От редактора перевода

Серия университетских учебников, выпускаемых издательством «Шпрингер», пополнилась недавно книгой П. Олвера, перевод которой предлагается читателю. По мнению специалистов, книга вышла удачной. Следя за развитием сюжета, читатель шаг за шагом продвигается к пониманию современного состояния и проблематики «науки о симметриях». Много внимания уделяется мотивировкам определений и истории.

Книга ориентирована на приложения, и параллельно с развитием общей теории разбирается большое число конкретных примеров применений симметрий, включая такие, как интегрирование в квадратурах обыкновенных дифференциальных уравнений и построение автомодельных и инвариантных относительно группы решений уравнений с частными производными.

Возрождение интереса к малоизвестным работам классиков: Ж- Лиувилля, С. Ли, Э. Нётер и современное развитие теории поставили задачу тщательного сопоставления классической и современной точек зрения на основные вопросы, связанные с алгебраическим подходом к локальной теории уравнений с частными производными. Решение этой трудной задачи является одним из основных достоинств книги. К сожалению, вне рассмотрения остались классическая теория контактных преобразований и ряд современных приложений неклассических симметрий.

В целом книга Олвера будет очень полезна и студентам, и преподавателям.

В русское издание внесены исправления и добавления, любезно присланные автором; в нем также несколько изменено содержание § 5.1 и добавлены два приложения к гл. 5 и 6.

А. Б. Шабат

Предисловие к русскому изданию

Перевод моей книги о симметриях и дифференциальных уравнениях на русский язык я рассматриваю как большую честь, тем более что в советской математике имеются давние традиции в этой важной области. Цитирования и исторические замечания, сделанные в тексте, с очевидностью показывают, что советские математики играли ключевую роль в развитии и приложениях теории групп к дифференциальным уравнениям.

Эта книга явилась последней, принятой к переводу заведующим математической редакцией профессором Б. В. Шабатом, неожиданная смерть которого явилась огромной потерей для всего математического сообщества. Мне хотелось бы выразить благодарность его сыну профессору А. Б. Шабату, научное редактирование и ряд ценных предложений которого позволили существенно улучшить книгу в русском издании.

Я надеюсь, что эта монография будет еще более способствовать развитию в Советском Союзе исследований по теории групп Ли, дифференциальным уравнениям и их приложениям к физике, инженерным наукам и т. д. и явится катализатором для еще более тесного сотрудничества между советскими и западными математиками в этой области.

Москва, май 1989 Питер Олвер

Предисловие

Эта книга посвящена широкой области приложений непрерывных групп симметрий к важным с точки зрения физики системам дифференциальных уравнений. Акценты делаются на существенных приложениях теоретико-групповых методов. Изложение построено так, что читатель-прикладник может быстро изучить основные вычислительные средства, требующиеся для реальных физических задач. В первой главе собраны те разделы теории групп Ли, которые важны для дифференциальных

уравнений (доказательства результатов не приводятся). Приложения, охваченные книгой, включают вычисление групп симметрий дифференциальных уравнений, интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений, в том числе специальную технику для уравнений Эйлера — «Лагранжа или гамильтоновых систем, дифференциальные инварианты и построение уравнений с предписанными группами симметрий, инвариантные относительно групп решения уравнений с частными производными, теорию размерности, связь между законами сохранения и группами симметрий. Подробно рассматриваются обобщения основного понятия группы симметрий и их приложения к законам сохранения, условия интегрируемости, вполне интегрируемые системы, солитонные уравнения и бигамильтоновы системы. Изложение в разумных пределах замкнуто в себе и дополнено многочисленными примерами, представляющими непосредственный физический интерес и взятыми из классической механики, механики жидкости, теории упругости и других прикладных областей. Кроме основополагающей теории многообразий, групп и алгебр Ли, групп преобразований и дифференциальных форм в книге рассматриваются более специальные вопросы теории продолжения и дифференциальных уравнений: теорема Коши — Ковалевской, характеристики и интегрируемость дифференциальных уравнений, расширенные пространства струй на многообразиях, фактормногообразия, присоединенное и коприсоеди- ненное представления групп Ли, вариационное исчисление и обратная задача характеризации систем, являющихся уравнениями Эйлера — Лагранжа некоторой вариационной задачи, дифференциальные операторы, операторы Эйлера высших порядков и вариационные комплексы, общая теория пуассоновых структур как для конечномерных гамильтоновых систем, так и для систем эволюционных уравнений. Все это имеет непосредственное отношение к изучению симметрий дифференциальных уравнений. Предполагается, что, прочитав эту книгу, читатель будет в состоянии с минимумом трудностей применить эти важные теоретико-групповые методы к интересующим его системам дифференциальных уравнений и сделать новые интересные выводы об этих системах. В таком случае можно будет сказать, что книга достигла своей цели.

Первоначальный вариант этой книги возник как записки лекций, распространенные Математическим институтом Оксфордского университета для семинара, проводившегося в летнем семестре 1979 г. Я рад поблагодарить сотрудников издательства Springer-Verlag, которые помогли мне превратить эти записки в книгу, за их терпение в процессе их переработки, которая оказалась гораздо более обширной, чем я предполагал вначале.

Благодарности

Прежде всего мне хотелось бы выразить благодарность Национальному научному фонду за поддержку моих летних исследований в период, когда писалась эта книга.

К сожалению, невозможно упомянуть всех коллег, так или иначе повлиявших на мою математическую карьеру. Однако следующие лица заслуживают особой благодарности за их непосредственное участие, помощь и содействие в подготовке этой книги (нужно ли говорить, что полную ответственность за все, что в ней содержится, несу я!).

Гаррет Биркгоф •—мой научный руководитель — впервые ввел меня в удивительный мир групп Ли и искусно направлял мои первые неуверенные шаги по стезе математических исследований.

Т. Броук Бенжамен и сотрудники Математического института Оксфордского университета содействовали появлению первого варианта этих материалов на семинаре в летнем семестре 1979 г. и выпуску их в виде записок лекций.

Уиллард Миллер-мл. поддержал меня при переезде в Миннесоту, оказал большую помощь в процессе подготовки этой книги, включая чтение, критику и советы, улучшившие рукопись.

Дэвид Сэттингер первым включил в свои записи лекций по теории бифуркаций материал, составляющий теперь § 2.2—2.3, и оказал мне поддержку после моего переезда в Миннесоту.

Ян Андерсон внес заметный вклад в современное развитие теории вариационного комплекса и операторов Эйлера высших порядков, составивших предмет § 5.4, а также помог с историческим материалом, читал, критиковал и помогал улучшить рукопись в процессе подготовки книги.

Иветта Косм ан-Шварцбах нашла время и терпение, чтобы прочитать всю рукопись, и сделала много полезных замечаний и исправлений.

Даррил Холм, Генри Гермес и Юха Тохъянтелто значительно улучшили рукопись своими многочисленными советами и замечаниями.

Филлип Розено предложил много задач и интригующих вопросов для размышлений.

Дебби Брадли, Катрин Раден и Кей Смит с самоотверженностью и искренностью взялись за трудную задачу перепечатки рукописи и так прекрасно выполнили эту работу.

Неослабевающую поддержку и влияние моей матери Грас Олвер и отца Фрэнка Олвера я ощущаю всю жизнь.

И конечно, мне были необходимы любовь, терпение и понимание жены Чехрзад Шакибан и детей Паризад и Шихана!

Введение

Когда начинающие студенты впервые сталкиваются с теорией обыкновенных дифференциальных уравнений, она чаще всего представляется им как приводящее в недоумение многообразие специальных методов, предназначенных для решения некоторых частных, на первый взгляд не связанных между собой типов уравнений (таких, как уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения или уравнения в полных дифференциалах). Действительно, примерно до середины девятнадцатого века, когда Софус Ли сделал глубокое и имеющее далеко идущие последствия открытие, состоящее в том, что все эти специальные методы на самом деле являются частными случаями общей процедуры интегрирования, основанной на инвариантности дифференциального уравнения относительно некоторой непрерывной группы симметрий, это был скорее вид искусства, чем наука. Открытие Ли сразу унифицировало и значительно расширило имеющиеся методы интегрирования. Оно вдохновило Ли посвятить все дальнейшие свои математические исследования развитию и приложениям его обладающей непреходящей ценностью теории непрерывных групп. Эти группы, повсеместно известные теперь как группы Ли, оказали глубокое влияние на все области математики, как теоретической, так и прикладной, а также на физику, инженерные и другие базирующиеся на математике науки. Приложения непрерывных групп Ли симметрий включают такие разнообразные разделы, как алгебраическая топология, дифференциальная геометрия, теория инвариантов, теория бифуркаций, специальные функции, численный анализ, теория управления, классическая механика, квантовая механика, теория относительности, механика сплошной среды и т. д. Важность вклада Ли в современную науку и математику невозможно переоценить.

Тем не менее для того, кто знаком уже с одним из этих современных проявлений теории групп Ли, может оказаться неожиданностью, что исходным вдохновляющим источником была теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Одна возможная причина общего недостаточного знакомства с этим

важным аспектом теории групп Ли — тот факт, что (как бывает с многими прикладными областями) группы Ли, возникающие как группы симметрий истинно физических систем дифференциальных уравнений, часто оказываются не слишком элегантными с чисто математической точки зрения, не будучи ни полу- простыми, ни разрешимыми, ни группами Ли каких-либо других особых классов, так популярных среди математиков. Кроме того, часто эти группы действуют на соответствующем пространстве нелинейно (выводя нас за пределы теории представлений) и даже могут быть определены лишь локально, так что эти преобразования имеют смысл только для элементов группы, достаточно близких к единице. Поэтому соответствующие групповые действия по своему духу ближе к изначальной формулировке Ли этого предмета в терминах локальных групп Ли, действующих на открытых подмножествах евклидова пространства, а это идет вразрез с современной тенденцией к абстрактности и глобализации, охватившей большую часть современной теории групп Ли. Исторически приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям, начатые Ли и Нётер, постепенно уходили во тьму, в то время как глобальная абстрактная переформулировка дифференциальной геометрии и теории групп Ли, за которую боролся Э. Картан, занимала господствующее положение в математике. Они пребывали без движения почти полвека до тех пор, пока Г. Биркгоф не привлек внимание к неиспользуемым приложениям групп Ли к дифференциальным уравнениям механики жидкости. Затем Л. В. Овсянников и его школа приступили к успешному осуществлению систематической программы приложения методов Ли к широкому кругу физически важных задач. Два последних десятилетия свидетельствуют о подлинном взрыве исследовательской активности в этой области как в приложениях к конкретным физическим системам, так и в расширении рамок и углублении самой теории *). Тем не менее много вопросов еще остается нерешенными, и полную область приложимости методов групп Ли к дифференциальным уравнениям еще предстоит определить.

Грубо говоря, группа симметрий системы дифференциальных уравнений — это группа, преобразующая решения этой системы в другие ее решения. В классических рамках теории Ли эти группы состоят из геометрических преобразований пространства независимых и зависимых переменных системы и действуют на решения, преобразуя их графики. Типичные примеры — группы сдвигов и вращений, а также группы растяжений,

') Солитонная тематика, имеющая многочисленные приложения, играет здесь не последнюю роль. — Прим. ред.

но они, несомненно, не исчерпывают весь круг возможностей. Огромное преимущество рассмотрения непрерывных групп симметрий (в противоположность дискретным симметриям, таким, как отражения) состоит в том, что все их можно найти с помощью точных вычислительных методов. Это говорит не о том, что дискретные группы не важны в изучении дифференциальных уравнений (см., например, Hejhal [1] и приведенные там ссылки), а скорее о том, что нужно применять совершенно иные методы, чтобы их находить или использовать. Фундаментальное открытие Ли состояло в том, что сложные нелинейные условия инвариантности системы относительно преобразований из группы можно в случае непрерывных групп заменить эквивалентными, но гораздо более простыми линейными условиями, отражающими «инфинитезимальную инвариантность» этой системы относительно образующих этой группы. Почти для каждой важной с точки зрения физики системы дифференциальных уравнений эти условия инфинитезимальной симметрии — так называемые определяющие уравнения полной группы симметрий системы — можно решить явно в замкнутом виде, и, гаким образом, наиболее общая группа непрерывных симметрий системы может быть определена явно. Вся процедура состоит из совершенно механических вычислений, и для этой задачи уже разработано несколько компьютерных систем символьно-аналитических вычислений.

Когда найдена полная группа симметрий системы дифференциальных уравнений, становится доступным ряд приложений. Для начала можно действовать в соответствии с определением группы симметрий, чтобы строить новые решения системы по уже известным. Группа симметрий, таким образом, доставляет средство классификации множества решений (два решения полагаются эквивалентными, если одно можно перевести в другое некоторым элементом группы). Можно использовать группы симметрий по-другому — для классификации семейств дифференциальных уравнений, зависящих от произвольных параметров или функций; часто имеются серьезные физические или математические причины предпочитать такие уравнения с наиболее высокой степенью симметрии. Еще один подход — определить, какие типы дифференциальных уравнений допускают данную группу симметрий. Эта задача также решается инфинитезимальными методами с помощью теории дифференциальных инвариантов.

В случае обыкновенных дифференциальных уравнений из инвариантности относительно однопараметрической группы симметрий следует возможность понижения порядка уравнения на единицу, причем решения исходного уравнения восстанавливаются

по решению редуцированного посредством единственной квадратуры. В случае одного уравнения первого порядка этот метод доставляет явную формулу для общего решения. Многопараметрические группы симметрий приводят к дальнейшему понижению порядка, однако мы не всегда можем восстановить решения исходного уравнения по решениям редуцированного посредством одних лишь квадратур, за исключением случая, когда сама группа удовлетворяет дополнительному требованию «разрешимости». Если система обыкновенных дифференциальных уравнений получена из некоторого вариационного принципа (либо как уравнения Эйлера — Лагранжа некоторого функционала, либо как гамильтонова система), то мощность метода редукции с помощью группы симметрий в действительности удваивается. Однопараметрическая группа «вариационных» симметрий позволяет понизить порядок на две единицы; случай многопараметрических групп тоньше *).

К сожалению, в случае систем уравнений с частными производными полная группа симметрий обычно не оказывает помощи при отыскании общего решения (хотя в частных случаях она может указывать, когда систему можно преобразовать в легче поддающуюся решению, такую, как линейная). Однако можно использовать группы симметрий, чтобы явно найти частные типы решений, которые сами являются инвариантными относительно некоторой подгруппы полной группы симметрий системы. Эти «инвариантные относительно группы» решения находятся решением редуцированной системы дифференциальных уравнений, содержащей меньшее число независимых переменных, чем исходная система (в силу чего ее, как правило, легче решить). Например, решения уравнения с частными производными от двух независимых переменных, инвариантные относительно заданной однопараметрической группы симметрий, все находятся решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Класс инвариантных относительно группы решений включает в себя классические автомодельные решения, происходящие из групп симметрий растяжений, бегущие волны, отражающие некоторую инвариантность системы относительно сдвига, а также многие другие точные решения, имеющие непосредственное математическое или физическое значение. Для многих нелинейных систем это единственные явные точные решения, имеющиеся в наличии, и в силу этого они играют важную роль и в математическом исследовании, и в физических приложениях таких систем.

') Нельзя забывать здесь классическую работу Liouville [1**].—Прим, ред.

В 1918 г. Эмми Нетер доказала две замечательные теоремы, связывающие группы симметрий вариационного интеграла со свойствами соответствующих ему уравнений Эйлера — Лагранжа. В первой из этих теорем Нётер показала, каким образом каждая однопараметрическая группа вариационных симметрий приводит к закону сохранения для уравнений Эйлера — Лагранжа. Таким образом, например, сохранение энергии происходит из инвариантности вариационной задачи относительно группы сдвигов по времени, а сохранение импульса и момента количества движения отражает инвариантность этой системы относительно сдвигов и вращений. Глава 4 посвящена так называемой классической форме этой теоремы Нётер, в которой рассматриваются только геометрические типы групп симметрий. Сама Нётер доказала гораздо более общий результат и установила взаимно однозначное соответствие между группами симметрий и законами сохранения. Общий результат делает необходимым введение «обобщенных симметрий». Это группы, инфинитезимальные образующие которых зависят не только от независимых и зависимых переменных системы, но также и от производных от зависимых переменных. Соответствующие групповые преобразования не будут больше геометрически действовать на пространстве независимых и зависимых переменных, поточечно преобразуя график функции. Теперь это нелокальные преобразования, которые находятся путем интегрирования эволюционной системы уравнений с частными производными. Каждая однопараметрическая группа симметрий вариационной задачи, либо геометрических, либо обобщенных, будет приводить к закону сохранения и, обратно, каждый закон сохранения получается таким способом. Простейший пример сохраняемой величины, происходящей из истинно обобщенной симметрии,-— это вектор Рунге — Ленца для задачи Кеплера. Новые дополнительные приложения, включая солитонные уравнения и теорию упругости, пробудили обновленный интерес к общему варианту теоремы Нётер. В § 5.3 мы доказываем усиленную форму теоремы Нётер, утверждающую, что для «нормальных» систем на самом деле имеется взаимно однозначное соответствие между группами нетривиальных вариационных симметрий и нетривиальными законами сохранения1). Условию нормальности удовлетворяет большинство физически важных систем дифференциальных уравнений; анормальные системы — это в сущности системы с нетривиальными условиями интегрируемости. Важный класс анормальных систем, возникающих в общей теории относительности,— это класс систем, вариационные интегралы

’) См. также теорему 15 в приложении I. — Прим. ред.

которых допускают бесконечномерную группу симметрий, зависящую от произвольной функции. Вторая теорема Нётер показывает, что тогда имеется нетривиальное соотношение между соответствующими уравнениями Эйлера—Лагранжа и, следовательно, имеются нетривиальные симметрии, приводящие только к тривиальным законам сохранения. Найденные законы сохранения имеют много важных приложений, как физических, так и математических, включая теоремы существования, ударные волны, теорию рассеяния, устойчивость, теорию относительности, механику жидкости, теорию упругости и т. д. См. замечания в конце гл. 4, где приведен более широкий список, а также имеются ссылки на литературу.

Недавно было обнаружено, что забытые в течение многих лет, последовавших за провидческой работой Нётер, обобщенные симметрии важны в изучении нелинейных уравнений с частными производными, которые, как, например, уравнение Кортевега— де Фриза, можно рассматривать как вполне интегрируемые системы. Существование бесконечного множества обобщенных симметрий (их можно находить, используя операторы рекурсии из § 5.2) оказывается тесно связанным с возможностью линеаризации системы, либо непосредственно с помощью некоторой замены переменных, либо развитым в последние десятилетия методом обратной задачи рассеяния. Таким образом, основанный на обобщенных симметриях подход, поддающийся прямому вычислению, как и в случае обычных симметрий, доставляет систематические средства распознавания этих замечательных уравнений и, следовательно, построения бесконечного набора законов сохранения для них ). (Построение соответствующей задачи рассеяния требует других методов, таких, как методы продолжения из книги Wahlquist, Estabrook [1].)

Некоторые приложения методов групп симметрий к уравнениям с частными производными наиболее естественным образом осуществляются с помощью гамильтоновой структуры некоторого вида. Конечномерная формулировка гамильтоновых систем обыкновенных дифференциальных уравнений хорошо известна. Однако, имея в виду более современную теорию гамильтоновых систем эволюционных уравнений, нам следует принять новый подход ко всему предмету гамильтоновой механики. Мы не будем здесь придавать особое значение использованию канонических координат (координаты р и q в классической механике), а вместо этого сосредоточимся на понятии скобки Пуассона как на краеугольном камне этого предмета. В результате возникает более общее понятие пуассоновой структуры.

Оно уже поддается распространению на бесконечномерную теорию гамильтоновых систем эволюционных уравнений. Важный частный случай пуассоновой структуры — структура Ли — Пуассона на алгебре, двойственной к алгебре Ли, изначально открытая Ли и с большим эффектом использованная позднее в геометрическом квантовании, теории представлений, механике жидкости и плазмы. При этом общем подходе к гамильтоновой механике законы сохранения могут возникать не только из свойств симметрии системы, но также из вырожденности самой скобки Пуассона. В конечномерной ситуации каждая однопараметрическая гамильтонова группа симметрий позволяет нам понизить порядок системы на две единицы. В современной формулировке возможная степень редукции для многопараметрических групп симметрий дается общей теорией Марсдена и Вейнстейна, основанной на понятии отображения момента в алгебру, двойственную к алгебре Ли симметрий. В более современных работах проявляется большой интерес к системам дифференциальных уравнений, обладающим не только одной, а двумя различными (но согласованными) гамильтоновыми структурами. Для таких «бигамильтоновых систем» имеются прямые рекурсивные средства построения бесконечной иерархии взаимно коммутирующих потоков (симметрий) и соответствующих законов сохранения, указывающей на полную интегрируемость такой системы. Большинство солитонных уравнений, а также некоторые бесконечномерные вполне интегрируемые гамильтоновы системы являются на самом деле бигамильтоновыми.

Предмет, лежащий в основе большей части теории обобщенных симметрий, законов сохранения и гамильтоновых структур для эволюционных уравнений, известен как «формальное вариационное исчисление» и представляет собой исчисление, специально изобретенное для ответа на широкий круг вопросов, относящихся к сложным алгебраическим тождествам между такими объектами, как оператор Эйлера из вариационного исчисления, обобщенные симметрии, полные производные и более общие дифференциальные операторы и различные обобщения понятия дифференциальной формы. Основной результат формального вариационного исчисления — локальная точность некоторого комплекса, называемого вариационным комплексом и являющегося в некотором смысле подходящим обобщением (в вариационном контексте или в контексте пространства струй) комплекса де Рама из алгебраической топологии. В последние годы этот вариационный комплекс, как стало видно, играет все более важную роль в развитии алгебраической и геометрической теории вариационного исчисления. В приложения вариационного комплекса включаются:

решение «обратной задачи вариационного исчисления», состоящей в характеризации тех систем дифференциальных уравнений, которые являются уравнениями Эйлера — Лагранжа некоторой вариационной задачи;

характеризация «нулевых лагранжианов», т. е. тех вариационных интегралов, выражения Эйлера — Лагранжа которых тождественно обращаются в нуль как полные дивергенции;

характеризация тривиальных законов сохранения, которые также называют нулевыми дивергенциями.

Каждый из этих результатов жизненно важен для развития наших приложений теории групп Ли к изучению законов сохранения и гамильтоновых структур для эволюционных уравнений и может рассматриваться как частный случай точности всего вариационного комплекса. § 5.4 посвящен полному изложению общего доказательства точности и приложению его к этим трем интересующим нас частным случаям.

Хотя эта книга охватывает широкий круг различных приложений теории групп Ли к дифференциальным уравнениям, несколько важных тем мы все же вынуждены были опустить. Наиболее значительный среди этих пробелов — связь между группами Ли и разделением переменных. Имеются две причины опустить этот вопрос. Во-первых, существует прекрасное исчерпывающее изложение Miller [3], уже доступное; во-вторых, кроме специальных классов уравнений с частными производными (таких, как уравнения Гамильтона — Якоби и уравнения Гельмгольца) точные связи между симметриями и разделением переменных к настоящему моменту не поняты как следует. Это особенно справедливо для случая систем линейных уравнений и для случая вполне нелинейного разделения переменных; ни в одном из этих случаев нет даже хорошего определения того, что же влечет за собой на самом деле разделение переменных, не говоря уже о том, как использовать свойства симметрии системы, чтобы указать те системы координат, в которых возможно разделение переменных. Я не пытался также охватить ни одну из обширных областей теории представлений и соответствующих приложений к теории специальных функций; см. Miller [1] или Виленкин [1]. Теория бифуркаций — другая плодородная почва для теоретико-групповых приложений; я отсылаю читателя к записям лекций Sattinger [1] и приведенной там библиографии. Приложения групп симметрий к численному анализу широко представлены в работе Шокина [1]. Распространение настоящих методов на задачу С заданными граничными условиями для уравнений с частными производными можно найти в книгах Bluman, Cole [1] и Seshadri, Na [1],

а для задач со свободной границей — в работе Benjamin, Olver [1]. Хотя я широко представил обобщенные симметрии в гл. 5, связанное с ними понятие контактных преобразований, введенное Ли, осталось неохваченным, поскольку оно редко применяется для уравнений, возникающих в приложениях, и по большей части может быть включено в представленную здесь общую теорию; см. Anderson, Ibragimov [1] и имеющиеся там ссылки1). Наконец, нам следовало бы упомянуть об использовании методов теории групп Ли в изучении дифференциальных уравнений, возникающих в геометрии, включая, например, движения на римановых многообразиях (ср. Ибрагимов [1]) или симметрические пространства и соответствующие им инвариантные дифференциальные операторы (см. Helgason [1], [2]).

Указания читателю

Основополагающий принцип в организации материала этой книги — дать возможность читателю, главная цель которого — применять методы теории групп Ли к конкретным задачам, изучить основные вычислительные средства так быстро, как только возможно, с минимумом теории. В то же время вычислительные приложения базируются на прочном теоретическом фундаменте, так что читатель, более склонный к математике, может легко углубляться далее в этот предмет ). Каждая глава (кроме первой) устроена так, что приложения и примеры появляются так быстро, как только возможно, а теоретические доказательства и разъяснения откладываются на конец главы. Даже если читатель преследует более теоретические цели, я все же настоятельно рекомендовал бы ему изучить вычислительные средства и примеры, прежде чем приступить к более теоретическим вопросам. Давно известно, что гораздо легче абстрагировать общую математическую теорию из одного удачно подобранного примера, чем применить имеющуюся абстрактную теорию к конкретному примеру. И здесь, я думаю, именно такой случай.

Читателю, интересующемуся главным образом приложениями, я бы рекомендовал следующую стратегию чтения этой книги. Главный вопрос состоит в том, какую часть вводной теории многообразий, векторных полей, групп Ли и алгебр Ли (они для удобства собраны вместе в гл. 1 и § 2.1) действительно нужно освоить, прежде чем оказаться в состоянии приступить к приложениям к дифференциальным уравнениям, которые начинаются с § 2.2. Ответ — на самом деле удивительно малую. Многообразия можно, по большей части, представлять себе локально как открытые подмножества евклидова пространства R”, в которых имеется соответствующая свобода в выборе координат. Группы геометрических симметрий будут просто совокупностями преобразований таких подмножеств, в которых выполняются простые аксиомы группы, позволяющие нам брать последовательные композиции симметрий, обратные и т. д. Ключевое понятие на этом этапе — инфинитезимальная образую

щая группы симметрий. Это векторное поле (вида, уже известного из векторного исчисления или механики жидкости) на соответствующем многообразии или подмножестве пространства R”, поток которого совпадает с однопараметрической группой, им порожденной. Можно представлять себе, что вся группа симметрий порождается таким же способом композициями базисных потоков ее инфинитезимальных образующих. Таким образом, главное, что требуется усвоить из гл. 1, — это основные обозначения для векторных полей и потоков и соответствие между ними. Другой ключевой результат — инфинитезимальный критерий инвариантности системы алгебраических уравнений относительно такой группы преобразования, выраженный в теореме 2.8. С этими двумя инструментами можно прямо погружаться в материал, относящийся к дифференциальным уравнениям, начиная с § 2.2 и возвращаясь к дальнейшим результатам по группам Ли или многообразиям по мере необходимости.

Обобщение критерия инфинитезимальной инвариантности на системы дифференциальных уравнений основано на важной технике продолжения групповых преобразований, необходимой, чтобы включить не только независимые и зависимые переменные, присутствующие в системе, но и производные от зависимых переменных. Легче всего это осуществляется геометрическим путем посредством введения пространств, координаты которых представляют эти производные—пространства струй § 2.3. Ключевая формула для вычисления групп симметрий дифференциальных уравнений — это формула продолжения для инфинитезимальных образующих из теоремы 2.36. Вооружившись этой формулой (или хотя бы ее частными случаями, имеющимися в следующем за теоремой примере) и соответствующим критерием инфинитезимальной инвариантности, легко вычислить группы симметрий почти любой системы обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений с частными производными, которая может возникнуть. Несколько примеров, иллюстрирующих требуемые вычислительные средства, представлено в § 2.4; советуем читателю приложить руки еще к каким-нибудь дополнительным примерам — либо из упражнений в конце гл. 2, либо к какой-нибудь системе дифференциальных уравнений по своему выбору.

В этом месте имеется несколько возможностей двигаться дальше. Для тех, кто интересуется обыкновенными дифференциальными уравнениями, в § 2.5 приведено подробное изложение основного метода Ли интегрирования этих уравнений с помощью групп симметрий1). См. также § 4.2 и 6.3, где рассмат-

*) См. прим. ред. иа стр. 12. — Прим. ред.

ривается случай обыкновенных дифференциальных уравнений с вариационной структурой некоторого вида либо в лагранжевой, либо в гамильтоновой форме. Те, кого интересует нахождение точных инвариантных относительно группы решений уравнений с частными производными, могут прямо перейти к гл. 3. В § 3.1 излагается основной метод вычисления этих решений с помощью редукции, а в § 3.2 он иллюстрируется несколькими примерами. Третий параграф этой главы относится к задаче классификации таких решений и требует несколько более тонких результатов по алгебрам Ли из § 1.4. Два последних параграфа гл. 3 посвящены теории, лежащей в основе метода редукции. Для приложений знакомства с ними не требуется; впрочем, в § 3.4 проводится обсуждение важной Пи-теоремы из теории размерности.

Читатель, главная цель которого — вывод законов сохранения с помощью теоремы Нётер, может прямо перейти от § 2.4 к гл. 4, посвященной «классической» форме этого результата. В § 4.1 представлен краткий обзор необходимых наиболее важных понятий из вариационного исчисления. Предмет § 4.2 — введение группы симметрий и основной критерий инфинитезимальной инвариантности для вариационного интеграла, а также процедура редукции, пригодная для обыкновенных дифференциальных уравнений, являющихся уравнениями Эйлера — Лагранжа некоторой вариационной задачи. В третьем параграфе вводится общее понятие закона сохранения. Изложение здесь более новое; ведущая идея — соответствие между законами сохранения и их характеристиками; впрочем, технически сложное доказательство теоремы 4.26 при первом чтении благополучно может быть опущено. Доказательство теоремы Нётер становится более или менее прямым, если научиться обращаться с законами сохранения в характеристической форме.

Начиная с гл. 5, требуется несколько более высокий математический уровень, хотя к большей части материала по обобщенным симметриям и законам сохранения все еще можно подходить с чисто вычислительной точки зрения, обходясь лишь минимумом техники теории групп Ли. Наибольшие алгебраические трудности следует отнести к § 5.4, где в полном своем великолепии для истинного любителя боя быков развивается вариационный комплекс. Между прочим, § 5.4 и гл. 7 о гамильтоновых структурах для эволюционных уравнений — единственные разделы книги, где в сколько-нибудь значительной степени используется материал § 1.5 о дифференциальных формах. Несмотря на кажущуюся сложность, доказательства в § 5.4 — существенное улучшение по сравнению с вариантами, имеющимися в литературе.

Глава 6 о конечномерных гамильтоновых системах, вообще говоря, независима от большей части предыдущего материала книги. Вплоть до метода редукции для однопараметрических групп симметрий нужно не слишком много материала по теории групп Ли. Однако теория редукции Марсдена — Вейнстейна для многопараметрических групп симметрий требует некоторых более тонких результатов теории алгебр Ли из § 1.4 и 3.3. Усвоение гл. 7 очень сильно зависит от понимания подхода к гамильтоновой механике, основанного на скобке Пуассона и принятого в гл. 6, и отчасти методов формального вариационного исчисления § 5.4. Тем не менее в соответствующих вычислительных приложениях не так уж трудно добиться достаточного умения.

Приведенные в конце каждой главы упражнения значительно различаются по уровню трудности. Некоторые из них представляют собой довольно рутинные вычисления, основанные на материале книги, но существенное число упражнений является значительным расширением основного материала. Более трудные упражнения отмечены звездочкой; одно или два, отмеченные двумя звездочками, лучше рассматривать как миниатюрные исследовательские проекты. Некоторые из представленных в упражнениях результатов являются новыми; в других случаях я старался дать наиболее подходящие ссылки. Ссылки выбирались скорее на основе прямого соответствия формулировке задачи, чем на основе исторического приоритета.

В конце каждой главы имеется небольшое число замечаний, в основном относящихся к историческим подробностям, и библиографические ссылки по поводу обсуждавшихся результатов. Хотя я не могу надеяться соблюсти полную историческую точность, эти замечания представляют итог значительных усилий в исследовании исторических корней этого предмета. Я старался найти источники и дальнейшую историю многих важных событий в этой области. Несомненно, мои замечания отражают во многом личные пристрастия. Но я надеюсь, что они могут составить основу для более серьезного исследования пленительной и временами причудливой истории этого предмета. Безусловно, эта тема заслуживает внимания настоящих историков математики. Хотя я, по большей части, перечислил работы, которые считаю значительными в историческом развитии этого предмета, я, очевидно, был не в состоянии дать исчерпывающий список всех соответствующих ссылок по причине многократного дублирования, достигнутого в течение десятилетий. Я искренне прошу прощения у тех авторов, работы которых играют значительную роль в этом развитии, но были нечаянно пропущены в этих замечаниях.

Введение в теорию групп Ли

Грубо говоря, группа Ли — это группа, являющаяся также многообразием. Конечно, чтобы придать смысл этому определению, мы должны разъяснить оба эти понятия и то, как они должны быть связаны. Группы возникают как алгебраическая абстракция понятия симметрии; важный пример — группа вращений плоскости или трехмерного пространства. А1ногообра- зия — фундаментальные объекты дифференциальной геометрии — обобщают известные понятия кривой и поверхности в трехмерном пространстве. Вообще говоря, многообразие — это пространство, которое локально выглядит как евклидово пространство, но глобально может быть совершенно непохожим на него. Сочетание этих двух по внешнему виду в корне различных математических понятий соединяет и значительно расширяет и алгебраические методы теории групп, и анализ многих переменных, использующийся в аналитической геометрии. Получающуюся в результате теорию, в частности мощную инфинитезимальную технику, можно применять к широкому кругу физических и математических задач.

Цель этой главы — относительно быстро и безболезненно ввести читателя в теорию многообразий и групп Ли в том виде, который позволит применить ее к дифференциальным уравнениям. Никаких предварительных знаний ни из теории групп, ни из дифференциальной геометрии не требуется, однако предполагается хорошее знакомство с основами математического анализа, включая теоремы о неявной и об обратной функциях. По необходимости доказательства большинства «трудных» теорем теории групп Ли будут опускаться; ссылки на литературу можно найти в замечаниях в конце главы.

В этой главе я старался найти «золотую середину» между картиной в локальных координатах, где многообразие выглядит в точности как открытое подмножество некоторого евклидова пространства, и более современным глобальным изложением теории. Каждый из этих подходов имеет свои особые применения и преимущества, и было бы ошибкой чересчур переоценивать тот или другой. Читатель, ориентирующийся на приложения, может усомниться в том, что сюда нужно включать

глобальную структуру, поскольку большинство представленных в нашей книге приложений этой теории относится к открытым подмножествам евклидова пространства. Но достаточно сказать, что геометрическая интуиция и понимание, которые дает общее понятие многообразия, с лихвой вознаграждают относительно небольшие усилия, требующиеся для усвоения этого определения. Однако если нам все же не удалось убедить читателя, он может заменять слово «многообразие» там, где оно встречается, на «открытое подмножество евклидова пространства», не очень теряя аромат этой теории и не слишком сужая пределы ее применимости. При таком подходе можно ограничиться параграфами, относящимися к локальным группам Ли (на самом деле именно этим путем сам Ли пришел к группам Ли), и использовать локальные группы Ли как основные объекты изучения.

В первом параграфе дается основное описание общего понятия многообразия, во втором делается то же самое для групп Ли, и локальных, и глобальных. Практически группы Ли возникают как группы симметрий некоторого объекта, или, более точно, как локальные группы преобразований, действующих на некотором многообразии; в § 2 дается краткий обзор этого подхода. Наиболее важное понятие всей теории — понятие векторного поля, которое выступает как инфинитезимальная образующая некоторой однопараметрической группы Ли преобразований. Это понятие является фундаментальным и для развития теории групп Ли, и для приложений к дифференциальным уравнениям. Оно играет решающую роль в замене сложных нелинейных условий симметрии некоторого объекта относительно группы преобразований легко проверяемыми линейными условиями, отражающими его инфинитезимальную симметрию относительно соответствующих векторных полей. Эта техника будет глубоко исследована для систем алгебраических и дифференциальных уравнений во второй главе. Понятие векторного поля приводит затем к понятию алгебры Ли, которую можно представлять себе как инфинитезимальную образующую самой группы Ли. Соответствующая теория развита в § 1.4. Последний параграф этой главы дает краткое введение в дифференциальные формы и интегрирование на многообразиях.

МНОГООБРАЗИЯ

Почти везде в этой книге нас будут в основном интересовать объекты (такие, как дифференциальные уравнения, группы симметрий и т. д.), заданные на открытых подмножествах евклидова пространства Rm. Основные геометрические черты этих объектов не будут зависеть от того, какая система координат

использовалась для их определения. Поэтому очень важно освободиться от зависимости от конкретных локальных координат, так чтобы наши объекты стали по существу «бескоординат- ными». Точнее, если t/cRm-—открытое множество и ф: U- -*V, где VcRm открыто, — произвольный диффеоморфизм (т. е. ф ■— бесконечно дифференцируемое отображение и обратное к нему отображение также бесконечно дифференцируемо), то объектам, определенным на U, будут соответствовать эквивалентные объекты на V. Хотя явные формулы для объекта на U и соответствующего ему объекта на V будут, вообще говоря, разными, существенные основные свойства останутся теми же. Расставшись с зависимостью от координат, мы должны сделать лишь маленький шаг, чтобы прийти к общему понятию гладкого многообразия. С этой точки зрения многообразия доставляют естественную среду для изучения объектов, не зависящих от координат.

Определение 1.1. т-мерное многообразие — это множество М вместе со счетным набором подмножеств Ua cz М, называемых координатными картами, и взаимно однозначных функций %„: [/а-*Ра, где Va — открытые связные подмножества пространства Rm, называемых локальными координатными отображениями (или локальными координатами)1), которые обладают следующими свойствами:

Координатные карты покрывают М;

\3Ua = M.

а

Для пересечения любой пары координатных карт Ua П Up композиция отображений (функция перехода)

Ze-K': хЩ'.ШУ-МЦ.П^)

является гладкой (бесконечно дифференцируемой) функцией.

Если хе Ua, хе Up— разные точки множества М, то существуют открытое подмножество W в Уа, содержащее точку ’Х.а(х), и открытое подмножество ^ в Vp содержащее точку ^(х), такие, что

Ха,(^)ПХр,(^)=0.

Координатные карты %а: Ua~*Va снабжают многообразиеМ структурой топологического пространства. А именно: мы требуем, чтобы для всякого открытого подмножества We Va cz Rm множество x„1 (Ю было открытым подмножеством множе-

ства М. Эти множества образуют базис топологии на М, так что множество U сМ открыто, если и только если для любого хе U найдется окрестность точки х указанного выше вида, содержащаяся в U; таким образом, хеу.~1(1^)с[/, где %а: Ua-*Va— координатная карта, содержащая х, а IV— открытое подмножество множества Va- В этой топологии требование (с) из определения многообразия — это в точности переформулировка аксиомы отделимости Хаусдорфа: если х ф х — точки многообразия М, то существуют открытое множество U, содержащее х,

Рис. 1. Координатные карты на многообразии.

и открытое множество (7, содержащее х, такие, что UП О = 0. В гл. 3 у нас будет случай опустить это свойство и рассмотреть нехаусдорфовы многообразия. Многие результаты из других глав остаются справедливыми в этом более общем контексте, однако, поскольку это приводит к некоторым техническим сложностям, мы будем работать исключительно с хаусдорфовыми многообразиями всюду, кроме соответствующих параграфов гл. 3.

Степень дифференцируемости функций перехода Хр0^1 определяет степень гладкости многообразия М. Мы будем в основном интересоваться гладкими многообразиями, для которых функции перехода ХроХ^’ являются гладкими, т. е. функциями класса С°°, диффеоморфизмами открытых подмножеств из Rm. Если мы требуем, чтобы Хр°Ха' были вещественными аналитическими функциями, то М называется аналитическим многообразием. Большинство классических примеров многообразий являются на самом деле аналитическими Мы можем

поступить иначе, ослабив требования дифференцируемости, и рассматривать Ск-многообразия, для которых требуется, чтобы функции перехода имели непрерывные производные только до порядка к включительно. Многие наши результаты справедливы и при этих ослабленных требованиях дифференцируемости, однако, чтобы не следить на каждом шагу за тем, сколько именно нам нужно непрерывных производных, мы просто придерживаемся случая гладких или иногда аналитических многообразий. Ослабить предположения о дифференцируемости мы предоставляем заинтересованному читателю. Мы начнем с того, что проиллюстрируем общее определение многообразия несколькими элементарными примерами.

Пример 1.2. Простейшее m-мерное многообразие — это само евклидово пространство Rm. Единственной координатной картой будет U = кт, а локальным координатным отображением — тождественное отображение % = И: Rm-*Rm. Более общо, всякое открытое подмножество Ёс R”1 является m-мерным многообразием с единственной координатной картой — самим множеством U — и тождественным локальным координатным отображением. Обратно, если М— произвольное многообразие с единственной глобальной координатной картой х: M->Vc Rm, мы можем отождествить М с его образом — открытым подмножеством V с Rm.

Пример 1.3. Единичная сфера

52 = {(х, у, г): x2 + y2 + z2=l)

— хороший пример нетривиального двумерного многообразия, реализованного поверхностью в R3. Пусть

Ц = 52\{(0, 0, 1)}, t/2 = S2\{(0, 0, -1)}

— подмножества, полученные удалением северного и южного полюсов соответственно. Пусть

X»: Ua->R2^^x, у, 0)}, а=1, 2,

— стереографические проекции из соответствующих полюсов, так что

Х1(х, у, ^Ц"^, ^\ ^(Х, у, Z) = (T^7, -1^).

Легко можно проверить, что на пересечении Ux f| Da отображение

Х^ХГ1: R2\{0}^R2\{0)

является гладким диффеоморфизмом, заданным инверсией

Xi ° %2-1 (х, у) = ( хг+^г, ^ + ^8 ) •

Свойство отделимости Хаусдорфа легко следует из того, что этим свойством обладает R3; поэтому S2 является гладким (на самом деле аналитическим) двумерным многообразием. Единичная сфера-—частный случай общего понятия поверхности в R3, который исторически доставил главный мотивирующий пример для развития общей теории многообразий.

Пример 1.4. Более легкий пример — единичная окружность S’ = {(x, у): х2 + у2=1}.

которая аналогично оказывается одномерным многообразием с двумя координатными картами. Можно поступить иначе, а именно отождествить точку из 51 с ее угловой координатой 0, где (х, у) = (cos 0, sin 6), причем два угла отождествляются, если они отличаются на целое кратное 2л.

Декартово произведение

12=8* X S’

окружности S1 на себя является двумерным многообразием, называемым тором. Его можно представлять себе как поверхность замкнутой трубки. (См. пример 1.6.) Точки на У2 задаются парами (6, р) угловых координат, причем две пары отождествляются, если они отличаются на целые кратные 2л. Иными словами, (6, р) и (0, р) описывают одну и ту же точку на У2, если и только если

6 — 6 = 2йл, р — р = 2/л

для некоторых целых к, I. Таким образом, тор У2 можно покрыть двумя координатными картами

Ц = {(6, р): 0 < 6 < 2л, 0 < р < 2л},

Uа = {(6, р): л < 6 < Зл, л < р < Зл}

с функцией перехода

г (0, Р),

Л "

<о<

С 2л,

л

<Р*

< 2л,

х^х^Че» р)=-

(6 — 2л, р),

2л <

:е<

: Зл,

л <

ср<

' 2л,

(0, р — 2л),

л <

:е<

; 2л,

2л <

:р<

' Зл,

- (0 — 2л, р — 2л),

2л <

:е<

' Зл,

2л <

:р<

; Зл

на пересечении Ux f] [/2, которое является множеством всех (6, р), таких, что ни 6 ни р не являются целыми кратными л.

Более общо, m-мерный тор задается m-кратным декартовым произведением Тт = S1 X • • • X S1 окружности S1 на себя.

Вообще говоря, если М и N — гладкие многообразия размерностей тип соответственно, то их декартово произведение M/N, как легко видеть, будет гладким (т + п)-мерным многообразием. Если Ха" Ua-*Vac2Rm и %₽: Пр-> Ер с R" — координатные карты на М и N соответственно, то их декартовы произведения

%«Ххр: naxnp->vaXV₽<=R'”XR"^Rm+n доставляют координатные карты на М X N. Проверка требований определения 1.1 для MXN предоставляется читателю.

Замена координат

К основным координатным картам х«: ^а “*" Va из определения многообразия М всегда можно добавить много дополнительных координатных карт %: Lf^-VcRm, подчиняющихся требованию согласованности с данными картами. Это означает, что для любого а отображение х°Ха’ является гладким на подмножестве Ха(^П^а)- Таким образом, ограничение данного множества локальных координат Ха на меньшую карту О^а a Ua также определяет подходящую координатную карту. Дополнительная возможность состоит во взятии композиции данного локального координатного отображения ха: Па-*Еа с произвольным диффеоморфизмом ф: Va—>Va пространства Rm. Такой диффеоморфизм дает нам замену координат. Поскольку оба отображения Ха и Ф °:Ха— одинаково подходящие локальные координаты на карте Ua, никакое свойство многообразия М или объекта, определенного на М, не должно зависеть от выбора локальных координат. (Конечно, явные формулы для данного объекта могут меняться при переходе от одной карты к другой, однако внутренняя характеристика объекта остается бескоординатной.) Если мы предпочитаем определить некоторый объект на многообразии, задавая его формулами в данной координатной карте, то должны проверить, что это определение на самом деле не зависит от используемых координат. Это требует исследования того, как ведет себя объект при заменах координат. Поскольку легче всего проводить вычисления в локальных координатах, часто выбор специальной координатной карты, в которой интересующий нас объект принимает особенно простой вид, позволяет нам значительно упростить многие из таких вычислений. Полезность этой основной техники станет яснее в дальнейшем.

Часто набор координатных карт расширяют так, чтобы включить все карты, согласованные с данными. Полученный набор, называемый максимальным набором карт или атласом на М, по-прежнему обладает основными свойствами (а), (Ь), (с) определения 1.1 (но, конечно, уже не будет счетным!). Легкие детали доказательства того, что две карты, согласованные с данными, согласованы между собой, мы оставляем читателю.

Обычно, говоря о локальных координатах на многообразии, мы будем обходиться без точного указания отображения Ха, определяющего локальную координатную карту, и говорить так, как будто выражения локальных координат совпадают с соответствующими точками на самом многообразии. Таким образом, «пусть х = (х1, ..., х"1)— локальные координаты на М» более точно означает существование локального координатного отображения %а: Ua-^Va, где UaeM открыто, Уас= с Rm открыто, такого, что всякая точка ре Ua имеет локальные координаты х = %«(р). Поскольку отображение х« взаимно однозначно, мы, очевидно, можем отождествить точку р с ее выражением в локальных координатах х. В силу условия согласованности мы знаем, что у = (у1, • ., ут)— тоже локальные координаты тогда и только тогда, когда на пересечении двух координатных карт существует диффеоморфизм у = ф(х), определенный на некотором открытом подмножестве пространства Rm, связывающий эти две координаты. Например, в случае окружности S1 угол —л < 6 = arctg(y/x) < л является локальной координатой на S*\((—1, 0)}. Отношение р = у/х является локальной координатой на 5*0 (х>0). На пересечении замена координат дается формулой р = tg 6. Это диффеоморфизм интервала (—л/2, л/2) на R.

Отображения многообразий

Пусть М и N — гладкие многообразия. Отображение F: М-* -> N называется гладким, если его выражение в локальных координатах является гладким отображением в каждой координатной карте. Иными словами, для каждой координатной карты Ха: Ua-* Vad Rm на М и каждой карты х₽: Ср->РрсК" на N отображение

Хр-Со^ь Rm^R"

является гладким в своей области определения (т. е. на множестве х« 1^а A F~l (Ср)]). Иными словами, гладкое отображение имеет вид y = F(x), где F— гладкая функция на открытых подмножествах, дающих локальные координаты х на М и у на N.

Пример 1.5. Простой пример — отображение f: R-*S', f(f) = (cosf, sinf). В угловых координатах 0 на S1 функция f является линейной: 6 = t mod 2л и поэтому, очевидно, будет гладкой.

Пример 1.6. В качестве менее тривиального примера мы покажем, как можно гладко отобразить тор Т2 в R3. Определим отображение F; 72-*R3 формулой

W P) = ((V2 +cos р) cos 6, (V2 + cos р) sin 6, sinp).

Тогда ясно, что отображение F является гладким по 0 и р и взаимно однозначным. Его образ — вложенный тор в R3, заданный единственным уравнением

x2 + y2 + z2+ 1=2V2(^+V).

Таким образом, тор Т2 может быть реализован как поверхность в R3. Локальные координаты (0, р) на Т2 служат параметризацией его образа в R3.

Условие максимальности ранга

Определение 1.7. Пусть F; M->N— гладкое отображение m-мерного многообразия М в n-мерное многообразие N. Ранг отображения F в точке хеМ— это ранг матрицы Якоби (размера nXm^ (dFi/dxi) в точке х, где y=F^— запись отображения F в произвольных подходящих локальных координатах вблизи точки х. Отображение F является отображением максимального ранга на подмножестве S с^ М, если для всякого aeS ранг отображения F наибольший возможный (т. е. минимум из т и п).

Читатель легко может проверить, что определение ранга отображения F в точке х не зависит от выбора локальных координат на М или на N. Например, ранг отображения F(x, у) = = ху на R2 равен 1 во всех точках, кроме начала координат (0,0), поскольку матрица Якоби (Fx, Fy) = (у, х) ненулевая при всех х, у, кроме х = у = 0. (Здесь и в других местах нижний индекс означает производную, так что Fx = dF/dx и т. д.)

Теорема 1.8. Пусть отображение F: M-*N имеет максимальный ранг в точке Хо е М. Тогда существуют локальные координаты х = (х1, ..., хт) вблизи точки х0 и у = (у1у”)

вблизи точки уо = F (хо), такие, что в этих координатах отобра-

жение F имеет простой вид у = (х1хт, 00), если п>т,

или

у = (хх, .... х"), если п^т.

Эта теорема легко следует из теоремы о неявной функции см. Boothby [1, теорема II. 7.1] *), где приводится доказательство. Это первая иллюстрация нашего утверждения, что удачным выбором локальных координат можно значительно упрощать объекты (в этом случае функции) на многообразии.

Подмногообразия

Приведенные примеры поверхностей в R3 — сфера и тор — частные случаи общего понятия подмногообразия. Интуитивно, для данного гладкого многообразия М подмногообразие N а М— это подмножество, само являющееся гладким многообразием. Однако это предварительное определение можно интерпретировать несколькими совершенно различными способами, так что нам нужно быть аккуратнее. Имеется также несколько способов описания подмногообразий: либо неявно — как множества нулей некоторых гладких функций (как это было в случае сферы), либо параметрически — с помощью некоторой локальной параметризации (как это мы сначала делали с тором). Оба метода чрезвычайно полезны; мы начинаем с последнего из них, который приводит к более общему понятию подмногообразий.

Определение 1.9. Пусть М — гладкое многообразие. Подмногообразие многообразия М — это подмножество N сМ вместе с гладким взаимно однозначным отображением <р: Н -> N с М, всюду удовлетворяющим условию максимальности ранга, где пространство параметров R — некоторое другое многообразие и П = ф(Н^—образ отображения ф. В частности, размерность N совпадает с размерностью ^ и не превышает размерности многообразия М.

Отображение ф часто называют погружением или иммерсией. Оно служит для определения параметризации подмногообразия N. Такие подмногообразия часто называют иммерсирован- ными подмногообразиями, чтобы подчеркнуть отличие этого определения от других понятий подмногообразия. В этой книге под подмногообразием без уточнений всегда понимается иммер- сированное подмногообразие в смысле приведенного определе-

') А также, например, книгу У. Рудииа «Основы математического анализа» (М.: Мир, 1966). — Прим, перев

ния. Условие максимальности ранга нужно, чтобы гарантировать отсутствие у многообразия N особенностей. Например, функция ф(0 = (^2> ^3) является гладким отображением из R в R2, но ее образ — это кривая у2 — х3, имеющая точку возврата в (0,0). Матрица Якобиф (0 = (2f, З/2) имеет немаксимальный ранг в точке t = 0, что указывает на появление особенности в образе функции ф.

Следующая серия примеров продемонстрирует, какими могут быть так определяемые подмногообразия. Как увидит читатель, хотя условие максимальности ранга запрещает появление таких особенностей, как точки возврата, подмногообразия общего вида могут все же проявлять довольно причудливые свойства.

Пример 1.10. Во всех этих примерах подмногообразий пространство параметров # = R — вещественная прямая, а ф: R -> М — параметризация одномерного подмногообразия N = ф(R) некоторого многообразия М.

Пусть М = R3. Тогда

ф(0 = (со8/, sin^, 0

определяет круговую спираль, закручивающуюся вокруг оси 2. Здесь, очевидно, отображение ф взаимно однозначно и ф = = (—sin t, cost, 1) никогда не обращается в нуль, так что условие максимальности ранга выполняется.

Пусть М = R2 и

Ф (0 — ((1 + £“*)cos ^> (1 + e“f) sin 0-

Тогда при t-^-oo подмногообразие N накручивается на единичную окружность х2 + у2 = 1. Аналогично, ф(0 = = (e~/cos/, е~* sin t) определяет логарифмическую спираль, закручивающуюся в начале координат.

Пусть снова М = R2. Рассмотрим отображение

ф (0 = (sin t, 2 sin (2ф.

Тогда отображение ф параметризует «восьмерку», являющуюся кривой с самопересечением, а именно ф(/) = (0, 0), если t есть целое кратное л. Слегка модифицируя это отображение, например, взяв

Ф (0 = (sin (2 arctg 0, 2 sin (4 arctg f^,

мы можем устроить взаимно однозначную параметризацию, и кривая пройдет через начало координат только однажды. Условие максимальности ранга выполняется всюду. Образ отображения ф — снова «восьмерка», так что мы получили параметризацию подмногообразия с «кажущимся» самопересечением,

хотя иммерсия ф взаимно однозначна. Заметим, что эту же фигуру можно параметризовать другим, неэквивалентным, способом:

Ф (0 — (— sin (2 arctg 0, 2 sin (4 arctg /)).

Образ ф тот же, но композиция фоф^1: R->-R не является непрерывным отображением!

Рис. 2. Примеры подмногообразии.

Этот пример показывает, что, вообще говоря, мы должны указать не только подмножество N с М, но и иммерсию ф: N-^>-M, чтобы однозначно определить подмногообразие.

Пусть М = Р— двумерный тор с угловыми координатами (0, р). Пусть ф: R -^ Р — кривая ф (<) = (/, <о/), где со — некоторое фиксированное вещественное число, а координаты берутся по модулю целого кратного 2л, как и раньше. Заметим, что ф=(1,<о), так что условие максимальности ранга выполняется. Если <о = p/q — рациональное число, то отображение ф не является взаимно однозначным; в самом деле, ф(( + 2лу) = = ф(<), так что образ отображения ф— замкнутая кривая на торе. Она может быть реализована как одномерное подмногообразие, если взять N = S1 в качестве параметризующего

2 П. Олвер

многообразия и положить ф(6) = (^6, со^б), 6 eS1 (если р и q не имеют общих делителей). Если со— иррациональное число, то само отображение ф взаимно однозначно и его образ — кривая Л/ = ф(R),— как нетрудно показать, является всюду плотным подмногообразием тора Т2, замыкание которого есть весь тор. (См. Boothby [1; р. 86], где приведены детали.) Аналогичный пример можно построить в R3, взяв композицию отображения ф и отображения F: 72->-R3 из примера 1.6. Для иррационального СО

Ф (О = ((V2 + cos со/) cos /, (V2 + cos со/) sin /, sin со/)

параметризует одномерное подмногообразие в R3, замыкание которого является двумерной тороидальной поверхностью х2 + с/2 + z2 + 1 = 2 72^?+"^).

Регулярные подмногообразия

Примеры 1.10(c) и 1.10(d), возможно, более патологичны, чем объекты, которые хотелось бы рассматривать как подмногообразия. Хотя, как мы увидим, имеются веские причины для того, чтобы выбрать определение 1.9 в качестве общего определения подмногообразия, полезно все же выделить класс примеров так называемых регулярных подмногообразий, которые, возможно, более точно соответствуют интуитивному понятию подмногообразия.

Определение 1.11. Регулярное подмногообразие N многообразия М — это подмногообразие, параметризованное отображением ф: К’-^-М, обладающим следующим свойством: для любой точки х из N существует как угодно малая ее окрестность U в М, такая, что ф-1[^А^]—связное открытое подмножество в R.

В примере 1.10 в пп. (а) и (Ь) приведены регулярные подмногообразия, а в пп. (с) и (d) (при иррациональных со) — нерегулярные. В случае (с) всякая окрестность точки (0,0) будет содержать и кусок кривой, проходящей через (0, 0), и два «конца» кривой, входящие в начало координат. Иными словами, Ф-1 [17] состоит по меньшей мере из трех непересекающихся открытых интервалов (—сю, а), (6, с), (d, +°о), где а < b < < 0 <_с < d. Аналогично, в случае (d), если со иррационально, a U — произвольное открытое подмножество тора Т\ то ф-1 [17] состоит из бесконечного числа непересекающихся открытых интервалов.

В качестве следствия теоремы о неявной функции 1.8 мы получаем характеризацию регулярности в локальных координатах.

Лемма 1.12. п-мерное подмногообразие NcM регулярно, если и только если для любого xoeN существуют локальные координаты х=(х1, ..., хт), определенные в некоторой окрестности U точки х0, такие, что

NRU = tx: xn+* = ... = xm = О}.

Такая координатная карта называется плоской координатной картой на М. Заметим, что ввиду этой леммы если NcM — регулярное подмногообразие, то мы можем обойтись без параметризующего многообразия N и обращаться с N просто как с многообразием. А именно: плоские локальные координаты х = (х1, ..., хт) на U с М индуцируют локальные координаты х = (хл, ..., х") на U П N. Поэтому параметризация заменяется естественным включением NcM.

Неявные подмногообразия

Вместо того чтобы определять поверхность S в R3 параметрически, можно поступить иначе — определить ее неявно как множество нулей гладкой функции:

S = U4x, у, z) = 0}.

Если мы предполагаем, что градиент VF = (Fx, Fy, Fz) не обращается в нуль на S, то по теореме о неявной функции в каждой точке (х0, уо, £о) на S мы можем выразить одну из переменных х, у, z через две другие. Таким образом, если Fz(xo, у0, z0)#= 0, то существует окрестность t/a точки (х0, у0, z0), в которой поверхность S представляет собой график z = f(x, у) некоторой гладкой функции f, определенной на открытом подмножестве Га cz R2. Это приводит нас к определению локальной координатной карты на S с помощью проектирования вдоль оси z; иными словами, мы полагаем Оа = S П Ua и %a: (/„-*■ Га, %а(х, у, z) = (x, у). Аналогичные построения можно выполнить, если Fti или Fx отличны от нуля. Если Оа задано формулой z = f(x, у), так что %а (х, у, z) = (х, у), а О % задано формулой y = h(x, z^, так что (х, у, z) = (х, z), то на пересечении СаП^р

VV^ У^^, у, ЦХ, у)) = (х, f(x, У)).

Это отображение, очевидно, является гладким вместе с обратным ХцОХу1^. z) = (*, Mx, z)). Таким образом, S — двумерное подмногообразие пространства R3. Этот пример мотивирует общее понятие неявно определенного подмногообразия.

Теорема 1.13. Пусть М — гладкое пг-мерное многообразие и F: М->- R”, п ^ пг, — гладкое отображение. Если F имеет максимальный ранг на подмножестве N= {х: F (х) = 0}, то N— регулярное {т — п)-мерное подмногообразие многообразия М.

Доказательство этой теоремы легко получается из теоремы о неявной функции с помощью рассуждений, аналогичных тем, что мы проводили для случая поверхностей в R3. В самом деле, из теоремы 1.8 следует, что мы можем выбрать локальные координаты х=(х‘, .... хт) на М вблизи каждой точки x«eN так, что F(x) = (x', .... х"). Таким образом, в этих координатах М={х* = ... =х" = 0}, и поэтому х1, ..., хт представляют собой плоские локальные координаты для N вблизи точки хо. Более того, последние т — п координат (х"+*, ..., хт) представляют собой локальные координаты на самом N. В частности, это доказывает, что N является регулярным подмногообразием. Особенно отметим, что мы не требуем, чтобы ранг отображения F был максимален всюду на М— это условие должно выполняться лишь на подмножестве N, где F обращается в нуль. Если же отображение F имеет максимальный ранг везде, то всякое множество уровня {х: Г(х)=с} является регулярным (т — н)-мерным подмногообразием многообразия М.

Например, отображение F (х, у, г) = х2 + у2 + 22 — — 2 V2 (х2 + у2) имеет максимальный ранг на R3 везде, кроме оси z (где оно даже не гладкое) и окружности {х2 + у2 = 2, z = 0}. Множества уровня {(х^у, z): F(x, у, z) = с} — торы при —2<c<V2—2. При c^V2—2 они выглядят как сферы с выколотыми точками пересечения с осью z. При с = —2 множество уровня — окружность {х2 + у2 = 2, z — 0}, на которой градиент функции F обращается в нуль. Этот пример показывает важность обоих условий — дифференцируемости и максимальности ранга —для справедливости теоремы.

Кривые и связность

Кривая С на гладком многообразии М параметризуется гладким отображением ф: 1-*М, где / — подынтервал в R. В локальных координатах кривая С определяется пг функциями х — = ф(/) = (ф!(/), .,,, фт(/)). Заметим, что мы не требуем взаимной однозначности отображения ф (так что кривая может

иметь самопересечения) и максимальности ранга (так что кривая может иметь особенности вроде точек возврата). Следовательно, кривые — более общие объекты, чем одномерные подмногообразия. Особенно вырожденная кривая получается, когда ф(/)=х0 для всех t и некоторого фиксированного х0, так что С состоит из одной точки. Замкнутая кривая — это кривая, у которой совпадают начальная и конечная точки: ф(а)= ф(6), где I = [а, 6] —замкнутый интервал.

Топологическое пространство связно, если оно не может быть представлено как объединение двух непересекающихся открытых множеств. Поскольку всякое многообразие локально выглядит как евклидово пространство, нетрудно доказать, что всякое связное многообразие линейно связно (это означает, что для любой пары точек найдется гладкая кривая, которая их соединяет). Для наших целей будет весьма полезно с самого начала потребовать, чтобы все многообразия, которые мы рассматриваем, были связны.

Общее предположение. Если специально не оговорено противное, все многообразия (подмногообразия и т. д.) предполагаются связными.

Тем самым в формулировках наших результатов мы избежим постоянного упоминания условия связности.

Многообразие М односвязно, если всякая замкнутая кривая СсМ может быть непрерывно продеформирована в точку. Это эквивалентно существованию непрерывного отображения

Н: [О, 1]Х[0, 1]-М,

такого, что H(t, 0) = ль для всех 0 ^ # ^ 1, a H(t, 1), 0 ^ / ^ 1, параметризует С. Например, Rm односвязно, a R2X{0} неодносвязно, поскольку нельзя непрерывно стянуть единичную окружность в точку, не проходя через начало координат. (С другой стороны, Rm\{0} является односвязным при m ^3.) Если М — произвольное многообразие, то существует односвязное накрывающее многообразие л: М-*-М, где накрывающее отображение л является отображением «на» и локальным диффеоморфизмом. Например, односвязное накрытие окружности S1 — вещественная прямая R с накрывающим отображением л(0 = = (cos t, sin f), teR.

ГРУППЫ ЛИ

На первый взгляд группа Ли выглядит каким-то неестественным сочетанием алгебраического понятия группы, с одной стороны, и дифференциально-геометрического понятия многообразия.

с другой стороны. Однако, как мы вскоре увидим, комбинация алгебры и анализа приводит к мощной технике для изучения симметрии, непригодной, скажем, для конечных групп1). Мы начинаем с напоминания определения абстрактной группы.

Определение 1.14. Группа — это множество G вместе с групповой операцией, обычно называемой умножением, такой, что для любых двух элементов g и h из G их произведение g-h— снова элемент из G. Требуется, чтобы групповая операция удовлетворяла следующим аксиомам:

Ассоциативность. Если g, h и к — элементы из G, тоg.(h- k) = (g • hV к.

Единичный элемент. Существует выделенный элемент е в G, называемый единичным элементом, который обладает свойством

е-g = g-e — g

для всех g из G.

Обратные. Для всякого g из G существует обратный, обозначаемый g~\ обладающий свойством

g. g-\ = e = g-\. g.

Прежде чем перейти к группам Ли, мы обсудим несколько элементарных примеров групп. Это приведет к некоторой идее о тех чертах, которые отличают группы Ли от более общих видов групп.

Пример 1.15. (а) Пусть G = Z— множество целых чисел с групповой операцией сложения. Очевидно, что условие ассоциативности выполняется, единичный элемент — это 0, а «обратным» к целому числу х является —х.

Аналогично, G = R — множество вещественных чисел— также является группой со сложением в качестве групповой операции. Снова 0 — единичный элемент, а —х — обратное к действительному числу х. В обоих этих случаях групповая операция коммутативна: g-h = h-g для g, h^ G. Такие группы называются абелевыми-, они составляют лишь небольшой подкласс всевозможных групп.

Пусть G = GL(n, Q)—множество обратимых матриц размера пХн с рациональными элементами. Групповая операция — умножение матриц. Единичный элемент — это, конечно,

*) Доказательство тому, например, — недавняя полная классификация простых конечных групп (Gorenstein [1]); соответствующая задача для групп Ли была решена еще в прошлом веке,

единичная матрица I, а обратной к матрице А будет обычная обратная матрица, элементы которой снова рациональны.

Аналогично, GL(n, R)— множество обратимых матриц размера n X « с вещественными элементами — является группой с операцией умножения матриц и такими же единицей и обратными, как в предыдущем примере. Для краткости мы обычно будем обозначать общую линейную группу GL(n, R) просто GL(n). " '

Отличительная черта группы Ли состоит в том, что она обладает также структурой гладкого многообразия, так что элементы группы можно непрерывно изменять. Таким образом, в каждой паре приведенных примеров групп во втором случае мы имеем группу Ли, поскольку она является также гладким многообразием. Структура многообразия на R очевидна. Что касается общей линейной группы, ее можно отождествить с открытым подмножеством

GL(n) = (X: det X #= 0}

пространства МПхП матриц размера и X «• Но МПхп изоморфно пространству R"2 с координатами — элементами хц матрицы X. Таким образом, GL(n) также является п2-мерным многообразием. В обоих случаях групповая операция является гладкой (на самом деле аналитической). Это приводит к общему определению группы Ли.

Определение 1.16. r-параметрическая группа Ли — это группа G, обладающая также структурой г-мерного гладкого многообразия, причем и групповая операция

m: G X G>G, m(g, h)~g- h, g, heG, и взятие обратного

G^G, i(g) = g~l, geG,являются гладкими отображениями многообразий.

Пример 1.17. Здесь мы обсудим два примера групп Ли, кроме тех двух, что уже приведены.

Пусть G = Rr с очевидной структурой многообразия, и пусть групповая операция — сложение векторов (х, y)t—>х + у. Обратный к вектору х—вектор —х. Обе операции, очевидно, гладкие, так что Rr доставляет пример r-параметрической абелевой группы Ли.

Пусть G = 50(2)—группа вращений плоскости. Иными словами,

К

cos В — sinB\)

. __0<В<2лк

sin 6 cos 6 7J

где 6 обозначает угол поворота. Заметим, что мы можем отождествить G с единичной окружностью

Sl = {(cos 6, sin В): 0 ^ 0 < 2л)

в R2, что позволяет определить на 50(2) структуру многообразия. Если мы включим отражения, то получим ортогональ- группу

О (2) = {X е GL (2): XTX = l\

Она обладает структурой многообразия двух экземпляров S1, (с) Более общо, мы можем рассмотреть группу ортогональ

ных матриц размера пХп

О (л) = {X е GL (л): ХТХ = /}.

Таким образом, О (л)—подмножество в R"\ определенное л2 уравнениями

ХГХ-/ = О

относительно элементов хц матрицы X. Можно показать, что в точности п (п + 1)/2 из этих уравнений, соответствующих элементам матрицы, стоящим на ее диагонали и выше нее, независимы и удовлетворяют условию максимальности ранга всюду на О(л). Таким образом, по теореме 1.13 О(л)—регулярное подмногообразие многообразия GL(n) размерности п(п—1)/2. Более того, умножение матриц и операция взятия обратной матрицы остаются гладкими при ограничении на О (л), следовательно, О (л) сама по себе является группой Ли. Специальная ортогональная группа

SO (и) = {Хе О (л): detX = +l},

будучи связной компонентой единицы ортогональной группы, также является л (л— 1)/2-параметрической группой Ли по тем же причинам. (Вскоре будет предложено более простое доказательство этих фактов.)

(d) Группа Г (л) верхних треугольных матриц с единицами на главной диагонали является л (л—1)/2-параметрической группой Ли. Как многообразие Т (л) можно отождествить с ев-

клидовым пространством Rn<n-1,/2i поскольку каждая матрица единственным образом определяется своими элементами, лежащими выше диагонали. Например, в случае Т (3) мы отождествляем матрицу

(

1 х z\

О 1 у еГ(3)

0 0 1/

с вектором (х, у, z) в R3. Однако, кроме частного случая 7(2), группа 7(п) не изоморфна абелевой группе Ли R"^-1»72. в СЛу. чае 7(3), если пользоваться указанным отождествлением, групповая операция задается формулой

(х. У, 2) ■ (V, /, У) = (х + х', у + у', 2 + 2? + Ху').

Это не то же самое, что обычное сложение векторов — в частности, эта операция не коммутативна. Таким образом, фиксированное многообразие может быть снабжено структурой группы Ли более чем одним способом.

Гомоморфизм групп Ли — это гладкое отображение ф: G ->■ —> Н одной группы Ли в другую, согласованное с групповыми операциями:

ф(^-g) = V(g) • <P(g). g.geG.

Если гомоморфизм ф имеет гладкий обратный, он определяет изоморфизм между G и Н. Практически мы не будем различать изоморфные группы Ли. Например, группа Ли R+, состоящая из всех положительных действительных чисел с обычным умножением в качестве групповой операции, изоморфна аддитивной группе Ли R. Изоморфизм осуществляет экспоненциальное отображение ф: R->-R+, ф(/) = е(. Для всех практических целей R и R+ — одна и та же группа Ли. (Фактически, с точностью до изоморфизма, имеются всего две связные однопараметрические группы Ли: R и SO(2).)

Если G и Н с^тъ г- и s-параметрические группы Ли, то их декартово произведение GXH будет (г + s)-параметрической группой Ли с групповой операцией

(g, h)-{g, h) = (g’g, h- h), g, geG, h, heH, являющейся, как легко видеть, гладким отображением в структуре декартова произведения многообразий. Таким образом, например, торы Тг являются группами Ли, будучи r-кратными декартовыми произведениями группы Ли S*z^SO(2) на себя.

Групповой закон на Г2, например, задается в угловых координатах (6, р) сложением по модулю целого кратного 2л:

(6, р) ■ (6х, р') = (6 + 6', р + р') mod 2л.

Заметим, что каждый тор Р является связной компактной абелевой r-параметрической группой Ли и на самом деле, с точностью до диффеоморфизма, это единственная такая группа Ли.

Наше общее предположение о связности многообразий относится также и к рассматриваемым в этой книге группам Ли. Таким образом, если явно не оговорено противное, все группы Ли предполагаются связными. Например, ортогональные группы О(п) несвязны, тогда как специальные ортогональные группы SO(n)—связные группы Ли. Ограничивая наше внимание связными группами Ли, мы сознательно исключаем из рассмотрения дискретные симметрии, такие, как отражения, и сосредоточиваемся на симметриях вроде поворотов, которые можно непрерывно соединить с единичным элементом группы. Конечно, имеются важные приложения дискретных групп к дифференциальным уравнениям, но они лежат вне круга проблем, рассматриваемых в этой книге. (Говоря техническим языком, если отбросить предположение о связности, то оба примера 1.15(a) и 1.15(c) окажутся группами Ли, будучи несвязными нульмерными многообразиями. Однако никакая инфинитезимальная техника, присущая теории групп Ли, в этих случаях не применима, что оправдывает исключение их из рассмотрения.) Общая линейная группа GL(n), как можно показать, состоит из двух связных компонент GL+(n) = {X: detX > 0}, которая сама по себе является группой Ли, и GL~(«)= {X:detX<0}. Более общо, если G — произвольная (не обязательно связная) группа Ли, то ее связная компонента единицы G+ всегда будет группой Ли той же размерности, и мы всегда будем сосредоточивать внимание на этой части группы G. Другие связные компоненты группы G получаются из G+ с помощью дискретной подгруппы элементов.

Подгруппы Ли

Часто группы Ли появляются как подгруппы некоторых больших групп Ли; например, ортогональные группы являются подгруппами общих линейных групп всех обратимых матриц. Вообще говоря, нас будут интересовать только такие подгруппы групп Ли, которые можно рассматривать как группы Ли. Точное определение подгруппы Ли формулируется по образцу определения (иммерсированного) подмногообразия.

Определение 1.18. Подгруппа Ли Н группы Ли G задается подмногообразием ф: fl->-G, где R само является группой Ли, Н = ф(Д)—образ ф, а ф — гомоморфизм групп Ли.

Например, если и — произвольное вещественное число, то подмногообразие

Ню = {(/, ®0 mod 2л: / е К} с Т2,

как легко видеть, будет однопараметрической подгруппой Ли тороидальной группы Т2. Если о рационально, то Hto изоморфна группе окружности SO (2) и представляет собой замкнутую регулярную подгруппу в Т2. Если же со иррационально, то Hto изоморфна группе Ли R и всюду плотна в Т2. Таким образом, подгруппы Ли групп Ли не обязаны быть регулярными подмногообразиями. Однако для многих приложений имеется один очень простой способ проверки, является ли подгруппа регулярной подгруппой Ли.

Теорема 1.19. Предположим, что G — группа Ли. Если Н — замкнутая подгруппа группы G, то она — регулярное подмногообразие в G и, следовательно, сама является группой Ли. Обратно, всякая регулярная подгруппа Ли группы G замкнута.

Для того чтобы заключить, что Н — регулярная подгруппа Ли, нам нужно лишь проверить, что она является подгруппой группы G и замкнута как подмножество в G. Таким образом обходится задача непосредственного доказательства того, что Н — подмногообразие. В частности, если И — подгруппа, заданная условием обращения в нуль некоторого числа (непрерывных) вещественнозначных функций

H = U: Ft^ = 0, t = L ■■•. n},

то она автоматически является подгруппой Ли группы G; нам не нужно проверять условие максимальности ранга на РД (Конечно, чтобы найти размерность И, нам нужно выяснить, сколько из функций Pi независимы.) Таким образом, например, ортогональная группа О (и) является группой Ли, поскольку задается п2 уравнениями

АТА = 1, Л е GL (п).

Другой важный пример — специальная линейная группа

SL(«)=SL (п, R) = {A^GL(n): det Л = 1},

являющаяся (и2—1)-мерной подгруппой, заданной условием обращения в нуль одной функции det А — 1.

Локальные группы Ли

Нас часто интересует не вся группа Ли, а только элементы, достаточно близкие к единичному. В этом случае мы можем обойтись без абстрактной теории многообразий и определить локальную группу Ли, используя только выражение групповых операций в локальных координатах.

Определение 1.20. r-параметрическая локальная группа Ли состоит из связных открытых подмножеств Vo cz V с Rr, содержащих начало координат 0, гладкого отображения

m: VXV->Rr,

определяющего групповую операцию, и гладкого отображения

г. Vo-^V,

определяющего взятие обратного, которые обладают следующими свойствами.

Ассоциативность. Если х, у, z г V и, кроме того, т(х, у) и m^y, z) лежат в V, то

m(x, m(y, z)) = m(m(x, у), z).

Единичный элемент. Для всех х из V пг(0, х) = х = = т(х, 0).

Обратные. Для каждого х из Vo т(х, i(x))=0 = = m(i(x), х).

Если мы напишем х-у вместо т(х, у) и х-1 вместо i(x), то эти аксиомы превратятся в обычные аксиомы группы, за исключением того, что эти операции не обязательно определены всюду. Таким образом, х-у имеет смысл лишь для х и у, достаточно близких к 0. Ассоциативность означает, что x(y-z) — = (х-у) -z, если обе части этого равенства определены. Единичный элемент группы — начало координат 0. Наконец, х-1 снова определен только для х, достаточно близких к 0, и для таких х имеем х-х-1 = 0 = х-1 -х.

Пример 1.21. Здесь мы приводим нетривиальный пример локальной (но не глобальной) однопараметрической группы Ли. Пусть V=(x:|x|<l)cRc групповым умножением

,. 2хи— X— у

т (х, у) = xy_j—. X, у eV.

Непосредственным вычислением проверяются ассоциативность этой операции и условие (Ь) определения 1.20. Обратное отображение t(x) = х/(2х — 1) определено для хе Vo = {х :|х| <_

< 1/2}. Таким образом, т определяет локальную однопараметрическую группу Ли.

Один простой способ строить локальные группы Ли состоит в том, чтобы взять глобальную группу Ли G и рассмотреть координатную карту, содержащую единичный элемент. Менее тривиален тот факт, что (локально) каждая локальная группа Ли получается таким образом. Иными словами, каждая локальная группа Ли локально изоморфна окрестности единицы некоторой глобальной группы Ли G.

Теорема 1.22. Пусть Vo cz V cz Rr — локальная группа Ли с умножением т(х,у^ и обратным i(x). Тогда существуют глобальная группа Ли G и координатная карта %: U* -> V*, где U* содержит единичный элемент, такие, что V* с Vo, X (е) = О и

XU" h) = m^x(g\ хО

при g,heU* и

x(g~l) = i(x(g))

при g е U*. Более того, существует единственная связная односвязная группа Ли G*, обладающая указанными свойствами. Если G — другая такая группа Ли, то существует накрывающее отображение л: G*->G, являющееся групповым изоморфизмом, осуществляющее локальный изоморфизм между G* и G (G* называется односвязной накрывающей группой группы G).

Пример 1.23. Единственной связной односвязной однопараметрической группой Ли является R; таким образом, приведенная в примере 1.21 локальная группа Ли должна совпадать с некоторой координатной картой в R, содержащей 0. В самом деле, если мы положим х: U*-^ V* cz R, где

X(0 = ^-D> teU* = {/<!}, то легко видеть, что

Х(/ + 5) = щ(х(0, x(s)) = ^^^^

X (“0 = i (X (0) = 2Х (<) — 1

в своей области определения, так что х удовлетворяет требованиям теоремы.

Раз мы знаем, что такая глобальная группа Ли существует, мы можем по существу построить ее, зная окрестность единицы, определяющую локальную группу Ли.

Предложение 1.24. Пусть G — связная группа Ли и U с G — окрестность единицы. Далее, пусть Uke^gi-g2- ... -gk'.gte е U^ — множество k-кратных произведений элементов из U. Тогда

G = U Uk.

h=A

Иными словами, каждый элемент группы G можно записать как произведение конечного числа элементов из U.

Как показано в упр. 1.26, это непосредственно следует из связности группы G. Аналогичный результат справедлив также для локальных групп Ли.

Локальные группы преобразований

Практически наиболее естественно группы возникают не как абстрактные, самостоятельные сущности, а как группы преобразований некоторого многообразия М. Например, группа SO (2) появляется как группа вращений плоскости М = R2, а группа GL(n) возникает как группа обратимых линейных преобразований пространства R". Вообще говоря, группа Ли G будет реализована как группа преобразований некоторого многообразия М, если каждому элементу g группы G будет поставлено в соответствие отображение многообразия М в себя. Важно не ограничить внимание исключительно линейными преобразованиями. Кроме того, группа может действовать только локально. Это означает, что преобразования могут не быть определены для всех элементов группы или всех точек многообразия.

Определение 1.25. Пусть М— гладкое многообразие. Локальная группа преобразований, действующая на М, задается (локальной) группой Ли G, открытым подмножеством QZ, таким, что

{е} X М t= <U (= G X М, являющимся областью определения действия группы, и гладким отображением ЧЕ оЦ-^М, обладающими следующими свойствами:

Если (А, х) е<2/, (g, Чг(й, х)) е °U, а также kg-h,x) е е<Н, то

44g, ^(й, x)) = 4f(g-h, х).

Для всех хе М

V (е, х) х.

Если (g, х) е<21, то (g-1, V(g, х)) ^41 и

^(g-1, W(g, х)) = х.

(Заметим, что, за исключением предположения о виде области

41, свойство (с) непосредственно вытекает из (а) и (Ь).)

Для краткости мы будем обозначать ^(g, х) через g-x, и условия этого определения примут более простой вид:

g. (й . x) = (g-h) • х, g, AeG, хеМ, (1.1) если обе части равенства имеют смысл,

е-х = х для всех хеМ(1.2)

и

g-,.(g.x) = x, g^G, хеМ,(1.3)

если g-x определено. Как следствие из равенства (1.3) мы получаем, что каждое преобразование из группы G является диффеоморфизмом там, где оно определено.

Рис. 3. Область определения для локальной группы преобразований.

Заметим, что для каждого х из М групповые элементы g, такие, что g-x определено, образуют локальную группу Ли

Gx = {geG: (g, x^e4iy

Обратно, для любого geG существует открытое подмногообразие

Mg = {х е М: (g, х) е 4Ц

многообразия М, на котором определено преобразование, задаваемое элементом g. В некоторых случаях единичный элемент может быть единственным элементом группы, действующим на всем многообразии М. Другая крайность — глобальная группа преобразований, т. е. группа, для которой можно взять 4/ = = G$<M. В этом случае g-x определено для каждого geG и каждого хеМ. Таким образом, условия (1.1) — (1.3)

справедливы для всех g, he G и всех х еМ, и нет нужды беспокоиться о точных областях определения.

Группа преобразований G, действующая на М, называется связной, если выполняются следующие требования:

G — связная группа Ли, a Af— связное многообразие;

°Ц cz G X М — связное открытое множество и

для любого хеМ локальная группа Gx связна.

Как и для многообразий и групп Ли, мы делаем общее предположение, что, если специально не оговорено противное, все локальные группы преобразований предполагаются связными в указанном выше смысле. Эти предположения о связности помогают нам избежать некоторых технических трудностей при обсуждении инфинитезимальных методов и инвариантов. Они всегда могут быть реализованы подходящим сужением области определения <2/ действия группы.

Орбиты

Орбита локальной группы преобразований —это минимальное непустое подмножество многообразия М, инвариантное относительно действия группы. Иными словами, множество <7 cz М является орбитой, если оно удовлетворяет следующим условиям:

Если хе б, ge G и g-x определено, то g-xeO.

Если ОсС и б удовлетворяет условию (а), то либо б = б, либо б пусто.

В случае глобальной группы преобразований для любого х е М орбита, проходящая через точку х, определяется явно: Ox-^g-х: geG}. Для локальных групп преобразований мы должны рассматривать произведения элементов группы, действующих на х:

Ox==kgY- 8г- ... • gk-x: & > К gi^G

и gi • g2 • • • • • gfe • х определено).

Как мы увидим, орбиты группы Ли преобразований являются на самом деле подмногообразиями многообразия Af, однако они могут иметь разные размерности и могут не быть регулярными. Мы различаем два важных подкласса действий группы.

Определение 1.26. Пусть G — локальная группа преобразований, действующая на многообразии Af.

Группа G действует полурегулярно, если все ее орбиты б имеют одну и ту же размерность как подмногообразия многообразия Af.

Группа G действует регулярно, если она действует полурегулярно и, кроме того, для каждой точки хеМ существуют произвольно малые окрестности U точки х, обладающие тем свойством, что каждая орбита группы G пересекает U по линейно связному подмножеству.

Заметим, что, в частности, если группа G действует на многообразии М регулярно, то каждая ее орбита — регулярное подмногообразие многообразия М. Однако условие регулярности действия группы гораздо сильнее, чем это последнее утверждение,— упр. 1.8 подтвердит это. Действие группы называется транзитивным, если у нее имеется всего лишь одна орбита, а именно само многообразие М. Ясно, что всякая транзитивная группа преобразований действует регулярно. В большинстве наших приложений наиболее интересные группы будут действовать не транзитивно.

Пример 1.27. Примеры групп преобразований.

Группа сдвигов в Rm. Пусть а^О— фиксированный вектор в Rm, и пусть G = R. Положим

V (е, х) = х + га, х е Rm, е g R.

Это, как легко видеть, дает глобальное действие группы. Орбитами являются прямые, параллельные вектору а, так что действие регулярно и орбиты одномерны.

Группы растяжений (масштабных преобразований). Пусть G = R + — мультипликативная группа. Фиксируем вещественные числа аь ..., ат, не все равные нулю. Тогда R+ действует на R"1 масштабными преобразованиями (или растяжениями)

Ч^А, х) = ^'х\ ..., К^х^, ZeR+, х = (х’, .... x^eR"1.

Орбиты этого действия все являются одномерными регулярными подмногообразиями в Rm, исключая особую орбиту, состоящую в точности из начала координат {0}. Например, в частном случае R2 при ЧДЛ, (х, у)) = (Хх, }?у) орбитами являются половины парабол у = kx2 (соответствующие либо х > 0, либо х<0), положительная и отрицательная полуоси оси у и начало координат. Вообще говоря, действие этой группы растяжений регулярно на открытом подмножестве Rm\{0}. Эти действия групп появляются в теории размерностей для уравнений с частными производными. Исторически они представляли собой главную движущую силу в последующем развитии общей теории инвариантных относительно группы решений дифференциальных уравнений.

Действие, аналогичное этому, появляется при изучении уравнения теплопроводности. Пусть М = R2, G = R. Рассмотрим отображение

Т(Е. (х, ,» Ц-^. 7^),

определенное на

°И = |(е, (х, у)): е < -^- при х > О

1или е > — при х1или е > — при х<= R X R2.<= R X R2.

1

или е > — при х

1

или е > — при х

<= R X R2.

<= R X R2.

Чтобы показать, что это на самом деле действие группы, нам нужно проверить условие (а) определения 1.25:

V«. Vf, (х, 4,» —т(в. (7^-, -г^))-

— ( хЩ-ех")уК\ — ех) ^

k 1 — dx/(l — ex) ’ 1 — дх/(1 — ех) /

= (*У.А =

\ 1 — (д + в) х ’ 1 — (д + е) х /

= W(6 + e, (х, у))

в области определения. Заметим, что это локальное действие группы не имеет глобального аналога на R2; в самом деле, ^(еДх,у)) |-> оо при е->1/х для х^О. Орбиты этого действия состоят из прямолинейных лучей, исходящих из начала координат, а также самого начала координат. Действие является регулярным на плоскости с выколотой точкой R^fO}.

Обмотка тора. Пусть G = R и М — двумерный тор Т2. Пусть со ■— фиксированное вещественное число. Пользуясь угловыми координатами (6, р) на 72, мы определяем глобальное действие группы

Т (в, (6, р)) = (6 + е, р + ®e) mod 2л.

Как легко видеть, орбиты группы G — все одномерные подмногообразия тора Г2, так что группа G во всех случаях действует полурегулярно. Если со — рациональное число, орбиты — замкнутые кривые и действие регулярно. С другой стороны, если со иррационально, то каждая орбита — всюду плотное подмногообразие тора Г2. Это простейший пример полурегулярного действия группы, не являющегося регулярным.

1.3. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ

Главный инструмент в теории групп Ли и групп преобразований— это «инфинитезимальное преобразование». Для того чтобы ввести его, нам нужно сначала развить понятие векторного поля на многообразии. Мы начинаем с обсуждения касательных векторов. Пусть С—гладкая кривая на многообразии М, параметризованная отображением ф: I -> М, где I — подынтервал R. В локальных координатах х = (х1, ..., хт) кривая С задается т гладкими функциями ф(е) = (ф*(е), ..., фт(в)) вещественной переменной е. В каждой точке х = ф(е) кривой С имеется касательный вектор, а именно производная ф(е) = = б/ф/б/е =(ф1(е)фт(е)). Для того чтобы различать вы

ражения для касательных векторов и для локальных координат точек на многообразии, мы принимаем обозначение

*к = Ф(е) = фЧе)^+...+фт(е)-^-йг(1.4)

для касательного вектора к кривой С в точке х = ф(е). На первый взгляд это обозначение может показаться довольно странным, но на протяжении книги мы убедимся в том, что оно полезно и естественно. Сейчас читатель может рассматривать символы д/дх1 как «держатели мест» для компонент ф'(e) касательного вектора v|x или, что равносильно, как специальный «базис» касательных векторов, соответствующих координатным кривым, которые в локальных координатах выражаются в виде х + ее,-, где et есть /-й базисный вектор в Rm. Позже мы увидим, каким образом каждый вектор д/дх‘ на самом деле соответствует оператору взятия частной производной.

Например, для винтовой линии

ф (е) = (cos е, sin е, е)

в R3 с координатами (х, у, z) касательный вектор в точке (х, у, z) = ф (е) = (cos е, sin е, е) имеет вид

. , ,. д , д । дд . д , д

»(e) = -sine —+ cose^F + -^=-i/17 + x^ + —.

Две кривые С = {ф(е)} и б = {.ф(6)}, проходящие через одну и ту же точку

х = ф (е*) = ф (6*)

для некоторых е*, 6*, имеют в ней один и тот же касательный вектор, если и только если их производные в этой точке совпадают:

(1.5)(1.5)^-^№.

(1.5)

(1.5)

Нетрудно видеть, что это понятие не зависит от локальных координат, выбранных вблизи точки х. В самом деле, если х = = ф(е) = (ф‘(е), ..., фт(б)) — выражение в локальных координатах х = (х‘, ..., хт) и у = ФСх)— произвольный диффеоморфизм, то У = ф(ф(е))—формула для этой кривой в локальных координатах у. Касательный вектор у|^ = ф(б), имеющий вид (1.4) в координатах х, примет вид

тт т .

v У^(ф(е))—^7 = У У ~^"(ф(е))"Л^—~Т (1-6)

/=1а j=l k=lа

в координатах у. Поскольку матрица Якоби д^/дхь обратима в каждой точке, (1.5) справедливо, если и только если

"З? * (Ф (е*))= Чё * № ^’^’

что и доказывает наше утверждение. Заметим, что (1.6) указывает, как ведет себя касательный вектор (1.4) при данной замене координат у = ф (х).

Набор всех касательных векторов ко всем возможным кривым, проходящим через данную точку х многообразия М, называется касательным пространством к М в точке х и обозначается TA1|X. Если М есть /n-мерное многообразие, то ТМ\Х является /n-мерным векторным пространством, базис которого в данных локальных координатах задается векторами («Э/дх1, ... ..., д/дхт). Набор всех касательных пространств, отвечающих всем точкам х многообразия М, называется касательным расслоением многообразия М и обозначается

TAf— U ТМ\Х.

хеМ

Эти касательные пространства «склеены» между собой очевидным гладким способом, так что если ф(е)— произвольная гладкая кривая, то касательные векторы ф(е)е 7'Л1|(1(б) будут гладко меняться от точки к точке. Это превращает касательное расслоение ТМ в гладкое многообразие размерности 2/п.

Например, если М = Rm, то касательное пространство TRm|x в любой точке хе Rm можно отождествить с самим Rm. Это следует из того факта, что касательный вектор ф (е) к гладкой кривой ф(е) можно реализовать как настоящий вектор в Rm, а именно (ф‘(е), ..., фт(б)). Другой способ получить это отождествление состоит в том, чтобы отождествить базисный вектор д/дх1 пространства 7Rm|x со стандартным базисным вектором е, пространства Rm. Таким образом, касательное расслоение пространства Rm является декартовым произведением:

TRm~ Rm X Rm. Если S — поверхность в R3, то касательное пространство 7S|X можно отождествить с обычной геометрической касательной плоскостью к S в каждой точке хе S. Здесь снова используется отождествление ER^^R3, так что TS|xc cz TR3^—плоскость в R3.

Векторное поле у на М задается касательными векторами v|xe ГЛ1|Х в каждой точке х е М, такими, что v|x гладко меняется от точки к точке. В локальных координатах (х1, ..., хт) векторное поле имеет вид

vlx = £4x) 5^ + £2(х)"д^5"+ • • ■ +£ W^m»

где каждая ^‘(х)— гладкая функция от х. (Мы должны были бы поставить символ |х у каждого д/дх1, чтобы указать, в каком

Рис. 4. Векторное поле и интегральная кривая на многообразии.

касательном пространстве ГМ^ лежит этот вектор, однако это должно быть ясно из контекста.) Хороший физический пример векторного поля — поле скоростей потока несжимаемой жидкости в некотором открытом подмножестве М с R3. В каждой точке (х, у, z) еМ вектор v|(Xjj/, г) — это вектор скорости частиц жидкости, проходящих через точку (х, у, z).

Интегральная кривая векторного поля v — это гладкая параметризованная кривая х = <р(б), касательный вектор к которой в каждой точке совпадает со значением векторного поля v в этой точке:

Ф(е) = V ^(е)

для всех е. В локальных координатах х = ф(е) = (ф1 (е), ... ..., Фт (е)) должна быть решением автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

где ^‘(х)—коэффициенты векторного поля v в точке х. Для гладких g‘(x) стандартные теоремы существования и единственности для систем обыкновенных дифференциальных уравнений гарантируют существование и единственность решения системы (1.7) для любого множества начальных данных

ф(О) = хо.(1.8)

Отсюда в свою очередь следует существование единственной максимальной интегральной кривой ф: 1->М, проходящей через данную точку х0 = ф (0) е М, где «максимальность» означает, что эта интегральная кривая не содержится ни в какой более длинной интегральной кривой, т. е. если ф: 7 ->- АГ — любая другая интегральная кривая с тем же начальным значением ф(О) = хо, то 7с/ и ф(б)=<р(б) для е е 7. Заметим, что если v |Жо = 0, то интегральная кривая, проходящая через точку Хо, есть сама эта точка ф(е) = х0 и эта интегральная кривая определена для всех е.

Отметим, что если v — произвольное гладкое векторное поле на многообразии М и f(x)—произвольная гладкая вещественнозначная функция, определенная при хеМ, то f-v— снова гладкое векторное поле, причем (f-v) |* = f (x)v|x- В локальных координатах если v=HV (х^д/дх1, то f-v — Е f(x)^(x)d/dx'. Если функция f нигде не обращается в нуль, то интегральные кривые векторного поля f-v совпадают с интегральными кривыми поля у, однако параметризации будут разными. Например, интегральные кривые поля 2v будут проходиться в два раза быстрее, чем интегральные кривые поля v, но, тем не менее, это будут те же самые подмножества многообразия М.

Потоки

Пусть v — векторное поле. Обозначим параметризованную максимальную интегральную кривую, проходящую через точку х многообразия М, через Y(е, х) и назовем V потоком, порожденным полем у. Таким образом, для каждого хеМ и в из некоторого интервала 1Х, содержащего 0, ^(е, х)—это точка на интегральной кривой, проходящей через точку х на М. Поток векторного поля обладает следующими основными свойствами:

Ч^б, W(e, х)) = Чг(б + е, х), хеМ,(1.9)

для всех 6, е е R, таких, что обе части равенства имеют смысл, Фф, х) = х(1.10)

и

для всех е из области определения. Здесь формула (1.11) просто означает, что v — касательный вектор к кривой V (е, х) при фиксированном х, а (1.10) дает начальные условия для этой интегральной кривой. Доказательство формулы (1.9) легко следует из единственности решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений; а именно, поскольку как функции от 6 обе части уравнения (1.9) удовлетворяют (1.7) и имеют те же начальные условия при 6 = 0, они обязаны совпадать. Если v — векторное поле скоростей некоторого потока несжимаемой жидкости, то интегральные кривые поля v — это линии тока, заметаемые частицами жидкости, а поток Ч1"(е, х) указывает положение частицы в момент времени е, если в момент времени е = 0 она находилась в точке х.

Сравнивая первые два свойства (1.9), (1.10) с (1.1), (1.2), мы видим, что поток, порожденный векторным полем, — то же самое, что локальное действие группы Ли R на многообразии М. Это действие часто называют однопараметрической группой преобразований. Векторное поле v называется инфинитезимальной образующей этого действия, поскольку по теореме Тейлора в локальных координатах

Т(е, х) = х + е£ (х) + О (е2),

где £=(£', ..., £т)—коэффициенты поля v. Орбиты действия однопараметрической группы являются максимальными интегральными кривыми векторного поля v. Обратно, если Ч^е, х)— произвольная однопараметрическая группа преобразований, действующая на многообразии М, то ее инфинитезимальная образующая получается как частный случай (1.11) при е = 0:

^^^Lo446’ х)‘ (1Л2)

Единственность решения системы (1.7), (1.8) гарантирует, что поток, порожденный полем v, совпадает с данным локальным действием R на М в общей области определения. Таким образом, имеется взаимно однозначное соответствие между локальными однопараметрическими группами преобразований и их инфинитезимальными образующими.

Вычисление потока или однопараметрической группы, порожденной данным векторным полем v (иными словами, решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений), часто называют экспоненцированием этого векторного поля. В нашей книге будет принято соответствующее обозначение

exp (ev) х = 4f (в, х)

для этого потока. С помощью этого экспоненциального обозначения три предыдущих свойства можно переформулировать следующим образом:

ехр [(б + е) v] х = exp (6v) exp (ev) x(1.13)

в области определения,

exp(0v)x = x(1.14)

и

17 [exp (ev) x] = v |exp (8v)x(1.15)

для всех хеМ. (В частности, v|х получается вычислением (1.15) при е = 0.) Эти свойства отражают свойства обычной экспоненты, что и оправдывает выбранное обозначение.

Пример 1.28. Примеры векторных полей и потоков.

Пусть Af = R с координатой х. Рассмотрим векторное поле v = д/дх = дх. (В дальнейшем мы часто будем для экономии места употреблять обозначение дх вместо д/дх.^ Тогда глобально определена

exp (ev) х = ехр (edj х = х + е.

Для векторного поля хдх мы получаем обычную экспоненту

ехр (ехдх) х = ^х,

поскольку это должно быть решение обыкновенного дифференциального уравнения х = х с начальным значением х при е =0.

В случае Rm постоянное векторное поле v0=^ ^д/дх1, а = (а1, ..., ат), экспоненцируется в группу сдвигов в направлении а:

ехр(evjх = х + еа, хе Rm.

Аналогично, линейное векторное поле

m / m X

-E(Z^

где A =(aij) — постоянная матрица размера mXm- порождает поток

ехр (еуд) х = е^х, где

еел = 7 -|- еА + -^-е2Л2 + ...

— обычная экспонента матрицы.

Рассмотрим группу вращений плоскости

W (е, (х, у)) = (х cos е — у sin е, х sin е + у cos е).

Ее инфинитезимальная образующая — векторное поле v = = £(х, y)dx4-ti(x, у^ду, y^, согласно (1.12),

£ ^х* y^'i |Е=0 (* cos е — у sin е)=— у»

П (-С у) = -5^ |е=0(х sin е + у cos е) = х.

Таким образом, v = —удх + хду— инфинитезимальная образующая, и на самом деле указанная группа преобразований совпадает с решениями системы обыкновенных дифференциальных уравнений

dx/de = —у, dyfde, = х.

Наконец, рассмотрим действие локальной группы

^(8, (х, У)) = (ь^г. Т^г)’

введенное в примере 1.27(c). Дифференцируя, как выше, мы получаем инфинитезимальную образующую v = х2дх 4- худу. Это показывает, что гладкое векторное поле может, тем не менее, порождать всего лишь локальное действие группы.

Действие замены координат У = ф(х) на векторное поле v определяется ее действием на каждый отдельный касательный вектор v | х, х е М, которое задается формулой (1.6). Поэтому если v — векторное поле, которое в координатах х задается выражением

v=DztoTT-

а у = ф(х)— замена координат, то поле v в координатах у выражается формулой

т т.

v=X Е^^-ч^^^-чу))^-. (Lie) z—г Z—гЭх1ду1

/=1 »=1

Следующий результат служит иллюстрацией наших предыдущих замечаний о том, что подходящий выбор локальных координат часто позволяет упростить выражения для объектов на многообразиях, в этом случае для векторных полей.

Предложение 1.29. Пусть v— векторное поле, не обращающееся в нуль в точке хоеМ, v|Xo=#0. Тогда существует локальная координатная карта у = (у1, ..., ут) в точке х0, такая, что в этих координатах v = д/ду1.

Доказательство. Сделаем сначала линейную замену координат, при которой х0 = 0 и v | = д/дх1. По непрерывности коэффициент g*(x) при д/дхх положителен в окрестности точки хо- Поскольку g1 (х) > 0, интегральные кривые поля v пересекают гиперплоскость {(0, х2, ..., хт)} трансверсально.Следовательно, в окрестности точки хо = 0 каждая точка х =(х\ ..., хт) единственным образом представляется как поток некоторой точки (0, у2, ..., ут) из этой гиперплоскости. Это означает, что

x = exp(y*v)(0> У2, • ■•, Ут)

для у1, близких к 0, дает диффеоморфизм между (х1, ..., хт) и (у1, .... ут), определяющий координаты у. (Геометрически, мы «выпрямляем» интегральные кривые, проходящие через гиперплоскость, перпендикулярную оси х1.) В координатах у для малых е мы имеем в силу (1.13)

exp (ev) (у1, ..., ут) = (у1 + в, у2, ..., ут), так что поток является в точности сдвигом в направлении ух. Таким образом, всякое ненулевое векторное поле локально эквивалентно инфинитезимальной образующей группы сдвигов. (Конечно, глобальная картина может быть очень сложна, как показывает пример обмотки тора.) □

Действие на функции

Пусть v — векторное поле на М и f: М -> R — гладкая функция. Мы хотим посмотреть, как меняется f под действием потока, порожденного полем v; иными словами, мы рассматриваем f(exp(ev)x), когда е меняется. В локальных координатах, если v= 2 5Z (х^д/дх1, пользуясь цепным правилом и (1.15), мы получаем

т

-^ f (exp (ev) х) = ^z (exp (ev) x) -^ (exp (ev) x) =t = l

= v(f)[exp(ev)x].(1.17)

В частности, при e = 0

-^ I J (exp (ev) x) = £ V (x) -^- (x) = v (f) (x).

|e=0f—•

Теперь становится очевидной причина, по которой мы так обозначаем векторные поля: векторное поле v действует на вещественнозначные функции f(x) на многообразии М как оператор взятия частных производных первого порядка. Далее, по теореме Тейлора

f (exp (ev) х) = f (х) + ev (f) (x) + О (e2),

так что v(f) дает инфинитезимальное изменение функции f под действием потока, порожденного полем v. Можно продолжить процесс дифференцирования и, подставляя в ряд Тейлора, получить

f(exp(ev)x) =

= f to + ev (f) (x) + ±- v2 (f) (х) + • - • + 5г vft kh (x) + О (e^>),

где v2(f) = v(v(f)), v3(f) = v(v2(f)) и т. д. Предполагая сходимость ряда Тейлора по е, мы получаем ряд Ли

f (exp (ev) х) = £ -^р vft (f) (х)(1.18)

6=0

для действия потока на f. Такой же результат справедлив для векторнозначных функций F: M-»-Rn, F(х) = (F1 (х), .... ^(х)) (мы предполагаем, что поле v действует на F покомпонентно: v[F) = (vto1), .... v(f"))). В частности, если положить F равной координатным функциям х, мы получаем (снова в предположении сходимости), что ряд Ли для самого потока дается формулой

°° к

exp(ev)x = x + eg(x) + -^-v(g)(x)+ ... = £-|rVft(x), (1.19) 16-0

где £ = (£*, ..., ^mY v(g) = (v(to, ..., v(gm)) ит. д., что дает дальнейшее обоснование нашего обозначения.

В соответствии с нашей новой интерпретацией символов д/дх1 каждый касательный вектор v]x в точке х определяет дифференцирование на пространстве гладких вещественнозначных функций f, определенных вблизи точки х многообразия М. Это означает, что применение v|% к гладкой функции f дает вещественное число v(f) = v (/) (х) и, кроме того, эта операция, определенная полем v, обладает основными свойствами операции дифференцирования;

линейность

v(/ + g) = v(f) +v(g);(1.20)

правило Лейбница

v(f ■ g) = vW g-H -v(g).(1.21)

(Здесь в обеих частях равенств (1.20) и (1.21) вычислены значения в точке х.) Обратно, нетрудно показать, что всякое дифференцирование на пространстве гладких функций в точке х является касательным вектором и, в частности, в локальных координатах дается формулой У, ^1д1дх1. (См. упр. 1.12.) Этот подход часто используется для определения касательных векторов и касательного расслоения абстрактным бескоординат- ным способом. Далее, если v — векторное поле на М, то v(f)— гладкая функция для любой гладкой функции /: Af-»-R. Таким образом, мы можем также определить векторные поля как дифференцирования, т. е. отображения на пространстве гладких функций на М, обладающие свойствами (1.20) и (1.21). Эта точка зрения особенно полезна для определения различных операций над векторными полями бескоординатным способом. (См. Warner [1; гл. 1], где более подробно изложены эта конструкция и связь между касательными векторами и дифференцированиями.)

Дифференциалы

Пусть М и N—гладкие многообразия, a F: M-^N — гладкое отображение. Всякая параметризованная кривая С = = (ф(е): ее/} на М отображается посредством F в параметризованную кривую С = F(C) — {<p(e) = F(tp(e)): ее/} на N. Таким образом, отображение F индуцирует отображение касательного вектора dtp/de к кривой С в точке х = ф(е) в соответствующий касательный вектор dy/de к кривой С в образе этой точки /7(х) = /:'(ф(е))= ф(е). Это индуцированное отображение называется дифференциалом отображения F и обозначается

^(Ф(б)) = -^-{/7(ф(е))}.(L22)

Поскольку каждый касательный вектор у|* е 7714[* касается некоторой кривой, проходящей через точку х, дифференциал отображает касательное пространство к М в точке х в касательное пространство к N в точке F^x):

dF: TM\x^TN\fw

Формула для дифференциала в локальных координатах получается с помощью цепного правила тем же способом, что и формула замены переменных (1.6). Если

т

*—< дх1

t=l

— касательный вектор в точке х е М, то

п / тхп

^(vL) = X((L23)

Заметим, что дифференциал dF)* является линейным отображением из ТМ\Х в TN\FW, выражение которого в матричном виде в локальных координатах есть в точности матрица Якоби отображения F в точке х.

Если мы предпочитаем представлять себе касательные векторы как дифференцирования на пространстве гладких функций, определенных вблизи точки х, то дифференциал dF можно определить по-другому:

dF^\x^^ = N<toFHxY y = F(x),(1.24)

для всех v^eTAf)* и всех гладких функций f: N^-R. Эквивалентность (1.22) и (1.24) легко проверяется с использованием локальных координат.

Пример 1.30. Пусть М = R2 с координатами (х, у) и N = R с координатой s. Пусть F; R2->R— произвольное отображение s = F(x, у). Для данного поля

vky> = °^ + 6^-

получаем по формуле (1.23)

dF (v L .) = f(x, у) + b (x, у)) Л-1.

Например, если F(x, y) = ax + Py — линейная проекция, то

Йр^\(х^ = <аа + Ь^ж\ •х 1os 's=ax+$y

Лемма 1.31. Если F: M->N и H; N^-P — гладкие отображения многообразий, то

d(H oF) = dH odF,(1.25)

где dF-.TM\x^TNVF№ dH: TN \^ТР\2_Н^ и d^oFy. TM |ж -^- ТР |г-Н(/7 ^)(.

Доказательство непосредственно следует из двух предыдущих определений. В локальных координатах (1.25) означает в точности, что матрица Якоби композиции двух функций является произведением их матриц Якоби.

Важно отметить, что если v — векторное поле на М, то, вообще говоря, dF(v^ не будет корректно определенным векторным полем на N. Во-первых, dF^v') может не быть определенным на всем N; во-вторых, если две точки х и х на М отображаются в одну точку у = F (х) = F(x) на N, то нет гарантии, что dF(vv\x) и dF^v\~^ (оба лежат в 7W|y) совпадают. Например, если v = удх + ду и s = F(x, y) = ax + {Sy— проектирование из примера 1.30, то

" (v L ,>) = ("» +Ют |..„№

При а 5^=0 это векторное поле не является корректно определенным на R. Однако если F— диффеоморфизм на N, то dF(v^ всегда будет векторным полем на N. Более общим образом, два векторных поля v на М и w на N называются F-связанными, если 6/F(v|x) = w|г(х) для всех хеМ. Если v и w = (/F(v) являются F-связанными, то F отображает интегральные кривые поля v в интегральные кривые поля w, причем

(1-26)(1-26)F (exp (ev) х) = exp (е dF (v)) F (х).

(1-26)

(1-26)

Скобки «Ли

Наиболее важная операция над векторными полями — это их скобка Ли, или коммутатор. Легче всего эту операцию определить в терминах их действия как дифференцирований функций. А именно, если v и w — векторные поля на М, то их скобка Ли [v, w] — единственное векторное поле, удовлетворяющее условию

(1.27)(1.27)[V, w](f) = v(w(f)) —w(v(f))

(1.27)

(1.27)

для всех гладких функций f: М -> R. Легко проверить, что [v, w] на самом деле является векторным полем. В локальных координатах, если

ТО

т

[v, W] = £ {v (Т)') — w (£*)}=

(1.28)(1.28)т т

(1.28)

(1.28)

^ “ ( дх' дх1 J дх1

(Заметим, что в (1.27) сокращаются члены, содержащие производные второго порядка функции /.) Например, если

до д . д

V = Z/-—, W = X2-5—Ьху-^—,9 дх’дх '9 ду

ТО

[ V, W] = V (х2) ^ + V (ху) -^ - w (у) -^ = ху ^ + у2 -^.

Предложение 1.32. Скобка Ли обладает следующими свойствами:

(1-29)(1.30)(1.31)(1-29)(1.30)(1.31)Билинейность [cv + c'V, w] = с [v, w] + c' [v', w], [v, cw + c'w'J = c [v, w] + c' [v, wl, где c, c' — константы.

(1-29)

(1.30)

(1.31)

(1-29)

(1.30)

(1.31)

Кососимметричность

[v, w] = — [w, v].

Тождество Якоби

[u, [v, w]] + [w, [u, v]l + [v, [w, u]] = 0.

Доказательство мы оставляем читателю. (Указание. Воспользуйтесь формулой (1.27) как определением — попытки проверить тождество Якоби с помощью формулы (1.28) — ужасное дело.)

Первое определение (1.27) скобки Ли говорит нам, что это инвариантное понятие. (Это можно проверить также, пользуясь выражением скобки Ли в локальных координатах (1.28), но соответствующие вычисления довольно утомительны.) Более общо, если F: M^-N— произвольное гладкое отображение, а v и w — векторные поля на М, такие, что dF(v) и dF(w) суть F-связанные корректно определенные векторные поля на N, то их скобки Ли также F-связаны:

dF([v, w]) = [dF(v), dF(w)J.(1.32)

Чтобы доказать это, возьмем f: W-> R. Если y = F^eN, то в силу (1.24) получаем

^([V, w])/(y) = [v, w]{f(F(x))} = v(w{f(F(x))}) —

— w (v {f (F (х))}) =

= v { dF W f (F (x))} - w VdF (v) / (F (x))} =

= dF (v) dF (w) / (y) — dF (w) dF (v) / (y) =

= [dF(v), dF(w)]/(y), что и требовалось.

Рис. 5. Коммутаторное построение скобки Ли.

Более геометрическая характеризация скобки Ли двух векторных полей —это интерпретация ее как «инфинитезимального коммутатора» двух однопараметрических групп exp(ev) и exp (ew).

Теорема 1.33. Пусть v и w — гладкие векторные поля на многообразии М. Для каждого х^М коммутатор

■ф(е, х) = ехр(— Vе w)exp(— Vе v)exp(V8 w)exp(V8 v) х

определяет гладкую кривую для достаточно малых е ^ 0. Скобка Ли [v, w] |x является касательным вектором к этой кривой в точке ф(0, х) = х:

[V, wJI^^I п Ф(8, X).(1.33)

Доказательство. Пусть х = (х', ..., хт) — локальные координаты, так что тт

w^Z^^TT- ' дх1“ дх1

t=li=Y

Положим у = exp (3/Т v) х, z = exp (Vе w) у, и = ехр (— Vе v) z, так что *ф (е, х)=;ехр(—-Vcw^u. Теперь несколько раз воспользуемся разложениями (1.18), (1.19) в ряды Тейлора действия потока, порожденного векторным полем:

Ф (е, х) = и — Ve т] (и) + 4"8W С1!) М + ° (^

= z — Vе (17 (г) + g (z)} + 8 ^ w (n) (z) + v (г]) (z) + +4v©(2)}+o(83/2)=

= у — Ve g (у) + £ |v (37) (у) — w (g) (у) + 4" V (g) (у) J 4- О (e'2) = = X + 8 (v (t)) (x) — W (g) (x)} + О (83/2).

Поэтому

*Ф(e, x) = (v(T]) — w(g))(x) le=0+

и формула (1.33) доказана. □

В качестве другой иллюстрации связи скобки Ли и коммутатора мы покажем, что потоки, порожденные двумя векторными полями, коммутируют, если и только если их скобка Ли всюду равна нулю.

Теорема L34. Пусть v, w — векторные поля на М. Тогда exp (ev) exp (6w) х = exp (6w) exp (ev) х(1.34)

для всех е, GgR, хеМ, таких, что определены обе части равенства, если и только если

[v, w] = 0 всюду.

Доказательство. Из теоремы 1.33 непосредственно вытекает, что если потоки коммутируют, т. е. если справедливо равенство (1.34), то скобка Ли обращается в нуль. Обратно, предположим, что [v, w] = 0, и пусть хеМ. Если оба поля v и w обращаются в нуль в точке х, то потоки обоих векторных полей

оставляют точку х на месте и, следовательно, они, очевидно, коммутируют в точке х. Если же хотя бы одно векторное поле не обращается в нуль в точке х, скажем v|x=#0, то в силу предложения 1.29 мы можем выбрать локальные координаты у = (у1ут) вблизи точки х, так что в этих координатах v=д/дуг веюру. Тогда если w = £ т/ (у) д[ду1, то

m

O-lv. w]-^^.

Поэтому каждая функция т]' не зависит от у1. Поток, порожденный полем v, в этих координатах есть в точности

exp (ev) (у1у”) = (у1 + е, у2, ..., ут\

Поток, порожденный полем w, — решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений

^ = V(y2, ...,Ут), i=\,...,m.

Рассмотрим функции

у (6, в) = exp (0w) exp (ev) у = exp (0w) (у1 + в, у2у"1)

и

у (6, e) = exp(ev)exp(6w)y = exp(ev)y(6, 0) =

= (уЧб, 0)4-8, у2 (6, 0)ут(0,0)).

Поскольку у1 отсутствует в правой части дифференциальных уравнений для потока поля w, обе функции у и у как функции от 0 являются решениями этой системы, причем их начальные условия совпадают:

у(0, в) = (у14-е, у2, .... ут) = у(0, в).

В силу единственности у (6, е) = у(6, е), что доказывает формулу (1.34) для достаточно малых 6, е.

Чтобы полностью доказать формулу (1.34), рассмотрим следующие два подмножества плоскости (6, в):

Е = {(0, е): обе части (1.34) определены в точке (6, в)}

и

t/ = {(6, е): обе части (1.34) определены и равны в точке (6, в)}.

Заметим, что U с. V и что V— связное подмножество плоскости (6, е). Только что мы показали, что множество U открыто. С другой стороны, по непрерывности, если (1.34) справедливо в точках (Gj, е,)^^ и (6/, 8/)->(6*, 8*)еУ, то (1.34) справед-

либо и в точке (6* е*). Таким образом, множество U является одновременно и открытым, и замкнутым подмножеством множества V. Поэтому в силу связности U — V. □

Касательные пространства и векторные поля на подмногообразиях

Пусть NczM— подмногообразие многообразия М, параметризованное иммерсией <р: Я->-М. Касательное пространство к N в ijeN — это по определению образ касательного пространства к Я в соответствующей точке у:

ТА^-^ГА^.), u^^eN.

Заметим, что TAZfу является подпространством в УЛ!|у той же размерности, что и N. Имеется аналогичная характеризация касательного пространства к неявно определенному подмногообразию:

Предложение 1.35. Пусть F; M^-Rn, п^пг, является отображением максимального ранга на N = {х: К(х) = 0}, так что NczM— неявно определенное регулярное (т— и) -мерное подмногообразие. Для заданной точки ijgN касательное пространство к N в у совпадает с ядром дифференциала отображения Fey.

ТЯ\у = ^еТМ\9. №^=0Y

Доказательство. Если ф(е) параметризует гладкую кривую CczN, проходящую через у = ф(е0), то Г(ф(е)) = 0 для всех е. Дифференцируя по е, мы видим, что

О = -^-77(ф(е)) = ^(ф(в)), следовательно, касательный вектор ф к С лежит в ядре dF. Обратное вытекает из подсчета размерностей, если учесть тот факт, что ранг dF в у равен п. О

Пример 1.36. Рассмотрим сферу S2= {x2 + y2 + z2 = 1} в R3. В каждой точке р = (х, у, z) на этой сфере касательное пространство TS2|P задано как ядро дифференциала определяющей функции F(x, у, г) = х2 4" У14-z2—1 в р. Таким образом,

’■S!U,.a={“4+6> + ^! ^« + 2Ь8 + 2сг-0\Отождествляя TR3|P с R3, так что v|P = адх + bd9 + сд2 стано-вится вектором (а, Ь, с), мы видим, что 7S2|P состоит из всех

векторов v[p из R3, которые ортогональны радиусу-вектору р = (х, у, z). Таким образом, касательное пространство TS2^ совпадает с обычной геометрической касательной плоскостью к S2 в точке р. (Те же самые соображения обобщаются на случай любой неявно определенной поверхности S = {F(x, у, z) = = 0} в R3, где dF соответствует нормальному вектору VF.)

Пусть N— подмногообразие в М. Если v— векторное поле на Af, то оно ограничивается до векторного поля на N тогда и только тогда, когда оно всюду касается многообразия N, т. е. v|y е 7W|y для каждой точки у е N. В этом случае, используя определение TN\H, мы непосредственно устанавливаем существование соответствующего векторного поля v на параметризующем пространстве И, удовлетворяющего на N условию dtp (v) = v.

Лемма 1.37. Если v и w всюду касаются подмногообразия N, то и [v, w] всюду касается этого многообразия.

Доказательство. Пусть v и w — соответствующие векторные поля на И. Тогда по (1.32)

dtp [v, w] = [dtp (v), dtp (W)J = [v, w]

в каждой точке многообразия N. Но это означает, что [v, w] |у е eTN^-d^TN^ для каждой точки у е N. □

Например, в случае сферы S2, так как zdx— хд2 и гдч — уд2 оба всюду касаются S2, то [zdx — хд2, гду — уд2] = удх — хдн также всюду касается S2.

Теорема Фробениуса

Мы уже видели, что каждое векторное поле v на многообразии М определяет для любой точки многообразия А1 интегральную кривую, проходящую через эту точку и такую, что поле v всюду касается этой кривой. Теорема Фробениуса относится к более общей ситуации, когда система векторных полей определяет «интегральные подмногообразия», обладающие тем свойством, что каждое векторное поле касается этого подмногообразия в каждой точке.

Определение 1.38. Пусть vi, ..., vr — векторные поля на гладком многообразии М. Интегральное подмногообразие полей {vb ..., vj—это подмногообразие NcM, касательное

пространство TN\M к которому для каждого yeN порождается векторами {vi|у, .... vr[y}. Система векторных полей {vi, ... ..., vr} интегрируема, если через каждую точку хо ^ М проходит интегральное подмногообразие.

Заметим, что если N— интегральное подмногообразие системы {vt, ..., vr}, то размерность подпространства пространства Т'Л/[у, порожденного векторами (vi[y, ..., vr[y} (по определению это TN^y), равна размерности подмногообразия N в каждой точке у eN. Это не исключает возможности, что размерность подпространства пространства ТЛЦХ, порожденного векторами {vi|x, ..., Vr|x}, меняется, когда точка х движется по всему многообразию М; это лишь означает, что данное множество векторных полей может иметь интегральные подмногообразия различных размерностей.

Лемма 1.37 дает необходимые условия интегрируемости системы векторных полей. А именно, если N — интегральное подмногообразие, то каждое векторное поле из этой системы должно касаться N в каждой точке. Таким образом, скобка Ли любой пары векторных полей из этой системы должна снова касаться N и, следовательно, лежать в линейной оболочке этого множества векторных полей в каждой точке.

Определение 1.39. Система векторных полей {vi, ..., vr} на многообразии Af находится в инволюции, если существуют гладкие вещественнозначные функции сц (х), х е М, i,j,k— 1,... ,г, такие, что для любых i, j = 1, ..., г

Г[vp V,.] = £ <ч, . vft.

Теорема Фробениуса, обобщенная Херманном на случай интегральных подмногообразий различных размерностей, утверждает, что это необходимое условие является также достаточным:

Теорема 1.40. Пусть vi, .... vr — гладкие векторные поля на многообразии М. Тогда система {vi, ..., vr} интегрируема, если и только если она находится в инволюции.

В случае, когда система порождается бесконечным числом векторных полей, эта теорема неверна; см. упр. 1.13. Однако при дополнительных ограничениях на систему имеется следующее полезное обобщение. Пусть 36— система векторных полей, образующая векторное пространство. Скажем, что система 36

находится в инволюции, если [v, w] еЖ для любых v, w еЖ, В конечномерном случае в качестве 36 можно взять множество линейных комбинаций £ fi to vt «базисных» векторных полей vt, где fi — произвольные вещественнозначные гладкие функции на АГ (в этом случае система 36 называется конечно порожденной). Пусть 36\х — подпространство пространства ТЛЦХ, порожденное векторами v|x для всех n^36. Интегральное подмногообразие системы 36 — это подмногообразие /V cr Af, такое, что TN \н = 36\у для всех y^N. Мы говорим, что система 36 инвариантна по рангу, если для любого векторного поля ч^Зб размерность подпространства 5^1ехр(Еу)ж вдоль потока, порожденного полем v, есть константа, не зависящая от к. (Она может, конечно, зависеть от начальной точки х.) Заметим, что, поскольку интегральная кривая exp(ev)x поля V, исходящая из точки х, должна содержаться в интегральном подмногообразии N, инвариантность по рангу, конечно, является необходимым условием для полной интегрируемости. Если система 36 конечно порождена или состоит из аналитических векторных полей на аналитическом многообразии, то условие инвариантности по рангу выполняется автоматически.

Теорема 1.41. Пусть 36— система векторных полей на многообразии М. Тогда она интегрируема, если и только если она находится в инволюции и инвариантна по рангу.

По сути доказательство проводится непосредственным построением интегральных подмногообразий. Если х Е N, мы можем реализовать интегральное подмногообразие, проходящее через точку х, рассматривая последовательно интегральные кривые, начинающиеся в точке х:

N = (exp (vi) exp (v2) ... exp (vfe) x: k > 1, v,- e Ж}.

Инвариантность по рангу будет означать, что 36\м при любом у ^N имеет правильную размерность. Детали доказательства того, что N — подмногообразие, можно найти в работе Hermann [2]. Заимствуя терминологию из более обычной ситуации постоянного ранга, мы называем набор всех максимальных интегральных подмногообразий интегрируемой системы векторных полей слоением многообразия АГ; о самих интегральных подмногообразиях мы говорим также как о слоях этого слоения.

Пример 1.42. Рассмотрим векторные поля

^=-У^^х4^’ w = 2x2^-^z^ + to+l-x2-//2)^-

на R3. Легкое вычисление показывает, что [v, w] =0, так что по теореме Фробениуса система {v, w) интегрируема. Для данной точки (х, у, z) подпространство пространства 7'R3|(,,yiz), порожденное v|(X, н, г) и w|(X, у, г), является двумерным, исключая точки оси z (х = у = 0} и окружности {х2 + у2 = 1; г = 0), где оно одномерно. Нетрудно проверить, что и окружность, и ось z являются одномерными интегральными подмногообразиями системы (v, w}. Все другие интегральные подмногообразия — двумерные торы

? Vх, У. 2) = (х2 4- уТМ2 (х2 + У2 + ^ + 1) = с,

определенные при с > 2. В самом деле,

^(v) = v(0 = 0, ^(w) = w© = 0

всюду, так что в силу предложения 1.35 оба поля v и w касаются каждого множества уровня функции £, где Vt^O. (См. §2.1, где рассматривается некоторая общая техника построения интегральных подмногообразий.)

Интегрируемая система векторных полей {vi, ..., vj называется полурегулярной, если размерность подпространства пространства ТМ\Х, порожденного векторами {vi|x, ...,¥,]*}, не меняется от точки к точке. В этом случае все интегральные подмногообразия имеют одну и ту же размерность. По аналогии с понятием регулярного действия группы мы говорим, что интегрируемая система векторных полей регулярна, если она полу- регулярна и к тому же каждая точка х многообразия М обладает произвольно малой окрестностью U, такой, что каждое максимальное интегральное подмногообразие пересекает U по линейно связному подмножеству. Хотя полурегулярность является локальным свойством, которое можно вывести с помощью координат, регулярность зависит от глобальной структуры системы, и это свойство чрезвычайно трудно проверить без явного отыскания интегральных подмногообразий. Однако всякую полурегулярную систему можно сделать регулярной, ограничивая ее на подходящее малое открытое подмножество многообразия М. Например, система из примера 1.42 регулярна на открытом подмножестве R3\ ({х = у = 0} U {х2 + у2 = 1, z = 0}), полученном удалением из R3 оси г и единичной окружности.

Для полурегулярных систем векторных полей теорема Фробениуса на самом деле дает средства «выпрямления» интегральных подмногообразий с помощью подходящего выбора локальных координат, так же как это делается для интегральных кривых одного векторного поля в предложении 1.29.

Теорема 1.34. Пусть {vi, .... vr) — интегрируемая система векторных полей, такая, что размерность линейной оболочки векторов {vi|x, ..., vr|x} в TAf|x постоянна и равна s независимо от хеМ. Тогда для каждой точки х0 е М существуют плоские локальные координаты у = (yvym) вблизи точки х0, такие, что интегральные подмногообразия пересекают данную координатную карту по «слоям» {у : у1 = Щ, ..., ym~s = cm-sV где Ci, ..., cm- s — произвольные постоянные. Если к тому же система регулярна, то координатную карту можно выбрать так, что каждое интегральное подмногообразие будет пересекать ее не больше чем по одному такому слою.

Для системы примера 1.42 плоские локальные координаты вблизи любой точки (х0, уо, £о), не лежащей на оси z и такой, что zo 56= 0, задаются формулами х = х, у = у, z = £ (х, у, z). Касательное пространство к плоскости {z = const} порождается векторными полями

д д х (х2 + у2 — z2 — 1) ддхдх2z (х2 + у2)дг ’

ббу (x2 + y2-z2- 1) д

дуду2z (х2 + у2)дг '

Заметим, что обе системы ^д/дх, д/ду^ и (v, w} порождают одно и то же подпространство пространства ГК3 в каждой точке (х, у, z^ при z(x2 + у2)^= 0, так что на самом деле мы получаем локально «выпрямленный» тор из примера 1.42. Более интересное с физической точки зрения множество плоских локальных координат для системы {v, w) представляют собой тороидальные координаты (6, ф, л), которые задаются формулами

, sh т] cos ф sb т] sin ф sin 6 ch т] — cos 0 ’ У ch т] — cos 0 ’ ch т] — cos 0 "

Такие координаты возникают в теории разделения переменных для уравнения Лапласа, ср. Moon, Spencer [1]. Читатель может проверить, что поверхности уровня (т] = с) в точности представляют собой интегральные торы системы {v, w}; на самом деле при этой замене координат v = ^, w = —2de!

АЛГЕБРЫ ЛИ

Если G — группа Ли, то существуют некоторые замечательные векторные поля на G, характеризующиеся своей инвариантностью (в смысле, который вскоре будет определен) относительно группового умножения. Как мы увидим, эти инвариант-

ные векторные поля образуют конечномерное векторное пространство, которое называется алгеброй Ли группы Ли Сив некотором смысле является «инфинитезимальной образующей» группы G. Фактически почти вся информация о группе G содержится в ее алгебре Ли. Это фундаментальное наблюдение — краеугольный камень теории групп Ли; например, оно позволяет нам заменить сложные нелинейные условия инвариантности относительно действия группы сравнительно простыми линейными инфинитезимальными условиями. Мощь этого метода нельзя переоценить — на самом деле весь круг приложений групп Ли к дифференциальным уравнениям в конечном счете покоится на этой единственной конструкции!

Мы начинаем с картины глобальной группы Ли, далее обращаясь к аналогичной конструкции для локальных групп Ли. Пусть G — группа Ли. Для любого элемента группы g е G правое умножение

Rg: G-^G, определенное формулой

ReW = h-g,

является диффеоморфизмом, обратный к которому есть

Rg-' = (Rgr1.

Векторное поле v на G называется правоинвариантным, если^^g (^ k) = ^ l/?g w = v l^g

для всех g и h из группы G. Заметим, что если поля v и w правоинвариантны, то любая их линейная комбинация av + few, а, 6еК, также правоинвариантна; следовательно, множество всех правоинвариантных векторных полей образует векторное пространство.

Определение 1.44. Алгебра Ли группы Ли G (она по традиции обозначается соответствующей малой готической буквой 0)— это векторное пространство всех правоинвариантных векторных полей на G.

Заметим, что всякое правоинвариантное векторное поле однозначно определяется своим значением в единице, поскольку

(1.35)(1.35)V lg = ^e(v|e),

(1.35)

(1.35)

так как № = g. Обратно, всякий касательный вектор к G в единице е единственным образом определяет правоинвариантное векторное поле на G по формуле (1.35). В самом деле,

dR6 (v |л) = dRg (dRh (v |e)) = d <R& ° Rh) (v |e) = dRhg (v |e) = v ^g, что доказывает правую инвариантность поля v. Поэтому мы можем отождествить алгебру Ли 0 группы G с касательным пространством к G в единичном элементе:

^TG\e.(1.36)

В частности, g — конечномерное векторное пространство той же размерности, что и соответствующая группа Ли.

Кроме структуры векторного пространства на такой алгебре Ли далее вводится кососимметрическая билинейная операция, а именно скобка Ли. В самом деле, если v и w — правоинвариантные векторные поля на G, то их скобка Ли [v, w] — тоже правоинвариантное векторное поле, поскольку в силу (1.32)

dRg [v, w] = \dRg (v), dRg (w)J = [v, w].

Это обосновывает общее определение алгебры Ли.

Определение 1.45. Алгебра Ли — это векторное пространство g с билинейной операцией

[•, •]: 9Х9-^9, называемой скобкой Ли алгебры g и удовлетворяющей следующим аксиомам:

Билинейность-.

[cv + eV, w] = с [v, w] + c' [v', w],

[v, cw + c'w'] = c [v, w] + c' [v, w'J,

где c, c' e R — постоянные.

Кососимметричность-.

[v, w] = — [w, v],

Тождество Якоби:

[u, [v, w] ] + [w, [u, v] ] + [v, [w, u] ] = 0

для всех u, v, V, w, w' из g.

В этой книге большинство алгебр Ли будут конечномерными векторными пространствами. (Интересную бесконечномерную алгебру Ли представляет собой пространство всех гладких векторных полей на многообразии М. Однако с бесконечномерными алгебрами работать значительно труднее.) Мы начинаем С некоторых простых примеров алгебр Ли.

Пример 1.46. Если G = R, то с точностью до умножения на константу существует единственное правоинвариантное векторное поле, а именно дх = д/дх. В самом деле, для данных ^ у е R

RM^ = x + y,

следовательно,

dRy ^х) ~ ^х-

Аналогично, если G = R+, то единственное независимое правоинвариантное векторное поле — это хдх. Наконец, для группы SO (2) векторное поле д6 — снова единственное независимое правоинвариантное векторное поле. Заметим, что алгебры Ли групп R, R+ и SO(2) совпадают, будучи одномерными векторными пространствами с тривиальной скобкой Ли ([у, w] = О для всех V, w). Это и неудивительно: как может легко проверить читатель, из общего определения следует, что существует лишь одна одномерная алгебра Ли, а именно g = R, и ее скобка Ли должна быть тривиальной.

Пример 1.47. Здесь мы вычисляем алгебру Ли общей линейной группы GL(n). Заметим, что, поскольку группа GL(n) п2-мерна, мы можем отождествить алгебру Ли gI(n)~R" с пространством всех матриц размера пХа В самом деле, координаты на GL(n) представляют собой матричные элементы хц, i, j = 1, ..., п, поэтому касательное пространство к GL(n) в единице ■— это множество всех векторных полей

vAly — Х.ац -д—

I1 1

где А=(ау)—произвольная матрица размера и X и. Далее, для данной матрицы У = (у<;)е GL(n) элементы матрицы Ry(.X') = XY равны

п

У, х^Ук] • fc=i

Поэтому в соответствии с (1.35) мы получаем

ул |у = dRY (ул I/) = У У ац -£~ (У xifeyfem\ -^- =Z, т I. /11 X к) 1т

= У СЩУ1т-д7—,

т

или (через X е GL (и))

адхцадхц(1-37)(1-37)

а

дхц

а

дхц

(1-37)

(1-37)

Вычислим их скобку Ли:

d dx.d dx.^Д, ^в]' f С1{рХрт g^ k^lk^fc}^ bipXpm -^

d dx.

d dx.

Zm1т

, .1 д^il^lk) I Xkj QK У[Д, В],, .1 д^il^lk) I Xkj QK У[Д, В],/, т, р

, .1 д

^il^lk) I Xkj QK У[Д, В],

, .1 д

^il^lk) I Xkj QK У[Д, В],

= £ [Z^^Z,i, I, к L I

где [Д, В] = ВА —АВ — коммутатор матриц. Поэтому алгебра Ли ^Цп) общей линейной группы GL(n)—это пространство всех матриц размера п\п со скобкой Ли — коммутатором матриц.

Однопараметрические подгруппы

Пусть g — алгебра Ли группы Ли G. Следующий результат показывает, что имеется взаимно однозначное соответствие между одномерными подпространствами алгебры Ли g и (связными) однопараметрическими подгруппами группы Ли G.

Предложение 1.48. Пусть v =/= 0 — правоинвариантное векторное поле на группе Ли G. Тогда поток, порожденный полем V, проходящий через единицу, а именно

g6 = exp(ev)e,(1.38)

определен для всех е е R и образует однопараметрическую подгруппу группы G, так что

ge+6 = ge-g6. g0 = e, g^ = g_y(1.39)

причем эта подгруппа изоморфна либо самой группе R, либо группе окружности SO(2). Обратно, всякая связная одномерная подгруппа группы G порождается указанным способом таким правоинвариантным векторным полем.

Доказательство. Для достаточно малых е, 6 формула (1.39) вытекает из правой инвариантности поля v и (1.26):

g6 • gE = Rge (gb) = Ree [exP (H e] = exp [6 ■ dR6e (v)] Rge (e) =

= exp (6v) ge = exp (6v) exp (ev) e = exp [(6 + e) v] e = ge+e.

Таким образом, ge — по меньшей мере локальная однопараметрическая группа. В частности, go = е и gE1 = g-E для малых е. Далее, группа g6 определена по крайней мере при —ео/2 ^ е ^ ^ ео/2 для некоторого ео > 0, так что мы можем по индукции положить

^mso+е бтв» " Еь’ 2 Е° 82 ®0’

для целого т. Предыдущее вычисление показывает, что ge — гладкая кривая в G, удовлетворяющая условиям (1.39) при всех е, 6, если только поток глобально определен и является подгруппой. Если ge = g6 для некоторых е =/= 6, то нетрудно показать, что geo — e для некоторого наименьшего положительного ео > 0 и что gE периодична с периодом ео, т. е. £е+ео = ge. В этом случае {ge} изоморфна SO (2) (возьмем 6 = 2ле/ео). В противном случае gb¥= go Для всех е=/=6 и {ge} изоморфна R.

Обратно, если HcG — одномерная подгруппа, мы выбираем в качестве v|e произвольный ненулевой касательный вектор к Н в единице. С помощью изоморфизма (1.36) мы продолжаем v|e до правоинвариантного векторного поля v на всей группе G. Поскольку Н — подгруппа, вектор v|h касается Н в каждой точке heH, и поэтому Н — интегральная кривая поля V, проходящая через е. Это завершает доказательство. □

Пример 1.49. Предположим, что G = GL(n). Алгебра Ли 01 (и) этой группы представляет собой пространство всех матриц размера n X п с коммутатором в качестве скобки Ли. Если Aegl(n), то соответствующее правоинвариантное векторное поле Ул на GL(n) выражается формулой (1.37). Однопараметрическая подгруппа ехр(еУл)е находится интегрированием системы из п2 обыкновенных дифференциальных уравнений

deaikXkp ХЦ (^6/’ ^ i !.•••,«,

6=1

содержащих элементы матрицы А. Ее решение — в точности матричная экспонента Х(е) = евЛ. Это однопараметрическая подгруппа группы GL(n), порожденная матрицей А из gl(n).

Пример 1.50. Рассмотрим тор Т2 с групповым умножением

(6, р) • (0',р') = (6 + О', d + р, mod 2л.

Ясно, что алгебра Ли тора Т2 порождается правоинвариантными полями 5/56, 5/5р с тривиальной скобкой Ли: [5е, 5Р] = 0. Пусть

Vo = 5е + (о5р

для некоторого toe R. Тогда соответствующая однопараметрическая группа — это

ехр (еуш) (0, 0) = (е, ем) mod 2л, е е R, которая представляет собой подгруппу Hto, обсуждавшуюся непосредственно за определением 1.18. В частности, если со — рациональное число, то подгруппа Hto— замкнутая однопараметрическая подгруппа, изоморфная SO(2), а если со иррационально, то Hto—всюду плотная подгруппа, изоморфная группе R. Это показывает, что, вообще говоря, довольно трудно точно указать вид однопараметрической подгруппы, зная только ее инфинитезимальную образующую.

Подалгебры

Вообще говоря, подалгебра () алгебры Ли g— это векторное подпространство, замкнутое относительно скобки Ли, так что [v, w]e(), если только v, wel). Если Н— подгруппа Ли группы Ли G, то всякое правоинвариантное векторное поле v на Н может быть продолжено до правоинвариантного векторного поля на G. (Нужно лишь положить v|g = dRg(v\e), g ^ G.) Таким образом, алгебра Ли () подгруппы Ли Н реализуется как подалгебра алгебры Ли g группы G. Соответствие между однопараметрическими подгруппами группы Ли G и одномерными подпространствами ^ (подалгебрами) ее алгебры Ли g обобщается и приводит к полному взаимно однозначному соответствию между подгруппами Ли группы Ли G и подалгебрами ее алгебры Ли g.

Теорема 1.51. Пусть G— группа Ли с алгеброй Ли g. Если HcG — ее подгруппа Ли, то соответствующая алгебра Ли —• подалгебра алгебры Ли g. Обратно, если Ь — произвольная s-мерная подалгебра алгебры Ли g, то существует единственная связная s-параметрическая подгруппа Ли Н группы Ли G, алгеброй Ли которой является ф.

Основную идею доказательства этой теоремы можно изложить следующим образом. Пусть vi, ..., v$ — базис алгебры ф, определяющий систему векторных полей на G. Поскольку () — подалгебра, каждая скобка Ли [vz, v,J — снова элемент из () и.

следовательно, лежит в линейной оболочке {vi, .... v$}. Таким образом, подалгебра Ь определяет систему векторных полей на G, находящихся в инволюции. Далее, легко видеть, что в каждой точке geG касательные векторы (vi|g,..., vs|g} линейно независимы, так что эта система является полурегулярной. По теореме Фробениуса у этой системы существует максимальное s-мерное подмногообразие, проходящее через единицу е. Это подмногообразие — подгруппа Ли Н, соответствующая К Не очень трудно проверить, что Н —в самом деле подгруппа, а то, что это — подмногообразие, мы знаем. Основная техническая трудность в этом доказательстве состоит в том, чтобы установить гладкость групповых операций умножения и взятия обратного элемента (индуцированных из соответствующих операций группы G) в структуре многообразия на Н. Заинтересованный читатель может найти полное доказательство в книге Warner [1; теорема 3.19].

Пример 1.52. Приведенная теорема значительно упрощает вычисление алгебр Ли групп Ли, которые могут быть реализованы как подгруппы Ли общей линейной группы GL(n). А именно, если ЯсСЬ(п)— подгруппа, то ее алгебра Ли I) будет подалгеброй алгебры Ли gl(n) всех матриц размера пХп со скобкой Ли — коммутатором матриц. Кроме того, мы можем найти ^~ТН\е, рассматривая только все однопараметрические подгруппы группы GL(n), содержащиеся в Н:

= {А е gl (и): ееЛ £//, ее R).

Например, чтобы найти алгебру Ли ортогональной группы О (и), нам нужно найти все матрицы А размера пХ и, такие, что

(ееАИееАУ = 1.

Дифференцируя по е и полагая е = 0, мы получаем

Л +Аг = 0.

Поэтому so(n) = {A: А кососимметрична} — алгебра Ли и группы О(п), и группы SO(n). Алгебры Ли других матричных групп Ли ищутся аналогично.

Мы видели, что в общем случае имеется взаимно однозначное соответствие между подалгебрами алгебры Ли данной группы Ли и связными подгруппами Ли той же группы Ли. В частности, каждая подалгебра алгебры gl(n) приводит к матричной группе Ли, т. е. к подгруппе Ли группы Ли GL(n). Более общо, если g — произвольная конечномерная (абстрактная) алгебра Ли, то возникает вопрос, существует ли группа Ли G, для

которой g— ее алгебра Ли. Ответ на этот вопрос утвердительный. Он сводится фактически к матричному случаю следующей важной теоремой Адо.

Теорема 1.53. Пусть g— конечномерная алгебра Ли. Тогда g изоморфна подалгебре алгебры Ли gl(n) для некоторого п.

В качестве непосредственного следствия теоремы Адо и второй половины теоремы 1.22 мы получаем основное соответствие между группами Ли и алгебрами Ли.

Теорема 1.54. Пусть g— конечномерная алгебра Ли. Тогда существует единственная связная односвязная группа Ли G*, для которой g является ее алгеброй Л и. Кроме того, если G — любая другая связная группа Ли с алгеброй Ли д, то л: G*-* -э- G — односвязная накрывающая группа группы Ли G.

В самом деле, нам нужно лишь реализовать g как подалгебру алгебры gl(n) для некоторого п и взять соответствующую подгруппу Ли G группы Ли GL(n). Тогда G* будет односвязной накрывающей группой группы Ли G, что гарантирует теорема 1.22.

Важно подчеркнуть, что неверно, будто каждая группа Ли G изоморфна подгруппе группы GL(n) для некоторого п. В частности, односвязная накрывающая группа группы SL(2, R) не реализуется как матричная группа Ли!

Экспоненциальное отображение

Экспоненциальное отображение exp: g-> G получается подстановкой значения е = 1 в однопараметрическую подгруппу, порожденную полем v:

exp (v) = exp (v) e.

Без труда доказывается, что дифференциал

dexp: Гд|0~д-э-7'С|е~д

экспоненциального отображения в нуле — тождественное отображение. (См. упр. 1.27.) Таким образом, по теореме об обратной функции отображение ехр определяет локальный диффеоморфизм между алгеброй Ли g и окрестностью единицы группы G. Следовательно, каждый элемент g группы G, достаточно близкий к единичному, можно записать как экспоненту: g = = exp(v) для некоторого veg. Вообще говоря, глобально отображение ехр: д-э-G не является ни взаимно однозначным, ни отображением на. (См. упр. 1.28.) Однако, пользуясь предло-

жением 1.24, мы всегда можем записать любой элемент g группы G как конечное произведение экспонент:

g = exp (vj exp (v2) ... exp (v^

для некоторых Vi, ..., v* из g. Польза от этого наблюдения состоит в том, что доказательство инвариантности некоторого объекта относительно всей группы Ли сводится к доказательству его инвариантности лишь относительно однопараметрических подгрупп группы G, которая, в свою очередь, вытекает из «инфинитезимальной инвариантности» относительно соответствующих инфинитезимальных образующих алгебры д. Потрудившись чуть больше, мы можем на самом деле свести это к доказательству «инвариантности» относительно базиса {vb ..., vj алгебры Ли д, причем всякий элемент g группы Ли G выражается в виде

g = exp (e'vij exp (e2v,2 ) ... exp (ekvik)(1.40)

при подходящих eJ e R, 1 ^ i,^ r, j = 1, ..., k. (Cm. ynp. 1.27.)

Алгебры Ли локальных групп Ли

Возвращаясь к локальной ситуации, мы рассматриваем локальную группу Ли VcRrc умножением т^х, у). Соответствующий правый сдвиг Rti: V-*- R г задается формулой Ry (х) = = т(х, у). Векторное поле v на V правоинвариантно, если и только если

^^у (V U)V Uy (x) V Im (x. У)

при x, у и m(x,y), лежащих в V. Как и в случае глобальных групп Ли, легко проверить, что всякое правоинвариантное векторное поле единственным образом определяется своим значением в начале координат (единице группы), v|х = dRx(v|о), и, следовательно, алгебра Ли g локальной группы V, определяемая как пространство правоинвариантных векторных полей на V, является r-мерным векторным пространством. Фактически мы можем определить алгебру Ли g непосредственно по формуле группового умножения.

Предложение 1.55. Пусть V с Rr— локальная группа Ла с умножением т(х,у), х, у е V. Тогда алгебра Ли g правоинвариантных векторных полей на V порождается векторными полями

Г

где

№=^^ х>-

(1.41)

Здесь т1 — компоненты отображения пг, а д/дхк обозначают производные по первому множеству г переменных -от тДх.у^, в которые подставлены значения х = О, у = х.

Доказательство. Поскольку RH(x') = m^x, у), имеем

-«,(£««>)-^г)-^ (0)^(0.,)^-. \i=l/ i, i

Таким образом, достаточно доказать, что

^(0) = ^

т. е.

^-(0,0) = дх^-(0,0) = дх1, l = k,0, I =# k.1, l = k,0, I =# k.

^-(0,0) = дх

^-(0,0) = дх

1, l = k,

0, I =# k.

1, l = k,

0, I =# k.

Но это тривиально следует из того факта, что m (я, 0) = х — тождественное отображение. □

Пример 1.56. Рассмотрим локальную группу Ли из примера 1.21. Ее алгебра Ли g одномерна и порождена векторным полем £(x)dx, где в силу (1.41)

^х) = ^(°> а) = (х-1)2.

Таким образом, v=(x—l)2dx— единственное независимое правоинвариантное векторное поле на V. Заметим, что локальный гомоморфизм групп %: R —> V из примера 1.23 отображает инвариантное векторное поле dt на R в поле —v = dx(d<).

Структурные константы

Пусть g—произвольная конечномерная алгебра Ли, так что по теореме 1.54 g— алгебра Ли некоторой группы Ли G. Если ввести в алгебре Ли g базис {vi, .... vr}, то скобка Ли любых двух базисных векторов снова должна лежать в д. Таким образом, имеются некоторые постоянные сц, I, j, Л = 1, ..., г. называемые структурными константами алгебры Ли д, такие, что

[vP v/] = ^ CijVk, i,j=l,...,r.(1.42)

Заметим, что поскольку векторы vz составляют базис, то, зная структурные константы, мы можем восстановить алгебру Ли g, пользуясь формулой (1.42) и билинейностью скобки Ли. Условия кососимметричности и тождество Якоби накладывают дальнейшие ограничения на структурные константы:

Кососимметричность

С^ = -С^,(1.43)

тождество Якоби

Е № + сисм + СМ = °-(1-44)

Обратно, нетрудно показать, что всякое множество констант сц, удовлетворяющее условиям (1.43), (1.44), является множеством структурных констант некоторой алгебры Ли g.

Конечно, если выбрать новый базис в алгебре Ли g, то, вообще говоря, структурные константы изменятся. Еслиу,= Е ац^ь i

то

^ = Е aiiajmbnkcnlm,(1.45)

l,m, п

где (by)—матрица, обратная к матрице (az/). Таким образом, два множества структурных констант определяют одну и ту же алгебру Ли, если и только если они связаны соотношением (1.45). Следовательно, в силу теоремы 1.54 имеется взаимно однозначное соответствие между классами эквивалентности структурных констант сц, удовлетворяющих условиям (1.43), (1.44), и связными односвязными группами Ли G, алгебры Ли которых имеют данные структурные константы относительно некоторого базиса. Таким образом, в принципе вся теория групп Ли сводится к изучению алгебраических уравнений (1.43), (1.44); однако, это, быть может, слишком уж упрощенная точка зрения.

Таблицы коммутирования

Наиболее удобный способ описать структуру данной алгебры Ли состоит в том, чтобы записать ее в виде таблицы. Если g есть r-мерная алгебра Ли и vi, .... vr—базис в g, то таблица коммутирования для g будет иметь размеры г X г и на (/, /) -м месте будет стоять выражение для скобки Ли [vz, V/]. Отметим, что эта таблица всегда кососимметрична, поскольку [vz, V/] = = — [v/, vz]; в частности, все диагональные элементы ее равны нулю. Из таблицы коммутирования легко извлекаются струк-

турные константы — а именно, сц — это коэффициент при Vk в (i, /) -м месте таблицы.

Например, если g = gl(2)—алгебра Ли специальной линейной группы SL (2), состоящая из всех матриц размера 2 X 2 со следом 0, и мы пользуемся базисом

/ 1 О X

/О 1 X ( 2 U 1 /о ох

Л| = (о о)’ Лг=1 о -1 Г Лз=и о)’

X и 2 /

то получается следующая таблица коммутирования:

Л1ЛгЛз

Л1

0Л)—2Л2

Аг

Аз

—Л) 0Лз

2Л2 —Лз0

Таким образом, например, Мь Al= АА А А= 2Л2

и т. д. Структурные константы таковы:

/11 .— /13 —, - 1 _ , /13Q -— z»2

е12L231 zlе32’*43^ЗР

а все остальные Cjk равны нулю.

Инфинитезимальные действия групп

Пусть G — локальная группа преобразований, действующая на многообразии М по формуле g • х = Т (g, х) при (g, х)е е ^cz G ХМ. Тогда имеется соответствующее «инфинитезимальное действие» алгебры Ли g группы Ли G на М. А именно, если veg, мы определяем ф(у) как векторное поле на М, поток которого совпадает с действием однопараметрической подгруппы exp(ev) из G на М. Это означает, что для х^М

Ф М Ь = "^ |Е=0 ^(СХР (6V)’ x) = d4f* (V le)’ (L46)

где ЧМ^?) — ^(g, х). Заметим далее, что так как ^oRgW-WVi-g, x) = W^h, g.x) = Wg.xW в области определения, то

dV,(vy = <lVe.,(v|,) = <-(v)|e.„

для всякого ge Gx. Из свойства (1.32) скобки Ли следует, что ф — гомоморфизм алгебр Ли из g в алгебру Ли векторных полей на М;

[ф (v), ф (w)] = Ф ([v, w]), v, weg. (1-47)

Поэтому множество всех векторных полей -ф (v), отвечающих полям veg, образует алгебру Ли векторных полей на М, изоморфную алгебре Ли д; в частности, она имеет те же структурные константы. Обратно, если задана конечномерная алгебра Ли векторных полей на М, то всегда найдется локальная группа преобразований, инфинитезимальное действие которой порождается данной алгеброй Ли.

Теорема 1.57. Пусть wi, ..., wr— векторные поля на многообразии М, удовлетворяющие условиям

Г

[w„ wj = Zt сь^к, i, j=l, ...» г,

для некоторых постоянных сц. Тогда существует группа Ли G, алгебра Ли которой имеет данные структурные константы относительно некоторого базиса vi, ..., vr, а локальное действие группы G на М таково, что ф(v,■) = w(• при i = 1, .... г, где ф определено формулой (1.46).

Обычно мы будем опускать явное указание отображения ф и будем отождествлять алгебру Ли g с ее образом ф(д), составляющим алгебру Ли векторных полей на М. На этом языке мы восстанавливаем д по группе преобразований, пользуясь основной формулой

vk=^| nexP(ev)^ VG9- О-48)

1е=0

Векторное поле v из алгебры Ли д называется инфинитезимальной образующей действия группы G. Теорема 1.57 говорит, что если нам известны инфинитезимальные образующие wi, ... ..., wr, которые составляют базис алгебры Ли, то мы всегда можем экспоненцированием найти локальную группу преобразований, алгебра Ли которой совпадает с данной.

Пример 1.58. Ли доказал, что с точностью до диффеоморфизма на вещественной прямой М = R существуют три конечномерные алгебры Ли векторных полей. Это

Алгебра, порожденная полем дх; она порождает действие R на М как однопараметрической группы сдвигов: хь-> г—>х + е.

Двумерная алгебра Ли, порожденная полями дх и хдх, второе векторное поле порождает группу растяжений: xt->Хх. Заметим, что

[^, хдД = д.

так что эта алгебра Ли изоморфна алгебре Ли матриц размера 2X2, порожденной матрицами

/О 1\/1 0\

V0 О/ И кО 07

Она порождает группу ЛиОна порождает группу Ливсех верхних треугольных матрицвсех верхних треугольных матрицвидавида

Она порождает группу Ли

Она порождает группу Ли

всех верхних треугольных матриц

всех верхних треугольных матриц

вида

вида

Соответствующее действие на R имеет вид х г-> ах + р. Мы оставляем читателю проверить, что оно в самом деле определяет действие этой группы Ли, инфинитезимальные образующие которой совпадают с данными.

Трехмерная алгебра, порожденная векторными полями

V! = дх, v2 = хдх, v3 = Х2дх,

третье векторное поле порождает локальную группу «инверсий»:

х н->х н->х1 — ехх1 — ех

х н->

х н->

х

1 — ех

х

1 — ех

Приведем таблицу коммутирования для этой алгебры Ли:

V1

V2

V3

V1

0

V!

2v2

V2

— V,

0

V3

V3

— 2v2

— v3

0

Если мы заменим v3 на —v3 = —х2дх, то получим такую же таблицу коммутирования, что и для алгебры Ли 91(2) с базисом

Таким образом, это локальное действие специальной линейной группы SL(2) на вещественной прямой с инфинитезимальными

образующими дх, хдх и —х2дх. Нетрудно видеть, что это действие группы есть в точности проективная группа

X I—>X I—>ах + р ух + б ’ах + р ух + б ’а р\Y 67а р\Y 67е SL (2),е SL (2),

X I—>

X I—>

ах + р ух + б ’

ах + р ух + б ’

а р\

Y 67

а р\

Y 67

е SL (2),

е SL (2),

которая является вещественным аналогом комплексной группы дробно-линейных преобразований.

1.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ

Изначально возникшие как инструмент для многомерного обобщения теоремы Стокса, дифференциальные формы играют фундаментальную роль в топологических вопросах дифференциальной геометрии. Хотя в этой книге я стремился не придавать особого значения использованию дифференциальных форм, имеется несколько ситуаций (наиболее заметных в § 5.4 о вариационном комплексе), в которых язык дифференциальных форм исключительно эффективен. Настоящий параграф дает краткое введение в теорию дифференциальных форм для читателя, интересующегося этими более теоретическими аспектами данного предмета. Мы начинаем с основного определения.

Определение 1.59. Пусть М — гладкое многообразие и TM{x— его касательное пространство в точке х. Пространство А^МЬ дифференциальных k-форм в точке х— это множество всех ^-линейных кососимметричных функций

со: ТМ\хХ ... X^ML^R.

В частности, если мы обозначаем значение формы о на касательных векторах vi, ..., УйеТМ^ через <ш; Vi, .... хь>, то основные требования состоят в том, что для всех касательных векторов в точке х

(<о; Vp ..., cv,. + сХ, .... vk} = c (<о; vp ..., v,ve) +

+ c'<®; viVi^

для c, o' e R, 1 ^ is^ к, и

(co; v„„ ..., уя6) = (— 1)я(ш; v„ ..., vfe>

для каждой перестановки л чисел {1, ..., &}, причем (—1)" обозначает знак этой перестановки. Фактически пространство ЛкТ*М |х является векторным пространством относительно очевидных операций сложения и умножения на числа. 0-форма

в точке х — это по соглашению вещественное число, а пространство Т*М |х = Л tTM |х 1-форм, называемое кокасательным пространством к М в точке х, является пространством линейных функций на ГМ^, т. е. двойственным векторным пространством к касательному пространству в точке х. Гладкая дифференциальная k-форма со на М (или, короче, k-форма) — это набор гладко меняющихся кососимметричных ^-линейных отображений со |х е ЛЙ7”Л1|Х для каждой точки xgM, причем мы требуем, чтобы для всех гладких векторных полей vi, ..., vk

(со; v,, ..., v,,)(x) = (со I,; v, U, • • •, vk U)

была гладкой вещественнозначной функцией от х. В частности, 0-форма — это в точности гладкая вещественнозначная функция f:M-*R.‘

Если (х1, ..., хт)—локальные координаты, то (д/дх1, ... .... д/дхт)— базис в ГМр. Двойственное кокасательное пространство обладает двойственным базисом, традиционно обозначаемым {dx1, ..., dxm); таким образом, (dx1; д/дх;) = б/ для всех i, /, где б/ есть 1 при / = / и 0 в противном случае. Поэтому в локальных координатах дифференциальная 1-форма со выражается следующим образом:

со = hv (х) dx1 + ... + hm (х) dxm,

где каждая функция й/(х) гладкая. Заметим, что для любого векторного поля v = £ £‘ (х) д(дх1

т

(со; v>= £ hi(xHlW

i = l

— гладкая функция. Особенно важную роль играют 1-формы, задаваемые дифференциалами вещественнозначных функций:

т

dt = V-^Ldxl, причем (df; v) = v(f). “ дх <=1

Чтобы построить дифференциальные формы высших порядков, заметим, что из данного набора дифференциальных 1-форм to], .... сое мы можем составить дифференциальную А-форму cOj л ... д №к, называемую внешним произведением, с помощью формулы

(1,49)(1,49)((О) А .,. A (0ft; vb ..., vfc) = det «го,; v,)).

(1,49)

(1,49)

Справа стоит детерминант матрицы размера ^ X ^ с элементами (/,/), указанными выше. Заметим, что внешнее произведение. является и полилинейным, и кососимметричным:

со( л . . . Л (соь + с'со,) Л ... Л tok = с (со( Л ... Л со. Л ... Л №^ +

+ с' (ш1 Л . . . Л О)'. Л . . . Л СО^), Юл1 Л ••• Л(0я6 = (—!)"(О,Л ... Ntok.

Нетрудно видеть, что в локальных координатах пространство /х^ТМ |х порождается базисными ^-формами

dx1 = dx*1 Л ... Л dx\

где I пробегает все строго возрастающие мультииндексы 1 ^ Л < 1’2 < - •• < Д ^ т. Таким образом, размерность пространства А^'Л!^ равна I h в частности, A^T’M |^ ~ {0} при k> т. Всякая гладкая дифференциальная ^-форма на М в локальных координатах имеет вид

со = X ay (х) dx1,

где коэффициент а, для каждого строго возрастающего мультииндекса I является гладкой вещественнозначной функцией. Например, 2-форма в R3 имеет вид

(со = а (х, у, z)dy л dz + р (х, у, z')dz^dx + ■x (х, у, z) dx л dy (1.50) в базисе dy^dz, dzhdx =—dxhdz, dxhdy, что напоминает обозначения для интегралов по поверхности. Имеем ю; ^ + ^ду + ^г, 1дх + f)dy + &> =

= а (т]£ — %) + Р (Й — Й) + у (^ — Ь]).

Если

со = со1 Л ... Л соА, 0 = 0, л ... Л 6/,

— «разложенные» формы, то их внешнее произведение — это форма

СО Л 0 = СО] л ... ^tok^6v^ ... Л 0/, причем свойство билинейности позволяет распространить это определение на формы более общего вида:

(ссо + с'со') л 0 = с (со л 0) + с' (со' л 0),

со Л (с0 + с'6') = с (со л 0) + с' (со л О'),

где с, с' е R. Внешнее произведение ассоциативно:

ю А (0 А £) = (со д 0) д £, и антикоммутативно:

<оА0 = (-1)6,ОЛ(о,

если (о есть ^-форма, а 0 есть /-форма. Например, внешнее произведение формы (1.50) и 1-формы 0 = '/.dx -f- pdy + vdz— это 3-форма

<о А 0 = (аХ + Рр + Vv) dx лdy A dz.

Кодифференциал и замена координат

Если F: M->-N—гладкое отображение многообразий, то его дифференциал dF отображает касательные векторы на М в касательные векторы на N. Таким образом, имеется индуцированное линейное отображение F*, называемое кодифференциа- лом отображения F, переводящее дифференциальные &-формы на N обратно в дифференциальные /г-формы на М:

F: AferN\FW^AkFM\x.

Оно определяется так, что если юе A kT*N |r № то

(Е'П; V„ ..., v6) = (ro; dF^v^, .... dF(vk4

для любого множества касательных векторов vi, ..., v^e еТМ],. В отличие от дифференциала кодифференциал переводит гладкие дифференциальные формы на N в гладкие дифференциальные формы на М. Если х = (х1, ..., хт)—локальные координаты на М, а у = (у1, ..., У")—координаты на N, то

т

F ^dy1) = У • dx*, где у = F (х),

задает действие F* на базисные 1-формы. Мы заключаем, что в общем случае

F* (У «/ (у) dy^ = У а, (А (х)) -^- dxl, (1.51) где дуЧдх1 обозначает якобиан det (ду^/дх^), отвечающий возрастающим мультииндексам / =(ii, .... ikV J = Ub •••> A)- В частности, если у = Е(х) определяет замену координат на М, то (1.51) доставляет соответствующую замену координат для

дифференциальных й-форм на М. Заметим также, что кодиф- ференциал сохраняет алгебраическую операцию внешнего произведения:

Г(йаО) = Г((о)аЕ*(О).

Внутренние произведения

Если о — дифференциальная й-форма, a v — гладкое векторное поле, то мы можем составить (к—1)-форму v J®, называемую внутренним произведением v на о, определяя ее так, чтобы

(v J о; vb ..., v^j) = («>•, v, vb ..., v^)

для каждого набора векторных полей vb .... v^-i. Внутреннее произведение, очевидно, является билинейным по обоим своим аргументам, так что достаточно знать его для базисных элементов:

J (dV1 л ... Л dxik) = дх

( (—1)к-1 dx,v л ... л dx1*-1 л dx1^1 л ... л dx’h,I = /к,

(О, i #= /и для всех х.

Например,

дх J dx л dy = dy, дх J dz л dx = — dz, дх J dy ^dz = 0,

так что если форма о имеет вид (1.50), то

<^х + Л^у + Ш J со = (gp — цу) dx + (gy — ga) dy + (tic — gp) dz.

Отметим, что внутреннее произведение действует на формы как антидифференцирование. Это означает, что

v J (о л 0) = (v J to) л 0-|- (-—1)\о a(v J 0),(1.52)

если о есть й-форма, а 6 есть /-форма.

Внешняя производная

Кроме чисто алгебраических операций внешнего и внутреннего произведений имеются еще две важные дифференциальные операции. Первая из них обобщает понятие дифференциала гладкой функции (или 0-формы) на произвольную дифференциальную й-форму. В локальных координатах, если о> = X ai (-*0 dx1 — гладкая дифференциальная й-форма на

многообразии М, то ее дифференциал или внешняя производная— это (£+ 1)-форма

do = У dat A dx1 = У -^у dx! л dx1.(1.53)

/i,i

Предложение 1.60. Дифференциал d, переводящий k-формы в (£ + \)-формы, обладает следующими свойствами;

линейность:

d (со + с'и') = с dto + с' dto', где с, с'— константы;

свойство антидифференцирования:

d (о д 0) = (dto) a 0 + (-l)fc to a (d0),(1.54)

если о есть k-форма, a 6 есть 1-форма;

замкнутость:

d(dto) = 0;(1.55)

коммутирование с кодифференциалом:

F’(do) = d (F*m),(1.56)

где F: M^-N — гладкое отображение, а о есть k-форма на N.

Доказательства этих свойств довольно прямые. Линейность очевидна, а свойство антидифференцирования легко следует из правила Лейбница. Чтобы проверить замкнутость, нужно лишь доказать, что d(df) = O для гладкой функции ) (поскольку затем мы можем воспользоваться свойствами (а) и (Ь), чтобы распространить это свойство на общий случай). Однако

d(df) = У* —^ ^ , dx1 Adxj = V (—У—;— ^ ,^ dx1 a dx1

Z-i Qxl дх'\ дх1 дх1 дх’дх /

i,j = lKi

в силу кососимметричности внешнего произведения, так что замкнутость сводится к равенству смешанных частных производных. На самом деле свойства (а), (Ь) и (с) вместе с действием d на функции служат однозначной характеризацией дифференциала, и потому d фактически не зависит от выбора локальных координат. Наконец, чтобы доказать (1.56), нужно убедиться в справедливости этой формулы лишь в случае функций: F*(df) = dF*(f), где F*(f) = f“F, а дальнейшее сводится к обычному цепному правилу. □

Если М = R3, то дифференциал 1-формы

d (К dx + р dy + v dz) = (vy — pz) dy a dz +

+ (^z — v*) dzNdx-\- (px — Ky) dx л dy можно отождествить с ротором ее коэффициентов: VX^ = = V X (К р, v). Аналогично, дифференциал 2-формы

d (a dy л dz + 0 dz д dx + у dx л dy) = (с^ + 0У + у2) dx ^dy л dz

можно отождествить с дивергенцией V-« = V-(a, 0, у). Свойство (1.55) замкнутости d поэтому превращается в известные тождества векторного исчисления

VX(Vf) = 0, v-(vxi)=o.

Возможно, читателю поучительно посмотреть, какие тождества векторного исчисления содержатся в этом случае в свойстве (1.54) антидифференцирования.

Комплекс де Рама

Для данного многообразия М обозначим через /\k = Л ДМ) пространство всех гладких дифференциальных й-форм на М. Дифференциал d, отображающий ^-формы в (^ + 1)-формы, служит для определения комплекса

„ddddd

O^R^Ao-^A1-*A2-^...> Am_i—>Am^0,

называемого комплексом де Рама многообразия М. В общем случае комплекс определяется как последовательность векторных пространств с линейными отображениями соседних пространств, обладающими тем свойством, что композиция любой пары последовательных отображений — тождественный нуль. В нашем случае последнее требование — это переформулировка свойства замкнутости d°d — 0 (1.55) дифференциала. Начальное отображение R ->- Ло переводит константу се F: в постоянную функцию (0-форму) f(x) =с на М. Отметим, что dc = 0 для любой постоянной с.

Определение комплекса требует, чтобы ядро каждого из линейных отображений содержало образ предыдущего отображения. Комплекс является точным, если это включение на самом деле является равенством. В случае комплекса де Рама точность означает, что замкнутая дифференциальная й-форма о (это означает, что dto = 0) обязательно является точной дифференциальной ^-формой (это означает, что найдется (А—1)- форма 6, такая, что co = d6). (При к = 0 это означает, что гладкая функция f замкнута, df — 0, если и только если она

постоянна.) Очевидно, что всякая точная форма замкнута, однако обратное, вообще говоря, неверно. Простой пример доставляет форма о = (х2 + у2)-1 (у dx — х dy) на многообразии М = = R2\{0}. Легко видеть, что она замкнута, но не является дифференциалом никакой гладкой однозначной функции, определенной на всем многообразии М. Таким образом, комплекс де Рама, вообще говоря, не является точным. Замечательно, что чисто топологическая информация о многообразии М определяется тем, насколько неточен этот комплекс. Этот результат — знаменитая теорема де Рама — лежит за рамками настоящей книги, и мы отсылаем заинтересованного читателя к книгам Warner [1], Bott, Tu [1], в которых развивается эта прекрасная теория.

На локальном уровне для специальных типов областей евклидова пространства Rm имеется лишь тривиальная топология, и точность комплекса де Рама имеет место. Этот результат, известный как лемма Пуанкаре, будет справедлив для звездных областей М с Rm. «Звездность» означает, что с каждой точкой х область 1Л. содержит отрезок, соединяющий х с началом координат : {Ах: 0 ^ А ^ 1} с: М.

Теорема 1.61. Пусть MclR™ — звездная область. Тогда комплекс де Рама, построенный на М, точен.

Пример 1.62. При М с Rm всякая m-форма со единственным образом определяется одной гладкой функцией f: о = f (х) д dxx к ... д dxm, где dxx n ... N dxm — стандартная форма объема. (Это должно зависеть от нашего выбора координат.) Аналогично, всякая (щ—1)-форма g определяется набором из m гладких функций р = (pi, ..., рт), так что

^=l(-iy-XptMdx?,

где

dx^ = dxx л. ... Д dx1-1 д dx,+x д ... д dxm.

Дифференциал со = dE, тогда определяется как обычная дивергенция р:

f (х) = div р (х) = 2 др^дх1.

Заметим, что всякая m-форма на Rm всегда замкнута, dm = О, поскольку не существует ненулевых (т+1)-форм. Точность комплекса де Рама в члене Ат, таким образом, означает, что всякая функция f, определенная на звездной подобласти про-

странства Rm, может быть записана как дивергенция: f = divp для некоторого р. Аналогично, (т—1)-форма т] определяется m(m — 1)/2 функциями q^x), j, к = 1, ..., т, где qjk = —Чм, так что

4 = § (-i)^-1 qlk(x)dx&,

i<h где

dx^ = dxx л ... л dxi~l A dx>+1 A ... A dxk-x A dxk+x a ... A dxm.

Заметим, что условие di] — g эквивалентно условию, что р — «обобщенный ротор» для q-.

Pi(х) = ^ dq!kJdx\ / = 1, ...» т.

Точность комплекса де Рама в этом члене означает тогда, что каждое векторное поле р^х), определенное на звездной области в Rm и являющееся бездивергентным (divp = 0), обязательно будет обобщенным ротором для некоторого такого q.

Производные Ли

Пусть v — векторное поле на многообразии М. Мы часто интересуемся тем, как некоторые геометрические объекты на М (такие, как функции, дифференциальные формы и другие векторные поля) изменяются под действием потока exp (ev), порожденного полем v. Производная Ли такого объекта на самом деле укажет нам его инфинитезимальное изменение под действием этого потока. (А наши стандартные процедуры интегрирования укажут нам, как восстановить изменение под действием потока по этому инфинитезимальному изменению.) Например, поведение функции под действием потока, индуцированного векторным полем v, было уже описано (ср. (1.17)), так что v(f) будет «производной Ли» от функции f по v.

Более общо, пусть о — дифференциальная форма или векторное поле, определенное на М. Данная точка хеМ через «время» е перейдет в точку exp(ev)x. Наша цель — сравнить значение о в точке exp(ev)x с ее исходным значением в точке х. Однако о |ехр (Ev) х и о|х так, как они есть, строго говоря, несравнимы, поскольку принадлежат разным векторным пространствам (например, в случае векторных полей, ТМ 1^^, и TAIQ. Чтобы осуществить сравнение, нам нужно «переместить» o|exp(EV)x обратно в точку х некоторым естественным способом, а затем

проводить сравнение. Для векторных полей такое естественное перемещение — это обращение дифференциала

q£ = tZexp(-ev): ТМ \eW^TM\x,

тогда как для дифференциальных форм мы пользуемся отображением кодифференциала

Ф* = exp (cv)*: ДкТ*М |exp(ev)x ^ ДкТ*М [,.

Это позволяет нам дать общее определение производной Ли.

Определение 1.63. Пусть v — векторное поле на М, а о — векторное поле или дифференциальная форма на М. Производная Ли от о по v — это объект, значение которого в точке хеМ равно

vМI, = |,m «^wJ-’k _ А.^(„U|w). (1.В7)

(Отметим, что v(o) —объект того же типа, что и о.)

В случае, когда о — векторное поле, его производная Ли — уже известный объект — это скобка Ли!

Предложение 1.64. Пусть v и w — гладкие векторные поля на М. Производная Ли от w по v совпадает со скобкой Ли полей v и w:

v(w) = [v, w],(1.58)

Доказательство. Пусть (х1, ..., хт) — локальные координаты, в которых v = £ £‘ (х) д[дх\ w = 2 Л* to д[дх1. Разлагая по степеням е, мы видим, что

W lexp (ev)* = £ W to + EV (т)^ + О (в2)] ^- , i=l

следовательно, если воспользоваться (1.23) и (1.19), dexp(-ev) [w|exp(Ev)J = m

= У {л' to + е [v (if) — w (В')] + О (е2)} -Д-.

*—'дх1

Подставляя это в определение (1.57), мы выводим (1.58) из (1.28). □

Обращаясь к дифференциальным формам, мы видим, что производную Ли легче всего найти, исходя из ее основных свойств:

линейности:

v (со + c'to't = cv (<о) + c'v (o'), с, с' — константы; (1.59)

свойства дифференцирования:

V (to л 0) = V (to) л 0 + to л v (0);(1.60)

коммутирования с внешним дифференцированием:

v (da) = dv (to).(1.61)

Свойство коммутирования доказывается с помощью аналогичного свойства кодифференциала (1.56). Свойство дифференцирования доказывается точно так же, как правило Лейбница. На самом деле рассуждения такого типа распространяются на производные Ли более общих билинейных комбинаций геометрических объектов. Так, мы получаем полезную формулу

v (w J со) = [v, w] J to + w J v (to)(1-62)

для векторных полей v и w и дифференциальной формы о. (См. упр. 1.35.)

В локальных координатах производная Ли от дифференциальной формы определяется следующим образом. Если

1 = 1

то

v (dx‘) = dv (х‘) = dV = V -^т dx*.' дх1

/=1

Поэтому мы получаем общую формулу

V ^Х a^x^dx1^ =

= £ lv(a/)d/ + £ «rdx11 л Л d£K К ... Adxtfcl. (1.63) I I 4 ’И=1)

Заметим, что три свойства (1.59) — (1-61) вместе с действием на гладкие функции однозначно определяют операцию взятия производной Ли. Например, если М = R2 и

v = i(x, у)дх + т)(х, у)ди.

4 П. Олвер

то производная Ли от 2-формы равна

v(Y(х, У)dxлdy) = v(у)dxAdy + уdE,Ady + Уdx^dт^ == UYx + 4Yy + Y^ + УПу} dx A dy.

В частности, производная Ли от dxAdy по v =—удх + хду, образующей группы вращений, есть тождественный нуль. Это отражает тот факт, что вращения в R2 сохраняют площадь. (См. упр. 1.36.)

Предложение 1.65. Дифференциальная k-форма на М инвариантна относительно потока векторного поля v:

^Ufevf^exPf-^r^lx).

если и только если v (о) = 0 всюду. (Аналогичный результат справедлив для векторных полей.)

Доказательство. Применяя ФЕ = ехр(еу)* к (1.57) и пользуясь основными групповыми свойствами потока, убеждаемся, что

exp (ev)* (v (о) |ехр (6v) J = -^ {exp (ev)’ (со |ехр (EV),)} (1.64) для всех е из области определения. Отсюда легко выводится наше предложение. □

Наиболее важная для наших целей формула — это формула, связывающая производную Ли и дифференциал.

Предложение 1.66. Пусть со — дифференциальная форма, а v — векторное поле на М. Тогда

v(co) — d(v J со) + v J (das).(1-65)

Доказательство. Определим оператор 2Д (со) правой частью равенства (1.65). Поскольку производная Ли однозначно определяется своим действием на функции и свойствами (1.59) — (1.61), достаточно проверить, что 2Д обладает теми же свойствами. Прежде всего,

^V(f) = vjdf = (df; v) = v(f),

так что действие на функции такое же. Линейность оператора ^v очевидна, а свойство замкнутости d немедленно доказывает свойство коммутирования:

$v (das) = d(v J das) = d$v (as).

Наконец, если со есть &-форма, а 6 есть /-форма, мы, пользуясь (1.52), (1.54), получаем, что

^v(waO) = c/[(vJ(o)aO + (-I)%)A(vJ6)] +

+ v J [(^®) Л 0 + (-1 )fe со Л (</6)] =

= d(y _]со)а6 + (-1)Й-' (v Jo)Ad6 +

+ (-l)fe(dto)A(v J0) + (-l)“®Ad(v J0) +

+ (v J dto) A 6 + (—l)ft+1 (cM A(vJ0) +

+ (— l)fe (v J co) a (c/0) + (- l)2ft co A (v J d6) =

= $N (to) A 6 + <0 A $N (6).

Остальные члены сокращаются. □

Операторы гомотопии

Ключ к доказательству точности комплекса де Рама (или, если на то пошло, любого другого комплекса) лежит в построении подходящих операторов гомотопии. По определению это линейные операторы h: Лб^-Лб+ь переводящие дифференциальные й-формы в (А— 1)-формы и удовлетворяющие основному тождеству

со = dh (со) + h (dco)(1.66)

для всех й-форм со. (Случай к = 0, как разъясняется ниже, немного отличается от остальных.) Наличие таких операторов немедленно влечет за собой точность комплекса, потому что если форма со замкнута, dco = O, то (1.66) приводит к равенству со = = с/6, где 0 = й(со), так что форма со точна. Таким образом, нам нужно лишь сосредоточиться на отыскании этих операторов гомотопии.

Вернемся к формуле (1.65) для производной Ли. Если бы мы могли обращаться с производной Ли как с обычной производной, то мы бы проинтегрировали обе части равенства (1.65) и вывели бы формулу гомотопии (1.66). Точнее, мы можем проинтегрировать формулу (1.64) для производной Ли по е; пользуясь (1.65) и (1.56), находим

8

exp (ev)* [со |ехр (Ev) J - со |х = $ exp (ev)* [v (со) [^ (gy) J ds =о

8

= $ ^d [exp (ev)* (v J со |£xp (gy),)] +0

+ exp (ev)* [v J dto |exp (6v) x]} d=.

Если мы определим оператор

Е

№v (Ю) L = S 6ХР W [V J Ю Up (ev) J №,о

то получим формулу, похожую на формулу гомотопии,

exp(ev)* [со |ехр (6V) J - © |х = dhEv (to) |х + hE (da) |х,(1.67)

которая справедлива для любого многообразия М, любой дифференциальной формы о, любого векторного поля v и всех е е Е R, таких, что определена exp(ev)x.

Сейчас мы в состоянии доказать лемму Пуанкаре (теорема 1.61) построением оператора гомотопии для звездной области М cz Rm. Отметим, что векторное поле растяжения v0 = ^х1д1дх1 имеет поток exp(ev)x = еЕх, который при хеМ остается в М при всех е ^ 0. Если © = 52 a[(x)dx, есть й-фор- ма, определенная на всем М, то при е ^ 0

exp (ev0)’ [со |ехр ^ ,] = exp (ev0)* [ 52 a, (еЕх) dx'^ =

= 52 а/ (еЕх) ekE dx1,

поскольку exp(evo)*(dx‘) = d(eExl) = eEdxl. Мы можем записать эту формулу в более простом виде, если обозначим а через о [х]. Тогда получим

exp (ev0)*to [х] = о [еЕх] = 52 а/ (U-v) ^ (^‘О ^ ... ^d (eEx'fe).

(Иными словами, мы подставляем ^х1 вместо каждого х1 там, где х' встречается в о, включая дифференциалы dx‘.) В этом частном случае (1.67) при v = v0 принимает вид

о [еЕх] — о [х] = dho (го) + ho (da),(168)

где при е^О е1

ho (to) = ^ (v0 J to) [eEx] de = — ^ (v0 J to) [Zx] ^-

0log 8

(мы использовали замену переменной Z = loge). Пусть теперь е^со. Если о есть й-форма и к > 0, то и [еЕх] ->0 при в—>- -^-—оо. Таким образом, (1.68) приводит к формуле гомотопии (1.66) с оператором гомотопии

1

h(a)= ^(v0Jto)[Zx]-^.(1.69)

о

(Заметим, что в этой формуле мы сначала вычисляем внутреннее произведение v0 J со, а затем значение в точке Хх.) Если, однако, ^ = 0, так что со — гладкая функция f(x), то (1.68) приводит к другой формуле

f (х) - f (0) = dh ф + h (df) = h ^

в пределе при e-i—oo, а это приводит к исходному вложению R -> Ло в комплексе де Рама. Таким образом, доказательство леммы Пуанкаре завершено.

Пример 1.67. Рассмотрим плоскую звездную область М cz R2. Если

со = а (х, у) dx + Р (х, у) dy

— произвольная 1-форма, то

v0 J со = (хдх + уду) Jco = xa(x, у) + уР(х, у\

Поэтому функция h(со), полученная применением нашего оператора гомотопии (1.69) к со, имеет вид

1

h (со) = (Хха (Хх, Ху) + ХуР (Хх, Ху)} ^- =

о'

1

= (ха(Хх, Ху) -|- уР (Хх, Ху)} dX. о

Аналогично, применение h к 2-форме дает 1-форму

1

h [V кх> У) dx Л dy\ = (Х2ху (Хх, Ху) dy — Х2уу (Хх, Ху) dx\ ~ =

= — 1 ^УХ ^х> ^У> dX г dx + s ( Хху (Хх, Ху) dX г dy,

* 0J* 0v

интегрирование по X не влияет на дифференциалы dx и dy. В частности, для указанной 1-формы

dto = (рж — ay) dx л dy, так что формула гомотопии (1.66) приводит к двум формулам — для а и для р, первая из которых имеет вид

1

а (я, У^ = -1х\^ха^Хх, ^У) + УР(^, Xy^dX —

1

— ^У [Рх (^i ^у) — °у ^хг Яу)] ^Л< о

Читатель может получить удовольствие, непосредственно проверив это последнее утверждение. В частности, если dco = 0, то со = df, где f = й(со) такая же, как и выше. Результат того же сорта справедлив и для 2-форм.

Интегрирование и теорема Стокса

Хотя это и не является центральным предметом темы нашей книги, было бы несправедливо во введении в дифференциальные формы обойтись без краткого обсуждения интегрирования и теоремы Стокса. В самом деле, дифференциальные формы возникают как «объекты, которые можно интегрировать на многообразиях». Чтобы определить интегрирование, нам нужно сначала ориентировать m-мерное многообразие М посредством не обращающейся в нуль m-формы со, определенной на всем М. Другая не обращающаяся в нуль m-форма й определяет ту же ориентацию, если она является положительным скалярным кратным формы to в каждой точке. На таком многообразии М имеется в точности две ориентации. (Не каждое многообразие ориентируемо. Пример — лист Мёбиуса.) В частности, мы можем ориентировать Rm (и поэтому всякое его открытое подмножество), выбрав форму объема dx1 л ... л dxm. Отображение F: №-*М двух ориентированных m-мерных многообразий сохраняет ориентацию, если кодифференциал ориентирующей формы на М определяет ту же ориентацию на М, что и была там задана. Если многообразие М ориентировано, то мы можем покрыть М сохраняющими ориентацию координатными картами %а: Ua~* Va, так что функции перехода %ро%-1 будут сохраняющими ориентацию диффеоморфизмами на Rm.

Если М — ориентированное m-мерное многообразие, то мы можем определить интеграл $ со от любой m-формы со по М.

м

В сущности, мы разрезаем М на части, отвечающие ориентированным координатным картам, и складываем отдельные интегралы

5 и = 5 (Ха *)* ° = $ f ^ dx1 л ... л dxm, Ua VaVa

здесь последний интеграл — обычный кратный интеграл по Vac Rm. Формула замены переменных в кратном интеграле гарантирует независимость этого определения от выбора координат. Более общим образом, со = ^ F*to, если F: Й->М сохра- м я

няет ориентацию.

Теорема Стокса связывает интегралы от m-форм по компактному m-мерному многообразию М с интегралами от (т— 1)- форм по границе дМ. Простейшее многообразие с границей — верхнее полупространство Нт={(х1, ..., хт): хт ^0} пространства Rm, причем дЦт = {(х1, .хт-1, 0)} — Rm-1. Всякое другое многообразие с границей определяется с помощью координатных карт %а: Ua-^-Va, где VaczlHm открыто (это означает, что Va = Hm А Kz. где PaczRm открыто). Граница карты — это dUa = х"1 [dPa], дИа = ^ А дН"\ а дМ — объединение всех таких границ координатных карт. Таким образом, дМ — гладкое (m—1)-мерное многообразие без границы.

Граница полупространства Цт получает «индуцированную» ориентацию (—Vf1 dx1 л ... л dxm-x из формы объема dxx л ... ... л dxm, определяющей ориентацию на самом Цт- Если М — ориентированное многообразие с границей, то дМ снабжается индуцированной ориентацией, так что всякая ориентированная координатная карта xa: Ua-^-Va на М сужается до ориентированной координатной карты д^а- dUa-±-dVa на дМ. Имея эти определения, мы можем сформулировать теорему Стокса в общем виде.

Теорема 1.68. Пусть М — компактное ориентированное m-мерное многообразие с границей дМ. Пусть со— гладкая (т— V)-форма, определенная на М. Тогда J о = J ^ю- ам м

Пользуясь отождествлением дифференциала d с обычными операциями дифференцирования векторов в R3, читатель может проверить, что теорема 1.68 приводит к обычной форме теоремы Стокса и теореме о дивергенции из векторного исчисления. Более общо, имеется тесная связь между комплексом де Рама, теоремой Стокса и топологией многообразия М, но дальнейшее обсуждение завело бы нас слишком далеко, и на этом мы заканчиваем краткое введение в этот предмет.

Замечания

В этой главе мы смогли дать лишь сокращенное введение в обширные и важные теории групп Ли и дифференцируемых многообразий. Имеется много прекрасных книг, которые с пользой для себя может изучить читатель, заинтересованный в дальнейшем углублении в эти области. Среди них — книги Warner [1], Boothby [1], Thirring [1; ch. 2] и Miller [2]. Книга Понтрягина [1] полезна как образец подхода к этому предмету, основанного на понятии локальной группы Ли. Она содержит

много доказательств важных теорем, которые трудно найти где- либо еще. Можно было бы упомянуть и много других работ.

Исторически эти две области — дифференцируемые многообразия и группы Ли — тесно взаимодействовали в процессе их развития, причем каждая стимулировала дальнейшую работу в другой области. Тем не менее, сам Ли извлек исходную мотивировку из захватывающего успеха применения теории групп Галуа к решению полиномиальных уравнений и стремился создать аналогичную теорию для решения дифференциальных уравнений с помощью своей теории непрерывных групп. Хотя он не достиг этой цели (более изящная теория Пикара—Вессио является правильной «теорией Галуа дифференциальных уравнений»— см. Pommaret [2]), его плодотворное влияние на все аспекты этого предмета продолжается по сей день.

Во времена Ли все группы Ли были локальными группами и возникали конкретно как группы преобразований некоторого евклидова пространства. Глобальный абстрактный подход созревал довольно медленно. Первое современное определение многообразия с координатными картами появилось у Картана (Cartan [2]). (Сам Картан сыграл фундаментальную роль в истории групп Ли; его определение многообразия появилось под влиянием книги Вейля Weyl [1] о римановых поверхностях, а также близких идей Шрайера (см. Schreier [1]).) Переход от локальной группы Ли к сегодняшнему определению, использующему теорию многообразий, также был совершен Картаном (Cartan [2]). Кроме того, Картан ввел понятие односвязной накрывающей группы группы Ли и заметил, что односвязная накрывающая группа группы SL(2, R) не является подгруппой никакой матричной группы GL(n) (Cartan [3]). (Интересно, что имеется реализация этой глобальной группы как открытого подмножества пространства R3 (Bargmann [1]).) Более доступный пример группы Ли, которую нельзя реализовать как группу матриц, можно найти в работе Birkhoff [1].

Фундаментальным инструментом Ли в его теории была инфинитезимальная форма группы Ли, называемая теперь алгеброй Ли. В локальном варианте теорема о соответствии между группой Ли и правоинвариантными или левоинвариантными векторными полями, образующими ее алгебру Ли, называется первой основной теоремой Ли. Восстановление локальной группы Ли по ее алгебре Ли составляет вторую основную теорему Ли; ее доказательство, не основанное на теореме Адо, можно найти в книге Понтрягина [1; теорема 89]. Построение глобальной группы Ли по ее алгебре Ли приведено у Картана (Cartan [3]); см. также Понтрягин [1; теорема 96]. Доказательство основано на современной теореме Адо из работы Адо [1] (см. также

Jacobson [1; гл. 6]), приведенное здесь доказательство — более новое. В третьей основной теореме Ли утверждается, что структурные константы однозначно определяют алгебру Ли и, следовательно, группу Ли. Полное доказательство существования общего соответствия между подгруппами группы Ли и подалгебрами ее алгебры Ли можно найти в книге Warner [1; теоремы 3.19 и 3.28]. Теорема 1.19 о замкнутых подгруппах групп Ли принадлежит Картану (Cartan [2]); доказательство см. Warner [1; теорема 3.42]. Теорема 1.57 о восстановлении группы преобразований по ее инфинитезимальным образующим восходит к Ли; доказательство см. у Понтрягина [1; теорема 98]. Использованное здесь определение регулярной группы преобразований основано на материале монографии Palais [1] и развивается далее в гл. 3.

Тогда как векторные поля берут свое начало в изучении математической физики, современная геометрическая формулировка во многом обязана работе Пуанкаре Poincare [1], влияние которого, как и влияние Ли, прослеживается на всем предмете. Обозначение для векторного поля, принятое здесь и вообще в современной дифференциальной геометрии, однако, происходит из обозначения Ли инфинитезимальных образующих группы преобразований. Потоки векторных полей достаточно естественно возникают в механике жидкости; см. Wilczynski [1], где устанавливается связь между их физической и теоретико-групповой интерпретациями.

Теорема Фробениуса 1.43 изначально появилась как теорема о природе решений определенных систем однородных линейных уравнений с частными производными первого порядка; см. Frobenius [1] и обсуждение инвариантов в § 2.1. Ее превращение в теорему из дифференциальной геометрии впервые произошло в важной книге Chevalley [1] по группам Ли. (В этой книге в первый раз была собрана вместе большая часть современных определений и теорем по этому предмету.) Доказательство полу- регулярного варианта теоремы Фробениуса можно найти в книге Warner [1; теорема 1.64], а доказательство, использующее современный метод, принадлежащий Вейнстейну, — в книге Abraham, Marsden П; Р- 93]. Этот результат распространил на системы векторных полей переменного ранга Херманн (Hermann [1], [2]). Впоследствии он был еще обобщен — см. Sussmann [1], — однако осталось еще много работы, в частности, по выяснению структуры особых множеств. В этих и других работах термины «распределение» или «дифференциальная система» применяются к тому, что мы просто называем системой векторных полей. (Такая терминология особенно сбивает с толку, когда она появляется в совершенно ином контексте в функциональ-

ном анализе.) Далее, вместо нашего термина «интегрируемый» чаще используют термин «вполне интегрируемый», но этот последний имеет совсем другие значения при изучении гамильтоновых систем, что и мотивирует наш выбор терминологии.

Дифференциальные формы берут свое начало в работе Грассмана и в попытках найти многомерное обобщение теоремы Стокса. В руках Пуанкаре и Картина они стали мощным инструментом в изучении дифференциальной геометрии, топологии и дифференциальных уравнений. Уже у Пуанкаре (Poincare [1]) мы находим основные понятия внешнего произведения, внутреннего произведения, дифференциала и как многомерную форму теоремы Стокса, так и лемму, носящую его имя. См. также Cartan [1], где эта теория получает дальнейшее развитие и применяется к дифференциальным уравнениям. Понятие производной Ли, однако, в сущности, созданное Пуанкаре (см. также Cartan [1]), впервые было формально определено Схоутеном и его соавторами; см. Schouten, Struik [1;р. 142]. Эта последняя работа содержит также первое доказательство леммы Пуанкаре, основанное на основной формуле гомотопии. Наконец, связи с топологией, происходящие из теоремы де Рама, можно найти в книгах Warner [1; гл. 5] и Bott, Tu [1].

Упражнения

Вещественное проективное m-мерное пространство определяется как множество всех прямых, проходящих через начало координат в Rm+I. Точнее, мы определяем отношение эквивалентности на Rm+1\{0), полагая х ~ у, если и только если х = Ху для некоторого ненулевого числа X. Тогда RPm — соответствующее множество всех классов эквивалентности в Rm+1 \{0).

Докажите, что RPm — многообразие размерности т, предъявив координатные карты.

Докажите, что RP‘~S', и предъявите диффеоморфизм.

Пусть Sm — единичная сфера в Rm+1. Докажите, что отображение F: Sm -> RPm, ставящее в соответствие точке г eS™ ее класс эквивалентности в RPm, является гладким накрывающим отображением. Что будет прообразом F~*{z} точки zeRPm?

*1.2. Грассмановы многообразия. Пусть 0 < т < п.

Докажите, что пространство GL(m, и) всех матриц размера т X п максимального ранга — аналитическое многообразие размерности т • п.

Пусть Grass (m, п) обозначает множество всех m-мерных подпространств пространства R". Покажите, что на Grass (m, п) можно задать структуру аналитического многообразия размерности т^п — mY (Указание. Любому базису такого m-мерного подпространства соответствует матрица из GL(m, и), строки которой составляют этот базис. Покажите, что базис можно выбрать так, чтобы эта матрица имела т таких же столбцов, как единичная матрица; оставшиеся элементы дадут локальные координаты для Grass(т, п).)

Пусть F: GL(m, n)-> Grass(m, и)—отображение, ставящее в соответствие матрице А подпространство пространства R", порожденное ее строками. Докажите, что Г — аналитическое отображение многообразий. "

Докажите, что Grass (m, п) и Grass(n — m, n) —диффеоморфные многообразия. В частности, Grass(l, n) ^ Grass (n—1, n) ~ RR"-1.

Пусть <P(/) = ((V2 + cos 2/) cos 3/, (V2 + cos 2/) sin 3/, sin 2/) при 0 ^ t ^ 2л. Докажите, что образ <р— регулярная замкнутая кривая в R3 —

«трилистник».

Пусть

Ф (п, о) = I 2 cos и + у sinФ (п, о) = I 2 cos и + у sinм о ,. и .

Ф (п, о) = I 2 cos и + у sin

Ф (п, о) = I 2 cos и + у sin

— cos и, 2 sin и + у sin — sin и, у cos

при 0 ^ и < 2л, 0 ^ у ^ 2л. Докажите, что <р — регулярное погружение, образ которого — лист Мёбиуса в R3.

Докажите, что если /V cz М — компактное подмногообразие, то N — регулярное подмногообразие. (Boothby [1; р. 79].)

Докажите, что m-мерная сфера S™ односвязна при т ^ 2. Что можно сказать о вещественном проективном пространстве RPm? (См. упр. 1.1.)

Пусть М = R 2 \ {0}. Докажите, что (х, уУ—>(excosy, exsin у) определяет накрывающее отображение из R2 на М и, следовательно, R2 односвязно накрывает R2\{0}.

Пусть М = R2 \ (0). Докажите, что V (е, (г, 6)) = (ге-е + (1 — е-е) 6-Re), eeR, в полярных координатах определяет однопараметрическую группу преобразований. Найдите ее инфинитезимальную образующую. Докажите, что каждая орбита — регулярное подмногообразие в М, однако действие группы не является регулярным.

Рассмотрим систему векторных полей

V] = хду — удх 4- zdw — wdZ1 v2 = zdx — xdz 4- w9u — ydw

на единичной сфере S3 c R4.

Докажите, что {vi, v2] составляют интегрируемую систему. Что будет интегральными подмногообразиями в S3?

Пусть л: S3 \ {(0, 0, 0, 1)}-* R3 — стереографическая проекция (как в примере 1.3). Какими будут векторные поля dn(vi) и dn(v2) на R3? Какими будут их интегральные подмногообразия?

Можно ли построить систему из трех векторных полей u, v, w на R3, такую, что [и, v] = 0 = [и, w], но [v, w] = 0? Можно ли построить интегрируемую систему с такими соотношениями коммутирования? Если можно, то как будут выглядеть интегральные подмногообразия такой системы?

Докажите, что векторное поле

v = (—у — 2z (х2 4- У2)) дх 4- хду 4- х (х2 4- у2 — z2 — 1) д2

не задает регулярную систему на R3. Докажите, что всякая интегральная кривая поля v лежит в одном из торов, рассмотренных в примере 1.42. Докажите, что поток, порожденный полем v, будучи ограниченным на один из этих торов, изоморфен либо рациональному, либо иррациональному потоку на торе в зависимости от размера тора.

Предположим, что v— гладкое линейное отображение иа пространстве гладких функций, определенных вблизи точки х е М, которое удовлетворяет условиям (1.20)—(1.21). Докажите, что v— касательный вектор к М в точке х. (Warner [1; с. 21].)

. Пусть M=R2. Рассмотрим систему векторных полей 36, порожденную полем Vo = дх и всеми векторными полями вида f (х)д„, где f: R^-R— произвольная гладкая функция, все производные которой в нуле равны нулю: f(n)(0) = 0, п = 0, 1, 2

Докажите, что система 36 инволютивна.

Докажите, что у 36 нет интегральных подмногообразий, проходящих через какую-либо точку (0, у) на оси у.

Как вы согласуете это с теоремой Фробениуса 1.40 или 1.41? (Nagano [1].)'

Пусть {vi, .... vr}—конечная инволютивная система векторных полей на многообразии М. Докажите, что эта система всегда инвариантна по рангу. (Таким образом, теорема 1.40 — частный случай теоремы 1.41.) (Hermann [1].)

Докажите, что множество всех неособых верхних треугольных матриц образует группу Ли Г(п). Какова ее алгебра Ли?

Рассмотрим матрицу размера 2пХ2п

/ = (-/ о)’

где / — единичная матрица размера п X п. Симплектическая группа 8р(п) определяется как множество всех матриц А размера 2n X 2п, таких, что ATJA = L Докажите, что Sp (п) является группой Ли, и вычислите ее размерность. Какова ее алгебра Ли?

Докажите, что если Н с G—связная однопараметрическая подгруппа группы Ли G, то Н изоморфна либо 80(2), либо R.

Докажите, что если G и Н-—группы Ли, то их декартово произведение G\H — также группа Ли.

Пусть G и Н— группы Ли. Пусть G действует (глобально) на Н как группа преобразований:/г—> g-h, geG, heli, причем g^ht-h^ = = (g'hi) ■ (g-h2). Определим полупрямое произведение групп G и Н, которое будем обозначать через G^<H, как группу Ли, структура многообразия у которой такая же, как у декартова произведения G X Н, а групповое умножение задается формулой

(g, h) • (g, h^ = (g • g, h-Vg- A)).

Докажите, что Gt<H— группа Ли.

Как алгебра Ли группы ОХ Н связана с алгебрами Ли групп G и №

Докажите, что евклидова группа Е(т), состоящая из всех сдвигов и вращений пространства Rm, является полупрямым произведением группы вращений S0(m) и векторной группы Rm, причем S0(m) действует на R™ как группа вращений. (См. также упр. 1.29.)

Пусть V = {(х, у): |х| < 1} с R2. Определим отображение tn: V X V.-* R2 формулой

иг (х, у; z, ш) = (xz + х + z, xw К w + у (z + I)-1), (х, у), (z, ay) е V.

Докажите, что т — мультипликативное отображение, превращающее V в локальную группу Ли, построив для этого отображение взятия обратного г. Vo -► V на подходящей подобласти Vo. Какой будет алгебра Ли для V?

Докажите, что каждая двумерная алгебра Ли либо (а) абелева (все скобки равны нулю), либо (Ь) изоморфна алгебре Ли с базисом {v, w), удовлетворяющим соотношению [v, w] = w. Найдите матричное представление из матриц размера 2X2 для алгебры Ли п. (Ь). Найдите соответствующую односвязную группу Ли. Постройте локальный изоморфизм групп из локальной группы Ли упр. 1.20 в эту глобальную группу Ли. (Jacobson [1; с. 20].)

Докажите, что R3 образует алгебру Ли со скобкой Ли, задаваемой векторным произведением: [v, w] = v X w, v, we R3. Какими будут структурные константы этой алгебры Ли в стандартном базисе пространства R3? Докажите, что эта алгебра Ли изоморфна so(3)—алгебре Ли трехмерной группы вращений. Покажите, что изоморфизм можно устроить так, что данному вектору veR3 будет соответствовать инфинитезимальная образующая однопараметрической группы правых поворотов вокруг оси в направлении v.

*1.23. Докажите, что каждая комплексная группа Ли содержит двумерную подгруппу. Справедливо ли это для вещественных групп Ли? (Cohen [1; р. 50].)

*1.24. Подгруппа Н группы G называется нормальной, если g~'hg е Н для любого h е Н и любого g е G. Пусть G/Н обозначает множество классов эквивалентности на G, где g и Й эквивалентны, если и только если g = gh для некоторого he Н.

Докажите, что если HcG — нормальная подгруппа, то на G[H естественно можно ввести структуру группы.

Докажите, что подгруппа Ли Н группы Ли G нормальна, если и только если ее алгебра Ли teg обладает тем свойством, что [v, w] е г, если v eg и w е т.

Докажите, что если Ней — нормальная подгруппа Ли, то факторгруппа G/H является группой Ли с алгеброй Ли g/r. Объясните это.

Найдите все нормальные подгруппы двумерных групп Ли из упр. 1.21.

Есть ли нормальные подгруппы у группы 80(3)?

*1.25. Пусть G — группа Ли. Ее коммутант Н определяется как подгруппа, порожденная элементами ghg^'h-1, g, he G.

Докажите, что H — подгруппа Ли группы G и что алгебра Ли группы Н — производная подалгебра алгебры g, определяемая равенством г = = {[v, w]: v, weg).

Докажите, что коммутант группы 80(3)—сама группа 80(3). Что можно сказать о группе S0(m)?

Какие коммутанты у двумерных групп Ли, рассмотренных в упр. 1.21?

Докажите предложение 1.24. {Указание. Докажите, что U U* и открыто, и замкнуто в G). (Warner [1; с. 111].)

Пусть G — группа Ли с алгеброй Ли g.

Докажите, что экспоиеициальное отображение exp: g -> G является локальным диффеоморфизмом окрестности точки 0 eg на окрестность единицы в G.

Докажите формулу (1.40) для «нормальных координат». (Warner [1; с. 122 и далее].)

28. Пусть SL(2) обозначает группу Ли матриц размера 2X2 с определителем, равным +1, и пусть sl(2) —ее алгебра Ли.

Пусть Ле si (2). Докажите, что

{

(ch б) / + (б ’shfi) Л,6 = V-detЛ, det Л < О,

(cos б) I + (б-1 sin б) Л, б = Vdet Л,det Л > 0.

Что будет в случае, когда det Л = О?

Рассмотрим матрицу М = I _, I е SL (2), где К#= 0. Докажите, что М лежит в точности в одной однопараметрической подгруппе группы SL(2) при Л > 0, в бесконечном числе однопараметрических подгрупп при К = —1 и не лежит ни в какой однопараметрической подгруппе при —1 =/= э^ X < 0. (Это показывает, что экспоненциальное отображение exp: g -*• G не является, вообще говоря, ни взаимно однозначным, ни отображением на1) (Helgason [1; с. 146].)

29. Диффеоморфизм ф: Rm-»-Rm называется изометрией, если он сохраняет расстояние, т. е. МФ(у) | = |v|) для всех уеГК"!,, xeR", где | • | — обычная евклидова метрика X ^dxt^- ^е-

|vp=£(^)2.|vp=£(^)2.V = £ 11д!дх1.V = £ 11д!дх1.

|vp=£(^)2.

|vp=£(^)2.

V = £ 11д!дх1.

V = £ 11д!дх1.

Докажите, что векторное поле v= ^ Уд]дх1 на Rm порождает однопараметрическую группу изометрий, если и только если его коэффициенты g‘ удовлетворяют системе уравнений с частными производными

дх*дх*&У дх1&У дх1= 0, i^j.= 0, i^j.дУ дх1дУ дх1О, / = 1, ..., т.О, / = 1, ..., т.

дх*

дх*

&У дх1

&У дх1

= 0, i^j.

= 0, i^j.

дУ дх1

дУ дх1

О, / = 1, ..., т.

О, / = 1, ..., т.

Докажите, что (связная) группа изометрий пространства Rm, называемая евклидовой группой Е(т), порождается сдвигами и поворотами и, следовательно, является т(т + 1)/2-мерной группой Ли.

Что получится, если заменить [• | некоторой неевклидовой метрикой? Например, рассмотрите метку Лоренца (дх1)2 + (dx2)2+(дх3)2—(дх4)2 на R4. (Eisenhart [1; гл. 6].)

30. Диффеоморфизм ф: Rm->Em называется конформным преобразованием, если |дф(у) | = Х(х) | v| для всех уеТР"!,, xeR”, где X — некоторая числовая функция от х, a |v| —как в упр. 1.29.

Докажите, что векторное поле v = ^ ^‘(х)д/дх‘ на Rm порождает однопараметрическую группу конформных преобразований, если и только если оно удовлетворяет условиям

дУ ■ дУдх5 дх1дУ ■ дУдх5 дх10, i^b0, i^b—— = ц (х), / = 1, ..., т, дх1—— = ц (х), / = 1, ..., т, дх1(*)(*)

дУ ■ дУ

дх5 дх1

дУ ■ дУ

дх5 дх1

0, i^b

0, i^b

—— = ц (х), / = 1, ..., т, дх1

—— = ц (х), / = 1, ..., т, дх1

(*)

(*)

для некоторой функции р(х).

Докажите, что при m ^ 3 конформная группа пространства Rm есть (т + 1) (т + 2)/2-мерная группа Ли. Найдите ее инфинитезимальные образующие. (Указание. Докажите, что из (*) следует, что все производные третьего порядка от функций £' — тождественные нули.) Что можно сказать про случай т = 2?

Докажите, что инверсия 7(х) = х/|х|2, O^jTeR™, является конформным преобразованием на Rm\{0}.

Докажите, что при т ^ 3 группа конформных преобразований порождается группами сдвигов и поворотов, группой растяжений xi—» Хх, X > 0, и инверсией п. (с).

Обсудите случай конформной группы для метрики Лоренца в R4. (См. упр. 1.29(c).) (Eisenhart [1; гл. 61)

*1.31. Пусть л:$т\{(00, l)}-»-Rm — стереографическая проекция

единичной сферы пространства Rm+1. Докажите, что если HeS0(m+l)— произвольный поворот сферы Sm, то А индуцирует конформное преобразование поДол-1 пространства Rm. Как должны соотноситься конформные преобразования, построенные в упр. 1.30, и повороты сферы Sm? Докажите, что при т^З конформная группа пространства Rm изоморфна группе S0(m+l), и обсудите, какие у них алгебры Ли.

Пусть G — локальная группа преобразований, действующая на гладком многообразии М. Для каждой точки х е М группа изотропии 0х определяется следующим образом: Gx = {g е G: g-x = х}. Докажите, что Gx — (локальная) подгруппа группы G с алгеброй Ли g' = [ve6: v|x = 0). Найдите подгруппы и подалгебры изотропии группы вращений SO(O), действующей на R3. Пусть y = g-x. Как связаны группы изотропии G» и G^

В большинстве изложений теории групп Ли алгебра Ли определяется как пространство левоинвариантных, а не правоиивариантных векторных полей на группе Ли, как это принято у нас. В этом упражнении мы сравниваем эти два подхода.

Дайте определение левоинвариантного векторного поля на группе Ли G. Докажите, что пространство всех левоинвариаитиых векторных полей

на G образует алгебру Ли, обозначаемую %L, которую мы можем отождествить с TGIe.

Пользуясь индексами L и R, чтобы различить эти две алгебры Ли, докажите, что [v, w]z = —[v, w]^, где векторные поля v и w отождествляются по своим значениям в е.

Пусть группа G действует на многообразии М, как в определении 1.25. Если v лежит в вь или дЕ, мы можем определить соответствующую инфинитезимальную образующую ф(у) на М. Покажите, что равенство (1.47), справедливое для правоинвариантных векторных полей, неверно для левоинвариантных векторных полей. Как меняется формула для скобки Ли (1.47) в этом случае? С другой стороны, докажите, что если v — левоинвариантное векторное поле и ^(х) = ^(g, х), то

d^g (ф (v) |х) = ф (v) |g.x,

т. е. инфинитезимальные образующие действия G на М естественно ведут себя по отношению к преобразованиям из группы G. Покажите, что это неверно для правоинвариантных векторных полей.

Какие произойдут изменения, если мы будем считать, что группа G действует на М справа, т. е. положим x-g = 4r(x, g), х- (g-h) = (x-g) ■№ (Marsden, Ratiu, Weinstein [1].)

Пусть a = (a, p, у) —векторное поле на R3, причем Va = 0. Пользуясь оператором гомотопии (1.69), постройте векторное поле X, такое, что V X X = а. Аналогично, если V X X = 0, то найдите функцию f, такую, что X = Vf."'

(а) Пусть v, w — векторные поля, а <о есть 1-форма. Докажите, что

v(w; w) = (v(<i>); w) + <6>; [v, w]).

Более общо, если to есть fe-форма, докажите, что

¥<ю; wb .... wfe) = (v(to); wb ..., w^> + £ (о; wb ..., [v, wz], ..., w/^).

Выведите, что

V (w | to) = W | V (to) + [v, w] | to.

Пусть го = dx' A ... A dxm есть m-форма объема в Rm. Пусть v = 52 V (х) d/dx‘ — векторное поле.

Докажите, что производная Ли от и равна v(w) = div g-и, где div g — 52 d^ldx1 — обычная дивергенция.

Докажите, что поток <рЕ = exp (ev), порожденный полем v, сохраняет объем (это означает, что Vol (<рЕ [X]) = Vol (X) для любого XczRm, такого, что q>E (х) определено для всех хеХ), если и только если divg = O всюду.

Пусть di = dldx1, дх1, i= 1, .... m, — стандартные базисы в TR"” и 7*Rm соответственно. Пусть и есть r-форма на Rm. Докажите следующие формулы:

дк J (dx1 Л и) = — dx1 Л (дк | и),к^1,

dfc I (dxk А го) = о — dxfe Л (Эк | го),

52 дк J (dxk А ю') = (т — г) го.

к=1

2. Группы симметрий дифференциальных уравнений

Полная группа симметрий системы дифференциальных уравнений — это наибольшая локальная группа преобразований, действующих на независимые и зависимые переменные системы и обладающих свойством переводить решения системы в другие ее решения. Главная цель этой главы — дать удобный систематический вычислительный метод, явно определяющий полную группу симметрий произвольной заданной системы дифференциальных уравнений. Чтобы полностью использовать преимущества инфинитезимальной техники, развитой в предыдущей главе, мы сосредоточиваем внимание на связных локальных группах Ли симметрий, оставляя в стороне вопросы, относящиеся к дискретным симметриям (таким, как отражения). Прежде чем приступать к случаю дифференциальных уравнений, жизненно необходимо решить соответствующую задачу в более простой ситуации групп симметрий систем алгебраических уравнений, что мы и делаем в первом параграфе. Во втором параграфе изучается точное определение группы симметрий системы дифференциальных уравнений, что требует знания того, как именно элементы группы преобразуют решения. Соответствующий инфинитезимальный метод опирается на важное понятие «продолжения» действия группы на пространство производных зависимых переменных системы. Ключевая «формула продолжения» для инфинитезимальной образующей группы преобразований, данная в теореме 2.36, доставляет основу для систематического описания групп симметрий дифференциальных уравнений. Приложения к играющим важную роль в физике уравнениям с частными производными, включая уравнение теплопроводности, уравнение Бюргерса, уравнение Корте- вега — де Фриза и уравнения Эйлера течения идеальной жидкости, представлены в § 2.4.

В случае обыкновенных дифференциальных уравнений Ли показал, каким образом знание однопараметрической группы симметрий позволяет понизить порядок уравнения на единицу. В частности, уравнение первого порядка с известной однопараметрической группой симметрий может быть решено в квадра-

турах. В случае групп симметрий высших размерностей ситуация более тонкая: вообще говоря, невозможно понизить порядок уравнения, инвариантного относительно /"-параметрической группы симметрий, на г единиц, пользуясь только квадратурами. Мы подробно обсудим, как работает эта теория в случае многопараметрических групп симметрий уравнений высших порядков и систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

В последнем параграфе этой главы рассматриваются более технические математические результаты, и читатель, ориентирующийся на приложения, на первых порах благополучно может его пропустить. Основная теорема, обратная к теореме о существовании групп симметрий, позволяет узнать, каждая ли (непрерывная) группа симметрий получается указанными методами. Кроме алгебраического условия максимальности ранга дополнительно требуется результат о существовании, известный как «локальная разрешимость». В случае аналитических систем эти вопросы связаны с проблемой существования у системы нехарактеристических направлений, что позволило бы применить теорему существования Коши—Ковалевской. Такие системы объявляются нормальными системами, однако существуют и анормальные системы — несколько примеров таких систем мы приводим. Правильное понимание этих вещей будет решающим для формулирования и доказательства в гл. 5 теорем Нётер, связывающих группы симметрий и законы сохранения.

СИММЕТРИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ

Прежде чем рассматривать группы симметрий дифференциальных уравнений, важно как следует разобрать принципиально более простой случай групп симметрий систем алгебраических уравнений. Под системой алгебраических уравнений мы понимаем систему уравнений

Fv(x) = 0, v = I, .... I,

где Fi(x), ..., Ft (x) — гладкие вещественнозначные функции, заданные на точках х некоторого многообразия М. (Заметим, что прилагательное «алгебраические» используется лишь, чтобы отличить этот случай от систем дифференциальных уравнений; оно не означает, что Fv должны быть многочленами — это произвольные дифференцируемые функции.) Решение — это точка хеМ, такая, что Kv(x) = 0, v=l, .... I. Группой симметрий системы будет локальная группа G преобразований, действующая на М и обладающая тем свойством, что G преобразует решения этой системы в другие ее решения. Иными

словами, если х — решение, g— элемент группы и определено действие g на х, то мы требуем, чтобы g-x также было решением. В этом параграфе мы, главным образом, сосредоточимся на отыскании легко проверяемых условий того, что данная группа преобразований будет группой симметрий такой системы.

Инвариантные подмножества

Более общо, мы можем рассматривать группы симметрий произвольных подмножеств данного многообразия.

Определение 2.1. Пусть G— локальная группа преобразований, действующая на многообразии М. Подмножество 9 а М называется G-инвариантным, а группа G называется группой симметрий подмножества 9, если для любых х е 9 и g е G, таких, что определено действие g на х, g-x ^9.

Пример 2.2. Пусть М = R2.

Если Gc — однопараметрическая группа сдвигов

(х, у) *—* (х + се, у + е), е g R,

где с — некоторая фиксированная постоянная, то, как легко видеть, прямые х = су + d 6с-инвариантны, будучи в точности орбитами группы Gc. Можно также без труда увидеть, что всякое инвариантное подмножество в R2 является просто объединением некоторого набора таких прямых. Например, полоса {(х, у): к\ < х — су < к^ 6с-инвариантна.

В качестве второго элементарного примера рассмотрим однопараметрическую группу G" растяжений (или группу масштабных преобразований)

(х, у) н-* (Лх, Хау\ п > О,

где а — константа. Начало координат (0, 0) есть Са-инвариант- ное подмножество, как и положительные и отрицательные координатные полуоси (например {(х, 0): х>0}). Сами оси как объединения инвариантных подмножеств также инвариантны. Таким образом, подмногообразие {(х, у): ху = 0), состоящее из обеих координатных осей, инвариантно. Другие инвариантные множества имеют вид у = й|х|“ при х > 0 или х < 0 либо являются объединениями указанных орбит группы Ga.

В большинстве наших приложений множество 9 будет множеством решений или подмногообразием, определяемым как

множество общих нулей набора гладких функций F = = (Fb...,Ft):"”

д) = д>р = ^х.. ^(х) = 0, v=l, ...J).

Если множества 9^ и ^2 G-инвариантны, то G-инвариантными будут и множества ^i U^2 и SPi П^г-

Инвариантные функции

Кроме симметрий множества решений системы алгебраических уравнений мы можем рассматривать симметрии функции F(x), задающей эту систему.

Определение 2.3. Пусть G — локальная группа преобразований, действующая на многообразии М. Функция F; M-^N, где N— другое многообразие, называется G-инвариантной функцией, если для всех х е М и всех geG, таких, что определено действие g на х,

F (g • x) = F(x).

Вещественнозначная G-инвариантная функция £: Af-»-R называется просто инвариантом группы G. Заметим, что отображение F: М —> Rz G-инвариантно, если и только если каждая его компонента Fv (F = (Fi, ..., Ft))—инвариант группы G.

Пример 2.4. (а) Пусть Gc — группа сдвигов на плоскости, рассмотренная в примере 2.2(a). Тогда функция

^(^, у) — х — су

является инвариантом группы Gc, поскольку

С (х + се, у + е) = £ (х, у)

для всех е. На самом деле нетрудно видеть, что всякий инвариант этой группы сдвигов имеет вид ^(х, у) = Цх— су), где f — гладкая функция одной переменной х — су.

Для группы растяжений

G1: (х, у) i—> (Хх, Ку), К > О, функция

^(х, у) = х]у

является инвариантом, определенным на верхней и нижней полуплоскостях {у 5^0}. Среди других инвариантов — угловая

координата 6 = Arctg(y/x), гладкая, скажем, па R2\{(x, у): х^О}, но не являющаяся глобально однозначной, и функция

йх, у) = ху/(х2 + у2),

гладкая всюду, кроме начала координат. В этом случае у группы G1 не существует отличного от постоянной гладкого глобально определенного инварианта. Аналогичные замечания применимы и к более общим группам растяжений Ga из примера 2.2(b) с a > 0.

Если F: М -* Rz есть G-инвариантная функция, то очевидно, что каждое множество уровня функции F будет G-инвариантным подмножеством многообразия М. Однако неверно, что если множество нулей гладкой функции {х: Е(х) = 0}—инвариантное подмножество многообразия М, то и сама функция инвариантна. Например, как мы видели в предыдущем примере, {(х, у); ху = 0)—инвариантное подмножество группы растяжений G1. Но F^x, у) = ху не является инвариантной функцией этой группы, поскольку

F (Лх, Ху) = 73 ху =#= F (х, у)

при X ^ 1. Однако если каждое множество уровня функции F инвариантно, то F — инвариантная функция.

Предложение 2.5. Если группа G действует на многообразии М и F; M->Rl — гладкая функция, то F будет G-инвариантной функцией, если и только если каждое множество уровня {F(x) = c}, с е Rz, будет G-инвариантным подмножеством многообразия М.

Доказательство этого результата мы оставляем читателю. Таким образом, в примере 2.4(a) прямые х = су + d— это просто множества уровня Сс-инвариантной функции ^(х, у) = х— — су, и, следовательно, они автоматически являются С£-инва- риантными подмножествами. Обратно, Сс-инвариантность функции ^ следует из того факта, что каждое ее множество уровня Gc-инвариантно (на самом деле это орбиты группы Gc).

Другая точка зрения на предыдущие наблюдения состоит в том, что полная группа симметрий множества решений 9^ = = {А(х) = 0} некоторой системы алгебраических уравнений, вообще говоря, больше, чем группа симметрий функции F, задающей это множество решений. Здесь «полная группа симметрий» означает, в не совсем строгом смысле, наибольшую группу преобразований, оставляющих многообразие или функцию инвариантными. Для алгебраических уравнений такая

группа обычно не конечномерна, но идея этого замечания должна быть ясна. Важность расширения нашего понятия симметрии на симметрии множества решений, а не определяющих их функций, станет очевидной, когда мы обратимся к группам симметрий дифференциальных уравнений, и приведет нас к большему разнообразию групп симметрий.

Инфинитезимальная инвариантность

Мощь теории групп Ли заложена в решающем наблюдении, что сложные нелинейные условия инвариантности подмножества или функции относительно самих преобразований из группы можно заменить эквивалентным линейным условием инфинитезимальной инвариантности относительно соответствующих инфинитезимальных образующих действия группы. Этот инфинитезимальный критерий легко проверяется на практике и, таким образом, дает ключ к явному отысканию групп симметрий систем дифференциальных уравнений. Важность его нельзя переоценить. Мы начинаем с более простого случая инвариантной функции. Здесь инфинитезимальный критерий инвариантности следует непосредственно из основной формулы, описывающей, как меняется функция под действием потока, порожденного векторным полем.

Предложение 2.6. Пусть G—связная группа преобразований, действующая на многообразии М. Г ладная вещественнозначная функция £: М ^- R является инвариантной функцией группы G, если и только если

v © = 0 для всех хеМ(2.1)

и каждой инфинитезимальной образующей v группы G.

Доказательство. В соответствии с (1.17), если хеМ, то

-^- С (exp (ev) х) = v (?) [exp (ev) х],

когда выражение exp(ev)x определено. Подстановка е = 0 доказывает необходимость условия (2.1). Обратно, если условие (2.1) выполнено всюду, то

-^-^(exp(ev) х) = 0

в области определения, а следовательно, £(exp(ev)x)—константа для связной локальной однопараметрической подгруппы exp(ev) группы G,= {gG G: g-x определено}. Но в силу (1.40) каждый элемент группы Gx можно записать в виде конечного

произведения экспонент инфинитезимальных образующих v, группы G, и, значит, g (g • х) = g (х) для всех geG,. □

Если образующие vb ..., vr составляют базис алгебры Ли инфинитезимальных образующих группы G (эту алгебру мы обозначим д), то предложение 2.6 утверждает, что функция £(х)—инвариант, если и только если у*(^) = 0, к = 1, ..., г. В локальных координатах

1 = 1

так что функция £ должна быть решением однородной системы линейных уравнений в частных производных первого порядка

пг

v.(C)=l>i(45r = 0, 6=1г. (2.2) 1 = 1

Пример 2.7, Для группы сдвигов Gc из примера 2.4(a) инфинитезимальная образующая — это векторное поле v = cdx + + ди. Имеем

v (х — су) = (сдх + ду) (х — су) = с — с = О,так что условие инфинитезимального критерия выполнено. Ана-логичное вычисление проверяет инфинитезимальный критерий(2.1) для инвариантов группы растяжений Оа, инфинитезималь-ной образующей которой является векторное поле хдх + ^уду.

Для случая множества решений системы алгебраических уравнений Е(х)=0 инфинитезимальный критерий инвариантности требует выполнения дополнительных условий на определяющие функции F, а именно условия максимальности ранга из определения 1.7. (Если функция F случайно оказалась G-инвариантной, то в силу предложения 2.5 условие максимальности ранга может быть опущено, однако в общем случае оно существенно.)

Теорема 2.8. Пусть G — связная локальная группа Ли преобразований, действующая на m-мерном многообразии М. Пусть отображение F: М-^Р1, / ^ пг, определяет систему алгебраических уравнений

“ Ev(x) = 0, v = l, ...,l.

Предположим, что это система максимального ранга, т. е. что ее матрица Якоби (dFv/dxk) имеет ранг / в каждой точке х,

являющейся решением системы. Тогда G— группа симметрий этой системы, если и только если

у[^(х)] = О, v=l, ...,/, когда F(x) = O, (2.3)

для каждой инфинитезимальной образующей v группы G. (Подчеркнем, что требование (2.3) накладывается лишь на решения х системы.)

Доказательство. Необходимость условия (2.3) получается дифференцированием тождества

F (exp (ev) х) = О,

в котором х — решение, a v — инфинитезимальная образующая группы G, по е и подстановкой е = 0.

Для доказательства достаточности предположим, что х0 — решение системы. Используя условие максимальности ранга, мы можем выбрать локальные координаты у = (ух, ..., ут) так, чтобы в них хо = О, а отображение F имело простой вид 77(у) = (у1, ..., у1), ср. теорему 1.8. Пусть

У-УМ^г+.-.+ГО»-^-

— произвольная инфинитезимальная образующая группы G, выраженная в новых координатах. Условие (2.3) означает, что

v(yv) = r(y) = 0, v = 1, ...,/,(2.4)

если только ух=у2 = ... = у1 = 0. Далее, поток ф(е) = = ехр(ео)-х0 векторного поля v через точку хо = О удовлетворяет системе обыкновенных дифференциальных уравнений

^ = ^(ф(е)), ф‘(0) = 0, /=1, ...,т.

В силу (2.4) и единственности решения с данными начальными условиями мы заключаем, что фЛ'(е) = 0 для v = l, ..., / и достаточно малого е. Таким образом, мы показали, что если хо — решение системы F(x) = 0, v — произвольная инфинитезимальная образующая группы G и е — достаточно малое число, то exp(ev)-x0 снова будет решением системы. Поскольку множество решений 9,f=(x; F(x) = 0} замкнуто, свойство (1.13) и непрерывность exp(ev) позволяют сделать такое же заключение для всех g = exp(ev) в связной однопараметрической подгруппе группы GXo, порожденной v. Применение формулы (1.40) ана-

логично тому, как это было сделано в доказательстве предложения 2.6, завершает доказательство теоремы в общем случае. □

Пример 2.9. Пусть G = SO(2)— группа вращений плоскости с инфинитезимальной образующей v = —yc^ + xdy. Единичная окружность S1 = {х2 + У2 = 1} — инвариантное подмножество группы SO(2), поскольку это множество нулей инвариантной функции ^(х, у) = х2 + у2 — 1; действительно,

V (С) = —2ху + 2ху = 0

всюду, так что условие (2.3) справедливо на самой единичной окружности. Выполнение условия максимальности ранга для £ следует из того, что градиент V£=(2x, 2у) не обращается в нуль на S1; впрочем, как было замечено перед теоремой 2.8, нам на самом деле не нужно проверять это условие, поскольку £ — инвариантная функция.

В качестве менее тривиального примера рассмотрим функцию

F (х, у) = х4 + х2у2 + у2 — 1.

Имеем

v (F) = —4х3у — 2х//3 + 2x3z/ + 2ху = —2ху (х2 + 1 )~* Е (х, у),

следовательно, v(E) = 0 при F = 0. Кроме того,

VF = (4х3 + 2ху2, 2х2у + 2у)

обращается в нуль лишь при х = у = 0, но эта точка не является решением уравнения F(x, у) — 0; значит, условие максимальности ранга выполняется. Мы заключаем, что множество решений { (х, у): х4 + х2у2 + у2 = 1} — инвариантное относительно вращений подмножество пространства R2. Действительно, мы можем разложить F на множители:

х4 + х2у2 + у2-1=(х2+ 1)(х2 + у2— 1),

следовательно, множество решений — это в точности единичная окружность. Заметим, что функция F(x, у) не будет в этом случае 5О(2)-инвариантной; на самом деле большинство других множеств уровня функции F не будут инвариантны относительно вращений.

Наконец, чтобы подчеркнуть важность условия максимальности ранга, рассмотрим функцию

Н^х, y) = y2-2y-V 1.

Множество решений {// (х, у) = 0} — горизонтальная прямая {у=1}, не инвариантная, очевидно, относительно вращений. Однако

v (Н) = 2ху — 2х = 2х (у — 1) = 0

при Н(х, у) = 0, так что инфинитезимальное условие (2.3) в этом случае не выполняется. Дело в том, что VH = (0, 2у — 2) обращается в нуль на всем множестве решений, так что условие максимальности ранга не выполняется.

Условие максимальности ранга необходимо для применения нашего критерия инфинитезимальной симметрии, играющего ключевую роль в развитии теории как алгебраических, так и дифференциальных уравнений. В дальнейшем нам понадобится несколько элементарных следствий этого условия, и мы сформулируем их здесь для удобства ссылок. Доказательства намечены в упр. 2.5.

Предложение 2.10. Пусть F: M-^V1 — отображение максимального ранга на подмногообразии 9^ = {х: F(x) = 0}. Тогда вещественнозначная функция f: М ->- R обращается в нуль на 9”?, если и только если существуют такие гладкие функции Qi (х), ..., Qz(x), что

f (х) = Qi (х) F, (х) + ... + Qz (х) Fl (х)(2.5)

для всех хеМ.

Здесь снова существенно условие максимальности ранга. Например, пусть F(x, у) = у2 — 2у + 1. Тогда функция f (х, у) = = у — 1 обращается в нуль на всех решениях уравнения F(x,y)=0, а именно на множестве 9’F={y=l}, однако не существует такой гладкой функции Q(x, у), что f(x, у) = = Q(x, y)F(x, у).'

Согласно предложению 2.10, мы можем заменить инфинитезимальный критерий (2.3) инвариантности эквивалентным условием

i

v(Fv)=Z Q.^^F^x), v=l/, хеМ, (2.6) n=i

для функций QV[1: Af->R, p, v = 1, .... I, которые надо определить. На самом деле мы доказывали таким способом инвариантность во втором случае в примере 2.9, где Q(x, у) = = —2ху/(х2 + 1). Оба условия (2.3) и (2.6) полезны для проверки инвариантности, и оба они будут использоваться в различных примерах.

Функции Qv(x) из (2.5), вообще говоря, определены неоднозначно. Например, пусть

Fx(x, у, z) = x, F2(x, у, z) = y, так что множество решений S’ = {Fi = F2 = 0} — ось z в R3. Функция

■f(x, у, z) = xz + y2

обращается в нуль на 9 и на самом деле может быть записана как

l = ^Fx-VyF2 или / = (z — у) Fx + (х + у) F2.

Вообще говоря, если

/ И = Z Qv W Fv to = Z Qv to Fv (x),vv

то разности R-«(x) = Qv(x) — Qv(-t) удовлетворяют однородной системе

£ RvtoF.to = 0(2.7)

v— 1

для всех x g M. Следующее предложение указывает некоторые свойства таких функций.

Предложение 2.11. Пусть отображение F: M->Rl имеет максимальный ранг на 9f = (F(x) = 0}. Пусть Ri(x), .... Ri(x) — вещественные функции, удовлетворяющие системе (2.7) для всех хеМ. Тогда Rv(x) =0 для всех хе9Г и существуют функции Sv(x), v, р = 1, ..., /, такие, что

i

Rvto=H ^toF^to, хеМ.(2.8)

ц=1

Более того, функции Sv можно выбрать кососимметричными по индексам:

s^to-s^to,

и в этом случае условие (2.8) необходимо и достаточно для того, чтобы условие (2.7) выполнялось всюду.

Локальная инвариантность

Полезно также ввести понятие локально инвариантной функции или подмножества относительно группы преобразований. В этом случае мы требуем лишь инвариантности относительно преобразований из группы, достаточно близких к тождественному.

Определение 2.12. Пусть G — локальная группа преобразований, действующая на многообразии М. Подмножество ^ с Л1 называется локально G-инвариантным, если для любого хе д’ существует окрестность Gx е Gx единицы группы G, такая, что g • хе д’ для всех g е Gx. Гладкая функция F: U-*-N, где U — некоторое открытое подмножество в М, называется локально G-инвариантной, если для любого х е U существует окрестность Gx единицы е в G, такая, что F (g • х) = F (х) для всех geGx. Функция F называется глобально G-инвариантной (даже если она определена лишь на открытом подмножестве многообразия М), если F(g • х) = F(x) для всех х е U, g е G, таких, что g • х е U.'

Пример 2.13. Пусть G — группа горизонтальных сдвигов(х, у)н*(х + е, у)

в R2. Тогда отрезок

{(-V, уУ У = о, — 1 < х < 1}

является локально G-инвариантным, но не G-инвариантным. Аналогично, функция

{

О, у^О или у>0 и х > О, е~|/у, у > 0 и х < О,

является гладкой и локально G-инвариантной на H=R2\{(0, у): У ^ 0}, поскольку

*£(* + е, У) = ?(х, у)

для |е| < |х|; ясно, что £ не является глобально G-инвариантной.

Предложение 2.14. Пусть N е М — подмногообразие многообразия М. Тогда N локально G-инвариантно, если и только если fll^ е TW^ для всякого хеМ. Иными словами, N локально G-инвариантно, если и только если инфинитезимальные образующие v группы G всюду касаются N.

Доказательство мы оставляем читателю; см. упр. 2.1.

Инварианты и функциональная зависимость

Часто возникает вопрос, «сколько» инвариантов имеет данная группа преобразований. Чтобы точно поставить задачу, заметим прежде всего, что если g* (х), ..., ^(х) — инварианты (локальные либо глобальные) группы преобразований и Г (г1, .... г*) —произвольная гладкая функция, то £(х) —

= F(£*(x), ..., £*(*)) тоже будет инвариантом (того же типа). Такой инвариант не добавляет никакой новой информации в данной задаче и называется функционально зависимым от предыдущих инвариантов £', . .., t,k. Практически нам нужно лишь классифицировать функционально независимые инварианты действия группы, все остальные инварианты получаются с помощью соотношений указанного вида.

Определение 2.15. Пусть £*(х), . .., £ft(x)—гладкие вещественные функции, определенные на многообразии М. Тогда (а) функции £', ..., t,k называются функционально зависимыми, если для всякого хеМ существуют окрестность U точки х и гладкая вещественная функция F^z1, . . ., zk), не равная тождественно нулю ни на каком открытом подмножестве пространства Rfe, такая, что

Р^<х\ ...ЛЧх)) = »(2.9)

для всех х е U;

(Ь) функции £’, ..., V" называются функционально независимыми, если они не являются функционально зависимыми ни при каком ограничении на открытое подмножество U е М; иными словами, если функция F(zx, ..., zk) такова, что для всех х из некоторого открытого подмножества U с М выполнено (2.9), то F(z', ..., zk) = О для всех z из некоторого открытого подмножества пространства Rfc (которое содержится в образе U).

Например, функции х/у и хуЦх2 + у2) функционально зависимы на {(х, у): у =/= 0}, поскольку там

ху xjy , /jcXх2 + у2 1 + (х/у)2* \ у )"

С другой стороны, xly и х + у функционально независимы в их области определения, так как если F (х + у, х/у) = 0 для (х, у) из произвольного открытого подмножества в R2, то по теореме об обратной функции образ содержит открытое подмножество из R2, на котором F = 0.

х,У^О,х + е-1/у, у > 0,х,У^О,х + е-1/у, у > 0,Заметим, что функциональная зависимость и функциональная независимость не исчерпывают все возможности, кроме случая аналитических функций, в котором обращение в нуль (2.9) в некотором открытом множестве влечет за собой обращение в нуль всюду. Например, гладкие функции

х,У^О,

х + е-1/у, у > 0,

х,У^О,

х + е-1/у, у > 0,

nU. У) = х, Цх, у) =

зависимы в нижней полуплоскости (у < 0}, независимы в верхней полуплоскости {у > 0} и не являются ни зависимыми, ни независимыми на всей плоскости (х, у). Наконец, заметим, что функции I;1, ..., у могут быть локально функционально зависимы, но может не существовать такой функции F(z*, ..., zkY не являющейся тождественным нулем, что (2.9) выполняется для всех х е М. Например, образ {(^'(х), .... ^МУ. хеМ^ может быть всюду плотным в некотором открытом подмножестве из Rft, так что (2.9) будет справедливо лишь при F = 0.

Классическое необходимое и достаточное условие функциональной зависимости функций VW» -•-. ^(х) состоит в том, что их матрица Якоби (д^/дх')размера ^Х™ всюду имеет ранг ^Л—1. (См. замечания в конце этой главы, относящиеся к доказательству данного результата.)

Теорема 2.16. Пусть t, — (£*, ..., £6)—гладкое отображение из М в Rk. Тогда £*(х), .... ^к(х) функционально зависимы, если и только если d£|x имеет ранг строго меньше к для всех хе М.

Основная теорема, касающаяся числа независимых инвариантов группы преобразований, состоит в следующем.

Теорема 2.17. Пусть группа G полурегулярно действует на m-мерном многообразии М и ее орбиты s-мерны. Если хо g М, то существует ровно m — s функционально независимых локальных инвариантов £‘(х), .... £m-s(x), определенных в окрестности точки Хо. Более того, всякий другой инвариант действия группы, определенный вблизи точки хо, имеет вид

№ = Е^Чх\ .... Г"$(х)), (2.10)

где F — некоторая гладкая функция. Если действие группы G регулярно, то эти инварианты можно выбрать так, чтобы они были глобально инвариантны в окрестности точки х0.

Доказательство. Пользуясь теоремой Фробениуса 1.43, мы можем выбрать плоские локальные координаты у = ф(х) вблизи точки х0 для системы векторных полей й, порожденной инфинитезимальными образующими группы G, в которых орбиты группы G будут слоями {у1 = сь ..., ym~s = Cm-sY Тогда новые координаты у* = ^‘(х), . .., ym~s = £m—'(х) сами будут локальными инвариантами для G, будучи постоянными на каждом слое. Более того, всякий иной инвариант группы G тоже должен быть постоянным на этих слоях и, следовательно может быть

только функцией от у1, ..., ym~s- Наконец, если группа G действует регулярно, мы можем выбрать нашу плоскую координатную карту так, чтобы каждая орбита пересекала ее не более чем по одному слою. В этом случае у1, ..., ym-s на самом деле будут глобальными инвариантами. □

В классической терминологии построенные в этой теореме инварианты называются полной системой функционально независимых инвариантов. Мы показали, что если найдена такая полная система, то любой другой инвариант группы G можно выразить как функцию от этих инвариантов. Имеется аналогичный результат и для инвариантных подмногообразий.

Предложение 2.18. Пусть группа G действует на многообразие М полурегулярно, и пусть £' (х), ..., £m-s (х) — полная система функционально независимых инвариантов, определенных на некотором открытом подмножестве W с М. Если подмногообразие 9^ = {х: F^ = 0} G-инвариантно, то для каждого решения Хо е 9sf существует окрестность ^ с W точки х0 и «эквивалентная» G-инвариантная функция F (х) = F (£• (х), ... ..., £m~s (х)), множество решений которой совпадает с множеством решений функции F в W:

9’Ff\W = 9’p{W = {x^W: F^\x), ..., Г“‘ W) = О}.

Доказательство. Заметим прежде всего, что мы можем пополнить систему инвариантов у1 = ^* (х), ..., ym~s — Qn~s(x) так, чтобы получить плоские локальные координаты у = = (У1. • • ■. У"1) для G вблизи точки Хо- На самом деле недостающие координаты у = (ym~s+l, ..., ym) можно выбрать среди данных координат (х1, ..., хт), так что у = х = (х‘1, ... .... x‘s). Например, если д(£*, ..., ^m-s)/(d(x1, ..., xm-s) =/= 0 в точке х0, то мы можем положить х = (xm~s+l, ..., хт). Такая замена координат имеет вид у = ф(х) = (^(х), х), где £(х) обозначает инварианты, а компоненты х называются параметрическими переменными. Мы пишем F^= F*^y^= Р*(^(х),х) в этих координатах, так что F* = F ° ф->. Положим

?№=Г№, х0),

где х0 — значение параметрических переменных х в точке х0. Поскольку подмногообразие 9”f G-инвариантно и орбиты группы G в этих координатах — общие множества уровня (или слои) {^(х) = с} инвариантов, мы получаем, что F*(£(x), х) = = 0, если и только если F*(£(x), х0) = 0, так как обе точки лежат в одном и том же слое. □

Заметим, что если сама функция F не G-инвариантна, то соответствующая функция F не будет с ней совпадать; совпадают лишь их множества решений. Например, в случае, представленном в примере 2.9, функция F^x, у) = х4 + х2у2 + у2— 1 имеет то же множество решений, что и SO (2)-инвариантная функция F^x, у) = х2 + у2— 1, хотя они, очевидно, нигде не совпадают.

Методы построения инвариантов

Осталось показать, как найти инварианты данного действия группы. Предположим сначала, что G — однопараметрическая группа преобразований, действующая на М, с инфинитезимальной образующей

V — ^ to дх1 + • • • + £" (х) дхт -

выраженной в некоторых данных локальных координатах. Локальный инвариант £ (х) группы G —■ это решение линейного однородного уравнения с частными производными первого порядка

v(9 = №Sr+ ...+г5г=0.(2.11)

Теорема 2.17 утверждает, что если v|*=/=0, то существует т— 1 функционально независимых инвариантов; следовательно, уравнение (2.11) имеет в окрестности точки хо т—1 функционально независимых решений.

dxm ew •dxm ew •(2.12)(2.12)Классическая теория таких уравнений показывает, что общее решение уравнения (2.11) можно найти интегрированием соответствующей характеристической системы обыкновенных дифференциальных уравнений dx1 dx2 — VW ~ "

dxm ew •

dxm ew •

(2.12)

(2.12)

Решения системы (2.12) имеют вид

<Л ( 1т\с.т—1 ( \_ т\

£ (х , ..., х ) = сь ..., £ (х , . . ., X ) = ст_х.

где сь . .., Cm-Y — постоянные интегрирования, а ^'(х) —функции, не зависящие от С/. Теперь легко видеть, что функции £*, ..., £т_| — искомые функционально независимые решения уравнения (2.11). Любой другой инвариант, т. е. любое другое решение уравнения (2.11), обязан быть функцией от g1, ... .. ., £т_|. Проиллюстрируем эту технику двумя примерами.

Пример 2.19. (а) Рассмотрим группу вращений SO (2), имеющую инфинитезимальную образующую v = —удх + хды. Соответствующая характеристическая система — это

dx dy

—Ух ’

т. е. обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, которое легко решается; его решения х2 + у2 = с, где с — произвольная постоянная. Таким образом, ^(х, у) = х24~у2 (или любая функция от £) — единственный независимый инвариант группы вращений.

(Ь) Рассмотрим векторное поле

V — — ь х -ч Н (1 +-ч—,

у дх 1 ду 1 ' 1 ' dz определенное на R3. Заметим, что v никогда не обращается в нуль, поэтому можно найти два независимых инварианта однопараметрической группы, порожденной векторным полем v, в окрестности любой точки в R3. Характеристической системой в этом случае является

dx dy dz

—у х 1 + z2 ‘

Первое из этих двух уравнений было решено в примере (а), так что один из инвариантов — радиус r = V^ + y2- Чтобы найти другой инвариант, заметим, что г постоянно для всех решений характеристической системы, поэтому мы можем, прежде чем интегрировать, заменить х на Vf2 — У2- Это приводит к уравнению

dy dz у2 ~ 1 + z2 1 которое имеет решение

arcsin у- = arctg z + k,

где к— произвольная постоянная. Таким образом, arctg z — arcsin у- = arctg z — arctg у

— второй независимый инвариант для и. Немного более простое выражение получится, если взять тангенс от этого инварианта, который равен (xz — y}f{yz + х), так что

r = Vi4V " С = 7тН

доставляют полную систему функционально независимых инвариантов (при yz ^ —х). Как обычно, всякая функция от г и £ также является инвариантом, так что, например,

г . l х-V yz

VT+1? Vm7^

тоже инвариант, который вместе с г составляет еще одну пару независимых инвариантов. (Эта итерационная техника, использующая знание некоторых инвариантов для упрощения вычисления оставшихся инвариантов, вообще очень полезна при решении характеристических систем.)

Вычисление независимых инвариантов г-параметрических групп преобразований при г > 1 может оказаться очень сложным. Если векторные поля Nk =Z^WW. k=\,...,r, составляют базис инфинитезимальных образующих, то, чтобы найти инварианты, нужно решить систему однородных линейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка

т

Nk^ = YWA = ^ к=\,...,Г.h дх

Иными словами, каждый инвариант £ должен быть общим инвариантом для всех векторных полей Vi, ..., Vk. Один способ состоит в том, чтобы сначала вычислить инварианты одного векторного поля, скажем, vb Поскольку всякий общий инвариант £ должен быть, в частности, инвариантом поля vb мы можем записать £ как некоторую функцию от вычисленных инвариантов поля vi. Таким образом, можно найти выражения для оставшихся векторных полей v2, ..., vr, пользуясь инвариантами поля Vi как координатами, а затем искать общие инварианты этих «новых» г — 1 векторных полей. Индуктивное осуществление этой процедуры приведет в конце концов к общим инвариантам всех векторных полей, выраженным в терминах общих инвариантов первых г— 1 из них. Этот процесс станет яснее на примере.

Пример 2.20. Рассмотрим векторные поля

v = — уД- + х^-, w = 2xz^— + 2z/z-^- + (z2 + 1 — x2 — y2)^- J дх 1 ду ’dx 19 dy 1 '19 ' dz

на R3. Они рассматривались в примере 1.42, где было показано, что они порождают двухпараметрическую абелеву группу преобразований на R3, регулярную на М = R3\ ((х = у = 0} U

5 П. Олвер

U {я2 + У2 = 1, 2 = 0}). Инвариант ^(х, у, г)— решение пары уравнений v(£)=0 = w(£). Прежде всего заметим, что независимые инварианты поля v — это в точности r = V^2 + y2 и z. Выразим теперь поле w через г и 2:

W = 2гг + (22 + 1 “ Г2).

dr уoz

Поскольку £ должна быть функцией от инвариантов г, z векторного поля V, она должна быть решением дифференциального уравнения

w® = 2rz5- + (22+ l-r2)-j = o.

Характеристической системой в этом случае будет dr dz 2rz z2 + 1 — r2 ‘

Решая это обыкновенное дифференциальное уравнение, получаем, что

г2 + г2+1xl+g2+z2+\

Г^х2^у2

является единственным независимым инвариантом этой группы. (Этот результат был дан в примере 1.42 без подробных промежуточных вычислений.)

ГРУППЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Предположим, что мы рассматриваем систему 9s дифференциальных уравнений, включающую р независимых переменных х = (х1, ..., хр) и q зависимых переменных и = (и1, . .., и9). Решения этой системы будут иметь вид и = f(x), или, покомпонентно, иа = /“(х1, ..., хр), а = 1, ..., q *). Пусть X = R₽ с координатами х = (х1, ..., хр) — пространство, представляющее независимые переменные, и пусть U = R9 с координатами и = (и1, ..., uq^ представляет зависимые переменные. Группа симметрий системы 9° ■— это локальная группа преобразований, которую мы обозначаем через G, действующая на некотором открытом подмножестве М с: X X U таким образом, что «G переводит решения системы 9s в другие решения системы 9*». Отметим, что в нашем определении симметрии мы допускаем про-

') Мы систематически используем латинские буквы для верхних или нижних индексов, когда речь идет о независимых переменных, и греческие буквы, когда речь идет о зависимых переменных.

Группы и дифференциальные уравнения 131 извольные нелинейные преобразования и зависимых, и независимых переменных.

Чтобы действовать строго, мы должны точно объяснить, как данное преобразование g из группы Ли G преобразует функцию ы = /(х). Мы начинаем с отождествления функции и = f(x) и ее графика

Ff = {(x, t^Y xeQ^xy.U,

где ЙсХ — область определения функции f. Заметим, что Г/ — некоторое р-мерное подмногообразие в X X U. Если

Рис. 6. Действие группы преобразований на функцию.

Г/ с Mg, где Mg — область определения преобразования g, то преобразование g переводит Ff в

g • Ff = {(х, й) = g • (х, uY (х, u) е Ff}.

Множество g-Ff не обязано быть графиком какой-либо однозначной функции zz = /(x). Однако, поскольку группа G действует гладко и единичный элемент группы G оставляет Ff неизменным, подходящим образом уменьшив область определения Q функции f, мы гарантируем, что для элемента g, близкого к единичному, результат преобразования £-Г^ = Г^ является графиком некоторой одозначной гладкой функции H=f(x). Мы пишем f = g-f и называем функцию f образом функции f при преобразовании g.

Пример 2.21. Пусть р = 1, q = 1, так что X = R с единственной независимой переменной хи U = R с единственной зависимой переменной и. (Таким образом, мы находимся в ситуации, когда есть одно обыкновенное дифференциальное урав-

нение, содержащее одну функцию u=f(x).) Пусть G = SO(2)— группа вращений, действующая на X X G ~ R2. Преобразования из группы G задаются формулой

(х, й) = 6(х, u) = (хcos6 — и sin 6, х sin 6 + «cos6). (2.13) Предположим, что и = /(х)—функция, графиком которой является подмножество Ff clXXU- Группа SO(2) действует на / вращением ее графика. Очевидно, что, если угол 6 достаточно велик, повернутый график б-Ff не будет графиком однозначной функции. Однако если f(x) определена на конечном интервале а^х^Ь и |6| не слишком велик, то б-Ff будет графиком корректно определенной функции й = f (х), Г^ = 6 • Ff.

В качестве характерного примера рассмотрим линейную функцию

и = f (х) = ах + Ь.

Ее график — прямая, так что, повернув его на угол 6, мы получим другую прямую, которая, если только она не оказалась вертикальной, будет графиком другой линейной функции 6-/ = = Л образа функции / при вращении на угол 6. Чтобы получить точную формулу для б-f, заметим, что по формуле (2.13) точка (х, и) = (х, ах + Ь) на графике функции f перейдет в точку

(х, й) = (х cos 6 — (ах + Ь) sin 6, х sin 6 + (ах + Ь) cos 6).

Чтобы найти й = /(х), мы должны исключить х из пары уравнений; это можно сделать, если ctg 0 =# 0 (в частности, если угол 6 достаточно близок к 0), т. е. если график не вертикален. Получаем

х + 6 sin 0

Х cos 0 — a sin 0 *

следовательно, Q-f = f задается формулой „ ? sin 0 + я cos 0 „ .6

Ы 'cos 0 — a sin 0cos 0 — а sin 0 "

Это, как мы отметили ранее, снова линейная функция.

В общем случае процедура нахождения образа f=g-f функции / почти такая же, как в этом элементарном примере. Предположим, что преобразование g задано в координатах формулой

(х, u) = g-(x, u) = (Bg(x, и), Фе(х, и)),

где 8g, Фе — гладкие функции. Тогда график Ff = g • Ff функции g-f параметрически задается уравнениями

x = Sg(x, f(x)) = Sgo(1XF)W, й=ф((х,/(х))=Ф,-(1Х/)(4

Здесь 1 обозначает функцию, тождественную на X, так что И (х) — х, а X — декартово произведение функций. Чтобы явно найти / — g-f, мы должны исключить х из этих двух систем уравнений. Поскольку при g = e Ее ° (И X Л = И» мы знаем, что для g, достаточно близкого к единичному элементу, матрица Якоби отображения Sg°(HXD невырожденна, и, следовательно, по теореме об обратной функции мы можем локально разрешить первую систему относительно х:

х = [Ейо(ИХЛГ,(х).

Подстановка во вторую систему дает требуемое уравнение для g-t

g -1 = [Фг = (1X D1 о [Sg о (1 X ЛГ, (2.14)

которое имеет место, если обратим второй сомножитель. Эта общая формула довольно громоздкая, чего и следовало ожидать, исходя из нашего опыта работы с линейными функциями и группой вращений.

Пример 2.22. Рассмотрим частный случай группы G преобразований лишь независимых переменных х. Преобразования из группы G имеют специальный вид

(х, u) = g-(x, u) = (Sg(x), и\

где Eg на самом деле — диффеоморфизм пространства X и Bg =E -i там, где они определены. Если Ef = (х, Их))} — график гладкой функции, то его образ g-Ef = (g-(x, f(x))} всегда будет графиком гладкой функции. Действительно,

(х, u) = g.(x, f(х)) = (Е6(х), f(x)).

Мы легко можем исключить х, обращая Eg:

й = Г(х) = /(Е«' (x)) = f(Eg-.(x)).

Например, если G — группа сдвигов

(х, и) ь-»(х + еа, и\ е е R,

где а гХ фиксировано, то образ функции и = f(х) — сдвиг й = f (х) = f (х — еа)

функции f.

Аналогичный результат справедлив в более общем случае проектируемой группы преобразований, когда действие на независимые переменные не зависит от зависимых переменных:

g • (х, u) = (8g (х), Фв (х, и)).

Например, однопараметрическая группа

gE: (х, /, u)i—>(х + 2е/, t, е-ЕХ~ЕЧи\ е е R,

возникает как группа симметрий уравнения теплопроводности. (См. пример 2.41.) Если и = f(x, /) — произвольная функция, то gE преобразует ее в функцию

w = е • и — е • i(x, г),

которую можно выразить через (х, £) = gE- (х, /) = (х + 2d, tY Поэтому в данном частном случае преобразованная функция имеет вид

й = е-Е«-Sen-Еч .f(x — 2d, t) = e-<*+E2? -Цх — 2d, tY

(Отметим несоответствие с выражениями для самих преобразований из группы. Советуем читателю разобрать несколько примеров, чтобы усвоить, как это практически делается.)

Мы можем теперь дать строгое определение понятия группы симметрий системы дифференциальных уравнений.

Определение 2.23. Пусть 9” — система дифференциальных уравнений. Группа симметрий системы 9s — это любая локальная группа преобразований, которую мы обозначаем G, действующая на открытом подмножестве М пространства независимых и зависимых переменных системы, обладающая следующим свойством. Если и = /(х)—решение системы 9Р и если для ^еб определено g-f, то и —g-f (Xs) —также решение системы. (Под решением мы понимаем любое гладкое решение и = = f (х), определенное на любой области Q а X.)

Например, в случае обыкновенного дифференциального уравнения ихх = 0 группа вращений SO (2), рассмотренная в примере 2.21, очевидно, является группой симметрий, поскольку решения — это все линейные функции, а группа SO (2) переводит любую линейную функцию в другую линейную функцию. Другой простой пример — уравнение теплопроводности ut=uxx. Здесь группа сдвигов

(х, t, и) I—> (х + Ей, / + еЬ, uY £ Е R, является группой симметрий, поскольку u=f(x— еа, / — еЬ)— решение уравнения теплопроводности, если и = f(x, /)—решение. Читатель может доставить себе удовольствие убедиться, что группа, выписанная в конце примера 2.22, также является

группой симметрий уравнения теплопроводности. Это означает, что функция

'W = e-8X+82,f(x-2eZ, О

является решением уравнения теплопроводности, если и = = f(x, О —решение этого уравнения.

Одно из очевидных преимуществ знания группы симметрий системы дифференциальных уравнений состоит в том, что мы по известным решениям можем строить новые. А именно, если нам известно решение ы = /(х), то в соответствии с определением й = g-f(x) —тоже решение для любого элемента g группы G, так что у нас есть возможность построить целое семейство решений, подвергая известное решение действию всевозможных элементов группы. Например, в рассмотренном выше случае группы симметрий уравнения теплопроводности, исходя из тривиального решения и = с, мы выводим существование двупараметрического семейства экспоненциальных решений

,—ех+еЧ

и(х, t) = ce .

Мы могли бы далее подвергнуть эти решения действию группы сдвигов, но в этом случае новых решений не получится. Читатель может попытаться увидеть, что происходит с другими известными решениями уравнения теплопроводности, например с фундаментальным решением, под действием этой группы.

Основная цель этой главы — получить работоспособный критерий, позволяющий легко проверять, является ли данная группа преобразований группой симметрий данной системы дифференциальных уравнений. По прямой аналогии с критерием теоремы 2.8 для систем алгебраических уравнений этот критерий будет инфинитезимальным. На самом деле, как только мы разработаем соответствующие геометрические представления для изучения систем дифференциальных уравнений, мы будем готовы непосредственно обратиться к теореме 2.8, чтобы установить инфинитезимальный критерий инвариантности. А имея этот критерий в руках, мы будем готовы не только упростить проверку того, является ли данная группа группой симметрий нашей системы; на самом деле мы будем в состоянии вычислить наиболее общую группу симметрий системы посредством ряда совершенно стандартных вычислений.

ОПЕРАЦИЯ ПРОДОЛЖЕНИЯ

Прежде чем осуществлять нашу программу отыскания симметрий дифференциальных уравнений, пользуясь аналогией с инфинитезимальными методами для алгебраических уравне-

ний, которые обсуждались в § 2.1, нам нужно заменить несколько расплывчатое понятие системы дифференциальных уравнений конкретным геометрическим объектом, который определяется обращением в нуль некоторых функций. Чтобы сделать это, нам нужно «продолжить» основное пространство X X U, представляющее независимые и зависимые переменные, до пространства, представляющего также различные частные производные, встречающиеся в системе. Эта конструкция представляет собой сильно упрощенный вариант теории расслоения струй, возникающей в дифференциально-геометрической теории уравнений с частными производными. Чтобы избежать введения слишком обширного постороннего аппарата, мы работаем здесь исключительно в евклидовом пространстве. (Обобщения см. в § 3.5.)'

У данной гладкой вещественной функции f(x) = f(xI, ..., хр) от р независимых переменных имеется

( p-Vk— 1 \

Р-^\ ь J

различных частных производных Л-го порядка. Мы пользуемся мультииндексным обозначением

dzf(x) =dzf(x) =9kfW , дх'дх2 ... дхк9kfW , дх'дх2 ... дхк

dzf(x) =

dzf(x) =

9kfW , дх'дх2 ... дхк

9kfW , дх'дх2 ... дхк

для этих производных. В таких обозначениях J = (ji, .... Д)— неупорядоченный набор к целых чисел, таких, что 1 ^ /к ^ р, указывающих, по каким переменным берутся производные. Порядок такого мультииндекса, который мы обозначаем 4|:J = = к, указывает, как много производных взято. Более общо, если f: X-+U—гладкая функция из X ^ Rp в U ~ R9, так что и = f(х) = (f1 (х), ..., /^(х)), то требуется q-pk чисел и/ = = dzfa(x), чтобы представить все различные частные производные Л-го порядка всех компонент функции f в точке х. Пусть Ufe = R4"Pfe—евклидово пространство этой размерности, снабженное координатами uj, отвечающими а = 1, ..., q и мультииндексам / = (/ь ..., Д) порядка к, предназначенное, чтобы представить указанные производные. Далее, пусть UW = UX UiX ••• X Un — декартово произведение. Координаты этого пространства представляют все производные функций и = f(x) всех порядков от 0 до п. Отметим, что U^ — евклидово пространство размерности

( р + п \

q + qpi + • - • qpn = q n ) = qpw-

Типичная точка пространства U№ будет обозначаться через uw, так что uw имеет q-p^ различных компонент и“, где а= 1, ... ..., q, а / пробегает все неупорядоченные мультииндексы / = = (/ь • • •, Д) с 1 ^ /к ^ р и 0 ^ к ^ п. (Мы принимаем, что для к = 0 имеется только один такой мультииндекс, который обозначается 0, a Wo означают в точности компоненты иа самой функции ы.)

Пример 2.24. Рассмотрим случай р = 2, q=l. Тогда Х~ — R2 имеет координаты (х1, х2) = (х, у), a U~r имеет одну координату и. Пространство Ux изоморфно пространству R2 с координатами (их, иу^, поскольку они представляют все частные производные первого порядка функции и по х и у. Аналогично, [/2 —R3 имеет координаты (ихх, иху, иуу), соответствующие частным производным второго порядка функции и, и в общем случае Uk ~ Rfe+1, поскольку имеется к + 1 частных производных функции и порядка к, а именно дки/дх*дук~1, i = 0, ... .... к. Наконец, пространство U^ = UXUxXU2—R6 с координатами ы(2) = (п; их, иу; ихх, иху, иуу) представляет все производные функции и по х и у порядка не больше 2.

Для данной гладкой функции u=f(x), f: X^-U, имеется индуцированная функция ы<"> = pr<n)f(x), называемая n-м продолжением функции f, которая определяется уравнениями

uaj=d,HxY

Таким образом, pr^f — это функция из X в пространство и^, и для каждого х из X pr(n)f(x) — это вектор, q-pW компонент которого представляют собой значения функции f и всех ее производных вплоть до порядка п в точке х. Например, в рассмотренном выше случае р = 2, q = 1 для данной функции и = f (х, у) второе продолжение и№ = pr^f(x, у) задается формулой

, . . \—df df ■ 92f 92f °Ч \

Ux, Uy, Uxx, UXy, Uyy) — dx, 9y, dx?, Qx Qy , dy2 J ,

(2.15)

где все вычислено в точке (х, у). Другой способ рассматривать и-е продолжение pr^f(x) состоит в том, чтобы представлять его многочленом Тейлора степени п функции f в точке х, поскольку производные порядка ^п определяют многочлен Тейлора и наоборот.

Полное пространство XX Uw, координаты которого представляют независимые переменные, зависимые переменные и

производные от зависимых переменных вплоть до порядка п, называется пространством струй п-го порядка (п-струй) пространства XX U. (п-е продолжение prWf(x) называют также п-струей функции f, однако мы будем придерживаться более осмысленного термина «продолжение».) Нас часто интересуют дифференциальные уравнения, определенные не на всем пространстве XX U, а лишь на некотором открытом подмножестве М с X X U. В этом случае мы определяем пространство п-струй

Mw = MXUxX ...XU„.

Если ы — f(x)— функция, график которой лежит в М, то ее п-е продолжение pr<")f(x)— функция, график которой лежит в пространстве n-струй №п\

Системы дифференциальных уравнений

Система S’ дифференциальных уравнений п-го порядка от р независимых и q зависимых переменных задается как система уравнений

Av (х, и^ = О, v = 1, ..., /,

содержащая х = (х1, ..., хр), и = (и1, ..., ы9) и производные от функции и по х до порядка п. Функции А(х, и^) — = (Ai(x, и<”>), ..., Nt^x,uw^ будут предполагаться гладкими по своим аргументам, так что А можно рассматривать как гладкое отображение из пространства струй XX U№ в некоторое /-мерное евклидово пространство:

A: XXUw-^Rl.

Дифференциальные уравнения указывают, где данное отображение А обращается в нуль на XX l^X и таким образом определяют подмногообразие

^д = {(х, uw>. А (х, ы(п)) = 0} с X X Д(п)

полного пространства струй. Мы можем отождествить систему дифференциальных уравнений с соответствующим подмногообразием, реализуя таким образом «абстрактные» связи между различными производными функции и, которые определяются системой, как некоторое конкретное геометрическое подмножество ^Л пространства струй XX U№. Мы будем употреблять один и тот же символ «А» как сокращение и для системы дифференциальных уравнений Д(х, u(n)) = 0, и для отображения А: X X Uw -* Rz, которое эта система определяет. Это не приведет к путанице.

С такой точки зрения гладкое решение данной системы дифференциальных уравнений — это гладкая функция w = /(x), такая, что

Av (х, рг^ / (х)) = О, v = 1, ..., /,

если х лежит в области определения функции f. Это просто переформулировка того факта, что производные d/f“(x) функции f должны удовлетворять алгебраическим соотношениям, налагаемым системой дифференциальных уравнений. Это условие эквивалентно утверждению, что график продолжения pr(n)f(x) целиком должен лежать внутри подмногообразия ^д, определенного системой:

if* = {(х, pr(n) f (х))} с ^Д = {А (х, и№") = 0}.

Таким образом, мы можем считать, что система дифференциальных уравнений n-го порядка — это подмногообразие ^д в пространстве XXUW n-струй, а решение — это такая функция u = f(x), что график ее n-го продолжения prWf содержится в подмногообразии ^д. Пока что мы ничего не сделали, кроме того, что переформулировали основную задачу отыскания решений систем дифференциальных уравнений в более геометрической форме, идеально подходящей к нашим исследованиям по группам симметрий. Вероятно, в этом месте стоит сделать паузу, чтобы рассмотреть простой пример.

Пример 2.25. Гассмотрим случай уравнения Лапласа на плоскости

ыхх Н- ^уу = 0-(2.16)

Здесь р = 2, поскольку имеются две независимые переменные х и у, a q = 1, поскольку имеется единственная зависимая переменная и. Далее, п = 2, поскольку уравнение имеет второй порядок, так что мы находимся в ситуации, разобранной в примере 2.24. В терминах координат (х, у; и; их, иу; ихх, иху, иуу) в пространстве XXU^ уравнение (2.16) определяет линейное подмногообразие («гиперплоскость») в этом пространстве, которое представляет собой множество ^д для уравнения Лапласа. Решение и = f (х, у) должно удовлетворять условию

d2f х дЧ . а дх2 ду2

для всех (х, у). Очевидно, это эквивалентно требованию, чтобы график второго продолжения pr^f лежал в ^д. Например, если

f (х, у) = х3 —Зху2,

то (используя (2.15))

рг(2) / (х, у) = (х3 — Зху2; Зх2 — Зу2, —бху; 6х, —бу, —6х), а это множество лежит в ^д, поскольку сумма четвертой и шестой компонент дает 0: 6х + (—6х) = 0.

Продолжение действия группы

Предположим теперь, что G— локальная группа преобразований, действующая на открытом подмножестве М с X X U пространства независимых и зависимых переменных. Тогда определено индуцированное локальное действие группы G на пространство n-струй Mtn\ называемое n-м продолжением группы G (или, более строго, n-м продолжением действия группы G на М) и обозначаемое рг(п)6. Это продолжение определяется так, что оно преобразует производные функций и = f (х) в соответствующие производные преобразованных функций й = f (х). Более строго, пусть (х0, «о0) — заданная точка в MW. Выберем произвольную гладкую функцию ы = /(х), определенную в окрестности точки Хо, график которой лежит в М и которая имеет данные производные в точке Хо:

ко — рг / (Хо).

Например, в качестве функции / можно взять многочлен Тейлора степени п в точке хо, соответствующий данным значениям

Г^ = У^Ах-х^, a=\,...,q.(2.17)

I

(Здесь суммирование происходит по всем мультииндексам / = = (/ь • • •. jk), 0 ^ к ^ п\ кроме того,

(х — х0/ = (х*1 — Хо1) (V2 — Хо2) ... (x/fe —- Хок\

Далее, для данного мультииндекса / положим J = (h/₽)> где /( — число /„, равных L Например, если J = (1, 1,1, 2, 4,4), р = 4, к = 6, то 7 = (3, 1, 0, 2). В этих обозначениях Л = /J/g! ... ... />)

Если у — элемент группы G, достаточно близкий к единичному, преобразованная функция g-f, задаваемая формулой (2.14), определена в окрестности соответствующей точки (х0, й0) = g- (хо, по), где u0 = f(x0')—компонента ио° нулевого

порядка. Мы определяем теперь действие продолженного преобразования pr^g на точку (х0, ц^'), вычисляя производные преобразованной функции g-f в точке Хо; подробнее,

pr(n) g • (xq, ы(оп)) = (х0, й^'),

где

u^prw(g - ГЖУ(2.18)

Относительно нетрудное упражнение — пользуясь цепным правилом, проверить, что это определение рг’"^ • (х0, «о0) зависит лишь от производных функции f в точке хо до порядка п, т. е. от самой точки (х0, ио0), и> следовательно, не зависит от выбора функции f, представляющей точку (х0, иоп))- Таким образом, продолженное действие группы корректно определено. Снова, чтобы определить действие pr(n)g на точку из М<п\ выбираем функцию, производные которой имеют данные значения; преобразуем эту функцию в соответствии с (2.14) и пересчитываем производные.

Пример 2.26. Пусть р = <7 = 1, так что XX^^R2. Рассмотрим действие группы вращений SO (2), которая обсуждалась в примере 2.21. Мы вычисляем здесь первое продолжение pr(1)SO(2). Заметим прежде всего, что ХХ^(1) —R3 с координатами (х, и, их). Для данной функции и = f(x) первое продолжение — это

ргП)^^^^^), №у

Теперь для данной точки (х°, и, u^eXX и111 и вращения из группы SO (2), характеризуемого углом 0, мы хотим найти соответствующую преобразованную точку

(1) п / о о о\ /~о ~о ~о\рг 0 • (х , и , их) = (X , и , их)

(если она существует). Выбрав линейный многочлен Тейлора

f (х) = и0 + и” (х — х°) = «“ • х + (и° — и°х°)

в качестве представляющей функции, замечаем, что

f(^) = u°, Г(^) = «°,

как и требовалось. В соответствии с вычислениями примера 2.21 под действием вращения на угол 0 функция f преобразуется в линейную функцию

f(x) = 0-f(x)f(x) = 0-f(x)sin 6 + и® cos 0и° — и3х°

f(x) = 0-f(x)

f(x) = 0-f(x)

5X 4К.

cos 6 — и“ sin 6 cos 6 — их sin 6

определенную при u^^ctgB. Тогда

х° = х° cos 0 — u° sin 0,

следовательно, как нам уже известно,

й° = f (х°) = х° sin 0 + «° cos 0.

Что касается производной первого порядка, то

„sin 6 + cos 6

Поэтому (опуская верхний индекс 0) мы получаем, что продолженное действие pr(1)SO(2) на ХХ№' задается формулой

рг(1) 0 • (х, и, и^ =

= (xcos0— u sin б, х sin 0 + и cos 0,(2.19)

\’'’ COS 0 — Hx sin 0’

которая определена при |0|< |arcctgw%|. Заметим, что, хотя группа SO (2) — линейная глобально определенная группа преобразований, ее первое продолжение и нелинейно, и определено лишь локально. По этому относительно простому примеру читатель может судить о том, насколько сложной является операция продолжения группы преобразований!

Читатель заметит, что в рассмотренном примере первое продолжение pr(l,G действует на исходные переменные (х, и) в точности так же, как сама группа G; лишь действие на производную их доставляет новую информацию. Это замечание справедливо и в общем случае. А именно, если имеется п-е продолжение pr<">G, действующее на переменные (х, п(п>), и если мы обращаем внимание лишь на производные порядка k ^ п, т. е. рассматриваем лишь переменные (х, u(fc>), то действие pr<”>G совпадает с действием продолжения pr<fc)G. В частности, при к = 0 действие pr(0)G совпадает с действием самой группы G на многообразии Л1<0' = М. Этот результат можно сформулировать более строго, определяя естественное проектирование л^: Mw-^-M№\ где л£ (х, uw>) = (.x, uw\ и(й) состоит в точности из компонент uj, ф^^^, самой и(и). Например, если р = 2, q = 1, то

^1 ^» У> ^j ^*, ^у> ^-хх» ^ху» ^уу) (X, у, U, Ux, Ну),

а

Ло (х, у; и; их, иу; ихх, иху, иуу) = (х, у; и).

Таким образом, имеем

л" о pr(n) g = pr(fe)g, п^к,(2.20)

для любого элемента g группы G. Другой взгляд на это замечание состоит в том, что если нам уже известно действие /г-го продолжения группы pr(fc)G, то, чтобы вычислить л-е продолжение pr<n)G, нам нужно узнать лишь, как преобразуются производные и? порядка к < *7 ^ п, поскольку действие на производные порядка к и меньше уже определено.

Инвариантность дифференциальных уравнений

Пусть задана система дифференциальных уравнений порядка п, или, что эквивалентно, подмногообразие 9 ^ в пространстве струй М<п' cz X X U(rt\ Группу симметрий G этой системы мы определили как локальную группу преобразований, действующую на М cz X X U и переводящую решения системы в другие решения. Мы установим связь между условием симметрии и геометрическим условием, что соответствующее подмногообразие инвариантно относительно действия продолженной группы pr(n)G. Это наблюдение эффективно приведет задачу определения групп симметрий дифференциальных уравнений к легче поддающейся решению задаче выяснения, когда некоторое подмногообразие (в этом случае 9^ инвариантно относительно некоторой локальной группы преобразований (в этом случае продолженной группы pr<”>G). Таким образом, в нашем распоряжении оказываются все средства, развитые в § 2.1 для симметрий алгебраических уравнений. Одно это должно продемонстрировать эффективность нашей геометрической переформулировки понятия дифференциального уравнения, сделанной в этом параграфе.

Теорема 2.27. Пусть М — открытое подмножество пространства XX U. Предположим, что А(х, и^) = 0 — система дифференциальных уравнений порядка п, определенная на М, с соответствующим подмногообразием 9д cz А1(”>. Предположим, что G— локальная группа преобразований, действующая на М, продолжение которой оставляет подмногообразие 9^ инвариантным, т. е. для любой точки (х, uw^^9k имеем pr<n)g- (х, и(п))е е 9д для всех g^G, для которых это действие определено. Тогда G — группа симметрий данной системы дифференциальных уравнений в смысле определения 2.23.

Доказательство. Доказательство состоит в сопоставлении разных определений. Предположим, что u = f(x)— локальное решение системы А(х, и(и)) = 0. Это означает, что график rp-tu, p^’/w»

продолжения prWf лежит целиком в ^д. Если §еО таково, что определена преобразованная функция g-f, то график ее продолжения, а именно r^.f, — то же самое, что результат преобразования графика продолжения prWf под действием элемента продолженной группы pr(n)g:

r*,-prMg(rD.

(Это в точности переформулировка основной формулы (2.18), определяющей продолжение действия группы.) Далее, поскольку подмногообразие ^д инвариантно относительно pr^g, график pt^Hg-f) снова целиком лежит в Уд. Но это в точности то же самое, что сказать, что преобразованная функция g-f является решением системы А. □

Позднее (теорема 2.71) мы получим обращение этого результата, налагающее некоторые дополнительные предположения на систему.

Продолжение векторных полей

Наряду с продолжениями групп преобразований мы можем также определить продолжение соответствующих инфинитезимальных образующих. На самом деле это будут в точности инфинитезимальные образующие продолжения действия группы.

Определение 2.28. Пусть McXXU открыто. Пусть v — векторное поле на М с соответствующей (локальной) однопараметрической группой exp(ev). Тогда п-е продолжение поля v, которое мы обозначаем pr(n)v, будет векторным полем на пространстве MW n-струй и по определению будет инфинитезимальной образующей соответствующей продолженной однопараметрической группы pr<n) [exp (ev) ]. Другими словами,

pr(n) v 1(х, М) = -^ ^ Pr(n> texP <ev)l Iх’ ^(2-21)

ДЛЯ любой ТОЧКИ (х, uW^e MW.

Заметим, что, поскольку координаты (х, uW^ на MW состоят из независимых переменных (х1, ..., хр) и всех произ-

водных uj зависимых переменных до порядка п, векторное поле на MW будет в общем случаеиметьвид

рв

^ 6дх1^^duJ

1=1а=1IJ

где последняя сумма берется по всем мультииндексам J порядка 0 ^ ^J ^ п\ коэффициенты-—это функции V, ф^, зависящие от всех переменных (х, u(n)). Когда v*—продолжение pr(n>v векторного поля

р«

v-^'k «)^г + £ф«(х, U)^-, 1=1а=1

коэффициенты ^, ф£ для v* = pr<n,v будут определяться коэффициентами £', фа самого поля V. В соответствии с (2.20) продолженное действие группы pr("> [exp (ev) ], ограниченное на переменные нулевого порядка х, и многообразия Л1<0) = Л1, совпадает с действием обычной группы exp(ev) на М. Поэтому коэффициенты ^ и ф” = фа поля v* = pr<">v должны совпадать с соответствующими коэффициентами £', фа самого поля v. Таким образом,

рч

рг'-,-£Е-^ + £Х^-№

где £г, Фа = Ф° — коэффициенты поля v. Более того, если */ = к, то коэффициент ф£ при д^и^ будет зависеть только от производных функций и порядка к и ниже: ф£ = ф£ (х, uw^ (поскольку, снова в силу (2.20), то, как соответствующие преобразования группы преобразуют производные порядка к, зависит только от производных порядка не выше ку Формально это можно записать в следующем виде, используя отображение проектирования (2.20):

t/nfe(pr(n,v) = pr,fe)v, п^к,(2.23)

где pr(0)v = v при к = 0. Это означает возможность рекурсивного построения различных продолжений данного векторного поля. Главная задача, которая нам теперь остается, — получить общие формулы для коэффициентов ф^ продолжения векторного поля. Прежде чем браться за эту задачу, мы рассмотрим простой пример, а затем извлечем из него некоторые общие

заключения о вычислении групп симметрий дифференциальных уравнений.

Пример 2.29. Рассмотрим группу вращений SO (2), действующую на XX U — R2, как описано в примерах 2.21 и 2.26. Соответствующая инфинитезимальная образующая имеет вид

5 . а

V = —и-зЬ х-ч— ,дх ди

и

exp (ev) (х, и) = (х cos е — и sin е, х sin е + и cos е)

sin 8 + Ux COS 8 \COS 8 — Ux sin 8 /sin 8 + Ux COS 8 \COS 8 — Ux sin 8 /— поворот на угол е. Первое продолжение имеет вид pr(1> [exp (ev)] (х, и, их) =

sin 8 + Ux COS 8 \

COS 8 — Ux sin 8 /

sin 8 + Ux COS 8 \

COS 8 — Ux sin 8 /

(х cos е — и sin е, х sin е + и cos е,

Согласно (2.21), первое продолжение поля v получается дифференцированием этих выражений по е и подстановкой е = 0. Легкое вычисление показывает, что

pr^v = ——Н х-^-+(1 +.(2.24)

рдх дм х 7 8их

Заметим, что в соответствии с (2.23) первые два слагаемых в pr(1>v совпадают со слагаемыми самого поля v.

Инфинитезимальная инвариантность

Комбинируя теоремы 2.27 и 2.8, мы немедленно выводим важное инфинитезимальное условие того, что группа G является группой симметрий данной системы дифференциальных уравнений.

Определение 2.30. Пусть

Av (х, и№^ = 0, v = 1, .. ., /,

— система дифференциальных уравнений. Говорят, что эта система имеет максимальный ранг, если матрица Якоби размера ZX(p + <7Р(и)) системы А по всем переменным

Зд (х, и(п^ =Зд (х, и(п^ =/ дДу\ дх1 ’/ дДу\ дх1 ’dA-v АdA-v А

Зд (х, и(п^ =

Зд (х, и(п^ =

/ дДу

\ дх1 ’

/ дДу

\ дх1 ’

dA-v А

dA-v А

имеет ранг I всюду, где А(х, uw) = 0. Так, например, уравнение Лапласа

А = UXK -f- Uyg0

имеет максимальный ранг, поскольку матрица Якоби по всем переменным (х, у, и; их, uti; ихх, иху, иуу) и XX Uw (ср. пример 2.25) равна

JA=(0, 0; 0; 0, 0; 1, 0, 1)

и, очевидно, всюду имеет ранг 1. Однако довольно неразумное эквивалентное уравнение

А = (uxx -f- Uy^ = 0

не является уравнением максимального ранга, поскольку

^ = (0, 0; 0; 0, 0; 2 (ихх + иии\ 0, 2 (ихх + иуу))

обращается в нуль при (ихх + иууУ = 0.

Условие максимальности ранга не является большим ограничением, поскольку в соответствии с леммой 1.12, если ^д = = {А(х, u(”>) = 0}— регулярное подмногообразие многообразия Л4<”>, то существует (алгебраически) эквивалентная система дифференциальных уравнений А(х, «(п)) = 0, такая, что

^ = ^ = {A(x, uW) = 0}

и А имеет максимальный ранг.

Теорема 2.31. Пусть

Av (х, uw) = 0, v = 1, ..., /,

— система дифференциальных уравнений максимального ранга, определенная на МсХУЛ1. Если G —• локальная группа преобразований, действующая на М, и

pr(n,v[Av(x, u(n))] = 0, v=l, ...,/, при &(х, м<”>) = 0 (2.25) для каждой инфинитезимальной образующей v группы G, то G — группа симметрий этой системы.

Доказательство, как отмечено выше, немедленно вытекает из теорем 2.8 и 2.27. Снова, как и для теоремы 2.27, в § 2.6 мы покажем, что, если система А удовлетворяет определенным дополнительным условиям «локальной разрешимости», условие (2.25) будет на самом деле и необходимым, и достаточным условием для того, чтобы группа G была группой симметрий. В этом случае, как будет показано в многочисленных примерах § 2.4, все (связные) группы симметрий можно систематически определить посредством анализа инфинитезимального критерия (2.25). Как следствие условия максимальности ранга и предложения 2.10 мы получаем, что условие (2.25) можно заменить

эквивалентным условием существования функций QVn(x, «(п))> таких, что равенство

I

pr(n)v[Av(x, u<n))]=S Qvh(^, и№^\Дх, и^ (2.26) 'н=1’

выполняется при всех (х, uw^ е М^. Оба условия (2.25) и (2.26) полезны при анализе инфинитезимального критерия инвариантности.

Пример 2.32. Пусть G = SO(2) действует на XXG=R2, как в примерах 2.29, 2.26 и 2.21. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка

А (х, и, и^ = (и — х) их + и + х = 0.(2.27)

Заметим, что матрица Якоби из определения 2.30 имеет вид

।/дДдДдД \...

Зд =(I= (1— «х>1+ «х,и — х)

\дхдидих)'1/

и, значит, всюду имеет ранг 1. Применяя инфинитезимальную образующую группы pr(1)SO(2), вычисленную в (2.24), к (2.27), получаем

дД । дД ।. о\ дД

pr(1>v(A) = — Ы-Ч—+ х^—+ (1 +«Н-ч— = г ' дх 1 ди 1 v 1 дих

= — «(1 — «х) + Х(1 +“х)+ (! + ^)(« — *) =

= их [(и — х) их + и + х] = ихА.

Поэтому рг<|)у(А) = 0 при А = 0, и условие инфинитезимального критерия инвариантности (2.25) выполняется. Поэтому мы заключаем, что группа вращений SO(2) переводит решения уравнения (2.27) в другие решения. Геометричнее, если и = = f(x)— решение и мы поворачиваем график функции f на произвольный угол 0, то полученная функция снова является решением. В самом деле, в полярных координатах

x = rcos6, u = r sin6

уравнение (2.27) принимает вид

Таким образом, решения — логарифмические спирали (точнее, их куски) г = се6, где с — константа. Очевидно, поворот любой из этих спиралей дает другую спираль того же вида, так что 50(2)—на самом деле группа симметрий. (Выбор полярных координат и тот факт, что данное уравнение легко решается в этих координатах, как мы увидим, не случайны.)

Формула продолжения

В свете теоремы 2.31, связывающей группы симметрий систем дифференциальных уравнений с инфинитезимальным критерием инвариантности системы относительно продолженных инфинитезимальных образующих группы, главной задачей для нас остается отыскание явной формулы для продолжения векторного поля. Несмотря на обескураживающую сложность продолженного действия группы, определенного формулой (2.18), продолженные векторные поля имеют относительно простой, легко вычислимый вид.

Прежде чем браться за общий случай, полезно проиллюстрировать основной метод в двух простых ситуациях. Мы исследуем сначала продолжение однопараметрической группы преобразований, действующей исключительно на независимые переменные нашей системы дифференциальных уравнений. Иными словами, рассмотрим векторное поле

р

v=p‘w^

на пространстве McX/U. Преобразования gE = exp(ev) имеют тогда вид

(Я, Й) = ^ • (х, и) = (Зе (х), «),

указанный в примере 2.22, причем компоненты х‘ = 3Е (х) удовлетворяют условию

rfSHx) I

= №•(2.28)

1е=0

ср. (1.48). Для простоты рассмотрим случай одной зависимой переменной ueR, хотя рассуждения легко обобщаются на несколько зависимых переменных.

Первое пространство струй M<*> имеет координаты (х, и<*>) = = (х‘, и, Uj), где u^duldx?. Продолженное действие группы находится следующим образом: если (х, u<*>) — произвольная точка из MW, а и = f (х)—произвольная функция с uj = df/dxl, / = 1, ..., р, то рг<*>5Е.(х, и<*>) = (х, «<•>), где х = ВЕ(х), й = и и й/ — производные преобразованной функции fe = ge-f, которая, в соответствии с (2.14), задается формулой

й = ГЕ(х) = Г[ЗГ1(х)]=/[Зе(х)1.

(Здесь мы использовали тот факт, что g~x = g_E в области определения.) Таким образом,

df, Л dfдВк в

Щ = —77 (х) = У —г (В_Е (х)) • —^ (х).(2.29)

Но Н_е (х) = х, следовательно,

й, = У —j- (Be to) Uk

^—' дх1

дает явную формулу для продолженного действия группы на производные первого порядка.

Чтобы найти инфинитезимальную образующую группы prtOge, нам нужно продифференцировать формулы для продолженных преобразований по е и положить е = 0. Таким образом,

рр

pro V = У ^ W Д + У ф'" (х,(2.30)

£ dxidUf

где ^‘(х) такие же, как раньше (поскольку pr(1)gE преобразует х и и в точности так же, как gE), и в силу (2.21)

ррd Д ^ и"х = т« .^,d Д ^ и"х = т« .^,к = 1к = 1дакv-i (ВЕ (х)) ик.дх1дакv-i (ВЕ (х)) ик.дх1

р

р

d Д ^ и"х = т« .^,

d Д ^ и"х = т« .^,

к = 1

к = 1

дак

v-i (ВЕ (х)) ик.

дх1

дак

v-i (ВЕ (х)) ик.

дх1

д^к дх1д^к дх1Так как все эти функции гладкие, можно изменить порядок дифференцирования. Поэтому получаем множители при ик двух типов. Множители первого типа имеют вид

д^к дх1

д^к дх1

— —^ (^(х))=-т -7=

OX1 L tZE Jв—0дх L «8

где мы использовали формулу (2.28) и тот факт, что при е = 0 В0(х)= х — тождество. Множители второго типа содержат производные функции Е_е по х второго порядка:

dB' (В_Е(х))—Чх) сеdB' (В_Е(х))—Чх) се#Вк

dB' (В_Е(х))—Чх) се

dB' (В_Е(х))—Чх) се

дх' дх1

они обращаются в нуль, поскольку Е0(х)—тождественное отображение. Следовательно, при е = 0 все производные второго

порядка по х функции Ее обращаются в нуль. Поэтому

ф' (х, и, их) = -^ Yi'uk(2.31)

доставляет основную формулу продолжения для pr<1)v из (2.30).

Пример 2.33. Пусть р = 2, q = 1. Рассмотрим векторное поле

V = g(x, у)^- + т](х, У^

на Х~К2 с координатами (х, у). В соответствии с (2.31) первое продолжение поля v — это векторное поле

РгС)у = у + ф^ + ф^,(2.32)

где

ф = фу = —^"Ux дх х дх нду х ду н

Например, в случае группы вращений

(х, у, и) н-> (х cos е — у sin е, х sin е + у cos е, и)

на X инфинитезимальная образующая — это поле

д .д

V — у -3г X -ч—.J дх 1ду

Здесь g = —у, т] = х и, следовательно, поле v имеет первое продолжение

гпд . дд . д

ргпл?= — ц-^h X —h —-

rJ дх 1 ду у дих х диу

(Первое продолжение группы вращений

(х, у, и, их, и^ I—^ (х cos е — у sin е, х sin е + у cos е, и, их cos е — Uy sin е, их sin е + иу cos е)

можно построить либо интегрированием pr^'v, как в (1.7), либо непосредственно по определению.)

Полезно, прежде чем переходить к общей формуле продолжения, рассмотреть еще один частный случай. Мы по-прежнему ограничиваемся одной зависимой переменной и, но теперь рас-

сматриваем группы, преобразующие лишь зависимую переменную:

(х, ii) = gB- (х, и) = (х, Фе (х, и)).

Инфинитезимальная образующая в данном случае — это v = = <р (х, и)ды, где

Ф^ n^^^DJx, «).

Если u = f(x)— функция, то преобразованная функция fB = — ge-f в соответствии с (2.14) есть в точности

й = Гв(х)-ФЕ(х, f(x)).(2.33)

Чтобы найти продолженное действие группы, дифференцируем: й/=А(х)=-^-{Фе(х, f (х))} = дх7дх1

=(х)) +(X)(X, f (х)),

следовательно, prOge" (х, u(1)) = (х> й(1)), где

Инфинитезимальная образующая

pr10 v = v + £ ф' (х, ы^) -^?i=i’

группы pr(1)gE получена из (2.34) дифференцированием по е и подстановкой е = 0, в точности как в предыдущих вычислениях. Таким образом,

<р'(х> „(И) = А й=^^и^.(2.35)

de Е=о дх* ди

Это дает нам формулу продолжения в нашем частном случае. Например, при р = 2, обозначая независимые переменные через х и у, получаем

рт<1,[хы2 41=хы24+<ы2+^хии^ 4+2хии» -^ ■

Последующие продолжения либо для (2.31), либо для (2.35) получаются дальнейшим дифференцированием соответствующей формулы продолжения. Чтобы изложить это в общем виде и подготовиться к доказательству общей теоремы о продолжении, нам нужно ввести понятие полной производной.

Полные производные

Формулу (2.35) для продолжения векторного поля вида ф(х, ы)ды можно «упростить», сделав следующее наблюдение. Если ы = /(х)—произвольная функция, то значения ф'^х, uW), вычисленные на f и ее производных первого порядка, суть в точности производные от ф(х, f(x)) по х:

Ч>Цх, pr(*>f (х)) =-^- [q>(x, f (х))].

дх1

(На самом деле существенно, как именно были получены ф;.) Другими словами, ф'Хх, ы(*>) получается из ф(х, и) дифференцированием по х1', если обращаться с и как с функцией от х. Полученная производная называется полной производной функции <р по х> и обозначается

ф' (х, «(•>) = Д/ф (х, о) =.

(Термин «полная» производная используется, чтобы отличить Д,Ф от «частной» производной дф/дх'.) Определение полной производной естественно распространяется на функции, зависящие от х = (х1, ..., х₽), и = (и1, ..., ы9) и производных и“.

Определение 2.34. Пусть Р(х, uw)—гладкая функция от х, и и производных от и до порядка п включительно, определенная на открытом подмножестве MW сХХ UW. Полная производная функции Р по х‘ — это единственная гладкая функция DiP(x, ы<п+1)), определенная на Л1("+1), зависящая от производных и до порядка п + 1 включительно и обладающая следующим свойством: если w = f(x)—произвольная гладкая функция, то

DtP(x, pr("+1>f(x)) = ^T{P(x, prWf(x))}.

дх

Другими словами, DtP получается из Р дифференцированием по х‘, если со всеми ы" и их производными обращаться как с функциями от х.

Предложение 2.35. Для данной функции Р(х, и1п'>) i-я полная производная имеет обилий вид

q

DtP = ^iA-y У(2.36)

г дх1 ’ Z-- Z-! I.* ды»'’

а —1 I4

где / = (/ь ..., jk) и

(2.37)(2.37)диЧдк+хиа

(2.37)

(2.37)

Ua . = — = ::— .

Л ’ Sxl Эх дх'1 ... дх'к

В формуле (2.36) суммирование производится по всем J порядка 0 ^ =£ / ^ /г, где п — наибольший порядок производной, входящей в Р.

Доказательство состоит в непосредственном применении цепного правила. Например, в случае X = R2 с координатами (я, у) и U = R имеются две полные производные Dx, DM и

n п дР . дР . дР . дР . дР .

ихР = зг и„—И и,, зГих„ зГ и,ху—4-...,

х дх 1 х ди хх дих и dug 1 ххх дихх 1

п п _ дР। дР, дР,„ дР, „ дР,

ду ди+ Ux» дих+иын дин+ Uxx» диххт--- •

Таким образом, если Р — хииху, то

DXP = иихц + хихихи + хиихху, DyP = хиуиху + хиихуи.

Полные производные высших порядков определяются по аналогии с частными производными высших порядков. Точнее, если / = Ци • • ■, jk) — мультииндекс порядка k и 1 ^ /и ^ Р для каждого х, то /-я полная производная обозначается

O/ = O(,Of,-Oft.

(Явные выражения для DjP в терминах частных производных от Р по и“ быстро становятся трудно проверяемыми.) Заметим, что, как и для частных производных, порядок дифференцирования для полных производных гладких функций не играет роли. Таким образом, в рассмотренном выше примере

DxDgP = DgDxP = UgUxg + UUxgg + X(Uxg + UxUxgg + UgUxxg + UU^.

Общая формула продолжения

Теорема 2.36. Пусть

рч

v = ^4x, u^ + ^q-Дх, и^i=lа=1

— векторное поле, заданное на открытом подмножестве MclX$<U. Тогда п-е продолжение поля v-—это векторное поле

q

pr(")v =v+ £ £фЦх, uw^, (2.38)

а=1 J

определенное на соответствующем пространстве струй М^ а сХХ UW, второе суммирование ведется по всем мультииндексам I = (/ь ..., j^, 1 <^ jK ^ р, 1 ^ к ^ п. Функции ф« в pr^v задаются следующей формулой:

(

р\р

^-УЛЭД+'ЕЛЧп (2.39)

Z=1/i=l

где и^ = диа[дх1 и и^ t = du^dxl, ср. (2.37).

группа,группа,Доказательство. Докажем сначала эту формулу для производных первого порядка, так что начинаем с п = 1. Пусть gE = exp(ev)— соответствующая однопараметрическая преобразования из которой задаются формулой

группа,

группа,

(-Х, й) = £е-(х, Zz) = (Se(x, и\ ФЕ(Х, и))

там, где они определены. Заметим, что

(2.40)(2.40)^ ")=-£"Los*(x’uV i=i’ - ' р’

(2.40)

(2.40)

Т«(х, и) = У ФЕ (х, и), а=1, ...,q,

1е=0

для за-для за-где В'е, Фё — компоненты отображений ВЕ, ФЕ. Пусть

для за-

для за-

данной точки (х, и^^е Л4<’> и = f(x)—произвольная представляющая функция, так что и(1) = рг<*>/(х) или, точнее,

иа = р^ Ui = df^dx‘.

В соответствии с (2.14) для достаточно малых е преобразование функции f групповым элементом gE определено (по меньшей мере, если область определения функции f — достаточно малая окрестность точки х) и задано формулой

a = L (х) = te£ • П (х) = [Фе ° (1 х f)l ° [ВЕ ° (1X ЛГ1 (х).

По цепному правилу матрица Якоби JfE(x) = (df“/dx‘) тогда имеет вид

Jf Е (х) = J [Фе = (1 X Л1 (X) • {J [ВЕ о (11 X f)] (х)Г*(2.41)

(если обратная матрица определена), поскольку х-[ВЕо(1хПГ‘(х).

Таким образом, матричная запись JfE(x) дает явную формулу для первого продолжения pr(l)gE.

Чтобы найти инфинитезимальную образующую pr(,)v, нам нужно продифференцировать (2.41) по е и положить е = 0. Напомним сначала, что если Л4(е)—произвольная обратимая квадратная матрица, элементы которой — функции от е, то

^ [М (е)"1] = - М (еГ1^- М (еГ*.

Заметим также, что, поскольку е — 0 соответствует тождественному преобразованию,

Во (*> f (*)) = *, Фо (х, / (х)) = f (х),(2.42)

так что, обозначая единичную матрицу размера рХр через /, получаем

J [Во (1 X D1 (*) = /, J [Фо ° (1 X f)] W = Jf (х).

Далее, дифференцируя (2.41) и полагая е = 0, приходим, пользуясь правилом Лейбница, к равенствам

4L4.»=

- $ LJ № ° <*х f)1 w -Jf w ^ L-оJ р- ° <1 х ™ «=

= J[v = (HXf)[W]-Jf(x)-JK = (HXf)]to.

Во втором равенстве £=(£*, • ■•> W и ф = (фь ..., фд)г — вектор-столбцы, и мы использовали соотношения (2.40). Матричная запись последней формулы даст нам функции ф^, являющейся коэффициентами при д]ди^ в формуле для pr<*>v. А именно, (а, &)-й элемент матрицы — это

р

Фа U, РГ(1) f (X)) = -^- [фа (х, f (Х))| — £■ -^ [£' (X, f (х))]. С/Их’ИхГУ

I =1

Таким образом, по определению полной производной

Фа (х, uW) = Dk [фп (х, ы)] — £ Dk [g‘" (х, ы)] и» =

Г р I р

= Dk фа - Z ^и» + 2 ^^,(2.43)

Li = lJi = l

где и^ — d2uajdxk дх1. Это доказывает формулу (2.39) в случае п = 1.

Чтобы доказать теорему в общем случае, мы воспользуемся индукцией. Ключевое замечание состоит в том, что пространство (п + 1)-струй Л1<"+1) можно рассматривать как подпространство пространства 1-струй пространства (/И*п))(1> n-струй, поскольку каждую производную и“ порядка n + 1 можно рассматривать как производную первого порядка от производной порядка п. (Это можно сделать, вообще говоря, несколькими способами.) Поучительно рассмотреть иллюстрирующий это пример. При р = 2, 9=1 пространство Л1<б 1-струй имеет координаты (х, у; и; их, ииу Если рассмотреть (Щс, ыу) как новые зависимые переменные, скажем, их = v, uti = w, то пространство ЛЕ1) оказывается открытым подмножеством пространства XX О, где X по-прежнему двумерно, а О имеет теперь три зависимые переменные и, v и w. Таким образом, пространство 1-струй пространства ЛЕ’), т. е. пространство (ЛЕ1))^), будет открытым подмножеством пространства X X Д(1) с координатами (х, у; и; v, w; их, иу, vx, Uy, wx, Wy). Далее, вспоминая, что и = ux и w — ии, мы видим, что ЛЕ2> с: (ЛЕ1))**)— подпространство, определенное соотношениями

и = Ux, W = Uy, Dy = Wx

в пространстве XX 0w и задаваемое лишними переменными ик, иы в (ЛЕ1))**) и условием независимости смешанной второй производной функции и от порядка дифференцирования.

С этой точки зрения индуктивная процедура определения pr<n>v через pr<n-1)v состоит в следующем. Мы рассматриваем рг^-бу как векторное поле (некоторого специального вида) на ЛЕ"-*) и по нашей формуле для продолжения первого порядка продолжаем его на (ЛЕ"-'))*1). Затем мы ограничиваем полученное векторное поле на подпространство ЛЕИ>. Это и будет определять п-е продолжение pr(n)v. (Конечно, нужно еще проверить, что ограничение возможно, но это будет следовать из явной формулы.) Далее, новые координаты «n-го порядка» на (ЛЕ”-*))*1) задаются формулами и^к = ди^/дхк, где J = (/i, ... .... /п-1), l^^^P, 1 ^ ос ^ у. В соответствии с (2.43) коэффициент при d/du'j k в первом продолжении поля pr<"_1>v будет равен

^^D^-^D^.u»,. (2.44)

(Как мы увидим, формула (2.44) дает полезное рекуррентное соотношение на коэффициенты поля pr^v.) Теперь достаточно проверить, что формула (2.39) представляет собой решение ре-

куррентного соотношения (2.44) в замкнутой форме. По индукции получаем

{

/Рх Р\ р

D, ( Ф„ - Е У^ ) + Ё ^, t f - E D£ • UL i =

(

P X PP

ф. - E ^) + E № • ч 4+M ih} - E d^ • ^,. = = DfeDj L - £ ^tA + E ^ tk, \ t-l 7 i-l

где u" 1к~д2и^1дх1 дхк. Таким образом, <^k имеет вид (2.39), и шаг индукции завершен. □

Пример 2.37. Вернемся к случаю группы вращений 50(2), действующей на X X U = R X R с инфинитезимальной образующей

а ,а

V— и-=—р х -5—;

дх 1ди

см. примеры 2.26 и первое продолжениесм. примеры 2.26 и первое продолжение2.29. В этом случае <р — х, ^ — и, так что2.29. В этом случае <р — х, ^ — и, так чтоpr(Dv = у + ф^^—pr(Dv = у + ф^^—

см. примеры 2.26 и первое продолжение

см. примеры 2.26 и первое продолжение

2.29. В этом случае <р — х, ^ — и, так что

2.29. В этом случае <р — х, ^ — и, так что

pr(Dv = у + ф^^—

pr(Dv = у + ф^^—

задается формулой

фХ = Dx (ф — £°х) + ^хх = Dx (Х + ^ — UUxx = 1 + Ых"

Таким образом, мы снова получили результат (2.24). Коэффициент qjxx при d/dUxx в pr<2)v получается с помощью либо (2.39):

фХХ = Dx (ф — б^х) "ф Ъ^ххх = Dx (х -|- UUx^ ИИххх = ЗЫхМхх.

либо рекуррентной формулы (2.44):

Фхх = D фх — и DI, = D (1 + о2) + и ихх = Зы ы

Таким образом, инфинитезимальная образующая второго продолжения рг<2>50(2), действующего на X X и^}, равна

pri2*v = ——h х-^— + (1 +—|- Зы и—.

кдх 1 ди 1 V 1 х> дих 1 х хх дихх

(Не приходится и говорить, что вывод этой формулы непосредственно из действия группы рг(2)5О(2) гораздо более сложен.)

Пользуясь инфинитезимальным критерием инвариантности теоремы 2.31, мы немедленно получаем, что для обыкновенного

дифференциального уравнения ихх = 0 группа SO (2) будет группой симметрий, поскольку

pr<2) v V^ = Зихихх = О

при ихх — 0. Это в точности переформулировка того геометрического факта, что вращения переводят прямые в прямые. Чтобы получить другую геометрическую иллюстрацию, рассмотрим функцию

х(х, u^ = uxx^-Vu2xyai\

Легкое вычисление показывает, что

pr(2) v (х) = 0

для всех их, ихх. Следовательно, в силу предложения 2.6 х является инвариантом группы pr<2)SO(2):

х (рг<2) 6 • (х, w<2))) = х (х, w<2))

для произвольного поворота 0. Но х — это кривизна кривой, определяемой графиком функции w = f(x), так что мы в точности передоказали тот факт, что кривизна кривой инвариантна относительно вращений. (Это частный случай теории дифференциальных инвариантов — см. § 2.5, где имеются дальнейшие результаты такого сорта.)

Пример 2.38. Рассмотрим частный случай, когда в формуле продолжения р = 2, q = 1, так что мы рассматриваем дифференциальное уравнение с частными производными, содержащее функцию м = f (х, /). Произвольное векторное поле на X X X U ^ R2 X R имеет вид

v = E(x, t, ы)-^ + т(х, /, ы)-^- + ф(х, t, и)-^.

Первое продолжение поля v — это векторное поле ргО’у^ + ф^ + ф^,

где в силу (2.39)

ф Dx (ф ^^х ТИ^) -]- ^Мхх -|- *tUx^ Дхф ^х^з^Mf D^T

= Фх + (ф„ - ^ их - TxMt - ^х - Т,№-(2 45)

q>* = Dt(q> — ^их — ты() + &ixt + тии = /)(ф — uxD£ — utDtT =

= Ф/ ~ Vx + (ф« - ч) ut - kuxut - TUUP

а индексы при ф, g, т обозначают частные производные. Аналогично,*

рг(2) V = ргО) V + ф^ -^ + фХ< д^ + ф“ "4; •

где, например,

Ф Dx (ф б^х ТЫ() -|- ^,UXXX -|- Т11хх{ =

= D^p — uxD^ — utDxT — ^uxxD^ — 2uxtDxT =

= Чхх + (2фх„ - ^) Ux - TxA + (ф«„ - ^M ^x -

— 2т u u, — g u3 — т u?u, + Гф — 2g I u —

XU X tXuu X t 1 VU ^x) XX

^^X^Xt ^DU^X^XX ^иЩ^ХХ ^-'^u^'X^Xt*(2.46)

Эти формулы будут использованы в следующем параграфе для вычисления групп симметрий некоторых известных эволюционных уравнений.

Свойства продолженных векторных полей

Теорема 2.39. Предположим, что v и w — гладкие векторные поля на Mcz X % U. Тогда их продолжения обладают свойствами

pr(n) (cv + c'w) = с • pr<"> v + с' • pr("> w,

где с, с' — константы, и

рГ(п) [у, w] = [pr(n) v, pr<n) w].(2.47)

Доказательство. Линейность мы оставляем читателю. Свойство скобки Ли можно доказать непосредственным вычислением, используя (2.38) и (2.39). Однако легче поступить следующим образом. Заметим сначала, что если g, h — элементы некоторой группы преобразований,то

рг(п) (£•/?) = Pr(n) g • pr<"> h

и, поскольку М — подмножество некоторого евклидова пространства,

?,.(«) (^ _|_ Д) = pr(n) g _|_ рг(п) д.

Операция продолжения 161

где ^g-VhVx = g-x-Vh-x по определению. Пусть 1 обозначает тождественное преобразование М, так что 1(п) = рг(п)1 — тождественное преобразование Mw. Пользуясь свойством скобки Ли из теоремы 1.33, получаем

[pr<n>v, pr(">w] =

|. рИ"*[ехр(—Уе w)exp(—Ve у)ехр(Уе w)exp(ye v)] — e-»0+6

= pr(n)) lim' e-»0+= pr(n)) lim' e-»0+[exp (— Уе w) exp (— Уe v) exp (Уe w) exp (Уё" v)] — 1e

= pr(n)) lim

' e-»0+

= pr(n)) lim

' e-»0+

ргИ [v> w). □

Следствие 2.40. Пусть К — система дифференциальных уравнений максимального ранга, определенная на М с XX U. Множество всех инфинитезимальных симметрий этой системы образует алгебру Ли векторных полей на М. Кроме того, если эта алгебра Ли конечномерна, то полная группа симметрий этой системы является локальной группой Ли преобразований, действующей на М.

Характеристики симметрий

Наконец, мы отметим эквивалентный, вычислительно полезный способ записи общей формулы продолжения (2.39). Для заданного, как и раньше, векторного поля v положим

Qa (х, и^) = <ра (х, и) — ДI1 (х, и) и», а = 1...., q\ (2.48)

набор q функций Q^x, uw) = (Qi, .... Qs) называется характеристикой векторного поля v. По этому определению формула (2.39) принимает вид

р< = О^а+^и»р< = О^а+^и»(2.49)(2.49)

р

< = О^а+^и»

р

< = О^а+^и»

(2.49)

(2.49)

Подставляя в (2.38) и переставляя члены, получаем

<7 prwv = £ ^DzQa a=l /<7 prwv = £ ^DzQa a=l /

<7 prwv = £ ^DzQa a=l /

<7 prwv = £ ^DzQa a=l /

5 П. Олвер

Мы видим, что стоящие в скобках члены — это в точности полные производные в соответствии с формулой (2.36); следовательно, р

pr™ v = pr(n) vQ + £ VDb(2.50)

i = l

где по определению

7q

NQ — ^Qa (х, ut») -^L pr™ vQ = £ £ DjQa (2.51) -OU-_uUi

а=1а = 1 I■*

Во всех этих формулах суммирование распространяется на все мультииндексы / порядка 0 ^ *^ ^ п- Конечно, оба слагаемых в правой части (2.50)—это формальные алгебраические выражения, поскольку каждое из них включает производные функций и порядка п + 1. И только когда в их линейной комбинации члены, содержащие производные порядка n+ 1, взаимно уничтожаются, мы получаем настоящее векторное поле на пространстве струй M.W. Важность формулы (2.50) станет очевидной, когда мы будем обсуждать обобщенные симметрии в гл. 5.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП СИММЕТРИЙ

Теорема 2.31 в совокупности с формулами продолжения (2.38), (2.39) доставляет эффективную вычислительную процедуру, позволяющую отыскать наиболее общую (связную) группу симметрий почти всякой системы уравнений с частными производными, которая нас интересует. В этой процедуре коэффициенты g‘(x, и), фа(х, и) инфинитезимальной образующей v гипотетической однопараметрической группы симметрий системы считаются неизвестными функциями от х и и. Коэффициентами ф' продолженной инфинитезимальной образующей pr(">v будут некоторые явные выражения, содержащие частные производные коэффициентов £' и фа по х и и. Инфинитезимальный критерий инвариантности (2.25) будет, таким образом, содержать х, и и производные от и по х, а также ^‘(х, «), фа(х, и) и их частные производные по х и и. После исключения всех зависимостей между производными от и, вытекающих из самой системы (поскольку (2.25) должно выполняться лишь на решениях системы), мы можем приравнять нулю коэффициенты при оставшихся частных производных от и. Это приведет к большому числу элементарных уравнений с частными производными для определения функций £‘, фа, являющихся коэффициентами инфинитезимальной образующей. Эти уравнения называются определяющими уравнениями группы симметрий данной системы.

В большинстве примеров такие определяющие уравнения можно решить элементарными методами, а общее решение будет определять наиболее общую инфинитезимальную симметрию системы. В следствии 2.40 утверждается, что полученная система инфинитезимальных образующих составляет алгебру Ли симметрий; сама общая группа симметрий может быть получена из данных векторных полей с помощью экспоненты. Эта процедура станет яснее из следующих примеров.

Пример 2.41. Уравнение теплопроводности. Рассмотрим уравнение теплопроводности для одномерного стержня

ut = uxx,(2.52)

коэффициент диффузии мы полагаем равным единице. Здесь имеются две независимые переменные х и t и одна зависимая переменная и, так что в наших обозначениях р = 2 и q=\. Уравнение теплопроводности имеет второй порядок, п = 2, и его можно отождествить с линейным подмногообразием в X X Uw, задаваемым условием обращения в нуль выражения А(х, t, и№) = = Ut ихх.

Пусть

v = £(x, t, и)-^+т(х, t, u^ + tp^x, t, u^A_ (2.53)

— векторное поле на XX U. Мы хотим найти все возможные коэффициенты ^, т и ф, такие, что соответствующая однопараметрическая группа exp(ev) будет группой симметрий уравнения теплопроводности. В соответствии с теоремой 2.31 нам нужно знать второе продолжение

р^ V = V + ф« ^-+ Ф< ^-+ Ф-" ^ + ф« ^-+ ф« ^-

поля v, коэффициенты которого были вычислены в примере 2.38. Применяя pr(2>v к (2.52), мы получаем, что инфинитезимальный критерий (2.25) принимает вид

Ф^Ф**,(2.54)

и это равенство должно выполняться при ut = ихх. Подставляя общие формулы (2.45), (2.46) в (2.54), заменяя ut на ихх и приравнивая коэффициенты при различных одночленах в частных производных первого и второго порядков от и, мы получаем следующие определяющие уравнения для группы симметрий

уравнения теплопроводности:

Одночлен

Коэффициент

“x“xt

° = ~2tu

(a)

"xt

0 = —2Tx

(b)

“хх

-tu = -tu

(C)

2

UrUKY

0=-t„u

(d)

UxUxx

— 6u= 2тхы 3g„

(e)

Uxx

^ “ Tt = ~ Txx + ^u ~ 2^x

(f)

0 = -luu

(g)

^X

0 ■ *₽UU 2^xu

(h)

ux

^t = ^xu ^xx

(j)

1

Vi-t^x

(k)

(Как обычно, индекс означает производную.) Решение определяющих уравнений элементарно. Во-первых, из (а) и (Ь) вытекает, что т — функция только от I. Далее, (е) показывает, что £ не зависит от и, а из (f) следует, что т< = 2£х, так что |(х, t^ = = т<х/2 + о^, где о — некоторая функция, зависящая только от t. Затем в силу (h) функция <р линейна по и, так что

Ф (х, t, о) = Р (х, 0 « + «(х, О

для некоторых функций а и р. В соответствии с (j) ^t=—2рх, так что р — функция не более чем второго порядка по х:

Р = — ^ "Ч^ — у °tx + Р (О-

Наконец, последнее уравнение (к) требует, чтобы и а, и р были решениями уравнения теплопроводности:

Ч< == ®хх> Pt == Рхх-

Пользуясь найденным видом функции р, получаем

■Чн = 0. <^tt = °. Pt = — т т«-

Таким образом, т—квадратичная функция от /, о линейна по t, и мы можем получить формулы для g и <р непосредственно из формул для р, о и т. Поскольку все определяющие уравнения теперь удовлетворяются, мы заключаем, что коэффициенты наи-

более общей инфинитезимальной симметрии уравнения теплопроводности имеют вид

£ = С] 4“ С4Х 4* 2c§t 4* 4cgx0

т = Сз 4* 2cV 4~ 4cgO,

<р = (с3 — с^х — 2с6/ — с6х2) и 4- а (х, t),

где сь ..., с6 — произвольные постоянные, а а(х, t)— произвольное решение уравнения теплопроводности. Таким образом, алгебра Ли инфинитезимальных симметрий уравнения теплопроводности порождена шестью векторными полями

Vi = дх,

v2 = dt,

Va = иди,

v5 = 2tdx — хиди,

v6 = 4txdx 4- 40d, — (x2 4- 20 udu

и бесконечномерной подалгеброй

v„ = a(x, ^ди.

где a — произвольное решение уравнения теплопроводности. Коммутаторы этих векторных полей даются следующей таблицей, на пересечении i-й строки и /-го столбца которой стоит [v/.v/J: ’ '

V1

v2v3v«Vsv6va

vi0

V80

уз0

V4-V,

v5V3

V6 -2v5

v — v aax

00Vi— v32vsvax

002v22vi4v« — 2v3va,

00000— va

-2v200v52v6va,

—2vj0— v500va„

2v3 — 4v40— 2v600va,z,

“va,va-ya'“ va"“ V"0

a' = хах 4- 2tat, а" = 2tax 4~ ха,а'" — 4/хах 4- 40а, 4- (х2 4- 20 «.

Заметим, что, поскольку следствие 2.40 говорит нам, что все инфинитезимальные симметрии должны составлять алгебру Ли, мы

можем заключить, что если а(х, /)—произвольное решение уравнения теплопроводности, то ах, at, а также выписанные выше а', а" и а'" тоже являются решениями.

Однопараметрические группы 6„ порожденные полями v,-, даются следующей таблицей. В таблице указаны образы точки (х, t, и) при преобразовании exp (ev,):

Gp (х + е, t, uY

G^* (х, / —|- 8, и),

G3: (х, /, еЕи),

С4: (еЕх, е2Е/, и),(2.56)

G5: (х + 2е/, t, и • ехр (— ех — е2/)),

G6: (-г—, илЛ — 4et ехр ( ч—^-т- П, 0 k 1 — 4е< ’ 1 — 4eZ v( I — 4е< J у *

Ga: (х, t, и + еа (х, t^Y

Поскольку каждая группа G, является группой симметрий, из (2.14) следует, что если и=НхЛ^—решение уравнения теплопроводности, то функции

и(1) = /(х — е, tY

и® = f(x, t — е),

ц(3> = еЕ/(х, tY

и^ = Це-6х, e-24Y

и® = e~ex~etf (х — 28/, О,

и№) = .—_ : ехр {1,

Vl + 4eZ ( 1 + 4eZ J k 1 + 4ef 1 + 4е< 7

ц(а) = f (х, /) + ео (х, tY

где е — произвольное вещественное число, а а (х, /) — другое произвольное решение уравнения теплопроводности, тоже являются решениями уравнения теплопроводности. (См. пример 2.22, где подробно обсуждается, как эти выражения получаются из групповых преобразований.)

Группы симметрий G3 и Ga отражают, таким образом, линейность уравнения теплопроводности; мы можем складывать решения и умножать их на константы. Группы Gi и С2 демонстрируют временную и пространственную инвариантность уравнения, отражая тот факт, что уравнение теплопроводности имеет постоянные коэффициенты. Известная симметрия относительно растяжений проявляется в группе G4, а группа G§ представляет

преобразования Галилея в движущейся системе координат. Последняя группа G6 является существенно локальной группой преобразований. Ее появление вовсе не очевидно из основных физических принципов, однако оно приводит к следующему замечательному выводу. Если выбрать и = с в качестве исходного решения, то мы немедленно заключаем, что функция

сf — ex2

■ — exp{

+ 4е/( 1 + Ш

тоже является решением. В частности, полагая c = Ve/Jt> мы получаем фундаментальное решение уравнения теплопроводности в точке (хо, ^о) = (О, — 1/4е). Чтобы получить фундаментальное решение

1( — х2 )

и = —.■ ехр >,

V 4л/I 4/ J

нам нужно осуществить сдвиг по t, пользуясь группой G2 (с заменой е на —1/4е).

Наиболее общая однопараметрическая группа симметрий получается, если рассмотреть общую линейную комбинацию C1V1+ ... + сбХб + va данных векторных полей; явные формулы для преобразований из этой группы очень сложны. Другой способ: можно использовать (1.40) и представить произвольное преобразование g как композицию преобразований из различных однопараметрических подгрупп Gi, ..., Ge, Ga. В частности, если g близко к тождественному преобразованию, оно единственным образом может быть представлено в виде

g = exp (v„) • ехр (8бУ6) • .... exp fay,).

Таким образом, наиболее общее решение, получающееся из данного решения o = f(x,/) преобразованиями из рассматриваемой группы, имеет вид

Г е5х + е6х2-е2/ )

^Г-р4ввГ (,14* 4eg/J

.. е~е* (х — 2е5/)е-2вЧА . ,.

Х Ч 1 + 4е6/ ®ь 1 + 4е6/ ^J + ° ^’ ^’ где Ее — вещественные постоянные, а а — произвольное решение уравнения теплопроводности.

Пример 2.42. Уравнение Бюргерса. Уравнение Бюргерса — это нелинейное уравнение, тесно связанное с уравнением теплопроводности. Имея в виду группу симметрий, его удобно записать в виде уравнения для потенциала и-.

и, = ихх + и2.(2.57)

Заметим, что если продифференцировать его по х и подставить и ~ их, мы получим более обычный вид

«t = Ухх + 2опх(2.58)

уравнения Бюргерса; оно представляет собой простейшее волновое уравнение, сочетающее диссипативные и нелинейные эффекты, и появляется поэтому во многих физических приложениях.

Группа симметрий уравнения (2.57) снова будет порождена векторными полями вида (2.53). Применяя второе продолжение pr<2>v к (2.57), получаем, что £, т, ф должны удовлетворять условиям симметрии

^ = ^х-\-^их<$\(2.59)

где коэффициенты q/, q-x, <рхх в pr<2>v были определены в примере 2.38, причем мы подставляем ихх + и?х вместо и( всюду, где ut встречается в (2.59). На этом этапе мы могли бы записать (2.59) во всех подробностях и приравнять коэффициенты при разных производных первого и второго порядков от функции и, чтобы получить полностью определяющие уравнения, как мы поступали в предыдущем примере. Практически, однако, гораздо более целесообразно браться за решение уравнений симметрий поэтапно, получая сначала информацию из появляющихся в них производных высших порядков и затем используя эту информацию для упрощения формул продолжения на последующих этапах. Такой путь «сверху вниз» наиболее эффективен. Более того, это почти единственный путь, пригодный для систем уравнений высших порядков, для которых потребовалось бы много страниц, чтобы во всех подробностях записать полную систему определяющих уравнений.

В нашем случае, используя (2.45), (2.46) и имея в виду, что Ut заменено на ихх + их, мы получаем, что коэффициенты при uxuxt и uxt накладывают условие ты = тх = 0, так что т — функция только от t. (Заметим, что это уже упрощает формулы для фХ и фхх, хотя и совсем немного.) Коэффициент при ихихх показывает, что | не зависит от и, коэффициент при ихх — что т< = = 2^х, так что ^(x,0 = Ttx/2 + o(0. Коэффициент при и2 есть

Фи 'tt== ^ии “Ь 2ф„2£х,

следовательно,

<р = о(х, Ое-" + Р(х, О-

Коэффициент при их приводит к условию

= —2<рхы — 2qx = —2рх.

Значит,

Р = — -§-т(,х2 — у о,х + р (/).

Оставшиеся члены, не содержащие никаких производных от и, — это в точности

ф/ = фхх-

Отсюда вытекает, что

£ = С1 + С^ + 2c5Z + 4с6х/,

т = с2 + 2с4^ + 4с6/2,

<р = а (х, /) е-и + с3 — с5х — 2с6/ — с^,

где щ, ..., с6— произвольные постоянные, а а(х,/)—произвольное решение уравнения теплопроводности-, at = ахх. Алгебра симметрий, таким образом, порождается полями

vi = дх,

v2 = dt.

v5 = 2tdx — хди,

v6 = 4txdx + 4/2d, — (x2 + 2/) du, и

va = a(x,.0e-“du.

где a — произвольное решение уравнения теплопроводности.

Отметим замечательное сходство между алгеброй симметрий уравнения Бюргерса и тем, что мы получили раньше для уравнения теплопроводности! В самом деле, если мы заменим и на w = еи, то поля vi, ..., ve, va заменятся на соответствующие векторные поля (2.55), где вместо и стоит w. Действительно, полагая w = еи в уравнении Бюргерса, мы находим

w, = п.е“, w„„ = (u„„-\-u^\eu,следовательно, w удовлетворяет уравнению теплопроводностиwt = ^хх!

Мы переоткрыли известное преобразование Хопфа — Коула, сводящее решения уравнения Бюргерса к положительным решениям уравнения теплопроводности. (Для уравнения Бюргерса в обычном виде (2.58) оно имеет вид

у = (log ty)x = wjw.

Это преобразование гораздо труднее вывести из свойств симметрии уравнения (2.58), которое, как может проверить читатель, имеет лишь пятипараметрическую группу симметрий.) Поскольку мы свели уравнение (2.57) к уравнению теплопроводности, нет нужды продолжать здесь обсуждение свойств его симметрий.

Пример 2.43. Волновое уравнение. Рассмотрим волновое уравнение

^-tt ^хх ^уу 0,(2-61)

Ч У — две пространственные координаты, t— время. Типичное векторное поле на пространстве независимых и зависимых переменных имеет вид

¥=^ + г1-^ + тж + (р-^г-

где |, т], т, ф зависят от х, у, t, и. В этом примере легче работать с инфинитезимальным критерием инвариантности в виде (2.26), который в нашем случае принимает вид

ф“ _ ф™ _ фУУ = q . ^ци _ Uxx _ иу8у(2.62)

Здесь Q (х, у, t, и^ может зависеть от производных функции и до второго порядка включительно. Коэффициенты ф“, фхх, ф^ в pr(2)v задаются выражениями, аналогичными (2.46), но с дополнительными членами, включающими производные по у; например,

Ф^ = Dj (ф £>UX T\Uy ТП*) + &xtt + ^ytt + ™<н =

= £)2ф — uxD^ — uyD24 - иДт - 2uxtDt^ — 2uytDt4 - 2uttDtT и т. д.

Чтобы решить (2.62), рассмотрим сначала члены, содержащие смешанные частные производные функции и второго порядка, а именно ихд, uxt и ugt, каждая из которых входит линейно в левую часть. Отсюда получается, что £, т) и т не зависят от и и, более того,

^ + Пх = 0, ^ —тх = 0, т), —ту = 0.(2.63)

Коэффициенты при оставшихся производных функции и второго порядка дают соотношения

Фи 2т( ■ ф„ 2ЕХ = фи ^Чд Qi следовательно,

Ч = 1Х = Чу(2.64)

Уравнения (2.63), (2.64)—это уравнения инфинитезимального конформного преобразования пространства R3 с метрикой Ло-

ренца dt2 — dx2 — dy2, ср. упр. 1.30. Нетрудно показать, что g, т], т — квадратные многочлены от х, у, t вида

В = С1 + С4х — с5у + c6Z + с8 (х2 — у2 + Z2) + 2с9ху + 2ctoxt,

= с2 + С5Х + С^у + c7t + 2с8Ху + С9 ( X2 + у2 + Z2) + 2с10у/, т = с3 -|- с6х -|- с7у -|- cj. -|- 2c&xt -|- 2с ^yt -|- с10 (х2 -|- у2 -|- Z2), где Ciс10 — константы. Например, получаем

^ххх Чхху~ ^хуу ' ^yut= Чу11 bxii - txxt £ххх> следовательно, все эти производные третьего порядка обращаются в нуль; аналогичные рассуждения показывают, что все производные третьего порядка от ^, ц и т нулевые, а строение получающихся квадратных многочленов легко получается из (2.63), (2.64).'

Далее, коэффициент при и2 (или и2, или и2) в (2.62) показывает, что <рыи = 0, так что

ф(х, у, t, ы) = р(х, у, ?)и + а(х, у, I).

Наконец, коэффициенты при линейных членах в производных функции и первого порядка и члены, не содержащие и вообще, дают соотношения

2Рх = Ъхх + Ьуу ^ц,

2Ру = Чхх + Чуу Чн,

2р< ^ ttt "^ХХ ^Уу*

аН йхх ^уу= 0.

Таким образом, а — произвольное решение волнового уравнения и

Р = Сц сах сау c10Z.

Это задает наиболее общее решение определяющих уравнений группы симметрий волнового уравнения. Итак, мы передока- зали известный результат о том, что группа инфинитезималь

порождается десятью век-(сдвиги),(гиперболические вращения), (дилатация)хиди, j(2.65)■ уиди, ? (инверсии), tudu )порождается десятью век-(сдвиги),(гиперболические вращения), (дилатация)хиди, j(2.65)■ уиди, ? (инверсии), tudu )ных симметрий волнового уравнения торными полями

порождается десятью век-

(сдвиги),

(гиперболические вращения), (дилатация)

хиди, j(2.65)

■ уиди, ? (инверсии), tudu )

порождается десятью век-

(сдвиги),

(гиперболические вращения), (дилатация)

хиди, j(2.65)

■ уиди, ? (инверсии), tudu )

дх, ди, dt

тхи = — удх + хду, rxt = tdx + хдъ ryi = tdy + ydt

d = хдх + удн + tdt

ix = (Л2 — у2 + <2) дх + ^уду + 2xtdt iy = Zxydx + кУ2 — ^ + /2) ди + 2ytdt i t = Zxtdx + 2ytdv + (x2 + y2 + Z2) dt ■

порождающими конформную алгебру для R3 с данной метрикой Лоренца, и дополнительными векторными полями

иди, va = a(x, у, t)du, где a — произвольное решение волнового уравнения, отражающими линейность этого уравнения.

Легко найти групповые преобразования, соответствующие сдвигам и дилатациям. Что касается вращений, то, поскольку метрика dt2 — dx2 — dy2 не является ни положительно, ни отрицательно определенной, лишь вращения в плоскости (х, у) оказываются настоящими вращениями, два других — это «гиперболические вращения». Например, rxt порождает группу

(х, у, 0 *—> (х ch е + / sh е, у, х sh е + t ch е).

Для инверсий соответствующие группы можно построить, как в упр. 1.30, исходя из инверсии

ЦХ, у, 0 = ( /2 _ ^ _ у» - t2_x»-y» - /г - х2 - у2 ) ’ которая определена в точках (х, y,t), не лежащих на световом конусе t2 = х2 -ф у2. Мы получили, что группа, порожденная, скажем, 1Х, сводится к композиции инверсии, сдвига по оси х и затем снова инверсии:

exp (eix) = / ° ехр (едх) ° /.

Общая формула имеет вид

их-Угк12-х2-у2') у

V > и, )\ 1 — 2ех — е2 (/2 — х2 — у2') ’ 1 — 2ех — е2 (/2 — х2 — у2) ’

1 — 2ех — е2 (/2 — х2 — у2) J '

Эта формула имеет смысл даже для точек (х, у, t), лежащих в световом конусе (который является инвариантным подмногообразием). Под действием exp(eix) переменная и преобразуется следующим образом:

и •—> V1 — 2ех —- е2 (/2 — х2— t/2) и.

Мы заключаем, что если u=f(x, у, /)—решение волнового уравнения, то и

_ 1f / х — е (/2 — х2 — у2)

“ — V1 + 2ех - е2 «2 - х2 - у2) ' I 1 + 2ех - е2 (/= - х2 - у2) *

у (А

1 + 2ех - е2 (/2 - х2 - у2) ’ 1 + 2ех - е2 (t2 - х2 - у2) ) будет его решением.

Пример 2.44. Уравнение Кортевега— де Фриза. В качестве примера уравнения более высокого порядка рассмотрим уравнение Кортевега — де Фриза

Ut + иххх + иих = 0,(2.66)

возникающее в теории длинных волн в мелкой воде и в других физических системах, в которых имеют место и нелинейные эффекты, и дисперсия. Векторное поле v = ^дх + xdt + фды порождает однопараметрическую группу симметрий, если и только если

Ф? + Чххх + иЧ*х + ихФ = 0(2.67)

для всех и, удовлетворяющих (2.66). Здесь коэффициенты ф* - и ф* первого продолжения поля v определяются общей формулой продолжения (2.45); коэффициент при д/диххх в pr(3)v равен

Ф"=^Ф -- «,^t - 3u„D=x% - 3u„D«t -

^^ХХХ^^ ^^XXtDxt.

Подставляя это выражение в (2.67) и заменяя ut на —иХхх — иих там, где ut встречается, мы получаем определяющие уравнения для группы симметрий. Чтобы их проанализировать, мы стараемся понизить порядок появляющихся производных. Коэффициент при uXxt равен Dxt = 0, следовательно, т зависит только от t. Коэффициент при и^, показывает, что gu = 0. Коэффициент при иХХх дает т< = 3^ (члены, содержащие фи, сокращаются), следовательно, g = т<х/3 + и(/). Далее, коэффициент при ихх показывает, что фии = 0 = фхи. так что Ф линейна по и, а коэффициент при и является функцией только от t. Остальные члены в (2.67) — те, что содержат их; это дает

— It — и (фи — Т,) + и (фи — gj + Ф = 0,

и те, что не содержат никаких производных от и:

ф( + фххх + ЫФ* = 0.

Все эти уравнения имеют общее решение

£ = С1 + <V + с4*,т — с^ —I- Зс4/,Ф = с3 — 2с4и,

vi = d,v2 = ^v3 = tdx + диv4 = хдх + 3tdt — 2идиvi = d,v2 = ^v3 = tdx + диv4 = хдх + 3tdt — 2идигде сь с2, сз, с4 — произвольные постоянные. Поэтому алгебра симметрий уравнения Кортевега— де Фриза порождается четырьмя векторными полями

vi = d,

v2 = ^

v3 = tdx + ди

v4 = хдх + 3tdt — 2иди

vi = d,

v2 = ^

v3 = tdx + ди

v4 = хдх + 3tdt — 2иди

(сдвиг в пространстве), (сдвиг во времени), (преобразование Галилея), (2.68) (растяжение).

Коммутаторы этих полей сведены в таблицу:

V1

Vgv3v4

Vi0

V20

v30

V4— Vi

00vi

0vi3v2

— Vi0—2v3

—3v22v30

Экспоненцирование показывает, что если u = f(x, /)— решение уравнения Кортевега — де Фриза, то и

uW = f (х — е, О, ы(2) = f (х, t — е), и<з) = Цх — et, 0 + е, ’ uW = e~2Rf (е“8х, е-38/),

являются его решениями. Это легко можно проверить. (Читателю, знакомому со многими замечательными «солитонными» свойствами уравнения Кортевега — де Фриза, этот список симметрий может показаться разочаровывающе малым. Дальнейшие свойства симметрии, отражающие существование бесконечного числа законов сохранения, и, по-видимому, линеаризация метода обратной задачи рассеяния потребуют от нас развития теории обобщенных симметрий в гл. 5 и 7.)

Пример 2.45. Уравнения Эйлера. В качестве последней иллюстрации основного метода вычисления групп симметрий мы рассмотрим систему уравнений Эйлера движения невязкой несжимаемой жидкости в трехмерной области. Здесь имеются четыре независимые переменные: х = (х, у, z) — пространственные координаты — и / — время, — а также четыре зависимые переменные: поле скоростей u = (u, и, w) и давление р. (Плотность

р полагаем равной 1.) В векторных обозначениях система имеет вид

(2.69)(2.69)^- + и • Vu = - Vp,V • и = О,

(2.69)

(2.69)

где компоненты нелинейных членов u-Vu суть

(иых + УНу + WUZ, НУХ + УУу + wuz, UWX + UWy + WWZY Инфинитезимальной симметрией уравнений Эйлера будет векторное поле вида

v = Wx + т)^ + ^дг + тд, + фды + фд0 + %дш + лдр,

где |, т], .... л— функции от х, u, t и р. Применяя первое продолжение рг(1)у к уравнениям Эйлера (2.69), получаем следующую систему уравнений симметрии:

ф' + шрх -|- уфу + гуф2 + ыхф + и„ф + uz% = — лх, (2.70а)

ф' + ыфх + уфу + гофг + ухф + ууф + yzx = — лу, (2.70b)

X* + «Xх + УХЯ + WXZ + wx<P + Wy^ + wz% = — nz, (2.70c)

ФХ + Ф" + Х2 = О,(2.70d)

которые должны выполняться при и и р, удовлетворяющих (2.69). Здесь ф*, ф* и т. д. — коэффициенты при производных первого порядка d/dtit, d/dvx и т. д., появляющихся в pr(1)v; типичный вид этих функций следует из формулы продолжения (2.43), так что

Ф* = /),ф — uxDt^ — uuDtt\ — uzD£ — utDtt,фх = Dx^ — УхОхъ — УиВхт\ — yzDx^ — yfDxT

и т. д.

Поскольку (2.70) должны выполняться лишь на решениях (2.69), мы можем подставить в (2.70) вместо рх, рн, pz и wz выражения для них, которые получаются из четырех уравнений (2.69). Мы можем затем приравнять все коэффициенты при оставшихся производных первого порядка от и, р в (2.70) и решить полученную систему определяющих уравнений относительно Т], ..., л.

В качестве первого шага покажем, что эта симметрия должна быть проектируема, т. е. что |, т), и т зависят только от х и t. Коэффициент при pt в (2.70а) равен

Фр ^>р^х Чр^У ^P^Z tp^t ^х^ ^ж ~b^u^x4-^o^x4-'^w^,x ~Н ^рРх-

Поэтому tv = тю = 0. Рассматривая тот же коэффициент в (2.70b), получаем также ты=0. Кроме того, делая в соответствии с (2.69) подстановку для рх, мы получаем

фР = тх,Фр = ту, Xp = Tz,(2.71)

^p = UTp, чр = утр, ^p = WTp,(2.72)

где уравнения для фр и хр получаются из аналогичных рассмотрений (2.70b, с). Далее, рассмотрим в (2.70а) квадратный одночлен utux. Он может получиться также из одночленов риих, pyct и р^. Все они входят только в лх. Полученный коэффициент равен 0 = —т]0. Аналогично, коэффициент при ytwx в (2.70а) показывает, что т]ю = 0. Дальнейший анализ квадратичных членов в (2.70а, Ь, с) показывает, что В, т], В не зависят от и, у, w. Дифференцируя затем (2.72) по и, и и w, получаем, что тр = 0, следовательно, |Р = Чр — В₽ = 0 и симметрия проектируема.

Следующий шаг состоит в том, чтобы рассмотреть коэффициенты при ut, Vt и wt в (2.70d), учитывая, что они могут появиться также из Vp при подстановке. Отсюда следует, что

<Рр + т, = Фр+ ту = хР+ ^ = 0.

Сравнение с (2.71) показывает, что т зависит лишь от t, а ф, ф, X не зависят от давления. Рассмотрим далее коэффициенты при yt и ух в (2.70а), которые суть

Фо= Чх> Фо== Чх Яо.

Таким образом, лв=0, и в силу аналогичных рассмотрений л не зависит ни от и, ни от w. Из коэффициентов при щ и wt мы получаем также

фи = т« — Вх + ЛР, Фш = ~ Вх

и т. д. Из всего этого следует, что ф, ф, х имеют общий вид ф = (Т, — 6Х + Яр) и — т)ху — £хш + ф, Ф = — 1уи + (т, — чИ + лр) и — £vw + ф, Х= — lz« — ЧгУ 4- (т, — Bz 4- Лр) W + X,

где ф, ф и х зависят только от х и t. Коэффициенты при пространственных производных от и в (2.70а, Ь, с) тогда дают

ф Во ф = Чо X = Во Вх Чу = Bz ^ ^t 4" "g" Яр,

By4-4x = Bz + Bx = 4z + By = 0.

В частности, пространственная компонента |дх + т]<Зу + Bdz поля v порождает (зависящую от времени) конформную группу

симметрий пространства R3 с евклидовой метрикой. Остальные члены в (2.70) не содержат производных ни от и, ни от р. Отсюда следует, что g, т], t, должны быть линейны по х, у, z и, кроме того, что

£yt == ^zt 4x1 4zt ^Х1 J ^у! ” 0,

^xt 4yt = ^г! = Х1Ь

^11^х’411==^У’^>11~^z-

Поэтому

Е = б,х + cvy — c^z + а,

П = — схх + bty + c3z + 0,

£ = с2х — СзУ + 6,2 + Y,

т = 26 + с 4 + Сз,

ф = — (6, + с4) и + сху — c2w + а,,

ф = — С1Ы — (б, + С4) V + С3йУ + 0Ь

% = с2и — с3у — (6, + с4) ay + Yt,

Л = —2 (б, + с4) р — ^ &tt (х2 + у2 + z2) — attx — ^tty — ^ttz + 6,

где а, 0, у, б и 0 — функции от t, a Ci, с2, с3, с4, с5 — постоянные. Наконец, условие нулевой дивергенции (2.70d) накладывает дальнейшие ограничения; б» = 0, так что б = c6t + с7.

Таким образом, мы показали, что группа симметрий уравнений Эйлера в трехмерном случае порождается векторными полями

di — xdx -f- уду -|- zdz -|- tdt, d2 = tdt — udu — udy — wdw — 2pdp rxti = ydx —xdti + udu — udc, ' rzx = xdz — zdx + udw — wdu, * vtiZ = zdu — ydz + tydD — одц, .ve = 6dpdi — xdx -f- уду -|- zdz -|- tdt, d2 = tdt — udu — udy — wdw — 2pdp rxti = ydx —xdti + udu — udc, ' rzx = xdz — zdx + udw — wdu, * vtiZ = zdu — ydz + tydD — одц, .ve = 6dp

di — xdx -f- уду -|- zdz -|- tdt, d2 = tdt — udu — udy — wdw — 2pdp rxti = ydx —xdti + udu — udc, ' rzx = xdz — zdx + udw — wdu, * vtiZ = zdu — ydz + tydD — одц, .

ve = 6dp

di — xdx -f- уду -|- zdz -|- tdt, d2 = tdt — udu — udy — wdw — 2pdp rxti = ydx —xdti + udu — udc, ' rzx = xdz — zdx + udw — wdu, * vtiZ = zdu — ydz + tydD — одц, .

ve = 6dp

va = adx + atdu — attxdp, vp = 0ду + РА — ^нудр. vv = Ydz + у А — Yttzdp

v0 = dt

(сдвиги по осям),

(сдвиг по времени), (растяжения), (2.73)

(вращения),

(изменения давления).

где а, 0, у и 6 — произвольные функции от t. Соответствующие однопараметрические группы симметрий уравнений Эйлера тогда следующие.

Переход к произвольной движущейся системе координат:

G„: (х, t, и, р) >—> (х + еа (Z), Z, и + еаь р — ех ■ att — -^ е2а • аи,

где а = (а, 0, у), a Ga порождено линейной комбинацией v« = = Va + vp + vY первых трех векторных полей.

Сдвиги по времени:

Go: (х, t, а, р)*-^(х, / + е, и, р).

Растяжения:

Gp (х, t, и, р)G2: (х, t, и, р)Gp (х, t, и, р)G2: (х, t, и, р)(Хх, Kt, и, р),

Gp (х, t, и, р)

G2: (х, t, и, р)

Gp (х, t, и, р)

G2: (х, t, и, р)

(х, Kt, X-1u, К-2р),

где К — е® — мультипликативный параметр группы, (d) Группа

SO(3): (х, t, и, p)>^(Rx, t, Ru, р)

одновременных вращений и пространства, и векторного поля скорости и. Здесь R — произвольная ортогональная матрица размера 3X3.

(е) Изменения давления:

Gp; (х, t, u, р) •—*(х, I, и, p + e0(Z)).

Соответствующее действие на решения уравнений Эйлера показывает, что если u=f(x, Z), р = g(x, Z) — решения, то решениями являются

Ga-, u = f (х — ea (Z), Z) + eab p = g (x — ea (Z), Z) — ex ■ att + + "2 eza • a„,

Go: u = f (x, Z — e), Gp u = f (Xx, Kt), G2: u = Xf (x, XZ), SO(3): u = /?f(/?-1x, Z), Gp. u = f (x, Z),Go: u = f (x, Z — e), Gp u = f (Xx, Kt), G2: u = Xf (x, XZ), SO(3): u = /?f(/?-1x, Z), Gp. u = f (x, Z),p = g(x, t-в), p==g(Kx, Kt), p = K2g(x, Kt), P = g(R-ix, z) p = g^, Z) + e6(Z).

Go: u = f (x, Z — e), Gp u = f (Xx, Kt), G2: u = Xf (x, XZ), SO(3): u = /?f(/?-1x, Z), Gp. u = f (x, Z),

Go: u = f (x, Z — e), Gp u = f (Xx, Kt), G2: u = Xf (x, XZ), SO(3): u = /?f(/?-1x, Z), Gp. u = f (x, Z),

(B Go и G| мы заменили X на X-1.) Заметим, что при переходе к движущейся системе координат Ga мы должны изменять давление в соответствии с тем, что ускорение движения равно

еа». Последняя группа Gp отражает тот факт, что давление р определено лишь с точностью до прибавления произвольной функции от t. Это завершает список симметрий уравнений Эйлера.

2.5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Одно из наиболее привлекательных приложений теории групп Ли — это приложение к задаче об интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений. Основное наблюдение Ли состоит в том, что знание достаточно большой группы симметрий системы обыкновенных дифференциальных уравнений позволяет проинтегрировать эту систему в квадратурах и таким образом получить общее решение. Этот подход унифицирует и значительно расширяет различные специальные методы интегрирования определенных типов уравнений первого порядка, таких, как однородные уравнения, уравнения с разделяющимися переменными, уравнения в полных дифференциалах и т. д. Аналогичные результаты справедливы и для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В этом параграфе представлен обзор этих методов.

Уравнения первого порядка

Мы начинаем с рассмотрения одного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

(2.74)(2.74)"4~" = А(х, “)•dx ' ’ '

(2.74)

(2.74)

Мы покажем, что если это уравнение инвариантно относительно однопараметрической группы преобразований, то его можно проинтегрировать квадратурой. Пусть G— однопараметрическая группа преобразований открытого подмножества М cz cz X X U ^ R2, и пусть

v=^, “)4'+ч>(х’и^

— ее инфинитезимальная образующая. Первое продолжение поля v — это векторное поле

гдегдер^^ж + ф^+(px"^7-(2-75)

где

где

Ф* = ^хФ - “х^ = Фх + (фи - *х)“х - ВХ-

Таким образом, инфинитезимальное условие, что группа G является группой симметрий для (2.74), состоит в том, что

+ + (2-76)

дх 1 \ ди дх ) ди дх ди ' ' и всякое решение g(x, u), <р(х, и) уравнения с частными производными (2.76) порождает однопараметрическую группу симметрий нашего обыкновенного дифференциального уравнения. Конечно, практически отыскание решений уравнения (2.76) оказывается обычно гораздо более трудной задачей, чем решение исходного обыкновенного дифференциального уравнения. Однако, влекомые вдохновляющими догадками или геометрическими соображениями, мы, возможно, сумеем найти решение уравнения (2.76), которое приведет нас к интегрированию уравнения (2.74). В этом искусство метода Ли.

Найдя группу симметрий G, мы можем применить несколько различных методов, чтобы проинтегрировать (2.74). Предположим, что v — инфинитезимальная образующая группы симметрий, и допустим, что v|(Xo ис)э^0. (Если векторное поле v обращается в нуль в точке (хо, «о), то вблизи этой точки у решений могут быть особенности. Поведение решений и = f (х) вблизи таких особенностей может быть найдено экстраполяцией, поскольку уравнение будет проинтегрировано при близких значениях х.) В соответствии с предложением 1.29 мы можем ввести новые координаты

у — т] (х, и), w = ^ (х, и) (2.77) вблизи точки (хо, «о), так что в координатах (t/, w^ векторное поле будет сдвигом v = d/dw и его первое продолжение

рг<*)у = v = d/dw

— тоже сдвиг. Таким образом, в новой системе координат, чтобы быть инвариантным, дифференциальное уравнение должно не зависеть от ш, так что (2.74) эквивалентно элементарному уравнению

dw

для некоторой функции Н. Это уравнение тривиально интегрируется в квадратурах:

w = Н(y)dy + c,

где с—некоторая постоянная. Подставляя сюда выражения (2.77) для у и w, мы получаем решение u = f(x) нашего исходного уравнения в явном виде.

Замена переменных (2.77) строится с помощью методов нахождения групповых инвариантов, представленных в § 2.1. Действительно, из (1.16) следует, что векторное поле v преобразовано к виду d/dw, если т) и ^ удовлетворяют линейным уравнениям с частными производными

fW-t^+v^-O,(2.78а)

v(0 = £> + 4>-g-=l.(2.78Ь)

Первое из этих уравнений в точности означает, что т](х, у) является инвариантом группы, порожденной полем v. Мы можем, таким образом, отыскать т), решая соответствующее характеристическое обыкновенное дифференциальное уравнение dx , du £ (х, к) ф (х, к) ■

Часто соответствующее решение ^ уравнения (2.78b) можно найти подстановкой. Более систематически, можно ввести вспомогательную переменную и и заметить, что £(х, ц) удовлетворяет (2.78b), если и только если функция %(х, и, и)=и—£(х, и) является инвариантом векторного поля w = v + д„ = = Ух + фды + дс. Таким образом, мы требуем, чтобы

«Ю-^+ф-^+^-о-

Это уравнение мы снова можем решить методом характеристик:

ЕМ ф(х,«)1 *

Решение ищем в виде и — £(х, и)=&, где к — постоянная интегрирования.

Вообще говоря, решить уравнения (2.79) и (2.80) (это снова обыкновенные дифференциальные уравнения) может быть так же трудно, как проинтегрировать исходное дифференциальное уравнение. В частности, если

ф(х, ц)/£(х, u) = F(x, ц),(2.81)

то мы автоматически имеем решение уравнения симметрии (2.76), так что такое векторное поле у = ^ + фды всегда является симметрией этого уравнения. В таком случае отыскание инварианта группы, т. е. решение уравнения (2.79), — в точности та же задача, что и интегрирование исходного уравнения, так что этот метод оказывается бесполезным. Мы можем

рассчитывать на успех в решении нашей задачи лишь тогда, когда группа симметрий имеет достаточно простой вид, так что можно явно решить уравнения (2.79) и (2.80).

Пример 2.46. Однородное уравнение — это уравнение вида du г Г и \

где F зависит только от отношения и к х. Группой симметрий такого уравнения является группа растяжений

G: (х, и) н-> (Лх, Ли), Л > 0.

Это непосредственно следует из вида первого продолжения группы G;

pr(1)G: (х, и, их)ь-^(Лх, Ли, их\

которое, очевидно, оставляет уравнение инвариантным. Действуя по-другому, можно рассмотреть инфинитезимальную образующую

д ■ дv = x-^—Hu -ч—,ох ди

первым продолжением которой в соответствии с (2.75) является рг<*)у = у, и воспользоваться инфинитезимальным критерием инвариантности.

Новые координаты у, w, удовлетворяющие (2.78), задаются формулами

У = ^, w = log х.

Пользуясь цепным правилом, получаем

du du/dy х(1+уа)у)1 + ywy

dx dy/dxxwHwH ’

так что наше уравнение принимает вид

dw 1

dti — F(y) — У ‘

Оно имеет решение

которое в свою очередь определяет неявно и как функцию от х, если подставить ty = logx, у-и/х. Например, если уравнение имеет вид

du и8 + 2хи ( и у ( о и

Ж- х8 — I х ) + 2 х •

так что F(y) = у2 + 2у, то в координатах у = и/х, ty = logx имеем

dty 1

dti У2 + У '

Решение имеет вид

w = — Iog(l + у-1) + с,

или, в исходных координатах,

lOgx = — log (1 +-7) + с-

Теперь можно явно выразить и как функцию от х;

х»и — -,

С — X

где с = ес.

Хотя ответ хорошо известен, эта процедура не совсем типична для курса обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь w и у меняются ролями, и w становится новой независимой переменной. Такая стратегия часто оказывается целесообразной для многих уравнений первого порядка. В настоящем случае мы можем опустить логарифм и рассматривать х и у = и/х как новые переменные. Тогда

dudxdudxddxddx^ = x^A-y,^ = x^A-y,

du

dx

du

dx

ddx

ddx

^ = x^A-y,

^ = x^A-y,

и мы получаем решение в виде

ДуF^-yДуF^-y$4-$4-log X + с.log X + с.

ДуF^-y

ДуF^-y

$4-

$4-

log X + с.

log X + с.

Эквивалентность этих методов ясна. Наконец, заметим, что, вообще говоря, начало координат и = х = 0 является особой точкой, отвечающей точке, где векторное поле v обращается в нуль.

Пример 2.47. Пусть 6— группа вращений SO(2), инфинитезимальная образующая

^ = -“^ + ^ + 0 + "^

которой была вычислена в примере 2.29. Непосредственными вычислениями проверяется, что всякое уравнение вида

(2.82)(2.82)du и + хН (г) dx х — иН (г) ’

(2.82)

(2.82)

где Н (г) = Н (л/х2 + у2) — произвольная функция от радиуса, допускает SO (2) в качестве группы симметрий. Полярные координаты г, 6, где х = г cos 6, и = г sin 6, — это новые координаты, удовлетворяющие (2.78), поскольку в этих координатах v = д/дб. Кроме того,

du du/dr sin 6 + r6r cos 6

dxdx[drcos 6 — r6r sin 6 '

Подставляя в (2.82) и разрешая относительно d^/dr, мы получаем"

dr г ' "

следовательно,

0 = \ —у2- dr -V с

является общим решением. Например, если H(r) = 1, мы получаем уравнение примера 2.32.

Другой метод решения уравнения первого порядка, инвариантного относительно однопараметрической группы, основан на построении интегрирующего множителя. Перепишем (2.74) как уравнение в полных дифференциалах

Р (х, u) dx + Q (х, и) du = 0,(2.83)

так что F = —P/Q. Это уравнение представляет собой полный дифференциал, если дР/ди = dQ/dx, и в этом случаем мы можем найти решение в неявной форме Т (х, и) = с, потребовав, чтобы

^ = Р, отдх ’ ди

(Это предполагает, что область М односвязна.) Если (2.83) не является полным дифференциалом, нам нужно искать интегрирующий множитель R(x, и), такой, что после умножения на него мы получим полный дифференциал.

Теорема 2.48. Предположим, что уравнение Pdx + Qdu = О имеет однопараметрическую группу симметрий с инфинитезимальной образующей v = ^х + ^ди. Тогда функция

R (х, u) = g (х м) р (х м) + ф (x и) Q ^ ^(2.84)

является интегрирующим множителем.

Доказательство. Пользуясь инфинитезимальным критерием инвариантности (2.76), мы получаем, что векторное поле v

является симметрией уравнения (2.83), если и только если

(^^-^+^У +

+ ^Q2 ~(-^-^PQ ~-^- Р2 = ^- (2.85) дх \ ди дх Jдих '

Условие, что R — интегрирующий множитель, состоит в том, чтоA;№ = .L.W

Подстановка формулы для R приводит к условию

^Ч ф р-?Ц--^p2--^-pq\=

I. X ди ди ) ди ди J

= r2U(p^--q-^A--^-pq--^-q2\.

1 \ дх дх / дхдх J

Сравнение с условием симметрии (2.85) доказывает теорему. Например, в случае группы вращений уравнение принимает общий вид

(w + хН (г)) dx + (иН (г) — х) du = 0.

Интегрирующий множитель тогда равен

1-1

— и (м + хЩ + х (иН — х) х2 + и2

Например, пусть Н (г)= 1, так что

(u + х) dx + (u — х) du = 0.

Умножая на (х2 + w2)-1, получаем уравнение в полных дифференциалах

0 = ' дтА dx + г. *2 du = d [4- log (x2 + w2) — arctg —], x2 + u2 ' x2 + u2L 2 b ''° x j

следовательно, мы снова вывели формулу для логарифмической спирали г = he6, найденную в примере 2.32.

Заметим, что если

^ + ф5^0

для всех (х, и), то интегрирующего множителя не существует. Это происходит как раз в случае (2.81), когда вычисление инвариантов группы симметрий — та же задача, что и решение самого обыкновенного дифференциального уравнения. В этом случае ни метод инвариантов, ни метод интегрирующего множителя не позволяют получить решения.

На практике, возможно, легче осуществить метод интегрирующего множителя, поскольку при этом не нужно искать

решения вспомогательной пары уравнений с частными производными (2.78). Однако, если нужно рассмотреть большое число уравнений, имеющих одну и ту же группу симметрий, это небольшое преимущество теряется в силу относительной трудности отыскания потенциалов Т для каждого требуемого полного дифференциала.

Уравнения высших порядков

Хотя метод интегрирующего множителя здесь уже неприменим, метод, использующий инварианты, непосредственно распространяется на интегрирование уравнений высших порядков. Пусть

А(х, и^ = А(х, и, их, ..., и^ = 0,(2.86)

где ип = dnujdxn — одно дифференциальное уравнение п-го порядка, включающее одну зависимую переменную и. Основной результат в этом случае состоит в том, что если нам известна однопараметрическая группа симметрий этого уравнения, то мы можем понизить порядок этого уравнения на единицу.

Чтобы увидеть это, выберем сначала координаты у =к\(х, и), w = t,(x,u), как в (2.78), так что группа преобразуется в группу сдвигов с инфинитезимальной образующей v = d/dw. Пользуясь цепным правилом, мы можем выразить производные от и по х через у, w и производные от w по у.

dku . / dwdkxs) X

dxk b V dydyk /

для некоторых функций б*. Подстановка этих выражений в наше уравнение приводит к эквивалентному уравнению n-го порядка

A (t/, ы/п)) = А (у, w, wti, ..., w^ = 0,(2.87)

выраженному в новых координатах у и w. Кроме того, поскольку исходное уравнение допускает группу симметрий G, это же верно и для преобразованного уравнения. В координатах (у, w) ее инфинитезимальная образующая имеет тривиальное продолжение

pr<n,v = v = d/dw.

Из инфинитезимального критерия инвариантности следует, что

pr(n)v (А) == о, если А (у, ш<п>) = 0.

Это означает, как в предложении 2.18, что имеется эквивалентное уравнение

* dwdnw \„

Aly, —г—, ...,тт1=0,

V’ dydy )

не зависящее от w, т. е. А (у, w^ = 0 тогда и только тогда, когда А(у, ty<">) = 0. Теперь мы достигли цели; полагая z=wy, мы получаем уравнение (п — 1)-го порядка по z

А (у, z, ..., dn~lz!dyn~1} = А (у, z(n-1)) = 0, (2.88)

решения которого доставляют общее решение нашего исходного уравнения. А именно, если z = h^y)—решение (2.88), то

w = h (у) dy + с — решение (2.87) и, следовательно, замена w и у их выражениями через х и и неявно определяет решение исходного уравнения.

Пример 2.49. В качестве элементарного примера рассмотрим случай уравнения второго порядка, в котором х явно не содержится,

A (и, их, ихх) = 0.

Это уравнение, очевидно, инвариантно относительно группы сдвигов по оси х с инфинитезимальной образующей д/дх. Для того чтобы перевести это векторное поле в поле d/dw, соответствующее сдвигам вдоль зависимой переменной, достаточно поменять ролями зависимую и независимую переменные, так что мы полагаем у = и, w = х. Тогда

du 1 d?u — Шуу

'" ■,л ■О ,

dx Wy dxШу

так что наше уравнение принимает вид

^У^У

^У

^У

а это — уравнение первого порядка относительно z = wy: А (у, z, z^ = ^^y, z“l, —z~3zv) = 0.

Например, чтобы решить уравнение

ихх — 2иих = 0,

Мы рассматриваем соответствующее уравнение первого порядка— z-3zy — 2yz~‘ = 0,

где г = dw/dy — (du/dx)-1. Оно легко решается разделением переменных. Его решение —

г = (у2 + сГ‘.

Таким образом, если с = с/2 > 0, мы получаем

w=^zdy = — arctg-p- 4- с, или, через х и и,

u = c'tg (с'х + d), d = — сс'.

(При с < 0 получаем гиперболический тангенс, при с = 0 получаем предельное решение и = — (х + d)-1.)

Пример 2.50. Рассмотрим однородное линейное уравнение второго порядка

иХх + р(х)«х + я(х)и = 0.(2.89)

Оно, очевидно, инвариантно относительно группы растяжений (х, и) >—* (х, Ли)

с инфинитезимальной образующей v = иды. Координаты (y,w), выпрямляющие поле v, задаются формулами у = х, w = log и (при и #= 0), и в этих координатах v = d^. Имеем

и = ею, и = xiaew, и„„ -) еш,

XXXX \ XXX}

так что наше уравнение принимает вид

Wxx + Wx + Р (Х) Wx + я (Х) = 0

и не зависит от w. Таким образом, мы построили известное преобразование линейного уравнения второго порядка в уравнение Риккати первого порядка; а именно, замена z = wx = = Ux/u превращает (2.89) в уравнение Риккати.

zx= — z2 — p^z — q^xY

Дифференциальные инварианты

Помимо попыток отыскать наиболее общую группу симметрий данного дифференциального уравнения мы можем задаться встречным вопросом: каков наиболее общий тип дифференциального уравнения, допускающего данную группу в качестве своей группы симметрий? Ответ на этот вопрос не только доставит нам список больших классов обыкновенных дифферен-

циальных уравнений, которые можно проинтегрировать общими методами, но знакомство с различными типами уравнений, возникающими из известных групп, поможет в распознавании групп симметрий других уравнений.

В соответствии с § 2.2 обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка А (х, и^ = 0 допускает группу G в качестве своей группы симметрий, тогда и только тогда, когда соответствующее подмногообразие Уд с: М<”> инвариантно относительно п-го продолжения pr(">G. Кроме того, в соответствии с предложением 2.18 существует эквивалентное уравнение А = О, описывающее подмногообразие Уд, где А зависит лишь от инвариантов действия группы, которые в нашем случае составляют pr(n>G. Инварианты продолженного действия группы играют важную роль в этой процедуре и известны как «дифференциальные инварианты».

Определение 2.51. Пусть G — локальная группа преобразований, действующая на М с X X U. Дифференциальным инвариантом п-го порядка группы G называется гладкая функция т): M<n>->-R, зависящая от х, и и производных от и, такая, что т] —инвариант продолженного действия pr<n>G:

t) (рг,п)^ • (х, «<">)) = т) (х, и™), (х, u(n)) е Af(n),

для всех geG, для которых определено pr^g- (х, и^.

Хотя это определение имеет смысл для нескольких независимых и нескольких зависимых переменных, мы преимущественно интересуемся случаем, когда р = q = 1.

Пример 2.52. Предположим, что G = SO (2) — группа вращений, действующая на X X G ~ R2, с образующей v = = —идх + хди. Дифференциальные инварианты первого порядка— это обычные инварианты первого продолжения рг<*>80(2), имеющего инфинитезимальную образующую

pr(1)v = — и + х .

dx du ' V 1 хУ дих

Если переобозначить переменные (х, и, и*\ через (х, у, z), то мы окажемся в точности в ситуации примера 2.19(b). Переводя полученный там результат в настоящий контекст, мы получаем, что функции

у = ^^ и Ш, = ^Ы. (2.90)

составляют полное множество дифференциальных инвариантов первого порядка для группы SO (2). В инварианты второго порядка мы включили бы также инвариант кривизны х, полученный в примере 2.37. Всякий другой дифференциальный инвариант второго порядка должен быть функцией от этих трех независимых инвариантов.

Что касается дифференциальных инвариантов высших порядков, то имеется легкий короткий путь, который приводит нас к построению всех дифференциальных инвариантов, если известны дифференциальные инварианты низших порядков.

Предложение 2.53. Пусть G— группа преобразований, действующая на М с XX U ~ R2. Предположим, что у = т] (х, и<п^ и w = t,(x, и^)—дифференциальные инварианты п-ro порядка группы G. Тогда производная

dw dw/dx ОДmon

dydy/dx — D^

является дифференциальным инвариантом группы G порядка п + 1.

Доказательство. Для доказательства нужна следующая формула. Пусть £(х, w(,1))—произвольная гладкая функция, а V = g5x + фды — произвольное векторное поле. Тогда

pr<"+'>v (ОД) = Dx [pr<">v ®] - ОД . ОД.(2.92)

Пользуясь другой формулировкой (2.50) формулы продолжения, мы видим, что

pr^’v (ОД) = рг<"+% (ОД) + ОД,

если

Dx [pr<">v (□] = Dx [pr^Vy О + Ох ДОДУ

Поэтому (2.92) сводится к более простой формуле

pr("+l>ve (ОД) = Dx [pr(n,ve (9J.

Эта последняя формула — частный случай общего правила коммутирования векторных полей и полных производных, которое будет доказано в лемме 5.12. (Однако читателю не составит труда доказать эту формулу сейчас.)

Перейдем к доказательству (2.91). Пусть v — произвольная инфинитезимальная образующая группы G. Пользуясь (2.92), получаем

pr("+1,V [^.j = __L_ {pr(«+ OV ф^ . Dx4 _ Q^ . pr(n+Ov ф^ =

= Xd^ ^Dx tPr<n,v ®1"0x4 — Dx^' D^' ^ ~

- D^ . Dx [pr^v (n)l + D^ . D£. DXT]} = 0, поскольку по предположению pr<n)v(£) = 0 = pr<">v(T]). Таким образом, dw/dy— инфинитезимальный инвариант относительно действия pr^'+^G и, следовательно, в силу предложения 2.6 является инвариантом. □

Следствие 2.54. Предположим, что G — однопараметрическая группа преобразований, действующая на М cz X X U — R2. Пусть у = ц(х, и) и w = ^(x, и, их)—полное множество функционально независимых инвариантов первого продолжения pr<'*G. Тогда производные

у, w, dw/dy, .... d^'wldy1-1

составляют полное множество функционально независимых инвариантов для п-го продолжения pr<n>G, п ^ 1.

Чтобы проверить независимость, достаточно заметить, что h-я производная dkw/dyk зависит в точности от uk+i = = d^u/dx^1 и, следовательно, не зависит от предыдущих инвариантов у, w, ..., d.k~xw/dyk-x, являющихся функциями лишь от х, и, ..., щ.

Пример 2.55. Вернемся к инвариантам второго порядка группы вращений SO(2), рассматривавшимся в предыдущем примере 2.52. Из следствия вытекает, что у, w и производная

dw йУdw йУdw/dx dy[dxdw/dx dy[dx[(х2 + и^ ихх - (1 + и^) (хих - «)][(х2 + и^ ихх - (1 + и^) (хих - «)]

dw йУ

dw йУ

dw/dx dy[dx

dw/dx dy[dx

[(х2 + и^ ихх - (1 + и^) (хих - «)]

[(х2 + и^ ихх - (1 + и^) (хих - «)]

образуют полное множество функционально независимых инвариантов для второго продолжения pr<2)SO(2). Заметим, что это означает, что любой другой дифференциальный инвариант второго порядка группы вращений может быть выражен через у, w и dw/dy, например, инвариант кривизны, найденный ранее, можно записать в виде

“хх

(1+^)3/2 (I-W'F + (1+^2)1/2-«/’

как может проверить читатель.

Зная дифференциальные инварианты для группы преобразований, действующей на М с X X U, мы можем определить структуру всех дифференциальных уравнений, допускающих данную группу в качестве своей группы симметрий. В случае когда G— однопараметрическая группа, мы тем самым знаем все уравнения, которые можно проинтегрировать при помощи G.

Предложение 2.56. Пусть G— локальная группа преобразований, действующая на MczXXU. Пусть ^’(х, н(п)), ... ..., т]*(х, н(п))— полное множество функционально независимых дифференциальных инвариантов п-го порядка для pr^G. Дифференциальное уравнение п-го порядка Д(х, u<n)) = 0 допускает группу G в качестве своей группы симметрий, если и только если существует эквивалентное уравнение

А (т]1 (х, Фп\ ..., цк (х, и№)) — О, содержащее только дифференциальные инварианты группы G. В частности, если G — однопараметрическая группа преобразований, то любое дифференциальное уравнение п-го порядка, для которого G является группой симметрий, эквивалентно уравнению (п — 1) -го порядка

К^у, w, dwjdydn~lwldyn~x} = 0,(2.93)

содержащему инварианты у = Ц(х, и), w = t,(x, и, их) для pr^G и их производные.

Доказательство непосредственно вытекает из предложения 2.18 и следствия 2.54. □

Пример 2.57. Например, мы можем полностью расклассифицировать все дифференциальные уравнения первого и второго порядков, допускающие группу вращений SO (2) в качестве группы симметрий. Всякое уравнение первого порядка, инвариантное относительно группы SO (2), эквивалентно уравнению, содержащему лишь инварианты (2.90). Разрешая относительно w, мы получаем, что каждое такое уравнение имеет вид

= н (^х^+й^)

для некоторой функции Н. Но это в точности уравнение вида (2.82), обсуждавшееся в примере 2.47 (разрешенное там относительно ихУ Таким образом, (2.82) — наиболее общее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, инвариантное относительно группы вращений SO (2).

Аналогично, всякое уравнение второго порядка, инвариантное относительно группы SO(2), эквивалентно уравнению, содержащему у, w и кривизну к = ихх^ + ихУ^’ т- е-

где Н^у, w) — произвольная функция от инвариантов первого порядка. Как в примере 2.47, оно может быть проинтегрировано подстановкой г = V-к2 + «2, 6 = arctg(ti/x). Получаем

„Г0ГГ + А® + 26Г

W = rGn И = 79„9Х3/9 ;

последнее выражение — это выражение для кривизны кривой 6 = 6(г) в полярных координатах. Таким образом, наше уравнение превращается в уравнение первого порядка

г -^ = (1 + r2z2)3/2 Н (г, rz) - (r2z3 + 2z), содержащее только z = d^/dr, откуда мы можем определить 6 (г) = z (г) dr + с.

Предыдущее предложение указывает также другой метод понижения порядка дифференциального уравнения, инвариантного относительно однопараметрической группы. Этот метод использует дифференциальные инварианты группы. А именно, дифференциальное уравнение А(х, д(">) = 0 должно быть эквивалентно уравнению (2.93), содержащему лишь инварианты у, w, ..., dn-xwldyn-x для д-го продолжения группы G. Но (2.93) автоматически является уравнением (п—1)-го порядка относительно w как функции от у, так что всего лишь переписыванием исходного уравнения в терминах данного списка дифференциальных инвариантов мы автоматически понижаем его порядок на единицу. Более того, зная решение w = h^y^ полученного уравнения (2.93), мы можем найти решение исходного уравнения, интегрируя вспомогательное уравнение первого порядка

^(х, и, ux) = /i[n(x, «)],(2.94)

полученное подстановкой вместо у и w их выражений через исходные переменные х и и. Поскольку уравнение (2.94) зависит лишь от инвариантов у и w группы pr<*>G, ясно, что группа G является его однопараметрической группой симметрий и это уравнение, следовательно, может быть проинтегрировано

обсуждавшимися методами интегрирования уравнений первого порядка. Таким образом, совершенно другим способом мы снова установили основной факт о том, что порядок обыкновенного дифференциального уравнения, инвариантного относительно однопараметрической группы, можно понизить на единицу.

Пример 2.58. Рассмотрим уравнение второго порядка хйихх + хих = иих-(2.95)

Оно инвариантно относительно группы растяжений (х, u)i—> I—>(Хх, Хн).

Попытаемся сначала проинтегрировать (2.95), пользуясь методом дифференциальных инвариантов. Мы получаем, что инвариантами действия второго продолжения группы являются

W = их,W = их,dw dydw dyX^UxxXUx — и "X^UxxXUx — и "

W = их,

W = их,

dw dy

dw dy

X^Uxx

XUx — и "

X^Uxx

XUx — и "

Поэтому новое уравнение, содержащее w и у, имеет вид (w — у) ^- + w2 = yw.

Оно имеет два семейства решений: либо w = у, либо dw/dy = =—щ; последнее уравнение интегрируется: щ = сети, где с — некоторая константа. Возвращаясь к исходным переменным, получаем два однородных уравнения первого порядка, что гарантируется видом уравнения (2.94):

duu, du —ufx

—т- = — либо -т- — се .

dxхdx

Первое уравнение имеет решения u = kx; второе интегрируется в квадратурах

= logx + A,(2.96)

J се у — у

где у = и[х. Здесь (2.96)—«общее» решение уравнения (2.95), а линейные функции составляют однопараметрическое семейство его особых решений.

Интегрирование уравнения (2.95) ранее развитым методом — дело чуть более хитрое. Как и в примере 2.46, мы полагаем y = u/x, ty = logx, так что через у и w инфинитезимальная образующая записывается в виде d/dw. Далее,

+ ywWy — Wy

Ux =, XUxx =U- л ,

wuwy

так что наше уравнение принимает вид уравнения Риккати первого порядка

^ = (y+l)z2 + z, (2.97)

где z = dw/dy. Решение получается либо с помощью общих методов интегрирования уравнений Риккати, либо, что более целесообразно, из того, что оно допускает однопараметрическую группу симметрий с образующей w = (z + yz2)дг. Поэтому в силу теоремы 2.48 R = (z-)- yz2)-1— интегрирующий множитель для (2.97). Находим, что

"Цу, z) = y-\-tog(y + z"'') = c

— интеграл, следовательно, решения уравнения (2.97) задаются формулой z = ^ce-u— у)-1. Вспоминая определение z = wti, мы видим, что последнее выражение можно проинтегрировать, чтобы вернуться к общему решению (2.96) уравнения (2.95). Особые решения и = кх в этом случае не появляются, поскольку они не соответствуют функциям вида w = h(,y). Их можно найти, выбрав другие координаты, например w = \ogu вместо W.

Интересный момент состоит в том, что группа симметрий уравнения Риккати (2.97), порожденная полем w, не укладывается в группу симметрий исходного уравнения. Таким образом, понижение порядка обыкновенного дифференциального уравнения может привести к уравнению с новыми симметриями, благодаря которым можно еще понизить порядок!

Многопараметрические группы симметрий

Если обыкновенное дифференциальное уравнение А (х, «<">) = =0 инвариантно относительно /--параметрической группы, то интуиция говорит нам, что мы должны быть в состоянии понизить порядок уравнения на г. В некотором смысле это несколько наивное предположение справедливо, однако проблема может заключаться в том, что мы не сможем восстановить решения исходного уравнения п-го порядка по решениям приведенного уравнения (п — г)-го порядка посредством одних только квадратур. Точнее, предположим, что G есть /--параметрическая группа преобразований, действующая на McXXU. Предположим для простоты, что r-е продолжение pr^G, действующее на М^, имеет r-мерные орбиты. (Более вырожденные случаи можно рассмотреть аналогично, хотя при этом могут возникнуть технические трудности.) Поскольку многообразие Л4(г> {г _|_ 2) -мерно, это означает, что локально существуют

в точности два независимых дифференциальных инварианта г-го порядка группы G, скажем,

у = ч(х, uw\ w = £(x, u(r)).(2.98)

Заметим, что каждое дальнейшее продолжение pr<">G тоже имеет r-мерные орбиты. (Это так, поскольку они проектируются на орбиты группы pr(r>G в М^, так что они по меньшей мере r-мерны, но сама группа G r-мерна, так что орбиты не могут иметь размерность, большую чем г; см. упр. 3.17.) Поэтому п-е продолжение pr(n)G имеет п— г+ 2 независимых дифференциальных инвариантов, в качестве которых мы в силу предложения 2.53 можем взять

у, w, dw/dy, ..., dn~rwldyn~r.

Если уравнение Д(х, u(n)) = 0 инвариантно относительно полной группы симметрий G, то в силу предложения 2.18 существует эквивалентное уравнение

Д(у, w, dw/dy, ..., dn~rw/dyn~r) = Q,(2.99)

содержащее только инварианты группы pr(n)G. В этом смысле мы свели уравнение n-го порядка относительно и как функции от х к уравнению порядка п — г относительно щ как функции от у.

Главная проблема в этот момент состоит в том, что неясно, как мы найдем решение u = f(x) исходного уравнения по общему решению w = h(y) редуцированного уравнения (2.99). Пользуясь выражением (2.98) для инвариантов у, w, получаем, что мы должны решить вспомогательное уравнение г-го порядка

£ (х, utn) = h [т] (х, u(r))],(2.100)

чтобы найти и. Это вспомогательное уравнение, будучи выраженным через дифференциальные инварианты, сохраняет группу G в качестве своей г-параметрической группы симметрий. Однако в отличие от однопараметрической ситуации у нас нет никаких гарантий, что мы сможем проинтегрировать (2.100) в квадратурах и таким образом явно получить решение исходного уравнения. Эта трудность видна в следующем примере.

Пример 2.59. Вспоминая пример 1.58(c), рассмотрим действие группы SL(2) как проективной группы

(х, ц)>-^((ах + ₽)/(ул: + б), и)

на прямой. Инфинитезимальные образующие — это дд2 д

дх z дх ’ d дх ’

откуда мы видим, что

У = U, W = 2ыЛ llxxx ^Ux Uxx

составляют полное множество функционально независимых инвариантов для продолжения pr<3>SL(2).

Мы заключаем, что всякое дифференциальное уравнение А(х, «<n)) = 0, инвариантное относительно полной проективной группы, эквивалентно уравнению (и — 3)-го порядка а ( dw dn~3w\ п

^'■“’■W'^М ’1(2Л01)

содержащему только инварианты продолжения pr<">SL(2). Например, поскольку

dw dw/dx 2utuvvvv —+ 12и®

/Л ллллЛ лл АЛЛ

dy ихиьх’

всякое уравнение четвертого порядка, допускающее группу SL(2) в качестве своей группы симметрий, эквивалентно уравнению вида

^UxUxxxx 1 ^UxllxxUxxx 4" 1 ^Uxx = UxH (и, Ux (^UxUxxx— ЗыХх))-

Редуцированное уравнение (2.101) в этом случае — уравнение первого порядка dw/dy = Н (у, w\

В результате решения указанного уравнения мы найдем зависимость w = h^, но тут возникает задача найти соответствующие решения ц = /(х), решая вспомогательное уравнение ^и и —=^’(2.102)

полученное подстановкой выражений для у и w. Это уравнение остается инвариантным относительно группы SL(2), так что мы можем воспользоваться знанием этого, чтобы попытаться его проинтегрировать. В частности, оно инвариантно относительно подгруппы сдвигов, порожденной дх и имеющей инварианты у = и, z = ux, в терминах которых (2.102) приводится к виду

Это последнее уравнение инвариантно относительно группы растяжений (у, г^^-^у, Kz) (отражающей симметрию уравнения

относительно группы растяжений (х, w)t—^(Z-'x, п)) и, следовательно, может быть приведено к уравнению Риккати первого порядка

2^ + u2 = Zl^ (2. ЮЗ) относительно и = (log z)v = zv/z. Однако на этом месте мы застряли. Мы использовали уже сдвиги и растяжения, чтобы привести (2.102) к уравнению первого порядка, но инверсий, порожденных полем v3, которые можно использовать, чтобы проинтегрировать стандартное уравнение Риккати (2.103), не осталось. Таким образом, лучшее, что можно сказать, — это то, что решение дифференциального уравнения и-го порядка, инвариантного относительно проективной группы, можно получить из общего решения редуцированного уравнения (и — 3)-го порядка, используя две квадратуры и решение вспомогательного уравнения Риккати первого порядка.

Весь этот пример иллюстрирует важную деталь. Если мы понизили порядок обыкновенного дифференциального уравнения, используя только подгруппу всей группы симметрий, мы вполне можем потерять любые дополнительные свойства симметрии, имеющиеся во всей группе. Только подгруппы специального вида, а именно нормальные подгруппы, описанные в упр. 1.24, дадут нам возможность сохранить полностью свойства симметрии при редукции. Прежде чем обсуждать этот случай, полезно еще раз вернуться к симметриям алгебраических уравнений.

Пусть G есть r-параметрическая группа, действующая на М a Rm, и пусть Нс G— подгруппа. Предположим, что т](х) = = (т]1(х), .... t|“-’(x)) составляют полное множество функционально независимых инвариантов группы Н. Если Н оказалась нормальной подгруппой, т. е. ghg~} а Н, когда g a G, h а Н, то имеется индуцированное действие группы G на подмножество $cpm-s, определяемое этими инвариантами у={у\..., ym-s^ = = ПМ:

g-y = g-4(x) = 4(g' xY geG, xaM. (2.104) Заметим, что для любого haH

g-tl(hx) = ri(g- hx) = n (^ • gx) = 4 (gx) = g"n (x),

где h = ghg-1 a H; отсюда легко видеть, что это действие на М определено корректно. (На самом деле Н действует на М тривиально, так что (2.104) в действительности определяет действие факторгруппы G/Н; см. упр. 3.11.)

В соответствии с предложением 2.18 всякое //-инвариантное подмножество множества М можно записать как множество нулей S7f={F(x) = 0} некоторой //-инвариантной функции F(x) = = ^(ч(-к)). Как нетрудно убедиться, в предположении, что Н — нормальная подгруппа, множество S’fC^M инвариантно относительно всей группы G тогда и только тогда, когда приведенное подмногообразие 9’р = ^у; F(y) = 0)cM инвариантно относительно индуцированного действия G на М.

Что касается инфинитезимального варианта, введем s дополнительных переменных х = (х*, ..., Xs), дополняющих у = = Ч(*) до локальных координат (у, х) на М. Пользуясь инфинитезимальным критерием нормальности из упр. 1.24(b), мы видим, что каждая инфинитезимальная образующая группы G должна иметь в этих координатах вид

m—ss

vfc= E^M-^r+Z^^. ^)^г> A=1г- (2.105) где каждая if не зависит от параметрических переменных х. Таким образом, поле vk приводится к векторному полю

tn—S

Vk=k=l,...,r,

порождающему редуцированное действие G на М. Эти поля мы можем использовать для проверки инвариантности редуцированного подмногообразия S’у и, следовательно, 9”f.

Аналогичные результаты справедливы и для дифференциальных уравнений. Предположим, как и выше, что г-параметри- ческая группа G действует на М сХХ U ~ R2, и допустим, что HcG есть s-параметрическая подгруппа, продолжение pr<s>// которой имеет s-мерные орбиты в NFS\ (Как и раньше, вырожденные случаи тоже можно разобрать, если потребуется.) Пусть У — Ч(-Ч u<s>), tw = £(x, u(s))—полное множество функционально независимых дифференциальных инвариантов для Н на Л4($) с соответствующими инвариантами w(m) — £(т) (х, ц<®+т>) на дф($+т), т -^ о Всякое обыкновенное дифференциальное уравнение п-го порядка, допускающее Н в качестве группы симметрий, можно записать в виде

А(х, «(п,)=А(Ч(х, и^), ^n-s4x, uw^ = K(y, ®("-$,) = 0, использующем только инварианты у, w, ..., dn^sw/dyn~s продолжения рг*”)//. Кроме того, поскольку Н— нормальная

подгруппа группы G, имеется индуцированное действие G на ЯсгУХ^^К2

g • (у, ty) — g • (т] (х, и^\ £ (х, и'8')) =

= (n (pr(s,g • (х, utsy)\ £ (pr(s,g • (х, t/s)))), g е G, (2.106) ср. с (2.104). Аналогично, действие G на MW сводится к действию группы G на пространство №п-$\ определяемое производными от w по у. Не очень трудно видеть, что это редуцированное действие совпадает с продолжением действия G на М, определенным формулой (2.106); другими словами, pr'—’g-Gik «и), е'^'к «”))-

-(•iWk «*")). t"-,(prwg-(x, «"’))).

(Чтобы проверить это, посмотрите, что происходит с представляющей гладкой //-инвариантной функцией u = f(x).)

Переводя на язык дифференциальных уравнений наши предыдущие результаты об алгебраических уравнениях, мы получаем, что справедлив следующий результат о нормальных подгруппах групп симметрий обыкновенных дифференциальных уравнений.

Теорема 2.60. Пусть Н cG есть s-параметрическая нормальная подгруппа группы Ли преобразований, действующей на М а X X U ~ R2, такая, что рг^Н имеет s-мерные орбиты в Л1<$). Пусть А(х, «<")) = 0—обыкновенное дифференциальное уравнение п-го порядка, допускающее Н в качестве своей группы симметрий, с соответствующим редуцированным уравнением ^(у, w<‘n~s'>) = 0 относительно инвариантов y = i^x, и^>), w = = £(х, u(s)) группы Н. Тогда имеется индуцированное действие факторгруппы G/Н на McYXW.u h допускает всю группу G в качестве своей группы симметрий, если и только если Н-реду- цированное уравнение \ допускает факторгруппу G/Н в качестве своей группы симметрий.

Исключительно важный пример — случай двупараметрической группы симметрий. Здесь благодаря специальной структуре двумерных групп Ли мы можем использовать предыдущую теорему, чтобы понизить порядок на две единицы, пользуясь только квадратурами.

Теорема 2.61. Пусть k\x, uw) = 0—обыкновенное дифференциальное уравнение п-го порядка, инвариантное относительно двупараметрической группы симметрий G. Тогда имеется

уравнение Ъ\г, и'-п-2^ = 0 порядка п — 2, обладающее тем свойством, что общее решение уравнения А может быть получено двумя квадратурами из общего решения уравнения А.

Доказательство. В соответствии с упр. 1.21 мы можем найти базис {v, w} любой двумерной алгебры Ли д, обладающий свойством

[v, w] = £v(2.107)

для некоторой константы к. (На самом деле к можно взять равной нулю, если g абелева, и единице во всех других случаях.) Однопараметрическая подгруппа Н, порожденная полем у, является тогда нормальной подгруппой группы G с однопараметрической факторгруппой G/H. Чтобы понизить порядок уравнения А, мы начинаем с определения дифференциальных инвариантов первого порядка у = т\^х, к), w = £(x, и, и*) группы Н, пользуясь развитыми ранее методами. В силу предложения 2.56 наше уравнение п-го порядка эквивалентно уравнению (и—1)-го порядка Д(у, w<n-1>) = o Кроме того, раз мы знаем решение w = h^ этого последнего уравнения, мы можем восстановить решение уравнения А, решая соответствующее уравнение первого порядка (2.94) с помощью единственной квадратуры. Поскольку Н— нормальная подгруппа, приведенное уравнение А инвариантно относительно действия факторгруппы G /Н на переменные (</, w) и, следовательно, мы можем применить развитые ранее для однопараметрических групп симметрий методы, чтобы понизить порядок еще на единицу. На инфинитезимальном уровне предположим, что (х, у, w) = (x, т](х, п), 5(х, и, их^ образуют локальные координаты на некотором подмножестве многообразия Л!*1). (Если х оказывается одним из инвариантов, мы можем заменить его на и или на некоторую комбинацию у(х, и).) Как в (2.105), из условия нормальности, выраженного формулой (2.107), вытекает, что векторное поле w имеет первое продолжение

pr<*)w = a(x, у, w) dx + р (z/, w^ + ^Q/, г^дю, выраженное через эти координаты, и, следовательно, приводится к векторному полю

w = Р (у, т)ду + ф(у, w)dw

на пространстве М, порождающему действие факторгруппы G/H. Теорема 2.60 утверждает, что поле w остается симметрией предварительно приведенной системы А, и, следовательно, мы можем понизить порядок А на единицу, пользуясь либо методом

дифференциальных инвариантов, либо методом замены координат, выпрямляющей поле w и приводящей к дифференциальному уравнению Д(х, ц(”-2>) = 0 порядка п— 2. Это завершает процедуру редукции, а вместе с ней — и доказательство теоремы. □

Пример 2.62. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка вида

х2ихх = Н (хих — и),(2.108)

где Н— данная функция. Это уравнение обладает двупараметрической группой симметрий

(х, и) ь-> (Хх, и + ex), е eR, X е R+,

с инфинитезимальными образующими v = xdu и w = xdx. Заметим, что [v, w] = —v, так что образующие взяты в таком виде, чтобы воспользоваться преимуществами теоремы 2.61. В соответствии с основной процедурой нам нужно сначала определить инварианты поля v. Это х и w = хик— и, через которые (2.108) выражается в виде уравнения первого порядка

Это уравнение с разделяющимися переменными. Его неявное решение

X = log X + С

Н (w)1

отражает тот факт, что это уравнение остается инвариантным относительно редуцированной группы (х, w)k-»(Zx, w), задаваемой полем w = хдх, как гарантирует наш метод. Из этого решения, переписывая в явном виде w = /i(x), мы строим общее решение уравнения (2.108), решая линейное уравнение

хих — u — h (х).

Интегрирующий множитель равен 1/х2 — это можно получить непосредственно из вида группы симметрий, порожденной полем у. Следовательно, получаем, что

и — х Q х-2Л(х) dx + л)

— общее решение уравнения (2.108).

Поучительно посмотреть, что произошло бы, если бы, не принимая во внимание общую процедуру, мы попытались проинте-

грировать уравнение (2.108), рассматривая эти две однопараметрические группы в обратном порядке. В таком случае инвариантами поля w будут у = и, z = ux-x, откуда 2у = хих1ихх + + 1, и уравнение приводится к виду

z^- ^=H^z-yy(2.109)

Однако на этом этапе у уравнения (2.109) отсутствует свойство симметрии, отражающее симметрию уравнения (2.108) относительно группы, порожденной полем v. Это показывает, что нашу процедуру редукции важно выполнять в правильном порядке, иначе мы можем не окончить ее решением уравнения. Обращая эту процедуру, мы получаем интригующую возможность суметь проинтегрировать уравнение (п—1)-го порядка, заменив его сначала уравнением n-го порядка с несколькими симметриями, порядок которого может быть существенно понижен. Например, мы можем решить уравнение (2.109), подставив сначала у = и, z = хих, что приведет это уравнение к виду (2.108), а затем проинтегрировав последнее уравнение. Этот момент будет исследован во всех подробностях в упражнениях в конце главы.

Разрешимые группы

Обращаясь к группам симметрий еще более высоких размерностей, мы обнаруживаем, как показывает пример проективной группы, что при г ^ 3 инвариантность уравнения п-го порядка относительно r-параметрической группы не влечет за собой, вообще говоря, возможность найти общее решение по решению соответствующего редуцированного уравнения (п — г)-го порядка с помощью квадратур. Проблема состоит в том, что, вообще говоря, не существует запаса нормальных подгрупп, достаточного для того, чтобы обеспечить постоянную применимость теоремы 2.60 и процедуру приведения для однопараметрических групп на каждом этапе. Это мотивирует следующее определение таких групп, которые можно использовать для полного приведения или «разрешения» уравнения до степени, обещанной их размерностью.

Определение 2.63. Пусть G— группа Ли с алгеброй Ли д. Тогда G разрешима, если существует цепочка подгрупп Ли

{е} = G(0) с= G(U с= С(2) с ... с G(r”^ с G(r) = G,

такая, что GW для каждого & = 1, ..., г является ^-мерной подгруппой группы G, a GW-'') является нормальной подгруппой

группы GW. Равносильное определение: существует цепочка подалгебр

{°} = 9(0) <= 9П) с д(2) <=...<= д^-1’ с д(г) = д, (2.110) такая, что для каждого & dim д(й> = к и д(6-1) является нормальной подалгеброй в д<*>:

"[д^-*\ ЛсГ>.

Требование разрешимости эквивалентно существованию базиса (vi, ..., vj алгебры д, такого, что

k, у/] = 2/^ при /<7’-

Заметим, что всякая абелева алгебра Ли, т. е. алгебра Ли, скобка Ли которой всегда равна нулю, очевидно, является разрешимой. Всякая двумерная алгебра Ли разрешима, поскольку, используя базис (2.107), мы можем положить д<*> равной одномерной подалгебре, порожденной полем v, и получить цепочку {0} = = g(0> сд<*> сд(2) = д. Простейший пример неразрешимой алгебры Ли — трехмерная алгебра 51(2).

Теорема 2.64. Пусть Д(х, «(")) = 0 — обыкновенное дифференциальное уравнение п-го порядка. Если Д обладает разрешимой r-параметрической группой симметрий G, такой, что для 1 ^ ^ к ^ г орбиты продолжений prWQW имеют размерность к, то общее решение уравнения Д можно получить посредством квадратур из общего решения дифференциального уравнения (п— — г)-го порядка N(y, w(n~r'>) = 0. В частности, если Д обладает п-параметрической разрешимой группой симметрий, то (учитывая упоминавшиеся технические ограничения) общее решение уравнения Д может быть получено одними квадратурами.

Доказательство. Доказательство проводится индукцией по цепочке подалгебр (2.110), существующей в силу разрешимости G. На k-м шаге мы пользуемся инвариантностью уравнения Д относительно ^-мерной подалгебры g(fc), чтобы привести его к уравнению (п — &)-го порядка

№(у, w<n-ft)) = 0,

где у, w, dw/dy, ..., dn~kw/dyn~k составляют полное множество функционально независимых дифференциальных инвариантов для п-го продолжения ptwGw; в частности, у = п(х, и^), w = = £ (х, ^) составляют полное множество инвариантов к-то про-

должения группы Gw. Мы можем также восстановить общее решение и = Цх>) по общему решению w = /i(y) уравнения Д<*> последовательностью квадратур.

Чтобы перейти к (й + 1)-му шагу, рассмотрим образующую Vfe+i алгебры д<*+1), не лежащую в д<*>. Поскольку д<*> — нормальная подалгебра в д<*+*>, согласно (2.105), pr^v^+i имеет вид

pr<Mvft+1 = pnfc-2>vfc+1 + а (у, w) ^- + гр (у, w) ^ =

^рг*6"2^! + vfe+1,

где pr(A-2>V4+i зависит от неинвариантных координат х, и, ... ..., ик_2, которые нужно дополнить координатами у, w до системы координат в М^.

Теорема 2.60 утверждает, что исходное уравнение А инвариантно относительно всей алгебры g(ft+1), если и только если редуцированное уравнение Д<*> инвариантно относительно редуцированного векторного поля v*+i, что позволяет нам осуществить процедуру редукции для уравнения К№\ используя векторное поле Vfe+i. А именно, полагаем, что

y = fj(y, w), ш = ГДЫ> ™. Wy)

— независимые инварианты первого продолжения ргб^+ь Тогда у, w, dw/dy, ..., dn~k-1wIdyn-k-x составляют полное множество инвариантов для (и— &)-го продолжения pr^-^v^-H - Поскольку уравнение А<*> определяет инвариантное подмногообразие этой группы, имеется эквивалентное уравнение

зависящее лишь от инвариантов продолжения pr<"-*>v*+i. Более того, чтобы восстановить решения уравнения Д<*> из решений г& = Я(#) уравнения Д(*+1), нам нужно только решить уравнение первого порядка

Цу, w, wy) = h[f\(y, w)].

Оно инвариантно относительно однопараметрической группы, порожденной полем v*+i и, следовательно, может быть проинтегрировано квадратурой. Это завершает шаг индукции и, таким образом, доказательство теоремы. □

Пример 2.65. Рассмотрим уравнение третьего порядка

ихиххх = Зихихх + ихх- (2.111)

Трехпараметрическая группа симметрий, порожденная векторными полями

V1 = ди, у2 = дх, v3 = идх, является разрешимой, поскольку

[vb v2] = 0, [vbv3] = v2, [v2, v3] = 0.

Таким образом, уравнение (2.111) можно разрешить в квадратурах. Мы переходим к осуществлению процедуры редукции, описанной в доказательстве теоремы 2.64. Сначала для алгебры д(1>, порожденной полем vb мы получаем инварианты х, у = их, через которые уравнение (2.111) записывается в виде

и5^ = Зи4и2 + и^.(2.112)

Второе векторное поле v2 сохраняет свой вид v2 = дх, будучи записанным через инварианты алгебры д(1); поэтому, чтобы редуцировать (2.112) для g(2) = Span{vi,v2}, нам нужны инварианты

У = у, w = vx, Wy = yxx!yx

продолжения pr(2>v2. Выражая через них уравнение (2.112), мы приводим его к уравнению первого порядка

y5wB = 3y4w + w2.(2.113)

Это уравнение Риккати должно обладать еще одной симметрией, отвечающей векторному полю v3. В самом деле, в терминах х, у = ик, w = ихх,

pr(2)v3 = идх — у^ду — Зуауд^,

и редуцированное векторное поле

v3 = — у2д„ — 3ywdw

является симметрией уравнения (2.113). Таким образом, мы можем проинтегрировать (2.113), подставляя t =—1/у, z = wlyA (поле Уз принимает вид v3 = —dt^ так что (2.113) принимает вид

Таким образом, z — 1/(с — /) или, через инварианты поля у2, у4

ЦУ ГТ*

су + 1

Чтобы найти и, нам нужно решить автономное уравнение do о4 dx со + 1

(автономность гарантируется инвариантностью относительно поля v2). Мы находим неявное решение

6 (х — с) и3 + Зен + 2 = 6 (х — с) ы3 + Зсих + 2 = 0.

После разрешения относительно их нам останется одна последняя квадратура, чтобы получить общее решение исходного уравнения (2.111).

Следует отметить одну интересную вещь. Хотя уравнение (2.113) инвариантно относительно редуцированного векторного поля, соответствующего симметрии v3 уравнения (2.111), соответствующая симметрия у промежуточного уравнения (2.112) отсутствует. В самом деле, в терминах инвариантов х, v = их ПОЛЯ V]

рг(3+3 = и v2~Зиих ~(4ии,, + Зи3) ,

р 3 дх до х дох V XX I х) аохх ’ однако это векторное поле нельзя редуцировать к полю, не зависящему от и. В качестве следствия этого наблюдения мы получаем, что в общей процедуре редукции важно дождаться, пока мы получим инварианты для g(ft), прежде чем пытаться редуцировать следующее векторное поле v^+i; нельзя рассчитывать, что векторное поле v*+i естественным образом редуцируется относительно подалгебры д*->\ если j < к\

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Знание группы симметрий системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка влечет за собой примерно те же следствия, что и знание аналогичной группы симметрий одного уравнения высшего порядка. Если нам известна однопараметрическая группа симметрий, то мы можем квадратурой найти решение рассматриваемой системы по решению системы первого порядка, имеющей на одно уравнение меньше. Аналогично, знание /--параметрической разрешимой группы симметрий позволяет нам уменьшить число уравнений на г. Эти результаты, очевидно, распространяются также на системы высших порядков, так что инвариантность системы n-го порядка относительно, скажем, однопараметрической группы позволяет понизить порядок одного из уравнений системы на единицу. Однако систему уравнений высшего порядка всегда можно заменить эквивалентной системой первого порядка, поэтому мы сосредоточиваем свое внимание на этом последнем случае.

Теорема 2.66. Пусть

-^ = ЕДх,и\ v = l, ...,q,(2.114)

— система из q обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Предположим, что G— однопараметрическая группа симметрий системы. Тогда существует замена переменных (у, w) = -ф(х, и), приводящая эту систему к виду

^- = Н,Лу, w\ ..., w9-1), v=l, ...,q.(2.115)

Tаким образом, эта система приводится к системе из q — 1 обыкновенных дифференциальных уравнений от w1w9-1 и квадратуре

wq (у) = 5 Hq Vj, ^' (у). • • •, ЬУ9-1 (у)) dy + с.

Доказательство. Пусть v — инфинитезимальная образующая группы G. Предполагая, что v |(JC u)M=0, мы можем локально найти новые координаты у = ц(х, и), w'1 ^^^х, и), v = l, ..., ..., q, такие, что в этих координатах векторное поле v примет вид v = d/dwq. В самом деле,

Т)(х, н), £* (х, “). •••> ^‘(A «) будет полным множеством функционально независимых инвариантов группы G, так что

v(т)) = v(^v) = 0, v=l, ...,q— 1, а У (х, к) удовлетворяет условию

v(^ = L

Теперь просто проверяется, что эквивалентная система первого порядка от w1, . .., wq инвариантна относительно группы сдвигов, порожденной полем v = d/dwq, тогда и только тогда, когда все правые части не зависят от wq, т. е. эта система имеет вид (2.115). □

Пример 2.67. Рассмотрим автономную систему двух уравнений

^-^V ^ = Н^*

Ясно, что векторное поле \ = д/дх порождает однопараметрическую группу симметрий, так что мы можем свести эту систему к одному уравнению первого порядка и квадратуре. В новых ко-

ординатах у — и, w = и и z = х мы рассматриваем w и z как функции от у. Тогда

du 1 du dw/dy

dx dz/dy ’ dx dz/dy ’

так что имеем эквивалентную систему

dw Н (у, w) dz 1

dy ~ FUb w) ’ dyF (у, w)

Таким образом, у нас осталось одно уравнение первого порядка от w = w(y); соответствующее значение z=z^ определяется интегралом:

z = \ -=-.—у ау + с.J F ^у. w) J

Если мы обратимся к исходным переменным х, и, и, то увидим, что у нас как раз получилось уравнение

du Н (и, и)du F (и, и)

для траекторий в фазовой плоскости системы, а точное движение вдоль этих траекторий определяется интегралом:

S

du , гл z•v\~ I- С.

F (и, у (и)) 1

Теорема 2.68. Предположим, что du/dx — F(x, u) — система из q обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и G есть r-параметрическая разрешимая группа симметрий, действующая регулярно и имеющая r-мерные орбиты. Тогда решения и = f (х) можно получить с помощью квадратур из решений редуцированной системы dw/dy = Н^у, w) из q — г уравнений первого порядка. В частности, если исходная система инвариантна относительно q-параметрической разрешимой группы, ее общее решение может быть найдено в квадратурах.

Доказательство мы оставляем читателю.

Пример 2.69. Всякая линейная двумерная система

щ = а (0 и + р (0 и,щ = у (0 и + 6 (/) и

инвариантна относительно однопараметрической группы растяжений (/, и, и) V—» (t, Хи, Хи) с инфинитезимальной образующей v = udlt + иду и, следовательно, методом теоремы 2.66 может

быть сведена к одному уравнению первого порядка. Мы полагаем w = log и, z = v/u и тем самым выпрямляем поле v = д^. Эти новые переменные удовлетворяют преобразованной системе

wz = a(/) + p(0z,

zz = у (0 + (6 (0 — a (0) z — 0 (0 z2,

так что если мы можем решить уравнение Риккати относительно z, то мы можем найти w (и, следовательно, и и и) посредством квадратуры.

Однако, если исходная система обладает некоторым дополнительным свойством симметрии, может быть, неразумно выполнять эту преждевременную редукцию, поскольку полученное уравнение Риккати может не быть больше инвариантным относительно некоторой «редуцированной» группы симметрий. Например, система

U^ = — и -f- (^ 4~ 1) и, uz = и — /и

имеет дополнительную однопараметрическую группу симметрий с образующей w = tdu + дщ, как может проверить читатель, но соответствующее уравнение Риккати

zz=l+(l-0z-(l+0z2

не имеет, очевидно, свойства симметрии. Проблема в том, что векторные поля v и w порождают разрешимую двумерную группу Ли, но [v, w] =—w, так что нам следовало бы начинать с редукции относительно векторного поля w. Чтобы осуществить процедуру редукции из теоремы 2.68, нам нужно сначала выпрямить поле w = ds заменой координат

w = u, z = u— tv.

В этих переменных образующей группы растяжений остается векторное поле v = wd® + zd^. Чтобы выпрямить его компоненту z, мы полагаем далее z = logz = log (к — /и), и в этих переменных получаем

w = де,, v = wd® + д&.

Система теперь принимает вид

dt ’ dt 1

и, как гарантирует нам теорема 2.68, ее можно проинтегрировать в квадратурах. Получаем

5(0 = -1и+1)2 + г,

й (0 = с erf [(/ + 1)/V2 ] + k, где с = In (с V2/л) и

2 г

— стандартная функция ошибок. Таким образом, общее решение исходной системы

и (t) = aJ-^- се-(<+IF/2 + ct erf ( ^ ) + kt,о (0 = с erf (^^-) + к,

где с и к — произвольные постоянные.

УСЛОВИЯ НЕВЫРОЖДЕННОСТИ для

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Часто бывает интересна классификация всех симметрий системы дифференциальных уравнений: поэтому важно знать, когда можно инфинитезимальными методами, развитыми в § 2.3, построить наиболее общую связную группу симметрий данной системы. Чтобы это было так, необходимо наложить дополнительное условие невырожденности, известное как «локальная разрешимость», помимо условия максимальности ранга из определения 2.30. Это относительно непривычное и более техническое условие требует, чтобы система имела решения для «произвольных начальных данных». В этом параграфе мы подробно обсуждаем это понятие и некоторые его следствия.

Локальная разрешимость

Для того чтобы мотивировать определение локальной разрешимости, давайте посмотрим, почему, в отличие от случая систем алгебраических уравнений, инфинитезимальный критерий (2.25) не является, вообще говоря, необходимым условием для того, чтобы группа Ли G была группой симметрий системы дифференциальных уравнений максимального ранга. Для системы алгебраических уравнений F(x) = 0 каждой точке х0 подмногообразия 9’f=^x: F(x) = 0} соответствует (тавтологически)

решение системы, а именно сама точка хо! В отличие от этого, если Д(х, «(«)) = 0 — система дифференциальных уравнений и (хо,п(оп>)— точка соответствующего подмногообразия 5’д = {(х, и^у. Д(х, н(п)) = 0}, то, вообще говоря, нет гарантии, что существует решение u=f(x) системы, имеющее соответствующие значения производных в точке х0, т. е. u^ = pr,n)f (х0). Поэтому, если G, локальная группа преобразований, является группой симметрий системы дифференциальных уравнений в том смысле, что она решения преобразует в решения, нет никакой уверенности, что группа G оставит инвариантным целое подмногообразие ^д. Мы можем лишь заключить, что те точки (х0, uW') из Уд, для которых существует такое решение, преобразуются под действием этой группы преобразований в другие такие точки из Уд. Поэтому, чтобы доказать необходимость инфинитезимального критерия инвариантности, нам нужно предположить, что каждая точка из Уд имеет соответствующее решение.

Определение 2.70. Система дифференциальных уравнений п-го порядка Д(х, п(п))=0 локально разрешима в точке

(х0, uW) еУ& = {(х, и№у. Д (х, «("*) = 0), если существует ее гладкое решение u = f(x), определенное для х из некоторой окрестности точки х0, имеющее предписанные «начальные условия» и^ = pr<n)f (х0). Система называется локально разрешимой, если она локально разрешима в каждой точке многообразия Уд. Система дифференциальных уравнений невырожденна, если в каждой точке (х0, н^) е Уона является и локально разрешимой, и системой максимального ранга.

Для системы обыкновенных дифференциальных уравнений условие локальной разрешимости совпадает с условием существования решения с заданными начальными значениями. В этом случае (х0, и^ соответствуют обычным начальным значениям. Например, для одного уравнения второго порядка

ихх = F (х, и, их)(2.116)

начальные значения для локальной разрешимости составляют четверку чисел (х°, и°, и°х, ихх~), подчиняющихся лишь условию, что они удовлетворяют этому уравнению, т. е.

U°xx = F(x°, и°’ Ux>

Требуется найти решение и = Цх), определенное вблизи точки х°, такое, что

u° = fW, u^f'W, UOxx = f"(XO).

Ясно, что первые два из этих условий представляют собой обычную задачу с начальными условиями для уравнения (2.116) и, таким образом, мы уверены в существовании решения u = f(x), удовлетворяющего этим двум условиям. (На самом деле нам нужно предположить лишь, что функция F непрерывна.) Третье условие u°x = f" (х°) — «бесплатное приложение», поскольку f является решением как раз в точке х°, так что

f"(xo) = F(xo ^(х0)) ^(xo)) = F^o> „о, и°х) = и°хх.

Аналогичное рассуждение показывает, что неособые системы обыкновенных дифференциальных уравнений всегда локально разрешимы.

Что касается уравнений с частными производными, то здесь проблема локальной разрешимости имеет совершенно другой характер, чем более обычная проблема существования, т. е. задача Коши или задача с граничными условиями. В случае локальной разрешимости начальные данные заданы только в одной точке х0, тогда как обычно требуются условия на значения вдоль целого подмногообразия пространства независимых переменных. Например, в случае волнового уравнения

^tt ^ХХ == О

вопрос о локальной разрешимости превращается в вопрос о том, для любого ли набора начальных данных

(х°, /°; и0; и° и®; и? и° и°), подчиненного лишь одному условию u°tt = и°хх, существует решение и = f (х, t) волнового уравнения в окрестности точки (х°, 1°), такое, что

и° = 1(х0,П, и°х = -^^,^, ^^^.^.^

и» = Д (Д ^ и0 =(х0 fO)

Utt = ^, /0).

Ясно, что в этом случае ответ положительный, поскольку, раз ихх = и^р мы можем взять в качестве f полиномиальное решение

f (х, 0 = “° + их (х — х°) + ы® (/ — /°) +

+I ^хх к* - *0)2+« -/0)2]+uxt (х - *°) а - н.

следовательно, волновое уравнение локально разрешимо. (Заметим, что вопрос о единственности решения локальной задачи не стоит — даже в этом простом примере такой результат неверен.) Читатель может сравнить эту задачу с обычной задачей Коши, в которой начальные данные задаются вдоль всей оси х: u(x, 0) = g(x), -^(х, 0) = /г(х).

Имеются две главные причины, по которым система уравнений с частными производными может не быть локально разрешимой. Первая состоит в том, что система может иметь условия интегрируемости, полученные дифференцированием разных уравнений по разным переменным. Например, переопределенная система

их = уи, ии = 0(2.117)

не является локально разрешимой, поскольку ни в какой точке (х0, Уо} не существует решения и^х, у) с «начальными условиями»

Ц0 = Ы (Хд, Уд} = 1 , U^ = UX (Хд, У о} = Уд, Uy = Uy (Xg, Уд^ = О, значения которых алгебраически удовлетворяют обоим уравнениям. В самом деле, дифференцирование первого уравнения по у, а второго по х дает

О = иху = <уи}и = уии + и,

следовательно, и(х, у) ^0— единственное решение.

Другой интересный пример, который на самом деле возникает в вариационной задаче (ср. § 4.1),— система второго порядка

«хх + ^ + *х = 0,(2П8)

Uxy + Ууу — их — 0.

Оказывается, система (2.118) не является локально разрешимой, поскольку имеется дополнительное соотношение на производные второго порядка, а именно

^хх Н“ ^ху 0, полученное дифференцированием первого уравнения по у, а второго по х и вычитанием. Это в свою очередь дает щ = 0 и ихх = = 0, так что любой набор начальных значений

(1

(X , У , U , У , Ux, Uy, Ух, Уу, UXX, Uxy, Uyy, Uxx, Оху, Ууд),

удовлетворяющий (2.118), но не удовлетворяющий условиям уо _ уо _ уо _ цо _ q( не дает подходящего локального ре- X XX Ху XX

шения.

Второй источник систем, не обладающих свойством локальной разрешимости, — некоторые гладкие, но не аналитические системы дифференциальных уравнений, не имеющие решений. Первоначальный пример такой системы был открыт Леви (Lewy [1]), который показал, что существует гладкая функция й(х, у, z), такая, что система первого порядка

их — у у + 2уиг + 2xuz = h (х, у, г), Uv + их — 2xuz + 2уиг — О

не имеет гладких (и даже класса С1) решений ни на каком открытом подмножестве из R3. Родственный пример был дан Ниренбергом (Nirenberg [1, р. 8]), построившим функцию Л(х, у), такую, что однородная линейная система

(2.119)(2.119)их — h (х, у) ии = О,«х + h (х, у) Uy = О

(2.119)

(2.119)

в окрестности начала координат имеет лишь постоянные решения.

Как мы увидим, для аналитических систем ключ к доказательству локальной разрешимости дает теорема Коши — Ковалевской. Для систем класса С°° это вопрос гораздо более тонкий благодаря открытому Леви явлению, и здесь известно очень немного общих результатов. Прежде чем более подробно изучить аналитический случай, мы применим условие локальной разрешимости к инфинитезимальному критерию инвариантности системы дифференциальных уравнений относительно некоторой группы.

Критерий инвариантности

Теорема 2.71. Пусть £Дх,и№^ = ^— невырожденная система дифференциальных уравнений. Связная локальная группа преобразований G, действующая на открытом подмножестве М а cX\U, является группой симметрий этой системы, если и только если

pHn)v [Av (х, u(«>)] = 0, v=l, ..., /, при А(х, «<">) = 0 (2.120)

для каждой инфинитезимальной образующей v группы G.

Доказательство. Мы знаем уже, что условие (2.120) достаточно для того, чтобы группа G была группой симметрий,

поэтому нам нужно доказать только необходимость этого условия. В свете алгебраического аналога этого результата, теоремы 2.8, достаточно доказать, что подмногообразие 9^ = {А(х, п(п)) = 0} является инвариантным подмножеством действия продолженной группы pr<n)G, если G преобразует решения системы в другие ее решения. Пусть (х0, и^) е ^д. Воспользуемся локальной разрешимостью. Пусть и = ^х^— решение системы, определенное в окрестности точки хо, такое, что и^ = pr<n)f ^х^. Если g— такой элемент группы, что определено pr(n)g • (х0, uWy то, сужая, если нужно, область определения функции /, мы можем быть уверены, что преобразованная функция f = g-f определена в окрестности точки хо, где (хо, Ho) — g- (х0, ы0). Поскольку G — группа симметрий, u = f(x) также является решением системы. Более того, по определению действия продолженной группы (2.18)

pr,n)g • (х0, uW) = (х0, рг<") (g - f) (х0)) = (х0, й^»),

следовательно, преобразованная точка (х0, й^), должна снова лежать в 9^. Это доказывает, что ^д — инвариантное подмножество группы G. Таким образом, теорема доказана. □

Чтобы оценить необходимость условия локальной разрешимости в теореме 2.71, мы обсудим два примера. Рассмотрим сначала систему Ниренберга (2.119). Поскольку единственные решения вблизи нуля — константы, группа сдвигов (х, у, и, v)*—> *—>(х, у + е, и, и) является группой симметрий. Однако инфинитезимальный критерий (2.120) не выполняется; применяя pr<Ov = ду к первому уравнению, мы получаем hyVy, а это выражение отлично от нуля, не будучи алгебраическим следствием системы. Эта группа также (по той же причине) является группой симметрий переопределенной системы (2.117). Однако

pr(1*v ^их — уи) = — и,

что нс является алгебраическим следствием системы (2.117), и снова инфинитезимальный критерий (2.120) неприменим. Однако условие (2.120) станет и необходимым, и достаточным для того, чтобы группа G была группой симметрий, если только мы потребуем, чтобы оно выполнялось в точках локальной разрешимости:

Теорема 2.72. Пусть А(х, «(”)) = 0— система дифференциальных уравнений максимального ранга. Локальная группа преобразований G является группой симметрий этой системы, если и

только если для каждой точки (х0, uW) е У&, е которой система локально разрешима,

pr*n,v(Av(х0, «W) = 0, v=l, ...,/,

для всех инфинитезимальных образующих v группы G.

Доказательство получается немедленно. □

Теорема Коши—Ковалевской

Для аналитических систем уравнений с частными производными теорема Коши — Ковалевской играет центральную роль в теории существования. Помимо того что это основной общий результат о существовании решений таких систем, эта теорема также дает ключ к общей теории характеристик, лежащей в основе всякого серьезного исследования поведения решений систем уравнений с частными производными. Как мы увидим, теорема Коши — Ковалевской дает также доказательство локальной разрешимости большинства аналитических систем дифференциальных уравнений.

В своем изначальном виде теорема Коши — Ковалевской относится к задаче Коши на начальной гиперплоскости {/ = /0} для системы в форме Ковалевской

ti«=^JL-=V^y,t,uW\ а=1, ...,q. (2.121)

Здесь (у, 0 = (#ь •••> Ур-Х>^—независимые переменные, а м(и) означает все частные производные функции и по у и / до порядка п включительно, кроме производных u^t, возникающих в левой части (2.121). Данные Коши для этой системы задаются следующим образом:

-^-(у, t0) = hak(y), «=!,..., 9, 6 = 0, ...» п-1, (2.122) где Л^ — аналитические функции на гиперплоскости {/ = /0} для точек у из окрестности точки уо е Rp-1.

Теорема 2.73. Предположим, что функции Га в системе Ковалевской (2.121) аналитичны по своим аргументам и что данные Коши hk(y)e (2.122) также являются аналитическими функциями для у, близких к у0. Тогда существует аналитическое решение и = КУЛ^ задачи Коши (2.121), (2.122), определенное для (у, f) из некоторой окрестности точки (уо, to) на гиперплоскости (t = to).

Эта теорема немедленно устанавливает локальную разрешимость системы Ковалевской (2.121).

Следствие 2.74. Если А — аналитическая система в форме Ковалевской (2.121), то она локально разрешима.

Доказательство. Заметим, что в задаче о локальной разрешимости системы (2.121) мы можем произвольным образом задать производные наименьшего порядка по / Дог> в начальной точке (г/о, ^о); остальные производные п-го порядка, а именно tint о, тогДа определяются требованием, что (t/0, /0, и*,'1)) — решение системы А. Выберем для заданных (t/0, /0, и^ аналитические функции Кк(у), 6 = 0, ..., п—1, а = 1, ..., q, такие, что производные по у

dihkky^ = dlhakVy0Mdy’x ... dt/1, 0<t<n — k,

совпадают с соответствующим предписанным значением и^ /0 где им, j = Dj №• (Снова Ай(#) могут быть подходящими многочленами Тейлора.) Соответствующее решение u = f(y,t) задачи Коши (2.121), (2.122) из теоремы Коши — Ковалевской решает тогда задачу существования локального решения для системы А. В самом деле, для 0 ^ к ^ п — 1, #/ ^ п — к

djdt Г (Уо, ^о) = д^ь (Уо) = “At, /с

тогда как производные n-го порядка dnJa ^у0, /0) и «“, 0 совпадают, поскольку они удовлетворяют данному уравнению (2.121) в точке (уо, to) с одним и тем же значением мои). □

Более общо, можно допустить, что в левых частях стоят производные по t разных порядков. При этом система будет иметь общую форму Ковалевской, если

d^u^dt*^ = Г„ (/, у, uw\ (2.123)

где п = шах{п1, •••, nq), a uW обозначает все производные всех функций и^ № порядка п^ включительно, кроме частных производных дп»и^1^П^, возникающих в левой части. Задача Коши (2.122)—та же, только здесь к для каждого а меняется от 0 до па— 1. Все результаты этого параграфа, включая следствие 2.74, остаются справедливыми для этих более общих форм Ковалевской; доказательства лишь немного усложняются, и мы оставляем детали читателю.

Характеристики

Круг применимости теоремы существования Коши — Ковалевской, а следовательно, и теоремы о локальной разрешимости (следствие 2.74) можно было бы значительно расширить, если иметь возможность преобразовать данную систему аналитических дифференциальных уравнений в систему в форме Ковалевской (2.121) или (2.123) заменой независимых переменных. Прежде всего, чтобы иметь шансы быть преобразованной к форме Ковалевской, система

Av (х, uw) = 0, v = 1q, должна иметь одинаковое число уравнений и неизвестных (зависимых переменных), поэтому мы сосредоточиваем внимание здесь только на таких системах.

Оказывается, достаточно рассматривать замены переменных простого вида

/ = ф(х), z/ = (t/', .... ^р-') = (х‘, ..., х1-х, х1+хх^,

(2.124)

где ф— гладкая вещественнозначная функция с ненулевым градиентом, \7ф(хо)^О в исследуемой точке хо, a i выбрано так, что 5ф(х0)/дх‘#=0, т. е. замена переменных (2.124) локально обратима. Заметим, что начальная гиперплоскость {/ = /0} в координатах (у, t) получается из множества уровня S = {х: ф (х) = = /0) в исходных координатах, так что задача Коши в координатах х состоит в задании начальных данных на гиперповерхности S. После замены переменных (2.124) соответствующая система

Av(у,/,«(">) = 0, v=l, ..., q,(2.125)

содержит у, t и производные от и по у и t до порядка п включительно, полученные выражением производных от и по х через производные по у и t. Мы можем применить теорему Коши — Ковалевской к преобразованной системе (2.125), если только мы можем разрешить ее относительно производных n-го порядка Unt по t, выразив их через у и t и остальные производные и^. По теореме о неявной функции это можно сделать в окрестности точки (у0, /0, ы^*), если только матрица М размера qXq с элементами

Маг = dAv (у0, t0, u^!dunt, а, v=l, ..., q,

невырожденна: detM#=O.

Посмотрим, что из себя представляет матрица М. Если и“ — произвольная производная п-го порядка от и по х, то по цепному правилу

иа — d"“a - д^ • -^- • • d^ . д""" | =

дх1 ... дх'п дх1 дх1 дхп dtn

^Ш^ап{+... .

Здесь не выписаны члены, содержащие различные производные порядка п и ниже от иа по у и t, кроме ключевой производной и“г Поэтому, если мы составим матрицу М (со) = Мд (со; х0, и№) размера q X q, элементы которой — однородные многочлены

Mav(<o)= 2 МГ’)'®/. a, v=l, .... ^, (2.126)

степени п, зависящие от со = (соь ..., сор), где соу = со;1 • со/2 • . .. ... • со,п, то предыдущая матрица получается вычислением М (со) в точке со = \ гр (х0).

Определение 2.75. Пусть Д — система дифференциальных уравнений n-го порядка, имеющая одинаковое число уравнений и неизвестных. Для данной точки (х0, и^ a 9\ составим матрицу многочленов (2.126) размера q X q. Ненулевой набор со = — (coi, .... сор) определяет нехарактеристическое направление (соответственно характеристическое направление) к системе Д в точке (х0, и^, если матрица М(со) невырожденна (соответственно вырожденна). Гиперповерхность 5=={ф(х) = с}, Дф#=0, называется нехарактеристической в точке (х0, и^, если со = ==V^(x0) определяет там нехарактеристическое направление.

В частности, если производные наибольшего порядка входят в систему Д(х, uw) =0 линейно с коэффициентами, зависящими только от х, то матрица М (со), определяющая характеристические направления, зависит только от х0, так что мы можем опускать упоминание о частном решении и^ и (не опасаясь двусмысленности) говорить о характеристическом или нехарактеристическом направлении в самой точке Хо. Это случай, наиболее часто встречающийся в физических системах.

Наши предыдущие рассмотрения показывают, что мы можем применить теорему Коши — Ковалевской к задаче Коши, если только начальные данные лежат на нехарактеристической гиперповерхности.

Теорема 2.76. Если Д (х, ы(п)) = О— аналитическая система дифференциальных уравнений и поверхность S — нехарактеристическая аналитическая гиперповерхность для Д в точке (х0, u^'), то существует локальное аналитическое решение задачи Коши

k(x, «<")) = О,

kxY хе S, k = 0, .. ., п — 1, дпк

в окрестности точки хо. Здесь hk — аналитические функции на S, а д/дп означает производную вдоль нормали к S.

Пример 2.77. (а) В случае одномерного волнового уравнения

Utt — ихх = Н (х, /, и, их, щ) направление ю(т, §) является характеристическим тогда и только тогда, когда

т2-£2 = 0.

Таким образом, мы снова получаем известные характеристические кривые

■ф(х, t) = t ± x = k.

Любая кривая, не касающаяся этих прямых, может служить для задания данных Коши.

(Ь) Уравнения линейной изотропной упругости (уравнения Навье). Для двумерного случая они принимают вид

(2р + X) ихх + pUyy + (р + X) ихи = О,ГО 1 97)

(p + A)uXI,+ pfxx + (2p +М^ = 0,( ‘'

где X и р — константы, называемые коэффициентами Ламе. Матрица М (£, ц) = М (<о) размера 2X2, определяющая характеристики, имеет вид

/ (2р + X) g2 + pi)2 (р + Х)^\

М(?’П) А (р + Х)^^ + (2р + Х)т]2Л

Тогда направление со =(g, т]) характеристическое, если и только если

det М & т]) = (2р + X) р (S2 + П2)2 = 0.

Таким образом, за исключением случаев р = 0 или 2р + Х = 0, когда каждое направление является характеристическим, у уравнений Навье нет вещественных характеристических направлений. Заметим, что случай р = 0, X = 1 приводит к членам старшего

порядка системы (2.118), не являющейся локально разрешимой. Значит, у последней системы каждое направление характеристическое.

Нормальные системы

Следствие 2.74 немедленно даст нам решение задачи о локальной разрешимости для аналитической системы, если только мы сможем найти хотя бы одно нехарактеристическое направление к этой системе в рассматриваемой точке (х0, н^*). Как разъясняется в примере 2.77(b), не всякая система дифференциальных уравнений с частными производными удовлетворяет этому основному требованию. Поэтому нам нужно отличать те системы, для которых это требование выполняется.

Определение 2.78. Система из q дифференциальных уравнений А (х, «<">)= 0 от q зависимых переменных ы = (щич) нормальна в точке (х0, и^>) е ^д, если в этой точке существует хотя бы одно нехарактеристическое направление го для А. Система нормальна, если она нормальна в каждой точке множества ^д.

Теорема 2.79. Система дифференциальных уравнений нормальна в точке (х0, и^), если и только если существует замена переменных (у, t^ = ^x^, переводящая ее в систему в форме Ковалевской вблизи точки (уо, /о) = X (хо).

Следствие 2.80. Если система дифференциальных уравнений является и аналитической, и нормальной в точке (х0, и^, то она в этой точке локально разрешима.

Мы просто делаем замену переменных и применяем следствие 2.74 к полученной системе Ковалевской. Далее мы увидим, что следствие 2.80 можно обратить!

Продолжение дифференциальных уравнений

Определение 2.81. Пусть

Av (х, и№) = 0, v = 1, ..., /,

— система дифференциальных уравнений «-го порядка, заданная обращением в нуль гладкой функции A: Mw—>R[. Тогда ^-е продолжение этой системы — система дифференциальных уравнений порядка п + к

'№Чх,и^п+^ = 0,

полученная дифференцированием уравнений системы Д всевозможными способами до порядка к включительно. Иными словами, система Д<^> состоит из (Р+^• I уравнений

ДД, (х, и(п+к^ = О,

где v = 1, ..., I, a J пробегает все мультииндексы порядка 0<#/</г.

Например, первое продолжение уравнения теплопроводности

ы7 = ихх

— это система трех уравнений

«t = Uxx, UXj иххх, и^ их^.

Второе продолжение получается добавлением уравнений четвертого порядка

Uxxt == ^XXXXI 4xtt ЧхххЪ Щи ^xxtt

И Т. Д.

Предложение 2.82. Если iz = f(x) — гладкое решение системы Л(х, «(”)) = 0, то оно является решением каждого продолжения этой системы ЬЕ^^ и^к^ = Ь, k = 0, 1, 2, ... .

Определение 2.83. Система дифференциальных уравнений называется вполне невырожденной, если она и все ее продолжения имеют максимальный ранг и локально разрешимы.

Как мы сейчас покажем, всякая аналитическая система в форме Ковалевской и, следовательно, всякая нормальная аналитическая система всегда вполне невырожденна. Неожиданным является то, что в случае аналитических систем с одинаковым числом уравнений и неизвестных этим исчерпываются все вполне невырожденные системы; если аналитическая система не нормальна, то некоторое ее продолжение либо не имеет максимального ранга, либо не является локально разрешимым. Случай С°° сложнее, поскольку, как установил Леви, там может не существовать решения.

Теорема 2.84. Аналитическая система дифференциальных уравнений

Av (х, и^ = О, v = 1, ..., q, имеющая одинаковое число уравнений и зависимых переменных uv, ..., и4, является вполне невырожденной, если и только если она нормальна.

Доказательство. Из теоремы Коши — Ковалевской немедленно следует, что всякая нормальная система вполне невырожден- на. В самом деле, выбрав нехарактеристическое направление, мы можем считать, что это система в форме Ковалевской (2.121). ^-е продолжение такой системы имеет вид

"(П+0t. j = DtDAra ^- *' ^}’ (2.128)

где / = (/1, ..., /,) пробегает все мультииндексы с 1 ^ /к ^ ^р—1, /4-1^^, a Dj обозначает соответствующую полную производную t-го порядка по у = (у*Ур-1) и u“n+^t т =

=Dj [u“„+Z)Z]. Правая часть (2.128) зависит от производных и^ к, где m < п + I. Мы можем поэтому выразить по индукции производные и^ к, т^ п, через у, t и производные uj^ L, где / < п. Таким образом, (2.128) эквивалентна системе вида

t^ta^Ay, t,u^\t^ta^Ay, t,u^\(2.129)(2.129)

t^ta^Ay, t,u^\

t^ta^Ay, t,u^\

(2.129)

(2.129)

где / + #/ ^ ^ и и^п+к,> обозначает все производные от и до порядка п + к, кроме производных, включающих п или больше производных по t. Условие максимальности ранга для A(ft) легко получается из того, что подматрица полной матрицы Якоби системы (2.129), ср. определение 2.30, соответствующая всем частным производным

1 [u“n+Z) ta™ Га '], Ш^П,

9umt. К

— единичная матрица.

Локальная разрешимость системы (2.129) следует из теоремы Коши — Ковалевской. Мы можем произвольно задать производные и^+к^ в точке уо, to; значения остальных производных в uf+*> будут тогда определяться самой продолженной системой. Пусть кт (у), m = 0, 1, . .., п — 1, а = 1q,— аналитические функции, принимающие предписанные значения

djktn (уо) — Пт/, JO, ^* / ^^ и 1 к /и,в точке (уо, /о). Пусть u—f(y, t)—аналитическое решение по-лученной задачи Коши из теоремы Коши — Ковалевской. Тогда

Qjdt f (Уо, t0) = Umt, ТО!

где #/ + m ^ п + к; для m < п это следует из определения функций кт, а для т ^ п это получается из того, что и pr("+6V(y0, /0), и (у0, /0, 1фп)) удовлетворяют в этой точке й-му

продолжению системы А. Таким образом, u = f(y,t) дает решение задачи локальной разрешимости для А в точке (у0, t0, и^у

Доказательство обратного утверждения в теореме 2.84 основано на прекрасном результате Финзи.

Лемма 2.85. Пусть

Av (х, и№^ = О, v = 1, ..., q,

— система дифференциальных уравнений п-го порядка. Тогда система А не имеет нехарактеристических направлений в точке (х0, ы^>) тогда и только тогда, когда существуют однородные дифференциальные операторы k-го порядка

^,= £ РФь v=lq,

# I=k

не все равные нулю в точке (х0, и^у такие, что в точке (х0, и^^ линейная комбинация

£ ФА. = Q (х0, 1Й+Ь" и)(2.130)

v=l

зависит только от производных от и порядка не больше чем n-V к — 1.

Более того, если у системы А не существует нехарактеристических направлений для всех точек (х, и^ из некоторого относительно открытого подмножества д?ь ПК V открыто в MW, то дифференциальные операторы Фц гладко зависят от (х, uWy В этом случае (2.130) справедливо для всех точек (х, «<«+*)) е M^w, проектирующихся в точку (х, uW^ е

Суть этой леммы состоит в следующем. Обычно если А — система дифференциальных уравнений п-го порядка и Ф\, ... ...,ФЧ— дифференциальные операторы k-го порядка, то следует ожидать, что линейная комбинация Т®А зависит от производных от и порядка п + к. Однако в случае, когда система А имеет только характеристические направления, можно найти некоторые нетривиальные дифференциальные операторы к-го порядка S)v, такие, что комбинация 2^\Ду зависит только от производных порядка п + к — 1 и ниже, и, следовательно, условие S^vAv = 0, которое должно выполняться на всех решениях, дает дополнительное условие интегрируемости на производные от и порядка п-\-к—1, которое не выводится непосредственно из (k— 1)-го продолжения А^*). Обратно, если

8 П. Олвер

система обладает некоторыми нетривиальными условиями интегрируемости, из леммы Финзи следует, что у этой системы не может быть нехарактеристических направлений. Теперь мы можем понять, почему система (2.118) не имеет нехарактеристических направлений: по той же самой причине, по которой она не является локально разрешимой! Дальнейшие следствия этого результата будут исследованы после того, как мы обсудим его доказательство.

Доказательство леммы 2.85. В соответствии с определением 2.75 система Д имеет только характеристические направления в некоторой точке, если и только если соответствующая матрица М (о) размера g X <7 многочленов от <о=(©1, ..., ©р) степени п является вырожденной для всех значений <о:

det М (и) = 0, toGR".

Относительно легкий результат из линейной алгебры (см. упр. 2.31) состоит в том, что это верно, если и только если существует вектор-строка a(to) = (a1(to), ..., ае(ю))^0 из однородных многочленов от го, такая, что

о (to)-М (to) = о(2.131)

для всех го. В нашем случае полагаем

av (ю) = X Р^ь

* i=k

Тогда коэффициенты Р^ в av будут служить коэффициентами операторов 2)^ в (2.130). В самом деле, легко видеть, что если #7 = к, то

q

o,iu>*4i»E Z^"b+- -.

a=l # K=n

где uj, к обозначает производную Dj (ик) порядка п + к, а все опущенные слагаемые зависят от производных порядка не больше п -V к — 1. Таким образом,

qq q

£ 0VAV=£ £ £ P^ + Q(x, и^к"^ (2.132) v=lv=l a=l *К=П К

для некоторой определенной функции Q, зависящей от производных от и порядка не больше п + &— 1. С другой стороны,

элемент с номером равен в силу (2.126)qv=iэлемент с номером равен в силу (2.126)qv=iа в произведенииа в произведениистроки а настроки а на2 2 «^-«№0# 1=к * К=п к2 2 «^-«№0# 1=к * К=п к

элемент с номером равен в силу (2.126)

q

v=i

элемент с номером равен в силу (2.126)

q

v=i

а в произведении

а в произведении

строки а на

строки а на

2 2 «^-«№0

# 1=к * К=п к

2 2 «^-«№0

# 1=к * К=п к

в точке (х0, «(о"1). Поскольку «^ к также полностью симметричны по индексам I, К, мы заключаем, что в точке (х0, «<">) общая сумма в правой части (2.132) обращается в нуль и, следовательно, выполняется (2.130). Гладкая зависимость дифференциальных операторов S)v от (х, и^^ в случае, когда нет нехарактеристических направлений ни на каком открытом подмножестве множества ^д, следует из того, что если М (to) = М (о; х, и^) гладко зависит от параметров (х, «<">), то многочлены а(й) = = o(w; х, «<">) можно выбрать также гладко зависящими от тех же параметров.

Чтобы доказать обратное, достаточно заметить, что (2.130) никогда не может выполняться для системы в форме Ковалевской. В самом деле, всякая комбинация 2^Л операторов S)v Л-го порядка, не всех равных нулю, всегда будет зависеть от производных порядка п + к, а именно от производных к-го порядка от и“г Таким образом, если система Д(х, ы(п)) = 0 имеет нехарактеристическое направление в точке (х0, и^), мы можем выбрать координаты так, что система будет в форме Ковалевской и, следовательно, (2.130) не будет выполняться. □

Пусть система дифференциальных уравнений Д удовлетворяет предположениям леммы 2.85, так что она не является нормальной в точке (х0, ng21). Тогда имеются условия интегрируемости вида (2.130), где некоторая линейная комбинация уравнений к-го продолжения Д(й) зависит от производных порядка не больше п + к— 1. На этой стадии возникают две различные возможности.

Условие интегрируемости ^^5^ = 0 в точке (х0, ы(оп)) — следствие алгебраических соотношений между производными порядка п + к— 1 и ниже, полученных уже из (^— 1)-го продолжения д^-ч.

Условие интегрируемости ^3X^ = 0—новое условие, не являющееся алгебраическим следствием продолжения Д<й-1\ оно дает дополнительное соотношение на производные порядка п + к — 1 и ниже.

Мы формализуем это различие в определении недоопределенной и переопределенной систем соответственно.

Определение 2.86. Пусть А — система дифференциальных уравнений n-го порядка. Пусть (х0, «<">) — начальные значения, удовлетворяющие системе.

Система А переопределена в точке (х0, uf>), если для некоторого ^ ^ 0 существуют однородные дифференциальные операторы /г-го порядка S)i, ..., S)q, не все равные нулю, такие, что линейная комбинация X^vAv = Q уравнений из A(ft) в точке (х0, «<">) зависит лишь от производных от и порядка не больше п + к — 1 и линейная комбинация Q не обращается в нуль как алгебраическое следствие продолжения А(6-1).

Система А недоопределена в точке (х0, н^"1), если (i) существует по крайней мере одно множество однородных операторов к-го порядка £)ь ..., Dq, не все из которых равны нулю, таких, что X^vAv = Q зависит от производных не больше чем (п + к—1)-го порядка в точке Хо, и (п) каковы бы ни были DiD,„ удовлетворяющие условию (i). Q обращается в нуль как алгебраическое следствие предыдущего продолжения A**-1'.

Короче, переопределенная система — это система, в которой имеются нетривиальные условия интегрируемости. В этом случае некоторое продолжение A<ft_1) не является локально разрешимым, поскольку мы можем найти точку (х0, «^+fc-1)) е ^(^-о, которая не удовлетворяет новому условию интегрируемости, получающемуся из A<w. С другой стороны, недоопределенная система — это система, в которой уравнения некоторого продолжения Д<*> алгебраически зависимы, так что не может выполняться условие максимальности ранга. В любом случае система не является полностью невырожденной. Системы третьего типа — нормальные системы — являются тогда в определенном смысле точно определенными и, следовательно, в аналитическом случае составляют единственный класс вполне невырожденных систем; все другие либо недоопределены, либо переопределены. Это завершает доказательство теоремы 2.84. □

Пример 2.87. (а) Рассмотрим систему второго порядка (2.118). Оказывается, это переопределенная система, поскольку

Dp (ОХХ 4" Щху 4" Ух) Dx (их# + Opp U^ = ОХр -ф- Uxx зависит от производных второго порядка, но не обращается в нуль как алгебраическое следствие (2.118). С другой стороны, если опустить члены низшего порядка, то получим систему

U-xx 4" Ухд = 0, ЫХр 4" ygg = О,

соответствующую уравнениям Навье (2.127) при р, = О, X = 1. Эта система недоопределена, поскольку комбинация

Dy {Цхх "Ь ^xg) Dx (Uxy 4~ Уду) = О обращается в нуль тождественно. В этом последнем случае общее решение

« (я, У) = <РУ (х, у) + ex, v (х, у) = — фх (х, у) зависит от произвольной функции ф(Х, у). В сущности, это справедливо для всякой недоопределенной системы Д — в записи общего решения присутствует по крайней мере одна произвольная функция, зависящая от всех независимых переменных. В этом случае задача Коши имеет неединственное решение, тогда как в случае переопределенной системы, вообще говоря, задача Коши не имеет решения вообще. Таким образом, для аналитических систем (с точки зрения задачи Коши) снова нормальные системы определены точно; переопределенные или недоопределенные системы характеризуются несуществованием или неединственностью решения соответственно.

Замечания

Система уравнений с частными производными для инвариантов локальной группы преобразований, предшествующая работе Ли, возникла в задаче Пфаффа. Ее интегрирование изучали Якоби, Майер, Дарбу, Ли и, наконец, Фробениус (Frobenius [1]), доказавший общий результат о существовании функционально независимых решений. Обсуждение классических подходов к этой задаче см. в книгах Forsyth [1; v. 1] или Caratheodory [1]. Классической является также связь с соответствующей характеристической системой обыкновенных дифференциальных уравнений; Камке (Kamke [1; v. 2, § D4] дает наиболее близкое по духу к нашему изложение вместе с другими методами интегрирования — см. также Ince [1; § 2.7].

Понятия функциональной зависимости и независимости являются классическими. Неожиданно, однако, что стандартные доказательства основной теоремы 2.16 удивительно несовершенны— обычно предполагается, что ранг дифференциала dt, постоянен. Современное доказательство этого результата, не требующее дополнительных предположений, может быть основано на теореме Брауна (Brown [1]) (см. также Milnor [1; с. 191]), утверждающей, что множество {g (х): х ^ М, rank dt; | * < &} критических значений гладкого отображения £: M-»-R6 не содержит никакого открытого подмножества пространства R6, и теореме Уитни (см. Kahn [1; theorem 1.5]),

утверждающей, что всякое замкнутое подмножество /(cR6 можно задать как множество нулей K = {z: F(z) = 0) некоторой гладкой функции F: R*->R. Чтобы доказать теорему 2.16, мы, предполагая, что всюду rank d^ < к, полагаем тогда К = = £ [17], где U с М — произвольное открытое множество с компактным замыканием, и выбираем функцию F, как в теореме Уитни. Согласно теореме Брауна, функция F не обращается в нуль ни на каком открытом подмножестве пространства R* и, следовательно, удовлетворяет требованиям определения 2.15 функциональной независимости. (Это простое доказательство, насколько мне известно, в литературе отсутствует!) Современное доказательство теоремы 2.16, основанное на теореме Сарда, имеется в работе Narasimhan [1*; theorem 1.4.14].

В случае аналитических систем условие максимальности ранга в теореме 2.8 можно ослабить, потребовав его выполнения только «почти всюду» на подмногообразии SFf, допуская, таким образом, наличие особенностей. Этот результат, который нетрудно доказать, тем не менее, кажется, не обобщается на случай О. Аналогичное обобщение теоремы 2.31 тоже может быть доказано для аналитических систем дифференциальных уравнений, допускающих особенности у подмногообразия ^д.

Первоначально Ли создал свою теорию непрерывных групп специально для изучения дифференциальных уравнений. Но он хорошо сознавал применимость своего мощного инфинитезимального метода к изучению инвариантов и алгебраических уравнений. Об алгебраической и геометрической сторонах его исследований см. Lie [4]. Историческое значение исследований Ли и их влияние рассмотрены в работах Hawkins [1] и Wussing [1; § Ш.З]. Большая часть работ Ли по обыкновенным дифференциальным уравнениям опубликована в собрании его статей; книга Lie [5] на самом деле не отражает всей полноты его открытий. Ключом к подходу Ли к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений высшего порядка была предложенная им полная классификация (с точностью до замены переменной) всех групп преобразований плоскости R2. Пользуясь ею, он смог исчерпывающим образом перечислить все возможные понижения порядка для одного обыкновенного дифференциального уравнения; см. Lie [3], где приводятся эти результаты вместе с большим количеством конкретных интересных примеров. Результаты этой статьи включают результаты § 2.5 о многопараметрических группах симметрий обыкновенных дифференциальных уравнений высшего порядка; все другие изложения этих вопросов в литературе, включая работы Cohen [1], Ince [1; ch. 3], Markus [1] и Овсянников [3; § 8], относятся только к случаям однопараметрических и двупара-

метрических групп. Тем не менее, теорема 2.68 о разрешимых группах симметрий систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка принадлежит Бьянки (Bianchi [1; § 167]); см. также Eisenhart [2; § 36]. Этот результат, очевидно, включает в себя соответствующую теорему 2.64 об уравнениях высшего порядка, но я не смог найти явную формулировку последнего результата в литературе. См. также Posluszny, Rubel [1*] по поводу дальнейших исследований обыкновенных дифференциальных уравнений, основанных на теории групп «движений» дифференциального уравнения.

Большая часть исследований Ли о группах симметрий уравнений с частными производными относилась к линейным системам уравнений первого порядка, которые в силу метода характеристик по существу эквивалентны системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако, в статьях Lie [2] и Lie [6] Ли рассматривал симметрии уравнений с частными производными высших порядков. В работе Lie [2; part 1] Ли вычисляет группы симметрий нескольких уравнений с частными производными второго порядка от двух независимых переменных, включая уравнение теплопроводности, группа симметрий которого появляется в конце § 13. Эта группа была вычислена позже также Аппелем (Appell [1]) и, в случае высших размерностей, Гоффом (Goff [1]). Исследования Ли, связанные с уравнениями с частными производными высших порядков, однако, вообще не были развиты другими исследователями. Одна из возможных причин состоит в том, что в отличие от случая обыкновенных дифференциальных уравнений знание группы симметрий системы уравнений с частными производными не помогает найти общее решение системы. Впрочем, одна увлекательная возможность — это «метод разложения группы» из работы Vessiot [1]; см. Овсянников [3, § 26], где имеется современное изложение. Помимо этого я знаю лишь раннюю работу о симметриях уравнений с частными производными Bateman [1] и статьи Cunningham [1] и Carmichael [1] о симметриях волнового уравнения и уравнений Максвелла. Если не считать их, несмотря на наличие теоремы Нётер, после 1918 г. исследования по теории и приложениям групп симметрий к уравнениям с частными производными зашли в тупик; это продолжалось до появления работы Биркгофа Birkhoff [2] по гидродинамике, с которой начали возрождаться групповые методы в изучении важных уравнений с частными производными математической физики. В конце 50-х и в 60-х годах в изучении групп симметрий многих таких систем большой прогресс был достигнут советской школой под руководством Л. В. Овсянникова [1], [2]. Интерес к этим методам на Западе возрос благодаря

работам Bluman, Cole [1], [2] и книге Ames [1], вылившись в большую волну исследований в этой области в последние 15 лет.

Основной метод вычисления групп симметрий, использующий формулу продолжения для их инфинитезимальных образующих, восходит к Ли. Действительно, рекурсивный вид (2.44) формулы продолжения появился в работах Lie [2; § 11], [3; § 1]; см. также Eisenhart [2; equation (28.12)]. Однако явная формула (2.39) впервые появилась в работе Olver [2]. Другой вид (2.50), использующий характеристику такого векторного поля, более подробно будет обсуждаться в гл. 5; в книге Seshadri, Na [1; § 3.2(e)] он применен как иной способ вычисления простых симметрий. В этой книге я предпочел воспользоваться наиболее упрощенным вариантом теории струй, обязанной своим современным видом Эресманну (Ehresmann [1], [2]), которая позволяет яснее очертить геометрические основания этой теории продолжения. Интересное изложение более абстрактного дифференциально-геометрического подхода к теории струй можно найти в книге Golubitsky, Guillemin £1]; см. также § 3.5. Излишне говорить, что все изложенные здесь результаты допускают множество других переформулировок, использующих все более и более техничный и абстрактный математический аппарат — некоторые исследователи получают удовольствие от бесцельных упражнений. Сам результат, конечно, остается тем же, независимо от того, в какие одежды его стараются вырядить; несчастный читатель этих вариантов оказывается совершенно сбитым с толку, не узнав ничего о легкости и эффективности приложений этой теории к конкретным задачам. Я надеюсь, что настоящая книга в основном избежала таких ловушек и что использование локальных координат и иллюстративных примеров действительно позволит читателю, интересующемуся приложениями, многому научиться.

К настоящему времени литература с примерами явного вычисления групп симметрий отдельных систем дифференциальных уравнений стала слишком обширной, чтобы пытаться привести ее здесь. Читатель может найти ссылки в книге Овсянникова [3], а также обширную (это еще не означает, что полную) библиографию в работе Steinberg [2]. Вычисление группы симметрий уравнений Эйлера приводится в работе Бучнева [1]. Вывод преобразования Коула — Хопфа, изначально на самом деле полученного Форсайтом (Forsyth [1; v. 6, р. Ю2]), — см. также книгу Whitham [2; гл. 4], в которой используются методы теории групп,— можно найти в работе Kumei, Bluman [1] вместе с обобщениями ). Непосредственные вычисления для на

хождения группы симметрий данной системы дифференциальных уравнений достаточно механические и поэтому поддаются выполнению на компьютере с помощью программ символьных вычислений. Разработано несколько вариантов таких программ, в том числе содержащиеся в работах Rosenau, Schwarzmeier [1], Steinberg [1], Rosencrans [2] и Champagne, Winternitz [1] (в системе MACSYMA) и Schwarz [1] (с системе REDUCE). В русской литературе также имеются ссылки на такие программы; см. Овсянников [3; с. 89], где приведен список работ.

Имеется несколько других заслуживающих упоминания подходов к теории групп симметрий дифференциальных уравнений. Для линейных уравнений Калнинс, Миллер, Бойер и др. (см. Miller [2], [3]) предпочли для определения симметрий использовать дифференциальные операторы, а не векторные поля. Связь их метода с методом Ли разъясняется в § 5.2. В книге Ames [1] предложен метод, основанный на самих группах преобразований, без введения инфинитезимальных образующих, но, кажется, такой подход имеет ограниченную применимость. Се- шадри и На (Seshadri, Na [1]) заметили, что можно значительно упростить вычисления симметрий, если a priori наложить ограничения на вид группы, например, предположить, что это группа проектируемых преобразований или масштабная группа. См. Rubel, Taylor [1*] и Rubel [1*] в связи с другим методом, основанным на понятии «движений» в теории дифференциальных уравнений. Подход, основанный на дифференциальных формах, предложен в работе Harrison, Estabrook [1] и развит в книге Edelen [1], где описаны также программы символьных вычислений, основанные на этом методе; см., кроме того, Gragert, Kersten, Martini [1]. Результаты здесь такие же, как и при нашем подходе, однако их метод обладает недостатком — прежде чем приступать к вычислению симметрий, нужно сначала выразить систему уравнений с частными производными как условия интегрируемости семейства дифференциальных форм. Тем не менее, этот метод может быть полезен, особенно для построения преобразования Бэклунда. Распространение нашего инфинитезимального метода на задачи со свободными границами можно найти в работе Benjamin, Olver [1].

Лишь недавно стало ясно, что более технические вопросы, поставленные в последнем параграфе этой главы, важны для симметрийного подхода. Связь между существованием решений и теорией характеристик восходит к работе Ковалевской [1]. (Наше изложение этой теории наиболее близко соответствует изложению Петровского [1].) Бурле (Bourlet [1]) первым указал на существование систем, к которым неприменима теорема Коши — Ковалевской, независимо от выбора направления, но не

придал этому значения. Впоследствии ряд исследователей прошлого века, включая Делассю (Delassus [1]) и Рикье (Riquier [1]), получили довольно сложные теоремы существования для систем уравнений с частными производными, обобщающие теорему Коши—Ковалевской. Однако до появления работы Финзи Finzi [1], доказавшего важную лемму 2.85 (см. также Hadamard [1; § 25а]), не были очевидными истинные связи между условиями разрешимости и интегрируемости. Последующие определения переопределенных и недоопределеннных систем, предложенные здесь, являются новыми; см. также Olver [11]. Нормальность — более классическое понятие; см. также Виноградов [4], где приводится более технический вариант этого определения. Хотя имеются определенные связи между нашими определениями и теорией Спенсера, Голдшмидта и др. переопределенных систем уравнений с частными производными, настоящая терминология более точна. Сравнивая с определениями Поммаре из Pommaret [1; § V. 6.6] (которые даются только для линейных систем), мы получаем, что недоопределенные системы Поммаре всегда имеют меньше уравнений, чем неизвестных, тогда как его переопределенные системы включают и недоопределенные, и переопределенные системы определения 2.86. Эти спорные вопросы тесно связаны также с вопросами о «степени определенности» систем уравнений с частными производными, возникающих в теории относительности. Они обсуждались, но не были полностью разрешены Картаном и Эйнштейном (Cartan, Einstein [1]). Вопрос о локальной разрешимости систем уравнений с частными производными тесно связан с общей теорией существования Рикье, см. Ritt [1; ch. 8], где это обсуждается. Ниренберг (Nirenberg [1; р. 15]) доказал локальную разрешимость довольно общих типов эллиптических систем. Неразрешимость, обусловленная условиями интегрируемости, была осознана в прошлом веке; гораздо более новой является неразрешимость типа Леви С°°-систем. См. Lewy [1] и Nirenberg [1; р. 8], где приводятся примеры. Приложения этих результатов к теории групп симметрий появились ранее в работах Олвера (Olver [2], [7], [11]) и Виноградова [5].

Упражнения

Пусть G — локальная группа преобразований, действующая на многообразии М.

Докажите, что подмножество 9* с: М является G-инвариантным, если и только если 9 = U О является объединением орбит группы G.

Докажите предложение 2.14.

Докажите, что функция Г: Л4 —> RZ является G-инвариантнои, если и только если Р постоянна на орбитах группы G.

Докажите, что единственными инвариантами иррационального потока на торе являются постоянные функции.

Пусть G— однопараметрическая группа преобразований R3, порожденная векторным полем v из упр. 1.11. Докажите, что G обладает только одним независимым глобальным инвариантом.

Пусть группа G действует на многообразии М, и пусть Hc^G—ее подгруппа. Докажите, что если S? cz М—(локально) //-инвариантное подмножество и преобразование geG определено на всем У, то g-97 = {g-x: хеУ^ (локально) инвариантно относительно сопряженной подгруппы gHg-x = (ghg-V кеЩ.'

Система подмногообразий многообразия М называется С-инвариант- ной, если групповые элементы отображают любое подмногообразие этой системы в другое подмногообразие этой системы. Например, множество параллельных прямых {z/ = kx -f- 6}, где к фиксировано, инвариантно относительно любой группы сдвигов R2. Докажите, что множества уровня функции F: М -> Rz инвариантны относительно группы преобразований G, если и только если v(F) = H(F) для любой инфинитезимальной образующей v группы G, где Н — некоторая функция, зависящая от v, определенная на множестве значений функции F. (Eisenhart [2; р. 82]).

(а) Докажите локальный вариант предложения 2.10.

Докажите глобальный вариант, используя разбиение единицы,— см. Kahn [1; theorem 1.4].

Докажите предложение 2.11. (Указание. Используйте теорему 1.8.)

Докажите, что если Ri^, i = 1, .... р, ■—гладкие функции, то

р.р .

£ R{ (х) (х‘ - с^ = £ atxl + 6

t = IZ = I

— аффинная функция от х, если и только если Rt(x') = ai -]- Si(x), где

р

(х) (х‘— cf) = 0,

Z = I

или, что эквивалентно,

Р

si м = £ 8ц (^ кх’ - ciY

где ^ = -5^

Пусть X = R, U = R. Рассмотрим однопараметрпческую группу gE: (х, и) ।—> (х cos (re) — и sin (re), х sin (re) + и cos (re)),

где г2 = x2 + у2. Пусть и = f (х) — функция, определенная для всех х е R. Докажите, что для любого е =/= 0 преобразованная функция й = g£ • f (х) не является глобально определенной функцией для х е R. Как это взаимосвязано с нашей конструкцией продолжения действия группы?

Найдите определяющие уравнения группы симметрий нелинейного волнового уравнения Ut = иик и отыщите некоторые частные группы симметрий. Изменятся ли ваши результаты, если коэффициент при их заменить на Ци), где f— некоторая гладкая функция? (См. также пример 5.7.)

Уравнение Фоккера — Планка имеет вид

= ихх + Wx = «хх + хих + “•

Найдите его группу симметрий и интерпретируйте ее геометрически. Воспользуйтесь преобразованиями из этой группы, чтобы найти некоторые частные решения этого уравнения. (Bluman, Cole [2; § 2.10}.)

Найдите группу симметрий телеграфного уравнения и» = ихх + и. Сравните эту группу с группой симметрий эквивалентной системы первого порядка lit + их = и, и, — щ = и.

Группы уравнений высших порядков и эквивалентных им систем первого порядка не всегда сравнимы. Например, вычислите группу симметрий двумерного волнового уравнения и» = ихх и сравните ее с группой симметрий эквивалентной системы ut = и, их = w, vt = zy*, их = wt. Как обстоит дело с двумерным уравнением Лапласа? (Olver [2], Ибрагимов [1; § 17.1].)

. Докажите, что группа симметрий (2.65) двумерного волнового уравнения (опуская тривиальные линейные симметрии ш—^ Ха + а(х, <)) локально изоморфна группе SO(3,2) линейных изометрий zi—» Rz пространства R5 с метрикой (dz1)2 4-(dz2)2 4-(dz3)2—(dz4)2—(dz5)2. (Cm. ynp. 1.29.) (Miller [3; p. 223].) '

Найдите группу симметрий /n-мерного уравнения теплопроводности Ut = hu, xeRm. Как она соотносится с одномерным случаем? (Goff [1].)

Обсудите группу симметрий уравнения Гельмгольца Д« + Хи = О, где X— фиксированная постоянная, хе R3. (Miller [3; § 3.1].)

Обсудите группу симметрий бигармонического уравнения Ми = = Д(Дц) = 0, х g Rm. Как оиа связана с группой симметрий уравнения Лапласа?

Докажите, что группа симметрий уравнений Навье—Стокса

-^- + и • Vu = — Vp + v Ди, V-u = 0,

где и s R2 пли R3, a v — вязкость, такая же, как и группа симметрий соответствующей системы уравнений Эйлера (v = 0). (Бучнев [1], Lloyd [1].)

*2.16. (а) Уравнения Максвелла для электрического поля ЕеР3 и магнитного поля BeR3 имеют векторный вид

Et = VXB, Bt = -VXE, V-E = 0, V-B = 0.

Обсудите симметрии этой системы.

(Ь) Эквивалентная формулировка получается введением векторного потенциала А, где В = V X А. Заметим, что V X М< +£) = 0, следовательно, существует скалярный потенциал ф, удовлетворяющий условию At 4- Е = фф. В результате получаем систему

^_ + 7Х(7ХД) = Г^, ?-^- = Дф.

Как группа симметрий этой последней системы соотносится с предыдущей формой уравнений Максвелла? (Овсянников [3; с. 394], Фущич и Никитин [1], [2*].

*2.17. Проанализируйте симметрии уравнений Навье (2.127) линейной изотропной упругости. Обсудите различие между двумерным и трехмерным случаями. Зависят ли ваши результаты от значений коэффициентов Ламе X и ц? (Olver [9].)

Групповая классификация. Часто система дифференциальных уравнений, возникшая из физической задачи, соержит некоторые производные функции, точный вид которых зависит от конкретной рассматриваемой физи-

ческой системы. Например, общее уравнение нелинейной теплопроводности имеет вид

ut = Dx (% ^ «х\(*)

где К(а) зависит от конкретного типа моделируемой среды. Часто имеются хорошие физические основания для изучения тех уравнений, в которых вид этих произвольных функций допускает большую группу симметрий, чем в ином случае. Проблема нахождения таких функций известна как задача о групповой классификации. Выполните групповую классификацию для нелинейного уравнения теплопроводности, доказав следующее:

Если К—произвольная функция (т. е. не имеет ни одни из перечисленных ниже специальных видов), то уравнение (*) имеет трехпараметрическую группу симметрий.

Если К(«) = (аи-\-Ь)т (при т =/=—4/3, а =#= 0), то группа симметрий четырехмерна.

При К (а) = сеаи имеется пятипараметрическая группа. См. Огоп, Rosenau [1*]; отметим, что этот пример в других работах приводится с ошибкой.

При К(п) = (ап + Ь)-4/3, а #= 0, имеется пятипараметрическая группа.

При К(к) = const эта группа бесконечномерна. (Овсянников [3; с. 68—73]; см. также Lie [2].)

Рассмотрим линейное однородное уравнение с частными производными первого порядка

Пусть v — ^g‘(х) Зг — соответствующее векторное поле.

Покажите, что w = ^i/ (х) dt порождает однопараметрическую группу симметрий, если и только если [v, w] = yv для некоторой числовой функции у(х).

Пусть р = 2. Покажите, что если поле w порождает нетривиальную группу симметрий (это означает, что w #= Xv ни для какой функции Х(х)), то мы можем найти общее решение уравнения (*) посредством квадратуры (если нам известны инварианты поля w).

Что происходит при р ^ 3?

(Lie [5; р. 434]).

Докажите, что система и* = 0, uv + xuz = 0 не является локально разрешимой. Докажите, что группа, порожденная векторным полем v = хд2, является группой симметрий, но поле v не удовлетворяет инфинитезимальному критерию (2.120).

. Пусть дифференциальное уравнение Р(х, «<">) = 0, хе R₽, и е R, допускает бесконечномерную группу симметрий с образующими р(х)ды, где р — произвольное решение линейного дифференциального уравнения Д[р]=0. Докажите, что Р эквивалентно неоднородному варианту того же самого уравнения Д[н] = f(x). (Kumei, Bluman [1].)

. (а) Докажите, что дифференциальное уравнение Р(х, «<">)= 0 эквивалентно линейному дифференциальному уравнению Д[а] = f(x) относительно замен переменных к = Е(х, а), а = Ф(х, а), если и только если оно допускает бесконечномерную группу симметрий с образующими вида

f SB д , дФ д ]

v Р { дй дх "^ дй ди j'

где р(х,и)—произвольное решение линейного дифференциального уравнения. (Указание. Сделайте замену переменных и примените предыдущее упражнение.)"

Обсудите в свете этого результата наш вывод преобразования Хоп- фа—Коула из примера 2.42.

Примените эту технику, чтобы линеаризовать уравнение Томаса

“xt + °"t + P“x+Y“x“t = 0, возникающее при изучении процессов химического обмена.

Примените эту технику к потенциальной форме ut = и~^ихх нелинейного уравнения диффузии и( = Dx(u-2ux), играющего важную роль в физике твердого тела и в теории течения жидкости через пористую среду. (Kumei, Bluman [1], Whitham [2; с.], Rosen [1], Fokas, Yortsos [1], Bluman, Kumei [1].)

*2.23. Два эволюционных уравнения ut = P(x, u<”>) и vs = Q(y, u(m)) называются связанными, если существует замена переменных

t = Т (s, у), х = Е (s, у), и = Ф (s, у, о), переводящая одно уравнение в уравнение, эквивалентное другому.

Докажите, что если уравнение ut = Р связано с уравнением vs = Q, то векторное поле

дТ ддВ ддФ д

V ds dtds dxds du

— симметрия уравнения ut = P.

Докажите, что если

V = T(Z)"^"+£(Z> X)"^" + <P(Z’ x’ ^^<*)

— симметрия уравнения ut = P, то найдется связанное эволюционное уравнение v$ = Q, такое, что в новых координатах v = ds. (На самом деле для большого класса эволюционных уравнений (*) — наиболее общая симметрия, так что мы имеем взаимно однозначное соответствие между связанными эволюционными уравнениями и симметриями.)

Найдите преобразование, связывающее уравнение Кортевега—де Фриза ut = Uxxx + uux и уравнение и$ = иетг, +uuv + 1. (Kalnins, Miller [2].)

Пусть ае R. Найдите наиболее общее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, инвариантное относительно группы растяжений (х, и) i—> (Лх, Хаи), X > 0. Как эти уравнения разрешить квадратурой?

Докажите, что уравнение второго порядка ихх = хи -f- tg (щ) не имеет непрерывных групп симметрий! (Cohen [1; р. 206].)

(а) Докажите, что группа симметрий уравнения ихх — 0 восьмимерна и порождается векторными полями

d, xd , ud , xud 4-u2d ,XXXXU

du’ Xdu- udu- X=dx+xudu.

Докажите, что она является подгруппой проективной группы плоскости, состоящей из преобразований вида

( ах + Ьи + с dx + ей + f

(х, и) I—> ал. + pu ^_ Y > ах + р« + у 7 ’

где ар — 6а ^ 0, dp — еа ^ 0. Интерпретируйте геометрически эти преобразования.

(b) Докажите, что группа симметрий уравнения dnu/dxn = 0 при п ^ 3 (п + 4)-мериа. (Lie [3], Markus [1].)

*2.27. Докажите, что одно обыкновенное дифференциальное уравнение и-го порядка имеет, самое большее, (и + 4)-параметрическую группу симметрий при и ^ 3. (Lie [3], Gonzalez-Gascon, Gonzalez-Lopez [1*].)

Докажите, что SL(2)—неразрешимая группа Ли. Что можно сказать о группе SO(3)?

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение Д: «^ — — 4я = 0.

Докажите, что Д имеет всюду максимальный ранг.

Докажите, что i?xxx = 0 — комбинация уравнений из Д<5>, но их*х = 0 не является такой комбинацией. (Ritt [1; р. 79].)

30. Уравнения, инвариантные относительно «нелокальных симметрий». Чтобы читатель не думал, что все методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений сводятся к инвариантности уравнения относительно некоторой группы симметрий представленного здесь вида, мы предлагаем следующую предостерегающую задачу.

Экспоненциальное векторное поле — это формальное выражение вида , \p(x,u)dx/ . д .,. д \

где Р (х, я) dx является формально интегралом функции, а и = / (х)— выбранная нами функция. Таким образом,

Dx^P(x, a)dx] = P(x, я), D^x ^ Р (х, я) dxj — DXP

и т. д. Подстановка v* в формулу продолжения (2.50) с заменой Е на \Pdxf Р dx Ч

eJ Е, <р на eJ ф/ доказывает, что

\udx

где v№ — обычное векторное поле на MW. Например, если v* = eJ ди, то

P?»>v*=yD‘U“<,*]^- =Z-J хои.

= ^ " dX р„ + udUx + (их + я2) д„хх + -..].

Докажите, что дифференциальные инварианты для экспоненциального векторного поля можно выбрать в виде

р = т](х, я), ш = Е(х, и, и^, wn — dnw/dyn, л —1, 2. ....

точно так же, как для обычного векторного поля. Каковы дифференциаль- \ и dx

ные инварианты третьего порядка для eJ ды?

Докажите, что обыкновенное дифференциальное уравнение Д(х, uW^ =о, являющееся инвариантным относительно экспоненциального векторного поля:

pr<">v*(A) = 0 при А = 0, допускает понижение порядка на единицу. Используйте это, чтобы свести уравнение

и«-аИх = Я(х>«х-4и2)

к обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка.

Обратно, докажите, что если порядок А можно понизить на единицу подстановкой v = у(х, и, их), то А инвариантно относительно экспоненциального векторного поля

Как могут на практике возникнуть эти симметрии? Рассмотрим «неправильную» процедуру понижения порядка, использованную в примере 2.62, чтобы получить (2.109). Нам бы хотелось сказать, что другая симметрия v уравнения (2.108) остается симметрией уравнения (2.109). Однако рг(1'у = хдц + дил. = х(ду + д2) не является корректно определенным векторным полем в координатах (у, z). Докажите, что рг<*)у является экспоненциальным векторным полем в этих координатах ^указание: покажите, что х = exp (^ z-1 dy)) и, кроме того, остается симметрией уравнения (2.109). Воспользуйтесь этой информацией, чтобы завершить интегрирование уравнения (2.108).

Пусть М(©)—матрица размера qXq однородных многочленов л-й степени от со. Докажите, что det М (со) = 0 для всех со, если и только если найдется вектор о(со) однородных многочленов, такой, что М(со)о(со) = 0 для всех со. Какова минимальная степень многочленов, входящих в такой вектор о? Обобщите это на случай, когда многочлены, входящие в М, однородны, но не одной и той же степени. [Finzi [1].)*

Всегда ли является нормальной система эволюционных уравнений?

Пусть Av (х, «(п)) = 0, у=1/,— вполне невырожденная си

стема дифференциальных уравнений. Докажите, что функция Q(x, ц<т>) обращается в нуль на всех решениях и = f(x) системы А, если и только если существуют дифференциальные операторы ®v= £ ^U u^Dj, v=l, ...

I

..., I, такие, что Q = ^ ®V-AV для всех функций и = f(x). (Указание. V

Воспользуйтесь предложением 2.10.)

3. Решения, инвариантные относительно группы

Когда сталкиваются со сложной системой уравнений с частными производными, возникающей из некоторой важной для физики задачи, обнаружение хоть каких-нибудь точных решений представляет большой интерес. Точные решения можно использовать как модели для физических экспериментов, как эталон для проверки численных методов и т. д. Они часто отражают асимптотику или доминирующее поведение более общих типов решений. Методы, используемые для нахождения инвариантных относительно группы решений, обобщающие известную технику нахождения автомодельных решений, доставляют систематический вычислительный метод для определения больших классов частных решений. Эти инвариантные относительно группы решения характеризуются своей инвариантностью относительно некоторой группы симметрий уравнений с частными производными; чем симметричнее решение, тем легче оно строится. Основная теорема об инвариантных относительно группы решениях, грубо говоря, утверждает, что все решения, инвариантные относительно данной r-параметрической группы симметрий данной системы могут быть найдены при решении системы дифференциальных уравнений, содержащей на г меньше независимых переменных, чем исходная система. В частности, если число параметров на 1 меньше, чем число независимых переменных физической системы: г = р—1, то все решения, инвариантные относительно соответствующей группы, могут быть найдены с помощью решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Так, труднообозримое множество уравнений с частными производными сводится к более простой системе обыкновенных дифференциальных уравнений, и у нас появляются шансы найти точное решение. В практических приложениях эти инвариантные относительно группы решения можно в большинстве случаев эффективно построить, и часто они оказываются единственными известными точными решениями.

Эта глава построена так, что ориентирующийся на приложения читатель может сразу же изучить практическое осуществ-

ление метода построения решений, инвариантных относительно группы, не копаясь в теоретических обоснованиях, необходимых для объяснения этого метода. В § 3.1 излагается метод, основанный на построении инвариантов данного действия группы. Он иллюстрируется в § 3.2 рядом интересных примеров, включая уравнение теплопроводности, уравнение Кортевега — де Фриза и уравнения Эйлера для течения идеальной жидкости. Дальнейшие примеры указаны в упражнениях в конце главы, там же приведены ссылки на литературу. В третьем параграфе рассматривается задача классификации решений, инвариантных относительно группы. Почти всегда имеется бесконечное число различных групп симметрий, которые можно применять для нахождения инвариантных решений, поэтому для достижения полного понимания того, какие именно решения могут быть полезны, существенно уметь определять, какие группы дают принципиально разные типы инвариантных решений. Поскольку всякое преобразование из полной группы симметрий будет переводить решения в другие решения, нам нужно найти лишь те инвариантные решения, которые не связаны преобразованием из полной группы симметрий. Эта задача классификации может быть решена с помощью присоединенного представления группы симметрий на ее алгебре Ли. Она включает аналогичную классификацию различных подгрупп группы симметрий.

Оставшиеся два параграфа этой главы посвящены строгому изложению теоретического обоснования метода нахождения инвариантных относительно группы решений. Их благополучно могут пропустить те, кого интересуют лишь приложения этой техники. Строгое глобальное геометрическое оформление этих результатов осуществляется с помощью понятия фактормногооб- разия некоторого многообразия по некоторой регулярной группе преобразований. Каждая точка фактормногообразия соответствует орбите этой группы, так что фактормногообразие по существу имеет размерность на г меньше, где г — число параметров группы. Объекты на исходном многообразии, инвариантные относительно группы, будут иметь естественные аналоги на фактормногообразии, которые полностью их характеризуют. В частности, для системы уравнений с частными производными, инвариантной относительно данной группы преобразований, соответствующая редуцированная система дифференциальных уравнений на фактормногообразии будет иметь поэтому на г меньше независимых переменных. Решения редуцированной системы будут отвечать решениям исходной системы, инвариантным относительно группы. Одна трудность этого метода состоит в том, что, даже когда исходное многообразие является открытым под-

множеством некоторого евклидова пространства, фактормного- образие никаким естественным способом не представляется открытым подмножеством «редуцированного» евклидова пространства, так что наши предыдущие построения пространств струй и групп симметрий нельзя применить сразу. Здесь имеются два приемлемых пути. Самое простое было бы ограничиться подходящими малыми открытыми подмножествами евклидова пространства. Тогда фактормногообразие тоже можно сделать подмножеством некоторого евклидова пространства посредством выбора на нем новых независимых и зависимых переменных. Однако при таком подходе конструкции становятся весьма неприятным образом координатно зависимыми и много теряют в своей изначальной простоте. Более абстрактный подход, принятый нами, состоит в обобщении наших конструкций пространств струй, продолжений и дифференциальных уравнений на произвольные гладкие многообразия. Он осуществляется «пополнением» обычных пространств струй так, что они включают «функции», определенные на произвольных р-мерных подмногообразиях. Эти «функции» могут быть многозначными или иметь бесконечные производные. Хотя этот метод требует изрядного уровня абстракции и математической изощренности, чтобы дать определения, главные результаты об инвариантных относительно группы решениях сохраняют свой сильный геометрический дух и в том, что касается доказательств, становятся практически тривиальными. Более сложная технически локальная координатная картина непосредственно получается тогда из этой абстрактной переформулировки процедуры редукции.

ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЙ, ИНВАРИАНТНЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО ГРУППЫ

Рассмотрим систему уравнений с частными производными А, определенную на открытом подмножестве М с XX U ~R₽X R’ пространства независимых и зависимых переменных. Пусть G— локальная группа преобразований, действующая на М. Грубо говоря, решение w = f(x) системы называется G-инвариантным, если оно остается неизменным при всех преобразованиях из группы G. Это означает, что для любого geG функции f и (если она определена) g-f совпадают в их общей области определения. Например, фундаментальное решение и = log(x2 + у2) двумерного уравнения Лапласа ихх + иуу = 0 инвариантно относительно однопараметрической группы вращений 50(2): (х, у, «)•—>(х cos 6— у sin 6, х sin 6 + у cos 6, w), действующей на независимые переменные х, у. Точнее, мы можем определить

G-инвариантное решение ) системы уравнений с частными производными как решение w = f(x), график Ef = {(х, f(x) )}сМ которого — локально G-инвариантное подмножество множества М; см. определение 2.12.

Если G — группа симметрий системы уравнений с частными производными А, то при выполнении некоторых дополнительных предположений о регулярности действия группы G мы можем найти все G-инвариантные решения системы А, решив редуцированную систему дифференциальных уравнений, обозначаемую через А/G, которая будет содержать меньше независимых переменных, чем исходная система А. Чтобы увидеть, как осуществляется редукция, мы начнем с упрощающего предположения, что группа G действует на М проектируемо. Это означает, что все преобразования из G имеют вид (х, й)= g- (х, ц) = = (Eg(x), Фг(х, w)), т. е. изменения независимых переменных х не зависят от зависимых переменных и. (Более общо, действия непроектируемых групп будут рассмотрены позже, но основная техника такая же.) Тогда определено проектируемое действие группы х = g-x = Eg(x) на любом открытом подмножестве й сХ. Мы делаем предположение о регулярности, состоящее в том, что и действие группы G на М, и проектируемое действие группы G на Q являются регулярными в смысле определения 1.26 и что орбиты обоих этих действий имеют одну и ту же размерность s, где s строго меньше, чем р — число независимых переменных системы. (Случай s — р совершенно тривиален, тогда как при s > р не существует G-инвариантных функций. Обычно s будет таким же, как и размерность самой группы G, но это не всегда так.) При этих предположениях из теоремы 2.17 следует, что локально имеется р—s функционально независимых инвариантов у1 = ti^x)yp~s = t]₽“s(x) проектируемого действия группы на Q cz X. Каждая из этих функций является также инвариантом полного действия группы G на М, и, кроме того, мы можем найти q дополнительных инвариантов действия G на М вида и1=^1(х, и), ..., о» = = £’(х, и), которые вместе с т)1, ..., г]?-5 доставляют полный набор р + q — s функционально независимых инвариантов для G на М. Мы кратко записываем этот полный набор инвариантов в виде

у = т](х), o=?U, «).(3.1)

В построении редуцированной системы дифференциальных уравнений для G-инвариантных решений системы А инвариан-

ты у будут играть роль новых независимых переменных, а инварианты и — роль новых зависимых переменных. Заметим, в частности, что число независимых переменных у1, .... yp~s, которые появятся в этой редуцированной системе, на s меньше, где s — размерность орбит группы G.

Далее, имеется взаимно однозначное соответствие между G-инвариантными функциями u^f^x) на М и произвольными функциями и = h (у) в новых переменных и, у. Чтобы объяснить это соответствие, мы начнем с обращения к теореме о неявной функции и разрешим систему у = т) (х) от р—s независимых переменных, скажем, х = (х‘*, ..., х‘р-$), относительно новых переменных у1, ..., yp-s и остальных s старых независимых переменных, обозначаемых ^ = (х'1, .... x's\ Таким образом, мы имеем решение

x = V(A у). (3.2)

где у — некоторая корректно определенная функция. Первые р — 5 из старых независимых переменных называются главными переменными х, а остальные s из этих переменных — параметрическими переменными х, поскольку они будут на самом деле входить во все последующие формулы как параметры. То, как переменные х разделяются на главные и параметрические, определяется лишь требованием, чтобы подматрица (дт^/дх1) размера (р—s)X(p—$) полной матрицы Якоби дт\/дх была обратима, т. е. чтобы была применима теорема о неявной функции; в остальных отношениях выбор совершенно произволен. Нам нужно сделать дальнейшее предположение о трансверсальности действия группы G на М, ср. (3.35), что позволит нам разрешить другую систему инвариантов и = £(х, о) от всех зависимых переменных их, ..., и4 через х1, ..., хр и и1, ..., у» и, следовательно, через новые переменные у, у и параметрические переменные х:

и = б(х, у) = й(Д у(Д у), у) = й(£, у, у) (3.3)

вблизи любой точки (хо, «о) е М.

Если и = h (у) — произвольная гладкая функция, то (3.3) в совокупности с (3.1) дает соответствующую G-инвариантную функцию на М вида

u = f (х) = й(£, т)(х), /г(-п (х))). (3.4)

Обратно, если u = f(x)—произвольная G-инвариантная функция на М, то не слишком трудно показать, что обязательно существует функция у = А (у), такая, что / и соответствующая функция (3.4) локально совпадают. Таким образом, мы видим.

как G-инвариантность функций служит для уменьшения числа переменных, от которых они зависят.

Нас интересует теперь, как найти все G-инвариантные решения некоторой системы уравнений с частными производными

Av (х, н(п)) = О, v = 1L

Иными словами, мы хотим узнать, когда функция вида (3.4), соответствующая функции и = й (у), будет решением системы А. Это будет налагать определенные ограничения на функцию к; они основаны на вычислении формул для производных функции вида (3.4) по х через производные функции и = к(у) по у и подстановке их в систему дифференциальных уравнений А. Таким образом, нам нужно знать, как связаны производные функций о = к (у) с производными соответствующей G-инвариантной функции w = f(x). Нужно просто применить цепное правило. Дифференцирование (3.4) по х приводит к системе уравнений вида

ди 3 ,. .,36 . 36 Зт) . 36 dv Зт)

-67 = ^6^, У, v)l= +"57 зГ-

поскольку у = т](х). Здесь ди/дх и т. д. обозначают матрицы Якоби производных первого порядка указанных переменных. Кроме того, используя (3.2), мы можем переписать дч\,дх через у и параметрические переменные х. Таким образом, мы получаем уравнение вида

ди[дх = Ьх^х, у, и, ди)ду\

выражающее производные первого порядка произвольной G-инвариантной функции и по х через у, и, первые производные от и по у и параметрические переменные х. Продолжая дифференцировать, используя цепное правило и подставляя там, где это нужно, (3.2), мы приходим к общей формуле

M(n) = 6(n)(A У, v(n))

для всех производных таких функций и по х до порядка п включительно, выраженных через у, и, производные от и по у до порядка п включительно и вездесущие параметрические переменные х. Сейчас стоит рассмотреть характерный пример.

Пример 3.1. Рассмотрим однопараметрическую группу растяжений

(х, t, ы)н-»(Лх, Kt, ы), ZeR+,действующую на XX И ~ R3. На верхней полуплоскости М == V > 0} действие регулярно, причем глобальные независимые

инварианты — это у = xft и v = и. Если мы считаем и функцией от у, мы можем получить формулы для производных от и по х и t, выраженных через у, и и производные от и по у вместе с единственной параметрической переменной, которую мы обозначаем t, так что х будет соответствующей главной переменной. Мы получаем, пользуясь цепным правилом, что если и = и = и (у) = и (x/Z), то

их = t-1uy, щ = —Рхие = —1~хууу.

Дальнейшее дифференцирование приводит к формулам для произведения второго порядка

^хх = ^ 2^»е» ^xt ~ ^ 2(УУ»»~ЬУ»)> ^tt = ^ 2 (у2ууу ~Ь 2уиу)

(3-5)

И т. д.

Раз соответствующие формулы, связывающие производные от и по х с производными от и по у, уже получены, редуцированная система дифференциальных уравнений для G-инвариантных решений системы Д получается подстановкой этих выражений в систему там, где они встречаются. В общем случае это приводит к системе уравнений вида

Av (х, у, vM) = О, т = 1, ..., Z,

содержащей еще параметрические переменные х. Если G— на самом деле группа симметрий для системы Д, эта полученная система будет фактически всегда эквивалентна системе уравнений, обозначаемой

(A/G)v (у, и<п)) = 0, v = 1, ..., Z, которая не зависит от параметрических переменных и, таким образом, действительно представляет собой систему дифференциальных уравнений относительно и как функции от у. Это и есть редуцированная система Д/G для G-инвариантных решений системы Д. Каждое решение v = h (у) системы Д/G будет ввиду (3.4) соответствовать G-инвариантному решению системы Д, и, более того, каждое G-инвариантное решение может быть построено таким образом.

Пример 3.2. Одномерное волновое уравнение и» — ихх = 0 инвариантно относительно группы растяжений, описанной в примере 3.1. Чтобы построить соответствующие инвариантные относительно растяжений решения, нам нужно лишь подставить формулу для производных (3.5) в волновое уравнение и решить

полученное обыкновенное дифференциальное уравнение. После подстановки мы получаем уравнение

t"2 (У2иВа + 2уив - и^ - 0.

Как и обещает общая теория, это уравнение эквивалентно уравнению

(У2 — 1) vee + 2упу = 0, в котором отсутствует уже параметрическая переменная t. Это последнее обыкновенное дифференциальное уравнение является редуцированным уравнением для инвариантных относительно растяжений решений волнового уравнения. Оно легко интегрируется. Его общее решение —

v = clog|(y— 1)/(у+ 1)1 + с',

где с, с' — произвольные постоянные. Заменяя переменные у, и в решении на их выражения через х, t, и, мы получаем общее инвариантное относительно растяжений решение волнового уравнения (для рассматриваемой группы симметрий растяжений)

и = с log| (х — ОКх + 01 + с'.

Для удобства читателя мы приводим ниже основные вычислительные процедуры для нахождения инвариантных относительно группы решений данной системы уравнений с частными производными с самого начала. Мы перечисляем шаги по порядку, начиная с вычисления группы симметрии.

Находим все инфинитезимальные образующие v групп симметрий системы, пользуясь основными методами продолжения гл. 2, в частности инфинитезимальным критерием (2.25).

Выбираем «степень симметрии» s инвариантных решений. Здесь 1 ^ s ^ р будет соответствовать размерности орбит некоторой подгруппы полной группы симметрий. Редуцированные системы дифференциальных уравнений для инвариантных решений будут зависеть от р—s независимых переменных. Таким образом, чтобы свести систему уравнений с частными производными к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, нам нужно выбрать s = р— 1. Вообще говоря, чем меньше s, тем больше будет инвариантных решений, но тем труднее будет найти точное решение редуцированной системы A/G.

Находим все s-мерные подгруппы G полной группы симметрий, найденной в п. I. Это эквивалентно (теорема 1.51) нахождению всех s-мерных подалгебр полной алгебры Ли инфинитезимальных симметрий V. Каждой такой подгруппе или подалгебре будет соответствовать множество инвариантных от-

носительно группы решений, отражающее симметрии, присущие самой группе G. Задача классификации подалгебр данной алгебры Ли будет рассмотрена в деталях в § 3.3. (В принципе s-мерная подгруппа G может иметь орбиты размерности меньше s, и, как мы отмечали ранее, размерность орбит как раз имеет значение. Практически, однако, этот вид вырождения встречается редко, так что мы можем довольствоваться фиксацией размерности подгруппы.)

Фиксировав группу симметрий G, мы строим полное множество функционально независимых инвариантов, как в § 2.1, которые мы делим на два класса

(3.6)(3.6)у* = Т]1 (х, и), . . ., yp~s= T]p-S (х, и).

(3.6)

(3.6)

и‘ = ^(х, и), .... у9 = ^(х, м).

отвечающие новым независимым и зависимым переменным соответственно. Если G действует проектируемо, выбор независимых и зависимых переменных предписывается требованием, что тр не зависят от и; в более общем случае имеется не так уж мало свободы в этом выборе, и разные выборы приведут к существенно различным на вид редуцированным системам, но все они связаны некоторыми преобразованиями типа преобразования годографа.

Если G действует трансверсально (ср. предложение 3.37), мы можем разрешить (3.6) относительно р—s переменных х, которые мы обозначаем через х, и всех переменных и, выразив их через у, и и s оставшихся параметрических переменных х:

х = у(А, у, у), м = 6(£, у, о). (3.7)

Далее, рассматривая у как функцию от у, мы можем воспользоваться формулами (3.6), (3.7) и цепным правилом дифференцирования и тем самым найти выражения для производных по х от любой G-инвариантной функции и через у, у, производные о по у и параметрические переменные Л:

^ = ^^ у, у(п)). (3.8)

Подставляем выражения (3.7), (3.8) в систему А(х, «(”>) = 0. Полученная система уравнений всегда будет эквивалентна системе дифференциальных уравнений относительно u = h^yV не зависящей от параметрических переменных х:

A/G(y, у(">) = 0. (3.9)

На этом шаге мы построили редуцированную систему дифференциальных уравнений для G-инвариантных решений.

Решаем редуцированную систему (3.9). Каждому решению u = h^ системы А/G соответствует G-инвариантное решение u = f (х) исходной системы, которое неявно задается соотношением

£(х, и) = Л[т](х, и)]. (3.10)

Повторяя шаги с IV по VII для каждой группы симметрий G, определенной на шаге III, мы получим полное множество Инвариантных относительно группы решений для нашей системы.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЙ, ИНВАРИАНТНЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО ГРУППЫ

Прежде чем приступить к доказательству того, что описанная в предыдущем параграфе процедура построения инвариантных относительно группы решений работает, мы проиллюстрируем этот метод несколькими систематическими примерами, в которых строятся инвариантные относительно группы решения для уравнения Кортевега— де Фриза, уравнения теплопроводности и уравнений Эйлера. Эти примеры естественным путем приведут нас к задаче о том, как классифицировать инвариантные относительно группы решения таким образом, чтобы найти «все» такие решения с минимальными вычислительными трудностями. Но прежде чем обращаться к этому вопросу, мы рассматриваем примеры.

Пример 3.3. Уравнение теплопроводности. Группа симметрий уравнения теплопроводности

Н( = ихк

была вычислена в примере 2.41; она состоит из шестипараметрической группы симметрий, присущей самому уравнению теплопроводности, плюс бесконечномерная подгруппа, проистекающая из линейности этого уравнения. Каждой однопараметрической подгруппе полной группы симметрий будет соответствовать класс инвариантных относительно группы решений, который будет получаться из редуцированного обыкновенного дифференциального уравнения, вид которого, вообще говоря, будет зависеть от рассматриваемой конкретной подгруппы.

Бегущие волны. Вообще, решения вида бегущей волны у уравнения с частными производными появляются как специальные инвариантные относительно группы решения, когда рассматриваемая группа является группой сдвигов в пространстве независимых переменных. В настоящем примере рассмотрим группу сдвигов

(х, t, и) I—> (х + се, / + е, u), е е R,

порожденную образующей dt + сдх, где с — фиксированная постоянная, которая будет определять скорость волн. Глобальными инвариантами этой группы являются

у = х— ct, v — u,(3.11)

так что инвариантное относительно группы решение v = h(y) имеет привычный вид u = h(x— с/), определяющий волну неизменного профиля, движущуюся с постоянной скоростью с. Выражая производные от и по х и t через производные от у по у, мы находим

Ut= CVg, Нх = Уд, UXX = Ugg

и т. д. Подставляя эти выражения в уравнение теплопроводности, мы находим редуцированное обыкновенное дифференциальное уравнение для бегущих волн:

суу = Ууу

Общее решение этого линейного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид

у (у) = ke~cy +I,

где Л, / — произвольные постоянные. В исходных переменных в соответствии с (3.11) мы находим наиболее общий вид бегущей волны волнового уравнения. Это экспонента

и (х, /) = ke~c ^х-с^ +1.

Решения, инвариантные относительно растяжений. У волнового уравнения имеются две однопараметрические группы симметрий растяжения. Рассмотрим линейную комбинацию

xdx + 2tdt + 2аиди, се R,

их инфинитезимальных образующих, соответствующую группе растяжений

(х, t, ы)н^(Лх, Л/, ^“uY ^eR+.

На полупространстве {(х, t, и): / > 0} глобальными инвариантами этой однопараметрической группы будут функции

у = х(^1, u = t~°u.

Выражая производные от и через производные от у, получаеми = t°u,

,a—lf2.а—1

UX = t ' Vg, Uxx = t Vgg,

Здесь мы обращаемся с / как с параметрической переменной и с успехом выражаем соответствующие производные от и по х и t через у, и, производные от у по у и параметрическую переменную t, как в (3.8).

Подставляя эти выражения в уравнение теплопроводности, получаем

/а~'ууу = ^' (~~^Ууу + ауУ

Как гарантирует нам общая теория, это уравнение эквивалентно уравнению, в котором отсутствует параметрическая переменная /, а именно

Ууу + ^-Ууи — 09 = °.

Это уравнение представляет собой редуцированное уравнение для инвариантных относительно растяжений решений. Решения этого линейного обыкновенного дифференциального уравнения можно записать через функции параболического цилиндра. В самом деле, если положить

w = и exp ^ у2),

то w удовлетворяет дифференциальному уравнению Вебера

®уу = [(о + т) + -^У2]гу-

Общее решение этого уравнения имеет вид

w^-kU^ + l-, -^ + iv(2a + X -^),

где U(b, z), V(b,z)—функции параболического цилиндра, ср. Abramowitz, Stegun [1; § 19.1]. Таким образом, общее инвариантное относительно растяжений решение уравнения теплопроводности принимает вид

“и. /) - Л-«“ {w(2a+ ± -^J + «' (2- + у. ^7

Некоторые значения а приводят к специальным инвариантным решениям, выражающимся через элементарные функции. Например, при а = О мы получаем решение

и (х, 0 = к* erf (xly/^i) + к*.

где erf — функция ошибок. Поскольку U (—п—^, z) = = e-z?1* Н„ (z), где Н„ есть п-й многочлен Эрмита, при а =

= —(п + 1)/2 мы получаем решения

„(х, t) = r<n+nVwtHnU№t\

которые включают функцию источника (п = 0). Аналогично, соотношение V (и + 1/2, z) = V^ егЧ4 Н» (z), где Н» (z) = = (—г)" Нп (zz), приводит к так называемым многочленам теплопроводности (см. Widder [1])

х, х2+2/, х3 + 6х/ и т. д., являющимся инвариантными относительно растяжений решениями специального вида.

Решения, инвариантные относительно преобразований Галилея. Однопараметрическая группа преобразований Галилея, порожденная векторным полем vg = 2/дх ■— хиди, обладает глобальными инвариантами у = t, о = и ехр (х2/4/) на верхней полуплоскости {/ > 0}. Мы получаем

X1 X -хЧ«( х11 X -х^М

иу+1/8у)е’ “**\ 4Z22Z ) Уе •

Поэтому для уравнения теплопроводности редуцированное уравнение для решений, инвариантных относительно преобразований Галилея, — обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка 2уим -]- и = 0, несмотря на то что уравнение теплопроводности было уравнением с частными производными второго порядка. Его решение: u(y) = fc/Vy- Следовательно, наиболее общее инвариантное относительно преобразований Галилея решение пропорционально функции источника

/А к -хЧии (х, /) = е ,Nt

которую мы нашли раньше как решение, инвариантное относительно растяжений. Таким образом, одно и то же решение может быть инвариантным относительно разных подгрупп полной группы симметрий.

Очевидно, мы можем расширить этот список инвариантных относительно группы решений, рассматривая однопараметрические подгруппы, полученные из более общих линейных комбинаций инфинитезимальных образующих полной группы симметрий. Однако сейчас без какого-либо представления о классификации этих решений продолжать бессмысленно. Когда мы опишем корректную классификационную процедуру, мы вернемся к этому вопросу и найдем (в некотором смысле) наиболее общее инвариантное относительно группы решение уравнения теплопроводности. См. пример 3.17.

Пример 3.4. Группа симметрий уравнения Кортевега— де Фриза

И( -|- иххх -|- иих = О

была вычислена в примере 2.44. Рассмотрим соответствующие решения, инвариантные относительно группы.

Бегущие волны. Здесь группа — та же група сдвигов, рассмотренная уже в предыдущем примере. Выраженное через инварианты у = х — ct, и = и редуцированное уравнение имеет вид

иУУ9 + vuti - СУу = 0.

Его сейчас же можно один раз проинтегрировать:

иду + -^- у2 — си = ^.

Второе интегрирование осуществляется после умножения на ив:

-^-yy = —^-u3 + -^-cu2 + feu + l,(3.12)

где к и I— произвольные постоянные. Общее решение можно записать через эллиптические функции: м = ^(х— ct + 6), где 6 — произвольный сдвиг фазы. Если м^-0 достаточно быстро при |х|-*-оо, то в (3.12) к = I = 0. Это уравнение имеет вещественные решения

и = Зс sch2 ^ ^с у + б],

если скорость с волны положительна. Они дают знаменитые «односолитонные» решения

и (х, /) = Зс sch2 ^ Vе (х — с0 + б]

уравнения Кортевега — де Фриза. (При с = 0 мы также получаем стационарное решение и — —12(х + 6)-2 с особенностью.) Более общо, если мы требуем лишь, чтобы функция и была ограничена, мы получаем периодические «кноидальные волны»

и (х, 0 = а сп2 [А (х — с/) + б] + т,

где сп — якобиева эллиптическая функция модуля к = = V(r3 —r2)/V(r3 —n), G = r3 —г2, Л = V(r3 — r^/6, m = r2, где ri < г2 < г3 — корни кубического многочлена, стоящего в правой части (3.12).

Решения, инвариантные относительно преобразований Галилея. Рассмотрим, далее, однопараметрическую группу пре-

образований Галилея, порожденную полем tdx + ди. Здесь при t > 0 независимыми инвариантами являются у = / и у = tu— х, откуда получаем

и = у-цх_\_уу их = у~\ иххх = 0, ut = y-2^yy — y — x\

где х — параметрическая переменная. Редуцированное уравнение— это просто dv/dy =0, так что общее галилеево-инвариантное решение имеет вид и = (х + б) //, где б — произвольная постоянная.

Более интересный класс решений с галилеево-подобной инвариантностью можно получить добавлением к этой группе сдвигов по времени. Образующая tdx + adt + ди, а ^ 0, имеет глобальные инварианты

у = хbt2, у = и — Ы,

где b = \/а. Тогда

u = y-Vbt, их = Уу, иххх = УууУ, ut = —btUy + b, так что редуцированное уравнение имеет вид

vByy + vyy + b = 0.

Оно интегрируется один раз и приводится к уравнению второго порядка

Ууу + 4" °2 + ЬУ + с = °’

известному как Пенлеве-I. Его решения v = h(y) мероморфны на всей комплексной плоскости, но являются существенно новыми функциями, не выражающимися через стандартные специальные функции. Соответствующие решения уравнения Кор- тевега — де Фрнза имеют вид

и (х, 0 = h (х —4^0 + ^-

Автомодельные решения. Рассмотрим, наконец, группу симметрий растяжения

(х, 1, н) >—> (Лх, ХЧ, К~2и).

Инвариантами на верхнем полупространстве {/ > 0} являются

,-1/3,2/3

y = t х, v — t и.

Мы находим

их = Г'ун, иххх = Г^Уууу, ut = — ^-t~^(yvy + ‘lv),

так что редуцированное уравнение имеет вид

I12 л

Уууу + УУу - -у-уУу - -у У = 0.

Отнюдь не очевидно, как решить это обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка непосредственно. Однако, основываясь на преобразовании, открытом Миурой (Miura [1]) для самого уравнения Кортевега— де Фриза (см. упр. 5.11), положим

dw 1 оU = —;

Уравнение для w имеет вид

0 = ^уууу ~ 4" ™™ууу ~ТШ^~Т ™wyy + it ^у “

1l 12I 12

-T^yy + T^^y-T^y +=

= (^y — T^) (^yy -T^y-T^y-T^)-

Поэтому каждое решение «модифицированного» уравнения третьего порядка

211Л

^ууу - T^v ~= 0

приводит к автомодельному решению уравнения Кортевега — де Фриза при указанном преобразовании. Выписанное выше уравнение можно один раз проинтегрировать:

®уу = Т8 ^+т^ + Л’

где к — некоторая постоянная. Это уравнение, называемое Пен- леве-П, обладает свойствами, аналогичными свойствам первого из уравнений Пенлеве. См. Ince [1], где обсуждается классификация этих уравнений.

Пример 3.5. Для уравнений Эйлера трехмерного течения идеальной несжимаемой жидкости

(3.13)(3.13)u( + и • vu = —vp>

(3.13)

(3.13)

V • u = 0

имеются четыре независимые переменные х = (х, у, z) и /, так что мы можем обсуждать решения, инвариантные относительно одно-, дву- и трехпараметрических подгрупп полной группы симметрий, полученной в примере 2.45. Здесь мы рассмотрим не-

сколько таких подгрупп, приводящих к решениям, представляющим физический или математический интерес. Во всех случаях группа будет содержать однопараметрическую подгруппу одного из двух видов: независимые от времени сдвиги в фиксированном направлении, которое мы можем считать осью z, или вращения вокруг фиксированной оси, в качестве которой мы снова можем взять ось Z.

Решения, инвариантные относительно сдвига. Для решений, инвариантных относительно группы сдвигов, порожденной полем dz, трехмерные уравнения Эйлера (3.13) сводятся к их двумерному варианту (эти уравнения имеют тот же вид, но и = (и, и), р зависит только от х = (х, у), О и уравнению

wt + uwx + vwv = 0(3.14)

для вертикальной компоненты скорости, которое можно проинтегрировать, решая уравнение для характеристик dt = dx/u = = dy/v. Конечно, двумерные уравнения Эйлера продолжают оставаться слишком трудными, чтобы найти их точное решение, так что мы рассматриваем решения, инвариантные относительно второй однопараметрической группы.

Для группы Gp сдвигов, зависящих от времени, порожденной полем vP = pdy + р/дв — $иудр, р (/) ^ 0, инварианты даются следующими функциями:

t, х, й = и, u = y — $t[^y, Р = Р + ^{М^)У2,

где t, х—независимые переменные. Редуцированная система й( + ййх = — рх, vt = uvx + (Pf/P) и = 0, йж + (Pt/P) = О (3.15)

быстро решается:

й = [—р(х + aj/р, и = h (Рх — а)/р,

р=[(4 рр» - рО *2+^р<а< - Р°»)х+Т]/Р2’

где о(/), т(/) — произвольные функции от /, a h — произвольная функция от единственного инварианта р(/)х — a(t) для второго уравнения системы (3.15). Таким образом, мы получаем Gp-инвариантное решение

и = [—Pt^ + ст J/Р. у = [Pf ^ + h (Рх — а)]/р,

р = [(тРР» - Р2)х - 4 РР*^2 + <2Р^< ~ Р0^х + т]/р2

двумерных уравнений Эйлера. В частности, если р(/) = 1, мы можем найти точное решение (3.14) и получить, что

9 П. Олвер

u = ot, v = h(x — оУ)), w — H(x— о (/), у — th (х — <т(/))),Р = —СцХ + т (/)

— трехмерное решение, инвариантное относительно группы сдвигов по направлениям у и z. (Здесь <?(/), т(/), /г(|), H^.q)— произвольные гладкие функции.)

Хотя выше определены все решения двумерных уравнений Эйлера, инвариантные относительно группы, порожденной vp, поучительно посмотреть, что происходит, если мы пытаемся найти более специализированные решения, инвариантные относительно двупараметрической группы, порожденной полем vp и полем va = адЛ + оцди — аихдР. Инвариантами являются

й = и — (at/a) х, у = у — (0,/Р) У* P = P-V V^tt!^ х2 + (Рц/2р) у2.

Это функции от одной оставшейся независимой переменной L Редуцированная система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид

Щ + («</«) й = 0 = vt + (Р,/Р) 5(3.16а)

плюс условие нулевой дивергенции

(«,/«) +(Р,/Р) = О.(3.16b)

Важный момент здесь состоит в том, что если а(/) не равно ^/Р(0 ни для какой постоянной к, то (3.16b) выполняться не может, и редуцированные уравнения не имеют решений. Иными словами, вообще говоря, нет никаких гарантий, что редуцированная система дифференциальных уравнений для некоторой группы симметрий будет совместна, и, следовательно, нет никаких гарантий, что такие решения существуют.

Решения, инвариантные относительно вращений. Для группы вращений вокруг оси г, порожденной векторным полем ■—удх + хдИ — иди + иду, инвариантами являются г = = Vx2 + У^ * z, h Р и цилиндрические компоненты скорости й = = и cos 6 + и sin 0, у = —и sin 6 + у cos 6, w = w. Гедуцирован- ные уравнения имеют вид

ut-V-uftr + wuz — r-ty2=—pr,

ut-\-uur + wuz + г~Ь1о = 0,(3.17)

W, + UW, + W®z= —pz,

(ru)r + (rw)2 = 0,

cp. Berker [1]. Если мы, кроме того, предположим инвариантность относительно сдвигов д2, то й, у, w, р не зависят от z, и

поэтому мы можем точно решить (3.17):

A = Gtlr, и==г-,й^г2— о(0]. w = h ^ г2 — ст (0],

г

Р = — Oft In г — -^ r-Vt + ^ s^h [-^- s2 — ст (О]2 ds + т (/),о

где ст(/), т(/) и h^, R^)— произвольные функции. Это наиболее общие решения, зависящие только от t и цилиндрического радиуса г.

Рассмотрим решения, полностью инвариантные относительно вращений, т. е. инвариантные относительно всей группы 50(3). Хотя группа 50(3) действует проектируемо на R3X R3: (х, и)ь-> ^-^(Дx, Дп), Де 50(3), и регулярно с трехмерными орбитами на любом открытом подмножестве пространства R3 X R3, проекция действия группы хь->Дх на R3 имеет лишь двумерные орбиты. В этом случае условия трансверсальности (3.34) нарушаются и мы не в состоянии построить редуцированную систему А/5О(3). Другой способ увидеть это — рассмотреть инварианты группы 50(3), которыми являются t, |х|, x-u, |и|, р, и заметить, что для осуществления процедуры редукции слишком много независимых и слишком мало зависимых переменных. Таким образом, 50(3)-инвариантных решений не существует.

В качестве последнего примера рассмотрим систему (3.17) эйлеровых уравнений в цилиндрических координатах. Эта система обладает несколькими группами симметрий, и большинство из них происходят из групп симметрий полных уравнений Эйлера (3.13). Имеется, однако, одна дополнительная образующая у* = г-2 (и-1дб — др), которая не происходит из симметрии уравнения (3.13)! Таким образом, редукция системы А с помощью известной группы симметрий G может привести к системе Д/G, обладающей дополнительными свойствами симметрии, которых не было у исходной системы. Рассмотрим решения, инвариантные относительно однопараметрической группы, порожденной инфинитезимальной образующей dt — v* инвариантами которой являются г, z, й, w, со = г2у2/2+ t, q = p— r~4. Они удовлетворяют редуцированной системе

(3.18)(3.18)ййг + wtlz — 2r~3to = —qr,йтг + wto2 = 1,

(3.18)

(3.18)

Rwr + tiytjyz = —qz,И)г + (п®), = 0.

Эта система, вообще говоря, все еще слишком сложна, чтобы решать ее; однако, следуя Капитанскому [1], мы будем искать решение в виде

Й = Й (г), (0 = 6) (г), W = | (г) 2 + Т] (г).

Из первого и последнего уравнений (3.18) вытекает, что

| = —й, — г~’й, qr = —ййг + 2г-3(о.

Дифференцируя третье уравнение по г, мы находим условие совместности

0 = —qr2 = (ug, + g2), z + (йцг + gi])r;

следовательно, wgr + g2 = k, йтр + gi] = I — константы. Пользуясь предыдущей формулой для g, мы находим, что й должно удовлетворять обыкновенному дифференциальному уравнению

иигг — иг — г ииг — 2г и + к = 0.

Это уравнение допускает двупараметрическую группу симметрий, порожденную векторными полями w = rd, + иди, у/=г~'дг— — г-2йдй и, следовательно, может быть проинтегрировано с помощью методов § 2.5. При к < 0 имеем

й (г) = ar-1 ch (br2 + б),

а, Ь, 6— произвольные постоянные, следовательно, m(r)=_jSde^!±»>, iH-^sh^ + s).

9 (г, а) = —^-kzz — 1г —[Л (г)]2 4- ( 2s-эш (s) ds.

Го

и из последнего уравнения (3.18)

^ (г) = —26sh(6r2 + б),

и / = —4а62. Таким образом, общее решение имеет вид

й = й(г), 6 = r_,V2to(r) — 2/, w = g (г) 2 + т] (г),р =/г~2 + <7 (г, z),

где й, со, g, т], q такие, как выше. Капитанский замечает, что, поскольку б задается квадратным корнем, из этих решений можно получить решения уравнений Эйлера в цилиндрических областях, «взрывающиеся» за конечное время (|Vu|->oo), даже

хотя нормальная компонента и на границе гладка для всех t. Причина, конечно, состоит в том, что особенность (о(г)=/ можно устроить так, что она будет проходить границу, не затрагивая нормальную компоненту и. (Поведение аналогичного рода можно получить и для более простых решений, инвариантных относительно сдвигов.) Это наблюдение поэтому не решает известную задачу о том, могут ли за конечное время появиться особенности у гладких решений трехмерных уравнений Эйлера.

КЛАССИФИКАЦИЯ РЕШЕНИИ, ИНВАРИАНТНЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО ГРУППЫ

Вообще говоря, каждой s-параметрической подгруппе Н полной группы симметрий G системы дифференциальных уравнений от р > s независимых переменных будет соответствовать семейство решений, инвариантных относительно группы. Поскольку почти всегда имеется бесконечно много таких подгрупп, обычно невозможным оказывается перечислить все решения системы, инвариантные относительно группы. Нам нужны эффективные систематические средства классификации этих решений, приводящие к «оптимальной системе» инвариантных относительно группы решений, из которой можно было бы получить любое другое такое решение. Поскольку элементы g е G, не принадлежащие подгруппе Н, будут переводить //-инвариантное решение в решение, инвариантное относительно некоторой другой группы, в нашей оптимальной системе нужно будет перечислить только те решения, которые не связаны между собой таким способом. Основной результат следующий:

Предложение 3.6. Пусть G — группа симметрий системы дифференциальных уравнений А, и пусть HeG есть s-параметрическая подгруппа. Если и = Цх?) есть G-инвариантное решение системы А и g е G — любой элемент группы G, не содержащийся в Н, то преобразованная функция и = f(x) = g-f(x) является R-инвариантным решением, где R = gHg~x — подгруппа, сопряженная с подгруппой Н при помощи элемента g.

Доказательство непосредственно следует из упр. 2.3, если в качестве инвариантного подмножества взять график Ff. Как следствие этого результата задача о классификации решений, инвариантных относительно группы, сводится к задаче о классификации подгрупп полной группы симметрий G относительно сопряжения. Таким образом, нам нужно подробно изучить отображение сопряжения ht—^ghg~x на группе Ли, после чего мы вернемся к нашей исходной классификационной задаче.

Присоединенное представление

Пусть G — группа Ли. Для каждого g G 6 сопряжение Kg (А) = ghg~\ h е G, определяет диффеоморфизм группы G. Кроме того, Kgo Kg- = Kgg-, Ке = ^а, так что Kg определяет глобальное действие группы G на себе, причем каждое отображение сопряжения Kg является групповым гомоморфизмом: Kg{hh')= Kg(h) Kg(h') и т. д. Легко видеть, что дифференциал dKg : TG V^-TG lKg(ft) сохраняет правую инвариантность векторных полей и, следовательно, определяет линейное отображение на алгебре Ли группы G, называемое присоединенным представлением:

MgM = dKgW, veg.(3.19)

Заметим, что присоединенное представление дает линейное глобальное действие группы G на алгебре д:

Ad (g • g') = Adg • Adg', Ade=t

Если veg порождает однопараметрическую подгруппу H = = (exp(ev): е е R}, то в силу (1.22), как легко видеть, Ad g(v) порождает сопряженную однопараметрическую подгруппу Kg(H) = gHg-1. Это замечание легко обобщить на подгруппы высших размерностей, пользуясь тем фактом, что они полностью определяются своими однопараметрическими подгруппами.

Предложение 3.7. Пусть Н и R— связные s-мерные подгруппы Ли группы Ли G, I) и 6— соответствующие подалгебры Ли алгебры Ли g группы G. Тогда R = gHg~x— сопряженные подгруппы, если и только если 1) — Adg(J))— сопряженные подалгебры.

Присоединенное представление группы Ли на ее алгебре Ли часто бывает легче построить ио ее инфинитезимальным образующим. Если v порождает однопараметрическую подгруппу {exp(ev)}, то мы определяем adv как векторное поле на д, порождающее соответствующую однопараметрическую группу присоединенных преобразований:

adv| =^| Ad(exp(ev))w, w е g. (3.20) w Ie=o

Основной факт состоит в том, что инфинитезимальное присоединенное действие согласовано со скобкой Ли на д:

Предложение 3.8. Пусть G ^ группа Пи с алгеброй Лиц. Для каждого v Eg присоединенный вектор adv в weg равен

adv|w = [w, v] = —[v, w], (3.21) где мы воспользовались отождествлением касательного пространства Тц |w в w с самой алгеброй д, поскольку g— векторное пространство.

Доказательство. Мы отождествляем g ^ TG | е. Пользуясь (3.20), определением (3.19) присоединенного представления и правой инвариантностью вектора w, мы находим

ad v | = lim 4- {^^exP(ev) [w LI - w L) =e->0 6

= IS "T Vй eXP (ev) [W Lxp (-ev)J - W L}'

Если заменить e на —e, то последнее выражение получится таким же, как в определении (1.57) производной Ли от w по v, так что (3.21) следует из предложения 1.64. □

Замечание. В литературе обычно присоединенное отображение adv|w имеет другой знак: +[v, w]. Причина в том, что мы выбрали в гл. 1 правоинвариантные векторные поля для определения алгебры Ли вместо более традиционных левоинвариантных векторных полей. Причины такого выбора обсуждались в упр. 1.33. В этой книге мы постоянно будем пользоваться формулой (3.21) для инфинитезимального присоединенного действия.

В случае когда GczGL(n)—матричная группа Ли с алгеброй Ли gc gl(n), эти формулы особенно легко проверить. Поскольку Ка (В) = АВА-1, где А, В е G — матрицы размера п X п, присоединенное отображение также задается сопряжением:

Ad Л(Х) = АХ A-1, AeG, Хец.

Полагая А = eEY, У eg, и дифференцируя по е, мы получаем a4Y\x = YX-XY = VX, У], что совпадает со скобкой на gl(n).

Пример 3.9. Пусть G = SO(3)—группа вращений в R3. Алгебра Ли ео(3) натянута на матрицы

(

0 О 0\/ 0 0 1 \/0-10\

0 0—11,4^ = 1 000],Az = 100 1,

0 1 о/X—1 о о/хооо/

порождающие однопараметрические подгруппы

(

100 \/ cos 6 0 sin 6

0 cos 6 — sin 6 I, /?е = I 01 0

0 sin 6cos 6/х—sin 6 0 cos 6

(

cos6 — sin 6 0

sin 6 cos 6 0

001

вращений вокруг координатных осей против часовой стрелки. Присоединенное действие, скажем, Re на образующую Аи можно найти, дифференцируя произведение RqR^R^q по е и полагая затем е =0; мы получаем

'0

— sin 6

cos6\

Ad^(Ay) = [

sin 6

0

0 1 = cos 6 • Ay + sin 6 • A

V — cos 6

0

0 /

и, аналогично,

Ad Re (А2) = —sin 6 - Ау + cosO - Az.Ad Re (А2) = —sin 6 - Ау + cosO - Az.Ad/?e(Ax) = Ах,

Ad Re (А2) = —sin 6 - Ау + cosO - Az.

Ad Re (А2) = —sin 6 - Ау + cosO - Az.

Таким образом, присоединенное действие подгруппы Re вращений вокруг оси х в физическом пространстве такое же, как и группы вращения вокруг оси Ах в пространстве алгебры Ли so(3). Аналогичные замечания применяются и к другим подгруппам, так что если R е SO(3)—произвольная матрица вращения в данных координатах (х, у, z) в R3, то ее присоединенное отображение Ad R, действующее на 5о(3)~ R3, имеет то же матричное представление R в индуцированном базисе {Ах, Ау,А2}. (Тот факт, что присоединенное представление группы SO(3) согласовано с ее естественным физическим представлением, случаен и не справедлив для других матричных групп Ли.) Наконец, инфинитезимальные образующие присоединенного действия получаются дифференцированием; например,

что совпадает с коммутатором

[Лу, АХ\ = АХАУ- АуАх = А\

Обратно, если нам известно присоединенное действие adg алгебры Ли g на себе, мы можем построить присоединенное представление Ad G соответствующей группы Ли, либо интегри-

руя систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений

^- = ad v |w, w (0) = w0,(3.22)

с решением

w (е) = Ad (exp (ev)) w0, либо (возможно, это более простой способ) суммируя ряды Ли (ср. (1.19)):ю‘

Ad (exp (ev)) w0 = £ -^- (ad v)" (w0) = n=0

= w0 —e[v, wol+-^-[v, [v, Wo]]—... . (3.23)

(Сходимость ряда (3.23) следует из того, что (3.22) — линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений, для которой (3.23) — соответствующая матричная экспонента.)

Пример ЗЛО. Алгебра Ли, натянутая на векторы vi = дя, v2 = дь v3 — tdx + ди, V4 = хдк + 3tdt — 2иди, порождает группу симметрий уравнения Кортевега— де Фриза. Чтобы вычислить присоединенное представление, мы воспользуемся рядами Ли (3.23). Например,

Ad (exp (ev2)) v4 = v4 — е [v2, v4] + 4 c2 lv2- lv2, v4]] — ... =

= v4 — 3ev2.

Таким образом мы строим таблицу

Ad

V1

v2

v3

v4

V|

V|

V2

v3

v4 — evi (3.24)

V2

Vi

v2

V3 — 8V|

v4— 3ev2

v3

Vi

v2 + evi

v3

v4+ 2ev3

3e

-26

v4

e vi

e v2

e v3

V4

где на (z,

/) -M месте

указано Ad(exp(ev,))v/.

Классификация подгрупп и подалгебр

Определение 3.11. Пусть 6 —группа Ли. Оптимальная система s-параметрических подгрупп — это список неэквивалентных относительно сопряжения s-параметрических подгрупп, об-

ладающий тем свойством, что всякая другая подгруппа сопряжена в точности одной группе этого списка. Аналогично, список s-параметрических подалгебр образует оптимальную систему, если каждая s-параметрическая подалгебра алгебры g эквивалентна единственному члену этого списка посредством некоторого элемента присоединенного представления: I) = Adg(I)), g ^ G.'

Предложение 3.7 утверждает, что задача отыскания оптимальной системы подгрупп эквивалентна задаче отыскания оптимальной системы подалгебр, и поэтому мы сосредоточимся на последней. К сожалению, эта задача может остаться слишком сложной, и на этот раз инфинитезимальная техника, видимо, не будет очень уж полезной.

Для одномерных подалгебр эта классификационная задача в сущности то же самое, что задача классификации орбит присоединенного представления, поскольку каждая одномерная подалгебра определяется ненулевым вектором из алгебры д. Хотя для алгебр Ли с дополнительной структурой применима некоторая изощренная техника, мы приступаем к этой задаче с помощью наивного подхода, состоящего в том, что мы берем общий элемент v из g и подвергаем его различным присоединенным преобразованиям так, чтобы «упростить» его настолько, насколько это возможно. Приведем два иллюстративных примера.

Пример 3.12. Рассмотрим алгебру g симметрий уравнения Кортевега — де Фриза, присоединенное представление которой было описано в примере 3.10. Наша задача — упростить, насколько возможно, коэффициенты а, данного ненулевого вектора

v = OiVj + OaVs + n3v3 + a4v4 посредством разумных применений к v присоединенных отображений.

Предположим сначала, что а4#=0. Растянув, если нужно, вектор v, мы можем считать а4 = 1. В соответствии с таблицей (3.24), если на такой вектор подействовать преобразованием Ad (exp (—a3v3^, мы можем сделать коэффициент при v3 нулем:

V = Ad (exp ( - - j- a3v3)) v = a^v, + ^v2 + v4,где a'v ^—некоторые числа, зависящие от а\, as, а3. Далее,мы действуем на вектор V преобразованием Ad (exp (-|- • a2v2^,

чтобы обратить в нуль коэффициент при у2. Это приводит к вектору у" = о^у, -|- v4, и, наконец, преобразование Ad (exp («,¥,)) обращает в нуль оставшийся коэффициент, так что вектор у эквивалентен относительно присоединенного представления вектору v4. Иными словами, каждая одномерная подалгебра, порожденная вектором у с а4 #= 0, эквивалентна подалгебре, порожденной вектором у4.

Остальные одномерные подалгебры порождаются векторами указанного выше вида с а4 = 0. Если а3 #= 0, мы можем растяжением сделать а3 = 1, а затем подействовать на вектор v преобразованием Ad(exp(aiv2)), так что вектор у эквивалентен вектору у' = a'v2 + v3 для некоторого а'2. Мы можем далее подействовать на вектор V группой, порожденной у4; это приведет лишь к растяжению коэффициентов при у2 и у3:

у" = Ad (exp (ev4)) v' = G2e3Ev2 + e~2ev3.

Это скалярное кратное вектора V" = а'е5^ + v3, так что, в зависимости от знака а'^ мы можем сделать коэффициент при у2 равным 4-1, —1 или 0. Таким образом, всякая одномерная подалгебра, порожденная вектором v с а4 = 0, а3 =# 0, эквивалентна подалгебре, порожденной либо у3 4- у2, либо у3 — у2, либо у3. Аналогично можно показать, что в остальных случаях (а3 = = g4 = 0) вектор у эквивалентен либо у2 (g2#=0), либо у, (g2 = g3 = g4 = 0). Читатель может проверить, что дальнейшее упрощение невозможно.

Итак, мы нашли оптимальную систему одномерных подалгебр— это подалгебры, порожденные векторами

(а) у4 = хдх 4- 3/df — 2мды,

(bt) Уз 4- v2 = tdx 4- dt 4- ди,

(b2) v3 — v2 = tdx — d, + du,

(Ьз) v3 = tdx + dui(3'25)

v2 = dt,

vt = dx.

Этот список можно немного сократить, если использовать дискретную симметрию (х, t, u)>-*(—х,—t.u), которая не принадлежит связной компоненте единицы всей группы симметрий. Эта симметрия отображает у3 — v2 в v3 -f- v2, и поэтому число неэквивалентных подалгебр уменьшается до пяти.

Пример 3.13. Рассмотрим шестимерную алгебру g симметрий уравнения теплопроводности (2.55), порожденную векторными полями

Vi = dx, v2 = db v3 = udu, v4 = xdx + 2/db v5 = 2tdx — xudu, v6 = 4txdx + 4/2d, — (x2 + 2/) udu. (Сейчас мы игнорируем тривиальную бесконечномерную подалгебру, проистекающую из линейности этого уравнения.) Из таблицы коммутаторов для этой алгебры мы получаем следующую таблицу:

Ad

V]V2V3

V1

v2 v3

V]V2V3

V]v2V3

V]v2V3

V4

V5

V6

eEv,e2ev2v3

V] — ev3v2 + 2evi —- e2v3v3

vi + 2ev5v2 — 2ev3 + 4ev4 + 4e2v6v3

Adv4v5

v6

V!V4 — 8V]v5 + ev3

v2V4 — 2ev2vs 2eV]

V3V4V5

v4v4e-ev5

V5V4 + ev5v5

v6V4 + 2ev6V5

v6 — 2ev5 — e2v3 v6 — 4ev4 + 2ev3 + 4e2v2

v6

e-2ev6

v6 v6

где на (i, /)-м месте стоит Ad(exp(evi))vz-.

Пусть v = aivi + a2V2 + • • • + а6Уе — элемент алгебры д, который мы попытаемся упростить, используя подходящие присоединенные отображения. Ключевое наблюдение здесь состоит в том, что функция т](у) = (я4)2— 4а2п6 является инвариантом полного присоединенного действия: T](Adg(v)) = т](у), veg, ge G. Обнаружение такого инварианта имеет важное значение, поскольку он определяет ограничения на то, насколько мы можем надеяться упростить у. Например, если т](у)#=0, то мы не сможем одновременно обратить в нуль а2, я4 и а6 посредством присоединенных отображений; если т](у)<0, то мы не сможем сделать нулем ни я2, ни ае!

Чтобы приступить к процедуре классификации, мы сосредоточимся на коэффициентах а2, о4, «в поля у. Если поле у такое, как написано выше, то поле _ 6

v = Z QiVt = Ad (exp (av6)) ° Ad (exp (0v2)) v

Z=1

имеет коэффициенты

a2 = a? — 20a4 + 40^,

a4 = 4ao2 + (1 — 8a0) a4 — 40 (1 — 4a0) a^(3.26)

a6 = 4a2O2 + 2a (1 — 4a0) a4 + (1 — 4а0)2Об.

В зависимости от знака инварианта т] имеются три случая: Случай 1. Если r](v)>0, то мы в качестве 0 берем один из вещественных корней квадратного уравнения 4а602— 2о40 + -|- о2 = 0 и a = a6/8(pa6 — 2а4) (оно всегда корректно определено). Тогда a2 = a6 = 0, а о4 = V^M^O, так что v эквивалентно кратному поля у = у4 + «1 v4 + a3v3 + a5v5. Действуя затем присоединенными отображениями, порожденными соответственно у5 и уь мы можем добиться обращения в нуль коэффициентов при у5 и vi в V. Поэтому всякий элемент с r](v)>0 эквивалентен кратному поля v4 + av3 для некоторого a е R. Дальнейшие упрощения невозможны.

Случай 2. Если т](у)<0, положим 0 = 0, а =—а^/^ач, чтобы сделать a^ = 0. Действуя на у группой, порожденной у4, мы можем сделать коэффициенты при у2 и у6 равными, так что v эквивалентно скалярному кратному поля v = (v2 + v6) + + ciVi + a3v3 + C5V5. Использование далее групп, порожденных полями Vi и Vs, показывает, что поле у пропорционально v2 + + Ve + av3 при некотором a е R.

Случай 3. Если rj(v) = O, имеется два подслучая. Если не все коэффициенты a2, а^ as равны нулю, то мы можем выбрать a и р в (3.26), так что с2 #= 0, а a4 = а6 = 0, так что поле у эквивалентно кратному поля v = v2 + O1V1 + a3v3 + O5V5. Предположим, что 05=/= 0. Тогда мы можем сделать коэффициенты при Vi и у3 равными нулю, используя группы, порожденные Vi и v3, а группа, порожденная полем у4, независимо растягивает коэффициенты при v2 и у5. Таким образом, поле v эквивалентно кратному либо поля v2 + V5, либо поля v2 — V5. Если, с другой стороны, as = 0, то группа, порожденная полем у5, может быть использована, чтобы привести у к вектору вида v2 + av3, a е R.

Последний оставшийся случай, для которого наши предыдущие упрощения излишни, возникает, когда а2 = а4 = а6 = 0. Если ci ^= 0, то с помощью групп, порожденных у5 и у6, мы мо-

жсм сделать вектор v кратным Vi. Если ai = 0, a as #= 0, мы можем сначала подействовать любым отображением Ad (exp (ev2)), чтобы получить ненулевой коэффициент перед vi и свести этот случай к предыдущему. Остальные векторы кратны вектору v3, на котором присоединенное представление действует тривиально.

(а)

v4 + av3.

7] > 0,

a e R,

(Ь)

v2 + v6 + av3, я <0,

aeR,

(С1)

v2 — v5,

7] = 0,

(с2)

v2 + v5.

7] = 0,

(d)

v2 + av3,

7] = 0,

a e R,

(е)

Vi,

7] = 0,

(f)

v3.

7] = 0.

Снова

дискретная

симметрия (x, t,

(3.27)(3.27)Итак, оптимальная система одномерных подалгебр алгебры симметрий уравнения теплопроводности состоит из алгёбр, порожденных

(3.27)

(3.27)

(—х, t, и) переводит v2 — V5 в v2 + Vs и список уменьшается на один элемент.

Включение дополнительной бесконечномерной алгебры симметрий {va = а(х,/)ды}, где а — решение уравнения теплопроводности, не внесет существенных изменений в эту классификацию. Если v + va лежит в этой большей алгебре, где v =/= 0 лежит в рассмотренной шестимерной алгебре, то мы всегда можем найти поле vp = p(x, t^du, такое, что Ad(exp(vp)) (v + + va) = v. Например, если v = Vi = дх, то

хt

Р (х, /) = — ^ а (у, t^dy — ах (0, s) ds.оо

(Читателю следовало бы проверить, что р — решение уравнения теплопроводности.) Таким образом, векторы, не эквивалентные никаким векторам из шестимерной алгебры, имеют вид va. Мы не будем пытаться классифицировать эти векторы, поскольку они не приводят к инвариантным относительно группы решениям уравнения теплопроводности.

Раз мы расклассифицировали одномерные подалгебры алгебры Ли, мы можем продолжить поиск оптимальных систем для подалгебр высших размерностей. Недостаток места мешает нам здесь продолжить изучение этой интересной задачи, так что мы отсылаем читателя к книге Овсянникова [3; § 14.8], где изложена полезная техника.

Классификация решений, инвариантных относительно группы

Определение 3.14. Оптимальная система инвариантных относительно s-параметрических групп решений системы дифференциальных уравнений — это набор решений и = ^х^, обладающий следующими свойствами:

Каждое решение списка инвариантно относительно некоторой s-параметрической группы симметрий этой системы дифференциальных уравнений.

Если и = /(х)— любое другое решение, инвариантное относительно s-параметрической группы симметрий, то существует такая симметрия g системы, которая отображает f в решение f = g-f из этого списка.

Предложение 3.15. Пусть G — полная группа симметрий системы А уравнений с частными производными. Пусть (Яа) — оптимальная система s-параметрических подгрупп группы G. Тогда набор всех Н^-инвариантных решений, где На — подгруппа из этой оптимальной системы, образует оптимальную систему инвариантных относительно s-параметрических групп решений системы А.

Доказательство немедленно следует из предложения 3.6. Кроме того, наша предыдущая классификация подалгебр теперь непосредственно применима к классификации инвариантных относительно группы решений.

Пример 3.16. В наших предыдущих исследованиях в примере 3.4 нами уже проделана вся работа, чтобы дать полный список инвариантных решений для уравнения Кортевега— де Фриза. В самом деле, в соответствии с нашей оптимальной системой одномерных подалгебр (3.25) полной алгебры симметрий нам нужно только найти инвариантные относительно группы решения для однопараметрических подгрупп, порожденных (a) V4 — растяжениями; (b) V3 + V2— модифицированными преобразованиями Галилея; (с) V3— преобразованиями Галилея; (d) v2 — сдвигами по времени; (е) Vi— сдвигами в пространстве. Все они, кроме последнего, были найдены в примере 3.4, к которому мы и отсылаем читателя. Решения, инвариантные относительно сдвигов в пространстве, все являются константами, и, следовательно, тривиальным образом появляются среди других решений. Таким образом, любое другое инвариантное относительно группы решение уравнения Кортевега — де Фриза можно найти, преобразуя одно из решений примера 3.4 с помощью подходящего элемента этой группы.

Например, бегущие волны, соответствующие группе симметрий, порожденной полем v2 + cvi = dt + cdx, можно получить из стационарных решений u = f(x), инвариантных относительно группы, порожденной полем v2 = dt. Обращаясь к табл. (3.24), мы видим, что

Ad (exp (cv3)) v2 = v2 + cvb

где va = tdx + ди порождает однопараметрическую галилееву группу симметрий уравнения Кортевега— де Фриза. В соответствии с предложением 3.6, если и = f(x) — произвольное стационарное решение, то J = exp(cv3)f будет бегущей волной, распространяющейся со скоростью с. Из (2.68) мы видим, что

f (х, /) = f(x — ct) + с,

где f(x)— произвольная эллиптическая функция, удовлетворяющая условию

Г + ГГ = о.

В частности, если

u = fQ (х) = Зс sch2 (4" Vе х + б) — с,

а это, как может проверить читатель, — стационарное решение уравнения Кортевега — де Фриза для любого с > 0, мы получаем односолитонное решение со скоростью с.

Пример 3.17. Наконец, рассмотрим классификацию инвариантных относительно группы решений уравнения теплопроводности ut = иХх. Построение инвариантных относительно группы решений для каждой из одномерных подгрупп оптимальной системы (3.27) получается тем же способом, что в примере 3.3, и мы просто перечисляем результаты.

v4 + av3 = xdx + 2/д( + 2а«ды.

Инвариантами являются у = х]л/1 , и =/-"ы; редуцированное уравнение имеет вид vvu + у уия — аи = 0, а инвариантные решения — это полученные ранее функции параболического цилиндра

и^х, t^tV^W^-V^ -^^"kV^a^l-, ^)j.

v2 + v6 + av3 = Mxdx + (4/2 + 1) dt — (x2 + 2/ — a) udu.

Инвариантами являются

У = (4/2 + 1)"1/2х,

и = (4/2 + 1)'«м • ехр{(4/2 + 1)-1/х2 + у arctg(2/)| ■

Редуцированное уравнение имеет вид uw + (« + y2)u = 0.

Инвариантные решения выражаются через функции параболического цилиндра от чисто мнимых аргументов (Abramowitz, Stegun [1; § 19.17] )

+ "(-f. ^то-)}=хр{тт—т"с1е<а)}.

v2 — v5 = d, — 2/dx + xudu.

Инвариантами являются

y = x + f2, u = uexp^—xt1"^3)-

Редуцированное уравнение — это уравнение Эйри uw = yu.

Решения записываются через функции Эйри

и (х, 0 = (А Ai (х + О) + A Bi (х +t2)} exp ^xt + у/3) •

Соответствующие инвариантные решения для v2 + vs получаются заменой х на —х.

(d)(d)v2 + от3 = д, + аиди.v2 + от3 = д, + аиди.

(d)

(d)

v2 + от3 = д, + аиди.

v2 + от3 = д, + аиди.

Инвариантами являются х, и = е^°‘и, и редуцированное уравнение Ухх = аи приводит к решениям

и (х, 0 =и (х, 0 =keQt ch ^л/ах + б), кх + к, kect cos ( V—с х + б),keQt ch ^л/ах + б), кх + к, kect cos ( V—с х + б),а > 0,а > 0,а = 0.а = 0.а < 0.а < 0.

и (х, 0 =

и (х, 0 =

keQt ch ^л/ах + б), кх + к, kect cos ( V—с х + б),

keQt ch ^л/ах + б), кх + к, kect cos ( V—с х + б),

а > 0,

а > 0,

а = 0.

а = 0.

а < 0.

а < 0.

Что касается двух оставшихся подалгебр, то подалгебра, порожденная полем V], имеет в качестве инвариантных решений лишь константы, а они уже появились в (d), а подалгебра, порожденная полем Уз, не имеет инвариантных решений. Таким

образом, указанные решения составляют оптимальную систему инвариантных относительно групп решений уравнения теплопроводности, и любое другое инвариантное относительно группы решение можно найти, преобразуя одно из этих решений с помощью подходящего элемента этой группы.

Когда мы в прошлый раз столкнулись с этой задачей (пример 3.3), мы определили инвариантные решения для пары подгрупп, не появившихся в оптимальной системе (3.27). В силу общей теории эти решения можно получить из имеющихся подходящими преобразованиями из группы. Например, поскольку

Ad [exp (—4" cvs)] (V2 + cvj = v2 + 4" с2уз,

мы могли бы найти бегущие волны, преобразуя решения, инвариантные относительно v2 + avs, а = с2/^, с помощью преобразования Галилея exp((l/2)cvs), и на самом деле и = ke^ax+at + -\-ке^^ах+а1 переходит в бегущую волну и = к + ke~c<'x~cV' при а — с2/4.

3.4. ФАКТОРМНОГООБРАЗИЯ

Чтобы строго сформулировать основной метод для нахождения инвариантных относительно группы решений систем дифференциальных уравнений, намеченный в § 3.1, нам нужно достичь лучшего понимания геометрического основания этих конструкций. Понятие фактормногообразия гладкого многообразия по регулярной группе преобразований доставит естественную среду для всех инвариантных относительно этой группы объектов. В конце концов мы увидим, как естественно на фактор- многообразии возникает редуцированная система дифференциальных уравнений для инвариантных относительно этой группы решений. Мы начинаем с общего обсуждения фактормногооб- разий.

Пусть G— локальная группа преобразований, действующая на гладком многообразии М. На точках многообразия М имеется индуцированное отношение эквивалентности: точки х и у эквивалентны, если они лежат в одной орбите группы G. Пусть М/G обозначает множество классов эквивалентности или, что равносильно, множество орбит группы G. Проекция л: M-^M/G ставит в соответствие каждой точке х из М ее класс эквивалентности л(х)е М/G, который можно отождествить с орбитой группы G, проходящей через точку х. В частности, л(^-х) = = л(х) для любого geG, такого, что g-x определено. Обратно, для данной точки w^M/G множество л-1{да} будет орбитой, определяемой точкой w, реализованной как подмножество

многообразия М. Факторпространство М/G обладает естественной топологией; мы требуем, чтобы проекция n[G] любого открытого множества UcM была открытой в M/G.

Вообще говоря, факторпространство М/G будет исключительно сложным топологическим пространством, структуру которого понять нелегко. Однако если мы в дальнейшем потребуем, чтобы группа G действовала на многообразии М регулярно, то мы можем наделить М/G структурой гладкого многообразия. Если М есть m-мерное многообразие, а группа G имеет s-мерные орбиты, то фактормногообразие М/G будет иметь размерность т— s1). Таким образом, конструкция фактормногообразия приводит к понижению размерности на s, т. е. на размерность орбит группы G.

Раз мы построили фактормногообразие, общее соображение состоит в том, что всякий объект на многообразии М, инвариантный относительно действия группы G, будет иметь естественный эквивалент на фактормногообразии М/G меньшей размерности, свойства которого полностью характеризуют исходный объект на М. В качестве первого примера рассмотрим G-инвариантную функцию F: М^-Я1. Поскольку F(g-x) = F(x), если g-x определено, функция F является постоянной вдоль орбит группы G. Поэтому корректно определена функция F = F/G: М/С—►R', такая, что £(л(х)) = F(x) при хеМ. Обратно, если F: M/G—> Rz, то функция F: М^-R1, определенная формулой Е(х)= ^(л(х)), хеМ, очевидно, будет G-инвариантной функцией на М. Таким образом, имеется взаимно однозначное соответствие между G-инвариантными функциями на М и произвольными функциями на М/G. Заметим далее, что в любой локальной координатной карте функции, определенные на M/G, зависят от на s меньшего числа переменных, чем их эквиваленты на М (просто потому, что мы понизили размерность на s при факторизации). Таким образом, проектирование на фактормногообразие приводит к понижению числа степеней свободы на s — размерность орбит действия группы.

Теорема 3.18. Пусть М— гладкое т-мерное многообразие. Предположим, что G — локальная группа преобразований, регулярно действующая на М с s-мерными орбитами. Тогда существуют гладкое (т— s)-мерное многообразие, называемое фактормногообразием многообразия М по группе G и обозначаемое М/G, и проекция тс: M^-M/G, которые обладают следующими свойствами:

*) Оно может, однако, не быть хаусдорфовым многообразием; см. последующее обсуждение.

Проекция л — гладкое отображение многообразий.

Точки хи у из М лежат в одной орбите группы G, если и только если и(х) = и(у).

Если g— алгебра Ли инфинитезимальных образующих действия группы G, то линейное отображение

dw. ТМ\х^Т{МЮ)\пМ

есть отображение «на» с ядром g|x= {v|x: veg}.

Доказательство. Как и выше, M/G— это просто множество всех орбит группы G на М. Координатные карты на М/G строятся с помощью специальных локальных координатных карт на М (по теореме Фробениуса 1.43), учитывая регулярность группы G. Локальные координаты уа = ^у1а, •.., у™) на такой карте Ua таковы, что каждая орбита пересекает Ua не больше, чем по одному слою б f| Ua = ^yva = с^, ..., у™ ~s = с™ причем постоянные с^, . .., c™~s единственным образом определяют орбиту О. Соответствующая координатная карта Va на М/G определяется как множество всех орбит, имеющих непустое пересечение с Ua, так что

Va = ^w eM,G: и-1^ППа^ 0Y

Локальные координаты на Va определяются координатами Уа’ •••’ Уа~3 слоя; иными словами, координатное отображение %а: I7a^-Rm-S определено так, что ха(^) = (с^, ..., c™~s), когда л-1{®} пересекает Ua в слое, заданном <4 = Л . .. ..., y^-s = cm-s. Очевидно, что проекция л: M-^M/G является в этих координатах гладкой, поскольку л (у^у™) = {у^, ...

■ • ■ > Уа-"5) для Уа G иа- Далее,

^лГ-Л-1 = ( д!дУ^ i=V,...,m — s,

L дУа J 1 0, i = m — s + 1, ..., m,

так что du : ТМ \Уа^-Т (М/G) |л(уа) — отображение «на» с ядром, натянутым на dldy^-8^, ..., д/ду^, а это то же самое пространство, которое порождается инфинитезимальными образующими алгебры Ли g группы Ли G в точке уа.

Единственное, что осталось доказать, — это то, что функции перехода Хр°Ха* являются гладкими на пересечении ЕаП Ер двух локальных координатных карт на М/G. Это более или менее ясно, если соответствующие специальные координатные карты Ua и 1Д достаточно малы и пересекаются на М, но это последнее условие не обязано выполняться. Однако здесь можно

применить довольно прямое рассуждение, основанное на связности орбит группы G, и это позволяет завершить доказательство; детали приведены в работе Palais [1]. □

Для того чтобы немного лучше разобраться, что означают локальные координаты на фактормногообразии, рассмотрим некоторые общие локальные координаты х = (х', ..., хт) на М. Из теоремы 2.17 следует, что, сужая, возможно, координатную карту, мы можем найти полное множество функционально независимых инвариантов т)*(х), ..., T]m-S(x), таких, что каждая

Рис. 7. Фактормногообразие Е2/02.

орбита пересекает эту карту не больше, чем по одной связной компоненте, являющейся множеством уровня (т]1(х) = С1, ... .r]m-s (х) = Cm-s^. Постоянные Ci, ..., cm_s единственным образом определяют орбиту, и, следовательно, их можно выбрать в качестве новых локальных координат на фактормногообразии М/G, причем эти координаты согласованы с множеством специальных координат, которые использовались в доказательстве теоремы 3.18. Таким образом, локальные координаты на фактормногообразии М/G задаются, полным множеством функционально независимых инвариантов действия группы-.

ух = г]1 (%), . . ., ym~stjm-s (%)

Пример 3.19. Рассмотрим группу растяжений

G2: (х, у^^^х, к2у\ ^>0.

Ее действие регулярно на M = R2\{0}, а орбиты — полупараболы у = кх2 при х > 0 или при х < 0, а также положительная и отрицательная полуоси оси у. Поскольку каждая орбита

единственным образом определяется ее точкой пересечения с единичной окружностью S1 = {х2 + у2 = 1}, мы можем отождествить М/G2 с S1. Локальная координата на M/G2 задается групповым инвариантом у/х2 для х > О или х < 0 или же х2/у, если у > 0 или у < 0, что дает четыре пересекающиеся карты на М/G. (Может быть, лучше выбрать в качестве координаты на М/G многозначный «угловой» инвариант 6 = arctg(y/x2).) Очевидно, что в этом случае нельзя найти глобальную координатную карту для всех ненулевых (х, у).

Такая же конструкция работает для произвольной двумерной группы растяжений G“: (х, уУ-^кх, кауУ а > 0. «Угловой» инвариант 6 = arctg(y/xa) обеспечивает отождествление M/Ga ~ S1. (Случай a < 0 обсуждается в упр. 3.14.)

Как отмечалось ранее, одна из технических трудностей состоит в том, что фактормногообразие М/G может не удовлетворять условию отделимости Хаусдорфа. Поэтому мы естественно приходим к рассмотрению более общего понятия многообразия, чем обычно. Иными словами, хотя М/G всегда будет удовлетворять требованиям (а) и (Ь) определения 1.1, на M/G могут существовать различные точки у и у, которые нельзя «разделить» открытыми окрестностями, т. е. если U — произвольная окрестность точки у и О — произвольная окрестность точки у, то U П О ф 0. Можно развить целую теорию многообразий без аксиомы отделимости Хаусдорфа, и в этом случае, как показал Пале (Palais [1]), в той же «категории» сохраняется конструкция фактормногообразия. Другой подход, который чаще принимается на практике, состоит в том, что нехаусдорфовы «особенности» убираются с фактормногообразия M/G тем, что мы ограничиваем наше внимание достаточно малым открытым подмногообразием 70 исходного многообразия М, таким, что M/GczM/G— открытое хаусдорфово подмногообразие. Например, 70 может быть координатной картой, на которой мы строим полное множество функционально независимых инвариантов. В этом случае 70/G будет обладать глобальными координатами, заданными этими инвариантами, и, таким образом, это фактормногообразие может быть реализовано как открытое подмножество евклидова пространства Rm~s.

Пример 3.20. Рассмотрим векторное поле v = (х2 + у2)дх на R2. Порожденная им однопараметрическая группа G имеет вид (х, у )= exp (ev) (х, у), где у = у и

_ С У tg (еу + arctg (х/у)), у #= 0,(х/(1—ех), У = 0.

Орбиты группы G состоят из

начала координат (0, 0),

горизонтальных прямых {у = с}, с=/=0,

положительной полуоси оси х {</ = 0, х>0},

отрицательной полуоси оси х {// = (), х<0}.

Таким образом, группа G действует регулярно на М = R2\{0} Фактормногообразие М/G одномерно и выглядит как экземпляр вещественной прямой, но с двумя «бесконечно близкими» началами координат! В самом деле, единственный инвариант группы G — координата у, каждая орбита, не лежащая на оси х; единственным образом определяется своим вертикальным смещением. Таким образом, для точек из М/G, определенных горизонтальными прямыми (Ь), координаты вводятся посредством

7Г

МММ/С

М

М

Рис. 8. Нехаусдорфово фактормногообразие.

л(х, у) —У, У 7^=0, так что мы можем отождествить эту часть фактормногообразия М/G с положительной и отрицательной вещественными полуосями, соответствующими образам верхней и нижней полуплоскостей соответственно при проектировании л: M-*M/G. Однако, на М/G должны быть две точки, отвечающие положительной и отрицательной полуосям оси х в R2; мы обозначаем их 0+ и 0- соответственно. Их нужно рассматривать как два различных, но бесконечно близких начала координат фактормногообразия М/G, которое в остальном выглядит в точности как экземпляр вещественной прямой

MiG = Vy > 0} и {у < 0} и {oj и {о_}.

Базисная окрестность «начала координат» 0+ есть в точности U+={y; У = 0+ либо 0 < [z/| < б+} для некоторой константы 6+ > 0, а типичная окрестность точки 0- — это U- = {у: y = Q_ либо 0<|z/|<6_), б-> 0. Очевидно, что U+f\U_#=0 независимо от того, каковы б+ и б-, так что точки 0+ и 0_ не удовлетворяют условию отделимости Хаусдорфа. (Более уместный физически пример нехаусдорфова факторпространства дают группы растяжений Ga примера 3.19 при а < 0; см. упр. 3.14.)

Предложение 3.21. Пусть группа G регулярно действует на многообразии М с s-мерными орбитами.

Гладкая функция F: M-j-R' является G-инвариантной тогда и только тогда, когда найдется такая гладкая функция F = F/G: MjG —>R*, что F (х) = F [л (х) ] для всех хеМ.

Гладкое п-мерное подмногообразие N cz М является G-инвариантным тогда и только тогда, когда существует гладкое (п— s) -мерное подмногообразие N = N/G cz М/G, такое, что N = л [^ и, следовательно, N = л-1 [М].

Алгебраическое подмногообразие Уг = {х: Е(х) = 0}, определенное гладкой функцией F: М — R', является G-инвариантным тогда и только тогда, когда найдется гладкое алгебраическое подмногообразие ^р = \^у". F^y) = 0}, определенное функцией F: M/G-^R1, такое, что ^ = л[^]. (В этом случае не обязательно F = F о л, если сама функция F не является G-инвариантной.)

Это предложение — в точности глобальная переформулировка теоремы 2.17 и предложения 2.18, и мы оставляем детали читателю.

Теория размерностей

В случае групп растяжений предыдущие конструкции делают простым доказательство так называемой Пи-теоремы, являющейся основанием метода теории размерностей. В любой физической задаче имеются определенные фундаментальные физические величины, такие, как длина, время, масса и т. д., которые можно растягивать независимо друг от друга. Пусть г1, ..., zr обозначают эти величины, так что рассматриваемая группа осуществляет такие преобразования:

(z1, ..., z^^^z1, ..., Lrzr),

где масштабные множители 7, = (Хь ..., лг)— произвольные положительные вещественные числа. Таким образом, соответствующая группа — это в точности декартово произведение г экземпляров мультипликативной группы R+ положительных вещественных чисел. Кроме того, существуют определенные производные физические величины, такие, как скорость, сила, плотность жидкости и т. д., которые также растягиваются при растяжении фундаментальных физических единиц. Если обозначить эти величины через х = (х1, ..., хт) и предположить, что все они выражены через одни и те же фундаментальные единицы, то действие нашей группы растяжений на эти произ-

водные величины принимает вид

К • (х1, .. ., хт) = (^"Л22' .. .^'х1, ..., Xilm^2m ... х"гтхт),

(3.28) где показатели со/, i — 1, ..., г, j = 1, ..., т, предписаны физической зависимостью величин х' от фундаментальных единиц у‘. Например, если у1 обозначает длину, у2 — время и у3 — массу, то изменение скорости и, равной отношению длины ко времени, и плотности р, равной отношению массы к объему (или к кубу длины), задается формулами

А • о = ZqA^'v, Л-р = ЛГ3Х3р.

Если некоторая величина остается неизменной при данных растяжениях, то она называется безразмерной. В первой части Пи-теоремы утверждается, что число независимых безразмерных величин определяется числом независимых инвариантов соответствующего действия группы.

Вообще говоря, возникают некоторые функциональные соотношения вида F(x*, ..., xm) = О между физическими величинами. Например, для поверхностных волн в глубокой воде скорость и является функцией от длины волны / и гравитационного ускорения g. (В этой простой модели мы пренебрегаем поверхностным натяжением и другими эффектами). Такое соотношение называется масштабно инвариантным, если оно не меняется при изменении масштабов измерения основных величин. Масштабно инвариантные соотношения часто имеют большое значение в физике. Вторая часть Пи-теоремы утверждает, что всякое такое соотношение можно выразить только через безразмерные комбинации физических величин. Например, в рассмотренном нами примере, если X = (Xi, Аг, Аз)—коэффициенты растяжения длины, времени и массы соответственно, то

А - (и, /, g) = (AjA^’v, М> ^x^gY

Очевидно, что единственная безразмерная величина здесь — это число Фруда x?]lg или его степени. Таким образом, всякое масштабно инвариантное соотношение, определяющее скорость волны как функцию от длины волны и гравитационного ускорения, должно иметь вид

о = с -\jlg.

Здесь остается определить только константу с. Теперь мы приведем Пи-теорему полностью.

Теорема 3.22. Пусть z1, ..., zr— фундаментальные физические величины, масштабы измерений которых меняются независимо-. г‘^-»Кг‘. Пусть х1, ..., хт — производные величины, изменяю-

щиеся в соответствии с формулой (3.28), где А = (а,,) — некоторая матрица размера rXm, элементы которой — константы. Пусть s — ранг матрицы А. Тогда существует m— s независимых безразмерных «степенных произведений»

лй = (х')р^ (х^)р^& ... (xmfmk, к = 1, ..., m - s, (3.29) обладающих тем свойством, что всякая другая безразмерная величина может быть записана как функция от л1лт-5. Если F^x1, ..., xm) = 0— произвольное масштабно инвариантное соотношение на данные производные величины, то существует эквивалентное соотношение Р{хх, ..., хт) = 0, которое может быть выражено только через указанные безразмерные степенные произведения-.

F = F(ti', .. .,лт-$) = 0.

Доказательство. Рассмотрим положительный октант в R"1 А4 = (х = (х1 хтух‘> О, 1=1, ..., mV Если G =

= R+ X • • - X R+ есть г-кратное декартово произведение мультипликативной группы R+ на себя, то (3.28) определяет глобальное действие группы G на М. Инфинитезимальные образующие этого действия получаются дифференцированием (3.28) по Xi и подстановкой Xi = ... = Xr = 1. Тогда

V,- = апх + at2x + ... + almx -^тп

будет образующей, соответствующей i-му экземпляру R+ в G. Размерность линейной оболочки векторов Vi, ..., vr в точке хеМ, очевидно, такая же, как ранг матрицы А = (а,,), а именно s, следовательно, орбиты группы G s-мерны. Глобальные инварианты для G на всем октанте М даются степенными произведениями вида (3.29), если Vj^ft) = 0, i = 1, ..., г. Это выполняется, если и только если показатели степени руй в (3.29) удовлетворяют линейной системе

ГП

Е<* = 0, i=\,...,r.(3.30)

m —• s линейно независимых решений этой системы приводят к m — s функционально независимым степенным произведениям. Кроме того, эти степенные произведения однозначно определяют орбиты группы G на М. В самом деле, если лй(х) = лй(х) для всех к, положим xi = etixi, / = 1, ..., m. Показатели степени /, удовлетворяют линейной системе У t^^ = 0, к= 1, ..., г. Поскольку мы построили базис нуль-пространства

матрицы Л, это верно, если и только если существуют вещественные числа $ь .... sr, такие, что tj=^1stalj. Но тогда

х — Х-х, где Ki = eSi, и, следовательно, х и х лежат в одной и той же орбите группы G. Таким образом, поскольку каждая орбита представляет собой общее множество уровня глобальных инвариантов л1, ..., лт-$, действие группы G автоматически является регулярным ил1, ..., лт-$ доставляют глобальные координаты на фактормногообразии G/М, которое можно отождествить с положительным октантом пространства Rm-S. Вторая часть теоремы теперь непосредственно следует из ч. (с) предложения 3.21. □

Пример 3.23. Предположим, что сопротивление D объекта, помещенного в жидкость, определяется безразмерной функцией от плотности жидкости р, скорости жидкости и, диаметра объекта d и вязкости жидкости р. Обозначая через Хь Хг, Хз коэффициенты растяжения длины, времени и массы соответственно, мы получаем, что соответствующие физические величины изменяются следующим образом:

Л • (р, и, d, р, D) = (ЛГ3А3р, A^r'f, ^vd, ХГ'^’^зр, A^^D).

(Например, сопротивление D имеет размерность длина X X масса/(время)2 н т. д.) Матрица А в этом случае принимает вид *

(

—311-1IX

О —1 0 —1 —2 )

10011/

и имеет ранг 3. Таким образом, имеется 5 — 3 = 2 независимых безразмерных степенных произведения. Чтобы отыскать их, нам нужно в соответствии с (3.30) проанализировать нуль-пространство матрицы А, которое натянуто на вектор-столбцы (1, 1, 1, — 1, О)7", (—1, —2, —2, 0, 1)г. Они соответствуют независимым степенным произведениям

n padD

Л1 —• Л2 — К — ру2(;2 ,

первое из которых — число Рейнольдса для течения. В соответствии с Пи-теоремой масштабно инвариантное соотношение между нашими пятью величинами должно иметь вид F(R,K) = = 0; разрешая его относительно К, получаем, что сопротивление задается формулой D = pv2d2h(R), где h — функция, вид которой нужно найти.

ПРОДОЛЖЕНИЯ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ГРУППЫ, и редукция

В программе строгого обоснования общей процедуры построения инвариантных относительно группы решений дифференциальных уравнений имеется одно основное препятствие, которое нужно преодолеть. Вообще говоря, если система дифференциальных уравнений А определена на открытом подмножестве MczXXU пространства независимых и зависимых переменных, на котором регулярно действует группа симметрий G, то редуцированная система дифференциальных уравнений Д/G для G-инвариантных решений будет естественно определена на фактормногообразии М/G. Трудность состоит в том, что, хотя М/G обладает структурой гладкого многообразия, оно, вообще говоря, не будет открытым подмножеством никакого евклидова пространства, и поэтому наши предыдущие построения пространств струй и продолжения действия групп больше неприменимы. На практике, однако, мы работаем в локальных координатных картах и поэтому можем сделать более скромное предположение, что существует р + q— s функционально независимых инвариантов на М, ^‘(х, и), ..., t]p+»~s(x, tz), определяющих глобальные координаты на фактормногообразии M/G, которое можно поэтому рассматривать как открытое подмножество евклидова пространства Rp+<7-s. Здесь s обозначает размерность орбит группы G. В этот момент появляется вторая трудность, состоящая в том, что, вообще говоря, нет естественного способа различить, какие из инвариантов т]; будут новыми независимыми переменными, а какие будут новыми зависимыми переменными. Если группа G действует проектируемо, то, как мы видели, имеется в точности р— s инвариантов, зависящих только от х, которые и можно взять за новые независимые переменные. Оставшиеся q инвариантов становятся новыми зависимыми переменными. В общем случае, однако, нет способа последовательно определить новые независимые и зависимые переменные, и мы вынуждены произвольным образом выбирать среди данных инвариантов р— s, назначая их на роль независимых переменных, у = (у1, ..., yp-s), а остальные q— на роль зависимых переменных, и = (и1, ..., ичУ Таким образом, мы считаем М/G подмножеством евклидова пространства YXV~ ^Rp-^XR9 и, следовательно, можем найти явный вид редуцированной системы А/G, рассматривая и как функции от у. Уже роли независимых и зависимых переменных перестают быть ясными. Различный выбор инвариантов приведет, казалось бы, к различным выражениям для редуцированной системы, но — и это нужно подчеркнуть — они все будут эквивалентны отно-

сительно перемены ролей независимых и зависимых переменных, что напоминает преобразование годографа из гидродинамики.

Все это было бы хорошо для наших целей, если бы не еще одна сложность. Раз мы выбрали для нашей редуцированной системы А/G новые независимые переменные у и зависимые переменные и, то нет никакой гарантии, что данная функция и = h\y^ будет соответствовать гладкой однозначной функции tz = f(x), и, наоборот, может оказаться, что G-инвариантные функции u — f(x) не соответствуют гладким функциям вида v—h(y') относительно данного выбора независимых и зависимых переменных. Проблема в обоих случаях состоит в том, что функция на одном из пространств может привести к «функции» с бесконечными производными или к «многозначной функции» на другом пространстве, и причина, возможно, — в нашем искусственном разделении координат на независимые и зависимые переменные. Быть может это станет яснее, если привести для иллюстрации пример.

Пример 3.24. Положим, р = 2, q — 1, так что M = XXU имеет координаты (х, t, и). Рассмотрим однопараметрическую группу преобразований G: (х, t, u^v—>(х, t + е, и). Предположим, что вместо естественных инвариантов х и и мы, чтобы задать координаты на M/G = R2, выбрали инварианты у = х-\-и, и = и, причем у — новая независимая, а и — новая зависимая переменные. Всякая функция v — h(y) на M/G — КХ V будет определять двумерное G-инвариантное подмногообразие многообразия М, заданное уравнением и = h(x-V-и), но, если й'(у)=# 1> эт0 уравнение не будет определять и явно как функцию от х (и t). Например, функция и = у на М/G соответствует вертикальной плоскости {х = 0}, которая, очевидно, не является графиком функции и = f(x,t). С другой стороны, G-инвариантная функция и = —х приводит к вертикальной прямой у = 0, которая не является графиком функции вида u = h(y). Хотя этот пример несколько искусственный, такое явление может быть неизбежным и в более сложных ситуациях.

Главная причина всех этих технических трудностей — наше стремление различить независимые и зависимые переменные, что становится все более непригодным в свете предыдущих рассуждений. Если отказаться от этого «предрассудка», то общая конструкция редуцированной системы для инвариантных относительно группы решений становится очень естественной. Раз построена основная бескоординатная конструкция, с технической стороной, включая введение конкретных независимых и зависи-

мых переменных и на М, и на М/G, можно справиться с минимумом трудностей. Поэтому мы начинаем этот параграф с бес- координатной переформулировки нашей основной конструкции пространства струй, на этот раз справедливой для произвольных многообразий, а не только для скрытых подмножеств евклидова пространства.

Расширенные расслоения струй

Начнем с более тщательного рассмотрения наших предыдущих построений пространства струй Af<") для AlczXXnc^lRpX X R9. Каждая точка (х0, ы^*) е MW определяется производными гладкой функции tz=f(x), график которой проходит через основную точку z0 = (x0, и^^М, причем o^^p^f (х0). Говорят, что две такие функции п-эквивалентны в точке z0, если они определяют одну и ту же точку в MW |Zo = {(х, Фп^: (х, «) = z^; иными словами, f и f «-эквивалентны в точке (х0, «о), если их производные в этой точке до порядка « включительно совпадают:

^П*о)=^Г(хо), «=1q, 0^*J^n.

С этой точки зрения пространство струй Affn)|Zo можно рассматривать как множество классов «-эквивалентности на пространстве всех гладких функций tz = f(x), графики которых проходят через точку z0 = (х0, «о) •

Таким образом, важным объектом является не функция f, а ее график If = {(х, f(x)}, который представляет собой р-мер- ное подмногообразие многообразия М. Однако не каждое р-мер- ное подмногообразие многообразия М является графиком гладкой функции, так что не каждое р-мерное подмногообразие, проходящее через точку zoeAf, будет определять точку в Affn)|Z(. Наша цель здесь —«расширить» пространство струй М<пЧ2о так, чтобы включить эти многообразия с «вертикальными касательными». С помощью теоремы о неявной функции можно выяснить, какие подмногообразия являются графиками гладких функций.

Предложение 3.25. р-мерное подмногообразие ГсМсХХ X U является графиком гладкой функции u = f(x), если и только если Г обладает следующими свойствами;

Трансверсальность. Г трансверсально пересекает вертикальное пространство UZc = {(х0, и); u^U} для любой точки Zo = (хо, «о) е Г, что означает ГГ |Zo П TUZc |Ze = {0}.

Однозначность. Г пересекает каждое вертикальное пространство UZM г0 е М, не более чем в одной точке.

Конечно, если мы сделаем замену координат на М, требуемые вертикальные плоскости изменятся, так что подмногообразие, которое было графиком функции в одной системе координат, может не быть таковым в другой. Например, парабола и = = х2 является графиком функции, если xgR — независимая и и е R—зависимая переменные, но если мы возьмем у = и в качестве новой независимой и и = х в качестве новой зависимой переменных, то для этой параболы будут нарушаться условие трансверсальности в начале координат и условие однозначности для всех у > 0. Однако, если у нас имеется достаточно малое р-мерное подмногообразие Г, мы всегда можем снабдить его локальными координатами так, что оно будет графиком функции.

Раз мы допускаем произвольные замены независимых и зависимых переменных, бессмысленно исключать некоторые р-мер- ные подмногообразия только потому, что в некотором данном множестве координат могут нарушиться условия трансверсальности или однозначности. С этой точки зрения роль функций w=f(x) играют теперь произвольные р-мерные подмногообразия Г cz М. Мы видим, что с этого момента освободились от зависимости от евклидовых координат (х, tz), и последующие определения будут иметь смысл для произвольных (р + ^)-мерных многообразий М.

Определение 3.26. Пусть Г и Г— регулярные р-мерные подмногообразия гладкого многообразия М. Мы говорим, что Г и Г имеют касание п-го порядка в их общей точке z0 е Г П Г, если и только если существует локальная координатная карта W, содержащая 20 = (х0, «о), с координатами (х, и) = (х1, ..., хр, и1, . .., и4), такая, что ГП^ и ГЛ^ совпадают с графиками гладких функций и = f(x) и и = Цх), являющихся «-эквивалентными в точке z0: рг<п>/ (хо) = рг<”7 (Хо) .

Нетрудно видеть, что свойство иметь касание n-го порядка в точке z0 не зависит от выбора локальных координат в точке ?о, если только оба подмногообразия трансверсальны вертикальному пространству U^ н, следовательно, локально являются графиками гладких функций. Очевидно, касание n-го порядка определяет отношение эквивалентности на множестве р-мерных подмногообразий, проходящих через точку.

Определение 3.27. Пусть М— гладкое многообразие и р— фиксированное целое число, 0<p<dimM Расширенное пространство струй М*”^ определяется как множество классов эквивалентности множества всех р-мерных подмногообразий, проходящих через точку г, по отношению эквивалентности касания я-го порядка. Расширенное расслоение струй — это объединение всех этих пространств: М^ = U М(п)| ‘геМ 2‘

Если Гез Л! — произвольное р-мерное подмногообразие и ze Г, то n-е продолжение рг(п,Г |z е М^ |z — класс эквивалентности, определяемый подмногообразием Г. Если Г и Г имеют касание n-го порядка в точке z0, они, очевидно, имеют касание А-го порядка для любого к <_ п, так что имеется естественная проекция л*: М^ -» ^\ л& (рг(и)Г) = рг(й)Г. В частности, М^ ~ ~М. Следующий результат проясняет, в каком смысле расширенное пространство струй является пополнением обычного пространства струй (в том же смысле, в каком проективное пространство — «пополнение» евклидова пространства).

Теорема 3.28. Если М — гладкое (р + q^ -мерное многообразие, то расширенное расслоение струй Mw, определяемое р-мерными подмногообразиями, является гладким р + q (р^")- мерным многообразием. Если Г cz М — произвольное регулярное р-мерное подмногообразие, то его продолжение рг(">Г является регулярным р-мерным подмногообразием многообразия М^\ Если М сМ — локальная координатная карта, определяющая локальный выбор независимых и зависимых переменных (х, и), то подпространство

ММ |2 ^ {рг^Г |z: 2 ее Г, ТГ |z П TUZ |z = {0}}, заданное трансверсальными подмногообразиями Г, проходящими через точку г, является открытым всюду плотным подмножеством расширенного пространства струй М^ |z. Более того, объединение всех таких подпространств MW изоморфно обычному евклидову пространству струй; Mw ~ MX UiX ... XUn = = {(х, и^у. (х, tz) еА1}. Если ГсМ совпадает с графиком гладкой функции u = f (х), то при указанном отождествлении его продолжение рг(и)Г с Mw cz М'^ совпадает с графиком продолжения функции f: рг<п)Г = {(х, pr(n>f(x))}.

Таким образом, исключая особое подмногообразие Tw\z = = М*"1 Iz \ Mw |z, состоящее из продолжений нетрансверсальных

подмногообразий, расширенное пространство струй выглядит в точности как обычное пространство струй, обсуждавшееся в гл. 2. Доказательство этой теоремы не составляет труда; иллюстративный пример должен показать, как можно восстановить детали в общем случае.

Пример 3.29. Пусть М cz R2 открыто, и пусть р = 1, так что мы рассматриваем одномерные подмногообразия (кривые) в М. Две кривые задают одну и ту же точку в M^l^, если и только если в некоторых локальных координатах вблизи точки г0 = = (х0, у0) они задаются как графики функций и = Цх'), и = = НХ) с одинаковыми производными в точке х0 до порядка п включительно:

«О = f (х0) = F (Хо), Г (х0) = V (х0), . . ., fW (х0) = fW (х0).

Тогда в случае п = 1 кривые Г и Г имеют в точке го касание первого порядка, если и только если они касаются в точке г0. Таким образом, М^11^ задается множеством всех касательных к кривым, проходящим через точку г0. Поскольку каждая такая прямая определяется углом 6, который она составляет с горизонталью, меняющимся от 6 = О до 6 = л, мы можем отождествить ^‘^ с окружностью S1, где «угловая» координата удовлетворяет условию 0 ^ 6 < л. Топологически тогда Af<*> ~М X X 51. Выбирая координаты (х, и) на М, мы получаем, что евклидово пространство струй Af(1)|Zo является подмножеством пространства М^^, заданным теми кривыми, касательные к которым не вертикальны, т. е. 6=#л/2. Мы можем отождествить это подмножество с обычным пространством струй {(х, и, их^}, полагая их = tg 0.

Обращаясь к случаю п = 2, мы видим, что две кривые Г и Г имеют касание второго порядка в точке г0, если и только если они соприкасаются в точке г0, т. е. имеют там одну и ту же касательную и одинаковую кривизну. Таким образом, А!<2) |а можно отождествить с множеством всех окружностей положительного радиуса, проходящих через точку го, включая вырожденные прямые. Я утверждаю, что это пространство топологически эквивалентно листу Мёбиуса! Естественное проектирование Л): л^ ^мпЧ ^s' ставит в соответствие общую касательную каждой паре соприкасающихся кривых, так что прообраз точки Og S1 (т. е. касательной, проходящей через точку г0) изоморфен R; дополнительная координата указывает кривизну кривой, имеющей данное направление касательной. Таким обра-

Ю П. Олвер

зом, локально iW^I выглядит как декартово произведение дуги S1 на R. Однако если мы фиксируем кривизну, а 6 будет возрастать от 0 до л, то по существу мы повернем данную кривую на угол л. В результате получится кривая с той же касательной, но кривизна ее изменит знак! Таким образом, когда мы обходим окружность S1, экземпляр R над каждой точкой поворачивается один раз, и мы получаем лист Мёбиуса. В локальных

Рис. 9. Расширенное пространство струй М» для Мс R.Рис. 9. Расширенное пространство струй М» для Мс R.

Рис. 9. Расширенное пространство струй М» для Мс R.

Рис. 9. Расширенное пространство струй М» для Мс R.

координатах (х, и) открытое всюду плотное подмножество М<2) |Zo с: М^2) | получается разрезанием листа вдоль линии в = = л/2. Получаемое в результате подмножество изоморфно двумерной ПЛОСКОСТИ U\ X Ui = {(«x> «хх)}-

Дальнейшие результаты о структуре расширенного пространства струй приводятся в упражнениях.

Дифференциальные уравнения

Определение 3.30. Пусть М ■— гладкое многообразие с расширенным расслоением струй Af^1, заданным р-мерными подмногообразиями. Система дифференциальных уравнений над М определяется замкнутым алгебраическим подмногообразием Ух ^ с М^. Решение системы — это р-мерное подмногообразие Г, продолжение которого целиком лежит внутри упомянутого выше алгебраического подмногообразия: рг(и)Г с: S’L

Если выбрать локальную координатную карту М с М и сосредоточить внимание на подмножестве М(п) cz М^\ то мы придем к нашему первоначальному понятию системы дифференциальных уравнений: ^д = ^д П Mw = {(х, uwY Д(х, i/n)) = 0} для некоторого множества гладких функций Д: №п’ ^-4Z. Под-

многообразие Г, являющееся графиком гладкой функции и = — f(x), будет решением в указанном смысле, если и только если соответствующая функция ) — решение в традиционном смысле: Д(х, pr<">f(x)) = 0. В дополнение мы предполагаем возможность и многозначных решений, и решений с вертикальными касательными (бесконечными производными), рассматривая их в некотором смысле как «пределы» классических решений. Всякая «традиционная» система дифференциальных уравнений, определенная на открытом подмножестве М евклидова пространства XX У, всегда может быть превращена в такую «расширенную» систему — нужно взять замыкание ее алгебраического подмногообразия в М^: 9,\ = 9*к.

Пример 3.31. Рассмотрим нелинейное волновое уравнение щ + иих = 0. Здесь основное пространство М ~ R2 X R с координатами (х, Л и), а уравнение определяет алгебраическое подмногообразие в пространстве 1-струй Af(’>~R5 с координатами (х, t; и; их, ut). Расширенное пространство струй Al^lz, как и в предыдущем примере, эквивалентно множеству всех плоскостей, проходящих через точку z = (х, t, и). Каждая плоскость единственным образом определяется своим направлением нормали п = (X, р, v), а два ненулевых вектора нормали п, п определяют одну и ту же плоскость, если и только если они являются скалярными кратными: Х = хХ, р = хр, v~xv. Величины [X, ц, v], отвечающие вектору нормали, доставляют, таким образом, «однородные» координаты на Af^Jz (которое изоморфно RP2).

Функция и = f(x, /) определяет двумерное подмногообразие rf с нормалью п=(—fx, —ft, 1), так что X = —fx, р~—ft, v = 1 образуют множество однородных координат для pr^Tf. Подмногообразие более общего вида Г= fF(x, t, и) = 0} имеет нормаль n = VF, и, следовательно, в наших координатах рг(,)Г= — {(X, t; и; [К,, Ft, FJ)}. В частности, Г и Tf имеют одну и ту же касательную плоскость, если и только если их однородные координаты эквивалентны: Fx = —xfx, Ft ——uft, Ри — и, откуда мы выводим известные формулы их = —FX!FU, ut = = —Ft/Fu- Следовательно, М(1)|г является открытым подмножеством пространства Af^lz, где третья однородная координата v не обращается в нуль, и в этом случае их ——X/v, щ =—p/v.

Если мы подставим эти выражения в исходное уравнение, мы получим явную формулу для расширенного подмногообразия

^д = {(х, /; и; [А, р, v]): X + up = 0}.

Решением тогда будет двумерное подмногообразие Г= (F(x, t, u) — 0}, такое, что prfl) Г о: ^д. Это означает, что dtF -\- идхР —

= 0 (ДЕ #=0). Это уравнение теперь можно решить непосредственно методом характеристик § 2.1. Мы получим общее решение F = F(x— tu, и). Иначе, мы можем использовать преобразование типа годографа и выбрать новые независимые переменные t и и и новую зависимую переменную х. Заметим, что xt = —р/%, хи = —v/%, так что в координатах (/ и; х; xt, xu) на М**1 уравнение принимает вид xt = и, а это уравнение элементарно решается: х = tu -F h^, где h — произвольная функция от и. Заметим, что, хотя такой выбор координат приводит к глобально определенным решениям, в исходных координатах (х, t; и) решения могут стать многозначными, что приводит к известному явлению разрушения волн. (В нашей теперешней интерпретации эти многозначные функции остаются решениями, тогда как в физических приложениях нужно заменить их решениями, содержащими ударные волны.)

Действия групп

Если g: М->-М— произвольный диффеоморфизм и ГсЛ1~ некоторое р-мерное подмногообразие, то g-r={g-x: хе Г} также является р-мерным многообразием. Кроме того, g сохраняет отношение эквивалентности касания и-го порядка, так что имеется индуцированный диффеоморфизм pr^g расширенного пространства струй Л!^:

pr<n)g (рг(">Г У = pr<"> (g • Г) |g.z, ze Г. (3.31)

Таким образом, для всякой локальной группы преобразований G, действующей на М, имеется индуцированное действие «-го продолжения pr(n>G на М^. В произвольной локальной координатной карте М с М это действие совпадает с нашим предыдущим понятием продолжения на соответствующее евклидово пространство струй Affn) с М^\ Особенно подчеркнем, что, поскольку всякое р-мерное подмногообразие, трансверсально оно или нет, рассматривается теперь как график «функции», мы не беспокоимся больше об областях определения продолженного действия группы; если g определен на Mg, то prWg определен на всем M^L В частности, если G — глобальная группа преобразований, ее продолжение на М^ остается глобальной группой преобразований. (Ср. это с примером 2.26.)

Если v — векторное поле на М, его продолжение pr<">v является векторным полем на М^, которое порождает продолжение pr<"> [exp (ev) ] однопараметрической группы, порожденной полем V. Поскольку это согласуется с обычным продолжением

на любой координатной карте М с М, мы немедленно заключаем, что формула для pr<n>v такая же, как в теореме 2.36 на подпространстве Л1<г0 с М^. (Заметим, что из этого замечания мы выводим инвариантность (2.38) относительно произвольных замен независимых и зависимых переменных!)

Локально разрешимая система дифференциальных уравнений У&аМ^ инвариантна относительно действия группы G, если и только если pr<n>G сохраняет 9^, т. е. рг^^^д] czS’a. Соответствующий инфинитезимальный критерий состоит в том, что pr<">v касается ^д, если v — инфинитезимальная образующая группы G. В локальных координатах на М ст М это приводит к нашему обычному инфинитезимальному критерию инвариантности (2.25), который является и необходимым, и достаточным, когда 9’& = S^l П М<п) и локально разрешимо, и имеет максимальный ранг, а полное подмногообразие ^д ел М^ в точности является замыканием б^д. (Иначе можно было бы проверить инвариантность в другой системе координат.) Таким образом, теория групп симметрий систем дифференциальных уравнений на расширенном расслоении струй ни в каком существенном аспекте не отличается от нашей предыдущей теории групп симметрий дифференциальных уравнений и на самом деле сводится к ней, как только на М вводятся локальные координаты.

Инвариантное пространство струй

Ключом к геометрическому пониманию конструкции решений, инвариантных относительно группы, является выяснение структуры соответствующих подмножеств пространства струй. Предположим, что группа G действует на гладком многообразии М, на котором задана некоторая система дифференциальных уравнений Р’д. G-инвариантные решения этой системы будут некоторыми р-мерными подмногообразиями Г с М, отвечающими графикам функций в локальных координатных картах, являющимися локально инвариантными относительно действия группы G. Вообще говоря, эти G-инвариантные подмногообразия будут заполнять не все пространство струй М^, а только некоторое подпространство ^ = ^1^, называемое инвариантным пространством группы G. Оно определяется как

IW | = |г(п) ^ лЦ") |^; существует локально G-инвариантное р-мерное подмногообразие Г, проходящее через точку z0, с продолжением z^ = рг<п)Г j.

В большинстве практически интересных случаев М — открытое подмножество некоторого фиксированного евклидова пространства, а М^1 с М^— обычное пространство струй. Соответствующее инвариантное пространство ^ = ^Г\М№, которое определяется продолжениями G-инвариантных функций u = f(x), имеет вид

^ k ~ {(xo> ^gM1*. существует локально G-инвариантная функция, определенная в окрестности точки х0, такая, что ы^ = pr^^f (х0)}.

Для практических целей больше подходит пространство IW — с ним легче работать, тогда как его расширение У1"’ выдвигается на первый план в теоретических доказательствах.

Пример 3.32. Рассмотрим случай р = 2, q—1, так что X имеет координаты (х, (), а (/ — одну зависимую переменную и. Пусть G — группа сдвигов (х, t; и)»—> (х + е, t; и) с инфинитезимальной образующей д/дх. Функция y = f(x, f) является G-инвариантной, если и только если f не зависит от х. Таким образом,

/<1) = {(х, t; и; их, uty. их~0},поскольку в каждой точке их = df/dx обращается в нуль, тогдакак щ = df/dt может быть выбрано произвольно. Аналогично,7® = {(х, t-, и; их, up, ихх, uxf, щ^. их = ихх = их^ = 0}

и т. д. В качестве полезного упражнения в этот момент читателю рекомендуется найти /(|) и 7<2) в случае группы вращений G=SO(2) с инфинитезимальной образующей —1дх-\-хдь

В теореме 3.38 мы дадим явную характеризацию инвариантного пространства в общем случае. Однако мы можем уже доказать большинство важных свойств этого пространства, даже не имея точной формулы.

Предложение 3.33. Пусть М — гладкое многообразие и G— локальная группа преобразований, действующая на М. Тогда инвариантное пространство струи I, а М, , отвечающее группе G, инвариантно относительно действия pr<n,G на М^'

pr™g [7<n)] <= IW, geG.

Доказательство. Пусть гоп) — точка в 7*R)|Zi, так что по определению существует локально G-инвариантное р-мерное подмно-

гообразие Г, проходящее через точку z0, такое, что рг<п,Г|го = = zo"\ Если g — произвольный элемент группы G, такой, что определено g-zo = zo, то преобразованное подмногообразие Г = = £-Г= {g-z: геГ, g-z определено} также является локально G-инвариантным. (Почему?) Таким образом, в силу (3.31)

pr(">g (zg”) = pH”>g ■ [рг(”Т |J = pr<">f |a.

Оно, будучи продолжением локально G-инвариантного подмногообразия, лежит в Лп)|го- Это завершает доказательство. (То же доказательство, очевидно, работает и в случае обычного инвариантного пространства 1W cz MW.) □

Связь с фактормногообразием

Поскольку инвариантное пространство струй 1^ для-действия группы само является инвариантным относительно продолженного действия группы pr(n)G , мы можем определить факторпространство /^/pr^’G, сжимая орбиты продолжения pr(n)G в 1^ в точки. В случае когда G действует на многообразии М регулярно, это «продолженное фактормногообразие» можно отождествить с пространством п-струй соответствующего фактормногообразия М/G. Этот результат, и формулировка, и доказательство которого становятся элементарными на языке расширенных расслоений струй (но заметно усложняются, если мы останемся в обычном пространстве струй, как будет видно впоследствии), немедленно приводит к редуцированной системе дифференциальных уравнений для G-инвариантных решений.

Предложение 3.34. Пусть G — локальная группа преобразований, действующая регулярно на (р + q) -мерном многообразии М с s-мерными орбитами, s^.p. Пусть M/G — соответствующее (р -\- q — s) -мерное фактормногообразие. Пусть М^* — расширенное пространство п-струй, порожденное р-мерными подмногообразиями многообразия М, и I{^ cz h/^1 — соответствующее инвариантное пространство, порожденное G-инвариантными р-мерными подмногообразиями. Тогда имеется естественная проекция л(«). /("^(^/оУ"* tta расширенное пространство п-струй, соответствующее (р — s) -мерным подмногообразиям фактормногообразия М/G, обладающая следующими свойствами:

Если zeM имеет образ л(з)= w е М/G, где л: М-> ->■ M[G — естественная проекция, то

nW. /i"> |г (Af/G)^> L

— диффеоморфизм.

Если Г а М — произвольное G-инвариантное р-мерное подмногообразие с образом Г/G = л [Г] с М/G, то

л^ [рГ(п)Г IJ = рГ(") (Г/G) |w (3.32) для любогоzgV с образом w — л(г) е Г/G.

Две точки z^ и zw из ^ имеют один и тот же образ в (M/G)^ при отображении л^, если и только если они лежат в одной и той же орбите продолжения pr<n)G. Таким образом,

^/^G ~ Wif?,

причем л(п> совпадает с естественной проекцией.

Доказательство. Почти все эти свойства непосредственно вытекают из соответствия между G-инвариантными р-мерными подмногообразиями многообразия М и общими (р — s)-мерными подмногообразиями фактормногообразия М/G, описанного в предложении 3.21, а также из следующей леммы.

Лемма 3.35. Пусть Г и Г — локально G-инвариантные подмногообразия многообразия М с образами Г/G и Г/G в M/G. Тогда Г и Г имеют касание п-го порядка в точке z0 е М, если и только если Г/G и Г/G имеют касание п-го порядка в точке w0 = л(г0) е M/G.

Доказательство. Выберем плоские локальные координаты (t, у, и) — (Г, . . . , ts, У1, . . . , yp-s, У1, • • • , У9) вблизи ТОЧКИ 2° = = (f0, у0, и0), так что орбиты группы G будут слоями (у = с, и = с}, а Г и Г— графиками функций о = ^у, t), v = f(y, f) соответственно. G-инвариантность Г и Г влечет за собой независимость f и f от t. Кроме того, в соответствующих локальных координатах (у, и) на М/G подмногообразия Г/G и Г/G задаются теми же формулами и = f(y) и и = /(у) соответственно. Таким образом, эта лемма тривиальна: касание п-го порядка между Г и Г означает, что производные до порядка п включительно от / и / по у и t совпадают в точке (у0, /о)- Но производные по t все тождественно равны нулю, так что это, очевидно, эквивалентно требованию, что производные от / и / по у до порядка п включительно совпадают в точке у0, а это то же самое, что сказать, что Г/G и Г/G имеют касание п-го порядка в точке у0. □

Чтобы доказать предложение 3.34, мы определяем отображение л^, пользуясь формулой (3.32). Как утверждает лемма, это отображение определено корректно. Часть (а) следует из соот-

ветствия между G-инвариантными подмногообразиями многообразия М и их образами в M]G. Чтобы доказать ч. (с), предположим, что Г и Г — локально G-инвариантные подмногообразия, представляющие ^ = рг(п) Г |z и zw = рг(п) Г |я уу Образы л(») (^Ю) = рг(") (р^ |я ^ и л(«) ^п^ = рг(п» ^^ |^ ^ совпадают, если и только если Г/G и Г/G имеют касание и-го порядка в точке w = л(з) = л(5). Мы заключаем, что гиг лежат в одной и той же орбите группы G в М; поэтому в силу предложения 1.24 существуют элементы gi, ..., gtE G, такие, что г = = gvgv • • • -gk-z. Пусть Р = gr ... -^-Г. Тогда Г* проходит через точку г и имеет ту же проекцию Г*/С = Г/G, что и Г. По лемме 3.35 Г и Г имеют касание п-го порядка в точке г. Поэтому

zW = pr(n)f |_ = рг^Г* |2 = pr<"> [g, ■ g2 • ... • gk ■ Г] |2 =

= pr<”>gi - pr(n>g2 • • • • • pr(nfe (рг(">Г |г) =

= pr<R)g1- ... -p^gu^Y

так что z(n> и z(n) лежат в одной и той же орбите продолжения pr(R)G. □

Редуцированное уравнение

Пусть S^a cz М^ соответствует системе Д уравнений с частными производными, допускающей группу симметрий G. Если Г ■— график G-инвариантного решения системы Д, то его продолжение рг(п>Г не только является подмногообразием в 5д; оно обязано также лежать в инвариантном пространстве 1^. Значит, чтобы найти такие решения, нужно рассмотреть пересечение ^д П1^ этих двух подмногообразий, инвариантность которого относительно продолжения pr(n)G гарантируется предложением 3.33. Используя проекцию из предложения 3.34, мы придем тогда к редуцированной системе ^ю = л(п)kind Теперь легко сформулировать и доказать основную теорему о построении инвариантных относительно группы решений.

Теорема 3.36. Пусть G — группа симметрий системы дифференциальных уравнений З^с.^?. Тогда р-мерное многообразие Г с= М является G-инвариантным решением, если и только если соответствующее {р— s) -мерное подмногообразие Г/G cz cz M[G является решением редуцированной системы

^jg = л(п) [^П Л”’] cz VM/Gt\

Доказательство. Если Г — такое решение, то его продолжение рг(п>Г лежит в пересечении ^дЛ^”1- Тогда в силу предложения 3.34 л(п) [рг<п)Г] = рг(п) (Г/G) лежит в ^д/g, а следовательно, Г/G— решение редуцированной системы. Для доказательства обратного утверждения заметим сначала, что в силу предложения 3.33 пересечение УдГИ*"1 является рг<п)С-инвари- антным; следовательно, если zw е /"’ обладает проекцией л(”)(2(п)) е ^iq, то z^ е 9^ Л 1("\ (В самом деле, мы можем найти точку zw е ^д Л ^"\ лежащую в той же орбите продолжения pr<n)G.) Поэтому, если Г/G является решением редуцированной системы и Г = л-1 (Г/G) — соответствующее G-инвариантное подмногообразие многообразия М, то в силу (3.32) рг(п) Г с ^д Л /'Л поскольку л(п) [рг(п) Г ] = рг(п) (Г/G) с 9^(0. Таким образом, Г — решение. □

Локальные координаты

Теорема 3.36 дала строгое обоснование общего метода построения инвариантных относительно группы решений. Ее почти тривиальное доказательство — хорошая иллюстрация мощи математической абстракции в упрощении и в то же время обобщении, казалось бы, сложных построений. С другой стороны, с более физической точки зрения, такое представление совершенно не конкретно, так что мы вынуждены перенести абстрактные конструкции пространства струй обратно на землю, а это означает ввести снова локальные координаты. Итак, пусть (х, и) = = (х1, ..., хр, и1, ..., и4) — локальные координаты на многообразии М, которое мы снова можем рассматривать как открытое подмножество евклидова пространства XXG, с пространством струй Mw с М^-

Если G — локальная группа преобразований, действующая на М, то инвариантное пространство 7<п) с М^ отличается от . ж ж ж ж * с в точности на образы нетрансверсальных G-инвариантных подмногообразий Г. В частности, 7(0) с М состоит из всех точек 20= (хо, «о), таких, что существует по крайней мере одна локально G-инвариантная функция и = f(x), график которой проходит через точку z0. Заметим, что, тогда как имеет место равенство 1^ = М (при условии, что размерность s орбит группы G не превосходит р), 7<0) не обязательно совпадает с М. Например, в случае группы G = 80(2), действующей как группа вращений на X X U ~ R2, локально G-инвариантными функциями являются

и = ± Vc2 — х2, графики которых — полуокружности. Но таких графиков, проходящих через точки оси х, нет, так что /(0) = — {(х, и): и У= 0} строго содержится в М = X X U- Вообще говоря, вне /<0) вообще нет G-инвариантных функций, так что мы можем ограничиться множеством 7(0) и с этих пор считать, что М = 7<°>, — это означает, что через каждую точку из М проходит график некоторой G-инвариантной функции u = f(x). В случае регулярного действия группы имеется простая явная характеризация этого требования.

Предложение 3.37. Пусть группа G действует регулярно на McX/U. Тогда zogM лежит в В°\ если и только если орбита группы G, проходящая через точку zo, трансверсальна вертикальному пространству U Zo. В этом случае говорят, что группа G действует трансверсально в точке z0.

Доказательство. Необходимость трансверсальности очевидна, поскольку если Г локально G-инвариантно, то Г содержит относительно открытое подмножество W Г\ 0 орбиты 0, проходящей через точку z0, и поэтому трансверсальность подмногообразия Г влечет за собой трансверсальность орбиты 0. Чтобы доказать достаточность, заметим, что по определению группа G действует трансверсально в точке z0, если и только если

9L„nwiZc={0},(3.33)

поскольку g |Zo является касательным пространством к орбите, проходящей через точку z0. Пусть ш0=л(г0)—образ этой точки в M)G. Из теоремы 3.18 вытекает, что дл [T0zJ2J = tU* | является ^-мерным подпространством пространства T^MJG')^. Пусть Г—произвольное (р— s)-мерное подмногообразие, трансверсальное этому подпространству. Это означает, что ГГ 1^(1 ИГ1№= {0}. Тогда легко видеть, что Г = л-‘(Г) является G-инвариантным р-мерным подмногообразием многообразия М, проходящим через точку z0, трансверсально Uze. Следовательно, z0 е /<°>. □

В локальных координатах, если алгебра Ли g натянута на векторные поля"

vk = Е Ц(х, и)дх1 + Е Фа^’ “)диа' к=Х, . • •, Г,

то (3.33) равносильно условию, что ранг матрицы размера рХг с элементами 11 (х, “) равен в точности размерности s орбиты

(в точке 20 = (х0, «о)):

rank (Ц (х0, u0)) = rank (Ц (х0, и0\ ^ (х0, u0)) = s. (3.34)

Например, действие группы SO(2) на R2 порождено полем —идх + хди. Имеем s = rank(—и, х) = 1 при (х, и) #= (0, 0), тогда как гапк(—и) = 1, кроме « = 0. Таким образом, группа SO (2) действует трансверсально всюду, кроме оси х, что согласуется с нашими вычислениями, проделанными ранее.

Это проясняет связь между трансверсальностью и существованием G-инвариантных функций, по меньшей мере на локальном уровне. Вопрос о существовании глобально определенных G-инвариантных функций значительно более тонок, и существование таких функций не следует даже из выполнения условия локальной трансверсальности всюду. Для примера см. упр. 3.15.

С этого момента мы считаем, что группа G действует трансверсально всюду, так что /<0) = М. Тогда инвариантное пространство 1№ можно явно описать через инфинитезимальные образующие группы G.

Теорема 3.38. Пусть группа Г действует регулярно и трансверсально на М с XX U. Пусть

Р9

^=1АМ^*^М-^. 6 = 1г, 1 = 1(1=1

— базис инфинитезимальных образующих. Тогда п-е инвариантное пространство lw с Mw определяется равенствами

/(”> = {(х, u.W): DjQ^(x, uw) = 0, k = 1, ..., г, а = 1, ... q,*Kn—iy

где Q« = Фа — X б!«? — характеристики векторных полей v^. (См. (2.48).)'

Доказательство. Мы наметим доказательство для п = 1, когда /(1) — общее множество нулей характеристик Qa(x, i/1*). Распространение этого доказательства на случай произвольного п мы оставляем читателю. Если и = f(x) есть G-инвариантная функция, то для a = 1, ..., q равенства

р

O-y^"-^-.^^^

должны выполняться для u = f(x). Справа, таким образом, стоят Qa(x, рг(1)Нх))- Поскольку каждая точка в IW опреде-

ляется первым продолжением такой G-инвариантной функции, мы заключаем, что Iw содержится в множестве, где Qa = 0 для всех а, к. Эта часть справедлива для какого бы то ни было действия группы.

Для доказательства обратного мы должны воспользоваться ограничениями на действие группы. Самый простой путь сделать это— ввести специальные локальные координаты (у, и) = = (у1, ..., ур, и1, ..., и9), в которых орбиты группы G являются СЛОЯМИ {у1 = Сь . . . , yp-s = Cps, и1 = СЬ . . . , уЧ=С^, и, следовательно, в каждой точке (уо, Vo) пространство инфинитезимальных образующих 9ltoo>Do) порождается касательными векторами д[дур-5ЛЛ, . .., д]дур. В этом случае обращение в нуль всех характеристик эквивалентно условиям дуа/дук = 0 для всех a = 1, ..., q, к = р— s+1, ..., р. Каждой точке (у0, го 0 е Aftu, удовлетворяющей этим уравнениям, легко поставить в соответствие функцию и = h(y), такую, что Го* = = рг(1,/г(у0) (например, h может быть константой!), и, следовательно, справедливо обратное включение, что и доказывает теорему.

Однако при такой замене координат придется иметь дело с двумя техническими моментами. Первый состоит в том, что замена координат не меняет характеристик или, более точно, не меняет их общего множества нулей. Это следует из общей формулы упр. 3.21 для поведения характеристик при заменах переменных. Другой момент состоит в том, что график функции u = f(x), выраженный в координатах (у, и), может перестать быть трансверсальным вертикальному v-пространству и, следовательно, перестать быть графиком корректно определенной функции у = h^yY Это, однако, легко исправить с помощью линейной треугольной замены переменных У ~ у + Ly, у = у, где L — некоторая постоянная матрица размера р X Я- Координаты (у, и) остаются плоскими, а матрицу L всегда можно выбрать так, чтобы график функции ы = /(х) снова был трансверсалей вертикальному пространству. □

Пример 3.39. В случае группы вращений 50(2) инфинитезимальной образующей будет v = —идх + хди, а характеристикой Q = х + иих. Первое инвариантное пространство в точке (х, и) при и =/= О— это, таким образом, Iw = {(х, и, иху. х + иих=ОУ Заметим, что даже если и = О, Q не обращается в нуль при х =/= 0, так что Iw описывается как множество нулей характеристики всюду, кроме начала координат х = и = 0. Однако там 1^ остается пустым, но Q = 0 для всех их, так что регулярность действия группы существенна для справедливости тео-

ремы 3.38. Инвариантные пространства высших порядков строятся дифференцированием, так что при и =+ 0

/<2) = {(х, и, их, ихху. х + иих = 0,1+ иихх + их = 0}

и т. д.

Чтобы перейти к фактормногообразию, мы сделаем дальнейшее предположение, что существуют р + q — s глобально определенных функционально независимых инвариантов группы G на М, которые мы разделяем на новые независимые переменные у‘ = ^(х, и), 1=1, ..., р — s, и новые зависимые переменные уо —^a(x, и^ a _ ^ , ц (это всегда можно сделать дальнейшим сужением области М.) Эти новые переменные дают глобальные координаты на фактормногообразии M]G, которое мы можем поэтому рассматривать как открытое подмножество Vp А* Ч — х)-мерного евклидова пространства У X V.

Как мы видели в предложении 3.34, проекция л(п) задает диффеоморфизм между всем инвариантным пространством ЛП)Ь0 в точке zoe М и всем расширенным пространством струй ^MjG^Ц в образе этой точки w0 = л(г0) е М/G. Однако при введении локальных координат и на М, и на М/G мы должны наложить требования трансверсальности на соответствующие подмногообразия, чтобы гарантировать, что локально они будут выглядеть как графики гладких функций. В результате основ

ное соответствие между инвариантным пространством /n)|Zo и обычным пространством струй (Л4/С)|п)|ы,о теряет большую часть своей изначальной простоты из расширенного варианта теоремы 3.36.

Пример 3.24 показывает, как графики гладких G-инвариантных функций могут проектироваться на нетрансверсальные подмногообразия в M]G или, наоборот, гладкие функции на М/С могут соответствовать нетрансверсальным G-инвариантным подмногообразиям в М. Поэтому чтобы сохранить основное соот

ветствие, мы должны исключить эти патологические случаи и

сосредоточиться на тех G-инвариантных функциях на М, кото

Zc, заметаемое продолZc, заметаемое продолрые соответствуют гладким функциям на M]G и наоборот. Подробнее, инвариантное пространство 7|п)

Zc, заметаемое продол

Zc, заметаемое продол

жениями G-инвариантных функций и = f(x), отличается от расширенного инвариантного пространства только на точки в «вертикальном» подмногообразии Tw Zo = М^ |z \ М^ |. Пусть (уТоУ^ ^ л,п) [Г,п) |zc П ^1 J -его образ в (м/О^; точ-

ка в нем представляет продолжение подмногообразия в М]С, проходящего через точку two и не соответствующего графику никакой гладкой G-инвариантной функции, проходящей через точку z0. Дополнение в пространстве струй

№w L=(мюг |Юо \ Hmw L,

представляет продолжения «хороших» функций и = h(y), соответствующих локально G-инвариантным функциям и = f (х) вблизи точки z0.

Обратно, обычное пространство струй (M/G)(n) |№ отличается от расширенного пространства струй (vW/G)*n) вертикальным подмногообразием (Г/G)*"’ Ц^ (MIG)™ |№ \ (М/О^Ц. Пусть ^"'L-его прообраз в /"?|Ze, так что л|п) [r^1 Ц = ^IG^ 1^. Его точка представляет продолжение G-инвариантного подмногообразия, проходящего через точку z0, не соответствующего графику гладкой функции и = h(y) на М/G. Остаток инвариантного пространства

7(П)| /(п)| х ^(П)|

2о

содержит продолжения всех «хороших» G-инвариантных функций и = f(x), соответствующих явным функциям и = Цу') на M]G. Именно на этом пространстве «хороших» продолжений имеется соответствие, аналогичное установленному в предложении 3.34.

Предложение 3.40. Проекция л(п): i^\ -> (M/G),"> | индуцирует диффеоморфизм л,п): Tw Ц -> ^М[О^ |№» где №0 = л(20).

Так много геометрии; как же все это вычисляется явно в данных локальных координатах? Функциональная независимость инвариантов г], £ означает, что матрица Якоби

/ dr^dx1 дт?]ди^ \

^Vd^ldx1 д^/диЧ

всюду имеет ранг р + q— s. Условие трансверсальности (3.34) вкупе с инфинитезимальным критерием инвариантности т)‘, £а требует, чтобы последние q столбцов матрицы J всюду имели ранг q:

rank (дц^ди^, dt^du^Y" = q.(3.35)

По теореме о неявной функции мы можем тогда выразить локально все зависимые переменные их, ..., и4 вместе ср — s не-

зависимыми переменными, скажем х = (лД, ..., x1p-s), через у = (у1Ур-$),и = (и1, ..., и9) и оставшиеся s независи

мых переменных х = (х;‘, ..., х,$):

(3.36)(3.36)х = у(х, у, и), и = 6(х, у, и).

(3.36)

(3.36)

Для любого фиксированного значения у0, и0 редуцированных переменных (3.36) определяет орбиту группы G в М, параметризованную «параметрическими переменными» х.

Если u = h(y)— функция, график которой лежит в M]G, то соответствующее G-инвариантное р-мерное подмногообразие в М задается уравнениями

С (х, ы) = /г[т](х, «)],С (х, ы) = /г[т](х, «)],(3.37)(3.37)

С (х, ы) = /г[т](х, «)],

С (х, ы) = /г[т](х, «)],

(3.37)

(3.37)

полученными заменой у и v их выражениями как инвариантов на М. Это подмногообразие в М будет графиком функции и = f(x), если и только если мы можем выразить из (3.37) и как функцию от х. Для этого требуется, чтобы матрица дуди — (dh/dy) • (d-q/du) размера q^q была невырожденна. (Как в § 3.1, символы частных производных означают здесь матрицы Якоби.) Поскольку мы можем отождествить h с и, имеет смысл записать это условие трансверсальности в виде

det=#0-(3.38)

V ди ду ди ) '''

Противоположный случай, когда этот детерминант обращается в нуль, будет соответствовать G-инвариантным подмногообразиям в М, не трансверсальным вертикальному пространству [7г и, следовательно, определяющим особое подмногообразие (^/G)1"*^, которое нам нужно исключить!

Из (3.37) мы можем дифференцированием найти выражения для производных от и по х через производные от и по у. По цепному правилу

+ (3.39)

дх х ди дх ду X дх х ди дх 7 х *

Здесь каждая производная снова представляет собой матрицу Якоби подходящего размера. Это можно переписать в виде

(3.40)(3.40)dt.дедч\\ ди дидуд£

(3.40)

(3.40)

"дйдуди ) дх‘ дудхдх ’

и наше условие трансверсальности (3.38) позволяет нам разрешить это уравнение явно относительно dufdx:

ди / dt, _ ди ду X"1 / дг> ду _ dg X

дх — к ди ду ди ) к ду дх дх

Мы получили функцию от х, и и dv/dy. Первые р + q переменных можно заменить их выражениями (3.36), что приводит к формуле

ди , /,„ до X

-н— = di I х, у, v, —— ),дх 1 X ’ у ’ ду )

выражающей производные первого порядка по х от G-инвариантной функции ы — f(x) через производные первого порядка ее представителя v = h(y).

Производные высших порядков получаются дальнейшим дифференцированием (3.39). Если мы введем полные матрицы Якоби DaI], Dx? с элементами D^i, DfQa соответственно, то (3.39) приобретет более простой вид

D^ = -^-.Dxn.

Дифференцируя по х, мы получим (в очевидных обозначениях)

D^—|-^ч+-$-(М!.р-41»

где

П2я = ^ । о ^^ ди । д^ (диУ I дЕ д5и дх2 дх ди дх ди2 X дх / 'ди дх2 ‘

(Мы оставляем читателю расстановку подходящих индексов.) Если мы сгруппируем члены, включающие производные второго порядка от и, то получим выражение вида

/ dt,до dr] X д2и ~ / ди до д2о \

X диду ди / дх22 х*’ Ы’ дх * ду ’ ду2 ) "

Снова (3.38) позволяет нам обратить матрицу, стоящую слева, и мы можем поэтому выразить d^ujdx1 через х, и, dujdx и и, dv/dy. Первый набор переменных можно заменить соответствующими выражениями от у, и, dv/dy и параметрических переменных х, так что

^- = б2(х, у, v^Y

где 62 — некоторая корректно определенная функция. Случай производных п-го порядка совершенно аналогичен. Заменяя (3.41), мы получаем формулу вида

D^ = -^-D^+ ...,(3.42)

где опущенные члены зависят от полных производных от т) более низкого порядка, а также от производных от и по у до

порядка п включительно. Далее,

г)п$-^ ^пи

иА~ ди 8кп

опущенные члены зависят от производных от и порядка п — 1 и ниже. Таким образом, (3.42) имеет вид

( dtди dri \ дпиг /dn-vuQvд%\

\ диду ди ) дх\дхдуду /

Как и раньше, мы можем обратить матрицу, стоящую слева, и подставить вместо всех производных от и, получающихся в правой части, их ранее вычисленные выражения. Это приводит к явной формуле

ы<") = б,п) (х, у, у(п)) (3.43)

для производных n-го порядка от и по х, выраженных через у, у и производные от у по у до порядка п включительно плюс вездесущие параметрические переменные х.

Эти формулы служат для параметризации инвариантного пространства, так что если z и w связаны соотношением л(г) = = W, то

IW |2 = {(х, «(">): ц(”) — б*”) (х, у, у(п))

для некоторого (у, у("’) е (M/G),n) [„,}, так что для каждой фиксированной точки (у, у<п)), удовлетворяющей условию (3.38), соответствующая орбита продолжения pr(n)G в Т№ параметризована посредством х. Кроме того, проекция л(п) (х, ы(п>) такой точки — это просто точка (у, у(п)) е е (M/Gyn\ полученная забыванием переменных х.

Наконец, пусть Д(х, ы<п>) = 0— система уравнений с частными производными на М, задающая подмногообразие ^д cz Mw. Ее G-инвариантные решения (если они существуют) будут иметь продолжения в пересечении ^д П 7<п). Если мы, кроме того, потребуем, чтобы каждое такое G-инвариантное решение u = f(x) соответствовало гладкой функции у = h(y) на фак- тормногообразии, нам придется еще сузить подпространство Iw и рассматривать ^д П *п\ Поскольку 7<”> параметризовано посредством х, у, у<”>, как видно из (3.43), мы можем найти это пересечение, выражая Д через х, у, v^, так что Д(х, у, у(п>) = = Д(х, и^У когда справедлива формула (3.43), и, таким образом,

^дП/*п) = {(х, У^ vw)e7w: Д(х, у, и(п)) = 0}.

Далее, если G — группа симметрий системы Д, то ^д П 7<"> локально инвариантно относительно продолженного действия

pr(n)G, для которого (у, v(n)) образуют полную систему независимых инвариантов. В силу предложения 2.18 имеется эквивалентное множество уравнений, которое мы обозначаем Д/G, не зависящее от параметрических переменных х, так что

^аА/м^К^ У) у(»)) <=7(п): Д/G (у, у(")) = 0}.

Из указанного ранее вида проекции л(п) мы немедленно заключаем, что часть редуцированной системы в (М/ОУ^, а именно

^д/о = л™ (^д П Т^ = {(У, v(n)): А/G (у, у^>) = 0), (3.44) задается уравнениями Д/G. Таким образом, мы полностью обосновали процедуру § 3.1. Теорема 3.36, дополненная предложением 3.40, показывает, что нами доказан следующий строгий способ построения инвариантных относительно группы решений систем дифференциальных уравнений с частными производными.

Теорема 3.41. Пусть G—локальная группа преобразований, действующая регулярно и трансверсально на МсХуд с глобально определенными независимыми инвариантами, и, значит, М/G сд У X V. Пусть Д — система уравнений с частными производными, определенная на М, допускающая группу G в качестве своей группы симметрий. Тогда имеется редуцированная система дифференциальных уравнений ^/G на M.IG, заданная (3.44), обладающая тем свойством, что всякая G-инвариантная функция и = f(x) на М, соответствующая корректно определенной функции у = h(y) на MJG, будет решением системы /X, если и только если ее представитель h — решение системы ts.[G.

(Подходящие замены координат на M]G приведут ко всем G-инвариантным решениям системы Д, даже к тем, которые изначально были нетрансверсальными при исходном выборе координат.) Это завершает наше развитие теории и обоснования процедуры редукции.

Замечания

Несмотря на многочисленные заявления, что понятие инвариантного относительно группы решения системы уравнений с частными производными не сложилось в полной общности вплоть до 1950 г., на самом деле Ли в одной из своих последних работ Lie [6] ввел изложенный нами общий метод отыскания таких решений. Ли рассматривал решения систем уравнений с частными производными, инвариантные относительно групп

контактных преобразований, однако его результаты включают локальные варианты теперешних теорем редукции. В § 65 вышеупомянутой работы он доказал, что все решения уравнения с частными производными от двух независимых переменных, инвариантные относительно однопараметрической группы, можно найти путем решения связанного с исходным обыкновенного дифференциального уравнения. Обобщение на системы уравнений с частными производными, инвариантные относительно многопараметрических групп, т. е. наша теорема 3.41, сформулировано и доказано в § 76 той же работы, но, насколько мне известно, на нее ранее не было никаких ссылок ни в какой литературе на эту тему!

Ли умер прежде, чем смог найти какие бы то ни было приложения своего открытия. Много позже в работах Morgan А. [1], Michal [1] заново был получен результат Ли для случая однопараметрических групп симметрий. Впоследствии Овсянников [1], [2] рассмотрел общий случай, также не зная более ранней работы Ли. До этих переоткрытий в литературе время от времени появлялись различные частные примеры решений, инвариантных относительно группы, в особенности автомодельных, но без всякого указания на то, что это частные случаи гораздо более общей теории. Первое такое построение, о котором мне известно, проводится в работе Boltzmann [1]. На рубеже столетий автомодельные решения широко появляются в работе Прандтля, Мейера и Блазиуса и позже в работе Фолкнера и Скэна по пограничному слою в механике жидкости: см. Birkhoff [2; гл. 5], где приводятся эти и другие ссылки, а также обсуждается история Пи-теоремы 3.22 из теории размерностей. Работа Седова [1] дала сильный толчок к применению групп растяжений и получающихся таким образом автомодельных решений в теории размерностей для сложных систем. (Хорошее современное введение в использование методов подобия в инженерных приложениях представляет собой книга Seshadri, Na [1].) На долю Биркгофа (Birkhoff [2]) выпала борьба за использование более общих симметрий для построения точных решений уравнений с частными производными, и, таким образом, он непосредственно стимулировал переоткрытие метода Ли.

С тех пор как Овсянников начал свои широкие исследования, метод редукции для построения инвариантных относительно группы решений стал средоточием большой исследовательской активности сначала в Советском Союзе, а впоследствии в Европе и Соединенных Штатах. К настоящему моменту имеется много советских работ о свойствах симметрий и точных решениях уравнений механики жидкости, включая новые работы Капитанского [1], [2], упомянутые в тексте; см. Овсянников [3;

с. 391], где приведена полная библиография. (Другую технику для построения точных решений в механике жидкости можно найти в работе Berker [1].) Появление дополнительных симметрий после выполнения редукции по группе, замеченное Капитанским, рассмотрено также в работе Rosen [2].

Инвариантные относительно группы решения с большим эффектом были использованы в описании асимптотического поведения гораздо более широких классов решений систем уравнений с частными производными. Книга Баренблата [1] дает хорошее введение в применения к гиперболическим уравнениям. В том же духе в работе Ablowitz, Kodama [1] дан строгий анализ асимптотического поведения решений уравнения Кортевега— де Фриза, доказывающий, что всякое решение, стремящееся к нулю на ±оо, в конечном счете распадается в конечное число различных солитонов (бегущих волн) плюс диспергирующий хвост, убывающий, как решение описанного здесь второго уравнения Пенлеве1). Полная классификация инвариантных относительно группы решений уравнений Кортевега — де Фриза появилась впервые в работе Костина [1]. Похожие идеи возникают в задаче Сент-Венана в теории упругости — см. Ericksen [1].

Предположение об общей связи между вполне интегрируемыми (солитонными) уравнениями, такими, как уравнение Кортевега — де Фриза, и обыкновенными дифференциальными уравнениями типа Пенлеве, использующей механизм групповой инвариантности, было впервые высказано в работе Ablowitz, Ramani, Segur [1]. Доказательства некоторых частных случаев этого общего предположения, дающего вполне полезный тест на «интегрируемость», были приведены в работах Ablowitz, Ramani, Segur [2], McLeod, Olver [1]. (Недавно этот метод был значительно расширен в работе Weiss, Tabor, Carnevale [1].)

Строгое обоснование общего метода построения инвариантных относительно группы решений, основанное на монографии Palais (1] и понятии фактормногообразия, впервые появилось в работе Olver [2]. Здесь же впервые было предложено определение расширенного расслоения струй. Наше изложение является сильно упрощенным вариантом этой теории. (См. также Виноградов [5].) Расширенные расслоения струй, по-видимому, должны найти более широкое применение в дифференциальной геометрии, особенно, когда нужно иметь дело с дифференциальными уравнениями с многозначными решениями.

Присоединенное представление группы Ли на ее алгебре Ли было известно Ли. Использование его для классификации инвариантных относительно группы решений было предложено в ра-

') Этот результат содержится в работе А. Б. Шабата [1**]. — Прим. ред.

ботах Овсянникова [2; § 86] и (3; § 20]. Последняя из них содержит больше подробностей о том, как провести классификацию подгрупп группы Ли относительно присоединенного действия. Дальнейшее развитие этот метод получил в работе Patera, Win- ternitz, Zassenhaus [1], где указано также множество примеров оптимальных систем подгрупп групп Ли, играющих важную роль в математической физике. Классификация алгебр Ли симметрий для уравнения теплопроводности дана впервые в работе Weisner [1] при исследовании связей между группами Ли и специальными функциями. См. также Kalnins, Miller [1], где эта классификация применяется к вопросу о разделении переменных.

Обобщение понятия решения, инвариантного относительно группы, так называемое частично инвариантное решение, было введено Овсянниковым {2; § 17], [3; гл. 6]. В сущности частично инвариантное решение — это решение, график которого, хотя и не является полностью инвариантным относительно преобразований из рассматриваемой группы, должен оставаться в подмногообразии размерности, строго меньшей, чем р + г. Здесь р — число независимых переменных, аг — размерность орбит группы G. (Заметим, что график общей функции должен был бы отображаться в (р + г)-мерное многообразие под действием всей группы преобразований.) В определенных случаях такие решения также можно найти точно с помощью решения редуцированной системы дифференциальных уравнений с меньшим числом независимых переменных, но промежуточные вычисления значительно более сложны, чем в полностью инвариантном случае. Читателя, интересующегося полным развитием этой теории, мы отсылаем к упомянутым выше работам Овсянникова.

Другое возможное обобщение было предложено в работе Bluman, Cole [1] и в книге Ames [1; v. 2, § 2.10]. Оно называется «неклассическим методом» для решений, инвариантных относительно группы. Здесь не требуется, чтобы все подмногообразие Уд было рг(п)G-инвариантным. Нужно лишь, чтобы рг(п)С-ин- вариантным было его пересечение с инвариантным пространством Уд П^* Этот метод, хотя и приводит к редуцированным уравнениям, несколько слишком общий. Дело в том, что, поскольку мы допускаем продолжения уравнений, каждая группа преобразований на М удовлетворяет этому требованию, и обратно, каждое решение системы может быть получено таким путем. См. упр. 3.20 и указанную там работу на эту тему.

Упражнения

Рассмотрим волновое уравнение к» — ихх + (к/х) = 0 с осевой симметрией.

Какие у него группы симметрий?

Найдите и расклассифицируйте его решения, инвариантные относительно группы.

Каково фундаментальное решение этого уравнения?

Уравнение ББМ ut + их + иих — uxxt = О возникает как модельное уравнение для однонаправленного распространения длинных волн на мелкой воде.

Какова группа симметрий этого уравнения?

Найдите решения, инвариантные относительно группы, соответствующие различным однопараметрическим подгруппам, которые вы нашли в п. (a). (McLeod, Olver [1].)

Определите инвариантные относительно растяжений решения задачи Больцмана ut = (них)х, решения которой описывают диффузию некоторого вещества в среде, причем коэффициент диффузии пропорционален концентрации вещества. Какие существуют другие типы решений, инвариантных относительно группы? (Dresner [1; § 4.1].)

. Обсудите инвариантные относительно группы решения двумерного волнового уравнения. Можете ли вы их классифицировать?

Обсудите инвариантные относительно растяжений решения двумерных уравнений Эйлера для потока идеальной жидкости. (Редуцированные уравнения, насколько мие известно, не разрешимы в явном виде.)

Предположим, что сопротивление жидкости объекту определяется плотностью жидкости р, скоростью объекта о, размером объекта d и сжимаемостью p^dpjdp жидкости. Пусть с2 = dp/dp обозначает скорость звука. Докажите, что D = poz-d2f(M), где М = е/с — число Маха рассматриваемой жидкости. (М < 1 соответствует дозвуковому течению, а М > 1 — сверхзвуковому течению.) (Birkhoff [2; с. 126].)

В 1947 г. Тейлор определил энергию, выделившуюся при первом атомном взрыве в Нью-Мехико, применяя методы подобия к фотографии этого взрыва. При распростраиенни сферической ударной волны радиус R будет зависеть от времени t, выделившейся энергии Е, плотности окружающего воздуха ро и давления Ро. В предположении, что все величины выражены в одной системе единиц, докажите, что

для некоторой функции h^Y (При малых / аргумент С функции h мал, так что можно приблизить R ~ h^^E^p^^, ho = h (0); это соотношение было использовано Тейлором.) (Taylor [1], [2].)

*3.8. Найдите орбиты присоединенного представления евклидовых групп Е(2) и Е(3). (См. упр. 1.29.)

*3.9. Докажите, что каждая подалгебра алгебры симметрий (2.68) уравнения Кортевега — де Фриза эквивалентна в точности одной подалгбре оптимальной системы, состоящей из 0, одномерных подалгебр (3.25), подалгебр, порожденных

{vi, v4}, (v$, v4), (v3, v4}, {vb Vs), {vb V2 + Vs),

{Vb vs — v3), (Vi, Vs}, (Vb v3, v4), (vb Vs, v4}, (vb Vs, v3).

и самой полной алгебры симметрий.

ЗЛО. Рассмотрим дифференциальное уравнение ДЫ = ихд = 0 на M = XXU~ R3.

Докажите, что одиопараметрическая группа G сдвигов в направлении х: (х, у, и) ।—> (х + в, у, и) является группой симметрий.'

Покажите, что приведенное уравнение А/G на M(G пусто, так что всякая функция на М/G определяет G-инвариантное решение системы Д.

Более общо, докажите, что если G — регулярная группа симметрий системы дифференциальных уравнений Л и ее ннварнантное пространство /,л) является подмножеством соответствующего подмногообразия Уд с М^, то каждая функция на M[G приводит к G-инвариантному решению системы А. Как можно на практике проверить условие 7*^ с УдсЛ^”*? (См. также упр. 3.18.)

(а) Пусть G—группа симметрий системы А и HcG — нормальная подгруппа, регулярно действующая на М с X X U. Докажите, что приведенная система A/Я инвариантна относительно факторгруппы G/H, действующей на М(Н.

(Ь) Пусть р = 2, q = 1 и А(х, uw^ = 0 — одно уравнение с частными производными n-го порядка. Докажите, что если А инвариантно относительно (« +1)-параметрической разрешимой группы Ли, то все инвариантные относительно группы решения, соответствующие отдельной однопараметрической подгруппе, могут быть найдены с помощью квадратуры.

Пусть v — векторное поле на гладком многообразии М и х = |(х)— система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая поток поля V. Пусть группа G действует на М регулярно и является группой симметрий этой системы. Докажите, что на фактормногообразии M[G имеется индуцированное векторное поле v = <Zn(v), поток которого соответствует потоку поля v на М. Обсудите, как применить этот результат к теореме 2.66.

Пусть G — группа Ли и HcG—ее замкнутая подгруппа, которая действует на G правыми сдвигами: g\—>g-h, heH. Докажите, что фактор- пространство G(H является гладким многообразием. Каким будет G[H в случае, когда G = SO(3) и Н ~ 80(2)—однопараметрическая подгруппа вращений вокруг фиксированной оси?

(а) Рассмотрим группу растяжений G : (х, у")*—(Ах, Л-’г/), регулярно действующую на АГ = R2\{0}. Докажите, что соответствующее фактор- многообразие нехаусдорфово и обсудите его структуру.

(Ь) Решите ту же задачу для группы растяжений, являющихся симметриями уравнения Кортевега—де Фриза. (Olver [2].)

Пусть р = 2, <7=1. Рассмотрим однопараметрическую группу G: (х, у, и)|—>(х-|-е, у-V ей, и). Докажите, что G действует всюду трансверсально, но не существует непостоянных глобально определенных G-инвариантных функций.

р-грассманово расслоеие над m-мерным многообразием М, т^ р, определяется так, что над каждой точкой хеМ Grass (.p,M')V = Grass (р, ТАД*)—грассманово многообразие p-мерных плоскостей в касательном пространстве TA1|,. (См. упр. 1.2.) Докажите, что это то же самое, что и первое расширенное расслоение струй: Grass (р, Al) ~ Af^- (Olver [2].)

Пусть G — группа преобразований, действующая на М с X X О, продолжение pr(n,G которой действует на М,п>.

Докажите, что размерность орбит продолжения pr^G больше или равна размерности орбит группы G. Приведите пример, когда имеет место строгое неравенство.

Докажите, что если G есть r-параметрическая группа и G имеет г- мерные орбиты, то то же верно и для pr^'G.

Докажите, что если группа G имеет r-мерные орбиты, то Z(n> = = (Д1))("->)( где (Д1))(п->) обозначает (п—1)-е продолжение инвариантного пространства ПЧ с MW (см. определение 2.81). Интерпретируйте следствие 2.54 в свете этого результата.

*3.18. Явная характеризация инвариантного пространства.

(а) Пусть р = q = 1. Пусть G — регулярная одиопараметрическая группа преобразований, действующая на М с X X 0 и имеющая единственный глобальный инвариант ^(х, и). Докажите, что инвариантное пространство /(л) с Л}<"> определяется уравнениями

/(«> = {(х, uw>. D^ = 0, й = 1, 2пУ

(Б) Пусть q = 1, а р произвольное. Пусть G — регулярная однопараметрическая группа преобразований, действующая на М и имеющая глобальные инварианты ц^х, к), .... т]р(х, ы). Докажите, что

/d> = {(x, «<'>): D^1, .... np)/D(x\ .... хр) = 0},

где определяющее уравнение представляет собой «полный якобиан»:

Р(т)‘> •••■_tlp). _ ,jet m-h D(x‘, .... хр)

Что будет в случае, если G есть r-параметрическая группа?

Обобщите п. (Ь) и дайте явную характеризацию инвариаитиого пространства /<”> в общем случае.

Как этот результат соотносится с теоремой 3.38?

Покажите, что векторное поле v = 2tdx + d< + 8tdu не является симметрией уравнения ин = иихх, но тем не менее можно применить метод этой главы, чтобы найти решения, инвариантные относительно однопараметрической группы, порожденной полем v. Покажите, что никакое из них ие появляется среди стандартных решений, инвариантных относительно группы. Объясните это. (См. следующее упражнение.) (Olver, Rosenau [1].)

Неклассический метод для решений, инвариантных относительно группы. В работе Bluman, Cole [1] предлагается следующий метод для нахождения решений, инвариантных относительно группы, в качестве обобщения метода редукции.

Пусть Д— система уравнений с частными производными п-то порядка на М с соответствующим подмногообразием Уд с: М^. Пусть G — регулярная группа преобразований, действующая на М, с инвариантным пространством 1^ ел Л1£Ч Докажите, что если пересечение Уд П /^инвариантно относительно pr(n>G, то на фактормногообразии M]G имеется редуцированная система дифференциальных уравнений А/G, такая, что все решения системы Д/G приводят к G-инвариантным решениям системы Л и наоборот. (Особо отметим, что само Уд не обязано быть инвариантным относительно рНп>С, так что эти группы более общие, чем группы симметрий, определенные в гл. 2.)

Интерпретируйте упр. 3.19 в свете этого результата.

Пусть Л — произвольная система дифференциальных уравнений и G — произвольная (регулярная) группа преобразований. Докажите, что подходящее продолжение пересечения Уд П Лп| (согласно определению 2.81) всегда является рг(л,С-инвариантным. Таким образом, можно использовать любую группу, чтобы осуществить редукцию п. (а), указание. Воспользуйтесь формулой продолжения (2.50) н характеризацией инвариантного пространства из теоремы 3.37.)

Обратно, покажите, что если и = f(x)—любое решение системы А, то существует группа G, которая методом редукции п. (а) приводит к этому решению.

(Olver, Rosenau, [1].)

Пусть v — векторное поле на М с: X X U ~ R₽ X R’. Пусть Q = = (Qi, -.-, QqV—характеристика поля v в координатах (х, к), ср. (2.48). Пусть у=У(х, и), о = Чг(х, и)—замена координат на М, и пусть Q = = (Qi. •... Qq)~ характеристика поля v в новых координатах (у, и) на М. Докажите, что Qu Q связаны формулой замены переменных

9Qp = ^ Qaо=19Qp = ^ Qaо=1дийдийррд¥* 5ррды° V.д¥* 5ррды° V.₽=1.₽=1.

9

Qp = ^ Qaо=1

9

Qp = ^ Qaо=1

дий

дий

р

р

д¥* 5рр

ды° V.

д¥* 5рр

ды° V.

₽=1.

₽=1.

4. Группы симметрий и законы сохранения

При анализе основных свойств решений систем дифференциальных уравнений важную роль играет понятие закона сохранения, являющегося математической формулировкой известных физических законов сохранения энергии, сохранения импульса и т. д. В 1918 г. Эмми Нётер доказала замечательный результат для систем, возникающих из вариационного принципа: каждый закон сохранения такой системы происходит из соответствующего свойства симметрии1). Например, инвариантность вариационной задачи относительно группы сдвигов по времени влечет за собой сохранение энергии для решений соответствующих уравнений Эйлера — Лагранжа, а инвариантность относительно пространственных сдвигов влечет за собой сохранение импульса. Этот основной принцип представляет собой первый фундаментальный результат в изучении классических или квантовомеханических систем с предписанными группами симметрий. Более того, метод Нётер является единственной действительно систематической процедурой построения законов сохранения для сложных систем уравнений с частными производными.

Чтобы применять теорему Нётер, в рассматриваемой системе нужна вариационная структура некоторого вида. Первый параграф этой главы дает элементарное введение в соответствующие аспекты вариационного исчисления. Наиболее важным из них является построение уравнений Эйлера — Лагранжа, характеризующих минимумы вариационной задачи. Помимо этого потребуется не много результатов из вариационного исчисления, так что заинтересованным в дальнейшем изучении этой важной области математики мы бы посоветовали обратиться к любому стандартному учебнику по этому предмету. Не каждая группа симметрий системы уравнений Эйлера —Лагранжа приведет к закону сохранения; нужно, чтобы группа удовлетворяла дополнительному «вариационному» условию — оставляла вариа-

*) Сейчас имеется доступный английский перевод работы Noether [1]. Мы настоятельно советуем читателю изучить эту весьма важную работу.

ционный интеграл в некотором смысле инвариантным. В § 4.2 развивается теория вариационных симметрий; там имеется ряд иллюстрирующих примеров. В случае системы обыкновенных дифференциальных уравнений в вариационной форме вариационный характер группы симметрий удваивает эффективность процедуры редукции, рассмотренной в § 2.5, так что система уравнений Эйлера — Лагранжа, обладающая однопараметрической группой вариационных симметрий, допускает понижение порядка на две единицы.

Третий параграф этой главы посвящен систематическому развитию теории законов сохранения систем дифференциальных уравнений. Важное осложнение здесь связано с существованием тривиальных законов сохранения, которые выполняются для произвольной системы дифференциальных уравнений и в сущности не дают новой информации о поведении решений рассматриваемой системы. Мы в состоянии полностью характеризовать такие тривиальные законы (с точностью до некоторых доказательств, приведенных в конце гл. 5). Каждый нетривиальный закон сохранения для нормальных систем дифференциальных уравнений однозначно определяется некоторой функцией, называемой его характеристикой. Используя эту связь между законами сохранения и их характеристиками, мы немедленно получаем доказательство так называемой «классической формы» теоремы Нётер. Во второй части § 4.4 мы применяем конструкции, воплощенные в теореме Нётер, чтобы определить законы сохранения для некоторых физически важных систем. Недостаток места, однако, мешает нам применить эти законы сохранения для непосредственного изучения свойств решений этих систем, таких, как глобальные теоремы существования, оценки затухания, теория рассеяния, задачи распространения трещин и дислокаций, устойчивость решений и т. д. (соответствующие работы обсуждаются кратко в конце главы).

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Как обычно, для простоты мы будем работать в евклидовом пространстве, причем X = RP с координатами x = (x*хр), представляющими независимые переменные, и U = R9 с координатами « = («', ..., и4), представляющими зависимые переменные нашей задачи. (Распространение локальных результатов на вариационные задачи для гладких многообразий не вызывает затруднений; однако глобальные результаты требуют введения топологической техники — см. Anderson, Duchamp [1] или Виноградов [1].) Пусть ПсгХ— открытое связное подмно-

жество с гладкой границей Ж. Вариационная задача формулируется как задача об отыскании экстремумов (максимумов или минимумов) функционала

5? М = L (х, и^) dxв

в некотором классе функций u = f(x), определенных на Й. Подынтегральное выражение L (х, и^, называемое лагранжианом вариационной задачи S, является гладкой функцией от х, и и различных производных от и. Точное описание класса функций, на котором ищется экстремум функционала S, будет зависеть и от граничных условий, которые могут относиться к физической задаче, и от условий дифференцируемости, накладываемых на экстремали и = f(x).

В качестве простого примера рассмотрим задачу отыскания кривой наименьшей длины, соединяющей две точки (а, 6) и (с, d) на плоскости. Эта задача в вариационной форме выглядит следующим образом. Предположим, что минимизирующая кривая задается графиком функции и = f(x). Длина такой кривой равна

S[u] = ^1+^ dx.а

Вариационная задача состоит в минимизации S на пространстве, скажем, дифференцируемых функций u = f(x), таких, что b = f(a) и d = f(c).

Точная степень гладкости, требующаяся для экстремалей данной вариационной задачи, пространство функций, на котором нужно искать экстремали, и подходящая норма (или нормы)— это, вообще говоря, довольно деликатные вопросы, требующие развитого нелинейного функционального анализа. Сложные проблемы, возникающие здесь, не имеют, однако, прямого отношения к нашей непосредственной области исследования. Поэтому для упрощения мы рассматриваем лишь гладкие (С°°) экстремали вариационной задачи. Распространение наших результатов на группы симметрий и законы сохранения для более общих типов функций должно учитывать специфику конкретной задачи.

Вариационная производная

В конечных размерностях экстремумы гладкой вещественнозначной функции f(x), xeRm, определяются рассмотрением точек, в которых градиент Vf(x) обращается в нуль. Чтобы

найти сам градиент, нужно выяснить, как меняется f при малом изменении х;

{Vf (х), у} = -^ |е_о f (х + еу\

где <х, у) — обычное скалярное произведение в Rm. Для функционалов S[u] роль градиента играет «вариационная производная» от $. Чтобы построить этот объект, мы смотрим, как меняется $ при малых «вариациях» функции и. Скалярное произведение <•, •> в Rm заменяется скалярным произведением в L2

(f, 5)= $ f W • g Wdx = J £ f (x) ga (x) dxQQ a=l

двух векторнозначных функций f, g: Rp—►R^'. Это приводит к следующему определению:

Определение 4.1. Пусть S’[и]— вариационный функционал. Вариационная производная функционала $ — это единственный набор из q функционалов

6S[«] = (6IS’[u], .... 6q9?\u\\ обладающий тем свойством, что

А. ^ $ [f + еП] = $ б^ If W] • 7] (х) dx.(4.1)

Здесь и = f(x) — гладкая функция, определенная на О, а т](х) = = (ц1(х)т]9(х))—гладкая функция с компактным носите

лем в £2, так что f + ет] все еще удовлетворяет любым граничным условиям, которые могут быть наложены на пространство функций, на котором ищется экстремум функционала S’. Компонента 6aS = 6S/6u“— вариационная производная от S по иа.

Предложение 4.2. Если и = f(x) — экстремаль вариационного функционала $ [и], то

6S" [f (х)] = О, хеЙ.(4.2)

Доказательство. Поскольку [ — экстремаль, для любой функции ц с компактным носителем в Й функция f + ет] лежит в том же функциональном пространстве, так что как функция от в S [f -j- ет)] должна иметь экстремум в точке в = 0. Поэтому из элементарного математического анализа получаем, что (4.1) должно обращаться в нуль для всех т] с компактным носителем

в Q. Следовательно, (4.2) должно быть справедливо всюду. (То же рассуждение доказывает единственность б^.) □

Нетрудно получить общую формулу для вариационной производной. Прежде всего, меняя порядок дифференцирования и интегрирования (это допускается при нашем предположении о гладкости), получаем

L (х, рг(п) У 4- ет]) (х)) dx =L (х, рг(п) У 4- ет]) (х)) dx =dx.dx.

L (х, рг(п) У 4- ет]) (х)) dx =

L (х, рг(п) У 4- ет]) (х)) dx =

dx.

dx.

где и" — обычные частные производные от w“, а <5/г]“ — соответствующие производные от т]“. Поскольку т] имеет компактный носитель, мы можем воспользоваться теоремой о дивергенции, чтобы проинтегрировать последнее выражение по частям, причем граничные члены на дй обратятся в нуль. Каждая частная производная д/дх>, примененная к производным dL /ди“ лагранжиана, превращается в полную производную Dj, поскольку L зависит от х также и через функцию u = f(x) — см. определение 2.34. Поэтому

"У $ [f 4- ет)] = ( | £ Г £(—D), -^ (х, pr<") f (х))1 т]“ (x)l dx,1б=0 H^iL/ ди’ J J

где для 7 = (/1, ..., ^

k-D^, = (-l)6^ = (-/),_) ^-D^ ... (- D^.

Оператор, появившийся в предыдущей формуле, играет ключевую роль в вариационном исчислении.

Определение 4.3. Для 1 ^ а ^ ^ оператор Эйлера с номером а задается формулой

Сумма берется по всем мультииндексам 7 = (/ь ..., Д) с 1 ^ ^ /и ^ Р, к^ 0. Заметим, что для применения Е„ к произвольной данной функции Lkx.uW) от и и их производных нужно просуммировать лишь конечное число слагаемых, поскольку L зависит лишь от конечного числа производных и“.

Таким образом, согласно нашему вычислению, вариационная производная от S’[«]=^q£(x, u^dx находится применением оператора Эйлера к лагранжиану: ^$ [и] = Е (£), где Е (£) = =(Ei (£), ..., Е9 (£)). Предложение 4.2 дает классические необходимые условия для гладких экстремалей вариационной задачи. (Конечно, не каждое решение уравнений Эйлера — Лагранжа является экстремалью. Другие решения доставляют другие типы критических точек функционала.)

Теорема 4.4. Если и = f(x) —гладкая экстремаль вариационного функционала 9? (и) = Q L (х, и^ dx, то она должна быть решением уравнений Эйлера — Лагранжа

Е,(£) = 0, v=l, .... q.

Пример 4.5. Рассмотрим частный случай р = q = 1, так что мы рассматриваем одну функцию u = f(x) одной независимой переменной. Оператор Эйлера в этом случае принимает вид

Е У (— D У —^- = —D ® ■ 4- D2 —х) ди, ди х du их ди ' '''/=0'ххх

где Dx — полная производная по х, a Uj = diu/dx>. Уравнение Эйлера — Лагранжа для вариационной задачи п-то порядка с

ь

S,[u]=^ L(х, и^dx а имеет вид

°=E^=47-^<+D^---^^

Это обыкновенное дифференциальное уравнение порядка 2п, если только L удовлетворяет условию невырожденности д^Ь/дшп =/= 0. В частности, для вариационной задачи первого порядка L = L (х, w, их) мы приходим к хорошо известному уравнению Эйлера — Лагранжа второго порядка

л — aL — л aL — aL — dlL _ №L _ a2L du x dux du dx dux x du dux xx du2x

Таким образом, для нашей задачи нахождения кривой минимальной длины уравнение Эйлера — Лагранжа имеет вид

Его решения—прямые и=тхА-к, и это единственные гладкие претенденты для задачи минимизации.

Пример 4.6. Возможно, наиболее известная вариационная задача проистекает из принципа Дирихле для уравнения Лапласа Ди = 0. Здесь мы полагаем

р

S [и] = yl Vu I2dx = у У Цdx,

qа /=1

где и/ = ди[дх1 и й cz X ~ R₽. Уравнение Эйлера — Лагранжа имеет вид рр

о = е(е) = £(-^)-^=-У^(«/) = -а«

2=111=1

и совпадает с уравнением Лапласа с точностью до знака. Дальнейшие примеры появятся в этой главе позже.

Нулевые лагранжианы и дивергенции

Бывает, что для данной вариационной задачи уравнения Эйлера — Лагранжа обращаются в нуль тождественно, и, значит, каждая функция является возможной экстремалью задачи. Например, если

6

S’ [и] = ^ иих dx,а

ТО

b$ = ux — Dx(u) = 0

для всех и. В этом случае вариационная задача тривиальна, поскольку в силу основной теоремы анализа

ь

^-^„(■L^dt-l.^. а

так что каждая функция u = f(x), удовлетворяющая подходящим граничным условиям, даст то же самое значение для S’.

Эта ситуация легко обобщается на случай нескольких независимых переменных. Если х = (х\ .... х?) и P(x,uw) = = (Pi(x,uW)Рр(х, «<">)) — набор из р гладких функций от х, и и производных от и, мы определяем полную дивергенцию от Р как функцию

О1Ур=ад + ад+ ... + dppp, (4.4)

Ц П. Олвер

где каждая D,— полная производная по х'!. Например, если р = 2 и Р = (uuy, них1}, т0

Div Р = Dx (иии) + Du (ии^ = 2иих„ + 2ихи„.

Если лагранжиан L^x, uw) может быть записан как диверген-ция: L = Div Р для некоторого Р, то по теореме о дивергенции^[u] = J Ldx = ^P-dS

QdQ

для всякой функции и = f(х) и всякой ограниченной области Q с гладкой границей <5Q. Таким образом, ^[f] зависит лишь от поведения функции и = f(x) на границе и не будет меняться при вариациях т], использующихся при определении вариационной производной. Поэтому уравнения Эйлера — Лагранжа для такого функционала тождественно обращаются в нуль. Замечательно, что этим исчерпываются примеры «нулевых лагранжианов».

Теорема 4.7. Функция L{x,u^) от х, и и производных от и, определенная всюду на XX Uw, является нулевым лагранжианом (это означает, что для нее уравнения Эйлера — Лагранжа обращаются в нуль тождественно для всех х, и-. Е (Е) = 0), если и только если она является полной дивергенцией-. L = Div Р для некоторого набора из р функций Р = (Р^Рр') от х, и и производных от и.

Доказательство. Доказательство того, что E(DivP) = 0, следует из сделанных выше замечаний или из непосредственного вычисления; см. § 5.4. Чтобы доказать обратное, предположим, что L^x, и^)—нулевой лагранжиан, и рассмотрим производную

-£- L (х, ^ = ^ «? -^г (х, а, J 1

Каждый член этой суммы можно проинтегрировать по частям, например,

U« JL = П («а) -^ = - U»D. ®k^D.(u» ^\ .

ди” 1 ди^1 ди” f V ди”)

Это приводит к выражению вида

d L (х, eu(")) = Z “а £ (~ D^j Т^ (х» e“W) + Div Р (е; х, и^= ds1 J

= и . Е( Ц (х, еи^ + DivP(e; х, и^

для некоторого набора Р из р функций от х, и и производных от и, явный вид которых не важен. (См., однако, § 5.4.) Поскольку Е (£) = 0, мы можем интегрировать по е,

L (х, id"») — L (х, 0) = Div Р, где

Р (х, u<2”>) = ^ Р (е; х, u<2")) de.о

Наконец, поскольку L определена на всем Rp, мы всегда можем найти набор р(х) из р обычных функций от х, такой, что divp(x) = £(х, 0), так что для завершения доказательства осталось положить Р — Р + р. □

Инвариантность оператора Эйлера

Поскольку уравнения Эйлера — Лагранжа определяют экстремали вариационной задачи, множество их решений не должно меняться при заменах переменных. Это наводит на мысль, что сам оператор Эйлера должен быть более или менее инвариантным относительно замены переменных. Здесь мы выводим основную формулу, выражающую этот факт.

Заметим сначала, что если

х = В (х, и), й = Ф (х, и)(4.5)

— произвольная замена переменных, то имеется индуцированная замена переменных

й(«) = ф(«) (х, и^

для производных, задаваемая продолжением. Таким образом, для данной функции u = f(x) формулы (4.5) неявно определяют преобразованную функцию й = f (х) (если выполнены условия, требуемые теоремой о неявной функции). При этом каждый функционал

$ [/] = L (х, pr^V (х)) d.x

Q

будет преобразован к новому виду

$ [f ] = L (х, pr<”) f (х)) dx.

В этом последнем интеграле преобразованная область

Q = {х = В (х, f (х)): х е Q}

будет зависеть не только от исходной области й, но и от конкретной функции u —f(x), на которой вычисляется $. Формула для нового лагранжиана легко получается из формулы замены переменных в кратном интеграле:

L (х, pHn> f (х)) = L (х, pr<n) f (х)) det J (х, pr(1) f (х)).(4.6)

Здесь (х, й) заданы формулами (4.5), a J — матрица Якоби, элементы

J" (X, pr^f (X)) = -^ [8- (Х, f (X))] =

= DjS (х, ргФ f (x)), t, / = 1, ..., p,

которой соответствуют функции f. Здесь мы для простоты предполагаем, что замена переменных сохраняет ориентацию, так что det J (х) > 0.

Теорема 4.8. Пусть L(x,uw) и Цх,^)— два лагранжиана, связанные формулой (4.6) замены переменных. Тогда

q

Еиа to = £ Fap (х, и^ Ейр (L), a — 1q. (4.7) p=i

Здесь (х, йИ) и (х, w(n)) связаны соотношениями (4.5), a Fae— определитель следующей матрицы размера (р+1)Х(р+1):

г z^b1 ..

. D» дЕЧди» 1

Fap = det

D^p .

L АФР .

. D^p dSPIdu"

. ПрФ» дфР/дм"

'(4.8)

Доказательство. Пусть и = ^х^— данная функция, определенная на области Q, и пусть й = /(х), хеЙ,— соответствующая функция от преобразованных переменных (обычно она корректно определена, пока Й достаточно мала). Для достаточно малых е возмущениям ие = f (х, е) = f (х)-}- егДх), где т] имеет компактный носитель в й, соответствуют функции вида u = f(x, е), которые неявно определяются соотношениями

х = а (х, f (х) + СТ] (х)), й = Ф (х, f (х) + ет] (х)). (4.9)

Важный момент состоит в том, что, поскольку г] имеет компактный носитель в й, каждая функция 7(х, а) =/(x)+fi (х, е) определена на общей области

й = {х = 8 (х, f (х)): х е й}.

не зависящей от е, и т] имеет компактный носитель в Q. Вариационная производная от S' определялась дифференцированием S'tf+er]] по е при е = 0; аналогично, немного обобщая рас-не зависящей от е, и т] имеет компактный носитель в Q. Вариационная производная от S' определялась дифференцированием S'tf+er]] по е при е = 0; аналогично, немного обобщая рас-Рис. 10. Замена координат для вариации функционала.Рис. 10. Замена координат для вариации функционала.

не зависящей от е, и т] имеет компактный носитель в Q. Вариационная производная от S' определялась дифференцированием S'tf+er]] по е при е = 0; аналогично, немного обобщая рас-

не зависящей от е, и т] имеет компактный носитель в Q. Вариационная производная от S' определялась дифференцированием S'tf+er]] по е при е = 0; аналогично, немного обобщая рас-

Рис. 10. Замена координат для вариации функционала.

Рис. 10. Замена координат для вариации функционала.

суждение, приведшее нас к формуле (4.3) для оператора Эйлера, мы находим

У^^НЕ-т-УЬ^ (4J0>

где Ед (£) вычислено при й — f. Нам нужно теперь вычислить дт\/де.

Имея в виду, что при вычислении вариации от $ переменные х не должны зависеть от е, мы получаем из (4.9), что

0 = У^ — + У -^-П“.

Следовательно, по правилу Крамера

de L=o det J ^ М ^ диа ’

где Кц — алгебраическое дополнение элемента (t,/) матрицы Якоби J(x). Поэтому

^1 =У ^-п»де 1е=0^ дыаа=1^1 =У ^-п»де 1е=0^ дыаа=1+ У D/фР —А де+ У D/фР —А дее=0е=0

^1 =У ^-п»де 1е=0^ дыа

а=1

^1 =У ^-п»де 1е=0^ дыа

а=1

+ У D/фР —А де

+ У D/фР —А де

е=0

е=0

1у ( дфР det J Zj | дц«1у ( дфР det J Zj | дц«

1у ( дфР det J Zj | дц«

1у ( дфР det J Zj | дц«

рI

det J— У Dj^-Kij^

/ = 1

Читатель может узнать в выражении, стоящем в скобках, разложение определителя (4.8) по последнему столбцу, причем промежуточная сумма Ё D^ ■ Кц — это разложение по по

следней строке (г, р + 1)-го минора. Таким образом,

др Iде |е=одр Iде |е=о= "deFJ X FaPt1"'a—1= "deFJ X FaPt1"'a—1

др I

де |е=о

др I

де |е=о

= "deFJ X FaPt1"'a—1

= "deFJ X FaPt1"'a—1

Подставляя в (4.10) и делая замену переменных, приходимПодставляя в (4.10) и делая замену переменных, приходим

Подставляя в (4.10) и делая замену переменных, приходим

Подставляя в (4.10) и делая замену переменных, приходим

к равенству

sL^H S FaSEot(l) 4" &.

Q <.a, Р=1)

С другой стороны, это должно равняться

$ I.-.$ if+=ч1=s I i е«- w I-}dx-'а (a=l)

В силу произвольности т) отсюда следует (4.7). □

Пример 4.9. В случае р = q = 1

L(x, и^ = Т^х, й^ВхВ^х, и^) и (4.7) упрощается:

(4.П)(4.П)'e«w-4^e^z)-

(4.П)

(4.П)

где нам нужен лишь якобиан

d (Е, Ф) _ . . ( ^/дх ^Idu Xд (х, и) ~ det V дФ/dx дФ/ди )

частных производных от Е и Ф. В самом деле, определитель, возникающий в (4.8):

Fn(x) = detFn(x) = detО^Е dBfdu X / дЕ/дх + их дВ/ди дВ/диВХФ дФ/ди ) ^е^ \ дФ/дх + их дФ/ди дФ/ди

Fn(x) = det

Fn(x) = det

равен указанному выше (в силу элементарных свойств определителя). Например, если

$ [и] = у и?х dx

и мы пользуемся преобразованием годографа х = и, й = х, то

Б6

S’ [й] = у (й*)2 a, dx = ^йхУ"1 dxаа

И

Ей (Г) — Ихх - Их Ихх = Ей (Г),

что подтверждает (4.11). Однако, вообще говоря, мы не можем заменить полные производные в (4.8) на частные производные. (См. упр. 4.15.)

ВАРИАЦИОННЫЕ СИММЕТРИИ

Чтобы применить групповые методы в вариационном исчислении, нам нужно сделать точным понятие группы симметрий функционала

$ [и] = Л (х, «<">) dx.(4.12)

Qo

Рассматриваемые здесь группы будут локальными группами преобразований G, действующими на открытом подмножестве AlcQoXG'cXXG. Как подробно обсуждалось в гл. 2, если и = f (х)— гладкая функция, определенная на подходящей малой подобласти Q cz Qo. такая, что ее график лежит в М, то всякое преобразование g из группы G, достаточно близкое к единице, будет преобразовывать f в другую гладкую функцию й = f(x) = g-f(x), определенную на QczQo. (Отметим, что если группа G не проектируема, то Q будет, вообще говоря, зависеть не только от g, но и от самой функции Д) Группа симметрий G будет, грубо говоря, группой, оставляющей вариационный интеграл S' неизменным для всех таких f.

Определение 4.10. Локальная группа преобразований G, действующая на М cz Qq X U, является группой вариационных симметрий функционала (4.12), если, каковы бы ни были подобласть Q, такая, что ее замыкание Q лежит в Qo, гладкая функция w = f(x), определенная на Q, график которой лежит в Л1, и элемент geG, такой, что й = f(x) = g-f(x)—однозначная функция, определенная на Q, выполняется равенство

^ L (х, pr(n> f (х)) dx = L (х, pr(n)f (х)) dx. (4.13)

Пример 4.11. Рассмотрим случай, когда X = R и имеется вариационная задача первого порядка

ь

$ [u] = L (х, и, и^ dx.(4.14)

а

Если L не зависит от х, то группа сдвигов (х, п)>—>(х + е, и) является группой вариационных симметрий для 3. В самом деле, поскольку х = х + е, й = и для любой функции и = f(x), определенной на меньшем подынтервале [с, d] cz(a, b), функция й = ?(х) = /(х— е) определена на [с, 3] = [с + е, d + е]. Для достаточно малых е это тоже подынтервал интервала (a, by Проверим (4.13), пользуясь заменой переменной:

аа

Е (f (х), f'(x)) dx = ^ L (f (х — е), f (х — е)) dx =

Сс

d

= \L(f (х)’ f' мdx-

Инфинитезимальный критерий инвариантности

В соответствии с нашим обычным образом действия мы найдем теперь аналогичный инфинитезимальный критерий инвариантности вариационной задачи относительно группы преобразований. Снова это условие будет необходимым и достаточным для того, чтобы связная группа преобразований была группой симметрий вариационной задачи.

Теорема 4.12. Связная группа преобразований G, действующая на MczQioXU, является группой вариационных симметрий функционала (4.12), если и только если

рГ(")у (L) + L Div I = 0(4.15)

для всех (х, uW) е ММ и каждой инфинитезимальной образующей

р»

Х = ^Чх, u)-^r+Z Фа(х, и^f-1а—1

группы G. В (4.15) Div^ обозначает полную дивергенцию поля ^ = №,...ЛРУ ср. (4.4).‘

Доказательство. Для каждого gEG преобразование

(f, й) = g • (х, и) = (Sg (х, и), Ф5 (х, и^

можно рассматривать как замену переменных, так что в силу тех же рассуждений, которые привели к формуле (4.6), мы можем переписать условие (4.13) в виде

J L (х, prW (g • f) (х)) det Jg (х, pr(1)f (х)) dx = ^ L (х, рг(п) f (х)) dx, QQ

где элементы матрицы Якоби равны

j”(x, u^ = DXU<uwY

Поскольку это должно быть справедливо для всех подобластей £2 и всех функций u = f(x), подынтегральные функции должны совпадать поточечно:

L(pr^g • (х, «<">) det Jg (х, и^ = L^x, и™)(4.16)

для всех (х, u<">) е №пХ Чтобы получить инфинитезимальный вариант равенства (4.16), мы полагаем g = ge = exp (ev) и дифференцируем по е. Нам нужна формула

^-[detj^x, «<•))] = DivW)ge.(x, «<•)))det4е(х, uW\ (4.17) выражающая тот факт, что дивергенция векторного поля измеряет скорость изменения объема при соответствующем векторному полю перемещении. Действительно, если мы заменим и функцией f(x), то (4.17) сводится к тождеству из упр. 1.36 для р

редуцированного векторного поля v = X ^ (*, f (х)) д/дх1.

Пользуясь формулами (4.17) и (2.21), находим производную от (4.16) по е при g = ge = exp(ev):

(pr<">v (L) + L D iv 6) det 7^ = 0,(4.18)

где выражение в скобках вычислено в точке (х, й(Еп)) = pr(n)ge(x, и^. В частности, при е = 0 gE — тождественное отображение, и мы доказали необходимость условия (4.15) для того, чтобы группа G была группой вариационных симметрий. Обратно, если условие (4.15) выполнено всюду, то (4.18) справедливо для достаточно малых е. Левая часть равенства (4.18), однако же, — это производная левой части равенства (4.16) (при g = ge) по е; поэтому, интегрируя от 0 до е, мы доказываем формулу (4.16) для g, достаточно близких к единице. Обычные соображения связности завершают доказательство формулы (4.16) для всех g е G, а следовательно, и теоремы. □

Пример 4.13. В качестве легкой иллюстрации теоремы 4.12 мы снова выведем результат примера 4.11. Инфинитезимальная образующая группы горизонтальных сдвигов есть дх с продолжением рН1^* = дх. Кроме того, g(x, и)=1, так что 7)^ = 0.

6

Таким образом, для 27=^£(u, u^dx мы получаем тривиаль- а

ное соотношение

Р^УД^Ч-£0,^ = 0,

так что (4.15) выполняется. Другой простой пример — интеграл 6

длины дуги Sq [и] = д/1 + °х dx и v = —идх + хди — обра-

а

зующая группы вращений. Имеем

Pr(1)v = - идх + хди + (1 + и^ dUx

и £ = —и, так что

pr(»v (£) + LDxl = (1 + U^ -А- ^\^ _ ^v^T .UxSQ-

Таким образом, теорема 4.12 приводит к геометрически очевидному факту, что длина дуги не меняется при жестких вращениях.

Симметрии уравнений Эйлера—Лагранжа

В обоих предыдущих примерах, как легко может проверить читатель, из инвариантности данного вариационного интеграла относительно группы симметрий вытекает, что соответствующие уравнения Эйлера — Лагранжа также инвариантны относительно этой группы. Этот результат справедлив в общем случае.

Теорема 4.14. Если G— группа вариационных симметрий функционала S[u] = L (х, и^ dx, то она является группой

симметрий уравнений Эйлера — Лагранжа Е (£) — 0.

Интуитивно происходит вот что. Если geG и w = f(x)— экстремаль функционала S[u], то очевидно, что u = g-f(x) (если эта функция определена) — экстремаль преобразованной вариационной задачи SVu\, получающаяся из замены (х, й) — = g-{x, и). Но если G— группа вариационных симметрий, SYu^ = Sy^, то g-f также является экстремалью функционала S. Проблема состоит в том, что у уравнений Эйлера —

Лагранжа имеются также не экстремальные решения. Один подход состоит в том, чтобы использовать формулу замены переменных из теоремы 4.8. Мы предпочитаем здесь не тратить усилий, а отослать читателя к теореме 5.37, где приведено прямое вычислительное доказательство.

Неверно, что каждая группа симметрий уравнений Эйлера — Лагранжа является также группой вариационных симметрий исходной вариационной задачи! Наиболее известные контрпримеры связаны с группой растяжений.

Пример 4.15. Волновое уравнение. Мы возвращаемся к волновому уравнению ин = иХх + иии, группа симметрий которого была найдена в примере 2.43. Волновое уравнение является уравнением Эйлера —Лагранжа для вариационной задачи с

^[н] = 85$ [т“< — Т“* — "^“в!^9 dt-

Выясним, какие из симметрий, перечисленных в (2.65), являются вариационными симметриями функционала S’. Мы пользуемся инфинитезимальным критерием (4.15) при

7 — — — —

ь 2 *2 й*2 У

Легко видеть, что сдвиги являются вариационными симметриями, поскольку их продолжения не действуют на производные от и. Далее рассмотрим образующую группы вращений, скажем тХу = —удхД-хду. Член Div| в (4.15) обращается в нуль. Более того, prfl) гхы = гхд — иудих + uxdUy, а следовательно, (4.15) принимает вид

рг<‘>глу (L) = и,их — ихив = О,

так что функционал 2 инвариантен относительно группы, порожденной Тху. Аналогичное вычисление показывает, что гх< и rMt также порождают группы вариационных симметрий. Обращаясь к подгруппе дилатаций, получаем

pr<‘>d = хдх + уд, + tdt — uxdUx — u,dUy — utdup

и в этом случае

Div В = Dx (х) + D, (у) + Dt (/) = 3.

Поэтому

prU)d (L) + L Div В = L

и d не порождает группу вариационных симметрий функционала 2. Однако, если мы изменим дилатационную образую-

щую следующим образом:

гп = d — у иды = хди 4- ydti + tdt — ^иди, то

рНЧщ (£) + L Div g = - 3L + 3£ = 0.

так что m будет порождать группу вариационных симметрий. Наконец, рассмотрим группу инверсий, порожденную, скажем,

*х = (я2 — У2 + /2) дх + 2худв + 2xtdt — хиди.

Имеем

Р^1’^ = ix — (и + Зхих + 2уиу + 2/wt) dUx +

+ ^уи$ — 3xuti) dUy — (2tux + 3xut) dUf и

Div l = Dx (x2 — y2 + /2) + Dti (2.^) + Dt (2xt) = 6x.

Поэтому

pr(1)ix (£) + £ Div g = uux — 3x (u^ ~ u2 — z/2) + 6xL = uux, и, следовательно, ix в соответствии с определением 4.10 не является вариационной симметрией. Вариационными симметриями не будут ни две другие однопараметрические подгруппы инверсий группы симметрий (2.65), ни их линейные комбинации. Наконец, если а(х, у, f)— решение волнового уравнения (с образующей симметрии va = ади), мы находим, что

Р* (!)v« (£) = (цч, — ахчх — ОуЧу,

так что вариационная симметрия получается, если и только если а — константа. Таким образом, группа вариационных симметрий для £ порождается сдвигами, «вращениями», группой растяжений, порожденной ш, и группой, порожденной ди. Теорема 4.12 гарантирует отсутствие других вариационных симметрий. (Конечно, это можно было бы проверить непосредственно, решив (4.15) и найдя коэффициенты инфинитезимальной образующей v.)

Предложение 4.16. Если v и w — вариационные симметрии функционала ЗЕ [м], то их скобка Ли [v, w] — тоже вариационная симметрия.

Доказательство мы оставляем читателю, (см. упр. 4.1.)

Понижение порядка

Как мы видели в § 2.5, знание однопараметрической группы симметрий одного обыкновенного дифференциального уравнения позволяет понизить его порядок на единицу. В этом параграфе мы увидим, что знание однопараметрической группы вариационных симметрий уравнения Эйлера — Лагранжа некоторой вариационной задачи позволяет понизить порядок уравнения на два'. В результате вариационная структура дифференциального уравнения и группы симметрий удваивает мощь теории интегрирования Ли.

Самый легкий способ увидеть, как это происходит, состоит в том, чтобы воспользоваться инвариантностью уравнений Эйлера — Лагранжа относительно замен переменной, как показано в теореме 4.8. Это позволяет менять и независимые, и зависимые переменные, не затрагивая вариационной природы задачи. Итак, пусть х, и е R, и пусть S’ [и] — вариационный функционал порядка п с уравнениями Эйлера — Лагранжа порядка 2п. Предположим, что v = ^(х, и)дх + <р(х, и)ди — инфинитезимальная образующая однопараметрической группы вариационных симметрий функционала S’. Заметим, что по определению вариационной симметрии v останется вариационной симметрией при замене и независимых, и зависимых переменных. Как в § 2.5, мы вводим теперь специальную систему координат у = ^(х, и), w = = |(х, и), так что в этих новых координатах v принимает элементарный вид v = д/дш. Пусть S’ [w] = J L (у, w(n)) dy — соответствующая вариационная задача в переменных (у, w). Согласно предыдущим замечаниям, v остается вариационной симметрией для S’. Поэтому в силу инфинитезимального критерия (4.15) имеем

рг(")у (L) = дЦдш = 0;следовательно, L = L^y, шы, шыу, ...) не зависит от ш. Уравне-ние Эйлера — Лагранжа для S’ поэтому принимает видо = Е. (Z) = X (- О,У ^ - ( -D.) I £ (- D,)' -А-I. (4.19)/=11и=о/+1 ;

где ш; = д’ш/дук Таким образом, выражение в скобках — постоянная, не зависящая от у, и, следовательно, первый интеграл уравнений Эйлера — Лагранжа. (Это наше первое настоящее столкновение с теоремой Нётер.)

Заметим далее, что если мы вводим новую зависимую переменную и = шу, так что Uj = d'e/dy' = w/+i, то выражение в скобках можно записать как вариационную производную от

^ [и] = ^ L (у, и(” u) dy, где

Цу, Uiv„_1) = £(y, Wywn\

Каждое решение w=^y^ исходного уравнения Эйлера — Лагранжа порядка 2/7 соответствует решению и = h (у) уравнения порядка 2п — 2

Ео (L) (у, у(2"~2)) = К(4.20)

для некоторой постоянной % (зависящей от начальных условий), где w получается квадратурой:

w = h^dy + с.

Заметим, что мы можем записать (4.20) как уравнение Эйлера — Лагранжа в чистом виде для функционала

2\ [у] = [^ (У- ^^ °)— Ху1 йУ-

(Иначе X можно представлять себе как множитель Лагранжа, так что мы минимизируем 3 [и] при дополнительном ограничении, скажем, ^udy = 0; см. Courant, Hilbert [1; с. 218].)

Теорема 4.17. Пусть р = q = 1. Пусть S’[и]—вариационная задача порядка п с уравнением Эйлера — Лагранжа порядка 2п. Предположим, что G — однопараметрическая группа вариационных симметрий для S. Тогда существует однопараметрическое семейство вариационных задач Sx[u] порядка п — 1с уравнениями Эйлера — Лагранжа порядка 2п — 2, такое, что каждое решение уравнения Эйлера — Лагранжа для Э [и] может быть получено с помощью квадратуры из решений уравнения Эйлера — Лагранжа для Sx[o], X е R.

Пример 4.18. В случае вариационной задачи первого порядка, как в (4.14), знание однопараметрической группы вариационных симметрий позволяет до конца проинтегрировать уравнение Эйлера — Лагранжа второго порядка

ЕЮ-Й-0-^-0<421>

с помощью квадратур. (Для общей однопараметрической группы симметрий обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка мы можем рассчитывать лишь на редукцию к уравнению первого порядка.) Таким образом, если L не зависит

от и, (4.21) сводится к уравнению Dx(dL]dux) = 0; следовательно.

(х, и^) = Xди, х ’ х'

для некоторой постоянной X. Мы можем разрешить это неявное соотношение относительно ux = F^x, к), так что общее решение— это

и = F (х, X) dx + с.

Если L(u, их^ не зависит от х, мы можем свести задачу к предыдущему случаю, воспользовавшись преобразованием годографа из примера 4.9: у = и, w = х. Несколько более прямой подход, однако, состоит в том, чтобы заметить, что если мы умножим уравнение Эйлера — Лагранжа на их, то можем получить первый интеграл

л c/r\ 8L 2 d2Ld2L n /. dL \

0 = и F (L) = и, -т-и2,и u„v —=- = D„ I L — u I.

x du x du gu^ xxx q^ xx gu^ j

Таким образом,

L (u, u^ — ux -^- (u, ux) = X

определяет uK неявно как функцию от и и к. Мы можем проинтегрировать ее, чтобы получить решение уравнения Эйлера — Лагранжа:

Г du.

J F (и, к) ~х + с-

Этот метод можно распространить на многопараметрические группы. Однако, исключая случай абелевых групп, мы не можем, вообще говоря, ожидать понижения порядка на два на каждом шаге. (См. упр. 4.11 и дальнейшее развитие теории гамильтоновых систем в гл. 6). Здесь мы довольствуемся иллюстративным примером.

Пример 4.19. Задача Кеплера. Мы покажем, как можно использовать предыдущую процедуру, чтобы немедленно проинтегрировать двумерный вариант задачи Кеплера о движении материальной точки в центральном гравитационном поле. Функционал имеет вид

^^Пт^+^-^м]^,

где (х(/), у(/))—координаты материальной точки, г2=х2+у2 и U — потенциал; в случае трехмерного гравитационного притя-

жения точки, движущейся в плоскости (х, у), (7(г) = —у/г. Уравнения Эйлера — Лагранжа имеют вид

xtt=-^U'(r), ц„ = -^Чг\

Очевидно, что функционал $ инвариантен относительно двупараметрической абелевой группы сдвигов по времени и вращений в пространстве с инфинитезимальными образующими dt и хды — удх соответственно. Вводя полярные координаты (г, 6, /), мы видим, что эти векторные поля превращаются в dt и де. Аналогия со случаем однопараметрической группы подсказывает, что мы должны рассматривать г как новую независимую переменную, a t и 6 — как новые зависимые переменные. Это должно привести к редукции системы второго порядка к системе, разрешимой в квадратурах. Заметим сначала, что

xt = -^~ (cos 6 — г sin 6 • 6r), У1 = 4~ (sin 6 + r cos 6 • 6r), следовательно, в полярных координатах

^ = $ [ ^7(1 + г^ ~trU (r)]dr

Как и ожидалось, лагранжиан не зависит от t и 6. Уравнения Эйлера — Лагранжа, таким образом, можно немедленно проинтегрировать один раз, что приводит к уравнениям

^(i + r2e?) + c/(r) = v -^=р,

где X, р — константы. Заметим, что если мы вернемся к t как к независимой переменной, то первое уравнение даст известный закон сохранения энергии, а второе — в точности второй закон Кеплера г20< = р — масса заметает равные площади за равные промежутки времени. Обращаясь с г как с независимой переменной, мы можем, однако, исключить tr из этих двух уравнений:

(2Хр~2г4 - 2р"2г4Г/ (г) - г2) (^)2 = 1, следовательно,

6 = S Т^^^г^+ е°’

В частности, если L/(r)=—yr-1, мы можем проинтегрировать последнее уравнение явно:

e-60 = arcsin [7(7-7)]-

где

82=1+^,р=}^.

Таким образом, орбиты — конические сечения

1 — в sin (0 — е0)

с эксцентриситетом е. Аналогично, мы можем найти / одной квадратурой:

,Г г*0г I # Сг dr,

Н Т И Тй^^^щ^^ + °’

В гравитационном случае это приводит к формулам

z = ^ — —^г IoS ( V^ s + 2 V + у). s = V2V2 + 2уг — р2.

Таким образом, мы полностью решили задачу Кеплера в квадратурах.

4.3. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений с частными производными Д(х, u<R)) = 0. Закон сохранения — это выражение

DivP = 0,(4.22)

которое обращается в нуль на всех решениях и = ^х^ данной системы. Здесь P=(Pi(x, nW), ..., Рр(х, м<">))—набор гладких функций от х, и и производных от и и Div Р = DxPi + ... ... + DpPp — его полная дивергенция.

Например, в случае уравнения Лапласа легко обнаружить несколько законов сохранения. Прежде всего само уравнение представляет собой закон сохранения, поскольку

Ди = Div (grad и) = О

для всех решений и. Умножение уравнения Лапласа на щ = ди/дх1 дает еще р законов сохранения:

Позже мы увидим, как установить еще ряд законов сохранения.

В случае системы обыкновенных дифференциальных уравнений, включающей одну независимую переменную xeR, закон сохранения принимает вид DXP = O для всех решений u = f(x)

рассматриваемой системы. Для этого требуется, чтобы Р(х, «(”>) была константой на всех решениях системы. Таким образом, закон сохранения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений эквивалентен классическому понятию первого интеграла или константы движения системы. Как мы увидим, (4.22)—подходящее обобщение этого понятия на уравнения с частными производными. Оно включает в себя известные понятия сохранения массы, энергии, импульса и т. д., возникающие в физических приложениях.

В задачах динамики одна из независимых переменных выделяется как время t, а остальные переменные х = (х1 ,.., хр) являются пространственными переменными. В этом случае закон сохранения принимает вид

DtT+ DivX = 0,

где Div — пространственная дивергенция от X по х1, .... хр. Плотность закона сохранения Т и соответствующий поток X = (Хь ..., Хр) являются функциями от х, t, и и производных от и по х и 1. В этой ситуации легко видеть, что для решений определенных типов плотность закона сохранения, будучи проинтегрированной, дает нам константу движения. Конкретнее, пусть й с: Rp— область в пространстве и и = Цх, /) — решение, определенное для всех гей, а ^ t ^ Ь. Рассмотрим функционал

^о [f 1 (0 = S Г (Х’ *’ PrW^x> №’ <4-23>

который при фиксированных f и й зависит только от I. Основное свойство плотности закона сохранения Т означает, что 9"у [f] зависит только от начальных значений функции f при t = а и от значений f на границе области дй.

Предложение 4.20. Пусть Т, X — плотность и поток для закона сохранения данной системы дифференциальных уравнений. Тогда для любой ограниченной области й <= Rp с гладкой границей дй и любого решения u = f(x, t), определенного при хе й, а ^ t ^ Ь, функционал (4.23) удовлетворяет условию

t

<Г4Л(Л-^№) = -$ $Ш т, pr^f(x, T^-dSd-c. (4.24) a dU

Обратно, если (4.24) выполняется для всех таких областей и решений и = Цх, t), то Т, X определяют закон сохранения.

Доказательство. По теореме о дивергенции

-^9-a\.№=\DtTVx, t, pr<n+‘V)dx = - $Х(х, t, prWf)-dS.

получается отсюда интегрированием. Обратное получается дифференцированием (4.24) по t, что дает

^№(Х, t, pr<B+‘)f)+DivX(x, t, pr<”+1)f)}dx = o.

Поскольку это выполняется для произвольных подобластей, само подынтегральное выражение должно обращаться в нуль. □

Следствие 4.21. Если Q<=Rp—ограниченная область и и = Цх, t) — решение, такое, что Х(х, t, pr<n>f(x, /))-»- 0 при х-*д£1, то Та [fj — константа, не зависящая от t.

Обычно X (х, I, 0) = 0, так что требуют, чтобы решение /(х, /) стремилось к нулю достаточно быстро при x^-dQ (т. е. на дй потока нет) или, если у Q есть неограниченные компоненты, при |х] ->■ ОО.

Пример 4.22. Возможно, наиболее наглядная физическая иллюстрация взаимосвязи между плотностями и потоками законов сохранения получается из уравнений движения сжимаемой невязкой жидкости. Пусть х е К3 — пространственные координаты, а и = и(х, t)e R3 — скорость частицы жидкости, находящейся в точке х в момент времени t. Далее, пусть р(х, /)— плотность, а р(х, /)— давление; в частном случае течения с постоянной энтропией давление р = Р(р) будет зависеть лишь от плотности. Уравнение неразрывности принимает вид

Pt + Div (ри) = 0.

где Div (ри) = У, д^ри^/дх1— пространственная дивергенция, а равновесие сил приводит к трем уравнениям движения

Уравнение неразрывности уже имеет вид закона сохранения с плотностью Т = р и потоком X = рм. Это приводит к инте-

-^- р dx = — ри • n dS.-^- р dx = — ри • n dS.£2£2ЭВЭВ

-^- р dx = — ри • n dS.

-^- р dx = — ри • n dS.

£2

£2

ЭВ

ЭВ

Здесь jpdx, очевидно, — масса жидкости внутри области Q, а в

ри-п (где п — единичная внешняя нормаль к <%2)— мгновенный расход жидкости через точки границы дЕ1. Таким образом, мы видим, что чистое изменение массы внутри Q равно потоку жидкости внутрь Q. В частности, если нормальная составляющая скорости и-п на dfi обращается в нуль, то внутри области Q не происходит изменения массы, и мы получаем закон сохранения массы

\ р dx = const.

Уравнения движения вместе с уравнением неразрывности приводят к трем новым законам сохранения

з

Dt W + ^Di l^* + рб') = 0, t = 1, 2, 3.

/=1

В интегральной форме это законы сохранения импульса

-^ ри1 dx = — (риг (и • и) + рп^ dS, i = 1, 2, 3 £2ЭВ

(здесь щ есть t-я компонента нормали и). Первое слагаемое в интеграле по границе обозначает перенос импульса ри‘ потоком жидкости через поверхность 6Q, а второе слагаемое есть результирующее изменение импульса, вызванное давлением. Таким образом, Х{ = ри и? + рб/ представляют собой компоненты потока импульса. Наконец, для течения с постоянной энтропией можно ввести внутреннюю энергию W (р) = р~2Р (р) dp на единицу массы, измеряющую работу жидкости против сил давления. Закон сохранения энергии принимает вид

Dt[| РI и |2 + рГ (р)] + Div [(|р | и I2 + Р (р) + pW (р)) и] = 0;

или в интегральном виде

■^-J[4p|u|2 + p^(p)]dx= - J (^p|«|2+P(p) + p^(p))u.«dS.

£29Q

Здесь \ — р | и |2 dx — кинетическая энергия, а \ pU? (р) dx — аи

внутренняя (потенциальная) энергия жидкости. Интеграл по поверхности представляет собой перенос кинетической и потенциальной энергии через д£2 плюс та часть совершаемой жидкостью работы, которая вызвана давлением на границе. В частности, если и-п=0 на дй, то и масса, и энергия сохраняются.

Тривиальные законы сохранения

Закон сохранения может становиться тривиальным по двум причинам. Тривиальность первого типа состоит в том, что сам набор из р функций Р в (4.22) обращается в нуль на всех решениях данной системы. Тривиальность этого типа обычно легко устранить, если разрешить систему и ее продолжения Д№) относительно некоторых из переменных и", выразив их через остальные переменные, и подставить соответствующие выражения вместо этих выделенных переменных. Например, в случае эволюционного уравнения ut = P^x, uw) мы всегда можем выразить любую производную от и по времени, т. е. ии. uxt и т. д., через х, и и пространственные производные от и. В результате получаем, что всякий динамический закон сохранения эквивалентен, с точностью до прибавления тривиального закона сохранения первого типа, закону сохранения, в котором плотность Т зависит только от х, t, и и пространственных производных от и. Для эволюционных уравнений это обычный вид закона сохранения.

Пример 4.23. Рассмотрим систему эволюционных уравнений первого порядка

«* = Ух, »t = «х, эквивалентную одномерному волновому уравнению и» = ихх. Выражение

Dt (4“И Т “') ” D= kutu^ = ut kutt ~ ^ = °.

очевидно, является законом сохранения. В соответствии со сделанным замечанием мы можем заменить плотность и поток закона сохранения выражениями, зависящими только от пространственных производных. В результате получаем эквивалентный закон сохранения

Dt (^Ux + 4 °") - Dx ^хУх) = О-

Он отличается от исходного на тривиальный закон сохраненияDt (т“< “ Т Ух) + Dx (ухЩ - “А) = °.

плотность и поток которого обращаются в нуль на решениях системы.

Второй возможный тип тривиальности возникает, когда условие на дивергенцию

*DivP = 0

справедливо для всех функций « = /(%) независимо от того, являются ли они решениями данной системы дифференциальных уравнений. Например, в случае р = 2 тождество

^х (^у) Dy (^х) — О,

очевидно, выполняется для любой гладкой функции и = Цх, у) и, следовательно, представляет собой тривиальный закон сохранения второго типа для любого уравнения с частными производными, содержащего u = f(x, уУ Менее очевидный пример доставляет тождество

Dx ^„«г — uzy„) + Dg (uzvx — uxyz^ + Dz (uxyy — uyvx) s 0, содержащее якобианы. Всякий набор из р функций Р^х, и^), дивергенция которого обращается в нуль тождественно, называется нулевой дивергенцией. Закон сохранения, выражаемый любой нулевой дивергенцией, не зависит от конкретной структуры какой бы то ни было данной системы дифференциальных уравнений. Это оправдывает тот факт, что мы расцениваем эти законы как тривиальные.

Аналогично лемме Пуанкаре, характеризующей ядро обычного оператора дивергенции (ср. пример 1.62), имеется характеризация всех нулевых дивергенций — тривиальных законов сохранения второго типа.

Теорема 4.24. Пусть P = (Pi, ..., Рр)— набор из р гладких функций, зависящих от х = (х*, .... х^, и=(и\ .... ич) и производных от и определенных на всем пространстве струй XXUW. Тогда Р является нулевой дивергенцией: DivP = 0, если и только если существуют гладкие функции Qjk, j, k = = 1р, зависящие от х, и и производных от и, такие, что

Qjk = — Qfeb i, k = l.....р,(4.25)

и

р

Pi=XDkQik, 1 = 1. ...,Р.(4.26)

для всех (х, uwy

В частности, если р — 3, то в теореме 4.24 утверждается, что D iv Р = D^ РJ 4- D^P2 4" DaPз = О,

если и только если Р является «полным ротором»: Р = Curl Q, т. е.

Р1 = P2Q3 — P3Q2, ^2 = D3Q1 DiQa» ^з = D1Q2 — D2QV. (Здесь мы отождествляем Qi2 = —Q21 с Q3 и т. д.) Для нашего предыдущего примера

Р = ^ииУг — игу„, игух — ихуг, ихсу — ииух\

а соответствующий набор функций Q есть (иух, uyti, иу2У

Хотя для любой фиксированной функции u = f^x) теорема 4.24 сводится к лемме Пуанкаре, тот факт, что для всех таких функций можно взять один и тот же набор функций Qjh, зависящих от х, и и производных от и, является гораздо более тонким. Его доказательство оказывается довольно сложным, и мы откладываем его до § 5.4, когда в нашем распоряжении будет гораздо больше алгебраической техники.

Вообще говоря, тривиальный закон сохранения будет по определению линейной комбинацией тривиальных законов двух рассмотренных типов. Иными словами, Div Р = 0 является тривиальным законом сохранения системы, если и только если существуют функции Q)fc, удовлетворяющие условию (4.25), такие, что (4.26) выполняется для всех решений системы Д. Два закона сохранения Р и Р эквивалентны, если они отличаются на тривиальный закон сохранения, так что Р = Р 4- Р, где Р тривиален. Нас будет интересовать классификация законов сохранения только с точностью до эквивалентности, так что под «законом сохранения», вообще говоря, мы будем понимать на самом деле «класс эквивалентных законов сохранения».

Характеристики законов сохранения

Рассмотрим закон сохранения вполне невырожденной системы дифференциальных уравнений Д(х, к(п)) = 0. В соответствии с упр. 2.33 Div Р обращается в нуль на всех решениях системы, если и только если существуют функции Qv(x, и'т^, такие, что

DivP=£Q^/Av(4.27)

V, I

для всех (х, и\ Каждое слагаемое в (4.27) можно проинтегрировать по частям; например, если 1 ^ / ^ р,

Q^D,^ = Dj (Q(AV) - Dj ^ ^.

Таким образом, мы получаем эквивалентное тождество

i

DivP = Div7?+ £QvAv = Div7? + Q-А,V=I

где элементами набора из / функций Q = (Qi, .... Qz) служат Qv = Е (-D), Q'v(4.28)

и R=(R!, .... Rp) (явные выражения здесь не требуются) зависит линейно от компонент Av данной системы дифференциальных уравнений и их полных производных. Таким образом, R является тривиальным законом сохранения (первого типа), и если мы заменяем Р на Р— R, то получаем эквивалентный закон сохранения специального вида

DivP = Q-A.(4.29)

Мы называем (4.29) характеристической формой закона сохранения (4.27), а набор из I функций Q = (QiQz)— характеристикой данного закона сохранения.

Вообще говоря, при I =# 1 характеристика данного закона сохранения определена неоднозначно; это проистекает из того факта, что Qv в (4.29) определены неоднозначно. Заметим, что если Q и Q оба удовлетворяют условию (4.29) при одном и том же Р, то Q-A = Q-A. Поскольку система А невырожденна, из предложения 2.11 вытекает, что Q— Q обращается в нуль на всех решениях. Это служит обоснованием определения тривиальной характеристики Q как характеристики, обращающейся в нуль на всех решениях системы. Две характеристики Q и Q эквивалентны, если они отличаются на тривиальную характеристику, так что Q = Q для всех решений ы = f(x) системы А. Вообще характеристики определены лишь с точностью до эквивалентности.

Пример 4.25. Чтобы найти характеристику закона сохранения волнового уравнения примера 4.23, нам нужно переписать левую часть в виде (4.27). Получаем

Dt Qu* + 4 их) - Dx (UxUi) = UtDi (ut - Ух) + utDx (ct - u,).

Поэтому, согласно (4.28), характеристика имеет вид

Q ’ ( Dt^t^’ Dx («,))= ( ^tt, их(\

и существует эквивалентный закон сохранения в характеристической форме, который находится интегрированием по частям: Dt А*^ ~ 4 “< + “^ J+^x (~ “^^-“н lUt-yxVUxt (°Г-“х>

Важно отметить, что замена производных по t на производные по х в этом законе сохранения приведет, как в примере 4.23, к эквивалентному закону сохранения, но, вообще говоря, он не будет уже в характеристической форме. В настоящем примере плотность закона сохранения эквивалентна (1/2) их + (1/2) Ух, а поток эквивалентен — ихеХ1 но получающийся закон сохранения

Dt (4 “х + 4 °х) + Dx (- ихух) = “х (Uxi - Ухх) + Ух (yxt - Uxx)

явно находится не в характеристической форме. Вообще говоря, замена закона сохранения на эквивалентный не сохраняет характеристической формы.

Кроме того, этот последний закон сохранения имеет в качестве своей характеристики

Q == ( Dx (ux), Dx (ух)) = (— Ихх» Ухх)»

а это не то же самое, что первоначальная характеристика. Однако разность

Q — Q = (— («« — ихх\ — (п„ — »хх))

является тривиальной характеристикой, поскольку она обращается в нуль на всех решениях системы. Таким образом, два эквивалентных закона сохранения могут иметь эквивалентные, но не одинаковые характеристики. Наконец, отметим, что характеристические формы этих двух законов сохранения различаются. Характеристическая форма последнего закона имеет вид

Dt А“х + 4 °х) + Dx ^хУх - иЛ - yxyt) =

= — Uxx (Ut — oj — Oxx (о< — их\

Таким образом, один (класс эквивалентности) закон(ов) сохранения может иметь более чем одну характеристическую форму. Наконец, мы замечаем, что к любому рассмотренному закону сохранения можно прибавить любую нулевую дивергенцию, и это не повлияет ни на его справедливость, ни на вид характеристик.

Рассмотренный пример должен дать читателю хорошее представление об алгебраической сложности общей взаимосвязи между характеристиками и законами сохранения. Тем не менее если мы ограничим внимание нормальными невырожденными системами (в частности, нормальными аналитическими системами), то окажется, что имеется взаимно однозначное соответствие между классами эквивалентности законов сохранения и классами эквивалентности характеристик, так что каждый закон сохранения однозначно определяется своей характеристикой и наоборот, если иметь в виду отношения эквивалентности. Этот результат — краеугольный камень большей части общей теории и классификации законов сохранения, включая теорему Нётер. (Контрпримеры для случая анормальных систем мы обсудим в § 5.3.)

Теорема 4.26. Пусть k\x, uw) = Q— нормальная вполне невырожденная система дифференциальных уравнений. Пусть наборы из р функций Р и Р определяют законы сохранения с характеристиками Q и Q. соответственно. Тогда Р и Р —эквивалентные законы сохранения, если и только если Q и Q — эквивалентные характеристики.

Очевидно, эта теорема сводится к доказательству того, что закон сохранения в характеристической форме (4.29) тривиален тогда и только тогда, когда тривиальна его характеристика Q. Некоторые сложности возникают из-за того, что приходится иметь дело с двумя типами тривиальности законов сохранения. Само доказательство довольно сложное, и мы советуем читателю при первом чтении перескочить с этого места к § 4.4.

В качестве подготовительного упражнения к общему доказательству мы начинаем с простого случая одного обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка

А (х, uw) = А (х, и, иъ ..., ип) = О,

в котором Uk = dku/dxk — производные от единственной зависимой переменной и. Закон сохранения в характеристической форме имеет вид

DXP = Q- А,

где Q(x, tAm))— одна функция от х, и и производных от и. Заметим, что в этом случае тривиальными законами сохранения второго типа являются лишь константы, поэтому доказательство заметно упрощается. Предположим сначала, что Р-—тривиальный закон сохранения. Поскольку уравнение А невырож-

денно,

Р==Ц Ak.D^ + cк=0

для некоторых функций Ак и се R. По правилу Лейбница

D.P = £ \DxAh • Dkx\ + Ак • /^+1Д] =

6=0

= фхА^ • А + £ (Ла-i + DxAk^ • DXL 4- At • ^+1А.

6=i

Приравнивая это к Q-A, получаем

z

(Dx Ло - Q) • А + £ (Лй-i + D^ • Dk^ + At • D?*A = О 6=i

для всех х, и. Далее, предполагается, что продолжения А(,+^ уравнения А имеют максимальный ранг. Тогда, согласно предложению 2.11, линейная комбинация функций А, £>ХД, ..., D, 'А, определяющих Atz+I), будет тождественно обращаться в нуль, если и только если коэффициенты обращаются в нуль на всех решениях продолжения A,z+1>. Таким образом,

Л, = 0, Л6-1 + Д*Лй = О, 6=1,2I, и

dxa0-Q=^

если и = ^х^—решение А. Несложная индукция показывает, что Лй = 0 на решениях системы А при к = 1, /—1, .... 1, О, и, следовательно, из последнего уравнения вытекает, что Q обращается в нуль на всех решениях тоже. Это означает, что Q— тривиальная характеристика, и, следовательно, мы доказали, что тривиальный закон сохранения обязан иметь тривиальную характеристику.

Чтобы доказать обратное, нам нужно разрешить наше уравнение А относительно производной самого высокого порядка

ип = Г(х, и,..., ип_х\(4.30)

Это можно сделать в окрестности любой точки (х0, «о ), в которой система А нормальна (в нашем случае это означает, что dA(x0, «on))/dUn ^ О)- Прежде чем двигаться дальше, важно отметить, что замена А на алгебраически эквивалентное уравнение ип = Г не влияет на структуру пространства законов сохранения:

Лемма 4.27. Предположим, что А и А— две вполне невырожденные системы уравнений с частными производными, алгебраически эквивалентные в том смысле, что соответствующие им алгебраические подмногообразия 9к и 9^ в пространстве струй М^ совпадают:

9^ = ^х, и^у А(х, и^ = 0} = 9^ = {(х, uW): А(х, ы<">) = 0}.

Набор из р функций Р является тогда законом сохранения для N, если и только если он является законом сохранения для А. Он тривиален как закон сохранения для А, если и только если он тривиален как закон сохранения для N. Если Div Р = Q • А — характеристическая форма для А, то это также характеристическая форма для N: Div Р = Q • А. Наконец, Q — тривиальная характеристика для А тогда и только тогда, когда Q — тривиальная характеристика для N.

Доказательство. Утверждение, что функция R(x, и^) обращается в нуль на всех решениях системы А, эквивалентно в силу локальной разрешимости утверждению, что R (х, и^) = 0 при (х, и^ед^. Очевидно, что это требование не зависит от конкретных функций А или А, использованных для описания подмногообразия 9к (или его продолжений). Этого тривиального наблюдения достаточно для доказательства всех утверждений леммы, кроме последнего. Требование, чтобы Q была тривиальной характеристикой, означает, что выражение Q-N = R имеет нуль второго порядка на некотором подходящем продолжении NW системы А. (Это означает, что и R, и все ее частные производные dR]dxl, dR/duf обращаются в нуль на продолженном подмногообразии ^диь) Снова это геометрическое условие, очевидно, не зависит от конкретных функций А или А, использованных для описания 9к, и, следовательно, 9^ = = 9>~w. □

Возвращаясь к нашему доказательству теоремы 4.26 в случае обыкновенного дифференциального уравнения, попытаемся показать, что если Q — тривиальная характеристика, то D,P = = Q"N обязательно является тривиальным законом сохранения. По лемме 4.27 мы можем считать, что А имеет вид (4.30). Кроме того, дифференцируя (4.30) и подставляя соответствующие выражения, мы можем выразить производные высших порядков Un+k, ^ ^ 0, через х, и, ..., un_v Если подставить их в закон сохранения Р, то мы получим эквивалентный закон со-

хранения Р*(х, и, ..., un-iV зависящий лишь от производных от и порядка п — 1 и ниже.

Далее, в общем случае, как показывает пример 4.25, замена закона сохранения на эквивалентный не обязательно сохраняет его характеристическую форму. Поэтому у нас нет оснований ожидать, что DXP* = 0 будет характеристической формой. (На самом деле в общем случае это приведет к главной трудности в доказательстве.) Однако в настоящей ситуации рассуждения на этом шаге радикально упрощаются. Именно, поскольку Р* зависит лишь от производных порядка п — 1 и ниже, производные порядка п и выше в

дР* . дР* , дР*

ОХР =—зЬ «1 -5г .. ■ + ип-=

х дх 11 ди1 п дип_х

появляются только одним способом — в последнем слагаемом. Таким образом, в силу локальной разрешимости (4.27) справедливо тогда и только тогда, когда

DxP* = Q*(un-n,

где Q* = dP/dun-\— характеристика, которая в силу первой половины теоремы эквивалентна исходной характеристике Q и, следовательно, тривиальна. Кроме того, Q* зависит лишь от производных от и порядка п — 1 и ниже, поэтому она может быть тривиальна, только если обращается в нуль тождественно: Q* = дР/дип-\ = 0. Отсюда следует, что DxF* = 0 и, следовательно, Р* — тривиальный закон сохранения второго типа. (В настоящем случае это означает, что Р* — константа!) Таким образом, Р также тривиален, и в этом частном случае теорема доказана.

Доказательство теоремы 4.26 в общем случае проводится аналогичным образом, хотя детали, особенно во второй части доказательства, становятся гораздо более сложными. Предположим сначала, что Р — тривиальный закон сохранения, так что в силу невырожденности Д существуют функции Л^(л, м(т>), такие, что

Pt = £ aLdA^Ri, i=l, ...,р,(4.31)

V, /

где R=(,RiRp)—нулевая дивергенция. В этом случае Div Р = У, {£>Mfv • Djt^ + XfvDiD/Av}.

v. Z

Предполагая, что P записан в характеристической форме, мы приравниваем последнее выражение к Q-Д и получаем линейную комбинацию производных DK\V, которая обращается в нуль тождественно по х и и. Снова в силу условия максимальности ранга продолжений системы Д предложение 2.11 утверждает,

что коэффициент при каждой производной DK&V должен обращаться в нуль, если u = f(x)— решение системы. Несложная индукция, следующая по тому же пути, что и в случае обыкновенного дифференциального уравнения, показывает, что каждый коэффициент Л^ должен обращаться в нуль, если и — решение, и, наконец, каждая Qv равна нулю, если u = f(x')— решение системы Д. Таким образом, тривиальный закон сохранения обязательно имеет тривиальную характеристику, и первая половина теоремы доказана.

Чтобы доказать обратное, нам нужно сначала применить замену независимой переменной (у, 0 = ф (х), которая делает систему Д эквивалентной системе в форме Ковалевской

Ч^^^^У, t, «’»>), v=l, ..., q, (4.32)

где Fv зависит от всех производных н/ до порядка п включительно, кроме Unt. (См. теорему 2.76. Нетрудно распространить это на более общую форму Ковалевской (2.123), но обозначения становятся более сложными, поэтому мы оставим это читателю.) Пользуясь леммой 4.27, достаточно доказать, что если Q = (Qi, .... Qq)— тривиальная характеристика для системы в форме Ковалевской, то соответствующий закон сохранения тривиален.

Лемма 4.28. Если Д— система в форме Ковалевской (4.32) и Р — плотность закона сохранения, то существует эквивалентная плотность закона сохранения Р, такая, что

DivP = Q-A,(4.33)

где новая характеристика Q зависит только от у, t и и^, т. е. не содержит производных по / порядка выше п.

зависит от про-зависит от про-Доказательство. Заменим Р на Р, где Р не

зависит от про-

зависит от про-

изводных Unt, к. Тогда

DivP = £а, КDivP = £а, КдР0^u(n—^t, КдР0^u(n—^t, Кunt, Кunt, Ку дР°“к Кп-Ш. Ку дР°“к Кп-Ш. К•dk\^R\(4.34)•dk\^R\(4.34)где Ро есть /-компонента Р, a R и R* не зависят от производных u®t, к- Однако Div Р должна обращаться в нуль на Д, откуда следует, что R* обращается в нуль на Д. Но это невозможно, если R* ^ 0. Поэтому имеемгде Ро есть /-компонента Р, a R и R* не зависят от производных u®t, к- Однако Div Р должна обращаться в нуль на Д, откуда следует, что R* обращается в нуль на Д. Но это невозможно, если R* ^ 0. Поэтому имеемDivP= £ ZKja-DKAa,а. КDivP= £ ZKja-DKAa,а. К(4.35)(4.35)

DivP = £

а, К

DivP = £

а, К

дР0

^u(n—^t, К

дР0

^u(n—^t, К

unt, К

unt, К

у дР°

“к Кп-Ш. К

у дР°

“к Кп-Ш. К

•dk\^R\

(4.34)

•dk\^R\

(4.34)

где Ро есть /-компонента Р, a R и R* не зависят от производных u®t, к- Однако Div Р должна обращаться в нуль на Д, откуда следует, что R* обращается в нуль на Д. Но это невозможно, если R* ^ 0. Поэтому имеем

где Ро есть /-компонента Р, a R и R* не зависят от производных u®t, к- Однако Div Р должна обращаться в нуль на Д, откуда следует, что R* обращается в нуль на Д. Но это невозможно, если R* ^ 0. Поэтому имеем

DivP= £ ZKja-DKAa,а. К

DivP= £ ZKja-DKAa,а. К

(4.35)

(4.35)

где коэффициенты Zk, а, являющиеся частными производными от Ро по u^n-ut.K, не зависят от производных Unt.j- Интегрируя по частям, мы получаем равенство (4.33), где

Qa^'L^-D^ZK,»К

не зависит от производных «“f р поскольку мультииндексы К относятся только к производным по у. Это доказывает лемму. □

Теперь предположим, что Q — тривиальная характеристика закона сохранения

DivP = Q • А.

Заменим Р, следуя лемме, эквивалентным законом сохранения Р. Поскольку Р и Р эквивалентны, в силу доказанной уже части теоремы 4.26 мы знаем, что Q и Q — эквивалентные характеристики. Следовательно,

Q — Q = О на А.(4.36)

Но Q уже обращается в нуль на Л. По лемме единственный способ, которым Q может обращаться в нуль на А, — это быть тождественным нулем. Поэтому Р — тривиальный закон сохранения второго типа (нулевая дивергенция). Следовательно, закон сохранения Р, будучи эквивалентным Р, также тривиален. Это завершает доказательство теоремы. □

4.4. ТЕОРЕМА НЕТЕР

Общий принцип, связывающий группы симметрий и законы сохранения, был впервые установлен Эмми Нётер (Noether [1]), которая сформулировала его в почти полной общности. Его вариант, изложенный в этом параграфе, — это вариант, больше знакомый физикам и прикладникам и требующий лишь знания теории обычных групп симметрий, изложенной в гл. 2. Но он далек от наиболее исчерпывающего варианта теоремы Нётер. Мы вернемся к этой теме в § 5.3, где будет доказана теорема Нётер в общем виде, который включает и настоящий вариант. Тем не менее излагаемый здесь результат очень полезен на практике, и мы проиллюстрируем его эффективность важными физическими примерами.

Теорема 4.29. Предположим, что G—(локальная) однопараметрическая группа симметрий вариационной задачи cS^u^

= L (х, «(">) dx. Пусть

Ра 4

V = Ц ^ (X, «) -£г + £ Фа (х, «)(4.37)

1=1а=1L

— инфинитезимальная образующая группы G и

р

Qa(x, и) = (ра— Е^«", и^ = диа!дх‘,

— соответствующая характеристика поля v, как в (2.48). Тогда Q = (Qi, ..., Qq) является также характеристикой закона сохранения для уравнений Эйлера — Лагранжа Е(£) = 0; иными словами, имеется набор из р функций Р(х, м(т)) = (Рь ..., Рр), такой, что

Div Р = Q • Е (L) = Е QvEv (I)(4.38)

V—1

— закон сохранения в характеристической форме для уравнений Эйлера — Лагранжа E(L) = 0.

Доказательство. Мы подставляем формулу продолжения (2.50) в критерий инфинитезимальной инвариантности (4.15) и получаем рр

0 = pr(")v (L) + L Divg = рг(% (£) + Е ^DtL + L Е D£l = 1-1i=i

= pr<%(L) + Div(W>

где L^ = (<LV, .... L^p). Первое слагаемое в этом уравнении можно проинтегрировать по частям:

Р-»% (£) - £ DA. Лк = £ Q-. (_ D), № + Div А =а, J1 а, I1

= £ QaEa(LH Div Л, a—1

где Л=(Ль ..., Ар) — некоторый набор из р функций, зависящих от Q, L и их производных, явный вид которых здесь не требуется. Мы доказали, что

рг<% (L) = Q • Е (L) + Div Л(4.39)

для некоторого А. Поэтому

0 = Q-E(L)4-DivM + Z,g)(4.40)

и (4.38) справедливо при Р =— (Д + Lg). Это завершает доказательство теоремы Нётер. □

С этой точки зрения сущность теоремы Нётер сводится к интегрированию по частям в формуле (4.39). Чтобы найти явное выражение для получающегося закона сохранения Р = = — (Д + Lg), нам, таким образом, нужно найти общую формулу, выражающую А через L и характеристику Q симметрии. Общая формула появится в предложении 5.74; здесь мы подробно рассматриваем случай вариационных задач первого порядка. (Другой подход состоит в том, чтобы, зная характеристику Q, построить Р прямо по основной формуле (4.38). Эта несколько специальная техника часто бывает полезна на практике, когда общая формула слишком громоздка, чтобы ее можно было применять непосредственно.) Если /Дх, и(1>) зависит только от производных первого порядка, то

4 Гр1

p^w-Zk^+Zw.^-}-

a^l Ii=l1 V

Интегрировать по частям нужно только вторую группу слагаемых, так что мы получаем, что (4.39) выполняется при А; = = У, Qa • dLjdu^. Таким образом, имеем следующий вариант a

теоремы Нётер для вариационных задач первого порядка.

Следствие 4.30. Предположим., что S’[u] = L(x, u^dx — вариационный функционал первого порядка и v— вариационная симметрия, как в (4.37). Тогда

qq р

Р- = Х^+^~Т,^-^- •='..... Р. (4.41) а=11а=1/=1*

представляют собой компоненты закона сохранения Div Р = 0 уравнений Эйлера — Лограна Е(Т) = 0.

Пример 4.31. Рассмотрим систему п частиц, движущихся в R3 в некотором потенциальном силовом поле. Кинетическая энергия этой системы имеет вид

п

К1^ = ^^ ma [ х"а |2,

а=1

12 П. Олвер

где та — масса, а ха = (ха, у“, z“)—координаты частицы с номером а. Потенциальная энергия U (f, х) будет зависеть от конкретной задачи; например,

U V. х) = Е Yapl х“ — х₽ Г1

может зависеть только от двухчастичного гравитационного взаимодействия между массами, или (если п = 1) мы можем взять потенциал притяжения к центру задачи Кеплера. Ньютоновские уравнения движения

таХН=-^ = -(^а, Пуа, W2a),0=1, ...,П,

имеют вариационный вид, поскольку они являются уравнениями Эйлера — Лагранжа для интеграла действия (К — U)dt.

Векторное поле

¥ = т(/, Х)А + £ПЛ x)._JLstA + a

।д । ad । -.a d \

+ Z(E 7Z + ’'^+ C ^) a

будет порождать группу вариационных симметрий, если и только если

prl’lvtK-WHtK-WW — O(4.42)

для всех Ц, х). Теорема Нётер непосредственно доставляет соответствующий закон сохранения или первый интеграл

Т = У ma§“ • х“ — т£ = const,(4.43)

a=l

где Е = К + U — полная энергия системы. В этом примере мы исследуем, какой вид должен принимать потенциал, чтобы определенные группы, представляющие физический интерес, были группами вариационных симметрий, и выведем вид соответствующего закона сохранения.

Прежде всего, группа сдвигов по времени имеет образующую v = dt. Поскольку pr^v = v, (4.42) выполняется, если и только если dU/dt = O, т. е. U не зависит явно от времени. Получающийся закон сохранения есть просто энергия Е. Инвариантность физической системы относительно сдвигов по времени, вообще, как правило, влечет за собой сохранение энергии. Рассмотрим далее группу одновременных сдвигов всех частиц в фиксированном направлении aeR3. Группа х“ь->х“ + еа имеет образую-

щую v=^a-d/dxa. Снова pr<6v=v, так что (4.42) выполняется, если и только если v(t7) = O. Это означает, что функция U инвариантна относительно сдвигов в данном направлении. Соответствующий первый интеграл есть импульс

X таа • ха = const,а

Снова в большинстве физических систем инвариантность относительно сдвига влечет за собой сохранение импульса. В качестве последнего примера рассмотрим группу одновременных вращений всех частиц вокруг некоторой фиксированной оси. Для простоты возьмем ось z. Образующая этой группы имеет вид

¥~Ц^-^)' ^-^П-^-^У

Заметим, что pr<l>v(/Q = 0, следовательно, вращения образуют группу вариационных симметрий, если и только если потенциал U инвариантен относительно вращений: v(t7) = 0. Закон сохранения — это закон сохранения момента количества движения

^ та ^хауа — у“ха) = const,а

Снова, как правило, инвариантность относительно вращений влечет за собой сохранение момента количества движения. Например, задача п тел допускает все семь симметрий, и поэтому в ней имеет место сохранение энергии, импульса и момента количества движения, тогда как в задаче Кеплера сохраняется только энергия и момент количества движения; инвариантность относительно сдвигов здесь уже отсутствует, поскольку одна масса должна оставаться в начале координат.

Пример 4.32. Статическая теория упругости. В теории упругости законы сохранения имеют особую важность, поскольку они дают нетривиальные интегралы, не зависящие от пути интегрирования, посредством которых можно исследовать особенности, такие, как трещины, интегрируя соответствующие величины вдали от них. Пусть xeQcRp — координаты точек упругого тела в некоторой эталонной конфигурации, а и е R9 — пространственные координаты, представляющие смещение, так что и^— деформированное положение исходной точки х. В физических приложениях р = q = 2 или 3 в плоской или трехмерной теории упругости. В теории идеальной упругости в пред-

положении отсутствия объемных сил равновесные деформации определяются как минимумы функционала энергии

Ж[и] = J W^x, uw)dx, подчиненные соответствующим граничным условиям на д£2. В большинстве случаев плотность накопленной энергии W будет зависеть от материальных координат х, деформации и и градиента деформации Ми = (ди^/дх1). Последний измеряет возникающее в результате деформации напряжение1). Явный вид плотности накопленной энергии будет зависеть от предположений, определяющих тип упругого материала, из которого состоит тело. Тем не менее определенные универсальные физические ограничения будут налагать определенные общие ограничения на вид функции W. Каждое из этих ограничений появится в облике группы вариационных симметрий функционала Ж, и поэтому теорема Нётер немедленно приведет к соответствующим законам сохранения, справедливым для упругих материалов вообще.

Прежде всего, поскольку W не зависит ни от каких внешних сил, она, по-видимому, не зависит от выбора системы отсчета, от наблюдателя. Это означает, что W должна быть инвариантна относительно евклидовой группы

Е (9): и i—> Ru + а, а е R9, R е SO (9), действующей на пространственных переменных. Инвариантность относительно сдвигов влечет за собой независимость W=W(x, Ми) от ы; соответствующий закон сохранения

р

У, D.(dW/du^ = 0, а=1, ..., q, i=l

— не что иное, как сами уравнения Эйлера — Лагранжа, выраженные в дивергентном виде. Инвариантность 1^ относительно вращений

W (х, №) = W (х, Ми), R е SO (q), приводит к законам сохранения п

У пДи»-^--и»^\ = 0, о, Р = 1q, L ди» ди? J

*) Существуют, однако, теории материалов «более высокого порядка», предполагающие зависимость функции W от производных высших порядков.

характеристики которых являются характеристиками инфинитезимальных вращений иадир — и^диа.

Дальнейшие законы сохранения можно получить, если мы накладываем дополнительные ограничения на тип упругого материала. Например, если тело однородно, то W=W(Vu) не зависит от х. Инвариантность относительно группы сдвигов х^-*х 4- а, а е Rp, дает еще р законов сохранения

р / 9\

z<?.“?^h

компоненты которых задают известный тензор энергии-импульса Эшелби. При интегрировании вокруг вершины трещины тензор определяет соответствующую скорость высвобождения энергии. Для однородного изотропного материала группа симметрий SO(p): Xi—>Qx, которая накладывает на функцию W условие r(Vu-Q)= r(Vu), приводит к р(р— 1)/2 дополнительным законам сохранения

р ГЛ,1

У °i - *ч) +wk - w ^ = °*

отвечающим инфинитезимальным образующим хкд]дх'—х'д/дх^. Дальнейшие интересные законы сохранения можно получить, если накладывать дополнительные ограничения на плотность накопленной энергии XV. Ограничиваясь однородным материалом, мы получаем, что если r(Vu)— однородная функция степени п, так что

W ^и) = XnW (Vu), A > О,

для всех Vu, то группа растяжений

(х, и) Ь^ (Лх, Х1п-рУпи\ Л > О,

является группой вариационных симметрий, поскольку

J W {Vu) dx = Jr <Vp,nVu) Г dx = J Г (vu) dx.

(Если мы будем растягивать отдельно х или и, мы получим симметрию уравнений Эйлера — Лагранжа, но не вариационную симметрию, если только р =А и.) Инфинитезимальная образующая этой группы имеет вид

Рч

) х —Г Ч / “ —.

Ai dx1 пди

так что закон сохранения имеет вид

рzqр qч

yn|^y,*+lV_ry,te"U.

fcl ( - fa,fa fa, ' 8“U

На практике предположение об однородности W слишком частное. Для общей функции W указанный закон сохранения немного модифицируется и приводит к дивергентному тождеству

р г qр qх

yD I у „« ".+,V-y у М^-Upv, fa l„£. ««? fa fa, '

которое недавно было использовано в работе Knops, Stuart [1] для доказательства единственности равновесных решений, соответствующих однородным деформациям. (См. упр. 5.25, где приведена общая теорема этого сорта.) Если функция IF однородна степени р, то имеется полная конформная группа вариационных симметрий. Инфинитезимальные образующие преобразований инверсии имеют вид

р

ЗД,Х‘Х' -"^УЬ-

а соответствующие законы сохранения —

у од - у D, | У (х V - 1б‘ I х р) g «$ ^ - б‘^ | = 0.

Снова, если функция IF не однородна, они переходят в дивергентные тождества:

Этот метод использования симметрий частных вариационных задач для построения полезных дивергентных тождеств для более общих функционалов кажется довольно многообещающим, но ему еще предстоит получить полное развитие.

Дивергентные симметрии

Беглый просмотр доказательства теоремы Нётер обнаруживает, что предположение о том, что векторное поле v порождает группу вариационных симметрий, является чрезмерным ограничением для вывода существования закона сохранения. Это

Теорема Нетер 359 наводит на мысль ослабить определение группы вариационных симметрий следующим образом.

Определение 4.33. Пусть $ [и] = L dx — функционал. Векторное поле v на М cz X X U называется инфинитезимальной дивергентной симметрией функционала S’, если существует набор из р функций В(х, «(m)) = (Bi, .... Вр) от х, и и производных от и, такой, что

pr(n)v (В) + L Div £ = Div В (4.44) для всех х, и из М.

Чтобы уяснить мотивировку и обозначения, сравним «инфинитезимальный критерий» (4.44) с теоремой 4.12. В случае если В = 0, мы снова приходим к понятию вариационной симметрии. Каждая инфинитезимальная дивергентная симметрия вариационной задачи порождает однопараметрическую группу gB = = exp(ev) преобразований многообразия М, однако точные свойства симметрии таких групп дивергентных симметрий менее понятны, чем в случае обычных групп вариационных симметрий. Тем не менее получаем следующее обобщение теоремы 4.14.

Теорема 4.34. Если v — инфинитезимальная дивергентная симметрия вариационной задачи, то она порождает группу симметрий соответствующих уравнений Эйлера — Лагранжа.

Доказательство этого результата мы откладываем до § 5.3, когда будет развита соответствующая теория. Практически, чтобы найти дивергентные симметрии вариационной задачи, сначала вычисляют общую группу симметрий соответствующих уравнений Эйлера — Лагранжа. После этого непосредственно проверяется, какая линейная комбинация этих симметрий удовлетворяет дополнительному критерию (4.44), чтобы на самом деле быть дивергентной симметрией. (См. также предложение 5.39.)

Утверждение теоремы Нётер 4.29 остается тем же самым, если мы заменим вариационную симметрию на дивергентную симметрию в ее предположении: характеристика Q инфинитезимальной дивергентной симметрии остается характеристикой закона сохранения уравнений Эйлера — Лагранжа. Единственное, что меняется в доказательстве, — появляется добавочный член Div В, происходящий из формулы (4.44), в соответствующих формулах, так что, например, (4.40) заменяется на

Q • Е (L) + Div (Л + Ц) = Div В.

Таким образом, заключение (4.38) остается справедливым при Р = В — Л — Lg в этом случае.

Пример 4.35. Рассмотрим инвариантность лагранжиана К—U для системы п частиц относительно галилеевых преобразований:

(/, ха) t—> (/, ха + е/а),

где а е R3. Инфинитезимальная образующая этого действия имеет продолжение

п

pr-Ov-^^a.^+a.^.);

а=1 поэтому

prf>v (£) = s таа • ха — t X a • ^aU.а=1а=1

Это выражение никогда не обращается в нуль тождественно (при а=/=0), так что галилеево преобразование никогда не будет обычной вариационной симметрией. Однако первое слагаемое в prWvfL)—дивергенция, а именно Dt (У таа ■ х“), так что v порождает группу дивергентных симметрий, если функция U инвариантна относительно сдвигов в направлении а. Соответствующий первый интеграл имеет вид

X таа • х" — / У, таа • х". аа

Первая сумма, поделенная на полную массу X та, определяет проекцию центра масс системы на направление а, а вторая сумма — в точности проекцию импульса на то же направление. Таким образом, мы получаем, что если U инвариантна относительно сдвигов в данном направлении, то не только проекция импульса на данное направление постоянна, но и проекция центра масс на это направление является линейной функцией от h

Центр масс = t (импульс)/(масса) + с.

В частности, если U инвариантна относительно полной группы сдвигов в R3, то центр масс любой такой системы движется линейно в фиксированном направлении.

Пример 4.36. Вернемся к волновому уравнению в двумерном пространстве, рассмотренному в примерах 2.43 и 4.15. Уже было показано, что для полной группы симметрий волнового уравнения сдвиги, вращение и модифицированные дилатации являются симметриями соответствующей вариационной задачи.

Сейчас мы увидим, что инверсии, не будучи вариационными симметриями в строгом смысле, являются дивергентными симметриями. В случае ix имеем

pr’1»^ (L) + L Div g = иих = Dx (у ы2) ■

Таким образом, имеется десять законов сохранения для волнового уравнения, проистекающих из геометрических групп симметрий, — три из сдвигов, три из вращений, один из дилатации и, наконец, три закона сохранения, проистекающих из инверсий. В следующей таблице мы перечисляем эти десять плотностей законов сохранения, оставляя читателю определить соответствующие потоки.

Симметрия

ХарактеристикаПлотность закона сохранения

Сдвиги

“хРх = ихЧ

иуPy = uyut

ut£ = y(“x +“y +«t)

Вращения

xuti — yuxA = xPy — yPx

Xut+tuxMx = xE + tPx

HUt + tUyMu = yE + tPH

Дилатация

Хих+У% +tut+-uD + xPx + ypy-1.l.UUt + tE

Инверсии

(x2 - y2 + Z2) ux + 2xyuy +^ = xD _ уA + ^ XUUf + tMx

+ 2xZ«( + xu

2xyux + (y2 — x2 + Z2) uB +1# = gD — xA + у yuut + tMy

+ 2ytut + yu

2xtux + 2ytuy +It = (x2 + У*) E - у и2 +

+ (X2 + у2 + Z2) ut + tu+ 2ZD - t2E

Следовательно, если и(х, у, Z)—любое глобальное решение волнового уравнения, достаточно быстро затухающее при х2 _|_ ^2^.00, то пространственные интегралы от каждой из указанных в таблице плотностей — константы, не зависящие от t. Таким образом, мы получаем сохранение энергии

$ =Е dx dy = const

и аналогичные утверждения об импульсах ^ и ^у (интегралы от Рх и Ру) и моменте количества движения ^. Гиперболические вращения приводят к линейной зависимости соответствующих моментов энергии от t; например,*

— ^ хЕ dx dy = 9V + ^

для некоторой постоянной ‘б, где 9k — постоянный импульс. Группа дилатации приводит к полезному тождеству

— -^-^ ^u2dxdy=^ ^ ^хРх-\- yP^dxdy-V 8t-V^,

где ^ — константа. Три закона сохранения, проистекающие из инверсий, например

$ j [(х2 + у2) Р - 4 и2] dxdy = St2 + ^t + ^,

менее мотивированные физически, играют ключевую роль в развитии теории рассеяния как для линейных, так и для нелинейных волновых уравнений.

Наконец, имеются образующие симметрий va = а(х, у, t)du, происходящие из линейности уравнения. Они удовлетворяют условию

pr(1)va (L) = atut — ахих — ауиу = Dt (atu) — Dx (ахи^ — Dy (ауи),

поскольку a — решение волнового уравнения. Таким образом, исключая частный случай постоянного а, в смысле определения 4.10 это не вариационные симметрии; но они порождают дивергентные симметрии. Соответствующие законы сохранения — соотношения взаимности

Dt (aut — a(u) — Dx (aux — axu) — Dy iauy — ayu^ =

= a ^Uft uxx uyy^ и (a^ axx ^уу)== 0» обращающиеся в нуль, если а и ы являются решениями волнового уравнения. В интегральной форме этот закон — в точности формула Грина, примененная к волновому оператору. (См. § 5.3, где проводится общее обсуждение соотношений взаимности.)

Замечания

Вариационное исчисление берет свое начало в работах Эйлера и Бернулли, относящихся к восемнадцатому веку. Оператор, носящий имя Эйлера, появился впервые в 1774 г. Однако вплоть до работ Вейерштрасса и Гильберта второй половины

девятнадцатого века в этом предмете не было даже подобия строгости. Книга Гельфанда и Фомина [1] дает удобное для наших целей введение в вариационное исчисление, из которого мы использовали здесь лишь наиболее элементарные идеи. Законы сохранения имеют даже более давние истоки, хотя идея сохранения энергии не была надлежащим образом оформлена вплоть до работы Гельмгольца 1840-х годов. (См. Elkana [1], где имеется интересное исследование исторического развития этой идеи.) В книге Whitham [2; § 6.1] подробно излагаются законы сохранения в механике жидкости, кратко изложенные в примере 4.22.

В этой книге я не пытался представить многочисленные приложения законов сохранения в качественной теории дифференциальных уравнений. Я сосредоточился лишь на их систематическом выводе, основанном на симметрийном подходе Нётер. Лакс (Lax [2]) воспользовался законами сохранения (называемыми в этом контексте «парами энтропия — поток»), чтобы доказать глобальные теоремы существования и обосновать условия на разрывы для решений гиперболических систем, содержащих ударные волны. Это направление получило дальнейшее развитие в работах Di Perna [1], [2], где дополнительные законы сохранения применяются к затуханию ударных волн и дальнейшим теоремам существования. Законы сохранения применялись в задачах устойчивости, см. Benjamin [1], Holm, Marsden, Ratiu, Weinstein [1]. В работах Morawetz [1], Strauss [1] изложено их применение в теории рассеяния. В теории упругости законы сохранения (или, скорее, соответствующие им дифференциальные формы — см. упр. 4.2) играют ключевую роль в изучении трещин и дислокаций; см. библиографию в книге Bilby, Miller, Willis [1]. В работе Knops, Stuart [1] они используются для доказательства теорем единственности для упругого равновесия. И это — лишь малая часть всех имеющихся приложений.

Тривиальные законы сохранения давно были известны специалистам по общей теории относительности. Тривиальные законы сохранения второго типа называют «сильными законами сохранения», поскольку они справедливы при любых уравнениях поля; см. обзорные статьи Fletcher J. С. [1], Goldberg [1]. Характеристическая форма закона сохранения появилась в работе Steudel [1], однако связь между тривиальными характеристиками и тривиальными законами сохранения теоремы 4.26 установлена в работе Alonco [1*]. См. также Виноградов [5] и Olver [11] по поводу близких результатов.

Понятие вариационной симметрии, включая основной инфинитезимальный критерий (4.15), появилось у Ли (см. Lie [7])

в его теории интегральных инвариантов. Первыми, кто обратил внимание на связь между симметриями и законами сохранения, были Якоби (см. Jacobi [1]) и позже Шютц (Schutz [1]). Энгель (Engel [1]) развил соответствие между сохранением импульса и момента количества движения и линейным движением центра масс с инвариантностью относительно сдвигов, вращений и галилеевых симметрий в контексте классической механики. Исследования Клейна и Гильберта по общей теории относительности Эйнштейна вдохновили Нётер на ее замечательную работу Noether [1], в которой в полной общности были изложены и понятие группы вариационных симметрий, и связь с законами сохранения. Вариант теоремы Нётер, приведенный в этой главе, является лишь частным случаем ее более общей теоремы, которая будет обсуждена в § 5.3. Распространение методов Нётер на дивергентные симметрии появилось в работе Bessel-Hagen [1].

Таким образом, к 1922 г. был подготовлен весь аппарат для подробного систематического исследования свойств симметрии и, следовательно, законов сохранения важных уравнений математической физики. Как ни странно, прогресс был незначительным вплоть до недавнего времени. Одно возможное объяснение состоит в том, что конструктивные инфинитезимальные методы Ли вычисления групп симметрий никогда не были полностью согласованы с теоремой Нётер. Как бы то ни было, следующая знаменательная ссылка на работу Нётер появилась в обзорной статье физика Хилла (Hill [1]). В ней был представлен частный случай теоремы Нётер, обсуждавшейся в этой главе, причем так, как будто на самом деле это все, что было доказано Нётер на данную тему. К сожалению, в следующие двадцать лет шел непрерывный поток бесчисленных работ, либо передо- казывающих основную теорему Нётер 4.29, либо претендующих на ее обобщение, тогда как на самом деле в них лишь пере- доказывался исходный результат Нётер или его частные случаи. Литература по математической физике до сего дня изобилует такими работами, и перечислять их здесь было бы бессмысленно. (Мне известно около 50 таких статей, но я уверен, что их гораздо больше!) Некоторые ссылки можно найти в книге Logan [1] (в которой снова получен лишь частный случай теоремы Нётер для групп классических симметрий), а также ниже в настоящих замечаниях.

Недооценка теоремы Нётер и недостатки исследований на эту тему имели некоторые интересные последствия. Тензор энергии-импульса Эшелби, очень важный при изучении трещин и дислокаций в упругой среде, изначально был найден с помощью специальной техники, см. Eshelby [1]. Его не связывали

со свойствами симметрии среды, как в примере 4.32, вплоть до работ Gunther [1] и Knowles, Sternberg [1]. Распространение законов сохранения на уравнения линейной динамической теории упругости было сделано в работе Fletcher D. С. [1]. Недавно в работах Olver [8], [9] были найдены дальнейшие, не обнаруженные ранее, симметрии уравнений линейной упругости и, следовательно, новые законы сохранения. Аналогично, важные тождества Моравеца (Morawetz [1]), использующиеся в теории рассеяния для волнового уравнения, были изначально развиты «на голом месте». Впоследствии в работе Strauss [1] было показано, как они связаны с конформной инвариантностью уравнения. (Дальнейшие законы сохранения, которые появятся в гл. 5, ждут применений.) Так же обстоят дела с работой Baker, Tavel [1] о законах сохранения в оптике, и нет сомнений, что имеются и дальнейшие примеры.

Применение групп вариационных симметрий к понижению порядка обыкновенных дифференциальных уравнений, являющихся уравнениями Эйлера — Лагранжа некоторой вариационной задачи, содержащееся в теореме 4.17, не так хорошо известно, как его гамильтонов аналог, теорема 6.35. Вариант теоремы 4.17 для лагранжианов, зависящих от производных только первого порядка от зависимых переменных, дан в работе Whittaker [1; с. 55], но я не в состоянии указать ссылку на полное изложение этой теоремы в литературе.

Упражнения

Пусть 3 — функционал. Докажите, что если v и w порождают однопараметрические группы вариационных симметрий, то то же верно и для их скобки Ли [v, w],

Пусть р = 2 и DXP + DyQ = 0 — закон сохранения для системы дифференциальных уравнений. Докажите, что если и (х, у) — любое решение этой системы, то криволинейный интеграл

Q (*. У, и^) dx — Р (х, у, и^) dy с

не зависит от пути С.

В случае такой механической системы, как в примере 4.31, инвариантность относительно сдвигов по времени влечет за собой сохранение энергии, инвариантность относительно пространственных сдвигов влечет за собой сохранение импульса (в данном направлении), тогда как инвариантность относительно преобразований Галилея, как в примере 4.35, влечет за собой линейное движение центра масс. Докажите, что если система обладает законами сохранения энергии и линейного движения центра масс, то она автоматически обладает также законом сохранения импульса. (Schutz, [1].)

Уравнение ББМ я/ + их + иих — uxxt = 0 можно привести к вариационному виду, положив и = vx. Найдите три закона сохранения этого уравнения с помощью теоремы Нётер. (Olver, [3]).

Уравнение и» = иХхХХ описывает колебание стержня. Пользуясь теоремой Нётер, вычислите симметрии и законы сохранения этого уравнения.

*4.6. Найдите вариационную задачу для уравнений Максвелла из упр. 2.16(a), (Ь). Какие нз симметрий упр. 2.16 приводят к законам сохранения и что это за законы?

*4.7. Найдите вариационный принцип для уравнений Навье (2.127) линейной упругости. Обсудите в этом примере симметрии н соответствующие законы сохранения, включая нх тривиальность. Сделайте то же самое для анормальной системы (2.118).

Уравнение Эмдена — Фаулера имеет вид

d2u , 2 du , ,_

-г-гАз—Н и =0.

dx2 х dx

Найдите вариационную задачу, уравнением Эйлера —- Лагранжа которой является это уравнение. (Указание. Умножьте на х2.)

Найдите простую вариационную симметрию — растяжение и воспользуйтесь ею, чтобы проинтегрировать уравнение Эмдена — Фаулера. (Dresner [1; р. 14], Logan [1; р. 52], Rosenau [1].)'

Докажите, что уравнение гармонического осциллятора с трением тх + ах + kx = 0, m =/= 0, можно, умножая на ехр(а//т), привести к уравнению Эйлера — Лагранжа. Докажите, что векторное поле v= 8t—(ах(2т^дх порождает однопараметрическую группу вариационных симметрий. Воспользуйтесь этим, чтобы проинтегрировать это уравнение с помощью квадратуры. Насколько эффективен этот метод по сравнению с обычным методом решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений? (Logan [1; р. 57]; см. также упр. 5.38.)

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка на Л1 с X X б/ ~ R2

^- = Я(х. ц'""1)).

Докажите, что первый интеграл этого уравнения — то же самое, что инвариант однопараметрической группы, порожденной полем

д , д , д ,,д . „/(п-п\ д

^ + "*^ + “^^+-"+“"-1

и действующей на пространстве струй ЛИ"-1). Пользуясь этим замечанием, найдите решения уравнения ихх = и. (Cohen [1; р. 86, 99].)

Рассмотрим вариационную задачу вида 3 = L (х, u~Yux^ dx, х, и е R.

Докажите, что двупара метрическая группа (х, я) ।—> (х, ап+ 6), а =/= 0, является группой вариационных симметрий.

Какой вид имеет уравнение Эйлера — Лагранжа для 3?

Покажите, что уравнение Эйлера — Лагранжа можно дважды проинтегрировать, пользуясь инвариантностью относительно сдвигов, однако получающееся в результате уравнение второго порядка, вообще говоря, не инвариантно относительно растяжений.

Проделайте то же самое для симметрии растяжения.

Проинтегрируйте уравнение Эйлера — Лагранжа дважды, пользуясь двумя первыми интегралами, которые даются теоремой Нётер. Покажите, однако, что, как и выше, в общем случае нельзя еще понизить порядок.

Что случится, если применить к этому уравнению методы § 2.5?

Это показывает, что, хотя однопараметрическая группа вариационных симметрий, вообще говоря, позволяет понизить порядок системы уравнений Эй-

лера — Лагранжа на два, двупараметрическая группа вариационных симметрий в общем случае не позволяет понизить порядок на четыре единицы! (Эта задача приведена к гамильтоновой форме в гл. 6.)

Покажите, что если 2? — вариационная задача, зависящая от одной незавнснмой н одной зависимой переменной, н $ инвариантна относительно двупараметрнческой абелевой группы симметрий, то порядок соответствующего уравнения Эйлера — Лагранжа можно понизить на четыре единицы.

(а) Предположим, что А = Е W = 0 представляют собой уравнения Эйлера — Лагранжа некоторой вариационной задачи н G — регулярная группа вариационных симметрий (или даже дивергентных симметрий), действующая на М. Докажите, что редуцированная система Д/G = 0 для G-инвари антных решений системы Д также представляет собой уравнения Эйлера — Лагранжа для некоторой вариационной задачи на фактормногообразии M/G. Обобщается ли это на группы невариационных симметрий?

(Ь) Найдите вариационные формулировки уравнений для инвариантных относительно группы решений уравнения Кортевега— де Фриза (2.66), воспользовавшись сначала подстановкой и = их, чтобы привести само уравнение Кортевега — де Фриза к вариационному виду.

Уравнение теплопроводности at = ихх не может быть приведено к вариационному виду (кроме как с помощью некоторых искусственных приемов — см. упр. 5.26 и 5.27). Докажите, однако, что уравнение для инвариантных относительно растяжений решений эквивалентно уравнению Эйлера — Лагранжа. ^Указание. Найдите подходящую функцию, на которую его нужно умножить.) Обобщите это на внешне размерности. (Таким образом, редукция с помощью группы симметрий будет обычно сохранять вариационную структуру, если она имелась сначала, но она может также ввести вариационную структур там, где ее до этого не было!)

Пусть р = 1, q = 2, и у нас есть функционал

$ [к, й] = ^ L (х, и, й, их, йх, ...) dx.

Рассмотрим «годографическую» замену переменных у = й, и = и, и = х, и пусть

S [р, и] = L ^у, V, и, vy, Uy, ...) dy

— преобразованный функционал. Докажите, что соответствующие уравнения Эйлера — Лагранжа связаны формулой "

Е„ W = ЙА (2). ЕД W = - «хЕ0 w - Eg (Z).

Воспользуйтесь теоремой Нётер, чтобы дать другое доказательство теоремы редукции 4.17, не опирающееся непосредственно на замену переменных. Примените ваш результат к упр. 4.8 и 4.9. "

5. Обобщенные симметрии

Группы симметрий дифференциальных уравнений или вариационных задач, до сих пор рассматривавшиеся в этой книге, все были группами локальных преобразований, «геометрически» действующих на пространстве независимых и зависимых переменных. Эмми Нётер первой осознала, что можно значительно расширить приложения методов групп симметрий, включая в преобразования (или, точнее, в их инфинитезимальные образующие) производные соответствующих зависимых переменных. В последнее время доказана важность этих «обобщенных симметрий»1) в изучении нелинейных волновых уравнений, где оказывается, что обладание бесконечным числом таких симметрий является характеристическим свойством «интегрируемых» уравнений (таких, как уравнение Кортевега— де Фриза, имеющее солитонные решения), которые могут быть линеаризованы или непосредственно, или с помощью обратной задачи рассеяния.

В первом параграфе этой главы представлена основная теория обобщенных векторных полей и соответствующих преобразований из группы, которые находятся теперь путем решения задачи Коши для некоторой соответствующей системы эволюционных уравнений. Определение обобщенных симметрий системы дифференциальных уравнений по существу такое же, как и раньше, хотя промежуточные вычисления обычно оказываются гораздо более сложными. Другой подход к этой проблеме состоит в применении оператора рекурсии, который будет порождать сразу бесконечные семейства симметрий. Этому посвящен второй параграф. Для линейных систем операторы рекурсии и симметрии—по существу одни и те же объекты, тогда

*) Некоторые авторы ошибочно относят введение этих симметрий к работам Ли и Бэклуида и дают им вводящее в заблуждение название «преобразований Ли —• Бэклунда». (В частности, это не то же самое, что настоящие преобразования Бэклунда, которые не обладают групповыми свойствами.) Мы выбрали термин «обобщенная симметрия», а не «преобразование Нётер», поскольку последний уже приобрел несколько других значений в контексте вариационных задач. Более полное обсуждение любопытной истории этих симметрий проводится в замечаниях в конце этой главы.

как в случае нелинейных уравнений лишь очень специальные «интегрируемые» уравнения обладают операторами рекурсии.

Многие из наших предыдущих приложений геометрических симметрий остаются в силе для обобщенных симметрий. В частности, теорема Нётер доставляет теперь полное взаимно однозначное соответствие между однопараметрическими группами обобщенных вариационных симметрий некоторого функционала и законами сохранения соответствующих ему уравнений Эйлера— Лагранжа. Таким образом, можно надеяться на полную классификацию законов сохранения посредством конструктивных методов теории групп симметрий. В частности, интерпретация группы симметрий линейной системы как оператора рекурсии сразу приводит к бесконечным семействам законов сохранения, зависящих от производных высших порядков, в очень общих ситуациях. Недавние результаты еще больше выявляют роль тривиальных симметрий и законов сохранения в нётеровом соответствии для вполне невырожденных систем, из которого следует, что каждая нетривиальная группа вариационных симметрий дает нетривиальный закон сохранения и наоборот. Переопределенные системы подпадают под действие второй теоремы Нётер, которая связывает бесконечномерные группы вариационных симметрий с зависимостями между самими уравнениями Эйлера — Лагранжа. Все это будет подробно обсуждаться в третьем параграфе этой главы.

Лежащий в основе многих наших алгебраических манипуляций, включающих симметрии, законы сохранения, дифференциальные операторы и тому подобное, предмет, лучше всего описываемый как «формальное вариационное исчисление», является некоторым комплексом, называемым вариационным комплексом. В вариационном исчислении он играет ту же роль, что комплекс де Рама в обычном векторном исчислении на многообразиях. Имеются три фундаментальных результата, мотивирующих рассмотрение этого комплекса: первый — это характеризация ядра оператора Эйлера как пространства полных дивергенций; второй — характеризация (в теореме 4.24) пространства нулевых дивергенций (тривиальных законов сохранения второго типа) как «полных роторов»; третий — вариант Гельмгольца обратной задачи вариационного исчисления, который устанавливает, когда данное множество дифференциальных уравнений представляет собой уравнения Эйлера — Лагранжа для некоторой вариационной задачи. Все эти результаты — проявления точности всего вариационного комплекса в различных членах. Хотя каждый результат можно было бы доказать сам по себе, вариационный комплекс, фундаментальная роль которого в геометрической теории вариационного исчисления ста-

новится все более и более очевидной, доставляет объединяющую их основу, а полное доказательство его точности получить не намного труднее. Поэтому мы посвятили последний параграф данной главы замкнутому описанию этого комплекса вместе со значительно упрощенным доказательством его точности.

ОБОБЩЕННЫЕ СИММЕТРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ

Рассмотрим векторное поле

р»

v^yi^*, “)-7т + Х Ф"^’Я дхди

определенное на некотором открытом подмножестве М пространства независимых и зависимых переменных XX U. Если коэффициенты g', <ра зависят только от х и и, то v будет порождать (локальную) однопараметрическую группу преобразований exp(ev), действующую поточечно на пространстве М (это подробно обсуждалось в предыдущих главах). Значительное обобщение понятия группы симметрий получается при ослаблении этого геометрического предположения, если допустить, что коэффициенты £‘, <ра могут зависеть также от производных от и. В этой главе мы установим множество следствий такого расширения понятия симметрии.

Дифференциальные функции

Прежде чем приступать к развитию теории обобщенных векторных полей, полезно ввести некоторые обозначения. В этой главе Ma XX U будет обозначать фиксированное связное открытое подмножество пространства независимых и зависимых переменных. Продолжения MW сХХ UW являются тогда открытыми подмножествами соответствующих пространств струй, причем (х, uW^g MW, если и только если (х, и^еМ. Обозначим через st пространство гладких функций Р(х, «<">), зависящих от х, и и производных от и до некоторого конечного, но меняющегося порядка п и определенных для (х, uW)^ MW. Функции из st называются дифференциальными функциями (по аналогии с дифференциальными многочленами в дифференциальной алгебре). Каждая дифференциальная функция, таким образом, — это гладкая функция Р; MW -> R для некоторого (конечного) п. Если т^п, то Р(х, uw^ можно также рассматривать как функцию на М<т\ поскольку координаты (х, uW) представляют собой часть координат (х, uW)) На Л1<т>. Если

нас не заботит, от какого точно числа производных от и зависит Р, мы будем писать Р[п] = Р(х, п(">). Здесь квадратные скобки будут служить напоминанием, что Р зависит от х, и и производных от и. Далее, мы определяем si1 как векторное пространство наборов из / дифференциальных функций Р[и] = = № Ы> • • • > Pi [“1), гДе каждая Pj лежит в si.

Заметим, что ^ — алгебра. Это означает, что мы можем складывать дифференциальные функции и перемножать их. Имеется также некоторое число основных дифференциальных операторов на si, с которыми мы уже сталкивались. Операторы взятия частных производных д[дх1 и д)ди^ оба переводят дифференциальную функцию в другую дифференциальную функцию, но, вообще говоря, они не сохраняют порядок производных, от которых те зависят. Например, Р = иХхх + хиих зависит от производных третьего порядка, но дР/ди — хих зависит только от производных первого порядка. Аналогично, полные производные Dp s4--^-s4- являются линейными отображениями, причем DjP[u] зависит от производных порядка п +1, если P[u] = Р(х, uW) зависит от производных порядка п. Два других важных оператора — это полная дивергенция Div: si-p-*si и оператор Эйлера Е: si->si4, определенные в предыдущей главе.

Обобщенные векторные поля

Определение 5.1. Обобщенное векторное поле — это (формальное) выражение вида

рq

v-ZE-M+ + £v.M^r.(5.1)

1=1G=1

в котором |‘ и фа — гладкие дифференциальные функции. Таким образом, например,

д . д

V = XUx -5Ь х дх 1 хх ди

— обобщенное векторное поле в случае р = q = 1. Сейчас мы уклонимся от всякого обсуждения точного смысла этого объекта, а работать с такими обобщенными векторными полями будем так, как если бы это были обычные векторные поля. Таким образом, в согласии с формулой продолжения теоремы 2.36 мы можем определить продолженное обобщенное векторное поле

pr<")v = v+£ £ ^М^.

а=1 #/<п1

коэффициенты которого определяются формулой

(

р \ р

<Р« - 2 ^ 1 2 Уи» р(5.2)

1 = 1/ 1 = 1*

при тех же обозначениях, что и раньше. Таким образом, в нашем предыдущем примере

рг^ ^v хих |- ихх g^ h [иххх (хихх -|- Ux) Ux] Qux •

а коэффициент при д/дих вычислен по формуле

D* (Uxx — ХЫх) + XUxUxx = Dx (ихх) — Dx VXUx^ Ux*

Поскольку для коэффициентов всех продолжений обобщенного векторного поля имеется одно и то же общее выражение, полезно перейти к «бесконечному» продолжению и заботиться сразу обо всех производных. А именно для данного обобщенного векторного поля v его бесконечное продолжение (или, для краткости, продолжение) — это формальная бесконечная сумма

Р9

’rv=ZE'^-+t Е’^<53>

i=lа=1 I1

где каждая функция <р£ задается формулой (5.2), а суммирование в (5.3) теперь распространяется на все мультииндексы ■f=(/i, •••.ik) Для к ^ 0, 1 ^ /и ^ р. Заметим, что если Р [u] = Р (х, uW) — произвольная дифференциальная функция, то рг v(/’) = рг<")у(Р)—снова дифференциальная функция. В частности, поскольку Р зависит лишь от конечного числа производных от и, для вычисления prv(P) всегда требуется лишь конечное число слагаемых суммы (5.3). Поэтому вопрос о «сходимости» суммы (5.3) никогда не возникает.

Каково бы ни было геометрическое значение обобщенного векторного поля (этот вопрос мы изучим позже в этом параграфе), формальное условие того, что оно будет «инфинитезимальной симметрией» системы дифференциальных уравнений, очевидно.

Определение 5.2. Обобщенное векторное поле v является обобщенной инфинитезимальной симметрией системы дифференциальных уравнений

Av[w] = Av(x, и№) = 0, v=l, ..., I,

если и только если

рг v [Av] = О, v = 1, ..., /,(5.4)

для каждого гладкого решения u = f(x).

Это прямая аналогия с критерием инфинитезимальной симметрии теорем 2.31 и 2.72. Согласно последнему результату, нам нужно сделать некоторые предположения о невырожденности системы А. Заметим, что в силу предыдущего обсуждения, если коэффициенты поля v зависят от производных от и порядка т, то левая часть формулы (5.4) будет, вообще говоря, зависеть от производных порядка т + п. Поэтому если мы собираемся потребовать, чтобы левая часть (5.4) обращалась в нуль на всех решениях системы, то мы должны наложить условия невырожденности не только на саму систему А, но также и на все ее продолжения A(fc>, £ = 0, 1, ... . Чтобы избавиться от постоянного повторения этих предположений, мы во всей этой главе будем предполагать их выполненными.

Общее предположение. Если не оговорено противное, все системы дифференциальных уравнений предполагаются вполне невырожденными в смысле определения 2.83; а именно и они, и все их продолжения имеют максимальный ранг и локально разрешимы.

В частности, если А — нормальная аналитическая система, как обсуждалось в § 2.6, то она удовлетворяет этому предположению. В этом случае (5.4) справедливо для всех решений, если и только если существуют дифференциальные операторы S>vn=E^u£’z, Хце^, такие, что

z

рг V (AJ = Е ^цАц(5.5)

Ц=1

для всех функций u = f(x). (См. упр. 2.33.) Обе формулы (5.4) и (5.5) — полезные варианты основного инфинитезимального критерия для группы обобщенных симметрий.

Пример 5.3. Рассмотрим уравнение теплопроводности

А [и] = uf — ихх = 0.

Обобщенное векторное поле v = ихди имеет продолжение

9 .9।9.9.

рг v — их 4- ихх + uxt dUt + иххх Qu^ + ... .

Таким образом,

рг V (А) = uxt — иххх = Dx (ut — ихх) = Dxk

и, следовательно, в соответствии с (5.5) v — обобщенная симметрия уравнения теплопроводности. Более общо, всякое обобщенное векторное поле вида v = 3) [н] ди, где 3) — произвольный линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, как легко видеть, будет обобщенной симметрией уравнения теплопроводности.

Эволюционные векторные поля

Среди всех обобщенных векторных полей те, у которых коэффициенты |'[н] при д/дх1 равны нулю, играют особую роль.

Определение 5.4. Пусть Q [u] = (Qi [и], ..., Qq [и]) е ^? — набор из q дифференциальных функций. Обобщенное векторное поле

V«=E ^^^а=1

называется эволюционным, векторным полем, a Q называется его характеристикой.

Заметим, что, согласно (5.2), продолжение эволюционного векторного поля принимает особенно простой вид

prvQ — ^D/Qa-^-.(5"6)

а, Г1

Всякое обобщенное векторное поле v вида (5.1) обладает соответствующим эволюционным представителем vq, характеристика которого состоит из дифференциальных функций

р

Qa = <РО — £ £‘W“, a=l,...,q,(5.7)

i = l

где н? = ди^дх1. Эти два обобщенных векторных поля в сущности определяют одну и ту же симметрию.

Предложение 5.5. Обобщенное векторное поле v является симметрией системы дифференциальных уравнений, если и только если таковой является его эволюционный представитель Vq.

Доказательство. В силу формулы продолжения (2.50)

р

рг V [Av] = рг vQ [Av] + £ ^ОД,. (5.8)

Вторая группа слагаемых обращается в нуль на всех решениях системы А, так что предложение легко следует из определения 5.2. □ '

Например, симметрия ихди уравнения теплопроводности в точности является эволюционным представителем образующей симметрии сдвига —дх. Аналогично, эволюционным представителем галилеевой образующей —2tdx + хиди будет (2tux -(• ■ хи)ди. Это, как может проверить читатель, тоже симметрия уравнения теплопроводности.

Мы будем различать симметрии, обсуждавшиеся в гл. 2, и собственно обобщенные симметрии, называя первые геометрическими симметриями, поскольку они геометрически действуют на пространстве XX U. (Другое подходящее название — точечные преобразования.') Согласно предыдущему примеру, каждая геометрическая симметрия имеет эволюционный представитель с характеристикой, зависящей от производных, самое большее, первого порядка. Однако не каждая такая эволюционная симметрия соответствует геометрической группе преобразований; ее характеристика должна иметь специальный вид (5.7), где |‘ и фа зависят лишь от х и и.

Эквивалентность и тривиальные симметрии

Заметим, что если vq — эволюционное векторное поле и 9-набор Q обращается в нуль на решениях системы А, то в силу (5.6) все коэффициенты продолжения prvQ также обращаются в нуль на всех решениях. Поэтому vq автоматически является обобщенной симметрией системы А. Такие симметрии называются тривиальными, а нас в первую очередь интересуют нетривиальные симметрии системы. Обобщенная симметрия тривиальна, если тривиальна ее эволюционная форма. Две обобщенные симметрии v и v называются эквивалентными, если их разность v — v — тривиальная симметрия системы. Это вводит отношение эквивалентности на пространстве обобщенных симметрий данной системы; кроме того, мы будем классифицировать симметрии с точностью до эквивалентности, так что под симметрией системы мы на самом деле будем понимать целый класс эквивалентности обобщенных симметрий, отличающихся друг от друга на тривиальную симметрию. Например, в случае

уравнения теплопроводности симметрия сдвига по времени dt, ее эволюционная форма —щди и обобщенная симметрия —uXxdu эквивалентны и для всех практических целей определяют одну и ту же группу симметрий.

Пример 5.6. Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

^Г = Р»^, и), а=1, .... q.(5.9)

Предположим, нас интересует отыскание обобщенных симметрий

9

V = T(f, U, Ut, •■•)—+ У Фа (^> U, Ut, .

dt *—•ди

а—1

Мы упрощаем вычисление, заменяя v его эволюционным представителем.

9

Vq = £ QaV, и, Ut, ""t-^- где С2а = фа —Т-^-. а=1

Кроме того, для решений u = ^t^ система (5.9) доставляет выражения для производных dua/dt исключительно в терминах и и t. Дифференцирование (5.9) аналогичным образом приводит к выражениям для всех производных высших порядков dkua/dtk в терминах и и L Ввиду понятия эквивалентности мы можем подставить эти выражения в Q, что приведет к эквивалентному векторному полю простого вида

9

W=y QaU,

*—*dir

а=1

Иными словами, для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка всякая обобщенная симметрия всегда эквивалентна геометрической симметрии.

Вычисление обобщенных симметрий

В принципе вычисление обобщенных симметрий данной системы дифференциальных уравнений осуществляется таким же образом, как и вычисление геометрических симметрий. Однако отметим следующие особенности. Во-первых, нам нужно привести симметрию к эволюционному виду Vq — это уменьшает число неизвестных функций с р + q до q, причем одновременно упро-

щается вычисление продолжения prvy. Затем нужно a priori фиксировать порядок производных, от которых может зависеть характеристика Q(x, и^). Здесь возникает необходимость в компромиссе: чем от большего числа производных от и зависят Q, тем больше обобщенных симметрий можно найти, но, с другой стороны, тем дольше и утомительней решать получающиеся уравнения для симметрий. Конечно, при таком подходе нельзя надеяться найти все обобщенные симметрии. Однако, выбирая т не слишком большим, часто можно получить важную информацию об общем виде симметрий. Наконец, мы столкнемся с появлением тривиальных симметрий; самый легкий способ обходиться с ними — исключить лишние производные из Q с помощью подстановок, пользуясь продолжениями системы, как это делалось в предыдущем примере.

Пример 5.7. Рассмотрим простейшее нелинейное волновое уравнение

ut = иих.

Предположим, что vq = Q [ы]ды— обобщенная симметрия в эволюционном виде. Заметим, что мы можем заменить любую производную от и по t, встречающуюся в Q, соответствующим выражением, содержащим только производные по х, не меняя класс эквивалентности v. Например, at заменяется на иих, uxt -на ммхх + м х, ии — на и2ихх-\-2иих и т. д. Таким образом, каждая симметрия единственным образом эквивалентна симметрии с характеристикой Q = Q(x, t, и, их, ихх, ...). Инфинитезимальное условие (5.4) инвариантности принимает тогда вид

DtQ = uDxQ + uxQ,(5.10)

и оно должно выполняться для всех решений. Чтобы вычислить симметрии второго порядка, мы требуем, чтобы Q имела вид Q(x, t, и, их, ихх), так что (5.10) после подстановки вместо щ соответствующего выражения и упрощения принимает вид

dQ dQ . о dQ , п dQ

-нт — и + иг + Зии. = uxQ.

dt dx х dux х хх оихх

В силу метода характеристик, ср. (2.12), общий вид решения этого линейного уравнения с частными производными первого

порядка — это

Q = uxR (х + /и, и, 14,

Vих

где R—произвольная функция от своих аргументов. Какие из этих обобщенных симметрий соответствуют геометрическим сим-

метриям того типа, который обсуждался в гл. 2? Те из них, у которых характеристика Q имеет вид Q = <р — их^ — иихт, где ф, g и т зависят только от х, t и и. Соответствующая инфинитезимальная образующая имеет вид v = gdx +-rdf + <рды. Таким образом,

Q = ыхф(х + tu, и) + ^их -|- 1)ф(х + tu, и)

при некотором ф, причем —§—ит = ф-|-йр. Таким образом, имеется довольно мало свободы для вида Е и т; однако если £ + нт = 0 = <р, то эволюционный вид поля v тривиален, Q = О, так что каждая геометрическая симметрия эквивалентна симметрии с т = 0, т. е.

v = —(Ф + М^ + ф5и.

Если мы ограничим внимание проектируемыми группами симметрий, то можно показать, что эта подгруппа порождается следующими восьмью векторными полями:

дх, tdx — д„,

dt, xdt + и2ди,

хдх + tdt, xtdx + Pdt — (х + tu) ди, хдх + иди, х2дх + xtdt + (х + tu) иди.

Предыдущий пример может дать читателю слишком оптимистическую оценку вычислительной сложности задачи вычисления обобщенных симметрий. На практике вычисление всех обобщенных симметрий данного порядка данной системы дифференциальных уравнений принципиально осуществимо, однако только при значительных затратах времени и вычислительной ловкости со стороны исследователя. Следующий пример, тоже относительно легкий, может дать хорошее представление о том, что здесь требуется ).

Пример 5.8. Здесь мы вычисляем все обобщенные симметрии третьего порядка уравнения Бюргерса, которое мы берем в проинтегрированном виде

Ut = UxX + Ux- (5.11)

Мы берем инфинитезимальную образующую в эволюционной форме v = Qdu, где Q предполагается зависящей от х, t, и, их, ихх, иххх. Условие симметрии (5.4) имеет вид

DtQ = DxQ + 2uxDxQ. (5.12)

Поскольку это единственное условие, которое должно выполняться на решениях, мы можем подставить в него вместо любой производной от и по t соответствующее выражение, пользуясь (5.11) и его продолжениями. Тщательно анализируя (5.12), мы можем выразить коэффициенты при различных производных от и последовательно по убыванию порядка. Коэффициенты при производной пятого порядка ихкххх сокращаются, поэтому мы переходим к членам, включающим ихххх. Из того, что только один член содержит и2ххх, мы видим, что Q аффинна по иххх:

Q == О (О Чххх Ч" Q (^i ^> “i Чх, чхх\

где а зависит только от 1 в силу структуры других членов с Uxxxx*

Переходя к членам, включающим производную третьего порядка иххх, находим:

бан и= О' и2 4- 20' и и 4-

хх ххх t хххххх 1XX ХХХ I

XX XXX XX

+ 20' и и 4- 20' иI ^иихх х ххх 1 ^-хихх ххх

Таким образом, О' аффинна по ихх.

Q = ЗаиЛихх -]- ^*2~ У-tX + Р^ чхх -f- О' (х, t, и, и^, где р = р(<)—функция одной переменной t. Коэффициент при “хх в (5.12) теперь имеет вид

6аих + atx + 2р = Q"^, следовательно,

Q = а(иххх + Зихихх + и®) + (4"а^ + О ^Uxx + “^ +

+ Л(х, t, и)их-}-В(х, t, и).

Все остальные члены, содержащие ихх, — это

(За^их Ч — о,((Х -)- Р(^ ихх = (2Лцих -}- За^их -)- 2ЛХ) ихх.

Таким образом, Л не зависит от и и

А = 4" а»х2 + Т ₽*х + Y’

где у = у(О—еще одна функция от t. Из вида коэффициента при и2 теперь следует, что

В (х, t, и) = р (х, /) е-и + а (х, /).

где р и о еще нужно определить. Коэффициент при их имеет вид

4" аш>? + 4 Р»х + Yt = 2^ + 4 “»- поэтому

»U. О-^х^Р^ + ^у^а^х + б,

где 6 = 6(0- Остальные члены в (5.12), которые не содержат производных от и, — это в точности

р^-" + о, = рххе-“ + ахх.

Таким образом, р(х, /) —произвольное решение уравнения теплопроводности р/ = pxx, а пользуясь указанным видом о, мы заключаем, что

^ttt^^i Р»и = 0> ¥« = '2'о<н» 6^ = —pzt.

Таким образом, аир являются соответственно многочленами третьей и второй степени по t:

а (0 = с/ + с8/2 + c4t + с6, Р (0 = с5/2 + с4/ + с3,

где с3, ..., eg — произвольные постоянные, откуда

y(0 = 4"C9<2 + C2/ + C1’ 6(0= 4"^ +с0.

где Со, сь сг — константы.

Собирая вместе всю полученную информацию, мы заключаем, что каждая обобщенная симметрия третьего порядка для уравнения Бюргерса (5.11) имеет в качестве характеристики Q линейную комбинацию с постоянными коэффициентами следующих десяти «базисных» характеристик:

Qo=L

Qi== чх,

Qg== tux 4 ^"^

Qs — Чхх + Щ,

Q4 ^ ^цхх 4- »х) 4 2” хиХ1

Qs = /2 (ихх 4- их) 4- txux + (4 ^ + 4 х2) ’(5.13)

Qe ^ХХХ 4“ ^^Х^хх + ^Х1

Q1 = t {иххх 4- ^ихихх 4- Их) 4- 4х ^ихх + их^’

Qs — ^ (,иххх + SuxUXx + Ux) + tX (llxx + К*) 4

+ (tz + tx2)^-

Q9 t (иххх 4“ ^^х^хх Ч- ^х) 4 2* ^ ^ ^хх 4“ ^х) Ч"

+(4/2+т/х2) «х 4- (4/х+4 х9

плюс бесконечное семейство характеристик

Qp = p(x, 0е~“,

где р — произвольное решение уравнения теплопроводности. Из этих характеристик первые шесть Qo. ..., Qs и характеристики Qp отвечают геометрическим симметриям, вычисленным в примере 2.42. Например, характеристика Q4 эквивалентна характеристике

Q4 = ^u, 4- 4" XMx, соответствующей векторному полю v4 = — 4- хдх — tdb порождающему группу симметрий растяжения. Вообще характеристики Qo, ..., Qs, Qp эквивалентны характеристикам полей Vo, ■ ■ •, vs, vp в (2.60) соответственно (во всяком случае, с точностью до знака).

Можно было бы продолжать таким образом вычислять обобщенные симметрии все более и более высоких порядков, но соответствующие вычисления растут все быстрее и быстрее. Читатель может попытаться найти характеристики четвертого порядка Q = Q(x, t, и, . .., ихххх), чтобы почувствовать это явление. В § 5.2 мы откроем более систематические средства нахождения этих симметрий.

Групповые преобразования

Какая группа преобразований соответствует обобщенному векторному полю? Если v — собственно обобщенное векторное поле, то его однопараметрическая группа exp(ev) не может больше геометрически действовать на область М с X X U, поскольку коэффициенты поля v зависят от производных от и, которые также преобразуются. Не можем мы определить и продолжение действия группы ни на каком конечном пространстве струй ММ, поскольку коэффициенты в pr<">v будут зависеть от производных

от и еще более высокого порядка, чем те, что присутствуют в Л1<">. Самый легкий способ разрешить эту дилемму — определить действие группы exp (ev) на пространстве гладких функций следующим образом ). Заменим сначала v его эволюционным представителем vq, как выше, и рассмотрим систему эволюционных уравнений

^ = <Ж и^,(5.14)

где Q — характеристика поля v. Решение (если оно существует) задачи Коши и(х, 0) = f(x) определит действие группы:

[exp(svQ)n (х) = и(х, е).

Здесь мы вынуждены предполагать, что решение этой задачи Коши определено единственным образом, если начальное значение f(x) выбрано в некотором подходящем пространстве функций, по меньшей мере для достаточно малых е. В результате мы получим поток exp(EVo) на данном функциональном пространстве. Конечно, проверка этого предположения приводит к некоторым очень трудным проблемам существования и единственности решений систем эволюционных уравнений, которые лежат далеко за рамками этой книги. Оставив в стороне решение этих проблем, мы получим результаты, которые, хотя и несколько формальны по своей природе, тем не менее будут иметь прямые практические приложения.

Пример 5.9. Пусть р = 2, q = 1 и введены координаты (х, у, и). Рассмотрим группу сдвигов G, порожденную полем v = dx. Индуцированное действие группы G на функции и = f(x, у), как определено в § 2.2, имеет вид

[exp(ev)f](^ У) = Н* —е, У).

Эволюционная форма поля v — обобщенное векторное поле vo= = —ахди. Соответствующая однопараметрическая группа определяется решением задачи Коши

du/de= — их, и^х, у, O) = f(x, у).

Решение имеет вид

[ехр(еу0)П(^ У> = и<х, у, ^ = Цх — е, у).

Таким образом, v и vo порождают одно и то же действие, и в этом смысле они являются эквивалентными векторными полями.

Теорема 5.10. Эволюционное векторное поле v = vq является симметрией системы дифференциальных уравнений А, если и только если соответствующая группа exp(ev) преобразует решения системы в другие ее решения.

Замечание. Эта теорема, конечно, подчиняется различным техническим предположениям, а именно

А — вполне невырожденная система, как в нашем общем предположении.

Система эволюционных уравнений, соответствующая полю V, разрешима единственным образом в некотором пространстве функций, содержащем все (локальные) решения системы А.

Система линейных уравнений (5.15), появляющаяся в доказательстве, однозначно разрешима.

Доказательство. Пусть ие = exp(ev)f. (N. В. Нижний индекс е не обозначает производную.) Если иЕ— параметризованное семейство решений, то

о-^М*. Я-^едк «^U. “™)=а, /

= prvQ[Av(x, 4"*)].

Подстановка е = 0 дает условие (5.4). Обратно, пусть выполняется условие (5.5). Предположим, что для достаточно малых е единственное решение у = (у1, ..., у') системы эволюционных уравнений

^ = £ ^в^ = £ ^ U W уУ, v = 1, ..., /, (5.15) ВВ. I

с нулевыми начальными условиями у(х, 0) = 0 — нулевое решение у(х, е) = 0. Тогда (5.5) и предыдущее вычисление устанавливают, что если w = f(x)—решение системы А, то"у’(х, s) = = Av (х, Ив*^) удовлетворяет этой задаче с начальными условиями и, следовательно, Av (х, и^) = 0 для всех е. А это и доказывает, что иЕ — решение. □

Если Р[«] — произвольная дифференциальная функция, а и^х, е) — гладкое решение системы (5.14), то нетрудно видеть, что

^pM_£d/?„m^—prv<!(O.

о. /1

Иными словами, prvo(P) определяет инфинитезимальное изменение Р под действием однопараметрической группы, порожденной полем v0:

Р [exp (evQ) Л = Р [f] + * pr vQ (Р) [Л + О (е2). (5.16) Как и в (1.18), мы можем продолжить разложение по степеням е, что приводит к ряду Ли

Р [exp (evq) Л = ^ £ (pr vQ)n Р [fj. (5.17)

(Здесь (prvQ)2(P) = prvQ[prvQ(Р)] и т. д.) В частности, если Р[и} =и, то (5.17) дает (формальный) ряд Ли — решение эволюционной системы (5.14). (Мы не будем пытаться исследовать, сходится ли на самом деле ряд (5.17); см. следующий пример.)

Пример 5.11. Пусть p = q=\. Рассмотрим обобщенное векторное поле v = иххди. Соответствующая однопараметрическая группа получится решением задачи Коши

^ = иХх, и (л, O) = f(x). (5.18)

Решение имеет вид м(х, в) = exp(ev)f(х). Таким образом, экс- поненциирование обобщенного векторного поля v = иХхди эквивалентно решению уравнения теплопроводности!

Любому читателю, знакомому с этой задачей, сразу же станут видны некоторые трудности. Во-первых, при е < 0 мы имеем дело с «обратным уравнением теплопроводности», которое является классической некорректной задачей и может даже не иметь решений. Таким образом, мы можем лишь надеяться получить «полугруппу» преобразований, порожденную полем v. Во- вторых, как показывает пример, принадлежащий А. Н. Тихонову, если не накладывать некоторых условий на рост решения, то оно, вообще говоря, не будет единственным. Далее, если Р [м] = и в (5.17), то мы получаем решение (5.18) в виде (формального) ряда

, X х i dsf . е2 d4f . и(х, e) = f (x) + E-^2-+-2j--^r+ .. . .

Однако, как показала С. В. Ковалевская, даже если функция / аналитическая, этот ряд для и может не сходиться. На самом деле он будет сходиться, только если f— целая аналитическая функция, удовлетворяющая условию роста |f(x)| ^ С exp (Кх2) для некоторых положительных постоянных С, К. (Это те самые условия роста, которые нужны, чтобы обеспечить единственность

решений.) Этот пример дает ясное представление о трудностях, связанных со строгим осуществлением экспоненцирования обобщенных векторных полей.

Симметрии и продолжения

Связь между обобщенными симметриями систем дифференциальных уравнений и их продолжениями основана на одной важной характеризации эволюционных векторных полей. Она состоит в следующем: кроме тривиальных полей сдвигов д/дх1 эволюционные векторные поля единственным образом определяются тем фактом, что они коммутируют с операциями полного дифференцирования.

Лемма 5.12. Если vq — эволюционное векторное поле, то

pr Vq [ВД = Dt [pr ve (P)J, i = 1, ..., p, (5.19) для всех Perf. Обратно, для данного векторного поля

ру

v-Z6‘m^+Z Е<и^-fe=l0 = 1 /1

при некоторых £*, ф£ е ^ мы имеем [v*, £>«] = 0 при t = 1, ...

..., р, если и только если р

V =prvQ+2^ci—т

1=1°

для некоторых Q е ^’, Ci, ...,cpeR.

Доказательство. Заметим сначала, что имеет место соотношение коммутирования

ди.ди.(5.20)(5.20)

ди.

ди.

(5.20)

(5.20)

где J \ i получается удалением одного t из мультииндекса J. (Если i не встречается в I, то этот член считается равным нулю.) Отсюда следует, что

pr vq[D,P] = У D,Qa -^ [£>,Р] =Ь ди»

-i^-^W^

Переобозначая 7 \ < через / во второй сумме (так что / превращается в /, t), мы получаем, как легко видеть, что это равно

о, [pr Vq (Р)] = £ DДа ■ D, (^-) + £ D,D^ • -^. а, /х * а, /7

Докажем обратное утверждение. В силу (5.20) имеем

р

о, • v - v - о,=£ о/ -^^п^-й^ fc=lI, а'

Это выражение обращается в нуль, если и только если В^ = 0 для всех i, к и ^ 1 = Dt<p^ для всех I, I, а. Таким образом, каждая ^ обязательно является константой и по индукции Фa=D^QaJ где Qa = ф° — коэффициент при диа.

Теорема 5.13. Если vq — симметрия системы А, то это также симметрия любого продолжения А^*.

Доказательство. Все уравнения в A<ft) имеют вид D/Av = 0. По лемме 5.12

pr VQ (DA) = Dj (pr Vq (Av)) = 0,если и — решение, поскольку prvq(Av) по предположению обра-щается в нуль на решениях. □

Скобка Ли

Как и для обычных векторных полей, для обобщенных векторных полей имеется скобка Ли. Она должна определяться продолжением этих векторных полей, поскольку в их коэффициенты входят производные от и. Как и в случае обычной скобки Ли, легче всего определить ее как коммутатор, но можно также определить ее с помощью соответствующих однопараметрических групп. (См. упр. 5.7.)

Определение 5.14. Пусть v и w — обобщенные векторные поля. Их скобка Ли [v, w] — это единственное обобщенное векторное поле, удовлетворяющее условию

pr[v, w](P) = prv[prw(P)] — prw[prv(P)J (5.21) для всех дифференциальных функций йе^.

Здесь имеется небольшая сложность, состоящая в том, что не ясно, является ли в самом деле правая часть равенства (5.21)

продолжением некоторого обобщенного векторного поля. Однако это следует из явной формулы для скобки Ли.

Предложение 5.15. (а) Пусть vq и vr— эволюционные векторные поля. Тогда их скобка Ли [vq, ve] = v$ также является эволюционным, векторным полем с характеристикой

S = prvQ(R) — pr vr(Q).(5.22)

(В (5.22) pr vq действует на Re гФч покомпонентно с элементами ргуо(Вй); Q и R можно поменять местами.)

(Ь) Более общо, если

v = Z V М 4т + X Мтг- ’^ дх ^ ди

iа

*—'дх *—4 ди

iа

ТО

Р

[V, w] = £ {pr v (т/) - pr w (§')} Лр +

+ 52 {рг V (Фа) - pr w (<ра)}. (5.23)

*—'du

a=l

Кроме того, если характеристика поля v обозначена через Q, а характеристика поля w—через R, то [v, w] имеет характеристику S, заданную формулой (5.22).

Доказательство. В основной формуле (5.21) при v = vq, w = = Vr коэффициент при д[диа в pr[v, w], очевидно, дается а-й компонентой Sa из (5.22).Таким образом, для доказательства части (а) достаточно показать, что [prvQ, pry#]—эволюционное векторное поле. Отсюда обязательно будет следовать, что оно совпадает с prvs- Это немедленно вытекает из леммы 5.12, поскольку раз и pr vq, и pr vr коммутируют со всеми полными производными, то то же верно и для их коммутатора, не содержащего членов, включающих д/дх1, ни для какого L Это доказывает ч. (а). Часть (Ь) следует из формулы продолжения (5.8), и мы оставляем ее читателю. □

Например, если v = иихди, w = иххди, то

[v, w] = (pr V (ихх) — pr W (иих)) д„ = 2ихиххд„.

Предложение 5.16. Скобка Ли обобщенных векторных полей обладает обычными свойствами-.

билинейность:

[cu + c'n, w] = с [и, w] + с' [v, w], с, с' ее R;

кососимметричность:

[v, w] = — [w, v];

тождество Якоби:

[u, [v, w]] + [w, [и, v]] + [v, [w, и]] = 0

для произвольных обобщенных векторных полей и, v, w.

В самом деле, эти свойства, очевидно, выполняются, когда мы заменяем каждое векторное поле его продолжением, а этого достаточно для доказательства их справедливости. Коммутаторное определение (5.21) скобки Ли немедленно влечет за собой

Предложение 5.17. Множество обобщенных симметрий невырожденной системы дифференциальных уравнений образует алгебру Ли.

Пример 5.18. В определенных случаях этот результат может быть использован для построения новых обобщенных симметрий по уже известным. Например, рассмотрим список симметрий (5.13) «проинтегрированного» уравнения Бюргерса. Обозначая через V, симметрию с характеристикой Qi, мы заключаем, что [у,, V/] является симметрией с характеристикой prv,(Q/)— — рг v; (Qz) для любых i, j. Например,

рГ V6 (Q7) pr V7 (Qe) ==2~ (.Щххх Ч~ ^**хЧххх Ч~ ^Ихх Ч~ ^UXUXX -р их)

дает характеристику Qw новой симметрии четвертого порядка V]0 = (—2/3) [ve, V7] уравнения Бюргерса. Этот процесс можно продолжать неограниченно, так что [v?, V10] будет симметрией пятого порядка и т. д. Поэтому уравнение Бюргерса обладает бесконечным набором обобщенных симметрий, зависящих от производных от и все более и более высокого порядка. (Дальнейшую информацию см. в примере 5.31.)

Эволюционные уравнения

Рассмотрим систему эволюционных уравнений

ди"diди"diРМ,РМ,(5.24)(5.24)

ди"di

ди"di

РМ,

РМ,

(5.24)

(5.24)

где Р [ы] = Р (х, uw) е s^-4 зависит от х е Rp, и е R’ и производных от и только по х. Мы видим, что всякая эволюционная симметрия должна быть эквивалентна симметрии, характеристика Q [м] = Q(x, t, и^) которой зависит лишь от х, t, и и производных от и по х (в силу подстановок, задаваемых уравнениями (5.24) и их производными). С другой стороны, сами уравнения (5.24) можно представлять себе как уравнения потока exp(^Vp) эволюционного векторного поля с характеристикой Р. Критерий симметрии (5.4), который в этом случае имеет вид

DtQ^ = pr vQ (Pv), v = 1, ..., q,(5.25)

как легко видеть, эквивалентен следующему условию на скобку Ли двух обобщенных векторных полей, обобщающему соответствие между симметриями систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и скобкой Ли соответствующих векторных полей.

Предложение 5.19. Эволюционное векторное поле vq является симметрией системы эволюционных уравнений ut = P [к], если и только если

dv0

"ar+[vp. vQ] = 0(5.26)

тождественно по (х, t, и^). (Здесь dvQ/dt обозначает эволюционное векторное поле с характеристикой dQ/dt.)

Доказательство. Заметим, что, согласно виду продолжения системы эволюционных уравнений, производная и^ (= du^jdt эволюционирует в соответствии с формулой w“ t = DjP^uY Пользуясь этим и формулой для полной производной, легко видеть, что на решениях

n z-x dQy । \' а dQ^ dQv ,.

DtQv dt +at + Pr VP w»'

а, I1

поскольку Qv зависит лишь от производных от и по х. Таким образом, (5.25) эквивалентно уравнению

^ + pr np (Q) = pr vQ (Р),

которое должно выполняться тождественно по х, t и и, поскольку в нем уже не присутствуют производные от и по t. Его эквивалентность условию (5.26) легко следует из формулы (5.22) для скобки Ли. □

В частности, если Q[u] = Q(x, и(т)) не зависит явно от /, то (5.26) сводится к условию, что векторные поля vP и vQ коммутируют:

[Vp. vQ]=0. (5.27)

Нетрудно показать, что при определенных предположениях относительно существования и единственности это условие эквивалентно условию, что коммутируют соответствующие однопараметрические группы симметрий:

exp (evp) exp (evQ)f = exp (evy) exp(evP)f (5.28) там, где они определены. (См. упр. 5.7.) Следовательно, мы имеем взаимосвязь, состоящую в том, что еслиР, Qe s4-4 зависят лишь от х, и и производных от и по х, то векторное поле vq является обобщенной симметрией системы ut = P тогда и только тогда, когда векторное поле vP является обобщенной симметрией системы ut = Q. В частности, для рассмотренного выше Р само векторное поле Vp всегда является симметрией системы ut = = Р [и]. В самом деле, поле vp эквивалентно эволюционной форме группы симметрий сдвигов по времени, порожденной полем dt, проистекающей из «автономности» эволюционного уравнения. Читатель может попробовать перепроверить условие симметрии (5.26) для симметрий уравнения Бюргерса, найденных в примере 5.8.

Алгебра коммутирующих «бесконечных» векторных полей (5.27) интенсивно изучалась при р = q = 1 в связи с теорией солитонов. Полученные в последние годы результаты носят в некотором смысле законченный характер, и мы попытаемся кратко обрисовать современное положение дел. Отметим сначала, что любое линейное эволюционное уравнение

du/dt = Р (х, D^ и = ап (х) D^u + ... + а0 (х) и (5.29) обладает бесконечным набором симметрий с характеристиками Qi [х, Л = (Р(х, Dx))k(u), к — 1, 2, ..., в силу следующего утверждения.

Предложение 5.20. Линейная дифференциальная функция Q (х, Ьх) и является характеристикой симметрии линейного эволюционного уравнения (5.29) в том и только том случае, если дифференциальный оператор Q(x,Dx) коммутирует с P(x,Dx).

Доказательство. Инфинитезимальным критерием коммутирования потоков, определяемых эволюционными уравнениями du/dt = P(x,Dx)u, ди/дт = Q^x,Dx^u, является условие равен-

ства смешанных производных:

5/дт[Р(х, Dx)u) = Р (х, Ох) ди/дх = Р (х, Dx)Q(x, Dx)u =

= djdx [Q (х, Dx) u] = Q (х, Dx) ди/дх = Q (х, Dx) Р (х, Dx) и.

Так как это соотношение должно выполняться тождественно по переменным (х, и*^) (см. предложение 5.19), то дифференциальные операторы должны коммутировать. □

Рассмотрим в качестве примера эволюционное уравнение

ди/дх = Р (х, Dx) и = ихх — 2х~2и.(5.30)

Коммутатор

VDx + а №» Дх + 6 to f)^C (х)] =

= (2У - За') D2 + (2с' + Ь" - За") Dx + с" — а"' - Ъа' равен 0 при b ==(3/2)а, с = (3/4)а', а =—2/х2, и, таким образом, рассматриваемое уравнение обладает симметрией с характеристикой Q (х, Dx) и, где Q — оператор третьего порядка. Ясно, что дифференциальные операторы R = PiQk также коммутируют с Р при любых /, А. Поэтому в рассматриваемом примере существуют симметрии с характеристикой R(x, Dx)u, где R— оператор любого порядка 2, 3, 4, 5

Хорошо проработанная теория коммутирующих линейных дифференциальных операторов служит ориентиром в существенно более сложном нелинейном случае. Прежде всего, договоримся обозначать через ип = дпи/дхп, п = 0, 1,2, ..., пространственные производные единственной зависимой функции u(x, t).

Рассмотрим эволюционное уравнение порядка п ^ 2

du]dt = P^x, и, иъ ...,и^, и >2,(5.31)

инвариантное относительно сдвигов по I. Подстановка в (5.31) и (х, /) + е<о (х, /) вместо и (х, /) приводит в пределе е -* 0 к линеаризованному уравнению

Otoldt = £ дР!дииПх<л.(5.32)

fe=0

Пусть Q(x, t, и, ..., um) — характеристика симметрии (5.30). Тогда линеаризация уравнения ди/дх = Q приводит к совместному с (5.32) уравнению

д<й[дх= У, dQ(dukDxto.

Приравняв смешанные производные, так же, как в доказательстве предложения 5.20, получим )

ГDt - £ dPldukDx, D. - £ dQ[dukDkA = 0

L fe=0k=0J

или, что то же самое,

[

Пт»

T»dPldukDbx, ^д^дикОь\ =

А=0к=йJ

тп

= HDt Wu^ О^-^О. (дР/ди^ Db. (5.33) й-0й-0

Здесь Dt = d/dt + pr vp и DT = pr vq — полные дифференцирования no t и т соответственно. Ясно, что в линейном случае, рассмотренном в предложении 5.20, правая часть (5.33) обращается в нуль. Однако пример с Q = 1 свидетельствует, что в нелинейном случае может нарушаться эквивалентность (5.33) и (5.26).

Можно доказать, что дифференциальные операторы, указанные в левой части (5.33), устроены почти так же, как коммутирующие дифференциальные операторы. Будем называть порядком симметрии старший порядок т производных, входящих в характеристику Q(x, t, и, ..., um).

Лемма 5.21. Пусть Q^x,t,u, ..., ит) — характеристика симметрии порядка m ^ 2 эволюционного уравнения (5.31). Тогда

kdQldumV'm = с (0 kdP!dunfn-(5.34)

Доказательство. Из формулы

[Db, а] = D^a — aDb = kDx (a) Db~x + ...,

где многоточием обозначены члены меньшего порядка, получаем, что наивысшая степень Dx в левой части (5.33) появляется в виде

\ndPldunDx {дСДдит) — tndQ[dumDx ^dPjdu^ D^+m-1.

По условию и, m ^ 2 и, следовательно, п + m — 1 > max (m, л). Таким образом, из (5.33) следует, что указанное выражение равно нулю. Это равносильно формуле (5.34). □

Условие на порядок симметрии m ^2 в лемме существенно, так как Q = ui является решением (5.26) для любого уравнения (5.31), правая часть которого не зависит явно от х. При этом dQfdui = 1, а дР/дип не обязана быть постоянной. Таким образом, симметрии нулевого и первого порядков не подпадают под действие леммы 5.21. Читатель легко проверит, что множество векторных полей с характеристикой Q = Q(x, и, «1) образует алгебру Ли. Соответствующие группы преобразований включают в себя, вообще говоря, не только точечные, но и контактные преобразования.

Обозначим через S/ множество симметрий порядка не выше /, / = О, 1, 2, ..., уравнения (5.31), характеристики которых не зависят явно от t. Рассмотрим вопрос о строении алгебры Ли S = U 8р Первое впечатление, что алгебра Si классических симметрий является идеалом алгебры S, оказывается, как показывает следующий пример, ошибочным.

Пример 5.22. Рассмотрим разновидность уравнения Бюргерса !)

du/dt = u4i2 + 2и2. (5.35)

Можно проверить, что это уравнение обладает бесконечным набором симметрий с характеристиками

б^да^О + хУМ, / = 1, 2, 3, ....

Хотя само уравнение (5.35) инвариантно относительно сдвигов по х, это свойство нарушается для его симметрий, и при / = 2 мы получаем по указанной формуле

Q, = t?ua + 3u^U\U2 + би2^ + Зх (u2«2 + 2и2).

Теперь ясно, что щд/ди е S] и что [S, Si] не содержится в Si.

Простейший нелинейный аналог теоремы о коммутирующих линейных дифференциальных операторах формулируется следующим образом:

Теорема 5.23. Для любого уравнения (5.31) [Sm, Sm]cSm„i при m^2, и следовательно, алгебра Ли Sm разрешима при любом т, если разрешима алгебра Si классических симметрий.

Приведенные ниже рассуждения нетрудно превратить в строгое доказательство, если привлечь известную теорию коммутативных колец дифференциальных операторов. Проверим сна

*) Рассматриваемое уравнение сводится к уравнению Бюргерса аналогично тому, как уравнение Бюргерса сводится к линейному. При этом используется преобразование годографа.

чала, что множество Sm образует алгебру Ли. Пусть f(x,u, ... ..., щ), g(x, и,.... и,) — произвольные дифференциальные функции. Из определения скобки v/г = [Vf, vg] следует (см. (5.22), (5.33)), что

вГ i/"I

Е dhldukDx + Е df/dtifeOt Е dgldukDkx =

6=0I 6=06=0J

= Z Vf kdgM Ox ~ f v8 (dfM Dt 6=06=0

Таким образом, вообще говоря, s = i + j — 1, причем (см. доказательство леммы 5.21)

du!dus = I (dfldut) Dx ^дщ') — / (dgldtij) Dx (df/dut).

Если Vf — симметрия уравнения (5.31) порядка i = m и vg — симметрия уравнения порядка / ^ т, то при / = 1 очевидно, что порядок vs не больше т. Для того чтобы это проверить при / = 2, достаточно показать, что dhfdus = 0. Это легко следует из леммы 5.21. В случаях / = 3, ... доказательство несколько удлиняется и дословно повторяет известное доказательство транзитивности свойства коммутирования линейных дифференциальных операторов ненулевого порядка1)

[Л, В] = [А С] = 0^[В, С] = 0.

Очевидно, в частности, что доказательство леммы 5.21 совпадает с выводом формулы, аналогичной (5.34), для коммутирующих дифференциальных операторов и что не только формула для dQ/diim, но и формулы для dQfduk при k-Vn—1> > max (т, и) должны совпадать с аналогичными формулами из теории коммутативных колец линейных дифференциальных операторов. Доказательство включения [Sm, Sm] с Sm-i проводится по той же схеме.

Недостающие детали доказательства теоремы 5.23 и ее уточнения можно найти в недавно вышедшей работе Соколова [1**], в которой доказано также существование бесконечномерной коммутативной подалгебры симметрий для эволюционных уравнений (5.31), обладающих симметриями сколь угодно высокого порядка.

5.2. ОПЕРАТОРЫ РЕКУРСИИ

Метод, изложенный в § 5.1, дает систематический способ отыскания всех обобщенных симметрий данного порядка для данной системы дифференциальных уравнений. Однако он страдает

*> См. приложение I.— Прим. ред.

тем недостатком, что порядок производных, от которых могут зависеть коэффициенты симметрии, необходимо предварительно указать. Поэтому таким методом нельзя одновременно получить все обобщенные симметрии системы. В этом параграфе мы рассматриваем другой метод построения симметрий, основанный на понятии оператора рекурсии. Хотя этот метод не может дать исчерпывающей классификации всех возможных симметрий без дальнейшего анализа, он доставляет технику для построения бесконечных иерархий обобщенных симметрий, зависящих от высших производных функции и. К сожалению, хотя проверка того, что данный оператор определяет оператор рекурсии, является достаточно прямой, в отличие от предыдущего метода сама техника его построения не вполне конструктивна. Нахождение вида оператора рекурсии (если он вообще существует) требует определенной интуиции, зачастую базирующейся на виде симметрий более низких порядков, найденных описанным ранее методом.

Определение 5.24. Пусть Д — система дифференциальных уравнений. Оператор рекурсии для системы Д — это линейный оператор 5?: ^v-^-^v в пространстве наборов из q дифференциальных функций, обладающий тем свойством, что если vq — эволюционная симметрия системы Д, то для Q = 91Q поле vg — тоже эволюционная симметрия Д.

Таким образом, если нам посчастливилось найти оператор рекурсии 5? для системы дифференциальных уравнений, то мы можем получить бесконечное семейство симметрий, исходя из любой симметрии vq0 посредством многократного применения оператора 91 к характеристике Qo; иными словами, каждая Q,- = ^Qo, / = О, 1, 2 являетсяхарактеристикой обоб

щенной симметрии. Часто, но не всегда оператор 5? будет матричным дифференциальным оператором размера q X Я-

Пример 5.25- В качестве простого примера покажем, что дифференциальный оператор 9.\ = Dx является оператором рекурсии для уравнения теплопроводности ut = ихх. Здесь vQ — обобщенная симметрия уравнения теплопроводности, если и только если на всех решениях DtQ = D^Q. Тогда Q = DXQ — тоже характеристика симметрии, поскольку

DtQ - D^Q (Dt - £$ DXQ = Dx (DtQ - D^ = 0

на решениях. Таким образом, начав с симметрии растяжения иди, мы можем построить целую иерархию обобщенных симмет-

рий многократным применением оператора 91х\ мы получаем, что их = ^( (u), ихх = ^i (и) и т. д. все являются характеристиками обобщенных симметрий уравнения теплопроводности. Иначе говоря, «поток», порожденный уравнением теплопроводности, коммутирует с «потоком», определяемым эволюционными уравнениями их = дки/дхк, /г ^ О, ср. (5.28).

В силу таких же рассуждений полная производная по / Dt также является оператором рекурсии, но она тривиальным образом сводится к оператору Dx, поскольку DtQ = D^Q, если Q — характеристика симметрии. (Вообще, если ^ — оператор рекурсии, то и ^т очевидным образом является оператором рекурсии.) Имеется, однако, другой оператор рекурсии, не связанный с оператором Dx, а именно 5?2 = tDx + (1/2)х. Чтобы убедиться в этом, находим

<Dt - D^ (tDx + ^- х) Q = ^tDx + 4 х) ^^ - D^'

так что Q = SUQ— характеристика симметрии, если Vq — симметрия. Таким образом, мы получаем двойную бесконечную серию обобщенных симметрий уравнения теплопроводности, поочередно применяя операторы Й1 и Й2 к характеристике Qo = и. Эти симметрии имеют характеристики

Q6 = u, Qt = Six [«] = их, Q2 = 9^ [ы] = tux + -^- хи,

Q3 = Й? [w] = ихх, Q4 = ^2^1 [«] = tuxx + -|- хих,

, л х \(5-37)

QS = й| [ц] = ^их t + txux + ^— t + тх2) и,

Q6 = ^ [w] = Uxxx, Q7 = ^2^1 [у] = tuxxx + -|- XUxx

и т. д. (Заметим, что если мы интересуемся лишь независимыми характеристиками, то, поскольку й]^%2 = ^2^i+(1/2), порядок, в котором применяются операторы $.х и <%2, не имеет значения.) Первые шесть из них, Qo> • • •. Qs, являются (с точностью до знака) характеристиками геометрических симметрий уравнения теплопроводности, вычисленных в примере 2.41; остальные— характеристики настоящих обобщенных симметрий.

Результаты, полученные нами для уравнения теплопроводности, на самом деле обобщаются на произвольные линейные системы дифференциальных уравнений следующим образом.

Предложение 5.26. Пусть А [и] = 0 — линейная система дифференциальных уравнений, причем Л обозначает линейный диф-

ференциальный оператор. Другой линейный дифференциальный оператор 9л si4 ^> s4-q, не зависящий от и и ее производных, является оператором рекурсии для системы Д, если и только если Q = 9? [и^ — характеристика «линейной» обобщенной симметрии этой системы.

Иными словами, для линейной системы всякая обобщенная симметрия, характеристика которой линейно зависит от и и ее производных, определяет оператор рекурсии, и наоборот. Поэтому для линейных систем вся теория (линейных) симметрий может быть построена с помощью операторов рекурсии в качестве основных объектов. Этот подход развит Миллером (Miller [3]) и его коллегами. Предложение 5.26 доставляет связь этого подхода с более геометрической теорией Ли — Овсянникова, излагаемой в этой книге. (Преимущество геометрического подхода состоит в том, что он одновременно применим и для нелинейных систем, которые не поддаются операторному методу.)

Предложение 5.26 доказать легко. Если 91 — оператор рекурсии, то Q = 9lu^, очевидно, задает симметрию, поскольку Qo = и — характеристика тривиальной группы симметрий растяжения (х, п)—>- (х, ku), проистекающей из линейности системы. Обратно, если vq — симметрия, то в силу (5.4) и линейности системы Д на всех решениях

ргуу(ДМ) = ДЮ] = Д^М.

Из невырожденности Д следует существование дифференциального оператора 9, удовлетворяющего условию А9Ци] = 9А{и] для всех и, ср. (5.5). Легко видеть, что, поскольку Д и 9 не зависят от и, мы можем выбрать 5? также не зависящим от и, и тогда мы получим тождество А9 = 9А. Таким образом, если q = 9Q, где Q — характеристика некоторой симметрии, так что A[Q] = 0, то на решениях A[Q] = ^A[Q] = 0 и Q дает другую симметрию. □

Пример 5.27. Для двумерного волнового уравнения в примере 2.43 была выведена десятипараметрическая конформная группа симметрий. Соответствующие характеристики даны в примере 4.36. В соответствии с предложением 5.26 имеется десять операторов рекурсии, а именно

Dx, D„, Dt, (сдвиги)

9Ху = xDg yDx, 91Xf = tDx -|~ xDt,

9t#t = tDe + yDt, (вращения)

= xDx + yDti + tDt,(дилатация) (5.38)

3х = (х2 — у2 + <2) Dx + 2xyDv + 2xtDt + х,

Зу = 2xyDx + (у2 — х2 + <2) Dti + 2ytDt + у, (инверсии)

3t = 2xtDx + 2ytDti + (x2 + у2 + /2) Dt +t.

Последовательно применяя произведения этих операторов к Qo = и, мы получаем огромное количество обобщенных симметрий волнового уравнения; например,

^ху^х/ [^1 XtllXy ytuxx “Н ^ ^yt XyUxt y^t

и т. д. Между получающимися симметриями имеется много зависимостей, проистекающих из соотношений между операторами, например

®xVDt — 9^xtDti + 9lytDx = 0.

В диссертации Delong [1] доказано, что эти операторы рекурсии порождают (2& + 1) (2& + 2) (2& + 3) /6 независимых обобщенных симметрий порядка к. Например, в приведенном выше примере имеется 35 независимых симметрий второго порядка. Важный открытый вопрос — всякую ли обобщенную симметрию волнового уравнения можно получить таким способом.

Производные Фреше

Для нелинейных систем имеется аналогичный критерий того, что дифференциальный оператор является оператором рекурсии. Однако, чтобы сформулировать его, нам нужно ввести понятие (формальной) производной Фреше от дифференциальной функции.

Определение 5.28. Пусть Р[н] = Р(х, и^е^ — набор из г дифференциальных функций. Производная Фреше от Р— это дифференциальный оператор DP: s4-q ^»-8Фг, определенный так, что

Dp(Q) = -^-|e=/[« + eQM] (5.39) для любого Q е s^4.

Иными словами, чтобы вычислить Dp(Q), мы заменяем и (и ее производные) в Р на и + eQ и дифференцируем полученное выражение по е. Например, если Р\и\=ихихх, то

DP (Q) = -^ |(«х + eDxQ) Uxx + eDxQ) = uJ^Q + uxxDxQ,

так что DP = uxDx + uxxDx. Это вычисление легко обобщить и показать, что производная Фреше от общего r-набора Р = = (Pi, .... Рг) является дифференциальным матричным оператором размера q X г с элементами

tDp^-^dPjdi^Dj, р = 1, ...,r, v = lq, (5.40) где сумма берется по всем мультииндексам /. В частности, если Р = А[п] — линейный дифференциальный многочлен, то Ор = А— то же самое, что дифференциальный оператор, определяющий его. Имеется тесная связь между производной Фреше и эволюционными векторными полями.

Предложение 5.29. Если Р е ^г и Qg si4, то

Dp (Q) = pr Vq (Р).(5.41)

Это непосредственно следует из формул (5.6), (5.40). Другой способ: можно заметить, что обе стороны равенства (5.41) определяют инфинитезимальную вариацию Р под действием однопараметрической группы, порожденной полем vq, ср. (5.16), и, следовательно, обязаны совпадать. □

Критерии рекурсивности операторов

Последняя формула легко приводит к общей характеризации операторов рекурсии.

Теорема 5.30. Предположим, что А [ц] = 0 — система дифференциальных уравнений. Если 91: si4 —> si4 — линейный оператор, такой, что

D&.9i = ^-D&(5.42)

для всех решений и системы А, где 91: si4-* si4— линейный дифференциальный оператор, то 91— оператор рекурсии для этой системы.

Доказательство. Согласно формуле (5.41), эволюционное векторное поле vq является симметрией системы А тогда и только тогда, когда

Од (Q) = рг Vq (А) = 0

для всех решений А, Если 91 удовлетворяет тождеству (5.42),

a Q = 91Q, то для всех решений

DaQ = Од ГО = ^ (DaQ) = 0.

Таким образом, Q—также симметрия, и теорема доказана. □

Пример 5.31. Вернемся к уравнению Бюргерса ut = uxx-\-u^, для которого мы вычислили обобщенные симметрии в примерах 5.8 и 5.18. Структура полученных характеристик наводит на мысль, что, как и уравнение теплопроводности, уравнение Бюргерса обладает двумя операторами рекурсии *). Рассмотрение характеристик Qo, Qi, Qs, Qe и Qio приводит к предположению, что S21 = £>х + их — оператор рекурсии, поскольку Qi = S?iQo, <2з = = 5?iQi и т. д. Чтобы это доказать, заметим, что производная Фреше для уравнения Бюргерса (5.11) равна

Од = Dt Dx 2uxDx,

По правилу Лейбница находим

Од/%1 = DtDx — Dx — 2uxDx + uxDt 4- uxt — uxDx —

2Цхх^х ^xxx 2UxDx 2uxUxx.

Далее, для решений уравнения Бюргерса uxt = иххх + ^UxUxx", следовательно,

Од 5?[ = (Dx 4~ «х) U^t — Dx — 2uxD^ = 5?]Од(5.43)

на решениях, что удовлетворяет критерию (5.42). Таким образом, имеется бесконечная иерархия симметрий с характеристиками %\Qo. к = 0, 1,2, ... . Например, следующая за Qi0 характеристика в этой последовательности имеет вид

Q15 == ^1Q1O ^^ ^ххххх 4" ^^XUXXXX 4~ ЮИхх^ххх 4~

4“ ЮихЫххх -j- 15ихЦхх 4“ ЮЫх^хх + их-

Чтобы получить характеристики, зависящие от х и t, нам нужен второй оператор рекурсии. Изучение найденных симметрий подсказывает, что он равен

5?2 = ^1 + ~^-х = ^х + ^х + "2"Х>

Пользуясь (5.43), находим

ОдЗ?2 == /5?]Од 4- 5?i 4—2* ^^^Dx чх == -^гОд

на решениях. Это доказывает, что 38г— также оператор рекурсии. Таким образом, имеется дважды бесконечная иерархия обобщенных симметрий уравнения Бюргерса с характеристиками 9l^Q0, к, 1^0. Например, Q2 = ^Qo, Q4 = 5?25?iQo и т. д.

*> См. примечание редактора на с. 378 и упр. 5.9.— Прим. ред.

Уравнение Кортевега—де Фриза

В случае нелинейных уравнений часто приходится расширять класс возможных операторов рекурсии, чтобы включить «интегро-дифференциальные» операторы. В качестве примера докажем, что оператор

& = D2-V^-uA-^-uxDxx

является оператором рекурсии для уравнения Кортевега — де Фриза, имеющего вид

ut = uxxx-V-uux.(5.44)

(Это то же самое уравнение, что (2.66) при замене переменной Xi—>—х.) Интегральный оператор Dxl будет определен только на тех дифференциальных функциях, которые являются полными производными, так что если Q = DXR, то мы полагаем R = DXXQ ). (На самом деле, это определяет DXXQ с точностью до аддитивной постоянной, которую мы можем выбирать из условия R (0,0) = 0.) Если Vq — обобщенная симметрия, то S2Q будет определена, лишь если Q = DXR для некоторого Re si. Таким образом, мы можем столкнуться с трудностями, пытаясь получить полную иерархию симметрий S^Q, к = 0,1,2

Прежде, чем обратиться к этим трудностям, покажем, что формально 5? является оператором рекурсии. Соответствующая производная Фреше равна

Од = Dt — Dx — uDx — их.

и мы докажем, что на решениях уравнения Кортевега — де Фриза Одд? = д?Од в соответствии с (5.42). Обращаясь с Dxx как с оператором, обратным к Dx, мы получаем

Одд? = D^Df + -у uDt + -у щ + -у uxDx Dt-V-^- uxtDx 1 —

{D^ + - j- uDx + ^ uxDx + (3u„ + -|- и2) Dx +

^ д' t.UXxx “Ь mhx) 4 g- (,uxxxx 4- UUXX 4* U^ Dx 1.

это уведет нас из класса дифференциальных функций.это уведет нас из класса дифференциальных функций.X

это уведет нас из класса дифференциальных функций.

это уведет нас из класса дифференциальных функций.

С другой стороны, поскольку Dx-u = uDx + их, имеем Dx1 • ^uDx + и^ = и. Поэтому

М)д = DxDt + ^uDt + -^uxDxxDt -

^x + -у uD3x + -£ uxtfx + ^xx + -| «2) Dx +

+ (» XXX + ««x)} •

Наконец,

□ДЙ — 5?D& =-^-(ut — uxxx — ииД +

4 g~ (/bet “xxxx UUXX Ux) Dx .

а этот оператор обращается в нуль на решениях уравнения (5.44). Тем самым доказано, что 5? — оператор рекурсии.

Если начать последовательно применять оператор 5? к симметрии сдвига —дх с характеристикой Qo = их, мы получим сначала функцию

Qi = S?Qq = иххх 4* иих, ^Dx их = и), эквивалентную характеристике Ut симметрии сдвига — dt. Замечая, что Qi = Dx ^ихх 4- -^ и2^, мы находим, что

Q2 = S?Q| = Uxxxxx 4 g” UUXxx 4 g- UXUXX 4 g" ^Ux

— характеристика настоящей обобщенной симметрии, как может проверить читатель. Аналогично,

735

Qg = 91Q2 = Uxxxxxxx 4 д'4UXXxxx 4" ^^х^хххх 4 д~ ^хх^ххх 4"

4 jg" и иххх 4 д- иихихх 4* jg их 4* -вд- и их

дает обобщенную симметрию седьмого порядка. Как показывает следующий результат, мы можем продолжать эту рекурсивную процедуру неограниченно, получая обобщенные симметрии все более и более высоких порядков.

Теорема 5.32. Пусть Qo = их. Для всякого ^ ^ 0 дифференциальный многочлен Qk — ^kQo является полной производной по х: Qh = DxRk, и, следовательно, мы можем рекурсивно определить Qk+i = 91Qii. Каждая дифференциальная функция Qh является характеристикой симметрии уравнения Кортевега — де Фриза.

Фактически векторное поле v* = VQfe определяет бесконечный набор взаимно коммутирующих потоков *)

ди/dt = Qk [u] = и2к+х + ...,

называемых уравнениями Кортевега — де Фриза высших порядков. Все перечисленные выше векторные поля являются, таким образом, симметриями любого из этих замечательных эволюционных уравнений.

Доказательство теоремы 5.32. Мы проводим его индукцией по к- Предположим, что Qk = DxRk для некоторого Rk е ^. Из вида оператора рекурсии

Qt+i = OxQk + "д' uQk + 'g-uxDx xQk =

= Dx [nxQfc + 4 uD; xQk + ^DXX №)] ■

Если мы сможем доказать, что uQk = DxSk для некоторого дифференциального многочлена Sk г .&, мы докажем, что Q^+i = DxRk+x, где Rk+i — выписанное выше выражение в скобках, и это завершит шаг индукции.

Для доказательства этого факта заметим сначала, что формальное сопряжение оператора рекурсии 5? дает)

& = tfx + ^ и - -Ld;1 • их = Dx Х№х.

Воспользуемся этим, чтобы проинтегрировать выражение uQk по частям (ср. (5.46)), так что

uQk = ид^ [их] = их • (ST)11 [ы] + DxAk

для некоторой дифференциальной функции Ак е s^. С другой стороны, применяя дальнейшее интегрирование по частям, получаем, что

ых С® ) М = нх * Ох 91 [их] = их • Dx Qk = —uQk -J- DxBk

для некоторого Bk е ^. Подставляя это выражение в предыдущее равенство, мы заключаем, что

»Qk = DxSk, где Sfe = — (Л6 + В^,

что и требовалось доказать. □

*) Условие инвариантности относительно высшего потока приводит к солитонным и конечнозонным решениям уравнения Кортевега — де Фриза. — Прим. ред.

Уравнение Кортевега— де Фриза обладает еще двумя другими группами геометрических симметрий. Характеристика гал- лилеевой группы tdx— ди равна 1 + tux, и

352 (1 + tux) = 2и + хих + 3/ (иххх + иих\

что эквивалентно характеристике группы симметрий растяжений. Однако эта последняя характеристика не является полной производной, так что мы не можем получить обобщенной симметрии, применяя к ней повторно оператор рекурсии.

5.3. ОБОБЩЕННЫЕ СИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Соответствие между обычными вариационными симметриями и законами сохранения систем уравнений Эйлера — Лагранжа легко обобщается. Этот факт был осознан уже самой Эмми Нетер. На самом деле если мы допускаем к рассмотрению обобщенные симметрии, то теорема Нётер доставляет взаимно однозначное соответствие между вариационными симметриями и законами сохранения. В этом параграфе мы излагаем этот результат в форме, принадлежащей Бессель-Хагену. (Изначальный вариант Нётер изложен в упр. 5.23.) Основные вычислительные результаты базируются на понятии сопряжения дифференциального оператора.

Сопряженные дифференциальные операторы

Если

ф = Е Pj М Db pjе «^>

— дифференциальный оператор, то (формально) сопряженный к нему — это дифференциальный оператор Ф*, удовлетворяющий условию

J Р ■ ®Qdx=^Q- Ф*Рдх(5.45)

QО

для любой пары дифференциальных функций Р, Qe si-, обращающихся в нуль при и = 0, любой области QcRp и любой функции и = f (х) с компактным носителем в Q. Несложное интегрирование по частям показывает, что

2)*=H-D)J-PJ.

1

Это означает, что Qg^Это означает, что Qg^Например, еслиНапример, еслидля всякой дифференциальной функции 0‘<2=£ноыад.

Это означает, что Qg^

Это означает, что Qg^

Например, если

Например, если

Ф = Dx + uDx,

то его сопряженный имеет вид

Ф* = (—Д,)2 + ^-D,) -u = Dx — uDx — их.

Аналогично, матричный дифференциальный оператор Ф\^-^> —► si-1 с элементами Фу» обладает сопряженным Ф*: si1 -> ^ с элементами Ф*^ = (®vn) > сопряженными к элементам транспонированной матрицы оператора Ф. Заметим, что ^Ф§у = = &*Ф* для любых операторов Ф, 8. Оператор Ф называется симметрическим, если Ф* =Ф , и антисимметрическим, если Ф* =—Ф. Например оператор Ох + « является симметрическим, а оператор Dx + 2uDx + их — антисимметрическим. Заметим, что условие (5.45) эквивалентно формуле интегрирования по частям

P^Q = Q-®*P + DivA,(5.46)

где А е sip — билинейное выражение, содержащее Р, Q и их производные, коэффициенты которого зависят от х, и и производных от и. Или, что равносильно,

ЕкР-ФО^ЭД-Ф'РУЕкР-ФО^ЭД-Ф'РУ(5.47)(5.47)

ЕкР-ФО^ЭД-Ф'РУ

ЕкР-ФО^ЭД-Ф'РУ

(5.47)

(5.47)

где Е — оператор Эйлера, ср. теорему 4.7.

Заметим, что если Р е si1, то его производная Фреше обладает сопряженным оператором D* '.sP-t-si4 с элементами

(Dp)V|1= У (-Д)/--^-, р = 1I, V=l, ...,q. (5.48) Т дит

(Хотя формула (5.48) кажется похожей на оператор Эйлера, на самом деле это дифференциальный оператор, а не дифференциальная функция в отличие от формулы для оператора Эйлера.) Например, если Р = ихх + и^, то

DP = Dx + 2uxDx, Dp = Dx — 2DX ■ux = Dx — 2ux • Dx — 2uxx.

В частности, если P e si, to

Е(Р) = ГУ(-Л)/^) = О*р(1),

обозначает постоянную дифференциальную функцию. Отметим, наконец, важную формулу для вариационной производной произведения двух функций

Е (Р - Q) = ОЬ (Q) + Dq (Р), Р, Q е ^', (5.49) которая вытекает из правила Лейбница:

ччE.(P.Q)-f{X(-D),[^-^]+Z(-D),[^

ч

ч

Ц=1 1 УL У J jL У

Характеристики законов сохранения

Прежде чем ограничить внимание уравнениями Эйлера — Лагранжа, рассмотрим еще раз законы сохранения в общем виде. Напомним, что всякий закон сохранения системы дифференциальных уравнений А эквивалентен закону сохранения в характеристическом виде

DivP = QA=^QvAv.(5.50)

V=1

Используя понятие производной Фреше, мы легко получаем необходимые и достаточные условия того, что данный набор из I дифференциальных функций Q — характеристика закона сохранения. '

Предложение 5.33. Пусть А = 0 — система дифференциальных уравнений. Набор из I дифференциальных функций Q^s4-1 является характеристикой закона сохранения, если и только если

D*&(Q) + Db(A) = 0 (5.51) для всех (х, иу

Доказательство. Согласно теореме 4.7, Q-A — полная дивергенция (5.50), если и только если E(Q-A) = 0. Таким образом, условие (5.51) сразу следует из правила (5.49) для произведения. □ ’

В частности, условие, необходимое для того, чтобы Q была характеристикой закона сохранения для системы А, имеет вид

Dl(Q) = o для всех решений системы А (5.52)

(поскольку на решениях автоматически выполняется равенство Од(А) = 0). Этот упрощенный вид формулы (5.51) часто можно эффективно использовать, чтобы исключить из рассмотрения

множество наборов из I дифференциальных функций, которые наверняка не могут быть характеристиками законов сохранения, и, таким образом, быстро прийти к полной классификации законов сохранения системы.

Пример 5.34. Рассмотрим уравнение Бюргерса в исходной форме

«< = «хх + ««х-

Если 5М е ^ — характеристика закона сохранения, то мы всегда можем заменить производную от и по t на производные от и по х, пользуясь самим уравнением, так что имеется эквивалентная характеристика вида Q (х, I, и,их, .... ип^, ип = дпи/дхп. Посмотрим, что говорит нам формула (5.52) о виде Q. Для уравнения Бюргерса

D& = Dt — D2x — uDx — их, так что Од = —Dt — Dx-V uDx.

Старшие члены в (5.52) имеют вид

Од to) =-$Ц-«М ~ и^ + • • • = -2-^«"+2 + ...

на решениях. Опущенные члены зависят от производных от и по х порядка и + 1 и ниже. Таким образом, из (5.52) следует, что dQ/dun = 0, так что на самом деле Q зависит только от производных от и порядка п— 1 и ниже. Продолжая по индукции, мы заключаем, что Q = q^x, f) не может зависеть от и или производных от и никаким нетривиальным образом. Кроме того,

Од (?) = qt — qx» + uqx = 0,

если и только если q— константа. Таким образом, характеристикой единственного нетривиального закона сохранения для уравнения Бюргерса является константа; соответствующий закон— это само уравнение:

Dt («) — Dx ( — их — А-и2^ = 0.

Вариационные симметрии

Так же, как геометрический вариант теоремы Нётер, обсуждавшийся в гл. 4, общая теорема Нётер устанавливает соответствие между законами сохранения и вариационными симметриями. Они определяются по аналогии с дивергентными симметриями (4.44).

Определение 5.35. Обобщенное векторное поле

рч

*=1е'^ + 1^

i=lа=1

является вариационной симметрией функционала 3 [ы] = L (х, uW)dx, если и только если существует набор из р дифференциальных функций В [ы] е ^р, такой, что

prv(B) + L Div £ = Div В(5.53)

для всех х, и. (Здесь § = (g1, ..., Вр), как в (4.15).)

Мы покажем сначала, что на самом деле можно ограничиться вариационными симметриями в эволюционной форме.

Предложение 5.36. Обобщенное векторное поле v является вариационной симметрией функционала $ [ы], если и только если таковым является его эволюционный представитель. (.Замечание. Это утверждение станет неверным, если мы опустим член Div В в определении (5.53).)

Доказательство. Пользуясь основной формулой продолжения (5.8), получаем

pr V (В) + L Div § = pr Vq (В) + f ^L + В £ п£ =t — 1i=1

= prvQ(B)+f D^L).

Поэтому (5.53) справедливо, если и только если

~pr vQ (В) = Div В,(5.54)

где Bt = Bt — L^. □

Как и в случае обычных симметрий, каждая обобщенная вариационная симметрия вариационной задачи обязана быть симметрией соответствующих уравнений Эйлера — Лагранжа. (Обращение этого утверждения остается, вообще говоря, неверным.)

Теорема 5.37. Если обобщенное векторное поле v является вариационной симметрией функционала $ [м] = ^ В (х, uw) dx, то v является обобщенной симметрией уравнений Эйлера — Лагранжа Е (В) = 0,

Доказательство основано на следующей важной коммутационной формуле.

Лемма 5.38. Пусть Les^Qe s^. Тогда

Е [pr vQ (£)] = pr vQ [Е (L)] + DyE Щ. (5.55)

Доказательство. Согласно формуле интегрирования по частям (4.39) и тождеству (5.49),

Е [pr nq (£)] = Е [Q • Е (£)] - D (L) [Q] + D*e [Е (£)].

Нам нужен теперь тот важный факт, что А = E(L) — выражение Эйлера — Лагранжа, если и только если его производная Фреше— симметрический дифференциальный оператор: ОД = Е)Д. Эта фундаментальная теорема, представляющая собой вариационный аналог равенства смешанных частных производных и доставляющая решение обратной задачи вариационного исчисления, будет доказана в § 5.4. (См. теорему 5.68.) Считая этот результат известным, мы легко получаем формулу (5.55) из (5.41), поскольку

Da(L)[Q] = DE(L)[Q] = prvy[E(L)L □

Доказательство теоремы 5.37. В силу предложений 5.5 и 5.36 мы можем заменить поле v его эволюционной формой vq — это не влияет на справедливость теоремы. Если vq — вариационная симметрия, то из (5.54) следует, что левая часть равенства (5.55) обращается в нуль. Но Dy — линейный дифференциальный оператор, следовательно, условие симметрии (5.5) справедливо для А = Е(£), и доказательство закончено. □

Таким образом, для того чтобы найти все вариационные симметрии системы уравнений Эйлера — Лагранжа, достаточно применить методы § 5.1 и 5.2, чтобы построить симметрии уравнений Эйлера — Лагранжа, а затем проверить, какие из них удовлетворяют дополнительным требованиям вариационности (5.53). На самом деле нам не нужно снова применять prv к лагранжиану или даже точно знать, какой вид имеет лагранжиан, поскольку мы можем воспользоваться следующей внутренней характеризацией вариационной симметрии.

Предложение 5.39. Пусть А = 0 — система дифференциальных уравнений, производная Фреше которой — симметрический оператор-. Од = Од, так что k— уравнения Эйлера — Лагранжа некоторой вариационной задачи *). Эволюционное векторное

поле vq является вариационной симметрией системы К, если и только если

pr vQ (А) + Dq(A) = 0(5.56)

для всех х, и.

Доказательство немедленно следует из предыдущих вычислений и решения обратной задачи теоремы 5.68. □

Групповые преобразования

Считая, что вариационная симметрия имеет эволюционный вид, мы можем вывести, что соответствующие групповые преобразования оставляют инвариантным сам функционал в следующем смысле.

Предложение 5.40. Пусть выполнены соответствующие условия существования и единственности решения задачи Коши для системы эволюционных уравнений. Тогда отвечающее ей обобщенное векторное поле Vq является вариационной симметрией функционала 3^ [u] = L (х, u,n}) dx, если и только если для

Йо

любой подобласти П cz й0 и любой функции и = f(x) из подходящего функционального пространства

$а [exp (eve) f] = З^П + ^aa [е, f],(5.57)

где З^а зависит только от значений exp(evQ)f и ее производных на границе dfi.

Другой способ интерпретировать этот результат состоит в том, что обобщенное векторное поле vq является вариационной симметрией функционала 3, если и только если 3 определяет закон сохранения для системы эволюционных уравнений ш = Q, задающей поток поля v<?.

Доказательство. Продифференцировав (5.57) по е, получаем

pr Vq (L) dx = В • dS = (Div В) dx адаQ

для некоторого В е ^р, зависящего от и и производных от и; правая и левая части последнего равенства вычислены при и = exp(evy)f. Поскольку это справедливо для произвольной подобласти Q, мы заключаем, что подынтегральные выражения равны:

рг vQ (А) = Div В,

а это в точности условие (5.54) инфинитезимального критерия. Доказательство в обратную сторону получается интегрированием по е. □

Пример 5.41. Рассмотрим функционал ь

S' [ы] = 5 4 ^dx, х, u е R.а

Легко видеть, что обобщенная симметрия v = —ихдх является вариационной симметрией функционала 2?;

pr v (4 «х ) = —ихихх = — Dx (4 “х ) ’

В самом деле, v — в точности эволюционная форма поля сдвигов v = дх и порождает однопараметрическую группу

exp (ev) f (х) = f (х — е).

Если [с, (Цс(а, 6) — произвольный подынтервал, то вклад границы при доказательстве равенства (5.57) равен

^ (X, ««») = -^х £=с = 4- tf'^ - г (d)2];

действительно, (5.57) в этом случае имеет вид aa

$ 4- [Д (х - e)Tdx = $ 4- [Г (х)]2 dx +

Сс

8

+ $ 4 ^ (^ - ?)Р - If' (d - ё)]2} ds.

о

Отметим особо, что в общем случае мы не можем освободиться от граничного вклада, поскольку единственное решение, обращающееся в нуль на границе, — это тривиальное решение и = 0.

Теорема Нетер

Как мог уже заметить читатель, в случае когда система дифференциальных уравнений А является уравнениями Эйлера — Лагранжа некоторой вариационной задачи, условие (5.51) того, что Q — характеристика закона сохранения, и условие (5.56) того, что vq порождает группу вариационных симметрий, совпадают. Таким образом, пользуясь теоремой 4.26, мы сразу получаем теорему Нётер в общем виде. *

Теорема 5.42. Обобщенное векторное поле v определяет группу вариационных симметрий функционала 3 [и] = L dx, если и только если его характеристика Q е ^’ является характеристикой закона сохранения Div Р = О для соответствующих уравнений Эйлера — Лагранжа Е (L) = 0. В частности, если $ — невырожденная вариационная задача, то имеется взаимно однозначное соответствие между классами эквивалентности нетривиальных законов сохранения ее уравнений Эйлера — Лагранжа и классами эквивалентности вариационных симметрий этого функционала.

Заметим, что две вариационные симметрии эквивалентны, если они отличаются на тривиальную симметрию, т. е. симметрию, характеристика которой обращается в нуль на всех решениях уравнений Эйлера — Лагранжа. (Неверно, однако, что симметрия, оказавшаяся эквивалентной вариационной симметрии, обязательно является вариационной; см. упр. 5.22.)

Пример 5.43. В качестве первой иллюстрации этого результата рассмотрим задачу Кеплера х + цг~3х = 0, у + рг^у = 0, z 4- pr-3z = 0, г2 = х2 + у2 + z2 для материальной точки, движущейся под действием гравитационного потенциала, созданного притяжением к центру. Соответствующий лагранжиан имеет вид L = (1/2) (х2 + у2 + z2)—цг~*. Мы уже видели в примере 4.31, как из групп вариационных симметрий сдвигов по времени и вращений в R3 получаются законы сохранения энергии и момента количества движения. Благодаря ньютоновой природе силового поля имеются еще три дополнительные «скрытые» обобщенные вариационные симметрии этой системы, приводящие к трем дополнительным независимым законам сохранения. Одна такая инфинитезимальная образующая — это векторное поле

V, = (уу + zz) дх + (ху — 2ху) ду + (xz — 2xz) дг, две другие получаются из нее перестановками переменных х, у, z. Чтобы доказать, что vx — на самом деле вариационная симметрия, мы вычисляем

prtOv, = vx + (уу + zz + у2 + z2) дх + (ху — 2ху — ху) ду +

+ (xz — 2xz — xz) di, и, следовательно,

рг»1^ (L) = (уу + zz) х + (ху — 2ху) у + (xz — 2xz) z + + рг~3 [(у2 + z2) x — xyy — xzz\ =

= Dt [x (yy + zz) — x (y2 + z2) + pr-'x].

Значит, условие (5.54) выполняется. Соответствующие законы сохранения получаются из характеристического вида (5.50) или, проще, из того, что само pr(1>v^(L) обращается в нуль на решениях уравнений Эйлера — Лагранжа; поэтому

Rx^x ^уу + zz) — х (у2 + z2) + pr ^'х

— первый интеграл задачи Кеплера. Вместе с двумя другими законами сохранения Rti и Rz, полученными перестановками переменных, это дает неизменность вектора Рунге — Ленца, который можно записать в виде

R = (^x. Rti, Яг) = хХА — рх/|х| = хХ(хХх) —рх/|х|, где х = (х, у, z) — положение точки, а А = х X х-— момент количества движения. Физически говоря, вектор R направлен вдоль главной оси конического сечения, заданного планетарной орбитой, а величина его определяет эксцентриситет. (См. Thir- ring [1; р. 147].)

Пример 5.44. Уравнение sin-Гордона uxt = sin и является уравнением Эйлера — Лагранжа для функционала

3 [ы] = ^ (у uxut — cos и) dx dt.

Обобщенное векторное поле vi с характеристикой Qi=ux,x + + (1/2)ц2 является вариационной симметрией функционала 3. В этом можно убедиться непосредственно или, немного легче, с помощью предложения 5.39. Заметим, что

О» = Ч + Ч^,- Da — №, - 4^0, - Зад,

Короткое вычисление показывает, что

РГ ^Qt \Uxt ~ sin «] = Uxxxxt + 4 UxUxxt + 3“xUxxUxt -

-(Mxxx + 4Wx) C0SW =

= - DQ l“xt - sin 4

t. e. выполняется условие (5.56). Соответствующий закон сохранения имеет характеристический вид

Dt (- Т ихх + 4" <) + Dx (Ux^xt - Uxx Sin « + у U2 COS ц) =

= (Ыххх + 4 Ых) («Xi-Sin «)•

В частности, плотность определяет функционал

4-со

^~ 1 М ~ $ ("8" Ux "2 Uxx) ^х,

значение которого не зависит от /, если и^х, t) —решение, производные которого достаточно быстро стремятся к нулю при ) X | -> ОО.

Более громоздкие вычисления показывают, что поле

VQ1 = («„ +1 «?хиххх 4- 4 ихи?хх + 4 и^ ди

также является вариационной симметрией с соответствующим законом сохранения

^2 = J (у иххх 4 ЫхЫхх + "Тб" °*) ^Х"

(См. упр. 5.12 и 5.21, где приводятся дальнейшие результаты об этом уравнении.)

Симметрические линейные системы

Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений А[ц] = 0, определенную матрицей размера 9X9, элементы которой — дифференциальные операторы:

А^= Е rf^Dp ц, v= 1, ..., 9;

коэффициенты зависят только от х. Хорошо известно, что эта система представляет собой уравнения Эйлера — Лагранжа для вариационной задачи, если и только если оператор А является симметрическим: А* = А. В этом случае мы можем в качестве функционала взять просто

3 [ы] = 4 и • А [ы] dx.(5.58)

(См. также теорему 5.68.)

Всякий закон сохранения для данной симметрической линейной системы можно, не теряя общности, взять в характеристической форме DivP=Q-A. По теореме Нётер характеристика Q определяет вариационную симметрию соответствующей квадратичной вариационной задачи. Здесь мы подробно исследуем случай линейных законов сохранения, когда Р линейна по и и производным от и и, следовательно, Q зависит лишь от х, и случай квадратичных законов сохранения, когда Р квадратична, a Q

линейна по и и производным от и. Первый случай приведет к соотношениям «взаимности», связывающим пары решений системы; второй случай будет тесно связан с нашей теорией операторов рекурсии для линейных систем, развитой в предыдущем параграфе.

Заметим, что для линейного закона сохранения vq = — Яа(х)диа порождает группу симметрий линейной системы, если и только если q(x) сама является решением: А[^] = 0. (Преобразования из этой группы — это просто и*—>и + eq, что отражает линейность системы А.) Заметим также, что производная Фреше в этом случае автоматически равна нулю, так что условие (5.56) выполняется и vq всегда является вариационной симметрией. Теорема Нётер позволяет заключить, что существует линейный закон сохранения

D iv Р [ы] = q (х) • А [и](5.59)

для любого решения q(x) системы А. Другой способ: мы можем вывести (5.59) непосредственно, пользуясь нашей основной процедурой интегрирования по частям.

Предложение 5.45. Пусть Д[и] = 0 — симметрическая линейная система. Тогда для любых функций и(х), и(х) выполняется соотношение взаимности

v • А [ц] — и • А[у] = Div Р [и, и],(5.60)

где Р е ^р — некоторое билинейное выражение, содержащее и, и и их производные.

Общая формула, выражающая Р через А, достаточно сложна. Однако для операторов второго порядка мы можем получить относительно простое выражение. Нетрудно видеть, что всякий симметрический матричный дифференциальный оператор второго порядка можно записать в специальном виде

рр

^=5.. °- ■ ^ w °»+£ ^ w ■D-+D-' ^ w>+-^ и.

p, v = 1, ..., q, где коэффициенты удовлетворяют условиям = Л^ Ы Ы С —■ С

Соответствующий вариационный функционал можно взять либо в виде (5.58), либо, выполнив простое интегрирование по ча-

стям, в виде

Ч f Р^м=т$ Е I - Е W+ц, v=l ' I. /=1

+ Е^ ^^—"W+w^ гdx- <5-61)

i = l'

Если определить матричные дифференциальные операторы 2£ размера q Хч, i = 1, ..., р, с элементами

р

^^^“w^^ + ^W’

то соотношение взаимности (5.60) выполняется при Pt = и • 21 [«] — и • 21 [о], i = 1р.

Или, в интегральном виде,

(и • 2 [и] — и • 2 [и]) • dS = (и • А [и] — и • А [и]) dx, (5.62)

d£2Q

где у • 2 [и] = (и • 2х [ы], ..., и • 2Р [и]).

Например, в случае уравнения Лапласа равенство (5.62) — известная формула Грина, поскольку 2[и] = Vu. Для уравнений Навье (2.127)

pA«4-(p + A)V(V- о) = 0

линейной изотропной упругости равенство (5.62) эквивалентно стандартной теореме взаимности Бетти

j (и • ст [и] — и • ст [«]) dS = {и • [р Аи + (р + Я) V (V • и)] —

SQв

— о [р Ан + (р + Л) V (V • ы)]} dx, где

ст И = р (уи + Vu7) + Я (V • ы) 7

— тензор напряжений, соответствующий смещению и. (Здесь (5.61) имеет вид

^М = -у $ М V«И2 + (р + Я) (V • u)2} dx.

Этот функционал — не точно то же самое, что обычный вариационный принцип, построенный по плотности накопленной энергии, но отличается от него только на нулевой лагранжиан

^ = ^ рд (иа, u^fd (х£, х<у^

« ^Р

Обратимся к квадратичным законам сохранения. В этом случае характеристика Q — линейная функция от и и производных от и; следовательно, Q (х, u(m)) = S)M для некоторой матрицы дифференциальных операторов 2 размера 9 X ?> коэффициенты которых зависят только от х. Из теоремы Нётер следует, что Q — характеристика вариационной симметрии и, следовательно, симметрии самих уравнений Эйлера — Лагранжа. Из предложения 5.26 вытекает, что 2 — оператор рекурсии для линейной системы, так что ^2 = 2L для некоторого дифференциального оператора 2. Хотя не каждый оператор рекурсии приводит к вариационной симметрии, те из них, которые приводят, легко описать.

Предложение 5.46. Набор из q линейных функций Q = 2\иД от и и производных от и образует характеристику закона сохранения для линейной системы Д[ы] = 0, если и только если дифференциальный оператор 2*-й. антисимметрический.

Это немедленно следует из равенства (5.51), если воспользоваться тем фактом, что производная Фреше линейного набора из q дифференциальных функций ДМ — то же самое, что дифференциальный оператор Д, определяющий этот набор. В частности, если Д симметрический, то это условие принимает вид

Д-^ = -^*-Д.(5.63)

Оно означает, что оператор 2, фигурирующий в условии рекурсии Д® = ^)Д, должен совпадать с —2*. Отметим, что в этом случае всякая нечетная степень 22fe+1 оператора 2 также удовлетворяет условию (5.63). Мы заключаем, что симметрическая линейная система, обладающая одним квадратичным законом сохранения, всегда имеет бесконечную иерархию таких законов

DivPW — S^M - ДМ, зависящих от производных от и все более и более высоких порядков.

При наших условиях невырожденности оператор симметрии 2 определяет тривиальный закон сохранения, если и только если он является кратным оператора Д, т. е. 2 = $ -1х для некоторого дифференциального оператора ё. Поэтому вопрос о том, сколько имеется нетривиальных квадратичных законов сохранения данного порядка, связан с (сложным) вопросом о том, сколько имеется неэквивалентных операторов симметрий данного порядка, рассмотренным в § 5.2. Отметим далее, что если 2 — произвольный линейный оператор рекурсии, так что \2= = 2\ для некоторого оператора 2, то мы всегда можем «ан-

тисимметризовать» оператор S и получить новый оператор рекурсии 3) = ^ (3 — 3*), удовлетворяющий условию (5.63) и, следовательно, определяющий закон сохранения. Чтобы увидеть это, достаточно применить сопряжение к условию симметрии:

AS* = (SA)’ = (AS)’ = S*A

(в силу симметричности А). Следовательно,

AS = 4 (AS - AS*) = у (SA - S’A) = — S’A.

В частности, поскольку для любого оператора симметрии S оператор S имеет такие же члены самого высокого порядка, мы видим, что имеется взаимно однозначное соответствие между квадратичными законами сохранения и этими антисимметрическими ведущими членами операторов рекурсии. У скалярных уравнений члены самого высокого порядка должны быть нечетного порядка, и для каждого такого члена мы получаем закон сохранения. Если Sb ..., Зк — линейные операторы вариационных симметрий первого порядка, то кососимметризованное произведение

11®1®2 ... ®к + (-l)6"1®^! ...за(5.64)

дает вариационный оператор порядка к (или ниже). (Для скалярных уравнений нам нужно брать только нечетное к, и, значит, этот оператор имеет порядок к.) Во многих примерах оказывается, что каждый квадратичный закон сохранения можно получить таким способом.

Пример 5.47. Подведем итог нашим исследованиям симметрий и законов сохранения для двумерного волнового уравнения и» = ихх + иуу в примерах 2.43, 4.36 и 5.27. Здесь X = D^ — — D~x — Z)2. Из операторов рекурсии списка (5.38) первые шесть коммутируют с А и антисимметричны. Следовательно, все они удовлетворяют условию (5.63). Соответствующие законы сохранения были получены в примере 4.36. Для оператора дилатации 3 мы находим AS = (S + 2) А, но 3* = —3— 3. Поэтому 3 не определяет закона сохранения; однако модифицированный оператор дилатации Ж = 3 + (1/2) уже удовлетворяет условию (5.63):

ДЖ = (Ж + 2)Д и ^*==S‘ + 4-=-S--|=-^-2.

Соответствующий закон сохранения см. в примере 4.36. Наконец, каждый оператор инверсии также определяет закон сохра-

нения, поскольку, скажем, для Зх

A^H3^4*^ и ^ = -^х-^-

Соответствующие законы сохранения были найдены в примере 4.36.

Чтобы найти квадратичные законы сохранения более высоких порядков, нужно рассматривать «кососимметризованные» произведения нечетного порядка (5.64) этих операторов рекурсии, например ЩТ)\%Ху^СЗх 4- 3 хЛ91х^\. Некоторые законы сохранения второго порядка и соответствующие операторы симметрии приведены в следующей таблице. (См. также пример 5.49.)

Оператор рекурсии

Характеристика

Плотность закона сохранения

иххх

uxxuxt

uxxt

y(«xf + «xx+ «ху^

иш

(u2tt 4 u^t + Uyt)

D 91 D х ху X

-tiuxxx + XUxVV + uxy

uxtkxuxy-ti^xx^

D & D —

X ху у

-Уихху + Хихуу~^ихх+

uxx ^uyt + 2 “t) -

—-d2 -Id2 2 *2 У

+ Т“уу

-“yy^xt + ^u,)

DxVx

Xuxxt + iuxxx + uxt

X^ + tuxxuxt

D^Dx

X“xxx + yuxxy + <uxxt + , 3

T* + it

^xA^xt

^Ч</ + ^K^uxxt + tXxx +

(x24<2)f + 4-“y +

+ xutt + 2tuxt + xuxx

4 t ^xuxtutt - utiuH^

Dx9tDx

(X2 + y2 + i2) U + 2xtu 4

-(X2 4 y2 4 /2) т 4

где

+ ^lUxxy + ^xt + ^tx

= "2 ^UX* + WXX + uxy\ r = XuxxUxt + »UxxUyt +

+ ^uxx“t

4 u2 4 2tT*

Действие симметрий на законы сохранения

Другой способ получать законы сохранения состоит в том, чтобы применять известные образующие групп симметрий к известным законам сохранения. К сожалению, этот способ не гарантирует получение нетривиальных законов, однако мы можем точно установить, когда это происходит.

Предложение 5.48. Пусть система Д вполне невырождена и Div Р = 0 — закон сохранения. Если vr — эволюционная симметрия системы Д, то индуцированный набор Р = pr vR (Р) с элементами Pt = рг vr(P,) также является законом сохранения: Div Р = 0. Кроме того, если ^ = E.(L) — система уравнений Эйлера — Лагранжа, Р имеет характеристику Q, соответствующую вариационной симметрии vq, и vr — вариационная симметрия, то Р имеет характеристику Q, соответствующую скобке Ли v~ = [v^, vQ] этих двух симметрий.

Доказательство. Предположим, что закон сохранения задан в характеристическом виде (5.50). (Отметим, что если Ро— тривиальный закон сохранения, таковым является и prvR(P0), так что этот первый шаг оправдан.) Применяя pr vr, находим

Div [pr vr (Р)] = рг Vr (Q) • Д + Q • рг vR (Д) (5.65) (мы воспользовались равенством (5.19)). Поскольку на решениях системы Д ргук(Д) = 0, правая часть равенства (5.65) обращается на решениях в нуль, что доказывает первую часть теоремы. Если Д = Е(В) и vR — вариационная симметрия, то мы можем воспользоваться предложением 5.39, чтобы переписать второе слагаемое в правой части (5.65), а затем проинтегрировать по частям:

Q • pr vR (Д) = - Q • D^ (Д) = - D^Q) • Д - D i v В== — prvQ(P) • Д—Div В

для некоторого набора из р дифференциальных функций В, линейно зависящего от /X и ее полных производных. Следовательно, это тривиальный закон сохранения первого типа. Таким образом, в силу (5.22)

Div [pr Vr (Р) + В] = {pr Vr (Q) — pr Vq (Р)} • Д = Q • Д

— характеристический вид нашего закона сохранения, и доказательство закончено. □

Этот результат наиболее полезен в случае симметрических линейных систем. В самом деле, если P^s^p определяет квадратичный закон сохранения, соответствующий линейной харак-

теристике Q = 5)[u], a vR— линейная симметрия, так что R = 8 [н] для некоторого дифференциального оператора 8, удовлетворяющего условию A-^ = ^-A, то prvR(P) приводит к закону сохранения с характеристикой 5=(S)-^ + ^*- •^5)[н]. В частности, если vR — вариационная симметрия, то Q — характеристика, отвечающая коммутатору [35, ^] = = Ф-8 — 8-S).

Пример 5.49. Для двумерного волнового уравнения плотности законов сохранения из таблицы примера 5.47 легче всего вычисляются с помощью этого способа. Например, закон сохранения с характеристикой uxxt можно построить, либо применяя продолжение симметрии v = (1/2) иххди к закону сохранения энергии с характеристикой ut, либо применяя продолжение симметрии w — (1/2) uxtdu к закону сохранения импульса с характеристикой их. (В первом случае AD2=D^A, так что новая характеристика на самом деле равна рг v(tit) + (l/2) (D2x)*ut = = Uxxt.) В первом случае новая плотность равна

рг V [у «2 +102 +1 цД = 1 (utuxxt + ихиххх + иуихх^ = Т, а во втором —

рГ W (ихиД = -^ (И(НХХ1 4* ихихц) = Т.

Поскольку обе эти плотности имеют одинаковые характеристики, они должны быть эквивалентны:

t=t + dxr-vdms

на решениях волнового уравнения. Иными словами, у нас есть свобода (а) подставить вместо производных соответствующие выражения, полученные из уравнения и его продолжения, и (Ь) проинтегрировать по частям по х и у (но не по t); таким образом, utUxxt эквивалентна —u^t, но не uxxutt- Читатель может проверить, что Г и Т эквивалентны плотности второго порядка, выписанной в упомянутой выше таблице.

В качестве второго примера найдем закон сохранения, соответствующий оператору Dx&lxtDx, применяя симметрию v = (1/2) %xtDx(u) ды = (1/2) (xuxt + tuXx)du к закону сохранения с характеристикой их. Мы получаем

рг v [uxut] = У (Dx (xuxt + tuxx) ut + uxDt (xuxt + tuxx)) =

= у VXUxxt + “xf + tuxxx) ut-V^ux (xuxlt + tuxxt + Uxx).

Оба члена самого низкого порядка utuxt и ихихх являются производными по х. Следовательно, эта плотность эквивалентна одной из плотностей нашей таблицы, в чем можно убедиться аналогичным интегрированием по частям.

Анормальное системы и вторая теорема Нетер

Связь между вариационными симметриями и законами сохранения для систем, не являющихся вполне невырожденными, менее понятна. Хотя основная формула интегрирования по частям (4.39) по-прежнему дает вариационную симметрию для каждого закона сохранения и наоборот, теперь нет гарантий, что нетривиальные симметрии приведут к нетривиальным законам сохранения или наоборот. В случае аналитических систем мы видели, что возможны два основных типа анормальности. Переопределенные системы в этом отношении менее поняты, и точная связь между их симметриями и законами сохранения не установлена. Однако недоопределенные системы подпадают под действие второй теоремы Нётер, относящейся к системам, допускающим бесконечномерные группы вариационных симметрий. Получающиеся зависимости между уравнениями Эйлера — Лагранжа можно интерпретировать как тривиальные законы сохранения, определенные нетривиальными группами вариадионных симметрий, так что красивое взаимно однозначное соответствие из теоремы 5.42 в случае недоопределенных систем нарушается.

Теорема 5.50. Вариационная задача 2?[и] = L dx допускает бесконечномерную группу вариационных симметрий, характеристики Q[m; А] которых зависят от произвольной функции h^x) (и ее производных-), если и только если существуют дифференциальные операторы Фх, ..., 2)q, не все равные нулю, такие, что

№(£) + ... А-ФчЕ<ДЦ^ (5.66) для всех х, и.

Доказательство. Предположим сначала, что уравнения Эйлера — Лагранжа для $ недоопределены, так что на них имеется соотношение вида (5.66). Пусть h (х) — произвольная функция. Тогда простое интегрирование по частям показывает, что

0 = h (х) [0,Е, (L) + ... + SqEq (L)] =

= 0‘Jh] •£,(£) + ... + ^[/i]-E9(L)-DivP (5.67)

для некоторого Р е ^р, линейно зависящего от Е (L) и его производных. Если мы положим Qv = ^* [A], v = 1, ..., q, то выписанное выше тождество будет иметь вид закона сохранения в характеристическом виде, где Q— характеристика, а Р = — Р[и; й] е s^p— закон сохранения, который на самом деле тривиален (первого типа). Теперь мы, очевидно, можем воспользоваться равенством (5.67), чтобы доказать, что для любой функции й(х) поле vQ[ti. Л1 определяет вариационную симметрию функционала $ [ы].

Обратное доказывается непосредственно, если все Qm^u; h\ = ® [/г] линейны по й и ее производным; здесь 2)v— дифференциальные операторы, коэффициенты которых могут зависеть от и. Начиная с условия (5.54) того, что поле vq —■ вариационная симметрия, мы интегрируем по частям, чтобы получить соответствующий закон сохранения

DivP = Q-E(L) = ^I[ft]E1(L) + ... + ^9[й]Е9(Е).

Дальнейшее интегрирование по частям фактически обращает вывод формулы (5.67) и приводит к тождеству вида

DivР = Л(х) [SiEi(L) + ... +^Eq(L)l,(5.68)

справедливому для произвольной функции h(x). Доказательство завершает применение следующего «формального» варианта леммы Буа —• Раймонда из вариационного исчисления.

Лемма 5.51. Пусть R(x,uW)— дифференциальная функция. Предположим, что для каждой гладкой функции h(x) существует функция Р [u] = Ph [и] е si?, такая, что

Й(х) R (х, и^ = Div Р (х, u^Y

Тогда R(x, и^)= г(х)— функция только от х.

Доказательство. Предположим, что R зависит от производных от и порядка п и ниже и что dR^x0, и^уди^ ^ 0 для некоторого #7 = п ^ О, (х0, вР1|)е№*. Выберем h^ так, чтобы djh(xo)=#O, а все другие производные от h порядка ^и обращались в нуль в точке х0. Непосредственное вычисление показывает, что

Еа (й ■ R) (х„, и^ = (-1)" d,h (х^ • dR (х„, и^ди» ^ 0.

Из теоремы 4.7 вытекает, что h-R не является полной дивергенцией, что противоречит нашему предположению. Несложная

индукция доказывает теперь, что R может зависеть только от х. □

Важную роль в дальнейшем будет играть следующее простое следствие этого результата.

Следствие 5.52. Пусть Р е s4-r — набор из г дифференциальных функций. Тогда ^P-Qdx = 0 для всех Qes£' и всех

Q с X, если и только если Р = 0 для всех х, и.

Доказательство. Применяя покомпонентно доказанную нами лемму, мы заключаем, что Р = р(х) зависит только от х. Далее для данного 1 ^ v ^ г выберем Qp [и] = 6^° для произвольного 1 ^ а ^ q. Тогда Ea(p-Q) = pv(x) = 0 по теореме 4.7. Следовательно, Р = О для всех х, и. □

Обращаясь к (5.68), мы видим, что

№,(£) + ... +^ЕДР) = г(х)

является функцией только от х. Если г = 0, то все доказано; в противном случае поделим на г^ и еще раз продифференцируем (по любой переменной х‘У В результате получим тождество требуемого вида (5.66). □

Более общо, если h^ присутствует в Q[«;/i] нелинейно, мы можем тем не менее с помощью следующей леммы свести этот случай к предыдущему.

Лемма 5.53. Предположим, что Q [и; /г] — характеристика вариационной симметрии функционала $, зависящая от произвольной функции h (х). Пусть S)Q = ®Q [u. Л] обозначает производную Фреше от Q по h с элементами

©q-'L dQv/dh, -D„ n = \, .... q (П, = дД.

Тогда Q' = 2)q[^] является характеристикой вариационной симметрии, линейно зависящей от произвольной функции ^(х).

Доказательство. По предположению для любой функции /г(х) существует набор Bh[u]e^p, такой, что

pr vq [Ы; л](Е) = Div Bh.

Если в этом тождестве заменить h на h + ^h и продифференцировать по е, то получим при е = О

prv^(E) = DivB\ B' = A^Bh+6fc,

что и доказывает лемму. □

В теореме 5.50 каждая нетривиальная симметрия Q [ы; Е] (линейная по А) дает тривиальный закон сохранения с характеристикой Q. Имеет место также и обратное утверждение: если система уравнений Эйлера — Лагранжа обладает тривиальным законом сохранения, соответствующим нетривиальной вариационной симметрии, то эта система обязательно является недоопределенной и, следовательно, допускает целое бесконечномерное семейство таких симметрий, зависящих от произвольной функции. (См. упр. 5.24.) (В теории относительности, ср. Goldberg [1], эти «тривиальные» законы сохранения на самом деле являются одними из наиболее важных тождеств. Возможно, здесь наш выбор терминологии несколько сбивает с толку.)

Пример 5.54. Параметрические вариационные задачи. Рассмотрим вариационный функционал первого порядка вида

$ [ц, у] = L (х, и, v, их, yz) dx,

где xeR. Рассмотрим бесконечномерную группу симметрий, состоящую из произвольных замен х *—* ф (х) независимой переменной. Ее инфинитезимальные образующие будут иметь вид Vh = h (х) дх, где К— произвольная функция от х. В силу инфинитезимального критерия (4.15) это группа вариационных симметрий, если только

А (^0 Вх -)- К (х) £ uxLUx vxLVx -|- Ej = О

(нижние индексы означают производные). (Обобщение на дивергентные симметрии здесь ничего не добавляет). Поскольку и h и h' произвольны, функция L должна не зависеть от х и иметь вид L = ихВ(и, и, их/иху Мы заключаем, что здесь обязательно имеем дело с параметрической вариационной задачей

S’ [м] = Е ^и, у, ^-^ uxdx=^L (и, у, -^-) du, где и можно считать, скажем, функцией только от и.

Вторая теорема Нётер утверждает, что между двумя указанными уравнениями Эйлера — Лагранжа

Е„ Щ = Uxlu-Dx^L -^ L^ = О, Ео Щ = uxLv - DxL„u = О имеется зависимость. Эволюционный вид поля vh есть —й(х) (ихди + ух^)- Поэтому, согласно (5.66), (5.67), имеем тождество

нхЕи (£) + и хЕ„ (!) = 0.

Это рассуждение, очевидно, распространяется на вариационные задачи больших порядков и больших размерностей.

Пример 5.55. Рассмотрим вариационную задачу

^ и=4 § $ ^tx+у^2 dx dy>

уравнения Эйлера — Лагранжа

Е« (7.) Чхх ~Р ^ху 0> Ео (A) Uxg ~р Ууу 0 которой составляют, как мы видели в § 2.6, недоопределенную систему, причем DtiEu (£) — DxEd (L) = 0. Доказательство теоремы 5.50 дает соответствующую бесконечномерную группу симметрий, порожденную полем vh =—hMdu Ц-Нхдв, где h(x, у)—• произвольная функция. Преобразования из этой группы

exp (evh) (и, у) = (и — shy, у + ей,.),

очевидно, не меняют 2?. Хотя эти однопараметрические группы явно нетривиальны, соответствующие законы сохранения тривиальны. Например, если й(х, у) =—у, так что "Мк = ди, мы получаем тривиальный закон с компонентами (ux4~Uy, 0), т. е.

Dx (“х ~Р Уу) == ^ХХ “Р Уху-

На первый взгляд этот закон не выглядит тривиальным, но если мы прибавим очевидно тривиальный закон (первого типа) (у(ыхУ + ууу) , —y(tixx -р Уху)), то получим эквивалентный тривиальный закон сохранения второго типа, поскольку

(«X + У у) + У (“ху + Ууу) = Dy {у ^х + У у)),— у кихх + Уху) = — Dx (у (их 4- У^)).

Урок состоит в том, что для анормальных систем требуется еще больше тщательности, чтобы отличить тривиальные законы от нетривиальных; даже характеристики здесь не являются больше верным указателем тривиальности.

ВАРИАЦИОННЫЙ КОМПЛЕКС

Как отмечалось во введении к этой главе, вариационный комплекс берет свое начало из трех главных результатов, составляющих основу большей части нашей работы по симметриям, законам сохранения, дифференциальным операторам и т. д. Первый — это характеризация ядра оператора Эйлера как пространства полных дивергенций, данная теоремой 4.7; второй — характеризация всех нулевых дивергенций как полных роторов, данная теоремой 4.24; третий — характеризация уравнений Эйлера — Лагранжа симметричностью их производных Фреше, см. доказательство леммы 5.38. Два последних результата, как мог обнаружить читатель, доказать особенно нелегко. Однако, если их переформулировать на более естественном языке дифференциальных форм, их можно получить снова посредством построения подходящих операторов гомотопии, аналогичных тем, которые использовались в доказательстве леммы Пуанкаре в § 1.5. (Мы настоятельно рекомендуем читателю основательно ознакомиться с понятиями обычных дифференциальных форм на многообразиях, изложенными в § 1.5, прежде чем пытаться изучать формы более сложных типов, с которыми приходится иметь дело здесь.) Хотя в этой книге нам потребуются лишь три указанных выше частных примера полного вариационного комплекса, мы предпочли включить его целиком, поскольку (а) в общем случае доказательства ничуть не труднее и (Ь) знакомство с этим комплексом обеспечит читателю прекрасную подготовку к дальнейшему чтению современных работ и к исследованиям по геометрической теории вариационного исчисления на многообразиях.

Вариационный комплекс естественно расщепляется на две составляющие. В первой части соответствующие дифференциальные формы — это выражения, включающие дифференциалы dx‘ независимых переменных, коэффициенты которых, однако, являются дифференциальными функциями. Обычный дифференциал d при этом заменяется «полным» дифференциалом D, который используется вместо частных производных. Хотя определения здесь проще, доказательство точности является намного более сложным и требует техники «операторов Эйлера высших порядков», развитой в конце этого параграфа. Результат о нулевых дивергенциях появляется в предпоследнем члене этой части комплекса. Во второй части вариационного комплекса роль функций берут на себя функционалы вариационного исчисления, а «функциональные формы» определяются аналогично. Дифференциал теперь является аналогом вариационной производной функционала и называется поэтому вариационным

дифференциалом. Хотя объекты этой части меньше нам знакомы, доказательство точности получается с помощью относительно простого расширения оператора гомотопии де Рама. Сюда включается решение обратной задачи Гельмгольца вариационного исчисления. Сам оператор Эйлера обеспечивает связь между этими двумя составляющими; характеризация нулевых лагранжианов дает оставшийся шаг в полной точности вариационного комплекса.

D-комплекс

Первая часть вариационного комплекса получается переформулировкой комплекса де Рама для пространства дифференциальных функций, определенных на М с X X И. Полная дифференциальная r-форма будет иметь вид

ы = Р/ М dx1,

где коэффициенты Pj e.sl — теперь дифференциальные функции, a dx1 = dx’x л ... NdX*r, 1 ^/i < ... < jr ^ р, составляют стандартный базис пространства ЛГТ*Х. Если мы заменим и некоторой функцией u = f(x'), то снова получим обычную дифференциальную r-форму на пространстве X. Мы дифференцируем со, обращаясь с и как с функциями от х, что приводит к полному дифференциалу

р

Deo = DiPj dx1 л dx1.(5.69)

i = l I

Например, если p = 2, то

co = yux dx + uuxu dy

— полная один-форма с полным дифференциалом

Deo = [Од. ^иих^ Dy (уих)] dx л dy

= [иихху -[- ихиху их yu-хуА dx л dy.

Поскольку при подстановке и = ^х^ полный дифференциал совпадает с внешней производной, легко видеть, что D определяет комплекс (называемый D-комплексом^ на пространстве полных дифференциальных форм. Это означает, что D(Dco) = O для любой формы со. На подходящих подобластях М с X X И этот комплекс точен. Явное требование на М состоит в том, что эта подобласть должна быть вполне звездной. Это означает, что она (а) вертикально звездная, так что каждый вертикальный

слой Мх=^и; (х, и)еЛ1} — звездная подобласть в U, и (Ь) горизонтальный слой в базе Q={x: (х, 0)eAf}—звездная подобласть в X.

Теорема 5.56. Пусть М — вполне звездная подобласть. Тогда D-комплекс

„D DDD

О —> R —> А о * Д [* ...>■ А р_ I*■ А р

точен (Аг обозначает пространство полных r-форм). Иными словами, если со е Аг при 0 < г < р, то форма со D-замкнута: Deo = о, если и только если форма со D-точна: со = Оцдля некоторой полной (г — 1) -формы т], а если со е Ао, так что со — просто дифференциальная функция, то Deo = 0, если и только если со — константа.

Пример 5.57. Точность D-комплекса в члене Ар_ъ как легко видеть, эквивалентна характеризации нулевых дивергенций, данной в теореме 4.24. В самом деле, пользуясь обозначениями из примера 1.62, получаем, что каждую (р—1 )-форму со = = 52 (—hY^PjdxT можно отождествить с ее коэффициентами Р — (Pt, ..., Рр)е^р. Имеем Deo = (Div P)tZx* л ... /.dxp, так что форма со D-замкнута, если и только если Р — нулевая дивергенция. С другой стороны, (р — 2)-форма принимает вид т)= 52 ^—Vy*k-vQikdxib, где Qjk =—Qm, и Dt] = co, если и только если Pj = 52 DkQjk. (Явные формулы, выражающие Q через Р, будут найдены в процессе доказательства теоремы 5.56.)

Если мы всюду подставим u = f(.x^, то D-комплекс сведется к обычному комплексу де Рама, который по лемме Пуанкаре (теорема 1.61) точен. Однако это не доказывает точность D-комплекса! Чтобы увидеть это, рассмотрим полную г-форму со [ы], зависящую от и и ее производных, и соответствующую r-форму й;-(х) = со [/(х) ] на ЙсХ, полученную подстановкой всюду вместо и функции f(x). Тогда Deo = 0, если и только если day = 0 для каждого f и, следовательно, cof = dry для некоторой (г—1)-формы T]f(x). Из формулы гомотопии Пуанкаре (1.69) не ясно, почему для ту существует полная (г—1)-форма т)[и], зависящая лишь от и и ее производных, которая в каждом случае при подстановке н = /(х) дает тц: Л If (х) ] = т^ (х) для всех f. Причина состоит в том, что (1.69) не является локальным отображением.

В самом деле, комплекс де Рама точен даже в члене Ap-iT’D -A- Ap^Q^-O, но это совершенно неверно для

D-комплекса. Каждая полная р-форма со = L [м] dx' л ... Kdxp, очевидно, D-замкнута, но она D-точна, со = Ощ если и только если L — полная дивергенция, L = Div Р, а, как мы знаем, не каждая дифференциальная функция является полной дивергенцией. Доказательство теоремы 5.56 потребует поэтому новых методов, в частности нового «оператора полной гомотопии». Мы откладываем его до конца этого параграфа.

Следующий шаг в построении вариационного комплекса — продолжить D-комплекс дальше за член Лр. В сущности мы уже знаем, как это делать, поскольку по теореме 4.7 форма со = Ldxx л ... л dxp D-точна (это означает, что Р = В1уРдля некоторого Р е ^р), если и только если Е (L) = 0, где Е — оператор Эйлера. Таким образом, за отображением D: Ap-i -■ /\р должен следовать оператор Эйлера или вариационная производная, возможно, в более внутренней форме. Это будет осуществлено, и вариационный комплекс продолжится даже дальше посредством введения «функциональных форм» и «вариационных дифференциалов», которые в некотором смысле делают с зависимыми переменными то, что D-комплекс делает с независимыми переменными.

Вертикальные формы

Полные r-формы активны на «горизонтальных» переменных л- из М с X X U — в них присутствуют лишь дифференциалы dx‘. Вертикальные формы строятся аналогично — они активны на «вертикальных» переменных, состоящих из и и их производных1). А именно, вертикальная ^-форма — это конечная сумма

6 = £ Р“ [«] du^ д ... д du^, (5.70)

в которой коэффициенты Pj е st — дифференциальные функции. Поскольку в этих формах появляются лишь дифференциалы diu, аналогом дифференциала обычного комплекса де Рама является вертикальный дифференциал

ф& = ^^- du^ л du^ л ... л du^. (5.71)

Если р = q = 1, то типичная вертикальная форма — например, и = хихх du л dux. Ее вертикальный дифференциал тогда равен

d& = х du л dux кйпхх, независимая переменная х присутствует только как параметр.

Поскольку всякая данная вертикальная форма со зависит лишь от конечного числа переменных и у и, следовательно, обитает на пространстве конечных струй Af(n>, вертикальный дифференциал Uto в действительности — то же самое, что и дифференциал де Рама по этим переменным, причем остальные независимые переменные играют роль параметров. Таким образом, легко видеть, что вертикальный дифференциал обладает обычными свойствами билинейности, антидифференцирования и замкнутости, как и обычный дифференциал:

d (cd) + с'to) = cd& + с'д&',

d (<в Л f]) = (ddi) A fj + (—l)ft d) A df|,

d (d&) = 0,

где io, to ^/\k(/\—пространство вертикальных ft-форм на Af), ц е/\/ и с, с'— константы. Кроме того, доказательство леммы Пуанкаре немедленно распространяется на эту ситуацию и дает доказательство точности «вертикального комплекса» на подходящих подобластях М с X X U.

Теорема 5.58. Пусть МсХур— вертикально звездная область. Тогда вертикальный комплекс

~. Л ~ „А

Л0-^ Л1—* Л2—* ...

точен. Иными словами, при ft > 0 вертикальная k-форма ю замкнута-. Uto = 0, если и только если она точна; to = Ut\ для некоторой (ft—1) -формы т). При ft = 0 0-форма или дифференциальная функция U-замкнута, если и только если она является функцией только от х.

Заметим, что, хотя всякая данная вертикальная форма зависит только от конечного числа переменных, весь вертикальный комплекс никогда не оборвется, поскольку мы можем продолжать его, добавляя производные от и все более высоких порядков, чтобы строить ненулевые вертикальные ft-формы для любого ft ^ 0.

Доказательство теоремы 5.58 использует тот же оператор гомотопии, который использовался в обычной лемме Пуанкаре, но приспособленный к бесконечному числу переменных «“. Основное векторное поле растяжений — это поле prvu =

= ^ujdjduj —бесконечное продолжение эволюционного векторного поля nu = У, иад/диа. Для таких векторных полей и вертикальных форм корректно определено их внутреннее произведение, причем ^д/ди^ и ^du“j — двойственные базисы соответствующих касательного и кокасательного пространств. (Заметим, что, поскольку вертикальные формы должны быть конечными суммами (5.70), мы можем допускать бесконечные суммы в наших векторных полях, поскольку при вычислении, скажем, prv„Дюнам понадобится лишь конечное число членов полного продолжения поля v„.) Формула для оператора гомотопии, соответствующая формуле (1.69), принимает тогда вид

i

к (й) = {prv„ J ю[7и]}-^,(5.72)

о"

и для to <= Лк, к > 0, мы находим

& = dh (ю) + h ^dfo\

В (5.72) обозначение и [и] указывает на зависимость и от и и всех ее производных. Поэтому, чтобы найти и [Zw], мы заменяем каждую и1}, возникающую в ю (либо явно, либо как дифференциал), на Wy Беря внутреннее произведение и интегрируя затем по к, мы находим /г(и). (В частности, у подынтегральной функции при к = 0 нет особенности.)

Пример 5.59. Пусть p = q=\. Если и = хих du a dux, то d& = х dux д du A dux = 0, так что форма и замкнута. Чтобы найти один-форму f|, такую, что ю = Йт], нам нужно лишь вычислить

1

г) — ^ (to) = ^ (pr vH Д [х ^их) d (ku) д d (Zux)]} -^ = о

1

— ^ ^2 {хиих dux — хи- du^ dK=-^ yxuux dux — xu~ day о

Каждая вертикальная Л-форма определяет кососимметричное А-линейное отображение из пространства вертикальных векторных полей v* =^Qad]duj в пространство х7 дифференциальных функций; в частности, она определяет кососимметричное полилинейное отображение на пространстве То эволюционных векторных полей. Явная формула записывается с помощью

определителей, как в (1.49), так что если форма to задана формулой (5.70), то

(6; prvp ..., prvft) = £ Р“ det (Dj.qQ, (5.73)

где Q' е si-4 — характеристика поля V/, а определитель берется от матрицы размера к X k с указанными элементами. Например,

<хихх du Л dux; pr vQ, pr v^ = хихх det D RJ

— ^ихх {QDXR RDXQ).

Полные производные вертикальных форм

Для каждого i=l, .... р полную производную D, можно представлять себе как своего рода векторное поле на пространстве бесконечных струй. Раз так, оно может действовать на вертикальные формы как «производная Ли», которая определяется следующими правилами:

линейность

Dt (сю + с'и') = cDi& + с'О^', с, с' е R; (5.74а)

свойство дифференцирования

Di (io л f|) = (Огю) Л f| + и Л (Off]);(5.74b)

коммутирование с вертикальным дифференциалом

Di(da) = d(Di&)(5.74с)

вместе с уже определенным его действием на дифференциальные функции. (См. (1.59), (1.60), (1.61).) В частности, Di действует на базисные формы следующим образом: Dtdu'j = = d ^D^ = du“ r Это действие легко восстанавливается по этим свойствам. Например,

Dx (хихх du Л dux) — Dx (хихх) du Л dux -|- xuxxDx {du) Л dux +

+ хихх du Л Dx {dux) =

= {xuxxx + uxx) du A dux + xuxx du A duxx, (5.75)

средний член обращается в нуль, поскольку Dx(du) = dux. Доказательство того, что (5.74) определяет корректное действие Di, нетрудно; в сущности это прямое следствие того же свойства единственности обычной производной Ли. Одно ключевое свойство состоит в том, что полная производная совместима с

вычислением вертикальных форм на эволюционных векторных полях:

О((&; prv,prvft) = (Z>,(o; prvb ..., prvft) (5.76) при l^i^p, ДеДй, vf = vQb Qlest4. Таким образом, например, значение производной Dx от xuxx^QDxR— RDXQ) совпадает со значением два-формы (5.75) на prvQ и prvR. Доказательство формулы (5.76) основано на формуле для производной Ли из упр. 1.35 и том факте, что полные производные коммутируют с эволюционными векторными полями (см. (5.19)).

Функционалы и функциональные формы

На самом деле нас сейчас интересуют «функциональные варианты» наших вертикальных форм, которые связаны с ними точно так же, как функционалы связаны с дифференциальными функциями. Хотя основное понятие функционала появилось в гл. 4 в своем традиционном облике, последующее развитие нуждается в более алгебраическом подходе к этим фундаментальным объектам вариационного исчисления. Каждая дифференциальная функция L^st задает функционал 3 [и] = L [и] dx, £2 определенный на произвольной подобласти fic X своей области определения. Если игнорировать вклад границы (рассматривая, скажем, только функции w = f(x), достаточно быстро стремящиеся к нулю вблизи границы), то другая дифференциальная функция t^st будет определять тот же функционал, т. е. j L[u]dx — ^ Е[и]б?хдля всех таких и, если и только если она £2£2

отличается от L на полную дивергенцию:

£ = L-)-Div.P для некоторого Р^^р.(5.77)

В этом суть содержания теоремы 4.7 в случае, когда Р [п] = О на дй. Условие (5.77) уже не зависит от области Q и определяет отношение эквивалентностина пространстве дифференциальных функций. А именно, L и L эквивалентны и определяют одни и тот же функционал, если выполняется условие (5.77). Каждый функционал, таким образом, единственным образом определяется классом эквивалентности дифференциальных функций и наоборот. Поэтому разумно определить пространство функционалов, обозначаемое 3, как множество классов эквивалентности на пространстве st дифференциальных функций относительно отношения эквивалентности (5.77). Иначе говоря, положим 3 = ^//Div ^stP) — факторпространство вектор-

ного пространства si- по подпространству полных дивергенций, т. е. «коядро» отображения полной дивергенции Div: ^р^-^. Естественное проектирование из л^ в S-, ставящее в соответствие каждой дифференциальной функции L ее класс эквивалентности или функционал, разумно обозначать знаком интеграла, так что Ldx^9" — это функционал или класс эквивалентности, соответствующий дифференциальной функции £е^.

В частности, Ldx = 0, если и только если L = Div Р для некоторого Р. Это дает нам возможность «интегрировать функционалы по частям»:

$ (Р ■ DtQ) dx=-^Q- DiP) dx, P, QesA

(С нашей предшествующей точки зрения образ оператора полной дивергенции можно отождествить с образом отображения D: Лр—i —*-Ар, где £[и] соответствует р-форме L[u}dx = = L[u]dxlA ... f\dx^. Можно отождествить 9", пространство функционалов, с коядром 9* ~ AP/D Ар_\, причем проекцией формы to = Ldx будет функционал о = Ldx. На самом деле, если бы мы стремились к поистине бескоординатному представлению, нам нужно было бы работать с ЛР, пространством полных р-форм, а не с ^, пространством дифференциальных функций. Заметим также, что нам следовало бы, таким образом, пополнить D-комплекс добавлением тривиального точного о

куска: Ар_\ —*■ А„—*9'—>0, но это не так интересно, как полный вариационный комплекс.)

Важный момент состоит в том, что, тогда как пространство ^ дифференциальных функций является алгеброй, это становится неверным для пространства 9" функционалов, поскольку мы не можем естественным способом перемножать функционалы. Например, дифференциальные функции их и иххх обе определяют тривиальные функционалы: ^их dx = 0= иххх dx, однако их произведение ихиххх не является дивергенцией и, следовательно, S’ = ^ uxiixxx dx 9=0 не является тривиальным функционалом. В самом деле, 69? = —2ихххх 9= 0; следовательно, по теореме 4.7 S’ =# 0. Конечно, мы можем брать линейные комбинации функционалов с постоянными коэффициентами, так что 9" является векторным пространством.

Аналогично, мы определяем отношение эквивалентности на пространстве Лк вертикальных й-форм, причем и эквивалентна со', если они отличаются на полную дивергенцию:

р

6 = 6' + Divfj = 6' + Е Атр, ^еД6,i=l

где D; действует на тр в соответствии с (5.74). Пространство классов эквивалентности — это пространство функциональных h-форм, обозначаемое

A^=AVDiv(AT

Естественное проектирование из А 6 в А^ снова обозначается знаком интеграла, так что j 6 dx — класс эквивалентности, содержащий йеЛ6. В частности, ^Divfjdx —О для любого набора из р вертикальных й-форм fj. В совокупности со свойством дифференцирования для полной производной (5.74b) это дает формулу интегрирования по частям

6 Л ОД dx = —Ф1&) Л f] dx, &e/\k, т\е7\1. (5.78)

Пример 5.60. Пусть p = q=A. Рассмотрим функциональную два-форму

<в — ^ {«x d« Л duxx) dx.

Мы можем проинтегрировать ее по частям, пользуясь тем фактом, что duxx = Dx kdux), так что в силу (5.78)

ю = — ^ )DX ^их du) Л dux) dx — — {(“« du + их dux) л dux) dx =

= — {ихх du л dux) dx.

Это не помогает, даже если мы попробуем еще раз проинтегрировать по частям, поскольку мы получаем

to = + )DX ^ихх du) Л du) dx = + {ихх dux Л du) dx,

а это в точности то же, что и выше.

Раз мы не можем перемножать функционалы, для функциональных форм нет корректно определенного внешнего произведения, поскольку если

Д = 5 + Div т) и 6 = 6 + Divg

— эквивалентные формы, то нет никаких гарантий, что формы 6 Л 0 и 6 Л 6 тоже эквивалентны. В предыдущем примере форма duxx = Dx(dux) тривиальна, но функциональная два-форма со не тривиальна. (См. предложение 5.64.)

Каждая функциональная форма является кососимметричным полилинейным отображением из пространства эволюционных векторных полей в пространство функционалов, определенным так, что

(со; V,, ..., vft)=$<6; prvb .... pry^dx, NteT0, (5.79) где co = co dx, co g Aft. В силу (5.76) это определение корректно. Например, если со = (их du д du,^ dx, как выше, то

(со; vQ, vR) = $ их (QD*R - RD^Q^ dx.

Менее очевидным является то, что это действие единственным образом определяет форму со.

Лемма 5.61. Если со и со'—функциональные k-формы, то со = со' тогда и только тогда, когда (со; vb ..., Nk> = = (со'; vi, ..., v*> для каждого множества эволюционных векторных полей vb ..., v*.

Доказательство опирается на более важный результат.

Лемма 5.62. Предположим, что ueR4 и у е Rr— зависимые переменные, зависящие от хе Rp. Предположим, что $ [и, и] = = ^ L (х, uw, y(n)) dx — функционал, обладающий тем свойством, что $ [и, Q [и] ] = 0 для всех наборов из г дифференциальных функций Q е sP, зависящих от х, и и производных от и. Тогда S’ [и, у] = 0 как функционал от и и у.

Доказательство. Эквивалентный способ сформулировать этот результат — сказать, что если для каждого Qe-sP

[Ди, Q[u]] = DivPQ[u]

для некоторого Pq е ^р, зависящего от х, и и производных от и, то

L [и, у] = Div Р* [и, у]

для некоторого набора из р дифференциальных функций Р* зависящих от х, и, у и производных от и и у. В частности,

L [и, Q [и] ] = Div Р* [и, Q [и] ],

где Р* зависит только от Q и ее полных производных. (Это не обязательно справедливо для Pq, особенно если PQ построено с помощью метода доказательства теоремы 4.7.)

Чтобы доказать этот результат, рассмотрим Q, R е^г. Тогда по определению вариационной производной

О=^|е=о^, Q + eP] = J E„(£)[«, QVRdx,

где Ео (£) обозначает вариационную производную от L по у. По следствию 5.52 Е0(£)[щ Q[«]] = 0 для всех Q, значит, Е„ (£) [и, у] = 0 для всех и, и. Аналогично, дифференцируя 3 [и + 6? [и], Ql^ + ePMll ПО 8 при 8 = 0 и пользуясь обращением в нуль Е„(£), мы находим, что Е„(£) = 0. Из теоремы 4.7 непосредственно следует, что £[u, y] = DivP*[u, у] для некоторого Р*, что и доказывает лемму. □

Чтобы доказать лемму 5.61, нам нужно лишь показать, что $ [и; Q1, , Qft] = (со; vb ..., vfc) = 0

для всех Qve^9, v=l, . .., к, если и только если ба = Divf] для некоторого набора из р вертикальных форм т). Из леммы 5.62 вытекает, что

(й; prvb . .., pr v6) = Div Р* [щ Q1, ..., Qfe],

где Р* зависит только от Q1, ..., Qk и их полных производных. Оказывается, что компоненты Р*; набора Р* всегда можно выбрать линейными по всем Qv, но это могут не быть кососимметричные функции. Однако, если мы заменим Р* на его «антисимметризацию»

P’U Q1, .... Ql^^-D^ta Q"1. .... 0^1л

(сумма берется по всем перестановкам л чисел {1, ..., А}), мы сохраним условие

(й; prvb ..., pr vfc) = Div Р* [ы; Q1, .... Qft],

Кроме того, каждая компонента набора Р* является кососимметричной полилинейной функцией от Qv и их полных производных и, следовательно, может быть отождествлена с вертикальной ^-формой

Р*Ди; Q1, .... Q61=<t)/; prvb .... ргуД

Поскольку это справедливо для всех таких Q1, ..., Qk, мы заключаем, что a = Divi], и лемма доказана. □

со =со =Р!и [u] du™Р!и [u] du™Рассмотрим более подробно случаи функциональных один- и два-форм. Всякая один-форма

со =

со =

Р!и [u] du™

Р!и [u] du™

dx

определяется конечным набором дифференциальных функций Ра, но Р^ определяются формой со неоднозначно. В самом деле, поскольку du™ = Djdu™, мы можем Проинтегрировать каждое слагаемое по частям, что приводит к более простому выражению

(5.80)(5.80)Ра [и] du™ | dx = {Р • du^ dx,где Pa=£(-O)zP^

(5.80)

(5.80)

называемому каноническим видом формы со. Нетрудно видеть, что каждая функциональная один-форма имеет однозначно определенный канонический вид.

Предложение 5.63. Пусть со = {Р • du} dx и 6 = (Р • du} dx — функциональные один-формы в каноническом виде, так что Р, Р е s№. Тогда со = со, если и только если Р = Р.

Доказательство. Достаточно показать, что функциональная один-форма со равна 0 тогда и только тогда, когда набор из р дифференциальных функций Р, присутствующий в каноническом виде, тождественно равен нулю. Вычисляя (5.80) на произвольном векторном поле, мы имеем

(со; ve) = ^ (Р • Q}dx.

Согласно лемме 5.61, ы = 0, если и только если это выражение обращается в нуль для всех таких полей vQ, но в силу следствия 5.52 это происходит, если и только если Р = 0, что и доказывает наш результат. □

Далее, рассмотрим случай функциональных два-форм. Наиболее общий вид функциональной два-формы.

(Сумма, как обычно, будет конечной.) Чтобы упростить вертикальную два-форму, стоящую под знаком интеграла, мы переписываем du“ = DJdua и интегрируем по частям. Это приводит к выражению вида

(0 = ( f ^ ^«Р 1Ы1 ^Ы° Л ^М/ 1 dx,J I а, р, 7J

где Рау определяются по Рау и их производным. Определим дифференциальные операторы

^-^мо,-

Тогда выписанное выше выражение можно переписать в виде

(5.81)(5.81)<0 = \ j ^ ^На Л ^ар du^ I dxla, p = lJ

(5.81)

(5.81)

или, пользуясь более компактным матричным обозначением,

со = \ {du л 0 du} dx.

Оказывается, тем не менее, что матричный дифференциальный оператор S) = (S)ap) неоднозначно определяется формой to. В самом деле, (5.81) можно проинтегрировать по частям, что приводит к эквивалентному выражению

ю — $ I ^ ^«Р (^“") A du^ 1 dxla, рJю — $ I ^ ^«Р (^“") A du^ 1 dxla, рJ— S f 5Z ^ Л ^“₽ {dua} dx la, P— S f 5Z ^ Л ^“₽ {dua} dx la, P

ю — $ I ^ ^«Р (^“") A du^ 1 dxla, рJ

ю — $ I ^ ^«Р (^“") A du^ 1 dxla, рJ

— S f 5Z ^ Л ^“₽ {dua} dx la, P

— S f 5Z ^ Л ^“₽ {dua} dx la, P

содержащему оператор 3* = (Зуа), сопряженный к оператору 3. Если мы положим 3=3) — 3*, так что 3; s^-^s!-4— антисимметрический дифференциальный оператор: 3* =—3, то и примет канонический вид

to =-^ ^ {du/\ 3 du} dx, 3* = — 3. (5.82)

Ее значение на паре эволюционных векторных полей тогда равно

(со; vQ, Nr) = у $ (Q ‘ ^^ — ^ ' ^^ dx = ^ {Q • 3R} dx,

поскольку оператор 3 антисимметрический. Этот канонический вид однозначно определяется формой и.

Предложение 5.64. Пусть со = у^ (du л 2 (du)} dx, G> = — у (du л S (du)} dx — функциональные два-формы в каноническом виде, так что 3) и 3)— антисимметрические матричные дифференциальные операторы размера qXq. Тогда а = &, если и только если 3) = ^.

Доказательство. По лемме 5.61 достаточно доказать, что если 3); З)4 ->■ г^9 — антисимметрический оператор, то (Q • 2R) dx = = 0 для всех Q, Re s^4, если и только если 3) = 0. Из следствия 5.52 вытекает, что SDR = 0 для всех R, откуда следует, что 3) = 0. (См. упр. 5.29.) □

Вариационный дифференциал

Определение 5.65. Пусть со = и dx — функциональная ft-форма, соответствующая вертикальной ft-форме 6. Вариационный дифференциал формы со —это функциональная (k + 1) -форма, соответствующая вертикальному дифференциалу формы со:

бсо = (Jo) dx. (5.83)

Соотношение коммутативности (5.74с) гарантирует, что этот оператор корректно определен на пространствах функциональных форм. Основные свойства сразу же выводятся из свойств вертикального дифференциала, так что мы немедленно получаем точный вариационный комплекс.

Теорема 5.66. Пусть М с X X U — вертикально звездная область. Вариационный дифференциал определяет точный комплекс

0-> л0-^* Л1 "^ Л2 -^ Л3 -^ ...* * * *

на пространствах функциональных форм на М. Иными словами, функциональная форма замкнута-, бсо = 0, если и только если она точна; со = 6ц.

Доказательство. Формула гомотопии (5.72) непосредственно проектируется в формулу гомотопии для вариационного дифференциала: если со — произвольная функциональная ft-форма, к > 0, то

со = 6ft (со) -|- ft (бсо),

где для со = \ й dx

h (со) = \ Л (to) dx =h (со) = \ Л (to) dx =(pr v„ J to [Zm] ) dx.(pr v„ J to [Zm] ) dx.(5.84)(5.84)

h (со) = \ Л (to) dx =

h (со) = \ Л (to) dx =

(pr v„ J to [Zm] ) dx.

(pr v„ J to [Zm] ) dx.

(5.84)

(5.84)

Это также распространяется на случай, когда к = 0, т. е. со — функционал, поскольку со отличается от Ah (со) + h (А&) лишь на функцию, зависящую только от х, а всякая такая функция определяет тривиальный функционал. Этого достаточно, чтобы доказать теорему 5.66 во всех случаях. □

Пример 5.67. Рассмотрим функциональную два-форму

со = \ (иХхх du Л dux) dx.

(Заметим, что со не в каноническом виде. Канонический вид в этом случае

У (du Л (2иХхх dux ф- ихххх du)} dx

и соответствует антисимметрическому оператору 2uXxxDx + + ихххх.) Вариационная производная — это функциональная три-форма

бсо = \ Vduxxx ^ du д dux) dx.

Эта форма тривиальна: интегрируя по частям, мы видим, что

6со= —6со= —{duxx A Dx (du A dux)} dx =

6со= —

6со= —

(duxx A dux A dux + duxx A du a duxx} dx = 0.

Это эквивалентно тому, что duxxx A du д dux = Dx (duxx Adu A A dux) — полная производная по x. (Другой способ убедиться в этом — заметить, что значение соответствующей вертикальной три-формы на тройке эволюционных векторных полей есть производная по х;

(du A dux A dtixxx-.. Pr vP, pr vQ, pr vR) =

/ Р Q R х/ Р Q R х’

= det| DXPDXQDXR | = ДХ-det I DXPDXQDXR | . )

\№PD»QD^Rj\D»xP№XQD2xrJ)

Чтобы вычислить один-форму i], вариационным дифференциалом которой является форма со, мы пользуемся формулой гомо-

топни (5.84), т) = h (со) =

Л ^UUXXx ^х ^х^ххх ^Ц) d^.j dx —Л ^UUXXx ^х ^х^ххх ^Ц) d^.j dx —2 UUXxx dux 2 UXUXXX du J d,X.

Л ^UUXXx ^х ^х^ххх ^Ц) d^.j dx —

Л ^UUXXx ^х ^х^ххх ^Ц) d^.j dx —

1] ' ^ { (3 ^^хххх1] ' ^ { (3 ^^хххх— у ихиххх ) du| dx— у ихиххх ) du| dxОна имеет канонический вид

1] ' ^ { (3 ^^хххх

1] ' ^ { (3 ^^хххх

— у ихиххх ) du| dx

— у ихиххх ) du| dx

и на самом деле

—g- и duxxxx ^du —з их duxxx A du — у иххх dux Л du > dx.

Можно показать, что 6т] эквивалентна форме о, проинтегрировав два раза по частям.

Точность вариационного комплекса в члене Д* особенно важна, поскольку она дает вышеупомянутое решение обратной задачи вариационного исчисления. Чтобы увидеть это, нам нужно сначала связать вариационный дифференциал с вариационной производной. Если SE = L dx — функционал, который мы рассматриваем как элемент пространства Д”, то его вариационный дифференциал есть функциональная один-форма

6S7 = J {dL}dx = j £ -^du'Adx.*I 0=1 У ^ J

Как в (5.80), мы можем проинтегрировать эту последнюю форму по частям, что приводит к каноническому виду

“-i(S(? -*5)“-i(S(? -*5)dua I dx = (Е (L) • du^ dx,dua I dx = (Е (L) • du^ dx,

“-i(S(? -*5)

“-i(S(? -*5)

dua I dx = (Е (L) • du^ dx,

dua I dx = (Е (L) • du^ dx,

ср. (4.3). Из предложения 5.63 следует, что бЗ' можно однозначно отождествить с выражением Эйлера — Лагранжа Е(£), и это доставляет связь между вариационным дифференциалом и нашим предыдущим обозначением для вариационной производной. (На самом деле если мы интерпретируем дифференциалы dua как инфинитезимальные вариации по иа, a dua} = = Djdua — как соответствующие вариации по производным, то проведенное вычисление — то же самое, что традиционное определение уравнений Эйлера — Лагранжа из определения вариационной производной.) Точность вариационного комплекса

в члене Д° тогда эквивалентна теореме 4.7 о том, что функционал тривиален, если и только если его вариационная производная есть тождественный нуль.

Мы можем, таким образом, «склеить» D-комплекс с комплексом, определенным вариационным дифференциалом, получив в результате полный вариационный комплекс

О^К^Ло-^Л! —О^К^Ло-^Л! —DD Е 6„ 6

О^К^Ло-^Л! —

О^К^Ло-^Л! —

-^Лр-! — ^p — ^\—^Л2 -

Он точен на вполне звездных областях М а X X U.

Далее, рассмотрим вариационный дифференциал от функциональной один-фор мы, которую мы берем в каноническом виде со = \ {Р • du\ dx. Мы получаем

(DP (du) Л du} dx.(DP (du) Л du} dx.бсо = И У У* дР“ du^ Л dua 1 dx =

(DP (du) Л du} dx.

(DP (du) Л du} dx.

где Dp — производная Фреше от Р, ср. (5.40). Как и в (5.82), мы можем проинтегрировать по частям второй раз, что приводит к каноническому виду

бсо = -^ ( (du Л (Dp — Dp) du) dx.

В частности, форма со замкнута, если и только если Dp — симметрический дифференциальный оператор. Точность вариационного комплекса в совокупности с явным видом оператора гомотопии (5.84) дают, таким образом, полное решение задачи характеризации образа оператора Эйлера — Лагранжа.

Теорема 5.68. Пусть Р [и] е ^-р определен на вертикально звездной области McXXU. Тогда Р— выражение Эйлера — Лагранжа для некоторой вариационной задачи 9? = ^Ldx, т. е. Р — E(L), если и только если производная Фреше Dp симметрична-. Dp = Dp. В этом случае лагранжиан для Р можно явно построить с помощью формулы гомотопии

1

(5.85)(5.85)L [и] — и • Р [Zu] dZ.

(5.85)

(5.85)

о

Пример 5.69. Пусть р = q = 1. Функционал

$ [и] = (у и^ — ии^ ) dx

имеет выражение Эйлера — Лагранжа

Е (£) [и] = Р [и] = ихххх + 2иихх + и2.

Производная Фреше от Р— это обычный дифференциальный оператор

’Dp = D^ + 2uD2 + 2uD + 2uxx,

который, как легко видеть, симметрический. С другой стороны, если бы нам было дано лишь Р, мы могли бы восстановить вариационную задачу с помощью (5.85):

22 М = § | и (Хихххх + 2L2uuxx + Z2«2) dZ | dx =

= $ {4 ““^ + у w4x+у u»x}dx-

Этот лагранжиан — не тот же самый, что исходный, но эквивалентен ему, поскольку

2 UUxxxx + 3 Ы ихх + з UUx

= 4 ихх — шгх + Dx (4 ttUxxx — 4 ихихх + 4 ЫХ) •

Таким образом, нами решена версия Гельмгольца обратной задачи вариационного исчисления: характеризация тех Р [и] е st4, которые являются выражениями Эйлера — Лагранжа. (Условия, требующие симметричности оператора Dp, часто называют условиями Гельмгольца.) Хотя это решение очень четкое, оно является отчасти неудовлетворительным с точки зрения более широкой перспективы определения того, какие системы дифференциальных уравнений А = 0 возникают из вариационных принципов. Если уравнения оказываются записанными в «неправильном» порядке, скажем, А1 = Е2(£), А2 = = Е,(£) ит.д., то условия Гельмгольца для А будут не выполнены и вариационная структура системы останется необнаруженной. Еще труднее будет ее обнаружить, когда система А эквивалентна множеству уравнений Эйлера — Лагранжа, так что А = Л • Е (£) для некоторой обратимой матрицы А дифференциальных функций размера q X У, или, даже более общо, А = ®Е(£) для некоторого дифференциального оператора Ф. Решение общей проблемы эквивалентности не найдено даже в случае, когда А — постоянная матрица! (Рассмотрены некоторые частные случаи — см. замечания в конце этой главы.)

Операторы Эйлера высших порядков

Хотя D-комплекс, возможно, проще было выписать, построение подходящего оператора гомотопии является значительно более сложным. Обычная формула де Рама больше не работает, и мы вынуждены ввести так называемые операторы Эйлера высших порядков. Наиболее естественно они возникают при подробном анализе фундаментальной формулы интегрирования по частям (4.39), которая использовалась в доказательстве теоремы Нётер.

Определение 5.70. Для каждого 1 ^ а ^ у и каждого мультииндекса I операторы Эйлера высшего порядка Ei определяются так, что формула

РГ VQ (Р) = £ Z D, (Qa • Ei (Р)) (5.86) а = 1 I

справедлива для всякого эволюционного векторного поля Vq и всякой дифференциальной функции Р е si-.

Тот факт, что формула (5.86) может служить для однозначного определения этих операторов, возможно, лучше всего можно понять с помощью примера.

Пример 5.71. Пусть p — q — 1, так что имеются операторы Эйлера Е(0), Е(1), Е(2) и т. д., удовлетворяющие условию

pr vQ (Р) = QE(0) (Р) + Dx (QE(1) (Р)) + Dx (QE(2) (Р)) + ... (5.87) для функции Р = Р^х, и, их, ...) общего вида. Предположим, что Р = Р (х, и, их, ихх) зависит лишь от производных второго порядка, так что

ЭР . п дР . дРprvQ(P) = Q^r + ^Q^7 + oxQ^r.

Чтобы переписать это в виде (5.87), мы должны проинтегрировать второе и третье слагаемые по частям:

DXQ • 4^- = -Q- Dx-^A-Dx(q , дихх дих 1 х \ дих )

DxQ • 4^- = Q- Dx 4?-2Dy (q . Ох-^-Л + Dx (q.

duxxduxx x\ x duxx / 1duxx /

Сравнивая c (5.87), мы видим, что для такого Р

Е^ (Р) = ^ - Dx ^- + Dl ^-, Е”> (Р) = ^ - 2DX^-,е(2’^ = -^7-

Если мы выполним такую же процедуру для Р общего вида, мы получим, что (5.87) будет удовлетворяться, если положить так что

совпадает с обычным оператором Эйлера, тогда как

Е1и(Р)Е,2)(Р)И т. д.Е1и(Р)Е,2)(Р)И т. д.= ~ - 2DX + 37)х -^47), дР—ди-хдиХхotlxxxdtixxxx

Е1и(Р)

Е,2)(Р)

И т. д.

Е1и(Р)

Е,2)(Р)

И т. д.

дРОГ1 дР, с ^2 дР1 л г>3 ЭР

зйих -3г Ьих -3Ю£)х "з

OtlxxdllxxxdllxxxxOUxxXXX

Чтобы установить общую формулу для операторов Эйлера высших порядков, нам нужны еще некоторые мультииндексные обозначения. Пусть /, J — неупорядоченные мультииндексы типа, введенного в гл. 2. Скажем, что Jal, если все индексы из J имеются в /. Остальные индексы из / мы обозначаем через /\/. Например, если р = 4, то 7 = (1, 1,2,4) содержится в / = (1, 1, 1,2,4,4) и Г\7 = (1,4). Для данного / =(й, ..., in) обозначим через 7 = (ii, ..., tp) «транспонированный» упорядоченный мультииндекс, где ij равно числу появлений индекса j в 7; для рассмотренного примера 7 = (3, 1, 0, 2), поскольку в 7 три раза встречается индекс 1, один раз — индекс 2, 3 не встречается, а 4 встречается два раза. Положим 7! = 7! = Zi Iti! ... i^I и определим обобщенный биномиальный коэффициент ( ' ) формулой (;) = /!/(/! (7\/)!) при J а I и ( / ) = 0 в противном случае. В рассмотренном примере Л = ЗЕ П-0Е2! = 12; (/) = == 12/(2-1) = 6."

Предложение 5.72. Пусть 1 ^ а ^ q, #7 ^ 0. Тогда й<р,= 2С)(-с)^'^"(5-88)

для всех PesJ.

Доказательство. Прежде всего заметим, чтоДоказательство. Прежде всего заметим, что(5.89)(5.89)

Доказательство. Прежде всего заметим, что

Доказательство. Прежде всего заметим, что

(5.89)

(5.89)

для любого /. Это легко доказывается индукцией, начинающейся с правила Лейбница RDiQ = Di^QR)— QDiR. Вычисляем левую часть равенства (5.86):

ргт«т-Е»д.^м^(-^)

и. 11 a, I1 cz I \1 /

Изменение порядка суммирования доказывает формулу (5.88) и, следовательно, единственность операторов Эйлера высших порядков. В частности, для J = 0 Еа = Еа совпадает с обычным оператором Эйлера. □

Пример 5.73. Пусть р = 2, q=L Пусть х, у — независимые переменные. Тогда, например,

В*)(Р)В*)(Р)дР оп дР п дР

В*)(Р)

В*)(Р)

дРи дихиидРи дихии— дих х дихх UU дихы

дР

и дихии

дР

и дихии

+ зд1+ зд1+ 2DxDy~~

+ зд1

+ зд1

диххх 1 х ■ диххи

+^ ^+4D'D« ^+3"» ^

И т. д.

На самом деле для теоретических целей не важны явные формулы для Еа! важно то, что они однозначно определяются интегрированием по частям формулы (5.86). В качестве первого приложения мы находим явное выражение для дивергенции в ключевой формуле (4.39), которая использовалась в теореме Нётер.

Предложение 5.74. Пусть Q е ^9, £ е ^. Тогда

prvQ(£) = Q-E(£) + DivA(5.90)

где

А = Е Е Ж+Т^^0'^^’ к=\,...,р. (5.91) а = 1 #Z>0

Доказательство. Вычисляем

чр ~

ппм=£ е Ei^mD'-fefo“E“fe(£)h а=1 #/ >0 fe = l

Изменим теперь переменную, по которой суммируем: J = = (/, /г), так что ife + 1 = jk и #7 + 1 = #1 = У, jk. Таким образом, коэффициент при D, [QaE' (L)] равен единице. Сравнивая с (5.86), мы видим, что недостает лишь членов QaEa(£), отвечающих #7 = 0. Отсюда непосредственно следует (5.90). □

Операторы Эйлера высших порядков также тесно связаны с полными производными.

Предложение 5.75. Пусть 1 ^ a ^ q, \ ^i ^ р, #1 ^ 0. Тогда

Е^ ф{Р) = | Е"41 (Р)' 1 L(5.92)

для любого Р es^.

Доказательство. Хотя это можно вывести из (5.88) непосредственно, проще использовать свойство единственности (5.86). Имеем

pr vQ (D^ -^D, [QaEa (Dt Р)].

a, I

С другой стороны, в силу (5.19) это равно

Di pr vQ (Р) = I Офк [QaE^ (Р)].

а, К

Замена К на / = (К, I) и сравнение этих двух выражений в силу единственности немедленно дает (5.92). □

Следствие 5.76. Дифференциальная функция Р является «дивергенцией порядка п», т. е. существует Qi е s^, #/ = п, такая, что Р = ^DjQ,, если и только если Еа(Р) = 0 для всех а=1, ..., q, 0^#7^п—1.

Оператор полной гомотопии

Как и в нашем доказательстве леммы Пуанкаре в § 1.5, построение оператора гомотопии для D-комплекса основано на формуле для производной Ли полной дифференциальной формы по эволюционному векторному полю. Чтобы установить этот результат, мы начинаем с замечания о том, что каждый оператор, такой, как полная производная, оператор Эйлера высшего порядка или продолженное векторное поле, действующий на пространстве ^ дифференциальных функций, может действовать покоэффициентно на полные дифференциальные фор-

мы. Например, если со = У Pidx1, P,^s^, то

pr vQ (со) = z pr VQ (Р/) dx1.(5.93)

В частности, полный дифференциал можно записать в виде

р.р .

(5.94)(5.94)Deo = У, Di (dx1 л а>) = У, dx1 л Dtto,i—1i=l

(5.94)

(5.94)

где Di действуют лишь на коэффициенты формы со.

Первая цель в нашем построении — установить формулу вида (1.65), но для полного дифференциала. Таким образом, нам нужно найти операторы «внутреннего произведения» |q: Afe-^- Afe-i, к = 1,..., р, Qe^’, такие, что

(5.95)(5.95)pr vQ (со) = DIq (со) + lQ (Deo)

(5.95)

(5.95)

для любой со е Аг, 0 < г < р. Оказывается, это полное внутреннее произведение можно записать более сжато в терминах операторов Эйлера высших порядков:

(5.96)(5.96)9Р

(5.96)

(5.96)

w=£ Е Е

а = 1 #/>0Л=1

Прежде чем доказывать, что оно удовлетворяет условию (5.95), рассмотрим два частных случая.

Пример 5.77. Если to = Ldxx к ... Ndxp, то |Q(co)e Ap_t и, следовательно, имеет вид

lQM=Z (-I)"'1 Akdx*.

* fe=i

Поскольку (— I)*"1 dxfe = дхк J (dx1 A ... A dxp), из (5.96) вытекает, что

л*=£ -^7^^[Q«e£W

а, /

Мы снова получили (5.91), и (5.90) можно переписать в каноническом для гомотопий виде

pr Vq (to) = D (lQ (co)) + Q • E (co).(5.97)

Пример 5.78. Пусть r = p—1, так что co имеет вид

6)=У (-\)к"хР^.

fe=i

(р — 2)-форма Iq (со) имеет вид

№= Е (-D/+ft-'p/ft^,

/<б

где

«/»=£ I ^{е-Сттт^й^р.)—^Le-6(P,))}. а = 1 #/>0

Формула (5.95) для производной Ли принимает вид

pr vQ(Pft) = Е DjR^ + Ль(5.98)

где Ай дается формулой (5.91) при L — DivP. Учитывая (5.92), получаем

A = 2Z imT^^"64'^!-<5-">

a, I lol

(Мы оставляем прямую проверку формулы (5.98) читателю.)

Доказательство формулы (5.95)—возможно, самое длинное вычисление во всей книге. (Однако представленное здесь доказательство точности D-комплекса гораздо проще более ранних вычислительных доказательств!) Мы начинаем с анализа правой части. Пользуясь (5.94), получаем

Iq(Dq) = Iq № (dxz A co)] = t=i

- Z .Z 7^77 a{ ^ * [^ J °- ^ A “>]} • " ‘ 1(5.100)

поскольку Do есть (r 4-1)-форма. Главная составляющая в (5.100)—внутренняя сумма

= £ (4+1)й*рг6. t=iL= £ (4+1)й*рг6. t=iLJUxV®))], (5.101)JUxV®))], (5.101)

= £ (4+1)й*рг6. t=iL

= £ (4+1)й*рг6. t=iL

JUxV®))], (5.101)

JUxV®))], (5.101)

которую мы разбиваем на две части в соответствии с тем, k — I или k^l. Если k=^l, то по (5.92) ^к • Di = E^llfe, где

по соглашению этот оператор нулевой, если / отсутствует в /. Кроме того, согласно упр. 1.37,

-^ь J (dxz Л со) = — dxl л ^^- J со), & =# /.

Мы заключаем, что

при к =#= I.(5.102)при к =#= I.(5.102)Е“ 6 [ л^ J Dl ^ Л “^ = “ Е“Х L Ь [^ Л ( d^ J “)]

при к =#= I.

(5.102)

при к =#= I.

(5.102)

Случай к = I немного более тонкий. Заметим сначала, что Ец 6 • Du = EL так что соответствующая сумма равна

р

£ (Z.+ DE^r-^JD.^Aco:

fe= 1L

рр

(5.103)(5.103)= 2 Ei ["^ J (^ Л£/feE" [^ J ^йхк h ю)]

(5.103)

(5.103)

В правой части (5.103) мы пользуемся двумя другими тождествами из упр. 1.37:

р

У -^ J(dxfeAco) = (p —г)со

*=i дх

при первом суммировании и

-^- J (dxfe А со) = со — dxk л (-^- J со)

при втором. Это приводит к равенству

f (7ft+l)EP[-^JDfe(dxftAco)l =

6=1LdxJ

= (P - r + * 1) Ei, И - ^ ~ifeE'a [dxfe A (-^ J co)], (5.104)

р ~

поскольку X к~# 1- Комбинируя (5.101), (5.102) и (5.104), fe=i

мы заключаем, что

р- £ (Г6+1-б№Х,-,гр/л(^иМ)]. (5.105)р- £ (Г6+1-б№Х,-,гр/л(^иМ)]. (5.105)

р

- £ (Г6+1-б№Х,-,гр/л(^иМ)]. (5.105)

р

- £ (Г6+1-б№Х,-,гр/л(^иМ)]. (5.105)

Это ключевое тождество в доказательстве формулы (5,95). Теперь

lQ (Do)-^(QaE^ (<»))-lQ (Do)-^(QaE^ (<»))-a, I ft, Ia, I ft, I7fe + l-6? p-r+*I7fe + l-6? p-r+*IDr | QaEa^ l'6 ^dx' A ("^T J toDr | QaEa^ l'6 ^dx' A ("^T J to

lQ (Do)-^(QaE^ (<»))-

lQ (Do)-^(QaE^ (<»))-

a, I ft, I

a, I ft, I

7fe + l-6? p-r+*I

7fe + l-6? p-r+*I

Dr | QaEa^ l'6 ^dx' A ("^T J to

Dr | QaEa^ l'6 ^dx' A ("^T J to

В силу (5.86) первая сумма в правой части — это в точности prvQ(co), так что для завершения доказательства формулы (5.95) нам нужно лишь отождествить вторую сумму с

-DIq(co) = р~

— Е °. { ^ ^ ЕЕ 7=777777 °' [^ ’ (т? J “)]} = - - Z Z p_^J+iD<-1 [Q“E“(dxЛ(^J“))] •

Но эти две суммы совпадают; чтобы увидеть это, нужно заменить мультииндекс J, по которому производится суммирование, на / = (7, Z) и заметить, что ik = jk + 6^, # I = # I + 1 • Это завершает доказательство формулы (5.95).

Теперь мы применим формулу (5.95) к случаю векторного поля растяжения prvu, введенного ранее в доказательстве точности вариационного комплекса. Заметим, что если Р[и] = = Р(х, «<">)— произвольная гладкая дифференциальная функция, определенная на вертикально звездной области, то

А р [х«] = ^ “/ tv [^“1 = т Pr v« (р) ^“1«

OUtЛ

где обозначение указывает, что мы сначала применяем к Р поле рг Vu, а затем вычисляем значение в Хи. Интегрируя, находим

1

P[u]-P[O] = $prv„(P)[Xu]^,О'

где Р[0] = Р(х, 0) — функция только от х. Поскольку prvu действует на полную дифференциальную форму и (%,«<">) покоэф- фициентно, имеем аналогичную формулу

1

(5.106)(5.106)со [и] — со [0] = ^ рг v„ (со) [Хи] -^-,о

(5.106)

(5.106)

где м[0] = со(х, 0) — обычная дифференциальная форма на пространстве X. Если мы воспользуемся теперь формулой (5.95) в случае Q = и, в котором

'.to-Z ЕЕ 7Z7Sr7TrD'{“’E“(^J“)}’ (8J07) а= 1 I к=\

мы получаем формулу гомотопии

(5.108)(5.108)(5.109)(5.109)со [и] — со [0] = DH (со) + Н (Deo),

(5.108)

(5.108)

(5.109)

(5.109)

где оператор полной гомотопии равен

1

Н И =$!„(<») [Хи] ^-

0"

(это означает, что мы сначала вычисляем 1М (со), а затем заменяем и на Хи там, где встречается и). Этого было бы достаточно для доказательства точности D-комплекса, если бы не член со [0]. Однако, и[0]— обычная дифференциальная форма на £2 = МП {« = 0}. Поэтому, если область £2 тоже звездная, мы можем воспользоваться обычным оператором гомотопии Пуанкаре (1.69):

со [0] - coo = dh (го [0]) + h (dm [0]), (5.110)

где too = 0 при г > 0 и ю0 = f (0), если ю[0] = f(x) — функция, г = 0. Для таких форм полные производные Di и частные производные д/дх1— одно и то же, так что мы можем заменить дифференциал d полным дифференциалом D. Комбинируя (5.108) и (5.110), получаем

(5.111)(5.111)cd — to0 = DH* (со) + H* (Deo)

(5.111)

(5.111)

при со е Л„ 0 ^ г < р, где

Н* (со) = Н (со) + Л (со [0])

— комбинированный оператор гомотопии. Теперь, раз мы установили формулу (5.111), доказательство теоремы 5.56 получается отсюда непосредственно.

Формула гомотопии (5.108) распространяется также на полные р-формы со = £[и]с/х1л ...hdxp, если мы используем модифицированную формулу (5.97) для производной Ли. Переводя с языка дифференциальных форм, мы видим, что если L [и] = = £(х, uw) определена на вполне звездной области Mcl с X X U, то

!

L[u] = DivB'[u]+ и • Е(£) [A,u] dX, (5.112) о

где В*— сумма наборов из р дифференциальных функций B[u]e^p и функций Цх) с составляющими

1 9~

^ м=$ £ £ тот D« ^к ^ м>dx* О а=1 J

,£=!,..., р.

bfe W = xkL 1Хх, 0) dX,

°(5.113)

В частности, если Е(£) = 0, то £ = DivB*, где В* указано выше. Таким образом, мы имеем явную формулу, по которой всякий нулевой лагранжиан записывается в виде дивергенции.

Пример 5.79. Пусть р = 2, <7=1. Рассмотрим нулевой лагранжиан L = uxUyy. Согласно (5.112), L = DXA -V DyB, где

1

Л = $ { uE^) (£) + Dx (uE<^> (£)) + у D„ (uE<^> (£)) + ... } dX, 0

1

В — ^ { uEWW +1 Dx (uE,Jcy) (£)) + D, («Е»») (£))+...} dX, о

где дифференциальные функции EW(L), E,y)(£) и т. д. вычислены в Хи. В случае L = ихиуу имеем

EW(£) = uw, Ву)(£)=-2и„, Е<»»» (£)=«„

все остальные слагаемые в Л и В равны нулю. (См. пример 5.73.) Таким образом,

Л — и ^Хищ^ dX :— "2" wUyy, о

В = ^ и (—2Хиху) + Dy [и (Xu,)] dx = — Y ииХу + — ихНу о

удовлетворяют указанному выше дивергентному тождеству. Даже в этом относительно простом примере легко увидеть, как быстро формула гомотопии (5.113) может стать труднообозримой. На практике часто легче угадать форму дивергенции непосредственно, прибегая к формулам (5.113) лишь в крайнем случае.

Мы заключаем этот параграф применением формулы (5.111) к случаю полных (р — 1)-форм.

Теорема 5.80. Пусть P^si-4, и пусть L = Div Л Тогда

р

Рк = S D^ + в;, к = 1р,(5.114)

где В* — В-\-Ь определено равенствами (5.113) и Q*$k=Qik-Vqjk, где

19 с г ~ I 1

Q»M = $Z ^{«Д-у^Й'^М-- 0 а = 1 /

- j^ Й 6 кРЙ [Xu]] } dK(5.115)

1

qik to = J № (Хх, 0) - х^Р,- (Хх, 0)} ах. о

В частности, если Р — нулевая дивергенция, то (5.115) показывает, как явно записать Р в виде «полного ротора» Рк=Цв^*ь, где Q*ft=-Q*r Например, в случае р = 2 мы имеем

если и только еслиесли и только еслиDxP-\-DyP = 0,

если и только если

если и только если

P = DyQ, P=-DXQ,

где

1

Q = $ { 4 “Е^ (Р) + 4 ^ №»> (Р)] +

О

+1 Оу [«Е^ (Р)] + ... - у «Е^» (Р) -

(5.116)(5.116)- 4 Ох №**> (Р)] - ^ Dv [иЕ^> (Р)] - ... } dX,

(5.116)

(5.116)

причем Е^ЦР), Е(М^Р) и т. д. все вычислены в Хи. В качестве характерного примера рассмотрим Р = иуиХЙ + ихиЙЙ, Р = =—иЙихх— ихиХЙ, которые дают нулевую дивергенцию. Отличные от нуля выражения Эйлера, появляющиеся в (5.116),— это лишь

Е«)(Р) = -2«х», ЕМ(Р) = 2их„Е«)(Р) = -2«х», ЕМ(Р) = 2их„E™(P) = uy, Е*х) (Р) = — Ну,E™(P) = uy, Е*х) (Р) = — Ну,Е<уу> (Р) = их, Е(ху) (р) = — ыЕ<уу> (Р) = их, Е(ху) (р) = — ы

Е«)(Р) = -2«х», ЕМ(Р) = 2их„

Е«)(Р) = -2«х», ЕМ(Р) = 2их„

E™(P) = uy, Е*х) (Р) = — Ну,

E™(P) = uy, Е*х) (Р) = — Ну,

Е<уу> (Р) = их, Е(ху) (р) = — ы

Е<уу> (Р) = их, Е(ху) (р) = — ы

Таким образом,

1

Q = S { “ (— ^у) + 4 °* [“ (ЛиуН + Т DV [“ ^«х)] — и ^Хиху) +

О

+ у О, [u (A.Uy)] + у Dy [и (AuJl | dX = uxuti

удовлетворяет условию Р = DyQ, Р = —DXQ.

Замечания

Обобщенные симметрии в своем теперешнем виде впервые появились в фундаментальной статье Нётер Noether [1], в которой была ясно сформулирована их роль в построении законов сохранения. В работах Anderson, Ibragimov [1] и Ибрагимов [1] утверждается, что их возникновение связано с исследованиями Ли и Бэклунда, отсюда их выбор термина «преобразование Ли — Бэклунда» для этих объектов. Насколько я могу судить, Ли допускал зависимость групповых преобразований от производных от зависимых переменных лишь в своей теории контактных преобразований (класс которых гораздо уже класса обобщенных симметрий). Затем он (см. Lie [1; § 1.4]) поставил вопрос о существовании обобщений высших порядков этих контактных преобразований. При решении этой задачи Бэклунд (см. Backlund [1]) рассматривал преобразования, за-

висящие от производных от зависимых переменных произвольного порядка, и, таким образом, в некотором смысле предвосхитил теорию обобщенных симметрий. Однако и он, и Ли всегда требовали, чтобы соответствующие продолжения были связаны с геометрическими преобразованиями некоторого конечномерного пространства струй. Бэклунд заключает, что такие преобразования— это лишь продолжения обычных точечных преобразований или контактных преобразований Ли. Следовательно, на этом пути не удалось совершить скачок к собственно обобщенным симметриям. Существенно, что Бэклунд требует, чтобы его преобразования зависели лишь от конечного числа производных от зависимых переменных, тогда как для истинных обобщенных симметрий это верно после перехода к инфинитезимальным образующим (которые Бэклунд никогда не рассматривал) ; групповые преобразования, которые определяются решениями соответствующего эволюционного уравнения (5.14), существенно нелокальны и не определяются значениями конечного числа производных от зависимых переменных в одной точке.

С тех пор как они были введены Нётер, обобщенные симметрии много раз переоткрывались — среди прочих см. работы Johnson [1], [2] по дифференциальной геометрии, Steudel [1] по вариационному исчислению, Anderson, Kumei, Wulfman [1]. Современные приложения к дифференциальным уравнениям можно найти в работах Anderson, Ibragimov [1], Kosmann- Schwarzbach [1], [2], Fokas [3], Ибрагимов [1]; последняя книга содержит обзор работ по классификации эволюционных уравнений второго и третьего порядка, а также уравнений второго порядка от двух независимых переменных общего вида, которые допускают обобщенные симметрии1). В работе Steudel [1] впервые была отмечена важность эволюционного вида обобщенных векторных полей. Современные исследования по свойствам симметрий систем линейных уравнений, включая линейные уравнения теории поля (Фущчич, Никитин [1], [2], Kalnins, Miller, Williams [1]) и теории упругости (Olver [9]), обнаружили новые обобщенные симметрии, зависящие от производных первого порядка от зависимых переменных, значение которых еще не вполне понято, хотя они, кажется, играют роль в разделении переменных в таких системах. Более полное обсуждение свойств уравнения теплопроводности, упомянутых в примере 5.11, можно найти в работе Ковалевской [1] и в книгах Forsyth [1; v. 5, § 26], Copson [1; § 12.4, § 12.5].

Использование операторов рекурсии для построения бесконечного семейства обобщенных симметрий и высших уравнений Кортевега — де Фриза основано на конструкции, принадлежащей Ленарду (см. Gardner, Greene, Kruskal, Miura [1]), и в общем виде появилось впервые в работе Olver [1]. Операторы рекурсии тесно связаны с сильными и наследственными симметриями из работы Fuchssteiner [1]; см. Захаров, Конопельченко [1], где имеются дальнейшие результаты. Другой метод порождения бесконечных семейств обобщенных симметрий использует понятие «мастер-симметрии», введенное в работе Fo- kas, Fuchssteiner [1*]. См. также Fuchssteiner [2], Chen, Lee, Lin [1*] и Oevel [1*] по поводу дальнейших исследований. (Метод построения симметрий в примере 5.18 — частный случай общего метода «мастер-симметрий».) Для линейных уравнений с частными производными симметрии высших порядков непосредственно применяются к методу разделения переменных в работах Миллера, Калнинса, Бойера, Винтернитца и других с использованием операторного подхода, упомянутого в тексте; см. Miller [3] и ссылки там. Результаты, относящиеся к классификации независимых симметрий данного порядка уравнения Лапласа и волнового уравнения, появились в диссертации Делонга Delong [1]. В работе Weir [1] доказано, что все симметрии второго порядка этих двух уравнений являются линейными симметриями, однако общий случай остается открытым. Делонг доказал также, что каждая линейная симметрия уравнения Лапласа и волнового уравнения является многочленом от симметрий первого порядка. Однако это неверно для более общих линейных уравнений; см. упр. 5.2.

Если опустить часть, связанную с тривиальными симметриями и законами сохранения, вариант теоремы Нётер 5.42, сформулированный здесь, восходит к работе Bessel-Hagen [1]. (См. упр. 5.23, где приведен исходный вариант Нётер, в котором не используются дивергентные симметрии.) Соответствие между нетривиальными законами сохранения и нетривиальными группами вариационных симметрий, доказанное здесь, является новым (см. Olver [11]), хотя близко связанная с этим теорема появилась в работе Виноградова [5]. Предложение 5.40, относящееся к геометрической интерпретации групповых преобразований вариационной симметрии, можно найти в книге Edelen [1; р. 149]. Существование бесконечных семейств законов сохранения для симметрических линейных систем дифференциальных уравнений было причиной некоторого изумления в середине 1960-х гг. в связи с появлением «zilchtenzor» и связанных с ним объектов (см. работы Lipkin [1], Morgan Т. А. [1] и Kibble [1] по теории поля). Объяснение, использующее обоб-

щенные симметрии и полный вариант теоремы Нётер, аналогичный предложению 5.46, было вскоре предложено в работе Steudel [3]. Предложение 5.48 о действии симметрий на законы сохранения появилось также в работе Хамитовой [1].

Формулировка и доказательство второй теоремы Нётер 5.50 о бесконечномерных группах симметрий взяты из статьи Noether [1]. Связи с анормальностью соответствующей системы уравнений Эйлера — Лагранжа, однако, являются новыми; см. Olver [11]. Нерешенная задача здесь — завершить классификацию симметрий и законов сохранения для переопределенных систем уравнений Эйлера — Лагранжа. В частности, существует ли переопределенная система, для которой тривиальные вариационные симметрии дают нетривиальные законы сохранения? Такая система должна быть достаточно сложной; например, упр. 5.41 показывает, что она не может быть однородной по и и ее производным. (В работе Fokas [2] имеется по этому поводу ссылка на пример Ибрагимова, но цитированная там работа не содержит нужного примера.)

История вариационного комплекса и, в частности, обратной задачи вариационного исчисления довольно интересна. Гельмгольц в работе Helmholtz [1] впервые предложил задачу выяснения того, какие системы дифференциальных уравнений являются уравнениями Эйлера — Лагранжа некоторой вариационной задачи, и нашел необходимые условия для случая одного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. В работе Mayer [1] получено обобщение условий Гельмгольца на случай лагранжианов первого порядка, содержащих одну независимую переменную и несколько зависимых, а также доказано, что они достаточны, чтобы гарантировать существование подходящего функционала. В двух серьезных статьях на эту тему Hirsch [1], [2] Хирш распространил эти результаты на случаи лагранжианов высших порядков, содержащих либо одну независимую и несколько зависимых переменных, либо две или три независимых и одну зависимую переменные. Работы Хирша содержат также дальнейшие результаты о том, каких порядков производные могут возникать в лагранжиане, а также о «проблеме интегрирующего множителя»: когда можно умножить дифференциальное уравнение на дифференциальную функцию так, чтобы превратить его в уравнение Эйлера — Лагранжа? Однако общее условие самосопряженности и формула гомотопии (5.85) были независимо открыты Вольтерра (Volterra [1; р. 43, 48]); см. также Вайнберг [1], где приводится современный вариант. Следующей важной работой по обратной задаче была глубокая статья Douglas [1], в которой сформулирована и решена задача определения, когда система двух обыкновенных

дифференциальных уравнений второго порядка эквивалентна уравнениям Эйлера — Лагранжа некоторого функционала, зависящего от производных не больше первого порядка от зависимых переменных; сложность его решения, несомненно, помешала дальнейшим исследованиям в этом направлении. Недавние результаты, относящиеся к этому более сложному варианту обратной задачи — когда система дифференциальных уравнений эквивалентна системе уравнений Эйлера — Лагранжа — можно найти в работах Anderson, Duchamp [2], Henneaux [1]. Общий случай, однако, остается нерешенным и по сей день, см. также работу Atherton, Homsy [1], где имеются дальнейшие ссылки по обратной задаче.

В начале 1970-х годов стало ясно, что обратная задача является частью более общей конструкции — вариационного комплекса и, более общо, вариационного бикомплекса, занявшего видное положение в геометрической теории вариационного исчисления. Намеки на эту технику можно найти в работе Dedecker [1] о приложениях алгебраической топологии к вариационному исчислению. Этот комплекс впервые возник явно в работе Виноградова [1], где для доказательства точности использовались глубокие методы алгебраической топологии. Комплекс, тесно связанный с этим, появился одновременно в работах Тульчиева [1], [2]. Дальнейшее развитие этой техники можно найти в работах Kupershmidt [1], Takens [1], Anderson, Duchamp [1], Tsujishita [1]. (Другой комплекс, включающий решение обратной задачи, можно найти в работах Olver, Sha- kiban [1], Shakiban [1].) Методы формального вариационного исчисления, использованные в построении этого комплекса, изложенном в § 5.4, и в особенности абстрактное определение функционала многим обязаны работам Гельфанда и Дикого [1], [2] об уравнении Кортевега — де Фриза. Дальнейшее развитие этот комплекс получил в глубоких работах Виноградова [2], [3], [4] и Olver [4]. Новое доказательство точности вариационного комплекса, представленное здесь, было получено Андерсоном; операторы гомотопии (5.109) позволяют значительно упростить ранние вычислительные доказательства точности D-комплекса, имеющиеся в работе Takens [1], Anderson, Duchamp [1]. Сами операторы Эйлера высших порядков появились впервые в работе Kruskal, Miura, Gardner, Zabusky [1] об уравнении Кортевега — де Фриза и получили дальнейшее развитие в работах Aldersley [1], Galindo, Martinez-Alonso [1], Olver [3]. Настоящее изложение следует Андерсону (I. Anderson). Есть надежда, что эти методы вдохновят дальнейшие исследования в геометрической теории вариационного исчисления.

Докажите, что полная группа симметрий задачи Кеплера в R3, включающая симметрии, задаваемые вектором Рунге — Ленца, локально изоморфна группе SO(3, 1) «вращений» в R4, сохраняющих метрику Лоренца (dx»)2 + (dx2)2 + (dx3)2 — (dx4)2. (Goldstein [1; c. 422].)'

*5.2. Уравнение Шредингера для атома водорода — квантовый вариант задачи Кеплера. Ойо имеет вид Ди + |х| ’м = Хи, где X — константа, xeR3 и ие R.

Найдите геометрические симметрии этого уравнения для различных значений X.

Докажите, что «вектор Рунге — Ленца»

Q [u] = (х X V) X Vu — V X (х X V«) + 2) х |-| хи

дает три обобщенные симметрии второго порядка и их характеристики — это три компоненты вектора Q. Покажите далее, что эти симметрии не выводятся из симметрий первого порядка этого уравнения, происходящих из эволюционного вида геометрических симметрий ч. (а).

(Miller [2; р. 376], Kalnins, Miller, Winternitz [1].)

*5.3. Имеет ли система

“< = “хх + '9"у2' Щ1 = 2°хх

нетривиальные обобщенные симметрии кроме v = (иххх + Зиих)ды + 4ихххдо? (Ср. Ибрагимов, Шабат [1].)

Предположим, что Р(и, их) = р(и)их + р(и) и Q(u) = ^(и) — многочлены. Докажите, что обобщенные векторные поля vp и ve коммутируют, если и только если р — константа и либо р = 0, либо q = 0. (Это последний оставшийся частный случай, который нужен для доказательства теоремы 5.22.)

Пусть Д — линейная система дифференциальных уравнений и ® — линейный оператор рекурсии. Докажите, что если и = ](х)—решение системы Д, то й = 2)f(x)—тоже решение. Как связана exp(ZS))u=u + + t®u + ... с потоком, порожденным симметрией с характеристикой ®й> Обобщается ли этот результат на операторы рекурсии для нелинейных систем?

Пусть ut = ®и— линейное эволюционное уравнение и (^u)du— линейная симметрия. Докажите, что (^*u)<3u — линейная симметрия сопряженного уравнения ш = —®*и.

Докажите, что при подходящих предположениях существования и единственности два эволюционных векторных поля коммутируют, [v^, vr] =■ =0, если и только если коммутируют их однопараметрнческие группы exp(eve), exp(evR). Интерпретируйте этот факт.

Другой подход к определению потока, соответствующего обобщенному векторному полю у = У Vdxj + У Фпд„а, может состоять в следующем. Рассмотрим бесконечное продолжение (5.3) и запишем бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений

dxl , duaduj

"de"”4’"’ ~dГ = ч,a•

Определим поток поля v на пространстве бесконечных струй как решение этой системы с данными начальными значениями (х, ц^)=(хг, и”, и“У

exp [е рг v] (х, u(o°9 = (х (е), и^ (в)).

Сравните этот метод с эволюционным методом (5.18) для «векторного поля теплопроводности» v = иххди в случае аналитических начальных значений. Переносится лн это на векторные поля более общего вида? (Anderson, Ibragimov [1].)

(а) Что происходит при применении оператора рекурсии для уравнения Бюргерса к симметрии с характеристикой р(х, f)e~u, где р — решение уравнения теплопроводности?

(Ь) Как связаны операторы рекурсии для уравнения Бюргерса н уравнения теплопроводности через преобразование Хопфа — Коула примера 2.42?

(а) Докажите, что нелинейное уравнение диффузии ut = Dx(u-2ux') допускает оператор рекурсии 91 = D^ • и- *О~*. Как это связано с упр. 2.22(d)?

" (Ь) Докажите, что общее нелинейное уравнение диффузии ut = = Dx(K(u)ux) допускает обобщенные симметрии, если и только если К — либо константа, либо кратное (u+c)-2. (Bluman, Kumei [I].)1)

Модифицированное уравнение Кортевега— де Фриза имеет вид uf = Uxxx + игих.

Вычислите группу геометрических симметрий этого уравнения.

Докажите, что оператор 91 = 9?x + (2/3) и2 + (2/3) и,р~1 • и является оператором рекурсии. (Последнее слагаемое — оператор, который умножает дифференциальную функцию на и, затем применяет к ней D™1 (если это возможно) и, наконец, умножает результат на (2/3) ихД Каковы первые несколько обобщенных симметрий этого уравнения?

Пусть vx = и, так что о будет решением «потенциального модифицированного уравнения Кортевега— де Фриза» t*t = t>Xxx + (1/3) ух- Найдите оператор рекурсии для этого уравнения.

Докажите, что если и — любое решение модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза, то его преобразование Миуры w = иг -V Л,—6 их является решением уравнения Кортевега — де Фриза. Как связаны симметрии и операторы рекурсий этих двух уравнений? (Miura [1], Olver [1].)

12. Докажите, что оператор 91 = D^ + и2 — uxD~1 ■ ихх является оператором рекурсии для уравнения sin-Гордона uxt = sin и. (Указание. В формуле (5.42) 91 = 5?*.) Каковы некоторые обобщенные симметрии? Можете ли вы связать их с обобщенными симметриями потенциального модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза из предыдущего примера? (Указание. Попробуйте растянуть v.) (Olver [1].)

5.13. Обсудите законы сохранения и линейные операторы рекурсии для следующих линейных уравнений:

Телеграфное уравнение ин = ихх + и. (См. упр. 2.9.)

Волновое уравнение с осевой симметрией и» — ихх + (и/х) = 0. (См. упр. 3.1.)

5.14. Обсудите симметрии н законы сохранения уравнения Гельмгольца Ди + Хи = 0, х е R3.

*5.15. Обсудите обобщенные симметрии уравнений Максвелла. (См. упр. 2.16.) Что можно сказать о законах сохранения? (Фущчич и Никитин [1]. [2]-)

5.16. (а) Выведите законы сохранения для двумерного волнового уравнения, перечисленные в примере 5.47. Сравните прямой метод с методом при-

') См. п. 4 приложения L—Прим. ред.

мера 5.49. Продолжите список, найдя новые плотности законов сохранения второго порядка для волнового уравнения.

(Ь) Пусть х s Rp, te R, ue R'. Рассмотрим автономную систему уравнений с частными производными Д(х, u(n)) = 0, содержащую и и производные от и по t н х и не содержащую t в явном виде. Докажите, что если Т^х, t, и^)—плотность закона сохранения, то dT/dt, d^TIdP н т. д. — тоже плотности. Воспользуйтесь этим результатом, чтобы проверить вашу работу в ч. (а).

(а) Пусть ut = ®и — линейное эволюционное уравнение. Докажите, что q^x, t)udx сохраняется, если н только если q(x, t)—решение сопряженного уравнения qt = —®*q.

Докажите, что если q(x, Г) = (х— 21dx)m(l), то q (х, 1) и йх является законом сохранения для уравнения теплопроводности щ = иХк. Что вытекает отсюда об эволюции во времени импульса хти (х, /) dx, если и — решение уравнения теплопроводности?

Сделайте то же, что в ч. (Ь), для уравнения Фоккера — Планка упр. 2.8. (Steinberg, Wolf [1].)

Попробуйте обобщить пример 5.34, обсудив справедливость следующего утверждения. Если ш = Р(х, и, ..., игт')—эволюционное уравнение от единственной пространственной переменной и дР/дигт ^ 0, то все нетривиальные законы сохранения имеют характеристики, не зависящие от и и ее производных.

Принцип Гамильтона в геометрической оптике требует минимиза

ции интеграла N (х) | dx]dt | dt, где х(0 G R3, Щх)—оптический показа-

а

тель среды и | . | — обычная длина в R3. Какой вид имеют уравнения Эйлера — Лагранжа? Докажите, что вариационные симметрии пространственных сдвигов и вращений приводят соответственно к закону Снелла вида Nn = const, где n= \dx/dt\-tdx/dt — единичный вектор скорости, и «оптической теореме синусов» ^n X х = const. Докажите, далее, что симметрии сдвигов по времени приводят к тривиальному закону сохранения. Что вытекает отсюда для уравнений Эйлера — Лагранжа, найденных вами? (Baker, Tavel [1].)

Пусть р = q = 3. Докажите, что всякий функционал S’fu] =

= L (div u) dx, зависящий лишь от div u = их + et, + wz, допускает бесконечномерную группу вариационных симметрий. Обсудите следствия из второй теоремы Нётер в этом случае.

В работе Kumei [1] автор нашел «новые» законы сохранения для уравнения sin-Гордона uxf = sinu, начиная с элементарного закона сохранения

Dt (-^“х)4"^^08"^0

и применяя к нему обобщенные симметрии. Например, эволюциоииая симметрия с характеристикой Q = «t^ + (1/2) Up как показано в этой работе, приводит к закону сохранения

Dt (“x“xttt + 4 "*"<"*#] - Dx [(«f ff + 4 "0 sin "] = °-

Покажите, что этот закон сохранения тривиален! (Какова его характеристика?) Более общо, докажите, что всякий закон сохранения, выведенный таким способом из симметрии, характеристика которой не зависит явно от х, обязательно является тривиальным.

Пусть S' [и] = ^ -^ u^dx. Покажите, что векторное поле v = икди является вариационной симметрией, но эквивалентов векторное поле (для уравнения Эйлера — Лагранжа ихх = 0) v = (их +««) ди не является вариационной симметрией. Таким образом, отношение эквивалентности иа симметриях не согласовано со свойством вариационности.

*5.23. Нетеров вариант теоремы Нётер. Обобщенное векторное поле v будет называться строгой вариационной симметрией функционала $ = L dx, если

рг v(L) + LDivg = 0,

т. е. в формуле (5.53) нет дивергентного слагаемого, как было в нашем изначальном обсуждении вариационных симметрий в гл. 4.

Докажите, что для каждого закона сохранения уравнения Эйлера — Лагранжа Е (Б) = 0 существует соответствующая строгая вариационная симметрия, порождающая его в силу теоремы Нётер.

Докажите, что такая строгая вариационная симметрия единственна с точностью до прибавления нулевой дивергенции в том смысле, что две строгие вариационные симметрии У= У, V®x* + ^ Фа^и0 и ^=№х1 + + У, фпд„а порождают один и тот же закон сохранения, если и только если

V = ^ + "77^ OjQij, где Qij = — Qjt.

I

Какие строгие вариационные симметрии соответствуют симметриям инверсий волнового уравнения?

(Noether [1].)

*5.24. Докажите, что если уравнения Эйлера — Лагранжа Е (А) = 0 допускают тривиальный закон сохранения, соответствующий нетривиальной вариационной симметрии, то они обязательно являются недоопределенной системой и допускают бесконечное семейство таких законов. (Ср. упр. 5.19.)

5.25. Пусть $ [«1 = ^ L [и] dx — функционал, и пусть поле v порождает однопараметрическую (обобщенную) группу, которая не оставляет функционал 9? инвариантным, но только умножает его на скалярный множитель. (Например, симметрии растяжений для волнового уравнения образуют такую группу.) Докажите, что имеется дивергентное тождество вида Div P[u] = = Ц«1. которое выполняется, если и — решение уравнений Эйлера — Лагранжа Е (L) = 0. (Steudel [2].)

*5.26. Один прием, которым пользуются, чтобы построить вариационные принципы для произвольных систем дифференциальных уравнений, состоит в следующем. Если Ду[«]=0, v = 1, .... I, — система дифференциальных уравнений, то мы полагаем $ [м] = \ — | Д [ы]|я dx = \ "о / (ду 1«])2 dx.

J 2J 2 2—<

V

(В книге Anderson, Ibragimov [1; § 14.3] это называется «слабой лагранжевой структурой».)

Докажите, что уравнения Эйлера — Лагранжа для 9? имеют вид ЬЗ = Од (Д) = 0. Таким образом, решения системы Д = 0 являются решения-

ми уравнения Эйлера — Лагранжа для 3, но обратное, вообще говоря, неверно. Каковы 3 и 65 в случае уравнения теплопроводности и* = щ/?

Докажите, что если Vq — произвольная обобщенная симметрия системы Д, то можно построить закон сохранения для Д с характеристикой Од (Q), пользуясь техникой теоремы Нётер, однако этот закон сохранения всегда тривиален! Таким образом, этот способ нахождения вариационных принципов на практике приводит только к тривиальным законам сохранения.

27. Другой способ нахождения вариационных принципов для произвольных систем дифференциальных уравнений Д = (Дь ..., Д/) = 0 состоит в том, чтобы ввести вспомогательные переменные и = (и1, ..., oz) и рассмо

треть задачу 3 [ы, о] = у • Д [u] dx.

Докажите, что уравнения Эйлера —Лагранжа для 3 — это Д = 0 и Од (о) = 0.

Найдите вариационные симметрии и законы сохранения для уравнения теплопроводности Ш = ихх этим способом. Как интерпретировать эти результаты физически?

(Atherton, Homsy [1].)

Определим псевдовариационную симметрию v как обобщенное векторное поле, удовлетворяющее условию (5.53) только на решениях и уравнений Эйлера — Лагранжа. Докажите, что каждой псевдовариационной симметрии нормальной вариационной задачи соответствует закон сохранения, однако всегда найдется также настоящая вариационная симметрия, приводящая к тому же закону. Как связана эта настоящая вариационная симметрия с псевдовариационной симметрией?

Пусть 3): j^r-»-^s — матричный дифференциальный оператор. Докажите, что ®Q = 0 для всех Q е s4r, если и только если 3 = 0 — нулевой оператор.

Пусть 35 — скалярный дифференциальный оператор.

Докажите, что 3) симметричен, если и только если его можно записать в виде

® = Z kDrP3^PrD,\

# J четно

где Pi — некоторые дифференциальные функции.

Докажите, что 35 антисимметричен, если и только если

® = Z (Dj-Pj-VPj-Dj)

# Jнечетно

для некоторых Pi.

В случае р = 1 докажите, что Ф симметричен, если и только если $=Т?Ш

/

для некоторых дифференциальных функций Q,. Обобщается ли этот результат на случай р ^ 2?

Пусть р = q = 1, и пусть Р^х, ц<2"+1>) —дифференциальная функция. Докажите, что производная Фреше Dp антисимметрича, Dp = — Dp, если и только если Р линейна по и, их, ..., u2n+i- Верно ли это при р > 1?

. Принцип подстановки. Для последующих приложений в гл. 7 нам потребуется небольшое обобщение технических результатов об обращении в нуль, таких, как в следствии 5.52 и лемме 5.61. Основная задача состоит в том, что имеется выражение, зависящее от одного или более наборов из q дифференциальных функций Q1О6 е 54я н> возможно, от их полных

производных, обладающее тем свойством, что оно обращается в нуль, когда каждая Ql = 6Q: является вариационной производной некоторого функционала Qi, .... Q^^SF. Заключение, которое нужно получить, состоит в том, что это выражение будет обращаться в нуль независимо от того, будут Q' вариационными пронзводнымн или нет.

Конкретнее, читателю нужно доказать следующее.

Пусть Р g ^ — фиксированный набор нз q дифференциальных функций. Тогда ^ Р ■ Q dx = 0 при Q = 6^ g ^е, являющейся вариационной производной, если и только если Р = 0 и, следовательно, Р • Q dx = 0 для всех Q g л^’.

Пусть 5>; sti -»• str — матричный дифференциальный оператор размера г X q. Тогда 5DQ = 0 при Q = 6Q g ^’, являющейся вариационной производной, если и только если ® = 0 и, следовательно, ®Q — 0 для всех Q g ^.

Пусть ®; sF* -► ^’ — дифференциальный оператор. Тогда ^ Q ■ SDR dx= = 0 для всех вариационных производных Q = 6Q, R = 691 g j#», если и только если S) = 0 и, следовательно, Q • ®R dx = 0 для всех Q, R g sti.

33. Пусть р = q = 1. Докажите, что если L = 1Ди(п^ не зависит явно от х, то ы^Е (L) dx = 0. Это показывает, что нужно быть осторожным с «принципом подстановки» предыдущего упражнения, поскольку следующее «небольшое» обобщение п. (а) неверно; если Р g ^’ и Р ■ Q dx = 0 для всех Q(п<п>) = 6Q е sP', не зависящих явно от х, то Р = 0. Контрпример дает Р = их. Является ли это единственным таким контрпримером?

Пусть Р(и<т^ — набор из q однородных дифференциальных функций степени а ^—1: Р (Xu,m|) =- ХаР (u|m))- Докажите, что P = E(L) для некоторого лагранжиана L, если и только если Е (и • Р) = (а + 1) Р. Верно лн это при а = —1? (Olver, Shakiban [1], Shakiban [1].)

* 5.35. Докажите теорему Гельмгольца 5.68 прямо, без использования вариационных форм: если Р g ^’ имеет симметричную производную Фреше, то Р = Е(£), где L задается формулой (5.85). Обратно, если P = E(L) для некоторого L, то Dp симметрична.

(а) Покажите, что одно эволюционное уравнение ut = P[u], и g R, никогда не является уравнением Эйлера — Лагранжа нн для какой вариационной задачи. Верно ли то же самое для систем эволюционных уравнений?

Один общий прием для приведения одного эволюционного уравнения к вариационному виду состоит в замене функции и на потенциальную функцию V; и = их, что приводит к уравнению vxt = Р[щ]. Покажите, что таким способом уравнение Кортевега — де Фриза превращается в уравнение Эйлера — Лагранжа некоторого функционала. Какие геометрические и обобщенные симметрии уравнения Кортевега — де Фриза по теореме Нётер дают законы сохранения?

Найдите необходимые и достаточные условия на Р, чтобы прием из п. (Ь) приводил к уравнению Эйлера — Лагранжа.

Другой прием для такого приведения эволюционного уравнения состоит в том, чтобы просто продифференцировать его по х; uxt = DxP[u]. Докажите, что это приводит к уравнению Эйлера — Лагранжа, если и только если DXP зависит только от х, их, ихх, ... (но не от и), и это уравнение

эквивалентно эволюционному уравнению Wt = Q[w], w = их, для которого применим прием из п. (Ь).

*5.37. (а) Докажите, что если Q(x, им)—произвольная система дифференциальных функций, удовлетворяющая условиям Гельмгольца Dq = Dq, и Р(Л, х, и^— произвольное однопараметрическое семейство наборов из q дифференциальных функций, такое, что

Р (О, х, ц(т,)=Н^). ^0. х, и^т^=и

для некоторой фиксированной функции f(x), то

1

L=^-|£-Q(x, Р’"1)^

о

является лагранжианом для Q: Е (L) = Q.

(Ь) Этот метод полезен для нахождения вариационных принципов для систем дифференциальных уравнений, не определенных на всем пространстве струй 7И<Л>. Например, пусть р = q = 1, Q = и~2ихх + иуу. Воспользуйтесь семейством Р(Х) = (1—Х)х + Хи, чтобы найти вариационный принцип для Q. Почему в этом случае не годится классическая конструкция (5.85)? (Horndeski [1].)

*5.38. Проблема интегрирующего множителя в вариационном исчислении состоит в том, чтобы для данного дифференциального уравнения Д[и] = 0 найти не обращающуюся в нуль дифференциальную функцию Q[u], такую, что 0 = Q-A=E (£) является уравнением Эйлера — Лагранжа некоторой вариационной задачи.

Докажите, что если Д[и] — ихх — Н(х, и, и,) — обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, то Q(x, и, их) является таким множителем, если и только если Q удовлетворяет уравнению с частными производными

+ + -A- (QH^ 0.дх ди 1 дик

Выведите отсюда, что любое обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка всегда локально эквивалентно уравнению Эйлера — Лагранжа некоторой вариационной задачи первого порядка. (См. упр. 4.8 и 4.9.)

Найдите все интегрирующие множители и соответствующие вариационные задачи для уравнения ихх — и, = 0.

Обсудите случай дифференциального уравнения высшего порядка. (Hirsch [1]; см. Douglas [1], где имеется обобщение на системы обыкновенных дифференциальных уравнений, и Anderson, Duchamp [2], где рассматривается случай уравнений с частными производными второго порядка.)

.39. Здесь мы обобщаем формулу теоремы 4.8, опасывающую действие оператора Эйлера при замене переменных; новые переменные теперь могут зависеть от производных от старых переменных. Пусть х = = (х1, ..., х?), «=(«',..., и«)—исходные переменные. Пусть S”[u] = = ^ £ (х, u^O dx —вариационная задача с выражением Эйлера — Лагранжа Е(£). Предположим, что у = (.у1, ..., ур) и ш= (ю1,..., ш»)—новые переменные, причем у = Р(х, и1”'1'), w = Q(x, u(m>) для некоторых дифференциальных функций Р е st9, Q е st^, Пусть S’ [аи] = \ "Цу, w^dy — со-

ответствующая вариационная задача. Докажите, что

qЕ„« (L) = Ур=1qЕ„« (L) = Ур=1О(РЬ .... Р„, Qp)О(РЬ .... Р„, Qp)D(Z .... хр, «°)D(Z .... хр, «°)ешр (L).ешр (L).

q

Е„« (L) = У

р=1

q

Е„« (L) = У

р=1

О(РЬ .... Р„, Qp)

О(РЬ .... Р„, Qp)

D(Z .... хр, «°)

D(Z .... хр, «°)

ешр (L).

ешр (L).

Здесь коэффициент при ЕШР — дифференциальный оператор, заданный формулой_

"D.P, ... DpPx Ор1-а

р (р„ ..., Рр, Qp);;•

D(?6D1Pp...DpPp Dpp-a ’

гдегде_D,Qp ... DpQ^ Dq^ а_

где

где

■v-Z^h

— производная Фреше от Р по иа, a Dp а — ее сопряженная, причем в определителе во всех произведениях дифференциальные операторы пишутся первыми. Например,

ТТПТГ^^Ч nnГ = dq(dxP-R)-Dp(PXQ.R>

v 1 ;\ DXQ Dq /

Обсудите, почему формула (4.7) является частным случаем. Попробуйте разобрать несколько конкретных примеров, например х = у, и — wK, чтобы

увидеть, как это практически осуществляется.

Дивергенция порядка п — это дифференциальная функция Р[и],

такая, что

Р= 2 D^,

* 1=п

для некоторых дифференциальных функций Qi. Например,

иххиуу иху ^х (2 “у) + Пх^у ^ихиу) + Dy (2 Ux)

— дивергенция второго порядка.

Докажите, что Р является дивергенцией порядка п, если и только если Еа W = ® для всех ® = 1, ..., д, 0 ^ # I ^п — 1. (См. следствие 5.76.)

Покажите, что

Uxxuyy — ^UxyVxy + uyyvxx

— дивергенция второго порядка, а

ЧхХхОууу — ЗиХХуХ)хуу + ^Пхуу^хху UyyyVxxX

- дивергенция третьего порядка. Можете ли вы обобщить этот результат?

(Olver [6].)‘

* 5.41. Предположим, что Д[и] = 0 — система дифференциальных уравнений, однородная в том смысле, что Д[Аи] = Л“Д[и] для всех Хе R, где

«— степень однородности. Докажите, что если Div Р = 0 — закон сохранения с тривиальной характеристикой для такой системы, то сама Р — тривиальный закон сохранения. (Указание. Сведите сначала к случаю однородного закона сохранения Р [Ли] = Х^Р [и]. Воспользуйтесь формулой гомотопии (5.113), чтобы восстановить Р по ее характеристической форме Div Р = Q-A, где Q = 0 прн Д = 0, Q однородна.) (Olver [11].)

(а) Если $ [и] = L [и] dx — функционал, a vq — эволюционное векторное поле, докажите, что продолженное действие

pr vQ (S') = $ рг vQ (Z.) dx

дает корректно определенное отображение на пространстве 9" функционалов.

Докажите, что это действие эффективно, т. е. рг vy (S') = 0 для всех $ е 9", если н только если Q = 0. Аналогично, докажите, что рг v<2 (S’) = 0 для всех Q е ^v, если и только если SE = 0 в 9".

Обобщите это, чтобы определить производную Ли от функциональной формы по эволюционному векторному полю. Докажите формулу гомотопии, обобщающую формулу (1.66) или (5.84) на функциональные формы.

Пусть Ф—вертикальная /г-форма, a v<2 — эволюционное векторное поле с потоком exp(eve), заданным формулой (5.14). Определите подходящее действие expfevrj^to этого потока на to и докажите формулу для производной Ли

prvQ(to) = -5F[exp(evQ)tto].

(Как всегда, мы предполагаем существование и единственность решения соответствующей задачи с начальными данными.) Можно ли сделать то же самое, если использовать определение упр. 5.8 для потока, порожденного полем vq?

6. Конечномерные гамильтоновы системы

Важное понятие гамильтоновой системы дифференциальных уравнений составляет основу большинства наиболее продвинутых теорий классической механики, включая движение твердого тела, небесную механику, теорию квантования и т. д. В последнее время возросла важность гамильтоновых методов в изучении уравнений механики сплошной среды, включая механику жидкости, физику плазмы и теорию упругости. В этой книге мы интересуемся лишь одним аспектом этого обширного предмета, а именно взаимодействием между группами симметрий, законами сохранения и понижением порядка систем в гамильтоновой форме. Гамильтонов вариант теоремы Нётер обладет исключительно притягательным геометрическим ароматом, который остается скрытым, если оставаться в рамках лагранжева подхода.

Поскольку предварительное знакомство с гамильтоновой механикой не предполагается, первым делом нужно разъяснить понятие гамильтоновой системы дифференциальных уравнений. В этой главе мы сосредоточимся на более известном и концептуально более легком случае обыкновенных дифференциальных уравнений. После этого обобщение на системы эволюционных уравнений, предпринятое в гл. 7, окажется вполне естественным. Есть несколько различных подходов к изложению гамильтоновой механики. Подход, предложенный здесь, является в какой- то степени новым. Важно осознать необходимость бескоорди- натного рассмотрения «гамильтоновых структур», не предполагающего введения специальных канонических координат (р и q в элементарных учебниках по классической механике). Конечно, всегда имеется искушение упростить дело, насколько возможно. Теорема Дарбу утверждает, что для конечномерных систем постоянного ранга мы при желании всегда можем ввести такие координаты, упрощающие формулы. Однако такой подход к задаче не всегда оказывается наиболее естественным и прямым. Кроме того, в бесконечномерном варианте этой теории, который будет обсуждаться позже, аналогичный результат неверен; следовательно, если мы хотим заложить надлежащее

основание в конечномерной теории, позволяющее совершить переход к бесконечномерному случаю и эволюционным уравнениям, мы должны отбросить прочь «костыль» канонических координат и подходить к гамильтоновой структуре с более внутренней точки зрения.

Но и бескоординатных подходов к гамильтоновой механике существует несколько. Наименьшей подготовительной работы по дифференциально-геометрическому обоснованию требует подход, сосредоточенный на изучении скобки Пуассона в качестве основного объекта. Он позволяет почти совсем избежать дифференциальных форм и перейти прямо к существу предмета. К тому же подход, основанный на скобке Пуассона, допускает гамильтоновы структуры переменного ранга (в смысле, который будет вскоре определен), оказавшиеся важными в недавней работе о коллективном возбуждении и устойчивости. Этот подход включает как важный частный случай скобку Ли — Пуассона на алгебре, двойственной к алгебре Ли, которая играет ключевую роль в теории представлений и геометрическом квантовании, а также дает теоретическую основу общей теории редукции гамильтоновых систем с симметрией.

СКОБКИ ПУАССОНА

Пусть дано гладкое многообразие М. Скобка Пуассона на М сопоставляет каждой паре гладких вещественнозначных функций F, Н; Af->-R новую гладкую вещественнозначную функцию, которую мы будем обозначать через (F, И}. Чтобы называться скобкой Пуассона, такая скобочная операция должна обладать определенными свойствами. Мы сформулируем эти свойства сначала в простом бескоординатном виде. Впоследствии мы перепишем их в локальных координатах, и в таком виде их также можно взять в качестве определяющих свойств скобки Пуассона, особенно если М — открытое подмножество некоторого евклидова пространства.

Определение 6.1. Скобка Пуассона на гладком многообразии М — это операция, сопоставляющая каждой паре F, Н гладких вещественнозначных функций гладкую вещественнозначную функцию ^F, Н} на М и обладающая следующими свойствами:

билинейность-.

VcF + c'P, H} = c(F, Н} + с'{Р, Я),{F, сП + с'Р) = с {F, Я) + с' {F, Р)для любых с, с' е R;

кососимметричность;

{F, H} = — {H,F}-,

тождество Якоби;

{{F, Н^ Р} + «Р, F^ Н} + {{Н, Р}, F} = 0;

правило Лейбница;

KF, Н -P^ = VF, ЩРА-Н - {F, Р}.

(Здесь • обозначает обычное умножение функций.) Во всех этих равенствах F, Н и Р — произвольные гладкие вещественнозначные функции на М.

Многообразие М со скобкой Пуассона называется пуассоновым многообразием, а скобка определяет пуассонову структуру на М. Понятие пуассонова многообразия является несколько более общим, чем понятие симплектического многообразия или многообразия с гамильтоновой структурой; в частности, многообразие М не обязано быть четномерным. Это подтверждается стандартными примерами из классической механики.

Пример 6.2. Пусть М — четномерное евклидово пространство к2" с координатами (р,^) = (р*, .... рп, qx, ..., q") (в физических задачах координаты р задают импульсы, a q — положения механических объектов). Мы определяем скобку Пуассона двух гладких функций F^p, q) и Н^Р, q) формулой

=(6Л)

( дЧ дР Йр 9ql Jх

Ясно, что эта операция билинейна и кососимметрична; проверка тождества Якоби и правила Лейбница является упражнением по тензорному исчислению, и мы оставляем ее читателю. Отметим, в частности, тождества

Vph Р,} = 0» W, <7/} = 0, VqS Р^ = ^Р(6.2)

где i и / пробегают от 1 до п, а б/ — символ Кронекера, равный I при i = / и 0 в противном случае. (В (6.2) мы рассматриваем сами координаты как функции на М.)

Более общо, мы можем определить скобку Пуассона на произвольном евклидовом пространстве M = Rm. Пусть (р, q, z) = = (рх, .... р”, q1, .... qn, z1, ..., zl)— координаты, так что 2п + / = иг. Определим скобку Пуассона двух функций F^p, q, z), H(p,q,z) той же формулой (6.1). В частности, если функция

F(,z) зависит только от 2, то {F, //} = О для всех функций Н. Такие функции, в частности сами гк, называются отмеченными функциями или функциями Казимира. Они характеризуются тем, что их скобка Пуассона с любой другой функцией всегда равна нулю. Следует дополнить при этом основные координатные соотношения (6.2) дополнительными соотношениями

{//, 2й} = {^‘, г6} = {г*, 2й} = 0 (6.3)

для всех i=l, ..., п и j, k = 1, ..., I. Хотя этот пример выглядит несколько специальным, теорема Дарбу 6.22 покажет, что, если исключить особые точки, локально каждая скобка Пуассона имеет такой вид. Поэтому мы называем (6.1) канонической скобкой Пуассона.

Определение 6.3. Пусть М — пуассоново многообразие. Гладкая вещественнозначная функция С: Л1->Р называется отмеченной функцией, если скобка Пуассона функции С с любой другой вещественнозначной функцией тождественно обращается в 0,т. е. {С, Д}=0для всех Н; Af->R.

В случае канонической скобки Пуассона (6.1) на R2" единственными отмеченными функциями являются константы, которые всегда удовлетворяют требованиям определения 6.3. Ему противоположен случай тривиальной скобки Пуассона, когда (f, я}=0для всех F, Н и любая функция является отмеченной.

Гамильтоновы векторные поля

Пусть М — пуассоново многообразие, так что скобка Пуассона удовлетворяет требованиям определения 6.1. Для заданной гладкой функции Н на М отображение Ft—-> {F, И} определяет ввиду билинейности и правила Лейбница дифференцирование на пространстве гладких функций F на М, а следовательно, в силу (1.20) и (1.21) и векторное поле на М. Это наблюдение приводит к фундаментальному определению.

Определение 6.4. Пусть М— пуассоново многообразие и Н: Af^-R —гладкая функция. Гамильтоновым векторным полем, соответствующим функции Н, называется единственное гладкое векторное поле Vh на М, удовлетворяющее условию

Vh(F) = {F, m = -VH, п (6.4)

для каждой гладкой функции F: M^-R. Уравнения потока векторного поля \н называются уравнениями Гамильтона для «гамильтониана» Н.

Пример 6.5. В случае канонической скобки Пуассона (6.1) на Rm, m = 2n-\-l, гамильтоново векторное поле, соответствующее функции Н{р, q, z), очевидно, имеет вид

-д дН д \

Соответствующий поток получается интегрированием системы обыкновенных дифференциальных уравнений

dql _ дН dp1 дН ..,.

dt др1 dt dql•» > v /

/=1и(6.7)

которые в этом случае являются уравнениями Гамильтона. В невырожденном случае m = 2л мы получаем только (6.6). Это каноническая форма уравнений Гамильтона классической механики. В более общем случае (6.7) просто добавляет условие постоянства отмеченных координат z1 под действием потока. В частности, если функция Н зависит только от отмеченных координат z, ее гамильтонов поток тривиален. Это замечание справедливо и в общем случае: функция С на пуассоновом многообразии является отмеченной, если и только если ее гамильтоново векторное поле всюду равно нулю: Vc = 0.

Между скобкой Пуассона пары функций и скобкой Ли соответствующих гамильтоновых векторных полей имеется глубокая связь, которая во многом составляет основу теории гамильтоновых систем.

Предложение 6.6. Пусть М— пуассоново многообразие. Пусть F, Н: Af-*R— гладкие функции, vF, vH— соответствующие им гамильтоновы векторные поля. Гамильтоново векторное поле, соответствующее скобке Пуассона функций F и Н, с точностью до знака совпадает со скобкой Ли этих двух гамильтоновых векторных полей:

(6.8)(6.8)V^F. Я) ^[v^, Vyl = [v^, Vj?].

(6.8)

(6.8)

Доказательство. Пусть Р: Л1^-Р— произвольная гладкая функция. Пользуясь определением скобки Ли, получаем, что

[vh, vf] P = vh-vf (Р) -Vf-Vh (Р) = vH {Р, Р} — vF (Р, Я} =

= {{Р, F^ Н} - {{Р, Я}, Р} = {Р, (Р, Н^=у№щ (Р). Здесь мы использовали тождество Якоби, кососимметричность скобки Пуассона и определение (6.4) гамильтонова векторного поля. Поскольку Р— произвольная функция, это доказывает формулу (6.8). □

Пример 6.7. Пусть М = R2 с координатами (р, q) и канонической скобкой Пуассона {Р, H}—FqHp— FpHq. Гамильтоново векторное поле, соответствующее функции Н(р, q), имеет вид vH = Hpdq— Hqdp. Таким образом, для Я = (1/2) (р2 + у2) имеем vH — pdq — qdP, а для F = pq имеем vF = qdq — рдр. Скобка Пуассона функций Р и Я равна {Р, Я} = р2 — у2, а соответствующее гамильтоново векторное поле имеет вид v^f,h^= = 2pdq + 2qdP. Как может проверить читатель, оно совпадает с коммутатором [vH, Vf].

Структурные функции

Чтобы получить общую картину пуассонова многообразия в локальных координатах, рассмотрим сначала гамильтоновы векторные поля. Пусть х = (х1, ..., хт) —локальные координаты на М и Я(х)—вещественнозначная функция. Соответствующее гамильтоново векторное поле будет в общем случае иметь вид tn

vH = X V^d/dx1, где функции Vtx)> зависящие от Я, следует г=1‘'

определить. Пусть F(x) —другая гладкая функция. Используя (6.4), находим

{Р, H^ = vH(F) = ^4x^.f—'дх

1 = 1

Но снова в силу (6.4)

^М = Уд(х,) = {х<, Я}, так что эта формула принимает вид

{Р, Я) = ^{х\ Я}-^-.(6.9)

i=i

С другой стороны, кососимметричность скобки Пуассона позволяет нам обратить всю процедуру и выразить скобку Пуассона

любой пары функций через гамильтоновы векторные поля vt = vxt, соответствующие локальным координатным функциям х'. А именно, т

(V, Н} = — {Н, х1} = - у, (Я) = - £ {V, х^ ^,

где последнее равенство получается применением формулы (6.9) с заменой F на Н, а Н на х‘. Таким образом, получаем основную формулу

* ~tn т

v^^lL^-^^i<61°)

1=1/=1

для скобки Пуассона. Другими словами, для вычисления скобки Пуассона любой пары функций в некоторой данной системе локальных координат достаточно знать скобки Пуассона самих координатных функций. Эти базисные скобки

/^(х) —(х1, х'}, i, j = l, ...,т,(6.11)

называются структурными функциями пуассонова многообразия М относительно данной локальной системы координат. Они однозначно определяют пуассонову структуру. Для удобства мы сведем структурные функции в кососимметричную матрицу /(х) размера m/m, называемую структурной матрицей многообразия М. Обозначая вектор градиента функции Н через \Н, перепишем формулу (6.10) для скобки Пуассона в локальных координатах в виде

^F, H^VF-JVH.(6.12)

Например, в случае канонической скобки (6.1) на Rm, m = = 2п + I, структурная матрица имеет простой вид

(

0 —I 0\

/00

ООО/

относительно координат (р, q, z), где I — единичная матрица размера лХ^.

Гамильтоново векторное поле, соответствующее функции Я(х), имеет вид

^=Щ'И«^#о-^

или, в матричной записи, Ун = (Л?Я)-с^, где^ — «вектор» с компонентами д/дх*. Поэтому в данной координатной карте уравнения Гамильтона принимают вид1)

^-=J(x)VH(x).(6.14)

С другой стороны, используя (6.9), мы могли бы переписать это выражение в «скобочной форме»

^- = {^ Я},

где t-я компонента правой части равна {х‘, Я}. Система обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка называется гамильтоновой, если существуют такая функция Я(х) и такая матрица функций J (х), определяющая скобку Пуассона (6.13), что система принимает вид (6.14). Конечно, нам нужно знать, какие матрицы J(x) являются структурными матрицами скобок Пуассона.

Предложение 6.8. Пусть J (х) = (/z/(х)) — матрица размера m^m функций от х— (х1, ..., хт), определенных на открытом подмножестве AfczRm. Тогда J (х) является структурной матрицей для некоторой скобки Пуассона {F, H}=VF-J^H на М, если и только если выполняются следующие условия:

кососимметричность:

Iм (х) = —J11 (х), i, j = 1, ..., tn;

тождество Якоби:

tn

Ё VUdJ,k + /“дД4 + 1ид11м> = О, i, j, k = 1пг, (6.15) Z-1

для всех х^М (здесь, как обычно, di = dfdx1).

Доказательство. В своей основной форме (6.12) скобка Пуассона автоматически билинейна и удовлетворяет правилу Лейбница. Кососимметричность структурной матрицы, очевидно, эквивалентна кососимметричности скобки. Таким образом, нужно проверить лишь эквивалентность условия (6.15) тождеству Якоби. Заметим, что в силу (6.10) и (6.11)

Цх*, x'Y x^=lllu(x^dlJll(x\

*) Более общо, мы можем рассматривать функции Н(х, f), зависящие от времени. Это приведет к зависящим от времени гамильтоновым векторным полям; см. § 6.3.

и поэтому равенство (6.15) эквивалентно тождеству Якоби для координатных функций х‘, х* и хк. В общем случае для функций F, Н, Р: Af-^-R имеем

тттт«л т, р^= У ^к4т\У Jli«л т, р^= У ^к4т\У JlidF ан ( арdx* dxi I dxkdF ан ( арdx* dxi I dxk

т

т

т

т

«л т, р^= У ^к4т\У Jli

«л т, р^= У ^к4т\У Jli

dF ан ( арdx* dxi I dxk

dF ан ( арdx* dxi I dxk

у1 ГJ*h 8^ 8F ®Р 8Р _|_

А—1 (дх1 дх1 dxi Qxk

I, 1, k, l

I jikjti ( 82F dH dPdF5P\)

уддУдх1 dxi Qxfedx* dxl dxi g^Jj

Суммируя по циклическим перестановкам F, H, P, получаем, что первое множество слагаемых обращается в нуль в силу (6.15), а остальные члены взаимно уничтожаются в силу кососимметричности структурной матрицы. □

Заметим, что мы могли бы принять условия предложения 6.8 на структурную матрицу за определение скобки Пуассона (6.12) в локальной координатной карте. Условия (6.15), обеспечивающие выполнение тождества Якоби, составляют большую систему нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, которым должны удовлетворять структурные функции. В частности, любая постоянная кососимметричная матрица У тривиально удовлетворяет уравнениям (6.15) и тем самым определяет некоторую скобку Пуассона.

Структура «Пи — Пуассона

Один из наиболее важных примеров пуассоновой структуры связан с алгебрами Ли. Рассмотрим r-мерную алгебру Ли д. Пусть скр i, j, k = 1, ..., г, — структурные константы алгебры g в базисе {vi, ..., vr}. Пусть V— другое r-мерное векторное пространство с координатами х = (х1, ..., хг), определенными базисом {<01, ..., toj. Определим скобку Ли — Пуассона пары функций F, Н; V -> R формулой

V,V,т V k k dF dH Щ= 2-. CliXт V k k dF dH Щ= 2-. CliXi. /, 6=1i. /, 6=1dx1 dxidx1 dxi(6.16)(6.16)

V,

V,

т V k k dF dH Щ= 2-. CliX

т V k k dF dH Щ= 2-. CliX

i. /, 6=1

i. /, 6=1

dx1 dxi

dx1 dxi

(6.16)

(6.16)

Ясно, что это равенство имеет вид (6.10) с линейными структур-

ными функциями У4 (х) = 26=1ными функциями У4 (х) = 26=1с^.хк. Свойства структурной матри

ными функциями У4 (х) = 2

6=1

ными функциями У4 (х) = 2

6=1

цы из предложения 6.8 легко вытекают из основных свойств

(1.44) структурных констант. В частности, как легко может проверить читатель, (6.15) сводится к тождеству Якоби (1.44).

Скобку Ли — Пуассона можно описать более инвариантно. Напомним, прежде всего, что для любого векторного пространства V и гладкой вещественнозначной функции F: V -► R градиент VF^x) в любой точке х е V естественно является элементом двойственного векторного пространства V*, состоящего из всех (непрерывных) линейных функций на V. В самом деле, по определению

\\ г К(х + еу) — F(х)

<?Г(х); y) = hm—

е-»06

для любого у е V, где < ; > — естественное спаривание пространства V и двойственного к нему пространства V*. Учитывая это, мы отождествляем линейное пространство V, участвующее в исходной конструкции скобки Ли — Пуассона, с двойственным пространством ^ к алгебре Ли д, причем (аи, ..., <вг}—двойственный базис к {vi, .... vr}- Градиент VF^x) любой гладкой функции F: g*->R является элементом пространства (g*)*~g (поскольку алгебра g конечномерна). Тогда скобка Ли — Пуассона в инвариантной форме имеет вид

(F, Н} (х) = (х; [VF (х), V# (х)]), х е д',(6.17)

где [,] — обычная скобка Ли на самой алгебре Ли д; доказательство мы оставляем читателю. Для любой функции Н: g->R соответствующая система уравнений Гамильтона имеет вид

d±_ V скхк — 1 — 1 г

куда явно входят координаты хк.

Пример 6.9. Рассмотрим трехмерную алгебру Ли so(3) группы вращений SO(3). Используя базис Vi = удг— zdy, v2 = = zdx— xdz, v3 — xdy— удх инфинитезимальных вращений вокруг осей х, у и z в R3 (или их матричные представления), мы получим соотношения для коммутаторов [vi, V2] =—v3, [v3, v,]=— V2, [v2, v3] =—Vi. Пусть toi, юг, 6)3 — двойственный базис в so(3) ~ R3 и u = u'oi + w2o»2 + w3®3— точка общего вида. Градиент функции F: 5o(3)*->R тогда является вектором

Vf = ^rv1+>V2 + ^v3^6o(3).

Таким образом, из (6.17) получаем формулу для скобки Ли — Пуассона на so (3) *:

f г г,, I / dF dH ^’ HA — U Vdu3 ди2f г г,, I / dF dH ^’ HA — U Vdu3 ди2dF dH \ди2 du3 )dF dH \ди2 du3 )+ ы2(+ ы2(dF dHdu1 du3dF dHdu1 du3dF dH \ ."di?" "did ) "T"dF dH \ ."di?" "did ) "T"

f г г,, I / dF dH ^’ HA — U Vdu3 ди2

f г г,, I / dF dH ^’ HA — U Vdu3 ди2

dF dH \ди2 du3 )

dF dH \ди2 du3 )

+ ы2(

+ ы2(

dF dHdu1 du3

dF dHdu1 du3

dF dH \ ."di?" "did ) "T"

dF dH \ ."di?" "did ) "T"

i ^(dF dHdF dH\

"г I du2 du1du' du2)

= —U\FX VH,

где X — обычное векторное произведение в R3. Таким образом, структурная матрица имеет вид

/ 0—м3м2 \

7(м) = | м3 0—м1 I, иеёо(З)*.

х—ы2 м10 7

Уравнения Гамильтона, соответствующие гамильтониану Я (и), поэтому принимают вид

■^- = uXNH^uY

Например, если

Н^-^*^^2212/22/3

где /ь /2, /з — некоторые константы, то уравнения Гамильтона становятся уравнениями Эйлера движения твердого тела

du' /2 — /3 23 du2 /3 — 11 о ।-57- = 7-;U2U, —j— = —y-;ITU1,dt I2l3dt 12IX ’du' /2 — /3 23 du2 /3 — 11 о ।-57- = 7-;U2U, —j— = —y-;ITU1,dt I2l3dt 12IX ’du3du3laladi IVUdi IVUихи\ (6.18)ихи\ (6.18)

du' /2 — /3 23 du2 /3 — 11 о ।-57- = 7-;U2U, —j— = —y-;ITU1,

dt I2l3dt 12IX ’

du' /2 — /3 23 du2 /3 — 11 о ।-57- = 7-;U2U, —j— = —y-;ITU1,

dt I2l3dt 12IX ’

du3

du3

la

la

di IVU

di IVU

ихи\ (6.18)

ихи\ (6.18)

где (/ь/г,/з)—моменты инерции относительно координатных осей, а и1, и2, и3— соответствующие моменты количества движения (угловые скорости равны <в‘=ы'/Л). Гамильтониан является кинетической энергией тела.

СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ И СЛОЕНИЯ

Чтобы достичь более полного понимания геометрии, лежащей в основе общей пуассоновой структуры на гладком многообразии, мы должны тщательно изучить структурную матрицу J(x), задающую скобку Пуассона в локальных координатах. Важнейшим инвариантом этой матрицы является ее ранг. Если ранг всюду максимален, то, как будет видно, мы находимся в наиболее стандартной ситуации «симплектической структуры». Эта ситуация рассмотрена в большинстве работ по гамильтоновой механике. Мы увидим, что в более общем случае немаксималь-

ного ранга пуассоново многообразие Af естественно расслаивается на симплектические подмногообразия таким образом, что любая гамильтонова система на М естественно ограничивается на любое из этих симплектических подмногообразий, и, следовательно, это ограничение возвращает нас к более классической гамильтоновой механике. Однако во многих задачах более естественно оставаться на самом объемлющем многообразии, особенно когда нас интересует совместное поведение систем, зависящих от параметров, и соответствующие симплектические структуры сами меняются при изменении параметров.

Соответствие между 1-формами и векторными полями

Как мы видели в предыдущем параграфе, пуассонова структура на многообразии М устанавливает соответствие между гладкими функциями Н: Af^-R и ассоциированными с ними гамильтоновыми векторными полями vH на Af. В локальных координатах это соответствие задается умножением градиента V// на структурную матрицу Z(x), определенную скобкой Пуассона. Этому можно придать более инвариантную формулировку, вспомнив, что бескоординатной формой градиента вещественнозначной функции Н является ее дифференциал dH. Таким образом, пуассонова структура определяет соответствие между дифференциальными 1-формами dH на Af и соответствующими гамильтоновыми векторными полями чн, которое на самом деле продолжается на 1-формы общего вида:

Предложение 6.10. Пусть М — пуассоново многообразие и хеМ. Тогда существует единственное линейное отображение

В = В|Х: Т*М\Х->ТМ\Х

из кокасательного пространства к М в точке х в соответствующее касательное пространство, такое, что для любой гладкой вещественнозначной функции Н: Af ->- R

B(d//(x)) = ?HL(6.19)

Доказательство. Кокасательное пространство 7*Af|z в любой точке хе Af порождено дифференциалами (dxl, ..., dxm}, соответствующими локальным координатным функциям вблизи точки х. Из (6.13) мы видим, что в точке х е Af

m

В (dxy) = ^ Z^ (х)-^-1 , j=\,...,m.

Ввиду линейности для любого ковектора о = 52 Qjdx' е Т*М |х

mm

m

m

есть по существу результат умножения ю на структурную матрицу /(х), что и доказывает предложение. □

Пример 6.11. На Rm с каноническими координатами (р, q, z), как в примере 6.2, для любой 1-формы

п1

имеемимеем<0 = У [«< dp1 + bi dql\ + £ С] dz1i=i/=i

имеем

имеем

в<щ>=ЁЬ^—6-5"}-

В этом частном случае вид отображения В не меняется от точки к точке. В частности, размерность ядра В равна числу отмеченных координат г1, ..., г1.

Ранг пуассоновой структуры

Определение 6.12. Пусть Af—пуассоново многообразие и х е AL Рангом М в точке х называется ранг линейного отображения В|х: ГМ\Х->ТМ\Х.

В локальных координатах отображение В|х совпадает с умножением на структурную матрицу Z(x); поэтому ранг М в точке х равен рангу Z(x) независимо от выбора координат. Из кососимметричности J немедленно следует

Предложение 6.13. Ранг пуассонова многообразия в любой точке четен.

Например, ранг канонической пуассоновой структуры (6.1) на Rm, пг = 2п-\-1, постоянен и равен ^п. Позднее мы покажем, что любая пуассонова структура постоянного ранга 2п локально выглядит как каноническая структура такого ранга. Ранг структуры Ли — Пуассона на 5о(3)* равен 2 всюду, кроме начала координат и = 0, где он обращается в 0.

Поскольку ранг линейного отображения определяется размерностью его ядра или его образа, мы можем вычислить ранг 2п пуассонова многообразия в любой точке, либо рассматривая

ядро X |х = {© е Т*М |х: В (го) = 0}, размерность которого равна мг— 2п, либо рассматривая образ 36 \х = (v = В (со) е ТМ |х: ю = = 7*Л1|Х}, размерность которого равна 2п. Например, в случае канонической скобки Пуассона (6.1) ядро J^|x порождено «отмеченными дифференциалами» dz1, ..., dz1, а образ порожден элементарными гамильтоновыми векторными полями д/dq1, д/др1, отвечающими координатным функциям р1, —ql соответственно. Образ 36\х имеет особое значение; это пространство можно охарактеризовать как линейную оболочку всех гамильтоновых векторных полей на Af в точке х:

36 k = {vh|x: И*. М->R— гладкая функция).

Симплектические многообразия

В классической механике обычно на скобку Пуассона накладывается дополнительное требование невырожденности, которое приводит к более узкому понятию симплектической структуры на многообразии.

Определение 6.14. Пуассоново многообразие М размерности m называется симплектическим, если его пуассонова структура имеет всюду максимальный ранг пг.

В частности, согласно предложению 6.13, симплектическое многообразие обязательно четномерно. Каноническим примером служит скобка Пуассона (6.1) на Rm в случае m = 2n, т. е. в отсутствие дополнительных отмеченных координат. В терминах локальных координат условие, что матрица 7(х) определяет сим- плектическую структуру, накладывает на нее дополнительное требование невырожденности detJ(x)^0 всюду. В этом случае сложные нелинейные уравнения (6.15), выражающие тождество Якоби, упрощаются до системы линейных дифференциальных уравнений, содержащей элементы обратной матрицы К(х) = = И«Г‘-

Предложение 6.15. Матрица J(x) определяет симплектиче- скую структуру на Md IRm, если и только если обратная к ней матрица К (х) = [/ (х)]-1 удовлетворяет следующим условиям*.

кососимметричность:

Кц to = —Кц (Д z> 1=х> •••, m;

замкнутость (тождество Якоби):

дкКиЛ-д^ы + д^ь — О, i, j, k= i, ..., m, (6.20)

всюду.

Доказательство. Эквивалентность условий кососимметричности матриц J и К очевидна. Для доказательства эквивалентности условий (6.20) и (6.15) мы воспользуемся формулой для производной обратной матрицыdkK =— К • dkJ ■ К, где K = JX. Подставляя в (6.20), получаем

m

I VKiiKindJtn + KfelKlndjJln + KnWil1^ = 0.

n=l

Умножая на P1!1’!*^ и суммируя по i, j, к от 1 до пг, получаем (6.15) с несколько иначе расставленными индексами. □ ‘

Отображения пуассоновых многообразий

Пусть М и N — пуассоновы многообразия. Пуассоновым отображением называется гладкое отображение ф: M-*N, сохраняющее скобку Пуассона:

{^оф, 77оф)м —{Т7, Д^оф для всех F, Н: N ->R.

В случае симплектических многообразий это канонические преобразования классической механики. Хороший пример дает поток, порождаемый произвольным гамильтоновым векторным полем.

Предложение 6.16. Пусть М—пуассоново многообразие и vh — гамильтоново векторное поле. Для каждого t поток ехрП^нУ. М-^-М определяет (локально) пуассоново отображение М в себя.

Доказательство. Пусть F и Р — вещественнозначные функции, и пусть ф« = ехр(/Уя). Продифференцировав по t условие Пуассона (Fotpt, P°(pt} = {F, Р}сф#1 получим его инфинитезимальный вариант

&ДП, P} + {F, ^(P)} = vH({F, Р})

в точке фДх). Из формулы (6.4) следует, что это равенство совпадает с тождеством Якоби. При / = 0 ф0 — тождественное отображение и, следовательно, очевидно, пуассоново. Поэтому простое интегрирование доказывает выполнение условия Пуассона при произвольном t. □

Например, для Af=R2 с каноническими координатами (р, q) функция Н = (1/2) (р2 + q2) порождает группу вращений плоскости, задаваемую полем vH = рдч— qdp. Таким образом, каждое вращение в R2 является каноническим отображением.

Поскольку любой гамильтонов поток сохраняет скобку Пуассона на М, в частности, он сохраняет и ее ранг.

Следствие 6.17. Для любого гамильтонова векторного поля хн на пуассоновом многообразии М ранг М в точке ехр(/Уя)х совпадает с рангом М в точке х для любого t е R.

Например, так как начало координат в 5о(3)* является единственной точкой ранга 0, оно будет неподвижной точкой любой гамильтоновой системы в данной структуре Ли—Пуассона. На самом деле любая точка ранга 0 на пуассоновом многообразии является неподвижной точкой любой гамильтоновой системы на нем.

Пуассоновы подмногообразия

Определение 6.18. Подмногообразие N с: М называется пуассоновым подмногообразием, если погружение ср: Д^-М является пуассоновым отображением.

Эквивалентный способ дать это определение состоит в том, что для всякой пары функций F, Н: 2Й^-Й, ограничения которых на N суть функции F, Й*. N->Р, естественное ограничение на N их скобки Пуассона (Т7, Щи является скобкой Пуассона {F, H)N. Например, подмногообразия {z = с} в Rm, m = 2п + I, соответствующие постоянным значениям отмеченных координат, как легко видеть, являются пуассоновыми подмногообразиями с естественно ограниченной на оставшиеся координаты (р, q) скобкой Пуассона.

Есть простой способ проверить, можно ли превратить данное произвольное подмногообразие N а М в пуассоново подмногообразие; ввиду предыдущего замечания редуцированная пуассонова структура, если она существует, определяется однозначно.

Предложение 6.19. Подмногообразие N пуассонова многообразия М является пуассоновым, если и только если TN \итз56\у для всех у е N, т. е. каждое гамильтоново векторное поле на М всюду касается N. В частности, если TN\y=^\y для всех у г N, то N является симплектическим подмногообразием многообразия М.

Доказательство. Так как скобка Пуассона определяется своими локальными свойствами, мы можем без потери общности считать N регулярным подмногообразием многообразия М и

воспользоваться плоскими локальными координатами (у, w) = = (у1, ..., у", w1, ..., wm-n^, в которых N = {(у, ai): w = 0}. Предположим сначала, что N — пуассоново подмногообразие. Пусть R: N-*-R— произвольная гладкая функция. Тогда мы можем продолжить Н до гладкой функции Н; vH^-R, определенной в окрестности подмногообразия N : R = H\N. В наших локальных координатах Н = Н(у) и И (у, w)— произвольная функция, такая, что Н^у, 0) = R^yY Пусть F— аналогичное продолжение функции F: N^-R. Тогда по определению скобка Пуассона функций F и R на N получается ограничением на N скобки Пуассона функций F и Н:

{F, H}n = {F, H^N.

В частности, при любом выборе F, R скобка {F, Я}|ДГ не может зависеть от конкретных продолжений F и Н. Ясно, что это возможно, если и только если (F, НЦЛ? не содержит частных производных ни функции F, ни функции Н по нормальным координатам хи\ так что

VF, н}^=^^ ^%^гУ?м ^тт^?г <6-21) ду* ду’ду* ду*

Но тогда гамильтоново векторное поле vh при ограничении на N принимает вид

^н\М=^71Чу^^Т(6.22)

ду' ду*

и, таким образом, всюду касается N.

Обратно, если для всех у е N выполняется условие касания 36 Ip ст TN |р, то всякое гамильтоново векторное поле после ограничения на подмногообразие N должно быть линейной комбинацией лишь базисных касательных векторов д[ду* и, следовательно, иметь вид (6.22). Если ^(гу) зависит только от w, то (F, И} = Vh^F) должна поэтому обратиться в нуль при ограничении на N. В частности,

{у\ о/} = (ty6, а/} = 0 на N для всех Z, /, к,

и, следовательно, скобка Пуассона на N принимает вид (6.21), где 7Z/(y)j= 7Z/(У, 0) = {у', у1} |АЕ Тот факт, что структурные функции Jt$ (у) индуцированной скобки Пуассона на N удовлетворяют тождеству Якоби, легко следует из (6.15), поскольку при ограничении на N все члены, содержащие w, обращаются в 0. Таким образом, N является пуассоновым подмногообразием, и предложение доказано. Отметим, что ранг пуассоновой струк-

туры на А в точке у е N совпадает с рангом пуассоновой структуры на Л1 в той же точке. □

Пример 6.20. Для структуры Ли — Пуассона на 5о(3)* подпространство 96 \и в точке ие5о(3)* порождено элементарными гамильтоновыми векторами vf = ы3д2 — и2д3, v2 = ихд3 — и3дх, v3 — u2dl — и1д2 (д: = д/ди1), отвечающими координатным функциям их, и2, и3 соответственно. Если и ^ 0, эти векторы порождают двумерное подпространство в 7ео(3)*|ы, совпадающее с касательным пространством к сфере S2 = (u: | и | = р), проходящим через точку u: ^|u = ^p|u. |«|=р. Из предложения 6.19 следует поэтому, что каждая такая сфера является симплекти- ческим подмногообразием в so(3)*. Чтобы вычислить скобку Пуассона двух функций F(0, ф) и Л (6, ф) в сферических координатах и1 = р cos 0 sin ф, и2 = р sin 0 sin ф, и3 = р cos ф на S3, нужно продолжить эти функции на некоторую окрестность сферы Sp, положив, например, F(p, 0, ф) = г(0, ф), Н(р, 0, ф) = = П(6, ф), вычислить скобку Ли — Пуассона {F, Я} и затем ограничить ее на S2. Однако в соответствии с (6.10) (F, R } = = {6, ф) (Р3Нф — РфН6), поэтому на самом деле нам нужно лишь вычислить скобку Ли — Пуассона сферических углов 0, ф:

(0, ф) = —и • (Vu0 X Уиф) = — 1/р sin ф.

Значит, индуцированная скобка Пуассона на S3 cz ёо (3)* имеет вид

т _ -1 ( ^ ^ д^ дЙ А* ’ р sin ф \ 56 5<р 5ф 56 /

Таким образом, если N cz М. — пуассоново подмногообразие, то любое гамильтоново векторное поле v# на М всюду касается N и поэтому естественно ограничивается до гамильтонова векторного поля V# на N, где Н = H\N— ограничение функции Н на N, и для вычисления v^ мы пользуемся индуцированной пуассоновой структурой на N. Если нас интересуют только решения гамильтоновой системы, отвечающей функции Н на А1, с начальными условиями хо е N, мы можем без потери информации ограничиться изучением гамильтоновой системы, соответствующей функции Н на N, понизив тем самым порядок системы. В частности, при нахождении частных решений данной гамильтоновой системы мы можем ограничить ее на минимальное пуассоново подмногообразие в М, на котором лежат начальные данные. Ввиду следующей теоремы эти подмногообразия всегда

оказываются симплектическими, так что всякую гамильтонову систему можно свести к системе с симплектической скобкой Пуассона.

Теорема 6.21. Пусть М — пуассоново многообразие. Система гамильтоновых векторных полей 36 на М интегрируема (г. е. через каждую точку х е М проходит интегральное подмногообразие N системы 36, для которого TN\y = 36\y в любой точке y^N). Всякое интегральное подмногообразие является сим- плектическим подмногообразием в М, и в совокупности эти подмногообразия определяют симплектическое слоение пуассонова многообразия М. Кроме того, если Н: М^-R — произвольный гамильтониан и х(/) = exp(/vH)x0— произвольное решение соответствующей гамильтоновой системы с начальными условиями хое N, то x(t) остается в одном и том же интегральном подмногообразии N: х^ gN для всех t.

Доказательство. Теорема является прямым следствием принадлежащего Херману бесконечномерного обобщения теоремы Фробениуса 1.41. Инволютивность системы 36 следует из того, что скобка Ли двух гамильтоновых векторных полей снова является гамильтоновым векторным полем, см. (6.8). Инвариантность ранга системы 36 обеспечивается следствием 6.17. □

Таким образом, всякое пуассоново многообразие естественно расщепляется на четномерные симплектические подмногообразия— слои симплектического слоения. Размерность любого такого слоя N равна рангу пуассоновой структуры в произвольной точке у г N. Поэтому, если ранг многообразия М не постоянен, размерность симплектических слоев будет различной. В случае so (3)*, например, слоями являются в точности сферы Sp с центром в начале координат, а также особая точка и = 0. Всякая гамильтонова система на М естественно ограничивается на любой симплектический слой. Если нас интересует только динамика частных решений, мы можем ограничить внимание единственным симплектическим подмногообразием, на котором это решение лежит. Например, решения уравнений движения твердого тела (6.18) естественно располагаются на сферах |и| = р.

Теорема Дарбу

Если ограничиться рассмотрением областей, на которых ранг пуассоновой структуры постоянен (в частности, это так на открытом подмногообразии, на котором этот ранг достигает максимума),

геометрическая картина симплектического слоения значительно упрощается. В действительности можно, как и в теореме Фробениуса 1.43 для случая постоянного ранга, ввести специальные локальные координаты, в которых слоение принимает особенно простой, канонический вид. В этом и состоит теорема Дарбу.

Теорема 6.22. Пусть М — произвольное пг-мерное пуассоново многообразие всюду постоянного ранга 2п ^ т. В каждой точке х0 е М существуют канонические локальные координаты (р, q, z) = (р1, .... рп, q\ ..., qn, z1, .... z1), 2n + I = m, в которых скобка Пуассона записывается в виде

m\ = V(»L55_ ^5^L\

V ^dqi apt * dpt dq1)'

Слои симплектического слоения пересекают координатные карты по плоскостям (z* = сь ..., zl = с/}, определяемым отмеченными координатами z.

Доказательство. Если ранг пуассоновой структуры всюду равен 0, то доказывать нечего. Действительно, скобка Пуассона тривиальна: (F, Щ = 0 для всех F, Н, и любой набор локальных координат z = (z1, ..., zz), / = m, удовлетворяет условиям теоремы. В противном случае будем действовать индукцией по «полурангу» п.

Так как ранг в точке х0 отличен от нуля, мы можем найти такие вещественнозначные функции F и Р на М, скобка Пуассона которых отлична от нуля в точке х0:

^F, PHxo) = Vp(FHx^O.

В частности, vP |Хо ^ 0, и с помощью предложения 1.29 мы можем выпрямить поле vp в некоторой окрестности U точки х0 и, таким образом, найти функцию Q(x), для которой

vP(Q) = {Q, Р) = 1

при всех х е U. (В обозначениях предложения 1.29 Q — это координата у1.) Поскольку (Q, Р} — константа, из (6.8) и (6.13) следует, что

[Vp, Vq]=v{q Р) = 0

для всех хе U. С другой стороны, ve(Q) = {Q, Q} =0, и поэтому Vp и vQ образуют коммутирующую линейно независимую пару векторных полей на U. Теорема Фробениуса 1.43 позво-

ляет нам дополнить пару функций р = Р (х), q = Q (х) до системы локальных координат (р, q, у3, ..., ут^ в некоторой, возможно меньшей, окрестности OeU точки хо, где vp = dq, vq——др. Ввиду скобочных соотношений {р, ?}=1, {р, у1} = = 0 = {у, у'}, / = 3, ..., т, структурная матрица принимает вид

/ ° 1°\

Цр, q. у)=| —ioо 1,

X О О J(p, q, yV

где элементы матрицы J равны Jij = (у‘, У), i, / = 3т. Докажем, наконец, что матрица 1 в действительности не зависит от р и q и, следовательно, задает структурную матрицу для скобки Пуассона в переменных у, ранг которой на две единицы меньше ранга матрицы J, что и дает шаг индукции. Для доказательства этого воспользуемся просто тождеством Якоби и предыдущими скобочными соотношениями; например,

^- = Ui!. р} = {{у\ W р^ = ^и аналогичное соотношение выполняется для р. □

Пример 6.23. Вычислим канонические координаты для скобки Ди — Пуассона на so(3)*. Из доказательства теоремы Дарбу ясно, что нам достаточно найти функции Р(и), Q(u), скобка Пуассона которых тождественно равна 1. Здесь функция z = и3 порождает векторное поле вращения v3 = «2di — u1^, которое можно выпрямить с помощью полярного угла 0 = arctg(«2/u‘) при (и1, ы2)^=(0,0). Имеем {0, z}=vg(0) =—1, и поэтому 0 и z образуют каноническую систему координат на симплекти- ческих сферах S2 = {| и | = р}. Действительно, простое вычисление показывает, что если мы перепишем функции F(u) и Н(и) в координатах 0, z и р, скобка Ли — Пуассона будет записываться просто в виде ^F, Н} = FZH$ — F^HZ. Другими словами, несмотря на то что симплектические слои в so(3)* являются сферами, канонические координаты оказываются цилиндрическими!

Коприсоединенное представление

Индуцированное симплектическое слоение для скобки Ли — Пуассона на двойственном пространстве й* к алгебре Ли имеет особенно замечательную интерпретацию в терминах представления, двойственного к присоединенному представлению группы Ли G на алгебре Ли g. (См. § 3.3.) '

Определение 6.24. Пусть G — группа Ли с алгеброй Ли б- Коприсоединенным действием элемента группы g е G называется линейное отображение Ad*g: fl*-»-8* двойственного пространства, удовлетворяющее условию

(Ad* g (to): w) = (m; Adg~'(w))(6.23)

для всех ю e e*, wg g. Здесь ( ; ) — естественное спаривание между б и б* a Adg — присоединенное действие g на б-

Если отождествить касательное пространство Гб*!®, ю е б*, с самим пространством б* (и провести аналогичное отождествление для б), то можно получить инфинитезимальные образующие коприсоединенного действия дифференцированием равенства (6.23):

(ad*v|to; w)= —(ш; adv|w) = (to; [v, w])(6.24)

для v, w e б, to e б* (ср. (3.21)).

Коприсоединенное действие и скобка Ли — Пуассона связаны следующим фундаментальным утверждением.

Теорема 6.25. Пусть G — связная группа Ли с коприсоединенным представлением Ad*G на б*. Тогда орбиты представления Ad*G в точности совпадают со слоями симплектического слоения, индуцированного скобкой Ли — Пуассона на б*. Кроме того, для каждого элемента ge G коприсоединенное отображение Ad*g является пуассоновым и сохраняет слои этого слоения.

Доказательство. Рассмотрим для элемента vg б линейную функцию Н (ш) = Hv (to) = (to, v) на б*- Заметим, что для элемента и е б* градиент \Н(м), рассматриваемый как элемент пространства 7*6* |ю^ б, совпадает с самим элементом v. Используя инвариантное определение (6.17) скобки Ли — Пуассона, получаем

vH(F)(to) = (F, Н) (to) = (со; [VP (to), V/f (<»)]> =

= (a; [VAt®), v]) = (co, ad v (Vf (w))) = = —(ad*v(w); V^t®))

для любой функции F: 6*-*R. С другой стороны, поле vHUW) = <yHU VF(to))

однозначно определено своим действием на всех таких функциях. Мы заключаем, что гамильтоново векторное поле, задаваемое линейной функцией Н = Нх, совпадает с точностью до

знака с инфинитезимальной образующей коприсоединенного представления, определенной вектором veg: хн = —ad*v. Таким образом, соответствующие однопараметрические группы удовлетворяют условию

exp (Ivh) = Ad* [exp (—/ v)].

Предложение 6.16 и обычные соображения связности показывают, что Ad* g является пуассоновым отображением для каждого § Е G.

Кроме того, подпространство Ж\ю, мед*, порождено гамильтоновыми векторными полями хн, соответствующими всем таким линейным функциям Н = Hv, veg; следовательно, Ж | м = ad*g | о совпадает с пространством, порожденным соответствующими инфинитезимальными образующими ad*v|o. Так как ad*g|to в точности является касательным пространством к орбите коприсоединенного представления группы G, проходящей через точку со, то ввиду связности этой орбиты мы немедленно заключаем, что она совпадает с соответствующим интегральным подмногообразием системы Ж. □

Следствие 6.26. Орбиты коприсоединенного представления группы G являются четномерными подмногообразиями в й*.

Пример 6.27. Для группы вращений SO(3) орбитами коприсоединенного представления являются сферы Sp<=so(3)‘, определенные в примере 6.20. Действительно, согласно примеру 3.9, присоединенное действие матрицы вращения 7?eSO(3) на алгебре Ли 50(3) ~R3 совпадает с самим вращением R в стандартном базисе: AdR(v) = Rv, уея(З). Таким образом,представляющая матрица коприсоединенного действия Ad*/? элемента R на 50(3)* в соответствующем двойственном базисе на 50(3)* ~ R3 имеет вид Ad*/? = t,R-iy = R, и поэтому коприсо- единенное представление группы SO(3) совпадает с ее обычным действием на R3 при указанных отождествлениях. В частности, орбиты коприсоединенного действия в точности совпадают со сферами Sp, р^О.

СИММЕТРИИ, ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА

Теорема Нётер описывает связь между однопараметрическими группами вариационных симметрий системы обыкновенных дифференциальных уравнений в лагранжевой форме, т. е. уравнений Эйлера — Лагранжа для некоторой вариационной задачи,

и законами сохранения, или первыми интегралами. Кроме того, знание такого первого интеграла позволяет нам понизить порядок системы на две единицы в случае однопараметрической группы симметрий; поэтому для полного интегрирования в квадратурах нам достаточно найти вдвое меньшее, чем порядок системы, число симметрий. Все эти утверждения переносятся на гамильтонову ситуацию и на самом деле предстают в гораздо более естественном геометрическом обрамлении, чем наши первоначальные результаты в лагранжевом случае. В этом параграфе мы обсуждаем общую теорию симметрий и редукций для конечномерных гамильтоновых систем.

Первые интегралы

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений в гамильтоновой форме

^ = 7(x)VЯ(x, 0,(6.25)

где Н(х, t) — гамильтониан, а 7(х)— структурная матрица, задающая скобку Пуассона. В этом случае первые интегралы легко описываются с помощью скобки Пуассона.

Предложение 6.28. Функция Р(х, t) является первым интегралом гамильтоновой системы (6.25), если и только если

^ + {Р, 7/} = 0(6.26)

для всех х, t. В частности, не зависящая от времени функция Р(х) является первым интегралом в том и только в том случае, если {Р, //} = о всюду.

Доказательство. Пусть мн — гамильтоново векторное поле, задающее уравнение (6.25). Тогда ввиду (1.17) для любого решения х(<) уравнений Гамильтона

4г^кхк^ ^-^Дх^, t) + vH(P)(x(t), 0.

Таким образом, dP/dt = 0 вдоль решений в том и только в том случае, если равенство (6.26) выполняется всюду. □

Вид уравнения (6.26) позволяет сразу выписать некоторые первые интегралы.

Следствие 6.29. Если гамильтониан Н(х) гамильтоновой системы xt = JvH не зависит от времени, то он сам автоматически является первым интегралом.

Следствие 6.30. Любая отмеченная относительно скобки Пуассона, заданной матрицей 7, функция С{х) является первым интегралом гамильтоновой системы xt = J ^Н.

Первые интегралы, задаваемые отмеченными функциями, проистекают из вырожденности самой скобки Пуассона и не имеют отношения к внутренним свойствам симметрии конкретной исследуемой гамильтоновой системы. Если скобка Пуассона симплектична, то отмеченными являются только константы и следствие 6.30 не дает никакой новой информации. Общие поверхности уровня отмеченных функций для пуассоновой структуры постоянного ранга являются слоями симплектического слоения; поэтому следствие 6.30 просто повторяет теорему 6.21 о том, что любое решение целиком лежит в одном симплекти- ческом слое.

Гамильтоновы группы симметрий

Первые интегралы систем уравнений Эйлера —Лагранжа определяются группами вариационных симметрий; для гамильтоновых систем ту же роль играют однопараметрические гамильтоновы группы симметрий, инфинитезимальными образующими которых (в эволюционной форме) являются гамильтоновы векторные поля. Прежде всего легко показать, что всякий первый интеграл приводит к такой группе симметрий.

Предложение 6.31. Пусть Р(х, t) —первый интеграл гамильтоновой системы. Тогда гамильтоново векторное поле vp с гамильтонианом Р порождает однопараметрическую группу симметрий этой системы.

Доказательство. Заметим сначала, что, так как структурная матрица 7 (х) не зависит от t, гамильтоново векторное поле с гамильтонианом dP/dt есть dvP/dt— производная по t поля с гамильтонианом Р. Таким образом, гамильтоново векторное поле, построенное по сумме dP/dt -f- (Р, Щ, входящей в равенство (6.26), с учетом (6.8) имеет вид

^/^ + [уд, vp].

Если Р — первый интеграл системы, это векторное поле обращается в нуль, а это и есть условие (5.26) того, что vP порождает группу симметрий. □

В частности, если функция //(х) не зависит от времени, связанная с ней группа симметрий порождена полем vH и совпадает с группой сдвигов по времени, порожденной образующей dt, что отражает автономность гамильтоновой системы. Симметрия, отвечающая отмеченной функции С(х), тривиальна: vc^O.

Пример 6.32. Рассмотрим уравнения гармонического осциллятора pt = —q, qt = р, образующие гамильтонову систему на плоскости М = R2 с канонической скобкой Пуассона. Гамильтониан H(q, р) = (1/2) (р2 + ?2), таким образом, является первым интегралом. Это отражает тот факт, что движение происходит по окружностям р2 + у2 = const. *

Не всякая гамильтонова группа симметрий непосредственно соответствует первому интегралу. Например, векторное поле w = —(р2 + q^^t.pdp + qdq) на многообразии М=М\[(р, 0): р ^ 0} порождает группу симметрий. Более того, поле w = vp- гамильтоново с гамильтонианом Р^р, q) = arctg(y/p). Но Р не является первым интегралом; на самом деле для решения (р(0, ?(/)) системы P(p(f), q(t))= ? + 6о — линейная функция от L

В этом и в более общем случае проблема состоит в том, что между гамильтоновыми векторными полями и соответствующими им гамильтонианами нет взаимно однозначного соответствия. Например, функция Р(р, q, /) = arctg(^/p)—t, которая является первым интегралом для осциллятора, имеет то же гамильтоново векторное поле vp = w = vp что и Р. Более общо, от прибавления к данной функции Р произвольной зависящей от времени отмеченной функции С(х, 0 (т. е. при каждом фиксированном значении t функция С является отмеченной) ее гамильтоново векторное поле не меняется. Теперь, когда мы поняли возможность модификации функции, задающей гамильтонову группу симметрий, мы готовы доказать предложение, обратное предыдущему. В этом и состоит гамильтонов вариант теоремы Нётер.

Теорема 6.33. Векторное поле w порождает гамильтонову группу симметрий гамильтоновой системы обыкновенных дифференциальных уравнений тогда и только тогда, когда существует такой первый интеграл Р(х, t), что w = vP— соответствующее гамильтоново векторное поле. Вторая функция Р^х, t) опреде-

ляет ту же самую гамильтонову симметрию в том и только в том случае, когда Р = Р + С для некоторой зависящей от времени отмеченной функции С (х, О.

Доказательство. Второе утверждение непосредственно следует из определения 6.3 отмеченной функции, примененного к разности Р— Р. Чтобы доказать первую часть, положим w = vp для некоторой функции Р(х, /). Из условия симметрии (5.26) следует, что гамильтоново векторное поле, соответствующее функции dP/dt + (Р, И}, всюду обращается в нуль, и поэтому данная функция должна быть зависящей от времени отмеченной функцией С(х, Гу

dPdtdPdt^+(л m=c.^+(л m=c.

dPdt

dPdt

^+(л m=c.

^+(л m=c.

тоже является от-гамильтоиовой си-тоже является от-гамильтоиовой си-Положим С (x, /) = ^ С (х, т) du; функция С о

тоже является от-

гамильтоиовой си-

тоже является от-

гамильтоиовой си-

меченной. Кроме того, вдоль решения x(Q

dC dtdC dt^+{с, щ=с.^+{с, щ=с.стемы

dC dt

dC dt

^+{с, щ=с.

^+{с, щ=с.

Легко видеть теперь, что подправленная функция Р — Р—С имеет то же гамильтоново векторное поле vP = w и задает первый интеграл: вдоль решений dP]dt — 0. □

В частности, если скобка Пуассона симплектична, то единственными зависящими от времени отмеченными функциями являются функции С(Гу зависящие только от Г В этом частном случае теорема 6.33 утверждает, что гамильтоново векторное поле v~ порождает группу симметрий тогда и только тогда, когда существует функция С (Гу такая, что функция Р(х, Г) = = Р(х, Г)—С (Г) является первым интегралом. Заметим, что, даже когда обе функции Н(х) и Р(х) не зависят от времени, первый интеграл Р(х, t) = Р(х) —С(£) может оказаться зависящим от времени! (Именно такой случай имел место в примере 6.32.) Дальнейшие сведения об этом случае см. в упр. 6.2.

Пример 6.34. Уравнения движения п материальных точек, попарные взаимодействия которых определяются потенциальными силами, обсуждавшиеся в примере 4.31, можно привести к каноническому гамильтонову виду. За канонические координаты примем положения q, = (х\ у*, г') и импульсы р, = (|‘, т)‘, ^‘) —

= m,q,, 1=1, .... п. Гамильтонианом является полная энергия Нкр, q^K^-^U^^-^-V £>^(1^-4,!),

i=lKi

где потенциал V(r) зависит только от расстояния между точками. Уравнения движения имеют вид

dt dqt ’ dt mi*

Некоторые геометрические группы симметрий видны непосредственно. Одновременный сдвиг всех масс в данном направлении а = (а1, а2, а3) порожден гамильтоновым векторным полем п

', = ?(<>'АК-^К4т1

р V дх1 ду* дг*)

и соответствует первому интегралу P=2^a-pz, представляющему собой импульс в данном направлении. Аналогичным образом, группа SO(3) одновременных вращений всех масс относительно начала координат порождает интегралы моментов количества движения. Например, момент количества движения Q = ^ (х*т]* — у1^ относительно оси г порождает группу симметрий

п

~ W I д <д . д i д \

одновременных вращений относительно оси г. Помимо шести законов сохранения импульса — трех компонент импульса и трех компонент момента количества движения — постоянство самого гамильтониана обеспечивает закон сохранения энергии. Еще три первых интеграла порождены равномерным движением центра масс, что дает еще три группы гамильтоновых симметрий. Например, в направлении оси х имеем

R=^ т^1 — t V = const,i — 1t=l

и, следовательно, векторное поле

'«—1(,^7 + ",-^г)

порождает однопараметрическую группу галилеевых преобразований.

Понижение порядка в гамильтоновых системах

Понижение порядка в гамильтоновых ситемах обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью группы симметрий выполняется аналогично методам § 4.3 для уравнений Эйлера— Лагранжа, но к тому же получает при этом немедленную геометрическую интерпретацию. Заметим, что, если исходная скобка Пуассона вырожденна, мы всегда можем ограничиться рассмотрением отдельного симплектического слоя. Таким образом, всякая непостоянная отмеченная функция понижает порядок системы на единицу. Остальные первые интегралы, порождающие нетривиальные группы симметрий, позволяют понизить порядок на две единицы. Ограничимся для простоты не зависящими от времени первыми интегралами.

Теорема 6.35. Предположим, что векторное поле vp =/= О порождает гамильтонову группу симметрий гамильтоновой системы х = J^H, соответствующую не зависящему от времени первому интегралу Р^х1). Тогда существует редуцированная гамильтонова система, число переменных в которой меньше на две единицы, такая, что любое решение исходной системы может быть получено одной квадратурой из некоторого решения редуцированной системы.

Доказательство. Доказательство такое же, как и в первом шаге доказательства теоремы Дарбу 6.22. Введем новые переменные р = Р^, q = Q(x), у — (у1, ..., у,п-2) = У(х), выпрямляющие симметрию, так что vp = дч в координатах (р, q,y). Структурная матрица в этих координатах принимает вид

(

О 1 0\

— 1 0 а I,

О —aF

где а^р, q, у) —вектор-строка длины m— 2, а 7(р, у) —кососимметричная матрица размера ( пг— ^УДт— 2), не зависящая от q и для каждого фиксированного значения р являющаяся структурной матрицей скобки Пуассона в переменных у. (Если координаты у = (у1, ..., ут~2) выбраны плоскими, как и при доказательстве теоремы Дарбу, то а = 0 и матрица 7 (у) не зависит и от р, как мы видели ранее. Однако для процедуры редукции в этом нет необходимости, а выбор таких координат на практике не всегда осуществим.) Доказательство предыдущих утверждений относительно структурной матрицы проводится аналогично «плоскому» случаю.

При любом фиксированном значении первого интеграла р = Р(х) редуцированная система будет гамильтоновой относительно редуцированной структурной матрицы 7 (р, у). Заметим, что в координатах (р, q, у)

О = (р, Я} = — vP (Н) = - дН/дд,

и, следовательно, функция Н = Н(р, у) также зависит только от р и у. Поэтому уравнения Гамильтона принимают вид

# = 0,(6.27а)

т—2

^ = -^+Ха^Р‘ ti^’<6'27Ь)

dt дрду*

. т—2

^=^14^^^^i==x^^m_^(6-27с)

dtду*

Первое равенство утверждает (как и должно быть), что р постоянно. При фиксированном значении р т— 2 уравнений (6.27с) образуют гамильтонову систему относительно структурной матрицы /(р, у) с гамильтонианом Н(р, у)-, это и есть редуцированная система, о которой говорится в теореме. Наконец, уравнение (6.27b) описывает эволюцию во времени последней координаты q. Так как его правая часть не зависит от q, то, зная решение редуцированной системы (6.27с), мы можем проинтегрировать его с помощью единственной квадратуры. □

Пример 6.36. Рассмотрим на М = R4 с канонической скобкой Пуассона гамильтониан вида

Н (Pv Ру qv q^ = 4 (Pi + Р2) + V (^i ~ 42\

Соответствующая гамильтонова система

■^—P„ -^-й. ^ — V'te-ti, la.=v4qv-ti (6.28) описывает движение пары частиц единичной массы на прямой, взаимодействие между которыми задается потенциалом Г(г), зависящим от их взаимного расположения. Эта система, очевидно, инвариантна относительно сдвига v = d9l-f-d92, причем соответствующий интеграл — импульс pi + р2. Согласно теореме 6.35, мы можем понизить порядок системы на две единицы,

введя новые координаты

p = Pi + №, 9 = 9ь y — Pv, r==q\ — q^

выпрямляющие поле v = с^ . В новых переменных гамильтониан принимает вид

Н (р, у, r) = y2 — py + ^p2 + V (г),(6.29)

а скобка Пуассона равна

т.dF дН , дРдН дР дНдР дНдР дНдР дН

* ’'dq ду ‘ дгд у' dq дрду dqdy drдр dq "

Далее, гамильтонова система расщепляется на две:

dp дН „ dq дН . дН dtdq ’ dt dp * dy "

И dydHдН\^г дН«

457" =75— ■ V (г), -п- = '^— = 2у — р. (6.30)

dtdqdr'dtdya r x i

Решение первой пары уравнений

р = a, q=^y(t)dt + b

(а и b постоянные) можно получить из решений второй пары (6.30). Последние образуют редуцированную гамильтонову систему относительно скобки Пуассона {/, Я) = FrHy — FyHr для функций, зависящих от у и г, с энергией (6.29), если положить р — а. Вскоре мы увидим, как можно явно проинтегрировать двумерную систему (6.30), решив, таким образом, исходную систему для двух частиц.

Как и в случае общего метода редукции для обыкновенных дифференциальных уравнений, если векторное поле vp, соответствующее первому интегралу Р, оказывается слишком сложным, не всегда можно явно найти выпрямляющую его замену координат, и поэтому редукцию нельзя завершить. (Конечно, если Р является первым интегралом, то понижение порядка на единицу возможно всегда.) Если, например, гамильтониан Я(х) не зависит от времени, то он дает первый интеграл, однако задача выпрямления соответствующего векторного поля vh совпадает с задачей решения самой гамильтоновой системы! В этом частном случае, однако, ввиду того, что поле vh эквивалентно образующей dt симметрии сдвига по времени, мы можем понизить порядок системы на две единицы, если нас устраивает переход к зависящему от времени гамильтониану.

Предложение 6.37. Пусть х = J VH — гамильтонова система, в которой Н(х) не зависит от t. Тогда существует редуцированная зависящая от времени гамильтонова система, число переменных в которой на две единицы меньше, такая, что решения исходной системы можно получить из решений редуцированной системы с помощью квадратур.

Доказательство. Само по себе понижение порядка на две единицы получается легко. Во-первых, ввиду постоянства гамильтониана Н мы можем перейти на поверхность уровня Н (х) = с, понизив при этом порядок на единицу. Далее, получившаяся система остается автономной, и поэтому ее порядок снова можно понизить, используя метод примера 2.67. Проблема в том, что при неаккуратном выборе координат гамильтоно- вость полученной такой редукцией системы оказывается неочевидной.

Легче всего начать с введения координат (р, q, у), использовавшихся при доказательстве теоремы Дарбу 6.22, в которых исходная система принимает вид

.т—2

^ = _ 8", А,»», А = У J-I№«L, <=1„_2.

<ltdq dt dp dtdy*

Предположим, что дН/др =# 0, так что мы можем найти локальное решение уравнения w = H(p,q,y) относительно р-.р — = K(w,q,yy (Если дН/др = 0 всюду, то q является первым интегралом, и применима предыдущая процедура редукции!) Приняв t, w и у за новые зависимые переменные, a q за новую независимую переменную, перепишем систему в виде

dt \ _ дК du) пал \

dq ~ dH/dp dw ’ dq ~U’(O.dla)

. m—2m— 2

= £ r4ih™^- = £(6-31b)

dqdHIdpdy1

Система (6.31b) является гамильтоновой относительно структурной матрицы J (у) и гамильтониана К(w, q, у^. Решив при данном фиксированном значении w систему (6.31b), мы можем из уравнения (6.31а) найти оставшуюся переменную t(q) с помощью единственной квадратуры. Этим завершается доказательство. □

Пример 6.38. Мы можем использовать этот метод для явного интегрирования автономной гамильтоновой системы

qt = дН(др, Pt = — dHjdq

на плоскости. Выразим сначала из уравнения w = H(p, q) одну из координат, скажем р, через q и ш, причем w является константой. При этом первое уравнение остается автономным уравнением относительно q, и его можно решить с помощью квадратуры. Например, для простого маятника H(p,q) = = (1/2)/?2 + (1—cos q), поэтому на кривой уровня Я = ю+1, р = V2 (ю + cos q). Оставшееся уравнение

dqjdt = р = V2 (to + cos у)

разрешимо с помощью эллиптических функций Якоби q (0 = 2 sin-1 {sn ^к-х (/ + б), /г)},

где модуль функции sn равен к = V2/(to + 1).

Аналогично, для системы двух точек на прямой из примера 6.36, полагая Я (у, г) = со + (1/4) р2, находим

У = ^-р± Vю —^(г), откуда решение восстанавливается простым интегрированием уравнения

"27 = 2у — р = ±2 V® —^(г).

Пример 6.39. Рассмотрим уравнения движения твердого тела (6.18), представленные в виде гамильтоновой системы на so(3)*. Отмеченная функция С(ц) —|п|2 естественно понижает порядок системы на единицу при ограничении на ее поверхность уровня (орбиту коприсоединенного представления). Если не все моменты инерции Л, /г, Л равны между собой, то сам гамильтониан дает еще один независимый первый интеграл. Отсюда заключаем, что интегральные кривые данного гамильтонова векторного поля даются пересечением сферы {С(ц) = |ц|2 = с} и эллипсоида {Я(ц) = ю}, образующим общее множество уровня этих двух первых интегралов. Явные решения можно получить, исключив две из переменных, скажем и2 и w3, из пары уравнений C(u)=c, Н(и) = <<>. Оставшееся уравнение относительно uv=y является по предложению 6.37 автономным, и поэтому его можно проинтегрировать. Оказывается, оно имеет вид

■^- = Va(₽2 — ^(Y2 — !^.

и, значит, решения выражаются через эллиптические функции. Явную формулу и ее геометрическую интерпретацию можно найти в книге Whittakez [1, гл. 6].

Редукция с помощью многопараметрических групп

Как мы уже видели, в случае уравнений Эйлера — Лагранжа (ср. упр. 4.11) гамильтонова система, допускающая г-парамет- рическую группу симметрий, не всегда допускает понижение порядка на 2г единиц, даже если эта группа разрешима. В гамильтоновом случае, однако, можно вычислить степень понижения порядка, которой удается достичь. Интересно, что этот вопрос тесно связан со структурой коприсоединенного действия группы симметрий на своей алгебре Ли. Начнем с рассмотрения примера.

Пример 6.40. Рассмотрим на многообразии М = R4 с каноническими координатами (р, р, q, q) гамильтониан вида Н (р, р^, 0, Уравнения Гамильтона имеют вид

т=°. тт—™- т=-р»н- ж-н»- <6М>

где г = реч— второй аргумент функции Н. Эти уравнения допускают двупараметрическую группу симметрий, порожденную векторными полями

V = dq, W = — рдр + qdq + dq, соответствующими двум первым интегралам Р = р, Q = pq + ф р. Несмотря на это, в общей точке мы можем понизить порядок системы (6.32) лишь на две единицы! На самом деле эту редукцию можно провести четырьмя различными способами, и мы рассмотрим их по очереди.

Проще всего непосредственно использовать два первых интеграла и ограничить систему на общую поверхность уровня. Пусть s = pq + р, так что s и р— постоянные. Рассматривая р, р, г, s как новые переменные (это возможно, если р#=0), запишем редуцированную систему в виде

—Н„ ^—ГН,.(6.33)

который является гамильтоновым относительно редуцированной скобки Пуассона {F, H} = r(FrHp— FpHr\ Однако система (6.33) не сохраняет свойств инвариантности системы (6.32) относительно полей v и w; поэтому, если не накладывать специальных условий на функцию H(p,r,t) (скажем, независимость от времени), дальнейшее понижение порядка невозможно.

Другой способ: мы можем использовать процедуру ре- цукции из теоремы 6.35 по отношению к гамильтоновой симметрии V. Координаты уже имеют подходящий вид, если положить (/^(р,^). Фиксируя р, видим, что после решения третьего

и четвертого уравнений в (6.32) относительно р и q мы можем определить q с помощью квадратуры. Редуцированная система относительно р и q является канонической гамильтоновой системой, но вторая группа гамильтоновых симметрий исходной системы не дает ни симметрии, ни первого интеграла. Вновь порядок можно понизить только на две единицы.

Редукция с помощью группы симметрий, порожденной полем w, приводит к аналогичным выводам. Подходящие плоские координаты имеют вид s = pq + р, q, r — реч и_х = qe~5; в этих координатах w = d$, H — H(s — rz, г, t)= H(r, s, z, 0- Система принимает вид

-4г = 0,=(6.34)

dt ’ dtdtdt r ''

При фиксированном s третье и четвертое уравнения образуют гамильтонову систему, решения которой позволяют вычислить q посредством квадратуры. Вновь не имеется ни симметрии, ни первого интеграла, отражающих инвариантность исходной системы относительно поля v.

Мы можем, наконец, полностью игнорировать гамильтонову структуру системы (6.32) и понижать порядок с помощью процедуры § 2.5. Заметив, что [v, w] = v, понизим порядок сначала с помощью v, это просто. А именно, зная решение первого, третьего и четвертого уравнений в (6.32), мы можем определить ^(/) посредством квадратуры. Полученная система третьего порядка сохраняет инвариантность относительно редуцированного векторного поля w = — рдР + дд. Положим г = = реч и примем за переменные г, р, q. Полученный результат совпадает с системой (6.33), и q (а таким образом и q) могут быть определены посредством квадратуры. Как и в случае (2), дальнейшая редукция, вообще говоря, невозможна!

Наконец, отметим, что при некоторых начальных условиях, скажем р = 0, решение можно выписать посредством одних квадратур. Таким образом, степень возможной редукции, оказывается, зависит как от структуры группы симметрий, так и от начальных условий, при которых мы ищем решение.

Гамильтонова группа преобразований

В дальнейшем рассматриваемая группа симметрий будет предполагаться гамильтоновой в следующем строгом смысле.

Определение 6.41. Пусть М — пуассоново многообразие. Пусть G— группа Ли со структурными константами cq, I, j, k = 1г, в некотором базисе ее алгебры Ли g. Функции

Pi, ..., Pr; М -* R порождают гамильтоново действие группы G на М, если их скобки Пуассона удовлетворяют соотношениям

{₽,.₽,} =-g/?A ‘•' = |'■

Заметим, что благодаря условиям (6.8) соответствующие гамильтоновы векторные поля v, = vPi удовлетворяют тем же (с точностью до знака) коммутационным соотношениям

[*р vj = Z c^vk

и поэтому по теореме 1.57 задают локальное действие группы G на М. Мы будем говорить, что G является гамильтоновой группой симметрий для данной гамильтоновой системы на М, если каждая из ее порождающих функций Р, является первым интегралом: ^Р,, Н} = 0, Z = 1, .... г, откуда следует, что каждое векторное поле v, порождает однопараметрическую группу симметрий.

Как мы видели в § 2.5 и упр. 3.12, любая система дифференциальных уравнений первого порядка на многообразии М, допускающая регулярную группу симметрий G, сводится к системе первого порядка на фактормногообразии М/G. (Конечно, если группа G неразрешима, мы не сможем восстановить решения исходной системы по решениям приведенной системы с помощью квадратур, но в данный момент нас это не интересует.) В случае когда многообразие М пуассоново, a G является гамильтоновой группой преобразований, фактормногообразие естественным образом наследует пуассонову структуру, относительно которой редуцированная система оказывается гамильтоновой. Кроме того, степень вырожденности скобки Пуассона на М/G будет определять, насколько мы можем понизить порядок системы с помощью отмеченных функций на факторпро- странстве.

Теорема 6.42. Пусть G — гамильтонова группа преобразований, регулярно действующая на пуассоновом многообразии М. Тогда фактормногообразие М/G наследует пуассонову структуру, так что для любой пары функций F, Н: MjG->R, соответствующих G-инвариантным функциям F, Н; M-»-R, их скобка Пуассона {F, Н}М1а соответствует G-инвариантной функции {Р,Щм. Кроме того, если G — гамильтонова группа симметрий гамильтоновой системы на М, то существует редуцированная гамильтонова система на М/G, решения которой являются проекциями решений исходной системы на М.

Доказательство. Прежде всего заметим, что скобка Пуассона {F, Н^ двух G-инвариантных функций является G-инвариантной функцией; это непосредственно следует из тождества Якоби и связности группы G. Действительно, для i = 1, ..., г

vAVF. H}) = {{F, Н^ Pi} = ({F, pj, Я} + {Р, VH, р^=о, так как F и H инвариантны, что и доказывает выполнение условия инфинитезимальной инвариантности (2.1). Таким образом, скобка Пуассона корректно определена на М/G; проверка условий определения 6.1 тривиальна.

Пусть теперь G является гамильтоновой группой симметрий гамильтониана Н: AI-*R; тогда Н автоматически является G-инвариантной функцией: у;(Я) = (Я, Р,} = 0, так как каждая из функций Pi по предположению — первый интеграл. Пусть Н: M/G^-R— соответствующая функция на фактормногообра- зии. Чтобы проверить, что соответствующие гамильтоновы векторные поля связаны между собой естественной проекцией л: M^MJG: ^п(ун^ = у^, достаточно заметить, что ввиду определения (1-24)

dit (v^ (F) ° л = уя [F ° л] = (Р ° л,« Н}м

для любой функции F: M/G^^. Но в силу определения скобки Пуассона на М/G это выражение равно

(F, Й}м/оол = уй(Р)ол,

и соответствие доказано. □

Пример 6.43. Рассмотрим евклидово пространство R6 с каноническими координатами (р, q) = (р1, р2, р3, у1, у2, р3). Функции

Р, = ^рЗ — дЗрг, р2 = ^pi — pip3, р3 = qip2 _ q^pV удовлетворяют скобочным соотношениям

№. Р2} = Р3, {Р2, Рз} = Рц №. PJ = P2

и поэтому порождают гамильтоново действие группы вращений SO(3) на R6, которое на самом деле имеет вид (р, q^—* v—^Rp,Rq), Ре 50(3). Это действие регулярно на открытом подмножестве М= {(р, q): р, q линейно независимы}, его орбиты трехмерны, а глобальные инварианты имеют вид

Мр, q^^pf, n(p, q)=p-q, t(p, 4)=^^-

Таким образом, мы можем отождествить соответствующее фак- тормногообразие с подмножеством M/G~ {(х, у, z): х > 0, z > 0, у2 < 4xz} в R3, в котором введены новые координаты х = I, у = Ц, z = £.

Как вычислить редуцированную скобку Пуассона на M/G? Ввиду предложения 6.10 нам достаточно вычислить базисные скобки Пуассона между инвариантами 6, rj, £ с помощью скобки Пуассона на самом многообразии М, а затем выразить их через сами эти инварианты. Например, из равенства

«• 4>-Z(7irf7-TTT7)--Z('’')2--26

V дд* др* др dg* / "

получаем {х, y\M!G = — 2х. Аналогично, скобочные соотношения {I, 9 = —Ц, (ц, 9 = —2^ на М приводят к структурным функциям {х, z}MIG = — у, {у, z}MIG = — 2z на М/G. Таким образом, структурная матрица на М/G равна

/ 0 —2х —у \

J/G = l 2х 0 —2z 1,V у 2z 0 /

а скобка Пуассона имеет вид

{Л Н\ = -2x(FKHy - FtiHx^ - y^FxHz - F2H J - 2z (FhH2 - F2Hy\

Любая гамильтонова система на Af, для которой моменты количества движения Р, являются первыми интегралами, сводится к некоторой гамильтоновой системе на M/G. Такова, например, общая задача Кеплера о движении массы в центральном поле сил с потенциалом У(г). Гамильтонианом в данном случае является энергия Н^р, q) = (1/2) |р|2 + У(|у|). Для получения редуцированной системы на М/G выразим Н через инварианты и восстановим гамильтоново векторное поле с помощью данной скобки Пуассона. Редуцированный гамильтониан примет вид Н (х, у, z) = х + K(z), где У (z) = У (V2z), а редуцированная система имеет вид

xt = — yV4z\ yt = 2x — 2zV'(z), zt = y. (6.35) (Возможно, читатель получит удовольствие, выведя эти уравнения непосредственно из уравнений Гамильтона на М.)

Многообразие М/G трехмерно, поэтому на нем существует по крайней мере одна отмеченная функция. Легко видеть, что это функция С (х, у, z) = 4xz— у2, инвариантная относительно любой гамильтоновой системы на MfG. (В исходных переменных С = |рХу|2.) Гиперболоиды 4xz — у2 = к2, будучи поверх-

ностями уровня функции С, являются слоями симплектического слоения, и мы можем ограничить систему (6.35) на любой такой слой. Окончательно редуцированная система записывается в координатах (х, z) в виде

xt = — V4xz — к2 V' (z), zf = V^xz — к2 (6.36) и является гамильтоновой относительно индуцированной скобки Пуассона {F, Н) =—V^z — к2 (FXHг — FZHX) на гиперболоиде. Эту последнюю двумерную систему можно решить методом предложения 6.37, и поэтому редуцированная система (6.35) разрешима в квадратурах. Однако на этом этапе мы не можем использовать данное решение для интегрирования исходной задачи о притяжении к центру, так как группа 50(3) не разрешима. Но, как мы вскоре увидим, эту трудность можно обойти с помощью иного подхода к процедуре редукции.

Отображение момента

Приведенный выше подход к задаче редукции, несмотря на обращение к геометрии, сохраняет необходимость в вычислениях. Проблема в том, что мы сосредотачиваемся на более сложном аспекте гамильтоновой группы симметрий, а именно рассматриваем ее как группу преобразований и забываем про имеющиеся первые интегралы до тех пор, пока не окончена редукция по симметрии. Здесь они проявляют себя как отмеченные функции. Логичнее было бы сначала ограничить систему на их общее множество уровня, а затем завершить редукцию с помощью остаточной симметрии полученной системы. Оказывается, что эта процедура эквивалентна приведенной выше, но мы сохраняем больше шансов на восстановление решения исходной системы посредством одних квадратур.

На первом шаге следует придать первым интегралам, доставляемым гамильтоновой группой симметрий, более естественную структуру. Здесь и появляется алгебра, двойственная к алгебре Ли симметрий, и, следовательно, коприсоединенное действие.

Определение 6.44. Пусть G— гамильтонова группа преобразований, действующая на пуассоновом многообразии М, порожденная вещественнозначными функциями Рь ..., Рг. Отображение момента для группы G — это гладкое отображение Р: М^$*, задаваемое формулой

Р(х)=£рДх)со;,

Z-1

где {анЮг} — базис в д*, двойственный к базису {vi, ... ..., vr) в g, относительно которого вычислены структурные константы с^.

Ключевое свойство, которое объясняет, почему мы требуем, чтобы отображение момента принимало значения в д*,— это его инвариантность (или, точнее, «эквивариантность») относительно коприсоединенного представления группы G на д*.

Предложение 6.45. Пусть Р: ЛГ^-д* — отображение момента, определенное гамильтоновым действием группы G на пуассоновом многообразии М. Тогда

Р (g • х) = Ad* g(P(x))(6.37)

для всех xgM, geG.

Доказательство. Как обычно, достаточно проверить справедливость инфинитезимальной формы этого равенства:

dP (vj к) = ad* Vj |p w, хе M,(6.38)

для любой образующей v/eg, /= 1, .... г, группы G. Отождествив Гд*^^ с самим пространством g*, получаем

dp ^i lx) = £ V/ (Л) toi = § Vpp PA W ®, = - I ^Pk (x) (o„1 — 1I- 1l> R—I

cp. (1.24), (6.4). Ввиду равенства (6.24) это выражение совпадает с правой частью равенства (6.38).

Чтобы доказать равенство (6.37), заметим, что, дифференцируя по е равенство g = exp(ev/), получаем равенство (6.38) в точке х = exp (ev,) х. Так как оно выполняется при всех х, обычные соображения связности доказывают справедливость равенства (6.37) в целом. □

Пример 6.46. Рассмотрим гамильтоново действие группы 50(3) на R6, описанное в примере 6.43. Отображение момента имеет вид

Р (р, q) = (qV — TW ю, + (^Р1 — ^’р3) ®2 + (р’р2 — qV^ Юз. где {(01,(02. ю3} — базис в пространстве so(3)* из примера 6.9. Заметим, что при отождествлении so(3)* с R3 функция Р^р, q^ = = q'Kp совпадает с векторным произведением векторов в R3. В этом случае 50(3) действует на до(3)* вращениями, и эквивариантность отображения момента есть просто переформули-

ровка инвариантности векторного произведения относительно вращений: R (q X р) = (Rq) X (Rp) для Ре SO(3).

Далее, всякая гамильтонова система с гамильтоновой группой симметрий G, как отмечалось раньше, естественно ограничивается до системы обыкновенных дифференциальных уравнений на общем множестве уровня {Р, (х) = с,} данных первых интегралов. Заметим, что эти общие множества уровня суть просто множества уровня отображения момента, которые мы будем обозначать через 9'а = \х; Р(х) = а}, где а^^с^е е д*. Кроме того, приведенная система автоматически сохраняет инвариантность относительно остаточной группы, симметрий

'Ga = {g^G: g'^C^},

состоящей из элементов, сохраняющих выбранное множество уровня. Вот простое описание этой остаточной группы.

Предложение 6.47. Пусть Р: М^-ц*— отображение момента, ассоциированное с гамильтоновым действием некоторой группы. Тогда остаточная группа симметрий множества уровня Sa = {Р (х) = а} совпадает с подгруппой изотропии элемента а е д*:

Ga = {geG: Ad*g(a) = a}.

Кроме того, если элемент geG переводит некоторую точку хе Sa в точку g-xeSa, то g лежит в Ga и обладает этим свойством для всех х е Sa.

Доказательство. По определению g е Ga тогда и только тогда, когда Р(Д-Х)= а, если Р(х) = а. Но ввиду эквивариантности Р

a = Р (g • х) = Ad* g(P (х)) = Ad* g (a),

и поэтому g лежит в подгруппе изотропии элемента а. Второе утверждение легко следует из этого равенства. □

Заметим, что остаточная алгебра Ли, соответствующая группе Ga, совпадает с подалгеброй изотропии ga={veg: ad*v|a = 0}, которую можно непосредственно вычислить. В частности, размерность группы Ga совпадает с размерностью ее алгебры Ли ga. Например, если группа Ли G абелева, то ее коприсоединенное представление тривиально, Ad*g(a) = a для всех g^G, a ед*; поэтому Ga = G для каждого а. Таким образом, всякая гамильтонова система, допускающая абелеву гамильтонову группу симметрий, остается инвариантной относи-

тельно полной группы даже после ограничения на общее множество уровня ^а. Отсюда следует, что мы всегда можем понизить порядок такой системы на 2г единиц, т. е. на удвоенную размерность группы. В качестве второго примера рассмотрим двупараметрическую разрешимую группу из примера 6.40. В этом случае отображение момента имеет вид

Р(р, q* Р, 9) = P®i + (P9 + p)to2, где (mi, со2} — базис в пространстве д*, двойственный к базису {v, w} в алгебре Ли д. Коприсоединенное представление элемента g = exp (eiv + e2w) имеет вид

Ad* g (cjtoj + c2co2) = e-®2c1tol + (e^-1 (e-62 — 1) c, + c2) co2

(с подходящими предельными значениями при В2 = 0). Таким образом, подгруппа изотропии любого элемента а — ci<oi + + с2со2 тривиальна, если только Ci ^ 0; в противном случае она совпадает со всей группой G. Мы ожидаем поэтому, что при Ci #= 0 ограничение гамильтоновой системы с группой симметрий G на множество уровня ^ = {р = cb pq -|- р — с2} не имеет остаточной группы симметрий, а при Ci=0 остаточная группа симметрий совпадает со всей группой G. В точности это мы и наблюдаем.

Идея состоит в том, чтобы, ограничив гамильтонову систему на множество уровня 9а, использовать методы § 2.5 для дальнейшего понижения порядка с помощью остаточной группы симметрий Ga. При некоторых предположениях о регулярности действия группы фактормногообразие ^a/Ga, на котором будет определена окончательно редуцированная система, можно естественным образом отождествить с некоторым пуассоновым многообразием в М/G. Таким образом, окончательно редуцированная система сама наследует гамильтонову структуру. В частности, если остаточная группа Ga (а не сама группа G) разрешима, мы можем восстановить решения исходной системы на 9а по решениям окончательно редуцированной системы на 9а/Ga посредством квадратур. Приведем общее утверждение.

Теорема 6.48. Пусть М— пуассоново многообразие, a G — регулярная гамильтонова группа преобразований. Пусть а е д*. Предположим, что ранг отображения момента Р: М-*§* максимален всюду на множестве уровня 9а = Р-1 {«} и что остаточная группа симметрий Ga действует на подмногообразии 9а регулярно. Тогда существует естественное погружение ф, превращающее многообразие 9а/Ga в пуассоново подмногообразие

в М/G таким образом, что диаграмма

(6.39)(6.39)

(6.39)

(6.39)

коммутативна. (Через л и ла обозначаются естественные проекции, через i— погружение 9sа как подмногообразия в М.) Кроме того, любая гамильтонова система на М, допускающая G в качестве гамильтоновой группы симметрий, естественным образом ограничивается до систем на других пространствах в диаграмме (6.39), которые являются гамильтоновыми на M/G и на 9’a/Ga и связаны соответствующими отображениями. В частности, гамильтонова система на ^a/Ga получается путем ограничения на 9^а и последующей проекции с помощью ла.

Доказательство. Будем предполагать, что G— глобальная группа преобразований, хотя доказательство легко переносится и на локальный случай. Согласно диаграмме, если х = Ла(х)е eS’a/Ga, то мы должны положить ф(х) = л(х)еМ/6. Заметим, что яа(х) = Ла(^) тогда и только тогда, когда x = g-)t для некоторого элемента ge Ga, но это означает, что л(х) = = л(х), и поэтому отображение ф корректно определено. Аналогично устанавливаем, что ф взаимно однозначно, так как для х, хе^ из л(х) = л(х) следует, что x = g-£ для некоторого geG; ввиду предложения 6.47 geGa, и поэтому ла(х) = = ла(^). И наконец, ф — погружение, т. е. ранг dtp всюду максимален, так как dtp о dna = du ° di, и по предложению 6.47

ker dna = йа = 9 Л ^а = ker (du ° di\

Пусть функция Н: M/G-^-R соответствует G-инвариантной функции Н: М -у R, так что по теореме 6.42 соответствующие гамильтоновы системы связаны между собой: vg = dn (УнУ Мы знаем также, что поле vy всюду касается множества уровня 9^, и поэтому на ^а определено редуцированное векторное поле v, для которого VH = di(v). Кроме того, поскольку группа G является группой симметрий поля Vh, группа Ga оказывается остаточной группой симметрий поля v и на фактормногообра- зни ^alGa определено векторное поле v* = dna(v). Далее, это

17 П. Олвер

векторное поле совпадает с ограничением поляу# на подмногообразии ф^а/Оа), так как на этом подмногообразии

^Ф (v*) = ^ф ° dna (v) = ^л о di (v) = dn (vH) = vg.

Это последнее утверждение доказывает, что любое гамильтоново векторное поле на М/G всюду касается подмногообразия Ф^а/Оа). Из предложения 6.19 вытекает теперь, что ф превращает S’alGa в пуассоново подмногообразие многообразия M/G и, кроме того, что ограничение гамильтонова векторного поля vg на М/G на подмногообразие S’a/Ga (т. е. поле v*) является гамильтоновым относительно индуцированной пуассоновой структуры. Тем самым завершается доказательство теоремы и, следовательно, процедура редукции. □

Если многообразие М симплектическое, то М/G не обязательно будет симплектическим. Можно, однако, показать, что подмногообразия Уа/Са являются слоями симплектического слоения многообразия M/G\ (См. упр. 6.14.)

Пример 6.49. Рассмотрим на R6 с каноническими координатами (р, ^) = (р1, р2, р3, q\ q2, qs) действие абелевой гамильтоновой группы симметрий G, порожденной функциями Р = р3, Q = qip2 — ^2pi Соответствующие гамильтоновы векторные поля д1 д 9 д .। д о д

V1 — ~dq^ И v2 —Р др2 Р др1 dq2 4 dq1

порождают двупараметрическую абелеву группу преобразований. Группа G будет группой симметрий любого гамильтониана вида Н (р, о, у, С, t), где р = V(?’)2 + (у2)2 - а = VG^P-Rp2)2, У = ^р2— q2px, ^ = р3; в частности, такой вид имеет функция /? = (1/2) |р|2-[-Ё(р), цилиндрически симметричный потенциал энергии.

С помощью метода из предложения 6.48 мы можем понизить порядок такой гамильтоновой системы на четыре единицы (и если Н не зависит от t, решить всю систему в квадратурах). Ограничим сначала систему на поверхность уровня д' = ^Р = = L Q = у} для постоянных £, у. Выразив q и р в цилиндрических координатах

q = (р cos 6, р sin 6, z), р = (a cos ф, a sin ф, Q, получим

у = ра sin (ф — 6) = ра sin ф,

где ф = ф — 6. После ограничения на ^ гамильтонова система принимает в переменных1) р, 0, ф, z вид

pf = cos ф • Нс, ф( = sin ф (о-1Яр — р-1Нс\(6.40а)

0, = р-1 sin <рНс + Ну, zt — Ht,(6.40b)

где индексы при Н обозначают взятие частных производных. Переменные выбраны таким образом, что на поверхности 9 vi = 52, V2 = 5g. По теореме 6.48 равенства (6.40) инвариантны относительно редуцированной группы симметрий поверхности 9, совпадающей ввиду коммутативности группы G с самой этой группой. Проявляется это в том, что ни z, ни 0 не появляются явно в правых частях равенств (6.40). Таким образом, если мы нашли решение р(0 и ф(0 первых двух уравнений, функции 0(/) и z(f) определяются посредством квадратур.

Кроме того, теорема 6.48 утверждает, что уравнения (6.40а) сами образуют гамильтонову систему. Зафиксировав у и рассмотрим редуцированный гамильтониан

Н(р, ф, Й = Н(р, у/(р sin ф), у, £, 0-

Заметим, что

{Р, ф} = — Ур-*О~2 = — V"*P 8Ш2ф.

Простые вычисления, использующие цепное правило, показывают, что система (6.40а) совпадает с системой

Pt = — Т-,Р 8Ш2фЯф, ф( = у-1р8т2фЯр, (6.41)

которая, конечно, гамильтонова. В частности, если функция Н (и, таким образом, 17) не зависит от t, мы можем в принципе проинтегрировать систему (6.41) в квадратурах и решить тем самым исходную систему. (На практике, однако, даже для простых функций Н необходимые алгебраические преобразования могут оказаться чересчур сложными.)

В общем случае, когда гамильтонова система инвариантна относительно некоторой r-параметрической абелевой гамильтоновой группы симметрий, ее порядок можно понизить на 2г единиц. Это объясняется тем, что остаточная группа симметрий благодаря тривиальности присоединенного действия совпадает со всей этой абелевой группой. Гамильтонова система порядка 2м с n-параметрической абелевой гамильтоновой группой симметрий, или, что то же самое, обладающая п первыми интегра

лами Р^х^, .... Рп(х), находящимися в инволюции:

{Р,-, Р;-} = 0 для всех i, j, называется вполне интегрируемой гамильтоновой системой, так как ее решения можно найти в принципе посредством одних квадратур. На самом деле про такие вполне интегрируемые гамильтоновы системы можно сказать гораздо больше, и эта тема составляет важную главу классической гамильтоновой механики.

Пример 6.50. Рассмотрим группу одновременных вращений (р, q^^^Rp, Rq), PeSO(3), действующую на R6. В примере 6.43 было показано, что это гамильтоново действие, порожденное компонентами вектора момента количества движения m = = qXp. Любой гамильтониан вида ^(|р|, |р|, р-р) инвариантен относительно одновременных вращений и поэтому порождает гамильтонову систему с гамильтоновой группой симметрий 50(3). На подмножестве М = {(р, у): qXp^=O\ группа 50(3) действует регулярно, ее орбиты трехмерны. Согласно теореме 6.48, мы можем понизить размерность любой такой гамильтоновой системы на четыре единицы; три единицы даются ограничением на общую поверхность уровня ^ = {q X р =о}, а еще одна — остаточной группой симметрий <?о~50(2) вращений относительно оси со.

Прежде чем приступить к редукции, будет полезно сделать небольшое наблюдение. Из эквивариантности отображения момента Р: R6-> зо (3)•~ R3, Р(р, q) = qXp = to следует, что элемент /?е5О(3) отображает поверхность уровня ^ю в поверхность уровня R- S’® = Ук®. Таким образом, мы можем выбрать элемент R так, чтобы вектор о = (0, 0, со), со > 0 смотрел в положительном направлении оси z. Все остальные решения, исключая те из них, которые соответствуют нулевому моменту количества движения и которые следует изучать отдельно, можно получить подходящим вращением выбранных решений. Для вектора со такого вида точки р и q должны лежать на плоскости ху. Будем задавать точку q полярными координатами (р, 6), а точку р — полярными координатами (о, ф) (как в предыдущем примере). Выбрав три из введенных переменных за локальные координаты на 9*® (игнорируя особые точки), получим редуцированную систему в виде

pf = cos ф#„ + рН^, at = — cos q>Hp — gHt, 6f = p-1 sin q>Ho.

(6.42)

Через <p обозначен угол между q и р, т. е. ю = рп sin ф и т = = p-q = per cos ф; нижние индексы при Н обозначают частные

производные. Остаточная группа симметрий — вращений относительно оси г — порождена векторным полем

п д ,। д о д .. д д

она проявляется в том, что правая часть уравнений (6.42) не зависит от 6. Таким образом, мы можем определить функцию 6(0 посредством единственной квадратуры окончательно редуцированной системы'

pf = cos ф • Но, of = — cos ф • Нр,(6.43)

являющейся гамильтоновой с гамильтонианом

Н (р, а) = Н (р, о, ро cos ф), где со2 = ро sin ф.

Проверку того, что подходящая скобка Пуассона записывается формулой

(дР дН dF дН \

Я} = cos ф I -5—з-5—I,

др да да др /

мы оставляем читателю. В частности, если функция Я не зависит от /, уравнения (6.43) можно проинтегрировать в квадратурах и получить полное решение исходной системы. Читатель может проверить, что данная процедура более или менее эквивалентна интегрированию задачи Кеплера в примере 4.19.

ЗАМЕЧАНИЯ

Гамильтонова механика и тесно связанное с ней понятие скобки Пуассона берут начало в оригинальных исследованиях Пуассона, Гамильтона, Остроградского и Лиувилля девятнадцатого века; детали исторического развития классической теории, опиравшейся исключительно на канонические координаты (р, 9) симплектической структуры на R2”, можно найти в книге Whittaker [1, с. 294]. Помимо этого классического труда хорошие описания общего подхода к гамильтоновой механике в симплек- тическом преломлении содержатся в работах Abraham, Marsden [1], Арнольд [3], Goldstein [1].

Более общее понятие пуассоновой структуры впервые появляется в теории Ли «функциональных групп» и интегрирования систем линейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка; относительно этой теории см. Lie [4; v. 2, ch. 8], Forsyth [l;v. 5, § 137], Caratheodory [1; ch. 9]. Уже Ли доказал общую теорему Дарбу 6.22 для пуассоновой структуры постоянного ранга. Он назвал отмеченные функции «ausgezeichnete functionen», что Форсайт переводит как «ука-

зующие функции». В этой книге я предпочел перевод термина Ли, принадлежащий Каратеодори. Недавно Вейнстейн (Weinstein [3]) предложил менее исторически обоснованное название «функция Казимира» для этих объектов, и оно приобрело наибольшую популярность. Теория Ли была в целом забыта как математиками, так и физиками. Пуассоновы структуры были введены снова более или менее независимо в работах Dirac [1], Jost [1], Sudarshan, Mukunda [1] и, в современном виде, в статьях Lichnerowicz [1], [2], Marsden, Weinstein [2**] и Weinstein [3]. Благодаря работам Marsden, Weinstein [2], Conn [1] и другим они приобретали все более важное значение как в математической физике, так и в дифференциальной геометрии. Ли был также хорошо осведомлен о скобке Пуассона на двойственном пространстве к алгебре Ли и ее связях с копри- соединенным представлением. Явную формулу для скобки Ли — Пуассона можно найти в книге Lie [4; v. 2, р. 294]. Эта скобка тоже была забыта вплоть до 60-х годов нашего столетия, когда ее переоткрыл Березин [1] и использовали Кириллов [1], Ко- стант (Kostant [1]) и Сурьо (Souriau [1]) в связи с теорией представлений и геометрическим квантованием. В дальнейшем эта скобка носила имя одного или нескольких из указанных авторов, пока Вейнстейн (Weinstein [2]) не указал на ее гораздо более раннее появление в работе Ли, предложив название «скобка Ли —Пуассона». Связь между движением твердого тела и скобкой Ли — Пуассона на SO(3) установил Арнольд [2]. О классическом толковании этих уравнений см. Whittaker [1; § 69], Goldstein [1; ch. 4], а более детальное изложение в духе настоящей главы можно найти в книге Holmes, Marsden [1]. О приложениях к теории устойчивости см. Weinstein [4].

Понижение порядка гамильтоновой системы с симметрией имеет долгую историю, и большую часть технических приемов, включая якобиево «исключение узлов», в их классическом виде можно найти в книге Whittaker [1]. Современный подход к этой теории берет свое начало в статье Смейла Smale [1], в которой введен современный вариант отображения момента. Дальнейшие продвижения в работах Souriau [1] и Meyer [1] привели к полностью разработанному подходу к процедуре редукции, развитому Марсденом и Вейнстейном в книге Marsden, Weinstein [1]. Подход настоящей главы представляет собой слегка упрощенный и слегка менее общий вариант теории Марсдена — Вейнстейна. Вполне интегрируемые гамильтоновы системы, которых мы лини, коснулись, на протяжении всей истории классической механики были предметом огромной важности. Большая часть этих примеров, таких, как движение твер-

дого тела в R3 и задача Кеплера, известны с давних пор, однако происхождение цепочки Тоды из упр. 6.11 относительно недавнее. Манаков [1] показал полную интегрируемость движения твердого тела в R". Обобщение понятия вполне интегрируемой системы на системы, интегралы которых не находятся в инволюции, как в упр. 6.12, было изложено в доступной форме в последние годы Мищенко и Фоменко [1] и Козловым [1].

УПРАЖНЕНИЯ

Предположим, что функция Р(х, t) является первым интегралом не зависящей от времени гамильтоновой системы. Докажите, что ее производные dP/dt, йгР/дР и т. д. также являются первыми интегралами. (Whittaker [1, с. 434].)

Пусть х = JVH(x)—не зависящая от времени гамильтонова система. И пусть vp — ее гамильтонова симметрия, соответствующая не зависящей от времени функции Р(х). Докажите, что для любого решения х(1^ этой системы P(x(t)) = at + b является линейной функцией от t. Как это согласуется с теоремой 6.33? Докажите, что если у гамильтоновой системы есть неподвижная точка х0, то а = 0 и Р па самом деле является первым интегралом.

Пусть vp — гамильтонова симметрия гамильтоновой системы х—JVH, и пусть /(s)—произвольная вещественнозначная функция вещественной переменной s. Докажите, что векторное поле f(P(x))vp тоже является гамильтоновой симметрией, и найдите соответствующий первый интеграл.

Пусть М — пуассоново многообразие постоянного ранга. Докажите, что функция С: М -* R является отмеченной тогда и только тогда, когда она постоянна на слоях симплектического слоения многообразия М. Обобщается ли это утверждение на случай непостоянного ранга? (Weinstein [3].)

Исследуйте скобку Ли — Пуассона и коприсоединенные орбиты для алгебры Ли 51(2).

Вычислите скобку Ли — Пуассона для групп евклидовых движений Е(2) и Е(3). Как выглядит эта скобка при ограничении па коприсоединен- ную орбиту?

Пусть структурные функции I11 (х) скобки Пуассона \F, Н} на Rm линейно зависят от точки xsRm. Докажите, что эта скобка определяет структуру Ли —Пуассона на Rm.

Решите гамильтонову систему, соответствующую гамильтониану Н(р, р, q, q) = (1/2)^-{-(ll2)q-2(p2—1) па R4 с канонической скобкой Пуассона (Whittaker [1, с. 402].)

Для консервативной механической системы исследуйте процесс выбора координат, в которых фиксирован центр масс и момент количества движения системы, в свете нашей общей процедуры редукции группы.

*6.16. Движение п одинаковых точечных вихрей на плоскости описывается канонической гамильтоновой системой иа М = R2n, отвечающей гамильтониану

н {р, q^™^ v,v.- log [(д' - ph2 + (q1 — q1)2]’

где (p', 9') — плоские координаты t-го вихря, a y<— его напряженность. Докажите, что евклидова группа Е(2) одновременных сдвигов и вращений внх-

рей является группой симметрий этой системы. Докажите, что каждая инфинитезимальная образующая этой группы является гамильтоновым векторным полем, и определите соответствующую ей сохраняющуюся величину. Докажите, что вся группа Е(2) не является, однако, гамильтоновой группой симметрий в строгом смысле определения 6.41. Для каких значений п задача о вихрях вполне интегрируема? (Козлов [1; с. 15].)

Цепочка Тоды из трех частиц описывается гамильтоновой системой с гамильтонианом

^ (₽> ?) = -^' ₽ '2 + ^* + ^2 + ^ р‘ q^ R3’

где

yl=e9--^ yi = eq2-q\ ^ = eq’-q'

и на R6 используется каноническая пуассонова структура. Докажите, что функции

р (р> q) = р' + р* + р3. Q (р> q^ = р'р2р3 — р1»2 — р2^ — р3у'

[1; § 2.Ю].)[1; § 2.Ю].)являются первыми интегралами, и поэтому цепочка Тоды — вполне интегрируемая гамильтонова система. Можно ли ее проинтегрировать явно? (Toda

[1; § 2.Ю].)

[1; § 2.Ю].)

Предположим, что гамильтонова система на некотором 2и-мерном симплектическом многообразии инвариантна относительно «-параметрической разрешимой группы гамильтоновых преобразований. Докажите, что если при заданных начальных условиях все п интегралов обращаются в нуль, то соответствующее решение можно (в принципе) найти в квадратурах (обобщение примера 6.40). (Мищенко, Фоменко [1], Козлов [1].)

Пусть М = R2” с канонической пуассоновой структурой. Обсудите применение теоремы редукции 6.48 к группе симметрий so (2), действие которой порождено энергией гармонического осциллятора Н(р, q^ = = (1/2) (|р|=+|9]=). (Арнольд (3, с. 341]).

. Пусть 6 и М удовлетворяют условиям теоремы 6.48. Докажите, что если М — симплектическое многообразие, то фактормногообразие 9'a.IGa также является симплектическим. (Marsden, Weinstein [1].)

Гамильтоновой системе в канонической форме

dql дН dt др1 ’dql дН dt др1 ’др1 дНдр1 дНdq1’dq1’Н=НЦ, р, q)Н=НЦ, р, q)

dql дН dt др1 ’

dql дН dt др1 ’

др1 дН

др1 дН

dq1’

dq1’

Н=НЦ, р, q)

Н=НЦ, р, q)

соответствует уравнение Гамильтона — Якоби с частными производными

ди dtди dt

ди dt

ди dt

Докажите, что векторное поле v = АЦ, х, ди/дх^ди тогда и только тогда является обобщенной симметрией уравнения Гамильтона — Якоби, когда функции A(f, q, р) является первым интегралом уравнений Гамильтона. (Fo- kas [1].)

Рассмотрим функционал 3 [и] = j L (t, и^') dt, зависящий от <eR, ие R. Определим замену переменных формулами

q\ = u. q2=ut,..., qn = un_l=dn-1uldtn"-\

dut duttdun

dutt дишdun

рп=4^.

дип

Пусть, наконец,

н (р, q) = — L + р1^ + pV + ... + Pn-lqn + рпип,

где ип = dnu/dtn определяется из выражения для р”. Докажите, что функция и (/) удовлетворяет уравнениям Эйлера — Лагравжа для функционала 3, если и только если пара (р(0, q(t)) удовлетворяет уравнениям Гамильтона для гамильтониана Н относительно канонической скобки Пуассона. (Whittaker [1, с. 297].)'

стемы, определяемой полем vh, если J s«)стемы, определяемой полем vh, если J s«)со= \ со для всех компактных sсо= \ со для всех компактных s. Интегральные инварианты. Пусть М — пуассоново многообразие, а vh — гамильтоново векторное поле на М. Для любого подмножества ScM, предполагая, что гамильтонов поток exp(fva) за время t определен всюду на S, положим S(t) = (exp(<v«)x: xeS). Дифференциальная fe-форма со на М называется (абсолютным) интегральным инвариантом гамильтоновой си-

стемы, определяемой полем vh, если J s«)

стемы, определяемой полем vh, если J s«)

со= \ со для всех компактных s

со= \ со для всех компактных s

fe-мерных подмногообразий ScM (с границей).

Докажите, что го является интегральным инвариантом, если и только если v^(«) = 0 на всем М.

Докажите, что для любого первого интеграла Д(х) гамильтоновой системы 1-форма dF является абсолютным интегральным инвариантом. Верно ли обратное?

Пусть М — симплектнческое многообразие, а матрица К (х) = J-1 (х), выраженная в локальных координатах х,— та же, что в предложении 6.15. Докажите, что дифференциальная 2-форма

m

й = -|- ^ Кц Wdx* К dx^

i-v

не зависит от выбора локальных координат н является интегральным инвариантом любой гамильтоновой системы с данной пуассоновой структурой.

Обратно, докажите, что 2-форма R на М определяет симплектиче- скую пуассонову структуру, если и только если она замкнута: dQ = 0, и имеет максимальный ранг.

Докажите, что если о и £- абсолютные интегральные инварианты поля vh, то это же верно и для формы со д £.

Докажите теорему Лиувилля-, всякая гамильтонова система на R2” с канонической скобкой Пуассона (6.1) сохраняет объем:

Vol (S (<)) = Vol (S), ScR2".

(См. упр. 1.36.) (Картан [1], Арнольд [3].)

Рассмотрим на пуассоновом многообразии М гамильтоново векторное поле vh.

Докажите, что если fe-форма со является интегральным инвариантом и поле w порождает группу симметрий, то (й—1)-форма w_Jo является интегральным инвариантом. Покажите также, что производная Ли w(w) будет интегральным инвариантом.

Докажите, что если многообразие М симплектическое, то любая га- мильтоноаа система с двумя яегамильтоновымн симметриями имеет первый интеграл. Что можно сказать про гамильтоновы симметрии? (Розенкранц [1].)

19. Рассмотрим гладкое многообразие N и его кокасательное расслоение М = Т*Ы. На М = T*N имеется естественная симплектическая структура, которую можно описать одним из следующих эквивалентных способов.

Введем на N локальные координаты q = (q1, .... 9”). Тогда кокасательное пространство Т*М^ порождено базисными 1-формамн dq1, .... dqn и любой элемент toeT*N\q можно записать в виде w= У,р* dq*-, поэтому (9, р) определяют локальные координаты на T*N. Положим

у dF дН dF дН

’^ dq1 др1 др* dq*

Докажите, что { , } задает скобку Пуассона, корректно определенную иа всем T*N.

Пусть л: T*N-*N—проекция. Каноническая 1-форма 6 на М = = T*N определяется так, что для любого касательного вектора veTAfj^ в точке го е М = T*N

<9, v) = {ro, dn(v)).

Докажите, что в локальных координатах, введенных в ч.(а) задачи, Q=^p*dq*. Таким образом, ее внешний дифференциал й = d6 определяет, как в упр. 6.17(c), скобку Пуассона на Т*М.

Пусть v — векторное поле на N с потоком exp (ev): N -> N. Докажите, что exp(ev)*(x, го) для (х, го) eT*N определяет некоторый поток на М = Т*Ы. Какова его инфинитезимальная образующая? Докажите, что для любой функции Н-. T*N-* R существует единственное векторное поле vh на М = Т*Ы, такое, что

¥н «с», v) к) = -^ |Е=0^ [exP (ev)* (^ ®)J

для всех точек (х, го) е Т*Ы и любого векторного поля v на N; докажите, что это векторное поле является гамильтоновым векторным полем для функции Н относительно введенной выше гамильтоновой структуры.

20. Мультивекторы. Объекты, двойственные к дифференциальным формам на многообразии, называются мультивекторами и определяются как кососимметрические й-линейные вещественнозначные отображения кокаса- тельного пространства 7*М)х, гладко зависящие от точки х.

Докажите, что «один-векторы» (т. е. h = 1) совпадают с векторными полями.

Докажите, что в локальных координатах fe-вектор имеет вид

6='£hIWd.^...hdlfe,

где суммирование производится по всем строго возрастающим мультииндексам I; поля di = d/dxi образуют базис касательного пространства ТМ\Х>. функции hi гладко зависят от х.

Пусть J (х) — структурная матрица для скобки Пуассона на М. Докажите, что

m

в = у ^ Jli (х) dtMj

определяет два-вектор, такой, что для любой пары вещественнозначных функций Н, F

(6; dH, dF) = {H, F}.(*)

Докажите, что для /г-вектора 6 и /-вектора £ существует однозначно определенный (й + /—1)-вектор [6, £], называемый скобкой Схоутена векторов 0 и £ и обладающий свойствами: [•, •] билинейна, кососимметрична, т.е. [0, а= (~1)6U 6]. удовлетворяет правилу Лейбница

[в, £ Л 7)] = [6, U Д Ч + (-1)6Z+Z t Л [0, Т)]

н в случае обычных векторных полей (один-векторов) 0 и £ совпадает с обычной скобкой Ли. Что является аналогом тождества Якоби для скобки Схоутена?

Докажите, что скобка двух функций Н и F, определенная равенством (*) для два-вектора в, билинейна н кососимметрична; она удовлетворяет тождеству Якоби тогда и только тогда, когда три-вектор [0, 0], полученный взятием скобки © с самим собой, тождественно обращается в нуль:

[0, 0] = 0.(**)

Таким образом, задание пуассоновой структуры на многообразии М эквивалентно выбору бивектора, удовлетворяющего тождеству (♦*). (Lichnerowicz [1]- [2]-)"

7. Гамильтоновы методы для эволюционных уравнений

Равновесные решения уравнений недиссипативной механики сплошной среды находятся обычно минимизацией подходящего вариационного интеграла. Следовательно, гладкие решения будут удовлетворять уравнениям Эйлера — Лагранжа для соответствующего функционала, и для их нахождения можно применять теоретико-групповые методы лагранжева случая, обсуждавшиеся в гл. 4 и 5. Однако, имея дело с динамической задачей во всей ее полноте, мы встречаемся с системами дифференциальных уравнений, для которых лагранжева точка зрения, если она и возможна, не является ни приемлемой, ни естественной. В этом случае гамильтонов вид системы эволюционных уравнений становится естественной вариационной формулировкой системы.

Исторически, однако, понимание правильной общей формы бесконечномерного обобщения на эволюционные уравнения классического понятия конечномерной гамильтоновой системы пришло лишь недавно. Частично это объясняется чрезмерным значением, придаваемым каноническим координатам, существование которых в конечномерном случае гарантируется георемой Дарбу, в то время как в эволюционирующих системах их нет. Однако принятый в нашей книге подход, основанный на понятии скобки Пуассона, легко обобщается в этом контексте. Для превращения гамильтоновой системы обыкновенных дифференциальных уравнений (6.14) в гамильтонову систему эволюционных уравнений необходимы следующие принципиальные нововведения:

замена гамильтониана Д(х) на гамильтонов функционал <^[и],

замена операции векторного градиента \/Н на вариационную производную 553ё гамильтонова функционала и

(ш) замена кососимметрической матрицы J (х) антисимметрическим дифференциальным оператором 3), который может зависеть от и.

Полученная в результате гамильтонова система будет иметь вид^-=2>-&зад.

Дифференциальный оператор 2), чтобы быть настоящим гамильтоновым оператором, должен удовлетворять определенным ограничениям, основанным на тождестве Якоби для соответствующей скобки Пуассона. Эти ограничения описаны в § 7.1; в своем исходном виде они представляются безнадежно непригодными для работы, но с помощью теории «функциональных мультивекторов» выводится простой и эффективный вычислительный алгоритм проверки гамильтоновости оператора 2). Во втором параграфе исследуются стандартные приложения групп симметрий и законов сохранения к гамильтоновым системам эволюционных уравнений. При этом основным инструментом становится гамильтонова форма теоремы Нётер. Приведены приложения к уравнению Кортевега— де Фриза и уравнениям Эйлера потока идеальной жидкости.

Последний параграф посвящен современной теории бига- мильтоновых систем. Иногда, как в случае уравнения Кортевега — де Фриза, приходится сталкиваться с системами эволюционных уравнений, которые можно записать в гамильтоновом виде двумя различными способами. В этом случае при некоторых слабых условиях совместности система должна иметь бесконечную иерархию попарно коммутирующих законов сохранения и связанных с ними гамильтоновых потоков, порожденных оператором рекурсии, построенным по двум скобкам Пуассона; следовательно, такую систему можно рассматривать как «вполне интегрируемую» гамильтонову систему. У таких систем есть много других замечательных свойств: солитонные решения, линеаризация с помощью обратной задачи рассеяния и т. д. В этом параграфе приведено новое доказательство основной теоремы о бигамильтоновых системах и некоторые их приложения.

7.1. СКОБКИ ПУАССОНА

Напомним сначала основы формального вариационного исчисления, приведенные в § 5.4. Пусть М cz X X U — открытое подмножество в пространстве независимых и зависимых переменных х = (х\ ..., х?) и и = (и', ..., и4). Алгебра дифференциальных функций Р(х, и(п)) = Р[и! на М обозначается через ^, а ее факторпространство по образу оператора полной дивергенции является пространством функционалов 2s =^Р dx и обозначается через ST.

Главная цель этого параграфа — уточнить понятие гамильтоновости системы эволюционных уравнений

Ut = K\u\ = KVc. и^, Ке^.

Функционал К зависит здесь только от пространственных переменных х и производных функций и по пространственным переменным; переменная t выделена — она играет особую роль. Для достижения поставленной цели нам необходимо найти аналоги различных компонент формулы (6.14) в эволюционном контексте. Во-первых, роль гамильтониана в формуле (6.14) должен исполнять гамильтонов функционал %=^Н dxeS7. Поэтому мы должны заменить взятие градиента «функциональным градиентом», или вариационной производной 6<9(? е е ^ функционала 36. Оставшаяся компонента есть аналог кососимметрической матрицы 7(х), с помощью которой определяется скобка Пуассона. Здесь нам нужен линейный оператор 3D". si4 -> si-ч на пространстве наборов из q дифференцируемых функций, который в большинстве случаев будет линейным матричным дифференциальным оператором размера <7 X <7 н может зависеть от х, и и производных от и. Рассматривая соответствующую скобку Пуассона, находим дополнительные свойства, которыми должен обладать оператор 3D, чтобы быть гамильтоновым.

В конечномерном случае скобка Пуассона пары функций — это функция, билинейно зависящая от соответствующих градиентов, коэффициенты которой определяются матрицей Гамильтона /(х), ср. (6.12). Таким образом, для эволюционных уравнений скобка Пуассона двух функционалов должна быть функционалом, билинейно зависящим от соответствующих вариационных производных. Ясно, что для возможного гамильтонова оператора 3D корректное выражение для соответствующей скобки Пуассона имеет вид

{^, 0 = § 6^ • ^6^ йх ^' ^

для функционалов 9, Q^9". Конечно, для того чтобы выражение (7.1) было настоящей скобкой Пуассона, необходимо, чтобы оператор 3D удовлетворял некоторым дополнительным ограничениям.

Определение 7.1. Линейный оператор 3D". s&4^$i4 называется гамильтоновым, если его скобка Пуассона (7.1) удовлетворяет условию кососимметричности

{^, £} = ~ №, ^} (7.2) и тождеству Якоби

Ц9, £}, ^} + цзг, ^Y £} + {№, ^}, ^} = о (7.3) для всех функционалов 9, Q, 91 е 9".

Если мы сравним определение 7.1 с конечномерным определением 6.1, то увидим, что отброшены два условия. Первое из них, билинейность, очевидно в силу вида скобки (7.1). Правило Лейбница не имеет аналога в бесконечномерной ситуации: как мы видели в § 5.4, нельзя корректно определить умножение функционалов. Однако главное применение правила Лейбница состояло в доказательстве существования для вещественнозначной функции Н гамильтонова векторного поля, удовлетворяющего условию (6.4). Оно сохраняется и в функциональном случае:

Предложение 7.2. Пусть Ф— гамильтонов оператор со скобкой Пуассона (7.1). Для каждого функционала 36 = = ^ Н dx ^ Ф существует эволюционное векторное поле у^, называемое гамильтоновым векторным полем, соответствующим функционалу 36, которое удовлетворяет условию

prv,^™^, 36^(7.4)

для всех функционалов З^Ф. При этом Ф636 = ФЕ (Н) является характеристикой поля v^.

Доказательство. Пусть S' =\^ Р dx, P^s4-. Тогда, интегрируя по частям формулу (5.90), находим

{^, 36^ = $ Е(Р) • ФЕ(H)dx=\ prv^E(Я,(Р)dx =

= Рг^Е(щ($ PdxY

(См. упр. 5.42.) Положив v3g = yg)E№ получаем (7.4). □

Экспоненцируя соответствующее функционалу 36 [и] гамильтоново векторное поле уж, получаем соответствующий гамильтонов поток. Ввиду формулы (5.14) гамильтонова система эволюционных уравнений принимает вид

^ = Ф-636, (7.5)

где 6 — вариационная производная, а Ф — гамильтонов оператор. Отметим полную аналогию с конечномерной гамильтоновой системой (6.14). Прежде чем перейти к примерам гамильтоновых систем, нам нужно вооружиться разумными методами непосредственной проверки того, что данный оператор Ф

является гамильтоновым. Для начала можно непосредственно проверить требования, вытекающие из кососимметричности скобки Пуассона — инфинитезимального аналога кососимметричности матрицы J в формуле (6.14).

Предложение 7.3. Пусть 3— матричный дифференциальный оператор размера qXq со скобкой (7.1) на пространстве функционалов. Скобка кососимметрична, т. е. выполняется условие (7.2), тогда и только тогда, когда оператор 3 антисимметрический-. 3* = —3.

Доказательство. Для 3=^Pdx, Q=^Qdx условие (7.2) можно переписать в виде

J Е(Л • 3E(Q)dx = - J E(Q) • 3E(P)dx.

Из определения (5.45) сопряженного оператора 3* находим, что

$ EVPYk3-\-3^E<QW = ^.

Если это равенство выполняется для всех Р, Q^ si-, то, как при доказательстве предложения 5.64 с помощью «принципа подстановки», сформулированного в упр. 5.32, заключаем, что s> + s>*=o. □

Производные Ли дифференциальных операторов

Прежде чем перейти к анализу тождества Якоби, мы должны дополнить формальное вариационное исчисление, изложенное в § 5.4. Для эволюционного векторного поля vq и дифференциального оператора 3 = У, Рк [ы] DK, коэффициенты которого могут зависеть от и, мы определяем производную Ли оператора 3 вдоль поля vq как инфинитезимальное изменение оператора 3 под действием однопараметрической группы ехр(еуд). Ясно, что производная Ли —это дифференциальный оператор

(7.6)(7.6)pr Vq ^ = У pr VQ (Р*) DK,

(7.6)

(7.6)

получаемый действием поля vq на коэффициенты оператора 3. Это определение распространяется и на случай матричных дифференциальных операторов, где теперь prv0 действует на отдельные элементы матрицы.

Например, для оператора 2 = D^ + 2uDx + их и поля vQ = == ^хх^и

pr Vq (0) = 2 pr Vq (и) Dx + pr Vq (uj = 2uxxDx + иххх.

Однопараметрическая группа exp(evp) находится в этом случае решением уравнения теплопроводности иЕ = ихх, а prvp(.®) представляет собой инфинитезимальное изменение оператора 2 в случае, когда и (х, е)— решение уравнения теплопроводности.

Главная формула, которая нам нужна, — это следующий вариант правила Лейбница:

pr Vq (2Р) = pr Vq (S>) • Р + 2 [pr Vq (Р)],(7.7)

который выполняется для всех Р е ^r, Q е .s^ и любого матричного дифференциального оператора 2: sP'^.s^ размера «Хг. Эту формулу можно доказать либо непосредственно из определения, либо вывести из формулы (7.6) с помощью коммутационного соотношения (5.19).

Тождество Якоби

На первый взгляд непосредственная проверка тождества Якоби (7.3) даже для простейших антисимметрических операторов выглядит безнадежно сложной вычислительной задачей. Однако с помощью некоторых наших основных результатов из формального вариационного исчисления достигается значительное упрощение, вводящее эту задачу в пределы выполнимости. Еще больше упрощается она введением одного варианта функциональных форм из § 5.4 (хотя здесь они и являются, в некотором смысле, двойственными объектами), после чего проверка тождества Якоби становится более или менее стандартным вычислением.

Пусть 2, Q, 2— функционалы в .^ с вариационными производными 6^ = Р, 6^ = Q, 62 = R. (Отметим изменение обозначений: Р больше не является подынтегральным выражением для 9'.) В этих обозначениях первый член тождества Якоби (7.3) принимает вид

U2, 5}, ЭД = ргУя (^ Р • 2Qdx} = ^ prv^ (Р • 2Q)dx.

С помощью правила Лейбница и тождества (7.7) получаем

«2, QY S^^prv^PV^A-P-prv^SVQ-Y

+ P-2[prvS!R(Q)]}dx.(7.8)

Согласно формуле (5.41), связывающей производную Ли и производную Фреше, первый член в этом выражении имеет вид

5 Рг v®r (р)" ®Q dx = ^ Dp ^R) • 2)Q dx.

Ввиду антисимметричности оператора 2) третий член имеет аналогичный вид

$ Р • S) [pr v@R «?)] dx = - J 2)Р . Dq №) dx. (7.9)

Второй и третий члены тождества Якоби дают аналогичный вклад; например, выражение для {{^, 5?}, 9^ содержит члены

$ Dq <2>Р) -2>Rdx и - $ 0Q • Dfi (S)P) dx. (7.10)

Но, согласно теореме 5.68, производная Фреше функционала Q = 6Q является симметрическим дифференциальным оператором, поэтому первый из интегралов (7.10) равен

^2>P.DQ(2)R)dx

и при подстановке в тождество Якоби взаимно уничтожается с интегралом (7.9). При таком разложении тождества Якоби шесть членов тем самым взаимно уничтожаются, и мы приходим к его эквивалентной форме

$ [р • pr vSR (2)) Q 4- R • pr vSQ (2>) Р + Q • pr v@p (2>) /?] dx = 0.

(7.11)

Левая часть должна обращаться в нуль для всех Р, Q, R, являющихся вариационными производными функционалов.

На этом шаге возникает следующее упрощение. Заметим, что подынтегральное выражение в формуле (7.11) зависит только от Р, Q, R и их полных производных. Согласно общему «принципу подстановки», сформулированному в упр. 5.32, интеграл (7.11) обращается в нуль для всех вариационных производных Р = 62, Q = 6Q, R = 691 тогда и только тогда, когда он обращается в нуль для произвольных наборов из q функций Р, Q, R^s№. Таким образом, мы доказали

Предложение 7.4. Пусть Ф — антисимметрический матричный дифференциальный оператор размера q'Kq. Тогда скобка (7.1) удовлетворяет тождеству Якоби, если и только если равенство (7.11) выполняется для всех наборов из q функций Р, Q, R^sRL

Следствие 7.5. Антисимметрический матричный дифференциальный оператор Ф размера q^q, коэффициенты которого не зависят от и и ее производных, автоматически является гамильтоновым.

Действительно, в этом случае prv<?(^)) = 0 для любого эволюционного векторного поля vq, поэтому условие (7.11), очевидно, выполняется. □

Пример 7.6. Уравнение Кортевега — де Фриза

М/ UXxx Ч- UUX

в действительности можно записать в гамильтоновом виде двумя различными способами. Во-первых, мы видим, что

^ = Dx (ихх + -| д2) = Ф^И

где Ф = Dx и

^, [и] = $[-4^ + 4'“] dx

— один из классических законов сохранения. Заметим, что оператор Ф, конечно, антисимметричен и поэтому ввиду следствия 7.5 автоматически гамильтонов. Скобка Пуассона имеет вид

{^, а\ = \^-dk^qw.{^, а\ = \^-dk^qw.(7.12)(7.12)

{^, а\ = \^-dk^qw.

{^, а\ = \^-dk^qw.

(7.12)

(7.12)

(Чтобы оценить по достоинству действенность формальных вариационных методов, читатель может попробовать проверить тождество Якоби для скобки (7.12) непосредственно!)

Вторая гамильтонова форма несколько менее очевидна. Имеем

ut = (^ + ^uDx + 4" их) и = ^б^0, где

^0[“]=5 4"“2^х

— еще одна сохраняемая величина и

8 = D3x^uDx-Y^ux.

Легко проверить, что оператор 8 антисимметричен; для доказательства тождества Якоби рассмотрим условие (7.11). Первый

член имеет вид

Рprvgw^Qdx=\P[4TOQx + 4TOxQ]dx =

“ [~3~ RRxxxQx + "g" PRxxXxQ + "д' UPRXQX + + 4 UXPRQX + 4 UPRXXQ + 4 uxPRxQ + + 4 «xPPQ] dx,

где индексом x обозначены для краткости полные производные: Px = DxP, Pxx = DaxP и т. д. Мы должны добавить соответствующие выражения, происходящие из остальных двух членов формулы (7.11), а затем доказать, что полученное при этом подынтегральное выражение является нулевым лагранжианом, т. е. полной производной Dx, независимо от того, каковы Р, Q и R. Это действительно так, и доказательство мы оставляем читателю, поскольку позднее найдем гораздо более простое доказательство этого факта. Мы заключаем, что формула

{^, 0 =$ [^ • (^ + 4“^ + Т “4 6^] dx (7-13)

определяет скобку Пуассона на пространстве функционалов.

Хотя приведенное выше вычисление чуть менее трудоемко, чем непосредственная проверка тождества Якоби, но даже и в этом относительно простом случае оно требует значительной вычислительной выносливости. Еще более существенного упрощения можно достичь за счет применения теории полилинейных отображений, аналогичной развитой в § 5.4. (Быть может, ориентированный на приложения читатель захочет здесь перейти непосредственно к началу § 7.2.)

Функциональные мультивекторы

Мультивекторы в конечномерном случае — это объекты, двойственные дифференциальным формам. В упр. 6.20 было показано, как развивать теорию конечномерных пуассоновых структур, опираясь на теорию мультивекторов. В этом параграфе мы вводим аналогичные объекты для бесконечномерных гамильтоновых систем эволюционных уравнений. Так как мы имеем дело с открытыми подмножествами евклидова пространства MczXxU, теория функциональных мультивекторов совпадает с теорией функциональных форм, развитой в § 5.4. Мы

используем другую терминологию и обозначения лишь потому, что с более глобальной точки зрения правила преобразования этих объектов при заменах переменных не совпадают; функциональные формы преобразуются как выражения Эйлера — Лагранжа, а функциональные мультивекторы больше похожи на эволюционные векторные поля. Помимо этого различия (которое не проявится в этой книге), эти объекты совпадают.

Напомним, что каждая функциональная jfe-форма определяет кососимметрическое й-линейное отображение пространства 70 эволюционных векторных полей в пространство 9" функционалов. Аналогично, функциональный k-вектор задается кососимметрическим ^-линейным отображением «двойственного» пространства Л1 функциональных 1-форм в 9*. Так как каждое эволюционное векторное поле однозначно определяется своей характеристикой, мы можем отождествить 70 с з/9, пространством наборов из q дифференциальных функций на М. Аналогично, в соответствии с предложением 5.63 каждая функциональная 1-форма однозначно определяется своей канонической формой, поэтому мы можем отождествить Л* с ^q. При этих двух отождествлениях (зависящих от введения евклидовых координат на Л1) мы получаем отождествление функциональных мультивекторов и форм.

Каждая функциональная форма порождена некоторой вертикальной формой, и соответственно каждый функциональный мультивектор порожден некоторым вертикальным мультивектором. Чтобы сохранить различие в обозначениях этих двух объектов, будем обозначать «один-вектор», соответствующий 1-форме dui, через б“; таким образом,

(б“; Р) = D]Pa для всех Р = (Рь ..., Р^ е s^q (начиная с этого момента, мы заменяем Л* на ^q). Заметим, что 0? можно отождествить с дифференцированием djdtij, которое можно считать иным обозначением для мультивекторов, но несколько более громоздким и в дальнейшем вносящим некоторую путаницу. Таким образом, общий функциональный й-вектор представляет собой конечную сумму

Pf G s£q.Pf G s£q.с коэффициентами R$ е з£; он определяет ^-линейное отображение

Pf G s£q.

Pf G s£q.

(в; Рх, ..., Pk} = Rj det(jD/zP'z)l dx. La, JJ

ср. (5.73). Полные производные действуют как производные Ли на вертикальных Д-векторах, Dt (б“) = 6“ ,, ср. (5.74). Пространство Ад функциональных А-векторов является, таким образом, факторпространством пространства вертикальных h-векторов (т. е. конечных сумм внешних произведений элементов 6“ с коэффициентами из ^/) по образу полной дивергенции. По лемме 5.61 каждый функциональный А-вектор однозначно определен своими значениями на пространстве наборов из q дифференциальных функций. Таким образом, можно перенести на функциональные мультивекторы все теоремы и примеры функциональных форм из § 5.4, заменив формы du} на их аналоги б“, а векторные поля prvy на их характеристики Qg^»1).

Например, любой функциональный один-вектор

J la, / J

можно привести к каноническому виду

V = $ IR • 6} dx = 5 { Z ^ (dx- ^ = Z (-^ ^'а=1'/

путем интегрирования по частям. (Поэтому мы можем отождествить Д* с Т№ пространством эволюционных векторных полей!) Аналогично, у любого функционального два-вектора есть канонический вид

0=±f {eA^e}dx=4n Z e^^eHdx, (7.14) J 'a, ₽=1 '

где ^=(^>ap)—антисимметрический матричный дифференциальный оператор размера qXq", см. предложение 5.64. Такой два-вектор определяет билинейное отображение

(0; Р, Q) = X ^ ^Р®^ — Q®P^ dx=VP- ^dx’ P' ^^ ^’

где мы использовали антисимметричность оператора 2). В частности, если Р и Q — вариационные производные (или, если вер-

') В этой теории есть один тонкий момент, состоящий в том, что, хотя пространства Ай и А^ функциональных форм и мультивекторов и определяются двойственным образом, между ними нет естественной двойственности векторных пространств ни при каких k > 1! Здесь отражается наша неспособность определить умножение на пространстве ST функционалов.

нуться к Л*, дифференциалы), то соотношение

(0; 65», бф= J (б^1 • S)d^) dx

воспроизводит скобку {^, ^}, определенную антисимметрическим оператором Ф. Например, скобка Пуассона, задаваемая вторым гамильтоновым оператором S для уравнения Корте- вега —де Фриза, представляется два-вектором

© = 4- $ {6 Л 8 (В)} dx = ^ $ {б Л 6ХМ + 4 иб Л ej dx, (7.15)

причем член, содержащий Влб, очевидно, обращается в нуль.

Тождество Якоби дает естественный пример функционального три-вектора. Заметим, что в своей исходной форме левая часть тождества (7.3), очевидно, является кососимметрической трилинейной функцией вариационных производных б^1, 6^, 65?. Поэтому и левая часть равенства (7.11), хотя, быть может, это и незаметно, тоже представляет собой кососимметрическую трилинейную функцию от наборов из q функций Р, Q, R и поэтому определяет функциональный три-вектор, который мы обозначим через

^ = Т И6 Л рГ v®e(S>) Л е> dx’ (716)

так что левая часть выражения (7.11) имеет вид <ЧГ; Р, Q, R). (См. также упр. 7.12.) Осталось пояснить обозначения в формуле (7.16).

«Векторное поле» vse — это формальное эволюционное векторное поле, характеристика которого — набор из q вертикальных один-векторов

£ ^а₽е₽;

5=1 Р таким образом, формально

рг vse = S Di ^ ^"Х)•

В частности, для любой дифференциальной функции Re st

V'mW>-L^D'CL®«A

является вертикальным один-вектором. Например, для второго гамильтонова оператора уравнения Кортевега— де Фриза имеем

pr vg6 (и) = S’© = 6ХХХ + 4 и6х 4- -у «Л

рг vge («х) = Dx^° = ^хххх + 4 ^хх + «А + 4 “^е и так далее.

С другой стороны, prvse может действовать на дифференциальный оператор, скажем 9), как производная Ли; результатом этого действия будет дифференциальный оператор, коэффициентами которого будут функциональные один-векторы, включающие 0,. Например,

рг vge (S’) = рг vg6 (^ + 4 “DX + т “х) =

= 4 рг v«e ^ А + 4 pr v$e («х) =

= 4 (е^ + Т А 4- 4 ^е) Dx 4-

Ч д' (бхххх 4" "д' ^хх 4" UX6X -| д- Пхх0^ .

И наконец, мы можем применить prvse(S))K самому 6, комбинируя очевидным образом дифференцирование и внешнее умножение. Например, три-вектор тождества Якоби, соответствующий оператору А равен

4 J {6 А РГ Vg6 (S’) A 0} d% = J {4 6 ^xxx A 6x 4- 4 “6 л 6x A ex +

+ -g- ux6 A0A0x + ^r-0A 6XXXX A 0 4"

4" "g" M0 A 0XX A 0 4"g" Ux6 A 0X A 0 4"

4- 4buxxq a 0 a o| dx =

= — 4S ^ASxAOxxxJdx

в силу основных свойств внешнего произведения. Этот полученный три-вектор также тривиален, в чем можно убедиться простым интегрированием по частям:

J ^exABxx^dx==— ^ фх ^^6xV6xx^dx =

={6Х Л 0Х Л 0ХХ -|- 0 Л 0хх Л бхх} dx = 0.

В соответствии с этим обозначением при вычислении Ч7 по формуле (7.16) на Р, Q, R е зР1 мы получим шесть членов, первые два из которых имеют вид

4 $ Р ₽г vж (®)Q-Q pr v@R (®) Р] dx.

Ввиду упр. 7.12, так как дифференциальный оператор 2) антисимметричен, это же справедливо и для prvy(S)) при любом эволюционном векторном поле vq. Поэтому указанные выше два члена равны и в сумме дают первый член тождества Якоби (7.11). Значит, как и утверждалось выше, выражение <Ч7; Р, Q, R> совпадает с левой частью формулы (7.11). Кроме того, с помощью леммы 5.61 (перенесенной на мультивекторы) получаем, что выполнение равенства (7.11) эквивалентно тривиальности три-вектора Ч7.

Предложение 7.7. Антисимметрический матричный дифференциальный оператор ® размера qXq гамильтонов, если и только если функциональный три-вектор (7.16) нулевой: Ч7 = 0.

Можно сделать еще одно упрощение. Расширим определение продолженного «векторного поля» pr vse на пространство вертикальных один-векторов, положив

prvS6 (е") = 0

для всех а, / и продолжив его как дифференцирование. Теперь подынтегральное выражение в (7.16) можно переписать в виде

—ргУз^елазе^еАргу^^лб,(7.17)

минус объясняется тем, что мы поменяли порядок сомножителей во внешнем произведении. Кроме того, так как поле prvae эволюционное, оно коммутирует с полным дифференцированием:

Pr'v@6Dfe = Dfe-prv@6, fe=lр,

ср. (5.19), даже при действии на вертикальные мультивекторы. Поэтому для любого функционального ^-вектора Ф=^Ф</х мы можем корректно определить (А + 1)-вектор

pr vS6 (Ф) = ^ pr VS6 (Ф) dx.

(См. упр. 5.42.) В частности, таким образом можно подействовать на два-вектор 6, определяющий скобку Пуассона (7.14),

и по (7.17) получаем

ргVsg№0 = 4" $ {ргv®e (6Л^^dx=—W;

результат с точностью до знака равен три-вектору, соответствующему тождеству Якоби. Тем самым мы доказали следующую теорему.

Теорема 7.8. Пусть Ф ■— антисимметрический матричный дифференциальный оператор размера qXq и 0 = -^ {6 Л A^0}dx— соответствующий функциональный два-вектор. Тогда Ф гамильтонов, если и только если

prv@e(0) = O.(7.18)

Пример 7.9. Вернемся в последний раз к гамильтонову оператору S, связанному с уравнением Кортевега— де Фриза. В силу условий (7.15) и (7.18) нам нужно только проверить равенство нулю выражения

pr v$e S И6 л е^+тм6 л е4dx=т S и л 6 л мdx=

=44 (е^ле л бх + 4«0х ле а ех + -^ихблбл ех) dx=o

в силу наших предыдущих вычислений. Тем самым мы доказали совершенно элементарным путем, что ^ гамильтонов.

Пример 7.10. Рассмотрим уравнения Эйлера для потока невязкой идеальной жидкости

^Н. + u . Vu =-Vp, V-u = 0.

(Обозначения см. в примере 2.45.) В таком виде они не могут составлять гамильтонову систему, так как, в частности, нет уравнения, описывающего эволюцию во времени давления р. Эту трудность легче всего преодолеть, переписав уравнения относительно вихря <о = V X и. Взяв ротор первого набора уравнений, находим уравнение вихря

~ = го • vu — UV6),(7.19)

которое мы приведем к гамильтонову виду

=(7-2°)

otО®''

для подходящего гамильтонова оператора ф. Гамильтонов функционал — это энергия

^^^-Llupdx,

но для вывода уравнения (7.20) нам надо вычислить его вариационную производную по <о, а не по и! (Формально) это делается путем введения векторной функции тока ф, удовлетворяющей условиям ТХф = и, У-ф = 0. Пусть функция ц(х) имеет компактный носитель и V X Ц = £• Тогда

-^|£ ^[® + eg] = J u-T)dx = ^ (V X Ф) • Ч dx—

= $ ф ■ (VX»l)dx= $ ^ ’ ^dx>

и поэтому 63^/6® =ф.

В двумерном случае функция u=(u, и) зависит от (х, у, /) и у вихря отлична от нуля одна компонента to = их — иу. Уравнение вихря при этом имеет вид

^- _ — от, — ц®д = ®,фд — йдф„(7.21)

где ф — функция тока, фх = у, фу = —и. Положив

^^ (ЙХОу toyDX1

видим, что уравнение (7-21) имеет вид (7.20) с энергией в качестве гамильтонова функционала.

Чтобы доказать, что оператор 2) гамильтонов, заметим сначала, что

Ф* = —Dv • to, + DK ■ cos = — Ф,

и поэтому Ф антисимметричен. Тождество Якоби доказывается проверкой условия (7.18):

0 = Pr vse J {со,6 A 6g - Юдб А 0,} dx Jz/=

= J ^Dx (to,6g — tOgO,) A 6 A es — Dy (axGy — tOgO,) A 0 A 0,} dx dy =

= {®X №«» A 6 A 0g Ogg A 0 A 0,) “Ь

+ Wy^xga0 AO, — 6„ a0 AOg)} dxdy.

Второй и четвертый член после интегрирования по частям дают

{®Х (6jcy А 6А 0g + Од AO A0,g) + О,д0д Л 0 Л О, +

+ Ю» ^ А О А 0, + О, А О А 0,д) + ЮхдО, Л О Л Од } dx dy = 0

в силу кососимметричности внешнего умножения. Таким образом, оператор ф удовлетворяет условиям теоремы 7.8 и корректно определяет скобку Пуассона, относительно которой двумерные эйлеровы уравнения являются гамильтоновыми. Трехмерный вариант мы оставляем читателю; см. упр. 7.5.

7.2. СИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Соответствие между гамильтоновыми группами симметрий и законами сохранения для систем эволюционных уравнений в гамильтоновом виде строится в общих чертах так же, как и в разобранном в § 6.3 конечномерном случае. Сначала мы должны исследовать «отмеченные функционалы», обязанные своим существованием вырожденности самой скобки Пуассона; они определяют законы сохранения для всех систем с данной гамильтоновой структурой. Дополнительные законы сохранения, порожденные симметрией конкретного гамильтонова функционала, можно вывести затем из обобщенных симметрий, которые сами являются гамильтоновыми.

Отмеченные функционалы

Определение 7.11. Пусть Ф— гамильтонов дифференциальный оператор размера q X 9- Отмеченный функционал для Ф —■ это такой функционал е ф, что Ф^б = 0 для всех х, и.

Иными словами, гамильтонова система, соответствующая отмеченному функционалу, тривиальна: ut = 0. Ввиду равенства (76.4) заключаем, что функционал ^ отмечен тогда и только тогда, когда его скобка Пуассона с любым другим функционалом тривиальна:

{^, ^} = 0 для всех 36 гф.

Отсюда немедленно вытекает

Предложение 7.12. Пусть Ф— гамильтонов оператор. Если <6? — отмеченный функционал для Ф, то ‘g’ определяет закон сохранения для любой гамильтоновой относительно ф системы Ut ФЪЗб.

Пример 7.13. Для первого гамильтонова оператора Ф = Dx уравнения Кортевега — де Фриза отмеченный функционал должен удовлетворять условию Dx^ = 0, или, что то же самое, № постоянна. Всякий такой функционал, с точностью до по-

стоянного множителя, есть масса .^[u]=^udx. Таким образом, в соответствии с предложением 7.12 всякое /.‘-решение любого эволюционного уравнения вида ut = Dx696 автоматически удовлетворяет закону сохранения массы j udx = const. (На самом деле это утверждение можно обобщить, см. упр. 7.8.) С другой стороны, второй гамильтонов оператор ^ не допускает нетривиальных отмеченных функционалов, и поэтому его можно рассматривать как «симплектический».

Скобки Ли

Как и в конечномерной ситуации, главный результат, необходимый для доказательства теоремы нётерова типа, связывающей группы симметрий и законы сохранения,— это соответствие между скобкой Пуассона функционалов и коммутатором соответствующих гамильтоновых векторных полей.

Предложение 7.14. Пусть {-, •}—скобка Пуассона, определенная дифференциальным оператором Я). Пусть 9, Q^SF — функционалы с соответствующими гамильтоновыми векторными полями v^, vff! Тогда гамильтоново поле, соответствующее скобке Пуассона {^, С^, является скобкой Ли векторных полей

¥{ла}= “ [v^’ ¥^] = [¥с’ v^]-(7.22)

(Скобка Ли дается определением 5.14.)

Доказательство. Рассмотрим произвольный функционал 91. Применив к 9^ продолжение поля v{^ C} с учетом равенства (7.4) и тождества Якоби, получаем

prv{^}(&) = № {^, С}} =

= (№ Я, <?}-{№ 0, ^} =

= рг^(№ ^})-рг^(№ 0) =

= (pr Ve • рг v^ - pr v^ • рг Vc) 91.

В силу тождества (5.21) последнее выражение является продолжением скобки Ли полей у^, nq, т. е.

₽г¥{^») ^ = ”РГ (fo> vy]) 91

для каждого 9.^9". Согласно упр. 5.42, это равенство выполняется только в случае, когда два обобщенных векторных поля совпадают, что и доказывает (7.22). □

Законы сохранения

Как мы отмечали в гл. 4, всякий закон сохранения системы эволюционных уравнений записывается в виде

DtT+ DivX = 0,

где через Div обозначена дивергенция по пространственным переменным, и можно без потери общности считать, что плотность Т (х, t, uw) зависит только от производных функций и по х. Это условие можно выразить и так: при fi с X функционал

9" [/; ы] = Т (х, t, uw>) dx

является не зависящей от / константой для всех решений и, таких, что Т(х, t, «<”>)->-О при х-^-дй.

Заметим, что для любой такой дифференциальной функции Т (х, /, ы<п>) и любого решения и эволюционной системы Ut = Р[ы]

DtT = dtT^-prvpm,

где через dt = d/dt обозначено взятие частной производной по t. Таким образом, функция Т является плотностью для некоторого закона сохранения системы тогда и только тогда, когда соответствующий ей функционал 9" удовлетворяет условию

d9",dt + pr vp (^ = 0.(7.23)

В случае когда наша система имеет гамильтонов вид, соотношение (7.4) немедленно приводит к соотношению Нетер между гамильтоновыми симметриями и законами сохранения.

Теорема 7.15. Пусть щ = 9)63®— гамильтонова система эволюционных уравнений. Гамильтоново векторное поле v^> с характеристикой 9)69, 9g9, onpedeAaeT группу обобщенных симметрий системы тогба и только тогба, когба существует эквивалентный функционал 9 = 9 — ^, отличающийся от 9 лишь на зависящий от времени отмеченный функционал ^[/; и], такой, что 9 опребеляет закон сохранения.

Доказательство. Под зависящим от времени отмеченным функционалом мы по аналогии с гл. 6 понимаем функционал

^ [/; ы] = С у, х, uw) dx, где С зависит от t, х, и и производных от и по х, обладающий тем свойством, что при любом фиксированном значении /0 ®4ta и\ является отмеченным функционалом для S); 2)№ = 0. В соответствии с предложением 5.19 векторное поле v^ является симметрией гамильтоновой системы тогда и только тогда, когда

dv^/д/ + [v^, v^] = 0,(7.24)

где уж — соответствующее гамильтоново векторное поле. Так как оператор Я) не зависит явно от /, то векторное поле dv^/dt является гамильтоновым и соответствует функционалу d^fdt, а по предыдущему предложению [уж, v^] является гамильтоновым векторным полем для скобки Пуассона функционалов ^ и Ж Таким образом, из равенства (7.24) следует, что гамильтоново векторное поле для функционала д^Я + {^ 5g} равно нулю, и поэтому

^ + {^, 5g} = ^

для некоторого зависящего от времени отмеченного функционала

^ [1; п] = ^ С (/, х, uw) dx.

Положим теперь

\ С (s, х, и^) ds I dx, to'\ С (s, х, и^) ds I dx, to'; ы] = ^ [s; ы] dsto

\ С (s, х, и^) ds I dx, to'

\ С (s, х, и^) ds I dx, to'

и пусть Я = Я — ‘б. Тогда

а по определению отмеченного функционала (Я, 5g} = {^, 5g}.

Таким образом, функционал Я удовлетворяет условию (7.23) и поэтому сохраняется; теорема доказана. □

Пример 7.16. Рассмотрим уравнение Кортевега — де Фриза ut = uxxx-\-uux,(7.25)

две гамильтоновы структуры которого обсуждались в примере 7.6. Выясним, какие из классических групп симметрий из

примера 2.44 являются гамильтоновыми и, таким образом, приводят к законам сохранения. Симметрии порождены векторными полями

Vi = dx, va = dt, v8 = tdx—ди, у4 = хдх+3/д,—2мд„, ср. (2.68), где х заменено на —х, а соответствующие характеристики имеют вид

Qi = иХ1 Q% = ^ххх Ч~ иих1 Q8 — 1Ч" tux, Qi = 2w -}- хих -]- 3( (uXJCX 4- uux) (с точностью до знака).

Для первого гамильтонова оператора S)=DX существует один независимый нетривиальный отмеченный функционал — масса ^0=^ = ^udx,— который поэтому сохраняется. Из указанных выше четырех характеристик первые три гамильтоновы:

Qt = D№ i—1, 2, 3,(7.26)

,-7> =СД_ u2dxLJ 2J К 62,-7> =СД_ u2dxLJ 2J К 62с соответствующими сохраняющимися функционалами

,-7> =СД_ u2dxL

J 2J К 62

,-7> =СД_ u2dxL

J 2J К 62

иТ^ dx,

Отметим, что ^2 — это в точности гамильтонов функционал для уравнения (7.25) с гамильтоновым оператором Ф. Из инвариантности функционалов ^з и ^ следует, что первый момент функции и является линейной функцией от V.

^xudx = at-Vb, а, b—постоянные, где а = —^(1/2) и2 dx для любого решения и, достаточно быстро убывающего при |х|—>оо, или для любого периодического решения; в последнем случае интеграл берется по периоду. Четвертая характеристика <24 не имеет вида (7.26) и поэтому не порождает закона сохранения.

Что можно сказать о втором гамильтоновом операторе 6 =/)х3+(2/3)ы/)ж+(1/3)нж? В этом случае отмеченных функционалов нет. Функционалы Qi, Q2 и Q4 (но не Qs) гамильтоновы:

Qi ^<Pb i=l, 2, 4,

(7.27)

гдегде

где

где

Зу = З^о = 3 и dx, ^2 = ^v=^-^-u2dx,3^ = З^3 = 3 ^ ^хи + 4 ^2) ^х

— соответствующие законы сохранения. В этом случае ничего нового мы не получаем. Отметим, что еще один закон сохранения ^г не порожден ни одной из геометрических симметрий. В соответствии с теоремой 7.15, однако, он порожден некоторой гамильтоновой симметрией, а именно v^. Характеристика этой обобщенной симметрии равна

Q5 = <^2 = (z^ + - J uDx + -1- щ) ^ихх + -1- ы2) =

. 5,10. 5 9

— Пххххх 4 д' ниххх 4 д- ихихх 4 g- U Ux.

Таким образом, мы переоткрыли обобщенную симметрию пятого порядка из § 5.2! Следуя дальше, заметим, что Qs, оказывается, удовлетворяет условию гамильтоновости (7.26) для оператора 2), и функционал

^=$ (4 ^—4^+4 “4)dx

дает еще один закон сохранения для уравнения Кортевега — де Фриза. К этому моменту начинают проявляться признаки рекурсивной процедуры порождения законов сохранения и соответствующих гамильтоновых симметрий для уравнения Кортевега— де Фриза. Возьмем новый закон сохранения ^5, определим его гамильтоново векторное ноле относительно оператора ^, которое по теореме 7.15 обязательно является симметрией, а затем попробуем найти еще один функционал ^е, для которого это векторное поле гамильтоново по отношению к другому гамильтонову оператору S), и т. д. Строгое развитие этой рекурсивной схемы для произвольного уравнения с двумя гамильтоновыми структурами составит содержание § 7.3.

Пример 7.17. Двумерные уравнения Эйлера были приведены к гамильтонову виду в примере 7.10. Изучим, какого типа законы сохранения мы в результате получаем. Нам нужно рассмотреть сначала отмеченные функционалы для гамильтонова оператора S) = юхРу — a>yDx. Непосредственное вычисление показывает, что дифференциальная функция Р[ю] лежит в ядре оператора 3); 3)Р = 0, если и только если Р = Р^ является функцией от го (но не зависит ни от х, ни от у, ни от какой-либо

[8 П. Олвер

производной от со). Поэтому функционалы

^ [со] = ^ С (со) dx dy

для любой гладкой функции С(со) от вихря со все являются отмеченными и, таким образом, сохраняются на решениях уравнений Эйлера. Эти хорошо известные «интегралы по областям» отражают сохранение вихря «жидкой частицы» для двумерного потока несжимаемой жидкости.

Теперь мы построим законы сохранения, порожденные евклидовыми симметриями уравнений Эйлера, обнаруженными в примере 2.45. Заметим сначала, что нам нужно найти «ю-ха- рактеристику» каждой из образующих симметрии, т. е. переписать ее в виде продолжения некоторого эволюционного векторного поля вида v = Q (х, у, t, и, и, р, со, . ,.)дю. Для гамильтонова векторного поля v мы можем вывести отсюда существование закона сохранения ^[со], для которого S)^ = Q- Например, для симметрии сдвига

va = адх + atdu — ajtxdp, a = a (О, эволюционный вид таков:

va = («с — a«J дц — аи^У — (atfX + аРх) др.

Продолжая va, мы видим, что коэффициент при со равен

Q = —аюх = —S) (ay) = —j2W„, где

^ = ^ a (/) усо dx dy = ^ a (/) и dx dy

— соответствующий сохраняющийся функционал (мы проинтегрировали по частям). Подобным образом, симметрии сдвига vp приводят к законам сохранения

^р = — ^ Р (О хт dx dy = J p (/) у dx dy,

где p(/)—также произвольная функция от i. Кажется парадоксальным, что 9„ и ^р при любых функциях «(/) и р(/) оказываются законами сохранения, но парадокс разрешается при рассмотрении граничных вкладов. Положив a(6 = (a(0, Р(/)), имеем дивергентное тождество в векторном виде

Dt (а • u) + Div [(а • и — а, • х) и + ра] = О,которое выполняется для всех решений и = (и, п) уравненийЭйлера. После интегрирования получаем обобщенные соотно-

шения импульса

-^- (а (/) • u) dx = — ^ [(а • и — а, • х) и + ра] • dS, еее.

справедливые в любой подобласти Q. Именно в этом смысле «сохраняются» указанные выше функционалы ^а, ^р.

Симметрия вращения

удх — хдв + vdtt — иду

имеет to-эволюционный вид

(у®х Xtoy) да,

являющийся гамильтоновым. Мы получаем

(уюх — хйу) = 5) (-^- х2 + -^- у2} = 5)6^, где

£7" = -у (х2 4- у2)adxdy = ^ (уи — xv) dxdy

— сохраняемый момент количества движения жидкости. Таким образом, для двумерных уравнений Эйлера существуют три бесконечных семейства законов сохранения. Два из них порождены обобщенными симметриями сдвигов, а одно — интегралы по областям—отражает вырожденность исходной скобки Пуассона. Кроме того, имеются также отдельные законы сохранения момента количества движения и энергии. Трехмерный случай несколько отличается от двумерного — см. упр. 7.5.

7.3. БИГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ

В этом последнем параграфе мы обсуждаем замечательные свойства систем эволюционных уравнений, которые, как и уравнение Кортевега — де Фриза, можно записать в гамильтоновом виде не одним, а двумя различными способами. Таким образом, нас будут интересовать системы вида

(7.28)(7.28)= кх [«] = 2)696 Y = 86960,

(7.28)

(7.28)

где оба оператора 2) и 8 гамильтоновы, а 96о\Ц и 96Y\u\— соответствующие гамильтоновы функционалы. Благодаря условию совместности двух пуассоновых структур, определяемых операторами 2) и 8, мы сможем рекурсивно построить бесконечную иерархию симметрий и законов сохранения для этой системы следующим образом.

В соответствии с теоремой 7.15 для любого сохраняющегося относительно уравнения (7.28) функционала ^[и] оба гамильтоновых векторных поля v@65> и vg6^ являются симметриями. В частности, так как сохраняются оба функционала <9^0 и 5^ь то симметриями уравнения (7.28) являются не только исходное векторное поле vKi = vs,6jgi = vg6M, но также и два дополнительных векторных поля v^,^ и vg6^. Рекурсивный алгоритм действует в предположении, что одна из этих новых симметрий, скажем vg6?g, является гамильтоновым векторным полем для другой гамильтоновой структуры, т. е.

^6^, = 5)бЖ2

Для некоторого функционала 3§2. Вновь по теореме 7.15 Э^2 (или некоторый эквивалентный ему функционал) сохраняется, и поэтому мы получаем еще одну симметрию, на этот раз с характеристикой ^б^г- Теперь схема рекурсии ясна. На п-м шаге мы определяем новый функционал Зб,,^, удовлетворяющий рекурсивному соотношению

Кп = ®б36п = §б'36п_х.(7.29)

Это соотношение порождает новый закон сохранения для исходной системы (7.28), а также новую симметрию vn+i с характеристикой Kn+i = §Ъ36п. Заметим, что, введя оператор 91 — = S-2)-x, мы можем формально записать

Кпл. \ = 91Кп

и предположить (так это и окажется на самом деле), что 91 будет определять оператор рекурсии для нашей системы.

Пример 7.18. Рассмотрим уравнение Кортевега— де Фриза, существование двух гамильтоновых структур для которого было доказано в упр. 7.6; для него

S = DX1 % = &х + ^иСх + ±-их.

Связующий оператор в иерархии гамильтоновых симметрий имеет вид

5? = ^ . S5”1 = £)^ +-|-ц +-1-щй;1,

а это не что иное, как оператор рекурсии Ленарда из § 5.2! Таким образом, наше исследование бигамильтоновых систем дает автоматически доказательство существования бесконечного набора законов сохранения и симметрий для уравнения Кортевега— де Фриза.

Однако для строгости рассуждений нам необходимо убедиться, что две гамильтоновы структуры «совместны» в следующем точном смысле:

Определение 7.19. Говорят, что пара антисимметрических матричных дифференциальных операторов Я и S размера q^q образует гамильтонову пару, если любая их линейная комбинация аЯ + bS, a, beR, является гамильтоновым оператором. Система эволюционных уравнений называется бигамильтоновой, если ее можно записать в виде (7.28) для гамильтоновой пары Я, 8.'*

Лемма 7.20. Два антисимметрических оператора Я, 8 образуют гамильтонову пару тогда и только тогда, когда Я, ^ и Я -V S гамильтоновы.

Доказательство. Заметим, что тождество Якоби в любой из своих форм (7.3), (7.11) или (7.18) квадратично по Я. Поэтому лемма легко следует из того, что любой квадратичный многочлен, обращающийся в нуль в трех различных точках, тождественно равен нулю. В применении к нашему случаю для Р, Q, R е ^-ч пусть У ^Я, Я-, Р, Q, R) обозначает левую часть равенства (7.11). Соответствующая симметрическая билинейная форма имеет вид

^КЯ, §; Р, Q, R) =

= ^[P-prvSR(^)Q + tf-prvSQ№ + Q.prvs^

+ Р • pr VgR (25) Q + R • pr vgQ (Я) Р + Q • pr VgP (Я) /?] dx. (7.30)

Если операторы Я, S и Я-V S гамильтоновы, то

У^Я, Я; Р, Q, R) = ^, g; Р, Q, R) = 0 и

/(0 + #, Я-pS; Р, Q, R) =

= ^(Я, Я; Р, Q, Д) + 2?(Я, S; Р, Q, Я) +

+ №, §\ Р, Q, R) = 0, и поэтому

"^(Я, S; Р, Q, R) = 0.(7.31)

Отсюда легко проверить, что

/ (аЯ + bS, аЯ + ЬЗ’-, Р, Q, R) = 0

для всех a, b е R. □

Следствие 7.21. Два гамильтоновых дифференциальных оператора 2) и <о образуют гамильтонову пару тогда и только тогда, когда

pr vse (0ё) + Рг Че (0®) = °>(7.32)

где

0S = 4"$ ^^^dx» 0г = -^ J {0A^O)dx

— функциональные два-векторы, представляющие соответствующие скобки Пуассона.

Действительно,

№, 0; Р, Q, ^) = <prvs,6(0s,); Р, Q, R),

поэтому вычисление выражения (7.32) в Р, Q, R дает (7.31). □

Пример 7.22. Рассмотрим гамильтоновы операторы 2, S, связанные с уравнением Кортевега — де Фриза. Очевидно,

pr vg6 (0®) = Pr vs6 $ Т ^6 Л 6^ йх = °’

а

Pr v®e (0$) = Pr v®e $ {4 6 л 6ххх + Т “9 л 9х} dx == $ {4_0*лелМ йх=°

ввиду свойств внешнего произведения. Таким образом, 2 и § образуют гамильтонову пару.

Кстати, когда мы изучаем гамильтоновы пары, мы всегда исключаем тривиальный случай: один оператор равен другому, умноженному на постоянную. В случае систем (в отличие от скалярных уравнений) мы должны наложить дополнительное ограничение на один из операторов, скажем 2, связанное с появлением обратного к нему в формуле для оператора рекурсии.

Определение 7.23. Дифференциальный оператор 2\ si' -^ si- называется вырожденным, если существует ненулевой дифференциальный оператор 2: sP-^-si, такой, что 2-2 = 0.

Например, матричный оператор

Дх -П2ЛDx —Dx J

вырожден (и гамильтонов), так как для S) = (l, —Dx) имеем S)-S) = 0. Нетрудно видеть, что вырожденность — это чисто матричное явление; любой отличный от нуля скалярный оператор Ф; ^^-£^ автоматически невырожден. (Полезный критерий невырожденности приведен в упр. 7.14.)

Теперь мы готовы сформулировать основную теорему о бига- мильтоновых системах.

Теорема 7.24. Пусть

щ = /с, [и] = 06^ = ^6^0

— бигамильтонова система эволюционных уравнений. Предположим, что оператор Ф гамильтоновой пары невырожден. Пусть 91 = 8-ф-1 — соответствующий оператор рекурсии, и пусть Ко = Ф596о. Предположим, что для каждого п = 1, 2, 3, ... мы можем рекурсивно определить

Кп = ^Кп_х, п>1,

т. е. для каждого п Кп-х лежит в образе оператора Ф. Тогда существует последовательность функционалов 96 й, 96х, 96г, .... такая, что

для каждого п ^ 1 эволюционное уравнение

щ = Кп [и] = Ф696П = 8696 п_,(7.33)

является бигамильтоновой системой-,

соответствующие эволюционные векторные поля vn = vk попарно коммутируют-.

[v„, vm] = 0, п, m>0;

(Hi) гамильтоновы функционалы 96 п попарно находятся в инволюции относительно каждой скобки Пуассона;

{96 п, 96 ^з 0 = {96п, 96^^, п, т>0,(7.34)

и поэтому образуют бесконечный набор законов сохранения для каждой из приведенных выше гамильтоновых систем.

Прежде чем доказывать теорему, следует сделать несколько замечаний. Хотя в сформулированном виде результат является весьма мощным, в нем содержится один неприятный дефект; а именно, мы должны предполагать, что можем на каждом шаге применять оператор рекурсии к Кп-х для получения Кп, т. е. доказывать, что Кп-\ лежит в образе оператора Ф. В большинстве известных к настоящему времени примеров это, кажется, всегда так, однако было бы замечательно получить общее доказатель-

ство этого факта. (Доказательство, приведенное в теореме 5.32, годится только для уравнения Кортсвега — де Фриза.) Однако сейчас, за исключением некоторых частных случаев, это лучшее, что мы можем делать. Вторая проблема состоит в проверке независимости гамильтоновых функционалов 36п\ на практике это обычно легко увидеть, рассматривая старшие члены соответствующих эволюционных уравнений.

Само доказательство сводится к следующей технической лемме:

Лемма 7.25. Пусть операторы Ф, 8 образуют гамильтонову пару и оператор Ф невырожден. И пусть Р, Q, R е st'* удовлетворяют условию

'SP = ®Q, SQ = ®R.(7.35)

Тогда если Р = Ь9, Q = 6^ являются вариационными производными функционалов Ф, Q е Ф, то и R = 6^ для некоторого функционала 91^ ф.

Прежде чем доказывать лемму, посмотрим, как из нее вытекает теорема. Положим для каждого и ^ 0 Кп = ®Q«, где по предположению Qn ^ sis — корректно определенный набор из q дифференциальных функций. По лемме если Q„_i = 6S^n-i, Qn = Шп являются вариационными производными, то и Qn+i = = 6^n+i для некоторого функционала Ж.+ieS". Так как мы уже знаем, что Qo = б^о, Qi = 636\ имеют такой вид, то существование функционалов 36п, п ^ 0, вытекает из простой индукции. Часть (i) доказана.

Часть (В) следует из ч. (iii) и равенства (7.22), поэтому мы сосредоточимся на доказательстве ч. (iii). Ввиду равенства (7.4)

\зеп1 ад®=ргутю и

{^„, адк = ргут+1№, откуда

\3бп, Жт}я={Жп, Жт_^.

Чтобы двигаться дальше, воспользуемся кососимметричностью скобки Пуассона. При п < т

V^n, ^m}® = №, ^m-ib = №+i, ^m_ib=...

...=W ад = 0,

где k — целая часть числа (m — n) /2, и последняя скобка — это ^-пуассонова скобка при четном т —• п и ^-пуассонова скобка при нечетном т — п. Тем самым доказано равенство (7.34), и доказательство теоремы завершено. □

Доказательство леммы 7.25. Напомним, возвращаясь к выводу равенства (7.11) из тождества Якоби (7.3), что большое количество сокращений — результат того, что наборы Р, Q, R предполагались вариационными производными функционалов и, следовательно, их производные Фреше были симметрическими операторами. Если мы отбросим это исходное предположение и проведем вычисление для произвольных наборов Р, Q, Re s&4, то придем к тождеству вида

Ж кФ, ®; Р, Q, R^ = $k®, ®; Р, Q, RW^k®, Ф\ Р, Q, R), где

Ж к®, ^; р, Q, R) =

= -i- {рг vSR ^ Р • 8Q dx + рг v@p ^ Q • 8R dx + + Prvs>Q ^ ' ^p^x + PrvgR§ Р 1 ®Qdx + 4- рг v,p ( Q • ФР dx + рг v,n ( R • ФР dx\.

У (S3, Ф; P, Q, R) определяется формулой (7.30), a S— квадратичная форма билинейного выражения

$к®, 8*, Р, Q, R) =

= --И {^(Dq-Dq) SR^SQ.^r-^SPA-

4- ФР • (Dp - Dp) SQ-V8P- (Dq - Dq) ФР 4-

4- 8Q • (Dfi — Dr) ФР 4- 8R • (Dp - Dp) ®Q^dx.

У предыдущего тождества есть билинейный аналог

Ж к®, 8\ Р, Q, Р) = Ф{Ф, S; Р, Q, R) + ^(®, 8; Р, Q, RY,

(7.36)

это тождество выполняется для произвольных Р, Q, R е &Ф и произвольных антисимметрических операторов Ф, 8. В частности, если Ф, 8 образуют гамильтонову пару, то член X в (7.36) обращается в нуль.

Заменим теперь Р на S = 6S, R на Т = ЬТ в (7.36) и предположим, что Р, Q, R связаны соотношениями (7.35). Так как Q, S и Т являются вариационными производными функционалов, из теоремы 5.68, (7.36) и (7.31) следует, что

0 = Ф(Ф, 8; Q, S, П = Жк®, 8\ Q, S, Т).(7.37)

Кроме того, с помощью соотношений (7.35) и антисимметричности операторов Ф и 8 находим (после перестановки членов)

Ж^Ф, S; Q, S, Т) =

= -^- {рг у^р 5 • ST dx 4- рг vKS ^ Т • SPdx-V

+ рг vKr Р • SS dx + рг v@R 5 • ФТ dx +

+ prvss Т • 2Rdx + ргуат $ 7? • SXSdx} =

= 4-{Х(^, S; Р, S, THW, Ф-, R, S, 7)}.

Так как S гамильтонов и P, S, T являются вариационными производными функционалов, то Ж(8\ S; Р, S, Т) представляет собой левую часть тождества Якоби для S и поэтому обращается в нуль. Нам еще неизвестно, что R является вариационной производной некоторого функционала, поэтому мы не можем утверждать того же относительно Ж (Ф, Ф; R, S, Т). Однако ввиду (7.36), (7.37) и теоремы 5.68 (для S и Т) имеем

0 = Ж(Ф, Ф; R, S, Т^ = $^Ф, Ф\ R, S, Т) =

= ^®Т • (Щ - Од) Ф8 dx = - J Т • Ф (D* - Од) Ф$ dx.

Заметим, что оператор Ф(Dfi-D*)Ф антисимметрический. Так как это тождество выполняется для произвольных вариационных производных S = 6^, Т = б^“, то из предложения 5.64 и принципа подстановки (упр. 5.32) следует, что

ф. (Од -Од). Ф = 0.

И наконец, предположение о невырожденности оператора Ф позволяет нам заключить, что

^■(Од-Од) = 0.

Применив сопряжение, получаем

-(Од-Од). Ф = 0.

Использовав еще раз невырожденность оператора Ф, заключаем, что R удовлетворяет условию Гельмгольца 0^ = 0^ и поэтому ввиду теоремы 5.68 является вариационной производной некоторого функционала. □

Операторы рекурсии

Мы видели, что для данной бигамильтоновой системы оператор 91 = 8-Ф""х, последовательно применяемый к исходному уравнению До = S)65^o, порождает бесконечную последовательность обобщенных симметрий исходной системы (подчиняющихся техническим предположениям теоремы 7.24.) Пока еще не ясно, что 91 действительно является оператором рекурсии для системы в том смысле, что если Vq— обобщенная симметрия, то и v^q — обобщенная симметрия. Пока нам это известно только для симметрий вида Q = Кп при некотором п. Чтобы доказать этот более общий результат, нам понадобится формула для инфинитезимального изменения самого гамильтонова оператора под действием гамильтонова потока.

Лемма 7.26. Пусть щ = К = Ф696 — гамильтонова система эволюционных уравнений с соответствующим векторным полем vK = уж- огда

'pr ^ (0) = DK . Ф + Ф ■ D^.(7.38)

Доказательство. Положим L = 698, т. е. К = ФЬ. Пусть Р = 6^, Q = 6^ — произвольные вариационные производные. В силу тождества Якоби для оператора Ф в виде (7.11) и равенств (7.7) и (5.41)

[Р • pr v^(2))Q]dx= ^ [Р • pr v^ (Ф)Ь — Q • ргу#(Ф) £] dx =

= J {Р • [prv5 (К) — Фргуе (£)] —

— Q • [pr v ^ (К) — Ф pry^ (£)]} dx =

= J {P • [DK (ФQ) - 0DL (SQ)] -

- Q ■ [DK (ФР) - ®DL (0P)J) dx =

= $ [P • DK (ФО) -Q DK (ФР)] dx =

= $ [P ■ (D^ + ФОк) Q] dx.

Предпоследнее равенство следует из того, что оператор ФХДФ симметричен в силу антисимметричности 9), a DL симметрический, так как L = 696^- вариационная производная. Теперь требуемый результат следует из принципа подстановки. □

Теорема 7.27. Пусть щ = К = ®696v = ё’ЬЗбо— бигамильто- нова система эволюционных уравнений. Тогда оператор 91 = = 8 -Ф~х является оператором рекурсии для этой системы.

Доказательство. Мы должны проверить инфинитезимальный критерий теоремы 5.30. С помощью предыдущей леммы имеем рг v^ (5?) = рг v^ (^) • ^'"* — ^ • ®-1 ■ pr vK (2)) ■ Угх =

= (DK^ + Wk) ■ ST' - $ ■ 9ГХ (DK2) + Wk) 4Гх = = О^Й — S?D^.

Поэтому для решения и

(Dt — DK) • 91 — 91 • Dt + рг vK (5?) — DK ■ 91 = 91 • (Dt — DK)

и (5.42) выполняется. □

Заметим, что в этой теореме мы не требуем, чтобы пара (2), 8”) была гамильтоновой; нам нужна только гамильтоно- вость каждого оператора. Таким образом, оператор рекурсии существует в более общих ситуациях. Однако без предположения о том, что пара (2), 8") гамильтонова, не ясно, являются ли гамильтоновыми симметрии vn, п = 0, 1, 2, ..., определяемые рекурсией. Примеры такого явления до сих пор неизвестны.

Пример 7.28. Уравнение Буссинеска, которое мы записываем в виде

Uft == “д' Чхххх 4 3" (Р )хх>

возникает в модели распространения длинных волн в мелкой воде, связанной с окрестностью фронта волны (несмотря на то что оно допускает волны, бегущие в обоих направлениях!). Его можно преобразовать в эквивалентную эволюционную систему

U( = их, Of з иххх 4 д-иих,(7.39)

которая оказывается бигамильтоновой. Первую гамильтонову формулировку распознать нетрудно. Возьмем в качестве гамильтонова оператора

(он, очевидно, удовлетворяет тождеству Якоби, так как его коэффициенты "постоянны), а в качестве гамильтонова функцио-

нала

2^1 К у]=5 (—4_u^+4'u3+'Tu2)dx-

Вторая гамильтонова структура не столь очевидна. Гамильтонов функционал имеет вид

Жо [и, у] = -^ и dx,

а гамильтонов оператор равен

8 =

/ Dx + 2nDx + их3uDx + 2ux

\ 3vDx+Ux|Dx + l(uDx+D^ • u)-(uxxDx + Dx-uxx) + ^uDx-и

Даже доказательство того, что оператор 8 гамильтонов, представляет собой довольно трудоемкое вычисление. Соответствующий два-вектор имеет вид

©g — -g- ^ (в А 9ХХХ + 2и0 А 0Х + 2у0 а £х — 4у0х А £ +

“Ь $ С A t,xxxxx “Ь з ^ А ^ххх 2и£х А Е,хх -Г $ U £ А £х^ dx.

где 9 = (6, ^), а 9 и т — базисные один-векторы, отвечающие и и у соответственно. Вычисляя левую часть равенства (7.18) (для 8), будем использовать то, что

рг Vg„ (и) = 6ХХХ + 2и6х + и 6 + Зу^ + 2и£,

РГ Vge (у) = Зу9х + Ух0 + 4" ^ххххх + ^^ххх + ^и£хх +

+ (3“х* + -^ “2) ^>х + ("|" иххх + "у ии^ £,

а также неоднократное интегрирование по частям — быть может, читателю захочется проверить на этом примере свою сноровку! Доказательство того, что Ф, 8 образуют гамильтонову пару, несложно; так как коэффициенты оператора Ф постоянны, то рг vg0(©S)) = 0, и нам нужно проверить только, что

Рг vS6 (©g) = 0, где рг n36 (п) = ^х, рг vse (у) = 9х.

Таким образом, для уравнения Буссинеска имеется целая иерархия законов сохранения и коммутирующих потоков. Оператор

рекурсии имеет вид

^ = ^.^)-1 =

D\ ^ 1и» и X \Зг+г.О,1 /D\ ^ 1и» и X \Зг+г.О,1 //3r + 2r,Dx'

D\ ^ 1и» и X \

Зг+г.О,1 /

D\ ^ 1и» и X \

Зг+г.О,1 /

Х'зО^ + ^иЕ^ + Зи.О.+Зи.^ Чи^ йих„ э “'uuJD?

и применяя Й? последовательно к правой части равенств (7.39), мы будем получать симметрии. На первом шаге этой рекурсии мы получаем поток

»<Ut»<Ut= ^6^! = 5)63^2 == ^6^! = 5)63^2 =

»<

Ut

»<

Ut

= ^6^! = 5)63^2 =

= ^6^! = 5)63^2 =

IlwxxxxJ[+TUUxxx+¥wxUxx+f u2^^

\3 Уххххх +т «Уххх + 5щгхх +тнхх1>х + 5UXXXU + ти21>х + tWWxV

co следующим законом сохранения:

г i / 1110. 5 2. 20 з . 5 з\ ,

Д[«, У]= \ (^1^хУхх + --^ыыххУ + -2-ихУ+ "g-U У+ -д"У )dx.

С другой стороны, можно начать с гамильтоновой симметрии сдвига

UtVtUtVtIZvIZv= g^M, = 0»:= g^M, = 0»:где оба функционалагде оба функционала5^о (м> у] = \ м dx, ^х [iz, о] =5^о (м> у] = \ м dx, ^х [iz, о] =ии dxии dxсохраняются. По теореме 7.27 применение 5? к этой симметрии приводит ко второй иерархии коммутирующих потоков и соответствующих законов сохранения, первый из которых имеет видсохраняются. По теореме 7.27 применение 5? к этой симметрии приводит ко второй иерархии коммутирующих потоков и соответствующих законов сохранения, первый из которых имеет вид«А _-= gb^x = J06^2 = у#7«А _-= gb^x = J06^2 = у#7I 2.\ з ЧхххххI 2.\ з ЧхххххУххх + 4иих + 4ихо+ 4ииххх -}- 8ихихх + -д- и2их + 4иоУххх + 4иих + 4ихо+ 4ииххх -}- 8ихихх + -д- и2их + 4ио

Ut

Vt

Ut

Vt

IZ

v

IZ

v

= g^M, = 0»:

= g^M, = 0»:

где оба функционала

где оба функционала

5^о (м> у] = \ м dx, ^х [iz, о] =

5^о (м> у] = \ м dx, ^х [iz, о] =

ии dx

ии dx

сохраняются. По теореме 7.27 применение 5? к этой симметрии приводит ко второй иерархии коммутирующих потоков и соответствующих законов сохранения, первый из которых имеет вид

сохраняются. По теореме 7.27 применение 5? к этой симметрии приводит ко второй иерархии коммутирующих потоков и соответствующих законов сохранения, первый из которых имеет вид

«А _-

= gb^x = J06^2 = у#7

«А _-

= gb^x = J06^2 = у#7

I 2.

\ з Чххххх

I 2.

\ з Чххххх

Уххх + 4иих + 4ихо

+ 4ииххх -}- 8ихихх + -д- и2их + 4ио

Уххх + 4иих + 4ихо

+ 4ииххх -}- 8ихихх + -д- и2их + 4ио

где

^Ди, и] = ^ ^UxX —2иих +-^-и4 Д-2ио2—^-Vx^dx

— еще один закон сохранения. (На каждом шаге необходимо быть уверенным в том, что оператор 3) обратим, но это доказывается аналогично случаю уравнения Кортевега— де Фриза.)

ЗАМЕЧАНИЯ

Хотя гамильтоновы системы обыкновенных дифференциальных уравнений имели первостепенное значение как в классической, так и в квантовой механике, распространение идей и техники этой теории на бесконечномерные системы, управляемые системами эволюционных уравнений, обретало зрелость очень медленно. Отставание объяснялось главным образом настойчивыми попытками использовать для бесконечномерных систем канонические координаты, существующие в конечномерном случае благодаря теореме Дарбу; однако для представляющих интерес систем эволюционных уравнений таких координат нет, и поэтому для работы необходимо предварительное овладение общим понятием пуассоновой структуры. (Бесконечномерный вариант теоремы Дарбу, доказанный Вейнстейном (Weinstein [I]), кажется, в данном контексте неприменим.)

Корректное описание гамильтоновой структуры для эволюционных уравнений основывалось на двух замечательных результатах. Арнольд [1], [2] показал, что уравнения Эйлера для потока идеальной жидкости можно рассматривать как гамильтонову систему на бесконечномерной группе диффеоморфизмов, сохраняющих объем, построенную с помощью скобки Ли — Пуассона (как обобщение на соответствующую бесконечномерную алгебру Ли). Арнольд выписал свою гамильтонову структуру в лагранжевых (подвижных) координатах; эйлеров вариант был впервые открыт Кузнецовым и Михайловым [1]. Вариант, представленный здесь, включая вывод законов сохранения, основан на работах Olver [5] и Ибрагимов [1; § 25.3]. (Приведенная у нас скобка Пуассона, хотя и является формально правильной, не может учесть граничные эффекты, и при обсуждении решений на ограниченных областях нуждается в незначительной модификации; см. обсуждение этого вопроса в работе Lewis, Marsden, Montgomery, Ratiu [1].) Затем в статье Marsden, Weinstein [2] было показано, что лагранжева и эйлерова скобки Пуассона — одно н то же. Метод Арнольда был с большим успехом применен к определению гамильтоновых структур многих систем дифференциальных уравнений, возникающих в механике жидко-

сти, физике плазмы и т. д. С помощью этих гамильтоновых структур доказывались новые результаты о нелинейной устойчивости этих сложных систем; см. Holm, Marsden, Ratiu, Weinstein [1] и дальнейшие ссылки в этой работе.

Вторым важным толчком в развитии общей теории послужило открытие Гарднером (Gardner [1]) того, что уравнение Кортевега — де Фриза можно записать в виде вполне интегрируемой гамильтоновой системы. Дальнейшее развитие эта идея получила в работах Захарова и Фаддеева [1], Гельфанда и Дикого [1], [2] и Лакса (Lax [3]). Адлер (Adler [1]) показал, что (первую) гамильтонову структуру уравнения Кортевега — де Фриза можно рассматривать как формальную структуру Ли — Пуассона на бесконечномерной алгебре Ли псевдодифферен- циальных операторов на вещественной прямой, и распространил эти результаты на более общие солитонные уравнения, обладающие представлением Лакса, включая уравнение Буссинеска из примера 7.28. (См. Lax [1].)

Ранние варианты теории гамильтоновых систем эволюционных уравнений были ограничены настойчивым введением канонических координат; типичный пример этого подхода можно найти в работе Вгоег [1]. Общее понятие гамильтоновой системы эволюционных уравнений впервые прояснилось в работах: Magri [1], Виноградов [2], Kupershmidt [1] и Манин [^.Дальнейшее развитие, включая упрощенную технику проверки тождества Якоби, теория получила в работах Гельфанда и Дорфмана [1], Олвера (Olver [4]) и Космана-Шварцбаха (Kosmann- Schwarzbach [3]). Приведенные у нас методы вычислений, основанные на функциональных мультивекторах, представляют собой слегка модифицированный вариант методов второй из этих работ. Оператор prvse в (7.18) —то же самое, что скобка Схо- утена, где два-вектор 0 определяет скобку Пуассона; такой подход нашел развитие у Магри (Magri [1]) и Гельфанда и Дорфмана [1]. (Конечномерный вариант этой скобки можно найти в упр. 6.20, а ее общий бесконечномерный вид — в работе Olver [10].)

Основная теорема о бигамильтоновых структурах принадлежит Магри (Magri [1], [2]), который также первым опубликовал вторую гамильтонову структуру для уравнения Кортевега — де Фриза и других. Его метод получил развитие в работах Гельфанда и Дорфмана [1], [2] и Фухстейнера и Фокаса (Fuchsstei- ner, Fokas [1]). Вторые гамильтоновы структуры в других солитонных уравнениях были обнаружены Адлером (Adler [1]) и Гельфандом и Диким [3] и получили дальнейшее развитие в работе Kupershmidt, Wilson [1]. Недавно Купершмидт [2] обнаружил «тригамильтонову» систему, возникающую в механике

жидкостей; см. упр. 7.11. Понятие бигамильтоновой системы всплыло также недавно в работах по бесконечномерным гамильтоновым системам, в которых семейства законов сохранения строятся с помощью подходящей рекурсивной процедуры; см. Hojman, Harleston [1] и Crampin [1], а также приведенные там ссылки. Однако единственный известный мне к настоящему времени содержательный пример бесконечномерной бигамильтоновой системы — это цепочка Тоды, которая исследована в статье Leo М., Leo R. A., Soliani, Solombrino, Mancarella [1].

Доказательство основной теоремы 7.24 о бигамильтоновых системах основано на доказательстве Гельфанда и Дорфмана [1]. Неприятное предположение технического характера о том, что оператор 2) обратим на каждом шаге, не всегда выполняется. Однако для оператора 2) с постоянными коэффициентами это предположение можно отбросить; доказательство опирается на точность бесконечномерного обобщения комплекса, построенного в работе Lichnerowicz [1], основанного на скобке Схоутена. Гипотезу относительно более общей ситуации можно найти в статье Olver [10], а доказательство для случая постоянных коэффициентов— в моей готовящейся к выходу статье.

УПРАЖНЕНИЯ

*7.1. Пусть р = q = 1. Найдите все гамильтоновы операторы видаD®+PDX + Q,

где Р н Q — дифференциальные функции. (Рассмотрите сначала Р, Q, зависящие только от и и их.) (Гельфанд, Дорфман [1].)

Пусть р = 1, q = 3. Обозначим зависимые переменные через и, и, w. Пусть

/00 Dx X

Ф = 1 0 Dx 0 I

\ О2* 4- ЗиЛу 4“ иу у

Докажите, что оператор Ф гамильтонов. (Adler [1].)

Докажите, что уравнения Максвелла в физическом виде упр. 2.16(a) составляют гамильтонову систему со скобкой Пуассона

^А^^-ЬАИ^>

Обсудите симметрии н законы сохранения. (См. также упр. 4.6 и 5.15.) (Born, Infeld [1], Marsden [1].)'

Выведите найденные в примере 7.17 законы сохранения ^ц, ^р для двумерных уравнений Эйлера непосредственно из закона сохранения энергии с помощью предложения 5.48. (Ибрагимов [1].)

*7.5. Докажите, что трехмерные уравнения Эйлера для потока несжимаемой жидкости, переписанные относительно вихря ы = V X и, образуют

гамильтонову систему по отношению к оператору ®, где ФР = <о - VP — (Vo) V X Р

(У обозначает полный градиент, ротор или дивергенцию). Найдите законы сохранения, отвечающие известным группам симметрий. Докажите, что единственный нетривиальный отмеченный функционал — это «полная завихрен

ность» % = (и • to) <Zx. (Olver [5]; относительно n-мерного случая см. Serre [1].)

Пусть S'tu] — вариационная задача с уравнениями Эйлера — Лагранжа 62? = 0. Предположим, что поле v q порождает группу вариационных симметрий с законом сохранения Div Р = 0. Докажите, что соответствующие динамические гамильтоновы уравнения «z = Ф-6$ имеют соответствующий закон сохранения, если и только если поле v^ = v^ гамильтоново относительно данной скобки Пуассона.

Динамические уравнения упругости имеют вид

где lF(x, V«)—функция высвобожденной энергии, ср. пример 4.32. Докажите, что эти уравнения можно привести к гамильтонову виду, приняв энергию

^=^[4-i«a2 + r к v«)]dx

за гамильтониан, а и, с = at — за канонические переменные. Обсудите законы сохранения этой системы в свете упр. 7.6 и примера 4.32. (Fletcher D. С. [1], Marsden, Hyghes [1; § 5.5].)

(а) Пусть Ф: S-q^>-st-4 — дифференциальный оператор. Докажите, что любой функционал ^[м], удовлетворяющий условию 2)* ■ 6®” = 0, является законом сохранения для любой эволюционной системы вида «z = ФО для любого Q е st”.

(b) Докажите, что любое эволюционное уравнение вида ut = B™Q, где х, «е R, всегда сохраняет первые т + 1 моментов Ж; = х^и dx, j = = 0, ..., т, любого решения.

Докажите, что операторы

= Dx, 8 = I?x + ^Dx-uDx'uDx

составляют гамильтонову пару, превращающую модифицированное уравнение Кортевега — де Фриза Ui = иХхх + utux в бнгамильтонову систему. Найдите оператор рекурсии и первые несколько симметрий. Как они связаны с преобразованием Миуры уравнения Кортевега—де Фриза из упр. 5.11? (Magri [2].)

Уравнение Гарри Дима имеет вид «^ = Р^ (м“1/2). Докажите, что это бигамильтонова система при Ф = 2uDx + их, S = Р®. Обсудите отмеченные функционалы, симметрии и законы сохранения для этого уравнения. (Magri [1]; в книге Ибрагимов [1] показано, как можно преобразовать это уравнение Кортевега — де Фриза.)

Рассмотрим три системы уравнений, близкие к нелинейному уравнению Шредингера:

ut + Ч-хх = 2 (jiux + у%). —у/ + Ухх = 2 («у)х,

“" + «XX = «х + ^х'~"1+5 XX = 2“х"х*

fit + йхх = 2й2и,—61+Ухх=2ну2.

Найдите замены, связывающие решения этих систем. Проверьте, что первая из них является тригамильтоновой, т. е. ее можно записать в гамильтоновом виде, пользуясь любым из трех гамильтоновых операторов

ОD,ОD,D,ОD,О2ОХuDx -J- Z)22ОХuDx -J- Z)2Dx - и — Рх2оДх + охDx - и — Рх2оДх + ох

О

D,

О

D,

D,

О

D,

О

2ОХuDx -J- Z)2

2ОХuDx -J- Z)2

Dx - и — Рх2оДх + ох

Dx - и — Рх2оДх + ох

/ 4uDx + 2их4uDx + 2с1х + Dx (Dx — u)2

\4уРх + 2Ух + (Ох + иУ Dx (Dx + u) (2uDx + ух) — (2yDx + Ox) (Ox — u)

и любые два из этих операторов составляют гамильтонову пару. Обсудите гамильтоповость остальных двух систем (см. Whitham, [1], Вгоег [1], Кирег- shmidt [2], Михайлов, Шабат, Ямннов [2]).

(а) Докажите, что производная Ли симметрического (соответственно антисимметрического) матричного дифференциального оператора 2) по эволюционному векторному полю vq prve(3>) симметрична (антисимметрична).

(Ь) Докажите непосредственно, что левая часть тождества (7.11) является кососимметричной трилинейной функцией от Р, Q, R.

Докажите, что если 2): st-^sl- и 8-. ^-► ^ — ненулевые скалярные дифференциальные операторы, то 8 ° 3)\ s^^>-st- — тоже ненулевой дифференциальный оператор. Выведите отсюда, что любой скалярный дифференциальный оператор невырождеи в смысле определения 7.23.

. Пусть ф-. s4-r -> уР— дифференциальный оператор, a 3£* = = (Q е ^s: 2)*Q = 0} — ядро сопряженного к нему оператора. Докажите, что если 31* — конечномерное векторное пространство над R, то оператор 2) невырождеи в смысле определения 7.23. Сколько отмеченных функционалов имеется у невырожденного гамильтонова оператора?

Литература

Адо И. Д.

Представление алгебр Ли матрицами. — УМН, 1947, т. 2, № 6, с. 159—173.

Арнольд В. И.

Sur la geometric differentielle des groupes de Lie de dimension infinite et ses applications a i’hydrodynamique des fluides parfaits, Ann. Inst. Fourier Grenoble 16 (1966), 319—361.

Гамильтоновость уравнений Эйлера динамики твердого тела и идеальной жидкости. — УМН, 1969, т. 24, № 3, с. 225—226.

Математические методы классической механики. — М.: Наука, 1974. Баренблатт Г. И.

Подобие, автомодельность, промежуточные асимптотики. — Л.: Гид- рометиздат, 1982.

Березин Ф. А.

Несколько замечаний об ассоциативной оболочке алгебры Ли. — Функц. анализ и его прилож., 1967, т. 1, № 2, с. 1 — 14.

Бучнев А. А.

Группа Ли, допускаемая движением идеальной несжимаемой жидкости. — Динамика сплошной среды, 1971, т. 7 с. 212—214.

Вайнберг М. М.

Вариационные методы исследования нелинейных операторов. — М.: Гостехиздат, 1965.

Виленкин Н. Я.

[1J Специальные функции и теории представлений групп.—М.: Наука, 1965.''

Випберг Э. Б., Оиищик А. Л.

[1**] Семинар по алгебраическим группам.—М.: Наука, 1988. Виноградов А. М.

К алгебро-геометрическим основаниям лагранжевой теории поля.— ДАН СССР, 1977, т. 236, № 2, с. 284—287.

Гамильтоновы структуры в теории поля,—ДАН СССР, 1978, т. 241, № 1, с. 18—21.

The ‘й’-spectral sequence, Lagrangian formalism and conservation

laws. I. The linear theory, J. Math. Anal. Appl. 100 (1984), 1—40.

The 'g’-spectral sequence, Lagrangian formalism and conservation

laws. II. The nonlinear theory, J. Math. Anal. Appl. 100 (1984), 41— 129.'

Local symmetries and conservation laws, Acta Appl. Math. 2 (1984), 21—71.'

Гельфанд И. M., Днкий Л. А.

Асимптотика резольвенты штурм-лиувиллевских уравнений и алгебра уравнений Кортевега — де Фриза. — УМН, 1975, т. 30, № 5, с. 67—100."

Структура алгебры Ли в формальном вариационном исчислении. — Функц. анализ и его прилож., 1976, т. 10, № 1, с. 18—25.

Семейство гамильтоновых структур, связанных с интегрируемыми нелинейными дифференциальными уравнениями. — Препринт № 136

Института прикладной математики, М„ 1978.

Гельфанд И. М., Дорфман И. Я.

Гамильтоновы операторы и связанные с ними алгебраические структуры. — Функц. анализ и его прилож., 1979, т. 13, № 4, с. 13—30.

Гамильтоновы операторы н бесконечномерные алгебры Ли. — Функц. анализ и его прилож., 1981, т. 15, № 3, с. 23—40.

Гельфанд И. М., Фомин С. В.

Вариационное исчисление. — М.: Физматгиз, 1961.

Захаров В, Е., Конопельченко Б. Г.

On the theory of recursion operator, Comm. Math. Phys. 94 (1984), 483—509.

Захаров В. E., Фаддеев Л. Д.

[IJ Уравнение Кортевега—де Фриза — вполне интегрируемая гамильтонова система. — Функц. анализ н его прилож., 1971, т. 5, № 4, с. 18-27.

Ибрагимов Н. X.

Группы преобразований в математической физике. — М.: Наука, 1983.

Ибрагимов Н. X., Шабат А. Б.

Эволюционные уравнения с нетривиальной группой Лн — Бэклуи- да. — Функц. анализ и его прилож., 1980, т. 14, № 1, с. 19—28. Капитанский Л. В.

Групповой анализ уравнений Навье — Стокса н Эйлера при наличии вращательной симметрии и новые точные решения этих уравнений. - ДАН СССР, 1978, 243, № 4, с. 901-904.

Групповой анализ уравнений Навье — Стокса при наличии вращательной симметрии и некоторые новые точные решения. — Записки научн. сем. ЛОМИ, 1979, т. 84, с. 89—107.

Кириллов А. А.

Элементы теории представлений. — М.: Наука, 1978. Ковалевская С. В.

Zur Theorie der Partiellen Differentialgleichungen, J, Reine Angew. Math. 80 (1875), 1—32.

Козлов В. В.

Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике. — УМН, 1983, т. 38, № 1, с. 3—67.

Костнн В. М.

О некоторых инвариантных решениях уравнений типа Кортевега — де Фриза. — Журнал прикл. мех. и техн, физ., 1969, № 4, с. 69—73. Кузнецов Е. А., Михайлов А. В.

On the topological meaning of canonical Clebsch variables, Phys. Lett. 77A (1980), 37—38.

Манаков С. B.

Замечание об интегрировании уравнений Эйлера динамики п-мер- ного твердого тела. — Функц. анализ и его прилож., 1976, т. 10, № 4, с. 93—94.

Манин Ю. И.

Алгебраические аспекты нелинейных дифференциальных уравнений. — В сб. Современные проблемы математики, 11, Итоги науки, М.: ВИНИТИ, 1978, с. 5-152.

Михайлов А. В., Шабат А. Б., Ямилов Р. И.

*] Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем. — УМН, 1987, т. 42, № 4, с. 3-53.

*] Extension of the Module of Invertible transformations classification of integrable systems, Commun. Math. Phys. 115 (1988), 1—19. Мищенко А. С., Фоменко A. T.

Обобщенный метод Лнувнлля интегрирования гамильтоновых систем. — Функц. анализ и его прилож., 1978, 12, № 2, с. 46—56. Овсянников Л. В.

Группы и инвариантные относительно группы решения дифференциальных уравнений. — Новосибирск, 1966.

Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. — Новосибирск, 1966.

Групповой анализ дифференциальных уравнений. — М.: Наука, '1978.‘'

Петровский И. Г.

Лекции об уравнениях с частными производными. — М.: Физматгиз, 1961.

Понтрягин Л. С.

Непрерывные группы. — М.: Наука, 1984.

Свинолупов С. И.

*] On the analogues of the Burgers equation, Phys. Lett A, 1989, v. 135, № 1, p. 32—36.'

Седов Л. И.

Методы подобия и размерности в механике. — М.: Наука, 1987. Соколов В. В.

*] О симметриях эволюционных уравнений. — УМН, 1988, т. 43, вып. 5, 133—163.'

Фущич В. И., Никитин А. Г.

О новых и старых симметриях уравнений Максвелла и Дирака. — Физика элемент, частиц и атоми. ядра, 1983, т. 14, с. 5—57.

] Symmetries of Maxwell’s Equations, D. Reidel, Dordrecht, Holland, 1987. [Имеется более краткий русский вариант: Симметрия уравнений Максвелла. — Киев: Наукова думка, 1983.]

Хамитова Р. С.

Структура группы и базис законов сохранения. — Теор. матем. физ., т. 52, 1982, № 2, с. 244—251.

Шабат А. Б.

*] Об уравнении Кортевега — де Фриза. — ДАН СССР, 1973, т. 211, № 6, 1310-1313.

Шабат А. Б., Ямилов Р. И.

*] Lattic representations of integrable system, Phys. Lett. A, 130 (1988), N 4, 5, 271—275.'"

Шокин Ю. И.

Метод дифференциального приближения. — Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1979.

Ablowitz М. J., Kodama Y.

Note on asymptotic solutions of the Korteweg— de Vries equation with solutions, Stud. Appl. Math. 66 (1982), 159—170.

Ablowitz M. J., Ramani A., Scgur H.

Nonlinear evolution equations and ordinary differential equations of Painleve type, Lett. Nuovo Cim. 23 (1978), 333—338.

A connection between nonlinear evolution equations and ordinary differential equations of P-type. I, J. Math. Phys., 21 (1980), 715. Abraham R., Marsden J. E.

Foundations of Mechanics, 2nd ed., Benjamin-Cummings, Reading,

Mass., 1978.

Abramowitz M., Stegun I.

Handbook of Mathematical Functions, National Bureau of Standards Appl. Math. Series, No. 55, U. S. Govt. Printing Office, Washington, D. 0., 1970. [Имеется перевод другого издания: Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. — М.: Наука, 1979.]

Adler М.

On a trace functional for formal pseudo-differential operators and the symplectic structure of the Korteweg — de Vries type equations. Invent. Math. 50 (1979), 219—248.'

Aldersley S. J.

Higher Euler operators and some of their applications, J. Math. Phys. 20 (1979), 522—531.‘

Alonso L. M.

[1*] On the Noether map, Lett. Math. Phys. 3 (1979), 419—424. Ames W. F.

Nonlinear Partial Differential Equations in Engineering, Academic Press, New York, 1965, 1972.

Anderson 1. M., Duchamp T. E.

On the existence of global variational principles, Amer. J. Math. 102 (1980), 781—868.

Variational principles for second-order quasi-linear scalar equations, J. Diff. Eq. 51 (1984), 1—47.

Anderson R. L., Ibragimov N. H.

Lie — Backlund Transformations in Applications, SIAM Studies in Appl. Mat., No. 1, Philadelphia, 1979.

Anderson R. L., Kumei S., Wulfman С. E.