ГЛАВА I

УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

И МИКРОСКОПИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЯДРА

Настоящая глава служит введением в предмет книги. Начнем ее с замечаний, касающихся общепринятых взглядов на теорию ядра, и отметим те недостатки, которых постараемся избежать при построении микроскопических моделей. Затем изложим идею моделирования, основанную на развертывании операторных рядов, и применим ее к теории многочастичных квантовых систем. G этой целью рассмотрим квантовую систему, состоящую из частиц двух сортов, гамильтониан которой представим в виде, позволяющем имитировать свойства различных систем, в частности атомных ядер. Не вдаваясь в подробности, будем исходить из упрощенного многочастичного гамильтониана. Изучим его точные интегралы движения и учтем в явном виде трансляционную инвариантность.

Специальный параграф посвятим описанию общих принципов построения микроскопических моделей ядра. Приведем определения и сравним традиционные и нетрадиционные модели. Идею вывода нетрадиционных моделей ядра, которые назовем моделями с ограниченной динамикой, поясним на методическом примере трехмерной частицы в нецентральном поле. Далее изложим геометрические особенности структуры атомных ядер и, опираясь на них, приступим к обсуждению примеров гамильтонианов с ограниченной динамикой. Для этого понадобится рассортировать базисные функции и операторы наблюдаемых величин по их неприводимым свойствам, индуцированным преобразованиями сложных групп, ранг которых пропорционален числу частиц. Это позволит описать многочастичные аспекты конечных фермиевских систем в пределах определенного неприводимого пространства сложных ортогональных либо унитарных групп. Технически эта идея реализуется путем ограничения действия операторов в выбранных подпространствах, порождая тем самым модельные гамильтонианы системы. В качестве примеров ограниченных гамильтонианов рассмотрим микроскопический коллективный гамильтониан, полученный из центрального потенциала. Попутно обсудим свойства микроскопических коллективных потенциалов, в частности их зависимость от числа частиц и формы двухчастичного взаимодействия. Затем вернемся к общим вопросам построения моделей ядра; в этой связи обсудим роль неприводимых представлений ортогональных групп и принципа Паули при описании свойств коллективных состояний. Рассмотрим также сильно ограниченный коллективный гамильтониан с антиколлективным слагаемым и его интегралы движения, маркируемые неприводимыми представлениями унитарных групп. Затем еще раз вернемся к сравнению традиционных и нетрадиционных подходов и придем к заключению, что последние обладают большей гибкостью по сравнению с первыми.

В двух последних параграфах кратко опишем основные характеристики ядер и приведем вывод нерелятивистского гамильтониана ядра, который лежит в основе построения микроскопических моделей ядра. Терминология и способ изложения материала этих параграфов будут способствовать выяснению понятия операторного базиса. В последнем параграфе также получим выражение гамильтониана двухкомпонентных квантовых систем, записанного с помощью изоспинового формализма, удобное для изучения роли тождественности- частиц при построении моделей с ограниченной динамикой.

Уравнение Шредингера для многочастичных квантовых систем

Модели ядра и операторные ряды. Основные идеи, на которые опирается построение подавляющего большинства моделей ядра, заимствованы из теории других многочастичных квантовых систем. Например, оболочечная картина основана на предположении существования в ядре одночастичного поля, похожего на поле, в котором двигаются атомные электроны. Однако это допущение не является очевидным. Сомневаться в существовании одинаковых физических условий в атомах и ядрах можно не только потому, что эти системы состоят из частиц, законы взаимодействия которых столь различны, но также и по геометрическим причинам. Основная часть одночастичного поля для атомных электронов создается тяжелой центральной частицей. Такой ситуации, разумеется, нет в атомных ядрах, в которых только нуклоны порождают самосогласованное, но не обязательно одночастичное поле. Поэтому не очевидно, что оно должно быть такого же сорта, что и самосогласованное поле для атомных электронов.

Свойства спаривания вошли в теорию ядра из явления сверхпроводимости. Помимо других причин тенденция образования спаренных частиц в фермиевских системах обусловлена бесконечной их протяженностью, а это условие в реальном ядре соблюдается очень приближенно. Наиболее типичным эффектом, вытекающим из свойства спаривания, является характерная щель в спектре низ- колежащих возбуждений. Этот эффект, однако, наблюдается не во всех областях массовых чисел, и поэтому нельзя утверждать, что свойства спаривания в теории ядра столь же важны, как в теории сверхпроводимости.

Коллективные эффекты подчеркивают другой аспект многогранной теории ядра. Исходные предположения ротационно-вибрационной модели ядра, опирающейся на картину малых поверхностных колебаний в несжимаемой жидкости, являются столь классическими и настолько противоречат оболочечным представлениям, что в этой модели теряются многие квантовые черты, например принцип Паули, возможность вывода коллективной потенциальной энергии из микроскопического гамильтониана ядра и т. п.

Эти критические замечания в адрес хорошо известных моделей ядра приведены отнюдь не с целью умаления их значения. Успехи Этих моделей при интерпретации свойств ядер заслуженно признаны, а результаты по их применению изложены во многих книгах. Для нас важно лишь подчеркнуть, что большинство моделей опирается на идеи, заимствованные из теорий других квантовых систем, и не следует забывать, что они не всегда могут быть безоговорочно перенесены в теорию ядра.

Желательно уяснить общую неприемлемую черту этих моделей. Несмотря на очень различные Исходные концепции — одночастичное поле, свойство спаривания или полуклассические коллективные степени свободы,-— их общей отрицательной чертой является #0

нарушение интегралов движения, выражающееся в возникновении ложных состояний, обусловленных движением центра масс, появлении состояний с приближенными значениями общего момента ядра или даже с приближенным числом частиц, в пренебрежении принципом Паули и т. п. Как побочные, нежелательные эффекты, эти нарушения пришли из теорий других многочастичных квантовых систем.

В различных моделях кинематические требования нарушаются по-разному, что может быть одной из причин их явного диссонанса. Например, концепция коллектиного движения резко противоречит картине независимых частиц и т. п. С одной стороны, имеется слишком много моделей ядра, чтобы можно было принять все, с другой стороны, факты свидетельствуют о том, что в большинстве из них угадано нечто важное. Необходимо сблизить модели, и для этих целей полезны кинематические требования.

В свете вышеизложенного нарушение принципов симметрии будем рассматривать как серьезный недостаток теории. Поэтому будем строить ее, не нарушая ни на одном из этапов точных интегралов движения, вытекающих из свойств симметрии гамильтониана ядра. Для этой цели приспособим также и алгебраический аппарат микроскопических моделей ядра, развиваемый в гл. III.

Говоря о недостатках некоторых общепринятых моделей ядра, отметим также, что в них либо отсутствует, либо сохранена недостаточная связь с динамической задачей многих тел в теории ядра. Эти модели не выводятся, а лишь постулируются, поэтому трудно, а порою и невозможно проследить зависимость физической картины от конкретных свойств гамильтониана ядра, скажем, от вида потенциалов пуклон-нуклонного взаимодействия. С целью улучшения в этом отношении качества теории в настоящей книге рассмотрим модели, порождаемые гамильтонианом ядра. При их построении будем исходить из микроскопического гамильтониана, в связи с чем выводимые модели будут микроскопическими моделями ядра.

Изложение начнем с общих принципов построения микроскопических моделей, позволяющих обеспечить сохранение всех точных интегралов движения и связь теории с исходным гамильтонианом ядра. В основу вывода моделей положим следующую идею, предложенную применительно к теории ядра в [141, 17]. Рассмотрим физическую систему и динамическое уравнение O^i = 0, которое задано оператором О, описывающим ее поведение. Сложность проблемы не позволяет найти решения Vf этого уравнения. Поэтому заменим его более простым модельным уравнением Оо^ог = О, предназначенным для приближенного описания тех свойств системы, существование которых постулируется на основе анализа экспериментальных данных. Модельное уравнение получим, разлагая О в операторный ряд:

О = О0 + 0^ + О2 + ..., (1.1)

слагаемые которого сортируются по определенным признакам. Первое, обычно наиболее простое слагаемое дает оператор О0, а тем самым и уравнение Oo^oi = 0.

Случается, что члены разложения (1.1) можно маркировать с помощью неприводимых представлений группы G, и тогда при выводе (1.1) используется алгебраическая техника теории групп. В таких случаях первый член разложения (1.1) обычно является G-скалярным слагаемым, выделяемым из оператора О; тогда О и группа G определяют модельное уравнение Оо^ог = 0.

Описанная конструкция позволяет упростить динамическую задачу и построить модели системы. Изложенная идея моделирования, в принципе, применима к системам различной природы. Практическую пользу из нее проще всего извлечь в тех случаях, когда удается обнаружить подходящую группу. Именно такая ситуация имеет место в теории ядра. При этом в качестве G выступают сложные группы высокого ранга, в их числе ортогональные либо унитарные группы, и это обстоятельство во многом обусловливает выбор материала настоящей книги.

Использованию сложных групп в теории ядра положили начало работы [153, 154], посвященные выяснению роли перестановочной симметрии, а также работы [126, 128], в которых была обобщена предложенная в [117, 118] модель ядра, построенная с использованием осцилляторных оболочек. В течение многих лет сложные группы применялись в традиционных подходах, а затем и в нетрадиционных моделях. Общая идея вывода последних, основанная на разложении (1.1), уже была объяснена и будет детализирована в дальнейшем изложении.

Гамильтонианы многочастичных квантовых систем. Обсуждение вопросов теории структуры атомных ядер и построения моделей ядра начнем с общего взгляда на проблему многих тел в квантовой физике. Имеются достаточно веские основания для предположения, что эту проблему можно решать в рамках нерелятивистской квантовой механики. Тогда в качестве динамического уравнения ОЧЛ = 0, описывающего систему, выступает не зависящее от времени уравнение Шредингера H^V (^Г) = ^’ЧГ (^Г), где Н — гамильтониан системы, а 8 — энергия, которая может принимать как дискретные, так и непрерывные значения. Волновые функции У (^Г) зависят от 8^ а также и от других характеристик Г, которые в дальнейшем будем называть квантовыми числами.

Приведем примеры оператора Н. Рассмотрим квантовую систему, состоящую из двух сортов частиц, которые условно назовем р- и g-частицами. Обозначим массу р-частиц через игр, а их число — через мр и аналогично — для g-частиц. Пусть rip и rjq — трехмерные векторы (i = 1, 2, ..., пР; 7 = 1, 2, ..., nq), компоненты которых х*р и ^($=1, 2, 3), принимающие значения в интервале от —оо до +оо, используются в качестве пространственных переменных. Векторные операторы V, соответствующие ггр и ijqi обоз- 42

яачим соответственно через Vip и ^^ введем также оператор ^№ соответствующий вектору

npnq

^pq=2г^ п 2 г^‘(1*2)

р i=iq з=1

Будем считать, что р-частицы взаимодействуют с помощью парного потенциала Ирр(|г;р — г,р|), g-частицы — с помощью потенциала Г99(1гг-9 — г^|), а взаимодействие между р- и g-частицами задается потенциалом Ирд(|ггр — rj). Тогда, согласно законам квантовой механики, гамильтониан системы состоит из двух слагаемых, Н = Нк + НР1 где входящий оператор кинетической энергии имеет вид

2 / npnq

^ = -^rhr 2 Wp - W + 4- 2 (Vig-vigr +

' P i<j=29 i<j=2

-4-2<L3)

q г<з=24 V /

а потенциальная энергия взаимодействия между р — р-, р — q- и q — g-частицами дается выражением

ПрИд

Нр — 2 Vpp(|rjp rjp|) “Ь 2 ^Qq(lriq rjg I ) Ч~ i<j=2i<>=2

Пр Hg

+ 2 2Vpg(|rip-r,g|). (1.4) 1=1 j=l

В (1.3) 1г— константа Планка, разделенная на 2л, численное значение которой равно А = 6,582173 • 10-22 МэВ • с. В операторе Нк, вывод которого будет приведен в п. 6.2, использованы обозначения Нт = 1/тр + Мтч и Нт* = Мтр — Мтч.

В тех случаях, когда система состоит из частиц одного сорта, скажем из р-частиц, в (1.3) и (1.4) пренебрегаем слагаемыми, содержащими индексы g-частиц, опускаем индекс р как излишний и тогда получаем гамильтониан

2ПП

я = ^ + я1У = -А_Х v (Vi-v;r+ 5 y^d^-r;!),; i<j=2i<j=2

(1.5)

в котором вместо НК и Яр пользуемся обозначениями Яд и Hw. Задавая в (1.4) или (1.5) определенный вид потенциалов, имеем

явное выражение гамильтониана, а тем самым и уравнение Шре* дингера, т. е. динамическое уравнение ОЧ^ = 0.

Излишне напоминать о том, что уравнение Шредингера для рассмотренных гамильтонианов является чрезвычайно сложным. Достаточно вспомнить, что оно предназначено для описания свойств систем, состоящих от двух до десятков или сотен частиц, или даже для описания свойств макроскопических тел. Пусть, например, ^-частицы являются электронами, которые несут отрицательный элементарный электрический заряд, a q — атомные ядра одного сорта с положительным зарядом Ze (Z = 1, 2, 3, ...; е2 = = 1,439976 МэВ • Ф; 1 МэВ = 1,60207 • 10"6 эрг, 1 Ф = 10"13 см). Если учитывать лишь кулоновское взаимодействие, то все частицы одного сорта отталкиваются, значит, Vpp и Vqq принимают положительные значения, а частицы разных сортов притягиваются, следовательно, Vpq < 0. Кулоновские потенциалы имеют вид

72 2

Vqq (г) = - ZVpq (г) = ZWPP И =4-. (1.6)

Подставляя (1.6) в (1.4) и используя соответствующие значения масс частиц, получаем явное выражение гамильтониана электронно-ядерной системы. Масса электрона равна 0,910953 • 10~27 г, что в энергетических единицах соответствует 0,511003 МэВ. Атомные ядра по крайней мере в несколько тысяч раз тяжелее электронов. Поэтому электронно-ядерная система состоит из подсистемы пр легких частиц и подсистемы nq тяжелых частиц. В природе существует много примеров таких квантовых систем. Возьмем, например, систему, состоящую из электронов и ядер углерода в пропорции шесть электронов на каждое ядро. При определенных условиях такая система образует кристалл графита или алмаза с плотностью 1,7 • 1023 ядер в 1 см3 вещества в первом случае и 1,2 • 1023 ядер в 1 см3 вещества во втором случае.

Пусть, как и раньше, р-частицами являются электроны и имеется лишь одна ^-частица, которая является атомным ядром, носящим положительный заряд Ze. Тогда ^д = 1, в (1.3) и (1.4) нет слагаемых, содержащих только индексы q, потенциалы Vpp и Vpq имеют прежний вид (1.6) и сумма (1.3) и (1.4) дает трансляционно-инвариантный гамильтониан атома, содержащего Z электронов.

Оператор (1.5) является гамильтонианом системы, состоящей из п частиц с одинаковыми массами. По этому признаку, а также и по некоторым другим признакам, которые будут обсуждаться ниже, такая система сходна с атомным ядром, в состав которого входят протоны и нейтроны с почти одинаковыми массами тр и т^ равными 1,67265 • 10-24 г для протона и 1,67495 • 10-24 г для нейтрона; в единицах энергии эти значения масс соответственно равны 938,2796 МэВ и 939,5731 МэВ. Вследствие близости значений масс константа Ъг/тр, равная 41,49997 МэВ • Ф2, и константа Wm^ равная 41,44283 МэВ • Ф2, различаются незначительно. Учитывая обозначение т\ в котором тр и mq — соответственно 14

массы протона и нейтрона, получаем, что й2/тп'= 0,02857 МэВ -Ф2, поэтому можно пренебречь массой тгь, взять среднее арифметическое значение 1ьг/тп = 41,4714 МэВ • Ф2 и воспользоваться входящим в (1.5) оператором кинетической энергии. Разность между массами протона и нейтрона может быть учтена, если использовать в (1.5) массу пг^ полученную путем усреднения по формуле 1/тп0 = 1/^ + (^п ~ пр)/птп' = ^Yijnmp + Yiplnm^, которая учитывает поправку, обусловливаемую разностью числа нейтронов пи и протонов Пр.

Рассмотрим квантовую систему, состоящую из тождественных фермиевских частиц с массами та, взаимодействующих посредством потенциала V (1 гг — г, I), обеспечивающего существование связанной, хорошо локализованной в пространстве системы. Такой потенциал можно задать, например, выражением

V(|ri — г,|) = 2 ^01 |п — г,|О,ехр(— аг|гг — г,|₽г), (1.7)

где Voi, ah at и ^ — численные константы, определяющие его форму, устанавливаемые путем сравнения теоретических результатов с экпериментальными данными. В настоящей книге общая теория будет развита в виде, пригодном для произвольных У(|гг —rj), поэтому лишь в конкретных приложениях необходимо пользоваться явно заданными потенциалами.

Интерпретация Н = Hk + Нр со слагаемыми (1.3) и (1.4) как гамильтониана кристалла или атома, а также имитация гамильтониана ядра выражением (1.5) являются приближенными. В рассмотренных операторах не учитываются спиновые степени свободы и связанные с ними дополнительные слагаемые в Н. Это замечание касается в первую очередь атомных ядер, в случае которых необходимо учитывать так называемые обменные взаимодействия, кулоновский потенциал для протонов, а также векторные и тензорные слагаемые гамильтониана ядра. Во избежание деталей, без которых можно обойтись при изложении общих принципов построения моделей многочастичных квантовых систем, выше умышленно рассматривались упрощенные гамильтонианы и соответствующие им квантовые системы. Поэтому без дополнительных оговорок будем называть обсуждавшиеся операторы гамильтонианами кристалла, атома и ядра. Выражение полного гамильтониана ядра будет приведено в последнем параграфе настоящей главы.

Точные интегралы движения. Возвратимся к теоретико-групповым аспектам проблемы многих тел в квантовой механике. Точные симметрии, которыми обладает квантовая система, можно найти путем анализа свойств симметрии ее гамильтониана. Пусть найдена группа G, операторы g которой коммутируют с Н, т. е. пусть [Я, g] = Hg — gH = 0 (такая группа называется группой симметрии Я). Тогда доказывается, что в качестве решений уравнения Шредингера для Я можно выбрать функции ^(^Г), в наборе квантовых чисел Г которых содержатся характеристики не-

приводимых представлений группы G. По терминологии, принятой в квантовой механике, неприводимые представления группы симметрии Н называются точными квантовыми числами. Их сохраняет гамильтониан, поэтому они еще называются интегралами движения, т. е. сохраняющимися во времени величинами, характеризующими состояние системы. Интегралы движения наблюдаются экспериментально, что дает возможность непосредственно проверить адекватность законов природы выводам, вытекающим из свойств симметрии квантовых систем.

Рассмотрим примеры. Выражения (1.3) и (1.4) и гамильтониан (1.5) не меняются при изменении знаков векторов ГгР и ^jq* Сформулируем это утверждение на языке теории групп. Рассмотрим дискретную группу отражения Gren, состоящую из единичного элемента gt и элемента отражения gren, действие которых на переменные задается выражениями gtrip = rip, gTen^iP = —ТгР и аналогично — для Tjq. Легко убедиться в том, что (1.3) —(1.5) остаются неизменными при замене rip на gtenTiP и т. п. Следовательно, операторы группы Gren коммутируют с Я и согласно высказанному общему утверждению неприводимые представления группы Gren являются интегралами движения, т. е. точными квантовыми числами, характеризующими решения уравнения Шредингера. Обозначим неприводимые представления группы Gren через л и выделим их в явном виде из набора квантовых чисел Г. Тогда Г заменяется на Гл, и в итоге вместо Т (^Г) получаем Ч'^Гл), где Г обозначает набор квантовых чисел, уже не содержащий л.

Операции группы отражения не исчерпывают всех свойств симметрии гамильтониана Я. Возьмем симметрическую группу Sni обозначим ее операторы через р и зададим их действие на rf как перестановку одночастичных индексов I. Легко проверить, что гамильтониан (1.5) не меняется при перестановке индексов переменных, следовательно, Я в случае эквивалентных частиц коммутирует с р и неприводимые представления группы Sn являются точными интегралами движения. Обозначим их X. Размерности Sn-неприводимых представлений X могут оказаться больше единицы, поэтому введем базисный индекс ц представления X. Аналогично случаю группы отражения выделим Хц из набора квантовых чисел Г и тогда вместо Т (^Гл) получим У (<^ГлХц).

При рассмотрении операции вращения трехмерного пространства обнаруживается еще одна группа симметрии гамильтониана (1.5). Операторы grot группы вращения SO3 действуют на декартовы индексы $ компонент х\ одночастичных векторов rf, преобразуя эти компоненты с помощью матрицы поворота D трехмерного пространства, зависящей от углов Эйлера. Группа SO3 является непрерывной группой*), поэтому достаточно проверить

♦) В целях упрощения записи в настоящей книге всюду вместо 50(3) пользуемся обозначением S03 и аналогично — для других групп.

16

инвариантность Н по отношению к преобразованиям ее инфинитезимальных операторов L8 (s = 1, 2, 3), называемых еще операторами углового момента. Эти трансляционно-инвариантные операторы в случае свободной от внешних полей системы п эквивалентных частиц задаются выражением

п п з

— I — п

?1®2

а

д

ах^

дх?

(1.8)

где Ttj — единичный вектор относительного положения пары частиц, e88is2— антисимметрический единичный тензор третьего ранга, не меняющий знака при четной перестановке и меняющий знак при нечетной перестановке индексов s, $i, $2, причем е123 = 1. Операторы (1.8) удовлетворяют коммутационным соотношениям

з

[Г\ ^(1.9)

L83=1

определяющим алгебру группы 8О3. Сумма квадратов инфинитезимальных операторов (1.8), которую^ обозначим через L2 = = (L-L), коммутирует с L8; оператор L2 называется оператором Казимира группы SO3l а в физических приложениях — квадратом оператора углового момента системы.^

Выкладки показывают, что Z?, L2, L3 коммутируют с гамильтонианом (1.5), следовательно, неприводимые представления L группы вращения 8О3 являются точными интегралами движения. Размерность L при L ¥= 0 больше единицы, поэтому аналогично случаю группы 8и введем базисный индекс М. Этому индексу придадим групповой смысл, полагая, что в 8О3 вложена подгруппа двумерного вращения 80^ а М маркирует собственные значения ее инфинитезимального оператора L3. Принимая сказанное во внимание, выделим из Г интегралы движения LM и заменим ранее обсуждавшиеся функции Т (^ГлХц) на Т (^ГлЬЛАц).

Выражения (1.3) —(1.5) не меняются при одновременном сдвиге всех одночастичных векторов на постоянный вектор Ь. Это обусловливает инвариантность Н по отношению к преобразованиям операторов группы трансляции Gtr. Неприводимые представления этой группы задаются тремя непрерывными квантовыми числами К^ K2l K3l которые можно рассматривать как компоненты вектора К, определяющего величину и направление импульса центра масс системы. Нами рассматривается квантовая система, свободная от внешних полей; (1.3) — (1.5) зависят лишь от переменных внутреннего движения частиц, поэтому можно считать, что собственные функции оператора Я, состоящего из слагаемых (1.3) и (1.4) либо гамильтониана (1.5), являются скалярами группы GtP. Следова-

2 В. В. Ванагас17

тельно, К = О и отпадает необходимость характеризовать состояния системы с помощью квантовых чисел группы трансляции.

Трансляционно-инвариантные переменные. Свойство трасля- ционной инвариантности гамильтониана (1.5) может быть учтено в явном виде, если использовать вместо переменных х^ компоненты п — 1 векторов р, (/= 1, 2, ..., п— 1), называемых векторами Якоби. Векторы р, выражаются через гь г2, ..., гп в виде следующих линейных комбинаций:

(

Э\

s/^'H-<1Л0)

В приложениях два вектора р; с / = п — 2, п — 1 иногда будут заменены линейными комбинациями, даваемыми преобразованием

(pi, . . ., pn-3) ps, Р«) —

п—3п—3ОООО— (Ри • • •» Pn-з» Рп—2? Рп-1)— (Ри • • •» Pn-з» Рп—2? Рп-1)п2(я —1)п2(я —1)2 (и — 1)2 (и — 1)/ п — 22(и-1)п2 (и — 1)/ п — 22(и-1)п2 (и — 1)(1.11)(1.11)

п—3

п—3

О

О

О

О

— (Ри • • •» Pn-з» Рп—2? Рп-1)

— (Ри • • •» Pn-з» Рп—2? Рп-1)

п

2(я —1)

п

2(я —1)

2 (и — 1)

2 (и — 1)

/ п — 22(и-1)

п

2 (и — 1)

/ п — 22(и-1)

п

2 (и — 1)

(1.11)

(1.11)

где 1п-з— (и — 3) -мерная единичная матрица. Для новых векторов Якоби ps и ра в развернутом виде формула (1.11) дает выражения

п—2\^2 2 ri - (rn-i +г") ьп—2\^2 2 ri - (rn-i +г") ь— ГП).— ГП).(1.12)(1.12)

п—2\

^2 2 ri - (rn-i +г") ь

п—2\

^2 2 ri - (rn-i +г") ь

— ГП).

— ГП).

(1.12)

(1.12)

В (1.11) и (1.12) индексы s и. а указывают соответственно на свойство симметричности или антисимметричности ps и ра по отношению к перестановке одночастичных векторов rn_t и гп. Из (1.10) и (1.12) видно, что векторы Якоби не меняются при замене всех гг на Гг + Ь, откуда следует, что они являются трансляционноинвариантными векторами. Вектор центра масс системы эквивалентных частиц R дается выражением

п

(1.13)(1.13)/пК = р0 = ^7=2Г{-

(1.13)

(1.13)

Vn г=1

Выбранная в (1.13) нормировка для р0 обеспечивает ортонормировку матрицы преобразования между векторами г< (/ = 1, 2, ... ..., п) и ро, р, (/ = 1, 2, ..., п — 1). Кроме р0 используется вектор р° относительного положения центров масс двух подсистем, состоя- 18

щих из тц и п2 частиц (nt + пг = п^ определяемый формулой

(Ро Р°) — (Poi Р02)(Ро Р°) — (Poi Р02)(1.14)(1.14)

(Ро Р°) — (Poi Р02)

(Ро Р°) — (Poi Р02)

(1.14)

(1.14)

Здесь poi и Р02 имеют вид (1.13) для гг- с п = п^ i = 1, 2, ..., п^ и для гП1-ц с п = п^ г = 1, 2, ..., пг. Легко убедиться в том, что при пг = 1 выполняются равенства р° = pn-t, р02 = гп, а при п2 = = 2 — равенства р° = ps, р02 =(rn-i + rn)/V2.

В дальнейшем компоненты векторов (1.10) с 7 = 1, 2, ..., п — 1 или векторов (1.10) с / = 1, 2, .. у п — 3 и остальных двух векторов ps и ра будем обозначать через pt и условимся полагать t = = 1, 2, ..., п — 1 в первом случае и t = 1, 2, ..., п — 3, s, а во втором случае. Коэффициенты выражения р* и pg через х\ составляют ортогональную ^-мерную матрицу, поэтому производные по р/, pg выражаются через производные по х\ по тем же формулам, что и соответствующие им переменные.

Операторы и уравнение Шредингера в переменных Якоби. Используя свойство ортогональности матрицы преобразования между одночастичпыми переменными я® и переменными Якоби р*у Ро, нетрудно получить следующее выражение операторов (1.8) в переменных Якоби:

з

z«=2Z4p?) = -^2 2 (1Л5) t t svs2=l 1 Эр»

где pt — единичный вектор. Аналогично для оператора кинетической энергии, входящего в (1.5), получаем

(1.16)(1.16)зяа=22я^) =t 8=1

(1.16)

(1.16)

Формулы (1.15) и (1.16) показывают, что оба оператора в переменных Якоби выражаются в виде суммы независимых слагаемых. Более сложно в этих переменных выглядит потенциальная энергия. Аргументы потенциалов F(|r<— rj) являются трансляционноинвариантными, поэтому их можно заменить переменными^р®- Например, имеем xsx — х^ = V 2pi, V 3 (^3 — ^4) = — V 2р£ + 2рз и т. п. Эти выражения показывают, что А — ж® сложно представить в виде линейных комбинаций рр Однако по причине, объясняемой ниже, это не является помехой для использования переменных Якоби.

На функциях Ч^ГХц), зависящих от Pt и Зп-неприводимого представления X, между матричными элементами произвольных

19192*

19

19

операторов О двухчастичного или одночастичного типа справедливы соотношения

(9(Х))г.г,=<\ГХИ(0<х>)гг, = <^ГХ(9(Х))г.г,=<\ГХИ(0<х>)гг, = <^ГХп2i<j—2п2i<j—2О (ri — Г,)О (ri — Г,)= ^Т" Г 2 <пн IО (rn—i - Г„) I ГХИ>= ^Т" Г 2 <пн IО (rn—i - Г„) I ГХИ>2 »М1—12 »М1—1Гх\ J- 2 ^НIО (гп) | Г'Хр.>,Гх\ J- 2 ^НIО (гп) | Г'Хр.>,(1.17)(1.18)(1.17)(1.18)

(9(Х))г.г,=<\ГХ

И

(0<х>)гг, = <^ГХ

(9(Х))г.г,=<\ГХ

И

(0<х>)гг, = <^ГХ

п

2

i<j—2

п

2

i<j—2

О (ri — Г,)

О (ri — Г,)

= ^Т" Г 2 <пн IО (rn—i - Г„) I ГХИ>

= ^Т" Г 2 <пн IО (rn—i - Г„) I ГХИ>

2 »М

1—1

2 »М

1—1

Гх\ J- 2 ^НIО (гп) | Г'Хр.>,

Гх\ J- 2 ^НIО (гп) | Г'Хр.>,

(1.17)

(1.18)

(1.17)

(1.18)

где йх — размерность представления X, а ц — его базис. В формулах (1.17) и (1.18) учтена диагональность по Хц и независимость матричных элементов от ц. Они показывают, что при построении в базисе Т (ГАц) матричного представления достаточно знать лишь операторы O(rn_t — rn) и O(rn) в переменных Якоби, т. е. пользоваться следующей заменой переменных:

О (гп-1 — Гп) = О ( V2ро),О (гп-1 — Гп) = О ( V2ро),9(г„)-э(-/"-^9(г„)-э(-/"-^Рп-1 + RРп-1 + R(1.19)(1.19)

О (гп-1 — Гп) = О ( V2ро),

О (гп-1 — Гп) = О ( V2ро),

9(г„)-э(-/"-^

9(г„)-э(-/"-^

Рп-1 + R

Рп-1 + R

(1.19)

(1.19)

В (1.19) кроме R8 входят лишь pn-i или ра и в общем случае — производные по этим переменным. При получении второго выражения в (1.19) учтено то обстоятельство, что О(гп) не является трансляционно-инвариантным оператором, поэтому гп записывается в виде (rn — R)+R и затем rn — R выражается через pn-t.

Пусть гамильтониан (1.5) уже записан в переменных Якоби, т. е. Н (^) = Н (р9- Учитывая ранее изученные свойства симметрии Я, запишем для него уравнение Шредингера в виде

Я (рО У (#Л0 I р!) = ^ (л£Х) Т (^Ло I р?), (1.20)

где Ло обозначает набор интегралов движения, Ло 55 uLMX\l и явно указано, что энергия ^, вырожденная по М и ц, зависит от яЯХ; S также зависит от числа частиц п, которое задается маркировкой Sn-неприводимого представления X.

Традиционные и нетрадиционные модели

Пространство решений уравнения Шредингера. Записать уравнение Шредингера в виде (1.20) стало возможным благодаря скалярности оператора Н по отношению к преобразованиям операторов групп Grefb Sn, SO3, 8Ог и Gtr. Этот результат иллюстрирует классическое применение теории групп при изучении точных симметрий квантовых систем. Хотя для установления явной зависимости собственных функций и собственных значений гамиль- 20

тониана Н от точных квантовых чисел uLMXvl необходимо решить уравнение (1.20), что является черезвычайно сложной задачей, найденные интегралы движения сохраняются в случае произвольных потенциалов в (1.5), и это обстоятельство позволяет сделать определенные выводы о структуре пространства решений уравнения Шредингера и учитывать эту структуру при построении моделей ядра. К описанию методов моделирования приступим в следующем пункте; теперь же подготовимся к этому, описывая в удобных терминах пространство решений уравнения (1.20). х

Допустим, что для заданного потенциала У(|г< — г;|) найдены все собственные функции Т оператора Н. Их можно умножать на числа и складывать, и в этом отношении они ведут себя подобно векторам некоторого пространства. Поэтому можно утверждать, что W(^Ao) реализуют линейное пространство. Обозначим это пространство через 5?; оно называется пространством решений уравнения (1.20). Наличие интегралов движения л, L и X, от которых зависит ^, позволяет разбить 91 на подпространства Й№Х\ маркируемые квантовыми числами л£Х. Представим такое разложение в виде прямой суммы

£ = ^(ЛЬЮ + ^(n'L'V) + , ., (2.1) в которой подпространства реализуются через собственные функции оператора Н с определенными л£Х и всевозможными ^, М и ц.

В общем случае подпространства 5?(яЬХ) являются бесконечномерными пространствами. Их структура определяется видом оператора Я и в первую очередь свойствами его спектра. В зависимости от формы потенциалов У(|гг — rj) энергия $ может принимать непрерывные или дискретные значения, либо и те и другие. В случае непрерывного спектра решения уравнения (1.20) не принадлежат к классу квадратично интегрируемых функций, поэтому 91 не является гильбертовым пространством. Когда S принимает только дискретные значения, 91 является сепарабельным гильбертовым пространством, т. е. пространством, реализуемым через квадратично интегрируемые функции. В случае дискретнонепрерывного спектра к гильбертову пространству принадлежат лишь функции У дискретной ветви спектра.

Собственные функции W^Ao), образующие базисы в 5?(я1Д), не известны, поэтому вышеописанная реализация пространства 91 неконструктивна. Воспользуемся другим базисом в gi^1-^ — обозначим его

ф(ГЛ0|р^ф(Гл£Ш,И|р9, (2.2)

где Г — квантовые числа, дополняющие иЬМ'Цх» до полного набора квантовых чисел, обеспечивающих полноту базисных функций (2.2). Эти функции не характеризуются значением энергии ^ и, возможно, очень далеки от истинных волновых функций ^(^Ло). Их преимущество состоит в том, что они намного проще Т и в

случае конкретных Г могут быть построены в явном виде прямым или рекуррентным способом.

Как точные функции Ч7, так и базисные функции Ф образуют полный базис в пространстве решений уравнения Шредингера (1.20), поэтому существует разложение

V ^К» | рО = 2 а^Ф (ГЛ, 1 р0, (2.3) Г

в котором в случае состояний непрерывного спектра вместо суммы берется интеграл по непрерывным индексам, содержащимся в Г. Для состояний дискретного спектра коэффициенты этого разложения можно определить путем диагонализации матрицы оператора Н с матричными элементами

(Я№))гр = <ГлЬХ IН | Гл£Х>, (2.4)

вычисленными в базисе (2.2). В формуле (2.4) учтена независимость матрицы оператора Н от М и ц. В случае непрерывного спектра рассматривается непрерывный аналог матричных элементов (2.4) оператора Н.

Матричное представление (2.4) оператора Я, действующего в пространстве 5?, является стандартным и общепринятым в квантовой механике. Нам его обсуждение понадобилось по двум причинам. Первая из них обусловлена желанием объяснить роль точных интегралов движения при разложении 91 на прямую сумму подпространств 91№Х\ Вторая, более веская причина, кроется в исключительном удобстве понятий пространств и действующих в них операторов при построении моделей ядра. В таких построениях будет меняться роль операторов и пространств; если до сих пор пространство порождалось оператором Я и уравнением (1.20) (поэтому оно и называется пространством решений уравнения Шредингера), то в последующих построениях заданные подпространства пространства 91 будут сами порождать оператор Яо, который и выступит в качестве модельного гамильтониана ядра. В частности, таким путем, без привлечения понятий теории групп, можно объяснить смысл первого слагаемого в разложении (1.1), когда оно применяется для гамильтониана ядра.

Способы построения микроскопических моделей квантовых систем. Представление точных решений V в виде разложения (2.3) удобно в том отношении, что оно позволяет объяснить общую схему построения моделей многочастичных квантовых систем. Существуют два вида моделей, которые назовем традиционными и нетрадиционными моделями. Строятся они следующим образом.

При построении обоих видов моделей индекс Г базисных функций Ф заменяется двумя индексами rtr0, один из которых, скажем индекс Го, трактуется как приближенный интеграл движения, а второй индекс, Г1,— как матричный индекс, нумерующий матрицу оператора. В традиционных моделях в качестве оператора берется полный гамильтониан системы Н и точное разложение 22

(2.3) заменяется приближенным разложением

Т' (^Т0Л01 рО = 2 ъ^ Ф (гхголо I р?), (2.5) коэффициенты которого определяются путем диагонализации матрицы

j/(q^ г, S <Г1гоЛ£Х ] н | Г1ГОЛЛХ> (2.6)

в диагональном по Го приближении. Полученные функции (2.5) уже не являются точными решениями уравнения Шредингера для Н и лишь приближенно отражают заложенную в это уравнение динамику. Функции и спектр, найденные в диагональном по Го приближении, дают модельное описание системы, которое будем называть традиционной Г0-моделью. Она задается исходным гамильтонианом Н и набором квантовых чисел Го.

Изложенный способ моделирования возник одновременно с квантовой механикой. Он опирается на трудно контролируемое предположение о диагональности по Го матрицы гамильтониана Н. В тех случаях, когда недиагональные по Го матричные элементы малы, можно рассчитывать на то, что модельные функции (2.5) хотя бы отдаленно напоминают точные функции (2.3). Предположение о приближенной диагональности по Го допускает проверку лишь в случае простых Н. Для гамильтонианов со сложным взаимодействием не удается оценить вклад недиагональных по Го матричных элементов, и это обстоятельство сильно обесценивает традиционные Г0-модели. Теряется последовательность строгих рассуждений, и об адекватности этих моделей физической картине строения системы можно судить лишь косвенно, сравнивая теоретические результаты с опытными данными.

Проблема контроля величины недиагональных по Го матричных элементов отсутствует в нетрадиционных моделях ядра, схема построения которых была предложена и развита в работах [141, 17, 143] (см. также [21]). Эти модели основаны на операторных рядах, о которых уже шла речь в п. 1.1. В простейшем варианте схема построения нетрадиционных моделей такова. Представим Н в виде суммы двух слагаемых, Я^0^ Н^ °Л°^ + Я^Л°\ первое из которых выделено из условия сохранения квантового числа Го. Условия, определяющие Hq °Л°\ можно записать, пользуясь базисными функциями (2.2) с Г, замененным на Г1Г0. Такое определение оператора Но °Л°) было введено в [143]; методический пример, поясняющий его смысл, будет рассмотрен в остальных двух пунктах настоящего параграфа, а более сложные гамильтонианы Но будут обсуждаться в п. 4.1—4.3. На данном этапе изложения будем считать Но известным, следовательно, известно и уравнение Шредингера

Н^Ч» (^0Г0Л01 рЭ = #0 (I^LX) То (адло | Ра. (2.7)

Это уравнение будем называть уравнением Шредингера нетрадиционной Го-модели ядра.

Аналогично (2.5) решения 4% уравнения Шредингера для гамильтониана ЯоГ°Л°) нетрадиционной Г0-модели можно разложить через базисные функции Ф, реализующие подпространство ^RLX\ и записать как

Vo (^оГоАо | PD = S «К^0 (Г1Г°Л«> (218) Г1 0 1

Коэффициенты, входящие в (2.8), определяются путем диагонализации матрицы гамильтониана Яо на базисе функции (2.2) с Г, замененным на Г1Г0. По определению Яо не имеет недиагональных по Го матричных элементов, поэтому требуется диагонализировать матрицу оператора Яо лишь по Гь

Функции (2.8), как и функции (2.5), зависят от квантового числа Го. Однако между ними имеется существенное различие. Если Го в (2.5) является приближенным квантовым числом полного гамильтониана Я, степень сохранения которого практически не удается контролировать, то Го в (2.8) является точным квантовым числом модельного гамильтониана Яо, и проблема контроля отсутствует. Все, что было сказано ранее об интегралах движения Ло = kLMK^l для гамильтониана Я, теперь можно повторить для интегралов движения Гол£7ИЛц гамильтониана Яо. В частности, аналогично разложению (2.1) пространства 52, приспособленному для исследования спектра оператора Я, сохраняющего л/Л, для анализа свойств спектра и собственных функций гамильтониана Яо нетрадиционной Г0-модели пространство S?(nLX) удобно разложить на подпространства, характеризуемые квантовыми числами Го:

^(льм = + ^(го«^) + .. (2.9)

(ГолЬХ) v

Оператор Яо действует внутри подпространства 52 . Это свойство позволяет дать следующее его определение: Яо представляет ту часть оператора Я, которая действует внутри пространства

тх тт тт тт

9г ° '. Иными словами, Яо получаем из Я, ограничивая Я на (Г лЬХ)

подпространстве 9г . Поэтому нетрадиционные Г0-модели естественно назвать моделями с ограниченной динамикой. Выбирая различные Го, получаем соответствующие им гамильтонианы Яо, а следовательно, и различные нетрадиционные Г0-модели. Можно сказать, что ограничение оператора Я на выбранном подпространстве 5?^Г°лЬ^ порождает Яо, а тем самым и определенную Г0-мо- дель квантовой системы.

В дальнейшем увидим, что в качестве модельных квантовых чисел Го подходят неприводимые представления ортогональных и унитарных групп, операторы которых действуют в пространствах

с характеристиками, имеющими непосредственное отношение к определенным степеням свободы в атомных ядрах. Именно это обстоятельство и позволяет использовать алгебраический аппарат теории групп для изучения структуры ядра. Эти вопросы будут обсуждаться в следующих двух параграфах настоящей главы и в п. 18.5. Теперь же приступим к методическому примеру, на котором проиллюстрируем технику развертывания операторных рядов и объясним некоторые детали построения традиционных и нетрадиционных Г0-моделей ядра.

Бесспиновая частица в нецентральном поле. Способы развертывания операторного ряда (1.1) и его конкретный вид зависят от представления, в котором задан оператор О. Чаще всего используется координатное или матричное представление, каждое из которых имеет свои преимущества и недостатки. В приводимом ниже методическом примере используется смежное представление, в котором остается координатная зависимость от одной переменной, а остальные две переменные представлены в матричном виде.

Рассмотрим уравнение Шредингера для трехмерной бесспино- вой частицы с массой пг, движущейся в произвольном поле с потенциалом У (ж, у, 2) и гамильтонианом

н(мл4; + (2.10)

V ’ ’ дх ’ ду ’ dz / 2т 1 \ м \ /

в котором А — трехмерный оператор Лапласа. Для развития примера в нужном направлении допустим, что необходимо изучить состояния с определенным значением квантового числа орбитального момента частицы I и степень нарушения I потенциалом V. Построим операторный ряд, приспособленный для этих целей.

Запишем Я в естественных для рассматриваемой задачи сферических переменных:

Н = + (2.11)

2т I r2 dr dr г2 / 4 х '

где Я2 — квадрат оператора момента количества движения трехмерной частицы). Оператор кинетической энергии является 80 3- скаляром, поэтому остается рассмотреть лишь последнее слагаемое в (2.11). Его разложение в координатном представлении нетрудно найти для каждого конкретного потенциала. Более содержательный пример получим, изучая 5О3-неприводимые свойства произвольного F, т. е. семейства всевозможных потенциалов V. Это типичная ситуация, встречающаяся в теории ядра, когда вид потенциалов нуклон-нуклонного взаимодействия не известен и теорию необходимо развивать для потенциалов произвольного вида. Общности ради рассмотрим потенциалы, зависящие от я, у, z и производ-

ных по этим переменным, в связи с чем вместо V будем писать V. Допустим, что V в декартовых координатах имеет вид

v(х, y,^ = v (Ж, у, z) и (ж, у, z; -^, A, JL), (2.12)

где v (х, у, z) —потенциал, не зависящий от производных, а и — конечный либо бесконечный полином от указанных аргументов. Например, в качестве и можно взять

Q \ 2

(2ЛЗ)

где с0 и с — численные константы, либо выражение

и = и (г, -^ LX1 Ly, Zz),(2.14)

в котором и зависит от г, производной по г и компонент углового момента частицы.

Запишем оператор (2.12) в сферических переменных г, #, ф и представим его по отношению к углам А, ф в матричном виде. Возьмем в качестве базиса шаровые функции Yimi подействуем оператором и на Yum', разложим результат через Y^m" и запишем полученное выражение в виде

и¥ит,= 2 Ургт^ГтЧиХГт^.(2.15)

l"m"

Входящий в (2.15) матричный элемент зависит от г и -^. Учитывая (2.12) и (2.15), введем матричный потенциал

Vlm>Vmr (г,= <1т | V | Гтг> = 2 <Zm I v I Гтп”> <1"пг" | и | Z'm'>,

(2.16) в котором

<Zzn | v | Vm^ = J sin » d» J dtp Y*m (О, Ф) v (г, fl, Ф) YiW (fl, Ф), (2.17) 00

и аналогично — для оператора и. Когда и является единичным оператором, его матричный элемент, входящий в (2.16), равен 6(Z,,Z')6(^,,^/), и выражение (2.16) переходит в формулу для потенциала р, не зависящего от производных.

Искомое 5Оз-неприводимое разложение оператора (2.16) получаем, образуя следующие линейные комбинации:

VW- V-i:)- -!Г?Т^. V».v- Ь ЯСм>"- <2Л8>

В (2.18J С — коэффициенты Клебша — Гордана группы SO3. В частности, при Lo = 0 из (2.18) имеем

vow (г, -^) = ЦИ')^ ^<1т\ У| 1т>.(2.19)

Последняя формула показывает, что 5О3-скалярную компоненту произвольного потенциала V можно получить, беря нормированный след по т его диагональных по I матричных элементов.

Учтем, что ^ (г, А, <р) не зависит от производных, и разложим в матричных элементах (2.17) произведение шаровых функций через У / /. Тогда несложные выкладки с применением техники £омо

теории углового момента ) ведут к следующему выражению для SOs-неприводимой компоненты L0M0 потенциала У:

= 5ф)”(гЛ, ф),,

/ / u u1/ 4Л

L0M000

(2.20) где

кьемвп' (^Ж; r> ■£•) =

2Lo+l V f V 1/ (2^ + 1)(2Г + 1)

= 2/ г/~ I Z I/ 2Z + 1 ь о 0 0 x 2Z + 1 mm' \l"m" ’~

X Л ^ <Z"m" | U \Vm'> ) Cm\!m'm. (2.21)

В том случае, когда и — единичный оператор, из (2.21) получаемKiWv№^bW^X^ |/^Цзгпг^^ (2-22)

и тогда в выражении (2.20) отсутствует сумма по LoMo- В ча-стности, в этом случае, полагая еще Lo = 0 в (2.20), имеем

Л2Л

v№U' (г) = б^О^ JsinO d0 J <2фр(г, О, ф).(2.23)

оо

Последняя формула дает 5О3-скалярную часть потенциала v (г, А, ф). Окончательный результат для потенциала, не завися-

щега от производных, очень простой: для выделения из v(x, у», z) сферически симметричного слагаемого необходимо переписать его в сферических переменных и усреднить согласно (2.23) по углам 'О*, ф. Для выделения ЗОз-скалярных слагаемых более общих потенциалов вида (2.12) полагаем £0 = 0 и пользуемся формулами (2.20) и (2.21).

Пусть V имеет вид (2.12), но р(я, у, z) зависит лишь от радиальной переменной^ Тогда интеграл в выражении (2.20) дает 6 ^L^ О)б(Л/'о, 0) /4л 17 (г), и SO»-неприводимая компонента Ь0Мй оператора V приобретает вид

VLомо11' [г, 4f^ = v <г) ^^Т 2, <Z/n I “ IV^ Смот'т. (2.24)

Обратим внимание на потенциалы и вида (2.14). В случае таких операторов матричные элементы (2.24) диагональны по I для всех значений Lo. Чтобы доказать это свойство, вспомним, что матричные элементы сферических компонент операторов углового момента L^ определяемых выражениями V2 £±1 = T^xi ^у) и Lj = = LZ1 имеют вид

<1т 11^ 11*т'> = - 6 («') /ЩП) ^«4. (2.25)

Последняя формула показывает, что L^, а следовательно, и« произвольные степени Li диагональны по Z, что и доказывает высказанное утверждение о сохранении оператором (2.14) квантового числа I.

Используя свойства симметрии и ортогональности коэффициентов Клебша — Гордана, из (2.18) получаем

Vlm.Vm. (г, А) = ^ VWV (г, ^ C^m-L (2.26) LoMo 4

Формула (2.26) дает разложение исходного оператора (2.12), записанного в смешанном координатно-матричном представлении, через его 5О3-неприводимые компоненты.

Разложение гамильтониана трехмерной частицы и модели, сохраняющие орбитальный момент. Приступим к обсуждению рассмотренного в предыдущем пункте примера в контексте общих идей вывода моделей с ограниченной динамикой. Начнем с обозначений, позволяющих отвлечься от технических деталей развертывания операторных рядов. С этой целью представим гамильтониан в виде

ИIV fr’ dr ) — Hooll' (г,2 J^W^.j:). (2-27)ИIV fr’ dr ) — Hooll' (г,2 J^W^.j:). (2-27)

ИIV fr’ dr ) — Hooll' (г,2 J

^W^.j:). (2-27)

ИIV fr’ dr ) — Hooll' (г,2 J

^W^.j:). (2-27)

где слагаемое с £0 = 0 дается выражением

(2.28)(2.28)Н^^Д-у^^Н^,^, ^ =

(2.28)

(2.28)

— 6 (М ) 2т ^ ^ дг г 8r ^ j + к00п' (г)

а слагаемые с Z/0 =/= 0 — выражением

ЧЦ^Ч-Ц'Д (2'29)

В (2.28) I? заменено на Ц1 + 1). Формула (2.27), наряду с (2.28)' и (2.20), дает пример явного операторного ряда. Обратим внимание на то, что нижние индексы без скобок, как, например, LQMQ в (2.27), обозначают неприводимые свойства, а верхние индексы в скобках, как в (2.28),— сохраняемые интегралы движения.

Если опустить индексы IV и зависимость от радиальной переменной, то (2.27) приобретет вид

я = я0 + 2 ньм(2.30)

М».м0° 0

В узком смысле (2.30) можно рассматривать как формулу (2.27) в сокращенных обозначениях. Можно, однако, встать на более общую точку зрения и трактовать (2.30) как £О3-неприводимое разложение оператора Н в произвольном (в частности, в координатном) представлении. Тогда (2.30) приобретает смысл формулы (1.1), с тем лишь различием, что в (2.30) указан способ сортировки слагаемых операторного ряда. В случае использованного ранее специального представления из (2.30) получаем (2.27). Для построения матричного представления по всем переменным возьмем базис Ф(7/тп|г, О, ф) = 2?тДг) 7/^(0, <р), аналогичный (2.2), в котором R^ — полная система радиальных функций, маркируемых квантовым числом у. В матричном представлении на этом базисе разложение (2.30) приобретает вид

^P^im^Vm1 ~ЦИ'НН&^г 2 (HLA\lm,w,. (2.31) Ь0^0>М0

Явные выражения слагаемых в (2.31) получаем, усредняя на Rn^r) соответствующие им члены в (2.27).

В случае потенциалов полиномиального типа иногда удобно представить гамильтониан через бозевские операторы рождения +

тц и уничтожения ц, (i, j = ж, у, z)). Эти операторы удовлетворяют коммутационным соотношениям [тц, 4;] = 6 (г, /), [тц, T]J = + +

= [тр, Ц;] = 0 и могут быть реализованы в виде к 2 цх = ж — -^,

К2 т)х = ^ + у-. Аналогично — для остальных переменных. Решая последние выражения относительно х и производной по х^ получаем

* =-^-(пх4Пх),^ = "д^Кх —Чх).(2.32)

Подставляя (2.32) и аналогичные выражения для остальных переменных в (2.10), получаем гамильтониан в представлении бозев- + 4*4-

ских операторов, т. е. имеем Н = ТЦк^ т^, ц2; т^, т^, ц2). В качестве примера такого представления рассмотрим гамильтониан (2.10) с потенциалом (2.12), в котором у (ж, у, z)=l, аи дается выражением (2.13) с с0 = пш2/2. Введем параметр v = тпю/7ц переменные х' = Tv х^ у' = Tv у, я' = Tv z и соответствующие этим

переменным операторы щ и тр. Выкладки показывают, что в операторах рождения и уничтожения гамильтониан Н с указанными потенциалами приобретает вид

/ z +1/ + //4*/3 \/4-z4-z/ /\2

н = ^«Пх + % % + ЧгЧг + —) 4 ^ ехр ^т^-Пу — ВДгЛ . (2.33)

Собственные значения этого оператора даются в единицах Йш. Слагаемое в первых скобках в (2.23), имеющее смысл гамильтониана трехмерного изотропного осциллятора, является 5О3-скаля- ром. Последний член в (2.33) содержит различные 5О3-неприво- димые компоненты, выражение которых можно искать, разлагая экспоненту в ряд, с последующим изучением 5О3-неприводимых 4*, составляющих полиномов от операторов ц' и ц'. Такой анализ не является нашей целью, поэтому ограничимся приведенными замечаниями и перейдем к обсуждению способов моделирования движения квантовой трехмерной частицы в нецентральном поле.

Приступая к этому вопросу, напомним, что свойства наблюдаемых величин в квантовой механике не зависят от способа представления соответствующих им операторов (строгая формулировка этого утверждения и его доказательство приводятся в [75]). Следовательно, результаты, полученные в определенном представлении, носят общий характер, и этим мы уже фактически воспользовались, обобщая существование и свойства разложения (2.27) в смешанном координатно-матричном представлении на случай произвольного представления.

Матричное представление оказалось удобным при формулировке общих принципов построения традиционных и нетрадиционных Го-моделей. Поэтому дальнейшее обсуждение также продолжим в этом представлении. Согласно исходному предположению, сделанному в начале предыдущего пункта, в рассматриваемом примере строится модель, приспособленная для изучения состояний с определенным значением Z. Поэтому Z было выбрано в качестве до- 30

полнительного интеграла движения, и речь идет о /-моделях. Исходный гамильтониан не обладает какими-либо точными интегралами движения, следовательно, в рассматриваемом примере нет аналога квантовых чисел Ао. Сравнивая с (2.2) базисные функции Ф^т^ на которых получено разложение (2.31), убеждаемся, что ^lm соответствует набору Г. Для построения /-моделей допустим, что Ft и Го соответственно состоят из квантовых чисел ^тп и /.

При изучении состояний с определенным / в рамках традиционной /-модели строится матрица оператора Н с матричными элементами (H^im^vm' и далее при 1 = Г диагонализируется по ^тп. Полный гамильтониан не сохраняет /, поэтому в таком подходе просто пренебрегается недиагональными по / матричными элементами. Если приближенное сохранение / соответствует физической сущности рассматриваемой задачи (а это является нашим исходным предположением), то ясно, что традиционный подход не является оптимальным, ибо в нем не выделяются в явном виде слагаемые Н, сохраняющие и нарушающие /. Уточнить традиционную модель можно лишь, учитывая шаг за шагом недиагональные по / матричные элементы.

В нетрадиционной /-модели сначала решается уравнение Шредингера для гамильтониана (2.28). Оператор Я(0 не имеет недиагональных по / матричных элементов, поэтому при диагонализации его матрицы на базисе Ф^тп) происходит самосогласова- ние — к ограниченному базису подпространства №1\ маркируемому определенным значением / и всевозможными допустимыми ут, приспосабливается и ограниченный оператор Я(0, действующий внутри 9lw. Уточнение этой модели можно осуществить путем расширения базиса, сопровождаемого усложнением гамильтониана слагаемыми, входящими в сумму по Lo 0 в (2.27).

Кроме других причин необходимость такого уточнения возникает из-за вырождения спектра оператора (2.28) по тп. В более сложных системах по сравнению с рассматриваемым примером вырождение спектров ограниченных гамильтонианов можно снять, используя свойства базисов так называемых дополнительных групп, когда скалярный оператор одной группы расщепляет уровни спектра скалярного оператора другой группы и для снятия вырождения отпадает необходимость учитывать последующие слагаемые операторных рядов. Математические и физические аспекты этих вопросов будут обсуждаться в п. 14.2, 15.3, 15.5 и 18.5.

Существуют гамильтонианы с ограниченной динамикой, сохраняющие /, но обладающие не вырожденным по тп спектром. Пример такого потенциала, даваемого выражением (2.14), уже обсуждался в предыдущем пункте. Соответствующий ему гамильтониан имеет вид

тт ъ2 / 1 а 2 a z (Z +1)\, х - т 7 7 \

Н» = - —г г — j + v и и (г, Lx, Ly, Lzy

(2.34)

В противоположность 5О3-скалярному гамильтониану (2.28), собственные значения которого вырождены по пг, матрица оператора (2.34) зависит от т и имеет по тп как диагональные, так и недиагональные матричные элементы. Следовательно, нет вырождения по тп, что наряду с другими признаками существенно отличает (2.34) от 5О3-скалярного гамильтониана (2.28). Тем не менее оба они являются операторами, ограниченными на S2(0.

В связи с отмеченными свойствами гамильтониана (2.34) скажем еще несколько слов о понятии операторного базиса в №1\ Можно построить набор операторов ик вида (2.14), действующих внутри подпространства 5?(0 и образующих в нем полный операторный базис. Тогда произвольный потенциал У (г, *0*, <р) можно представить в виде разложения

[Р (г, $, <р)]п = 2 «ью 09 иад (г» 4? ’^”’ ^’ ^Х (2.35)

в котором а — численные коэффициенты, зависящие от исходного потенциала V. Нижние индексы I в левой стороне последнего выражения указывают, что (2.35) справедливо лишь для диагональных по I матричных элементов, т. е. пригодно лишь внутри подпространства 9lw\ обозначение A(Z) подчеркивает, что число базисных операторов зависит от Z. Простые примеры операторного базиса будут рассмотрены в п. 5.3, 5.4 и использованы для вывода общего выражения гамильтониана ядра. В различных аспектах эти вопросы также будут затронуты в п. 6.3, 6.4 и 10.7.

§ 3. Микроскопическая коллективная модель ядра

Геометрические особенности структуры атомных ядер. В настоящем параграфе продолжим обсуждение гамильтонианов с ограниченной динамикой на примере реалистического микроскопического коллективного гамильтониана ядра, порожденного оператором (1.5). Изложение начнем с обсуждения физических идей, позволяющих выбрать модельное квантовое число Го, ответственное за коллективные эффекты в атомных ядрах.

При создании физической картины строения многочастичных квантовых систем важную роль играют их геометрические свойства. Особенно отчетливо они проявляются в системах, состоящих из частиц с различными массами. Классическими примерами таких систем являются атомы, молекулы и кристаллы. В атомах в качестве тяжелой частицы, определяющей в большой степени структуру всей системы, выступает атомное ядро, представляющее ярко выраженный силовой центр, наличие которого обеспечивает существование атома как стабильной квантовой системы и в значительной степени определяет поведение электронов, привязывая их к естественному, созданному атомным ядром силовому центру. Поле, в котором движутся электроны, имеет заметную сфериче- 32

Оки симметричную составляющую, обусловливающую физическую картину строения атома, а именно наличие в нем одночастичного самосогласованного поля. На основе этой картины вводятся электронные конфигурации и строится модель атома. При этом в качестве естественной группы, неприводимые представления которой используются для маркировки базиса в пространстве решений уравнения Шредингера для атома, служит группа вращения трехмерного пространства.

Еще ярче выражены локализованные в пространстве силовые центры в молекулах и кристаллах. В них атомные ядра, зачастую окруженные инертными электронными оболочками, образуют правильные пространственные структуры, обусловливающие геометрическую конфигурацию поля, в котором движутся коллективизированные электроны. Теоретические модели строения молекул и кристаллов намного сложнее и богаче моделей атома, однако, как и в случае атома, при их построении важная роль отводится геометрическим факторам, обусловленным симметрией расположения силовых центров в трехмерном пространстве. Адекватным математическим аппаратом для этих целей служат дискретные группы точных симметрий и пространственные группы, описывающие симметрию бесконечно протяженных решеток в кристаллах. Аналогично случаю атома неприводимые представления точечных и пространственных групп маркируют используемые базисы, реализующие пространство решений уравнения Шредингера для молекул и кристаллов.

Наличие в них каркаса, образованного из тяжелых частиц, настолько хорошо установлено экспериментально, что можно утверждать, что эти системы обладают приближенными точечными или пространственными симметриями. С другой стороны, не вызывает сомнения, что в качестве динамического уравнения, описывающего их поведение, выступает стационарное уравнение Шредингера, упрощенный вариант которого в случае систем, в состав которых входят частицы двух сортов, задается гамильтонианом, состоящим из слагаемых (1.3) и (1.4). Из обоих высказанных утверждений вытекает, что гамильтонианы этих систем обладают приближенными симметриями соответствующих точечных или пространственных групп. Наличие таких симметрий, однако, никому еще не удалось установить исходя из общего вида гамильтониана, поэтому их существование постулируется на основе анализа экспериментальных данных.

Приведенные примеры показывают, что гамильтонианы сложных квантовых систем могут обладать приближенными симметриями, наличие которых не удается установить аналитическими методами. При построении моделей приходится обращаться к эксперименту и полагаться на интуицию. Именно так и будем поступать, выбирая квантовые числа Го, определяющие нетрадиционные Го-модели ядра.

Экспериментально установлено, что стабильные и долгоживущие ядра являются хорошо локализованными в пространстве си- 3 В. В. Ванагас 33

стемами с достаточно четко выраженной границей, состоящими из почти полностью перекрывающихся протонной и нейтронной подсистем. В противоположность вышерассмотренным примерам в ядрах отсутствуют ярко выраженные силовые центры, и несмотря на кажущуюся парадоксальность это обстоятельство может служить отправной точкой для выяснения физической картины строения ядра ).

Отсутствие силовых центров в трехмерном пространстве, в котором происходит реальное движение нуклонов, указывает на то обстоятельство, что все частицы ядра почти равноправно входят в его состав. В таких условиях вероятно появление коллективных форм движения. Это предположение подтверждается многочисленными экспериментальными фактами, свидетельствующими о существовании в ядрах состояний с ярко выраженными коллективными свойствами. Здесь нет возможности более подробно обсуждать конкретные свойства коллективных состояний. Укажем только, что при аналитическом их описании исключительно удобной оказалась группа многомерных вращений, играющая при описании коллективных движений в атомных ядрах роль, сходную с ролью точечных или пространственных групп в молекулах и кристаллах. Выбор в качестве Го неприводимых представлений группы многомерных вращений позволяет на основе общих положений, изложенных в предыдущем параграфе, выделить из Н модельный гамильтониан и тем самым построить нетрадиционную коллективную модель ядра.

Приступим к более детальному описанию коллективного слагаемого гамильтониана (1.5), которое будет служить реалистическим примером оператора с ограниченной динамикой.

Оп_1-неприводимое разложение гамильтониана. В [561 и в серии публикаций [15, 31, 65, 32, 77, 66] (см. также [143, 16, 21]) алгебраический аппарат группы вращения r-мерного пространства,, включающий также и операцию отражения,— такую группу в дальнейшем будем называть ортогональной группой и обозначать через От (г = 1, 2, 3, ...) —был приспособлен для изучения коллективных форм движения в системах эквивалентных фермионов. На наличие и важность этих степеней свободы в атомных ядрахг кроме упомянутых, указывает и вид оператора (1.5), имитирующего гамильтониан ядра. Индексы частиц входят в оба его слагаемых симметрично, и благодаря наличию этой симметрии гамильтониан Н сохраняет квантовое число X.

Вместо того чтобы переставлять одночастичные индексы г и /, подвергнем оператор (1.5) более сложному непрерывному преобразованию, позволяющему анализировать его трансформационные свойства по отношению к действию операторов ортогональной группы От с г, равным числу векторов Якоби р,. Возьмем операторы группы Ог с г = и - 1 и следующим образом определим их действие на переменные Pt*

р?=т (g) pst = S' p^Sr1 (g). (3.1) t'=l

Здесь T(g) обозначает действующий в n—1-мерном пространстве оператор вращения с отражением, зависящим от элемента g группы Ои-^ a D^a-1 — матрица вращения п— 1-мерного пространства. В связи с наличием операции отражения уже недостаточно, как это имело место в случае группы SO3l рассматривать инфинитезимальные преобразования группы On-i- Поэтому в (3.1) пользуемся операторами конечных вращений с отражением.

Возьмем выражение гамильтониана (1.5) через переменные Pt и подставим вместо р* преобразованные переменные (3.1). Используя свойство ортогональности матрицы D n-1 (g), легко проверить, что оператор кинетической энергии (1.16) в преобразованных переменных имеет тот же вид, что и в исходных переменных; это доказывает, что этот оператор, входящий в качестве первого слагаемого в (1.5), является О^-скалярным оператором.

Для изучения трансформационных свойств второго слагаемого в (1.5) необходимо переписать его в переменных pt и затем заменить их через выражения (3.1) Тогда для преобразованного оператора потенциальной энергии получаем

Т-1 (g)Hw (рО T^ = Hw(T(g) pD. (3.2)

Лишь в случае простейших потенциалов, например потенциала гармонического осциллятора, представляющего частный случай (1.7) с к = 1, ai = 0 и щ = 2, выражение (3.2) совпадает с исходным. Такой потенциал является чересчур простым для изучения свойств атомных ядер. В случае более сложных потенциалов (3.2) сложным образом зависит от элементов g ортогональной группы, поэтому оно, вообще говоря, не является Оп-!-скаляром. Тем не менее можно отыскать Оп_!-неприводимое разложение оператора HWl т. е. аналогично (2.30) представить его в виде

Hw = HW;o + 2 (3.3) X^o,vx л

где % обозначает Оп-!-неприводимое представление, a vx маркирует ого базис.

Задача отыскания разложения (3.3) в случае произвольных потенциалов была решена в [17, 143] (см. также [21]). Формулы, 3* 35

позволяющие получить в явном виде слагаемые в (3.3), будут приведены в § 18. Здесь же, не останавливаясь на доказательствах и опираясь лишь на аналогию с формулой (2.23) методического примера, обсудим первое, On-t-скалярпое слагаемое Hw 0 в (3.3). ’

Коллективный потенциал двухчастичного центрального взаимодействия. Отыскание Оп-1-неприводимого разложения операторов, составленных из двухчастичных слагаемых, упрощается из-за свойства антисимметричности волновых функций системы эквивалентных фермионов. Согласно (1.17) вычисленные матричные элементы каждого слагаемого потенциальной энергии в (1.5) дают одинаковый вклад, поэтому достаточно изучить слагаемое, зависящее от Ifn-! —гп|, и умножить полученный результат на число пар частиц.

Возьмем произвольный двухчастичный центральный потенциал У(1гп-1 — rnl). заменим с помощью первой формулы в (1.19) его аргумент на У2 |ра| и рассмотрим разложение

У(У2 1ра|)= Усон + Г, (3.4) первое слагаемое которого представляет его О^-скалярную часть. Переменные ра($= 1,2,3), представляющие декартовы компоненты вектора рс, в такой же мере неестественны для этого разложения, как, например, декартовы переменные в задачах, связанных с изучением ЗОз-неприводимого разложения потенциала И(я, у, z) трехмерной частицы. Аналогично примеру, рассмотренному в п. 2.3, 2.4, в котором декартовы переменные были заменены сферическими переменными, при осуществлении разложения (3.4) переменные Якоби р^ заменяются новыми переменными, приспособленными для выявления коллективных степеней свободы ядра. Такие переменные были предложены в [56] и в менее явном виде использованы в [156]. В первой из этих работ получено выражение р® ($ = 1, 2, 3; t = 1, 2, ..., п — 1 либо t = 1, 2, ... ..., п — 3, s, а) через три переменные Р^ °^ (s0 = 1, 2, 3) радиального типа, принимающие значения в интервалах 0^р(°)<оо, три угла Эйлера <р', О, <р" и еще 3(^—1)—6 угловых переменных, которые обозначим через О^9, А^^ ..., $(3п-9). Явная формула будет приведена в п. 11.3, где также будет обсуждаться взап- мооднозначность используемой замены переменных. На данном этапе изложения воспользуемся следующим неявным выражением:

р' - р' (р(1\ р(2\ р(3); ф\ $, ф"; »(1\ »(2\ ..... ^(зп-9)), (3.5) и продолжим обсуждение микроскопического коллективного потенциала УсоП.

Чтобы понять, от каких переменных зависит Оп-гскалярпая часть потенциальной энергии HWl обратимся к ранее рассмотренному методическому примеру. Сферически симметрический потенциал (2.23), выделенный из и^х, у, z), зависит лишь от г по топ 36

причине, что радиальная переменная является скаляром группы SO3. Аналогично Оп-1-скалярное слагаемое УСоп в (3.4) зависит лишь от On-i-скалярных переменных. Имеется шесть таких переменных — три радиальных переменных р(1\ р(2), р(3) и три угла Эйлера <р', А, ср". Перечисленные Оп-!-скалярные переменные будем называть коллективными переменными; при выполнении определенных условий (подробности см. в [15, 143, 16, 21]) они исчерпывают все коллективные переменные ядра. Оставшиеся углы О(1), А(2), ..., А(3п-9) будем называть внутренними переменными ядра.

В п. 12.4 будет доказано, что при п>5 выражение 1ра1 в новых переменных имеет вид

V2 1ра| = |гп-1 — rn| = [2(р(1))2 COS2 А3 SHI2 А2 sin2 Ai +

+ 2(р(2))2 cos2 А2 sin2 At + 2(р(3))2 cos2 AJ1/2,(3.6)

где 0 ^ Аг-^ л (i=l, 2, 3). Углы At, А2, Аз содержатся в наборе внутренних переменных, и их взаимосвязь будет рассмотрена в п. 7.6 и 12.4.

Формула (3.6) используется для получения замкнутого выражения, входящего в разложение (3.4) коллективного потенциала Усоп. В [17] была найдена С^п-гскалярная часть двухчастичного центрального потенциала У(У2|ра1). Из формулы (23) упомянутой работы в случае п > 5 получаем

^coii(^; Р(1\ р(2\ р(3)) =

= П J ^ (М2»1) Г ( /2 I Ра (pW, р^, р^; О3, »2, Фх) |), (3.7) ООО

где вместо V2 |ра1 подставлено (3.6), а элемент объема имеет вид

г_

dx =Ц-(sinA3)n 5(sinA2)n 4(sinAx)n 3dA3dA2dAr (3.8) лз/2Г/п-4)

\ 2 У

В (3.8) Г обозначает гамма-функцию. При п = 5 остаются справедливыми выражения (3.6) и (3.7), с той лишь разницей, что 0^ ^А3<2л, вследствие чего используется выражение (3.8), правая сторона которого разделена на два. При п = 4 коллективный потенциал определяется формулой

Исон (п = 4; pd), р<2>, р<3>) =

2ЛЛ

= ;И ^2 J sin »AV ( /2 | Ра (pd>, р(2>, р<3); »2, »х) |), (3.9) оо

в которой ^2 |ра| дается выражением (3.6) с ■03 = 0. В случае и = 3

формула далее упрощается и принимает вид

Гсо11(п = 3; р<4 р<з)) =

2Л

= ^ J ^Г ([2 (р<2>)2 sin2 Ох + 2(p<3))2 COS2»J1/2)t(3.10)

о

где явно выписано выражение V2 Lpa|.

Физический смысл коллективного потенциала VCoii можно понять, обратив внимание на его сходство с (2.23). Потенциал центрального поля У (г) выделяется из У (я, у, z) путем усреднения последнего по углам в трехмерном пространстве, где действуют операторы группы SO3l и это усреднение проецирует из нецентрального потенциала его сферически симметричную часть. Аналогично осуществляя в произвольном операторе O(Pt) замену (3.5) и усредняя его по внутренним переменным О(|), ,й(2), ..., {И3”-*0, ответственным за вращения в п — 1-мерном пространстве, где действуют операторы группы Оп-^ проецируем из О его коллективную часть. Такое усреднение можно представить в виде бсоп(п; р(1), р(2). р(3); ф', ^, ф") = J <М$(1). $(2), •.. Л(зп-9)) х

X О(р(1), р(2), р(3); ф', О, ф'; Ф(1), »(2), ..., »(зп-9)), (3.11)

где 5О3-скалярность оператора О(р<) не предполагается, поэтому (3.11) зависит как от радиальных переменных, так и от углов Эйлера. Выражение (3.7) для коллективного потенциала значительно проще общего выражения (3.11), что обусловлено двухчастичной структурой оператора Hw и использованием формулы (1.17),

Оператор кинетической энергии в коллективных и внутренних переменных. Выражение оператора кинетической энергии (1.16) в новых переменных, указанных в правой части (3.5), было получено в [56, 156]. Как и в случае коллективного потенциала Усоп» выражение для Нк упрощается при w = 3, 4. Удобно объединить все случаи в одну формулу, рассматривая движение частиц в г0-мерном пространстве, когда в качестве трансляционно-инвариантных переменных используются г0 компонент pt (s = 1, 2, ..., г0) п— 1 векторов Якоби р( (£=1, 2, ..., п — 1 либо £= 1, 2, ..., п — 3, s, а), задаваемых выражениями (1.10) или (1.11). Тогда вместо группы SO3 имеем группу вращения SOT^ число декартовых переменных становится равным г0(^—1), и соответственно меняются числа коллективных и внутренних переменных. Более подробно г0-мерный случай будет рассмотрен в п. 11.3; здесь лишь необходимо знать, что при таком обобщении имеем г0 радиальных переменных р(1\ Р(Ч •.., р(г°) при Го ^ п — 1 и п — 1 радиальных переменных ^-.-^ р(>*.->

Удобства ради возвратимся к прежнему обозначению п — 1 = г. В новых переменных оператор кинетической энергии имеет видУдобства ради возвратимся к прежнему обозначению п — 1 = г. В новых переменных оператор кинетической энергии имеет вид

Удобства ради возвратимся к прежнему обозначению п — 1 = г. В новых переменных оператор кинетической энергии имеет вид

Удобства ради возвратимся к прежнему обозначению п — 1 = г. В новых переменных оператор кинетической энергии имеет вид

В (3.12) s0, So и 4 могут принимать значения 1, 2, ..., г0 для г0 ^ г и значения 1 + г0 — г, 1 + г0 — г + 1, ..., г0 для г0 > г; h = = 1, 2, ..., г—r0; Si=l, 2, ..., г0 для г>г0 и t! = 1, 2, ..., г; 51=^1, 2, ..., г0 — г для г < Го. Оператор ^(s^) в .(3.12) имеет следующий смысл:

^<8^ =^<8^ =ДляДляДляДляДляДля(3.13)(3.13)— (Р^1^) 1 "^г1—го+,1

^<8^ =

^<8^ =

Для

Для

Для

Для

Для

Для

(3.13)

(3.13)

О

- (p(ro-+h))-^Si>ro_r+ii

В (3.12) и (3.13) и ^—инфинитезимальные операторы групп От и SuTq. Они удовлетворяют коммутационным соотношениям

[^h^^ V4] ~ Ч^ ^2’ ^4^ ^^з +

4-6^, кз№?4-6(^ k3)^hlk4-6(ki, ^Чи3\ (3.14)

и аналогично — для 2\ Коммутационные соотношения (3.14) отличаются от стандартных коммутационных соотношений инфинитезимальных операторов ортогональных групп знаком в правой стороне последнего выражения. В физических приложениях операторы 3 и 2? принято называть операторами во внутренней системе координат по отношению к преобразованиям групп От и SOT^. В теории групп эти операторы будем называть операторами левого сдвига на группе От либо SOr0 и, как и в вышеприведенных формулах, обозначим их прописными буквами.

Формула (3.12), обобщающая на г0-мерный случай результаты работ [56, 156], была получена^в [143]. Описание свойств инфинитезимальных операторов 3 и 2 будет приведено в п. 12.2, а способ вывода (3.12) объяснен в п. 12.3.

Упрощенный коллективный гамильтониан ядра. Сумма Усоп, умноженного на п(м—1)/2, с оператором (3.12) при г0 = 3 дает микроскопический коллективный гамильтониан ядра

Ясон = Я^ +Кеон,(3.15)

выделенный из многочастичного гамильтониана (1.5). Обозначим остальные слагаемые оператора Н через Ясоц-mt и тогда имеем выражение

Я = ЯсоИ + Ясо11-1п1,(3.16)

которое представляет конкретную реализацию операторного разложения Я, первое слагаемое которого задает микроскопическую коллективную модель ядра). Выражение (3.16) было получено на основе упрощенного гамильтониана ядра, поэтому оно дает упрощенный коллективный гамильтониан. Техника разложения общего гамильтониана ядра по On-гнеприводимым компонентам будет изложена в п. 18.4.

Приступим к обсуждению свойств гамильтониана Ясоц. Оператор кинетической энергии (3.12) при г0 = 3 представляет оператор (1.16), записанный в новых переменных. Поэтому (1.16) и (3.12) при г0 = 3 идентичны, и различие состоит лишь в том, что в (3.12) выявлена структура оператора Я®, обусловленная его зависимостью от р^°\ а также от инфинитезимальных операторов ортогональной группы On-t и группы вращения SO3. Коллективный потенциал Vcoii качественно отличается от потенциала, входящего в HWl ибо Усоп порождается усреднением У (|rn_t — rj) по формулам (3.7), (3.9) и (3.10). Зависимость Усоп от числа частиц обусловлена задаваемой геометрическим фактором зависимостью элемента объема (3.8) от п. Из физического смысла коллективного потенциала следует, что Усоп наряду с оператором кинетической энергии задает динамику коллективных движений в ядрах, в которых равноправно участвуют все составные частицы ядра. Поэтому можно проверить, адекватно ли физическому смыслу потенциала УСоп его математическое свойство On-i-скалярности, которое положено в основу вывода формулы (3.7). В частности, если Усоп имеет смысл коллективного потенциала, радиус его действия должен увеличиваться с ростом числа частиц.

Для качественной проверки высказанного предположения введем переменные р, р, у, связанные с р(1), р(2), р(3) соотношениями Р2 - (Р(1))2 + (Р(2))2 + (Р(3))2,

₽ Sin у =((p(D)2 - (р(2))2),(3.17)

₽ COS у = -^ ((pW)2 + (р<2))2 - 2 (Р(3))2),

где 0^р<°° и 0^р(1), р(2), р(3) < оо. Приведем пределы измене* ния переменных у и [к С этой целью разобьем область значений радиальных переменных р(1\ р(2), р(3) на шесть подобластей, задаваемых условиями p^s°^^ p^s°^^ p^s° с s's"s'" = 123, 132, 312, 321, 231, 213. Введем к = 1, 2, ..., 6 и придадим набору индексов 123 значение к = 1, набору индексов 132 — значение к = 2 и т. д.— вплоть до к = 6 для набора индексов 213. Тогда для каждой из указанных подобластей интервалы значений ^ и ^ в (3.17) задаются следующими условиями: ^к — 1) л/3 <^ Ал/З, и для данного к и соответствующего ему интервала у, 0 ^ V6^ ^ p2/cos(y — — ал/3), где а = к — 1 в случае к=1, 3, 5 и a=fc в случае к = ■= 2, 4, 6. Можно проверить [67], что допустимые значения Р лежат внутри равностороннего треугольника с вершинами, задаваемыми в х, у-плоскости координатами ^х, y) = (p2/V6, p2/V2); (—2p2/V6, 0), (p2/V6, — p2/V2), где rr = p2^cosy и у = р2^8т7.

Формулами (3.17) будем пользоваться при п^4. В случае ^ = 3 введем

Р2 = (р(2))2 + Wi р = 1 ((р(2))2 _ (рО)^)(ЗЛ8)

с 0СУ2^Ср2 в случае р(2) ^ р(3) и — р2 С У2^ СО в случае р(3) > р(2). Переменная р, называемая глобальным радиусом ядра, выражается через одночастичные переменные либо переменные Якоби следующим образом:

р2=2 (г<-К)*= ^Pi.(ЗЛ9)

1=11=1

В (3.19) R — вектор центра масс ядра, определяемый выражением (1.13). Используя (3.17), можно представить коллективный потенциал в новых переменных:

Koii(«; P(t\ Р<2), р<3))= Исо11(п; р, р, t),(3.20)

а затем, беря определенные значения ф и ^1 изучить протяженность РСои(и; р) по р и его зависимость от числа частиц п.

Явные выражения коллективных потенциалов. Рассмотрим коллективные потенциалы, порождаемые двухчастичным взаимодействием полиномиального и гауссова типов. Начнем с потенциалов вида

Fa(lrn-i-rJ)= liv-i-rj2”,(3.21)

зависящих от четной степени межнуклонного расстояния. Потенциалы (3.21) с а = 1, 2, 3, ... будем называть мультипольными взаимодействиями. Подстановка (3.21) в (3.7) или (3.9) с последующим интегрированием по переменным th приводит к

выражению

v (2fc1-l)!!(2fc2-l)H(2^-l)l!v (2fc1-l)!!(2fc2-l)H(2^-l)l!й^+^+^з—aй^+^+^з—akJ kJ kJkJ kJ kJ(pd))2fti (p(2>)2,t2 (p<3>)2ft».(pd))2fti (p(2>)2,t2 (p<3>)2ft».(3.22)(3.22)

v (2fc1-l)!!(2fc2-l)H(2^-l)l!

v (2fc1-l)!!(2fc2-l)H(2^-l)l!

й^+^+^з—a

й^+^+^з—a

kJ kJ kJ

kJ kJ kJ

(pd))2fti (p(2>)2,t2 (p<3>)2ft».

(pd))2fti (p(2>)2,t2 (p<3>)2ft».

(3.22)

(3.22)

Сумма в (3.22) берется по всевозможным целым неотрицательным ки к2, к31 удовлетворяющим условию kt + к2 + к3 = а. Формула (3.22) пригодна для случая п^4. При п = 3 из (3.22), полагая kt = О, получаем коллективный потенциал (3.10) для мультиполь- ного взаимодействия. Выражение (3.22) было получено в [67].

Рассмотрим простейшие случаи. При а = 1 из (3.22) имеем

^ои=^ 2 (р(8о))2=^ р2'(3-23)

so

где р — глобальный радиус (3.19), т. е. мультипольное взаимодействие (3.21) с а=1 дает осцилляторный потенциал. Формула (3.23) показывает, что он является коллективным потенциалом, в чем также нетрудно убедиться исходя из того, что соотношение (3.23), умноженное на п^п — 1)/2, совпадает с выражением 2 (гг — г;)2 = =пр2, в котором i<j = 21 3, ..., п. В случае осцилляторного потенциала в (3.4) отсутствует V'. При а = 2 из (3.22) получаем следующее коллективное слагаемое квадрупольного взаимодействия:

<rnn^f32W+ 2, (P^D-tp^))2). (3.24) \ S°so^o/

Здесь s0, s0 = 1, 2, 3 в случае п^4 и s0, $g = 2, 3 в случае п = 3.

Из (3.22) видно, что коллективная часть мультипольного взаимодействия (3.21) является симметричной функцией переменных Р^0)- В [67] было доказано, что из-за отмеченного свойства симметричности выражение (3.22) в переменных р, р, у зависит от у лишь через cos3y. Подставляя (3.17) в (3.22), после некоторых преобразований (подробности см. в [67]) получаем, что в случае п ^ 4

^соп (я; р2, Р, cos Зу) =

- /бАу^НсозЗу), (3.25) Р2 )- /бАу^НсозЗу), (3.25) Р2 )_ (и - 3)!! (2а + 1)!! /2 2^а V

- /бАу^НсозЗу), (3.25) Р2 )

- /бАу^НсозЗу), (3.25) Р2 )

(2а + и — 3)!!\ 3 Р / кЦа — к)!

к=0

где

<&/2>

Sft(cos3y) = 2 (cosy)ft-2Z(sinY)2Z X z=o

у1 Йу1(— l)W+”i32i+m-tti (2t + 2m - 1)!!2g

^z ^"o 24! m! (t — Z)! (fc — 2Z — m)! (4t + 2m + 1)!! * ' ' '

В частности, Во = 1, •В1 = 0, 5В2 = 1, 35В4 = 3, 210В3 = 23155— = 286ВГ = 12 cos Зу, 1001В6 = 45 + 8(cos З7)2. Последние формулы демонстрируют зависимость (3.26) от cos Зу в явном виде.

Перейдем к выводу коллективной части потенциалов гауссова типа

Fa (|rn_t — rn|) = To exp [—akn-t — rj2].(3.27)

Разлагая (3.27) в ряд Тейлора и используя (3.25), можно доказать [67], что коллективное слагаемое потенциала (3.27) при п^ 4 имеет вид

Vcoll(«; Р2, Р» cos3y) =

- V ^^ У (А- aB? l^MHL^)!! X

" *ое jti(ygaP) А! (2Л + n — 3)!! A

x ф (-|- - 2, ^ + fc, ^ ap2) Bk (cos 3y), (3.28)

где Bk дается выражением (3.26), а Ф — вырожденная гипергеометрическая функция (функция Куммера); ее определение см., например, в (13.1.2) [1]. В случае п = 3, подставляя (3.27) в (3.10) и используя переменные (3.18), получаем

V?oii (п = 3; р2, Р) = Го ехр (- ар2) /0 ( /2 ар), (3.29) где 70 — модифицированная функция Бесселя (см. (9.6.16) [1]), удовлетворяющая соотношению 70(— х) = 70(^).

Беря производные (3.27) по а, получаем потенциал F^dr^x-rn |) =

= 77^ = (- П% I r„-i - rn |2a exp [- a | rn_x - гп |2], (3.30)

коллективное слагаемое которого находим, дифференцируя по a выражение (3.28) или (3.29). Подводя итоги, заключаем, что формулы (3.22) либо (3.25) и (3.28) наряду с (3.29) дают коллективные слагаемые потенциалов вида (1.7) с четными сц и pz = 0,2.

Некоторые свойства коллективных потенциалов. Формула (3.29) показывает, что в случае п = 3 коллективный потенциал гауссова типа факторизуется, т. е. выражается в виде произведения функций, зависящих от р и р. В частности, 7о(О)=1, поэтому при р = 0, что соответствует р(2) = р(3), потенциал (3.29) по переменной р повторяет породивший его двухчастичный потенциал (3.27).

При п = 4 Ф(0, к + 3/2, 2ар2/3)=1. Из-за этого свойства гипергеометрической функции коллективный потенциал (3.28) в случае п = 4 зависит от р2 в виде экспонентного множителя, который по переменной р также повторяет породивший его потенциал с той лишь разницей, что вместо а появляется константа 2а/3. Это ука-

зывает на тенденцию увеличения протяженности коллективного потенциала по р при росте п.

При п > 4 факторизации не происходит и в выражении И?оп переменные не разделяются. Для качественной проверки зависимости коллективных потенциалов от числа частиц возьмем выражение (3.28) при р = у=О. В этом случае р(1) = р(2) = р(3) и правая часть в (3.28) имеет вид экспоненты, умноженной на вырожденную гипергеометрическую функцию Ф с й = 0. На рис. 3.1 показана зависимость К?0ц от р и числа частиц п при ^ = 4, 84, 164, 244, 324

Рис. 3.1. Двухчастичный потенциал (3.27) гауссова типа и зависимость соответствующих ему коллективных потенциалов (3.28) от р при 6 = у = 0 и п = == 4, 84, 164, 244, 324

в случае потенциалов Рипки [137], имеющих вид (3.27) с определенными значениями Уо и 1/Va = 1,48 • 10-13 см. Для сравнения в левой части этого рисунка приведена зависимость двухчастичного потенциала Va от r= |rn_t — rn|. Как для переменной р, так и для переменной г одно деление на осях абсцисс соответствует расстоянию 1,48 • 10-13 см, а для данного Vo одно деление на осях ординат соответствует энергии 0,1 Уо МэВ. Из приведенного рисунка видно, что абсолютное значение двухчастичного потенциала Fa уменьшается в два раза при г/1,48 = 0,83 • 10“13. Протяженность по переменной р коллективного потенциала Р?0ц сильно зависит от числа частиц. Эффективный радиус Исон увеличивается при увеличении п и, например, при п = 324 абсолютное значение потенциала И?оц уменьшается в два раза лишь при р/1,48 = 12 • 10-13. Согласно (3.19) переменная р2 является суммой квадратов одночастичных векторов, заданных относительно центра масс ядра. Поэтому из-за увеличения протяженности У?оц по переменной р с ростом п соответствующим образом меняется и плотность распределения коллективных степеней свободы ядра, даваемая квадратом модуля коллективных волновых функций iWcoiil2.

Зависимость коллективных потенциалов от р и ^ более сложная. При п = 3, когда имеются лишь переменные р и р, она была изуче- 44

на и проиллюстрирована рисунками в работе [67]. В этой работе было рассмотрено семейство потенциалов (1.7) с к = 2, ai=a2 = 0, Pi = ₽2 = 2, параметризованных в форме, удобной для изучения зависимости Усоп от формы двухчастичного потенциала. Часть результатов упомянутой работы приведена в [145].

Воспользуемся формулой (3.29) для изучения коллективной части потенциала бесконечной прямоугольной потенциальной ямы* Следуя работе [67], рассмотрим предельное выражение суперпозиции двух гауссовых потенциалов

V (г) = lim (exp (а (г2 — с2)) + ехр (а (Ь2 — г^), (3.31) а-»оо

где с>Ь и r=|rn-I —гп|. В случае Ь<г<с степень обеих экспонент отрицательна, поэтому при значении а, стремящемся к бесконечности, потенциал (3.31) равен нулю. В интервале г<Ь или г> с степень одной из экспонент положительна, поэтому при а,-^ °° выражение (3.31) становится бесконечным. В итоге приходим к вы- роду^.что в случае а, стремящегося к бесконечности, (3.31) представляет потенциал бесконечной прямоугольной ямы с У(г) = 0 при Ь<г<с и У(г) = +оо при т<Ъ или г>с. Его коллективное слагаемое, получаемое с помощью (3.29) и предельного перехода (3.31), имеет вид

Исон (Р, р) = lim ( /8 ла I р |)~1/2 X

X [ехр (а (р= - ^ + /2 | 0 |)) + ехр (а (^ - р2 + /2 | 0 |))]. (3.32)

При выводе (3.32) было использовано то обстоятельство, что при а, стремящейся к бесконечности, (У8ла|р|)1/2/0(У2оф) ~ exp(V2alpl). Для интерпретации (3.32) из всей области изменения переменных р(2) и р<з) ^Ыделим квадрат, углы которого находятся в точках (ЬШ. ЫП^ (bm. с/П^ (cm. b/П) и (cm. cmv и обозначим эту область через So. Тогда (3.32) в переменных р(2), р(3) можно записать в виде

Р«) -1+ есм р(1|, р,„ (3.33)

где р(2), р(3)^50 (или ^50) означает, что точка (р*2), р(3)) принадлежит (или не принадлежит) области So. Выражение (3.33) показывает, что в случае п = 3 коллективное слагаемое потенциальной ямы с бесконечными стенками есть двумерная яма, диагональ которой равна ширине ямы породившего ее потенциала.

Можно продолжать изучение зависимости коллективных потенциалов от формы двухчастичного взаимодействия. Это, однако, не является нашей целью, поэтому ограничимся рассмотренными примерами и закончим параграф замечаниями, касающимися пригодности переменных р, р и у для описания коллективных форм движения в ядрах. За исключением потенциальной ямы, изученной путем

45

предельного перехода, в остальных рассмотренных выше случаях УсоП является функцией, в разложении которой в ряд Тейлора имеются лишь переменные р^0^ в четной степени, что и обусловливает удобство использования переменных р, Р и ^ Однако (р^°02 не всегда являются подходящими переменными. Они неестественны для оператора кинетической энергии (3.12), в который наряду с квадратами входят и первые степени р^°\ Как следствие этого, выражение (3.12) в переменных р, р, у содержит квадратные корни. Коллективные слагаемые потенциалов (1.7) с нечетными at и ^¥=2 также могут оказаться функциями, которые более естественно записать через р^°\ чем через их квадраты. Поэтому можно утверждать, что действительными микроскопическими коллективными переменными являются р^°\ и это обстоятельство, впервые отмеченное в [141] (см. также [143, 21, 145]), существенно отличает микроскопическую теорию коллективных движений в атомных ядрах от феноменологических подходов. При необходимости р^0^ можно^ заменить микроскопическими коллективными переменными р, 01т 02, связанными с р^0^ соотношениями:

р = psin0! sin02,

р = —р sin -0! cos 02, (3.34) р = р cos 0!,

где 0^0,, 02 ^ —л/2, а следовательно, 0^р(1), р(2), р(3) < оо. В замене переменных (3.34), введенной в [31, 15] (см. также [16]), выбор знаков обусловлен определенной параметризацией элементов групп многомерных вращений, речь о которой пойдет в п. 7.4. Вывод (3.14) и выбор областей значений р^°\ обеспечивающий взаимную однозначность замены переменных, будут обсуждаться в п. 11.3.

§ 4. Представления ортогональных и унитарных групп и микроскопические модели ядра

жения коллективного гамильтониана ядра, действующего внутри пространства 5?(юл1Л), входящего в разложение (2.9) с Г0 = ш.

Для интерпретации свойств состояний Ясоц вернемся к общим положениям, изложенным в п. 2.1, 2.2. Убедимся, что коллективный гамильтониан (3.15) является гамильтонианом с ограниченной динамикой, а уравнение Шредингера для Ясоц задает нетрадиционную Го-модель ядра. С этой целью рассмотрим матрицу Н в базисе Ф^олЛЮщ), характеризуемом всеми точными интегралами движения, On-1-неприводимым представлением со и дополнительным набором квантовых чисел Гь В выбранном базисе представление (о выступает в качестве Го, а матричные элементы оператора Я, слагаемые потенциальной энергии которого записаны в виде ряда (3.3), задаются выражением

^солАХ | Я | Г^м'л^Х) = 6 (шш') (Г^л!/1 Ясоц | Г^шл//) +

+ 2 /Г^солЬХ I Г^со'лЬХ). (4.1) X^0,vxX Х

Из-за специфики вложения симметрической группы в ортогональную группу Оп-1 (подробности вложения будут приведены в п. 9.2) матричные элементы Ясоп вырождены по X. Как следствие этого, собственные значения ^coii оператора Ясоц не зависят от X, т. е. ^соп — ^соп(^о)лЬ). Это свойство спектра коллективных возбуждений не является общим; в п. 18.5 выяснится, что собственные значения общего коллективного гамильтониана, выделенного из полного гамильтониана ядра, зависят от X.

Диагонализация матрицы, составленной из матричных элементов, входящих в качестве первого слагаемого в (4.1), дает коэффициенты разложения функции Тсоп вида (2.8), т. е. ведет к решениям уравнения Шредингера (2.7). Кроме производных по р(1), р(2), р(3) в случае п^ 4 или производных по р(2), р(3) в случае тг = 3 кинетическое слагаемое (3.12) коллективного гамильтониана (3.15) зависит еще и от инфинитезимальных операторов левого сдвига 2 и 2?. При использовании матричного представления этих операторов в On-i- и 5О3-неприводимых пространствах (подробности см. в п. 18.5) уравнение (2.7) для Ясо11 можно записать в виде конечной системы дифференциальных уравнений для переменных р^°\ Записанное в таком виде уравнение Шредингера для Ясоп позволяет изучать состояния как дискретного, так и непрерывного спектров.

Обсудим некоторые следствия, вытекающие из наличия дополнительного интеграла движения ш, сохраняемого гамильтонианом ЯсоП. Квантовые числа со в микроскопической теории коллективных движений в атомных ядрах играют роль, сходную с ролью углового момента Z, сохраняемого гамильтонианом (2.28) трехмерной частицы. Состояния частицы, описываемые Z-моделью, характеризуются определенными Z, т. е. 5О3-неприводимыми представлениями, принимающими значение Z = 0, 1, 2, ... Аналогично коллективные со-

стояния ядра характеризуются Оп-1-неприводимыми представлениями со. В отличие от углового момента, задаваемого целым неотрицательным числом, интеграл движения о в случае ^ > 6 задается тремя целочисленными неотрицательными числами (обозначим их через (Di, о)2, о)3), удовлетворяющими условиям o)i ^ о)2 ^ а)3. Поэтому о) следует рассматривать как сокращенное обозначение о) = ^(о)!О)2о)з) для трех упорядоченных чисел. В случае ^ = 5,4 о> обозначает упорядоченную пару двух чисел, т. е. G)=((Mh), а в случае ^ = 3 — одно число, т. о. о) ^(щ). Более подробно смысл маркировки о) будет обсужден в п. 8.4, 14.4,

Аналогия между Z и о) неполная также и в другом отношении. Угловой момент частицы в трехмерном центральном поле может принимать все значения начиная с нуля. При п > 4 квантовые числа (о могут принимать лишь определенные значения, разрешаемые требованиями перестановочной симметрии волновых функций системы тождественных фермионов, связанной с принципом Паули. Например, в случае ядра 12С, состоящего из шести протонов и шести нейтронов, самое низкое по энергии коллективное состояние маркируется Оц-неприводимым представлением о =(440). В случае ядра 12В, состоящего из пяти протонов и семи нейтронов, представление (440) не разрешено; самые низкие по энергии Оц-неприводи- мые состояния этого ядра маркируются символами о =(431) и о)=(422). Те же состояния разрешены и в ядре 12N, состоящем из семи протонов и пяти нейтронов; вследствие кулоновского взаимодействия между протонами энергии этих состояний несколько отличаются от энергии соответствующих состояний ядра 12В. Из сказанного вытекает, что разрешенные значения со (их еще называют квантовыми числами о, допустимыми принципом Паули) зависят как от общего числа частиц, так и от абсолютного значения разности между числом протонов и нейтронов, т. е. со = со (лг, l/in—яр|). Поэтому, кроме других причин, состояния Ясоц зависят от состава ядра через квантовое число о.

Подробно с этими вопросами можно ознакомиться в [86, 20] (см. также [143] и литературу, указанную в заключительном разделе настоящей книги). Здесь отметим лишь некоторые следствия, вытекающие из ограничений, накладываемых на допустимые значения On-1-неприводимых представлений о. То обстоятельство, что в ядрах с п > 4 скалярные со не разрешены, позволяет понять важное различие между микроскопической и феноменологическими теориями. Опираясь на изложенные выше свойства коллективных состояний, в [143] (см. также [21]) было доказано, что в феноменологических подходах игнорируется многомерное пространство, в котором действуют операторы группы Ou-Vl и тем самым нарушается принцип Паули (см. литературу, указанную в заключительном разделе).

Выше уже было подчеркнуто, что в настоящей главе обсуждается коллективное слагаемое упрощенного гамильтониана (1.5). Выражения, позволяющие получить полный коллективный гамильтониан, содержащий обменные силы и слагаемые векторных и тензорных взаимодействий, будут приведены в § 18. Наличие этих сла- 48

гаемых обусловливает эффекты, не известные в феноменологических теориях. В частности, спектр полного оператора НсоП для четночетных ядер намного богаче спектра феноменологического гамильтониана. Этот оператор также обладает хорошо развитым спектром чисто коллективных возбуждений в случае нечетных и нечетно-нечетных ядер. Литература, в которой приводится обсуждение и качественный анализ свойств спектра общего коллективного гамильтониана ЯС01ь указана в заключительном разделе книги.

Коллективный гамильтониан с сильно ограниченной динамикой. В зависимости от потенциалов двухчастичного взаимодействия спектр микроскопического коллективного гамильтониана Ясоц может принимать непрерывные, непрерывно-дискретные или. чисто дискретные значения. В случае реалистических потенциалов трудно решить уравнение Шредингера для Ясоц. Поэтому целесообразно предварительно проанализировать свойства состояний упрощенного коллективного гамильтониана. В [142, 143] было предложено упростить Ясо11, разлагая его в {/„^-неприводимый ряд, в котором в качестве первого слагаемого выступает {/п_1-скалярный оператор Яо сон- Группа Оп-1 является подгруппой группы Un-^ следовательно, Un-X сложнее группы Оп_^ поэтому Яп-1-скалярный оператор Яосоп обладает более простой структурой по сравнению с Оп-1-ска- лярным оператором Ясоц.

Запишем разложение Ясоц в {/n-i-неприводимып ряд в виде Ясоц = Яосоц + 2-®хо(оь(4-2)

х0

где Я0СО11 — искомое {/„-i-скалярное слагаемое коллективного гамильтониана, а Хо обозначает {/п-1-неприводимое представление, содержащее Оп-гСкаляр (0). Используя понятие ограниченных операторов, слагаемое Я0Соп можно трактовать как Ясоц, ограниченное на подпространство ^EnLX\ характеризуемое {/„-^неприводимым представлением Е. Аналогично неприводимому представлению со ортогональной группы On-t1 маркировку Е при ^ ^ 4 следует понимать как сокращенное обозначение Е = \EVE2E^ содержащее три целых неотрицательных числа Et1 Е2, E3l удовлетворяющих условиям Е^ Е2^ Ез; при п = 3 маркировка Е обозначает упорядоченную пару двух чисел, т. е. Е = [ДЯг]. Подробный смысл таких обозначений будет объяснен в п. 8.4 и 14.4.

Учитывая сохраняемые интегралы движения со и Я, запишем формулу (4.2) в виде

+ (4.3)

(Е'солЬХ)(Е'солЬХ)где Н'^ обозначает все слагаемые оператора Ясон, не являю- щиеся {/п-i-скалярами. Разложению (4.3) соответствует следующее разложение пространства J?(WJlbX):

(Е'солЬХ)

(Е'солЬХ)

(4.4)

Подпространства, входящие в прямую сумму (4.4), реализованы

4 в. В. Ванагас49

через (/„-гнеприводимые базисы, которые, как выяснится в п. 15.4, являются квадратично интегрируемыми функциями. Поэтому при такой реализации пространство ^w:xLX^ является гильбертовым пространством.

Гамильтониан Я0Соп будем называть коллективным гамильтонианом с сильно ограниченной динамикой. Определим коллективную модель с сильно ограниченной динамикой как модель, задаваемую уравнением Шредингера для Я0Сои. Спектр Я0со1ь порожденного упрощенным гамильтонианом (1.5), не зависит от ш и X, т. е. ^ocoii =^0 0011 (^ЯлЛ). Можно конкретизировать разложение (4.2) и построить гамильтониан Я0Соп в координатном или матричном виде. Последнее представление более естественно, ибо матрица гамильтониана Я0Соп в базисе, характеризуемом (/„^-неприводимым представлением Я, является конечной матрицей. Поэтому уравнение Шредингера для коллективного гамильтониана с сильно ограниченной динамикой решается путем диагонализации конечной матрицы, а, следовательно, собственные функции оператора Я0Сои выращаются в виде конечной суммы базисных функций Ф^ЯолЛЖХц), реализующих пространство ^EtonLX\ Иными словами, уравнение Шредингера (2.7) для гамильтониана Я0Сои решается точно. Эти вопросы, а также свойства спектров общего сильно ограниченного гамильтониана Я0СО1ь порождаемого полным гамильтонианом ядра, обсуждаются в работах, ссылки на которые приведены в п. 18.5. В § 24 [143] указано приближение, в котором коллективная модель с сильно ограниченной динамикой упрощается до модели Эллиота [117, 118].

Антиколлективные эффекты. До сих пор обсуждались лишь коллективные степени свободы и соответствующие им гамильтонианы ЯСо11 и Яо сон. Эти формы движения, несомненно, играют важную роль в объяснении структуры ядер. Однако недостаточно учитывать только их — анализ опытных данных показывает, что в действительности картина строения ядра более сложная и наряду с коллективными необходимо принимать во внимание и другие эффекты. В [142] было указано на существование эффектов, прямо противоположных коллективным; они были названы антиколлек- тивными эффектами.

Понятие антиколлективных эффектов основывается на следующих качественных соображениях. При выделении из Я коллективного гамильтониана Ясоц оператор Я усредняется, грубо говоря, по индексам t переменных Якоби р/. Эти индексы, нумерующие многочастичные степени свободы, преобразуются операторами группы Оп-1 (см. формулы (3.1) и (3.2)). Поэтому усреднение по t при выделении О^-скалярного слагаемого Ясоц из Я замораживает эффекты, связанные с многочастичным составом ядра, и тем самым раскрывает картину коллективного движения в трехмерном пространстве.

Аналогичное, но еще более сильное замораживание имеет место при выделении (/„_гскалярного слагаемого Я0соц оператора Ясо11. 50

При учете коллективных степеней свободы исследуется лишь одна форма движений, но упускаются из вида эффекты, связанные с многочастичной структурой атомных ядер. Эти эффекты можно принять во внимание, усредняя оператор Н по декартовым индексам, оставляя нетронутыми многочастичные индексы. Тогда как бы меняются ролями п — 1-мерное пространство, размерность которого задается числом частиц, и 3-мерное пространство, в котором реально двигаются составные частицы ядра. При таком усреднении подавляются коллективные степени свободы и раскрываются противоположные, антиколлективные свойства.

Антиколлективные эффекты необходимо учитывать уже в нулевом приближении, прибавляя к гамильтониану Ясоп либо Я0Со1) антиколлективное слагаемое Яапмсоп. Тогда имеем модельный гамильтониан

Яо = H^f? + ^anticolb (4.5)

где в качестве Го берется со либо Я; в последнем случае вместо Ясон пишем Яосоп- Оператор Яапмсоп можно определять по-разному (подробности см. в [142, 143, 21, 148, 149]). Остановимся лишь на простейшем варианте, когда для построения Яаписоп используется унитарная группа, а его выделение из Я осуществляется по изложенной в п. 2.2 общей схеме построения моделей с ограниченной динамикой.

Как и при выводе Ясоп или Я0Со1ь найдем группу, подходящую для выделения антиколлективных эффектов. Для этой цели воспользуемся аналогией с уже рассмотренными задачами. В коллективной модели с сильно ограниченной динамикой замораживание по частичным индексам было осуществлено построением C/n_t-cKa- лярного гамильтониана Я^оП* Меняя ролями п— 1 ^мерное и 3-мерное пространства, антиколлективный гамильтониан Я^^соп определим как Яз-скалярную часть гамильтониана Я.

Дальнейшие рассуждения соответствуют общей схеме построения ограниченных операторов. Пусть Го обозначает Я3-неприводи- мое представление Е'. Его маркировка при п > 4 дается символом

е’=[£№;],

содержащим три целых неотрицательных числа Е^ Е^ Е^ удовлетворяющих условиям Ех^Е^^Е^ в случае м = 3 имеем Ez = [Е^Е^ с Ei>E$. Из-за специфических свойств, которыми обладает гильбертово пространство, реализованное через Un-r и Яз-неприводимые подпространства (более подробно эти вопросы будут освещены в п. 14.4, 15.3), числа, маркирующие Е\ совпадают с числами, маркирующими ранее обсуждавшиеся ^/Tt-i-неприводимые представления Е; поэтому вместо Ег можно писать Я и, в силу сказанного, маркировка Е = \Е^ЕгЕ^ при п > 4 либо маркировка Е = [Я^] при п = 3 также задает и Я3-неприво- димое представление, сохраняемое гамильтонианом Ярусов*

Добавляя к Ноanticoii сильно ограниченный коллективный гамильтониан, получаем оператор

= Я^ц + Я^^п,(4.6)

который будем называть гамильтонианом с сильно ограниченной дицамикой. Гамильтониан (4.6) сохраняет Е, которое, как уже было объяснено, маркирует как 1)^-, так и Я3-неприводимые представления. Матрица гамильтониана (4.6) в (Яп_! X U3)-неприводимом базисе является конечной, поэтому аналогично случаю Я0Соп решения Ч^#) уравнения Шредингера (2.7) для гамильтониана (4.6) выражаются как конечная сумма вида (2.8) для базисных функций, характеризуемых (Un-i X U3)-неприводимыми представлениями Е; детальное описание такого базиса приведено в § 15. Сказанное означает, что уравнение Шредингера для гамильтониана (4.6) решается точно, что существенно облегчает изучение состояний и спектра гамильтонианов с сильно ограниченной динамикой. Более сложная, но зато и более богатая модель, учитывающая как коллективные, так и антиколлективные эффекты, задается гамильтонианом

= Н^и 4- Я&соп,(4.7)

в котором по сравнению с (4.6) Яд сои заменено на Ясон- Уравнение Шредингера для оператора (4.7) ненамного сложнее урав-

Я

((д) . . . coll-

Присутствие антиколлективного слагаемого обусловливает зависимость собственных значений операторов (4.6) и (4.7) от перестановочной симметрии, т. е. 8й = ^Q(nnEL^) для (4.6) и ^0 = = ^о(^я(о1/Х) для (4.7); вспомним, что из-за замораживания эффектов, связанных с многочастичной структурой ядра, зависимость от X в спектрах упрощенных коллективных гамильтонианов Ясон и Я^соп, выделенных из (1.5), была потеряна; это и явилось одной из причин необходимости учета антиколлективных эффектов. Общий анализ свойств состояний гамильтонианов (4.6) и (4.7) и некоторые численные результаты, позволяющие судить о роли микроскопических коллективных и антиколлективных эффектов при описании свойств атомных ядер, можно найти в [143, 38, 39, 149]. Техника построения матрицы этих гамильтонианов изложена в § 18.

Подчеркнем следующее существенное различие между собственными значениями оператора Ясоц или (4.7) и собственными значениями соответствующих им упрощенных операторов Я0Соп или (4.6). В зависимости от формы потенциалов двухчастичного взаимодействия собственные значения ^Coii (^шЬ) для Ясоц либо ^o(^no)LX) для (4.7) могут принимать как дискретные, так и непрерывные значения, тогда как независимо от свойств двухчастичного потенциала собственные значения SQ cou (ялЕЛ) для Я0Соп либо ^в(плЕЛХ) для (4.6) всегда дискретны. Дискретизация спектров гамильтонианов с сильно ограниченной динамикой обусловливается 52

реализацией пространства состояний через квадратично интегрируемые базисные функции.

Сравнение традиционных и нетрадиционных моделей ядра. Еще раз вернемся к вопросам, затронутым в п. 2.2, и обсудим в крупном плане различие между традиционными и нетрадиционными применениями алгебраических методов к изучению структуры атомных ядер. В традиционном подходе теория групп используется для построения базисных функций, входящих в разложение (2.5), на которых вычисляется и диагонализируется матрица гамильтониана, составленная из матричных элементов (2.6). Базисные функции принято называть модельными функциями, реализуемое ими пространство — модельным пространством. Из-за сложности волновой функции ядра в ее разложении по базисным функциям удается учесть лишь незначительное их число по сравнению с полным базисом пространства 31. Иными словами, практически используемые модельные базисные функции реализуют лишь небольшую часть пространства, в котором действует гамильтониан ядра. Поэтому смысл и ценность традиционных моделей, а также полученных на их основе численных результатов в значительной степени зависят от структуры используемого модельного базиса. Среди различных базисных функций, встречающихся в теории ядра, видное место занимают функции с алгебраической структурой, т. е. функции, преобразующиеся по неприводимым представлениям определенной группы G.

Вспомним отмеченное в п. 2.2 существенное различие между традиционными и нетрадиционными моделями ядра. Если в традиционных моделях рассматривается матрица полного гамильтониана в определенном базисе и задача решается в диагональном приближении по выбранному модельному квантовому числу Го, то в нетрадиционном подходе меняется роль оператора и соответствующих ему квантовых чисел. Вместо того чтобы данному оператору Н приписать приближенные интегралы движения и таким образом стройть традиционную Г0-модель ядра, в нетрадиционном подходе для выбранного Го из Н проецируется сохраняющий его оператор #(г°\ и тем самым выводится динамическое уравнение (2.7), описывающее эффекты, соответствующие выбранному дополнительному интегралу движения. Приближенные и, по существу, не контролируемые квантовые числа традиционных Г0-моделей являются точными квантовыми числами нетрадиционных Г0-моделей. Другими словами, процедура усреднения на модельном пространстве 5?^ не проецирует в точном смысле этого слова физические эффекты, тогда как ограничение Н на пространстве 31^^ проецирует эти эффекты. Поэтому качество результатов, получаемых в рамках нетрадиционных моделей, гораздо выше качества результатов традиционных моделей.

Можно возразить, что нетрадиционные Г0-модели уступают традиционным, так как в них учитывается лишь первое слагаемое операторного ряда (1.1), например HWQ в (3.3) либо коллективное

и антиколлективное слагаемые оператора Н, определяющие модельные гамильтонианы (4.6) или (4.7). Ответ на это возражение состоит в следующем. Разумеется, гамильтонианы нетрадиционных Го^моделей не исчерпывают всего богатства свойств системы, заложенных в Я, однако эти свойства из-за сложности проблемы многих тел в квантовой механике не удается исчерпать, поэтому при оценке достоинств и недостатков той или иной модели следует сравнивать не только используемые операторы и корректность приближений, но и пути их уточнения.

Исходные предпосылки моделей обоих типов и их корректность уже обсуждались, поэтому сразу перейдем ко второму вопросу. Существует лишь один способ уточнения традиционных Г0-моделей, заключающийся в учете не диагональных по Го матричных элементов. При таком усовершенствовании теории обнаруживается, что число недиагональных элементов и сложность расчетов настолько быстро возрастают, что нет надежды получить убедительные доказательства сходимости результатов при расширении модельного пространства. За исключением простейших случаев практически всегда приходится заканчивать расчеты на этапе, когда чрезмерная сложность оператора не согласуется с использованием чересчур узкого базиса.

Нетрадиционные Г0-модели предоставляют больше возможностей для выбора путей их уточнения. Можно зафиксировать модельное пространство и, например, рассматривать диагональное по Го приближение, шаг за шагом учитывая число слагаемых разложения (1.1); примером этого ряда служит Оп-Гнеприводимое разложение (3.3).

При учете всех слагаемых операторных рядов решается задача, эквивалентная традиционной Г0-модели. Более привлекательно, однако, обрывать операторный ряд на некотором слагаемом и изучать степень нарушения квантового числа Го, сохраняемого модельным гамильтонианом Я^го). Тогда появляется возможность решать согласованную задачу, в которой по мере увеличения размерности модельного пространства усложняется и оператор, нарушающий квантовое число Го. Из-за сложности задачи опять приходится остановиться на определенном слагаемом операторного разложения и определенной размерности модельного пространства, однако из сказанного вытекает, что пути уточнения нетрадиционных Г0-моделей являются более гибкими по сравнению со способом уточнения традиционных Го-моделей. Как правило, учет поправок к моделям многочастичных квантовых систем является сложной задачей, поэтому успех нетрадиционных Г0-моделей в большой степени зависит от правильности выбора первых слагаемых операторных рядов.

Обсуждение традиционных и нетрадиционных моделей ядра закончим следующим замечанием. Основная идея вывода нетрадиционных моделей ядра была сформулирована на языке ограниченных операторов, действующих внутри заданного пространства 5?(г°\ Эта несколько абстрактная формулировка является общей и включает

в качестве частного случая метод ограничения операторов путем выделения их G-скалярных слагаемых. Именно такой способ ограт ничения в основном и обсуждался в настоящей главе, поэтому уместно напомнить другой путь ограничения Я, о котором уже было упомянуто в п. 2.4. Там на примере гамильтониана (2.34) был продемонстрирован способ ограничения операторов по отношению к квантовым числам Го группы G, основанной на разложении физических операторов через операторы группы. Из теории групп известно, что операторы группы, в частности мультилинейные формы инфинитезимальных операторов, сохраняют ее неприводимые представления даже в тех случаях, когда эти операторы не являются G-скалярами (см. разъяснение формул (2.34) и (2.35)). Поэтому операторы физических величин, разложенные через полиномы, зависящие от операторов группы G, являются операторами, ограниченными на подпространствах, маркируемых неприводимыми представлениями этой группы. Такой способ построения гамильтонианов с ограниченной динамикой более близок к традиционному подходу и позволяет с помощью полного операторного базиса в ^(г°) строить матричное представление (2.6) гамильтониана Н. Такие разложения используются в так называемых симплектиче- ских моделях ядра, которым посвящен обзор [148].

Одночастичное и двухчастичное изоспиновые пространства

Ядро как двухкомпонентная система. Экспериментально установлено, что в природе существует или может быть искусственно образовано свыше двух тысяч трехсот атомных ядер — двухкомпонентных квантовых систем, состоящих из п частиц, в состав которых входят пр протонов и пп нейтронов; число п = пр + пп называется массовым числом). Значительная часть этих систем стабильна или долгоживуща, т. е. обладает макроскопическим временем жизни, исчисляемым минутами или более. Законы природы ограничивают возможность существования ядер с большими тц в окружающем нас мире, включая лабораторные условия, массовое число п не намного превышает 260.

Атомные ядра являются системами с тонко сбалансированным числом протонов и нейтронов. Наряду с тц протонно-нейтронный состав ядер удобно характеризовать числом Мт = (пп — Пр^/2, удвоенное значение которого дает избыток нейтронов над протонами. Часто используется Мт с противоположным знаком. Приведенное определение удобно тем, что в природе преобладают нейтронно-избыточные ядра, для которых проекция изоспина Мт положительна.

Обсудим возможные значения Мт с точки зрения существования стабильных или долгоживущих ядер. Периоды полураспада неста-

бильных ядер исчисляются долями секунд, секундами, часами, месяцами, годами и даже тысячелетиями. Критерии, по которым можно судить, насколько стабильно данное ядро, могут быть различными, и не будем их уточнять. Для общего представления возьмем ядра, энергия связи которых измерена, отложим на оси абсцисс общее число частиц п. на оси ординат — 2МГ и для данного га отметим точками ядра с наибольшим и наименьшим значениями Л/г. Такая диаграмма, составленная по данным [72], приведена на рис. 5.1. Изображенные на этом рисунке сплошные линии имеют отношение к классификации разрешенных принципом Паули значений о). Отсылая за подробностями к литературе, указанной в

Рис. 5.1. Зависимость протонно-нейтронного состава ядер от п и Мт

п. 4.1 и в заключительном разделе, в которой, в частности, объясняется смысл Eomin, сосредоточим внимание на особенностях, обусловленных нейтронно-протонным составом ядер.

В ядрах с числом протонов, превышающим число нейтронов, величина Мт отрицательна. Для таких ядер, показанных на рис. 5.1, общее число частиц п не превышает 50. Нулевое значение Мт означает, что число нейтронов равно числу протонов; это имеет место в случае п, достигающего 60. При п > 60 нулевые значения Мт для долгоживущих ядер становятся невозможными, пп всегда больше пР1 Мт с ростом п возрастает, принимая лишь положительные значения, и достигает значения Мт = 27 в случае изотопа урана 238U с числом частиц тц равным 238, и числом протонов пР1 равным 92. В качестве примера, опять по данным [72], приведем возможные интервалы значений Мт; для га =100 Мг=10, 9, ..., 3; для п = 250 Мт = 29, 28, ..., 24. Такие значения свидетельствуют о том, что njnp примерно равно 1,5-5-1,1 для ядер с п ~ 100 и достигает значения 1,6-5-1,5 в области ядер с п ~ 250. Для ядер с четным п значение Мт является целым, а с нечетным п — полуце- лым числом.

Обсуждая свойства атомных ядер, удобно говорить о легких, средних и тяжелых ядрах. В литературе, однако, на этот счет нет установившихся традиций, и разные авторы вкладывают различный 56

смысл в эти понятия. Поэтому по величине массового числа п введем несколько условное разделение ядер на легчайшие или малонукЛонные, легкие, средние и тяжелые ядра. Значения массовых чисел каждого типа ядер приведены в табл. 5.1, где также указано

Таблица 5.1. Области легчайших, легких, средних и тяжелых ядер

EqОбласть значений п

Название ядер

00 < п ^ 4

Легчайшие (малонуклонные) ядра

14 < п С 16

216 < п < 40

Первая область легких ядер Вторая область легких ядер

340 < п < 80

480 < и < НО

Первая область средних ядер Вторая область средних ядер

5140 < п ^ 224

6224 < п < 336

Первая область тяжелых ядер Вторая область тяжелых ядер

разделение легких, средних и тяжелых ядер на первые и вторые области. Числа, определяющие эти области, получены с помощью условий

*3~8о(8о + Л(8о + 2)<п^ —(80 + 1)(8о + 2)(ео + 3), (^*1)

в которых 8о = О, 1, ..., 6. Неравенства (5.1) использованы для построения сплошных линий на рис. 5.1.

Изоспиновые состояния нуклонов. Атомные ядра являются особыми многочастичными квантовыми системами. Специфика проблемы многих тел в теории ядра в первую очередь обусловлена его протонно-нейтронным составом и свойством взаимодействия между частицами. Эти факторы обусловливают геометрические особенности структуры ядра, о которых уже шла речь в п. 3.1. Входящие в состав ядра элементарные частицы — протоны и нейтроны — являются фермиевскими частицами, т. е. имеют собственный спин s, в единицах Й равный 1/2. Численные значения Й, электрического заряда протона, а также массы протона и нейтрона были приведены в п. 1.2. Кроме этих характеристик протон и нейтрон обладают магнитными моментами цр и цп, отношение которых к ядер- ному магнетону ц0 дается безразмерными величинами цр/ц0 = = 2,79270 и цп/цо =-1,91316.

Различия в основных характеристиках протона и нейтрона обусловливают неидентичность этих элементарных частиц. Поэтому атомные ядра не являются системами, состоящими из тождественных частиц. Имеются, однако, убедительные экспериментальные данные, свидетельствующие в пользу того, что протону и нейтрону следует приписать дополнительную степень свободы, трактуя их как два различных зарядовых состояния одной элементарной частицы — нуклона. Кроме обычного спина $ и его z-проекции msi нуклону приписывается второй спин т, равный 1/2, называемый изо-

спином, с z-проекцией тХ1 принимающей значения ±1/2. С математической точки зрения изоспин тождествен обычному спину. Физический же смысл его иной. По определению считается, что состояние нуклона с тХ1 равным ±1/2, есть нейтрон, а состояние с тХ1 равным —1/2, есть протон. Следовательно, общая проекция изоспина Мг для ядра, состоящего из пп нейтронов и пр протонов, дается выражением 2ЛГг = пп — пр.

Для ядра, состоящего из определенного числа протонов и нейтронов, проекция изоспина является константой. Это значит, что, когда речь идет об изолированном ядре и не рассматриваются процессы взаимного превращения протонов и нейтронов, Мт является сохраняющимся квантовым числом, т. е. интегралом движения. Хотя изоспиновые степени свободы и позволяют рассматривать протоны и нейтроны как два разных состояния одних и тех же фермиевских частиц — нуклонов, такая трактовка является приближенной, ибо целый ряд физических характеристик (электрический заряд, магнитный момент, масса) протона и нейтрона различны. Поэтому введение понятия изоспина в теорию ядра может быть оправдано лишь в том случае, если ядра с одинаковым числом нуклонов, но различающимся числом протонов и нейтронов (такие ядра называются изобарами) имеют сходные свойства. Сходство свойств изобаров обнаруживается при анализе экспериментальных данных. Однако на них останавливаться не будем; на данном этапе изложения достаточно лишь знать, что изоспиновый формализм помогает описать в изящной математической форме свойства частиц ядра, в том числе так называемую изотопическую инвариантность ядерных сил.

Анализ опытных данных нуклон-нуклонного рассеяния и результатов других экспериментов позволил установить, что ядерные силы между протон-протонной, протон-нейтронной и нейтрон-нейтрон- ной парами одинаковы, т. е. не зависят от сорта взаимодействующих частиц. Состав пары частиц, участвующих в процессе рассеяния, задается значением z-проекции их общего изоспинового момента. Следовательно, утверждение, что взаимодействие не зависит от MTl означает, что оно является скаляром по отношению к преобразованиям группы SU$\ операторы которых действуют в изоспиновом пространстве. Образование же скаляров из таких операторов — это хорошо определенная простая математическая задача, решение которой, кроме основной цели — описания гамильтониана ядра, может послужить также примером построения операторного базиса. Эта задача и будет рассмотрена в остальных пунктах настоящего параграфа.

Одночастичные изоспиновые функции и операторы. С математической точки зрения спиновые и изоспиновые функции и операторы идентичны, поэтому определенности ради будем рассматривать лишь последние. Обсуждение начнем с одночастичных изо- спиновых функций и действующих на них изоспиновых операторов.

Одночастичные изоспиновые функции

Ф(1/2, mT|^) = 6(mT, ^), (5.2) 58

нумеруемые квантовым числом тх = ± 1/2, зависят от изоспиновой переменной £т, принимающей значения ±1/2. Компоненты функции (5.2) с обоими значениями тх образуют базис в двумерном пространстве, который обозначим через ^х\ где т = 1/2. Произвольные операторы, действующие внутри пространства 91^^ можно представить в виде двумерных квадратных матриц. В свою очередь, любая двумерная матрица может быть разложена через четыре базисные матрицы, причем если пользоваться комплексными коэффициентами разложения, то, не теряя общности, можно предположить, что базисные матрицы вещественны. Разумеется, выбор базисных матриц неоднозначен. Можно, например, взять следующие четыре матрицы:

3 И ОА ~ /0 1А 7 _fOOA 7 /О ОА

•'ll — Оу7 ^12 \0 0/’ ^21 ~ \1 Оу7 ^22 — 1у7 v0,0/ матричные элементы которых записываются в виде ^18)а = — ^(li)^(sj), где индексы t, s нумеруют базисные операторы, а индексы I, у являются матричными индексами для каждого оператора Jts. Индексы t. s, I. ] пробегают независимо значения 1 и 2. Приведенная запись удобна тем, что, полагая t, s = 1, 2, ..., г и i, 7 = 1, 2, ..., г, получаем обобщение на случай г2 базисных операторов Jts r-мерного пространства.

Встречаются задачи, для которых операторный базис (5.3) является самым удобным. Однако для наших целей целесообразно перейти к другим операторам— единичному оператору т° = /ц + J^ натрем операторам Паули т^Дг + Лп т2 = —ЦДг — Ли), т3 = = /и — Лг. Матричное представление новых операторов, получаемое из (5.3), является стандартным и широко используется в квантовой физике. Если положить 2t = т = е^1 + е2т2 + е3т3, где е1т еа, е3 — декартовы орты трехмерного пространства, то, пользуясь матричным представлением для т8, легко проверить, что компоненты Is векторного оператора t удовлетворяют коммутационным соотношениям (1.9) компонент углового момента L8 в декартовом базисе. Образуя их линейные комбинации, получаем компоненты t^ оператора одночастичного изоспинового момента, аналогичные L^ использованным в (2.25). ~

Операторы Л3(£, s = l, 2), либо т°, т8 (s=l, 2, 3), либо т°, t} (v = 0, ±1) действуют внутри пространства 9^х\ Одночастичные изоспиновые функции (5.2) характеризуются сферическим базисом, поэтому удобно подвергнуть их действию операторов ^. Разлагая ^Ф(1/2, т^ через функции (5.2), получаем линейные комбинации исходных функций с коэффициентами, задаваемыми матричными элементами (2.25), в которых I и V приняты равными 1/2.

В качестве полного операторного базиса в пространстве 9lw можно взять любой из четырех перечисленных наборов операторов: четыре оператора (5.3) или единичный оператор т° и три оператора Паули либо три компоненты t в декартовом или сферическом

базисах. Ради определенности возьмем операторы Паули. Легко проверить, что они удовлетворяют соотношению

т feiT = Ч°6 (к^) + i 2(5.4)

где ел^^—тензор, уже встречавшийся в (1.8), а к^ к2, к независимо принимают значения 1, 2, 3. Формула (5.4) показывает, что произведение двух операторов Паули выражается через их линейную комбинацию, следовательно, и произведение любых их степеней также линеаризуется. Поэтому любая мультилинейная форма операторов Паули выражается через четыре базисных оператора, т. е. существует разложение

Ъ1 Ь2 \-

2 2 2 (т1)”1 (т2)Р2 (т3)Рз аррр = Лот° + Л^1 + Л2т2 + Л3т3. Р1=° Р2=0 р=0

(5.5)

В (5.5) численные коэффициенты А однозначно задаются коэффициентами архр2р3 мультилинейной формы и числами b^ b2l b3. Согласно (5.4) четные степени оператора Паули дают единичный оператор. Это упрощает степени операторов и позволяет легко найти правую часть выражения (5.5).

Из-за малой размерности пространства №х) операторный базис в нем очень прост. Перейдем к изучению более сложного операторного базиса двухчастичного изоспинового пространства.

Операторный базис в двухчастичном изоспиновом пространстве. Начнем изучение операторного базиса в двухчастичном изоспиновом пространстве с обсуждения изоспиновых функций двух частиц. Возьмем произведение функций i-й и у-й частиц и образуем с помощью коэффициентов Клебша — Гордана следующие их линейные комбинации:

Ф((1/2 Ц^ТМт\^^-

- 2 Ф(1/2,тпт^ч)Ф(1/2,тт^ъ-)^^(5.6)

Прямое произведение базисов двумерных пространств 91 и 9с с Тг=Т)=1/2 при образовании линейных комбинаций (5.6) разлагается на прямую сумму З^-неприводимых базисов с 71 = 0,L Разложение пространства запишем в виде

^(1/2> X9^w = ^w 4-^(1)(5.7)

и найдем полные наборы операторов, действующих внутри одномерного 91^ и трехмерного J?(1) пространств. Полученный базис, состоящий из десяти операторов, будет пригоден для разложения произвольных диагональных по Т операторов.

Возьмем операторы изоспинового момента t для i-й и у-й частиц, обозначим их соответственно t(i) и t(y) и введем вектор двухчас- 60

тичного изоспинового момента Т(г, 7) = t(f) + t(7) . Операторный базис построим из сферических компонент вектора T(f, 7). Обозначим их Ту, образуем мультилинейную форму от Т^ и запишем разложение

^1^2^3

2 2 2 (^1),‘(r;),4?L1ri«,1„„,-2^„. <з.8>

Р1=° Р2=0 Р3=0Р

В (5.8) лр обозначает полный набор искомых изоспиновых операторов, подлежащих определению. Как и в случае (5.5), знак равенства в (5.8) следует понимать в смысле равенства всех матричных элементов на базисе функции (5.6). Иными словами, разложение (5.8) означает, что

Ь1 Ь2 Ь3

2 2 2 <(i/2 i/^n/TKr^fV^^CrLO^Ici^ wm^x Р1=0 Р2—О Р3~О

X «Р1Р2Р3 = 2 Л <(1/2 WMt | Лр I (1/2 WM?) (5.9)

для всех Т, Мт и Мт* В (5.9) учтена диагональность по Т, вытекающая из выражения матричного элемента (2.25). Как и в (5.5), коэффициенты Ар в (5.8) не зависят от Г, МТ1 Мт и однозначно задаются коэффициентами йр1р2р3 и пределами суммирования ^17 ^2Т Ь3.

При Т = 0 матрицы операторов лр одномерны, а при Т = 1 — трехмерны, поэтому в правую часть выражения (5.9) входят десять матричных элементов, не равных нулю. Это и есть число базисных операторов. Возьмем единичный оператор 1, три компоненты 7 у двухчастичного вектора Г(г, 7е) и найдем шесть остальных. Их можп «^образовать из линейных комбинаций произведения операторов Т^ Т1^. Разумеется, проще всего иметь дело с неприводимыми операторами, поэтому линейные комбинации образуем с помощью коэффициентов Клебша — Гордана. Имеем

?((ll)&v) = 2 ^(i,/)^^/)^^^.(5.10)

V1V21

Анализ выражения (5.10) удобно осуществить, используя коммутационные соотношения

[^,= -/2С^^^,

_ v.(5.11)

( Г1 г1 I — т1Г1 V 1 °

I t, V^V2 "T—2— ^V1 v2 °’

справедливые для операторов произвольного углового момента Jv- Непосредственная проверка ведет к равенству ./2r((ll)lv) = -^,

61

которое указывает, что новыми могут быть лишь операторы (5.10) с_ к = 0,2. Подставляя в (5.10) значение к = 0, получаем УЗ Т( (11)00) = —Т2. С другой стороны, учитывая, что собственное значение t2 равно 3/4, получаем выражение 2Т2 = 3 + 4(Г(г) •!(/)), из которого видно, что существенное слагаемое оператора Т2 есть скалярное произведение векторов t(Z) и t(/). Часто вместо Т2 удобно применять оператор

= 4" О + 4 № -‘(Ж(5.12)

связанный с Т2 соотношением р^ + 1 = (Т (г, /))2.

Используя (5.11) и свойства симметрии коэффициентов Клеб- ша—Гордана, оператор (5.10) с к = 2 можно представить в виде

Т^ (;, /) = Т ((И) 2v) - 2 2 Ч (0Ч (/)(5.13)

V1V2

При v = 0 из (5.10) получаем

^ G, 7) = - -А- ((Т (i, у))2 - 3 (П (i, ПУУ (5.14)

где пользуемся введенным в (5.13) сокращенным обозначением Л-

Построенный операторный базис состоит из десяти операторов Ш rUMY(5.15)

Убедиться в том, что эти операторы являются независимыми, можно, рассматривая их матричное представление на базисе функций (5.6). Операторы 1 и р^ являются 5С/2-скалярами, поэтому их матрицы диагональны по Т и Мт и не зависят от Мт. Диагональ

ные элементы этих матриц различны — единицы для 1 и (—1)т+1 для р^\ что и обеспечивает независимость операторов 1 и р$. Матрицы остальных восьми операторов 7^ и Т^ вследствие их инфинитезимальной структуры, диагональны по Т. Неприводимые

свойства этих операторов обеспечивают их независимость.

Построенный операторный базис позволяет записать правую сторону разложения (5.8) в виде

2 АрКр — Л01 + Ацр^ + 2 Av^v (^ /) + 2 А^ (г, у). (5.16) рVV

Используя матричное представление базисных операторов, получаем следующее представление оператора (5.16):

/(1/2 1/2)7’Л/т|5^р|(1/2 W'Mt^-

= 6 (ТГ) (б (мтм'т) ло + 6 (МгМт) (- 1)г+14 -

(5.17)(5.17)-/2УамС1Т,т +1/42AvC2T,t У

(5.17)

(5.17)

* ЧМТМТ г 3 v vMTMTr

применимое для Т = 0,1. Слагаемым в (5.16) соответствуют их матричные элементы в (5.17).

Полученные 5С72-неприводимые разложения в операторном (5.16) или матричном (5.17) виде удобны для анализа операторов, действующих в 9?5Т\ Подставляя, например, в (5.17) выражения коэффициентов Клебша — Гордана, получаем явную зависимость матричных элементов от квантовых чисел Т. Мт, Мт* Доказанное разложение позволяет утверждать, что для произвольных операторовг действующих в 9Р\ не существует более сложных выражений, чем (5.17).

Базисный оператор р^ допускает наглядную трактовку оператора симметрической группы, который переставляет индексы изо- спиновых переменных нуклонов. Чтобы убедиться в этом, допустим, что р^р при действии на (5.6) переставляет £ч и Ц^ Тогда имеем

Ж ((1/2 1/2) ТМг| ^т.) = Ф ((1/2 1/2) ТМг| Ц^.) =

= ^2 Ф(1/2,т^Ц)Ф(1/2,ттЩХ})С^^(5.18)

Переобозначая в (5.18) под знаком суммы индексы г, / через /, г и пользуясь свойством симметрии коэффициентов Клебша — Гордана, получаем

р^Ф ((1/2 1/2) ТМГ| 1^ = (- 1)Г+1 Ф ((1/2 1/2) ТМт| ^х.), (5.19) что и поясняет смысл р^ как оператора, переставляющего изо- спиновые переменные. Обобщая этот пример, в п. 14.3 опишем перестановочные свойства ^-частичных изоспиновых функций.

Примеры и обобщения. Полный операторный базис позволяет в обозримой форме выделить существенные черты задачи. В силу доказанного можно, например, утверждать, что операторы Т^п hT^i, Дили (т(Д • т(/)) Т7^^ Д и т. п. являются зависимыми и разлагаются через базисные операторы (5.15). Осуществить разложение этих операторов можно, развертывая их и используя коммутационные соотношения (5.11). Например, для второго из них, учитывая (5.13), имеем

(Ti • Tj) Tv (ц Д = 4 2 (— 1) 3 ^v3 (0 ^v (Д tv (г) tv (Д Cv v v (5.20) V1V2V333121 2

Записывая ^^^ в виде суммы коммутатора и антикоммутатора и используя ортогональность коэффициентов Клебша — Гордана, получаем

5г^ТХ П-ТЖ Д.(5.21)

Этот результат также можно вывести исходя из следующих соображений. Произведение 5С/2-скалярного оператора (т, • тД на опе-

63

ратор Т^ не меняет неприводимых свойств последнего. В полном операторном базисе с данным v имеется лишь один оператор с к, равным двум, поэтому оператор (5.20) должен быть пропорционален Т^ и выкладки необходимы лишь для вычисления коэффициента Л2у в (5.16), который в данном случае равен единице.

Рассмотренная конструкция операторного базиса может быть обобщена на случай более сложных неприводимых пространств S?^^ где К обозначает неприводимое представление группы G. Например, можно построить операторный базис в 2п-мерном пространстве, реализованном через ^-частичные изоспиновые функции, свойства которых будут изложены в п. 14.3. Другой пример получаем, рассматривая 4п-мерное пространство, реализованное через ^-частичные спин-изоспиновые функции, преобразующиеся по неприводимым представлениям группы U4. Структура такого базиса будет описана в п. 14.3. Уместно здесь также вспомнить операторный базис ик(1ъ дспользованный в разложении (2.35); зависимость маркирующего этот базис числа к(Д от Z, о которой шла речь в тексте, следующем за формулой (2.35), иллюстрируется выражением (5.17), в котором аналогом I является квантовое число Т.

Гамильтониан ядра

Уравнение Шредингера для ядра. Изложенные в предыдущих параграфах идеи и примеры построения микроскопических моделей ядра дают лишь предварительное знакомство с предметом. До сих пор использовался упрощенный гамильтониан (1.5), в котором игнорировались спиновые степени свободы. Поэтому и в рассмотренных модельных гамильтонианах, выводимых из Я, отсутствуют слагаемые, играющие важную роль при изучении структуры ядра. Настоящий параграф будет посвящен описанию полного гамильтониана, из которого необходимо исходить в общих построениях традиционных и нетрадиционных микроскопических моделей ядра. Перед тем как приступить к этому, сделаем несколько замечаний об уравнении Шредингера для ядра.

В п. 1.2 уже было отмечено, что микроскопическую теорию ядра будем развивать исходя из предположения, что свойства стабильных и долгоживущих атомных ядер могут быть описаны в рамках нерелятивистской квантовой теории. При низких в ядерных масштабах энергиях это общепринятое допущение обусловлено желанием строить теорию на основе хорошо проверенных динамических уравнений, описывающих атомное ядро как многочастичную квантовую систему. В основном нас интересуют свойства стационарных состояний, поэтому будем исходить из не зависящего от времени уравнения Шредингера HW=8>W1 где Н есть полный гамильтониан ядра.

Уравнение Шредингера является настолько сложным, что (за исключением малонуклонных систем) нет надежды получить приближенные, но хорошо контролируемые его решения; под хорошим 64

контролем здесь понимается количественная оценка отклонения приближенных решений от точных. Скоро увидим, что проблема осложняется еще и тем обстоятельством, что вид гамильтониана Н известен лишь в общих чертах. Он зависит от набора потенциалов, форма которых установлена весьма приближенно. Строго говоря, известна лишь структура оператора Я, что недостаточно для исследования его спектра и собственных состояний. Утверждая это, в первую очередь имеем в виду такую важную характеристику этого оператора, как свойство дискретности или непрерывности его собственных значений. На этот вопрос не удается получить определенного ответа, поэтому остается обратиться к эксперименту. Существование стабильных или долгоживущих хорошо пространственно локализованных ядер с определенными значениями п и 2MTl принадлежащих дорожке, показанной па рис. 5.1, свидетельствует о том, что по крайней мере часть решений уравнения Шредингера для полного гамильтониана ядра принадлежит состояниям дискретного спектра. С другой стороны, факт существования нестабильных ядер указывает на возможность непрерывных значений энергии S. В силу сказанного будем предполагать, что гамильтониан ядра может обладать непрерывным, непрерывно-дискретным или дискретным спектром.

Излагаемая общая теория, как правило, применима к состояниям с дискретными и непрерывными 6. Последний случай намного сложнее первого, поэтому часть материала книги будет относиться к состояниям дискретного спектра. Примеры модельных гамильтонианов, обладающих непрерывными и дискретными либо только дискретными энергиями, в упрощенном варианте теории уже обсуждались в § 4.

В рамках нерелятивистской квантовой механики гамильтониан ядра Я состоит из трех слагаемых: оператора кинетической энергии ЯА, кулоновского взаимодействия между протонами Яе и оператора взаимодействия между нуклонами Я5. Запишем Я в виде

Я = ЯА + Яе + Я, (6.1)

и приступим к изучению его отдельных слагаемых.

Оператор кинетической энергии. Первое слагаемое гамильтониана (6.1) поучительно в том отношении, что, записывая его выражение, сталкиваемся с проблемой трансляционной инвариантности. Атомные ядра представляют собой изолированные от внешних полей квантовые системы, стабильность или долгоживучесть которых обеспечивается взаимодействием их составных частиц. Поэтому в операторе кинетической энергии ядра необходимо учитывать лишь кинетическую энергию относительного движения всех протонов и всех нейтронов, а также кинетическую энергию относительного движения протонной и нейтронной подсистем.

Выражение для Нк получим следующим путем. Сначала возьмем операторы Нкр и Нкп кинетических энергий протонной и нейтронной подсистем в системах координат, отсчитанных от произвольной

6565$ В В Вана гас

65

65

точки пространства (в так называемых лабораторных системах координат). Затем выделим из Нкр и Нкп операторы НокР и НОкп кинетических энергий центра масс обеих подсистем и операторы Нкр и Нкп кинетической энергии внутреннего движения обеих подсистем. Тогда остается представить сумму НОкр и НОкп в виде суммы операторов НОк — кинетической энергии центра масс всего ядра и Нкрп — кинетической энергии относительного движения протонной и нейтронной подсистем. Запишем сказанное в виде следующих выражений: Нкр = Нокр II кр; Нки Нокп +Нкп; НОкр + UQkn Нок + + НкРп, следовательно, Нк = Нкр + Нкп + Нкрп.

Введем соответствующие переменные. Пусть ггр и rJn — одночастичные векторы для протонов и нейтронов в лабораторных системах координат (Z=l, 2, ..., пр\ / = 1, 2, ..., п^. аналогичные векторам rtp и rJg, введенным в п. 1.2. Тогда векторы R0P и ROn центров масс обеих подсистем имеют вид прКОр =2 rip и nnRon = 2 rjn, где Z=l, 2, ..., пР; / = 1, 2, ..., пп. Вектор центра масс всего ядра R0Pn дается выражением

Ropn — I (^p^pRop h ^n^nRon),(6-2)

а вектор относительного движения протонной и нейтронной подсистем RPn совпадает с (1.2), если вместо q писать индекс п. Как и раньше, обозначим через ^ipi Vjn, ^0Pl von, ^oPn и ^Рп операторы V для переменных, обозначаемых соответствующими индексами. Осуществляя выкладки, получаем

Прпр/ Т1р \ 2

(6.3)(6.3)2 ^р " ” 2 ^ip ^р)2 + ~ (2)

(6.3)

(6.3)

г=1Р г<з = 2Р \г=1 J

Квадрат суммы в скобках в последнем слагаемом в (6.3) дает Vqp, поэтому, учитывая выражение оператора импульса р = —гк^^ имеем

Hhv - 2m п .^^jp?,

(6-4)(6-4)Р Р г<Сз=2

(6-4)

(6-4)

Заменяя в (6.4) индекс р на п, получаем Нкп и HQkn. Сумма Нокр и Н^, записанная для R0Pn и Rpn, дает выражения кинетической

энергии центра масс ядра и оператора НкРп, поэтому получаем

Нок--

2 трпр Н- типн 05

Нкрп —

^2 трпр + Vn V2

2 ^р Vn рп*

(6.5)

Удобно выделить в Нк член, исчезающий при тр = т,п. С этой целью введем т и т', связанные с массами протона тр и нейтрона тп соотношениями, использованными в п. 1.2. Учитывая также выражения для НкР1 НкТИ Нкрп и беря их сумму, убеждаемся, что Нк имеет вид оператора кинетической энергии двухкомпонептных систем (1.3), поэтому (1.3) при трактовке /7-частиц как протонов и g-частиц как нейтронов дает входящий в (6.1) трансляционно-инвариантный оператор кинетической энергии ядра.

Запишем оператор кинетической энергии в нуклонных переменных. Векторы г1р,г2р, . . ., Гпрр переобозначим через г17 г2, . . ., гПрГ а векторы г1п, г2п,. .., гПпп — через гПр+1, г?1р+2, ..., гп. Найдем выражение оператора Нк в переменных Гг (1 = 1, 2, ..., п). Выкладки ведут к следующему выражению для Vpn:

ппр

V*n = -^ ^ (Vi-V,)2-^ ^ (Vi-Vj)2-

П i<j=2i<j=2

<6-6) np<i<j=^p+2

в котором Vf —операторы для гг. Используя (6.6), из (1.3) получаем

2т п .' 17'2т' п

где п = пр + пи.

Оператор (6.7) содержит как симметрические, так и несимметрические слагаемые по отношению к перестановке индексов 1, 2, ... ..., п. С помощью изоспинового формализма можно преобразовать (6.7) в симметрическую форму. Возьмем оператор T^i, j) = ^ ^о ^ + to U^ собственное значение которого равно — 1 для протонной пары, +1 для нейтронной пары и нулю, когда одна из частиц является протоном, а другая — нейтроном (сказанное означает, что Гд (i, /) — — 1 , когда i < / = 1, 2, ..., пр и т. п.). Используя оператор Тд, несимметрические слагаемые в (6.7) можно записать в следующем виде:

прп

. 2 (Vi - V;)2 -2(Vi-Vj)2=

i<j=2np<icj=np+2

= - i TUi, /MVi-Vj)2. (6.8)

i<j=2

67675*

67

67

Подставляя (6.8) в (6.7), получаем выражение для оператора кинетической энергии в нуклонных переменных

Нк = Нк + Я1°,(6.9)

где 2П

=2 (Vi-V;)2(6-Ю)

г<з=2

— оператор, уже использованный в (1.5), и

н^--^4 2 V^^-2T»^nyVi~w (6Л1)

г<з = 2 4

Первое слагаемое в (6.9), имеющее в переменных Якоби вид (1.16), не изменяется при перестановке индексов пространственных переменных. Второе слагаемое в (6.9), исчезающее при т^ = тр, симметрично лишь по отношению к одновременной перестановке индексов пространственных и изоспиновых переменных нуклонов.

Кулоновская энергия. Энергия кулоновского взаимодействия между протонами может быть записана в виде

Эквивалентность обоих выражений в (6.12) вытекает из свойств множителя

Легко проверить, что оператор (6.13) равен нулю, если хотя бы одна из i-й или /-й частиц является нейтроном. В случае протонов оператор (6.13) равен единице, следовательно, последняя сумма в (6.12) учитывает лишь взаимодействие между протонами.

Разложим ЛрР через базисные операторы, введенные в п. 5.4. Рассмотрим несколько более общий оператор, содержащий константы а0, av и а2, матричное представление которого па базисе функций (5.6) имеет вид

<(1/2 1/2) ТМТ | а0 -[ «I (lo1 (О -Но U)) "I" «2^ Wo (Й I (1/2 WMt) = = б(/ИтМт) (а^-М^ --{-(- О^вг)- (6-14)

Приравнивая (6.14) к выражению (5.17) и учитывая диагональность (6.14) по MTl получаем систему уравнений, из которой находим Ло, Ло, Л40 и Л2о и затем, пользуясь (5.16), приходим к формуле

#01 -|- ах ( Zo (i) ^о (/)) + а2^о (0 ^о (/) “

= (а0 — йг) 1 + 4" <41^ + aJo О, Й + 7^ «2^0 G, Й- (6.15)

При 4а0=^, 2^! = —1 и а2=1 формула (6.15) дает разложение оператора лРР. Подставляя его выражение в (6.12), получаем оператор кулоновской энергии

(6.16)(6.16)Не = 4 2 kV^p^-tiUlJVrV^iJ^-y^-.

(6.16)

(6.16)

записанный в su^ -неприводимой форме.

Нуклон-нуклонное взаимодействие. Явный вид операторов кинетической и кулоновской энергии ядра выводится с помощью стандартных правил квантовой механики. Слагаемое Н8 гамильтониана (6.1) не имеет классического аналога. Общий его вид был установлен в работе [116] на основе принципов симметрии в квантовой механике.

Оператор Н8 должен быть эрмитовым трансляционно-инвариантным оператором. Он также должен быть скаляром по отношению к отражению пространственных координат нуклонов, т. е. изменению знака векторов Рг и обращению времени, что соответствует операции комплексного сопряжения, меняющей знак операторов угловых моментов. Кроме того, Н8 должен сохранять квантовое число J полного момента ядра и быть симметричным по отношению к одновременной перестановке пространственных, спиновых и изоспиновых переменных любой пары частиц. Наконец, по причинам, уже объясненным в п. 5.2, гамильтониан Н8 должен быть скаляром группы su^, осуществляющей преобразование в двухчастичном изоспи- новом пространстве Я(г).

Перечисленные требования симметрии значительно ограничивают вид оператора НЧ1 однако свобода выбора все еще остается большой. Дальнейшее существенное сужение возможного класса операторов достигается при допущении, что гамильтониан Н8 представляет сумму парных взаимодействий, т. е. что отсутствуют трехчастичные, четырехчастпчные и тому подобные силы. Тогда можно записать

Hs= s Hs^n,i<j=2Hs= s Hs^n,i<j=2(6.17)(6.17)

Hs= s Hs^n,i<j=2

Hs= s Hs^n,i<j=2

(6.17)

(6.17)

где

пЛчpi —р,; s(i), s(/); t(i), Ц/)).(6.18)

В (6.18) р; — вектор оператора импульса, соответствующий вектору координат г^

Перечисленных требований достаточно для восстановления явной зависимости Hs от спиновых и изоспиновых операторов. Построение (6.18) осуществляется с помощью разложения Hs(i, j) по полному набору двухчастичных спиновых и изоспиновых операторов, рассмотренных в п. 5.4. Из-за S'[/^инвариантности нуклон-нуклон- ного взаимодействия в разложение Hs^i, j) войдут только скаляры по отношению к вращению в изоспиновом пространстве. Поэтому берем лишь скалярные изоспиновые операторы 1 и р^ и, перемно-

жая их со всеми двухчастичными спиновыми операторами, получаем следующие наборы спино-изоспиновых операторов: четыре (SU^ X SU^)-скалярных оператора

1, Д’. Д', ДД, (6.19) где р^ — оператор (5.12) для спиновых переменных, два векторных оператора

S^D, P^SKiJl (6.20)

в которых S^i, /) = sv (0 + svUV и два тензорных оператора

SUMY рЖ^П, (6.21)

где 5v(t? Л — спиновый оператор, определенный аналогично (5.13). Набор операторов (6.19) — (6.21) является полным в том смысле, что по нему может быть разложен общий двухчастичный SU^- скалярный гамильтониан Hs(i, j). Зависящие от относительных межнуклонных расстояний Г; — г, и импульсов Рг — pj коэффициенты разложения — обозначим их через V^ij^—называемые потенциалами нуклон-нуклонного взаимодействия, остаются произвольными. На V(ij) лишь накладываются условия, вытекающие из общих требований симметрии, налагаемых на оператор Н8.

Начнем со слагаемого, разлагаемого через скалярные операторы (6.19). Эти операторы также являются скалярными по отношению к отражению времени, поэтому такими же скалярами должны быть и коэффициенты разложения. Умножая каждый из операторов (6.19) на соответствующий им потенциал V^ij), складывая их и беря сумму по всем нуклонам, получаем

яс = i (fw an + vM an Pi?-\-vB an p?? vH an Ж (6.22) i<;=2

В (6.22)^введено обозначение 7^= —/4^if,поэтому член при операторе р^р^ имеет отрицательный знак. Выражение (6.22) дает гамильтониан центрального межнуклонного взаимодействия. Соответствующие ему слагаемые принято называть взаимодействиями Вигнера, Майорана, Бартлетта и Гейзенберга; три последние из них были выведены в работах [123, 130, 109].

Перейдем к обсуждению слагаемого гамильтониана Яч, порождаемого операторами (6.20). При обращении времени базисные операторы (6.20) меняют знак, а при вращении они преобразуются как компоненты вектора. Для обеспечения требуемых свойств инвариант- ности^оператора Hs необходимо взять скалярное произведение вектора S(Z, 7) и векторного оператора, меняющего знак при обращении времени. Вектор, компоненты которого — шаровые функции ^iv (г?;), зависящие от единичного вектора межнуклонного расстояния г?;, не подходит, ибо он не меняется при обращении времени. 70

Оператор углового момента

L Wj) = - i Кп - rj X (V5 - Vj)],(6.23)

компоненты которого входят в качестве слагаемых в (1.8), меняет знак при обращении времени. Поэтому, беря скалярное произведение S(Z, 7) и Ь(г^), умножая каждое из двух слагаемых, порождаемых операторами (6.20), на соответствующие потенциалы и беря сумму по всем нуклонам, получаем

я„= £ (vwiinA-v^np(i^D- (6.24)

К;=2v

Выражение (6.24) дает оператор векторного взаимодействия.

Осталось рассмотреть слагаемое гамильтониана HS1 разлагаемого через базисные операторы (6.21). Тензорные операторы (6.21) являются скалярами по отношению к обращению времени, поэтому требуемая симметрия обеспечивается свертыванием этих операторов с тензором второго ранга. В качестве последнего можно взять либо шаровые функции ^ 2v (г^)? либо компоненты оператора

1Л^ - 2(6.25)

V1V2

Первый случай дает выражение

я,= 2 ^Д1^гугД1^^^(6.26)

i<j = 2V

а второй случай — выражение

Hv= 2 ^Ц^У^^^(6-27)

г<з=2V

Операторы (6.26) и (6.27) представляют собой тензорные слагаемые гамильтониана Н8.

Выражения (6.22), (6.24), (6.26) и (6.27) исчерпывают все возможные типы слагаемых гамильтониана нуклон-нуклонного взаимодействия, удовлетворяющего требованиям, сформулированным в начале настоящего пункта. Запишем этот гамильтониан в следующем виде:

Hs = Hc + H^HtW(6.28)

В выражение для оператора (6.28) входят четыре потенциала VWl VMl Vв, VH центрального взаимодействия Яс, два потенциала Н^ Н^ векторного взаимодействия Яу и четыре потенциала V^ VtXl Vt'o, VVx тензорных взаимодействий Ht и Н^. Не известны аргументы, позволяющие утверждать, что эти потенциалы не зависят от импульсов, поэтому в общем случае каждый из них является функцией вида V (ij) = V(|rf — rj, 1рг —pj), зависящей от абсолютного значения межнуклонных расстояний и импульсов. Опираясь на аналогию с потенциалами, обычно встречающимися в квантовой механике, зачастую полагают, что V (jj) не зависит от импульсов, т.е.

V(ij) — У(1л- — rJ). В этом случае зависимость от импульсов еще остается в Ну и Н./ в виде операторов Ц, и L^. Подводя итоги, заключаем, что в общем случае гамильтониан нуклон-нуклонного взаимодействия зависит от набора десяти потенциалов указанного типа.

Гамильтонианы двухкомпонентных систем в изоспиновом формализме. Используя изоспиновые степени свободы, можно формально записать гамильтониан квантовой системы, состоящий из нескольких сортов частиц, в виде гамильтониана эквивалентных частиц. В качестве примера рассмотрим двухкомпонентную систему (она уже обсуждалась в п. 1.2), состоящую из частиц р-го и </-го сортов. Условимся коррелировать знаки собственных значений оператора Zo с типом частиц следующим образом: тх — —1/2 для р- частицы и /72г = 1/2 для ^-частицы. Оператор кинетической энергии (1.3) уже был рассмотрен и дается выражением (6.9). Потенциальную энергию (1.4) представим в виде

Пр+пд

Нр = 2 (^рр (0) лрр (О) ^gg GO ^qq Uh ^pq Uh ^pq U]h-> (6.29) i<j=2

где входящий оператор лрр приведен в (6.13), а остальные проекционные операторы определены выражениями

V ^ ^ 27о ^ 0

„<~-(6.30)

KpqUh~ (14i^0 (Z) /0 (/)).

Из (6.29) видно, что Нр не меняется при одновременной перестановке пространственных и изоспиновых индексов частиц.

Матричные элементы операторов лрр, Лдд и лР^ получаем из (6.14), а их неприводимое разложение находим из (6.15). Выкладки ведут к следующему 5U^- неприводимому выражению:

V^ppUh + ^qqUjW ^pqUh^

i<j=2

(V pp (if Vqq (if) TQ(i, f -|- (Vpp (if Vqq (if

- Wpq (if) № + /6ГО2 (Z, f)Y (6.31) обобщающему (6.16).

До сих пор подразумевалось, что VPPl Vqq и VPq зависят лишь от I ri — г, |. Выражения (6.29) и (6.31) остаются в силе, если предполагать, что потенциалы зависят еще и от относительных импульсов и спиновых переменных. Тогда

VPP(ij)^ Vpp^i-rj, pi-pj; s(Z), s(/))(6.32)

п аналогично — для Vqq и Vpq. В этом случае в гамильтониане двухкомпонентной системы со слагаемыми (6.9) и (6.29) или (6.31) можно учесть спин-орбитальные, спин-спиновые и тому подобные взаимодействия.

ГЛАВА II

ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ГРУПП

Несмотря на наличие многочисленных руководств и монографий, указать литературу, в которой доступно и сжато изложены избранные вопросы теории групп, касающиеся основного предмета настоящей книги, не представляется возможным. Этим вопросам будет посвящена вторая глава. Начнем ее с краткого напоминания основных определений, которые проиллюстрируем па примере симметрической и матричных групп. Затем перечислим основные типы компактных матричных групп и приведем явную параметризацию унитарных и ортогональных групп. Используя рекуррентный способ параметризации, объясним понятие фактор-пространства, рассмотрим функции, заданные на группе и фактор-пространстве, приведем их примеры и поясним интегрирование на компактных группах. Далее остановимся на понятии неприводимости, кратко изложим комбинаторные свойства симметрической группы, выясним роль операторов класса при маркировке ее неприводимых представлений, приведем их обозначения и опишем специальные типы неприводимых представлений, встречающихся в приложениях. Затем приступим к описанию и маркировке всех неприводимых представлений компактных матричных групп.

Продолжая главу, кратко опишем и проиллюстрируем примерами универсальную технику расчета с характерами представлений симметрической и компактных матричных групп, позволяющую найти неприводимый состав разнообразных приводимых представлений. В этой связи обсудпм сложные цепочки подгрупп, в том числе своеобразное вложение подгруппы в группу, основанное па понятии плетизма. Затем перейдем к описанию инфинитезимальных методов. Приведем координатную реализацию инфинитезимальных операторов унитарных, ортогональных и симплектических групп и изучим подалгебры, встречающиеся в приложениях. Приспосабливая алгебру инфинитезимальных операторов к решению практических задач, рассмотрим неприводимые свойства инфинитезимальных операторов и их коммутационные соотношения, используя вместо корневых диаграмм выражения структурных констант через коэффициенты Клебша — Гордана специального типа. Приведем определения операторов Казимира и выражения наиболее часто используемых их собственных значений. Кратко обсудим общие принципы построения операторного базиса, примеры которого уже были рассмотрены в гл. I.

В двух последних параграфах главы изучим функции и операторы, заданные на фактор-прострапствах ортогональных групп. Вслед за общими определениями операций правого и левого сдвига рассмотрим свойства неприводимых функций ортогональных групп и способы маркировки их базисов. Функции на группе используем для замены переменных в многомерных пространствах. Главу закончим описанием общих свойств и построением явных выражений операторов, зависящих от переменных, параметризующих фактор- пространства ортогональных групп.

Ниже приводится литература, по которой можно более глубоко ознакомиться с общей теорией групп, имеющей отношение к вопросам, излагаемым в настоящей главе. Введению и общему знакомству с основами теории групп посвящены книги [46, 11, 7, 98^ 97, 155, 119, 49, 74]; теория представлений симметрической и компактных матричных групп изложена в монографиях [44, 73]. Определенный способ параметризации и некоторые свойства неприводимых представлений унитарных и ортогональных групп описаны в [133]; изучению специальных функций с точки зрения теории групп посвящены

книги [47, 131); общие вопросы теории представлений групп изложены в работах [50, 10, 58, 59]. Теории характеров и технике функций Шура посвящены книги [129, 53]); эта техника также описана в [14].

Симметрическая и компактные матричные группы

Некоторые определения и примеры. Изложение избранных вопросов теории групп удобно начать с явного задания элементов группы. Имеются группы трех типов: дискретные группы, элементы которых можно пронумеровать с помощью целых положительных чисел, непрерывные группы, элементы которых задаются непрерывными параметрами, и группы смешанного, дискретно-непрерывного типа, элементы которых задаются как дискретными, так и непрерывными параметрами. В настоящей книге встретимся с группами всех трех типов: симметрической группой 5П, принадлежащей дискретным группам, унитарной группой Ur и специальной ортогональной группой SOTl которые являются непрерывными группами, и, наконец, дискретно-непрерывной ортогональной группой От. Коснемся также и некоторых вопросов теории компактной симплекти- ческой группы Spr, заданной лишь в случае четных г.

Симметрическая группа Sn с п = 1, 2, 3, ... определяется как группа, состоящая из элементов, переставляющих всевозможными способами п объектов, конкретная природа которых с алгебраической точки зрения несущественна. Ими могут быть индексы векторов Pi, г2, ..., гп, либо операторов Оц с tj = 1, 2, ..., п, либо корни алгебраического уравнения n-го порядка и т. п. Число возможных перестановок п объектов равно пЛ, поэтому группа 8п имеет п\ элементов.

Элементы группы 8п задаются символами, содержащими две строчки чисел и расположенными друг относительно друга в определенном порядке. Способ задания элементов симметрической группы и закон их композиции поясним на следующем примере. Пусть р' и р — два элемента группы 8п. Сопоставим элементы р' и р с соответствующими им символами, например, в случае п = 5 — с ниже приводимыми символами. Закон умножения р’ слева на р справа определим следующим образом:

, Й 2 3 4 5W1 2 3 4 5^ /1 2 3 4 5^/3 1 4 5 /1 2 3 4 5^

Р Р"^\3 1 4 5 2/\5 3 2 1 4/ - \3 1 4 5 2Д2 5 1 4 3/ \2 5 1 4 ЗГ

(7.1)

Из (7.1) видно, что, например, р осуществляет замену 3 на 2; 1 — на 5 и т. д. и что в символах, представляющих элементы группы, важно лишь относительное расположение индексов. Закон умножения, задаваемый правилом (7.1), интерпретируется следующим образом: поскольку р преобразует 1 в 5, индекс 1 во втором ряду в

р' заменяется индексом 5 и т. и., в результате чего получаем элемент группы, записанный в правой части (7.1). Применяя такой закон умножения, следуем его определению, использованному в [46]; в других книгах, например в [98], применяется другое определение.

Произвольный элемент группы 5П можно разложить на циклы. Для этого необходимо проследить порядок последовательности чередования индексов перестановки. Например, в случае элемента p^ssm^I)^ 5 4И2 3)(6 8И7)<7-2)

группы S8 индекс 1 преобразуется в 5, далее 5 — в 4, затем 4 — в 1; после возвращения к исходному индексу цикл замыкается. Такой цикл обозначается через (15 4). В нем имеются три цифры, поэтому говорят, что его длина равна трем. Продолжая анализ перестановки (7.2), находим еще два цикла (2 3) и (6 8), длина которых равна двум, и один цикл (7) с единичной длиной. Поэтому такую перестановку можно представить в виде, указанном в правой стороне (7.2). При этом порядок расположения циклов несуществен, как и цифра, с которой начинается данный цикл; в них важна лишь последовательность цифр. Например, вместо (15 4) можно писать (5 41) либо (415) и т. п.

Из всех элементов группы Sn выделим специальные элементы, называемые транспозициями. Транспозиции рц — это перестановки, оставляющие нетронутыми все индексы, за исключением i и j (К <7 = 2, 3, ..., п^ которые меняются местами. Транспозиции содержат один цикл длиной два и п — 2 цикла длиной единица.

Циклы тесно связаны со структурой классов сопряженных элементов группы Su. Напомним, что элементы группы можно разбить на непересекающиеся множества, называемые классами сопряженных элементов. Такое разбиение особенно наглядно в случае дискретной группы G, когда класс Kv определяется как множество элементов Кг = {g^gt^i^- В этом множестве gi пробегает все элементы группы, a gtt — определенный ее элемент. Состав класса К^ не зависит от того, порожден ли он gtx или каким-либо другим представителем этого класса. Когда класс Kv уже построен, берется другой элемент g^ группы, не принадлежащий классу Къ и с его помощью порождается новый класс К2. Продолжая такое разбиение, элементы группы однозначно разделяем на классы KVl K2l ..., Kh где I — число классов.

Все элементы группы Sn с одинаковой структурой циклов (например, элементы S8 с циклами вида (...)(..)(..)(.), т. е. все элементы S8 с одним циклом длиной три, двумя циклами длиной два и одним циклом длиной один) принадлежат одному классу. Это свойство элементов симметрической группы лежит в основе комбинаторного метода ее описания, о котором пойдет речь в п. 8.3.

Группу G, содержащую подгруппу Go, можно разбить на правые и левые смежные классы. Совокупность элементов gog', где g0 при-

надлежит Go, называется правым смежным классом, a g'g0 — левым смежным классом группы G по подгруппе Go; доказывается, что различные правые или левые смежные классы не имеют общих элементов. Выберем и зафиксируем из элементов смежного класса произвольный элемент и назовем его представителем смежного класса. По заданному представителю, умножая его слева или справа на все элементы подгруппы, можно однозначно восстановить весь смежный класс. Поэтому все элементы группы можно представить в виде g = gog' или g = g'go, где g' — представители смежного класса. Разбиение группы на смежные классы записывается в виде

G ~ (6^, G0g2l ..., Goga^ (7.3)

в котором число а называется индексом Go в G. Аналогично записывается разбиение на левые смежные классы, причем индексы а в обоих случаях одинаковы.

Перейдем к описанию непрерывных групп. Элементы непрерывной группы G задаются набором вещественных или комплексных функций

guM — ^(^1, а2, ..., aft, ..., a™), (7.4)'

зависящих от m^G^ вещественных параметров ак1 где k = Y, 2, ... ..., m^G^ а индексы г и / в (7.4) перечисляют набор функций gtA^. Часто этот набор составляет квадратную матрицу; в этом случае говорят, что задана матричная непрерывная группа G. Обычно, хотя и необязательно, закон композиции матричных групп определяется как умножение матриц, а существование обратного элемента обеспечивается требованием существования обратной матрицы. Множество матриц определенного типа, например вещественные ортогональные матрицы От с г=1, 2, ..., унитарные матрицы Ur с № 1, 2, ..., вещественные симплектические матрицы (их определение см., например, в [119])., задают элементы группы с аналогичным названием — ортогональной группы Ог (определитель матрицы Ог равен ±1) либо специальной ортогональной группы SOr (ее элементы задают матрицы с определителем, равным единице), унитарной группы Ur, симплектической группы Spr (г четное) и т. п. Различные свойства матриц, такие, например, как число вещественных параметров, требуемых для их параметризации, взаимоотношение комплексно сопряженной и исходной матриц, значение определителя матрицы и т. п., обусловливают определенные свойства задаваемых ими групп.

Самой простой из матричных групп является унитарная группа U^ элементы которой g(ф) задаются выражением tA (ф) = ехр йр, в котором ф принимает значения в интервале —л ^ ф < л либо О ^ ф < 2л. Элементу g-1^), обратному ^(ф), соответствует обратная матрица UV (ф), равная, в силу унитарности, матрице Ut (ф).

В качестве следующего примера возьмем ортогональную группу собственных вращений (т. е. вращений без отражения) двумерного евклидова пространства. Обозначим эту группу через SO2 и 76

зададим ее элементы с помощью двумерной ортогональной матрицы SO2^ = ( со^8к1Л(7.5)

2V 7\— sin ^ cos ^ /х 7

в которой 0^$<2л. Определитель матрицы (7.5) равен единице. Параметризация (7.5) выбрана таким образом, что единичный элемент группы SO2 получаем при Ф = О, и, аналогично предыдущему примеру, обратному элементу группы SO2 соответствует матрица, обратная (7.5). Матрицу в (7.5) обозначим через TV2^ и тогда имеем SO2^ = Т12^, где нижние индексы матрицы Т указывают плоскость, в которой происходит вращение. Отметим, что с помощью унитарного преобразования V-1T12^ V с V, не зависящим от О, матрицу (7.5) можно привести к диагональному виду с диагональными элементами ехр(±^).

Пример дискретно-непрерывной группы получим, расширяя ортогональную группу собственных вращений SO2 до группы ортогональных вращений с отражением, вкратце — до ортогональной группы. Обозначим эту группу через О2. Элементы группы О2 задаются множеством ортогональных матриц второго порядка. Двумерные ортогональные матрицы можно параметризовать, дополняя элементы (7.5) операцией отражения. Для удобства записи элементов группы О2 возьмем матричную реализацию дискретной группы отражения

/ 10 \

^(^^ о9 L(7.6)

\о (-1) 2/

где о2 = 0, 1. Всевозможные ортогональные матрицы второго порядка, т. е. элементы ортогональной группы 02 получаем, умножая (7.5) на (7.6). Определенности ради берем множитель (7.6) слева и тогда

О2(п2$) = Я2(а2)5О2($),(7.7)

или в развернутом виде

0 V cos$ sinM f cos^ sin^

22\0 (-1)°7 \-sinO COS»/ “ \(_ l)a2+! sine (-i)a2Cos»y

(7.8) Вычисляя определитель матрицы (7.8), находим, что det 02 (о^) = = (— 1) 2, т. е. убеждаемся, что определитель матрицы 02 равен ±1.

Пусть О2(а2»') и 02 (o'^") — два элемента группы 02 и пусть 02 (пг^') 02 (а2Ф") = О2(а2^). Перемножая матрицы в левой части последнего выражения, приравнивая матричные элементы к соответствующим элементам матрицы в правой части и решая полученные тождества, получаем соотношения

а2 = о2 + а2, О = (— l)a2d' + »",(7.9)

второе из которых показывает, что 02 является некоммутативной

группой. При О2 = ^2 = 0, когда остаются лишь собственные вращения, группа О2 сужается до коммутативной подгруппы SO2; такое сужение обозначим через О2 => SO2.

Компактные матричные группы. При увеличении размерности матриц число и разнообразие задаваемых ими групп возрастает, поэтому необходимы критерии, позволяющие выбирать определенный класс матричных групп. Существует характерный признак, по которому можно выделить группы с исключительно хорошими свойствами. Этот признак опирается на понятие компактности непрерывной группы.

Пусть имеем группу G, элементы которой задаются m(G) непрерывными вещественными параметрами аь а2, ..., От. Принимая допустимые значения, эти параметры заполняют некоторый объем т (С)-мерного пространства. Например, в случае группы С/Дф) имеем параметр ф, принимающий значения в интервале 0 ^ ф < 2л. Концы этого интервала идентифицируются в том смысле, что элемент, задаваемый предельным значением ф 2л, является элементом, сколь угодно близким к единичному элементу, задаваемому значением Ф = 0; в этом смысле область изменения параметра ф группы Ux топологически эквивалентна окружности.

В общем случае непрерывной группы G, задаваемой m(G) параметрами, форма заполненного объема m(G)-мерного прострайства и топологически эквивалентного ему тела зависит от рассматриваемой группы. С точки зрения теории непрерывных групп существенно, является ли область изменения параметров такой, что все «1, а2, ..., а™ принимают конечные значения или хотя бы одно из них может стать бесконечным. В первом случае пространство параметров устроено компактно и мы имеем дело с компактной группой. Во втором же случае речь идет о некомпактной группе.

Приведенное объяснение понятия компактности не является вполне строгим, но достаточным для наших целей. За редкими исключениями, которые будут специально оговорены, в настоящей книге будем встречаться лишь с компактными группами. Элементы таких групп реализуются в виде матриц, параметры которых принимают значения в т (G) -мерном компактном объеме.

Свойство компактности матричных групп UT1 Ог и SpT обеспечивается наложением условий на матричные элементы матриц данного типа. Ясно, например, что ни один из матричных элементов унитарной матрицы Ur не может стать бесконечным. Действительно, из-за условия U^ITUT = 1Т1 где 1Т — единичная матрица r-го порядка, все матричные элементы матрицы Ur по модулю не превышают единицы. Поэтому элементы группы UT задаются параметрами, заполняющими конечный объем, и, следовательно, унитарные группы являются компактными группами.

Компактными являются и ортогональные группы, задаваемые вещественными матрицами ОТ1 удовлетворяющими условию O[rrIrOr = Ir, в котором OV— матрица, транспонированная по отношению к матрице От. К множеству таких матриц применимы те же

рассуждения, что и к унитарным матрицам. Свойством компактности обладают также и симплектические вещественные матрицы, задаваемые условием Sp\rJrSpr — Jr, где г четно, а Л— определенные матрицы, состоящие из элементов, принимающих значения 0, ±1 (подробности см., например, в [119]).

Унитарная матрица Ur задается г2 комплексными, т. е. 2г2 вещественными параметрами, на которые наложено г вещественных условий нормировки строк (или столбцов) и г^г— 1) вещественных условий ортогональности строк (или столбцов). Поэтому множество унитарных матриц Ur можно задать с помощью 2 г —г —г(г—1) = = г2 вещественных параметров. Определитель унитарных матриц дается выражением det Ur = exp йр. Группы, задаваемые унитарными матрицами, с определителем, равным единице, принято называть специальными унитарными либо унитарными унимодулярными группами и обозначать SUT. Они параметризуются г2 — 1 вещественными параметрами. Аналогичные рассуждения позволяют установить число вещественных параметров групп Or, SOr и Spr. Подводя итоги сказанному, получаем следующие выражения числа m(G) непрерывных параметров компактных матричных групп:

тфт) - г2,

m(SUr) = г2 - 1,

m (Or) = m (SOr) = ~ г (г — 1),(^-Ю)

m(Spr) = lr (г I- 1),

где г = 2, 4, 6, ... в случае SpT и г = 1, 2, 3, ... для остальных групп.

Унитарные, ортогональные и симплектические компактные группы обобщаются на некомпактные группы UPtq, OPiq и Spp,q (р = = 1, 2, 3, ...; 7 = 1, 2, 3, ...) с теми же названиями. Эти группы имеют много подгрупп, в частности некомпактную вещественную симплектическую группу, сохраняющую кососимметрическую билинейную форму 2г-мерного пространства. Эта группа обозначается Sp(r, R) или Sp^r, R). В настоящей книге будет эпизодически встречаться упомянутая некомпактная симплектическая группа, для которой будем использовать второе из вышеприведенных обозначений. В основном же будем рассматривать лишь компактные группы Ur, SUT, Or, SOT и SpT, теория которых значительно проще теории некомпактных групп.

Параметризация унитарных групп. Нам предстоит обобщить уже рассмотренную параметризацию групп U^ SO2 и О2 на случаи Ur, SOr и Or с произвольным г. Начнем с унитарных групп и, придерживаясь ранее использованных обозначений, под UT будем подразумевать r-мерные унитарные матрицы либо соответствующие им унитарные группы. Приступим к явной параметризации матриц Uг. Их построение осуществим рекуррентным по т способом. Для

рекуррентного шага представим UT в виде

Uт — (Uг_1 -4- Uз^ иг —Uт — (Uг_1 -4- Uз^ иг —(7.11)(7.11)

Uт — (Uг_1 -4- Uз^ иг —

Uт — (Uг_1 -4- Uз^ иг —

(7.11)

(7.11)

где йт — r-мерная матрица, дополняющая матрицу Ur-t-VUt до Ur; ради определенности это дополнение производится с правой стороны. Учитывая, что число параметров матрицы UT равно г2, легко находим, что матрица йт в (7.11) зависит от 2 (г — 1) вещественных параметров. Несколько позже приведем ее выражение, а пока в качестве примера осуществим с помощью (7.11) параметризацию группы U2.

id id

sinv19e 12cos^12 .sinv19e 12cos^12 .(7.12)(7.12)Пусть е и е — одномерные унитарные матрицы, входящие в прямую сумму матриц в (7.11). Общий элемент группы U2 представим в виде U2 = (Ui 4- U{) и2 или в развернутой форме в виде

sinv19e 12

cos^12 .

sinv19e 12

cos^12 .

(7.12)

(7.12)

О ] / cos$12 ido I

е 7\-sin^12e Ф12

где 0^61, ф12 ^ л и 0^62, $12 < 2л. Сравнивая (7.12) с (7.11), видим, что правая матрица в (7.12) дает выражение для множителя й2, дополняющего ЩЛ-Щ до матрицы U2. При этом сужается область значений угла б!, который был задан для группы Ui(6i) в пределах 0<61<2л. Параметризация (7.12) со сдвинутыми на л/2 интервалами изменения углов использовалась в [133].

Структура входящей в (7.12) матрицы й2 характерна и для общего случая. Разница состоит лишь в том, что в отличие от й21 которое осуществляет преобразование в плоскости 12, в общем г- мерном случае такое преобразование осуществляется в плоскостях, которые будем нумеровать индексами qp. Перед тем как приступить к общим формулам, введем подходящие обозначения. Пусть Лдр(^дР, фдр)—матрица r-го порядка, зависящая от углов $qPl фдР, матричные элементы (лдР)г5 которой с I, j^l, 2, . . ., г отличаются от матричных элементов r-мерной единичной матрицы лишь двумя диагональными элементами (лдр)дд = (лдр)рр = cos$gP и двумя недиагональными элементами (лдР) qp = sin ^qP exp /фдр, (лдР) pq = —sin ^qp X Xexp(—/фдР). Введем также диагональную матрицу АГ(6Ь 62, ... ..., 6г) г-то порядка с элементами exp f6i, exp i62, ..., exp 16т.

Конкретные значения индексов q и р матриц лдр будут приведены ниже, пока же лишь условимся, что q<p, поэтому р будет принимать значения р = 2, 3, ... Нам также понадобится пользоваться частным случаем матрицы лдр с q = р — 1. Необходим будет набор матриц лр-1, р, поэтому для них введем дополнительный индекс t, принимающий значения ^ = 2, 3, ..., р, и с каждым из этих значений сопоставим матрицу Лр2.1,р^р\ ^У зависящую от углов ^р^ Фр^- Матричные элементы (лр!1,р)у (^ ] = 1, 2, . . ., г) матриц лр*1,р определим с помощью тех же выражений, что и (лдр)ц, с той 80

лишь разницей, что в последних углы ffgpcpgp заменим на углы v jp фр •

Переменные 6Ь фдр, ^qp, ф^ , ^р° будут принимать значения в следующих интервалах: 0 ^ 6г ^ л при 1 = 1, 2, ..., г — 1; 0 ^ 6£ < 2л при i = г; 0 < фдР ^ л для всех q, р; О < йдР < 2л при q = 1; О ^ Фдр С ^ л при q > 1; 0^ фр°^ л для всех р и I; 0^ Фр} < 2л при р = 2 для всех t; 0<^^л при р > 2 для всех I.

При изучении параметризации подгруппы От группы UT нам еще понадобятся следующие обозначения: Rr (вг) = Ar (Si = 0,..., 6r-i = О, 6г = 0, л), где Or = 0 при 6г = 0 и ог = 1 при 6г = л; Tqp^qp) = = TtqP^qPl ф?Р = 0) и TpL1)P (Фр)) = Лр11эр (Фр\ ф^/ = О).

Матрицы лдР и Лр11,р будем соответственно называть матрицами преобразования в плоскостях qp и р — 1, р, а матрицы TqP и TpLliP —матрицами вращения в плоскостях qp и р — 1, р. Индексы q, р либо t, р для л и Г и индексы г для А и 7? однозначно задают переменные, от которых зависят матрицы л, Т, А и R, поэтому вместо лдР(ФдрфдР), TpLy^^p^, Аг(61т ..., 6г) и Rr^Or) можно писать лдР, Т(Д.Р, Лг и Rr. Проиллюстрируем введенные обозначения. Легко убедиться в том, что Ui = At, матрица (7.12) записывается как U2 = А2Л12, матрица (7.8), в которой Ф заменено на Ф12,— как O2 = R2Ti2 и т. п.

Возвратимся к задаче параметризации унитарных матриц. Рекуррентное их построение по формуле (7.11) можно осуществить несколькими способами, различающимися выражением матрицы йг. Уже было установлено, что эта матрица зависит от 2 (г — 1) параметров, поэтому при ее построении используем г—1 матриц лдр. Для этого имеются различные возможности. Можно, например, положить р = г и взять произведение преобразований лдг с q = = 1, 2, ..., г—1. Каждое из этих преобразований осуществляется в плоскостях, не затронутых преобразованиями группы UT_Vl поэтому при такой параметризации порядок следования преобразований лдг, по существу, неважен. Ради определенности положим, например, что

Нт Лir (Ф1гф1г) Л2г (^2гфзг) • • • Лг_ 1Г (Фг— 1,гф1—1,г)? (7.13)

и теперь шаг за шагом по формуле (7.11) можно строить матрицы UT.

В приложениях такая параметризация может оказаться слишком громоздкой. Существует более простой способ построения матриц Uг на основе преобразований, осуществляемых лишь в соседних плоскостях, т. е. в плоскостях с q = р — 1. Разумеется, общее число параметров, задающих группу, должно остаться прежним, поэтому для каждой плоскости с q = p— 1 будем использовать уже введенные матрицы Лр1ьр с ^ = 2, 3, ..., р. Для такой параметризации положим, что

и, = л<г211Г (о^) л^^^ (й^^^а ... лГ? (О^ф^\ (7.14) 6 В. В Вана гас 81

Подставляя (7.14) в (7.11), получаем параметризованные матрицы UT.

Рассмотрим примеры. В случае U2 выражения (7.13) и (7.14) совпадают; оба способа параметризации одинаковы, и из (7.11) получаем вышеприведенный пример б/г — АгЛ^ для (7.13) либо U^ = АзЛр^для (7.14). В случае группы U3 из (7.11) и (7.13) имеем U3 = А3Л12Л13Л2зт а из (7.11) и (7.14) получаем (/д^ДдЛ^л^/л^. Для (74 из формул (7.11) и (7.14) следует выражение U^ = А^^ • • л^^хГ^зГ^гз^п^ Матрицы л12 и л34 коммутируют, поэтому последнюю формулу также можно представить в виде 6'4 = А^^л^л^ • -л^л^л^.

Определители всех матриц л равны единице и не дают вклада в определитель матрицы UTl который совпадает с определителем Аг и имеет вид det UT = exp г(^ + ... + 6r). Требуя равенства этого выражения единице, из общих формул получаем параметризацию унитарной унимодулярной группы SUr. Она вложена в Ur по цепочке ит sur.

Параметризация ортогональных групп. Параметризацию ортогональных матриц Ог получаем из выражений унитарных матриц, подставляя в последние 6Г = 0, л п фдр = 0 либо фр > = 0, что соответствует замене Аг на Rr^Or^ а лдр на TqP либо Лр11,р на TpLlit>. Матрицам SOT соответствует значение 6г = 0, для которого Нт^т^ становится единичной матрицей, поэтому аналогично (7.7) можно писать, что От = Rr(6r)SOr. Из сказанного вытекает, что матрицу собственных вращений можно представить в виде рекуррентной формулы.

SOT = (<SOT_14-^6r.(7.15)

Входящая в (7.15) r-мерная матрица от имеет вид

От = Т1Г ^1Г) Т2г (»2г)... Тт-., г ^т-^(7.16)'

или

о, =W>).. . Т^(7.17)

Последние две формулы получаем соответственно из (7.13) и (7.14). Имеется и другой способ построения ортогональных матриц, основанный на рекуррентной формуле

- /°--1 0 \ -

Ог = (О^ 4- 0^ ог = ; (ог), (7.18)

\0(- 1)°г ’

аналогичной (7.11), в которой учтено, что группа Ov состоит из двух дискретных элементов ±1, соответствующих значениям от = = 0,1. Выражения Or — ROr (or) SOr и (7.18) должны дать одну и ту же матрицу От. Они, однако, различаются дискретными параметрами, и поэтому необходимо установить соответствие между входящими в обе формулы параметрами группы От.

82

Начнем с примера группы 02. Развертывая тождество

(а2) т^ №) (Ri (О1) + 1) R. (oD Т^ (<У2)),(7.19)

левая и правая части которого параметризует O2l убеждаемся, что оно выполнено для всех значений о2, Hi, о2 и 0^^22\ $2(2 <2л, когда or2 = |o2~ail и ^22)$2(2) +^1^- Так устанавливается одно

значное соответствие двух способов параметризации группы О2. Аналогично осуществляется и следующий рекуррентный шаг. При г = 3 имеем тождество

R3 (о3) т$ W2)) Т^ W3)) т^ (^3)) =

(я2 (а2) т^ (»;(2)) +1) r3 (о;) т^ (»;(з)) т^ (<уз)), (7.20) в котором матрица Rz (о2) Т^ (»2(2)) = О2 дается выражением (7.19). Как и в предыдущем примере, находим, что (7.20) выполнено, если »2<3) = »2<3), Оз = I о3 — о21, »22) = (— 1)°2 О^21 и <^3> = »з(3) 4- о2л. Этот результат непосредственно обобщается на r-мерный случай: параметризации От = Rr^r^SOr и (7.18) становятся эквивалентными, когда все входящие в них параметры равны, за исключением параметров отражения oTl or-i и от групп OTl Or-t и 0^ двух углов ^-l^ И й^ В От = Rr ^r)SOr и двух углов ^^ И ^ в (7.18). Приведенные параметры удовлетворяют соотношениям

Ог | Or G,— J |,

= (- if'-1^?0,(7.21)

справедливым для г = 3, 4, ... Пренебрегая в (7.21) вторым соотношением, получаем выражения, пригодные для случая г = 2.

Введем специальные обозначения, позволяющие записать ортогональные матрицы в компактном виде. Пусть а и Ъ — целые положительные числа, удовлетворяющие неравенству а > Ь. Введем произведение a-мерных матриц вращения

D ^а, Ь) =

а—2

1 | т^а—Ь+1)fA(a—b+1) \Ы-2)/А(а—Ь+2) \

1 а-Ь—к^а—Ь—к-У! \и а-Ь—к-Н) 1 a—b—А + 1 ,а—Ь-кА-2 a—b—k+2) • • • к=0

...(7.22)

в котором берутся лишь матрицы с а — b — /с + 1 > 1 и подразумевается, что множители с меньшим к находятся слева. Число входящих в (7.22) углов определяется выражением (а(а — 1) — (а — Ь)Х Х(а — Ь— 1))/2. Порядок множителей в (7.22) дается следующим расположением их аргументов:

.. ^а), ^^У+^&^Д2) ....

6*6*. .., ^b+W-b+t^ ... «^. (7.23)

6*

6*

83

В (7.23) берутся лишь переменные, нижние индексы которых больше единицы. Переставляя коммутирующие операторы, легко представить выражение (7.22) в следующем компактном виде:

D<a, 6) = П5=ЬD<a, 6) = П5=ЬП т^1^ ^^к—a—s + 1П т^1^ ^^к—a—s + 1(7.24)(7.24)

D<a, 6) = П

5=Ь

D<a, 6) = П

5=Ь

П т^1^ ^^

к—a—s + 1

П т^1^ ^^

к—a—s + 1

(7.24)

(7.24)

В (7.24) сначала берется произведение по s начиная с множителя со значением s = Ь слева, а затем развертываются произведения внутри квадратных скобок начиная с множителя с к = а — s + 1 слева. Приведем примеры. Пусть Ъ = а — 1. Тогда из (7.22) получаем D (2,1) = Лз, D (3,2) = Г^М, D (4,3) = Т^Т^Т^Т^Т^Т^. В случае b = 1 имеем 2> (3,1) = Т^^, D (4,1) = Т^МзТ^ и т. п.

Простым сравнением легко проверить следующую эквивалентность обозначений: Or^D^r, 1) и SOr^D{r, г—1). Последнее соотношение в обозначениях (7.24) соответствует рекуррентному построению по формуле (7.15). Это соотношение можно записать как

SO^D^r, 7 — 1) = (2Э(г — 1, r-2)+l)Z>(r, 1).(7.25)

Аналогично параметризация матриц Ог, задаваемая выражением От = Rr^^SOr, имеет вид

O^R.^HD^-l, r-2) + l)Z)(r, 1) =

= (7?r_x <or_0 D' (г - 1, г - 2) 4-1) R, М D' {г, 1). (7.26)

В формуле (7.26), обобщающей на r-мерный случай (7.19) и (7.20), подразумевается, что оба D' отличаются от соответствующих им D тем, что углы ^г^^, 0,^г) в D заменены в D’ углами ^r-i^t ^^^ и что выполняются соотношения (7.21). Выражение (7.26) дает рекуррентную по г параметризацию группы Ог, т. е. явную реализацию формулы (7.18). Отметим также, что начиная с (7.20) используется рекуррентная параметризация, основанная на выражении (7.17).

Обобщим формулу (7.26) jia случай рекуррентного построения по схеме Or = (Ог-г0 + Ло) от(г0^ где 1Тй обозначает единичную Го-мерную матрицу, а or(r0) = D(r, г0). Аналогично (7.26) пишем:

От = RT (or) (D (г — г0, г — г0 — 1) 4- IT^ D (г, г0) =

— (Rr-0 (ar-ro) D' (r ”г0’г — г0 — Ч + Ч) Rr (or) D' (r, r0). (7.27)

При r0 = 1 из (7.27) следует (7.26). Матричное равенство (7.27) задает связи между параметрами отражения or, Ог-го1 От и углами матриц D и D\ обобщающие соотношения (7.21).

Описание параметризации матричных ортогональных групп закончим примером группы SO3. Из (7.25) с г = 3, учитывая обозначение (7.22) и переобозначая #22\ ^з3)» '0,23) соответственно на углы 84

Эйлера а, £, 7 (0 ^ а, 7 < 2л, О < ^ < л), получаем

8О3 (а 0 Т) = D^8 (а, 0, Т) = Г12 (а) 7^ (0) Т12 (у),(7.28)

где опущены верхние индексы матриц Т. Сопоставляя у, х, z соответственно с индексами 1, 2, 3 матрицы £)(1)з (а, р, у), из (7.28)’ получаем матрицу поворота а, приведенную в формуле (54) п. 1.4 гл. 1 [43]. Элемент ^(сфу) группы SO3, обратный элементу ^офу), задается обратной матрицей, получаемой транспонированием (7.28) или, что эквивалентно, заменой углов Эйлера а, р, у соответственно на углы —у, -ф, —а. Для сравнения приведем также параметризацию, получаемую с помощью (7.15) и (7.16): 5О3('0,12'0,1з19,2з) = 7\2($12) Лз^з^з^з), где входящие углы принимают значения О < '612, 'O'is < 2л и 0 ^ ^з ^ л.

Функции на группах и фактор-пространствах. Непрерывные параметры аь а2, ..., а-т^, определяющие элементы g группы G, можно трактовать как переменные и рассматривать функции этих переменных

—«2, ..., а,т^,(7.29)

называемые функциями, заданными на группе G. Часто нет необходимости в m(G) переменных. Их число можно уменьшить, рассматривая в качестве переменных параметры так называемого фактор- пространства. Это понятие вводится следующим образом.

Пусть группа G, задаваемая параметрами g = Vav, а2, ..., ат}, где m = m^G^ имеет подгруппу Go, элементы которой задаются параметрами g0 =^1, а2, . ..,ат0|с ^o^^o(Go). Выберем параметры группы таким образом, чтобы в них содержались параметры g0. Тогда а17 а2, ..., а™ можно переобозначить через а?, а2, .. .,ат0, ар «2, • . ., «„*, где находящиеся справа штрихованные параметры, число которых равно m(G) — m^G^, дополняют набор параметров go подгруппы Go до набора параметров g группы G. Параметры аь а2, ...,am_W(), совокупность которых обозначим через go\g, и называются параметрами фактор-пространства G0\G группы G по левой подгруппе Go, а функции

/' (£о\£) = Г (“b “2, . • ., 0<n-m0),(7.30)

зависящие от этих параметров, называют функциями, заданными на фактор-пространстве G0\G*).

Введенные понятия поясним примерами. Начнем с наглядного случая группы SO3. В параметризации (7.28) эта группа задается параметрами а, ^, у, а ее фактор-пространство по левой подгруппе

S02 — параметрами р, у или по правой подгруппе SO2 — параметрами а, ^. В этом примере встречаемся с двумя фактор-пространст- вами — одним по левой, вторым — по правой подгруппе SO2 и в соответствии с обозначением g0\g или g/g0 видим, что ₽, у параметризует фактор-пространство SO2\SO3l а а, ^ — фактор-пространство SOJSO2.

Многие специальные функции математической физики являются функциями, заданными на группах или на фактор-лространствах. Например, функции Z)[X1((p) = ехр(й,ф) с Х = 0, ±1, ±2, ..., используемые в качестве полной системы функций в рядах Фурье, являются функциями, заданными на группе U^^; при А = 1 они дают элементы группы. Намного более сложный пример дают функции Вигнера

Dmm' (а, Р, у) = (— l)m-m' exp i (та + т'^ 2 (— l)ftX к

v j/gHj^Ln4lY^m,-m"2k

к\ U + т'- кУД] - ™ - kWm-^^ 2/\2 /’

(7.31)

которые отличаются от функций, используемых в [43], комплексным сопряжением (см. формулы (1) и (5) п. 4.3 гл. 4 упомянутой книги). При 7 = 0, 1, 2, ... матричные элементы (7.31) являются функциями, заданными на группе SO3l параметризованной углами Эйлера а, р, у, а при / = 1/2, 3/2, ...— функциями, заданными на группе SU2l в случае которой 0^а<4л, 0 ^ у < 2л (или 0 ^ ^а<2л, 0 С у < 4л) и О^^^л. Как для целых, так и полуце- лых / функции Dmm' удовлетворяют соотношениям

Dkm- (а, |3, у) - (- \Т’т,Ьктг (- а, - Р, - у) =

^(-^“^(у, р,а), (7.32)

вытекающим из их явного выражения (7.31). Пример функций на фактор-пространствах дают шаровые функции

Yim (PT) = (- I)"1 У ^ Dl6m (а, р, Т),

(7.33)

Y*m (Py) = (- l)m У Пгт» (- т, - р, - а),

зависящие от параметров р, у фактор-пространства SO2\SO3. Более содержательные примеры специальных функций, заданных на фактор-пространствах, можно найти в [47].

Аналогично рассмотренным примерам и в общем случае, когда параметризация группы G содержит параметры подгруппы Go слева или справа, говорят о фактор-пространствах G0\G или G/Go и вводят функции /' (g0\g) или /'(g/go), заданные на этих фактор- пространствах. В используемых обозначениях элементы группы можно представить в виде g ~ g0 • (g0\g) или g ~ (g/go) • go и тогда 86

легко проследить аналогию между такой записью множества элементов непрерывной группы и разложением (7.3) элементов дискретной группы.

Фактор-пространства ортогональных групп. Перейдем к изучению фактор-пространств, имеющих непосредственное отношение к предмету настоящей книги. Из параметризации группы 8ОГ1 записанной в виде (7.25), в котором явно выделены параметры подгруппы SOr-i, видно, что фактор-пространство 5Or-t\5Or задается г — 1 параметрами, входящими в Д(г, 1). Аналогично строится фактор-пространство ЗОт-ДЗОт--^ далее SOr_3\SOr-2 и т. д., вплоть до SOr_ro\SOr_ro+1 с го = 1, 2, ..., г—1. При г0 = г-1 группа SOT_ro вырождается до тривиальной группы SO Xl поэтому параметры фактор-пространства ЗОДЗО2 совпадают с параметрами группы ЗО2.

Более богатое параметрами фактор-пространство ЗОг_Го\ЗОг с г0 = 1, 2, ..., г—1 можно строить рекуррентным способом по следующей схеме:

SOr_To\SOr- (SOr_To\SOr_ro^ . .. (SOr_2\5Or_1)(SOr_1\^Or).

(7.34)

Легко установить, что число параметров фактор-пространства (7.34) равно (г(г—1) —(г —г0) (г —г0 — 1) )/2. От этих параметров зависит выражение

D (г, r0) = (О (г - г0 + 1,1) + 1Г_^ ..ДЩг- 1,1) + 1) О {г, 1).

(7.35)

Из (7.35), например, видно, что фактор-пространство ЗОДЗО^ имеет пять параметров, входящих в матрицу 5(4, 2) = (Z>(3, 1)4- 4-l)Z)(4, 1), и т. п. Из-за тривиальности ЗОт_Го с r0 = r—1 параметры фактор-пространства 80Д80г совпадают с параметрами группы 80г.

Простейшим примером функций, заданных на фактор-прост- ранствах ортогональных групп, могут служить матричные элементы матриц О^г, г0). Для дальнейшего удобно ввести более наглядное обозначение D T(g0\g) = О (г, г^ где О г — r-мерная матрица вращения с матричными элементами Оц т (г, / = 1, 2, ..., г), зависящими от параметров g0\g фактор-пространства SOr_rQ\SOr. К более подробному обсуждению этих параметров возвратимся в и. 11.2, где они будут обозначены через qt кг^ ПРИ ro = 1 вместо qt kr^ будем писать q^.

Рассмотрим структуру последних строк матрицы DU)r при г0 = = 3. Учитывая введенное обозначение и (7.22), имеем выражение

=

= ()..., (7.36)

где многоточие обозначает произведение матриц, входящих в (7.22) с к = 2, 3, ..., г— 2. Учитывая определение Ур-ьр, можно убедиться в том, что матрица (7.36) имеет следующую структуру:

(7.37)

Здесь каждая матрица в правой части соответствует произведению трех Г, выделенных в скобках в (7.36). Заштрихованные области в (7.37) указывают на, вообще говоря, не равные нулю матричные элементы. Краткости ради углы ^(/-22\ ^г-^1^ $гГ\ ^V-s\

Фг-ь от которых зависит Т в (7.36), обозначим через <}3, ^ ^i, Фе, $5, ^4 и воспользуемся сокращенными обозначениями c3 = cos^3, s5 55 sin ^5 и т. п. Тогда для двух последних столбцов матрицы (7.37) получаем:

Из (7.38) видно, что последний столбец матрицы (7.35) при г0 = 3 и г ^ 5 зависит от трех переменных, а предпоследний столбец — от шести переменных. В случае небольших г их число уменьшается: при г = 4 в предпоследнем и последнем столбцах, показанных в (7.38), имеются соответственно пять и три переменных; при г = 3— три и две переменные и, наконец, при г = 2 — по одной переменной. Аналогичными свойствами обладают и последние строки этих столбцов. Области значений входящих в (7.38) переменных находим из общих правил, приведенных в п. 7.3.

Интегрирование на компактных группах. К функциям, заданным на группе G либо на фактор-пространствах G0\G или G/GOl применимы дифференциальные и интегральные методы анализа.

В частности, рассматриваются интегралы

J^U)/^),(7.39)

G

в которые входят функции (7.29), заданные на группе G. Интегрирование в (7.39) ведется по всем значениям аъ а2, . •., оип^^ т- е- по всем элементам g группы; dx(g) — элемент объема группы. Заданный на фактор-пространстве G0\G интеграл от функции (7.30) определяется как

j* dx^Xg^f'^oXg^(7.40)

G0\G

где g0\g обозначает введенный в п. 7.5 набор переменных аь а2, . . . ...,атп_Гпо. Аналогично (7.40) определяется интеграл, заданный на фактор-пространстве G/Go.

Параметры компактных групп, т. е. переменные функций /(g) и /'(go\g), заданных на компактных группах и фактор-пространст- вах, принимают значения в конечном объеме. Поэтому на классе интегрируемых функций интегралы (7.39) и (7.40) существуют и обладают хорошими свойствами. В частности, объем компактной группы конечен, поэтому конечен и интеграл

pr'(g)=Vol(G),(7.41)

G

где Vol(G) —объем группы G. Удобно пользоваться элементом объема dT(g) = dr'(g)/Vol(G), нормированным на единицу. Если представить dx'^g) в виде dx ^ = dx ^g^dx ^g0\g^, то, вычисляя

f dx'(g0\g) = Vol (G0\G),(7.42)

Go\G

можно найти нормированный на единицу элемент объема dx(,g0\gx) = = dx'(g^g)/VoUG0\G).

Рассмотрим примеры. Длина интервалов значений параметров ср группы Ut равна 2л, поэтому нормированный на единицу элемент объема этой группы имеет вид йт(ф) = Ар/2л. Нормированный элемент объема групп SO3 и SU2 для параметров, использованных в (7.31), дается выражением йт(аРу) = sin ^ da d^ йу/8сл2, где с = 1 в случае SO3 и с = 2 в случае SU2.

Для параметризации группы SOr, осуществляемой с помощью рекуррентного шага (7.15), применяется элемент объема

dx (g,) = dx (^t-Д dx Ut-i\gt),(7.43)

где вместо ранее использованных обозначений g и g0 пишутся g^ и g^-ъ которые соответственно обозначают параметры групп SOT и 80т_х. Для осуществления рекуррентного построения dx (gt) по

89

достаточно знать последний множитель в (7.43). При г>2 он имеет вид

2

Л (g^X^) = (Vol (Я-XW П (sin^F-2 d^\ (7.44)

в котором в случае пределов для Фр', указанных в п. 7.3, Уо1(Ж-ЛЖ)=2лг/7Г(г/^ где Г обозначает гамма-функцию.

В тех случаях, когда в параметризации группы или фактор-про- странства кроме непрерывных применяются и дискретные параметры, интегрирование дополняется суммированием по дискретным параметрам. Например, в случае рекуррентного шага (7.18) элемент объема группы От запишем в виде

dMgrHdTter-JdTtgr-Ag,),(7.45)

где gr обозначает набор непрерывных и дискретных переменных группы От. и аналогично — для набора gT-v. Интеграл, заданный на фактор-пространстве OT_v\OTl имеет вид

J dT (gr-l\gr) f (gr-l\gr) =

(Vol (о))”12 J dT (g^Vlf (a, gti\g^), (7.46)

где сумма берется по дискретным переменным о, а численный множитель (Vol(о))-1 в (7.46) обеспечивает нормировку суммы на единицу. Аналогично определяются интегралы, заданные на группе От.

Неприводимые представления симметрической

и компактных матричных групп

Кроме того, используются определения

^iLgaLX = g iLglX = gl kg-^ = kgyg^X = ^glg^L X,

giRgiRX = gvRXga1 = (^Г1) S'?1 = xkg^r1 = (g^R x.

Буквы R и L означают, что соответствующие операторы действуют на объект преобразования справа либо слева. Сравнивая крайние левые и правые выражения в (8.1) и (8.2), убеждаемся, что во всех четырех случаях правила действия операторов группы на объекты преобразования согласованы с законом композиции, т. е. результат не зависит от того, действуем ли операторами на объект преобразования поочередно или сначала перемножаем операторы, а затем действуем на объект преобразования. В дальнейшем лишь при необходимости будем ссылаться на приведенные выше определения. В общих же формулах воспользуемся обозначением g, не указывающим конкретного способа действия операторов группы на объекты преобразования.

В качестве примера объекта преобразования возьмем величину F, зависящую от индексов 1,2, ..., п, и подействуем на нее оператором р группы 8п. Способ действия р на F поясним на следующем примере:

|*)f(1 23 4)=(** 3)f(l 2 34) = F(2413). (8.3)

Нетрудно проверить, что это определение согласуется с законом композиции для р, приведенным в п. 7.1, в том смысле, что рЧрР^ = = (p'p)F. В частности, пусть F зависит лишь от двух индексов, т. е. пусть F^F(ij), и, кроме того, положим, что F^ij) = F(ji) (г <7 = 1, 2 п). Тогда, учитывая определение действия р на

F и продолжая пример с п = 4, получаем

(з 1 4 42 УР^Р^Р^Е^Р^Е^ =

= ^ (24) F (12) F (23) F (14) F (34) F(13)) =

= kF (12) F (13) F (14) F (23) F (24) F (34)) M кРзи^

(8.4)

где M(рзиг) — численная 6 X 6-мерная матрица, состоящая из единиц и нулей, переводящая порядок величин F в третьей строке в порядок величин F во второй строке. Формула (8.4) сопоставляет оператор рзт группы S4 матрице Mfj^^ генерированной на симметричных по отношению к перестановке индексов ij объектах преобразования F^t]^ с /<7 = 1, 2, 3, 4. Действуя остальными операторами р группы 8, на F^ij^ генерируем аналогичным способом их матричные представления М(р^). Общий случай группы 8п отличается от рассмотренного примера лишь тем, что на F(Z/) (Z</ = = 2, 3, ..., п^ генерируется п^п — 1)/2-мерное матричное представ-

ление п\ операторов р симметричной группы Sn, т. е. порождается сопоставление р М^.

Обобщим сказанное на случай произвольной группы G. Пусть задано множество объектов преобразования Ft, F2, ..., Fd и определен способ действия операторов g группы G на F< (1= 1, 2, ..., d). Потребуем, чтобы это множество было замкнуто по отношению к действию операторов g, т. е. чтобы gF^ для всех Ьг можно было разложить через исходные величины Ft, F2, ..., Fd. Тогда аналогично (8.4) можно записать

gP^^M^ (8-5) j=l

и тем самым сопоставить каждому g из G квадратную матрицу Mf.g). Как и раньше, обозначим такое сопоставление через g-^ -+M(g). При корректном определении действия g на Ft произведению операторов будет соответствовать произведение их матриц, т. et g'g -^ M(g')M(g), а также будут выполняться и остальные условия, вытекающие из аксиом, определяющих группу. Говорят, что матрицы M^g) с указанными свойствами задают матричное представление операторов g группы G, генерированное на объектах преобразования F^ F2, ..., Fd. Когда F^ F2, ..., Fd, преобразуемые по формуле (8.5), являются векторами пространства 5?, тогда операторы g группы G в пространстве 91 представляются матрицами M(g^ генерируемыми на векторах этого пространства; матрица М (g) называется представлением g в 91, а 91 — пространством представления.

Пространство 91 можно превратить в пространство со скалярным произведением. В этом случае появляются дополнительные возможности изучения операторов g, действующих в 91. Как часто принято в физических приложениях, вводится пространство 9?, дуальное по отношению к пространству 91, и вместо скалярных произведений векторов в 91 рассматриваются функционалы, заданные на паре векторов F' и F, первый из которых принадлежит 9?, а второй — 91. Следуя книге [57], такие функционалы обозначим через <F* • F> и, как принято в литературе, будем называть их скалярными произведениями.

В качестве объектов преобразования выступают разнообразные величины. Например, формула (8.4) остается в силе, когда вместо ^(^') берутся операторы O(ij) ^ О(г{ — г,), обладающие свойством O(ij) = О (Ji), 6-функции 6 (ж, — xj и т. п.

Желая, как и прежде, подчеркнуть столь большое разнообразие, будем называть величины Ft, F2, ..., Fd объектами преобразования; однако чаще всего, пользуясь общепринятой терминологией, будем писать, что, например, g действуют на векторы Fi, F2l ..., Fd пространства 9£ или что матричное представление оператора g в прост- 92

ранстве 5?, реализованном через Ft (/ = 1, 2, ..., d), дается матричными элементами ^g^a = ^F; • gFj> и т. п.

Продолжим обсуждение матричного представления операторов группы, действующих в линейных пространствах. Положим, по определению, что gn действует^ 91, a gb — в 3 и ради наглядности переобозначим gR и gL через R(g^ и L(gY Пусть ег и е^ —базисы в d-мерных пространствах 91 и 3. Действие R^ на ег и L^ на е^ определим выражениями

R^et = 2 еД,^),

(8.6) Ш^ = 2 МГ’)еЛ

из которых в случае ортонормированных базисов, удовлетворяющих условию <е, -вг> = 6(77), получаем следующие выражения матричных элементов операторов R и L;

Rulg^^'RlgW,

(8.7)

1гу(^-*)=<£?(^)е,-е,>.

Заметим, что в обозначении второго матричного элемента в (8.7) пишется обратный элемент группы g”1. Нетрудно проверить, что R действует, на ег по первой, a L на е^-— по второй формуле в (8.1), следовательно, (8.6) задают матричные представления R(g) и Ь^ с матричными элементами (8.7). Операторы R и L будем называть правым и левым операторами сдвига на группе G.

Введем эрмитово-сопряженный оператор L\ задаваемый условиями

<ег-£+(?)ер^<Г(£)е^^(8.8)

выполняющимися для всех г, 7 = 1, 2, ..., d. Потребуем, чтобы для произвольного вектора Ь+ из 3 и вектора а из 91 удовлетворялось соотношение

<£(g)b -7?(g)a> = <b • а>,(8.9)

которое при учете (8.8) дает

==(8.10)

Последнее равенство в (8.10) обеспечивается аксиомами группы. В случае унитарных операторов R~l (g) = R+ {g) и аналогично — для I4gY Учитывая (8.10) для матричных элементов унитарных операторов R и L, вторую формулу в (8.6) можно представить в виде d *

L^et- 2 etRnUV(8.11)

Она показывает, что унитарное преобразование R(g)et в 91 индуцирует преобразование (8.11) в 2".

Описание общих свойств операторов R и L, действующих в линейных пространствах, закончим формулами преобразования базиса и матриц операторов. Пусть V—невырожденная матрица, а в; и е/" связаны с новыми базисами ^ и ^ выражениями

dd

е, = 2 et = 2 Fis|s+.(8.12)

h=ls=i

Тогда

<&»-Н№к> = 2 V7i1(er'R(1g)ei')Vlk,

(8.13) <L^»-S,t> = 2 Vl^L^epe^Vif

эЛ=1

Формулы (8.13) часто используются в приложениях для выбора оптимального базиса, в котором матрицы операторов имеют наиболее простой вид.

Неприводимые матричные представления операторов группы. Выбирая различные объекты преобразования F^ F2l ..., Fa и определенный способ действия на них операторов группы, можно генерировать матричные представления М (g) операторов g, различающихся размерностями d, а в случае одинаковых d — матрицами представления M(g). Возникает проблема классификации матриц М (g), т. е. формулировки критериев, позволяющих судить, являются ли два представления группы G, скажем представления M(g) и M'(g), существенно различными либо эквивалентными по определенным признакам, т. е. лишь несущественно отличающимися друг от друга. Сформулировав такие критерии, необходимо перечислить, обозначить и сконструировать в явном виде все существенно различные матричные представления. После решения этой задачи можно сказать, что найдены все неприводимые неэквивалентные представления операторов g группы G.

Коротко опишем признаки неприводимости представлений дискретных и компактных матричных групп. Первый из критериев, позволяющий судить, разложимы ли матрицы представления M(g\ на прямую сумму более простых представлений, можно установить, анализируя выражения вида V^M^V, где V — невырожденная матрица, не зависящая от элементов группы G. Может случиться, что существует матрица У, одна для всех элементов группы g, для которой V^M^V имеет блок — диагональную структуру, т. е. состоит из ящиков Dx размерностей dx на главной диагонали и нулей в остальных местах. В таком случае матрица V позволяет привести представление M(g") к виду

r'M(g)F = Z«(Vte).(8.14)

Где а (Л) — число повторений ящика D\ а 2 обозначает прямую сумму матриц D\ В частности, если в качестве объектов преобразования берутся базисы ег и ej" в й и <? соответственно и, кроме того, задано скалярное произведение, то матричные элементы матриц представлений преобразуются по (8.13) и построение разложения (8.14) сводится к отысканию по формулам (8.12) оптимального базиса §h и ^Л в котором М^ становятся блок-диагональными матрицами.

Существование разложения (8.14) указывает на приводимость представления М^. С его помощью задача отыскания всех существенно различных представлений группы сводится к изучению матриц Dx(g). Пусть Dx^ обозначает всевозможные матрицы представления операторов группы, уже неразложимые в блок-диагональ- ный вид. Эти матрицы и называются матрицами неприводимых представлений группы G. Две матрицы Dx (g) и Dx (g), размерности которых dv и d^ не совпадают, являются существенно различными и дают неэквивалентные неприводимые представления группы G. Среди матриц Dx^ одинаковой размерности могут еще встречаться матрицы, которые, будучи неприводимыми, являются эквивалентными. Критерий эквивалентности двух матриц одинаковой размерности, скажем матриц Dx^ и D,x\gy формулируется аналогично критерию приводимости. Требуется выяснить, существует ли невырожденная матрица W, не зависящая от g, для которой W^D^^g) W при всех g равна матрице Ох^. При отрицательном ответе D,x^ и Dx^ дают неэквивалентные неприводимые представления, и тогда вместо D,x^ пишем Dx (g\ В случае же положительного ответа можно обеспечить равенство W'^D'^g^W = ^D^g^, из которого вытекает, что неприводимое представление D'x^ эквивалентно представлению Вх^. С помощью этого равенства для широкого класса групп, в частности для всех дискретных и компактных матричных групп, можно найти базис, в котором Dx(g) становится унитарной матрицей. Поэтому обычно предполагают, что матрицы неприводимых представлений упомянутых групп являются унитарными.

Для проверки существования равенства W-VB'XW = Вх нет надобности искать всевозможные матрицы W. Доказывается, что необходимым и достаточным условием его выполнения является равенство следов матриц В'х^ и Вх^). Учитывая еще, что следы матриц представления одинаковы для всех g, принадлежащих к определенному классу сопряженных элементов, приходим к выводу, что достаточно проверять равенство следов для одного представителя gt каждого класса Kt. В случае дискретных групп в качестве gt можно взять любой элемент данного класса; для матричных групп gt задается параметрами, различным значениям которых соответствуют различные классы их сопряженных элементов. В силу сказанного проверка эквивалентности неприводимых представлений D,x и Вх сводится к установлению равенства следов Тг^ТУ’Ф^И7) =

= TrZ)/x и TrDx для всех классов группы; при получении первого выражения использовано, что Тг (ЛВ) = Тг (ВЛ).

Следы матриц представлений принято называть их характерами. Пусть хм(^) = ТгМ(^) и хА'(^) = Тг/)х(Л’/) —характеры произвольного M(g^ и неприводимого DK^g) представлений группы G для класса Kt и пусть известны характеры Xх №) Для всех неприводимых представлений X и всех классов сопряженных элементов Кг группы G. Тогда, вычисляя след обеих частей выражения (8.14), получаем

Xм ^) = “(XJ хЧ + а (Х2) х"2+ • • •,(8.15)

где а(Х) — число повторений характера хх(#*) в сумме (8.15). При известном хм(G) эта формула позволяет анализировать G-неприводимый состав представления М (g).

Матричные элементы матриц неприводимых представлений компактных групп удовлетворяют двум соотношениям ортонормировки. Первое из них имеет вид

-^Ag- f A' (g) z?^ (g"1) пЧ , (g) = 6 (^'J 6 (XX') 6 (ц2 ^), (8.16)

G1 2

где dx' (g)— элемент объема группы G, нормированный условием (7.41). В формуле (8.16) интеграл берется по всем элементам группы. Ее нетрудно приспособить для матричных элементов, зависящих от переменных фактор-пространств g0\g или g/g0.

Второе соотношение ортонормировки матричных элементов матриц неприводимых представлений имеет вид

2(8-17)

где 6(g' —g) обозначает б-функцию. В случае унитарных матриц ^^(g-1) в (8.16) и (8.17) можно заменить HaB^nJg).

Нетрудно приспособить формулы (8.16) и (8.17) для случая дискретных групп с числом элементов n(G). С этой целью достаточно использовать соответствия

Vol(Q J^T 2’(g.18)

6(g'-#)^6(g'g),

показывающие аналогию между свойствами ортонормировки матричных элементов матриц неприводимых представлений дискретных и компактных непрерывных групп.

Матричные элементы матриц неприводимых представлений образуют полную систему функций в пространстве Й, следующим образом реализованном через прямую сумму G-неприводимых под- 96

пространств

# = 2^(М (8.19)

Произвольная содержащаяся в 52 функция (7.29), заданная на компактной группе G, может быть разложена в ряд

1^ = 2 C^^^gY (8.20)

в среднем квадратичном сходящийся к этой функции. Пример полной системы функций на группе SOs дают функции Вигнера (7.31) с целыми /, а функций на фактор-пространствах — шаровые функции (7.33).

Компактные группы предоставляют огромный запас переменных, участвующих в разложении (8.20),— их число дается формулами (7.10). В специальных разделах математики, например в теории специальных функций и в физических приложениях, обычно требуются лишь части переменных, параметризующих непрерывные группы. В таких случаях используются функции, заданные на фактор-пространствах, обсуждавшиеся в п. 7.5, и тогда, аналогично случаю шаровых функций, полную систему составляет лишь часть матричных элементов матриц неприводимых представлений. Применительно к ортогональным группам эти вопросы еще будут обсуждаться в п. 11.2.

G-неприводимые базисы в 91^ обозначим через е^, а в сопряженном пространстве $w — через е£\ Формулы преобразования неприводимых базисов имеют вид (8.6) (см. также (8.11)), с той лишь разницей, что в них ег, е, и ef, ef заменены соответственно на е^, ®и- и е^\ е^, a R^g) и ^(g-1) —на D^kg) и Z)^ (g-1). Аналогично из (8.7) получаем матричные элементы операторов Z?(g) и L^, '

При наличии явных выражений базисных функций формулы (8.21) позволяют строить матрицы неприводимых представлений.

Схемы Юнга и маркировка неприводимых представлений симметрической группы. Симметрическая группа обладает исключительно богатой комбинаторной структурой, позволяющей дать аналитическое описание многих ее свойств. При перечислении неприводимых представлений и классов группы 8п важную роль играют два взаимосвязанных множества дискретных параметров, однозначно задаваемых числом п.

Первое множество, предназначенное для маркировки ^-неприводимых представлений, состоит из целых неотрицательных чисел М, Х2, ..., Хп, удовлетворяющих условию Xt + Х2 + ... + Хп = п, кото-

7 В. В. Ванагас 97

(8.23)(8.23)

(8.23)

(8.23)

рое показывает, что наборы чисел Xt, Х2, ..., Хп представляют разбиения числа п на п всевозможных слагаемых. Два разбиения, отличающиеся перестановкой слагаемых, считаются эквивалентными. Во избежание эквивалентных разбиений используются упорядоченные разбиения числа п, слагаемые которых расположены в невозрастающем порядке, т. е. в порядке Xt ^ Х2 > ... ^ Хп. Такой порядок чисел Х1? Х2, ..., Хп называется еще лексикографическим. В дальнейшем, если не оговорено противное, под разбиением числа п будем подразумевать лексикографическое разбиение и задавать его символом

(8.22)(8.22)[X] — [XiXz... Xn],

(8.22)

(8.22)

в котором кроме полного указано и сокращенное обозначение [X].

Второе множество п дискретных целых неотрицательных параметров аъ а2, ..., ап, однозначно задаваемых разбиениями [X], находим из соотношений an = Хп и аг- = Хг — Xi+1 (г = п — 1, п — 2,..., 1). Оно предназначено для обозначения циклической структуры классов группы Sn. Например, циклы со структурой (...)(..)(..)(.), уже встречавшиеся в примере (7.2), обозначаются (l^B1); при этом подразумевается, что at = 1, a2 = 2, «3 = 1. В общем случае структура циклов задается символом (а) = (1 х2 \..yi ^. Каждому (а) соответствует определенный класс сопряженных элементов симметрической группы, поэтому операторы класса К группы Sn, определяемые выражением

К ((a)) = 5 P,РЕК

в котором р принадлежат К, однозначно задаются набором (а). В частности, в случае класса (1^22) оператор ^((1п-22)) выражается в виде суммы транспозиций р^ (Kj — 2, 3, ..., п).

OROR[4311][4311]Разбиения [X] принято изображать графически в виде таблицы, называемой таблицей Юнга. Она содержит Xt позиций в первой строке, Х2 позиций во второй строке и т. д. С каждым [X] можно сопоставить разбиение [X], называемое разбиением, сопряженным с [X]; разбиения, в случае которых [X] совпадает с [X], называются самосопряженными. Графическое изображение [X] получаем из таблицы Юнга [X] путем отражения последней по отношению к главной диагонали, вследствие чего строки заменяются столбцами. Ниже приводятся примеры таблиц Юнга для разбиений [X] = [4221] и

OR

OR

[4311]

[4311]

Примерами самосопряженных таблиц могут служить таблицы для разбиений [2 1], [3 1 1] и т. п.

Удобно объединить понятие маркировки разбиения [X] и соответствующей ей таблицы Юнга под общим названием схемы Юнга. Этот термин будет включать в себя как комбинаторные свойства разбиения, так и геометрические характеристики таблиц Юнга. Поэтому, например, будем говорить, что схема Юнга состоит из четырех строк либо что длина первого столбца схемы [X] равна трем, и т. п. Будем также пользоваться уже введенными сокращенными обозначениями [X] и (а) и подразумевать, например, что /((а)) либо /([X]) обозначают функции, зависящие от наборов параметров (а) или [X], принимающих допустимые дискретные значения. Над символами [X] будем осуществлять определенные действия—о них речь пойдет в § 9; будем также писать 6([X], [X']), подразумевая при этомб (Х^) 6 (Х2Х2) ... 6 (Х^). Способ перечисления параметров (а) или [X] обусловлен комбинаторными свойствами группы Sw. Не существует простого аналитического метода установления области значений (а) или [X], и, по существу, приходится определять ее перебором всех возможных разбиений числа п; в этом и проявляется комбинаторный аспект теории симметрической группы и специфика дискретных параметров (а) или [X]. Несмотря на огромное число возможных разбиений при больших п (например, при п = 3; 10; 50; 100 число разбиений соответственно равно 3; 42; 204 226; 190 569 292), ответы, как правило, удается найти в виде хорошо определенных, обычно рациональных функций, зависящих от (а) или [X]. Многие величины теории представлений группы 5П записываются либо в виде явных функций, зависящих от наборов параметров (а) или [X], либо в виде рекуррентных соотношений.

Сказанное позволяет сделать вывод, что дискретные параметры [X] и (а) играют особую роль при аналитическом описании свойств симметрической группы. В частности, с помощью [X] маркируются неприводимые представления группы 5П. Причину такой маркировки нетрудно понять, если вспомнить, что число возможных разбиений [X] равно числу классов (а), а следовательно, и числу операторов класса (8.23) группы Sn. Простой проверкой обнаруживается, что все операторы класса коммутируют, поэтому одновременно могут быть приведены к диагональному виду. Собственное значение оператора 7£((а)) обозначим через Л((а)). Это обозначение еще не полно, ибо в нем не содержится маркировка спектра оператора класса. Можно доказать, что число собственных значений для каждого *^((а)) равно числу классов группы Sn, поэтому для перечисления собственных значений оператора 7£((а)) с данным (а) пригодны параметры [X]. В итоге получаем, что Л является функцией, зависящей от (а) и [X], т. е. Л = Л((а), [X]), причем оба этих набора независимо друг от друга принимают все допустимые значения. Учтем еще, что 5п-неприводимые пространства являются пространствами, характеризуемыми определенными собственными значения- 7*

ми всех коммутирующих операторов Х((а)), следовательно, их естественно маркировать символами [X]. В итоге приходим к уже высказанному утверждению, что разбиения (8.22) маркируют 8п- неприводимые представления; формулы для их размерности можно найти, например, в [14].

Пусть Ф(Мр)— 5п-неприводимый базис в пространстве ^(1Х,1). Принимая во внимание сказанное, пишем

Я((а))Ф(№) = Л(^ М)Ф(Мр) (8.25)

для всех (а). Формула (8.25) показывает, что Ф([Х]ц) являются собственными функциями операторов класса. Замкнутые формулы для Л известны во многих частных случаях, важных в приложениях. В частности, в случае класса (1п-1 2)

п

Л ((1П-2 2), IM) = 1 2 Xi (Х4 - 2г + 1). (8.26) 2=1

Доказывается, что Л связан с характером Xw матрицы Sn-неприводимого представления D^f.p) соотношением п (а) х<а) = c^jA ((а), [X]), в котором ^(а)—число элементов класса (a), a d(x] — размерность Sn-неприводимой матрицы Z)[X1.

Проиллюстрируем на примерах маркировку неприводимых представлений группы Sn. В приложениях будем встречаться с так называемыми симметрическим (скалярным) и антисимметрическим Sn-неприводимыми представлениями, задаваемыми схемами Юнга И = [^ 0 ... 0] и [ln] = [1 1... 1]. Матрицы обоих представлений одномерны; Dw(p) равно единице для всех р, а Д^1 ’ (р) равно + 1 для четных и — 1 для нечетных перестановок. Симметрическое и антисимметрическое представления исчерпывают все одномерные представления групп Sn.

Следующий по сложности тип Sn-неприводимых представлений характеризуется схемами Юнга [XtX2] = [XtX20 ... 0], содержащими не более двух строк. Условие М > Х2 удобно учитывать в явном виде с помощью новых параметров S и и, связанных с Xt и Х2 соотношениями 2X1 = n + 2S, 2Х2 = п — 2S, где S = 0, 1, 2, ..., п/2 при п четном и S = 1/2, 3/2, ..., п/2 при п нечетном. Тогда имеем маркировку Yn/2 + S, n/2 — S], для которой в приложениях будем пользоваться сокращенным обозначением Ха. Схема Ха, сопряженная со схемой Ха, имеет п/2 — S строк длиной два и 2S строк длиной один, т. е. Хо^ [2n/2-s7 12S], При S = п!2 схема Ха становится симметричной, а Ха — антисимметричной.

Встретимся еще со специальным типом Sn-неприводимых представлений, задаваемых схемами

1 (£3, кг, к^ = [^зЧ2?1], (8.27) в которых kt + 2&2 + ЗЛ3 + 4^4 = п. Они характеризуются таблицами 100

Юнга, содержащими не более четырех столбцов. В (8.27) цифры^!, 3, 2 и 1 повторяются соответственно к^ кз, к2 и к^ раз. Схема [X], сопряженная со схемой (8.27), маркируется разбиением

[X] — [Х1Х2Х3Х4] ~ \кь + ks + к2 4“ к^ Д4 + А3 + к^ kt + кз, й4]. (8.28)

В приложениях вместо к8) к2, kv иногда используются параметры Р, Р' и Р", определяемые соотношениями

2Р = ki + 2к2 + &з =' (Xi — Х4) + (Хг — Х4)—(Х3 — Х4),

2Р' = к, + к3 =>(Х1 - Х4)~ (Х2 - Х4)+1(Х3 -Х4),(8.29)

2Р" = к, - кз =* (М - Х4) - (Х2 - Х4) - (X, ~ Х4),

зависящими лишь от разностей Хг —Х4 (i=l, 2, 3).

4. Неприводимые представления компактных матричных групп, В настоящем пункте будут описаны все неприводимые представления групп ит, SU г, Or, SO r и Spr, а также особый класс неприводимых представлений группы SOT — ее спинорные (неистинные) представления. Свойства описываемых ниже маркировок неприводимых представлений перечисленных групп обусловливаются их компактностью. Некомпактные группы обладают гораздо более сложными неприводимыми представлениями. Если неприводимые представления компактных групп можно задать наборами целых или полуце- лых чисел, то для характеристики неприводимых представлений некомпактных групп кроме дискретных необходимо еще пользоваться и непрерывными параметрами.

Можно провести параллель между способами построения представлений дискретных и непрерывных компактных групп. В первом случае, как это было видно на примере группы Sn, обозначения неприводимых представлений связаны с маркировкой собственных значений набора коммутирующих операторов класса. В случае непрерывных групп также имеется набор коммутирующих операторов, собственные значения которых используются для маркировки неприводимых представлений (см., например, § 18 в [14]). Все неприводимые пространства компактных групп являются конечномерными, тогда как среди неприводимых пространств некомпактных групп встречаются и бесконечномерные пространства.

По сравнению с дискретными группами в теории компактных непрерывных групп используются более разнообразные технические приемы. Имеются по крайней мере три взаимосвязанных метода построения их неприводимых представлений — метод индуцированных представлений, инфинитезимальный метод и метод, основанный на конструировании неприводимых тензоров с двойным базисом. Описание их основ увело бы в сторону от излагаемого предмета, поэтому, не останавливаясь на этих вопросах, приступим к описанию неприводимых представлений компактных матричных групп.

Начнем с группы UT. Из-за специфических свойств тензорных пространств унитарных групп (см., например, § 3, 4 в [14]), кото-

рых мы еще коснемся в п. 14.2, неприводимые представления группы U, маркируются символами [Л] того же вида, что и неприводимые представления (8.22) симметрических групп Sn с п = 0, 1, 2,... При этом подразумевается, что при п = 0 имеем разбиение числа нуль, дающее С7г-скалярное представление [0]; при п = 1 получаем Е7г-неприводимое представление [1]. Отличительная черта маркировки (7г-неприводимых представлений по сравнению с маркировкой Зп-неприводимых представлений заключается в том, что в случае UT допустимы лишь схемы Юнга, число строк которых не превышает г, т. е. берутся лишь разбиения чисел п = 0, 1, 2, ... на не более чем г слагаемых. Учитывая сказанное, С7г-неприводимые представления обозначим через

М = [ХА2,V|,(8.30)

где Xi + Х2 + ... + Хг = п (п = 0, 1, 2,. ...).

Всевозможные [X] вида (8.30) еще не исчерпывают всех неприводимых представлений унитарных групп. Существуют неэквивалентные им ?7г-неприводимые представления, маркируемые символами

[Xi + я, Х2 + а, ..., Хт + я],(8.31)

в которых все Х< (f — 1, 2, ..., г) сдвинуты на целое число а, принимающее значения а = 0, ±1, ±2, ... Маркировка (8.31) при а = 0, 1, 2, ... не дает новых представлений по сравнению с (8.30), однако, когда а = —1, —2, ..., символ (8.31) обобщает стандартную схему Юнга. Матрица представления (8.31) отличается от матрицы представления (8.30) лишь фазовым множителем. Обе матрицы связаны соотношением

DvyaXr+al = (det U^D^M,(8.32)

в котором, в силу свойств унитарных матриц, det UT = exp йр.

Неприводимые представления группы Un обозначаемые символом (8.31), будем называть представлениями, сдвинутыми на а; С7г-неприводимое представление, обозначаемое символом

[XJ+ — [—Хт — сц —Хт—1 — й, ..., —Xi — я],(8.33)

называется сопряженным по отношению к представлению (8.31). Перейдем к описанию неприводимых представлений группы SUr. Матрицы UT отличаются от матриц SUT лишь тем, что определитель последних равен единице. Поэтому при приведении ит-не- приводимых представлений на подгруппе SUT достаточно выделить зависимость С7г-неприводимых матриц от det UT и положить ср = 0. Доказывается, что матрицы UT- и 5С7г-неприводимых представлений связаны выражением

оК-у1’+‘| = (del(8 34)

в котором Dsur обозначает 5С7г-неприводимые матрицы с определи* 102

телем, равным единице. Формула (8.34) показывает, что SUr-не- приводимые представления маркируются символами

[X] — [Ai — Хг, Хг — *КГ1 ..%r-i — Аг],(8.35)

схема Юнга которых содержит не более чем г — 1 строку. Используя связь (8.34) между матрицами UT- и SUr-Heприводимых представлений и маркировку (8.33) сопряженного представления, находим, что SUr-неприводимое представление, сопряженное с (8.35), имеет вид

[А]+ [xt - ХТ1 Xi - Xr-i, ..^ - А2].(8.36):

Сравнивая (8.35) и (8.36), убеждаемся, что [А]+ совпадает с [А] лишь в случае SU2.

Из (8.34) видно, что каждое [7г-неприводимое представление содержит определенное SUr-neприводимое представление. Поэтому на цепочке Ur^ SUT расщепления не происходит и все ит-неприводимые представления вида (8.31) содержат лишь одно 5С7г-не- приводимое представление с маркировкой (8.35).

Приступим к описанию неприводимых представлений группы 80т (г = 2, 3, ...). Будем различать четные и нечетные г и, кроме того, в каждом из этих случаев — истинные и спинорные представления. Пусть <г/2> обозначает целую часть числа г/2. Возьмем набор целых неотрицательных чисел тп^ пг^, ..., тп(г/2>, удовлетворяющих условиям ^ т2 ^ ... ^ тп<г/2)1 где тп^ тп2 + ... ... + тп(г/2) = 0, 1, 2, .... Этих чисел будет достаточно для маркировки 5Ог-неприводимых представлений при нечетных г. Для четных г введем еще знак числа тпг/21 т. е. будем пользоваться числами ±ТПт/2.

Доказывается, что все истинные SOr-неприводимые представления маркируются символами

(га) = (ratra2... Tn<r/2)_tTrt<r/^(8.37)

для нечетных г и символами

(,тп>)^(<тп1тп2...тПт/2-11 ±mr/2)(8.38)

для четных г. Спинорные представления групп SOT задаются символом

(га + 1/2) ^(mt + 1/2, m2 + 1/2, ..., m<r/2y_t + 1/2, т<т^ + 1/2)

(8.39) для нечетных г и символом

(т + l/2) = (rat + 1/2, тп2 + 1/2, ..., mT/2-v + 1/2, ±гаг/2 + 1/2)

(8.40)

для четных г. Этим и исчерпываются все неприводимые представления группы SOr.

Перейдем к описанию неприводимых представлений группы От. Начнем с ее истинных представлений. В п. 7.4 было выяснено, что

эта группа кроме собственных вращений содержит операцию отражения. Пример (7.8) и вытекающие из него формулы (7.9) показывают, что отражение не коммутирует с вращениями, поэтому оператор отражения, вообще говоря, имеет матричные элементы, как диагональные, так и недиагональные по SOr-неприводимым представлениям. При изучении его матрицы обнаруживается, что при расширении SOr до Ог в зависимости от четности г и маркировки SOr-неприводимых представлений встречаются следующие два случая: либо оператор отражения из данного SOr-неприводимого представления порождает два неэквивалентных Ог-неприводи- мых представления, либо отражение объединяет два SOr-неприводимых представления в одно Or-неприводимое представление. Доказывается, что во всех случаях для нечетных г и во всех случаях с тт,2 = 0 для четных т операция отражения из каждого представления (8.37) или (8.38) с т^г = 0 порождает два неэквивалентных Or-неприводимых представления. В случае же (8.38) с ■т^г ^ 0 отражение объединяет SOr-неприводимые представления +тПг/2 и —шг/2 в одно Ог-неприводимое представление. Для общей записи обоих -случаев введем набор целых неотрицательных чисел o)i, о)2, ..., о)(г/2>7 удовлетворяющих условиям o)t > о)2 > ... . ..>0)<г/2>, где 0)1 + о)2 + ... + о)<г/2> = 0, 1, 2, ..., и тогда все истинные Or-неприводимые представления можно маркировать символами

(о)) = (0)10)2... о)<г/2>),(8.41)

(го)’ = (ю^ ... го(г/2>)т.(8.42)

Неприводимые представления (8.42) будем называть ассоциированными по отношению к представлениям (8.41). Во всех случаях ассоциированное представление неэквивалентно исходному, за исключением случая о)г/2 ^ 0 при г четном; в этом и только в этом случае (8.41) и (8.42) унитарно эквивалентны. Описанные выше свойства оператора отражения теперь можно сформулировать в виде следующих правил: при сужении Ог-неприводимых представлений на подгруппе SOT во всех случаях, за исключением о)г/2 ^ О при г четном, расщепление не происходит, т. е. на цепочке От =) 8ОТ

(ш^ . . .C0(r/2))o = (о)^ • • • G>(r/2))sCU

т(8.43)

(«iOg . . . 0)(r/2))or = (O)1G)2 • • • °\r/2))sOr-

В случае же Шг/г^О (г—четное)

(OjLOg . . . 0)r/2)or = («!, 0)2, . . ., + 0)r/2)sOr + (®i, 0)2, . . . , — 0)r/2)SOr.

(8.44)

В правой стороне соотношений (8.43) и (8.44) приведены SOr-неприводимые представления (8.37) и (8.38), в которых вместо тгц пишется (Oi.

104

Осталось описать неприводимые представления компактной симплектической группы 8рт (г = 2, 4, ...). Они маркируются символами

(о) = (01О2... Ог/2), (8.45)

в которых 01, о2, ..., Ог/2 — целые неотрицательные числа, удовлетворяющие УСЛОВИЯМ Ot > 02 > . . . > Ог/2 И 01 + 02 + . . . + Ог/2 =* = О, 1, 2, .... Симплектическая группа не имеет спинорных представлений. Определитель симплектических матриц равен единице, поэтому в случае группы Spr нет аналога цепочек Ur^SUr и От SOr.

Все неприводимые представления групп UT1 0Tl Spr и их подгрупп SUr и S0T конечномерны. Известны формулы для их размерностей, которые можно найти, например, в [14], где также приведены таблицы размерностей.

При комплексном сопряжении UT- и 5С7г-неприводимые представления [X] с маркировками (8.31) и (8.35) заменяются представлениями [Х]+, обозначения которых приведены в (8.33) и (8.36). Комплексно сопряженные представления ортогональных и симплектических групп унитарно-эквивалентны исходным. Знак ассоциированного представления ортогональных групп не имеет отношения к комплексному сопряжению.

Полные обозначения неприводимых представлений загромождают формулы, поэтому в дальнейшем, как и в (8.37) — (8.42) и (8.45), наряду с полными будем пользоваться и сокращенными обозначениями [X], (т), (т+1/2), (со) и (о). Иногда скобки снабдим нижним индексом, указывающим группу, например, (o)J или (т)6 будет обозначать 05- или 5О6-неприводимые представления. В тексте и в общих формулах часто будем опускать скобки и писать X,сот7^ и т. п., называя группу словами, например: «(/г-не- приводимое представление X», «ЗС^-неприводимое представление т» и т. п. Задавая конкретные представления, будем пользоваться скобками, например, С76-неприводимое представление [3 21]6 или SOs-неприводимое представление (5,2,1,—1)8. Введем специальное обозначение для сдвинутых С7г-неприводимых представлений, опуская содержащиеся в середине нули, например [а, — 6] вместо [а, 0, ..., О, —Ъ^ [2, —1, —1]5 вместо С75-неприводимого представления [2 0 0—1 —1]5 и т. п. Обозначение 5п-неприводимых представлений (8.22) совпадает по виду с обозначением UT- и SUr-He- приводимых представлений (8.30) и (8.35), поэтому при необходимости будем объяснять словами, к какой группе относится данная схема Юнга X.

Отметим еще, что унитарные, ортогональные и симплектиче- ские матрицы D.D и D , определяющие матричные элементы группы Uri От и SpT1 дают матричные представления этих групп, маркируемые соответственно символами [l]r = [1 0 ... 0], (1)г=(1 0 ... 0) и <1>г = <1 0 ... 0>. Комплексно сопряженные унитарные матрицы обозначаются символом [— 1]г — [О ... О — 1],

Матрицы вращения D^, определяющие группы SOT1 маркируются ^Ог-неприводимым представлением (1)г = (1 0 ... 0). Матрицы вращения D^T являются неприводимыми для г = 3, 4, ..., но становятся приводимыми, как это видно из свойств матрицы (7.5), в случае г = 2; несмотря на эту особенность, (7.5) также будем обозначать через D .

По традиции неприводимые представления групп SUT и SOT с небольшими г обозначаются иначе, чем это вытекает из общих их маркировок. Например, 5С72-неприводимые представления принято обозначать / или У, 5О3-неприводимые представления — I или L,

Таблица 8.1. Обозначения и некоторые свойства неприводимых представлений групп U ^ SUr, От и SOT при г = 1, 2, 3, 4

г=

1

2

3

4

иг

[Х+а]

Р-1 4" Л, Х2 + + а]

[Xz + a, x2 + +а, X3 + a]

[X^X2 4~ с,

X3 4~ ^» X4 4“ ^ 1

sur

нет

[Х1-Х2]

[Xi — X3, X2 X3] (X|l) = (Xj X2. X2 — X3)

[Xi — X4, X2 X4, X3 — X4] (PP'P") —CM. (8.29)

Or

(0), (О)’

(0), (0)т и

(to) ~ (to)v при со =1,2,...

(to), (to)T

(to^), (totO)* И (to!to2) ^ (to1to2)V при to2 = 1, 2, ...

sor

нет

(±m)

±/n

(m)

L = m

(m-t, ±m2)

(2/i, 2/2) =

/ 11\

= 1 -^ (mj+m2), "2" (mx—m2) 1

°т ° 80 т

нет

(0) - (0)

(0)т(0)

(to) -+ (to) +

+ (-а>)

при to=l, 2,...

(to' -> (to)

(to)v(to)

(cOxO) ^- (tot0)

(tox0)v (toxO) И

(tolto2) ->

(to,to2) + (toi, —to2) при too " 1, 2,...

5С73“Неприводимые представления—(X ц) и т. п. Соответствия между различными обозначениями и некоторые свойства неприводимых представлений групп Un SUr, От и SOr с г^4 приведены в табл. 8.1. Во втором ряду этой таблицы выписаны обозначения Г7г-неприводимых представлений (8.31). В третьем ряду приведе- 106

ны маркировки 5С7г-неприводимых представлений (8.35) и, кроме того, указаны другие используемые обозначения — момент / с 7 = 0, 1/2, 1, ... в случае SU^ обозначения, введенные в [117] для SUa и в [153, 154] для SU4. В четвертом ряду перечислены Ог-не- приводимые представления. В частности, группа 0^ состоящая из двух дискретных элементов, обладает лишь двумя неприводимыми представлениями — скаляром (0) и псевдоскаляром (0)\ Для группы От с г = 2, 3, 4 даны маркировки, вытекающие из (8.41) и (8.42), приведены ассоциированные, а в случае четных г тильдой указаны и самоассоциированные представления. В пятом ряду перечислены ЗОг-неприводимые представления (8.37) и (8.38), а также приведены общепринятые обозначения ±пг для SO^ L для 8О3 и обозначение 5О4-неприводимых представлений с помощью двух моментов /1, /2 с }ъ /2 = 0, 1/2, 1, ..., вытекающее из изоморфизма SOk ~ SlhX 8иг. В последней строке таблицы выписаны в явном виде формулы (8.43) и (8.44), перечисляющие неприводимые представления групп 8ОГ с г = 2, 3, 4, содержащиеся в Ог-не- приводимых представлениях.

Некоторые авторы предпочитают маркировать неприводимые представления компактных групп с помощью так называемых старших весов. Взаимосвязь таких обозначений с рассмотренными выше маркировками приведена в § 18 [14].

Разложение и техника сужения приводимых представлений

Типичные задачи приведения. В приложениях теории групп часто встречаемся со следующей типичной задачей приведения. В реализованном определенным образом пространстве й генерируется матричное представление М(g) операторов R(g) группы G и затем отыскивается разложение представления M^g^ по G-неприводимым компонентам Dx^gY На первом этапе решения этой задачи выясняется неприводимый состав матрицы M^g^ т. е. перечисляются G-неприводимые компоненты X, содержащиеся в M^g). В п. 8.2 уже было выяснено, что для этой цели достаточно знать характеры %м и %х и, пользуясь разложением (8.15), найти кратности а(Х). Используя формулу ортогональности характеров неприводимых представлений, выводимой с помощью (8.16), из (8.15) получаем

(9.1)

где gt обозначает параметры классов, a d,VJVQ — нормированный к единице элемент объема для параметров gt. Формулу (9.1) приспосабливаем для дискретных групп, заменяя интегрирование по gt суммированием по классам, а йт'/У0 — отношением п(Kt)/п(G), где n^Kt) и ^(G)—числа элементов класса Kt и группы G.

Чаще всего встречаются три типичных способа построения приводимых матриц. В первом из них в качестве М^ берется прямое

произведение D^1 (g) X D^ (g) двух G-неприводимых матриц. Тогда ХМ=Х ^^и при определенных а(Х), которые в данном случае обозначаем через а(^ХХ2-^), необходимо знать лишь характеры G-неприводимых представлений.

Во второй типичной задаче матрицы Go-приводимого представления М^ генерируются из матриц G-неприводимого представления DM^gV сужая последние на подгруппу Go, вложенную в G по цепочке G^G0. Совокупность матриц Dx(g0^ для gOl принадлежащих GOl вообще говоря, приводима и требуется найти их Go- неприводимый состав. Такой тип приведения будем называть сужением G-неприводимых матриц на подгруппе Go. Кратности а(Х), определяемые из (9.1) в случае такого сужения, будем обозначать через а(Х => Хо).

Третий способ построения приводимых матриц М^ основан на вложении подгруппы Go в группу G в смысле плетизма*). Его суть состоит в следующем. Возьмем подгруппу Go груп- [Ц,

пы G, задаваемую г0-мерными матрицами D °(g0)- Образуем прямое прбизведение [l]r0 X [1]г0 таких матриц и разложим его на dm = г0(г0 + 1)/2-мерную симметрическую D r°(g0) и dw = = г0(г0 — 1)/2-мерную антисимметрическую D 0 (g0) составляющие. При таком разложении из базиса Ф (^Ьон) Ф (Ш^Х) пространства [i]p tilr

Й °Х Я 0образуются базисы Ф ([2]г0^') и Ф ([llj^v") прост- [2]г[11]г°

ранств 5?0 и 5g °, являющиеся соответственно симметриче

скими и антисимметрическими тензорами второго ранга подгруппы Go. Возьмем теперь группу G, задаваемую б/[2]-мерными матрицами Gd[2](g) или (/[И]-мерными матрицами G^ (g), и отыщем в

[2]г[11],1

них D 0(g0)или D °(g0). Тогда имеем множество матриц группы и множество матриц представления подгруппы. Вложение последнего множества в первое (такое вложение обозначим через ^d[2] -° ^ 1 (g0) либо Gd[n] zd Z)[11] (g0)) и называется вложением Go в G в смысле плетизма. Сокращенно его будем обозначать как Ga ^ Go, поясняя словами способ такого вложения. Типичный пример вложения в смысле плетизма, часто встречаемый в приложениях, дает цепочка С/Го(Го+1)/2=) ^го; при г = 3 из нее получаем вложение Ue => U3 в смысле плетизма.

Выше шла речь о плетизме, основанном на разложении прямого произведения двух Go-неприводимых представлений. Это понятие обобщается на случай прямого произведения [l]r0 X [l]r X X ... Х[1]г0 произвольного числа, скажем, п неприводимых пред-

ставлений [1]г0 подгруппы Go. Аналогично предыдущему случаю матрица ^-кратного прямого произведения разлагается через прямую сумму d(X0, г0)-мерных матриц О^О^), характеризуемых схемами Юнга Хо (подробности см. в § 3 [14]); далее берется группа G, задаваемая d(XOl г0)-мерными матрицами G^g), затем множество матриц Ga^g) сужается до подмножества Z)^°^(g0), и этим завершается вложение Z>*-X°*(g0) в Gd(g) в смысле плетизма. Аналогично предыдущему обозначим его через G^^^zd Go; ПРИ ^о, равном [2], либо равном [11], получаем из него ранее рассмотренные случаи.

Выше не утверждалось, что Z)^ (g^ является Go-неприводимым представлением. В зависимости от группы Go оно может оказаться приводимым, и тогда возникают дополнительные вопросы, связанные с его приведением. Отсылая к подробностям в [129, 53, 14], укажем лишь, что Z)^ (g0) неприводимо, когда Go является унитарной группой Ur , и, вообще говоря, приводимо, когда в качестве Go выступают ортогональная От^ или симплектическая SpT^ группы.

Общая задача приведения в смысле плетизма формулируется следующим образом. Множество Gd-неприводимых матриц D7^ сужается на подгруппе Go, вложенной в Gd в смысле плетизма. Тогда получаем Go-приводимое представление D^g^, разложение которого на Go-неприводимые компоненты и является третьей типичной задачей приведения. Go-неприводимый состав представления Dx^g^ находим, вычисляя с помощью (9.1) кратности а(Х), которые в данном случае будем обозначать a(Z=^X0), дополнительно указывая, что Go вложено в Gd в смысле плетизма.

Цепочки подгрупп. Перейдем к обсуждению конкретных групп и их подгрупп, встречаемых в типичных задачах приведения. Первая из этих задач — неприводимое разложение прямого произведения — ставится и решается в рамках определенной труппы G. Поэтому для круга рассматриваемых нами групп встречаемся со следующими разложениями прямых произведений неприводимых представлений: X' X X" для Sn, X' X X" для Uri о' X о" для От и o' X о" для Spr; аналогичные разложения для групп SUT и 8ОТ требуют лишь незначительных модификаций, вытекающих из описанных в п. 8.4 правил приведения на цепочках Ur^SUr и От sor.

Более разнообразна вторая типичная задача приведения, в которой встречаются различные цепочки подгрупп. Такие цепочки удобно перечислять, начиная cG - Go< в которых Go является подгруппой с тем же названием, что и группа G. К цепочкам такого типа принадлежат Sn zd Snr Ц- Sn^, UtdUti -VUT*, От zd От» Ц- Ог„ и Spr zd SpTr -j-SpT» с n + n" = n (тг" = 1, 2, ..., n — 1) и г'+ г" *г (г" = 1, 2, ..., г—1). В первой из них подразумевается, что операторы подгруппы Snr переставляют индексы 1, 2, ...

..., п*, а подгруппы SV— индексы п + 1, п + 2, ..., ти В остальных цепочках матричные подгруппы GT, и GT„ вложены в группу Gr в виде прямой суммы соответствующих матриц.

При п" = 1 либо г" = 1 перечисленные цепочки называются каноническими, а при n" > 1 либо г" > 1 — полуканоническими. При п” = 2 либо г" =2 полуканонические цепочки будем называть простейшими полуканоническими цепочками. Из-за четности г, в случае группы Spr каноническая цепочка не существует.

Другое вложение одноименных подгрупп осуществляется по цепочкам Uр, р,, ) Uр, ^^ UркОргрн j Ор, )^ Ор„ и SРр,р„ —) SРр, )^ SРр„ъ в которых в матрицы размерности г г" вложено прямое произведение матриц размерностей г и г". Встречаются цепочки иного вида, в которых в G вложена матричная подгруппа Go другого названия. Такой тип вложения дают цепочки Ur^ Ог и Ur^ Spr, позволяющие спуститься от унитарных групп к подгруппам, задаваемым вещественными ортогональными и симплектическими матрицами той же размерности. Напомним, что явная конструкция вложения группы От в UT была рассмотрена в п. 7.4.

Более сложных! тип цепочек встречается, когда в матричную группу вложена дискретная группа. В дальнейшем понадобится вложить симметрическую группу Sn в On-V по цепочке On-V =^ Sn. При таком вложении определяются те численные значения углов и параметров отражения ортогональных матриц, которые ведут к матрицам п — 1-мерного 5п-неприводимого представления [п — 1, 1]. Эту задачу удобно решать рекуррентным способом, сопоставляя с п—1-мерной 5п-неприводимой матрицей DVTt-v 11 (pn-i, п) для элемента pn-i, п группы Sn соответствующую ей матрицу группы On-i. В случае параметризации Ог = Rr(er)SOr с использованием (7.15) и (7.17) при г = п—1 такое вращение дается матрицей Т’п-г.п-хС^п^-!^)* В качестве представления элемента pn-i,n возьмем матрицу f)^-1.1], генерируемую оператором pn-i,n на векторах Якоби (1.10), подразумевая, что элементы группы Sn переставляют индексы векторов гь г2, ..., гп. Легко проверить, что pt, р2, ..., Рп-з не меняются при действии на них оператором Рп-^п, поэтому

Рп— l,n (pi

= (Рь

где 7П_3 — (п — 3)-мерная единичная матрица. Матрица в (9.2) и дает искомое представление Du-iA1 ^Pn-i.n) оператора Рп-^.п.

Рассмотрим соответствие операторов pn-v * ~* Тп-2, n-i и их матриц W-^Д Обе матрицы в этом соответствии содержат лишь один одинаково расположенный недиагональ- 110

ный 2 X 2-мерный блок. Поэтому достаточно изучить соответствие

(

1 ~]/п(п — 2)\

й^й I^f cos^n"?!11 sin#^1* А

(9.3)

Приравнивая матрицы в (9.3), находим, что an-i = 1, cos O^L"^ = = 1/(и — 1) и sin ^n^i0 == ]/n(n — 2)/(n—1). Проведенный анализ позволяет сделать вывод, что вложение Sn в On-i по цепочке On-i => Sn дается рекуррентным шагом с on-i = 1 и значением угла ^n^i^ удовлетворяющим приведенным выше равенствам. Рассмотренная цепочка является плотной в том смысле, что между OH-i и Sn нельзя вложить непрерывную группу. Менее плотное вложение дает цепочка Оп => Sn, в которой подразумевается, что в п-мерные матрицы вращения вложена прямая сумма DUA (р)4- D[n~^11 (р) матриц 5п-неприводимых представлений [п] и \п—1, 1]. В этом случае между Оп и Sn можно вставить Оп-^ что ведет к цепочке Оп => Оп-1 ^ Sn, составленной из фрагмента канонической цепочки Оп ^ Оп-t и уже рассмотренной цепочки On-i ^ Sn.

Выше были перечислены лишь наиболее типичные цепочки, встречающиеся в приложениях. Возможны другие менее стандартные вложения Go в G, в их числе — уже обсуждавшиеся вложения в смысле плетизма.

Маркировка неприводимых базисов. Во многих приложениях теории групп необходимо детализировать индексы базисов ег и е/" в пространствах 91 и 2?, в частности, индексы ц для G-неприводимых функций Ф(Лц) и Ф+(Хц). Обычно для этих целей используются цепочки подгрупп. Прежде чем перейти к обсуждению техники маркировки базисов с помощью неприводимых представлений симметрической и компактных матричных групп, вспомним ранее использованные и введем несколько новых обозначений.

Как и раньше, если не указана конкретная группа, будем иметь в виду произвольную дискретную либо компактную матричную группу. Как правило, в общих формулах неприводимые представления группы G будем обозначать через X. В случае конкретных групп Л будет обозначать Sn- или С7г-неприводимые представления, а т. о) и о — соответственно SOy-, ОТ- и 5рг-неприводимые представления.

При маркировке G-неприводимых функций Ф(Хц) и Ф+(Хц) с помощью цепочки G =) Go типичен следующий шаг. Пусть Хо и р,0 обозначают Go-неприводимые представления и их базисы. Как и раньше, число повторений Хо в X будем обозначать через а или — более полно — через «(Х^Ло); при приведении прямого произведения будем использовать обозначение а(^Х^2 ■* X) либо а и т. п. Индекс повторения, т. е. индекс, нумерующий одинаковые Ло в Л, удобно обозначать той же буквой, что и число повторений, поэтому

будем писать X=a'Xz0+a"Xg+. .. (здесь а', а", ... — числа повторений Хо, Хо, ... вХ)или Ф(ХаХо|1о) (здесь а — индекс повторения, нумерующий базисные функции с одинаковыми X и Хо); из контекста будет ясно, обозначает ли а число повторений или индекс повторений.

Типичны следующие два способа детализации маркировки базисных функций. В первом из них, указывая структуру базисного индекса ц, говорим, что базис G-неприводимого представления X приведен на цепочке G => Go, и тогда меняем ц на aX0|i0. Для базисных функций это означает замену Ф(ГХц)-> Ф(ГХаХоЦо), где Г — дополнительные характеристики функций, которым при необходимости придается определенный смысл.

Во втором способе детализации базиса расширяем группу Go. Пусть имеем Go-неприводимый базис Ф(ГХоЦо). В тех случаях, когда понадобятся более детальные сведения об индексах Г, возьмем группу G, цепочку G => Go и заменим Г на ГХа. Для базисных функций это дает замену Ф(ГХоро)_> Ф(ГХаХоЦо), где в новых функциях Г обозначает прежний набор дополнительных характеристик Г, из которого исключены индексы X и а.

Замена ц на аХоцо ведет к детализации базиса путем привлечения подгруппы Go, а замена Г на ГХа — путем введения группы G. Разумеется, такая детализация может быть продолжена. Например, для цепочки G => Go => GOi, спускаясь по ней, будем усложнять р и писать

Ф(ГХц)-> Ф(ГХаХоцо)-> Ф(ГХаХоаоХО1Ро1) (9.4)

либо, поднимаясь по ней, выделять новые характеристики из Г; тогда

Ф (ГХ01Р01) ~** Ф(ГХоаоХо1Цо1) ~** Ф(ГХаХоаоХО1ро1), (9.5)

и аналогично — для Ф+. Если специально не оговорено, будем пользоваться ортонормированными базисами по всем их индексам, включая ортогональность по а.

Техника сужения. Уже отмечалось, что при решении типичных задач приведения, в частности для маркировки базисов, используются различные группы и их подгруппы, описанные в п. 9.2. Появляющиеся разнообразные группы и их неприводимые представления унифицируются, и на первом этапе применения техники расчета с характерами представлений групп UT1 Or, Spr и Sn вместо специфической маркировки неприводимых представлений каждой из перечисленных групп используется так называемая 5-функция, называемая еще функцией Шура. Эту функцию принято обозначать через Ш = (Х,Х2... X J. Она задается для набора целых чисел Хп Х2, ..., X/, необязательно расположенных в лексикографическом порядке. Ее аргументы, кроме нулевых и положительных, могут принимать также отрицательные значения. С помощью определенных правил набор чисел Хи Х2, ..., Xt можно привести к 112

лексикографическому порядку. Тогда аргументы 5-фупкций становятся целыми неотрицательными числами, удовлетворяющими условиям Xt ^ Х2 ^ ... ^ Xt; 5-функция, зависящая от такого набора аргументов, называется 5-функцией в стандартной форме.

Любую 5-функцию можно привести к стандартной форме с помощью следующих двух правил:

5-функция равна нулю, если ее последний аргумент отрицателен;

5-фупкция меняет знак, если два ее соседних аргумента переставить местами, после чего необходимо левый аргумент уменьшить, а правый аргумент — увеличить на единицу, т. е.

{...Хй X<+1...} = -{...Xi+1-l, Х<+1...}. (9.6)

Из второго правила, в частности, следует, что в том случае, когда из двух соседних аргументов предшествующий на единицу меньше последующего, 5-функция равна нулю.

Второе из этих правил продемонстрируем, приводя {5—113} к стандартному виду. Имеем {5 —1 13} = —{5 0 0 3}={5 0 2 1}= = —{5 1 1 1}. В примере {3 —4 4 2}= —{3 3 —3 2}=(3 3 1 —2}= = 0 использовано также и первое правило. В практических применениях достаточно пользоваться приведенными выше свойствами 5-функции. Более подробное описание ее смысла можно найти в [73, 129, 53, 14].

При анализе неприводимого состава матриц, т. е. при вычислении кратностей (9.1) или аналога этой формулы для симметрической группы, сначала по определенным правилам производятся действия над 5-функциями — эти действия будут описаны ниже — и лишь затем полученные ответы интерпретируются в терминах неприводимых представлений конкретных групп и их подгрупп. Для такой интерпретации формулируются правила, называемые правилами модификации, позволяющие приспособить общие обозначения к конкретным группам. Правила модификации будут обсуждаться в следующем пункте настоящего параграфа.

Над 5-функциями {X'} и {X"} в стандартной форме выполняются пять операций, называемых внешним произведением, внешним делением, внутренним произведением, плетизмом и внутренним плетизмом. Эти операции обозначаются соответственно через (Х'НХЧ, {Х'}/{Х"}, {Х'}Х{Х"}, {Х'}®{Х"} и {Х'}О{Х"}. Операции {Х'НХ"} и {Х'}Х{Х"} линейны по отношению к обеим 5-функциям, а операции {Х'}®{Х"} и {Х'}®{Х"} линейны лишь по правой 5-функции.

Самой простой из перечисленных операций является внешнее произведение. Оно вычисляется путем умножения по определенным правилам S-функции {X'}, представляющей разбиение числа п', на 5-функцию {X"}, представляющую разбиение числа п". Результат внешнего произведения {Х'НХ"} разлагается через сумму 5-функций {X}, являющуюся разбиением числа п + п". Внешнее произведение коммутативно, т. е. результаты {Х'НХ"} и {Х"НХ'}

8 в. В. Ванагас ЦЗ

совпадают. Примером внешнего произведения может служить выражение {3 2X2 1} = {5 3} + (5 2 1} + {4 4} + 2{4 3 1} + {4 2 2} + + {3 3 2} + {4 2 1 1} + {3 3 1 1} + {3 2 2 1), в котором 5-функция {4 3 1} появляется дважды.

Операция внешнего деления S-функции обратна операции внешнего умножения. Результат деления {Х}/{Х'1 дает всевозможные 5-функции {X"}, внешнее произведение которых на {X'} дает Ш. 5-функции {X}, (X'} и {X"} соответственно являются разбиениями чисел п -¥ п" ч п' и п”. В качестве примера внешнего деления приведем следующее выражение: {4 3 2}/{2 1} = {4 2} + {3 3} + + {4 1 1} + 2(3 2 1} + {2 2 2}; дважды повторяющееся {3 2 1} означает, что в прямом произведении {2 1}{3 2 1} кратность {4 3 2} равна двум.

Внутреннее произведение {Х')Х{Х"} вычисляется для 5-функций {X'} и {X"}, являющихся разбиением одного и того же числа п. Результат внутреннего произведения разлагается через сумму 5-функций {X}, представляющих разбиение того же числа п. Следующее выражение дает пример внутреннего произведения: U-2, ^XU-^ 2} = U) + U-1, 1} + 2{тг — 2, 2) + U-2, 1, 1}+ + U-3, 3I + 2U-3, 2, 1J + U-3, 1, 1, 1J + U-4, 4} + U-4, 3, 1}+{м — 4, 2, 2}. При небольших п в этом выражении появляются нестандартные 5-функции, которые с помощью описанных выше правил приводятся к стандартному виду. Внутреннее произведение коммутативно, т. е. {Х'}Х{Х"}={Х"}Х{Х'}.

Плетизм является некоммутативной операцией. Результат пле- тизма {Х'}®{Х"} 5-функции {X'} слева на S-функцию {X"} справа записывается в виде суммы S-функций (X). Участвующие в пле- тизме {X'}, (X"} и {X} представляют разбиения соответственно чисел п\ п" и пп". Операция плетизма связана с вложением Gtt в G в смысле плетизма, обсуждавшегося в п. 9.1. Пример плетизма дает следующее выражение: {2 1}®{2 1}={6 2 1}+{5 4}+2{5 3 11+ +{5 2 2}+2{5 2 1 1}+{5 1 1 1 1Ж4 4 1}+3(4 3 2}+3{4 3 1 1}+ + 3(4 2 2 1)+2{4 2 1 1 11+3(3 3 2 11+{3 3 1 1 1ЖЗ 2 2 21+ + 2(3 2 2 1 11+{3 2 111 11+{2 2 2 2 1}.

Самую сложную из всех пяти операций над 5-функциями представляет некоммутативная операция внутреннего плетизма {Х'1® ®{Х"1 для {X'} слева и для {X"} справа, где {X'} и {X"1 представляют разбиения соответственно чисел п' и п". Результат внутреннего плетизма разлагается через 5-функции {X} для разбиения числа п . В качестве примера внутреннего плетизма приведем следующее выражение: Vn—1, 11®{3 1}={и — 4, 3, 11+{я— 3, 3}+ 2Ы— - 3, 2, 1}+{лг - 3, 1, 1, 1)+ 2Ы - 2, 21+ 3U - 2, 1, 0+ 2Vn - 1,1). При небольших п в этом выражении возникают нестандартные 5-функции, и тогда приводим их к стандартному виду.

Описанные операции дают основу технике расчета с характерами представлений симметрической и компактных матричных групп. При применении этой техники к унитарным группам 5-функции с лексикографически упорядоченным аргументом заменяются марки-

ровками ^7r-нeпpивoдимыx представлений по следующему правилу:

{^1^2{^1^2(9-7)(9-7)[[^Л-.-^d при *<г, ’ ‘|0 при t > г.

{^1^2

{^1^2

(9-7)

(9-7)

Для группы SUT в (9.7) переходим к маркировкам (8.35).

При сужении приводимых представлений компактных матричных групп используются следующие выражения характеров х Х1 неприводимых представлений унитарных групп через характеры Х(м) и у(а) неприводимых представлений ортогональных и симплек- тических групп:

[X] = 2“([М =>(«)) (ю),

(ю)(9.8)

[*] = 2(ф1э(Ш

(а)

В (9.8) краткости ради вместо х[Х] пишем [X] и аналогично — (со) и (о) для х(м) и х(а). Числа повторения а в (9.8) принимают целые положительные значения. Формулы (9.8) можно обратить, в результате чего получаем выражения

(9.9)(9.9)(®) = 2Р((Ч [X])[X],[А,]

(9.9)

(9.9)

(о) = 2|3((о), [X]) [X],[А]

в которых р принимает целые положительные и отрицательные значения. Разложения (9.8) и (9.9) осуществляются с помощью техники 5-функции (подробности см. в [129, 53, 14]). Примеры первой формулы в (9.8) дают выражения [0]r=(0)r, [1]г = (1)^ [2], =(2)г + (0)г, [3]г =(3)г +(1),, [21], =(21)г +(1),, [32], = = (32) г + (3)г + (21) г + (1)гт позволяющие сузить конкретные UT- неприводимые представления на цепочке UT ^ Ог; список формул такого типа приведен в приложении 10 книги [14]. Из приведенных формул легко получаем (32) т = [32], — [3]г — [21],. + £1]„ (21) г = [21], — [1]г — эти выражения иллюстрируют первую формулу в (9.9).

Перейдем к описанию конкретных правил сужения приводимых представлений. Прямое произведение X'XX" для 5„-неприводимых представлений X' и X" приводится путем вычисления внутреннего произведения {VJXtV'L Пример такого разложения дает приведенное выше выражение для {п — 2, 2)Х{п —2, 2), если в нем заменить 5-функции маркировками 5п-неприводимых представлений (8.22), предварительно приводя, при необходимости, 5-функции к стандартному виду.

Прямое произведение X'XX" двух С7г-неприводимых представлений приводится путем вычисления внешнего произведения {VHV'}, если заменить затем с помощью (9.7) входящие в его разложение 5-функции через маркировки С7г-неприводимых представлений. Например, из приведенного выше выражения для 8* 115

{3 2}{2 1} в случае группы U3 получаем [3 2] X [2 1] = [5 3] + 4 [5 2 1] + [4 4] + 2[4 3 1] + [4 2 2] + [3 3 2].

Для разложения прямого произведения Ог-неприводимых представлений шХш' и прямого произведения ^г-пеприводимых представлений о X о' с помощью (9.9) получаем

(®) х (О') = 2 Р (И А) Р ((o'), [V]) ([X] х [X']) (9.10) [M,[V]

и аналогично — для о X о'. Далее осуществляем разложение [X] X X(V] и в полученном выражении с помощью (9.8) возвращаемся к От- либо к 5рг-неприводимым представлениям. Например, используя описанную выше технику, находим, что (3)ГХ(21)Г== = (51)г+ (42)г+ (411)г + (321)г + (4), + 2(31)г + (22)г + (211)г + + (2)г + (11)г.

Отсылая за подробностями к [129, 53, 14], вкратце укажем способы приведения на остальных цепочках, перечисленных в п. 9.2. Сужение на цепочке Sn ^>8пг 4- 8П" осуществляется с помощью внешнего произведения S-функций. При приведении на цепочках UT zd Urr^- Uт^ От zd От, 4- От„ и Spr zd SpTr 4- 8рт„ применяется внешнее произведение, а на цепочках Urfr^ UTr х Ur^ OTrT„ zd OTr XOT„ и Spr^> 8рг, X 8ртн — внутреннее произведение 5-функций. Кроме того, в случае ортогональных и симплектических групп аналогично (9.10) еще используются формулы (9.9), а затем и (9.8). Примеры сужения на некоторых перечисленных цепочках будут приведены в п. 9.6.

Для приведения на цепочках Ur^ От и Ur^ 8рт по формулам (9.8), а также для сужения на цепочках Gd^GOl в которых Go вложена в Gd в смысле плетизма, применяется операция плетизма. Приведение на цепочке Ои-х ^ 8п осуществляется с помощью внутреннего плетизма. Примером сужения на этой цепочке может служить выражение (31)n-i = Vn — 4, 3, 1} + Vn — 3, 3) + 2Vn — 3, 2, D + U-3, 1, 1, 1} 4- {лг — 2, 2^ + 2U-2, 1, 1} + U - 1, 1}, в котором S-функции при n — 4 > 3 заменяются маркировками Su- неприводимых представлений (8.22); при п — 4<3 такая замена производится лишь после приведения S-функций к стандартному виду. Список формул такого типа имеется в приложении И книги [14].

Описанные в общих чертах методы анализа неприводимого состава G-приводимых представлений М(g) обладают большой универсальностью и позволяют вручную либо с помощью компьютеров решать практически все типичные задачи сужения, в которых присутствуют неприводимые представления симметрической и компактных матричных групп. Напомним еще раз, что более подробно с затронутыми вопросами техники S-функций можно ознакомиться в монографиях [73, 129], в которых приводятся доказательства. В (53, 14] техника S-функции описана с точки зрения практического ее применения, включая примеры и таблицы; в этих книгах также приведены ссылки на более поздние оригинальные работы, lie

Правила модификации для групп Ог и Spr. В формулах и в примерах использовались обозначения [Л], (ш) и (о) неприводимых представлений групп UT1 От и Spri которые могут оказаться недопустимыми для небольших г. Например, формула [3 2]г =(3 2)г + + (3)r+(2 1)г + (1)г непосредственно неприменима при г = 1, 2, 3, ибо Ог, О2- и Оз-неприводимые представления маркируются символами, содержащими лишь одно число (см. табл. 8.1), тогда как в приведенной формуле присутствуют маркировки (3 2)г и (2 1)г. Поэтому необходимо знать правила, позволяющие приспособить общие формулы к конкретным значениям г. Эти правила называются правилами модификации маркировок неприводимых представлений групп Ог, Ог и Spr.

Правила модификации для UT формулируются аналогично (9.7): маркировка [ХЛ2... ZJ допустима для UT при ^ г и вместо нее пишется ноль при t > г. Согласно этому правилу при г = 1 приве- - ценный выше пример дает 0=(3 2)1+(3)1+(2 l)t+(l)i, и чтобы выполнить это равенство, необходимо пользоваться правилами модификации для ортогональных групп.

В случае ортогональной группы От можно укоротить слишком длинные обозначения с помощью следующих правил. Пусть (ш) дается разбиением, содержащим <r/2> + 1 строки, т. е. имеет одну лишнюю строку. Все такие (ш) следует считать равными нулю за исключением ниже перечисляемых, которые заменяются на стандартные обозначения по следующим правилам.

Для нечетных г

(®i®2 ... ©(г/2)1)-^-(©х©2 ... ©(г/2))т,(9.11)

для четных г

(®1®2 . . . ©г/22) -> - (©х©2 . . . ©г/2) Т ,4

(©х©2 . . . ©r/2-il 1)(©х©2 . . . ©г/2-Х)Т ,

где, напомним, (©)’ обозначает ассоциированные представления (8.42).

Возьмем более сложный случай. Пусть (ш) дается разбиением, содержащим <г/2> + 2 строки. Тогда в случае От все такие (ш) считаются равными нулю за исключением следующих.

Для нечетных г

(to^ . . . Ш(г/2)2 2)-> — (ш^з . . . Ш(г/2)),

(йх©2 . . . ©(г/2>2 1) ->- — (©х©2 . . . ©(г/2))^ ,(9.13)

(©х©2 . . . ®(r/2)-ll 1 1)->(©х©2 . . . ©(г/2)-1)Т,.

для четных г

((О-^СОз • • • ^т,^ 3) > — (б)^0)з . . . 0)г/2), (б)^0)з . . . 0)г/з—12 2 2) >(б)^0)з . . . 0)г/2—1)»

(м^з ... 0)г/23 1) -> (ш^з ... ог/2),

(о)1о)2 ... о)г/2__12 2 1) “>(о)1о)2 ... б)г/2_il),

(о)1О)2 • . , 0)г/2_12 1 1) “> — (а>1(02 . . . (0г/2—1)т,

((D!^ . . е 0)r/2_2l 1 1 1) (ш^з . . . Шг/2_2)Т .

Учитывая (8.43) и (8.44), формулы (9.11) —(9.14) нетрудно приспособить для группы SO г-

Рассмотрим примеры. Пусть речь идет о группе 0^. Тогда <г/2>=0 и из (9.11) и (9.13) в случае неисчезающих маркировок получаем следующие правила модификации: (1)->(0)т, (2 2)-*—(0) и (21)-*—(О)1; последнее выражение в (9.13) для Ov не имеет смысла. Для группы О2 имеем г/2 = 1, и формулы (9.12) и (9.14) дают (о)2)->-(о))\ (11) =-(211)->(0)\ (соЗ 1) = - (®33)-> (о), (2 2 2)-* — (0) и (2 2 1)-> — (1); последняя формула в (9.14) для О2 не имеет смысла. В случае О3 имеем <r/2> = 1 и из (9.11) и (9.13) получаем: (о)1) =— (со2 1)-> (ш)т, (со2 2)-*—(ю) и (111)—> -(0)’.

Используя приведенные выше правила модификации для групп 0^ О2 и О3 и возвращаясь к примеру, с которого был начат настоящий пункт, убеждаемся, что (3 2)х + (3^ + (2 1)х + (l)i“> — (0)i + + (0)i = 0, т. е. выражение, получаемое при приведении [3 2]г на цепочке Ur^ Ог с г = 1, действительно равно нулю. При г = 2 имеем [32]2 = — (3)2 + (3)2 + (1)2 = (1)2, где учтено, что (3)’ = (3)2. В случае г = 3 с помощью правил модификации получаем, что [З2]3 = (3)3 + (О)’ + (1)3.

Формулы (9.11) — (9.14), взятые из [14], дают правила модификации для маркировок определенной длины. Имеются общие правила, позволяющие модифицировать маркировки произвольной длины как для группы ОТ1 так и для группы SpT. Эти правила изложены в [53], где приведены ссылки на оригинальные работы.

Примеры аналитических формул сужения. Техника 5-функций или выражение (9.1) позволяют получить в аналитическом виде формулы, описывающие неприводимый состав представлений для цепочек конкретных групп либо для представлений определенного класса групп с произвольным г. В настоящем пункте будут приведены примеры таких формул, часто используемые в приложениях.

Рассмотрим приведение на цепочке SU3 => SO3. Обозначим SO3- неприводимое представление (Л) через L, а 5С73-неприводимое представление через ХЕ'Е"^ где согласно (8.35) Е' и Е" связаны с обозначениями С73-неприводимого представления ^EVE2E33 соотношениями Е' = Ev — E3l Е" = Е2 — Е3 и, в свою очередь, (см. табл. 8.1), Е' и Е" связаны с обозначением (Хц) выражениями % =£"— Е" и \х,=Е". Пусть К обозначает индекс повторения на цепочке SU3 => SO3. В [117] было показано, что можно выбрать значения К, равные

minVE'-Е\ Е"^ min №'-£'',£''}-2, ..., 1 или 0, и тогда

itf, К + 1, К + 2, ..., ^ +max{£'-£", Е% если£=/=0, L = (max {£' -Е\ E"Y max ^Е'-Е", Е"}-2, ..., 1 или 0, если Я = 0.

(9.15)

Из (9.15) нетрудно убедиться в том, что в сопряженном SU^ne- приводимом представлении [£", Е'— Е"^ содержатся те же KL, что и в исходном представлении [£", Е"]. В указанных работах индекс К был интерпретирован как проекция углового момента. В приложениях З[73-неприводимого базиса Ф([£"£"'] KLM) цепочки SU3 => SO3 => SO2l маркируемого с помощью ^необходимо иметь в виду, что он не ортогонален по К.

В качестве второго примера приведем явную формулу приведения прямого произведения X'XX" для С7г-неприводимого представления X' = [е'0...0] и сопряженного с ним представления X" = = [0 ... О, —в"]. Пользуясь общими правилами внешнего произведения и свойством (8.32) сдвинутых представлений, получаем

min(e' ,е")

[8'0 ... 0] X [0 ... 0, — е"] =2 К - к, 0 ... 0, - (е" - &)].

(9.16)

Возьмем г = 2, осуществим сдвиг на V, т. е. заменим [0, —е"] на [е" 0] и [е' — к, — (е" —Л)] на [е' + е"—&, к^ и согласно табл. 8.1 введем обозначения У = е72, j" —V/2 и / = (е' + е" — — 2Л)/2. Тогда (9.16) дает известное правило сложения угловых моментов: /' X /" = У + У' У + У' — 1, ..., \У — ]" I.

В другом примере рассмотрим сужение симметрического неприводимого представления [foO ... 0] на цепочке итгт„ zz>Urf X UT„. Правила внутреннего произведения показывают, что Е можно получить лишь из таблиц Юнга, входящих под знаком суммы в выражение

[£00 ... 0]г,г„ = 2 [ад ... £-0 ... 0]r, yea ...е^... 0]г,„

(9-17)

где т = min (г', г"), Ех + Е.^ + ... + Е^ = Ео. В (9.17) сумма берется по всевозможным лексикографическим разбиениям Ео на число слагаемых, не превышающее т.

Приводимая ниже формула

1 или о

[£00 ... 0]г =2(Q0 ... 0)г(9.18)

й=ео^о-2---

позволяет разложить на цепочке UT ^ От симметрическое С7г-непри- водимое представление [ЕоО ... 0]. В случае г = 2, учитывая также, что согласно (8.44) при Й^О в каждом О2-неприводимом представлении (Q) содержатся два ЗО2-неприводимых представления (±Q), и вводя обозначения J = EJ2 и М = ±Q/2, из (9.18) получаем значения проекции М = 1, J—1, ..., —(У—1), —J углового момента J.

В качестве последнего примера приведем правила приведения Uro№^ неприводимого представления [ДоО ... 0], суженного на цепочке Ut^-h),^ Ur^ в которой подгруппа вложена в группу в

смысле плетизма. Явное выражение для такого сужения дает формула

[£оО ... О]Го(Го+1)/2 = 2 [ВД ... £Гв]Го> (9.19)

в которой Ет + Е2 + ... + ETq = 2£*0 и сумма берется по всевозможным лексикографическим разбиениям на четные слагаемые числа 2Е0.

Мощность индексов повторения. Изложенные в предыдущих пунктах настоящего параграфа универсальные методы анализа приводимых представлений применяются при решении разнообразных прикладных задач теории групп. Они были проиллюстрированы примерами, в которых кратности неприводимых представлений превышают единицу, а также формулами, в которых нет индексов повторения. Одна из причин их отсутствия кроется в простоте класса рассматриваемых представлений. Например, в общем случае на цепочке UT => Ог необходимо пользоваться индексом кратности а, тогда как для симметрических t^-неприводимых представлений, как видно из (9.18), а отсутствует.

Другой пример, широко используемый в приложениях, дает нумерация базисов с помощью цепочек вида Gr zd Gr, Ц- GT„ (rf + г" = = r). В случае простейших канонических базисов, задаваемых цепочками Sn Sn-! 4- St, Ur =5 Ur-t. 4- U^ SUt^SUt-i, Q^Or-^ 4- 0^ и SOT ==> 8ОГ_^ индексы повторения отсутствуют. В простейших полуканонических базисах, т. е. базисах цепочек Sn => Sn_2 4- S2l UT^ Ur_24- U2 и SUr^ SUr-2^ SU2 также нет индексов повторения, тогда как в простейших полуканонических базисах цепочек Ог =з Ог-2 4- O2l SOr^ SOr-2A- SO2 и Spr SpT_2 4- Sp2l вообще говоря, встречаются индексы повторения. В более сложных полуканонических базисах, а тем более в неканонических базисах, как правило, присутствуют индексы повторения.

Существует правило, позволяющее в ряде практически важных случаев установить наличие либо отсутствие индексов повторения и найти их мощность. Понятие мощности индекса повторения объясним на примере базиса цепочки Ur => От. С этой целью установим число целых параметров, используемых для маркировки базисов Ur- и Ог-неприводимых представлений. Рассмотрим сначала Ur-ne- приводимые представления класса [ХхХ2 ... Хг0.. .0]с г0 = 1, 2,..., г; г — 1, 2, ... Из общих правил нумерации канонического базиса нетрудно установить, что в случае представления такого вида базис подгруппы Ur-i задается г0 числами, базис подгруппы UT_2 — также г0 числами и т. д. вплоть до подгруппы UTq включительно. Поэтому приходим к выводу, что для характеристики неприводимых представлений цепочки UT-i zd . . ^.^U^ требуется r0(r—г0) целых чисел. Базисы подгрупп остальной цепочки иТо-г zd U^-^ ... ^ Ui характеризуются (г0 — 1)4-(г0 — 2) + 4-... + 1 = го(го — 1)/2 числами, и в итоге получаем, что канонический базис указанных представлений задается г0(2г—г0—1)/2 120

чисел.чисел.целыми параметрами. В частности, в случае базиса симметрического представления, когда г0 = 1, имеем г — 1 чисел, а для маркировки базиса представления с г0 = г требуется г(г—1)/2 целых

чисел.

чисел.

Приведем аналогичный результат для канонического базиса Ог-неприводимого представления класса ^со1со2 ... ш^/0 ... 0) сг0=1,

2, ..., <г/2>, г = 2, 3, ... Учитывая специфику маркировки канонического базиса ортогональных групп, нетрудно найти, что в случае представлений указанного вида базис цепочки От-^ => Ог_2 О2 (в эту цепочку не включена группа 0^ задается г0 (г — г0 — 1) це

лыми числами.

Рассмотрим теперь маркировку базиса С7г-неприводимого представления [^1^2 ... Хт0 ... 0] с помощью цепочки UT => От OT-Y =>... ... => О2. Канонический базис С7г-неприводимого представления задается г0(2г — г0 — 1)/2 числами, а базис Ог-неприводимого представления (включая маркировку самого представления) —г0(г—г0) числами, где г о = min (г0, <г/2». Их разность

Na (г, r0, ri) = 4 го (2г ~ г0 — 1) — ro (г — ri) (9.20)

и дает число целых параметров, которых недостает при маркировке С7г-неприводимого базиса с помощью цепочки ортогональных подгрупп. Эти недостающие параметры базиса O(Xaov) цепочки UT => От и обозначаются индексом а. Можно сказать, что набор параметров а эквивалентен Na целочисленным параметрам, и в этом смысле число (9.20) указывает определенное свойство кратности, которое и будем называть мощностью индекса повторения а для базиса цепочки UT От От-^ =) ... О2* напомним, что при выводе (9.20) не принималось во внимание обозначение ^-неприводимых представлений. В частности, если <г/2> > г0, то г0 = г0 и из (9.20) получаем N»^ г0, г0) = г0(г0 — 1)/2. Из этого выражения видно, что мощность индекса повторения а не зависит от г, если число параметров для маркировки £7г-неприводимых представлений не превышает <г/2>.

Аналогично можно найти мощность индексов повторения и для других цепочек подгрупп. Рассмотрим, например, сужение ^-неприводимого представления [ХД2ХзМ на подгруппе U2 X U2. Канонический базис этого представления задается шестью целыми числами. _ Характеристики U2 X С72-неприводимых представлений lAi^l [^1^2] и их ^-неприводимых базисов [V][X"] также содержат шесть чисел, которые, однако, из-за правил приведения на цепочке U4 => U2 X U2 связаны двумя соотношениями: Х^ + Хз = Л^ + + Х2 = Хх + Х2 + Х3 + Х4. Поэтому неприводимые представления групп рассматриваемой цепочки фактически характеризуются лишь четырьмя числами, и в итоге получаем, что мощность индекса повторения а для цепочки U4 =) U2 X U2 равна двум.

§ 10. Инфинитезимальные операторы и операторы Казимира

Общие свойства инфинитезимальных операторов. Элементы непрерывной группы G, например, элементы матричных групп UT или SOT1 явно построенных в п. 7.3 и 7.4, являются непрерывными дифференцируемыми функциями параметров ай а2, ..., ат. Из-за непрерывности и групповых аксиом свойства группы в окрестности элемента g содержат информацию о ее свойствах для элементов, отдаленных от g и достигаемых с помощью операторов сдвига на группе G. Сказанное указывает на важность изучения локальных свойств непрерывных групп, т. е. свойств в окрестности их определенного элемента. В качестве такого элемента обычно берется единичный элемент, а параметризация матричной группы осуществляется таким образом, чтобы единичному элементу соответствовали нулевые значения параметров группы. Именно такая параметризация и была выбрана в п. 7.3 и 7.4 для унитарных и ортогональных групп.

Локальные свойства непрерывных групп исследуются инфинитезимальными методами, в основе которых лежит алгебра инфинитезимальных операторов. Изучение последних начнем с их матричного представления. Инфинитезимальную матрицу, соответствующую параметру ah, вычисляем, дифференцируя матричные элементы (7.4) по ак и затем полагая ai = a2 = ... — ат = 0. Обозначим инфинитезимальную матрицу, соответствующую параметру через Jk. Тогда согласно сказанному имеем

Матричная группа, задаваемая т параметрами, имеет т, инфинитезимальных операторов Л, Л, ..., Jm, матрицы которых, используя подходящую параметризацию, вычисляем по формуле (10.1). Число m = m(G) для компактных групп приведено в (7.10); оно называется размерностью алгебры.

Множество инфинитезимальных операторов группы G замкнуто по отношению к их коммутатору ^Лх, А2] = A^^ — Jkjkx • Подставляя в правую часть этого выражения матрицы операторов Ахи А2и осуществляя указанные действия, получаем матрицу, которая из-за отмеченного свойства замкнутости разлагается через матрицы исходных операторов. Поэтому

^Ар А2] — 2 ак±к2к^ кч (10.2)

где аК^К— коэффициенты разложения, называемые структурными константами алгебры инфинитезимальных операторов. Из-за антисимметричности коммутатора по отношению к перестановке операторов J^ и А2 коэффициенты в (10.2) удовлетворяют соотношению 122

а^ир^ — а^^к- Формула (10.2) показывает, что определенная билинейная форма инфинитезимальных операторов, называемая коммутатором, линеаризуется; это свойство лежит в основе исключительной мощности алгебраических методов теории групп.

Рассмотрим формулы преобразования инфинитезимальных операторов. Пусть А обозначает m-мерную невырожденную матрицу. Представим Jk в виде следующей линейной комбинации новых инфинитезимальных операторов Jг.

'1и = '21АмХТг.(10.3)

Подставляя (10.3) в (10.2), получаем, что Ji удовлетворяют коммутационным соотношениям

р;,, zj-s«;A,z,(ю.4)

структурные константы которых связаны с константами в (10.2) соотношением

ai1i^i = 2(10.5)

Формула (10.4) показывает, что образование линейных комбинаций (10.3) не меняет свойства замкнутости множества инфинитезимальных операторов. Преобразование (10.3) лишь дает переход к новым операторам, а алгебра новых операторов, по существу, не отличается от исходной алгебры. Сказанное позволяет заключить, что структурные константы определены с точностью до преобразования (10.5), в связи с чем возникает задача отыскания наиболее простых, канонических структурных констант. Доказывается (см., например, [155, 119] и цитируемую там литературу), что совокупность т, канонических инфинитезимальных операторов компактных матричных групп (согласно (7.10) т равно г2—1, г(г—1)/2 и г(г + 1)/2 соответственно для алгебр групп SUT1 SOr и Spr^ разделяется на два набора операторов, обычно обозначаемых как Hi (Z = 1, 2, ..., Z) и Е3 У = 1, 2, ..., т, — Z). Число I равно г— 1, <г/2> и г/2 соответственно для алгебр SUT1 SOT и SpT. Число т — Z всегда четно, и набор Е3 естественным образом можно разбить еще на два набора операторов Е8 и Е-8 (s = 1, 2, ._, (m — Z)/2). Этим несколько неоднозначным разбиением набора Е3 завершается построение канонических инфинитезимальных операторов. Далее доказывается, что все операторы Hi коммутируют между собой, ком-

мутатор [Яг, Ез\ равен константе, умноженной на оператор Ев1 коммутатор [£S', Ё&Л Для s'#—s" —константе, умноженной на один из операторов Е81 и, наконец, коммутатор \Е81 S'-s] равен линейной комбинации операторов Hi.

Более подробное описание канонических инфинитезимальных операторов можно найти во многих руководствах по теории групп (в частности, в упомянутых выше книгах), а их роль при маркировке неприводимых представлений и базисов с помощью понятия так называемых старших весов вкратце изложена в § 18 книги [14].

Координатная реализация инфинитезимальных операторов алгебр Ur, 80г и 8рг. До сих пор речь шла об инфинитезимальных операторах, реализованных в виде r-мерных матриц. При изучении алгебр, задаваемых коммутационными соотношениями (10.2), необязательно пользоваться матричным представлением. Можно перейти к операторам, заданным в других представлениях, ибо в теории групп способ задания операторов алгебры является второстепенным, а на первый план выступают свойства их коммутаций, определяемые структурными константами ак1^к.

В приложениях удобно пользоваться координатным представлением инфинитезимальных операторов. Один способ его реализации состоит в использовании бозевских операторов рождения тр и уничтожения тр (£, s = 1, 2, ..., тп(С)), которые, в свою очередь, вы-, ражаются через переменные xt и производные по этим переменным. Действительно, пусть

Учитывая, что gp ^sj = 6(^), проверяем коммутационные соотношения: + +

(Пь nJ = [По nJ = 0,

+(10.7)

hb nJ = 6(t$).

+

Введем г2 операторов 9ts = тртр. Используя (10.7), находим, что их коммутаторы имеют вид

[ et„ et,s,] = 6 W§ts, - 6 (<$')ё(,8.(io.8)

Сравнивая (10.8) с коммутаторами (10.4) для операторов (10.1) группы UT1 можно установить, что при определенном выборе матрицы А коммутатор (10.8) совпадает с (10.4). Это доказывает, что 0ts с ^ s = l, 2, ..., г образуют алгебру унитарной группы UT.

124

В этой алгебре содержатся подалгебры групп 80г и SpT. Первая из них реализуется операторами)

I qp”^ ( ^ЧР®pq) “

= — t 2 9Р р (1 — 6 (РгР^ (6 (р^) 6 ^Р^ — 6 (Pi/?) 6 (p2g)), (10.9) pvp2=i

где q < р = 2, 3, ..., т. С помощью коммутационных соотношений между х8 и ЫЬхгп учитывая определение 0ts и (10.7), операторы (10.9) можно привести к виду

7др= — i^q^ — Жрд^,(10.10)

совпадающему при г = 3 с выражением для операторов ^орбитального углового момента. Инфинитезимальные операторы /^^ удовлетворяют коммутационным соотношениям

= г (б (/^2^4) A^g + 6 (^1^з) Л2^4 — 6 (&2^з) Л^ 6 (^!&4) Л2ь3)*

(10.11)

Применяя (10.9) —(10.11), учитываем, что /^^ = — Л^ и 7^ = 0. Для реализации инфинитезимальных операторов Kts алгебры SpT введем z(£), равный 1 при £ = 1, 2, ..., г/2 и —1 при t = = r/2 + 1, г/2 + 2, ..., г. Операторы Kts определим с помощью выражений _

Kt. r+1-z = 9lt r*l-h

Kts "== 0<S^ (0 ^ (^) 0r+l —S, r+1 — t •

(10.12)

В (10.12) индексы принимают следующие значения: Z=l, 2, ..., г; ^=1, 2, ..., г—1; s = 1, 2, ..., г—t. Обе формулы в (10.12) можно объединить и представить операторы Kqp с q = 1, 2, ..., г; Р = г + 1 — q или q = 1, 2, ..., г — 1; р = 1, 2, ..., г — q в виде

Kqp = 2 ер р (6 (др,) 6 (рр2) —

Р1.Р2=1

— (1 —6(р, r+1—g))z(g)z(p)6(p1, Г +1— р)6(р2, r + 1— q)).

(10.13) Коммутационные соотношения операторов (10.13) можно найти с

помощью (10.8). Для записи коммутатора операторов Kqp w Kqrpr введем несколько обозначений. Пусть Ао = 0, если р = г + 1 — q, р' = г+ 1 — q', и Ло = 1, если не выполнено хотя бы одно из приведенных равенств. Положим также, что Ai = 2 в том случае, когда р=р\ r+l — q^q', либо р = q', r+l — q = p', либо q = p\ r-VV—p — q', либо q = q', r+ 1 — p = p', и Ai = 1, если не выполнено ни одно из приведенных условий. Введем также величину Ад5, (рр') = 1 + (6 (qq') — 1) (6 (р, г + 1 — q) + 6 (р', г +1 — д')) и аналогично — величину Арр, (qq'Y Тогда коммутатор операторов (10.13) имеет вид

[^gp, Кд,р,] = z (р) z (д') (6 (pg') Kqp, + A0Aj (б (др') ^г+1_р.г+1_д, +

+ Адд, (рр') 6 (г + 1 — р, р') Kq>T+1_q, +

■+ Арр, (дд') 6 (г + 1 — д, д') ^г+1_Р|Р,)).(10.14)

При использовании (10.14) встречаются операторы Kqp с q и р, отличающимися от значений, допустимых в (10.13). Такие операторы исключаем с помощью соотношения Kqp = — z(q)z(p)Kr+i-p, r+t-q.

Алгебра некомпактной группы Sp(2r, R). При реализации алгебр Un 80т и 8рт использовались операторы ви, образованные из произведений бозевских операторов рождения тр и уничтожения +++

ц8. Если взять T]tT]s + T]sT]t с ^ s = 1, 2, ..., г и добавить к ним + +

Tigris и T]tT]s с ^ s = 1, 2, ..., г, то совокупность перечисленных г(2г+1) операторов образует замкнутую алгебру некомпактной вещественной симплектической группы Sp (2г, Я), уже упомянутой в^ п. 7.2. Будем пользоваться следующей ее реализацией через В (z) с г = 0, ±1:

(10.15)(10.15)1 fви (0) = у МП» +—+ +

(10.15)

(10.15)

_ ви (± 1) = ritns ± T)tT]s.

Операторы 5ts(0), число которых равно г2, образуют подалгебру UT алгебры Sp (2r, R), реализованную несколько иначе, чем через 0/5. Они удовлетворяют коммутационным соотношениям

[5„ (0), Bv„ (0)1 = 6 W ви, (0) - 6 (is') St„ (0),(10.16)

совпадающим с (10.8). Операторы 5<s(z') с z' = ±l, число которых равно г(г+1), составлены из суммы произведений двух операторов рождения и двух операторов уничтожения. Их коммутаторы имеют вид

[S/s (z ), Btrs, (z )] =

= 6 ^ (z' S„t (0) - z"Sis, (0)) + 6 (is') (z' Bv$ (0) - z"Bst, (0)) +

+ 6 (ss') (z' Bvt (0) - z"BtV (0)) + 6 (ii') (z' B8,8 (0) - z" B88, (0)), (10.17) 126

где z'= ±1 и z"=±l. При выводе (10.17) использовано, что 5<s (±1) = Ss< (±1). Остальные коммутаторы даются выражением

[5„(0), Bv$, (± 1)1 = 1(6(50(5,3' (+ 1) + Bts, (- 1)) +

+ 6(s/) (Btt, (+ 1) + Btt, (- 1)) Т 6 (if) (5SS, (+ 1) - Вм, (- 1)) T

=F 6 (/s') (Bst, (+ 1) - B$v (- 1))).(10.18)

Операторы BtA^ удовлетворяют соотношениям B^ (0) = Bst (0), В?» (1) - Bts (1) и 5+(- 1) = - Bts (- 1).

Некоторые подалгебры алгебр Uri UT^Tl 0ГоТ и Sp^r^Ry При описании неприводимых представлений групп UT и Ог были установлены правила, даваемые выражениями (8.34), (8.43) и (8.44), позволяющие осуществить сужение на цепочках Ur^SUr и Or=> 8ОТ. Обсудим аналогичные свойства инфинитезимальных операторов, при помощи которых алгебра UT сужается до алгебры SUr и алгебра 80 т дополняется операторами отражения.

Подалгебру SUT алгебры UT образуют г2 — 1 инфинитезимальных операторов

Jts = 9<8,(10.19)

(О\

®г—а+г,г—а+г — ^ ®г—о.т—о L

где t^s — 1, 2, ..., г и о = 1, 2, ..., г—1. Добавляя к (10.19) оператор

^к^^е^^^,,(Ю.20)

получаем алгебру UT) отличающуюся от исходной алгебры, задаваемой операторами 9<s. Это преобразование ведет к линейным комбинациям 9и, аналогичным выражениям (1.10) и (1.13) векторов Якоби Pj и р0 через векторы гг. Оператор Оо коммутирует с (10.19). Оба выражения в (10.19) можно объединить и записать в виде

Ар = 2 0р1Р2 (((1 — 6 (PiA)) 6 (рх?) 6 (р2р) +

ргр2=1

+ 6 (PiP2) 6 ^qp) ((г — q) (г + 1 — ?))-1/2 b (г; ръ q^,(10.21)

где индексы qp принимают значения q =^ р = 1, 2, ..., г и q = р = = 1, 2, ..., г — 1. В (10.21) величина Ь(г; pis q) равна соответственно 0, 1, и (д — г) для pt < q, pt > q и pt = q.

Кратко обсудим смысл операции отражения с точки зрения инфинитезимальной структуры групп От и 8ОТ. Число непрерывных параметров группы От совпадает с числом параметров группы SOTt

поэтому инфинитезимальные операторы обеих групп одинаковы. Наличие в параметризации группы От дискретной переменной от не меняет свойств ее инфинитезимальных операторов, поэтому алгебру SOr можно также называть алгеброй От. Однако наличие отражения обусловливает появление соответствующего ей оператора отражения ЯГеп, удовлетворяющего определенным коммутационным соотношениям с инфинитезимальными операторами IqP. Конкретные свойства оператора /?,еп, включая его коммутационные соотношения с IqP и его матричное представление в SOr- и Ог-неприводи- мых пространствах, были изучены в [65].

Явное вложение алгебр по цепочке UT^SUT дается формулами (10.19) и (10.20), которые задают ортогональную матрицу преобразования типа (10.3). Из (10.9) видно, что SOr-инфинитезимальные операторы выражаются через SOr-инфинитезимальные операторы, поэтому утверждаем, что (10.19) и (10.9) дают явную реализацию алгебр для цепочки SUT^SOT. С помощью обратного преобразования из (10.19) и (10.20) можно выразить 9,, через JT_0iT_0 и Кк^ и, подставляя полученные выражения в (10.13), найти реализацию алгебры SpTl вложенной в UT по цепочке Ur^ SUr^ 8рт. Вспомним также, что в алгебру Sp(2r, R) по цепочке Sp(2r, R)^ Ur вложена подалгебра UT, реализуемая операторами BtsW.

В приложениях встречаются алгебры UT^T1 Or^r и Sp(2r0r, R) и их подалгебры UT^ UT1 Ог^ От и Sp(2r0, R") либо Sp^r, Д). Для их реализации воспользуемся переменными Якоби рф (s =* = 1, 2, ..., r0; t = 1, 2, ..., г или t = 1, 2, ..., г — 2, s, а). заданными выражениями (1.10) или (1.11). В этих переменных бозевские операторы рождения и уничтожения принимают вид

1V21V2(10.22)(10.22)

1

V2

1

V2

(10.22)

(10.22)

Алгебру UTqT реализует 9“'=£‘&'. а алгебру ОГ()Г —/,8,' = = — z" ( Ott' — 0^). Усредняя 9^ по t либо 9^, по $, получаем операторы

о88' = 2 е88/,

Г(10-23)

Oft'-

S=1

Легко проверить, что [ 0ff/, 9SS ] = 0, следовательно, операторы 9SS' и 9tf/ образуют коммутирующие алгебры UT^ и UT, вложенные в UTqT 128

по цепочке UT^T zd Ut^ X UT. Аналогично операторы

f=1(10.24)

_ ro __

I и’ = ^j Itt' = — ^ ( 0/t' — ®t't) 8=1

образуют коммутирующие алгебры ОГ() и От, вложенные в OTqT по цепочке OT^T zd OTq X От.

Кдк и в случае обсуждавшихся в предыдущем пункте операторов Bts^ алгебры Sp(2r, R), для переменных Якоби введем операторы

(10.25)(10.25)Xv (0) = |(Йг +

(10.25)

(10.25)

Xv (± 1) = ItVv ± Ж

реализующие алгебру Sp(2r0r, R). Тогда подалгебры Sp(2r0, R) и Sp(2r, R) даются операторами

bss'^ = мг (2),

<=1(10.26)

8=1

В отличие от предыдущих случаев коммутирующих алгебр UT^ и UT либо 0Го и Ог, вложенных соответственно в 17Гот либо в 0Гогц инфинитезимальные операторы Bss (z) и Btu (^ не коммутируют, поэтому в Sp(2r»r, R) нельзя вложить прямое произведение алгебр Sp(2r0, R) и Sp(2r, Ry Непосредственная проверка позволяет убедиться в том, что коммутируют алгебры Sp(2r, R) и От либо От и Sp(2r0, R), вследствие чего существуют вложения по цепочкам

Sp (2ror, R) 2D 0Го х Sp (2r, R),

Sp(2ror, R^Sp (2r0, R) X Or,

в которые кроме алгебр некомпактных симплектических групп входят алгебры компактных ортогональных групп.

5* Неприводимые свойства инфинитезимальных операторов. Изучение закона преобразования инфинитезимальных операторов удоб- +

но начать с неприводимых свойств операторов щ и ц8 с £, s = 1, 2, ... +

..., г. Операторы группы UT преобразуют тц и ц8 соответственно по С7г-неприводимым представлениям [l]r = [1 0 ... 0] и [— 1]г

+

^ [0... 0, —1]. Свойства щ и ц8 по отношению к преобразованиям групп От и SpT одинаковы — оба они преобразуются по Ог-неприво-

1291299 В. В. Ванагас

129

129

димому представлению (1)г — (1 0 ... 0) и 5рг-неприво димому представлению <1>г = <1 0 ... 0>. Для записи общих формул, пригодных для всех рассматриваемых групп, обозначим [1]г, (1)г и <1>г через 1, а [~1]г, (1)г и <1>г — через 1*. В соответствии с этими обозначениями вместо 0ts = щгь будем писать 0“* = Л^Лв*-

Инфинитезимальные операторы групп SUT1 От и SpT преобразуются по неприводимому представлению, называемому присоединенным представлением, которое обозначим через и. Оно задается следующими символами: [2 1... 1]г (г —2 единиц) для SUT с г = = 2, 3,...; (И)г для От с г = 4, 5, ...; (1)37 для 0^ (0)2 для О^ <2>г для Spr с г = 2, 4, 6, ... Инфинитезимальные операторы группы UT преобразуются по приводимому представлению ([0]г -4- [1, — 1]г), состоящему из прямой суммы С7г-скалярного представления [0]г, по которому преобразуется оператор (10.20), и (7г-неприводимого представления [1, — 1], — [1 0 ... 0 — 1] г (г—2 нулей), которое на подгруппе SUT переходит согласно (8.35) в уже упомянутое SUr-неприводимое представление [2 1... 1]г; по представлению [1, — 1]г преобразуются операторы (10.19).

Запишем инфинитезимальные операторы Jqp, Iqp и Kqp алгебр SUri От и SpT в виде

Jqp — aQ{QP} 5 ^Рр^рр 9Р» (10.28) ррр2=1

где а^др^—!, /У2 и V2 —6(р, г+1 — q) соответственно для JqP^ = Jqp, J^p=Iqp^J^p=KqP. Коэффициенты С можно найти, сравнивая (10.28) с выражениями (10.21), (10.9) и (10.13). Эти коэффициенты образуют неприводимые линейные комбинации операторов ЛдЛр*» преобразующихся по представлению и. Из-за выбранной нормировки С являются коэффициентами Клебша—Гордана групп SUr, От и Spr для приведения 1 X 1* -> и; более подробное их описание для ортогональных групп будет приведено в п. 12.1.

Форма записи операторов (10.28) удобна тем, что при выкладках с такими инфинитезимальными операторами можно пользоваться стандартной техникой, аналогичной технике теории углового момента. В частности, как это было показано в [95], коммутатор (10.2) для (10.28) можно представить в виде

[jq'p'i Jq^p"! = CL0 (qp) jv (г) ^Cqfpfq^fprr aqpJqp, (10.29)qp

где 7V(r) равно V2r, Vr—2 и Vr+2 соответственно для SUr, От и Spr. В (10.29) С — коэффициенты Клебша — Гордана для приведения и X и -^ ааи. В случае От и Spr в прямом произведении и X и нет индекса повторения; для Ur в и X и дважды повторяется и, и в этом случае в (10.29) классификация по аа выбрана из условия антисимметричности С по отношению к перестановке qpr с q"р";

130

это условие и обеспечивает свойство структурных констант, отмеченное в тексте, следующем за формулой (10.2). Подробности, касающиеся свойств коэффициентов С, входящих в (10.29), включая их явные выражения для определенных типов базисов, можно найти в [95, 40]. В частности, в этих работах получен конкретный базис pq, в котором JqP становятся каноническими инфинитезимальными операторами Н^ Es и Е_в, упомянутыми в п. 10.1. Для такого базиса формула (10.29) дает аналитическую запись графического метода изучения структурных констант с помощью так называемых корневых диаграмм (см., например, [155, 119]). При переходе по (10.3) к новому базису коэффициенты в (10.29) преобразуются по формуле (10.5).

Операторы Казимира и их собственные значения. Аналогично набору операторов класса (8.23) дискретной группы Sw, которые задают уравнения для собственных значений (8.25), в случае непрерывных групп G строится коммутирующий набор G-скалярных операторов К^ К^\ ..., КУ\ называемых операторами Казимира, уравнения для собственных значений которых имеют вид

К^Ф (Хц) = Я(8)Ф (Хц), (10.30)

где s = l, 2, ..., Z, причем I равно г, г — 1, <г/2> и г/2 соответственно для Un SUT1 От и SpT. В (10.30) ^^ — собственное значение оператора А(8) и, как обычно, Ф(Хц) обозначают G-неприводимые функции.

Операторы Казимира коммутируют со всеми инфинитезимальными операторами группы. Они строятся из р-линейных (т. е. линейных, двухлинейных, трехлинейных и т. д.) форм инфинитезимальных операторов алгебры. Линейные комбинации построенных операторов также являются операторами Казимира, поэтому построение A(s) неоднозначно. Ниже будут описаны наборы операторов Казимира, изученные в [78, 79, 85].

Пусть, как и раньше, 6ts — инфинитезимальные операторы группы UT1 удовлетворяющие коммутационным соотношениям (10.8). Тогда операторы Казимира этой группы можно образовать следующим способом:

Kw = s

к№ = 2 9isest, (io.3i) t,S=l

к^= 2 МЛt,S,k=l

л т. д. вплоть до KV\ Входящий в (10.31) первый оператор уже встречался и представлен формулой (10.20). Собственные значения 9* 131

операторов (10.31) имеют следующий вид:

Kw = s М,

1=1

^2>= SMAi-^ + r+l),

1=1

Kw = ((г + I)2 — 4 Kw^ Kw +

+ 2 Xi (xi + (2r + 4 ~ 30 Xi + i (3i — 4r - 3)].(10.32)

1=1 x 4

Сравнивая Kw с выражением (8.26), в случае схемы Юнга [XtX2... ... Xf] с t^r получаем

t

К^Ч^... At]) = 2A((ln-2, 2),[X1...Xt]) + r SXi. (10.33) 1=1

Эта формула дает пример связи между собственными значениями операторов класса группы Sn и операторов Казимира группы UT1 обусловленной известной ролью симметрической группы при образовании С7г-неприводимых базисов (подробности см., например, В [14]).

При выводе выражений собственных значении операторов Казимира группы SUr учитывается, что следы их инфинитезимальных матриц равны нулю. Обозначим операторы Казимира группы SUT через Кщ с Z = 1, 2, . ..,^. Их выражения получаем из (10.31), заменяя 0Рр операторами 0РР = 0РР — 50и/г, где 2=1, 2, ..., г. Собственные значения первых трех операторов Kw имеют вид

Kw = о,

А(2) = ^(2) _ Д_ (Kwy,(10.34)

Равенство Kw нулю означает, что группа SUT фактически имеет г — 1 операторов Казимира. Выражения остальных собственных значений можно найти по формулам, полученным в [78, 79, 85] (см. также [10, 155] и указанную там литературу).

Явный вид собственных значений операторов Казимира для маркировки 5С7г-неприводимого представления (8.35) получаем, подставляя в две последние формулы в (10.34) выражения (10.32), затем полагая Хг = 0 и заменяя М, ..., Xr-i через Xt — Хг, ..., Xr-i — — Хт. Например, в случае 5(73-неприводимого представления [ХД2], в обозначении которого вместо Xt — Z3 и Х2 —Х3 пишется Xt и Х2, из 132

второго выражения в (10.34) имеем

6G (№) = ^з2) = 4 «Х1 - ^з)2 + *i (^2 + 3)).(10.35)

В (10.35) введено специальное обозначение G([XtX2]), а нижний индекс буквы .АГ ^указывает конкретную группу.

Операторы Ки\ Kw, ..., К^ являются независимыми только в случае £7г-неприводимых представлений с Кт ^ 0. Когда же Кт = 0, a Xr-t^O, тогда К(г) становится зависимым, т. е. выражается в виде полинома от остальных операторов Kws Ккг\ ..., Ки-1\ Аналогично, если Xr_ tj= Кт = 0, а Хг-2^0, то зависимыми являются уже два оператора: К(г-1) и КУ\ и т. д. Приведем пример зависимых операторов. Пусть речь идет о представлениях [XtX20] группы U3. Тогда исходя из выражений (10.32) можно убедиться в том, что ^ = 3^2) + ^ (ЗК№ — WY/2 - 2^ - 2), т. е. К^ - поЛином, зависящий от К^ И К^.

Перейдем к описанию операторов Казимира групп От и Spr. Они конструируются аналогично операторам Казимира унитарных групп, с той лишь разницей, что являются двухлинейными, четырехлинейными и т. д. вплоть до 2<г/2>-линейных форм инфинитезимальных операторов. Обозначим операторы Казимира этих групп через П(2), П(4), ..., П(2<г/2>) и приведем пример. Оператор Казимира группы От, билинейный по инфинитезимальным операторам (10.9), имеет вид

тт

П(2) = 4" 2 Itplqp= 2 (6g+p0gp-®i>6pg)-(Ю.36)

q,P=lq^p=l

Аналогично строятся более сложные операторы. Операторы Казимира групп От и Spr, составленные из линейных, трехлинейных и тому подобных форм, т. е. из мультилинейных форм нечетного числа произведений инфинитезимальных операторов, не являются независимыми и по этой причине все они могут быть выражены через операторы П(2), П(4), ..., П(2<г/2». Как и в случае унитарных групп, на классе неприводимых представлений с о)<г/2> = 0 либо с от/2 = 0 оператор П(2<г/2>) становится зависимым и выражается в виде полинома от остальных операторов Казимира. Когда o)<r/2>-i = = 0 или о<г/2)-1 — 0, появляется еще один зависимый оператор Казимира, и т. д.

Собственные значения оператора (10.36) в случае истинных представлений (8.41) группы От вычисляются по формуле

(г/2) п(2) = 2 toi (toi - 2i + г).(10.37)

i=l

Для спинорных представлений o)i в (10.37) следует заменить через (Oi+1/2 (i = l, 2, ..., <г/2>). Собственные значения билинейного

оператора Казимира

п(2) = У—^—-^,

группы SpT (сумма берется по всем инфинитезимальным операторам (10.13)) имеют следующий вид:

г/2

П<2>= 4^01^-21 + г + 2). (10.39) i=l

При использовании формул, приведенных в настоящем пункте, необходимо иметь в виду то обстоятельство, что разные авторы употребляют по-разному определенные операторы Казимира, в связи с чем собственные значения операторов могут различаться множителями или даже слагаемыми.

Операторный базис в неприводимых пространствах. Обсуждавшиеся в предыдущем пункте операторы Казимира являются частными случаями более общих конструкций — мультилинейных форм инфинитезимальных операторов. Аналогично примерам, рассмотренным в п. 5.3, 5.4, и операторному базису, упомянутому в п. 2.4, мультилинейные формы операторов группы строятся следующим образом. Пусть, как и раньше, Jh обозначает инфинитезимальные операторы группы G. Возведем их в целые степени pt (j)i > 0, г = 1, 2, ..., q) и составим выражение

х= 2 (AJP1 ОчТ • • • (Ма а^-Ч (-4°) к^-..hq

с числовыми коэффициентами а. Выбирая значение qs пределы суммирования для р^ а также меняя коэффициенты а, можно построить разнообразные операторы Ж. которые преобразуют G-неприводимые функции Ф(Хц) по некоторой численной матрице М, т. е.

^"Ф (лИ)= 2 Ф (Ah') м^^у (10.41)

пактных групп, когда все пространства 9lw являются конечномерными пространствами размерности dXl с^-мерные матрицы Istl состоящие из единиц и нулей, образуют обсуждавшийся в п. 5.3 операторный базис в УСХ\ Такой базис не всегда удобен, поэтому в приложениях строятся специфические базисные операторы ли л2, ... ..., л6, число b 853 b(G, X) которых зависит от группы и маркировки ее неприводимого пространства. Как и в случае операторов, рассмотренных в п. 5.3, 5.4, произвольное УС, действующее в 9lw, можно разложить через операторный базис и записать в виде

ь

^ = 5 Л< (1)л{.(10.42)

г=1

Матричное представление такого разложения дается формулой, аналогичной (5.9)._

В том случае, когда Jk преобразуются по G-неприводимому представлению и, УС преобразуются по G-приводимому представлению, составленному из (pt + р2 + • • • + Pq) -кратного прямого произведения Du X Du X ... X Du неприводимых матриц Du. С помощью методов, описанных в § 9, можно изучить G-неприводимый состав операторов УС и далее разложить их по G-неприводимым компонентам УСХ\ С другой стороны, можно взять G-неприводимые базисные операторы л;¥(Х), и тогда (10.42) можно заменить более простым разложением

^ (X) = 2 А^ (Х)л^ (X).(10.43)

з

Пример ^^-неприводимого базиса в пространстве (5.7) приведен в (5.15), а разложение через неприводимый базис иллюстрируется формулой {5.16). Более содержательные примеры, включая анализ неприводимого состава и технику построения операторных рядов, можно найти в [14, 147].

Функции, заданные на фактор-пространствах ортогональных групп

Функции, генерируемые операторами группы. До сих пор выражения (8.7) интерпретировались как матричные элементы матриц представления операторов группы, а в случае G-неприводимых базисов — как матричные элементы матриц неприводимого представления операторов группы. Имеется другая интерпретация, позволяющая трактовать эти выражения как объекты преобразования. Такая точка зрения широко используется в так называемой теории индуцированных представлений, используемой в различных применениях теории групп. Приведем некоторые свойства таких объектов преобразования, а затем применим общие формулы к функциям, заданным на фактор-пространствах ортогональных групп.

Матричные элементы (8.7) будем рассматривать как набор d? функций, зависящих от элементов группы. Подчеркивая такую трактовку, введем обозначения

fit (9) = RH (9) = <е; • ^ (?) ei>,

,-(11.1)

Лч (9) = ^ч (9-1) = <L (q) е,- • е{>,

в которых вместо g пишется q. Учитывая (8.8) и (8.10), получаем

/,ч (9) = <erR (9-1) ei> = Лч (q-^.(11.2)

Функции / и /+ зависят от параметров группы, поэтому подходят к общему определению функций на группе, приведенному в п. 7.5. Определение (11.1), однако, более конструктивно, ибо оно позволяет строить функции и изучать их свойства преобразования.

Подвергнем fa(q) действию операторов RUf), a /ji(g)— операторов L(g). Аргументы R и L по-прежнему обозначаем буквой g, подчеркивая тем самым, что в g и q вкладывается различный смысл, а именно q является переменной функции, a g в операторах указывает их зависимость от элементов группы. Учитывая (11.1) и (11.2), получаем

(И.З)записать(11.4)(И.З)записать(11.4)R (g) fa (9) = <е, R (9) R (g) ei> = /,ч ^g),L (g) fji (9) = <£ (9) 2 U) e, • et> = ft <qg\

(И.З)

записать

(11.4)

(И.З)

записать

(11.4)

В силу (11.2) вторую формулу в (11.3) можно также в виде

L^Mq^^Mg-V1).

Из (11.3) и (11.4) видно, что R^s действуя на q, дает qgs a Z(g), действуя на q~\ преобразует его в g-tq-v. Поэтому приходим к выводу, что R и L действуют на q и q-1 по формулам (8.1). При повторном действии операторов убеждаемся, что (11.3) и (11.4) задают представление операторов группы. Матричную реализацию этого представления получаем, учитывая (8.6). Тогда из (11.3) имеем

R (g) fa (9) = 3 hk (9) Rkt (g),

_,* x(11.5)

b(g)//i(9) = SbA(g-1)/fe+i(9).

к

Сравнение (8.6) и (11.5) показывает, что функции на группе, определяемые согласно (11.1), преобразуются по правому или левому индексу как базисные векторы ег- или е*. В формулах (11.5) индекс / или I остается нетронутым, поэтому можно рассматривать функции на группе с определенным значением / = /0 или г = г0.

В неприводимых пространствах 9tw и $w функции на группе задаются матричными элементами (8.21) матриц неприводимых 136

представлений, поэтому

(?) = ND^ (q) = N <e*, • R (?) e^>,f^^ = ND^Aq-V) = N(L(q)eX,.eX>.' '

В приложениях обычно используются функции, нормированные по- иному, чем матричные элементы матриц D\ поэтому в (11.6) введен нормирующий множитель N. Из второго выражения в (11.6) следует, что /^, (?) = f^-V (?)•

Если под q подразумевать набор параметров фактор-простран- ства, то все сказанное в настоящем пункте о функциях на группе переносится без изменения и на функции, заданные на фактор-про- странстве. Лишь несколько различаются их нормировки. Для функций на группе из (8.16) вытекает, что при использовании элемента объема, нормированного на единицу, нормировка функций (11.6) на единицу обеспечивается при N = d^. Если же q обозначает параметры фактор-пространства GAG, как, например, в (7.30), то в (11.6) удобно пользоваться базисами, приведенными на цепочке G => Gq. Тогда, заменяя р/ и ц на а'^оНо и оЛоНо, получаем функции /^ г !(q) и /+Х/ /(q). При использовании элемента

а'Хо^о»а^о^оа'^о^о»аЧ^о

объема dx^goXg), обсуждавшегося в п. 7.7, получаем функции, нормированные на единицу, беря N = (djd^u\

Формулы (11.6) проиллюстрируем на примере шаровых функций. Из (7.33) видно, что в этом случае q задается набором параметров р, у фактор-пространства SO2\SO3l a q-1 обозначает —у, — ^, и формулы (7.33), записанные в виде (11.6), с учетом (11.2) дают

(11.7)(11.7)Yim (q) = (- If V^ <е'. Д (?) е^>#

(11.7)

(11.7)

Y*т (q) = (- 1)"* V<elm-R (?”1) е'>

Эти выражения показывают, что с точностью до фазового множителя, обусловленного традиционным определением шаровых функций, они могут быть интерпретированы как функции (11.6), индуцированные операторами группы вращения. При действии операторов RUf) и L^ функции (11.7) преобразуются по формулам (11.5).

Полная система функций, заданных на фактор-нространствах ортогональных групп. Существует определенная корреляция между числом параметров q фактор-пространства G0\G и маркировкой G-неприводимого представления X в (11.6). Чем сложнее X, тем больше требуется переменных для реализации полного базиса в G-неприводимом пространстве №х\ Иными словами, для заданной G выбор подгруппы Go, определяющей q с достаточным числом переменных, зависит от X. Причину такой зависимости и доказательства общих теорем можно найти в литературе по теории индуциро-

ванных представлений, многие общие результаты и содержательные примеры которой, касающиеся теории некомпактных и компактных fpynn, изложены в [47, 50, 10, 58, 59]. Не вдаваясь в подробности, рассмотрим конкретный случай — свойства функций, заданных на фактор-пространствах ортогональных групп.

Начнем с удобных обозначений. Пусть имеем специальную ортогональную группу SOr, параметризованную способом (7.15) и соответствующее этой параметризации фактор-пространство 80т_то\80Г1 заданное выражением (7.34). Параметры этого фак- тор-пространства обозначим через qt (г0); в случае г0 = 1 будем обозначать их через qt* Из выражения (7.17) либо (7.25) видно, что qt = [ft^ O^i, ...,'&2Г)Ь Аналогично определим фактор-пространство OT_To\OTl параметры которого обозначим через ^г(г0); в частном случае при г0 = 1 будем обозначать их как qT. Из (7.26) видно, что qT дает параметры, от которых зависит RT (ar) D' (г, 1), т. е. qT = [аг, ^г^, ^г-ь .. - 7 Ф^}. Из (7.34), учитывая обозначения qt и аналогично — для qri получаем

qr (^о) = ?i^rfl+i}r^r0+2 • • • q^—vir,_--- -(11.8)

qr (r0)= я?—r^qr-r0+2 • • • qr—viri

где r0 = 1, 2, ..., г — 1. Из (7.21) вытекает, что, полагая Qr_i = ст= = аг = 0, получаем ^г—Г’1) = ^г^ и О1^^ = ^г70; следовательно, когда все параметры отражения равны нулю, дг(г0) совпадает с ^ (г0). Напомним, что g+(r0) состоит из набора (гог — г0(г0 + 1)/2) непрерывных параметров.

Сформулируем теперь без доказательства основной результат, касающийся полной системы Ог-неприводимых функций, зависящих от переменных qr^Y Пусть о обозначает неприводимое представление, маркируемое символом g)=(g)1g)2 ... соГо), в котором й)Го обозначает последнее, не равное нулю число и г0 = 1, 2, ..., <г/2>. Введем произвольный правый базис ц и специальный левый базис v°. Для объяснения смысла v° рассмотрим подгруппу OT_T^ вложенную в От по цепочке От zd Go zd Ot_Tq1 где Go — произвольная группа, содержащая ОГ-Г(). Обозначим базис неприводимого представления о), приведенный на указанной цепочке, через ашоЦо, где юоЦо дают маркировку Ог-Го-неприводимого представления и его базиса. В такой маркировке встречаются различные соО) в том числе и Ot_Tq- скаляры (О)Г_Г(); последнему случаю и соответствует специальный базис V0. Иными словами, v° обозначает лишь ту часть набора а(оо|1о, которая является От_т- скаляром, т. е. набор а (О)г_Го.

Используя введенные обозначения, укажем полную систему функций, зависящих от переменных q^oY Их составляют матрич- 138

ные элементы

/СО-СО.....©- \

/“ (^У^о оЧзДг^

Ог-неприводимых матриц D®, в которых q~l обозначает параметры обратного элемента группы. Выражения (11.9) обобщают шаровые функции (7.33). Учитывая неприводимые свойства функции (11.9), из (11.5) получаем

R ^ /^ (?) = 2 $ ц, (?) D^ (g),

„^,(11.10)

L ^ ^ ^ = 2 D^ ^ f^ (9),

где q = qr(jV) исо = (со1со2 ... (оГо). В случае унитарных операторов вторую формулу в (11.10), аналогично (8.11), можно представить в виде

г (g) О (9) = 2 О» (?) bv\v« (g). (ini)

Благодаря От_т- скалярности специального базиса v°, беря во второй формуле в (11.10) в качестве g элементы g0 группы Ог_г^ получаем

Выражение (11.12) показывает, что функции /+ю являются скалярами по отношению к действию оператора левого сдвига подгруппы От_т .

Отмеченные свойства специального базиса v° сохраняют силу в случае произвольной подгруппы Go в цепочке G zd Go ^)JOT_T ♦ Можно, например, пользоваться канонической цепочкой Ofzd OT_Y zd ... ... zd Ог_Г()+1 zd OT-4 либо цепочкой вида От zd (OrQ zd Gq) 4- От_т^ где Gq — произвольная подгруппа группы От^ в частности, в качестве Gq можно взять SOt<» Встречаются задачи, в которых используются симметрические подгруппы, и тогда Go обозначает St^i либо 8Т^ вложенные в От^ в смысле, объясненном в п. 9.2, по плотной цепочке От ZDSr+i либо по менее плотной цепочке Or ZD Sr .°

В случае канонической цепочки специальный базис v° обозначает канонический От_т- скалярный базис, не содержащий индексов

повторения. Он задается символом

(11.13)(11.13)

(11.13)

(11.13)

имеющим г0 строк, в которых расположены (r0(r0 + 1)/2 — 1) числа <д<ь числа в первой строке обозначают Ог-гнеприводимое представление, во второй строке — Ог-2-неприводимое представление и т. д. вплоть до скалярного ^г-г0- неприводимого представления. В частности, при г0 = 2 и г0 = 3, используя несколько измененные обозначения, имеем

оо(11.14)(11.14)

о

о

(11.14)

(11.14)

При г0 =^= 2 со ^(о^) и 0^(0) обозначают Ог^- и _Ог-2-неприво- димые представления, а для г0 = 3 о) =(о)1О)2о)3), «^((о^г) и 0^(0) маркируют Or-г, Ог-2- и Ог-3-неприводимые представления. При небольших г появляются дополнительные упрощения, которые нетрудно установить, используя правила модификации маркировок неприводимых представлений ортогональных групп, описанные в п. 9.5. ,

Сужение на неканонической цепочке От Tj[Or^ Goj 4- Or_TQ можно осуществить методами, изложенными в § 9, учитывая требование От_т- скалярности базиса v°. Например, используя технику S-функций, находим, что в случае г0 = 3, Ог-неприво димое представление со = (64) следующим образом разлагается через (О3 + + Ог_3)-неприводимые представления: вида v°: (64)г = (0)3 (0)г_3 + ч- 2 (2)3 (0)г_3 + (3)’ (0)г_з +2 (4)з (0)г_3.+ (5)’ (0)г_3+(6)3 (0)г_3+ ..., где многоточие обозначает члены, не имеющие Ог-3-скаляров. Приведение на цепочке OTq^)SOt^ дается формулами (8.43) и (8.44); в рассматриваемом примере на этой цепочке ассоциированное Оз-неприводимые представления (3)J и (5)J становятся эквивалентными 5О3-неприводимым представлениям (З)3 и (5)3.

: Из приведенного примера можно убедиться в том, что базис v° цепочки От => SO3 4- Ог-3 содержит набор 5О3-неприводимых пред- 140

ставлений Z, совпадающий с набором L в 5С73-неприводимом пред- ставлейии [64], приведенном по правилам (9.15) на цепочке SU3 ^ SO3. Описанный выше результат был получен в [16], где также было отмечено, что он остается в силе и в общем случае: правила перечисления От^ 4- От_т- неприводимых представлений (<о°)го (0)г-го специального базиса т°, содержащихся в Ог-неприводимом представлении (ю^ ... corJ, совпадают с правилами перечисления OTq -неприводимых представлений (<о°)Го, содержащихся в UT -неприводимом представлении [со^ ... шГо]. Указанное свойство существенно облегчает приведение v° на подгруппе 0То4- От_Го.В [31], где впервые в случае г0 = 3 были рассмотрены обсуждавшиеся цепочки для специального базиса, 5О3-неприводимое представление I базиса v° было названо псевдомоментом, который позднее в [152] получил название вихревого спина (wortex-spin). Операторы псевдомомента принадлежат к так называемым операторам левого сдвига, определение и свойства которых будут описаны в п. 12.2.

До сих пор говорилось о левом индексе функций Dto в (11.9). Правый их индекс ц обозначает полный базис Ог-неприводимого представления со, и его маркировку можно выбрать в зависимости от потребностей рассматриваемых задач. В частности, используется цепочка Or^G' с определенной группой G', и тогда ц заменяется на аХц. В приложениях в качестве G' берется симметрическая группа $г+и в случае которой X обозначает схему Юнга (8.22) с п ~ = г + 1.

В случае описанной маркировки левого и правого индексов полную систему функций (11.9) на фактор-пространствах ортогональных групп составляют матричные элементы

tor (го»«»• 5 ^ (г0)) е“хД(11.15)

К ним применима формула (11.12), показывающая, что матричные элементы матрицы Dti из-за свойств левого индекса v° не меняются при действии на них операторов левого сдвига подгруппы От_т^ Они удовлетворяют условию ортонормировки

aQ J di tor (r0)) Dvo,axu tor (r0)) ^vo.a'V^ tor (r0))=

= 6 (oxo') 6 (v°v'°) 6 (aa') 6 (XV) 6 (w'), (11.16)

в котором, аналогично (7.46), подразумевается интегрирование по непрерывным и суммирование с нормировкой по дискретным переменным. Для непрерывных переменных в (11.16) используется нормированный к единице элемент объема dx (g+ (г0)), получаемый из (7.44) с помощью рекуррентного шага (7.43).

В случае г0 = 3, когда базис ц фиксировался с помощью цепочки Or^Sr.^ функции (11.15) были введены в [31], где также был предложен метод их рекуррентного построения. К обсуждению этих вопросов, мы еще вернемся в § 15, 16. Здесь лишь отметим, что при

построении функций (11.15) существенны дискретные переменные о, дополняющие элементы группы SOr до группы ОТ1 ибо правильный базис с перестановочной симметрией невозможно фиксировать на классе функций, зависящих лишь от непрерывных переменных qt (г0).

Замена переменных в многомерных пространствах. Кроме других целей Or-неприводимые функции (11.9) с ш =(1 0 ... 0), заданные на фактор-пространствах, используются для замены переменных. Идею такой замены и структуру формул поясним на примерах полярных и сферических координат. Возьмем, например, выражения хх = — psinft^» ^2 = р COS А^, которые, используя вторую строку матрицы, приведенной в (7.5), можно представить в виде

XV = pD^W^ (11.17) с j = l, 2. В (11.17) вместо *0* пишется '&22) и используются обозначения, введенные в тексте, следующем за формулой (7.35).

Аналогично записываются выражения хг = psinft^sinft^» ^2 — = — р sin $з3) cos $23\ я3 = р cos Фз3) для перехода к сферическим переменным. Используя матричные элементы последней строки матрицы (7.28), в которых углы £ и ^ заменены соответственно через Фз3* и $23), получаем

Хг = рОз1Ч^з\^ (Н.18)

с i = l, 2, 3.

В приведенных формулах в замене переменных участвует определенная строка матриц D^r с г = 2, 3. Если в первом примере номер строки, по существу, не важен, то этого нельзя сказать о втором примере. Легко убедиться в том, что матричные элементы в первых двух строках матрицы (7.28) зависят от трех углов, поэтому непригодны для перехода к сферическим переменным и, по необходимости, в (11.18) используется последняя строка матрицы D , зависящая от нужного количества углов. Согласно результатам, изложенным в п. 7.6, эти углы интерпретируются как параметры фактор-пространства SCkXSO^. Поэтому приходим к выводу, что в (11.8) используются функции, заданные на фактор-простран- стве 80г\80г.

Формула (11.18) непосредственно обобщается на r-мерный случай. Возьмем вещественные декартовы переменные х^ х^ ..., хт и, учитывая то обстоятельство, что фактор-пространство SOT-t\SOr параметризуется г — 1-переменными q^, положим, что

^i, ..., ^r)), (11.19)

где г = 1, 2, ..., г, а углы принимают значения в интервалах, указанных в п. 7.3. В (11.19) р — радиальная переменная г-мерного пространства. Перемножая матрицы, входящие в выражение (7.35) 142

С r0 = 1, можно найти матричные элементы Вт,г и, сравнивая (11.19) с формулами перехода к многомерным сферическим переменным (см., например, формулу (1) в § 1 гл. IX [47]), убедиться в troM, что (11.19) с точностью до несущественных знаков дает замену переменных в многомерных пространствах).

Рассмотрим более сложный случай, когда подлежащие замене переменные характеризуются двумя декартовыми индексами. Обозначим их через pi с s = 1, 2, ..., г0 и г = 1, 2, ..., г. Возьмем (1) 7-

ГоГ-мерную матрицу D 0 , строки и столбцы которой нумеруются с помощью si. Аналогично (11.19) рассмотрим замену переменных

(1)г г

Pi = pDvJi (9V),(11.20)

где гог обозначает последнюю строку матрицы D , не зависящую от параметров группы O^-v В (11.20)

р = (2(руу'‘.(11.21)

(т т\

Если в качестве qTor в (11.20) взять углы ^(i® с г = ror, гог — 1, ...

..., 2, параметризующие фактор-пространство Or0r-i\Or0r, тогда формула (11.20) будет отличаться от (11.19) лишь обозначениями переменных и их индексов. Воспользуемся в (11.20) более сложным набором углов, для выяснения смысла которых разложим мат-

рицу D через произведение двух матриц. С этой целью положим, что qrQr = Ч^Ц?^ где q^, q^ и qT обозначают определенные наборы переменных, смысл которых будет объяснен ниже.

Представим D в виде

(1)р 7*(1)т» 7*\(1)1*/,\

D «(q^^D 0 (q+)D ° ^r)(11.22)

и рассмотрим структуру матрицы, зависящей от q^. Пусть г = = min(r0, г), a q^ обозначает набор г — 1 углов Ор ..., ОГ-ь принимающих значения в интервале 0 ^ ^ < —л/2. Эти углы используем для параметризации следующего произведения гог-мерных матриц вращения:

(1)/

D (^ ) — _П ^(T-o^k+i^r-k^i^ro-k^Cr-k^^^ ^К-^- (11.23)

В произведении (11.23) подразумевается, что матрицы Т с меньшим к находятся слева. Формула (11.23) и дает выражение перво* го множителя в правой стороне (11.22).

Второй множитель в (11.22) запишем в виде следующего прямого произведения г0-мерной матрицы на r-мерную матрицу:

(<?г>) = D^ (g+) X DWr (qr).(11.24)

При r<r0 в (11.24) g^ = g+(r), т. e. q^ обозначает параметры фактор-пространства SOro_r\SOroe В случае же г>г0, д^ обозначает все параметры группы 80Го. Учитывая сказанное, имеем о“,г-(,+) = Р(г»'г> при r<r- (11.25) ° UtOWe—1) при г>г0,

где D^a, 6) определено в (7.22). Число переменных, входящих в д^, дается выражениями

(11.26)(11.26)^(^о» г)^(^о» г)V —1-г(г+1) при г<г0, .уг0(г0-1) при г>г0.

(11.26)

(11.26)

^(^о» г)

^(^о» г)

Матрица D^ ^q*) определяется аналогично (11.25): она равна D^r. г—1) при г^г0 и D^ г0) при г>г0. Число ее параметров д^ будем обозначать через N^r, г0).

Перейдем к обсуждению qT в (11.24). При r<r0, qT обозначает все параметры группы Ог, т. е. qT = {о*г, q? (г0 = г — 1)}, Для г ^ г0 будем подразумевать, что qT дает набор параметров дг(г0). В этом случае явное перечисление параметров, входящих в gr, можно осуществить с помощью второй формулы в (11.8), однако слишком сложно пользоваться параметрами gr, представленными в таком виде. Проще исходить из выражения, следующего за знаком равенства в (7.27). Вместо Z>(r, г0) в этом выражении подставим -R71 (orr) RT ^т) D (г, г0) и будем полагать, что д, обозначает параметры, входящие в Rr^G^D^r, г0), т. е. qT = {crr, q^ (г0)}. В итоге имеем, что как в случае т<т^ так и для ^r0 qT = [ar, qt\, где д/ — уже обсуждавшийся набор параметров матрицы D r (д/) . Такое определение qT было использовано в [31]. Нетрудно проверить, что 7?a(Oa)Z)(a, b^ = D" ^сц b^Ra^Ga^ где D" отличается от D лишь тем, что угол Ф^ в D заменен в D" на угол 2л + (- 1)аа<>. Указанное свойство позволяет заменить qT на gr= [gr+, аг], получаемый с помощью параметризации, в которой матрица отражения /?а(оа) находится справа от D" (а, Ь).

Учтем в явном виде нумерацию первой матрицы в прямом произведении (11.24) с помощью индексов s', s = 1, 2, ..., г0 и второй 144

матрицы — с помощью индексов i\ г = 1, 2, ,.., г. Формулу (11.22), записанную для матричных элементов, представим в виде

DV> (.qv) = ^,DsoVs'v ^4+^D8.,s (g^) Р^д (gP). (11.27)

Перемножая матрицы Т в (11.23), можно убедиться в том, что первый множитель под знаком суммы в (11.27) не исчезает лишь в случае столбцов, обозначаемых индексами sQ(r — r0 + s0) с s0 = = 1, 2, ..., г0, если Го ^ г, и с s0 = 1 + г0 — г, 1 + г0 — г + 1, ..., г0, если г0>г. Поэтому s'г принимают указанные значения, и формула (11.20) в используемой параметризации с учетом (11.27) приобретает впд

Pi — Р(^+) ^s,/ (^) Лг-^^ ^’(11.28)

S0

где, напомним, s0 = 1, 2, ..., г0, если г0 ^ г, и s0 = 1 + Го — г, 1 + г0 — — г + 1, ..., г0, если г0 > г. Индексы, принимающие эти значения, в дальнейшем будем обозначать через s0, $0 и т* п*

Вместо г—1 углов йи-! и глобальной радиальной переменной р используется г переменных радиального типа

р(’о) = pD^f^ (д+\(11.29)

Выражения (11.29) в случае г0 = 3 и г^З явно выписаны в (3.34), откуда видно, что O^p(so)< оо. Замена переменных (11.28) с использованием (11.29) приобретает вид

pi = 2 p(So) d^a (g^) Z)r-;o+$o,i tor).(11.30)

so

Для интервалов 0^p^so)<oo правая сторона в (11.30) г! раз покрывает область значений р*. Избежать этого можно, разбивая указанную область значений р^0^ на г! подобластей, в которых р^0^ удовлетворяют неравенствам

р {р(Г о) < Р(Г о+1) < •.. < Р(Го)},(11.31)

где р — всевозможные перестановки г индексов г0, Го +1, ..., г0, а Го = 1, если г0 ^ г, и г0 = 1 + г0 — г, если г0 > г.

Обратим внимание на тот факт, что в правых сторонах выражений (11.28) и (11.30) присутствует дискретная переменная ог, из-за наличия которой речь идет о замене pi на новый набор переменных, расширенный параметром отражения ог. Поэтому в общепринятом смысле замены переменных знак равенства в (11.28) и (11.30) подходит лишь для случая ог = 0, когда вместо qr имеем qt.

Ю в. В. Ванагас145

Благодаря дополнительной дискретной переменной оГ) осуществляя замену переменных (10.28) или (10.30), получаем функции, задан* ные на фактор-пространствах ортогональных групп.

Замена переменных (11.30) при ог = 0, г0 = 3 и г>г0 была предложена в [56]. Смысл qt как параметров фактор-пространства ортогональных групп в случае г0 = 3 был выяснен в [31] (см. также [15, 16]), где и была предложена форма записи (11.30) и получено выражение (11.28). Обобщение на г0-мерный случай было дано в [143].

Полуканоническая параметризация и параметры вещественной линейной группы. При замене переменных использовалась рекуррентная по г параметризация фактор-пространства SOt_Tq\SOt^ даваемая формулой (7.15), основанной на цепочке От ^ Or-i + 0^. В приложениях встречается более сложный способ параметризации, осуществляемой по полуканонической цепочке От zd От^ 4- От^ (г2 = = 1, 2, ..., г—1), обобщающей предыдущий случай. Такая параметризация допускает наглядную интерпретацию замены переменных с привлечением параметров матриц, образующих вещественную линейную группу.

Вкратце опишем наборы параметров полуканонической параметризации. Пусть задано r0, rt и r2 (rt + г2 = г) и построены матрицы D (qfrJ и D ^г2), определяемые выражением, приведенным в тексте, следующем за формулой (11.26). Требуется дополнить qtr, q^ параметрами q^ завершающими параметризацию фактор-пространства SOT_ro\SOT при г0 ^ г либо параметризацию группы SOr при Го > г. В [19] были проанализированы возможные способы выбора qt и получено выражение D r{qt) через матрицы вращений Т. Отсылая за подробностями к указанной работе, рассмотрим лишь общую структуру формул полуканонической параметризации.

Представляя qt в виде qt = qtqtrqt2 или в виДе qt = ^^^ и дополняя затем qt параметрами отражения, получаем полукано- ническую параметризацию фактор-пространства Or_rQ\Ori задаваемую наборами параметров qT = qaSr^ или Чт = qr^qr^ Матрицы В^ч зависящие от qTl применим для замены pi через новые переменные. Пусть определенности ради г0 ^ г. Расположим р| в виде прямоугольной матрицы, строки которой нумерует s, а столбцы — /; подчеркивая такую интерпретацию, переобозначим pi через pSi. Переменные р^°) будем рассматривать как элементы Го-мерной диагональной матрицы. Тогда во введенных обозначениях формула (11.30) приобретает вид

Psi= 2 D.^qT^U^s^^^ (11.32) Vso=1 °

Выражение (11.32) можно интерпретировать как следующее мат

ричное разложение:

1г

i . . . ^

1

1 . . . л

r-r0-l

1 г

1

го

р

1

го

DWr4q"rJ

1

л6

pw 0

о ?w

Dw4qr>

(11.33)

Теперь применим полуканоническую параметризацию qT = Чт^Чтх фактор-пространства Ог_Го\Ог с rt = r —г0 и г2 = г0. Обозначим qT^ с г2 = г0 через qTo и последнюю матрицу в (11.33) разложим через произведения матриц, зависящих от qTo1 q0 и qr-r0* Тогда (11.33) можно представить в виде следующего произведения двух матриц:

* (11.34)* (11.34). (11.35). (11.35)

* (11.34)

* (11.34)

. (11.35)

. (11.35)

Перемножая матрицы, входящие в правую сторону (11.35), получаем матрицу, зависящую от г? вещественных переменных. Она параметризует общую вещественную линейную группу GL(rQl R), задаваемую г0-мерными вещественными матрицами. При такой интерпретации для обеспечения однозначности разложения (11.35) на радиальные переменные р^°) накладываются условия (11.31) с фиксированной перестановкой р. Выражение (11.34), записанное через матричные элементы матрицы группы GL^ R^ имеет вид

Pi = 2 2 Ds^ ^qr^ р( о) D^^ (^J Dr_T^$'o>. ^е9г-г0У (11.36)

Квадратными скобками в (11.36) показана структура формулы (11.34).

Функции во внутренней системе координат. Приведем определение и опишем простейшие свойства функций, заданных на фак- тор-пространствах групп во внутренней (собственной) системе координат. Как и в п. 11.1, параметры фактор-пространства G0\G, вы-

Ю*147

ступающие в качестве переменных, обозначим через q и напомним, что в тех случаях, когда Go — тривиальная подгруппа, q обозначает элементы группы G. Рассмотрим функцию F^ q), зависящую от q и, возможно, от набора других переменных %. Как и в (11.3), действие операторов RUT) группы G на F зададим формулой

qH& Qg).(11.37)

Согласно определению, предложенному в [15] (см. также [16]), выражение (11.37) с g = q-1 задает функцию F во внутренней системе координат по отношению к преобразованиям R группы G или, короче, по отношению к группе G. Приведенное определение дает строгую формулировку и обобщение понятия функции во внутренней системе координат, используемого в физической литературе по отношению к группе трехмерных вращений. Обозначим выражение о

F во внутренней системе координат через F и тогда согласно скапанному выше о _

F(g) = /?(9-1)F(g, qW& qq"lW& eV (11.38)

где e — единичный элемент группы G. Формула (11.38) показывает, что исходя из функции, зависящей от q, ее выражение во внутренней системе координат получаем, беря q = е.

Рассмотрим примеры. Найдем шаровые функции во внутренней по отношению к группе SOs системе координат. Используя (7.33) или (11.7) и учитывая определение (11.38), получаем

Yim = R (q-1) Ylm (q)= 6 (m, О)Уго (0)=6(m, 0) (- 1)г /^tl. (11.39)

Выражение (11.39) показывает, что во внутренней системе координат шаровые функции не исчезают лишь при т = 0, и тогда они становятся постоянными величинами.

оpi =оpi =Пример более сложных функций, когда F кроме q зависит еще и от дополнительных переменных, дает формула (11.30), определяющая в явном виде зависимость р| от р^ °\ qt и qT; в этом случае q^o и qT выступают в качестве д, а р^ ^ — в качестве £. Со* гласно общему определению (11.38) выражение р® во внутренней системе координат по отношению к группе SOT^ получаем, подставляя в (11.30) вместо qt единичный элемент группы SOTo. В результате вместо ^sQ,s появляется o(s0, s), что дает Pi = = 7? ((^) ^ Рь или в явном виде

о

pi =

о

pi =

p^D^ly^ (?) при s из области значений % ^ ^ 0для остальных s.

Применяя (11.38) к переменным р^, находим их выражение во внутренней по отношению к группе От системе координат. Тогда в (11.40) матричные элементы матрицы D^ заменяются через 6(r—r0 + s, /) ив итоге получаем

°°8 Pi =°°8 Pi =(11.41)(11.41)p(s)6(r — r0 + s, г) при s из области значений $0, 0для остальных s.

°°8 Pi =

°°8 Pi =

(11.41)

(11.41)

Из формулы (11.41) следует, что в двойной внутренней системе координат из всех р| не равным нулю остается лишь г = min(r0, г) компонент векторов Якоби, которые становятся переменными радиво) ального типа р .

Получим разложение функций Ф(Г|рО с произвольными характеристиками Г через сумму произведений функций, зависящих от р^ °\ д^ и qT. С этой целью будем действовать на Ф (Г | pf) единичным оператором R (g^g^ R (g-1g\ в котором g0 и g — соответственно элементы групп $ОТ^ и От. Рассмотрим разложение Ф (Г I р0 = R (g-1) R R (g-1) R (g) Ф (Г I pD =

= S (я (go-1) R (Г1) Ф (Г' | Pi)) MT,r(ge, g), (11.42) Г'

в котором М — матрица, генерируемая оператором R^g^R^ на фазисе Ф (г | р^ °\ qto1 q^. Положим в (11.42) g0 = q^ и g = qT и учтем, что согласно общему определению (11.38),

Ф (г I р|) = R ((g+J"1) R (^0 ф (Г I рП =

= ф (г |$ ((^J-1) Я G;1) pi). (11.43)

Подставляя в правую часть в качестве аргумента значения (11.41), 00

получаем выражение для Ф. Например, в случае г0 г ф (г I р(1), р(2),..., р(Го)) = Ф (Г I pi = р(8)6 (г - г0 + я, 1), ...

..., Pi = P(s)6 (г — r0 4- s, i), ..., pi = p<8)S (r — r0 4- s, r)), (11.44)

и аналогично — для г0>т. Из (11.42) при g0 — д^ и g = qT с учетом (11.44) получаем искомое разложение

ф(Г|р9 = ф(г|р(Ч q^ q^ =2 Ф (г V^) ^г (^ 9г), (И-45)

выявляющее структуру функций Ф (Г | р|) в радиальных и угловых переменных. Применяя (11.45), необходимо обеспечить норми- оо

рОВКу Ф (Г') И Мугу.

§12. Операторы в переменных фактор-пространства ортогональных групп

Маркировка канонических базисов простейших Ог-неприводимых представлений. Матричные элементы матриц/) т и инфинитезимальные операторы ортогональных групп будем характеризовать каноническим базисом. Рассмотрим маркировку такого базиса для Ог-неприводимых представлений (1)„ (И)г и (2)„ размерности которых соответственно равны г, г(г—1)/2 и (г(г+1) — 2)/2, С этой целью введем индексы q и р, принимающие значения 1, 2,... ..., г. Базис представления (1)г обозначим значениями q = р = 1, 2, ..., г, а базисы (11)г и (2) г — значениями д<р = 2, 3, ... ....г в случае (11)г и q < р = 2, 3, ..., г; q = р = 1, 2, ..., г — 1 в случае (2)г. Эти значения индексов q и р наряду с числом г задают представления (ш)г (ш')г-1... групп канонической цепочки От => 0,-1 ^... Корреляция между qp и обозначениями неприводимых представлений групп этой цепочки приведена в табл. 12.1. В первом ее столбце выписаны Ог-неприводимые представления и условия, налагаемые на индексы q и р. В остальных столбцах приведена зависимость от q и р маркировки неприводимых представлений групп, входящих в три фрагмента канонической цепочки, выписанные в верхней части каждого столбца; в таблице также

Таблица 12.1. Маркировка канонических базисов Ог-неприводимых представлений (1)г, (11)г и (2)г

.. zd 0г_^+1

°r-q^

... Z) Or__p+1

^r—p ZD •

..oOt

(Dr 9= Р

(Dr-

нет

Wr-p ..

.(0\

(iDr q<p

0D, •

•• ^^r-g+l

(Dr-,-

,e Wr—p+1

Wr-p-

■(0)i

(2\ q<p

(2), -

■ f2)r_g+1

(Dr-,.

• • (l)r—p+1

Я-р ..

•Wi

^т q = р

•(2)г...

1 (2<r-,+i

нет

(°.VP -

•(0>i

указано, что при q = р фрагмент OT-q => OT-q-i =>...=> OT-p+i отсутствует. При небольших г маркировки (1), (И) и (2) следует переобозначить по правилам модификации, изложенным в п. 9.5. Напомним, что обозначение (1) пригодно вплоть до группы О2, а в случае Oi оно заменяется на (0)\ В случае группы Ov представление (11) не имеет смысла, для О2 и О3 оно дает соответственно (0)т и (1)т, а для группы 0^ имеем (И) = (ll)v. Обозначение (2) пригодно для всех ОТ1 за исключением группы О^ в случае которой оно не имеет смысла. С помощью табл. 12.1, например, находим, 150

что в случае г = 6 значения q = 3, р = 5 дают маркировку О6-непри- водимой базисной функции Ф((11)6д = 3, р = 5)= Ф((11)6(11)5 • • (11)4(1)з(1)2(0)4) и т.п. 1

При выкладках с матричными элементами матриц D г и инфинитезимальными операторами удобно пользоваться коэффициентами Клебша — Гордана групп ОТ1 приводящими матрицу прямого произведения D r X D r. С помощью техники 5-функций, изложенной в § 9, находим, что (l)r X(l)r = (0)r + (H)r + (2)r. Коэффициенты Клебша — Гордана для такого приведения в каноническом базисе были получены в [95, 143] и имеют вид

,(1)г(1)г (0)гPi р2 р0,(1)г(1)г (0)гPi р2 р0= тЛ=6(Р1Рг)V*-= тЛ=6(Р1Рг)V*-(12-1)(12-1)

,(1)г(1)г (0)г

Pi р2 р0

,(1)г(1)г (0)г

Pi р2 р0

= тЛ=6(Р1Рг)V*-

= тЛ=6(Р1Рг)V*-

(12-1)

(12-1)

в случае результирующего скалярного представления,в случае результирующего скалярного представления,,(Dr (i)r(ii)r рг р2 ар,(Dr (i)r(ii)r рг р2 арО, если рг = р2,^ 6 (PiP) 6 (м), если рг>р2,- ^ б ^^ 6 t7^’ если Р1 < РаО, если рг = р2,^ 6 (PiP) 6 (м), если рг>р2,- ^ б ^^ 6 t7^’ если Р1 < Ра(12.2)(12.2)в случае результирующего представления (11)г ив случае результирующего представления (11)г и

в случае результирующего скалярного представления,

в случае результирующего скалярного представления,

,(Dr (i)r(ii)r рг р2 ар

,(Dr (i)r(ii)r рг р2 ар

О, если рг = р2,^ 6 (PiP) 6 (м), если рг>р2,- ^ б ^^ 6 t7^’ если Р1 < Ра

О, если рг = р2,^ 6 (PiP) 6 (м), если рг>р2,- ^ б ^^ 6 t7^’ если Р1 < Ра

(12.2)

(12.2)

в случае результирующего представления (11)г и

в случае результирующего представления (11)г и

Цг. рг д)8(ргр2) 6 (др)Цг. рг д)8(ргр2) 6 (др),(1)г (1)г (2)гPl Р2 5Р,(1)г (1)г (2)гPl Р2 5РУ(г — д)(г— д + 1) ^6(Р1Р)6(р29)» ^Цр^Цр^,У(г — д)(г— д + 1) ^6(Р1Р)6(р29)» ^Цр^Цр^,если р-^ — Р24если рх > р^если рг < р2если р-^ — Р24если рх > р^если рг < р2(12.3)(12.3)

Цг. рг д)8(ргр2) 6 (др)

Цг. рг д)8(ргр2) 6 (др)

,(1)г (1)г (2)г

Pl Р2 5Р

,(1)г (1)г (2)г

Pl Р2 5Р

У(г — д)(г— д + 1) ^6(Р1Р)6(р29)» ^Цр^Цр^,

У(г — д)(г— д + 1) ^6(Р1Р)6(р29)» ^Цр^Цр^,

если р-^ — Р24

если рх > р^

если рг < р2

если р-^ — Р24

если рх > р^

если рг < р2

(12.3)

(12.3)

в случае результирующего представления (2)г. В (12.1) р0 обозначает одномерный базис (0)r-i(0)r_2.. .(0)1 скалярного представления, а входящая в (12.3) величина 6 (г; р^ q) уже встречалась в (10.21). Выражение (12.2) нетрудно получить, сравнивая (10.9) и (10.28).

Выясним неприводимый смысл обозначений базиса матричных элементов Dwr матрицы D твведенной в п. 7.6. С этой целью заменим i и V соответственно на г —р +1 и г — р'+ 1. Тогда, учитывая смысл р, объясненный в табл. 12.1, нетрудно установить, что значению г —р+ 1 = 1, т. е. первой строке или первому столбцу матрицы D т соответствует маркировка (l)r(l)r-i.. -(1)ь значению г —р + 1 = 2 — маркировка (l)r(l)r-i.. .(l)2(0)t и т. д. вплоть до маркировки (1) г (0) r—i... (0) t для значения г — р +1 = г, обозначающего последнюю строку либо столбец матрицы D *

С помощью формулы

6 (о/®) D^X? kg) =

(12.4)(12.4)2 DWr - (g) DWr, (g) C^T l^ yM^ U-r Wr,h^k2 *1*1^12^1 ha h-y’

(12.4)

(12.4)

^1^2

где k = r — p+1, ] = r— g+1, kY = r — pYX\ и т. п., а также используя (12.1) — (12.3), можно получить матричные элементы матриц с (ш)г = (0)г, (11)г, (2)г. Например, беря ш = о/, легко выводим, что

D^.y (g) = D^- (g) D^ (g) - ПЙ (g) D^ (g). (12.5)

Матричные элементы (12.5) антисимметричны по отношению к перестановке к с / и к' с 7'; пользуясь этим свойством и учитывая появляющиеся при этом знаки, всегда можно добиться выполнения неравенств к<] и k,<f. Принимая во внимание объясненный в табл. 12.1 смысл базисных индексов q и р и их связь с индексами 7 и А, легко находим неприводимые свойства строк и столбцов матриц D^Y Например, матричный элемент О^зг(£)>в котором индексам к^ Y ^i Г в (12.5) соответствуют p = r, q = r— Y р' = г — 2, q' = 1, характеризуется строкой (ll)r(l)r-i(0)r-2.. .(0)t и столбцом (ll)r(H)r-i(ll)r-2(l)r-3.. .(l)i и т. п. В случае г = 3, используя явное выражение матрицы D^Y параметризованной в виде (7.28), из (12.5) находим D 3 и, сравнивая ее с исходной матрицей и д убеждаемся, что

S«5j' (а, Р, Т) = (- l)ft+>+v+^ D^X (а, р, у), (12.6)

где индексы к и ] принимают значения 1, 2, 3, a к{ и к2 однозначна задаются условиями k^ks k^j и к2^к\ k2^f. Формула (12.6) устанавливает эквивалентность ЗОз-неприводимых представлений (11)з и (1)3, вытекающую также из правила модификации (11)3~> -^(1)3, даваемого формулой (9.11). В случае г>3 соотношения для неприводимого представления (И)г, аналогичные (12.6), отсутствуют.

Инфинитезимальные операторы правого и левого сдвигов. Наряду с операторами конечного правого и левого преобразований на группе Ог, действующими по формулам (8.6) на базисные орты и по формулам (11.10) на функции, заданные на группе или фактор- пространстве, в приложениях используются соответствующие им операторы инфинитезимального правого и левого сдвигов. Эти сдвиги будем рассматривать в окрестности единичного элемента группы Ог, когда параметры отражения равны нулю, поэтому выражения инфинитезимальных операторов будут зависеть лишь от параметров группы SOT.

В п. 10.5 было объяснено, что инфинитезимальные операторы группы От преобразуются по г (г — 1)/2-мерному Ог-неприводимому представлению (11) г. Базис этого представления обозначается индексами q < р = 2, 3, . .., г. Инфинитезимальные операторы правого сдвига, преобразующие D®^ по правому индексу р, как и раньше, будем обозначать через Iqp или, более полно, через /др1). Для операторов левого сдвига, преобразующих />“ц по левому индексу v, в частности по индексу специального базиса v°, будем пользоваться рукописной буквой, обозначая их через 3qP или, более полно, через 3^. Приведем соотношения, позволяющие получить явные выражения 1Чр и 3 qp через углы вращения и производные по ним. Для записи таких соотношений удобно несколько изменить обозначения угловых переменных О. Их совокупность в том порядке, в каком они выписаны в (7.23), переобозначим соответственно через

g(a-b+l)g(a-b+2) g(a)

е^е^... е^гЛ..., о^о^о^, 9<2)о<3), о(22)(12.7)

или вкратце через 6(х), где f = a, a—1, ..., 2 и x = t — 6 + 1, t— 6 + 2, ..., f, причем используются лишь х > 1. Пусть qtK обозначает все переменные, находящиеся в (12.7) по левую сторону от 0(х) с данными х и £, а q^ обозначает переменную 0^ и все переменные, находящиеся^ по правую сторону от 0(Х). Тогда, ПО определению, операторы 3 Чр, вместо которых ниже будем писать 3^ с к = г — р + 1 п у = г — q + 1, задаются системой уравнений

= 2 21 М^кз^-х х ( 9ш)(12.8)

к<з

для всех t и х. Инфинитезимальные операторы правого сдвига определяются аналогичной системой уравнений вида

«Л; ( 9^) ^ьг(12.9)

к<з

В (12.8) и (12.9) входят матричные элементы (12.5), зависящие от Qu либо от q^. Применяя (10.8) и (12.9), учитываем антисиммет- рпчность D и инфинитезимальных операторов по отношению к перестановке индексов х — 1, х и к].

Для доказательства (12.8) и (12.9) заметим, что

_t( с П = ( ° *ИС SU ° Ч (12 10)

50S с/ ^—1 0/S с/ V—s с/\— 1 0/’

где с = cos 0 и s^sinO. Формула (12.10) показывает, что производную матрицы вращения ^(О) по 9, умноженную на (—i), можно интерпретировать либо как матрицу оператора 3-1(9^ либо как

153

Т(9) • I. Следовательно,

= [ТЮ 3^ T"4qt^\T Ut-TqtnY (12.11) где 3 (tx)—инфинитезимальный оператор левого сдвига, соответствующий углу е(/°. из (12.11) вытекает, что

- ^ = ? № (12Л2)

Матричная реализация правой стороны операторного равенства (12.12) в Or-неприводимом пространстве ^^т ведет к системе уравнений (12.8); аналогично выводится (12.9).

Инфинитезимальные операторы левого сдвига «9%- удовлетворяют коммутационным соотношениям (3.14), которые лишь знаком в правой части отличаются от коммутационных соотношений (10.11) операторов правого сдвига 1Кр Исходя из определений (12.8) и (12.9) можно доказать, что

4^ = 2 D^^ {g+) 5kb (12.13)

где g+ обозначает параметры группы SOr.

Рассмотрим примеры. Пусть г = 2, и тогда возможно лишь значение г0 = 1, что дает а = 2, 6 = 1, следовательно, £ = х = 2 и имеется один угол 9<2). Поэтому q^ не содержит параметров, т. е. соответствует единичному элементу, a qt^ обозначает 6(22). Вычисляя для последнего случая с помощью (7.5) и (12.5) матрицу D 2 (022))> состоящую в данном случае из одного матричного элемента, получаем, что она равна единице. Учитывая сказанное, из (12.8) и (12.9) имеем, что в случае SO2

12 = ^(ID/Di = — 1,

Лг^Ли)^!^ = —

Учитывая, что 022) обозначает О^, и принимая во внимание упомянутое в сноске в п. 11.3 переобозначение переменных, видим, что как /12, так и ^12 совпадают с выражением Ьг в полярных координатах. В (12.14) указаны О2- и (Л-неприводимые свойства операторов, установленные с помощью табл. 12.1, учитывая, что к = = г — р + 1 и 7 = г — q + 1; напомним, что (11)2-> (0)2 и (1)1-^ (0) V поэтому оба оператора являются псевдоскалярами групп О2 и 0^.

Более сложный пример получаем при г = 3. Тогда г0 может при-

нимать значения г0 = 2 и г0 = 1. В первом случае речь идет об операторах, заданных на группе SO3l и тогда а = 31 Ь = 2, 1 = 3, 2; х = = 2, 3 в случае t = 3, и х = 2 в случае t = 2. Находим по три набора углов qtx и qty в обозначениях (7.23) или (12.7), затем, развертывая (7.28) для используемых обозначений углов и учитывая (12.6), определяем матричные элементы матрицы J) 3, решаем уравнения (12.8) или (12.9) относительно 9К5 или 1М и в итоге получаем выражения

•^12 = <^(11)3(11)3(1)! = — 1 уд7’

^13—<^(11)3(1)3(1)!— Ц s" уд' +s 50" s" 50'") >(12.15)

^ = ^•• (S'C" 9\ с' 9 I S' д

— ^(11)3(1)2(0)! - Ц S" 50'т с 50" "Т" s" 90"'/

ИЛИ

^12 А11)3(11)2(1)1& 50'"’

(12.16)(12.16)у_. Zcw ддс"с"' д\

(12.16)

(12.16)

'13 — 411)3(1)2(1)!—1\^г 50/ s 50//s// a^,j,

7 _т_.(s'" а a

'23 —'(11)3(1)2(0)! —Цз"^' ‘ c ай" s" a^”r

где также указаны неприводимые свойства инфинитезимальных операторов. В (12.15) и (12.16) использованы обозначения s'" ^ ^sinG'", с'= cos в' и т. п., в которых в'= в32) = $22\ 0" = 033) = = Gg3) и 9" = 022) = G<3); напомним также, что (11)3->(1)J, (11)2->(O)J и (1)х “> (0)J • Учитывая переобозначения, обсуждавшиеся в сноске в п. 11.3, убеждаемся в том, что операторам Sf^ ^1з, ^23 соответствуют операторы 2г1 2?^ 2?^ угловых моментов во внутренней системе координат и аналогично — для Z12, Лз, Дз- Принимая сказанное во внимание и отождествляя углы О', 0", 6'" с углами 03, 02, 01, использованными в [2], легко проверить, что (12.15) и (12.16) совпадают соответственно с выражениями (5.29) и (5.39) упомянутой книги. Операторы (12.15) и (12.16) удовлетворяют коммутационным соотношениям (3.14) и (10.11) и связаны формулой (12.13).

При г = 3 и г0 = 1, когда речь идет об операторах, заданных на фактор-пространстве SO2\SO3) переменная О' отсутствует. Тогда в (12.15) и (12.16) пренебрегаем слагаемыми, содержащими производное по 0', и, кроме того, полагаем, что s' = 0 и с' = 1.

При увеличении г возрастает число и сложность уравнений (12.8) и (12.9) и все труднее становится отыскать выражения инфинитезимальных операторов. Частные случаи можно получить для произвольных г. Пусть, например, £ = а, х = а — Ъ + 1 и, кроме того,

a = r, b = r0. Тогда g^ задает единичный элемент группы и из (12.8) имеем, что

^r-rg.r-Tg+l^^dl^.. (11),._Гв + 1(1)Г_Г (0)Г_Г^..(O)! = — I ,Г_Г() + 1)-

"Уг-г0 + 1

(12.17)

Аналогично при х = t = 2 и а = г для оператора правого сдвига из (12.9) получаем, что

Ла = Ли)г...(и)2(1)1 = - I ^.(12.18)

В двух последних выражениях углы обозначены, как в (7.23), и указаны неприводимые свойства операторов по отношению к преобразованиям групп цепочки От =>Or-i ...^О^ В частности, из (12.17) видно, что оператор ^г-г г_Го+1 является скаляром группы От_ т^_ х»

В [66] в замкнутой форме были получены инфинитезимальные операторы, удовлетворяющие уравнениям (12.9) для фактор-про- странства SOT-V\SOT. В этом случае a = rji 6 = 1, (12.7) в обозначениях (7.23) дает множество г— 1 углов q+ = {$гГ), 'O’r-i, ..^^k а операторы (10.10) принимают вид

—1 I 1 r,hj \Q ) ^(r)

г™ ^/ 7*— 2\ — X\

- 2 (- l)r+ft' D^ СД) П sin <2-^- , (12.19)

где к = г — p + 1, у = к — q + 1. В случае г = 3, учитывая определяем мые с помощью (7.28) и (12.6) явные выражения матричных элементов матрицы D 3 и переобозначения, указанные в сноске в п. 11.3, из (12.19) получаем, что Ikj связаны с операторами углового момента LS1 действующими на шаровые функции Ylmi соотношениями Zi2 = Lz4 1\з~ Lx и 1^ = Ly.

Приведем удобные формулы для выкладок с левыми инфинитезимальными операторами, действующими на матричные элементы Ог-неприводимых матриц Dto^g). Пусть /(g)—функция, заданная на группе От. Тогда, учитывая линейность инфинитезимальных операторов по производным, имеем

3^ (g) / ^ = D^ (g) 3Mf (g) + / (g) 3hjD^ (g)t(12.20)

поэтому

l^y, D“№ (g)] / (g) = / (g) ^hiD^ (g)),(12.21)

и действие коммутатора на /(g) сводится к определению действия 156

9^ на матричные элементы матрицы Z)°(g). Учитывая еще, что «9# преобразует левые индексы матрицы В\ можем записать

3£^ (g) = s (cov I ^ I ™') D^ (g) =

V

= 5 (M^H^Pv PЖД^ (12.22) V'P

В выражении, следующем за вторым равенством в (12.22), использована теорема Вигнера — Эккарта для группы От в форме, которая будет приведена в п. 13.3. В частности, при со = (1)г в (12.22) нег индекса повторения р. Используя выражения соответствующих коэффициентов Клебша — Гордана, получаемых из (12.2), и вычисляя субматрицу для оператора (12.17) из (12.22), имеем, что в случае к < /

3^TD^^ = -i ^№D^^-^kMDYl;^\ (12.23) Формулы, аналогичные (12.22) и (12.23), нетрудно получить и для инфинитезимальных операторов правого сдвига.

Замена переменных в операторах. Для записи операторов в переменных р^ °\ ^, qT1 кроме выражений для pt даваемых формулами (11.28) либо (11.30), необходимо еще иметь производные по р| в новых переменных. Для замены переменных в производных стандартные выкладки непригодны, ибо требуют обращения якобиана размерности гог. Метод вывода, позволяющий преодолеть эти трудности, был предложен в [66], где в случае г0 = 3 были получены выражения производных по pi в новых переменных; результаты этой работы на случай произвольного г0 были обобщены в [143] (см. также [21]).

Не останавливаясь на доказательствах, приведем основной результат упомянутых работ. В них было показано, что производная по pi в новых переменных имеет вид

+ * 5 D^dYH^^hY (12.24)

где входящий оператор УС определен в (3.13). В формуле (12.24) $i = 1, 2, ..., г0 и ?! = 1, 2, ..., г — г0 при г > г0 и Si = 1, 2, ..., г0 — г и ?! = 1, 2, ..., г при т<г^ напомним, что УС = 0 при г = г0, а $»

и $0 принимают те же значения, что и в (11.28). В выражение (12.24) входят определенные согласно (12.8) левые инфинитезимальные операторы $ и соответственно для групп SOT^ и SOT и подразумевается, что $ * " = — $ " i и аналогично — для 3.

sosososo

(1)7*(1)

Матричные элементы матриц D 0 и D т в (12.24) зависят соответственно от параметров ^^ и ^.

Используя (11.30) и (12.24), можно найти выражения для операторов О в новых переменных, т. е. осуществить замену

О ^)^&(р(8о)’ ^’9г’ ^'§кь ^к,}')’ (12,25) в которую входят те же операторы 2"^ и 3k'j', что и в формулу (12.24). В качестве примеров применения (12.25) рассмотрим билинейные формы, составленные из переменных pi и (или) производных по ним.

Начнем с симметрического тензора второго ранга, образованного путем усреднения p|pf по индексу г. Используя (11.30) и свойство ортогональности матрицы и , легко получаем, что

SS' (2 W2 V^

9 = И + 6 (ss')/ ^PiPi —

(

9\1/2/ <5 \\о(1)р / , \(1)г / । \

г+тет)) 2 (?'1 V И- <12-26>

so

Пусть г0 < г, следовательно, s0 = 1, 2, ..., г0. Образуя линейные комбинации с помощью коэффициентов Клебша — Гордана группы О и> пользуясь (12.4), определимо-неприводимые величины ^:

= 2 (Ш^)1/2 qs’c2 Ц = 2 6 (х'х)^ <12-27)

S,s'^'Ц'

где

Р^= 2 (р(о) Cs °s \,.(12.28)

Учитывая выражения (12.1)— (12.3), получаем, что (12.28) не равно нулю лишь для х = (0), (2), в случае которых

где qq обозначает базис ц'; р имеет тот же смысл, что в (3.19) и q= 1, 2, ..., г0— 1.

Вместо q во второй формуле в (12.29) подставим г0 — ь затем переобозначим р( ; через р 'и заменим индекс суммирования о0 на Оо = го— Z+1. В итоге, переобозначая еще Рт^-3\т0-3^р^ Р^\ получаем

® - -=1= (i (pm)s - / (р°+-')4(12.30)

V1U +1) \^х/

где / = 1, 2, ..., г0—1. Эта формула, пригодная для случая г0<г, (2)

свидетельствует о том, что р33 по виду совпадает с выражением (1.10) для векторов Якоби. При г0 = 3 переменные (12.30) уже использовались в (3.17).

Более сложно заменить переменные в операторах, зависящих от производных. В качестве первого примера приведем выражение входящего в (1.15) слагаемого с определенным значением t, s1T s2> обобщенного на случай произвольного г0. Используя (11.30), (12.24), учитывая формулу (12.5) и осуществляя выкладки, получаем выражение

. / s д s' д "T<"Pi ^

8oi у nw~ T ^^r-r0 +so^so8oi у nw~ T ^^r-r0 +so^so2 ^'г^2 ^'г^5 3D^T0 3 т—т.5 3D^T0 3 т—т..(1К <и>г —'^'iD MD Ч\Л' ^ Gih).(1К <и>г —'^'iD MD Ч\Л' ^ Gih)(И),D .0Vo-85'(И),D .0Vo-85'n(8o)_9Ao) '8gpGD dpt8»)n(8o)_9Ao) '8gpGD dpt8»)

8o

i у nw

~ T ^^r-r0 +so^so

8o

i у nw

~ T ^^r-r0 +so^so

2 ^'г^

2 ^'г^

5 3D^T

0 3 т—т.

5 3D^T

0 3 т—т.

.(1К <и>г —

'^'iD MD Ч\Л' ^ Gih)

.(1К <и>г —

'^'iD MD Ч\Л' ^ Gih)

(И),D .0

Vo-85'

(И),D .0

Vo-85'

n(8o)_9Ao) '8

gpGD dpt8»)

n(8o)_9Ao) '8

gpGD dpt8»)

ррso,so*sOso,so*sOd,!; +s 3dWt „ nu!)r°о 0’ r-r0 + s0,j soso,ss'd,!; +s 3dWt „ nu!)r°о 0’ r-r0 + s0,j soso,ss'

р

р

so,so*sO

so,so*sO

d,!; +s 3dWt „ nu!)r°

о 0’ r-r0 + s0,j soso,ss'

d,!; +s 3dWt „ nu!)r°

о 0’ r-r0 + s0,j soso,ss'

(12.31)(12.31)

(12.31)

(12.31)

где sYii и индексы s0 принимают те же значения, что и в (12.24)\ Входящие в (12.31) матричные элементы матриц D^T и D^11^ соответственно зависят от переменных q^ ид^. Суммируя (12.31) по / в случае г^г0 и учитывая выражение (3.13) для 36^ получаем формулу

А = _ i 2 (р? -A _ pf A \ = 2, (?+) §(12.32)

I dpj9p»lSjSpSS' V o7 s1S1

аналогичную (12.13).

Найдем выражение оператора, отличающегося от (12.31) знаком во втором слагаемом. Поступая в случае г ^ rOl как и при выводе (12.32), убеждаемся, что

^35' 6/ + Pj s

<—.(1)т* (Dp —(l)f (l)f

= ^D«Ds sn» + 2 Ds S6D . 4° ,, (12.33)

О 0’0 0, о» So,s^ Vo

(Dr.

где D 0 зависит от Д и введены обозначения

(12.34)

В последнем выражении 50=#s0. Оператор (12.33) является приводимым и, аналогично (12.27), можно образовать его От-неприводимые слагаемые.

Формулы (12.31) и (12.33) были получены в [143]. Несколько более сложно записать в переменных р^ °\ д^ и q^ оператор

^ М'^ М'(12.35)

^ М'

^ М'

Его выражение в новых переменных в случае г0 ^ г с г0 = 3 приведено в формуле (А.21) работы [112], в которой также повторены некоторые результаты, полученные в [143]. Полагая в (12.35) s = s', беря сумму по s и с помощью (11.30) и (12.24) осуществляя замену переменных, выводим формулу (3.12) для оператора Лапласа

в переменных р , qTQ и qT .

Примеры закончим замечанием относительно выражений операторов во внутренней системе координат. Пусть имеем оператор О^ д), зависящий от параметров q группы G. Тогда, аналогично о

функциям F^^ обсуждавшимся в п. 11.5, его выражение во внутренней системе координат получаем, выделяя в 0^, q) зависимость от q в виде матричных элементов неприводимых матриц и затем полагая q = е.

Следуя этому определению, из (12.19) выводим, что во внутренней по отношению к SOr системе координат 1^ приобретает вид

(q^ = е) = - id (/, г) (б (/;, г — 1) —

/г-2 \ “1 \

- (1 _ 6 (к, г - 1)) (- lY+k П sin<2 -^ . (12.36)

Из (12.13) видно, что во внутренней системе координат /^ совпадает с 3^, поэтому, например, при г = 3 из (13.36) получаем 9^ для фактор-прострапства SO2\SO3l т. е. операторы (12.15), в которых положено s' = 0, с'= 1 и препебрегается слагаемым, содержащим производную по 0'.

Из (12.26) вытекает, что во внутренней по отношению к группе SOTo системе координат qss становятся диагональными и имеют вид

/$' - qss' [q+ = е) = (р(8>)2 6 (ss). (12.37)

Еще один пример получаем из (12.33), подставляя q^^e. Тогда правая сторона в (12.33) состоит из слагаемых tsS и /s°s/, которые после замены s и s' на s0 и s0 совпадают с (12.34).

4. Замена переменных в операторах одночастичного и двухчастичного типов. В предыдущем пункте рассматривались операторы в новых переменных для произвольных значений /, как, например, (12.31) или операторы, усредненные по /. В приложениях встречаемся с операторами, выражение которых в новых переменных необходимо знать лишь для определенного значения /. Рассмотрим один из таких случаев, приспособленный для операторов (1.19), зависящих от компонент трехмерных векторов Якоби pn-i или ра, обозначенных в п. 1.4 через pt с t = n— 1 либо t = a; те же обозначения сохраним и в случае произвольного г0.

Приспособим формулы (11.28) и (11.30) для замены р/ через новые переменные. С этой целью отметим, что преобразование (1.11) между векторами ps, ро и pn-2, Pn-i, обсуждавшееся в п. 1.4 для трехмерного случая, остается в силе для произвольного Гп. Определитель матрицы, входящей в (1.11), равен единице, следовательно, она дает определенный элемент матричной группы SOV с г = п—1. Воспользуемся этим обстоятельством и найдем соотношения между углами, используемыми в выражениях Pn-i и р^.

Ради определенности будем исходить из формулы (11.30). Применим ее для получения выражения для pt с t = 1, 2, ..., п — 1 — в этом случае пользуемся матричными элементами матрицы D ^п-1), зависящей от qu-v или выражения для pt с t = = 1. 2, ..., п — 3, s, а —тогда в (11.30) берем матричные элементы И В В Ванагас 161

матрицы и (^n-i), зависящие от ^-i- Из-за преобразования

углы в наборах qn-i и qn-i связаны определенными соотношениями. Структура формул (11.30) и (1.11) показывает, что эти соотношения определяются матричным равенством

DWn"x (^-J = D^"1 (^.J Р,(12.38)

где Р обозначает входящую в (1.11) п— 1-мерную матрицу. Подставим в (12.38) выражение для D т с т = п — 1, использованное в п. 11.3, и учтем то обстоятельство, что преобразование Р затрагивает лишь два измерения, нумеруемые индексами п — 2 и п — 1. Из (7.22) с а = п — 1 и b = г0 либо b = п — 2 видно, что вращения с к = 2, 3, ..., п — 3 переносятся в правую сторону матрицы Р, и тогда из (12.38) вытекает равенство углов ^^^ ...,^-12^ ВХОДЯЩИХ В q^-b углам Й^(2^,..., ^n-F-L входящим в qn-i (к = 2, 3, ..., п — 3). В (12.38) также сокращается матрица отражения Rn-{ (On-i). В итоге получаем, что матричное уравнение (12.38) связывает лишь оставшиеся углы, и приходим к выводу, что (12.38) в развернутой форме для Ь = г0 либо Ъ = п — 2 приобретает вид

П

^п-Ь)/ п//(п-Ь)Х^(n-l)/ а"(п-1) А _

п—1—Ь—к;п—Ь—к Х^п—Ь—к) • • • п—2—к,п — 1—к \vп—1—к) — h=0,l

= П Т^ь-м-ь-Д!^^(12.39)

k=0,l

Напомним, что Ъ = г0 в случае п — 1 ^ г0 и Ъ = п — 2 в случае п — 1 < г0. Структура матриц, входящих в (12.39) при Ъ = г0 = 3, видна из (7.36) —(7.38).

Матричное равенство (12.39) пригодно и для замены переменных (11.28). Не будем останавливаться на его анализе. Для дальнейшего важно лишь знать, что формулы (11.28) либо (11.30) применимы как в случае Рп-ь так и для ра и что углы й' для pn-i связаны с углами О'" для р« соотношением (12.39). Введем удобное обозначение входящих в (12.39) наборов переменных. Как и в тексте, следующем за формулой (7.37), где рассматривался случай г0 = 3, обозначим и в общем случае углы в (12.39), считая слева направо, через Ог для к = 0 и через ^ч-г для к = 1 (г = r0, r0 — 1,... . . ., 1), подразумевая, что эти обозначения применимы для переменных в обеих частях (12.39). Лишь при необходимости укажем, что речь идет об углах йг и $г0+г для p„-i либо р^. Следует также иметь в виду, что в случае п — 1 < г0 появляются упрощения, которые видны из нижних индексов матриц Т в (12.39) (см. условия, налагаемые на индексы в (7.22) и (7.23)). Области значений переменных приведены в п. 7.3, а выражение элементов объема и нормирующие их множители — в п. 7.7. Часто нет необходимости выписывать в общих формулах наборы углов fh, ^ч-г» поэтому будем 162

также пользоваться обозначениями

(12.40)(12.40)

(12.40)

(12.40)

подразумевая, что qf и qf обозначают наборы углов 0 $ и ^г^-г в случае pn_t или А'- и ^ч-г в случае р«.

Перейдем к обсуждению специфических свойств выражений р® с t = п — 1 либо t = а и производных по ним в новых переменных. Из (11.28) и (11.30) видно, что для обоих значений t необходимо знать лишь последний столбец матрицы и . Анализ, проведенный в п. 7.6, показывает, что в случае г0 — 3 матричные элементы последнего столбца этой матрицы зависят от переменных qt или при учете отражения — от переменных q0 и в случае п — 1 > 3 отличны от нуля лишь в четырех последних строках. Этот результат легко обобщается и на случай произвольных г0: матричные элементы Di^i зависят от q^ либо при наличии отражения — от qQ и отличны от нуля лишь в последних г0 +1 строках в случае ^ — 1 > г0 либо во всех п — 1 строках в случае п — 1 ^ г0.

Используя введенные обозначения для pt из (11.30) получаем

Pt = 2 Р^у" (?r+Jtoo)-(12.41)

so

В случае г0 = 3 матричные элементы D^n 1 Go) в (12.41), вытекающие из (7.38), с учетом отражения имеют вид

(12.42)(12.42)Dn-47n-i too) = sin °3 sin И2 sin»!,Dn-s^-i too) = cos a3 sin o2 sin »u

(12.42)

(12.42)

DnlV-i to«)= cos sin ^i’ &-! too) = (- if"-1 cos »P

Суммирование no s квадрата выражения (12.41) в случае r0 = 3 ведет к формуле

V2|pt| =V2|pt| =(12.43)(12.43)V 2 Г 2 (р^ (Яп^.п-Х (ОП-А<>2»1))211/2

V2|pt| =

V2|pt| =

(12.43)

(12.43)

so

которая при п — 1>4 п t = a записана в явном виде в (3.6). Пределы значений углов А3, А2, Уч и упрощения, имеющие место при п = 5, 4, 3, указаны при обсуждении формул (3.6) — (3.10), содержащих нормированные к единице элементы объема для переменных д^.

16316311*

163

163

По сравнению с общей формулой упрощаются и выражения производных по pn-i либо по рд. В этом случае, аналогично (12.41), в (12.24) входят матричные элементы последней строки матрицы D (g0), поэтому производные по pt зависят лишь от р , qTQ и qOl причем, как это видно из (12.24) с учетом свойств матричных элементов Divn-i wob в случае п— 1 > г0 кроме слагаемых по s0 и 5о сумма по ^ содержит одно пеисчезающее слагаемое с ii = п — 1 — г0. Для п — 1 = г0 суммы по ц нет, а при п — 1 < г0 присутствуют все п — 1 слагаемые по iv

Формула (12.41) и выражение (12.24), приспособленное для pt, позволяют записать операторы, зависящие от pt и производных по ним, в новых переменных, т. е. осуществить замену переменных

^2 2?к)1 ^Л',п-1-г+А (12.44)\ \ °' 1 .

Вместо зависимости общего оператора (12.25) от qT и Зк»р в (12.44) входят лишь ^ и, как показывает анализ выражений (12.24) для р®, операторы 3т r +s n т г +/’ а также в случае г>г0 еще оператор ^„-i-^.n-i-^+Sp Вместо О в (12.44) пишем Wa, подчеркивая то обстоятельство, что речь идет об операторах, зависящих от переменных pt с t = п — 1, а.

ГЛАВА III

АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ АППАРАТ

МИКРОСКОПИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЯДРА

В настоящй главе изложим основы прикладных методов теории групп, широко применяемых в теоретической физике, в частности в теории многочастичных квантовых систем. Материал главы касается в основном построения сложных неприводимых базисов, реализующих пространства функций многих переменных, и исследования операторов, действующих в этих пространствах.

Главу начнем с обобщения техники углового момента на произвольные дискретные или компактные группы. Опишем основные величины алгебраического аппарата теории групп — коэффициенты Клебша — Гордана и матрицы пересвязывания. Приведем формулы факторизации коэффициентов Клебша — Гордана, обсудим функции связанных представлений, общие свойства матриц пересвязывания и приспособим их для вычислительной техники теории групп. Затем рассмотрим матричное представление операторов в неприводимых пространствах. Обсудим теорему Вигнера — Эккарта на случай широкого класса групп и применим ее для развертывания неприводимых операторных рядов.

Далее перейдем к изучению специального класса функций связанных представлений — так называемых неприводимых тензоров унитарных групп с двойным базисом, свойства которых отражают дополнительность унитарной и симметрической групп по отношению к тензорному базису. Общие формулы проиллюстрируем примерами тензоров с двойным базисом, используемых в теории ядра. Затем приступим к описанию основных алгебраических схем, используемых при построении трансляционно-инвариантных функций. Осуществим их разложение через неприводимые функции, заданные на фактор- пространствах ортогональных групп. Постепенно детализируя характеристики, введем конкретные базисы, реализующие гильбертово пространство на классе неприводимых функций унитарных групп. Установим эквивалентность сим- плектического базиса и базиса унитарной схемы.

Продолжая главу, изложим метод генеалогического разложения как для тензорных базисных функций, так и для функций, заданных на фактор-про- странствах ортогональных групп. Введем и изучим матрицу плотности и используем ее для построения матричного представления многочастичных операторов. Затем приспособим технику генеалогического разложения и матрицы плотности к сложным базисам унитарных групп, доводя ее до конструктивного аппарата изучения средних значений операторов физических величин. Главу закончим параграфом, посвященным операторам, действующим в антисимметрических пространствах, развертыванию неприводимых операторных рядов и общей характеристике нетрадиционных моделей ядра.

Тензорные операторы в неприводимых пространствах

Коэффициенты Клебша — Гордана. В приложениях теории групп часто встречается задача построения матричного представления операторов О, действующих в пространстве 5?, реализованном в виде прямой суммы

№ + ... (13.1)

G-неприводимых подпространств 5?(Х). При решении этой задачи удобно разложить О в неприводимый ряд

XQXQ(13.2)

XQ

XQ

в котором хд обозначает G-неприводимое представление и его базис. При^ наличии неприводимых разложений пространства 5? и оператора О задача отыскания матричного представления О в 52 сводится к построению матрицы Од в G-неприводимом базисе Ф(Хр,). По аналогии с теорией углового момента, изложенной во многих руководствах (см., например, [115, 138, 99, 43, 12] и цитируемую там литературу), алгебраическую технику вычисления матричных элементов G-неприводимых операторов называют алгеброй тензорных операторов.

В форме, удобной для приложений, в настоящем параграфе вкратце изложим основы этой техники, обобщающей аппарат теории углового момента. Более подробно с частью рассматриваемых ниже вопросов можно ознакомиться в монографии [14].

Основными величинами алгебры тензорных операторов являются матричные элементы матрицы G, приводящей к блок-диагональному виду представление М (g) = D^ (g) х D^2 (g), образованное из прямого произведения двух G-неприводимых матриц. Введем удобное обозначение для С и выясним его смысл. С этой целью подставляем выражение М^ в (8.14), переобозначаем V через С и тогда, записывая формулу через матричные элементы, получаем

S -1(X1X2)14 В2S -1(X1X2)14 В2D4 .(g) D4 .(g) СBpM-jМ-2»М-2D4 .(g) D4 .(g) СBpM-jМ-2»М-2(^iM M.j^.a'X'n'(^iM M.j^.a'X'n'^1^2^1^2= b<aa'^WD^- (g).(13.3)= b<aa'^WD^- (g).(13.3)

S -1(X1X2)

14 В2

S -1(X1X2)

14 В2

D4 .(g) D4 .(g) С

BpM-jМ-2»М-2

D4 .(g) D4 .(g) С

BpM-jМ-2»М-2

(^iM M.j^.a'X'n'

(^iM M.j^.a'X'n'

^1^2

^1^2

= b<aa'^WD^- (g).

(13.3)

= b<aa'^WD^- (g).

(13.3)

Смысл а, входящего в (13.3), был объяснен в п. 9.1, 9.3: в левой стороне (13.3) оно обозначает индекс повторения X в XiXX2, а наличие 6(aaz) в правой стороне обеспечивает a-кратное повторение матричных элементов матрицы D\ По аналогии с теорией углового момента Xi и Х2 будем называть связываемыми представлениями, а X— результирующим представлением. Из (13.3) видно, что С^ 1Х^ образуют квадратную матрицу, строки которой нумеруют Ц1|12, а столбцы — аХц. По традиции матричные элементы матриц С будем называть коэффициентами Клебша—Гордана. Для группы трехмерных вращений эти коэффициенты были введены Вигнером и изучались многими авторами (см. подробности в [12], т. 1, гл. 3, § 12).

Описание свойств коэффициентов Клебша — Гордана начнем с детализации базисов ць ц2 и ц. Пользуясь способом, описанным в п. 9.3, приведем эти базисы на цепочке G => Go, т. е, Ц1 заменим на ^Ао1Цо1 и аналогично — для ц2 п ц. Коэффициенты Клебша—Гордана с детализированными базисами могут быть записаны в сле- 166

дующем виде:

Р>хЦ2,(ХХЦ> Р1^о1^д1^2\)2^'О2’а^^'О^'О

Vл /ЛО Z ~ ^oi^oa^o^o^o ^1^*01^2^02^0’^^*'

ао

Первый множитель под знаком суммы в (13.4) состоит из коэффициентов Клебша — Гордана подгруппы Go, а второй множитель — величина, которую принято называть изоскалярным фактором коэффициента Клебша — Гордана группы G для базиса цепочки G ^ G» или короче — изоскалярным фактором. Вывод формулы (13.4) основан на лемме Шура, формулировку которой можно найти, например, в гл. II, § 3 [73]; применительно к коэффициентам Клебша — Гордана эта лемма была использована в [135]. При известных коэффициентах Клебша — Гордана подгруппы Go формула (13.4) сводит задачу нахождения коэффициентов Клебша — Гордана группы G к определению их изоскалярных факторов.

Использованные в (13.4) обозначения подчеркивают разницу между нематричными (верхними) и матричными (нижними) индексами. Эти обозначения, однако, неудобны для изучения свойств симметрии. Поэтому будем пользоваться и другой формой записи коэффициентов Клебша — Гордана и их изоскалярных факторов, связанной с ранее введенными обозначениями при помощи соотношений

Хх Х2 а X^(^1^2)

Хх Х2 а X ^(^i^o)/40

^1^01 ^2^02 а0 ^о ^1^01^2^02а0’а^‘'* '

Новые обозначения подчеркивают различия между индексами повторения а и а0 в прямых произведениях XtX^-^ccX и XoiXXoz-* -* а0Х0 и индексами повторения рь р2 и р, маркирующими базисы на цепочке G => Go.

Если не будет специально оговорено, матрицы C^1^ составленные из коэффициентов Клебша — Гордана, будем выбирать в виде унитарных матриц, что всегда можно осуществить в случае дискретных и компактных матричных групп. Тогда С ^^ = = С ^ 1 2\ поэтому для матричных элементов обратных матриц будем пользоваться обозначениями (13.5), дополнительно снабжая их звездочкой, указывающей комплексное сопряжение. В таких обозначениях

~1(Х1Х2) ^*(^1^2) а ^m

аХ|1,11x^2 " G ^1^2’а>^ = L ^1^2 Iх(Id.О)

и аналогично — для изоскалярных факторов. Как правило, коэффициенты Клебша — Гордана и их изоскалярные факторы выбираются вещественными, однако встречаются случаи, когда эти величины Комплексные. Поэтому в общих формулах сохраним знак комплекс- 12*167

ного сопряжения, но будем его опускать в тех случаях, когда известно, что можно пользоваться вещественными величинами.

В приложениях вместо полных коэффициентов Клебша—Гордана часто встречаются их изоскалярные факторы. Во введенных обозначениях обе величины легко различить. Поэтому не всегда будем внимательно следить за названиями, изоскалярные факторы часто будем также называть коэффициентами Клебша — Гордана и лишь при необходимости будем подчеркивать различие между ними и полными коэффициентами Клебша — Гордана.

В приложениях матричные элементы матриц С используются как коэффициенты, образующие G-неприводимый базис из следующих линейных комбинаций приводимого базиса:

Ф ((ГГ) аХц) = 2 Ф (Гц')Ф (Гц") С^ ^ а *. (13.7)

По аналогии с теорией углового момента образование G-неприводимого базиса с помощью коэффициентов Клебша — Гордана будем называть связыванием V и V в аК, а функции (13.7)—функциями связанных представлений.

Перейдем к описанию простейших свойств коэффициентов Клебша— Гордана и их изоскалярных факторов. Свойства ортонормировки очевидны из их матричных обозначений в (13.5) и обозначений матричных элементов (13.6) обратных матриц. Используя свойства симметрии коэффициентов Клебша — Гордана группы G, можно доказать соотношения ортогональности

-Г 2 ^', “ £ С^ ^ “'£ =6 (хх') 6 (?»>«'),

2 Т ^ / “ и С / “ и = 6 6 (1318) xqa “^ 9 ^ ^1 9^2 ^2

которые с помощью (13.4) и соответствий (13.5) между обозначениями нетрудно переписать для изоскалярных факторов. В левые части (13.8) входят отношения размерностей неприводимых представлений, поэтому такие формулы будем называть нестандартными соотношениями ортонормировки.

Используя (8.16) и свойство ортогональности коэффициентов Клебша — Гордана, из (13.3) получаем

2^" icVf- ^J ^«с^. toov^ to.

(13.9)

В (13.9) предполагается унитарность матрицы D1^. Для дискретных групп формула (13.9) приспосабливается с помощью соответствия (8.18). Учитывая (13.4), формулы (13.3) и (13.9) можно переписать для изоскалярных факторов (см., например, выражение (10.29) в [14]).

Коэффициенты Клебша — Гордана с одним из связываемых либо с результирующим скалярным представлением имеют вид простых 168

множителей. Обозначим скалярное представление группы G через $ и будем пользоваться базисом, в котором матрица скалярного представления Ds (g) равна единице. Тогда Ds (g)XD 2 (g) дает D^ (g), т. e. s XX2 X6 (XX2) и аналогично — для Xt X s. Поэтому заключаем, что С^2^ является ^-мерной единичной матрицей, т. е.

4Хм 55 cw = 6 (V) 6 (ц2ц) (13.10)

и аналогично — для С^1§\ В (13.10) ц, — базис одномерного представления s. Из (13.10), учитывая (13.4), легко получить выражения изоскалярных факторов с одним из связываемых скалярных представлений.

Выражение коэффициентов Клебша — Гордана со скалярным результирующим представлением известно лишь с точностью до фазового множителя. Оно имеет следующий вид:

с^,-^=6m)6wj^m. (i3.li)

Фазовый множитель /(Х^ц) в общем случае является комплексным числом, по модулю равным единице, поэтому /(Х1р1)/*(Х1р1)= 1. Сопряженное представление X* в (13.11) обозначает такое представление группы G, прямое произведение которого на X содержит скаляр. Из правил приведения прямых произведений, о которых речь шла в п. 9.4, можно установить, что в случае групп 8П1 От и Spr скаляры содержатся лишь в прямых произведениях XXX, со X со и о X о. Поэтому в случае перечисленых групп X* совпадает с X. В случае же группы UT в прямом произведении XXX* скаляр содержится лишь тогда, когда для X вида (8.31) представление X* характеризуется маркировкой (8.33). Сказанное означает, что в случае унитарных групп сопряжение в (13.11) совпадает с введенным в п. 8.4 понятием сопряженного представления. Смысл же сопряженных схем Юнга X для Su и ассоциированных представлений со^ для От отличается от смысла сопряжения в (13.11); это различие отражено в используемых обозначениях.

Из (13.11), используя (13.4) и учитывая обозначения (13.5), получаем изоскалярные факторы коэффициентов Клебша — Гордана группы G

Г ^01 /(х1«1хо1ро1) , , * х ^аЛ1 “г^ог ®0 — 1/ dn TfX х^ЛУ О \а1а2 ) О (ХоЛогА

(13.12)

где а2—индекс повторения, коррелированный определенным образом с аи а отношение фазовых множителей не зависит от ц01. Способ этой корреляции задается используемым базисом, а наличие

б^осз) в (13.12) означает, что существуют базисы, в случае которых справедлива приведенная выше формула.

Функции связанных представлений и матрицы пересвязыва- ния. Функции двух связанных представлений (13.7) легко обобщить на случай функций трех, четырех и более связанных представлений. Такое обобщение позволяет строить базисы в сложных пространствах и ввести важные для вычислительной техники величины, называемые матрицами пересвязывания. Типичная величина, встречающаяся в приложениях, задается матричными элементами матриц пересвязывания четырех представлений, поэтому возьмем четыре пронормированные G-неприводимые функции Ф(Хщг) (i = l, 2, 3, 4) и по аналогии с теорией углового момента (см., например, гл. V в [99]) осуществим пересвязывание функций, задаваемых способами связи ((1 + 2) + (3 + 4)) и ((1 + 3) 4-(2 + 4)). Тогда получаем

Ф(((^1^2) ^12^12’ (^3^4) ^34^34)а ^Н) =

=2 Ф (((^1^з) а13^13* (^2^4) а24^2<) а^Р) X

а1зЧза24^2<а

X <((^Аз) а13^137 (^2^4) а24^24) а^ | ((^1^2) ^12^12» (^3^4) а34^3<) а ^е

(13,13)

В (13.13) учтена диагональность по Хц и отсутствие зависимости матричных элементов матрицы преобразования от ц. С помощью (13.7), выписывая явные функции связанных представлений и используя ортогональность Ф(^щг) и коэффициентов Клебша — Гордана, получаем

а13 Х13 -Х13 Х24 а X ^13 ° ^13 ^24 ”13^13

X <((^1^3) а13^13 7 (^2^4) а24^24) °^ I ((^1^2) а12^12» (^3^4) а34^34) & ^ ^

V /^1 ^2 а12 >v12 /^^3 ^4 а34 ^34^12 ^34 а/ ^ рЧ ^4 а24 ^24(А О 4 /А — ^J^12 U ^3^4^34^^12^34 U ^2 ^4^24*

^12^34

Выражение (13.14) можно трактовать как определение матричных элементов матрицы пересвязывания четырех G-неприводимых представлений. Допуская, что коэффициенты Клебша — Гордана группы G известны, можно найти матричные элементы в (13.14), пользуясь определенными, наиболее удобными значениями базисных индексов Ц1, Цзт Ц24, Ц.

Коэффициенты разложения (13.13) встречаются во многих приложениях, в которых будет удобно использовать следующие четыре 170

эквивалентные формы записи:

<((Х1Х2) Ро^» (^Аг) ^ ^ ) Р^ | ((хЛ) Pi^ii (х2^2) Рг^г) а^ =

1г(Х1^1Х2Ч^) у(Х1Х2)^0Х

= л/рохаа'0,01х10212а=VSA2aA» ATA2a л ; =

(13.15)(13.15)%i Zo ct X

(13.15)

(13.15)

Zj Х2 ct X

_Х1 Х2 00 Х -

По сравнению с матричными элементами матриц пересвязывания, входящих в (13.14), в последнем выражении берутся комплексносопряженные величины и введены удобные для дальнейших применений обозначения неприводимых представлении.

В каждом из обозначений в (13.15) выявлены определенные свойства рассматриваемых величин. Например, обозначение буквой М подчеркивает, что эти величины для заданных связываемых представлений xb х2, М, ^2 и результирующего представления X образуют квадратную матрицу, строки и столбцы которой нумеруются наборами kxa^/S и рДфг^а. Записывая условие унитарности матрицы М, легко получаем формулы ортонормировки столбцов и строк ее матричных элементов. Обозначение буквой X приспособлено для использования величин (13.15) в матричном представлении операторов, девствующих в неприводимых пространствах. Последнее обозначение в (13.15) удобно при изучении свойств симметрии, аналогичных свойствам 9/-символов в теории углового момента.

Рассмотрим специальный случай формулы (13.15), когда Xi — скаляр группы G. Тогда ^i — Хъ х2 = х и индексы повторения к и Ро отсутствуют. Учитывая (13.10), из (13.14) после соответствующих переобозначений получаем величину

= 2(13.16)

, “1 «о ц, д0 и' Ч 90 «о

Wo

В приложениях будут встречаться величины (13.16), в которых в прямых произведениях Xt X Хо, ^ X ^о и х X ^о отсутствуют индексы повторения; тогда в обозначении Q будем опускать а, а и к- В другом частном случае, когда х = s, отсутствуют индексы повторения к» к и из выражения (13.16) вытекает, что

^’■^ (аЛ,ц, а'Х'р') = 6 (aa') 6 (XX') 6 (№') 6 (Х^),(13.17)

где, как и раньше, q, обозначает базис скалярного представления.

171

Обсуждавшиеся величины проиллюстрируем примерами из теории углового момента. В случае группы SU2l когда все величины вещественны и отсутствуют индексы повторения, формула (13.15) принимает вид

<((М2) ^, Шг) f) 71 ((^1/1) 7п (^2/2) 72) /> =

^кз^З^З» =А \717s7» 7172/ ) —^кз^З^З» =А \717s7» 7172/ ) —Л kiЛ ki= №к + 1) (2/' +1) (2Л + 1)(2Л + 1))V2= №к + 1) (2/' +1) (2Л + 1)(2Л + 1))V2Ч i' /2 /' к. кЧ i' /2 /' к. к(13.18)(13.18)

^кз^З^З» =А \717s7» 7172/ ) —

^кз^З^З» =А \717s7» 7172/ ) —

Л ki

Л ki

= №к + 1) (2/' +1) (2Л + 1)(2Л + 1))V2

= №к + 1) (2/' +1) (2Л + 1)(2Л + 1))V2

Ч i' /2 /' к. к

Ч i' /2 /' к. к

(13.18)

(13.18)

а формула (13.16) упрощается до выражения

^rVo Q^ fm') =

= (_ ^+7' +,„+,-! у(2/Тр1)^П) {/ • • ) С\^ к =

= 2 Ст\ X m Cji \ 3' ск \ ^. (13.19) т.тптли о

В (13.18) и (13.19) фигурными скобками обозначены 9/- и 67-символы. Последнее равенство в (13.19) дает формулу суммирования, часто используемую в теории углового момента.

Рассмотренные выше функции четырех связанных представлений обобщаются на функции произвольного числа представлений, связанных определенным способом связи. Их удобно обозначать через

Ф ((р^Лг... Хп) АаА?кДц) , (13.20)

где А дает схему связи, т. е. схему расположения скобок (например, для функций, входящих в (13.13), А обозначает ((•+•) + + (•+•))), а Р— перестановка, указывающая индексы Л< в скобках (например, для функции в правой части (13.13) р переводит индексы 1, 2, 3, 4 соответственно в индексы 1, 3, 2, 4). В (13.20) ХА обозначает весь набор промежуточных представлений, а аА — весь набор индексов повторения (например, для функции в правой части £13.13) ХА — Х^ Х2^ аА = а13, а24, а). Иногда в обозначениях (13.20) р опускается, а под А подразумевается как схема, так и порядок связи. Обозначения способа связи, аналогичные описанным выше, используются в теории углового момента (подробности см. в гл. V [99], а также § 4 в [14]).

Теорема Вигнера — Эккарта. Эта теорема лежит в основе вычислительной техники тензорных операторов. Она предназначена для построения матричного представления G-неприводимого опера* 172

тора Oq, действующего в пространстве Я, реализованном в виде разложения (13.1). Пусть Ф(Л'ц') и Ф+(Хц) — базисы соответственно в Й?(Х ) и $w. Теорема Вигнера — Эккарта утверждает, что зависимость скалярного произведения вектора О£Ф (Х'ц') из 91 на вектор Ф+(Хц) из $w от базисных индексов д, ц' и ц можно явно выделить в виде коэффициентов Клебша— Гордана группы G. Эту зависимость представим в виде

<Ф (ХИ).^Ф(Гн')> =

= <^ I д^|Х\ч'> = 2 <рх| дх II г> сх £9 ц. (13.21)

Использование в (13.21) комплексно сопряженных коэффициентов Клебша—Гордана приспособлено для записи приведенных в и. 13.5 матричных элементов сложных операторов через стандартные величины (13.15). Первый множитель под знаком суммы в (13.21), не зависящий от базисных индексов, принято называть приведенным матричным элементом или субматрицей оператора 0х. Выбранная форма теоремы Вигнера — Эккарта удобна тем, что в случае G-скалярпых операторов, т. е. при х = s, учитывая (13.10), из (13.21) получаем

<Хц I Oqs I Гц'> = 6 w 6 (щГ) <1II 0е I К),(13.22)

т. е. матрица скалярного оператора равна его субматрице.

Выражение субматрицы можно получить, используя ортогональность коэффициентов Клебша — Гордана. Стандартная форма ортогональности требует суммирования по базисному индексу оператора Oq, для чего необходимо знать все его компоненты. Для практических целей более удобна формула, выводимая с помощью нестандартного соотношения ортонормировки. Используя первую формулу в (13.8), из (13.2) получаем

<рх II 5х II Г> = -^ 2 <^ I Од I *У> ^ ^ Р ^.(13.23)

х цц'

Применяя (13.23), пользуемся наиболее удобным значением q.

В тех случаях, когда индекс повторения в (13.23) отсутствует, субматрицу можно найти по более простой формуле

<ХII 9 х II Х'> = <Хц I 0х | %>'> (Сх X- ц)"1,(13.24)

выбирая в (13.24) наиболее удобные допустимые значения ц, ц' и q. Следует йметь в виду, что при перестановке X и X' субматрицы (13.23) и (13.24) умножаются на фазы и числовые множители, зависящие от размерностей представлений X и X'. Поэтому в случае используемой нами записи теоремы Вигнера — Эккарта значения по модулю субматриц эрмитовых операторов не являются симметричными по отношению к перестановке X и X'. Свойством эрмито- вости обладают лишь полные матричные элементы [13.21].

Теорема Вигнера — Эккарта была сформулирована для группы вращения (см. подробности в [12], т. 1, гл. 3, § 15). Приведенные в настоящем пункте формулы, заимствованные из [14], обобщают ее на случай произвольных дискретных и компактных групп. Аналог этой теоремы применйм и для неприводимых операторов некомпактных групп, однако в этом случае пространства 52^ > и $w могут быть бесконечными, а маркировка неприводимых представлений содержит как дискретные, так и непрерывные параметры. Из-за этих особенностей требуется более аккуратно формулировать условия применимости теоремы (см. подробности в [71]).

Ряды неприводимых операторов. Теорема Вигнера — Эккарта традиционно применяется для вычисления матричных элементов неприводимых операторов. Ее также можно использовать для проецирования G-неприводимых компонент Oq из заданных матричных элементов оператора О. Такое использование теоремы Вигнера — Эккарта, применявшееся в [63], позволяет строить операторные ряды, слагаемые которых сортируются по их G-неприводимым свойствам.

Рассмотрим нестандартное соотношение ортонормировки и левую часть выражения второй формулы в (13.8) будем интерпретировать как разложение кронекеровской дельты. Воспользовавшись этим разложением, запишем тождество

(^)ма'ц' = <^ I О | АУ > = 2 6 (н>1) 6 (№1) (Чч I 91 ХУ> =

= 2 2 f т 2 <^i I dl Л'н>с"х:ах) с*к; °*. (13.25)

\ ^^1 /

Применяя теорему Вигнера — Эккарта, легко убеждаемся, что выражение в круглых скобках в (13.25) дает неисчезающий вклад лишь для G-неприводимой компоненты Gq оператора О. Поэтому слагаемое в (13.25) с определенным значением xq можно записать в виде

№kw - <^ I Ovq I АУ) - 2 (Оа^х,х- ^ ^ ° t (13.26) а

где входящие под знаком суммы матричные элементы определены

выражением

№км=у 2<^ildl^>C"XV'PX« (13-27) ^1^1

отличающимся от (13.23) наличием в (13.27) матричных элементов приводимого оператора О. Формула (13.26) представляет модификацию теоремы Вигнера — Эккарта, в которой субматрицы неприводимых операторов заменены через величины (13.27) для оператора 174

б. Из (13.27) видно, что коэффициенты Клебша — Гордана проецируют из матричного представления оператора О его неприводимые компоненты. Примеры применения формул (13.25) —(13.27) в алгебраических выкладках можно найти в § 24 [14].

Рассмотрим скалярное слагаемое. Полагая в (13.26) x = s и учитывая (13.22), получаем

<ХII 0s II X) = 4- 2 <АН IО | \Ч> = 4- Tr <4i I бI Хи>. (13.28) А А

Эта формула, часто используемая в приложениях, позволяет выделить G-скалярную компоненту оператора О, не прибегая к его явному разложению.

Выражение (13.26) дает матричное представление G-неприводимой компоненты Oq оператора О. Пользуясь обозначениями, введенными в левой части формулы (13.26), запишем (13.25) в виде

— 2 (^КвД'м/- (13.29)

Пример разложения (13.29) дает формула (2.31).

Обсудим следствия, вытекающие из (13.29). Пусть конечномерное либо бесконечномерное гильбертово пространство 5?, в котором действует оператор О, представлено в виде прямой суммы (13.1) G-неприводимых пространств ^К). Формула (13.29) доказывает существование G-пеприводимого разложения оператора О, заданного в матричном представлении, переплетающего базисы в <Я(Х ) и 2?^. Из факта существования разложения (13.29), заданного в матричном представлении, вытекает существование G-неприводимого разложения

6 = ^Dxq (13.30) y.q

в произвольном представлении (см. [75]). Как в примере (2.30), так и в общем случае, когда нет необходимости указывать способ задания операторов, будем ссылаться на (13.30) как на разложение оператора в произвольном представлении; снабжая его при необходимости матричными индексами, аналогично (2.31), получаем ряд (13.29) в матричном представлении.

Запишем (13.30) в координатном представлении. Пусть § обозначает набор переменных, по которым ведется интегрирование при вычислении матричных элементов (13.25). Тогда, пользуясь координатным представлением, получаем следующую реализацию разложения (13.30):

9(l) = Sdg№). (13.31)

Операторные ряды в координатном представлении наглядны, но часто более удобно матричное представление. Используется также и смешанное, координатно-матричное представление, пример которого приведен в (2.27).

Теорема Вигнера — Эккарта для сложных операторов. В приложениях встречаются матричные элементы произведения операторов Oq^ и Uq^ преобразующихся по G-неприводимым представлениям Xi и х2, причем первый оператор действует на функцию Ф(Х1Р1), а второй — на функцию Ф (^2^2)-Оптимальный способ вычисления матричных элементов таких операторов получаем, образуя их G-неприводимые линейные комбинации

[oXi х ^И2]р° ^ = 2 ^^^ ^ р» ;(13.32)

с последующим вычислением их матричных элементов на функциях связанных представлений Zt и Х2. Раскрывая структуру оператора (13.32) и функции (13.7) и дважды используя (13.21), обнаруживаем, что полученная сумма, в которой в качестве слагаемых выступает произведение пяти коэффициентов Клебша — Гордана, дает сумму по индексу повторения произведения коэффициента Клебша — Гордана на величину X, определенную в (13.15). В итоге получаем следующее выражение матричного элемента оператора (13.32):

((^Хз) аХц | [о"1 X U ^ q | (X^^a'^p') »

= 2 (Ш^мчхел!!^^

(13.33)и функ-(13.34)(13.33)и функ-(13.34)X Х^^Чх^. ЧЧа'Г).

(13.33)

и функ-

(13.34)

(13.33)

и функ-

(13.34)

Формулу (13.33) можно обобщить, трактуя оператор Uq^ цию Ф(Х2ц2) как величины со следующей структурой:

ф (^2^2) ~^ Ф ((^2^3) аО^оНо)'

и подразумевая, что новое Uq^ действует на Ф(Х2Ц2)1 а ^3— на ф(Х^з). Тогда двукратное применение формулы (13.33) дает

<(Х1(Х2Х3) а0Х0) аХр ([О^Х [^2Х F8]00^]15"^ (Ч (ЧЧ) «оЧ) а'ЬУ> =

= 2 <Р1Ч II О"1 IIЧ) <Р' (W «оЧ I [^2 X F^ll (ЧЧ) аХ) X

хсх^ир^Чччкч (1з.з5) где

<Р' (ЧЧ) «оЧИ [^ х ^1^' II (ЧЧ) аХ> =

— 2 (РзЧ II и ’ИчХРзЧИ^ 311Ч^ ^р* р^ р? (ЧЧа»Ч> ЧЧаоЧ)

(13.36)

(13.37)(13.37)

(13.37)

(13.37)

Выражения (13.33) — (13.37) демонстрируют удобство используемой формы теоремы Вигнера — Эккарта. При их выводе не понадобились свойства симметрии коэффициентов Клебша — Гордана, что позволило, избегая неизвестных фазовых множителей, получить ответы, содержащие лишь стандартную величину (13.15).

Рассмотрим типичные частные случаи. В приложениях встречается скалярное произведение операторов, вытекающее из (13.32) при х = s. Учитывая (13.11), получаем

(13.38)(13.38)4= ^-^^ 1°и X ^ = 17т^^Ъ^.г ®хК “х q

(13.38)

(13.38)

В (13.38) в круглых и квадратных скобках приведены два используемых обозначения. Формула (13.33), приспособленная для вычисления матричных элементов скалярного оператора, приобретает вид

(Кк^ аХц I (ОУ". Uv) I (XkV) a'X'ji/) =₽

= 6 (хх') 6 (№') да/* s <₽ Ai II оч || x;> <p2x21| dz Il x;> ><

x x^5 (X1X2aX, X^X^a'X). (13.39)

В (13.39) отпала необходимость в индексах повторения ^0 и fk Для вариантов скалярных произведений, вытекающих из (13.37)’ с х'= s либо х = s, аналогично упрощается более сложная формула (13.35).

Другой частный случай получаем, полагая, что один из рассматриваемых операторов является единичным оператором. Пусть, например, таким оператором является оператор О в (13.33). Для единичного оператора имеем Xi = s и, кроме того, Од8=1. Тогда отпадает необходимость в индексе ^ и первый множитель под знаком суммы в (13.33) дает б(Х1Х1)е Принимая во внимание отмеченные упрощения, получаем

<АА2) «Хц | Ug | (хАг) а'Х'р.') =

=б(х1х;) 2 <р2х21 U* II х;> % к;, ₽ X(s ^ (ХАА ХАА'Х'). (13.40)

Аналогичные частные случаи получаем из (13.35), полагая, что О^1, или и2, или из являются единичными операторами.

Учитывая определение (13.16) величины Q и обозначения в (13.15), формулу (13.40) можно представить в виде

{(XX) аХр. I Uq I (Х'Х) а'Х'ц') =,

= 6 (XX) 2/ - Q^4 а'Х'И, (13.41)

Р2 Х2Х2хр2 2

где введено

^ир^^И^И^Х(13.42)

Используя (13.18) и (13.9), формулы (13.33) — (13.41) легко приспособить к теории углового момента; в этом случае /(х^) в (13.38) заменяется на ](jm) = (—l)j-m.

Неприводимые операторы симметрической группы. В настоящем пункте будут рассмотрены ^„-неприводимые операторы специального типа, используемые в теории ядра. Для упрощения записи введем следующие сокращенные обозначения 5п-неприводимых представлений: s ^ [n], Si = [п — 1, 1], s2 = [^ — 2, 2] и s3 = [^ — 2, 1, 1]. Аналогичные представления подгруппы Sn_t будем обозначать через s s [п — 1], $4 — \п — 2, 1], s2 = [^ — 3, 2] и s3 = [^ — 3, 1, 1], а подгруппы Sn_2 — теми же буквами с двумя черточками и т. п.

Величины 7^(1 2 ... п), о которых шла речь в п. 8.1, будем трактовать как произвольные операторы ОЩ ...), зависящие от индексов I, ^ ..., переставляемых элементами группы Sn. Рассмотрим простейшие операторы вида 0^ или O^ij), зависящие от одного либо от двух индексов. С типичными примерами таких операторов встречаемся в выражении

O(R) = 2 fF((n-R) -Н R)!/^)(13.43)

г=1

для операторов одночастичного типа и в выражении

0= 2 ^(ri-rJt/^TiT,)(13.44)

i<j=2

для операторов двухчастичного типа. Как и в (1.19), аргумент г, в (13.43) записан в виде двух слагаемых: rt —R и R, первое из которых обладает свойством трансляционной инвариантности. В примерах (13.43) и (13.44) в качестве 0^ выступают операторы Ж( (Гг — R) +R)^ или О(ОгТг), а в качестве О (ij) — операторы W(Гг — rj ИЛИ U (GiGjTiTj) .

Аналогично (8.4) на операторах одночастичного типа 0(1), 0(2), ..., О(п) генерируется ^-мерное представление симметрической группы, в котором содержатся Sn-неприводимые компоненты s и Si размерности 1 и п — 1. Образуя линейные комбинации исход- 178

ппных операторов, получаем З^-скалярный оператор

п

п

(13.45)

и п — 1 операторов, преобразующихся по ^„-неприводимому представлению St:

05 =05 =SS-^^^«-(r-i)^)

05 =

05 =

S

S

Vre(re— 1) \j=1

(

n—2\

V om — (n — 2\O(n — i)L

A u ; v 7 (13.46)

Ti—3'

У O(i) —(n — 3)O(n —2) i = l

В более экономных обозначениях (13.46) имеет вид

05 =1 - ( У 0(0 -10 и + 1Д (13.47)

; V; (; +1) \/

где ] = п — 1, п — 2, ..., 1. Приведенным значениям / в (13.47) соответствуют выписанные в явном виде в (13.46) наборы нижних индексов s, $!$, $i$i$, .. . Они указывают на неприводимые свойства операторов по отношению к преобразованиям групп цепочки Sn-i ^ Sn-2 =>... ^ S2. Операторы (13.45) и (13.47) обозначим через О^ где х = s, $ь а ц принимает указанные выше значения. Будем называть их неприводимыми операторами одночастичного типа. В частности, полагая Сф)=Г;, из (13.45) и (13.47) получаем нормированный вектор центра масс (1.13) и векторы Якоби (1.10).

При использовании теоремы Вигнера — Эккарта достаточно знать лишь по одной компоненте каждого из неприводимых операторов Oq. В случае х = Si удобно пользоваться первым оператором в (13.46), который можно представить в виде

05= Д 0s —-^Цоиу(13,48)

где входящий скалярный оператор 0s дается выражением (13.45).

Перейдем к операторам двухчастичного типа. В п.8.1 уже было отмечено, что на объектах преобразования О^ (г </ = 2, 3,..., п^ удовлетворяющих условиям O(ij) = О(/i), генерируется п(п — 1)/2- мерное представление симметрической группы Sn. Оно разлагается на Sn-неприводимые составляющие s, st и $2, размерности которых соответственно равны 1, п — 1 и п^п — 3)/2. Обозначим операторы 179

с перечисленными неприводимыми свойствами через Од, где х = = s, sb s2 при п > 3 и х = s, Si при п = 3. В случае п = 3 выражение Од приведено в [45]; для произвольных п они были получены в [80, 30] (см. также [14]). Используя результаты упомянутых работ, приведем по одной компоненте для каждого из операторов Од с х = s, sh s2 для базиса цепочки Sn Sn-2 4- S2, подразумевая, что операторы группы Sn-2 переставляют индексы 1, 2, ..., п —• 2, а группы S2 — индексы п — 1, п. Скалярный оператор имеет вид

(13.49)(13.49)^[2] V п^П—У .

(13.49)

(13.49)

а специальные компоненты операторов Од и Од определяются выражениями

s(2]2(п —2)‘ г 4(п—2)(п—2)1/2'

(13.50)

05 «[2]05 «[2]_ "]/п (П — 3) %s , п/ П — 1 ^5 “ (п-2)У2' ' 2(n-2) U_ "]/п (П — 3) %s , п/ П — 1 ^5 “ (п-2)У2' ' 2(n-2) U^"^Я^-^ О {п - 1, nY^"^Я^-^ О {п - 1, nY

05 «[2]

05 «[2]

_ "]/п (П — 3) %s , п/ П — 1 ^5 “ (п-2)У2' ' 2(n-2) U

_ "]/п (П — 3) %s , п/ П — 1 ^5 “ (п-2)У2' ' 2(n-2) U

^"^Я^-^ О {п - 1, nY

^"^Я^-^ О {п - 1, nY

Нижние индексы s[2] в (13.49) и (13.50) указывают, что эти операторы являются скалярами групп Sn-2 и S2.

В [14] было показано, что на антисимметрических объектах преобразования OYijA (i<j = 2, 3, ..., п^ обладающих свойством О р/] = —О [/7], генерируется п^п— 1 )/2-мерное представление симметрической группы, содержащее ^п-неприводимые представления St и s3, размерности которых соответственно равны п — 1 и (п — 1) (^ — 2)/2. Как и раньше, неприводимые операторы, образованные из компонент О [t/], обозначим через Од. Тогда, пользуясь результатами работы [30], получим, что

/"• - У^5? - У^& -^ Э _1. „1, _____________(13,51)

6=8 = - 1/6? +о [И - 1, и],

Е11!и (п 2)"|/п s ~|/п ^п _ 2)

где

о-^о-^1ут=п1ут=пМ-11=1М-11=1(13.52)(13.52)

о-^

о-^

1ут=п

1ут=п

М-1

1=1

М-1

1=1

(13.52)

(13.52)

Выражение Oj1 получаем из (13.52), заменяя п на п—1. Нижние индексы s[ll] в (13.51) указывают, что оба оператора являются скалярами группы S^-2 и преобразуются по антисимметрическому представлению [И] группы S2.

Выше рассматривались 5п-неприводимые операторы двухчастичного типа, характеризуемые базисами цепочки Sn => Sn-2 4- S2. Ветре* чаются задачи, в которых используются базисы более общей, полу- канонической цепочки Sn Snt 4- SnAni + ^= ^) с ^2 = 1, 2, ... ..., п — 1. В работе [18] была изучена структура такого базиса и найдены рекуррентные соотношения, позволяющие строить операторы, обобщающие (13.48), (13.50) и (13.51) на случай произвольного п2.

Запишем операторы (13.43) и (13.44) в 5„-неприводимой форме» Пусть из Ж((гг — R)4-R) и 17(ОгТг) с t = 1, 2, ..., п образованы Sn- симметрические компоненты W^ и Ut вида (13.45) и компоненты

Жд1 и Uqr вида (13.46). Коэффициенты линейных комбинаций в (13.45) и (13.46) образуют ортогональную матрицу, поэтому выражение (13.43) в 5п-неприводимой форме содержит лишь слагаемые с q = q и имеет следующий вид:

О = W-lJ-8 + 2 W^Uq1. (13.53) q

Для записи оператора (13.44) в неприводимой форме необходимо образовать из W(гг- — г,) с г < / = 2, 3, ..., п его ^„-неприводимые компоненты W-&1 WqT и IFg2 и аналогичные компоненты для U (OiOjTiTj). Рекуррентная процедура построения таких компонент приведена в § 8 [14]. В неприводимой форме выражение (13.44) принимает вид

о = ^‘- + У W^ + 2 ЭД- (13.54) q q

Последние две формулы удобно объединить, используя коэффициенты Клебша — Гордана группы Sn со скалярным результирующим представлением. Тогда (13.53) и (13.54) записываются в виде

5 = 2 (. ^) = d1? 2 Wx их. С^,8^, (13.55) х zqq'

где dx — размерность представления х, а х принимает значения 5, $1 для операторов одночастичного типа и s, $н s2 для операторов симметрического двухчастичного типа (при п = 3 представление s2 отсутствует). Формула (13.55) пригодна и для операторов типа О [у] =5 —О yQ, в случае которых х принимает значения st, s3. Входящие в (13.55) коэффициенты Клебша — Гордана вещественны и даются выражением 6 (qq') d^1/2, поэтому О в (13.55) представлено в виде суммы по х скалярных произведений, задаваемых общей формулой (13.38). Матричные элементы для скалярных про- пзведений операторов вычисляются по формуле (13.39).

Специфические характеристики ^„-неприводимых компонент операторов будем указывать с помощью дополнительных индексов М аргументов. Например, SO3- и ^„-неприводимые компоненты спи-

В. Ванагас 181

новых двухчастичных операторов будем обозначать через (s£ (2, j^ и т. п.; в таких обозначениях гамильтониан векторного взаимодействия (6.24) в Sn-неприводимой форме принимает вид я^ 2 2 (— i)v K^vo Uh ^-v (г?;))^ (Sv Ui h)q + v.q v

+ lMfit\№^ (13.56) и аналогично — для других операторов одночастичного либо двухчастичного типов.

Субматрицы З^-неприводимых операторов можно найти по формуле (13.23), а в тех случаях, когда индекс £ отсутствует,— по формуле (13.24), используя Зп-неприводимые компоненты операторов Од одночастичного либо двухчастичного типов с наиболее удобным значением базисного индекса q. В частности, в формулах (13.48), (13.50) и (13.51) q является 5П.^-скаляром в случае операторов одночастичного типа и Зп_2-скаляром для операторов двухчастичного типа.

В [64] было указано, что форма записи выражений (13.48), (13.50) и (13.51) позволяет сохранить в них при вычислениях субматриц лишь одно слагаемое, ибо из-за свойства ортогональности коэффициентов Клебша — Гордана по xq, приведенного в (13.8), оператор О^г с х'^х не вносит вклад в субматрицу оператора Oq. Поэтому для субматриц Зп-неприводимых операторов одночастичного либо двухчастичного типов можно пользоваться вытекающей из (13.23) формулой

<рх II О* II Х'> = N (X) ^ 2 (^ I д01 Х'н'> C^t (13.57)

с х и q0, принимающими значения, приведенные во второй строке табл. 13.1. В первой ее строке указан смысл оператора О0, а в по-

Таблица 13.1. Операторы О0 и множители N(x> для вычисления субматриц (13.57)

О0 = О (и)

Оо = О (п—1, п)

Оо — О [п—1, п]

SS [2!

$1$ [2]

М [2]

$,$ [И]

^ [11]

IV (х)

/п

Г П—1

-КТ

1 П - 3

"К?

г П - 2

следней строке дано выражение множителя NUh* Следует обратить внимание на то обстоятельство, что из-за Sn_v- либо 5п-2-скалярно- сти используемых операторов сумма по цц' в (13.57) существенно упрощается, ибо в эту формулу входят лишь изоскалярные факторы коэффициентов Клебша — Гордана группы 8п с базисами цепочки Sn Sn—1 4- S\ либо Sn Sn—2 4* 82.

Задача отыскания величин теории представлений симметрической группы, входящих в выражение матричных элементов ^-неприводимых операторов, сложна. Конструктивно она решается лишь для небольших п или же в случае произольных тц но для специального класса 5п-неприводимых представлений. В последнем случае имеют место упрощения, обусловливаемые простотой трансформационных свойств операторов или базисных функций. Общий вычислительный аппарат тензорных операторов, изложенный в п. 13.1 — 13.5, применяемый для симметрической группы, почти не упрощается — в нем встречаются все индексы повторения как в прямых произведениях, так и в маркировках базисов. При использовании полука- нонических или канонических базисов, задаваемых цепочкой SnZD zd Snr 4- 8П" (и' + n" = n\ коэффициенты Клебша — Гордана группы Sn могут быть выбраны вещественными, следовательно, в формулах отпадает необходимость в их комплексном сопряжении.

Применительно к схемам Юнга Хо и X^kai k2l k^s обсуждавшимся в п. 8.3, или сопряженным им схемам и операторам одночастичного либо двухчастичного типов вычислительный аппарат группы 8п был развит в работах [35, 81] (см. также [14]) и в [42]), в которых для ряда наиболее актуальных случаев можно найти явные выражения изоскалярных факторов, коэффициентов Клебша — Гордана, матричных элементов матриц пересвязывания и субматриц конкретных операторов, широко используемых в теории ядра.

§14. Алгебраическая реализация неприводимых базисов

183183Общая характеристика неприводимых базисов. В специальных разделах математики и в теории многочастичных квантовых систем встречаются два способа построения базисов в пространстве функций многих переменных. В первом из них, излагаемом в следующем пункте настоящего параграфа, используются неприводимые тензоры унитарных групп с двойным базисом. Такими тензорами являются функции, зависящие от дискретных переменных, например спиновые или спин-изоспиновые функции. Кроме того, в виде тензоров с двойным базисом реализуются функции, характеризуемые конфигурациями и зависящие от непрерывных переменных — компонент хХ векторов гг. Функции дискретных переменных универсальны, ибо они описывают внутренние степени свободы квантовых частиц. Конфигурационные базисные функции обладают меньшей универсальностью, они применяются для описания систем, в которых естественны одночастичные переменные хХ и соответствующие им квантовые числа. Характерным примером таких систем являются атомные электроны, в случае которых конфигурации являются достаточно хорошо сохраняющимися характеристиками приближенных волновых

183

183

функций, описывающих движение электронов в самосогласованном поле атома. Базисные функции в конфигурационном представлении не обладают трансляционной инвариантностью, поэтому они малопригодны для описания систем, состоящих из тождественных либо почти тождественных частиц, каковыми являются атомные ядра. В теории ядра применяются другие реализации пространства состояний гамильтониана ядра, обладающие трансляционной инвариантностью. Такие базисы будут обсуждаться в п. 4 настоящего параграфа, а также в следующем параграфе.

Имеется большое разнообразие базисов обоих типов, маркируемых различными цепочками подгрупп. Сравнительно просто построить канонические либо полуканонические базисы, однако, как правило, они редко используются в физических криложениях. Образование же функций с неканоническими базисами представляет собой сложную задачу, обычно решаемую рекуррентным способом. Конструктивные методы их построения будут рассмотрены в § 16 и 17; в настоящем и в следующем параграфах обсудим лишь наборы квантовых чисел и используемые переменные. .

Тензоры с двойным базисом. При изучении специальных частных случаев функций связанных представлений унитарных групп обнаруживается, что они обладают определенным свойством по отношению к преобразованиям операторов симметрической группы 8п. Эти свойства позволяют ввести понятие дополнительных групп, проследить глубокую связь между теорией представления унитарных и симметрических групп и построить неприводимые базисы, применяемые в теории многочастичных квантовых систем. Приступая к этим вопросам, возьмем п комплектов линейно независимых базисных функций Ф ([1] гЩ)555 Ф ([1] гщ! г) (нумеруемых индексом г = 1, 2, ..., п^, каждая из которых при действии операторов Н^ группы Ur независимо преобразуется по r-мерному Ur- неприводимому представлению [1]г. Произведение п функций

Т ...Ф([1]гЦп) (14.1)

преобразуется по прямому произведению п матриц ?7г-неприводи- мых представлений DlvV Совокупность величин (14.1), по определению, будем называть [1] г-тензором n-го ранга группы Ur. Компо-

В^З-Вп " п

ненты 1 этого тензора, число которых равно г, реализуют тензорное пространство 5?f унитарной группы Ur.

Базис (14.1) в ^t является приводимым. Его можно разложить по неприводимым компонентам, связывая представления [1]г коэффициентами Клебша — Гордана группы Ur. Обозначим через

р И1г [1 ]г .. • [1 Jrj aAXAXvj (14.2)

функции связанных п представлений, характеризуемые определенной схемой связи Л и порядком связи, задаваемым перестановкой р. Функции (14.2) представляют собой частный случай функций п 184

связанных представлений (13.20) со всеми Х^ равными [1]г. Вместо р в (13.20) в (14.2) используется буква v. Напомним, что Zv маркирует (7г-неприводимое представление и его базис и, как и в (13.20), ХА обозначает набор п — 2 промежуточных представлений; аА дает совокупность индексов повторения, которые появляются при связывании промежуточных представлений. Наборы ХА и аА можно перечислить с помощью правил приведения прямых произведений неприводимых представлений унитарных групп (см. § 9). В левой части формулы (14.2) ведено важное для дальнейшего обозначение ц — аАХА.

Функции (14.2) будем называть [1]г-неприводимыми тензорами или неприводимыми тензорами унитарных групп. Они образуют неприводимый базис в 52, и реализуют разложение 911 = ^^^ 4 4- 5?^ ^ 4- • • • тензорного пространства 52, через прямую сумму Ur- неприводимых подпространств 52^\ в которой Х\ X"... обозначают определенные значения С7г-неприводимого представления X. Базис в 91^ нумеруется индексами ц и v.

Помимо вышеупомянутого смысла базисный индекс ц допускает Другую интерпретацию, раскрывающую дополнительные, важные для приложений свойства неприводимых [1]г-тензоров унитарных групп. Указания на их существование обнаруживаются при анализе возможных значений набора промежуточных представлений ХА. Перед тем как приступить к общему случаю, рассмотрим пример с п = 4.

Связывая четыре представления [1]г способом связи (((142)4 1

4 3)44), воспользуемся приведением прямых произведений [l]r X 2 3 4

X [l]r^^J2; Ч2 х [lJr-^^123 и ^123 х [l]r~^^- В этом примере аА отсутствует, а ХА состоит из Л12 и Х123. Используя общий метод анализа прямых произведений, находим, что [l]r X [1]г = [2]г 4 [11]г, следовательно, Х12 принимает значения [2]г и [11]г. Далее, [2]ГХ[1]Г дает [3]г и [21]r, а [11]ГХ(1]Г содержит [21]г и [111]г. В итоге получаем, что Х123 принимает значения [3]г, [21]г и [111]г. Перечисляя [^.-неприводимый состав прямых произведений Xi23 X [1]г с уже найденными %123, приходим к выводу, что представление X может быть охарактеризовано всевозможными разбиениями числа 4.

Перечисление промежуточных и результирующих представлений показывает, что X принимает всевозможные разбиения, характеризующие неприводимые представления симметрической группы S4, a Xi23 и Ли — разбиения, характеризующие неприводимые представления симметрических групп 83 и S2. Доказывается, что схема Юнга X действительно может быть интерпретирована как ^-неприводимое представление X, а цs Xi23Zi2 — как его базис, приведенный на цепочке S4 => S3 ^ S2l причем при такой интерпретации операторы р группы S4 переставляют указанные в (14.2) индексы связываемых С7г-неприводимых представлений [1]г.

Причина, по которой функции в рассмотренном примере характеризуются каноническим базисом цепочки S3 ^ S2l кроется в ис-

пользовании поочередной схемы связи (((•+•)+•)+•). В случае функции со схемой связи ((•+ ) + (•+•)) получаем базис ц для 34-неприводимого представления X, приведенный на цепочке 34 ^ ^ S2X S2. Эти примеры показывают, что схема связи С7г-пеириво- димых представлений [1]г задает цепочку подгрупп группы SH.

Общий случай функций п связанных С7г-пеприводимых представлений [1]г, ио существу, не отличается от рассмотренных примеров. При действии операторов /?(g) группы Ur неприводимые тензоры (14.2) по индексу v преобразуются по С7г-неприводимому представлению D^g), а при действии на индексы 1, 2, ..., п операторами р группы Sn функции (14.2) по индексу ц преобразуются по Зп-неприводимому представлению 1)х(р). В итоге получаем следующий закон преобразования тензорного базиса (14.2): G X R (g)) Ф (pXv 11, 2, . .., я) =

= 2 Ф(и'Лу' 11, 2, ..., h^D^G) D^UY (14.3) Ц/V'

Последняя формула показывает, что 91^ является (Sn X Ur) -неприводимым пространством. Аналогично преобразуется базис Ф+(|lXvll, 2, ..., п) в дуальном (Sn X Ur)-неприводимом тензорном пространстве 2?^\ образованный из функций Ф([— l]r|iJ0 путем связывания С7г-неприводимых представлений [— 1]г, сопряженных С [1]г.

Подведем итоги. В функциях п связанных С7г-неприводимых представлений [1]г маркировка X имеет двоякий смысл: X обозначает как (7г-неприводимые, так и 5п-неприводимые представления. По отношению к базису (14.2) группы UT и Sn дополняют одна другую, ибо их операторы преобразуют функции Ф(цХу), характеризуемые той же схемой Юнга X, но двумя различными по смыслу базисными индексами, ц и v. Поэтому (14.2) являются функциями с двойным базисом, и по отношению к ним группы Sn и UT называют дополнительными группами. Числа г и п непосредственно не коррелированы между собой, ибо из произведения п функций (14.1) с заданным г можно конструировать неприводимые базисы для Sn с п = 1, 2, ... Тем не менее определенная корреляция имеет место из-за свойств маркировки неприводимых представлений групп Ur и Sn: £/г-пе приводимые представления обозначаются схемами Юнга (8.30), число строк которых не превышает г, тогда как для Зп-неприводимых представлений (8.22) допускаются схемы с числом строк, не превышающим п. Поэтому на функциях (14.2) генерируются лишь такие (Sn X Ur)-неприводимые представления X, число строк которых не превышает г. Размерность базиса (14.2) по v или ц равна размерности Ur- или Зп-неприводимого представления X.

Уже отмечалось, что цепочка симметрических подгрупп, маркирующая Зп-неприводимый базис ц, задается схемой связи А. Всевозможные схемы в случае произвольного п практически необозримы, поэтому удобно рассмотреть рекуррентный шаг построения функций связанных п представлений [1]г из функций связанных тц 186

и п2 представлений [l]r (nt-V пй = п). Такое построение дается формулой

Ф к 1 о 1 2, . Н =

\ ^2/

= 2 Ф (Pi¥i И, 2, . .., п^ Ф (p2\v2 1^ + 1, пг + 2, ...,п) Cv^X,

V1V2

(14Л)

где С — коэффициенты Клебша — Гордана группы Ur. Используя рекуррентное построение (14.4), получаем функции (14.2), в которых базис р заменен базисом а0Х1ЦЛ2ц2, приведенным на SnZD S^^ 4-Sn^ в приложениях часто применяется базис v, приведенный на определенной цепочке Ur^G0. Тогда, заменяя в (14.4) v на pXovo и аналогично — для vt и v2, получаем функции, характеризуемые неприводимыми представлениями групп, входящих в цепочки

Sn - UT.(14.5)

(J U

S^ + Sn^ Go

В (14.5) Sn ~ UT обозначает, что Su и UT являются дополнительными группами по отношению к базису (14.2).

Связь между теорией представлений симметрических и унитарных групп была обнаружена и исследована в работах, ссылки на которые приведены в [44]. Более полное понимание свойств тензорного базиса было достигнуто при изучении функций связанных представлений. Наряду с (14.2) рассматривался более общий базис (так называемые С0-неприводимые 8-тензоры), в котором вместо представлений [1]г унитарной группы Ur берутся функции связанных неприводимых представлений 8 произвольной дискретной либо компактной группы G. Такое обобщение, изложенное в § 4 [14], подробно проанализировано для /-тензоров группы SU2 в [25] и для [е00]-тензоров группы SU3 в [20].

Спиновые и спин-изоспиновые функции. Простейший пример С7г-неприводимых тензоров с двойным базисом дают спиновые функции, образованные из (14.1) с г = 2 путем связывания представлений [1]2 коэффициентами Клебша — Гордана группы U2 с базисом цепочки U2^Ui. Неприводимые представления симметрической группы S^ (а обозначает, что операторы S^ переставляют спиновые индексы), содержащие не более двух строк, как и в п. 8.3, обозначим через Хо = [п/2 + 5, п/2 — 5]. Из-за дополнительности групп U. и Sf^ маркировка X® задает и <72-неприводимое представление. Базисы v и ц в (14.2) соответственно будем обозначать через Ms и р®.

Приспособим рекуррентную формулу (14.4) для построения спинового базиса. Пусть nt + п2 = п, а Ф (Ц1аХ1аЛ/1в) И Ф (ЦгсАга^гв)

обозначают функции вида (14.2) с г —2 соответственно для nY и п2 связываемых представлений [1]2. Тогда согласно (14.4) функция п связываемых представлений строится путем связывания Аю и А2а в X коэффициентами Клебша — Гордана группы Ui. Такие функции имеют вид

£и1? • • ., ?аП1, £оП1 + 17£и1? • • ., ?аП1, £оП1 + 172^ (»ц1а^1а^18 |M1SM2S Х12^ (»ц1а^1а^18 |M1SM2S Х1ф / (^кАги) ^o^S \ ^Кг^га

£и1? • • ., ?аП1, £оП1 + 17

£и1? • • ., ?аП1, £оП1 + 17

2^ (»ц1а^1а^18 |

M1SM2S Х1

2^ (»ц1а^1а^18 |

M1SM2S Х1

* ’ ^nj ^ (^20^20^20 | ^п^Г • • • » ЪОП) X

XcXmJ^ (14-6>

где, напомним, ц1а и ц2а обозначают наборы всех промежуточных представлений, а Аю и Х2а задаются числами п^ и п2 и значениями 5^ и S2. В (14.6) явно выписаны спиновые переменные Сор но вместо коэффициентов Клебша — Гордана группы U2l осуществляющих связывание Аю X А2а -^ Аа, применяются коэффициенты группы SU2. Это обстоятельство не является существенным, ибо можно доказать, что в используемом базисе коэффициенты Клебша — Гордана обеих групп совпадают. С математической точки зрения спиновые функции тождественны изоспиновым функциям, уже встречавшимся в п. 5.3 и 5.4, в случае которых вместо Xas S и Ms будем пользоваться обозначениями Ат, Т и Мт.

Следующими по сложности тензорами с двойным базисом являются неприводимые тензоры групп U3 и Щ. Функции связанных [73-неприводимых представлений [1]3 непосредственно не касаются предмета настоящей книги, поэтому сразу приступим к случаю г = 4. Имеются различные возможности выбора подгруппы Go группы U^ маркирующей базисы vn v2 и v в (14.4). Ниже рассмотрим базис подгруппы U2XU2, который применяется в теории ядра. В этом случае функции Ф([1]4 1/2 ^а. 1/2 mT. | г), входящие в (14.1) и преобразующиеся по 1/4-неприводимому представлению [1]ц имеют вид произведения спиновой функции Ф (1/2 та. | £а.) па изоспино- вую функцию Ф (1/2 mXi | ^TJ, в которых, как и в (5.2), вместо [1]2 пишем / = 1/2. В случае спин-изоспиновых функций дополнительными являются группы 1/4 и S^T^ (операторы S^^ переставляют спин-изоспиновые индексы), неприводимые представления А которых обозначаются схемами Юнга (8.28). Базис v для [/4-неприво- димого представления А, приведенный на цепочке U4 zd U^ X U^\ будем маркировать набором У=а8М$ТМт, a S(nT)- неприводимый базис ц будет обозначать все промежуточные [/4-неприводимые представления Ал и индексы их повторения аА, т. е. ц ^ аААА. Тогда из (14.4) при г = 4 получаем следующую формулу рекуррентного 188

построения спин-изоспиновых функций:

I ~ ~та^тт^? • • ЬаП1ЪтП1? тОП1^_1(этп . р • • bawSTn I

х ф ('да |«„;,„) ^O- <14-7’

где C— коэффициенты Клебша— Гордана группы U^ а,0 — маркируют повторения А в Xi X Х2, а индексы 1 и 2 букв X; ц и Г относятся к функциям п{ и п2 связанных представлении. В (14.7) С можно заменить коэффициентами Клебша — Гордана группы SU4.

Специфика используемого базиса (Л-неприводимого представления X, приведенного па прямое произведение унитарных групп U^ и U^\ позволяет по-другому построить спин-изоспиновые функции (14.7). Возьмем S^- неприводимый базис Ф(цоХоМв), аналогичный ему S^-неприводимый базис Ф(цг^тМт) и, связывая S^- и S^” неприводимые представления Хо и Ат коэффициентами Клебша — Гордана симметрической группы, образуем функцию

Ф (^SMsTMт I Sap ..., San; Srp ... /StJ =

" 2 Ф(На^аЛ7§ | ^аг, • • • ) San) Ф (М-т^тМт | SipSrn) ^ВаМ-т В* (^4.8)

ВаВх

Выбирая в (14.8) pG, цт и ц, приведенные на цепочке Sn зэ5П14- Sn^ т. е. заменяя их соответственно через A,la|ilaA,2a|Li2a, МтЦи^гтЦгт и ао^рДгЦг, получаем функции, которые с точностью до фазовых множителей совпадают с функциями (14.7). Более подробно с деталями обоих способов построения спин-изоспиновых функций можно ознакомиться в § 13 [14], где также описана взаимосвязь коэффициентов Клебша — Гордана групп UT и Sn с базисами цепочек Ur =D иГ1 X U^r^ — г) и Sn^ASn^Sn^^i -Г п2 = пу

Остановимся на способах перечисления ^ и Хт в ^-неприводимом представлении X, что эквивалентно перечислению S и Т в 5£74-неприводимом представлении [Xi —Х4, Х2 —Х4, Х3 —Х4]. Решая эту задачу, учитываем, что во взаимно сопряженных 5?74-неприводимых представлениях X и АЛ содержатся одинаковые наборы ST. Правила перечисления ST в З^-неприводимом представлении X в обозначениях (Р, Р', Р") (см. (8.29) и табл. 8.1) впервые рассматривались в [153]. В работе [127] было найдено явное выражение разложения

Х=(14.9)

Основная формула упомянутой работы, удобная для программиро-

189

вания, приведена в (7.23) [14]. В [114] в качестве а было предложено использовать индексы повторения KsKt, аналогичные индексу К для приведения на цепочке SU3^SO3 (см. (9.15)). Сужение на U4 =d U2 X U2 можно также осуществить с помощью техники 5-функций. Таблицы коэффициентов разложения (14.9) для маркировки (Р, Р\ Р") приведены в [97], а в обозначениях, использующих вместо X однозначную связанную с ней схему (8.28),— в приложении 7 [14]. Частные случаи коэффициентов Клебша — Гордана разложения (14.7) изучались в [122, 76, 48], а разложения (14.8) — в [35]; выражения последних приведены в приложении 8 [14].

Алгебраические схемы трансляционно-инвариантных базисов. Приступим к обсуждению базисов, зависящих от трансляционноинвариантных переменных. Будем изучать функции

Ф (г I pL .. ., р?) - Ф (Г I р(Ч g+, qT\ (14.10)

зависящие от переменных Якоби pt (г = 1, 2, ..., г; s = 1, 2, . .., г0) либо от переменных р< °\ q^, qTl связанных с pf формулой (11.30)’. В (14.10) Г обозначает набор индексов, смысл которых будет детализирован в дальнейшем. Функции (14.10) зависят от гог переменных, поэтому мощность Г равна гог.

Характеристики базисных функций Г в (14.10) частично или полностью фиксируем с помощью неприводимых представлений групп, входящих в две цепочки, начинающиеся с группы UTqFs задаваемой унитарными матрицами, размерность которых равна числу переменных pL Эти цепочки имеют вид, приведенный в левых частях выражений

Uv zd UrX Ur [E00 ... 0] zd [^ ... E?],[£,... E?] (14.11)

и иии

SOro 0^7 (7^ ... m^ um 0 («! ... <oa)

UU

5аХц

либо выражений

Uv zd O^ zd SOT^ X OT [Eo 0 ... 0] zd (Q 00) zd

°°° u

8

ZDdK^! ... т^Чп, («h ... coa)]. (14.12) u aXu

Характерное различие между обеими цепочками состоит в том, что в них подгруппа 80Го X Ог вложена в Ur^T двумя различными способами: в (14.11)—через промежуточную унитарную подгруппу UTqXUt. а в (14.12) — через промежуточную ортогональную подгруппу ОТТ- Поэтому схему, задаваемую цепочкой (14.11), будем 190

называть унитарной схемой, а задаваемую цепочкой (14.12) — ортогональной схемой: такое название, предложенное в [14], оправдано преобладанием в цепочках в первом случае унитарных, а во втором случае — ортогональных групп. В обоих случаях группа S, вложенная в От по цепочке От 8, может быть произвольной; в частности, в приложениях в качестве 8 используется симметрическая группа 8т+11 плотно вложенная в От по способу, описанному в п. 9.2.

Наша ближайшая цель — обсудить специфику маркировки базиса с помощью обеих цепочек. Если исходить из общего UTqT-неприводимого представления вида (8.30), то получим базис, слишком богатый для наших целей. Для реализации функций, зависящих от гог переменных, достаточно самого простого случая, когда в качестве исходного UT^T- неприводимого представления берется симметрическое представление Ео = [ЕоО ... 0] (всего ror — 1 нулей), ибо мощность базиса такого представления в точности равна числу переменных Pi. Действительно, канонический базис симметрического представления маркируется (ror—1) целыми числами (см. п. 9.7), поэтому суммарная мощность индексов такого базиса, включающая маркировку самого представления, равна гог, что и объясняет приведенное выше утверждение.

Рассмотрим правила приведения UrQr-симметрического представления Ео на цепочках, показанных в (14.11) и (14.12). В первом звене цепочки (14.11) сужение осуществляется с помощью (9.17), следовательно, Ur-ii Ег-псприводпмыс представления характеризуются одинаковыми разбиениями Е s[ExE2 ... Е~], где г = min(r0, г) (г0 = 2, 3, ... и г = 2, 3, ...). Сумма Ег-Е2 ... + Е~ равна Ео, поэтому Ео не является независимым индексом. Далее [ад...Е~] сужается на цепочках Ur^ zd 80т^ и UT Ог. Из общих правил приведения, описанных в § 9, можно убедиться в том, что в случае первой цепочки получаем 8ОГ- неприводимые представления типа m — ^m, ... Шо^ с tf0 = nrin(r, <г0/2>), а для второй цепочки — Ог-неприводимые представления типа о = (o)iO)2... оа) с а = = min(r0, <г/2>). В итоге приходим к выводу, что маркировка неприводимых представлений и их базисов для цепочки унитарной схемы имеет вид, указанный стрелкой в правой части (14.11), где Хц обозначает S-неприводимое представление и его базис (когда 8 — симметрическая группа Sr+1, Л маркируется схемой Юнга (ЛД2.. • ^г+1]), у, Р и а — индексы повторения соответственно на цепочках UTo^> SOTq1 Ur^Or и Or^S, a pm— базис 8ОТ- неприводимого представления т.

Правила приведения на цепочке в (14.12) аналогичны предыдущим. Различие состоит лишь в том, что в первом ее звене пользуемся формулой (9.18). Обозначим Ог^- неприводимые представления, содержащиеся в симметрических UrQr- неприводимых представлениях Ео, через Q^(Q 0 ... 0) (<ror/2> —1 нулей), а индекс повторения на цепочке ОГ^Т zd SOt^ X О,.— через 6. Тогда маркиров-

ка неприводимых представлений и их базисов для цепочки ортогональной схемы имеет вид, показанный стрелкой в правой части (14.12). Обратим внимание, что индекс б обозначает кратность представлений обеих групп SOT^ и ОГ1 на что указывают фигурные скобки в (14.12).

Встретимся с двумя фрагментами, выделенными из цепочек унитарной и ортогональной схем. Первый фрагмент и соответствующий ему набор маркировок неприводимых представлений имеет вид

OTT^>SOT X От (Q0 ... 0) zd Щт^ ... mQ ) р™, (со1 ... соа)].

°° и° и

SаХр

(14.13)

Как и раньше, фигурные скобки в (14.13) указывают смысл индекса повторения б; в дальнейшем, как правило, такие скобки писать не будем. В п. 15.1 выяснится, что базис, маркируемый цепочкой (14.13), обобщает сферические функции на многомерный случай, поэтому будем его называть базисом гиперсферических функций.

Второй фрагмент, содержащийся в (14.12), и маркировка его базиса имеют вид

5ОГ() X Or v„ (л^ ... m„J ,um, v° («! ... юсу (14.14) u-*U

SaXu

Функции, характеризуемые цепочкой, показанной в (14.14), заданы

Таблица 14.1. Основные типы трансляционно-инвариантных базисов и их характеристики

Базис унитарной схемы (14.11)

Базис ортогональной схемы (14.12)

Базис гиперсферических функций (14.13)

^SOT

°(14.14)

г0 > 3

E^Eym um РйКхХр

£0Q6p?pm (oaXp

Qd/ntlm

(occZu

v°coaXp

г0 = 3

E^EyLM

PcoaXp

E<£&LM ыаХц

<№LM

(оалц

K0LM v°<oaXu

г0= 2

PcoaZp

E^bM toaXu

О6Л/ oaXii

M л°соаХр

на фактор-прострапствах ортогональных групп. Согласно результатам, изложенным в п. 11.2, функции на фактор-пространствах имеют правый и левый индексы. Поэтому маркировка базиса цепочки в (14.14) содержит левые v^, v° и правые рт, аХр базисные индексы. Функции с характеристиками (14.14) будем называть (50r X дг)-ба- 8ИС0М.

В дальнейшем, кроме полных, будет удобно использовать и сокращенные маркировки, аналогичные обозначениям неприводимых представлений, обсуждавшихся в п. 8.4. Сводка результатов по маркировкам базисов приведена в табл. 14.1. В первой строке указаны названия базисов и номера формул с полными обозначениями, во второй строке приведены сокращенные обозначения в случае г0 > 3, а в третьей и четвертой строках — для случаев с г0 = 3, 2. Заметим, что в базисе унитарной схемы UT- и С7г-неприводимые представления обозначаются одной буквой Е. При г0 = 3 вместо v^mpm имеем KoLM. а для г0 = 2 отсутствуют ^ и базисные индексы v^pm; в этом случае вместо т пользуемся М. Напомним, что в базисах ортогональной схемы и гиперсферических функций 6 перечисляет повторяющиеся ^SOr^X Ог)-неприводимые представления.

В более конкретных алгебраических схемах, в которых в качестве S использовалась симметрическая группа Sr+Vl а в качестве 80Т^ выступала группа трехмерных вращений SO3l базис цепочки (14.11) был введен в [126], цепочки (14.12) —в [13] (см. также [14]), цепочки (14.13) —в [94] и цепочки (14.14) — в [31]. Функции с базисом цепочки (14.11), в которой в качестве 5 берется цепочка подгрупп Оп-г Оп-з ^ ... групп On-Yl были введены и изучены в [106, 107].

§15. Алгебраическая реализация пространства функций многих переменных

Разложения по неприводимым базисам ортогональных групп. В настоящем пункте рассмотрим более подробно структуру базисов, характеризуемых наборами неприводимых представлений, указанных в (14.13) и (14.14), сокращенные обозначения которых приведены в двух последних столбцах табл. 14.1. Будем исходить из (s ) I

функций (14.10), зависящих от р 0 , ^Г(), qTl и развернем неприводимые базисы, конкретизируя шаг за шагом их характеристики Г.

Начнем со свойств преобразования по отношению к действию операторов ортогональных групп 80 Т^ и Ог. Согласно результатам, изложенным в п. 11.2, полную систему функций для переменных q^ и qTl смысл которых был объяснен в п. 11.3, составляют функции вида (11.15). Поэтому, приспосабливая разложение (8.20) к функциям (14.10), получаем

Ф(Г|р?,q^ =

= 2 @(Г; v^mpmv«^Ur)^^. (15.1)

Vm77ipm v°(oaXpi

Здесь зависящие от р^ °^ функции 0 выступают в качестве коэффициентов разложения.

Формула (15.1) упрощается, когда исходные функции характеризуются определенным неприводимым представлением ортогональных групп. Предположим, например, что Г в (15.1) содержит ^О^-неприводимые характеристики т^™. Тогда, меняя Г на Гтпцт й включая зависимость от qT в функцию в, получаем разложение

Ф (Г/пцт | pl, ..., p;s) = Ф (Гтрт | р^, 9^, gr) =

= 2 0 (Гт v^ | p(So), J Dm«f9+), (15.2)

0 X7x 0/

в котором сумма берется лишь по левым индексам матрицы Dm. Напомним, что в случае r^ г^ опа зависит от всех параметров группы, и тогда Vm пробегает полный базис; когда же г<г0, входящие в (15.2) матричные элементы являются функциями, заданными на фактор-пространстве, и в этом случае v^ принимает меньший набор значений, подробно обсуждавшихся в п. 11.2. Отметим также, что индексы v ™ и цт в (15.2) обозначают базисы, не обязательно характеризуемые одинаковыми цепочками подгрупп.

Продолжим конкретизацию функций (15.2), предполагая наличие в них Ог-неприводимых характеристик. С этой целью заменим Г на ГоаХц и тогда получаем разложение

I A I Pit • • • Т Рг )| А I Р т Qr 1

\(оаХрr / \соаХр |$ т 4 7

= 2.0 7" | р14) и d:.№(15.3)

в котором участвуют (SO^X От)-базисные функции, маркируемые наборами неприводимых представлений, приведенных в (14.14).

В приложениях к теории ядра, когда г0 = 3, г = п — 1 и в качестве 5 берется симметрическая группа Sn, вложенная в On-i по цепочке On-i => Sn, необходимо знать четность базисных функций по отношению к замене знака переменных Рь Как и в п. 1.3, четность обозначим через л, заменим Г через Гл и тогда при г0 = 3 и г = = п— 1 из (15.3) получаем, что

ф /Гл£М Iф /Гл£М IS3Р1» • . . » Рп-1S3Р1» • . . » Рп-1Гл^М соаХр-Гл^М соаХр-Jso) + пР •> Ч^ 1 ЧтJso) + пР •> Ч^ 1 Чт2 е(™°2 е(™°^}\D^,MW^(15.4)^}\D^,MW^(15.4)

ф /Гл£М I

ф /Гл£М I

S3

Р1» • . . » Рп-1

S3

Р1» • . . » Рп-1

Гл^М соаХр-

Гл^М соаХр-

Jso) + п

Р •> Ч^ 1 Чт

Jso) + п

Р •> Ч^ 1 Чт

2 е(™°

2 е(™°

^}\D^,MW^(15.4)

^}\D^,MW^(15.4)

Разложение (15.4) было введено и изучено в [31].

Осуществим еще один шаг в сторону конкретизации Г, используя неприводимые представления группы OTqTi входящей в цепочку, приведенную в (14.13). Заменим в (15.3) Г на TQ6 и воспользуем- 194

ся формулой (11.29), которая дает выражение переменных р через р, #+. Для выяснения свойств функций, зависящих от д\ удобно объединить ^+ с q^qr- Тогда возвращаемся к переменным qr^r=q+q^qr^ уже использованным в (11.20), которые являются параметрами фактор-пространства OrQr-i \OrQr. Далее, опираясь на свойства функций (11.15), заданных на фактор-пространстве ортогональных групп при ггйт и ro-^ror—1, устанавливаем, что применительно к рассматриваемому случаю полная система функций дается OTqT _ i - скалярной строкой матрицы D^qr^ которую обозначаем через 0. В итоге, разлагая ОГ()г-неприводимый базис через Da (qr^ получаем следующее выражение:

\ioaXp\(о«Хр |P’^v)

-etroiplD^,^,.,). (15.5)

Последняя формула становится более наглядной в обозначенияхлга(Р) = v=e(rQ|p),

v “Q(15.6)

Убтцт<оаХц. (<7ror) = ^йУ“6т11п1ЮаХц(9г0г),

в которых (15.5) принимает вид

Ф ((оаХр I Р’ 9ror) = ^Гй ^ ^дт|4т<оаХц ^т^\(15.7)

Выражение (15.7) по форме совпадает с базисными функциями Ф^тпУг, 'О’, <р) трехмерного пространства, использованными в п. 2.4. При сравнении соответствующих выражений в (7.33) и (15.6) обнаруживается сходство У9 с шаровыми функциями Ylm— обе определяются через скалярную строку матрицы неприводимого представления ортогональных групп. Из-за этой аналогии функции У“ получили название гиперсферических функций. В [121, 120] они использовались в качестве м-пионных базисных функций, обладающих определенной перестановочной симметрией. Эти функции также лежат в основе предложенного в [92, 8, 9] метода гиперсферических функций, называемого еще методом /<-гармоник (см. также [54] и цитируемую там литературу). Алгебраические свойства гиперсферических функций были изучены в [94, 15].

Учитывая смысл обозначений qT г, разлагая DQ через сумму произведений матриц, зависящих от q\ q^ и qri и используя то обстоятельство, что матричные элементы матрицы DQ (7^)» нумеруемые индексами mv^fitov0, диагональны по v°nz6(o и не зависят от Q6g)v°, т. е. имеют вид Dm0) (q+\ и аналогично — для Dti(qf^

получаем

^б.бт^шаХц (^V) '1/2 ^6тцтйюХц =

Последнее, выражение показывает, что в случае параметризации ^ror= Ч^ qt^r гиперсферические функции разлагаются через ^SOr^xОтубазис *). Коэффициентами такого разложения служат матричные элементы 0ГоГ_1-скалярной строки матрицы DQ, зависящие от переменных q*.

Найдем выражение функций 0 в угловых переменных. С этой целью вместо Г в (15.3) напишем FQ6, учтем замену переменных (11.29) и, сравнивая полученное выражение с формулой (15.5), в которую подставлено (15.8), получаем

/Гйбтт® I

0 о Р' 9+ =0(ГЙ|р)^. он 9+ ,(15.9)

\toV I /0,omvmwv

где Г — произвольная характеристика функций 0.

Базис (15.7) с г0 = 3 и r = n — 1 используется в теории ядра. Заменяя согласно табл. 14.1 v^mp,™ на KQLM, допуская, что S обозначает группу 8^ и учитывая (15.8), из (15.5) получаем

/ Vu^LM Is s \/ ГлЙбАЛГ I+\

Ф Imxp | Р1’ "' ' ’ Р”-1) Ф Up IР’ 9 ’ 98 ’ 9г) =

= в (FQ | р) V в? ^ dl (g+) в» (?г). (15Л0)

В (15.10) явно указана четность л по отношению к замене знака переменных рь Разложение (15.10) было получено в [15] (см. также [16]).

Некоторые свойства радиальных функций. Матричные элементы матриц неприводимых представлений ортогональных групп, входящие в разложения, приведенные в предыдущем пункте, подробно обсуждались в п. 11.2. Приступим к описанию свойств функций 0 в радиальных переменных. Общий метод их построения был предложен в [31]. Он основан на изложенных в п. 11.5 свойствах функций во внутренней системе координат.

Разложения (15.1) — (15.4) имеют структуру формулы (11.42), и поэтому к 0 подходят выражения для функций во внутренних системах координат. Применяя (11.38) к 0, входящим в (15.2),

*) Иногда D®q а^(^г) называют базисом обобщенных гиперсферических функций. Это не совсем логично, ибо гиперсферические функции в переменных qT т более сложны и, как это видно из (15.8), в их разложение входят матричные элементы матриц 196

и используя нормирующий множитель N, получаем

(15.11)(15.11)© (гт^ | р(8о), gr) = ТУФ ^Гт?т | р”)-

(15.11)

(15.11)

Аналогично для функций 0, участвующих в разложении (15.3),

имеем

000)V°0)V°р(%)р(%)= MD= MD/rmv^ \CDV°/rmv^ \CDV°PiPi(15.12)(15.12)

0

0

0)V°

0)V°

р(%)

р(%)

= MD

= MD

/rmv^ \CDV°

/rmv^ \CDV°

Pi

Pi

(15.12)

(15.12)

Переменные pi и pi определены формулами (11.40) и (11.41). Метод явного построения функций (15.12) для конкретного набора характеристик Г будет обсуждаться в п. 15.4.

Условие ортонормировки функции (15.12) выводится из ортонормировки базиса (15.3). Выкладки с учетом (11.16) приводят к выражению

2 И^оеМ^ И = 8(гг')’ (15ЛЗ)

V© J\CDVU I / \(DV/

vmvU

в котором интегрирование ведется по f = min(r0, г) переменным р( °\ а элемент объема, обусловленный заменой переменных (11.30), имеет вид

(15.14)(15.14)

(15.14)

(15.14)

При г0 = 3 и г^г0 выражение (15.14) было получено в [56].

Учитывая (15.9), формулу (15.13) можно приспособить для функций 0 в переменных р,д+ и получить, что 0(FQlp) нормировано условием

(15.15)(15.15)^- Г рг°г ^рб (ГЙI р) 0 (ГЙI Р) - 6 (ГГ), о

(15.15)

(15.15)

которое, будучи переписанным для функций 7?Гп(р), дает привычную нормировку радиальных функций.

Рассмотренные в настоящем пункте функции 0 содержат неопределенные характеристики Г, которые могут принимать как дискретные, так и непрерывные значения; в последнем случае б(ГГ') в (15.13) и (15.15) заменяется 6-функцией 6(Г —Г'). Из-за отмеченного свойства Г, пространства, реализованные через обсуждавшиеся в предыдущем пункте базисы, могут быть более сложными, чем гильбертово пространство. Например, если в качестве Rra в (15.7) взять радиальные функции с непрерывным Г, скажем радиальные функции г0г-мерной плоской волны либо функции, характеризуемые как дискретными, так и непрерывными значениями Г, такие, как гог-мерные радиальные кулоновские функции, то ба-

зис (15.7) будет реализовать пространства со свойствами, обусловленными выбором радиальных функций 7?Гя(р). Сказанное относится также и к другим аналогичным функциям 0, входящим в разложения, приведенные в п. 15.1.

Неприводимые базисы в унитарной и ортогональной схемах. Применим рассмотренные в двух предыдущих пунктах неприводимые базисы ортогональных групп к случаю дискретных Г, когда реализуемое пространство является гильбертовым. Желая сохранить алгебраическую структуру базисов, воспользуемся полной системой квадратично интегрируемых функций, преобразующихся по неприводимым представлениям унитарных групп.

Изучение базисов, реализующих гильбертово пространство, удобно начать с функций 0(FQlp), в которых из-за наличия лишь одной переменной мощность индекса Г равна единице. Поэтому, предполагая, что Г обозначает ^гог- неприводимое представление EOl содержащееся в наборе характеристик ортогональной схемы (14.12), из (15.5) получаем базисные функции ортогональной схемы:

Pi ^rQrPi ^rQr(Еоабтцт I\ =/ ЕоЙбтц т

Pi ^rQr

Pi ^rQr

\<оаХр. IР1’\coaXii

= 0 (£0Q | р) П^6т№т(йаХи (gv), (15.16)

где 0(p) удовлетворяют условию ортонормировки (15.15), в котором б(ГГ') заменено на б(йо1?о). При г0 = 2 в (15.16) т имеет смысл М и цт отсутствует; когда г0 = 3, т\1,т заменяем на LM.

Интерпретируя Г в (15.3) как Е^Е^^ содержащееся в наборе характеристик (14.11), получаем базисные функции унитарной схемы:

m sm s1, . .., рг1, . .., ргЕоЕ^т Рсоа^цЕоЕ^т Рсоа^цРР

m s

m s

1, . .., рг

1, . .., рг

ЕоЕ^т Рсоа^ц

ЕоЕ^т Рсоа^ц

Р

Р

2 g(V7»<2 g(V7»<

2 g(V7»<

2 g(V7»<

р(‘"’ О” иЛоХк»^ (15.17)

/ ^т^т

Входящие в (15.17) радиальные функции 0 удовлетворяют условию ортонормировки (15.13), в котором б(ГГ') заменено на 6(^)6 (^')S(W')6(₽P') (£0 задается маркировкой Е. поэтому можно опустить б(£,оЕ’о))- При г0 = 2 в (15.17) отсутствуют yv^p™, а т обозначаем через М; если г0 = 3, то ^т^т заменяем на K0LM.

Функции ортогональной и унитарной схем обладают одинаковыми характеристиками Ео исходной группы UГоГ, а также одинаковыми характеристиками т и со групп SOTq и От. Поэтому (15.16) и (15.17) унитарно эквивалентны и связаны преобразованием

/Е^утцЛ = у ф (Е6^ту.т

^(Ео™®)

М Qb,E^ 1

(15.18)

матрица М которого диагональна по /?0^Цтй)акц и не зависит от pmaX|i. Преобразование (15.18) при г0 = 3 было введено в [13].

В п. 14.4 уже отмечалось, что в случае цепочки унитарной схемы неприводимые представления групп UT и U, маркируются одним символом Е. что является следствием симметричности схемы Юнга исходного ?7Г()Г-неприводимого представления Ео. В этом отношении базисные функции унитарной схемы похожи на тензоры с двойным базисом, в которых X обозначает Sn- и С7г-неприводимые представления. По причине, аналогичной обсуждавшейся в п. 14.2, из-за которой группы Sn и Ur обладают свойством дополнительности по отношению к пространству, реализованному через тензорный базис, группы Uro и Ur являются дополнительными группами по отношению к UTqT- неприводимому пространству 91х 0 , ибо Е в

/Е )

91 0 маркирует как U т-. так и (7г-неприводимые представления.

Обсудим мощность набора индексов аХц в базисах унитарной и ортогональной схем. Ее можно найти, учитывая то обстоятельство, что, согласно правилам приведения, описанным в п. 14.4, Ог-непри- водимые представления, характеризующие функции (15.16) и (15.17), маркируются о числами, где o = min(r0, <г/2>). Мощность базиса таких представлений уже была найдена в п. 9.7, где вместо о использовалось г0. Из этих результатов получаем, что мощность набора индексов аХц, равная мощности канонического базиса группы От. дается формулой

^(г07 r) = or-o(o + l).(15.19J

Она показывает, что при г > г0 за подавляющее число степеней свободы ответствен набор аХц.

Осцилляторные функции в унитарной и ортогональной схемах. Явное построение трансляционно-инвариантных базисов, обсуждавшихся в п. 15.1 —15.3, представляет собой сложную задачу, решение которой известно лишь для частных случаев. Вид базисных функций зависит от конкретного смысла их характеристик и используемых переменных. Типичные выражения для базисов в пе- (so)

ременных р, q^r или Р , £г0, qT содержат матричные элементы неприводимых матриц ортогональных групп D^ или Dm и D^ и функции 0.

Получить в явном виде матрицы неприводимых представлений ортогональных групп в неканонических базисах весьма сложно. В п. 16.5 будет показано, что для приложений таких базисов в теории ядра достаточно знать лишь рекуррентный шаг их построения, который наряду с известными общими свойствами матриц неприводимых представлений позволяет осуществить выкладки, ведущие к конструктивным результатам. Значительный прогресс был достигнут в построении радиальных функций 0, входящих в выражение базиса унитарной схемы (15.17). Более подробно этот вопрос обсудим в копце настоящего пункта. Теперь приступим к интерпретации

базисов унитарной и ортогональной схем в виде собственных функций гамильтониана системы взаимодействующих г = ^ ~ 1 осцилляторов с одинаковыми массами тп и общей частотой (0Озспь движущихся в Го-мерном пространстве.

Осцилляторный гамильтониан Я08Сш представляет частный случай оператора (1.5) с потенциалом (1.7) при ^ = 1, «1 = 0, ^ = 2, ^о1 — ^^озсш/З > 0. Представим его в виде

п / 2 \

Яовсш^ 2 + (15.20) i<j=2 \ /

и перейдем к переменным Якоби. В этих переменных слагаемое кинетической энергии дается выражением (1.16). Аналогичную форму имеет потенциальная энергия, и в итоге (15.20) в безразмерных переменных р’/Гф приобретает вид

п-1 го +

= Г< кп -1) + 2 2 ^ ^ = т (” - !) + ^-D. (15-21) t = l 8=1

где ^ и g®— операторы рождения и уничтожения (10.22), в которых pt заменено на p*A> a Я^<п-1) —первый оператор Казимира группы [/^(n-D для б8^ = £/£/'» определение которого приведено в (10.31). В (15.21) введено обозначение Гф2 = v0Sciii = ^^08сП1/ЙК^; положительную константу г^ будем называть осцилляторным масштабным параметром. Формула (15.21) показывает, что гамильтониан п частиц с осцилляторным взаимодействием, движущихся в Го-мерном пространстве, можно представить в виде суммы r0(^—1J_ одномерных осцилляторных гамильтонианов с частотой (o0sciii/Vw, зависящих от переменных Якоби р®. Собственное значение EOsciii оператора (15.21) в единицах AcoOSCiii/Vw дается выражением ЯОзсш = (Е0 + rQ(n — 1)/2), где число осцилляторных квантов Ео = = 0, 1, 2, ...

Осцилляторный гамильтониан является скаляром группы Ur^n—1), преобразующей бозевские операторы рождения и уничтожения, что непосредственно видно из последнего равенства в (15.21). Число осцилляторных квантов Ео обозначает симметрическое Ur^n-y)- неприводимое представление [£*0 0 ... 0], которое использовалось при маркировке трансляционно-инвариантных базисов унитарной и ортогональной схем. Поэтому базис в ?7г0(п-1гнеприво- димом пространстве Sl^ можно реализовать через осциллятор- пые функции, которые, как нетрудно установить, зависят от масш- 200

табного параметра г^ в виде

(^01 Р1. .... Рп-0 = 2^Ж ^ (£оРо | ^ • • • ’ ^). (15.22)

В последней формуле р0 обозначает произвольный базис.

Исключительно высокие свойства симметрии изотропного осцил- ляторного гамильтониана, которые были выявлены в [125, 51, 52, 108], позволяют фиксировать базис р0 с помощью произвольной цепочки подгрупп группы UT ^„d, в частности с помощью цепочек, приведенных в (14.11) или (14.12). Тогда зависимость от г^ базисных функций унитарной или ортогональной схем для переменных pt легко учесть по формуле (15.22). В переменных р,^Го(П-1) либо р^°\ 9^ Чт зависимость осцилляторных функций от г^ аналогична (15.22) с той лишь разницей, что вместо pi/r^ пишется р/г^ либо n(So)L

Если осцилляторные функции представить в виде (15.16) или (15.17), то кроме матричных элементов матриц DQ или Dm и Dw необходимо знать осцилляторные радиальные функции 0. Их можно разложить следующим образом через радиальные функции p-мерного осциллятора ReoqT»

Ео №1,2®ГЧе^\р^Вг^й^^2 а ЛЕ^Й^, 4рУ (15.23)

е^й.й+2,...»е°е°

В (15.23)

а , (S.S2) =

(4"К - й))! (4- (£0 - О)1 г (4 ^ + Q + р)) ’

(15.24)

a R г г — безузловая радиальная функция ^0^0

Функции (15.23) и (15.25) нормированы к единице с элементом объема dr,(p) = pp~4p.

Радиальные функции 0 в (15.16) имеют вид (15.23) с р = — г^п — 1). Функции 0 в (15.17), зависящие от р^0^ можно разложить через радиальные функции (15.23). Применяя формулу

20120114 в. В. Ванагас

201

201

0^0^(15.12) к функциям унитарной схемы, авторами работ [32, 33, 68] был развит метод построения радиальных функций, позволяющий представить их в виде

0^

0^

УА ~ ~|

~ ~г r ErOQT6...ET0QTO

Е 0Q 0,. . Е 0Q 0000 0

000 0

^ ^ д д, (p(.oi)i \ ₽“V°/,о=7о Е0Х

/E0£Tmv«ml (8о) \ pcov0 IР

(15.26)

где Го имеет тот же смысл, что и в (11.31), R sn sn— раДИаЛЬ- ^О^О

ные функции (^ — 1) -мерного осциллятора и Л — коэффициенты разложения. Выражения для А в случае г0 = 2, 3 через коэффициенты Клебша — Гордана группы UT с базисом цепочки UT zd Оr zd ... dO?_^ и матричные элементы матрицы М перехода от канонического базиса группы UTq к базису цепочки UTq^) SOTq были получены в [33, 68], где также описан рекуррентный но г0 способ построения функций (15.26). Матрица М известна для г0 = 2, 3; в случае г0 = 2 также известны и необходимые для Л коэффициенты Клебша — Гордана (см. [33, 68] и цитируемую там литературу, а также ссылки, приведенные в конце заключительного раздела книги), а для г0 = 3 получены их частные случаи, например, в [101] приведены выражения коэффициентов Клебша — Гордана для ш =(0).

Симплектический базис и его эквивалентность базису унитарной схемы. Рассмотренная в § 10 алгебра симплектической некомпактной группы Sp^fof, R) имеет подалгебры, приведенные на цепочках (10.27). Кроме того в алгебре Sp(2r0r, R) содержится подалгебра UTqTi реализуемая операторами В^ (0), и аналогично — для Sp(2r0l R) и Sp^r, R). Поэтому первую и вторую цепочки в (10.27) можно расширить и записать в виде

(15.27)(15.28)(15.27)(15.28)Sр (2гor, R) zd OTq X Sp (2r, R)u n° иUTqT zdUTqX ur

(15.27)

(15.28)

(15.27)

(15.28)

Sp (2ror, R) zd Sp (2r0, R) X Or

UU П

Явное построение подалгебр для обеих цепочек дано в п. 10.4. В настоящем пункте обсудим базис, характеризуемый наборами неприводимых представлений групп, входящих в (15.27) или (15.28).

Некомпактная группа 5p(2r0^ R) обладает широким набором неприводимых представлений, маркируемых дискретными и непре- 202

рывными параметрами. В теории ядра используются в основном лишь два ее бесконечномерных представления дискретной серии, реализующих гильбертово пространство в виде функции г0г-мерно- го изотропного осциллятора. Одно из них состоит из всех состояний с четным, а другое — с нечетным числом осцилляторных квантов Ео. В обозначениях, принятых в теории некомпактных групп, упомянутые 5p(2r0^ R) -неприводимые представления маркируются символами |(1/4)v]m1/4...1/4] в случае четных Ео и символом [3/4, (1/4)ðà *] = [3/4, 1/4 ... 1/4] для нечетных Ео. Простоты ради, пространства этих представлений обозначим через ^^ с л =(—1) 0 и перейдем к описанию базисов в ^sp1 задаваемых цепочкой (15.27) или (15.28). Начнем с обсуждения цепочки (15.28).

Из-за свойства коммутации операторов алгебр Sp^r^ R) и Ог. обсуждавшихся в п. 10.4, группы 5р(2г0, R) и От в пространствах 91 §р являются дополнительными группами [132]. Иными словами, существует взаимооднозначное соответствие между маркировками неприводимых представлений обеих групп, содержащихся в ^sp- Это соответствие таково. В 8р(2г0г. 2?)-неприводимых представлениях [(l/4)v] И [3/4, (l/4)v *] при приведении их на подгруппе Sp(2r0, R)XOT с кратностью, равной единице, содержатся Sp(2r0l 2?)-неприводимые представления, задаваемые маркировкой

— ^4-^г, “+ (15.29)

в которой целые неотрицательные лексикографически упорядоченные числа 0)1, о)2, ..., о)а принимают те же значения, что и в обозначении неприводимых представлений o)=(o)i, о)2, ..., о)а) группы От в (14.11), где, напомним, o = min(r0, <г/2>). Поэтому пространство ^s^ можно разложить в прямую сумму подпространств и писать ^ = ^sT ) 4- З?^0 4- ..., где л = ±1 в зависимости от четности числа (щ + со2 + ... + о)а, которая, как вскоре выяснится, совпадает с четностью числа Ео. Сказанное позволяет заключить, что маркировка о) при заданных г0 и г обозначает как Sp(2r0, Ry. так и Ог-неприводимые представления, поэтому базис в ^s^ для (15.28) можно фиксировать с помощью цепочек Or^S и Sp(2r0lR)TD ^UrQ^SOr. Ввиду того что базис первой из них, а также базис цепочки UrJjSOrQ уже обсуждался в п. 14.4, рассмотрим лишь приведение для цепочки Sp^2r0. R) zd Ut

Развертывание базиса в 9$^ для Sр (2г0, 2?) zd Ut^ начинается с Uг -неприводимого представления Е^ = [£t = о)1т £*2 = 0)2, ..., Еа = = о)а], задаваемого числами, маркирующими (15.29). Для перечисления остальных UT- неприводимых представлений, содержащихся в 91^\ — их число бесконечно — необходимо взять сово- 14*

(15. 30)(15. 30)

(15. 30)

(15. 30)

купность четных чисел 2, 4, 6 и т. д. и осуществить всевозможное их лексикографическое разбиение на не более чем о целых четных чисел, т. е. взять [200], [400], [220], [600], [420], [222] и т. д. Затем нужно найти все внешние произведения таблицы [о)1О)2... о)а] с этими разбиениями, т. е. определить таблицы, содержащиеся в [соt<х>2... о0] [200], [аьсог... Ши] [400], [o)iO)2... oj [220] и т. д. Из полученных ответов надо взять только таблицы с разбиениеями на более чем а целых чисел (например, [400] [222] = [622] + [5221] + [4222]; при о = 3 надо взять [622] и пренебречь остальными двумя разбиениями) . Бесконечная совокупность таблиц Е = \Е^Ег... Е^ полученных при таком разложении внешних произведений, наряду с таблицей Е® = [о)1О)2... ша] (ее можно трактовать как таблицу, полученную из [о)1О)2... о)а] [0]) и будем перечислять ^ — неприводимые представления, содержащиеся в 5p(2r0, R) -неприводимом представлении (15.29). Случается, что одинаковые таблицы повторяются несколько раз, поэтому в общем случае для цепочки Sp(2r0,/?)=> ^ ^г0 необходим индекс повторения.

Симплектический базис в 31 si^ становится особенно наглядным, если представить его нумерацию в виде таблицы, имеющей вид перевернутого усеченного треугольника, разграниченного параллельными горизонтальными прямыми на области, соответствующие числам 0, 2, 4, ..., разбиения которых используются при развертывании симплектического базиса. В качестве примера рассмотрим следующую таблицу:

Она порождена 5p(2r0, R) -неприводимым представлением (15.29) с маркировкой (1 + г/4, 1/2 +г/4, г/4, ..., г/4), которой соответствует Or-неприводимое представление ш = (2 1 0... 0). В правой части таблицы указаны числа, разбиения которых характеризуют приведенные в соответствующей графе схемы Юнга, определяющие UT - неприводимые представления, развертывающие базис в ^sp-"-1^21^- Многоточие в верхнем ряду показывает, что таблица продолжается до бесконечности. Для ее составления были найдены внешние произведения [21] [0], [21] [2], [21] [4] и [21] [22]; оказалось, что Ur- не-

приводимое представление [421] повторяется в них дважды. При г0 = 3 в таблице следует пренебречь схемами [3211] и {2221], исчезающими из-за правила модификации для группы Us. Аналогично рассмотренному примеру развертывается симплектический базис, порожденный произвольным Sp(2r0, R) -неприводимым представлением (15.29).

Подводя итоги сказанному, делаем вывод, что базис в 5?(яю) маркируется базисом аХц определенного 0,-неприводимого представления о) и, кроме того, бесконечным вышеописанным набором неприводимых представлений Е и их базисами ч^У™- Эквивалентность симплектического базиса в 91^ базису унитарной схемы можно обнаружить при сравнении описанного выше правила развертывания базиса для цепочки Sр (2rQ, R) zd Ut^ с обращенным правилом приведения на цепочке UT => 0Т1 учитывая еще то обстоятельство, что группы Ur и Ur являются дополнительными в Uт т- неприводимом пространстве 9с 0 с Ео = EY + Ег + ... + Еа, вследствие чего VEJ^.. .Е<Д маркирует неприводимые представления обеих групп. В случае цепочки UT ^ От перечисляются всевозможные С7г-непри- водимые представления [EtE2... Ео^ содержащие данное 0,-непри- водимое представление (о)1О)2... (Он). Можно убедиться, что в том случае, когда UT- неприводимое представление [StE2 ...ЕаА содержится в Sp(2r0, R)-неприводимом представлении (15.29) р раз, тогда в Ur^ неприводимом пространстве 52 с базисом подгруппы Ur^ XUr входящее С7г-неприводимое представление У^Е^.. .Еа] содержит р раз Ог-неприводимое представление ((О1Ю2... соа).

Не останавливаясь на формальном доказательстве, которое нетрудно осуществить с помощью техники 5-функций, изложенной в § 9, проиллюстрируем сказанное на примере (15.30). Идентичность правил приведения на цепочках Sp (2r0, R) zd Ut^ и Ur ^ От означает, что выписанные в таблице (15.30) схемы Юнга, трактуемые как С7г-неприводимые представления, содержат Ог-неприводимое представление (210...0); это легко проверить, осуществляя приведение на цепочке Ur^Or с помощью первой формулы в (9.8) либо пользуясь выражениями, приведенными в приложении 10 в [14].

Базис цепочки (12.27), по существу, не отличается от уже рассмотренного басиза цепочки (15.28), ибо различие между обеими цепочками состоит лишь в перемене местами г0 и г. Как и раньше, группы Sp(2г, 7?)и OTq являются дополнительными группами в Sp(2ror, 7?)-неприводимом пространстве 5?^’ а ГРУППЫ UT и UT — дополнительными группами в Ur^r- неприводимом пространстве 52х 0 • Поэтому базисы, задаваемые обеими цепочками в (15.27), одинаковы.

Подводя итоги, приходим к выводу, что при надлежащем выборе индексов повторения симплектический базис в 52^ совпадает

с базисом унитарной схемы, следовательно, обе реализации гильбертова пространства идентичны. Напомним, что базис унитарной схемы был введен в [126]. Много лет спустя в [6], а позднее — в [139] использовался симплектический базис. В § 17 [143] была указана эквивалентность обоих базисов, а следствия, вытекающие из этой эквивалентности в теории ядра, были проанализированы в [148].

Реализация антисимметрического пространства. Функции Ф(ГХц), характеризуемые определенным Зп-неприводимым представлением X, используются для построения антисимметрических базисов, применяемых в квантовой теории многочастичных фермиевских систем. Обозначим антисимметрическое представление группы Зп через а = [1П] и будем изучать структуру антисимметрического пространства Slu\ представленного в виде

^(а) = ^(Л') + ^(л")4-..., (15.31)

где Л обозначает набор интегралов движения гамильтониана системы. Будем также вводить дополнительные характеристики Го антисимметрических функций и разлагать №м через прямую сумму

^(Л) = ^(лГо) + ^(лг,) + .,, (15 32) приспособленную для построения традиционных или нетрадиционных Го-моделей ядра (см. § 2).

В наиболее общем виде характеризуемые схемой Юнга X антисимметрические базисы строятся следующим образом. Берутся Зп- и Зп-неприводимые функции Ф(ГХр,|1, 2, ..., п) и Ф^'Х^ПГ, 2',... ..., п^ в которых цифры 1, 2, ..., п и 1', 2', ..., пг обозначают индексы переменных^ на которые действуют операторы групп Зп и З'п. Связывая X и X в антисимметрическое представление а с помощью коэффициентов Клебша — Гордана симметрической группы, получаем функцию

Ф(ГГ'(ХХ)а|1Г,22', ..^пп'^

= 2Ф№|1, 2, ...,тг)Ф(Г'^|Г, 2', ...,п')^Й’ (15-33)

антисимметрическую по отношению к перестановке пар индексов 1Г, 22', ..., пп. В (15.33) учтено то обстоятельство, что антисимметрическое представление а содержится лишь в таком прямом произведении XXX', в котором X' — схема Юнга, сопряженная со схемой X. Из-за одномерности представления а, базис которого обозначен через ра, значение р, в (15.33) однозначно задается значением р,.

В приложениях, которые встречаются в теории ядра, в качестве Ф(Г'Хр) выступают спиновые, изоспиновые или спин-изоспино- вые функции. Поэтому при построении антисимметрического базиса свободен лишь выбор функций, выступающих в качестве первого множителя под знаком суммы в (15.33). Дальнейший материал на- 206

стоящего пункта будет посвящен описанию антисимметрических базисов для трансляционно-инвариантных функций Ф(ГХ|х), используемых в теории ядра.

Начнем со случая, когда Ф(Г'Хц) — изоспиновые функции Ф(цДтЛГт) вида (14.6)^с^цт^Х1Т|11ТХ2тЦ2т, а в качестве Ф(ГХц) выступают функции Ф(ГХтцт), зависящие от пространственных и спиновых переменных. Детализируем их характеристики, заменяя Г на ГnJMj^ где JMj обозначают квантовые числа квадрата полного момента J^L + S и его z-проекции. Тогда из (15.33) получаем

Ф (ГАТ I pt, ^, Ц> Ф(Гл JMjTMt W а | pt, ^ ^т) =

1I гр 1—п + г’—”-1I гр 1—п + г’—”-= 2 Ф (Гл JMA^x | pt, ^) Ф (ртКМт I^Л С^а , (15.34)

1I гр 1

—п + г’—”-

1I гр 1

—п + г’—”-

где Хт =^ ЫМ,Мгде Хт =^ ЫМ,Ми введено обозначение Л =

где Хт =

^ ЫМ,М

где Хт =

^ ЫМ,М

гтпа}. Базисные функции (15.34) будем называть функция-

ми изоспиновых мультиплетов. Они реализуют антисимметрическое пространство 5?(а) в виде разложения (15.31) с указанным Л. В свою очередь, учитывая остальные характеристики функций (15.34), подпространства 2£ш можно представить в виде прямой суммы (15.32), в которой в качестве Го выступает Т. Базис в Й^^ маркируется входящим в (15.34) набором квантовых чисел Г.

Перейдем к обсуждению так называемого супермультиплетного базиса, введенного в [153, 154], в котором в качестве Ф(Г'Хц) используются спин-изоспиновые функции (14.7). Для них X обозначает схемы Юнга (8.28), ц = «(Л^АгЦг, а Г' — набор Г' = aSMBTMT. В качестве Ф(ГХц) возьмем функции (14.10), заменим в них Г через Гл£МХц, свяжем L и S в J и тогда из (15.33) получим супермультиплетный базис со следующими характеристиками:

ф(ГЛ£5Па|^,^, ^т)^

= Ф (Гл (£5) JMjTMTa (М) а | pt, ^,v ^т) =

= 3 ®(r„iW|p1) ф (№SMsTMr|UPb,)C^^

MMgp-й J

(15.35)

где Л имеет тот же смысл, что и в (15.34), и Хц однозначно задает Хц.

Пространства ^х\ реализуемые через функции (15.35), можно по-разному разбить на подпространства^^ 0\Если сначала выделить подпространства с определенным X, то Го в (15.32) будет иметь смысл X и базис в 5?(ЛХ) маркируется индексами VLSTa. В другом разложении 5?(Л) с Го = L базис в 915^ задается индек-

сами FSTXa. Пространства 58(л) с супермультиплетными характеристиками можно также представить в виде разложения с Г0 = Т либо с Го = S, и тогда базис в <Й№ задается набором квантовых чисел ГЕЗХоц а базис в 5?(AS) — набором квантовых чисел ГШа. Сравнивая разложение (15.32) с Г0 = Г для базиса изоспиновых мультиплетов с тем же разложением с Го = Т для супермультиплетного базиса и учитывая, что Хт задает Т и и, устанавливаем, что Г в (15.34) в случае супермультиплетного базиса заменяется на TLSXa.

Приступим к конкретизации супермультиплетного базиса, используя для этой цели трансляционно-инвариантные функции, описанные в п. 15.1—15.3, полагая, что г0 = 3, г — п—1, и беря в качестве группы S симметрическую группу Sn). Начнем с неприводимых базисов ортогональных групп с SO3 X Оп-1-неприводимыми характеристиками. Подставляя в (15.35) функции (15.4) вместо Ф(Гл£Жц), получаем

-. / TM,ST I /s х .„\

Ф (гоаХа I Р ° ’’ 9п-1’~

= 2 ©Г^Ир^Ь^^

ММдЦ

X Ф (y^SMgTMт | ^Р ^4) СЙ5^С§“а. (15.36)

В приложениях функции (15.36) удобно трактовать как реализацию 5?(Л) в виде разложения (15.32) с Го = о). Тогда внутри 5?(Аю) базис задается индексами TLSTaXa.

Дальнейшую конкретизацию супермультиплетных функций осуществим, используя (15.5) для г0 = 3, т — п — 1 и Sn вместо S. Тогда получаем базис

Ф 1? £ 1 _ 0 (га I,) X

\ (oatoътгуММд|Л

х ф ^XaSMsT Мт\ ^р ^C^MsMjC^, (15.37)

в котором л задается четностью Q. Функции (15.37) реализуют 5?(А) в виде разложения (15.32) с Г0 = Й, а базис в подпространствах J?(AQ) маркируется индексами TbLSTmaXa,.

Антисимметрические функции ортогональной схемы строим из (15.37), заменяя в них 0(FQ|p) на радиальные функции 0(£oQ|p), даваемые выражением (15.23) с р = 3(^—1). Для переменных

Якоби антисимметрические функции ортогональной схемы имеют вид

ABLEST(оаХаABLEST(оаХаPi? ^ор ^TjPi? ^ор ^Tj

ABLEST(оаХа

ABLEST(оаХа

Pi? ^ор ^Tj

Pi? ^ор ^Tj

3 фММду,3 фММду,EqQSLMсоаХрEqQSLMсоаХрpi) Ф p^SMsTMT | Ц, £ТД Xpi) Ф p^SMsTMT | Ц, £ТД X

3 ф

ММду,

3 ф

ММду,

EqQSLMсоаХр

EqQSLMсоаХр

pi) Ф p^SMsTMT | Ц, £ТД X

pi) Ф p^SMsTMT | Ц, £ТД X

(15.38)(15.38)S J r^XX a X ЬмМаМтЬ 7.

(15.38)

(15.38)

й а На

Функции (15.37) с Г = £о или базис (15.38) будем трактовать как реализацию разложения (15.32) с Г0 = Е0, и тогда базис в 52 ^ °^ маркируется индексами QSLSrcoaAa.

Антисимметрический базис унитарной схемы получаем, заменяя первый множитель под знаком суммы в (15.35) функцией (15.17) с г0 = 3, т — п — 1 и беря 5П вместо S. Тогда в переменных р^°\ ^, дп_! имеем функции

ФФAE^LSTPcoaXaAE^LSTPcoaXaР^ °\ #з\ Qn-Vt ^ov ^т^ —Р^ °\ #з\ Qn-Vt ^ov ^т^ —= 2 еKov°MMgy,= 2 еKov°MMgy,№к, \ p<ov°№к, \ p<ov°Р^0^ Dk0m(9s) ^“o.aXuOn-l) XР^0^ Dk0m(9s) ^“o.aXuOn-l) X

Ф

Ф

AE^LSTPcoaXa

AE^LSTPcoaXa

Р^ °\ #з\ Qn-Vt ^ov ^т^ —

Р^ °\ #з\ Qn-Vt ^ov ^т^ —

= 2 е

Kov°MMgy,

= 2 е

Kov°MMgy,

№к, \ p<ov°

№к, \ p<ov°

Р^0^ Dk0m(9s) ^“o.aXuOn-l) X

Р^0^ Dk0m(9s) ^“o.aXuOn-l) X

X ф (paSMsTMT I ^, ^ C^MjC^, (15.39)

а в переменных pt — функции

ФФAE^LSTPcoaXaAE^LSTPcoaXaPi? Cap CxjPi? Cap Cxj

Ф

Ф

AE^LSTPcoaXa

AE^LSTPcoaXa

Pi? Cap Cxj

Pi? Cap Cxj

= Js. °И Ф W™' I b„ £„) X

X ЙЦ<^. !1И0>

в которых Eo задается разбиением E и л — четностью Ео. Антисимметрический базис унитарной схемы реализует 5?(Л) в виде (15.32) с Го = £’от и базис в ^А ^маркируется индексами E^LST^toaXa. В приложениях понадобится и другая интерпретация (15.39) либо (15.40) как базиса, реализующего разложение (15.32) с Го = £', в котором Е обозначает U3 X С7п-1-неприводимое представление. Тогда в каждом подпространстве 91(ЛЕ) базис задается набором индексов 'xLST^toaXa, в котором опущена зависимая характеристика Ео.

Удобства ради, результаты по реализации пространств 91(А\ входящих в разложение (15.31) антисимметрического пространства

Stw. приведены в табл. 15.1. В первом ее столбце дается номер строки. Во втором столбце приведено обозначение пространства ^(ЛГ°)С определенным Го, входящим в (15.32). В третьем столбце перечислены квантовые числа, маркирующие базис в ^ЛГ°\ а в четвертом столбце дана ссылка на соответствующую формулу. При использовании этой таблицы следует помнить, что наличие Т и S влечет за собой присутствие Я< или Ха и, наоборот, и, кроме того, что Ех обозначает как U3l так и Uu-^неприводимые представления.

Таблица 15.1. Способы реализации разложения (15.32) и маркировка базисов в ^ЛГ°)

№

Пространство

Маркировка базиса

Базисные функции

1

Г

(15.34)

2

TLSTa

(15.35)

3

VLSKoT

(15.35)

4

ГЕТХа

(15.35)

5

Я<ЛЬ>

TSTXa

(15.35)

6

gt^

TLSTaXa

(15.36)

7

gg(AS)

T^LSTtoaXa

(15.37)

8

<Я<Л£о)

Q^LS TtoaXa.

(15.37) с Го = Ео или (15.38)

E^LST^toaXa

(15.39) или (15.40)

9

^(ЛЕ)

yLST^aXa

(15.39) или (15.40)

По общему правилу, изложенному в п. 2.2, каждая реализация пространства 91 позволяет ввести соответствующую ей традиционную либо нетрадиционную Г0-модель ядра. Этот вопрос будет коротко обсуждаться в п. 18.5.

§16. Генеалогические коэффициенты и матрица плотности

Определения и общие свойства. Генеалогическое разложение базисов позволяет осуществить рекуррентное по числу частиц построение функций, используемых в теории многочастичных квантовых систем. Специальные билинейные формы коэффициентов генеалогических разложений интерпретируются как матричные элементы матрицы плотности. Для базисных функций, обладающих неприводимыми свойствами, генеалогические коэффициенты и соответствующая им матрица плотности допускают наглядную алгебраическую трактовку, которая дает возможность найти упомянутые величины с помощью алгебраического аппарата теории групп, ею

Приступим к определению и описанию общих свойств генеалогических коэффициентов и матрицы плотности. Пусть имеем функцию Ф(пГ| 1, 2,..., п) системы п частиц, а также функции Ф(П1Г111, 2, ..., и Ф(п2Г2|п1 + 1, nt + 2, ..., п) двух ее подсистем, состоящих соответственно из гц и пг частиц (ni + n2 = n). Рассмотрим разложение

Ф(пГ|1, 2, ..., т^

= 2 ф («1ГХ11, 2, ..., nJ Ф (п2Г21 пх + 1, пг + 2, . .., и) Лг г г г’

12(16.1)

в котором коэффициенты А обеспечивают рекуррентное построение функции системы из функций обеих ее подсистем. При таком построении обычно подразумевается, что все три функции, участвующие в (16.1), устроены одинаково, т. е. Г, 1\ и Г2, по существу, обозначают одинаковые наборы их характеристик. Коэффициенты разложения (16.1) будем называть генеалогическими коэффициентами, подчеркивая тем самым рекуррентный по п способ построения функций Ф(пГ). Кроме Г, 1\ и Г2 генеалогические коэффициенты зависят от п, тц и пг, однако эта зависимость указывается не всегда в явном виде. Для генеалогического разложения функции дуального пространства имеем

Ф+ (лгГ 11, 2, . .., п)-

= 2 Ф+ («1ГХ 11,2,...,^) Ф+ (п2Г21 nx 4- 1, П1 + 2, ..., и) л? г г.

Г1Г3

(16.2)

Предполагая, что функции, участвующие в разложениях (16.1) и (16.2), ортонормированы, получаем

2 Л? г ГЛГ г г' = 6 (ГГ).(16.3)

гхг2

В тех случаях, когда разложение (16.1) обратимо, т. е. когда произведение функций Ф(^1Г1)Ф(^2Г2) можно разложить через Ф(^Г) и аналогично — для (16.2), коэффициенты генеалогического разложения удовлетворяют соотношению

<1М>

при получении которого предполагалась унитарность обратимой матрицы А. В дальнейшем увидим, что формула (16.4) применима лишь для определенного типа генеалогических коэффициентов.

Функции, зависящие от переменных с индексами 1, 2, ..., тц и Aii + 1, щ + 2, ..., тц будем соответственно называть функциями первой и второй подсистем. В типичных приложениях генеалогические разложения используются для построения матричного представления операторов, зависящих от переменных одной из подсистем. Определенности ради будем рассматривать операторы,

зависящие от переменных второй подсистемы. Обозначим их через = 52^ + 1, пЛ^ п)(16.5)

и рассмотрим матричное представление операторов (16.5) на функциях (16.1). Простые выкладки ведут к выражению

(16.6)(16.7)(16.8)(16.6)(16.7)(16.8)<пГ 152| пГ'> = 2/ ^ ,(ГГ'),р 1212 1212

(16.6)

(16.7)

(16.8)

(16.6)

(16.7)

(16.8)

И котором введены обозначения

1 р р/ = ^2^2 |^2 I ^2^2^

1 2^2 И

При выводе (16.6) использовалось свойство ортонормировки функций Ф(п1Г1).

Формула (16.8) показывает, что в матричные элементы (16.6) входят лишь билинейные формы генеалогических коэффициентов, просуммированные по квантовым числам первой подсистемы. Можно проследить аналогию между выражением (16.6) и матричным представлением операторов, записанных с помощью так называемой матрицы плотности, используемой в квантовой механике. В связи с этим в [14] было предложено матрицу, составленную из билинейных комбинаций генеалогических коэффициентов, называть матрицей плотности. Она имеет матричные индексы двух сортов — характеристики всей системы Г и Г' и характеристики второй подсистемы Г2 и Г2. По индексам обоих сортов величины Q образуют квадратные матрицы. Используя (16.3), получаем

2^г2г2(ГГ) = 6(ГГ'),(16.9)

Г2

е. компоненты матрицы плотности ортонормированы в смысле (16.9) по индексам системы.

При пг = 1 или тг2 = 2 генеалогические коэффициенты принято называть соответственно одночастичными или двухчастичными генеалогическими коэффициентами; в общем случае в (16.1) входят ^-частичные коэффициенты. Такие названия обусловлены числом индексов переменных оператора (16.5). Аналогичные названия используются и для компонент соответствующей матрицы плотности.

При анализе свойств матричного представления (16.6) оператора Ог иногда удобно использовать квадратную невырожденную матрицу В с матричными элементами В /, столбцы которой ну-

Л»Г2Г2

меруют квантовые числа Г2ГЛ матрицы плотности, и следующим 212

образом преобразовать сумму (16.6):

2/г Аг'<ГГ'> =

г р' 1212 1212

1212

= 5/У/ 'S-1, W2 8 " -Q »>"(гг')\. (16.10)

АГ2Г2 Г2Г2,ЛЛ,Г2Г2^Г2Г2

\1212/ \1212/

Тогда выражение матричного элемента (16.6) приобретает вид

(16.11)(16.11)<пГ|Д|тгГ'> = 2/л^л(ГГ'),Л

(16.11)

(16.11)

где

г2г2г2г2Г^Г^’ЛГ^Г^’Л(16.12)(16.12)

г2г2

г2г2

Г^Г^’Л

Г^Г^’Л

(16.12)

(16.12)

(16.13)(16.13)и

(16.13)

(16.13)

Ох = 5 S и т Q н ///(ГТ').нт Л,Г2Г9 ГоГог2г2 2 22 2

Формула (16.6) или (16.11) поясняет общую схему применения матрицы плотности при построении матричного представления оператора (16.5), действующего в пространстве, реализованном через функции (16.1).

Матрица плотности была определена выше как билинейная форма коэффициентов генеалогического разложения. Можно дать ей и другое, эквивалентное определение, интерпретируя (16.8) как матричные элементы операторов Q ,. Тогда

^2^2

^Г|р . |Г'\=2Л- Л ,(16Л4)

X 1Г2Г21/ Г1ГХГ2,Г'

Из (16.14) видно, что оператор Q^ матричные элементы кото- Г2Г2

рого отличаются от (16.14) транспонированием и комплексным сопряжением, связан с исходным оператором соотношением

Q^v^Vt-(1бл5>

21 21212

Для генеалогических коэффициентов, в случае которых справедлива формула (16.4), учитывая ее и (16.14) и рассматривая выражение

^Г1С гО „ ,„|Г'\ =

\ I vrar2 г2г2 I /

= 2 I Q z I Г\ I Q „ т I Г'\,(16.16)

1^Г2Г21 /\ lvr2r2lк 7

легко убеждаемся в том, что

угг^г"г- = б№;)^(16.17)

121 2 1 21 21 21 2

т. е. Q г обладает свойством проекционного оператора, выделяю- Г2Г2

щего из всевозможных состояний, участвующих в разложении Ф+(Г) и Ф(Г'), состояния с определенными значениями индексов второй подсистемы.

В настоящем пункте была изложена упрощенная схема генеалогического разложения. Генеалогические коэффициенты обычно обладают дополнительными характеристиками, обусловленными перестановочными свойствами разлагаемых функций, из-за которых не выполняются (16.4) и (16.17). С такими генеалогическими коэффициентами встретимся в последующих пунктах настоящего параграфа и в следующем параграфе.

Генеалогическое разложение и матрица плотности тензорных базисных функций. Легко убедиться в том, что генеалогическое разложение тензоров с двойным базисом дается формулой (14.4). Действительно, если с набором квантовых чисел Г, ^ и Г2 в (16.1) сопоставить a0Xv, Vt и v2 в (14.4), а с генеалогическими коэффициентами в (16.1) — коэффициенты Клебша— Гордана в формуле (14.4) в обозначениях, указанных в первом выражении в (13.5), то получаем соответствие

(16.18)

из которого видно, что формула (14.4) дает рекуррентное построение тензорных функций системы п частиц из функций подсистем тц и Нг частиц, что по определению и является генеалогическим построением. В (14.4), которое теперь интерпретируем как генеалогическое разложение, явно используются лишь С7г-неприводимые представления и их базисы. Наличие в (14.4) неприводимых характеристик Ац, Х1Ц1 и Х2ц2 симметрических групп 5П, 8П1 и S^ обусловливает дополнительные свойства этого разложения, а именно перестановочные свойства функции системы и обеих подсистем; такими свойствами не обладало общее разложение (16.1).

Сказанное позволяет сделать вывод, что при генеалогическом разложении тензоров с двойным базисом из функции подсистем, обладающих определенной перестановочной симметрией, строятся функции системы с определенной симметрией, и благодаря наличию дополнительных групп такое построение осуществляется с помощью коэффициентов Клебша — Гордана группы UT.

Простейшие примеры генеалогических разложений представляются формулой (14.6) рекуррентного построения спиновых функций и формулой (14.7) построения спин-изоспиновых функций. В первом случае генеалогическими коэффициентами являются коэффициенты Клебша—Гордана группы U2 либо SU2l а во втором случае — коэффициенты Клебша — Гордана группы Щ либо SU^. Напомним, что в последнем случае для базиса цепочки U^ U2XU2 имеет место связь между коэффициентами разложений (14.7) и (14.8), поэтому генеалогические коэффициенты спин-изоспиновых 214

функций можно связать с коэффициентами Клебша — Гордана симметрической группы (подробности см. в § 13 [14]).

Матричное представление оператора (16.5) в тензорном базисе, получаемое из (16.6) с учетом (16.18), имеет вид

/(^i4)ao^vlg I (^1^2) ао^ v \ _

\ ил 1 2 нх /,

6 (ХхХх) 6 (|AiHi) 5 (Иг^г^г I ^2 I H2^2V2> QJ ' (ao^v, oc0X'v ), (16.19) 'v2v2

V2V2

где согласно (16.8)

v-V2 / x a'Vv,) = 2 c^W C4h “<(16.20)

V2V2 x °41V1V2 V'

Из (16.20) видно, что в случае тензорных функций матричные элементы матрицы плотности получаем, суммируя по Vt произведения коэффициентов Клебша — Гордана группы Ur. Генеалогические коэффициенты тензорных базисных функций с А,2 = Х2 удовлетворяют соотношению (16.4), которое дает условие ортонормировки коэффициентов Клебша — Гордана. Следовательно, при Х2 = Х2 оператор матрицы плотности у1/2 2 является проекционным оператором в

2V2,

смысле (16.17). Равенство Х2 = Х2 имеет место, когда (16.5) является симметрическим оператором по индексам п^ + 1, п^ + 2, ..., п. Тогда матричные элементы (16.19) диагональны по Х2ц2 и не зависят от ц2, вследствие чего используется диагональное по Х2 выражение (16.20). В частности, этими свойствами обладают матричные элементы обсуждавшихся в п. 13.6 одночастичных операторов О^ (тогда w2 = l) или двухчастичных симметричных операторов О^п — 1, я) (тогда м2 = 2).

Запишем выражение (16.19) в виде (16.11), выбирая в качестве В и В-1 матрицы с матричными элементами

гэ(^2^2)Р ^2

D // т = С w «^xq(3,v2v2 qv2 v2

g—^(^^г) ^х(16.21)

v2v2,xq|3 d^ qv2 v2’

где С — коэффициенты Клебша — Гордана группы Ur. С помощью нестандартных соотношений ортонормировки (13.8) убеждаемся в том, что В-1 действительно является матрицей, обратной матрице В. Как и при выводе (16.11), для (16.19) получаем

/(^14) ao^v I Q I (^1^2) ao^ v \ _

I 62х91 И2Л <^4 (“o^v, aiVv').(16.22)I 62х91 И2Л <^4 (“o^v, aiVv').(16.22)VA 2 АА /

I 62х91 И2Л <^4 (“o^v, aiVv').

(16.22)

I 62х91 И2Л <^4 (“o^v, aiVv').

(16.22)

= 6 (^Xx) 6 (HiHx) 2 S \ 92^2xg p \

В (16.22) входят матричные элементы (16.12), приспособленные для (16.19) и (16.21), a Q^q^ определены выражением (13.16). Слагаемое в (16.22) с определенным значением zq дает матричные элементы (7г-неприводимой компоненты O^q оператора О2 на функциях второй подсистемы. Формула (16.22) представляет явную реализацию операторного ряда (13.29) в тензорных базисах.

Простой пример матрицы плотности тензорного базиса получаем из генеалогического разложения спиновых функций, в случае которых (16.20) имеет вид

C£hv,s-S’M» -

(16.23)

Легко представить (16.23) в 5?72-неприводимой форме, используя (16.21) для коэффициентов Клебша — Гордана группы SU2; тогда с помощью (13.19) можно преобразовать сумму произведений трех коэффициентов Клебша — Гордана в более удобный вид.

В качестве второго примера рассмотрим матричное представление оператора (16.5), действующего на спин-изоспиновые функции второй подсистемы. Как и в п. 14.3, будем пользоваться обозначением Г = aSMsTMT и аналогично — Г1 и Г2 для обеих подсистем. Учитывая вид генеалогического разложения (14.7), из (16.20) получаем следующее выражение компонент матрицы плотности Q спин-изоспиновых функций через факторизованные с помощью (13.4) в обозначениях (13.5) коэффициенты Клебша — Гордана группы С74 с базисом подгруппы U^ X Z/P:

ЙУ2 (аощ г;хто =

12 Г2,,

VI р ^1^2 % ^ z^ Ч Z2 а0 ^' v

X^M ч'м' <SMs,S'M^QT1 -ЛТМтЛ'МтУ (16.24) S2M2S»S2M2Sr2M2T,r2M2T

В правой части (16.24) вместо Г, Г! и Г2 приведены полные обозначения, a Q 1 и Q 1 имеют вид (16.23). Используя (16.19) для матричных элеменов оператора О2, зависящего от спин-изоспиновых переменных второй подсистемы, получаем <^2) аохг

X 2 <^№1ЙКг;)Йф^(16.25)

т2т;2 2

Аналогично (16.22) сумму в (16.25) нетрудно записать в С74-непри- водимой форме.

Генеалогическое разложение антисимметрических оболочечных функций фермиевских частиц. Коротко обсудим выражение генеалогических коэффициентов оболочки (yZl/2)n фермиевских частиц со спином 5 = 1/2 через генеалогические коэффициенты тензорных базисов. Пользуясь (15.33), представим антисимметрическую оболочечную функцию в виде

Ф ((у I1/2)” a^LMSMg | г А<Р1Ц. ..., rn»n«pn^n) =

= 2 Ф ((тО P^AfXdix^l^i^iVi, • • •, Гп^пфп) X

х ф ((1/2)" щЛЛ | Ц, ..., ^ С-0, ^ ^ (16.26)

где а указывает на антисимметричность, у и Z — характеристики одночастичных функций Ф^ЬпАг^ -Of, ф{), уже встречавшихся р п. 2.4, Ха — орбитальная схема, сопряженная со спиновой схемой Юнга Ло, и Цо = ЛюЦюЛгоЦгп. Обе функции, входящие в (16.26), являются неприводимыми тензорами с двойными базисами; первый множитель под знаком суммы в (16.26) — тензор группы C72z+i, второй множитель—-тензор группы U2. Поэтому, приспосабливая генеалогическое разложение (14.4) для функций, зависящих от переменных г^Фь ..., Гп^пфл, а также используя разложение спиновых функций (14.6), после несложных выкладок получаем

Ф ((у I l/2)n a?>LMSMs | гА^Ц, ..., rn»n^a J =

= ^L Ф ((? ^ 1/2) 1 ^iPi-^iA^i^iA^iS I ^l^i^i^i» •••

^^L^M^S^M^g

.. ^Ф^ФпА^Ф^у/Ш) a2^2L2M 2S 2М 2sVn1+11®’п1+1<Рп1+1^аП1+1, • • * А <- \ pLl L2 LS2 S

. . ., Гп^пфп^а^M2 мM2g Mg A

X <(Z 1/2)"1 pASn (Z l/2)n2PAS2] (Z1/2)" £LS>. (16.27)

В (16.27) введено обозначение

<(Z 1/2)”1 рхЗД, (Z1/2)"2 0M] (Z1/2)" £LS> =

/-Лкт ^20 ^o ri ^a ^o a (ле ло\

применявшееся в [134, 135], где впервые были изучены генеалогические коэффициенты оболочки эквивалентных фермионов. Первый множитель в правой части (16.28) — изоскалярный фактор коэффициентов Клебша — Гордана группы Z72/+i для цепочки Uu^i => SO3. Его получаем путем факторизации с помощью (13.4) в обозначе-

15 в. В. Ванагас217

ниях (13.5) входящих в (14.4) коэффициентов, в которых Хь Х2 и X заменены маркировками С72/+1-неприводимых представлений Х^, Х2а и ХО1 сопряженных с Ма, Х2а и ХО1 учтена специфика используемого базиса и отсутствие индекса повторения а0. Второй множитель — изоскалярный фактор коэффициентов Клебша — Гордана группы Sn для базиса цепочки Sn^S^4-S'п2; его выражение будет приведено в п. 18.1. Коэффициенты генеалогического разложения (16.27) не зависят от 7.

Интерпретируя в (16.27) три последних множителя как генеалогические коэффициенты Дг^г с Г = (Z 1/2)^LMSMs и аналогично— для rt и Г2, приходим к заключению, что (16.27) можно трактовать как разложение (16.1). Однако А в такой интерпретации не является квадратной матрицей, ибо из-за антисимметричности функции системы и обеих подсистем число столбцов матрицы А превышает число ее строк. Поэтому для генеалогических коэффициентов разложения (16.27) не выполняются соотношение (16.4) и формула (16.17).

Формула (16.28) иллюстрирует общую структуру генеалогических коэффициентов тензорных антисимметрических функций. Исходя из (14.4) и (15.33) нетрудно получить аналогичное генеалогическое разложение функций оболочки фермиевских частиц, обладающих спиновыми и изоспиновыми степенями свободы. Отметим также, что генеалогические коэффициенты функции оболочки (7 6 1/2)^, характеризуемой любым неприводимым представлением е произвольной группы G, например представлением [е 0 0] группы SU3l аналогичны рассмотренным коэффициентам. Различие в основном заключается лишь в выборе базисов vn v2 и v в (14.4), которые могут оказаться более сложными по сравнению с базисом ^LM в (16.28). В [29] было выяснено, что, по существу, не меняется и генеалогическое разложение функций Ф((у1е11/2) 1(у2е21/2) 2 ...) любого числа оболочек, лишь усложняются характеристики базисов vt, v2 и v. С подробностями такого разложения можно ознакомиться в указанной выше работе и цитируемой в ней литературе.

Структура матриц преобразования сложных базисов. Рассмотренные в п. 16.2 и 16.3 генеалогические коэффициенты приспособлены для рекуррентного построения тензорных функций. Кроме них в теории многочастичных фермиевских систем применяются трансляционно-инвариантные базисные функции, обсуждавшиеся в § 15. При их рекуррентном построении применяются преобразования базисов, маркируемых различными цепочками подгрупп. Поэтому изучение генеалогического разложения трансляционно-инвариантных функций, которому в основном будет посвящен следующий параграф, начнем с выяснения структуры матриц, используемых для преобразования сложных базисов.

За исключением простейших случаев группа G имеет несколько подгрупп. Поэтому, как правило, в G-неприводимом пространстве 9tw существуют базисы, маркируемые различными цепочками под-

групп, и возникает необходимость осуществить между ними преобразование. Простейшее преобразование базисов, маркируемых индексами p,i и р/, имеет вид

Фт^ЗФ^М^', (16.29)

где Л — матрица преобразования, X обозначает G-неприводимое представление, а ^ и |ii — два различных его базиса. Если р/ приведено на цепочке G=>G',api— на цепочке G=>Gi, тогда в (16.29) р' и pt меняем соответственно на уА/р' и P^pi. Еще более сложный, но зато и более содержательный случай получаем при наличии общей подгруппы G" у групп G' и Gt. Тогда имеем цепочки G^G' ^G" и G^Gi^G". В этом случае базисы р' и pt в (16.29) заменяются соответственно на ч^'ч'^" р" и рХфЛ"р", а преобразование (16.29) принимает вид

Ф(хтхух>")= s фс^х^^'^л^) Vv,. (16.30)

В последней формуле учтено, что матрица А диагональна по V'p" и не зависит от р". Из-за этого свойства V не является матричным индексом и входит в (16.30) в качестве верхнего индекса матрицы Л; эта новая черта преобразования (16.30) по сравнению с (16.29) обусловлена наличием подгруппы G" в обеих цепочках.

Сделаем еще один шаг в сторону обобщения и рассмотрим приведенную ниже в левой части схему цепочек:

(16.31)(16.31)

(16.31)

(16.31)

Теперь в группу G вложена подгруппа G'XG\ в G'— подгруппа Gj и в G"—подгруппа G2. По другой цепочке G содержит Gt, в которую, в свою очередь, в качестве подгруппы входит GxX G2. Индексы, обозначающие базисы, показаны в правой части (16.31), где вместо групп в цепочках приведены их неприводимые представления, а вместо знаков включения подгрупп в группы — индексы повторения; ХХ1ц1Х2ц2 являются нематричными индексами, ^Xi^ обозначают столбцы, а уА/у'Х" у" — строки матрицы А. Из (16.31) устанавливаем, что преобразование между базисами цепочек G zd G' X G" zd G'x X G^ и G zd Gx zd Gx X G2 имеет вид

Ф (XpA^P^p^Ug) — S Ф (ХуХ у ^р^ у ^2Ц2)

(16.32)

219

где, как и раньше, учтены диагональность по X1jll1X2|li2 и независимость матрицы преобразования от |iip,2.

Степень сложности, достигнутая в преобразовании (16.32), уже достаточна для приложений. В качестве первого примера рассмотрим следующую, несколько модифицированную по сравнению с (16.31) схему цепочек, приспособленную для унитарных групп и их ортогональных подгрупп:

(16.33)(16.33)

(16.33)

(16.33)

Обозначения неприводимых представлений и индексов повторения непосредственно видны из (16.33). Аналогично (16.31) этой схеме

цепочек соответствует матрица преобразования А ' с матричными элементами, строки которых маркируются индексами x^E^^iE^ а столбцы — индексами (JopuGh. Преобразование /7Г1+Г2-неприводимых базисов имеет следующий вид:

Ф (A’Pcdp12co1<B?v1co2v2) =

= 2 Ф^Я^РМ^^^

(16.34)(16.34)Р?Е2р2

(16.34)

(16.34)

Некоторое отличие структуры последней формулы от (16.32) обусловливается присутствием групп ОТ1 и UT1 в (16.33).

Продолжая пример, детализируем в (16.34) базисы неприводимых представлений ортогональных групп. С этой целью рассмотрим схему цепочек

(16. 35)(16. 35)

(16. 35)

(16. 35)

аналогичную (16.33), в которой симметрические группы вложены в ортогональные в смысле, описанном в п. 9.2 и подразумевается, что базисы Vi и v2 приведены на цепочках 0Г1 =^ S^x и О^-х zd St^.

А («ААЛ Заменив Vi и v2 на aAi|ii и а2Х2ц2 и используя матрицу А ’ с матричными элементами, маркируемыми с помощью схемы цепочек (16.35), осуществим следующее преобразование функции (16.34):

Ф (EpoccZaQXjii!^^) =

= 5 Ф (£'pMp12M1«?a1Z1p1w2a2Z2p2) 4^4• (16.36)

0р12(о1(о1а1(о2а2,ала

^12®1® 1 а1®2а2

Подставляя в (16.36) выражение (16.34) с детализированными базисами Vi и v2, получаем

Ф (EPcoaXa^p^jLia) =

=2 Ф (^х^а^х^хРх^х^х^х^Ч^гРг^г^г^гНг) X

И12Е1Е?рМ«1

Е2Р2<»2“2

x A^\ 0 0, (16.37)

Л^2-Е-^-Е-191^1011^'2^2^2^2*^^^^'^ о

где

Л(£Х1\)=

И12Е1Е191Ю1<Х1Е292®2®2*^®^Х^0

= 2 А^Е^Ч)6 л(юХ1Ч . (16,38) ^1201 Х12£'1£'1^1£2$2’$(0$12(01 Р12(О1(О1а1(О2а2’а^ао

Коэффициенты в (16.37) являются матричными элементами матрицы А . Последняя формула показывает, что они могут быть факторизованы, т. е. записаны в виде суммы произведения матричных элементов матриц А^ 1<0^ и Л^1^. Это свойство упрощает задачу вычисления коэффициентов преобразования (16.37), редуци7 руя ее в более простую задачу — вычисление коэффициентов преобразований (16.34) и (16.36), что, в частности, значительно уменьшает размерность соответствующих матриц. В этом отношении (13.38) аналогична формуле (13.4). При небольших rt и г2 в (16.38) возникают упрощения, которые будут рассмотрены в п. 17.1. Формула (16.38) была получена в [28].

Рекуррентное построение От -неприводимых матриц в неканонических базисах. В следующем параграфе мы еще вернемся к формуле (16.37), а теперь рассмотрим пример использования преобразования (16.36) для рекуррентного построения функций, заданных на фактор-пространствах ортогональных групп, характеризуемых правым неканоническим базисом. С этой целью возьмем

221

матричные элементы (11.15) матрицы D^ зависящие от обсуждавшихся в п. 11.3, 11.4 переменных qr = orq^ представленных в виде аг^=(аг5;^+1а7/о72-1Д^ (обозначение q* см. в п. 7.6), и рассмотрим следующее разложение Dto через сумму произведений матричных элементов, зависящих от параметров, выделенных скобками в правой части приведенного выше выражения для cTqt*

D\ о(о^Л =

V iP12toltolai^'l^'lto2a2^'2^'2

V ,p (D^CD^ V^tt>2V211

X , ' 'o ' / ' „ "" " " " " \Or _^q^~_ i)

3 cd^ v1(02v2,P со^ v1(02a2X,2M,222

l<0„ " "0 " " " " "0(a(16.39)

3 ^l^l ‘Vltt>2a2^'2^2’P12®l®lai^'l^l®2a2^'2^2 ' Т^Чг^/1

где сумма берется по всем индексам со штрихами. Учтем диагональность матричных элементов матрицы Dto (а^-^^у входящих в качестве второго множителя под знаком суммы в (16.39), по первым пяти индексам, нумерующим ее строки и столбцы, а также их независимость от о и первых четырех индексов и аналогичные свойства для матричных элементов матрицы D^Orqr.y Воспользовавшись еще преобразованием (16.36), из (16.39) получаем

•^v°,aXa0X1n1X2n2 (агЯг )

= 2 »"0(o^V^^X

о v ,3^2® 1®1®1^,1^'1®2^'2^,2^,2З^г^Х^^Х^г^’06^^

Р12ю1ю1а1

(02a2

2 f 2 D Q пл -V0 fQr^° #ri + lQri °r2о n „о I 0 0 V .312®1®1^1^2 V

Р]^!^!®! \V1V2

(D2a2

X-О”# (or-i?^-i)-D^o (or <?Л 1 ^l^1^• (16.40)

V2,a2X2n2 ' 24 2’ v^a^Uj' 1 г/ p^fi^a^jOtg.oaa,,’

Из последнего выражения видно, что структура входящих в него матричных элементов матриц D и D совпадает со структурой исходных матричных элементов матрицы D®, и в этом смысле формула (16.40) носит рекуррентный характер. Наличие же первого множителя в скобках под знаком суммы в (16.40) показывает, что при рекуррентном по числу частиц построении матричных элементов (11.15) кроме функций обеих подсистем необходимы еще и специальные матричные элементы матриц Dto, зависящие от ^r^^+i^1^-!* В [31], где была получена формула (16.40), эти матричные элементы были названы нагрузочными функциями. От- 222

метим также, что правая часть (16.40) фактически не зависит от аГ1 и Or^-i и эти дискретные параметры введены лишь для сохранения рекуррентной структуры разложения.

Формула (16.40) приспособлена для полуканонической параметризации фактор-пространства ортогональных групп. При г2 = 1 оно вырождается до канонической параметризации, вследствие чего появляются упрощения — не имеет смысла группа Or2-i, группа Sr^ становится тривиальной и отпадает необходимость в цепочке От^ч °Ч+1 и в параметрах qt* Становятся излишними индексы (o2a2X2p2vo и переменные ^-VlX.^ отсутствуют р12 и a0, а оь и ю обозначают одно и то же неприводимое представление. Ради наглядности переобозначим v^Ja^^ соответственно через v°(oaXjx и, учитывая сказанное, из (16.40) получаем

Ы) - 2 d".-5 М) л^ = (ta

= 2444 (16.41)

(oav°

Число параметров наборов qt qt-i^ qt можно найти по формулам, приведенным в п. 11.3.

Приг2 = 2в (16.40) отсутствуют «оР^г^г и нет набора переменных ^-i, ибо Ot задается лишь дискретной переменной. Кроме того, из правил приведения на цепочке Or^ Or-i 4- Ot можно установить, что Oi-неприводимое представление о)2 однозначно задается От- и От-t-неприводимыми представлениями ш и <ot: если 6) ^((О'ш" . ..),«! = («1(01 . . . ) И Л ((OtoJ = (о/ + 0)" + ...) — («1 + + «1 +...), тогда (о2=’(О) при л (ш(01) четном и (о2 = (0)т при л((0(01) нечетном. Учитывая сказанное, а также фактическую независимость (16.40) от с^-ь переобозначая затем (o^v^a^p^ соответственно через (O(ov°aX|LiX12, а q+ — через qTl из (16.40) получаем Sv°,aXXuX12 (Q^) = _5= Д“°,юша№12) ^^Йх =

(о (о а

- .22 П>--^лГч7^ DS. H- ^яУ 4"4 (1М2) сома v

Входящее в (16.42) неприводимое представление Х12 группы S2 не является независимым: Х12 = [2] при л((0(01) четном и Xt2 = [11] при л ((0(01) нечетном.

В [32] было доказано, что матричные элементы матриц преобразования базисов, входящие в (16.41) и (16.42), связаны выражением

„ V П(coco)1Л у j((oX,) j((o'X) д^Ххх)/дп /

Лй oa.aX = 2j U--, Uo ) 2j А-,- а>А==-^М^Х12.(16.43)

o'Pia

В (16.43) первый множитель под знаком суммы — матричные элементы матрицы Dto в каноническом базисе, зависящие от g^1, где go— элемент группы SOT1 задаваемый преобразованием (1.11); эти матричные элементы диагональны по Ог_2-неприводимому представлению о) и не зависят от его базиса. Матрица М осуществляет преобразование от базиса цепочки ST => ST_V => Sr-2 к базису цепочки ST => Sr_2 -4- S2l а 4^ и 4^'^ — матрицы коэффициентов разложения (16.41) соответственно для От и От_^

Запишем формулу (16.42) в другом виде, удобном для приложений. С этой целью в матричных элементах матрицы D®, входящих в первую сумму в (16.42), заменим qt на qt о7-1От_^_г и разложим Dto через сумму, произведений матриц, зависящих от Ог^а^и от_^-1. Принимая во внимание диагональность и независимость от некоторых индексов, получим

) = _S= £$,55аКрХ12=

to to X_

= 2 D«,5V («^^)D$~U (<,МЧ^ 4S»- (46.44) V °to co a

Учитывая, что qt-i^q^-vg^-^ нетрудно преобразовать (16.44) в выражение, следующее за вторым знаком равенства в (16.42).

В приложениях входящие в (16.41) параметры qt с r=n— 1 будем отождествлять с обсуждавшимся в п. 11.4 набором переменных q^ для углов $' , ..., б{, а параметры qt в (16.44) интерпретировать как набор переменных ^ Для углов 0^, . ..^v Такая трактовка приспосабливает (16.41) для вычисления матричных элементов операторов одночастичного типа, зависящих от pn-ь а (16.44) становится пригодной для операторов двухчастичного типа, зависящих от Ра- Оба типа операторов имеют вид (12.44). В первом случае, учитывая ортонормировку (11.16), как и при выводе (16.6), получаем

(vWb ] W21 v'Va'W) = 6 (М')6(й?)(16-45)

to

где использовано обозначение

& «№- 2 4£ЛЙ4-(46.46)

’a

Аналогично для операторов двухчастичного типа с помощью разложения (16.44) выводим

(v°(oaAXpi121W21 V°G)'a' X'X'^X^) =

- 6 № 6 (S') Yi^y^, (16.47)

где

q4A (аХ, а'Х') = 2 Ж^4?Йv •(16-48)

’(о а

Интегралы, входящие в (16.47) и (16.48), вычисляются для оператора (12.44) и имеют вид

*r(v°V/0) / (S0) (Л .

Ч^® Р ’ 9го> ттгу>J^,n-i-r0+s0 -

= -^^ 2 f ^ <9») В^-^ ^2 ^D^--» й0\ (16.49) О V0

Они диагональны по о) и не зависят от его базиса. В (16.49) подразумевается интегрирование по непрерывным и суммирование по дискретным переменным, а множитель (<ЛА/)1/2 обеспечивает нормировку функций (16.41) и (16.44) к единице.

Структура формул (16.45) и (16.47) совпадает со структурой (16.6), поэтому приходим к выводу, что для построения матричного представления по угловым переменным q0 операторов (12.44) на базисах, реализованных с помощью матричных элементов матриц Dto, применима техника матрицы плотности. Благодаря этой технике отпадает необходимость иметь в явном виде чрезвычайно сложные матричные элементы (11.15), ибо при использовании матрицы плотности достаточно знать лишь ее компоненты (16.46) или (16.48) и интегралы (16.49).

§17. Генеалогические коэффициенты и матрица плотности

для Uro(n-ir и Ог0(П„1)- неприводимых базисов

Генеалогические коэффициенты функций унитарной схемы. Перейдем к обсуждению генеалогического разложения неприводимых базисов унитарной и ортогональной схем. С этой целью положим r = n— 1, r^ni — 1, г2 = п2 и воспользуемся числами wt и пг1 удовлетворяющими соотношению (^t — 1) + 1 + (^2 — 1) = zz — 1. В качестве переменных разлагаемой функции выберем компоненты векторов Якоби pi, ..., p^-i, Pn^ р^+ь • • •» Рп-ь задаваемых формулой (1.10). Переменные функции обеих подсистем выберем по-иному. Для функции первой подсистемы воспользуемся компонентами векторов рь .. _,рП1-1 и входящего в (1.14) вектора относительного расстояния р° центров масс подсистем. В качестве переменных второй подсистемы возьмем компоненты векторов Якоби рп-п2+г • • * ... , pn-i, образованных по формуле (1.10) из одночастичных векторов rn~n2+i, . ..,гп. Ради упрощения обозначений в функциях унитарной схемы не будем писать Е01 однозначно задаваемого (£Л0Х^п-1)-неприводимым представлением Е. Рассмотрим генеалогическое разложение функции (15.17) в переменных Якоби. Заме-

няя ц на ao^iHAzHz и используя (16.37), функции унитарной схемы представим в виде

^ /^^ ^7ISSS SS

^(рсоаХаГц А и, р1’ ' ' РП1~Ъ РП1’ РП1+1’Рп-1/ =

\U 1 А а 4 I•

= 2 ф

V1V2X12E1E®P®Е^й^а^

/ ^1^1

^рЭДа^^

Рь ..., рП1-1, р 1 X

X Ф

/^2^2

\ "2 2 2,v2r2

n0Sn°S I V

Рп—п2+Ь • • •» Pn —1 I X

v z^ElE2Xl2E/«(^Л)

71 727 ^E^p^a^p^^

(17.1)

где C—коэффициенты Клебша— Гордана группы UT1 в которых краткости ради вместо ,хтп^т пишется у и аналогично — для Yi^iP^ и 72^2^2* Характерная особенность формулы (17.1) состоит в том, что связывание Ev и Е2 в н^Е обеспечивает не только ^-неприводимые, но и D^-i-Heприводимые свойства функции системы. Из-за симметричности pOs по отношению к перестановке индексов 1,2,..., п^ функцию, входящую в качестве первого множителя под знаком суммы в (17.1), можно записать в виде

ф ( Е^(^РЭДа^^

pL

s ^Os

• • •) Pn.-Ь p

= 5 ф

Vl?o

ед

P1<o®a1X1p.1

pL ...^^-^(eoYolp08)^^1

(17.2)

В (17.2) 0(e0Yolp0s)“" функция, зависящая от компонент лишь одного вектора р°, поэтому е0 обозначает UT- неприводимое симметрическое представление е0 — [еоО... 0], причем е0 равно разности чисел клеток схем Юнга Ev и Е^. В приведении прямого произведения £? X Cq^^i нет индекса повторения. Подставляя (17.2) в (17.1), получаем разложение функций системы через сумму произведений функций обеих подсистем, обладающих той же структурой, что и исходная функция. В полученном разложении также будет присутствовать входящая в (17.2) функция относительного движения центров масс обеих подсистем.

При п2 = п — 2, п — 1 и ^ = 1,2 в (17.1) и (17.2) появляются упрощения. Рассмотрим более часто встречающиеся в приложениях случаи ^2 = 1, 2. Когда п2 = 2, векторы р° и pn-n2+i совпадают соответственно с р$ и ра, определенными формулой (1.11). При п2 = 2 группа Un г становится группой Ut1 поэтому маркировку Е21 которая задается симметрическим разбиением, переобозначим на еа; индекс а соответствует обозначению используемых переменных второй 226

ф fE^LM^ \Р<оаХХцХ12ф fE^LM^ \Р<оаХХцХ12^LMia^aЕЁ^(та^LMia^aЕЁ^(таfE^LM[ BpioaXpfE^LM[ BpioaXpS88 \ ...Р1, . . . , рп—3» Ps XS88 \ ...Р1, . . . , рп—3» Ps X

ф fE^LM^ \Р<оаХХцХ12

ф fE^LM^ \Р<оаХХцХ12

^LMia^a

ЕЁ^(та

^LMia^a

ЕЁ^(та

fE^LM

[ BpioaXp

fE^LM

[ BpioaXp

S88 \ ...

Р1, . . . , рп—3» Ps X

S88 \ ...

Р1, . . . , рп—3» Ps X

подсистемы, в качестве которых служат компоненты вектора ра. Группа On2-i при ^ = 2 является дискретной группой, состоящей из двух элементов; в п. 16.5 уже отмечалось, что маркировка ее неприводимых представлений однозначно задается маркировками со и о)1. Входящая в (16.35) цепочка симметрических групп становится простейшей полуканонической цепочкой, поэтому нет индекса повторения а0; в Ut вложена группа 0^ а в Ot — группа S2l поэтому отсутствуют индексы повторения р2 и а2. Из-за одномерности SV неприводимых представлений Х2 отпадает потребность в ц2- Принимая во внимание эти упрощения, заменим ради наглядности Х^^^рЕ^о^а! на ХцХ12Е£ро)а, учтем отсутствие х12 и, полагая еще, что г0 = 3, из (17.2) получим

Pl» • • •» Pn—3) Pn—2) Pn—1

'_E_ 8a E Д^М.^^7 34

vLMZamaYLM EE^a£Q>aX* V * 7

В (17.3) использован базис U3 ^ SO3l вследствие чего 71 и 7? заменены на ^LM и ^LM^ а базис представления еа обозначен через 1атпа. л(я^12)

(17.4)(17.4)Входящие в (17.3) матричные элементы матрицы Л , используя (16.38), с учетом упомянутых упрощений можно представить в виде

(17.4)

(17.4)

EEPoaea,P(oaX ^ ЕЕреа,р(О(о ^дх'

Напомним, что еа однозначно задается числом клеток схем Юнга Е и Е и в обозначении матричных элементов матриц А его можно опустить. В свою очередь, Х« задается четностью ea: М2 = [2] при 8а четном и Xi2 = [ll] при 8а нечетном. При необходимости с помощью (17.2) в (17.3) можно отделить функцию, зависящую от ps.

В случае пг = 1 группа t^n2-i становится тривиальной, вследствие чего отсутствуют Е^о^о^М^ нет функции, выступающей в качестве второго множителя под знаком суммы в (17.1), базисного индекса у2 и входящего в (17.1) коэффициента Клебша — Гордана. Из-за указанных упрощений индексы повторения xt2 и а0 становятся излишними, а маркировка Et и базисный индекс yt соответственно совпадают с Е и у. Переобозначим ради наглядности еЕ^РМа^Ц! соответственно на гп-1Е р о) аХ ц. Учтем также, что р° при n2 = 1 становится вектором Якоби pn-t, положим еще г0 = 3 и, подставляя (17.2)

в (17.1), получим разложение

Рп—2»Рп—2»sрп—1sрп—12ф(^^_£₽о>аеп_12ф(^^_£₽о>аеп_1Pt, .Рп—2 XPt, .Рп—2 X

Рп—2»

Рп—2»

s

рп—1

s

рп—1

2ф(^^_

£₽о>аеп_1

2ф(^^_

£₽о>аеп_1

Pt, .Рп—2 X

Pt, .Рп—2 X

X ф (en-l^n-l^n-l | рп-1) С-^fLM ^Efoaen-ppoaV (17.5)

в котором у?, у0 и у заменены соответственно на ^LMS In-J^n-i и •\LM, Учитывая перечисленные выше упрощения, для матричных элементов матрицы Л, входящих в (17.5), из (16.38) находим следующую формулу факторизации:

(17.6)(17.6)дС.ЕХ^ л(Eto^ J--^

(17.6)

(17.6)

jE{3 0)008^^,Рй)ОсХ» Е Ре^—1’Р® соос,осХ»

В (17.5) и_ (17.6) en-i однозначно задается числами клеток схем

Юнга Е и Е.,

В [82] было показано, что участвующие в разложениях (17.3) и (17.5) матричные элементы матриц преобразования базисов связаны соотношением

л!^^!=

Е E$toaea£toaX

= у уЛ^— v

E$to aen_2,Bwax, Е рюае^!,^^А

ХЕ [Зю а1

Еп—18п—2_

ХМ^ <ЕЁЁ I pn_ln I ЕЁ'Ё>, (17.7)

в которое, кроме М^, уже использованных в (16.43), входят и матричные элементы транспозиции рп-1п в каноническом базисе U^ => Un-г, => Un_3. Их выражение приведено в [83, 90] и в § 22 [14], где можно найти вывод формулы (17.7) и ее обобщение на случай произвольного пг. В указанной литературе также обсуждаются методы вычисления генеалогических коэффициентов, приведены примеры нумерации их матриц и таблиц.

Генеалогическое разложение функций ортогональной схемы и гиперсферического базиса. Сравнение характеристик базисных функций ортогональной схемы (15.16) и гиперсферического базиса (15.5) показывает, что первые отличаются от последних лишь зависимостью от глобального радиуса р, поэтому генеалогическое разложение обоих видов функций во многих отношениях сходно. На первом этапе их генеалогического разложения детальная характеристика базиса От^т- неприводимого представления Q несущественна, поэтому допустим ,что базис Q приведен на цепочке OTqT zd G, 228

и обозначим его через 6Av. Рассмотрим схему цепочек

^ <П +г2 ) 33 ^ (л + ^)33°

иии

UreV\ + 1 )°r0 (rt + 1)

^(^-О^ot^l)33^2

которой соответствует следующая факторизация матричных элементов матрицы преобразования базиса:

j(E0AlA2) J^O^A) ^(дЛ1Л2)

ДЕ^б^^б^бЛа — ^E1qE2o,Q Дд^^^.бЛа»Ц '

Первый множитель в правой стороне (17.9) не зависит от индексов повторения и не исчезает лишь в случае 5lo + 52O=So.

Возьмем функции ортогональной схемы, записанные в виде (15.7), где Яго заменено радиальной осцилляторной функцией (15.23) с p = r0(n — 1), и согласно общей формуле генеалогического разложения (16.1), учитывая (17.9), представим их в виде разложения

^Е^ (р) РбЛаЛ^Л^ (^(п-1)) =

= „ 2 ^е^ (Pl) ^Л^ (^nj де20й2 (р2) х ^20^2^2

vyA (а / 1 \л^о^А) л(йл1л2)/ап лл\

X I 62A2v2 ^г0(п2-1)) ДЕ^Е^А^бДб^^ (17. W)

Связь между переменными, входящими в левую и правую стороны (17.10), устанавливается заменой переменных pt = р cos ф, р2 = = р8Й1ф (0^ф<л/2); набор Qr0(n-i) состоит из ф и наборов углов qr^ и Qt^-i?) обеих подсистем.

Используя явные выражения радиальных функций и приведенную выше замену переменных, входящее в (17.10) под знаком суммы произведение г0^1-мерной и г0(^2 — 1)-мерной радиальных функций разложим через г0 (и — 1)-мерную радиальную функцию с коэффициентами разложения, зависящими от ф. В [28] было показано, что такое разложение имеет вид

^EiA (pl) ^E20Q2(P2) = 2 ^E0Q (p) P (Й^Д | ф) ^Q.E^E^, (17.11)

где P — полиномы Якоби, зависящие от ж == cos ф. В [5] было най- дено явное выражение матричных элементов матрицы Д и доказано, что они с точностью до множителя совпадают с коэффи-

229

циентами Клебша — Гордана группы 8иг1 в которых допускаются не только целые и полуцелые, но и четвертичные значения угловых моментов и их проекций. Формула (17.11) сохраняет силу и в тех случаях, когда одно из r0^i и г0(^2—1) или они оба равны единице. Тогда соответствующая радиальная функция в (17.11) заменяется функцией одномерного осциллятора и упрощается выражение для полиномов Якоби (см. подробности в [32]).

Подставим в (17.10) выражение (17.11), воспользуемся свойст- вом ортогональности матрицыи сократим зависимость от

^Оо(р). После несложных выкладок получаем генеалогическое разложение гиперсферического базиса

УбЛаА^А^ (^г0(п-1)) =

= 2 Р (QQАI ф) Уб^ (^vJ ^^гв^^^(17.12)

Q1612221 1

^2^2

в котором в качестве нагрузочных функций, аналогичных нагрузочным функциям в (16.40), выступают полиномы Якоби Р.

С помощью второго соотношения в (15.6) в формуле (17.12) возвратимся к матричным элементам матрицы DQ. Воспользуемся левым их индексом, приведенным на цепочке 0Го(П-1) Or^ -j- -4- От^-v^ т. е. заменим 0 на 00t02. Примем во внимание выражение дГо(П-1) через <р, qT^ qr^na-iy Используя в качестве промежуточных индексы Q16|A1v1Q262A2v2, разложим yQ(gr(n-i)) через произведение матриц, зависящих от указанных аргументов, применим преобразование А^1^ и Учтем> аналогично выводу (15.8), дополнительную диагональность и независимость матричных элементов от некоторых индексов. Тогда получим, что

^oo1o2,6aoca1v1a2v2 (^Го^-1)) —

X^^Aa- (17.13)

Сравнение (17.12) и (17.13) позволяет сделать вывод, что полино- мы Якоби связаны с матричными элементами матрицы и . Учитывая нормирующие множители, в явном виде эта связь была установлена в [32].

Приступим к детализации генеалогического разложения функций ортогональной схемы (15.16) либо гиперсферического базиса (15.8). С этой целью конкретизируем базисы 6Av представлений Q 230

^(г^)-э 8 0ГоXОгUи^o^i+l) "^оГоX°Г1+1 и4-+^0(^-1) "^S°r0X»Г2-1^(г^)-э 8 0ГоXОгUи^o^i+l) "^оГоX°Г1+1 и4-+^0(^-1) "^S°r0X»Г2-1с помощью схемы цепочекс помощью схемы цепочек

^(г^)-

э 8 0Го

X

Ог

U

и

^o^i+l) "

^оГо

X

°Г1+1 и

4-

+

^0(^-1) "

^S°r0

X

»Г2-1

^(г^)-

э 8 0Го

X

Ог

U

и

^o^i+l) "

^оГо

X

°Г1+1 и

4-

+

^0(^-1) "

^S°r0

X

»Г2-1

с помощью схемы цепочек

с помощью схемы цепочек

в которой в качестве Gt и G2l входящих в (17.8), выступают 5'0Г()Х(0г1+1 => От^ и 80^x0^. Как и раньше, rt + r2 = r = = п — 1, rt = тц — 1 и r2 = ^2- Группы OTq и От в 0TqT- неприводимых пространствах 9lw не являются дополнительными, поэтому при генеалогическом разложении базиса ортогональной схемы либо гиперсферических функций необходимо связать SOT - неприводимые представления тпх и т2 коэффициентами Клебша — Гордана в %т и, кроме того, в отдельности обеспечить образование Ог-неприводи- мых функций системы из функций подсистем. Связывание иц и тг в хтп в (17.14) обозначено стрелкой. Продолжая (17.14) схемой цепочек (16.35), перейдем к полной маркировке базисов и тогда из (17.12) получим, что

^m^toaXa^^^ (jlr^-V

=2Р (&& Д I <Р) ^^ о(Qr п ) X

О^1^1^771 «^ i^l^i^il^i ' 0 1/

xQ161m1(o1(o1a11

Q262m2<o2a2^т^т^

X1 62т2цт <о2а2Х2и2 {^г^п^ 1)) р^р.,^ Um xQ . оаа бюсЛа/

(17.15)

Как и при выводе (16.38), учитывая структуру схемы цепочек (17.14) и ее продолжение — схему цепочек (16.35), получаем формулу факторизации коэффициентов разложения (17.15) A^MA^mWя№2)

xQjdjTnjOjOiajQ д тп (о a бмаХа о xgi6i7nig262m2,6(0^i2 р со со^со а2,аХа0’

(17.16)

в которой последний множитель под знаком суммы совпадает с аналогичным множителем в (16.38). Используя (15.8), выражение (17.15) можно представить в форме, содержащей в явном виде матричные элементы матриц £>т(д^)и D^^q^.

До сих пор изучались функции ортогональной схемы в угловых переменных, что позволило установить тесную связь их разложения с генеалогическим разложением гиперсферических функций. Рассмотрим теперь базис ортогональной схемы в декартовых переменных р®. Разумеется, вид генеалогических коэффициентов не зависит от переменных, поэтому на основе уже приведенных результатов, используя (17.9), можно писать, что

ф ( Е0Йбтр.т\<”to0VMф ( Е0Йбтр.т\<”to0VMР1> . . . ) Р^-1, рпх, р^+1,Р1> . . . ) Р^-1, рпх, р^+1,~0S~0S=2 фxEloQ161m1<o1o)®a1•^20^ 2^ 2^2® 2^2^т^т^=2 фxEloQ161m1<o1o)®a1•^20^ 2^ 2^2® 2^2^т^т^to^a^^to^a^^Pi,Pi,• 1 Pn.-1) p• 1 Pn.-1) p

ф ( Е0Йбтр.т

\<”to0VM

ф ( Е0Йбтр.т

\<”to0VM

Р1> . . . ) Р^-1, рпх, р^+1,

Р1> . . . ) Р^-1, рпх, р^+1,

~0S

~0S

=2 ф

xEloQ161m1<o1o)®a1•^20^ 2^ 2^2® 2^2^т^т^

=2 ф

xEloQ161m1<o1o)®a1•^20^ 2^ 2^2® 2^2^т^т^

to^a^^

to^a^^

Pi,

Pi,

• 1 Pn.-1) p

• 1 Pn.-1) p

ХФХФ,ml m2 Km A^A),,,ml m2 Km A^A),,I S20fi2^2m2^m2 I 08 ^<o2a2b2H2 I pn-n2+1’

ХФ

ХФ

,ml m2 Km A^A),,

,ml m2 Km A^A),,

x^44. (1717)

хй^тр^й^а^бзтзСОза^боа^ао

В эту формулу входят те же наборы переменных, что и в (17.1), а последний множитель под знаком суммы имеет вид (17.16). Преобразуя входящую в (17.17) под знаком суммы первую функцию применительно к базису цепочек СЛ-^ =) Ut^^^xUt^ Ur^-i) zd ^ Ог^П1-1^SOr^xOn^-t, UTq^ Or^SO^xOx и осуществляя генеа

логическое разложение, выделяем зависимость от рОв в виде

2 ф| х0Е®О®б5т? e0Q0to0m0 0 ^m^ni!

(£®ой«6>«И®т\/ %^тв 0А

Pi, •P^-i Ф|Р 1 X

о®а1Х1р1у\шо/

ХСТ"V^^A). (17.18)

Нт1^пг() М-т1 -^Ю©’^ xoQi61m1Qomo,61®1

^дб^^

<o1to®a1X1Hi

прил((о1о)?) четном и шо = (О)¥ при л^со?) нечетном, где л (сом?) определяется с помощью выражения, аналогичного л(ои01) для (16.42). Входящее в (17.18) Ог-неприводимое представление Qo связано с SOT-^ Ot-неприводимыми представлениями mQ и ш0 правилами приведения на цепочке Ot^tdSOTqXOv Для г0 = 3 формула факторизации (17.16) и разложение (17.17) были получены в [28].

При ^2 = ^ — 2, п — 1 и ^2 = 1,2 в (17.17) и (17.18) имеют место упрощения. Рассмотрим два последних случая. Пусть п2 = 2, и, кроме того, положим, что г0 = 3. Тогда вместо т\х»т1 тх\Цпх и ^2Рт2 пользуемся обозначениями LM, LM и Ijna. Учитывая еще, что р° = ps и pn-n2+i = р«» а также то обстоятельство, что в рассматриваемом случае отпадает необходимость в индексах повторения ха062а2 и базисном индексе ц2? и ради наглядности переобозначая /^о^б^со^Х!^ соответственно на SoQdcocoaXp, и E^o^a^ на евйай)А12, из (17.17) получаем

8SSSPit • • •? Рп—3» Pn—2i Pn —18SSSPit • • •? Рп—3» Pn—2i Pn —1/E^LM Ф 0 = =

8SSS

Pit • • •? Рп—3» Pn—2i Pn —1

8SSS

Pit • • •? Рп—3» Pn—2i Pn —1

ss s ।/ еа^а^атаPit . . ., Рл-з? Ps Ф I а /\°аЛ12ss s ।/ еа^а^атаPit . . ., Рл-з? Ps Ф I а /\°аЛ12Pa XPa X\(оаХХрХ12

ss s ।/ еа^а^ата

Pit . . ., Рл-з? Ps Ф I а /\°аЛ12

ss s ।/ еа^а^ата

Pit . . ., Рл-з? Ps Ф I а /\°аЛ12

Pa X

Pa X

2 Ф -====E0Q6Ltotoa \W<oaX(lea^a^atoa

MmQ

(17.19)(17.19)xv ^^ I a ^ ^(^О^^а) ^(^^хз)-MmaM E08a,Q Q6L ocija^a^aoa»^wa^

(17.19)

(17.19)

При необходимости с помощью (17.18) в (17.19) можно отделить функцию, зависящую от pt Входящие в (17.19) и (17.3) функции Ф(ра) одинаковы, а взаимосвязь Qa, lai <oa в (17.19) аналогична связи между Qo, <oo и тп0 в (17.18).

Для вывода генеалогического разложения в случае п2 = 1 подставим в (17.17) выражения (17.16) и (17.18) и учтем, что при п2 = 1 отсутствует функция, выступающая в качестве второго множителя под знаком суммы в (17.17). Из-за упрощений, связанных с этим обстоятельством, в правой части (17.16) остается лишь второй множитель, который в сочетании с генеалогическими коэффициентами разложения (17.18) дает выражение (17.16) для ^2 = 1. В итоге в случае г0 = 3 после учета всех упрощении и переобозначений получаем

еП — A-ГП- l^U — 1Мтп — 1еП — A-ГП- l^U — 1Мтп — 1v рУп—1 ^ 4(^0^71—1)4(51?^)/47 ПЛ\v рУп—1 ^ 4(^0^71—1)4(51?^)/47 ПЛ\16 в В Ванагас16 в В Ванагас233233

еП — A-ГП- l^U — 1

Мтп — 1

еП — A-ГП- l^U — 1

Мтп — 1

v рУп—1 ^ 4(^0^71—1)4(51?^)/47 ПЛ\

v рУп—1 ^ 4(^0^71—1)4(51?^)/47 ПЛ\

16 в В Ванагас

16 в В Ванагас

233

233

Входящие в (17.19) и (17.20) в качестве последнего множителя генеалогические коэффициенты можно представить с помощью (17.16) в факторизованном виде. Используя разложения (17.19) и (17.20), необходимо помнить, что в случае (17.19) операторы группы Оп_2 действуют на переменные pt с t = 1, 2, ..., п — 3, s, а в случае (17.20) —на переменные р® с t = 1, 2, ..., п — 2.

Матричное представление операторов в U3(n_ir и O3(n_t)-неприводимых базисах. Используя генеалогические разложения, рассмотренные в двух предыдущих пунктах, и формулу (16.8), получим выражения компонент матрицы плотности для U3(n-ir и О3(п-1)-неприводимых базисов и с их помощью найдем матричное представление операторов одначастичного или двухчастичного типов. Пусть имеем произвольные операторы вида (1.19), которые удобства ради обозначим через ^(Pf) с t = n — 1 или t = a. Тогда, используя (17.3) либо (17.5), получаем следующее их матричное представление на базисных функциях унитарной схемы:

/ E^LMI । E'VL'M' \ =

I 2 । pVa'A'X'Xx;/

= 6 (^Xj 6 ((Л!^) S ^

г010т0 eo‘omo’Eo,omo

X<2Wo ,, , ^LMBtoaX, E't'UMW^'V (17.21) =AVo'omo

В (17.21) под г^тй следует понимать gn-^n-^n-i в случае W2 (pn-i) и га1ата— в случае И^2(ра); I — интегралы, выражение которых

(17.21)(17.21)(17.22)(17.22)будет приведено ниже.

(17.21)

(17.21)

(17.22)

(17.22)

Используя общее определение (16.8), для входящих в компонент матрицы плотности получаем

г г г (EyLM^a^ E'^rLrM'^'to'o-'K'^ =

Еогото*ео1ото_

= X Qe - - , (E^LM, Е’уЕ'МЛх

у у S^-L л(е'х)

р Си ОСи

в случае операторов одночастичного типа (тогда в (17.21) At = X, Pi = ц и отсутствует Хо, Хо) либо

pU12k12, , , ^LM?>toaX, E^'UM'Vto'a'X^ = e0^0W0’e0Z0W0

Е ео1ото,ео1ото

(17.23)(17.23)X _ X _ Л&slА^Е5Х21\

(17.23)

(17.23)

Ёрйа £^₽соаео,рсоаХ. ддрйае'.р'со'а'V

для операторов двухчастичного типа (тогда в (17.21) Хх = X, р, = pfl Ч ~ ^12» ^о — ^12)- В (17.22) и (17.23) введено обозначение

)Е , , , (E^LM. E'VL'M^ = е010тА10т0

J^mw^-X?' е;„л <17-24>

^LM00 ?LM Z0m07'L'M'

аналогичное (16.20).

Интегралы I имеют вид

^„т^е^Х = W»mti I ^ 18oZo™o> =

^ Ш ^ (р0 ^ (8<л™о 1 р0 ^2 (Ю ч^ (е^; । Ра,: (17.25) где t = п — 1 либо t = а. Они вычисляются на функциях трехмерного изотропного гармонического осциллятора ^^oIpD^^P^ =.

=2 aA^RX'WYiome^^t\ (17-26)

\ ' , , , „ 8о еоЕо / \е0-^0^0+2,..*1

где рАф< — сферические переменные для компонент векторов рп-! либо ра, а т^— масштабный параметр, входящий в (15.23). Заменим р* на сферические переменные и рассмотрим оператор Ж2(р/), представляемый в виде ^(pO^tPtMX'Pt).

Тогда, используя (17.26) и (15.23) с р = 3, для (17.25) получаем выражение

Еогото-ео'отоЕогото-ео'отоf^, <10пг01 W'a | l'om'o>t6161f^, <10пг01 W'a | l'om'o>t6161

Еогото-ео'ото

Еогото-ео'ото

f^, <10пг01 W'a | l'om'o>t

6161

f^, <10пг01 W'a | l'om'o>t

6161

(17.27)

в котором последний множитель под знаком суммы обозначает матричный элемент оператора W2 С^ф/) на сферических функциях, а

1Т^гЕ1е11Т^гЕ1е1/гс. + зчгСе^з/г),,

1Т^г

Е1е1

1Т^г

Е1е1

7".3 Pt dpt ЯЕ;е1 (Pt) w2 (р() R 'g (Pi),

г4(81 + 8+3) о11

(17.28)

— интегралы, вычисленные на безузловых радиальных функциях

16*16*235

16*

16*

(15.25) с р = 3. Нормировка в. (17.28) выбрана так, что при W4 = 1 интеграл I равен единице.

Сумма по Е в (17.22) и (17.23) имеет_следующий смысл. При заданных Е ^\Е^ЕгЕ^ и £*'= [S^^s] в Ех^3^ Е и Ех^-^Е' перечисляются все возможные 80 = [е0 0 0] и ео = [еоОО] и затем для заданной пары 80, е0 — все возможные Е = VEiE^EsY по которым и осуществляется суммирование в (17.22) и (17.23). Принимая во внимание, что, кроме С73-неприводимых представлений, Е и Е' обозначают также и Un-t-неприводимые представления, а Е — С7п_2-неприводимые представления, легко заметить, что при п — 1 = 2 и п — 1 = 3 учитываются следующие особенности: в первом^ случае допустимы лишь маркировки с_ Е3 = Е3 = 0 и Е^ = = Es = 0, во втором случае — маркировки с Е3 = 0.

Приведем выражения матричных элементов операторов ^(рг) на базисе ортогональной схемы. Как и при выводе (17.21), используя генеалогические разложения (17.18) и (17.20), а также записывая с помощью (17.9) формулы в более простых обозначениях и опуская зависимые характеристики Qn_t, Zn-b Qa, o)a, получаем Ze^LM .^ . E^b'UM' \

= 6 (А,!^) 6 (hiHi) 5 1^ tol(|mo Eo omo,eozomo

(Ч1бто

XCWo , , (E Q^LMmaX, ^b'L'M'&'a'K),(17.29)

e0^0W0’e0 ;omo

где / — интеграл (17.27), а

0х , , , (ЕДбЕМтаХ, ЁД'^'Е’M'to'a'X'') =

= W , -(ъм, им') 2 ^__ xL zo™o’ZomoE0&6toa Eo^ Ltoa%4^wa,x

XA^EL , ,(17.30)

Е^дЬюаео^о.О'б'со'а'Х'

в случае операторов одночастичного типа — тогда в (17.29) t = = п — 1, Xt = X, pt = ц, отсутствуют Хо, ^о и

(2^12 z z z fE ^LMtoaX, Е'Д'Ь'им'й'а'Х') =

60l0m0'£0l0m0=

= 2 ^' ' (LAI, L’M’) S ^ ^L^SSe l QdoaX^

L lomo’lomoEQQd оoo

o)(oa

ХЛ1 - r I(17.31)

^ЙбГйюаед/о.Я'б'ш'а'Х'

в случае операторов двухчастичного типа — тогда в (17.29) 1 = ^ ^ = 1, р,х = fl, Хо = Х12 и Х^ = Х^. В (17.30) и ^17.31) ^—величина (16.23) для группы SO3. Суммирование по Ео в двух последних выражениях фактически отсутствует, ибо Ео= Ео — е0 — Ео — е0.

Осталось рассмотреть матричное представление операторов VK2(p^) на базисе гиперсферических функций. Эти функции зависят лишь от набора углов g^n-o, поэтому матричные элементы оператора W^ (рО аналогично (2.17) зависят от глобального радиуса р. В [84] было доказано, что эти матричные элементы можно получить из (17.29). Для этой цели необходимо в (17.29) положить Е0 = й и Eq = Q\ подставить выражение (17.27) для радиальных интегралов и в полученной формуле заменить I ^/ интегралами

X J dx' (ж) (1 - ж)2 (Е° ^А, ( /ж р) (1 - ж)2 ^° £1^2 81 (17.32) о

с ат (х) = (1 — х) * х ах и щ + пг^п. Как для оператора И^2(ра), так и для оператора ^(pn-i) используются значения п^п— 1 и n2 = l. В (17.32) W2 ( Vх р) — оператор И^ (pf), в котором радиальная переменная р, заменена на Vrrp, где р — глобальный радиус.

Приведенные в настоящем пункте формулы приспособлены для матричного представления операторов одночастичного или двухчастичного типов. Подставляя (17.2) в (17.1) либо (17.18) в (17.17), можно отделить функцию, зависящую от переменных pOs, и тогда полученное разложение позволяет усреднить оператор W(pOs). Такие операторы встречаются при изучении кластерных структур. В частности, используя результаты работы [84], можно приспособить описанный выше способ вычисления матричных элементов оператора W(pOs) на базисе гиперсферических функций. Тогда применяются интегралы (17.32) с соответствующими значениями П1 И Пг.

173-неприводимые матричные ряды. Получить ?73-неприводи- мое разложение оператора И^2(р®) в координатном представлении сложно, ибо для этого требуется задать И^р^) в явном виде, затем, используя (10.22) для р/, представить W2(p#) через операторы рождения и уничтожения и, учитывая неприводимые характеристики этих операторов, описанные в п. 10.5, осуществить сортировку слагаемых по их ^-неприводимым свойствам. Намного проще по-

строить [73-неприводимые матричные ряды, технику развертывания которых дает формула (13.26). Применим ее для базиса унитарной схемы, содержащего [73-неприводимые представления Е.

Матричное представление оператора W2 (р®) в [73-неприводимом базисе дается интегралами (17.25). Образуем их С73-неприводимые линейные комбинации вида (16.12) с помощью следующих коэффициентов Клебша — Гордана группы С73:

(17.33)(17.33)BVoeo) , , = с х ,6°, е°xvoL°Mo,Zomoigmg V°L°M° Zgm0 lomo

(17.33)

(17.33)

Матричные элементы обратной матрицы определены аналогично второму выражению в (16.21). В (17.33) краткости ради введено обозначение х = [е0 — к, 0, — (е^ — /с)] и использовано правило приведения (9.16), приспособленное для хХ^о"^^1

(16.10)(16.10)Коэффициенты (17.33) будем трактовать как матричные эле

(16.10)

(16.10)

менты матрицы Вх 0 0/, входящие в (16.13). Тогда согласно из (17.21) получаем

/ E^LM ।। Е'ч'Е'М' \

ХР^МЛЧ 1 2 1 у^а'Х'х'^Х/

2 27 ' о о ./W"» о о .2 27 ' о о ./W"» о о .(17.34)(17.34)

2 27 ' о о ./W"» о о .

2 27 ' о о ./W"» о о .

(17.34)

(17.34)

где

(17.35)(17.35)(17.36)(17.36),= У ZHTc v- ®° ®°

(17.35)

(17.35)

(17.36)

(17.36)

eoeoxV«LOMo^

'omO

и

^I^Xq _ V nWoXO , ,^ X ^ eo

EqEqXV0L°M° lomo e0Z0W0’£0l0m0 V L°M i-QmQ^Qmo

Zomo

Интегралы (17.35) были введены в [27], а коэффициенты Клебша — Гордана группы SU3l входящие в (17.35), изучены в [96]. Выражение в скобках в (17.34) дает С73-неприводимое слагаемое ^72v°l0m° оператора W2, поэтому (17.34) реализует неприводимый ряд (13.29) в базисе унитарной схемы. Осуществляя с помощью (13.4) факторизацию коэффициентов Клебша — Гордана группы U3l можно выразить С73-неприводимые интегралы (17.35) через SO3- неприводимые интегралы, определяемые формулой, аналогичной (2.18). Используя (13.16) в качестве формулы суммирования коэффициентов Клебша — Гордана группы U3l легко убедиться в том, что выражение С73-неприводимых компонент матрицы плотности 238

(17.36) можно получить, подставляя в (17.22) или (17.23) вместо

ОЕ г г г величину

Е Ро Е' хЕ Ро Е' хСлСЛЛ у JY1.

Е Ро Е' х

Е Ро Е' х

(17.37)(17.37)п X Е* ^ Е V°L0M° W^'^ЕМ,

(17.37)

(17.37)

в которой нуль в левом нижнем углу в квадратных скобках обозначает С73-скалярное представление [0]. При х = [0] формула (17.37) упрощается и принимает вид (13.17). Тогда, учитывая (13.10), получаем, что Уз-скалярное слагаемое в (17.34) диагонально по E^LM, не зависит от ^LM и имеет вид

/ £\ Р<оаХХ1р.1Хо/ £\ Р<оаХХ1р.1Хожг[0]жг[0]

/ £

\ Р<оаХХ1р.1Хо

/ £

\ Р<оаХХ1р.1Хо

жг[0]

жг[0]

У 4^1?)л^^EE^toa°°У 4^1?)л^^EE^toa°°(17.39)(17.39)

У 4^1?)л^^

EE^toa°°

У 4^1?)л^^

EE^toa°°

(17.39)

(17.39)

- б(А,1Х1)б(ц1(л1)2 f 2 dE2 ^г1/^^

8П0Xi™ ои и ои и

0X00/ \ZqWq

- 6 (V1) 6 (м-1) 2 ЛЛ1.1<Й- (17-38)

8о

Выражение в первых скобках в (17.38) дает [73-скалярные интегралы Аоео[о]« Из (17.22) или (17.23) убеждаемся, что сумму по Z^o в (17.38) можно найти с помощью первой формулы в (13.8), поэтому из (17.23) для С73-скалярных компонент двухчастичной матрицы плотности получаем

хх12х12

ооVeoeo[o]

о

о

Из (17.22) вытекает аналогичное выражение компонент С73-скаляр- ной одночастичной матрицы плотности.

С73-неприводимое разложение компонент матрицы плотности для операторов одночастичного и двухчастичного типов впервые использовалось в [60] (см. также § 23, 24 [14]). Известны явные выражения величин (17.24) и (17.37), приспособленные как для численных расчетов, так и для полиномиального развертывания (см. [ИЗ] и цитируемую там литературу).

§ 18. Матричное представление операторов в антисимметрических пространствах и неприводимые операторные ряды

Выражения матричных элементов в супермультиплетном базисе. До сих пор обсуждались генеалогические разложения и построение матричного представления операторов в базисах, характеризуемых определенными схемами Юнга. Исходя из общего вида антисимметрического базиса в настоящем пункте изложим и проиллюстрируем на примерах универсальную технику построения матричного представления операторов в антисимметричных пространствах. _

Начнем с общих формул. Возьмем оператор O2 = O2(^i + f, п^ + 1; ....п, п'\ зависящий от переменных второй подсистемы, и, пользуясь техникой генеалогического разложения, изложенной в § 17, найдем его матричное представление на антисимметрических функциях (15.33). Уже отмечалось, что в типичных применениях антисимметрического базиса в качестве Ф(Г'Х|1) в (15.33) берутся спиновые, изоспиновые либо спин-изоспиновые функции. Поэтому допустим, что Ф(Г'Х|1) — тензорные функции с двойным базисом, генеалогическое разложение которых имеет вид (14.4); в этом разложении вместо v, vt, v2 будем пользоваться Г, Гь Г2 и ХаоМрДгЦг заменим на ХаоХ^ДгЦз.

Осуществим разложение функций Ф(ГХц). С этой целью возьмем ц, приведенный на цепочке Sn ^>$П1 4- S^ т. е. заменим ц на а0Х1|1Д2|12. Тогда из (16.1), принимая во внимание специфику базиса разлагаемых функций, имеем

Ф (ГХа0А,1|ы1Х2|1211, 2, ..., п) =

= 2 Ф (ГЛ^ 11, ..., nJ Ф (Г2Х2|121 п, + 1, ..., п) А^гы.- (18.1)

Г1Г2

Используя (14.4), (18.1) и учитывая (15.33) ^получаем следующее выражение матричного элемента оператора О? в антисимметрическом базисе:

<ГГ № a I d21 Г'Т' (А/Г) а> =

= 2 <r2T2(x2X)ajd2|r;r;(x;x^^

г2Т2х2г2г^2,12г2ч

г2 Г2^2

(18.2)

В (18.2) в качестве первого множителя под знаком суммы входят матричные элементы оператора О2 на антисимметрических функциях второй подсистемы, а компоненты матрицы плотности даются 240

выражением

Q ~, (ГГХа, ГТЧ'а) =

Wa,r2r2x2v ’',

= 2 с^ЛЧ ^«М)^1’^

(18.3)(18.3)^«w2 2

(18.3)

(18.3)

^ Г^Гка, Г^.Г'к'ад"

Величина Q 1 2 2 определена в (16.20), а с(Ха0Х1Х2, Л/а^Л^) обозначает следующее произведение изоскалярных множителей коэффициентов Клебша— Гордана для базиса цепочки Sn Sn± 4~Sna;

q кa г v ,^/ / °

а0ЧХ2 ^х^г aia2 а0^Х2 ^о^ 1^2 01 ° 2

— / (Хо^Х^)— / (Хо^Х^)(18.4)(18.4)4^ /(^хзд .212?

— / (Хо^Х^)

— / (Хо^Х^)

(18.4)

(18.4)

Ч )\ Ч' /

в которых а0 коррелируется с а0 и ао с а^. В (18.4) первые два множителя в правой стороне дают левый, а остальные два множителя— правый изоскалярный фактор в (18.4); /—фазы, равные ±1, выражения которых для базисов цепочек Sn ^ Sn-L 4- St и Sn^ ^ ^„-2 4- S2 получены в [30].

В качестве примера применим общую формулу (18.3) для функций, когда 1, ..., п в (15.33) обозначают индексы одночастичных векторов гъ ..., г„, компоненты которых входят в выражение переменных Якоби pi, . .., pLr Конкретизируя Г, заменим его набором индексов лГ£А7, а генеалогическое разложение (18.1) для функций, зависящих от переменных Якоби, представим в виде

^Г1Л1£1Л/i^!^! | р1т . . . , рП1-17 Р° X^Г1Л1£1Л/i^!^! | р1т . . . , рП1-17 Р° XФ Гл LMХа0Х1р1Х2р21 Р1Т ... т Р^—1, pnp рп1+17 • • • 7 Рп—1

^Г1Л1£1Л/i^!^! | р1т . . . , рП1-17 Р° X

^Г1Л1£1Л/i^!^! | р1т . . . , рП1-17 Р° X

= 5 фГ1л1Ь1М1Г2Я21'2М2

X Ф (Г^tJL2Mг^Рг I Pn-n2+i7 • • • 7 Pn-i) С^ м^м А^^^у^^ '(18.5)

и далее, аналогично (17.2), запишем разложение

Ф ^Г^д^^Л/ 1Х1ц11 р1т ..., рП1~17 р° =

=2 ф (r^-L-J/ZX^, I pL ..., р- а ф (уоло/отпо I pos) X

Vo^^o

XC^'M^o-o • (18.6)

^1^0 М1 Г1Я1^1^0Я0^0,Г1Л1

Вспомним, что при пг = 2 р° = ps и Pn-n2+i = Ра — в этом случае пользуемся формулой (18.5), а при n2 = l р° = pn-i — тогда применяем (18.5) и (18.6). Определенности ради в дальнейшем будем рассматривать случай п2>1. Используя (18.5) и (18.3) для матричных элементов оператора О2, зависящего от Рп-п2+ь • Pn-i и переменных тензорного базиса, обозначаемых индексами (п — ти + + 1)', ..., п\ получаем

<ГлЛМГ № а | О21 Г'л'Е'М'Т' (Х'Г) а> =

= 5j ~ ^ГдЛд-^-^гГг (^г^) ®2 | ^2 | ^Лг^Л/г^г (^г^г) ®2^ X Г2Л2Ь2М2Г2Х2

Г2Л2Ь2М2 Г2Х2

»z , , ,_,v. (18.7)

Г2Л2Ь2М2Г2Х2,Г2Л2Ь2М2Г2 2

В (18.7) введено обозначение

Q/ z z z_z z (ГлГ/МГХа, Г'пТМТТа) =

^^й^12"^2^ 2^2’^ 2'^2^'2^ 2 -^g^

= 2 ^ЦЦи^Жу^

Wo2 2

х Q444. . .(18Г8)

Vr2n2L2M2,r2n2L2M2’ Х ' в которое кроме величин, использованных в (18.3), входят следующие компоненты орбитальной матрицы плотности:

Q4^, , , , (ГлХа0ДМ", Гл'Га'Л'М') =

хг2п4ь2м4,г2л2ь4м2 v о го /

1-4^ А Д’ Д ДЛ.

х /£'Х1Ч , ,(18.9)

Г1л1Ь1Г2л2Ь2,Г'л'1'а04'

В (18.9) QL1 имеет тот же смысл, что и в (17.30).

Когда в качестве тензорного базиса берутся спин-изоспиновые функции, индексы (п —п2 + 1)', ..., п' обозначают спин-изоспино- вые переменные ^л_„2+1^л_П2+1, ..., ^пСтл, а ^’^^в(18.8) задается выражением (16.24), в котором содержатся Е74-неприводимые характеристики %, ^ и Х2 и их базисные индексы Г, Г\ и Г2. Поэтому, если взять в (16.21) в качестве матричных элементов матрицы ^^коэффициенты Клебша — Гордана группы U^ для приведения х2 X Х2 -> р2Х2 и почти дословно повторить рассуждения, имевшие место при выводе (16.22) либо (17.34), можно преобразовать сумму в (18.7) в форму, содержащую ^-неприводимые слагаемые.

Учитывая, что супермультиплетный базис зависит от S и Г, и меняя Г на aSMBTMT и аналогично — для 1\ и Г2, выражение (18.7) легко приспособить к случаю, когда моменты L и S связаны в У, а моменты L2 и S2 второй подсистемы связаны в У2. Простые выкладки с применением формулы (П.7.6) [99] суммирования коэффициентов Клебша— Гордана ведут к следующему выражению: <Гл (LS) JMjTMtO. № а | О21 Г'л' ^L'S') J'MjT'M'Ta (X'T) а> =

2 ^Гг^г ^L2§ J^M^jT^M^t^i (^2^2) ®2|*

Г2” ’^2

г2..х2

•О2 | Г2л2 (^г^г)*^^M^jT^M^t^^ (^2^2) ^2^ X

Т ^\.^L^S^J ^1 ^jT ^М^т^^-^^ ^-^L^S ^J ^M^jT ^М^рСЬ^Х^

(18.10)

где сумма берется по всем индексам матричных элементов оператора О2 на функциях второй подсистемы, за исключением а2. Матрица плотности Q' в (18.10) дается формулой (18.8), если в ней используется выражение (16.24) для QK1’X^ и произведение QS1QL заменено на

Q?^ т /м' = 5 (2Л + 1) ((2/2 + 1) (25 + 1) (2L + 1) X

(S L J(S L JX (2X + 1) (25' + 1) (2Г + 1))1/2X (2X + 1) (25' + 1) (2Г + 1))1/2S2S2^24^244444'S' U J*' 52 ^2 ^2 S, Lx J,'S' U J*' 52 ^2 ^2 S, Lx J,XX

(S L J

(S L J

X (2X + 1) (25' + 1) (2Г + 1))1/2

X (2X + 1) (25' + 1) (2Г + 1))1/2

S2

S2

^2

4

^2

4

4

4

4

4

'S' U J*' 52 ^2 ^2 S, Lx J,

'S' U J*' 52 ^2 ^2 S, Lx J,

X

X

(18.11)(18.11)Jt J2 J Jx J2 J-

(18.11)

(18.11)

ZNT Мл T M T*

2J J MuM2jMj

В (18.11) величины в фигурных скобках — стандартные 9;-символы теории углового момента.

Пусть, в частности, матричный элемент оператора О2 диагоналей по hM2J и не зависит от M2J. Тогда в (18.10) можно осуществить суммирование по M2J. Используя свойство ортонормировки коэффициентов Клебша — Гордана, а также формулу суммирования произведения двух 9/-символов (см. (28.1) в [99]), получаем

2 Q&.JAJ = (- 1)S^S2-L+L' (2J2 + 1) X M2J2 Q&.JAJ = (- 1)S^S2-L+L' (2J2 + 1) X M2JX ((25 4-1) ^L + 1) (25'+ 1) (2L' + 1))1/2X ((25 4-1) ^L + 1) (25'+ 1) (2L' + 1))1/2р;чр;чВходящий в правую сторону (18.12) последнийВходящий в правую сторону (18.12) последнийS' Ч чS' Ч чЧ ^15Х J . (18.12) и LЧ ^15Х J . (18.12) и Lмножитель называмножитель называется 12/-символом второго рода; он определен согласно (19.3) из [99].ется 12/-символом второго рода; он определен согласно (19.3) из [99].

2 Q&.JAJ = (- 1)S^S2-L+L' (2J2 + 1) X M2J

2 Q&.JAJ = (- 1)S^S2-L+L' (2J2 + 1) X M2J

X ((25 4-1) ^L + 1) (25'+ 1) (2L' + 1))1/2

X ((25 4-1) ^L + 1) (25'+ 1) (2L' + 1))1/2

р;

ч

р;

ч

Входящий в правую сторону (18.12) последний

Входящий в правую сторону (18.12) последний

S' Ч ч

S' Ч ч

Ч ^1

5Х J . (18.12) и L

Ч ^1

5Х J . (18.12) и L

множитель называ

множитель называ

ется 12/-символом второго рода; он определен согласно (19.3) из [99].

ется 12/-символом второго рода; он определен согласно (19.3) из [99].

Приведенные в настоящем пункте формулы, полученные в [36, 23], обладают большой общностью и при конкретизации Г могут быть применены для различных базисов, встречающихся в микроскопической теории ядра. В качестве примера рассмотрим применение (18.5) с Гь Г2 и Г, замененными на Г^о^^ Г2о)2а2 и Гша. Тогда получаем следующее соответствие и формулу факторизации:

j(L4Mл(ьЧМ

Г1л1Ь1Г2л2Ь2,ГлХа0 Г-л^-о о°а Г л L о а^ ГлсоаХа

(18.13)(18.13)— V Л (^^Г^г)Л^А)

(18.13)

(18.13)

р ill 221р12(о1(о1а1(о2а2,аХао

из которой после незначительных модификаций вытекает (17.16). Другой пример дает соответствие

.(ЬХ1Х2) Р^л^Ь^Г^л^^ГлХоСо

(18.14)(18.14)У Г Е1 Е2 Х12 Е а(ЕНХ2^

(18.14)

(18.14)

^ ^ЧЧЧ VL ^ЭД^^

сопоставляющее в случае г0 = 3 коэффициенты разложения (18.5) с входящими в (17.1) генеалогическими коэффициентами базисных функций унитарной схемы.

Альтернативное выражение матричных элементов операторов в антисимметрических пространствах. В приведенных в предыдущем пункте матричных элементах сильно запутаны квантовые числа, характеризующие функции, зависящие от переменных с индексами 1, 2, ..., п и 1', 2', .;., п. В частности, из (18.8) видно, что сумма по Xt связывает множители, зависящие от квантовых чисел, соответствующих обоим наборам переменных. Разумеется, полностью нельзя отделить эти и аналогичные им множители, однако вычислительная техника симметрической группы позволяет получить альтернативные, в ряде случаев более удобные выражения для антисимметрического базиса, в которых эта связь более слабая.

Идею вывода таких выражений поясним на примере супермультиплетного базиса для операторов одночастичного или двухчастичного типов, общий вид которых приведен в (13.43) и (13.44). Воспользуемся их 5п-неприводимым разложением (13.55), которое согласно (13.38) отличается от (13.32) с х = $ лишь множителем d^. Учитывая этот множитель и применяя (13.33) к антисимметрическому базису (15.33), для матричных элементов оператора (13.55) получаем

= $(М') <n||tf #|гх> <ТхЦ cze|| г'х> +

+ S, <ргхЦ W4 II ГТ> <РГX|| ya^U*11 Г'Г> Х^1 (Па, Х'Х*а\

В (18.15) явно выписаны члены с Xi = s, поэтому xt принимает значение xt = St в случае одночастичных операторов и xt = 5b s2 — для двухчастичных операторов, обладающих свойством ()(v) = = О(/7). Субматрицы в первом слагаемом в (18.15) имеют вид

<ГХ|^$|Г'Х><ГХ|^$|Г'Х>п2 ^(п —^п2 ^(п —^(18.16)(18.16)

<ГХ|^$|Г'Х>

<ГХ|^$|Г'Х>

п

2 ^(п —^

п

2 ^(п —^

(18.16)

(18.16)

и аналогично — для Us; в (18.16) верхнее выражение соответствует двухчастичным, а нижнее — одночастичным операторам. Из-за 5П- скалярности операторов матричные элементы, входящие в правую сторону (18.16), не зависят от ц и могут быть записаны в виде (1.17) либо в виде (1.18). Величины X в (18.15) определены в (13.15); их выражения с точностью до фазовых множителей, зависящих от классификации по индексам р, р и фаз используемых коэффициентов Клебша — Гордана, получены в [81] (см. также [14]).

Субматрицу (18.16) и остальные субматрицы в (18.15) можно найти с помощью (13.57). Поэтому для завершения построения матричного представления операторов (13.43) либо (13.44) в антисимметрических пространствах с супермультиплетным базисом необходимо еще знать входящие в (13.57) матричные элементы <ХцЮо1^,Ц,\ где О0 обозначает W((rn —JR) + R) или U(оптп) в случае (13.43) либо РГ^-! —гп) или U(an-iTn-iOnTn) в случае (13.44). Для вычисления матриц операторов WXrn-i —гп) или Ж((гп — R)+R) пользуемся разложениями (18.5) и (18.6), а в частности, на базисных функциях унитарной или ортогональной схем их матричные элементы имеют вид (17.21) или (17.29). Матричные элементы операторов ?7(оптп) и U ^Сп-^Тп-^пХ^ находим по формуле (16.25).

Алгебраическая техника симметрической группы позволяет детализировать выражение субматрицы оператора U jb (18.15). Допустим, что спин-изоспиновые операторы U(<№) и U^GiTiOaT^ можно представить в виде Я(ог)7(т0 и 7?(Ог^)F(TiTj). Тогда (13.43) или (13.44) разложим по (S^ X Sn^ X S^)-неприводимым компонентам

6 = s F(n, х^Р,) [^ X [^ X ТХз]₽л]\ (18.17) М1Х2Х3Ро

где оператор в квадратных скобках представляет собой частный случай (13.37) с x = s, a F — коэффициенты разложения. В случае операторов одночастичного типа индекс р0 отсутствует и (13.43)

245

в неприводимой форме (18.17) принимает вид

О = 4= (WSRSVS + ^ У ДдФд1 + RS У WgWg1 +

У”gg

^V^W^A-Y^ ^^q\R^q\C^ (18.18) 9/9^293

где С — коэффициенты Клебша—Гордана группы Sn; выражения всех их изоскалярных факторов приведены в § 10 [14]. Сравнивая (18.18) с (18.17) и учитывая выражения коэффициентов Клебша — Гордана группы 8п со скалярными представлениями, легко находим F^n, Х!Х2х3) для операторов одночастичного типа. Выражения F с х3 = s для операторов двухчастичного типа имеют вид ^п^п — l)F(n, sss) = "VnF^n, $!$!$) = V2 и Vn — 1 F^n, s2s2s) = = Tn — 3.

Заменим Г в (18.15) на aX0MsXxMT и воспользуемся спин-изо- спиновыми функциями (14.8), образованными путем связывания Ха с Хт в аХ. Тогда, применяя (13.35), для оператора (18.17) получаем выражение (18.15), в котором спин-изоспиновая субматрица (13.36) для U^1 в (18.15) имеет вид

<^MSMT (ХЛ) ad 1/37 иЧМдМт^^рт = 2 F^n, x^xj^X XИ 1“Z х2хзро

X 0MsMT (XaXT) ax| [/Г2 X уИз]₽л I МдМт ^^ «Т) =

- 2 F (п, x^rt) (p2MsXa | R41 Ms х; > (р3МА I Т^ I МХ/ X ^“зРо

P2P3

Х^У^ХАа^ Х^а X'). (18.19)

Полагая x^s, из (18.19) получаем входящую в (18.15) субматрицу оператора Us. Субматрицы спиновых и изоспиновых операторов в (18.19) находим с помощью (13.57). В их выражение входят известные компоненты матрицы плотности (16.23), и коэффициенты Клебша — Гордана группы Sn для хХ Xa->aXa в явном виде получены в [42] (см. сноску в п. 13.6). Выражения субматриц операторов, встречающихся в теории ядра, приведены в [81, 14, 42], а величина X, входящая в (18.19), изучалась в [81, 14]. В упомянутой литературе можно найти примеры применения формул (18.15) и (18.19).

Усреднение операторов по внутренним переменным и Оп_г неприводимые ряды. Изложенная в § 16, 17 и в двух предыдущих пунктах настоящего параграфа техника генеалогического разложения и матрицы плотности дает универсальный метод построения матричного представления операторов в базисах, используемых в 246

микроскопической теории ядра, в частности в базисах, перечисленных в табл. 15.1. Эта техника применима как в традиционных, так и в нетрадиционных Г0-моделях. В первом случае строится и диагонализируется в определенном приближении матрица полного гамильтониана, а во втором случае с помощью операторных рядов выводятся модельные гамильтонианы и изучаются их спектры и собственные функции.

В частности, используя операторный ряд, выводим микроскопический коллективный гамильтониан ядра, имеющий смысл Оп-г скалярного слагаемого полного гамильтониана (6.1). В упрощенном варианте теории Ясои был описан в § 3. Построим операторный ряд, позволяющий представить Н в On-гнеприводимом виде и получить полный коллективный гамильтониан ядра, а также поправки к нему, учитывающие взаимодействие между коллективными и внутренними степенями свободы, о которых уже шла речь в п. 3.3. Общности ради будем рассматривать операторы (13.43) и (13.44). Аналогично примеру трехмерной частицы в нецентральном поле, изученному в п. 2.3, 2.4, разложение будем осуществлять как в координатно-матричном представлении (тогда получаем операторный ряд вида (2.27)), так и в матричном представлении (тогда речь идет о разложении вида (2.31)). Операторные ряды построим в два этапа: в настоящем и следующем пунктах ограничимся операторами (1.19), которые, как в (12.44) и в п. 17.3, 17.4, будем обозначать через ^(pj), а в последнем пункте настоящего па* раграфа рассмотрим разложение многочастичных операторов.

Начнем с более наглядного координатно-матричного представления. Будем исходить из формулы (16.49) для представления оператора (12.44) на функциях Я®о"о. Учитывая зависимость (12.44) от инфинитезимальных операторов левого сдвига группы On-i и аналогично (12.22) действуя на левые индексы матричных элементов матриц Dto и принимая во внимание, что матрицы инфинитезимальных операторов диагональны по о/, получаем

^2^,^» = 2| wa I G)'v"»> D^--o,(18.20)

где матричный оператор <со^/01 P72Ig/v"0> уже не зависит от ^. Продолжая выкладки, воспользуемся формулой

Ьд^" (^) /?v"W" (?о) =

- 2(18-21)

Зххцц' ®

выводимой с помощью (13.3), принимая во внимание свойства симметрии коэффициентов Клебша — Гордана и унитарность матриц неприводимых представлений. Подставляя (18.20), а затем и (18.21) в (16.49), используя (13.4) и осуществляя суммирование по v®, получаем, что неисчезающий вклад дает лишь Ол-2-скалярпое

247

слагаемое с р/ = 0. Выкладки ведут к выражению

7^5 Р(18.22)

в которое входят Оп-гнеприводимые интегралы

rW) Zpfo) at;—9— §А = (L I/ х

/oo'XP^P ’9т»’ 8рк»оУ М) Х V

X S C^^Jdr^)/)^^^(18.23)

В частности, когда W2 не зависит от инфинитезимальных операторов 3, матричный элемент в (18.23) упрощается до выражения S^'V'0)^^). Подставляя (18.22) в (16.45) или (16.47), получаем Оп-гнеприводимое разложение

^coaXX^^ | W21 v'Wa'X'X^Xo) =

= 6 (Mi) 6 М) 2 ^МЖ' (18-24) хрхX

где

nW = У nWi ^"' ₽Х“(18 25)

В (18.25) Х1Ц1 и Хо имеют тот же смысл, что и в (17.21).

О^-скалярное слагаемое в (18.24) дается членом с % = (0). Благодаря свойству (16.3) ортонормировки компонент матрицы плотности, входящих в (16.45) и (16.47), и учитывая, что в этом случае (18.24) диагонально по Хо, из (18.25) при х = (0) получаем, что ^®®'(о) = б(йхо') 6 (аа') 6 (XX'), и тогда слагаемое в (18.24) с Х = (0), в котором вместо W2 будем писать Жюп, приобретает вид (v°(oaXX1p,1Xo | Жсоп I v'Wa'X'X^Xo) =

= 6 (око') 6 (aa') 6 (XX') 6 (Х^) 6 (hiHi) X

X 6 (2^) J ат &) <toV° IW2 (90) I <ov°>. (18.26)

Из (18.26) видно, что матрица W^oii диагональна по сооХХ^До и не зависит от правых индексов аХХ^Хо (см. (16.41) и (16.42)).

Для ТУ2) не зависящего от инфинитезимальных операторов 3 последняя формула упрощается и дает выражение

<V°ti) I iFcoll I v'°(0> = 6 (v°v'°) 4- 2 (v0®!11 ^con 1 v°®H> =

= б^%'»)Уйт(д0)Ж2(д0), (18.27)

где учтено свойство диагональности по со и вырождение по его правому базису. В (18.27) также приведено альтернативное определение скалярной компоненты, вытекающее из (13.28). По своей структуре формула (18.27) аналогична примеру (2.23). Напомним, что (18.26) и (18.27) в общем случае зависят от p(So\ qtQ и Sy. Применяя (18.27) к потенциалу двухчастичного взаимодействия г(/Ш получаем выражения (3.7)—(3.10) для коллективного потенциала центрального взаимодействия, обсуждавшиеся в п. 3.3.

Разложение (18.24) было получено в [17] и детализировано в [143] (см. также [21]). На основе формулы (18.26) в [22] были изучены коллективные слагаемые потенциалов гамильтонианов (6.24), (6.26), (6.27) векторных и тензорных взаимодействий.

Оп-г и (С73Х Un-i)-неприводимые матричные ряды для многочастичных операторов. В настоящем пункте рассмотрим неприводимые разложения многочастичных операторов в матричном представлении. Начнем с изучения Оп-t-неприводимых рядов. Используя базисные функции (15.4), меняя ц на XipAo и интегрируя по р^°\» qti Qr с учетом (18.24), получаем

у-заХХ^^ • 2 I со'а'Х'Х'р'х'/ “

= 6 б (^) 2 ^^ 2 J dx (р^) dx (qt) Xxpx кок'о

v°v'°

x ® (™° p(So)) ^G?)7^ (p(4 9s; ^ ^ X

X 6Dk'm (18-28)

\(DV I

Аналогично (18.20), действуя зависящим от $ оператором 1^N на DL и интегрируя по ^ и p(so\ получаем Оп-1-неприводимый матричный ряд (18.28). В частности, используя в (18.28) в качестве Г наборы квантовых чисел функций унитарной или ортогональной схем либо гиперсферических функций (в двух последних случаях пользуемся еще заменой переменных (3.34)), строим On-t-He- приводимые матричные ряды в соответствующих базисах. Член с % = (0) в^ (18.28) дает матрицу коллективного слагаемого WCoii оператора W2.

олаолаМатричные элементы (18.28) вычисляются на функциях, заданных во внутренней по отношению к группам On-i и SO3 системе координат. Существует другой метод развертывания Оп-1-неприводи- мых матричных рядов, в котором применяются функции (15.4) в переменных Якоби. Приспосабливая разложения (18.5) и (18.6) с генеалогическими коэффициентами (18.13) к операторам двухчастичного либо одночастичного типа и усредняя на базисе (15,4)

ола

ола

оператор Ж(р9т получаем

<

ГяЬМi , Г'л'Ь'М' \, ,x л , ,x

<OCCX?L1|L11?LO 12 1ХГ1Г17

X s /, <?xiVo fTnLJf №'jin (18.29)

Vo^o^o Wo’^A volomo^olomo V00^ ^'a'X' J

Vo™o

где I — интегралы для ^(pt), вычисленные на функциях вида (17.26), в которых jRgo?o(pf) заменены произвольными радиальными функциями ^vozo(Pt)- Компоненты матрицы плотности в (18.29) получаем из (18.9), учитывая соответствие (18.13).

Применяя к матричным элементам (18.29) формулу (13.25) с использованием коэффициентов Клебша — Гордана группы Оп-ь получаем разложение

/ГяЬМ ।। Г'л'Ь'М' \

= 6(XX)6(Hi|i;)SSCx ю' Л ю X

%9% Эх Q1^ c^l, Xf X^Xq clXX^Xq

(18.30)(18.30)компо-компо-х / ^x 5 /' ' ,o^xX9x , , ,\

(18.30)

(18.30)

компо-

компо-

I d<o 4^o VoZomo,Vo'omO Vozomo>v^omo I’\ v0 lomo/

в котором Q^xq^ обозначает следующие Оп-!-неприводимые ненты матрицы плотности:

<2^X3% , , Z (ГлюЛЛГ, Va'^L’M') =

V0Z0m0'V0Z0m0

2 d „Q^HH , , , " X1 VoZoTno,YoZomo2 d „Q^HH , , , " X1 VoZoTno,YoZomoа"Х"Хх Хоа"'Х"%а"Х"Хх Хоа"'Х"%ГлЬМ Г'к'Ь'М'<йаиХ\ to'a^V' .ГлЬМ Г'к'Ь'М'<йаиХ\ to'a^V' .,Х,ХЧ^Х^Х^Ч^Х^Х^со а»Х»ХхХ^есо а»Х»ХхХ^е(18.31)Согласно анализу, сводка результатов которого приведена в табл. 13.1, операторы ^(р?) обладают Sn-i- или 5„-2-скалярностью, поэтому qx в (18.31) обозначает скалярный по вышеупомянутым группам базис On-i-неприводимого представления %. Суммирование по базису представления Аа дает в (18.31) множитель d и.Формулы (18.24) и (18.30) по-разному реализуют Оп_1-неприво- димые матричные ряды. С вычислительной точки зрения более удобно выражение (18.30), ибо зависимость от оператора W2 входит в него в виде более простых интегралов по сравнению с интегралами (18.24). Для On-t-скалярного слагаемого оператора ТУ2, который 250(18.31)Согласно анализу, сводка результатов которого приведена в табл. 13.1, операторы ^(р?) обладают Sn-i- или 5„-2-скалярностью, поэтому qx в (18.31) обозначает скалярный по вышеупомянутым группам базис On-i-неприводимого представления %. Суммирование по базису представления Аа дает в (18.31) множитель d и.Формулы (18.24) и (18.30) по-разному реализуют Оп_1-неприво- димые матричные ряды. С вычислительной точки зрения более удобно выражение (18.30), ибо зависимость от оператора W2 входит в него в виде более простых интегралов по сравнению с интегралами (18.24). Для On-t-скалярного слагаемого оператора ТУ2, который 250

2 d „Q^HH , , , " X1 VoZoTno,YoZomo

2 d „Q^HH , , , " X1 VoZoTno,YoZomo

а"Х"Хх Хоа"'Х"%

а"Х"Хх Хоа"'Х"%

ГлЬМ Г'к'Ь'М'

<йаиХ\ to'a^V' .

ГлЬМ Г'к'Ь'М'

<йаиХ\ to'a^V' .

,Х

,Х

Ч^Х^Х^

Ч^Х^Х^

со а»Х»ХхХ^е

со а»Х»ХхХ^е

(18.31)

Согласно анализу, сводка результатов которого приведена в табл. 13.1, операторы ^(р?) обладают Sn-i- или 5„-2-скалярностью, поэтому qx в (18.31) обозначает скалярный по вышеупомянутым группам базис On-i-неприводимого представления %. Суммирование по базису представления Аа дает в (18.31) множитель d и.

Формулы (18.24) и (18.30) по-разному реализуют Оп_1-неприво- димые матричные ряды. С вычислительной точки зрения более удобно выражение (18.30), ибо зависимость от оператора W2 входит в него в виде более простых интегралов по сравнению с интегралами (18.24). Для On-t-скалярного слагаемого оператора ТУ2, который 250

(18.31)

Согласно анализу, сводка результатов которого приведена в табл. 13.1, операторы ^(р?) обладают Sn-i- или 5„-2-скалярностью, поэтому qx в (18.31) обозначает скалярный по вышеупомянутым группам базис On-i-неприводимого представления %. Суммирование по базису представления Аа дает в (18.31) множитель d и.

Формулы (18.24) и (18.30) по-разному реализуют Оп_1-неприво- димые матричные ряды. С вычислительной точки зрения более удобно выражение (18.30), ибо зависимость от оператора W2 входит в него в виде более простых интегралов по сравнению с интегралами (18.24). Для On-t-скалярного слагаемого оператора ТУ2, который 250

обозначим через ЖС01ь из (18.30) и (18.31) с % = (0) получаем

/ГлЛМ ।. Гл'Ь'М'х

\Ucoll/

\ CD 11 CD/

(18.32)(18.32)(18.33)(18.33)= 27- - >Q*=W , , - (V^LM, T'ntoL’M’Y

(18.32)

(18.32)

(18.33)

(18.33)

16l6me toVo-to1»^ Vo'eVoM

гдеZ)X=(0) f f tVVOZomO’VXгдеZ)X=(0) f f tVVOZomO’VXVomO

где

Z)X=(0) f f t

VVOZomO’VX

где

Z)X=(0) f f t

VVOZomO’VX

у У -^ Л^o) ^^ “V, , _~_ ^ш Гл£?ояого,Гл® f лЬтпл0/0,Г'л'ю' Глй

В (18.33) co и cd о соответственно обозначают Оп-2- и Огнеприводимые представления. Четность л0 совпадает с четностью Zo, и, как и в (17.18), представление соо задается четностью л (coco). В (18.32) явно учтена диагональность по со и его базису и независимость от последнего. Аналогично выводу (17.21) с помощью разложений (17.19) и (17.20) для случая п2 = 2 формула (18.32) получена с помощью разложения (18.5), а для случая п2 = 1 — с помощью разложений (18.5) и (18.6); в обоих случаях применяем генеалогические коэффициенты (18.13), приспособленные к этим разложениям. При осуществлении суммирования по базису представления со ис

пользовалось свойство ортонормировки матрицы А .

Величина (18.33) дает диагональное по со и его базису выражение (18.31) с Х"(0). Применяя формулу (18.33), необходимо иметь в виду, что со в ней обозначает неприводимые представления группы Оп-2, операторы которой действуют на р< с Z=l, 2, ... ..., п — 3, $ при п2 = 2 и с t = 1, 2, ..., п — 2 при п2 = 1.

Приспособим (18.32) для базиса унитарной схемы, одновременно осуществляя разложение по (/3-неприводимым компонентам: В этом базисе интегралы I вычисляются на осцилляторных функциях, и тогда вместо у0 пишем е0. Заменяя еще Г на Е^р, опуская л как излишнее и учитывая результаты п. 17.1 и 17.4, получаем

/EyLM ।. E'y'L'M'\\Pcd l^^lp'cD / =/EyLM ।. E'y'L'M'\\Pcd l^^lp'cD / =У У/>х=(о)г еоеоУ У/>х=(о)г еоео(EpcoyLM, E^'^'UM^(EpcoyLM, E^'^'UM^где/)Х=(0)__ X1X1 ^ jCEto) д(Е'ю)где/)Х=(0)__ X1X1 ^ jCEto) д(Е'ю)(18.34)(18.35)(18.34)(18.35)

/EyLM ।. E'y'L'M'\

\Pcd l^^lp'cD / =

/EyLM ।. E'y'L'M'\

\Pcd l^^lp'cD / =

У У/>х=(о)

г еоео

У У/>х=(о)

г еоео

(EpcoyLM, E^'^'UM^

(EpcoyLM, E^'^'UM^

где

/)Х=(0)__ X1X1 ^ jCEto) д(Е'ю)

где

/)Х=(0)__ X1X1 ^ jCEto) д(Е'ю)

(18.34)

(18.35)

(18.34)

(18.35)

куда входит величина (17.37), дают [73-неприводимые Оп-1-скаляр- ные компоненты матрицы плотности для базиса унитарной схемы.

Перейдем к обсуждению (/„„^неприводимых матричных рядов с одновременной их сортировкой по (73-неприводимым компонентам. 17* 251

Пусть Хо обозначает Е7П_ ^неприводимое представление в ЬХЕ'-* -№ дох — ^„-гскалярныи базис представления х» в случае ^(Pn-i) или 5п_2-скалярный базис представления Хо в случае ^(ра). Краткости ради введем еще обозначения g = р®алХА0 и д'= Р'®'а'Х'Х1Х0. Тогда аналогично выводу (18.30), применяя (13.25) к матричным элементам (17.34), получаем /EyLM v E’^L'M*\,

У У Лхо Е'^0ХЕ Vox Pox °У У Лхо Е'^0ХЕ Vox Pox °Х^М^ ।। p^'aT^X/ = 6 (X1X1) 6 X

У У Лхо Е'^0ХЕ Vox Pox °

У У Лхо Е'^0ХЕ Vox Pox °

, (18.36), (18.36)XO V Tz^OX^o^OX

, (18.36)

, (18.36)

Eo8Oх^Ь°М°

где dE — размерность Е^-неприводимого представления E, a Q — (Un~i X U3)-неприводимые компоненты матрицы плотности:

e'YL-мз-

= 2. рм' ^'"^с? "в"=. (is.37)

^U Xi 80e0xV0L0M°\9"^’) W 9' V

В (18.37) д"=р"о)УИХи q'" = ^" ^ aw ^ к^. Формула (18.36) решает задачу (,Un-i X U3)-неприводимого разложения матрицы оператора W2. В частности, ее слагаемое с х = [0] дает Un-^ неприводимое разложение матричных элементов (17.38). Член в (18.36) с Хо = [0] выделяет {/„-i-скалярную компоненту оператора W2l которую обозначим через Жосои. В явном виде ее матричное представление дается формулой

<E^LM\WQC0XXWUMr>-

г^отог^ото(18.38)(18.38)

г^ото

г^ото

(18.38)

(18.38)

в которой учтена диагональность по Е и вырождение по Uп-1-непри- водимому базису. Выражение, следующее за первым равенством в (18.38), дает ?73-неприводимый ряд, а за последним равенством приведено разложение, в котором отсутствует сортировка по Е73-не- приводимым слагаемым. Величина во вторых скобках в (18.38) дает (/„-гскалярную, а величина в первых скобках — £/п-1-скалярпую Е3-неприводимую компоненту матрицы плотности. Эти компоненты связаны между собой соотношениями, аналогичными (17.36), а входящие в (18.38) интегралы удовлетворяют соотношению (17.35).

On-1-неприводимое разложение операторов W2 с применением (13.25) и техники матрицы плотности впервые использовалось в 252

[17]. Предложенный в этой работе способ построения операторных рядов для W2 (pf) здесь приспособлен для вывода On-i- и ии-гне- приводимых разложений (18.30) и (18.36).

Неприводимые разложения многочастичных операторов и гамильтонианы нетрадиционных моделей ядра. Формула (18.15) непосредственно приспособлена для анализа 5п-неприводимых рядов. Она также пригодна для развертывания On-i- либо С7п_1-неприводи- мого разложения матриц многочастичных операторов (13.43) и (13.44). Это разложение находим, подставляя в (18.15) субматрицу (13.57) операторов Ws nW1, найденную с помощью (18.28)', (18.30) или (18.36). Полученные Sn-, On_i- или С7п_1-неприводимые разложения можно комбинировать с U4-и ^-неприводимыми разложениями; пример такого двойного неприводимого ряда дает (18.36).

Детализируем выражение (S^ X Sn^)- скалярного слагаемого оператора (13.43) либо (13.44) на базисе антисимметрических функций (15.35). Цепочка Un_x zd Оп_г zd 8^ показывает, что Оп_г либо [/„-^скалярные операторы одновременно являются и З^-скалярами, поэтому полученная формула будет пригодна для построения матричного представления Оп-^- и t/n~i-скалярных операторов. Применительно к базису (15.35)(S^хб^У скаляр

ное слагаемое в (18.15) дает

/Гл ^LS) JM, 1 V^skl ~8к> I Гл' R') J'Mj\\ТМ^Ш a LГМ^а' (ХЧ') a /

= 6^')XW(LSJ, и8'Г^С“м'м (Гл^Ц^Цг'л'^'^х

X^XolSTMt I t/Sft21| к'УГМт), (18.39)

где X— величина (13.18), и подразумевается, что используются операторы, слагаемые которых в (13.43) или (13.44) обладают 5О3-неприводимыми характеристиками, т. е. W ((ri — R) + R) = ^ Wq^ ((ri — R) + R) и аналогично — для остальных операторов. При выводе (18.39), по формуле (13.32) были образованы 5О3-не-

/гх

W XU составленные из SV- и 5пат)-скалярных операторов И7^ и W^ вида (13.45) или (13.49).

Применяя последнюю формулу для гамильтониана (6.1) со слагаемыми (6.9), (6.16), (6.22), (6.24), (6.26) и (6.27), учитываем, что Н сохраняет /, поэтому пользуемся (18.39) с к = 0. Все перечисленные слагаемые содержат 8^- и 8^ - скалярные операторы вида (13.49), поэтому в матричных элементах (18.39) для Н присутствуют обе субматрицы. Подробное обсуждение свойств спин- изоспиновых субматриц для гамильтониана ядра и примеры их явных выражений можно найти в [14, 42]. Их присутствие в (18.39)

снимает вырождение по схеме Юнга X собственных значений Оп-\- либо Un_ 1-скалярного гамильтониана, которое имело место для коллективной части упрощенного гамильтониана (1.5) (см. п. 4.1, 4.2), не зависящего от спиновых и изоспиновых переменных.

Подставляя в (18.39) найденные с помощью (18.16) и (1.17) субматрицы для операторов (18.26), соответствующих всем слагаемым гамильтониана ядра, получаем Нсо\\ в коллективных переменных. Уравнение Шредингера коллективного гамильтониана ядра в таком представлении имеет вид конечной системы дифференциальных уравнений, размерность которой зависит от порядка матриц инфинитезимальных операторов ортогональных групп. Эта система уравнений описывает коллективные формы движения в атомных ядрах для состояний дискретного либо непрерывного спектра.

тти(лГо)

При построении гамильтонианов Нх и нетрадиционных моделей ядра, о которых речь шла в § 2, в качестве Го можно выбрать квантовые числа, маркирующие пространства $SK °\ перечисленные в табл. 15.1. Приведенные в ней наборы ЛГ0 содержат Го трех типов. Во-первых, в качестве Го выступают S, Т и L, маркирующие неприводимые представления групп 8и^\ SU^ и SO3l ранг которых не зависит от числа частиц. Во-вторых, Го обозначает неприводимые представления EOl Q и со групп U3(n-i^ О3(п-^ и On-i, ранг которых зависит от числа частиц, т. е. групп, ответственных за многочастичную структуру базиса. В-третьих, Го интерпретируется как Хт, X (либо X) или Е, маркирующие неприводимые представления групп U^ и Sn\ U^ и S^ или U3 и Un-^ и в этом случае речь идет о неприводимых представлениях двух дополнительных групп, ранг первой из которых не зависит, а ранг второй зависит от п.

Согласно идее ограниченной динамики, изложенной в п. 2.2, мо- дельный гамильтониан Нх можно интерпретировать как скалярное слагаемое полного гамильтониана ядра (6.1). В качестве G-неприводимых представлений Го, сохраняемых модельным гамиль- тг(ЛГ ) тонианом Н л можно выбирать одно или несколько представлений перечисленных выше групп. На первый взгляд представляется слишком много возможностей, однако анализ показывает, что часть из них должны быть исключены по различным причинам.

Начнем с неприводимых представлений групп, ранг которых не зависит от числа частиц. Квантовые числа S и L сохраняются слагаемыми Нь Не и Нс гамильтониана Я, но они нарушаются последними тремя слагаемыми в (6.28). Поэтому в случае Го = 5иГо = £ Я^ЛГ°) = Нк + Не + Яс, что и решает задачу ограничения Н на подпространствах №NS) и ЗУ2^.

Более содержательный пример дает Н^ °^ с Г0 = Т, ибо Т сохраняется намного лучше полным гамильтонианом, чем S и L. Изоспин является интегралом движения для Hs и нарушается лишь кулоновским взаимодействием Не и в слабой степени — оператором кинетической энергии Нк.

Приступим к обсуждению квантовых чисел, связанных с многочастичными свойствами базисов. Возьмем сначала Го, выступающее в качестве б^п-^-неприводимого представления Ео. Очевидно, что спектр Н^АЕ^ сильно вырожден, ибо не зависит от базиса представления EQi в частности от L. Учитывая, что S + L = J, приходим к выводу, что вырожденность по L влечет за собой частичное вырождение по общему моменту J ядра. Как следствие этого, спектр гамильтониана И является слишком простым, и поэтому нецелесообразно вводить модель ядра, основанную на этом гамильтониане. Аналогичным свойством обладает спектр Н(Хй\ более слож- ыыи, чем спектр гГ , но также вырожденный по L и, следовательно, не подходящий для анализа экспериментальных данных.

Богатая эффектами модель, выводимая путем ограничения Н на 5?(ЛГо) с Го — о), описывающая коллективные эффекты на микроскопическом уровне, уже обсуждалась в упрощенном варианте в гл. I настоящей книги. В п. 4.2 и 4.3 коротко описана модель, основанная на гамильтониане Н^А °^ с Го=£’. Не рассматривались гамильтонианы Н^А °^ с Го, выступающим в качестве Хт и Л, которые также подходят для изучения структуры атомных ядер.

Кратко остановимся на роли дополнительных групп при построении нетрадиционных Г0-моделей ядра. Уже было упомянуто, а в § 14 и 15 подробно объяснено, что дополнительные группы встречаются в реализациях пространств ^ЛХ%\ 91^ и 5?(Л£) соответственно через базис изоспиновых мультиплетов, супермультиплетный базис и базис унитарной схемы, и в несколько другом аспекте — в реализациях пространств 5?(Лм) и 5?(ЛЬ) через симплектиче- ские базисы. Пусть G и G' являются дополнительными группами, а неприводимые характеристики Го пространства 58 0 обозначают как G-, так и G'-неприводимое представление и строится модель с выбранным Го. Тогда спектр G-скалярного гамильтониана Нх 0 f вырожденный по G-неприводимому базису, зависит от Го и G'-неприводимого базиса и, наоборот, спектр G'-скалярного гамильтониана Н'х 0, вырожденный по G'-неприводимому базису, зависит от Го и G-неприводимого базиса. Поэтому при использовании скалярных гамильтонианов обеих дополнительных групп G и G' отсутствует вырождение по обоим базисам и тем самым учитываются дополняющие друг друга эффекты. Простым примером роли дополнительных групп служат коллективные и антиколлективные эффекты, учитываемые введением в [142] гамильтонианом (4.6) с сильно ограниченной динамикой, который получаем, ограничивая Н на пространстве 58(AS) с Е, обозначающем как ип-^ так и С73-непри- водимое представление. Тогда Я(0^п является Gn-i-скалярным оператором, a Hq anticoll— U3-скалярным оператором. Структура и свойства спектра гамильтониана (4.6) описаны в [143, 41, 42, 38, 39, 149].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И КРАТКИЙ ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Настоящая книга посвящена алгебраическим основам теории ядра, поэтому в ней изложены лишь общие принципы и основы техники построения микроскопических моделей, опирающихся на алгебраический аппарат теории групп. Из-за ограниченного объема книги в ней не затронуто много вопросов. В частности, не освещались работы по микроскопическому обоснованию и обобщению феноменологических коллективных моделей, не обсуждались применения традиционных и нетрадиционных моделей к изучению конкретных свойств ядер. Кроме исследований в вышеупомянутых направлениях имеется много работ, посвященных алгебраическому аппарату многочастичных квантовых систем, в частности классификации состояний, разрешаемых принципом Паули, развитию техники тензорных операторов сложных групп, тесно с этим связанному явному построению неприводимых базисов, их генеалогическому разложению и методу матрицы плотности.

Во введении отмечалось, что перечисленные вопросы вполне могут составить предмет отдельной монографии. В настоящем, заключительном разделе лишь бегло затронем некоторые темы, касающиеся этих вопросов, и укажем литературу, принимая во внимание публикации вплоть до конца 1986 г.

Классификация состояний, допускаемых принципом Паули. При конструктивном построении антисимметрического базиса в теории ядра часто используются супермультиплетные функции (15.35), характеризуемые схемами Юнга (8.27), сопряженными со спин- изоспиновыми схемами (8.28); 8^?—неприводимые представления (8.27) называются допустимыми принципом Паули схемами Юнга X. Группа 8^ вложена в On-i по цепочке Gn^^S^n, поэтому допустимы лишь те Оп-Гнеприводимые представления со, которые содержат допустимые X. В п. 4.1 было отмечено, что для данного ядра с определенным числом протонов пр и нейтронов пп либо с определенными значениями п и Мт допустимые со задаются числами п и Мт. Задача классификации On-i-неприводимых представлений состоит в том, чтобы перечислить маркировки допустимых со, указанные в (14.11) —(14.14) при г0 = 3, и затем найти всевозможные С/п-гнеприводимые представления Е, содержащие допустимое (0.

Используют и другую последовательность классификаций, когда сначала отыскивают допустимые Е и затем, спускаясь по цепочке 256

Uп_г zd Ои_^ zd S^\— всевозможные со и содержащиеся в них X. Такой способ маркировки базисных функций унитарной схемы, впервые примененный в [126, 128], подробно описан в [37, 89, 14]. Специфические особенности такой классификации для средних и тяжелых ядер были изучены в [86] (см. также [20, 140] и § 23 в [143]). Таблицы допустимых принципом Паули состояний £, ш и Хв различных областях значений п и Мт приведены в [89, 14, 93, 87, 91, 88].

Коллективные и внутренние переменные ядра. В п. 3.3 при обсуждении замены переменных (3.5), смысл которой подробно описан в п. 11.3, углы Эйлера ф', Ф, ф" и радиальные переменные Р^°) выступали в качестве коллективных переменных ядра. Остальные (3/г —9) углов, входящих в (3.5) либо в явном виде — в (11.28) или (11.30), были названы внутренними переменными. В п. 3.3 отмечалось, что коллективные переменные являются On-i- скалярами. Это их свойство недостаточно наглядно, ибо О„-1-скаляр- ность не связана непосредственно с требованиями, налагаемыми законами квантовой механики на систему фермиевских частиц.

Другое, эквивалентное предыдущему определение коллективных переменных ядра, предложенное в [15], опирается на свойства их скалярности по отношению к действию операторов симметрической группы 8п\ переставляющей пространственные индексы нуклонов. Такое определение согласуется с интуитивной физической интерпретацией коллективных степеней свободы конечной фермиевской системы: под коллективными переменными естественно понимать те переменные, которые не чувствительны к перестановке индексов индивидуальных частиц, т. е. S^V- скалярные переменные. Из этого определения также следует, что нескалярные по отношению к преобразованиям группы 8^ переменные, составляющие набор qu-^ не являются коллективными переменными; они и были названы в [31] внутренними переменными ядра.

Обсуждение этих вопросов, строгие определения и результаты, сформулированные в виде теорем, приспособленных для теории ядра, развиваемой с использованием изоспинового формализма либо без него, можно найти кроме [15] также и в [143, 16, 21].

Приведенное выше определение коллективных переменных ядра существенно опирается на принцип Паули. В тех случаях, когда его требования соблюдается лишь приближенно, например при описании процесса деления системы nv + п^ частиц на две ее подсистемы, состоящие из п{ и пг частиц, возникает необходимость проследить, какие новые коллективные переменные образуются из внутренних переменных исходного ядра. Этот вопрос тесно связан с полука- нонической параметризацией фактор-пространства ортогональных групп, кратко изложенной в п. 11.4. Такая параметризация и формулы, связывающие коллективные и внутренние переменные подсистемы и объединенной системы, были получены в [19].

Некоторые свойства спектров микроскопического коллективного гамильтониана ядра. Полный коллективный гамильтониан ЯсоИ, выделяемый из Я с помощью разложений, приведенных в п. 18.3—

18.5, содержит все слагаемые, присутствующие в исходном гамильтониане (6.1), в том числе векторный и тензорный члены микроскопического коллективного гамильтониана ядра. Наличие этих и других слагаемых обусловливает специфические свойства спектра и состояний ЯСо11, многие из которых не имеют аналога в феноменологических коллективных моделях ядра. Обсуждение и качественное описание новых коллективных эффектов в четных и нечетных ядрах, вытекающих из микроскопической теории, было дано в [141, 17, 143, 21, 145, 146, 144, 149]. Свойства состояний микроскопического коллективного гамильтониана ядра также изучались на методическом примере трехчастичных систем в работах [34, 69, 70].

Симплектические модели ядра. Когда используется пзоспиновый формализм, уравнение Шредингера для коллективного слагаемого Ясоц гамильтониана Я дает наиболее общее кинематически корректное микроскопическое описание чисто коллективных возбуждений атомных ядер. Менее полное описание коллективных явлений как с точки зрения формулировки, так и в смысле практических применений дает микроскопическая коллективная симплектическая модель ядра. Ее гамильтониан выводится из Я с помощью разложений через инфинитезимальные операторы симплектической группы Sp(6, Я), входящей в цепочку (15.28) с г0 = 3; на основе алгебры группы Sp^r, R) с г — п - 1, присутствующей в (15.27), аналогично получается и симплектический антиколлективный гамильтониан ядра. Явное построение симплектических коллективных и антикол- лективных гамильтонианов представляет собой сложную задачу. Упрощенная задача — Яз(п-1^-, ф^Хи^- и Оп-1-пеприводимый анализ симплектического типа для разложения квадрупольного взаимодействия через операторы унитарных групп был проведен в [61, 62, 26] (см. также гл. IV в [14] и § 17—20 в [143]). Более подробно симплектические модели обсуждались в (148, 149], где также приведены ссылки на работы этого направления.

Обоснование и обобщение феноменологических коллективных моделей ядра. Коллективные формы движения в атомных ядрах впервые были описаны в работах [136, 110, 111], в которых, в частности, была предложена феноменологическая коллективная модель ядра, исходным пунктом для создания которой послужила классическая картина малых осцилляций поверхности капли жидкости. Был введен феноменологический коллективный гамильтониан Бора — Моттельсона Нв-^ подробно описанный в [2], и исследованы свойства его состояний и спектра.

При микроскопическом обосновании феноменологических моделей ядра необходимо получить уравнение Шредингера для Яв-м из уравнений Шредингера для Ясо11, указывая сделанные упрощения и дополнительные предпосылки. Первый шаг в этом направлении был сделан в [150] (см. также [151]), где было предложено в качестве коллективных переменных феноменологического типа воспользоваться шестью компонентами Оп-^скалярного симметрического тензора второго ранга q88^ даваемого выражением (12.26) приг0 = 3. В [143] было выяснено, что феноменологический гамильтониан

^ph(^ss ) в переменных q88' обобщает Нв-м и служит промежуточным оператором, позволяющим установить связь феноменологического и микроскопического подходов. Было доказано, что микроскопический аналог уравнений Шредингера для ^ph(^ss') дает уравнение Шредингера микроскопического гамильтониана HcoUl действующего в Оп-!-скалярном пространстве ^<ю=(0^. Этот результат, полученный в [143], также обсуждался в [21, 145, 146, 149].

Заменяя с помощью выражений вида (2.32) переменные qss' и производные по ним через операторы рождения и уничтожения, можно выразить H^^q88^ через инфинитезимальные операторы алгебры 5р(12, 7?) и ее подалгебры Ue. При разложении Ярц в ряд среди первых слагаемых обнаруживается гамильтониан Я1Вм модели взаимодействующих бозонов, введенной и разработанной в [124, 55, 104, 105]. Так, из Hp^q88') выводится гамильтониан модели взаимодействующих бозонов, прослеживается его микроскопический смысл и указываются пути обобщения. Упомянутые результаты по выводу и обобщению Я^м были получены в [145, 146, 147].

Алгебраическая техника микроскопических моделей ядра.

В практических применениях изложенного в гл. III алгебраического аппарата симметрической и компактных матричных групп встречаются, в основном, три типа групповых величин: коэффициенты Клеб- ша — Гордана в различных базисах, матричные элементы матриц пересвязывания и матричные элементы матриц преобразования базисов, маркируемых различными цепочками подгрупп. Применительно к теории ядра требуется знать эти величины со специфическими значениями параметров для симметрической, унитарной и ортогональной групп. Имеются сотни работ, в которых они изучались, но здесь пет возможности дать их обзор. Поэтому отметим лишь несколько публикаций, содержащих большое число ссылок на другие работы, по которым можно ознакомиться с этой областью прикладных методов теории групп.

Ссылки па некоторые работы, в которых развит вычислительный аппарат симметрической группы и группы U4 применительно к алгебраической технике микроскопической теории ядра, были приведены в соответствующих местах текста. Важными величинами, которые необходимо знать в применениях базисов, характеризуемых Яз-неприводимыми представлениями, являются коэффициенты Клеб- ша—Гордана группы Я3. Известны формулы как для канонического базиса, так и для базиса цепочки Uz^SO^ позволяющие найти численные значения либо полиномиальные выражения коэффициентов Клебша— Гордана группы Я3. С работами по этим вопросам можно ознакомиться в [ИЗ, 3] и цитируемой там литературе.

При построении коллективных базисных функций (15.26) используются коэффициенты Клебша — Гордана группы Ur специального типа с базисом цепочки Ur^Or^ OT-v 13 От-2. Их описание, а в ряде случаев и явные выражения можно найти в работах [100, 101, 102, 103] и в приводимых в них ссылках. Обсуждению общих свойств групповых величин алгебраической техники компактных групп и их взаимосвязи посвящен обзор [4].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Справочник по специальным функциям/Пер. с англ, под ред. М. Абрамо- вица, И. Стигана.— М.: Наука, 1979.

Айзенберг И., Грайнер В. Модели ядер. Коллективные и одночастичные явления/Пер. с англ.— М.: Атомиздат, 1975.

Алишаускас С. И. / Литов, физ. сб.— 1978.— Т. 18, № 6.— С. 701.

Алишаускас С. И. / ЭЧАЯ.— 1983.— Т. 14, вып. 6.— С. 1336.

Алишаускас С. И., Ванагас В. В. / Литов, физ. сб.— 1972.— Т. 12, № 4.— С, 533.

Ашерова Р. М., Кныр В. А., Смирнов Ю. Ф., Толстой В. Н. Ц Ядер, физика.— 1975.— Т. 21.— С. 1126.

Багавантам С., Венкатарайду Т. Теория групп и ее применение к физическим проблемам/Пер. с англ.— М.: ИЛ, 1959.

Бадалян А. М., Симонов Ю. А. / Ядер, физика.— 1966.— Т. 3.— С. 1032,

Бадалян А. М., Симонов Ю. А. Ц Ядер, физика.— 1969.— Т. 9.— С. 69.

Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения/Пер, с англ.— М.: Мир, 1980.—Т. 1, 2.

Бейман Б. Ф. Лекции по применению теории групп в ядерной спектро- скопии/Пер. с англ.— М.: Физматгиз, 1961.

Биденхарн Л., Лаук Дж. Угловой момент в квантовой физике/Пер. с англ.— М.: Мир, 1984.— Т. 1, 2.

Ванагас В. В. Теория низколежащих ядерпых состояний в схеме 673fn_n fl Проблемы современной ядерной физики: Сб. докладов на Втором проблемном симпозиуме по физике ядра, Новосибирск, 1970.— М.: Наука, 1971.— С, 201—218.

Ванагас В. Алгебраические методы в теории ядра.— Вильнюс: Минтис, 1971,

Ванагас В. В. Методы теории представлений групп и выделение коллективных степеней свободы ядра: Конспект лекций школы МИФИ.— М.: Изд-во МИФИ, 1974.

ВанагасВ.В.flЭЧАЯ.— 1976.— Т. 7, вып. 2.— С. 309.

ВанагасВ.В.flЯдер, физика.— 1976.— Т. 23.— С. 950.

ВанагасВ.В.flЛитов,физ.сб.—1977.— Т.17,№4.— С.409.

ВанагасВ.В.flЛитов,физ.сб.—1977.— Т.17,№4.— С.421.

ВанагасВ.В.flЛитов, физ. сб.—1977.— Т. 17, № 6.— С. 689.

ВанагасВ.В.flЭЧАЯ.— 1980 — Т. И, вып. 2.— С. 454.

ВанагасВ.В.flЛитов,физ.сб.—1982.— Т.22,№2.— С.3.

ВанагасВ.В.flЛитов,физ.сб.—1983.— Т.23^№5.— С.3.

Ванагас В. В. Представления ортогональных и унитарных групп и ядер- ные модели fl Математический анализ: Итоги науки и техники—М.: ВИНИТИ.— 1984.— Т. 22.— С. 3—35.

Ванагас В. В., Батарунас И. В. fl Литов, физ. сб.— 1961.— Т. 1, № 1—2.— С. 9.

Ванагас В. В., Калинаускас Р. К. fl Ядер, физика.— 1969.— Т. 10.— С. 939.

Ванагас В. В., Калинаускас Р. К. // Ядер, физика.— 1970.—Т. 11.— С. 63»

Ванагас В. В., Калинаускас Р. К. / Литов, физ. сб.— 1972.— Т. 12, № 2.— С. 217.

Ванагас В. В., Калинаускас Р. К. Ц Теорет. и мат. физика.— 1972.— Т. 13.— С. 102.

Ванагас В. В., Калинаускас Р. К. / Литов, физ. сб.— 1973.— Т. 13, № 1.— С. И.

Ванагас В. В., Калинаускас Р. К. / Ядер, физика.— 1973 — Т. 18.— С. 768.

Ванагас В. В., Калинаускас Р. К. Ц Литов, физ. сб.— 1974.— Т. 14, № 4.— С. 549.

Ванагас В. В., Каткявичюс О. Д. / Литов, физ. сб.— 1983.— Т. 23, № 2.— С. 3.

Ванагас В. В., Каткявичюс О. Д. Ц Литов, физ. сб.— 1985.— Т. 25, № 1.— С. 3.

Ванагас В. В., Петраускас Л. К. / Литов, физ. сб.— 1966.— Т. 6, № 2.— С. 181.

Ванагас В. В., Петраускас Л. К. Ц Ядер, физика.— 1968 — Т. 7.— С. 1001.

Ванагас В. В., Сабаляускас Л. Ю. Ц Литов, физ. сб.— 1968.— Т. 8, № 1— 2.— С. 77.

Ванагас В. В., Сабаляускас Л. Ю.^ Эриксонас К. М. Ц Литов, физ. сб.— 1982.— Т. 22, № 6.— С. 12.

Ванагас В. В., Сабаляускас Л. Ю., Эриксонас К. М. / Изи» АН СССР. Сер. физ.— 1983.— Т. 47.— С. 963.

Ванагас В. В., Тауринскас М. В. / Литов, физ. сб.— 1976.— Т. 16, № 3.— С. 341.

Ванагас В. В., Тауринскас М. В. Ц Литов, физ. сб.— 1977.— Т. 17, № 6.— С. 699.

Ванагас В. В., Тауринскас М. В. Ц Литов, физ. сб.— 1977.— Т. 17, № 6.— С. 717.

Варшалович Д. Л., Москалев Л. И., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента.— Л.: Наука, Ленингр. отд-ние, 1975.

Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления/Пер. с англ —М.: ИЛ, 1947.

Верде М. Проблема трех тел в ядерной физике Ц Строение атомного яд- ра/Пер. с англ.— М.: ИЛ, 1959.— С. 167—206.

Вигнер Е. Теория групп/Пер. с англ — М.: ИЛ, 1961.

Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представлений групп.— М.: Наука, 1965.

Владимиров Д. М. Препринт/Ин-т атомной энергии им. И. В. Курчатова.— М., 1984.—№ 3949/1.

Гельфанд И. М., Минлос Р. Л., Шапиро 3. Я. Представления группы вращений и группы Лоренца, их применения.— М.: Физматгиз, 1958.

Гельфанд И. М.^ Наймарк М. А. Унитарные представления классических групп / Труды мат. ин-та им. В. А. Стеклова.— М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1950.

Демков Ю. Н. Ц Вести. ЛГУ.— Сер. мат., физ., хим.— 1953.— Т. И.— С. 127.

Демков Ю. Н. // ЖЭТФ.— 1954.— Т. 26.— С. 757.

Джадд Б., Вайборн Б. Теория сложных атомных спектров/Пер. с англ.— М.: Мир, 1973.

Джибути Р. И., Крупенникова Н. Б. Метод гиперсферических функций в квантовой механике нескольких тел.— Тбилиси: Мецниереба. 1984.

Джолос Р. В., Янсен Д. / ЭЧАЯ.— 1977, вып. 2.— Т. 8.— С. 330.

Дзюблик А. Я. Ц Препринт/Ин-т теорет. физики АН УССР.—Киев, 1971.— № 71-122Р.

Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики/Пер. с англ.— М.: Физматгиз, 1960.

Желобенко Д. П. Компактные группы Ли и их представления.— М.: Наука, 1970.

Желобенко Д. П., Штерн А. И. Представления групп Ли.—М.: Наука, 1983.

Калинаускас Р. К., Ванагас В. В. Ц Литов, физ. сб.— 1969.— Т. 9, № 4.— С. 655.

Калинаускас Р. К.. Ванагас В. В. Ц Литов, физ. сб.— 1969.— Т. 9, № 4.— С. 665.

Калинаускас Р. К., Ванагас В. В. / Литов, физ. сб.— 1969.— Т. 9, № 4.— С. 675.

Калинаускас Р. К., Ванагас В. В. / Литов, физ. сб.— 1969.— Т. 9, № 4.— С. 685.

Калинаускас Р. К., Ванагас В. В. / Литов, физ. сб.— 1973.— Т. 13, № 1.— С. 25.

Калинаускас Р. К., Ванагас В. В. / Литов, физ. сб.— 1974.— Т. 14, № 3.— С. 491.

Калинаускас Р. К., Тауринскас М. В., Ванагас В. В. Ц Литов, физ. сб.— 1976.— Т. 16, № 2.— С. 177.

Каткявичюс О. Д., Ванагас В. В. Ц Литов, физ. сб.— 1981.— Т. 21, № 2.— С. 3.

Каткявичюс О. Д., Ванагас В. В. / Литов, физ. сб.— 1983.— Т. 23, № 4.— С. И.

Каткявичюс О. Д., Ванагас В. В. / Литов, физ. сб.— 1985.— Т. 25, № 2.— С. 10.

Каткявичюс О. Д., Ванагас В. В. / Литов, физ. сб.— 1985.— Т. 25, № 3.— С. 3.

Климык А. У. Матричные элементы и коэффициенты Клебша — Гордана представлений групп.— Киев: Наукова думка, 1979.

Кравцов В. А. Массы атомов и энергии связи ядер.— Изв. 2-е.— М.: Атом- издат, 1974.

Мурнаган Ф. Д. Теория представлений групп/Пер. с англ.— М.: ИЛ, 1950.

Наймарк М. А. Теория представлений групп.— М.: Наука, 1976.

Нейман фон И. Математические основы квантовой механики/Пер. с нем.— М.: Наука, 1964.

Норвайшас Э. 3. Ц Литов, физ. сб.—1981.— Т. 21, № 6.— С. 18.

Овчаренко В. И. / Ядер, физика.— 1976.— Т. 24.— С. 924.

Переломов А. М., Попов В.С./ Ядер, физика.— 1966.—Т. 3.—С.924.

Переломов М. М., Попов В.С./ Ядер, физика.— 1966.—Т. 3.—С.1127.

Петраускас А. К., ВанагасВ.В. / Литов, физ. сб.— 1965.— Т.5,№ 2.—

С. 215.

Петраускас А. К., Ванагас В. В. / Литов, физ. сб.— 1966.— Т. 6, № 2.— С. 191.

Петраускас А. К., Сабаляускас Л. Ю.. Ванагас В. В. / Литов, физ. сб.— 1968.— Т. 8, № 5-6.— С. 721.

Петраускас А. К., Сабаляускас Л. Ю.^ Ванагас В. В. / Литов, физ. сб.— 1969.— Т. 9, № 1.—С. 39.

Петраускас А. К., Янкаускас К. И.. Ванагас В. В. / Ядер, физика.— 1971.— Т. 14.— С. 724.

Попов В. С., Переломов А. М. / Ядер, физика.— 1968.— Т. 7.— С. 460.

Сабаляускас Л. Ю. / Литов, физ. сб.— 1977.— Т. 17, № 5.— С. 549.

Сабаляускас Л. Ю. / Литов, физ. сб.— 1979.—Т. 19, № 1.— С. 5.

Сабаляускас Л. Ю., Бернотас А. П. / Литов, физ. сб.— 1982.—Т. 22, № 1.— С. 46.

Сабаляускас Л. Ю., Ванагас В. В. / Литов, физ. сб.— 1968.— Т. 8, № 1 — 2.— С. 87.

Сабаляускас Л. Ю., Петраускас А. К., Ванагас В. В. / Литов, физ. сб.— 1969.— Т. 9, № 1.— С. 61.

Сабаляускас Л. Ю., Юцис А-А. А.. Бернотас А. II. / Литов, физ. сб.— 1980.—Т. 20, № 1.—С. 3.

Симонов 10. А. / Ядер, физика.— 1966.— Т^ 3.— С. 630.

Смирнов Ю. Ф., Шитикова К. В., Орлова Н. В. / Вестн. МГУ.— Сер. 3, физика, астрономия.— 1973.— Т. 14, № 5.— С. 553.

Сурков Е. Л. / Ядер, физика.— 1967.— Т. 5.— С. 908.

Тауринскас М. В., Ванагас В. В. / Литов, физ. сб.— 1975.— Т. 25, № 3.— С. 329.

Тауринскас М. В., Ванагас В. В. / Литов, физ. сб.— 1977.— Т. 17, № 6.— С. 709.

Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам/ Пер. с англ.— М.: Мир, 1966.

Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике/Пер. с англ.-— М.: Мир, 1983.— Т. I, II.

Юцис A. IL, Левинсон И. Б., Ванагас В. В. Математический аппарат теории момента количества движения.— Вильнюс. Гос. изд-во полит, и науч, лит., 1960.

Alisauskas S. Ц J. Phys. A: Math. Gen — 1984.— V. 17 — Р. 2899.

Alisauskas S. Ц J. Phys. A: Math. Gen.— 1986.—V. 19.—P. 1761.

Alisauskas S. Ц J. Phys. A: Math. Gen — 1987 —V. 20.—P. 35.

Alisauskas S. / J. Phys. A: Math. Gen.— 1987.— V. 20 — P. 1045.

Arima A., lachello F. Ц Ann. of Phys.— 1976.—V. 99.—P. 253.

Arima A., lachello F. Ц Ann. of Phys.— 1978.— V. 111.— P. 201.

Bargmann V., Moshinsky M. Ц Nucl. Phys.— 1960.— V. 18.— P. 697.

Bargmann V., Moshinsky M. / Nucl. Phys.—1961.— V. 23.—P. 177.

Baker G. A. / Phys. Rev.— 1956.—V. 103.-P. 1119.

Bartlett J. Ц Phys. Rev.— 1936.— V. 49.— P. 102.

Bohr А. Ц Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk.— 1952.— V. 26, No. 14.— P. 3.

Bohr A., Mottelson В. В. Ц Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk.— 1953.— V. 27, No. 16.— P. 7.

Castanos O., Frank A., Chacon E., Hess P., Moshinsky M. Ц J. Math. Phys.— 1982.V. 23.P. 2537.

Castilho Alcaras J. A., Yanagas V. / J. Math. Phys.— 1987.—V. 28.—P. 1995.

Draayer J. P. Ц J. Math. Phys.— 1970 — V. 11 — P. 3225.

Edmonds A. R. Angular Momentum in Quantum Mechanics.—2-nd ed.— Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1957.

Eisenbud L., Wigner E. P. / Proc. Nat. Acad. Sci., U. S.— 1941.— V. 27.— P. 281.

Elliott J. P. Ц Proc. Roy. Soc.— 1958.— V. A245.— P. 128.

Elliott J. P. Ц Proc. Roy. Soc.— 1958 — V. A245.— P. 562.

Gilmore R. Lie Groups, Lie Algebras and Some of Their Applications.— New York: Wiley, 1974.

Grynberg M. / Ann. Phys. (N. Y.) — 1966 — V. 36 — P. 188.

Grynberg M., Koba Z. // Ann. Phys. (N. Y.) — 1964.—V. 26.—P. 418.

Hecht К. T., Pang S. C. // J. Math. Phys.— 1969.— V. 10.— P. 1571.

Heisenberg W. Ц Zeitschr. Phys.— 1932.— Bd 77.— S. 1.

Janssen D., Jolos R. V., Donau F. Ц Nucl. Phys.— 1974.— V. A224.— P. 93,

Jauch J. M., Hill E. L. // Phys. Rev.— 1940 — V. 57- P. 641.

Kretzschmar M. Ц Zeitschr. Phys.— 1960.— Bd. 157.— S. 433.

Kretzschmar M. Ц Zeitschr. Phys.— I960.— Bd. 157.— S. 558.

Kretzschmar M. Ц Zeitschr. Phys.— I960.— Bd. 158.— S. 284.

Littlewood D. E. The Theory of Group Characters.— 2-nd. ed.— Oxford University Press., 1950.

Majorana E. / Zeitschr. Phys.— 1933.— Bd. 82.— S. 137.

Miller W. Jr. Lie Theory and Special Functions.— New York: London: Academic Press, 1968.

Moshinsky M., Quesne C. / J. Math. Phys — 1971 — V. 12.— P. 1772.

Murnaghan F. D. The Unitary and Rotation Groups: Lectures of Applied Mathematics.—Washington, D. C.: Spartan Books, 1962.—V. III.

Racah G./ Phys. Rev.— 1943.— V. 63 — P. 367.

Racah G./ Phys. Rev.— 1949.— V. 76 — P. 1352.

Rainwater J. / Phys. Rev.— 1950.— V. 79 — P. 432.

Ripka G.Thes. Doct. Sci. Fac. Sci. Orsay.— University of Paris (Rapp CEA’

No 3404),1968.\>

Rose M. E. Elementary Theory of Angular Momentum.— N. Y.: Wiley, 1957.

Rowe D. J., Rosensteel G. Ц Ann. Phys. (N. Y.) — 1980.— V. 126.— P. 198.

KabaUauskas L. / Atomic Data and Nuclear Data Tables.— 1980.— V. 25.—

Yanagas Y. The Microscopical Theory of the Nuclear Collective Motion Ц Proc. Intern. Symposium on Nuclear Structure, Balatonfured, Hungary 1975/ Ed. I. Fodor-Lovas, G. Palla.— Budapest, 1976.— V. 1.— P. 167.

Vanagas V. The Restricted Dynamic Nuclear Model Ц Proc. Intern. Conference on Selected Topics in Nuclear Structure. Dubna: JINR.— 1976.—V. 1.— P. 46.

Vanagas V. The Microscopic Nuclear Theory within the Framework of the Restricted Dynamics: Lecture Notes.— Toronto: University of Toronto (Dep. of Physics). 1977.

Vanagas V. Group-Theoretical Aspects of the Many-Body Problem in Nuclear Theory Ц Proc. IX. Intern. Colloquium on Group Theoretical Methods in Physics, Cocoyoc, Mexico 1980.— Berlin; Heidelberg; New York: Sprin- ger-Verlag (Lecture Notes in Physics).—1980.—No. 135.—P. 408.

Vanagas V. The Microscopic Theory of the Collective Motion in Nuclei: Lecture Notes in «Group Theory and its Applications in Physics.—1980.— Latin American School of Physics, Mexico City».— N. Y.: American Institute of Physics (AIP Conference Proceedings).—1981.—No. 71.—P. 220—293.

Vanagas Г. Introduction to the Microscopic Theory of the Collective Motion in Nuclei: Lecture Notes in «Proceedings of the V Intern. School on Nuclear and Neutron Physics and Nuclear Energy, Varna — 1981».— Sofia: Bulg. Acad. Sc., 1982 — P. 185—229.

Vanagas V. / Bulg. J. Phys.— 1982.— V. 9.— P. 231.

Vanagas V. Symplectic Models of the Nucleus Ц Group-Theoretical Methods in Physics. / Proc. Intern. Seminar.— Zvenigorod. 1982/Ed. Markov M. A., Man’ko V. L, Shabad A. E.—Chur; London; Paris; New York: Harwood Academic PubL, 1985.— V. 1.— P. 259—282.

Vanagas V. The Restricted Dynamics Nuclear Models: Conceptions and Applications: Lecture Notes in «Symmetries and Semiclasical Features of Nuclear Dynamics.— 1986.— Poiana Brasov Intern. Summer School, Romania».— Berlin; Heidelberg; New York; London; Paris; Tokyo: Springer-Ver- lag (Lecture Notes in Physics).— 1986.— No. 279.—P. 135.

Vanagas K, Nadjakov E., Raychev P. Ц Preprint/Intern. Centre for Theoretical Physics.— Miramare — Trieste, 1975.— № IC/75/40.

Vanagas K, Nadjakov E., Raychev P. Ц Bulg. J. Phys.— 1975.— V. 2.— P. 558.

Weaver O. L., Cusson R. Y., Biedenharn L. С. Ц Ann. Phys. (N. Y.) — 1976.- V. 102.— P. 493.

Wigner E. P. // Phys. Rev.— 1937.— V. 51.— P. 106.

Wigner E. P. // Phys. Rev.— 1939.— V. 56.— P. 519.

Wybourne B. G. Classical Groups for Physicists.— N. Y.: Wiley, 1974.

Zickendraht W. / J. Math. Phys.—1971.—V. 12.— P. 1663.

В частности, когда в качестве Jif выступают операторы Казимира Ки\ матрица М^К^^ является единичной матрицей размерности ск, умноженной на собственное значение Ки\ Тогда из (10.41) получаем (10.30).

Характерная особенность операторов Ж состоит в том, что они действуют внутри Жх\ т. е. не имеют недиагональных по X матричных элементов. Это свойство обеспечивается инфинитезимальными операторами, из которых образованы Ж и которые действуют лишь внутри G-неприводимого пространства Жх\ Наглядную иллюстрацию этого утверждения дают формулы (2.25) и (2.35).

17 В- В Вянягяп

В. В. ВАНАГАС

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МИКРОСКОПИЧЕСКОЙ

ТЕОРИИ ЯДРА

МОСКВА «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1988

ББК 22.31

В17

УДК 539.14 + 512.81

ВАНАГАС В. В. Алгебраические основы микроскопической теории ядра.—

М/. Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.— 1988.— 264 с.— ISBN 5-02-013820-7

Монография посвящена физическим и математическим основам микроскопических моделей ядра, выводимых из уравнения Шредингера с помощью алгебраического аппарата симметрической и компактных матричных групп. Обсуждаются и сравниваются традиционные и нетрадиционные модели ядра и лежащие в их основе физические идеи. Описываются неприводимые представления и алгебры классических групп, функции и операторы, заданные на фактор-пространствах ортогональных групп, излагаются избранные вопросы алгебраической техники построения операторных рядов, применяемых в теории ядра. Приводятся основы генеалогического разложения и метода матрицы плотности.

Для научных сотрудников, работающих в области теории ядра, а также преподавателей и аспирантов, специализирующихся в прикладных вопросах теории групп и ее применениях в теоретической физике.

Табл. 6. Ил. 2. Библиогр. 156 пазв.

Рецензент член-корреспондент АН СССР И. С. Шапиро

В а н а г а с Владиславас Владович

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МИКРОСКОПИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЯДРА

Редактор Г. М. Карасева

Художественные редакторы Т. Н. Колъченко, Л. Н. Романенкова

Технический редактор С. Я. Шкляр. Корректоры Н. Б. Румянцева, М. Л. Медведская

ИБ № 11755

Сдано в набор 03 08.87. Подписано к печати 31.05.88. Формат 60x90716. Бумага для множительных аппаратов. Гарнитура обыкновенная. Печать высокая. Усл. печ. л. 16,5.

Усл. кр.-отт 16,5. Уч.-изд. л. 19,4. Тираж 1800 экз. Заказ № 951. Цена 4 р. 20 к.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»

Главная редакция физико-математической литературы

117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15

4-я типография издательства «Наука»

630077 Новосибирск 77, Станиславского, 25

1704070000-144 _в —n^n/nox-QQ— 105-88

D 053 (02)-88 JISBN 5-02-013820-7

©Издательство «Наука».

Главная редакция физико- математической литературы, 1988

Предисловие 6Глава I. Уравнение Шредингера и микроскопические модели ядра 9§ 1. Уравнение Шредингера для многочастичных квантовых систем 101. Модели ядра и операторные ряды (10). 2. Гамильтонианы многочастичных квантовых систем (12). 3. Точные интегралы движения (15).Предисловие 6Глава I. Уравнение Шредингера и микроскопические модели ядра 9§ 1. Уравнение Шредингера для многочастичных квантовых систем 101. Модели ядра и операторные ряды (10). 2. Гамильтонианы многочастичных квантовых систем (12). 3. Точные интегралы движения (15).ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 6

Глава I. Уравнение Шредингера и микроскопические модели ядра 9

§ 1. Уравнение Шредингера для многочастичных квантовых систем 10

1. Модели ядра и операторные ряды (10). 2. Гамильтонианы многочастичных квантовых систем (12). 3. Точные интегралы движения (15).

Предисловие 6

Глава I. Уравнение Шредингера и микроскопические модели ядра 9

§ 1. Уравнение Шредингера для многочастичных квантовых систем 10

1. Модели ядра и операторные ряды (10). 2. Гамильтонианы многочастичных квантовых систем (12). 3. Точные интегралы движения (15).

Трансляционно-инвариантные переменные (18). 5. Операторы и уравнение Шредингера в переменных Якоби (19).

Традиционные и нетрадиционные модели20

Пространство решений уравнения Шредингера (20). 2. Способы построения микроскопических моделей квантовых систем (22). 3. Бес- спиновая частица в нецентральном поле (25). 4. Разложение гамильтониана трехмерной частицы и модели, сохраняющие орбитальный момент (28).

Микроскопическая коллективная модель ядра32

Геометрические особенности структуры атомных ядер (32). 2. Оп—р неприводимое разложение гамильтониана (34). 3. Коллективный потенциал двухчастичного центрального взаимодействия (36). 4. Оператор кинетической энергии в коллективных и внутренних переменных (38). 5. Упрощенный коллективный гамильтониан ядра (40). 6. Явные выражения коллективных потенциалов (41). 7. Некоторые свойства коллективных потенциалов (43).

Представления ортогональных и унитарных групп и микроскопические модели ядра46

Некоторые свойства состояний коллективного гамильтониана (46).

Коллективный гамильтониан с сильно ограниченной динамикой (49).

Антиколлективные эффекты (50). 4. Сравнение традиционных и нетрадиционных моделей ядра (53).

Одночастичпое и двухчастичное изоспиновые пространства .55

Ядро как двухкомпонентная система (55). 2. Изоспиновые состояния нуклонов (57). 3. Одночастичные изоспиновые функции и операторы (58). 4. Операторный базис в двухчастичном изоспиновом пространстве (60). 5. Примеры и обобщения (63).

Гамильтониан ядра64

Уравнение Шредингера для ядра (64). 2. Оператор кинетической энергии (65). 3. Кулоновская энергия (68). 4. Нуклон-нуклонное взаимодействие (69). 5. Гамильтонианы двухкомпонентных систем в изоспиновом формализме (72).

Глава II. Избранные вопросы теории групп73

Симметрическая и компактные матричные группы ...74

Некоторые определения и примеры (74). 2. Компактные матричные группы (78). 3. Параметризация унитарных групп (79). 4. Па-

раметризация ортогональных групп (82). 5. Функции на группах и фактор-пространствах (85). 6. Фактор-пространства ортогональных групп (87). 7. Интегрирование на компактных группах (88).

Неприводимые представления симметрической и компактных матричных групп

Операторы группы в линейных пространствах (90). 2. Неприводимые матричные представления операторов группы (94). 3. Схемы Юнга и маркировка неприводимых представлений симметрической группы (97). 4. Неприводимые представления компактных матричных групп (101).

Разложение и техника сужения приводимых представлений

Типичные задачи приведения (107). 2. Цепочки подгрупп (109).

Маркировка неприводимых базисов (111). 4. Техника сужения (112).

Правила модификации для групп От и SpT (117). 6. Примеры аналитических формул сужения (118). 7. Мощность индексов повторения (120).

Инфинитезимальные операторы и операторы Казимира ..

Общие свойства инфинитезимальных операторов (122). 2. Координатная реализация инфинитезимальных операторов алгебр UT1 SOr и Spr (124). 3. Алгебра некомпактной группы Sp(2r, R) (126). 4. Некоторые подалгебры алгебр U , Ur r, От г и Sp(2r0r, R) (127). 5. Нет 'о ' о

приводимые свойства инфинитезимальных операторов (129). 6. Операторы Казимира и их собственные значения (131). 7. Операторный базис в неприводимых пространствах (134).

Функции, заданные на фактор-пространствах ортогональных групп

Функции, генерируемые операторами группы (135). 2. Полная система функций, заданных на фактор-пространствах ортогональных групп (137). 3. Замена переменных в многомерных пространствах (142). 4. Полуканоническая параметризация и параметры вещественной линейной группы (146). 5. Функции во внутренней системе координат (147).

Операторы в переменных фактор-пространства ортогональных групп

Маркировка канонических базисов простейших От -неприводимых представлений (150). 2. Инфинитезимальные операторы правого и левого сдвигов (152). 3. Замена переменных в операторах (157).

Замена переменных в операторах одночастичного и двухчастичного типов (161).

Глава III. Алгебраический аппарат микроскопических моделей ядра

Тензорные операторы в неприводимых пространствах ...

Коэффициенты Клебша — Гордана (165). 2. Функции связанных представлений и матрицы пересвязывания (170). 3. Теорема Вигнера— Эккарта (172). 4. Ряды неприводимых операторов (174). 5. Теорема Вигнера — Эккарта для сложных операторов (176). 6. Неприводимые операторы симметрической группы (178).

Алгебраическая реализация неприводимых базисов ...

Общая характеристика неприводимых базисов (183). 2. Тензоры с двойным базисом (184). 3. Спиновые и спин-изоспиновые функции (187). 4. Алгебраические схемы трансляционно-инвариантных базисов (190).

Алгебраическая реализация пространства функций многих переменных

Разложения по неприводимым базисам ортогональных групп (193).

Некоторые свойства радиальных функций (196). 3. Неприводимые базисы в унитарной и ортогональной схемах (198). 4. Осциллятор- ные функции в унитарной и ортогональной схемах (199). 5. Симплек- тический базис и его эквивалентность базису унитарной схемы (202).

9090107107122122135135150150165165165165183183193193Реализация антисимметрического пространства (206).

90

90

107

107

122

122

135

135

150

150

165

165

165

165

183

183

193

193

Генеалогические коэффициенты и матрица плотности ...

Определения и общие свойства (210). 2. Генеалогическое разложение и матрица плотности тензорных базисных функций (214). 3. Генеалогическое разложение антисимметрических оболочечных функций фермиевских частиц (217). 4. Структура матриц преобразования сложных базисов (218). 5. Рекуррентное построение Ог -неприводимых матриц в неканонических базисах (221).

Генеалогические коэффициенты и матрица плотности для ^rQ(n-i)- и Or^n-i)- неприводимых базисов

Генеалогические коэффициенты функций унитарной схемы (225).

Генеалогическое разложение функций ортогональной схемы и гиперсферического базиса (228). 3. Матричное представление операторов в Ugfn—D - и Og^-D-неприводимых базисах (234). 4. 173-неприводи- мые матричные ряды (237).

Матричное представление операторов в антисимметрических пространствах и неприводимые операторные ряды ...

Выражения матричных элементов в супермультиплетном базисе (240). 2. Альтернативное выражение матричных элементов операторов в антисимметрических пространствах (244). 3. Усреднение операторов по внутренним переменным и Оп__1-неприводимые ряды (246). 4. Оп—1 - и ^U3xUn_^ -неприводимые матричные ряды для многочастичных операторов (249). 5. Неприводимые разложения многочастичных операторов и гамильтонианы нетрадиционных моделей ядра (253).

Заключение и краткий обзор литературы

210210225225240240256260256260Список литературы

210

210

225

225

240

240

256

260

256

260

ПРЕДИСЛОВИЕ

В настоящей книге читатель не найдет традиционного подхода к теории ядра и изложения связанных с ним методов теории групп, обычно встречающихся в публикациях со сходными названиями. Книга посвящена алгебраическим основам микроскопической теории, которая опирается на модели, выводимые из гамильтониана ядра. В таком подходе к задаче многих тел в теории конечных фермиевских систем используются операторные ряды, порождающие модельные гамильтонианы, действующие в определенным образом реализованных пространствах. Построение операторных рядов и реализация пространств осуществляются с помощью алгебраических методов, и это обстоятельство позволяет перекинуть мост от физических проблем теории ядра к математическому аппарату теории групп. Обоим упомянутым предметам и посвящена настоящая книга.

Название книги раскрывает ее содержание не полностью. Кроме основ микроскопической теории ядра в нее также включены избранные вопросы универсальной техники теории групп, применяемой в теоретической физике при выявлении скрытых и учете нарушенных симметрий, реализации неприводимых пространств, в которых действуют операторы наблюдаемых величин, построения в этих пространствах операторных базисов и т. п. Излагаемые математические методы выходят за рамки круга вопросов, обычно описываемых в руководствах по теории групп. Поэтому книга может быть также полезной для читателей, научные интересы которых далеки от области применения алгебраических методов к изучению структуры атомных ядер.

Математическое обеспечение алгебраического подхода к изучению структуры атомных ядер требует внимания к специальному математическому аппарату симметрической и сложных матричных групп. В этой связи перед автором возникла проблема выбора материала и общего плана его изложения. Проще всего было начать с описания математических методов, а затем перейти к вопросам теории ядра, но от такого плана изложения было решено отказаться по той причине, что математическая часть создала бы барьер для читателей, которые интересуются физическими приложе- 6

ниями более, чем их математической трактовкой. Однако, поскольку нельзя обойтись без математических методов, в равной мере как и описать алгебраический подход к изучению структуры атомных ядер без соответствующей математической подготовки, было решено на первом этапе изложения разделить физические и математические аспекты теории, посвящая обеим сторонам предмета отдельные главы. В результате сложилась следующая структура книги.

Первая глава — «Уравнение Шредингера и микроскопические модели ядра» — предназначена для предварительного знакомства с физическими и математическими идеями, положенными в основу теории и объяснения методов вывода некоторых ее результатов. В этой главе в общих чертах излагается проблема многих тел, включая описание гамильтониана ядра. Она носит вводный характер, теория групп в ней затрагивается лишь эпизодически и для ее чтения не требуется специальной подготовки.

Вторая глава — «Избранные вопросы теории групп» — читается независимо от первой. Она по существу представляет собой краткое руководство по специальным разделам теории симметрической и компактных матричных групп. В ней собран материал, разбросанный в монографиях, обзорах и оригинальных работах, который необходим для понимания следующей главы книги. Во второй главе не приводится систематическое изложение основ теории групп, в ней зачастую акцентируются вопросы, не затрагиваемые в стандартных курсах, и, наоборот, не рассматриваются традиционные разделы теории групп. Тем не менее большинство обсуждаемых вопросов изложено с определенной полнотой, и приведенный материал может служить в крайнем случае введением, облегчающим чтение указанной литературы.

Третья глава — «Алгебраический аппарат микроскопических моделей ядра» — знакомит читателя с вопросами, имеющими непосредственное отношение к теории ядра. Ее материал в основном касается трех взаимосвязанных вопросов — описания универсальных величин теории представлений групп, встречающихся в приложениях, построения неприводимых пространств и изучения действующих в них операторов. Эта глава предназначена для физиков-теоретиков, желающих ознакомиться с конструктивными алгебраическими методами сложных дискретных и компактных групп и общими принципами их применения в теории многочастичных квантовых систем. Глава завершается изложением техники развертывания неприводимых операторных рядов, лежащей в основе микроскопической теории ядра, построенной в рамках ограниченной динамики. Книга заканчивается заключением и кратким обзором литературы.

Из-за сравнительно небольшого объема книги в ней лишь бегло упомянуты результаты по изучению модельных гамильтонианов, исследованию свойств их состояний и спектров и почти не обсуждаются многочисленные публикации по математическому обеспечению микроскопических моделей ядра. Перечисленные во-

просы составляют предмет отдельной монографии, которую автор намерен в будущем предложить вниманию читателей.

В книге также не полностью освещены результаты публикаций, непосредственно связанных с ее предметом. Поэтому список литературы не претендует на полноту. Кроме книг, обзоров и лекций в него включены лишь основополагающие работы либо труды, в которых можно найти дополнительные сведения, детали техники расчета, явные выражения, таблицы и т. п. В тех случаях, когда результаты были получены повторно, ссылки, как правило, приводятся лишь на первую публикацию. Кроме обычных, в тексте встречаются ссылки следующего типа: [17] (см. также [21, 24]). Это означает, что [17] — оригинальная публикация, но тот же вопрос излагается и в работах [21, 24].

При подготовке книги использовались лекции [15, 143, 145, 146] и обзоры [16, 21, 148, 24]; некоторые вопросы алгебраической реализации гильбертова пространства и вычислительной техники теории групп тесно связаны с предметом монографии [14]. Книга не исчерпывает содержания упомянутых лекций и обзоров, поэтому при необходимости будем отсылать читателя к указанным источникам за дополнительным материалом.

Нумерация параграфов в книге сплошная. Ради удобства первая цифра при нумерации формул, таблиц и рисунков повторяет номер параграфа; ссылки на параграфы и пункты обозначаются соответственно как § 10, п. 10.2 и т. п. Перенос по техническим причинам фрагментов формул в другую строку, как например, на с. 82, обозначается точкой.

В. Ванага^В. Ванага^Вильнюс, апрель 1987 г.

В. Ванага^

В. Ванага^