Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
Исследование операций как научное направление давно уже вошло во многие учебные планы подготовки специалистов в ВУЗах нашей страны. Однако, к сожалению, следует отметить недостаточную обеспеченность к настоящему времени учебной литературой по соответствующей дисциплине и это в первую очередь относится к практическим ее аспектам. Действительно, список учебной литературы, содержащей только задачи и упражнения по исследованию операций, очень небольшой. По существу он включает учебное пособие В. В. Морозова, А. Г. Сухарева, В. В. Федорова «Исследование операций в задачах и упражнениях», М.: ВШ, 1986 г., учебное пособие Ю. П. Зайченко, С. А. Шумиловой «Исследование операций», Киев: ВШ, 1990 г., второй том под редакцией Дж. Моудера, С. Элмаграби «Исследование операций. Модели и применения», М.: Мир, 1981 г. и «Сборник задач и деловые игры по экономике энергетики и управлению энергетическим производством» под редакцией П. П. Долгова, М.: ВШ, 1991 г. К тому же названные пособия к настоящему времени стали почти библиографической редкостью, тогда как методы исследования операций и обеспечения безопасности продолжают развиваться и становятся все более важным средством практического решения различных проблем, связанных с разработкой и совершенствованием производственных, экономических и социальных процессов и систем, систем управления и других систем. Возникла, по нашему мнению, актуальная необходимость в пополнении списка учебно-методических пособий по развитию у студентов практических навыков решения задач исследования операций и обеспечения безопасности, в том числе с постановкой вычислительного эксперимента на ПЭВМ. Такие пособия актуальны и потому, что согласно действующим учебным планам студентам отводится достаточно много времени для самостоятельной работы, и в частности, для построения алгоритмов, их программной реализации на ПЭВМ и выполнения исследовательских расчетно-графических работ.
Возможность написания задачника, содержащего полные решения поставленных задач и направленного на повышение эффективности самостоятельной работы студентов, появилась в результате преподавания авторами учебных дисциплин «Теория игр и исследования операций», «Математические методы исследования операций», «Методы принятия решений», «Основы теории надежности и безопасности сложных систем».
Безусловно, предлагаемый задачник не охватывает все возможные направления исследования операций и обеспечения безопасности. Он
44Предисловие
4
4
раскрывает лишь основные аспекты построения обобщенных математических моделей операций и применения принципов оптимальности принятия решений в различных условиях их проведения: определенности, неопределенности в цели, конфликта и безопасности риска. Ряд задач приведен авторами из использованной при составлении задачника литературы.
Тематически задачи распределены в шести разделах; в начале каждого из них излагаются элементы теории, содержащие основные понятия, подходы и необходимые условия для построения алгоритмов и решения задач. Материал разработан в соответствии с учебными пособиями [31, 50].
Первый раздел содержит задачи на составление обобщенных моделей операций и оценки эффективности стратегий. Второй раздел охватывает динамические модели операций. В третьем разделе приведены задачи принятия решений в условиях целевой неопределенности. В четвертый раздел включены задачи принятия решений в условиях конфликта. Пятый раздел содержит задачи принятия решений в условиях статистической неопределенности и безопасности риска. В шестом разделе рассмотрены механизмы принятия решений, основанные на вербальном подходе.
В решении ряда задач принимали участие Г. В. Колесник и Д. Е. Кащеев.
Раздел 1
ОБОБЩЕННЫЕ МОДЕЛИ ОПЕРАЦИЙ,ЭФФЕКТИВНОСТЬ СТРАТЕГИЙ
Обобщенная модель операции считается составленной^ если определены следующие ее компоненть匸
оперирующая сторона;
исследователь операции;
факторы и ограничения, обусловливающие условия принятия решения (факторы определенные, неопределенные, случайные, контролируемые, неконтролируемые);
информационная гипотеза;
активные средства;
стратегии, ситуации;
критерий эффективности.
Оперирующей стороной называют участников операции, стремящихся к достижению поставленной цели.
В составе оперирующей стороны выделяется исследователь операции^ выполняющий исследования по отысканию наилучших стратегий.
Факторы — это условия, обстоятельства, характеризующие обстановку проведения операции и влияющие на ее исход. Различают “акторь匸 определеншяе (точно известные); неопределенные (известно множество их значений); случайные (известна вероятностная мера на множестве их значений); контролируемые и не контролируемые оперирующей стороной. Ограничения определяют границы и свойства множеств изменения факторов как параметров.
Информационная гипотеза — это гипотетическая совокупность сведений о неконтролируемых факторах, которые реально отсутствуют до проведения операции, но могут стать доступными оперирующей стороне в ходе самой операции.
Информационная гипотеза может быть задана в виде функции
R:NxZ^Em,
где N — множество значений неопределенных неконтролируемых факторов, Z — множество значений случайных факторов.
Активные средства — это те ресурсы, которыми располагает оперирующая сторона для достижения цели операции.
Стратегиями называют способы реализации действий или мероприятий по использованию активных средств оперирующей стороны, согласующиеся с информационной гипотезой.
Если оперирующая сторона не располагает дополнительной информацией о контролируемых факторах, то она оперирует со стратегиями- константами х С Мо, где Мо — совокупность значений контролируемых факторов. При этом чистая стратегия представляется элементом множества Мо, а смешанная — распределением вероятностей на множестве чистых стратегий. Стратегии-функции имеют вид
无・.N х Z т Ми
и используются при допущении, что оперирующая сторона к моменту проведения операции будет располагать информацией о значениях неконтролируемых факторов.
Ситуациями называют наборы стратегий
(①,у),(①,(①(g),g),(①(g,z),z),
где x G Mo, у E N, z G Z.
Критерий эффективности (скалярный или векторный) характеризует операцию с точки зрения достижения поставленных целей.
Критерий выбирается исследователем операции по согласованию с оперирующей стороной, и цель операции математически означает достижение экстремума критерия эффективности 歹(①，g, z), где (ж, g, z) G Mo x N x Z.
Если оперирующая сторона не располагает информацией о значениях неконтролируемых факторов, а имеет только сведения об области N значений неопределенных факторов у и области Z значений случайных факторов z, то для оценки эффективности стратегии х С Мо используются критерии
inf F(x, у) или inf inf /(ж, ?/, 2;), основанные на принципе гарантированного результата, а оптимальной (гарантирующей) стратегии для первого из этих критериев соответствует оптимальный гарантированный результат
Ff(Mu) = sup inf 歹(①,g).
Если оперирующая сторона будет располагать сведениями о стратегии у Е N п при этом стремиться максимизировать функцию эффективности на своем множестве действий, то в качестве оценки эффективности стратегии-функции 方(у) выступает
i叫歹④(у), у).
Если оперирующая сторона разрешает ввести на Mq смешанные стратегии — вероятностные меры на множестве чистых стратегий д(①),то оценка эффективности стратегии 夕(①)определяется по выражению (при Z = 0)
inf F(x, g) dg(①).
J
Если же в операции имеют место случайные факторы с распределением g(z), причем оперирующая сторона разрешает осреднение критерия по ним, то оценка эффективности стратегии g(z) будет следующей:
inf歹(①，g, z) dg(①)dcj(z).
J J
M0Z
Соответствующие стратегии оперирующей стороны, имеющие максимальные оценки эффективности, являются оптимальными.
При Z = 0 стратегия ха называется абсолютно оптимальной, если выполнено условие
ха С Arg max 歹(五(沙)，у)E N,
где Ми — множество стратегий-функций.
Под е-оптимальной стратегией в Mq понимается 皖 С Mq, для которой叫歹(時,у)》sup inf
沙6хем0 ucn
а под E-абсолютно оптимальной стратегией в Ми понимается ж^, для которой
ь优，g)》supь④(g)，g)一e У у е N.
Аналогично определяются оптимальные, абсолютно оптимальные, е-оптимальные и е-абсолютно оптимальные стратегии для других случаев информированности оперирующей стороны и неконтролируемых факторов.
Для отыскания оптимальных стратегий необходимо решить условные экстремальные задачи — задачи вычисления максимина и минимакса некоторого функционала на произведении компактных множеств.
Седловой точкой функции F(x, у) на Mq х N называется точка (жс, Ус), ДЛЯ которой выполнены условия
歹(伤 ％) < 歹(①с, %) < 歹(①С, У) V/ G Mo, Vg G N.
Если критериальная функция имеет седловую точку, то имеет место равенство наилучших гарантированных результатов
凡=max minF(x, у) = min max F(x, y) = / = F(xc, x£M0 y£Ny£N x£M0
Задача 1.1. Службой безопасности дорожного движения планируется операция по выявлению водителей, допускающих превышение скорости на улицах города. При этом предполагается использовать контролирующее устройство, позволяющее установить, какому диапазону принадлежит скорость 少 автомобиля:
0 <01,0〉02 ИЛИ 01<0，02,
где 少 1 и 少2 — константы.
Построить информационную функцию для данной задачи.
Решение. По условию задачи в операции имеется неопределенный фактор 少一скорость движения автомобиля, которая может принимать значения из N = {少：少〉0}. Поскольку к моменту начала
проведения операции будет известно, что 。《少i, v > v^ или 少i <
< 少 < 少2, то информационная функция R: N т Е，может быть построена в следующем виде:
А®) = < 2,А®) = < 2,少 < ^1,^1 < V < 少2,0〉02・少 < ^1,^1 < V < 少2,0〉02・
А®) = < 2,
А®) = < 2,
少 < ^1,
^1 < V < 少2,
0〉02・
少 < ^1,
^1 < V < 少2,
0〉02・
Если, например,少i — максимально допустимая скорость движения на улицах города, то:
А (о) = 1 соответствует случаю отсутствия факта нарушения водителем скоростного режима;
R(v) = 2 соответствует случаю превышения водителем максимально допустимой скорости ДО 少2 —少1；
R(v) = 3 соответствует случаю превышения водителем скорости 少 1 на величину не менее 少2 —少1・
Следует ожидать, что при Н(ь) = 3 к нарушителю скоростного режима будут применены более строгие меры наказания, чем при А®) = 2.
Задача 1.2. Пусть множество R(N х Z) состоит из к различных элементов и Mq = {1,2,..., m}, где R — информационная функция, N — множество значений неопределенных факторов, Z — множество значений случайных факторов, a Mq — совокупность значений контролируемого фактора.
Определить число стратегий в множестве Mr.
Решение. Пусть R，冗2,Rk — элементы множества R(N х Z). Элементы Mr имеют вид
Xi = \xi(R =丛)=九运(h=A2)=；2,方5(r=丛)=л], где /1,^2,…,7k могут принимать целые значения от 1 до m включительно. Тогда общее число элементов в Mr равно тк, и элементы могут быть пронумерованы, например, в таком порядке:
Ж1 = [£1(Я = Я1) = 1, *1(冗=冗2)= 1, *l(R=Rk) = l],
^2 = [ж2(Я = Ri) = 1, *2(a=A2)= 1,
• x2(R = Rk-i) = 1, *2(R = Rk) = 2],
*3 =侬3(a=Hi) = 1,五3(a=A2)= 1, •••
• ж3(Я = Rk-i) = 1, *3(R=Rk) = 3],
^т = [^т{^ = -^1) = 1, Xm^R = R2) = 1,…
xm^R = /Z^—i) = 1, xm^R = Rk) = ^],
C/n+l = [//n+1 (R =冗1) = 1, C/n+l (R =冗2)= 1,…
жт+1(Я = Rk-1) = 2, жт+1(Я = Я^) = 1],
^2m = [^2m(-^ =冗1) = 1, *2m(R =冗2)= 1,…
①2m (R =冗店―1) = 2,①2m (R = Rk ) = ^],
/бR =[)m3 (R =h1) = ^^,/mr (R =h2) = ^^, • • •
• • •,/ 6R(门=门k-1) = ^^,/ 6R(h=门k)=^^] •
Задача 1.3. Пусть ж G Mo = {1,2, 3,4}, z G Z = {1,2, 3,4}, a критериальная функция имеет вид
/-2201\
1322 J
323-2 Г
\24-11/
Причем z — случайная величина с неопределенностью в законе рас-пределения 仃=(幻1,幻2,幻3,幻4), относительно которого известно, чтой?са={й?es4 | g1 =4，g2 《 4}，
—симплекс.
Найти оценку эффективности стратегии х= (3,1, 2, 4).
Решение. Проведя осреднение критерия по случайному фактору и воспользовавшись гарантированной оценкой по параметрам закона распределения z, имеем
近® = min (3g1+2g2+2g3十g4).
Учитывая, чтоУчитывая, что1 -41 -401 -41 -40и…4斗…。лучаеми…4斗…。лучаем更® =更® =min I — + 公2 十幻3 + 7 ) •Z7CQ \44/min I — + 公2 十幻3 + 7 ) •Z7CQ \44/(1.1)(1.1)
Учитывая, что
Учитывая, что
1 -4
1 -4
0
1 -4
1 -4
0
и…4斗…。лучаем
и…4斗…。лучаем
更® =
更® =
min I — + 公2 十幻3 + 7 ) •
Z7CQ \44/
min I — + 公2 十幻3 + 7 ) •
Z7CQ \44/
(1.1)
(1.1)
Тогда для отыскания данного экстремума приходим к задаче линейного программирования:
£ = 1+^2 + ^ ^min
при ограничениях
3 -4о1 -4о3 -4о1 -4о3 -43 -4
3 -4о
1 -4о
3 -4о
1 -4о
3 -4
3 -4
Решая последнюю задачу, например, методом графического анализа, получаем, что оценка эффективности стратегии ①=(3, 1, 2, 4) равна W(x) = |.
Найти решение задачи (1.1) можно и с использованием следующих рассуждений. Запишем (1.1) в виде
W(x) = min偿•(1.2)
3
Тогда, учитывая равенство 幻4 =工—幻2 —幻3, легко заметить, что увеличение 幻4 приводит к уменьшению выражения в скобках в правой
3
части (1.2). Но 幻4 не может превышать - по условию задания Q.
43
Поэтому минимум в (1.2) достигается при g “ а тогда 幻2 =幻3 = =0, и оценка эффективности равна W(x) = |.
Задача 1.4. Найти оценку эффективности стратегий-констант
①1 = 2, *2 = (2,1,3),
если Мо = {1, 2, 3}, N = {1, 2, 3} и случайный фактор z(g) имеет равномерное распределение на [0, у], а матрица эффективностей задана в виде
/2 + z(g) 5 + z(g) l + z(g)3 + z(g) 2 + z(g) z(g)
、4 + z(g) z(g)4 + z(g)
Решение. Учитывая, что элементы J-ro столбца (/ = 1,2,3) матрицы W(ж, у, z} соответствуют у, равному 九 имеем
/2 + ^(1)3 + ^(1) \4 + z(l)/2 + ^(1)3 + ^(1) \4 + z(l)5 + z(2) l + z(3)\
/2 + ^(1)
3 + ^(1) \4 + z(l)
/2 + ^(1)
3 + ^(1) \4 + z(l)
2 + z(2)z(3).
z(2)4 + z(3)丿
Поскольку стратегии-константе ①i = 2 соответствует стратегия- функция 方 1 = (2, 2, 2), то оценка эффективности стратегии ①i находится так:
W(Ж1) = W(£1) = min W(*i(g), g, z(g)) dF(z)=
=min=min123
=min
=min
(3 + z)dz, (2 + z)z, - z dz оо0
= min{(3z +訳,g+引訂}=min{3；,3,^} = ：4
Аналогично находится оценка эффективности стратегии *2：
W(/2)= mm WS(g), g, z(g))d歹⑶= у J
f
l23
JJ 2 J 3
оо0
= min{3|,6,5|}= min{3|,6,5|}-32*-32*
= min{3|,6,5|}
= min{3|,6,5|}
-32*
-32*
Задача 1.5. Пусть Mo = {1,2,3}, N = {1,2,3}, случайный фактор z имеет равномерное распределение на [—1, 2], а матрица эффективностей задана в виде
2 + z 5 + z l + z
3 + z 2~|~z 4~|~z
4 + z 4 + z 2 + z
Найти оценку эффективности стратегии 方i = (3, 2, 1) и оптимальную стратегию-константу ж0 оперирующей стороны.
Решение. Искомая оценка эффективности стратегии 历 = =(3, 2, 1) вычисляется следующим образом:
W(£1) = min W(Xi(y), у, z) dz = ge{i,2,3} J
=min I 2“歹(2)十 W(xi(y), y) dF(z)
Уz‘
zdF(z) + min W(*i(g), y)=
:+1=哆:+1=哆Z 22
:+1=哆
:+1=哆
=^ + min{4,2,l} = ^
一1
Отметим, что при вычислении W(£i) мы воспользовались независимостью z от у. Оптимальная стратегия-константа оперирующей стороны находится из условия
ПосколькуПоскольку①。С Arg max W (х}.жем0①。С Arg max W (х}.жем0
Поскольку
Поскольку
①。С Arg max W (х}.жем0
①。С Arg max W (х}.жем0
W(①=1) = min W(①=1, g, z) dz =у JZ2=2； dF(z) + min W(x = 1, y)=、у、z-1W(①=1) = min W(①=1, g, z) dz =у JZ2=2； dF(z) + min W(x = 1, y)=、у、z-1^ + min{2,5,l} = l|,^ + min{2,5,l} = l|,
W(①=1) = min W(①=1, g, z) dz =
у J
Z2
=2； dF(z) + min W(x = 1, y)=
、у、
z-1
W(①=1) = min W(①=1, g, z) dz =
у J
Z2
=2； dF(z) + min W(x = 1, y)=
、у、
z-1
^ + min{2,5,l} = l|,
^ + min{2,5,l} = l|,
W(①=2) = minУ 、W(①=2) = minУ 、
W(①=2) = min
У 、
W(①=2) = min
У 、
W (①=3) = minу 、W (①=3) = minу 、то max W(ж), равный рые и являются для константами.то max W(ж), равный рые и являются для константами.W(①=3, g, z)dz = |+min{4,4,2} = 2|,
W (①=3) = min
у 、
W (①=3) = min
у 、
то max W(ж), равный рые и являются для константами.
то max W(ж), равный рые и являются для константами.
2 I，достигается при ①，=2 и ①g = 3, котоданной задачи оптимальными стратегиями-
Задача 1.6. Пусть в условиях задачи 1.5 оперирующая сторона не разрешает осреднение критерия по случайному фактору z.
По-прежнему требуется оценить эффективность стратегии
21 = (3,2,1), а также указать оптимальную стратегию-константу оперирующей стороны.
Решение. В условиях данной задачи оценка эффективности стратегии 历 имеет вид
W(£1) = min minH/(*i(g), д, z).У N
Поскольку минимальное значение фактора z равно — 1, то
W(£1) = -1 + min W(*i(g), у) = -1 + min {4, 2, 1} = 0.
Легко заметить, что оптимальные стратегии-константы оперирующей стороны останутся прежними:
* = 2,* = 3,
хотя соответствующее им значение max И/ (ж), в отличие от задачи 1.5, 1ж
уменьшится с 2 - до 1.
Задача 1.7. Прямолинейный участок АВ газопровода имеет длину L км. Прорыв газа может произойти либо в начале газопровода (точка А) с вероятностью Pi, либо в середине газопровода с вероятностью 巳，либо в конце его (точка В). Требуется разместить аварийный пост таким образом, чтобы аварийная бригада добиралась до места аварии как можно быстрее.
Найти оценку эффективности произвольной стратегии оперирующей стороны, а также ее оптимальную стратегию, если:
а) °1 = ；，°2 = ；； 6) Pi = I，Р2 = i.
Решение. В качестве оперирующей стороны в задаче выступает руководство газопровода. Отметим, что точку расположения аварийного поста целесообразно выбирать вдоль газопровода, поскольку иначе точка D проекции точки расположения поста на прямую АВ будет расположена ближе к месту аварии, а следовательно, и аварийная бригада прибудет из точки D к месту аварии раньше. Поэтому рассмотрим задачу в Е1 и выберем ось ОХ и ее масштаб так, чтобы точка А совпадала с началом координат О, а точке В соответствовало положительное ①=1. Тогда в качестве стратегий оперирующей стороны выступают значения х Е Е1 координаты расположения аварийного поста. В качестве критерия оперирующей стороны возьмем расстояние от точки ж до места аварии z:
W(①,z) = I①一z|.
Учитывая, что z — случайный фактор с распределением
P(z = 0) = Pl, P(Z=；)=P2, P(z= 1) = l-px - P2, проведем осреднение критерия no z, в результате чего получим оценку эффективности произвольной стратегии х:
W(x) = PrW{x, 0) + P2W(x, |)+(1-Pi-巳)WE 1) или
W^x^P^x^P^x-^d-Py-P^x-^.
В случае а)
Й7(①)=^|ж| + | |ж-|| + ^|ж-1|.
Анализируя четыре случая:
ж < 0, ж > 1, 0 < ж < I， I < ж < 1,определяем, что минимальное значение W(ж) достигается при /° =；и равно W(ж0) = -. Заметим, что реальное расстояние получим умно-жением полученного расстояния при проведенном анализе на р(А, В).
В случае б)
iF(/)= ；岡十;卜一；] + ；" —1|.
Аналогично предыдущему, анализируя те же промежутки измене- _ з ния получаем min W(ж) = причем
Arg min W(①)=0 ж
Таким образом, расположение поста может быть выбрано в любом месте вдоль газопровода от начала его (точка А) до середины (точка В). При этом будет обеспечено минимальное среднее время доставки аварийной бригады к месту аварии. Заметим, что в задаче полагалась постоянной скорость доставки бригады от поста до места аварии.
Задача 1.8. Водителю автомобиля необходимо каждый рабочий день проезжать от гаража до склада примерно в одно и то же время. При этом возможны два пути следования: через центр и в объезд. Время в пути в случае следования через центр зависит от транспортного потока в центре города и равно:
力и = 5 мин., если в центре города поток разряженный;
力 12 = Ю мин., если поток плотный;
力 13 = 30 мин., если имеет место транспортная «пробка».
При движении по объездному пути время следования от гаража до склада составляет 力2 = 15 мин.
Каким маршрутом воспользоваться водителю, если вероятность наличия «пробки» равна 0,2, а наличие плотного и разреженного потоков равновероятно? Как изменится решение, если к моменту выезда из гаража у него будет информация о транспортном потоке в центре города?
Решение. У водителя две стратегии:①i — ехать через центр и 力2 ——ехать в объезд. В качестве случайного фактора z выступает транспортная обстановка в центре города. Положим: z = 1, если поток разреженный; z = 2 для плотного потока; z = 3 для случая транспортной «пробки». Критерий эффективности для рассматриваемой задачи — время в пути 7(①，z), которое требуется минимизировать.
Пусть сначала у водителя нет дополнительной информации о транспортном потоке.
Тогда, если водителю требуется срочно (в течение 15 мин.) попасть на склад, то ему следует воспользоваться принципом наилучшего гарантированного результата для матрицы
/、/5 10 30\
7…15 выбрать
Тг = min max 7(①，z) = min [30, 15] = 15 (мин.)
и выехать по второму маршруту (в объезд). В противном случае допустимо осреднение критерия по случайному фактору z. Тогда маршрут следует выбирать из условия минимизации
з
/(/)= £ ТЕ&)「(&)•
i=l
Имеем
Т(Ж1) = 5- ^ +10- ^+30- | = 9^ (мин.), 7(①2)= 15 (мин.),
т. е. минимальное Т достигается при первом маршруте (через центр города). Если к моменту выезда водителю будет известна транспортная обстановка, то оптимальная стратегия ищется из множества Ми стратегий-функций. При этом, очевидно,
,(если z = 1 или z = 2,
J
2, если z = 3.
Задача 1.9. Сельскохозяйственное предприятие решает задачу выбора культуры для засева арендуемой им на один год земли. Всего пригодны для возделывания пять культур:勿匕 〃2, 〃з, М, 〃5・ Урожайности культур Н зависят от погодных условий и представлены в табл. 1.1,
Таблица 1.1
Культуры
Урожайность культур (ц/га)
3
д
У
Й
80
30
60
75
36
50
115
75
35
м
95
30
75
°5
85
30
65
а в табл. 1.2 приведены средние значения прибыли, полученной от реализации 1 ц урожая для соответствующих культур. Известно (по
Таблица 1.2
Культуры i
й
°2
°3
м
°5
Прибыль Wi от реализации 1 ц
25
20
15
18
24
многолетним наблюдениям), что для рассматриваемой местности в среднем каждое четвертое лето засушливое (3), каждое третье лето дождливое (Д), а в остальные годы погодные условия умеренные (У).
Какую культуру для засева следует выбрать, если вся арендуемая земля засевается одной культурой?
Решение. Оперирующая сторона располагает пятью чистыми стратегиями: i С {〃i,〃2,〃з,〃4,〃5}・ В данной задаче погодные условия являются случайным фактором z с распределением
Р(? = 3)= ；，P(z = Д) = ；，= У)= 1 一 I 一 ； = ^・
Неопределенные факторы отсутствуют.
В качестве критерия эффективности выберем прибыль от реализации урожая, собранного с 1 га площади:
歹伍 z) = H(i,z)W(i),
которую оперирующая сторона стремится максимизировать. Подставляя значения Н и W из табл. 1.1 и табл. 1.2, имеем
/2000
750
1500 \
1500
720
1000
反伍Z)=
1725
525
1050
1710
540
990
〈2040
720
1560 /
Отметим, что в данном случае осреднение критерия по случайному фактору z проводить неправомерно, поскольку операция проводится однократно (земля арендуется только на один год). Поэтому стратегию i оперирующей стороне следует выбирать, исходя из принципа гарантированного результата:
i С Arg max min F(i, z).
i z
Поскольку
max min 歹伍 z) = max{750, 720, 525, 540, 720} = 750 i z
достигается при г = zi, то для засева арендуемой земли следует выбрать культуру 勿］.При этом гарантируется получение прибыли не менее 750 (ед.) с урожая, собранного с 1 га, независимо от погодных условий.
Итак, в качестве оптимальной стратегии засева следует выбрать культуру гь
Задача 1.10. В распоряжении руководства объединения имеется К = 7 грузовых автомобилей одной марки. Требуется распределить их между четырьмя предприятиями, если известна эффективность
{巾(К/ г = 1,2, 3,4}
использования автомобилей предприятиями в зависимости от К〃 — количества машин, выделенных г-му предприятию (табл. 1.3).
Таблица 1.3
Число автомобилей, выделенных предприятию К〃
Эффективность использования автомобилей
Mg)
防(К2)
%(Кз)
方4(k4)
0
0
0
0
0
1
0,6
0,1
0,6
0,3
2
1,0
0,5
1Д
0,6
3
1,4
1,2
1,2
1,3
4
2
1,8
1,4
1,4
5
2,5
2,5
1,6
1,5
6
2,8
2,9
1,7
1,6
7
3
3,5
1,8
1,7
Решение. В качестве критерия в задаче целесообразно выбрать суммарную эффективность от использования автомобилей на предприятиях4
W* = £%(K)・(1.3)
i=l
Цель объединения — максимизация (1.3) по к=(К,К2,Кз,К4)； ограничение на К (помимо целочисленности и неотрицательности К〃) имеет вид4
>」Kj = К.
Для решения воспользуемся методом динамического программирования. При этом под г-м этапом (шагом) в этом методе будем понимать выделение объединением машин г-му предприятию. Состояние системы S〃 характеризуется количеством нераспределенных машин после г-го шага (г = 1, 2, 3, 4), a S。= 7, S4 = 0. Уравнения связи имеют вид
& = S_1-к,
причем Ki < Si, г = 1, 2, 3, 4.
В соответствии с общей схемой решение задачи начинаем с последнего (четвертого) шага и находим условные оптимальные выигрыши на этом шаге W^(S3) при условии, что перед этим шагом система находилась в состоянии S3, а К4 — управление на четвертом шаге
^4^)= max {川4(长4)| S* = S3 —К4}.
2 A. H. Катулев и др.
Но ввиду того, что S4 = 0, получаем W^(S3)=川4($3). Учитывая данные табл. 1.3, находим W^(S3), а также условные оптимальные управления а?(S3) = S3； последние представлены в табл. 1.4.
Таблица 1.4
S3
0
1
2
3
4
5
6
7
吋(S3)
0
0,3
0,6
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
小3)
0
1
2
3
4
5
6
7
Для предпоследнего (третьего) шага находим условный оптимальный выигрыш W^ (S2) для совокупности третьего и четвертого шагов, если перед третьим шагом система была в состоянии S2：
W№)= max {%(Кз)十卄(S2 —Кз)}, (1.4)
а также условные оптимальные управления на третьем шаге ^3(S3), на которых достигается максимум в (1.4). Полученные результаты приведены в табл. 1.5.
Таблица 1.5
S2
0
1
2
3
4
5
6
7
呻S2)
0
0,6
1Д
1,4
1,9
2,4
2,5
2,7
"式 s2)
0
1
2
2
1
2
2 и 3
4
Для второго шага аналогично предыдущему находим условный оптимальный выигрыш W^ (Si) для совокупности этапов со второго по четвертый при условии, что перед вторым шагом система была в состоянии S］：
暄(&)={w2(心)+嘴(Si-k2)},
а также условные оптимальные управления на втором шаге U2(Si). Полученные результаты приведены в табл. 1.6.
Таблица 1.6
0
1
2
3
4
5
6
7
哗(&)
0
0,6
1,1
1,4
1,9
2,5
ЗД
3,6
臓(S1)
0
0
0
0
0
0
5
5
Для первого шага алгоритма находим выигрыш на совокупности всех четырех этапов:
Wf(S° = 7)= max {H/^Ki)十階(S° — К。},
O《KiWSo
Обобщенные модели операций, эффективность стратегий 19 причем этот выигрыш (поскольку начальное состояние системы So = =7 фиксировано) является безусловным и фактически определяет оптимальное значение критерия.
Итак, max И/* = 3,7. Оптимальное управление на первом шаге = 〃i(So) = 1
является также безусловным. Далее, двигаясь в прямом порядке отсчета (с первого шага по четвертый), находим оптимальные управлеНИЯuopt = (^pt,^pt,^pt,^pt).
Так, для первого шага
S；Pt = S° —〃产=6.
Для второго шага из табл. 1.6 при Si = S°pt = 6 находим
^2Pt = 5；тогдаsopt = sopt_nopt = L
Для третьего шага из табл. 1.5 при S2 = S；p‘ = 1 определяем, что
а также, чтоа также, что
а также, что
а также, что
Наконец, для чтоНаконец, для чточетвертого шага из табл. 1.4 при S3 = S^ = 0 находим, "产=0.
Наконец, для что
Наконец, для что
Итак, максимальное значение критерия достигается при
丁М = (1,5,1, 0),
т. е. при выделении первому и третьему предприятию по одному автомобилю, а второму — пяти автомобилей.
Задача 1.11. Цех-автомат выпускает однородные изделия. Контроль качества изделий осуществляется по доминирующему параметру Ь. Последний является случайной величиной с математическим ожиданием М\Ь | г], где г — обозначение режима работы цеха-автомата, и дисперсией D[b] = const. Известна плотность распределения вероятностей параметра b при r-м режиме работы цеха. Изделие считается качественным, если выполняется требование невыхода доминирующего параметра из заранее установленного интервала:
Ьн < b < Ьв・
Если 6 < 6Н? то изделие бракуется и цех-автомат терпит убытки, если b〉Ьв, то изделие подвергается дополнительной обработке и настройке либо подлежит продаже по цене р(Ьв)・ Изделия, удовлет- 2*
воряющие требованию b С [^н, ^в], реализуются по цене р(Ь)〉р(Ьв)・ Суммарные издержки на изготовление каждого изделия равны С(Ь).
Определить математическое ожидание М[61 г], обеспечивающее максимальную прибыль при выпуске цехом-автоматом L изделий. Составить обобщенную модель операции.
Решение. Пусть 夕他,厂) 一 плотность распределения вероятностей параметра b при режиме г. Тогда число бракованных изделий составит
L д(6, г) db,
о
а число изделий, подлежащих продаже, равно
Ьв max
Lг) db.
Ожидаемый доход (прибыль) составит
Н
Л IЬв max、
g(b, r) db -9他，厂)db )+
Ьв max
+ р(Ьв) L 屮(Ь〉吟 db - C(b) L.
Теперь для обеспечения получения максимальной прибыли цех- автомат должен функционировать в режиме, устанавливаемом согласно max р(г), r(0)^r^r(6Bmax)
где г(0) — режим, при котором выпускаются бракованные изделия, а 厂(Ьвтах) — режим работы цеха, при котором изделия выпускаются с доминирующим параметром, равным 6втах.
Очевидно, конкретное значение
ropt = arg max.(厂)
может быть вычислено при известном виде плотности д(Ь,厂)и зависимости от параметра (режима) г математического ожидания М[Ь | г].
Обобщенная модель операции п редстав ляется следующими основными компонентами:
оперирующая сторона (орган управления цехом-автоматом);
исследователь операции (лицо, выполняющее решение задачи);
контролируемый фактор (случайный параметр b с известным законом распределения вероятностей);
информационная гипотеза (сведения об интервале допустимых значений контролируемого фактора);
активные средства (совокупность режимов работы цеха);
стратегии (возможные действия, определяемые согласно результатам сравнения параметра b с допустимыми граничными значениями Ьн, Ьв)；
критерий эффективности (ожидаемый доход от выпуска цехом продукции).
одного вида в видов затрат в Объем выпускаодного вида в видов затрат в Объем выпускаЗадача 1.12. Отрасль производит продукцию количестве у. Для выпуска продукции требуется п количествах Ж1, ^2, ..., хп соответствующих видов, ограничен производственной мощностью
одного вида в видов затрат в Объем выпуска
одного вида в видов затрат в Объем выпуска
У =反(①1,①2,/九).
Общие затраты на выпуск продукции постоянны.
Определить оптимальную стратегию расходования каждого вида затрат, чтобы выпустить у единиц продукции с минимальными издержками. Составить обобщенную модель операции.
Решение. Любая отрасль, организуя производство, стремится максимизировать доход при минимальных затратах на каждую единицу выпускаемой продукции. Ориентация на минимизацию затрат возможна при планировании деятельности отрасли в долгосрочном периоде, но тогда критериями поведения отрасли должны быть доход J(g) и издержки С(д) от выпуска продукции в объеме у. При этом оптимальная стратегия поведения, очевидно, должна устанавливаться в результате максимизации дохода при минимизации издержек, т. е. в результате решения задачи вида:
найти д°, обеспечивающий достижение
max J
max/?0,
где F{x) — производственная функция отрасли.
Эту задачу можно преобразовать при допущении равной важности критериев J(g) и С(д) по теореме Карлина к задаче вида:
найти д°, обеспечивающий
V"(g) 一0(д)]■
Для отыскания искомого оптимального решения
воспользуемся условиями Куна-Таккера:
Р察一出<0,
j g = 0, если Xi > 0, г = 1, n, \ OXi 丿
I P wH Xi < О, если Xi = 0, i = l.n.
、g =歹(①), x =(Ж1, Ж2, Жп).
Далее реализуются стандартные методы решения полученной системы.
Обобщенная модель операции представляется следующими компонентами:
оперирующая сторона (руководящий орган отрасли);
исследователь операции (лицо, выполняющее математическую постановку и решение задачи отыскания
gO = arg max \J(y)~C(y)]\-O^y^F(x)/
неопределенные, случайные, неконтролируемые факторы в модели отсутствуют;
информационная гипотеза (совокупность сведений о векторах цен выпускаемой продукции и затратах, а также о виде и свойствах функции 歹⑺)；
активные средства (основные фонды, количество работающих и факторы затрат фирмы, необходимые для выпуска продукции);
стратегии (возможные варианты выпуска продукции в зависимости от затрат на ее создание);
критерий эффективности (прибыль фирмы).
Задача 1.13. На рынке товаров имеется п экспортеров однородной продукции. Предельные издержки выпуска продукции г-м производителем-экспортером составляют 少勿(沙),г = 1,п. Цена единицы продукции на рынке зависит от общего количества поставляемой продукции, т. е.
р(①)=Р(Ж1+Ж2 + ... +жп).
Экспортеры не образуют коалиции и действуют на рынке самостоятельно с целью максимизации своей прибыли.
Составить модель рынка. Найти оптимальные стратегии поведения экспортеров. Выяснить, при каких условиях имеет место устойчивая ситуация равновесия. Составить алгоритм поиска ситуации равновесия по Нэшу.
Решение. Прибыль г-го экспортера от реализации им на рынке своей продукции в количестве ①高 г = 1, п, вычисляется по формуле
7Ц(叫=р(叫工i—Vi(y)dy-Ci(Xi^
о
где интеграл представляет переменные издержки (затраты), определяемые по известным предельным, a Q(g) — постоянные издержки г-го экспортера.
видавидаТогда модель рынка описывается как бескоалиционная игра п сторон, в которой каждая из них достигает своей цели путем максимизации своего функционала прибыли. Оптимальные стратегии х^ i = 1,п, поведения экспортеров на рынке должны составлять ситуацию равновесия по Нэшу и определяться в результате решения задачи
вида
вида
max 74(①), г = 1, n,xi ех〃
Xi С X, X = X] х Х2 х …х Х〃 х …х Хп.
Ситуация равновесия
/ 一(①1，/2，с/г)
будет устойчивой, если она окажется оптимальной по Курно.
Задача 1.14. Торговый пункт приобретает и реализует однородную продукцию. Пусть покупка планируется на конкретный день недели, в связи с этим торговый пункт должен определить объем партии приобретаемой продукции у ее производителя. Известно, что спрос X на продукцию потенциальных покупателей-потребителей случаен. Закон распределения /⑺ известен с точностью до первых двух моментов: математического ожидания и среднеквадратического отклонения. Продукция торговым пунктом реализуется по цене pi за каждую единицу в день ее приобретения. Стоимость хранения каждой единицы продукции составляет q〉q < Р\. Нереализованная в день приобретения продукция продается в очередной день по цене 也 「2 < Pi (за каждую единицу). Для ускорения сбыта торговый пункт делает рекламные объявления, после которых математическое ожидание закона спроса изменяется в сторону увеличения; пусть изменение происходит согласно логистической кривой
又=又=1 + (7-1)е-^1 + (7-1)е-^
又=
又=
1 + (7-1)е-^
1 + (7-1)е-^
где N — максимально возможное число покупателей; X = — при 7
力=0 — среднее значение числа потенциальных покупателей, приобретающих продукцию без рекламных объявлений; к》0 — коэффициент полезного воздействия рекламы на возможных покупателей;
Найти среднюю прибыль торгового пункта от реализации продукции без ее рекламирования и при условии рекламирования. Оценить,
насколько она отличается от соответствующей средней прибыли, когда торговый пункт приобретает продукцию в объеме ее спроса в первый день. Составить обобщенную модель функционирования торгового пункта. Выяснить, какой закон распределения величины спроса X целесообразно использовать в рассматриваемой задаче.
Решение. 1. Пусть в начальный момент времени в торговом пункте продукции не имеется. Торговый пункт приобретает продукцию в объеме У, затрачивая средств сУ единиц, реализует продукцию в объеме X согласно закону спроса и получает доход, равный р±Х. Остается нереализованная продукция У — X, на хранение которой расходуется средств д(У — X) ед. От реализации непроданной в первый день продукции торговый пункт в следующий день имеет доход Р2(У — X). В результате суммарный доход составляет величину
у
[Р1Х +「2(У - х)] /⑺ dx, о
а суммарные затраты равны величине
у
сУ+ q(Y -X}f(x}dx,
о
где /(①)—плотность распределения вероятности величины X. Прибыль торгового пункта равна
[Р1Х +「2(У - X)] /⑺ dx-cY ^ q(Y - X) /⑺ de;
оо
из этого выражения можно определить Yopt, при котором прибыль максимальна. Если для сбыта продукции организуется реклама, то математическое ожидание величины спроса возрастает по закону логистической кривой с коэффициентом полезного воздействия 0 < < к < ехэ, при этом дисперсия величины спроса уменьшается к нулю, когда к —> оо. Коэффициент к = 4(рз) — функция цены рекламы.
Тогда, очевидно, X —> У, и прибыль торгового пункта будет равна ВеЛИЧИНе—с)1(рз).
Для восстановления функции плотности распределения вероятности /(①)при известных первых двух моментах случайной величины X воспользуемся критерием в виде энтропии случайной величиныоо
"(X) = - In f(x) f(x)dx,
выражениями для ее первых моментов
//⑺ dx = mж,
(ж — шж)2/(ж) dx = сг^
и условиями вида
f(x)dx = 1, /⑺》0.
В рассматриваемом случае энтропию целесообразно максимизировать на множестве возможных функций {/(/)}. В результате задача восстановления функции /(①)С {/(ж)} становится классической задачей вариационного исчисления, решение которой для искомой функции представляется в виде
у2тгах I /% 丿
Задача 1.15. Сформулировать условия, при которых модель экономической системы по Эрроу-Дебре имеет состояние равновесия. Модель Эрроу-Дебре записывается в виде
maxp(^), yj е Y^,
max иг(х^, Xi е Х\ г = 1, m,
p(g) <。(以勿)+e®订？(⑦)，Vz e 1, m, 7Г/ =。(⑦)，
pz = 0,z<0, p > 0,2 = х — п — з, c = £g, g = £%
〉:®ij = 1, ®ij》0, G i=li
fPi = 1,0=(九。2,…，0九)，
где:
7Tj — прибыль J-го производителя;
р — нормализованный вектор цен;
z — вектор избыточного спроса;
g — вектор начальных запасов продуктов;
Хг — множество допустимых векторов потребления г-го потребителя;
Y$ — множество допустимых производственных планов J-ro производителя;
0^-——доля дохода J-ro производителя, возвращаемая г-му потребителю;
〃"(①勿)一функция полезности, определяемая на множестве X";
pz = 0 — закон Вальраса (имеет место, когда весь доход производственного сектора распределяется между потребителями);
p(g) < p(3i) + £ ®ijP(yj) — бюджетное ограничение г-го потребителя.'
Решение. Рассматриваемая модель достаточно просто интерпретируется бескоалиционной игрой n + m + 1 сторон, в которой п сторон — это производители (фирмы), т сторон — потребители и вектор цен определяется рынком. Состояние такой игры записывается
в видев виде(g1,g2,Уn? ^1,/2,? p),(g1,g2,Уn? ^1,/2,? p),
в виде
в виде
(g1,g2,Уn? ^1,/2,? p),
(g1,g2,Уn? ^1,/2,? p),
функции выигрыша сторон — соответственно в виде
(это прибыль от произведенной /-й фирмой продукции д/),
%(д), г =Т~т
(это полезность от потребления г-м потребителем продукции ①分) и (〃 z) — показатель изменения вектора цен на все товары в зависимости от избыточного спроса.
Условиями существования равновесия модели Эрроу-Дебре являются следующие.
Множества yj С 匕,J = 1, п, должны быть выпуклыми компактами и содержать 0.
Функции полезности 〃〃(/), г = 1, т, должны быть непрерывными и вогнутыми.
Действительно, при таких условиях становится справедливым утверждение о существовании компактного множества ситуаций равновесия по Нэшу. С другой стороны, если сформирована ситуация (yi, , уп, Xi, , хт, р) как ситуация равновесия, то для нее выполняются все условия рассматриваемой модели, а именно
max(Vj(yj), J = 1, n, max U〃(g), г = 1, m Пj £Yj虞i£Xj
(в смысле определения ситуации равновесия), при этом (р°, z。) = 0, так как в ситуации равновесия на рынке весь спрос удовлетворяется, и при этом любой товар, поставленный сверх предъявленного спроса, имеет нулевую цену.
Задача 1.16. Доказать, что модель Вальраса, основанная на классическом подходе подсчета уравнений и неизвестных величин, не приводит к выводу необходимых и достаточных условий существования экономического равновесия.
Решение. Выпишем уравнения моделей, описывающие поведение участников рынка и общее равновесие рынка. Пусть на рынке участвуют один производитель (фирма) и один потребитель. Производитель предлагает свою продукцию (п товаров), для выпуска которой он покупает у потребителя т видов факторов (затрат), например рабочую силу и услуги. Потребитель имеет возможность получать часть прибыли производителя за счет владения какой-то его долей (долей фирмы). Цены товаров и факторов известны.
Тогда уравнения моделей записываются в следующем виде.
Модель фирмы
max 7г(Р, X,W,Y) при условии /(X, У) = О, {X, У}
где：
7г(Р, X, W^ У) = (Р, X) — (И/, У) — прибыль фирмы;
Р — n-мерный вектор цен на товары;
X — n-мерный вектор выпуска (товаров);
У — m-мерный вектор затрат;
W — m-мерный вектор цен на затраты.
Стратегия поведения потребителя заключается в установлении оптимальных векторов выпуска и затрат при функционировании на полную мощность согласно производственной функции /(①,д) = 0. Эта стратегия непосредственно определяется из решения задачи вида
max(7г + Л/(Х, У)) = max Л(Х, У, А),
где А — множитель Лагранжа.
Согласно необходимым условиям оптимальности стратегии поведения фирмы получаем следующую систему из m + п + 1 уравнений:
『=0 г = 1, п, оХ
Видно, что здесь n + m + 1 неизвестных {①勿,г = 1, n, ?/j, J = 1, m, A}.
Модель потребителя
千零 U(X, У) при условии WY + ртг = рХ,
где 1/(①,д) — функция полезности от потребленных товаров и от предложенных факторов, условие WY + ртг = рХ есть бюджетное ограничение, р — доля дохода, получаемая потребителем от произведенной производителем продукции.
Оптимальная стратегия поведения потребителя находится из необходимых условий в виде n + m + 1 уравнений
=0, ； = 1,дУз
где
L = L(X, У, 〃)= U(X, У) + 〃[рХ -(WY + 〃初,
〃 —множитель Лагранжа.
Видно, что здесь n + m + 1 неизвестных {①勿,г = 1, n, yj, j = =1, В 〃}•
Модель равновесия рынка товаров: спрос на товар должен быть равен предложению этого товара, т. е. это равновесие порождает п уравнений с п неизвестными {①勿,г = 1, п}.
Модель равновесия рынка факторов (затрат)', спрос на каждый фактор должен быть равен предложению этого фактора.
Очевидно, это равновесие порождает т уравнений с т неизвестными {% J = 1,т}. Однако теория общего равновесия в форме закона Вальраса устанавливает необходимость равенства общего спроса на товар и факторы общему их предложению при каких-либо ценах Р и W. Тогда получаем, что одно из уравнений моделей 3, 4 зависит от всех остальных.
Таким образом, единственного решения, доставляющего равновесие названных моделей, не существует.
Задача 1.17. Установить условия продуктивности модели Леонтьева
х=Ах+а
где:
X — n-мерный вектор валового выпуска, X》0;
А — неотрицательная (п х п)-матрица, доставляющая информацию о межотраслевых связях и технологии производств;
С — n-мерный вектор конечного потребления.
Изложить экономическое содержание условий продуктивности модели и составить модель равновесных цен. Сформулировать условия отраслевого, межотраслевого и общего равновесия. Выявить изменение структуры цен в зависимости от изменения величины добавленной стоимости.
Решение. Если решение системы уравнений X — АХ = С, или, что то же, системы уравнений
/勿-〉］aijHj = Q ,〃 = 1, 71,
существует для любого конечного спроса
。=(С1, • • • , С/г)〉О, то модель Леонтьева называют продуктивной. Это означает, что существует неотрицательная обратная матрица (Е — А)-1, где Е — единичная матрица.
Действительно, так как а订》0, г = 1, n, J = 1, п; и обычно
〉:叮=
то пусть九
少9 £а〃 =力 < 1.
Далее выполним вспомогательные действия. Так, для каждого столбца матрицы А2 = АА, составленной по исходной матрице прямых затрат, имеем
E礒= 勿=1E礒= 勿=1ЕЕaikUkj =〉:ЕЕaikUkj =〉:k=ik=i
E礒= 勿=1
E礒= 勿=1
ЕЕaikUkj =〉:
ЕЕaikUkj =〉:
k=i
k=i
Отсюда с учетом а订 》0 получаем
Затем можно получить, что
lim а} - = О
/ТОО 叮
и что ряд 石 十 А 十 А?十 ％з 十 сходится, т. е. можно записать равенство,
Е + А + уР + ^з 十…=6.
Умножив обе части последнего равенства на £7 — А, получим
(石一4)(后+4+42+43十...)=(e 一 a) b, или
Е + А + А2 + А3 +... - А - А2 - А3 - ... = (Е - А) В,
ИЛИЕ = (Е-А)В и В = (Е-А)~1.
Таким образом, обратная матрица существует, а ее элементы согласно выражению В = Е + А + ^ + А3-^... неотрицательны.
В результате с точки зрения экономического содержания имеем: для любого конечного спроса С〉0 существует валовый выпуск X》0, удовлетворяющий уравнению X — АХ = С.
Рассмотрим столбцы матрицы прямых затрат А. Они отражают структуру используемых ресурсов, необходимых для функционирования каждой отрасли, т. е. по данным столбцов J = 1,п устанавливается следующий баланс:九
расходы Pj отрасли J равны сумме промежуточных затрат £ dijPi и добавленной стоимости 少高 т. е.
Pj = Pj + з, j =T77i.
Эта система уравнений представляет модель равновесных цен. Отсюда непосредственно следует выражение
SP = (E-A)~1Sv, т. е. зависимость изменения цен ЗР от изменения добавленной стоимости 6v.
Задача 1.18. Установить условия равновесия в стационарной многопродуктовой модели экономической динамики Гейла.
Решение. В основу постороения модели Гейла положено описание производственного процесса парой неотрицательных п-мерных векторов X и У, координаты которых обозначают соответственно количество затрат и количество продукции. Для каждого производственного периода 力= 1,2,..., к необходимо выбрать технологически реализуемый процесс
z = (х , у)е z
таким образом, чтобы на каждом рассматриваемом периоде затраты X* не превышали выпуск У^-1 в конце предыдущего периода; Z — выпуклый замкнутый конус, лежащий в неотрицательном
ортанте (рис. 1.1; здесь / — разделительная линия, определяемая нормалью Р). Если (0, У) G Z, то У = 0; и можно сделать вывод, что
любой продукт производится хотя бы одним производственным про
цессомцессомz =（/勿，%，，=1,几），z =（/勿，%，，=1,几），
цессом
цессом
z =（/勿，%，，=1,几），
z =（/勿，%，，=1,几），
е. для всякого г G 1, п найдется z G Z такое, что у% 〉0. При этом последовательность процессов (траектория Z*,力=1, к) характеризуется показателем 入⑶—темпом сбалансированного роста либо значением полезности,
к
t=i
функционирования экономики.
Тогда пара векторов {Х°, У °} = Z0 определяет состояние равновесия, если темп сбалансированного роста
гдегдеА0(Х0,У°)>А(Х,У),
где
где
*(Х°,У°)= max Х(Х, У).
(x,y)ez 、 丿
Х,У》0
Этому равновесию соответствует и равновесная система цен, т. е. вектор цен Р°》0 равновесный, если
Р°(У)< А(Р°,Х).
Действительно, условие Р°(У) < А(Р°, X) непосредственно вытекает из анализа множества
V = Jy-A°XV = Jy-A°Xi=l丿i=l丿
V = Jy-A°X
V = Jy-A°X
i=l丿
i=l丿
где Xi и yi — нормированные компоненты векторов X и Y. Множество V выпукло, оно не пересекается с внутренностью положительного ортанта О^, а значит, по известной теореме об отделимости выпуклых множеств, может быть отделено от этого ортанта О^. То есть
существует векторсуществует вектортакой, чтотакой, что(产，У-АХ) <0.(产，У-АХ) <0.
существует вектор
существует вектор
такой, что
такой, что
(产，У-АХ) <0.
(产，У-АХ) <0.
Это иллюстрируется на рис. 1.1. Можно доказать также, что Р°》0.
Задача 1.19. Установить состояние экономического равновесия модели Макарова
т max, г = 1,
(运⑺ < m(Z||Z),
ii
石(z) = i=li=l
где a〃(z)——величина дохода, получаемая г-м экономическим производителем (агентом) в состоянии z G Z,
z =(Zi)• • •))• • •))р)) z С Z = (Z], Р),
& =(Нi〉Уi)〉厶=1儿 *i e X〃， yi e 匕，i = 1, /,
Xi xYi = Zi) 5 = 1/
^i UA九，匕UA九，p U ^п •
Здесь:
Х〃 一 множество возможных затрат-стратегий г-го экономического агента как потребителя;
匕一множество возможных вариантов выпуска продукции- стратегий г-го экономического агента как производителя;
Xi — набор товаров г-го экономического агента потребителя;
(ж, р) — стоимость набора товаров х^
(д, р) < a〃(z II 務)—бюджетное ограничение, где
(z11 務)=(Z1,Z/,p)；
P — вектор цен;
E(z) — избыточный спрос.
Решение. Состояние равновесия имеет место, если выполняются следующие условия.
Zi выбирается согласно бюджетному ограничению: расходы на приобретение товара не превышают доход г-го агента.
Реализуется требование баланса спроса и предложения 石(z) = 0.
Ни один из агентов, действуя в одиночку с целью максимизации своего дохода, не может перевести состояние экономики в предпочтительное для себя состояние путем изменения только своей стратегии, когда стратегии всех других агентов остаются неизменными (т. е. реализуется принцип формирования ситуации равновесия, когда агенты не образуют какие-либо коалиции).
Задача 1.20. Установить условия устойчивого функционирования рынка товаров в динамических моделях Кейнса, Самуэльсона и Хикса.
Решение, а) Модель Кейнса описывается балансовым соотношениемH = Q + /—G力
и тождеством
厶=
где:
Yt — совокупный валовый выпуск за 力-й период,
Ct — общее потребление, Ct = Ct(Yt-i),
/^ — инвестиционный спрос, It = /“*),
St ——накопление за период t (сбережения),
it — норма процента,
Gt ——непроизводственные расходы за 力一й период.
Пусть общее потребление линейно зависит от валового выпуска за (力-1)-й период
0方—a匕一1十b, где a — интенсивность потребления, a〉0, или множитель модели Кейнса, b — константа, b〉0. Тогда
Yf = aYf—i + 6 + /f + Gf, a〉0, b〉0,или имеет место разностное уравнение первого порядка вида匕一a匕一1 = b+/方+ G力.
Чтобы получить единственное решение этого уравнения, достаточно задать 匕_] при каком-то 力》1. Допустим, что Уо известно; тогда 匕=аУо + ^ + /о + Go,
Н =。匕十匕十厶 + Gi = а(аУо + Ь + /()+ Go) + ^ + /1 + Gi =
=a^K) + a(b + /o + Go)十匕十厶 +Gi, Уз = a >2 + b 十 /2 + G2 =
=a^o^^Q-V d(b -\- Iq -\- Go) + 6 + /1 + Gi) + 6 + /2 + G2,
匕= а*Уо + а* i(b + /()+ G°) +... +(z(6 + It—i + Gt—i) + ^ + /t + G力.
Если теперь положить
/о =厶=/2 =…=厶， Go = Gi = G2 =…=G% то получим
匕= а*Уо + (а* 1?十...十 a 十 l)(b十/° 十 G°),
где at-1 + af-2 + ... + a + 1 представляет собой отрезок ряда геометрической прогрессии, сумма членов которого будет равна .
Очевидно, эта сумма возрастает при возрастании 力 когда a》1, или стремится к величине , когда a < 1. Последний случай соответстОчевидно, эта сумма возрастает при возрастании 力 когда a》1, или стремится к величине , когда a < 1. Последний случай соответст1 — a
Очевидно, эта сумма возрастает при возрастании 力 когда a》1, или стремится к величине , когда a < 1. Последний случай соответст
Очевидно, эта сумма возрастает при возрастании 力 когда a》1, или стремится к величине , когда a < 1. Последний случай соответст
вует устойчивости функционирования модели Кейнса, при этом общее потребление в t-м периоде не превышает доход в (力一1)-м периоде.
Примечание. Изложенное решение распространяется на другие кейнсианские модели экономического роста — модели Харрода и Харрода-Домара.
В модели Самуэльсона учитывается взаимосвязь между множителями модели Кейнса и принципом акселерации. Модель описывается соотношениями
3 А. Н. Катулев и др.
гдегде^t = Ct -^- h + Gt,
где
где
。力=。匕一1 + b,厶=kb。力—1,/力—max[0, k3Cf—i\,
6Cj\ = Ct — Ci k〉0,
к — коэффициент (мощность) акселерации. Отсюда получаем разностное уравнение второго порядка
匕一a(l+k)匕一1 + ak匕一2 = b+G方.
Пусть Gt = const. Условия устойчивости выводятся по характеристическому уравнению
гдегдеa2z2 a^z а^ = 0,
где
где
。2 = 1, fti = —а(1 + k),а()= ак
для однородного разностного уравнения
Yt — a(l + k)匕—1 + akYt_2 = 0.
Теперь заметим, что система будет устойчивой, если корни характеристического уравнения будут находиться внутри круга единичного радиуса. Это соответствует расположению корней на плоскости комплексного переменного слева от мнимои оси в полосе ± —5 где Т =力一(力一1). Однако такое расположение не поддается проверке с использованием известных критериев оценки устойчивости непрерывных динамических систем. Поэтому следует перейти к другой комплексной плоскости, в которой областью устойчивости будет вся левая полуплоскость. В этом случае для оценки устойчивости системы могут быть применены все известные критерии. Далее воспользуемся критерием Гурвица.
ной плоскости:ной плоскости:b2s2 ^Ьгв + Ьо = О,b2s2 ^Ьгв + Ьо = О,гдегдеТеперь запишем характеристическое уравнение в новой комплекс-
ной плоскости:
ной плоскости:
b2s2 ^Ьгв + Ьо = О,
b2s2 ^Ьгв + Ьо = О,
где
где
b2 = 02 -ai + a0， b\ = 2a2 — 2的, b0 = a2一肉 + a0,
s=7TT '
Р — обозначение комплексного переменного.
Условия устойчивости по Гурвицу имеют вид
Ь2 > 0, bi〉0, Ьо〉0,
венстввенствт. е. динамическая модель Самуэльсона будет описывать устойчивое функционирование рынка товаров, если выполняется система нера-
венств
венств
T —a〉0,
< 1 — ak〉0,
、1 + 2ak + a > 0.
Модель Хикса представляет обобщение модели Самуэльсона. В ней инвестиции определяются соотношениями
It = k6Yt.^ 5匕一1 =匕一匕一
непроизводственные расходы — выражением
G^ = G°(1 +)义
где 7 характеризует темпы роста, а общее потребление определяется соотношением
G(匕-1).
порядкапорядкаПусть С± = aYt-i + b. Тогда динамика функционирования рынка товаров в модели Хикса описывается разностным уравнением второго
порядка
порядка
匕—(а + к)匕+ к 匕一2 = b 十 G°(l 十))* •
Искомые условия устойчивости устанавливаются так же, как и в предыдущей модели и записываются в виде 1 + а + 2А; > 0, к < 1, а < 1.
Задача 1.21. Построить примеры функций приведения разных конечных продуктов к однородному продукту.
Решение. 1. Разобьем совокупность конечных продуктов на две подсовокупности так, чтобы одна из них состояла только из взаимозаменяемых продуктов, а другая — из взаимодополняющих.
Для агрегирования первой подсовокупности продуктов воспользуемся «экономическим» способом их соединения, т. е. функцией приведения видат
用(Х) = £ CiXi,
i=l
где:
X = (Xi, Х2,…，Хм) — набор т видов конечных продуктов;
С = (Q, Q,…，Cm) — набор т весовых коэффициентов.
Для агрегирования продуктов второй подсовокупности воспользуемся обобщенным логическим их свертыванием, т. е. функцией приведения вида
歹ол(Х) = т?
где:
W = (Wi,忆,Жг) — набор п коэффициентов, определяющих количество потребляемых продуктов;
X = (Xi, Х2, •••, X九) — набор п видов потребляемых конечных продуктов.
Примечание. Функции приведения должны быть положительно однородными, не убывающими по каждому виду продукта, непрерывными и вогнутыми.
Задача 1.22. Составить простейший вариант статической модели межотраслевого баланса, в которой должны учитываться затраты
з*
на устранение одного обобщенного загрязнения окружающей среды. Показать, что борьба с загрязнением приводит к мультипликативному росту спроса на продукцию отраслей экономики.
Решение. Пусть имеет место выделение каждой отраслью в процессе производства одного и того же вида загрязнения. Тогда максимальное суммарное количество загрязнения равно
("，X/) =〉: 3 X叮,j = 1, п.i=l
Из этого количества часть загрязнения а(少,Х), 0 < а < 1, может быть устранена, а оставшаяся часть (1 — а)(少,X) выделяется в окружающую среду, т. е.
а®, X» = (〃 X/) — (1 — а)(〃 X».
При этом на устранение загрязнения каждая отрасль выделяет средства в количестве Uja(% X» J = 1, п, т. е. общие затраты на устранение загрязнения будут
X» = аe"八〃 X».
В результате простейшая модель межотраслевого баланса, в которой учитываются затраты на устранение загрязнения окружающей среды, представляется в виде
X = 4X +а{"八〃 x» 十y,
или в виде
Х = АХ+ и^,Х^-(1-a)(v,Xj)] + Y,
X = АХ + Uj(V, Xj) - V^Y^ + У, где 〃+】=(1 — а)(〃 X/(Е — А) X = У 十 UjX心 где Xn+i = (〃 X» — 〃+i,Е — единичная матрица,X^BY + BUjX^ где В = (ЕА)~\
Х = х + 5Х, где X = BY, SX = BUjXn^uX^+i =(少，X/ 十 ЬХ/) — Уп+i =(少，X/)十(少，BujX^+i) — ^n+i,(石—UjB) X^+1 =(少，X/) — Кг+1,Xri = (E-U/)T((〃 羽)-〃+i),где {E — UjB)-1 — мультипликатор.
Таким образом, получаем
Х = Х + (Е-UjB『BUj((%X) - Yn^).
Отсюда следует, что чем меньше \\Е — UjB\\ — норма матрицы ｛Е — UjB\ — тем большие затраты требуются на устранение каждой дополнительной единицы загрязнений.
Задача 1.23. Построить оптимальную стратегию поведения потребителя на приобретение товаров, зная кривые безразличия и пользуясь предельной нормой замещения.
Решение. Содержательно предельная норма замещения показывает возможность потребителя отказаться от приобретения какого-то количества одного товара в пользу приобретения дополнительного количества другого товара. Количественно предельная норма замещения определяется тангенсом угла наклона касательной к кривой безразличия, отражающей уровень функции полезности в конкретной точке, т. е. значение предельной нормы замещения совпадает со значением предельной полезности — со значением показателя дополнительного удовлетворения (дополнительной полезности), получаемого потребителем от приобретения дополнительного количества товара.
Поэтому искомая оптимальная стратегия поведения потребителя отыскивается в результате решения задачи вида:
найти /°(р, J), при котором достигается maxU(/) и выполняется ограничение“6
(р, ж) < J, ж > О, Р > О,
где:
х — вектор приобретаемых товаров ж =(①匕 ①2,…，①九)；
。-вектор цен товаров,。=(九。2,0九)；
J — денежный доход потребителя;
ж0 — оптимальное количество приобретаемого товара.
Оптимальная стратегия будет представляться функцией «доход- потребление», если
J = var, р = const.
Пусть имеем
Jmin < 丿 < J max, Р = COHSt, сепарабельную функцию полезности
и⑺=£%(g),
которая непрерывна и строго вогнута.
Тогда, воспользовавшись функцией Лагранжа
£%(g) + /\(丿一£仍т max_ ,分=]\ i=l /｛入声勿)分=1)九｝
получаем частный случай функции спроса ——кривую Энгеля
*(/) =入仍，i=T~ri,
где 0 < I < oo, как функцию «доход-потребление», которая установлена параметрически; причем 叫⑺ строго убывает от +схэ до 0.
Разрешая полученную систему уравнений относительно ①高 получим искомую стратегию ①？(J, А), начинающуюся в точке 唸也 ПРИ А = схэ, J = Jmin (например, для u^(xj = Ing — g), оканчивающуюся в точке 唸ах ПРИ А = О, J = Jmax и пересекающую по одному разу поверхности безразличия.
Теперь, пользуясь предельными нормами замещения, можно неявно выразить ①? через ①? V勿 С [2, п] следующим выражением:
*(/?)= ui(xi)3・
Задача 1.24. Доказать, что в условиях совершенного конкурентного рынка оптимальная кривая предложения отдельного производителя совпадает с ветвью кривой его предельных издержек, расположенной выше средних переменных издержек.
Решение. Издержки производителя равны суммарным выплатам за все виды затратп
где w = (wi, W2, ... , wn) — цены затрат, w > 0; ж =(①匕 ①2,①九)— вектор затрат,①》0.
Прибыль производителя определяется выражением
7Г = р/(/)-£д4・,
3 = 1
где /⑺=/(Ж1,①2,①九)一производственная функция; р — цена созданной производителем продукции.
Оптимальный уровень выпуска (предложения), очевидно, определяется из решения задачи вида
max 。/(①)一£w7g• = m^[py - C(y)].
{/(%)} L」{沙}
Для ее решения запишем необходимое и достаточное условия оптималь
былабыланости. Первое из них требует, чтобы цена продукции производителя
была
была
т. е. равнялась предельным издержкам, а второе — утверждает, что
*〉о,dy
т. е. предельные издержки в точке у = д°Р‘ минимальны.
Функция предельных издержек возрастающая. При этом производитель будет выпускать продукцию в количестве д°Р* если цена этой продукции выше средних переменных издержек. Отсюда вытекает требуемое утверждение задачи.
Задача 1.25. Установить систему оптимальных цен и прибыльности технологий в обобщенной модели Леонтьева.
Решение. 1. Запишем обобщенную модель Леонтьева. В матрично-векторной форме она имеет вид
(Е —А)Х》Н
Х》0,)》О,
СX т min, где:
А — матрица коэффициентов прямых затрат;
Е — единичная матрица;
С — вектор коэфициентов затрат живого труда;
Г — матрица объемов ресурсов, необходимых для выпуска единицы продукции каждого вида в отраслях;
X — вектор ограничений ресурсов;
F — вектор конечного спроса.
Запишем двойственную обобщенную модель; она имеет вид Р(Е-А)-гГ^С, Р》0, 丁》О,
PF ——> max,
Р,г
где Р — вектор цен на продукцию; г — вектор цен на ресурсы.
Воспользуемся стандартным двойственным симплекс-методом для решения задачи максимизации и получим искомую систему оптимальных цен.
Вычислим значения компонент критерия прибыльности технологий
Технологии, не отвечающие этому критерию, не должны выбираться.
Задача 1.26. Установить состояние равновесия и оптимальную траекторию цен модели Вальда-Касселя.
Решение. Модель Вальда-Касселя записывается в виде тах(Р,Х) при ограничениях АХ ^ b, X》О, где:
А = (а订),г = 1, т, J = 1, п — матрица прямых затрат;
aij》0 — количество г-го вида затрат, необходимых для производства одной единицы J-ro вида выпускаемой продукции;
X = (xi, ^2, ..., хп) — вектор совокупного предложения производственного сектора экономики;
Р = (pi,。2,…，Рп) — вектор цен на выпускаемую продукцию;
b — вектор первичных факторов, потребляемых производственным сектором экономики, b =(拆，以• • •，bm)・
При этом спрос на продукцию производства в рассматриваемой модели точно совпадает с ее предложением. Искомое состояние равновесия Х° представляет решение стандартной задачи линейного программирования симплекс-методом. Для установления оптимальных цен на первичные факторы — затраты — следует составить двойственную задачу. Она имеет вид
min®, Ь) при ограничениях vA ^ р, 少》0, где 少=(少1,少2,少тп) — вектор цен на факторы.
Искомое решение этой задачи — оптимальный вектор цен — отыскивается согласно двойственному симплекс-методу.
Задача 1.27. Торговое предприятие осуществляет торговлю хлебом, ежедневно оформляя заказ на следующий день, в котором указывается размер поставки. В случае непродажи хлеба за день, черствый хлеб возвращается поставщику, при этом предприятие платит штраф Сш = 2 за каждую буханку хлеба. Прибыль от реализации одной буханки хлеба торговым предприятием равна Сп = 1. Величина спроса на хлеб в день R — дискретная случайная величина, имеющая распределение
(Р(Н) = 0,01； А = 901, 1000).
Каким образом предприятию выбрать размер поставки в заявке?
Решение. Оперирующая сторона располагает стратегиями (г), определяющими размер (в буханках) поставки хлеба на следующий день. Критерием операции является величина прибыли, полученной торговым предприятием за день торговли хлебом:
если
ЯСп-^-Я)Сш, если г > R.
Естественно, что эту величину торговое предприятие стремится максимизировать при условии, что разрешается осреднение критерия по случайному фактору. Приходим к критерию
1000
R=901
Несложно показать, что при 902 < 〃 < 1001 верно равенство
戸⑴-戸(勿-1) = [(1001 -г)Сп- Сш(г - 901)] 0,01,
причем эта разность в левой части при возрастании i от 902 до 1001 убывает. Тогда оптимальное значение i определится из условия перехода данной разности из положительной области в отрицательную: 2^ = min [г: 902 < г < 1001,戸(〃十 1)—戸⑴ < 0].
Для исходных данных задачи Сп = 1, Сш = 2. Поэтому
= entier「喝累？ = entier (第卜 934,
т. е. торговому предприятию следует оформлять заказ на 934 буханки хлеба (здесь entire — обозначение целой части числа).
Задача 1.28 (см. [50]). Два предприятия производят один вид продукции и устанавливают на нее оптовые цены; при этом первое предприятие не знает предполагаемый выпуск и цены на продукцию второго. Пусть D — потребность рынка в продукции на планируемый период, а и и v — количество продукции, планируемой к производству в этом периоде соответственно первым и вторым предприятиями, причем 生少 < К, где К задает ограничения на производственные мощности обоих предприятий. Пусть р и q — цены единицы продукции, назначаемые первым и вторым предприятиями и удовлетворяющие неравенствам
а^р^ b, a<q<b, где а — себестоимость продукции. Предполагается, что вначале покупается более дешевая продукция, а если цены равны, то покупается продукция второго предприятия. Пусть цель оперирующей стороны (первого предприятия) состоит в получении как можно большей прибыли от продажи произведенной продукции.
Найти наилучший гарантированный результат для первого предприятия, если цель второго предприятия не известна.
Решение. Контролируемые факторы для оперирующей стороны —_
х = (и, р),0 < а < К, а & Р & Ь〉
а неопределенные факторы —
Критерий эффективности первого предприятия имеет вид
!
рmin(u, max(0, D — v)) — au, p^ q, pmin(u, D) — au, p < q.
Исходя из принципа наилучшего гарантированного результата находим гарантированную оценку эффективности стратегии ж:
{
—аи, если 。< К,
pmin (u, D — К) — аи, если 。〉К,
а затем определяем наилучший гарантированный результат для первого предприятия:
W； = max Wi (无)=max [min (К, D — K)^(b — a).
Задача 1.29. Для производства четырех видов изделий。匕。2, Рз, °4 завод должен использовать три вида сырья Е^,石2,石3, запасы которых составляют соответственно 900, 500 и 200 условных единиц. В табл. 1.7 заданы технологические коэффициенты, т. е. расход каждого вида сырья на производство единицы каждого изделия, и прибыль от реализации единицы продукции каждого вида.
Таблица 1.7
Виды сырья
Запасы сырья
Технологический коэффициент для производства единицы продукции
01
°2
Оз
°4
900
4
2
0
3
后2
500
2
2
2
2
后3
200
1
0
1
1
Прибыль от реализации единицы продукции
5
2
3
4
Требуется составить такой план выпуска указанных изделий, чтобы обеспечить максимальную прибыль от реализации продукции.
Решение. Обозначим через Xi — количество изделий вида Di (г = 1, 4). Тогда приходим к задаче максимизации прибыли
L = 5/1 + 2/2 + З/з + 4/4 т max
при ограничениях
j 4/1 十2①2+ 3①4 < 900, 2力1 + 2/2 + 2сз + 2/4 < 500, ^1 +жз + ^4，200,
、/ь①2,①3,①4》0.
Получили задачу линейного программирования вида L = сн т max,
S = {х: Ах < 6, ж > 0}.
В разрешимых задачах линейного программирования допустимо применение лексикографического упорядочения; а оно совпадает с обычным упорядочением, обеспечивающим достижение условного экстремума. При этом с каждой ситуацией
g = (А, Ь, с, ж)
связан элемент
й = (ui, а?)'
где 〃1 = 3s ⑺—характеристическая функция множества S:
если ж G
О, если ж
U? = L = сх.
Решая задачу линейного программирования симплекс-методом, получим последовательность лексикографически упорядоченных планов. Для перехода от системы ограничений-неравенств к системе ограничений-равенств прибавим к левой части каждого неравенства добавочные неотрицательные переменные ①5, xq,①7. Они имеют в условиях данной задачи экономическое содержание: объем остатков сырья каждого вида после выполнения плана выпуска продукции. Получаем систему уравнений
'4/1 +ж2 + 3/4 + ж5 = 900,
2/1 + 2/2 + 2сз + 2/4 十 /6 = 500,
<+ Ж7 = 200,(L5)
、4》0, 7 = 1, 7.
Поскольку система ограничений состоит из трех уравнений с семью переменными, то число основных переменных — три, а неосновных —четыре.
Найдем сначала любое базисное решение, т. е. решение 无,для которого 〃1 = 3s (无)=1・ Для этого достаточно принять за основные переменные добавочные переменные ①5,①6,①7・ Полагая неосновные (свободные) переменные ①1,①2,①з,①4 равными нулю, получаем базисное решение
ж0 = (0,0, 0, 0, 900, 500, 200),
которое является допустимым, и для него й = (1, 0)т, поскольку при
①1 =力2 =力3 =力4 = 0
значение критериальной функции L равно нулю.
Переходим к поиску оптимального решения. В системе (1.5) основные переменные выразим через свободные. Чтобы выяснить, оставлять свободные переменные в числе свободных или (с точки зрения приближения к оптимальному решению) их выгоднее перевести в основные, выразим через них линейную форму L. Имеем
'①5 = 900 - 4/1 - 2/2 - 3/4,
< /6 = 500-2/1-2/2-2/3-2/4,(1.6)
、①7 = 200 — Ж1 — жз —①4,
L = 5/1+2/2 + 3жз+4/4.
Из анализа линейной формы 厶 следует, что ее значение возрастает при увеличении значений переменных ①匕 ①2,①з,①4・ Переведем в число основных переменных ①i, так как оно входит в L с наибольшим коэффициентом. Однако увеличение L за счет увеличения ①i может продолжаться до тех пор, пока и^{х) = 1, т. е. пока не нарушается требование неотрицательности переменных. Поэтому из первого уравнения системы (1.6) следует, что ①i не должно превышать число
= 225, чтобы (无)оставалось равным 1. Аналогично, из второго и третьего уравнений системы (1.6) следует, что ①i должно удовлетворять неравенствам
/ 500/ *
①① < 200
соответственно.
Итак, взяв
①1①1=min=min/900 500 2001 _ 丁 Tj =/900 500 2001 _ 丁 Tj =minmin{225,250,200) = 200,{225,250,200) = 200,
①1
①1
=min
=min
/900 500 2001 _ 丁 Tj =
/900 500 2001 _ 丁 Tj =
min
min
{225,250,200) = 200,
{225,250,200) = 200,
свободныесвободныеполучаем, что после перевода ①i в основные переменные, а /7 — в
свободные
свободные
жх = (200,0,0,0, 100, 100,0),
причем
"2(")〉"2(无°),
так кактак как厶(无 1) = 1000〉L(x°) = 0.厶(无 1) = 1000〉L(x°) = 0.
так как
так как
厶(无 1) = 1000〉L(x°) = 0.
厶(无 1) = 1000〉L(x°) = 0.
Выражая в (1.6)①i из третьего уравнения и подставляя это выражение в остальные уравнения и L, имеем
，x1 = 200 一 /3 一①4 -/7,
<①5 = 100 —2/2+4/3+/4+4/7,(1.7)
、①6 = 100 - 2/2 — 2/7,
L = 1000 + 2/2 - 2/3 一①4 - 5 / 7.
Применяя аналогичные рассуждения к (1.7), приходим к выводу, что ①2 следует ввести в основные переменные, а вывести xq или ①5 (пусть это будет ①б)・ Выражая ①2 из третьего уравнения системы в (1.7) и подставляя в остальные уравнения, имеем
，Ж1 = 200 _ ?з —力4 —①7,
< 力2 = 50 h /7〉
、/5 = 4/3+？4十/6+2/7,
L = 1100 - 2/3 一①4 一①6 - 3/7.
При этом ①2 = 50, и решение
ж2 = (200, 50, 0, 0, 100,0,0)
является оптимальным, поскольку все коэффициенты перед Xj в L отрицательны.
"2(无2)〉"2("),"2(无2) = 1100.
Для получения наибольшей прибыли в 1100 единиц предприятие должно выпустить 200 единиц продукции。匕 50 единиц продукции вида。2, а продукцию видов Q и & производить невыгодно. Сырье типов 石2 и 邑 будет израсходовано полностью, а 100 единиц сырья типа 邑 останутся неизрасходованными.
Задача 1.30. Комплекс работ задан структурно-временной таблицей (табл. 1.8).
Таблица 1.8
Работы
Опирается на работы
Время выполнения работы
—
20
аз
—
10
°2
。4
30
«1
a2, a3, a4
10
Если с работ а】и 。4 снять (или добавить на эти работы) соответственно 6] и 64 единиц денежных средств, то времена их выполнения изменятся:
力4 = 20 —2М, й = 10-361,
но не могут стать меньше 4 единиц времени. С работ。2 и 仰 снимать средства нельзя, а дополнительные вложения в них не приводят к уменьшению времени их выполнения.
Выяснить, как нужно перераспределить средства между работами а】и сц (без внешних дополнительных вложений в комплекс), чтобы общее время выполнения всего комплекса Т работ было минимальным. Найти это время Т°.
Решение. Построим сетевой график выполнения работ при bi = М = 0 (рис. 1.2). При таких 拆，М комплекс работ будет выполнен за время То = ^4 + ^2 + ^з = 60 (ед.).
Время выполнения комплекса работ с учетом возможного перераспределения средств составит
Т = max{10,力4} +30 +力1 = max{10, 20 — 261} + 40 — З61,
и его требуется минимизировать по 64, так как по условию 64 = — Ь> Рассмотрим два случая:力з》力4 и 力3 < t^.
а)力з》力4 т. е. 10》20 — 2b4. Тогда задача примет следующий вид:
Т = 50 + 3^4 т min
при условиях/
р < 20-2^4 < 10,[10 + ЗМ》4.
Минимальное значение Т равно 65 и достигается при 64 = 5. б)力з < 力4 (или 10 < 20 —264). В этом случае приходим к следующей задаче:
T =力4十力2+力1 = 20 - 264+30+10+3ь4 -^ min 匕4 при ограничениях
(20-264〉10,
(10 + 3^4 >4.
Теперь минимальное значение Т равно 58 и достигается при 64 = 一2.
Таким образом, искомое решение задачи соответствует случаю 6).
Итак, минимальное время выполнения комплекса работ Т° = =58 (ед.) достигается, если перераспределить 2 (ед.) средств с работы сц на работу а±. При этом работы а± и а< будут выполнены за время 力1 = 4 (ед.) и 力4 = 24 (ед.) соответственно.
Задача 1.31. Найти систему оптимальных цен в модели Канто
ровичаровичаY = АХ - Za, Х》0, Z > 0,Y = АХ - Za, Х》0, Z > 0,
ровича
ровича
Y = АХ - Za, Х》0, Z > 0,
Y = АХ - Za, Х》0, Z > 0,
z —> max, а =(Qi,...,am)T, где:
А = (Ai, Ап) — технологическая матрица;
Aj = (a±j, a^j, ..., amj)T — выпуск J-го производства при условии, что Xj》0;
У = (У1, Н,…，匕，…，Ym)T — вектор выпуска; обозначает технологический процесс производства (если Yj < 0, то это затраты, если Yj > 0, то — выпуск, если Yj = 0, то считают, что благо с индексом J не имеет отношения к рассматриваемому производству), yj = Zaj + Yj；
У — постоянная часть вектора выпуска, (м,…，&加)一коэффициенты переменной части выпуска каждого вида продукции;
Z — набор значений выпуска различных видов продукции в его переменной части,—
Z = min —一—.
Решение. Отыскивается по аналогии с решением задачи 1.18.
Задача 1.32. Рассмотрим задачу оценки параметров двумерного изображения. При этом функция S(①，g), описывающая изображение, может быть представлена в виде двумерного сплайна с неравномерным расположением узлов [22]
s(c, у)= £ £ Cij屮i⑺也(у))
i = ~Ql j = ~Q2 где:
q(①)，^j(y) — одномерные В-сплайны степеней 内 и 位 по координатам х и у соответственно,
г = л-1, J = -q2, яг-1;
пит — количества опорных узлов для В-сплайнов 夕勿(①)и 吵/(沙) соответственно;
Cij — неизвестные параметры, подлежащие оценке по выборке {/(①к, %)}, где
(①к, yi) С [а, Ь] х [с, d], к = о, N, / = О, М.
Будем считать составляющие выборки {/(①к,д/)} некоррелированными, характеризующимися нормально распределенными ошибками с дисперсией о% и аддитивными составляющими с интервалами их возможных значений
-Ski < r]ki < 3kh k = 0, N, / = 0, M, где Ski — заданные величины.
Необходимо сформулировать математическую задачу оценки параметров изображения с叮 и указать метод ее решения.
Решение. Исходя из принципа гарантированного результата искомые оценки параметров изображения находятся путем решения задачи ■п —1 т — 1
min max V pkimin max V pki/(сk,%)一££ Cij(Pi(xk)^j(yi)-T]ki
min max V pki
min max V pki
■i = -Ql j = -Q2
\Лк11 < Ьк/, к = 0, TV, / =
где pki = * — вес измерения /(①店，勿). akl
Эта задача сводится к задаче математического программирования: найти min а при условии
N,M 「n —1 т — 1-12
e pki /(/%)- £ £ C"Q(сk)叽•(%)一玖2 < U
乩/=0 l勿=-41片-42」
для всех
|〃М<Ьк/, к = 3 N, / = О, М.
Для решения такой задачи воспользуемся методом минимизации модифицированной функции Лагранжа. Запишем последнюю в виде
!
N,M
о, 〃 - £ pki хk,l=O
-n —1 m —1-12 'I
X /(7k，%)一££ Cij^i(xk)^j(yi)-T]ki > +
Le= -qi片-42」丿
N,MN,M
k,/=0k,/=0
где z/ —> cxd, a A^/, 7^/, к = Q)N)/ = 0, M, — множители Лагранжа. Тогда искомые оценки ｛с叮｝ находятся из решения системы урав-
нений
< |ЭА(САА 7Z А/)
j=0,2=处,几 1,； = Q2, m 1,
aN(cij)"亠)_ 八
AA(: •山〃)= k=厅 / = МЙ,
aа(于也〃)=k=厅 ?=e
N,Mmaxpki｛欣/区迎/｝k彳:0N,Mmaxpki｛欣/区迎/｝k彳:0при г/ —> схэ. В результате получаем оценки ｛吟｝ и а*. При этом наименее благоприятные значения аддитивных ошибок 〃店/ определяются из решения задачи вида
N,M
maxpki
｛欣/区迎/｝k彳:0
N,M
maxpki
｛欣/区迎/｝k彳:0
'n —1 m —1" /
/(/k,%)- £ £ c*■Q(/k)吵八%)一玖/ ="*,
•i = -qi j = -Q2-
**JJ
где с- и и — решение последней системы уравнении.
Задача 1.33. Склад имеет шесть хранилищ. Интенсивность поступления продуктов на склад для их хранения составляет 15 единиц в месяц транспортных средств одной и той же грузоподъемности. Поток транспортных средств описывается пуассоновским законом с параметром А = 15. Время разгрузки каждой транспортной единицы случайное и описывается показательным законом с параметром t = =0,5 дня.
Требуется проанализировать показатели качества работы склада и установить целесообразность увеличения числа хранилищ.
Решение. Воспользуемся моделью системы массового обслуживания с ожиданием, функционирование которой в стационарном режиме описывается следующими соотношениями:
一入汽+/ =0,
-(А + kp} Pk + {k + 1) ЛР^+i + ^Рк-i = 0, 1^к <п,
-S + nN)Pk+riNPk+\ + 入 Рк—\ = 0, к^п)
、 Р1 + /)2 + • • • + Pfe + • • • =1,
где:
Ро — вероятность того, что в системе не имеется ни одной транспортной единицы для ее разгрузки;
Рк — вероятность того, что в системе имеется к транспортных средств;
п — число хранилищ;
「1
〃 —параметр закона времени обслуживания,
Определим параметр а =—:
"=泵力=^ = 0,25.
Вычислим вероятность того, что все хранилища свободны и находятся в состоянии ожидания транспортных средств с продуктами:
РоРо1a11a1九一1 k£о k\ (n-l)!(n-a)九一1 k£о k\ (n-l)!(n-a)0,25店0,256 二 О；'， 厶к!+5!■5,750,25店0,256 二 О；'， 厶к!+5!■5,75
Ро
Ро
1
a1
1
a1
九一1 k
£о k\ (n-l)!(n-a)
九一1 k
£о k\ (n-l)!(n-a)
0,25店0,256 二 О；'， 厶к!+5!■5,75
0,25店0,256 二 О；'， 厶к!+5!■5,75
3. Вычислим вероятность того,3. Вычислим вероятность того,что все хранилища находятся вчто все хранилища находятся в
3. Вычислим вероятность того,
3. Вычислим вероятность того,
что все хранилища находятся в
что все хранилища находятся в
состоянии разгрузки транспортных единиц:
(n — 1)! (n — a)(n — 1)! (n — a)a6-0,785! • 5,75a6-0,785! • 5,75
(n — 1)! (n — a)
(n — 1)! (n — a)
a6-0,785! • 5,75
a6-0,785! • 5,75
Определим время ожидания транспортным средством начала обслуживания:
力。次==吗曙】=0,000000087 (дней).
п — а 5,75
Вычислим среднее количество хранилищ, находящихся в состоянии простоя (незанятости обслуживанием):
п —1k=0Из этого результата следует увеличения числа хранилищ.п —1k=0Из этого результата следует увеличения числа хранилищ.5= £*—76.R=0вывод о полной нецелесообразности5= £*—76.R=0вывод о полной нецелесообразности
п —1
k=0
Из этого результата следует увеличения числа хранилищ.
п —1
k=0
Из этого результата следует увеличения числа хранилищ.
5
= £*—76.
R=0
вывод о полной нецелесообразности
5
= £*—76.
R=0
вывод о полной нецелесообразности
ОБОБЩЕННЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ
МОДЕЛИ ОПЕРАЦИИ. НЕОБХОДИМЫЕИ ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯОПТИМАЛЬНОСТИ СТРАТЕГИЙ
В этом разделе изложены решения простых непрерывных динамических задач, основанные на необходимых условиях принципа максимума Понтрягина и на достаточных условиях оптимальности по Беллману и Кротову. Рассматриваемые задачи относятся к классу задач оптимального управления принятия решения в условиях определенности и конфликта.
Принцип максимума позволяет решать задачи управления при достаточно общих ограничениях на управляющие параметры и на переменные состояния — фазовые координаты; при этом управляемый процесс или динамический объект описывается системой дифференциальных уравнений — уравнениями состояния, а цель управления заключается в максимизации и/или минимизации выбранного （заданного） критерия качества на множестве допустимых управлений. Последний записывается в виде функционала и может выражать, например, время достижения цели, прибыль, стоимость, потребление, энергетические затраты, расстояние.
Один из простейших вариантов задачи управления сформулируем следующим образом:
требуется максимизировать критерий
т
/（"（•））=/（/⑴，方）d方 T max
Ju（t）
to
при условиях
花（方）=9（/（方），"（力），方），to^t^T,
①（力0）= 初 ①（7） = XT,
u^eUcE1, где:
①（力）характеризует ход процесса или движение объекта в зависимости от времени t Е \to, Т], to и Т — фиксированные моменты;
〃（力）—параметр управления, кусочно непрерывный на отрезке [力о, 7];
U — допустимое множество управлений;
夕（①（力），“（力），力）—непрерывная и дифференцируемая по совокупности своих переменных функции, описывающие состояние процесса, объекта;
/（①（力），“（力），力）—дифференцируемая функция своих переменных, характеризующая содержательную сущность управления.
Для этой задачи необходимые условия принципа максимума Понтрягина записываются в виде
max H（x（tV u（tV ^（^）, ^）,力0 ＜力 《 7, и⑴£U
机力）= ?，/（力 0）=初/（7） = /7，
"（力）=-"^, 1吵。1 十 1吵（力）1 # 0, to ^Т,
где:
^（t） — непрерывная функция, является решением сопряженного дифференциального уравнения;
"（①⑴，"⑴，以方），他方）=现/（/⑴，"⑴，方）十以方）9（①⑴，"⑴，方）
—функция Гамильтона.
Здесь заметим, что если задача управления имеет решение （/⑴,"（方）），t0 < t < T,
а из условий
花=9（①⑴，"⑴，方），"=一赤，Ио1 + И（^）| 7^0, to^t^T, однозначно определены с（力），吵（力），^о,力о《力 < 7, то управление
"⑴="（①⑴,吵（方）,力,次））с и
оптимально. В других случаях, возможно, потребуется дополнительное исследование для установления оптимального управления, и оно не всегда может быть найдено.
Сформулируем теперь необходимые условия оптимальности управления двух сторон, участвующих в конфликтной динамической операции.
Пусть оперирующая сторона （ОС） не располагает полной информацией о реализуемых противодействующей стороной （ПС） возмущающих воздействиях на отрезке времени [力о,7]; ОС располагает априори только информацией о множестве возможных возмущений — о множестве возможных значений параметра управлений ПС.
Тогда задача управления становится игровой и формулируется так.
Требуется минмаксимизировать критерий 丿（〃（力）,少（力））,характеризующий, например, отклонение состояния процесса （объекта） от требуемого номинального — безопасного состояния — режима нормального функционирования:
/(〃(•)，?;(•))=/(①⑴，〃⑴，少⑴，力)dt T min max
J"⑴0⑴
при условиях
丕⑴=9(①⑴，"⑴，。⑴，方)，to < t < T,
/(方0)=①0, X(T) = хT, а⑴ с и,少⑴ g К
где обозначения раскрываются так же, как и в предыдущей задаче.
Для отыскания оптимальных управлений сторон воспользуемся принципом наилучшего гарантированного результата. При этом необходимые условия для оптимальных управлений записываются в виде
min max H(x(tV u(tV v(tV ^(^), V^o, u(t)EU v(t)EV
*⑴=幣，①(力o)=с0, ж(T) = хt, "⑴=一醬.
Поскольку, как было отмечено выше, согласно необходимым условиям оптимальное решение подобных задач не всегда может быть найдено, то для их исследования с целью отыскания оптимальных управлений следует воспользоваться достаточными условиями в форме функции Кротова.
Так, для первой из сформулированных здесь задач достаточные условия записываются в виде
max R(x(tY u(tY v(x(tY tY
3⑴,"⑴)
min Ф(①(力о),①(7)),
где
R（/⑴，"⑴，。（/⑴，方），力）=/（/⑴，"⑴，方）十
+必*以①⑴，〃⑴⑴十必*,
Ф(/(方0),/(7))=卜(①(7), 7)-卜(/(方0),方。) +ь(/(方0),/(7))；
V(x(t), t) — вспомогательная функция, непрерывная, дифференцируемая по ① и 力 и подлежащая восстановлению (заданию) при всех t и ж за исключением счетного разбиения фазового пространства X Э х. Условие т!пФ в рассматриваемой задаче является тривиальным, так как ①(力о) и ①(7) фиксированы, а 歹(①(力°),①(7)) = 0.
Аналогичным образом записываются достаточные условия и для минимаксной динамической задачи.
Задача 2.1. Составить алгоритм исследования динамической модели оптимального развития многоотраслевой экономики. Рассматривается многоотраслевая производственно-экономическая система, состоящая из п отраслей, взаимодействующих между собой согласно соотношениям модели межотраслевого баланса:
Xi = ^2ai：jXj ^Y\ 〃=6(2.1)
или, в матричной форме,
X(t) = AX(t) + Y(t), где:
X，У" — валовой и конечный продукты г-й отрасли;
А = (а订)—матрица прямых затрат, где а订—норма материалоемкости, которая определяет затраты продукции г-й отрасли на производство единицы J-й валовой продукции
Н = £%“ + О, 〃 = f
(2.2)
у⑴=0ус⑴;
V1 — вводимые в г-й отрасли инвестиции;
С" — конечное потребление г-ro продукта;
D = (d叮)一матрица структуры капиталовложений, причем dij может быть определен как dij = ^- — доля инвестиций, поступивших из г-й отрасли в J-ю, в суммарных инвестициях в J-ю отрасль.
(2.3)(2.3)В силу ограниченности населения N(t)
(2.3)
(2.3)
где U есть трудовые ресурсы, задействованные в г-й отрасли.
Динамика основных производственных фондов удовлетворяет со
отношениямотношениям仁= V» — "К* г = М?,仁= V» — "К* г = М?,(2.4)(2.4)
отношениям
отношениям
仁= V» — "К* г = М?,
仁= V» — "К* г = М?,
(2.4)
(2.4)
где:
Кг — величина основных производственных фондов г-й отрасли;
〃"—коэффициент амортизации для г-й отрасли.
Полагаем, что объем валового выпуска продукции отраслей не может превышать в каждый момент времени значения, определяемого производственной функцией отрасли:
О < ХУ F(力,К* “)，〃 = f(2.5)
где F1 — линейно-однородная производственная функция. Заданы начальные условия
H(0) = Kj,(2.6)
М》0, O/皿 〃=f(2.7)
где:
°Mip есть минимальные допустимые значения конечного потребления г-го продукта,
С^п = С{-6\ i=『;
С[ — общественно необходимый минимум фонда потребления г-го продукта;
Зг — допустимая импортная квота.
Критериальный функционал имеет вид
J = ехр { —5力} g(力，с) d力一> п^х,о
где g(力,с) — функция полезности от потребления, которая берется в видеп
g(方,c) = £« ⑴
Множество М есть множество допустимых процессов
которое описывается (определяется) соотношениями (2.1)—(2.7); К описывает состояние экономики, остальные составляющие процесса и представляют собой управления.
Необходимо найти процесс
V = (X,Y,V,C,K,L)eM, оптимальный в смысле функционала J.
Дополнительные ограничения. Матрицы А и D имеют постоянные коэффициенты, причем А неотрицательная, неразложимая, продуктивная, a D неотрицательная:
3m: dij = 0 Vz > m, J = 1, n.
Замечание. Отрасли с номерами г ^ m (т. е. такие, что для всякого i ^т найдется такое J, что d订〉0) называются фондообразующи- м〃. Количество т фондообразующих отраслей существенно меньше общего количества отраслей п.
Решение. Задача решается на основе достаточных условий оптимальности Кротова.
Приведем структуру алгоритма нахождения оптимального плана.
Входные данные:
матрица прямых затрат А;
матрица структуры капиталовложений D;
начальные значения 勺，。宮也；
вектор коэффициентов амортизации 〃；
суммарные трудовые ресурсы N;
коэффициенты функции полезности 0^;
коэффициент дисконтирования 5;
вектор коэффициентов производственных функций;
начальные значения «цен» продуктов фондообразующих отраслей %（0）, j = \）т.
Выход алгоритма: «сечения» оптимального процесса для заданных моментов времени.
Алгоритм включает следующие этапы.
Задаем значение）（力）〉0 （можно брать）（力）в виде）（力）= =7о ехр{ —5力}, где 佻）〉0 — некоторая константа）.
Находим Aj = —, J = 1, m.
Из первых т уравнений системы
гдегде—（入1,An） = — （bi,bn）（E — A） x, 77（m\ ai—（入1,An） = — （bi,bn）（E — A） x, 77（m\ ai（2.8）（2.8）（2.9）（2.9）
где
где
—（入1,An） = — （bi,bn）（E — A） x, 77
（m\ ai
—（入1,An） = — （bi,bn）（E — A） x, 77
（m\ ai
（2.8）
（2.8）
（2.9）
（2.9）
находим Qi, ..., qm.
Определяем pi из соотношений
Pi =〉:（例% - 7力）"外）i = 1 n.
Проверка: если Bpi < 0, то изменяем ）（力）и переходим к п. 2.
Находим 丛：
—7， 2 = 1,71.
exp Pit
Вычисляем величины
\biaiexppitJ ''Если ki = — г = 1, п, то переходим кPi PiЗначения переменных %（力），г = m + 1, п,\biaiexppitJ ''Если ki = — г = 1, п, то переходим кPi PiЗначения переменных %（力），г = m + 1, п,П.
\biaiexppitJ ''
Если ki = — г = 1, п, то переходим к
Pi Pi
Значения переменных %（力），г = m + 1, п,
\biaiexppitJ ''
Если ki = — г = 1, п, то переходим к
Pi Pi
Значения переменных %（力），г = m + 1, п,
п. 9, иначе — к п. 2.
непосредственно оп
ределяем из （2.8）.
Если 3 А^ 0, г = m + 1, п, то переходим к п. 2.
Если 仇 < 入勿（力）е'Т г = 1, п, то переходим к п. 12, иначе изменяем ）（力）и переходим к п. 2.
Если «（力）< %（力）то Ci =。宮皿 Для тех г = 1, п, для которых неравенство не выполнено, Ci определяется ниже.
Если 3/ > т: 0/ = \e5t （избыточная отрасль не фондообразующая）, то переходим к п. 14, иначе — к п. 16.
Неизвестные Li, г = 1, п,匕,J = 1, m, yi = Сi находим из системы
，п
£（石一 亿加）/?«） = У7 ⑴，г =Т^,
< £dij力⑴=罐⑴，г=可，
e厶（方）=N⑴，
где 尸=aiePitkai,
罐⑴=^dijK^ i=T~^.（2.10）
Если найдутся несколько / > m: 0/ = Q/e", то выбираем одно из них, полагая для остальных а = Мт・
Делаем проверку неравенств
3/》鄧in, Li > 0, г =Т~п, YJ > C^in, J = 1, т.
Если условия не выполнены, то изменяем）（力）и переходим к п. 2. Если выполнены, то переходим к п. 18.
Неизвестные L\ i = 1, п, Yj, J = 1, m, находим из системы: £（石 -4）〃•户亿加）力⑴=W⑴，г = 1^,
n
e dij^R⑴=侦⑴，Z= 可.
Делаем проверку условий
Li > 0, i=T~n, £* & N, У'》*®, j = 1, rn.
Если условия не выполнены, то изменяем ）（力）и переходим к п. 2, иначе — кп. 18.
Вычисляем значения Ki = /7『,г = 1, п.
Полагаем Уг равным уг — К + /х^\ г = 1, п.
Проверяем, если V^ ^ 0, г = 1, п, то завершаем формирование оптимального плана на момент 力 иначе изменяем ）（力）и переходим к п. 2. Если при этом не выполнено условие останова, то из системы дифференциальных уравнений
沁=yj - Cj 一£ dji/^K）J = 1, m,
находим Xj（t + ^t）, J = 1, m, и W^ （t + ^t）, J = 1, m. Выполняем проверку условий Xj（t + Jt） > 0, j = 1, m, W^ > 0, J = 1, m. Если условия выполнены, то полагаем 力=力十 5 и переходим к п. 1, иначе изменяем）（力）и переходим к п. 2.
Замечание 1. Величины Aj（^ +Jt）, J = 1, m, можно найти после п. 3 и там же сделать соответствующую проверку.
Замечание 2. Перед первой итерацией начальные значения И/^（0）, J = 1, ш, вычисляются из （2.10）.
Замечание 3. На первой итерации после п. 18 необходима проверка условия К〃（0） = К^. Если условие не выполнено, то изменяем）（0） и переходим к п. 2.
Замечание 4. Проверка того, что:
К"（力）является непрерывной и кусочно дифференцируемой;
А勿⑴ W\t） т 0 （力 т оо）；
осуществляется по графикам соответствующих функций.
Задача 2.2. Построить функцию Беллмана в задаче оптимального управления на быстродействие
Т Т min ,0 < t < схэ,
充1（方）=/2（方），充2（方）="⑴，-1 < "⑴< 1,
① 1（力 0）= ^10,① 2（力 0）=① 20,
/ 1（7）=/2（7） = 0.
Построить также в системе координат （①匕 ①2）изохроны — кривые равных времен 7（①（力））=const.
Решение. 1. Запишем уравнение Беллмана:
ат（方，以方））—min （"（力3⑴%I "（方3（方））u
Непосредственно из структуры критерия
т
Idt —> min
J1〃⑴区1
о
и правых частей уравнений движения видно, что 7(力，①(力))=7(①(力)), т. е. 7(力，①(力))явно от t не зависит.
Перепишем уравнение Беллмана в виде
—1 =—1 =廊」需計2⑴+廊」需計2⑴+"（力））分）2（力）"（力））分）2（力）
—1 =
—1 =
廊」需計2⑴+
廊」需計2⑴+
"（力））分）2（力）
"（力））分）2（力）
Искомое оптимальное управление имеет вид
=если —С ' ‘〉О,
= 1,если —С ' ‘ < 0.
дх2
Для отыскания решения уравнения Беллмана имеем
姦1(力)_ dg(力)_ dT(x(t^_ 1а7()(力)n
da?i(力)dx2(t)dT (x(t))1dT (x(t) n
)2(力11dx2
с начальными условиями, указанными в постановке задачи.
Запишем решение уравнений п. 5:
7(/(力))=—ж 20 + 21/0,5^20 — жю, если а = 1;
Т (x(t)) = Ж20 + 2у0^5ж|о + Ж1о, если и = —1.
На рис. 2.1 приведена геометрическая интерпретация функции 7(①(力))при условии ①20 = const (пусть ①20 = —2). Из графика
видно, что в точке (2, 2) функция Беллмана имеет разрыв производных. Следовательно, уравнение Беллмана нельзя применять в задачах рассматриваемого типа без введения разбиения множества [О, Т] х Е2 и исключения сечений типа 力=2.
Задача 2.3. Найти оптимальное управление 〃（力）G [—1, 1] и оптимальную траекторию движения системы из начального состояния ①（力о）=①]в конечное ①（7）=①2, при которых достигается минимальное значение критериального функционала
т
ж2 dt
о
уравнением04力4 7.уравнением04力4 7.и движение системы описывается 亦⑴=",
уравнением
04力4 7.
уравнением
04力4 7.
Все переменные и время безразмерные.
Решение. 1. Составим гамильтониан:
"（7（力），"⑴，以力），力）=-*⑴+以力）"⑴ T max .
Найдем оптимальное “°（力）согласно min H. Очевидно,
u° = sign-0 при 吵 # 0.
Если же 吵=0, то конкретное u° G （—1, 1） по функции Н не определяется —имеет место режим особого управления.
纹貝d （дн\
Вычислим — 丿 и воспользуемся условием
=О=Оd dtd dt
=О
=О
d dt
d dt
для определения “° С （—1, 1） при 3 = 0. Видно, что
吵=0.吵=0.d dtd dtПри этом из сопряженной системы уравнений принципа максимумаПри этом из сопряженной системы уравнений принципа максимумаПонтрягина имеемПонтрягина имеем# =-醬今# = 2伤# =-醬今# = 2伤илиили2/=0今7=02/=0今7=0на отрезке времени, соответствующем режиму особого управления. Далее,сна отрезке времени, соответствующем режиму особого управления. Далее,с=2± = 0, ж = 0,=2± = 0, ж = 0,тогда （согласно 亦（力）=а на этом Таким образом,тогда （согласно 亦（力）=а на этом Таким образом,отрезке времени） получаем и = 0.отрезке времени） получаем и = 0.—1, （力）=31,—1, （力）=31,еслиесли” 0,” 0,если -0 = 0,если -0 = 0,еслиесли吵〉0.吵〉0.
吵=0.
吵=0.
d dt
d dt
При этом из сопряженной системы уравнений принципа максимума
При этом из сопряженной системы уравнений принципа максимума
Понтрягина имеем
Понтрягина имеем
# =-醬今# = 2伤
# =-醬今# = 2伤
или
или
2/=0今7=0
2/=0今7=0
на отрезке времени, соответствующем режиму особого управления. Далее,с
на отрезке времени, соответствующем режиму особого управления. Далее,с
=2± = 0, ж = 0,
=2± = 0, ж = 0,
тогда （согласно 亦（力）=а на этом Таким образом,
тогда （согласно 亦（力）=а на этом Таким образом,
отрезке времени） получаем и = 0.
отрезке времени） получаем и = 0.
—1, （力）=3
1,
—1, （力）=3
1,
если
если
” 0,
” 0,
если -0 = 0,
если -0 = 0,
если
если
吵〉0.
吵〉0.
Проинтегрируем уравнение движения при “° и найдем отрезки искомой оптимальной траектории.
亦=-1 今①⑴=-t + с или/⑴=一力+/i, где 04力4 < 力А,力А — момент времени переключения управления с 〃° = —1 на “° = 0.
亦° = 1 今①⑴=力十。или ①(7) = Т + D т D =①(7) — T и x(t)=力一7, где 力二 《力 < 7,力二一момент времени переключения управления с “° = 0 на “° = 1.
Вычислим значение критериального функционала на траектории
r-t + x, о《力《%,
①⑴={ 0,方k %
、方+以7) -7,案<方
Имеем
с°2(力)d£=(—t + Xi)2 dt + (①(7)十力一"Г)? d力.
оо也
Проинтегрируем сопряженное дифференциальное уравнение 吵=2ж° при известных значениях
以*) = 0,以力匕)= 0,以方)= 0, %，力4仪
В результате имеем
-g" + /i力+^—/1么0《力 4 力工匕=/1,
以方）=<以方）=<0,打，方，黑，
以方）=<
以方）=<
,22
^十（以7） - 7）方-^--（以7） - 7）%
黑4方47,黑=7 -以7）.
Получаем что 吵(力)< 0, если 0<力<匕，и 吵(力)〉0, если 黑<力 < 7; т. е. найденные с°(力)и 〃。(力)являются оптимальным решением.
решить задачурешить задачуЗадача 2.4. Методом функциональных уравнений Беллмана
решить задачу
решить задачу
з
W = * 力(3—1, %) Т max,i=l
/1(^0, 〃1) = -5(ЖО - u^+^u^XQ - и^,"(71, "2)= |(xi+u2)2-2u^,
/з(…з)=-6 Л
с0 =4,X1=Хg-u1,①2 =①1一"2,①3 =①2 - "3；
0 < U1 < Жg, 0<"2，①1,0<"3<①2.
Указать оптимальное управление й° = (〃?, и^ 〃&) и оптимальную траекторию ж0 =(唸 吟唸 eg).
Решение. Составим функциональное уравнение Беллмана для последнего (третьего) шага. Полагаем, что состояние системы S2 перед этим шагом характеризуется величиной ①2・ Тогда условный оптимальный выигрыш на третьем шаге при условии, что $2 = ^2, определяется выражением
W^(S2 = ж2) = max -^-[(х2-и3)2 -2x1].
0《〃3《％2 丄Ь
Из необходимого условия максимума получаем условное оптимальное управление/。、
"3(S2 ==① 2.
Тогда2
嘴(S2=/2)= ^.
Для предпоследнего (второго) шага условный оптимальный выигрыш при условии, что состояние системы перед ним Si характеризуется величиной ①匕 имеет вид
W(^1 =力1) = max [f2(x1,U2)+ W^(S2 = х1-и2)]=
= max 1+"2)2 - 2彼十工(/ 1一"2)2].
0<"2</1 LZ0J
Из необходимого условия максимума получаем, что условное оптимальное управление на втором шаге
3
〃2(S] = С])=五① 1・
При этом
W(^i =力1) = ^ж1-
Для первого шага условный оптимальный выигрыш
W^(So = ж0) = max [/i(x0, u^ + W^Sr = x0-ui)]=
=о尸吩 [-5(①о - ui)2 + 4ui (ж0 - nJ + ^-(①° - 〃1円.
Из необходимого условия максимума функции находим, что
69"1 =品 '。•
Тогда искомое максимальное значение есть
Wmax = Wf（S°=4）,
а оптимальное управление й° = （〃?, 〃§, 〃§） и оптимальную траекторию ж0 =（①8,①?, ^2,①§） получим, рассматривая шаги с первого по третий в прямом порядке:
О , о 69 о 276说=4,
碱=eg —= 0.
0=（迎 24 64А【91 ' 91' 91丿'0=（迎 24 64А【91 ' 91' 91丿'\ 88 64 八%品，品，0 •\ 88 64 八%品，品，0 •Итак,
0=（迎 24 64А
【91 ' 91' 91丿'
0=（迎 24 64А
【91 ' 91' 91丿'
\ 88 64 八
%品，品，0 •
\ 88 64 八
%品，品，0 •
ж0 =
Задача 2.5. Рассматривается трехотраслевая экономика, причем первая отрасль является фондообразующей, а функционирование отраслей определяется системой дифференциальных уравнений
< ±2 = "2^1,
、亦3 = （1-Ui -u2）xi,
где Xi =①勿（力）—функция выпуска г-й отрасли （г = 1, 2, 3）, 〃i = 〃i（力）, “2 = 〃2（力）——функции управления системой, причем
Ui^t） + U2（t） < 1,"1（力）》0,〃2（力）》0.
Найти оптимальное управление u^（t）, 〃§（力） и соответствующие функции выпуска ①§（力）,①&（力）,если начальные условия для данной системы есть
① i（0） = l,① 2（0） = 0,① з（0）=0,
а целевая функция имеет вид
歹=2 ① 2（2） + /з（2）, причем последнюю требуется максимизировать.
Решение. Воспользуемся принципом максимума Понтрягина. Составим функцию Гамильтона:
Н = ^lUi^i +^2^2^1 +^з（1 一 "1 一 〃2）力1,
которую будем максимизировать по возможным управлениям “匕 〃2・
Далее, запишем сопряженную систему уравнений:
次=- О—= 一（如"1十吵2"2十岷（1一"1 一"2））, UX\
丝=0
дх2 - 5
丝=0
дх3
и условия трансверсальности:
以丿一дх（t）
Поскольку Т = 2, последние условия имеют для рассматриваемой целевой функции вид
次⑵=0,吵2⑵=2,岷⑵=1.
Из сопряженной системы дифференциальных уравнений находим, что
吵2 = 2,吵3 = 1.
Отметим, что из первого уравнения основной системы при 〃i （力）》 》0 и ① 1（0） = 1 следует
/1（力）〉0,0<力 <2.
Далее будем искать максимальное значение функции Гамильтона:
max {1十[（吵1 - l）ui +u2]xi},
（〃i№2）eu
где
U = {（"1, "2）： "1》0, "2》0, "1 +〃2 < 1},
причем в силу неотрицательности /] при отыскании точки максимума функции Гамильтона ①i первое слагаемое можно исключить из максимизируемого выражения.
Тогда оптимальное управление имеет вид
f 1, при ^1 > 2,[ 0, при ^1 > 2,
[0, при -01 < 2,при -01 < 2.
Из сопряженной системы получаем
“1 =一吵1"1 一吵2й2 一吵3（1 - "] — "2）.
Но поскольку для оптимального управления получено условие "1 +〃2 = 0, то последнее выражение упрощается:
血=一次" 1 —2a2.
При 吵1（力）< 2 имеем 如=0, поэтому для нахождения 吵1（力）получаем дифференциальное уравнение
=—2
с конечным условием -01（2） = 0. Решая последнее уравнение, получаем/、/、
耽⑴=—2力+ 4,（2.11）
и условие 吵1（力）< 2 выполняется при
1 < t < 2.（2.12）
При -01（f）》2 имеем 〃i （力）=1, 〃2（力）=0. Поэтому дифференциальное уравнение для определения 吵1（力）примет вид
血⑴=-次⑴.（2.13）
Найдем решение последнего уравнения, для которого обеспечивается непрерывность функции 吵1（力）на отрезке [0, 2]. Тогда в силу （2.11） и （2.12） должно выполняться условие
次⑴=2.
Соответствующее решение уравнения （2.13） имеет вид
耽⑴=2exp{-t + 1}
и соответствует случаю 0《力 < 1.
Чтобы найти траекторию развития системы, т. е. выпуска отраслей, подставим найденные управления 〃i （力）и 〃2（力）в основную систему. Тогда при 0《力 < 1 имеем .
亦1 = /].
Решение последнего уравнения при начальном условии ①i（0） = 1 запишется в виде ① 1（力）=е\ причем ① 1（1） = в. В случае 1 < 力 < 2 в силу равенства нулю управления 〃i имеем 亦i = 0.
Теперь решение последнего уравнения, обеспечивающее непрерывность траектории ① 1（力），очевидно, есть ①i（力）=в.
Аналогично найдем траекторию ①2（力）.
При 0《力 < 1 в силу равенства нулю 〃2（力）из основной системы дифференциальных уравнений находим
充2（方）=0,
что в совокупности с нулевым начальным условием дает ①2（力）=0 на этом участке.
При 1 < 力 < 2 имеем 〃2（力）=1- Тогда приходим к уравнению 亦 2 =① 1 или ±2 = е.
Решение последнего, обеспечивающее непрерывность ①2 （力）,имеет
ВИД①2（力）=е（力-1）.
Для нахождения ①з（力）имеем уравнение
亦 з = （1-U1 _〃2）С].
5 А. Н. Катулев и др.
Но 〃1 (力)十〃2(力)=1 для оптимального управления, поэтому ±з = 0. Последнее в совокупности с условием ①з(0) = 0 приводит к решению
/3 = о,
т. е. в рамках данной задачи третья отрасль в рассматриваемой экономике не развивается.
Задача 2.6. Установить оптимальную норму накопления в односекторной модели экономической динамики (модели Солоу).
Решение. Модель описывается следующими соотношениями:
У = /К L),
У = С + /, / = 〃У, 0 = (1 —〃)У,/ = ^ + 〃К,К(0) = Ко,
£ = д〃
где:
У — объем валового выпуска;
С — непроизводственное потребление;
S — валовый фонд накопления (валовый инвестиционный фонд); р — норма накопления, 0 < р < 1;
L — количество работающих;
К — объем основных фондов;
〃 一коэффициент выбытия элементов основных фондов;
g = const — коэффициент пропорционального прироста рабочей силы.
Преобразуем уравнение s =宜 + “К к следующему виду:
S к、 К КS Y С
Далее, обозначив — = k п учтя, что — = — — —, а
； d(к\ к к . l к . k=di(z)=T-T-kL-T-kg
получим
^ + kg + 〃k + c = /(к),(2.14)
「де： °
с = — — непроизводственное потребление на одного работающего;
/(к) — производственная функция, приведенная к одному работающему, т. е. /(k) = F (%1)・
Теперь выражение (2.14) перепишем в виде
/(к) - (д + 〃)к = + к(о) = ко,
и заметим, что разность /(к) —(д + 〃)к представляет допустимые расходы на непроизводственное потребление одного работающего и
на чистый прирост основных фондов также на одного работающего. Эта разность зависит от к и, очевидно, достигает максимального значения при к = ^opt; значение ^opt может быть вычислено по выражению /'（k） = g + 〃. Но тогда, воспользовавшись выражением с = （1 — р） /（к）, получим уравнение вида
P（^opt） — （g + 〃）^opt = ^ |k=kopt,
в котором правая часть равна нулю. В результате получаем искомое значение оптимальной нормы накопления
（9 + 〃） kopt/（Rm） •
Согласно этому выражению достаточно просто вычисляются нормы накопления при различных производственных функциях, обладающих свойствами линейности, однородности, вогнутости, дважды дифференцируемости и инвариантности во времени.
Задача 2.7. Составить динамическую модель механизма изменения цены на рынке одного товара.
Решение. Естественно считать цену какого-либо товара случайной величиной, динамика изменения которой непосредственно связана с изменением избыточного спроса, вызываемого вариацией макроэкономических факторов, с флуктуационными проявлениями местных особенностей региона, а также с факторами, вызывающими возможные скачкообразные изменения цены.
Флуктуационные изменения зависят от длины промежутка времени △力 на котором рассматривается ход изменения цены. Пусть среднее значение такого изменения равно нулю независимо от региона реализации товара, времени и длины промежутка △力.Тогда изменение цены приближенно можно записать в следующем виде:
。（方+△方）一0（方）=a（Ф（p（方）），吵（0（方）），力）△力+7g（方），方，△力），
где а（Ф（р（力）），吵（夕（力）），力） —избыточный спрос, ,（р（力），△力，力） —приращение флуктуационных изменений.
Здесь будем предполагать, что при небольших изменениях цены и времени особенности регионов не претерпевают больших изменений. Тогда процесс изменения цены можно считать однородным и
7（。⑴,△力,力）=0亿。（方））7（3 △方），
где 《（£,△£） — приращение, соответствующее условию сг（3р（"） = 1. В результате сг（力,△力）можно приравнять приращению броуновского процесса 攸（力十△力）一攸（力）. Факторы, вызывающие скачкообразные изменения цены, будем характеризовать реализациями скалярного пуассоновского случайного процесса 〃（力）,не зависящего от приращений флуктуационных изменений.
Тогда в целом изменение цены можно записать в виде
。（方+△方）一0（方）=a（Ф（p（方）），吵（0（方）），力）△力+7g（方），力，△" 十 △〃0）;
это выражение можно свести к стохастическому уравнению вида 如⑴=а（Ф（р（力）），^（p（t）^ 力）dt +
+ cr（t, p（力））7（力，d力）+ v e a）（力，p（t）,。）z/（d力，do）, где:
《（力,d力）=da （力）характеризует приращение цены из-за флуктуационных изменений как винеровского процесса;
z/（d力,dv） — пуассоновская мера; она характеризуется функцией плотности 7г（少,力,Р（力））с параметром 入（力,А） — интенсивностью потока скачков;
А — возможное множество скачков на интервале времени ［力,力+ d力］;
7（t,夕（力）,少）характеризует «амплитуду» цены из-за скачка в момент времени t.
В этом уравнении в условиях пуассоновского потока скачков имеем
）（方,p⑴,v）u（dt, dv） = e）（方,p⑴,3）5（方-右）d力，
где 力勿,i = 1）к〉— случайные моменты времени возникновения скачков, в которых «амплитуды»）（力,夕（力）,勿）представляют независимые между собой случайные значения.
Теперь можно записать решение стохастического уравнения; оно имеет вид tt
。⑴=。（力。） +矶①（0（方）），吵（0（方）），力）d力+。（方，0（方））加⑴+
+ e ）（3。⑴，3）6（方-右）dt,
где второй интеграл есть стохастический интеграл Ито. Решение представляет собой марковский процесс и должно характеризоваться переходной функцией /«о, Р（力о）；力，Р（力））•
Очевидно, полученное решение вырождается в решение известной модели Эванса, когда отсутствуют какие-либо случайные возмущения.
Действительно, модель Эванса имеет вид
^^ = a（@（。（方））,吵（夕（方））,力），р（力0） =р0,
a(^(p(t))^(p(t)),t) = [Ф(р(力))一吵伪(力))]а, где:
Ф(р(力))—спрос на товар;
吵(。(力))—предложение товара на рынке;
а — коэффициенты пропорциональности, а〉0.
Задача 2.8. Составить динамическую модель «хищник-жертва» с учетом флуктуаций численности соответствующих особей.
Решение. Введем обозначения: X — жертва; У — хищник; А — пища жертв (пусть она неистощима).
вим в видевим в видеВзаимодействие «хищник-жертва-пища» схематически предста-
вим в виде
вим в виде
Х + А т 2Х,
У + Х т 2У,
У В,X т С
Первые два соотношения описывают немедленное размножение жертв и хищников соответственно, а последние — естественную смерть хищников и жертв. Принятой схеме соответствуют следующие уравнения: ^ = к^ах -сх- к^ху, Х(0) = Х()〉 (а, с) > 0, к2 > 0, k± > 0,
= к2ху-к3у, У(0) = Уо, кз〉0.
Пусть с = 0. Тогда искомая простейшая модель задается уравнениями
萧=кгах-к^ху,①(0)=①°, (а,任，后，品)〉0,书=k2xy -品沙，g(0) = Uo.
dx _ к±ах — к?ху dy к2ху-к3уdx _ к±ах — к?ху dy к2ху-к3уПравые части этих уравнений не зависят от времени, поэтому модель перепишем в виде
dx _ к±ах — к?ху dy к2ху-к3у
dx _ к±ах — к?ху dy к2ху-к3у
с。〉0, Уо > 0,(a,к1,后,к3)〉0.
В реальных условиях процесс взаимодействия не следует точно решению этого дифференциального уравнения — имеют место случайные флуктуации. Поэтому необходимо задать распределение вероятности Р(ж, у,力)для численности особей в момент времени t и найти закон распределения для изменений согласно уравнениям
=к^ах — сх —后①沙,=к^ах — сх —后①沙,=к2ху-к3у.=к2ху-к3у.
=к^ах — сх —后①沙,
=к^ах — сх —后①沙,
=к2ху-к3у.
=к2ху-к3у.
При этом полагаем, что процесс взаимодействия особей марковский и на малом △力 имеют место выражения для вероятностей переходов
Р(①+ 1, у\х^у) = &а△力，
Р(х-\,у^\ I ①，у) = к2хуМ,
а(/, д-1]/,g)=品心方，
P(/，у\х,у) = 1一(后a十后7g十k3g)4方.
Теперь, следуя известному приему Колмогорова-Чепмена, получим дифференциальное уравнение для отыскания искомого закона вероятностей P(/，g,力)：
aP'^1y t'=任a(① 一1)p(/一1，g，^) + ^2(ж + 1)(?/ - 1) p{x + 1, %,力)+
+ 衣3(①，沙十1,力)一 (krax + k2xy + k3y) Р(ж, у, t).
Решение этого дифференциального уравнения может быть получено численно.
Задача 2.9. Составить алгоритм и программу прогнозирования параметров многоотраслевой экономики.
Решение. Рассматривается многоотраслевая экономика, функционирующая в условиях олигополистического рынка предложения. Для упрощения модели предполагается, что в системе отсутствуют рента и банковский процент.
Система представлена как совокупность двух компонент: многоотраслевого промышленного комплекса и населения (домохозяйств), взаимодействующих на локальных рынках товаров.
Промышленный комплекс системы состоит из п связанных между собой отраслей, которые производят конечный и промежуточный продукт. Предполагается, что допускается свободный перелив капитала между отраслями, не требующий затрат.
Взаимоотношения между отраслями описываются соотношениями модели «затраты-выпуск»
х 力=4х 力+
где А* — матрица межотраслевого баланса, Х\ Y1 — векторы валовых и конечных выпусков отраслей.
Объем валового продукта промышленности определяется согласно производственным функциям отраслей, зависящим от объемов основных производственных фондов К и трудовых ресурсов Л:
х； = /9Н,М).
Вся промышленная продукция поступает на локальные рынки, где она продается населению и отраслям-потребителям. Процесс ценообразования на рынках описывается при помощи функции спроса, которая полагается зависящей от уровней цен на внешних рынках 0,
объемов валового продукта отраслей X и системы предпочтений на
селения:селения:
селения:
селения:
где Pi — цена отраслевой продукции на локальном рынке.
Зависимость функции спроса от объема валового продукта показывает, что на локальных рынках действуют условия несовершенной конкуренции, при которых цена товара является функцией совокупного валового выпуска отраслей промышленности.
Население системы рассматривается в модели как источник трудовых ресурсов L для промышленности, с одной стороны, и как потребитель товаров, выпускаемых ею, — с другой. Система предпочтения потребителей описывается некоторой возрастающей функцией полезности 〃(力,С), а объем спроса на товары определяется ее максимизацией на наборах продуктов при бюджетном ограничении:
"(力，0) T max,
(Л 0)， где:
。一объем конечного потребления;
Р — цена товаров на внутренних рынках;
w — вектор величины заработной платы рабочих.
Общее количество населения системы предполагается ограниченным:
Прибыль, получаемая отраслями промышленности от продажи своей продукции на рынке, составляет
QM = P；X；Y(2.15)
где
%； = Х$ +
—производственные затраты отрасли.
Целью функционирования каждой отрасли промышленности является максимизация собственной прибыли:
Q； т max Vz = 1, ..., n, V 力》О,
при указанных выше ограничениях.
Предполагается, что прибыль, получаемая отраслями, расходуется на дальнейшее развитие производства, т. е. выступает в виде инвестиций. Тогда величины основных фондов отраслей будут изменяться во времени согласно закону
К = -〃К； +力)屮№ s) £ qf dQ.
t-dt片 1
Первое слагаемое данного уравнения отражает величину выбытия основных фондов в результате износа, второе — их увеличение при инвестировании отрасли. При этом с помощью некоторого закона освоения инвестиций /^(0,力)учитывается, что введение в производство некоторых видов основных производственных фондов требует временных затрат.
Исследуем стационарный режим функционирования описанной системы.
Функция(/?^(0, s) во втором слагаемом определяет долю суммарной чистой прибыли в момент времени 0, направляемую на инвестиции в г-ю отрасль, и называется схемой инвестирования. Она должна удовлетворять следующим условиям:
1)屮*3 s) U V力，Vz = 1, п;
2) Z>{,s) = l V力.
Первое свойство указывает на неотрицательность инвестиций в отрасли, второе — на то, что вся чистая прибыль направляется на расширение производства и отсутствуют какие-либо внешние источники инвестиций.
По сути схема инвестирования отражает интересы инвесторов (банков или государства), т. е. представляет собой их функцию предпочтения.
Алгоритм оценки параметров 6 стационарном режиме развития экономики.
Входные данные:
межотраслевые потоки продукции в виде матрицы межотраслевого баланса А;
величины основных производственных фондов отраслей промышленности К。；
численность работающих L^
коэффициенты производственных функций отраслей промышленности а и伙
величины заработной платы производственных рабочих w; коэффициенты амортизации основных производственных фондов 〃; внешние рыночные цены на продукцию отраслей промышленности 0;
коэффициенты функций спроса потребителей на отраслевую продукцию С。；
коэффициенты функций, описывающих распределение инвестиций по отраслям промышленного комплекса.
Выходные данные:
валовой выпуск продукции X力；
конечный выпуск продукции 匕；
величины основных производственных фондов отраслей К力； численность занятых на производстве Lf;
нормы прибыли отраслей промышленности 〃力；
цены на локальном рынке Р±.
Статический блок — нахождение состояния равновесия на краткосрочном периоде.
Задаем начальное значение количества работающих на производстве: L° = L（t — 1）. Для 力=1 имеем L° = Lq-
Для заданного вектора 14T =（l了‘，l旷‘，l々） находим вектор 丄力 такой, что
屮"=arg max（QJ
Если k = n, to L^ = Z/+1, иначе переходим к п. 1.2.
Если ||£г — Ьг+1|| < £], где е】〉0 — некоторая малая величина, то переходим к п. 1.5, иначе переходим к п. 1.2.
Принимаем L（力）=U — положение краткосрочного равновесия на рынке рабочей силы в момент времени 力.
Для заданных L（力）и К（力）отыскиваем остальные параметры экономической системы на момент времени 力：валовой и конечный выпуск продукции X力 и 匕；цены на локальном рынке 几；нормы прибыли отраслей промышленности pt.
Динамический блок — определение стационарного режима функционирования экономической системы.
Согласно данным о норме прибыли отраслей промышленности 〃（力）определяем объем инвестиций, идущих в каждую отрасль по схеме инвестирования 夕（力，s）.
Согласно дифференциальным уравнениям （2） вычисляем величины основных фондов отраслей промышленности на момент « + "）：
К〃（力+ 6力）=К〃（力）-“iKi⑴ + 屮& s）^Qj（t）j St.
Если IIК（力）一К（力十 b力）|| < £2, где £2 〉0 ——параметр, то переходим к п. 2.5.
Увеличиваем текущий момент времени 力=力十5力 переходим к п. 1.1.
Находим величины X九 匕,pt и Pt для стационарного режима.
Программа прогнозирования параметров экономики （программа изложена в приложении 1）.
Входные данные принимаются программой в виде текстовых файлов. Результаты расчетов выдаются на экран в графическом виде для четырех параметров: основных производственных фондов, конечного выпуска, норм прибыли отраслей промышленности и величин цен на продукцию, а также заносятся в файл в текстовом виде для всех перечисленных выше параметров.
Основное меню программы состоит из трех пунктов.
Подменю «?» содержит вспомогательные команды:
Закрыть Все — очистка главного окна программы;
О Программе — вывод информации о программе;
Выход — закончить работу с программой.
Подменю Файл содержит команды работы с файлами:
Загрузить — загрузка нового файла, содержащего исходные данные о системе;
Вычислить — провести вычисления по модели для загруженных исходных данных;
Файл Результатов — задание имени файла, в который будут записываться результаты вычислений.
Подменю Окна содержит команды выбора режима работы программы:
Данные — отображение окна с исходными данными;
Результат — отображение окна, содержащего результаты вычислений в форме таблицы;
Графики — отображение графических зависимостей четырех параметров модели на экране.
Следующее — отображение следующего окна программы;
Предыдущее — отображение предыдущего окна программы;
Закрыть — закрыть текущее окно.
Команды Размер, Увеличить, Черепица и Каскад изменяют вид и взаимное расположение окон программы.
Ход вычислительного эксперимента. Для проведения вычислительного эксперимента необходимо загрузить в программу исходные данные, описывающие параметры экономической системы. Загрузка данных осуществляется выбором команды Загрузить из меню Файл.
Исходные данные должны представлять собой текстовый файл, содержащий числовые значения параметров, например:
ДАННЫЕ ДЛЯ ТЕСТОВОЙ ЗАДАЧИ (3 отрасли)
Матрица МОБ
0,1 0,2 0,0
0,2 0,0 0,3
0,0 0,3 0,0
Начальные значения основных фондов
35
60
10
Величины амортизации
0,2
0,2
0,2
Количество занятых в начальный
момент
0,9
1,5
1,0
Зарплата рабочих
0,3
0,3
0,3
Коэффициенты производственных функций (Кобба-Дугласа) 0,4 0,5 0,5
Значения цен внешнего рынка на продукцию
2,0 1,8 3,0
Коэффициенты функции спроса (линейная)
0,2 0,25 0,3
КОНЕЦ
Порядок следования полей в файле исходных данных важен. Строки файла, начинающиеся с точки с запятой, считаются комментариями и игнорируются программой. После загрузки файла, если в нем не обнаружено ошибок, на экране отображается окно Исходные данные.
Для проведения вычислений необходимо использовать команду Вычислить из меню Файл. При этом программа определяет величины параметров заданной системы согласно математической модели для дискретных моментов времени. Вычисления могут быть прерваны нажатием клавиши Esc.
После окончания или остановки вычислений на экране отображается окно Результат, в котором в виде таблицы представляются вычисленные значения параметров системы. Обозначения колонок результатов приведены в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Колонка
Наименование параметра
N
Номер момента времени (0 — начальный момент)
К
Величины основных фондов г-й отрасли
Xi
Объем валового выпуска г-й отрасли
匕
Объем конечного выпуска г-й отрасли
NPi
Норма прибыли г-й отрасли
Pi
Цены на продукцию г-й отрасли на локальном рынке
Li
Численность занятых на производстве в г-й отрасли
Таблица с результатами вычислений также записывается в файл во внешней памяти, имя которого должно быть задано командой Файл Результатов из меню Файл.
Результаты расчетов в графическом виде могут быть просмотрены командой Графики из меню Окна. Программа отображает графики изменения основных фондов (К), конечного выпуска (У), норм прибыли отраслей (NР))а также величин цен на локальном рынке (Р). Прервать построение графиков и вернуться в основное окно программы можно, нажав клавишу Esc.
Задача 2.10 (задача распределения ресурсов с ограничениями типа неравенств и особыми участками, см. [6]). В упрощенной модели планирования ресурсов национальной экономики имеются две основные фазовые переменные:
г — отношение суммарных капитальных затрат к общему числу рабочих (измеряется числом зданий, машин, площадью земельных участков и т. д.);
w — отношение числа работающих рабочих к общему числу рабочих (коэффициент занятости).
Выработка (общий национальный продукт) на одного работающего / есть функция r/w величины суммарных капитальных затрат, приходящихся на одного работающего, f(r/w) — отношение общего национального продукта к числу работающих. Эта функция обладает следующими свойствами:
〃а)>3 隱)(£) <0 ПРИ
Выбором двух управляющих переменных s и / выработка на одного рабочего wf разделяется на три части, при этом s есть доля wf, выделяемая на капитальные вложения, / — доля w/, отводимая на обучение рабочих (образование), 1 — s — / — доля w/, предназначенная на потребление.
Между г, w, I и s имеется следующая связь:
Г = swf f—) - (n +J)r, r(to) = ^o, (2.16)
"=E攸/ (^) — S +攸(力o)=攸о,(2・17)
где:
n — коэффициент прироста рабочей силы;
5 — коэффициент амортизационных отчислений;
〃 一коэффициент смертности и выхода рабочих на пенсию;
d — стоимость обучения одного рабочего.
Имеются следующие ограничения типа неравенств на фазовые и управляющие переменные для всех 力：
l》s + /,(2.18)
s》0, / >0,(2.19)
内1,(2.20)
w >0.(2.21)
Разумным критерием качества может быть значение
7 = (l-s-l)wf ㈢ exp (―)力)dt,
力о
где 7 — норма процента (процентная ставка); иными словами, желательно максимизировать общее потребление за планируемый промежуток времени от 力° до 力> Член ехр(—)力)означает, что сегодняшнее потребление оценивается более высоко, чем потребление в будущем.
Эта задача является задачей с ограничениями типа неравенств на управляющие и фазовые переменные, в которой управляющие переменные входят в систему уравнений и критерий качества линейно (обусловливая возможность особых участков).
Решение и анализ. Определим гамильтониан в виде
H(r, w, а『,qw, s", % 力)=(1 — s — /) exp(—)力)+
гдегде+ ar[sw/- (n +J)r] + (aw +〃)+ ar[sw/- (n +J)r] + (aw +〃)J < 0, w = 1, [0, w < 1,J < 0, w = 1, [0, w < 1,(2.22)(2.23)(2.22)(2.23)
где
где
+ ar[sw/- (n +J)r] + (aw +〃)
+ ar[sw/- (n +J)r] + (aw +〃)
J < 0, w = 1, [0, w < 1,
J < 0, w = 1, [0, w < 1,
(2.22)
(2.23)
(2.22)
(2.23)
ssРис. 2.2. Ограничения и возможные направления grad" в пространстве управлений при w < 1Рис. 2.2. Ограничения и возможные направления grad" в пространстве управлений при w < 1
s
s
Рис. 2.2. Ограничения и возможные направления grad" в пространстве управлений при w < 1
Рис. 2.2. Ограничения и возможные направления grad" в пространстве управлений при w < 1
и условие w — 1 ^ 0 есть условие вида S(/,力)< 0, которое в данном случае является ограничением типа неравенства первого порядка.
Сначала рассмотрим случай w < 1, затем w = 1.
Случай w < 1. Поскольку гамильтониан линеен по s и /, исследование его на максимум можно свести к исследованию его градиента (Hh Hs),
(2.24)
Hs = wf[Xr — exp (—7^)].(2.25)
Из геометрических соображений следует, что в зависимости от
d прямая s + / = 1
Область допустимых изменений координат управления, задаваемая неравенствами (2.18) и (2.19)
направления grad Н в пространстве координат управления могут представиться семь подслучаев (рис. 2.2):
Случай А: 〃/〉儿，т. е.(猫/d)〉Аг. Ясно, что максимум гамильтониана соответствует выбору / = 1 и s = 0. Получающиеся при этом уравнения системы и уравнения Эйлера таковы:
г = —(п + J)г, w = [ j — (n + A4)] w5
Ar = —Нг = —— Aw + (n + J) Ar,
Aw = 一Hw =卜/一/丁/⑷ +(九十 儿)] Aw.
Здесь штрих означает дифференцирование по аргументу.
Случай В: Hs > Нц т. е. Ar > {Xw/d). При этом s = 1 и / = 0 и по аналогии с предыдущим можно записать уравнения соответствующей системы и уравнения Эйлера.
Случай С: Я5 < 0, Я/ < 0, т. е. Х『< ехр(—)力)，(猫/d) < exp(―)力). Отсюда следует, что s = 0, / = 0 и получаются соответствующие им уравнения процесса.
Случай D: Hs = Hi > 0, т. е. (a^/d) = а『，откуда s + / = 1. Это интересный случай вырожденности. Максимизация Н дает одно уравнение для двух управляющих переменных s и /. Продифференцируем дважды по времени характеристическое уравнение вырожденности аг — (aw/d) = 0. В результате получим
[f-^f]-df + (S-^d = O. (2.26)
f\sw-l (=)] — (b — 〃卄=0.(2.27)
Решая совместно уравнения (2.27) и s + / = 1, находим выражения для s и /
_ ^/一(8一 4斤/ _ /"/d) + (8 一 4斤(、
/w+(『/d)]'/w+(『/d)]'
с помощью которых можно определить результирующий процесс. Легко можно проверить, что в этом случае особый участок есть прямая, проходящая через начало координат фазового пространства.
Случай Е: Hs < 0, Я/ = 0, отсюда s = 0 и 入^ = dexp(—)力).Этот случай является вырожденным для управляющей переменной /. Дважды дифференцируя равенство Xw — d exp (—7t) = 0, получаем [/-(^)?]=5+4十))或(2.29)
d(丁).(2.30)
Случай F: 〃s = 0 и Я/ < 0, отсюда / = 0, Аг = ехр(—)力).Для этого случая вырождения получаем
/ = (n +J + 7),/ = (n +J + 7),(2.31)(2.31)
/ = (n +J + 7),
/ = (n +J + 7),
(2.31)
(2.31)
fwfw(2.32)
fw
fw
Отметим, что в зависимости от относительных величин 〃 и 5 один из двух вышеупомянутых случаев в силу ограничений (2.19) не может иметь места. Однако в любом случае результирующие движения происходят вдоль прямых, проходящих через начало фазового пространства. Будем предполагать, что 〃〉5.
Случай G: Hs = О, Я/ = 0, т.е. Аг = ехр(—)力)и Aw = dexp(—)力). Дифференцирование этих соотношений приводит к выражениям (2.29) и (2.31), которым в общем случае удовлетворяют разные значения г/w. Поэтому приходим к выводу, что этот случай двойного вырождения не может иметь места.
Случай w = 1. Если на траектории сохраняется значение w = 1, то ясно, что должно быть w = 0, что приводит к
ту”. (2.33) Кроме того, имеем равенство
Я/ = ^^ - ехр (一)力)=0, (2.34) из которого не только определяется ту, но и получается (поскольку 〃 < 0) неравенство 、
^_exp(-7t)>0, (2.35)
ssозначающее, что дальнейшие улучшения возможны, если было бы снято ограничение w ^ 1. Значение s находится в соответствии со
s
s
,Ограничение w ^ 1,/ отображенное в； пространство
; управлений
///V/^y///////
⑺+ 4)d
Рис. 2.3. Ограничения и возможные направления grad"в пространстве управлений при w = 1
знаком величины Hs. Имеются три под случая, которые представлены на рис. 2.3.
Случай I: Hs > 0, т. е. s = l — / = [/ — (n + ^)d/f].
Случай II: Hs < 0, поэтому s = 0.
Случай III: Hs = 0. Это другой случай вырождения, приводящий к выражению для управления
s = y工(2.36)
которое совместно с (19) дает точку равновесия 户=0, w = 0.
Этим завершается перечень возможных случаев.
Проанализируем условия в угловых точках, условия на конце и последовательности переходов. Оставшаяся проблема заключается в определении последовательности возможных случаев (т. е. в построении траектории в фазовом пространстве), которая удовлетворяет заданным начальным условиям
г(0) = 0, w(0) = wq,(2.37)
промежуточным условиям в угловых точках и терминальным условиям. Условия в угловых точках имеют место в момент 力i выхода на ограничение w = 1. Они имеют вид
仪(力 1) = 1,〃(广1) = 〃(*),(2.38)
Aw(tf) = Aw(t+) + ^,(2.39)
Ar(tf)=尤(坤).(2.40)
Рассмотрим две совокупности терминальных условий.
Промежуток времени и терминальные условия заданы. Здесь имеем
= w(tf) = wT,(2.41)
что приводит к следующим выражениям для постоянных, которые нужно определить:
入『(力/)=少г,入 w (力 f) = dw .(2.42)
Рассмотрим бесконечный промежуток времени и свободные терминальные условия. В этом случае
Аг(ос) = 0, Aw (схэ).(2.43)
Легко проверяется, что в силу того, что уравнения для Аг и Aw однородны и асимптотически устойчивы, это может быть реализовано только в равновесном случае III. Подобный результат типичен для моделей, оптимальных по экономичности.
Следует, наконец, рассмотреть возможные переходы от одного случая к другому. Исключить некоторые последовательности переходов помогает тот факт, что как 〃/, так и Hs являются непрерывными (за исключением момента выхода 力i) функциями времени.
Возможные переходы показаны на рис. 2.4. Дальнейшего обсуждения заслуживает тип переходов, который связан со сходом с границы
Рис. 2.4. Схема возможных переходов
w = 1. Вновь обращаясь к рис. 2.3, отметим, что переход от случая I к случаю В происходит всякий раз, когда
元一ехр（一）力）〉用；
это означает, что в момент перехода возможен разрыв множителя 〃. С другой стороны, переход от случаев II и III к случаям Е и G может иметь место только тогда, когда величина
〃⑴=dexp（一）方）-猫⑴
становится положительной.
Для задачи с бесконечным временем и свободными терминальными условиями экономически выгодными и удовлетворяющими всем условиям последовательностями являются
В —D —I —III, или А —I —II,
илиА —> D—> I—>III, или А—>II—>III, или А—>III.
Траектории в фазовом пространстве показаны на рис. 2.5.
Рис. 2.5. Пример планирования экономики. Траектории в фазовом пространстве
Исследуем оптимальность экстремалей и численные результаты. Для установления того, являются ли рассмотренные выше экстрема-
6 А. Н. Катулев и др.
ли оптималями, имеются три подхода. При одном подходе обычно используется свойство выпуклости системы и критерия качества и показывается, что стационарные экстремали являются максималями. Второй подход заключается в проверке вдоль экстремали условий Якоби (сопряженной точки) и Вейерштрасса. Третий подход заключается в численном решении задачи, использующем метод динамического программирования. Используем третий подход.
Непосредственно решение по методу динамического программирования проводилось для условий
а = 0,3, п = 0,03, 〃 = 0,15,
ст = 0,05, 7 = 0,05, d = 2.
Пределытаковь匸Пределытаковь匸изменения и дискретизации рассматриваемых переменных
Пределы
таковь匸
Пределы
таковь匸
0,5 < w(t) < 104小)<45，力4 15 =力/0,5 < w(t) < 104小)<45，力4 15 =力/(10 делений), 0,8 < 攸(力/) < 1, (40 делений) r(ty) = 4, (30 делений).
0,5 < w(t) < 1
04小)<4
5，力4 15 =力/
0,5 < w(t) < 1
04小)<4
5，力4 15 =力/
Вместо системы дифференциальных уравнений использовалась ее разностная аппроксимация первого порядка. На рис. 2.6 показана ти-
Рис. 2.6. Численный пример нахождения оптимальной траектории для задачи планирования экономикиРис. 2.6. Численный пример нахождения оптимальной траектории для задачи планирования экономики
Рис. 2.6. Численный пример нахождения оптимальной траектории для задачи планирования экономики
Рис. 2.6. Численный пример нахождения оптимальной траектории для задачи планирования экономики
пичная траектория. Видно, что она хорошо согласуется с траекторией на рис. 2.5.
Задача 2.11. Установить оптимальную стратегию управления запасами первичных факторов производителя в условиях статистической неопределенности спроса на них.
Решение. 1. Введем обозначения:
z — запас первичных факторов к моменту времени начала производственного цикла;
У — запас первичных факторов после их пополнения, У》z;
х — случайный спрос на первичные факторы за время Т производственного цикла,①》0;
/(ж) — плотность распределения вероятности случайного спроса;
c(Y — z) — расходы денежных средств на пополнение запаса первичных факторов, У — z》0;
Y — х — объем невостребованных первичных факторов;
5(У — ж) — расходы, связанные с хранением невостребованных первичных факторов;
v(Y — х) — доход от продажи невостребованных первичных факторов (очевидно, что при ①》У имеет место v(Y — ж) = s(Y —①)=0);
р(х — У) — штраф, накладываемый на сектор хранения и пополнения первичных факторов в случае неудовлетворения спроса на них производственного сектора.
Здесь с(.), s(.),少(.)，р(.) — функции от соответствующих аргументов.
Составим выражение для математического ожидания суммарных расходов на промежутке времени производственного цикла:
у
М[У, z] = [s(Y — х) — v(Y — ж)] / (ж) dx + о
+р(①一У) / (ж) dx + c(Y - z).
у
Найдем оптимальную стратегию управления запасами. Очевидно, такая стратегия будет выражаться значением У0, которому соответствуют минимальные суммарные расходы, т. е.
У0 = arg min М [У, z]
независимо от z. Если М[У, z] — функция непрерывная и гладкая от г , то г устанавливается из решения уравнения ——右一-=
Заметим, что искомое решение единственно, когда М[У, z] является выпуклой функцией на множестве значений Y.
Задача 2.12. Составить алгоритм решения линейной задачи оптимального управления на быстродействие
Т т min ,
х = A(t) x(t) + B(t) u(t\ ①(力o)=①°, ж(Т) = хт,
U = {〃 I 〃⑴ < а。},
6*
где:
①（力）—n-мерный вектор состояния управляемой системы;
〃（力）—/-мерный вектор управления, / < п;
4（力）一непрерывная п х n-матрица системы;
6（力）一непрерывная п х /-матрица управления;
U — замкнутое множество кусочно непрерывных функций;
Т — время перевода системы из начального ①° в конечное хт состояние.
Решение.
Алгоритм метода Нойштадта.
Задать 吵£）= — Ж° ,吵。—сопряженный n-мерный вектор состояния." "
Вычислить
f（T^,您））=（<У[Х （严）,您））-x0],
где k = l,2,...,k — номер итерации вычислительного процесса,
о
U（£曲））=[Sign（BT（l）0T（O, 1）ф^）]"о, 0<С<7叫
Ф（力，力°） = еА^~^ 石十力[jo A, E — единичная матрица,
Ф（力 0," = фТ亿力 0）.
Проверить условие
||Z（7®,噂））—窃 ||<£,где £ — заданная （малая） величина. Если это условие выполняется, то
Т^= 7°pt = min 7, u£U
если ||Z（7叫噂））-窃И〉*то перейти к операции 1.4.
Вычислить
6^+1）= Ф^+ Q（k+1）[Z（T^，叫店））о],
где a（k+D — длина шага,
f если 7（k+D〉7（k）, a（k+D =（k）
—,если Т^^Т^.
2
Вычислить W戶D.
Перейти к п. 1.2.
Проверить выполнение условия монотонности Т^1^〉7(总), к = 1, 2, ... Если это условие выполняется, то перейти к п. 1.3, иначе вычислить W^+D согласно п. 1.4 и затем перейти к п. 1.2.
Проиллюстрируем применение алгоритма.
Пусть требуется найти оптимальное управление и экстремаль движения системы за минимальное время из исходной точки (① 1(0),①2(0)) в конечную точку (xi(T),①2(丁))= 0.
Уравнение движения записывается в виде
x(t) = Ax(t) + Bu(t), 0《力 < 7, (Т = var), критериальный функционал — в виде
Т —> min, где
Решение. 1. ПустьРешение. 1. Пусть切⑴丿一0丿m⑴丿十1丿（"2（方丿切⑴丿一0丿m⑴丿十1丿（"2（方丿и = {и \ ul + ul < с, с > 0, |ui| < U10, \и2\ < п2о}.
Решение. 1. Пусть
Решение. 1. Пусть
切⑴丿一0丿m⑴丿十1丿（"2（方丿
切⑴丿一0丿m⑴丿十1丿（"2（方丿
Тогда
причем ①i(0) = жю,①2(0)=①20, 0《力 < 7 = var. Получили задачу
1(方)="1(力)，0 T = var, T t min ,
〈(〃i№2)eu
[充 2(方)="2(方).
Вычислим Ф(力，0), Ф(0,力)，Z(T, W°):
ф(0^) =(m(力,0)尸=(;；)
т
Z(T, Фо) = -j Ф(0, t)B(t) [Sign [BT(t) Фт(0, T) ^Q]](：；：)血=
оо
о
о
тотоQio ("20Qio ("20Гdt =—оГdt =—о0、（±1 О1八。±10、（±1 О1八。±1"10“20"10“20dt =dt =
т
о
т
о
Qio ("20
Qio ("20
Г
dt =—
о
Г
dt =—
о
0、（±1 О
1八。±1
0、（±1 О
1八。±1
"10
“20
"10
“20
dt =
dt =
т
uio d力十 J uio d力=аю (7 — 2力口),
力П
T
“20 d力十 j ^20 dt = U2Q(T — 2tn).
Обоснованность записи предпоследних выражений-интегралов в полученной цепочке равенств непосредственно следует из условий достижения максимального значения функцией Гамильтона на множестве U. Действительно,
"（/1（方）,①2（方）,"1（方）,"2（方）,次⑴,也（方）,方）=一1+"1⑴次⑴十"2（方）也（方）;
и max Н достигается, если: (〃1 ⑴ №2 ⑴)еи
"2（方）〉0,吵2（方）〉0,"2（方）<0,也⑴ <0,"2（方）<0,也⑴ <0,"2（方）〉0,也⑴〉0,"2（方）〉0,吵2（方）〉0,"2（方）<0,也⑴ <0,"2（方）<0,也⑴ <0,"2（方）〉0,也⑴〉0,"1(力)〉0,耽⑴ > 0 и или если
"2（方）〉0,吵2（方）〉0,
"2（方）<0,也⑴ <0,
"2（方）<0,也⑴ <0,
"2（方）〉0,也⑴〉0,
"2（方）〉0,吵2（方）〉0,
"2（方）<0,也⑴ <0,
"2（方）<0,也⑴ <0,
"2（方）〉0,也⑴〉0,
"1(力)< 0,耽⑴ < 0 и либо когда
"1(力)〉0,耽⑴ > 0 и или когда
"1(力)< 0,耽⑴ < 0 и
т. е. когда векторы 〃(力)и 吵(力)коллинеарны и совпадают по направлению (их скалярное произведение максимально). Именно эти условия и реализованы при записи предпоследних выражений-интегралов.
Вычислим /(Т,-00)= V^[Z(T, -00)—①о]：
/(7,呪)=Wo 耽°)=/(7,呪)=Wo 耽°)=〃io(7 — 2 力口)— жю〃2O(7 — 2 力 n)—①20
/(7,呪)=Wo 耽°)=
/(7,呪)=Wo 耽°)=
=бюЗюСТ — 2 力 n) — Жю) + V^oQzoCT — 2 力 n)—① 20).
Отсюда, т. е. из /(7,吵。)=0, можно найти точное значение Т° = =minT. Для этого запишем выражение
u£U
7 _ 2力п(〃10 + "20)+ 0)20 +)10
〃10 + 〃〃20'
где р = -；—, и воспользуемся условием —= 0. Имеем
^юdp
=О=ОdT(〃) _)20(〃10 + 〃〃20)— [2力！1(〃10 + "20)+ 〃)20 +)1С>] "20
=О
=О
"〃(〃1о+〃〃2О)2
①20 "10 + ①20 〃〃20 — 2力n(〃io + ”20)“20 — 〃①20 “20 —①10 “20 = °,
o /X)20 "10 一)10 "20
/20 al0 一710"20 - 2力口("10 +"20)"20 = U 今 ^n = 7;7：；•
Подставив теперь из этого выражения результат для 力口 в выражение для Т, получим Т° = ^^ (либо Т° = ^^ ). При этом из выражения
"20 К^10/
числителя для 力口 видно, что он равен нулю, т. е.力口 = 0.
(0) ——丄 九—мн(0) ——丄 九—мнДействительно, рассматривается линейная задача, в которой траектория движения системы из начальной точки (жю,①20) в конечную (xi(T),①2(7)) есть отрезок прямой. Но тогда начальное приближение
(0) ——丄 九—мн
(0) ——丄 九—мн
и будет оптимальным; из коллениарности и сонаправленности векторов 吵(力)и й(力)следуеt
备=向 где ||и||=^ + ^ = с, и, значит,
^10^20-^20^10 = ||жо||(-Пю^2о + ^2О^1О)=
=11^о||||^о|||МК^?о^2О-^2О^?о) =0-
Оптимальное управление не претерпевает изменений на отрезке времени [tn, Т] и становится равным нулю в момент Т°.
Итак, искомое оптимальное управление вычисляется по выражению/0
哈⑴=г = 1,2, 0《力 <7°,
а оптимальная траектория — из дифференциальных уравнений п. 1 при а1(力)="？，"2(力)="§.
Здесь заметим следующее: если бы в условиях рассматриваемой задачи требовалось перевести систему из точки (① 1(0),①2(0)) в ближайшую точку
(/1(7),/2(7))еФ(с(7),7),
т. е. точку, принадлежащую конечному многообразию Ф(с(7),7), то оптимальное управление вычислялось бы по выражению
硝力)= _^7), г = 1,2,
2(7)+砂⑺
где ^(Т), i = 1, 2, определяется из решения сопряженной системы дифференциальных уравнений
山1(力)=0,山2(力)=0
с учетом условий трансверсальности
Wi（7） = Ф；阿7）, 7）,屮2（丁） = Ф；2s）, 7）.
Очевидно, при этом 屮£）= Wg（7） и 力° = М（‘）
Алгоритм метода Ньютона.
Задать начальные приближения 吵（°）（力°） и Т^.
Проинтегрировать дифференциальные уравнения
机方）=/（/⑴，以方），方），力（方0）=/0,
=g（①⑴,以力）,方），"°）（力0） = ^oO）-
Эти уравнения интегрируются на каждой итерации А; = 0, 1, 2,...; их решения записываются в виде
（力）=£（/（力。）, ”）（方0）,力），
w（к）（方）=心（方0）,以方0）,方）.
Выполнить разложение полученных в п. 2.2 решений в ряд Тейлора и записать выражения вида
XiT =/（к）（7） + 分& 3（力0），^的 （力。），7）（吵（/0）_ 吵（k）（方0））+
_（力0）_
I 3wё（）（力0）,吵（當）（力0）, T）（7 _ 7（k））_ 厂^
0 =严（r） +0力（）（力0），?W （力。），7）（吵（方0）_ 吵（k）（方0）） +
（力0）
+0力（）（力力。），T）① _ T（k）^ / = Q + l,n.
Из условия трансверсальности //（①（7）, “（7）,吵（7）, 7） = О для рассматриваемой задачи получить зависимость между временем Т и компонентами 耽（力°）, г = 1, n,
〃（①（7）, “（7）,以7）,7） =（旷①），A（T）x（T^B（T）u（T））-l.
Пользуясь результатами п. 2.4, исключить время Т из выражений п.2.3.
Вычислить элементы матрицы
гдегдеК^К^a/总）（力о）dr}\а/к）（力 о"
где
где
К^
К^
£ = (€1, 〃 =(〃什1, 〃什2〃九)т•
Для этого задать приближения
△以к) = (0,0,…，△以к), 0,…,0,0)7
и вычислить изменения △§ и △〃 путем интегрирования уравнений п. 2.2. При этом искомые производные заменяются отношением при
ращений )(力о),(力о)・
Эту операцию осуществить для всех z/ = 1, п, т. е. на каждой итерации к выполнить 4п2 раз интегрирование дифференциальных уравнений п. 2.2. (Всего должно быть выполнено 2п + 4п2 интегрирований.)
Вычислить w(к+1)(方0)=w(k)(方0)-国(k)]-1(g(店)(7)-g7)，где
y(T)=仅1(7), у式т)> …〉Уп(Т)У\
I г = q + 1, п.
Вычислить T(k+D из условия
〃(①(T(k+D),以 7(k+D),u(7(k+D),7(k+D) = 0.
Проверить выполнение условия
||#(7)-
где е — заданная величина.
Если это условие выполнено, то решение задачи получено, в противном случае перейти к п. 2.2.
Задача 2.13. Составить алгоритм поиска управления, обеспечивающего на отрезке времени [0, Т] достижение минимального значения квадратичным критериальным функционалом при условии, что движение управляемой системы описывается линейным дифференциальным уравнением. Начальное состояние системы задано, конечное свободно.
Определить оптимальную траекторию движения системы.
В математических терминах задача записывается в виде: найти
min < I ①т(7) Sc(7) + I [①У力)夕①⑴ + J⑴ Ru(t)] dt > при условии
x(t) = Ax(t) + Bu(t),①(0) = 7°,
где А, В, Q, Я, S — известные постоянные матрицы, причем Q, S симметричные, неотрицательно определенные, R положительно определенная, х С Еп^ п ^ т.
Решение. 1. Составим функцию Гамильтона:
"（/⑴,"⑴,以方）,方）=
=①т（力）Qx（t） + uT（t） Ru（t） + （吵丁（力），Ax（t） + Bu（t））.
Найдем 〃。（力）из условия ^^ = 0. Имеем 〃。（力）=—R~rBT^（t）.
Составим сопряженное дифференциальное уравнение （векторное）:..
0"⑴=-Q/⑴- 以力）
с граничным условием 吵（7） = Sx（T）.
Найдем решение системы дифференциальных уравнений:
（x（t） = Ax（t） + Bu（t）, ж（0） = жо,
[# = - 47吵（方）—Q?«）,吵（方）=Sc（方）.
Решение запишем с помощью метода прогонки. Для этого введем матрицу К（力）=А（力）X~i（力），где Х（力）—фундаментальная матрица для основного уравнения и А（力）一для сопряженного. Так, для сопряженного уравнения получаем
W（力）=k（方）/⑴.
Подставим найденное решение W（力）в сопряженное уравнение 山⑴=-AT^（t）-g/⑴
с учетом, что
x（t） = Ax（t） -\- Bu（tY ①⑴壬 0.
Получим матричное дифференциальное уравнение Риккати для отыскания К⑴，т. е.
宜⑴=-КА - АТК + К В『ВТ К-Q, К（7） = S.
Стандартным методом найдем решение уравнения Риккати. Для этого введем новые переменные У （力）и Z（力）—квадратные матрицы и ПОЛОЖИМ7
Y = К
Продифференцируем это выражение:
Y = KZ^KZ.
Подставим сюда К из уравнения Риккати; тогда
寸=（—КА —АТК + Кб^т^ТК —Q）Z + KC =
=-ATKZ -QZ + K（-AZ + Z + BR-1BTKZ）,
Y-QZ + K（Z + BR~1BTY -AZ）.
Приравняем выражение в скобках нулю; это действие допустимо, так как вместо одной неизвестной выше были введены две: Y и Z.
В результате получим
Г Y = -ATY-QZ,
[Z = AZ-BR~1BTY.
Ф（方，方0）=Ф（方，方0）=Если бы при этом были известны начальные условия У（力о）, Z（力°）, то с помощью фундаментальной 2п х 2п матрицы Ф （力，力°） можно было записать решение этой системы дифференциальных уравнений в следующем виде:
Ф（方，方0）=
Ф（方，方0）=
@21（力,方0）①22（力,方0）丿
—матрица с блоками размера п х п, Ф（力°,力°） = Е — 2п х 2п — единичная матрица, Фц（力о,力о） = @22（力о,力о） = Е — （п х п）-матрица,
@12（方0,方0）= ①21（方0,方0）= 0,
Y = Ф11（力，力0） Y（方0） + 巾12（方,力0） Z（方0）,
z = Ф21（3 力0）У （力0）+ @22 （力，力0）Z（力0）.
Теперь можно было бы найти выражение для К（力）=У Z-1:
к = [Фц（^,力о） к（力о） + Ф12（3 ^0）] [^21（^,力0）К（力о） + Ф22（3 力0）]Т.
Заметим, что в рассматриваемой задаче матрицы А, В, Q, R, S — константы, поэтому
ф（方，/0） = Ф（方一/0）= J^-BBR-1BT 在）（1°）
Однако в условиях рассматриваемой задачи задано К（力）=Sc （7）, т. е. задано только граничное терминальное условие. Поэтому интегрирование полученной системы должно осуществляться в обратном времени г. В результате решение имеет вид
（瑞）
где
ф（力，г） = ф（^_т^ E2n^（t-T）l, 0 < т < 7,
\1Э Н D —Л /
или, с учетом У （т） = К（т） Z（т）,
К（т） = [Ф11（Т, т） К⑴ + Ф12（Т, Т）] [Ф21（Т, т） К⑴ Ф22（Т, г）]-1, где
011（7,7）=后九十（7 -
Ф12（Т, т） = Еп +（Г-t）Q,
021（7, т） = Еп + （Т-т） BR~1BT, Ф22（Т,т） = Еп-（Т-т）А.
Вычислим 屮（丁 = 7） = W（力о） = К（力°）①（力°）, где К（力°） = К（т = 7）.
Проинтегрируем с помощью фундаментальных матриц систему дифференциальных уравнений в прямом времени:
（x（t） = Ax{t） + Bu0（t）,/（方0）=①0, "°（方）=_h一167w⑴， （山⑴=-AT^（t）-Qx（t）, W（方 0） = k（方0）力（方0）.
В результате будут получены искомая оптимальная траектория движения управляемой системы и оптимальное управление.
Задача 2.14. Найти оптимальные максиминные стратегии управления движением системы по критерию т
丿（а, о） = （и?⑴—产⑴）dt + Ni（T） + ^2（Т） T max min
J0ё石1 u£E'
0
при условии, что движение системы описывается уравнениями {亦1（方）=①1⑴十"⑴十少⑴，①i（0） = жю,
丕2（方）=/2（方）+少（方），/2（0）=/20,04力4 7.
Решение. Вариант 1 （согласно необходимым условиям принципа максимума）.
Составим функцию Гамильтона:
"（①1⑴，①2（力），"⑴，。⑴，次⑴，也⑴，方）=
="2（力）-02（力）+次⑴（/1（力）+"（力）十少）力））+
+也（力）（/2（力）+0（力））-> max min.
Так как функция Гамильтона разделима по 〃（力）и 少（力）,то оптимальные управления найдем из условий
需=0⑴，鴿=。沙⑴，
淤⑴=一;次⑴，於⑴=;（如（方）+也（方））•
Составим сопряженную систему дифференциальных уравнений:
血⑴=一丽，如（7） = 1；血（方）=一次（方），次（7） = 1
#2（方）=一粤，也（7） = 1;#2（方）=一也⑴，也（7） = 1.
Получаем 次⑴=e-\ 吵2（力）=6一方，0＜力 4 7.
Вычислим и°⑴ и 少。⑴：
"。（力）=T ё?庐⑴=I（L+「）=
Вычислим оптимальную траекторию движения системы из решения основной системы уравнений
Q
充1（方）=/1（方）-2/1（0）=с0
亦2（方）=/2（方）十ё-\/2（0）=/20.
Получаем
/1（力）=卜10一部次十；ёt，
/2（力）=/20次+次力，
丿（"。⑴,0。⑴）=I （lТ - 1） + /1（7） + /2（7）.
Вариант 2 （согласно достаточным условиям）.
Составим функцию Кротова:
R（/1（方），①2（方），"⑴，。⑴，9（①1,/2,方），方）=
=I?⑴一川⑴+9；］（①］⑴+u^十。⑴）十В；?（/2（方）+少（方））+ 4, гдев（/1,①2, 7）=①1（7）十/2（7）.
Найдем 〃。（力）и 少°（力）из решения задачи вида
max min R（/i（力），/2（力），"⑴，少⑴，g（/1（力），①2（力），力），力）.
Получаем W⑴=；通］.
С учетом, что терминальный член имеет вид
Ф（①（7）,7） =①-ШТ）,
т. е. является линейной функцией, можно восстановить функцию д（① 1（力），①2（力），力）в базисе （①匕 ①2）линейной функцией вида
9（/1（方），①2（方），方）=次⑴/1十吵2⑴①2.
Подставим функцию（p（xi（t）,①2（力）,力）в выражение для функции Кротова с учетом, что u°（t）=—-夕*】=—-^i（t）. Получаем
max ||^i -^2 + (^1 + 也)0 + (次+血)①1 +(也 + #2)/2}•
Теперь потребуем, чтобы max min этого выражения не зависел от (① 1,^2), т. е. чтобы max min функции Кротова достигался при любых (力1,①2)・ Таким образом, получаем
^1 + ^1 = 0?^2 + ^2 = О
И耽(7)① 1(7) +耽(7)① 2(Т) =① 1(7) + /2(7)・
Отсюда следует, что
^1 = ^b 吵1(7)= 1,
“2 =一九 吵 2(7) = 1.
При этом также видно, что операция
max II ^i - ^2 + (^1 + ^2)I
приводит к выражению для 少° того же вида, что и в варианте 2:少° = =2 (^1+^2).
Выполним, как и в предыдущем варианте, решение полученной системы дифференциальных уравнений и запишем оптимальные управления и траекторию движения системы.
Задача 2.15. Определить оптимальное управление 〃(力),переводящее систему за минимальное время Т° из заданного начального состояния ж(0) в заданное конечное состояние ①(7) = 0, если
"⑴=("1⑴，"2(方))7, 1^1| < 2, 1"2(方)] < 1,
g汽方)十滤⑴< 4,①⑴=(①1(方),①2(方))7,机方))="⑴.
Определить оптимальную траекторию движения системы.
Решение. Воспользуемся методом Нойштадта.
Исходя из стандартной формы описания движения линейной системы
x{t) = A{t) x{t) + B(t) u(t),① e 石乙 и e E2,
① 1(0)=① О ① 2(0)=① 20,
Т —>min
uEE2
|«1|<2, 1〃2Kl〃；+〃 款 4
имеем
Вычислим многообразие точек:
Т
Z（7,呪）=—]Ф（0, Q 石⑹[sign出丁⑹ фТ（0, Q 如]（如。,u^）T d£ о где
ф亿о）=石十果4石=（；；），
или/1 о、/1 о、
小）=（0）…
Тогда
т
小一〕（:力（:外砲:）（::）优脈:八, 0
и "о “20 находятся из максимизации функции Гамильтона "（/ 1（方），①2（方），"1（方），"2（方），次⑴，吵2（方），方）=-1 + ^1^1 +^2^2 на множестве
U = {ue E2\ul（t） + ul（t） <4, |〃i（力）|<2, |〃2（力）|<1},血（力）=0, &2（力）=0 今 0》小1（力）=const,小2（力）=const W 0,"10 = ±\/5, "20 = 士等.
Очевидно, что 〃i （力）#0 и 〃2（力）# 0 и max Н достигается при реализации переключений на следующих вариантах:
D炒田少D炒田少о о о о > < > <о о о о > < > <"i（方）〉0, 〃i（力）＜ о, "1（方）〉0, "1（力）＜ о,"i（方）〉0, 〃i（力）＜ о, "1（方）〉0, "1（力）＜ о,也⑴〉О, 也⑴< 0, 也⑴< 0, 也⑴〉О,也⑴〉О, 也⑴< 0, 也⑴< 0, 也⑴〉О,"2（方）〉0；"2（方）＜ 0；"2（方）＜ 0；"2（方）〉0."2（方）〉0；"2（方）＜ 0；"2（方）＜ 0；"2（方）〉0.
D炒田少
D炒田少
о о о о > < > <
о о о о > < > <
"i（方）〉0, 〃i（力）＜ о, "1（方）〉0, "1（力）＜ о,
"i（方）〉0, 〃i（力）＜ о, "1（方）〉0, "1（力）＜ о,
也⑴〉О, 也⑴< 0, 也⑴< 0, 也⑴〉О,
也⑴〉О, 也⑴< 0, 也⑴< 0, 也⑴〉О,
"2（方）〉0；
"2（方）＜ 0；
"2（方）＜ 0；
"2（方）〉0.
"2（方）〉0；
"2（方）＜ 0；
"2（方）＜ 0；
"2（方）〉0.
При этомПри этомZ（7,现）Z（7,现）ТТо0ТТо0（富卜（富卜
При этом
При этом
Z（7,现）
Z（7,现）
ТТ
о0
ТТ
о0
（富卜
（富卜
Вычислим функцию
/（7, ^о） = V^[Z（7,吵°） 一 ①（0）] = О,
〃7,呪）=（他,他）（j仁：：）义-（:：：》=。
где
тото/ 士〃1О1±〃20/ 士〃1О1±〃20J （±"1о）〃+ J （士〃io）d£
т
о
т
о
/ 士〃1О1±〃20
/ 士〃1О1±〃20
0方口
大口Т
—］（±〃20）d《+ J （干〃20）d£
、 0力口
力n — момент времени переключения управлений.
Рассмотрим вариант переключения управлений, при котором
т
Z（7,呪）=—〈Z（7,呪）=—〈"1о〃-[ "io〃 = -2力11al°十Таю,
Z（7,呪）=—〈
Z（7,呪）=—〈
]”20〃+] “20 〃 = 2力11a20 - 7〃20・ 0方n
Тогда
"7,现）=
=吵10（ -2力 11al0 + t"10）十吵20（2力h"20 - 7"20）一 （^Ю^Ю + 吵20/20）=
=2 力 口（吵20"20 - ^ю^ю） - 7（吵20"20 - ^Ю^ю） - （^10^10 + ^20^20）=0.
Отсюда получаем,, о
7 =）io + 〃/2o + 2〃io%n"1。+ 人20
где р =料，耽о 次 0, ^20 次 0.
Вычислим 力口：
дт丽дт丽=0合力口 ==0合力口 =1/20"10 一）10"20[2〃10〃201/20"10 一）10"20[2〃10〃20Вычислим Т° из п. 3: Т° =応°〔"20Определим оптимальную траекторию движения системы приВычислим Т° из п. 3: Т° =応°〔"20Определим оптимальную траекторию движения системы приоптимальном управлении:оптимальном управлении:"°⑴=<"°⑴=<"?（力）="10,"?（力）=一a10,"8（力）=一"20,、"8（力）=一"20,"?（力）="10,"?（力）=一a10,"8（力）=一"20,、"8（力）=一"20,0《方4", tn < t < Г, 0<方4", tn < t < Г.0《方4", tn < t < Г, 0<方4", tn < t < Г.7°（方）=<7°（方）=<亦 1 （力）="10,亦 1（力）=一a10,亦 2（力）=一"20,、亦2（力）=一"20,亦 1 （力）="10,亦 1（力）=一a10,亦 2（力）=一"20,、亦2（力）=一"20,0《力4",tn^t^T,① 1（0） = Ж10,0《方4",tn^t^T,/ 2（0）=/ 20.0《力4",tn^t^T,① 1（0） = Ж10,0《方4",tn^t^T,/ 2（0）=/ 20.
дт
丽
дт
丽
=0合力口 =
=0合力口 =
1/20"10 一）10"20[2〃10〃20
1/20"10 一）10"20[2〃10〃20
Вычислим Т° из п. 3: Т° =応°〔
"20
Определим оптимальную траекторию движения системы при
Вычислим Т° из п. 3: Т° =応°〔
"20
Определим оптимальную траекторию движения системы при
оптимальном управлении:
оптимальном управлении:
"°⑴=<
"°⑴=<
"?（力）="10,
"?（力）=一a10,
"8（力）=一"20,
、"8（力）=一"20,
"?（力）="10,
"?（力）=一a10,
"8（力）=一"20,
、"8（力）=一"20,
0《方4", tn < t < Г, 0<方4", tn < t < Г.
0《方4", tn < t < Г, 0<方4", tn < t < Г.
7°（方）=<
7°（方）=<
亦 1 （力）="10,
亦 1（力）=一a10,
亦 2（力）=一"20,
、亦2（力）=一"20,
亦 1 （力）="10,
亦 1（力）=一a10,
亦 2（力）=一"20,
、亦2（力）=一"20,
0《力4",
tn^t^T,① 1（0） = Ж10,
0《方4",
tn^t^T,/ 2（0）=/ 20.
0《力4",
tn^t^T,① 1（0） = Ж10,
0《方4",
tn^t^T,/ 2（0）=/ 20.
Видно, что оптимальная траектория представляется кусочно ломаной линией с изломом в момент 力口：
/2（力）=-/]_ （力）,。《力 4 力口， Cl = Ж20 + ^10?
"10"10
/2 （力）—/ 1 （力）-~~ +02 ,tn ^ t ^ T02 — 0.
Заметим （см. п. 4）, что при рассматриваемых начальных условиях из Е； оптимальным управлением может оказаться
'〃，⑴=-Uio, 0 < t < tn, 〃，⑴=-Uio, tn < t < T, "8（力）=“20, 0 < 力 < 力n,
、晒⑴=—〃20, tn^t^T,
и управление может менять знак не больше одного раза （см. п. 2）.
7 А. Н. Катулев и др.
Раздел 3
ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙВ УСЛОВИЯХ ЦЕЛЕВОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
К задачам принятия решений в условиях целевой неопределенности относятся задачи многокритериальной оптимизации. Их решение может быть найдено согласно принципам оптимальности Слейтера, Парето или согласно принципу лексикографии.
Альтернатива ①* С Mq, где Mq — множество допустимых альтернатив, называется оптимальной по Парето (эффективной, Р-опти- мальной), если для любой другой альтернативы ж С Mq, для которой 修(①)》修(①*), г = 1, п, справедливы равенства 修(①)= 修(①*), г = 1, n.
Альтернатива ①* G Mq называется оптимальной по Слейтеру (слабоэффективной, полуэффективной), если не существует такой альтернативы х G М°)что 修(①) > 川(/*), г = 1, n.
Альтернатива ①* С Mq называется оптимальной для лексикографического отношения L, если существует упорядочение ①* А ①,при котором для упорядоченных (пусть в невозрастающем порядке) по важности частных критериев имеют место соотношения
网(/*)〉％(/)
ИЛИ~
/(/*)=/⑺，i = l,k,
4+1(①*)〉4+1 ⑺，г = 1, n-1.
Другой подход к принятию решений по многим критериям
(/(/)，ь2(/)，/(/)) =ь(/)
опирается на введение свертки W(F(x)) векторного критерия F^x}.
Тогда в качестве принципа оптимальности можно принять соответствующий принцип принятия решения в условиях определенности или в условиях конфликта.
Задача 3.1. Построить множество эффективных портфелей, формируемых из безрисковых и рискованных активов, входящих в эффективное множество модели Марковица.
Решение. Известно [1, 2], что в случае включения в портфель безрискового актива любой портфель можно представить линейной комбинацией безрисковой и рискованной частей.
Рискованные портфели принадлежат эффективному множеству модели Марковица (рис. 3.1). При этом операция соединения безрискового актива с эффективным множеством не должна приводить к неэффективному множеству, т. е. в результате этой операции должна быть построена новая эффективная граница множества портфелей.
Рассмотрим в связи с этим портфель А (см. рис. 3.1) из исходного множества Парето (правой части параболы на рис. 3.1), содержащий п рисковых ценных бумаг, и сформируем новый портфель из), 0 <)< < 1, частей безрисковых ценных бумаг и 1 — 7 частей рискового портфеля А. Очевидно, доходность этого нового портфеля
а его риска его рискМ = 7М0 + (1 — 7)Ма,V = (1-7)2K4.
а его риск
а его риск
『1/2
Из последнего имеем 1 — 7 = —-т-, но тогда
匕/2
М/ М+底)/ МА = M0+^-^V^2,
где 1= ctg а определяет угловой коэффициент прямой, про
ходящей через точки Mq и 4
Теперь воспользуемся установленным выше фактом о том, что множество эффективных портфелей описывается в системе координат доходность-риск гладкой выпуклой прямой второго порядка. Запишем здесь ее выражение в неявном виде
ь("(*,}1/2(叫=0 или в виде
反("6,仪*)=0,
где ст — среднеквадратическое значение, и отметим, что если принадлежащая этой кривой точка А (см. рис. 3.1) является точкой касания прямой, проходящей через точки Ми и А, то угловой коэффициент этой прямой равен угловому коэффициенту касательной к кривой F(M(r),}1/2(*)=0 в точке А. Большее значение угловой коэффициент при фиксированном значении Mq не может принимать, так как тогда (при меньшем угле а) новый портфель будет составлен в виде линейной комбинации безрискового и рисковых активов из недопустимого множества, а при меньших значениях углового коэффициента новый портфель будет составлен из безрискового актива и доминируемых рисковых портфелей, так как при таком угловом коэффициенте прямая отсекает часть эффективного множества (см. рис. 3.1).
Таким образом, искомое множество эффективных портфелей представляется гладким сплайном безрискового актива и эффективного множества портфелей модели Марковица.
Задача 3.2. Проводится конкурс на замещение вакантной должности в организации. При этом руководствуются следующими критериями: /1 — образование; /2 — возраст; /3 — опыт работы в требуемом конкретном направлении; /4 — умение работать на персональном компьютере.
Пусть
j 1, если у кандидата на должность высшее образование, 九⑺=〈П
[0, в других случаях;
j 1, если возраст кандидата меньше 35 лет,
/2⑺=(n
[0, в других случаях;
!
1, если у кандидата есть опыт работы в требуемом направлении не менее 2 лет,
0, в других случаях;
j 1, если кандидат умеет работать на ПК,
/4(/)=(n
[0, в других случаях.
Пусть рассматриваемые критерии упорядочены:
九⑺二/2⑺二/3⑺二/4⑺.
Выяснить, кого из 10 кандидатов на вакантную должность следует выбрать, если они характеризуются следующими данными (первый параметр —образование, второй — возраст в годах, третий — опыт работы в требуемом направлении в годах, четвертый параметр характеризует умение работать на персональном компьютере):
Ж1 = (высшее, 25, 0, да), ①2 = (среднее, 30, 2, да),
①з = (высшее, 40, 4, нет), ①4 = (среднее, 25, 2, да),
①5 = (среднее, 30, 1, да), ①7 = (высшее, 30, 2, нет), ①9 = (среднее, 40, 10, да),①5 = (среднее, 30, 1, да), ①7 = (высшее, 30, 2, нет), ①9 = (среднее, 40, 10, да),①6 = (высшее, 36, 0, да), ①8 = (высшее, 25, 0, да), жю = (высшее, 34, 5, нет).①6 = (высшее, 36, 0, да), ①8 = (высшее, 25, 0, да), жю = (высшее, 34, 5, нет).
①5 = (среднее, 30, 1, да), ①7 = (высшее, 30, 2, нет), ①9 = (среднее, 40, 10, да),
①5 = (среднее, 30, 1, да), ①7 = (высшее, 30, 2, нет), ①9 = (среднее, 40, 10, да),
①6 = (высшее, 36, 0, да), ①8 = (высшее, 25, 0, да), жю = (высшее, 34, 5, нет).
①6 = (высшее, 36, 0, да), ①8 = (высшее, 25, 0, да), жю = (высшее, 34, 5, нет).
Решение. Для критерия 九 максимум достигается у шести кандидатов с номерами 1, 3, 6, 7, 8, 10. Таким образом,
М\ = Arg max九⑺ ={①匕ж3, ж6,①7,①8,①io}・
Далее из подмножества Mi альтернатив выделим альтернативы 少/? с максимальным значением второго по важности критерия "：
力2 е Arg max "(с)・
Учитывая условия задачи, имеем
М2 = Arg max "(①)={① 1,①7,①8,①io}・
Поскольку TH? состоит более чем из одного элемента, то процесс анализа продолжим для критерия /з(с)・ Выделяем из М? альтернативы Vj3 с максимальным значением третьего по важности критеРИЯ 3，G Arg m衿/з(с).
Имеем
Мз = Arg max /з(с) = {ж7, жю}.
Однако кандидаты с номерами 7 и 10 не умеют работать на ПК. Поэтому в рамках рассматриваемой задачи достойного кандидата нет. Поэтому ЛПР может либо продолжить поиск других кандидатур, либо сделать «уступку» по наименее важному критерию 爲⑺ и осуществить выбор между кандидатами с номерами 7 и 10 с привлечением некоторых дополнительных критериев.
Задача 3.3. Требуется выбрать место для установки вышки ретрансляционной станции на территории, представляющей собой прямоугольник ABCD с координатами А(0, 0), В(0, 10), 0(10, 0),。(位 10). При этом желательно, чтобы вышка находилась по возможности ближе как к пункту А, так и к пункту С. На территории ABCD находится озеро, имеющее форму круга с центром в точке (5, 3) и радиусом 2.
Найти место установки вышки, если она должна быть удалена от озера на расстояние не менее чем а (а < 1).
Решение. Пусть координаты точки расположения вышки (ж, у). Тогда первый критерий для данной задачи имеет вид
W\{x^ д) = № 十д2 T min, второй имеет вид
川2(д)=(①一10)2 + (у - 10)2 т min, и задача сводится к построению множества Парето для
мо = {(ж, у): 0 < ж, g < 10,(/-5)2+(g-3)2》2十a}
Применим аналитический способ доказательства. Для этого рассмотрим соотношения ^仍 dW^
号号，
dWr _ 、dW2
Ну — Ну)
которые для рассматриваемого случая имеют вид
2(ж-10) = -2Аж,
2(g —10) = —2Хд.
Выражая А из первого уравнения и подставляя во второе, получаем уравнение прямой у = х. Получаем, что часть прямой g =① определяет точки, входящие в множество Парето P(Mq). Кроме этих точек надо исследовать на принадлежность к P(Mq) точек, лежащих на дугах EGF и ЕНF окружности
(①一5)2 + (д — 3)2 = 2 十 а.
Рассмотрим точку Н на дуге ЕНF (рис. 3.2), не совпадающую
с Е или F. Проведем через 〃с Е или F. Проведем через 〃линии равного уровня критериев W±линии равного уровня критериев W±
с Е или F. Проведем через 〃
с Е или F. Проведем через 〃
линии равного уровня критериев W±
линии равного уровня критериев W±
и W2 (соответственно НFS и HGS). Тогда для точки Н найдется такая точка, например, L на дуге GK, для которой Wi(L) < Wi(H) и 川2(丄) < 川2(“), поскольку точка L лежит на линиях равного уровня критериев, расположенных соответственно ближе к точкам А и С, чем SKH и SGH.
Итак, точка Н доминируется точкой L, т. е. точка Н не является Парето-оптимальной.
Теперь рассмотрим точку Т на дуге ЕТF (см. рис. 3.3). Проведем через Т линии равного уровня критериев W± и 忆：соответствен-
но КТL и GTН. Кривыми КТL и GTН множество Mq делится на области I, II, III, IV. Покажем, что точка Т входит в P(Mq).
Действительно, для любой 2 =(①,д):
^е п и ш и IV и gr(ii, ш) и GR(m, IV)
точка Т доминирует 2 по критерию W\. А для любой точки й = =(ж, д): й G I U GR(I, II) U GR(I, IV) имеется критерий 忆,по которому w2(7)<w2(力.
Таким образом, по определению множества Парето Т С P(Mq).
Учитывая произвольный выбор точки Т на дуге ЕТ歹,делаем вывод о вхождении всех точек дуги ЕТF в P(Mq). Окончательно, множество Парето для данной задачи составляют точки, лежащие на отрезках АЕ^ FC)а также на дуге ЕТF (см. рис. 3.3).
Задача 3.4. Найти Р(М0) и S(M0), где
Мо = {(①匕①2)： - 10 < 力1 < 10, -10 < 力2 < io,
-15 《 ①1十/2 < 15, -15 < ①1一①2 < 15};
если
Wi(① 1,①2)= 2ж1 + ж2,
w2(/1,①2)= -2/2, причем первый критерий максимизируется, а второй минимизируется.
Решение. Решим задачу с использованием эквивалентных определений множеств Парето и Слейтера. Множество Mq представляет собой многоугольник, представленный на рис. 3.4. Перейдем от критерия W2 к критерию
何(/1/2)= 一w2(/1/2)= 2/2.
Тогда оба критерия необходимо максимизировать. В данной задаче Мо — выпуклый компакт, а критерии линейные. Поэтому точки из множеств Парето и Слейтера могут располагаться
только на границе Mq.
Последовательно для всех сторон многоугольника ABCDЕFGН выберем точки 丄勿 на них и для этих точек построим конусы К〃 с вершинами в них и образующими, определяемыми линиями равных уровней W\ и W^ (勿=1,8). Затем исследуем множества Mq A Ki，
Если пересечение Mq А К〃 состоит только из одной точки 丄勿,то эта точка входит в P(Mq); если Mq A Ki состоит более чем из одной точ-
ки, но Мд А К〃 содержит только граничные точки, то 丄勿 G S(Mq). Наконец, если Mq А К〃 содержит внутренние точки Mq, то 丄勿 g S(Л/q).
Рис. 3.4 иллюстрирует тот факт, что для конуса К] имеем
К А Мо = &
и,следовательно,/、
LieP(Mo),
а в силу произвольности выбора Li на отрезке АВ получаем, что все точки отрезка АВ входят в множество Парето.
Для конуса Kg множество К& С Mq содержит только граничные точки Мо, а именно отрезок L^A. Следовательно,
L8eS(MQ^
а в силу произвольности выбора L& на НА получаем, что все точки отрезка НА входят в S(M0).
Анализ К〃 A Mq при г = 2, 7 показывает наличие в этих множествах внутренних точек Mq, т. е.丄勿,г = 2, 7, не входят в S(Mq).
Итак, окончательно получаем
Р(Мо) = [А,现 S(M^ = [А, В] U [Я, А].
Задача 3.5. Найти Р(М0) и S(M0), где
Мо = {(/b/2)I -5<①1 4 5, -5 ， ①2 < 5},
если имеются три критерия:
W1(/1,①2)=/2,w2(/1,①2)= Ж1+Ж2,w3(①1,①2)=①1 一/2.
Все критерии требуется максимизировать.
Решение. Множество MqРешение. Множество MqRR)2)2注、 /5В注、 /5В5 *5 *▽忆、II \▽忆、II \D-5/ IV СD-5/ IV СРис. 3.5Рис. 3.5и векторы градиентов grad 恥 ⑺, grad M ⑺，gradW3(2), где ж = =(3,①2), представлены на рис. 3.5.Максимум критерия W^{x} достигается в одной точке В, поэтому эта точка входит в P(Mq).Максимум критерия W^{x} достигается в одной точке С, следовательно, точка С входит в Р{М^.Максимум критерия W±(x) достигается для всех точек отрезка АВ, поэтому точки отрезка АВ входят в S(M0).Докажем, что если G С еМо\[В,С], то G^P{M^.Действительно, проведем через х1 линии равных уровней рас-и векторы градиентов grad 恥 ⑺, grad M ⑺，gradW3(2), где ж = =(3,①2), представлены на рис. 3.5.Максимум критерия W^{x} достигается в одной точке В, поэтому эта точка входит в P(Mq).Максимум критерия W^{x} достигается в одной точке С, следовательно, точка С входит в Р{М^.Максимум критерия W±(x) достигается для всех точек отрезка АВ, поэтому точки отрезка АВ входят в S(M0).Докажем, что если G С еМо\[В,С], то G^P{M^.Действительно, проведем через х1 линии равных уровней рас-
Решение. Множество Mq
Решение. Множество Mq
R
R
)2
)2
注、 /5В
注、 /5В
5 *
5 *
▽忆、
II \
▽忆、
II \
D-5/ IV С
D-5/ IV С
Рис. 3.5
Рис. 3.5
и векторы градиентов grad 恥 ⑺, grad M ⑺，gradW3(2), где ж = =(3,①2), представлены на рис. 3.5.
Максимум критерия W^{x} достигается в одной точке В, поэтому эта точка входит в P(Mq).
Максимум критерия W^{x} достигается в одной точке С, следовательно, точка С входит в Р{М^.
Максимум критерия W±(x) достигается для всех точек отрезка АВ, поэтому точки отрезка АВ входят в S(M0).
Докажем, что если G С еМо\[В,С], то G^P{M^.
Действительно, проведем через х1 линии равных уровней рас-
и векторы градиентов grad 恥 ⑺, grad M ⑺，gradW3(2), где ж = =(3,①2), представлены на рис. 3.5.
Максимум критерия W^{x} достигается в одной точке В, поэтому эта точка входит в P(Mq).
Максимум критерия W^{x} достигается в одной точке С, следовательно, точка С входит в Р{М^.
Максимум критерия W±(x) достигается для всех точек отрезка АВ, поэтому точки отрезка АВ входят в S(M0).
Докажем, что если G С еМо\[В,С], то G^P{M^.
Действительно, проведем через х1 линии равных уровней рас-
Тогда любая точка из Mq,Тогда любая точка из Mq,
Тогда любая точка из Mq,
Тогда любая точка из Mq,
сматриваемых трех критериев, лежащая в пределах области RGK〉
доминирует по Парето точку G. Поэтому последняя не входит в Р{М^.
Аналогично, для любой точки G G Mq \ ([А, В] U [В, С]) получаем, что GQS(M)).
Осталось показать, что любая точка F отрезка ВС является Парето оптимальной. Действительно, проведем через F линии равных уровней критериев 恥，W2 и W3. Они разбивают Мо на четыре области: I, II, III и IV. Для любой
xelUlIUHIU GR(I, II) U GR(II, Ш) U [В,歹) имеем % (歹)〉％ ⑺，а для
xeivuG/z(n,in)u[C,歹)
получаем W^F)〉W^x).
Следовательно, по определению точка F является Парето-опти- мальной. Окончательно получаем
Р(Мо) = [В, С], S(Mo) = Р(Мо) U [А, В].
Задача 3.6. Пусть
Мо = {(Ж1, ж2) I -5 < Ж1,①2<5}.
Найти P(Mq) и S(Mq), если имеются два критерия:
Ж(Ж1,①2)=① 1 一①2,w2(①1,①2)= 2/2,
и оба критерия требуется максимизировать.
Решение. Рассмотрим данную задачу в пространстве значений частных критериев и найдем эффективные и слабоэфффективные векторы.
W1(-5,-5)=0, Wi(-5,5) = -10, 恥(5,-5) = 10, Wi(5,5) = 0,W1(-5,-5)=0, Wi(-5,5) = -10, 恥(5,-5) = 10, Wi(5,5) = 0,川2(-5,—5) = —10, w2(-5,5) = 10, w2(5,-5) = -10, 忆(5,5) = 10,川2(-5,—5) = —10, w2(-5,5) = 10, w2(5,-5) = -10, 忆(5,5) = 10,Поскольку
W1(-5,-5)=0, Wi(-5,5) = -10, 恥(5,-5) = 10, Wi(5,5) = 0,
W1(-5,-5)=0, Wi(-5,5) = -10, 恥(5,-5) = 10, Wi(5,5) = 0,
川2(-5,—5) = —10, w2(-5,5) = 10, w2(5,-5) = -10, 忆(5,5) = 10,
川2(-5,—5) = —10, w2(-5,5) = 10, w2(5,-5) = -10, 忆(5,5) = 10,
то W(Мо) — параллелограмм. После замены переменных
W； = Wi + 10,也=忆+10
для точек W^Mq) выполняется условие W^》0 и W^》0.
Теперь, воспользовавшись эквивалентным определением множеств Парето и Слейтера, получаем, что отрезок, соединяющий W(В) и W(С), представляет эффективные векторы, а отрезок, соединяющий W(А) и W{В\ — слабоэффективные векторы.
Возвращаясь в пространство альтернатив, получаем
Р(Мо) = [В, С], S(Mo) = [В, С] U [А, В].
Задача 3.7. Найти P(Mq) и S(Mq\ если
Ж (ж) = COS Ж,川2 ⑺=^ 一 卜一 "，M0 = [0,7г],
и критерии требуется:
максимизировать; б) минимизировать.
достигается вдостигается вРешение, а) Глобальный максимум W±(x) на Mq
достигается в
достигается в
одной точке ①° = 0. Следовательно,
{Жо = о}еР(мо).
Глобальный максимум W^{x) достигаетсяГлобальный максимум W^{x) достигаетсяв однойв однойследовательно,следовательно,7Г точке ж =—,7Г точке ж =—,{①2 = 1 е Р(М))・{①2 = 1 е Р(М))・
Глобальный максимум W^{x) достигается
Глобальный максимум W^{x) достигается
в одной
в одной
следовательно,
следовательно,
7Г точке ж =—,
7Г точке ж =—,
{①2 = 1 е Р(М))・
{①2 = 1 е Р(М))・
Докажем, что и любая другая точка ①з отрезка [0, —J входит в Р(М°). В самом деле, для любого такого ж, что ж > жз, существует J (J = 1) такое, что W/(/3)〉配3(/)，а для любого ж, такого что х < жз, найдется J (/ = 2) такое, что И^(/з)〉川八①).Значит, по определению множества Парето,①з входит в P(Mq).
Покажем, что все стратегии ①4 из промежутка — < Ж4 ^ тг не входят в S(Mq), а тем более в Р(Мо), поскольку они доминируются по обоим критериям стратегией ^2 = — так как
W1S)〉W1 (/4),W2(①2)〉w2(①4).
Итак, получаем Р(М0) = S(M0) = [о,.
Глобальный минимум Wi(①)на Mq достигается при ①° = тг,
значит,значит,{①о = 7г} G Р(М0).{①о = 7г} G Р(М0).
значит,
значит,
{①о = 7г} G Р(М0).
{①о = 7г} G Р(М0).
В то же время глобальный минимум критерия W^{x} достигается при двух значениях х:①i = 0 и ①° = тг. Стратегию ①° = тг мы уже включили в Р(Мо), а стратегия ①° = 0, хотя и является оптимальной по Слейтеру, но не входит в Р(М°), так как она доминируется стратегией ①о = 7г (VJ С {1,2} Wj(x) < Wj(0), причем для 7 = 1 это неравенство строгое).
Покажем, что все остальные стратегии (кроме ①° = 0 и ①° = тг) не входят в S(Mq) (тем более они не входят в P(Mq)). Действительно, для любой стратегии ①3： 0 < /3 < тг найдется ж, именно ж = тг, такое, что VJ = {1, 2} Wj{x) < Wj(xs). Таким образом, по определению, стратегия /3 не входит в S(赫).
Итак, в данном случае Р(М0) = {тг}, S(M0) = {»} U {0}.
Задача 3.8. Найти множества всех эффективных и слабоэффективных стратегий в двухкритериальной задаче
Wi(①)=ж, 川2(“)= ж3 -Зж2 + 2ж, где оба критерия требуется максимизировать, если:
а) Мо = [0; 1,5];, б) Мо = [0; 1,9]; в) Мо = [0; 3].
Решение. Нули функции W^x)'.
① 1 = 0,①2 = 1,① з = 2,
а точки ее локального максимума и минимума — соответственно
Поскольку ①5〉1,5, то на участке [①4； 1,5] 忆⑺ 一 строго убывающая функция в то время как 恥(①)—строго возрастающая. Аналогично случаю задачи 2.6 легко показать, что
P(Mo) = S(Mo) = [/4；1,5].
Точка х = 1,9 является Парето-оптимальной, поскольку она есть точка глобального максимума Wi(①).Рассмотрим точки х: х С (①6； 1,9), где ①6 ——положительный корень уравнения (отличный от 1,9)
ж3 - Зж2 + 2ж = 1,93 - 3 • 1,92 + 2 • 1,9.
Любая такая точка доминируется по обоим критериям стратегией х = 1,9, так как
恥(1,9)〉恥⑺，忆(1,9)〉忆⑺.
Поэтому точки интервала (①°; 1,9) не входят в S(Mq).
Так же, как и в случае а), точки промежутка [0,^4)не входят в
Стратегия xq не входит в Р(М°), поскольку имеется стратегия ж = 1,9, для которой Wi(l,9)〉匠1 (①б),川2(1,9)=忆(①б), но вместе с тем ①6 является оптимальной по Слейтеру, так как для любого х С Мо, отличного от ①6, найдется критерий Wj (для х < xq это 川匕 а ДЛЯ X > Xq ЭТО W2), ЧТО
叫(/6)Ж•⑺•
Стратегии ①7 из промежутка [①4, xq) входят в Р(М°).
Действительно, при любом ж из Mq, отличном от ①7, найдется критерий Wj (для ж < Ж7 это 川匕 а для х > х^ это W2) такой что выполнено неравенство
叫(①7)〉MM)。
Итак, в данном случае
Р(7Ио) = [ж4,ж6)и{ж = 1,9},S(M0) = Р(М0) U {ж = ж6}.
Поскольку 川2(3) = 6 больше 忆(①4), то выполнены неравенства
恥⑶〉恥⑺，忆⑶〉忆⑺
для любого х из промежутка [0, 3).
Поэтому Р(М0) = S(M0) = {ж = 3}.
Задача 3.9. Пусть частные критерии 九（①匕①2）,『2（① 1,①2）, /з（^1,①2）— функции, заданные на E2 （Mq =炉），причем
/1（^1,①2）=若+ W，
/2（^1,①2） = 2-Ж1 - 2ж2,
/з（Ж1,ж2） = 2-Ж1+ж2.
Найти такую альтернативу 无* G 石2, чтобы выполнялось условие 9（无*） = min max 力（/匕 /2）, 无=（①1,①2）.
жЕМо 1《勿《3
Решение. Данная задача является дискретной минимаксной. Рассмотрим ее решение методом наискорейшего спуска. Прежде всего, отметим, что функции /1（无），『2（无），/з（无） дифференцируемы и выпуклы; выпуклой будет и функция
9 （无）=S然力（无）•
Зададим начальное приближение 无（°）= （—1; —1）. Поскольку
九（于（°）） = 2,"（无⑼）= 5,/3（2⑼）= 2,
то R（x^） = {2}, т. е. max fi（x^） достигается при 〃 = 2. Выпуклая оболочка L（x^） состоит из одной точки （—1; —2）, определяемой ра-
）2人）2人Рис. 3.6Рис. 3.6венством
）2人
）2人
Рис. 3.6
Рис. 3.6
▽"（无⑼）= （—1；—2）.
Итак, необходимое условие 0 С L（x^）, где 0 — начало координат, оптимальности альтернативы в данной задаче не выпол
нено, поэтому переходим к поиску следующего приближения 无（D. Для этого через точку （—1; —2） проводим прямую, проходящую через начало координат 0, и строим на ней единичный вектор д{х^\ исходящий из точки （—1; —2） в направлении начала
координат.
Имеем 0®。））=
Тогда
（см. рис. 3.6）.（см. рис. 3.6）.где длина шага /⑴где длина шага /⑴определяется из условияопределяется из условия无⑴=无⑼+/⑴g（于⑼）,
（см. рис. 3.6）.
（см. рис. 3.6）.
где длина шага /⑴
где длина шага /⑴
определяется из условия
определяется из условия
9（无⑼+3⑴0（无⑼））=min9（于⑴）=min max力（无⑼+/0（无⑼））./3/3
Подставляя численные значения, получаем
9（无⑼+30（无⑼））=max产 一 ^/+2, 5 一 V^仇 京十2}.
Рис. 3.7Рис. 3.7Рис. 3.8Рис. 3.8
Рис. 3.7
Рис. 3.7
Рис. 3.8
Рис. 3.8
Анализ графиков функций /勿(/), приведенных на рис. 3.7, на котором выделена функция max позволяет сделать вывод, что минимум по / функции g(G) определяется точкой пересечения прямых "(3) и /з(/).
Приравнивая "(/) и /з(3), имеем 5 — V^^ = — + 2, откуда
3 = /D =暮，"(3⑴)= /з(3⑴)= 2；.
Тогда искомое приближение есть
无⑴=无⑼+/⑴g(无⑼)=^- I，0).
Найдем при х =无(D значения функций /勿(无)：
九(于⑴)=}/2(于⑴)=|,/3(于⑴)=|.
Следовательно, R(①⑴)={2,3}, а выпуклая оболочка L(无(D) представляет собой отрезок, соединяющий точки (—1, —2) и (—1, 1), где
(-1, 1) = V/3(^(1)), (-1,-2) = ▽"(于⑴).
Поскольку 0 g L(死⑴)(рис. 3.8), т. е. необходимое условие минимакса не выполнено, то переходим к поиску следующего приближения. Для этого через ближайшую к 0 точку из L(m⑴),т. е. точку (—1, 0), проводим единичный вектор с началом в этой точке в направлении начала координат 0. Очевидно, д(х^) = (1, 0) (см. рис. 3.8).
Тогда 无(2)= х^ + /3^g(х^), где длина шага /3⑵ ищется из условия
g(3⑵)=g(于⑴+/⑵J (无⑴))=n^口9(无⑴+/3g (无⑴))=
=min max力(无⑴+ /⑵J (无⑴)).
Подставляя численные значения, получаем
g(于⑴(2⑴))=max {(g — })，(_ 乱 If}.
Анализ графиков функций /〃(/), i = 1, 2, 3, на рис. 3.9 показывает, что искомое значение 0⑵ определяется из условия пересечения,
например, /1(/) и /2(G) для /〉0. (На рис. 3.9 для наглядности выделена функция max /〃(/).) Приравнивая /1(/) и /2(G), получаем
уравнение относительно /:
которое имеет один определяет искомоекоторое имеет один определяет искомое3 положительный корень ^ = -. Это значение / и 6⑵=|- Тогда текущее приближение есть
которое имеет один определяет искомое
которое имеет один определяет искомое
于⑵=于⑴ +/⑵g(2⑴)=(-| + i-^ o+|-o) =(1,0).
Для X =无(2)имеем
九（于⑵）=/2（于⑵）=/3（于⑵）=1,
следовательно, максимум достигается на всех трех критериях и R(无(2)) = {1,2,3}.
Выпуклая оболочка L(①⑵)представляет собой симплекс, натянутый на концы векторов (—1, 1), (—1, —2) и (2, 0). При этом необходимое условие для минимаксной стратегии выполнено (рис. 3.10), так как 0 G L(①⑵).Учитывая, что функции 力(无)выпуклые, получаем, что последнее условие является и достаточным для данной задачи.
Итак, искомая альтернатива есть
无* =无⑵=(1, 0),
а соответствующее минимаксное значение 夕(无*) = 1.
Задача 3.10. В условиях задачи 3.9 рассмотрим другое множество допустимых альтернатив
Мо = {（①匕①2）С Е2: Ж1 < 0}.
Найти такую альтернативу 无*, чтобы выполнялось условие g（无*） = jnin max 力（/1,①2）,无=（①1,①2）.
жеМ0 1wё43
Решение. Рассматриваемая задача является задачей на поиск минимаксной стратегии при наличии ограничений. Аналогично задаче 3.9, взяв за начальное приближение 无（°）= （—1, —1）, получим следующее приближение 无（D = （一/，°）・ Однако при поиске следующего приближения 无（2）нельзя выходить за пределы области
4 = {（/ь/2）：①1 < 0},значит, должно быть выполнено неравенство х^ < 0, т. е.
№ + 3gi （无⑴）< 0-
Последнее неравенство сводится к неравенству —^+^-1^0, от- 12
куда получаем ограничение на /: О，/，/. При таком ограничении на /, как нетрудно заметить （см. рис. 3.10）, min 夕（/） достигается 11о《У/2
при ^ = -. Следовательно, 0⑵=-,а приближение есть
于⑵=（①「+ 3⑵• 91 （2「），芯D + 3⑵• g2 （制D）） = （0,0）.
Для альтернативы 无（2）имеем R（无⑵）={2, 3}, поскольку
Л（^（2）） = 0,"（无⑵）= 2, /з（无⑵）= 2.
Проверим для 无（2）необходимое условие оптимальности для минимаксных задач с ограничениями
"无⑵）n （一К* （无⑵））^ 0,
где К* （无（2）） — сопряженный конус к множеству А в точке 无⑵=（0, 0）.
Рис. 3.11 иллюстрирует тот факт, что указанное пересечение множеств не является пустым множеством （l（无⑵）-оtрезок GH） а -К* = {（Ж1,①2）：力2 = 0, Ж1 < 0}）.
Итак, для 无（2）= （0, 0） выполнено необходимое условие оптимальности, но учитывая выпуклость функ
ций /з i = 1,2,3, получаем, что это условие является и достаточным.
Следовательно,стратегия
/* =/⑵=(0, 0)
является искомой, а соответствующий минимакс 夕(无*) равен 2.
Сравнивая полученный результат с результатом задачи 3.9, можно заметить, что наличие ограничения привело к увеличению минимакса с 1 до 2.
Задача 3.11. В условиях задачи 3.9 выяснить, существует ли максиминная альтернатива 无* G Е2, т. е. чтобы выполнялось условие
夕(无 *) = max min Л (ж).
Решение. Покажем, что максиминной альтернативы в данной задаче не существует.
Действительно, рассмотрим точки х на луче
Р = {(^1,0): Ж1 < -2}.
Для них /М无)=①彳,『2(无)=/з(ж) = 2 - xi, причем /】(无)》/2(ж) для х Е Р, поскольку выполнено неравенство ①彳》2 —①] при ①i < —2. Тогда
2%力⑺=/2⑺，хе Р.
Но, взяв достаточно большое по модулю отрицательное число ①i, можно достичь сколь угодно большого значения 夕(无)=/2(^1, 0)= 2 х ].
Поэтому rpaxg(①)не существует, а следовательно, не существует и maxg(①).Последнее и означает отсутствие оптимальной макси- 历ё石2
минной альтернативы в Mq = Е2.
В этой задаче нарушены условия ограниченности множества определения функций (условие компактности не выполняется).
Задача 3.12. Показать, что необходимое условие 0 С L{x^} для оптимальной максиминной стратегии в задаче поиска
max min 力⑺，Л C^Mq),
где Mg — выпуклый компакт, не является достаточным.
Решение. Достаточно привести пример, чтобы для 无* выполнялось условие 0 С L(无*), но значение min fi(x^) было меньше значе- l^i^k
ния min /^(ж°), для некоторой альтернативы 无° # 无*. l^i^k
В условиях задачи 3.9 возьмем
Л/0= {无：①;+/^ < 9}.
Для рассматриваемых критериев
/1（^1,①2）=循十遗，
Л（Ж1,①2）= 2-Ж1 - 2ж2,
/з（Ж1,ж2） = 2-Ж1+ж2,
возьмем альтернативу ж =无（2）= （1, 0）. В ходе решения задачи 3.9 было показано, что условие 0 С L（x^） выполнено. Поскольку
九（于⑵）=/2（于⑵）=/3（于⑵）=1,
ТО
叽1力（无⑵）=1.
Но, взяв альтернативу ж0 = （—2, 0）, убеждаемся, что
2% 力（无⑼）=min{4, 4, 4},
т. e.无（2）не является искомой максиминной альтернативой.
Отметим, что в данном случае функция min /勿（于）не является ul<i<k
вогнутой.
Задача 3.13. Пусть
无=（① 1,①2）, Ж （ж）=若 十3（①2 - I）2, 恥（无）=3^2 + （/ 1 -3）2.
Исследовать свойства функции 夕（无）= max % （①）.
Найти mjng（2）.' '
Решение. Покажем, что 夕（无）непрерывна в точке ж0 G 石2, т. е. что Vx° 6 Я2, Ve > 0 mb〉0, V无：р（ж, ж0） < б, выполнено
I max 夕勿（无）—max I < e.（3.1）
Если при рассматриваемом х максимумы достигаются при одном и том же г, то выполнение неравенства （3.1） вытекает из непрерывности каждой из функций Wi（无）и W^{x） в отдельности.
Пусть теперь максимумы в （3.1） достигаются при разных г, например,
т@х%（无）=Wi（2）, т@х%（2°） = W^x^Y
и, кроме того,川2（无°）》Wi ⑺.Тогда
0 ，w2（无°）-恥⑺ 《 w2（无°）-w2⑺， откуда
Iw2（无°） - W^X）\ 《 Iw2（无°）-w2⑺ Y
где последнее неравенство имеет место при р（ж, ж0） < 5】для некоторого bi （bi > 0） в силу непрерывности W^{x） в точке ж0. Значит,
8 А. Н. Катулев и др.
I w2(无°) - Ж(Ж)I < e для этого bi.
Аналогично, при W^(x)〉川2(无。)имеем
О < Ж (ж)-川2(无°) < Ж (ж) - Ж (ж0) < е,
где последнее неравенство имеет место при р(ж, ж0) < 5? для некоторого ^2, ^2〉0. Значит,
\W^)-Wr{x)\<e
для этого ^2- Итак, условие (3.1) выполняется при р(ж, ж0) < J, гдеb = min{bi,加},
т. е. д(无)непрерывна в точке ж0.
Выпуклость функции д(无)на выпуклом подмножестве Е2 вытекает ИЗ выпуклости ИСХОДНЫХ функций Wi(x) И 川2(无).Поскольку Wi(x) и 川2(无)имеют непрерывные частные производные для V 无 С 石2, то в каждой точке х существуют производные функции 夕(无) по любому направлению д. В силу выпуклости функции 夕(无)необходимым и достаточным условием минимума функции 夕(无)в точке ж0 является (0, 0) С 丄(无°), где £(ж°) — выпуклая оболочка, натянутая на концы векторов gradWi(x°) для 〃 С R(土°). Здесь R(土°) — множество критериев, на котором достигается max %(无°). В нашем случае
grad Wi⑺=(2xi, 6(①2 - 1)), grad W2(x) = (2(①i 一3), 6ж2).
При этом max Wi(xQ) достигаться только на одном критерии не может, так как, например,
gradH/i(x) = (0, 0) при ж1 = (0, 1),
но 夕(无 1) = max(0, 12) = 12 превышает 夕(无2 = (1, 1)) = max(l, 7) = 7.
Следовательно, ж1 не является искомой альтернативой.
Аналогично,
gradH/2(x) = (0, 0) при ж2 = (3, 0),
но 夕(无2) = max(12, 0) = 12 больше, чем 夕(无2 = (1, 1)) = 7. Поэтому ж2 также не является искомой альтернативой.
Итак, в искомой точке ж0 минимума функции 夕(无) max%(2。) достигается на обоих критериях. Тогда для нахождения ж0 =(①?, eg) получаем систему уравнений
，2①，а + 2(①，—3)(1 — а) = 0,
< 6(/§ — 1)а + 6с§(1 — а)=0,0 < а < 1,
、(嗯2+3(竣一1)2 =5_3)2+3(现2,
где первые два уравнения есть формальная запись того факта, что (О, 0) С 丄(无°), а третье равенство — что 冗(无°) = {1,2}, т. е. значения критериев в точке ж0 равны.
После несложных арифметических преобразований система приводится к виду产=3 —За,
< eg = а, 0 < а < 1.
Подставляя значения ①，и ①§ из первых двух уравнений в третье, получаем а = |. Тогда ①，=^,①§ = ；, а соответствующее этому ж0
жжзначение min max Ж(^) равно 3. Несложно проверить, что в точке
ж
ж
ж0 = ^|, ；) выполнено другое условие, эквивалентное 0 С £(ж°): min max (grad Wj(x^Y 勺)》0・(3.2)
I 历 U=i ^ея(ж°)
Действительно, для g из первого квадранта
g = (с, a/1-c2), 0 < с < 1.
Тогда минимакс в (3.2) с учетом того, что
gradH4(±。)= (3, -3),gradH/2(^°) = (-3, 3),
равен
min max(3с — 3，1 - с?, —Зс + З，1 - с?) = min |3с — 3，1 - с? | и, следовательно, неотрицателен.
Для g из второго квадранта
g = (-с, a/1-c2), 0 < с < 1.
Поэтому минимакс в (3.2) равен
min max Зс — 3，1 — с? 3с + 3，1 — с?) = min |3с + 3，1 — с? |
O^c^l '丿 O^c^l11
и положителен.
Для g из третьего квадранта
9 = (-с, -a/1-c2), 0 < с < 1. Следовательно,
min max (—Зс 十 3，1 — с?, 3с-3，1-с2) = min |3с - 3，1 - с? | принимает неотрицательное значение.
Для четвертого квадранта
ПоэтомуПоэтомуg = (с, -У1-с2), 0 < с < 1.
Поэтому
Поэтому
8*
min max（3c + 3，1 - с? -Зс - 3 ^/1 ~ с2） = min（Зс+，1 - с?）
O^c^l '丿 O^c^l '丿
является положительной величиной.
Из выполнения условий неотрицательности минимакса для g из всех четырех квадрантов следует выполнение требуемого неравенства （3.2）. В силу выпуклости функции д（无）условие （3.2） является не только необходимым условием минимаксной стратегии, но и достаточ-
ным.ным.Это подтверждает, что ж0 = ^|, |^ — искомая
ным.
ным.
стратегия.
Следует отметить, что max min Wi（x） для данной х£Е2 勿
ществует, поскольку, например, при ①i = 0 и ①2 T +схэ
а значит, иа значит, иmin % （0,疗2）Т +схэ.min % （0,疗2）Т +схэ.минимакснаяминимакснаязадачи не су- имеемзадачи не су- имеемЖ （0,①2）Т +оо,川2（0,①2）Т +оо,
а значит, и
а значит, и
min % （0,疗2）Т +схэ.
min % （0,疗2）Т +схэ.
минимаксная
минимаксная
задачи не су- имеем
задачи не су- имеем
тотоаа
то
то
а
а
Задача 3.14. Найти min max 力（无），где 历ё石2 1《十3
九（无）= 3^1+2^2-1, 力（无）=3/2 /3⑴=一/1 一72, используя необходимое условие 0 G L （无*）.
Решение. Возьмем в качестве начального приближения 无（°）= =（0, 0） и отметим наличие у функций 力（无）,i = 1, 2, 3, свойств непрерывной дифференцируемости и выпуклости. Поскольку
“°））= 1, “（无⑼） = 0, /з（无⑼） = 0,
R（于（。））={2,3},L（x^） представляет собой отрезок
прямой, соединяющий точки
（-1,3） = grad/2 （ж0）,
（-1,-1） = grad/з（ж°）
（рис. 3.12）.
Очевидно, 0 g 丄（无°）. Поэтому ищем новое приближение, которое имеет вид
无⑴=于⑼十 /⑴g⑴（于⑼），
где 0⑴（于⑼） —единичный вектор, исходящий из ближайшей к началу координат точки L（x^）, т. е. точки （—1, 0）, в направлении начала координат （см. рис. 3.12）.
Имеем д^（х^） = （1,0）. Величину шага 0⑴ в направлении J⑴（无⑼）выбираем в соответствии с методом наискорейшего спуска из условия
min max 力（无⑼）+/g⑴（无⑼）=min таx{3/- 1,-乱一/}•
/3 1w十3/3
Как легко заметить из рис. 3.13, последний минимакс достигается при 户=伊1）= ] Поэтому 比⑴=（z，0）. Для х = х^ имеем
九（2⑴）=/2（于⑴）=/3（于⑴）=一；,
т. е. R（无⑴）={1, 2, 3}.
Соответствующая выпуклая оболочка L （死⑴）представляет собой симплекс, натянутый на концы векторов
grad （九（无⑴））=（3, 2）,
grad（"（无⑴））=（-1, 3）,
grad（A（无⑴））=（-1, -1）.
Для этого приближения необходимое условие 0 С L （死⑴）выполняется, что иллюстрирует рис. 3.14.
Таким образом, для рассматриваемой задачи оптимальной минимаксной стратегией будет 无* = （-, 0）, а искомый min max 力（无）
1'4 丿хеЕ21^г^3
равен —-.
Задача 3.15. Для условий задачи 3.14 найти методом штрафных функций оптимальную минимаксную стратегию.
Решение. Запишем задачу в виде:
①з —> min
при ограничениях
3/1+2/2 - 1 W/3,
3/2 一 ①1 < /3,
一/1 一72 </3,
ж е Е3, 无=（①1,①2,①з）・
стоял 0:стоял 0:Преобразуем ограничения так, чтобы в правых частях неравенств
стоял 0:
стоял 0:
3① 1 + 2①2 —①з — 1 < 0, 3力2 -71 -Ж3 < 0, 一①]-ж2 -Ж3 < 0.
Рассмотрим функцию
9（无，c） = Ж3 +9（无，c） = Ж3 +За?1 + 2）2 —力3 — 1 + 3）2 —）1 —）зЗа?1 + 2）2 —力3 — 1 + 3）2 —）1 —）з++_）] _）2 _）3_）] _）2 _）3
9（无，c） = Ж3 +
9（无，c） = Ж3 +
За?1 + 2）2 —力3 — 1 + 3）2 —）1 —）з
За?1 + 2）2 —力3 — 1 + 3）2 —）1 —）з
+
+
_）] _）2 _）3
_）] _）2 _）3
где последние три слагаемых представляют собой функцию штрафа. Минимизируем функции д（с, с） на Е3. Для этого составим систему уравнений
Ад（統 с） _п
дХ1 ，
Ад（統 с） _ п
Ад（統 с） _ п
、дх3 —
и найдем ее решение при с —> 0. После взятия производных 分抬統", OXi
г = 1, 2, 3, и выполнения элементарных преобразований получаем систему уравнений
（Зе】+ 2/2 - сз - I）2 = -4с,
< （3^2 — Ж1 — жз）2 = —16с,
、П（一①1 一①2 一①3）2 = -16c.
Эта система при с —> 0 имеет решение ①i =；,①2 = 0,①з = -；• Следовательно, оптимальная минимаксная стратегия 无* = （；,0）, а искомый min max 力（无）равен —
Задача 3.16. Для условий задачи 3.14 найти оптимальную минимаксную стратегию симплекс-методом решения задачи линейного программирования.
Решение. Преобразуем исходную задачу поиска min max /勿（无） 历ё石2 1《火3
в задачу математического программирования. Для этого введем новую переменную /3, имеющую смысл при данном х Е Е2 верхней границы для всех значений /勿（无）,i = 1,2,3.
В результате получаем эквивалентную задачу:
①з —> min при ограничениях
3/1 + 2①2 - 1 < ж3,
3/2 一 ①1 < /3, 一/1 一72 </3, 无=(①i,①2,①3)е Е3.
Последняя задача является задачей линейного программирования. Для ее решения применим симплекс-метод. Предварительно приведем задачу путем введения дополнительных неотрицательных переменных ж4, ж5, ж6 к виду:.
L = —жз Т minпри ограничениях3/1 + 2/2 一①3+/4 = 1,
—Ж1 +3^2 — Жз + ^5 =0,
-71 一①2 一①3十/6 = 0,
①4》0,①5》0,①6》0.
В последней задаче три ограничения, а переменных шесть. Поэтому опорное решение можно получить, положив, например,①4,①5 и xq равными 0. Решив получающуюся при этом систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными
Зж1 + 2ж2-ж3 = 1,
1 + 3/ 2 一①3 = 0,
1 一①2 一①3 = 0,
с1„
находим Xi =-,①2 = & жз = —-. Поэтому опорное решение
с，= ^^i = —, /2 = 0, /3 = -4，力4 = 0,力5 = °,力6 = 0)•
①4,①5,①б・Имеем_ 1 ж4 3①4,①5,①б・Имеем_ 1 ж4 3ныеные#616#616Выразим в (3.3) основные переменные ①匕 ①2,①з через свобод
①4,①5,①б・Имеем
_ 1 ж4 3
①4,①5,①б・Имеем
_ 1 ж4 3
ные
ные
#6
16
#6
16
空_ g
■4 г
/3 =/3 =-Z +-Z +)4 I)5 I 11
/3 =
/3 =
-Z +
-Z +
Т + 1б + ТбЖб5
а целевая функция имеет вид L =-——-—————xq.
Поскольку линейная форма L имеет только отрицательные коэффициенты перед свободными переменными, то перевод какого-либо из них в основные переменные не приведет к увеличению. Значит, полученное решение ж1 является оптимальным.
Возвращаясь к исходной задаче, получаем, что оптимальная минимаксная стратегия 无* =①2)=а искомый min max 力
определяется значением /3, т. е. равен —-.
Задача 3.17. Пусть
И/(с, у)=(①-у)?, Мо = {ж: 0 < ж < 1}, N = {д: 0 < g < 1}.
Требуется найти max min W(ж, у) путем сведения задачи к задаче математического программирования.
Решение. Требуется найти ①° С Mq, для которого
max min W= min W= Wi， x£Mq y£Ny£N
Введем новую переменную
и = min W (ж, у) ^W (ж, у) Уу е N при ж е Мо.
Тогда задача сводится к задаче математического программирования 'и(х) т max
< и(х) < W(x, у) VgeN,、х С Мо.
Общий метод решения такой задачи — метод штрафных функций при условии, что количество ограничений бесконечно. Поэтому функция штрафа записывается в виде интеграла от соответствующих преобразований ограничений задачи. Рассмотрим функцию
F(x, а, с) = и — cL(z, а), где
L(x, и) =I min(W(ж, у) — u, 0|р dy^
N
с — константа, а р》1.
Далее по общей схеме ищется max歹(①,а, с) для Vc, с > 0 путем решения системы уравнений'
‘呐)，％ c) _
а^Е и, с)
Решение последней системы
/ = /(с), /* = /*©
дает искомое максимальное значение
Uq = lim u*(c), Xq = lim ①*(c),CTOOCTOO
а также соответствующее значение 诚 из выражения
Uq = mnW(x^y).
При практической реализации данного подхода к решению максиминной непрерывной задачи приходится сталкиваться с рядом трудностей, которые иллюстрирует решение данной конкретной задачи.
Для рассматриваемой функции
W(c,g)=(①-g)2
штрафная функция имеет вид
L(/，") = cNCN\L(/，") = cNCN\|min((①一g)2—生 0)\P dy,|min((①一g)2—生 0)\P dy,
L(/，") = c
NCN\
L(/，") = c
NCN\
|min((①一g)2—生 0)\P dy,
|min((①一g)2—生 0)\P dy,
где 7vl = {у:(①一沙尸 < а; ж G Mq} — множество значений у, для которых подынтегральная функция отлична от нуля.
Значение р возьмем равным 1. Функция 歹(①，и, с) представляется в следующем виде:
min(l 声+д/^)
F(x, и, с) = и — с(у — X)? + и) dy.
тах(0,ж —V^w)
В зависимости от значений пределов интегрирования в последнем выражении получаем четыре возможных ситуации, исходя из возможных соотношений между х и и.
В случае (①，а) С 4, где
Ai = {(ж, и): v^ ^ ж, \/^<1 —①，0 < ж < 1}, имеем
F(x, и, с) = и — с [—(у — х)2 + u] dy =
—и — с—и — с(у —/)3v 4 7 +W(у —/)3v 4 7 +Wд=/+，^д=/+，^у=х—，йу=х—，й=а — В “3/2,=а — В “3/2,ТогдаТогда= 1-2сУй=0,=0.дидх= 1-2сУй=0,=0.дидх
—и — с
—и — с
(у —/)3
v 4 7 +W
(у —/)3
v 4 7 +W
д=/+，^
д=/+，^
у=х—，й
у=х—，й
=а — В “3/2,
=а — В “3/2,
Тогда
Тогда
= 1-2сУй=0,=0.
дидх
= 1-2сУй=0,=0.
дидх
Следовательно,
ZCCTOO ZC
а ①^ — произвольное значение из условия (①,〃^)е А], т. е. 0<с^<1. При этих значениях “^ и ①^ найдем д^ из условия min(①^ — у)2 = 0:
Jo = & •
Итак, для данного случая имеем
Ж = 0 при (端，g^)e6i, Bi = {(ж, у): ж е М0,у = х}.
В случае (ж, и) 6 А^^ где
4 = {(/，")：V^ < ①，，^〉1 -①，0 ^ ж ^ 1}, имеем
1
F(x, и, с) = и — с [—(у — х)2 + ?z] dy =
=и — с — зh уи= а 十 с
-у=х — у/й
Тогда для нахождения ①* и а* получаем систему уравнений
，駕= ] + c(_]_g + c) =0, 、||=С(〃 — (1 —/)2)=0.
Из последней системы находим, что
откуда в пределе (при с —> оо) получаем ①^ = 1, “^ = 0.
Данная пара (1, 0) не входит в 4 (лежит на границе 4 и 4), и для нее уже известно, что она является оптимальной.
В случае (ж, u) 6 А3, где
4 = {(/, и):—①，0 ж 1},
имеем
F(x, и, с) = и — с [~(У — ж)2 + и\ dy =
о
/(D)3炉2 3/2’
=и - с I+иу=〃 + с —их - - и6'
\3/ |g=oL 33
Тогда а* и ①* определяем из системы уравнений
f — = 1^с[-х-^] =0,
= С(①2 - 〃) = 0 ОХ
решая которую, имеем
и, следовательно, переходя к пределу (при с —> схэ), находим ①^ = 0, Uq = 0.
Данная пара (0, 0) не входит в Аз (лежит на границе 4 и Аз), и для нее уже известно, что она является оптимальной.
В случае (ж, и) 6 А<, где
人={(①，〃)：Уй〉v^〉l —①，0 < ж < 1},
покажем, что множество А< = 0 для рассматриваемой задачи.
Действительно, для элементов множества А< должны выполняться неравенства
J \х-у\ > ж,
[\х-у\ > 1 — с,
Первое из них в случае х ^ у сводится к g < 0, т. е. не выполнено условие у Е N задачи, а при х < у второе из неравенств системы сводится к необходимости выполнения условия у > 1. Последнее условие противоречит условию исходной задачи.
Таким образом, подводя итог рассмотрению четырех указанных случаев, делаем вывод, что решение задачи было получено при рассмотрении ситуации I.
Итак, max min (ж —沙尸=0, и это значение достигается для всех ж из Mq. “ У
Задача 3.18. В условиях задачи 3.17 найти min max W(ж, у). gCN жЕМо
Решение. Необходимо найти уо Е N такое, что выполнено min max W(х. = max W(х.=忆，
yEN xEMqxEMq
и само значение W^. Эта задача по аналогии с задачей 3.17 сводится к задаче
〃⑺ т min,
< и{х) > W(ж, у) V/еТИо,G N.
Последняя задача решается с использованием метода штрафных функций. При этом функция 歹(①，и, с) имеет вид
F(y, u, с) = u + с I min {u — W(ж, у), 0)|pdx,
а для нахождения и*(с), g*(c) получаем систему
‘AR(勿 "，e) _ n
< ди
AR(勿 "，e) _ n
Тогда оптимальные значения “^ и g^ получаем предельным переходом (с —> оо). В свою очередь 臂 определяется из выражения
党=m炉弘(伤硝.
Для рассматриваемой задачи
W{x, g)=(①一疗，
поэтому штрафная функция имеет вид
L(y, и) = с I min (и — (ж — у)2, O)\dx, где
Mi = {①：(/一g产 > и, у E N}.
Тогда
max(0,g —，й)
F(y, u, c) = u + c[(/_д产 一 а] d/ +
о
1
+ с[(ж — у)? — а] dx.
min(l,g+/I)
В зависимости от значений пределов интегрирования здесь так же, как и в задаче 3.17, имеют место четыре возможных ситуации. Рассмотрим только ту из них, которая определяет оптимальное решение (остальные анализируются аналогично предыдущей задаче).
Итак, пусть (g, а) С 4, где
^5 = {(У, и): у + у/й< 1, у >0 < g < 1}.
Тогда выражение для F(y, а, с) упростится: y~Vu1
歹(①，а, с) = а + с [(ж — у)2 — u] dx + c [(ж — у)2 — и] dx.
Вычисляя интегралы в правой части, получаем
歹(е，и, е) = u + e歹(е，и, е) = u + e（这一炉（这一炉33—их—ихх=у — у/й+ с%=0х=у — у/й+ с%=0I х=у-\-\/йI х=у-\-\/й"+e"+eТ〃3/2 — 〃+¥ + У^Т〃3/2 — 〃+¥ + У^Для нахождения уравненийДля нахождения уравнений* и* ии* (с) и д* = у^(с) рассмотрим системуи* (с) и д* = у^(с) рассмотрим системуdF ди dF 、дуdF ди dF 、ду1 + с(2，й- 1) = О,1 + с(2，й- 1) = О,= c(g2 —(1 —g)2) = o,= c(g2 —(1 —g)2) = o,
歹(е，и, е) = u + e
歹(е，и, е) = u + e
（这一炉
（这一炉
3
3
—их
—их
х=у — у/й
+ с
%=0
х=у — у/й
+ с
%=0
I х=у-\-\/й
I х=у-\-\/й
"+e
"+e
Т〃3/2 — 〃+¥ + У^
Т〃3/2 — 〃+¥ + У^
Для нахождения уравнений
Для нахождения уравнений
* и
* и
и* (с) и д* = у^(с) рассмотрим систему
и* (с) и д* = у^(с) рассмотрим систему
dF ди dF 、ду
dF ди dF 、ду
1 + с(2，й- 1) = О,
1 + с(2，й- 1) = О,
= c(g2 —(1 —g)2) = o,
= c(g2 —(1 —g)2) = o,
откуда находим, что
1212"*(e)'?* = ^.
1
2
1
2
Тогда в пределе (при с —> оо) получаем “^ =工,g^
В соответствии с приведенной ранее схемой решения задачи значение ①^ определяется из уравнения
(Т)
откуда получаем два значения:①^ = 0 и ①^ = 1. Окончательно, min max (х —宀, yeN0 хЕМ4
и это значение достигается для двух пар (ж, д):(0, ；) и
Отметим, учитывая результат задачи 3.17, что 恥=0 < W^ =；, т. е. седловой точки в чистых стратегиях для данной задачи, рассматриваемой как антагонистической игры, не существует.
ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙВ УСЛОВИЯХ КОНФЛИКТА
Принятие решения оперирующей стороной в условиях конфликта заключается в отыскании оптимального устойчивого решения при реализации противостоящими сторонами наименее благоприятных для оперирующей стороны стратегий.
Так, при исследовании антагонистического конфликта двух сторон принцип оптимальности формулируется как принцип максимина (наилучшего гарантированного результата): каждая сторона стремится максимизировать свой минимальный (по стратегиям другой стороны) выигрыш. Оптимальная (гарантирующая) стратегия ж0 оперирующей стороны удовлетворяет условию
С Arg max min F(x,жемо y£N
Если 歹(①,д) — непрерывная вместе с ——}， функция на Mq (открытом множестве) Mq D Mq, Mq — выпуклый компакт, то необходимое условие оптимальности стратегии ж0 С Мо имеет вид
max min ~q < 0,
^ег(ж°) yeR(x°) \ A) /
где Г(ж°) — множество всех допустимых направлений в точке ж0, т. е. не выводящих из Mq； а
R(/)={у E N \ ь(/，g) = min ь(/，"), ж G м0}.
Необходимое условие в случае вогнутости функции
从⑺=min反(/，g)
является и достаточным для оптимальности ж0 G Mq.
Если F(x, у) — непрерывно дифференцируемая на Mq х N функция и множества Mq и N компакты, то для того, чтобы
была седловой точкой функции F(x,y), необходимо, а для вогнутовыпуклой на Мо х N функции F(x, у) и достаточно, чтобы=0.была седловой точкой функции F(x,y), необходимо, а для вогнутовыпуклой на Мо х N функции F(x, у) и достаточно, чтобы=0.maxxEMqmaxxEMqAR()〜恋)AR()〜恋)дхдх，①一/с = mm，①一/с = mmAR()〜恋)AR()〜恋)，g一%，g一%
была седловой точкой функции F(x,y), необходимо, а для вогнутовыпуклой на Мо х N функции F(x, у) и достаточно, чтобы
=0.
была седловой точкой функции F(x,y), необходимо, а для вогнутовыпуклой на Мо х N функции F(x, у) и достаточно, чтобы
=0.
maxxEMq
maxxEMq
AR()〜恋)
AR()〜恋)
дх
дх
，①一/с = mm
，①一/с = mm
AR()〜恋)
AR()〜恋)
，g一%
，g一%
В случае антагонистической матричной игры двух сторон всегда имеется ситуация равновесия в смешанном расширении. Она находится в результате решения двойственных задач линейного программирования:
найти max А при ограничениях
£P(g) = l, 0 < p(xi) < 1, i=T~m-
найти min 〃 при ограничениях
e ь(g,⑦)4(⑦)一 4》。, 〃 = 1, д
При этом экстремальные значения А и // в данных задачах совпадают и определяют цену игры.
При исследовании конфликта, исход которого определяется независимыми действиями нескольких (п) сторон согласно их целям, принцип оптимальности формируется как принцип Нэша в бескоалиционной игре.
Ситуацию
ж^)
называют ситуацией равновесия по Нэшу, если для всех ①勿 С Х〃, г = =1, п, выполняется неравенство
/(①。)》/(/。1e),
где (ж0 II х^ обозначает (①^); Х〃 и 修 一 множество стратегий г-й стороны и ее критерий эффективности соответственно.
Если в конфликте п сторон имеется возможность кооперирования между s сторонами (s < п), то используется принцип оптимальности в форме С-ядра, вектора Шепли и п-ядра.
Конфликты, в которых имеется сторона-лидер, анализируются согласно принципам оптимальности в иерархических играх. Если при этом у стороны-лидера отсутствует точная информация о выборе стратегии ведомой стороной, то ее оптимальная стратегия ж0 выбирается на основе принципа равновесия Штакельберга
ж0 е Arg max min 歹%CX y£Y(ж)
где У (ж) = Arg max G(①，д), а 歹 и G — функции выигрыша соответственно стороны-лидера и ведомой стороны.
При наличии у стороны-лидера точной информации о выборе стратегии ведомой стороной ее оптимальная стратегия /°(д) выбирается на основе принципа Гермейера
/О(?/) ё Arg max 兽央歹(/(力/
где У(/) = Argm沿 G(/(g), у). усу
Названные принципы справедливы и при исследовании динамических конфликтных операций.
Задача 4.1. Доказать необходимость введения допущения о сепарабельности множеств X и У стратегий сторон в бесконечных антагонистических играх, а также допущение непрерывности либо кусочной непрерывности критериальной функции 歹(①，д), заданной на X х У:① е X, у EY.
Решение. Известно [20, 28, 57], что решение бесконечной антагонистической игры в общем случае может существовать в смешанном расширении. Однако введение смешанного расширения не составляет тривиальную задачу: вероятностные меры задаются на сг-алгебрах подмножеств множества элементарных событий (на борелевских полях); сг-алгебра содержит счетное число подмножеств вместе с любыми их объединениями. Отсюда непосредственно следует выход на сепарабельность множеств X и У. Далее, F(x, у) как функция, заданная на X х У, должна быть вещественной измеримой, так как в противном случае невозможно будет гарантировать существование решения рассматриваемой игры как в чистых, так и в смешанных стратегиях. Но тогда F(x, у) должна быть конечной на X х У почти всюду. В достаточно общем для практики случае класс таких функций представляется непрерывными либо кусочно непрерывными функциями.
Задача 4.2. Показать, что любая антагонистическая игра, в которой множества стратегий X и У сторон являются произвольными отрезками, изоморфна игре на единичном квадрате.
Решение. Доказательство есть простое следствие известной теоремы: все конечные интервалы, полуинтервалы и сегменты-отрезки эквивалентны между собой. Действительно, возьмем
/ х — а7 с / г
х = , где а < х < Ь, 0 < ж < 1.
о — а
Эта формула устанавливает взаимно однозначное соответствие
между множеством всех чисел а < < ж < 6 и множеством всех чисел О < ж7 < 1, т. е. (а, Ь) ~ (0, 1). Теперь добавим к интервалу (а,Ь) элементы а и Ь; получим сегмент (отрезок) [а, Ь], мощность которого не изменилась по сравнению с мощностью интервала (а, Ь). Далее, любой отрезок [с, d] можно взаимно однозначно отобразить на отрезок [0, 1].
Иллюстрация отображения представлена на рис. 4.1. В результате получаем искомый изоморфизм.
Задача 4.3. Доказать, что для выяснения, является ли какая- либо ситуация для непрерывной антагонистической игры ситуацией е-равновесия, достаточно проверить выполнение условий
歹(伤 Q式У)) — е < 歹(&(X), Q式У)) < 歹(&(Х), g) + е
для чистых стратегий сторон; R(X), Q£(Y) — смешанные стратегии сторон, е〉0.
Решение. Для доказательства справедливости указанного неравенства воспользуемся известным утверждением: для непрерывных антагонистических игр на компакте X х У имеют место соотношения
J(P(x)，QCH)=呼е 歹(Р(Х), у) VP(X) е {Р(Х)}, Q(y)e{Q(y)}дСУ
sup歹(Р(Х), Q(Y)) = max 歹(伤 Q(Y)) VQ(Y) G {Q(Y)}・
p(x)c{p(x)}%ex
Действительно, множества смешанных стратегий включают множества чистых стратегий, и на компактах X и У достигаются
min 歹(Р(Х), у), max 歹(①，Q(Y)) дСУx£X
для непрерывной функции F(x, Q(Y)) по переменной ① С X при VQ(Y) С {Q(Y)} и по переменной g С У функции 歹(Р(Х),д) при VF(X) С {Р(Х)}. При этом очевидно, что
inf 歹(Р(Х), Q(Y)) = min 歹(Р(Х), у), Q(y)e{Q(V)}УСУ
sup 歹(Р(Х), Q(Y)) = max 歹(①，Q(Y))・ p(x)c{p(x)}%ex
9 A. H. Катулев и др.
Можно записать также следующие выражения:
歹(P(X),Q(Y)) = J 歹(P(X),g)dQ(Y)》
》 min 歹(P(X), y)dQ(Y) = min歹(P(X),g), J n£Yn£Y
歹(P(X),Q(Y))=J 歹EQ(Y))dP(X) < x
< max歹(/, Q(Y)) dP(X) = max歹(①，Q(Y)). J %ex%ex
x
Теперь из сравнения соответствующих пар неравенств получаем равенства, записанные в начале доказательства, а значит, и подтверждение достаточности проверки условий
歹(伤 Q式У)) — е < 歹(&(X), Q式У)) < 歹(&(Х), g) + е как определения ситуации е-равновесия.
Задача 4.4. Доказать, что для бесконечной антагонистической игры, имеющей решение, ни одна строго доминируемая стратегия игрока не входит в спектр его оптимальной стратегии.
У каз ан и е. Воспользоваться аппроксимацией рассматриваемой игры матричной игрой; далее требуемое утверждение будет представлять по сути повторение аналогичного утверждения для матричной антагонистической игры с точностью до произвольного е〉0.
Задача 4.5. Пусть в бескоалиционной игре двух сторон ситуации (ж*,①力 и (沙3 臓)равновесны по Нэшу и оптимальны по Парето.
Доказать, что в общем случае выигрыши участников игры равны 网(建，建)=/(外,城)，
ь2(①3竣)=ь2匂工臓)，
и в такой игре возникает борьба участников за лидерство.
Решение. Согласно определению ситуации, в которой будет иметь место борьба за лидерство, не должны выполняться условия max/(/1,礴 ， 网阳，建)，
maxь2(/f,/2)《/(/f,建)， /262
где X], Х2 ——множества стратегий одной и другой стороны. Когда же в игре существует несколько ситуаций равновесия, оптимальных по Парето, и стороны придерживаются их в своих действиях, то
каждая из сторон может найти для себя ситуацию равновесия, при которой она обеспечит себе максимальный из гарантированных выигрышей.
Но для реализации такого исхода соответствующая сторона должна иметь право первого хода и сообщать о своем выборе (стратегии) другой стороне, так как действовать стороны должны по принципу Парето согласованно, зная при этом, что они не могут увеличить свои выигрыши одновременно. Поэтому сторона, стремящаяся к получению своего максимального гарантированного выигрыша, должна вынудить другую сторону подчиниться ее ситуации равновесия и, таким образом, воспользоваться принципом Штакельберга для реализации оптимальной по Парето стратегии из множества равновесных. Во всех других случаях каждая сторона может рассчитывать на получение только или не менее своего гарантированного (максиминного) выигрыша.
Задача 4.6. Доказать, что оптимальные смешанные стратегии игроков в биматричной игре с матрицами выигрыша
% = (%)，В = (bi,» г = 1, m, J = 1, m,первого и второго игрока соответственно вычисляются по формуламp(/)=V2 /2B-1, q(g)=少 1%-1人，
「Де
—векторы из т единиц, X, У — смешанные стратегии сторон.
Решение. Будем считать, что оптимальные смешанные стратегии сторон реализуются на всех чистых стратегия, т. е. в спектры смешанных стратегий входят все чистые. Тогда запишем, например, для стороны с матрицей выигрыша А следующие очевидные соотношения:п
e吟(⑦) = i,。＜吟(⑦)
или, в матрично-векторной записи,
Aq°(Y) = о/,
где /1 — вектор-столбец из т единиц,少i — скалярная величина.
Умножив последнее равенство слева на А-1, получим выражение для вычисления оптимальной смешанной стратегии второй стороны
q^Y^v^h,
где левая и правая части — векторы-столбцы. Умножим последнее равенство слева на вектор-строку /2 из п единиц; получим
hq°(Y) = v1I2A-1I1,
где /24° (У) = 1； из этого равенства следует, что
/2厶厶/2厶厶
Аналогичным образом выводятся выражения для вычисления р°(ж) и少2・
Задача 4.7. Две конкурирующие фирмы поставляют на рынок товар одного и того же назначения в количестве ①i и ①2 соответственно. Пусть цена товара
р = 1 — 力1 一/2, р〉0.
Прибыль фирм от реализации товара:
①2, Р) =Р^1 一尹2,
、7Г2(Ж1,①2, Р)= РХ2 一严2；
TV1(X1,X2,P)=PX1~ (；疗2-储｝
、"2(/1,/2, P)= PX2 - Q^2-| 若)；
здесь X] = X2 = [о,；],①1 G X],①2 G X2.
Найти и сравнить оптимальные стратегии поведения фирм по Курно, Нэшу, Парето, Штакельбергу.
Решение. Решим задачу для случая 1).
вы-вы-Стратегии по Курно определяются согласно следующим
вы-
вы-
ражениям:ражениям:07rl 物')=0 при условии07rl 物')=0 при условииА)2 дх\А)2 дх\0,0,
ражениям:
ражениям:
07rl 物')=0 при условии
07rl 物')=0 при условии
А)2 дх\
А)2 дх\
0,
0,
3万2()1,)2,Р) СС
= 0 при условии =0.
В случае 1) имеем
，1
(1 --① 2)_Е = 0,
(1 —①]—①2)— ^2 — - = 0.
Из этой системы получаем
1 11 1
① 1 = 4 —严 2, Х2 = ---Х1,
и отсюда находим ж* ==-.
2. Стратегии по Нэшу определяются из системы уравнений
'max 7ri(xi,①§,р), %1СХ1
max开2(吟 /2,p).
、/262
Из решения этой системы уравнений получаем ситуации равновесия —оптимальные стратегии
= 0,①2 = ；} (/1 =；，/2 = 0),(/1/2 = ^).
Стратегии по Парето найдем согласно аналитическому методу построения множества Парето в пространстве альтернатив X】х X?, т. е. по выражению
grad?r(xi,①2, Р)= -Agrad?r(xi, ж2,「)•
Получаем
дх\a)i'
3万2 _ 入37r2、дх2дх2
Из решения этой системы имеем
Ж1 + Ж2 = — , Ж1 + Ж2 =—,① 1СХ],①2 е X?.
Искомое множество Парето описывается уравнением
①1+/2 = 4 .
Этот результат непосредственно устанавливается проверкой выполнения равенства
grad 7Г1 = — A grad 7Г2
для стратегий, взятых из множества〈①i 十力2 =для стратегий, взятых из множества〈①i 十力2 =^1 + ж2 = Л①1 = j,①2 =^1 + ж2 = Л①1 = j,①2 =z}z}.Так, возьмем из множества〈①i 十 /2.Так, возьмем из множества〈①i 十 /2и из множества=1} стратегиюи из множества=1} стратегиюJ). Далее, выполнив все действия согласно выраже-J). Далее, выполнив все действия согласно выраже-НИЯМНИЯМ
для стратегий, взятых из множества〈①i 十力2 =
для стратегий, взятых из множества〈①i 十力2 =
^1 + ж2 = Л①1 = j,①2 =
^1 + ж2 = Л①1 = j,①2 =
z}
z}
.Так, возьмем из множества〈①i 十 /2
.Так, возьмем из множества〈①i 十 /2
и из множества
=1} стратегию
и из множества
=1} стратегию
J). Далее, выполнив все действия согласно выраже-
J). Далее, выполнив все действия согласно выраже-
НИЯМ
НИЯМ
Ох 1 |%1=%2 = 1/8‘Ох 1 |%1=%2 = 1/8‘Ад 1%1=%2 = 1/8‘Ад 1%1=%2 = 1/8‘
Ох 1 |%1=%2 = 1/8‘
Ох 1 |%1=%2 = 1/8‘
Ад 1%1=%2 = 1/8‘
Ад 1%1=%2 = 1/8‘
3万2 Iа)2 1%1=%2 = 1/8‘3万2 Iа)2 1%1=%2 = 1/8‘3万2 Iа)2 1%1=%2 = 1/8‘3万2 Iа)2 1%1=%2 = 1/8‘
3万2 I
а)2 1%1=%2 = 1/8‘
3万2 I
а)2 1%1=%2 = 1/8‘
3万2 I
а)2 1%1=%2 = 1/8‘
3万2 I
а)2 1%1=%2 = 1/8‘
получим подтверждение проверяемого равенства. Аналогичные же действия для произвольно выбранной стратегии (①^ =彳,Х2 = - ] из множества 产i 十力2 = - j не приводят к подтверждению проверяемого равенства.
Найдем оптимальные стратегии по Штакельбергу, когда первая фирма — лидер, т. е. когда она имеет право первого хода и сообщает второй фирме свою стратегию ①匕 а вторая находит при этом свою наилучшую стратегию поставки товара на рынок как ①2(力1) из условия максимизации своего критерия — прибыли 开2(① 1,力2(力1), Р), т. е. из условияс //、、
"万2(力1〉#2(Z1))Р)_n
ИЛИ ИЗ условия]
д(-х2-х1-х1х2)
7 п
второй фирмы являетсявторой фирмы являетсяВ результате оптимальной стратегией
второй фирмы является
второй фирмы является
建(① 1) = ；-"•
Теперь первая фирма, зная стратегию 建 Ю находит свою оптимальную стратегию из условия
3万1()1,/()1)/)_
дх\ или из условия
дх±•
В результате получаем, что оптимальной стратегией первой фирмы * 1 является Хд =-.
4
Итак, оптимальные по Штакельбергу стратегии фирм есть 臂=；,建(臂) = /•
Из выполненных вычислений в целом следует очевидный вывод: наибольшую прибыль фирмы могут обеспечить, если они будут следовать согласно оптимальным стратегиям по Штакельбергу.
Решение задачи в случае 2) осуществляется аналогичным образом.
Задача 4.8. Пусть имеет место операция двух сторон с противоположными целями. Критерий эффективности стратегий оперирующей стороны представляется непрерывной гладкой функцией и записывается в виде九
歹 Eg) = £ G(仇，9(g))・
Этот критерий оперирующая сторона максимизирует на множестве
X = { g М -fxiyi, Xi > 0,仇》О, i=T~n
и минимизирует на множестве
У = j Vi L —〉: yi = 0, %》0, 〃 = 1,71
Переменные Xi и 沙勿,г = 1, п, не связаны.
Найти оптимальную стратегию поведения оперирующей стороны.
Решение. 1. Составим функцию Лагранжа:
А(с, д, А, 〃)= £/(%, 9(д)) + ；\( ТИ — £丄一£仇
Очевидно, эта функция непрерывная и гладкая.
Воспользуемся необходимыми условиями для максиминной стратегии оперирующей стороны
ИмеемИмеемЗА _ с ЗАoxk dykЗА _ с ЗАoxk dykk = L п.k = L п.F^yk,(p(xk^yk(pf(xk)=入 у/ 凡(沙к，9(/k))9(①k)= 4，F^yk,(p(xk^yk(pf(xk)=入 у/ 凡(沙к，9(/k))9(①k)= 4，k = 1,几，Ук次°・k = 1,几，Ук次°・3. Результат решения запишем в виде3. Результат решения запишем в видеТеперь для установления оптимальной стратегии ж^ необходимо знать свойства функции 夕(/店).Так, если каждое уравнениеТеперь для установления оптимальной стратегии ж^ необходимо знать свойства функции 夕(/店).Так, если каждое уравнение〉〈=—=const〉〈=—=constимеет единственное решение, то в условиях рассматриваемой задачи искомой стратегией оперирующей стороны является стратегия равномерного распределения своих активных средств по стратегиям противодействующей стороны (реализуется принцип уравнивания).Задача 4.9. Найти решение антагонистической матричной игры с матрицей выигрышаимеет единственное решение, то в условиях рассматриваемой задачи искомой стратегией оперирующей стороны является стратегия равномерного распределения своих активных средств по стратегиям противодействующей стороны (реализуется принцип уравнивания).Задача 4.9. Найти решение антагонистической матричной игры с матрицей выигрыша”)4Х4”)4Х4/О 13 -1/О 13 -12 О2 О2 -12 -113111311Решение. Решение имеет вид〈爲 q,少〉，где/=(p1,。2,。3,。4), Q =(Ql, 42, Q3, %)Решение. Решение имеет вид〈爲 q,少〉，где/=(p1,。2,。3,。4), Q =(Ql, 42, Q3, %)
Имеем
Имеем
ЗА _ с ЗАoxk dyk
ЗА _ с ЗАoxk dyk
k = L п.
k = L п.
F^yk,(p(xk^yk(pf(xk)=入 у/ 凡(沙к，9(/k))9(①k)= 4，
F^yk,(p(xk^yk(pf(xk)=入 у/ 凡(沙к，9(/k))9(①k)= 4，
k = 1,几，Ук次°・
k = 1,几，Ук次°・
3. Результат решения запишем в виде
3. Результат решения запишем в виде
Теперь для установления оптимальной стратегии ж^ необходимо знать свойства функции 夕(/店).Так, если каждое уравнение
Теперь для установления оптимальной стратегии ж^ необходимо знать свойства функции 夕(/店).Так, если каждое уравнение
〉〈=—=const
〉〈=—=const
имеет единственное решение, то в условиях рассматриваемой задачи искомой стратегией оперирующей стороны является стратегия равномерного распределения своих активных средств по стратегиям противодействующей стороны (реализуется принцип уравнивания).
Задача 4.9. Найти решение антагонистической матричной игры с матрицей выигрыша
имеет единственное решение, то в условиях рассматриваемой задачи искомой стратегией оперирующей стороны является стратегия равномерного распределения своих активных средств по стратегиям противодействующей стороны (реализуется принцип уравнивания).
Задача 4.9. Найти решение антагонистической матричной игры с матрицей выигрыша
”)4Х4
”)4Х4
/О 1
3 -1
/О 1
3 -1
2 О
2 О
2 -1
2 -1
1
3
1
1
1
3
1
1
Решение. Решение имеет вид〈爲 q,少〉，где
/=(p1,。2,。3,。4), Q =(Ql, 42, Q3, %)
Решение. Решение имеет вид〈爲 q,少〉，где
/=(p1,。2,。3,。4), Q =(Ql, 42, Q3, %)
—оптимальные стратегии первого и второго игроков соответственно, a v — цена игры.
Прежде всего проверим существование решения в чистых стратегиях.
max min Wa =0max min Wa =0Поскольку
max min Wa =0
max min Wa =0
не совпадает с
min max W汨=2,代公4代十4 J
то решение игры в чистых стратегиях не существует.
Проверим теперь наличие доминируемости стратегий у игроков. Поскольку все элементы четвертой строки W не превосходят соответствующие элементы первой строки, a W43 < W13, то четвертая строка доминируется выпуклой линейной комбинацией остальных строк, и, следовательно, в оптимальной смешанной стратегии первого игрока р4 = 0, а саму четвертую строку W в дальнейшем исключаем из матрицы. Аналогично может быть исключен и четвертый столбец матрицы И/, поскольку все элементы первого столбца не превосходят соответствующие элементы четвертого столбца, а И/ц < W^.
Итак,夕4 = 0. В результате учета доминирования стратегий игроков от матрицы W пришли в матрице
(И/*)зхз= ^3 -1 о)
Поиск решения игры сводится теперь к решению пары двойственных задач линейного программирования.
Первая задача имеет вид:
少 1 —> max при ограничениях
(伍 WQ》内，J = 1, 2, 3,
Р1+Р2+Р3 = 1,(4.1)
仍》0, z = l,2,3,
где Wj — J-й столбец матрицы W*, а неизвестными являются 九「2, Рз и 少 1.
Вторая задача имеет вид:
少2 —> min при ограничениях
(川小 Q)< 少2,厶=1, 2, 3,
Q1 + Q2 + Q3 = 1,(4.2)
Qj > 0, J = 1,2,3,
где Wi， — г-я строка матрицы И/*, а неизвестными являются 41, 42, 4з и 少2・
При этом значения 少i и 少2 в задачах (4.1) и (4.2) совпадают и определяют цену игры.
Задача (4.1) имеет вид:
0]T max при ограничениях
302十。3》。1,
Pl -02+203》。 1,
2pi -рз > V1,(4.3)
Р1+Р2+Р3 = 1, 仍》0, г = 1,2,3.
Решим задачу (4.3) с использованием симплекс-метода.
Прежде всего приведем эту задачу линейного программирования к стандартному виду. Перейдем от ограничений-неравенств к ограничениям-равенствам, вводя дополнительные неотрицательные переменные si, S2, S3； также заменим переменную 少i на а, где и = =少1 十 1 — неотрицательная переменная в силу того, что все элементы матрицы W* не меньше, чем —1. Приходим к задаче:
найти max а при ограничениях
Зр2+Рз-^1 =〃 — 1,
Pi —「2 十 2「з — <§2 = 〃 一 1,
2pi—「3 — S3 = ^-1,
Р1+Р2+Р3 = 1,
Pl, Р2, Рз,生 Si, S2, S3》0.
Возьмем произвольное опорное решение, удовлетворяющее ограничениям задачи. Оно имеет вид
尹=(诉，状，區,疗,s；,呂,鸟)；
для его нахождения положим s；=昌=sg = 0. Тогда, решая систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными
破+ 2以+ 1 = М,
2讨—以+ 1 = М,
、/十破十以=1, определяем, что
Pi = 0,55,质= 0,5, рз = 0,25, и{ = 1,85.
В полученном опорном решении
尹=@55; 0,5; 0,25; 1,85, 0, О, 0)
основными переменными (положительными) являются р\)р?〉Рз)и〉а неосновными являются si, <§2, S3. Чтобы определить, стоит ли переводить неосновные переменные в основные, выразим основные переменные через неосновные:
и = 1,85-0,4^1 —0,35^2 -0,25^3,
Р2 = I (si — S2 +1),
Рз = ；(S2 — S3 + 1),
Pl =表(11-4si-S2 + 5s3).
Поскольку в целевую функцию все неосновные переменные входят с отрицательными коэффициентами, то увеличить и за счет перевода неосновных переменных в основные нельзя. Поэтому решение z1 является оптимальным.
Итак, имеем
「1=0,55; 「2 = 0,2; рз = 0,25; v = vr= 0,85.
Задача (4.2) имеет вид:
少2 —> min при ограничениях 42+243 <02, 3内一42 ， 。2, 4i+2q2<02,(4.4)
Qi + Q2 + Q3 = 1,
Qj > 0, J = 1,2,3.
Решая эту задачу линейного программирования, находим qi=0,4, q2 = 0,35, дз = 0,25.
Итак, найдено решение исходной задачи
((0,55; 0,2; 0,25; 0), (0,4; 0,35; 0,25; 0), 0,85).
Укажем также другой способ поиска решения игры, основанный на решении систем алгебраических уравнений. Рассмотрим первые четыре ограничения задачи (4.3), заменив в них неравенства на равенства. Получаем систему четырех алгебраических уравнений с четырьмя неизвестными
‘3。2十。3 = ^1,
Pi -р2 + 2рз = ^1,2pi —Рз =少 1,.Р1+Р2+РЗ = 1.
Решая ее, например, методом Гаусса, получаем
Pi = 0,55,/)2 = 0,2, рз = 0,25, v = v± = 0,85.
Далее рассмотрим первые три ограничения задачи (4.4); заменим в них неравенства на равенства, и подставим 少2 =少=0,85. Получаем систему трех уравнений с тремя неизвестными
%2+ 2дз = 0,85,
< 3qi - Q2 = 0,85,、4i + 2位=0,85,решая которую, имеем
qi=0,4, q2 = 0,35, дз = 0,25.
Хотя последний способ и позволил нам найти решение игры, но следует подчеркнуть, что неучет последних ограничений на pi и qj в задачах (4.3) и (4.4) может привести к получению недопустимого плана для задач (4.1) и (4.2), в котором будут содержаться отрицательные pi или qj. В этом случае искомое решение задачи (4.1) или (4.2) находится на границе изменения pi или ^, поэтому для нахождения решения игры требуется вернуться к рассмотрению задач, аналогичных (4.1) и (4.2), но для соответствующих граничных значений pi или 力.
/0 2 -2\(4 0 7)/0 2 -2\(4 0 7)Задача 4.10. Найти решение антагонистической матричной игры с функцией выигрыша
/0 2 -2\
(4 0 7)
/0 2 -2\
(4 0 7)
А =
Решение. Прежде всего отметим, что задача не имеет решения в чистых стратегиях, поскольку
min max 4叮=2 не совпадает с
max min 4叮=0.
勿 j
Поскольку игра вида 2 х п, то для ее решения можно воспользоваться графо-аналитическим методом.
Действительно, для игры такого вида цена игры V определяется выражением
V = max min рАj =
=max min+ (1 — pi)A2j} = max min 力(pi),(4.5)
Pl l^j^nPi
где введено обозначение
fjM=Pl^lj + ^~Pl)^2j,
p = (。1,。2)— смешанная стратегия первого игрока, Aj — J-й столбец матрицы 4
Тогда нахождение цены игры и оптимальной стратегии /° первого игрока разбивается на три этапа:
построение функций 力(pi), j = 1, 3;
выделение нижней огибающей min 力(pi);
нахождение непосредственно цены игры по выражению (4.5) и р?, для которого достигается максимум в (4.5); тогда р° = (/?, 1 —夕?) является оптимальной смешанной стратегией первого игрока.
Эти этапы иллюстрирует рис. 4.2; здесь выделена нижняя огибаю- Щая少冉力(pi), а
/1(Р1) = 4「2 = 4(1 —Р1),
Л(Р1) = 2pi,
/3(01) = 一2也 +7P2 = 7-9九
Получаем
Для нахождения оптимальной стратегии
Q°=(4%,篋成)
второго игрока заметим, прежде всего, что стратегия J = 1 второго игрока не является активной, поскольку не участвует в формировании одновременно нижней огибающей на рис. 4.2 и ее максимума. Поэтому второму игроку не выгодно применять эту стратегию, т. е. Qi = 0.
Далее, q? найдем из условия, аналогичного (4.5),
V = min max ^«(Q2),(4.6)
41 勿= 1,2
где
gi(42)= 2位—2дз = 4位—2, g2(42)= 74з = 7(1-g2).
При этом поиск q° разбивается на три этапа:
построение функций ^«(^2)；
выделение верхней огибающей max g〃(q2)；
нахождение qg, для которого достигается минимум в (4.6).
Эти этапы иллюстрирует рис. 4.3, на котором выделена верхняя огибающая m@xg〃(q2).
Итак, оптимальная стратегия второго игрока
^0= (0;П5П);
а решение игры записывается в виде
Отметим, что в случае игры m х 2 задача решается в другом порядке: сначала из соотношения вида (4.6) находятся цена игры и q°, а затем из соотношения вида (4.5) определяется р°.
Следует заметить, что первый столбец матрицы А можно было исключить из рассмотрения еще в самом начале решения задачи, если учесть доминируемость столбцов матрицы.
Задача 4.11. Найти ситуацию равновесия в смешанных стратегиях в биматричной игре 2 х 3 с матрицами выигрышей игроков
156，В= 531}
Решение. Для ситуаций равновесия выигрыши первого и второго игроков определяются соответственно из условий
va = mjn max Ai qT,
vb = mjn max pB ；,
причем стратегии 科 и q°, на которых достигаются минимумы в этих выражениях, являются компонентами искомой ситуации равновесия. При решении задачи воспользуемся графо-аналитическим методом.
Тогда процесс вычисления vв и оптимальной стратегии первого игрока 科=(讲，1 —讲)разбивается на три этапа:
построение графиков функций fj(pi) = рВ ;
построение верхней огибающей max /j(pi);
нахождение значения 讲，для которого достигается минимум этой огибающей.
Эти этапы иллюстрирует рис. 4.4, на котором выделена верхняя огибающая max 力(р/
Поскольку
九(p1) = 5(1 -Pl),
/2g1) = 2pi+322 = 3-九
/з(「1) =3pi+/)2 = 1 + 2^2,
то из соответствующего графо-аналитического анализа находим, что。8 = 2^ Р0= (1，|)，
а первая стратегия второго игрока не является активной.
Аналогично, имеют место три этапа для нахождения va и q°:
построение графиков функций g〃(q2)= 4勿.个丁；
построение верхней огибающей max ^«（^2）；
нахождение значения qg, для которого достигается минимум этой огибающей.
Учитывая, что
g2（42）= 4q2 + Q3 = 1 + 3^2,
дз（42）= Q2 + 6Q3 = 6 — 5夕2
из графо-аналитического анализа （рис. 4.5） определяем, что
а оптимальная смешанная стратегия второго игрока
Итак, искомая ситуация равновесия для рассматриваемой игры 《14），小 1，1），2”》
Отметим, что в случае биматричной игры m х 2 （т〉2） сначала необходимо определить 少厶 и д°, а только затем перейти к определе
нию vb и 夕°, т. е. применяется другой порядок графо-аналитического анализа по сравнению с биматричной игрой 2 х п （п〉2）.
Задача 4.12. Рассмотрим биматричную игру с матрицами выигрышей сторон
/5 4 2\/4 2 3\
4=155 , В= 0 6 3 .
0 3/6 4丿
Выяснить, имеет ли эта игра ситуацию равновесия в чистых стратегиях. Найти ситуацию равновесия в смешанных стратегиях.
Решение. Прежде всего проведем анализ стратегий игроков на доминирование. Третий столбец матрицы В доминируется (в строгом смысле) выпуклой линейной комбинацией первого и второго столбцов этой матрицы с коэффициентами -. Следовательно, третья стратегия второго игрока входит в его оптимальную (по Нэшу) стратегию q° = =(Q?, qg, Q3) с нулевой вероятностью, т. е. qg = 0. А после соответствующего исключения из рассмотрения третьего столбца матрицы А, получаем, что третья строка матрицы А доминируется первой строкой. Поэтому в оптимальной стратегии первого игрока
/0 =(苏,。2,?》 圖=0,
а третья строка матрицы А может быть исключена из рассмотрения.
Итак, приходим сторонИтак, приходим сторонк биматричной игре с матрицами выигрышак биматричной игре с матрицами выигрыша4、〜/4 2、5…=Об}4、〜/4 2、5…=Об}
Итак, приходим сторон
Итак, приходим сторон
к биматричной игре с матрицами выигрыша
к биматричной игре с матрицами выигрыша
4、〜/4 2、
5…=Об}
4、〜/4 2、
5…=Об}
выполнения условия равновесия ситуа-выполнения условия равновесия ситуа-Непосредственная проверка
выполнения условия равновесия ситуа-
выполнения условия равновесия ситуа-
ции (го, Jo) для чистых стратегий игроков
max А(г,；о) = 4伉—°),
тахВ(г0,；)=石伉―。)
показывает, что только
仇=1, Jo = 1), 仇=2, Jo = 2)
определяют ситуации равновесия в чистых стратегиях:
((1,0,0), (1,0,0),以=5,冲=4)，
((0,1,0), (0,1,0),匕4 = 5,冲=6〉.
Для нахождения ситуации равновесия в смешанных стратегиях в общем случае необходимо решить пару задач линейного программирования относительно р, q и выигрышей игроков Уд, Vp：
Уд т min,
Ar.qT ^VA,
A2.qT ^Va,
Qi + Q2 = 1,
。《力 <1， 3' = 1,2,
Vb Т min, 夕 31 < Vb, pB.z < Vb,
Р1+Р2 = 1,
О《仍 <1, г = 1,2.
После подстановки элементов матриц А и В эти задачи примут вид.
Va Т min,
5内 +4^2 < Ka,
41 + 5^2 < Va,
Qi + Q2 = 1, 41,42》0
и
Vb T min,
4Pl < Vb,
2/n+6p2 < VB, P1+P2 = 1, 九「2》0.
Решая последние задачи, находим
1 -43 -41 -43 -44 - 54 - 51 - 54VA1 - 54VA3VB3VB
1 -4
3 -4
1 -4
3 -4
4 - 5
4 - 5
1 - 5
4
VA
1 - 5
4
VA
3
VB
3
VB
Отыскание ситуации равновесия в смешанных стратегиях по аналогии с задачей 4.11 можно провести на основе решения двух систем уравнений:
5内 +4^2 = Ка,
< Qi + 5q2 = Va,
、41 十 42 = 1
ии
и
и
'4pi = VB,
< 2也+602 = VB,Р1+Р2 = 1,
но следует иметь в виду, что в общем случае этот подход (как указывалось в задаче 4.11) может привести к получению отрицательных компонент вектора /° или q°.
Отметим, что данная игра свелась к игре 2x2, и ситуации равновесия для нее могут быть определены с использованием графо-
10 A. H. Катулев и др.
аналитического метода, так как игра 2x2 является частным случаем игр m х 2 или 2 х п, рассмотренных в задаче 4.11.
(HD(HDЗадача 4.13. Найти наилучший гарантированный результат и оптимальную стратегию первой стороны в иерархических играх Г1 и Г2, если функции выигрыша первой и второй сторон соответственно
(HD
(HD
/4 7 9\
歹=5 4 10 , G =
-4 0/
Решение. Рассмотрим сначала игру Г1. Наилучший гарантированный результат первого игрока
Wr = max min 歹(①，g),xEMq gCR(%)
где
R(x) = {у E N: max G(①,z) = G(①,g)}, N = Mq = {1, 2, 3}.
Для условий задачи имеем
Н(1) = {у = 1},冗⑵={g = 1, У = 2},冗⑶= {у = 2}・
Тогда
W = max[F(l, 1), min(F(2, 1),歹(2, 2)), F(3, 2)]=
=max (4, 4, —4) = 4, причем максимум достигается при
X х — 1,① 2 = 2.
Следовательно, эти две чистые стратегии являются оптимальными стратегиями первого игрока в игре Г1.
Рассмотрим теперь игру Г2. Найдем гарантированный результат L второго игрока
L = max min G(①，у) = max {2, 2, 1} = 2 У ж
и множество Е его чистых стратегий, на которых этот максимум достигается: Е = {g = 1, у = 2}.
Далее найдем множество D:
D = {(ж, у): ж е Мо, у R N, G(x, у)> L}=
={(1,1), (2,1), (2,2), (3,2), (3,3)},
и максимум F(x, у) на этом множестве:
К = max F(x,y) = max{4, 5, 4, —4, 0} = 5.
Тогда наилучший гарантированный результат первого игрока Wr = max(M К), где
М = min max F(x, у) = min (8, 7) = 7. у^Е ж
Поэтому Wr = max (5, 7) = 7, а поскольку К < М, то оптимальная стратегия первого игрока имеет вид
〜f^a(g), yeE, ж = <
I ①нак(д) в остальных случаях, где ①а — абсолютно оптимальная стратегия, а ①”ак — стратегия наказания второго игрока.
Для рассматриваемой задачи получаем
ж = (*(д = 1) = 3, х(у = 2) = 1, х(у = 3) = 2).
Задача 4.14. Найти наилучший гарантированный результат и оптимальную стратегию первого игрока в игре Г1, если оба игрока стремятся к увеличению своего критерия, а критерии первого и второго игроков соответственно равны
反(/，g)=®一 引， G(伤 g) = cos(/一g),
а Ж e [0,7Г], g e [^, ^].
Решение. Рассмотрим различные участки изменения х.Решение. Рассмотрим различные участки изменения х.Если х 6 :，三，то max G(①，g) достигается при g =① и равен 1.L 4 2 J 沙Если х 6 :，三，то max G(①，g) достигается при g =① и равен 1.L 4 2 J 沙При 0《① < ^ имеем -^《①-д<0； функция cos (ж — у) монотонно возрастает, поэтому maxG(①，д) достигается при минимальноПри 0《① < ^ имеем -^《①-д<0； функция cos (ж — у) монотонно возрастает, поэтому maxG(①，д) достигается при минимальнодопустимомдопустимом7Г7Гggу, т. е. g = г и равен cosу, т. е. g = г и равен cosD・D・
Решение. Рассмотрим различные участки изменения х.
Решение. Рассмотрим различные участки изменения х.
Если х 6 :，三，то max G(①，g) достигается при g =① и равен 1.
L 4 2 J 沙
Если х 6 :，三，то max G(①，g) достигается при g =① и равен 1.
L 4 2 J 沙
При 0《① < ^ имеем -^《①-д<0； функция cos (ж — у) монотонно возрастает, поэтому maxG(①，д) достигается при минимально
При 0《① < ^ имеем -^《①-д<0； функция cos (ж — у) монотонно возрастает, поэтому maxG(①，д) достигается при минимально
допустимом
допустимом
7Г
7Г
g
g
у, т. е. g = г и равен cos
у, т. е. g = г и равен cos
D・
D・
При ж ^ — получаем -тг^х — у^О, на последнем участке функция G(①，у) монотонно убывает, поэтому max G(①，у) достигается при 7T у максимально возможном у, т. е. при ?/ = —, и равен cos I ж — — 1.
Итак, найдено 冗⑺：
g =
7Г
—< Ж <
4
7Г I
g =
7Г
4 5
0 < ж <
7Г Г
g =
7Г
I5
7r / / 六)，
7Г.
r⑺=<
ю*
Теперь в соответствии с принципом Штакельберга для иерархической игры Г1 наилучший гарантированный результат Fr первой стороны определяем следующим образом:
歹「= max min F(x. у).
О^ж^тг y£R(x)
Учитывая, что полученное R(①)состоит для любого ж только из одного элемента, имеем
Fr = max J max F b max Fmax 歹[=
I 0^Ж^7г/4、4/ 7г/2^Ж^7Г、2 / 7г/4《/《7г/2[
= max{ь(/=0, ^}ь(/= 7Г, ^} o}=max{^, ^, 0} = ^,
причем этот максимум достигается при хг = тг, которая и является оптимальной стратегией первого игрока в игре Г1.
Задача 4.15. Как объединению распределить дефицитное сырье объемом 80 единиц между двумя подчиненными ему предприятиями А (выпускающим продукты 7 и 2) и 6 (выпускающим продукты 3 и 4), если цель объединения — максимизировать суммарный выпуск продуктов 7 и 3? При этом каждому предприятию должно быть выделено не менее 10 единиц этого сырья. Прибыль от реализации единицы г-го продукта (г = 1, 4) равна Р^, а технологические коэффициенты С〃 (г = 1, 4) — затраты дефицитного сырья для производства единицы г-го продукта. Запасы других видов сырья (кроме рассматриваемого) можно считать неограниченными. При этом
А = 1, В = 3, Р3 = 1, 2 = 2,01=4,02 = 2,03 = 2,04 = 4.
Решение. Рассмотрим данную задачу как игру Г1 и воспользуемся принципом Штакельберга для нахождения оптимальной стратегии объединения. Цель объединения
反=力1+/з -> max при ограничениях
力+g2 = 80,
У1》Ю, У2》Ю.
Соответственно цели предприятий G] и G? и ограничения на ресурсы имеют вид
Gi = Xi +3/2 Т max,
4^1+ 2^2 < gi, ①1》о,①2》0
G2 = /з 十 2/4 —> max,
2/3+4/4 <竺，
/3》0,/4》0,
где полагается, что каждое предприятие стремится максимизировать суммарную прибыль от реализации выпускаемой им продукции.
Стратегии первого игрока (объединения) у = (у±^ у2).
Стратегии предприятий:(①匕力2)и (/3,^4) — для первого и второго соответственно.
Найдем R(汾.Для этого при фиксированных 力 и у? решаем две задачи линейного программирования:
Ж1 +3/2 Т max
при ограничениях
4^1+ 2^2 < gi,
①1》0,①2》О,
/з+2/4 T max
при ограничениях
2/3+4/4 W 沙2,
①з》0,①4》0.
Решением первой из них является
(* = 0, * = уУ а решения второй —
Тогда уг = (g；,应—оптимальная гарантирующая стратегия объединения определяется выражением
max max 无)=max — = 35
У xER(y)У2 2
и равна
, = (10,70).
Здесь предполагалось, что в случае равнозначных стратегий для предприятия (с точки зрения его критерия), оно выберет более выгодную объединению стратегию.
Итак, при выделении объединением 10 единиц дефицитного сырья первому предприятию и 70 единиц этого сырья второму предприя-
тию этим объединением будет достигнута величина суммарного выпуска продуктов 7 и 3, равная 35.
Задача 4.16. Решить непрерывную антагонистическую игру с функцией выигрыша
F(x,y) = 2y2-3xy-x\
если Мо = N = [—1, 1].
Решение. Поскольку 歹工 = —2 < 0, a F；y = 4 > 0, то функция выигрыша F^x^ у) является вогнуто-выпуклой, и, следовательно, имеет решение в чистых стратегиях. При этом для отыскания оптимальных стратегий ж0 и д° игроков воспользуемся условиями:
ж0 либо на границе Мо, либо 用(①。,g。) = —3g。一 2①。=0;
g。либо на границе N〉либо F^(x°, g。) = 4g° — Зж° = 0.
Из анализа условий 1), 2) следует, что ж0 принадлежит множеству стратегий
ж = {-i,o,i}, а д° — множеству стратегий
М = {-1, -рО, I，1}.
Составим платежную матрицу-таблицу (табл. 4.1). Из этой таблицы
Таблица 4.1
Значения yi
Значения функции 修/
а?1 = —1
)2 = 0
)3 = 1
У1 = -1
^11 = -2
^21 = 2
歹31 = 4
maxF^i = 4
3
F12 =-— 8
尸22染
厅一19
R32 一可
□19
m@x/2 = v 2О
Уз = 0
歹 13 = -1
歹23 = 0
r33 = -1
тах^з = 0
3
У4 = W
「19
г 14 =— 8
& =
r34 = 一可
「19
max г ^4 =— i8
У5 = 1
歹 15 = 4
&5 = 2
歹35 = -2
maxF^ = 4
т1п^и=--
38
min &/ = 0
• 口17
mmF3j=-- 38
получаем
喟х 歹(①,дз) = minF(X2,?/) = 0, и седловой точкой является (ж0 = 0, д。= 0).
Задача 4.17. Доказать, что антагонистическая игра на единичном квадрате с функцией выигрыша
歹(伤沙)=(/-g)2
не имеет решения в чистых стратегиях. Найти ее решение в смешанных стратегиях.
Решение. Найдем Fr:
К(ТИо) = max min (х — у)2.
Этот наилучший гарантированный результат первого игрока равен 0.
Далее, найдем %:
F式Ми) = min max (х — у)2.
1 -4и1 -41 -41 -4и1 -41 -4Имеем
1 -4и
1 -4
1 -4
1 -4и
1 -4
1 -4
Fu(Mq) = min J min у2. min (1 — у)2 I = min [1/2w呎10《呎1/2J
Поскольку
FV{M^^F^M^,
то в чистых стратегиях игра решений не имеет.
Отметим, что функция 歹(①，у) выпукла как по ж, так и по у. В силу выпуклости по у имеется седловая точка игры, в которую входит чистая стратегия второго игрока ус. При этом цена игры
К = min max 歹(①，у).
у ж
Поскольку F выпукла по ж, то максимум по ж для любого g достигается на границе Mq = [0, 1]. Тогда
Vc = min max (力，]_ 力)=}у4
1
достигается при ус =
Поскольку 0 < ус < 1, то для определения стратегий ①i и ①2 первого игрока, входящих в оптимальную его стратегию, необходимо решить уравнение
откуда Ж1 = 0,①2 = 1, причем
dWдуdWдуdWдуdWду=-1 <0.=-1 <0.
dWду
dWду
dWду
dWду
=-1 <0.
=-1 <0.
Тогда коэффициент а в оптимальной стратегии первого игрока в выпуклой комбинации точек ①i и ①2
хe = a厶1⑺+ (1 - a)厶2⑺
найдем из выражения
а"(① 1, %) + (1 — а)К(/2, %) = 0,
т. е. а • 1 十(1 — а)(—1) = 0, откуда а = |.
В итоге решение задачи запишется в виде
《(① 1=0,01 = 3｝卜2 = 1,Р2 = Т))，(%=T'P=1)'D
ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙВ УСЛОВИЯХ СТАТИСТИЧЕСКОЙ
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ И БЕЗОПАСНОСТИ РИСКА
Такие задачи в исследовании операций возникают, когда в качестве противодействующей стороны выступает природа и результаты возможных ее действий — оперирующая сторона (ОС) может описывать с использованием условных плотностей вероятностей {Р(〃|д, у G У)}, где т] — наблюдаемые ОС данные в зависимости от возможных альтернативных состояний у EY природы.
Собственно механизм (правило, алгоритм) принятия решения строится при следующих исходных данных.
Множество возможных альтернативных состояний-гипотез природы; гипотезы могут быть простыми, если каждая из них определяется одним параметром, и сложными — когда каждая гипотеза определяется не менее чем двумя параметрами. Значения параметров могут быть заранее известны или определены соответствующими множествами.
Априорное распределение вероятностей состояний природы при условии, что их множество представляет полную группу случайных событий. При рассмотрении сложных гипотез могут быть введены также плотности вероятности параметров на множествах их значений при условии принадлежности этих множеств соответствующим состояниям-гипотезам.
Результаты наблюдений, представляющиеся в общем случае вектором в зависимости от того, какое имеет место состояние природы; компоненты вектора в целом называют выборкой^ а число компонент — объемом выборки.
Набор альтернативных решений, каждое из которых на основе полученной выборки выделяет соответствующее состояние природы. Выделение состояния может быть правильным либо ошибочным и может осуществляться детерминированно либо согласно вероятностному механизму — нерандомизированно. В связи с этим в общем случае на декартовом произведении множеств решений и выборок вводят решающую функцию — условное распределение вероятностей на множестве решений в зависимости от наблюдаемых данных.
Функция потерь, определенная на декартовом произведении множеств возможных состояний и решений, т. е. функция, учитывающая последствия решений.
Условное распределение вероятностей выборки в зависимости от состояний природы, т. е. это функция правдоподобия.
Собственно задача принятия решений сводится к наилучшему выбору решающей функции на основе минимизации на множестве решений функционала, определенного на указанных исходных данных. В качестве такого функционала рассматривают:
условный риск — условное среднее функции потерь;
средний риск — усредненную условную функцию потерь по всем возможным состояниям природы;
условный апостериорный риск — условную среднюю функцию потерь по апостериорному распределению состояний природы после того как получена выборка.
Так, для непрерывных задач названные функционалы (в случае простых гипотез) записываются в следующем виде:
условный риск —
Му, " = ]] р^\у)^х\^с{у^ ①(〃))dcd〃； н г
средний риск —
5)= 以 g)P(〃|g)b(c|〃)C(g, dy dx'
УНГ
условный апостериорный риск —
4% 6) = ]] S(x\tj) Р(у I ту) С (у, ж(?7)) dy dx.
Г У
Здесь:
С(д, /(〃))— функция потерь, g С У, ж 6 Г, ту G Я, Г — множество решений ОС, Н — множество выборок;
Р(〃 I 沙)一функция правдоподобия;
5(① I 〃)— решающая функция;
以д) — априорная плотность вероятности на У;
Р(у I 〃)一 апостериорная плотность вероятности.
Приведенные выражения для рисков легко перестраиваются, когда вместо функции потерь С(д,с(〃))вводят потери, оцениваемые величиной — logP(g|c), где Р(д|с) — апостериорная плотность вероятности того, что имеет место состояние природы д G У, если принято решение ж 6 Г.
Если при этом априорное распределение вероятностей состояний у Е Y не известно (но существует) или известно не полностью, то задача принятия решений в условиях риска становится минимаксной, т. е. правило выбора решения заключается в минимизации на множестве решающих функций максимального условного риска (или
максимальных условных потерь информации) для всех возможных состояний у EY.
Минимаксное правило можно также выразить и через средний риск; в этом случае априорное распределение вероятностей на У определяется как наименее благоприятное для ОС и задача может интерпретироваться антагонистической игрой двух сторон — ОС и природы.
В условиях, когда время наблюдения, или, что то же, объем выборки, не фиксирован, правило выбора решения становится многошаговым —последовательным двухпороговым.
В заключении здесь отметим, что изложенные подходы имеют важное практическое значение и в случае близких состояний-гипотез, т. е. в случае, когда разность между параметрами гипотез мала.
Задача 5.1. Пункт обмена валюты, каждую единицу покупает по цене Pi и продает по цене Р». Потоки продавцов валюты и покупателей описываются законами Пуассона с параметрами 入1(力)и 入2(力) соответственно. Цель пункта — получение максимальной прибыли от продажи.
Определить стратегию оптимального поведения пункта обмена валюты.
Решение. Очевидно, что прибыль на каждом отрезке времени в =(力 + J)—力 где 力—текущий момент времени, представляется слу- ЧаИН°И= max {О, Р2y(J) - RX(J)},
где У(^), X(J) — количество проданных и купленных пунктом единиц валюты соответственно.
Случайная величина g имеет математическое ожидание
〃阮切)]=max {О, P2M\Y(0)]~ R7H[X(J)]},которое пункт обмена должен максимизировать при условии, чтоM[yW]-M[XW]>0,
M\Y{0)]=为⑴仇 M[X(J)]=尢⑴仇
Таким образом, стратегия поведения пункта обмена будет представляться решением условной экстремальной задачи; и решение может быть найдено согласно принципу Лагранжа.
Задача 5.2. Составить алгоритм отбора информативных признаков по методу дискретного разложения Карунена-Лоэва (или по методу главных компонент) для последующей классификации объектов в условиях риска (статистической неопределенности).
Решение. Алгоритм включает следующие итерации.
Задать минимально допустимую среднеквадратическую ошибку классификации объектов, обусловленную исключением части признаков из исходной их совокупности сг^(т).
Центрировать векторные выборочные данные измерений признаков.
Вычислить выборочную ковариационную матрицу Кх для центрированных векторных выборочных данных
X — (Xi, X?，Х/г ),
где
]N
x勿 =(① 1 勿,X2i//勿)，k/ = -): x勿x5 .
Вычислить собственные значения Xj и собственные векторы Ф^, i = L N, ковариационной матрицы К%, т. е. решить задачу так называемой полной проблемы собственных значений
К/Ф〃 =% = L N)
где
I ai, если г =
I 0, если z 芒九
Пронормировать собственные векторы.
Упорядочить собственные значения по убыванию.
Исключить из дальнейшего рассмотрения собственные значения с индексами i = т-\~\> N согласно заданной среднеквадратической ошибкеN
若⑺)=£
Сформировать базис из собственных векторов, соответствующих оставшимся собственным значениям Ai,尢，...，Хт.
Вычислить компоненты 匕,г = 1, m, в сформулированном базисе из собственных векторов Ф^, г = 1, ш,匕=Ф〃Х, г = 1, ш.
Полученные результаты представляют решение задачи отбора признаков из совокупности исходных для использования при классификации объектов.
Задача 5.3. Имеется n-канальная система контроля безопасности. Каждый канал функционирует независимо от любого другого и может выходить из строя по причине конечной надежности его узлов. После восстановления канал продолжает работать с прежними характеристиками.
Пусть входной поток объектов, подлежащих контролю, пуассоновский с параметром А, время обслуживания каждого объекта описывается показательным законом с параметром 〃； время между отказами канала и время его восстановления тоже показательные с параметрами а и / соответственно, X < /л, X < /3.
Определить среднее число М исправно функционирующих каналов в любой текущий момент времени, 0 ^ М ^ п.
Решение. 1. Воспользуемся стандартным приемом анализа функционирования n-канальной системы как системы массового обслуживания и запишем систему уравнений для стационарного режима ее работы
'-n^po + api = О,
-[та + (п-ш)例 pm + (m + 1) apm+i +
+- napn + ^pn-i = 0,
k Pl + P2 + • • • + Pm + • • • + Pn = 1, где pm — вероятность того, что в системе массового обслуживания имеется т исправных каналов в любой момент времени.
Из решения системы уравнений получим
Среднее число есть
Задача 5.4. Пусть множество действий оперирующей стороны Г = {九金}, а второй стороны (противника) — соответственно У = ={У1,У2}- Функция потерь C(y,d) задана в виде табл. 5.1.
Таблица 5.1
Действия второй стороны
Значения функции потерь С
Действие ОС d]
Действие ОС d?
У1
0
3
У2
5
0
Наблюдается случайная величина 〃 со следующими условными распределениями:
Р^ = 1\у1) = I，P(fn = 0\y1) = ^,
Р(〃 = 1 I 沙2)= 4 ,Р(〃 = 0 I 沙2)= 4 •
Построить байесовскую решающую функцию при условии, что априорное распределение параметра у имеет вид
Р(У\) =р(g2)= 1 - 因 0 < a < 1.
Решение. Вычислим апостериорное распределение вероятностей для у = у、, у = у?〉если имело место наблюдение 〃：
Р(У1)Р(〃 = 1丨为)=
а • 1/5
Р&1) Р(〃 = 1 1 为)+ Р(У2)Р(〃 = 1 1 У2)
а-1/5 + (1-а)-1/4,
Р(У1)Р(〃 =。丨为) =
а • 4/5
Р®] Р&] = 0|?/1) + Р«2)Р(П = 0 1 У2)
а・4/5 + (1 — а)・3/4'
p(经)p(〃 =1丨经) _
(1 — а) • 1/4
Р&2)Р(〃 = 1 1 Ы + Р(У1) Р(〃 = 1 1 为)—
(1 —а)・1/4 + а・1/5'
p(经)p(〃=0丨经) _
(1 — а) • 3/4
Р&2)Р(〃 = 0 1 У2)+ Р(У1)Р(Т] = 0|?/1)
(1 —а)・3/4 + а・4/5'
P(gi|〃 = D =
P(gi|〃 = o)=
p①2丨〃 =i)=
p匂2丨〃 =o)=
После наблюдения значения 〃 выбирается одно из решений, di или d?. Для этого вычислим риски R(g,di(〃)) от принятия решения d\ и риска R(g,金⑺)от принятия решения 金：
R®,击(〃))=0(力，d^Tj^Pf.y^^ + C^,击(〃))p(g21〃)，
A®,金(〃))=0(力，金(〃))p(У1 I 7?) +0(g2,金(〃))p匂2 I 〃)•
Согласно данным табл. 4.2 получаем
R(g,击(〃))=5P(g21 〃)， R(g,金(〃))=Зр(уl I 〃).
Если теперь R(y〉d\(rf)) < 冗(沙，金(〃))，то будет принято решение d\(77); если имеет место обратное неравенство, то принимается решение d式哈；а если эти риски равны, то оба решения являются байесовскими, т. е. может быть принято любое из них.
Для конкретных значений 〃 имеем следующие результаты.
При наблюдении 〃 = 1 риски R(g,击⑴)и R(y,金⑴)будут равны, если
илиилишенияшения5(1-а)-1/45(1-а)-1/4За • 1/5За • 1/55P(竺 I 〃 = 1) = 3P(gi I 〃 = i)
или
или
шения
шения
5(1-а)-1/4
5(1-а)-1/4
За • 1/5
За • 1/5
(1 — а)・1/4 + а・1/5 — а • 1/5 + (1 — а) • 1/4'
РешаяРешая25 「 последнее уравнение, находим, что при а = — оба ре-
Решая
Решая
3725
击(〃 =1) и 金(〃 =1) являются байесовскими; если а < —,
то меньший риск обеспечивает принятие решения "2(〃 = 1); если же а > —, то условия изменяются в пользу решения di(〃 = 1).
При наблюдении 〃 = 0 аналогичным образом устанавливаем, что 25
при а = — оба решения di(〃 = 0) и "2(〃 = 0) являются байесовс-
4125
кими; при а < — байесовским решением является "2(〃 = 0), а
2541
при а > — таким решением будет 两(〃 =0).
Из приведенных расчетов следует, что при 0 ^ а ^ — решение 金 является байесовским как при ту = 1, так и при 〃 = 0, т. е. независимо от того, какое значение случайной величины 〃 наблюдается. Для такого априорного распределения ожидаемый риск есть
р{(^ = £ £ р5c©d式哈)р5\哈=
77=0,1 у=у\,у2
=P(gi)[°(gi,金(〃 =о)) р(〃 = о I 力)+。(力，金(〃 =i)) p(〃 = 11 力)]++ P@2)[0匂2,金(〃 =0)) P(〃 = 0 I g2)十0@2,金(〃 =1)) P(〃 = 1 I g2)]=
=a[3.耳-)-3.耳]-)-(] - a)[o.4+0.4] = 3а. 25
В случае 斫 < а < 1 байесовским решением является di независимо от значения случайной величины 〃. Найдем средний риск для а из рассматриваемого диапазона. Имеем
p^ = £ e P(g)e(g,击(〃))р(〃1g)= 5(1-a). ?7=0,1 У = У1,У2
2525
В случае — ^ а ^ — байесовскими решениями являются:
5(〃 = 0)=击 при 〃 = 0,
b(〃 = l) = d2 при 〃 = 1.
При этом средний риск есть
p^ =p(力)[0(力，6(〃 = 1)=金)p(〃 = 11 力)+
十。(力，6(〃 = 0) = di)P(〃 = 0| ?/i)] +
-^-pШ[e(У2, 6(〃 = 1)=金)p(〃 =11g2)+
63206320十0(g2, 6(〃 = 0) = di)P(〃 = 0|g2)]=
63
20
63
20
糸 имеет糸 имеет=а [з・?+0用 +(1 —а)|о・； + 5・"=手
糸 имеет
糸 имеет
Очевидно, что максимальный средний риск, равный 25
место при значении параметра а =—.
Задача 5.5. Пусть ту — бернуллневская случайная величина; 1 . 1
параметр — вероятность «успеха» У = У1 = ^ либо у = у? = «; результаты наблюдений — 〃 = 0, ту = 1; условное распределение вероятностей —
ММп) = уЧ\-п尸；
Г = {击，金}; функция потерь С(у〉d) задана в табл. 5.2.
Таблица 5.2
Действия второй стороны
Значения функции потерь С
Действие ОС d]
Действие ОС d?
У1
2
3
У2
4
0
Построить минимаксную решающую функцию.
Решение. По условию задачи возможны только два решения, выборочное множество содержит две точки, поэтому всего имеются четыре решающие функции:
61(〃 = 0)=击, 加(〃 =0)=击, Ьз(〃 = 0) = “2, 方4(〃 = 0)=盡,61(〃 = 0)=击, 加(〃 =0)=击, Ьз(〃 = 0) = “2, 方4(〃 = 0)=盡,bi(〃 = 1)=击; 加(〃 =1) = “2； Ьз(〃 = 1)=击; 方4(〃 = 1)=盡.bi(〃 = 1)=击; 加(〃 =1) = “2； Ьз(〃 = 1)=击; 方4(〃 = 1)=盡.
61(〃 = 0)=击, 加(〃 =0)=击, Ьз(〃 = 0) = “2, 方4(〃 = 0)=盡,
61(〃 = 0)=击, 加(〃 =0)=击, Ьз(〃 = 0) = “2, 方4(〃 = 0)=盡,
bi(〃 = 1)=击; 加(〃 =1) = “2； Ьз(〃 = 1)=击; 方4(〃 = 1)=盡.
bi(〃 = 1)=击; 加(〃 =1) = “2； Ьз(〃 = 1)=击; 方4(〃 = 1)=盡.
Для каждой решающей функции определим функцию риска
R(g,公(〃))=C(g,公(〃 = 0))/(〃 = 0|g) + C(g,公(〃 =1))/(〃 = l|g)
с учетом того, что g =沙1,沙2, т. е. построим риски для следующих четырех пар:
{g1,61(〃)}, {g2,61(〃)}; 2) {дb加s)}, {经，加s)};
{g1,Ьз(〃)}, {g2, 6 3(77)}; 4) {九，6 4(〃)}, {g2, 6 4(77)}.
Затем по каждой паре соответствующих рисков найдем максимальные риски в зависимости от индекса параметра у. Из полученных максимальных рисков выберем минимальный в зависимости от индекса решающей функции.
Итак, получим
max [R(gi, bi(〃))=。(力,bi(〃 = 0))/(〃 = 01 力)十
十0(g1, 61(〃 = 1))/(〃 = 11g1),r(g2, 61(〃))=
=0(g2, 61(〃 = 0))/(〃 =01g2)+0(g2, 61(〃 = 1))/(〃 = 11g2)],
max [R(gi,加⑺)=0(力，加s=0))/(〃 = 01 力)+
十0(g1,加s=1))/(〃 = 11g1),r(g2,加s))=
=0(g2,加s= 0))/(〃 =01g2)+0(g2,加s=1))/(〃 = 11g2)],
max [R(gi, 63(〃))=。(力,63(77 = 0))/(〃 = 01 力)十
十0(g1, 83(〃 = 1))/(〃 = 11g1),r(g2, Ь3(〃))=
=0(g2, 83(〃 = 0))/(〃 =01g2)+0(g2, 83(〃 = 1))/(〃 = 11g2)],
max [R(gi,以⑺)=0(力，以5=0))/(〃 = 01 力)+
十0(力，以5=1))/(〃 = 11g1),r(g2,以m))=
=0(g2,以5=0))/(〃 =01g2)+0(g2,以5=1))/(〃 = 11g2)] • Подставив в эти выражения соответствующие исходные данные, получим
max [R(y!, S^rj)), R(y2, S^rj))] = max {2• ；+ 2• ；, 4・；十4・；}=
= max{2,4}=4 今 冗(銓，bi(〃))= 4,
max [Я(уъ ^2(/?)), R(y^ Ыл))] = max p • |+3 • i, 4-|+0-|| =
=max||, 2} = I 今 R(gi,加⑺))=*
界箫[R(gi, Ьз(〃))，冗(沙2, Ьз(〃))] =тах{з・； + 2・；，0-|+4-|| =
=тах|у, 2| = у 今 冗(力，Ьз(〃))=彳,
max [R(gi,以⑺)，а(銓，以⑺)]=таx{3・^+3・^,=
П1,П2I 4422 J
= max{3,0}=3=> R(gi, 64(〃))= 3.
Поскольку
R(yi, Ыл)) < min{R(y2, ^1(??)), R(gi, 63(〃))，冗(力，64(〃))}, то в условиях рассматриваемой задачи минимаксной решающей функцией является 62(〃).
Задача 5.6. Пусть д° — простая гипотеза, состоящая в том, что выборка 〃i, 〃2,…，〃九 получена из распределения
/М〃)= е? 〃〉0, a gi — простая альтернатива, состоящая в том, что эта выборка получена из нормального распределения
11 А. Н. Катулев и др.
力⑺=鼻 £-"/2, 〃〉0.
V 2тг
Доказать следующее оптимальное правило выбора решения: отвергается гипотеза д°, если
—< 1Inc — 1п2тг,
nn
где с — константа, характеризующая выбранный критерий качества.
Решение. Полагаем, что 〃 = (〃i, 〃2,…,〃九)представляет независимые выборочные измерения. Гипотезы д° и 力 альтернативны.
Составим функцию (отношение правдоподобия):
/（〃丨为）/（〃丨为）n处(勿)
/（〃丨为）
/（〃丨为）
г = 1 =
П九(勿)
一 _ П i -P {-f} _ exp{VW 叫
n exp {-勿}(2тг)п/2 exp "i :
勿=1I勿=1 /
Теперь запишем правило принятия решения о подтверждении гипотезы gi (или, что то же, о решении отвергнуть гипотезу д°):
/(〃)》с, или
ехр {一皤叫
三二——2 c.
(2тг)п/2ехр {-£ 勿}
После логарифмирования получаем
1п(2тг)十》Inc,
i=li=l
откуда приходим к требуемому результату
— < 1In с — In (2тг).
nn
Задача 5.7. Пусть У =(力，经)，yi = 0, y2 = 1, 0 <(/ < 1, a функция потерь имеет вид
L(y, d) = \y~d^, p(gi) = g,。匂2)=扌
Построить байесовское решение.
Решение. Запишем риск для каждого d из D = [0, 1] и априорного распределения Р = (p(gi),夕(沙2))：
Р(Л d) = L(gi, d^p^y^ + L^, d)p&2)=
=|0 — d|2 •；十 |1 — d|2 • g = g (5储一8d + 4).
Тогда с учетом того, что задана функция потерь, получаем
44
min= — при d=
4
Следовательно, d = - — единственное байесовское решение.
5
11*
МЕХАНИЗМЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ,ОСНОВАННЫЕ НА ВЕРБАЛЬНОМ ПОДХОДЕ
Из известных [50, 31] определений основных компонент обобщенной модели операции следует, что оперирующая сторона (ОС) обладает самостоятельностью в выборе совокупности возможных действий, согласовании их с условиями и ограничениями, соответствующими проведению операции, и в выборе окончательного решения по реализации действий для наилучшего достижения поставленной цели операции. При этом выбор действий существенно зависит от информированности ОС о характере и целевой направленности действий других сторон, участвующих в операции. В связи с этим возникает объективная необходимость формирования соответствующих механизмов выбора (принятия) решений.
Такие механизмы раскрываются либо согласно количественному подходу, когда каждому действию ОС приписывается количественная оценка его эффективности (полезности), либо согласно качественному порядковому подходу, когда действия упорядочиваются и выделяется наиболее предпочтительное из них.
Количественный подход сводится к решению различного ряда экстремальных задач, качественный — к сравнению любой пары возможных действий с помощью методов теории бинарных отношений.
Формально механизм выбора представляется парой {Q, П}, где Q — конечное или бесконечное множество альтернатив, П — правило или принцип оптимального выбора альтернатив, в общем случае подмножества альтернатив С(П) (С(П) С Q)； С(П) называют функцией выбора, |Q|》2.
Задачи, относящиеся к количественному подходу, были рассмотрены в предыдущих разделах; здесь рассмотрим ряд задач при качественном подходе к их решению.
Введем определения.
О п ре дел ен ие 1. Бинарным отношением R на множестве альтернатив Q называется подмножество множества Q х Q.
Для краткости наряду с записью (ж, у) С R будем использовать принятое в теории отношений обозначение xRy.
К отношениям применимы обычные теоретико-множественные операции: объединение, пересечение, дополнение, разность, включение. Помимо них для отношений определены следующие специальные
операции: обратное, двойственное к отношению 凡 произведение отношений и другие.
Обратным к отношению R называется отношение
R~r = {{y,x)\xRy}.
Двойственным к отношению R называется отношение Rd = =(Я-1), где R = {(ж, g) g А} — дополнение к отношению R.
Произведением отношений 丛 и 丛 называется отношение
丛冗2 = {(/, z) I m g е Q /丛沙，gJz}.
Отношение R называется:
рефлексивным^ если V/ С Q выполнено xRx^ антирефлексивным, если V/, g С Q: xRy х ^ у;
симметричным, если Ух, у С Q: xRy 今 yRx] асимметричным, если V/,g G Q: xRy => yRx; антисимметричным, если V/,g G G Q: xRy и yRx 今 x = y;
транзитивным, если ^x,y,z G Q: xRy, yRz 今 xRz; отрицательно транзитивным, если R транзитивно;
ацикличным, если Vk = O, 1,..., Ух, z±, Z2,, Zk, у-
xRzr, zrRz2, , Zk-rRzk, zkRy 今/# g；
полным, если Ух,у С Q выполнено либо xRy, либо yRx, либо и то, и другое одновременно.
Определение 2. Рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение называется отношением порядка. Антирефлексив- ное, асимметричное, транзитивное отношение называется отношением строгого порядка. Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение называется отношением эквивалентности.
Для любого отношения порядка R можно определить порожденные им отношения эквивалентности / и строгого порядка Р по следующим правилам:
xly О xRy и yRx\ хРу О xRy и yRx.
Введем принципы оптимальности для предпочтений ЛПР, заданных в виде бинарных отношений.
О п ре дел ен ие 3. Альтернатива ж G Q называется:
максимумом по отношению А (/ С П+(А)), если Vg # /: xRy;
минимумом по R (х Е Q-(/Z)), если Vg # /: yRx]
мажорантой по R (比 G 口+(冗))，если Vg # /: yRx;
минорантой по R (х Е П_(А)), если Vg # /: xRy.
О п ре дел ен ие 4. Пусть R — бинарное отношение на множестве Q. Функцией полезности, порожденной отношением 凡 называется функция ": а т А такая что V/, g С Q xRy и “(/)〉“(g).
Задача 6.1. Доказать, что (Я-1) = (Я)-1.
Решение. Задачи, в которых требуется доказать тождественность отношений, решаются аналогично задачам на равенство двух множеств.
Докажем, что (Я-1) С (Я)-1:
V(x, у) е (戸)今(ж, у) Q /Г】今
今(g, /)必冗今(g, x)eR (/, У)e (A)T. Обратно,
V(/, g) e (А)т 今(g, /)e A 今匂，x)^ R
今(X, у) Q R-1 今(X, у) e (戸)今(A)T U (戸)•
Из доказанных включений следует утверждение задачи.
Задача 6.2. Доказать, что если R рефлексивно, то Rd антирефлексивно.
Решение. Проведем доказательство от противного. Пусть Rd не является антирефлексивным. Тогда по определению
3 ж е Q： (ж, /) е ” 今(ж, /) е (Я-1)今(ж, /) е 凡 что противоречит рефлексивности последнего.
Задача 6.3. Доказать, что отношение строгого порядка ациклично.
Решение. Проведем доказательство от противного. Пусть отношение R не является ацикличным. Тогда по определению
三/, Zl, ?2,xRz±, Z1HZ2, , Zk — lRZk, ZkRx.
В силу транзитивности отношения R〉имеем:
из *Rzi и Z±RZ2 今 xRz2,
из xRzk и z^Rx 今 xRx.
Последнее противоречит антирефлексивности.
Задача 6.4. Доказать, что если R — рефлексивное транзитивное отношение, то (RR) = R.
Решение. V(/,g)e(RR) по определению произведения отношений Bz Е Cl: xRz и zRy. Тогда в силу транзитивности R имеем xRz, откуда (RR) С R.
Обратно: пусть (/, g) G А. В силу рефлексивности R имеет место xRx. Тогда для данных х и у 3z = х: xRz и zRy 今(ж, у) С (ЯЯ), поэтому R С (RR).
Из полученных включений следует, что (RR) = R.
Для произвольного вектора и С Rn рассмотрим вектор “*, элементы которого упорядочены по возрастанию.
О п ре дел ен ие 5. Будем говорить, что векторы и и v лексикографически эквивалентны^ если и* = v* (поэлементно).
Лексикографическим порядком в Rn называется отношение ^iex такое, что:
и ^iex 少 тогда и только тогда, когда 3 k С {0, ..., п} такое, что "扌 =少扌 Тi = \〉…〉к и ”^+i 〉少*+i (k = 0 соответствует случаю "f〉少f ； к = п — случаю “* = о*).
Задача 6.5. Доказать, что ^iex — отношение порядка.
Решение. Для доказательства необходимо проверить выполнение свойств рефлексивности, антисимметричности и транзитивности.
Рефлексивность отношения очевидна.
Докажем антисимметричность. Пусть и ^jex v и v ^jex и. Тогда по определению
3 k: и* =vf Vz = 1, к и 球+1〉范+「 а с другой стороны,
3/: W = W VJ = 1, ..., / и 少3〉“3・
Эти утверждения совместны только при “* =少*, т. е. для лексикографически эквивалентных векторов.
Докажем транзитивность. Пусть и ^iex 少,少 ^iex w. Тогда по определению
Bm,l е {0, ...,п}: “：=疗 Vz = 1, m и ”^+i〉吟+i
и
**\ / •"1/*、*
旳=叮 ”3 = 1и > W/+1.
Теперь, взяв к = min {т, /}, по определению получим, что и ^iex w.
Из доказанных свойств вытекает, что отношение ^iex является отношением порядка.
Задача 6.6. Доказать, что асимметричное отношение имеет не более одного максимума.
Решение. Проведем доказательство от противного.
Предположим, что 三/匕 g G ^(R) такие, что g # g. Тогда по определению максимума
Vg#g: x±Ry.
В силу выдвинутого предположения данное условие справедливо при У = /2, поэтому X±RX2-
С другой стороны, проводя аналогичные рассуждения для /2, можно получить x^Rxy. Но в силу асимметричности R эти условия не могут выполняться одновременно, что приводит к противоречию.
функцию полезности для заданного бинарного отношения (рис. 6.1).
Задача 6.7. Построить
Решение. Проверим, является ли заданное отношение ацикличным. Для этого представим его в виде матрицы А(Я):
/0 0
1
1 0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0\
0
1
&А) =
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
V
1
0
0
0
0/
Рассмотрим матрицу 4(刑)=4(A) х Х&А)：
/О1ооо0\
000000
4用）
3 4 0 1
2 3 11
1 2
0 1
2 3 10 11\0 1 1 0 0 0/
Рис. 6.2
ти “а воспольуемся тем, что
Видно, что в отношении имеется цикл длины 2, содержащий вершины 4 и 5, т. е. оно не является ацикличным. Проведем факторизацию отношения 凡 объединив вершины 4 и 5 и полагая, что 〃а⑷ ="а(5). Получим новое отношение R' на множестве альтернатив Qz = {1,2,3,4х, 6} (рис. 6.2).
Нетрудно проверить, что полученное отношение является ацикличным.
Для построения функции полезнос- для полного ацикличного отношения R
V/*ea+(R)
"/?(/*) = max(“R(/)).
Определим 口+(冗‘).В это множество включаются элементы, соответствующие вершинам графа, в которые не входят ребра. В данном случае 口+(酬)={3}. Положим ”r(3) = umax = 5.
Далее исключим найденный элемент из множества альтернатив: Qi = Q \ 口+(俏 и рассмотрим 丛—сужение отношения R' на Qi (рис. 6.3).
Для данного отношения имеем Q+(/Zi) = {4‘}. Положим ”尺(4‘)= =4 и исключим вершину 4’ из множества альтернатив. Получим от-
ношение 丛 на трехэлементном множестве 电・ Имеем 口+(冗2)= {6}. Положим ”а(6) = 3. Исключая вершину 6, получаем Нз, 口+(冗3)= ={2}, ”r(2) = 2. Для оставшейся вершины полагаем ”r(1) = 1.
Таким образом, в результате получаем следующую функцию ur：
ж
1
2
3
4
5
6
и{х)
1
2
5
4
4
3
Как правило, функцию полезности нормируют: 0 < "/?(/) < 1. Воспользуемся тем, что монотонное преобразование функции полезности сохраняет ее свойства. Тогда окончательно имеем
ж
1
2
3
4
5
6
и{х)
0
0,25
1
0,75
0,75
0,5
Задача 6.8. Требуется выбрать наилучший вариант создаваемого изделия согласно исходным данным, указанным в табл. 6.1.
Таблица 6.1
Критерии
Вариант изделия
BI
ВП
ВШ
ВIV
Эффективность
Требования технического задания выполняются в полном объеме
Выполняются основные требования технического задания
Одно-два из основных требований выполняются на 80-90 %
Э1
Э2
Э1
ЭЗ
Стоимость
С1. Запланированная
С2. Превышает запланированную на 10-25 %
СЗ. Превышает запланированную на 25-30 %
СЗ
С2
С1
С1
Эксплуатационная надежность
ЭН1. Высокая (не менее 0,95)
ЭН2. Средняя (0,8-0,9)
ЭНЗ. 0,7-0,8 (требуется строгое соблюдение периодичности работ)
ЭНЗ
ЭН1
ЭН2
ЭН1
Безопасность для окружающей среды
Б1. Нет вредного воздействия
Б2. В допустимых нормах
БЗ. Возможно превышение допустимых норм с малой периодичностью
Б1
БЗ
Б2
Б1
Решение. Находится на основе качественного подхода, т. е. на основе попарного сравнения вариантов.
Так, при сравнении вариантов BI и ВП выбирается вариант BI; при сравнении BI и ВШ — вариант ВШ. Предпочтение варианту ВШ отдается и в результате его сравнения с вариантом BIV.
Задача 6.9. Составить алгоритм выбора оптимальной альтернативы х* Е М в порядковой шкале, если известны исходное множество альтернатив М С Еп (М # 0)и ограничения XjRjUj по бинарным отношениям 色，J = 1, m, где / С М, Uj, J = 1, m, — заданные априори с требуемыми свойствами элементы (изделия, товар). Выбор /* должен быть наилучшим в смысле бинарного отношения предпочтения 质 лица, принимающего решение, т. е. чтобы
х^х I xRjUj^ х*RjUj, J = 1, m.
Решение. Изложим здесь простейший вариант.
В основу построения алгоритма положим идею метода центров тяжести [58], в простейшем случае — это идея метода деления отрезка пополам; при этом анализ приемлемости произвольной альтернативы выполняет эксперт, он же определяет возможные направления движения к лучшим в М. Тогда собственно алгоритм представляется следующей последовательностью действий.
Найти Xi как центр тяжести множества Мц где i — номер итерации поиска искомой альтернативы, Mq = М, i = 1.
Выполнить с помощью эксперта сравнение /勿 с «пороговыми» альтернативами Uj, J = 1, т, по бинарному отношению XiRjUj.
Если условие XiRjUj выполняется для всех J = 1, т, то эксперт должен определить направление 夕0(/勿)——аналог суперградиента движения к лучшим альтернативам и, таким образом, высказать согласие на уменьшение (отсечение «половины») множества M^_i.
Если при некотором j Е 1, т условие XiRjUj не выполняется, то необходимо получить от эксперта направление 夕/(/勿)перехода к лучшим альтернативам в M^_i.
Определить множество альтернатив Mi для отыскания более предпочтительных альтернатив на (г + 1)-й итерации
Mi{x е Mi-r I {^i.x-Xi) < 0},
где
%o(g), если XiRjUj для всех j Е 1, т,
例—、g/(g), если условие XiRjUj не выполняется 、при каком-то J С 1, т.
Перейти к операции 1 при 勿 + 1.
Сформировать последовательность альтернатив
X = {g,/勿-1,с0}
по предпочтению А。лица, принимающего решение, для принятия им окончательного решения ①*:
х* Rqх I xRjUj,① G X.
Примечание. Построение последовательности X требует в общем случае достаточно большого числа обращений к эксперту. Эта последовательность сходится. ЛПР может остановить работу алгоритма на какой-то итерации и принять окончательное решение относительно g X.
Теперь проиллюстрируем применение механизмов коллективного принятия решений.
Пусть Q — некоторое множество альтернатив и V/ G Q сопостав- леh Векt0pа(/) = ("1(c), "2(①)…..,"九(①))
индивидуальных уровней полезности.
О п ре дел ен ие 6. Порядком коллективного благосостояния (ПКБ) называется отношение порядка R на множестве Яп, удовлетворяющее условиям:
(анонимность) если и получен из о перестановкой координат, то ulv;
(единогласие) если 〃，少 С Rn таковы, что 〃勿 》少勿 Vz, то uRv, если 〃勿〉Vi Vz, то uPv.
Здесь / и P — соответственно отношения эквивалентности и строгого порядка, порожденные R.
О п ре дел ен ие 7. Функцией коллективной полезности (ФКП) называется действительная функция W, определенная на Rn и удовлетворяющая условиям:
(анонимность) W — симметрична по переменным 如，“2,..., 〃九；
(единогласие) если 生少 С Rn таковы, что 〃勿》з (“勿〉з) Vz, то W(u)》W®) ”(〃)〉川⑻).
Основными функциями коллективной полезности, используемыми в теории коллективного принятия решений, являются эгалитарная функция, отражающая интересы каждого из индивидов
И4(〃) = mn {uj,
и утилитарная функция, отдающая предпочтение общей эффективности,п
九
Задача 6.10. Доказать, что лексикографический порядок ^jex (см. задачу 6.5) является ПКБ.
Решение. Для доказательства необходимо установить, что лексикографический порядок — отношение порядка, а также проверить для него выполнение аксиом анонимности и единогласия.
Доказательство того, что ^jex — отношение порядка, приведено в задаче 6.5. Проверим выполнение аксиом анонимности и единогласия.
Докажем анонимность. Пусть 少 получен из и перестановкой элементов. Очевидно, что в этом случае а* =少*, поэтому и ^jex 少 и 少占lex ", т. е. а и 少 лексикографически эквивалентны.
Докажем единогласие. Пусть Vz = 1, ..., n: Ui ^ Vi，Докажем, что в этом случае также выполнено 〃$》少扌 Vz = 1, ..., п.
Вектор 少* получен из 少 путем некоторой перестановки элементов. Пусть и1 получен из и при помощи этой же перестановки. Очевидно, и}》疗Vz.
В общем случае и1 # а*. Это означает, что Эк < /: и^ > и}. Рассмотрим вектор “2, в котором 竝 и а； переставлены друг с другом. Очевидно, и] ^ v* \/i ^ kJ. Кроме того,
"；=魄〉呜》臂今若〉"，墟=":〉"》说今墟》球・
Таким образом,"”疗 Vz.
Так как вектор и содержит конечное число элементов, то для получения а* необходимо конечное число перестановок элементов. Так как при этом не происходит изменения знаков неравенств, то и*》少扌 Vz; тогда по определению у ^iex 少.
Общественным продуктом будем называть продукт, в потреблении которого принимают участие все агенты в рассматриваемой системе независимо от их участия в его производстве.
Задача 6.11. Для системы с п агентами при заданных затратах с > 0 и полезностях от потребления 丛》0, £ Ь^ 〉с найти распределение затрат х =(①i,①九)на его производство (①勿 С A, ^2xj = с).
Найти эгалитарное решение данной задачи.
Решение. Функция полезности г-го агента будет иметь вид
"勿(①)=bi -g.
Для нахождения эгалитарного решения необходимо максимизировать функцию We\
We(x) = min{九一g} T max.
Уравнивание индивидуальных уровней полезности агентов достигается на распределении затрат
Докажем, что ①* — эгалитарное решение. Для этого покажем, что Ус: И4(с) < И4(с*)・
Действительно, в противном случае получаем
V出〉丛一；—с)今£旳〉£% —£%+с = с, что противоречит условию £旳=с.
Задача 6.12. Пусть населенный пункт имеет вид отрезка [0, 1]. Плотность населения описывается заданной функцией
/(ж) > 0,0 < ж < 1.
При размещении объекта в точке а полезность агента, расположенного в точке ж, равна
их{а) = —\х — а\.
Найти эгалитарное и утилитарное решения задачи.
Решение. Особенностью данной задачи является рассмотрение бесконечного числа агентов. Эгалитарное решение состоит в максимизации функции We\
We(a) = min {“/(а)} т max.
жб[0,1]
Докажем, что Va We{a) < —0,5. Действительно, в противном случае V/ С [0, 1] \х — а\ < 0,5. Это, в частности, выполнено и для точек Ж1 = 0 и ①2 = L Но система неравенств
|1 —а| <0,5,
|а| <0,5
несовместна, поэтому выдвинутое предположение неверно.
Значение 忆⑷=—0,5 функция принимает при ае = 0,5, следовательно, эта точка является эгалитарным решением задачи.
Утилитарное решение определяется из следующей задачи:
1 川+⑷=— |а — с|/(①)de т max.
о
Решение этой задачи а* есть медиана функции /(ж), т. е. это такая точка, что
а*11
f(x)dx = f(x)dx =工 f(x)dx.
Действительно, пусть а < а*. Тогда
11
W+{a^) - W+(a) = \х - а\ /(ж) dx — \х- а^\ /(ж) dx = оо
= (а —①)/(①)de +(ж — а) /(ж) dx + (ж — а) /(ж) dx —
а*1
—(а* —①)/(①)de —(а* —①)/(①)de —(①—а*)/(①)de =
0a
=2(①—а) /⑺ dx〉0.
Аналогично проверяется случай а〉а*.
О п ре дел ен ие 8. Говорят, что ФКП W сокращает неравенство^ если Vu,v G Rn таких, что 三勿"：Uk = Vk У к 丰 I)j)для которых Ui + Uj =少勿十少/, \ui — Uj \ 〉\vi — ^j I, имеет место
W(u) < W(。).
Задача 6.13. Доказать, что ФКП
w(")= e喚3)，" e 碍， сокращает неравенство.
Решение. Пусть u^v Е 冗^ — векторы, удовлетворяющие определению ФКП. Рассмотрим разность W(а) — W(v):
w{u)-w®)= £ log®) - £ bg(必)= kk
=logQD + log®/) —log(3)—log®/) = log^^.
Пусть для определенности 〃勿〉Uj. Обозначим е = Ui — Vi，Тогда из равенства 〃勿 + Uj =少勿 + Vj получаем Vj = Uj + б и
H/(n)-H/W = log™-log^±^^=lOgfl +
V{VjViVj\ViVj
В силу неравенства |〃勿—Uj\ 〉 \vi — Vj | получаем Vj < Vi -\- Ui — Uj. Заменяя величины Vi и Uj, получим, что Vj < Ui，Отсюда следует, что
W(u) < W®),
т. е. ФКП W сокращает неравенство.
О п ре дел ен ие 9. Кривой Лоренца вектора и С Rn будем называть вектор L(u) G Rn с элементами
Z(")]k = e吟
где 〃* — вектор с упорядоченными по возрастанию элементами.
Задача 6.14. Доказать, что кривая Лоренца, соответствующая равномерному распределению полезности 少 =(少,...,少),доминирует по Парето кривую Лоренца любого вектора и такого, что
uj =几0.
Решение. Для решения задачи необходимо доказать, что
VA; = 1,n [L(v)]k > [L(v)]k,
и хотя бы одно из неравенств строгое.
Для доказательства нам понадобится следующее свойство вектора а*.
¥ k G 1,VJ > к: и* > ^ У^ и*.
Тогда из условия задачи имеем
ппкп
rw = fuj = £/=£/+g》 片 k+l
片1j=l
откуда
[L(v)]k = kv^ £G = [L(u)]k.
Далее, если предположить, что Эи, такой, что Vк 卩(〃)]店=[L(v)]^, то из данной системы уравнений получим u = v, т. е.
3k: [L(v)]k = [L(u)]k-
О п ре дел ен ие 10. Говорят, что вектор и С Rn доминирует по Лоренцу вектор 少 С Rn (uLv\ если L(u) доминирует 丄(少)по Парето.
Пусть Q U 刑一множество допустимых векторов полезности и ие = (“3 ^2)— единственная точка максимума We{u) на Q, a U* = =(и^,U2)— единственная точка максимума W^{u) на Q.
Задача 6.15. Доказать, что ие, и* С Q+(L) и V С Q+(L) имеет место соотношение
時-砌 《 e 一少2] < I^1 -^2 b
т. е. эгалитарное распределение имеет наименьшее абсолютное значение неравенства среди оптимальных по Лоренцу, а утилитарное — наибольшее.
Решение. Предположим, что ие g Q+(L). Тогда 三少 G Q:
(min {少i,少2}〉min {〃；，u^},少i 十少2》呜 +〃» либо
(min {0i,02} = min {"；, "^},少i +02〉"；十 "^).
Первое утверждение противоречит тому, что
ие = arg max(H/e(u)),
второе противоречит единственности максимума We{u)^ поэтому наше предположение неверно.
Оптимальность а* доказывается аналогично.
Докажем теперь соотношение. Пусть
三少 е 口+(丄)：\и{ -U2I > l^i - v2\.
Предположим, что а；》"脑 少i》少2・ Тогда u； — t^〉°i —少2, откуда ^i < ^i — ^2 + 少2・ Так как ие = arg max(H4(〃))，то 少2 < "3 и из предыдущего неравенства следует
V1 < и{ 今 "；+"^>01+02,
что противоречит 少 G Q+(L).
Задача 6.16. Два агента производят общественный продукт (см. задачу 6.11) в количестве /》0. Функция затрат агентов с(①)=1 + ж. Переменная часть затрат делится агентами поровну, постоянная — на произвольные доли (ci, С2), ci + С2 = 1, ci, С2 ^ 0. Полезности агентов при производстве продукта в объеме ж и распределении затрат (ci, с?) равны
〃1(с, Cl, С2)= З^/ж-(Q 十①)，
"2(/，Ci, C2) = Х/^ 一(e2 +①)•
Найти эгалитарное и утилитарное решение задачи.
Решение. Для нахождения утилитарного решения необходимо максимизировать функцию
叫(①,Cl, С2)= U^x, Cl, с2)+и2(ж, Cl, С2)=
=4 у^ — 2①一Q — с? = 4 у^ — 2/ — 1.
Видно, что утилитарная функция полезности не зависит от распределения затрат, т. е. любой вектор (ci, С2) является утилитарным решением. Найдем объем выпуска ж, максимизирующий W+：
2
откуда ①* = 1. Вычислим вторую производную (рис. 6.4):
дхху/х
следовательно, W+ вогнута по ж, поэтому ①* — точка максимума.
Таким образом, утилитарными решениями задачи являются векторы вида (1, ci, С2), ci + С2 = 1, С],С2》0. При этом полезности агентов永永
说=2 —Q, ^2 = -C2.
Эгалитарная функция полезности для данной задачи имеет вид we(x, Cl, С2)= min {Зу^- (q 十①)，(с2 + ж)}.
Уменьшим количество переменных, воспользовавшись равенством Q + с? = 1. Тогда
We(x, Ci) = min {Зу^ — (ci +ж), у/х — (1 — q 十①)}.
Линии равного уровня данной функции на множестве {①》0, 0 < < Q < 1} приведены на рис. 6.4.
12 А. Н. Катулев и др.
Равные уровни полезности агентов достигаются на кривой
3 \/^ — (ci + ж) = \/^ —(1 — Ci+ж), откуда
С1 = \/^+ 2 •
с》0, 0 < Q < min {д/^十 Е「}} вс》0, 0 < Q < min {д/^十 Е「}} вФункция 〃1 (①,Q)достигает максимума на множестве {①》О, д/ж + I < Q < 1} в точке Хе = (0,25; 1). Функция 〃2(①,Q)также достигает максимума на множестве точке Хе.
с》0, 0 < Q < min {д/^十 Е「}} в
с》0, 0 < Q < min {д/^十 Е「}} в
Таким образом, максимум функции We достигается на векторе (0,25, 1, 0). При этом 若=砖=—i.
Следовательно, что на утилитарных решениях задачи могут быть достигнуты большие значения полезности для обоих агентов, т. е. в данной задаче имеет место противоречие между справедливостью распределения затрат и эффективностью решения (дилемма равенство-эффективность) .
Задача 6.17. Требуется найти согласованное между т независимыми экспертами упорядочение альтернатив ①勿,г = 1, /, для выбора оптимальной альтернативы /3 к Е 1,1, лицом, принимающим решение, на основе его бинарного отношения 质.
Решение. 1. Предложить каждому эксперту выполнить упорядочение альтернатив, исходя из их бинарных отношений предпочтения Rj, j = 1, т.
Результаты упорядочения обозначим через Ai, А^^ ..., Ат. Например, пусть имеются три альтернативы {а, Ь, с}. Тогда возможны такие упорядочения:
А± = {а^ Ь>2 с}, А2 = {Ь^ с^ а}, А3 = {а^ с^ Ь};
очевидно, возможны и другие упорядочения.
Представить каждое упорядочение в виде квадратной матрицы А = (а〃〃)，〃》= 1", с элементами
'1, если
//, Z7 = 1, /, 甘丰 и.//, Z7 = 1, /, 甘丰 и.а4〃 = < —1, если ①4 Y
//, Z7 = 1, /, 甘丰 и.
//, Z7 = 1, /, 甘丰 и.
、0, если /4~/",
Так, при анализе альтернативТак, при анализе альтернатив{а, Ь, с} упорядочениям 4, 4, Аз{а, Ь, с} упорядочениям 4, 4, Аз
Так, при анализе альтернатив
Так, при анализе альтернатив
{а, Ь, с} упорядочениям 4, 4, Аз
{а, Ь, с} упорядочениям 4, 4, Аз
； о о\ \-1 о о/； о о\ \-1 о о/
； о о\ \-1 о о/
； о о\ \-1 о о/
соответствуют матрицы
/0 -1 -1\/ 0 1 0\
4=1 0 1 , Д3= -1 0-1
\1 -1 0/\ 0 1 о/
Вычислить расстояния между упорядочениями экспертов
厶)=2^=т^.
Для рассматриваемых альтернатив {а, Ь, с} имеем d(4, 4) = 1, d(Ai, A3) = -,d(%2, 4) = 1.
Вычислить выборочное медианное упорядочение В — выборочную медиану на множестве упорядочений экспертов, т. е. найти такое упорядочение В, для которого имеет место минимум суммы модулей-расстояний:m
min〉2 d(Aj, В).
В рассматриваемом примере для трех альтернатив получаем min{d(4, 6 = %2)+ а(Аз, 6 = %2)= 2,
d(%2, В = %з) + d(%i, В = Аз)=-,
d(%3,石=%1) + d(%2,石=%1) = ^}今石=%2・
Заметим, что выбор здесь медианы обусловлен тем, что медиана относится к мажоритарным преобразованиям и непосредственно следует правилу большинства.
Выдать лицу, принимающему решение, медианное упорядочение В (в примере В = А^) для выбора им оптимальной альтернативы согласно бинарному отношению Rq.
Так, в результате выполненного анализа трех альтернатив {а, Ь, с} на основе полученных от экспертов упорядочений 4匕 А^ и Аз наиболее предпочтительной является альтернатива ж* = а.
Задача 6.18. Требуется упорядочить альтернативы-объекты Bi, В2, ..., Вп на основе анализа высказанных группой независимых экспертов качественных суждений и последующей их количественной интерпретации для принятия окончательного решения по выбору наилучшего объекта.
Решение. 1. Предложить группе экспертов выполнить попарное сравнение объектов при использовании следующей шкалы приоритетов:..
и Cj равноценны, у = п;
с〃 незначительно важнее Cj, г,7 = 1, п;
с〃 явно важнее Cj, г,7 = 1, п;
с〃 значительно важнее Cj, z,J = 1, п.
При этом результатам попарного сравнения а订=a©Re» где R — система отношений предпочтения, по согласованию с ЛРП можно приписать количественные значения.
Так, в случае установления равноважности альтернатив полагаем aij = 1; при установлении, что с〃 незначительно важнее Cj, пусть aij = 3; когда устанавливается, что с〃 явно важнее Cj, то aij = 5. И наконец, если группа экспертов приходит к выводу, что с〃 значительно важнее с/, то а叮=7 (а(с〃Ас/) — ступенчатая функция предпочтения на множестве 1,n х 1,п).
Составить матрицу относительных важностей объектов
A =
/
1
1
a12
^12
1
^13 • •
a23 • •
• ^2n
1
aln
1
a2n
1
a3n
Это обратно симметрическая матрица, элементы а叮 которой есть отношение весовых коэффициентов важности сравниваемых альтернатив с〃, с/, aij = —-; здесь весовые коэффициенты W& w$ неизвест- wj
ны, они подлежат оцениванию (на основе качественных суждений группы экспертов и последующей их количественной интерпретации).
Переписать матрицу А в виде
Wl
Wl
Wl
Wl
W2
W3 '
W2
W2
W2
W2
Wl
W2
-Wn
W
W
W
\ Wl
W2
^3 •
-Wn
/
В этой матрице г-я строка содержит элементы ——=а^, 7 = 1, п. wj
Отсюда получаем выборочный вес г-й альтернативы Wi = a^Wj, т. е. вес г-й альтернативы при условии сравнения ее с /-й альтернативой. Теперь вычислим среднее (по строке) значение веса г-й альтер
нативып
Wi = —〉2 aijwj ? i = 1, п.
Видно, что Wi зависит от п, поэтому с учетом изменения количества сравниваемых альтернатив введем величину Атах = п. Тогда
攸勿一Т 〉］ ^zj— 1, 71.
入max 2 = 1
Этому выражению соответствует следующее выражение в матричной форме:
= Хтах
где Атах — наибольшее собственное значение матрицы A, w — собственный вектор матрицы А; значения координат этого вектора есть веса важности альтернатив.
Заметим, что в рассматриваемой задаче собственное значение единственно.
Вычислить собственное значение Атах и соответствующий ему собственный вектор.
Упорядочить анализируемые альтернативы-объекты согласно вычисленным весам-компонентам собственного вектора и предъявить их ЛРП.
Задача 6.19. Составить алгоритм и программу восстановления на ЭВМ функции полезности.
Решение. Начнем с выбора класса функций, в котором она будет отыскиваться. В силу неединственности представления функции полезности существуют различные классы, которыми может быть приближена действительная функция полезности ЛПР.
Одним из таких классов являются степенные функции, которые и будут использоваться, они указаны в табл. 6.2.
Таблица 6.2
Отношение ЛПР к риску
Параметрическое семейство функций
Безразличие к риску Несклонность к риску Склонность к риску
и(х) = а + 6); 6 > 0
и(х) = а — Ье~сх] а, 6, с > 0
и{х) = а + 6есж; 6, с > 0
В данном классе выделяются параметрические семейства функций на основе информации об отношении ЛПР к риску: склонности, безразличия или несклонности.
Алгоритм построения функции полезности. Простейший вариант.
Входные данные: дискретное множество альтернатив X; отношение предпочтения, заданное на X.
Выходные данные: функция полезности ЛПР “(/).
Структура алгоритма включает следующие операции.
Составить все возможные пары исходов.
Предъявить пары исходов ЛПР в произвольном порядке.
ЛПР осуществляет сравнение исходов в каждой паре, устанавливая на множестве X отношение предпочтения.
Определить «наилучший» ж1 и «наихудший» /° исходы в соответствии с заданным отношением предпочтения.
Назначить произвольным образом значения полезности «наилучшего» и «наихудшего» исходов и^х1) и и(ж°).
Выявить отношение ЛПР к риску: узнать, что более предпочтительно: лотерея L{xr^р{хг\х^) или гарантированный эквивалент лотереи — исход дающий полезность “(/*) = и^х1) ^(ж1) + и(ж°) х х (1」(/°))・
Если ЛПР отдает предпочтение лотерее, то он склонен к риску; если отдает предпочтение гарантированному эквиваленту /*, то уклоняется от риска; если эти исходы ему безразличны, то он безразличен к риску.
На основе выявленного отношения к риску определить параметрическое семейство функций полезности ЛПР (см. табл. 6.2).
По выбранной параметрической форме записи функций полезности и полученным оценкам полезности и^х1) и и(/°) составить уравнение文n
“(/*) = и^х1) р^х1) + ”(/°)(1 — р(/°)).
Определить исход /* С X, полезность которого равна “(/*).
Для этого необходимо предъявить ЛПР элементы множества X\(/i U ж0), среди которых ЛПР отбирает тот элемент, полезность которого равноценна лотерее £(жх, ^(ж1), ж0).
Составить систему уравнений для определения параметров функции полезности.
Так, если Х(а, Ь, с), то необходимо составить три уравнения, используя известные значения “(/1), и(х^) и “(/*).
Разрешить полученную систему уравнений относительно параметров функции полезности.
Замечание. Задача нахождения решений данной системы уравнений в общем случае является некорректной, что обусловливается погрешностью ее исходных данных — детерминированного эквивалента и гипотезы о параметрическом распределении функций полезности. При таких обстоятельствах необходимо отыскивать регуляризованное квазирешение данной системы — решение, минимизирующее норму невязки правой и левой частей системы.
Проверить согласованность построенной функции полезности предпочтениям ЛПР на множестве исходов.
Согласованность устанавливается на основе сравнения двух способов восстановления функции полезности: с использованием детерминированного эквивалента (ДЭ) и вероятностного эквивалента (ВЭ).
Если ВЭ = и(ДЭ), то согласованность имеет место и решение непротиворечиво. Здесь
и(ДЭ) = “(/1) p(/i)十 ”(/。)(1 — р(/。))；
= 〃(Д9)-〃()°)
При этом предполагается, что и^х1) = 1, ”(/°) = 0, т. е. функция полезности нормированная.
При невыполнении условий согласованности необходимо провести корректировку предпочтений, вводимых ЛПР, или учесть возможные его погрешности и определить допустимый диапазон [ДЭт1п, ДЭтах] возможных значений ДЭ. В этом случае условие согласованности записывается в виде ВЭ С [fl9min, ДЭтах].
Программа построения функции полезности.
Программа изложена в приложении 2. Она позволяет:
задать произвольное множество альтернатив X;
определить отношение предпочтения на множестве X;
выявить отношение ЛПР к риску;
построить на основе выявленного отношения к риску функцию полезности ЛПР.
Меню программы содержит два подменю: Работа и Справка.
Меню Работа содержит команды:
Новая — начать работу по построению функции полезности.
Лотерея — определить параметры лотереи, используемой при определении отношения ЛПР к риску.
Копировать — подменю, содержащее команды:
График — копирование графика функции в Clipboard;
Легенда — копирование списка альтернатив в Clipboard.
Выход — закончить работу с программой.
Меню Справка содержит команды:
Содержание — вывод оглавления справочной системы;
О программе — вывод информации о программе.
Ход вычислительного эксперимента. Для проведения работы пользователь должен выбрать команду Новая из меню Работа.
В процессе подготовки к работе необходимо выполнить следующие действия:
ввод объектов;
установка отношений предпочтения на введенных объектах; выбор значений наибольшей и наименьшей полезности.
Затем пользователь должен ответить на вопросы, выясняющие его отношение к риску; по результатам ответов производится построение функции полезности.
Ввод объектов. Формирование множества альтернатив X является первым этапом в выполнении работы и производится при помощи окна Ввод объектов.
Альтернативы вводятся в верхней строке. Введенные ранее элементы отображаются в находящемся под ней списке. Эти элементы можно редактировать, дважды щелкнув мышью на соответствующем элементе или выбрав его и нажав кнопку Изменить.
Кнопка Удалить служит для удаления выбранного элемента.
В окне можно ввести 20-40 элементов. Закончив ввод, необходимо нажать кнопку ОК для продолжения работы.
Для того чтобы прервать работу с программой, нужно нажать кнопку Отмена или воспользоваться пунктом Закрыть системного меню в левом верхнем углу окна.
Установка отношений предпочтения. На втором этапе устанавливаются отношения предпочтения на заданном множестве альтернатив.
Для этого используется окно Сортировка объектов, в котором пользователю попарно предъявляются введенные им альтернативы, которые он должен сравнить по предпочтительности, используя кнопки со знаками отношения A, Y или ~, находящиеся в окне, либо соответствующие им клавиши на клавиатуре.
Если несколько альтернатив безразличны для пользователя, т. е. входят в один класс эквивалентности, то выбирается одна альтернатива из этого класса, а остальные удаляются из списка. Если при этом во множестве X остается меньше 15 объектов, то пользователь получает сообщение о нехватке информации для построения функции полезности, и ему предлагается повторить ввод данных.
Установка диапазона значений полезности. Значения функции полезности являются неотрицательными числами. Наибольшее и наименьшее значения могут быть целыми числами от 0 до 9999. Для ввода наибольшего и наименьшего значений функции полезности используется окно Диапазон значений функции полезности.
В верхней строке вводится наименьшее значение функции полезности, в нижней — наибольшее. По умолчанию принимаются предыдущие введенные значения, а в случае их отсутствия принимается значение 0.
Определение отношения ЛПР к риску и восстановление функции полезности. При определении отношения ЛПР к риску ему предлагается выбрать, что он предпочитает:
получить одну из альтернатив, введенных им ранее;
сыграть в лотерею, в которой с вероятностью р он получает наилучшую из введенных им альтернатив либо с вероятностью 1 — р наихудшую;
обе возможности безразличны для пользователя.
В зависимости от ответов пользователя определяется его отношение к риску и находится параметрическое семейство функций полезности (табл. 6.2). Затем при помощи информации о наименьшем и наибольшем значениях функции полезности происходит отыскание ее параметров.
На заключительном этапе работы в главном окне программы отображается график полученной функции полезности и выводится информация об отношении ЛПР к риску. Кнопка Легенда в правом нижнем углу окна позволяет просмотреть список альтернатив.
Определение параметров лотереи. В программе предусмотрена возможность варьирования значением вероятности р, используемым в лотерее при определении отношения ЛПР к риску. Для изменения этого значения используется команда Лотерея меню Работа. Она
отображает окно Параметры лотереи, в котором может быть введена вероятность получения наилучшей альтернативы в пределах 0,1-0,9 с точностью до 0,1 (значение по умолчанию 0,5). Вероятность получения наихудшей альтернативы вычисляется автоматически.
Задача 6.20. Пусть имеется выборка векторов отсчетов (изме-
где каждый вектор /勿=(xi, Ж2, ..., xn)i определяется п компонентами и может быть порожден каким-то одним объектом % = =(Ai,尢，…，Xn)q из совокупности Л = {%}, q = 1, Q, где Q не известно. Параметры (Ai, А2, ..., An)Q не известны, они принадлежат области Q.
Определить гарантированные оценки количества объектов и значений их параметров, а также установить возникновение факта небезопасного состояния контролируемой ситуации.
Решение. Одним из возможных путей решения задачи является разбиение выборки X на подмножества, однозначно соответствующие порождающим их объектам.
Разбиение осуществим по результатам отождествления каждой пары векторов отсчетов
при условии, что имеет место гипотеза:
векторы Xi и Xj порождены одним и тем же объектом
с параметром А, либо альтернативная гипотеза:
векторы Xi и Xj порождены разными объектами
с параметрами AQ и Ам, (% # 入从).
При этом полагаем, что функции правдоподобия имеют вид
〃(g, Xj I А) = р(д I A)p(xj I А),p(岔i , ^j I Xq ,入4)=P(岔i I 入4)P^j I %)и представляются нормальными плотностями вероятности; другихисходных данных в задаче не имеется.
При таких исходных данных в качестве критерия отождествления векторов Xi и Xj примем отношение максимальных значений функций правдоподобия для рассматриваемых гипотезы и альтернативы с последующим сравнением этого отношения с пороговым значением 7г(а). Последнее задается согласно допустимой вероятности а неотождествления векторов /勿 и 勺)когда в действительности они порождены одним и тем же объектом. В случае превышения вычисленным отношением порога тг(а) принимается решение об отождествлении векторов Xi и //, т. е. Xi = Xj, иначе полагается, что они порождены разными объектами, т. е. Xi ^ Xj.
Выбранный критерий отождествления записывается в виде max p(xi,xj I AQ, Ам)
где
p(岔i,巧I % ,入4)=
exp [-； (g -入q)T K{ 乂吃-入q) - g {xj -入N)T Kj 1(X j -入从)](27T)n(det K)i/2(det 勺)1/2
exp — X)T(旳—入)тK「(勺—A]
P(Xi,Xj A) = г 2гтт；,
(27r)n(det КЗ’ (det 勺)1/2
7г(а) определяется из условия
p(l(x{, Xj) \X)dl = а,
7?(а)
p(l(xi, Xj) I A) — плотность вероятности отношения максимальных значений функций правдоподобия при условии, что имеет место гипотеза； Aq —入从—А.
Проведем элементарные преобразования над выражением для критерия. В числителе и знаменателе имеется общий член, не равный нулю; сократим на него. Максимум числителя достигается при
Xg = g , 入从—Xj ,
и равен единице. Теперь прологарифмируем выражение для правила выбора решения. Получим
In 1(岔к Xj)=
=min {(g — Х)тК~r{xi — A) + (巧一X)TKJ1 (xj — A)} ^ 21птг(а).
Наконец, считая, что А С int Q, имеем оценку параметров объекта
А = (KL + к丁乂 k」吃 + кL巧)，(6.1)
и правило отождествления векторов отсчетов /勿 и //, i^j 6 1, N^ принимает вид
(g 一又)7KL(g —又)+(巧一又广К7⑵一又)《 21口7г(а).
При этом р(\п l(xi, Xj) I А) является %2-распределением с п степенями свободы; вычисление порогового уровня 21птг(а) для заданного а можно осуществить с использованием табличных зависимостей, приведенных в [33].
Реализуя правило отождествления на всех возможных парах векторов измерений X х X, получим матрицу R взаимных расстояний между ними и матрицу Т =(力叮)с элементами 力叮=1, если векторы /勿 и /厶 г, J G 1, Nотождествляются, и 力叮 = 0 в противном случае.
По матрице R можно получить гарантированную ^оценку количества объектов, обусловивших выборку X, т. е. оценку Q.
Один из приемов вычисления оценки Q по исходной матрице R опирается на принципы вербального анализа и сводится к следующим операциям.
Для каждого отсчета по номеру строки матрицы 凡 например, в виде табл. 6.3, взятой из [66], найти (в строке) расстояние до ближайшего (ближайших) отсчета; соответствующие результаты представлены в виде табл. 6.4.
По табл. 6.4 построим цепи. В рассматриваемом примере имеем пять цепей (рис. 6.5).
11 ^2911 ^29ШШ
11 ^29
11 ^29
Ш
Ш
Рис. 6.5. Связные цепи отсчетов
Оценить мощности связей между цепями-кластерами и сформировать на них предпочтения.
В рассматриваемом примере видно, что цепь II сильнее связана с отсчетами 6, 7, 8, 9, чем цепь I.
Таблица 6.3
Взаимное расстояние между векторами измерений
Векторы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
1
0
29
45
49
54
62
68
75
95
120
130
ПО
82
67
58
54
26
14
30
48
47
35
30
75
86
101
106
97
121
2
29
0
20
28
37
48
48
51
71
101
121
99
75
60
59
67
51
27
17
41
51
52
32
64
67
82
90
85
111
3
45
20
0
11
21
32
30
32
52
82
102
84
60
48
51
67
61
37
16
32
48
55
33
47
48
63
70
69
90
4
49
28
11
0
10
21
20
22
47
73
91
72
49
37
43
62
62
40
19
24
40
52
31
35
38
54
60
57
80
5
54
37
21
10
0
11
14
25
46
67
84
63
40
27
35
57
62
43
24
16
35
48
30
26
32
50
52
47
70
6
62
48
32
21
11
0
13
27
45
60
73
52
28
19
30
56
67
50
34
18
34
52
36
15
25
44
45
37
60
7
68
48
30
20
14
13
0
15
34
54
73
58
37
31
43
68
78
57
37
29
47
63
44
21
18
35
40
40
60
8
75
51
32
22
25
27
15
0
22
51
77
68
51
45
57
82
86
65
44
41
60
74
55
35
23
32
44
50
66
9
95
71
52
47
46
45
34
22
0
38
70
72
62
62
76
100
ПО
87
64
66
80
98
76
48
29
22
41
54
64
10
120
101
82
73
67
60
54
51
38
0
37
54
58
67
81
111
127
111
91
81
91
111
96
52
36
20
23
41
38
11
130
121
102
91
84
73
73
77
70
37
0
38
56
70
86
115
135
120
113
86
120
117
111
60
56
50
33
38
14
12
ПО
99
84
72
63
52
58
68
72
54
38
0
26
40
52
72
101
95
90
60
64
83
80
37
47
52
35
20
26
13
82
75
60
49
40
28
37
51
62
58
56
26
0
15
28
52
18
69
58
35
40
60
52
15
35
50
35
20
42
2 9
2
8
2 6
2
5
2
4
2
3
2
2
2
5
1
К
1
5
工
m
1 s
g 1
8
6
a
3
5
与
4 8
工
2 6
5 4
5
8
u
8
5
g
8
2
О
6 4
3 2
5
2
5
1
5
1
О
5
9
g
g
6
9
6
3
4 8
与
3
3
5
5
4 8
3 2
к
w
О
О
5
1
4 8
g
СП
g
5 4
3
8
3
5
co
5
2
2
4
5
6 2
6 2
4 3
4 6
5
2
g
3 2
2 6
4 8
3
5
К
2
4
4 3
6 2
СП
3
5
g
W
4 5
4
4
2
5
сл
3
6
5
2
3 4
00
3 4
g
О
5
6
5
g
3
5
00
4
4
6
3
与
2 9
W
СЛ
00
6
8
4 3
СО
6
6
g
4
4
3 2
2
3
3
5
5
5
g
g
4
4
6
5
8
6
8
2
сл
4 5
6 4
5 4
g
2
2
2 9
4 8
О
9
8
g
6
6
6 4
00
g
1 О
о
6 2
3
8
g
2
3
g
3
6
5
2
9
6
00
Ю
1
00
О
工
3
8
3
3
g
5
6
g
1
u
1
号
8
6
5
1
号
1
3
5
5
8
6
д
2 6
g
3
5
5
2
与
g
8
3
6 4
g
g
9
5
g
Й
5
2
4 2
g
3
5
g
3
5
5
2
g
3
5
5
8
6
9
00
5
2
2
8
1
5
5
5
4 5
5
5
3
5
W
4 3
2 6
1
4 3
5 4
6 4
4 3
О
^
4 6
О
^
g
3 2
W
3 2
G
g
4 2
4 6
g
^
о
9
6
w
8
8
9
6
5
9
3
5
g
2
2
5
3
4 5
3
5
О
4 3
1
号
9 4
1 s
1
Ю
о
3 2
5
W
4 9
4 5
2
4
О
3
5
g
6 4
g 1
8
2
g
Ю
w
6
3
К
2
5
co
3
3
2
О
2
4
4 5
4 6
5 4
9
3
a
Й
5
5
4 9
к
3 4
2
4
О
2
4 5
5
3
4 2
4 3
u
4 6
5
8
g
4 2
g
3
6
О
2
4
3
3
4 9
1
g
5
8
w
5
8
2
2
N
О
3 4
co
W
2
2
G
2 6
9
9
Ю
о
g
2
2
о
2
3
6
2
5
5
3 2
4 3
9
3
00
3
g
与
О
2
2
2
2
к
К
3 2
3
5
W
3
8
4 6
N
3 2
3
8
g
о
与
g
g
2
8
4 9
6
3
о
5
9
3 2
4
4
w
2
2
g
о
g
g
о
5
8
4 2
5
5
w
g
3
5
4 2
3
6
g
О
g
3
8
3
g
Й
CO
u
9
6
5
5
2
3
g
О
g
2
2
3 2
00
CO
5
8
a
g
s
8
8
4 5
2
4
о
g
3
6
W
о
5
8
与
8
2
9 4
与
СО
О
2
4
2
3
4 2
4
4
4 6
9
3
9
9
g
9
3
g
1
号
9
6
5
5
Таблица 6.4
Отождествление векторов измерений
Векторы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
1
10
1
11
1
12
1
13
1
1
14
1
15
1
16
1
17
1
18
1
19
1
1
20
1
21
1
22
1
23
1
1
24
1
1
25
1
26
1
1
1
27
1
1
28
1
1
1
29
1
Согласно п. 3 переформировать цепи.
В рассматриваемом примере получим цепи-кластеры I-V (рис. 6.6).
Рис. 6.6. Цепи отсчетов
Их количество определяет верхнюю границу искомого числа объектов.
По результатам п. 4 выявить элементарные цепи.
В рассматриваемом примере к ним относятся цепи III, IV и V.
Вычислить хаусдорфовы расстояния между каждой элементарной цепью и сложными цепями.
Распределить элементарные цепи между сложными, считая при этом, что каждая элементарная цепь может быть отнесена к какой-то одной ближайшей (по хаусдорфому расстоянию) из сложных цепей.
В результате такого распределения получим нижнюю оценку числа объектов Q; в рассматриваемом примере Qh = 2, так как элементарные цепи IV и V закрепляются за I сложной цепью, а III — элементарная цепь — закрепляется за II.
Вычислить оценки Ai и Ац для объектов, представленных векторами отсчетов в виде I и II уточненных в п. 7 сложных цепей. Для этого воспользоваться формулой (6.1).
Задача 6.21. Пусть рассматривается линейная система, которая в режиме нормального функционирования описывается уравнениями состояния
①(k + 1) = а(к + 1,к)/(к)+6(友+1,衣)仪(衣)
и наблюдения
д(к) = Н(к) х(к) + и(к\ где:
①(к) — n-мерный вектор состояния системы;
А{к +1, к) — переходная матрица размера п х п;
w(k) — случайный r-мерный вектор гауссовых шумов;
к 十 1, к) — переходная матрица шумов возмущений размера п х г;
"(к) — матрица наблюдений системы размера ^ х п;
z/(k) — случайный m-мерный вектор гауссовых шумов измерений с нулевым средним и корреляционной матрицей Н(к)Ь(кз), b(k/) — символ Кронекера, R(k) — интенсивность возмущений.
В небезопасном состоянии (состоянии отказа) эта система описывается уравнениями состояния
x(k + 1) = A(k + k) + B(k + k)w(k) + V6(k + ill)
и наблюдения
g(k) = A(k) x(k) + iy(k) + V6(k, m), где:
— неизвестный вектор, определяющий небезопасное состояние — величину отказа;
〃 —неизвестный момент возникновения отказа.
Составить алгоритм вычисления момента времени достаточно резких изменений в состоянии системы — момента времени перехода системы в небезопасный режим функционирования.
Решение. Воспользуемся обновляющим процессом
z(k\k-l) = y(k)~ Н(к)х(к,\к-1), где:
х{к I к — 1) — экстраполированная оценка ненаблюдаемого вектора состояния на момент времени к, полученная (оценка) по наблюденным данным g(k),
金(k \ k-l) = A(k, k -1)金(к - 11 к - 1),
金(к — 11 к — 1)=金(к — 11 к — 2)十 К(к -1)Дк-1\к- 2);
К(к — 1) — матричный коэффициент усиления фильтра Калмана,
к(к-1) = р(к-1\к-1) “％ -1) L(k -1)；
Р{к — 11 А; — 1) — корреляционная матрица ошибок фильтрации, P(k-l\k-l) = P(k-l\k-2)-P(k-l\k-2)HT(k-l)x
х [H(k-l)P(k-l\k-2)HT(k- 1) R(k - I)]"1 H(k — 1) P(k — 11 k — 2);
13 A. H. Катулев и др.
Р(к — 11 к — 2) — корреляционная матрица ошибок экстраполяции, P(k-l\k-2) = A(k-l\k-2)P(k-2\k-2)AT(k-l\k-2) +
+ B(k-l\k-2)Q(k-2)BT(k-l\k-2).
Начальные условия 金(0|0), Р(0 10) известны на основе априорной информации о процесссе нормального функционирования системы.
Здесь Q(k) — корреляционная матрица шумов в канале состояния, R(k) — в канале измерения (наблюдения).
При возникновении в системе отказов статистические характеристики процесса Z(k\k — 1) изменяются. Используем это обстоятельство и сформируем статистику
入(衣)=£ z(j\j-i)PT\j)z(j\j-i).
j=k — М-\-1
Тогда решающее правило обнаружения факта перехода системы из режима нормального функционирования в режим небезопасного функционирования записывается в виде:
если /Х(к) < Ло, то в момент к система функционирует нормально;
если /Х(к) ^ Ло, то в момент времени к имеет место отказ, и система перешла в небезопасный режим.
Отметим, что статистика А (А;) имеет ^-распределение с М( степенями свободы, где《—размерность вектора Z(k\k — 1\ М — объем выборки («ширина движущегося» окна), и пороговая константа Ло определяется так же, как и в предыдущей задаче.
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЭКОНОМИКИ
Основной модуль программы
const ТТ = 40;
N = 3;
MaxNoflter = 1000;
type ecoparam = array [1..N] of real;
matr = array [1..N] of ecoparam;
const A : matr = ((0.0094, 0.0266, 0.0163),
(0.1073, 0.0201, 0.0051),
(0.0367, 0.0000, 0.2852));
const alf : ecoparam = (6, 8, 7); {PF coeffs} bet : ecoparam = (0.6, 0.5, 0.5);
lam : ecoparam = (1, 1, 1); {PF coeffs}
st : ecoparam = (0.0, 0.0, 0.0); {Municipal Tax}
K0 : ecoparam = (35, 60, 10); {Beginning Funds}
ca : ecoparam = (0.2, 0.25, 0.3); {Demand Function coeff}
О : ecoparam = (2, 1.8, 3);
pO : ecoparam = (1, 1, 2); {Prices}
m : ecoparam = (0.2, 0.2, 0.2); {Amortization}
w : ecoparam = (0.1, 0.1, 0.1); {Payment}
eps : real = 0.01; {Rate of Income Sensitivity}
L0 : ecoparam = (0.9, 1.5, 1); {Labor}
izd : ecoparam = (0.42, 0.51, 0.6); {Expencies}
lag : integer = 1;
CompleteEval : Boolean = FALSE;
var X : ecoparam;
Y : ecoparam;
NP : ecoparam;
k,
P,
1 : ecoparam;
g : ecoparam;
z : ecoparam;
DI : real;
npMax : real;
count : integer;
13*
j : integer;
s : string;
ex : integer;
f : text;
par : array [O..TT, O..N*5] of real;
Inv : array [0..TT] of ecoparam;
FLAGIncome : Boolean;
extr exit : Boolean;
MTime : Word;
Evt : TEvent;
const scale : integer = 8; {T scale}
к ysc : real = 1.6; {Y scale for k}
у ysc : real = 10; {Y scale for Y}
np ysc : real = 75; {for NP}
p ysc : real = 25; {for P}
linewidth : integer = 1;
{$1 FILEINTT.PAS}
function e a(i, j : Integer) : real;
begin
if i = j then e a := 1 - A[i, j]
else e a := - A[i, j];
end;
function Pf(i : Integer; var к, 1 : ecoparam) : real; Productivity Function begin
if (K[i] > 0)and(L[i] > 0) then
Pf := min(alf[i]*k[i], bet[i]*l[i]);
else Pf := 0;
end;
Function Pl(i : Integer; C : real) : real;Reversed Demand Function Begin
if C > 0 then Pl := O[i] - ca[i] * C
else Pl := O[i];
end;
Function Calclnv(t : Word; i : Integer) : Real;
var r : Real;
j : Integer;
begin
r := 0;
if t > 0 then
for j := Trunc(max(0, t-lag)) to t-1 do r := r + Inv[j, i]/lag;
Calclnv := r;
end;
Procedure CalcOutput;
var i, j : Integer;
begin
for i := 1 to N do
begin
y[i] ：= 0；
for j := 1 to N do y[i] := y[i] + e a(i,j) * x[j];
P[i] ：= Pl(i, У”)；
end;
end;
Procedure Calcincome;
var i, j : Integer;
begin
FLAGIncome := TRUE;
for i := 1 to N do
if x[i] > 0 then
begin
izd[i] := 0;
for j := 1 to N do
izd[i] := izd[i] + a[j,i] * p[j];
izd[i] := izd[i]十(w[i]*L[ij) / x[i];
z[i] ：=(P[i] - izd[i])*(l-st[i]);
end
else z[i] := 0;
end;
Procedure GetOutput;
var r, cl : ecoparam;
sO, s, si : real;
i, j ： Integer;
Noflter : Word;
at, ct, wt : real;
fr, dfr : real;
direct : Boolean;
exitfl : Boolean;
dr : real;
const eps : real = 0.05;
begin
s := 0;
for i := 1 to N do
begin
r[i] := L[i]; s := s + r[i];
end;
Noflter := 0;
Repeat
si := s;
for i := 1 to N do
begin
cl[i] := 0;
for j:=l to N do
if j <> i then cl[i] := cl[i]+e a(j,i)*Pl(j, Pf(j, k, r));
cl[i] := cl[i] + O[i] * e a(i,i);
at := exp(alf[i]*ln(k[i]));
ct := 2*ca[i]*at*e a(i,i);
wt := w[i]/((l-alf[i])*at);
sO := exp((l-alf[i])*ln(r[i]));
sO := cl[i] - ct*sO - wt*r[i]/s0;
if sO > 0 then direct := TRUE
else direct := FALSE;
dr := 10;
repeat
exitfl := FALSE;
repeat
if direct then r[i] := r[i]十 dr
else begin
r[i] := r[i] - dr;
if r[i] <= 0 then
begin
r[i] := dr;
exitfl := TRUE;
end;
end;
sO := exp((l-alf[i])*ln(r[i]));
sO := cl[i] - ct*sO - wt*r[i]/s0;
if direct then begin if (sO < 0) then exitfl := TRUE end
else begin if (sO > 0) then exitfl := TRUE end;
GetKeyEvent(Evt);
if(Evt.What = evKeyDown)and(Evt.CharCode = #27) then begin
extr exit := TRUE;
exit;
end;
until exitfl;
dr := dr/2;
direct := not direct;
until dr < (eps / N);
end;
s := 0;
for i := 1 to N do s := s + r[i];
Inc(Noflter);
until (abs(s-sl) < eps)or(NofIter > MaxNoflter);
(*+++++++++++++++++++++++++++++++++++*)
for i := 1 to N do
begin
1川=r[i];
x[i] ：= Pf(i, k, 1);
end;
end;
procedure CalcNP;
var i : Integer;
r : Real;
begin
for i := 1 to N do
begin
r := 0;
for j := 1 to N do
r ：= r + P[j] * A[j,i];
if x[i] > 0 then NP[i] := (z[i]*x[i])/(w[i]*L[i]+r*x[i]+k[i])
else NP[i] := 0;
end;
end;
procedure SaveParams(t : Word); var i : Integer;
begin WriteParametersToFile(t);
for i := 1 to N do begin par[t,i-l] := k[i]; par[t,N+i-l] := y[i]; par[t,2*N+i-l] := np[i]; par[t,3*N+i-l] := p[i]; end;
end;
procedure Step(t : Word);
var i, j : integer;
r : real;
fig : Boolean;
begin
for i := 1 to N do
K[i] := (l-m[i]) * K[i]十 Calclnv(t, i);
GetOutput;
if extr exit then exit;
CalcOutput;
Calcincome;
CalcNP;
DI := 0;
for i := 1 to N do
begin
if z[i] > 0 then DI := DI 十 z[i]*x[i];
g[i] ：= 0
end;
if DI > 0 then
begin
npMax := 0;
for i := 1 to N do
if np[i] > 0 then npMax := npMax 十 np[i];
for i := 1 to N do
if np[i] > 0 then g[i] := np[i]/npMax
else g[i] := 0;
end
else DI := 0;
for i := 1 to N do Inv[t, i] := g[i]*DI;
SaveParams(t);
end;
(*+++++++++++++++++++++++++++++++++++*) Procedure DrawGraph(t : Integer);
var i : Integer;
ex : Integer;
begin
ex := t * scale + 40;
for i := 1 to N do
begin
setcolor((i mod 8) + 8);
line(cx, 100-trunc(par[t-l,i-l]*k ysc), cx+scale, 100-trunc(par[t,i-l]*k ysc));
line(cx, 200-trunc(par[t-l,N+i-l]*y ysc), cx+scale, 200-trunc(par[t,N+i-l]*y ysc));
line(cx, 300-trunc(par[t-l,2*N+i-l]*np ysc), cx+scale, 300-trunc(par[t,2*N+i-l]*np ysc));
line(cx, 400-trunc(par[t-l,3*N+i-l]*p ysc), cx+scale, 400-trunc(par[t,3*N+i-l]*p ysc));
end;
setcolor(15);
str(t, s);
outtextxy((t+l)*scale 十 50, 105 十 t mod 2 * 10, s);
end;
Procedure StartCalc;
var i : Integer;
Event : TEvent;
Begin
Message(@ForeApp, evCommand, cmCloseAll, nil);
ForeApp.DisableCommands([cmResult, cmDoGraphics]);
scale := Trunc(450/TT);
if scale = 0 then scale := 1; CompleteEval := FALSE; extr exit := FALSE;
assign(f, ForeApp.FileName); rewrite(f);
WriteHeaderToFile;
MTime := 0;
for i := 1 to N do
eg川川EEb - g-гр кeg川川EEb - g-гр кnn仇pokoofipf===一一=仇pokoofipf===一一=коко
eg川川EEb - g-гр к
eg川川EEb - g-гр к
n
n
仇pokoofipf===一一=
仇pokoofipf===一一=
ко
ко
end;
CalcOutput;
Calcincome;
CalcNP;
SaveParams(MTime);
Repeat
Step(MTime);
Inc(MTime);
until (MTime > TT) or extr exit; (Event.What <> evNothing);
if MTime > TT then CompleteEval := TRUE;
close (f);
if extr exit then
MessageBoxfC5,
nil, mflnformation or mfOkButton);
if MTime > 1 then ForeApp.EnableCommands([cmResult, cmDoGraphics]);
Message(@ForeApp, evCommand, cmResult, nil);
end;
program Forecast;
{$X+}
uses Dos, Graph, Objects, Drivers, Memory, Views, Menus, Dialogs, StdDlg, MsgBox, App, GraphApp, FRezView, MinMax;
const FName = forecast.rez5;
const PathToDrivers = ”； Default location of *.BGI files
cmTile = 100;
cmCascade = 101;
cmChangeDir = 103;
cmSetFileName= 104;
cmDoGraphics = 105;
cmFileNew = 111;
cmFileLoad = 112:
cmFileSaveAs = 113;
cmCalculate = 114;
cmResult = 121;
cmGraphics = 122;
cmAbout = 131;
cmCloseAll = 132;
cmData = 141;
hlChangeDir = cmChangeDir; { History list ID } hlSetFileName= cmSetFileName; { History list ID }
type 八
PPathStr = PathStr;
PForeApp = TForeApp;
TForeApp = object (TApplication)
AppDriver: Integer;
AppMode: Integer;
BGIPath: PString;
FileName: PString;
constructor Init;
destructor Done; virtual;
procedure About;
procedure HandleEvent(var Event: TEvent); virtual;
procedure InitMenuBar; virtual;
procedure InitStatusLine; virtual;
procedure OutOfMemory; virtual;
procedure ViewResult;
procedure ViewData;
procedure FileOpen(WildCard: PathStr);
end;
var ForeApp: TForeApp;
{$1 IMPLEMEN.PAS}
{$1 DATATAB1.PAS}
{$1 READPARM.PAS}
constructor TForeApp.Init;
var t, j : Integer;
D : PDialog;
R : TRect;
Lab : PLabel;
S : PathStr;
Control : PView;
Pathinput: PInputLine;
Begin
TApplication.Init;
RegisterFViewer;
RegisterD Viewer;
BGIPath := NewStr(FExpand(PathToDrivers));
FileName:= NewStr(FName);
AppDriver := VGA;
AppMode := VGAHi;
if not GraphApplnit(AppDriver, AppMode, BGIPath, True) then MessageBox(5Cannot load graphics driver.5, nil, mffirror or mfOkButton); for t := 0 to TT do
for j ：= 0 to N*5 do par[t, j] := 0;
MTime := 0;
About;
ViewData;
end;
destructor TForeApp.Done;
begin
GraphAppDone;
if BGIPath <> nil then DisposeStr(BGIPath);
if FileName <> nil then DisposeStr(FileName);
TApplication.Done;
end;
procedure TForeApp.About;
var D: PDialog;
Control: PView;
R: TRect;
Begin
R.Assign(0, 0, 40, 11);
D := New(PDialog, Init(R,));
with Ddo
begin
Options := Options or ofCentered;
R.Grow(-l, -1);
Dec(R.B.Y, 3);
Insert(New(PStaticText, Init(R,
R.Assign(15, 8, 25, 10);
Insert(New(PButton, Init(R, 5O K\ cmOk, bfDefault)));
end;
if ValidView(D) <> nil then
begin
Desktop.ExecView(D);
Dispose(D, Done);
end;
end;
procedure TForeApp.ViewResult;
var
W : PWindow;
Begin
{$!-}
assign(f, ForeApp.FileName);
reset (f);
{$1+}
if (lOResult = 0)and(MTime > 1) then
begin
close (f);
W := New(PFileWindow,Init(PathStr(Pointer(FileNamey)));
W.HelpCtx := 0;
if ValidView(W) <> nil then
begin
Desktop.Insert(W);
DisableCommands([cmResult]);
end;
end;
end;
procedure TForeApp.ViewData;
var W: PWindow;
begin
W := New(PDataWindow,Init);
W.HelpCtx := 0;
if ValidView(W) <> nil then Desktop.Insert(W);
end;
procedure TForeApp.FileOpen(WildCard: PathStr);
var D : PFileDialog;
FN: PathStr;
Begin
D := New(PFileDialog, Init(WildCard, 5Open a File5,
'N ame', fdOpenButton 十 fdHelpButton, 100));
ET.HelpCtx := hcNoContext;
if ValidView(D) <> nil then
begin
if Desktop.ExecView(D) <> cmCancel then
begin
U.GetFileName(FN);
ReadFile(FN);
MTime := 0;
Message(@Self, evCommand, cmCloseAll, nil);
ViewData;
DisableCommands([cmResult, cmDoGraphics]);
end;
Dispose(D, Done);
end;
end;
procedure TForeApp.HandleEvent(var Event: TEvent);
procedure DoGraphics;
var t : Word;
Event : TEvent;
Begin
if MTime > 1 then
begin
if not GraphicsStart then
MessageBox(GraphErrorMsg(GraphResult)十
nil, mffirror or mfOkButton)
else
begin
setlinestyle(SolidLn, 0, ThickWidth);
line(50, 25, 50, 450);
line(50, 100, 450, 100);
line(50, 200, 450, 200);
line(50, 300, 450, 300);
line(50, 400, 450, 400);
outtextxy(30, 20, 'K');
outtextxy(30, 120 JY)
outtextxy(30, 220 Jn6);
outtextxy(30, 320, P);
settextjustify(CenterText, TopText);
t := 1;
repeat
DrawGraph(t);
Inc(t);
Get Key Event (Event);
until (t >= MTime) or (Event.What <> evNothing); repeat
Get Key Event (Event);
until (Event.What <> evNothing);
GraphicsStop;
end;
end
else MessageBoxfC,
nil, mffirror or mfOkButton);
end;
procedure SetFileName;
var
PDialog;
TRect;
Control: PView;
Pathinput: PInputLine;
PathStr;
Begin
R.Assign(0, 0, 35, 8);
D := New(PDialog, Init(R,));
EFOptions := ET.Options or ofCentered;
R.Assign(23, 5, 33, 7);
ET.Insert(New(PButton, Init(R, 5СапсеГ, cmCancel, bfNormal)));
R.Assign(12, 5, 22, 7);
ET.Insert(New(PButton, Init(R, 5O К \ cmOK, bfDefault)));
R.Assign(3, 3, 30, 4);
Pathinput := New(PInputLine, Init(R, 68));
ET.Insert (Pathinput);
R.Assign(30, 3, 33, 4);
Control := New(PHistory, Init(R, Pathinput, hlSetFileName));
ЕГ. Insert (Control);
S := FileName;
ET.SetData(S);
D := PDialog(ValidView(D));
if D <> nil then
begin
if Desktop.ExecView(D) = cmOk then
begin
D.GetData(S);
if (Length(S) > 0) then
begin
DisposeStr(FileName);
FileName := NewStr(S);
end;
end;
Dispose(D, Done);
end;
end;
procedure ErrorDlg;
begin
MessageBoxfC^nil,
mffirror or mfOkButton);
end;
procedure ChangeDir;
var
P: PView;
Begin
P := ValidView(New(PChDirDialog, Init(0, hlChangeDir)));
if P <> nil then
begin
DeskTop.ExecView(P);
Dispose(P, Done);
end;
end;
procedure Tile;
var
R: TRect;
Begin
Desktop.GetExtent(R);
Desktop.Tile(R);
end;
procedure CloseAll;
begin
while Desktop.Current <> nil do
Message(@ForeApp, evCommand, cmClose, nil);
end;
procedure Cascade;
var
R: TRect;
Begin
Desktop.GetExtent(R);
Desktop.Cascade(R);
end;
begin
if (Event.What = evCommand)and(Event.Command = cmCloseAll)
then EnableCommands([cmResult]);
TApplication.HandleEvent (Event);
case Event.What of
evCommand:
case Event.Command of
cmAbout: About;
cmCloseAll: CloseAll;
cmChangeDir: ChangeDir;
cmSetFileName: SetFileName;
cmDoGraphics: DoGraphics;
cmFileLoad: FileOpen(,*.*,)5
cmFileNew,
cmFileSaveAs: ErrorDlg;
cmCalculate: StartCalc;
cmResult: ViewResult;
cmData: ViewData;
cmTile: Tile;
cmCascade: Cascade;
else
Exit;
end;
else
Exit;
end;
Clear Event (Event); end;
procedure TForeApp.InitMenuBar;
var
R: TRect;
Begin
GetExtent(R);
R.B.Y := R.A.Y + 1;
MenuBar := New(PMenuBar, Init(R, NewMenu(
NewSubMenu(5 p ', hcNoContext, NewMenu( Newltem(”，kbNoKey, cmAbout, hcNoContext,
NewLine(
Newltem(”，kbNoKey, cmCloseAll, hcNoContext, NewLine(
NewItem(,Alt-X,, kbAltX, cmQuit, hcNoContext, nil)))))),
NewSubMenu(hcNoContext, NewMenu(
Newltem(”，kbNoKey, cmFileNew, hcNoContext, NewItem(,F3,, kbF3, cmFileLoad, hcNoContext, Newltem(”，kbNoKey, cmFileSaveAs, hcNoContext, NewLine(
NewItem(,F9,, kbF9, cmCalculate, hcNoContext,
NewLine(
Newltem(”，kbNoKey, cmSetFileName, hcNoContext, nil)))))))),
NewSubMenu(hcNoContext, NewMenu(
NewItemQ J, kbNoKey, cmData, hcNoContext, Newltemf ^\ kbNoKey, cmResult, hcNoContext, NewItemfAlt-FS5, kbAltF5, cmDoGraphics, hcNoContext, NewLine(
Newltem(5 ? /Ctrl-FS5, kbCtrlF5, cmResize, hcNoContext,
Newltem(5、'F5\ kbF5, cmZoom, hcNoContext,
Newltem(5 - ,5,, kbNoKey, cmTile, hcNoContext, Newltem(5? , ", kbNoKey, cmCascade, hcNoContext, Newltemf 5 , Тб5, kbF6, cm Next, hcNoContext, Newltem(5 ? , 'Shift-F6\ kbShiftF6, cmPrev, hcNoContext, NewLine(
Newltem(5 十'Alt-F3\ kbAltF3, cmClose, hcNoContext, nil))))))))))))), nil))))))；
DisableCommands([cmFileNew, cmFileSaveAs, cmResult, cmDoGraphics]);
end;
procedure TForeApp.InitStatusLine;
var
R: TRect;
Begin
GetExtent(R);
R.A.Y := R.B.Y- 1;
New(StatusLine, Init(R, NewStatusDef(O, $FFFF, NewStatusKey(5 Alt-X 5 kbAltX, cmQuit, NewStatusKeyf F3 , kbF3, cmFileLoad, NewStatusKeyf F9 ' kbF9, cmCalculate, NewStatusKeyf Alt-F5 , kbAltF5, cmDoGraphics, NewStatusKeyf5, kbFlO, cmMenu, NewStatusKeyj", kbAltF3, cmClose, NewStatusKey(", kbF5, cmZoom, NewStatusKey(", kbCtrlF5, cmResize, NewStatusKeyj", kbF6, cm Next, nil))))))))), nil)))； end;
procedure TForeApp.OutOfMemory; begin
MessageBox;
end;
begin ForeApp.Init; ForeApp.Run; ForeApp.Done; end.
14 A. H. Катулев и др.
ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ
//UTILITY.CPP
//Основной модуль программы
#define STRICT
7^include<windowsx.h>
^include<mem.h>
^include<alloc.h>
^pragma hdrstop
7^include<stdlib.h>
^includenutil.hn
^includenutilhdr.hn
^includenutilgr.hn
#include"uprint.h"
#define IDFILL 301
#include"greeting.inc"
extern char WinGraph[];
extern char LegendWin[];
extern BOOL isStagel;
extern int wid, heg;
char const AppClassName[] = "Utility";
char const MainWndTitle[] = "Полезность";
extern char HelpFile[] = "utilh.hlp";
HINSTANCE hlnst;
HWND hwndMain;
HWND hwndGraph = 0;
HWND hwndLegend = 0;
HWND hdlgChoose = 0;
HACCEL hAcc;
HBRUSH hMainBr;
LPSTR hlNames[41];
UINT nlndex = 0;
UINT nMinUtil, nMaxUtil;
UINT nDEQX, nDEQY;
UINT nDEQXLeft, nDEQXRight;
UINT nProb = 5;
UINT nProbO = 5;
BOOL notEmpty(LPSTR buf);
LRESULT CALLBACK export
LotParamDlgProc(HWND hdlg, UINT msg, WPARAM wParam, LPARAM IParam);
^pragma argsused
int PASCAL WinMain( HINSTANCE hlnstance, HINSTANCE hPrevInstance, LPSTR IpszCmdLine, int nCmdShow) {
MSG msg;
hlnst = hlnstance;
hMainBr = CreateSolidBrush(RGB(0,0,4))； if((!InitApp(hInstance)) 11 (!InitGraphWin(hInstance)))
{
MessageBox( NULL, (LPSTR)"Can't initalize applicationn, (LPSTR)MainWndTitle, MB OK|MB ICONSTOP);
return FALSE;
}
hwndMain = CreateWindow( AppClassName, MainWndTitle,
WS OVERLAPPEDWINDOW|WS CLIPCHILDREN,
CW USEDEFAULT,CW USEDEFAULT,
CW USEDEFAULT,CW USEDEFAULT, 0, 0, hlnstance, NULL);
if (!hwndMain)
{
MessageBox( NULL, (LPSTR)"Can't open main window", (LPSTR)MainWndTitle, MB OK|MB ICONSTOP);
return FALSE;
}
hAcc = LoadAccelerators(hInstance, MAKEINTRESOURCE(l)); ShowWindow(hwndMain,nCmdShow);
UpdateWindow(hwndMain);
while(GetMessage(&msg, 0, 0, 0))
{
if((!hAcc) 11 (!TranslateAccelerator(hwndMain, hAcc, &msg))) if((!hdlgChoose)11(!IsDialogMessage(hdlgChoose, &msg))) {
TranslateMessage(&msg);
DispatchMessage(&msg);
}
}
DeleteObject (hMainBr);
return msg.wParam;
}
BOOL InitApp(HINSTANCE hlnstance)
{
14*
ATOM aWndClass;
WNDCLASS wc;
memset(&wc, 0, sizeof(wc));
wc.hlcon = Loadlcon(hlnstance, MAKEINTRESOURCE(IOO)); wc.hCursor = LoadCursor(NULL, IDC ARROW);
wc.style = CS VREDRAW|CS HREDRAW|CS DBLCLKS;
wc.cbClsExtra = 0;
wc.cbWndExtra = 0;
wc.lpfnWndProc = (WNDPROC)WndProc;
wc.hlnstance = hlnstance;
wc.hbrBackground = (HBRUSH)hMainBr;
wc.lpszMenuName = (LPSTR) MAKEINTRESOURCE(l);
wc.lpszClassName = (LPSTR) AppClassName;
aWndClass = RegisterClass(&wc); return(aWndClass != 0);
}
LRESULT CALLBACK export
WndProc(HWND hwnd, UINT msg, WPARAM wParam, LPARAM IParam) {
HDC hdc;
PAINTSTRUCT ps;
switch(msg)
{
case WM CREATE:
{
hwndGraph = CreateWindow(WinGraph, NULL, WS CHILD|WS BORDER, 0,0, 10, 10, hwnd, 0, hlnst, NULL);
hwndLegend = CreateWindow(LegendWin, пЛегендап, WS OVERLAPPED|WS CAPTION|WS SYSMENU| WS THICKFRAME|WS MINIMIZEBOX, 0,0, 300, 200, hwnd, 0, hlnst, NULL);
hdlgChoose = CreateDialog(hInst, MAKEINTRESOURCE(4), hwndMain, (DLGPROC)LotDlgProc);
if((!hwndGraph) ||(!hdlgChoose))
{
MessageBox( hwndMain, (LPSTR)пСапЧ open Graphics Window", (LPSTR)MainWndTitle, MB OK|MB ICONSTOP);
}
ShowWindow(hdlgChoose, SW HIDE);
EnableMenuItem(GetSubMenu(GetMenu(hwnd),O), 4, MF BYPOSITION|MF GRAYED);
return(O);
}
case WM SIZE:
{
if(hwndGraph)
{
MoveWindow(hwndGraph, 0, 0,
LOWORD(lParam), HIWORD(lParam),
TRUE);
}
break;
}
case WM PAINT:
{
RECT rt;
hdc=BeginPaint(hwnd, &ps);
SetBkMode(hdc, TRANSPARENT);
SetTextAlign(hdc, TA CENTER|TA BOTTOM);
GetClientRect(hwnd, &rt);
RECT rc = rt;
rt.left = rt.right / 20;
rt.top = rt.bottom / 20;
HBRUSH hNewBr;
for(UINT i=l;i<16;i++)
{
hNewBr = CreateSolidBrush(RGB(0,0,4+(i«3)));
rc.right -= rt.left;
rc.bottom -= rt.top;
FillRect(hdc, (RECT FAR*)&rc, hNewBr);
DeleteObject (hNewBr);
}.
rt.left = rt.right » 1;
rt.top = rt.bottom » 1;
for(i=0;i<6;i++)
{
SetTextColor(hdc, RGB(0,0,0));
TextOut(hdc, rt.left+5, rt.top+(i-3«4)+5, (LPSTR)greeting(i], lstrlen((LPSTR)greeting[i]));
SetTextColor(hdc, RGB(0,255,255));
TextOut(hdc, rt.left, rt.top+(i-3«4), (LPSTR)greeting(i], lstrlen((LPSTR)greeting[i]));
}
EndPaint(hwnd, &ps);
return(O);
}
case WM ENTERIDLE:
if((wParam == MSGF DIALOGBOX)&&((GetKeyState(VK Fl)&0x8000) !=0))
{
PostMessage((HWND)LOWORD(lParam), WM COMMAND, IDHELP, OL);
}
break;
}
case WM COMMAND:
{.
switch(wParam)
{
case CM WORKNEW:
{
ShowWindow(hdlgChoose, SW HIDE);
ShowWindow(hwndLegend, SW HIDE);
ShowWindow(hwndGraph, SW HIDE);
isStagel = FALSE;
HMENU hMenu = GetMenu(hwnd);
EnableMenuItem(hMenu, CM LOT, MF BYCOMMAND|MF ENABLED);
SetNewNames();
break;
}
case CM LOT:
{
DialogBox(hInst, MAKEINTRESOURCE(6),
hwnd, (DLGPROC)LotParamDlgProc);
break;
}
case CM COPYGRAPH:
{
HDC hdcMeta = CreateMetaFile((LPSTR)NULL);
SetWindowOrgEx(hdcMeta, 0, 0, NULL);
SetWindowExtEx(hdcMeta, wid, heg, NULL);
DrawStageO(hdcMeta);
DrawStagel (hdcMeta);
HMETAFILE hMF = CloseMetaFile(hdcMeta);
HGLOBAL hMeta = GlobalAlloc(GHND, sizeof(METAFILEPICT));
LPMETAFILEPICTlpMeta=(LPMETAFILEPICT)GlobalLock(hMeta);
hdcMeta = GetDC(NULL);
lpMeta->mm = MM ISOTROPIC;
lpMeta->xExt = int(wid*(long)2540 / GetDeviceCaps(hdcMeta,
LOGPIXELSX));
lpMeta->yExt = int(heg*(long)2540 / GetDeviceCaps(hdcMeta,
LOGPIXELSY));
ReleaseDC(NULL, hdcMeta);
lpMeta->hMF = hMF;
GlobalUnlock(hMeta);
OpenClipboard (hwnd);
EmptyClipboard();
SetClipboardData(CF METAFILEPICT, hMeta);
CloseClipboard();
break;
}
case CM COPYLEGEND:
{
UINT nLen = 0;
for(int i=0;i<nIndex;i++) nLen+=lstrlen(hlNames[i])+2;
HGLOBAL hglbCopyBuf = GlobalAlloc(GHND, nLen+3); if(hglbCopyBuf != 0) {
LPSTR IpCopyBuf = (LPSTR)GlobalLock(hglbCopyBuf); if(lpCopyBuf != 0)
for(i=0;i<nlndex;i++)
{
nLen=lstrlen(hlNames[i]);
Istrcpy(IpCopyBuf, hlNames[i]);
lpCopyBuf+=nLen;
Istrcpy(IpCopyBuf, \r\n);
lpCopyBuf+=2;
}
Istrcpy(IpCopyBuf, п\ж0п)；
GlobalUnlock(hglbCopyBuf);
OpenClipboard (hwnd);
EmptyClipboard();
SetClipboardData(CF TEXT, hglbCopyBuf);
CloseClipboard();
break;
MessageBox(hwnd, ссМало памяти", (LPSTR)MainWndTitle, MB OK|MB ICONHAND);
break;
}
case CM WORKEXIT:
{
Destroy Window(hwndMain);
break;
}
case CM HELPINDEX:
{
WinHelp(hwnd, (LPSTR)HelpFile, HELP CONTENTS, 0L); break;
case CM HELPABOUT:
DialogBox(hInst, MAKEINTRESOURCE(IO), hwnd, (DLGPROC)AboutDlgProc);
break;
return 0;
}
case WM LBUTTONDBLCLK:
{
if((wParam & (MK CONTROL | MK SHIFT))&&(LOWORD(lParam)<20) &&(HIWORD(lParam)<20)&&(LOWORD(lParam)>16)&&
(HIWORD(lParam)>16))
{
WinHelp(hwnd, (LPSTR)HelpFile, HELP CONTEXT, (DWORD)804);
}
return 0;
}
case WM DESTROY:
{
ClearNames();
WinHelp(hwnd, (LPSTR)HelpFile, HELP QUIT, 0L);
PostQuitMessage(O);
return(O);
return DefWindowProc(hwnd, msg, wParam, IParam); }
void ClearNames(void)
{.
while(nlndex)
{
nlndex-;
free((void*)hlNames[nIndex]);
void ProcessGraph(void)
{
nDEQXLeft = 1;
nDEQXRight = nlndex;
nDEQX = ((nIndex-l)*nProb+10)/10;
if(nDEQX <= 1) nDEQX = 2;
if(nDEQX >= nlndex) nDEQX = nlndex - 1;
if(DialogBox(hInst, MAKEINTRESOURCE(3), hwndMain, (DLGPROC)UtilDlgProc) == 0)
ShowWindow(hwndGraph, SW SHOW);
PostMessage(hwndGraph, WM COMMAND, IDCALC, OL);
void SetNewNames(void)
{
nProb = nProbO;
EnableMenuItem(GetSubMenu(GetMenu(hwndMain),O), 4, MF BYPOSITION|MF GRAYED);
if(nlndex)
{
register int nOld = MessageBox(hwndMain, пБудете продолжать работу co старыми объектами ?n,(LPSTR)MainWndTitle, MB ICONQUESTION|MB YESNOCANCEL);
switch(nOld)
{
case IDYES:
ProcessGraph();
case IDCANCEL:
return;
DialogBox(hInst, MAKEINTRESOURCE(l), hwndMain, (DLGPROC)SNDlgProc);
if(nlndex)
{
if(DialogBox(hInst, MAKEINTRESOURCE(2), hwndMain, (DLGPROC)SortDlgProc) == 0) ProcessGraph();
LRESULT CALLBACK export
SNDlgProc(HWND hdlg, UINT msg, WPARAM wParam, LPARAM IParam) {.
switch (msg)
{
case WM INITDIALOG:
{
ClearNames();
if(nlndex<15) EnableWindow(GetDlgItem(hdlg, IDOK1), FALSE);
SetDlgItemInt(hdlg, IDTEXT1, nlndex, FALSE);
SendDlgItemMessage(hdlg, IDEDIT,
EM LIMITTEXT, (WPARAM)80, 0L);
SendDlgItemMessage(hdlg, IDLISTBOX,
LB SETHORIZONTALEXTENT, 300, 0L);
return TRUE;
}
case WM COMMAND:
{
char buf[144];
switch(wParam)
{
case IDEDIT:
{
switch(HIWORD(lParam))
{
case EN SETFOCUS:
{
EnableWindow(GetDlgItem(hdlg, IDDELETE), FALSE);
EnableWindow(GetDlgItem(hdlg, IDEDITBUTTON), FALSE); break;
}
case EN ERRSPACE:
{
break;
}
}
return TRUE;
}
case IDLISTBOX:
{
switch(HIWORD(lParam))
{
case LBN SETFOCUS:
{
if(SendDlgItemMessage(hdlg, IDLISTBOX, LB GETCOUNT, 0, 0L) > 0) {
EnableWindow(GetDlgItem(hdlg, IDDELETE), TRUE);
EnableWindow(GetDlgItem(hdlg, IDEDITBUTTON), TRUE);
}
else
SetFocus(GetDlgItem(hdlg, IDEDIT));
break;
}
case LBN DBLCLK:
{
PostMessage(hdlg, WM COMMAND, IDEDITBUTTON, 0L); break;
} } return TRUE;
case IDDELETE:
{
UINT nLBIndex = SendDlgItemMessage(hdlg, IDLISTBOX,
LB GETCURSEL, 0, 0L);
if(nLBIndex != (UINT)LB ERR)
{
SendDlgItemMessage(hdlg, IDLISTBOX,
LB DELETESTRING, (WPARAM)nLBIndex, 0L);
nlndex-;
if(nlndex<15) EnableWindow(GetDlgItem(hdlg, IDOK1), FALSE);
SetDlgItemInt(hdlg, IDTEXT1, nlndex, FALSE);
}
SetFocus(GetDlgItem(hdlg, IDLISTBOX));
return TRUE;
case IDEDITBUTTON:
{
UINT nLBIndex = SendDlgItemMessage(hdlg, IDLISTBOX,
LB GETCURSEL, 0, 0L);
if(nLBIndex != (UINT)LB ERR)
{
SendDlgItemMessage(hdlg, IDLISTBOX,
LB GETTEXT, (WPARAM)nLBIndex, (LPARAM)(LPSTR)buf);
SetDlgItemText(hdlg, IDEDIT, (LPSTR)buf);
SendMessage(hdlg, WM COMMAND, IDDELETE, 0L);
SetFocus(GetDlgItem(hdlg, IDEDIT));
}
return TRUE;
case IDOK:
{
if(nlndex < 40) {
GetDlgItemText(hdlg, IDEDIT, buf, 128);
if(notEmpty(buf)) if(SendDlgItemMessage(hdlg, IDLISTBOX, LB FINDSTRINGEXACT, (WPARAM)(-1), (LPARAM)(LPSTR)buf) == LB ERR) {
SendDlgItemMessage(hdlg, IDLISTBOX,
LB ADDSTRING, 0, (LPARAM)buf);
SendDlgItemMessage(hdlg, IDEDIT,
EM SETSEL, (WPARAM)O, MAKELPARAM(0, -1));
SetFocus(GetDlgItem(hdlg, IDEDIT));
nlndex++;
if(nlndex>14) EnableWindow(GetDlgItem(hdlg, IDOK1), TRUE);
SetDlgItemInt(hdlg, IDTEXT1, nlndex, FALSE);
else
PostMessage(hdlg, WM COMMAND, IDOK1, 0L); return TRUE;
case IDOK1:
{
UINT nlen;
for(UINT i = 0; i<nlndex; i++)
{
SendDlgItemMessage(hdlg, IDLISTBOX,
LB GETTEXT, i, (LPARAM)(LPSTR)buf);
nlen = (UINT)(lstrlen((LPSTR)buf)+l);
hlNames[i] = (LPSTR)malloc(nlen);
lstrcpy(hlNames[i], (LPSTR)buf);
EndDialog(hdlg, 0);
}
return TRUE;
}
case IDHELP:
{
SetFocus(GetDlgItem(hdlg, IDEDIT));
WinHelp(hdlg, (LPSTR)HelpFile, HELP CONTEXT, (DWORD)800); return TRUE;
}
case IDCANCEL:
{
if(nlndex)
{
if(MessageBox( NULL, (LPSTR)"Отменить набор?n,
(ЬР8ТИ0пВвод предметов", MB YESNO|MB ICONQUESTION)== IDYES)
{
ClearNames();
EndDialog(hdlg, 0);
else EndDialog(hdlg, 0); return TRUE;
return FALSE;
^pragma argsused
LRESULT CALLBACK export
SortDlgProc(HWND hdlg, UINT msg, WPARAM wParam, LPARAM IParam) {
static UINT nlndexl, nlndex2, nMIndex;
switch (msg)
{
case WM INITDIALOG:
{
nlndexl = 1;
nlndex2 = 0;
nMIndex = nlndex-l;
PostMessage(hdlg, WM COMMAND, (WPARAM)IDFILL, 0L); return TRUE;
case WM COMMAND:
{
char buf[144];
switch(wParam)
{
case IDFILL:
{
if(nlndexl < nlndex)
{
SetDlgItemText(hdlg, IDEDIT2, hlNames[nIndexl]);
SetDlgItemText(hdlg, IDEDIT1, hlNames[nIndex2]); } else {
EndDialog(hdlg, 0);
}
return TRUE;
}
case IDMORE:
{
LPSTR tmp = hlNames[nIndexl];
for(UINT k=nlndexl;k>nlndex2;k-) hlNames[k] = hlNames[k-l];
hlNames[nIndex2] = tmp;
nlndexl++;
nlndex2 = 0;
SendMessage(hdlg, WM COMMAND, IDFILL, 0L); return TRUE;
}
case IDLESS:
{
nlndex2++;
if(nlndex2 == nlndexl)
{
nlndexl 十十；
nlndex2 = 0;
}
SendMessage(hdlg, WM COMMAND, IDFILL, 0L);
return TRUE;
}
case IDEQUAL:
{
if(nlndex > 14)
{
free((void*)hlNames[nIndex2]);
nlndex-;
for(UINT i=nlndex2;i<nlndex;i++)
{
hlNames[i] = hlNames[i+l];
}
nlndex2 = 0;
SendMessage(hdlg, WM COMMAND, IDFILL, 0L);
}
else
{
MessageBox(hdlg, пМало информации. Проделайте работу заново", (LPSTR)MainWndTitle, MB ICONSTOP|MB OK);
EndDialog(hdlg, 3);
}
return TRUE;
case IDHELP:
{
SetFocus(GetDlgItem(hdlg, IDMORE));
WinHelp(hdlg, (LPSTR)HelpFile, HELP CONTEXT, (DWORD)801); return TRUE;
}
case IDCANCEL:
{
EndDialog(hdlg, 3);
return TRUE;
}
}
}
}
return FALSE;
}
LRESULT CALLBACK export
UtilDlgProc(HWND hdlg, UINT msg, WPARAM wParam, LPARAM IParam) {
static int inItem;
switch (msg)
{
case WM INITDIALOG:
{
SendDlgItemMessage(hdlg, IDEDIT1, EM LIMITTEXT, 4, OL);
SendDlgItemMessage(hdlg, IDEDIT2, EM LIMITTEXT, 4, OL);
SetDlgItemInt(hdlg, IDEDIT1, nMinUtil, FALSE);
SetDlgItemInt(hdlg, IDEDIT2, nMaxUtil, FALSE);
SendDlgItemMessage(hdlg, IDEDIT1, EM SETSEL, 0, MAKELPARAM(0,-1));
SendDlgItemMessage(hdlg, IDEDIT2, EM SETSEL, 0, MAKELPARAM(0,-1));
SendDlgItemMessage(hdlg, IDTEXT1, WM SETTEXT, 0, (LPARAM)hlNames [0]);
SendDlgItemMessage(hdlg, IDTEXT2, WM SETTEXT, 0, (LPARAM)hlNames [nlndex- 1]);
return TRUE;
case WM COMMAND:
{.
switch(wParam)
{
case IDEDIT1:
{
BOOL isNoError;
if(HIWORD(lParam) == EN SETFOCUS) inItem = 1;
if(HIWORD(lParam) == EN KILLFOCUS)
{
inItem =0;
nMinUtil = GetDlgItemInt(hdlg, IDEDIT1,
(BOOL FAR*)&isNoError, FALSE);
if(!isNoError)
{
MessageBeep(-l);
nMinUtil = 0;
return TRUE;
case IDEDIT2:
{
BOOL isNoError;
if(HIWORD(lParam) == EN SETFOCUS) inItem = 2;
if(HIWORD(lParam) == EN KILLFOCUS) {
inItem = 0;
nMaxUtil = GetDlgItemInt(hdlg, IDEDIT2, (BOOL FAR*)&isNoError, FALSE);
if(!isNoError)
{
MessageBeep(-l);
nMaxUtil = 0;
return TRUE;
case IDOK:
{
switch(inltem)
{
case 1:
{
SetFocus(GetDlgItem(hdlg, IDEDIT2));
break;
}
case 2:
{
SetFocus(GetDlgItem(hdlg, IDOK1));
PostMessage(hdlg, WM COMMAND, IDOK1, 0L);
break;
}
default:
return FALSE;
}
return TRUE;
}
case IDHELP:
{
SetFocus(GetDlgItem(hdlg, IDOK1));
WinHelp(hdlg, (LPSTR)HelpFile, HELP CONTEXT, (DWORD)802); return TRUE;
}
case IDOK1:
{
if((nMinUtil < nMaxUtil-1 )&&(nMaxUtil > 0)&&(nMaxUtil < 10000)) {
nDEQY = (UINT)(((nMaxUtil-nMinUtil)*(long)nProb)/10+nMinUtil);
if(nDEQY <= nMinUtil) nDEQY++;
if(nDEQY >= nMaxUtil) nDEQY-;
EndDialog(hdlg, 0);
return TRUE;
}
case IDCANCEL:
{
EndDialog(hdlg, 3); return TRUE;
return FALSE;
BOOL notEmpty(LPSTR buf) {
UINT 1 = Istrlen(buf);
if(l > 0)
{
for(UINT i=0; i<l; i++) if(buf[i] != 32) return TRUE;
}
return FALSE;
^pragma argsused
LRESULT CALLBACK export
AboutDlgProc(HWND hdlg, UINT msg, WPARAM wParam,
LPARAM IParam)
{
if(msg == WM INITDIALOG) return TRUE;
if(msg == WM COMMAND)
{
if((wParam == IDOK)||(wParam == IDCANCEL))
{
EndDialog(hdlg, 0);
return TRUE;
return FALSE;
^pragma argsused
LRESULT CALLBACK export
LotParamDlgProc(HWND hdlg, UINT msg, WPARAM wParam, LPARAM IParam) { switch(msg)
15 A. H. Катулев и др.
case WM INITDIALOG:
{
char buf[12];
SetDlgItemText(hdlg, IDEDIT, (LPSTR)gcvt(((double)nProb)/10, 1, buf));
SendDlgItemMessage(hdlg, IDEDIT, EM LIMITTEXT, 3, OL);
SendDlgItemMessage(hdlg, IDEDIT, EM SETSEL, 0, MAKELPARAM(-1, 0));
return TRUE;
}
case WM COMMAND:
{
switch(wParam)
{
case IDOK:
{
char buf[12];
GetDlgItemText(hdlg, IDEDIT, (LPSTR)buf, 10);
UINT nNum = UINT(atof(buf)*10);
if((nNum < l)||(nNum > 9))
MessageBeep(-l);
Else
{
nProbO = nNum;
EndDialog(hdlg, 0);
}
return TRUE;
}
case IDCANCEL:
{
EndDialog(hdlg, 0);
return TRUE;
}
case IDHELP:
{
WinHelp(hdlg, (LPSTR)HelpFile, HELP CONTEXT, (DWORD)805); return TRUE;
return FALSE;
//UTILGRAPH.CPP
//Модуль управления окном отображения графика функции полезности
#include< windows.h〉 ^include<mem.h>
^pragma hdrstop
#include"util.h"
#include"utilgr.h"
7^include<stdlib.h>
7^include<math.h>
#define DLGINIT 700
extern char WinGraph[] = "WinGraphClass";
extern char LegendWinf] = "LegendWinClass";
extern char HelpFile[];
extern LPSTR hlNames[41];
extern int nlndex;
extern UINT nMinUtil, nMaxUtil;
extern UINT nDEQX, nDEQY;
extern UINT nDEQXLeft, nDEQXRight;
extern UINT nProb;//, nAdd;
extern HINSTANCE hlnst;
extern HWND hwndGraph;
extern HWND hwndMain;
extern HWND hwndLegend;
extern HWND hdlgChoose;
extern BOOL isStagel = FALSE;
extern int wid = 0, heg = 0;
static char Conc[] = "Внвод";
static char fbuf[144];
static HFONT hFont;
static HWND hLegend;
UINT hipos;
UINT lopos;
UINT Iftpos;
UINT rghpos;
UINT xdivide;
BOOL isLinear;
void ComputeFuncO(void);
void ComputeFuncl(void);
void ComputeFunc2(void);
double t, a, b;
#include"legend.cpp"
BOOL InitGraphWin(HINSTANCE hlnstance) // Регистрация класса окна отображения {
ATOM aWndClass;
WNDCLASS wc;
15*
memset(&wc, 0, sizeof(wc));
wc.hlcon = LoadIcon(NULL, IDI APPLICATION); wc.hCursor = LoadCursor(NULL, IDC ARROW); wc.style = CS HREDRAW|CS VREDRAW; wc.cbClsExtra = 0;
wc.cbWndExtra = 0;
wc.lpfnWndProc = (WNDPROC)GraphWndProc; wc.hlnstance = hlnstance;
wc.hbrBackground = (HBRUSH)(COLOR WINDOW+1); wc.lpszMenuName = (LPSTR)NULL;
wc.lpszClassName = (LPSTR) WinGraph; aWndClass = RegisterClass(&wc);
hFont = CreateFont(-10, 0, 0, 0, 200, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, NULL); if(aWndClass != 0) { wc.lpfnWndProc = (WNDPROC)LegendWndProc;
wc.lpszClassName = (LPSTR) LegendWin; aWndClass = RegisterClass(&wc);
} return(aWndClass != 0); }
LRESULT CALLBACK export
GraphWndProc(HWND hwnd, UINT msg, WPARAM wParam, LPARAM IParam) {
HDC hdc;
PAINTSTRUCT ps;
switch(msg) {
case WM CREATE:
{
isStagel = FALSE;
hLegend = CreateWindow(nbuttonn, п&Легендап, WS CHILD|WS BORDER|BS PUSHBUTTON, 0,0, 10, 10, hwnd, CM LEGEND, hlnst, NULL);
return 0;
}
case WM SIZE:
{
wid = LOWORD (IParam); heg = HI WORD (IParam); MoveWindow(hLegend, wid-100, heg-25, 100, 25, TRUE); break;
case WM COMMAND:
{
switch(wParam)
{
case IDCALC:
{
EnableMenuItem(GetMenu(hwndMain), CM LOT, MF BYCOMMAND|MF GRAYED);
ShowWindow(hLegend, SW SHOWNORMAL);
ShowWindow(hdlgChoose, SW SHOWNORMAL);
SendMessage(hdlgChoose, WM COMMAND, DLGINIT, OL); break;
}
case IDDECIDE:
{
ShowWindow(hdlgChoose, SW HIDE);
register UINT DE = ((nIndex-l)*nProb+10)/10;
ComputeFuncO();
if(nDEQX < DE-1)
{
MessageBox(hwnd, пВы не склонны к риску.п, (LPSTR)Conc, МВ ОК);
ComputeFunc2();
if(nDEQX > DE+1)
{
MessageBox(hwnd, пВы склонны к рискуn,(LPSTR)Cone, MB OK);
ComputeFuncl();
}
else MessageBox(hwnd, пВы безразличны к рискуn, (LPSTR)Conc, MB OK);
isStagel = TRUE;
InvalidateRect(hwnd, NULL, TRUE);
UpdateWindow(hwnd);
EnableMenuItem(GetMenu(hwndMain), CM LOT,
MF BYCOMMAND|MF ENABLED);
EnableMenuItem(GetSubMenu(GetMenu(hwndMain),O), 4,
MF BYPOSITION|MF ENABLED);
break;
}
case CM LEGEND:
{
ShowWindow(hwndLegend, SW SHOWNORMAL);
break;
return 0;
case WM PAINT:
{
hdc = BeginPaint(hwnd, &ps);
DrawStageO(hdc);
if(isStagel)
{
DrawStagel (hdc);
}
EndPaint(hwnd, &ps);
return 0;
}
case WM DESTROY:
{
DeleteObject(hFont);
break;
return DefWindowProc(hwnd, msg, wParam, IParam);
void DrawStageO(HDC hdc)
{
hipos = heg/8;
lopos = heg - hipos - 15;
lftpos= wid/8;
rghpos = wid - Iftpos;
xdivide = (rghpos-lftpos) / nlndex;
char buf[144];
SetTextAlign(hdc, TA LEFT|TA BASELINE);
HFONT hOldFont = (HFONT)SelectObject(hdc, hFont);
register UINT midpos = (UINT)(lopos-((lopos-hipos-10)*(long)nProb)/ 10-10);
wsprintf(buf, "%i", nMinUtil);
TextOut(hdc, lftpos»l, lopos, (LPSTR)buf, Istrlen(buf));
wsprintf(buf, nMaxUtil);
TextOut(hdc, lftpos»l, hipos, (LPSTR)buf, Istrlen(buf));
wsprintf(buf, "%i", nDEQY);
MoveTo(hdc, lftpos+3, hipos);
LineTo(hdc, Iftpos, hipos);
LineTo(hdc, Iftpos, lopos);
LineTo(hdc, rghpos, lopos);
LineTo(hdc, rghpos, lopos-3);
SetTextAlign(hdc, TA CENTER|TA TOP);
for(UINT i=l;i<=nlndex;i++)
{
UINT j = lftpos+i*xdivide;
MoveTo(hdc, j, lopos-3);
LineTo(hdc, j, lopos);
wsprintf(buf, nTextOut(hdc, j, lopos+hipos/2, (LPSTR)buf, Istrlen(buf)); }
HPEN hNewPen = CreatePen(PS DASH, 1, RGB(O,O,O));
HPEN hOldPen = (HPEN)SelectObject(hdc, hNewPen);
MoveTo(hdc, Iftpos, lopos-10);
LineTo(hdc, Iftpos+xdivide, lopos-10);
LineTo(hdc, Iftpos+xdivide, lopos);
MoveTo(hdc, Iftpos, hipos);
LineTo(hdc, lftpos+xdivide*nlndex, hipos);
LineTo(hdc, lftpos+xdivide*nlndex, lopos);
MoveTo(hdc, lftpos+xdivide*nDEQX, lopos);
LineTo(hdc, lftpos+xdivide*nDEQX, midpos);
LineTo(hdc, Iftpos, midpos);//(lopos+hipos)/2-5);
SelectObject(hdc, hOldPen);
DeleteObject (hNewPen);
hNewPen = CreatePen(PS SOLID, 3, RGB(0,0,0));
hOldPen = (HPEN)SelectObject(hdc, hNewPen);
MoveTo(hdc, Iftpos+xdivide, lopos-10);
LineTo(hdc, lftpos+xdivide*nlndex, hipos);
SelectObject(hdc, hOldPen);
DeleteObject (hNewPen);
Ellipse(hdc,lftpos+xdivide-3, lopos-13,
lftpos+xdivide+3, lopos-7);
Ellipse(hdc,lftpos+xdivide*nIndex-3, hipos-3,
lftpos+xdivide*nIndex+3, hipos+3);
Ellipse(hdc,lftpos+xdivide*nDEQX-3, midpos-3, lftpos+xdivide*nDEQX+3, midpos+3);
SelectObject(hdc, hOldFont);
void DrawStagel(HDC hdc)
{
HPEN hPen = CreatePen(PS SOLID, 3, RGB(255, 0, 0)); hPen = (HPEN)SelectObject(hdc, hPen);
MoveTo(hdc, Iftpos+xdivide, lopos-10);
if(isLinear)
LineTo(hdc, lftpos+xdivide*nlndex, hipos);
Else
{
HRGN hClip = CreateRectRgn(O, hipos, wid, heg);
SelectClipRgn(hdc, hClip);
for(UINT i = xdivide+3; i <= xdivide*nIndex+2; i+=3) {
LineTo(hdc, Iftpos+i, lopos - (int)(((a+b*exp(t*(double)i/xdivide))-nMinUtil)/ (nMaxUtil-nMinUtil)*(lopos-hipos-10))-10);
}
SelectClipRgn(hdc, NULL);
DeleteObject(hClip);
}
DeleteObject(SelectObject(hdc, hPen));
SetTextAlign(hdc, TA CENTER|TA TOP);
TextOut(hdc, lftpos*4, 5, (LPSTR)fbuf, lstrlen((LPSTR)fbuf));
^pragma argsused
LRESULT CALLBACK export
LotDlgProc(HWND hdlg, UINT msg, WPARAM wParam,
LPARAM IParam)
{.
switch (msg)
{
case WM COMMAND:
switch(wParam) {
case DLGINIT:
char pbuf[10];
SetDlgItemText(hdlg, IDTEXT1, (LPSTR)hlNames[O]);
SetDlgItemText(hdlg, IDTEXT2, (LPSTR)hlNames[nIndex-l]);
SetDlgItemText(hdlg, IDTEXT3, (LPSTR)hlNames[nDEQX-l]);
SetDlgItemText(hdlg, 201, (LPSTR)gcvt(l-(double)nProb/10, 1, pbuf));
SetDlgItemText(hdlg, 202, (LPSTR)gcvt((double)nProb/10, 1, pbuf));
return TRUE;
}
case IDSUBJECT:
if(nDEQX > 2)
{
nDEQXRight = nDEQX;
if(nDEQXLeft >= nDEQXRight - 1)
{
SendMessage(hwndGraph, WM COMMAND, IDDECIDE, 0L); break;
}
nDEQX = (nDEQX+nDEQXLeft) » 1;
SendDlgItemMessage(hdlg, IDTEXT3, WM SETTEXT,
0, (LPARAM)hlNames[nDEQX-l]);
InvalidateRect(hwndGraph, NULL, TRUE);
UpdateWindow(hwndGraph);
SendMessage(hwndGraph, WM COMMAND, IDDECIDE, 0L); break;
case IDLOT:
{
if(nDEQX < nlndex)
{
nDEQXLeft = nDEQX;
if(nDEQXRight <= nDEQXLeft + 1)
{
SendMessage(hwndGraph, WM COMMAND, IDDECIDE, OL); break;
}
nDEQX = (nDEQXRight 十 nDEQX) » 1;
SendDlgItemMessage(hdlg, IDTEXT3, WM SETTEXT,
0, (LPARAM)hlNames[nDEQX-l]);
InvalidateRect(hwndGraph, NULL, TRUE);
UpdateWindow(hwndGraph);
SendMessage(hwndGraph, WM COMMAND, IDDECIDE, 0L); break;
}
case IDINDEF:
{
SendMessage(hwndGraph, WM COMMAND, IDDECIDE, 0L);
return TRUE;
}
case IDHELP:
{
SetFocus(GetDlgItem(hdlg, IDLOT));
WinHelp(hdlg, (LPSTR)HelpFile, HELP CONTEXT, (DWORD)803); return TRUE;
return TRUE;
return FALSE;
void ComputeFuncO(void)
{
b = ((double)nMaxUtil - nMinUtil)/(nlndex-l);
a = nMinUtil - b;
char gb[20];
wsprintf(fbuf,nf = lstrcat(fbuf, (LPSTR)gcvt(b, 5, gb)); lstrcat(fbuf,n* X");
isLinear = TRUE;
}
void ComputeFuncl(void)
{
double f;
a = le-06;
b = 5;
double opnd = (double)10/nProb;
for(UINT i=0;i<40;i++)
{
t = (a+b)/2;
f = (exp(nlndex*t)-exp(t))/(exp(nDEQX*t)-exp(t)) - opnd;
if(f > 0) b = t;
else a = t;
}
t = (a+b)/2;
b = (double)(nMaxUtil - nMinUtil)/(exp(nlndex*t)-exp(t));
a = nMaxUtil - b*exp(nlndex*t);
char gb[20];
wsprintf(fbuf,nf = lstrcat(fbuf, (LPSTR)gcvt(b, 5, gb));
lstrcat(fbuf,n* exp(");
lstrcat(fbuf, (LPSTR)gcvt(t, 5, gb));
lstrcat(fbuf,n* x)");
isLinear = FALSE;
}
void ComputeFunc2(void)
{
double f;
a = -0.000001;
b = -5;
double opnd = (double)10/nProb;
for(UINT i = 0;i<40;i++)
{
t = (a+b)/2;
f = (exp(t)-exp(nlndex*t))/(exp(t)-exp(nDEQX*t)) - opnd;
if(f > 0) a = t; else b = t;
}
t = (a+b)/2;
b = -(double)(nMaxUtil - nMinUtil)/(exp(t)-exp(nlndex*t));
a = nMinUtil - b*exp(t);
char gb[20];
wsprintf(fbuf,nf = %s - n, (LPSTR)gcvt(a, 5, gb));
lstrcat(fbuf, (LPSTR)gcvt(fabs(b), 5, gb));
lstrcat(fbuf,n* exp(
lstrcat(fbuf, (LPSTR)gcvt(t, 5, gb));
lstrcat(fbuf,n* x)");
isLinear = FALSE;
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Александров А. Г. Оптимальное и адаптивное управление. — М.: Высшая школа, 1969.
Амелькин В. В. Дифференциальные уравнения в приложениях. — М.: Наука, 1987.
Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Метематическая теория конструирования систем управления. — М.: Высшая школа, 1998.
Ашманов С. А. Введение в математическую экономику. — М.: Наука, 1984.
Богданчук В. 3., Егоров Б. М., Катулев А. Я., Михно В. Н. Агрегирование векторных критериев. — Л.: ЛИИА АН СССР, 1990.
Брайсон А., Ю-Ши Хо. Прикладная теория оптимального управления / Под ред. А. М. Летова. — М.: Мир, 1972.
Вальтух К. К. Использование модели межотраслевого баланса в курсе политэкономии капитализма. — М.: Экономика, 1991.
Васильев В. П. Численные методы решения экстремальных задач.— М.: Наука, 1980.
Воркуев Б. Л. Ценность, стоимость и цена. — М.: Изд-во МГУ, 1995.
Воркуев Б. 〃., Черемных Ю. Н. Модели экономического равновесия.— М.: Изд-во МГУ, 1990.
Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. — М.: Мир, 1986.
Гейл Д. Теория линейных экономических моделей / Под ред. Н. Н. Воробьева. —М.: ИЛ, 1963.
Гильбо Е. П., Челпанов И. Б. Обработка сигналов на основе упорядоченного выбора. — М.: Сов. радио, 1975.
Гранберг А. Г. Динамические модели народного хозяйства. — М., 1991.
Гришин Ю. Пг Казаринов Ю. М. Динамические системы, устойчивые к отказам. — М.: Радио и связь, 1985.
Гхосал А. Прикладная кибернетика и ее связь с исследованием операций / Под ред. П. А. Ушакова. — М.: Радио и связь, 1982.
Демидович Б. 〃., Марон И. А. Основы вычислительной математики.— М.: Физматлит, 1963.
Дрешер М. Статистические игры. Теория и приложения / Под ред. Ю. С. Голубева-Новожилова. — М.: Сов. радио, 1964.
Дубов Ю. Л., Травкин С. Я., Якимец В. Н. Многокритериальные модели выбора и формирования вариантов систем. — М.: Наука, 1986.
Дюбин Г. Я., Суздаль В. Г. Введение в прикладную теорию игр. — М.: Наука, 1981.
Евтушенко Ю. Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. — М.: Наука, 1982.
Завьялов Ю. С., Квасов Б. Я., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн- функций. — М.: Наука, 1980.
Зуховицкий С. Я., Авдеева Л. И. Линейное и выпуклое программирование. —М.: Наука, 1967.
Иванов Ю. Н г Токарев В. В., Уз демир А. П. Математическое описание элементов экономики. — М.: Наука, 1994.
Интриллигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория / Под ред. А. А. Конюса. — М.: Прогресс, 1975.
Исследование операций. Методологические основы и математические методы. В 2-х т. Т. 1 / Под ред. Дж. Моудера, С. Элмаграби. — М.: Мир, 1981.
Калихман 〃.〃.，Войтенко М. А. Динамическое программирование в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1979.
Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике / Под ред. Н. Н. Воробьева. — М.: Мир, 1964.
Касимов Ю. Ф. Основы теории оптимального портфеля ценных бумаг. —М.: Филин, 1998.
Катулев А. Я., Колесник Г. В. Программный комплекс прогнозирования параметров экономической динамики региона // Программные продукты и системы. — 1998. — № 2. — С. 26-28.
Катулев А. 〃., Северцев Н. А. Исследование операций: принципы принятия решений и обеспечение безопасности. — М.: Физматлит, 2000.
Кемени Дж., Снелл Дж. Кибернетическое моделирование. Некоторые приложения / Под ред. И. Б. Гутчина. — М.: Сов. радио, 1972.
Кендалл М. Дж,.^ Стьюарт А. Статистические выводы и связи / Под ред. А. Н. Колмогорова. — М.: Наука, 1973.
Кини Р. 〃., Райфа X. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. — М.: Радио и связь, 1981.
Колемаев В. А. Математическая экономика. — М.: ЮНИТИ, 1998.
Колмогоров А. 〃., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1968.
Коновалов Г. Ф. Радиоавтоматика. — М.: Высшая школа, 1990.
Кузьмин С. 3. Основы теории цифровой обработки радиолокационной информации. — М.: Сов. радио, 1974.
Ларичев О. 〃., Браун Р. Количественный и вербальный анализ решений: сравнительное исследование возможностей и ограничений // Экономика и математические методы. — 1998. — Т. 34, вып 4. — С. 97—107.
Ларичев О. Н., Мошкович Е. М. Качественные методы принятия решений. Вербальный анализ решений. — М.: Физматлит, 1996.
Левин М. И., Макаров В. Л.)Рубинов А. М. Математические модели экономического взаимодействия. — М.: Физматлит, 1993.
Лотов А. В. Введение в экономико-математическое моделирование.— М.: Наука, 1984.
Макаров И. М., Виноградская Т. М., Рубчинский А. Л., Соколов В. Б. Теория выбора и принятия решений. — М.: Наука, 1982.
Макаров В. Л., Рубинов А. М. Математическая теория экономической динамики и равновесия. — М.: Наука, 1973.
Мак Кинси Дж. Введение в теорию игр / Под ред. Д. Б. Юдина. — М.: Физматгиз, 1960.
Максимова Р. Ф. Рыночная экономика. Том 1. Теория рыночной экономики. Часть 1. Микроэкономика. — М.: Соминтэк, 1992.
Максимова Р. Ф., Шишов А. Л. Рыночная экономика. Том 1. Теория рыночной экономики. Часть 2. Макроэкономика. — М.: Соминтэк, 1992.
Математическая экономика на персональном компьютере / Под ред. М. Кубонива, Е. 3. Демиденко. — М.: Финансы и статистика, 1991.
Моделирование народнохозяйственных процессов / Под ред. И. В. Котова. —JI.: Изд-во ЛГУ, 1990.
Морозов В. В., Сухарев А. Г., Федоров В. В. Исследование операций в задачах и упражнениях. — М.: Высшая школа, 1986.
Мулен Э. Кооперативное принятие решений: Аксиомы и модели. — М.: Мир, 1991.
Новиков О. Л., Петухов С. И. Прикладные вопросы теории массового обслуживания. — М.: Сов. радио, 1969.
Основы теории оптимального управления / Под ред. В. Ф. Кротова.— М.: Высшая школа, 1990.
Пацюков В. П. Дифференциальные игры при различной информированности игроков. — М.: Сов. радио, 1976.
Перов В. П. Статистический анализ импульсных систем. — М.: Сов. радио, 1959.
Петров А. А. Экономика. Модели. Вычислительный эксперимент. — М., 1996.
Петросян Л. Л., Зенкевич Н. Л., Семина Е. А. Теория игр. — М.: Высшая школа, 1998.
Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию. — М.: Наука, 1983.
Применение теории игр в военном деле / Под ред. В. О. Ашкенази.— М.: Сов. радио, 1961.
Пугачев В. О., Синицын И. Н. Стохастические дифференциальные системы. — М.: Наука, 1985.
Рыжиков Ю. И. Управление запасами. — М.: Наука, 1969.
Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. — М.: Радио и связь, 1993.
Самарский А. Л., Михайлов А. П. Математическое моделирование.— М.: Физматлит, 1997.
Сухарев А. Г., Тимохов А. В., Федоров В. В. Курс методов оптимизации. —М.: Наука, 1986.
Тихонов А. Я., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач.— М.: Наука, 1986.
Турбович И. Т. Об оптимальном методе опознания образов при взаимно-коррелированных признаках // Опознание образов. Теория передачи информации. — М.: Наука, 1965.
Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. —М.: Физматгиз, 1960.
Фишберн П. Теория полезности для принятия решений / Под ред. Н. Н. Воробьева. — М., 1967.
Хедли Дэю. Нелинейное и динамическое программирование / Под ред. Г. К. Акилова. — М.: Мир, 1967.
Цирлин А. М. Методы усредненной оптимизации и их приложения.— М.: Наука, 1997.
Шарп У., Александер Г., Бейли Дж. Инвестиции. — М.: Инфра-М, 1997.
Юдин Д. Б. Вычислительные методы теории принятия решений. — М.: Наука, 1989.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Раздел 1. Обобщенные модели операции, эффективность стратегий 5
Раздел 2. Обобщенные динамические модели операции. Необходимые и достаточные условия оптимальности стратегий 51
Раздел 3. Задачи принятия решений в условиях целевой неопределенности 98
Раздел 4. Задачи принятия решений в условиях конфликта..126
Раздел 5. Задачи принятия решений в условиях статистической неопределенности и безопасности риска 153
Раздел 6. Задачи принятия решений на основе вербального подхода 163
При ложе н и е 1. Прогнозирование параметров экономики ...195
Приложение 2. Построение функции полезности 210
Список литературы 235
Учебное издание
КАТУЛЕВ Александр НиколаевичСЕВЕРЦЕВ Николай АлексеевичСОЛОМАХА Геннадий Михайлович
ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ И ОБЕСПЕЧЕНИЕ БЕЗОПАСНОСТИ:ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ
Редактор Е.Ю. Ход анКомпьютерный набор Г.М. СоломахиКомпьютерная верстка Л.К. ПопковойОформление переплета А.Ю. Алехиной
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 07.12.04.Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Ус л. печ. л. 15. Уч.-изд. л. 16,5. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с диапозитивовв ОАО «Чебоксарская типография № 1»428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15
ISBN 5-9221-0555-8
5. Вычислим вероятность того, что все хранилища заняты обслуживанием транспортных средств:
pn =ро = 0,00000026.
4 А. Н. Катулев и др.
УДК 519.83
ББК 22.19
К 29
Кату л ев А. Н., Северцев Н. А., Соломаха Г. М. Исследование операций и обеспечение безопасности: прикладные задачи: Учеб, пособие для вузов / Под ред. академика РАН П.С. Краснощекова. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 240 с. - ISBN 5-9221-0555-8.
В сборник включены статические и динамические задачи с решениями, раскрывающими основные компоненты обобщенной модели операции, подходы и принципы оценки эффективности стратегий участвующих в ней сторон, необходимые условия и методы отыскания оптимальных решений для различных условий: определенности, неопределенности в цели операции, конфликта и риска.
Для студентов старших курсов, аспирантов и других специалистов, изучающих математические методы исследования операций и обеспечения безопасности.
Табл. 16. Ил. 33. Библиогр. 72 назв.
© ФИЗМАТЛИТ, 2005
ISBN 5-9221-0555-8ISBN 5-9221-0555-8Г. М. Соломаха, 2005Г. М. Соломаха, 2005© А. Н. Катулев, Н. А. Северцев,
ISBN 5-9221-0555-8
ISBN 5-9221-0555-8
Г. М. Соломаха, 2005
Г. М. Соломаха, 2005