Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
РАЗДЕЛ I
АНАЛИЗ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГОУПРАВЛЕНИЯ
ГЛАВА 1
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
Однородные стационарные линейные системы ............32
Уравнение в форме вход—выход (32). 1.1.2. Система уравнений в форме Коши (34).
Однородные нестационарные линейные системы ...........43
Задача Коши для однородных нелинейных систем ...........46
Абстрактная математическая модель систем с сосредоточенными параметрами (46). 1.3.2. Автоколебания нелинейных систем (49). 1.3.3工 Структурный признак существования предельного цикла в виде гиперсферы [28] (51).
Интегрирование уравнений в частных производных. Абстрактная математическая модель систем с сосредоточенными и с распределенными параметрами ............................52
Неоднородные стационарные линейные системы ...........54
Тождество Коши (54). 1.5.2. Метод передаточных функций (62).
ГЛАВА 2
ЗАДАЧИ И ЦЕЛИ УПВ4ВНЕНИЯ
Классификация задач синтеза ......................71
Цели автоматического управления, преследуемые в задаче стабилизации ...................................72
Распространение показателей точности и качества переходных процессов на системы, отличные от стационарных линейных ......85
Задачи синтеза, порожденные проблемой много связности (проблема неединственности по Адамару) .....................87
ГЛАВА 3
АНАЛИЗ УПВ4ВЛЯЕМОСТИ(ПРОБЛЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ ПО АДАМАРУ)
Содержательное определение управляемости .............93
Историческая справка ..........................94
Анализ управляемости абстрактной математической модели . . . . .96
Анализ управляемости в случае производных от управлений в форме вход-выход ................................99
Переход к неканонической форме Фробениуса (100). 3.4.2. Переход к неканонической форме Крылова-Люенбергера (102).
Анализ управляемости: декомпозиция на полностью управляемую и полностью неуправляемую подсистемы ................105
Постановка задачи (105). 3工5.2及 Формализация процедуры направленного перебора решения задачи (106). 3.5.3. Алгоритм декомпозиции (109).
ГЛАВА 4
АНАЛИЗ СТРУКТУРНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙМОДЕЛИ (УСТОЙЧИВОСТЬ К МАЛЫМ ИЗМЕНЕНИЯМ ИСХОДНЫХ
ДАННЫХ ПО АДАМАРУ)
Определение структурной устойчивости математической модели . .117
Классификация структурных возмущений ...............119
Анализ структурных возмущений стационарных линейных систем *121
Анализ правил преобразования структурных схем ...........126
ГЛАВА 5
АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ
Историческая справка ..........................131
Первый метод Ляпунова .........................132
Общие положения (132). 5.2.2. Приводимость по Ляпунову (134).
П-приводимость (145)
Второй метод Ляпунова .........................150
Матричное тождество Ляпунова . ....................154
Анализ орбитальной устойчивости ...................157
Постановка задачи и вспомогательные сведения (157). 5.5.2. Обобщение основных теорем второго метода Ляпунова на случай исследования орбитальной устойчивости предельных циклов (159). 5.5.3. Метод построения обобщенных функций Ляпунова с использованием математического аппарата кривизн дифференциальной геометрии (162).
Анализ устойчивости при постоянно действующих возмущениях . .168
Историческая справка (168). 5.6.2. Стабилизируемость в условиях внешних воздействий, порожденных неуправляемой подсистемой (171).
ГЛАВА 6
АНАЛИЗ ГРУБОСТИ СВОЙСТВА АСИМПТОТИЧЕСКОЙУСТОЙЧИВОСТИ
Историческая справка ..........................183
Постановка задачи синтеза гурвицева интервального многочлена . .187
Альтернативные формы записи формул Виета .............192
Формализм «размывания» корней в случае четной степени характеристического многочлена ........................194
Формализм «размывания» корней в случае нечетной степени харак『 теристического многочлена .......................195
Анализ грубости свойства асимптотической устойчивости в про
странстве состояний ...........................198
Послесловие к анализу .............................206
РАЗДЕЛ II
СИНТЕЗ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
ГЛАВА 7
ЗАДАЧА СТАБИЛИЗАЦИИ: СИНТЕЗ ЗАКОНОВ УПВ4ВЛЕНИЯРЕГУЛЯРНОЙ СТРУКТУРЫ
Синтез обратной связи, исходя из желаемого распределения корней характеристического уравнения замкнутой системы ..........209
Задача модального управления: случай скалярного управления (209).
Задача модального управления: случай векторного управления (212).
Задача модального управления применительно к абстрактной математической модели объекта управления: синтез приводимых систем (217). 7.1.4. Задача модального управления на основе принципа нелинейного включения в матричное тождество Ляпунова (221).
Синтез обратной связи по интегральным квадратичным критериям качества переходных процессов замкнутой системы ..........225
Историческая справка (225). 7.2.2. Методы аналитического конструирования оптимальных регуляторов (226). 7.2.3. Алгоритм Бьюси-Джозефа решения нелинейного матричного алгебраического уравнения типа Риккати в задаче АКОР Летова, исходя из неявно заданных корней характеристического уравнения замкнутой системы [40] (229). 7.2.4. Метод билинейных преобразований конструирования решений матричного уравнения Ляпунова в задаче АКОР А. А. Красовского (233).
Анализ грубости свойства асимптотической устойчивости по Ляпу
нову аналитически сконструированных систем ............237
Синтез обратной связи по выходу ....................240
ГЛАВА 8
ЗАДАЧА ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВЕКТОВ4 СОСТОЯНИЙ (ЗАДАЧАНАБЛЮДЕНИЯ)
Синтез наблюдателей полного порядка .................252
Восстановление линейных скоростей абсолютно твердого тела по результатам измерения угловых скоростей в условиях зависимости моментов сил от линейных скоростей ..................254
Восстановление линейных скоростей одномоторного самолета . . . .257
ГЛАВА 9
ЗАДАЧА СТАБИЛИЗАЦИИ: СИНТЕЗ ЗАКОНОВ УПВ4ВНЕНИЯСИНГУЛЯРНОЙ СТРУКТУРЫ
Историческая справка ..........................
Идея прямого метода решения задачи АССР ..............
Анализ корректности постановки задачи АССР ............
Синтез сингулярных регуляторов прямым методом ..........
Метод решения задачи АССР приведением к форме Крылова- Люенбергера
Новое решение задачи автономного регулирования Вознесенского ..
ГЛАВА 10
ЗАДАЧА ФИНИТНОГО УПВ4ВЛЕНИЯ БЕЗ ОГВ4НИЧЕНИЙ
Историческая справка ..........................
Аналитическое решение задачи финитного управления в непрерывном случае ................................ 10.2.1. Перевод в начало координат (284). 10.2.2. Перевод в заданное конечное состояние (287). 10.2.3. Финитное управление креном управляемого снаряда (288).
Аналитическое решение задачи финитного управления в дискретном случае ...................................
Алгоритм программного управления (295). 10.3.2. Алгоритм управления по принципу обратной связи (296). 10.3.3. Дискретное финитное управление креном управляемого снаряда (297)工
ГЛАВА 11
ФИНИТНОЕ УПВ4ВНЕНИЕ С УЧЕТОМ ОГВ4НИЧЕНИЙ НА
УПВ4ВЛЕНИЯ
ИЛ. Принцип максимума Понтрягина ....................
Решение задачи оптимального быстродействия на основе принципа максимума Понтрягина .........................
Решение задачи на оптимум расхода топлива на основе принципа максимума Понтрягина .........................
Решение задачи управления конечным состоянием на основе принципа максимума Понтрягина ........................
Решение задачи управления по минимуму расхода энергии на основе принципа максимума Понтрягина ....................
ГЛАВА 12
АДАПТИВНОЕ УПВ4ВНЕНИЕ
Общие замечания
Метод функций Ляпунова решения задач адаптивного управления беспоисковыми самонастраивающимися системами без эталонной модели
264264265267278280284284294264264265267278280284284294302304305307308313313316302304305307308313313316Метод функций Ляпунова решения задач адаптивного управления беспоисковыми СНС с эталонной моделью ...............
264
264
265
267
278
280
284
284
294
264
264
265
267
278
280
284
284
294
302
304
305
307
308
313
313
316
302
304
305
307
308
313
313
316
Методы решения задач адаптивного управления поисковыми самона『 страивающимися системами .......................317
Метод измерения производной (317). 12.4.2. Метод запоминания экстремума (318). 12.4.3. Метод периодического поискового сигнала (319).
Послесловие к синтезу .............................321
РАЗДЕЛ III
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ПВ4ВИНА ПРЕОБВ43ОВАНИЯ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ОСНОВЫ В4БОТЫ С СИСТЕМОЙ АНАЛИТИЧЕСКИХВЫЧИСЛЕНИЙ АНАЛИТИК-С
П. 2.1 .История создания и основные возможности системы .........367
П. 2.1.1. Инсталляция и запуск системы (368). П. 2.1.2. Основы пользовательского интерфейса (369). П. 2.1.3. Редактирование документа (369). П. 2.1.4. Запуск программы на языке АНАЛИТИК-С (371). П. 2.1.5. Работа со встроенной системой помощи (371).
П. 2.2. Описание входного языка системы ...................372
П. 2.2.1. Переменные (372). П. 2.2.2. Операции, выражения (374). П. 2.2.3. Функции (374). П. 2.2.4. Операторы (374).
П. 2.3.Работа с графикой. Графические команды и функции .........382
Список литературы ...............................383
Предметный указатель .............................386
Моим учителям, начиная с первой школьной учительницы, светлой памяти Марии Ермолаевны Фроловой
ОТ АВТОРА
Наше многомиллионное и многонациональное Российское государство, насчитывающее более чем тысячелетнюю историю, может гордиться очень многим, чего не может позволить себе никакая другая страна в мире.
Причин две: во-первых, наше самое большое в мире по территории государство населяет одна из самых больших (по численности) наций на Земле, которую весь остальной мир называет русской. И пусть не обижаются те наши соотечественники, которые могут отличаться цветом кожи, разрезом глаз и вероисповеданием: наши с Вами предки создали Великую Русь.
Во-вторых, как следствие, мы самая богатая нация в мире. И здесь речь не о природных богатствах, к которым в большинстве государств подавляющее большинство населения имеет виртуальное отношение. Богатство любого государства, какую бы территорию оно ни занимало, в первую очередь составляют люди: как каждый человек в отдельности, так и все вместе. Собираясь вместе, наши предки спасали мир от очередного диктатора, будь то Чингисхан, Наполеон или Гитлер.
Наши родители отдавали Родине не только свои силы, знания и здоровье, но и свои сбережения, удержав мир от третьей мировой войны и запустив в космос первый искусственный спутник Земли и Ю. Гагарина.
Даже самое распространенное на Земле чудо — компьютер, наделен аббревиатурой, происходящей от фамилии нашего с Вами соотечественника (Пентковский — Pentium).
Читатель этой книги может гордиться еще и тем, что в нашей стране родилась, нашими соотечественниками взлелеяна и превратилась в мисс «НАУКА XX века» и, надеюсь, века нынешнего ——теория автоматического управления (ТАУ).
Настоящая книга посвящена аналитическим методам этой теории. Реализовать изложенные в ней методы можно с использованием систем аналитических вычислений (САВ или, что то же самое, систем компьютерной алгебры ——СКА). Но поскольку САВ западной разработки (типа Maple V, MathCAD, MATLAB и т. п.) применительно к изложенным в книге методам неудовлетворительно справляются с приведением подобных членов, книга снабжена приложением (написано А. В. Греком), посвященным отечественной СКА АНАЛИТИК-С. В основу этой СКА положен язык аналитических вычислений АНАЛИТИК, разработанный под руководством академика АН СССР В. М. Глушкова для аналогово-цифровой ЭВМ «Мир-2» в начале 70-х годов.
Разработчики АНАЛ1/1Т1/1К-С, включая автора книги, предлагают всем ее читателям дальнейшее сопровождение А НАЛ МТ 1/1 К-С (находится по адресу httpy/www.tki-analitik.m) вести сообща, объявив эту САВ под юрисдикцией стандартной публичной лицензии GNU, подобно тому, как это сделано для LINUX.
В заключение автор выражает благодарность своим коллегам и ученикам, принявшим участие в обсуждении книги, а также выпускникам Саратовского государственного технического университета по специальности 210100 и направлению 5 50200, прочитавшим ее и своими замечаниями способствовавшими ее улучшению. Отдельно хочу выразить благодарность профессору Н. Н. Макееву, неформально прочитавшему рукопись и давшему множество замечаний, способствовавших лучшему ее пониманию.
Отдавая себе отчет в том, что отдельные неточности, опечатки и, избави Боже, ошибки могли вкрасться в текст книги, автор будет признателен всем читателям, приславшим свои отклики и замечания по ее содержанию и оформлению.
Адреса для переписки:
410054, Саратов, ул. Политехническая, 77, СГТУ а/я 85.
E-mail: pva@sstu.Saratov.su
E-mail: sstu85@yandex.ru
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга посвящена одной из основных естественнонаучных дисциплин XX века — теории автоматического управления (ТАУ).
Объектом исследований ТАУ является заданная математическая модель объекта управления. Цели исследований ТАУ составляют:
анализ или исследование свойств математической модели объекта управления (этим вопросам посвящены первые 6 глав книги, составляющие ее первый раздел);
синтез или конструирование закона управления, доставляющего объекту желаемые свойства (эти вопросы изложены во втором разделе, включающем 6 оставшихся глав).
Книга начинается с введения s ТАХ где излагаются понятийный аппарат теории и способы описания математических моделей объектов управления.
Первая глава представляет собой вспомогательные сведения из теории обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных и качественной теории динамических систем. Здесь описаны аналитические методы решения задачи Коши и приведены абстрактные математические модели объектов управления, которые вооружают разработчика систем автоматического управления единообразным инструментом описания стационарных линейных, нестационарных линейных, нелинейных и распределенных управляемых систем.
Вторая глава посвящена целям и задачам ТАУ Здесь дана классификация задач синтеза, описаны показатели точности и качества управления, а также рассмотрены условия корректной постановки задач синтеза.
Третья глава посвящена анализу управляемости. Здесь дается содержательное определение управляемости и построенный на этом определении формализм перехода от вход-выходной формы описания к описанию уравнениями пространства состояний в форме Коши, включая обратный переход с использованием математического аппарата «производящего вектора и коэффициентов Крылова». Здесь же описывается декомпозиции абстрактной математической модели объекта управления на полностью управляемую и полностью неуправляемую подсистемы.
Четвертая глава связана с анализом структурной устойчивости (или устойчивости к малым изменениям исходных данных задачи по Адамару). Здесь выполнена формализация структурных возмущений как возмущений, обратных сингулярным возмущениям, и уточнены существующие классические правила преобразования структурных схем.
Пятая глава посвящена анализу устойчивости. Первый параграф представляет собой историческую справку. Во втором параграфе рассматривается первый метод Ляпунова, включая анализ приводимости по Ляпунову
и П™приводимость. В третьем параграфе рассматривается второй метод Ляпунова, а в четвертом ——решение проблемы Гурвица на основе матричного тождества Ляпунова. Пятый параграф посвящен анализу орби™ тальной устойчивости предельных циклов и их обобщений в многомерном пространстве с помощью обобщенных функций Ляпунова, основанных на математическом аппарате кривизн дифференциальной геометрии. В тестом параграфе анализируется устойчивость при постоянно действующих возмущениях.
Шестая глава связана с анализом грубости свойства асимптотической устойчивости по Ляпунову с использованием формализма полиномов Эрмита-Билера.
После первых шести глав следует послесловие к методам анализа.
Второй раздел посвящен синтезу.
В седьмой главе этого раздела рассматривается задача стабилизации и описаны методы ее решения с использованием формализма модального управления (обобщением которого является синтез приводимых систем), аналитического конструирования оптимальных регуляторов, Я^ и синтеза обратной связи по выходу.
Восьмая глава посвящена задаче наблюдения или задаче восстановления вектора состояний по результатам измерений.
В девятой главе рассматривается задача стабилизации, решаемая методом аналитического синтеза сингулярных регуляторов, которые понижают порядок замкнутой системы по сравнению с разомкнутой (в отличие от регуляторов регулярной структуры, рассмотренных в седьмой главе, которые не изменяют ее порядка).
Десятая глава связана с аналитическим решением задачи финитного управления (без ограничений), которая состоит в переводе объекта управления из заданного начального состояния в заданное конечное состояние за заданное время.
Одиннадцатая глава посвящена финитному управлению с учетом ограничений, основу которого составляет принцип максимума Понтрягина.
В двенадцатой главе рассматриваются методы решения задач адаптивного управления.
После двенадцатой главы следует послесловие к методам синтеза.
В конце каждой из глав помещены выводы, представляющие собой краткую сводку результатов главы, а также задачи и упражнения для самостоятельного усвоения материала, изложенного в книге.
В первое приложение к книге вынесены правила преобразования структурных схем, уточняющие существующие классические правила преобразования.
Второе приложение содержит описание системы компьютерной алгебры АНАЛИТИК-С.
При первом прочтении учебника примеры можно опустить. Более глубокое изучение теории автоматического управления требует безусловного знакомства с ними.
СПЖСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗПЖЕПЖЖ
[Л.(и,切 ——функциональная матрица, область изменения которой задается дополнительным уравнением (системой уравнений), и ——вектор (скаляр) независимых переменных, t ——время;
rank Л — ранг матрицы Л (число линейно независимых строк или число линейно независимых столбцов этой матрицы);
Ат ——транспонированная матрица Л, у которой строки и столбцы поменялись местами;
74T — обратная матрица Л;
Еп — единичная матрица размера п х п;
9n ——нулевая матрица размера п х п;
det Л — определитель матрицы Л;
£ — знак суммирования;
口 — знак произведения;
Е — символ принадлежности;
3 — квантор существования;
V ——квантор общности;
=——тождественное равенство;
def
= ——равенство по определению;
Rn ——пространство действительных чисел размерности п;
1(f )——единичная ступенчатая функция Хевисайда;
[а]——операция взятия целой части действительного числа а;
Re s ——действительная часть комплексной переменной s;
Im s ——мнимая часть комплексной переменной s;
arg 6 ——угол, определяющий значение фазы комплексного числа s, тангенс Re s
которого s =;
Im s
lim 一 предел;
lim — верхний предел;
[а, а] — интервальное число а а а;
\а\ — модуль числа;
min[a, b] — наименьшее из значений а и 6;
тах[а, 6] — наибольшее из значений а и Ь;
col ——матричное обозначение вектора;
0 ——скалярное произведение матриц С = Л 0 В с элементами Cij = =&ij 义 bij ；
1
Г 1
при
А > 0,
sign А = <
при
А = 0, ——сигнум-функция;
1
〔-1
при
А < 0.
II II — евклидова норма вектора;
i = 1,п означает г = 1,2,... , п;
d一
р = ^оператор дифференцирования по 力.
СПИСОК СОКРАЩЕНИИ
САВ ——системы аналитических вычислений;
СКА ——системы компьютерной алгебры;
ТАУ ——теория автоматического управления;
ЭВМ ——электронно-вычислительная машина;
АЧХ — амплитудно-частотная характеристика;
ФЧХ — фазо-частотная характеристика;
ЛЛЧХ (ЛАХ)——логарифмическая амплитудно-частотная характеристика;
САУ ——система автоматического управления;
АКОР — аналитическое конструирование оптимальных регуляторов;
ССК ——связанная система координат;
СНС ——самонастраивающаяся система.
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Теория автоматического управления (ТАУ)——это наука о законах (закономерностях) взаимодействия объектов и явлений окружающего мира (естественного или искусственного происхождения) с окружающей средой и методах определения воздействий, называемых управлениями, на эти объекты и явления с целью желаемого изменения их свойств и перемещения во времени и в пространстве.
Реализация управлений предполагается без непосредственного участия человека, чем обусловлено появление в названии теории прилагательного «автоматиче ский».
На современном (постиндустриальном) этапе развития человечества возможна преимущественно техническая реализация законов управления. Такая реализация производится либо аппаратным способом (путем изготовления специализированных устройств управления, называемых контроллерами), либо аппаратно-программным способом, который предполагает наличие в составе контроллера микропроцессора с соответствующим программным обеспечением (такой контроллер называется микроконтроллером).
Анкетные данные ТАУ
Время рождения: более ста лет назад.
Место рождения: Великобритания, Россия, Словакия.
«Родители»: в Великобритании ——физик Джеймс Клерк Максвелл (18311879), в России — инженер-механик Иван Алексеевич Вышнеградский (1831-1895), в Словакии ——инженер-теплотехник Аурель Стодола (18591942).
Первая в России работа по ТАУ И. А. Вышнеградского «О регуляторах прямого действия» увидела свет в 1876 году.
Генетический код заложен, в основном, работами российских и советских ученых, одно перечисление фамилий которых может занять несколько страниц. Среди них ——академики Императорской академии наук (АН), АН СССР и РАН: А. А. Андронов, А. А. Красовский, Н. Н. Красовский, А. Н. Крылов, А. М. Ляпунов, Б. Н. Петров, Л. С. Понтрягин, Е. П. Попов, А. Н. Тихонов; члены-корреспонденты АН СССР и РАН: Б. В. Булгаков, И. Н. Вознесенский, А. М. Летов, В. А. Якубович и признанные столпы ТАУ: А. В. Михайлов, В. В. Солодовников, Г. В. Щипанов, А. А. Фельдбаум.
Отметим, что перечисленные фамилии нисколько не умаляют заслуг зарубежных ученых, таких как Ю. Аккерман, М. Атане, Р. Беллман, Э. Джури, Л. Заде, А. Исидори, Р. Калман и других, но «кирпичей», заложенных ими в фундамент ТАХ неизмеримо меньше, чем заложенных нашими соотечественниками.
Характер ——фундаментальный (с учетом возраста) и, одновременно, прикладной (в свете трудовой деятельности и вклада в научно-технический прогресс).
Краткая характеристика ТАУ
Объект исследований ——математическая модель какого-либо объекта или явления окружающего мира.
Модель (в широком понимании)——это либо образ (в том числе, условный, или мысленный), либо прообраз. В качестве образа можно рассматривать изображение, описание, схему, чертеж, график, план, карту и тому подобное. Прообразом может быть имитация какого-либо объекта или явления окружающего мира (оригинала данной модели), используемая в качестве его «заместителя» или «представителя».
В естественных науках, к которым относится ТАХ математической моделью какого-либо объекта или явления окружающего мира называется его описание на языке математической символики, а именно: с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, разностных уравнений дискретной математики, уравнений линейной алгебры, аналитической и дифференциальной геометрии, и так далее. Главная особенность математической модели состоит в гомоморфности D оригиналу. Гомоморфность означает, что все определенные на оригинале свойства и отношения однозначны лишь в одну сторону, а именно: образы некоторых элементов «оригинала» в модели могу оказаться «склеенными», подобно тому как на сетчатке глаза или на фотографии сливаются в одно пятно изображения близких между собой участков.
Математические модели могут быть заданы с разной степенью определенности (или неопределенности). Другими словами, они могут быть детерминированными (неопределенность отсутствует), стохастическими, когда в их описании используются элементы теории вероятностей, и игровыми, когда модели свойственна неопределенность, подчиненная некоторым правилам, без которых немыслима любая игра.
В дальнейшем будем рассматривать только детерминированные математические модели.
Цели исследований:
анализ или изучение свойств математической модели;
синтез или конструирование законов (другими словами, алгоритмов) управления, доставляющих математической модели желаемые свойства.
Методы исследований:
аналитические (точные) методы, когда результат получается в явном виде (в аналитической форме);
численные (приближенные) методы ——их название говорит само за себя.
1)Термин «гомоморфизм» ввел Г. Фробениус. Понятие гомоморфизма относится к паре алгебраических систем с заданными на них операциями и (или) отношениями и определяется как отображение множества элементов одной системы в другую, сохраняющее все операции и отношения.
Задача исследований ——синтез законов управления объектом в режиме реального времени с учетом изменения внешней среды и самого объекта.
Область применения ——до настоящего времени, в основном, в изделиях двойных высоких технологий (т. е. технологий военного и гражданского назначения одновременно), в будущем ——проникновение в те сферы естественной природы, которые функционируют под управлением естественного интеллекта и могут быть описаны математическими моделями на языке дифференциальных уравнений. Управление такими системами осуществляется без непосредственного участия человека в контуре управления, но, в отличие от технических систем, по законам естественной природы, собирательным названием которой является естественный интеллект.
Определенное представление об области применения ТАУ дают примеры, помещенные в п. «Упражнения» к главе 3.
Язык ТАУ
Любая теория, тем более насчитывающая более чем столетнюю историю, формирует свой понятийный аппарат, в основе которого лежит разработанный в рамках этой теории язык или совокупность необходимых для ее развития понятий, которым сопоставляются определенные термины, и определений.
В ТАУ используются три неопределяемых (первичных) предметных переменных: вход, выход и объект управления, относящихся к категории образов, изображаемых посредством следующей функциональной схемы:
ВходВходОбъектуправленияРис. В. 1ОбъектуправленияРис. В. 1А ВыходА Выход
Вход
Вход
Объектуправления
Рис. В. 1
Объектуправления
Рис. В. 1
А Выход
А Выход
Этих неопределяемых предметных переменных достаточно для того, чтобы выделить из окружающего нас мира, в котором все взаимосвязано, объект или явление естественной или искусственной природы, локализовав тем самым объект исследований ТАМ
Пример В.1. Покажем, как пользоваться этими переменными на примере второго закона Ньютона, известного каждому со школы. Итак, изменение импульса материальной точки пропорционально приложенной к ней движущей силе F и осуществляется по направлению прямой, вдоль которой эта сила действует. В данной формулировке второго закона классической механики содержится термин «количество движения», который выражает произведение массы материальной точки т на ее скорость V. При этом под «изменением» понимается операция взятия первой производной по времени t от количества движения mV:
= K (ВЛ)
Если раскрыть левую часть уравнения Ньютона (R1) по правилу диф™ ференцирования произведения двух функций, то для прямолинейного движения точки получим
m(t)V + m^V = F,m(t)V + m^V = F,(В2)(В2)
m(t)V + m^V = F,
m(t)V + m^V = F,
(В2)
(В2)
где вместо стандартного обозначения производной ^ (•) используется введенное Ньютоном обозначение производной в виде точки.
Если предположить массу материальной точки постоянной, т. е. т = =const, то уравнение (В.2) примет вид
та = F,(В.З)
где через а обозначено ускорение, т. е. a d= V (здесь и далее символ d= означает «по определению»).
Будем рассматривать уравнение (В.З) в соответствии с неопределяемыми предметными переменными ТАУ Тогда объектом управления будет материальная точка, входом ——сила, а выходом ——ускорение, причем материальной точке во взаимно однозначное соответствие поставлен ее параметр (сосредоточенная в ней масса).
Второй закон Ньютона описывает движение материальной точки, которое происходит во времени и в пространстве. Время t в явном виде присутствует в уравнениях (В.1), (В.2). А вот к пространству эти уравнения пока не привязаны. Для привязки к пространству необходимо ввести начало отсчета и систему координат. Поскольку в формулировке закона говорится о прямой, в направлении которой действует сила, то система координат в неявном виде уже задана ——это прямая (или одна из осей координат трехмерного пространства). Выберем в качестве направления движения ось Oz в системе отсчета Oxyz с началом отсчета в начале координат. Тогда z будет обозначать координату положения материальной точки на оси Oz.
Введем обозначения
i = V, z = V,
с учетом которых перепишем уравнение (В.2) в виде
т ⑴ 2 + m(t)z = F.
В ТАУ принято в качестве математических моделей, описываемых дифференциальными уравнениями, использовать приведенные уравнения, в которых коэффициент при старшей производной равен единице. Поэтому в предположении m(力)，0 поделим обе части рассматриваемого уравнения на m ⑴.В результате получим уравнение вынужденного движения объекта
(В4)(В4)управления в виде
(В4)
(В4)
т ⑴ m(t)
В уравнении (В.4) время 力 выступает в роли непрерывной независимой переменной (непрерывное время).
Но время может быть и дискретным. В этом случае оно представляет собой последовательность чисел, заданную равноотстоящими на полуоси отсчета времени [0, оо) точками (или узлами), т. е. в виде [О, Т, 2Т,...), где Т означает расстояние между узлами, называемое периодом (или интервалом) дискретности (иначе, интервалом квантования). С помощью дискретного времени описываются цифровые системы (в частности, компьютер).
В роли входа и выхода могут выступать переменные, воздействия и сигналы.
Термин «входное воздействие» является собирательным названием терминов: «внешнее воздействие» или «управляющее воздействие» («управление»). Если сигнал или переменная, выступающие в роли входа, порождены окружающей средой, то входное воздействие называют внешним воздействием, а если они сконструированы разработчиком системы, то —— управляющим воздействием. Под управлением, как результатом синтеза, понимают закон (или алгоритм) управления.
Термин «выход» может быть интерпретирован как ^измеряемый», если для получения информации о его поведении используется измеритель, или как ^регулируемый» (или «управляемый»), если ему нужно и можно навязать желаемые свойства. Отметим, что выход может быть неуправляемым.
Определение В.1. Объект управления, для которого определены точки приложения входных и выходных воздействий, будем называть системой.
Тем самым, понятие системы локализует в окружающем нас мире объект (или явление) естественной или искусственной природы, проводя своего рода границу между ним и окружающей его внешней средой.
Если время непрерывно, то система называется непрерывной, если дискретно ——дискретной.
Термин «система» может быть уточнен в зависимости от особенностей и количества входов.
Определение В.2. Систему, на которую не действуют ни внешние воздействия, ни управления (систему с незадействованными входами), будем называть свободной («однородной»). Систему будем называть несвободной («неоднородной»), если хотя бы на один из ее входов подаются либо внешние воздействия, либо управления.
Термины «однородный» и «неоднородный» заимствованы (как будет видно из дальнейшего изложения) из теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Определение В.З. Систему с одним входом и одним выходом будем называть односвязной.
Определение В.4. Систему с более чем одним входом будем называть многосвязной.
Если вход или выход один, то они обозначаются стрелками, как на рис. B.L Если входов или выходов много, то констатация этого факта производится с использованием другой стрелки.
В случае многих входов и выходов рис. В.1 примет вид
>
Объект 、d
> Выходы управления / т
Рис. В. 2
Определение В.5. Изображение системы в виде рисунков В.1 или В.2 будем называть функциональной схемой.
В примере со вторым законом Ньютона рассматривалась материальная точка, в которой сосредоточена ее масса, или, другими словами, система с сосредоточенными параметрами, которая описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями типа (В.1), (В.2), (В.4). При этом вели™ чина массы выступает в роли параметра.
Отличительная особенность обыкновенных дифференциальных уравнений состоит в том, что их решениями являются функции одной независимой переменной (функции скалярного аргумента, в рассмотренном примере ——времени 力).
Если же рассматривать движение объекта, масса которого распределена в некотором объеме (например, жидкостную ракету с топливными баками на активном участке полета с выгорающим топливом), или, другими словами, систему с распределенными параметрами, то она будет описываться дифференциальными уравнениями в частных производных (уравнениями математической физики).
Отличительной особенностью дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих процесс, зависящий от времени, является то, что их решениями являются функции нескольких независимых переменных: времени t и одной или нескольких пространственных переменных, т. е. функции векторного (а не скалярного) аргумента.
Определение В.6. Если коэффициенты уравнений (параметры объекта), которыми описывается система, не зависят от времени ), то система называется стационарной.
Определение В.7. Если коэффициенты уравнений (или хотя бы один параметр объекта) зависят от времени (в рассмотренном примере этому соответствует случай т = m(f) = var, где var ——от англ, variable —— переменная величина), то система называется нестационарной.
Очевидно, что системы с сосредоточенными и распределенными параметрами могут быть как стационарными, так и нестационарными.
Определение В.8. Систему, описываемую либо дифференциальными уравнениями (обыкновенными или в частных производных), либо разностными уравнениями будем называть динамической.
Определение В.9. Систему, описываемую алгебраическими уравнениями, будем называть статической.
Отметим, что определение В.9 в некотором смысле условно. Действи™ тельно, алгебраическое уравнение (В.З) описывает движущееся тело —— динамику, но с точки зрения определения В.9 ——это статика.
На этом парадоксе построена вся теория отно сите льно сти.
Определение В.10. Если связь между входом (входами) и выходом (выходами) объекта управления осуществляется только через объект управ™ ления, то такая система называется разомкнутой (см. рис. В.1).
Закон управления, или алгоритм управления, физически реализуется посредством регулятора (контроллера, микроконтроллера), изображаемо™ го одной из следующих функциональных схем:
РегуляторРегуляторВыходырегулятораВыходырегулятора
Регулятор
Регулятор
Выходырегулятора
Выходырегулятора
Регулятор
、 Выходы
，регулятора
Входы регулятора
Рис. В. 3
Рис. В. 4
Определение В.11. Управление, воздействующее на объект независимо от результатов этого воздействия, называется программным управлением или управлением, организованным по принципу управления по разомкнутому циклу. Иногда для обозначения такого типа управления используется термин «управление по возмущению».
Функциональные схемы, соответствующие этому типу управления:
Рис. В. 5Рис. В. 5РегуляторРегуляторОбъектуправленияОбъектуправления
Рис. В. 5
Рис. В. 5
Регулятор
Регулятор
Объектуправления
Объектуправления
Рис. В. 6
Определение В.12. Управление, воздействующее на объект с учетом результатов этого воздействия, называется управлением по замкнутому циклу или управлением по принципу обратной связи. Иногда для обозначения такого типа управления используется термин «управление по отклонению».
Функциональная схема, соответствующая этому типу управления:
Рис. В. 7Рис. В. 7
Рис. В. 7
Рис. В. 7
Отметим, что обратная связь означает обязательное использование в законе или алгоритме управления переменных выхода объекта управления.
Определение В.13. Система, соответствующая функциональной схеме, представленной на рис. В.7, называется замкнутой.
Определение В.14. Совокупность системы и регулятора будем называть системой автоматического управления (САУ).
Остановимся теперь на классификации регуляторов. Рассмотрим регулятор с одним входом (обозначим его через 富)к одним выходом (обо™ значим его через z). Простейшими законами управления (регулирования) являются:
Пропорциональный закон, когда вход и выход регулятора определяются соотношением
2
где &1 ——коэффициент передачи (заданное число, отличное от нуля).
В этом случае говорят о САУ с П-регулятором.
Интегральный закон, при котором вход и выход регулятора определяются соотношением
z =k2 富(丁)d丁,
где 七2 ——коэффициент передачи (заданное число, не равное нулю).
В этом случае говорят о САУ с И-регулятором.
Дифференциальный закон, при котором вход и выход регулятора определяются соотношением
z = k^v,
где &з # 0 ——коэффициент передачи (заданное число).
В этом случае говорят о САУ с Д-регулятором.
Возможны различные сочетания рассмотренных вариантов регуляторов, например, ПИ-, ПИД-регуляторы.
Коль скоро объектом исследований ТАУ является математическая модель объекта управления, проведем классификацию математических моделей для объектов с сосредоточенными и с распределенными параметрами.
Форма вход-выход, операторная форма вход-выход
и форма Коши описания систем с сосредоточенными параметрами
Вернемся к уравнению прямолинейного движения точечного объекта управления с переменной массой
之 m(t) “ m(t) 5
где F ——сила, действующая на объект (вход), z ——координата положения объекта (выход), m(力)——масса объекта (параметр).
Рассматриваемое уравнение называют уравнением в форме вход-выход.
В ТАУ есть неписанные установившиеся традиционные правила, касающиеся символьного описания объекта бе зотно сите льно к его природе, которых следует придерживаться. Целью этих правил является получение максимальной информации о системе на основе унификации ее математи™ ческого описания в соответствии с терминологией ТАМ
Придерживаясь этих правил, перепишем вышеприведенное уравнение в новых обозначениях.
Если сила выступает в роли внешнего воздействия, то ее принято обозначать буквой F. Если же сила выступает в роли управления, то вместо F традиционно используется буква и.
Коэффициенты уравнения в форме вход—выход принято обозначать греческими буквами с использованием (в целях упорядочивания коэффициентов) нижнего индекса.
Итак, введем обозначения
/с、1口
Qi⑴=不,。0 ⑴=不， и = F^
с помощью которых уравнение (В.4) запишем в виде
2 + Qi⑴2 =仇⑴％ z е R1, и е R1, t G [0, oo). (В.5)
В теории обыкновенных дифференциальных уравнений такое уравнение классифицируется как неоднородное нестационарное линейное дифференциальное уравнение второго порядка. А с точки зрения ТАУ это уравнение описывает односвязную нестационарную линейную С АУ (или нестационарную линейную систему). В случае, когда к = 0, эта система может быть названа автономной (термин заимствован из аналитической механики).
Отметим, что не всегда областью изменения независимой переменной t является полуось времени [0, оо). Такой областью может быть и конечный интервал времени t € [力о)й], где 力о 》0 — начальный момент времени, 力 1 > 力о ——конечный момент времени.
Если в уравнении (В.5) коэффициент 耿 не зависит от времени, т. е. выполняется условие 耿=const (примем 仇⑴=1):
2 + qi2 = % z e и e r1 , t e [0, oo),
то такую систему называют стационарной линейной системой. В случае к = 0 эта система может быть названа автономной (термин также заимствован в аналитической механике).
Если коэффициент 散 является функцией переменной z:散 =Qi(z), то такая система является стационарной нелинейной системой:
2 + qi(z)2 = к, z Е R1, и € ft1, t € [0, оо).
В случае же, когда Qi = /(z,力),эта система превращается в нестационарную нелинейную систему
2 + 01(%力)纟=我)z Е R1 и е R1, t G [0, oо).
Таким образом, математические модели, описываемые обыкновенными конечномерными дифференциальными уравнениями в форме вход-выход, в ТАУ подразделяются на линейные системы (стационарные и нестационар™ ные) и нелинейные системы (стационарные и нестационарные). В случае, когда дифференциальные уравнения являются однородными, в зависимо™ сти от того, зависят их коэффициенты от времени или нет, их называют, соответственно, либо неавтономными, либо автономными.
Модель в форме вход-выход допускает естественное обобщение на случай многосвязных систем путем указания размерностей векторов входа (например, и е 兄巾\ где mi ——размерность вектора входа) и выхода (например, z € Rm, где т — размерность вектора выхода). В этом случае коэффициенты левых частей уравнений в форме вход^выход при тех же буквенных обозначениях превращаются в матрицы размерности т х пг, а коэффициенты правой части ——в матрицы размерности т х mi. Следует отметить, что размерность вектора входа, как правило, не превышает раз™ мерности вектора выхода, т. е. mi 工 т.
Помимо управлений в правой части уравнений в форме вход-выход могут присутствовать аддитивные [от лат. additio ——прибавление, т. е. получаемые путем алгебраического сложения] составляющие внешних воздействий. Для уравнения (1.1) в символьном виде можно задать, например, два внешних воздействия /1 и /2, записав это уравнение так:
芝+ 01⑴2 =仇⑴我+仇⑴/1 +仇⑴/2)
z e R^, и e A，) /1 e R^, /2 e R\ t e [0,00).
Если ввести в рассмотрение дифференциальный оператор
то уравнение (В.5) в форме вход-выход может быть записано в более компактной операторной форме
G(p)z = рои,
где введено обозначение G(p) = р2 + 耿⑴夕一многочлен или полином второй степени.
В общем случае вход-выходная операторная форма записи этого уравнения имеет вид
G(p)z = Q(p)u + 寸 ^(р)Л,
i=l
где
G(?) =+ £&沙吁\ Q(p) = /Зорп + ^ftpn"\
产伪)=产+ 立6沙j
г = 1
(здесь из соображений простоты записи вне зависимости от того, являются ли коэффициенты полиномов числами, функциями времени или нелкней- ными функциями, соответствующих уточнений в обозначении их коэффи™ циентов не выполнено).
В конечном итоге синтез законов управления при любой форме опи™ сания объектов управления немыслим без анализа уравнений собственно объектов или без анализа однородных систем вида
G(p)z = 0.
Уравнения такого типа принято называть уравнениями свободного движения или уравнениями свободных колебаний.
Поскольку любое дифференциальное уравнение п™го порядка можно представить в виде системы п уравнений первого порядка или в форме Коши (иначе, уравнениями в пространстве состояний), продемонстрируем на примере уравнения (В.5) процедуру перехода к этой форме описания.
Итак, введем обозначения
Ж1 = г, ж2 = 2,
где Xi(i = 1,2) ——компоненты вектора состояний x(t) = col[a?i(f),関2(力)], принадлежащего пространству состояний (иначе, фазовому пространству) и представляющему собой пространство действительных чисел размерности два (ж е А?)*
С учетом этих обозначений уравнение (В.5) можно переписать в виде системы уравнений в форме Коши (скалярное представление):
R = ж2,
区2 =(力)z2 + 仇(力加，
откуда введением обозначений
можно получить векторно-матричное представление этой системы уравнений в форме Коши:
ж = p(t)x + B(t)u, ж е я2, и е а\ t е [о, оо).
Если в полученном уравнении матрицы Р(力)и B(t) не зависят от времени, т. е. являются матрицами чисел F и В, то мы имеем дело со стационарной линейной системой
ж = Рх + Bn, ж е ft2, 〃 е н\ t е [о, оо).
Если в полученном уравнении элементы матриц F и В являются функциями компонент вектора состояний, т. е.
ж = р(х)х + в(х)и, х е я2, и е а\ t е [о, оо),
то мы имеем дело со стационарной нелинейной системой, а если, в допол™ нение к сказанному, они зависят еще и от времени
ж = Р（ж, t）x + В（ж, t）u, z £ А?〉 и е R1, t G [0, оо）, то ——с нестационарной нелинейной системой.
Операторная форма вход-выход и операторная форма Кошиописания систем с распределенными параметрами
Рассмотрим пример.
Пример В.2. Рассмотрим математическую модель поперечных колеба™ ний прямой упругой балки с учетом внутреннего сопротивления по ①ой- гхт^, описываемую следующим дифференциальным уравнением в частных производных [5]:
歹N（5 力）.h^）EJ d^z（v.t） EJ d4z（v,t）=
一一 十 以там次 十万丽一一 —）
Здесь обозначено:富 £ （0, L）——координата текущей точки на продольной оси, отсчитанная от начала балки; £ ——длина балки; z（v^ t）——прогиб оси балки в сечении 富，измеренный в направлении, перпендикулярном к недеформированной оси балки; 〃（富）——масса единицы длины балки; J —— изгибная жесткость балки （принята постоянной）; Е ——модуль упругости; /г（富）——коэффициент внутреннего сопротивления по Фойгхту.
Отметим, что модель （В.6） является приближенной моделью изгибных колебаний корпуса ракеты, аналогичных колебаниям струны, но отличаю™ щихся от них тем, что балка оказывает сопротивление изгибу.
Подобно тому, как это сделано для систем с сосредоточенными параметрами, запишем уравнение （В.6） в операторной форме вход-выход, упорядочив левую часть （В.6） относительно убывания порядка частных производных по времени t.
Введем обозначения
P =历（"）；01（富）=研（"）；9（富）=而刃（I （B7）
где сц （富）（分=1,2）——дифференциальные выражения, в которые спрятаны дифференциальные операторы в частных производных по независимой пространственной переменной 富；（*） обозначает подставляемое для дкффе- ренцирования выражение.
С учетом （В.7） можно переписать （В.6） в виде
[p2 + 01（富）? + 02（富）]2（〃 力）=0
или, что то же самое,
G伪）％（〃 力）=О,（В.8）
где G（p） = #2 +（綬）? + а2（富）工
С позиций ТАУ рассматриваемая упругая балка представляет собой стационарную линейную систему с выходом z(富)t), являющимся функцией двух независимых переменных: времени t и пространственной перемен™ ной V.
Если хотя бы один из коэффициентов полинома левой части (В.8) зависит от времени, что можно записать в виде
G(p,t)z(v,t) = О,
то система будет нестационарной линейной.
Если в дополнение к этому хотя бы один из коэффициентов а% (г = 1, п) является функцией выходной переменной, что можно записать в виде
G(p, %/)%(〃 力)=О,
то система будет нестационарной нелинейной, и т. д. (по аналогии с смете- мами, содержащими сосредоточенные параметры).
На объекты управления с распределенными параметрами можно рас™ пространить описание в форме Коши. Покажем это на примере В.2.
Введем обозначения
儿—儿2 一g/,
где Xi (i = 1,2)——компоненты вектора состояний ж = col [a?i, а??], иркнад- лежащего пространству состояний, представляющему собой пространство действительных чисел А? (ж € Я2).
С учетом этих обозначений скалярную запись операторной формы вход— выход в операторной форме Коши можно представить в виде
* = ж2,
ж2 = 一02(富)优1 一 01(富)近2)
откуда, используя обозначение
p(富)_—02(富)(富) )
где Р (富)——операторная матрица, получим формальную векторно-матричную запись рассматриваемого операторного уравнения в операторной форме Коши:
ж = p(v)x, ж е ft2, t е [о, оо).
Поскольку в роли математических моделей объектов управления вы™ ступают дифференциальные уравнения и системы уравнений, то для того, чтобы безошибочно сформулировать цели и задачи управления, необходимо
уметь находить решения этих уравнений и знать, какими могут быть интегральные кривые, чтобы не назначить желаемое динамическое поведение замкнутой системы из множества невозможных движений. Аналитическим методам интегрирования уравнений и систем уравнений посвящена следующая глава.
ВЫВОДЫ
Таблица В.1
Классификация систем
№ п/п
Классификационный признак
Выделяемые классы
1
2
3
1
По времени
непрерывные;
дискретные
2
По воздействию окружающей среды
свободные или однородные (на вход ничего не подается);
несвободные или неоднородные (на вход подаются внешние воздействия)
3
По числу входов и выходов
одно связные (один вход ——один выход);
много связные (более чем один вход)
4
В зависимости от типа уравнений, описывающих математическую модель
с сосредоточенными параметрами (обыкновенные дифференциальные уравнения). Признак ——одна независимая переменная (время);
с распределенными параметрами (дифференциальные уравнения в частных производных). Признак — вектор независимых переменных, одна из которых —— время, остальные переменные ——пространственные ;
динамические (описание дифференциальными уравнениями);
статические (описание алгебраическими уравнениями)
5
По типу коэффициентов уравнений
стационарные (с постоянными коэффициентами, не зависящими от времени);
нестационарные (с переменными коэффициентами, зависящими от времени)
6
По типу связи между входом и выходом
разомкнутые (связь только через объект управления);
замкнутые (связь через объект и регулятор)
Таблица В.2
Классификация регуляторов (законов управления)
№ п/п
Классификационный признак
Выделяемые
классы
1
По учету в законе управления результатов воздей™ ствия на объект управления
без учета результатов воздействия (программное управление = управле™ ние по разомкнутому циклу = управление по возмущению);
с учетом результатов воздействия (управление по принципу обратной связи = управление по замкнутому циклу =управление по отклонению)
2
По типу связи входов и выходов регулятора
пропорциональный n = kiv;
интегральный n = 左2 / v(r)dr;
дифференциальный n = кз 方；
различные комбинации первых трех
Таблица В.З
Классификация математических моделей объектов управления
№ п/п
Классификационный признак
Выделяемые
классы описания модели
1
По количеству уравнений
одним уравнением 冷-ro порядка (форма вход-выход или операторная форма);
системой уравнений первого порядка (форма Коши)
2
По присутствию в уравнениях управлений и внешних воздействий
не присутствуют (однородные уравнения =уравнения свободного движения = уравнения свободных колебаний);
присутствуют (неоднородные уравнения)
3
По зависимости коэффи™ циентов уравнений от времени
не зависят от времени (стационарные);
зависят от времени (нестационарные)
4
По присутствию в уравнениях управлений и внеш™ них воздействий и зависимости коэффициентов уравнений от времени
управления и внешние воздействия не присутствуют, коэффициенты не зависят от времени (автономные);
управления и внешние воздействия не присутствуют, коэффициенты зависят от времени (неавтономные)
5
По зависимости коэффициентов уравнений от скалярного или векторного выхода
не зависят (линейные);
зависят (нелинейные)
Таблица В.4
Перечень введенных определений
Порядковый номер определения
К чему относится
В.1
Понятие системы
В.2
Понятие свободной (однородной) и несвободной (неоднородной) системы
В.З
Понятие одно связной системы
В.4
Понятие многосвязной системы
В.5
Понятие функциональной схемы
В.6
Понятие стационарной системы
В.7
Понятие нестационарной системы
В.8
Понятие динамической системы
В.9
Понятие статической системы
В.10
Понятие разомкнутой системы
В.11
Понятие управления по разомкнутому циклу (иначе: программного управления или управления по возмущению)
В.12
Понятие управления по замкнутому циклу (иначе: управления по принципу обратной связи или управления по отклонению)
ВЛЗ
Понятие замкнутой системы
В.14
Понятие системы автоматического управления (САУ)
УПЖЖНЕНИЯ
Запишите в скалярной форме Коши следующие уравнения Крылова движения снаряда при настильной стрельбе ):
厶台 + Да2 sin 0 cos 0 — Спа cos 0 = eR sin 0 cos q,
Да cos 0 — 2Aa^ sin 0 +。汽6 = eft sin q,
где C ——момент инерции снаряда относительно его продольной оси; Д ——момент инерции снаряда относительно вертикальной оси, проходящей через центр тяжести; п ——проекция угловой скорости снаряда на его ось; q — угол между осью и направлением движения снаряда; 0 — угол между
осью снаряда и ее проекцией на вертикальную плоскость; R ——лобовое сопротивление снаряда; е ——расстояние от центра масс снаряда до точки на его продольной оси, к которой приложена суммарная сила сопротивления воздуха.
Запишите в скалярной форме Коши уравнение Матье, описывающее круговое движение с частотой s математического маятника, у которого точка подвеса колеблется по периодическому закону с единичной частотой и амплитудой е (а ——коэффициент трения):
ж + аж + (ш2 + е cos 力)z = 0.
Запишите в скалярной форме Коши уравнение маятника с вязким трением h(t), зависящим от времени:
ж + h(t)x + sin ж = 0.
Р43ДЕЛ I
АНАЛИЗ СИСТЕМАВТОМАТИЧЕСКОГОУПРАВЛЕНИЯ
ГЛАВА 1
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯЗАДАЧИ КОШИ
При любой форме описания объектов управления синтез законов управления требует предварительного анализа уравнений, описывающих объект, при условии отсутствия входных воздействий в виде управлений. При этом допускаются внешние воздействия, не являющиеся управлениями. Другими словами, на первом этапе синтеза необходим анализ однородных и неоднородных систем при отсутствии управлений.
Однородные уравнения нередко называют уравнениями свободного движения или уравнениями свободных колебаний (при колебательных движениях).
Необходимо сразу оговорить, что в явном виде или в аналитической фор™ ме (в квадратурах) интегрируются только стационарные линейные системы и отдельные виды нестационарных линейных систем.
Отметим, что задачей Коши (или задачей с начальными условиями) называется задача нахождения частного решения, которое удовлетворяет п заданным начальным условиям, где п ——либо порядок старшей производной (для уравнений в форме вход-выход), либо порядок системы уравнений в форме Коши (системы уравнений первого порядка, каждое уравнение которой разрешено относительно производной).
Однородные стационарные линейные системы
Уравнение в форме вход-выход
Без потери общности начнем рассмотрение аналитических методов решения задачи Коши с рассмотрения математической модели однородной системы с сосредоточенными параметрами в операторной форме вход- выход
G(p)z = 0,?£月，(1.1)
гдеп
6(0)= 0京+ e0沙-広
i=l
(здесь коэффициенты сц (г = 1, п) полинома G(p)——заданные числа; верхняя черта в выражении в скобках для г означает, что г пробегает последовательность натуральных чисел от 1 до п).
Для того, чтобы получить частное решение однородного уравнения (1.1) (или некоторую функцию, которая после подстановки ее в уравнение (1.1) обращает его в тождество), необходимо:
一 во-первых, задать п начальных условий для этого уравнения:
?(2)(0) = 2'ой £ = 0, 71 - 1,
где верхний индекс (в круглых скобках) обозначает порядок производной по времени;
—во-вторых, вычислить корни 入勿(г = 1, п) характеристического уравнения
G(S)= 口(5 — %) = О,
где (в результате преобразования Лапласа ——см. параграф 1.5.2) в диф™ ференциальном выражении G(p) оператор дифференцирования р = ^ ^) заменен комплексной переменной s, вследствие чего дифференциальное выражение формально превращается в алгебраическое G(s).
Отметим, что в радикалах (или аналитическими методами) могут быть разрешены характеристические уравнения не выше четвертой степени, при этом:
—каждому вещественному корню 尢 соответствует частное решение
(здесь и далее с./, Ci ——постоянные интегрирований
一 каждому вещественному корню 入勿 кратности т〃 соответствуют m.i частных решений, сумма которых также является частным решением
%' = c"'(q + 3+1 力 4" ... 4" 3+?飞一i%'71%)；
—каждой паре комплексно-сопряженных корней &工 ^j/3i соответствуют два частных решения, сумму которых можно представить в виде
2 = £&"(3 sin Pit + cos Pit) = Cieazt sin(/3^ + %),
где &j, К Wi ——постоянные;
—каждой паре комплексно™сопряженных корней di ± //^ кратности г/% соответствуют 2т.i частных решений. Запишем частное решение, пред™ ставляющее собой их сумму в виде
2 = £&"© sin Bit + Q + 1 力 sin Bit + . . . + Ci + m^1tm^1 sin 仇力 +
+ Q + mg COS Bit + Q + mz + 1 力 COS 仇力 + * …+ C｛，+2Tni — T^ % COS 仇力)=
=eait[CiSin(/3it + %) + &+"sin(仇力 + %+i) + ...
Ci + nii — lt % sin(仇力 + ^z+?n.f, 1)] •
Общее решение z(t, ci5... , cn) однородного уравнения (1.1) (или решение, в котором постоянные интегрирования q (г = 1, п) не определены) формально будет представлять собой сумму правых частей всех приве™ денных выше возможных вариантов частных решений для всех г корней характеристического уравнения с учетом их кратностей 冗=£ m^ (здесь
пц ——обозначение кратности ?二го корня).
Постоянные интегрирования, которые содержатся в частных решениях, определяются из следующей системы алгебраических уравнений, состав™ ленной на основании заданных начальных условий:
，г(0, ci,... , сп) = г(0),
£D(3 ci,... , сп) = К”。)，
£2)(0,)=£1)(0)"
Нетрудно видеть, что процедура нахождения постоянных интегриро™ вания при описании математической модели объекта управления в форме вход-выход плохо формализованах). Сказанное относится к любому классу математических объектов управления, включая стационарные и нестацио™ нарные, линейные и нелинейные системы с со сред оточенными параметра™ ми. Более высокий уровень формализации достигается при использовании математических моделей в форме Коши. Покажем это.
Система уравнений в форме Коши
Рассмотрим стационарную линейную систему в форме Коши
ж = Р优， ж € Rnt € [0, сю), ж(0) = а?о,
где ж ——вектор состояний системы, жо ——вектор начальных условий, Р —— заданная матрица чисел соответствующего размера.
Решение этой однородной системы представляется посредством матричной экспоненты {ePt ——матрица размерами п х п)
x(t) = ept xq.
Доказательство этого утверждения основано на том, что экспоненци™ альная функция допускает разложение
где 汀=1 х 2 х ... х г — обозначение факториала, Р° = Еп, в силу которого матрица Р коммутирует со своей матричной экспонентой
Pept =
вследствие чего подстановка ж = eptxo в уравнение ж = Рх (в соответствии с правилами дифференцирования функции еРГ) обращает его в тождество
ePt Рхо = Peptxo,
1)Формализм ——направление в математике, сводящее решение проблем основа™ ния математики к формальным аксиоматическим построениям.
Прежде чем переходить к изложению аналитического метода вычисле™ ния матричной экспоненты, приведем ряд вспомогательных сведений из линейной алгебры.
Вспомогательные сведения.
ра п X п:ра п X п:Функция det[Kns — Р], где Еп обозначает единичную матрицу разме
ра п X п:
ра п X п:
10О™
О1…О
О0…1
представляет собой многочлен от комплексной переменной s, степень которого равна порядку матрицы Р:
det[£Jns — P] = sn + a18rl ' + a25rl ? ++ Qn—js + Qn.(1*2)
Данный многочлен называется характеристическим многочленом (или характеристическим полиномом).
Одно связная стационарная линейная система, заданная в форме вход- выход или в операторной форме, фактически задается своим характеристик ческим многочленом.
В форме Коши своим характеристическим многочленом задаются еле™ дующие матрицы, называемые сопровождающими матрицами характери™ стического многочлена:
Г) матрица Фробениуса
0
1
0…
0
0
0
1…
0
0
0
0…
1
—м
— Qn—i
—a，—2 • . ■
一a1
матрица Крылова-Люенбергера
0
0
0…
0
1
0
0…
0
0
1
0…
0
_ a九—2
0
0
0…
0
一a2
0
0
0…
1
一a1
P =
Нетрудно видеть, что элементы нижней строки матрицы Фробениуса и правого столбца матрицы Крылова-Люенбергера совпадают с коэффици™ ентами характеристического многочлена с точностью до знаков. Причем одна матрица получается из другой путем транспонирования.
Для матриц общего вида коэффициенты характеристического многочле™ на необходимо вычислять.
Всякая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому многочлену, что записывается в виде следующего тождества Гамильтона-Кэли:
Рп + "I + а2Рп^2 + …+ ап^Р + апЕп = 0П,
где 0П обозначает нулевую матрицу размера п х п.
Тем самым, характеристический многочлен может быть назван аннулирующим многочленом матрицы Р.
Многочлен называется приведенным, если его коэффициент при стар™ шей степени s равен единице.
Приведенный аннулирующий для матрицы Р многочлен наименьшей степени называется минимальным многочленом этой матрицы.
Пример 1.1. Если матрицы Фробениуса и Крылова-Люенбергера пред™ ставить в блочном виде, полагая блоки этих матриц скалярными матрицами (или диагональными квадратными матрицами с равными диагональными элементами), т. е. в виде:
Г) матрица Фробениуса
"От
Ет
еЁ …
р =
вто
Ет
—■Ет
—2 Ет ...
Ет _
2) матрица Крылова-Люенбергера
©т • • •
©т
—■ ап Ет
Яп
0т
0т
Р =
0т
0т
一a几一2石?
оШ …
©т
— а^Ет
вто ...
— aiEm
(здесь Ет и О?те обозначают, соответственно, единичную и нулевую матри™ цы размера m х т), то многочлен (1.2) будет минимальным многочленом степени п < m для вышеописанных блочных матриц размерности [пт} х х (пт).
Особо остановимся на вычислении матричной экспоненты. В [41] дан обзор 19 способов таких вычислений, ориентированных на компьютерную реализацию. В то же время незаслуженно забытым остался метод вычис™ ления матричной экспоненты с помощью интерполяционного полинома Лагранжа-Сильвестра. Последний неразрывно связан с понятием мини™ мального многочлена матрицы Р, который в общем случае имеет степень, меньшую степени характеристического многочлена k п.
Пусть минимальный многочлен матрицы Р имеет вид
м 0к (i = M，
где Л^ ——корень минимального многочлена кратности mi； £ mi = к ——
i = l
степень минимального многочлена; К ——поле комплексных чисел. Тогда соответствующий ему интерполяционный полином Лагранжа-Сильвестра можно записать как
产些工⑷⑴p二奴P)，
i=0
где ai(t) (£ = 0, k — 1)——искомые коэффициенты этого полинома, задава™ емого посредством нелинейной функции 夕(X), где Л ——корень минималь™ ного многочлена
9(入)=a0⑴+a1(方)入+a2⑴入2 + • • • +aк—1(力)y 1
(здесь 夕(Р)——обозначение многочлена 夕(入)，в котором скаляр А заменен матрицей Р).
Отметим, что интерполяционный полином Лагранжа-Сильвестра не аппроксимирует )матричную экспоненту, а точно вычисляет ее по форму™ ле, содержащей наименьшее количество членов по сравнению с другими методами.
Более того, расчетными соотношениями для вычисления коэффициент тов интерполяционного полинома Лагранжа-Сильвестра без потери общ™ ности можно пользоваться и в случае, когда минимальный многочлен совпадает с характеристическим многочленом.
Коэффициенты интерполяционного полинома Лагранжа-Сильвестра однозначно определяются из следующих интерполяционных условий'.
3(%)=3(%)=dq(X)dq(X)=teXi\А = Аг=teXi\А = Аг成宀一%（入）成宀一%（入）t3 - %入总t3 - %入总
3(%)=
3(%)=
dq(X)
dq(X)
=teXi\
А = Аг
=teXi\
А = Аг
成宀一%（入）
成宀一%（入）
t3 - %入总
t3 - %入总
В частности, если все корни минимального многочлена матрицы про™ стые (т. е. среди них нет кратных, что означает V ，几金=1), интерполя™
i = l,k
ционные условия позволяют определить искомые коэффициенты интерпо™ ляционного полинома из следующей системы линейных алгебраических уравнений:
a0(方)+a1⑴入1 +a2(力)* + . . . +ak一1(方)入"1 =a"三00⑴+01(力)入2 +a2⑴入^ + • • • +ak一1(方)入^ 1 =a'叫
за0(力)+a1⑴入卽 +a2⑴入* + • • • + a/c-i ⑴* 1 = a^kt.
Векторно-матричная запись этой системы имеет вид
MA{t)=厶⑴，(13)
где введены обозначения
厶⑴=col [а0(^),团⑴a/c—1 ⑴],厶⑴=col [еЛ1\ . . . , eAfet],
"1 Л1 Л?…Л^1 ~
М =1 入 2入扌• • • А2 1
Jм…At1 „
(здесь М ——матрица Вандермонда с определителем, отличным от нуля).
Следовательно, искомый вектор 4(f) находится по формуле
注⑴="一上⑴，(1.4)
где М^1 ——матрица, обратная матрице М, что означает М^1 М ММ^1 = =
В случае, когда один из корней минимального многочлена, например, Л^, является кратным )кратности mi > 1, интерполяционные условия для него можно выписать в виде
‘a0(方)+。1 ⑴% +a2⑴入:+a3 ⑴入？ + • • • +a卽一1 ⑴入 f 1 = e'",
。1(力)+ 2a2(力)% + 303(力)* + • • • + (A:1)a卽⑴入？ 2 = te^^,
"2a2(方)+ 603(力)% + -…+ (k - D(k - 2)0卽一](力)入，3 =方%'",
、.一 + (k — l)(k — 2) ” …(k — пц + 1)^—1 ⑴*—7nz =
В общем случае получим г подобных систем, таких, что £ m.i = к,
г = 1
Векторно-матричной записью совокупности этих систем будет равен™ ство (1.3), в котором L(t) и М будут видоизменены, а именно:
L(t) = col yX1\teX1\t2eX1\ . . . , 1т1^еХ1\ ...
® « ® sj С-匕 )匕 匕 sj ю ® ® sj t/С- I，
° 1
Ai
A?
A?
0
1
2Ai
ЗА?…
0
0
2
6Ai 一 •
(k-l)(k-2田-3
0
0
0
6…
(k _ l)(k _ 2)(k _ 3)若一4
M =
0
0
0
0
(k _ l)(k _ 2)…(k _ W + 1)入u1
1
Ar
*
Y
0
1
2Ar
3а^
0
0
2
6ЛГ …
(к - l)(k — 2)$-з
0
0
0
6…
（后_1）（后_2）（后一3）^一4
.0
0
0
0…
(k — l)(k — 2).…(k — гпг + 1)$т .
В случае действительных корней минимального многочлена получен™ ные соотношения можно рассматривать как итоговые. Действительно, при этом выполняется неравенство 入勿 次 Aj, имеющее своим следствием ли™ нейную независимость строк матрицы М, что означает отличие ее опреде™ лителя от нуля. Вследствие этого матрица М имеет обратную матрицу. Тем самым, определение искомых коэффициентов интерполяционного полино™ ма Лагранжа-Сильвестра возможно с применением формулы (1.4).
Рассмотрим теперь случай, когда среди корней минимального многочле™ на имеется пара комплексно-сопряженных:入勿 二 сц + //3分 и 入分 二 &勿 一 /3瀆 кратности m.i, т. e.
‘a0(力)+。1 ⑴% +02(力)用 +a3⑴入? + • • • + O/c —1 ⑴入:1 = e'", 。1(方)+ 2a2(方)% + 303(方)用 + ….+ (k - 1)0卽一1 ⑴入：2 = te^^
2。2⑴ + ба?⑴% + • . • + (A: - 1)(A:2)。自一1 ⑴入f 3 =力%""，
‘…+ (k - l)(k - 2) * 一 (k - 77% + 1)。生一1 ⑴若-成=产"一%中,
__ 一_ (L5)
a0(方)+a1(方)入分 +a2(方)X: +a3 ⑴ X： + • • • +a素—1(方)X? 1 =
。1(方)+ 2a2(方)* + 3a3(方)入？ + " . * + (k - 1)0卽一1(方)入f 2 =方c'",
<2。2 ⑴ + 6。3 ⑴* + …+ (k - D(k - 2)a卽一1 ⑴З =严傘匕
к …+ (k — l)(k — 2)…(k — пц + l^ak^t^^ =严匕
Хорошо известные формулы Эйлера для комплексных чисел
p(%+70z)右 I p(%-70z)力□(%+*?》—「3一3)±
； = ea^ cos pit^ ^ = eait sin pit
подсказывают, что системы （1.5） нужно сначала сложить, а затем вычесть одну из другой, получив
'2ao⑴ +a1（方）（% + a^） +a2⑴（入:+ A?） +a3（方）（*+ A?） + ...
2al⑴ + 2a2（力）（％ + 入?）+ Заз（力）（寿 + А?） + ...
…+ （k - 1）^ .1 ⑴（入"2 +又"2）=力（队力 +
< 4a2⑴ + 603（力）（% + 入?）+ …"
+ （k — l）（k — 2）^—i ⑴（入"3 +х”з）=犷化中 + еАД）?
…+ （k — l）（k — 2）…（k — m’i + l）ak^（t）（X^ + 焉—叫）=
И（1.6）
‘a1«）（%-a?） +a2⑴（北-入:）+a3（力）（* - Af） + ...
…+ ^一1⑴（入"1 一又"1） = eк上 一段匕
2。2（%）（% -Х£）+ 3。3⑴（入:-入：）+ • • •
…+（k - 1）^ 一 1 ⑴（入"2 -2）= J
6。3（%）（% -入£）+ • • •_
…- i）（k - 2）。L1 ⑴（再-з _ 又"3）=力3（e"—i叱，
一 .+ （k - l）（k - 2） . 一（k - ту + 1）a卽一1 ⑴（*X"®）=
Отметим, что при этих операциях мы не изменяем величины определи™ теля исходной матрицы.
Комплексно™сопряженный корень, возведенный в соответствующую степень, есть не что иное, как бином Ньютона, вычисляемый по формуле
77
（8 + 2）7 = 工玛0L。歹⑴L （0-3"仇广=工玛。5。我（"产
откуда следует[7/2]
3 + /仇厂 +- "）7 = 2 £ с?a…。产（-屮=J 2不，
（8 + ^仇广一（必一 j仇广=
[（7^1）/2] + 1[（7^1）/2] + 12j2jEE—1 def—1 def2j于2j于p=0p=0
[（7^1）/2] + 1
[（7^1）/2] + 1
2j
2j
E
E
—1 def
—1 def
2j于
2j于
p=0
p=0
(здесь C7f обозначает число сочетаний из i по j, вычисляемое по формуле
С^ = —； J； * [ " " * " + 1) ； символ [...] обозначает операцию взятия ближайшего слева на числовой оси натурального числа).
На основании введенных обозначений равенства (1.6) можно переписать
в виде:
ао(^) + 肉⑴С，+ 仪2⑴С? + аз⑴С? + . 一 = ea%t cos0必①⑴ + 2a2⑴С* + Заз⑴С? + "…=tea，lt cos仇匕2a2(方)+ ба3(方)e1+ "…=户cos仇厶
a1⑴$1 +a2⑴S'2 + аз⑴S3 +=6a"sin仇匕2a2⑴S' + Заз⑴S? + . . * =力已。"sjn乱匕баз⑴S' + .…=t2eait sin仇匕
Далее условимся индексом i обозначать действительные корни, сим™ волом mi ——кратность соответствующего действительного корня, бук™ вой 沙——количество действительных корней (г = 1)〃)，индексом / —— пару комплексно-сопряженных корней, символом mj ——кратность пары комплексно-сопряженных корней, буквой ту ——количество пар комплексносопряженных корней (j = 1)〃)*
Тогда структуру вектора L(t) можно задать в виде
厶⑴=col[eA3, teA^,...,力人— %%*
e&3t cos%力，teajt cosPjt^ . . . , tmj^1eajt cos^jt,
eajt sin %m 力已°# sin 为力….)im3^1eajt sjn %(
Заданная структура вектора 厶⑴ диктует назначение блочной структуры матрицы М, соответствующей этому вектору. Обозначим блоки, соответ™ ствующие действительным корням, через М^ а комплексно-сопряженным корням ——через Мj. Тогда структуру матрицы М будет определять выражение__
М = col[Mi,. .., Мр, Mi,. . ., М^],
в котором
Mi = Gi 0 Тц,Мj = coiq^ 0 丁2储 G^ 0 丁訂])
03 13 23 ® я я я - о 0 2 12 2 2 * я я я - о 抬兄0-0 ^00-003 13 23 ® я я я - о 0 2 12 2 2 * я я я - о 抬兄0-0 ^00-0т т тofc Ifc 2feя я ят т тofc Ifc 2feя я я_ 1 亡 я_ 1 亡 я
03 13 23 ® я я я - о 0 2 12 2 2 * я я я - о 抬兄0-0 ^00-0
03 13 23 ® я я я - о 0 2 12 2 2 * я я я - о 抬兄0-0 ^00-0
т т тofc Ifc 2feя я я
т т тofc Ifc 2feя я я
_ 1 亡 я
_ 1 亡 я
Тц =Тц =1%入？AfО1Л^Л?ОО1Л^1%入？AfО1Л^Л?ОО1Л^0…》1 6 f?半О 1 s gО 01 c}0…》1 6 f?半О 1 s gО 01 c}3尸3尸3尸3尸0000...™ 05}00% =000000...™ 05}00% =00y^ k —- TUj05}y^ k —- TUj05}00000000W k — mjW k — mj
Тц =
Тц =
1%入？Af
О1Л^Л?
ОО1Л^
1%入？Af
О1Л^Л?
ОО1Л^
0…》
1 6 f?半
О 1 s g
О 01 c}
0…》
1 6 f?半
О 1 s g
О 01 c}
3尸
3尸
3尸
3尸
0000...
™ 05}
00
% =00
0000...
™ 05}
00
% =00
y^ k —- TUj
05}
y^ k —- TUj
05}
0000
0000
W k — mj
W k — mj
(здесь символом 0 обозначено «скалярное произведение матриц», т. е. С7 = =Л 0 В означает, что с^-=仪勿^ х 匕修小,а символом R： обозначено число размещений из г по J, вычисляемое по формуле
Ri = П к) = 1)…_ j + 1)=仔戸，兄? = L k=0 '
Следует отметить, что матрицы вида Тц, Т27, Т37 носят название теплицевых матриц (по имени немецкого математика Отто Теплица).
Нетрудно видеть, что по структуре матрица М состоит из линейно независимых строк, вследствие чего ее определитель отличен от нуля, и, следовательно, она имеет обратную матрицу, что дает основание для определения искомых коэффициентов интерполяционного полинома Лагранжа™ Сильвестра использовать формулу (1.4).
Пример 1.2. Рассмотрим систему, минимальный многочлен которой имеет две пары равных комплексно-сопряженных корней: si)2 = 63,4 = =ol^jP (j = 1, mj = 2,77 = 1), k = 4.—
Вычислим коэффициенты ⑥⑴ (г = 0,3) интерполяционного полинома Лагранжа-Сильвестра. Сформируем матрицы 厶(力)и М, участвующие в формуле (1.3), для нахождения вектора 4(f) = col[ao(^), ai(^),...,仪3(力)] искомых коэффициентов:
厶⑴=col[eat cos 0匕 teat cos 0力 eat sin 0力，ieat sin /3f],
M = col[iVf 1] = col[Gi 0 T21, Gi 0 T31],
11117 —1&&2 —俨 a? — 3q 俨
0 12 35121 =01 a a?—俨 ‘
，0 0 2a0 3a20 一炉一丿31 - [ о о 0 2a Г
откуда на основании (1.4) получим
а°⑴=4^4 [^4/3eat cos 0力 + (2a3/32 + la^te^ cos 0力+
+ (一2a30 — 6a俨)已0飞也0方+ (一2标俨—205)方6a%Ё0扑
a1 ⑴=^^ [(2/34 + 6а202)方60%0S 0方 + (-6а20- 6/33)eat sin 0方-
—^aP^leat sinpt\^
"2(力)=j^j \^ap2teat cos0力一6&0已。* sin/3i—2/33ieat sin0力]) 仰⑴=-^\2p2teat cos pt - 2Ре^ sin/3f].
Однородные нестационарные линейные системы
Рассмотрим однородную нестационарную линейную систему в форме Коши, описываемую векторно-матричным уравнением
ж = Р⑴算，ж е Rnt е [0, ос),力о》0,算(力о) = ж0,(1.7)
в котором ж ——вектор состояний, ж0 ——вектор начальных условий,力 —— время, P(t)——заданная матрица соответствующего размера.
Предположим, что правая часть уравнения (1.7) непрерывна по 算 и 力 и удовлетворяет условию Липшица по ж (ограничена по ж). Тогда в соответ™ ствии с теоремой Пикара-Линделёфа существует единственное решение уравнения 算色力小窃)，которому соответствует интегральная кривая4), проходящая через точку 算(力5力5算0)=算＞
Определение 1.1. Квадратная матрица X ⑴ размера n х п, столбцы которой образуют полную систему линейно-независимых частных решений уравнения (1.7) и, как следствие, удовлетворяют матричному уравнению
X"⑴=户⑴X⑴(1.8)
при начальном условии
X(%) = X(b
где Х()——некоторая заданная невырожденная матрица чисел, называется фундаментальной системой решений уравнения (1.7).
Отметим, что невырожденной называется квадратная матрица с опре™ делителем, отличным от нуля.
Определение 1.2. Фундаментальная система решений называется нормированной © точке 力о, если Хо = Еп.
Всякое частное решение уравнения (1.7) посредством нормированной в точке to фундаментальной системы решений выражается формулой
z(厶й,算0)=X⑴
Формальное представление нормированной в точке й фундаменталь™ ной системы решений уравнения (1.8) в виде матричной экспоненты
X ⑴=exp P(r)dr
to
в случае нестационарных линейных систем недопустимо ввиду того, что
ехр( 口丁)壮丁)户⑴ 卢 Р⑴ exp( P(r)dr^ ,(1.9)
т. е. в случае матрицы P(t) общего вида она некоммутативна (неперестановочна) с матрицей exp J P(r)dr.
io
Неравенство (1.9) неверно только тогда, когда матрица Р(力)являет™ ся диагональной (случай Лаппо—Данилевского). В этом случае векторноматричное уравнение (1.7) эквивалентно скалярной системе
丸=Pii (^)^i(〃 = 1)72)〉
допускающей аналитическое решение
算(九 ％, ж0) = ехр( pn(T)dr^xo.
io
что проверяется непосредственной подстановкой.
Вторым случаем, допускающим интегрирование в замкнутом виде, является случай верхне-треугольной или нижнетреугольной матрицы Р(力)* Отметим, что эти матрицы могут быть как правыми, так и левыми. Для определенности рассмотрим правую верхнетреугольную матрицу
⑴
012⑴
013⑴
• - - Pln(t)"
4方)=
0
022 (力)
023⑴
• • - P2n(t)
0
0
033⑴
• - - P3n(t)
0
0
0
"..Pun^t) _
Система (1.7) с такой матрицей очевидным образом интегрируется снизу вверх, начиная с последней строки. Для нижнетреугольной матрицы интегрирование ведется сверху вниз, начиная с первой строки.
Но ни в первом, ни во втором случаях элементарные функции, как результат интегрирования, не гарантированы, поскольку их получение зависит от конкретного вида функций, которыми заданы элементы матрицы Р ⑴.Если эти функции таковы, что позволяют взять табличный интеграл, то решение получается в элементарных функциях, в противном случае —— в квадратурах.
Сказанное выше демонстрирует следующий пример.
Пример 1.3. Рассмотрим систему с правой верхнетреугольной матрицей
⑴
О Р22 ⑴
которая в скалярном виде записывается так:
[£" = Р11 ⑴算1 +Р12 ⑴算 2, I亦2=p22⑴也
Интегрирование этой системы снизу вверх дает
算2(厶 й,算0)=Р22(丁) drjx2(tQ).
io
XX算1(厶力5 ж0) =Рп(т)
X
X
to
XX算1(力о) + expPii(a) da^pi2(T)exp^ p22((7)da^j dr x2(t0) ioioio
X
X
Следует отметить, что к правому верхнетреугольному виду согласно теореме Перрона [9] может быть приведена любая неавтономная система (1.8) в результате линейного преобразования (Перрона)
ж = u(t)y. у е яп,
с ортогональной матрицей U(力)* Такие матрицы по определению удовлетворяют равенствам: UT(t) = U^1^) или UT(t)U(t) = U(t)UT(t) = E.
Система, полученная в результате ортогонального преобразования, бу™ дет иметь вид
纟=戸⑴% p = итр⑴и⑴-u-⑴0⑴,
где Р (力)——правая верхнетреугольная матрица.
Р. Э. Виноградом доказано, что ортогональная матрица, участвующая в преобразовании Перрона, может быть получена в процессе ортогонализации и нормировки Шмидта векторов, составляющих нормированную в точке 力о фундаментальную систему решений. Им же построен пример, демонстрирующий несостоятельность использования корней при решении задачи Коши однородных нестационарных линейных систем.
Пример 1.4. Пусть матрица Р(力)в уравнении (1.7) имеет вид
D小Г Зс2 +2 + 4сб ]. “
产(力)=с , j о 9 , 2, с = cos2力,s = sin2九
[一2 + 4cs 一3" + T'
Следующий вектор обращает это уравнение в тождество:
Ж1 _% + с%
ж 2 ——e^^s + ^с '
В то же время корни характеристического уравнения det [Е^Х — P(t)] = = (入 + 1尸 = 0 не имеют ничего общего с этим частным решением, что свидетельствует о неприменимости математического аппарата корней к интегрированию нестационарных линейных систем.
Задача Коши для однородных нелинейных систем
Абстрактная математическая модель системс сосредоточенными параметрами
В большинстве случаев математическая модель однородных нелиней™ ных систем в форме Коши задается векторным уравнением
ж = f (жЗ)?算 е t € [0, ос),力о》0, ж(^0) = ж0,(1.10)
в котором ж обозначает вектор состояний, ж о ——вектор начальных условий, t ——время, /(ж,力)——заданную вектор-функцию размерности п, в отношении которой полагают, что она определена и непрерывна вместе со своими частными производными по 算 и 力 на некотором открытом множестве пространства переменных Rn х [0, ос). Это гарантирует существование единственного решения ж(^, f0, ж0), проходящего через точку (f0, ж0), не являющуюся состоянием равновесия данной системы.
Отметим, что в отличие от линейных систем, имеющих одно состояние равновесия в начале координат ж = 0п, однородные нелинейные системы могут иметь несколько состояний равновесия (при произвольно заданном фиксированном значении 力),которые находятся из системы нелинейных алгебраических уравнений
Л) = On,
полученной из (1.10) приравниванием нулю левой части этого уравнения (здесь 0п обозначает нулевой п-мерный вектор).
Поскольку векторно-матричное описание предпочтительнее векторного описания (1.10) в силу того, что матричный аппарат обладает неизмеримо большими возможностями по сравнению с векторным, перейдем от вектор™ ного описания к векторно-матричному описанию.
Введем в рассмотрение [6]:
матрицу Якоби, обозначив ее ^(ж, t) и определив ее равенством
функциональную матрицу, определенную на основе матрицы Якоби согласно равенству
Р(ж, t) = 6(。算⑺ dJ*
о
Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что имеет место тождество
т. е. любая однородная нелинейная система может быть записана в виде
х = Р(ж, t)x.
Пример 1.5. Рассмотрим уравнение (в форме вход-выход) свободного движения маятника
芝 + 分 + sin z = 0,
где z ——координата отклонения маятника от положения равновесия z = Q.
Вводя обозначения Ж1 = %, ж2 = S, представим это уравнение в векторной форме Коши (1.10):
Ж2 —— sin Ж1 — Ж2'
Матрица Якоби, вычисленная в силу правой части этого уравнения, будет иметь вид
В свою очередь, искомая функциональная матрица, обусловленная этой матрицей Якоби, получится в виде
■1■
101J d J
Р(ж) = ^(8也力)d®=1；:
о— Jcos(Jzi)dJ —ijd®
一 00.
~01 ~
=sin Ж1]
一Ж1_
В теории обыкновенных дифференциальных уравнений известен принцип линейного включения Былова-Гр обмана, согласно которому всякое решение любой нелинейной однородной системы является также решением некоторой нестационарной линейной системы.
Действительно, пусть ж(^,力о, жо) является решением уравнения (1.10). Тогда это же решение является решением нестационарной линейной системы
ж = Р(^)ж,
в которой матрица Р{€) является результатом подстановки ж(^, й, ^о) в функциональную матрицу Р(ж, I), Обозначим эту операцию через
户⑴=[Р(ж,力)](1.10)”
Тем самым, принцип линейного включения Былова-Гробмана дает возможность рассматривать однородные нелинейные системы
Ж = [Р(Ж, t)](i.io)* 算(1.11)
в двух взаимно не исключающих аспектах:
как систему обыкновенных нелинейных дифференциальных уравне™ ний без подстановки в нее решений из области изменения соответствующих функциональных матриц (символьное описание элементов функциональ™ ных матриц);
как нестационарную линейную систему, полученную в результате подстановки в функциональные матрицы любого нетривиального решения вышеприведенного нелинейного уравнения. При этом каждое новое решение порождает, вообще говоря, характерную только для него матрицу Р ⑴, разнящуюся от других решений элементами, являющимися функциями времени (описание элементов функциональных матриц посредством функций времени).
Определение 1.3. Будем называть функциональной всякую матрицу [4(ж,力)](*), ж е Яп, t е [0, ос), область изменения аргументов которой задается посредством уравнения (*)).
Покажем, что в зависимости от того, какое уравнение выступает в роли уравнения (*), математическая модель (1.11) наряду с описанием нелинейных систем может трактоваться также как описывающая стационарные и нестационарные линейные системы.
1°. Возьмем в качестве уравнения (*) следующее:
ж = 0п.(*)
Это уравнение обращается в тождество при любом ж(0) = const. Будем полагать, что символьное описание функциональной матрицы не содержит в явном виде элементов, зависящих от времени. Тогда результатом подста-
новки решения этого уравнения в функциональную матрицу [Р(ж, ^)](*) (обозначим результат этой операции через [Р(ж, ^)](*,ж(о))) будет матрица чисел [ J5(ж,力)](*№(0))= Р"
Итак, для заданной таким образом области значений аргументов функ™ циональной матрицы уравнение (1.10) будет описывать стационарную ли™ нейную однородную систему
X = Рх.
2°. Возьмем в качестве уравнения (*) следующее уравнение: х = Лж,
где Л ——заданная матрица чисел.
Результатом подстановки решений этого уравнения (обозначим их через x(t, 0) = ел^ж(0)) в функциональную матрицу [Р(ж, t)]^^)будет матрица функций времени [Р(ж, ^)](*,ж(^о))= 户(力)* Тем самым, уравнение (1.11) будет описывать нестационарную линейную однородную систему
ж = P(t)x.
Таким образом, в зависимости от того, какое уравнение выступает в роли уравнения (*), уравнение (1.11) можно трактовать по-разному, рассматривая его как абстрактную форму описания стационарных и нестационарных, линейных и нелинейных однородных систем.
Определение 1.4. Будем называть (1.11) абстрактной математической моделью однородных конечномерных систем.
Покажем на примере, что абстрактная математическая модель дает качественно новый уровень описания объектов и явлений естественной и искусственной природы.
Пример 1.6. Возьмем в качестве области (*) изменения элементов функциональной матрицы следующее разностное уравнение с периодом дискретности Т > 0:
ж [г + 1] = А [г] ж [г], ж е Яп, i = 1,2, 3,. . . , ж[0] = жо,
где A[i]——заданные матрицы чисел, определив время t в уравнении (1.11) как
t =已一丁 £ [0, ос) => f(т = 0) = 1;力(丁 = ос) = 0 => f € [1,0].
При этом уравнение (1.11) можно рассматривать в двух аспектах:
—как самостоятельную нелинейную систему обыкновенных дифферен™ циальных уравнений без подстановки в нее решений системы разностных уравнений;
-как нестационарную линейную систему с кусочно-постоянными коэф™ фициентами на отрезках [0, Т), [Т, 2Т), [2Т, ЗТ),... и обратным временем на полуотрезке 力 е [1,0], изменяющимся по экспоненциальному закону, полученную путем подстановки решений системы разностных уравнений в функциональную матрицу правой части уравнения (1.11).
В дальнейшем будем рассматривать уравнение (1.11) без конкретизации уравнения (*), возможные варианты задания которого приведены выше. Это позволяет в случае использования абстрактной математической модели применить полученные результаты как к стационарным линейным, так и к нестационарным линейным и нелинейным системам. При этом из соображений простоты обозначений индекс (*) в обозначении функциональных матриц опустим.
Формализм абстрактной математической модели позволяет утверждать, что все случаи интегрируемости в замкнутом виде, справедливые для нестационарных линейных систем, справедливы и для нелинейных систем.
Автоколебания нелинейных систем
Нелинейные системы обладают рядом характерных особенностей, самыми интересными из которых с позиции многочисленных технических приложений являются автоколебания (термин введен академиком А.А. Андроновым) или изолированные замкнутые траектории, которые называются предельными циклами. Простейшим примером предельного цикла нелинейной системы на фазовой плоскости (ж е Я2) является окружность (см. пример 5.5).
Различают предельные циклы трех разновидностей: если фазовые траектории с обеих сторон наматываются на предельный цикл, то он называется аттрактором, если с обеих сторон сматываются с него,——репеллером, а если с одной стороны наматываются, а с другой сматываются ——то полуустойчивым предельным циклом.
В пространстве состояний формализовать понятие предельного цикла как замкнутой гиперповерхности второго порядка можно в соответствии со следующим определением, сформулированным на языке аналитической геометрии [28].
Определение 1.5. Будем называть предельным циклом со смещенным центром замкнутую гиперповерхность )второго порядка (синоним —— гиперквадрика), описываемую следующим уравнением:
用宏 + 2[DT(x,力z + с = 0, [D(x, f)] e Яп, (1.12)
где [Л(ж,力)]——симметрическая положительно определенная матрица, с —— некоторая отрицательная константа.
Отметим, что координаты центра жц гиперквадрики (1.12) определяются выражением
= -[Л(ж,力)]Т[О(Х 用， (1.13)
что позволяет (1.13) записать в виде центральной гиперквадрики
(ж 一力口)7[4(/m)](/一%) + g 一 ж^[л(ж,力)]力口 = 0.
Нетрудно видеть, что в случае [£)(/,力)]三 0 уравнение (1.13) описывает центральную гиперквадрику, что позволяет ввести следующее определение.
Определение 1.6. Будем называть предельным циклом с несмещенным центром замкнутую гиперповерхность второго порядка, описываемую следующей гиперквадрикой:
жт[Л(ж, t)]x + с = 0,(1.14)
где [Л(ж,力)]——симметрическая положительно определенная матрица, с —— некоторая отрицательная константа.
Отметим, что в случае, когда [Л(ж,力)]二 Еп, уравнение (1.14) описывает гиперсферу, в случае [Л(ж,力)]= diag [а^(ж,力)](分= 1, п) — приведенный гиперэллипсоид, а в общем случае ——гиперэллипсоид общего вида (или неприведешый гиперэллипсоид).
Нетрудно видеть, что подобная формализация понятия предельного цикла в многомерном пространстве на фазовой плоскости (п = 2) означает соответственно окружность, эллипсоид и замкнутую кривую второго порядка общего вида.
Структурный признак существованияпредельного цикла в виде гиперсферы [28]
Лемма 1.1. Пусть матрица системы (1.1 \) является кососимметрической, т. е. удовлетворяет условию
[P(x,t)] = ^[PT(x,t)l(1Л5)
тогда решению этой системы соответствует гиперсфера (аналог шара в многомерном пространстве)
ХТ X = /7(力 o)z(力 о)*(1.16)
Доказательство. Умножив обе части уравнения (1.11) слева на транспонированный вектор состояний жт, получим
хтх = хт[Р(х^ 力)]
Известно [10], что для кососимметрических матриц справедливо тождество хт[Р(х^ 力)]力=0, откуда следует
хт х = 0.
Умножая обе части последнего выражения на dt и интегрируя затем в пределах о丁力о до 力 получим (1.16).
Лемма доказана.
На основе этой леммы можно получить структурный признак существования гиперсферы со смещенным центром [28].
Пример 1.7. Рассмотрим движение космического аппарата (КА), описываемое системой уравнений 4-го порядка с функциональной матрицей
.0
—2
0
0・
[Р(М)]=
2
0
0
—®(сз, ж4)
0
0
0
1
^(ж3, ж4)
0
0
и вектором состояний ж = col [力匕/2,/3)/4], где /1,/2 ——компоненты спин-вектора '); /з,力4 ——компоненты некоторого вспомогательного вектора единичной длины; под обозначением ш(жз, /4) понимается выражение
公(/3，/4)= 一吗—w*
Можно показать, что рассматриваемый спутник имеет две особенности: первые два уравнения имеют решение, которому соответствует окружность с несмещенным центром (первый диагональный блок матрицы [Р(ж,力)] размером 2x2 является кососимметрической матрицей), а два оставшихся (второй диагональный блок матрицы [Р(ж,力)]размером 2x2 также является кососимметрической матрицей)——решение, которому соответствует окружность со смещенным центром. Доказательство последнего утверждения аналогично доказательству теоремы 5.4.
1.4. Интегрирование уравнений в частных производных.Абстрактная математическая модель системс сосредоточенными и с распределенными параметрами
Распространим абстрактную математическую модель однородной конечномерной системы на системы с распределенными параметрами, задав ее в виде
Ж = [P(v,t)]x, хе Rn\ V е Rn\ t € [0,00),(1.17)
где х ——вектор состояний,曾 ——вектор пространственных переменных, t —— время.
Отметим, что модель (1.17) при v = х полностью совпадает с (1.11), что возможно в случае, когда ni = п^. В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений при рассмотрении систем с распределенными параметрами матрицу [P(v, t)] в (1.17) следует полагать операторной.
Достигнув единства в описании всех рассматриваемых классов систем, обратим внимание на важное обстоятельство.
7) (От англ, spin ——вращаться). Спинорное исчисление ——математическая теория, изучающая спиноры ——величины, используемые в квантовой механике, которые могут быть определены с точностью до знака.
Итак, в случае рассмотрения （1.17） как математической модели стационарных линейных систем в роли элементов матрицы [Р（曾,力）]выступают числа с определенными знаками.
Если рассматривать （1.17） как математическую модель нестационарных линейных систем, то в роли элементов матрицы [Р（曾,力）]выступают функции времени. Они также характеризуются знаком.
То же самое имеет место для нелинейных систем, если элементы матрицы [P（v,力）]при v = x представляют собой аналитически заданные функции от компонент вектора ж или самих компонент вектора х. Например,力孑（при Xi * 0）, е% — положительные функции, а те же самые функции, но взятые с обратным знаком ——отрицательные функции.
И только в случае распределенных систем элементы матрицы [Р（曾）力）] не имеют знака, поскольку по форме являются дифференциальными выражениями, порожденными дифференциальными операторами в частных производных.
Для того, чтобы символьное описание уравнений в частных производных посредством операторной математической модели （1.17） можно было использовать в качестве конструктивного математического аппарата анализа и синтеза распределенных управляемых систем, необходимо наделить дифференциальные выражения в частных производных, являющиеся элементами матрицы [P（v, t）], знаковыми признаками.
Как это сделать, покажем в дальнейшем на примере В.2, в котором операторная матрица [Р（曾）力）]имеет вид
口管）= 一a2（0） —（0） J 7
где
Напомним одно из основных понятий линейной алгебры ——понятие квадратичной формы, которой называется математическая конструкция вида хТАх, х е Яп, где ж ——вектор состояний; Л ——симметрическая матрица, элементы которой удовлетворяют условию а^ = aji （т. е. условию Л = Лт）. Отметим, что понятие квадратичной формы можно рассматривать как обобщение понятия скалярного произведения векторов, размерности которых совпадают. В общем случае скалярное произведение двух векторов ж € Rn и у е Rn образует билинейную форму хТу, в частном случае хтх ——квадратичную.
Квадратичная форма наделена знаковыми признаками, поскольку хтАх > > 0, если матрица Л положительно определена, что имеет место, когда все ее главные миноры ——положительны. Этот признак носит название критерия Сильвестра. Аналогично вводятся отрицательно, неотрицательно и неположительно определенные матрицы и соответствующие им квадратичные формы.
Поскольку частным случаем вектора является скаляр, а частным случаем матрицы является матрица размера 1x1, представим элементы нижней строки функциональной матрицы [P(v, t)] в виде квадратичных форм
/ a2 ^h^Ej 川丿丿小）/ a2 ^h^Ej 川丿丿小）01(⑵)=
/ a2 ^h^Ej 川丿丿小）
/ a2 ^h^Ej 川丿丿小）
Нетрудно видеть, что в условиях заданных /г(曾)，从(曾)，E,J определение знака соответствующей квадратичной формы не вызывает затруднений. Тем самым на основе представления дифференциальных выражений в частных производных посредством квадратичных форм выполнено наделение их знаковыми признаками.
Задача Коши для систем с распределенными параметрами формально состоит в отыскании частного решения 力(曾,力)дифференциального уравнения для заданных при 力 = 0 начальных условиях 力(曾)0) = 夕(曾), 夕 £ Rn, где 夕(曾)——некоторая заданная непрерывная вектор-функция про стр анственных переменных 曾.
К сожалению, до сего времени какие-либо общие аналитические методы интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных практически неизвестны. Собственно же интегрирование производится приближенными методами, в основном, с использованием теории рядов. Но поскольку при использовании рядов приходится иметь дело с их приближенными значениями, обусловленными суммированием конечного числа членов ряда, то, как отмечал С. А. Чаплыгин [37] (ученик Н. Е. Жуковского), «большей частью не оказывается возможным установить величину остающейся погрешности и узнать, насколько удовлетворительно разрешена поставленная задача».
Неоднородные стационарные линейные системы
Тождество Коши
Сразу оговорим, что интегрирование в элементарных функциях неоднородных систем возможно только для стационарных линейных систем. Опишем их уравнениями
ж = рх^ в/,力 е 兄\ f е R?ж = рх^ в/,力 е 兄\ f е R?t е [0, оо), /(0) = /о, (1.18)t е [0, оо), /(0) = /о, (1.18)
ж = рх^ в/,力 е 兄\ f е R?
ж = рх^ в/,力 е 兄\ f е R?
t е [0, оо), /(0) = /о, (1.18)
t е [0, оо), /(0) = /о, (1.18)
2 = Dx, z е R1
где х ——вектор состояний; / ——вектор внешних воздействий (вход); г —— вектор регулируемых переменных (выход); Р)В、D — заданные матрицы чисел соответствующих размеров;力——время; /о ——вектор начальных условий.
Общее решение ж(^, 0, ж0, /) уравнения (1.18) складывается из двух составляющих, называемых свободной и вынужденной, и описывается формулой古
力(力 0,力0, /)=力(力，о, ж0, 0m) +^(f, 0, On, /) = &Р%о+ ер^Т^Bf(T)dr,
0
называемой формулой Коши. При этом второе ^слагаемое формулы Коши называется интегралом Коши. Здесь x(t^ 0, жо, 0т) обозначает свободную со став ляющую общего решения или свободное движение системы, порожденное начальными условиями при отсутствии внешних воздействий. В свою очередь, x(f, 0, 0п, /) обозначает вынужденную составляющую общего решения или вынужденное движение системы, иногда называемое нормальной реакцией ”о внешнюю нагрузку^ Вынужденное движение порождено внешним воздействием при нулевых начальных условиях.
Отметим, что формула Коши может быть названа суперпозицией функций, т. е. композицией более сложной функции, составленной из двух функций.
Отметим, что в случае нестационарных линейных систем формула Коши при помощи нормированной в точке to фундаментальной системы решений Х(力)записывается в аналогичном виде:
t
力(力，to, ЖО, f) = X ⑴力 0 + X ⑴(丁)б(丁)/(丁)dr,
to
но, кроме формализма представления, эта формула практически ничего не дает.
Выведем аналитическое выражение для вынужденной составляющей общего решения.
Будем полагать, что вход системы (1.18) формируется выходами следующей автономной стационарной линейной системы:
= r^i, / = Яж1,力1 е яП1, t е [о, оо),力1(0)=力。(1.19)
с вектором состояний 砲(здесь Г, Н ——заданные матрицы чисел соответствующих размеров).
Тогда внешнее воздействие посредством матричной экспоненты уравнения (1.19) можно представить в виде
/ = Яепжю.
Пусть матричные экспоненты уравнений (1.18), (1.19) с помощью соответствующих интерполяционных полиномов Лагранжа-Сильвестра записаны в виде
= aQ(t)En + ai(t)P + a2 ⑴产 + • . • + 0^一1 ⑴声,
где k, ki ——степени минимальных многочленов этих полиномов.
Вынужденная составляющая общего решения уравнения (1.18)с учетом уравнения выхода системы может быть записана в виде
t
z = Dept e^PTBHerTx1Q dr.(1.21)
о
Отдельные фрагменты (1.21) на основании (1.20) представим как
Di' = D [а。⑴Еп + (f)Р + а?⑴Р2 + •..Di' = D [а。⑴Еп + (f)Р + а?⑴Р2 + •..^^ак^Рк^] =^т ⑴^^ак^Рк^] =^т ⑴D DP DP2D DP DP2
Di' = D [а。⑴Еп + (f)Р + а?⑴Р2 + •..
Di' = D [а。⑴Еп + (f)Р + а?⑴Р2 + •..
^^ак^Рк^] =^т ⑴
^^ак^Рк^] =^т ⑴
D DP DP2
D DP DP2
0产一1
е~РтВ = [ао(-т)后九 + ol^-t^P + @2(-丁)「2 + ...
…+ ak^T)Pk^] В = [В, PR,炉户—1司 4—丁),
ЯеГг = Я [а0(т)Еп + «1(т)Г + а2(т)Г2 + . . .「Я
_ Яr
*一+女航.1(丁)г如-1 =万(丁) Яr2
ЯГ^"1
4⑴=col[a(f)o, Q1⑴а生 —1 ⑴],
4(丁) = col叵0(丁)，女1(丁)「女統一1(丁)], {^ . *}丁 символ транспонирования.
Подставляя полученные выражения в (1.21), получим
2 = 4T ⑴2 = 4T ⑴D DP DP2D DP DP2[В,РВ,Р2В^.^Рк^1В] х[В,РВ,Р2В^.^Рк^1В] х
2 = 4T ⑴
2 = 4T ⑴
D DP DP2
D DP DP2
[В,РВ,Р2В^.^Рк^1В] х
[В,РВ,Р2В^.^Рк^1В] х
0产Т
х Л(^т)Л T(r)drох Л(^т)Л T(r)drогг2 я ягг2 я я*^10 •*^10 •
х Л(^т)Л T(r)dr
о
х Л(^т)Л T(r)dr
о
гг2 я я
гг2 я я
*^10 •
*^10 •
С учетом формулы (1.4) для вычисления коэффициентов интерполяционного полинома Лагранжа-Сильвестра, которую для рассматриваемых матричных экспонент можно представить в виде
4⑴=иT厶⑴，万⑴=京一1e⑴,
окончательно имеем
■D м
DP
? = 4丁⑴ ОР? ［В.РВ,Р2В^.^Рк^В］ х
О 产 тг 4
яг
•^10 ?•^10 ?х L（^T）LT（T）dr т — т ЯГ2
•^10 ?
•^10 ?
где
7） = cо1rAi 一 丁「…T严Tl尢，
6一%丁 COS（%7）, 一7f-a" COS（^jT）, . . . , （一7）叫L%—%" C0S（%7）,
—a" sin（良一［丁e—%Т sin（%丁）……，_（_丁）小厂16一%丁 sin（%T）］;
e丁（丁）= 力口一
cos（^ jr）, teajT cos（f3 jr\ . . . , tm：l^1eajT cos（^jt）,
户"sin（B戸）,力户" sin（5广）,严厂 1 户"Sin（3广）］"
Нетрудно видеть, что элементы матрицы J 厶（一丁）厶丁（丁） d丁 размерами о
к х ki, являются табличными интегралами следующих типов:
e“"dT,t1 еХгТdr^f7eAtT sin（^jT）dr, f7eAtT cos（^r） dr,
ooоо
sin（GjT）sin（GjT）d丁 =
=；#ZA" cos［（乱一当）丁］ dT — ； t^eKr cos［（乱 + /3j）r］ dr, о0
尸&尢丁 sin（G"） cos（/3戸）dr 二
0
= I 力7fA" sin［（ft + 当）7］ dT + ； t^eKT sin［（乱一%）丁］ dr,
оо
0
力7&尢丁 COs(GeT)COS(/3jT)dr
t
1、
2 *о
1 г
cos[(乩 + 必)丁] d丁 + £ t7eA"r cos[(ft —仿)丁] dr.
о
После подстановки вместо табличных интегралов их выражений [13]
eKTdr = ^(eKt - I),
о
о
О
о
77一if%丁dr,
7+1
丁7fA" sin (/“) dr = eXit £ (-1)"+1
(7一 + 1)!(*+/3疔
х
X
о
[p/2]
n = 0
р!
(р — 2п)!(2п)!
[(P+l)/2]
А? - 2^产$也为力一
р!
(р — 2п + 1)!(2п — 1)!
(N +唐)
[(7+2)/2]£
(W
■+1
(7 + 1)!x
(7 _ 2也 + 2)!(2也—])!)<
7+1
r1eXiT cos (%丁) dr = &"" ^2 ( —1)'”
?!，-р+1
X
[p/2]
n = 0
р!
(p — 2п)!(2п)!
[(P+l)/2]
+ (f+1
(7-")!(* +屮
А厂2切产COS%方+
р!
(0 —2也 + 1)!(2也一1)!
X
『口了一%也为力+
(丿(2n)!(7 + 1-2n)! ？ 匕
получим точное аналитическое выражение для общего решения неоднородной стационарной линейной системы с интегралом Коши, представленным квадратурами. В дальнейшем полученную аналитическую запись формулы Коши будем называть тождеством Коши.
В общем случае на вход автономной системы может быть подано бесконечно большое количество самых различных внешних воздействий, сумму которых принято называть рядом:
/⑴=£力(力
Простейшим примером формализованного ряда является ряд Фурье
/⑴=00 + У2 (& sin 公力 + b勿 cos wf)"
г=1
Для того, чтобы, в известной мере, сузить круг «претендентов» на участие в качестве членов такого ряда, в ТАУ введено понятие типовых внешних воздействий. К ним относят:
Ступенчатое воздействие в виде единичной функции (функция Хевисайда)
# _ J。 при t < 0,I 1 приS
Нормальная реакция на внешнюю нагрузку в виде ступенчатого воздействия называется переходной характеристикой или переходной функцией.
С этим типовым внешним воздействием связано введение понятий точности и качества управления, рассматриваемых во второй главе.
5-функцию Дирака или импульсную функцию первого порядка. Также, как и функция Хевисайда, относится к классу обобщенных функций. Определяется соотношениями
[S(r)dr = 1, (5(f) =при
"I при 力=0.
Ее можно трактовать как импульс бесконечно большой амплитуды и бесконечно малой длительности, площадь которого равна единице. Представляет собой первую производную от единичной функции: i(力)=S(t) в момент времени 力=0.
Нормальная реакция на внешнюю нагрузку в виде(5-функции называется импульсной переходной характеристикой или импульсной переходной функцией.
К этому типовому внешнему воздействию можно свести, например, кратковременный удар нагрузки на валу двигателя, кратковременный ток короткого замыкания генератора, отключаемый плавкими предохранителями, и т. д.
Полиномиальное воздействие ——это воздействие вида
N
=E电产，金=0
где ai = const (i = 0, TV, TV ——заданное натуральное число), t ——время. Используется для введения понятия коэффициентов ошибок, которые будут рассмотрены ниже.
Гармоническое воздействие', sin wf, cos wf, где w ——круговая частота периодической функции, вычисляемая по формуле си 二竿,в которой Т обозначает период этой функции.
Нормальная реакция на внешнюю нагрузку в виде синусоидального воздействия называется частотной передаточной функцией.
С этим типом внешних воздействий связан весьма существенный вклад ТАУ в методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, собирательным названием которого является термин «частотный метод» (или метод передаточных функций).
Наихудшее внешнее воздействие. Введено в рассмотрение в 1946 г. чл.-корр. АН СССР Б. В. Булгаковым применительно к стационарным линейным системам (1.18), корни которых принадлежат левой по луп л о ско сти.
Определение 1.7. Пусть внешние воздействия / подчинены неравенству |/| W £* Будем называть их наихудишми, если они вызывают максимальные отклонения от нулевого состояния вынужденной составляющей общего решения системы (1.18). При этом кривые переходных процессов, обусловленные наихудшими внешними воздействиями, будем называть кривыми накопления отклонений (или диаграммами накопления).
Для стационарных линейных систем наихудшие внешние воздействия —— это переключающиеся внешние воздействия, численно равные £, при которых подынтегральная функция интеграла Коши является функцией одного знака (знакопостоянной функцией).
Поясним сказанное при т = 1. Рассмотрим интеграл Коши системы
(L18)
2⑴= D exp [P(t — т)]В /(г) dr,о
откуда видно, что отклонения будут максимальными, если наихудшие внешние воздействия определить выражением
/н = Ssign {。exp [Р(力一 т)]В}, где sign ——обозначение сигнум-функции, введенной Кронекером и задаваемой равенством
sign Л =sign Л =1 при Л > 0, 0 при Л = 0, —1 при Л < 0.
sign Л =
sign Л =
Следовательно, подынтегральная функция будет функцией одного знака.
Если до формализации наихудших внешних воздействий эта функция в общем случае была знакопеременной, то после такой формализации она становится знакопостоянной и, как следствие, заведомо большей, чем при обычном ступенчатом воздействии (для которого она знакопеременна).
Метод передаточных функций
Вспомогательные сведения. Введем в рассмотрение интегральное преобразование Лапласа, которое связывает функцию / (%) действительной переменной 力(оригинал) с однозначной функцией 歹(s) комплексного параметра 5 (изображение)
少⑺="/⑴]=J
о
где $ = а + jw ——постоянный комплексный параметр (здесь а ——абсцисса абсолютной сходимости, ш ——круговая частота).
Преобразование Лапласа существует для а ^ ад, несобственный ин™ теграл сходится )абсолютно )и равномерно )и изображение F(s)—— аналитическая функция 口)для всех а ад, если несобственный интеграл
\f(t)\e^atdt= lim \f(t)\e^atdt
J> 0 J
ОA 、 a
сходится для a = ao.
Если функция f(t), участвующая в преобразовании Лапласа, такова, что преобразование Лапласа для нее существует при численном значении абсциссы абсолютной сходимости a = 0, то замена s = jw превращает преобразование Лапласа в преобразование Фуръе
^(» =/⑴ £—Wd 九
О
Таким образом, абсцисса абсолютной сходимости в преобразовании Лапласа является инструментом превращения несобственного интеграла в сходящийся для, например, монотонно возрастающих функций.
Некоторые свойства преобразования Лапласа отражает таблица 1.1.
Таблица 1.1
Наименование
Оригинал
Изображение Лапласа
Свойство линейности
//⑴，九⑴+力⑴
AF(s), Рф) + F2(s)
Правило дифференцирования при нулевых начальных условиях
*)⑴
snF(s)
Правило дифференцирования при ненулевых начальных условиях
*)⑴
snF(s) — ± 5?1*т)(0) f = l
Правило интегрирования при нулевых начальных условиях
1 f(t)dt
R($)
Запишем в изображениях по Лапласу при нулевых начальных условиях систему (1.18) в предположении, что она является одно связной, т. е* имеет один вход (т = 1) и один выход (г = 1):
sX(s)=月 Х(б) + BF(s\
Z(s) = OX(s)"
Выражая X(s) из первого уравнения в предположении невырожденности матрицы [Es — Р]:
X(s) = [Es - P^BF^s)
и подставляя его во второе равенство, получим
Z(s) = D[Es _月「18咒0)"
Определение 1.8. Будем называть передаточной функцией разомкнутой системы отношение изображения по Лапласу выходной величины к вход™ ной
при нулевых начальных условиях.
Определение 1.9. Оригинал передаточной функции разомкнутой системы называется импульсной переходной функцией разомкнутой системы (обозначим его к⑴ = L~\W{s}\).
Отметим, что преобразование Лапласа от матричной экспоненты, определяемое выражением L[ePt] = [Es — Р]-1, называется резольвентой матрицы Р и вычисляется по формуле
Здесь через &?：(公=1, те) обозначены коэффициенты характеристического многочлена, а через Ri — матрицы, вычисляемые по формуле
Из формулы для резольвенты видно, что передаточная функция разомк™ нутой системы представляет собой дробно-рациональную функцию, чис™ литель и знаменатель которой образуют полиномы степени s. Поэтому для того, чтобы найти оригинал матричной экспоненты, используя для этого ее изображение ——резольвенту, необходимо найти корни характеристического многочлена, после чего разложить каждый элемент матрицы, представляю™ щей собой резольвенту, на сумму элементарных дробей вида
где первый член разложения соответствует действительному корню крат™ ности единица, а второй член ——паре комплексно™сопряженных корней и т. д., после чего, воспользовавшись свойством линейности преобразова™ ния Лапласа, перейти к оригиналам (таблицу соответствия изображений оригиналам содержит любой справочник по высшей математике). Отме™ тим, что процедура разложения на элементарные дроби не формализована. Элементарные дроби, участвующие в правой части представления резоль™ венты, с полиномом знаменателя (не выше второго порядка) породили в ТАУ соответствующее им понятие элементарного (иначе, типового) звена с передаточной функцией, определяемой элементарной дробью. Подробнее типовые звенья будут рассмотрены в следующей главе.
Определение 1.10. Корни полинома числителя передаточной функции называют нулями, а корни полинома знаменателя ——полюсами.
Если все полюсы передаточной функции лежат в левой полуплоскости плоскости комплексной переменной, то допустим переход от преобразо™ вания Лапласа к преобразованию Фурье путем замены s = jw. Абсциссу абсолютной сходимости в этом случае можно полагать равной нулю.
В результате такого перехода получим функцию
Ж (jw) = RelF (jw) + jlmW (jw),
называемую частотной передаточной функцией разомкнутой системы, где ReVK(jw) обозначает действительную, а 1шЖ(jw) ——мнимую части ча™ стотной передаточной функции. При этом модуль частотной передаточной функции (обозначим его через Д(ш))
&g) = |Ж0ш)| =
называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а ее аргумент (обозначим его через 屮(公))
屮⑷)=arglFO) = arctg ^^
называется фазо-частотной характеристикой (ФЧХ).
Введению понятия частотной передаточной функции предшествовал довольно значительный период первоначального накопления знаний в об™ ласти ТАХ совпавший с довоенным периодом в истории нашей страны. Именно тогда путем экспериментального снятия частотных характеристик, в основном радиотехнической аппаратуры, было установлено, что синусоидальное воздействие, поданное на вход разомкнутой системы (/ = sin cut), приводит к появлению на выходе реальной системы сигнала вида
(L22)(L22)г(ш) = Д(ш) sin[wt + 0(g)]-
(L22)
(L22)
Покажем, что частотная передаточная функция позволяет получить выходной сигнал вида (1.22), не прибегая к экспериментальному снятию частотных характеристик.
Итак, на основании формул Эйлера для синуса и косинуса
3t _ 一2tsin cut =；2)3t _ 一2tsin cut =；2)cos 3t =cos 3t =
3t _ 一2t
sin cut =；
2)
3t _ 一2t
sin cut =；
2)
cos 3t =
cos 3t =
выход системы с помощью частотной передаточной функции для синусоидального входа / = sin cut может быть представлен в виде
Заменяя в этой формуле частотную передаточную функцию суммой ее действительной и мнимой частей и приводя подобные члены, окончательно получим
3t _ _j3tju)t I _j3t
n = Reiy(jw)h Imiy(jw)=
=RelF(jw) sin cut + 1шЖ(jw) cos cut = Д(ш) sin[wt + ф(ш)].
Зная, насколько велики затраты при натурном моделировании, нетрудно представить, какой выигрыш в экономии средств и времени принесло внедрение математического аппарата передаточных функций в практику проектирования САУ того времени.
Частотные передаточные функции и порожденные ими АЧХ и ФЧХ, в свою очередь породили целый понятийный аппарат, характеризующий переходные процессы в исследуемых с их помощью системах. Основными понятиями этого аппарата являются:
показатель колебательности
м =м =-max (公)-max (公)40)'40)'
м =
м =
-max (公)
-max (公)
40)'
40)'
характеризующий склонность системы к колебаниям: чем больше М, тем хуже система. Хорошими считаются значения показателя колебательности из диапазона М е [1,1; 1,5];
резонансная частота шр или частота, на которой АЧХ имеет макси™ мум. На этой частоте гармонические колебания имеют наибольшее усиление;
полоса пропускания системы — частотный интервал от ш = 0 до ш = шо, где шо ——частота, удовлетворяющая неравенству
4叫)W 0,707 4(0);
частота среза шср, где шср ——частота, удовлетворяющая условию 厶(®ср) = 4°)*
Из соображений удобства графического представления ЖХ в ТАУ введено понятие логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЯХ или ЛАХ), определяемой равенством
£(ш) = 20 lg&G)= 201g |Ж(»| .
Оси абсцисс ЛАЧХ соответствует значение Д(ш) = 1, т. е. случай, когда амплитуды входного и выходного сигналов совпадают. Верхняя полу пл о с™ кость ЛАЯХ соответствует значениям Д(ш) > 1 (усиление амплитуды), нижняя полуплоскость ——значениям Д(ш) < 1 (ослабление амплитуды). Единицей измерения по оси ординат является децибел. По оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе. Единицей измерения по оси абсцисс является декада (иначе, промежуток, на котором частота увеличивается в 10 раз). При этом частота, на которой £(ш) пересекается с осью абсцисс, является частотой среза шср.
Пример 1.8. В качестве примера логарифмической амплитудно-частот™ ной характеристики приведем ЛАЧХ аналогового фильтра 6-го порядка, рассматриваемого в примере 2.1 (рис. 1.1).
Логарифмической фазо-частотной характеристикой (ЛФЧХ или ЛФХ)) называется изображение ФЧХ в логарифмическом масштабе.
Следует отметить, что предпринимались попытки распространить ап™ парат передаточных функций и на нестационарные линейные системы:
х = P(t)x + B(t)f, х € Яп, / € Я1, t € [0,m);
优(力0)=①0, N =0⑴伤 N е Я1.
Рис. 1.1
В частности, если в качестве входного воздействия взять экспоненци™ альное воздействие / = е", где s ——комплексный параметр, и искать решение нестационарного линейного уравнения в виде ж = k(s^ t)es£, где k(s, t)——искомый 7г™мерный вектор, то подстановка такого решения в диф™ ференциальное уравнение нестационарной линейной системы приводит к уравнению
R(s)t)=-旧5 -0⑴]k(f,方)+ 8⑴，
называемому уравнением Заде, и формальному определению теперь уже параметрической передаточной функции согласно равенству
Ж(s,力)=Dk(s^ t),
полученному из уравнения, связывающего вход и выход, z = Dk{s^ t)est.
Однако ввиду того, что уравнение Заде в общем случае не интегрируется в квадратурах, а аппарат преобразования Лапласа «не умеет» работать с функциями времени в оригиналах, параметрическая передаточная функ™ ция так и не стала конструктивным аппаратом анализа и синтеза САУ^
ВЫВОДЫ
В замкнутом виде (в аналитической форме, в квадратурах) интегри™ руются:
- стационарные линейные системы,
一 отдельные виды однородных не стационарных линейных систем (с диа™ гональной или верхне(нижне)™треугольной матрицами).
Все остальные классы рассматриваемых в ТАУ систем интегрируются с использованием приближенных методов.
Формализовать интегрирование удобнее для математических моделей в форме Коши, форма вход-выход в этом смысле обладает меньшими возможностями.
Класс математических МО™ делей
Тип математических моделей
Форма представления решений
Инструмент аналитического представления
Аналитическое конструирование решений
1
2
3
4
5
1. Стационарные линейные системы
1. Однородные ж = Рх, ж е Rn, t Е [0, сю), ж(0)二 жо
Матричная экспонента ж(4)二 eptXQ
Корни характеристического уравнения det 旧 * — F]=
=П (5 - %) = 0, i=l
+ минимальный многочлен степени k ^ п
Интерполяционныймногочлен
Лагранжа-Сильвестра
кт
W(P) = ‘口 = £ ai(t)P\ i=0
где &⑴(i = 0, k — 1) — искомые по формуле (1.4) коэффициенты этого многочлена
2. Неоднородные
ж 二 Рх + В f, ж е Rn,
f G Hm, t G [0,oo),
2C (0) — 5Cq ,
N = Dx, N e N
Формула Коши
第⑴=eр%0 +
十 J ер^~т^ Bf(r)dr о
Тождество Коши для вынужденной составляющей общего решения
2. Нестационарные линейные системы
1. Однородные
ж = p(t)x, ж e нп, t- e [to, oo), to》o,
ж (to) = Ж0
虞=X (^)жо, где X (t) — нормированная в точке 力0 фундаментальная система решений, удовлетворяющая матричному уравнению X(t) = P(t)X(t), с начальным условием Х(%) = Е
Замена переменных по формуле
£ = К«)у yERn, rank W (t) = п
1. Если W(t) —— ортогональная матрица, полученная методом ортонормализации Грама-Шмидта, то кинематически подобная система
У =戸("％
где F 二 W^PW — W"1^ 一 верхнетреугольная матрица, интегрируется снизу вверх (нижнетреугольная матрица интегрируется сверху вниз)
Перечень введенных определений
Т а б л и ц а 1.2
^s^o^o^x^ §s§§^x^ z^He^Hbze n^n^s^
2. Если матрица F(t)——диагональная, то
x(t)二 exp I f pww(丁)ж (to)
Vo/
2. Неоднородные ж = P(t)x 十 B(t)f,
ж g нп, / e Hm, t G [0, сю), ж(0) = жо
虞(右)=X (4)жo + X (t) x
x fX-1(T)B(T)f(T)dr
Не интегрируются в элементарных функциях
3. Нелинейные системы
1. Однородные
ж = [Р(虞,方)]虞，ж e Rn
Если функциональная матрица ——кососимметрическая, т. е.
[Р(ж,4)] = -[Рт(жД)], то решение имеет вид гиперсферы
хт х = жт(^о)ж(^о).
2. Неоднородные
而二[P(zM)]z +九 f G Hn
Если функциональная матрица ——ко со симметрическая, т. е.
f(虞，力=-[PT(x,t)], то решение имеет вид ги™ персферы со смещенным центром
4. Системы с распределенными параметрами
Однородные
ж = [F(f, t)]x, ж e Hn
Неоднородные
ж = [F(i；, ^)]ж + f, f G Hn, где [_₽(©")] —— операторная матрица
Не интегрируются в квадратурах, но допускают решения в виде гиперсферы со смещенным и несмещенным центрами в случае ко™ со симметрично сти матриц ЦЫ [F(v, t)]
Таблица L2 (Продолэ1сение) ^
^ёё^ё^оёт ^§0^ ^sxs й^§е ^se /Ъ. 7
Таблица 1.3
Перечень введенных определений
Порядковый номер определения
К чему относится
1.1
Понятие фундаментальной системы решений
1.2
Понятие фундаментальной системы решений, нормированной в точке to
1.3
Понятие функциональной матрицы
1.4
Понятие абстрактной математической модели однородных конечномерных систем
1.5
Понятие предельного цикла со смещенным центром
1.6
Понятие предельного цикла с несмещенным центром
1.7
Понятие наихудших внешних воздействий
1.8
Понятие передаточной функции разомкнутой системы
1.9
Понятие импульсной переходной функции
1.10
Понятие нулей и полюсов передаточной функции
В замкнутом виде решение задачи Коши может быть получено для стационарных линейных систем с привлечением математического аппарата корней либо характеристического уравнения, либо минимального мно гочлена. На остальные классы систем, за исключением приводимых по А. М. Ляпунову и в смысле Л. Эйлера (рассматриваются в пятой главе), формализм корней не распространяется.
УПРАЖНЕНИЯ
Вычислите матрицу Якоби абстрактной математической модели в векторно-матричной форме Коши примера В.1.
Вычислите матрицу Якоби абстрактной математической модели в векторно-матричной форме Коши примера В.З.
Запишите абстрактную математическую модель в форме Коши для уравнения распространения тепла в плоской прямоугольной пластине
偽-а — &言—啜—磊)z(V1,v2,t) = О,
где а, b, с, d, е, / ——заданные коэффициенты, являющиеся функциями двух независимых пространственных переменных 力,也
Вычислите коэффициенты интерполяционного полинома Лагран™ жа-Сильвестра для случая двух действительных (кратных) корней и двух
пар (кратных) комплексно-сопряженных корней минимального много™ члена.
Сконструируйте тождество Коши для случая, когда матрицы параметров объекта и внешних воздействий имеют размерность 3, а их характеристиче ские многочлены (совпадающие с минимальными) имеют по 3 разных действительных корня.
Выпишите аналитическое представление свободной составляющей общего решения нелинейной системы 3-го порядка, имеющей верхнетреугольную форму Коши.
ГЛАВА 2
ЗАДАЧИ И ЦЕЛИ УПВ4ВЛЕНИЯ
Классификация задач синтеза
Рассмотрим абстрактную математическую модель разомкнутой систе= мы
ж = ［р（〃 t）］x + ［石（〃力）m+［〃（〃 t）］f,
X G ЯП1, ue/r，也 е/Г™, f s 吟,t e ［0,oo）,
乞=［0（〃 t）］x, z G Rr,宓（力о） = ж0,力о》О,
где ж вектор состояний; ж0 ——вектор начальных условий; и ——либо （для систем с распределенными параметрами） вектор пространственных переменных, либо （для систем с сосредоточенными параметрами） и = =ж,（几1 = п2）; и ——вектор управлений （первый вход）; / ——вектор внешних воздействий （второй вход）; z ——вектор регулируемых переменных （выход）; t — время; ［P（v, t）］,［石（〃力）］,［//（〃 力儿［0（〃 力）］—заданные функциональные матрицы соответствующих размеров.
Несмотря на многообразие и многовариантность постановок задач син= теза, а также многообразие методов и способов, предложенных для их решения, основных задач синтеза всего две.
Задача финитного управления. Она состоит в переводе объекта управления из заданного начального состояния 宓（力о） в заданный началь™ ный момент времени 力о в заданное конечное состояние x^t^ в заданный конечный момент времени 力 13a заданное время （й —力о）, й > 力о*
В задаче финитного управления закон управления ищется, как правило, в виде функции времени и =也（力）* Согласно определению В.11 такой закон управления называется программным управлением. Это означает, что управление в этой задаче осуществляется по разомкнутому циклу （управление по возмущению） и никаких дополнительных требований на траекторию движения не налагается.
Следует отметить, что иногда в отдельную задачу выделяют обратную задачу динамики, которая состоит в навязывании объекту управления дви™ жения по некоторой предписанной траектории движения в пространстве состояний. В то же время обратная задача динамики может быть интерн претирована как многотактная задача финитного управления по последова™ тельному переводу объекта управления из одной заданной точки в другую. При этом сами точки расположены на предписанной траектории движения и находятся в достаточной близости одна от другой.
Задача стабилизации. Состоит в удержании объекта управления в окрестности некоторой заданной точки пространства состояний Rn в условиях неконтролируемых внешних воздействий и произвольных на™ чальных условий.
Без потери общности в качестве точки удержания можно рассматривать начало координат. Для того, чтобы задать окрестность точки удержания и тем самым формализовать цели управления, в ТАУ введены показатели точности и качества управления, являющиеся предметом рассмотрения настоящей главы.
В задаче стабилизации закон управления ищется, как правило, в виде функции от вектора состояний и = и(ж), например, подчиненной соот™ ношению и = [CT(v, t)]x, где [СТ(v, t)] — искомая функциональная матрица параметров закона управления. Согласно определению В.12 такой закон управления называется управлением по принципу обратной связи (управлением по замкнутому циклу, управлением по отклонению).
Частным случаем задачи стабилизации является задача слежения за заранее неизвестным входным воздействием, когда выход САУ должен воспроизводить вход. В этом случае точка удержания в пространстве состояний в известной мере повторяет изменения входного сигнала. Но требования к окрестности точки удержания описываются на том же самом языке показателей точности и качества управления, что и в задаче ста6или= зации.
Щели автоматического управления,преследуемые в задаче стабилизации
Предметом синтеза в задаче стабилизации является переходный про™ цесс х)по выходу в замкнутой системе. Поскольку общее решение неоднородной системы складывается из свободной и вынужденной составляющих, цели, преследуемые синтезом закона управления, можно сформулировать раздельно по этим составляющим.
Итак, цель управления в условиях воздействия окружающей среды, фор™ мализованного произвольными начальными условиями и типовым внеш™ ним воздействием в виде ступенчатой функции Хевисайда, состоит в удер™ жании объекта в окрестности начала координат.
Для свободной составляющей формализовать стремление свободного движения к началу координат можно условием
lir^x^t.to.xo.On) = 0п. (2.1)
На языке теории устойчивости выполнение этого условия означает, что система должна быть асимптотически устойчива по Ляпунову (см. гла™ ву 5). Поэтому навязывание замкнутой системе свойства асимптотической устойчивости является первоочередной целью управления в задаче ста6и= лизации. Далее будем полагать, что это условие выполнено.
Для вынужденной составляющей общего решения формализация це= лей управления потребовала этапа накопления знаний, который проходил в процессе изучения нормальных реакций типовых звеньев на внешнюю
1)Синоним интегральной кривой.
нагрузку. Отметим, что впервые понятие звена динамической системы ввел в 1938 г. А. В. Михайлов. В роли внешней нагрузки в задаче стабилизации используется ступенчатая функция Хевисайда. Нормальная реакция на такую нагрузку называется переходной функцией или переходной характе™ ристикой.
Этап накопления знаний: историческая справка. Как отмечалось в пер™ вой главе, элементарные звенья возникают, в частности, при разложении матричного представления элементов резольвенты на элементарные дроби. Элементарная дробь, соответствующая действительному корню многочле™ на — Л (Л > 0), может быть записана в виде
1
а элементарная дробь, соответствующая паре его комплексно-сопряженных корней Л = —а + Л = —а — j/З, а > 0,——в виде
1_1
(S — A)(s —X)$2 + 2co + (а2 + /З2) *
Элементарное (jnunoeoe) звено принято представлять посредством пе= редаточной функции, записанной по определенным правилам. Продемон™ стрируем эти правила на примере рассматриваемых элементарных функ™ ций, первая из которых соответствует апериодическому звену, а вторая —— колебательному.
Итак, передаточная функция апериодического звена должна быть запи™ сана в следующем «каноническом» виде:
где к = ^, Т = ； (здесь к ——коэффициент передачи звена, Т ——постоянная времени звена).
Для колебательного звена канонический вид передаточной функции определяется выражением
方=К~ +2纱+ 1，
где к =], Г2 =。I(здесь к — коэффи™
циент передачи звена, Т = J °；——постоянная времени звена, а ——
декремент затухания звена).
Отличительной особенностью канонического представления передаточ™ ных функций является такая запись полиномов их числителя и знаменателя, при которой свободные члены этих полиномов равны единице. Тем самым, удается в явном виде снабдить передаточную функцию элементарного звена такой характеристикой, как коэффициент передачи звена. Отметим, что
канонической форме представления передаточной функции соответствует понятие приведенного многочлена в обратном смысле. В линейной алге6= ре ——это многочлен с единицей при старшей степени s, а в передаточной функции — это многочлен со свободным членом, равным единице.
Отметим, что для колебательного звена постоянная времени Т харак= теризует «раскачивание» звена. Коэффициент £ называют относительным коэффициентом затухания, а = 亍 ——коэффициентом демпфирования. В случае чисто мнимых корней, когда а = 0, демпфирование )отсутствуй ет, а колебания становятся незатухающими. Колебательное звено в этом случае называют консервативным (термины, в основном, заимствованы из аналитической механики).
Переходная характеристика апериодического звена имеет вид
九⑴=k(1 — e-"T),力)0,
и изображается кривой, показанной на рис. 2.1.
Отметим, что апериодическим звеном описываются генератор, дизель, магнитный усилитель, мембранные преобразователи с жидкостным напол™ нением, механотрон, мостовой тиристорный преобразователь постоянного тока, резервуар с колеблющейся жидкостью, ресивер, термопара, тиратрон- ный усилитель, тиристорный усилитель мощности на постоянном токе, тиристорный преобразователь мощности с питанием на переменном токе, турборасходомер с упруго связанным ротором и так далее.
Переходная характеристика колебательного звена определяется выра™ жением
и изображается кривой, показанной на рис. 2.2.
Колебательным звеном описываются поплавковый уровнемер, сильфон™ ный датчик давления жидкости, соленоид, центробежный тахогенератор и так далее.
Апериодическим и колебательным звеньями не исчерпывается все мно= гообразие элементарных звеньев. Отдельные справочники по ТАУ содержат временные и частотные характеристики нескольких десятков типовых зве™ ньев. Знание их, как отмечал академик Е. П. Попов, «столь же необходимо для расчетов систем управления, как знание таблицы умножения в ари巾ме= тике».
Отметим, что основные типы звеньев делятся на три группы: гюзици= онные, дифференцирующие и интегрирующие.
функциями видафункциями видаПозиционными называются звенья, формализуемые передаточными
функциями вида
функциями вида
с многочленами Q⑶ и G(c), имеющими свободные члены, равные едини™ це. При 8 = 0 эти звенья обладают статической характеристикой z = kf (где z ——выход, / ——вход), определяющей их состояние равновесия. В ТАУ это свойство названо свойством позиционности.
Таким образом, в приложения теории дифференциальных уравнений формализацией позиционных звеньев ТАУ внесено весьма существенное дополнение, состоящее в выделении для них в вынужденной составляющей общего решения двух ранее не описанных составляющих, называемых переходной и статической характеристиками. Как следствие, требования к каждой из этих составляющих можно сформулировать по отдельности.
У дифференцирующих звеньев отсутствует свободный член в числителе передаточной функции, т. е. для однократно дифференцирующего звена
G(s)
многочлен числителя Qi(c) имеет свободный член, равный единице. Для двукратно дифференцирующего звена
3 丿 G(3)
то же самое справедливо в отношении многочлена Q2 ⑶”
Передаточные функции интегрирующих звеньев имеют, соответствен™
но, вид
山山—32G2（5）*
Существует еще ряд классификаций типовых звеньев:
устойчивые звенья (не имеют полюсов в правой полуплоскости);
неустойчивые звенья (имеют полюсы в правой по луп л о ско сти). В та™ ких звеньях наблюдается неограниченное возрастание выходного сигнала при ограниченном входном сигнале. Эти звенья не допускают эксперимент тального снятия частотной характеристики (она просто не существует) и, тем самым, объясняют физический смысл абсциссы абсолютной сходимо™ сти в преобразовании Лапласа;
минимально-фазовые звенья (не имеют нулей в правой полуплоско™ сти);
неминимально-фазовые звенья (имеют нули в правой по луп л о ско сти). Характеризуются неоднозначной зависимостью между АЧХ и ФЧХ.
Типовые звенья легли в основу исторически первого способа описа™ ния систем автоматического управления посредством структурных схем. Структурная схема получается из функциональной схемы заменой в по™ следней названий ее элементов на соответствующие этим элементам пере™ даточные функции.
%у($)%у($)Рис. 2.3Рис. 2.3Так, функциональная схема рис. В.1 превращается в структурную схему после замены словосочетания «объ™ ект управления» его передаточной функцией (пусть это будет ЖОу(«)).
%у($)
%у($)
Рис. 2.3
Рис. 2.3
Любая структурная схема несет информацию о том, как соединены входы и выходы образующих ее элементов. Первичным носителем инфор™ мации в структурной схеме, как правило, является типовое звено. Для того, чтобы добиться желаемых целей в процессе управления, язык структурных схем предлагает два пути:
путь параметрического синтеза, состоящий в изменении параметров звеньев, образующих структурную схему. Если за счет этого не удается добиться желаемого результата, то:
изменение структуры посредством введения дополнительных зве™ ньев, называемых корректирующими устройствами.
Как бы ни была сложна структурная схема, в ней всегда можно выделить три типовых соединения звеньев: последовательное, параллельное и встречно-параллельное.
. Последовательное соединение звеньев изображается структурной схемой:
&S)&S)%(s)%(s)ZG) = Q(s)ZG) = Q(s)场⑸场⑸Z2（S）Z2（S）
&S)
&S)
%(s)
%(s)
ZG) = Q(s)
ZG) = Q(s)
场⑸
场⑸
Z2（S）
Z2（S）
Рис. 2.4
ПустьПусть
Пусть
Пусть
тогда
Z1(8)= W^F^sl Z2(8)=w2(8)e2(8).
^0^0Z2（S）Z2（S）附⑸附⑸Отличительной особенностью языка структурных схем является введе™ ние понятия эквивалентной структурной схемы （иначе схемы, эквивалент™ ной исходной）
^0
^0
Z2（S）
Z2（S）
附⑸
附⑸
Рис. 2.5
На основании рис. 2.4 и введенных обозначений имеем
Z2（§） = 1¥2（8）&（8）= W2（S）W1（s}F1（sl
откуда следуетили, в общем случае,откуда следуетили, в общем случае,жэ（^）= ж2（5）ж1（5）жэ（^）= ж2（5）ж1（5）
откуда следует
или, в общем случае,
откуда следует
или, в общем случае,
жэ（^）= ж2（5）ж1（5）
жэ（^）= ж2（5）ж1（5）
明⑶=口 Жп^1： + 1（5）.
i = l
Пример 2.1. Рассмотрим аналоговый фильтр, представляющий собой последовательное соединение двух одинаковых фильтров, изображенных на следующей принципиальной электрической схеме
С1100 нФС1100 нФРис. 2.6Рис. 2.6
С1
100 нФ
С1
100 нФ
Рис. 2.6
Рис. 2.6
Каждый из фильтров представляет собой два последовательно вклю™ ченных элементарных звена. Первое звено представляет собой RC-цепочку /?з, Сз, описываемую уравнением
&e3，+ Нез = 也"
Второе звено представляет собой фильтр с положительной обратной связью, известный под названием фильтра Салена и Ки [34], описываемый уравнением
Rl&CC号 + （M + 尺2）3号 + 乙=U,d 尸at
где си = 100 Гц — круговая частота.
Последовательное соединение этих звеньев дает передаточную функ™ цию
W（8）= （（8Н3。3 + 1）[1 + GC1（R1 + r2）8 + 公2尺1r2cle251）一2 =
=（1,44」0一5产十 1,25 • 10^2s2 + 3,39 * 1（Г% + 1厂上
2°. Параллельное соединение звеньев изображается структурной схе™ мой
Рис. 2.7
Эквивалентную структурную схему параллельного соединения звеньев можно представить в виде
区⑸=尸心）=代⑸ 2（s） = ZG） + Z2（s）
T/（s） I咖
Рис. 2.8
Пусть
Z《8）= W^F^）,Z2（8）= W2（3）E（8），
тогда
Z3（8）= Z1（8）+ Z2（s） = W^F^s） + I¥2（s）F3（S）=
="1（8）+ I¥2（s）]F3（s）,
откуда следует
жэ（5）= ж1（5）+ ж2（5）,
или, в общем случае,
=£叫⑶*
г = 1
3°. Встречно-параллельное соединение (соединение с неединичной обратной связью) изображается структурной схемой (пусть Жоу(я)——пе= редаточная функция объекта управления, Wnep(^) — передаточная функция регулятора)
Рис. 2.9Рис. 2.9
Рис. 2.9
Рис. 2.9
Отметим, что исторически первыми способами упрощения структур™ ных схем являются методы их преобразования на основе трех описанных
выше операций.
Со встречно-параллельным соединением связаны понятия нескольких передаточных функций, порожденных сигналом е = /土也，который в случае отрицательной обратной связи е = f — и называется ошибкой (равенство е = f ^ и соответствует случаю положительной обратной связи).
Пусть
"(“) =爲，"(8)=第
тогда
Z ⑶=Woy ⑻矶力 U(S)= Wnep(8)Z(力
Эквивалентная структурная схема имеет вид
尸⑸Z⑶
A/⑶—
Рис. 2.10
Выведем ее передаточную функцию. На основании рис. 2.9 имеем
Z⑻=%⑻后⑶=Woy⑻户⑻± U⑶]=
=Woy⑶尸⑶ 土 Wnep(S)X(S)],
откуда следует
[1 干 ЖОу(5)Жпер(5)]Х(5) = Woy(8)E(8).
Тем самым,
*⑻=為*⑻=為Woy(")1干Woy⑶％⑶Woy(")1干Woy⑶％⑶
*⑻=為
*⑻=為
Woy(")1干Woy⑶％⑶
Woy(")1干Woy⑶％⑶
Эта передаточная функция называется передаточной функцией замкнутой системы (в дальнейшем будем обозначать ее через W3aM (*))• Минус в выражении для передаточной функции замкнутой системы соответствует положительной обратной связи.
Помимо нее для встречно-параллельного соединения звеньев вводятся понятия:
尸⑸尸⑸передаточной функции разомкнутой системы или отношения изо6= ражений по Лапласу выходной величины звена обратной связи и к входной величине /
尸⑸
尸⑸
—Z ⑸ 八 J U（s）%y（s） —^ 忆⑶—^
Рис. 2.11
Эквивалентная передаточная функция этого последовательного соеди™ нения звеньев имеет вид
Жраз（5） = Жпер（5）ЖОу（5）,
откуда получим следующую связь с передаточной функцией замкнутой
системы:системы:明ам⑻=為=明ам⑻=為=Ж）У（3）1 干 ^.（s）Ж）У（3）1 干 ^.（s）
системы:
системы:
明ам⑻=為=
明ам⑻=為=
Ж）У（3）
1 干 ^.（s）
Ж）У（3）
1 干 ^.（s）
передаточной функции замкнутой системы по ошибке или отноше™ ния изображений по Лапласу величины ошибки е к входной величине /
Ж）山⑶Ж）山⑶def 石（6）def 石（6）
Ж）山⑶
Ж）山⑶
def 石（6）
def 石（6）
На основании определения этой передаточной функции имеем
ЖОШ（5）^（5）=石⑶=F（s） - U（s）=尸⑶ - Wnep（8）Z（8）=
=Fis^W^Woy^Eisl
откуда следует
[1 + Ж1ер（8）Ж＞（8）]石0）=尸（8）
или, окончательно,
Ж°Ш^^ = l + %ep（3）Woy（3）*
С передаточной функцией замкнутой системы по ошибке связано вве™ дение понятий коэффициентов ошибок:
—изображение ошибки с помощью передаточной функции замкнутой системы по ошибке можно записать в виде
二 ⑶尸⑻=1 + Жп^^
—разложим первый сомножитель этого выражения в ряд по возрастающим степеням комплексной переменной s:
后(s)=卜0
где
Со = [Ж)ш(5 儿=0； Cl = —з——；
"d2Wom(S)lГ^3ЖОШ(5)~
C2=J 禽=
LJ 5 = ULJ s = U
一 переходя в полученном выражении к оригиналу, получим формулу для установившейся ошибки
=。"⑴+ 5尸⑴+争⑵⑴+ 3⑶⑴+ 一-
где коэффициент со называют коэффициентом статической или позиционной ошибки; коэффициент ci ——коэффициентом скоростной ошибки; коэффициент С2 ——коэффициентом ошибки по ускорению и т. д. Величины, обратные коэффициентам ошибок, называют добротностью (ио скорости, ускорению и т. д.).
В свою очередь, коэффициенты ошибок порождают понятия:
(со =0, ci 护 0)——астатическая система первого порядка;
(со = ci = 0, С2 ^ 0)——астатическая система второго порядка и т. д.
Пусть передаточная функция разомкнутой системы Wpa3(s) = Жтер(5)х х Woy(^) имеет вид
)— K(1 + 仇$ + 仇б? + ... + /3msm)раз 55^(1 + Q1S + a2S2 + . . . + ansn)，
где 沙一степень астатизма системы. Тогда аналитические выражения для коэффициентов ошибок могут быть найдены из табл. 2.1.
В 1945 г. В. В. Солодовников на основе накопленного к тому времени банка знаний по переходным и статическим характеристикам позиционных типовых звеньев ввел в ТАУ понятия прямых показателей качества (для переходной характеристики) и статической точности (для статической характеристики) переходных процессов.
Так, конечная цель решения задачи стабилизации, состоящая в удержа™ нии объекта в окрестности начала координат в условиях асимптотической устойчивости свободного движения, была формализована им понятием статической точности. В пространстве состояний свойство статической точности означает, что
Пт 力(力力о, 0n, 1(力))= жст = const.(2.2)
Тип системы
Коэффи™ циент ошибки
Формула для определения коэффициента ошибки
Статическая
Со
1
91 一仇)К
1 + к2
2(о：2 — /?2)К 2al (仇—ai)K
(1 + K)21(1 + K)3+
2Д(/31 ^ai)K2
+(1 + К)4
6К(аз — Аз)
(1 + К)? +
6K[aia2 — 2K 仇伪 + (К — 1)(а2% + 必伪)]
+(1 + К)з+
6K(ai —仇)(ai + К仇)2
+(1 + К)4
С1
С2
Сз
Астатическая первого порядка
Со
0
1
2(ai —仇)2
КК?
612(/31 — Qi) 6(«2 —伪) 6仇(仇—m)
КЗ +К2К
С1
С2
Сз
Астатическая второго порядка
Со
0
0
2
К
6(ai -仇) К
С1
С2
Сз
Таблица 2.1
Коэффициенты ошибокКоэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок
Коэффициенты ошибок
Статическая точность характеризует позиционные типовые звенья по™ средством статической характеристики, определяющей алгебраическую связь между входом и выходом по передаточной функции при условии s = 0.
Прямыми показателями качества В. В. Солодовников назвал два графо™ аналитически формализованных им свойства переходной характеристики, а именно: время регулирования и перерегулирование.
В условиях выполнения условий (2. Г), (2.2) графическую формализа™ цию всех трех показателей выполняет рис. 2.12, называемый «коробочкой» В. В. Солодовникова:
Здесь:
«1» ——колебательная переходная характеристика (tpl ——соответствую™ щее ей время регулирования). Следует отметить, что для колебательных переходных процессов возможен выброс переходной характеристики в от™ рицательную область изменения %” Тогда максимальное значение будет измеряться по выбросу в отрицательный квадрант (а не так, как показано на рисунке);
«2», «3» ——монотонная и условно монотонная переходные характери™ стики (tp2,力рз ——соответствующие им значения времени регулирования);
zy ——установившееся значение статической характеристики (статическая точность);
zmax ——максимальное значение переходной характеристики (свойствен™ но только колебательным переходным характеристикам);
<т ——отклонение от установившегося значения, называемое 2<т-трубкой (обычно принимается равным ±5% от статической точности zy).
Отметим, что 2<т-трубка является качественным признаком превраще™ ния переходной характеристики в статическую характеристику, являясь инструментом их разделения.
Перерегулирование <т (для колебательных переходных процессов) вы™ числяется по формуле:
о = шах——100%,
力曰о,%]zy
а время регулирования (момент вхождения кривой переходного процесса в 2 а-трубку) исчисляется (для колебательных, монотонных и условно мо нотонных процессов) по достижению неравенства
1% ⑴-囱 I W \zy \ .
Из последнего соотношения следует, что время регулирования являет™ ся количественной границей, отделяющей переходную характеристику от статической.
Для определения прямых показателей качества стационарных линейных систем А. А. Фельдбаум ввел в рассмотрение следующие корневые показатели:
一 степень устойчивости ?)(расстояние до мнимой оси ближайшего к ней слева корня),
一 колебательность 〃, (отношение абсолютной величины мнимой части корня к действительной части для ближайшей (слева) к мнимой оси пары комплексно-сопряженных корней).
При этом он рассмотрел три случая расположения корней характери™ стического уравнения на комплексной плоскости, а именно:
а) класс «нуль» б) класс «1»в) класс «2»Рис. 2.13а) класс «нуль» б) класс «1»в) класс «2»Рис. 2.13
а) класс «нуль» б) класс «1»в) класс «2»
Рис. 2.13
а) класс «нуль» б) класс «1»в) класс «2»
Рис. 2.13
получив для них в условиях / = 1 (力)следующие аналитические выражения для мажорант Мтах и минорант Mmin переходных процессов, времени регулирования 力р и перерегулирования <т и инволютивных (лат. involutio —— свертывание, симметрия относительно центра) начальных условий
N(0) = 2「％⑴(0)=0,〃 =N е 月；
для класса «нуль» (характеризуется наличием только действительных корней характеристического уравнения)
Д4m ах = ехр(—7/t)Д4m ах = ехр(—7/t)1 + 加 + …+ (k —1)! _1 + 加 + …+ (k —1)! _
Д4m ах = ехр(—7/t)
Д4m ах = ехр(—7/t)
1 + 加 + …+ (k —1)! _
1 + 加 + …+ (k —1)! _
Mmin = exp( — 4力))
ст = 0；
для класса «1» (среди действительных корней характеристического уравнения имеется одна пара комплексно-сопряженных корней):
Г产
Мтах = ехр(—単)1 + ?]力 + …+ F,
力p=3/7
(T = ехр(^7г/д,);
следует отметить, что класс «2» А. А. Фельдбаум не исследовал по причине возникновения секулярных )множителей при синусоидальных составляющих.
Отметим также, что частотные показатели, описанные в первой главе, обладают гораздо более скромными возможностями при оценке прямых показателей качества переходных процессов. Единственное, что можно оценить с их помощью, это время регулирования, которое в условиях показателя колебательности из диапазона М е [1,1; 1,5] приближенно оценивается формулой
力卩(1 丁 2) шСр,
где шср ——частота среза.
Распространение показателей точности и качествапереходных процессов на системы,отличные от стационарных линейных
Поскольку показатели точности и качества переходных процессов сфор™ мулированы на языке вход-выходного описания стационарных линейных систем, естественным является стремление распространить их на о сталь™ ные классы систем, рассматриваемые в книге. Выполним это распростра™ нение путем использования абстрактной математической модели в форме вход—выход, задав ее в виде
кк
*)+ e0(〃力£I) = е出(е)т(〜)+/ i=l7=°
z £ RE)US R， /eR『
где % ——вектор выхода; 〃 ——вектор управлений (первый вход); / —— вектор внешних воздействий (второй вход); k ——некоторое заданное поло™
жительное число; [аДи, t)], [bj(v, t)] —— заданные в символьном виде функциональные матрицы соответствующих размеров. Так же, как для абстрактной модели в форме Коши, в случае систем с распределенными параметрами вектор © является вектором пространственных переменных некоторой заданной размерности, в случае же систем с сосредоточенны™ ми параметрами следует полагать 綬三 ％, считая его размерность рав™ ной т.
Нетрудно видеть, что степень многочлена при векторе управлений может быть меньше к, но при этом соответствующие матрицы [/3j(v, t)] следует полагать нулевыми. Аналогично, в случае, когда размерности векторов входа и первого выхода не совпадают, нулевыми следует снн- тать соответствующие элементы матриц [&(綬，力儿 i = 1, к, и [/3j(v^ t)], j = 0,瓦
Отметим, что сами элементы функциональных матриц могут представ™ лять собой:
Г) для объектов с сосредоточенными параметрами, описываемых обык™ новенными дифференциальными уравнениями,——алгебраические выражения (включающие операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую положительную степень, извлечения корня целой степени); смешанные алгебраические и дифференциальные выражения (включающие помимо вышеперечисленных еще и операцию дифференци™ рования), смешанные алгебраические, дифференциальные и интегральные выражения (которые в дополнение к вышеперечисленным включают еще и операцию интегрирования в заданных пределах) и т. д., составленные из аналитических функций от компонент вектора 綬 или самих компонент вектора 綬 и заданных функций времени;
для объектов с распределенными параметрами, описываемых уравне™ ниями в частных производных — дифференциальные операторы в частных производных, порожденные заданными дифференциальными выражения™ ми в частных производных и заданными краевыми условиями.
Так же, как для абстрактной математической модели в форме Коши, абстрактная модель в форме вход-выход является единым (символьным) описанием всех классов рассматриваемых здесь систем. Конкретизация описания соответствующего класса достигается дополнением уравнения в форме вход-выход вторым (дополнительным) уравнением, задающим область изменения аргументов функциональных матриц, в роли которых выступает время t и вектор 綬” Тогда, если решение дополнительного урав= нения известно, то подстановка его в функциональные матрицы формы вход-выход наполняет их содержанием коэффициентов интересующего класса. Отметим, что в случае задания этого дополнительного уравнения функциональные матрицы должны быть снабжены нижним индексом, указывающим на его номер.
Пусть свободные члены матричных полиномов в обеих частях абстрактной математической модели в форме вход-выход являются невырожденными матрицами, т. е. имеющими обратные матрицы. Тогда рассматриваемую
модель можно будет переписать в виде
[ak(v,t)] < £ [«*(«, t^la^v, t)]z( J)+ Emz
=风(。/)]{ 2^[氏 О,切 T[%(u/)]"-" + %J+九[ao(z,t)] = 1,
аналогичном канониче скому представлению полиномов в выражениях для передаточных функций позиционных звеньев, когда их свободные члены равны единице.
Будем полагать, что левая часть этого выражения описывает уравнения движения замкнутой системы, исключив управления из рассмотрения:
=Л=Л[аМ〃 t)] {工[аМ綬,力)]Т[а“〃 閉丿 J)+ Emz u=o
=Л
=Л
Тогда аналогом статической характеристики для всех рассматриваемых в книге классов систем (точнее, шалотом установившегося движения в све™ те его интерпретации на рис. 2.12, изображающим «коробочку» В. В. Со™ лодовникова) будет при f = col[l(t),..., 1(力)]следующее алгебраическое
выражение, полученное приравниванием нулю всех производных в каноническом представлении формы вход-выход:
zy = [a/g (〃 t)] 1 f,
где [«^(v, f)]-1 ——матричный аналог коэффициента передачи.
Таким образом, для систем, отличных от линейных, понятие статической характеристики заменяется понятием установившегося движения, а понятие статической точности заменяется понятием динамической точности zy, определяемых как предел при 力 т оо от вынужденной состав™ ляющей движения при нулевых начальных условиях и векторе внешних воздействий в виде ступенчатых функций Хевисайда
J 1⑴一
Jim ^вын(^) = [адД綬)力)]• • •=囱，
L
при этом понятие 2 <т-трубки позволяет формально отделить переходный процесс, порожденный вектором ступенчатых воздействий / 二col[l(t),...
1
...,1(f)] при нулевых начальных условиях, от установившегося движения при этих воздействиях, формально перенося понятия прямых показателей качества на все классы систем, отличные от стационарных линейных.
Задачи синтеза,порожденные проблемой многосвязности(проблема неединственности по Адамару)
Любая задача, будучи поставлена на языке математического аппарата, нуждается в анализе корректности ее постановки. Классическое опре™ деление корректности постановки такого рода задачи дал французский математик Ж. Адамар.
Определение 2.1. Будем говорить, что задача является корректно поставленной в смысле Адамара, если ее решение:
существует,
единственно,
устойчиво к малым изменениям исходных данных.
В случае векторного управления любая задача синтеза является некорректно поставленной (по Адамару) вследствие неединственности ее ре™ шений из-за многовариантности законов управления, доставляющих это решение. Поэтому естественным представляется сведение подобной задачи к нескольким однотипным задачам типа один вход ——один выход.
В 1938 г. чл.-корр. АН СССР И. Н. Вознесенским в практику автомата™ ческого управления было введено понятие автономности.
Определение 2.2. Объект управления назовем автономным g смысле Вознесенского, если замкнутая много связная система с векторным управ™ лением (размерность вектора управлений m > 1) распадается на т™ односвязных (автономных) подсистем.
Свойство автономности вводилось И. Н. Вознесенским применительно к объектам управления, записанным в форме Коши. Однако вход-выходная форма описания позволяет достаточно наглядно формализовать введенное свойство.
Поясним сказанное. Рассмотрим замкнутую систему, входом которой является вектор внешних воздействий / размерности mt
к
+2/(2.3)
Применительно к рассматриваемой системе (2.3) автономность равно сильна тому, что функциональные матрицы [аДи,力)](г 二 1, k) являются диагональными, т. е. удовлетворяют условию
'a1Hd 力)0. . . О '
[«4^3)] =0 电2(叫力)• • •°.(2.4)
При выполнении условия (2.4) система (2.3) состоит из т независимых (автономных, или не связанных между собой) уравнений, в каждом из которых можно осуществить управление по принципу Ползунова-Уатта. Этот принцип состоит в том, что регулятор, настроенный на некоторое номинальное значение входа, осуществляет воздействие на объект в случае, когда значение регулируемого выхода отклоняется от величины, обуслов™ ленной номинальным значением входа.
В 1939 г. Г. В. Щипановым в ТАУ применительно к объектам управле™ ния, записанным в форме Коши, было введено понятие инвариантности.
Определение 2.3. г-выход (г = 1, т) замкнутой системы назовем инвариантным к j-входу (j = 1, т, г ^ j), если он не содержит реакции на этот вход (невосприимчив к этому входу).
Следует заметить, что свойства автономности и инвариантности явля™ ются двумя сторонами одной и той же медали, в роли которой выступает одна и та же математическая модель в форме вход-выход. Действительно, рассмотрим замкнутую систему (2.3) в условиях (2.4). Нетрудно видеть, что в этом случае всякий г-выход системы (2.3) полиинвариантен ко всем не г~м компонентам вектора входа / (т. е. не зависит от этих компонент), причем описанный эффект проявляется при любом т > 1, т. е. начиная с т = 2. Первым на этот факт обратил внимание академик Б. Н. Петров, назвавший возникающий при m = 2 эффект принципом двухканальности.
ВЫВОДЫ
Таблица 2.1
Хронология становления анализа в ТАУ
Год
Персонификация
Вклад
1892
А. М. Ляпунов
Свойство устойчивости, свойство асимптотической устойчивости
1938
А. В. Михайлов
Понятие типового звена
1938
И. Н. Вознесенский
Свойство автономности (проблема неединственности)
1939
Г. В. Щипанов
Свойство инвариантности (проблема неединственности)
1945
В. В. Солодовников
Понятия точности и прямых показателей качества переходных процессов
1948
А. А. Фельдбаум
Понятие корневых показателей качества
Таблица 2.2
Классификация типовых звеньев
№ п/п
Классификационный признак
Выделяемые классы
1
По типу числителя и знаменателя передаточной функции
Позиционные ——звенья, обладающие ста™ тической характеристикой (полиномы числителя и знаменателя имеют свободные члены, равные единице).
Дифференцирующие ——в числителе сво™ бодный член и, возможно, примыкающие к нему члены равны нулю.
Интегрирующие — в знаменателе свобод™ ный член и, возможно, примыкающие к нему члены равны нулю
2
По наличию полюсов в правой полуплоско™ сти
Устойчивые (не имеют полюсов в правой полуплоскости).
Неустойчивые (имеют полюсы в правой полуплоскости) не допускают экспериментального снятия частотной характеристики (ЖХ не существует)
3
По наличию нулей в правой полуплоско™ сти
Минимально巾азовые (не имеют нулей в правой полуплоскости).
Неминимально-фазовые (имеют нули в правой полуплоскости). Характеризуются неод™ позначной зависимостью между АЧХ и ФЧХ
4
По типу соединения
Последовательное.
Параллельное.
Встречно-параллельное
5
Передаточные функ™ ции (ПФ) встречнопараллельного соединения
ПФ замкнутой системы.
ПФ разомкнутой системы.
ПФ замкнутой системы по ошибке
Таблица 2.3
Азбука целей и задач управления
№ п/п
Задача управления
Содержание задачи
1
Задача финитного управления
Исходные данные:
заданная математическая модель объекта управления;
заданное начальное состояние 竄(±о)；
заданное конечное состояние 竄(±i);
заданный интервал времени Т = ti to-
Цель управления ——перевести объект управления из точки ж(^о) в точку 竄(±1) за время Т без наложения ограничений на траекторию движения.
Класс законов управления ——управление по принципу программного управления или управления по разомкнутому циклу
2
Обратная задача динамики
Исходные данные:
заданная математическая модель объекта управления;
заданная в пространстве состояний траектория движения объекта управления.
Цель управления ——навязать объекту управления предписанную траекторию движения.
Способ формализации ——сведение к многотактной задаче финитного управления по последовательному переводу объекта управления из одной заданной точки в другую в условиях расположения этих точек на предписанной траектории движения в достаточной близости одна от другой
3
Задача стабилизации
Исходные данные:
заданная математическая модель объекта управления.
Цель управления ——удержание объекта управления в окрестности некоторой заданной точки пространства состояний Rn в условиях неконтролируемых внешних воздействий и произвольных начальных условий. Как правило, точкой удержания является начало координат.
Предмет синтеза ——переходный процесс по выходу в замкнутой системе.
Формализация требований к переходному процессу, порожденному произвольным возмущением начальных условий ——асимптотическая устойчивость по А.М. Ляпунову.
Формализация требований к переходному процессу, порожденному типовым воздействием в виде ступенчатой функции Хэвисайда при нулевых начальных условиях:
заданная статическая точность в условиях алгебраической связи между входом и выходом (все производные приравнены нулю);
заданные прямые показатели качества переходного процесса: 一 время регулирования;
一 перерегулирование:
случай 1 ——перерегулирование не допускается (переходный процесс монотонный);
случай 2 ——перерегулирование допускается (как правило, перерегулирований должно быть не более 2~х). Величина перерегулирования (обычно ——15—30 %, реже ——40—50 %).
Класс законов управления ——управление по принципу обратной связи или управление по замкнутому циклу
Таблица 2.4
Азбука корневых показателей качества
№ п/п
Класс расположения корней
Корневые показатели (степень устойчивости —— 刀, колебательность ——д,
начальные условия ——инволютивные)
1
Класс «нуль» ——все корни действительные и принадлежат левой полуплоскости
мажоранта
^тах = ехр( — 7/t) X
X F(к —1)!]'
миноранта
Mmin = ехр(—刀力)，
перерегулирование ст = и
2
Класс «один» ——среди действительных корней есть одна пара комплексно-сопряженных кор
1) мажоранта
Л^тах = ехр( — 7,力)X
ней, все корни принадлежат левой полуплоскости
х…+ (к —1)!卜
миноранта
-^min = —-Л^тах 7
время регулирования
力 р = 3/?7,
перерегулирование
о = ехр(—7Г / 〃)
Таблица 2.5
Перечень введенных определений
Порядковый номер определения
К чему относится
2.1
Понятие корректно поставленной по Ж. Адамару задачи
2.2
Понятие автономности в смысле И.Н. Вознесенского
23
Понятие инвариантности
УПВ4ЖНЕНИЯ
Сконструируйте корневые показатели качества для класса «2» рас™ пределения корней по А. А. Фельдбауму для случая п = 5.
Определите степень устойчивости объекта управления, характери™ стическое уравнение которого имеет вид
(s + 5)(§ + 10)(s2 + 10s + 30) = б
Определите колебательность объекта управления, определенного в упражнении 2.2.
ГЛАВА 3
АНАЛИЗ УПРАВЛЯЕМОСТИ(ПРОБЛЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ ПО АДАМАРУ)
Содержательное определение управляемости
Постановка любой задачи, в том числе и задачи синтеза, требует анализа существования ее решения. Аналогом теоремы существования решения задачи синтеза в ТАУ является свойство управляемости. Поскольку понятийный аппарат ТАУ строится на предметных неопределяемых переменных «вход» и «выход», дадим содержательное определение управляемости при™ менительно к вход-выходной форме описания объекта управления.
Определение 3.1. Объект управления назовем полностью управляемым, если ему может быть навязано любое желаемое динамическое поведение из множества (класса) возможных движений.
Рассмотрим объект управления, описываемый уравнением в форме «вход-выход»:
к
-份+e[c4(〃切-")=我 + 九 ZQ” 我e/r\ / E Rm, (3Л) i = l
где 之 ——выход, и ——управление (первый вход), / ——внешнее воздействие (второй вход); [ag(u)力)](£ = 1)足)——заданные параметры объекта управ™ ления.
Выбором закона управления вида
к
〃 =£ [%：(〃 力)一/?：(〃 力儿(3*2)
i = l
где [乱(〃力)](勿 = 1, к)——желаемые коэффициенты замкнутой систе™ мы, объекту (3.1), замкнутому регулятором (3.2), можно навязать любое желаемое динамическое поведение, описываемое следующим уравнением замкнутой системы
к
川+= f33)
e=i
в котором желаемая динамика задается коэффициентами [ДД-и, t)] (i = = l,k). Тем самым, управляемость можно трактовать как возможность полной компенсации динамики объекта, задаваемой его коэффициентами [з(〃 力(勿=1, k).
Историческая справка
Объектом исследований в ТАУ является заданная математическая мо дель объекта управления. При этом аналитически описать математическую модель можно двумя способами:
посредством одного уравнения п~го порядка (лагранжев формализм) или, на языке ТАУ вход-выходная форма описания, оперирующая с мно гочленами в обеих частях этой формы. Эта форма описания уходит своими корнями в уравнения Лагранжа второго рода аналитической механики и второй закон Кирхгофа теоретических основ электротехники;
посредством системы п уравнений первого порядка в форме Ко ши (гамильтонов формализм) или, на языке ТАХ описание уравнениями пространства состояний. Этот способ в России имеет своими корнями знаменитую докторскую диссертацию А. М. Ляпунова 1892 г.
На разных этапах развития ТАУ превалировали то одна, то другая форма описания. При этом отдельные свойства систем автоматического управления, изучаемые в анализе и очевидные для вход-выходной формы описания, нередко встречают принципиальные затруднения при анализе систем, записанных в форме Коши общего вида, в то время как обратный эффект имеет место не всегда.
Вход-выходная форма описания применительно к одно связным стацио™ нарным линейным системам ——это описание посредством коэффициентов характеристиче ского многочлена.
В общем случае задания математической модели объекта управления в форме Коши отыскание коэффициентов характеристического многочлена представляет собой далеко не тривиальную задачу.
В 1931 г. академик А. Н. Крылов предложил метод поиска коэффици™ ентов характеристического уравнения для заданной матрицы чисел общего вида Р, позднее названный методом преобразования векового (характеристического) уравнения.
В основе метода лежит тождество Гамильтона-Кэли, согласно которому всякая матрица чисел Р размера n х п удовлетворяет своему характери™ стиче скому уравнению
Рп + Р^1^ + ... + Phn^ + Enhn = On, (3.4)
где 拉£ (г = 1, п) —— коэффициенты характеристического многочлена или искомые коэффициенты в задаче Крылова; Еп, Оп ——единичная и нулевая матрицы размеров п х п соответственно.
Для поиска коэффициентов hi А. Н. Крылов ввел в рассмотрение неко™ торый п-мерный вектор В, который он назвал производящим, и умножил уравнение (3.4) справа на этот вектор, получив
РпВ + Р^В^ + …+ PBhn^ + Bhn = On. (3*5)
В дальнейшем равенство (3.5) будем называть тождеством Гамильтона— Кзли—Крылова. Векторно-матричной записью (3.5) является следующее
выражение
WH = —РпВ,(3.6)
в котором введены обозначения
Ж = [В, РВ)Рп^В], Я = со1[/гп, . . . , Л1].
По определению А. Н. Крылова, вектор В будет производящим, если матрица W^1 невырождена (т. е. имеет полный ранг, или удовлетворяет условию rank Ж = п). Тогда собственно метод Крылова определения коэффициентов характеристического уравнения матрицы Р сводится к их вычислению по формуле
Я = ^W^PnB,
полученной из (3.6).
Линейная оболочка векторов В,РВ,.. .,Рп~1В, образующая матрицу Ж = [В, РВ^. . . , Р71^1 В], называется подпространством Крылова.
Этот результат А. Н. Крылова допускает следующую интерпретацию. Рассмотрим систему вида
х = Рж, ж е Rn,
и выполним замену переменных с невырожденной (сделаем такое предпо™ ложение) матрицей управляемости Ж:
金=/弘у е Rn, в результате которой получим подобную систему
У =p矶 где
戸=W^PW = [В, Р召…)P^B^PlB, Р召…)Рп^В]=
=[В, РВ)pn—ig] —1炉召严召РпВ].
С учетом тождества
釈т/ = W^[B, РВ)Рп^В]=
[W^B, W^PB,^^ W^Pn^B] = 一，е" = К, в котором введены обозначения
q = со1[0^ О0 ?…「О])1 2i — 1 i 勿+1 п
матрицу Р, подобную матрице Р, можно представить в виде
Р = [в,…—月], 月=W^PnB.
В ТАУ матрицу Р, п™й столбец которой является вектором коэффици™ ентов характеристического уравнения, взятых с обратным знаком, принято называть матрицей в канонической форме Крылова-Люенбергера.
Анализ управляемостиабстрактной математической модели
Постановка задачи. Рассмотрим абстрактную математическую модель объекта управления в форме Коши
亦=[Р(〃切z +归(〃力)]% ж е Rn, и е R% и € Rm, (3.7) где ж ——вектор состояний; и ——либо (для систем с распределенными параметрами) вектор пространственных переменных, либо (для систем с сосредоточенными параметрами) v = х.п = щ и ——вектор управлений; t —— время; [Р(и)“], [6(и)力)] —— заданные функциональные матрицы соответствующих размеров.
Требуется записать эту модель в форме Фробениуса, на основе которой получить абстрактную математическую модель в форме вход-выход.
Если в результате получится модель вида (3.1), то рассматриваемый объект управления будет полностью управляем.
Будем полагать, что элементы матрицы [Р(и,力)]определены, непрерыв™ ны и ограничены вместе со своими производными по времени до (冗一1) —го порядка включительно, а элементы вектора [B(v, t)]——определены, непре™ рывны и ограничены вместе со своими производными по времени до п™го порядка.
Нетрудно видеть, что присутствующая в (3.7) матрица [В(ж, f)] в свете метода Крылова может быть интерпретирована как уже заданная «матрица, составленная из производящих векторов». В то же время в самом методе Крылова проблема выбора производящего вектора далеко не тривиальна.
Распространим описанный выше метод А. Н. Крылова на абстрактную математическую модель в форме Коши.
Выполним для уравнения (3.7) замену вектора состояний (на языке линейной алгебры ——«переход к новому базису») согласно равенству
Ж = [W(v,t)]y, g G R\(3.8)
где
[釈(〃朗=归(〃力))DBg 力),一「Dk^B{v,力)]*(3.9)
Здесь через D обозначен дифференциальный оператор, являющийся аналогом дифференциального оператора Е.Я. Смирнова для нестацио™ нарных линейных систем, порожденный следующим дифференциальным выражением:,
(здесь (") обозначает подставляемое для дифференцирования выражение).
Определение 3.2. Наименьшее натуральное число k (1 ^ к ^ п), при котором матрица управляемости (3.9) набирает полный ранг, т. е. удовле™ творяет условию
rank [Ж(V, t)] = п(3.10)
называется индексом управляемости.
Без потери общности сделаем предположение, что в дальнейшем вы™ полняется равенство
m х к = п.(3.11)
При этом предположении матрица управляемости будет квадратной и невырожденной. Как следствие, функциональные матрицы кинематически подобной системы (термин заимствован из теории устойчивости), полу™ ченной из (3.7) в результате замены вектора состояний согласно (3.8),
У = Р(〃 力)历 + [豆(〃 t)]u,(3.12)
где
[戸(〃切=[配一1(〃 力)р(u<)配(〃“ 一W^1(v,t')W(v,t')]=
=[配一1(〃方)0配(〃力凡
[凤刀切="-1(〃力)6(〃小
на основании тождества
[Ж"1^,方)配(〃切=｛配一1(〃 t)[B(v,扑 DBg 扑…，D^B^v,力｝= =[配 Т(〃 力)6(〃 力)，配 T(w 力)06(〃 力)Ж"1^,力)Z)kTg(，g 切=
=[в]_, . . . , е^] = Emk = Еп)
в котором используется обозначение
ег = [®тп)^т, • • • , ^т, ^т •? ^т, • • • ®тп]，
12"1 i "1k
могут быть представлены в виде
[^(^?力)]=[е2, • • ■ 7 %— Н(V)力)])
["(〃力)]=col[^fc(v,力)h^v, t)]=[釈—1(〃 t)DkB(v, t)],[B(V^)] = [W/"1^^)S(^3)] = ei.
Определение 3.3. В дальнейшем коэффициенты 拉勿(〃力)(г = 1)k) будем называть коэффициентами Крылова.
Скалярная запись системы (3.12) имеет вид
f У1 = ^[/ifc(v, t)]yn + u,
У2 = -[к1(，гМ)]%г + 力)
《уз=-[拉k一2(〃 力)]Un + 42)(3 13)
汝一1 = 一 [九2(5 t)]yn + Uk _2)
、以 =-[h^v.t^yn + ук^г.
Система уравнений (3.13) называется блочной канонической формой Крылова-Люенбергера (切 G Rmг = 1, /с).
Опишем теперь формализм перехода от нее к блочной канонической форме Фробениуса.
Перепишем (3.13) в виде:
，。=少1 + [hk(v,t)]yk 一 u,
У1=少2 + [hk-i(v,t)]yk^
《？/2=少3 + [九k-2®,力)]gg(3/4)
Ук — 2 =汝—1 + [Л2(^, t)]?/fe,
<Ук^1 = Ук + [h^v^t^yk.
Представим систему к уравнений первого порядка (3.14) в виде одного уравнения к-ro порядка относительно переменной у^. Для этого вместо первого слагаемого правой части каждого предыдущего уравнения (3.14) подставим первую производную по времени от правой части последующего уравнения, получив
?/俨 + lhi(t)yk^k^ + [拉2(力)g#k—2) + …+ [伉⑴ g#D + hk(t)yk = и.
Отсюда, принимая во внимание формулу Лейбница для производной j-го порядка от произведения двух функций:
г=0
(здесь С；——обозначение числа сочетаний из J по г, г = 1, к), после приведения подобных членов получаем следующее уравнение в форме вход-выхода,
gР+ e d(〃方)历广"=环(3.15)
i = l
где введено обозначение
&0М)] = £сО；4® ⑺],(3」6)
из которого следует
&(〃切=^(^1)^(7^[^^(^3)].(3」7)
Таким образом, в условиях (3.10), (3.11) абстрактная математичеекая модель (3.7) приводима к уравнению типа (3.1), т. е. объект управления полностью управляем.
В дальнейшем условие (3.10) будем называть критерием полной управляемости.
Введя обозначения
= Qb ° = 1, &
где qi ——компоненты вектора q = col [qi, * " ")qk], уравнение (3.15) можно записать в блочной канонической форме Фробениуса
О = [Р(ж,切q + еки,
6 mЕт6 m
67n6m，Ет
• • •0m
т）〕=
• • •Em
』一[аМ/ t)]—[ag —1(4 力)]—[a%—2(4 土)]
■ • • —[ai(〃 力)L
Как известно, матрицы Фробениуса и Крылова-Люенбергера являются сопровождающими матрицами характеристического многочлена. Таким об™ разом, в случае систем, отличных от стационарных линейных, имеет место феномен двух разных характеристических многочленов, коэффициенты которых связаны соотношениями (3.16), (3.17). Из этих соотношений видно, что в случае стационарных линейных систем (когда все производные в них следует положить равными нулю), коэффициенты этих характеристических многочленов совпадают.
Описанный эффект можно считать еще одним объяснением того, почему формализм корней характеристического многочлена не распространяется на системы, отличные от стационарных линейных.
Анализ управляемости в случаепроизводных от управлений в форме вход-выход
В общем случае абстрактная математичеекая модель в форме вход- выход может содержать производные от вектора управлений, т. е. иметь вид
кк
+ £ [电(〃 t)]z^ = £ [为(w t)]u^j\ Z e 〃 e R。 i=lj=0
(ЗЛ8)
Очевидно, что содержательное определение управляемости в этом слу™ чае не работает. В то же время, если перейти от этой модели к модели в кано™ нической форме Фробениуса, не содержащей производных от управлений, то можно будет воспользоваться схемой рассуждений содержательного определения управляемости.
Для того, чтобы воспользоваться этой схемой, нужно перейти от ошь сания (3.18) к форме Коши, от нее ——сначала к канонической форме Крылова-Люенбергера, а затем к канонической форме Фробениуса, которая не содержит производных от вектора управлений.
Второй и третий этапы описанной процедуры изложены в предыду™ щем параграфе. Опишем первый, пока неформализованный этап: перейдем
100 Анализ управляемости {проблема существования по Адамару) Гл. 3 к формам Фробениуса и Крылова-Люенбергера, в которых матрицы при векторе управлений не будут каноническими, т. е. матрицами е^ для формы Фробениуса и ех для формы Крылова-Люенбергера.
Переход к неканонической форме Фробениуса
Такой переход для стационарных линейных систем описан А. А. Во™ роновым, а для не стационарных линейных систем ——Дж. X. Лэнингом и В Г. Бэттиным, Л. Заде и Ч. Дезоером, Д. Сю и А. Мейером. Распространим предложенный ими подход на абстрактную математическую модель (3.18), уточнив полученные ими формулы в смысле приведения их к виду, более удобному для дальнейшего использования.
Переход от системы т уравнений (2.1) k-ro порядка к системе km уравнений первого порядка в форме Коши выполним по аналогии с тем, как это делается для стационарных линейных систем:
z = х± 60w, 6 G Rm.(3.19)
и будем искать математическую модель объекта управления (3.18) в виде
{
力勿=+ bjи, Xi E Rm, i = 1)к — 1,(3 ‘О,
亦用=—[qi(〃 t)]xk —…—[ak(v,力)]б + Ьки,
где bi (г = 0, к)——искомые функциональные матрицы размера т х т.
Для определения этих матриц продифференцируем равенство (3.19) последовательно к раз, подставляя в правые части полученных при этом выражений вместо первой производной от Xi правую часть соответствую™ щего уравнения (3.20):
之⑴=z，)+仇词⑴=x2^biu^b^ u^bou^ =金2 + 包 + 6$)]我 + 阮
(321) 之⑵=Е" + I[61 + b£)]u}()+ [bQu^]^ = Жз + 匕2〃+
+ [b，)+ bz]我 + 计从 D]我 ⑴ + 码)我⑴]+ [bou^]=
=Жз + 出 + ь「)+ b^]u + 讨2 成D] 〃⑴ + bou^\
i f+一"
£z)= g+i + £ £ 二厂飞〃卩i=o L r=i_
j=0 _r = l_
Дифференцируя последнее из равенств (3.21), подставляя в полученное выражение вместо х^ правую часть соответствующего уравнения (3.20)
и приводя в полученном выражении подобные члены с использованием следующей формулы для числа сочетаний:
к -г'— r)
получим
d 小一
L Г=1_
一 ［qi(v,切以一"…一 ［&к(5 切冗> (3.22)
Подставим теперь в (3.22) следующие соотношения для компонент вектора состояний ж, полученные в (3.21):
г 冗1 = 2 — b。％
冗2 = 2⑴一［仇 + b^^ 〃 一 bou^\
《况3 = 2⑵-［b2 +以1)+丛T " -［仇+ 2以D］ "⑴-阮"⑵)
— E1 ［ I： ctrr 炉丁“］
(323)
В результате подстановки имеемkk-i「心-j'+i"N+edUh(一)=阮小)+£ £ct^+1^T^+1)i =l彳=0 L r=l_В результате подстановки имеемkk-i「心-j'+i"N+edUh(一)=阮小)+£ £ct^+1^T^+1)i =l彳=0 L r=l_к-(储力)］г = 1к-(储力)］г = 1
В результате подстановки имеем
kk-i「心-j'+i"
N+edUh(一)=阮小)+£ £ct^+1^T^+1)
i =l彳=0 L r=l_
В результате подстановки имеем
kk-i「心-j'+i"
N+edUh(一)=阮小)+£ £ct^+1^T^+1)
i =l彳=0 L r=l_
к
-(储力)］
г = 1
к
-(储力)］
г = 1
7=0 L r=l_
—工｛1>2(储切 £ ctittrb^^^ (3.24)
Сравнением (3.24) c (3.20) находим следующие соотношения для определения искомых функциональных матриц 仇，分=0, п:
bо =［仇(5力凡
bi =［仿(5方)］一d［仇(储切⑴一［a1(5方)］或-1&(巩力儿
b2=必(储力-士欧二+1忙厂友汝心方)][t以不："3-), r=li = lL『=l皿
г=1L r=l
(325) Векторно-матричную запись полученной системы можно представить в виде:
必=[Р(储切z +[5(〃 切〃， ж е Rm\ и € Rm. (3.26)
ж = СО1[Ж1, . . . , хк]. [6(储力)]=col｛瓦(储 t)],. . . , [6i(v, t)]｝,
где матрица [Р (鏡,力)]имеет блочную форму Фробениуса, а матрица [6(鏡,力)] является матрицей общего вида, т. е. представление (3.26) не является канонической формой Фробениуса, поскольку [6(管,力)]卢 &卽"
Переход к неканонической форме Крылова-Люенбергера
Введем обозначение
z = yk^ bou. ук € Rm.(3.27)
и будем искать математическую модель объекта управления (3.18) в виде
[У! = -[hk(v, t)]yk + bku,
\ yi =仇一1 一 [hk^i+1(v, t)]yk + ^т+1〃， yi £ Ят, г = 2Д, —(3.28)
где bi (г = 0, к) — искомые функциональные матрицы размера т х т; [hj(v,力)](i = 1, к)——блочные матрицы размера т х т, представляющие собой коэффициенты Крылова, связанные с исходными коэффициентами 鏡,力)(г = 1, к) уравнения (3.18) тождеством (3.17).
Продифференцируем (3.27) к раз с учетом (3.28) (верхние индексы в скобках обозначают производные по времени соответствующих порядков):
2 ⑴=一[伉(储 t)]yk + мт + biU + [bou]^ =
=一[/н(储力臥 + Ук-\ + [bi + b^]u + bou^\
2⑵ =一 ｛[仿(储力弘｝⑴一[九2(储t)]yk + 勿-2 +b2" +
+ ｛出+以D]"｝()+仇凉叫⑴=一｛也(储用以｝⑴一期(储t)]yk +
?⑴=e ｛也(储制以J"+ gi+
7=0 L r=i„
%«)= £ ｛也(储力例｝dr) + ££ C^trrb^^r)涼，
(3.29)
Заменяя в последнем из соотношений (3.29) согласно (3.27) yk на ｛z—b^u) и приводя подобные члены с учетом связи (3.17), получим
^)+ £к(гМ)]^)= £ £ 或;二厂讶3「l『)“⑺―
-td(鏡"f В-宏％ г=1j=0
片。片。
片。
片。
-^ M（%制t以一届）小一-） 2=17=0
二施小)+ £ £0仁北Г^"lё)山)一 j=o L r=i_
-£4£d(储力)]或:喝8。)
Сравнением (3*30) c (2.1) находим следующие соотношения для определения искомых функциональных матриц 仇，i = 0, п:
'Ьо = [До(М)],仇=同(储制一以[价(储切⑴一 [ai(储制d_ J仇(储力)
% =同皿卜£ ©二小丿匕——
-Ed(储制或1「[仇(储力(IT), j = M.
(3*31)
Векторно-матричную запись полученной системы можно представить в виде
и = [Р（储 t）]y + [6（储力）№， yeRm\ UeRm, （332）
У = col [?/1,. .. ,yk], [6（储力）]=col {队（管,力*…，电（储力）]},
где матрица [Р（鏡,力）]имеет блочную форму Крылова-Люенбергера, а матрица [8（管,力）]является матрицей общего вида, т. е. представление （3.31） не является канонической формой Крылова-Люенбергера, поскольку 也（5力）]меЬ
Пример 3.1. Рассмотрим объект управления, описываемый дифференциальным уравнением четвертого порядка （т. е. порядок системы к = 4, число уравнений m = 1） с одинаковым числом входов и выходов:
2⑷ + Q1（V,力"⑶ + a2（储力"⑵ + а3（4 力"⑴ + a4（〃 t）=
=仇（储t）U^ + /31（V,力）"⑶+殳（储力）"⑵+仇（储力）"⑴+ 04（储力）,
где 2 £ ? — выход; и e R1 — вход.
Выполним переход от этого уравнения к системе четырех （т х к = = 1x4） уравнений первого порядка в неканонической форме Крылова- Люенбергера:
ж 二[F（v, t）]x + [6（储 t）]u,
где
・000_［九4（富,力）］"
100 一［九3（富0］
匕2
0 10 -也（富⑴]
,в =
Ьз
001 -包（富）力）］
［口储力）］=
Искомые коэффициенты Крылова, вычисленные по формуле （3.17）, получим в виде
自=e^_=q1；
色=£+ С?_2a2 = &2 - За?;
^= Е （—1）（Зг）С*：а”） = cL^ 。二屮 + С*аз =
=За,）- 2c4，）+
4
а элементы вектора В, вычисленные по формуле (3.31), в виде
4 =仇；
bi =仇—Cg” - aiChiM =仇—C^/『)—。^一1&1 仇=
^Cl^ 色С"2仇=员-cl^} CL^ + c^e^Ц
<二仇 + 6凤2)_ 3/:1)+ 3a，)仇-a2仇;
=仇-фф 源一炉一С口炉一用源一睛)一2匕用)一
-a3々_3 仇=仇-2/3))+ 3/3，)- 4跳"-3仇Q；" + 2 仇aJ)- q3 仇;
44
М = & — £ 值二+ib3『)—£ met二[4^1—4)= r=li=l
=仇-C状-以一1丛*-C乙炉-e[3区"一
Анализ управляемости:декомпозиция на полностью управляемую и полностьюнеуправляемую подсистемы
Постановка задачи
Рассмотрим абстрактную математическую модель нелинейной управляемой системы в символьной форме
х = [F(v, t)]x + [B(v, t)]u, v = ж, ж € Rn, и S Rm"(3.33)
Будем полагать, что пара [Р(冗/)], [В(ж, t)] не является полностью управляемой, т. е.
гапк[Ж(ж, t)] < п,где [Ж(ж,力)]матрица управляемости.
Сформулируем задачу: требуется выделить из системы (3.33) полностью управляемую и полностью неуправляемую («условно неуправляемую») подсистемы, т. е. представить эту систему в виде
Ж1 = [Р11(Ж1, ^)]Ж1 + [Р12(Ж2, t)]x2 + [B1(x1,t)]u, Ж1 е А™； и е А?
(3*34) 亦 2 = ”1(冗 1,力冗1 + [^22 (ж2,制冗 2 + [^2(Ж2,力)]冗2 £ *) (335) где ж = со1[ж1, Ж2] (здесь Ж1 ——вектор состояний полностью управляемой подсистемы,冗2 ——вектор состояний полностью неуправляемой или «условно неуправляемой» подсистемы).
Поясним необходимость введения термина «условно неуправляемая» подсистема. Рассмотрим математическую модель объекта управления вида
.Г 1 2 ] , Г 1 '①= ]2 况+ I "，
для которого пара матриц [F, В] не является полностью управляемой. В то же время каждая из подсистем, определяемых переменными состояния Ж1 или 冗2, рассмотренная по отдельности, будет полностью управляемой. В этом случае исследователь может по своему усмотрению назначить одну из переменных состояния в качестве полностью управляемой переменной, в то время как оставшаяся переменная будет «условно неуправляемой».
Поскольку приведенный пример носит искусственный характер, то в общем случае результатом разложения системы общего вида на две подсистемы, (3.34) и (3.35), будет декомпозиция исходной системы на полностью управляемую и полностью неуправляемую подсистемы.
Следует отметить, что постановка такой задачи в отличие от задачи, приведенной в известной монографии Н. Н. Красовского [20], не требует перехода к новому базису. При этом главным является ответ на вопрос, как выделить полностью неуправляемые (или условно неуправляемые) компоненты вектора состояний х.
Поставленная задача инициирована развитием нового направления теории автоматического управления, получившего название синергетической теории управления. Суть этой теории состоит в том, что, как неоднократно подчеркивал В. В. Солодовников: «Нельзя насиловать объект». Пионерской работой синергетической теории является монография А. А. Колесникова [16]. Вот почему физический смысл поставленной задачи состоит в выделении в объекте той его части (без перехода к новому базису), в отношении которой заведомо исключен какой-либо синтез, но которая, тем не менее, будет оказывать влияние на объект.
Формализация процедурынаправленного перебора решения задачи
Нетрудно видеть, что поставленная задача может быть формализована как комбинаторная (или задача выбора и расположения элементов конечного множества в соответствии с заданными правилами). Будем использовать для ее решения формализованную процедуру направленного перебора [17].
Общая идея этой процедуры заключается в замене полного перебора частичным перебором путем исключения бесперспективных вариантов. При этом в качестве критерия бесперспективности примем равенство нулю определителя квадратной матрицы управляемости, сформированной для системы, полученной из некоторой совокупности векторов прямоугольной, в общем случае, матрицы управляемости исходной системы.
Поясним сказанное.
Естественно ожидать, что управляемой будет подсистема, размерность вектора состояний которой равна ш в условиях, что в каждое из ш уравнений этой подсистемы входит своя уникальная компонента вектора управлений. Обозначим эти компоненты через xU1,... , xUm и представим (3.33) в виде, введя обозначения хи = col [xU1,. . ., xUm],冗———вектор оставшихся компонент исходного вектора состояний ж, Вт ——ненулевая квадратная матрица коэффициентов при векторе управлений, В_ ——матрица при векторе управлений размерности (п — m) х m (в общем случае ненулевая):
"Pll（xu,t）吊2（J 力厂„ ^21（ЖМ, t） 巳2（冗力）„"Pll（xu,t）吊2（J 力厂„ ^21（ЖМ, t） 巳2（冗力）„ххЖЖ++вm （①и ч力）„6_（金_,力）一вm （①и ч力）„6_（金_,力）一и.и.(3*36)Из (3.36) видно, что результатом описанной операции является перемещение т уравнений, содержащих управления, на место первых т уравнений преобразованной системы.В дальнейшем условимся в качестве базового варианта решения поставленной задачи использовать вариант, определяемый равенством(3*36)Из (3.36) видно, что результатом описанной операции является перемещение т уравнений, содержащих управления, на место первых т уравнений преобразованной системы.В дальнейшем условимся в качестве базового варианта решения поставленной задачи использовать вариант, определяемый равенством
"Pll（xu,t）吊2（J 力厂
„ ^21（ЖМ, t） 巳2（冗力）„
"Pll（xu,t）吊2（J 力厂
„ ^21（ЖМ, t） 巳2（冗力）„
х
х
Ж
Ж
+
+
вm （①и ч力）
„6_（金_,力）一
вm （①и ч力）
„6_（金_,力）一
и.
и.
(3*36)
Из (3.36) видно, что результатом описанной операции является перемещение т уравнений, содержащих управления, на место первых т уравнений преобразованной системы.
В дальнейшем условимся в качестве базового варианта решения поставленной задачи использовать вариант, определяемый равенством
(3*36)
Из (3.36) видно, что результатом описанной операции является перемещение т уравнений, содержащих управления, на место первых т уравнений преобразованной системы.
В дальнейшем условимся в качестве базового варианта решения поставленной задачи использовать вариант, определяемый равенством
宏 1 = ^и
когда матрица управляемости имеет вид
fИ =回2(况跳，方)]
(3.37)(3.37)в предположении, что
(3.37)
(3.37)
det [Вт (жад,力)](2.1)关 0.
Это позволяет изобразить дерево возможных вариантов решения поставленной задачи в соответствии с рис. 3.1.
Здесь 匕&$込一базовый вариант решения поставленной задачи, определяемый неравенством (3*37);匕，i = l,n — ш,——уровень ветвления (г ——число, определяющее размерность вектора состояний 冗工 £ 冗^+” полностью управляемой подсистемы).
Замечание. В общем случае (когда матрица В_ системы ненулевая) выбор ш компонент вектора состояний для базового варианта о суще ствляется по усмотрению исследователя.
Каждому уровню ветвления сопоставим формирование матрицы управляемости для системы, вектор состояний которой образуется добавлением
к первым ш уравнениям из (3.36) соответственно одного, двух, трех и т. д. уравнений из оставшихся.
Условимся в дальнейшем под бесперспективным вариантом понимать тот, для которого любая квадратная матрица управляемости, полученная в общем случае из прямоугольной матрицы, имеет определитель, равный нулю.
Поясним сказанное на примере. Допустим, m = 2. Тогда на 1-м уровне ветвления необходимо рассматривать систему из трех уравнений. Матрица управляемости такой системы имеет вид
方=/0引
т. е. имеет размерность 3x4.
Для решения поставленной задачи из построенной таким образом матрицы управляемости необходимо вырезать квадратную матрицу. Это может быть сделано двумя способами:
В + первый столбец DB,
8 + второй столбец DB,
каждый из которых даст свою квадратную матрицу управляемости.
Таким образом, det(VK) будет иметь два значения:
det Ж = {det" det2I¥},(338)
где detiVK — определитель квадратной матрицы управляемости, образованной В и первым столбцом DB, det2 РИ ——определитель квадратной матрицы управляемости, образованной В и вторым столбцом DB.
Если же рассматриваемый случай ветвления дает многозначные, в указанном выше смысле, значения определителя квадратной матрицы управляемости, то в качестве базового для последующего уровня ветвления будем выбирать тот, для которого все значения многозначной функции отличны от нуля. В случае, когда таких функций несколько, будем выбирать из них ту, которая имеет глобальный максимум по абсолютным величинам многозначных (см. выше) функций.
Алгоритм декомпозиции
Исходными данными для решения поставленной задачи являются заданные:
п ——размерность вектора состояний;
т ——размерность вектора управлений;
[Р(ж, t)]——матрица параметров объекта управления при векторе состояний (3.36);
[6(冗)力)]——матрица параметров объекта управления при векторе управлений (3.36);
базовый вариант решения задачи, отвечающий условию (3.37) и характеризуемый заданными:
—матрицей [Рц(ж, t)], представляющей собой ш строк матрицы [Р(ж, t)], из которых вырезаны ш столбцов;
—матрицей [Вт(х^ 力儿 представляющей собой ш строк матрицы
Прежде чем описать предлагаемый алгоритм решения, условимся номер уровня ветвления обозначать идентификатором j. В начале процесса базовый вариант характеризуют значения j = 0, р = 0 (где р ——идентификатор, обозначающий размерность вектора состояний 冗2 неуправляемой подсистемы).
Тогда на каждом уровне ветвления в цикле (j := j + 1) необходимо следующее.
Вычислить размерность вектора состояний 冗工(обозначим ее идентификатором s = m + j).
Вычислить индекс управляемости к = 上 + 1, где квадратными скобками обозначена операция взятия целой части действительного числа.
Организовать цикл по г от s до п р, в теле которого:
сформировать соответствующую вектору состояний
冗夕=col [жад,冗= жj](3”d9)
матрицу [Рц(ж, t)].
Примечание. Используемый в (3.39) символ хи на уровнях ветвления, больших единицы, обозначает вектор 冗°, найденный на предыдущем уровне ветвления (см. формулу (3.42);
сформировать матрицу управляемости
W = [B,DB^^,Dk^B];(3.40)
s) проверить условие: если s < кт, то перейти к пункту г), в противном случае — к пункту О);
г) в этом случае, как показано выше, матрица управляемости является прямоугольной. Поэтому анализ управляемости для каждого 冗分 в (3*39) будет иметь своим результатом многозначную функцию значений определителей квадратных матриц управляемости, формируемых из прямоугольной. Будем представлять эту функцию для каждого вектора состояний хр (в котором согласно (3.39) меняется только последняя компонента) в виде вектора (обозначим его через 匕)размерности т. Таким образом, на этом этапе алгоритма следует организовать цикл по ii от 1 до т, выполняя в теле цикла:
—формирование из матрицы управляемости, определяемой равенством (3*39), следующих квадратных матриц:
Жх = ВD^B^D^B}^
где {0к-1月}21 обозначает 力厂而 столбец матрицы0к一16；
-вычисление
yiui = det (MJ
Переход к пункту d):
。)вычислить определитель матрицы управляемости (3.40), записав его значение в виде
УрА = det(W)*
Замечание. В пунктах г) и О) через yi обозначен рабочий массив.
сформировать матрицу
厶=\^m^j,...,匕(3.41)
сформировать из матрицы Л матрицу 4 в соответствии с равенством
ai,j = \ai,j I ,
где вертикальные черты обозначают операцию взятия модуля числа.
Организовать логический блок с учетом специфики пункта s) поиска управляемых и неуправляемых компонент вектора состояний.
На первом этапе поиск производится на основе анализа столбцов матрицы Л, определяемой выражением (3.41). Номера этих столбцов будут идентифицироваться индексом / = ш +九…—夕”
Итак, в цикле по /3 от m + j до п р в логическом блоке для каждого / должны выполняться следующие операции:
если все компоненты столбца соизмеримы с машинным нулем, что является условием «бесперспективности варианта», то р = р + 1;冗2【夕]二 =
среди столбцов с отличными от нуля компонентами ищется глобальный максимум;
определяется индекс (обозначим его через §) столбца матрицы Л, для которого найдено значение максимума в пункте 6);
формируется вектор
Ж1 = col [жм,жв],(3.42)
определяющий базовый вариант для последующего уровня ветвления.
Перенести §・с строки матриц [F(v,力)]и [B(v,力)]на места s~x строк, формируя матрицы параметров объекта управления при векторе состояний и управлений (3.36), когда первые 6 уравнений относятся к полностью управляемой подсистеме (3.34), а последние г = п — р образуют полностью неуправляемую подсистему (3.35).
Нетрудно видеть, что результатом выполненных операций будет декомпозиция вектора состояний исследуемой системы на три составляющих:
{
хи ——вектор полностью управляемой подсистемы;
ж?——вектор, в отношении которого нужно продолжить процедуру; жн ——вектор полностью неуправляемой подсистемы.
Если размерность вектора ж? равна нулю, то процедура заканчивается, в противном случае необходим переход на новый уровень ветвления, т. е. возврат к п.1.
Проиллюстрируем эффективность предложенного алгоритма на следующем примере.
Пример 3・2・ Рассмотрим математическую модель системы регулирования содержания глюкозы в крови [4], записав ее в виде (3.36)
Ж1= —0,0333 囂工 +G，)，
宓 2=—0,0333 宏 2 +/(1),
忠3= 0,0333ж1 —0,202囂2 +0,0308жз -0,0692ж4 +0,314ж5 +0,0333®6,
宓4=0,0056况 з —0,0086^4+0,0056жб,
忠 5=0,0037жз—0,0333ж5 +0,0037^6,
Жб=—0,079ж2 —0,0099жз —0,169^4—0,025жв —0,00991/н,
где жх ——концентрация глюкозы в воротной вене; g ——содержание инсулина в плазме крови; жз ——концентрация глюкозы в печеночной вене; 胃4 ——инсулин, выработанный поджелудочной железой; g ——понижение уровня глюкозы в крови относительно нормы;胃6 — поглощение глюкозы тканями.
Векторно-матричная запись этой математической модели будет иметь ВИД
х = Рх Ви^ F, 胃 е a* 〃gr2, 尸 е 兄\ (3.43) где ж ——вектор состояний, и ——вектор управлений, и = col [G? /⑴] (здесь G,)——удельная скорость всасывания глюкозы в воротную вену
из желудка, /⑴一скорость разноса инсулина кровотоком), F — вектор внешних воздействий:
(3.44)(3.44)F = col [0,0,0,0,0,ун],
(3.44)
(3.44)
содержащий установку ун, задаваемую корой головного мозга.
В нашем случае матрицы Р и В имеют вид
м —0,0333 0
0 —0,0333
0
0
0
0
0
0
0・
0
р =
0,0333 0
—0,202 0
0,0308
0,0056
—0,0692
—0,0086
0,314 0
0,0333
0,0056
0
0
0,0037
0
—0,0333
0,0037
0
—0,079
—0,0099
—0,169
0
—0,025
м 1
0・
0
1
В =
0
0
0
0
0
0
0
0
Анализ управляемости рассматриваемого объекта показывает, что он не является полностью управляемым, поскольку
rank Ж = rank [В, РВ,.. . , Р^В] < 6*
Поэтому применим к этому объекту описанную выше процедуру декомпо™ зиции с выделением полностью управляемой и полностью неуправляемой подсистем.
Построим (т + 1)-й уровень ветвления дерева возможных вариантов (рис. 3.1) для построения матрицы управляемости:
Рис. 3.2Рис. 3.2
Рис. 3.2
Рис. 3.2
Тогда согласно (3.38) для 匕 имеют место следующие значения определителей матриц управляемо сти:
det (Ж3) = {0,0333; —0,202};
det (Ж4) = {0;0};
det(J¥5) = {0;0};
det (Ж6) = {0;—0,079},
3
(123)
V
(1,2,3,6)
6
Рис. 3.3Рис. 3.3что однозначно определяет базовый (W3) и бесперспективные варианты (W4, Ж5). От базового варианта (матрица управляемости которого определена 1-й, 2-й и 3-й строками матриц Р и В (3.42)) строится 4-й уровень ветвления (см. рис. 3.3), для которого так же находится определитель матрицы управляемо™ сти:
Рис. 3.3
Рис. 3.3
det(J¥6) = —0,0026,
после чего шестое уравнение системы (3.43) перемещается на четвертое место.
Тогда матрица F, определяемая равен™ ством (3.44), будет иметь вид
-—0,033300000"
0—0,03330000
Р =
0,0333—0,2020,03080,0333—0,06920,314
0—0,079—0,0099—0,025—UJ69U0
000,00560,0056 —0,00860
.000,00370,00370—0,0333 如
Таким образом, систему (3.43) можно представить в виде полностью управляемой и полностью неуправляемой подсистем, где
0000—0,06920,314—UJ69U00000—0,06920,314—UJ69U0p12 =p12 =Ai =Ai =—0,008600—0,0333'—0,008600—0,0333'0 0 0,0056 0,00560 0 0,0037 0,00370 0 0,0056 0,00560 0 0,0037 0,0037
0
0
0
0
—0,0692
0,314
—UJ69U
0
0
0
0
0
—0,0692
0,314
—UJ69U
0
p12 =
p12 =
Ai =
Ai =
—0,00860
0—0,0333'
—0,00860
0—0,0333'
0 0 0,0056 0,0056
0 0 0,0037 0,0037
0 0 0,0056 0,0056
0 0 0,0037 0,0037
00000000
0
0
0
0
0
0
0
0
~ —0,0333
0
0
о м
・1
0 м
0
—0,0333
0
0
0
1
Pii =
0,0333
—0,202
0,0308
0,0333
,Bl =
0
0
・0
—0,079
—0,0099
—0,025 .
м 0
0 .
Поскольку свойство инвариантности является, в известном смысле, свойством, обратным свойству управляемости, то предложенный алгоритм выделения полностью неуправляемой подсистемы может быть использован в задаче анализа инвариантности по отношению к внешним воздействиям. При этом внешние воздействия следует трактовать как управления в рассмотренной задаче, а выделенная в результате полностью неуправляемая подсистема будет искомой инвариантной подсистемой.
ВЫВОДЫ
Таблица 3.1
Продолжение хронологии становления анализа в ТАУ
Год
Персонификация
Вклад
1877
И. А. Вышнеградский
Форма вход-выход
1892
А. М. Ляпунов
Форма Коши
1931
А. Н. Крылов
Матрица управляемости, сопровождающая матрица Крылова (каноническая форма Крылова)
1968
Н. Н. Красовский
Понятие полностью неуправляемой подсистемы
Таблица 3.2
Перечень введенных определений
Порядковый номер определения
К чему относится
3.1
Понятие грубой или структурно устойчивой математической модели
3.2
Понятие индекса управляемости
3.3
Понятие коэффициентов Крылова
УПЖЖНЕНИЯ
Исследуйте управляемость следующих объектов.
3.1. Математический маятник в верхнем (неустойчивом) положении
Ж1 = ж2,
亦2 = - sin 胃 1 + ж3, ж3 = 〃，
где жх ——угол отклонения маятника от вертикали;胃2 ——угловая скорость отклонения; жз ——момент внешней силы, приложенный к маятнику; и —— управление.
3・2・ Гирорама
'Ж1 = ж2,
《 亦2 = Р22^2 + 夕23胃3 COS Ж1 + jR2^| sin Ж1 COS Ж1,
.Жз = Р32^2 + Рзз^з + 兄3胃 1 胃3 sin Ж1 cos Ж1 + 6з^,
где жх ——угол прецессии; g — угловая скорость по оси прецессии; жз —— угловая скорость по оси стабилизации;夕22,夕23,夕32,夕зз, 〃2, Аз, Ьз — заданные числа; и ——управление.
Свободное абсолютно твердое тело, вращающееся вокруг центра масс, с исполнительным механизмом (инерционность которого учитывается)
f . a2 一a3, b
Ж1 = Ж2Ж3 нж4,
胃2 =胃1片3,
а 2
近3 =胃1也
、力4 =
где Ж1, Ж2, жз ——проекции угловых скоростей тела на оси связанной системы координат;胃4 ——выходная исполнительного механизма; ai, а?, а3 — главные центральные моменты инерции тела; Ь — заданное число; и ——управление.
Химический реактор с непрерывным перемешиванием реагентов
Ж1 =—胃1 — baix^ + 〃i,
Ж2 =—胃2 _ baix^ _ ba3胃;С + "
где жх,力2 ——отклонения безразмерных выходных концентраций реагентов от заданных значений; 6, «1, а3 ——заданные числа; 〃九 〃2 ——управления (входные концентрации реагентов).
Электродвигатель
/力1 = -ж|жх + ж2,
I 亦2 = -胃 2 + 〃，
где жх ——угловая скорость; g ——ток обмотки возбуждения; и——управление (напряжение обмотки возбуждения).
36 Резервуар со свободным истечением жидкости через клапан с регулирующим механизмом
｛
贫=%
比2 =近1 一，^
где жх ——расход жидкости;胃2 ——уровень жидкости в резервуаре; и —— управление.
Шаровая мельница
J Ж1 = и,
I 亦2 =胃1 -胃2 + ж|,
где жх ——входной поток материала;胃2 ——запас материала в мельнице; и —— управление.
Тепловой аппарат, объем которого нагревается до определенной температуры (посредством подачи пара), регулируемой поворотной заслонкой
f = и,
(力2 =胃1 -胃2 -*
где жх ——угол поворота заслонки; ж2 ——температура в аппарате; и —— управление.
Химический реактор
f 力1
I亦2 =胃1 —胃1片2,
где жх ——компонент, участвующий в образовании продукта д； 〃 —— управление.
ГЛАВА 4
АНАЛИЗ СТРУКТУРНОЙ УСТОЙЧИВОСТИМАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ(УСТОЙЧИВОСТЬ К МАЛЫМ ИЗМЕНЕНИЯМИСХОДНЫХ ДАННЫХ ПО АДАМАРУ)
Определение структурной устойчивостиматематической модели
Исходным постулатом ТАУ является заданная математическая модель объекта управления. При использовании любой модели возникает проблема соответствия ее свойств свойствам описываемого ею объекта. Поскольку модель описывает объект лишь приближенно, интерес представляют только те свойства модели, которые сохраняются при вариациях ее параметров в некоторых пределах, так как только в этом случае можно ожидать у объекта управления проявления свойств, совпадающих со свойствами модели. Варьировать параметры модели необходимо и для учета реализации на конкретных физических элементах закона управления, полученного расчетным путем, а также учета изменения физических параметров объекта вследствие старения.
Другими словами, в любой теории, включая ТАУ претендующей на практическое использование, должен содержаться ответ на вопрос о соответствии получаемых с ее помощью результатов реальной действительности. Математической формализацией ответа на этот вопрос является анализ устойчивости решений задачи к малым изменениям исходных данных, входящий составной частью в определение корректной постановки задачи по Адамару.
В 1937 г. академиками А. А. Андроновым и Л. С. Понтрягиным устойчивость к малым изменениям исходных данных по Адамару была интерпретирована как понятие грубой (или структурно устойчивой) математической модели объекта управления.
Указанная интерпретация была выполнена ими с привлечением топологии ——раздела математики, занимающегося изучением общих свойств геометрических фигур, не изменяющихся при любых непрерывных преобразованиях этих фигур.
В основе топологии лежит понятие топологического пространства.
Топологическое пространство есть множество произвольных элементов, называемых точками топологического пространства, характеризуемых отношением «бесконечной близости». Например, поверхности в геометрии и траектории динамических систем можно рассматривать как топологические пространства. Любой элемент поверхности, так же, как и любой отрезок траектории, можно отождествить с подмножеством, которые в топологии называют открытыми множествами или окрестное-
тями, т. е. окрестностью точки в топологии является любое открытое множество, содержащее данную точку вместе с открытым множеством, ее содержащим. Что же касается отношения «бесконечной близости» двух точек, то носителем этого понятия является понятие предельной точки (назовем ее ж) множества М, означающее, что любая окрестность точки ж содержит точку множества М,
Понятие «бесконечной близости» в топологии дает возможность рассматривать непрерывные функции и непрерывные отображения (преобразования) одного множества в другое. При операциях с отображениями в топологии используется понятие гомеоморфизма.
Определение 4.1. Два топологических пространства называются гомеоморфными, если существует:
о) взаимно однозначное,
6) взаимно непрерывное отображение одного из них на другое, для которого обратное отображение также непрерывно. При этом само отображение называется гомеоморфизмом.
Например, любая замкнутая кривая гомеоморфна окружности, любой круг гомеоморфен квадрату, любые два отрезка гомеоморфны, но отрезок не гомеоморфен ни окружности, ни прямой. Прямая гомеоморфна любому интервалу. Свойства фигур, которые не меняются при переходе к гомеоморфным фигурам, называются топологическими свойствами.
Центральное место в определении Андронова-Понтрягина структурно устойчивой математической модели объекта управления принадлежит понятию сдвига. На содержательном уровне применительно к описанию математических моделей в форме Коши это понятие можно ввести следующим образом. Будем рассматривать математические модели двух объектов управления одинаковой размерности (Л и В), полагая, что объект В порожден объектом Л путем сдвига параметров последнего в метрике С1 (пространство однократно дифференцируемых функций) менее, чем на 8 > > 0, если для любого заданного числа § > 0 модули разностей правых частей уравнений, описывающих эти объекты, и модули разностей частных производных этих частей по всем переменным меньше, чем 5, зависящее от & При этом объект Л будем называть невозмущенным, а объект В возмущенным.
Для того, чтобы было ясно, для чего введена положительная постоянная §, указанными авторами было введено следующее определение.
Определение 4.2. Динамическая система, обладающая свойством: для любого § > 0 найдется такое 8 > 0, что при любом ее возмущении, отстоящем от нее в метрике С1 не более чем на 5, существует гомеоморфизм фазового пространства, который сдвигает точки не более чем на § и переводит траектории невозмущенной системы в траектории возмущенной,—— называется грубой или структурно устойчивой.
В 1966 г. М. А. Айзерманом определение структурной устойчивости математической модели было дополнено определением структурной неустойчивости.
Определение 4.3. Динамическая система называется структурно неустойчивой, если ее нельзя сделать устойчивой только изменением параметров (изменением их абсолютных значений, но не знаков); для придания устойчивости необходимо изменение структуры.
Поскольку изменение структуры немыслимо без изменения порядка математической модели, интерпретируем определения структурной устойчивости и неустойчивости на более подходящем для этого языке вход- выходного описания.
Классификация структурных возмущений
Рассмотрим математическую модель объекта управления в форме «один вход-один выход»:
^^aiz^^ =立％“Sr"),? e 必，〃 e 必， (4.1)
i=lj=0
где 〃 ——вход, z ——выход; верхние индексы в скобках обозначают производные по времени соответствующих порядков; «^ (г = 1, п), % (j = 0, п)—— заданные числа.
Вводя обозначения
尸(Р)= Рп + £ а沙Q(P)= £仇"\
£=1j=0
где р = ^ (•), запишем (4.1) в операторной форме:
F(p)z = Q(p)〃”(4.2)
Определение 4.4. Будем называть структурным преобразованием по выходу (структурным возмущением по выходу) замену выходной перемен™ ной по формуле
之=G(p"i, Zi е R1,(4.3)
где 2i ——преобразованный выход, G(p)——некоторый заданный многочлен вида
к
G(p) = £)mi
Результатом структурного преобразования по выходу является следующее уравнение структурно преобразованной системы
F^G^Zi = Q(p)u.(4.4)
Отметим, что если исходное уравнение (4.2) имеет порядок п, то получившееся в результате замены (4.3) уравнение (4.4) имеет порядок 几 + А^
Иными словами, структурное возмущение имеет своим результатом увеличение порядка исходной системы на величину к, равную порядку структурного возмущения.
Методами математического анализа можно показать, что преобразова™ ние (4.3) выходной переменной является гомеоморфным, т. е. оператор G(p) имеет непрерывный обратный оператор G^1(p) и, как следствие, %i = =G-i(p"”
Аналогичным образом можно формализовать структурное преобразование (структурное возмущение) по входу.
Определение 4.5. В дальнейшем систему (4.4) будем называть структурно возмущенной по выходу, а систему (4.2)——структурно невозмущенной системой.
Аналогичные определения можно дать применительно к структурному возмущению по входу.
Противоположный по результату эффект (понижение порядка) формализован понятием сингулярного возмущения.
Определение 4.6. Сингулярным возмущением называется малый параметр при первой производной одного из уравнений системы в форме Коши, приравнивание которого нулю меняет тип уравнения с дифференциального на алгебраический.
Если структурные возмущения применить к алгебраическому уравнению в форме вход-выход, то результатом будет изменение типа уравнения (с алгебраического на дифференциальный), что дает основание считать структурные возмущения обратными сингулярным возмущениям.
Если же структурные возмущения применить к дифференциальному уравнению в форме вход-выход, то они повышают его порядок, не меняя тип исходного уравнения (уравнение остается дифференциальным).
Распространим понятие сингулярных возмущений на математические модели в форме вход-выход.
Без потери общности представим многочлен G(夕)в виде
G(p) = ikGk{p\ Gk{p) = akGSp + 1,
1— 二(4*5)
Нетрудно видеть, что корни многочленов G(夕)и G^ (夕)совпадают, но в отличие от многочлена G(夕)многочлен (夕)позволяет трактовать 从用 как малый параметр.
Действительно, с учетом замен (4.3) и (4.5) преобразованную систему можно записать в виде
F(P)lk[^kGk^i(P)P + 1 同=Q(p)u,(4.6)
откуда следует, что при 从用 =0 уравнение (4.6) вырождается в исходное уравнение (4.2) (при условии, что 7k # 0, 7kzi = z).
Процедуру введения малых параметров можно продолжить в соответствии со следующими рекуррентными соотношениями:
i(p) = ^k^iGk^p),Gl2(Р)= 4左一iGl2(Р)Р + 1,
4左一1 =, Gk—2(Р)= £ ^iPk^\
Gk —式 р)=)在—2Gze — з(р))Gk —з(р) =2&к —з(р)р + 1,
4左—2 = , G/g —з(р) = £ %萨-3-\
—2i=Q
Gi(p) =)iGo(p)〉 Go(p) = 4iG()(p)p + 1) 4i = —, Go(p) = 70,
71
которые позволяют представить (4.6) в виде
尸(p)^ Qy/改产t Q _ 1)^T [匕1]…也(⑵42 L卩1(⑴例后词旧P+
+ 1)⑴][2]P + 1)(2)]⑶P + …+ 1)(L3)]依_2卅+ 1)(L2)]伙—
+ 1) J= Q(p)% (4*7)
где из соображений удобства идентификации соответствующих операций каждая открывающаяся и закрывающаяся скобка (круглая, квадратная) снабжена нижним индексом, заключенным, соответственно, в круглые, либо квадратные скобки. Номер этой скобки совпадает с номером соответствующего малого параметра.
Из (4.7) при 例=0,分=1, к, следует равенство
尸(Р)% = Q(P)%
т. е. структурное возмущение по выходу параметров системы, обусловленное приравниваем нулю соответствующего малого параметра 出，понижает (п + А^)-порядок структурно возмущенной системы (4.7) до (п + ^ ^ г).
Следует отметить, что замена переменных, аналогичная (4*3), может быть сделана не только по выходу ⑶，но и по входу (и) с распространением описанной выше формализации на этот случай.
Анализ структурных возмущенийстационарных линейных систем
Рассмотрим структурное возмущение (4.3) с гурвицевым многочленом G(p) (т. е. многочленом, все корни которого принадлежат левой полуплоскости):
G(p) = то// + 7卅 т + 12Pk^2 + …+2P2 + Tk—iP + 7k- (4.8)
Лемма. Если многочлен (4.8)——гурвицев х), то гурвицевыми являются следующие многочлены:
'Gi(p) = 7оР + 7ь
Gz(p) = 70P2 + 71Р + 72,
《G3 (р) = тор? + %р2 + 72P + 7з)(а)
、1(р) = Торкт + )1/-2 + * …+2P +
а также многочлены, для которых
при 4左一1 = 0 имеемпри 4左一2 = 0 имеемпри 4/е—з = 0 имеемпри 4左一1 = 0 имеемпри 4左一2 = 0 имеемпри 4/е—з = 0 имеемGi(p)= 7…p+)面，
при 4左一1 = 0 имеем
при 4左一2 = 0 имеем
при 4/е—з = 0 имеем
при 4左一1 = 0 имеем
при 4左一2 = 0 имеем
при 4/е—з = 0 имеем
Gz(p) = 7l2P2 + 7fe-iP + 7k,
G^(p) = 7 面—3「3 +)靑—ар? + )k—iP + Jk,
при 41=0 имеем Gk^i(p) = j^^1 + ^2pk^2 + . • •+ 7fe-iP + 7fe-
(4.9)(4.9)Доказательство. Для простоты изложения будем полагать, что выполнено необходимое условие гурвицевости, сформулированное А. Стодолой:
(4.9)
(4.9)
V 7€ > °-i=0,k
Докажем сначала гурвицевость многочленов, определяемых соотношениями (а)* Для доказательства выпишем матрицу Гурвица, составленную в силу многочлена (4.8):
~ 71
7з
75
77
79
711• • •
0
0
0 "
7о
72
74
76
78
7ю • • •
0
0
0
0
71
7з
75
77
79• • •
0
0
0
0
7о
72
74
76
78…
0
0
0
0
0
0
0
0
0…
Т矗
0
0
0
0
0
0
0
0…
7fc-i
0
0
0
0
0
0
0
0…
7用一 2
7fc
0
0
0
0
0
0
0…
7fc-3
7fe-i
0
・0
0
0
0
0
0…
71
7龙一2
7儿_
В условиях (4.9) достаточное условие гурвицевости многочлена (4.8) состоит в положительности главных миноров матрицы Гурвица:
△1(71) = 71 > °?
△2()0,71 ? • • • , 7з) = 72^1 — 73Al,2 > 0,
1)Гурвицевым называется многочлен, все корни которого лежат в левой полу™ плоскости плоскости комплексной переменной.
△з(7о, 71, ■ • • , 75)= 7з^2 - 74A2,з + 75Al,з > О,
△4(70, 71, • • • , 77)= 74^3 — 75^3,4 + 76^2,4 — 77^41,4 > О,
△g — 2()0, )1,)2(靑一2) — 1)=
二 lk-2^k-3 — yk-l^k-3,k-2 + )*4 — 4,/г —2 > О,
△к-1()0,71, • • • , 72(/е-1)-1) =、к — \М — 2 — Мг4 —2小-1 > О,
△k ()0, )1,72*一1)=)小*—1 > 0,
где через 4/ обозначены алгебраические дополнения, соответствующие (г, ^-элементу главного минора j-ro порядка матрицы Гурвица.
Нетрудно видеть, что разложение соответствующих главных миноров матрицы Гурвица выполнено по их правому столбцу.
Поскольку обозначения главных миноров матрицы Гурвица содержат избыточное (для заданного к) количество коэффициентов характеристического уравнения исследуемой системы, так как V Те 三 0 при фиксиро- i>k
ванном к, избавимся от указанной неопределенности, введя обозначение
△0 = 1 и переписав вышеприведенные неравенства в виде
£ f-
△г(7о, 71, • • ■ , ?2г-1) = %А-1 + V £(ту . V (*+^4-大広)〉3 г<к .г+j^fe
г = 1Д. (4 ЛО)
Итак, пусть многочлен (4.8)——гурвицев, т. е. выполнены неравенства (4.10). Докажем, что из этих неравенств следует гурвицевость многочленов (办
Доказательство основано на критерии устойчивости Лъенара-Ши~ пара, вытекающем из критерия устойчивости Гурвица, согласно которому из положительности определителей Гурвица нечетного порядка следует положительность определителей четного порядка, и наоборот [12].
Доказательство проведем методом математической индукции.
Основание индукции имеет место при i = 1. В этом случае с учетом (4.9) первое из неравенств (4.10) имеет вид
△1 = 71 △□ > 0,(4.11)
откуда следует, что гурвицевым является первый из многочленов (а):
Gi(p) = 70Р + 71 •
Формально на основании (4.9), (4.11) можно записать
△2()0,71? 72)二 72^1 > 0.△2()0,71? 72)二 72^1 > 0.(4Л2)(4Л2)
△2()0,71? 72)二 72^1 > 0.
△2()0,71? 72)二 72^1 > 0.
(4Л2)
(4Л2)
С другой стороны, гурвицевость исходного многочлена (4.8) произвольного порядка означает выполнение второго из неравенств (4.10):
△2()0, 71, • • • , 7з) = 72^1 — 73Al,2 > 0,
что не противоречит (4.12), т. е. второй из многочленов (а), определяемый выражением
&2(р)二 7оР2 + ПР + 72,
также является гурвицевым.
Таким образом, основание индукции получено.
△г(70, )1,?2i-l) = %A-1 + . V £( —1 尸J=1△г(70, )1,?2i-l) = %A-1 + . V £( —1 尸J=1Будем полагать, что неравенства (4.10) выполняются при i = X ^ k (неважно, является Л четным или нет) и при этом многочлены G j (р), j = =1)X — 1, являются гурвицевыми, т. е.
△г(70, )1,?2i-l) = %A-1 + . V £( —1 尸
J=1
△г(70, )1,?2i-l) = %A-1 + . V £( —1 尸
J=1
V (Ti+jAw—j,i) 〉0,
5 = 1] — L (4.13)
Используя эти предположения, докажем гурвицевость многочлена G工(р). Формально на основании (4.9), (4.13) можно записать
△л(7о,7ь - ■ - ,7л) = Тх> 0.(4.14)
С другой стороны, гурвицевость исходного многочлена (4.8) произвольного порядка означает выполнение i неравенств (4.10), г = 1, А, что не противоречит (4.13), (4.14), т. е. многочлен G\(p) является гурвицевым.
Докажем теперь гурвицевость многочленов, определяемых соотношениями (б).
В основу доказательства положим альтернативную формулировку критерия Рауса-Гурвица [18], согласно которой многочлен (4.8) будет гурвицевым тоща и только тогда, когда гурвицевым является следующий многочлен на единицу меньшей степени:
@(р) = 71/Т+ 卜2 - ^Тз) У+ 7з/ —3+ 卜4 - ^75)
11(4Л5)
Введем обозначения
)务=)2彳一^)2升1,/ = 12(4.16)
с учетом которых перепишем (4.15) в виде
£(p) =+ 73p^3 + 臂/T + …+ (迤n[
(4.17)
где показатель степени последнего слагаемого правой части представляет собой произведение * на сигнум-функцию от выражения в квадратных скобках, обозначающего операцию взятия целой части действительного числа. Для четных чисел сигнум-функция сконструирована равной единице, а для нечетных чисел ——равной нулю. Будем полагать, что произведение * на 1 дает *, а в случае произведения * на 0 соответствующий коэффициент ?j записывается без верхнего индекса.
В свете альтернативной формулировки критерия Рауса-Гурвица многочлен (4.17) — гурвицев. Матрица Гурвица, составленная в силу этого многочлена, имеет вид
"72
74
7б •
..0
0・
71
7з
75"
一0
0
0
72
74•
..0
0
*(4.18)
0
0
0 "
• ■ !k-l
0
期0
0
0 "
• • 几一2
安+1]
*sigll[[f]^f+1]
7fc」
По аналогии с (4.10) условия положительности главных миноров матрицы (4.18) представим в виде следующих неравенств (△□ = 1):
「V3(4」9)
Докажем, что из гурвицевости многочлена (4.17) следует гурвицевость многочлена G面_ i(p》Матрица Гурвица, составленная в силу многочлена Gk^i(p\ имеет вид
■ 727476• •-0о・717з75…0007274…00000…7fc-i0„ 000- a7fc-27fc .■ 727476• •-0о・717з75…0007274…00000…7fc-i0„ 000- a7fc-27fc .(420)(420)
■ 72
74
76• •-
0
о・
71
7з
75…
0
0
0
72
74…
0
0
0
0
0…
7fc-i
0
„ 0
0
0- a
7fc-2
7fc .
■ 72
74
76• •-
0
о・
71
7з
75…
0
0
0
72
74…
0
0
0
0
0…
7fc-i
0
„ 0
0
0- a
7fc-2
7fc .
(420)
(420)
Условия положительности главных миноров матрицы (4.16) представим в виде
△г — )Е + 1Ае —1 + V〉: (— 1)" V (7« + 1+j^i — j,i} 〉°,分=1, &•
В условиях (4.19) имеем
7务=72j -三)2升工 > 0, j = 1,2,..., откуда с учетом (4.9) получим
72j > 7务 > 也)2升 1 > 0.(4.22)
7i
Подстановка (4.22) в (4.15) дает равносильную систему неравенств (4.19), что доказывает гурвицевость многочлена G^_工⑺了
Доказательство гурвицевости остальных многочленов из б) проводится по аналогичной схеме.
Пример 4.1. Справедливость леммы продемонстрируем на примере [13] следующего гурвицевого многочлена:
0,00000113р7 + 0,0000514р6 + 0,000922р5 + 0,00795р4+
+ 0,0636р3 + 0,275р2 + 0,75р + 1 = 0,
определители Гурвица которого суть: Ai 二 5,14 х 10-5; △?二 3,841 х х ICT®； дз = 1,5зз % I。-？ Д4 = 2,367 х 10^12; Д5 = 2,016 х 10一吗 △б = Д7= 7,246 х 10^14.
Результаты демонстрации сведены в табл. 4.1.
Прежде, чем сформулировать основной результат этой главы, введем определения.
Определение 4.7. Будем говорить, что система в форме вход-выход асимптотически устойчива по входу, если многочлен при переменной входа ——гурвицев.
Определение 4.8. Будем говорить, что система в форме вход-выход асимптотически устойчива по выходу, если многочлен при переменной выхода ——гурвицев.
Тогда основной результат может быть с формулирован в виде следующей теоремы.
Теорема. Будем полагать, что структурно невозмущенная система (4.1) либо асимптотически устойчива, либо неустойчива по выходу. Тогда при структурном возмущении по выходу (4.3) с гурвицевым многочленом G(p) данное свойство сохраняется для структурно возмущенной системы (4.4) при любом д€ = 0, г = 1, к.
Доказательство этой теоремы, основанной на приведенной выше лемме, очевидно.
Аналогичная теорема может быть сформулирована применительно к структурному возмущению по входу.
Т а б л и ц а 4.1
Многочлен
Главные миноры матрицы Гурвица
а)
Зб(р) = 0,00000113/+0,0000514р5 + +0,000922,4 + о5оо795рз + +0,0636р2 + 0,275р + 0,75 = 0
Ai = 5,14 х 10『 Д2 = 3,841 х IL； Дз = 1,533 х1О^10;
Д4 = 2,367х10Т2； Д5 = 7,971 х10^14; △б = 5,978 х10^14.
畐伪)=0,00000113р5 + 0,0000514р4+ +0,000922рЗ + 0,00795р2 +
+0,0636р + 0,275 = 0
Ai = 5,14 х 1L；
Д2 = 3,841 х IL；
Дз = 1,533x10—1°;
Д4 = 8,733x10—12；
Д5 = 2,557х10Тз*
百4伪)=0,00000113р4 + 0,0000514р3 +
+0,000922,2 + о,оо795р + 0,0636 = 0
Ai = 5,14 х 1L；
Д2 = 3,841 х IL； Дз = 1,373 х1О^10; Д4 = 8,733х10^12.
Зз(р) = 0,00000113р3 + 0,0000514р2 +
+0,000922P+ 0,00795 = 0
Ai = 5,14 х 10『
Д2 = 3,841 х IL；
Дз = 3,О53х1О^10.
百2伪)=0,00000113р2 +
+0,0000514р + 0,000922 = 0
Ai = 5,14 х IL；
Д2 = 4,739 х IL；
31 (р) = О’ОООООИЗр + 0,0000514 = 0
Ai = 5,14 х 10^5.
6)
忑 б(р) = 0,0000514/ + 0,000922/ + +0,00795/ + 0,0636/ + 0,275公 + +0,75" 1 = 0
Ai = 9,22 х 10「
Д2 = 4,061 х IL；
Дз = 6,004 х IL；
Д4 = 4,331 х IL；
Д5 = 1,454 х IL；
△б = 1,454 х 10^9.
忑 5(Р)= 0,000922р5+0,00795р4+0,0636р3 +
+0,275P2 + 075P + 1 = 0
Ai = 7,95 х IL；
Д2 = 2,521 х IL；
Дз = 2,925 х IL；
Д4 = 1,055 х IN；
Д5 = 1,055 х iL.
忑 4(Р)= 0,00795/ + 0,0636/ + 0,275р2 +
+0,75р + 1 = 0
Ai = 9,22 х IL；
Д2 = 1,2 х 10『
Дз = 4,601 х 1L；
Д4 = 4,601 х 1(Г、
Ж(Р)= О’ОбЗбрЗ+ о,275P2 + 0,75" 1 = 0
Ai = 2,75 х 10〕
Д2 = 1,43 х Ю^1;
Дз = 2 х l(rL
不 2(p)= 0,275公 + 075P + 1 = 0
Ai = 7,5 х 10〕
Д2 = 7,5 х iL.
Ж(р) = 0,75" 1 = 0
Ai = 1.
Анализ правил преобразования структурных схем
В ТАУ принято структурную схему любой сложности приводить к эквивалентной одноконтурной схеме. Преобразования о суще ствляются в соответствии с правилами преобразования структурных схем, частично описанными во второй главе (последовательное, параллельное и встречнопараллельное соединения), дополненными правилами переноса сумматоров и точек разветвления [21]. При этом полученная одноконтурная схема считается эквивалентной исходной, если указанные в ней величины имеют такую же зависимость от внешних воздействий, как в исходной схеме. К таким величинам относятся регулируемая величина (выход), рассогласование (ошибка) и сигнал обратной связи.
Проанализируем правила преобразования структурных схем в отношении свойства асимптотической устойчивости как по выходу, так и по входу. Результаты анализа сведены в таблицу, которая вынесена в приложение 1.
Основной результат анализа состоит в следующем. Правила эквивалентных преобразований структурных схем основаны на аппарате передаточных функций в предположении, что в эквивалентной передаточной функции допустимы сокращения одинаковых нулей и полюсов. Это предположение ——ошибочно, несмотря на его наличие во многих достаточно известных публикациях (см., например, [15]).
Действительно, если переписать эти правила на языке вход-выходных соотношений, отказавшись от сокращения одинаковых многочленов в их левой и правой частях, то эффект структурных возмущений по входу и выходу имеет место в следующих случаях: 4, а; 5, а; 5, б; 10, а—2； 11, а-г; 12,а—6; 13,6; 14,6—2； 15,а—6, 2； 16, ат; 17, а-г; 18, а—6; 19, а—6; 21; 22, а—6; 24, а; 25, а—6; 26, а—6; 27, а—6; 28, а-б, в то время как во всех остальных случаях исходные и преобразованные вход-выходные соотношения совпадают. Там же приведена более конкретная детализация указанных выше случаев (разный порядок исходной и преобразованной систем). В каждом из этих случаев можно говорить об асимптотической устойчивости как по входу, так и по выходу, но при выполнении дополнительных условий, которые указаны в приложении 1.
Таким образом, классические правила преобразования структурных схем, допускающие сокращение нулей и полюсов в передаточной функции эквивалентной системы, в ряде случаев неверны. Действительно, заключение об эквивалентности передаточных функций исходной и преобразованной схем, основанное на допущении о сокращении одинаковых нулей и полюсов в эквивалентной передаточной функции, приводит к неверным выводам относительно свойств асимптотической устойчивости (либо неустойчивости) обеих систем как по входу, так и по выходу, поскольку в реальной динамической системе, описываемой посредством лагранжева формализма (уравнениями в форме вход-выход) сокращения одинаковых сомножителей в левой и правой частях (понижения порядка системы) не происходит.
ВЫВОДЫ
Таблица 4.2
Продолжение хронологии становления анализа в ТАУ
Год
Персонификация
Вклад
1937
А. А. Андронов, Л. С. Понтрягин
Свойство структурной устойчивости математической модели в форме Коши
1966
М. А. Айзерман
Свойство структурной неустойчивости математической модели
Таблица 4.3
Азбука структурных возмущений
№ п/п
Алфавит
Содержание
1
Структурное возмущение по выходу
Дано: структурно невозмущенный объект управления в операторной форме вход- выход
F(p)z = Q(p)u, z е R1, и е Я1.
Результат: структурно возмущенный по вы™ ходу объект управления F(p)G(p)Z! = Q(p)u.
Формализация структурного возмущения по выходу — гомеоморфное преобразование
Z = G(P)Z!, Z! е R1.
2
Структурное возмущение по входу
Дано: структурно невозмущенный объект управления в операторной форме вход- выход
F(p)z = Q(p)u, z е Я1, и е Я1.
Результат: структурно возмущенный по входу объект управления 歹(/z = Q(p)L(p)U1.
Формализация структурного возмущения по входу — гомеоморфное преобразование и = L(p)ui, ui 6 Я1.
Формализация сингулярных возмущений в структурном возмущении
Дано: z = G(p)zi, где G(p) = £ ^ipk^\
尸(p)7M(k)〃4 [同7左一1((左一1)〃4一1 [田一1:…72((2) М2 [[2]71 ((1)Ml [[1]70][1]P+
+ 1)(1)][2]P + 1)(2)][3]P + • • • + l)(fc-3)][fc-2]P + l)(fc-2)][fc-l]P+
+ l)(fc^l)][fc]P + l)(fc)^l = Q(P)%
где 〃^ (г = 1, k)——малые параметры. Приравнивание нулю малого параметра 〃,，& понижает (n + fe)-порядок структурно возмущенной системы до (n + ^ — i)
Таблица 4.4
Перечень введенных определений
Порядковый номер определения
К чему относится
4.1
Изоморфизм топологических пространств
4.2*
Понятие грубой или структурно устойчивой математической модели
4.3
Понятие структурно неустойчивой математической модели
4.4
Понятие структурного возмущения по выходу
4.5
Понятие структурно возмущенной и структурно невозмущенной систем
4.6
Понятие сингулярного возмущения
4.7
Понятие системы, асимптотически устойчивой по входу
4.8
Понятие системы, асимптотически устойчивой по выходу
*Это определение лучше запомнить, если ассоциировать его с определением 5.1 устойчивости по Ляпунову добавив к последнему понятие гомеоморфизма
УПЖЖПЕНИЕ
Проверьте структурную устойчивость следующего гурвицева многочлена
р5 + 5P4 + 9рЗ + Юр2 + 6р + 2 = 6
ГЛАВА 5
АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ
Историческая справка
Исторически первой задачей, поставленной и решенной в ТАУ И.А. Выпь неградским, стала задача распределения корней характеристического уравнения в левой полуплоскости плоскости комплексной переменной. Данное им решение этой задачи для систем третьего порядка вошло в учебники под названием диаграммы Вышнеградского.
Обобщение этой задачи на n-мерный случай выполнил словацкий ин™ женер и ученый-теплотехник Аурель Стодола, занявшийся дальнейшим развитием методов расчета регуляторов прямого действия Вышнеградско™ го. Сформулировав необходимое условие расположения корней в левой полуплоскости, А. Стодола попросил своего коллегу по высшей техниче™ ской школе в Цюрихе немецкого математика А. Гурвица сформулировать достаточные условия. Окончательное решение этой задачи было получено в 1895 г., войдя в историю под названием критерия. Гурвица (или проблемы Гурвица).
Нельзя не отметить, что тремя годами ранее, в 1892 г., нашим вели™ ким соотечественником А. М. Ляпуновым (в его знаменитой докторской диссертациих) на тему «Общая задача об устойчивости движения») были разработаны основы нового научного направления, вобравшего в себя как частный случай проблему Гурвица и получившего название теории устойчивости движения.
Весь XX век прошел под мощным влиянием научных идей А. М. Ляпу™ нова и формализованного им свойства устойчивости, которое во всей науч™ ной литературе разных стран мира называется устойчивостью по Ляпунову.
В качестве примера достаточно привести классическое определение корректной по Адамару постановки задачи (определение 2.1), ставящее анализ устойчивости решений задачи (к малым изменениям исходных дан™ ных) во главу угла ее важнейших характеристик. Другим примером может служить свойство грубости или структурной устойчивости математической модели А. А. Андронова и Л. С. Понтрягина (определение 4.1), ставшее часто используемым инструментом отбраковки некорректно поставленных задач.
Определение устойчивости по Ляпунову сформулировано примени™ тельно к математическим моделям в форме Коши в предположениях, что:
областью определения модели является полуось времени t е [0, ос);
г)Следует отметить, что в императорской России докторские диссертации размножались обязательным тиражом не менее 1000 экземпляров и потому доходили до потомков, а не исчезали в Лете (реке забвения подземного царства греческой мифологии).
описываемое моделью движение порождено исключительно возму= щениями начальных условий при отсутствии внешних воздействий;
единственным состоянием равновесия модели является начало коор™ динат.
Определение 5.1. Тривиальное (нулевое) решение уравнения свобод™ ного движения динамической системы в форме Коши
ж = [P(v, ^)]ж, х е Rn, I G [0, ос); t0》0,/(%) = /о, (5.1)
устойчиво по Ляпунову, если для всякого Л > 0, как бы мало оно ни было, можно указать положительное число Л такое, что для всякого
1к(^о)1Кл
решения уравнения (5.1) при 力》力о удовлетворяют условию
||/(3 to)|| W Л
(здесь ||.. .|| обозначение евклидовой нормы вектора ж, т. е. ||ж|| = VхТх).
Определение 5.2. Тривиальное решение уравнения (5.1) асимптотически устойчиво по Ляпунову, если в дополнение к условиям, сформулиро™ ванным в определении 5.1, имеет место равенство
古弘 11力(3 ^0)II = 0.
Для исследования устойчивости А. М. Ляпуновым разработаны два метода, называемых:
первым методом Ляпунова (или методом характеристических чисел, иначе показателей Ляпунова), идея которого состоит в изучении асимпто™ тического поведения решений по сравнению с различными экспонентами;
вторым методом Ляпунова (иначе прямым методом или методом функций Ляпунова), идея которого состоит в изучении поведения функций Ляпунова, играющих роль расстояния от точки, изображающей решение системы в фазовом пространстве, до начала координат.
Первый метод Ляпунова
Общие положения
В основе первого метода Ляпунова лежат понятия:
характеристичного числа % решения 力(力)системы (5.1), определяем мого равенством
где Jim — обозначение верхнего предела;
max ^2г = 1max ^2г = 1правильной системы, определяемой как нестационарная линейная система (5.1), максимальное значение суммы характеристических чисел которой удовлетворяет равенству
max ^2
г = 1
max ^2
г = 1
Хг = X вхр£ Iph(v,t)] dr ,L Е о」
где через хь ^ = 1, ^, обозначены характеристические числа исследуемой системы.
Если система (5.1) правильна и все ее характеристические числа поло™ жительны, то тривиальное решение уравнения (5.1) асимптотически устой™ чиво.
Отметим, что характеристические числа, взятые с обратным знаком, носят название показателей Ляпунова. Для стационарных линейных си™ стем характеристическими числами служат действительные части корней характеристического уравнения, взятые с обратным знаком.
Характеристические числа нестационарных линейных систем могут быть найдены лишь в отдельных частных случаях, перечисляемых ниже.
1°. Предельные системы. Если матрица [P(v,力)]в (5.1) такова, чтоlim [F(v, t)] = Ль
где Pg ——некоторая матрица чисел, то характеристическими числами системы (5.1) являются взятые с обратным знаком действительные части корней характеристического уравнения матрицы Ро-
2°. Диагональные системы (случай Лаппо-Данилевского). Характе™ ристические числа вычисляются по формуле
Хе =一七也Z 依金(富,丁)]d丁, г = 1, n. (5.2) о
3°. Почти диагональные системы. Матрица [Р(富)力)]называется почти диагональной, если для ее недиагональных элементов выполняются соотношения
^liin [pij(v, t)] = 0, i.j = l,n, i j.
Если
価口(〃 掰 > [Ро(^Л)] + з г = 2,n,
где о ——некоторая положительная постоянная, то наименьшее из характе™ ристических чисел системы (5.1) определяется выражением
1 f
Xmin =，里2 g口(4 丁)] d丁,о
а если
肋一U -1(〃 力)]》\ри^.力)]+ 7 公 = 2,几，
то характеристические числа почти диагональной системы вычисляются по формулам (5.2).
4°. Верхне(нижне)треугольные системы. Если матрица [P(v, t)] в (5.1) является верхне(нижне)треугольной, то необходимое и достаточное условие правильности такой системы состоит в том, чтобы все диагональ™ ные элементы матрицы [Р(富)力)]имели точные средние значения и тогда эти значения, взятые с обратным знаком, являются характеристическими числами системы (5.1).
5°. Приводимые системы или системы, которые посредством гомео™ морфного преобразования
ж = [W(v,t)]y, у S Rn)(5.3)
с невырожденной матрицей [Ж(v,力)]приводятся к кинематически подобной системе—
У = [P^.t^y,
в которой матрица [P(v, t)], определяемая выражением
[F(v, t)] = [Ж™1(и, t)Р(V, t)W(Vt) — Ж^1(и, t)W(v^ t)]=
=[w一1(〃方)0W(富/)], является матрицей чисел.
Введем дифференциальный оператор
Отметим, что отношение кинематического подобия, от хорошо извест™ ного отношения подобия отличается дополнительным слагаемым —[И/т(富，t)W(v^ t)].
Характеристическими числами приводимой (в смысле Ляпунова) систе™ мы (5.1) являются взятые с обратным знаком действительные части корней характеристического уравнения матрицы [P(v, t)].
Отметим, что нахождение характеристических чисел Ляпунова в общем случае требует интегрирования уравнения (5.1), которое может быть вы= полнено с привлечением численных или асимптотических методов.
Приводимость по Ляпунову
Классическая теория приводимых (нестационарных линейных) систем А. М. Ляпунова основана на следующем определении.
Определение 5.3. Будем говорить, что гомеоморфное преобразование (5.3) являетсяляпуновским, если матрицы [Ж(и, t)], [Ж^1(и, t)] и [Ж(и, t)] ограничены по модулю на полуоси [0, ос).
В общем случае абстрактной математической модели (5.1) условием ограниченности по модулю функциональных матриц, заданных в сим™ вольном виде, можно пренебречь, поскольку при символьном описании говорить об ограниченности можно лишь в отдельных случаях, когда в символьном описании участвуют, например, тригонометрические функции типа синуса или косинуса.
Вследствие этого понятие приводимости по Ляпунову можно распро™ странить на нелинейные системы и системы с распределенными парамет™ рами, подтверждением чему служат следующие теоремы.
Теорема 5.1. Для приводимости по Ляпунову системы (5.1) необходимо и достаточно, чтобы существовал производящий вектор Крылова [3(〃 t)], порождающий коэффициенты Крылова вида
[АДи,力)]=const (i = 1, п).
Замечание. Утверждение теоремы эквивалентно существованию вектора, составляющего с матрицей [P(v, t)] полностью управляемую пару, что означает выполнение условия rank [Ж(v, t)] = п, в котором матрица [Ж(и, t)] является матрицей управляемости; определяется выражением
при к = п.
Доказательство. Необходимость. Пусть система (5.1) приводима, т. е. существует гомеоморфное преобразование (5.3), при котором матрица ки™ нематически подобной системы является матрицей чисел. Всякая матрица чисел имеет характеристический многочлен, а всякий характеристический многочлен ——сопровождающую матрицу характеристического многочлена в форме Крылова-Люенбергера.
Следовательно, существует производящий вектор Крылова, отображаю™ щий пространство Rn исходной системы в подпространство Крылова, в котором проекциями исходной системы на векторы линейной оболочки подпространства Крылова являются коэффициенты характеристического многочлена. Поскольку по предположению исходная система приводима, то коэффициенты характеристического многочлена не могут быть ничем иным, как числами. Необходимость доказана.
Достаточность очевидна.
Теорема доказана.
Введем в рассмотрение матрицу производящих векторов Крылова [3(富,力)]размерности п х т и будем полагать, что найдется наименьшее положительное число к (индекс управляемости), при котором матрица управляемости имеет полный ранц т. е. удовлетворяет условию
rank {[Ж(и, t)] = [B(v, t), DB(v, t),... , Dk^1B(v,力)]} = n.
Будем полагать, что выполняется равенство тк = п, означающее, что матрица управляемости [Ж(и,力)] —— квадратная. Тогда матрицу [3(富,力)] будем называть производящей матрицей Крылова.
Несложно показать, что замена переменных (5.3) приводит исходную систему (5.1) к кинематически подобной системе с матрицей Крылова- Люенбергера блочного вида
Ет
О-т
О-т
• • •От
• ■ •От
_/^(〃方)・
—/ii(⑵⑴
От
О-т
• ■ • От
—/l2(〃 t)
_ О-т
О-т
• • • Ет
一伝（〃方）.
где hi(v, t), i = 1, к,——блоки коэффициентов Крылова размерами т х т.
Теорема 5.2. Для приводимости системы (5.1) достаточно существования производящей матрицы Крылова [3(富,力)],порождающей блоки коэффициентов Крылова^ имеющие вид матриц чисел.
Доказательство этой теоремы очевидно.
Пример 5.1 (нелинейная система). Рассмотрим систему (5.1) с 巾унк= циональной матрицей
r⑺
0
— г
1
0
—1 -
0
/W
—1
1
0
0
[Pe 力)]=
s
『一1
"宽）
0
1
0
—1
с
0
/⑺
0
—1
0
1
0
0
/w
0
- 一1
0
0
0
0
/5
/ 6
где с, s, г ——некоторые отличные от нуля константы, / (ж) = sinl £ 力：
Выберем производящий вектор Крылова в виде
[^(ж3)]=[^(ж3)]=ОО0 0 0 0 ехр0 0 0 0 ехртт
[^(ж3)]=
[^(ж3)]=
О
О
0 0 0 0 ехр
0 0 0 0 ехр
т
т
тогда порожденный им вектор коэффициентов Крылова будет вектором чисел
0
c(sr2 - 2sr — г + s + 1) + г2
sr2 — 6『cr + г + 1
.0
т. е. исходная система приводима по Ляпунову.
Пример 5.2. Рассмотрим уравнения свободного движения осесиммет™ ричного летательного аппарата в боковой плоскости [33]:
近1 =/2,
应2 =）（力）/3，
应 3 =
где 力1 ——боковое отклонение центра масс объекта от номинальной траекто™ рии;力2 — скорость бокового отклонения; жз ——угол направления вектора тяги относительно продольной оси объекта; и ——управление.
1°. Пусть зависимость между боковой тягой и боковым ускорением, учитывающая потерю массы аппарата, задается функцией времени:）（力）=
任
=р где = 9380,我2 = 315, t e [0,250）. При этом после выгорания
топлива имеет место равенство V ）（力）=7（250）. Тем самым, уравнения t>250
движения этого объекта можно рассматривать на всей полуоси t е [0, ос）.
Управляемая пара рассматриваемой системы имеет вид
оз = о1оз = о10 10
о
з = о
1
о
з = о
1
р⑴=00 т⑴
0 00
Сформируем матрицу управляемости
W ⑴=[B,DB,D2B]=W ⑴=[B,DB,D2B]=0 0т⑴о т⑴-小⑴1 оо0 0т⑴о т⑴-小⑴1 оо
W ⑴=[B,DB,D2B]=
W ⑴=[B,DB,D2B]=
0 0т⑴
о т⑴-小⑴
1 оо
0 0т⑴
о т⑴-小⑴
1 оо
что дает возможность вычислить коэффициенты Крылова кинематически подобной системы по формуле
・0
2727
"⑴=-⑴033 = со1[/г?⑴，他⑴，仿⑴]= 干一彳
.7
Принимая во внимание, что
л =41 斤_
У 一（左2 一 力）2 ‘ У 一（左2 一）3，
о о 2о о 2окончательное выражение для коэффициентов Крылова получим в виде
о о 2
о о 2
Я =
Анализ преобразования Крылова показывает, что преобразование яв™ ляется ляпуновским на отрезке 力 £ [0,250), но система ——не приводима. При этом на полу отрезке t е [250, ос) рассматриваемая система является «предельной».
2°. Пусть зависимость между боковой тягой и боковым ускорением в условиях потери массы аппаратом определяется выражением )(力) = =, где 任 = 9380, 店 = 315, k^ = 1. Будем полагать, что
(左2 —后3右
«временем жизни» рассматриваемого летательного аппарата является отре= зок t € [0,250], т. е. летательный аппарат представляет собой управляемую ракету типа «воздух-воздух».
Замечание. Нельзя не отметить, что во многих технических приложе™ ниях динамика объекта рассматривается на конечном интервале времени. К таким приложениям относятся, например, пилотажно-навигационные комплексы космических спускаемых аппаратов и баллистических ракет, предназначенных для выведения этих аппаратов на орбиту вокруг Зем= ли, системы автоматического управления оружием массового поражения, включая баллистические ракеты, торпеды и т. д. Количество таких про™ дуктов человеческой деятельности настолько велико, что породило целое направление в теории устойчивости движения, связанное с устойчивостью на конечном интервале времени. Это направление развивалось усилиями многих ученых, включая Г. В. Каменкова, А. А. Лебедева, Н. Д. Моисеева, Н. Г. Четаева, К. А. Абгаряна, Ван Дань-Чжи, С. Я. Степанова и др. Однако до сих пор нет какого-либо единого методологического подхода к анализу устойчивости на конечном интервале времени, равно как и общепризнан™ ного определения устойчивости на конечном интервале времени.
Управляемая пара рассматриваемой системы имеет вид
~ ов = о1~ ов = о1"0 10
~ о
в = о
1
~ о
в = о
1
Р⑴=00 т⑴
0 00
Вместо вектора В будем использовать производящий вектор B(t) вида
"0
3⑴= о
_ (&2 — &3 力)2
в котором элемент (к2 — кз力尸 будем трактовать как производящий коэф™ фициент, делающий исходный вектор В производящим вектором Крылова, что означает представление Ви в виде Ви = B(t)u = В(^х — k2t)2u.
0000W(t) = [B{tlDB(tlD2B(t)] =W(t) = [B{tlDB(tlD2B(t)] =ооВведем матрицу управляемости Крылова и вектор D3B(t):
00
00
W(t) = [B{tlDB(tlD2B(t)] =
W(t) = [B{tlDB(tlD2B(t)] =
о
о
_ （盍2 —左3力）2 2（左2 —左3力）素3
Г О・
炉3⑴=0 ,м 0.
порождающие следующий вектор коэффициентов Крылова:
Г О
〃⑴=^W^(t)D3B = со1[Лз(^),拉2⑴，伉⑴]= 0
0
Нетрудно видеть, что на конечном интервале времени t е [0,250] преобразование А. Н. Крылова является ляпуновским, а рассматриваемая система ——приводима.
Пример 5.3. Анализ приводимости кинематических уравнений инерци™ альной навигации.
В теории инерциальной навигации широко используется система кине™ матических уравнений, записанных относительно параметров ориентации Родрига-Гамильтона [28]:
А = I Мх5
где А = col [Ао, Ai, Аг?入 з] — вектор параметров Родрига-Гамильтона, s = =col [0, tdi, с^2, ®з] — вектор угловых скоростей, Мд, Мш 一так называе™ мые кватернионные 2)матрицы.
Рассмотрим первое из этих уравнений.
Кватернионная матрица этого уравнения имеет вид:
Введем обозначенияВведем обозначенияК =К =- 0一公工一公2一公3公工0一公3公2公2公30一公工.公3一公2公工0- 0一公工一公2一公3公工0一公3公2公2公30一公工.公3一公2公工0Мх =Мх =0Си»1公100Си»1公10S =S =公2 公3公3一公2公2 公3公3一公2
Введем обозначения
Введем обозначения
К =
К =
- 0
一公工
一公2
一公3
公工
0
一公3
公2
公2
公3
0
一公工
.公3
一公2
公工
0
- 0
一公工
一公2
一公3
公工
0
一公3
公2
公2
公3
0
一公工
.公3
一公2
公工
0
Мх =
Мх =
0Си»1
公10
0Си»1
公10
S =
S =
公2 公3
公3一公2
公2 公3
公3一公2
1 .2 *1 .2 *
1 .
2 *
1 .
2 *
и запишем ее в блочном виде с учетом скалярного множителя
；Мх =
Г 1/< 小 1
22
L 22J
2)Кватернион — гиперкомплексное число, обобщающее понятие комплексного числа (1843 г., У. Гамильтон), включающее действительную часть и три чисто мнимых части, образующие базис.
где К — кососимметрическая матрица, такая, что K~i = g КТ, т. е. «по™ чти ортогональная» или являющаяся ортогональной при ®i 三 1 (с позиций линейной алгебры ее можно трактовать как линейный оператор, осуществ™ ляющий «вращение» в пространстве R? и оставляющий на месте начало координат, но изменяющий евклидову метрику на коэффициент g ), S —— симметрическая матрица (или, с позиций линейной алгебры, линейный оператор, осуществляющий «дилатацию» двухмерного пространства, при котором происходит «растяжение» пространства вдоль двух взаимно пер™ пендикулярных направлений с различными в общем случае коэффициента™ ми растяжения).
Тем самым, произвольное линейное однородное преобразование четы™ рехмерного (в нашем случае) евклидова пространства можно получить, осуществляя последовательно некоторое вращение и некоторую дилатацию в произвольном порядке. Покажем это.
Непосредственной проверкой можно убедиться, что матрицы К и S перестановочны, т. е. удовлетворяют условию KS = S К, r при этом S 一工= =工 S или 工 S?=后2, где ° =必 + ^l，
Анализ приводимости этой системы выполним в двух аспектах:
решим прямую задачу анализа приводимости, которая предполагает, что все сиj (г = 1,3) заданы;
решим обратную задачу анализа (задачу параметрического синтеза), другими словами, задачу^определения условий, которые нужно наложить на функции сиj (г = 1,3), при которых рассматриваемая система будет приводимой.
1°. Прямая задача. Пусть = ^ cos(at), @2 =表 sin(a力),где а ——заданная произвольная постоянная, тогда "
116 =6 =0100100 м1оо0 м1оо
1
1
6 =
6 =
0
1
0
0
1
0
0 м
1
о
о
0 м
1
о
о
"0
-|cos(a£)
一表S山（威）
-|cos(at)
^ cos(at)
0
-cos(a力)
；sin(at)
必⑴=
V N
表 sin(a"
i cos(at)
0
-^ cos(ait)
i cos(at)
—表 si11®)
；cos(at)
0
Выберем матрицу производящих векторов Крылова в виде
тогда получим следующую матрицу управляемости Крылова
"1
0
—表 sin(cU)
-^ cos(af)
0
1
0
0
Ж(^)=
=[В,ОВ]=
1
0
表 sin(af)
i COS(Q力)
0
0
cos(a 力)
—表 sin®)
с определителем
det W(t) = — sin2(af) 一 cos2(af) =
Непосредственной проверкой можно убедиться, что матрица, обратная матрице управляемости, имеет вид
-1
0
1
ом
2
2
0
1
0
0
WT⑴=
一表 sin（a力）
0
表 sin(a"
COS(Q 力)
_— cos(a 力)
0
cos(a 力)
一，^S山（0十）_
Вычислим матрицу коэффициентов Крылова
W)=
二_WT ⑴[026]=
22
010
-^^ sin(a力) 0^^ sin(a力)
_— cos(a 力)0cos(a 力)
О
О
х
cos(af)
—д/2 sin(at) _
_| + 贡 cos(Q“ -^ sin(Q力)
О "—v^ ОО "—v^ Оcos®) sin(at)
О "
—v^ О
О "
—v^ О
asin(a力)cos(af)
v2
Нетрудно видеть, что в рассматриваемом случае матрицы Ж(t), W^1^), Ж(f) определены, непрерывны и ограничены, т. е. преобразование ки~ нематического подобия с матрицей управляемости Крылова является ляпуновским. Тем самым, рассматриваемая система приводима по Ляпунову.
2°. Обратная задача (задача параметрического синтеза). Выберем матрицу производящих векторов Крылова в виде
В =В =02 石202 石2
В =
В =
02 石2
02 石2
где 后2, ®2 — единичная и нулевая матрицы размера 2x2 соответственно. Тогда получим следующую матрицу управляемости Крылова
РИ = [B,DB]=РИ = [B,DB]=s к1一2 1一2s к1一2 1一2
РИ = [B,DB]=
РИ = [B,DB]=
s к1一2 1一2
s к1一2 1一2
KS」】石2—2$т е2KS」】石2—2$т е2Ж"1 =Ж"1 ="=—『亦б=—"=—『亦б=—Т KS^KS +Т KS^KS +KS」1 Е2 "KS」1 Е2 ".5 s к1- 2.5 s к1- 27s7s•к1- 21- 4+1-4•к1- 21- 4+1-4•к1- 21- 4+1-4•к1- 21- 4+1-4KS — $тKS — $т.5.5
KS」】石2
—2$т е2
KS」】石2
—2$т е2
Ж"1 =
Ж"1 =
"=—『亦б=—
"=—『亦б=—
Т KS^KS +
Т KS^KS +
KS」1 Е2 "
KS」1 Е2 "
.5 s к
1- 2
.5 s к
1- 2
7
s
7
s
•к
1- 2
1- 4
+
1-4
•к
1- 2
1- 4
+
1-4
•к
1- 2
1- 4
+
1-4
•к
1- 2
1- 4
+
1-4
KS — $т
KS — $т
.5
.5
Нетрудно видеть, что обратная к ней матрица в условиях det S * О имеет вид
Найдем матрицу коэффициентов Крылова
k(s^ks — s—10)十：(к + S)(K _ s) _ ^ N
что позволяет условия приводимости по Ляпунову рассматриваемой системы записать в виде
_色=const = — J K(STKS — S^S)十；(К 十 S)(K — S) — ^ N,
—伉=const = S~i/CS — S^1 S.
Принимая во внимание, что
S—KS = К =丄 KS?
P
(проверяется непосредственной подстановкой), полученные условия приводимости можно переписать в альтернативной форме
—：Н + ；S2 — ^巾=Q,
4Лр42
к —丄 s6 = C2,
р
где G, Q ——произвольные постоянные матрицы чисел.
Поскольку полученная система уравнений трудно формализуема, приведем возможные условия, при которых эта система обращается в совместные тождества.
2°-а）. Пусть 必2 = cos（a力）， ^з = sin（a力），где a = const. Тогда p = = sin?（a力）+ cos?（a力） = 1, т. e. второе из вышеприведенных уравнений обращается в тождество при wi = —а + С2 = const, а именно:
S =S =cos（at）sin（a 力）cos（at）sin（a 力）sin（at）—cos（at）sin（at）—cos（at）今6 = a今6 = a—sin（a 力）cos（at）—sin（a 力）cos（at）cos（a 力） sin（a"cos（a 力） sin（a"今今今S S =今S S =ооаОаО1 "今K——SS =p1 "今K——SS =p3131О+ aО+ a—®1 — aО—®1 — aОС2С2о=constо=const—С2 = ConstО—С2 = ConstО
S =
S =
cos（at）
sin（a 力）
cos（at）
sin（a 力）
sin（at）
—cos（at）
sin（at）
—cos（at）
今6 = a
今6 = a
—sin（a 力）
cos（at）
—sin（a 力）
cos（at）
cos（a 力） sin（a"
cos（a 力） sin（a"
今
今
今S S =
今S S =
о
о
а
О
а
О
1 "
今K——SS =p
1 "
今K——SS =p
31
31
О
+ a
О
+ a
—®1 — a
О
—®1 — a
О
С2
С2
о
=const
о
=const
—С2 = Const
О
—С2 = Const
О
Принимая во внимание, что
Н =Н =О31О31—®1О—®1ОО31О31—®1О—®1О—田О—田О00ks2 =ks2 =О^1О^1Cdl оCdl оО—аО—ааОаОau?iОau?iООatuiОatui
Н =
Н =
О
31
О
31
—®1О
—®1О
О
31
О
31
—®1О
—®1О
—田
О
—田
О
0
0
ks2 =
ks2 =
О
^1
О
^1
Cdl о
Cdl о
О
—а
О
—а
а
О
а
О
au?iО
au?iО
Оatui
Оatui
наложим условия, при которых первое из полученных уравнений также обратится в два тождества и все три тождества будут совместны:
202022ООоо1212++0000"14О"14ООО1414Сц = constС12 = ConstСц = constС12 = ConstОО工力1 2О工力1 2О—Cl2Сц—Cl2Сц=const=const=const=const
20
20
2
2
О
О
о
о
12
12
+
+
0
0
0
0
"1
4
О
"1
4
О
О
О
1
4
1
4
Сц = const
С12 = Const
Сц = const
С12 = Const
О
О
工力1 2
О
工力1 2
О
—Cl2
Сц
—Cl2
Сц
=const
=const
=const
=const
Нетрудно видеть, что скалярная запись полученного матричного выражения эквивалентна двум выражениям:
си 1 ^= 2c12 -―> примем С]2 ^= 0 —> 6dl ^= 0 —> си^ ^= const,
彳 Cdj 十 J 0^1 -彳=Сц 今 Ldj 十 2ttWi - 1 - 4сц = 0 今
今2 = _a ±，a2 + 1 + 4cli.
Анализ полученных выражений показывает, что условие совместности указанных выше тождеств можно записать в виде
土，a2 + 1 + 4cli =e2・
Полученный результат согласуется с приведенными выше сведениями из линейной алгебры, касающимися вращения (в нашем случае с постоянной угловой скоростью) и дилатации.
2°-б). Пусть 必2 = sin(af), W3 = cos(o力)，где а = const. Тогда р = =sin"(о力)+ со$2(о力) = 1, т. е. второе из вышеприведенных уравнений обращается в тождество при wi = а + С2 = const, а именно:
2020
20
20
S =
sin(at)cos(a力)今 gcos(at) — sin(a" 今
cos(a" — sin(at)— sin(a" — cos(at)
a 0 Jp— a0
О — С2 = const
С2 = const О Принимая во внимание, что
/丁2o —LUl0—LU1—LUj0
®i 0®100—J；'
30—0 —a—0
tui0a00—。3工
наложим условия, при которых первое из полученных уравнений также обратится в два тождества и все три тождества будут совместны:
LUi 0 一1О41 • +21О — Cf 10— —LUi 0 一1О41 • +21О — Cf 10— —I 0 I г 0力：/
LUi 0 一1О
41 • +21
О — Cf 10— —
LUi 0 一1О
41 • +21
О — Cf 10— —
42
О J [ о
Сц = const —С12 = const
С12 = const Сц = const
Нетрудно видеть, что скалярная запись полученного матричного выражения эквивалентна двум выражениям:
wi = 2ci2 今 примем ci2 = 0 今 di=0 今 wi = const,
:cu； - ™ owi - ： = сц 今 - 2awi - 1 - 4сц = 0 今
今 ^ii,2 = о ± \/а2 + 1 + 4сц.
Анализ полученных выражений показывает, что условие совместности указанных выше тождеств можно записать в виде
土，02 + 1 十 4qi = C2,
как и в случае примера 2°-а).
2°-в). Пусть ш 2 = sin(o力)，^3 = sm(bt),r^e anb ——заданные константы. Тогда р = sin"(о力)十 sin?(b力)* Для взаимно однозначного соответствия между исходной и приведенной системами необходимо, чтобы матрица управляемости Крылова была невырожденной, для чего должно выполняться неравенство р ^ 0. Ясно, что при таком выборе W2, шз тригонометрическое неравенство sin" (о力)十 sin?(6力)* 0 при a ^ 仇力〉0 выполнимо, поэтому приведенные выше случаи приводимости для данного набора производящих векторов Крылова исчерпывают все возможные случаи.
5.2.3. П-приводимость
Покажем, что приводимость по Ляпунову можно интерпретировать как условие существования предельных циклов в системах общего вида (5.1).
Введем определение.
Определение 5.4. Будем называть систему (5.1) общего вида Неприводимой, если гомеоморфным преобразованием (5.3) она приводится к форме Крылова-Люенбергера с коэффициентами Крылова, подчиненными равенствам
[九 1(〃 力)]=0,[九2(〃 力)]=1,[hn^i(v, t)] = ^^, Е = 0,几一 3)
_(5*4)
которые означают, что матрица [Р(и,力)]системы в форме Крылова-Люен™ бергера является кососимметрической (иначе, теплицевой матрицей, у которой наддиагональные элементы равны минус единице, поддиагональные элементы равны единице, а все остальные элементы ——нули):
0—10 ...00 ~
10 —1 …00
［戸（〃方）］=［戸（〃方）］=01 о оо
［戸（〃方）］=
［戸（〃方）］=
0 0 0 - 0 —1 О О О . . . 1 о .
Сформулируем теорему.
Теорема 5.3. Среди решений системы уравнений (5.1) общего вида имеется предельный цикл, гомеоморфный гиперсфере, если w только если эта система Неприводима.
Доказательство. Необходимость. Пусть среди решений системы (5.1) имеется замкнутая гиперповерхность второго порядка с несмещенным центром. Следовательно, существует топологическое пространство, отличное от исходного пространства переменных этой системы, в котором данная гиперквадрика с несмещенным центром непрерывно деформируется в гиперсферу. Без потери общности в качестве такого пространства можно взять подпространство Крылова, образуемое вектором состояний системы в форме Крылова-Люенбергера. Гладкий гомеоморфизм рассматриваемых пространств задается равенством (5.3). В деформированном пространстве переменных у eRn (по сравнению с исходным пространством переменных
ж G Rn) носителями информации о предельном цикле являются коэффициенты Крылова hi，Но если исходная система обладала предельным циклом, то для деформированной системы, каковой является система с матрицей (5.5), эти коэффициенты не могут быть ничем иным, как определяемыми равенствами (5.4), поскольку иного представления гиперсферы в пространстве, определяемом коэффициентами Крылова, как следует из леммы 1.1, нет.
Достаточность. Пусть исходная система (5.1) гладким гомеоморфным преобразованием (5.3) приведена к форме Крылова-Люенбергера. При этом необходимые условия существования предельного цикла в виде гиперсферы могут быть записаны согласно (5.4). Поскольку равенства (5.4) можно рассматривать в общем случае как систему дифференциальных уравнений (в частном случае, алгебраических уравнений), коэффициенты Крылова которой для каждого уравнения (5.4) имеют уникальное символьное представление, то достаточным условием существования предельного цикла для исходного уравнения (5.Г) будет существование решений (корней) уравнений (5.4), отвечающих условиям совместности. Теорема доказана.
Пример 5.4. Рассмотрим систему (5.1) размерности п = 3, задаваемую следующей матрицей:
[P® 方)]=[P® 方)]=ОCOS Ж1—sin Ж1ОCOS Ж1—sin Ж1—[а(ж,力)]sin Ж1О1 — Ж1—[а(ж,力)]sin Ж1О1 — Ж1—[а(ж,力)]cos Ж1—1 + Ж1О—[а(ж,力)]cos Ж1—1 + Ж1О
[P® 方)]=
[P® 方)]=
О
COS Ж1
—sin Ж1
О
COS Ж1
—sin Ж1
—[а(ж,力)]sin Ж1О
1 — Ж1
—[а(ж,力)]sin Ж1О
1 — Ж1
—[а(ж,力)]cos Ж1
—1 + Ж1О
—[а(ж,力)]cos Ж1
—1 + Ж1О
Зададимся производящим вектором Крылова в виде В = со1[1,0, 0], тогда
[И/(ж,力)]=[И/(ж,力)]=1000 cos Ж1 sin Ж10— sin Ж1 cos Ж11000 cos Ж1 sin Ж10— sin Ж1 cos Ж1det[l¥(ж,力)]=1.det[l¥(ж,力)]=1.
[И/(ж,力)]=
[И/(ж,力)]=
100
0 cos Ж1 sin Ж1
0— sin Ж1 cos Ж1
100
0 cos Ж1 sin Ж1
0— sin Ж1 cos Ж1
det[l¥(ж,力)]=1.
det[l¥(ж,力)]=1.
Г 01 Г0"
026=[p(出 ")]COS Ж1 —— sin Ж1Ж1
sin Ж1cos Ж1Ж1
Г 01 Г0"
D^В = [P(z)力)] sin Ж1 —cos Ж1 x 亦1= ■
cos Ж1— sin Ж1 x Ж1
百0м
= sin Ж1 , COS Ж1
"—[a(M)厂
——COS Ж1
sin Ж1
DB =
0
COS Ж1
—sin Ж1
Выполним замену переменных по формуле (5.3) с матрицей управляемости
При этом матрица, обратная матрице управляемости, будет иметь вид
100
0cos Ж1— sin 犷 I
0sin Ж1cos Ж1
Вектор коэффициентов Крылова найдем по формуле
[Н(ж, t)] = —[И/ 1 (ж, t)]D^В =
1 ОООcos Ж1— sin 犷 IОsin Ж1cos Ж11 ОООcos Ж1— sin 犷 IОsin Ж1cos Ж1-[«(ж Л)]—COS Ж1 sin Ж1-[«(ж Л)]—COS Ж1 sin Ж11о1о
1 ОО
Оcos Ж1— sin 犷 I
Оsin Ж1cos Ж1
1 ОО
Оcos Ж1— sin 犷 I
Оsin Ж1cos Ж1
-[«(ж Л)]
—COS Ж1 sin Ж1
-[«(ж Л)]
—COS Ж1 sin Ж1
1о
1о
В соответствии с формулой
у = "3 力)]—%,
полученной из (5.3), находим, что справедливы следующие равенства:
У2 =优2 COS 优 1 —优3 sin Ж1, Уз =优2 sin Ж1 + Жз COS Ж1,
откуда следует, что для всякого
г /夕2 Ж2 cos Ж1 - Жз sin Ж1
a(Х 力)=_=:1
夕3 Ж2 Sin Ж1 + Жз COS Ж1
выполнены все условия теоремы 5.3, т. е. среди решений рассматриваемой П~приводимой системы имеется замкнутая гиперповерхность второго по™ рядка, гомеоморфная гиперсфере.
Пример 5.5. Рассмотрим классический пример из монографии [7]:
J Ж1 =一①1(优:十优:一1) 一 ж2,
I 亦2 =①1 -①2(优;十优^ - 1).
Известно, что предельным циклом для этой системы уравнений является окружность единичного радиуса ж|+ ж| = 1. В [17] этот факт доказывается путем перехода от исходных декартовых координат к полярным и последующего интегрирования полученных уравнений. Докажем это на основе теоремы 5.3.
Выберем следующий производящий вектор Крылова:
[60/)]=[60/)]=
[60/)]=
[60/)]=
тогда матрицу управляемости гомеоморфного преобразования (5.3) получим в виде
0- exp 1 (ж| + ж| - l)dr^
[И/(ж, t)]=
0
exp (一 ] (ж| + ж! - 1)d丁)0
_о_
det[W/(ic,t)]= ( ехр(™ (ж| + ^2
2*0 У(Ж1, ж2),2*0 У(Ж1, ж2),о
2
*0 У(Ж1, ж2),
2
*0 У(Ж1, ж2),
旧(优)力)]=[Ж^1(ж, t)D2В(х^ f)]=旧(优)力)]=[Ж^1(ж, t)D2В(х^ f)]=八2（%力）ht^X,力）八2（%力）ht^X,力）1010откуда находим следующие коэффициенты Крылова, вычисленные по формуле
旧(优)力)]=[Ж^1(ж, t)D2В(х^ f)]=
旧(优)力)]=[Ж^1(ж, t)D2В(х^ f)]=
八2（%力）
ht^X,力）
八2（%力）
ht^X,力）
1
0
1
0
Таким образом, выполнены все условия теоремы 5.3, т е. среди решений рассматриваемой П-приводимой системы имеется замкнутая кривая второго порядка, которой является окружность.
Пример 5.6. Поскольку ни один из методов анализа существования предельных циклов не может обойтись без рассмотрения уравнения Ван- дер~Поля (1926 г.), рассмотрим это уравнение, записав его как систему в форме Коши:
I 亦2 =一①1 + O(1 -优;)①2
(здесь а > 0 ——постоянный параметр возбуждения системы).
Традиционно эта система исследовалась путем либо непосредственного интегрирования, либо с помощью различных приемов линеаризации. В зависимости от числового значения параметра а аппроксимированные решения этого уравнения находились либо методами усреднения, либо методами аппроксимации периодического решения.
Исследуем уравнение Ван~дер~Поля с помощью математического аппа™ рата производящего вектора и коэффициентов Крылова.
Выберем производящий вектор Крылова в виде
[В(ж,力)]=col[0, г], г = const * 0,
тогда матрица управляемости примет вид
"(“)]="(“)]=0 —т—『 一ох(1 — Ж1)0 —т—『 一ох(1 — Ж1)
"(“)]=
"(“)]=
0 —т
—『 一ох(1 — Ж1)
0 —т
—『 一ох(1 — Ж1)
а система уравнений (5.4) для условий существования предельного цикла, записанных с помощью коэффициентов Крылова,——вид
J 1 — 2优1 亦1 = 1,j - 若)=0.
Нетрудно видеть, что при 优 ^ = ± 1 уравнения этой системы обращаются в тождества, что является достаточным признаком существования предельного цикла у исходного уравнения Ван~дер~Поля.
Условия (5.4) можно усилить:
期(X 方)]=0,
[九2(伤力)]=С2,
(5"6)
[hn^i(x,力)]=Сi = a 几—3)
где Cj, г = 2, п,заданные положительные константы.
Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 5.4. Пусть исходная система (5.1)
х = [F(v, ^)]ж, х е Rn, t е [0, оо),力о》& 优(力о)=窃
Неприводима с коэффициентами Крылова, удовлетворяющими условиям (5.6). Тогда среди ее решений имеется предельный цикл, гомеоморфный гиперсфере со смещенным центром.
Доказательство. В условиях (5.6) скалярная запись системы уравнений в форме Крылова-Люенбергера имеет вид:
力=-спу2,
Ui = yi-T -б2-2+1%+1,0= 2)П 一 1,(5*7)
Уп = Un-1"
Умножая обе части каждого уравнения системы (5.7) на y^d力(где индекс j совпадает с номером того уравнения, в отношении которого проделывается данная операция), получим
yidyi = -Cny^dt,
Vidyi =(仇仇—1 一 Cn^i^yiyi^dt, г = 2,几 一 1,
Уn,dyпУпУп—idt■
Складывая все уравнения полученной системы, находим
〉：V»dyi =〉： (1 —
i = lг=1
откуда после интегрирования в пределах от 力0 до t следует
УtУ =沙丁(方 。)д(力 。) - 2DT(t)y + 207(力)贝方 J, (5.8)
где интегралы с переменным верхним пределом в правой части полученного равенства заменены обозначениями их первообразных функций в виде второго и третьего слагаемых.
Методами аналитической геометрии можно показать, что при условии
УТ(^У^ + 207(力О)贝力О) > 0
уравнение (5.8) описывает гиперсферу со смещенным центром.
Теорема доказана.
5.3. Второй метод Ляпунова)
Альтернативу первому методу Ляпунова составляет второй метод, в основе которого лежит понятие функции Ляпунова V(ж, f), которая:
является действительной функцией действительных переменных ж е G ЯПЛ е [0,оо);
определена в области ||ж|| < Н (Ж = const > 0) и является в этой области однозначной и непрерывной функцией, удовлетворяющей условиям ):
О)на 力)=о；
V _ 1/(伤力)〉0.
方〉0,虞片0
Основу второго метода составляют три теоремы Ляпунова.
Теорема 5.5 (об устойчивости). Для того, чтобы тривиальное решение системы (5.1) было устойчиво по Ляпунову, достаточно^ чтобы существовала функция Ляпунова, полная производная по времени от которой, составленная © силу уравнения (5.1), неположительна.
Теорема 5.6 (об асимптотической устойчивости). Для того, чтобы тривиальное решение системы (5.1) было асимптотически устойчиво по Ляпунову, достаточно, чтобы существовала функция Ляпунова, полная производная по времени от которой, составленная 6 силу уравнения (5.1), отрицательно определена.
Теорема 5.7 (о неустойчивости). Для того, чтобы тривиальное решение системы (5.1) было неустойчивым по Ляпунову, достаточно, чтобы существовала функция Ляпунова, полная производная по времени от которой, составленная © силу уравнения (5.1), положительно определена.
Определение 5.5. Будем говорить, что функция Ляпунова Ж (ж,力)является знакоопределенной (положительной, отрицательной, неположительной, неотрицательной), если она удовлетворяет следующим неравенствам соответственно:
Ж(жЛ) > 0, Ж(жЗ) < 0, Ж(жЗ) ^ О, 力)》О"
Доказательство теорем Ляпунова основано на понятиях монотонно возрастающей и монотонно убывающей функций (две возможные альтернативы поведения расстояния изображающей точки до начала координат), первые производные от которых являются соответственно положительной и отрицательной функциями. Это означает, что на плоскости точка, изображающая систему, либо удаляется от начала координат, либо притягивается к нему. Равенство нулю первой производной от функции Ляпунова означает, что изменения расстояния до начала координат не происходит.
Если функцию Ляпунова для системы (5.1) выбирать в виде квадратичной формы
[^(ж, t)] = xT[A(v,t)]x,
то после ее дифференцирования в силу уравнения (5.1) по правилу дифференцирования сложной функции
^ [У(ж,力)]=xT[A(v, t)]x + хТ[А(1^ 方)]① + хт[А(1^ 方)]亦
необходимое и достаточное условие асимптотической устойчивости тривиального решения уравнения (5.1) с единственным состоянием равновесия в начале координат будет состоять в существовании симметрической положительно определенной матрицы [4(管)力)],удовлетворяющей матричному уравнению Ляпунова
[4〃 力]+ НО,力/(% 力]+ [PT(v,力4(% 力]=一[Q(〃 用(5*9)
при граничном условии
[4(〃 оо)] = On,
где 0П ——нулевая матрица размера п х п, при заданной матрице [Q(v, ^)], удовлетворяющей условию
[*(%£)] = —xT[Q(v, t)]x < 0.(5.10)
Отметим, что без потери общности в качестве матрицы [Q(v, t)] можно принять матрицу [Q(管/)] = [Q：(%±)] х [Q^v, t)], где [Qi(X 方)]е Rn. Тогда условие (5.9) можно записать в виде
V」Q：(〃閉①护0(5」1)
(здесь [Q，(v,方)]① ——билинейная форма или скалярное произведение двух разных векторов одинаковой размерности).
Определение 5.6. Будем говорить, что функции ж^, i = 1, п, линейно независимы, если равенство £ о х ①分=0, где c-i, i = 1^ п,——некоторые постоянные, выполняется только в случае выполнения условия V Ci = 0.
Аналогичное определение можно дать в отношении компонент вектора [Qi(^3)].
В свете определения (5.6) неравенство (5.11) можно рассматривать как своего рода определение: либо линейной независимости функций х.^, в котором постоянные заменены соответствующими компонентами вектора- строки [Qf(V, ^)], либо линейной независимости компонент вектора- строки [Qf(V, ^)], в котором постоянные заменены соответствующими функциями Xi，Сказанное следует из коммутативности билинейной формы по отношению к образующим ее векторам, т. е* [Q,(v, t)]x = a;T[Qi(v, t)].
Формализовать условие (5.11) линейной независимости компонент каждого из векторов рассматриваемой билинейной формы можно посредством следующей математической конструкции:
(酬(也切#⑴，(5/2)
м ([Qf(也閉z)St)м сконструированной в силу уравнения (5.1), введя в рассмотрение следующий дифференциальный оператор:
N = ^^En + [P(v,t)](5*13)
(здесь (•)——символ левостороннего умножения).
С учетом (5.12) линейная независимость (5.11) компонент каждого из векторов рассматриваемой билинейной формы может быть формализована неравенством
Г [Q工™
口館⑺]где [n(v, f)] = [Qi(v,t)]N ,
которое выполняется при условии
rank[n(v,力)]=п(5.14)
(здесь Еп ——единичная матрица размера п х п). В дальнейшем матрицу [П(г;, t)] будем называть матрицей наблюдаемости.
В случае стационарных линейных систем матричное уравнение Ляпунова является алгебраическим:
AP^PTA = ^Q,
в случае нестационарных линейных систем ——дифференциальным:
力⑴ + 4⑴ Р⑴ + PT(t)A(t) = —Q ⑴，4(oc) = 0n,
в случае нелинейных систем с сосредоточенными параметрами (v = ж)—— функциональным, а в случае систем с распределенными параметрами —— операторным.
Условия, при которых эти уравнения обращаются в тождества, получены в работах [26, 27]. Приведем эти условия.
Без потери общности будем полагать, что матрица [F(v,力)]в уравнении
(5.9) имеет форму Фробениуса
"010…0『
0010
[P(v.t)]=
000…1
_ —а?2(〃"一—1(也力) —2(о,力) …—M(q 力)_
Ляпуновское преобразование, описывающее переход к этой форме, приведено в главе 3.
Если ввести в рассмотрение некоторые функции [⑦(％£)], i = 1», обозначающие элементы правого столбца матрицы [4(v, t)]:
[@£п(〃％)]=[夕п —£ + 1 (〃 ％)]〉
то остальные элементы этой матрицы в условиях заданной матрицы [Q(管,力)]можно выразить согласно формуле )
[a—(%切=£( - 1 尸七32里;丁 (2)]+
v=0
k В —
+ ££ —0?—万[(夕勿+? + 1a户+1 + 夕户+1a4+7+1 一 6=0 7=0
—0-"『『户)产—户r)(% t\ i = Т^Т, к = ЩТ^Х (5.15) доказанной методом математической индукции (где С/ обозначает число сочетаний из г по J, а верхние индексы в скобках обозначают порядки производных по времени). Отметим, что при г < 1 или г > п в приведенной формуле следует полагать равными нулю [夕Т(管)力)]и [аt(管，力)] соответственно.
В дальнейшем сконструированное таким образом матричное уравнение Ляпунова будем называть матричным тождеством Ляпунова.
Своеобразный синтез классических определений устойчивости по Ляпунову и обобщений В. В. Румянцева [31] на устойчивость по части переменных выполнил В. Д. Фурасов, давший определение (г, s)-устойчивости.
В соответствии с определением В. Д. Фурасова невозмугценное движение (5.1) будем называть (г, s')-устойчивым, если для любого числа ^ > 0 может быть указано число 6〉0 такое, что оценки
|жДж0,力)1 <7 5 = 1° t > to,
и соотношение
\xj(xQ, t)|0, j = 1, s, s ^ (r, t) oo,
выполняются на всех движениях (5.1), начинающихся в области ||жо|| < S.
Такое определение можно интерпретировать как обобщение соответствующих частных определений устойчивости. Например, (п, 0)-устойчивость ——это устойчивость по Ляпунову,(簿° ?г) -устойчивость ——это асимптот ическая устойчивость, (г, 0)-устойчивость ——это устойчивость по части переменных, (г, г) -устойчивость ——это асимптотическая устойчивость по части переменных и, наконец, (0,0) -устойчивость — это неустойчивость.
Матричное тождество Ляпунова
Пусть введенные в рассмотрение функции [夕勿(v, t)], i = 1, n, подчинены равенствам
-для нечетных г: [^Дг;, t)] = [аДг;, t)],
-для четных г:[夕4(管,力)]=О, а матрица [Q(w t)] имеет вид
[Q(v,t)] = 2[R(VJ)RT(v,t)l 坦(у)] е Rn.
где
[Я(^, t)] = col[. . . , &7(管，f), 0,仪5(〃 f), 0, a；3(v, t), 0, ai(v, t)].
Выпишем матрицы [4(〃 f)] и [П(г;, t)], соответствующие матричному тождеству Ляпунова для различных п.
1°. Случай п = 1:
[4(〃切=汝1], [口(% 力]=汝1].
2°. Случай п = 2:
НСм)]=
«1«2 0
0 "
СП
,[口(%力]=
一 0
—сна?
— а彳 + di
3°. Случай
п ：
=3:
[44 切=
Нз + a2aз
—&з
аз
—&заз
a1a2 - аз 0
0&1
二 RTN
где
RT 二[«з,о, «1],
尺тУу = [一a1a3 + &3)a3 - a1a2, 一a； + &1],
"丁n2 = [_[_a； + Ql]a3 + [一a1a3 + 内3]⑴ 7
一a1a3 + &3 — [—Q； + g1]a2 + 汝3 — a1a2](")
и так далее.
Сведем в табл. 5.1 условия асимптотической устойчивости по Ляпунову, состоящие в положительной определенности матрицы [4(管,t)], и условия расположения корней в левой полуплоскости, вытекающие из критерия Гурвица (для стационарных линейных систем).
Отметим, что матрица [4(管,力)]является положительно определенной, если все главные миноры этой матрицы положительны (критерий Сильвестра).
Таблица 5.1
Порядок системы
Матричное тождество Ляпунова (общий случай)
Матричное тождество Ляпунова (стационарный случай)
Критерий Гурвица
п = 1
Ai = «1 > 0.
△1 = «1 > 0.
△1 = «1 > 0.
п = 2
△ 1 =a102 > 0, △ 2 = a1a2 > 0.
△1 = 0102 > 0, △ 2 =a氧2 > 0.
△1 = «1 > 0, △ 2 = »1a2 > 0.
п = 3
Ai = («з + aza?) > 0, △2 = («3 + «2«3)Х х (спа? - а?) - Q； > 0, а3 =(一a3 + »2a3)X x(aia2 —- аз)。] — _91a2 — aз)а； 一
— а1(&з)2 > 0.
Ai = «2^3 > 0,
△2 = a2a3(aia2 — — аз) > 0, Аз = а^а2a3(ai&2 — —аз) — (спа? — аз]а^ = =аз(а1О；2 — а?) > 0.
Ai = «1 > 0,
△3 = аз(а1а2 —
— аз) > 0.
Нетрудно видеть, что в случае стационарных линейных систем условия асимптотической устойчивости по Ляпунову, получаемые на основе матричного тождества Ляпунова, совпадают с условиями Гурвица.
Пример 5.7 (система с распределенными параметрами). Продемонстрируем возможности абстрактной математической модели в анализе устойчивости на примере поперечных колебаний прямой упругой балки с учетом внутреннего сопротивления по Фойгхту из примера (В.2). Для п = 2, как следует из табл. 5.1, эти условия записываются в виде
(管)> 0, a2(管)> 0.
С учетом того, что в параграфе 1.4 операторы &1(管)，а2(^) наделены знаковыми признаками, анализ асимптотической устойчивости рассматриваемой балки не вызывает затруднений.
Пример 5.8 (нестационарная линейная система). Рассмотрим нестационарное линейное дифференциальное уравнение Л. Эйлера n-го порядка
dn^z 1dlz
2 d2/dz
• • • + @71 — 2土— l+ anz =
at,at
где ai. i = 0, n,——заданные постоянные.
Известно, что при помощи гомеоморфной замены независимой переменной t = exp 丁 (t > 0), откуда следует V т = In f, это уравнение на t>o
основании равенств
1 dP dr1 dP dr
1 d
P dr
1 d
P dr
приводится к уравнению с постоянными коэффициентами в области независимой переменной т.
Будем полагать, что корни соответствующих уравнений с постоянными коэффициентами являются кратными и равны —1, т. е. имеет место асимптотическая устойчивость по Ляпунову уравнения с постоянными коэффициентами.
Покажем, что матричное тождество Ляпунова для аналогичных уравнений с переменными коэффициентами дает аналогичное заключение.
Выпишем стационарное и нестационарное уравнения Эйлера с соответствующими им коэффициентами @勿,分= 0, п, а также матрицу [4(v, t)] из матричного тождества Ляпунова:
при п = 1
生 + 2 = & 奢 + }/ = & НО” = [«1] => 0,
атat tL t J
где а。= @i = 1;
при n = 2
d产十丁十4 —5 小2十力山十一
И(^л)]=И(^л)]=01020102Оа工Оа工Д °о 3tД °о 3t3力зО3力зОоогде а。—■ 1, @i —■ 3, @2153) при п = 3где а。—■ 1, @i —■ 3, @2153) при п = 3万3 +a2a3一g3аз万3 +a2a3一g3аз+ n = а+ n = а[&4 制=[&4 制=—&зa1a2 — азО—&зa1a2 — азОазО =спазО =сп一一一一1-Fo 6-力1一"3-产一 g2-34 一方+ 3一步1一拦7F1-Fo 6-力1一"3-产一 g2-34 一方+ 3一步1一拦7F一一一一3_t4^F о 19F3一长1一严3_t4^F о 19F3一长1一严1 IFО1 IFО
И(^л)]=
И(^л)]=
0102
0102
О
а工
О
а工
Д °
о 3
t
Д °
о 3
t
3力з
О
3力з
О
о
о
где а。—■ 1, @i —■ 3, @215
3) при п = 3
где а。—■ 1, @i —■ 3, @215
3) при п = 3
万3 +a2a3
一g3
аз
万3 +a2a3
一g3
аз
+ n = а
+ n = а
[&4 制=
[&4 制=
—&з
a1a2 — аз
О
—&з
a1a2 — аз
О
аз
О =
сп
аз
О =
сп
一一
一一
1-Fo 6-力
1一"
3-产一 g
2-3
4 一方
+ 3一步1一拦
7F
1-Fo 6-力
1一"
3-产一 g
2-3
4 一方
+ 3一步1一拦
7F
一一
一一
3_t4^F о 19F3一长1一严
3_t4^F о 19F3一长1一严
1 I
F
О
1 I
F
О
где а。 —• 1 字 @i —• 6字 @27亨 @з 1 *
Из полученных соотношений видно, что для всякого 方〉0 условия критерия Сильвестра выполняются. Для п = 1,2 это наглядно демонстрирует запись соответствующей матрицы, а в случае п = 3 результаты вычислений
подтверждают неравенства
19 > 0 硒〉о 4620^Х.41^54=4525>0
Замечание. Факт существования уравнения Эйлера свидетельствует о том, что имеется целый класс уравнений с переменными коэффициентами, которые заменой независимой переменной (времени) приводятся к уравнениям с постоянными коэффициентами. В отличие от приводимости по Ляпунову, которая связана с гомеоморфной заменой вектора состояний, приводимость, связанную с гомеоморфной заменой независимой переменной, будем называть приводимостью в смысле Эйлера. Единство пространства и времени учитывают пространства типа Минковского, Лоренца и т. д. Поэтому совокупность обоих преобразований исчерпывает необходимый инструментарий для исследования этого единства.
Пример 5.9 (нелинейная система). Рассмотрим нелинейное уравнение Льенара
n + ai[z)z + n = 0.
Известное условие асимптотической устойчивости решения этого уравнения [2] состоит в выполнении неравенства &i (n) > 0. Матричное тождество Ляпунова, описанное в этом параграфе, дает результат, совпадающий с этим условием.
Анализ орбитальной устойчивости
Постановка задачи и вспомогательные сведения
С формулируем задачу: пусть дана нелинейная система
ж 二[Р(ж,力)]ж € Яп, t е [0, оо), ж(^о)二 жо, to 0, (5.16) где ж ——вектор состояний; жд ——вектор начальных условий; [Р(х, t)]—— заданная функциональная матрица. Предположим, что для этой системы существует предельный цикл.
Требуется ответить на вопрос: является ли он аттрактором (траектории с обеих сторон наматываются на предельный цикл), репеллером (траектории с обеих сторон сматываются с предельного цикла) или полуустойчивым предельным циклом (траектории с одной стороны наматываются на предельный цикл, а с другой сматываются)?
Для ответа на этот вопрос воспользуемся классическими в качественной теории динамических систем определениями орбитальной устойчивости, предложенными Н. Е. Жуковским и относящимися к фазовой плоскости (п 二 2).
Итак, пусть р(ж, С)——минимальное евклидово расстояние от точки ж до некоторой замкнутой кривой С.
Определение 5.7. Замкнутая траектория С системы (5.16) орбитально устойчива, если для любого ^ > 0 существует 6(е,力о) > 0 такое, что всякое решение x(t) системы с условием р(ж(^о), С) < 6 удовлетворяет неравенству V 夕⑴，С) < 伍
t>t0
Определение 5.8. Замкнутая траектория С системы (5.16) орбиталъно асимптотически устойчива, если:
она орбитально устойчива;
для всех траекторий, достаточно близких к С, верно p(x(t^ С) f О при 力 f ОС.
Поскольку, в общем случае, предельные циклы представляют собой замкнутые гиперповерхности второго порядка, содержащие в себе целиком фазовые траектории системы (определения 1.5, 1.6), или, другими словами, инвариантные множества, то запишем предложенные В. И. Зубовым [14] соответствующие аналоги определений Н. Е. Жуковского для инвариантных множеств.
Определение 5.9. Инвариантное множество М системы (5.16) устойчиво. если для любого £ >0 существует 5(^, t0) > 0 такое, что всякое решение x(t) системы при p(a?(t0), М) < 6 удовлетворяет неравенству V p(x(t). М) < £.
Определение 5.10. Инвариантное множество М системы (5.16) асимптотически устойчиво, если:
оно устойчиво;
для всех траекторий, достаточно близких к М, имеем p(x(t^ М) т 0 при 力 f ОС.
Сделаем следующее замечание: любая замкнутая гиперповерхность М делит пространство на два множества, Е," и Е^1, для первого из которых она является замыканием ). Поэтому все фазовые траектории в силу теоремы о единственности лежат целиком в одном из этих множеств. Ниже мы всегда будем уточнять, в каком из этих множеств лежат рассматриваемые нами точки и траектории.
Итак, пусть множество М является предельным циклом. Введем следующие определения.
Определение 5.11. Предельный цикл М системы (5.16) назовем двусторонне орбитально устойчивым, если для любого ^ > 0 существует »(*£()) > 0 такое, что всякое решение ①⑴ системы € 后戸 при p(a?(t0), Af) < 5 удовлетворяет условию p(x(t^ М) < £ для всех 力〉方。 и £ = 1,2.
Определение 5.12. Предельный цикл М системы (5.16) назовем односторонне орбитально устойчивым, если для любого ^ > 0 существует 6(% 扣) > 0 такое, что всякое решение ①⑴ системы € 后戸 при р(ж(^о), Af) < 5 удовлетворяет условию p(x(t), М) < £ для всех 力〉h к £ = 1 (или i = 2), которое не выполняется для £ = 2 (или, соответственно г = 1).
Определение 5.13. Предельный цикл М системы (5.16) является аттрактором, если он двусторонне орбитально устойчив и существует 6〉О такое, что для всякого решения x(t) системы € Е? при p(x(to^ М) < S имеет место p(x(t\ М) f 0 при t оо, г = 1,2.
Определение 5.14. Предельный цикл М системы (5.16) является полу- устойчивым, если он односторонне орбитально устойчив и существует S > > 0 такое, что для всякого решения ①(方)системы € Е『"при р(ж(^о), ^) < < S имеет место p(x(t)^ М) 一 0 при 力 f оо, где £ = 1 (или i = 2).
Определение 5.15. Предельный цикл М системы (5.16) является репеллером, если он не является ни односторонне, ни двусторонне орбитально устойчивым.
В основу исследования устойчивости предельных циклов положим второй метод Ляпунова, хотя изначально данный метод был предложен для решения проблемы устойчивости систем с единственным состоянием равновесия. Вместе с тем, простая интерпретируемость предложенных А. М. Ляпуновым определений и их естественная связь с формализацией, в данном случае предельных циклов, позволяет применять их и для решения поставленной задачи.
Обозначим через Г^ множество точек ж € Е}, для которых выполняется условие p(x(t^ М) W % £ = 1,2;厶汽 一множество точек ж € 后兴， для которых p(z«), М) =仇 Очевидно, что введенные в рассмотрение множества Г^ и 厶勿^ являются ограниченными.
Рассматриваемые ниже функции V(ж, t) в дальнейшем считаем однозначными и непрерывно дифференцируемыми по всем переменным.
По аналогии с классической теорией функций Ляпунова введем следующие определения.
Определение 5.16. Функция У (ж, t) называется знакоопределенной (положительной или отрицательно^ для инвариантного множества М в Г^, если в нем она принимает значения только одного определенного знака («+» или «—») и обращается в нуль на М и только на М.
Определение 5.17. Функция V(ж, t) называется знакопостоянной (题о- ложителъной или отрицательной) для инвариантного множества М в Г^, если в нем она принимает значения только одного определенного знака («+» или «—»)，может обращаться на нем в нуль и равна нулю на М.
Обобщение основных теорем второго методаЛяпунова на случай исследования орбитальнойустойчивости предельных циклов
Используя введенные определения, сформулируем и докажем следующие теоремы, являющиеся аналогами соответствующих основных теорем второго метода Ляпунова. Нетрудно убедиться, что использование понятийного аппарата, введенного в предыдущей главе, позволяет добиться того, что приведенные здесь теоремы фактически являются аналогами соответствующих теорем второго метода Ляпунова.
Пусть М ——предельный цикл динамической системы вида (5.16), тогда справедливы следующие теоремы.
Теорема 5.8 (о двусторонней орбитальной устойчивости). Достаточное условие двусторонней орбитальной устойчивости обобщенного предельного цикла состоит s существовании знакоопределенной (положительной) функции У (ж,力)для М в Г^, г = 1,2, полная производная по времени от которой, составленная, в силу уравнений (5.16), есть функция, знакопостоянная- (отрицательная) для М.
Доказательство. Поскольку М делит фазовое пространство на два «изолированных» множества, то мы можем поочередно рассматривать поведение близких к М фазовых траекторий в Г^ (для г = 1 и г = 2).
Пусть функция V существует и / ——точный нижний предел V на Li* т. е. У(ж, t)》/ на Lie. Так как У > 0 на Li^ по условию и достигает своего нижнего предела в силу своей непрерывности и компактности )Li^,to / > > 0. Рассмотрим множество「16, где 8 такое, что У < / на этом множестве. Такой выбор числа S возможен, так как У ——функция непрерывная и обращается в нуль на М. Рассмотрим теперь произвольное решение 啰§ (力, начальные значения которого лежат внутри「16, и подставим его в У. Так как dV/dt 》0, то будем иметь невозрастающую функцию времени, по крайней мере, пока xs(t) лежит внутри Г1&. Отсюда следует, что xs(t) всегда будет находиться в「］_£, так как если предположить противное, то наступит момент времени Т такой, что xs(t) выйдет на множество 5% на котором V(ж) 》/, что будет противоречить условию невозрастания функции V. Доказательство для £ = 2 проводится аналогично.
Теорема доказана.
Теорема 5.9 (об аттракторе). Если для системы (5.16) возможно найти такую знакоопределенную Положительную) на М eVxe.i = 1,2, функцию У (ж, t), полная, производная, которой, составленная, в силу этих уравнений, есть функция знакоопределенная- (отрицательная) на М, то М является аттракт ором *
Доказательство. Как и в предыдущей теореме, рассмотрим сначала поведение траекторий в
Так как в рассматриваемом случае выполняются все условия предыдущей теоремы, то можно утверждать, что рассматриваемый обобщенный предельный цикл, по крайней мере, двусторонне орбитально устойчив. Поэтому 玄(£)такое, что всякое решение ①⑴ с начальными данными из Г15 лежит в Г1&.
Покажем, что изображающая точка в этом случае, двигаясь по фазовой траектории, приближается к М асимптотически при 力 т ос, т. е. p(x(t), М) т 0 при t оо.
Так как фазовая траектория ж(^) лежит в Гх5, то по условию теоремы dV/dt < 0, т. е. функция V(ж, t) будет монотонно убывающей и поэтому необходимо будет стремиться к некоторому пределу а (при 力 т сю) справа, оставаясь все время больше этого предела. Это означает, что V > а. Докажем, что а = 0. Допустим противное: пусть а > 0. Так как V непрерывна и обращается в нуль там же, где и dV/dt (на М), то Vt > > to будем иметь —b》dV/dt, где 6 — некоторое положительное число. В результате получим, что при 方 > 切 будет выполняться неравенство
V(x{t),方)=f(ж(^о)Ло) + I ^山 < "(金(力о),方0)- b(t 一 仇
что, очевидно, невозможно, так как правая часть этого равенства при достаточно больших 力 становится отрицательной, а это противоречит условию положительности функции V.
Аналогично предыдущему такой же результат получим при доказательстве от противного в случае предположения, что а > 0.
Доказательство для траекторий в Г]£ проводится аналогично.
Теорема доказана.
Теорема 5.10 (о репеллере). Если для системы (5.16) возможно найти такую функцию V(ж, t), полная производная которой, составленная в силу этих уравнений, есть функция знакоопределенная (положительная) для М 6 Г15, а сама функция не является знакопостоянной (отрицательной) для М на Vi£ (г = 1,2), то М является репеллером.
Доказательство. Покажем, что, как бы мало ни было число % всегда найдется такая система начальных значений 力°, лежащая в Гх^, что фазовая траектория, соответствующая решению системы (5.16) с такими начальными условиями, выйдет из Г15 в некоторый момент времени. Этим и будет доказана неустойчивость движения.
Выберем с этой целью начальные условия ж0 таким образом, чтобы выполнялось неравенство
^(ж0,力о) > 0.
Такой выбор начальных условий возможен, поскольку по условию функция V(ж, t) не является знакопостоянной (отрицательной) для М на Г1&.
Допустим противное: при всех t > t0 фазовая траектория, соответствующая решению системы (5.16) с начальными условиями 力°, будет находиться в Г15. Тогда dV/dt все время будет оставаться положительной и, следовательно, V(ж, t) будет все время возрастать. Таким образом, будем иметь для данного решения
卜(宏К) > У(жоЛо).(5Л7)
Отсюда следует, что рассматриваемая фазовая траектория будет находиться вне множества Гх А, где А ——некоторое положительное число, так как, поскольку функция V(ж, t) непрерывна и обращается в нуль на М, то
в противном случае неравенство (5.17) не имело бы место. На основании этого и того, что dV/dt есть функция знакоопределенная (положительная) для М на множестве ГХ5, получим
где / ——достаточно малое положительное число. Отсюда
У(ж, t) = У(ж0, %о) + *〃т》1/(冗о, h) + /(力 一 to),
to
следовательно, V(ж, t) неограниченно возрастает. Однако так как она является непрерывной, то на компакте Г15 она необходимо должна быть ограничена. Данное противоречие и противоречие, которое аналогично может быть получено и для траекторий с начальными данными из доказывают теорему.
Аналогичным образом можно сформулировать и доказать соответствующие теоремы для односторонне орбитально устойчивых и полуустойчивых предельных циклов.
Метод построения обобщенных функций Ляпунова с использованием математического аппарата кривизн дифференциальной геометрии
Рассмотрим некоторую кривую ж =力⑴ в пространстве состояний ж 6 G Rn, Формализм пространства состояний на языке дифференциальной геометрии означает параметризацию кривой, когда аргумент 力 пробегая свои значения, перемещает точку ж в пространстве Rn, образуя некоторое односвязное множество.
Как известно, поведение параметризации кривой 力⑴ в пространстве Rn можно охарактеризовать набором (п — 1) функций длины дуги кривой s: Xi,..., %п-1 , называемых кривизнами, которые составляют матрицу
Я =
"On
On
On
—X2 石n
On …
On …
On
On
On
On
On
On
On
On …
On
_ On
On
On …
— Xn-iEn
©n
такую, что уравнение
= Яе, ds = (хТх)1/2 dt, е е RnXn
определяет многогранник Френе, единственным образом связанный с каждой точкой параметризации кривой и формирующий связанную с этой точкой подвижную систему координат в пространстве переменных х.
Здесь е?： = со1[0 ...... О 1 О ...... О], е = col[ei,. . . , еп], ©п и
1勿 勿 〃+1П
Еп ——нулевая и единичная матрицы размерности п х п, а ж ——производная вектор-функции ж по переменной t.
Данные соотношения позволяют выразить кривизны через производные компонент вектор-функции х. Например, в случае п = 2 получим следующее соотношение для определения ее кривизны:
(5.18)(5.18)Ж1Ж2 — Ж1Ж2
(5.18)
(5.18)
а в случае п = 3
—(Ж1Ж2 — Ж1Ж2)2 +(Ж2Ж3 — Ж2Ж3)2 +(Ж1Ж3 — Ж1Ж3)2.
(若 + Ж2 + ж|)3/2，
(5」9)(5」9)Ж1 Ж2 ЖзЖ1 Ж2 Жз
(5」9)
(5」9)
Ж2 ж3
(Ж1Ж2 — Ж1Ж2) +(Ж2Ж3 — Ж2Ж3) + (出1 方3 —瓮1出3)
названиеназваниеОтметим, что в трехмерном пространстве (п = 3) xi носит кривизны, а %2 ——кручения фазовой траектории.
название
название
Впервые аппарат дифференциальной геометрии при исследовании предельных циклов и сепаратрис )системы (5.16), а также их n-мерных аналогов, использовался в [36], где кривизны вычислялись по формулам (5.18), (5.19) в силу дифференциальных уравнений (5.16) путем дифференцирования соответствующих уравнений.
Будем использовать кривизны для построения функций Ляпунова в анализе орбитальной устойчивости, дав этому простую геометрическую интерпретацию.
Итак, будем полагать, что на фазовой плоскости имеется предельный цикл в виде окружности (инвариантное множество М в наших обозначениях). Отметим, что кривизна окружности является постоянной величиной, т. е. для окружности %х = с, где с = const > 0. Тогда фазовые траектории вблизи М будут представлять собой спирали, наматывающиеся на М или сматывающиеся с него. В терминах дифференциальной геометрии это —— кривые с монотонно изменяющейся функцией кривизны. Выбрав обобщенную функцию Ляпунова в виде
卜Ом) = [xi 一 с]2, будем иметь
= 2xi[%1 - с],
где V——полная производная по времени от функции V, составленная в силу уравнений (5.15), а с ——кривизна окружности, формирующей М.
Легко заметить, что V и V обращаются в нуль только на М, при этом вне М имеем V > О, V < 0, если спирали наматываются на рассматриваемую окружность, и V > О, V > 0, если спирали сматываются с нее.
Таким образом, на основании теорем второй главы мы можем получить ответ на вопрос о том, как ведут себя фазовые траектории системы (5.15) вблизи М.
Возникает естественный вопрос: как быть в случае, когда предельный цикл на фазовой плоскости не является окружностью?
На помощь приходят понятия вписанной и описанной окружностей, в которые можно заключить замкнутую кривую предельного цикла. Но при этом следует исходить из гипотезы о том, что все фазовые траектории исследуемой системы остаются непересекающимися между собой спиралями, которые либо наматываются на предельный цикл, либо сматываются с него.
В общем случае М уже не будет являться окружностью, а в случае п > 2 вообще не будет кривой. Тем не менее, предложенный формализм анализа орбитальной устойчивости проходит и в этом случае с той разницей, что вписанные и описанные окружности становятся, соответственно, вписанной и описанной гиперсферами для замкнутой гиперповерхности второго порядка, являющейся предельным циклом. При этом гипотеза о спиралях, сматывающихся и наматывающихся на предельный цикл, заменяется гипотезой о кривых с монотонно убывающими кривизной, кручением и так далее.
Тогда метод конструирования обобщенных функций Ляпунова с помощью кривизн можно будет формализовать посредством функции Ляпунова вида
п— 1
卜(力)= (5.20)
где с^ ——заданные константы для соответственно кривизны, кручения и так далее.
Таким образом, можно сформулировать следующие очевидные утверждения, доказательства которых непосредственно следуют из теорем параграфа 5.5.2.
Утверждение 5.1 (о двусторонней орбитальной устойчивости). Если уравнения движения системы (5.16) таковы, что полная производная по времени от функции (5.20), составленная s силу этих уравнений, есть функция знакопостоянная (отрицательная) для М в Г^ (г = 1,2), то М является двусторонне орбиталъно устойчивым обобщенным предельным циклом.
Утверждение 5.2 (об аттракторе). Если уравнения движения системы (5.16) таковы, что полная производная по времени от функции (5.20), составленная s силу этих уравнений, есть функция знакоопределенная (отрицательная) для М в Г^ (г = 1,2), то М является аттрактором.
Утверждение 5.3 (о репеллере). Если уравнения движения системы (5.16) таковы, что полная производная по времени от функции (5.20),
составленная в силу этих уравнений, есть функция знакоопределенная (положительная) для М в Г^ (г = 1,2), то М является репеллером.
Утверждение 5.4 (об односторонней орбитальной устойчивости). Если уравнения движения системы (5.16) таковы, что полная производная по времени от функции (5.20), составленная в силу этих уравнений, есть функция знакопостоянная (отрицательная} для М в Г^5, г = 1 (г = 2), и есть функция знакоопределенная (положительная) для М в Г^5, г = 2 (г = =1), то М является односторонне орбитальноустойчивым обобщенным предельным циклом.
Утверждение 5.5 (о полуустойчивом предельном цикле). Если уравнения движения системы (5.16) таковы, что полная производная по времени от функции (5.20), составленная в силу этих уравнений, есть функция знакоопределенная (отрицательная) для М в Г^в, г = 1 (г = 2) и есть функция знакоопределенная (положительная) дляМ в Г〃* £ = 2 (г = 1), то М является полуустойчивым обобщенным предельным циклом.
Пример 5.10. Рассмотрим следующую систему:
жх = 一冗2 一 冗i(冗彳 + а^ — 1), 亦2 =宏1 — Ж2(^1 + а^ — 1).
Как показано в [7], эта система имеет предельный цикл в виде окружности 若 + W = 1.
Введем обозначение
a =力:+力^.
Функция кривизны траектории в соответствии с (5.18) имеет вид
— 2)
=—[矶2 — 2°+02)]3/2)
а ее полная производная по времени
_ fl2 (а—1)(4 — 16a + 20a2 — За4)
=[а(2 —2а + а2)]5/2*
В рассматриваемом случае на основании (5.20) имеем
у— 1)(4 — 16a + 20a2 — За') Z— 2)
丿=[а(2 —2а + а2)]5/22 — 2а + 得尸/2
откуда очевидно, что V и V обращаются в нуль на М.
Выясним, какой знак имеет V на множествах
后界：金;+ 3^ = 1 + /5 c兄+，
后兴：金；+惹=1 + * 5 E Я™.
1 一回+0(产) [1 + |е| + О(£2)]3/21 一回+0(产) [1 + |е| + О(£2)]3/2-1 I на Е?,-1 I на Е?,Очевидно, что существует такое достаточно малое 51, что при всех |^| < < 1^11 первый сомножитель в формуле для V имеет знак, противоположный знаку 5, а второй сомножитель можно представить в виде
1 一回+0(产) [1 + |е| + О(£2)]3/2
1 一回+0(产) [1 + |е| + О(£2)]3/2
-1 I на Е?,
-1 I на Е?,
1+® +О(&2)[1— ® +О(т)]3/2
откуда видно, что при достаточно малом w он имеет знак, противоположный знаку 5.
Таким образом, имеем V = 0 и К = 0 на М и ЗГ^, г = 1,2, такое, что на нем V ^ 0 и V < 0, что дает право на основании утверждения 5.2 сделать вывод о том, что данный предельный цикл является аттрактором.
Пример 5.11. Рассмотрим систему:
ж! =-宓2 + 冗 1(优^ + 金^ - 1), 近2 =金1 +优2(优;+金^ 一 1),
введем обозначение
а —-冗 1 + ж 9 •
Известно, что окружность
金;+况1 = 1
является предельным циклом для рассматриваемой системы.
Функция кривизны траектории, как и в предыдущем примере, имеет
ВИД
а(а2 — 2)_[矶2 — 2a +。2)]3/2)
тогда как ее полная производная по времени
.—— 1)(4 — 16а +20a2 — 3d)
Xi = _[a(2 —2a+a2)]5/2-
Выберем функцию Ляпунова в соответствии с (5.20) в виде
=(矶М — 2)-卜矶2 —2a+02)3/2=(矶М — 2)-卜矶2 —2a+02)3/2
=(矶М — 2)
-卜矶2 —2a+02)3/2
=(矶М — 2)
-卜矶2 —2a+02)3/2
• _ а2(а^ 1)(4^16а +20а2 За4) / а(Н — 2)'
丿=[а(2 —2а + а2)]5/2"(矶2 — 2а +。2户/2 +
Очевидно, что V и V обращаются в нуль на М.
Выясним теперь, какой знак имеет V на множествах
后界：金;+週=1 +/ & е я+,
Е，1：冗；+ 冗I = 1 + * & е Я™.
Нетрудно видеть, что существует такое достаточно малое /, что при всех ® < |^11 первый сомножитель имеет знак, противоположный знаку 5,
второй же в видевторой же в видесомножитель, как и в предыдущем примере, можно представить
второй же в виде
второй же в виде
1 - ® +°(М) — Л[1 + |б|+О(е2)]з/2 丿
1 + ® + OR?)[1— ®+О02)]3/21 + ® + OR?)[1— ®+О02)]3/2-1 на后匕-1 на后匕
1 + ® + OR?)[1— ®+О02)]3/2
1 + ® + OR?)[1— ®+О02)]3/2
-1 на后匕
-1 на后匕
откуда следует, что при достаточно малом w он имеет знак, противоположный знаку 5. Иначе говоря, V = 0 и К = 0 на М и 3 Г^ (г = 1,2) такое, что на нем V^OhV^O. В соответствии с утверждением 5.3 рассматриваемый предельный цикл является репеллером.
Пример 5.12. Рассмотрим систему третьего порядка
Ж1 = -Ж2 一/ 1(力:+ 力^ + 力^ _ 1), 必2 =%1 - Ж2(Ж1 + 优^ + 优彳一1), 近3 =一况3(冗f +金^ +金^ 一 1),
введем обозначения
b =力；+ ж|.
Непосредственной подстановкой можно убедиться, что сфера /:+力^ +力:=1
является предельным циклом рассматриваемой системы.
В первом (линейном относительно а) приближении, в соответствии с соотношением (5.18), получим следующее выражение кривизны %х(ж):
Х1(ж)=Х1(ж)=
Х1(ж)=
Х1(ж)=
Поскольку уравнением, задающим М, является а = 0, то
1/21/2
1/2
1/2
В соответствии с (5.20) выберем функцию Ляпунова в виде
V (ж)=V (ж)=22
V (ж)=
V (ж)=
2
2
Полную производную по времени от функции V в первом приближении можно получить непосредственным дифференцированием данного соотношения, поскольку на основании того, что
G = —2(а + 1) а, b = —2Ьа,
дифференцирование бесконечно малых величин жх,力2,冗з дает величины того же порядка.
Таким образом,
4叫1/2/1\1/21 吃—-4疗/2]
p[炉/2(1 — 40尸/2,
Нетрудно видеть, что на множествах 石宀 (а < 0) и Е?" (а > 0) (при достаточно малом |а|) в силу того, что сомножители данного соотношения имеют разные знаки, V < 0.
На основании утверждения 5.2 данный обобщенный предельный цикл является аттрактором.
Анализ устойчивостипри постоянно действующих возмущениях
Историческая справка
Объектом исследований теории устойчивости движения является свободное движение системы автоматического управления (или движение, подверженное только возмущениям начальных условий).
В то же время для практики автоматического управления интерес представляют математические модели объектов управления, подверженные не только возмущениям начальных условий, но и внешним воздействиям:
ж 二 /(t, ж) + R(t, ж), х е Rn,力 G [0, оо),力о》0, ж(^о)二力о,
(521) где функция К(3 ж) характеризует постоянно действующие внешние возмущающие факторы (в отличие от функции / (力冗)она практически никогда не известна).
Задача об устойчивости при постоянно действующих возмущениях рассматривалась многими авторами, среди них Н. Н. Красовский [19], И. Г. Малкин [22], Н. Руш, П. Абетс и М. Лалуа [32], Н. Г. Четаев [38] и другие, что дает возможность проследить эволюцию определений устойчивости при постоянном действии возмущений.
Первым модернизировал определение устойчивости по Ляпунову Н. Г. Четаев, который рассматривал только дифференциальное уравнение возмущенного движения (5.1) в предположении, что всякой системе вещественных значений возмущений 吃・，%, численно достаточно малых, будет соответствовать некоторая система вещественных начальных значений переменных ж^о* И, как бы ни было мало заданное положительное число Л,
их всегда можно будет сделать удовлетворяющими неравенству
подчинив возмущения %•, % условию, чтобы они по абсолютной величине не превосходили достаточно малых, но отличных от нуля чисел Ej, Е；.
При этом условии начальные значения переменных ж^о могут играть такую же роль при решении вопроса об устойчивости, как и величины &j, g；, если только заданием 力勿о переменные ж^, удовлетворяющие уравнениям (5.1), определяются вполне. Это последнее условие предполагается всегда выполняемым, поэтому далее вместо величин 刁,% Н. Г. Четаев всегда рассматривал ж^о с перенесением на них названия возмущений.
Таким образом, Н. Г. Четаев, оставаясь в рамках классического определения устойчивости по Ляпунову, попытался придать начальным условиям XiQ (г = 1, п) качество мгновенных возмущений. С точки зрения практики автоматического управления такая интерпретация мало что дала, но начало ревизии определений устойчивости было положено.
Обе системы уравнений (5.1) и (5.21) впервые рассмотрел И. Г. Малкин, который предположил, что функция R есть величина, характеризующая случайные постоянно действующие возмущения. Точное выражение функции R неизвестно, и эта функция, вообще говоря, не обращается в нуль в точке 力=0.
Определение (И. Г. Малкина). Тривиальное решение уравнения (5.21) называется устойчивым при постоянно действующих возмущениях по Малкину, если для всякого положительного числа % как бы мало оно ни было, существуют два других положительных числа 力⑻ и 小侶)таких, что всякое решение уравнения (5.16) с начальными значениями ж^о» 力о, удовлетворяющими неравенствам
kiol <小(0仇)0,
при произвольной Я, удовлетворяющей в области t 》 力о, |жх| < 5,... ...,\хп\ < 5 неравенству
|Я(Ж1, . . . ,ЖпЛ)| w 小(£), удовлетворяет при всех 力》力о неравенствам
|з| < *
где г = 1, п.
Определение Малкина усилиями Н. Руша может быть записано на современном математическом языке в следующем виде.
Тривиальное решение 力=0 уравнения (5.21) называется устойчивым при постоянно действующих возмущениях, если
(V5 > 0)(*1,心｝ > 0)(% е [О,ш))(ужо е
и любой Я, такой, что
(VOto)(V^eB£)||^(f,^)|| < J2
выполняется условие
(V力)方о)金(方；包况。) е в£,
где В£ = {х е Яп, ||ж|| < е} — открытый шар с центром в начале координат радиуса 5 > 0.
Дальнейшее развитие определения устойчивости при внешних воздействиях получило в работах академика Н. Н. Красовского, который ввел понятие устойчивости при постоянно действующих возмущениях, малых в среднем.
Определение (Н. Н. Красовского). Решение ж = 0 системы уравнений (5.21) будет называться устойчивым при постоянно действующих возмущениях, ограниченных в среднем, если для любой пары чисел 5 > 0 и Т > 0 можно указать два таких числа 5 > 0 и ту > 0, что при выполнении неравенства
t+T
夕(£)d£ < %
где 夕⑴ ——какая-либо непрерывная функция, определяющая неравенство |Я(ж,力)| W 夕,при ||х||2 < 5 каждое решение ж(ж0,力о,力)уравнения (5.21) с начальными условиями ||ж||2 < 3 удовлетворяет неравенству
Цж(жоЛоЗ)|| < £
при всех 力》％().
Такое определение обобщает определение Малкина в том смысле, что решение, устойчивое при постоянно действующих возмущениях, ограниченных в среднем, очевидно, тем более устойчиво при постоянно действующих возмущениях, ограниченных s каждый момент (число ту из определения Н. Н. Красовского связано с числом 小 из определения И. Г. Малкина соотношением 小丁 = “)"
Таким образом, приведенными определениями устойчивости среди внешних возмущений выделены малые и малые в среднем возмущения. Нельзя не отметить, что такая классификация не является исчерпывающей.
В теории автоматического управления рассматривается более широкий класс внешних воздействий, нежели описанные выше. При этом в случае декомпозиции математической модели объекта на полностью управляемую и полностью неуправляемую подсистемы первая из них получает добавку типа (5.21), оказывающую влияние на само существование решения задачи стабилизации.
Стабилизируемость в условиях внешних воздействий, порожденных неуправляемой подсистемой
Постановка задачи. Рассмотрим систему (3.34), (3.35) в предположении, что для нее найден закон управления
и = СТ(х,力)力1,(5.22)
при котором свободное движение замкнутой системы
近 1 = [Р11(Ж1, t) + В1(жь ^)СТ(Ж1, t)]a：i + [Р12(ж2Л)]ж2(5.23)
является асимптотически устойчивым, а однородная система уравнений, соответствующая неоднородному уравнению (5.21),
亦 1 = [Р11(Ж1, t) + В1(жъ ^)СТ(Ж1,力)]Z1(5.24)
гомеоморфным преобразованием
ci = ["z匕力)]勿 у е нп丁
приводится к виду 沙=Gg,(525)
где G = [L^T (Рц + BiCT)L — L^T L]——гурвицева матрица чисел.
При сделанных предположениях ввиду взаимно однозначного соответствия между векторами состояний исходной ж i и преобразованной у систем вместо системы (5.21) будем рассматривать кинематически подобную ей систему
у = Gy [厶力)％2(д, t)]x2.(5.26)
Из соображений простоты изложения введем в рассмотрение вектор
F(x1,x2,力)=[L^1(x1,t)P12(x2, t)]^2,(5.27)
характеризующий воздействие неуправляемой подсистемы на процесс стабилизации, и рассмотрим три возможных случая:
неуправляемая подсистема асимптотически устойчива, т. е.力2To при t Т ОО；
неуправляемая подсистема устойчива по Ляпунову, т. е. вектор состояний 力 2 ——ограничен (в смысле некоторой метрики) при 力 т оо;
неуправляемая подсистема неустойчива, т. е. ж2 ^ сю при 力 т оо.
Каждому из названных случаев могут быть поставлены в соответствие следующие оценки, которым можно подчинить компоненты вектора F (где &用,7用 ——некоторые положительные постоянные, k = 1^ п — г):
|%(力1，力2,力)| W Qk exp(—Tk%), т. e. А:-компонентавектора F является экспоненциально убывающей функцией;
1^(^!, ж2,力)| W Qk, т.е. А:-компонентавектора F ограничена ()卜 = =0);
|^(Ж1,Ж2Л)| 》Qk ехр(7к力)，т. е. /с-компонента вектора F — не ограничена.
Таким образом, приведенное в параграфе 5.3 определение (г, s)~ устойчивости по В. Д. Фурасову можно распространить на вектор внешних воздействий F. Вектор F будем называть (г, s)-устойчивым, если для любого числа с〉0 может быть указано число 5 > 0 такое, что оценки
\Fkl(x10. Ж20, ^)| < ^, kl = 1, Г, t > to,
и соотношения
|^2(ЖЮ, Ж20, ^)|0, k2 = 1, 5,5 ^ Г,力 1 ОО,
выполняются на всех движениях (5.26), начинающихся в области 11(^10,z20)|1 < 5"
Замечание. Нетрудно видеть, что приведенные определения Малкина и Н. Н. Красовского относятся ко второму случаю, так как соотношение между числом а 用 и числами 〃2 (из определения Малкина) и 〃 (из определения Н. Н. Красовского) можно представить в виде
Qk》〃2丁 = 〃, k = 1.П - Г.
Запишем систему (5.26) с учетом (5.27) в виде
у = Gy ^F.(5.28)
Проведем анализ разрешимости задачи стабилизации, рассмотрев, как ведет себя вынужденное движение системы (5.28), порожденное неконтролируемыми воздействиями неуправляемой подсистемы.
Без потери общности будем использовать в (5.28) вместо вектора F вектор оценок F, определив его равенством
F = (А®Г).(5.29)
Здесь
4 со1[а 1)• •・ ^ а“,・・・)а九,г = col[exp(7it), . . . , exp(7fet),. . ., exp(7n^rt)],{«fc,7fc} G (0;+oo),
а символ ® обозначает «скалярное произведение» матриц одинаковой размерности, т. е., Д = а/, х exp(7k力),к = l.n — г.
Тогда при 7/. < 0 /с-компонента вектора F соответствует случаю 1, при 7/. = 0 ——случаю 2, при 7/. > 0 ——случаю 3. При нулевых начальных условиях вынужденное движение системы (5.28), порожденное неуправляемой подсистемой, описывается интегралом Коши
у⑴=exp(G(Z — т))Л ® Г^т,(5.30)
о
который с помощью интерполяционного полинома Лагранжа-Сильвестра, подробно описанного в первой главе, можно представить в виде
y（t） = [4, G4 一「G几f т川”TQ⑴ ® R（力一r） ® Fd* （5.31） о
где
” =С01[М+?М+,.. . , М+,,.. . , МГ,..., М^],（5.32）
ехрх（ЛД）
Q⑴=Q⑴=ехрп（Л"）exp/%"
Q⑴=
Q⑴=
exp吗（阳方）expi（%・力）
exp吗（％•"
exp（-AiT）exp（7fcT）餐
（力—г） exp（-AjT）exp（7fcT）
（力-丁严т exp（-AjT）exp（7feT）exp（-QjT）exp（7fcT）cos［pj（t - г）］
R（t 一 丁）㊈ F =R（t 一 丁）㊈ F =（t — 丁） exp（-QjT）exp（7fcT）cos［f3j（t — г）］
R（t 一 丁）㊈ F =
R（t 一 丁）㊈ F =
（f — 丁严厂I exp（_a“） exp（76）cos［Д7f — г）］
exp（-QjT）exp（7fcT）sin［/3j（i — t）］
« — г） exp（ — a“） exp（7fcT）sin［伪（力一г）］
（方一丁）吗T exp（_a广）exp（7fcT）S/［伪（/一T）］ М
Здесь М^ ——блок, соответствующий действительным корням 尢，г = = l,z/ （где 沙——число действительных корней） матрицы G; М；——блок, соответствующий комплексно-сопряженным корням 勺 ± %, j = 1, 〃 （где 〃 ——число пар комплексно-сопряженных корней матрицы G）; т〃 и т^ ——кратности соответственно действительных корней и пар комплексносопряженных корней, к = \^п — г.
Следовательно, подынтегральная функция в （5.31） содержит только интегралы, которые могут быть выражены через элементарные функции и вычислены при представлении тригонометрических функций cos и sin в виде
cos（/3f — /т） = cos（/力）cos（/t） + sin（/力）sin（/3r）, sin（/力一/т） = sin（/力）cos（/t） — cos（/力）sin（/3r）
на основании следующих формул ［23］:
ооxxexp［（7fe — Xi）r］dT =оexp［（7fe — Xi）r］dT =оexp［（7fc — %）力］ 1exp［（7fc — %）力］ 17fc — *‘7fc — *‘7fc —%7fc —%（力 一 T）m exp［（7fe 一 Л€）т］^т = £ （一1尸（力 一 T）m exp［（7fe 一 Л€）т］^т = £ （一1尸m（m — 1） » …（m — p + 1）m（m — 1） » …（m — p + 1）р=0exp［（7fc -%）力］（J "+ e 1产р=0exp［（7fc -%）力］（J "+ e 1产p!p!严一x严一xm（m — 1） к …（m — p + 1）m（m — 1） к …（m — p + 1）p!p!m!m!exp［（7fc — a力丁］ cos［pj（t — T）］dr = оexp［（7fc — a力丁］ cos［pj（t — T）］dr = оcos（% 力）cos（% 力）exp［（7fc — aj）t］（（yk — aj） cos（fijt） + 伪 sin（伪力））一（7知一％•）exp［（7fc — aj）t］（（yk — aj） cos（fijt） + 伪 sin（伪力））一（7知一％•）（7fc — «i）2 +碍（7fc — «i）2 +碍1+1++ sin（仿力）+ sin（仿力）exp［（7fc — aM（3k — %•） £山（伪"+ /Bjcos^jt）） + 伪exp［（7fc — aM（3k — %•） £山（伪"+ /Bjcos^jt）） + 伪(7fc -因产+爲(7fc -因产+爲（5.33）（5.33）（力一т）т exp［（7fc — a/）r］ cos［（3j（t — r）］dr =（力一т）т exp［（7fc — a/）r］ cos［（3j（t — r）］dr =о=£（-1严р=0о=£（-1严р=0m（m — 1）（m — p + 1）m（m — 1）（m — p + 1）p!p!严fx严fx?九!(一力严一?九!(一力严一P=1P=1（m — р + 1）! （（7fc%）2 + 死）Р/2（m — р + 1）! （（7fc%）2 + 死）Р/2exp［（7fe — aj）t］xexp［（7fe — aj）t］xXXCOS （/j•力）COS （/j•力）P（7k — а^） cos（/3jt） + pPj sin{Pjt）P（7k — а^） cos（/3jt） + pPj sin{Pjt）（（7k —a# + 优）I"（（7k —a# + 优）I"—1）…—1）…mlp（yk — %•）mlp（yk — %•）（（7……碣）…/2（（7……碣）…/2+++ sin（仿力）+ sin（仿力）P^k — aj） sm（fijt） + pPjCO^Pjt）P^k — aj） sm（fijt） + pPjCO^Pjt）((-%•产+死产((-%•产+死产+++ （ — 1 尸+i+ （ — 1 尸+im\ppjm\ppj（鼠-色）2+唐）…/2（鼠-色）2+唐）…/2
о
о
x
x
exp［（7fe — Xi）r］dT =
о
exp［（7fe — Xi）r］dT =
о
exp［（7fc — %）力］ 1
exp［（7fc — %）力］ 1
7fc — *‘
7fc — *‘
7fc —%
7fc —%
（力 一 T）m exp［（7fe 一 Л€）т］^т = £ （一1尸
（力 一 T）m exp［（7fe 一 Л€）т］^т = £ （一1尸
m（m — 1） » …（m — p + 1）
m（m — 1） » …（m — p + 1）
р=0
exp［（7fc -%）力］（J "+ e 1产
р=0
exp［（7fc -%）力］（J "+ e 1产
p!
p!
严一x
严一x
m（m — 1） к …（m — p + 1）
m（m — 1） к …（m — p + 1）
p!
p!
m!
m!
exp［（7fc — a力丁］ cos［pj（t — T）］dr = о
exp［（7fc — a力丁］ cos［pj（t — T）］dr = о
cos（% 力）
cos（% 力）
exp［（7fc — aj）t］（（yk — aj） cos（fijt） + 伪 sin（伪力））一（7知一％•）
exp［（7fc — aj）t］（（yk — aj） cos（fijt） + 伪 sin（伪力））一（7知一％•）
（7fc — «i）2 +碍
（7fc — «i）2 +碍
1+
1+
+ sin（仿力）
+ sin（仿力）
exp［（7fc — aM（3k — %•） £山（伪"+ /Bjcos^jt）） + 伪
exp［（7fc — aM（3k — %•） £山（伪"+ /Bjcos^jt）） + 伪
(7fc -因产+爲
(7fc -因产+爲
（5.33）
（5.33）
（力一т）т exp［（7fc — a/）r］ cos［（3j（t — r）］dr =
（力一т）т exp［（7fc — a/）r］ cos［（3j（t — r）］dr =
о
=£（-1严
р=0
о
=£（-1严
р=0
m（m — 1）（m — p + 1）
m（m — 1）（m — p + 1）
p!
p!
严fx
严fx
?九!(一力严一
?九!(一力严一
P=1
P=1
（m — р + 1）! （（7fc%）2 + 死）Р/2
（m — р + 1）! （（7fc%）2 + 死）Р/2
exp［（7fe — aj）t］x
exp［（7fe — aj）t］x
X
X
COS （/j•力）
COS （/j•力）
P（7k — а^） cos（/3jt） + pPj sin{Pjt）
P（7k — а^） cos（/3jt） + pPj sin{Pjt）
（（7k —a# + 优）I"
（（7k —a# + 优）I"
—1）…
—1）…
mlp（yk — %•）
mlp（yk — %•）
（（7……碣）…/2
（（7……碣）…/2
+
+
+ sin（仿力）
+ sin（仿力）
P^k — aj） sm（fijt） + pPjCO^Pjt）
P^k — aj） sm（fijt） + pPjCO^Pjt）
((-%•产+死产
((-%•产+死产
+
+
+ （ — 1 尸+i
+ （ — 1 尸+i
m\ppj
m\ppj
（鼠-色）2+唐）…/2
（鼠-色）2+唐）…/2
ооexp［（7k — а/）т］ sin［/^（力一T）］dr =exp［（7k — а/）т］ sin［/^（力一T）］dr =
о
о
exp［（7k — а/）т］ sin［/^（力一T）］dr =
exp［（7k — а/）т］ sin［/^（力一T）］dr =
=sin（/3jt）=sin（/3jt）exp［（7fc — aj）t］ （（7fc — %•） cos（Pjt） + 为 sin^jt）） — （^ — %•）
=sin（/3jt）
=sin（/3jt）
（7fc - «J）2 + 死
一cos （自力）一cos （自力）exp［（7fc — aj）t］ （（7fc — a力 sm（/3jt） + Pjcos^jt）） + ft
一cos （自力）
一cos （自力）
（7fc «i）2 + 死
（力 一 r）m exp[（7k — qj）t] sin同•（力 一 r）]dr =
e（-1严m（m — 1） — * （ж — P + 1）x
X 信（-1严1（加一 + 七；^?-：；2+ 聆P/2 exp[ J a加X
（丿（（-5 +街）（…3
（丿（鼠一%产+聆⑺+ 2）/2]
По предположению все корни замкнутой полностью управляемой подсистемы лежат в левой полуплоскости, т. е.尢 < 0, г = 1, 〃; с^ < О, j = 1,小 Следовательно, анализ разрешимости задачи стабилизации во всех названных выше случаях можно сделать на основе анализа выражений （5.33）.
Случай 1. Вектор внешних значений F ——исчезающий, т. е. 7k < О, к = 1, п — г. Тогда в правых частях равенств （5.33） с учетом обозначения （5.32） имеют место следующие равенства:
о） ехр（ —Л"） expRA^ — 7左）力］ = ехр（—。裔力） —— для действительных корней;
6） exp（^Qjt） exp［（«j — 7左）力］ = exp（—7左力） для комплексно™ сопряженных корней.
Таким образом, интегралы правых частей （5.33） являются сходящимися и позволяют вычислить статические ошибки системы.
Случай 2. Вектор внешних воздействий F ограничен, т. е. 7k = 0, & = = 1, п — г. Тогда в правых частях равенств (5.33) с учетом обозначения
(5.32) имеют место следующие равенства:
ехр(—Л") ехр[(Л") = 1 ——для действительных корней;
exp(^Qjt) exp(Qjt) = 1 —— для комплексно-сопряженных корней, откуда следует, что интегралы правой части (5.33) также являются сходящимися, определяя тем самым статические ошибки системы.
Случай 3. Вектор внешних воздействий F — неограничен, т. е.)用 > О, k = \^п — г. Тогда в правых частях равенств (5.33) с учетом обозначения (5.32) имеют место следующие равенства:
ехр(^Л^) ехр[(Л^ + 7fc)t] = exp()k力)——для действительных корней;
ехр(—Qj力)exp[(Qj 十7左)力]=exp()k力)——для комплексно-сопряжен™ ных корней, откуда следует, что интегралы правой части (5.33) являются расходящимися.
Таким образом, имеет место следующее утверждение.
Утверждение 5.1. Существование решения задачи стабилизации замкнутой приводимой системы будет зависеть от вида внешних воздействий:
при исчезающем или ограниченном векторе внешних воздействий F (случаи 1 и 2) приведенная система (5.28) будет устойчива и могут быть вычислены ее статические ошибки;
при неограниченном внешнем воздействии (случай 3) задача ставили- зации в условиях действия неконтролируемых воздействий, порожденных неуправляемой подсистемой, не имеет решения.
Пример 5.13. Вернемся к примеру 3.1, в котором получены матрицы &1,乃2 полностью неуправляемой подсистемы (3.35), что позволяет представить вектор состояний 力2 в виде
С2=СО1 包丿网86* ь2 6Tm33[,
где 仇，匕2 ——некоторые положительные постоянные.
Таким образом, полностью неуправляемая подсистема будет асимптотически устойчивой, т. е. компоненты вектора F(xi,力2,力)в системе (5.28) являются исчезающими величинами. При этом приведенная система (5.28), характеризуемая вектором внешних воздействий F
戸=
будет устойчивой при любых значениях постоянных 团 и а2-
ВЫВОДЫ
Таблица 5.2
Хронология становления анализа устойчивости в ТАУ
Год
Персонификация
Вклад
1876
И.А. Вышнеград™ ский
Постановка и решение задачи распределения корней в левой полуплоскости в трехмерном пространстве (диаграмма Вышнеградского)
1892
А. М. Ляпунов
Разработка теории устойчивости движения, включающей:
фундаментальные определения устойчивости и асимптотической устойчивости;
первый метод Ляпунова (метод характеристических чисел) изучения скорости роста решений по сравнению с экспонентами,
второй метод Ляпунова (метод функций Ляпунова) изучения изменений расстояния от изображающей точки до начала координат,
разработка теории гомеоморфных преобразовав ний в пространстве состояний (метод ляпуновских преобразований, понятие приводимости)
1894
НЕ Жуковский
Понятие орбитальной устойчивости
1952
И. Г. Малкин
Понятие устойчивости при постоянно действующих внешних воздействиях, ограниченных в каждый мо™ мент
1957
В.В. Румянцев
Понятие устойчивости по части переменных
1959
Н.Н. Красовский
Понятие устойчивости при постоянно действующих внешних воздействиях, ограниченных в среднем
1981
В.А. Подчукаев
Аналитическое решение матричного уравнения Ля™ пунова для систем в форме Фробениуса
Таблица 5.3
Азбука первого метода Ляпунова
№ п/п
Алфавит
Содержание
1
Характеристическое число (для стацж> нарных линейных систем совпадает с действительной частью корня, взятой с обратным знаком).
xm力)]=-回加*T此(3 = L同^
2
Понятие правильной системы.
max E Xi = X exp £ f [pa(v, r)]dr i = l_£ = 1 0=
Таблица 5.3 (Продолжение)
№ Алфавит п/п
Содержание
3 Типы систем, для которых могут быть найдены характеристические числа
предельные: lim [Р(富)t)] = Яо；
диагональные.
1 t
& = —Jim 7 f [pu(v. r)]dr, (i = 1, n);
почти диагональные:
方里历打(〃力)]=0, (ij = n)，i声j;
a) {[pii(v, t)] > [pa(v,力)]+ / (5 =帀)} т
1古
T Xmin = — lim J [mi(q T)]dr;
力一>oo t Q
6){[”—》bMw切 + % (£ =帀)} т
т м = —Jim 7 f [pu(v. r)]dr, (г = 1, n);
верхне(нижне)треугольные с точными средними значениями диагональных элементов (взятые с обратным знаком, они являются характеристическими числами);
приводимые:
—исходная система ж = [F(v, t)]x;
一 гомеоморфное преобразование ж = [1¥(富，方)]g;
—приведенная система у = [F(v, t)]y, [F] = const, [F] = [W^PW -『W = [W^DW]= 二[б2 , . . . , Cn , —8],
H = W^1Dn[B(v,t)] = col[hn(v,t),. . . ,Д1(^Л)],
。=[p(w切—En^t 3"
Условие приводимости ——существование производящего вектора Крылова [6(富,力)],такого, что rank [Ж(V, t)] = п, где
",t)]=归U), 06(〃力…"016(储切， порождающего коэффициенты Крылова вида
[hi(v,力)]=const, i = 1, n
4 Тип систем, в ко торых могут существовать предельные циклы
П-приводимые системы, в которых коэффициенты Крылова подчинены равенствам [6 = 0, п — 3]: [hi(v,切=0, [/i2(v, t)] = 1, [hn^i(v, f)] = ^1 , или системы, определяемые следующей матрицей Крылова (в форме Теплица):
000I
10—1…00
FU)]二100
L 00010J
Таблица 5.4
Азбука второго метода А. М. Ляпунова
№ п/п
Алфавит
Содержание
1
Функция Ляпунова V(ж, t)——аналог расстояния от изоб™ ражающей точки до начала координат
является действительной функцией действительных переменных ж 6 Яп, t 6 [0, оо);
определена в области | ж | Н(Н = const > 0) и является в этой области однозначной и непрерывной функцией, удовлетворяющей условиям:
3)V(0,f) = 0;
V _卜(宏К) > 0.
t^O^x^O
2
Матричное уравнение Ляпунова
Если [V(ж,力)]=xT[A(v, t)]x, то
at
=xT[A(v, t)]x + xT[A(v, t)]x + xT[A(v^ f)]i, откуда
[4(储"]+ [4〃 方)p(〃 t)] + fT(储"4储 t)]=
=-[Q(M)1
3
Первая теорема Ля™ пунова об устойчивости
Если существует V(ж, t) такая, что
[匕(储“]=-xT[Q(v,t)]x W 0,
то тривиальное решение системы ж = [F(v, t)]x устойчиво по Ляпунову
4
Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости
Если существует 卜(冗，力)такая, что
[匕(4閉=-xT[Q(v,t)]x < 0,
то тривиальное решение системы ж = [P(v, ^)]ж асимптотически устойчиво по Ляпунову.
Если [Q(v,t)] = [Qf (储 土)] x [Qi(v, t)], где [Qi(v, t)] e Яп, то xT[Q(v, t)]x > 0 при выполне™ НИИ условия
"[Qi(^3)]"
[口U)严[Q^v.t^N.
I [Qiiv.t^N^1 J
rank[n(v,力)]=n, где N = 5 \+ [F(v, t)]
at
5
Третья теорема Ляпунова о неустойчи™ вости
Если существует V(ж, t) такая, что
[匕(储"]=^xT[Q(v,t)]x > 0,
то тривиальное решение системы ж = [F(v, t)]x неустойчиво по Ляпунову
Таблица 5.4 (Продолжение)
№ п/п
Алфавит
Содержание
6
Матричное тождество Ляпунова для систем в форме Фробениуса (cij, i = 1, п, — эле™ менты нижней строки матрицы Фробениуса) дает критерий Гурвица
[电n(富，力)]=[д?г-Н-I (储力)],
[dn一分,n一k _1(富,方)]=
fc + 1、
v = 0
+Е (-1尸"0?_户[(处+卄1a/3+1+
/3=0 7 = 0
4"ср/3 + 1 tti+7 + l — Qn — i — y,n — p)]^k 。，'(富号力)*
5 =— l,k = 0,£ — 1,
[⑦(〃 t)] = [&(〃 t)]——для нечетных г,
[夕分(v, t)] = 0 для четных г,
觴(储 t)] = 2[R(储 t)RT(v, t)l[R(v,用 e Rn, [R(v, t)] = col[0, . . . , &7(储 t), 0, &5(储 t), 0, a3(v3),0,ai(v,f)]
Таблица 5.5
Азбука анализа орбитальной устойчивости
№ n/n
Алфавит
Содержание
1
Предельный цикл = замкнутая гиперповерх™ ность в пространстве Rn = инвариантное множество М
Любая замкнутая гиперповерхность М делит пространство Rn на два множества,石宀 и 石界， для первого из которых она является замыканием. Поэтому все фазовые траектории, в силу теоремы о единственности, лежат целиком в одном из этих множеств
2
р(ж, М) — минималь™ ное расстояние от изображающей точки до М
Задается на каждом из множеств 石宀 и 石界； анализ орбитальной устойчивости инвариантных множеств требует использования двух функций типа Ляпунова для каждого из этих множеств
3
Обобщенная функция Ляпунова (заменяет две функции Ляпунова одной, выраженной через кривизны фазовых траекторий)
n 一 1
^(ж, " = £ [х分—4]2, где & ——заданные константы, которым сопоставлены соответсву™ ющие гиперсферы (вписанные в М или описанные вокруг М) для кривизны, кручения и Т.Д. (Хг,勿=1,九—1)
Таблица 5.6
Перечень введенных определений
Порядковый номер определения
К чему относится
5.1
Понятие устойчивости по Ляпунову
5.2
Понятие асимптотической устойчивости по Ляпунову
5.3
Понятие ляпуновского преобразования
5.4
Понятие П-приводимой системы
5.5
Понятие знакоопределенной функции
5.6
Понятие линейной независимости функций
5.7
Понятие орбитальной устойчивости
5.8
Понятие орбитальной асимптотической устойчивости
5.9
Понятие устойчивости инвариантного множества
5.10
Понятие асимптотической устойчивости инвариантного множества
5.11
Понятие двусторонне орбитально устойчивого предельного цикла
5.12
Понятие односторонне орбитально устойчивого предельного цикла
5.13
Понятие аттрактора
5.14
Понятие полуустойчивого предельного цикла
5.15
Понятие репеллера
5.16
Понятие знакоопределенной функции инвариантного множества
5.17
Понятие знакопостоянной функции инвариантного множества
УПЖЖНЕНИЯ
Используя скалярную запись матричного уравнения Ляпунова (5.9) для систем в форме Фробениуса
— — k—^n — i,n — k — l ——2 —1 —k +
+ ^i^l^k + l + ^fe + l^i + l — qn — i,n — k) 5 = 0, TZ — 1，左=0, TZ — 1，
методом математической индукции докажите справедливость формулы (5.15). При доказательстве используйте следующее свойство числа сочетаний:
С+ 0+1 = У
В задачах 5.2—5.4, используя матричное тождество Ляпунова, наложите условия на коэффициенты следующих уравнений, при которых их тривиальные решения будут асимптотически устойчиво по Ляпунову:
7 + /⑶5 az bz = Q,
где а и 6 ——положительные постоянные;
夕 + ai + /(i)i + bz = О,
где а и b ——положительные постоянные, /(i)——непрерывная функция;
7 + о2 + Ь2 + 〃2" = О,
где а и 6 ——положительные постоянные;
Докажите, что всякая не стационарная линейная система
ж = Р(力)© ж е Яп
преобразованием 步=x(力)% у с
где X (力)——нормированная в точке 力о фундаментальная система решений этой системы, приводима к системе
У = 0.
5・6・ Исследуйте орбитальную устойчивость системы из примера 5.12 с использованием формулы (5.20), в которую входят кривизна и кручение фазовой траектории.
Сконструируйте системы дифференциальных уравнений, решениями которых являются предельные циклы в виде 3-х гиперсфер.
Укажите гомеоморфное преобразование, превращающее предельный цикл в виде гиперсферы в гиперэллипсоид.
ГЛАВА 6
АНАЛИЗ ГРУБОСТИ СВОЙСТВААСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
Историческая справка
В любой теории, претендующей на практическое использование, должен содержаться ответ на вопрос о соответствии полученных с ее помощью результатов реальной действительности. Поскольку едва ли не основным свойством, которым должна обладать САХ является свойство асимптотической устойчивости, возникает естественный вопрос: сохраняется ли это свойство при вариациях параметров математиче ской модели С АУ в некоторых пределах? Постановка такого вопроса вполне правомерна, поскольку любая математическая модель является приближенной. Варьировать параметры модели необходимо для учета реализации на конкретных физических элементах закона управления, полученного расчетным путем, а также учета изменения физических параметров С АУ вследствие старения.
Если при вариациях параметров математической модели некоторое свойство ее движений сохраняется, то такое свойство принято называть грубым （в англоязычных странах ——робастным）, полагая при этом, что аналогичные свойства должны проявляться и у реального объекта, который описывается данной моделью.
Академик АН СССР Н. Н. Красовский в 1956 г. дал следующее определение грубости некоторого «абстрактного» свойства движений модели.
Определение 6.1. Будем говорить, что некоторое свойство £ движений динамической системы
ж = F（x,力）,ж е Rn, t G [0, ос）,
является грубым в окрестности начала координат （ж = 0п）, если существует непрерывная функция 〃⑺ > 0 при ж # 0п такая, что свойством £ обладают также и движения системы
ж = F（x,力）+ Fi（ж,力）
при условии, что выполняются неравенства
|^1г（Ж,力）| W 刀⑺，i = Ml.
Н. Н. Красовский показал, что свойства асимптотической устойчивости и неустойчивости являются грубыми.
Информацию о том, грубость каких свойств исследована в ТАУ, несет следующая таблица, чистые ячейки которой говорят сами за себя.
Таким образом, единственным свойством, в отношении которого задача анализа грубости решена, является свойство асимптотической устойчиво-
Таблица 6.1
Стационарные линейные системы
Нестационарные линейные системы
Нелинейные системы
Системы с распределенными параметрами
Автономность
Инвариантность
Качество
Особенности в виде предельных циклов
Поведение при наихудших внешних воздействиях
Приводимость
Точность
Управляемость
Устойчивость
+
+
+
+
сти. Причем конструктивные результаты решения этой задачи (которые можно использовать на практике) относятся исключительно к стационарным линейным системам, обладающим достаточным набором инструментов для этих целей, к которым, как показывает материал предыдущих глав, в первую очередь относится характеристический (минимальный) многочлен и его корни.
Начало использованию характеристического многочлена в качестве инструмента исследований ТАУ было положено поставленной и решенной И. А. Вышнеградским задачей распределения корней характеристического многочлена третьего порядка, исходя из желаемого характера переходных процессов в замкнутой системе. Полученный результат в мировой литературе известен под названием диаграммы Вышнеградского. Почти веком позже в англоязычных странах, а вслед за ними и у нас, за этой задачей закрепилось название «задача модального управления» (см. п. 7.1.1).
Исходными данными задачи модального управления Вышнеградского послужило следующее операторное уравнение динамической системы в форме вход-выход:
G(p)z = [а0р3 + &1夕2 + &2夕 + Qa]z = о, z G R1.
После деления на а。# 0 характеристический многочлен этой системы, записанный в изображениях по Лапласу, приводится к виду
G(s) = s3 + 4 cos2 + BQgS + Qq = О,
4Q0 =— а。4Q0 =— а。«0^0«0^0(6*1)(6*1)5 =5 =&2а。&2а。«о^о«о^о
4Q0 =— а。
4Q0 =— а。
«0^0
«0^0
(6*1)
(6*1)
5 =
5 =
&2
а。
&2
а。
«о^о
«о^о
Следует отметить, что И. А. Вышнеградский был первым, кто ввел правило представлять характеристический многочлен со свободным членом, равным единице. Для этого выполняется замена s = Qq^q, результатом которой является характеристическое уравнение s форме Вышнеградского
G(sa) = Sq + Ai sq + 厶26露 + 1 = 0.
Отличительная особенность этого уравнения состоит в том, что, с одной стороны, оно является приведенным в классическом смысле (старший член равен единице), а с другой стороны, оно приведено и в отношении свободного члена (свободный член равен единице). Другими словами, характеристический полином Вышнеградского является двусторонне приведенным.
Замечание 6.1. Исходными данными задачи модального управления, описываемой в главе 7, служат либо заданные коэффициенты характеристического (минимального) многочлена, либо соответствующие им корни. Попытаемся выяснить, что побудило И. А. Вышнеградского задачу распределения корней ограничить такой, на первый взгляд, экзотической формой характеристиче ского многочлена.
Пусть характеристический многочлен соответствует трем действительным кратным корням, расположенным в левой полуплоскости —% (尢 > > 0), г = 1, 2, 3, т. е. имеет вид
(s + Л)^ = У + 3 As^ + 3入2场 + X* = 0.
Такой (приведенный в классическом смысле многочлен) сопровождает следующая матрица Фробениуса:
0
1
0
0
0
1
—32
Р =
Пусть вектор начальных условий ж0 = col [1,0, 0] является инволютивным, как это принято при введении корневых показателей качества А. А. Фельдбаума. Тогда в силу уравнений движения однородной системы
ж = Рх
в момент начала отсчета получим ж(0) = Pg = col [0,0, —Л3], т. е. для А = 10 имеем ж3 (0) = —1000, что дает значительный выброс интегральной кривой.
Вернемся в настоящее. Учебник по ТАУ [31]: «Определение. Полином видаI
d(s) = ^ + £+ 1
i=l
называется полиномом Баттерворса». Комментарии излишни! Это ——по™ лином типа Вышнеградского.
Область асимптотической устойчивости И. А. Вышнеградский на основании формул Кардана для корней характеристического уравнения определил неравенствами
АВ > 1, Л > О, В > О,
откуда с учетом (6.1) имеем (1876 г.!)
q2〉q0q3 —-> Q1 q2 - q0q3〉0
(сравните с условиями Гурвица (1896 г.): △] = Qi〉0, △? = &]&2 一 — «о«з > 0, которые после результата И. А. Вышнеградского для п > 3 могли быть получены по индукции).
Границей устойчивости по Вышнеградскому названа равнобокая гипербола с уравнением АВ = 1 (соответствующая случаю одного действительного и паре комплексно-сопряженных чисто мнимых корней), которая делит плоскость параметров (Л, В) на две области: область асимптотической устойчивости АВ > 1 и область неустойчивости АВ < 1.
Тем самым, граница устойчивости и выделение в плоскости параметров трех зон качественного распределения корней, также имеющих свои границы, в свете определения Н. Н. Красовского позволяют говорить о грубости следующих свойств:
грубость свойства асимптотической устойчивости по Ляпунову;
грубость свойства колебательности переходных процессов (область I);
грубость свойства монотонности переходных процессов (область П);
грубость свойства апериодичности переходных процессов (об™ ласть III).
С точки зрения различных технических приложений в анализе грубости интерес представляет не просто констатация факта, является ли то или иное свойство грубым, а определение границ грубости или, другими словами, границ возможных вариаций параметров системы, в пределах которых гарантируется то или иное свойство. В этом смысле достаточно удобна формализация посредством математического аппарата интервального анализа, позволяющая границы возможных вариаций параметра о представить в виде интервала, содержащего сам параметр: о G [а, а], а ^ а 工 а, где а ——нижняя граница возможных вариаций, а ——верхняя граница.
Продемонстрируем возможности интервальной интерпретации на примере следующей задачи.
Постановка задачи синтезагурвицева интервального многочлена
Рассмотрим стационарную линейную систему общего вида
ж = Рж, ж G Яп, ж(0) = ж0.
Будем полагать, что ее тривиальное решение асимптотиче ски устойчиво. Это означает, что характеристический многочлен этой системы, определяемый равенством
det [Ens — Р] = d(s) = sn +£"1 =立(一%)=0,(62)
金=12=1
является гурвицевым, т. е. его корни 尢 удовлетворяют неравенствам Re А^ < 0, г = 1, п.
Поставленная в 1953 г. итальянским математиком С. Фаэдо задача синтеза гурвицева интервального многочлена
。⑻=蟾 +，(6.3)
i = l
сопровождающего гурвицев характеристический многочлен (6.2), состоит в отыскании нижней а ^ и верхней 京 границ коэффициентов интервального многочлена, удовлетворяющих неравенствам
ai<ai<ai, г = 1, п.(6.4)
Будем решать поставленную задачу с привлечением математического аппарата полиномов Эрмита-Билера, позволяющих любой полином d⑶ представить в виде суммы двух полиномов
d(s) = G (оп,2, ^п—4 ,♦••) + s Н (ап—\)5
где G и Н ——полиномы только четных степеней s, определяемые равенствами
G(Оп?2, а,?,—4,"=ttn + a,?,—2s + 0^—45 + ...=
=G ⑶=2m/2]%
[n/2]
3G(Z)= ] ] (% — Дг) =0, Z = S
i = l
H(On_ 1,0^ — 3, On — 5 ? • • •) = ^n — 1 + ^n — 3 ^ + a,?, —55 + *=
= 〃(%) = &「-2[(D/2*以力
[⑺-1)/2]
内⑶=n (z-小)=。
(здесь квадратные скобки [... ] обозначают операцию взятия целой части действительного числа, а через 屮g,屮н обозначены приведенные многочлены полиномов Эрмита-Билера G и Я).
На языке полиномов Эрмита-Билера гурвицевость полинома d(s) означает, что при условии «1 > 0 корни приведенных полиномов Эрмита- Билера 9g, 9H отрицательны, вещественных)и перемежаются, т. е. удовлетворяют неравенству
U > 乩\ > /\ > 乩2 > /2〉…• > 阳 > /i >(6.5)
Отметим, что полиномы Эрмита-Билера, удовлетворяющие этому неравенству, называются полиномами, составляющими положительную пару.
Историческая справка. Задача об определении условий расположения корней характеристического уравнения в левой полуплоскости была решена в 1851 г. французским математиком Ш. Эрмитом. Однако его результаты в силу ряда причин остались неизвестными специалистам, работающим в смежных областях естественных наук. Позднее эти комбинаторные результаты получили строгую математическую формализацию усилиями Билера.
В 1936 г. независимо от них нашим соотечественником А. В. Михайловым был сформулирован частотный критерий устойчивости, основанный на частотном представлении полинома (6.2):
d(jcj) = Re d(jcj) + jJm d(G)= |d(G)| 屮(®),
」/. 、2 .4
Re 矶——
Jmd(jG)= ая_1Ш 一 &鏡,一"+ а,.§/
1)Иначе говоря, для асимптотической устойчивости исходного характеристического многочлена среди корней полиномов Эрмита-Билера не должно быть комплексно-сопряженных корней: все корни должны быть отрицательными, действительными и простыми (среди них не должно быть кратных).
Критерий А. В. Михайлова позволил необходимое и достаточное условие гурвицевости исходного характеристического многочлена (6.2) формализовать условием, чтобы вектор d(jcj), описывающий на комплексной плоскости кривую (годограф) Михайлова, при изменении ш |^° имел угол поворота, равный п . Тем самым, кривая Михайлова, начавшись в первом квадранте и проходя последовательно против часовой стрелки п квадрантов, уходит в бесконечность, оставаясь в п-квадранте.
Таким образом, критерий Эрмита-Билера и критерий Михайлова по существу выражают одно и то же, но первый имеет комбинаторную, а второй —частотную форму.
Критерий Эрмита-Билера позволяет гурвицевость интервального полинома (6.3) записать )в виде гурвицевости следующих четырех полиномов, составленных из верхней и нижней границ коэффициентов интервального полинома (6.3):
击(6)= G1(СЕП , О. п_2 , &九-4 ,•••) + S“1 (&n-1, В п — З , ^п — 5 , • • •)， (6・6)
“2(6)— G] (&也,Q п —2，&也一4, * * ”)+ S Н?卜里 п —. 1, ^п-—3 , Q п 5 5 * * *) 5
“3(S)— G?(Q 九)^п—-2 ? ^. п—-4 ? * * *) + $ “2(Q п—-1 ? &72-3)0/1一5l " J,
“4(S)— G?(G п〉&ti — 2 , G п —4 …* J + 5 "1 (&ti — 1, G п —3)^п—-5 ?•••)*
Если записать эти полиномы в классической форме, минуя представление посредством полиномов Эрмита-Билера, то получим хорошо известные полиномы В. Л. Харитонова [24].
Если приведенные полиномы для полиномов Эрмита-Билера, участвующих в (6.6), выписать в виде
%⑶= *+8jT+**+32-3+"…, ①G2 (%)=之他 + "…+ 8；之口-2 + g：z口 - 3 + 8,之口—4 + 一 一 (6Л) ^hAz} = zl+^zl^+^zl^^^^^厶=
то с использованием полиномов Эрмита-Билера гурвицевость интервального полинома можно определить условием, чтобы V полиномы G&, 口37 = 1,2
Hj, определяемые равенствами:
—при нечетном п
Gi(z) =Qi ① к ⑶，СМ%)=衣捶 G2 ⑶，(6*8)
Ж(^)=① Hi(z), “2(Z)= ^hAZY
—при четном п
Gi(z)=①/О仇⑶=^gAz)^
Hi(z) = a 1 ①% (%),"2(%)="2H2(z)，
составляли положителъные пары [Gj, Hj].
Отметим, что пары полиномов [①&「Ф^2], [Фях, Ф%], сопровождающих полиномы 9g, 9н, верхняя и нижняя границы коэффициентов которых чередуются, удовлетворяющие неравенствам
Д^ < < < дГ,勿=可；Д^ < Д/ < ^, 口, (69)
названы автором парами Лобачевского.
Формализм полиномов Эрмита-Билера позволяет, зная гурвицев характеристический многочлен (6.2), вычислить корни соответствующей ему положительной пары полиномов Эрмита-Билера 夕&,夕发，удовлетворяющие неравенству (6.5), а затем разбить отрицательную полуось оси действительных чисел на непересекающиеся интервалы возможных вариаций корней положительных пар полиномов Ф^г и Фн3 (3 j = 1,2) в соответствии с неравенством
0 > ^ > pi > ^ > г]1 > щ > г[1 > ...
R > 閥i > 厶 > % > % > 丄 >(6.10)
где 口2，/1，и 万户 4i = 1, m, j = 1, L, —— подлежащие определению отрицательные действительные числа, являющиеся искомыми границами корней положительных пар полиномов ①Ge，①н* 3 j = 1,2.
Методом математической индукции можно доказать, что связи подлежащих отысканию корней с коэффициентами полиномов Ф^^ 口 ①％ (г, J = =1,2) определяются выражениями
① 5 (%) = (之 一任他)(之一口小—1)(z 一 W1m _ 2)(%一—
①g2(%)=(% 一 口他)(之一Em^(Z — 口口 — 2)(之一Em_3)
фhх(%) = (% 一卫七)(之一私一1)(%-nL^z 一瓦-J
①死(%) = (%一万七)(%一纟七一)(之一万七一2)(z一纟七一*
Таким образом, алгоритм решения задачи синтеза гурвицева интервального полинома D(s), сопровождающего гурвицев характеристический многочлен d(s), может быть записан в виде следующей по следовательно сти действий:
сформировать полиномы Эрмита-Билера G и Я, сопровождающие заданный гурвицев характеристический многочлен d⑶;
сформировать приведенные полиномы Эрмита-Билера 外，屮н, сопровождающие полиномы G и Я;
вычислить корни приведенных полиномов 夕&,夕笈;
разбить в соответствии с неравенствами (6.10) отрицательную полуось оси действительных чисел на непересекающиеся интервалы возможных вариаций корней, найденных на предыдущем шаге. При этом следует исходить из условия, чтобы восстановленные по границам этих корней коэффициенты приведенных полиномов Эрмита-Билера Фсг и ^я^-(分,7 = =1,2) сопровождающие полиномы %?g, ^и, составляли пары Лобачевского, удовлетворяющие неравенствам (6.9);
выбрать верхнюю и нижнюю границу коэффициента &i, исходя из следующих условий, вытекающих из (6.8):
一 для нечетного п:
°9013«! < minJ''居'°9013«! < minJ''居'(6Л1)(6Л1)J〉maxJ〉maxазаз0707«11015«11015
°9
013
«! < min
J''居'
°9
013
«! < min
J''居'
(6Л1)
(6Л1)
J〉max
J〉max
аз
аз
07
07
«11015
«11015
«1 >
«1,
°5
«9
«13
аз
07
«11
«15
«1〉
工
IT
Ж5
一 для четного п:
0909cmcmаз07ай015j〉maxаз07ай015j〉max< ПИП СП,尸,< ПИП СП,尸,«1 >«1 >05°9013户2Рб05°9013户2Рб&1 >&1 >азаз«11«11015015
09
09
cm
cm
аз
07
ай
015
j〉max
аз
07
ай
015
j〉max
< ПИП СП,尸,
< ПИП СП,尸,
«1 >
«1 >
05
°9
013
户2
Рб
05
°9
013
户2
Рб
&1 >
&1 >
аз
аз
«11
«11
015
015
сформировать гурвицев интервальный полином (6.3) в соответствии с (6.8)"
Отдельно остановимся на формализации процедуры разбиения полуоси действительных чисел на непере с екающие ся интервалы возможных вариаций корней полиномов Эрмита-Билера, исходя из условия, чтобы восста™ новленные по этим вариациям полиномы составляли пары Лобачевского.
Из соображений краткости названия этой операции будем называть ее процедурой размывания корней.
Альтернативные формы записи формул Виета
Рассмотрим характеристический многочлен (6.2). Как известно, связь коэффициентов а〃 этого многочлена с его корнями Л^, г = 1, п, описывается формулами Виета, которые можно представить в виде
二一Xi — А2_入3一 An =一^^ Ajx,
«1=1
&2 =入1 (尢 + Аз + . .. + An-i + An) + 入2(入3 + ■ • • + An_i + An) + ...
+—2 (入九―1—1［尢1［尢2 )，
q3 =一入1入2(入3 +入4+.•.+入九—1 +入九)一入1入3(入4 +入5 +.•.+入九一1 +入九)-• • .
• • • — Л1ЛП^1ЛП —入2入3(入4 + 入5 + • • • + An-1 + An) — ^2 An-l^n —•
П — 2/?£ — 1/ 71\\
• • -1-〉］尢i (〉［尢2 (〉［尢з )卜
= (―1)几 1 ［AiA2 . "" Ап^зЛп^2(Ап^1 + An)+= (―1)几 1 ［AiA2 . "" Ап^зЛп^2(Ап^1 + An)++ AiЛ2 ... Ап^зЛп^1Лп + ... + A2A3 ... ЛП^1ЛП］+ AiЛ2 ... Ап^зЛп^1Лп + ... + A2A3 ... ЛП^1ЛП］
= (―1)几 1 ［AiA2 . "" Ап^зЛп^2(Ап^1 + An)+
= (―1)几 1 ［AiA2 . "" Ап^зЛп^2(Ап^1 + An)+
+ AiЛ2 ... Ап^зЛп^1Лп + ... + A2A3 ... ЛП^1ЛП］
+ AiЛ2 ... Ап^зЛп^1Лп + ... + A2A3 ... ЛП^1ЛП］
а??, = (—1)入工--* ^n =
21=1'22=e1+1'
Введем обозначения:
а —— col ［q］,.. . , q九］,A —— col ［Aj_,. . ♦, X九］.
С учетом этих обозначений вышеприведенные формулы Виета можно записать в векторно-матричной форме в двух альтернативных вариантах.
Вариант 1 левая верхнетреугольная форма:
а = Жь(Л2...,Лп)Л,(6.12)
"—1
-1
-1 •..
-1
-1=
说2
W23…
我攻1
0
W31
w32
W33…
0
0
吟—1,2
0…
0
0
.Wn,l
0
0…
0
0 .
仅工歹二e 尤「 3* = 1，冗一 К
fei=j+l
仅3 = - £ 尤J £ 尤2)，j = i,n - 2,
叫=（T）" e入統（e爲2（-《£ 北
f = 2, n 1,7 = 1,n一公 + 1,
<i = (-l)nA2^-An.
(玄7}\用g_1=統_2+](玄7}\用g_1=統_2+]Вариант 2 ——правая верхнетреугольная форма:
(玄7}
\用g_1=統_2+]
(玄7}
\用g_1=統_2+]
a = Жк(Л1,...,An—i)A,—1—1 …—1—10RRRRw22W2n00C威？г 一1000…Wn — l,n — lWn — l^nм 000…0wRn一= e 尤1，7=0,a = Жк(Л1,...,An—i)A,—1—1 …—1—10RRRRw22W2n00C威？г 一1000…Wn — l,n — lWn — l^nм 000…0wRn一= e 尤1，7=0,ЖйЖй(613)(613)
a = Жк(Л1,...
,An—i)A,
—1
—1 …
—1
—1
0
R
R
R
R
w22
W2n
0
0
C威？г 一1
0
0
0…
Wn — l,n — l
Wn — l^n
м 0
0
0…
0
wRn
一
= e 尤1，
7=0,
a = Жк(Л1,...
,An—i)A,
—1
—1 …
—1
—1
0
R
R
R
R
w22
W2n
0
0
C威？г 一1
0
0
0…
Wn — l,n — l
Wn — l^n
м 0
0
0…
0
wRn
一
= e 尤1，
7=0,
Жй
Жй
(613)
(613)
J = 3,n,J = 3,n,
J = 3,n,
J = 3,n,
崂二 (T)" e ^1 e 尤2 *
目1=1'包=红+1
г = 2, n 1, j = г, n 1;
wn,n = ("~~l)nAi . . . An—i•
Нетрудно видеть, что по построению:
Г) матрица Жь не зависит от корня Л^;
матрица Жд не зависит от корня Лп;
в случае отсутствия нулевых корней обе матрицы невырождены.
Покажем теперь механизм использования полученных формул 3)(6.12), (6.13) в процедуре размывания корней согласно неравенству (6.10). Смысл этого механизма состоит в том, что на основании этих формул Виета при произвольном размывании границ корней остальных корней образование пар Лобачевского можно подчинить границам либо корня Л% либо корня Лп.
Формализм «размывания» корней в случае четной степени характеристического многочлена
Сформулируем задачу: требуется сконструировать пару Лобачевского, сопровождающую полином 屮@, т. е. удовлетворить неравенствам
(m卅МГm 一2, U_ 3' ，一)<济 <
8i (从酬? M m —2 7 从伍—3〉*"*), f = 1, 3, 5, . . . , (6.14)
一内(4伍型炭—J -2)旦根_3,…)< -%<
-邑 j (巴标 Mm —1，M…)i J = 2, 4, 6,....
Введем обозначения:
М = col [.
8G = col[ Gf,
一務:第，一第:
Bq = col
Bq = col
[8f, [暂,
Дт 2 号
М = col [ •
■ • 5 必 m —3,
伐 m，—2
М = col [ •
"—1—1… 一1
TU女TU务T或m _ l0
=
£隔 wf2 • • •00
—■ wjjW42• • •00
^Подчукаев К Л., Светлов И. М Аналитический метод построения гурвицевых интервальных полиномов // АиТ. — 1996. — № 2. — С. 89—100*
С учетом этих обозначений неравенства (6.14) на основании формулы (6.12) можно записать в векторно-матричной форме:
互G = ЖЬ(М)> < BG = WLM <BG = ЖЬ(М)М- (6.15)
Последнее неравенство позволяет при заданных границах возможных вариаций корней, начиная со второго, удовлетворяющих неравенству (6.10), найти границы возможных вариаций корня 从1 (从工,口工)，при которых полиномы ①Gi,①G2 образуют пару Лобачевского.
Отметим, что при «размывании» корней р^ (j = 2, m) следует учитывать тот факт, что границы возможных вариаций для корней 〃勿(i = 1, L) должны быть таковы, чтобы соответствующая этим корням пара полиномов Фях, Фя2 была бы парой Лобачевского.
Формализм «размывания» корней в случаенечетной степени характеристического многочлена
В этом случае построение пары Лобачевского ①Gi，^g2 производится так, как это описано выше.
Сформулируем задачу: требуется сконструировать пару Лобачевского, сопровождающую полином ^н, т. е. удовлетворяющую неравенствам 云国七也—戸「2也< ДГ——3,…))
£ = 1,3,5,(6.16)
一%(勿 ) 4£ _1)勿-2，4 2 _ 3，，…)( -% < -3 (%)%一1，生.2，/一3，* "
7 = 2,4,6,
Введем обозначения
石笈=col [ /3『，-第,G? 5,
Вн = col [,-吃)。『，—g：>
4 = col
N = col [...,
^7 L — 3 ?
7?乙—2 T
N = col
4一，
五—2,
N = col
无—3,
—1
—1
0
т處
т虑
nz冗=
0
0
w33
… w^L
0
0
0
…-с。％
С учетом этих обозначений неравенства (6.16) на основании формулы (6.12) можно записать в векторно-матричной форме
Вя = Wr(N)N < Вн = WrN <Вн = Wr(NJN. (6.17)
Последнее неравенство позволяет при заданных границах возможных вариаций корней 〃分，(i = 1,厶一1), удовлетворяющих неравенству (6.10), найти границы возможных вариаций корня 〃厶 (〃厶，万厶),при которых полиномы Фн1? Фн2 образуют пару Лобачевского.
Следует отметить, что при «размывании» корней 〃勿(勿= 1,厶一1) необходимо учитывать тот факт, что интервалы возможных вариаций корней д^ (J = 1, т) должны быть таковы, чтобы соответствующая этим корням пара полиномов ①g「①G2 могла быть парой Лобачевского.
Пример 6.1. Рассмотрим характеристический многочлен 5-го порядка
d ⑶=$ + 2s4 + 10s3 + 12s2 + 16s + 10.
Представим его в виде полиномов Эрмита-Билера
d ⑶=G(s) + sH(s),
G(6)= 2s4 + 12s2 + 10 = qwg ⑶=2(%2 + 6% + 5) = 2(% + 1)(г + 5),H(s) = ^4 + IQs2 + 16 = %?h(^) = * + 10г + 16 = (% + 2)(% + 8).
Нетрудно видеть, что исходный характеристический многочлен является гурвицевым, поскольку сопровождающие его полиномы Эрмита-Билера составляют положительную пару:
0 > [Д1 = 一1] > 切 1 = 一2] > [д2 = -5] > 切2 = -8].
Сконструируем сопровождающую полином 屮 g пару Лобачевского
@Gi⑴=(一生)(% _丽)=%2"
@G2 ⑶=(一口2)(一公)=%2+ 或，
где 0 > ^! >> дх > -2 > д2 > -5 > д2 > -8.
Примем д2 = —6,5; "2 = — 3 J и построим неравенство (6.15):
—131(*2)—131(*2)—10—103 儿23 儿2<<—1—?021 (42)—1—?021 (42)—10—10MiМ2MiМ2—15—156—56—5<<<<8：-驾8：-驾"—1_ W21(M2)"—1_ W21(M2)—10—10"1"1一16,5一16,5一10一10—6,5—6,5
—1
31(*2)
—1
31(*2)
—1
0
—1
0
3 儿2
3 儿2
<
<
—1
—?021 (42)
—1
—?021 (42)
—1
0
—1
0
Mi
М2
Mi
М2
—1
5
—1
5
6
—5
6
—5
<
<
<
<
8：
-驾
8：
-驾
"—1
_ W21(M2)
"—1
_ W21(M2)
—1
0
—1
0
"1
"1
一1
6,5
一1
6,5
一1
0
一1
0
—6,5
—6,5
откуда следует
—樣1 + 3,1 < 6 < —〃] + 6,5〉一2,9; 从1 < 0,5;
3,1m]< -5 < 6,5"i 今
bi > (―工=—0,7692307)> —2,9;
公 < 挤~ = —1,6129032)< 0,5.
Полученные неравенства позволяют принять д1 = —0,1; / = —1,7 и, тем самым, определить искомые коэффициенты пары Лобачевского в виде 3； = 6,6; g； = 4,8； 3； = 5,27; ^ = 0,65.
Поскольку рассматриваемый многочлен имеет нечетную степень, то для построения пар Лобачевского Фн1? Фн2 воспользуемся неравенством (6.17).
Примем 万 1 = —1,701; % = —3,099;万？ = —6,501, т е. близкими к соответствующим корням д^ с точностью до 0,001 (согласно [3] —— «интервалу неулучшаемости» конструируемого интервального полинома). Выпишем для нашего случая неравенство (6.17):
—1 —11 Г —3,09903,099 J [%—1 —11 Г —3,09903,099 J [%—1—10— CU22(%)—1—10— CU22(%)—1о—1о—1—М?22(%)—1—М?22(%)—1—107022。〃)—1—107022。〃)1010<<8?8?0 1701 J [%0 1701 J [%
—1 —11 Г —3,099
03,099 J [%
—1 —11 Г —3,099
03,099 J [%
—1—1
0— CU22(%)
—1—1
0— CU22(%)
—1
о
—1
о
—1
—М?22(%)
—1
—М?22(%)
—1—1
07022。〃)
—1—1
07022。〃)
10
10
<
<
8?
8?
0 1701 J [%
0 1701 J [%
откуда следует
3,099 —少2 < 1。< 1,701 —卫2； 一少2〉一6,901;纟2 < —8,299;
3,099% < —16 < 1,701% 一 一6,901 < % < ( —= —5,162956
—8,299〉% 〉= —9,4062)电
Полученные неравенства позволяют принять rj2 = —6,501; 〃? = —9,4 и, тем самым, определить искомые коэффициенты пары Лобачевского в виде В： = 9,6; g； = 11,101; В? = 15,9894; g— = 20,1466.
Выберем теперь границы коэффициента ai, руководствуясь формулами (6Л1):
< min «1,= min 2, = 15,384615 = 2,
一2 」L0,65.
%〉夕=託=1,8181818,
"«5 1Г10"
«1 > max 。工， q = max 2, = 1,8975332 = 2,
[[5,27， J ，
Примем J = 1,82; &i = 2,49. Тогда окончательно искомый интервальный полином можно будет записать в виде
D(s) = s5 + [1,82; 2,49]s4 + [9,6; ll,101]s3 + [11,952; 12,0012]s2 +
+ [15,9894; 20,1466]s + [1,183; 13,1223].
Таким образом, метод «размывания» позволяет для любого заданного гурвицева характеристического многочлена сконструировать сопровождающий его гурвицев интервальный полином. При этом произвол в размывании границ возможных вариаций корней полиномов Эрмита-Билера не распространяется:
- в случае четной степени характеристиче ского многочлена ——на грани™
ЦЫ 丛],Д1 ；
—в случае нечетной степени характеристиче ского многочлена ——на границы дгд1? 7? ш；
- в обоих перечисленных случаях ——на выбор границ коэффициента 財.
Границы возможных вариаций коэффициентов, найденные по границам возможных вариаций корней, будут «неулучшаемыми» в смысле следующих расстояний, назначенных из условия перемежаемости корней:
£找=卜「色卜 i = l,m - 1;2 =卜用_小 - 1
между границами возможных вариаций соседних корней, которые можно выбирать как угодно малыми.
Анализ грубости свойства асимптотической устойчивости в пространстве состояний
Постановка задачи. Будем полагать, что:
сконструирован гурвицев интервальный многочлен (6.3), сопровождающий гурвицев характеристиче ский многочлен приведенной системы
для приведенной системы исходной является следующая система:
ж = [F(v, t)]x, ж е Rn;
переход от исходной системы к приведенной осуществлен в результате гомеоморфного преобразования
z = [W(v,t)]y,
где [Ж (d ,力)]—известная матрица. Это означает, что связь между исходной функциональной матрицей [P(d,“] и матрицей чисел G определяется соотношением кинематического подобия
G = [Ж"1^,力)P(q 力)!¥(〃 t) — Ж"1^, t)W(v.力)]=
=^^(v.^DW^.t)],
откуда следует
[P(v.力)]=[Ж(^,力)GW/T(〃 t) + 匠(〃力)％т(〃 切”(6.18)
Тем самым, исходными данными задачи анализа грубости свойства асимптотической устойчивости в пространстве состояний будем считать следующее нестрогое матричное неравенство, записанное на основе сконструированного гурвицева интервального многочлена и теоремы 5.1:
(6」9)(6」9)G W G W 3,
(6」9)
(6」9)
где
『О О1 ОG=О О о о『О О1 ОG=О О о оо— jО—OLn^lо— jО—OLn^l0一而21一江10一而21一江1『о о1 оG=О О о о『о о1 оG=О О о оО —ttnО -—an-iО —ttnО -—an-i0 一021—-«10 一021—-«1
『О О
1 О
G=
О О о о
『О О
1 О
G=
О О о о
о— j
О—OLn^l
о— j
О—OLn^l
0一而2
1一江1
0一而2
1一江1
『о о
1 о
G=
О О о о
『о о
1 о
G=
О О о о
О —ttn
О -—an-i
О —ttn
О -—an-i
0 一02
1—-«1
0 一02
1—-«1
・0
0…
0
—0 n
1
0…
0
一0九_1
G =
0
0…
0
一a2
.0
0...
1
Fl_
Требуется на основе неравенства (6.18) для приведенной системы сконструировать неравенство
(6.20)(6.20)[Р(〃“] W [Р(〃 力)]工[P(v,力)]
(6.20)
(6.20)
для исходной системы.
Переход от неравенства (6.18) к неравенству (6.19) можно выполнить с использованием связи (6.17) между матрицами исходной и приведенной систем, руководствуясь следующими определением и правилами.
Определение 6.2. Будем говорить, что матрица (обозначим ее через Д) является знакоопределенной (положительной, отрицательной, неположительной, неотрицательной), если ее элементы удовлетворяют следующим неравенствам (соответственно):
а订〉0, оjj < 0, а〃/ W 0, а〃小》0.
Правила 6.1. Если матричное неравенство умножить слева (справа):
на положительную матрицу, то получим равносильное неравенство того же знака;
на отрицательную матрицу, то получим равносильное неравенство противоположного знака;
на неположительную матрицу, то получим нестрогое неравенство противоположного знака;
г) на неотрицательную матрицу, то получим нестрогое неравенство того же знака.
Правило 6.2. Матричное неравенство остается равносильным, если ко всем его частям прибавить (отнять) матрицу того же размера.
Отметим, что правило 6.2 касается слагаемого [Ж(v, t^W^1^, t)] в соотношении (6.17).
Поскольку матрица общего вида Л является знакопеременной, то для использования правил 6.1 ее можно разложить на сумму неположительной и неотрицательной матриц
4 = 4—+ Д+, где А_ ——неположительная и Л+ ——неотрицательная матрицы.
В свете изложенного (6.17) можно представить в виде
[Р(% 力)]=[%(〃 "G%t(% t) + W„(v, ^GW^iv, f)+
+ Ж^(г；Л)(7Ж+"1(г；Л) + Ж^(г；Л)(7Ж+"1(г；3) +
+ 吗(〃 t^GW^iv,力)+ 昨(〃 t^GW^iv,力)+ 匠(〃 ^Ж"1^,力儿
откуда отдельные фрагменты процедуры перехода от неравенства (6.18) к неравенству (6.19) могут быть представлены в виде
"+T(〃 t)GW+(v,力)]W "+一/，t)GW+(v, t)]G W
方)百(6.21)
W "_7(〃力)百忆(%方儿
”一T(tM)GW+(tM)]》"一T(tM)GW+0M)]G》
》"二(%力)不咋(4力儿
"+-1(%力)g以(〃用》[W^Xv.t)GW^ivJ^G》
Поскольку два последних неравенства являются неравенствами противоположного знака по отношению к первым двум, то результат сложения всех этих неравенств будет непротиворечив, если разложение матриц общего вида на сумму неположительной и неотрицательной матрицы подчинено условиям
т(* t)W+(^,用=[Ж^"1^^)^^^)]^ =
=[W—т(* ^)СЖ+(г；Л)], (6.22)
[忆-1(〃方)GW_(w力=[忆一1(牛方)GW一(〃力)依=
=[忆-1(〃力)3方一&/)]*
Пример 6.3. Рассмотрим матрицу общего вида
[2「
которая подобна матрице Крылова-Люенбергера
G 1 —9
с матрицей подобия
В рассматриваемом примере неравенство (6.18) можно записать в виде
0—@2V°—2v°—а 2
1f&1 -9&1-d；)
где 0 < «1 < 2 < а% 0 < «2 < 9 < tt2-
Ж"1 = %т + W—TЖ"1 = %т + W—T++Поскольку матрица Ж ——неотрицательна, то нет необходимости раскладывать ее на сумму неположительной и неотрицательной матриц (W^ = =02), в отличие от матрицы Ж™1, которую представим в виде
Ж"1 = %т + W—T
Ж"1 = %т + W—T
+
+
"1 ^0,5(ai + а2)"
2-М] &
"0 0
0 0
"0 —0,5 ・
0—1
2 ^5 W 2 —35(旦金「旦 2) , (6.23)
"_ Г 0 0 1 _ Г 0 0 ~
=[0 0 J = [ 0 0 J ?
—"0 -0,5 1 _ Г 0 -0,5 "
—о[ 0—1 J
2 0
0 1
0 —1
00
В нашем случае неравенства (6.20) примут вид
0 ОО о0 ОО оо оо оо оо оо оо оо оо о
0 О
О о
0 О
О о
о о
о о
о о
о о
о о
о о
о о
о о
Поскольку условия (6.21) выполняются, сложение всех соотношений (6*22) дает искомое неравенство
1—0,5(1+ 衣1+衣2)2—1 —(ii1—0,5(1+ 衣1+衣2)2—1 —(ii1—62 —101—62 —101 —0,5(1 + j + « 2)2—1 — J1 —0,5(1 + j + « 2)2—1 — J
1—0,5(1+ 衣1+衣2)
2—1 —(ii
1—0,5(1+ 衣1+衣2)
2—1 —(ii
1—6
2 —10
1—6
2 —10
1 —0,5(1 + j + « 2)
2—1 — J
1 —0,5(1 + j + « 2)
2—1 — J
ВЫВОДЫ
Таблица 6.2
Продолжение хронологии становления анализа устойчивости в ТАУ и началохронологии анализа грубости свойства асимптотической устойчивости
Год
Персонификация
Вклад
1851
Ш. Эрмит
Критерий расположения корней в левой полуплоскости (критерий перемежаемости корней полиномов Эрмита-Билера)
1876
И. А. Вышнеградский
Введение понятия границы устойчивости (на диаграмме Вышнеградского)
1936
А. В. Михайлов
Частотная интерпретация критерия устойчивости Эрмита-Билера
1956
Н. Н. Красовский
Понятие грубости «абстрактного» свойства движений математической модели, грубость свойств асимптотической устойчивости и неустойчивости
1978
В. Л. Харитонов
Необходимые и достаточные условия гурвице- вости интервального полинома
1985
В. А. Подчукаев
Необходимые и достаточные условия гурвице- вости интервального полинома В. Л. Харитонова с использованием формализма полиномов Эрмита-Билера, понятие положительной пары полиномов Лобачевского
Таблица 6.3
Азбука метода «размывания» конструирования гурвицева интервального полинома
№ п/п
Содержание
Формулы
1
Исходные данные
Гурвицев многочлен
det [Ens — Р] = d(s)=
=L + ^2 a%sn-% = 口(s - А») = 0
2
Представление исходного полинома по сред™ ством полиномов Эрмита-Билера
d(s) = G(a『£》2》&九一4?由《 J +
G(^OLn Qn — 25 ttn —4? * * «)=
= a『i + an,—2$ +a『£—4$ += G (z)=
=%^G(Z),
Bg(z) =「[(% — Дг) = o? Z = S
1》a^—3》a九—5》曲心J =
=Qn —1 + ttn —3 $2 + a^ —5s 十 ® …="(2)=
“⑶= П (z 一小)=0
i = l
3
Разбиение отрицательной полуоси действительных чисел на непере секающиеся интервалы возможных вариаций корней полиномов
Эрмита-Билера
^ > ^1± > 111 > ^ > 1]1 > f]l > ^ > ...
• ”.〉z〉加〉必〉通〉9〉%〉" … 瓦"以”办，岂7 (分=1»2), (J = 1, ^)
4
Нахождение (правой) левой границ по формулам Виета
о) случай четной степени характеристического многочлена d(s);
6) случай нечетной степени характеристического многочлена d(s)
Найти границы:
一 Д1(д 1? ^) по формуле (6.15), для которых полиномы Фсх, 0G2 образуют пару Лобачев- ского;
— 刀厶(刀厶，勿厶)по формуле (6.16), при которых полиномы Фн1, @日2 образуют пару Лобачевского
Таблица 6.3 (Продолжение)
№ п/п
Содержание
Формулы
5
Выбор верхней и нижней границ коэффициента &1, исходя из неравенств
—для нечетного п:
.&5 &9 М3
< mm声
L 22J
аз &7 ail «is
j〉max方
LP1 Рз Р5 %」
—&5&9&13
［短"涼J
—аз а? ан М5
—для четного n:
.a5 a9 m3
a 1 < тш m,；百,~-™ГТ*
L h
аз &7 «11 «15
鱼1〉max,
LP1 Рз Н5 Н7」
—а5 a9 мз
L 0染馥J
Таблица 6.4
Перечень введенных определений
Порядковый номер определения
К чему относится
6.1
Понятие грубости некоторого «абстрактного» свойства движений модели (определение Красовского)
6.2
Понятие знакоопределенной матрицы
УПМЖПЕПИЯ
Методом математической индукции докажите справедливость следующих комбинаторных тождеств в отношении пары полиномов Лобачевского
@G2 ⑴=zm+^zm^^zm^+^zm^^zm^ + …=
=（之 —--"小一2）（%-
Сконструируйте гурвицев интервальный многочлен, сопровождающий следующий гурвицев полином
d（s） = /+16,4s5+107,4/+364,2s3+1146,5s2+771,2s + 292,1.
ПОСЛЕСЛОВИЕ К АНАЛИЗУ
Объектом исследований в анализе является заданная математическая модель объекта управления.
В процессе анализа преследуются две цели.
Приведение математической модели к виду, отвечающему условиям корректной в смысле Адамара постановки задачи синтеза (анализ структурных свойств математической модели ——автономность s с/иь/о ле Вознесенского, полиинвариантность, стабилизируемость, структурная устойчивость или грубость математической модели, управляемость):
—существование решения (свойство управляемости (гл. 3); декомпозиция модели, если это необходимо, на полностью управляемую и полностью неуправляемую подсистемы; анализ устойчивости неуправляемой подсистемы (гл. 5, параграфы 5*2—5.4); анализ стабилизируемости полностью управляемой подсистемы (гл. 5, параграф 5.6);
—единственность решения (в случае векторного управления ——развязка по Вознесенскому многосвязной системы (гл. 2, параграф 2.4)——свойства автономности м полиинвариантности);
^устойчивость решения к малым изменениям исходных данных (анализ структурной устойчивости математической модели (гл. 4)).
Анализ качественных свойств математической модели (грубость свойства асимптотической устойчивости по Ляпунову, орбитальная устойчивость предельных циклов, поведение при наихудших внешних воздействиях, приводимость по Ляпунову, приводимость s смысле Эйлера, П- приводимость, точность и качество переходных процессов, устойчивость по Ляпунову)'.
-устойчивость по Ляпунову (гл. 5, параграфы 5*2—5*4); в случае асимптотической устойчивости по Ляпунову ——анализ грубости свойства асимптотической устойчивости (гл. 6); анализ точности и качества переходных процессов (гл. 2, параграфы 2.2^2.3); анализ поведения при наихудших внешних воздействиях (гл. 1, пункт 1.5.1);
-приводимость (по Ляпунову (гл. 5, пункт 5.2.2); s смысле Эйлера (гл. 5, замечание к параграфу 5.4); П-приводимость (гл. 5, пункт 5.2.3), в случае И- приводимости ——анализ орбитальной устойчивости предельных циклов (гл. 1, пункты 1.3.2, 1.3.3; гл. 5, параграф 5.5)).
После проведения анализа возможны два варианта дальнейшего развития событий:
в лучшем случае выяснится, что объектом не нужно управлять, поскольку основным принципом разработчика современных систем автоматического управления является «не навреди», как это принято у медиков (в ТАУ современным названием этого принципа является термин «синергетическая теория управления»);
в худшем случае объектом придется управлять. И здесь, к сожалению, сколько людей занималось теорией синтеза систем автоматического управления, столько и методов предложено для различных частных постановок задач синтеза.
В случае, когда актуальным является второй вариант, предпочтительным является минимальное «использование скальпеля», носящее название параметрического синтеза (гл. 2, параграф 2.2, этап накопления знаний: историческая справка).
В43ДЕЛ II
СИНТЕЗ СИСТЕМАВТОМАТИЧЕСКОГОУПМВЛЕНИЯ
ГЛАВА 7
ЗАДАЧА СТАБИЛИЗАЦИИ: СИНТЕЗ ЗАКОНОВУПРАВЛЕНИЯ РЕГУЛЯРНОЙ СТРУКТУРЫ
Синтез обратной связи,исходя из желаемого распределения корнейхарактеристического уравнения замкнутой системы
Задача модального управления: случай скалярного управления
В 1962 г. задача И. А. Вышнеградского о распределении корней характеристического уравнения замкнутой системы (п = 3) в левой полуплоскости была обобщена Розенброком на п-мерный случай, получив название задачи модального управления. Хотя в русской математической литературе вместо термина «мода» используется понятие «корень», введенный Розенброком термин вытеснил название «задача распределения корней». Применительно к объекту управления
ж = Рх + 6% ж е Яп, и е R1,(7.1)
где ж ——вектор состояний, и ——управление (скаляр), Р и В ——заданные матрицы чисел соответствующих размеров, под задачей модального управления подразумевают синтез закона управления (организованного по принципу обратной связи)
〃 =(7*2)
где С丁 ——искомая матрица параметров этого закона, 丁 ——символ транспонирования, при котором матрица F системы, полученной замыканием объекта управления (7.1) регулятором (7.2),
ж = [Р ВСт]х = Fx(7.3)
имеет корни, удовлетворяющие неравенствам
Re А^ < 0 (i = 1, n),
т. е. замкнутая система является асимптотически устойчивой по Ляпунову, или, что то же самое, матрица F ——гурвицева.
При этом назначение корней характеристического (минимального) многочлена замкнутой системы производится, исходя из желаемых точности и качества переходных процессов, в соответствии с корневыми показателями качества А. А. Фельдбаума, описанными во второй главе. С учетом замечания 6.1 к главе 6 во избежание всплеска решений в начальный момент времени по производным от вектора состояний рекомендуется назначать характеристический многочлен в виде двусторонне приведенного полинома Вышнеградкого.
Одним из способов назначения полиномов типа И. А. Вышнеградского является предложенный Баттерворсом способ симметричных полиномов:
由(石)=s + 1;
d2(5)= s2 + 1,4124s + 1;
d^(s) =(8 + l)(s2 + 石 + 1);
匾(石)=(石2 + 0,7654s + 1)(石 2 + 1,8478s + 1);
d5(s) = (s + l)(s2 + 0,6180s + l)(s2 + 1,6180s + 1);
4(s) = (s2 + 0,5176s + 1)(/ + 1,4142s + l)(s2 + 1,9319s + 1);
d7(s) = (s + l)(s2 + 0,4450s + l)(s2 + 1,2470s + l)(s2 + 1,8019s + 1);
d8(s) = (s2+0,3902s+l)(s2 + l,lllb+l)(s2+l,1663s+l)(s2 + l,9616s+l); d9(s) = (s+l)(52+0,3473s+l)(s2+s+l)(s2+l,5321s+l)(s2+l,8794s+l), коэффициенты которых приведены в табл. 7.1.
Т а б л и ц а 7.1
п = 2
п = 3
п = 4
п = 5
п = 6
п = 7
п = 8
п = 9
«1
1,4124
2
2,6131
3,2361
3,8637
4,4940
5,1258
5,7588
&2
1
2
3,4142
5,2361
7,4641
10,0978
13,1371
16,5817
аз
1
2,6131
5,2361
9,1416
14,5918
21,8462
31,1634
см
1
3,2361
7,4641
14,5918
25,6884
41,9864
«5
1
3,8637
10,0978
21,8462
41,9864
1
4,4940
13,1371
31,1634
&7
1
5,1258
16,5817
«8
1
5,7588
«9
1
Этим полиномам соответствуют переходные характеристики, изображенные на рис. 7.1.
В случае скалярного управления аналитическое решение задачи модального управления получено Ю. Аккерманом [39]. Оно базируется на тождестве Гамильтона-Кэли, которому должна удовлетворять матрица F замкнутой системы
戸 + aiFn^ + &2 尸—2 + …+ 产 + anEn = 0n, (74)
где di, i = 1)n,——заданные, исходя из требований к точности и качеству управления, коэффициенты характеристического многочлена замкнутой системы, Е九,0П ——единичная и нулевая матрицы размера n х п соответственно.
〃⑺
—0,2 III
0246810 1214 16 18 20
Рис. 7.1
Методом математической индукции Ю. Аккерман доказал следующую формулу:
歹，=Р，+ £ P^^[BCT]Fj^\(7.5)
подстановка которой в (7.4) дает
WVV = ^f(Pl(7*6)
где введены обозначения
Ж = [В.РВ^.^Р^В].
Г =Г =®п —1®п —2®п—-3«п™2 &九一з«п^4а^, —зttn —4а^х —5«2&11«110100®п —1®п —2®п—-3«п™2 &九一з«п^4а^, —зttn —4а^х —5«2&11«110100&2 «11о о о&2 «11о о о«11оо о о«11оо о о1 о оо о о1 о оо о о
Г =
Г =
®п —1®п —2®п—-3
«п™2 &九一з«п^4
а^, —зttn —4а^х —5
«2&11
«110
100
®п —1®п —2®п—-3
«п™2 &九一з«п^4
а^, —зttn —4а^х —5
«2&11
«110
100
&2 «1
1
о о о
&2 «1
1
о о о
«11о
о о о
«11о
о о о
1 о о
о о о
1 о о
о о о
ст
CTF
V =
CTFn^2(JT FnT
/(F)=片+ a1仪一1 + a2产一2 +…+ a吁产+拠石入
Из (7.6) видно, что ганкелева матрица Г (или матрица с одинаковыми элементами на побочных диагоналях) невырождена по построению. Сле™ довательно, в условиях невырожденности матрицы управляемости Крыло™ ва Ж из (7.6) имеем
丿=—(7.7)
т. е. первая строка матрицы левой части (7.7) определяет искомую матрицу параметров закона управления СТ.
Задача модального управления: случай векторного управления
В случае векторного управления формула (7*6) не применима, по сколь™ ку в этом случае дает о себе знать проблема много связно сти, которая проявляется в том, что матрица управляемости становится прямоугольной (размерами 几 х пт). Существо возникающей проблемы в том, что для прямоугольных матриц понятие обратной матрицы не определено. Другими словами, система линейных алгебраических уравнений (7.6) не доопреде™ лена и имеет неединственное решение.
Предложенное автором доопределение D основано на использовании индекса управляемости или наименьшего положительного числа к, при котором матрица управляемости набирает полный ранг:
rank Ж = rank [В, РВ,. . ., Рк^В] = n, u е Rm. m > 1.(7.8)
Тогда в предположении [3]
mk =几(7.9)
матрица управляемости Крылова будет квадратной и невырожденной, а собственно модификация задачи векторного модального управления сводится к назначению вместо желаемого характеристического многочлена замкнутой системы степени 几 желаемого минимального многочлена этой системы степени к. Поскольку минимальный многочлен будет аннулирующим мно гочленом замкнутой системы, последняя будет удовлетворять следующему тождеству типа Гамильтона-Кэли:
Fk + aiF^ + &2 W + …+ tt^xF + akEmk = %以，(7」0)
сверткой которого в соответствии с формулой (7.5) Аккермана является тождество (7.6) с той лишь разницей, что участвующие в нем матрицы определяются выражениями
Ж = [В.РВ^.^Р^В],
a« — i Ет
а«—2 Ет
(^2Ет
(^1Ет
Ет "
а«—2 Ет
а 心—4 Ет 电 ® »
ai Em
Ет
©т
—3
а 匈—4 Ет
5…對
Ет
0-т
0-т
Г =
Ет
ai Ет
Ет...
Ет
Ет
事 еm
V =V =CTF
V =
V =
CTFk^2
СТ F^1
/(Р) = 6+ а2Рк^2 + …+ 飙―J + 3宀&
При этом первые т строк матрицы левой части (7.7) будут давать искомую матрицу СТ параметров закона управления (7.7).
Замечание 7.1. Если тк》п, т. е. mk —几= /?(/?》0)，то удовлетво™ рить условию (7.9) можно за счет «фиктивного» расширения размерности вектора состояний mk = п^р путем введения вспомогательной полностью управляемой подсистемы, определяемой следующими матрицами расши™ ренной системы:
Р =Р =Р Опхр ©пХр ФР Опхр ©пХр ФВ =В =ВфВф
Р =
Р =
Р Опхр ©пХр Ф
Р Опхр ©пХр Ф
В =
В =
Вф
Вф
(здесь через Ф, 6① обозначена полностью управляемая пара матриц вспо™ могательной подсистемы размерами р х рп р х т соответственно).
При таком расширении вектора состояний матрица управляемости рас™ ширенной системы
W =［百戸瓦…，戸…瓦=^
будет квадратной (размерами mk x mk\ состоящей из двух клеток Ж1 = =[В, РВ.... , Рк^1В], Ж2 = [Вф, ФВф,... , Ф^^1^] таких, что rank Ж1 = п, rank Ж2 = р, и невырожденной по построению.
Что касается произвола при выборе пары Ф, Вф, то можно рекомендо™ вать в качестве матрицы ① выбирать матрицу в форме Фробениуса, корнями характеристиче ского многочлена которой являются р корней назначенного минимального многочлена, аннулирующего матрицу 尸，определяемую соотношением
戸戸尸 ©nxpФ尸 ©nxpФр + вст е„хр必“фр + вст е„хр必“ф
戸
戸
尸 ©nxp
Ф
尸 ©nxp
Ф
р + вст е„хр必“ф
р + вст е„хр必“ф
а в качестве матрицы 6① принимать матрицу, т—1-столбцов которой нулевые, а один из столбцов имеет вид ер = со1[0,. • • , 0 ,1].
1р
Тогда сверткой равенства
будет
ЖГУ = ^/(Р),(7Л1)
где
，矿=[。7,面")=[1
/(ф)=①靑 + Q1 ① Z+ …① + dkEp.
Поскольку матричный многочлен /(Ф) можно представить в виде про изведения двух приведенных многочленов:
/(Ф)=(①0+ a1 ①01 + * …+ a夕-1 ① + dpEp^ x
x (①靑一。+ ai①к一0-1 + . . . + а靑① + а^^pер)^
первый из которых аннулируется матрицей Ф (поскольку является характе™ ристическим многочленом этой матрицы), то /(Ф)二 露* Следовательно,
〃戸）=〃戸）=/(П Опхр^n X Р ^р/(П Опхр^n X Р ^р
〃戸）=
〃戸）=
/(П Опхр
^n X Р ^р
/(П Опхр
^n X Р ^р
Вводя обозначение Ж Г 二 N и принимая во внимание невырожден™ ность матриц Ж, Г, из (7.11) получим с учетом правил перемножения блочных матриц
D=—N-1/(戸)=D=—N-1/(戸)=% Опх% Опх
D=—N-1/(戸)=
D=—N-1/(戸)=
% Опх
% Опх
т. е. О^ = ОтоХр- Тем самым, искомая матрица параметров закона управ™ ления будет определяться первыми m-строками матрицы ¥i.
Пример 7.1. Рассмотрим боковое движение осесимметричного лета™ тельного аппарата, описываемое уравнениями [26]:
'Ж1 = Р11Ж1 + Р12ж2 + Ьпгц,
由 2 = Жз,
《 Жз = 031^1 + @32^2 + Ьз1〃1,
由 4 = Ж 5 ,
к Ж5 = 652 〃2 ,
где Ж1 ——скорость бокового сноса; ж2 —угол рыскания;①з ——угловая ско
рость по оси рыскания;宓4 ——угол вращения;宓5 ——угловая скорость по оси
вращения; ui ——угол отклонения руле™ вых органов стабилизации рыскания и бокового сноса; и2 ——угол отклонения рулевых органов стабилизации враще™ НИЯ； Рп, Р12, Рзь 卩32 ——аэродинамические коэффициенты; Ьц, b3i, Ь52 —коэффициенты эффективности управления.
Рулевые органы управления дви™ жением осе симметричного летательно™ го аппарата выполнены в соответствии с рис. 7.2.
Для управления движением в боковой плоскости служат I и III (вертикальные)
газовые рули. Отклонением этих рулей в одну сторону на одинаковый угол
достигается стабилизация рыскания и бокового сноса. Стабилизация вра™ щения обеспечивается разворотом этих рулей в противоположные стороны. Таким образом, управления ?叮，u2 определяют собой отклонения одних и тех же рулей.
Численные значения аэродинамических коэффициентов и коэффициент тов эффективности управлений положим равными
Ри = -0,34; 卩 12 = -60; Р31 = -0,032; Р32 = 一6;
Ьи = —4； М = —3;匕52 = —16"
Тогда матрицы параметров объекта управления примут вид
"—0,340
—60
0
0
0 м
"—4
0 м
0
0
1
0
0
0
0
р =
—0,032
—6
0
0
0
〉в =
—3
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
—16
Анализ управляемости пары (F, В) показывает, что ее индекс управляе™ мости к = 3,工 е. rank Ж = rank [В, РВ^ Р2В] = 5, где
"—4
0
1,360
0
179,538
о м
0
0
—3
0
0,128
0
ж =
—3
0
0,128
0
17,956
0
0
0
0
—16
0
0
0
—-16
0
0
0
0
Назначим желаемый минимальный многочлен замкнутой системы в виде следующего полинома типа Вышнеградского:
s3 + 3s2 + 3s + l = (s + I)3 = 0.
Поскольку в рассматриваемом случае mk —几=1, где т = 2, к = =3, п = 5, необходимо расширить вектор состояний исходной системы до
размерности п = 6 в соответствии с технологией расширения, описанной в замечании 7.1.
Введем вспомогательную управляемую подсистему (которой не нужно управлять), определив ее следующими матрицами «расширенной» системы:
餐一0,340
—60
0
0
0
0・
四一4
0
0
0
1
0
0
0
0
0
р =
—0,032 0
—6
0
0
0
0
0
0
1
0
0
)6 =
—3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
—16
0
0
0
0
0
—1
0
1
Для принятого желаемого распределения корней характеристического уравнения замкнутой системы матрица Г из формулы (7.11) будет опреде™
ляться выражениемляться выражениемГ =Г =3邑3邑石23邑3邑石2а матрица /(F) — выражениема матрица /(F) — выражением餐 2,207—0,085234,264 — 15,080— 159,60—300000 "00,125 023,107 0— 15,08 0010300000010000000餐 2,207—0,085234,264 — 15,080— 159,60—300000 "00,125 023,107 0— 15,08 00103000000100000003邑 邑 023邑 邑 02Е^0202Е^0202
ляться выражением
ляться выражением
Г =
Г =
3邑
3邑
石2
3邑
3邑
石2
а матрица /(F) — выражением
а матрица /(F) — выражением
餐 2,207
—0,085
234,264 — 15,080
— 159,60
—3
0
0
0
0
0 "
0
0,125 0
23,107 0
— 15,08 0
0
1
0
3
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
餐 2,207
—0,085
234,264 — 15,080
— 159,60
—3
0
0
0
0
0 "
0
0,125 0
23,107 0
— 15,08 0
0
1
0
3
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
3邑 邑 02
3邑 邑 02
Е^
02
02
Е^
02
02
Искомую матрицу параметров закона управления расширенной систе™ мой получим в виде
СТСТ—0,013 —1,269 0,904000
СТ
СТ
ООО 0,063 0,125 0
Переход от расширенной системы к исходной дает следующую матрицу замкнутой системы
F =F =•—0,288— 54,925—3,6150(Г001000,007—2,194— 2,7120000001000一1—2•—0,288— 54,925—3,6150(Г001000,007—2,194— 2,7120000001000一1—2尸1©3x2©2x3尸 2尸1©3x2©2x3尸 2
F =
F =
•—0,288
— 54,925
—3,615
0
(Г
0
0
1
0
0
0,007
—2,194
— 2,712
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
一1
—2
•—0,288
— 54,925
—3,615
0
(Г
0
0
1
0
0
0,007
—2,194
— 2,712
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
一1
—2
尸1©3x2
©2x3尸 2
尸1©3x2
©2x3尸 2
Анализ показывает, что
det [E3s — Fi] = s3 + 3s2 + 3s + 1 = (s + I)3 = 0,
det [£/2$ —尸2〕= 5^ 4~ 2s 4~ 1 =(8 + 1)2 = 0,
т. e. цели, поставленные назначением минимального многочлена, достиг™ нуты.
Задача модального управления применительнок абстрактной математической модели объекта управления:синтез приводимых систем
Применительно к абстрактной математической модели в форме вход- выход
к
= и^^ zeR?/ е Rm, (712)
где z ——выход, и ——управление (первый вход), / ——внешнее воздействие (второй вход);[电(и,力)](г = 1, к)——заданные параметры объекта управления, идея модального управления формализована автором как задача синтеза приводимых систем, состоящая в выборе закона управления по принципу компенсации параметров объекта согласно равенству
к
U = £[&(〃"一仇)]之⑴)(713)
i = l
где Pi (г = 1, k)——заданные матрицы чисел размера т х т.
Результатом подстановки (7.3) в (7.2) будет следующее уравнение за™ мкнутой стационарной линейной системы:
к
之®+工仇之⑴=九(714)
желаемая динамика которой задается коэффициентами 仇.
Отметим, что приведение к форме вход-выход, не содержащей произ™ водных от управлений в правой части (7.12), описано в третьей главе. Там же описано приведение к форме вход-выход объектов управления в форме Коши общего вида. Переход к вход-выходному описанию о суще ствляется посредством гомеоморфных преобразований, являющихся ляпуновскими в случае не стационарных линейных систем, что объясняет использование в названии задачи термина «приводимый».
Замечание 7.2. Если исходное описание объекта управления задано вход-выходной формой с производными от управлений, то необходимо сначала привести эту форму к неканонической форме Фробениуса (форма™ лизм перехода описан в параграфе 3.4.1). Результатом такого перехода будет описание объекта в форме Коши:
ж = [Р(〃 t)]x +t)]u,宓 е Е： и е R7n”
Для того, чтобы матрица [6(и,力)]в этом описании приняла вид [6(и")] = ек, свойственный блочно-канонической форме Фробениуса, эквивалентной записью которой является уравнение (7.12), необходимо выполнить гомеоморфное преобразование
力="(и⑴版 у е яп,
с матрицей управляемости
t)] = [6(〃 力)，06(〃 力)，一一 D^B^, t)],
где к индекс управляемости, D дифференциальный оператор, порож™ денный дифференциальным выражением
。=[F(v,力)]一 Етк^ (•).
Результатом преобразования станет переход к блочно-канонической форме Крылова-Люенбергера
У =[戸(〃力)]g + \B(v,t)]u,
где—
[月(〃力)]=色))一〃(〃力儿
[Н(и, t)] = col [&(% i),. . ., h《％ 力)]=[屮一i(〃 t)Dk^1B(v,力儿
[否(〃力)]=\W^(v, t)B(v, t)] = eb
Описанный в параграфе 3.3 переход от канонической формы Крылова- Люенбергера к форме вход-выход типа (7.12))можно осуществить в ре™ зультате следующих гомеоморфных преобразований.
Введем в рассмотрение блочно-каноническую форму Фробениуса
[нu,力)]=• • •Gk(% 力)][нu,力)]=• • •Gk(% 力)]Q =产(吃切g + e^ ?&)Em^m日mEmQ =产(吃切g + e^ ?&)Em^m日mEmUmEm—Gi (丝力)LUmEm—Gi (丝力)L
[нu,力)]=• • •
Gk(% 力)]
[нu,力)]=• • •
Gk(% 力)]
Q =产(吃切g + e^ ?&)
Em^m
日mEm
Q =产(吃切g + e^ ?&)
Em^m
日mEm
Um
Em
—Gi (丝力)L
Um
Em
—Gi (丝力)L
где 24rd =仇,E = CI,汝m〃 t)]=它0吊同1)(〃 力)]”
Тогда переход от нее к блочно-канонической форме Крылова—Люенбергера можно осуществить в результате гомеоморфного преобразования
где [Ж(V, t)] матрица управляемости пары [Р(ж, t)], т. е. матрица, определяемая выражением
[1¥(V, t)]=自,万〃，万2 一 %")万=[戸(〃力)]一 етк^, (0 "
Тем самым формализацией обоих гомеоморфных преобразований явля™ ется выражение
宓="(〃力)历="(%"]"© 力)「％, у е Яп, g е Rn.
Влиять на расположение корней замкнутой системы можно заданием матриц Pi в виде диагональных матриц, что влечет за собой распадение замкнутой системы на т односвязных подсистем (типа один вход ——один выход), другими словами, происходит развязка замкнутой системы на т автономных в смысле Вознесенского подсистем.
Выбор диагональных матриц 仇 (г = 1, к) возможен в одном из следующих альтернативных вариантов:
Pi = 7i Ет (г = 1)к). В этом случае все т одно связных подсистем имеют один и тот же характеристический многочлен с коэффициентами Pi (i = 1, к), являющийся, в свою очередь, минимальным многочленом замкнутой системы.
Pi = diagf/3^1,...,仇加]* В этом случае каждая из т односвязных подсистем задается своим характеристическим многочленом /3叮 (i = = 1, k; j = l〉m), произведение которых образует характеристический многочлен замкнутой системы.
Пример 7.2. Рассмотрим угловое движение искусственного спутника Земли, описываемое системой уравнений в форме Коши [4]:
ж = [Р(ж,力)]宓 + Ви> ж € Я3, u е я2,
где
м о0 ж2 "
[Р(ж, t)] =00 -*, В =0 1.
показывает, что ее индекспоказывает, что ее индексАнализ управляемости пары [尸(宓〉力)],В управляемости равен двум, поскольку
показывает, что ее индекс
показывает, что ее индекс
О 0 "О 0=3一于2 0О 0 "О 0=3一于2 0~ 1 О
О 0 "
О 0=3
一于2 0
О 0 "
О 0=3
一于2 0
rank [Ж(ж,力)]二 rank [В, DB] =0 1
О О
при условии, ЧТО 宓2 次 0, О = [Р(宓，力)]— 后3 石(")•
Назначим желаемый минимальный многочлен замкнутой системы в виде (s + 1)(5 + 2) = s2 + 3s + 2 = 0.
Поскольку в рассматриваемом случае
mk —几=1 (m = 2, /с = 2, n = 3) 今 p = 1,
то в соответствии с рекомендациями замечания 7.1 расширим вектор состоя™ ний исходной системы, введя в рассмотрение вспомогательную подсистему,
которой не нужно управлять. Для этого назначим корень ее характеристик ческого многочлена совпадающим с одним из корней заданного минималь™ ного многочлена. Для определенности положим этот корень равным ^ = =—1，определив расширенную систему посредством следующих матриц (ж е я4)：
00ж20 м0003-Ж2000000一100ж20 м0003-Ж2000000一1［戸闻力）］=［戸闻力）］=в =в =1 о0 1о о0 11 о0 1о о0 1
0
0
ж2
0 м
0
0
0
3
-Ж2
0
0
0
0
0
0
一1
0
0
ж2
0 м
0
0
0
3
-Ж2
0
0
0
0
0
0
一1
［戸闻力）］=
［戸闻力）］=
в =
в =
1 о
0 1
о о
0 1
1 о
0 1
о о
0 1
После такого расширения матрица управляемости расширенной системы становится квадратной и невырожденной, т. е.После такого расширения матрица управляемости расширенной системы становится квадратной и невырожденной, т. е.1 00rank [Ж(ж,力)]=rank [В, D В] = rank ； ； 0 101 00rank [Ж(ж,力)]=rank [В, D В] = rank ； ； 0 100 о о10 о о1=4=4при том же условии ж2次0,万=[戸(%力)]一E4不3*Использование этой матрицы в качестве гомеоморфного преобразова™ нияпри том же условии ж2次0,万=[戸(%力)]一E4不3*Использование этой матрицы в качестве гомеоморфного преобразова™ ния
После такого расширения матрица управляемости расширенной системы становится квадратной и невырожденной, т. е.
После такого расширения матрица управляемости расширенной системы становится квадратной и невырожденной, т. е.
1 00
rank [Ж(ж,力)]=rank [В, D В] = rank ； ； 0 10
1 00
rank [Ж(ж,力)]=rank [В, D В] = rank ； ； 0 10
0 о о
1
0 о о
1
=4
=4
при том же условии ж2次0,万=[戸(%力)]一E4不3*
Использование этой матрицы в качестве гомеоморфного преобразова™ ния
при том же условии ж2次0,万=[戸(%力)]一E4不3*
Использование этой матрицы в качестве гомеоморфного преобразова™ ния
亍=[ж(ж, t)]y, у е я4,亍=[ж(ж, t)]y, у е я4,(7」5)(7」5)
亍=[ж(ж, t)]y, у е я4,
亍=[ж(ж, t)]y, у е я4,
(7」5)
(7」5)
где ж = col [ж, ж<], дает систему в форме Крылова-Люенбергера с коэффи™ циентами Крылова, определяемыми равенством
[Я(ж, "] = [Ж"1 (ж, t)]D2B =[Я(ж, "] = [Ж"1 (ж, t)]D2B =7月画『_ [^1(жД)]—7月画『_ [^1(жД)]—-6Ж1Ж2 3 Ж1Ж2Ж1Ж23-6Ж1Ж2 3 Ж1Ж2Ж1Ж230оо10оо1
[Я(ж, "] = [Ж"1 (ж, t)]D2B =
[Я(ж, "] = [Ж"1 (ж, t)]D2B =
7月画『
_ [^1(жД)]—
7月画『
_ [^1(жД)]—
-6
Ж1Ж2 3 Ж1
Ж2
Ж1Ж23
-6
Ж1Ж2 3 Ж1
Ж2
Ж1Ж23
0
о
о
1
0
о
о
1
где коэффициенты Крылова hi (г = 1,2) являются матрицами размера 2x2.
Перейдем от формы Крылова-Люенбергера к форме Фробениуса по формуле (3.16), получив матрицу Фробениуса со следующими коэффици™ ентами Крылова:
[a1(初力)]=[a1(初力)]=Ж1力2Ж1Ж2Ж1力2Ж1Ж20101[«2 (^,力)]=[«2 (^,力)]=—潴 + Ж2Ж2務+型Ж1Ж2 + Ж1Ж2 + Ж1Ж2—潴 + Ж2Ж2務+型Ж1Ж2 + Ж1Ж2 + Ж1Ж2
[a1(初力)]=
[a1(初力)]=
Ж1
力2
Ж1Ж2
Ж1
力2
Ж1Ж2
0
1
0
1
[«2 (^,力)]=
[«2 (^,力)]=
—潴 + Ж2Ж2
務+型
Ж1Ж2 + Ж1Ж2 + Ж1Ж2
—潴 + Ж2Ж2
務+型
Ж1Ж2 + Ж1Ж2 + Ж1Ж2
компенсация которых с учетом назначенного минимального многочлена дает матрицу параметров закона управления объектом в форме Фробениуса вида
е“)] =е“)] =一滤 + ж2ж2^2 +跳Ж1Ж2 + Ж1Ж2 + Ж1Ж23一滤 + ж2ж2^2 +跳Ж1Ж2 + Ж1Ж2 + Ж1Ж23О—2О—2Ж1 3力2Ж1 3力2Ж1Ж23Ж1Ж23О—2О—2
е“)] =
е“)] =
一滤 + ж2ж2
^2 +跳
Ж1Ж2 + Ж1Ж2 + Ж1Ж2
3
一滤 + ж2ж2
^2 +跳
Ж1Ж2 + Ж1Ж2 + Ж1Ж2
3
О
—2
О
—2
Ж1 3
力2
Ж1 3
力2
Ж1Ж2
3
Ж1Ж2
3
О
—2
О
—2
Переходя к исходной системе на основании (7.15), получим следующую матрицу параметров закона управления ею:
" 包_ 3。 一谒+ 2说一宮232 + 3比2)+ 2蜀 0 -
[CT(x,t)] = Ж2腸.
Ж1Ж2Ж1
2—2— + Ж1О
Нетрудно видеть, что выполненное расширение вектора состояний исходной системы не требует управления по введенной координате 宏4, поскольку передаточные коэффициенты по этой компоненте расширенного вектора состояний ж равны нулю.
Задача модального управления на основе принципанелинейного включения в матричное тождество Ляпунова
Будем полагать, что:
матрица F замкнутой системы (7.3), аннулирующая согласно теореме Гамильтона-Кэли свой характеристический многочлен (7.4), является гур- вицевой и, как следствие, удовлетворяет матричному тождеству Ляпунова
AF + FTA =(7.16)
где Л и Q — заданные симметриче ские положительно определенные матрицы;
матрица С параметров закона управления (7.2) с матрицей А тождества (7.16) связана соотношением
О = —46,(7.17)
т. е. матрица F замкнутой системы может быть представлена в виде
F = Р — ВВТАм(7.18)
Выполним следующую последовательность операций:
умножим (7.4) слева на матрицу Л, получив
A[Fn + «1 Fn~^ + а?尸+ - - - + °九一1 歹 + oi,nEn] = 0n;
транспонируем полученный результат:
[(FT)n + m(/)i + @2(歹丁厂—2 + …+ an^{FT) + anEn]A = 6n;
сложим оба выражения:
A[Fn + €X.iFn 1 + @2 歹九 2 + . . . -h CX-n^iF + Gri 石 n] +
+ [(FTr + 散(ь7广一1 + д(厂广-2 + …+ *一1(ь7)+ anEn]A = en;
на основании полученного тождества запишем
€x.n^i[AF + 歹丁厶]=A[Fn-i-cx.iFn 1+«2^n ? + * …+an-2歹2+anEri] —
-[(ь7广+取(ь7广7 + a2(ь7广. +…+*.2(ь)2 + ^nEn]A；
представим
[AF + FTA] = ^^-｛A[Fn + ai 戸 т +戸—？ + …+2 产]+
+ [(ь7广+ a1(ь7广1 + a2(ь7广" ++ a九_2(ь7)[/+ 2a冗%｝；
(7/9)
вводя обозначение
Q =工\｛人尸几+ aiFn^ + a2尸一2 +…+*一2产]+
+ [(ь7广 + a1(歹7r-1 + a2(ь7广-2 + …+ an^2(FTf]A + 2*4｝， на основании (7.18) запишем матричное тождество Ляпунова (7.16) в виде АР + РТА — 2АВВТА = —｛厶[(Р — ВВтА)п^
+ м(Р — BBTA)n^ + …+ an^2(P — BBTA)2] + [(Рт — АВВт)п^+ а-рт — ABBT)n^ + …+ ап^2(Рт — 4ВВТ)2]Л + 2an4｝,
(7.20) откуда следует уравнение
АР + РТА — 2ЛВВТА = —Q，(7.21)
являющееся нелинейным матричным алгебраическим уравнением типа Риккати.
Принцип нелинейного включения: всякое решение матричного уравнения Ляпунова (7.16) с матрицей F, допускающей представление (7.18), удовлетворяет ):
линейному матричному алгебраическому уравнению типа Ляпунова (7*19);
нелинейному матричному алгебраическому уравнению (п + 1)-го порядка (7.20);
нелинейному матричному алгебраическому уравнению второго порядка типа Риккати (7.21).
Таким образом, уравнение типа Риккати (7.21) является своего рода констатацией факта расположения корней характеристического уравнения замкнутой системы в левой полуплоскости, в то время как уравнения (7.19),
несут полную информацию о спектре этих корней.
Поскольку принцип нелинейного включения дает аналитическое представление для матрицы Q, задающей производную от функции Ляпунова в матричном уравнении Ляпунова и уравнении типа Риккати, то в свете положений параграфа 7.2 данное решение в явной форме можно рассматривать как решение задачи оптимального модального управления.
Покажем эффективность использования уравнения (7.20) на следующем примере.
Пример 7.3. Найдем закон управления, организованный по принципу обратной связи и доставляющий желаемое распределение корней характеристического уравнения беспилотного летательного аппарата с закрепленными крыльями, упрощенные уравнения продольного движения которого на первом этапе имеют вид
方 + &1 力 + &2a = -&з^в,6 - &2a = &з^в,
V — 0 — Qi = 0,
где v, 0, а ——углы тангажа, наклона траектории и атаки, соответственно; 5в ——угол отклонения руля высоты; &1, &2, &з, &2, &з ——аэродинамические коэффициенты.
Запишем эту систему уравнений в форме Коши при &з = 0, для чего продифференцируем по времени второе уравнение этой системы, получив
0 — &2 а — &2a = 0.
Вычитая это уравнение из первого уравнения системы с учетом третьего уравнения, находим
&1 力=―内—&2 a — (&2 +《42)а — &з5в・
Вычитая из этого уравнения второе уравнение системы, умноженное на имеем
内 + (€11 + &2)乙 + (&2 +《42 + &1&2)а = —&з5в・
Вводя обозначения
宓 1 = а, Ж2 =电 U = —&3^в — (€11 + &2)& — (&2 + ±42 + &1&2)а, запишем это уравнение в форме Коши:
ж = Рх + Ви, ж е я2, и е я1,
гдегдеР =Р =О 1О ОО 1О Ов =в =о1о1
где
где
Р =
Р =
О 1
О О
О 1
О О
в =
в =
о
1
о
1
В рассматриваемом случае уравнение (7.19) после умножения его слева и справа на Л^1 примет вид
РА^1 А^РТ -2ВВТ =
=_丄［(p _ BBTAfA^ + 4 T(PT _ aВbt)2 + 2a2/一、
где
Л ttn @121 1@22 —@12Л J Л2
Л =, Л =丁，A = det Л = аца22«1?-
012 @22 '△—а工2ап '11 ££12
Запишем это полиномиальное матричное уравнение в скалярном виде:
2a2a222a2a22—a △ (2。：2 — ana22 - 2a2al2)〉—a △(-2。；2a22 - 2ali022 + 2alia^ + 2a2ali)・—a △ (2。：2 — ana22 - 2a2al2)〉—a △(-2。；2a22 - 2ali022 + 2alia^ + 2a2ali)・2a12
2a2a22
2a2a22
—a △ (2。：2 — ana22 - 2a2al2)〉
—a △(-2。；2a22 - 2ali022 + 2alia^ + 2a2ali)・
—a △ (2。：2 — ana22 - 2a2al2)〉
—a △(-2。；2a22 - 2ali022 + 2alia^ + 2a2ali)・
—2
Зададим коэффициенты желаемого характеристического многочлена замкнутой системы в виде 耿 = 飲 = 1, тогда из первого уравнения полученной системы имеем a 12 =。22 = R где к ——некоторое число, подлежащее определению.
Из второго уравнения этой системы с учетом введенного обозначения находим ац(1 — 4) = 2k(1 — к), откуда следует an = 2к. Тогда из третьего уравнения находим следующее алгебраическое уравнение:
24(廿—34+ 2) = О,
корнями которого ЯВЛЯЮТСЯ k1 = о,足2 = 1, «3 = 2.
Проверка показывает, что только корень 足2 = 1 доставляет совпадение с желаемыми коэффициентов характеристического уравнения замкнутой синтезированной системы.
Действительно, для этого корня матрица Л имеет вид
A =A =2 11 12 11 1
A =
A =
2 1
1 1
2 1
1 1
матрица параметров закона управления, вычисленная по формуле (7.16):
。=—АВ =。=—АВ =—1一1—1一1
。=—АВ =
。=—АВ =
—1
一1
—1
一1
Синтез обратной связи по интегральным квадратичным критериям 225 матрица замкнутой системы
а ее характеристический многочлен
det [E2s ^F] = s2 + s + 1 = 0 совпадает с заданным.
Таким образом, с учетом введенных обозначений имеем следующее тождество для определения закона управления рулем высоты:
〃 =С1Ж1 + С2Ж2 = —а —& = —&3^в — (&1+&2)& — (&2 +《42+&1&2)а, откуда следует
8 = _ 1 &2 — &2 — &1&2 Q — 1 &1 &2 &€1з€1з
7.2. Синтез обратной связи
по интегральным квадратичным критериямкачества переходных процессов замкнутой системы
Историческая справка
В 1909 г. нашими соотечественниками Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Па- палекси был предложен метод интегральной квадратичной оценки, развитый впоследствии:
一 академиком АН СССР А. А. Харкевичем (1937 г.), применявшим его в анализе режимов работы усилителей;
—А. А. Фельдбаумом (1951 г.), который первым предложил в ТАУ в качестве подынтегральных функций интегральных критериев использовать квадратичные формы;
—А. А. Красовским (1951 г.), который применял эти методы для анализа систем автоматического управления.
Метод интегральной квадратичной оценки лежит в основе синтеза законов управления, организованных по принципу обратной связи, исходя из минимума интегрального квадратичного критерия качества переходных процессов в замкнутой системе. В нашей стране он формализован под общим названием методов аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР). Среди них различают:
метод АКОР А. М. Летова (I960 г.);
метод АКОР по критерию обобщенной работы А. А. Красовского (1967 г.).
Исходными данными задач АКОР применительно к абстрактной математической модели объекта управления являются:
заданные уравнения движения полностью управляемого объекта управления
ж = [Р(% t)]x + [B(v,力力％ ж G Яп, и G 尺口\
который в задаче АКОР А. А. Красовского подчинен дополнительному требованию асимптотической устойчивости по Ляпунову;
заданный с разной степенью определенности функционал оптимизации:
—（определенный） в задаче Летова в виде
J = （xT［Q（v, t）］x + иТи） dt,
о
где ［Q（w 力）］——заданная симметричная положительно определенная матрица;
—（полуопределенный） в задаче АКОР по критерию обобщенной работы А. А. Красовского
Ji = （xT［Q（v, t）］x + ити + 2xT［A（v,力）6（管，t）BT（v,力）厶（管，力）］宓）dt, о
где ［Q（v,力）］——заданная симметричная положительно определенная матрица, ［Л（г?,力）］—матрица, являющаяся положительно определенным решением （которое еще нужно найти） матричного уравнения Ляпунова
（〃 力）］+ ［4（V, t）P（v.力）］+ ［PT（v,力）4（% 力）］=-［Q（〃 力几 （7.22）
Методы аналитического конструированияоптимальных регуляторов
Обе задачи АКОР состоят в поиске закона управления
u = ［еT（V,力）］宓）
при котором замкнутая система является асимптотически устойчивой, а на ее движениях минимизируется заданный функционал.
В обеих задачах искомая матрица параметров закона управления вычисляется по формуле
［С7（гМ）］ = ^［4（гМ）В（г；Л）］,（723）
что дает основание представить уравнение движения замкнутой системы в виде
ж =尸（〃 t）］x = ［Р（〃 t） + 6（% t）CT（v, t）］x =
=［P（X t） — 6（管）t）BT（v^ 力）厶（管）t）］x. （7.24）
В отличие от задачи А. А. Красовского задача Летова сводится к отысканию положительно определенной матрицы ［厶（〃力）］,являющейся рете-
нием нелинейного дифференциального матричного уравнения типа Риккати:
Й(^,力)]=[一厶(〃 t)P(v. t) 一 p7(s t)A(v, /)+
+ 4(% t)B(v, t)BT(v^ 力)4(% t) — Q(v,力)](7.25) при граничном условии
[&% оо)] = 6П.
Превращение граничной задачи для уравнения (7.25) в задачу Коши требует решения уравнения (7.25) в обратном времени, и, соответственно, задания в обратном времени всех остальных матриц уравнения (7.25).
Покажем, что в обеих задачах тривиальное решение уравнения (7.24)—— замкнутой системы ——асимптотически устойчиво по Ляпунову.
Задача Летова. Пусть решение уравнения (7.25) в виде положительно определенной матрицы [&и,力)]найдено. Тогда прибавляя и вычитая из правой части (7.25) квадратичный член [4(〃 t)B(v^ t)B © 力)厶(管)力)]и, принимая во внимание (7.23), (7.24), из (7.25) получим матричное уравнение Ляпунова
[A(v, t) + A(v, t)F(v, t) + 歹7(w t)A(v,力)]=
=-[Q(〃 力)+ 0(% 力)。7(/ 力儿(7*26)
что свидетельствует об асимптотической устойчивости замкнутой системы.
Задача А. А. Красовского. Пусть решение уравнения (7.22) найдено. Тогда вычитая из обеих частей (7.22) квадратичный член
2[&и, t^B^v, t)BT(V, t)A(v,力)]
и принимая во внимание (7.23) и (7.24), из (7.22) получим матричное уравнение Ляпунова
[4(〃 力)+ %(% %)ь © 力)+ 歹 7(% 力)4% %)]=
=-[Q(% 力)+ 20(% 力)。7(% 力儿(727)
что свидетельствует об асимптотической устойчивости замкнутой системы.
Сравнение уравнения (7.26) с (7.27) показывает, что матричные уравнения Ляпунова разнятся коэффициентами при квадратичном члене Q(u)t)CT(v^ £)]: в задаче Летова он равен единице, а в задаче А. А. Красовского ——двум.
Следует отметить, что в обеих задачах процедура обоснованного назначения коэффициентов функционала оптимизации, исходя из прямых показателей точности и качества переходных процессов в замкнутой си-
стеме, за исключением отдельных частных случаев так и осталась неформализованной. Исчерпывающую критику этой слабости задач АКОР дал сам А. М. Летов, приведя слова английского философа Бертрана Рассела о том, что «метод по стулирования )имеет много преимуществ, сравнимых с теми, которые присущи воровству, по сравнению с честным трудом».
Определенным продвижением в этой проблеме стало введение В. Д. Фу- расовым матрицы [Q(s 力)]в функционале оптимизации в виде
[Q(% 力)]=2X[A(v,t)],
где А > 0 ——некоторое заданное число.
Для заданной таким образом матрицы [Q(管)力)]помимо матричного уравнения Ляпунова (ограничимся уравнением (7.26)), можно привести еще одно уравнение Ляпунова
{4(〃 t) + 4(s t)[EnX + F(v,力)]+ [EnX + FT(v,力)]4(〃 力)}=
которое составлено в силу уравнений движения системы
y = [EnX^F(v,t)]y,(728)
полученной из (7.24) в результате замены вектора состояний
ж = e~xty
(проверяется непосредственной подстановкой).
Если матрица наблюдаемости пары [CT(v^ t)], [F(v, t)] удовлетворяет условию типа (5.14), т. е.
; rank [П(1?, t)] = n,
„ [0T(储力)]w一 „
N=3^% + F(M)],
то тривиальные решения уравнений (7.26) и (7.28) будут асимптотически устойчивы по Ляпунову, а связь характеристичных чисел Ляпунова обеих систем будет подчинена равенству х(ж) = Х(9)— А, что дает основание считать постоянную А аналогом степени устойчивости А. А. Фельдбаума в рассматриваемом случае, поскольку х(ж) += Х(9) > 入 > 0. Та
ким образом, задать степень устойчивости замкнутой системы усилиями В. Д. Фурасова стало возможным путем задания А.
Алгоритм Бьюси-Джозефа решения нелинейного матричного алгебраического уравнения типа Риккати в задаче АКОР
Летова, исходя из неявно заданных корнейхарактеристического уравнения замкнутой системы [40]
Приведем алгоритм определения матрицы Л, удовлетворяющей нелинейному матричному алгебраическому уравнению типа Риккати для стационарных линейных систем:
АР + РТ А — АВВТА = —Q,(7.29)
который в процессе его выполнения позволяет определить корни характеристического уравнения замкнутой системы и, в частности, в интерактивном режиме скорректировать «неудачное» по некоторым признакам задание матрицы Q функционала оптимизации.
Введем в рассмотрение матрицы
—Р ВВТQ 严—Р ВВТQ 严
—Р ВВТ
Q 严
—Р ВВТ
Q 严
произведение которых с учетом (7.29) дает
Г Рт - ЛВВТ АР + РТА АВВТА + Q "
Г i ГЬ= [^Р + ВВТА=
_ м рт — Аввт 0п
— ВВТ+ ВВТ А
откуда следует, что эти матрицы подобны, и, как следствие, их характеристические многочлены совпадают._
Характеристический многочлен блочно-треугольной матрицы Г можно представить в виде
= det [E2ns - Г]=
=det [Ens —卩丁 + АВВТ] det [Ens + Р — ВВТА\ d=夕⑻夕(—力
где 夕(s) обозначает характеристический многочлен матрицы [Рт — —АВВТ]. Поскольку эта матрица аннулирует свой характеристический многочлен, то справедливо равенство
夕Т)=夕Т)=0П 0пЕ Ф0П 0пЕ Ф(730)(730)
夕Т)=
夕Т)=
0П 0п
Е Ф
0П 0п
Е Ф
(730)
(730)
Равенство (7.30) дает возможность, введя обозначение
夕Т)=夕Т)=Ф11 Ф12Ф21 ①22Ф11 Ф12Ф21 ①22(7*31)(7*31)
夕Т)=
夕Т)=
Ф11 Ф12
Ф21 ①22
Ф11 Ф12
Ф21 ①22
(7*31)
(7*31)
на основании тождества [26]
3T)=奴厶tр厶)=厶一%(f)厶
записать
"On 1Г —4 Еп I Г Фц Ф12 ] Г On Еп "—
石 ф ]L 0n J L 办2 ] [ En 4-
一 Ф22 一 AФ12 -AФц + Ф21 + (Ф22 一 4m12)4
Ф12Ф11 + 力 124'
откуда следует
@22 =4巾12)巾21 =4巾1b/=@22@R1 =@21巾11l(732)
Таким образом, соотношения (7*32) являются расчетными для определения искомой матрицы Л, исходя из найденного многочлена g(s). Рассмотрим подробнее этот многочлен.
Во-первых, заметим, что характеристические многочлены матриц
[РТ АВВТ] и [Р^ ВВТА\
совпадают, поскольку вторая матрица получается транспонированием первой.
Во-вторых, заметим, что матрица [Р — ВВТ А\ = F, как следует из (7.18), т. е. является матрицей замкнутой системы.
В-третьих, поскольку уравнение типа Риккати (7.29) можно представить в виде матричного уравнения Ляпунова (7.26) (с поправкой на стационарный линейный случай), то корни характеристического уравнения 夕(s) = =0 в силу положительной определенности матрицы Q (по условию) лежат в левой полуплоскости Res，i < 0 (г = 1, п). А это дает основание предложить следующий алгоритм вычисления матрицы А:
р в '
сформировать матрицу Г =^ 严 размерами 2п х 2п;
вычислить ее характеристический многочлен 0($) степени 2п;
найти его 2п корней;
отобрать среди них п корней замкнутой системы (лежащих в левой по луп л о ско сти) таким образом, чтобы комплексные корни составляли комплексно-сопряженные пары;
Ф11 Ф12Ф21 ①22Ф11 Ф12Ф21 ①22сформировать характеристический многочлен 夕($) степени п из этих корней;
Ф11 Ф12
Ф21 ①22
Ф11 Ф12
Ф21 ①22
сформировать матрицу 夕(Г)=
вычислить искомую матрицу Л по одной из формул (7.32);
по формуле (7.23) определить искомую матрицу параметров оптимального закона управления.
Пример 7.4. Рассмотрим уравнения движения (7.1) при посадке тяжелого самолета «Боинг-747» (без применения системы автоматического повышения устойчивости) [8], в которых:
Ж = col [Ж1, . . . , Xq] = col [v, г, р, 0, ф, ж],〃 = col [%, Jr],
м —0,089 —2,190,328 0,319 00
0,076 —0,217 0,166 000
р =
—0,6020,327 0,975 000
00,151000
010000
.10002,21 0
О0,033
0,026 —0J51
0,2270,064
оо
оо
где V ——скорость бокового скольжения, г ——угловая скорость рыскания, р — угловая скорость крена, 0 ——угол крена,⑦ ——угол рыскания, ж —— боковое смещение, 6а ——угол отклонения элеронов, Ь『 ——угол отклонения руля направления.
Примем квадратичный критерий качества в виде
J 二 (kixTx + к?%? + 8? + 片)d3 о
где ki = 1,期=100, z = —0,089鏡 + 0,0327Jr, откуда следует
[хТQx + хт Lu + ит LTх + ит Ru) d力 о
гдегде• 1,792000001000Q =00100000100000100000я="10• 1,792000001000Q =00100000100000100000я="100 мм 0—0,2910000〉£ =000000001000 мм 0—0,2910000〉£ =0000000010001,107，01,107，
где
где
• 1,792
0
0
0
0
0
1
0
0
0
Q =
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
я
=
"1
0
• 1,792
0
0
0
0
0
1
0
0
0
Q =
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
я
=
"1
0
0 м
м 0
—0,291
0
0
0
0
〉£ =
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0 м
м 0
—0,291
0
0
0
0
〉£ =
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1,107，
0
1,107，
что дает основание переписать функционал оптимизации как
J =(хтQx + итH/u) dt]
о
здесь введены обозначения
=1,716 0 0 0 0 0 ^
01 0 0 0 0
万—『“TH—0 0 1 0 0 0
Q — QL^L—0 0 0 1 0 0
00 0 0 1 0
„00 0 0 0 1 „
При этом закон управления будут определять равенства
и = С с = 〃 + R^1 LTх, и = СТх^
СТ = СТ ^R^LT т ст = СТ ^R^LT.
Для функционала оптимизации, записанного таким образом, уравнение типа Риккати (7.29) примет вид
АР + РТА — ABR^BTA =—④，
искомая матрица параметров закона управления й = СТ х ——вид
С=-ABR^\
а матрицу Г определит равенство
Г —Р В IT1 ВТ 1
Г =_
L Q 严 「
Вычислив корни характеристического уравнения этой матрицы, получим
det[Es — Г]=(场 + 0,8209)(s — 0,8209)(s + 0,6261)(s — 0,6261) x
x (s + 0,2683 — JO,3867)(s + 0,2683 + j0,3867)(s — 0,2683 — /0,3867)x
x ($ — 0,2683 + /0,3867)0 + 0,4462 — j0,6501)(s + 0,4462 + j0,6501)x
x (" 0,4462 —曲6501)(s — 34462 + j0,6501)
Выберем из этих корней те, которые лежат в левой полуплоскости (с учетом того, что комплексные корни составляют комплексно-сопряженные пары), назначив тем самым следующий характеристический многочлен замкнутой системы (для й):
夕(а) = (а + 0,8209)(s + 0,6261)(s + 0,2683 — j&3867)x
х (s + 0,2683 + 泅,3867)0 + 0,4462 — j0,6501)(s + 0,4462 + j0,6501)=
=场6 + 2,876s5 + 3,904s4 + 3,179s3 + 1,586s2 + 0,4724s + 0,0708*
После выполненной операции факторизации корней сформируем матричный многочлен 夕(「) и вычислим искомую матрицу Л, являющуюся решением матричного уравнения типа Риккати, получив ее в виде
39,3628
— 11,3296
3,8464
15,1221
75,4938
9,7550
— 11,3296
43,9844
20,1005
—5,7001
9,2236
1,0663
3,8464
20,1005
47,3442
12,3357
42,1823
4,0611
15,1221
— 5,7001
12,3357
12,7356
34,5235
3,3976
75,4938
9,2236
42,1823
34,5235
186,5411
23,5240
9,7550
1,0663
4,0611
3,3976
23,5240
4,6343
В результате получим следующие матрицы параметров закона управления:
"—0,5740
—5,7240
—2,6093 м 5,0877
"—0,5740
— 5,7240
— 2,3464 餐 5,0877
— 11,2776
—2,6497
—0,0605
— 1,8101
)e =
— 11,2776
—2,6497
—0,0605
— 1,8101
—9,8189
— 2,7818
—9,8189
— 2,7818
—0,9500
—0,2967
—0,9500
—0,2967
Проверка показывает, что корни характеристического уравнения замкнутой системы для и совпадают с заданными, а для и определяются уравнением
detf^s — Р — ВСТ]=(场+ 0,3023 — /0,3755)($+ 0,3023 +/0,3755) х
х (s + 0,7571 — j0,1301)(s + 0,7571 + j0,1301)x
х (s + 0,3755 — J0,5737)(s + 0,3755 + j0,5737) = 0.
Метод билинейных преобразований конструирования решенийматричного уравнения Ляпунова в задаче АКОР А. А. Красовского
Ограничившись случаем стационарных линейных систем
ж = Рх + Ви, ж е Яп, и е Я1,
опишем метод билинейных преобразований конструирования решений матричного уравнения Ляпунова [26]
AP^PTA = ^Q,
минуя процедуру назначения функционала оптимизации в задаче АКОР по критерию обобщенной работы А. А. Красовского, которая так же, как и в задаче АКОР Летова, не имеет общепринятых рекомендаций по выбору матрицы Q.
Пусть вектор В в уравнении движения объекта управления является производящим вектором Крылова, т. е. замена ж = Wy, Ж=[В, РВ,... ...,Рп^гВ] приводит исходную систему к форме Крылова-Люенбергера, в которой правый столбец матрицы Крылова образуют коэффициенты
характеристического уравнения det [Ens — Р] = 0 матрицы Р, взятые с обратным знаком, и пусть определены корни 5〃 (г = 1, п) этого характеристического уравнения. Билинейное преобразование этих корней
z + 1
6 =
中i(z) = E乱%=0中i(z) = E乱%=0f =仇中⑶=仇Z1+ e&z"“f =仇中⑶=仇Z1+ e&z"“г=1г=1ставит во взаимно однозначное соответствие многочлену det[Ens — Р] = О многочлен
中i(z) = E乱%=0
中i(z) = E乱%=0
f =仇中⑶=仇Z1+ e&z"“
f =仇中⑶=仇Z1+ e&z"“
г=1
г=1
по формуле
b = Vcia = col [1, di,. . ., cin], b = col [/3(j, /3i,... , /3n],
где V матрица размерами (几 + 1) х (п + 1), первая строка которой состоит из единиц, первый столбец ——из биномиальных коэффициентов (коэффициентов уг™строки треугольника Паскаля), а остальные элементы определяются равенствами:
Обозначим через F матрицу Фробениуса, сопровождающую многочлен ⑦(z), а через О ——матрицу Шура-Кона, определяемую равенством
где
-1
0
1
0…
0…
0 ™
0
"G 0
0 … о ™
о ... 0
Di =
&
1 …
0
, 出=
£п — 2 £п — 1
0
-Cn — l
gn- 3 ' • •
1・
&• • • €n -
т. е. J
(分=
1,2)-
—теплицевы матрицы (иначе, матрицы, у которых на
диагоналях, параллельных главной, располагаются равные элементы).
Отметим, что положительная определенность матрицы Шура-Кона является необходимым и достаточным условием расположения корней матрицы F внутри единичного круга |z| < 1 (эти условия известны под названием критерия Шура-Кона-Фудживары ——критерия асимптотической устойчивости по Ляпунову дискретных систем).
В основе метода билинейных преобразований конструирования матричного тождества Ляпунова лежит тождество Паркса-Калмана
FTBF — Q = —rrT, г = col [ri, . . . , гп],
—° + 1 =—So = 1) i = 1, 71,
представляющее собой дискретное матричное уравнение Ляпунова, составленное в силу уравнений движения дискретной системы
ж [г + 1] = Fx[i].
Тождеству Паркса-Калмана однозначно соответствует тождество Е. А. Бар- башина [6]
в котором F = （F + En）（F —忆厂；万=（FT — En） ◎（歹二 En\
Поскольку корни характеристического уравнения матрицы Р совпадают с корнями характеристического уравнения матрицы Р, то эти матрицы подобны, что можно формализовать соотношением
戸=LPL^\
которое позволяет матричное тождество Ляпунова определить равенствами
Р = L^L, А = LT （歹т —石几）◎（歹一Еп） £, Q = 2LTrrTL.
Остается определить матрицу подобия L.
Теорема 7.1. Если найдется производящий вектор Крылова В, составляющий с матрицей Р полностью управляемую пару, т. е.
rank Ж = rank [В, F В,. . ., Рп 1 В] = п,
то матрицу подобия £ можно определить равенством
Доказательство. Пусть условия теоремы выполняются. Тогда пары [Р, В], [Р, В] соответствующими матрицами управляемости приводимы к одной и той же сопровождающей матрице Крылова-Люенбергера, поскольку характеристические многочлены этих матриц совпадают. Тем самым, справедливо равенство
[В, РВ,P^B^PIB, РВ）рп^1щ =
откуда следует
Р 二[В, РВ,..., Р^ТЯ][瓦戸瓦…，戸九т 0Tx
x戸[瓦戸瓦…，戸П一1万][6, PB）Pn^B]^\
что и доказывает теорему.
Пример 7.5. Уравнения бокового движения летательного аппарата в начальный момент крена при условии пренебрежения изменением курса имеют ВИД а I L £
J =Р22夕+夕23户+
I 8 =Р31夕 + 0320+ p33仇
где 0 — угол скольжения;夕一угол крена;夕22 = —6,7;夕23 = —15,8; Р31 = 0,039;夕32 = 0； Рзз = —0J56,匕2 = —30,7 — аэродинамические коэффициенты; J3 ——угол отклонения элеронов.
Вводя обозначения ж = col [жх = ^, ж2 = 0,сз = 0], 〃 =厶, запишем эти уравнения в векторно-матричной форме Коши, определяемой матрицами:
- 0
1
0.
-0
р =
0
—6,7
— 15,8
,В =
— 30,7
0,039
0
—0,156
0
Характеристический многочлен матрицы Р имеет вид
det [^35 Р] = s^ + 6,856s2 + 1,0452s + 0,6162 =
=(s + 6*1)(场 + 0,71 + j0,295)(s + 0,71 — j0,295) = 0.
В нашем случае матрицу V можно записать в виде
1
1
1
3
1
—1
—3
V =
3
—1
—1
3
1
一1
1
1
Умножим ее справа на вектор а = col [1, a：i,... , а", где а^ (分=1,2, 3)—— коэффициенты характеристического многочлена матрицы Р. Многочлен, полученный в результате билинейного преобразования 6 = “ + ； , найдем в виде
如(％) = 9,5174d + 6,9622г2 — 3,0526г — 5,427, откуда получаем приведенный многочлен
中(z) = У + 0,7315%2 — 0,3207% — 0,5702
с сопровождающей его матрицей Фробениуса
"010"
F =
001
0,5702 0,3207 —0,7315
Матрица Шура—Кона в рассматриваемом примере определяется выражением
О =О =0,6749 0,5487 0,0964
О =
О =
0,5487 1,1071 0,5487
0,0964 0,5487 0,6749
а матрица Р из тождества Е. А. Барбашина — выражением
— 一 —2,3566 戸=—1,3566 — 1,3566— 一 —2,3566 戸=—1,3566 — 1,3566—4,1196 —2,3792— 3,1196 —2,3792— 2,1196 —1,3792—4,1196 —2,3792— 3,1196 —2,3792— 2,1196 —1,3792
— 一 —2,3566 戸=—1,3566 — 1,3566
— 一 —2,3566 戸=—1,3566 — 1,3566
—4,1196 —2,3792
— 3,1196 —2,3792
— 2,1196 —1,3792
—4,1196 —2,3792
— 3,1196 —2,3792
— 2,1196 —1,3792
£ =£ =Матрица подобия в нашем случае имеет вид
£ =
£ =
Л =
"20,15,462,8072—26,6443"
2,80720,4639—5,7932
—26,6443—5,7932759,4442
—4,119500,0354
3,5804 0,9999 —13,79
—2,1195023,6662
что дает основание вычислить следующую матрицу:
Итак, искомую матрицу параметров закона управления находим в виде
О =О =—86,182「 — 14,242 162,053
О =
О =
Полученной матрице соответствует следующее характеристическое уравнение замкнутой системы:
det ［E^s — Р — ВСТ］二 d + 21,098s2 + 89,447s + 7,124 二
=（s + 0,0812）（s + 5,75）（s + 15,3） = 0.
Анализ грубости свойстваасимптотической устойчивости по Ляпуновуаналитически сконструированных систем
Поскольку ни одна из задач аналитического конструирования оптимальных регуляторов не учитывает внешние воздействия, введем их в абстрактную математическую модель объекта управления
ж = ［P（v,t）］x^［B（v,t）］u^ f, X Q Rn, US R? / e Rn, （7.33）
полагая, что регулятор для этого объекта найден в виде
и = ［О7"（储 t）］x
в результате решения нелинейного матричного дифференциального уравнения типа Риккати в задаче Летова
［厶（〃切=［一/（储 t）p（v.方）一ут（〃 力）4〃 力）+
+ 45 力）6（〃 t）BT（v,力）一Q（X 力）］
при граничном условии
[4500)] = 6П,
а матрица [0(。,力)]параметров закона управления определена по формуле
Q(储力=一[4(储力)6(5力*
Иначе говоря, для замкнутой системы
ж = [F(v, t)]x = [口储方)+ 6(储 t)CT(V,方)]c =
=[口储 t) — B(v, t)BT(V, t)A(v, t)]x (7.34)
уравнение типа Риккати превращается в матричное уравнение Ляпунова
[%(储方)+/(5 方)ь(储方)+ ь7(〃 t)A(v,方)]=一[Q(储方)+0(4 t)CT(v, f)],
(735) где [A(v^ 力)]и [Q(v, t)]——симметрические положительно определенные матрицы, из чего следует асимптотическая устойчивость по Ляпунову замкнутой системы.
Будем полагать, что внешние воздействия допускают представление
f = [G(v.t)]x.(7.36)
где [G(v^ 力)]——неизвестная функциональная матрица их параметров.
Сформулируем задачу ): определить класс внешних воздействий (7.36), при которых замкнутая система (7.34) теряет свойство асимптотической устойчивости, становясь устойчивой по Ляпунову (не асимптотически).
Подставляя (7.36) в (7.33), введем обозначение
ж = [n(v, t)]x = [F(v, t) + G{v, t)]x,(7.37)
что дает возможность сформулировать полученный результат в виде следующей теоремы.
Теорема 7.2. Если
[G(储用=-；[/t(储方)Q(储 t)-月(储 t)CT(v,力， (7*38)
то тривиальное решение системы (137) устойчиво по Ляпунову (we асимптотически).
Доказательство. С учетом (7.38) неоднородное матричное уравнение Ляпунова (7.35) можно переписать в виде однородного матричного уравнения Ляпунова
[%(储方)+力)口(储力)十 nT(v, t)A(v,力)]=6n (7.39)
или, что то же самое, в виде
［厶（储 t） + A（v, t） ［p（储 t） + B（v, t）CT（v, t） 一 ；月（储 t）CT（v,力）+
+ ；4-1（储 t）Q（v,方）］+ ［у7（储 t）^C（v, t）BT（v,力）一；6（储 t）CT（v,方）+ + ；（2（〃力）/-1（储"4（储力）］=6n. （7.40）
Тем самым теорема доказана, поскольку факт существования положительно определенной матрицы ［厶（5 力）］,удовлетворяющей уравнению （7.39）, является необходимым и достаточным условием устойчивости （не асимптотической） по Ляпунову тривиального решения уравнения （7.37） ［2］.
Следствие 7Л. Для всех внешних воздействий
［G（X"］=一m/-1（储方）（2（储力）一 B（v,t）CT（v,t）］, подчиненных условию а е （1, ос）, тривиальное решение системы
Ж = ［口5力）+ ；月（储方）07（储力也
полученной замыканием объекта системы （7.33）регулятором
асимптотически устойчиво по Ляпунову.
Доказательство. Согласно сформулированному условию из （7.40） получим
p（v,t） + Л（1?д）［р（1?3） + ；6（5"оТ（储力）+ ^^6（储力）07（储力）+
+ （储方）Q（储方）］+ ［p7 （储方）+ ；0（储方）67（储方）+
+（储"）67（储"+ mQ（储"）厶一1（〃"）口 = 0n,
откуда следуют:
-матричное уравнение Ляпунова
［4（5方）+/（储力）卜（〃力）+ ；6（储力）07（储力）］+
+方）+（储力）67（储力）］/（5方）］=
=一a［QOK）］ +（储方）о7（储方）］；（7*41）
—матричное уравнение типа Риккати
[%(储力)]=[-4储 t)P(v, t) - PT(v,方)/(储方)一aQ(v,方)+
+ A(v,力)6(”，力)(2 — a)BT(v, t)A(v, t)] ” (7.42)
Нетрудно видеть, что для всех а из диапазона а е (1, ос) имеет место неравенство9 _ 9
что доказывает следствие.
Следует отметить, что на Западе два квадратичных члена (разных знаков) в уравнении типа Риккати (7.42) принято отождествлять с теорией Яоо [28, 29], которой посвящено громадное количество публикаций. Тем не менее, впервые уравнение типа (7.42) было получено автором в 1978 г. ) при исследовании необходимых и достаточных условий оптимальности в линейно-квадратичной игре двух лиц. В такой игре в роли игрока- союзника выступает вектор управлений, доставляющий замкнутой системе свойство асимптотической устойчивости, а в роли игрока-противника —— вектор внешних воздействий, формируемый по принципу обратной связи, навязывающий связке «управление»+«внешнее воздействие», формируемой по принципу обратной связи, свойство устойчивости (не асимптотической) по Ляпунову.
Синтез обратной связи по выходу
На начальном этапе развития ТАУ разработчик САУ часто оказывался в ситуации, когда никакой информации об объекте, кроме экспериментально снятой частотной характеристики разомкнутой системы, у него не было. Итак, пусть Wpa3(jaj) такая характеристика. Тот факт, что эта характеристика получена, свидетельствует о том, что разомкнутая система асимптотически устойчива по Ляпунову (абсцисса абсолютной сходимости в преобразовании Лапласа равна нулю и разработчик имеет дело с преобразованием Фурье). Если бы объект был неустойчив, экспериментальное снятие частотной характеристики, как показано в первой главе, было бы невозможно.
Описанную ситуацию будем называть классической задачей стабилизации, в которой обратную связь можно осуществить по выходу.
Возникает естественный вопрос: что произойдет в случае замыкания объекта управления единичной обратной связью!
^азО)
Рис. 7.3
Ответ на него дает частотный критерий устойчивости Найквиста. Введем определение.
Определение 7.1. Будем называть возвратной разностью функцию комплексного аргумента △(加)=1+Wpa3(jw), где Wpa3(jw) — частотная передаточная функция разомкнутой системы. )
Пусть Жраз(;ш) = до” тогда
и 丿 /3(»
т. е. возвратная разность при замене j w = s представляет собой отношение характеристического полинома замкнутой системы к характеристиче скому полиному разомкнутой системы.
Критерий Найквиста. Система^ замкнутая единичной обратной связью. асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда годограф возвратной разности △(7必)при изменении частоты от нуля до бесконечности (0 ^ ш ^ оо) не проходит через начало координат.
Вместо возвратной разности можно использовать возвратное отношение или частотную передаточную функцию разомкнутой системы
叫 азСМ = 1 — $q*
Тоща альтернативная формулировка критерия Найквиста )звучит так: система, замкнутая единичной обратной связью, асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда годограф частотной передаточной функции разомкнутой системы при изменении частоты от нуля до бесконечности (0 ^ ш ^ оо) не охватывает точку (^1, 7。)*
Отметим, что в случае использования возвратного отношения годограф частотной передаточной функции называют годографом Найквиста.
С годографом Найквиста связаны следующие определения.
Определение 7.2. Запасом устойчивости по амплитуде называется величина, обратная расстоянию от нуля до ближайшего к критической точке (—1,7°) пересечения годографа с отрицательной действительной полуосью.
Определение 7.3. Запасом устойчивости по фазе называется угол между отрицательной действительной полуосью и точкой, в которой |И/раз(7ш)| = 1, т. е. точкой, соответствующей частоте среза шс разомкну™ той системы.
ВЫВОДЫ
Задачи АКОР (в их классических постановках) в случае стационарных линейных систем имеют своим результатом непредсказуемое, вообще го™ воря, распределение корней в левой полу пл о ско сти. Панацеей от случай™ ностей в распределении корней, вносимых постулированием функциона™ лов в задачах АКОР, является переход к задаче оптимального модального управления, гарантирующей желаемое расположение полюсов замкнутой системы. Однако платой за этот переход является решение (вместо нелинейного матричного алгебраиче ского уравнения типа Риккати или матричного уравнения Ляпунова) нелинейного матричного алгебраического уравнения (п + 1)-го порядка, полученного автором и описанного в параграфе 7.1.4.
Универсальным способом навязывания замкнутой системе желаемого распределения корней для всех классов конечномерных систем является формализм синтеза приводимых систем, описанный в параграфе 7.1.3. В основе синтеза приводимых систем лежит идея компенсации параметров объекта и замена их желаемыми числами, представляющими собой коэффициенты характеристических (минимальных) полиномов замкнутой системы.
Год Персонификация
Вклад
1876 И. А. Вышнеградский
Постановка и решение задачи модального управления в трехмерном пространстве
1909 Л. И. Мандельштам, Н. Д. Папалекси
Введение в рассмотрение интегральной квадратичной оценки
1960А. М. Летов
Постановка и решение задачи аналитического конструирования оптимальных регуляторов с интегральным квадратичным критерием качества на основе матричного уравнения типа Риккати, трансформирующегося в мат™ ричное уравнение Ляпунова для замкнутой системы
1967 А. А. Красовский
Постановка и решение задачи аналитиче™ ского конструирования оптимальных регуля™ торов по критерию обобщенной работы на основе матричного уравнения Ляпунова
1978 В. А. Подчукаев
Введение в рассмотрение уравнения типа Риккати с двумя квадратичными членами разных знаков (в зарубежных источниках — теория Поо в пространстве состояний)
1980 В. А. Подчукаев
Получение границы устойчивости по Ляпунову аналитически сконструированных систем посредством аналитического представления внешних воздействий на основе урав™ нения типа Риккати с двумя квадратичными членами разных знаков
1980 Ю. Аккерман
Аналитическое решение задачи модального управления в скалярном случае
1983 В. А. Подчукаев
Принцип нелинейного включения, наделяю™ щий производную от функции Ляпунова в матричных уравнениях Ляпунова, Риккати и уравнении Подчукаева явными признаками зависимости от коэффициентов харак™ теристического уравнения (решение задачи оптимального модального управления)
1984 В. А. Подчукаев
Аналитическое решение задачи модального управления в случае векторного управления
Таблица 7.1
Хронология становления синтеза в ТАУХронология становления синтеза в ТАУ
Хронология становления синтеза в ТАУ
Хронология становления синтеза в ТАУ
№ Алфавит п/п
Содержание
1 Скалярное управление
ж = Рх + Ви, ж е Rn,u е и = СТ х
WTV = —〃Р) — формула Ю. Аккермана, где
Ж = [В,РВ^.^Рп^В1
а^г —2 «п^з "一 «2 ai1
2 с^п—-34ai 10
—зQn™„4C^n —5…а100
«2«11...000
ai10000
L 10U…оии」
Г ст 1
CTF
CTFn^2
CTFn^
/(F) = Fn + а!Рп^ + a2Pl + …
+ ttn-i P + Qn En .
Итог: k = —LW/T〃P)
2 Векторное управление
ж = Рх + Ви, х е Rn, и е Rn\ и = Ст х
Индекс управляемости к удовлетворяет условию mk = n.
Формулы ——те же. Разница в том, что
Ж = [В^РВ^.^Р^В],
a左一 1 Еm a左一2 Em a左一3 Em * . . a? Em ol± Em Em
a^ — 2 石m,3石口 a^ —$ 石m, * — c^i Em Em &m
a^ —зЕт, 5 к 一 4 E ma^ —务石巾，Em®m®m
Q! 1 EmEm® m® m&m® m
事Em01m&m一a€)?九01m&mш
Г1
CTF
CTFk^2
/(F) = Рк + aiF^1 + a2PA2 + ...
Таблица 7.2
Азбука методов модального управленияАзбука методов модального управления
Азбука методов модального управления
Азбука методов модального управления
Таблица 7.2 (Продолжение)
№ п/п
Алфавит
Содержание
3
Принцип нелинейного включения
Всякое решение неоднородного матричного уравнения Ляпунова
AF + FTA = —Q
удовлетворяет уравнениям (F = Р — ВВТЛ):
линейному однородному матричному алгебраиче™ скому уравнению типа Ляпунова
[AF + FTA]=——」{A\Fn + ai尸
+ «2 FU " + ...+ &冗一2 尸[+
+ [(尸7广 + ai(尸7ут + а2(尸7广-2 + …
• . . + a冗一2(尸7)[力 + 2an.?!};
нелинейному однородному матричному алгебраическому уравнению (п + 1)™го порядка типа Риккати (уравнение Подчукаева)
АР + РТА^2АВВТА = ^^^ {А[(Р^ВВтА)п +
+ai(F — BBTA)n^ + …+ an^{P —石石 R)2] +
+ [(FT —力石石丁尸 + m(P7 一 aввтуt + ...
…2(Р『一ABBTf]A + 2anA};
нелинейному неоднородному матричному алгебраическому уравнению второго порядка типа Риккати АР + Рт А — 2ЛВВТА = —Q
4
Синтез приводимых по Ляпунову систем
Метод компенсации.
Дано: уравнение движения объекта
丛崑)+ Е [&(办 t)]z^ = и + f, i=l
之 e Rm, и e IT1, j E 俨
Выбором закона
我=£[&(% 力)一 A)], г = 1
где 仇(i = 1, k)——заданные матрицы чисел размера m х m, имеем замкнутую систему с матрицей чисел
г = 1
Приведение к форме вход-выход без производных от вектора управлений описано в третьей главе (как для объектов в форме Коши, так и для объектов в форме вход-выход)
Таблица 7.3
Азбука методов оптимального управления
№ п/п
Алфавит
Содержание
1
Исходные данные
Полностью управляемый объект
ж = ［F（v, t）］x + ［B（v, t）］u, ж e Rn, и e Rm.
Функционал:
一 определенный в задаче Летова
J = J （冗丁［Q（d, t）］x + иТи） dt;
0
一 полуопределенный в задаче А. А. Красовского （функционал обобщенной работы）
Ji = 1 （宏丁［Q（4 方）］宓 + ити +
+ 2xT［A（v,力）笈（4 t）BT（v, t）A（v,切冗）dt, где ［Q （⑦,力）］——заданная симметричная положительно определенная матрица, чем гарантируется асимптотическая устойчивость по Ляпунову объекта, замкнутого регулятором и = ［CT（v, ^）］ж, где
e（〃掰=一以（〃方）石（4用
（здесь ［A（v, £）］ — искомая симметричная положительно определенная матрица функции Ляпунова xT［A（v,方）］宏）
2
Алгоритм решения задачи А. М. Летова
Нелинейное матричное дифференциальное уравнение типа Риккати
［%（〃力）］=［一44 方）p（4 方）一p7（4 方）4〃 方）+ +A（v, t）B（v, t）BT（v7 t）A（v,力）一Q（4 力）］
с граничным условием 以（〃 оо）］ = 0„.
Заменой времени на обратное 力 二一丁 задача Летова с этим уравнением сводится к задаче Коши.
В случае стационарных линейных систем дифференциальное уравнение превращается в алгебраическое （имеющее неединственное решение, среди которых нужно найти положительно определенную матрицу А） АР + Рт А — АВВТА + Q = О九
3
Алгоритм решения задачи А. А. Кра™ совского
Матричное уравнение Ляпунова
Й（^3）］ + ［#（4 力）口4 切 + ［p7（4 力）4〃 力］=
=—［Q（〃 "к
В случае стационарных линейных систем превраща™ ется в алгебраическое уравнение
АР + РТА = —Q
Таблица 7.3 (Продолжение)
№ п/п
Алфавит
Содержание
4
Вид матричных уравнений Ляпунова, составленных в силу уравнений движения замкнутой системы
Уравнение движения замкнутой системы
ж = [F(v, t)]x = [F(鏡，力)+ B(v, t)CT(v, t)]a?=
=[P(v, t) — B(v, t)BTt)A(v, t)]x.
Задача Летова
[A(v,t) + A(v, t)F(v, t) + 尸丁(鏡，t)A(v, t)]=
二 一[Q(q 力)+ C(v,t)CT(v, t)].
Задача А. А. Красовского
[厶(富“)+ A(v,t)F{v, t) + FT(v,t)A(v, t)]=
= ^[Q(v,t) + 2C(v,t)CT(v,t)l
5
Учет неопределенных внешних воздействий в задаче А.М. Летова (наихудших в смысле потери замкнутой системой без внешних воздействий свойства асимптотической устойчивости и приобретения свойства устойчивости (не асимптотической) по Ляпунову)
Формализм учета в уравнениях движения объекта
Ж = [P(v, t)]a? + [B(v, t)]u + /,
度 С R% и 6 Rm, / 6 Rn.
Формализм представления внешних воздействий
/ = [G(v, t)]x.
Формализм представления замкнутой системы
ж = [П(1；, t)]x 三[尸(％ t) + G(% t)]x.
Формализм учета в матричном уравнении Ляпунова [G(0")] = -0,5[A™1(v,t)Q(v,t) — B{v,t)CT(v,t)], где [厶(鏡，力)]удовлетворяет однородному матричному уравнению Ляпунова
[%(富，方)+ 4 鏡，t)n(v, t) + nT(v,方)/(级，力)]=8n, свидетельствующему об устойчивости (не асимптотической) по Ляпунову тривиального решения замкнутой системы с внешними воздействиями.
Аналитическое представление внешних воздействий, для которых замкнутая система (и = 0,5[(7T(v, t)]x) (с внешними воздействиями) асимптотически устойчива по Ляпунову
[G(M)]=
=—OjSatA^1(V, t)Q(v, t) — B(v, t)CT(v, t)], a E (1, oo), проверяется непосредственной подстановкой в матричное уравнение Ляпунова
[厶(У) + 4鏡,t) [P(^,t) + | B(v,t)CT(v, t)] +
+ [pT(v,t) + 1 C(v, t)BT(v, t)^A(v, t)]=
二一a[Q© 切 +[C(v,t)CT(v, t)],
из которого следует уравнение типа Риккати с двумя квадратичными членами разных знаков (в западной литературе ——теория Ноо в пространстве состояний) Й(^Л)] = [—4 管 Q)F(0") — PT(v,t)A(v,t)^
— aQ(v, t) + A(v, t)B(v, t)(2 — a)BT(v^ t) A(v, t)]
Таблица 7.4
Азбука метода билинейных преобразований конструирования решений алгебраического матричного уравнения Ляпунова
№ п/п
Алфавит
Содержание
1
Исходные данные
Полностью управляемый объект ж = Рх + Ви, ж е яп, и е R1
2
Формирование матрицы управляемости
А. Н. Крылова
Ж = [В,РВ^^7Рп^В]
3
Вычисление коэффици™ ентов А. Н. Крылова, совпадающих с коэф™ фициентами характеристического уравнения
И = -W^PnB, И = col [an, - - . ,«i]
4
Формирование вектора коэффициентов характе™ ристического уравнения дискретной системы, полученной в результа™ те билинейного преоб- z + 1 пазования s =—— 之一1 коэффициентов характеристического уравнения непрерывной системы
耽⑶=E 户£一\ ь = col [/Зо, /31,...,统],
b = Vа, а = col [1, Qi, . . . , an],
где V —— матрица размерами (п + 1)х(п + 1), первая строка которой состоит из единиц, первый столбец ——из биномиальных коэффициентов (коэффициентов п™строки треугольника Паскаля), а остальные элементы определяются равенствами Vij = Vij-i — Vi-ij-i — Vi-ij
(ij = 2,n + 1)
5
Вычисление коэффициентов & (г = 1, п) при™ веденного характеристического многочлена дис™ кретной системы
如(％) = /W)=仇+ £
Li = l」
PO
6
Формирование матрицы Фробениуса, сопровождающей характеристический многочлен дискретной системы
冗E + 1]=尸冗['〃
7
Формирование матрицы Шура-Кона Q
Q = QiQ不—Q^
Г 1
8
Qi =&
②=
!^Г, где
00...0"
10. . .0
Ci1…о，
：n — 2 См — 3• • •1 -
"€по оо ~
€n—1£nо•••о
《П一2《n一1€n.••0
-€i&€з•••€n-
Таблица 7.4 (Продолжение)
№ п/п
Алфавит
Содержание
8
Формирование вектора г дискретного матричного уравнения Ляпунова, за™ писанного в виде тождества Паркса-Калмана
尸TQ尸一Q = —"丁， г = col [ri, . . . , rn], 『冗一o+i = £几e分一e几一，» £o = 1(〃 = 1" Ti)
8
Формирование тождества Е.А. Барбашина
АР + PTA = — 2rrT, где P = (F + En)(F^Enr\ A=(尸т —&)Q (尸—&)
9
Формирование алгебраического матричного уравнения Ляпунова АР + РТЛ Q
P = L^PL, Q = 2LTrrTL,
A = LT (尸7 一 En) Q (尸一En)厶 где
厶=[区ТД…，严Т§a
(здесь 笈 ——производящий вектор Крылова, ко™ торый нужно выбрать из условия полной управляемости пары F, В)
Таблица 7.5
Азбука метода конструирования положительно определенной матрицы, удовлетворяющей нелинейному матричному алгебраическому уравнению типа Риккати
№ Алфавит п/п
Содержание
1 Исходные данные
Полностью управляемый объект
ж = Рх + Ви, ж е Rn, и е я1.
Заданный функционал
J = J {хт Qx + ити) dt
0
2 Формирование матриц
£ =Еп £-1 = Г —А Еп
[Еп А ]5[ Еп 6П
[Q X ]
3 Вычисление коэффициентов характеристиче ского уравнения матрицы Г
Допускается поиском (описан в параграфе 3.2) производящего вектора Крылова К е Я2п, составляющего с матрицей Г полностью управляемую пару, когда
rank Ж = rank[K)「K,…，「2n—1R] = 2n
4 Вычисление корней харак™ теристического уравнения 0($) = det [Е2П8 — Г] = О матрицы Г
Таблица 7.5 (Продолжение)
№ п/п
Алфавит
Содержание
5
Факторизация корней характеристического много™ члена
0($)=夕($)夕(—$) = 0
夕($) = $“ + £ aiS71^1 = 0 —— многочлен степени п, составленный из тех 2п корней многочлена 0($) = 0, которые лежат в левой полуплоскости
6
Сформировать матричный многочлен 夕(「) степени п
夕(门=广+ a1广-1 + -.
Ф21Ф22
7
Вычислить матрицу А, удо влетворяющую нелинейному матричному алгебраическому уравнению типа Риккати
ЛР + РТЛ — АВВТ А = Q
А = Ф22ФТ2 = Ф21ФГ11
8
Вычислить матрицу пара™ метров С искомого закона управления
С = — АВ
Таблица 7.6
Перечень введенных определений
Порядковый номер определения
Связаны с критерием Найквиста
7.1
Понятие возвратной разности
7.2
Понятие запаса устойчивости по амплитуде
7.3
Понятие запаса устойчивости по фазе
Таблица 7.7
Перечень рассмотренных объектов управления
№ п/п
Объект управления
7.1
Боковое движение осесимметричного летательного аппарата
7.2
Угловое движение искусственного спутника Земли
73
Первый этап продольного движения беспилотного летательного аппарата с закрепленными крыльями
7.4
Боинг™747
7.5
Боковое движение летательного аппарата в начальный момент крена при условии пренебрежения изменением курса
УПЖЖНЕНИЯ
Используя скалярную запись матричного уравнения Ляпунова (5.9) для систем в форме Фробениуса
—Зп —用=—an — i,n — k — l — ®n^i™l,n^fcH~9^i + l ^^ + 1 ^9^fc + l ^i+l 一 Qn-~-i ,n-~-k ?
i = 0)7i — 1, к = 0,71 — 1,
методом математической индукции докажите справедливость формулы (5.15). При доказательстве используйте следующее свойство числа сочетаний:
〜十—〜+i •
Решите задачу синтеза приводимых систем (параграф 7.1.3) в отно・ шении объектов управления, приведенных в упражнениях к главе 3 (задачи 3」—39).
ГЛАВА 8
ЗАДАЧА ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВЕКТОЖ СОСТОЯНИЙ(ЗАДАЧА НАБЛЮДЕНИЯ)
Синтез наблюдателей полного порядка
Реализация закона управления, организованного по принципу обратной связи по состоянию, требует обязательного измерения всех компонент вектора состояний. В действительности же «на борту» объекта управления, как правило, имеются измерители лишь части компонент этого вектора. Вот почему в обратную связь вместо вектора состояний заводится лишь неко™ торая оценка этого вектора, формируемая наблюдателем полного порядка, т. е. полные уравнения движения САУ имеют вид
ж =[Р(ж, t)]x + [В(ж, t)]u,(8.1)
У =[0(①⑴反(82)
方=[Р(ж, t)]x +归応力)]u + [G応 t)][y —。定 t)x],(8.3)
и = [CT(x,t)]x,(8.4)
где ж, ж е Rn; и е Rm и у е Rr.
Здесь ж ——обозначает вектор состояний объекта управления; ж —— вектор состояний наблюдателя полного порядка; у ——вектор измерений; и — вектор управлений; [Р(ж, t)], [В(ж,力)],[G応力)],[О(с,力)]，归応 t)], [。伝)力)]——заданные функциональные матрицы соответствующих разме™ ров.
Использованию вектора состояний наблюдателя ж в законе управления (8.4) ТАУ обязана принципу разделения. Существо этого принципа состоит в следующем: если систему уравнений (8.1)—(84) переписать в векторно™ матричной форме
互]=[G(x,t)D(x,t)] [p位制+[6応力)0T(б力)-G伍力)0伉方)][+
(85)
и выполнить замену переменных в соответствии с выражением
[е]=Н[^166)
в котором введены обозначения
е = ж ж, Н = Н^1е = ж ж, Н = Н^1
е = ж ж, Н = Н^1
е = ж ж, Н = Н^1
то математическую модель (8.5) можно представить в виде
х = [Р(ж, t) + В(ж, t)CT(х, t)]x — [В(ж, t)CT(x,力)]с,
2 = [p(ж,力)+ {B(х,力)—b(ж,力)}07志力)—G応 t)D(x,力)]c+
+ {[f(ж,力)-Р位力)]+ [Б(ж,力)-6応 t)]CT(x,方)+
+ G(x, t)[D(x,力)-。恒 t)]}x.
Из полученных уравнений видно, что при ж = ж они обращаются в уравнения
х = [Р(ж, t) + В(ж, t)CT(х,力)]с — [В(ж, t)CT(x,力)]с,(8.7)
ё = [Р(ж, t) — G(z, t)D(x^ t)]e.
Последнее из уравнений известно под названием уравнения асимптотической оценки, где вектор е представляет собой вектор ошибки во сета™ новления вектора состояний ж.
Факт преобразования системы (8.5) к системе (8.7) дает основание обратную связь в объекте управления, рассчитанную для ж, заменять управ™ лением по ж, отдельно рассчитывая матрицу G(x, t) искомых параметров наблюдателя, исходя из соображений асимптотической устойчивости по Ляпунову второго из уравнений (8.7), так как только при е 0п имеет место х ^х.
В основе синтеза матрицы G{x^ t) параметров наблюдателя лежит двойственность задач управления и наблюдения.
Суть двойственности состоит в том, что асимптотическая устойчивость второго из уравнений (8.7) влечет за собой и асимптотическую устойчивость уравнения
i = [РТ(х^ 力)—DT(х, t)GT(х^ 力)]之，(8.8)
отличающегося от первого уравнения тем, что матрицы, его определяющие, являются транспонированными по отношению к матрицам первого уравне™ ния.
Тем самым, систему (8.8) можно рассматривать как полученную замы™ канием объекта управления
i = [Рт(ж, t^z + [DT{х, t)]v(8.9)
регулятором
V = [GT(х, t)]z,(8.10)
что дает основание задачу наблюдения свести к задаче стабилизации объ™ екта (8.9).
Продемонстрируем методику синтеза наблюдателя полного порядка, предназначенного для восстановления линейных скоростей абсолютно твердого тела по результатам измерения угловых скоростей.
Восстановление линейных скоростей абсолютно твердого тела по результатам измерения угловых скоростей в условиях зависимости моментов сил от линейных скоростей
Итак, рассмотрим движение свободного абсолютно твердого тела в свя™ занной системе координат (ССК), являющейся главной центральной си™ схемой, неизменно связанной с твердым телом, описываемое уравнениями Эйлера в форме Коши [27]:
+у+у&ж%-ж兄ж&ж%-ж兄ж^х =(4Ix+力y =（厶—Ле) ^x^zTs+力z =(4—I у) 3 x Gy+^х =(4Ix+力y =（厶—Ле) ^x^zTs+力z =(4—I у) 3 x Gy+
+у
+у
&ж%-ж兄ж
&ж%-ж兄ж
^х =
(4
Ix
+
力y =
（厶
—Ле) ^x^z
Ts
+
力z =
(4
—I у) 3 x Gy
+
^х =
(4
Ix
+
力y =
（厶
—Ле) ^x^z
Ts
+
力z =
(4
—I у) 3 x Gy
+
Эта система с помощью функциональных матриц допускает векторноматричное представление
^ = [Р(М)]с + Е, сеН ЕеН(8.12)
где
с == col [xi,. . ., Сб] = col [IZp,z]^
[p(X 力)]=[p(X 力)]=0—50—500G宏0G宏000000000000000ооо(/у — /z)Gzооо(/у — /z)Gz0000000000(Iz — Ix^Z(Лк — /у)%(Iz — Ix^Z(Лк — /у)%00(/宓-^y}^x(/宓-^y}^x2厶2厶2厶2厶ооо24ооо2400
[p(X 力)]=
[p(X 力)]=
0
—5
0
—5
0
0
G宏0
G宏0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
о
оо(/у — /z)Gz
о
оо(/у — /z)Gz
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(Iz — Ix^Z
(Лк — /у)%
(Iz — Ix^Z
(Лк — /у)%
0
0
(/宓-^y}^x
(/宓-^y}^x
2厶
2厶
2厶
2厶
ооо
24
ооо
24
0
0
F = col
Здесь ж ——вектор состояний; F ——вектор внешних воздействий; m —— величина массы тела;匕,%,匕 ——проекции вектора скорости центра масс на оси ССК; з况,Зу, з% ——проекции вектора угловой скорости на оси ССК; ^ж? iy. Iz ——моменты инерции тела относительно главных осей ССК; Rx, Ry, Rz ——проекции главного вектора сил на оси ССК; Мх, Му, Mz —— проекции вектора главного момента на оси ССК; t ——время; [Р(ж,力)]—— функциональная матрица, определенная на решениях уравнения (8.11).
Будем полагать, что измерению доступны лишь угловые скорости з宓, Зу, введя в рассмотрение следующее уравнение:
(8.13)(8.13)у = Dx, у е Л3,
(8.13)
(8.13)
где у = col [з宓,Зу, з/ ——вектор измерений; D = [83, Е^]——блочная матрица параметров измерителей.
Поскольку функциональная матрица [Р(ж,力)]в уравнении (8.12) зави™ сит только от вектора измерений д, то это уравнение можно переписать в виде
ж = [p(y^t)]x^ F, X е Л6, Ее/Л(8.14)
а уравнение (8.9)——в виде
z = [PT(y,t)]z^DTv.(8.15)
Будем решать задачу синтеза наблюдателя полного порядка, позво™ ляющего восстановить линейные скорости абсолютно твердого тела по результатам измерения угловых скоростей как задачу синтеза приводимых систем в отношении уравнения (8.15).
Необходимое и достаточное условие разрешимости этой задачи состоит в полной управляемости пары [РТ(у,力)],DT или в выполнении условия
rank [DT, EDT] = 6,(8Л6)
где 己 ——дифференциальный оператор вида
B=[PT(y,t)]^EG^)^
Матрица [Рт(у,力)]имеет блочную форму
(8」7)(8」7)
(8」7)
(8」7)
с блоками Pij (г, j = 1,2) размера 3x3, определяемыми равенствами
二
-0
—Gz0
Gy — ШЖ
— Gy
0期
,P12
=Ai =
-
0
（厶一/度）
3 -」
Гг)
(/У 一 厶)
Gy
P22 =
2/
0
(厶-」 2/
2厶 （厶-厶）
24
(Лк — I у) Gy
2厶
Гу ) Шх
24
0
Подставляя (8.17) в (8.16), получим матрицу управляемости
[W(y,t] = [DT, ED]= g 乃(8Л8)
с рангом, равным трем, что означает неуправляемость объекта (8.15). Из (8.18) следует, что условие полной управляемости состоит в выполнении неравенства
det Tn ф 0.(8.19)
Поэтому для удовлетворения этого условия можно использовать то, что правые части уравнений объекта и наблюдателя не изменятся, если к ним прибавить Фж Фж и ①杀一①杀,соответственно, где Ф ——заданная матрица чисел [28]
(820)
с блоком чисел 凸2, удовлетворяющим условию (8.19). Результатом прибавления будет следующая система уравнений объекта и наблюдателя:
亦=[修(勿用e+ %(821)
才=[% (勿力)庐 + [G(g,力川g - Ш] + K,(8.22)
где [Pi(y,力)]=[P(y,力)]+ 电冃=E — Фж,尸工=Е —①于.При этом члены — @z и —①杀 будем трактовать как слагаемые векторов внешних воздействий Fi и Fi соответственно, получив уравнение асимптотической оценки в виде
е = [А(% t)]e — [G(g, t)]De 十 ％ —瓦，(823)
что дает основание вместо уравнения (8.15) рассматривать уравнение
z = [P^y,t)]z^DTu(824)
с полностью управляемой парой [Р^ (д,力)],DT.
Следует отметить, что присутствие в правой части (8.23) члена 片一Fx приводит к появлению методической ошибки в векторе ошибки во сета™ новления, порожденной реакцией на эти слагаемые. Избавиться от этой ошибки можно лишь в случае, когда слагаемые трех последних компонент вектора внешних воздействий F содержат члены, линейно зависящие от скоростей 14,匕,К? т. е. если вектор F допускает представление
Е = Ез — фж,Е = Ез — фж,Ф =Ф =Оз Озw2103Оз Озw2103
Е = Ез — фж,
Е = Ез — фж,
Ф =
Ф =
Оз Оз
w2103
Оз Оз
w2103
Тогда если det Ф2х 护 0, то включение блока Ф2х в матрицу параметров объекта управления
[尸1(内力)]=1p(у^)] + 屮
позволяет достичь полной управляемости пары [Р[ (д,力)],DT.
Удовлетворив условию (8.16), приведем систему (8.24) к блочной форме
Фробениуса, для чего, используя технологию главы 3, построим гомео-
морфное преобразование вектора состояний 之 сначала к форме Крылова^ Люенбергера, а затем к форме Фробениуса.
Результатом приведения к форме Крылова-Люенбергера будут следую™ щие коэффициенты Крылова, представляющие собой блоки размера 3x3:
гР22Pl21A2 — Р22 Pl2, R1 В? + 21。12 —户22
что позволяет искомые блоки [а£д,力)](г = 1,2) блочной формы Фробени™ уса найти в виде
[«1 (?/,制=Pl21a2 — P^P11P12 —马2,(825)
[«2(У 力)]=PR1 户 12 - PR1 户11%2 - PR1R1P12-
—[P^FnPn1 + ^Pn1] [A2 — Al 卩川一Al A2a
Для того, чтобы система (8.25) была системой с постоянными коэф™ фициентами и, как следствие, исходная система (8.26) была приводимой, необходимо закон управления системой в форме Фробениуса представить в виде
我=eТ匂,切s = [ «2 (g,力)一02石з ai (g,力)一仇石3 ] 5
(здесь 仇 〉0,史 〉° ——заданные коэффициенты минимального много™ члена приведенной системы Л2 + /31Л + /З2 = 0).
Последующий переход от формы Фробениуса к форме Крылова-Люен™ бергера, а затем к исходной системе с матрицами перехода, найденными в результате обратного перехода (от исходной системы к форме Крылова- Люенбергера, а затем к форме Фробениуса), позволят получить закон управления исходной системой.
Восстановление линейных скоростейодномоторного самолета
Применим описанную методику для восстановления линейных скоро™ стей одномоторного самолета, уравнения движения которого с дозвуковой скоростью в невозмущенной атмосфере имеют вид [27]
丿 _". qSc%(a) cos 夕 qScx (a).
匕=%匕 Hбрв Н1gsm 幺
*qSc》B (a) sin 夕 qScy.
% = 3宓％ 一 g% + ^8рв + ——-+ 一 ^cos 7 sin V,
丿 丿 丄 gSc# 9) qScz (a)
К = u)y % — з况％ HОрн Нg sin)cos 匕
" Iy^Iz _ qSl2m^ (а)_ qSl2m"y (а)_ qS/m凱⑦)
qSlm^ (a) qSlmx (а,/3)
十舊/) (o^vj
3 宓 3z +3 宓 3z +qSGm产(а)qSGm产(а)3宓+3宓+qSl2m^(a) qSlm^(a) 丄2/м%+—4一厶乐+qSl2m^(a) qSlm^(a) 丄2/м%+—4一厶乐+/уlyly/уlylyqSlmy (а, /3)qSlmy (а, /3)• lx — I期.3% = j 3 宓 Cd, +• lx — I期.3% = j 3 宓 Cd, +qSb»z，(а)qSb»z，(а)IZVIZV^z +^z +qSb"# (а)qSb"# (а)8pB +8pB +
3 宓 3z +
3 宓 3z +
qSGm产(а)
qSGm产(а)
3宓+
3宓+
qSl2m^(a) qSlm^(a) 丄
2/м%+—4一厶乐+
qSl2m^(a) qSlm^(a) 丄
2/м%+—4一厶乐+
/уlyly
/уlyly
qSlmy (а, /3)
qSlmy (а, /3)
• lx — I期.
3% = j 3 宓 Cd, +
• lx — I期.
3% = j 3 宓 Cd, +
qSb»z，(а)
qSb»z，(а)
IZV
IZV
^z +
^z +
qSb"# (а)
qSb"# (а)
8pB +
8pB +
qSbamz (а) Кдв
+^+ l，
где q = 0,5рУ2 скоростной аэродинамический напор D; р плотность воздуха; У = + 寸 + 眩модуль вектора линейной скорости; /3 = =arcsin 1 — 1 угол скольжения;沙 угол тангажа; 7 угол крена; 8рв — угол отклонения руля высоты; 6卩口 угол отклонения руля направле™ ния; б?угол отклонения элеронов; Р тяга двигателя; сж (а), су (а), “(а), с% (а), 4PB (а),搜(а), тх (а, 0), ту (а, 0), mz (а), тп片(а), Щух (а),тху (а),тп/ (a\m^z (а),т^ (а),т^э (а),тн5рв (а),"。" (а), т^э (а), т^в (а)——аэродинамические эффекты; S ——площадь крыльев в плане; / размах крыльев; Ь@ — средняя аэродинамичеекая хорда крыла;
КДв суммарный момент количества движения вращающихся частей двигателя;夕 угол между направлением тяги и осью Ox ССК; g ускорение свободного падения; а = arcsin (；) —угол атаки.
При записи уравнений (2.38) в векторно-матричной форме (8.21) с Pg = Е3 вектор внешних воздействий Fi можно представить в виде суммы: Fi = F^ + Ff, где Ff ——составляющая, компоненты которой содержат аэродинамические коэффициенты, зависящие от восстанавливав емых линейных скоростей;理 ——составляющая, не содержащая таких коэффициентов:
1 cosg.口 1sing
#1,1= P —gsm 沙,r lj2 =P — g cos j sin и, rlj3 = ^sin7cos v^
US耳5一?心耳6 = T3
F2 = OS義(а) 戸=qSc"a) 戸=qScN(a)
1,1 т ，1,2 т ，1,3 т
qS产m贅(а)qSl2^^), qSlm^(a) x , qSlm^^).,
qSlmx(a,f3)
咛5 =咛5 =qSl2m^x(a) , qSl2m^y(a) , qSlm^(a) qSlm^(a)
咛5 =
咛5 =
—24 у —з—2/yV —*
qSlm^(a) к к 丄 qSlmy(a.p)
+ ；«?Н«PH + ； 一
2 — qSblmT^ 气6 —一声一2 — qSblmT^ 气6 —一声一3z +3z +qSblm^(a) qSlmz(a)
2 — qSblmT^ 气6 —一声一
2 — qSblmT^ 气6 —一声一
3z +
3z +
^дрв HУ•
В предположении измеримости углов 夕,/3, а,沙,7,(5рв,(5рн, 8Э реализа™ ция вектора F^ в составе наблюдателя может быть вычислена с точностью до погрешности измерения углов 夕,沙,7, в то время как реализация Ff может быть вычислена лишь приближенно по результатам восстановления линейных скоростей. При этом методическая ошибка восстановления ли™ нейных скоростей 匕,%,匕 будет определяться разностью векторов Ff и Ff, т. е. вектором AF = Ff Ff, компоненты которого имеют вид
△П1 =△П1 =qSc*PB(a*pB + с宓(а)тqSc*PB(a*pB + с宓(а)т
△П1 =
△П1 =
qSc*PB(a*pB + с宓(а)т
qSc*PB(a*pB + с宓(а)т
(827)(827)—<?5сУ(а)6рв + %(а)
(827)
(827)
,2 =
т
qSc?PB(a)6pB + ~(а)
△%，4 = ?(Г" + У %)+
+ ^т^а(а)8рн + т^(а)83 + тж(а, /3)] 乂(9一亨)｝一匕 + 匕,
△冃,5岂｛^ (呜"+呜"明)抬一+) +
+ |т%н(а2PH + тПу^а^Зэ + т^(а)8э8рв + ту(а, /3)](д 一 亨)｝一％+匕)
+少(а)8рв +g一g))-%十 忆，
где введены следующие обозначения:
Из (8.27) видно, что при У У имеет место AFi т 0. Тем самым методическая погрешность восстановления линейных скоростей, представляющая собой сумму свободной и вынужденной составляющих решения уравнения (8.23), будет иметь конечную величину, поскольку свободная составляющая стремится к нулю по построению, а вынужденная составляющая от асимптотически устойчивой по Ляпунову системы от исчезающего внешнего воздействия ограничена.
Искомая матрица параметров наблюдателя, вычисленная по формуле (8.26), имеет вид
- W + 02% +仇以2一■力Z + Gx^y + B19 z-舅--+ 02力 у + WZ幻①+ Pl^y—力 5c + 3+ Pl^z仇IУ 一厶g^z +2/ж z—Gn + ■厶一九：:24'PiGy + -ь _ ly 一Ix — ly2厶 У24 Шж- W + 02% +仇以2一■力Z + Gx^y + B19 z-舅--+ 02力 у + WZ幻①+ Pl^y—力 5c + 3+ Pl^z仇IУ 一厶g^z +2/ж z—Gn + ■厶一九：:24'PiGy + -ь _ ly 一Ix — ly2厶 У24 Шж[G（火力=[G（火力=— Gy +— Gy +—Шу + bjxbjz — /31 wy 力 Z + 3g3 z + /?1^«—Шу + bjxbjz — /31 wy 力 Z + 3g3 z + /?1^«G宏G宏(8.28)(8.28)
- W + 02
% +仇以2
一■力Z + G
x^y + B19 z
-舅-
-+ 02
力 у + WZ
幻①+ Pl^y
—力 5c + 3
+ Pl^z
仇
I
У 一厶g
^z +
2/ж z
—Gn + ■
厶一九：:
24'
Pi
Gy + -
ь _ ly 一
Ix — ly
2厶 У
24 Шж
- W + 02
% +仇以2
一■力Z + G
x^y + B19 z
-舅-
-+ 02
力 у + WZ
幻①+ Pl^y
—力 5c + 3
+ Pl^z
仇
I
У 一厶g
^z +
2/ж z
—Gn + ■
厶一九：:
24'
Pi
Gy + -
ь _ ly 一
Ix — ly
2厶 У
24 Шж
[G（火力=
[G（火力=
— Gy +
— Gy +
—Шу + bjxbjz — /31 wy 力 Z + 3g3 z + /?1^«
—Шу + bjxbjz — /31 wy 力 Z + 3g3 z + /?1^«
G宏
G宏
(8.28)
(8.28)
Численное интегрирование уравнений движения самолета (8.30) и син™ тезированного наблюдателя полного порядка с матрицей параметров (8.28) проведено для следующих значений аэродинамических коэффициентов и массогабаритных параметров, принятых постоянными:
сА(а) = —0,466; Срвд) = ^0,344sign ((5рв); Су^) = 1,491;
С*(а) = 1,799; G(a) = 0,241;。纱(а) = —1,512;
тж(а, /3) = 0,0015;”％(.)= —2,865;呜，а) = 0,0047;тж(а, /3) = 0,0015;”％(.)= —2,865;呜，а) = 0,0047;喏 О = —0,0375;т4У) = 1,948;т^^а) = —0,05;喏 О = —0,0375;т4У) = 1,948;т^^а) = —0,05;6产9，/3) = -0,0159;ту(а, /3) = 0,0034;m^z(a) = 0,381;6产9，/3) = -0,0159;ту(а, /3) = 0,0034;m^z(a) = 0,381;
тж(а, /3) = 0,0015;
”％(.)= —2,865;
呜，а) = 0,0047;
тж(а, /3) = 0,0015;
”％(.)= —2,865;
呜，а) = 0,0047;
喏 О = —0,0375;
т4У) = 1,948;
т^^а) = —0,05;
喏 О = —0,0375;
т4У) = 1,948;
т^^а) = —0,05;
6产9，/3) = -0,0159;
ту(а, /3) = 0,0034;
m^z(a) = 0,381;
6产9，/3) = -0,0159;
ту(а, /3) = 0,0034;
m^z(a) = 0,381;
т^в(а) = —3)438; m = 13000 кг;
/ж = 130 кг • м2;1У = 1040 кг • м2; Iz = 1300 кг • м2;
5 = 82 м2;/ = 30 м; Ьа = 2,9м; КдВ = 104 кг • м2 -с™1.
Моделирование проводилось при отсутствии внешних воздействий в предположении, что как самолет, так и наблюдатель подвержены только возмущениям начальных условий, которые были приняты равными
x(to) = col [159,11 —13,76 2,13 000],元仇)=col [157,30 —27,73 0,3 000].
Результаты моделирования (кроме изменения во времени ошибок восстановления линейных скоростей самолета (ех = Vx — Vx, е2 = Vy 一 匕, ез = 匕一*)) приведены на рис. 8.1, из которого видно, что ошибка восстановления скорости Vx стремится к нулю, а установившиеся ошибки восстановления скоростей Vy, Vz малы настолько, что модуль вектора скоростей, рассчитанный по восстановленным значениям линейных скоростей V = J匕—十 V；十 匕：отличается от истинного значения модуля вектора скоростей V = \/V^ + V^ + V^ лишь на десятые доли процента.
ВЫВОДЫ
Таблица 8.1
Азбука задачи восстановления вектора состояний
№ Алфавит п/п
Содержание
1 Исходные
данные
Уравнения движения объекта управления
ж = [Р(ж, t)]x + [В(ж, t)]u, ж е Яп, и G Rm.
Уравнение измерителей у = Dx.
Уравнение наблюдателя полного порядка
方二[p@)力)]元+ [B(x,t)]u + [G@,力川g一 D(x,t)x].
Закон управления и = [С7т(ж, ^)]ж, ж е Rn
2 Принцип разделения
После записи исходных данных в векторно-матричной форме
(吃閉[B(x,t)CT(x,t)]
Ж 二[G(x,t)D(x,t)][P(x,t)]+Ж
ж+[В(ж, t)CT(x, t)— ж
L-G(x,t)D(x,t)]J
выполняется замена переменных
=Я _, где
вж
е = х^х,Н = Н^= Еп °п
.Еп — Еп .
(здесь е ——ошибка восстановления вектора состояний), в результате которой объект принимает вид
Ж = [Р(金)力)+ 月(ж,力)07@,力)]金一[6(金，力)0т (т 力)]/
ё = [Рж(, t) + {В(ж,力)一В(ж, t)}CT(x,力)一
—G(花,t)D(x, t)]e + {[Р(ж, t) — Р(ж,力)]+ [В(ж, t)-
一 B(区力)]。丁(茹力)+ G@, t)[D(x71) — Q@, t)]}x7
откуда следует при ж = ж
ж = [Р(ж, t) + В(ж,力)。7(金，力)]金一В(ж, t)CT(x7 力)]e, © = [Р(ж, t) — G(x, t)D(x,力)]e.
Последнее уравнение называется уравнением асимпто™ тической оценки
3 Двойственность задач стабилизации и наблго дения
Асимптотическая устойчивость по Ляпунову уравнения асимптотической оценки влечет за собой асимптотиче™ скую устойчивость уравнения
2 = [Рт(ж, t) — DT(X, t)GT(х, t)]z,
которое можно рассматривать как замкнутую систему, полученную замыканием объекта управления
i = [РТ(х, t)]z + [DT(X, t)]v регулятором v = [Ст(ж, t)]z
УПРАЖНЕНИЕ
Решите задачу синтеза наблюдателя полного порядка в отношении объектов управления, приведенных в упражнениях к главе 3 (задачи 3.13.9) в предположении, что измерению доступны следующие компоненты вектора состояний: g =
ГЛАВА 9
ЗАДАЧА СТАБИЛИЗАЦИИ: СИНТЕЗ ЗАКОНОВУПЖВЛЕНИЯ СИНГУЛЯРНОЙ СТРУКТУРЫ
Историческая справка
Одно из многочисленных направлений синтеза связано с использованием в обратной связи больших коэффициентов усиления (М. В. Мееров, Н. И. Соколов), а также производных выхода, в частности, производной вектора состояний (Л. М. Бойчук, А. С. Востриков, П. Д. Крутько, В. Д. Юркевич и др.). Отличительной особенностью работ этого направления является искусственное введение в уравнения замкнутой системы малого параметра с целью преднамеренного формирования и последующего раздельного анализа разнотемповых процессов в замкнутой системе. При этом тип уравнений замкнутой системы, вообще говоря, остается неизменным, иначе: все уравнения замкнутой системы, как и разомкнутой системы, остаются дифференциальными.
В дальнейшем законы управления, описанные в 7 и 8 главах и не меняющие тип уравнений замкнутой системы, по сравнению с разомкнутой, будем называть законами управления регулярной структуры.
В отличие от них в [28] введены в рассмотрение законы управления сингулярной структуры, которые меняют тип одного или нескольких уравнений замкнутой системы (по сравнению с разомкнутой) с дифференциального на алгебраический. Там же задача синтеза таких законов управления названа задачей аналитического синтеза сингулярных регуляторов (задачей АССР).
К настоящему времени предложены два метода решения этой задачи:
алгоритм решения, основанный на приведении уравнений движения разомкнутой системы общего вида в форме Коши к канонической форме Крылова-Люенбергера (обычной или блочной);
прямой метод, который не требует преобразования математической модели объекта управления, а основан на компенсации первых производных левых частей тех уравнений модели, в которые входят управления. Такая компенсация достигается введением в структуру закона управления аддитивных составляющих, обеспечивающих такую компенсацию.
Идея прямого метода решения задачи АССР
Рассмотрим математическую модель управляемого движения общего вида в форме Коши, когда г-е уравнение (г = 1, п) с аддитивно входящим в правую часть управлением представляется в виде
Xi = fДж, t) + bj(x)t)uj(x, t), ж G Rn) и e Rm, — (9.1)
t =t e [to, oo),力о》0, ж(^0) = ж0,
в котором ж ——вектор состояний, и ——вектор управлений, /Дж, t), %(力，t)——заданные функции неизменяемой части объекта управления, Uj(x, t) —— j-я компонента вектора управлений, организованных по принципу обратной связи по полному вектору состояний или части компонент этого вектора.
Следует отметить, что если г-е уравнение системы (9.1) не содержит управления, то второе слагаемое правой части (9.1) следует полагать равным нулю.
В предположении, что для всех 力 е ［力о, °°) имеет место b^(#, t) *0, прямой метод решения задачи АССР сводится к назначению закона управления в виде
"式力,力）="式力,力）=。=1）冗）j = 1,m,。=1）冗）j = 1,m,(92)(92)
"式力,力）=
"式力,力）=
。=1）冗）j = 1,m,
。=1）冗）j = 1,m,
(92)
(92)
где &(力〉t) — некоторая подлежащая выбору (в зависимости от заданной неизменяемой части объекта управления) составляющая сингулярного закона управления (9.2).
Результатом подстановки (9.2) в (9.1) будет следующее уравнение (для г = г*) замкнутой системы (уже алгебраическое, а не дифференциальное)
Л* (ж, t) + ^(ж, t) = 0.Л* (ж, t) + ^(ж, t) = 0.(9*3)(9*3)
Л* (ж, t) + ^(ж, t) = 0.
Л* (ж, t) + ^(ж, t) = 0.
(9*3)
(9*3)
К сожалению, в общем случае дать какие-либо рекомендации по выбору 8亍(力,力)вряд ли представляется возможным, хотя совершенно ясно, что целью такого выбора является, во-первых, навязывание замкнутой системе (меньшего порядка, чем исходная) свойства асимптотической устойчивости и, во-вторых, доставление ей желаемых показателей точности и качества переходных процессов.
Анализ корректности постановки задачи АССР
Как известно, классическое определение корректности постановки задачи по Адамару предполагает, что решение задачи существует, единственно и устойчиво к малым изменениям исходных данных.
Поскольку решение задачи АССР прямым методом во многом зависит от интуиции инженера, то полученное в каждом конкретном случае решение ——неединственное.
Для достаточно широкого класса задач, имеющих физическую природу, А. Н. Тихонов дал определение корректности, отличное от классического, когда центральным требованием, предъявляемым к решению подобной задачи, является единственность ее решения в классе решений, принадлежащих некоторому замкнутому множеству, называемому множеством или классом корректности. Существование решения предполагается априори известным для некоторого множества данных (как в задаче АССР), а требование устойчивости решения от данных задачи сохраняется. При этом процесс преобразования некорректно поставленной в корректно поставленную (по Тихонову) задачу носит название регуляризации.
В свете изложенного выполним процедуру регуляризации задачи АССР в общем случае.
Случай 1°. Участвующая в формировании закона управления (9.2) производная dxi(t)/dt не может быть измерена точно, вследствие чего «неидеальный» сингулярный регулятор может быть записан в виде
Uj(x^ t)=Uj(x^ t)=г = 1, n, / = 1)m, (9*4о)г = 1, n, / = 1)m, (9*4о)
Uj(x^ t)=
Uj(x^ t)=
г = 1, n, / = 1)m, (9*4о)
г = 1, n, / = 1)m, (9*4о)
где %• > 0 ——некоторые малые параметры.
Замыкание объекта (9.1) регуляторами (9.4 о) приводит к следующим уравнениям замкнутой системы:
(9.5 а)(9.5 а)Nj笈i* =力*(#") + %(#,力 j = 1,ш,
(9.5 а)
(9.5 а)
т. е. к системе (9.1), в которой все дифференциальные уравнения, содержащие управления, поменяли тип с дифференциального на алгебраический (превратились в уравнения (9.3)). Следуя терминологии А. Н. Тихонова [11, с. 256—266]), будем называть эту систему т-кратно вырожденной, в отличие от полной системы, в которой аналогичные уравнения (9.5 о) содержат малые параметры.
Для анализа корректности постановки задачи АССР привлечем теорему Тихонова [11, с. 266, теорема 6.4], которая применительно к рассматриваемому случаю может быть сформулирована в следующем виде: решение полной системы стремится при 从亍 f 0 к решению т-кратно вырожденной системы, если для любого (j = 1, т):
корни 力£*, при помощи которых определяется вырождение системы, являются устойчивыми корнями присоединенных уравнений
^^ =九 *(#/) +j = 1,ш,^^ =九 *(#/) +j = 1,ш,(96 о)(96 о)
^^ =九 *(#/) +j = 1,ш,
^^ =九 *(#/) +j = 1,ш,
(96 о)
(96 о)
где все не г*-е компоненты вектора состояний ж и время t рассматриваются t
как параметры, а независимая переменная 万 = ——;
начальные значения g* (0) входят в область притяжения решения присоединенных уравнений (9.6 о), соответствующих начальным значениям параметров присоединенных уравнений.
Случай 2°. Нетрудно видеть, что представление неточности измерения производной согласно (9.4 о) не учитывает случай, когда эта погрешность формализуется в виде, обратном (9.4 о), т. е. согласно выражению
Uj (ж, t)=Uj (ж, t)=6 . (力力)[0 + ^j)^i十 山(/)力)]，6 . (力力)[0 + ^j)^i十 山(/)力)]，г = 1, n, j = 1)т. (9.46)г = 1, n, j = 1)т. (9.46)
Uj (ж, t)=
Uj (ж, t)=
6 . (力力)[0 + ^j)^i十 山(/)力)]，
6 . (力力)[0 + ^j)^i十 山(/)力)]，
г = 1, n, j = 1)т. (9.46)
г = 1, n, j = 1)т. (9.46)
Замыкание объекта (9.1) регуляторами (9.4 б) приводит к следующим уравнениям замкнутой системы:
Nj加i* =一%*（呼力）一心（力，力）"Nj加i* =一%*（呼力）一心（力，力）"(9.5 6)(9.5 6)
Nj加i* =一%*（呼力）一心（力，力）"
Nj加i* =一%*（呼力）一心（力，力）"
(9.5 6)
(9.5 6)
Применительно к (9.5 6) использование адаптированной к этому случаю теоремы Тихонова порождает присоединенное уравнение вида
(9.66)(9.66)
(9.66)
(9.66)
Несложно показать, что если в первом случае, когда в правой части (9®4о) присутствует сомножитель (1 —从丁)，присоединенные уравнения (9.6 а) будут иметь асимптотически устойчивые корни, то во втором случае, когда в правой части (9.46) присутствует сомножитель (1 + 从/), присоединенные уравнения (9.66) будут иметь правые части со знаками, противоположными знакам правых частей присоединенных уравнений первого случая. Это означает, что корни присоединенных уравнений второго случая будут неустойчивыми.
Если же и в первом, и во втором случаях присоединенные уравнения имеют нулевые корни, т. е. имеет место устойчивость по Ляпунову (неасимптотическая), что не противоречит адаптированной к прямому методу теореме Тихонова (в условиях выполнения п. 2 этой теоремы), то «неидеальный» сингулярный регулятор вида
^j[(l ± Hj)Xi +t)], г = l,n, j = 1,771, (9.4в)^j[(l ± Hj)Xi +t)], г = l,n, j = 1,771, (9.4в)1ж,будет грубым в смысле Тихонова.
^j[(l ± Hj)Xi +t)], г = l,n, j = 1,771, (9.4в)
^j[(l ± Hj)Xi +t)], г = l,n, j = 1,771, (9.4в)
В свете изложенного справедлива следующая рекомендация по назначению сингулярного регулятора [27].
Рекомендация 9.1. Сингулярный регулятор следует выбирать из условия, чтобы однородное уравнение, соответствующее присоединенному уравнению Тихонова, имело нулевую правую часть.
Полученная рекомендация может быть использована для формализации множества корректности (по Тихонову) задачи АССР в общем случае.
Утверждение 9.1. Множеством корректности (по Тихонову} задачи АССР является множество сингулярных регуляторов, для которых однородное уравнение, соответствующее присоединенному уравнению Тихонова. имеет нулевую правую часть.
9.4. Синтез сингулярных регуляторов прямым методом
Пример 9.1. В качестве примера стационарной линейной системы рассмотрим уравнения возмущенного движения двухкомпонентного гиротахометра на основе трехстепенного гироскопа [1]:
Аа + нВ = —Нз] — Лш3 — 2a + М + uJ;
ЯД — На = Я^з — А⑦ 1 — 2G + Mx +.()
Здесь:
-A = Ai + (J0+厶+j3)/2 ;r二丿0+厶；H =丿停+g2))
а и Д ——углы отклонения наружной рамки подвеса относительно объекта и внутренней ——относительно наружной;夕 ——угол собственного вращения гироскопа;必1,必2,必3 ——компоненты вектора абсолютной угловой скорости объекта; Мх, М ——возмущающие моменты по осям подвеса внутренней и внешней рамок гироскопа; 〃 j,虱；——управляющие моменты по осям подвеса внутренней и внешней рамок; J。и J соответственно экваториальный и осевой моменты инерции ротора гироскопа; Ji,厶，丿3 ——моменты инерции внутренней рамки гироскопа относительно осей Ox, Оу, Oz; Л1 ——момент инерции внешней рамки гироскопа относительно оси Oz±; Н ——кинетический момент.
Введя безразмерные переменные по формулам
Р/3аа
力工==жз = —,#4 =——,
ро仇аоао
в которых
До = 1 рад /с, «0 = 1 рад/с, а0 = 1 рад, До = 1 рад,
сокращая уравнения (9.7) на 1 Н-м и обозначая
023 = "о/〃о； Р32 = —Ио/Ло; bi = 1/Ао；b2 = 1/{ 0； /1 =# 1 + M賓0；
力=—"о®；。一 ^0^20ж4 + Mo,
запишем уравнения (9.7) в форме Коши
Ж1 = #2；
力2 二 Р23#3 + bi/工 + Ь1〃1；-.
力3 = Р32Ж2 + 62/2 + b2n2；' a •
Ж4 = Ж3.
Здесь Hq, Ло, Яо,幻汕 Мжо, Мо,虱工，и2 — безразмерные величины.
В качестве численных значений параметров двухкомпонентного гиротахометра примем следующие, приведенные в [1]:
Я = 2 - 10"3Н -м-с, Jo = 0,547- 10"6кг • м2,
Ji = 0,588 • 10"6кг -м2, J2 = 0,647- 10"6кг • м2,
J3 = 0,58 • 10"6кг -м2,41 = 0,1327- 10"5кг • м2.
fi = f2 = f = 0,7Л0"3Н.м.
Тогда при этих значениях параметров уравнения (9.8) можно будет переписать в виде:
亦 1 = ж2,
(99)(99)ж2 二 1770ж3 + 8)85^1 + 6,195 • 10^3, 亦з = —900#2 + 4,5^2 + 3,15 • 10^3, 近4 =#3*
(99)
(99)
Сформулируем задачу:
определить прямым методом уравнения сингулярных регуляторов, при которых система (9.9), описывающая движение двухкомпонентного гиротахометра, замкнутого этими регуляторами, была бы асимптотически устойчивой, а ее показатели точности и качества были бы не хуже показателей, полученных методом АКОР и методом АССР, основанным на приведении к форме Крылова-Люенбергера;
сравнить переходные характеристики замкнутой системы по углам а и Д, полученные в п.1, с приведенными в [28].
Случай внешних воздействий, доступных измерению. Используя прямой метод АССР, примем уравнения движения сингулярных регулято-
ров в виде
(9Л0)(9Л0)= 8Ь 历2 — 1770力з — 6,195 • g
(9Л0)
(9Л0)
= ^ [ж3 + 900ж2 - 3,15 • ICT3 - 力3 + 入2#4])
где Ai,入2 — параметры, назначаемые из условия скорости притяжения компонент вектора состояний к началу координат.
После подстановки (9.10) в (9.9) получим следующие уравнения замкнутой системы (вырожденной, по терминологии Тихонова, системы)
(911)(911)力 2 = M#1
(911)
(911)
#3 =先#4
亦 4 =
Из (9.11) видно, что .*
4 入2#4,
откуда следует
1 ⑴=exp (Ait)iCi(O),
4⑴=exp (A2t)a：4(0),
т. e. при любых Xj < 0 (j = 1,2) имеет место асимптотическая устойчивость вырожденной системы, причем переходные процессы носят апериодический характер (перерегулирование отсутствует), а в силу компенсации внешних воздействий замкнутая система наделена свойством астатизма (имеет нулевые статические ошибки).
Анализ корректности постановки задачи ACCR Запишем присоединенные уравнения,
"(9.12)
=0 * #з 4~ А2Ж4.
ат
Нетрудно видеть, что свободная составляющая общего решения присоединенных уравнений устойчива по Ляпунову (каждое уравнение имеет
один нулевой корень с областью притяжения в виде начала координат). Начальные значения этих корней принадлежат области притяжения решений присоединенной системы (9.12), соответствующей начальным значениям жх(0), Ж4(0) в окрестности начала координат. Таким образом, решение полной системы стремится при 从亍 f 0 (j = 1,2) к решению двукратно вырожденной системы (9.11), что свидетельствует об условной корректности в смысле Тихонова поставленной задачи.
Случай внешних воздействий, не доступных измерению. Примем уравнения движения сингулярных регуляторов в виде
虱工二 [ж2 — 1770ж3 — #2 + А1Ж1],
(9ЛЗ)
u2 = —— [жз + 900ж2 -力3 十 入2力4〕,
где Ai,先—параметры, назначаемые из условия притяжения компонент вектора состояний к началу координат.
После подстановки (9.13) в (9.9) получим следующие уравнения замкнутой системы (или двукратно вырожденной по терминологии Тихонова
системы):
邕=ж2,
Перепишем (9.14):
#2 =尢力工 + 6,195 • IO?
жз = Л2Ж4 + 3,15 • 10-3,'
力 4 = #3"
жх = Л1Ж1 +6,195- 10^3,
#2 = А1Ж1 + 6,195 • IO?
жз = А2Ж4 + 3,15 • 10™3,'
亦 4 = Л2Ж4 + 3,15 "IO — ?"
Нетрудно заметить, что решения первого и последнего уравнений си-
стемы (9.15) имеют вид
力1 ⑴=exp (Л1^)Ж1(О) + 6,195 • 1。з$ exp (Axt) — 6,195 • 10-3^-,
#4⑴= exp (%方)力4(0) + 3,15 . ]0-3+ exp (先力)-3,15 • 10-3+ ,
т. е. при любых Xj < 0 (j = 1,2) имеет место асимптотическая устойчивость вырожденной системы, причем в этом случае имеют место статические ошибки, которые могут быть сделаны сколь угодно малыми выбором соответствующих параметров %• < 0 (j = 1, 2).
Анализ корректности постановки задачи АССР в этом случае полностью повторяет анализ корректности постановки задачи для предыдущего случая (с той лишь разницей, что в правых частях присоединенных уравнений присутствуют в качестве параметров внешние воздействия).
Сравнение с результатами, полученными другими методами. В условиях постоянно действующих по обоим каналам возмущений /х = /2 = =/ = 70Н"М при нулевых начальных условиях для выбранных значений Ai = Л2 = 1000 во втором случае получим кривые переходных процессов по углу отклонения внутренней рамки относительно наружной /3 (рис. 9.1)
Те же кривые, полученные в [1] методом АКОР в системах гиротахо» метр-широкополосные регуляторы, гиротахометр-узкополосные регуляторы, приведены на рис. 9.3 и 9.4 соответственно.
Те же кривые, полученные в [28] методом АССР, основанным на приведении к форме Крылова-Люенбергера, изображены на рис. 9.5 и 9.6 соответственно.
Нетрудно видеть, что время регулирования, полученное в результате применения прямого метода решения задачи АССР, составляет 0,004 с, в то время как в [28]——0,01 с; для системы гиротахометр-широкополосные регуляторы [1]——0,025 с, а гиротахометр-узкополосные регуляторы —— 0,8 с. При этом статическая ошибка и перерегулирование по углу /3 составляют:
• 0,6195，10一7 рад и 0% (процесс монотонный)——для прямого метода;
厶с
Рис. 9.4
0,14-Ю™2 рад и 7% ——в системе гиротахометр^широкополосные регуляторы;
0,02-Ю™1 рад и 1250% ——в системе гиротахометр-узкополосные регуляторы;
нулевая ——при решении задачи АССР методом приведения к форме Крылова-Люенбергера;
статическая ошибка и перерегулирование по углу а составляют:
0,315% 1()—7 рад и процесс монотонный ——для прямого метода;
0,27-10™2 рад и процесс монотонный ——в системе гиротахометр-широ- кополосные регуляторы;
0,02-Ю^1 рад и 1250% ——в системе гиротахометр-узкополосные регуляторы;
0,35-10™3 рад и 15% ——при решении задачи АССР методом приведения к форме Крылова-Люенбергера.
Отметим, что передаточные коэффициенты, принятые автором, на два порядка меньше, нежели выбранные в работе [28], и на 5—7 порядков меньше, нежели полученные в [1], что свидетельствует о меньших затратах на аппаратную реализацию предложенного регулятора.
Пример 9.2. В качестве примера не стационарной линейной системы рассмотрим гирораму в режиме разгона гиромотора, описываемую уравнениями“”
Af3= 0, w = а, Н = Н ⑴、
нр = w + Мв,"
где Л, J ——моменты инерции относительно осей прецессии и стабилизации, соответственно; Н ——кинетический момент; п ——коэффициент жидкостного демпфирования; и ——управляющий момент; Мв ——момент возмущений; а, /3 ——углы стабилизации и прецессии соответственно, из которых измерению доступен только угол /3.
Пусть кинетический момент ротора гиромотора на отрезке разгона [0, разгона] изменяется по закону
В ⑴="min + ("max - Hmin}^^^,(9Л7)
где //min, "max — значении кинетического момента в начале и конце разгона соответственно.
Численные значения параметров гирорамы примем равными
Л = 1 гсмс2, J = ХООгсмс2,
"min 二 10 ГСМС, "max 二 1000 ГСМС,
n = 400 гсмс, разгона = 1 прив.ед.,(9.18)
Мв = 1000 гсм.
Исследуем условия существования решения этой задачи прямым методом.
Случай внешних воздействий доступных измерению. Примем уравнения движения сингулярного регулятора в виде
设=J力一"В — Мв — "G + “20 + mA(9.19)
После подстановки (9.19) в (9.16) с учетом (9.18) получим следующие уравнения замкнутой системы (или вырожденной по терминологии А. Н. Тихонова системы):
В + 400/3 += 0,
HbJ = Q1B + а2/3, которые можно переписать в виде
В + (400 + Qi)B + "20 = о,
Нз =+ «2/3,
т. е. задача сведена к обычной задаче модального управления.
Следует отметить, что в условиях внешних воздействий, доступных измерению, синтезированный регулятор доставляет замкнутой системе свойство астатизма (нулевые статические ошибки).
Анализ корректности постановки задачи АС СВ Запишем присоединенное уравнение
土41 丿干 М2— Нз + Q16 + Q2 仇(9.21)
ат ат
где /11, /12 ——малые параметры.
Нетрудно видеть, что для положительного значения малого параметра Д1 свободная составляющая общего решения присоединенного уравне™ ния по g асимптотически устойчива по Ляпунову (уравнение имеет один корень в левой полуплоскости). Для отрицательного же значения малого параметра /ii свободная составляющая общего решения присоединенного уравнения по ш неустойчива по Ляпунову (уравнение имеет один корень в правой полу пл о ско сти).
При этом для положительного значения малого параметра /12 свободная составляющая общего решения присоединенного уравнения по /3 неустойчива по Ляпунову (уравнение имеет один корень в правой по луп л о с ко сти). Для отрицательного же значения малого параметра /12 свободная составляющая общего решения присоединенного уравнения по ш асимптотически устойчива по Ляпунову (уравнение имеет один корень в левой полуплос™ кости).
Таким образом, рассматриваемая задача является некорректно поставленной по Тихонову, поскольку ее множество корректности пусто.
Пример 9.3. В качестве примера нелинейной системы рассмотрим синхронный генератор, работающий на шине бесконечной мощности энергетической системы. Движение ротора генератора описывается следующей системой уравнений:
｛亦1=ж2,
(9.22)(9.22)金2 = а。一 ai^i 一 а2^з,
(9.22)
(9.22)
жз = —к虞з + &з虞2 sin Ж1 + ки^
где я?1 ——угол поворота ротора генератора относительно синхронной оси вращения; ж2 — скольжение; ж3 ——отклонение ЭДС генератора от установившегося значения;设(力)——отклонение напряжения возбуждения; а〃 (г = 1,3)——положительные постоянные; ао ——воздействие, пропорциональное механической мощности турбины.
В качестве численных значений параметров исследуемой системы возьмем ао = 0,57; &1 = 0,64;飲=0,3; аз = 1,37, записав (9.22) в виде
｛
置=ж2,
亦2 = 0,57 — 0,64^1 — 0,3 我
жз = —к虞з + 1,37^2 sin(虞 1) + ku.
Сформулируем задачу:
определить прямым методом уравнение сингулярного регулятора, при котором синхронный генератор, описываемый уравнениями (9.23), замкнутый этим регулятором, был бы асимптотически устойчивым, а его показатели точности и качества были бы не хуже показателей, полученных другими методами;
сравнить переходные характеристики замкнутой системы по компонентам вектора состояний Xi (г = 1,3), полученные в п. 1, с приведенными в [28].
Случай 1 ——компенсация внешнего воздействия а°. Примем сингулярный регулятор в виде
11U=kU=k±3 + kx3 - 1,37^2 sin(虞 1)-虞з + «2Ж1 + «2^1 -±3 + kx3 - 1,37^2 sin(虞 1)-虞з + «2Ж1 + «2^1 -0,570,57,(923),(923)
1
1
U=k
U=k
±3 + kx3 - 1,37^2 sin(虞 1)-虞з + «2Ж1 + «2^1 -
±3 + kx3 - 1,37^2 sin(虞 1)-虞з + «2Ж1 + «2^1 -
0,57
0,57
,(923)
,(923)
тогда уравнения движения замкнутой системы (вырожденной, по термино™ логии А* Н. Тихонова) примут вид:
亦1 = s
ж 2 = 0,57 — 0,64；ri — 0,Зя?з,
I0,57
虞3 = «2^1 + «1Ж2 一 ^у ,
откуда следует
虞 1 = ж2,
(924)(924)亦2 = (—0,64 — 0113a2)虞1 + (—0,3 q 1 ж 2),
(924)
(924)
虞3虞3_ I0,57
虞3
虞3
—a2Ж1 + "1 第 2 -—…，у-
т. е. задача сведена к обычной задаче модального управления, причем в силу того, что выбранным сингулярным регулятором внешнее воздействие скомпенсировано, замкнутая система наделена свойством астатизма (нулевые статические ошибки).
Анализ корректности постановки задачи ACCR Исследуем теперь грубость сингулярного регулятора, для чего запишем присоединенное уравнение
出Гз _0,57
——* 虞з + <^2Ж1 + <^1^2 一 с с "
0,3
Нетрудно видеть, что свободная составляющая общего решения присоединенного уравнения устойчива по Ляпунову (уравнение имеет один нулевой корень с областью притяжения в виде начала координат). Начальное значение этого корня принадлежит области притяжения решений присоединенного уравнения, соответствующих начальным значениям 虞 1(0)，©(О), представляющей собой окрестность начала координат. Таким образом, решение полной системы стремится при 4To к решению вырожденной системы (9.25), что свидетельствует об условной корректности в смысле Тихонова поставленной задачи.
Случай 2 (без компенсации внешнего воздействия а()・ Примем сингулярный регулятор в виде
и = |[ж3 + kx3 - 1,37^2 sin(^i)-虞з + q2^i + &2^1],(9.25)
тогда уравнения движения замкнутой системы (вырожденной по терминологии А. Н. Тихонова) примут вид
置=ж2,
ж2 = 0,57 — 0,64ж1 — 0,Зж3,
虞 3 = a2^1 + a1 虞 2,
откуда следует
亦 1 = ж2, 亦 2 = 0,57 + (—0,64 — 0,3«2)^i + (―0,3al 虞 2),(9.26)
Жз = «2^1 + «1^2,
т. е. задача сведена к обычной задаче модального управления.
Анализ корректности постановки задачи АССР в этом случае полностью повторяет анализ для предыдущего случая (с той лишь разницей, что в правой части присоединенного уравнения отсутствует в качестве параметра внешнее воздействие).
Сравнение с результатами, полученными другими методами. Анализ синтезированной системы проведем для 2-го случая (без компенсации &о). Примем а】 = 200, «2 = 50. Тогда при нулевых начальных условиях получим следующие кривые переходных процессов по Ж1,⑦,ж3, порожденные внешним воздействием «о (рис. 9.7, 9.8, 9.9 соответственно).
/ <
0,008 - /
0,006 - /
0,004 J
0,002 丿，
012345
012345
Рис. 9.9
Те же кривые, полученные в ［28］ методом решения задачи АССР приведением к форме Крылова-Люенбергера, изображены на рисунке 9.10, а кривые, полученные методом А. А. Колесникова,——на рис. 9.11.
Нетрудно видеть, что время регулирования, полученное в результате применения прямого метода решения задачи АССР, составляет 1 с, в то время как приведением к форме Крылова-Люенбергера ——3 с, а методом Колесникова ——5 с.
При этом статическая ошибка по отклонению ЭДС генератора от уста™ новившегося значения 虞з и перерегулирование по жз составляют:
0,6 и 817% ——для прямого метода;
0,28 и 15% ——при решении задачи АССР методом приведения к форме Крылова-Люенбергера;
1,3 и 123% ——в задаче АКАР А. А. Колесникова.
Метод решения задачи АССРприведением к форме Крылова-Люенбергера
Рассмотрим систему, приведенную к канонической форме Крилова— Люенбергера （в скалярной записи）:
"诅=一 ［Кг%
少2 = 一 ［/^ - 1（〃 力）］4n + 沙1，
（9.27）（9.27）У3 = 一 ［臟一2（W 力4n + g2）
（9.27）
（9.27）
少n 一 l = 一［九2（小力）］4n + %-2,
卜 Уn = 一［九1（〃 t）］yn +
Поскольку каноническая форма Крылова-Люенбергера практически не участвует в постановке задач синтеза, восполним этот пробел.
В предположении, что переменные состояния g^—i, уп, а также производная от yi （少1），доступны измерению, будем замыкать объект управления
(9.27) регулятором
m=少1 + [%(〃 力 gj 包(〃力)]^+gn-gn_i，(9*28)
где через Л обозначен некоторый параметр (число), назначаемый из соображений скорости притяжения компонент вектора состояний g к началу координат (условия, накладываемые на выбор этого параметра, будут ого™ ворены ниже).
Подстановка (9.28) в первое из уравнений системы (9.27) меняет тип этого уравнения (с дифференциального на алгебраический)
УП^1= {x+仇1(4 力)]}g小(9.29)
В свою очередь, подстановка (9*29) в п~е уравнение системы (9.27) приводит к уравнению
Уп = ^Уп,(9.30)
решение которого имеет вид
4п⑴二 exp (м)^(力о)"(9*31)
Таким образом, окончательно уравнения движения замкнутой системы запишутся в виде
，Уп—1 = {》+ [九 1(〃 ^)]}Уп■)
少 2= ^[hn^liv.t^yn +沙1,
< 少3=-[/^-2(〃 力)]沙^ + 纱，(9.32)
Уп — l =—[九 2(〃 ^}]Уп + Уп — 2 ■)
卜 Уп= ^Уп •
В [28] методом математической индукции доказано, что при выполне™ нии (9*29) связь переменных состояния yn-i (分=1, n 1) с переменной состояния уп подчинена тождеству
yn^i=必(Х〃 力)％(9.33)
в котором введены обозначения
i
或(X 〃 方)=笛+ e ®(〃力)XY(934)
d(〃朗=ta(广广欣1)u)](9.35)
к = 1
(здесь С： обозначает число сочетаний из г по J, а верхние индексы в скобках обозначают производные по времени соответствующих порядков).
Нетрудно видеть, что в условиях алгебраической связи (9.33) справедливо следующее утверждение.
Утверждение 9.2. Начальные условия для дифференциальных уровне- ний замкнутой системы (9.32)沙^_勿(力о) (i = 1, n 2) однозначно определяются заданием gn(力о) = Упо9 能* а
Уп — i (^0)= Уп — i (^о ■)Упо) = dj(^X^ V, t^ynQ.
Новое решение задачи автономного регулирования И. Н. Вознесенского
Рассмотрим уравнения движения замкнутой системы (9.32), первое из которых является алгебраическим, а остальные 九一1 ——дифференциальными. На языке аналитической механики первое из уравнений системы (9.32) представляет собой голономную связь, которая в зависимости от конкретного вида коэффициента Крылова [hi(v, t)] может быть связью реономного (зависит от времени) или склерономного (не зависит от времени) типа.
Будем полагать, что выбор параметра Л подчинен неравенствам
Л < 0, d«(A, a t) ф 0, г = 1, n 1,(9.36)
тогда указанное алгебраическое уравнение системы (9.32) на основании (9*33) можно переписать в виде
2937)
Для всех i = 1, п 2 подстановка (9.37) в (9.30) дает
откуда следует
(939)
После введения обозначения
力)=X + '；："?，分=1,九 一 2,(9.40)
полученную в результате систему уравнений можно переписать в виде yn^i = gi(^, 4 t)yn^i.(9.41)
Сама по себе замкнутая система (9*32) является однородной системой. В то же время большинство уравнений этой системы, за исключением последнего, если рассматривать их относительно переменных левой части, представляют собой неоднородные уравнения, для которых соответствующее им однородное уравнение имеет нулевую правую часть. При
Новое решение задачи автономного регулирования И. Н. Вознесенского 281 этом последнее уравнение этой системы является обычным однородным уравнением с ненулевой правой частью. Иными словами, все дифферен™ циальные уравнения системы (9.32), за исключением последнего ——неавтономны в смысле Вознесенского, т. е. не могут рассматриваться без учета их связи с остальными уравнениями, в то время как последнее уравнение системы (9.32) автономно и может рассматриваться вне связи с о сталь™ ными.
Полученная из системы (9.32) система (9.41), если добавить к ней последнее уравнение системы (9.32) (уравнение (9.30)), будет иметь совпа™ дающую с (9.32) левую часть. При этом в данной системе все уравнения являются обычными однородными уравнениями с ненулевой правой на- стью, причем каждое из этих уравнений независимо от остальных. Иными словами, в системе (9.41)+(930) каждое уравнение автономно, т. е. может рассматриваться вне связи с остальными уравнениями этой системы.
Таким образом, в результате подстановки (9.37) в (9.30) получена си™ стема автономных уравнений (9.41)+(930), эквивалентная дифференциаль™ ным уравнениям системы (9.32) (неавтономным в смысле Вознесенского, за исключением последнего). Насколько известно автору, подобный эффект расслоения исходной (неавтономной в указанном смысле) системы (9.32) на автономные уравнения (9.41)+(930) ни в отечественной, ни в зарубежной литературе не представлен. Описанный эффект достигнут на основе замены переменных в соответствии с тождеством (9.33), представленным в виде (9.37), в условиях (9.36). Иными словами, получено новое решение задачи автономного регулирования Вознесенского.
Отличительная особенность преобразования (9.33) в отличие от пре™ образований подобия или кинематического подобия состоит в том, что в результате этого преобразования не вводятся новые переменные, а все переменные системы, за исключением одной (автономной переменной уп), выражаются через эту автономную переменную.
Введем определение.
Определение 9.1. Будем называть преобразование (9.33) в условиях (9.36) автономизирующим (в смысле Вознесенского) преобразованием, а описанный выше тип эквивалентности систем (9.41)+(930) и (9.32)— а-эквивалентностью.
В условиях введенных обозначений справедлива следующая теорема.
Теорема 9.1. Если в дополнении к неравенствам (9.36) выбор параметра А подчинить неравенствам
(入 〃丁)dr < 0 (i = 1, n - 2),(9.42)
to
то а-эквивалентная система (9.41)+(930) будет асимптотически устойчивой, а ее решения будут иметь вид
4n ⑴=exp(At)?/n(t0),
yn^i(t) = exp gi^X.v^r) dr yn^i(tQ.ynQY i = l,n - 2.
<0
Справедливость теоремы доказывается непосредственной подстанов™ кой вышеприведенных решений в соответствующие уравнения.
Следует отметить, что выбор параметра Л в соответствии с неравен™ ствами (9.36), (9.42) в случае линейных систем не вызывает затруднений, однако в общем случае нелинейных систем возможен лишь при условии подстановки в коэффициенты Крылова решений тех нелинейных уравне™ ний, на которых они определены.
ВЫВОДЫ
Таблица 9.1
Продолжение хронологии становления синтеза в ТАУ
Год
Персонификация
Вклад
1999
В. А. Подчукаев
Понятие законов управления сингулярной структуры, постановка и решение задачи аналитичес™ кого синтеза сингулярных регуляторов (задача АССР) методом приведения к форме Крылова- Люенбергера
Таблица 9.2
Перечень введенных определений
Порядковый номер определения
К чему относится
9.1
Понятие автономизирующего (в смысле И. Н. Вознесенского) преобразования, «-эквивалентность
Таблица 9.3
Азбука решения задачи АССР
№ п/п
Алфавит
Содержание
1
Прямой метод решения задачи АССР
Исходные данные ——модель объекта управления
Xi = /Дж, t) + %(冗，^)^j(ж,力)，ж е Rn, и е Rm,
6 = 1, n, j = l.m, t е [%, сю), t0》0, x(t0) = ж0.
Идея решения
u0G、力)一b •(电力)I' + %(吃力)]('—1) П)? (J - 1)7九) (превращение j-x дифференциальных уравнений замкнутой системы в алгебраические)
Таблица 9.3 (Продолжение)
№ п/п
Алфавит
Содержание
2
Решение задачи АССР приведением к форме Крыло™ ва-Люенбергера
L Исходные данные ——модель объекта управления
击=一\hn (^ 5 ^^Уп + U 号
纟2 =—[无九一t)]yn +
纟з = ^[hn^2(V. t)]yn + J2,
Уn — l =一[无2(V,力)卜?汴 + ^n —2 ?
、 Уп =—[无1(% t)]yn 4" Пп —工.
Алгоритм решения
и = yr + [hn(v, t)]yn + [伝(〃 t)]yn + yn — Jn—1
Эффект:
замкнутая система превращается в систему с одним алгебраическим уравнением
Уп — 1 = {入 + [无1(% ^)] }?/n 7
纟2 =—t)]yn + Jl,
纟3 = -[hn^2(V. t)]yn + J2,
Уп^1 =—[无2(。, t)]yn +—2,
、 Уп = Xjn；
становится а-эквивалентной системой
Уп—i = ^-i (A, v,力)g?2T,(i = 2, n).
3
Анализ корректно™ сти постановки задачи АССР
Уравнение, в котором скомпенсирована производная правой части, записывается в виде присоединенного уравнения
手=g(g,…К), ат
где г ——новая независимая переменная,化勿,力 ——параметры, g(xi^ Д)——правая часть г-го уравнения после подстановки в него закона управления сингулярной структуры.
Условие условной корректности (корректности в смысле Тихонова задачи АССР) dxi
—-—0 ■ Ж-/ + ...
ат
УПВ4ЖНЕНИЕ
Методом математической индукции докажите справедливость тож™ дества (9.33), в котором введены обозначения (9.34), (9.35).
ГЛАВА 10
ЗАДАЧА ФИНИТНОГО УПРАВЛЕНИЯБЕЗ ОГРАНИЧЕНИЙ
Историческая справка
В 1953 г. в задаче об оптимальном быстродействии А. А. Фельдбаум доказал теорему об п интервалах [35]. Позднее он модифицировал эту задачу, исключив из ее постановки функционал оптимизации. Тем самым в рассмотрение была введена задача финитного управления: найти управ™ ление из заданного класса управлений, переводящее систему из заданного начального состояния в заданное конечное состояние за заданное время, в точности равное заданному значению.
Дадим аналитическое решение этой задачи в случае стационарных линейных непрерывных и дискретных систем [28].
Аналитическое решение задачифинитного управления в непрерывном случае
Перевод в начало координат
Исходные данные задачи:
заданно уравнение движения объекта управления
丕=рх + Ви, ж € Яп, "Е/Т\(ЮЛ)
где ж ——вектор состояний; и ——вектор управлений; Р и В ——заданные матрицы чисел параметров объекта управления;
заданно начальное состояние ж(0)=优о；
заданно конечное состояние ж(й) = On в заданный момент й > 0.
Допущение: объект управления является полностью управляемым с индексом управляемости к, удовлетворяющим равенству
mk = п,
что означает, что ранг квадратной матрицы управляемости равен п, т. е.
гапкЖ = rank [В, РВ,... , Рк^тВ] = п.
Постановка задачи: требуется перевести объект управления (10.1) из заданного начального состояния ж(0) в заданное конечное состояние ж(й) за заданное время 力i > 0*
『Chz、 z W RJ『Chz、 z W RJ(102)(102)Идея решения задачи: будем искать закон управления, организованный по принципу программного управления, т. е. как вектор™функцию времени вида
『Chz、 z W RJ
『Chz、 z W RJ
(102)
(102)
где СТ ——искомая матрица чисел параметров закона управления, z —— вектор состояний системы, описываемой уравнением
i = Pz.(10.3)
Тогда для того, чтобы решить задачу финитного управления, нужно найти вектор начальных условий z(0), при котором закон управления вида
" =0T已p叱(0)(10.4)
переводит объект из заданного начального состояния в начало координат.
Покажем как это сделать.
Запишем для заданных краевых условий задачи финитного управления интеграл Коши для уравнения (10.1), в которое вместо и подставлена правая часть выражения (10.4):
0П = еXр (Рй)жо + еXр (Рй) еXр (-р丁)б0т eXр (P丁)d丁之(0)" (10*5) о
С помощью интерполяционного полинома ЛагранжаЧЗильвестра для матричной экспоненты представим отдельные фрагменты правой части (10.5) в виде
ехр (^Рт)В = [В,P^BjA^r), (10.6)
Ст ехр (Рт) = Ат(т) °,
где 4(т) = col [^(т)^, аДт)^,. .. , ak^i(r)Em] — матрица коэффициентов интерполяционного полинома ЛагранжаЧЗильвестра для мат™ ричной экспоненты ехр (Ft) = £ aj(r)F\ Em — единичная матрица 分=0
размера m х m.
С учетом (10.6) запишем (10.5) в виде
0п = ехр (Рй) ｛优⑼十
^[В.РВ^.^Р^В] 4(—丁)厶丁(丁)dTСТР z(0)卜
оL сз—工」 J
откуда в силу невырожденности матричной экспоненты следует
Г Ст "
0п = ж(0) + [В, FB,. .. , pk^B] A(-T)AT(T)dr°Тр^(0).
оL 匸
(Ю.7)
Историческая справка. Определитель матрицы, составленной из двух ti
пар линейно-независимых векторов типа J Л(^т)Лт(т) dr, среди матема™ о
тиков принято называть определителем Грама. Вместе с тем, как отмечено в [26], независимо от Грама этот определитель был введен в рассмотрение председателем Харьковского математического общества последней четверти XIX века, членом-корреспондентом императорской Академии наук России Константином Алексеевичем Андреевым [3]. Математические достижения этого русского ученого в достаточной степени не оценены историками науки. Поэтому, исходя из восстановления исторической справед™ ливости, этот определитель в дальнейшем будем называть определителем Андреева-Грама. Следует отметить, что знаменитая докторская диссерта™ ция А. М. Ляпунова была написана им в Харьковском университете, не исключая того, что отдельные ее фрагменты докладывались на заседани™ ях харьковского математического общества. Поэтому проследить влияние К. А. Андреева на становление великого русского ученого А. М. Ляпунова представляет собой заслуживающую внимания задачу историков матема™ тики.
Поскольку коэффициенты интерполяционного полинома Лагранжа- Сильвестра являются линейно независимыми функциями, определитель Андреева-Грама отличен от нуля, что дает основание записать (10.7) как
°Тр z(0) = — [ A(-r)AT(r)dr [孕 УМ,/^т^]Т优(0卜 С小二][ом
(10.8)
Таким образом, (10.8) является тем алгебраическим тождеством, из которого следует искать как матрицу Ст, так и вектор z(0)*
Будем рассматривать (10.8) как систему линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных:
матрицы Ст;
вектора z(0)”
Нетрудно видеть, что эта система недоопределена, как состоящая из п уравнений для определения n(m + 1) неизвестных. Следовательно, ее решение неединственно.
Тем не менее, если доопределить ее условием z(0) = ж(0), то из (10.8) получим
eтp[ 4(-r)4T(r)dr [孕 pМ……p用-1б「L
CTPkS1 ] Loм
(189)
Тем самым, первые m строк матрицы правой части (10.9) будут опреде™ лять искомую матрицу Ст параметров закона управления (10.2). Отметим, что при заданной матрице Р система (10.9) переопределена, как имеющая
п2 уравнений для определения п х т неизвестных элементов матрицы СТ и, в общем случае, может оказаться несовместной.
Поэтому в условиях найденной матрицы Ст вернемся к(10.8) для отыс™ кания неизвестного вектора z(0》Поскольку матрицы Ст и Р известны, сформируем из них матрицу наблюдаемости пары [Ст, Р], заданную левой частью (10.9). При условии, что сформированная матрица имеет полный ранг; искомый вектор начальных условий z(0) может быть найден из (10.8) согласно равенству
z(0) = —'A(—T)AT(T)dr х
.CTpk^i . H.
x [В, pb,Р用一1日一1 优(0》(10.10)
Итак, в дополнение к сделанным допущениям для решения поставлен™ ной задачи необходима полная наблюдаемость пары [Ст, Р] с индексом наблюдаемости к.
Перевод в заданное конечное состояние
Исходные данные задачи:
заданно уравнение движения объекта управления (10.1);
заданно начальное состояние ж(0)=优о；
заданно конечное состояние ж(й) в заданный момент времени 力i > 0 при тех же допущениях.
В этом случае интеграл Коши можно представить в виде
UP z(0)UP z(0)ж(й) = ехр (Рй) ｛优(0) + [В, У立рк^щ х
UP z(0)
UP z(0)
х Л(^т)Лт(т) dr
о
*1]丄Л(^т)Лт(т) dr х*1]丄Л(^т)Лт(т) dr хоткуда в силу невырожденности матричной экспоненты следует
*1]丄
Л(^т)Лт(т) dr х
*1]丄
Л(^т)Лт(т) dr х
СТР 仆 2(0)=
.СТрк — 1.
х [В, РВ、产 T^]T[exp (—У%)优(片)—ж(0)].
Не повторяя дословно предыдущих рассуждений, найдем。丁 из еле™ дующего условия доопределения:
z(0) = ехр (^Р^)ж(й) — ж(0).
Тогда в случае полной наблюдаемости пары [Ст, Р] с индексом наблюдаемости к искомый вектор начальных условий z(0) можно будет определить выражением
z(0) =4(^т)4т(т) dr х
.CTPk：1 ] Lo„
х [В, РВ、р^1я^1[ехр ^pt^x^ —臥0儿
Финитное управление креном управляемого снаряда
Рассмотрим задачу финитного управления креном управляемого сна™ ряда.
Если рассматривать управляемый снаряд как абсолютно твердое тело, то его уравнение вращения вокруг продольной оси ж можно записать в виде
厶力竄=М^ + Мж,(10.11)
где Jx ——момент инерции снаряда относительно продольной оси; шж —— угловая скорость вращения вокруг оси ж; Мх ——момент внешних сил, прикладываемых к снаряду относительно оси ж (в дальнейшем будем пола™ гать его равным нулю); М^ ——аэродинамический момент, обусловленный поворотом элеронов на угол g и определяемый выражением
Му = С (%э9 —,
где С, № ——постоянные коэффициенты пропорциональности. Величина N^ называется эффективностью элеронов, а отношение ^ = Т7 представ™ ляет собой постоянную времени снаряда.
Дополним уравнение (10.11) уравнением привода
Тпр。+ 9 = —кцр%(10.12)
где 7пр ——постоянная времени привода; кцр ——коэффициент передачи привода.
Примем численные значения параметров объекта равными: эффектив™ ность элеронов N3 = 12 сек^1; постоянная времени снаряда 7^ = 1 с; коэффициент передачи привода к® = 0,08рад/В; постоянная времени привода Тпр = 0,09 с; момент инерции снаряда Jk = 1,8Н-м-сек2.
Подставим выражение для аэродинамического момента М屮 в (10.11):
人入=Cg中一见)+ Л4,(ЮЛ3)
Запишем (10.12), (10.13) в форме Коши:Запишем (10.12), (10.13) в форме Коши:s =—1knp一Zip1Qx =2"写s =—1knp一Zip1Qx =2"写少=?少=?(10.15)(10.15)или в векторно-матричной форме:или в векторно-матричной форме:ж = Рх + Ви,ж = Рх + Ви,乐001 ""0 "p =0^11,110,B =0,89012—10乐001 ""0 "p =0^11,110,B =0,89012—10]——вектор состояний.]——вектор состояний.(10Л6)(10Л6)где ж = col [ 7, 2где ж = col [ 7, 2В канонической форме Фробениуса система (10.16) будет иметь видВ канонической форме Фробениуса система (10.16) будет иметь вид"010"方=001и +0^11,11— 12,11"010"方=001и +0^11,11— 12,110 "0 и = Gv + е^и. (10.17)10 "0 и = Gv + е^и. (10.17)1
Запишем (10.12), (10.13) в форме Коши:
Запишем (10.12), (10.13) в форме Коши:
s =—
1
knp
一
Zip
1
Qx =
2"写
s =—
1
knp
一
Zip
1
Qx =
2"写
少=?
少=?
(10.15)
(10.15)
или в векторно-матричной форме:
или в векторно-матричной форме:
ж = Рх + Ви,
ж = Рх + Ви,
乐0
0
1 "
"0 "
p =
0
^11,11
0
,B =
0,89
0
12
—1
0
乐0
0
1 "
"0 "
p =
0
^11,11
0
,B =
0,89
0
12
—1
0
]——вектор состояний.
]——вектор состояний.
(10Л6)
(10Л6)
где ж = col [ 7, 2
где ж = col [ 7, 2
В канонической форме Фробениуса система (10.16) будет иметь вид
В канонической форме Фробениуса система (10.16) будет иметь вид
"0
1
0"
方=
0
0
1
и +
0
^11,11
— 12,11
"0
1
0"
方=
0
0
1
и +
0
^11,11
— 12,11
0 "
0 и = Gv + е^и. (10.17)
1
0 "
0 и = Gv + е^и. (10.17)
1
Случай 1°. Перевод в начало координат
Будем искать решение задачи финитного управления по переводу си™ стемы (10.17) из заданного начального состояния в начало координат, т. е. будем искать закон управления в виде
u = CTz,(10.18)
где СТ ——искомая матрица параметров закона управления; z ——вектор состояний системы i = Gz, начальное состояние которой zq подлежит определению.
В нашем случае интеграл Коши (10.7) имеет вид
бп = ^о + [е^, Gek,. . . , G^^^fc] Л (-г) Л (г) dr纵
оL
(10.19) где 4 (力)=col [«о (力)Ет, ai (力)Em,.. ., a用一i (力)Em] 一 матрица коэффициентов интерполяционного полинома Лагранжа-Сильвестра
宀方=W电⑴G" =『(G),е=о
в которой через а〃 (力)обозначены коэффициенты интерполяционного полинома Лагранжа-Сильвестра
(А) = &о (力)+ о<1 ⑴ А + • • • + a^-i ⑴ У 1,
где к — степень минимального многочлена (в нашем случае к = 3); % (г = 1, k)——корни минимального многочлена (в нашем случае Лх = 0, 》2 = —11,1； Лз = — 1,工 е. корни — простые).
Интерполяционные условия для нашего случая (к = 3) примут вид:
a。(方)+ ai ⑴ Ai + a2 ⑴ Aj =6入
«о ⑴ + «1 (t) Л2 + &2 ⑴ ％ = б",
ao (方)+ ai ⑴ А3 + а2 (力)A3 = eл3e,
а решение этой системы линейных алгебраических уравнений представим в виде [57]
а ⑴=M^R(t),
где а ⑴=col [а。⑴,ах (t) , а2 ⑴],Я ⑴=col [eAlt,已巾,已入叫，
M =M =111111Ai入2АзAi入2АзA? 1A? 1
M =
M =
1
1
1
1
1
1
Ai
入2
Аз
Ai
入2
Аз
A? 1
A? 1
Перепишем (10.19) как
一1
UGCTG2UGCTG2z0 =_z0 =_AT (一7) AT (丁) drAT (一7) AT (丁) drез, G&3, G%3 ] 1 Vo-ез, G&3, G%3 ] 1 Vo-
UGCTG2
UGCTG2
z0 =_
z0 =_
AT (一7) AT (丁) dr
AT (一7) AT (丁) dr
ез, G&3, G%3 ] 1 Vo-
ез, G&3, G%3 ] 1 Vo-
Для отыскания матрицы CT примем условие zq = v0? тогда получим
GTG2GTG2Ат (—т) Ат (г) dr .о.Ат (—т) Ат (г) dr .о.ез,G&3,G%3 ] 1 ,ез,G&3,G%3 ] 1 ,
GTG2
GTG2
Ат (—т) Ат (г) dr .о.
Ат (—т) Ат (г) dr .о.
ез,G&3,G%3 ] 1 ,
ез,G&3,G%3 ] 1 ,
где матрицу параметров закона управления определяет первая строка матрицы правой части.
Приведем численные значения матриц, участвующих в нашем примере, для случая 力 1 = 1 с:
「100「100м =м =1111-11,11-11,11123,431123,431-1К ⑴= exp ( — 11 J") .exp ( —i)-1К ⑴= exp ( — 11 J") .exp ( —i)
「100
「100
м =
м =
1
1
1
1
-11,11
-11,11
123,43
1
123,43
1
-1
К ⑴= exp ( — 11 J") .exp ( —i)
-1
К ⑴= exp ( — 11 J") .exp ( —i)
a(t) = M^R{t)=
1
1,09 + 8,90- 10^3 exp (^11,lit) — 1,10 exp (―土)
0,09 + 8,90」0一3 exp ( — Uji" — 9,89 • 10^2 exp (―力)
Л （一7） Лt （T） drЛ （一7） Лt （T） drG&3, 6г2ез ]=G&3, 6г2ез ]=—551,997374,46—84162,40—551,997374,46—84162,40—211,472571,95—28974,04—211,472571,95—28974,04— 14,56171,78— 1926,40— 14,56171,78— 1926,40
Л （一7） Лt （T） dr
Л （一7） Лt （T） dr
G&3, 6г2ез ]=
G&3, 6г2ез ]=
—551,99
7374,46
—84162,40
—551,99
7374,46
—84162,40
—211,47
2571,95
—28974,04
—211,47
2571,95
—28974,04
— 14,56
171,78
— 1926,40
— 14,56
171,78
— 1926,40
СТ = [ —551,99 —211,47 —14,56 ],
C『GСРC『GСРГ С『СРГ С『СРCTGCTG2CTGCTG2— 1,81 " IL—3,98 • IL—4,08 .IL00.450.450—5,04—5,04— 1,81 " IL—3,98 • IL—4,08 .IL00.450.450—5,04—5,04— 551,99ОО— 551,99ОО—211,47—390,19389,98—211,47—390,19389,98— 14,56 ・—35J034,88 „— 14,56 ・—35J034,88 „rtx] т47（一丁）AT （r） dr [ e3,rtx] т47（一丁）AT （r） dr [ e3,Gt3,Gt3,
C『G
СР
C『G
СР
Г С『
СР
Г С『
СР
CTG
CTG2
CTG
CTG2
— 1,81 " IL
—3,98 • IL
—4,08 .IL
0
0.45
0.45
0
—5,04
—5,04
— 1,81 " IL
—3,98 • IL
—4,08 .IL
0
0.45
0.45
0
—5,04
—5,04
— 551,99
О
О
— 551,99
О
О
—211,47
—390,19
389,98
—211,47
—390,19
389,98
— 14,56 ・
—35J0
34,88 „
— 14,56 ・
—35J0
34,88 „
rtx] т
47（一丁）AT （r） dr [ e3,
rtx] т
47（一丁）AT （r） dr [ e3,
Gt3,
Gt3,
3138,00—34867,74387386,913138,00—34867,74387386,911079,02 — 11978,72 133195,831079,02 — 11978,72 133195,8371,71 「—796,748851,85 „71,71 「—796,748851,85 „
3138,00
—34867,74
387386,91
3138,00
—34867,74
387386,91
1079,02 — 11978,72 133195,83
1079,02 — 11978,72 133195,83
71,71 「
—796,74
8851,85 „
71,71 「
—796,74
8851,85 „
Примем вектор начальных условий в виде
—2・
富0 =富0 =5
富0 =
富0 =
1 „
тогда искомый вектор начальных условий для программного управления получим в виде
-—809,20 -
Zq =8995,13
L -99942,80 „
Кривые переходных процессов 富勿（力）（分=1,3）, иллюстрирующие переход объекта управления （10.17） из заданного начального состояния в начало координат за заданное время, изображены на рисунках 10.1-10.3.
Из рис. 10.1-10.3 видно, что все компоненты вектора состояний системы достигают нуля за заданное время й 二 1 с. При этом численные значения вектора состояний в точке 力i = 1 с равно нулю с погрешностью 10™11.
Рис. 10.3Рис. 10.3
Рис. 10.3
Рис. 10.3
Случай 2°. Перевод в заданное конечное состояние
В этом случае матричное тождество Коши примет вид
富(й) = exp (Gt)富о + exp (G£)] exp ( — Gt) BCt exp (Gt) dr • 2chо
откуда следует
CTG ?o =[ Лт (-г) Лт (г) dr [ е3, Ge3, G2e3 x
CTG2 J
LJ LoJ
x exp (—G力i) {v (й) — exp (Gt^ 富°}.
примем?0 =富(Й)—тогда из--I pi'C『G =[ Лт (^т) Лт (г) drпримем?0 =富(Й)—тогда из--I pi'C『G =[ Лт (^т) Лт (г) drДля определения искомой матрицы параметров закона управления Ст
примем
?0 =富(Й)—
тогда из
--I pi'
C『G =[ Лт (^т) Лт (г) dr
примем
?0 =富(Й)—
тогда из
--I pi'
C『G =[ Лт (^т) Лт (г) dr
хр (G力 1) vo,
[ез, Gc3, G?63 ] 1 exp ( —G力i)
следуетследуетСТ = [ 551,99 —329,42 83,83 ].
следует
следует
?о =?о =CTGС”CTGС”I /7 (_丁) Ат (г) dr [ езI /7 (_丁) Ат (г) dr [ езG^3, G%3 ] xG^3, G%3 ] xПодставив полученную матрицу Ст в выражение
?о =
?о =
CTG
С”
CTG
С”
I /7 (_丁) Ат (г) dr [ ез
I /7 (_丁) Ат (г) dr [ ез
G^3, G%3 ] x
G^3, G%3 ] x
x exp (—G%) {富(Й)— exp (G%)富o},
получим
?0?0—0,71 ・—4,36 96,07—0,71 ・—4,36 96,07если vq =если vq =—251—251富（力1）=富（力1）=10—10310—103
?0
?0
—0,71 ・
—4,36 96,07
—0,71 ・
—4,36 96,07
если vq =
если vq =
—2
5
1
—2
5
1
富（力1）=
富（力1）=
10
—10
3
10
—10
3
Результаты рис. 10.4-10.6.Результаты рис. 10.4-10.6.моделирования переходных процессов приведены намоделирования переходных процессов приведены на
Результаты рис. 10.4-10.6.
Результаты рис. 10.4-10.6.
моделирования переходных процессов приведены на
моделирования переходных процессов приведены на
似方）似方）Рис. 10.6Рис. 10.6
似方）
似方）
Рис. 10.6
Рис. 10.6
Аналитическое решение
задачи финитного управления в дискретном случае
Рассмотрим полностью управляемый объект управления (10.1), желаемое динамическое поведение которому доставляет заданный непрерывный закон управления
и =(10.20)
Практика современного автоматического управления сопряжена с программной реализацией непрерывных алгоритмов управления на базе микропроцессорной техники и, как следствие, с необходимостью осуществления предписанных фазовых траекторий движения посредством кусочнопостоянных управлений.
Поэтому наряду с непрерывной системой (10.1), (10.20) рассмотрим непрерывно-дискретную систему
Х = Рх^ Вт [i], 〃1 е(10.21)
в которой вектор управления 〃i имеет ту же размерность, что и и, но в отличие от и является кусочно-постоянным в интервалах [гТ, (г 十 1)Т] (г = 0,1, 2,...)? где Т ——заданный интервал дискретности.
Применительно к системе (10.21) поставим обратную задачу динамики по отысканию закона управления 〃i [г], до ставляющего в точках квантования г = 0,1, 2,... совпадение траекторий системы (10.21) и системы
ж = [F + ВСТ] х =歹方，(10.22)
полученной замыканием объекта (10.1) регулятором и = Стх.
Для полученной из (10.22) эквивалентной дискретной системы
ж [г + 1] = Ах [г] + 厶〃i 回,(10.23)
где
т
Л (Т) = ерт,厶(Т) =鼠т ехр(^Рт)с/т. (10.24) о
Таким образом, поставленная обратная задача динамики по осуществлению предписанной фазовой траектории
ж ⑴=eFtx(),(10.25)
порожденной начальным состоянием жо, будет иметь решение в точках квантования (г = 0,1, 2,. . .\ когда уравнение
LU1 [T]=6尸("+1)7関0 _ Лж [i](10.26)
при заданных Л,厶，F, Т, жо, ж [г] будет разрешено относительно вектора ui[i].
По терминологии линейной алгебры система (10.26) переопределена, так как имеет т х п уравнений для определения т неизвестных элементов вектора 〃i [£], и может вообще не иметь решений.
Рассмотрим приближенный метод решения этой задачи (приближен™ ный ——в смысле совпадения траекторий в каждой ^-й точке, где к ——индекс управляемости пары [F, В] и, как следствие, пары [Л(Т),厶(Т)] в условиях тк = п).
Алгоритм программного управления
Простейший алгоритм решения обратной задачи динамики по осуществлению предписанной фазовой траектории (10.25) с помощью кусочно™ постоянного управления в точках kT, 2kT, З^Т,... основан на следующих соотношениях, полученных на основании (10.23):
ж [1] = Ах [0] + Lu、[0],
ж [2]二 А2х [0]十 Lui [1] + ALui [0],
(10.27)(10.28)(10.29)(10.27)(10.28)(10.29)ж [k] = Акх [0] + Lux [k — 1]十 ALui [k — 2]十...十 Ak^1Lui [0]
(10.27)
(10.28)
(10.29)
(10.27)
(10.28)
(10.29)
Последнее из этих соотношений можно представить в виде
ж 问=4% [0] + WU.
где введены обозначения
U = СО1 他1 № — 1] Ц [к — 2]〃1 [0]} , U е 兄mR
Ж (Т) = [L (Т). A(T)L(T),^^ Л^1 (Т)厶(Т)].
В предположении, что выбор интервала дискретности системы (10.23) произведен, исходя из сохранения ею индекса управляемости исходной системы (10.1), матрица управляемости Ж имеет обратную, что позволяет из (10.28) найти вектор U программных управлений и.^ [г] (г = 0,1,, k—l\ переводящих объект (10.28) из заданного начального состояния ж0 в заданное конечное состояние x[k] за время кТ:
U 二 Ж^1 {ж 问一Акх [0]} .(10.30)
Если положить
x[k] = x (kT) = eFkTx (0) ,(10.31)
то, тем самым, будет достигнута точка предписанной фазовой траектории, заданная в момент времени кТ. Считая эту точку за начальную, а следую™ щую точку задавая в виде
ж [2^] = e2FkTx [^] ,(10.32)
по формуле (10.30) можно определить вектор программных управлений U, переводящих систему (10.23) из точки ж(^Т) предписанной фазовой траектории (10.25) в точку х(2кТ) этой траектории и т. д.
Алгоритм управления по принципу обратной связи
Покажем, что найденные программные управления можно организовать по принципу обратной связи
(1033)(1033)wi[i] = D[i]x[i],
(1033)
(1033)
где D[i](勿=© 足一1)——искомые матрицы параметров закона управления. Так, с одной стороны, (10.27) с учетом (10.33) перепишем в виде
ж [1] = {Л + LD [0]}ж[0],
z [2] = {A^LD [1]}ж[1] = {A^LD [1]}{Л 十 LD [0]}ж[0],
к — 1
ж 问={А + LD [к 一 1]}ж[^ — 1] = 口 {А + LD [к — i — 1]}х [0].
(1034)
С другой стороны, (10.27) введением обозначения
ui [k — 1]〃i [k — 2]ш[0]ui [k — 1]〃i [k — 2]ш[0]・G[k 1]・
ui [k — 1]
〃i [k — 2]
ш[0]
ui [k — 1]
〃i [k — 2]
ш[0]
Ж^1 (eFkT — Л^) z["Ж^1 (eFkT — Л^) z["G[后-2]/[0] = U
Ж^1 (eFkT — Л^) z["
Ж^1 (eFkT — Л^) z["
「G[0]
(10.35)
полученного на основании подстановки (10.31) в (10.30), можно записать
как
，宽国={4 + LG[0]}宽[0],
《ж [2] = {А2 + LG[1] + ALG\Q]}x\Q],
、x[k] = {4矗 + LG[k — 1] + ALG[k — 2] ++ A^1 LG\0]}x\0],
(10.36) откуда следует
，研0] = {4 + LG[0]} —%[1])
,ж[0] = {A2 + LG[1] + 4 厶 G[0]}—%[2],
‘ ж[0] = {Ак + LG[k — 1] + ALG[k — 2] + .…+ A^1 LG^j^xlk — 1].
(10.37)
Представляя вектор программных управлений, с одной стороны, с учетом формулы (10.33), а с другой стороны, с учетом обозначений (10.35), в которые вместо ж[0] подставлены правые части (10.37), содержащие последним сомножителем вектор х[. . .] с индексом, согласующимся с индексом G[...], получим расчетные соотношения для определения искомых матриц D[i]:
Г D[k - 1]х[к - 1]・
U= D[k^2]x[k^2]=(1038)
м В[0]ж[0] м
^G[k — 1]{不т + LG[k — 2] + ALG[k — 3]十…十 Ak^2LG\Q]}^x[k — 1]"
—G[k — 2]{4矗一2 + LG^k — з] + ALG[k — 4] + Ak^3 LG\Q]}^x[k — 2]
мС[О]ж[О]
Следует отметить, что невырожденность матриц, участвующих в (10.37), следует, во-первых, из равенства левых частей уравнений (10.34) и (10.3), и, во-вторых, из того, что согласно (10.31) последнее из уравнений (10.34) можно представить как
x[k] = eFkTx[0]=Ш{"+厶0收一勿一1]})研0],г=0
откуда следует, что все матрицы-сомножители последнего выражения —— невырождены в силу невырожденности матричной экспоненты. Это влечет за собой невырожденность матриц правых частей последнего равенства и, как следствие, невырожденность соответствующих матриц правых частей (10.36).
Дискретное финитное управление креном управляемого снаряда
Для произвольного периода дискретности матрицы Л (Т), £ (Т) управляемого снаряда согласно формулам (10.24) можно записать в виде:
~ 1 1,09 + 8,90 • 10"3 ехр (^11,11Т)1,10ехр (^Т)
Л (Т) = о—9,89 " 10—2 ехр ( — 11,117) — 1,10ехр(-Т)
期 01,10е.хр(^11,11Т)1,10ехр(^Т)
9,00 ”10—2 十 8,90- Ю^3 ехр (^11,ПТ) — 9,89 • 10^2 ехр (—Т)四
—9,89 • ICT? ехр (—и jit)十 9,89 • 10^2 ехр (—Т),
1,10 ехр (—11,117) — 9,89 • 10^2 ехр (—Т).
四 9 .IL + i,63 .IL ехр ( — iijiT) — I/ .io— ехр у 广
厶(Т) =—1,81 . IL ехр ( — и,пт) + 1,04 * IL ехр j)*
„0,20е.хр(^11,11Т) — 1,04- 10"2 ехр (^Т)
Матрица управляемости
Ж (Т) = [ £ (Г) , 4 (Г)厶(Т), 笛(7)厶(7) ] *
Критерием выбора периода дискретности (см. , например, [57]) является равенство rank Ж (Т) = п, где п ——размерность вектора состояний, что эквивалентно условию det Ж (Т)卢 0. На рис. 10.7 показана зависимость определителя матрицы управляемости от периода дискретности.
Из графика видно, что в качестве периода дискретности целесообразно выбирать значения Т = 0,1 ^ 0,2 с, так как в этом случае элементы матрицы, обратной матрице управляемости, будут не так велики, как в других случаях, и управление, возможно, не будет большим.
Алгоритм программного управления сводится к вычислению вектора
U = col {〃i [к — 1], 〃i [к — 2] ,... , 〃i [0]} = col {〃i [2] , ui [1], 〃i [0]} согласно выражению
U = Ж^ {ж 同一/% [0]} = Ж^1 {ж [3]—川関[°]}, исходя из условия, что
х [k] = eFkTх (0), где F = G^ + е^СТ.
При Т = 0,1 с матрица управляемости равна
『1,26 "IL 6；61.10-41,з5」0-з "
Ж (Т) =3,44- 10^ 6,55 • 10^37,06 • 10^3.
期 5,69 "(Г? 1,зз * 10—215」5 * 10—4 —
Будем осуществлять дискретное программное управление по осуществлению предписанной фазовой траектории, задаваемой следующей матрицей замкнутой непрерывной системы:
F =F =1о—222,581о—222,58
F =
F =
1
о
—222,58
1
о
—222,58
о ・
1
— 26,67 „
При ж (0)
0
0
1
имеем
ж [3] = 6°3% (о)=
3,51 • 10™3
—5,00/0-3
—6J1 " iL
2 4 7
3 W厶
a^ 一 一 一
一一
⑶[1][0]〃 〃 〃
U = (х [3] — Л3ж [0])=
3,97" ICT’ — 1,74" IL7,38 "iL3,97" ICT’ — 1,74" IL7,38 "iL
3,97" ICT’ — 1,74" IL
7,38 "iL
3,97" ICT’ — 1,74" IL
7,38 "iL
Для полученных значении управляющего воздействия заданная точка предписанной фазовой траектории будет достигнута в момент времени Т = =0,1 с. Будем считать эту точку за начальную и следующую конечную точку зададим в виде
ж [2k]=方[6] = e°'6Fх [3]=
7 6 5
3 J 4
3 幺2,
一一
НИИ
Получим вектор
7,12」0一6『—3.20」0一51.43 «ICT’7,12」0一6『—3.20」0一51.43 «ICT’
7,12」0一6『
—3.20」0一5
1.43 «ICT’
7,12」0一6『
—3.20」0一5
1.43 «ICT’
Далее аналогично:
ж [3k] = ж [9]=已。，9尸方[6]=
"—0,12 ・ 0.45
„ —0.23 „
[8][7][6] ^ ^ ^
ж [4к] = ж [12] = £丄2尸関[9]=
"114 [И] ~
U =〃4 [10]
„[9] „
3,27- 10^8
—1,47」0-7
6,59 /(Г?
—2,34」0-3
8,37- 10"3
—4,40 "IL
Нулевое состояние системы должно быть достигнуто уже на девятом шаге. Проверка подстановкой в рекуррентные формулы
ж [к] = Лкх [0]十厶〃 [к — 1]十 ALu [к — 2]十 一 * 十 Ak^Lu [0]
дает
ж [10]二
3,92 * iL
—3,77. IL
1,91 • 10™4
Тем самым перевод в начало координат осуществлен с погрешностью I—
ВЫВОДЫ
Таблица 10.1
Продолжение хронологии становления синтеза в ТАУ
Год
Персонификация
Вклад
1996
В. А. Подчукаев
Аналитическое решение задачи финитного управления для стационарных линейных непрерывных и дискретных систем
Таблица 10.2
Азбука решения задачи финитного управления
№ п/п
Алфавит
Содержание
1
Непрерывные стационарные линейные системы
Исходные данные:
модель объекта управления
ж = Рх + 石〃，ж Е Rn, и 6 Rm,
заданное начальное состояние ж(0) = жо；
заданное конечное состояние ж(й) = 0те в заданный момент й > 0.
Идея решения ——синтез закона управления, организованного по принципу программного управления в виде
и = СТz Е ,
где
2 =
то есть,
и = Ст exp (Pt)z(0).
Формализм решения в случае перевода в начало координат
n(0) = — C，T p1т)Ат(т) dr x
qT pk-l_o_
x[8, P石，…，声Tg「％(0).
Формализм решения в случае перевода в заданное конечное состояние
Г Ст
N(0) =ct p卜4(一7)@方(7)d7X
qT pk-l_0_
x[B, PB,...,声—1 石]T[exp( —P〃)宽(力1) — ж(0)]
Таблица 10.2 (Продолжение)
№Алфавит
п/п
Содержание
2 Дискретные стационарные линейные системы
Исходные данные:
о) модель объекта управления
ж [г + 1] = Ах [г] + Lui [г], в которой
Л (Т) = ерт,厶(Т)=厂丁 J exp (—Р丁) dr;
0
заданное наяальное состояние ж[0];
заданное конечное состояние x[k];
заданное время перехода kT.
Алгоритм программного управления (mk = п):
U = col {设1 佐—1], ni [fc — 2] ,. . . , mi [0]},
U 6 Rmk, Ж (Г) = [£(Т),
U = Ж^1 {x[k]—厶％ [0]}.
Алгоритм управления по принципу обратной связи
«1 [г] = D[i]x[i],
ill [k — 1]D\k — l]x[k — 1]
U = wi [k — 2]= D[k — 2]x[k — 2]=
一虱的 J L D[0]x[0] J
~ G[k — 1]{厶南т + LG[k — 2] + ALG[k — 3] +]
…+ 厶心―2£G[0]} — %[k — 1]
= G[k — 2]{厶川一2 + LG^k _ 3] + ALG[k — 4] + * 一
...+ Ak~3LG[Q]}~1x[k - 2]，
„G[0]z[0]」
где G[刃(2 = 0, k — 1) находятся из равенства
G[k — 1]wi [k — 1]
G[k —2]z[0] = U= 虱 —2]=
„G[0] JL w[0] J
=Ж™1 (eFkT — Ak) ж[0]
УПВ4ЖНЕНИЕ
Решите задачу финитного управления по переводу в начало координат приведенных систем, полученных в результате решения задач к главе 7.
ГЛАВА 11
ФИНИТНОЕ УПЖВЛЕНИЕ
С УЧЕТОМ ОГЖНИЧЕНИЙ НА УПЖВЛЕНИЯ
Принцип максимума Понтрягина
Едва ли не единственным методом, позволяющим учесть ограничения на управления, является принцип максимума Л. С. Понтрягина (1956 г.), представляющий собой современное прочтение методов вариационного исчисления, относящихся к XVIII в.
Рассмотрим этот принцип на примере финитного управления объектом
九=九(呼％ 力),i = 1 ? n,胃 e R\ и 6 Яте, (11.1)
для которого заданы:
краевые условия
胃(力о) = W ж(й) = xi,(Н.2)
функционал
/о(ж,(11.3)
io
ограничения на управления
|S⑴勿=可，(1L4)
где Mi ——заданные положительные числа.
Задача состоит в переводе объекта управления из заданного начального состояния жо в заданное конечное состояние Ж1 за время (й —力о), исходя из условия, чтобы функционал (11.3) на решениях (11.1) из области (11.4) с найденным законом управления принимал максимальное значение.
Основу вариационных методов поиска экстремума функционалов составляет хорошо известная гипотеза Лагранжа (1797) [25]: «Если ищется максимум или минимум некоторой функции многих переменных при уело вии, что между этими переменными имеется связь, задаваемая одним или несколькими уравнениями, то нужно прибавить к исходной функции те, которые должны обращаться в нуль, умножив их на неопределенные мно™ жители. После этого следует искать максимум или минимум построенной функции, как если бы все переменные были независимыми. Полученные уравнения совместно с уравнениями связи будут служить для определения всех неизвестных».
В соответствии с гипотезой Лагранжа при формулировке принципа максимума введем в рассмотрение:
расширенный вектор состояний ж = col [жд, ж], ж е К几+\ для которого координата с о (力)характеризует текущее значение функционала (1L3):,
^o(t) =/о(ж, и, t)dt.(11.5)
откуда следует
小0 = %(于山力))жо(^о) = 0, ж0(й) = ^；(U.6)
вектор множителей Лагранжа Л е 兄^+匕 используемый для кон™ струирования функции многих переменных, называемой гамильтонианом:
Н(Хе〃/)=『R F = со1[%(胃山力)，/Дж, u.t),..., /п(ж, u.t)].
Необходимое условие экстремума гамильтониана (как функции многих переменных), как известно из математического анализа, состоит в равенстве нулю полной производной по времени:
dH(A,x, n, t)dtdH(A,x, n, t)dt(1L7)(1L7)дН дН • дН^дН . с
dH(A,x, n, t)dt
dH(A,x, n, t)dt
(1L7)
(1L7)
= м + К + ь + Е = °"
Для того, чтобы выполнить (11.7), будем полагать, что справедливы следующие равенства:
ан •дН
тогда после их подстановки в (11.7) получим dH(X,x,u,t)дНдН . с
В случае, когда 工力(胃)〃，力)三 Д (ж, ад), т. е. нет явной зависимости
от времени, имеем = -—- = 0, и, тем самым, необходимое
atdt
условие экстремума гамильтониана (11.7) (собственно принцип максимума) задается равенством
Отметим, что поиск минимума составляющей гамильтониана, завися™ щей от управлений, практического интереса не представляет, поскольку он достигается при ад = 0т. Поэтому в качестве экстремума выступает максимум.
Так как ни одна из функций /^(ж, и, t) (i = 0, п) не зависит от координаты жд, из (11.8) следует, что для Ло имеем
Ло = 0 今 Хо ⑴=const.
Поскольку константа определяется с точностью до множителя, в дальнейшем, без потери общности, будем полагать Ло = — L
11.2. Решение задачи оптимального быстродействияна основе принципа максимума Понтрягина
Важным для технических приложений является класс задач на опти・ мальное быстродействие, когда требуется найти управление 〃(力),перево дящее объект управления из заданного начального состояния в заданное конечное состояние за минимальное время, т. е. класс задач с функционалом вида:*
彳=dt =厶一力о, /о(% 〃)力)=1*
В этом случае гамильтониан можно представить следующим образом: ж(л, ж, u,t) = Xq Hi(x, x^u^t), ж е яп, л е яп,
где 必(％ % и. t) = £ fi(x. и,力)％” i = l
Будем рассматривать объект управления, описываемый уравнением
ж = Рх + Ви^
считая, что множество допустимых управлений подчинено неравенствам (И.4).
Гамильтониан Hi рассматриваемой задачи представим в виде
Я1(Х % 〃)力)=ХТРх + ХтВи.
Тогда формализм принципа максимума, формализуемый равенством
ди означает выбор управлений из условия
% ⑴=М х sign у^ bjj入j〉 i = 1, m,(11.10)
где sign — обозначение сигнум™функции.
Пример 11.1. Пусть объектом управления является двойное интегрирующее звено
У =
а множество допустимых управлений задано неравенством
|〃⑴ I W 1.
Решим задачу оптимального быстродействия по переводу в начало координат, для чего, введя обозначения Ж1 = у,胃 2 = U, запишем уравнения движения объекта управления в форме Коши:
Гамильтониан Hi рассматриваемой задачи имеет вид
%(%人 П) = Xi© + 入2口)
а система уравнений для вектора множителей Лагранжа ——вид
J Ai = 0,
откуда следует Ai = — Ci = const,入2 = Ci力 +。2“
На основании (11.10) получим искомое управление в виде
j 1 при Q力 + С2 > 0,
u(t) = signA2 = sign(C1f + С2) =0 при C±t + С2 = 0,
[-1 при С\t + С?2< 0.
Возникает естественный вопрос о количестве переключений функции 〃(力% Ответ на него дает следующая теорема А. А. Фельдбаума об принтер™ валах (приводимая без доказательства).
Теорема. Если корни характеристического уравнения объекта управления действительны, то число переключений каждого из управлений Ui(t) (г = 1, т) не превышает тг — L
113. Решение задачи на оптимум расхода топливана основе принципа максимума Понтрягина
Основным источником таких задач являются проблемы управления самолетами и космическими летательными аппаратами, начиная от про™ стейших задач управления положением спутника и включая такие сложные задачи, как встреча космических летательных аппаратов на орбите или задача «мягкой» посадки. Во всех этих случаях управляющие силы и моменты появляются за счет расхода топлива или рабочего тела, запасы которых ограничены.
Исходными данными задачи на оптимум расхода топлива являются заданное уравнение движения объекта управления
ж = P(t)x + B(t)u, ж е Яп, и е Rm, t е [t0,力 J to < ^i, заданные краевые условия для вектора состояний
胃(力0) = ж0, 胃(力1) = Ж1
и заданные ограничения на вектор управлений
|s⑴I 工 1,勿=1, m.
Критерий оптимальности по расходу топлива выражается формулой
а = J2〔％ ⑴ I "九
to i = 1
При этом предполагается, что решение поставленной задачи существует. Гамильтониан рассматриваемой задачи имеет вид
Ж(Л, ж, u^t) = — ^2 (力)| + P(t)x + Хт В^и.
Формализм принципа максимума, формализуемый равенством
дНдидНди=о,=о,
дНди
дНди
=о,
=о,
i = 1, m,i = 1, m,11
i = 1, m,
i = 1, m,
1
1
= —|s(力)1 + [£ ^j^jiW]ui^ 分=1? w，означает выбор управ-
лений из условия достижения максимума так с формированной функции, который достигается при
+1〉仇 > 1
〈0,-1 <% < +1,
—1)qi <—1
где введено обозначение з = £ Xjbji. j=i
1%
—1
Рис. 11.1
Функция переключения lit компоненты вектора управлений и* изображена на рис. 11.1 и напоминает характеристику реле с зоной нечув™ ствительности. В теории оптимального управления эту функцию принято обозначать через dez{*}. Используя это обозначение, условие оптимума расхода топлива можно записать в векторной форме:
〃* = dez{办
Следует отметить, что функция dezg в рассматриваемом случае не определена, если ④=±1. Поэтому к использованию необходимых уело вий, которые определяются на основе принципа максимума Понтрягина, следует подходить с известной осторожностью. Существуют классы задач,
применительно к которым неправильное использование принципа мак™ симума может привести к неверным результатам. Типичным примером является класс особых задач оптимального управления.
Встречаются и другие классы задач, применительно к которым даже правильного использования принципа максимума недостаточно для нахо・ ждения решения. Типичный пример ——вырождение задачи оптимального управления. Краткое знакомство с теорией этих задач можно получить в гл. 16 монографии Д. Сю и А. Майера [33].
Решение задачи управления конечным состоянием на основе принципа максимума Л. С. Понтрягина
Задача управления конечным состоянием при отсутствии ограничений на вектор управлений представляет собой обычную задачу Майера клас™ сического вариационного исчисления （иногда называемую задачей терминального управления）, когда функционал имеет вид
R = Q[x（t）]\t=tl.
Приведем алгоритм решения этой задачи на основе принципа максимума при условии, что компоненты вектора управлений подчинены неравен™ ствам （11.4）, а уравнения движения объекта имеют вид
亦 j ―力（胃，〃）=歹5 （胃）+〉] ^ij ^j）〃 м 1）ТП.
Итак, расширим вектор состояний ж, введя новую координату
方0⑴=Q[c⑴],
тогда дифференциальное уравнение относительно координаты to （力）примет вид
а краевые условия для этой координаты определятся равенствами
于0（力 0）= Q ['^0] ?c0（力1） = R"
Составим гамильтониан рассматриваемой задачи
ь（х人我）=九 + E%九（%〃）"（H-n）
盜）盜）Л (f)=Л (f)=После несложных преобразований из (11.11) можно получить
盜）
盜）
Л (f)=
Л (f)=
Ж (ж, Л, ад)=
где Ло = —L
Тогда на основании принципа максимума Понтрягина при ограничениях (11.4) на вектор управлений оптимальное управление в задаче управления конечным состоянием можно определить соотношением
(1L12)(1L12)〃7⑴=М§ х sign Е (尢一券)bi：h j = l,m.
(1L12)
(1L12)
Из (11.12) видно, что управление является кусочно^постоянной 巾унк・ цией со значениями на границе области допустимых управлений. Оптимальная функция переключений П^ = £ (入二一-j b订 может быть вычислена после решения системы уравнений (11.8).
Решение задачи управленияпо минимуму расхода энергиина основе принципа максимума Понтрягина
Термин «минимум энергии» отражает тот факт, что часто нужно минимизировать величину, связанную с энергией электрического сигнала. Эта задача оптимального управления имеет большое практическое значение. Расход энергии, затраченной на управление, пропорционален интегралу по времени от квадрата управляющего воздействия. Если расход энергии по всем компонентам вектора управлений брать с одинаковыми весами, то функционал можно записать в виде
R = иТи dt.(11.13)
to
С математической точки зрения функционал (11.13) дает оценку вели™ чины «стоимости» управления. То обстоятельство, что подынтегральная функция есть квадратичная форма от вектора управлений, имеет то очевид™ ное значение, что мы не сильно «наказываем» систему в случае, если u(t) мало, но «строго наказываем» ее за большие управляющие сигналы u(t).
Сформулируем задачу.
Пусть даны полностью управляемый объект управления
ж = P(t)x + B(t)u, ж е Яп, и е к% t е [力о, й],力о <
(1L14) и функционал
R= [хТQ(t)x + итR(t)u] dt,(11.15)
где Q(力)и R(t)——заданные симметрические положительно определенные матрицы.
Пусть множество допустимых управлений задано неравенством (11.4). Требуется найти управление, которое
一 удовлетворяет ограничениям (11.4);
—переводит систему, описываемую уравнением (11.14), из произвольно™ го начального состояния 胃(力о) = жо в нулевое состояние в момент времени ti :胃(力]L) = 0；
—минимизирует функционал (11.15).
Составим гамильтониан рассматриваемой задачи
Ж(Л,ж, 〃/) = —хтQ(t)x ™ итR(t)u + ХтP(t)x + ХтB(t)u, (11.16)
где Ло = -L
Тогда формализм принципа максимума, формализуемый равенством
* = _2R⑴我 +б7⑴}=0,
означает выбор управлений вида
我=|ft™1(f)BT(f)A,(11.17)
исходя из условия
Ui = Mi х sign {|r_1(力)6丁(力)}}/
Тем самым, оптимальное управление по минимуму расхода энергии можно записать в виде:
R^1 (t)BT(t)x\ , если I i R^1 (t)BT(t)x\Л/, г = 1, m,
=
Mi x sign {； g—i(力)6丁«)入}「, если |^ R^1 (t)BT(t^X^ _ > Л/,
или, если использовать обозначение sat (сокращение от слова saturation, что в переводе с английского означает насыщение), то, окончательно, оптималь™
ное управление в задаче минимума расхода энергии можно представить выражением
我⑴=sat {；a一1⑴б⑴}}.
Начальные условия для вектора множителей Лагранжа могут быть определены следующим образом.
Принимая во внимание (11.17), имеем
жЛжЛp⑴；笈⑴К一⑴笈7⑴2Q⑴"⑴p⑴；笈⑴К一⑴笈7⑴2Q⑴"⑴жЛжЛ
ж
Л
ж
Л
p⑴；笈⑴К一⑴笈7⑴
2Q⑴"⑴
p⑴；笈⑴К一⑴笈7⑴
2Q⑴"⑴
ж
Л
ж
Л
Представим нормированную в точке to фундаментальную систему ре・ шений этого уравнения (обозначим ее через Ф) в блочном виде
Ф =Ф =Фц @12@21@22Фц @12@21@22
Ф =
Ф =
Фц @12
@21@22
Фц @12
@21@22
Тогда решения этого уравнения посредством фундаментальной системы решений выражаются как
J 胃(力 1) = <>ii(ti)x(f0) + Ф12(Й)Л(^0),[л(й) = ①21(力1)胃(力0)+ (^22(Й)A(to),
откуда при условии det Ф12(й)千 0 начальные условия для вектора мно жителей Лагранжа можно определить из равенства
入优)=<>Ri(片)[胃(片)- <>ii(fi)x(t0)].
Следует отметить, что в отличие от функций sign и dez функция sat дает вполне определенное значение и. По этой причине вырожденных случаев для задачи на минимум расхода энергии не возникает, при условии, что матрица R(t) положительно определена. Отсюда же следует, что компонен™ ты вектора оптимального управления являются непрерывными функциями времени, в то время как компоненты вектора управлений в задачах опти・ мального быстродействия, оптимума расхода топлива и других являются кусочно^постоянными функциями времени.
ВЫВОДЫ
Таблица 11.1
Продолжение хронологии становления синтеза в ТАУ
Год
Персонификация
Вклад
1956
Л. С. Понтрягин
Принцип максимума
Таблица 11.2
Азбука решения задачи финитного управления с учетом ограничений
№ п/п
Алфавит
Содержание
1
Исходные данные
о) модель объекта управления
Xi = /Дж, и, t), х е Rn, и е Rm]
заданное начальное состояние ж(0) = жо；
заданное конечное состояние x(ti) = 0п в задан™ ный момент 力工〉0;
2)заданный функционал
^S = J %(Z, U,力)d力；
заданные ограничения на управления
\ui(t)\ W М 分=1,人
где М ——заданное положительное число
2
«Формализм принципа максимума
о) расширение вектора состояний ж = col [жо, ж], ж е /Г+\ когда координата zo (力)характеризует текущее значение функционала
力0⑴=J %(伤%力)山，
откуда следует
亦0=/0(况3 %力), 况0(力0)=0? 况0(力工)■- 6;
6) введение вектора множителей Лагранжа Л е е /Г+1 для конструирования функции многих переменных, названной гамильтонианом:
"(入而)М力)=》Т£
F = col [%(z,% t\ fi(x,u, t),. . . , /„(ж, % t)];
s) необходимые условия экстремума
d〃(X 而,％力) дН дН . дН^ дН
dt— а力 + алЛ+一 °’
откуда следует
дН-дНдН
f一 =0;
оЛохди
а) формализм принципа максимума
дН*
= 0, Ло = —1, ои
которое можно трактовать как необходимое условие экстремума (максимума) составляющей гамильтониана, зависящей от управлений
3
Задача оптимального быстродействия
Функционал
6 = J d力=力1——to? /o(z, a，力)= 1 • to
«Формализм
%(力)=M x sign £ b订％, i = l,m
Таблица 11.2 (Продолжение)
№ п/п
Алфавит
Содержание
4
Задача на оптимум расхода топлива
Функционал
6 = J £ \ui(t)\dt.
io 分=1
① ормалкзм
+1,依 > 1,
〃*=dezq=〈0, —1 < 或 < 十1, 5=1^,
工—1,依 < —1,
где введено обозначение qi = £ kjbji
5
Задача управления конечным состоянием
Функционал
6 = Q[z⑴]仁a•
«Формализм
〃式力)=М X sign £ * _阮，j = l,m
i=l \OXi /
6
Задача на минимум расхода энергии
Функционал
S = J [xTQ(t)x + uTR(t)u] dt
① ормализм
a(力)=sat { J氏_1(力)石(力)x}
УПЖЖНЕНИЕ
Решите задачу оптимального быстродействия на основе принципа максимума Понтрягина в отношении объектов управления, приведенных в разделе задач к гл. 7.
ГЛАВА 12
АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
Общие замечания
При автоматизации процессов, в отношении которых априорная информация не позволяет составить точную математическую модель поведения, возникает необходимость создания так называемых адаптивных систем.
Определение 11.1. Адаптивной системой называется система автоматического управления, которая сохраняет работоспособность в условиях непредвиденного изменения свойств управляемого объекта, цели управления или условий окружающей среды посредством смены алгоритмов своего функционирования или поиска оптимальных состояний.
Теория адаптивных систем автоматического управления еще весьма далека от завершения и поэтому устоявшейся терминологии и общепризнанной классификации адаптивных систем пока не разработано.
В отечественной литературе адаптивные системы по способам адаптации принято подразделять на самонастраивающиеся, самообучающиеся. и само орган изующиеся. В этой главе мы рассмотрим только самонастраивающиеся системы, которые подразделяются на поисковые и беспоиско- вые. В поисковых самонастраивающихся системах необходимое качество управления достигается в результате автоматического поиска оптимальной в некотором смысле настройки. В беспоисковых системах некоторый показатель качества управления автоматической настройки параметров поддерживается в заданных пределах.
Среди методов решения задач адаптивного управления наибольшее применение в настоящее время получил метод функций А. М. Ляпунова, хотя при решении указанных задач нашли применение и целый ряд других методов. Остановимся на некоторых аспектах метода функций Ляпунова применительно к беспоисковым самонастраивающимся системам (СНС).
Метод функций Ляпунова
решения задач адаптивного управлениябеспоисковыми самонастраивающимися системамибез эталонной модели
Постановка задачи. Пусть уравнения возмущенного движения объекта управления имеют вид
Ж = Рх В[и кТ(t)x],片 е R\ П е RE) t е [^,ос), (12.1)
где ж ——вектор состояний, и ——вектор управлений, F и В ——заданные матрицы чисел параметров объекта управления, К (力)——матрица неизвестных параметров объекта размера n х т, изменения которых во времени
удовлетворяют неравенствам
|1К⑴片II w 〃i1阳I，1R⑴片II w〃211片11"力》О,
где 〃i, 〃2 — заданные положительные числа.
Требуется найти регулятор
如=[СТ + ^СТ]х,(122)
гарантирующий асимптотическую устойчивость объекта управления (12.1), замкнутого регулятором (12.2).
Для простоты изложения ограничимся случаем одного управления (т = =1) в предположении, что К(力)= 0п, где 0п ——нулевой п~мерный вектор, сведя решение поставленной задачи сначала к конструированию закона стабилизации
для объекта
ж = Рх + Ви,
а затем к нахождению алгоритмов настройки коэффициентов регулятора АСТ, обеспечивающих компенсацию влияния неизвестных параметров объекта на динамические свойства замкнутой системы (12.1), (12.2).
Первый этап решения поставленной задачи может быть выполнен с привлечением процедуры АКОР. Будем считать, что найдена симметрическая положительно определенная матрица Л, удовлетворяющая неоднородному матричному уравнению Ляпунова
А(Р + ВС' + (尸丁 + СВТ)А = —Q,(12.3)
составленному в силу уравнений движения системы
ж = [Р + ВСт]х,
и связанная с матрицей С соотношением
С = —АВ.
Матрицу Q будем считать заданной симметрической и положительно определенной.
Перейдем теперь ко второму этапу решения задачи адаптивного управления, а именно: к нахождению алгоритма настройки параметров. Будем искать алгоритм настройки с помощью положительно определенной функции Ляпунова вида
У = хтАх + ；(К 十△С)Т(К + АС),
где Л ——некоторая положительная постоянная.
Вычислим полную производную по времени от этой функции в силу уравнений (12.1), (12.2):
匕=хТАх + хтАх + ^^т(К + АС) + "(К + ^С)т ^С =
= [жтрт + жтсвт + Лвт]Лж + жтл[Рж + встж + вдстж + вктж] +
+ "(К + /)Т(К + АС) + "(К + △С)7(К + /)=
=жт{А[Р + ВСТ] + [Рт + СВт]А}х + хтАВ[^Ст + Кт]х+
+ хт[К + ^С]ВтАх + "(К + △С)т/ + "尸(К + АС). (12*4)
Анализ полученного выражения показывает, что влияние неизвестных параметров объекта управления можно исключить, если потребовать вьь полнения соотношения
О = хтАВ(К + △С)т% + хт[К + ^С]ВтАх+
+ |(К + hC)Tf + jfT{K + AC). (12.5)
Тогда из (12.4) с учетом (12.3) получим
V = —xTQx,
что гарантирует асимптотическую устойчивость объекта управления (12.1), замкнутого регулятором (12.2).
Найдем аналитическое выражение для закона настройки параметров f, используя (12.5). Несложно показать, что (12.5) выполняется, если имеет место равенство
хтАВ(К + △С)т% + 卜К + hC)T f = 0.(12.6)
В рассматриваемом случае при m = 1 векторно-матричное произведем ние хтАВ является скалярной функцией. Это обстоятельство позволяет записать (12.6) в виде
[К + 4С]Т xTABx^jf = 0.(127)
Последнее соотношение выполняется, когда вектор [хтАВх + (1 /》)/] либо ортогонален вектору [К + А(7], либо тождественно равен нулю. Потребуем, чтобы выполнялось последнее. Тогда из (5.17) можно получить следующее аналитическое представление для вектора f:
△С = / = ^хтАВх.
Приведенная схема синтеза регулятора типична для большинства работ, посвященных решению задачи адаптивного управления в рассматриваемой постановке.
Метод функций Ляпуноварешения задач адаптивного управлениябеспоисковыми самонастраивающимися системамис эталонной моделью
Постановка задачи. Рассмотрим объект управления, про который, кроме информации о размерности вектора состояний и вектора управлений и о том, что он стационарный, больше ничего не известно, т. е. объект вида
х = Рх^ Ви, X е『 и е Rm,(12.8)
где F и В ——неизвестные матрицы параметров объекта управления. Потребуем, чтобы динамика объекта управления соответствовала дина- микс эталонной модели
хм = Рм^м + Вмп> х е Rn, u е Rm,(12.9)
где Рм и Вм ——заданные матрицы параметров эталонной модели.
Информацию о несоответствии объекта (12.8) и модели (12.9) несет вектор ошибки е, определяемый соотношением
е = хм х.
Требуется найти алгоритм адаптации, при котором
Jim е 0п,
где 0п ——нулевой вектор.
Вычитая из уравнения (12.9) уравнение (12.8), получим дифференциальное уравнение относительно вектора ошибки:
衣=Рм^ {РМ —— В)и,
которое, введя обозначения Ре = Рм 一 Р, & = Вм — 6, можно представить так:
衣=Рм£ + Ре Ж + Веи.(12.10)
Составим функцию Ляпунова вида
昨 е = £ £ * + £ £ 止瓦“，(12.11)
11
2=1 3 = 1金=1 3 = 1
где
&ij >0,分，j 二 1,汽，8kl >0, k = 1, П,/ = 1, T7Z,
а симметрическая положительно определенная матрица А удовлетворяет неоднородному матричному уравнению Ляпунова
АРм + P\gA = —Q,
где Q ——произвольно заданная симметрическая положительно определенная матрица.
В силу того, что матрица Рм выбирается из условия асимптотической устойчивости тривиального решения уравнения
хм = Рм^м,
матрица А с указанными свойствами существует.
Найдем полную производную по времени t от функции Ляпунова (12.11) с помощью уравнения (12.10):
О = £丁 [j4.jPм + 尸二厶]£ + ^с^ АРех + QiC^ АВ и-\-
п пп п
Из (12.12) видно, что если выполняются соотношения
3、(12.13)
' К = 1丿
то 匕 = еТ[ЛРм + 尸^川£ = —eTQe, т. e. соотношения (12.13) могут использоваться для определения законов настройки параметров, исходя из условия, что Jim е 0п.
Методы решения задач адаптивного управления поисковыми самонастраивающимися системами
Многие объекты управления характеризуются наличием экстремума их выходных характеристик, который под влиянием различных внешних воздействий может смещаться. Системы автоматического управления, предназначенные для стабилизации выходной величины ж относительно ее экстремального значения жэ в условиях заранее неизвестной величины жэ, принято называть системами экстремального регулирования (СЭР) или статическими самонастраивающимися системами.
Экстремальное управление осуществляется за счет специальных поис~ ковых движений. Поисковый сигнал у вместе с рабочим сигналом подаются на вход экстремального объекта. Обработка реакций выходной величины ж на поисковые сигналы позволяет определить расстояние от экстремума и сформировать управляющие воздействия, обеспечивающие движение к экстремуму.
Остановимся на некоторых методах решения задач адаптивного управления поисковыми СНС.
Метод измерения производной
Пусть ж ——выходной сигнал экстремального объекта, а у ——поисковый сигнал. Метод основан на том, что производная dx/d/З меняет знак при прохождении СЭР через зкстремум, что иллюстрирует рис. 12.1.
Для измерения производной dx/d/З можно измерить производные ж и
Д, при этом — = j. Если Д = kt, то — = -ж.
Метод запоминания экстремума
Этот метод представляет собой своеобразную модификацию метода измерения производной. Модификация состоит в использовании разности между текущим и экстремальными значениями выходной величины для
Рис. 12.2Рис. 12.2определения управляющих воздействий, возвращающих объект экстремального регулирования к экстремальному состоянию его входной величины. Для опре~ деления экстремального значения выходной величины используется запоминающее устройство (ЗУ), включенное так, что на его вход поступают только положительные (при поиска максимума) приращения выходной величины. На рис. 12.2 и 123 представлены статическая характеристик ка объекта и соответствующая ей диаграмма выхода запоминающе-
Рис. 12.2
Рис. 12.2
го устройства (жзу), предназначенного для запоминания максимума.
Для формирования управляющего воздействия используется разность 8 = ^жзу(Д)+ж(Д). Если система движется к экстремуму, то жзу(Д) = ж(Д),
Методы решения задач адаптивного управления поисковыми С НС 319 следовательно, 8 = 0, но под действием управляющих воздействий система продолжает двигаться в том же направлении, проскакивая зкстремум, после чего производится реверс управляющих воздействий и стирание информации, записанной в и т. &, т. е. система колеблется около экстремального состояния.
Метод периодического поискового сигнала
Пусть состояние объекта, имеющего экстремальную статическую характеристику, описывается значением жх и соответствующим ему поисковым сигналом 户⑴.Будем изменять у в окрестности % по синусоидальному закону. При этом фаза входных и выходных колебаний будет совпадать для всех Д < 户⑴"Если состояние объекта характеризуется значениями 片2Hg1, то на его выходе устанавливаются периодические колебания, сдвинутые на 180° относительно входных. Это будет иметь место для всех /3(?) < < 户⑶"Таким образом, по сдвигу фаз можно определить движение этой системы к экстремуму. Иллюстрацией сказанному является следующий рисунок.
Рис. 12.3
В соответствии с этими методами определения экстремума СЭР можно классифицировать следующим образом:
системы, реагирующие на знак или величину производной;
системы с запоминанием экстремума;
системы со вспомогательной модуляцией, определяющие направление движения к зкстремуму по сдвигу фаз между входными и выходными колебаниями.
ВЫВОДЫ
Таблица 12.1
Классификация адаптивных систем
№ п/п
Классификационный признак
Выделяемые классы
1
Способы адаптации
самонастраивающиеся (СНС),
самообучающиеся,
самоорганизующиеся
2
Самонастраивающиеся систем (СНС)
1) беспоисковые, 2) поисковые
3
беспоисковых СНС
1) с эталонной моделью, 2) без эталонной модели
4
Методы организации поисковых СНС
метод измерения производной,
метод запоминания экстремума,
метод периодического поискового сигнала
ПОСЛЕСЛОВИЕ К СИНТЕЗУ
В процессе синтеза решается одна из следующих двух задач:
задача стабилизации (слежения), где разработчик стоит перед дилеммой выбора либо регулятора регулярной структуры (глава 7), либо регулятора сингулярной структуры (глава 9). Отметим, что сингулярная структура предоставляет большую свободу инженерного творчества;
задача финитного управления, где разработчик также стоит перед дилеммой решения этой задачи либо без учета ограничений на управления (глава 10), либо с учетом этих ограничений (глава И).
В случае синтеза регуляторов регулярной структуры для стационарных линейных систем методов много:
модальное управление (параграфы 7.1.1, 7.1.2);
оптимальное модальное управление(параграф 7.1.4);
АКОР Летова (параграф 7.1.2);
АКОР А. А. Красовского (параграф 7.1.2). Ограничение — объект управления должен быть асимптотически устойчив по Ляпунову;
метод билинейных преобразований в задаче АКОР А. А. Красовского (параграф 7.2.4).
Но уже для нестационарных линейных систем число методов сокращается до двух:
синтез приводимых систем (параграф 7.1.3);
АКОР Летова (параграф 7.1.2). Трудность применения этого метода состоит в решении в обратном времени дифференциального уравнения типа Риккати, которое в случае табличного задания коэффициентов объекта на всей полуоси времени [0, оо) требует колоссальных объемов памяти компьютера.
Переход к нелинейным системам оставляет только один метод ——синтез приводимых систем (параграф 7.1.3).
РАЗДЕЛ III
Приложения
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Правила преобразования структурных схем
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
4, а). Перенос точки разветвления через звено
X
X = и, %(夕)g = QiO)必
Вход-выходнаязависи
мость системы имеет вид: х = и,
%0)д = Q10)必
Условие асимптотиче ской устойчивости системы —— гурвицевость Fx(p).
Условие асимптотиче ской устойчивости системы по входу —— гурвицевость Q1(P)
У畋hr
歹iO)g = QiO)〃， Qi(夕)z = Fr^y.
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
%(夕)Qi(夕)z = Fr^Qr^u, 夕i(月)g = Qi (月加
Условие асимптотической устойчивости системы —— гурвицевость 夕1(月),QiS)"
Условие асимптотиче ской устойчивости системы по входу ——гурвицевость Qi(p), Fi(p)
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
нули и полюса обеих систем разные;
имеют место структурные возмущения по выходу ж и по входу и;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотиче ской устойчивости по выходу при условии гурвицево- сти QiO);
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входу при условии гурвицево- сти Fi(p)
Правила преобразования CYnpyK-nypHblx схе-
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
5, о）. Перенос сумматора через звено
w2
歹i（0）g = Qi（0）（〃i 士 虱 2）*
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
Р1（Р）У = Qi（p）（〃i 土 虱2）*
Условие асим птоти ческой устойчивости системы —— гурвицевость 冃（夕）"
Условие асимптотиче ской устойчивости системы по входу — гурвицевость Qi（夕）
于回^ 2畋=%
F^X! = Qi（0）〃l ^1（р）ж2 = Ql（p）^2, у = Xi± ж2.
Вход-выходная зависимость системы имеет вид: Fr^F^p^y =
=Qi（p）Fi（p）（ui 士 口2）.
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвицевость 夕1（月）"
Условие асимптотиче ской устойчивости системы по входу ——гурвицевость Q i（p） Fi（p）
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
нули обеих систем разные, а полюса совпадают без учета их кратности;
имеют место структурные возмущения по входу и выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входу при условии гурвицево- ctИ尸1 （夕）
Приложение 7
Правила преобразования структурных o^s
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
5, б) Перенос сумматора через звено
夕1(月)% = Qi (月)生
у = У1±纱联
Вход-выходнаязависи
мость системы имеет вид: 尸1(夕)g =
=Qi^ul： F1(p)y2>
Условие асимптотиче ской устойчивости системы —— гурвицевость Fi(p).
Условие асимптотиче ской устойчивости системы по входу —— гурвицевость Qi (夕)к гурвицевость &(夕)
Qi(#)z = Fi(p)u2,
Fi(p)y = Qi^^u^x),
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
Qiip^F^y =
=Qi(P)Qi(P)u±Q1(p)F1(p)y2.
Условие асимптотиче ской устойчивости системы ——гурвицевость Д(р), Qi(办
Условие асимптотиче ской устойчивости системы по входу ——гурвицевость Q 1(夕)，и гурвицевость Fi(p)
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
нули и полюса обеих систем разные;
имеют место структурные возмущения по входу и выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по выходу при условии гурвицево- сти QiO);
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотиче ской устойчивости по входу при условии гурвицево- СТИ Qi(p)
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
10, о） Перенос прямой связи через звено
F^X! = Qi（p）u, &O）Z2 = Q3O）% 月2（月为=Q2（»（Z1 土 z2）"
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
F1（p）F2（p）F3（p）y =
=［Qi（月）Q2（团ьзо）土 ^Q3（P）Q2（P）Fi（P）］u.
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвицевость 歹 10）, f2（p）, f3（p）.
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость
［Q1（月）Q2（夕/3（月）土
土Q3（月）Qz（月）/ 0）］
歹2（夕）吊伪 ”3 = Q2（P）Q3（P）^, %0）4 = QM 月）%
月2（夕"2 = Q2（月"1,
g =/2 土/3*
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
& 0） % （夕）& 0）用 0） У =
=夕2（月）［Q1（月）Q2（夕/3（夕）土 ^Q3（P）Q2（P）Fi（P）］u.
Условие ас им птоти ческой устойчивости системы ——гурвицевость %0）, ^2（Р）, &0）"
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость
歹2 0） ［Q1 （夕）Q 2 （p）F3（p） 土
土Q3（月）Q2（月）%（团］
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
полюса обеих систем совпадают без учета их кратности, а нули —— разные;
имеют место структурные возмущения по входу и выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входу при условии гур- вицевости &（夕）
Приложение 7
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
10, б. Перенос прямой связи через звено
歹 10）^1 = QiO）〃， &（夕）①2 = Q2O）Z1, 歹3（夕）/3 = <2з（Р）^,
у = Х2^ 3"
Вход-выходная зависимость системы имеет вид: Fi（p）F2（p）F3（p）y =
=［Qi（月）Q2（团ьзо）土
土Q3（月）公 （夕）出（月）心
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвице- воеть %（夕）,&（夕）,F3（p）.
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——тур- виц евость
［Q1 （月）Q2（团夕3（月）土
土Q3（月）/ 0）&（夕）］
阪 F гЧ Нп +
%（夕）％ = Qi（p）u, 月2（夕"2 = Q2（月）4，
Q1（P）^3（P）^3 = Q^pWi^Zi, У = Z2± 蜀"
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
Qi（p）F1（p）F2（p）F3（p）y =
=QiO）［QiO）Q2（夕）&0）土
土Q3（P）%0）&（夕）
Условие асимптотиче ской устойчивости системы ——гурвицевость 修（月）,夕2（夕）,&0）, Qi（p）-
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость
Qi0）［Qi0）Q2（P）&0）土
土Q3（月）% （夕）&（团］
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
нули и полюса обеих систем разные;
имеют место структурные возмущения по входу и выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по выходу при условии гурвицевости Qi（p）;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входу при условии гур- вицевости Qi（夕）
Правила преобразования структурны, х схе-
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
10, в）. Перенос прямой связи через звено
г"A山一
歹 iO）zi = Qi（夕）％ &O）Z2 = Q2（P）XU ^3（Р）Ж3 = Q^（P）U,
g = Z2 + g.
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
歹 10） &（〃）&（夕）У =
=［Qi （月）Q2O）夕3（夕）土 ±Q3（P）Fi（P）F2（P）］u,
Условие асимптотиче ской устойчивости системы ——гурвице- вость %0）, &0）, F3（p）.
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гур- вицевость
［Q1（夕）Q2（"3（＞）土
土Q3 0）%0）夕2（月）］
夕1（月）N1 = Q1 （月加
QzO）歹3（夕”3 = Q^P）F2（P）u, &0）g = Qz（夕）01 土 喝）*
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
Q2（P）F1（p）F2（p）F3（p）y = =Q2（P）IQ1（P）Q2（P）F3（P）^
±Q3（P）Fi（P）F2（P）］u.
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвицевость %0）, ^2（p）, &（夕）,02（月）*
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость
Q2 0） ［Q10） Q2 0） & 0） 土
土Q3（夕）％ 0）&0）］
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
нули и полюса обеих систем ——разные;
имеют место структурные возмущения входу и выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по выходу при условии гурвицевости Q2 （夕）；
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входу
при условии гурвицевости q2（p）
Приложение 7
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
10, г）. Перенос прямой связи через звено
^1（Р）Ж1 = QiO）仇
&（夕）z2 = Q2（月）Zl, ^з（р）ж3 =（2з（р）жь
g = Z2 + 3"
Вход-выходная зависимость системы имеет вид: F1（p）F2（p）F3（p）y =
=［Qi（月）Q2（团ьзо）土
土Q3（月）Qi（月）出（夕p以
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвице- вость %О）, &О）, &О）.
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гур- вицевость
［Q1（?）Q2（月）&（夕）土
土Q3（月）Qi（团夕2（夕）］〃
1一
%（夕）N1 = Q1（KK 歹2（夕 ”2 = Q2（夕"1, %（月）ь3伪"3 = Q3（P）Q1（P）^, g =/2 土/3"
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
% （月）修 （月）出 0）用 0） У =
=% （月）［Qi（月）Q2（月）&（夕）土
土Q3（月）Qi（月）&（夕）
Условие асимптотиче ской устойчивости системы ——гурвицевость %（月）,夕2（夕）,&0）"
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость
% （夕）［Qi（夕）Q2（月）&0）土
Q3（P）Q1（P）F2（P）］
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
полюса обеих систем совпадают без учета их кратности, а нули —— разные;
имеют место структурные возмущения по входу и выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входу при условии гур- вицевости Fi （р）
правила преобразования структурных схе-
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
11, а）. Перенос обратной связи через звено
尸1（夕）Z = Q1（p）（u±xo）,
尸0（夕）窃=<2о（f）ж,
尸2（>）g = Q2（p>.
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
尸2（月）尸 1（月）&（夕）干
干 Qo（p）Qi（p）］g =
=Qz（月）QiO）&（夕）必
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвице- ВОСТЬ &（0）,
尸 1（夕/0（团干 QoS） Q101
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гур- вицевость Qi（p）, <Ъ（Р）, Ео（р）
%（月）%=Qi（月）（我土 /2）, Ыр）у = Q2（夕"b
Q2（月）а0"2 = Qo （月）夕2（月）g.
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
Q2 （夕/2（Р）［Д（Р）^О 0）干 ^Qo（p）Qi（p）］y =
=Q2（p）Q2（p）Qi（p）H（p）^.
Условие асимптотиче ской устойчивости системы ——гурвицевость Q2（P）^2（P）,
［F^Fq^p）干 Qo（夕）QiO）］.
Условие ас им птоти ческой устойчивости системы по входу ——гурвицевость Qi（p）, Q2（e）,歹о（夕）
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
2）полюса обеих систем разные, а нули совпадают без учета их кратности;
имеют место структурные возмущения по входу и выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по выходу при условии гурвицевости Q 2 （р）；
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входу
33。
Приложение 7
Правила преобразования структурных o^s
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
11, б. Перенос обратной связи
J
Выводы:
*；&1 ж 1 % ж 1
1) исходная и преобра
через звено
阪=研 4一ЕЖГ
зованная системы име
ют разный порядок;
нули и полюса обеих систем разные;
имеют место структурные возмущения по входу и выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по выходу при условии гурвицевости 片(р);
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входу при условии гурвицевости 尸i(p)
ь1(月)宓 1 = Qi(p)(u 土 宏0)， f2(p)у = <?2(月)宏L
歹о(р)宏 о = Qo(p)y
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
^(p^F^Fq^p)^
干 Qo(夕)QiS)Q2(P)]9 = =F2(p)F0(p)Q1(p)u.
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвице- вость
”(?)/(?)&)(p)干
干 Qo(p)QiS)Q2(p)L
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гур- вицевость Qi(p), F2(p), F0(p)
邑(?"1 = Qi(p)u, ь2(月)9=<?2(p)(^l 土 之2)，
尺(夕)Ft (夕 ”2 = Qo(p)Qi(p)y-
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
/(p)[^2(p)/(夕)同(夕)干
TQo(P)Qi(P)Q2(P)]y = =F^F^j^FQ^Qr^u.
Условие асимптотиче ской устойчивости системы ——гурвицевость 凡(p)，
f2(p)尸1(夕)% (夕)干
干 OoS)Q1S)Q2(P)]"
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость Qi(p), &(?)，歹0(p), ^i(p)
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
11, в）. Перенос обратной связи
歹
Выводы:
"卧X?）「』ж 1
1） исходная и преобра
через звено
1 ж L
无^一 wK阪=%场
зованная системы име
ют разный порядок;
нули и полюса обеих систем разные;
имеют место структурные возмущения по входу и выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по выходу при условии гурвицевости ь2（?）；
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входу при условии гурвицевости 反2 （月）
F^pYx! = Qi（p）（u 土 ж0）?
^2（р）у = <?2（Р）Ж1
Fq（p）xq = Qo（p）y
Вход-выходная зависимость системы имеет вид: 尸2 s ）凡（夕）凡（月）干
TQo（P）Qi（P）Q2（P）］y = =<?2（?）ьO（P）Q1（P）U"
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвице- вость
Т<?О（Р）О1（Р）<?2（Р）］-
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гур- вицевость Qi（p）, Q2S），歹о（р）
邑（月）n1 = Ql（p）（u 土 n2）， Fo（p）F2（p）z2 = <?о（р）<?2（р）^ь &（?）9=<?2（p）^Ь
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
& （p）f2 （夕）尸L（p）^о （p）干
干 <?0（?）<?1（?）<?2（?）］9=
=歹2（P）Q2（"O（P）Q1（P）U
Условие асимптотиче ской устойчивости системы ——гурвицевость &S）,
f2（p）%⑺同（夕）干
干 QO（P）Q1（P）Q2（P）］
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость Qi（p）, Q2（p\ ^о（р）, ь2（月）
Приложение 7
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная
схема
Анализ результатов преобразования
11, г）. Перенос обратной связи
歹
Выводы:
1） исходная и преобра
через звено
1 ”
зованная системы име
阪F
ют разный порядок;
ь1（月）宓 1 = Qi（p）"，
反2（月）9=＜?2（?）（宓1 土宓0），
ь0（?）宓 0 = Qo（p）y-
Вход-выходная зависимость системы имеет вид: 尸2（月）修（夕）同（夕）干
TF1（p）Qo（p）Q2（P）］y = =fq（p）q2（p）Qi（p）u.
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвице- вость
/2（月）/（月）%（月）干
Т^1（Р）ОО（Р）＜?2（Р）］.
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гур- вицевость Qi（p）, Q2W）, ^о（р）
Fl ⑺）之1 = Qi（p）（u 土 nJ, ь2（月）9=＜?2（p）^b
Q1（P）^O（P）^O = Qo（p）尸L（P）y
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
Q1（Р）［^2（Р）^1 （夕）％ （р）干 тЫр）Яо（р）Я2（р）］у =
=Q1（P）Q1（P）FO（P）Q2（P）U.
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвицевость QiS）,邑（夕）
严2 （p）/ （p）%（P）Q1 （p） =F
干＜?0（?）＜?1（?）＜?2（月）/（?"
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость Qi（p）, Q2（p\ ^о（р）
полюса обеих систем разные, а нули совпадают без учета их кратности;
имеют место структурные возмущения по входу и выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по выходу при условии гурвицевости Qi（p）;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входу
правила преобразования структурных схе-
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
12, а）. Вынос точки разветвления из параллельного соединения
Fi（p）yi = Q1（0）矶 尸2（0）/=Q2（0）U, у = У!±Х.
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
尸1（0）41 = Qi（0）〃
尸L（0）尸2（0）U =
=［Q1（0）尸2（0）土 Q'lip^F^p^u.
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвицевость 尸 1（Р）,尸2（0）*
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость Qi（0）,
觴1（0）尸2（0）土 Q2（0）/（0）］
尸1（0）N1 = Q1（0）U,
尸2（0）N2 = Q2（0）〃， g = ni 土 之2,
［Qi（p）F2（p） ± Q2（0）尸1（0）］沙1 = =Q1（0）尸2（0）У
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
Fi（p）F2（P）
觴1（0）干2（p） 土 Q2（0）尸 1（0）］g1 =
=Q1（0）尸2（0）［Q1（0）尸2（0）土
尸L（0）尸2（0）g =觴1（0）尸2例）± ^Q'lkp^F^p^u,
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвицевость 尸 1（0）,歹2（0）
觴1（0）f2例）土 Q2（P）^1（P）］.
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость Qi（p）, 尸2（0）, ［01（0）尸2（0）土 ± <?2（0）尸L（0）］
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
нули и полюса обеих систем разные;
имеют место структурные возмущения по и входу и выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асим птотической устойчивости по выходу при условии гурвицевости ［3（0）尸2（0）土
土Q2（0）尸L（0）］；
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входу при условии гурвицевости 尸2（0）
Приложение 7
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
12, 6）. Вынос точки разветвления из параллельного соединения
Я^>^
尸L（0）/1 = Q1（0）U, 尸2（0）/2 = Q2（0）我，
g =/1 土 Ж2-
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
F1（p）F2（p）y =
=［Q1（0）尸2（0）土 Q2（0）尸1（0）］成 и = и.
Условие асимптотической устойчивости системы —— гурвицевость 尸 1（0）,尸2（0）.
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость
［Q1（0）尸2（0）士 Q2（0）尸l（0）］
F1（P）Z!二 Q1（0）〃，
尸2（0"2 = Q2（0）й，у = Z1± /2, ©（0）尸2（0）土 Q2（0）尸 1（0）］й =
=尸1（0）尸2（0）勿
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
尸L（P）尸2（0）4 =
=［Q1（0）尸2（0）± Q2（0）尸1（0）］й ［Q1（0）尸2（0）土 Q2（0）尸L（0）］X X 尸l（p）尸2（P）我 =觴1（p）尸2（P）土
土Q2（0）尸1（0）］尸L（P）尸2（0）*
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвицевость 尸1（0）,尸2（0）
［Qi（p）F2（p） 土 Q2（0）凸（0）］"
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость 网1（0）尸2（0）± Q2（0）尸L（0）］
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
нули и полюса обеих систем разные;
имеют место структурные возмущения по входу и выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотиче ской устойчивости по выходу при условии гурвицевости g1（0）尸2（0）±
土Q2（0）尸1（0）］；
системы являются эквивалентными с точки зрения ас им птотиче ской устойчивости по входу при условии гурвицевости 尸 1（0）尸2（0）
§翼8營翼 преобразования структурных схе-
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
13, 6). Вынос точки разветвления из встречно-параллельного соединения
2/1 = W ± ж,
邑 S)y = Q^p^u^x), Fo(p)x = Qo(p)y
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
[^1(Р)^О(Р)干 Qo(P)Qi(p]]y =
=Qi(p)^o(p)^
[尸1(?)同伪)干 QoW)Qi(p)]% = =Fo(P)Fi(P)u.
Условие асимптотической устойчивости системы—гурвице- вость
f1(月)同(?)=f QoS)Qi(p)]*
Условие асимптотической устойчивости системы по входу —— гурвицевость
О1(р)^о(р), ^о(р)^1(р)
Fi(p)Qi(p)yi =
=(u 土 x)Fi(p)Qi(p)? 凡(夕)9=Qi(p)(u 土 宏)，
歹о(р)宓=Qo(p)y
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
[Fi(p)F0(p) =F Qo(p)QiS)]?/ =
=Qi (?)ь0(月)%
邑(?)Qi⑺尸1 (p)同(P)干 干 Qo(p)QiS)]% =
=^1(р)01(р)^1(р)^о(р)п.
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвицевость Q1S), ^1(Р)и
[Fi(p)F0(p) =F Qo(P)Qi(P)].
Условие асимптотиче ской устойчивости системы по входу ——гурвицевость F0(p)Qi(p)? Fi(p)F0(p)
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
нули систем совпадают без учета их кратности,а полюса систем разные;
имеют место структурные возмущения по входу и выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по выходу при условии гурвицевости О1(р)^1(р);
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входу и при условии гурвицевости Qi(p)
Приложение 7
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
14, б） Вынос сумматора из параллельного соединения
F^pYx! = Q1（P）（W1 土 〃2）， ь2（月）宏 2 = Q2（P）U1,
У =宓1 土 Ж2.
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
尸1（月）歹2（月）9=
=[Qi（?）出伪）土
土Qi（p）&（?）"2"
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвице™ воеть ь1（p），凡（?）.
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гур- вицевость
[Q1（P）ь2（?）土 <?2（"1（?儿
О1（Р）^2（Р）
广х2|± 畋
9=宓1 土宓2 土宓3, 尸L（P）宓 1 = <?1（Р）^Ь ь2（月）宏 2 = <?2（p）^b 尸L（P）宓3 = Ql（p）〃2.
Вход-выходная зависимость системы имеет вид: Fi（p）F1（p）F2（p）y =
=F1（p）[Q1（p）F2（p）±
土Q2（P）尸1（?）]仰土
±%（p）Q1（?）ь2（夕）"
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвицевость /（p）,ь2 （办
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость
[Q1（P）F2（P）土 Q2（P）F1（P）1 Ql（p）^2（p）?尸1（夕）
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
полюса обеих систем совпадают без учета их кратности, а нули разные;
имеют место структурные возмущения по входу и выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входам （но по входу 〃i при условии гурвице- ВОСТИ 尸1 （р）
правила преобразования структурных схе-
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
14, б% Вынос сумматора из параллельного соединения
尸L（0）^1 = Ql（p）（〃l 土 〃2）, 尸2（0）/2 = Q2（0）йL
g =/1 ±宓2"
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
尸1（0）尸2（0加=
=［Q1（0）尸2（0）土 Q^lkP^F^p^U!^
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвицевость 尸 1（0）,尸2（0）"
Условие асимптотиче ской устойчивости системы по входу——гурвицевость 觴1（0）尸2（0）± 62（0）尸L（0）］, Qi（p）F2（p）,
尸L（0”2 = Q1（0）（〃1 土 Nl）,
尸2（0）/3 = Q2（0）（йl 土 Nl）,少=n2 士 N储 ［Q1（0）尸2（0）土 Q2（0）尸 1（0）］N1 =
=Q1（0）尸2（0）〃2.
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
［Q1（0）尸2（0）土 Q2（0）尸 1（0）］х
x 尸1（0）尸2（0）g［Q1（P）^2（P）±
土Q2（0）尸L（P川Ql（0）尸2（0）土
土Q2（0）尸 1（0）］й1 ± 觴1（0）尸2（0）士 ^Q2（P）F1（p）］Q1（p）F2（p）U2-
Условие асимптотической устойчивости системы — гурвицевость Fi（p）,尸2（0）, ［Q1（0）尸2（0）土 Q2（0）尸 1（0）L
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость 觴1（0）尸2（0）土 Q2（0）尸 1（0）］, Q1（0）尸2（0）
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
нули и полюса обеих систем разные;
имеют место структурные возмущения по выходу и входу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по выходу при условии гурвицевости ［3（0）尸2（0）±
土Q2（0）尸1（0）］；
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической УСТОЙЧИВОСТИ ПО ВХОДУ 〃1, а ПО ВХОДУ и2 при условии гурвицевости 觴1（0）尸2（0）±
土Q2（0）尸L（0）］
Приложение 7
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
14, г）. Вынос сумматора из параллельного соединения
尸L（0）^1 = Q1（0）〃1,
尸2（0）/2 = Q2（0）我l, g =/1 土 й2 土z2.
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
尸1（0）尸2（0）4 =
=[Q1（0）尸2（0）土 Q2（0）尸1（0）]〃1土 土尸1（0）尸2（0）й2"
Условие асим;птотической устойчивости системы ——гурвицевость ь1（0）,尸2（0）*
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость
觴1（0）尸2（0）土 Q2（0）尸1（0）1，
尸 1（0）尸2（0）
尸 1（0"1 = Q1（0）（我1 土 n3）,
尸2（0）/2 = Q2（0）（我l 土 n3）,
У = Zi± N2,
觴1（0）出（0）土 Q2（0）尸1（0）］N3 =
=尸1（0）尸2（0）〃2.
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
觴1（0）出（0）土 Q2（0）尸i（0）］x
X 尸L（0）尸2（0）g = ［Q1（P）^2（P）±
土Q2（0）尸L（0）］ ［Ql（0）尸2（0）土
±Q2（0）尸1（0）］〃1 土 觴1例）尸2（0）土
土Q2（0）尸L（0）］尸L（0）尸2（0）й2"
Условие асимптотической устойчивости системы — гурвицевость Fi （р）, 尸2（0）, ［Q1（0）尸2（0）土 Q2（0）尸L 而
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость 觴1（0）出（0）土 Q2（0）尸L（0）j,
尸 1（0）尸2（0）
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
нули и полюса обеих систем разные;
имеют место структурные возмущения по входу и выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотиче ской устойчивости по выходу при условии турвицевости [01（0）尸2（0）±
土Q2（p）尸 1（0）]；
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотиче ской устойчивости по входам при условии гурвицевости [01（0）尸2（0）土
土Q2（0）尸L（0）]
правила преобразования структурных схе-
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
15, а). Вынос сумматора из встречнопараллельного соединения
修(夕)宓 1 = Qi(p)(u 土 Жо), 9=宓1 土 91,
同(夕)宓 0 = Qo(p)y^
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
[Fi(p)F0(p)干 QoS)QiS)W = =Qi (р) ^о (р) ^ ± Fi (р) Fo (р^.
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвице- вость 尺⑺，Fi(p)?
fi (夕)死伪)=F Qo(p)Qi(p)].
Условие асимптотической устойчивости системы по входу——гур- вицевость
Qi(p)F0(p)? Fi(p)F0(p)
1А 畋%|Z2
Z°L—J %小
凡(月)n1 = Qi(p)(u 土 г0)?
同(夕)n0 = QoS)%，
旧(月)尼(夕)=F Qo(P)Qi(P)]^2 =
9=力 士n2*
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
旧(月)尼(夕)=F Qo(P)Qi(P)]x x[Fi(p)F0(p) =F Qo(P)Qi(P)]y =
=IFi(p)Fq(p) =f Qo(P)Qi(P)]x
X[Q1(P)^O(P)W 土 F1(p)Fo(p)y1].
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвицевость 凡(夕)， Fi(pI [Fi(p)F0(p) =F Qq(p)Qi(p)1
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость Qi(p)F0(p)? Fi(p)F0(p)? /1(月)同(?)=F Qo(p)Qi(p)]
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
полюса обеих систем совпадают без учета их кратности, а нули у них ——разные;
имеют место структурные возмущения по входам и выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости ПО ВЫХОДУ；
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входу при условии гурви- цевости [Fi(p)F0(p)干 干 Qo(p)OiS)]
34。
Приложение 7
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
15, 6)* Вынос сумматора из встречно-параллельного соединения
尸1(?加=Q1(?)(〃1 土宓土 〃2), 尸0(月)宓=Qo(p)y-
Вход-выходная зависимость системы имеет вид: [Fi^Fo^TQo^Q^p^y = =Qi(p)Fq(p)u1±
±О1(Р)^О(Р)^2-
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвицевость [尸1(?)尸。(夕)干 Qo(p)Qi(p)].
Условие асимптотиче ской устойчивости системы по входу ——гурвицевость Qi(p)F0(p)
尸1(月)%=Ql(P^UI 土 No),
尸o(p"o = QoS)%,
[^i(P)^0(P)TQ0(p)Qi(p)]^2 = =Qi(p)F0(p)^2,
g =力±衿
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
[尸 1(。)尸о(р)干 Qo(p)Qi(p)]x x[Fi(p)F0(p)干 Qo(p)Qi(p)]y =
=[尸1(?)尸()(夕)干 Qo(p)Qi(p)] iQ^^P^ur 土 Qi(p)F0(p)u2].
Условие асимптотиче ской устойчивости системы ——гурвицевость [尸1(p)尸0伪)干 Qo(p)Qi(p)].
Условие асимптотиче ской устойчивости системы по входу ——гурвицевость Qi(p)F0(p), Fi(p)F0(p), [尸 1(。)尸о(р) + Qo(p)Qi(p)]
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
полюса обеих систем слвпадают без учета их кратности, а нули у них ——разные;
имеют место структурные возмущения по входу и выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по выходу.
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входу при условии гур- вицевости
[尸1(?)尸0(夕)+
+Oo(p)Qi(p)]
правила преобразования С7-ПРУК~-ПУРНЬ1Х ПИ§
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
15, г). Вынос сумматора из встречно-параллельного соединения
尸i(p)宓 1 = Qi(p)(〃i 土 宓о), 尸o(p)宓о = Qo(p)y.
g =宓1 土 u2.
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
f1(月)尸0(夕)干 Qo(p)Qi(p)]y =
=QiS)尸0(夕)〃 1土
±F1(p)F0(p)u2.
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвице- вость
[Fi(p)F0(p)干 Qo(p)Qi(p)]"
Условие асим птоти че ской устойчивости системы по входу —— гурвицевость
Q1(P)^O(P), Fr^Fo^p)
尸1(夕)沙=Q1(P)(^1 ± 之3 土 20), 尸о(р"о = Qo(p)y.
Q1(P)^3 =尸 1(月)〃2"
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
Qi(p)[fi(p)fo(p)=f
TQo(P)Qi(p]]y = =Qi(p)Qi(p)F0(p)u1±
±Qi(p)F1(p)F0(p)u2.
Условие асимптотиче ской устойчивости системы ——гурвицевость Qi(?)，[尸1(?)尸。(?)干 ?)Qi(p)]"
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость Qi(p)F0(p), %(月)尸0而
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
полюса обеих систем разные, а нули по входу ui совпадают без учета их кратности, а по входу и2 ——разные;
имеют место структурные возмущения по входу и выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по выходу при условии гурвицевости Qi(p);
системы являются эквивалентным и с точки зрения асимптотической устойчивости по входу при условии гурвицевости Qi(p)
Приложение 7
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
16, а). Вынос звена из параллельного соединения
尸1(月)宓 1 = Qi(p)也
&(?)宏 2 = Q2(p)也 g =宓1 土宓2"
Вход—выходная зависимость системы имеет вид:
Fi(p)F2(p)y =
=[Qi(p)F2(p)±Q2(P)F1(p)]u.
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвице- ВОСТЬ Fi(p), &(夕).
Условие асимптотической устойчивости системы по входу——гур- вицевость
[О1(Р)^2(Р)土 Q2(P)%S)]
_%土%
眼眼%±1) I1 々小?眼%亡丛
/2心3z4 J
&(夕"2 = Q2(P)也
尸1(夕"4 = Q1(P"3,
g =24 ±23,
[О1(Р)О2(Р)土 Q2(p)Fi(p)]^3 = =[01(p)^2(p)土而尸 1(月)出.
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
[01(p)^2(p)土 <92(月)尸1(?)]Х xF1(p)F2(p)y =
=[Qi(p)F2(p) 土 Q2(P)F1(p)]x x[Qi(P)^2(P)土 Q2(P)F1(p)]u.
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвицевость 尸1(p)，尸2(月)，
[Q1(P)Q2(P)土 Q2("1(P)].
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость [Qi(p)F2(p) 土 Q2(P)F1(p)]
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
полюса обеих систем разные, а нули совпадают без учета их кратности;
имеют место структурные возмущения по входу и выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по выходу при условии гурвицево- сти
[Qi(p)Q2(p)±
土Q2S)尸1(?)];
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входу
правила преобразования структурных схе-
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
16, 6）. Вынос звена из параллельного соединения
尸1（月）宓 1 = Qi（p）u, 尸2（月）宓2 = Q2（P）也
g =宓1 土宓2"
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
Ыр）Ыр）у =
=[Qi（夕）尸2（夕）土 Q2（P）F1（p）]u.
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвице- bОcТЬ 尸1（月），&（夕）.
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гур- вицевость
[О1（Р）^2（Р）土 Q2（"1（P）]
尸2（?"2 = Q2（P）U,
Q2（P"3 =尸2（?"2, 尸1（?"4 = Q1（P）^3, g=24 土衿
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
02（Р）^2（Р）^1（Р）^2（Р）У =
=Q2（P）尸2伪）义，
x[Qi（P）^2（P）土 Q2（P）F1（p）]u.
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвицевость 尸 1S）, &（?）,Q2（p）.
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость
Q2（P）, &（?），
[Qi（R）&S） 土 Q2（p）%（p）]
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
нули и полюса обеих систем разные;
имеют место структурные возмущения по входу и выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по выходу при условии гурвицевоети 0）2（月）；
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входу при условии гур- вицевоети 0*2（夕）尸2（夕）
Приложение 7
Правила преобразования структурных o^s
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
16, в）. Вынос звена из параллельного соединения
^1（Р）Ж1 = О1（Р）Ж2?
R2（0）富 2 = Q2（0）a，
R3（0）富 3 = Q^（p）u,
у = X1± 富3"
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
R2（0）尸1（0）R3（0）g=
=[Q2（P）Q1（P）^3（P）±
土Q3（0）少2（0）口1（0）]以
Условие асимптотической устойчивости системы —— гурвицевость Fi（p）,歹2（0）, 凸（0）*
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость [Q2（p）Qi（p）^3（p）±
土Q3（0）歹2（0）尸L（0）]"
呼±/
К一场%±1）+
口1（0）" = Qi（0"3,
少2（0）/2 = Q2（0）a，
R3（0）/4 = Q3（0）Z3, g=Z1 ± Z4, [Ql（0）Q2（0）尸3（0）±Q2（0）Q3（0）J（0）]Z3 =
=[Q1（0）Q2（0）歹3（0）±F2（0）Q?（0）歹1（0〕Z2.
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
[Q1（0）Q2（0）&（0）土 Q2（0）Q3（0）J（0）]x xFi（p）F2（p）F3（p）^ =
=[Qi （0） Q2 （0）歹 3 （0） 土 Q2 （p） Q3（p）fi （0）]x x[Q1（0）Q2（0）歹3（0） 土 Q3（0）尸1（0）歹2（P）]〃.
Условие асимптотической устойчивости системы——гурвицевость 歹1（。）,歹2（0）, А（р）, [Qi（p）Q2（p）f3（p）± Q2（p）Q3（p）Fi（p）].
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость [Qi（P）Q2（P）F3（p） ± Q3（P）Fi（p）F2（p）], [Q1（0）Q2（0）尸3（0） 土 Q2（0）Q3（0）J（0）1
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
нули и полюса обеих систем разные;
имеют место структурные возмущения по входу и выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотиче ской устойчивости по выходу при условии гурвицево- СТИ [Q1（0）Q2（0）歹з（0）土 ±Q2（0）Q3（0）尸L（0）]；
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотиче ской устойчивости по входу при условии гурвицево- СТИ [Q1（0）Q2（0）歹з（0）土 ±Q2（p）Q3（p）^i（p）]
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
16, г）. Вынос звена из параллельного соединения
凸 О）富 1 = Qi（0）” R2（0）富 2 = Q2（P）U, 成（0）富3 = Q3（0）〃， g =竄1 土 ж3-
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
R2（0）尸l（0）口3（0）g=
=［Q2（0）Q1（0）歹3（0）土 ±Q3（0）&（0）尸L（0）］〃.
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурви- Цевость 尸l（p）, F2（p）?
码（0）"
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость ［Q2（p）Qi（p）f3（p）± ..
±ОЗ（Р）^2（Р）^1（Р）］
尸L（0”4 = Ql（0”3,
歹2（0”2 = Q2（0）〃，
歹3（0”1 = Q3（0”2,沙=Z4 土 Zl,
Q1（0）Q2（0）尸3（0”3 = ［Q1（0）Q2（0）尸3（0）土 ±Fi（p）F2（p）Q3（P）一 Q2（0）^1（Mz2.
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
Q1（0）Q2（0）尸 3（0）&（0）尸L（P）M（0）g =
=Qi（0）Q2 （p）歹 3 （0）［Q2（0）Qi （0） M （0） 土
±Qs（p）^2（p）Fi（p）］«,.
Условие асимптотической устойчивости системы —гурвицевость 尸t（p）, &（0）,尸3（0）, Q2（0）Q1（0）&（0）.
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость Q（0）Q1（0）T（0）土 Q3（p/2（0）Ri（0）］,
Q1（0）Q2（0）* 歹3（0）
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
нули и полюса обеих систем разные;
имеют место структурные возмущения по входу и выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотиче ской устойчивости по выходу при условии гурвицево- сти Q1（P）Q2（P）；
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входу при условии гурвицевести Qi（p）Q2（p）^3（p）
прилоусение 7
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
17, а). Вынос звена из встречнопараллельного соединения
尸1(p)g = Qi(?)3 土 宓 0),
尸0(月)宏0 = QoS)勿
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
[尸 1(夕)尸о(р)干 Qo(p)Qi(p)]y = =Qi(p)F0(p)u.
Условие ас им птотичес кой устойчивости системы ——гурвице- вость
[尸1(?)尸0(夕)干 Qo(p)Qi(p)].
Условие асимптотической устойчивости системы по входу——гур- вицевость Qi(p\ F0(p).
tzГ1
尸1(夕"1 = Qi(p)(〃±2i), Fi(p)MoS)干 Qo(p)Qi(p)]y = =[Fi(p)F0(p)干 Qi(p)尸0伪)]2八
Вход-выходная зависимость системы имеет вид: [^i(P)=fQi(P)]x
x[^i(P)^o(P)TQo(P)Qi(P)]^/ = =[尸i(夕)干 Qi(p)]Qi(p)^o(p)^.
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвицевость 尸1(月)干Qi(p),
[尸1(p)尸0(夕)干 Qo(p)Qi(p)].
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость
Qi(?)，尸0(?)」尸1(月)干QiS)]
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
нули и полюса обеих систем разные;
имеют место структурные возмущения по входу и выходу;
системы являются эквивалентаыми с точки зрения асимптотической устойчивости по выходу при условии гурвицевости
尸1(月)干Q1S);
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входу при условии гурвицевости
尸1⑺干Qi (?)
правила преобразования структурных схе-
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
17,6, Вынос звена из встречнопараллельного соединения
尸1(p)g = Qi(?)(〃 土 宓 0), 尸о(р)宓 о = Qdp)y-
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
[尸1(?)尸。(夕)干 Qdp)Qi(p)]y = =Qi(p)F0(p)u.
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвице- вость
f1(月)尸0(夕)干 Qo(p)Qi(p)].
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гур- вицевость QiQd), Fo(p).
Fq{p)z = Qq(p)(u±z)
[尸i(p)尸oS)干 Qo(p)Qi(p)]y = =[О1(р)^о(р)干 Qi(p)Qo(p)]x
义(〃 土 2).
Вход-выходная зависимость системы имеет вид: lF0(p) Т Qo(p)]y<
x[Fi(p)F0(p)干 Qo(p)Qi(p)]y = =[尸0(夕)干 Qo(P)]Qi(P)Fo(P)u.
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвицевость 尸0(p)干Qo(P),
[尸1(p)尸0(夕)干 Qo(p)Qi(p)].
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость Qi(p), F0(p), Fo(p)干 Qo(p)].
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
нули и полюса обеих систем разные;
имеют место структурные возмущения по входу и выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по выходу при условии гурвицевости
尸о(р)干 QoS);
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входу при условии гурвицевости
尸0(p)干Qo(p)
Приложение 7
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
17, в). Вынос звена из встречнопараллельного соединения
Fi(p)y = Qi(p)(〃 土 宓о), 尸о(р)宓о = Qo(p)仏
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
[Fi(p)F0(p)干 Qo(p)Qi(p)]y = =Q1(P)FO(P)U.
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвице- вость
[尸1(?)尸0(夕)干 QoS)Qi(p)]"
Условие асимптотической устойчивости системы по входу——гур- вицевость Qi(p), F0(p)
尸1(?"1 = Qi(p)k
尸o(p"o = Qo(p)y, 尸1(?"2 = Q1(P)^O,
g = 火 土 冲
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
/⑺仍出&出干
TQo(p]Qi(P)]y = =F1(p)Q1(p)F0(p)u.
Условие асимптотичеокон устойчивости системы ——гурвице- ВОСТЬ 尸1(月)，
[尸i(夕)尸о(р)干 Qo(p)QiS)]"
Условие асимптотиче ской устойчивости системы по входу——гур- вицевость Qi(p), F0(p), F^p).
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
нули иполюса обеих систем разные;
имеют место структурные возмущения по входу и выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по выходу при условии- гурвицевости 片⑺)；
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входу при условии гур- вицевости Fi (р)
правила преобразования структурных схе-
35。
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
17, г). Вынос звена из встречнопараллельного соединения
尸iS)g = Qi(p)(〃 土宓о), 尸о(р)宓о = Qo(p)y-
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
[尸 1(夕)尸о(р)干 Qo(p)Qi(p)]y = =Q1(P)FO(P)U.
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвице- вость
f1伪)尸0(p)干 Qo(p)Qi(p)].
Условие асимптотической устойчивости системы по входу——гур- вицевость Qi(p), F0(p)
Qo(p"i =尸0(p)他 尸1(夕"2 = Qi(p)(ni 土 g), ^0(Р)У = Qo(p"2a
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
QoS)[尸 1(?)尸0(夕)干
TQo(p]Qi(P)]y =
=Qo(p)QiS)尸о(夕加*
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвицевость Qo(p),
[尸1(p)尸0伪)干 Qo(p)Qi(p)].
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость Qi(p),尸о(р), Qo(p).
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
нули и полюса обеих систем разные;
имеют место структурные возмущения по входу и выходу;
системы являются эквивалентаыми с точки зрения асимптотической устойчивости по выходу при условии гурвицевости Qo(p);
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входу при условии гурвицевости Qo(p)
Приложение 7
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
18, а）. Перенос прямой связи на соседнее звено
^i（p）^i = Qi（p）u, 尸3（月）z3 = Q3（p）u, 尸2（p）g = Q2（P）（Z1 土 富3）*
Вход-выходная зависимость системы имеет вид: Р1（Р）Р2（Р）Р^Р）У = =［Q1（P）Q2（P）^3（P）±
±Q3（P）Q2（P）^i（P）］w.
Условие асимптотической устойчивости системы гурвицевость Fi（p）, F2（p）, ^з（р）.
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость ［Q1（P）Q2（P）^3（P）±
^Q3（P）Q2（P）F1（P）］
叫％
ZqZ2J
尸1（。）刁=QiS）%
尸2g"2 = Q2s）4，
у = z2± N3,
Q1（P）^2（P）^3（P）^3 =
=Q2（P）Q3（P）F1（p）z1.
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
Q1（Р）^2（Р）Fi（Р）F2 （р） ^з （р）У =
=Q1S）歹2（Р）［01（Р）Q 2 （р） ^3 （р） ±
±<Эз（Р）<Э2（Р）^1（Р）］г^
Условие асимптотической устойчивости системы — гурвицевость Fx（p）, ^2（Р）,尸3（Р）, Q1（P）*
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость ［Q1（P）Q2（P）^3（P）±
±<ЭЗ（Р）<Э2（Р）^1（Р）］, <Э1（Р）^2（Р）
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
нули и полюса обеих систем разные;
имеют место структурные возмущения по входу и выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по выходу при условии гурвицевости Qi（p）;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входу при условии гурвицевости Qi（p）F2（p）
правила преобразования структурных схе-
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
18, 6）. Перенос прямой связи на соседнее звено
尸 1（。）z1 = Qi（o）u, 尸2（。）z2 = Q2（P）ZL ^з（р）^з = QKRzl g =z2 土 Жз-
Вход-выходная зависимость системы имеет вид: F1（p）F2（p）F^p）y = =［Q1（P）Q2（P）^3（P）±
土QKjOQiW）尸2（。）］以
Условиеасимптотиче ской
устойчивости системы гурвицевость Fx（p）, F2（p）,
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость IQ1（P）Q2（P）F3（P）^
±<Эз（Р）<Э1（Р）^2（Р）］^
尸 1（。）/=Qi（o）u,
尸2（。）g=<?2（P）（^1 土 ?2）,
Q2（p）^i（p）^3（p）^2 =
=О1（Р）ОЗ（Р）^2（Р）^.
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
Q2（Р）^1（Р）^1（Р）^2 （р） ^з（Р）У =
=<?2（。）尸 1（p）
［О1（Р）<?2（Р）^3（Р）±
±<?3（Р）О1（Р）^2（Р）］^.
Условие асимптотической устойчивости системы — гурвицевость 尸i（p）, ^2（р）, <?2（Р）.
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость ［<Э1（Р）О2（Р）^3（Р）^1（Р）±
±0з （р） 01 （р） ^1 （р） ^2 （р）］, Q2（R）
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
нули и полюса обеих систем разные;
имеют место структурные возмущения по входу и выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по выходу при условии гурвицевости Q 2 cР）；
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входу при условии гурвицевости Q2（P）,尸1（°）
Приложение 7
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
19, а）. Перенос обратной связи на соседнее звено
^1（Р）Ж1 = Qi（p）（u 土 Zo）, F0（p）xq = Qo（p）^b
^2（Р）У = Q2（P）^i-
Вход-выходная зависимость системы имеет вид: ^2（P）［Fi（p）F0（p）=F
干 Qo（R）Qi（R）］g = =Q2（p）Qi（p）^o（p）w.
Условие асимптотической устойчивости системы ——гур- вицевость ^2（P）［Fi（p）F0（p）=F
=fQo（p）Qi（p）］.
Условие асимптотической устойчивости системы по входугурвицевость Qi（p）,
Q2（P）,尸0（历
阪=*
^i（p）^i = Qi（p）u,
尸2（°）g = Q2（P）（% 土 之2）,
Q2（P）^1（P）^O（P）^2 =
=Qi（p）Qo（p）P2（p）y-
Вход-выходная зависимость системы имеет вид: ^1（P）Q2（P）F2（P）X
x［Fi（p）F0（p）干 Qo（p）Qi（p）］y = =^i （p） Q2 MQ^ （p） Q1 （p） F0 （p） w.
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвицевость ^1（Р）, ［^2（Р）＜Э2（Р）^1（Р）^О（Р）Т
干尸2 （。） Q2 （。） Qo（P）Q1（P）］.
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость QMo）, Q2（P）, ^о（р）,尸 1（。）
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
нули и полюса обеих систем разные;
имеют место структурные возмущения по входу и выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по выходу при условии гурвицево- сти 尸 1（р）, Q2（P）；
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входу при условии гурвицево- сти Fx（p）
правила преобразования структурных схе-
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
19, б）. Перенос обратной связи на соседнее звено
X0L——1 % J
尸1（%1 = Qi（p）u,
^2（Р）У = Q2（P）（X! 土 Ж0）, 尸o（p）zo = Qo（p）y^
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
/2（团尸1伪）尸0伪）干
TFi（P）Qo（P）Q2（P）］y = =^O（P）Q2（P）Q1（P）W.
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурви- цевость Fi（p）
［^2（Р）^0（Р）干 Qo（P）Q2（P）］
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость Qi（p）, Q2（P）,尸加
尸 1（。）?1 = Q1（P）（U 土 20）,
^2（Р）У = Q2（P）^1,
QlS）尸2（。）尸0（。）?0 =
=Q2（P）Qo（pWi（P）z1.
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
Q 1（Р）尸 2（P）IF2（P）^1（P）^O （р） =F тЩр）Яо（р）Я2（р）］у =
=Q1（Р）^2 М F0 MQ2 （р） 01 （р）
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвицевость ^2（Р）, Qi（p）
［01 （р） %（Р）尸2 （р）尸0 （。）干
干Qi （о） ^i（p） Qo （p）Q2（p）］.
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость Qi（p）,Q2（P）, ^о（р）,尸2（0）
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
нули и полюса обеих систем разные;
имеют место структурные возмущения по входу и выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по выходу при условии гурвицево- сти F2（p）, Qi（p）；
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входу при условии гурвицево- сти F2（p）
Приложение 7
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
21. Включение звена в параллельное соединение
%（р）б = Qi^u.
g =富1 土 u.
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
尸i（p）g = [Qi（p） ± F^p^u.
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурви- цевость Fi （р）.
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость 01 （р） ± ^1（Р）
,./ ±]
^i（p）^i = Qi（p）u.
尸2（。"2 = Q2（P）W,
[Q1（P）^2（P）± Q2（P）Fi（P）]y =
=[Q1（P）^2（P）± ^l（p）^2（p）]x X（N1 土 22）.
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
^2 （р） [Ql （р） ^2 （р） ± Q2 （р） % （р）] X
>^Р1（Р）У = ^2（P）[Q1（P）^2（P）± ±Q2（P）^1（P）][Q1（P）± F^p^u.
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвицевость 尸 1（。），^2（Р）,
[Qi（p）F2（p） ± q2（p）^i（p）].
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость Qi（p） ± 尸 1（0）,尸2（。）， [Qi（p）F2（p） ± Q2（p）^i（p）]
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
нули и полюса обеих систем разные;
имеют место структурные возмущения по входу и выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по выходу при условии гурвицевости 尸2 cР）, [Q1（P）^2（P）±
±Q2（P）^1（P）]；
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входу при условии гурвицевости F2（p）, [Q1（P）^2（P）±
±Q2（P）^1（P）]
правила преобразования структурных схе-
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
22, а). Включение звена во встречнопараллельное соединение
у = и ^ X, ^о(р)ж = Qo(p)y.
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
[尸о(р)干 Qo(p)]y =尸о(р)%
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурви- цевость F0(p)TQ0(p).
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость Fo (р)
Qi(p"i = F^p^u.
Fi(p)y = Q1(P)(^1 ±之2), £о(р"о = Qo(p)g,
Qi(p)^2 = F^zq.
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
Qi(p)^i(p)[^o(p) =F Qo(p)]y = =Ql(p)Fi(p)Fo(p)u.
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвицевость Qi(。)，^1(Р), (^о(р)干 Qo(。))*
Условие асимптотиче ской устойчивости системы по входу ——гурвицевость Qi(p),尸о(р), %(р)
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
нули и полюса обеих систем ——разные;
имеют место структурные возмущения по входу и выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по выходу при условии гурвицево- сти Fi(p), Qi(p);
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входу при условии гурвицево- сти Qi(p)Fx(p)
Приложение 7
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
22, б). Включение звена во встречнопараллельное соединение
%=%;%=/
尸о(р"1 = Qo(p)u.
Qo(p)^2 =尸0(。)(刁 土 20),
Р1(Р)У = Q1(P)^2, ^o(p)^o = Qo(p)y-
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
^о (p)Qo(p)[^i(p) =F Qi(p)]y = ="(0)Qo(0)Qi(0)必
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвицевость Щр). Qo(p), [^1(P)=F Qi(。)]*
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость Qi(p),尸о(р), 0о(р)"
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
нули и полюса обеих систем ——разные;
имеют место структурные возмущения по входу и выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотиче ской устойчивости по выходу при условии гурвицево- СТИ Оо(р),尸о(。)；
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входу при условии гурвицево- СТИ F0(p), Qo(p)
尸 i(p)g = Qi(p)(u±y).
Вход-выходная зависимость системы имеет вид: 冏(р)干 Qi(p)]y = Qi(p)u.
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурви- цевость 尸 1(р)干 Qi(p)"
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость Qi(p),
Правила преобразования структурных 0^1
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
24, а). Замена звена встречно-параллельным соединением
F{p)y = Q(p)u.
Вход-выходная зависимость системы имеет вид: 尸伪)g = Q(p)u.
Условиеаси мптотической
устойчивости системы —— гурвицевость F(p).
Условиеасимптотической
устойчивости системы по входу — гурвицевость Q(p)
W 1 1
F1m)g =(21(。)(u 一 No), Ql^Q^Zo =
=[QiW)尸⑺ 一 Q(。)尸К。)]勿 Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
Ql(p)F(p)y = Ql(p)Q(p)u.
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвицевость ^(p), Qi(R), Q(P)-
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость Q(p), Qi(p)
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
нули и полюса обеих систем ——разные;
имеют место структурные возмущения по выходу и входу ;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по выходу при условии гурвицево- СТИ 01 (р);
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входу при условии гурвицево- СТИ Qi(p)
Приложение 7
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
25, а). Замена последовательного соединения
Fi(p)x = Qi(p)u, 尸2(0为=Q2(P)X.
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
F1(p)F2(p)y = Qi(>)Q2mm
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвице- ВОСТЬ 尸 1(р), F2(p).
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гур- вицевость Qi(p), Q2cр)
畋-%(场T)
%伪)%=Qi(p)u, F1(p)F2(p)z2 =
=[Q1(P)Q2(P)- ^2(P)O1(P)]W, у = Zr± 22"
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
Fi(p)Fi(p)F2(P)y =
=尸 1(R)Q1(R)Q2(R)U.
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвицевость 尸i(R), F2(p)Fi(p).
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость QiS), Q2(P), ^i(p)
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
полюса систем совпадают без учета их кратности, в то время как нули у них ——разные;
имеют место структурные возмущения по входу и выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входу при условии гур- вицевости Fx(p)
правила преобразования структурных схе-
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
25, б) Замена по-
Выводы:
следовательного
〃早士Tj
1) исходная и преобра
соединения
i一传
Р1(Р)У = Q1(P)(U 一 No), Q1(P)Q2(P)^O =
=［尸1而尸2(月)一尸1(月阕2(月)］勿
Вход-выходная зависимость системы имеет вид: Qi(p)F1(p)F2(p)y =
=Q1(P)Q1(P)Q2(P)U.
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвицевость Fi(p)F2(p)Qi(p).
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость Qi(p), Q2(P)
尸 I(p)z = Qi(p)u, 尸2 m为=Q2(p)x.
В ход-выходная зависимость системы имеет вид:
尸1(Р)尸2(Р)У = Q1(P)Q2(P)U"
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвице- ВОСТЬ 尸 1(р), F2(p).
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гур- вицевость Qi(p), Q2 m)
зованная системы имеют разный порядок;
полюса обеих систем ——разные, в то время как нули совпадают без учета их кратности;
имеют место структурные возмущения по входу и выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по выходу при условии гурвицевости Qi(p)；
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входу
36。
Приложение 7
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
26, а). Замена параллельного соединения
飘131 修0 j
尸1(0)胃 I = Qi(0)%
& (0)胃 2 = Q2(P)〃，
g =胃1土 ж2.
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
F1(p)F2(p)y =
=[Qi⑺&(夕)土 Q2(P)/(P)]〃.
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвице- воеть %(°)，/ (0》
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гур- вицевость
©("2g)土 Q2(P)Fl(p)]
%=1±需
Fi{p)z = Qi(p)〃， Qi(p)&(p)g =
=©(о)&(p) 土 f1(p)Q2(p)]z.
Вход—выходная зависимость системы имеет вид:
О1(Р)^1(Р)^2(Р)^ =
=Q1(P)[Q1(P)^2(P)± ±Q2(P)Fi(P)]u,
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвицевость /(0),&伪)Qi(p)"
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость
[QiW^2(P)土 Q2(P)F1(p)l Qi(p)
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
нули и полюса обеих систем ——разные;
имеют место структурные возмущения по входу и выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по выходу при условии гурвицевости Qi(p);
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входу при условии гурвицевости Qi(p)
правила преобразования структурных схе-
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
26, б% Замена параллельного соединения
鋸1i1 Xj y
^1(Р)Ж1 = Ql(p)u,
& (0)胃2 = Q2(P)〃，
g =胃1 土 Ж2.
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
F1(p)F2(p)y =
=[О1(Р)^2(Р)土 Q2(P)F1(p)]u.
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвице- воеть %(°)，/ (0》
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гур- вицевость
[Qi(p)^2(p) 土 Q2(p)f1(p)]
_ 一场 少一%(%+场)
Fi(P)y = Qi(2)(〃一2), a(m&⑺+
+ Ql(P)Q2(P)尸1(p)]2= =-Q2(P)F^p)y.
Вход-выходная зависимость системы имеет вид: Qi(p)Fi(p)F2(P)y =
=QI(p)IQi(pW2(p)^ 土Q2(P)/(夕)]〃"
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвицевость /(P)&(P)Qi(P)"
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость
©(p)&(夕)土 Q2(P)Fl(。)], Qi(p)
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
нули и полюса обеих систем ——разные;
имеют место структурные возмущения по входу и выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по выходу при условии гурвицевости Q 工(р);
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входу при условии гурвицевости Qi(p)
Приложение 7
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
27, а)* Замена встречно-параллельного соединения
Fi{p)y = Qi(p)(〃 土" ^о(р)ж = Qo(p)g.
Вход-выходная зависи] стемы имеет вид: f1(夕)少0伪)干Qo(p)Q： =Qi(p
Условие асимптотическ чивости системы —— вость
f1(2)少0(2)干Qo(R)Q:
Условие асимптотическ чивости системы по вхо вицевость Qi(p),歹0(夕)
7
иость СИ-
dp)]y = ^FQ(p)u.
:ой устой- гурвице-
|(Р»
:ой устой- ду —гур・
畋一1干%%
尸1(0"=Qi(p)〃，
f1(p)少0(p)干 Qo(p)Qi(p)h/ = =Fi(p)F0(p)z.
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
/⑺)典⑵&)(2)干.
干 Qo(p)Qi(p)b/ = =^1ЫО1(Р)^о(Р)гг.
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвицевость 歹1(Р),
[Fi(p)F0(p)干 Qo(P)Qi(P)].
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость Qi(p),歹о(р), Fi(p)
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
нули и полюса обеих систем ——разные;
имеют место структурные возмущения по входу и выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по выходу при условии гурвицевости Fi(p);
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входу при условии гурвицевости Fi(p)
правила преобразования структурных схе-
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
27, б). Замена встречно-параллельного соединения
小 1 тг
%(p)g = Qi(p)(〃 一 ж), ^о(р)ж = Qo(p)g*
Вход—выходная зависимость системы имеет вид:
[^1Ы^о(Р)+ QoWQi(p)]^ = =Qi(P)Fo(P)u-
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвице- вость
[/(2)少0(2)+ Qo(p)Qi(p»
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гур- вицевость Qi(p), F0(p)
尸L(P)力=Q1(P)U, 产，(0)&伪)一
-Qoip^Qi^F^p)]^ = =Ql(p)Qo(p)u,
g =力 土 z2.
Вход-выходная зависимость системы имеет вид: Fiip^F^Foip)-^
+Qo(p)Qi(p)]^ = =F1(p)Q1(p)F0(p)u.
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвицевость 歹1(Р),
产 1(。)歹о(2)+ Qo(p)Qi(p)1
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость Qi(p),歹о(р),修(夕)
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
нули и полюса обеих систем ——разные;
имеют место структурные возмущения по входу и выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по выходу при условии гурвицевости Fi(p);
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входу при условии гурвицевости / (р)
Приложение 7
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
28, а). Разделение двух сцепленных контуров
尸丄(p)z1=Qi(p)矶
巳(P)Z2 = Q2(p)矶 居(P)Z4 = Q4(P)Z1, 務(P)Z3 = <2з(Р)(®1 + 虞2), g =虞3 + £4.
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
Fi (р) F2 (р)F3 (р)F4 (р)у =
=[^2 (р) F3 (р) Q1 (р) Q4 (р) +
+Q3(p)Qi (р)冃(р)居(р)+ +<2з(р)О2(р)尸1 (р)居(р)]必
Условие асим п тотиче с ко й устойчивости системы ——гурвицев ость Е_(р)"歹2(р)，居(р),歹4(р)"
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицев ость
产丄(р)尸2 (р)尸3 (р) Ql (р) Q4(0)+ +Q3(P)Qi(P)Fi(p)F2 (p) F4 (p) +
+ Q3(P)Q2(P)F『(P)F4(P)]
尸1(P)N1 = Ql(p)u, F2(p)^2 = Q2(P)U, 務(0)對=Q3(p)(^i + N2), g = 3 + [F4(P)F3(p)F2(p)Qi(p) +
+F4 (p) Fi (p) F3 (p) Q2 (p)] -4 = =Q1(P)Q4(P)F3(P)F2(P)(N1+N2),
Вход-выходная зависимость системы имеет вид: F3(p)[F2(p)Qi(p) + Fi(p)Q2(P)], 尸1(0)三(Р)尸3(P)F4(P)g =
=F3(p)[F2(p)Qi(p) + Fi(p)Q2(P)] [F2(p)F3(p)Qi(p)Q4(P)+
+Q3(p)Qi(p)^i (p)尸4 (p)+
+ Q3(P)Q2(P)^1(P)^4(P)]U.
Условие асимптотической устойчивости системы —гурвицевость Fi(p),歹2(目)，居(Р)，歹4(р) [尸2(P)Q1(P)+ F1(p)Q2(p)].
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость
尸3 (р) g (р)尸2 (р)尸3 (р) Ql (p) Q4(R)+
+Ql (p) Fl (p) F2 (p) F4 (p) + Q2(P)F1 (p)F4(p)], [尸2(P)Qi(P)+ F1(P)Q2(P)], F£p)
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
нули и полюса обеих систем разные;
имеют место структурные возмущения по входу и выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по выходу при условии гурвицев ости [F2(p)Qi(p) +
+ Т1(р)0(р)]；
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входу при условии гур- вицевости
F3(p), [F2(p)Qi(p) +
+ Fi(p)Q2(P)]
Правила преобразования спгруктурньгх схе-
366
Приложение 7
Порядковый номер правила
Исходная структурная схема
Эквивалентная структурная схема
Анализ результатов преобразования
28, 6). Разделение двух сцепленных контуров
F1(P)Z1 = Ql(p)(〃 一虞2)，
Hl(p)®2 = Qoi(p)(®l —虞3), 巳(Р)g=Q2(P)(Z1 -z3), 歹02(P)Z3 = Q^P)y.
Вход-выходная зависимость системы имеет вид:
([Fi(p)FOi(p) + Qcn(P)Qi(P)]) [&(Р)&2(Р)—
-Fl (р) Foi (р) Qo2 (р) Q2(p)]y = =Q2(P)Q1(P)F(M(P)FO2(P)〃"
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвицевость [Fi(p)FOi(p) + Qoi(P)Qi(P)]x x[F2(p)Fo2(P)-
-Fi(p)Foi(p)Qo2(P)Q2 (p)]〃.
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гур- вицевость
0(Р)Ql(Р)Foi (р) Fq2 (р)
" i+%陷
F1(P)N2 = Qi(p)(〃 —力)，
Foi (p^Z! = Qoi(p)^2,
^2(Р)У = Q2(P)(N2 — /), [Fo2(p)Fi(p)Foi(p) + QO1(P)Q1(P)^O2(P)]^3 =
=Qo2(p) Fi(p) Foi(p)y •
Вход—выходная зависимость системы имеет вид: [Fi(p)FOi(p) + Qoi(P)Qi(P)]x x[Fi(p)FOi(p) + Qoi(P)Qi(pW
尸2(p)%2(p) - 尸1(р)歹(H(P)Qo2(P)Q2(P))g = =[Fi(p)Foi(p) + Qoi('P)Qi(pW
Q2(P)Qi (p) Foi (p)瓦 2 (p)〃.
Условие асимптотической устойчивости системы ——гурвицевость
[Fi(p)FOi(p) + Qoi(P)Qi(P)]2x
x[F2(p)F02(P)- Fi(p)FOi(p)Qo2(P)Q2(P)].
Условие асимптотической устойчивости системы по входу ——гурвицевость [Fi(p)FOi(p) + Qoi(P)Qi(pW
Q2(P)Qi(P)Foi(p)FO2(P)
Выводы:
исходная и преобразованная системы имеют разный порядок;
полюса обеих систем совпадают без учета их кратности, в то время как нули у них ——разные;
имеют место структурные возмущения по входу и выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по выходу;
системы являются эквивалентными с точки зрения асимптотической устойчивости по входу при условии гур- вицевости [Fi(p)FOi(p)+
+Qoi(p)Qi(p)]
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ОСНОВЫ РАБОТЫ С СИСТЕМОЙ АНАЛИТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ АНАЛИТИКА
И. 2.1. История создания и основные возможностисистемы
В 1969 г. в Советском Союзе появилась первая серийная микро-ЭВМ «МИР-2», реализующая аппаратными способами аналитико-цифровые преобразования с быстродействием 12 тыс. операций в секунду. В качестве входного языка эта микро-ЭВМ использовала разработанный в 1968 г. в Институте кибернетики Академии Наук Украины язык АНАЛИТИК, ориентированный на использование в инженерных и научно-исследовательских задачах и включающий средства для выполнения аналитических преобразований, а также средства общения с микро-ЭВМ в диалоговом режиме. Работы проводились научным коллективом под руководством академика АН СССР Виктора Михайловича Глушкова. АНАЛИТИК позволяет в числовом и аналитическом виде описывать алгоритмы решений задач линейной алгебры, линейных и нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, нахождения экстремальных точек с использованием дифференцирования выражений, нахождения приближенных решений дифференциальных уравнений и уравнений математической физики методом разложения в ряды и другие задачи. Это ——первая отечественная система аналитических вычислений, которая получила признание мирового научного сообщества и составила серьезную конкуренцию предшествующей ей программной реализации символьных вычислений REDUCE, созданной пятью годами ранее А.К. Херном* Более того, идея АНАЛ ИТИК^, по признанию авторов разработки, реализована в Maple V, отдельные компоненты которого в качестве составной части входят в такие известные оболочки, как MathCAD и MATLAB.
На современном этапе научно-технической революции прогресс в сферах управления и контроля, науки и общественного производства во многом определяется уровнем эффективности применения средств компьютерной техники. Эксплуатация имеющегося в стране парка компьютеров невозможна без наличия необходимых программных средств, ориентированных на решение широкого круга научных, инженерно-технических, экономических, организационно-управленческих и других задач.
Программные средства, автоматизированные системы обработки информации относятся к продукции научно-производственного назначения. Возрастание объемов вычислений, ужесточение требований к точности и наглядности вычислений, потребность их абстрагирования придает в настоящее время особую актуальность проблеме создания и развития систем компьютерной алгебры и аналитических вычислений. Для решения этой проблемы развиваются существующие и генерируются новые структурно-
организационные формы разработки, накопления, поддержания, внедрения и сопровождения программных средств, обеспечивающих эффективное применение компьютерной техники.
В последние годы развитие систем программирования в нашей стране и за рубежом, а также широкое распространение компьютеров, привело к созданию различных систем автоматизации вычислений, позволяющих в значительной степени сократить огромную рутинную работу по проведению стандартных математических выкладок в разных сферах научной деятельности, например, при исследовании и разработке математических моделей материальных объектов, при анализе и синтезе нелинейных систем управления и так далее. К таким системам относятся такие известные системы аналитических вычислений, как Maple V, MathCAD, MATLAB, Mathematica и другие.
В условиях современной России, в настоящее время не имеющей отечественной системы аналитических вычислений (САВ), этот факт многообразия существующих зарубежных систем компьютерной алгебры является слабым утешением хотя бы потому, что программная реализация алгоритмов, например, аналитической теории автоматического управления с использованием указанных выше пакетов зарубежного производства зачастую затруднительна, а в ряде случаев и невозможна.
Отдавая себе отчет в том, что дальнейшее отставание в этой области не способствует паритету, в том числе и в оборонном плане, в Саратовском государственном техническом университете предпринята попытка возрождения отечественной школы САВ. Проект получил условное название АНАЛИТИКА.
Язык АНАЛИТИК-С представляет собой систему аналитических вычислений, позволяющую производить расчеты как в виде численных выражений, так и в символьном виде. Язык можно использовать в качестве инструмента вычислительных методов (численных и аналитических), в научно-исследовательских работах, и, в частности, при анализе и синтезе объектов управления.
К достоинствам данной программы можно отнести ее удобный пользовательский интерфейс, встроенную помощь и простоту в использовании. Язык аналитических вычислений может быть применен в различных научно-технических и учебных целях на IBM-совместимых персональных компьютерах с любой операционной системой и любым Интернет- браузером.
П. 2.1.1. Инсталляция и запуск системы
Система аналитических вычислений А НАЛ ИТ 1/1 К-С является интерактивным сетевым приложением. Оригинал постоянно обновляется, и находится по адресу: http://www.tki-analitik.ru, http://www.tki-analitik.ru. Но это не мешает использовать приложение на локальных компьютерах, не подключенных к сети. Для этого необходимо установить виртуальный сервер Apache, поставляемый в инсталляционном виде на CD-ROM, или скачать его из Интернета. Сервер Apache распространяется бесплатно. Мож-
но воспользоваться другим сервером, например, IIS (Internet Information Services) от компании Microsoft, но, по умолчанию, он не поддерживает язык PHP, на котором написан АНАЛИТИК-С, поэтому указанный сервер должен быть дополнен необходимыми компонентами.
Можно также воспользоваться программой PHPDEV, в которую входит сервер Apache, модуль PHP и поддержка MySQL.
Прежде чем приступать к работе с системой, необходимо осуществить установку сервера Apache (или программы PHPDEV) на компьютер и скопировать необходимые файлы программы. Для этого нужно:
В корневом каталоге CD-ROM запустить файл
phpdev4_5A\ phpdev4_5A.exe.
Программа предложит для распаковки файлов диск С:\. Далее следует нажать на кнопку Unzip.
Предупреждение: если указать другой диск, то придется настраивать сервер вручную.
После распаковки на диске С:\ появится папка PHPDEV.
Затем необходимо скопировать папку Analitik в папку C:\phpdev\WWW.
Запустить файл C:\phpdev\phpdev_start.bat.
Запустить Интернет-браузер (Internet Explorer, Opera или любой другой).
В качестве адреса следует ввести либо localhost, либо 127.0.0.1.
Из открывшегося списка следует выбрать ссылку Analitik, а затем ссылку INDEX.inc.
В результате выполненных действий появляется главная страница сайта.
П. 2.1.2. Основы пользовательского интерфейса
Под интерфейсом пользователя подразумевается совокупность средств графической оболочки АНАЛИТИК-С, обеспечивающих управление системой как с помощью клавиатуры, так и с помощью мыши. Пользовательский интерфейс системы создан так, что позволяет работать даже неопытным пользователям.
П. 2.1.3. Редактирование документа
Если вы работаете в Internet Explorer, то для удобства редактирования можно воспользоваться стандартными сочетаниями клавиш.
Отмена (Ctrl+Z)——отменить последнюю операцию редактирования. Эта команда применяется, если в ходе редактирования установлено, что введен неправильный знак либо неверное имя или значение переменной. Действие этой команды распространяется только на одну последнюю операцию.
Копировать (Ctrl+C)——скопировать выделенное в буфер обмена. Эта операция обычно используется, когда нужно перенести заданный текст в другой документ или скопировать в другое место документа.
由及哂廿口卩& TtMHHHKOCGll KllGtpH^mKF! Н 宜М@舛НЭТ13KH 二
Рис. 12.4. Рабочая страница программы
Вырезать (Ctrl+X) 一 переместить выделенное в буфер обмена. Команда аналогична предыдущей, только выделенный текст удаляется из окна редактирования.
Вставить (Ctrl+V)——вставить выделенное из буфера обмена. Данная команда переносит текст, помещенный в буфер обмена, на место текущего положения курсора в окне редактирования, причем содержимое буфера сохраняется и команду можно использовать неоднократно.
Выделить все (Ctrl+A)——выделить весь текст, помещенный в окно редактирования.
Найти (Ctrl+F)——найти заданную текстовую строку. Часто в ходе редактирования возникает необходимость исправить имя какой-либо переменной или скорректировать формулу, поэтому операция поиска изменяемого фрагмента очень полезна в больших программах. При ее выполнении появляется окошко Поиск, где необходимо ввести искомую подстроку.
Рис. 12.5. Меню поиска
При обнаружении указанной подстроки, она будет выделена. Для поиска следующего значения необходимо нажать кнопку Найти далее. Если подстрока поиска не обнаружена, то выдается информационное сообщение Строка не найдена.
П. 2.1.4. Запуск программы на языке АНАЛ ИТИК™С
После того, как вы написали код программы, необходимо нажать на кнопку Вычислить. Результат вычислений появляется в отдельном окне.
И. 2.1.5. Работа со встроенной системой помощи
Справочная система САВ АНАЛИТИК-С позволяет прибегнуть к быстрой помощи по любой указанной операции или группе родственных опера™ ций. Основные операции по управлению системой сосредоточены в меню Справка.
Рис. 12.6. Вид меню Справка
После нажатия на ссылку Справка появляется новая страница:
атышш^^ГРтр^т^а齒就枷3pm『匕唱哺財喻"無i$r丘备欣沥肥凰iiw™ 關".羅亦叩лйжнД爾幫孤
?小亂g；篤：g^门笛WJE
七，「笨A3聽 й 翼承3 "飞* 三重？盟£断 Л- ?.軟萨）3 t^關
Рис. 12.7. Справочная страница
Эта страница является динамической. Сначала она появляется пустой, только слева указаны разделы справки. После выбора необходимого раздела последний открывается в центре страницы. Если необходимо перейти на следующую или предыдущую страницу, то следует пользоваться ссылками Вперед или Назад.
П. 2.2. Описание входного языка системыаналитических вычислений АНАЛИТИК-С
П. 2.2.1. Переменные
Переменные языка АНАЛИТИК-С должны иметь следующий вид:А[-В]
где А ——это либо символьная переменная произвольной (в пределах разумного) длины, либо целая числовая, с плавающей точкой или в экспоненциальной форме; В ——показатель степени ——целая числовая, с плавающей точкой или в экспоненциальной форме; [ЛВ]——выражение, заключенное в квадратные кавычки, здесь и далее означает необязательность его применения.
В качестве символьных переменных используются латинские буквы или сочетания символов, кроме зарезервированных слов, список которых приведен ниже в табл. П. 2.1.
Таблица П. 2.1
Список зарезервированных слов
abs
Модуль числа (переменной)
acs
Арккосинус
arccos
Арккосинус
a resin
Арксинус
asn
Арксинус
atn
Арктангенс
cos
Косинус
dif
Производная
Div
Дробная часть
E
Системная переменная, равная 2,71828 ...
exp
Функция экспоненты
factorial
Факториал
fet
Факториал
fun
Функция
function
Функция
integer
Целая часть
integral
Интеграл
itg
Интеграл
Ign
Логарифм натуральный
In
Логарифм натуральный
log
Логарифм десятичный
mnog
Системная переменная
PI
Системная переменная, равная 3,1415926 ...
polynom
Системная переменная
rnd
Случайное число
Sgn
Знак числа (возвращает —1, если аргумент < 0, 1, если аргумент > 0 и 0, если аргумент = 0 или символьное выражение)
sin
Синус
sqr
Корень квадратный
tan
Тангенс
П. 2.2.2. Операции, выражения
Система аналитических вычислений АНАЛИТИК-С поддерживает все арифметические операции как то: сложение (+), вычитание (—), умноже™ ние (*), деление (/), возведение в степень「). Приоритет операций над переменными и выражениями можно задать, заключив их в круглые скобки. Например:
~abc^l,2*(x/54*a~sss*34,76e2/r8)
Выражения могут состоять из сочетаний численных и символьных переменных, разделенных знаками арифметических операций. Выражения могут содержать круглые скобки, причем необходимо учитывать следующее ограничение на показатель степени выражения, заключенного в скобки и возводимого в эту степень:
(АВС 厂 D
где АВС ——выражение произвольного вида; D ——показатель степени в виде целого числа. Выражения могут также содержать функции, о чем будет сказано далее.
П. 2.2.3. Функции
Перечень функций языка аналитических вычислений АНАЛИТИК-С в алфавитном порядке приведен в табл. П. 2.1.
Функции могут быть вложенными и использоваться в составе различных выражений, например:
-(x^2*(cos(PI-div(d-2))+E)^3*(exp(80-abs(aaa-bbb)))
где PI ——системная константа, равная 3,14159 ..., Е ——системная константа, равная 2,7182 ...
П. 2.2.4. Операторы
Программа на языке АНАЛИТИК-С строится по определенным правилам с использованием определенных командных слов. Каждая программа должна начинаться со слов:
ПРОГРАММА {имя программы} и заканчиваться словом
СТОП
Все команды языка можно давать как на русском, так и на английском языках. В языке АНАЛИТИК-С предусмотрены следующие операторы: ПУСТЬ (let), ВЫЧИСЛИТЬ (calculate), ПОДСТАВИТЬ (subst), ДИФФЕРЕНЦИРОВАТЬ (diff), ИНТЕГРИРОВАТЬ (integral), СУММА (summ), ПРОИЗВЕДЕНИЕ (mult), ГРАФИК (plot), ПОЛИНОМ (polynom), УСТОЙЧИВОСТЬ (kh), СОБСТВ1 (charakterl), СОБСТВ2 (charakter2), ВЫВЕСТИ (print), ТОЧНОСТЬ (precision), * (rem), ЕСЛИ (if), ВЫЗОВ (call), МАТРИЦА (matrix), мПУСТЬ (mlet), мВЫЧИСЛИТЬ (mcalculate), КОРЕНЬ (rootOf), ЧИСЛО СОЧЕТАНИЙ (numbcomb), ЧИСЛО РАЗМЕЩЕНИЙ (numbplaces), ПОЛИНОМСЛУЧАЙНЫЙ (rndpolynom), РЯДТЕЙЛОРА (teylorrow), ФРОБЕНИУС (frobenius), КРЫЛОВ (krylov).
Оператор присвоения
ПУСТЬ {A=B[;C=D[;F=G_]]} или
let {A=B[;C=D[;F=G... ]]},
где А, С, F — переменные; В, D, G — выражения. Данный оператор присваивает переменной А значение выражения В.
Пример: let {a=sin(t); b=cos(t)}
Вычислить выражение с возможной подстановкой в него каких-либо значений или других выражений можно с помощью команды
ВЫЧИСЛИТЬ {А=Х} {[ В=С [ ;D=F; ] ]} или
calculate {А=Х} {[ В=С [ ;D=F; ] ]}
где X, С, F ——произвольные выражения; А, В, D ——переменные (напомним, что лексемы, заключенные в квадратные скобки, подразумевают их необязательное использование).
Пример: calculate{cl=(bl"4+b2^3+b3"2+b4+l)*u}{}
calculate{c2=cl+(4*bl^3+3*b2^2+2*b3+l)*u^2}{} print {с2}
Процедура замены по синтаксическому вхождению реализована в системе аналитических вычислений АНАЛИТИК-С с помощью команд
ПОДСТАВИТЬ{А;В;С} или
subst{A;B;C}
где А ——переменная, значением которой является выражение, в котором все экземпляры подвыражения В заменяются его значением С.
Язык позволяет получать производные от выражений произвольного вида. Это можно проделать с помощью следующей команды:
ДИФФЕРЕНЦИРОВАТЬ {A=X;V} { [ В=С [;D=F; ] ] } или
diff {A=X;V} { [ В=С [;D=F; ] ] }
где переменной А присваивается продифференцированное выражение X по переменной V; С, F ——произвольные выражения; В, D ——переменные.
Пример: let {asd=((cos(w*w)))}
diff{xz=asd;w}{c=1.2}
Получить численный интеграл заданного выражения от одной переменной возможно, используя следующий оператор:
ИНТЕГРИРОВАТЬ { Z=A;X;V;W } { [ В=С [ ;D=F; ] ] }
или
integral { Z=A;X;V;W } { [ В=С [ ;D=F; ] ] }
где А, С, F ——произвольные выражения; Z, В, D ——переменные; X —— переменная интегрирования; V, W ——пределы интегрирования ——числа.
Пример: let{wl=w 3}
MHTErPMPOBATb{asd=wl;w;l;3}{}
ВЫВЕСТИ {asd}
С помощью следующих команд можно получить, соответственно, сумму и произведение выражения в заданных пределах:
СУММА {Z=A;X;V;W} { [ В=С [ ;D=F; ] ] }
или
summ {Z=A;X;V;W} { [ В=С [ ;D=F; ] ] }
ПРОИЗВЕДЕНИЕ {Z=A;X;V;W} { [ В=С [ ;D=F; ] ] } или
mult {Z=A;X;V;W } { [ В=С [ ;D=F; ] ] }
где А, С, F ——произвольные выражения; Z, В, D ——переменные; X —— переменная суммирования (произведения); V, W ——пределы суммирования (произведения) — числа.
Пример: mult{xz=(integer(g/2))*x~g;g;l;5}{} summ {lgn(x)™l+y™cos(0.3*x);x;2;5}
В языке реализован алгоритм разложения полинома с целыми коэффициентами вида:
a()хn + а1出也-1 + a2 出九一2 + •••• ++ ап
где © ——целые числа, на произведение рациональных линейных множителей вида:
+ %)
где i ——изменяется в пределах от 1 до п.
Воспользоваться этим алгоритмом можно с помощью команды:
ПОЛИНОМ { п; а0; 31；...; а^,;...; ап}
или
polynom { n; а0; ai；...; а^;...; ап}
где п ——размерность полинома; а〃 ——коэффициенты полинома.
На выходе переменная получит значение вида:
(Э1Х + bl) • (а2х + Ь2) • ... • (anx + Ьп)
где а勿 и bj ——некоторые числовые значения.
пример: polynom{ 6;-210;/429;658;7165;260;-5796;1872}
(х-2)*(х+2)*(2*х+13)*(3*х+4)*(5*х-3)*(7*х-3)
Исследовать объект управления, представленный в виде характеристического полинома, на устойчивость по критерию Р^са-Гурвица можно, путем ввода команды:
УСТОЙЧИВОСТЬ { п; а0; а*...; а^;...; а九} или
kh { n; а0; ai；...; а^;...; ап}
где п ——размерность полинома; а〃 ——коэффициенты полинома.
Пример: УСТОЙЧИВОСТЬ {3;1;5;2;8}
Получить собственные числа квадратной матрицы является возможным путем использования операторов:
СОБСТВ1 { Z=n; зц； 312；...; %八 一；ann}
СОБСТВ2 { Z=n; an； a^；…；鼻讶；…；a«n} или
charakterl { Z=n; an； ai2;...; %八 一 ;ann}
charakter2 { Z=n; 3ц； ai2;...; a订;ann}
где Z ——произвольная переменная; N ——размерность матрицы; а^-—— коэффициенты матрицы, записанные построчно.
Эти записи отличаются только формой представления выходных параметров. В первом случае на выходе будет строка вида:
П； 31； а2；... ； a.f,;...; ап
где п 一 размерность характеристического полинома; а〃 — коэффициенты этого полинома, начиная с нулевого.
Пример: СОБСТВ1{4;1;1;6;13;10;1;2;1;2;1;4;3;1;0;2;1}{}
Во втором случае в системную переменную polynom и Z запишется ре™ зультат вычислений этой подпрограммы в виде полинома от переменной S:
Sn + 3iSn 1 + ... + аjS' + ... + эп
В языке АНАЛИТИК^С возможно использовать циклические струк™ туры, причем их вложенность ограничена числом 10. Формат команды выглядит следующим образом:
ЦИКЛ {А}
тело цикла
ПОВТОРИТЬ
где А ——целое число, отображающее количество повторов.
Задать количество выводимых знаков после десятичной точки можно путем использования оператора
ТОЧНОСТЬ {А} или
precision {А}
где А ——целое число. Причем, по умолчанию устанавливается значение 4.
В АНАЛИТИК-С возможно в текст программы вставка комментариев с помощью операторов, записываемых в начале строки ввода оператора в редакторе ввода программ на языке АНАЛИТИК-С:
rem
*
Все символы после данных операторов игнорируются и считаются комментариями.
Строки программы могут начинаться с меток, в качестве которых могут быть использованы выражения произвольного вида, однако метка должна быть отделена от операторов двоеточием, например:
labelO: ПУСТЬ {А=В}.
В предложенном к рассмотрению языке символьных вычислений реализована возможность условного перехода на метку строки программы, причем если метка не встретилась в тексте программы, то это означает необходимость прекратить вычисления, т. е. это синоним оператора СТОП. Формат оператора перехода имеет вид:
ЕСЛИ {A} {LABEL} или
IF {A} {LABEL}
где А — выражение произвольного вида; LABEL — метка.
При составлении программ на языке АНАЛИТИК-С возможно использование процедур. В качестве имени, или точки входа, процедуры применяется метка, а в качестве точки выхода ——специальный оператор:
labelO: ..............
тело процедуры
ВОЗВРАТ
Инициализировать процедуру можно, например, так:
ВЫЗОВ {labelo}
или
call {label0123}
Тело процедуры логичнее всего располагать после оператора СТОП, но можно и внутри основной программы.
Язык А НАЛ 1/1 TH К-С поддерживает матричные операции. Для опи™ сания матрицы размерности nxm используется следующий оператор:
МАТРИЦА { А= n ; т; В }
или
matrix { А= n ; т; В }
где А, В — имя матрицы; n, m — размерность матрицы.
Если имя В совпадает с именем матрицы А, то матрица записывается в общем виде:
・ a_lja_L2…а_1,п』
а 2,1а 2,2...а_2,п
.a_mja_m，2...a_m,n_
Если В=1, то А — единичная матрица
о о1о о1м 1 О
о о
1
о о
1
О 1
о о
иначе каждому элементу матрицы присваивается выражение В.
Для присвоения матрице значений используется оператор:
мПУСТЬ { А = 1;2;3;...}
или
mlet { А = 1;2;3;...}
А ——имя матрицы; 1;2;3;... ——элементы матрицы, которые вводятся построчно.
В языке АНАЛИТИК-С возможно производить следующие матричные операции: вычисление детерминанта матрицы, суммирование матриц, вычитание матриц, произведение матриц, транспонирование матриц, инверсию матриц, а также дифференцирование матриц по заданной переменной. Для этого используется оператор:
мВЫЧИСЛИТЬ { det(b,A) [; sum(C，A，B)] [; minus(C，A，B)]
[;mult(C,A,B)] [; transpose(B,A)] [; inverse(B,A)]
[;diff(CAt)] }
или
mcalculate { det(b,A) [； sum(C,A,B)] [； minus(C,A,B)]
[;mult(C,A,B)] [; transpose(B,A)] [; inverse(B,A)]
[；diff(C,A,t)] }
где С, A, В — матрицы соответствующего размера; b — переменная; t — переменная дифференцирования;
det(b,A)^b=det(A)
sum(C АВ)тС=А+В
minus(C,A,B)TC=A-B
mult(CAB)TC=A*B
transpose(B,A)^B=AT
inverse(BIA)~^B=A™1
diff(C,A,t)TC=d/dt(A)
Пример: ПРОГРАММА {Пример вычисления }
precision{2}
matrix{A;2;2;l}
mlet{A=t™b*t;l/t;a*t;4/t}
matrix{B;2;l;B}
matrix{S;2;2;S}
matrix{O;2;l;0}
mlet{B=-m/t:;-k/t:}
mcalculate{mult(AlIAIB);diff(B,IBIt)；rninus(DBIAlIB,);
mult(A2fAIDB);diff(B"fDBIt)；minus(D2BIA2IB");concat(WIBIDB);
!п¥ег5е(Ш',5);сору(С,Ш')}
mcalculate{mult(GGfGfD2B);copy(SfW);sum(HfGGIO)}{} print{}
СТОП
Для нахождения корней полинома используется оператор:
КОРЕНЬ { n; ai； а2;...; а^;...; ап} или
rootOf { n; ai； а2；... ； а^;...; ап}
где п ——размерность полинома; а^ ——коэффициенты полинома.
Для вычисления числа сочетаний и числа размещений из п по m используются следующие операторы:
ЧИСЛО СОЧЕТАНИЙ { n;m } или
numbcomb { n;m }
ЧИСЛО РАЗМЕЩЕНИЙ { n;m }
или
numbplaces { n;m }
где n, m ——числа, причем их порядок не имеет значения, так как программа «поймет» и расставит их по местам.
Пример: ЧИСЛО СОЧЕТАНИЙ {xz=5;10}{c=l,2}
ЧИСЛО РАЗМЕЩЕНИЙ{хх2=5;10}{с=1,2}
В языке АНАЛИТИК-С возможна генерация полинома случайной степени (не выше заданной) и со случайными коэффициентами (не более заданных):
Р = ПОЛИНОМСЛУЧАЙНЫЙ { [х; п; а [; к] ] } или
Р = rndpolynom { [ х; п; а [; к] ] }
где х ——аргумент полинома; п ——максимально возможная степень случайного полинома; а ——максимально возможное значение коэффициентов полинома; к ——число знаков после запятой.
Пример: pol=rndpolynom{y;15;50;2}
Параметр точность является необязательным. Если число знаков после запятой не указано, то используется текущее значение точности, которое задается оператором ТОЧНОСТЬ или precision.
Для разложения функции /(力)в ряд Тейлора в окрестности точки а до члена степени п необходимо воспользоваться следующим оператором:
Т = РЯДТЕЙЛОРА { f; t; а; п }
или
Т = teylorrow { f; t; а; п }
где f ——исходная функция; t ——аргумент функции; а ——точка, в которой происходит разложение; п ——максимальный член разложения (не более 12).
Пример: x2=teylorrow{2*sin(x)~32*cos(y/4)+12*x*y- ™3*хЛ2*уЛ2+125;х;1;4}
В рамках проводимых в СГТУ научных исследований в области аналитической теории автоматического управления в САВ АНАЛИТИК-С запрограммированы следующие два метода преобразования систем уравнений: переход от описания системы дифференциальных уравнений в форме вход-выход к форме Фробениуса и форме Крылова-Люенбергера.
Для перехода от описания объекта в форме вход-выход к форме Фробениуса в языке АНАЛИТИК—С используется оператор frobenius или ФРОБЕНИУС:
ФРОБЕНИУС { a If; bet; b; Р; В; v; t [; k; m] } или
frobenius { alf; bet; b; P; B; v; t [; k; m] }
где alf —— имя исходных функциональных матриц [аДи, t)](...)； bet —— имя исходных функциональных матриц [%(%%)](".)； b ——имя искомых функциональных матриц [bj(v, t)](...)； Р — блочная функциональная матрица [P(v, t)](...), формирующаяся в результате вычислений; В ——блочная функциональная матрица [B(v, t)](...)-> формирующаяся в результате вы™ числений; V ——сложная функция, зависящая от аргумента t; к ——некоторое заданное положительное число ——порядок системы уравнений в форме вход-выход; m ——некоторое заданное положительное число ——число уравнений системы в форме вход-выход.
Пример: ПРОГРАММА {Форма^Фробениуса}
precision{5}
rem КОНТРОЛЬНЫЙ ПРОСЧЕТ
matrix{alfl;l;l;alfl}
matrix{alf2;l;l;alf2}
matrix{alf3;l;l;alf3}
matrix{alf4;l;l;alf4} matrix{betO;l;l;betO} matrix{betl;l;l;betl} matrix{bet2;l;l;bet2} matrix{bet3;l;l;bet3} matrix{bet4;l;l;bet4} frobenius{alf ; bet ;b;P;B;v;t;l;4} СТОП
В случае, когда исходные матрицы ［а金（富，力）］（…）и ［% （富，力）］（…）описаны, но не заданы, то все вычисления проводятся в общем виде.
Оператор krylov или КРЫЛОВ служит для перехода от описания объекта в форме вход-выход к описанию его в форме Крылова-Люенбергера. Формат оператора:
КРЫЛОВ { a If; bet; b; Р; В; h; v; t; k; m }
или
krylov { alf; bet; b; P; B; h; v; t ; k; m }
где alf —— имя исходных функциональных матриц ［必（富，力）］（_.）; bet —— имя исходных функциональных матриц ［3j（% 力）］（…）；b ——имя искомых функциональных матриц ［bj（v^ t）］（...）； Р ——блочная функциональная мат・ рица ［F（v, t）］（...）, формирующаяся в результате вычислений; В ——блочная функциональная матрица ［8（富，力）］（…）,формирующаяся в результате вычислений; h ——имя блочных матриц ［拉勿（富,力）］（...）, представляющих собой коэффициенты Крылова; v ——сложная функция, зависящая от аргумента t; к ——некоторое заданное положительное число ——порядок системы уравнений в форме вход-выход; m ——некоторое заданное положительное число ——число уравнений системы в форме вход-выход.
Пример: ПРОГРАММА {Форма_Крылова-Люенбергера} precision{5}
rem АВТОМАТИЧЕСКИЙ ВВОД matrix{ALFl;3;3;ALFl} mlet{ALFl=t;l;2;0;l;3;4*t;sin（t）;0} matrix{ALF2;3;3;ALF2} mlet{ALF2=l;0;t;l;0;t 2;3;4;0} matrix{BET0;3;3;BET0} mlet{BET0=0;3;l;sin（4™t）;t;3;0;l;sin（f）} matrix{BETl;3;3;BETl}
mlet{BETl=l;t 3;0;3*t;4;2;0;l;sin（™t）} matrix{BET2;3;3;BET2}
mlet{BET2=12;l;f;2;4;4*f;l;0;0}
Print{}
frobenius{ALF; BET; В; PVT; BVT; f; t; 3; 2 }
p『int{}
rem РУЧНОЙ ВВОД
frobenius{ alf; bet; b; P; B; v; t } print{- — — — — — — — — — — } СТОП
В случае, когда исходные матрицы [加(储 力)](…)и [%(〃 力)](…)описаны, но не заданы, все вычисления проводятся в общем виде.
П. 2.3. Работа с графикой.
Графические команды и функции
В АНАЛИТИК-С возможно построение двумерного графика функции (см. рис. 3.1). Это может быть достигнуто использованием оператора
ГРАФИК { V;W;Y;A;X; [Х;Х;Х]} {} или
plot {V;W;Y;A;X; [Х;Х;Х]} {}
где X ——функция, которую необходимо построить; А ——изменяемый параметр; V, W ——пределы изменения ——числа; У ——шаг изменения переменной.
Пример: plot{0;5;0.1;x;sin(x)}{}
plot{3;7;02x;sin(x厂 2+х;сЕх);х^2+х;3*х+6}
Язык АН АЛ ИТ 1/1 К-С позволяет строить до 4 графиков функций в одной координатной плоскости (см. рис. П. 2.5).
Рис. 12.8. График функции, построенный с помощью команды ГРАФИК
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Александров А. Г. Синтез регуляторов многомерных систем.——М.: Машиностроение, 1986. — 272 с.
Анаполъский Л. Ю., Иртегов ЯД, Матросов В. М Способы построения функций Ляпунова // Итоги науки и техники. Общая механика, том 2.——М.: Изд-во ВИНИТИ, 1975. 一 С. 53-112.
Андреев К. А. Избранные работы.——Харьков: Изд-во Харьковского ун-та, 1955. —92 с.
Антомонов Ю. Г. Моделирование биологических систем. Справочник. — Киев: Наукова Думка, 1977. — 260 с.
Бабаков И. М. Теория колебаний.——М.: ГИТТЛ, 1958.——628 с.
Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. — М.: Наука, 1970. — 240 с.
Баутин НН., Леонтович Е. А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. — М.: Наука, 1990. — 486 с.
Брайсон А. К Новые идеи по теории управления // Аэрокосмическая техника.—— 1986.—№&
Былов К Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М, Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости.——М.: Наука, 1966.—— 576 с.
Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления.——М.: Наука, 1984.—— 320 с.
Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость.——М.: Наука, 1979. — 336 с.
Гонтмахер Ф. В Теория матриц. — М•: ГИТТЛ, 1954. — 492 с.
Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. —М.: Физматгиз, 1962. — 1100 с.
Зубов В. И. Методы А. М. Ляпунова и их применение. — Л.: Изд-во ЛГХ 1957.
Квакернаак X, Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления.——М., Мир, 1977. ^650 с.
Колесников А. А. Синергетическая теория управления. —— Таганрог: ТРТХ М*: Энергоатомиздат, 1994. — 344 с.
Kbp6vm А. Л., Финкельштейн Ю. Ю. Дискретное программирование. — М•: Наука, 1969.^368 с.
Корн Е, Корн 工 Справочник по математике для научных работников и инженеров. —М.: Наука, 1970. — 720 с.
Красовский НН. Некоторые задачи теории устойчивости движения.——М.: Физматгиз, 1959. — 212 с.
Красовский Н. Н. Теория управления движением.——М.: Наука, 1968.——476 с.
Макаров Л М, Менский К М Линейные автоматические системы (элементы теории, методы расчета и справочный материал).——М.: Машиностроение, 1982. 一 504 с.
Малкин И. Г. Теория устойчивости движения.——М* — Л.: 1952.——432 с.
Методы классической и современной теории автоматического управления: учебник в 3-х томах. Т. 2: Синтез регуляторов и теория оптимизации систем автоматического управления.——М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000.—— 736 с.
Методы классической и современной теории автоматического управления: учебник в 3-х томах. Т. 3: Методы современной теории автоматического управления. —М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. — 748 с.
Первозванский А. А. Курс теории автоматического управления.——М•: Наука, 1986.— 616 с.
Подчукаев В. А. Быстрые алгоритмы анализа и синтеза систем автоматического регулирования на основе полиномиальных функций их параметров.——Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1986. — 112 с.
Подчукаев В. А. Аналитическая теория автоматического управления.——Саратов: Изд-во Сарат. гос. техн, ун-та, 1996.——200 с.
Подчукаев В. А. Аналитические методы теории автоматического управления. 一 М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 256 с.
Поляк £ Е, Щербаков П. С Робастная устойчивость и управление.——М.: Наука, 2002. 一 303 с.
РойтенбергЯ. Н. Автоматическое управление. — М.: Наука, 1978. — 552 с.
Румянцев В. В. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменным. — М.: Наука, 1987. — 253 с.
Руги Я, Абетс Я., Лалуа М Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. 二М•: Мир/980.— ЗОб с.
Сю Д, Мейер А. Современная теория автоматического управления и ее применение. —М.: Машиностроение, 1972. — 552 с.
Титце У, Шенк К. Полупроводниковая схемотехника: Справочное руководство. ^М.:Мир, 1982. ^512 с.
Фелъдбаум А. А. Оптимальные процессы в системах автоматического регулирования // АиТ 一 1953. — № 6^ — С 712-728.
Харитонов В. Л. Об асимптотической устойчивости положения равновесия семейства систем линейных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1978. № 11.— С. 2086—2088.
Чаплыгин С. А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. — М. — Л.: ГИТТЛ, 1960. — 103 с.
Четаев Н工 Г. Устойчивость движения.——М.: ГИТТЛ, 1956.——270 с.
Ackermann J. Parameter space design of robust control system // IEEE Transactions of automatic control. — 1980. — V. AC—25* — P. 1058—1072.
Вису R. S, Joseph P. D. Filtering for stochastic processes with applications to guidance. —New York: Interscience Publishers, 1968.
Moler G., Loan C. Nineteen dubious ways to computer the exponential of a matrix // SIAM Review. 1978. V. 20, № 4. P. 801-836.
Предметный указатель
Абстрактная математическая модель
——в форме вход-выход, 123
—в форме Коши, 55, 63
Абсцисса абсолютной сходимости, 74
Автоколебания, 60
Алгоритм
—Бьюси-Джозефа, 290
—программного управления, 376
—управления по принципу обратной связи, 379
Анализ, 14
Астатизм, 99
—степень астатизма, 99
Аттрактор, 60, 203, 209
Бином Ньютона, 47
Вектор множителей Лагранжа, 385
Воздействие
—внешнее, 17, 71
наихудшее, 73
—входное, 17
типовое, 71
ступенчатое, 71
гармоническое, 72
полиномиальное, 72
управляющее, 17
Возмущение
——постоянно действующее, 214
ограниченное в среднем, 217
ограниченное в каждый момент, 217
—сингулярное, 150
——структурное
по входу, 149
по выходу, 149
Время,
—дискретное, 17
—непрерывное, 17
Вход,
—внешнее воздействие, 17
типовое, 71
ступенчатое, 71
импульсное, 72
гармоническое, 72
полиномиальное, 72
—управление, 17
Выход,
——измеряемый, 17
——неуправляемый, 18
—регулируемый, 17
——управляемый, 17
Гамильтониан, 385
Гиперповерхность второго порядка (гиперквадрика), 61
—центральная, 61
—гиперсфера, 61
——гиперэллипсоид,
неприведенный, 61
приведенный, 61
Годограф
—Михайлова, 240
—Найквиста, 307
Гомоморфизм, 13
Гомеоморфизм, 147
Граница
—устойчивости, 236
«неулучшаемая», 252
Грубость свойства, 232
—апериодичности, 237
——асимптотической устойчивости, 237
—колебательности, 237
—монотонности, 237
Движение
—свободное, 67
—вынужденное, 67
—установившееся, 107
Двойственность задач управления и наблюдения, 320
Диаграмма Вышнеградского, 163, 234
Добротность
——по скорости, 99
—по ускорению, 99
Задача
——аналитического конструирования оптимальных регуляторов (задача АКОР)
Летова, 287, 288
А. А. Красовского, 287, 288
——аналитического синтеза сингулярных регуляторов (задача АССР), 333
——динамики
обратная, 86
——корректно поставленная
по Адамару, 108
по Тихонову 335
—Коши, 36
—Майера, 391
——модального управления, 234, 264
—параметрического синтеза, 178
—синтеза приводимых систем, 275
—слежения, 87
—стабилизации, 86
——терминального управления, 391
—финитного управления, 85, 361
Закон управления, 17
——дифференциальный (Д-), 23
—интегральный (И-), 22
—пропорциональный (П-), 22
——регулярной структуры, 333
——сингулярной структуры, 333
Запас устойчивости
—по амплитуде, 307
—по фазе, 307
Звено
—типовое, 76, 88
апериодическое, 88
колебательное, 88, 89
декремент за1ухания, 89
коэффициент демпфирования, 89
консервативное, 89
коэффициент демпфирования,
коэффициент передачи, 89
относительный коэффициент затухания, 89
постоянная времени, 89
минимально-фазовое, 92
неминимально-фазовое, 92
неустойчивое,
устойчивое, 92
—элементарное, 76, 88
Звеньев соединение
—встречно-параллельное, 96
—параллельное, 96
——последовательное, 93
Индекс
—управляемости, 120, 170
Интеграл Коши, 67
Интеллект
—естественный, 14
Интервал дискретности, 17
Интервал квантования, 17
Контроллер, 11
«Коробочка» Солодовникова, 101
Коэффициенты
—Крылова, 121
—ошибок, 100
позиционной, 99
скоростной, 99
по ускорению, 99
Кривая
—интегральная, 51
—Михайлова, 240
Кривизна, 207
Критерий
——полной управляемости, 122
—Сильвестра положительной определенности матриц, 195
——устойчивости
Гурвица, 154, 163
Льенара-Шипара, 154
Рауса-Гурвица, 155
Шура-Кона-Фудживары, 297
частотный
Михайлова, 240
Найквиста, 306
Кручение, 207
Мажоранта, 103
Матрица
—Вандермонда, 44
—верхне (нижне) треугольная, 52
—ганкелева, 267
——знакоопределенная, 254
—Крылова-Люенбергера, 41
—наблюдаемости, 191
—невырожденная, 51
——некоммуникативная, 52
—неотрицательно определенная, 65
—неперестановочная, 52
——неположительно определенная,
65
——ортогональная, 52
——отрицательно определенная, 65
——подобия,
——положительно определенная, 65
—симметрическая, 65
——скалярная, 42
——сопровождающая характеристи
ческого многочлена, 41
—теплицева, 49
—Фробениуса, 41
——функциональная, 56, 58
—Шура-Кона, 297
—Якоби, 56
Матричная экспонента, 40
Метод
——Ляпунова
второй, 188
первый, 166
——билинейных преобразований, 296
—«размывания», 247, 248
——решения задачи ACCR
приведением к форме
Крылова-Люенбергера, 353
прямой, 334
Микроконтроллер, 11
Миноранта, 103
Многогранник Френе, 206
Многочлен
——аннулирующий, 41
—гурвицев, 152
—интервальный, 238
—минимальный, 42
——приведенный, 42
—характеристический, 40
Начальные условия
——инволютивные, 103
Нули передаточной функции, 77
Определитель Андреева-Грама, 363
Отношение
——кинематического подобия, 168
—подобия, 168
Отображение, 147
—гомеоморфное, 147
Плоскость
—параметров Вышнеградского, 236
—фазовая, 60
Преобразование
—билинейное, 296
—Лапласа, 74
—ляпуновское, 169
—Фурье, 74
Процесс
——ортогонализации и нормировки Шмидта, 54
——переходный, 87
Пара
—Лобачевского, 242
——положительная полиномов, 241
Переходный процесс
—мажоранта, 103
—миноранта, 103
Период дискретности, 17
Подсистема
——полностью управляемая, 130
——полностью неуправляемая, 130
——«условно неуправляемая», 131
Показатели
—Ляпунова, 166
—качества, 86
корневые,
колебательность, 103
степень устойчивости, 103
прямые, 100
время регулирования, 101
перерегулирование, 101
частотные
колебательность, 78
полоса пропускания, 78
резонансная частота, 78
частота среза, 79
точности, 86
статическая точность, 102
Полином
——двусторонне приведенный, 235
——приведенный, 42
—характеристический, 40
——интерполяционный Лагранжа- Сильвестра, 42
—Харитонова В. Л., 241
— Эрмита-Билера, 239
Полоса пропускания, 78
Полюсы передаточной функции, 77
Постоянные интегрирования, 38
Предельный цикл
——полуустойчивый, 60, 210
—с несмещенным центром, 61
——со смещенным центром, 61
Представление уравнений в форме
Коши
—векторно-матричное, 28
—скалярное, 27
Преобразование
—гомеоморфное, 168
—гомоморфное, 13
—Лапласа, 74
——ляпуновское,
—структурных схем, 159
—Фурье, 74
Приводимость
—в смысле Л. Эйлера, 198
—по Ляпунову, 169
Принцип
——линейного включения Былова-
Гробмана, 57
—максимума Понтрягина, 384
——нелинейного включения Подчука- ева, 280, 282
——разделения, 318
Произведение матриц
—скалярное, 49
Пространство состояний, 27
Реакция
——нормальная на внешнюю нагрузку, 67
Регулятор, 20
Резольвента, 76
Репеллер, 60, 204, 210
САХ 22
——нестационарная линейная, 24
——стационарная линейная, 25
——нестационарная нелинейная, 25
——стационарная нелинейная, 25
Свойство
—автономности Вознесенского, 109
—грубое, 232
—инвариантности Щипанова, ПО
—позиционности, 91
—управляемости, 115
—робастное, 232
Связь
—обратная
—отрицательная, 97
— положительная, 97
Синтез, 14
—параметрический, 93, 178, 262
Система, 18
——автономная,
в смысле Вознесенского, 109
——адаптивная, 399
—астатическая, 99
—автоматического управления, 22
—верхне(нижне)треугольные, 52, 167
—грубая, 147
——диагональная, 167
——динамическая, 20
——дискретная, 18
—замкнутая, 22
——кинематически подобная, 120
——много связная, 18
——неавтономная,
—нестационарная, 20
——неоднородная, 18
—непрерывная, 18
——несвободная, 18
——однородная, 18
——односвязная, 18
—почти диагональные, 167
——правильная, 166
——предельная, 166
——приводимые, 168
—П-приводимые, 182
—разомкнутая, 20
——самонастраивающаяся
беспоисковая, 399
поисковая, 399
——свободная, 18
——с со средоточенными параметрами, 19
—статическая, 20
—стационарная, 20
—структурно возмущенная, 147,149
—структурно невозмущенная, 147, 149
——структурно устойчивая, 147
——структурно неустойчивая, 147
——с распределенными параметрами, 19
—уравнений в форме Коши, 39
——фундаментальная решений, 51
нормированная, 51
Случай
—Лаппо-Данилевского, 52, 167
Соединение звеньев
—встречно-параллельное (с нееди™ ничной обратной связью), 96
——последовательное, 93
—параллельное, 96 Состояние
—равновесия, 91
Спинор, 63
Стабилизируемость, 217
Степень
—астатизма, 99
—устойчивости, 103
Суперпозиция функций, 67
Схема
—функциональная, 19
—структурная, 92
эквивалентная, 93
ТАХ 11
Теорема
—Перрона, 54
——Пикара-Линделефа, 51
Тождество
——Ляпунова матричное, 193
—Гамильтона-Кэли, 41
—Коши, 66, 71
Точность
——динамическая, 107
—статическая, 100
Управление
——конечным состоянием, 391
—по возмущению, 21
— по замкнутому циклу, 21
——по минимуму расхода энергии, 393
—по отклонению, 21
——по принципу обратной связи, 21
——по принципу программного управления, 21
—по разомкнутому циклу, 21
—программное, 21
Управляемость, 115
Уравнение
——Ван™дер™Поля, 186
—в операторной форме, 26
——в пространстве состояний, 27
——в форме вход-выход, 23
—в форме Коши, 27
——движения объекта управления,
—Заде, 80
—Л. Эйлера,
——однородное, 36
——свободного движения, 27, 36
——свободных колебаний, 27, 36
——характеристическое,
в форме И.А. Вышнеградского, 235
Условия
—интерполяционные, 43
Устойчивость
——на конечном интервале времени, 173
—структурная, 147
—по Ляпунову, 164
асимптотическая, 87, 165
по входу, 159
по выходу, 159
—по части переменных, 193
——при постоянно действующих возмущениях, 214
—орбитальная, 199
двусторонняя, 200
односторонняя, 200
Устройство
—корректирующее, 93
Фазовая плоскость, 60, 61
Фазовое пространство, 27
Фильтр Салена и Ки, 94
① орма
——билинейная, 65, 190
——квадратичная, 65
—Крылова-Люенбергера
каноническая, 121
неканоническая, 127, 129
—Фробениуса
каноническая, 122
неканоническая, 124, 127
Формула
—Виета, 244
—Коши, 67
—Аккермана, 267
—Эйлера
для комплексных чисел, 46
для синуса и косинуса, 77
Функция
—аналитическая, 74
—Ляпунова, 188
знакоопределенная, 189
—Дирака, 72
——единичная, 71
——импульсная переходная, 72
разомкнутой системы, 75
——линейно независимая, 190
—монотонно возрастающая, 189
—монотонно убывающая, 189
—обобщенная, 72
——параметрическая передаточная, 80
——передаточная,
замкнутой системы, 98
п0 ошибке, 98
разомкнутой системы, 75, 98
——переходная, 88
——частотная передаточная, 72
разомкнутой системы, 77
—Хевисайда, 71
Характеристика
——ампли^дно-частотная, 77
логарифмическая (ЛАЯХ), 79
——импульсная переходная, 72
——переходная, 88
монотонная, 102
условно монотонная, 102
—статическая, 91
—фазо-частотная, 77
логарифмическая (ЛФЧХ), 80
Цель управления, 87
Частота
—резонансная, 78
—среза, 79
Число
—размещений, 49
—сочетаний, 47
—характеристистичное, 166
Научное издание
ПОДЧУКАЕВ Владимир Анатольевич
ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ(АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ)
Редактор И. Л. Легостаева
Оригинал-макет: Е.В. Третьяков
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 16.08.04.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 24,5. Уч.-изд. л. 26,95. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru; http://www.fml.ru
Неизвестная типография
ISBN 5-9221-0445-4
о
УДК ББК
П44
По д чу каев В. А. Теория автоматического управления (аналитические методы). — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 392 с.— ISBN 5-9221-0445-4.
С единых методических позиций, основанных на символьном описании современных систем автоматического управления, распространяющемся на объекты управления, описываемые как обыкновенными дифференциальными уравнениями, так и уравнениями в частных производных, излагаются аналитические методы анализа и синтеза современной теории автоматического управления, ориентированные на реализацию совмещенного синтеза или управления объектом в режиме реального времени с учетом изменения внешней среды и самого объекта управления. Реализация совмещенного синтеза становится возможной, благодаря доведению алгоритмов анализа и синтеза до формы смешанных алгебраических и дифференциальных тождеств, минуя итерационные и поисковые процедуры (или алгоритмов в замкнутой форме, в аналитическом виде). Учебник снабжен достаточным количеством примеров и заданий и упражнений для самостоятельной работы. Каждая глава учебника заканчивается краткой сводкой изложенных в ней результатов, облегчающей усвоение материала учебника.
Излагаемые методы анализа и синтеза современной теории автоматического управления программно реализованы посредством отечественной системы компьютерной алгебры «АНАЛИТИК-С», находящейся под юрисдикцией стандартной публичной лицензии GNU, размещенной по адресу http://www.tki-analitik.ru и описанной в приложении к учебнику.
Учебник рассчитан на широкий круг студентов, магистрантов и аспирантов, инженеров и научных работников, специализирующихся в области теории и практики автоматического управления.
© ФИЗМАТЛИТ, 2004
ISBN 5-9221-0445-4ISBN 5-9221-0445-4© В. А. Подчукаев, 2004
ISBN 5-9221-0445-4
ISBN 5-9221-0445-4
ОГЛАВЛЕНИЕ
От автора ....................................8
Предисловие...................................10
Список основных обозначений .........................12
Список сокращений ...............................13
Введение в теорию автоматического управления ...............14