2фА, для которых матрица возмущения диагональна, называются правильными функциями нулевого приближения. Как известно, собственные функции возмущенного оператора непрерывно переходят в эти функции при выключении возмущения. Так как оператор возмущения V инвариантен относительно некоторой группы Ор то правильные функции нулевого приближения должны преобразовываться по неприводимым представлениям этой группы (см. главу V). Если в разложении представления Г, по которому преобразуются функции фР ф2ф^, каждое неприводимое представление группы О] встречается не более одного раза, то, построив из функций фР ф2, •.ф» линейные комбинации, преобразующиеся по неприводимым представлениям группы Gv мы найдем правильные функции нулевого приближения. Если же одно и то же представление в разложении Г встречается г раз, то для диагонализации матрицы возмущения нам придется решать вековое уравнение г-й степени. Обычно кратности неприводимых представлений невелики. Поэтому построение функций, преобразующихся по неприводимым представлениям группы Gv значительно облегчает решение уравнения (20.6).

Атом в однородных магнитноми электрическом полях

Для иллюстрации общей теории, изложенной в предыдущих пунктах, рассмотрим расщепление энергетических уровней атома, помещенного во внешнее однородное магнитное или электрическое поле. Ради простоты предположим, что состояние атома определяется состоянием одного валентного электрона, который находится в сферически симметричном поле остова. Для выяснения характерных свойств этих явлений мы воспользуемся упрощенной теорией, не учитывающей спина электрона.

Эффект Зеемана. Предположим, что атом помещен в однородное магнитное поле, направленное вдоль оси Oz. Оператор взаимодействия электрона с магнитным полем

напряженности Н можно представить в виде

У^^Ш,,(20.8)

zmc z

где lz — оператор проекции на ось Oz орбитального момента количества движения. Если группа симметрии О0 в рассматриваемой задаче была группой 0(3), то после включения взаимодействия (20.8) операциями симметрии останутся лишь повороты вокруг оси Oz и отражения в плоскости ху. Поэтому группа О, будет совпадать с группой С^. Мы знаем, что группа С^д абелева и, следовательно, все ее неприводимые представления Одномерны. Состояния невозмущенной задачи можно классифицировать по неприводимым представлениям группы вращений, т. е. по азимутальному квантовому числу /. Каждый уровень Et вырожден, и кратность вырождения равна 2/Д-1. Для того чтобы выяснить, как расщепляется этот уровень в магнитном поле, следует разложить представление D^ группы вращений на неприводимые представления группы С^. Мы получим такое разложение, если выберем вырожденные волновые функции так, чтобы они образовывали канонический базис неприводимого представления группы вращений. Действительно, в этом случае матрицы представлений, соответствующие вращениям вокруг оси Oz, примут диагональный вид:

/ е-11^Dw(0, 0, <р) = 10\ О/ е-11^Dw(0, 0, <р) = 10\ ОО...оe-i (Z—1)<р ., .оО...оe-i (Z—1)<р ., .оО . . . еи<»О . . . еи<»(20.9)(20.9)

/ е-11^

Dw(0, 0, <р) = 10

\ О

/ е-11^

Dw(0, 0, <р) = 10

\ О

О...о

e-i (Z—1)<р ., .о

О...о

e-i (Z—1)<р ., .о

О . . . еи<»

О . . . еи<»

(20.9)

(20.9)

Таким образом, представление D^ группы вращений разлагается на 2Z —|— 1 неприводимых представлений е‘тЧ1 ^т =—/, — / + 1/) группы С^. Поэтому мы можем утверждать,

что уровни энергии Et расщепятся в магнитном поле на 2Z —|— 1 подуровней, каждому из которых соответствует определенное значение магнитного квантового числа /и = — /, — ^ + 1I. Каждому из этих подуровней мы можем приписать также квантовое число четности w = (—l)z, так как операция инверсии остается операцией симметрии возмущенного оператора.

Обратим внимание на то, что в рассмотренном случае оператор возмущения лишь постоянным множителем отличается от инфинитезимального оператора группы симметрии невозмущенного оператора Но. Поэтому нулевое приближение теории возмущений в данной задаче дает уже ее точное решение.

Эффект Штарка. Предположим теперь, что атом помещен в однородное электрическое поле, направленное вдоль оси Oz. Оператор взаимодействия электрона с элек; трическим полем напряженности ^ — ^ег имеет вид

V = e^z. (20.10)

В этом случае оператор также инвариантен относительно вращений вокруг оси Oz. Однако здесь оказывается утраченной симметрия относительно отражения радиуса-вектора в плоскости ху, а вместе с ней — относительно инверсии L которая может быть представлена как отражение в плоскости ху и последующий поворот на 180° вокруг оси Oz. Таким образом, включение электрического поля приводит к тому, что четность ту перестает быть «хорошим» квантовым числом. Помимо инвариантности относительно вращений вокруг оси Oz возмущение (20.10) инвариантно также относительно отражений в плоскостях, проходящих через эту ось. Поэтому группой симметрии возмущения в этом случае будет группа С^.

Мы знаем (см. упр. 10.1), что группа Сту имеет два одномерных представления и бесконечное множество двумерных. Матрицы этих представлений приведены в таблице.

Элемент группы

А,

Ет

с (<р)

1

1

/е-1тЧ>0 \

\ 0 ei,n,»j

СГу

1

—1

/0

U о/

Для того чтобы выяснить, как расщепляется уровень Eg в электрическом поле, мы должны представление группы СюТ,

даваемое матрицами Dy\ разложить на ее неприводимые представления, Напишем характер представления D^ для вращения на угол <р. Используя (20.9), мы получим

Sp D(Z)(0, 0, ср) — 2 2 cos &ф + 1 = 5 8р^б(ф)+ 1- (20.11)

Л=1* = 1

Характер представления Dv\ соответствующий операции ау, например azy, можно вычислить следующим образом:

Sp Dw (оуг) = Sp D(Z) (Сх (л) X i) Sp DV1 (Сх (л)) Sp D(Z) (/) =

= (1 + 2 cos л 4- . .. + 2 cos/л) w = (—l)z w.

Но в рассматриваемом случае w = (—l)z. Поэтому

SpO(Z)(oJ = 1.(20.12)

Сравнивая (20.11) и (20.12) с характерами неприводимых представлений группы С^, мы получаем

z m

'D^gl-^E^g)® Av g^.(20.13)

Таким образом, мы приходим к заключению, что в однородном электрическом поле уровень Е, расщепляется на / двукратно вырожденных уровней, соответствующих представлениям Ek(k-—\/), и один невырожденный уровень,

волновая функция которого преобразуется по представлению Л(,).

Отметим, что матричные элементы оператора возмущения для функций с одним и тем же азимутальным числом / равны нулю, поскольку произведение двух таких функций является четной функцией, а возмущение меняет знак при преобразовании инверсии. Это приводит к тому, что поправка к энергии в первом порядке теориии возмущений оказывается равной нулю. Расщепление уровней проявляется лишь во втором порядке; поэтому величина этого расщепления пропорцио-

нальна квадрату напряженности поля. Исключение составляет атом водорода, для которого поправка первого порядка отлична от нуля вследствие дополнительного вырождения энергетических уровней.

Атом в кристаллическом поле

Рассмотрим теперь задачу о расщеплении уровней энергии атома, помещенного в поле кристалла. Мы будем предполагать, что влияние кристалла на атом можно рассматривать как малое возмущение. Симметрия этого возмущения определяется симметрией кристалла. Таким образом, в качестве группы G,, которая должна быть подгруппой группы вращений, в рассматриваемом случае мы имеем одну из точечных групп. Так как характеры неприводимых представлений точечных групп нам известны (см. главу VI), то схему расщепления уровней энергии атома можно получить при помощи формулы

(20-14)

Здесь /О (g) — характер неприводимого представления группы вращений (или' ортогональной группы), определяющего симметрию состояния невозмущенного атома, а %<0— характеры неприводимых представлений Гг рассматриваемой точечной группы. Величина г,- определяет число подуровней, волновые функции которых преобразуются по неприводимому представлению Г;."

В качестве примера выясним, как расщепляется уровень с азимутальным квантовым числом / в кристаллическом поле, обладающем симметрией октаэдра. Для этого прежде всего вычислим при помощи формулы (11.31) характеры представления группы О, даваемого матрицами Dw неприводимых представлений группы 0^(3). Классам С2 и С4 группы О (см. главу VI) соответствует <р —л, и, следовательно,

sin / + 9- л

^- = (-1)г-(20.15) sin^

Классу Са соответствует ф —-^-, следовательно,

Классу С5 соответствует ф = -у , следовательно,

sin + л z(0=—i =0, / = 3/п+1; (20.17)

sinT 1—1. / = Зт4-2.

И, наконец, для класса Е имеем

Х«=2/+1.(20.18)

Таким образом, получаем следующую таблицу характеров приводимого представления группы О, даваемого матрицами D^ для / = 0, 1, 2, 3:

IEc201113—125137—1IEc201113—125137—1c.C4C511—1—11—11—110—11c.C4C511—1—11—11—110—11

I

E

c2

0

1

1

1

3

—1

2

5

1

3

7

—1

I

E

c2

0

1

1

1

3

—1

2

5

1

3

7

—1

c.

C4

C5

1

1

—1

—1

1

—1

1

—1

1

0

—1

1

c.

C4

C5

1

1

—1

—1

1

—1

1

—1

1

0

—1

1

Рассматривая ее одновременно с таблицей характеров неприводимых представлений группы О, видим, что

Sp D(0)^Sp Гр

(20.19)(20.19)Sp Dw = Sp Г4,

(20.19)

(20.19)

Sp Ot2) = Sp r34-Spr5,

Sp /У * = Sp Г2 -j- Sp 14 -)~ Sp Г5.

Таким образом, схема расщепления уровней валентного электрона атома, помещенного в кристаллическое поле с симметрией октаэдра, может быть представлена в следующем виде:

Задача отыскания приближенных волновых функций, соответствующих расщепленным в кристаллическом поле уровням, значительно облегчается, если известны линейные комбинации Кц-Р(9, ф) сферических функций, которые образуют базисы неприводимого представления точечных групп (индекс р нумерует повторяющиеся неприводимые представления, а индекс / нумерует орты базиса этих представлений). Функции Kffp (6, ф) называют кристаллическими гармониками. В качестве примера мы приводим таблицу кубических гармоник, образующих базисы неприводимых представлений группы куба. Пользуясь кристаллическими гармониками, мы можем представить волновую функцию электрона, соответствующую уровню 5Г, в виде

фГ (г) =2 5^(6, ^RrP(r), (20.20)

где функции Rrp зависят только от абсолютной величины радиуса -вектора.

Таблица вещественных кубических гар

Г,

г,

Гз

/

Kto

Кф

к^

0

/г 1

1

2

к^ = ^

К^ = /2 Р® cos 2<р

3

К^У? ffWy

4

К4а = "/т2Р^ + + ^/^^ Р^ cos 4ф

К^ = /2 Р^ cos 2ф к?) = УУР''— "|/ -^- Р'л’ cos4(p

моник ^ (9, v) ( J [/(^f dt = 2л)

1г4

г5

|/<Z6

Kie

К^ = ^

К$ = /2 Р^’ cos <р

K^ = Vt P^sin?

К^ = /2 Р^ sin 2<р К^ = К2 Р^ cos q> К^ = /2 Р^ sin <р

^ = ]/4 /’з’созЗф-

—]/4 ^ c°s v

-+ ]/^4 ^’’sintp

К^ = К2 Р^ cos 2ф ^Н/т^^ЗфЧ- + ]/"4 ^з’созф /<зе = ]/'4 ^sin3*? —

—4 ^*3' s*n ф

K^ = K2 P^sin4<p К$=/2 У 4 ^cosv—

-Г2 у 1 Р^созЗф

^ = ^2 1/1 Р^ sirup+

+ /2"|/1 p(3>sln3<p

К^ = /2 Р^ sin 2<р

<2’ = К2 ]/1 ^1,cos<p +

+ f2 "j/4 ^гСозЗф

К^ = ^2 ]/4 ^sintp-

— уту^4 ^^ Sin Зф

Глава XXI

Правила отбора

Одним из важных приложений теории групп к квантовой механике является установление правил отбора. В широком смысле слова под правилами отбора понимают критерий, позволяющий судить, может ли быть отличным от нуля матричный элемент некоторого оператора, если известно, по каким представлениям рассматриваемой группы преобразуются этот оператор и волновые функции. В теории излучения этот критерий применяется к матричному элементу оператора взаимодействия с электромагнитным полем и используется для определения вероятности перехода квантовомеханической системы из одного стационарного состояния в другое

Общая формулировка правил отбора

Пусть нам задана некоторая совокупность операторов Оо, а=1, 2к (например, рх, ру, р2\ которые при преобразовании g из группы G симметрии рассматриваемой квантовомеханической системы преобразуются по закону

(21.1)(21.1)~ ~*

(21.1)

(21.1)

TgOgTg — Z)paOp.

p-1

Рассмотрим матричный элемент оператора Oa:

Otii^^t. даФу),Otii^^t. даФу),(21.2)(21.2)

Otii^^t. даФу),

Otii^^t. даФу),

(21.2)

(21.2)

где функции ф; и фу образуют базисы представлений Dw и D№ группы G;

(21.3)(21.3)Tg^t= ^^(^Ф,,.

(21.3)

(21.3)

!>/-= 2iD№ (g)^.

Используя унитарность оператора Т мы можем написать

ад=с> %Ил W^,)- <21-4)

Подставляя в (21.4) равенства (21.1) и (21.3), мы получим

О, У О' ЮО.УДО.^ф =

az J \ zz nt 'пРа уj

= 2 ЭДМ^А^(21.5)

п, Р, т

ИЛИ

Oatj^= ^j Dti^jm, iajO^tim.1(21.6)

n, P, m

где матрица ||D„pmjuy|| есть матрица прямого произведения представлений £)(1) X ОХ ^(2>- Просуммировав обе части равенства (21.6) по группе и поделив результат на порядок N группы, мы получим

Oaij™-^ ^ 5 D^im, iajO^mn-(21-7)

g «, Р, m

Мы знаем, что сумма по группе матриц любого неприводимого представления, кроме тождественного, равна нулевой матрице (см. упр. 3.7). Предположим, что представление D = Dw X d' X D^ в результате преобразования подобия с некоторой матрицей разложено на неприводимые представления, т. е.

VD^V"^^® D<K4g),(21.8)

где D^(_g)—матрицы неприводимых представлений. Если в правой части этого равенства не содержится тождественное представление, то

2 2®^^) = 0,(21.9)

g к

а следовательно, и

2£>(g')=V-I22® £>t?) (g) V = 0.(21.10)

gg

Таким образом, в правой части равенства (21.7) мы получим нуль, если в представлении D не содержится тождественное представление.

Полученный критерий равенства нулю матричного элемента Ouij (или правила отбора-) можно сформулировать следующим образом: для того чтобы матричный элемент Oatj был отличен от нуля, необходимо (но недостаточно), чтобы в прямом произведении О^ХО'ХС^ содержалось тождественное представление.

Если, в частности, оператор О является единичным оператором и, следовательно, преобразуется по тождественному представлению, то сформулированные правила отбора будут выражать свойство ортогональности функций, преобразующихся по неэквивалентным неприводимым представлениям (см. главу V, стр. 73).

Правила отбора для поглощения и излучения света

Для иллюстрации применения доказанной в предыдущем пункте теории установим правила отбора для излучения и поглощения света атомами. Мы ограничимся рассмотрением дипольного приближения, в котором вероятность перехода из состояния А в состояние В пропорциональна квадрату модуля матричного элемента:

гав = J ^аМ^^вМ^, (21.11) j

где г, — радиусы-векторы электронов атома, х— совокупность пространственных и спиновых координат, интегрирование по dt означает интегрирование по пространственным и суммирование по спиновым переменным.

Рассмотрим случай L — S-связи. При этом сначала будем считать, что волновые функции Ч^ и Ч^ начального и конечного состояний построены из одноэлектронных волновых функций, соответствующих заданным конфигурациям. Тогда матричный элемент (21.11) может быть выражен через одноэлектронные матричные элементы:

J ф,(г)гфг(г)</г. (21.12)

где ф; — одноэлектронная волновая функция с квантовым азимутальным числом I..

Установим правила отбора, обусловленные 'симметрией системы относительно инверсии. Радиус-вектор г преобразуется по нечетному представлению группы инверсии; волновая функция ф, преобразуется по четному представлению, если / четно, и по нечетному представлению, если I нечетно. Для того чтобы интеграл (21,12) был отличен от нуля, необходимо, чтобы подынтегральное выражение преобразовывалось по четному (тождественному) представлению, т. е. / и V должны иметь разную четность.

Теперь рассмотрим правила отбора для матричного элемента (21.12), обусловленные симметрией системы относительно вращений. Очевидно, подынтегральное выражение в (21.12) при вращениях преобразуется по представлению D^ X Dw X X D^1 L Применяя формулу Клебша — Гордана, мы приходим к заключению, что это представление содержит тождественное представление только в том случае, если .

1 = 1' или I — I' + 1.

Принимая во внимание полученные ранее правила отбора по четности, можем утверждать, что матричный элемент (21.12) может быть отличен от нуля только в том случае, если

M = V — Z=±l. (21.13)

Так как оператор дипольного момента в (21.11) представляет собой сумму одноэлектронных операторов, то при интегрировании мы получим отличный от нуля результат только в том случае, если конфигурации начального и конечного состояний отличаются только одним азимутальным квантовым числом.

Получим теперь правила отбора для матричного элемента (21.11), не связанные с одноэлектронным приближением.

Пусть состояния А и В характеризуются квантовыми числами L, S, J и U, S', У' соответственно. Рассматривая правила отбора для (21.11), обусловленные группой вращений, мы получим

- Д£ = £' — £ —0, ± 1, (21.14)

ДУ—У' —У=0, ± 1. (21.15)

Заметим, однако, что переходы У=0—>У' = 0 и £ = 0--> -> U = 0 запрещены. Это станет очевидным, если представление О(0) х дб) х дЮ по которому преобразуется в этом

17 М. И. Петрашень, Е. Д. Трифонов

случае произведение трех сомножителей в (21.11), разложить по правилу Клебша — Гордана на неприводимые части. Далее, оператор дипольного момента 2Г« симметричен относительно перестановок радиусов-векторов rt. Поэтому для того, чтобы представление, по которому преобразуется подынтегральное выражение в (21.12), содержало тождественное представление, необходимо, чтобы функции Чгл и Чгд преобразовывались по эквивалентным представлениям группы перестановок. Но так как представление группы перестановок пространственных переменных г; однозначно связано с собственным значением полного спина (см. главу XVII), то мы получим

^S=^S'-S=0.(21.16)

Правила отбора для комбинационного рассеяниясвета молекулами

В качестве еще одного примера рассмотрим правила

отбора для комбинационногоотбора для комбинационногоэтом молекула изменяет т продолжая оставаться вэтом молекула изменяет т продолжая оставаться врассеяния света молекулами.

отбора для комбинационного

отбора для комбинационного

этом молекула изменяет т продолжая оставаться в

этом молекула изменяет т продолжая оставаться в

Для простоты ограничимся моделью молекулы с двумя невырожденными электронными термами. Каждый из этих термов имеет свою колебательную структуру. На рис. 17 изображены колебательные подуровни для одного нормального колебания молекулы. Комбинационное рассеяние света является процессом второго порядка по отношению к взаимодействию с электромагнитным полем и связано с виртуальными переходами на колебательные подуровни возбужденного состояния.

Пусть молекула поглощает квант частоты м0 и поляризации а и испускает квант частоты to] и поляризации (3. При > свое колебательное состояние, эвном электронном состоянии.

Вероятность такого процесса пропорциональна квадрату модуля следующей величины:

_ у (inj^^yj^L^^J^^

fz + em —Е] — е„ —fitog'

(21.17)(21.17)(1л | Ма | 2m) (2m | М^ | 1л')

(21.17)

(21.17)

Ез X ет — Е, — еп -|- Йо0

Здесь (1л|Л4а|2/и) обозначает матричный элемент оператора электронного дипольного момента молекулы, вычисленный с волновыми функциями л-го колебательного подуровня основного электронного состояния и m-го колебательного подуровня возбужденного электронного состояния; через Е^ и Ех обозначены минимумы возбужденного и основного электронных термов соответственно, а через гт и еп — энергии их колебательных подуровней. Частота и1 испущенного кванта определяется законом сохранения энергии:

(21.18)(21.18)Ei 4~ ел4~^®о — ^2 + ^гг + ^®ь

(21.18)

(21.18)

Мы рассмотрели случай нерезонансного комбинационного рассеяния, т. е. будем считать, что

Ei— Ех — hto0>>Em — е„.Ei— Ех — hto0>>Em — е„.(21.19)(21.19)

Ei— Ех — hto0>>Em — е„.

Ei— Ех — hto0>>Em — е„.

(21.19)

(21.19)

Пренебрегая малой величиной е„г — ел в знаменателях формулы (21.17), мы получим

К1X

( Е2 — Ех — htoQ ~ Е2 — Ех 4- h®0 (

x2<ln|Ma|2/n)<2m|Mp|U'). (21.20)

В адиабатическом приближении волновую функцию молекулы представляют в виде

Wtm(r, q^^tf, q)^(q).Wtm(r, q^^tf, q)^(q).(21.21)(21.21)

Wtm(r, q^^tf, q)^(q).

Wtm(r, q^^tf, q)^(q).

(21.21)

(21.21)

где фг (г, q) — электронная волновая функция, являющаяся решением уравнения Шредингера для некоторой фиксированной конфигурации ядер, которая определяется смещениями q; Фт (q) — колебательная волновая функция. Теперь мы можем

представить величину К в виде

К (^'^уД^г 5<«I ^«12(?) I «) <« I ^2, (?) I «') = т

" ^E1 — Ety — (h®oy 5j ^ ।^Р21। П ^ (21 -22)

где

MaijW= \ ЫГ' Ф^^г, qW- (21.23)

Чтобы найти правила отбора для величины (21.22), определим сначала закон преобразования электронных матричных элементов Maij(q) при преобразованиях смещений q, дающих представление D группы G симметрии молекулы в основном электронном состоянии. Если g— элемент группы G, то мы можем написать

Фу^-'г. D(g-^q) = eibi<g4Ar, q).(21.24)

В частности, если q = 0, то

фу^-’г, О^е^'^фу, 0),(21.25)

откуда следует, что множители elbi'K1 образуют представление группы G, по которому преобразуются электронные волновые функции при равновесной конфигурации ядер. Нас интересует величина Matt(D(g-1)q), которая имеет следующий явный вид:

Mal2(D(.g"i)q) =

= J ф_(г, D^g-^qV^r, D(g-Y)q)dr. (21.26)

Делая замену переменной интегрирования

r = g*V,(21.27)

мы получим

4.12 (° (£"’)?) =

= J ФЛ^г', D(g-^q^g-^r'^g-'r', D(g-^q)dr.

v(21.28)

Используя (21.24) и свойство ортогональности матрицы ||gap||, , мы найдем

M^D^g’^q^

= e-tovW^g^g^ J ^(r', qV'^r', q)dr'^

= e-ib1W6^ ^g^M^qY (21.29) v

Теперь мы можем легко найти закон преобразования оператора Оцу^) =/Иа|2/Ир2|, стоящего в матричном элементе (21.22). Мы получаем

°ар Ф 1g" Ч q) = Дпг Ф (g-i) g) Жу21 (D (g-i) q) =

— 2, V^f^W?)^! (9)— 2 S^agytPaSy (21.30) V. VV, V

Мы видим, что оператор O^^q) преобразуется по тензорному представлению группы G. Если матричные элементы уИо12 дипольного момента вещественны, то мы имеем дополнительное условие

(21.31)

В этом случае шесть независимых величин будут преобразовываться по симметричному квадрату [g2] векторного представления. Используя этот результат, мы можем, наконец, сформулировать правила отбора для комбинационного рассеяния: переход будет разрешен, если в прямом произведении представлений D^ X ^(" 1 X [й-2]’ где D^ и Dtn '— представления, по которым преобразуются осцилляторные волновые функции, содержится тождественное представление ').

Матричные элементы, построенныена функциях одного базиса

Если волновые функции, с которыми строится матричный элемент некоторого эрмитова оператора, принадлежат базису одного представления, то можно получить более жесткие правила отбора по сравнению с теми, которые были

') О преобразовании осцилляторных волновых функций см. в главе XIV, стр. 190, а также упр. 16.3.

рассмотрены в предыдущих пунктах. Эти правила отбора существенны, например, в тех случаях, когда надо вычислять матричные элементы с волновыми функциями, принадлежащими одному уровню энергии.

Рассмотрим сначала случай, когда волновые функции вещественны и не зависят от спина. Интересующий нас матричный элемент эрмитова оператора Оа может быть представлен в виде

<z|dal/)= J ФАФ/^т. (21.32)

Пусть функции фА преобразуются по представлению D, а оператор Оа— по представлению D' некоторой группы О. Тогда, для того чтобы матричный элемент (21.32) был отличен от нуля, необходимо, чтобы в прямом произведении О X ^ X О' содержалось тождественное представление. Однако можно получить некоторые дополнительные ограничения, если учесть симметрию матричного элемента относительно перестановки значков I, j. Подчеркнем, что в том случае, когда функции, стоящие слева и справа от оператора, принадлежат одному и тому же базису некоторого представления, перестановка значков матричных элементов дает снова ту же совокупность матричных элементов, что не имеет места, если упомянутые функции принадлежат разным базисам. Мы можем написать

(i I оа | /) = J фАФ/ ах = J (бафг) фу ах =

= ± J ^Мах=± и\oa\iy (21.33)

Знаки плюс и минус в этой формуле относятся соответственно к тем случаям, когда оператор Оа вещественный или чисто мнимый. (Например, оператор взаимодействия электрона с электрическим полем вещественный, а оператор взаимодействия с магнитным полем чисто мнимый). На основании полученного свойства симметрии (или антисимметрии) матричных элементов мы можем утверждать, что представление, по которому они преобразуются, должно в качестве множителя содержать симметричный (или антисимметричный) квадрат представления D. Используя обозначения, принятые в главе XVI,

мы запишем представление, по которому преобразуются матричные элементы, в виде

[О2] X О’ Ддя вещественного оператора, 1

|О2]ХО' для чисто мнимого оператора, j ^1-34)

Теперь правила отбора могут быть сформулированы следующим образом: для того чтобы матричный элемент (21.32) был отличен от нуля, необходимо, чтобы в представлении (21.34) содержалось тождественное представление.

Модифицируем эти правила отбора, учтя спиновые состояния многоэлектронной системы *). Мы ограничимся тем случаем, когда оператор энергии рассматриваемой системы инвариантен относительно операции обращения времени, т. е. не содержит взаимодействия с магнитным полем (см. главу ХШ). Если ф — собственная функция такого гамильтониана, то 0ф, где 6— оператор обращения времени, — также собственная функция этого гамильтониана с тем же собственным значением. Напомним, что оператор 0 для /i-электронной системы имеет вид

0 = SlyS2y . . . SnyK,(21.35)

где Sly— оператор проекции спина Z-ro электрона на ось Оу, К — операция комплексного сопряжения.

Оператор 0, как легко проверить, коммутирует с инфинитезимальными операторами вращений и, следовательно, с любым вращением. Но отсюда следует, что если функция ф преобразуется по представлению D группы вращений (или какой-нибудь ее подгруппы), то функция 0ф будет преобразовываться по комплексно сопряженному представлению D. Действительно,

Т^ = 0^Фг = 05О7,(^)Фу = 25у;(^)0фл (21.36)

Отсюда следует, что собственные функции рассматриваемого гамильтониана, соответствующие одному собственному

') И. Б. Левинсон, Труды АН Литовской ССР, серия Б, 2 (1951), 67.

значению, преобразуются либо по вещественному представлению, либо по представлению, которое эквивалентно своему комплексно сопряженному. В последнем случае оно может быть представлено в виде D^ © О^*, где D*-5'— некоторое представление рассматриваемой группы. Нетрудно найти преобразование подобия, которое делает представление D^ © Z)(S) вещественным.

Рассмотрим закон преобразования волновых функций при действии на них оператора 0. Мы можем написать

Й/ = 2Мл<21-37)

j

где ||9уг||—некоторая унитарная матрица: 0+=0~*. Известно (см. главу ХШ), что

02 = х,(21.38)

где х = 1 для четного числа электронов и х = — 1 для нечетного числа электронов. Соответствующее матричное равенство будет иметь вид

00 —х5,(21.39)

откуда

©“'^х©.(21.40)

В силу унитарности матрицы 0 мы получаем

0-1= 0*^x0(21.41)

или

©* = х0,(21.42)

где 0* обозначает транспонированную матрицу. Это свойство матрицы 0 мы используем для определения симметрии матричного элемента Oalj — (фг, Оаф?) относительно перестановки значков I и j.

Мы можем написать следующее равенство:

0aijМ-. 0Ооф?) = (0фг, 0ба0“10фу) =

- ± S 6ttmn9mi9nj. (21.43)

Здесь верхний знак соответствует случаю, когда 0Оа0-1 = Оа, нижний — случаю, когда 0Оа0-1 = - Оа. Используя эрми- товость оператора ба: Оатп = Оапт и унитарность матрицы 0: 0“1 = 0+, мы можем переписать равенство (21.43) в виде

^miOaij=:±^njOanm(21.44)

Zп

или, в силу (21.42),

^mlOali=±^jnOanm.(21.45)

iп

Если вместо матричных элементов Опц мы введем величины damy = S6m<OaZy,(21.46)

то из (21.45) получим

6am/=±^a/m.(21-47)

Найдем правила отбора для величин Оатр Мы показали, что представление, по которому преобразуются волновые функции фг, можно считать вещественным. Поэтому по значкам т, j величины Oamj преобразуются, как компоненты тензора. В силу (21.47) мы получаем, что для четного числа электронов (х = 1) и для оператора Оа, коммутирующего с оператором 0, или для нечетного числа электронов(х=— 1) и для оператора Оа, антикоммутирующего с оператором 0, величины Oamj являются компонентами симметричного тензора; для нечетного числа электронов и для оператора Оа, коммутирующего с оператором 0, или для четного числа электронов и для оператора Оа, антикоммутирующего с оператором 0,— компонентами антисимметричного тензора. Следовательно, представление, по которому преобразуются величины Oamj, в первом случае имеет вид

[О^ХО',(21.48)

во втором случае — вид

^Х^.(21.49)

Теперь мы можем сделать следующее заключение. Для того чтобы, величины Oaij были отличны от нуля, необходимо.

чтобы в представлениях (21.48), (21.49) содержалось тождественное представление. Эти же правила отбора остаются в силе и для матричных элементов Оа1р которые связаны с величинами Oamj унитарным преобразованием.

В качестве примера использования правил отбора, установленных в этом пункте, мы рассмотрим вопрос об устойчивости симметричных конфигураций молекул.

Теорема Яна — Теллера

Рассмотрим уравнение Шредингера для волновой функции электронного состояния молекулы:

^—g-Ar+V(r, /?)]ф(г, R) = E(R)*(r, R). (21.50)

В этом уравнении R обозначает координаты ядер, а г —координаты электронов. Собственное значение электронной энергии Е (R) является функцией координат ядер. Минимум этого собственного значения соответствует равновесной конфигурации ядер для рассматриваемого электронного состояния. Предположим, что нам неизвестно пока точное положение равновесия ядер. Выберем в качестве нулевого приближения некоторую симметричную конфигурацию R^1 и будем предполагать, что эта конфигурация близка к равновесной конфигурации ^0), т. е. R^ = Ri'-\-kRj, где \Rt — малое смещение t-ro ядра. Равновесную конфигурацию R№ будем искать с помощью теории возмущений. Уравнение Шредингера (21.50) для конфигурации Rto' можно записать в виде

[-g-Ar + V(r, /?<'>)+^(г)]ф(г) = 5ф(г), (21.51) где

lF(r)=V(r, R«»)-V(r, R^)^^R. (21.52)

, \

можно рассматривать как возмущение.

Будем обозначать декартовы составляющие смещений ядер относительно конфигурации R^' через х^, где значок 0 нумерует как декартовы оси, так и ядра. Мы знаем (см.

главу V), что смещения хр преобразуются по представлению группы симметрии О конфигурации /?(1):

а — 3 ^ар(^)хр-а — 3 ^ар(^)хр-(21.53)(21.53)

а — 3 ^ар(^)хр-

а — 3 ^ар(^)хр-

(21.53)

(21.53)

Перейдем теперь от смещений хр к симметризованным смещениям q^, которые преобразуются по неприводимым представлениям группы О:

7р^2%ха- (21.54)

Возмущение U7 теперь можно записать через координаты qa:

VI / дУ \U»a )q=0qa'VI / дУ \U»a )q=0qa'(21.55)(21.55)

VI / дУ \

U»a )q=0qa'

VI / дУ \

U»a )q=0qa'

(21.55)

(21.55)

Мы можем теперь найти поправку к собственному значению энергии E^R^y обусловленную возмущением W. Пусть собственное значение E^R^ s-кратно вырождено и соответствующие ему собственные функции преобразуются по некоторому неприводимому представлению D группы симметрии G конфигурации Rm. Обозначим эти функции через фр ф2, . . ., ф5 и будем считать их ортонормированными. Мы знаем, что поправки к энергии в первом порядке теории возмущений определяются корнями векового уравнения

|^-^1=0.(21.56)

В нашем случае

= /фкИ ^("^-^аФАМ^Г.(21.57)

а

Мы видим, что корни уравнения (21.56) будут функциями величин qa, значения которых для равновесной конфигурации выбираются из условия минимума энергии E(q). Обращая равенства (21.54) с найденными значениями qa, мы определим смещения ядер и, следовательно, возможные равновесные конфигурации.

В главе VI мы построили координаты qa для молекулы, обладающей кубической симметрией, и выяснили их геометрический смысл. В частности, мы видели, что только

координата qv преобразующаяся по тождественному представлению точечной группы, соответствует такому изменению положений ядер, которое не изменяет симметрии молекулы.

Теперь найдем на основании теоретико-групповых соображений критерий равенства нулю матричных элементов

J^^t^^V^^^'(2L58)

Для этого сначала выясним закон преобразования функций (^Уу ”) ^^а^’ когда к электронным координатам применяется преобразование из точечной группы G. Рассмотрим совокупность производныхпо тем координатам qa,

которые преобразуются по некоторому неприводимому представлению Г группы G. Покажем, что эти производные преобразуются по тому же представлению Г. С этой целью заметим, что возмущение U7 инвариантно относительно любого одновременного ортогонального преобразования радиусов- векторов ядер и электронов. Поэтому мы имеем

W =2га(г)9а^2Гр(г')9',(21.59)

а6

где

r' = gr,q^=^^g)qa.(21.60)

Таким образом, мы получаем

2 Г (г') ^ = 5 W (г') Г qa = ^Wa (г) qa, (21.61) рР. са

откуда

W(^V^^gry(21.62)

Делая подстановку r->g~xr, мы окончательно получаем

^а^-'П-ЗГ te)^ (Г),(21.63)

6

что и требовалось доказать.

Так как гамильтониан нашей задачи не содержит спиновых операторов, то мы можем воспользоваться правилами отбора, сформулированными на стр. 263. Оператор возмущения Wa вещественный. Поэтому можно ожидать, что ма-

269269УПРАЖНЕНИЯ

269

269

тричныЙ элемент (21.58) будет отличен от нуля, если в представлении [ZD2] содержится представление Г. Если электронное состояние не вырождено, т. е. представление D одномерно, то представление [О2] является тождественным и возможны голько полносимметричные смещения, которые не изменяют симметрии молекулы. Если же электронное состояние вырождено, то, как показало детальное исследование всех возможных типов симметричных молекул, всегда можно найти неполиосимметричное смещение, которое преобразуется по представлению, содержащемуся в [О2] *). Ясно, что всегда можно так выбрать значение этого смещения, чтобы соответствующая поправка к энергии была отрицательной. Действительно, если для некоторого значения q — А она положительна, то для q —— А она должна быть отрицательной. Отсюда следует, что если для некоторой симметричной конфигурации ядер электронное состояние вырождено, то молекула «стремится понизить свою (симметрию так, чтобы это вырождение снималось» (теорема Яна — Теллера).

Упражнения

Найти правила отбора для поглощения и излучения света атомами в приближении j — /-связи.

Доказать, что тетраэдрическая конфигурация молекулы СН4 для вырожденных электронных состояний является неустойчивой.

') Н. A. I a h п, Е. Teller, Proc. Roy. Soc. A, 161 (1937), 220, Исключение составляют лишь линейные молекулы.

Глава XXII

Группа Лоренца и ее неприводимыепредставления

Общая группа Лоренца

Согласно теории относительности пространственные координаты и время в двух равномерно движущихся друг относительно друга системах отсчета связаны линейным преобразованием, которое мы будем называть собственным преобразованием Лоренца. Если время и пространственные координаты в одной системе отсчета обозначить соответственно через х0, хр х2, х3, а в другой через у0, у,, у2, у3, то мы можем написать

з

Уа— 2 ^архр>(22.1)

Р=01 р

где И АОр ||—матрица преобразования Лоренца. Для установления некоторых свойств этой матрицы используем тот факт, что преобразование Лоренца оставляет инвариантной квадратичную форму

Ф = ~ -^о + ^ + ^ + ^з *>• (22-2)

Если четырехмерный вектор с составляющими х0, xt, х2, х3 представить в виде матрицы, состоящей из одного столбца:

то квадратичную форму (22.2) можно записать в виде

(22.3)(22.3)^=Х*РХ,

(22.3)

(22.3)

') Скорость света принята равной единице.

где звездочка обозначает транспонированную матрицу, а

р =— 10 0 00 10 00 0 100 0 0 1р =— 10 0 00 10 00 0 100 0 0 1(22.4)(22.4)

р =

— 10 0 0

0 10 0

0 0 10

0 0 0 1

р =

— 10 0 0

0 10 0

0 0 10

0 0 0 1

(22.4)

(22.4)

Инвариантность квадратичной формы (22.2) относительно преобразования Лоренца Л можно теперь записать следующим образом:

X*F X = y*FY,(22.5)

где

Y — NX.(22.6)

Подставив (22.6) в (22.5), получим

(NXy FNX = Х^РХХХ*РХ. (22.7)

Следовательно,

N*FN = F.(22.8)

Мы увидим сейчас, что условию (22.8) удовлетворяет более широкий класс линейных вещественных преобразований, чем собственные преобразования Лоренца. Все такие преобразования мы будем называть общими преобразованиями Лоренца. Легко проверить, что общие преобразования Лоренца образуют группу — общую группу Лоренца L.

Вычислим определитель правой и левой частей равенства (22.8). Тогда получим.

(detA)2=l,(22.9)

откуда

detA=±l.-(22.10)

Таким образом, общую группу Лоренца можно разбить на две части: L^—совокупность матриц с определителем 1, и L_—совокупность матриц с определителем, равным— 1.

Ясно, что совокупность L+ сама образует группу, а совокупность L_ группы не образует.

Равенство элементов, стоящих на пересечении первой строки и первого столбца матрицы в формуле (22.8), дает

Аналогично из равенства

(22.12)(22.12)AFA* = F,

(22.12)

(22.12)

которое можно получить из (22.8) с помощью транспонирования матриц, найдем

Лоо — Aoi—Ада —Лоз=1.(22.13)

Из (22.11) (или из (22.13)) следует, что

(22.14)(22.14)и, значит, или A^^-l, или Лоо<(— 1. По этому признакуи, значит, или A^^-l, или Лоо<(— 1. По этому признакуЛоо J>1 >

(22.14)

(22.14)

и, значит, или A^^-l, или Лоо<(— 1. По этому признаку

и, значит, или A^^-l, или Лоо<(— 1. По этому признаку

каждую из совокупностей L+ и L_ можно в свою очередь разбить на две совокупности. Таким образом, общая группа Лоренца разбивается на четыре совокупности:

Aqo 1det Л — 1Aqo 1det Л — 1LZLZЛоо ^*det Л = 1Лоо ^*det Л = 1Лоо ^ *Лоо ^ *det Л — —1det Л — —1L1L1Лоо ^Лоо ^— 1— 1det Л — —1det Л — —1

Aqo 1

det Л — 1

Aqo 1

det Л — 1

LZ

LZ

Лоо ^*

det Л = 1

Лоо ^*

det Л = 1

Лоо ^ *

Лоо ^ *

det Л — —1

det Л — —1

L1

L1

Лоо ^

Лоо ^

— 1

— 1

det Л — —1

det Л — —1

Ясно, что эти совокупности нельзя связать друг с другом путем непрерывного изменения элементов матрицы Лоренца. Совокупность L* сама по себе образует группу. Доказательство основано на следующем свойстве: матрицы, для которых Лоо^- 1, образуют группу. Действительно, пусть Л и Л — две такие матрицы. Интересующий нас элемент матрицы ЛЛ равен

{ЛЛ)оо = ЛдоЛцо + Л0|Л10 -ф- ЛО2Л2о + ЛозЛзо-(22.15)

Применяя неравенство Шварца и используя формулы (22.11) и (22.13), мы можем написать

(Ло1Л1О + ЛО2Л2О + ЛозЛзо)

(Ло1 -|- Лог -ф- Лоз) (Лк, Н~ Л2о + Л3о) < ЛооЛоо- (22.16)

Отсюда следует, что {ЛЛ}00 > 0. Так как матрица ЛЛ принадлежит общей группе Лоренца, то окончательно мы получаем

{ЛЛ}Ю>1,(22.17)

что и требовалось доказать.

Можно показать, что любые две матрицы, принадлежащие одной совокупности, могут быть переведены непрерывным образом друг в друга. Отсюда следует, в частности, что группа L+, содержащая единичную матрицу, содержит также все собственные преобразования Лоренца. Группу £* называют собственной группой Лоренца. Если ввести в рассмотрение три общие матрицы Лоренца:

— 10 0 00 10 00 0 100 0 0 1—1— 10 0 00 10 00 0 100 0 0 1—11000

— 10 0 0

0 10 0

0 0 10

0 0 0 1

—1

— 10 0 0

0 10 0

0 0 10

0 0 0 1

—1

0—100

5==00—10’

00 0—1

000

0—100

00—10’

000 —1

то общую группу Лоренца можно будет разложить на следующие сопряженные совокупности:

L^. FLt< SL^, I Lt-

Очевидно, что последние три совокупности совпадают с введенными нами ранее совокупностями LI, Lt, UA

Связь группы Лоренца с группойчетырехмерных вращений

Покажем теперь, что группа Лоренца в окрестности единичного элемента однозначно связана с группой четырехмерных вращений О+ (4). В дальнейшем это поможет нам получить все конечномерные неприводимые представления собственной группы Лоренца.

Найдем сначала число параметров или число независимых элементов матрицы преобразования Лоренца. Мы видели, что матрицы Лоренца должны удовлетворять равенству (22.8). Так как матрица АТА симметрична: (АТА)* = АТА, то условие (22.8) эквивалентно 10 условиям, наложенным на матричные элементы. Отсюда следует, что из 16 элементов

матрицы Лоренца независимых только 6. Поэтому преобразование Лоренца является шестипараметрическим. Этими параметрами могут быть три составляющих скорости относительного движения и три эйлеровых угла поворота, определяющих взаимную ориентацию систем координат. Однако в дальнейшем в качестве независимых параметров нам будет удобнее выбрать углы поворотов в двумерных плоскостях (хохх), (х0х2), (х0х3), (ххх.-2), (х^з), (х2х3). Эти параметры мы обозначим через ф01, ф02, ф03; ф12, ф13, ф23' а соответствующие им инфинитезимальные матрицы — через S01, В№ ^оз! ^12> ^13> ^23*

Введем в рассмотрение группу четырехмерных вращений О+ (4). Координаты пространства, в котором действуют преобразования группы О+ (4), также будем обозначать через х0, х,, х2, х3. В отличие от (22.1) для этой группы инвариантом будет положительно определенная квадратичная форма

^о+^ + ^г + ^з-(22.18)

Рассмотрим произвольное преобразование из группы четырехмерных вращений, оставляющее .неизменными координаты х2 и х3. Очевидно, что это обычное вращение в плоскости (хохх), которое может быть представлено в виде

хо=хосозф — Х1Э1Пф, Xi = xqsinф+ Xi cosф. (22.19)

Рассмотрим равенства (22.19) при мнимых значениях переменных х0 и ф, заменив ф на /ф, х0 на lx0, Xq на ix'Q. Тогда вместо (22.19) мы получим

1х^ = /х0соз/ф— х, sin/ф, х' = ix0 sin /ф + хх cos/ф

(22.20) или

х'= х0 ch ф + X] sh ф, х'— х0 sh ф + х1 ch ф. (22.21)

Если преобразование (22.19) имеет инвариант

x^ + x^inv,(22.22)

то инвариант преобразования (22.21) получается из (22.22) заменой х0 на /х0:

— x2 + x2 = inv.(22.23)

Но эта квадратичная форма совпадает с инвариантом преобразования Лоренца в плоскости (х^х). Поэтому мы можем утверждать,, что преобразование (22.21) является двумерным преобразованием Лоренца. Аналогичным образом можно получить связь между преобразованиями Лоренца и преобразованиями группы О+(4) в плоскостях (хох2) и (х0х3). Что же касается преобразований в плоскостях (X]X2), (х2х3), (Х]Х3), то они для обеих групп совпадают, образуя группу О+ (3).

Таким образом, мы видим, что преобразования групры Лоренца получаются из четырехмерных вращений заменой вещественных параметров поворотов в двумерных плоскостях (хохг) (/= 1. 2, 3) на чисто мнимые величины и одновременно заменой координат х0 на ix0. Поскольку матричные элементы матриц четырехмерных вращений являются периодическими функциями, то взаимно однозначное соответствие между преобразованиями из группы Лоренца и группы О+ (4) имеет место только в определенной окрестности единичного элемента. Если матрицу четырехмерного вращения обозначить через О (ф01, ф02, ф03; ф12, ф13, ф23), то соответствующая матрица группы Лоренца может быть представлена в виде

А(фог Фо2> Ф<№ Ф12’ ’Ф13* Ф23)=

= IZ-1O№0p 1ф02, /ф03; ф12, ф13, ф23)У,(22.24)

где

Z О О О

0 10 0

0 0 10

0 0 0 1

'3. Перестановочные соотношения

для инфинитезимальных матриц

Получим перестановочные соотношения для инфинитезимальных матриц группы Лоренца, соответствующих поворотам в двумерных плоскостях. Для этого мы сначала напишем перестановочные соотношения для инфинитезимальных матриц группы О+ (4), а затем, используя установленную нами связь (22.24), найдем перестановочные соотношения для группы Лоренца.

группе четырехмерных вращений можно выделить че-подгруппы трехмерных вращений, которые действуютгруппе четырехмерных вращений можно выделить че-подгруппы трехмерных вращений, которые действуютВ тыреВ тырев пространствах R№j с координатами xt, х„, xf.

группе четырехмерных вращений можно выделить че-подгруппы трехмерных вращений, которые действуют

группе четырехмерных вращений можно выделить че-подгруппы трехмерных вращений, которые действуют

В тыре

В тыре

^012' Х0> ^-р Хч'>

^123- XV Xl2’ ^З»

^230* х2’ х3’ х0-

-^301" х3> х0> хг

Поэтому инфинитезимальные матрицы группы О* (4), которые мы обозначим через Л01, Л02, Лоз, Л|2, Л|3, Л23(Л/6 = — Ак^, можно одновременно рассматривать как инфинитезимальные матрицы четырех групп трехмерных вращений:

^012- •^12’ ^20» -^Ор

^123* ^23' ^31 • -^121

^230* ^30’ ^02’ ^23!

^301 ■ All’ Аз’ Ао-

Для каждой из выписанных здесь троек инфинитезимальных матриц мы имеем перестановочные соотношения типа (см. главу XI)

ЛД-Л6Лг=[Лр Ак\ = А;.(22.25)

Таким образом, мы получаем 12 перестановочных соотношений. Остальные три перестановочных соотношения имеют вид

[ЛОр Л23] — 0, [Л12, Лзо] = О, [Л02, Л13] = 0, (22.26)

так как матрицы, действующие на разные пары координат, должны коммутировать.

Теперь легко найти перестановочные соотношения для инфинитезимальных матриц группы Лоренца. Согласно (22.24) мы получаем следующую связь между инфинитезимальными матрицами обеих групп:

f—= (у~х (—^ V

\ <'Ч> /о\ йф /о ’

ФФор Фо2* Фоз">Т — 4*12' Ф13> 4*23• .ФФор Фо2* Фоз">Т — 4*12' Ф13> 4*23• .(22.27)(22.27)\ ^ /о \ <^ Уо ’

ФФор Фо2* Фоз">

Т — 4*12' Ф13> 4*23• .

ФФор Фо2* Фоз">

Т — 4*12' Ф13> 4*23• .

(22.27)

(22.27)

Преобразование подобия не изменяет перестановочных соотношений. Поэтому перестановочные соотношения для инфинитезимальных матриц группы Лоренца В01, Во2, В03, В|2, В13, В23 будут такими же, как для матриц iX01, М02, 1А№, Д12, Д|3, Д23. Это свойство будет, конечно, выполняться и для инфинитезимальных матриц представлений этих групп, для которых мы сохраним обозначения Bik и А1к.

Неприводимые представления

Мы уже знаем, что нахождение неприводимых представлений непрерывной группы сводится к определению инфинитезимальных матриц этих представлений.

Покажем, что задачу о нахождении конечномерных неприводимых представлений группы Лоренца можно привести к аналогичной задаче для группы О* (4). Действительно, если нам будут известны инфинитезимальные матрицы неприводимых представлений группы О+ (4), то соответствующие инфинитезимальные матрицы для группы Лоренца либо будут совпадать с ними (для пространственных вращений), либо будут отличаться множителем I (для преобразований, связывающих временною и пространственные координаты).

Для определения инфинитезимальных матриц неприводимых представлений группы О+ (4) поступим следующим образом. Составим матрицы

(22.28)(22.28)^1 =-2"(442зЧ-Л01), т1 = -2"(Д23— Д01), Рз — 2" И31 "1“ Ад^), т2 = -^ (Д31 До2), Из — у (^12 + ^оз)> тз —"J (^12— ^оз).

(22.28)

(22.28)

Легко проверить, используя перестановочные соотношения для матриц А1к, что матрицы р и т удовлетворяют таким же перестановочным соотношениям, что и инфинитезимальные матрицы группы трехмерных вращений, т. е.

IP. р] = р, [т. т] = т.IP. р] = р, [т. т] = т.(22.29)(22.29)

IP. р] = р, [т. т] = т.

IP. р] = р, [т. т] = т.

(22.29)

(22.29)

Кроме того, матрицы рл и т; коммутируют друг с другом. Мы удовлетворим этим требованиям, если в качестве матриц р6 и т(- возьмем

(22.30)(22.30)uz = Мг X Ет, 1

(22.30)

(22.30)

Ti — Ем X Л- 1

где М( и Т; — инфинитезимальные матрицы двух представлений группы трехмерных вращений, а Ет и Ем — единичные матрицы этих представлений. На основании формулы (22.30) мы можем заключить, что группа четырехмерных вращений изоморфна прямому произведению двух групп трехмерных вращений. Так как все неприводимые представления прямого произведения двух групп могут быть образованы композицией неприводимых представлений групп-сомножителей (см. главу IV), то неприводимые представления группы Ол (4) являются композицией неприводимых представлений двух групп трехмерных вращений.

Мы знаем, что каждое неприводимое представление группы вращений однозначно определяется своим весом j, который может быть равен неотрицательному целому или полуцелому числу. Поэтому неприводимые представления группы О"’ (4) будут задаваться двумя числами / и /', каждое из которых может быть целым или полуцелым. Порядок такого представления равен произведению порядков неприводимых представлений групп трехмерных вращений, т. е. равен

(2У+1)(2/+1).

Инфинитезимальные матрицы неприводимого представления группы О (4) будут определяться формулами (22.30), где вместо Mj и Tt надо подставить инфинитезимальные матрицы неприводимых представлений группы О+ (3).

Если мы введем для инфинитезимальных матриц группы О+(4) новые обозначения:

(22.31)(22.31)

(22.31)

(22.31)

Л^ = Л23, Л2+)= Л3ь 4+) = л12.

Л] ' = Лоь Л 2 ' = Л02, Л(з 1 = Лоз,

то сможем написать

A^^^MtXEr^EMXTiYA^^^MtXEr^EMXTiY(22.32)(22.32)

A^^^MtXEr^EMXTiY

A^^^MtXEr^EMXTiY

(22.32)

(22.32)

Для инфинитезимальных матриц неприводимых представлений группы Лоренца введем обозначения, аналогичные (22.31). Тогда мы получаем окончательно следующие выражения:

(22.33)(22.33)В^-(М1ХЕт+ЕмХТ{),BV^i^MiXET - EMXTiY

(22.33)

(22.33)

Таким образом, найденные нами неприводимые представления собственной группы Лоренца определяются парой чисел у, j', каждое из которых может быть целым или полуцелым. Мы будем обозначать эти представления через DUj \ Порядок представления b’ii} равен (2у + 1)(2у'+1). Инфинитезимальные матрицы этого представления определяются формулами (22.33), в которых /И; и Tt — инфинитезимальные матрицы неприводимых представлений группы вращений с весами j и у' соответственно.

Обратим внимание на то, что из-за наличия множителя I во второй формуле (22.33) инфинитезимальные матрицы В^ не являются антиэрмитовыми и, следовательно, представления D^E'1 не унитарны. Неунитарность конечномерных представлений группы Лоренца связана с тем, что группа Лоренца не является компактной. Кроме конечномерных неприводимых представлений группа Лоренца имеет также бесконечномерные унитарные неприводимые представления. В квантовой механике эти представления имеют ограниченную область применения (см. главу XIV), и мы их рассматривать не будем.

Прямое произведение неприводимыхпредставлений группы Лоренца

Для рассмотрения этого вопроса мы опять воспользуемся установленным соответствием представлений группы Лоренца с представлениями группы О+ (4). Условимся неприводимые представления группы О* (4), соответствующие неприводимым представлениям В'^ группы Лоренца, обозначать через D1,11 \

Мы видели, что неприводимые представления группы О+ (4) можно выразить как прямое произведение неприводимых представлений двух групп трехмерных вращений:

Dun= О(й (g) X D^'5 lg'),(22.34)

где g и g'— элементы, принадлежащие двум независимым группам трехмерных вращений. Найдем разложение прямого произведения cMx^ X D^2^ на неприводимые части. Согласно (22.34) мы можем написать ск]х 'О X Ь^^^ —

= D^ (g) X D^ (g') X dV^> (g) X D^ (g'). (22.35)

Если мы будем рассматривать равенство матриц представления с точностью до преобразования подобия, то в правой части (22.35) мы можем переставить порядок множителей. Используя правило Клебша — Гордана для групп О+(3) (см. главу XII), мы получим

D^1J^X £>("'2"'2) =

=(о(Л) (g) х о('2) И х (dVx) (g') X D^ (£'))=

A+^2A+^2

= ^D^g^X S® Du’4g'y (22.36)

Но согласно (22.34) полученный результат можно привести к следующему виду:

>1 + ?2>1 + 72

DViJx)x еК,2^= 22 ® оиг\ (22.37)

Ясно, что в силу установленного соответствия между неприводимыми представлениями группы Лоренца и группы О* (4) мы получим аналогичное разложение для прямого произведения двух неприводимых конечномерных представлений группы Лоренца.

281281

281

281

УПРАЖНЕНИЯ

Упражнения

Доказать, что произвольное собственное преобразование Лоренца может быть представлено в виде произведения шести однопараметрических преобразований в двумерных плоскостях.

Написать явное выражение для инфинитезимальных матриц неприводимых представлений:

D(°4) М D^\ D^k

На какие неприводимые представления группы трехмерных вращений может быть разложено представление D^1 Ъ

Найти разложения на неприводимые представления

D^ °) X D^ ?) в^ ?) х £)( 2 7)

Доказать, что четырехмерный вектор (х0, хь х2, х3) пре-

образуется по неприводимому представлению D^2 2 4

Глава XXIII

Уравнение Дирака

В качестве приложения теории представлений группы Лоренца мы рассмотрим релятивистски инвариантное волновое уравнение для свободной частицы со спнном 1/2— уравнение Дирака. Так как волновая функция в этом случае является многокомпонентной величиной, которая при преобразовании Лоренца должна преобразовываться по некоторому представлению группы Лоренца, то это уравнение фактически представляет собой систему линейных дифференциальных уравнений. Мы предполагаем, что читатель знаком с теорией уравнения Дирака, обычно излагаемой в курсах квантовой механики. Поэтому в этой главе мы ограничимся исследованием лишь трансформационных свойств его решений. Рассмотрим сначала общие свойства релятивистски инвариантных уравнений.

Релятивистски инвариантные уравнения

Систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка, описывающих состояние свободной частицы, можно записать в виде

++++(23.1)

и 112 дх2 1 ох^ 1 т v 7

/\

где ф = I ф2 )" многокомпонентная волновая функция

переменных х0, Хр х2, х3, a LoL3 и х— некоторые матрицы, элементы которых не зависят от координат и времени.

Рассмотрим условие инвариантности системы (23.1) относительно преобразований Лоренца. Для этого запишем ее в новой (штрихованной) системе координат. Пусть X и X'= XX— одна и та же пространственно-временная точка в двух рассматриваемых системах. Закон преобразования

волновой функции при переходе к штрихованной системе координат имеет вид

Ч>'(де') = £> (А) ф (а:)(23.2)

илиилиФ^ХЗ^р^Фр^)-Ф^ХЗ^р^Фр^)-

или

или

Ф^ХЗ^р^Фр^)-

Ф^ХЗ^р^Фр^)-

Покажем, что матрицы О(Л) образуют представление группы Лоренца. Действительно, при последовательном применении двух преобразований Лоренца мы получим

ф;^)=2/\6(А')ф^')=

= 2 ^б <Л') °бр (Л) Фр (X) = s D^ (Л") фр (х). (23.3)

Запишем уравнение (23.1) в штрихованной системе координат. Для этого, применяя обратное преобразование, найдем ф(х)=О-1(Л)ф,(х/).(23.4)

Далее, мы имеем з х\ = 2 \кхк(23.5)

и, следовательно, з

(236> 6-0

Подставляя (23.4) и (23.6) в (23.1), получим з

2 ^.О-^Л^ + гхО-у^О. (23.7)

б-оХк

Матрицу х мы будем считать неособой. Поэтому, не нарушая общности, можно положить ее равной матрице, кратной единичной. Действительно, мы всегда можем умножить обе части уравнения (23.1) на х-1. Тогда, умножая (23.7) слева на матрицу D, получим

з

(23.8)(23.8)J XHDLtD"x ^ + /хф' = 0. бГГодхк.

(23.8)

(23.8)

Из требования инвариантности уравнения (23.1) относительно преобразования Лоренца следует, что

з

^ = 5 ^ВЦО-г(23.9)

1 = 0

или'

3

D~4kD = S KklLt.(23.10)

i = 0

Имея в виду это равенство, говорят, что матрицы Lk преобразуются, как четырехмерный вектор. Формулы (23.9) дают нам условие инвариантности рассматриваемой системы дифференциальных уравнений.

Выясним, какой вид имеют ■ простейшие релятивистски инвариантные системы (23.1), состоящие из минимального числа уравнений. Так как число уравнений равно числу компонент волновой функции, а последняя преобразуется по некоторому представлению группы Лоренца, то естественно начать исследование с уравнения, которое соответствует неприводимому представлению группы Лоренца минимальной размерности. Мы можем начать с тождественного одномерного представления О^00! Однако можно убедиться в том, что для этого представления невозможно написать релятивистски инвариантное уравнение типа (23.1). В самом деле, перенося член /хф в (23.1) в правую часть равенства, мы получим, что слева стоит величина, преобразующаяся по представлению D№ X О^2 2\ в то время как правая часть преобразуется по представлению D^ J). Ясно, что равенство двух величин, преобразующихся по разным представлениям, невозможно. Для того чтобы можно было написать релятивистски инвариантную систему, решение которой преобразовывалось бы по представлению, содержащему тождественное, это представление нужно по крайней мере дополнить пред-

/11)

ставлением О'-2 2Л В этом случае мы получили бы систему, состоящую из пяти уравнений. Исследуем теперь уравнение для волновой функции, преобразующейся по представлению О^2 ) второго порядка. Применяя то же рассуждение,

’) См. упр. 22.5.

что и выше, мы увидим, что слева в уравнении стоит величина, преобразующаяся по представлению

D^ °) X D^ ^) = оО ^ф о(° ^),

а справа — по представлению

D^ °\

е. в этом случае написать релятивистски инвариантную систему также невозможно. Однако мы не придем к противоречию, если будем считать, что волновая функция преобразуется по приводимому представлению D^2 °)фо(° 2) четвертого порядка. Полагая в (23.10) £) = /)(2 °^^D^° 2\ можно однозначно определить матрицы Ц. Полученная система будет состоять из четырех уравнений для четырех компонент волновой функции. Эта система, записанная в виде уравнения (23.1), называется уравнением Дирака.

Уравнение Дирака

Матрицы Ц могут быть найдены из условий (23.10) (см. [6], ч. 2, гл. 2). Мы сразу приведем явный вид уравнения Дирака:

(23.11)

° Лс0 11 дхх 1 2 дх2 4 дха ' т v '

где

0 0 10

0 00 —1

0 0 0 1

0 0—10

А) —

10 0 0

•

ц—

0 100

»

0 10 0

1000

00

) 1

0 0 10

(23.12)

00—1

0

0 0 0 - 1

ц =

0 —/0

0

•^-3 —

— 10 00

100

0

0 100

Ф1Ф2 Фз ф4Ф1Ф2 Фз ф4Четырехкомпонентная волновая функция (биспинор Дирака)

Ф1

Ф2 Фз ф4

Ф1

Ф2 Фз ф4

ф =ф =т. е.т. е.преобразуется по представлению

ф =

ф =

т. е.

т. е.

D

две ее первые компоненты фр ф2 преобразуются по

представлению D^2 а две последние ф3, ф4—по предста-

операторов этих неприводимых представлений. Для тезимальных операторов представления D^2 °) мы следующие выражения:операторов этих неприводимых представлений. Для тезимальных операторов представления D^2 °) мы следующие выражения:инфини-инфини-влению D' 2Л Используя результат, полученный в предыдущей главе, можно написать явный вид инфинитезимальных

операторов этих неприводимых представлений. Для тезимальных операторов представления D^2 °) мы следующие выражения:

операторов этих неприводимых представлений. Для тезимальных операторов представления D^2 °) мы следующие выражения:

инфини-

инфини-

=4

(?

о).

вГ’ = -

4

о( + )

У2 —— 2

/о и

о(-) z — "2

/0 J

-у.

(23.13)

о(+) 1

В3 — j

(1

1 2

инфинитезимальных

операторов

представления о(° 2^

4 «"=4

1\

0) ’

~ "2

В^ = -

(?

Т

(23.14)

в^’=4

й

0\

—U’

о(“) 1

^3— J

получим

а для найдем

Если вместо «канонических» компонент волновой функции мы возьмем их линейные комбинации фа = 2 ^арФр- т0 УРав’ нение для функции ф будет иметь вид (23.11) с матрицами

£/ = CLiC х. Если, например, мы положим

(23.15)(23.15)Ф1 = Ф2+Ф4'Фз=—Ф2 + Ф4>

(23.15)

(23.15)

Ф2 = —(Ф1+Фз). Ф4=Ф1—Фз-

то получим уравнение с матрицами L'. = ^r имеющими следующий явный вид:

■ 1

0

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

1

0

¥о=

0

0

-1

0

■ ¥i =

0

-1

0

0

0

0

0

—1

—1

0

0

0

0

0

0

—1

0

0

1

0

(23.16)

0

0

1

0

0

0

0

-1

¥2 =

0

1

0

0

. ¥з —

—1

0

0

0

t

0

0

0

0

1

0

0

Запись уравнения Дирака с матрицами yz является более распространенной.

Комплексно сопряженный биспинор Дирака

Найдем закон преобразования комплексно сопряженной волновой функции ф. Ясно, что комплексно сопряженные функции преобразуются по представлению с комплексно сопряженными матрицами.

Несколько расширяя наше рассмотрение, мы можем сформулировать задачу следующим образом. Пусть задано некоторое неприводимое представление группы Лоренца D(Jlil\ Если вместо каждой матрицы этого представления мы возьмем комплексно сопряженную, то снова получим представление группы, которое будем называть комплексно сопряженным представлением ^'12\ Очевидно, это представление также будет неприводимым, т. е.

д(Л72) _ £)(У1У2)

Требуется найти j'v j^. Для этого применим операцию комплексного сопряжения к инфинитезимальным матрицам

неприводимого представления D(il^\ Напомним, что инфинитезимальные матрицы группы Лоренца представимы в виде

(23.17)(23.17)В^^^ДХ^+^ХЛ),в^-^х-Ег-^хл),

(23.17)

(23.17)

где Tt и МЕ — инфинитезимальные матрицы неприводимых представлений группы О+ (3) соответственно с весами /, и у2, а Ем и Ет — единичные матрицы этих представлений. Применяя комплексное сопряжение, мы получим

^^^(М^ЕтА-ЕмХТ^ (23.18)

Sz"’ = 1 фм X Т{ - Д X Ет). (23.19)

Мы знаем, что перестановка множителей в прямом произведении матриц эквивалентна некоторому преобразованию подобия. Поэтому мы можем написать

B^^luiETXMi-A-TiXEMW"1. (23.20)

В^ = ^U\T1XEM-ETX Д1 и"1.(23.21)

Далее, мы знаем (см. главу XII, п. 4), что матрицы Mt и Т[ с помощью преобразования подобия могут быть выражены через канонические матрицы Mt и Tt:

УтТУт'^Т^ УмМУмХ = Мь (23.22)

где матрицы VT и УЛ1 являются матрицами соответствующих представлений для поворота на 180° вокруг оси Оу. Подставляя (23.22) в (23.20) и (23.21), мы получим:

(23.23)(23.23)^ = lw\ETXMi-\-TtX Ем] W-1.

(23.23)

(23.23)

^ = ^W \Tt X Ем -- Ет X Д]1УЛ

гдегдеW^^XVmHVtXEmW-W^^XVmHVtXEmW-(23.24)(23.24)

где

где

W^^XVmHVtXEmW-

W^^XVmHVtXEmW-

(23.24)

(23.24)

Сравнивая (23.23) с (23.17), мы видим, что комплексно сопряженные инфинитезимальные матрицы В^ и В\-’ с точностью до преобразования подобия совпадают с каноническими инфинитезимальными операторами неприводимого представления DMlh\ Таким образом, мы получаем

j'i=jY А = К-(23.25)

Но кроме этого результата мы получили также явный вид преобразования, которое приводит комплексно сопряженные инфинитезимальные операторы к каноническому виду. Это преобразование определяется формулой (23.24). Таким образом, если {</а} есть базис представления D^'^\ то {^а) есть базис представления ГРг,1\ Базис {^а} не является каноническим. Переход к каноническому базису (5j осуществляется с помощью преобразования

^=S^P.(23.26)

Напишем преобразование (23.26) для представления D^° 2\ Так как базис этого представления одновременно является базисом неприводимого представления группы вращений, то согласно (12.52) мы имеем

^=(2Л2)"^(23.27)

или

2222

Как мы показали, величины qi, q i образуют базис пред

ставления D^2 °\ Наоборот, если р\, р i —базис предста-

1

вления О^2 °\ то из (23.27) следует, что величины

Р 1 = — р 1, Р \=рх

2~2~22

образуют базис неприводимого представления D^ 2\ Эти результаты мы можем непосредственно применить для выяснения закона преобразования комплексно сопряженного биспинора Дирака. Мы получим

Ф1 = Ф4* Фг^ — Фз- Фз=Фг’ ^4 = — Ф1- (23.29) где ф', ф', ф', ф'—четыре компоненты некоторого нового биспинора.

Инвариантная квадратичная форма

Составим теперь из компонент биспинора эрмитову квадратичную форму, инвариантную относительно собственных преобразований Лоренца:

1пу = 2ф,фа»=2ф;фЛг (23-3°)

Для того чтобы определить коэффициенты а1к, заметим, что 1) тождественное представление группы Лоренца содержится только в прямом произведении одинаковых представлений, 2) ' квадратичная форма должна быть также инвариантной относительно группы вращений, 3) aik — afei (условие эрми- товости). Учитывая первые два условия, мы можем написать

inv = а (Ф1Ф^ — Ф2Ф2) + b (ФзФз ~ WO =

= — а (Ф1Ф4 + Ф2Фз) + 6(— ФзФг"Ф4Ф1)> (23.31)

где а и b — произвольные комплексные числа. Используя требование alk = aki, получаем а — Ь,

ту = а(ф1ф4+ф2ф3) + <г (фзфз + ф^).(23.32)

Как легко убедиться, эта форма не является положительно определенной, что находится в согласии с тем, что рассматриваемые представления группы Лоренца неунитарны. В частности, если положить а—1, то мы получим инвариант

Ф1

— матрица-— матрица-где л|) = (ф4, ф3, ф2- Ф1)~матрица-строка,ф =

— матрица-

— матрица-

[Ф4

столбец. Законы преобразования величин ф, ф при преобразовании Лоренца представимы в виде

ф' = £)ф, ф'=фО.(23.34)

Так как фф— инвариант, то

ф'ф'= фООф — фф,(23.35)

откуда

D=D~X.

Используя этот результат и формулу (23.10), легко, например, доказать, что величины ф/^ф преобразуются, как четырехмерный вектор.

Приложение

Указания к решению задач

Рассмотрим шар с центром в некоторой точке О. Зададим на поверхности шара две произвольные точки А и В. Рассмотрим теперь такое движение шара, при котором точки А и В переходят в А' и В* (рис. 18). Ясно, что дуга большого круга АВ равна дуге А'В*. Соединим точки А с А* и В с В' окружностями больших кругов и проведем симметрали (окружности больших кругов, нормальных к дугам АА' и ВВ' и делящих их пополам) для этих пар точек. На рис. 18 симметрали изображены пунктирными линиями, пересекающимися в точке М. Сферические треугольники МАВ и МА'В' равны друг другу и могут быть совмещены в результате пово

рота на угол ф вокруг оси, проходящей через точку М и центр шара. В том случае, когда симметрали совпадают, ось вращения определяется пересечением дуг АВ и А'В*.

Задача может быть решена также следующим образом. Рассмотрим ортогональную матрицу U (Det U = 4* 1), соответствующую рассматриваемому вращению. Ее собственными значениями будут е«Р, e-<q> и J, Перейдем от системы координат, в которой задана матрица U, к новой системе, причем одну из осей (например, Ол3) направим по собственному вектору «3, соответствующему собственному значению Л = 1. В новой системе осей матрица (/ примет вид

Г'УУГ'УУCOS ф — 81ПфОCOS ф — 81ПфО81Пф ОCOS ф ОО 181Пф ОCOS ф ОО 1

Г'УУ

Г'УУ

COS ф — 81Пф

О

COS ф — 81Пф

О

81Пф О

COS ф О

О 1

81Пф О

COS ф О

О 1

и будет, следовательно, соответствовать вращению на угол ф = = arccos-g- (Sp (/ — 1) относительно вектора «3.

Пусть к — число элементов в классе К, которому принадлежит элемент Л. Возьмем вместо элемента А какой-нибудь другой

ПРИЛОЖЕНИЕ. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ 293 элемент А', также принадлежащий классу К. Тогда при В, пробегающем всю группу, совокупность ВДВ-1 будет совпадать с совокупностью В Д'В-1-, обозначим эту. совокупность через®. Если элемент А пробегает весь класс К, а В пробегает всю группу, то получим к раз повторенную совокупность го. Обозначим эту новую совокупность через й. Фиксируем теперь элемент В, а элемент А пусть пробегает весь класс К. Тогда элементы ВДВ-1 будут все различными и составят снова класс К. Следовательно, мы можем утверждать, что в совокупность Q каждый элемент класса К входит п раз, где п — порядок рассматриваемой группы. Но так как совокупность Й представляет собой к раз повторенную совокупность го, то, следовательно, в совокупности и каждый элемент класса содержится -^ раз, что и требовалось доказать. Отсюда мы получаем, что порядок группы должен быть всегда целым кратным порядка любого класса.

Если группа имеет гомоморфное представление, то те элементы группы, которым соответствует единичная матрица представления, образуют инвариантную подгруппу (нормальный делитель).

Пусть В — любой фиксированный элемент группы, а элемент А пробегает некоторый класс К. Тогда совокупность В АВ-1 снова дает нам весь класс. Переходя к неприводимому представлению группы матрицами D, мы можем написать

D (В) Г 2 D (Л)1 D-i (В) = 2 D (А)[дек Jа^к

ИЛИ ■

D (В) 2 D (Л) = Г 2 D (Л)1 D (В).А^К U€X

Так как элемент В произволен, то согласно первой лемме Шура мы можем утверждать, что матрица У D (Л) кратна еди- А^к

ничной.

Элементы матриц регулярного представления определяются следующим образом. Если g^ = g^ то

RjiU»s)—V Rti(.gs) = ®’^ =h J-

Иначе можно сказать, что Rmn (gs) = 1, если gmg^ = gs, и Rmn (gs) = 0, если gmg~1 = g,, ^ s. С помощью таблицы умножения рассматриваемой группы составим новую таблицу умножения, в которой первым множителем, стоящим в столбце, будет gm, т =

М. И. Петрашень, Е. Д. Трифонов

= 1, 2, ..., 6, а вторым множителем, расположенным в строке, будет g~\ n = 1, 26.

gm

Е А В С F D

Е А В

С D F

ЕАВСFD

АЕDFСВ

ВFЕDАС

СDFЕВА

DСАВЕF

FВСADЕ \

Согласно сказанному выше мы можем утверждать, что мы получим матрицу регулярного представления, соответствующую некоторому элементу gs, если в построенной таблице вместо элемента gs мы поставим 1, а вместо других элементов 0.

Характеры приводимого представления могут быть записаны в виде.

'XU) = ^k^(g),

)

где х^1 (S') — характеры неприводимых представлений, а кj — кратности этих представлений. Используя свойство ортогональности характеров неприводимых представлений, мы получим

У] XU) X (S') = У] !?ркj•

Правая часть этого равенства может равняться единице лишь в том случае, когда только одно из чисел к; отлично от нуля и равно единице.

Использовать свойство ортогональности матричных элементов для двух неэквивалентных неприводимых представлений, одно из которых является тождественным (формула (3.66)).

Использовать формулу (4.20) и свойство ортогональности характеров неприводимых представлений.

Использовать свойство ортогональности характеров неприводимых представлений перемножаемых групп.

Перестановка множителей в прямом произведении равносильна определенной перестановке строк и такой же перестановке столбцов в матрице прямого произведения. Поэтому можно написать

AXB=V (,ВХА^ V~\

где V — ортогональная матрица, состоящая из нулей и единиц, — осуществляет указанную перестановку строк, а матрица И-1 = У — такую же перестановку столбцов.

Используя формулы (6.17), (6.21) и таблицу характеров неприводимых представлений группы С3№ мы найдем, что молекула NH3 имеет два невырожденных нормальных колебания типа Л, и одно двукратно вырожденное колебание типа Е.

7.1. Применим к функции фй (г) оператор Т . Мы получим

Tg^k ^ = T^^r-Rk\^^^\g-^r-Rk^ =

='Ф (I 1 (г — ^fe) | ) = ф ( I г —/?г I),

где Rt = gRk. Следовательно, мы имеем

TgWk (г) = Фг(г).

Найдем характеры представления D, по которому преобразуются функции ф|, ф2, .... ф6. Очевидно, что для данного преобразования £ отличный от нуля вклад в характер дадут лишь те функции, которые не изменяются при действии оператора Т : Т ®к {г) =

Мы получим

Е

зс^

6С4

6С2

8С3

1

3zC4

6zC4

6iC2

8zC3

6

2

2

0

0

0

4

0

2

0

Используя формулу (6.17) и таблицу характеров группы Ок, находим

О = г,©г3®г'.

Так как в это разложение неприводимые неэквивалентные представления входят не более одного раза, то матрица гамильтониана, записанная на функциях, преобразующихся по неприводимым представлениям, будет диагональной. Следовательно, построенные функции будут приближенными собственными функциями рассматриваемой задачи. Построим эти функции. Введем вместо функций фй (г) их комбинации, симметричные и антисимметричные относительно инверсии:

Ф1+фз, фг + ф4, Фб + Фб, Ф1 —Фз, Фг — Ф4, ФбФб-

Ясно, что функции ф, — ф3, ф2 — ф4, ф5—ф6 должны преобразовываться по представлению Г4. Если пренебречь перекрыванием функций фй и считать их нормированными, то соответствующие приближенные собственные функции нашей задачи можно записать в виде

у=г(ф1— Фз), р=-(ф2 —ф4),у=- (Фб — Фо).

Приближенная собственная функция, преобразующаяся по тождественному представлению Гь имеет вид

"y^F (*Р1 + Ф2 + Ф3 + Ф4 + Фб + фб)-

Оставшиеся две независимые функции симметричной цепочки, преобразующиеся по неприводимому представлению Г3, можно выбрать в виде

[(фг + ф*) —(Ф1 +фз)],[(фг + ф*) —(Ф1 +фз)],

[(фг + ф*) —(Ф1 +фз)],

[(фг + ф*) —(Ф1 +фз)],

~^= [(Ф2 + Ф4) + (Ф1 + Фз) — (фб + Фб)]-

Для простой кубической решетки обратная решетка также является простой кубической. Для гранецентрированной решетки

Рис. 19.

обратной ■ является объемноцентрированная кубическая решетка. Зоны Бриллюэна для этих решеток изображены на рис. 19 и 20.

Зона Бриллюэна для гранецентрированной решетки ограничена плоскостями, перпендикулярными к осям четвертого и третьего порядков. Зона Бриллюэна для объемноцентрированной решетки ограничена плоскостями, перпендикулярными к осям второго порядка.

9.1. Буквами Г, R, М, X, Л, Д, 2, Г, S, Z отмечены некоторые типичные симметричные точки зоны Бриллюэна простой кубической

решетки (рис. 21). Характеры неприводимых представлений групп волновых векторов, соответствующих этим точкам, приведены в таблицах:

Л

Е

2С3

3zC2

Л,

1

1

1

Л2

1

1

—1

Д-з

2

—1

0

Z

E

c2

iC\

Zv

1

1

1

1

z2

1

1

—1

—1

Z3

1

—1

—1

1

Z4

1

—1

1

—1

Г, R

Е

ЗС2

6С,

6С2

8С3

1

3ZC2

6ZC,

6/С2

8/ Сз

г,

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

г2

1

1

—1

—1

1

1

1

—1

-1

1

Г3

2

2

0

0

—1

2

2

0

0

—1

г4

3

—1

—1

1

0

3

—1

—1

1

0

г5

3

—1

1

—1

0

3

—1

1

—1

0

г;

1

1

1

1

1

—1

—1

—1

—1

—1

1

1

—1

—1

1

—1

—1

1

1

—1

Гз

2

2

0

0

—1

—2

—2

0

0

1

г;

3

—1

—1

1

0

—з

1

1

—1

0

Гз

3

—1

1

—1

0

—3

1

—1

1

0

д, т

Е

с2

2С4

21С 4

2ZC,

А1

1

1

1

1

1

а;

1

1

1

—1

— 1

Аз

1

1

—1

1

— 1

Д2

1

1

—1

—1

1

а5

2

—2

0

0

0

2, S

Е

с2

1С^ 4

/с2

21

1

1

1

1

S2

1

1

—1

—1

2з

1

— 1

—1

1

s4

1

—1

1

—1

тИ

X

Е

Е

2С^

2^1

С4II

2С,Д

2С, II

2С2

2С2

i

i

2<с|

2^1

IC^L

IC4 II

2ic,i

21C, II

21C,

21 Ci

м.

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

м2

1

1

1

-1

—1

1

1

1

—1

— 1

М3

1

—1

1

— 1

1

1

— 1

1

—1

1

М4

1

— 1

1

1

— 1

1

-1

1

1

— 1

Ms

2

0

—2

0

0

2

0

—2

0

0

M'Y

1

1

1

1

1

—1

—1

—1

—1

—1

^2

1

1

1

—1

—1

—1

—1

—1

1

1

Мз

1

—1

1

—1

1

—1

1

—1

1

-1

1

—1

1

1

—1

—1

1

—1

—1

1

^5

2

0

—2

0

0

—2

0

2

0

0

Рис. 22.Рис. 22.Примечание. Вращение вокруг оси, перпендикулярной к вектору к, обозначено через С^, вращение вокруг оси, проходящей через вектор к,— через Сц.

Рис. 22.

Рис. 22.

ются нормальные координаты с даннымются нормальные координаты с даннымНайти классификацию нормальных колебаний — это значит определить неприводимые представления групп волновых векторов, по которым преобразуются нормальные координаты. Для определения характеров приводимого представления, по которому преобразу

ются нормальные координаты с данным

ются нормальные координаты с данным

значением волнового вектора, восполь

зуемся формулами (9.8) и (9.9). Нам удобно представить их в сле

дующем виде:

f (1 + 2 cos ср) 5 е1 №“^па для поворота, )*а

— (1+2 cos ф) 5 в1 ^“^Пц для поворота

Iас инверсией.

Заметим, что если вектор к лежит внутри зоны Бриллюэна, то множители е* '^ можно опустить, так как в этом случае (Аа) = 0.

Выберем центр симметрии в узле А (рис. 22). Рассмотрим элементарную ячейку, в которую входят атомы А и Вь При преобразованиях симметрии атом А будет всегда оставаться на своем месте, а атом St будет совмещаться с атомами В2. В3 В8. Векторы Я, входящие в формулу (*), соединяют узел В, с эквивалентными

узлами В2, В3В8. Вычислив характеры представления по формуле (*) и применяя обычную процедуру разложения этого представления иа неприводимые, мы получим следующую схему классификации нормальных колебаиий рассматриваемого кристалла;

Г5 г5 4 л3 л, л3 «Г5 г5 4 л3 л, л3 «

Г5 г5 4 л3 л, л3 «

Г5 г5 4 л3 л, л3 «

Обратим внимание на то, что при переходе от более симметричной точки зоны Бриллюэна к менее симметричной (например, от точки Г к точке А) неприводимые представления для последней могут быть получены с помощью разложения представлений, соответствующих первой.

Например, Г5 = Л]-|-Л3, Г5 = Sj -|- S3-|- S4 и т. д. Заметим, что полученная здесь классификация нормальных колебаиий, основанная иа чисто механическом рассмотрении, справедлива лишь для неполярных кристаллов.

Используя метод, аналогичный тому, который был применен в главе VI для нахождения матриц неприводимых представлений группы Сп„, мы получим следующий результат:

Матрицы неприводимых представлений группы С^

At

Ла

Ет

Вращение на угол <р

1

1

le-lmw 0 \ ( ое^ф /

Отражение в плоскости, проходящей через ось

1

—1

/0 1 \

U о/

18.1. Использовать метод, изложенный на стр. 229, и классификацию нормальных координат такой молекулы, полученную в главе VII. Закон преобразования осцилляторных волновых функций см. на стр. 190. Промежуточные и окончательные результаты для случая а) приведены в таблице:

СМ

о

см

О

СО

и

77

СМ

“7

7

о

о

О

и

со см

IIII

ю

у г—1

см со

о

*-*

7

«-Ч

■ « а

II II II

со

У 1

ОО

о

ri

S в* S

у

юп

IIII

S в*

СО

”7

$

ri

см

7

п

г-Н 00

II11

в а

^

Я г-1

СО

п

04

со

СО

7

ОО

м см

IIII . 8 5?

СО

9"4

ОО

п

о

О

о

у

к СО 111 В S

Я ^

СО

о

7 "

у

СО^

IIII

S в

”7

СО

о

7

го

со см

IIII

В ^

ю

У

см со

1

см

7

7

7 В

у

ОО см

см

со

СО

со

В

сГ н-

|J

о* и- см

Тч

Тн

Тч

Тч

Тч

Рассмотрим тензор л-го ранга в каноническом базисе, т. е. как 1-тензор. Каждый из п значков 1-тензора принимает три значения: 1, 0, —1. Найдем сначала число 6т компонент симметричного тензора л-го ранга, сумма значков которых равна т. Тогда кратность rL неприводимого представления D^1 в рассматриваемом тензорном представлении может быть определена по формуле

rL== ^l — б£ + 1.

Обозначим через аь аа, а_] числа тензорных значков данной компоненты, равных соответственно 1, 0, —1 (a, —|— ao ~}~ a_т=л)- Очевидно, что т = «]— a_P Поэтому мы можем написать неравенство

т <«] -)-«_] <^ п.

Знак равенства справа имеет место только в том случае, если числа т и п одинаковой четности. Отсюда следует, что 6m = п — — т + 1, если т и п одинаковой четности, и 6т = п — т, если т н п имеют противоположную четность. В результате мы получим q = (л—Z-+1) — («—£)=L если L и п одинаковой четности; rL = ^n—О)—(л—£) = 0, если L н п противоположной четности. В обоих случаях, конечно, £ < л.•

Воспользоваться методом, изложенным на стр. 230, н результатом упражнения 18.2.

Рассмотрим две системы отсчета, движущиеся друг относительно друга с постоянной скоростью ®. Найдем преобразование Лоренца, связывающее пространственные координаты и время в этих системах. Рассмотрим преобразование Лоренца gM, соответствующее движению вдоль оси Ог. Очевидно, что преобразование Лоренца, соответствующее движению со скоростью о, может быть представлено в виде ugto(ф) и-1, где преобразование и совмещает ось Ог с направлением скорости у. Преобразование л-1 можно записать в виде £12 (<p) ga (0), где 0 — угол между осью Ог и скоростью у. Так как пространственные оси двух систем могут быть ориентированы произвольно, то окончательно связь между рассматриваемыми системами отсчета получается с помощью преобразования

Л= u'ug^ (ф) и-1 = u"g03 (ф) и-1.

Поскольку произвольное вращение и" можно представить в виде и" - 812(4^ gv2Qt"y

то окончательно мы получаем

Л = £12(фг) 823 (® ) 812 ($1) So3 W 812 (ф) 823 (®)-

Рассмотрим инфинитезимальные матрицы неприводимого представления D^12^ группы Лоренца, соответствующие группе трех

мерных вращений. Согласно формуле (22.33) они имеют вид

в^^х^+^хт-д

е. совпадают с инфинитезимальными матрицами прямого произведения D ^' ^ X В ^ Двух неприводимых представлений группы вращений. Применяя правило Клебша — Гордана, мы получим, таким образом, что неприводимое представление D^xl^ имеет следующее разложение:

О^ЧЧ^ = окЧ + Уф £)(Z1 + Z2 _ 9ф .^D^ lZ‘ ~ Z21 \

Приложение

к главе VII

Матрицы неприводимых представлений группы О

Е

с^)

с^

/4^) с2

с4

г(У) l4

с^

(^)3

г(0

г(2)

г(з) х2-у2 3z2 —г2

1 1

С °) \0 1/

1

1

(")

1

1

/ЮХ

Vo 1 )

1

1

СП

1

—1

(СП

1 —1

/ 1ГТ \

/ 22 1

1 Уз 1 / \ 2 2 /

1

—1

/ 1 _

/22 \

\22 /

1 —1

/-ю^ V 0 1 у

/1 0 ОХ

/ 10 ОХ

/ -1 0 ох

/ — 1

0 ох

/ —10 ох

/0 0 —дх

/ ° 1 ОХ

/—10

ох

р(4)

1 0 1 ° )

[ 0 —10 1

(0 10 1

0 -1 0 1

0 0 1 )

0-10 1

-100

0 0-1

X о о i /

\о 0 -1/

\ 0 0-1'

х 0

0 1 /

X 0 -1 о/

XI о о /

X 0 0 -1/

X о 1

о/

г(5) X, У, 2

/1 0 °\

/10 ох

/—10 ох

/ —1

о ох

/ 1 0 ох

/ ° ° IX

/0 - 1 ОХ

/1

о ох

I 0 1 0 1

/ 0 —10 1

1 01 0 )

0—101

1 0 0 -1 )

0 1 о 1

1 0 0 /

0

0 1 )

хо о i /

\00 —1 /

Обозначение

х 0 0-1/

;; С^ —ось А

х 00 1/

-го порядка,

ХО 10/

троходящая чс

X -1 0 0/ фез точки а (рис.

хо 0 1/

23 на стр. 397).

\0 —1 о/

ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ VII

г(а) с3

с(»)

с(е)

L3

(с(»))2

т

№2

ГП)

1

1

1

1

1

1

1

1

Г(2>

1

1

1

1

1

1

1

1

/1 /з\

/ 1 УТ\

/ 1 ^ЗХ

/ 1 УТ\

/ 1 Уз \

/ 1 УТ\

/ 1 Кз\

/ 1

Г(3)

122 \

/22 \

/22 1

/22 1

/22 \

122 \

/22 1

/ “ 22 \

л8—у5

11

32’—Г2

\ Уз 1 /

\ Уз 1 /

\ УТ 1 /

\ Уз 1 /

\ У з 1 /

\ ^3^ 1 /

\ УТ I )

\ Уз 1 /

\22/

\ 22 /

\22/

X 22 /

\ 22 /

\22/

\ 22 /

\22/

/00 —1\

/0-1 ОХ

/0 0 1 X

/ 0 —1 0\

/ 0 10\

/ °0 IX

/0 1 ох

/оо -1х

г<4>

[ 100

( 00-1

10 0

(° 01

(0 0-1

1-10 0 1

1 0 0 1 ]

1-10 0 1

Х0 —1 о/

XI 0 о/

\о 1 о/

X -10 0 /

к —1 0 о/

х 0 -1 О/

' 1 0 0/

X 0 1 о/

/00 —IX

/0—10\

/0 0 1 К

/ 0 -1 ОХ

/01 ох

/ °0 1 X

/0 1 0\

/ 0 0 -1 X

Г(5)

[ 10 о .

00—1

1 1 0 0 )

0 01

0 0—1

1—10 0

( ° 0 1 1

1-10 0 1

-V, У, -г

х 0 —1о /

'1 0 о /

XQ 1 0/

X -1 о о/

X—I о 0/

х 0-10/

XI 0 о/

X о 1 о/

ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ VII

Sn и

XSo^_7^

7° ° 7о о

I|- О ф

Sin и

0-01

-7ОО-OO

I-O1

1-ОО-ОО

——^ 11о — о

|0-0I

" Iе* t ЬО о -о о —

Sn и

"70 - 00 -0

-ЬОО-о о —

Sn

—1—оо1

1|и|—ОО

"1^ хго — о0-0

hSSX—° ° 7

---1IО О -

1— о о— о о

XI0-00-0

1о

1” к10-0

X0-0

хг

- о оо о

--10-01

Iо — о

thОО-ОО-

г 1v

ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ VII

307

Список литературы, указаннойв предисловии

Вигнер Е., Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров, ИЛ, 1961.

В а н дер Варден Б. Л., Метод теории групп в квантовой механике, Харьков, 1938.

Weyl Н., Gruppentheorle und Quantenmechanlk, 1931.

Любарский Г. Я., Теория групп и ее применение в физике, Гостехиздат, 1957.

Хейне В., Теория групп в квантовой механике, ИЛ, 1963.

Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро 3. Я., Представления группы вращений и группы Лоренца, Физматгиз, 1958.

Мурнаган Ф„ Теория представлений групп, ИЛ, 1950.

Boer пег Н„ Darstellungen von Qruppen, Berlin, 1955.

Lomont J. S„ Applications of finite groups, New York, 1959.

Хамермеш M., Теория групп и ее применение к физическим проблемам, Мир, 1966.

McWeeny, Symmetry, Pergamon Press, 1963.

М. И. ПЕТРАШЕНЬ, Е. Д. ТРИФОНОВ

ПРИМЕНЕНИЕТЕОРИИ ГРУППВ КВАНТОВОЙМЕХАНИКЕ

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

МОСКВА 1967

517.1

П 39

УДК 519.4:530.145

Применение теории групп в квантовой механике. Петрашень М. И., Трифонов Е. Д.

Книга знакомит читателя с основами теории конечных и непрерывных групп и приложениями теории представлений групп к задачам квантовой механики. -

Рассмотренные приложения относятся к таким разделам квантовой механики, как теория атома, квантовая химия, теория твердого тела и релятивистская квантовая механика.

В книгу включен ряд вопросов, которые либо не рассматриваются в других монографиях, либо излагаются там недостаточно подробно. Это относится прежде всего к исследованию симметрии шредингеровской волновой функции, к объяснению «дополнительного» вырождения в кулоновском поле и к некоторым вопросам теории твердого тела

Книга рассчитана в первую очередь на студентов физических факультетов. Она будет также полезна научным работникам — физикам и химикам, желающим научиться использовать методы теории групп в своих исследованиях. Страниц 308. Таблиц 33. Иллюстраций 23.

Мария Ивановна Петрашень, Евгений Дмитриевич Трифонов ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

М., 1967 г., 308 стр. с илл.

Редакторы М. Н. Адамов и В. В. Донченко

Техн, редактор К. Ф. БрудноКорректор Г. С. Плетнева

Сдано в набор 20/1 1967 г. Подписано к печати 27/1V 1967 г. Бумага 84xlO87S2- Физ. печ. л. 9,625. Услови. печ. л. 16,17. Уч.-изд. л. 14,08. Тираж 15 500 экз.

Т-06904. Цена книги 1 р. 09 к. Заказ № 550.

Издательство «Наука»'

Главная редакция физико-математической литературы.

Москва, В 71, Ленинский проспект, 15.

Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР. Измайловский проспект, 29.

Оглавление

Предисловие 7

ГЛАВА 1

Введение 9

1. Свойства симметрии физических систем (9). 2. Определение группы (10). 3. Примеры групп, имеющих приложение в физике (13). 4. Условия инвариантности уравнений движения (14). Упражнения (16).

ГЛАВА И

Абстрактные группы 17

1. Сдвиг по группе (17). 2. Подгруппа (17). 3. Порядок элемента (18). 4. Сопряженные совокупности (18). 5. Сопряженные элементы и класс (20). 6. Инвариантная подгруппа (нормальный делитель) (21). 7. Фактор-группа (22). 8. Изоморфизм и гомоморфизм групп (23). Упражнения (25).

ГЛАВА III

Представлеиня конечных групп 26

1. Определение представления группы (26). 2. Примеры представлений (27). 3. Представление группы симметрии уравнения Шредингера, реализующееся па его собственных функциях (29).

Существование эквивалентного унитарного представления (31). 5. Приводимые и -неприводимые представления группы (34). 6. Первая лемма Шура (36). 7. Вторая лемма Шура (37).

Соотношение ортогональности для матричных элементов неприводимых представлений (39). 9. Характеры представлений (42). 10. Регулярное представление (44). 11. Число неприводимых представлений (45). 12. Вычисление характеров неприводимых представлений (47). Упражнения (49).

г л а в А IV'■

Композиция представлений и прямое произведение групп 50

1. Прямое произведение матриц (50). 2. Композиция представлений группы (52). 3. Прямое произведение групп (55). 4. Неприводимые представления прямого произведения групп (56).

Упражнения (59).■.

ГЛАВА V

Теэрема Вигнера 60

Симметрия квантовомеханической системы относительно группы преобразований (60). 2. Симметрия системы частиц, совершающих малые колебания (63). 3. Теорема Вигиера (68).

ГЛАВА VI

Точечные группы 74

Элементы точечных групп (74). 2. Точечные группы и их неприводимые представления (76). 3. Классификация нормальных колебаний и электронных состояний молекулы (83). Упражнения (86).

ГЛАВА VII

Разложение приводимого представления на неприводимые 87

Построение базисов неприводимых представлений (87).

Определение симметризованных смещений ядер молекулы (90). 3. Метод линейной комбинации атомных орбит (96). Упражнение (98).

ГЛАВА VIII

Пространственные группы и их неприводимые представления 99

Подгруппа трансляций (99). 2. Сингонии (100). 3. Общий элемент пространственной группы (103). 4. Неприводимые представления группы трансляции (106). 5. Звезда вектора к (108).

Группа вектора к (ПО). 7. Неприводимые представления пространственной группы (111). 8. Неприводимые представления группы вектора к (112). 9. Пример (113). 10. Неприводимые представления пространственной группы, содержащей несобственные трансляции (115). Упражнения (118).

ГЛАВА IX

Классификация колебательных и электронных состояний кристалла 119

Классификация нормальных колебаний (119). 2. Классификация электронных состояний кристалла (125). 3. Одноэлектронное приближение (126). Упражнение (130).

главах

Непрерывные группы131

Непрерывные группы линейных преобразований (131). 2. Общие свойства групп Ли (132). 3. Инфинитезимальные преобразования и законы сохранения (136). 4. Группа двумерных вращений О+(2) (138). 5. Группа трехмерных вращений О+(3) (138). Упражнения (140).

Г Л А в А XI’

Неприводимые представления группы трехмерных вращений 141

Инфинитезимальные матрицы представлений группы О + (3) (141). 2. Неприводимые представления группы О+(3) (144).

Двузначные представления (148). 4. Разложение любого представления группы О+(3) на неприводимые (150). 5. Неприводимые представления ортогональной группы О (3) (151). глава хп

Свойства неприводимых представлений группы вращений 153

Сферические функции как базис неприводимого представления (153). 2. Композиция неприводимых представлений группы О+(3) (156). 3. Тензорные и спинорные представления группы вращений (161). 4. Комплексно сопряженные представления (164). Упражнения (166).

ГЛАВА XIII

Некоторые приложения теории представлений группы вращений к квантовомеханическим задачам 167

Частица в центральном поле. Орбитальный момент количества движения (167). 2. Правило сложения моментов количества движения (170). 3. Спин (171). 4. Теорема Крамерса (175).

Г Л А В А XIV '

Дополнительное вырождение в сферически симметричном поле180

Дополнительное вырождение (180). 2. Связь с классической механикой (182). 3. Группа симметрии атома водорода (183). 4. Группа симметрии изотропного осциллятора (186).

ГЛАВА XV

Группа перестановок191

Кнантовомеханическое описание системы тождественных частиц (191). 2. Группа перестановок п символов (193). 3. Неприводимые представления группы S„ (194). Упражнения (202).

ГЛАВА XVI'

Симметризованиые степени представлений203

Векторы и тензоры в л-мерном пространстве (203). 2. Матрицы перестановок тензорных значков (204). 3. Связь между представлениями группы 8п и группы G в тензорном пространстве (205). 4. Характеры симметризованной степени представления (207). Упражнения (209).

ГЛАВА XVII

Свойства симметрии многоэлектронных волновых функций 210

Постановка задачи (210). 2. Свойства симметрии спиновой волновой функции (211). 3. Связь между симметрией спиновой и координатной волионых функций (216). 4. Свойства симметрии координатной волновой функции (218). Упражнения (221).

ЛАВА XVIII

Свойства симметрии волновых функций системы тождественных частиц с произвольными спинами222

Постановка задачи (222). 2. Теорема Фробениуса (224).

s-тензоры (227). 4. Статистический вес энергетического уровня (228). 5. Собственные значения оператора полного спина (229). Упражнения (231).

ГЛАВА XIX

Классификация состояний многоэлектронного атома . . . 232

1. Конфигурация (232). 2. Термы (234). 3. Соответствие между конфигурацией и термами (236). 4. Спин-орбитальное взаимодействие (238). глава хх

Применение теории групп в задачах, связанных с теорией возмущений241

1. Расщепление уровней энергии под влиянием возмущения (241). 2. Правильные функции нулевого приближения (244).

Атом в однородных магнитном и электрическом полях (245).

Атом в кристаллическом поле (249).

ГЛАВА XXI

Правила отбора 254

Общая формулировка правил отбора (254). 2. Правила отбора для поглощения и излучения света (256). 3. Правила отбора для комбинационного рассеяния света молекулами (258).

Матричные элементы, построенные на функциях одного базиса (261). 5. Теорема Яна—Теллера (266). Упражнения (269).

Г Л А В А XXII

Группа Лоренца и ее неприводимые представления . . . . 270

Общая группа Лоренца (270). 2. Связь группы Лоренца с группой четырехмерных вращений (273). 3. Перестановочные соотношения для инфинитезимальных матриц (275). 4. Неприводимые представления (277). 5. Прямое произведение неприводимых представлений группы Лоренца (279). Упраж

нения (281).

ГЛАВА XXIII

Уравнение Дирака282

Релятивистски инвариантные уравнения (282). 2. Уравнение Дирака (285). 3. Комплексно сопряженный биспинор Дирака (287). 4. Инвариантная квадратичная форма (290).

Приложение. Указания к решению задач292

Приложение к главе VII304

Список литературы, указанной в предисловии 308