ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта книга представляет собой обработку части большого лекционного курса, который мы читали в нескольких вариантах в Ленинградском и Московском университетах. В курсе излагались начала основных разделов топологии: теории гомологий, теории гомотопий, теории расслоений и топологии многообразий. Рамки курса довольно точно, определялись установившимся термином элементарная топология, главное значение которого состоит в том, что применяемый аппарат не слишком сложен. В.книгу вошли те главы курса, в которых алгебра играет подчиненную роль. Более алгебраизированные части курса мы предполагаем опубликовать в виде отдельной книги.

Переработка лекций в книгу оказалась связанной с обычными в таких случаях приобретениями и потерями: тщательность изложения повысилась в ущерб наглядности, геометрические описания заменились формулами, требующими расшифровки, и т. п. Все же нам кажется, что книга сохранила главные качества нашего лекционного курса: его элементарность, систематичность и учебный характер. Предполагаемая подготовка читателя ограничивается стандартными сведениями из теории множеств, алгебры и анализа, которыми студенты-математики овладевают за первые полтора года обучения. Изложение сопровождается примерами и упражнениями. Мы надеемся, что книга сможет служить учебником топологии.

■ Наиболее существенное отличие книги от соответствующей части нашего лекционного курса заключается в расположении материала: в книге он излагается значительно более последовательно. По нашим наблюдениям слишком последовательное лекционное изложение элементарной топологии скучновато и менее эффективно, чем перемешивание геометрии с алгеброй и с приложениями. Это замечание кажется нам уместным как предостережение преподавателю, который пожелал бы воспользоваться нашей книгой как руководством. Впрочем, и читать ее совсем не обязательно подряд; читатель, который захочет поскорее добраться до гомотопических групп или любой другой главы, легко сможет это сделать. ' *

В терминологии и обозначениях мы старались придерживаться имеющихся стандартов и позволили себе лишь несколько давно назревших реформ. Например, у нас нет «симплициальных комплексов» и «CW-комплексов», а есть симплициальные пространства и клеточные пространства-, нет «корасслоений», а есть пары Борсука; нет «косых произведений», а есть расслоения Стинрода. Один термин мы даже употребляем в необщепринятом значении: у нас связность означает то, что обычно называют линейной связностью (то, что обычно называют связностью, у нас никак не называется). Далее, мы избегали нестандартных обозначений для стандартных объектов. Впрочем, в большинстве случаев наши обозначения являются просто сокращениями соответствующих терминов и понятны сами собой; например, рг есть проекция, in — включение, dim — размерность, ske —остов, bs — база и т. п. ■

Топология нуждается в очень точном теоретико-множественном языке, что заставило нас уделить этому языку особое внимание: см. стр. 9 — 12. Подчеркнем, что там помещен только перечень терминов и обозначений и что сам предмет предполагается известным.

Сведений, относящихся к истории топологии, в книге очень мало. Мы не стали тадже следовать традиции, согласно которой некоторым теоремам присваиваются имена их действительных или мнимых авторов. Зато мы охотно пользуемся именами тОТологов в терминологии и обозначениях.

Организация текста и система ссылок могут быть кратко описаны следующим образом. Каждая глава разбита на параграфы, параграфы разбиты на пункты, пункты — на подпункты. У глав, параграфов и пунктов есть номера и названия, у подпунктов — только номера; иногда несколько подпунктов одного пункта снабжаются общим заголовком. Факты, сообщаемые без доказательства, называются информацией и отделяются этим словом от остального текста. При ссылках на параграф, пункт или подпункт той же главы указание на эту главу опускается, и подобным же образом сокращаются ссылки внутри параграфов и пунктов. Примеры: записи § 1.2 (параграф 2 главы 1), п. 1.2.3. (пункт 3 параграфа 2 главы 1) и 1.2.3.4 (подпункт 4 пункта 3 параграфа 2 главы 1) сокращаются в главе 1 до § 2, и. 2.3 и 2.3.4; вторая из этих записей сокращается в § 1.2 до п. 3; третья запись сокращается в § 1.2 и п. 1.2.3 до 3.4 и 4.

Авторы

ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЕ ТЕРМИНЫ- И ОБОЗНАЧЕНИЯ,

УПОТРЕБЛЯЕМЫЕ В ЭТОЙ книге,НО НЕ ЯВЛЯЮЩИЕСЯ общепринятыми

Математики обходятся удивительно скромной системой теоретико-множественных терминов и обозначений. Последние можно грубо разделить на три группы. В первую входят термины и обозначения, получившие всеобщее признание. Термины и обозначения второй группы известны столь же широко, но могут пониматься по-разному или варьироваться. Третья группа состоит из менее употребительных терминов и обозначений.

То, что входит в первую группу, не требует объяснений. Например, обозначения X (J ¥, X П Т и Хх X • • • X Хп для объединения, пересечения и произведения множеств или обозначения f: Х->¥, Imf и /|л: А->¥ для отображения, его образа него сужения все понимают одинаково. То же относится к записи хеХ или к словам взаимнооднозначное отображение и отображение на.

О том, как мы будем пользоваться терминами и обозначениями второй группы, уже стоит сказать несколько слов. Пустое множество будет обозначаться символом 0. Запись X cz ¥ имеет у нас широкий смысл, т. е. не исключает равенства Х = ¥. То же относится к термину счетное множество-, так мы называем множество, которое счетно бесконечно или конечно. Тождественное отображение множества X обозначается через idX, а если из контекста ясно, каково X, — просто через id. Обратимым мы называем отображение, которое обладает обратным, т. е. является одновременно взаимнооднозначным отображением и отображением на. Запись {хеХ|...} обозначает часть множества X, составленную из тех х, которые удовлетворяют условию, стоящему на месте многоточия. Семейство {А’(1}(1еМ есть, отображение множества М на множество объектов Хц с реМ, определяемое формулой ць->Хи. '

Наша главная цель здесь — перечислить нужные нам термины и обозначения третьей группы. Это и делается ниже.

' Отображения

' Если А — подмножество множества X, то включение А в X может рассматриваться как отображение, определяемое формулой хь->х. Обозначение: in: А->Х. Если А и X не вызывают сомнения, то эта запись может быть сокращена до in.

Если ' А — подмножество множества X, a S — подмножество множества Y, то всякому отображению f: X-*Y, такому, что /(Л) с: В, отвечает отображение ab f: А-* В, определяемое формулой х |—* f (х) и называемое сокращением отображения f на А, В. В случаях, когда А и В не "вызывают сомнения, вместо ab f: А—* В можно писать abf. Если B = Y, то abf есть обычное сужение отображения f на А.

Под отображением последовательности (X, Ль ... , Ап\ где Ль ..., Ап — подмножества множества X, в последовательность (У, Вь ..., Вп), где Blt ..., Вп — подмножества множества У, мы понимаем такую последовательность отображений ।

(ф: X — Y, фу Av-*Bb ..., ф„: Ап->Вп\

что фг = аЬф. Обозначение:

(ф, Ф1Ф«): U, Ль ..., А^-ЦУ, Вь ..., В„).

Если подмножества Аь ..., Л„, Вь ..., Вп фиксированы, то отображение / = (ф, Фь ..., Фга) и его первая компонента ф определяют друг друга и различием между ними часто пренебрегают; например, запись f: (X, Ль ..., Л„)->(У, В(В^ может означать также, что f есть отображение множества X в У, такое, что f (ЛО с Вь ..., fC4jcB„. Желая точно передать взаимоотношения между f и ф, мы пишем:

/ = ге!ф, ф = absf.

Запись rel id будет иногда сокращаться до rel.

Факторизация

Фактормножество множества X по его разбиению f обозначается через X/f. Отображение Х-*ХЦ, относящее каждой точке содержащий ее элемент разбиения, называется проекцией и обозначается через рг. Подмножества множества X, составленные из целых элементов разбиения, называются насыщенными. Наименьшее насыщенное множество, содержащее подмножество А множества X [т. е. рг-1 (рг (Л))], называется насыщением множества Л.

Если f, t — разбиения множеств X, Y, то всякому отображению f: Х->¥, отображающему элементы разбиения f в элементы разбиения t, отвечает отображение ^/f-»y/t, относящее элементу Л разбиения (элемент разбиения t, содержащий f (А). Это отображение обозначается через fact/. В частности, оно определено, если t есть разбиение на отдельные точки, a f постоянно на элементах разбиения [; таким образом, всякому отображению f: X-*Y, постоянному на элементах разбиения f множества X, отвечает отображение fact f: X^-^-Y.

Разбиение множества X на непустые прообразы точек, определяемое отображением f: X-*Y, обозначается через zer(f). Соответствующее отображение fact/: X/zer(f)->P взаимно однозначно и называется взаимно однозначным фактором отображения f.■

Суммы

Суммой семейства множеств {Х^ду называется объединение непересекающихся копий множеств Х^, т. е. множество пар (хц, ц) таких, что х№ есть элемент множества Л'ц. Обозначение: и^ем^ц. Отображение множества Xv(vgM) в I I определяемое формулой xv—>(х, v), обозначается через inv.

Так как отображения inv взаимно однозначны и образы inv(Xv) попарно не пересекаются и покрывают U ^ц, то для всякого семейства множеств {Уц}, индексированного тем же множеством М, и всякого семейства отображений {/ : X ->■ Учем существует одно и только одно отображение f: U Х^-* I I У„, удовлетворяющее соотношениям / ° inv = inv ° fv. Оно называется суммой отображений f^ и обозначается через

Если М состоит из чисел 1 то наряду с U^ и

U/ц пишут

^U.-.U^ и Ли...□/„.

Произведения

Произведение ^Х • • • X Хп естественно отображается на сомножитель Xt по правилу

■(хи ..., х„)*-*х;.

Это отображение называется i-й проекцией и обозначается через ргР ’.■

Если имеются отображения А: Х]-*^f„:Xn-*Yn, то

возникает отображение произведения ХхХ ... ХХп в произведение У1 X • • • X У«> определяемое правилом -

U1, . .., X^^QAxx\ . L^Y

Это отображение называется произведением отображений h, ..., f„ и обозначается через fxX-.-Xfn«

Через f X t, где ( — разбиение множества X, a t — разбиение множества Y, обозначается разбиение произведения X X Y на множества вида АХ В, где А —элемент разбиения [, а В — элемент разбиения t.

Множество X естественно отображается в свой квадрат XXX по правилу xt—*(х, х). Это отображение называется диагональным и обозначается через diag, а подмножество diag (Л) множества XXX называется диагональю последнего.

Г л" А В A 1

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Топология

/. Говорят, что в множестве X определена топологическая структура, или просто топология, если в X отмечен класс подмножеств, содержащий вместе с каждым набором множеств их объединение и вместе с каждым конечным набором множеств — их пересечение. Множество, снабженное топологической структурой, называется топологическим пространством, его элементы — точками, а множества отмеченного класса— открытыми множествами.

• Набор множеств, подлежащих объединению или пересечению, может быть и пустым. Объединение пустого набора множеств есть10, пересечение пустого набора подмножеств множества X — все X. Таким образом, 0 и X — открытые множества.

Примерами топологических структур могут служить тривиальная топология, в которой открыты только множества 0 и X, и дискретная топология, в которой открыты все подмножества множества X. Если X содержит более одного элемента, то имеются и другие топологии. Например, множество X, состоящее из двух' элементов а, Ь, допускает кроме двух указанных еще две топологизации: при одной открытыми будут множества 0, а, X, при другой — множества 0, b, X. Более серьезные примеры появятся позже.,

Подмножество топологического пространства называется замкнутым, если его дополнение открыто. Класс замкнутых множеств содержит вместе с каждым набором множеств их пересечение и вместе с каждым конечным набором множеств — их объединение, и для всякого класса подмножеств множества X, обладающего этими свойствами, в X существует единственная топология, по отношению к которой он является классом всех замкнутых множеств.-

Окрестностью точки топологического пространства называется всякое открытое множество, содержащее эту точку.

Окрестностью подмножества топологического пространства называется всякое открытое множество, содержащее это подмножество.

Производные понятия

Среди открытых множеств, содержащихся в заданном подмножестве А топологического пространства X, есть наибольшее: это объединение всех таких множеств. Оно называется внутренней частью или внутренностью множества А и обозначается через Int А или, подробнее, Intx А Подобным же образом среди всех замкнутых множеств, содержащих А, есть наименьшее: пересечение всех таких множеств. Оно называется замыканием множества А и обозначается через С1Л или, подробнее, С1ХА Разность С1Л\1п1Л может быть представлена как пересечение замкнутых множеств С1Л и X X Int А и потому замкнута. Она называется границей множества А и обозначается через РгЛ или, подробнее, РгхЛ. Заметим, что X X Int А = С1 (А \ Л) и что множества А и XX Л имеют одну и ту же границу.

По отношению к множеству Л точки множеств Int А, С1Л, РгЛ и ХХС1 Л = 1п1 (XX Л) называются, соответственно, внутренними точками, точками прикосновения, граничными точками и внешними точками. Более непосредственно они описываются на языке окрестностей. Точка будет внутренней, если она обладает окрестностью, целиком лежащей в А; точкой прикосновения, если всякая ее окрестность пересекается с А; граничной, если всякая ее окрестность пересекается как с А, так и с X X Л; внешней, если она обладает окрестностью, не пересекающейся с А; .

Ясно, что множество открыто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своей внутренней частью, т. е. состоит из одних внутренних точек, и замкнуто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим замыканием, т. е. содержит все свои граничные точки.

Подмножество А топологического пространства X называется плотным в X или всюду плотным, если С1Л = X, т. е. если А пересекается со всеми непустыми открытыми множествами. Множество А называется нигде не плотным, если множество ХХС1Л всюду плотно. .

Базы и предбазы *

Базой топологического пространства называется такая совокупность открытых множеств, что всякое открытое множество представимо как объединение множеств, взятых из этой совокупности. Эквивалентная формулировка: совокупность Г

открытых множеств есть база, если для всякого открытого множества U и всякой точки хеО существует такое множество V е Г, что х е V a U. "

База полностью определяет топологию: открыты в точности те множества, которые представляются как объединения элементов базы.

Следующее предложение служит основой стандартного метода внесения топологии в множество. Пусть Г — некоторая совокупность подмножеств множества Л'. Для существования в X топологии с базой Г необходимо и достаточно, чтобы пересечение любого конечного набора множеств из Г представлялось как объединение множеств из Г.

Необходимость следует из того, что пересечение конечного набора множеств из базы открыто. Достаточность следует из того очевидного факта, что класс подмножеств множества X, представимых как объединения множеств из Г, удовлетворяет требованиям определения 1.

Предыдущее предложение допускает полезную переформулировку: для существования в X топологии с базой Г необходимо и достаточно, чтобы множества из Г покрывали X и чтобы для любых двух множеств U, V s Г и любой точки х е U П V нашлось такое множество W е Г, что xeWcUp.V.

Совокупность подмножеств топологического пространства называется его предбазой, если пересечения конечных наборов множеств этой совокупности составляют его базу.

Из 8 следует, что для любой совокупности Г подмножеств множества X в X существует единственная топология с предбазой Г.

Базой в точке х топологического пространства X называется, такая совокупность окрестностей точки х, что всякая окрестность точки х содержит окрестность из этой совокупности. Предбазой в точке х называется совокупность множеств, пересечения конечных наборов которых составляют базу в точке х.

Покрытия

Покрытия, с которыми нам придется иметь дело, будут, как правило, покрытиями топологического пространства его подмножествами или покрытиями подмножества топологического пространства другими подмножествами этого пространства. Желая подчеркнуть, что рассматриваемое покрытие подмножества А топологического пространства X составлено из подмножеств пространства X, которые могут не лежать в А, мы будем называть его покрытием множества А в X. ’

Говорят, что покрытие Г вписано в покмтие А, если каждое множество из Г содержится в некотором'множестве из А.

Покрытие называется локально конечным, если каждая точка пространства обладает окрестностью, пересекающейся лишь с конечным числом элементов покрытия.

Покрытие называется открытым, если оно состоит из открытых множеств, и замкнутым, если оно состоит из замкнутых множеств.

Во всякое открытое покрытие топологического пространства X можно вписать покрытие, составленное из множеств заданной базы пространства X. ■

Такое покрытие составляют, например, множества базы, содержащиеся в множествах заданного покрытия.

Метрика

Неотрицательная вещественная функция р, определенная на квадрате XX X множества X, называется метрикой в X, если выполнены три условия: р(х, у) —О тогда и только тогда, когда х = у; р (х, у) = р (у, х) для любых х, у е Х\ р(х, 2)^ Р (^, У) + Р (.У, 2) для любых х, у, z е X. Множество, снабженное метрикой, называется метрическим пространством. В качестве стандартного обозначения метрики будет использоваться символ dist. -

Значения метрики называются расстояниями, а неравенство, входящее в ее определение, называется неравенством треугольника. ~

Фундаментальным примером метрического пространства служит стандартное /г-мерное евклидово пространство R”(/z^O), т. е. множество тг-членных вещественных числовых последовательностей {xz}”, в котором расстоянйе между последовательностями {xj" и ^ определяется как [2"(xz — yz)2]1/2. Прямую R1 отождествляют с .полем вещественных чисел, которое обозначается через R.

Если заменить n-членные последовательности {хг}" бесконечными последовательностями {хг}“, подчиненными условию 2”х2 < 00, написав в формуле для расстояния ЕГ вместо 2", то получится определение стандартного гильбертова пространства /2. .

Шаром с центром хое X и радиусом г > 0 в метрическом пространстве X называется множество-тех хеХ. у которых dist(x0, х)^г. Если вместо ^ написать <, то получится определение открытого шара, а если написать =, то получится определение сферы. Единичный шар и единичная сфера пространства R", т. е. шар и сфера с центром (0, ..., 0) и радиусом 1, называются просто п-мерным шаром и (п — 1)-мерной

сферой и обозначаются через Dn и S"-'. В частности, D° есть точка, S0 —пара точек, S-1 = 0. Кроме того, мы полагаем Dn= 0 при п ^ — 1 и S" = 0 при п ^ — 2.

Расстоянием между множествами А и В называется число шГхед, у<= в dist(x, yY обозначение: Dist(4, В). В частности, если а — точка, то Dist(a, В) = inf^sdist (а, у).

Диаметром множества А называется число sup^ ysЛdist(x, у); обозначение: diamA Множества конечного диаметра называются ограниченными.

Метрическая топология,

Неравенство треугольника показывает, что если открытый шар с центром х0 и радиусом г содержит точку хь то он содержит открытый шар с центром х; и радиусом г—dist(x0, х^л Следовательно, в любом метрическом пространстве пересечение двух открытых шаров содержит вместе с каждой точкой некоторый открытый шар с центром в этой точке. Так как, кроме того, открытые шары покрывают пространство, то они составляют базу некоторой топологии (см. 1.9). Тем самым метрическое пространство делается топологическим.

Описанная топология называется метрической. В дальнейшем мы без всяких оговорок будем рассматривать метрические пространства как топологические, имея в виду метрическую топологию. В частности, это относится к пространствам Rn и /2.

Топологическое пространство, топология которого является метрической по отношению к некоторой метрике, называется метризуемым.

Открытые шары с центром в данной точке метрического пространства составляют, очевидно, базу в этой точке. Часть этой базы, составленная из шаров радиусов 1/га(/г = 1,2, ...), также является базой.

Метрической окрестностью радиуса г>0 множества А в метрическом пространстве X называется множество точек хеХ с Dist (Л, х) < г. Так как это — объединение открытых шаров радиуса г с центрами в точках множества А, то это — открытое множество, т. е. действительно окрестность множества А. '

Подпространства

■ /. В этом пункте изучается относительная топология, превращающая каждое подмножество А топологического пространства X в самостоятельное топологическое пространство. Эта топология определяется тем, что ее открытыми множествами являются пересечения вида А П В, где В — открытое подмножество

пространства X. Требования определения 1.1 здесь удовлетворяются очевидным образом. Ясно также, что замкнутыми множествами этой топологии являются в точности пересечения вида Л fl В, где В —замкнутое подмножество пространства X. Подмножества пространства X, наделенные относительной топологией, называются его подпространствами.

Пара (X, Л), составленная из топологического пространства X и его подпространства Л, называется топологической парой. Тройка (X, Л, В), составленная из топологического пространства X и его подпространств Л, В, таких, что В а А, называется топологической тройкой.

Множество, лежащее в подпространстве Л пространства X и открытое или замкнутое в X, будет, очевидно, таким же и в Л. Если Л открыто, то всякое открытое в Л множество открыто и в X. Если Л замкнуто, то всякое замкнутое в Л множество замкнуто и в X. Во всех случаях, если ВсАсХ, то-С1лВ = (С1ХВ)ПЛ.

Ясно, что если Г — база (предбаза) пространства X, то мно"- жества ЛОВ с Be Г составляют базу (предбазу) пространства А.

Относительная топология, как это прямо следует из ее определения, транзитивна: если В — подмножество подпространства А пространства X, то топологии, индуцированные в В включениями В с: Л и ВсХ, совпадают.

Если X — метрические пространство и Л — множество в X, то сужение функции dist на А ХА, очевидно, представляет собой метрику в А. Благодаря этому, каждое подмножество метрического пространства само оказывается метрическим пространством. Ясно, что метрическая топология последнего совпадает с относительной топологией, индуцированной в нем метрической топологией объемлющего пространства.

Построения этого пункта радикально расширяют запас нетривиальных примеров топологических пространств: теперь он охватывает все подмножества пространств Rn и 12. В частности, топологическими пространствами являются шары и сферы пространства R”. Здесь мы укажем еще только на кубы пространства R”, определяемые неравенствами вида а(^х(^аг + а (z = l, ..., га), где аь ..., ап, а — вещественные числа и а>"0. Если а! — ... = ап = 0 и а = 1, то куб называется единичным и обозначается через /”. Единичный отрезок Iх обозначается также через /. ■ . •

Фундаментальные покрытия

Покрытие Г пространства X называется фундаментальным, если всякое множество, пересечение которого с каждым множеством BeY открыто в В, само открыто".' Равносильное уело-

вне: всякое множество- в X, пересечение которого с каждым множеством ВеГ замкнуто в В, само замкнуто.

Очевидно, что покрытие, в которое может быть вписано фундаментальное покрытие, само фундаментально.

Все открытые покрытия, а также все конечные и локально конечные замкнутые покрытия фундаментальны.

■Случаи открытого покрытия и конечного замкнутого покрытия очевидны. Пусть Г — локально конечное замкнутое покрытие пространства- X. Составим - из открытых множеств, пересекающихся лишь с конечным числом элементов покрытия Г, какое-нибудь покрытие Д пространства X. Так как Д — фундаментальное покрытие, то фундаментальность Г будет доказана, если мы установим фундаментальность покрытий множеств Uek их пересечениями U П В с В е Г. А эта фундаментальность прямо следует из конечности и замкнутости указанных покрытий.

Тройка вида (X, А, В), где X — топологическое простран- ■ ство, а Л и В — его подмножества, составляющие его фундаментальное покрытие, называется триадой. Так, пространство X составляет со своими подмножествами А, В триаду, если 1п1Л U IntB = Ji, а также если ЛиВ = ^ и множеств'а А, В замкнуты.

Непрерывные отображения

Отображение топологического пространства X в топологическое пространство У называется непрерывным, если прообраз любого открытого подмножества пространства У является открытым подмножеством пространства Л'. Равносильное условие: прообразы замкнутых множеств замкнуты.

. Отображение f: (Л", Ль ..., Л„)-*(У, Вх, ..., В^, где Ль ..., Ап — подмножества пространства X, а Вх, ..., S„ —подмножества пространства У, называется непрерывным, если непрерывно отображение absf: X-*Y.

Полезное замечание: для непрерывности отображения Х->¥ достаточно, чтобы были открыты прообразы множеств некоторой предбазы пространства У.

Очевидно, что если отображения f: Х->¥ и g; Y-*Z непрерывны, то и их композиция gof: X-*Z непрерывна. Ясно также, что тождественное отображение idX: Х-*Х непрерывно для всякого топологического пространства X..

Из определения относительной топологии видно, что если отображение f: X^-Y непрерывно и А, В — такие "множества в X, Y, что f (А) с В, то и отображение abf: А->В непрерывно. В частности, сужение f |л: А -> У непрерывного отображения f: X-*Y на любое подмножество А пространства X непрерывно. Например, включение подпространства в пространство есть непрерывное отображение. ■- ■,

Если сокращение abf отображения f: X-*Y определено на •всем X, то его непрерывность, очевидно, не только следует из непрерывности отображения f, но и влечет за собой непрерывность отображения f. В частности, отображение f: X —>У непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывно отображение ab f: X-»- ЦХ\ .

■ 3. Ясно, что если Г — фундаментальное покрытие пространства X, то непрерывность отображения f: Х->¥ следует из непрерывности сужений f |л с ЛеГ. Равносильная формулировка: пусть Г — фундаментальное покрытие пространства X, и пусть для каждого множества Л е Г задано непрерывное отображение fA: А-> Y, причем fA(x) = fg^, если хеД f] В (Л, ВеГ); тогда отображение f; X-+Y, определяемое формулой

f to = f a to чри х е Д (Л е Г),

непрерывно. .

Непрерывное отображение называется открытым, если образы открытых множеств открыты, и замкнутым, если образы замкнутых множеств замкнуты.

Очевидно, композиция открытых отображений открыта, а композиция замкнутых отображений замкнута.

" Укажем на полезное достаточное условие открытости: непрерывное отображение /: Х—>¥ заведомо открыто, если для каждой точки уеУ существуют такая ее окрестность Uy и такое непрерывное отображение gy: Uy->X, что композиция f ° gy совпадает с in: Uy-^Y. Доказательство: в этом случае /(Д) = Оуек^уЛЛ) Для всякого подмножества Л пространства X.

Непрерывность в точке

Отображение f: Х->-¥ называется непрерывным в точке хеХ, если для всякой окрестности V точки f(x) существует такая окрестность /7 точки х, что ЦЩсеУ.

Это определение также допускает переформулировку, использующую меньший запас открытых множеств. Предположим, что отображение f: X-»Y задано вместе с некоторой базой А в точке хеХ и некоторой предбазой Е в точке f^eY. Ясно, что для непрерывности отображения f в точке х необходимо и достаточно, чтобы каждая окрестность УеЕ содержала образ некоторой окрестности Де А.

В случае, когда X и Y — метрические пространства, а А и Е составлены из открытых шаров с центрами в точках х и f(x), последнее предложение приводит к популярной в анализе числовой формулировке: отображение f: X^-Y непрерывно в точке х е X, если для всякого положительного е существует такое

положительное 6, что образ любой точки х' е X, "удаленной от х менее чем на 6, удален от /(х) менее чем на е.

Отображение f: X^-Y непрерывно тогда и только тогда, когда оно непрерывно в каждой точке.

Доказательство. Если отображение / непрерывно и У — окрестность точки ) (х), то f1 (V) есть окрестность точки х И KrXv^v.

Если отображение f непрерывно в каждой точке и V — открытое множество в Y, то каждая точка множества f-1 (У) является внутренней, так как обладает окрестностью, отображающейся в V.

Гомеоморфизмы и вложения

Из непрерывности обратимого отображения f: X-*-Y не следует непрерывность обратного отображения f1: Y^X. Например, отображение, обратное тождественному отображению множества, наделенного дискретной топологией, на то же множество, наделенное другой топологией, не является непрерывным.

Обратимое отображение /, такое, что оба отображения f и f”1 непрерывны, называется гомеоморфизмом. Если существует гомеоморфизм X-*Y, то говорят, что пространство У гомеоморфно пространству X.

Ясно, что тождественное преобразование пространства есть гомеоморфизм, что отображение, обратное гомеоморфизму, есть гомеоморфизм и что композиция двух гомеоморфизмов есть гомеоморфизм. Следовательно, гомеоморфность есть эквивалентность..■

(Примеры). Открытый шар IntD" гомеоморфен R". Стандартный гомеоморфизм R"^-Int£>ri определяется формулой

■f 2х arctg (dist (0, х))/л dist (0, х), если хУ=0,

' Х ( 0,если х = 0. -

Куб /" гомеоморфен шару Dn, его внутренняя часть IntZ" гомеоморфна IntD", а его граница FrZ" гомеоморфна YtD*1, т. е. Sn-X. Стандартные гомеоморфизмы 1У-+Г, IntZ^-HntZ", FrZ)"->FrZ" осуществляются сдвигом на вектор (ог^+У..+ort„)/2, где через ortt, ..., ort„ обозначены векторы (1,00), ...,

(00, 1), с последующим центральным проектированием.

Проколотая (т. е. лишенная одной точки) сфера S" гомеоморфна R". Гомеоморфизм R"-> S" \ ort1 мо^кет быть скомпони- рован из гомеоморфизма {хь ..., хп}>—>{0, хь ..., х„) пространства R” на подпространство пространства Rn+1 и стереографической проекции, т. е. центральной проекции этого подпространства на S"\ort] из точки ortp

Отображение f; Х->¥ называется вложением или, подробнее, топологическим вложением, если ab f: X -> f (X) есть гомеоморфизм. Например, включение подпространства в пространство является вложением.

Ретракции

Ретракцией называется непрерывное отображение пространства на подпространство, совпадающее на этом подпространстве с тождественным отображением. Подмножество, на Кбторое пространство может быть ретрагировано, называется его ретрактом.

Любая точка топологического пространства является его ретрактом. Пара точек может уже не быть ретрактом. Например, отрезок не ретрагируется на свою границу: ретракция была бы непрерывной вещественной функцией на этом отрезке, принимающей два значения, но не принимающей промежуточных значений.

Подмножество Л топологического пространства X в том и только том случае является его ретрактом, если всякое непрерывное отображение A-*Y продолжается до непрерывного отображения X ^-Y, каково бы ни было топологическое пространство Y.

Доказательство. Если р: X-»А — ретракция и f: А-> Y — непрерывное отображение, то композиция fop продолжает f на X.

Если всякое1 непрерывное отображение А->¥ продолжается до непрерывного отображения Х-*¥, то тождественное отображение А->А продолжается до непрерывного отображения X—> А, которое и будет ретракцией.

Числовые функции

Известная теорема анализа о непрерывности функций, к которым приводят арифметические действия над непрерывными функциями, верна, очевидно, для числовых функций, определенных на любом топологическом пространстве. То же относится к теореме 6 непрерывности предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций.

Если X — метрическое пространство и А — множество в X, то функция X->R, определяемая формулой xi—>Dist(x, Л), непрерывна.

Доказательство. Если х, у е X, z е А, то Dist (х, Л) ^ dist(x, zXdistfx, у) + dist(у, z). Следовательно, Dist(x, Л)< dist(x-, у) + Dist (у, Л) для любых х, у еХ, и так как х и у равноправны, то | Dist (х< Л) — Dist (у. Л) | ^ dist(х, у).

Подмножество А топологического пространства X назы- - вается выделяемым, если существует такая непрерывная функция f: Х->I, что f (х) = О при х е Л и f (х) > 0 при х е X \ Л. Всякая такая функция называется выделяющей множество Л.

Очевидно, что выделяемые множества замкнуты. Ясно также, что замкнутые подмножества метрического пространства выделяемы: замкнутое подмножество Л метрического пространства выделяется, например, функцией xt—»min(l, Dist(x, Л)).

-5. Аксиомы отделимости

В этом и двух следующих пунктах формулируются дополнительные ограничения, часто накладываемые на топологическую структуру и приближающие свойства топологического пространства к привычным свойствам подмножеств пространств R".

Известно более десятка «аксиом отделимости». Нам потребуются следующие четыре: -

Ть Для любых двух различных точек а, b существует окрестность точки а, не содержащая Ь. Равносильные формулировки: точка есть замкнутое множество; конечные множества замкнуты.

Т2. Любые две различные точки обладают непересекающимися окрестностями.

Т3. У любой точки и любого не содержащего ее замкнутого множества есть непересекающиеся окрестности. Равносильная формулировка: любая окрестность любой точки содержит замыкание некоторой окрестности этой точки.

Т4. У любых двух непересекающихся замкнутых множеств есть непересекающиеся окрестности. Равносильная формулировка: каждая окрестность замкнутого множества содержит замыкание некоторой окрестности этого множества. Другая равносильная формулировка: для любого конечного набора попарно непересекающихся замкнутых множеств существуют .окрестности этих множеств с попарно непересекающимися замыканиями. .

Аксиома Ti следует из аксиомы Т2, но не следует, как показывают очевидные примеры, из аксиом Т3 и Т4.

Пространства, для которых выполнена аксиома Т2, называются хаусдорфовыми, пространства, для которых выполнены аксиомы Т] и Т3, — регулярными, а пространства, для которых выполнены аксиомы Т1 и Т4, — нормальными. Из нормальности следует регулярность, из регулярности — хаусдорфовость.

Ясно, что подпространство -хаусдорфова пространства > хаусдорфово, что подпространство регулярного пространства регулярно и что замкнутое подпространство нормального пространства нормально.

Информация. Незамкнутое подпространство нормального пространства Может не быть нормальным; см. [11]..

Ретракт хаусдорфова пространства есть замкнутое множество.-

Доказательство. Пусть Л —ретракт хаусдорфова пространства X, и пусть р: X -> А — ретракция и b — точка, не лежащая в Л. В силу хаусдорфовости X и непрерывности р точки b, р(У) обладают непересекающимися окрестностями U, V с рДДаУ, и из этого включения следует, что р(х)^х, если хе U, т. е. что U не пересекается с Л. Таким образом, точка, не лежащая в А, является внешней для А.

Метрические пространства нормальны. .

Доказательство. Что метрические пространства удовлетворяют аксиоме Ть очевидно; проверим Т4. Пусть А, В — непере- секающиеся замкнутые подмножества метрического пространства. Положим U = {х | Dist (х, Л) < Dist (х, В)}, V = {х | Dist (х, В) < Dist(x, Л)}. Так как Dist(x, Л), Dist(x, В) непрерывно зависят от х (см. 4.13), то U, V — открытые множества, и ясно, что U П V = 0 и A a U, В с V.

Функции Урысона

(Лемма). Пусть А, В — замкнутые' подмножества топологического пространства X, Г — совокупность всех окрестностей множества А, не пересекающихся с В, и Д — множество двоично рациональных чисел отрезка I (т. е. чисел вида m]2q с неотрицательными целыми m, q и -с пг^Д4'). Если X нормально, то существует такое отображение ф: Д^-Г, что

■Clф(г^ с ф(г2) при гх_<г2.(1)

Доказательство. Положим ф(1) =Л'\В и возьмем в качестве ф(0) какую-нибудь окрестность множества А, лежащую вместе со своим замыканием в X\S (вторая формулировка аксиомы Т4). Если значения ф(г) уже определены с соблюдением условия <(1) для чисел г^тф^еА с q = n, то это определение можно продолжить с сохранением свойства (1) на числа г = tnl^^ '1^ М в качестве ф(г) для г = т/2"+ХД с нечетным т = 2/г+1 можно взять любое открытое множество, содержащее С1ф(&/2") и лежащее вместе со своим замыканием в ф((/г + 1)/2"). Эта индукция и приводит к отображению ф: Д —> Г со свойством (1).

Для любых двух непересекающихся замкнутых подмножеств А, В нормального пространства X существует непрерывная функция Х->1, равная 0 на А и 1 на В.

Доказательство. Пользуясь предыдущей леммой и ее обозначениями, определим функцию f; Х—>1 формулой

( inf (г |ф(г) Эх}, если хеф(1),

если хеЛ\ф(1).

Ясно, что эта функция равна 0 на Л и 1 на 5. Чтобы доказать ее непрерывность, заметим, что промежутки [0, г), (г, 1] с г е А составляют предбазу. отрезка I и что f—1 ([О, г)) = Ur'<гф (г'), а Г* ([0, г])= П^>,.ф(г'). Последнее пересечение, в силу включений (1), совпадает с ПГ'>ГС1 <р(И> так что ГЧ(г, 1]) = X\/-1 ([0, г]) = Х\ Пг'>гС Ф(И- Таким образом, промежутки [0, г), (г, 1] имеют открытые прообразы, и, значит, функция / непрерывна.

Непрерывная функция Х-*1, равная 0 на множестве А с: X и 1 на множестве В с X, называется функцией Урысона пары А, В.

Функция Урысона пары А, В может обращаться в нуль и вне А, однако, если множество А выделяемо, то формула Хг-» min(f (х) + Sto, 1)> гДе / —какая-нибудь функция Урысона пары А, В, a g — выделяющая функция, позволяет получить и функцию Урысона пары А, В, положительную вне А.

Нетрудно заметить, что доказательство теоремы 8 не использует аксиомы Ть так что эта теорема верна для любого Т4-про- странства. Очевидно, верно и обратное: если для любых двух непересекающихся замкнутых подмножеств пространства Xсуществует функция Урысона, то X удовлетворяет аксиоме Т4.

Заметим, наконец, что теорему 8 можно слегка усилить, компонируя функцию Урысона с линейным преобразованием t1-^ а + (b — а)/, где а, b — произвольные вещественные числа. Композиция будет непрерывной функцией, отображающей X в отрезок [а, 6] и равной а на А и b на В.

‘ . Теоремы продолжения ■

(Лемма). Пусть F — замкнутое подмножество топологического пространства X и ф: F—>R— непрерывная функция, ограниченная по абсолютной величине числом L > 0. Если X нормально, то существует такая непрерывная функция ф: X-*R, что

| ф (х) | ^ L/3 при х е X,

. | ф(х) — ф(х) | ^2Т/3 при хгр. ^

Доказательство. Подмножества множества F, опре- - деляемые неравенствами ф(х)^— L/3, ф(х)^Т/3, замкнуты в F, а значит и в X, и не пересекаются. Следовательно, существует непрерывная функция ф: Х->\— ЦЗ, L^, равная —L/3 на первом множестве и £/3 на втором (см. 9), и ясно, что она удовлетворяет условиям (2).

Если А — замкнутое подмножество нормального пространства X, то всякую непрерывную функцию Л-*₽ можно продолжить до непрерывной функции X-*R. В этой формулировке прямая R может быть заменена отрезком.

Покажем сначала, что всякое непрерывное отображение f множества А в отрезок продолжается до некоторого непрерывного отображения g пространства X в этот отрезок. Можно, очевидно, считать, что речь идет об отрезке [—1, 1]. Функция g определяется как сумма ряда непрерывных функций gh; X-*R, подчиненных условиям

I^aW |^26-1/з\ если хеХ, (3) I f to — So gi (х)| < (2/3)fe, если хе А. (4)

Функции gk строятся индуктивно: в качестве g0 мы берем нуль и, предполагая функции g0, ..., gn построенными и удовлетворяющими неравенствам (3) и (4) с /г^п, определяем grt+1 как результат применения предыдущей леммы к функции <р — f —SoteU) с Е = А и L = (2/3f. Из (3) следует, что ряд ^gh равномерно сходится на X, так что его сумма непрерывна (см. 4.12), а из (4) —что g\A = b

Обращаясь к доказательству первой части теоремы, заменим прямую R гомеоморфным ей открытым интервалом (—1, 1). В силу доказанного, для заданной непрерывной функции /: Л->(—1, 1) во всяком случае существует такая непрерывная функция g; X -> [—1, 1], что g(x) = f (х) для хе А. Положим В = g~‘‘ (— 1) U g~‘(l). Множества В и А замкнуты и не пересекаются, так что у пары В, А есть функция Урысона. Умножив ее на g, мы и получим требуемое продолжение ^->(—1,1) функции /.

Если А — замкнутое подмножество нормального пространства X, то всякое непрерывное отображение Л—>R" можно продолжить до непрерывного отображения X -»■ R". В этой формулировке пространство R” может быть заменено кубом.

Для доказательства достаточно применить теорему 11 к координатным функциям предложенного отображения.

Аксиомы счетности

Второй аксиомой счетности называется предположение, что пространство обладает счетной базой. Первой аксиомой счетности называется предположение, что пространство обладает счетной базой в каждой точке. Пространство называется сепарабельным, если оно обладает счетным всюду плотным множеством.

Из второй аксиомы счетности следуют первая аксиома счетности и сепарабельность. Для метрических пространств

первая аксиома счетности выполнена всегда, а вторая аксиома счетности равносильна сепарабельности. •

Что первая аксиома счетности следует из второй — очевидно, что она выполнена для метрических пространств — видно из 2.6. Чтобы построить в пространстве со счетной базой счетное всюду плотное множество, достаточно взять по точке в каждом множестве счетной базы. Счетную базу в сепарабельном метрическом пространстве можно составить из открытых шаров с центрами в точках счетного всюду плотного множества и радиусами \(п (n= 1, 2, ...).

Пространства R" и 12 сепарабельны и, следовательно, обладают счетной базой.

В R" счетное всюду плотное множество составляют, например, последовательности {хг}" с рациональными хь в /2 —финитные (т. е. обладающие лишь конечным числом ненулевых чденов) последовательности {х,}” с рациональными xt.

Подпространство пространства со счетной базой обладает счетной базой. В частности, все подпространства пространств R" и /2 обладают счетной базой.

Действительно, счетная база пространства высекает счетную базу в каждом его подпространстве; см. 3.2.

В сепарабельном пространстве всякая совокупность попарно непересекающихся открытых множеств счетна. .

Действительно, взяв в каждом множестве такой совокупности по точке какого-нибудь счетного всюду плотного множества S, мы получим взаимно однозначное отображение этой совокупности в S. '

Очевидно, что при непрерывном отображении одного топологического пространства на другое всюду плотное множество переходит во всюду плотное множество. Ясно также, что при открытом отображении одного топологического пространства на другое база переходит в базу, а база в точке — в базу в образе этой точки. Следовательно, образ сепарабельного пространства при непрерывном отображении есть сепарабельное пространство, и образ пространства, удовлетворяющего первой или второй аксиоме счетности, при открытом отображении удовлетворяет той же аксиоме счетности.

Регулярное пространство со счетной базой нормально.

Доказательство. Пусть А, В — непересекающиеся замкнутые подмножества регулярного пространства X со счетной базой. Согласно второй формулировке аксиомы Т3, каждая точка каждого из множеств А, В обладает окрестностью, замыкание которой не пересекается с другим множеством. Получающиеся таким образом открытые покрытия множеств А, В можно считать счетными, так как их можно заменить вписанными

в них покрытиями, составленными из множеств счетной базы (см. 1.13). Занумеруем их в последовательности U^, U2, ...;

Уь У2, ...и положим U'n = Un\ Ur'ClVi, V„ = У„ \ U?C1 Ut. Множества t7=U”^n, У=1)ГУп открыты и, очевидно, не пересекаются, и так как Cl Ut f) В = 0, Cl V, П А = 0, то U дэ А,, VtdB. .

' Теоремы вложения и метризации

Регулярное пространство со счетной базой вкладывается в Ц.

Доказательство. Пусть X — регулярное пространство со счетной базой Г. Занумеруем пары (U, У) с УеГ, V еГ и СНУ с У в последовательность (Дь У]), (Д2, У2), ...и определим отображение f: Х->12 формулой f (х) = {^-’ф6(х)}1 , где Фй — какая-нибудь функция Урысона парыС1Д&, Х\У6 (см. 7). Если х ± у, то (в силу регулярности пространства X) существует такое h, что хги^, а у е XW^. Таким образом, отображение / взаимно однозначно. Мы покажем, что / есть вложение.

Так как функции фй непрерывны, то для заданных хоеХ, е > 0 и п существует такая окрестность U точки х0, что S”(|фй(х) — фй(х0) |//г)2 < е /2, если xeU. Выбрав п под условием 2”+1^-2 < е2/2, мы видим, что dist (/ (х0), /(х))<е. Следовательно, отображение / непрерывно.

Обозначим через g отображение, обратное отображению abf: Х->НХ\ и найдем для заданной точки уйгЦХ) и заданной окрестности U точки g (у0) такое п, что gХу^ е Д„, У„ с U. Если у<=Ш) и dist (у0, у) < 1/п, то, очевидно, |Ф„(г(г/)) — Ф„ (g (Уо)) I < Ъ Так как ф„ (g (g0)) = 0, то последнее неравенство равносильно неравенству Фn(g(y))< 1, из которого следует, что g(y)eVn. Таким образом, если угЦХ) и dist (у0, z/) < 1/га, то g^GU. Следовательно, отображение g непрерывно.

Топологическое пространство со счетной базой метризуемо тогда и только тогда, когда оно регулярно.

Необходимость этого условия содержится в 5.6, достаточность — в 8. .

■ 7. Компактность -

/. Топологическое пространство называется компактным, если всякое его открытое покрытие содержит конечное покрытие. Например, конечное множество, наделенное произвольной топологией, компактно, а бесконечное множество, наделенное дискретной топологией, не компактно.

Ясно, что подпространство топологического пространства X компактно в том и только том случае, если всякое его открытое покрытие в X содержит конечное покрытие.

2929ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ$ 11

29

29

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Замкнутое. подмножество компактного пространства компактно.

Доказательство. Пусть Л —замкнутое подмножество компактного пространства X и А — его покрытие в X. Присоединим к А множество X \ Л, выделим из полученного открытого покрытия пространства X конечное покрытие и удалим из последнего множество Х\Л, если оно еще не удалено. Ясно, что мы получим конечное покрытие множества Л, содержащееся в А.

■3. В хаусдорфовом пространстве у любых двух непересекаю-

цихся компактных множеств имеются непересекающиеся окрестности.

Доказательство. Пусть А, В — предложенные множества. Если В — точка, то мы фиксируем для каждой точки хе А непересекающиеся окрестности Ux, Vx точек х, В и выделяем из возникшего покрытия множества А окрестностями Ux конечное покрытие UXx, ..., UXs; множества U? UX{ и f|f Vx. будут тогда непересекающимися окрестностями множества А и точки В. В общем случае мы фиксируем для каждой точки хе В непересекающиеся открестности Ux, Vx множества А и точки х и выделяем из возникшего покрытия множества В окрестностями Vx конечное покрытие VXp ..., Vx$; множества П? ^хг, Ui VXt будут тогда непересекающимися окрестностями множеств А, В.

компактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто.

Действительно, из 3 следует, что в хаусдорфовом пространстве точка, не принадлежащая компактному множеству, обладает окрестностью, не пересекающейся с этим множеством.

Компактное хаусдорфово пространство нормально. Это следует из 2 и 3.

Компактность и фундаментальные покрытия

Если А —компактное подмножество Тгпространетва X, то всякое счетное фундаментальное покрытие пространства X содержит конечное покрытие множества А.

Доказательство. Пусть Uv, U2, ...—предложенное покрытие. Если А не покрывается ни одним из множеств U? то мы можем выбрать в каждом из множеств Л\ 1)Г^г по точке, и ясно, что выбранные точки составят бесконечное множество, пересекающееся с каждым из множеств Ut по конечному множеству. Из конечности этих пересечений следует, что указанное. множество и все его подмножества замкнуты; таким

образом, оно компактно (см. 2) и дискретно одновременно, что противоречит его бесконечности.

Условие счетности в теореме 6 существенно. Например, покрытие отрезка всевозможными счетными подмножествами фундаментально, но не обладает счетным подпокрытием.

Компактность и отображения

Образ компактного пространства при непрерывном отображении компактен.

Доказательство. Пусть f — непрерывное отображение компактного пространства X на топологическое пространство Y и А —открытое покрытие пространства Y. Множества /~‘ (V) с V еА составляют открытое покрытие пространства X, и ясно, что если Ux, ..., Us — его подпокрытие, то f (1Д), ..., Ци^ есть подпокрытие покрытия А.

Непрерывное отображение компактного пространства в хаусдорфово пространство замкнуто.

Это следует из 2, 8 и 4.

Обратимое непрерывное отображение компактного пространства на хаусдорфово пространство есть гомеоморфизм. Взаимно однозначное непрерывное отображение компактного пространства в хаусдорфово пространство есть вложение.

Это следует из предложения 9 и того очевидного факта, что обратимое замкнутое отображение есть гомеоморфизм.

Компактность и метрика

И. Компактное подмножество метрического пространства при любом положительном е может быть покрыто конечным числом открытых шаров радиуса е.

Такое покрытие можно выделить из любого покрытия, составленного из открытых шаров радиуса е.

Компактное метрическое пространство обладает счетной базой.

Чтобы получить такую базу, достаточно построить для каждого натурального п конечное покрытие, составленное из открытых шаров радиуса 1/щ и объединить эти покрытия.

Компактное метрическое пространство ограничено.

Это следует из 11.

Если X — компактное топологическое пространство, то всякая непрерывная функция X -> R ограничена и обладает наибольшим и наименьшим значением.-

Доказательство. Ограниченность образа пространства X в R следует из 8 и 13. Из 9 следует, что этот образ замкнут, а из его замкнутости следует, что он содержит свои точки

прикосновения, среди которых находятся его нижняя грань и его верхняя грань. '

Пусть А и В — непересекающиеся подмножества метрического пространства. Если А компактно, а В замкнуто, то Dist (А, В) > 0. ’

Доказательство. Так как А компактно и Dist(х, В) непрерывно зависит от хе Л (см. 4.13), то существует точка аг А с Dist(a, В) = infxe^DistCr, B) = Dist(X, В) (см. 14). Так как В замкнуто и афВ, то Dist(а, В)>0. Таким образом, Dist(4, В)>0.

Пусть f — непрерывное отображение метрического пространства X в топологическое пространство Y и А — открытое покрытие пространства У. Если X компактно, то существует такое положительное е, что, каково бы ни было множество Аг X с диаметром, меньшим е, множество f (Л) содержится в некотором множестве из А.

Достаточно показать, что при некотором положительном е любые две точки х, у г X с dist (х, у^ < е лежат в одном множестве покрытия Г = /-1(А). Окружим каждую точку х г X шаром, лежащим в одном из множеств покрытия Г, обозначим через Ux открытый концентрический шар вдвое меньшего радиуса и выделим из покрытия пространства X шарами Ux конечное покрытие UXp ..., UXs. Пусть е( —радиус шара Ux и е —наименьшее из чисел е;. Если х, угХ и di,st(x, у) < е, то dist (xit х) < ez и dist (xz, z/) < dist (xz, x) + dist (x, z/) < 2ez при некотором i, так что x и у лежат в одном множестве покрытия Г.

Компактность в евклидовом пространстве

Кубы пространства R" компактны.

Доказательство. Куб пространства R" очевидным образом делится на 2" кубов вдвое меньших размеров, и если некоторое покрытие Г исходного куба открытыми множествами пространства R" не содержит конечного покрытия, то тем же свойством оно будет обладать и как покрытие одного из меньших кубов. Повторяя это рассуждение, мы построим убывающую последовательность кубов Qb Q2, ..., каждый из которых вдвое больше следующего и ни один из которых не покрывается конечным набором множеств из Г. Однако общая точка этих кубов покрывается некоторым множеством из Г, а с ней должны покрываться этим множеством ш кубы Qk с достаточно большими к.

Подмножество пространства R” компактно в том и только том случае, если оно ограничено и замкнуто.

Необходимость этих условий содержится в 13 и 4. Достаточность следует из 17 и 2, поскольку ограниченное подмножество пространства R" содержится в некотором кубе.

Локальная компактность

Топологическое пространство называется локально компактным, если каждая его точка обладает окрестностью с компактным замыканием.

Очевидно, компактные пространства локально компактны. Важнейшими примерами локально компактных некомпактных пространств служат пространства R" с п > 0.

Замкнутые подмножества локально компактного пространства локально компактны.

Действительно, если а — точка замкнутого подмножества Л локально компактного пространства X и U — окрестность точки а в X с компактным замыканием С1ХД, то U П Л есть окрестность точки а в Л с компактным замыканием С1л(ДПЛ). [Компактность замыкания С1л(^ПЛ) следует из его замкнутости в €1^(7 (см. 2), которая является следствием его замкнутости в ХД

Открытые подмножества хаусдорфова локально компактного пространства локально компактны.

Доказательство. Пусть а — точка открытого подмножества Л хаусдорфова локально компактного пространства X, и пусть U — окрестность точки а в X с компактным замыканием С1Х77. Так как пространство Cl^ U регулярно (см. 5), то а обладает в нем окрестностью К с Clci^uV с U Q А. Мы покажем, что V есть окрестность точки а в Л с компактным замыканием Cl^V.

Что множество V открыто в А, вытекает из его открытости в U (] А, которая является следствием его открытости в Clx U. Чтобы установить компактность множества С1ЛИ, заметим, что замыкание Clci^nV компактно (см. 2) и лежит в U П А. Из этого следует, что оно совпадает с замыканием С1иплИ и что последнее замкнуто в А (см. 4), а из этой замкнутости следует, что С1ипл И = CU И.

Пусть U — окрестность точки и локально компактного пространства X. Если X хаусдорфово, то а обладает окрестностью, замыкание которой компактно и содержится в U.

Доказательство. Так как пространство U локально компактно (см. 21), то а обладает в нем окрестностью с компактным замыканием; пусть V — такая окрестность. Так как множество U открыто, то множество V открыто в X. Так как замыкание множества V в U компактно, а пространство X хаусдорфово, то замыкание множества V" в U замкнуто в X (см. 4) и потому совпадает с замыканием множества V в X. Таким образом, V — требуемая окрестность.

Хаусдорфовы локально компактные пространства "регулярны.

Это следует из 22.

Информация: паракомпактность

Хаусдорфово пространство называется паракомпактным, если во всякое его открытое покрытие можно вписать локально конечное открытое покрытие. К числу паракомпактных пространств принадлежат компактные хаусдорфовы пространства (что очевидно) и все метрические пространства. Замкнутые подмножества паракомпактных пространств паракомпактны. Все паракомпактные пространства нормальны. Подробности см. в [11].

Можно показать, что паракомпактное пространство, которое покрывается метризуемыми открытыми множествами, метри- зуемо; см. [13]. '

§ 2. КОНСТРУКЦИИ

Суммы

Сумма ЫцемХц семейства топологических пространств {-^Дем становится топологическим пространством, если объявить открытыми те ее подмножества, прообразы которых при всех отображениях inv: ^->иХц открыты. Равносильное определение: в U Ху замкнуты те множества, прообразы которых при всех отображениях inv замкнуты. Ясно, что каждое из отображений inv: Х^—> иХц является вложением и что образы inv(Xv) одновременно открыты и замкнуты в UX^.

Если {Уц} — другое семейство топологических пространств, индексированное тем же множеством М, и f^: Ху->¥у— непрерывные отображения, то отображение Ufy. U Ху -* I I Уц, очевидно, также непрерывно. _

Если все пространства Ху удовлетворяют одной из аксиом Ть Т2, Т3, Т4, то их сумма удовлетворяет той же аксиоме; то же относится к первой аксиоме счетности, а также к локальной компактности и метризуемости [если пространства Ху метри- зованы, то пространство UX^ может быть метризовано формулами: dist(inv(x), inV'(Z)) = l, если v^v' или v = v', dist(x, X)^l; dist (inv (x), inv (xz)) = dist (x, x'), если dist (x, x') < 1]. Если каждое из пространств Хц обладает счетной базой и множество М счетно, то и сумма обладает счетной базой; то же относится к сепарабельности. Наконец, если каждое из пространств компактно и множество М конечно, то сумма компактна.

- 2. Произведения

Пусть Хь ..., Хп — топологические пространства. Снабдим множество X] X • • • X Хп топологией, приняв за базу совокупность всех множеств UVX • •• X Uft cz Хх X ••• X Xn, где

9 RA Рахлым П К (bwA

UT) >.., Un— открытые множества в X]Хп. Условия предложения 1.1.8 здесь выполнены в силу формулы ([/[ X • • • X ^„) П К х ... X Un) = М п и") х ... X (и'п n и"). Полученное топологическое пространство называется произведением пространств Хх,...,Хп.

Ясно, что если Ль .... Ап — подпространства пространств Хх, ..., Хп, то топология произведения Ai X ... X ^п совпадает с топологией, индуцированной включением А, X ••• ХАпс ХхХ ... ххп.

Некоторые произведения нами, по существу, уже рассматривались. Так, R" есть произведение п экземпляров прямой R, /" есть произведение п экземпляров отрезка /.

Произведение топологического пространства X на I называется цилиндром над X.

Перемножение пространств коммутативно и ассоциативно: имеются очевидные канонические гомеоморфизмы XiXX2-> Х2ХХх и (XiXX2)XX3^X1X(X2XX3). В том же смысле Ы ... ХХп-х^ХХп = ХхХ ... ххп. -

Кроме того, перемножение дистрибутивно по отношению к суммированию: имеется очевидный канонический гомеоморфизм IXUeM/^UneM^X^).

Если множества Ах, ..., А„ открыты в Хх, ..., Х№, то множество А = АхХ ••• X Ап открыто в ХхХ • •. X Хп. Если Аь ..., Ап замкнуты, то А замкнуто. Во всех случаях С1А = С1А,Х ... ХС1А„.

Первое прямо следует из определения топологии в XY X ••• ХХп, второе является следствием третьего; докажем третье. Точка ^Хх, х^ г ХхХ ••• ХХп тогда и только тогда является точкой прикосновения множества А, когда пересечение любой базисной окрестности UxX ••• X Un этой точки с А непусто, т. е. когда пересечения любых окрестностей Ux, ..., Un точек Хх, ..., хп с множествами Аь ..., Ап непусты, т. е. когда Хххп — точки прикосновения множеств Аь ..., Ап. Таким образом, С1А = С1А!Х ... ХС1А„.

Очевидно, что проекции pr2: X) X • • • XXn^>-Xi непрерывны и открыты для любых топологических пространств Х2, ..., Х„.

Множества вида ^ X ... X ^_, X Хг Х^+1 X ... X х® с х° е Х; (/ #= 0 называются слоями произведения X, X ... X Хп. Ясно, что сужение проекции рг2: Х2Х ••• ХХп->Х{ на слой х°Х - •• Xx°i_l XX t Х^-+1 X ... Хл^ есть гомеоморфизм. Таким образом, слои канонически гомеоморфны сомножителям.

Всякому отображению f: У->Х2Х • •• X Хп, где У, Хх, ..., Хп — какие угодно множества, отвечают отображения prz of: Y-*Xt, и'для произвольно заданных отображений fz: Y-*Xt существует одно и только одно отображение f: Y ->Хх X • • • ХХп

cpti° f = ft- Очевидно, что если У, Хх, ..., Хп — топологические пространства, то отображение f непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывны все отображения ргг°Л

Из последнего, в частности, вытекает, что отображение diag: Х^ХХХ непрерывно для всякого топологического пространства X. Заметим, что (как это очевидно) диагональ diag(X) замкнута в точности тогда, когда пространство X хаусдорфово.

Ясно, что произведение ^ X ... X fn- Хх X ... ХХп-* У, X • • • X Уп непрерывных отображений fx: Хх ->Уь . . ., f„: Xn-*Yn непрерывно. Ясно также, что если отображения Л, • • ■, fn открыты, то произведение fiX • ■ • XL открыто.

Если X — метрическое пространство, то, очевидно, [dist(x[, х') —dist(xp x2)|<dist(xp xj + dist^', х2) для любых точек X], х2, х^, х' из X. Это неравенство показывает, что dist: X X X->R есть непрерывная функция. Заметим, что последний факт не мог быть сформулирован в п. 1.2, поскольку там множество X X X не было еще топологизировано.

Свойства произведения

Произведение Тх-пространств есть Тх-прост ранет во. Произведение хаусдорфовых пространств хаусдорфово. Произведение регулярных пространств регулярно.

Первое и второе очевидно; покажем, что произведение Т3-пространств ХхХп есть Т3-пространство. Пусть 17—-окрестность точки (хь ..., хп) в Хх X • • • X Хп. Найдем для точек хь ..., хп сначала такие окрестности Ux, .... Un, что Ux X •• . XUnaU, и затем такие окрестности Уь ..., У№, что C1V1G их CWncUn. Так как С1 (У, X . •. X У») = С1 Vx X •.. ХС1У„ (см. 3), то СЦ^Х ... XV^aU. -

Информация. Произведение нормальных пространств может не быть нормальным; см. [14].

Если Sb ..., Sn — всюду плотные подмножества пространств Хх, ..., Х„, то, очевидно, множество Si X • • ■ XSn всюду плотно в Хх X • • • X Хп. Следовательно, произведение сепарабельных пространств сепарабельно.

Если Гь..., Г„ — базы пространств Хх, ..., Хп, то множества Ux X ... XUn с t/jeTtипеГп составляют базу пространства Хх X ... ХХп. Следовательно, произведение пространств со счетной базой обладает счетной базой.

Если Гь ..., Г„ —базы пространств Хь ..., Хп в точках хххп, то множества Ux X ... X Un с Ux g Гь ..., Ua g Г„ составляют базу пространства Хд X • • • X Хп в точке (хь ..., х„). Следовательно, произведение пространств, удовлетворяющих первой аксиоме счетности, удовлетворяет первой аксиоме счетности.-

Произведение метризуемых пространств метризуемо.

Более того, если пространства X] Х„ метризованы, то произведение Xi X • • • X Хп метризуется канонически формулой dist((хп .... х^, (4<)) = [S"=1(dist(xz, О)9]1'2.

Произведение компактных-прост ранете компактно.

Доказательство достаточно провести для случая двух пространств. Пусть X, У—компактные пространства и Г — открытое покрытие пространства XX У- Впишем в Г какое-нибудь покрытие Д, составленное из открытых множеств вида ДХУ (см. 1.1.13). Так как слой хХУ гомеоморфны У, а У компактно, то для каждой точки хеХ можно указать конечный набор Д.ж = {Д/(х) X Vf(x)}"Jf, составляющий часть покрытия Д и покрывающий хХУ (см. 1.7.2), причем можно считать, что каждое из множеств Ut^ содержит х. Так как множества Ux — fl"2f Ut (х) открыты и покрывают X, а X компактно, то X покрывается некоторым конечным набором UXk, ..., Ux , и ясно, что Д' = U^j ^xl есть покрытие пространства X X У- Заменив каждое из множеств этого покрытия содержащим его элементом покрытия Г, мы и получим конечное подпокрытие покрытия Г.

Произведение локально компактных пространств локально компактно.

Доказательство. Если Щ, ..., Un — окрестности точек XjSX], ..., xnsXm то Ux X • •• X Un есть окрестность точки (х,х„) в Xi X • • • X Хп, замыкание С1 (Д] X ■ • • X U^ кото

рой совпадает с С1Д|Х ••• ХС1ДП (см. 3) и потому компактно вместе с QUXCl Un (см. 10).

Применение: способ построениянепрерывных отображений

Нижеследующее предложение 14 позволяет устанавливать непрерывность отображений в некоторых ситуациях, сходных с ситуацией теоремы 1.4.3, когда последняя неприменима.

(Лемма). Пусть отображение f: XXQ”*^ непрерывно и переводит слой x0XQ в точку. Если пространство Q компактно, то для всякой окрестности W точки f (х0 X Q) существует такая окрестность U точки х0, что / (Д X Q) с 117-

Доказательство. Фиксируем для каждой точки qeQ такую окрестность Uq точки х0 и такую окрестность Vq точки q, что f VUq X V q) с W. Если пространство Q компактно, то оно покрывается конечным набором V q Vq , и мы полагаем

Пусть X, У, Z, Q — топологические пространства, А — подмножество пространства X, В — замкнутое подмножество про-

странства У и f: XXQ^Z, g: Y-> X— такие непрерывные отображения, что множества f (x X Q) с хе А одноточечны и g (В) cz А. Если Q компактно, то для всякого непрерывного отображения ф: Y\B-*Q отображение h-. Y-^Z, определяемое формулой '

* , Г Hgto, ф(у)) при yeY\B,

при уеВ, непрерывно.

Доказательство. Непрерывность h в точках множества У\В очевидна; проверим ее в точке у е В. В силу леммы 13, для всякой окрестности W точки h {у) существует окрестность U точки g(y) с HUXQ^W. Из последнего включения следует, что h^g"1 (17)) с W, и остается заметить, что g~'(17) есть окрестность точки у.

. Информация

Произведение топологических пространств допускает естественное определение и тогда, когда число сомножителей бесконечно; при этом произведение компактных пространств остается компактным. Подробности см. в [3].

Факторизация

Фактормножество Х^ топологического пространства X по любому его разбиению f обладает естественной топологией: множество открыто, если открыт его прообраз при отображении рг: Х-*Х[\. Равносильная формулировка: множество замкнуто, если его прообраз при отображении рг: Х-*Х!\ замкнут. Эта естественная топология называется фактортопологией, и множество Х]\, наделенное фактортопологией, называется фактор- пространством пространства X по разбиению [. '

Ясно, что отображение рг: Х-*Х[\ непрерывно.

В специальном случае, когда все элементы разбиения (, кроме одного элемента, А, являются точками, пространство Х/\ называется факторпространством пространства X по А и обозначается через Х/А. -

Из определения фактортопологии следует, что каковы бы ни были топологические пространства X, Y, их разбиения f, t и непрерывное отображение f: X-^Y, отображающее элементы разбиения f в элементы разбиения t, отображение fact/: Д/f-* У/t непрерывно. Действительно, если 17 — открытое множество в У/t, то множество f-1 (рг-1 (17)) открыто в X, из чего следует, ввиду равенства (рг~* (17)) = pr~'((fact/)-1 (17)), что множество (fact f)-1 (17) открыто в XjV

Если t — разбиение на отдельные точки, то У/t = У, а рг: У -> У/t есть тождественное отображение. В этом случае сопоставление ft—>factf определяет взаимно однозначное соответствие между непрерывными отображениями X—>-У, постоянными на элементах разбиения (, и непрерывными отображениями Х/(->У.■

Из сказанного, в частности, следует, что если отображение f: X —* У непрерывно, то его взаимно однозначный фактор factf: X/zer(f)—>y также непрерывен. Верно и обратное: всякое отображение f топологического пространства X в топологическое пространство У представляется как сквозное отображение X—> X/zer (/) и потому из непрерывности factf следует непрерывность f.

Непрерывное отображение, взаимно однозначный фактор которого является гомеоморфизмом, называется факторным. Равносильное определение: отображение f топологического пространства X в топологическое пространство У факторно, если f(X) = Y" и прообраз ГЧв^ множества В открыт тогда и только тогда, когда открыто В. Другое равносильное определение получится, если заменить в этой формулировке открытые множества замкнутыми.■

Очевидно, что композиция двух факторных отображений факторна и что взаимно однозначное факторное отображение есть гомеоморфизм. Ясно также, что если отображение f факторно и композиция g°f непрерывна, то отображение g непрерывно, и что если f непрерывно и композиция g°f факторна, то g факторно.

Основной класс факторных отображений составляют проекции на факторпространства. Грубым достаточным условием факторности отображения f: Х->У с f (X) = У является его открытость или замкнутость.

Факторизация транзитивна: если f— разбиение пространства X и Г — разбиение пространства Х/f, то факторпростран- ство (X/f)/f канонически гомеоморфно X/t, где t — разбиение пространства X на прообразы элементов разбиения Г при проекции X—>X/f. Канонический гомеоморфизм определяется как взаимно однозначный фактор сквозной проекции Х->Х/(—> (Х/()/Г; что последний действительно является гомеоморфиз- мюм, следует из его факторности (см. 4).

Если множества А, В составляют фундаментальное покрытие пространства X, то отображение

fact [in: А-> XV А/А(]В^Х/В

есть гомеоморфизм.

Для доказательства достаточно установить, что если U — открытое подмножество факторпространства А[А^\В, то множество 7= [рг: Х->Х1Вух^тШ открыто в X. А это следует из равенств

7ПА = [рг: А-^А1А^\ВуЧЩ,_

( В, если - р г (А П В) г U,^^^ t 0, если рг(АПУ)^^.

Свойства факторпространства

Очевидно, что факторпространство Х]\ в том и только том случае удовлетворяет аксиоме Ть если элементы разбиения f замкнуты, и в том и только том случае хаусдорфово, если у любых двух различных элементов разбиения ( есть не- пересекающиеся насыщенные окрестности. Если заменить в последнем условии один из элементов разбиения ( насыщенным замкнутым множеством, то получится условие, эквивалентное аксиоме Т3 для Х^, а если заменить оба элемента разбиения ( насыщенными замкнутыми множествами, то получится условие, эквивалентное аксиоме Т4 для Х(\.

Ясно также, что Х[\ в том и только том случае обладает счетной базой, если в X есть такая счетная совокупность открытых насыщенных множеств, что всякое насыщенное открытое множество представляется как объединение некоторого набора множеств этой совокупности.

Из 1.6.6 следует, что факторпространство сепарабельного пространства сепарабельно. '

Из 1.7.8 следует, что факторпространство компактного пространства компактно.

Случай замкнутых разбиений '

Разбиение ( пространства X называется замкнутым, если pr: А->А/( есть замкнутое отображение. Равносильное условие: насыщение любого замкнутого множества замкнуто. _

Ясно, что разбиение с единственным.неодноточечным элементом замкнуто, если этот элемент является замкнутым множеством.

Факторпространство Т^-пространства по замкнутому разбиению есть ^^пространство. Факторпространство нормального пространства по замкнутому разбиению нормально.

Первое очевидно, и нужно лишь доказать, что если ( — замкнутое разбиение Т4-пространства X, то X/f есть Т4-пространство. Пусть Fb F2 — непересекающиеся насыщенные замкнутые мно-

жества в X. Так как X нормально, то Fb F^ обладают непересекающимися окрестностями. Так как разбиение f замкнуто, то насыщения дополнений этих окрестностей замкнуты, и ясно, что дополнения этих насыщений представляют собой непересекающиеся насыщенные окрестности множеств Fx, F2.

Случай открытых разбиений

Разбиение f пространства X называется открытым, если pr: X -> Х[> есть открытое отображение. Равносильное условие: насыщения открытых множеств открыты.

Если f— открытое разбиение и А — насыщенное множество, то насыщение множества Intvl открыто и, следовательно, совпадает с Int Л, переход же к дополнениям показывает, что насыщение множества СМ совпадает с СМ. Таким образом, в случае открытого разбиения внутренняя часть и замыкание насыщенного множества являются насыщенными множествами.

Из 1.6.6 следует, что факторпространство пространства, удовлетворяющего первой или второй аксиоме счетности, по открытому разбиению удовлетворяет той же аксиоме счетности.

Если f — открытое разбиение пространства X и t— открытое разбиение пространства Y, то пространство (XIV) X 070 канонически гомеоморфно факторпространству (ЙГ X Y)/(f X t).

Канонический гомеоморфизм определяется как взаимно однозначный фактор отображения prXpr: X X K->(X/f) X (Е / 0; что этот фактор действительно является гомеоморфизмом, следует из открытости отображения ргХрг (см. 2.5).

Склеивание

Склеиванием мы называем составную операцию над топологическими пространствами-, представляющую собой композицию суммирования и факторизации. Точнее, если {ХцЦм- семейство топологических пространств и f — разбиение пространства X = U Хц, то мы говорим, что факторпространство Х^ получается из пространств Ху склеиванием по f. Сквозное отображение

or

• Xv—^X^*XJ(

называется ^-м погружением и обозначается через immv. Ясно, что множества 1тт|Л(А’(Х) составляют фундаментальное покрытие пространства Xj\ и что отображение f пространства Х[\ в какое угодно топологическое пространство непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывны все композиции f ° imm^. •

Объединение

Пусть {^ц}^гМ — семейство топологических пространств. Предположим, что каждой паре (р,, р/)еМХМ отнесено некоторое множество Д№' с Ху и что, кроме того, с каждой парой (р, р') е М X М сопоставлено некоторое обратимое отображение ф^,: Л^Л^, причем: (i) Л№ = ^ и <pw = id^ ДЛЯ любого реМ; (ii) Ф№, (Л^, П Л№„) = Л^ П Л^, и диаграмма

Ац-р.^Ац.'-р,"

коммутативна для любых р, р', р" е М. Обозначим для xs4Ii; через Вх подмножество пространства I I Ху, составленное из точек in^ (ф^ (х)) с А.^эх. Различные множества Вх попарно не пересекаются и составляют разбиение пространства I I Ху. Соответствующее факторпространство называется объединением пространств X по отображениям ф№,.

Ясно, что эта конструкция представляет собой специальный случай склеивания, а .именно, случай, когда все погружения imm^ взаимно однозначны. Ясно также, что если все ф ,— гомеоморфизмы и, кроме того, все Л№' открыты или все Д№' замкнуты, то все imm^ являются вложениями.

В общем случае объединение ^-пространств является, очевидно, ^-пространством. . -

Конструкция объединения часто применяется в ситуации, когда пространства Ху являются подмножествами некоторого множества X и составляют его покрытие, а Д№, и ф , определяются формулами Л , = Л" (1-Х"^, Ф^т"^. В этой ситуации условия 2(i), 2 (ii) выполняются автоматически и объединение пространств Ху может быть описано просто как X, наделенное топологией, в которой множество С открыто (замкнуто) тогда и только тогда, когда при каждом ц е М пересечение С П Ху открыто (замкнуто) в Ху.

Заслуживает внимания специальный случай, когда топология в множествах Ху индуцируется какой-нибудь топологией, уже имеощейся в X; наша конструкция определяет тогда в X новую тояблогию. Ясно, что множества, открытые (замкнутые) в старой.

топологии, открыты (замкнуты) и в новой топологии. Ясно также, что если все пересечения Хц П Ху открыты в своих множествах Хц (наделенных исходной топологией), то новая топология в X индуцирует в каждом Хи прежнюю топологию; то же верно, если все пересечения Хц П Ху замкнуты в своих Ху,.

Пределы и фильтрации

Пусть Хо, Xi, ... — топологические пространства и

Фа-iХк,Фа-iХк,Фо' Х0->Х], фр Х]-*Х2, .— вложения. Положим

Фа-i

Хк,

Фа-i

Хк,

аЬ(фй-1°

• 0Фа>

если

к' <

й,

Фаа' =

id Xfe,

если

к' =

к.

[аЪ(ф6,_,= .

•• ° Фа)]"’,

если

к' >

к.

Ф^ (^А')’ 6СЛИ ^' ^ ^’ если к' Д к;

Очевидно, что условия 2 (i) и 2 (ii) выполнены, так что определено объединение пространств Х^. Это объединение называется пределом последовательности {Х^, фД или, короче, пределом последовательности {ХД и обозначается через Нш(ХА, фА) или 1йпХ6.

Одно из специфических свойств конструкции предела состоит в том, что все отображения imm6: X^^-limX^ являются вложениями. Доказательство: всякое замкнутое подмножество А пространства Хд является прообразом при отображении imm^ некоторого замкнутого подмножества пространства ИтХ^, например, прообразом множества

Л+1 ™т*' (С1^ (ф*'-1 0 • • • ° Фа (Л)))‘

Ясно, что если при каждом к множество фДХй) открыто в Xk+l, то все множества йптДХд) открыты в Нгп(Ха, фД а если при каждом к множество фДХ*) замкнуто в Х^+1, то все множества пптДХд) замкнуты в Нт(Хь фД

Если {Х^., ф^: Х^—>Х^+1}— другая последовательность топологических пространств и вложений и для каждого к задано непрерывное отображение fk; Хк-*Х'к, причем все диаграммы

Ah > Ah

|ФА {ffe

vfe+1. V/

Л6+1 * Ah+1

коммутативны, то формула f (immft (х)) = immfe (fh W) опреде-

ляет непрерывное отображение f: limp^, Ф4)-> Иш (Х^, ф'); см. 3.2. Это отображение называется пределом последовательности fy, fi, ... и обозначается через lim Д.

Если Хо, Ху, ... являются Ту-пространствами, то всякое компактное подмножество пространства lim Х^ содержится в одном из множеств imm^A^.

Это следует из 1.7.6.

Если пространства Хо, Ху, ... нормальны и при каждом к множество Фь№0 замкнуто в Хь+\, то пространство Пт^ь ф^)

нормально.

Доказательство. Поскольку мы уже знаем, что lim ^Xk, фД есть Т]-пространство (см. 2), достаточно установить, что у любой пары непересекающихся замкнутых подмножеств А, В этого пространства есть функция Урысона (см. 1.5.9). А для этого достаточно построить такую последовательность функций fh; imm*kX^ —»I, что fh есть функция Урысона пары Af] imm6 (Х^), BfUmmfeCX/,) И ЧТО ^ + 111тт6(Х6)=^-

формулойформулойВ качестве Д можно взять произвольную функцию Урысона пары Animm0(A0), ВЛ imm0(X0). Функция fk+l: immA+i №+1) I строится по функции fk как продолжение функции gA: [imm6 (АД] U [А П imm6+1 №+])] U [В П imm6+1 №+1)] ->/, определяемой

формулой

формулой

' fk to,' fk to,8kkxf = \ О,8kkxf = \ О,1,1,если х е imm6 (АД,

' fk to,

' fk to,

8kkxf = \ О,

8kkxf = \ О,

1,

1,

если xeBnimmA+i(XA+1)если xeBnimmA+i(XA+1)если хе А Л immft+1 (Aa+i),

если xeBnimmA+i(XA+1)

если xeBnimmA+i(XA+1)

(см. 1.5.11). Что функции g6 непрерывны, следует из замкнутости множеств imm^tot), А Л imm6+1 (А6+1), В Л imm6+1 (A6+i) (см. 1.4.3), которая вытекает из замкнутости множеств ф^ДАД, Фа+1 toft+i), • • •

Последовательность Ао, Ху, ... подмножеств топологического пространства X называется его фильтрацией, если, во- первых, Ао с А, а ... и, во-вторых, множества Хк составляют фундаментальное покрытие пространства X. •

В силу первого условия определены включения in: Xk->Xk+y и предел lim(Аб, in), второе же условие, очевидно, равносильно требованию, чтобы отображение X -> lim {Xk, in), совпадающее на Ад с imm^: А/г —> lim. (А/г, in), было гомеоморфизмом. Этот канонический гомеоморфизм позволяет отождествить lim (A*, in) с X.

Приклеивание

Пусть Аь А2 — топологические пространства, С —подмножество пространства Ху и ф: С -> Х^— непрерывное отображение. Обозначим через f разбиение суммы Ху U Хг на точки

множеств ШД^ХС) и 1п2 (Х2 X ф (С)) и множества йтДф-Дх^и in2(x) с хеф(С). Факторпространство № LJ ^Vf обозначается через A’2Uq>A'i; говорят, что оно получается приклеиванием пространства Х\ к пространству Х2 посредством ф.

Ясно, что эта конструкция представляет собой специальный случай склеивания и что imm2: Х2-> X2\J4,Xi есть вложение.

Если Х2—точка, то X2U(pXi канонически гомеоморфно факТор- пространству XJC. Канонический гомеоморфизм Х^С -*Х2 иф Xt определяется как factlimmp Ху Х2 U<p -YJ.

Если пространства Xit Х2 нормальны и множество С замкнуто, то пространство X2U^XV нормально.

g^ =g^ =h (ф to),О,1,h (ф to),О,1,Доказательство. Поскольку мы уже знаем, что Х2 Uq>Xt есть Трпространство (см. 2), достаточно установить, что у любой пары непересекающихся замкнутых подмножеств А, В пространства y2U<pA"i есть функция Урысона. Пусть f2: Х2—>/ — функция Урысона пары 1шш^ДЛ), imm2-1(B). Определим функцию g: Сиртт-ДЛДиртш-* (В)]—>/ формулой

g^ =

g^ =

h (ф to),

О,

1,

h (ф to),

О,

1,

если хе С, если x g 1тт~ ДЛ), если х е йпт-ДВ),

и продолжим ее до какой-нибудь непрерывной функции Д: Х\->1

(см. 1.5.11). формулой(см. 1.5.11). формулойЯсно, что функция X2UtA"i->/, определяемая

(см. 1.5.11). формулой

(см. 1.5.11). формулой

[хе^а, [х G Х2],[хе^а, [х G Х2],fi (х), если у = immi (х) f2 (х), если у = 1тт2 (х)

[хе^а, [х G Х2],

[хе^а, [х G Х2],

является функцией Урысона пары А, В.

Проективные пространства

/. В этом пункте описываются вещественные, комплексные, кватернионные и кэлиевы проективные пространства. Они могут рассматриваться как примеры, иллюстрирующие определения предыдущих пунктов, но важны и сами по себе.

Поле комплексных чисел будет обозначаться через С, тело кватернионов — через Н, алгебра чисел Кэли — через Са. Соответствующие и-мерные пространства, т. е. n-кратные произведения сх ••• ХС, Их •■• хн, СаХ ... X Са, будут обозначаться через С", НД Са". Поскольку комплексное число есть пара вещественных чисел, кватернион — четверка вещественных чисел, а число Кэли — восьмерка вещественных чисел,

С", Н", Са" естественно отождествляются с R2rt, R4", R8n и, в частности, обладают естественной метрикой и топологией. Векторные операции в С", К", Са" (сложение и левое и правое умножение на скаляры) непрерывны в этой топологии.

Вещественное проективное пространство размерности п определяется как факторпространство сферы Sn по ее разбиению на пары диаметрально противоположных точек. Обозначение: R/3". Это пространство может быть описано равносильным образом как факторпространство шара £>" по разбиению, элементами которого служат внутренние точки шара и пары диаметрально противоположных точек его границы S"-1. Каноническим гомеоморфизмом, позволяющим отождествить эти факторпространства, служит factf, где f— отображение шара Dn в Sn, определяемое формулой (хь ..., хга) н-*(хь ..., хп, Vi-^i- ••• -^)-

Точки пространства RP'1 находятся также в естественном взаимно однозначном соответствии с прямыми пространства Rrt+1, проходящими через точку 0 == (0, ..., 0) [паре точек х, — x^Sn отвечает прямая, проходящая через х и — х]. Множество всех таких прямых, наделенное угловой метрикой (расстояние между двумя прямыми есть угол между ними, не превышающий л/2), является метрическим пространством, и ясно, что указанное естественное отображение пространства R/3" на это пространство есть гомеоморфизм. Это дает третье описание пространства R73". Четвертое, координатное описание получится, если заметить, что прямая, проходящая через 0, определяется каждой своей ненулевой точкой и что координаты любых двух ненулевых точек такой прямой пропорциональны. Это позволяет интерпретировать точки пространства R/3" как классы пропорциональных ненулевых вещественных последовательностей (хь ..., хп+1); точка, определяемая последовательностью (хь ..., х„+1), обозначается через (X] : ... : х„+1), и числа хь ..., х„+1 называются ее однородными координатами. Топология пространства RP" описывается в однородных координатах очевидным образом. _

Все изложенные описания пространства R/3" естественно переносятся на комплексный случай и приводят к четырем равносильным описаниям п-мерного комплексного проективного пространства СРп. Первое описание: СРп есть факторпространство единичной сферы S2n+1 пространства Cn+1 по ее разбиению на окружности, высекаемые (комплексными) прямыми пространства С"+1, проходящими через точку 0. Второе описание: СРп есть факторпространство единичного шара Z)2" пространства С" по разбиению, элементами которого служат внутренние точки

шара и окружности, высекаемые на его границе S2"-1 прямыми пространства С", проходящими через точку 0; каноническим гомеоморфизмом, позволяющим отождествить это факторпро- странство с предыдущим, служит fact/, где/— отображение шара D2" в S2rt+1, определяемое формулой (хь ..., x^v^- (xp ..., х2п, г^/1—х2— ... —х2п , О). Третье описание: СРп есть множество прямых пространства С"+1, проходящих через 0, топологизированное угловой метрикой. Четвертое описание: СР" есть пространство классов (комплексно) пропорциональных ненулевых комплексных последовательностей (хь ..., хп+1).

Обозначение (х!: ... : хп+1), введенное в 2, также переносится на комплексный случай, и числа Х], ..., х„+1, как и в вещественном случае, называются однородными координатами точки (х!: ... : хга+1). -

Поскольку тело кватернионов не коммутативно, в пространствах Н" приходится различать левые и правые прямые. После того как выбраны те или другие, все, сказанное в 3, автоматически переносится на кватернионный случай, и мы получаем четыре эквивалентных описания соответствующего (левого или правого) п-мерного кватернионного проективного пространства HP". Так как антиавтоморфизм мультипликативной группы тела Н, определяемый формулой х^-^х-', переводит левые прямые в правые, то правое пространство HP" канонически гомеоморфно левому.

В дальнейшем мы всегда будем рассматривать Н" как левое векторное пространство и, в соответствии с этим, будем понимать под HP" левое проективное пространство.

Из-за неассоциативности алгебры Кэли в пространстве Са" вообще не удается удовлетворительно определить прямые, если п > 2. В плоскости Кэли Са2 прямая, проходящая через точку (0, 0), может быть определена как множество {(Xj, х2)|х2 = сх1) с се Са, и, кроме того, имеется вертикальная координатная прямая {(хь х2)|х1 = 0). Ясно, что эти прямые являются восьмимерными подпространствами, если Са2 рассматривается как R16, и что каждая тачка плоскости Са2, отличная от (0, 0), принадлежит в точности одной из них. Со сферой S15 эти прямые пересекаются по семимерным сферам, и мы можем определить проективную прямую Кэли СаР' как факторпространство сферы S15 по разбиению на эти семимерные сферы. Имеются, конечно, и три другие описания этой проективной прямой, повторяющие с очевидными изменениями сказанное в 2, 3, 4. Кроме того, мы получаем возможность определить проективную плоскость Кэли СаР2 как факторпространство шара D16 по разбиению, элементами которого служат внутренние точки этого шара и только что описанные семимерные сферы. Дать для проектив-

ной плоскости СаР2 другие описания в духе 2, 3, 4 уже не удается. Проективные пространства Кэли старших размерностей не определяются.

Пространства RP1, СР1, HP1, СаР1 канонически гомео- морфны сферам S1, S2, S4, S8. Гомеоморфизм RP1->S1 переводит прямую Х] = 0 в ortb а прямую х2 = сх1 в точку проколотой сферы S1 \ orti, отвечающую числу с при гомеоморфизме R’^S1 \ ortb который описан в 1.4.8. Гомеоморфизмы CP*-»S2, HP'-*S4, СаР1—>S8 определяются так же с заменой гомеоморфизма R1 —*S‘ \ ortt гомеоморфизмами C1 = R2->S2\ ortb Н1 = R4—>S4\ortb Са1 = R8->S8\ortb

Каноническое вложение пространства R6 в R6+1, относящее точке (л:ь ..., хф точку (хь ..., хк, 0), позволяет отождествить R6 с подпространством xft+1=0 пространства R6+l и может, таким образом, рассматриваться как включение. Оно индуцирует включения Z)6->Z)6+I, Sk-1-*Sk, RP^-1->RPA и подобным же образом включения C6->C6+1, H6->H6+1 индуцируют включения СР6-1 -* СР6, HP6-1 -> HP6.

Положим

R” = limR6, C” = limC*, H” = limH6,

zr = limZ>ft, S°° = limSft,

RP” = limRPfe, CP” = limCP\ HP” = limHPft.

Точки пространств R”, С” и H00 естественно отождествляются с вещественными, комплексными и кватернионными финитными последовательностями {л^}, . Сфера S°° содержится в шаре D”, а шар D°° — в пространстве R00. Проективные пространства RP”, СР00, HP00 получаются из сферы S°° и шара D°° посредством факторизаций, которые являются пределами факторизаций, описанных в 2, 3, 4.

Предыдущие описания пространств СР" и НРП, а также пространства СаР1, как факторпространств сфер, определяют проекции 82пи^>-СРп, S4"+3^-HP" и S^-^CaP1, играющие особую роль. Они называются отображениями Хопфа. Среди них важнейшими являются отображения S3 —> СР' = S2, S7 -> HP1 = S4, S15 -> СаР* = S8.

Более специальные конструкции

Пусть X — топологическое пространство. Факторпростран- ство (ХХ/У^ХО) называется конусом над X и обозначается через сопХ. Точка рг(ХХО) называется вершиной конуса, множество pr^X 1) — основанием конуса, каждое из множеств рг(хХ^) с хеХ— образующей конуса. Основание связано с X каноническим гомеоморфизмом, и обычно его отождест-

вляют с X. Образующие связаны очевидными каноническими гомеоморфизмами с /.

Каждому отображению f пространства X в другое топологическое пространство, Y, отвечает отображение fact(fX id/): con X -> con Y, непрерывное, если непрерывно f. Оно обозначается через conf.

Факторпространство произведения XXI по разбиению, элементами которого служат множества X X 0 и X X 1 и точки множества (А X /) \ [(A X 0) U (А X 1)1, называется надстройкой над X и обозначается через suA. Точки рг(АХО), рг(АХ1) называются вершинами надстройки, множество рг(АХ(1/2)) называется ее основанием, множества pr(xX/) с хе X называются ее образующими. Основание связано очевидным каноническим гомеоморфизмом с А, а каждая из образующих—с/.

Каждому отображению f: X->Y отвечает отображение fact (f X id/): suA->suy, непрерывное, если непрерывно f. Оно обозначается через suf.

Заметим, что надстройка suA может быть равносильным образом описана как сопА/А.

Пусть Ар А2— топологические пространства. Факторпространство произведения ХуХ Х2Х I по разбиению, элементами которого служат множества Х]ХА2Х0(с хт е АО и AiX^Xl (с х, еА2) и точки множества (Aj X А2 X I) \ [(А! X Х2 X 0) U (А,ХА2Х 1)1, называется джойном пространств Ар А2 и обозначается через А] * А2. Множества pr(A] X А2Х 0), pr(Ai X А2 X О называются основаниями джойна, а множества рг(х,Х х2Х I) с Xj е А], х2е А2 — образующими джойна. Основания связаны с Ар А2 очевидными каноническими гомеоморфизмами, и обычно их отождествляют с Ар А2. Образующие связаны очевидными каноническими гомеоморфизмами с /.

Каждой паре отображений fp Xy—>Yy, f2: X2->Y2 отвечает отображение fact(fj X f2 X id/): Ai * X2->Yy * Y2, непрерывное, если непрерывны fy и f2. Оно обозначается через fy * f2.

Операция * коммутативна: имеется очевидный канонический гомеоморфизм Ai * А2—> А2* Ар

Заметим, что джойн Ху * А2 может быть равносильным образом определен как (Ai I I А2) 1)Ф № X А2 XI), где ф — отображение произведения Ai X А2 X (0 U 1) в Ai U А2 с ф(хь х2, 0) = in, (х^, ф(хь х2, l) = in2(x2). Ясно также, что факторпространство джойна Ai*A2 по его разбиению на основания Ар А2 и точки дополнения (Af * А2) \ № U А2) совпадает с надстройкой su (А, X А2). ’.

Итерированный джойн (... ((Ai * А2) * А3) ...) * Хп канонически вкладывается в произведение conAiX ••• XconArt. Вложение обозначается через jc или, подробнее, jcxfхп и

КОНСТРУКЦИИКОНСТРУКЦИИ4949§ 2]

КОНСТРУКЦИИ

КОНСТРУКЦИИ

49

49

определяется индуктивно: при п = 1 оно переводит х1 е Хх в рг(хь 1)есопХь при больших л задается формулой

jcxp..„ Х„(рг(х, хп, 0)=((1 -Ojcx,хп_хкх\ ^т{хп, t)^,

где х е (... (^Хх * Х2) * Л"3) ...) * Х„-х, хп е Хп и tel, а произведение точки пространства con XX ••• XconA^-j на 1— t определяется правилом (1 —/) (рг (xb t^, ..., рг(лс„—i, /„-i)) = (prUt, (1 — 0^0, . .., рг(х„-ь (1— Ota-6).

Образом вложения jc^ , ^ , очевидно, служит множество {(prUbh), ..., рг(х„Х„)) е сопХ]Х ... ХсопХ„ | ^ + ... +/„ = 1},что позволяет отождествить итерированный джойн (... ((X *Х)*^з) . ..)*Хп с этим множеством.

Операция * ассоциативна в обычном смысле: джойн (Х] * X) * Х3 канонически гомеоморфен Х*(Х*Х). Канонический гомеоморфизм Хх 'ЦХ2* Хз)^ДХх *Х)*Х определяется как композиция канонического гомеоморфизма Xv * (Хи * Х)~> (X * X) * Х\ и соответствующего сокращения канонического гомеоморфизма con X X con Х3 X con X -* con X X con X2 X conX-

Вследствие ассоциативности операции * для любых топологических пространств Хх, ..., Хп определен кратный джойн Хх * . • • * Хп.

Произведение con Хх X ... X con Х^ канонически гомео- морфно con (X * ... * Хп).

Канонический гомеоморфизм соп(Х* ... *X)~>conX X- •• ХсопХ определяется формулой

. pr(jc^х^Р^ь tx)рг(х„, t„)), /)

(рг(хь //j/max^b ..., tn)), ..., pr(x„, it Дтах^ь ..., /„))).

Пространства con Sm, su Sm канонически гомеоморфны Dm^1 ^m+i

Канонические гомеоморфизмы con Sm ->Dm+v, suSm->S7l+l определяются формулами

pr((xb . .., Xm+1), t)t->(tXxtxm+x),

pr((xb ..., xm+1), t) ь-> (xv sin nt, ..., xm+1sinn/, cos л/).

Джойн X * D° канонически гомеоморфен конусу con X. Джойн X * S° канонически гомеоморфен надстройке suX. Джойн X*Sk канонически гомеоморфен кратной надстройке su4+l X; в частности, джойн Sm'*Sm! канонически гомеоморфен s'”14""124"1.

Канонический гомеоморфизм X * D° -> con X определяется формулой рг(х, 0, t)t—>pr (x, t). Канонический гомеоморфизм X*S0->-suX определяется формулами рг(х, 1, /) ■—* рг(х, (1-ф/)/2),-

pr(x, —1, О1-*pr(x, (1—/)/2). Канонический гомеоморфизм X *Sft->su6+l X определяется как сквозное отображение

X*SA->suX... ->su6^*S°^su4+l X,

в котором последняя стрелка обозначает канонический гомеоморфизм, а r-я стрелка с г^б обозначает сквозной канонический гомеоморфизм

sur—1 X * S*-^1 -> stT-1 X * su Sk-r ->

sur-1 X * Sk-r *S°-> SU-1 X * S° *Sk~r ->su'X » Sk~\

Комбинируя канонические гомеоморфизмы, построенные в 6 — 8, мы получаем сквозные гомеоморфизмы

1 * ... * о > 5 1 * ... * о 2 * о п 1 п . . .

Dm'X ... х D^-* con Sm"x X ... Xeons'^-1 ->

соп^--1* ... * S"1^1)-> con S^-^^-^D"1^-1 +m%

СОП О 1* . . . * СОП d n —> о 1*£)*...* о ”*1) ->

con(Sm~XD°* ^S^'^D^S^)^

con Sm‘~i X con D° X • • • X con Smrl~'-' X con OQ X con S'71"-1 —> Dm>XIX ... XDmn-'XI

DmiXD'X ... XD'n^~lXDl X Dnl"->Dm^ +тп+п-х.

Таким образом, джойн Sm| * . .. *Sm^ канонически гомеомор- фен Sm,+ +m«+,,-1j произведение Dm' X • • • X Dm,t канонически гомеоморфно Dmi+ +m" и джойн D™1 * ... ^D"1" канонически гомеоморфен Dm\+ ••• +п1п+,г-х.

Цилиндр и конус отображения-

Пусть f: X]-*Х2 — непрерывное отображение. Результат приклеивания произведения X] X/ к Х2 по отображению X] X 1 ->Х2, определяемому формулой (х, l)i—>/(х), называется цилиндром отображения f и обозначается через Cyl f. Множества imm1 (Х1 X 0) и imm2(X2) называются нижним и верхним основанием цилиндра Cyl f, а множества imm] (х X /) с х g Xt — его образующими. Основания связаны с Хь Х2 очевидными каноническими гомеоморфизмами, и обычно их отождествляют с X), Х2, а образующие связаны очевидными каноническими

гомеоморфизмами с /. Кроме того, имеется каноническая ретракция rtf: Cylf-->A2, определяемая на ImmjAiX^) формулой rt f (immi (х, /)) = immj (х, 1) [=f(x)], и ясно, что сквозное отображение Ai—> Cyl f—> А2 совпадает с f.

Если Х2 = Хх и f = idA1, то пространство Cyl f канонически гомеоморфно цилиндру ХхХ1 над Ар .

И. Конусом непрерывного отображения f: Хх-*Х2 называется пространство A2UfConAi. Обозначение: Conf (его не следует смешивать с conf из 1). Равносильное определение: Conf — Cyl t[Xx.

Пространства непрерывных отображений

Множество всех непрерывных отображений топологического пространства X в топологическое пространство Y обозначается через ^ (А, У). Множество отображений ф е ^ (А, У), удовлетворяющих условиям ф(Л1)с8ь ,.., ф(4)сВ„, где Дь . .., Д„ — заданные подмножества пространства А", а Вь . .., Вп — заданные подмножества пространства У, обозначается через (А, Ах, ..., Ап\ У, Вх, ..., В„). Его можно интерпретировать как множество всех непрерывных отображений (А, Др Д„)^(У, ВхВ„).

Мы наделяем множество ^ (А, У) компактно-открытой топологией-. так называется топология с предбазой, составленной из множеств вида ‘К (А, А; У, В), где А компактно, а В открыто. Вместе с 'К (А, У) топологическими пространствами становятся и все множества (А, Ах, ..., Д„; У, Вх, ..., В„).

Если У — точка, то 'К (А, У) — также точка. Если А дискретно и состоит из точек хх, ..., х„, то ^ (А, У) канонически гомеоморфно «-кратному произведению УХ ••• ХУ; канонический гомеоморфизм определяется формулой ф i—> (ф (xj, ..., ф (хпУр

Каждой паре непрерывных отображений f: А'—>А, g: Y -*Y' отвечает отображение ^ (А, У) ->% (X', Y')^ определяемое формулой ф ь-■* g ° ф ° f. Ясно, что это отображение непрерывно; оно обозначается через "S’ (f, g\

Если пространство У хаусдорфово, то пространство ^ (А, У) также хаусдорфово.

Действительно, если ф, ф е ^ (А, У) и ф #= ф, то существует хе А с ф(х)=# ф(х), и ясно, что если U, V — непересекающиеся окрестности точек ф(х), ф(х), то ^ (А, х; У, U), ^(А, х; У, У)— непересекающиеся окрестности точек ф, ф.

Если пространство А компактно, а пространство У метри- зуемо, то пространство ^ (А, У) метризуемо. Если пространство У метризовано, то пространство ^ (А, У) метризуется формулой сИзЦф, ф) = sup^e;t(list(ф(х), ф(х)).

Доказательство. Если ф е ^ (X, У), то множество ф (Л) покрывается конечным числом шаров Uv, ..., Us сколь угодно малого радиуса в (см. 1.7.11), и ясно, что-Ц7 = П^^ {X, ф-1 (U,); У, Уг) есть окрестность точки ф, сддержащаяся в шаре радиуса 2е с центром ф. Таким образом, всякий шар содержит некоторую окрестность своего центра.

С другой стороны, если А— компактное подмножество пространства X, В —открытое подмножество пространства У и ф(Д)сВ, то множество ‘S’(X, А; У, В) содержит шар радиуса ЁИз1(ф(Л), У \В) с центром ф (см. 1.7.15). Таким образом, всякая окрестность точки ф, взятая из предбазы, указанной в 1, содержит некоторый шар с центром ф.

Для любых топологических пространств X, Уь . .., У„ пространство ^(Х, У,Х ••■ X У») канонически гомеоморфно ^(х, У,)Х ... X^U, У„).

Канонический гомеоморфизм ^(Х, У1Х ••• ХУ^-^СХ, У1)Х ■ X ^ (А, У„) относит точке ф точку (рГ]°фргп°ф) [ср. 2.4].

Если \ — замкнутое разбиение компактного хаусдорфова пространства X, то ‘S’(pr, id У): (ХД, У) (А, У) есть вложение для всякого топологического пространства У.

Достаточно доказать, что если А — компактное подмножество пространства X/f, а В — открытое подмножество пространства У, то множество 45 (pr, id У) [‘S’ (X/f, А; У, В)] открыто в ‘S’ (рг, id У)[^ (ХД, У)]. Так как пространство A/f хаусдорфово (см. 3.9), то множество А замкнуто, и с ним замкнуто и, значит, компактно множество рг~*(Л). Следовательно, множество ‘S’ (X, рг~‘(Д); У, В) открыто в ‘S’(X, У), и остается заметить, что ^(pr, id У) [‘S’(A/f, А; У, В)]=^(Х, рг"1 (Д); У, В)П^(рг, id У) [^ (X/f, У)].

Отображения X X У ^7 и X -> ‘S’ (У, Z)

Пусть X, У, Z — топологические пространства. Если отображение ф: XX У^ А непрерывно, то формула [ф~ (х)[ (у) = ф(х, у) определяет непрерывное отображение фХ X->‘S’(У, Z). Если отображение ф: Х->.‘8’(У, Z) непрерывно и пространство У хаусдорфово и локально компактно, то формула ф~(х, у) = [■ф (^)] (i/) определяет непрерывное отображение фХ XXY-^Z.

Чтобы доказать первое, достаточно построить для заданной точки х0 е X, заданного компактного множества В с: У и заданного открытого множества CaZ такую окрестность U точки xQ, что ф" ((/) се ‘S’ (У, В; Z, С). Фиксируем для каждой точки у е В такие окрестности UH, Vy точек х0, у, что <$VUyXVДаСъ и выделим из набора \Уу\уеВ конечное покрытие VMvVUg множества В. Ясно, что U — П/=1 Пц^ есть окрестность точки" х0

КОНСТРУКЦИИКОНСТРУКЦИИ5353§ 2]

КОНСТРУКЦИИ

КОНСТРУКЦИИ

53

53

и ф (У X 5) <= Uz=i ф (Uy, X V„.) с: С, и остается заметить, что включение ф (У X S) с: С равносильно включению ф~ ((/) с ^(У, В; Z, С).’

Чтобы доказать второе, найдем для заданной точки (х0, z/0) е X X Y и заданной окрестности W точки ф" (х0, z/0) окрестность V точки z/o с компактным замыканием Cl У, содержащимся в [фUF1 (1У) 1СМ- 1-7.22], и затем окрестность U точки х0 с ф (7/) cz 48 (У, С1 У; Z, Wy Ясно, что U XV — окрестность точки (х0, z/o) и что ф~ (7/X У) с 1У.

Отображение 4? (X X У, Z) ^ ^ (X, 47? (У, Z)), определяемое формулой фн—^ф" (см. 6), непрерывно для любых топологических пространств X, У, Z. Если пространство У хаусдорфово и локально компактно, то это отображение является гомеоморфизмом, и обратный гомеоморфизм определяется формулой ф>—*ф''.

Непрерывность отображения ф^ф" следует из того, что при этом отображении прообраз множества 48 (X, А; 48 (У, Z), 47? (У, В; Z, С)) совпадает с 48 (X X Y, А X В; Z, С). Предположим, что У хаусдорфово и локально компактно, и найдем для заданной точки ф0 е ^ (Л", ^ (У, Z)), заданного компактного подмножества Q пространства XXY, заданной окрестности 1У множества ф~ (Q) и заданной точки q е Q такую окрестность Ug-X Vg ТОЧКИ q, ЧТО множество Cl Vq компактно И ^(UqX ClVq^aW. Так как множество Q компактно, то оно покрывается конечным набором множеств U41 X VQ1^q$XVq, и мы полагаем

Т= n^U, pr (Q) П С177^.; 4? (У, Z), ^ (У, ОУ,.; Z, 1У)).

Ясно, что Т есть окрестность точки ф0 и что образ этой окрестности при отображении ф > ф~ содержится в 48 (X X Y, Q; Z, W). Таким образом, отображение фн->ф" непрерывно; взаимная обратность отображений фь^ф" и фн-^ф" очевидна.

Неожиданное применение

Пусть ft X X' — факторное отображение. Если пространство У хаусдорфово и локально компактно, то отображение /Xidy: XXY-^-X'XY факторно.

При доказательстве можно считать, что X' = Х[гйт(^, a f есть проекция X Xlzer\f). Рассмотрим проекцию pr: XX.Y-* (Л" X y)/(zer(f) X zer (id У)). Отображение pr": X % (У, (X X У)/(гег (f) X zer (id У))) постоянно на элементах разбиения zer(f), так что возникают непрерывные отображения factpr"': Х'-> ^(Y, (XXn/(zer(/)Xzer(idy))) и (factprT: ^ X r^U X y)/(zer(f)X zer (id У)), и ясно, что второе из них обратно взаимно однозначному фактору отображения f X id: X X Y X' ХУ.

Таким образом, взаимно однозначный фактор отображения f X id является гомеоморфизмом.

Пусть f: Х^-Х' и g: Y-*Y'— факторные отображения. Если X' и Y хаусдорфовы и локально компактны, то отображение fXg". XXY X' XY' факторно.

Действительно, fXg представляется как сквозное отображение XXYX'XY ^l X'XY',

а композиция двух факторных отображений факторна.

Случай пространств с отмеченной точкой

/. В последующем важную роль будут играть топологические пространства, наделенные простейшей дополнительной структурой — отмеченной точкой (т. е. топологические пары (X, хф, где х0 — точка). Применительно к таким пространствам конструкции, описанные в предыдущих пунктах, естественно модифицируются. Для одних конструкций модификация сводится к тому, что получающееся пространство наделяется отмеченной точкой: например, факторпространство пространства с отмеченной точкой х0 обладает естественной отмеченной точкой рг(х0), произведение пространств с отмеченными точками хь ..., хп обладает естественной отмеченной точкой (хь ..., х„), а пространство непрерывных отображений пространства X в пространство Y с отмеченной точкой уй и все его подпространства, содержащие постоянное отображение const: X^-Y со значением у0, обладают естественной отмеченной точкой const. Другие конструкции, например, суммирование, надстройка и джойн, модифицируются более серьезно.

Эти более серьезные модификации описываются ниже. Попутно вводится новая конструкция —■ тензорное перемножение пространств с отмеченной точкой. В каждом случае из пространств с отмеченной точкой получаются пространства с отмеченной точкой и из отображений, переводящих отмеченную точку в отмеченную, — отображения, переводящие отмеченную точку в отмеченную. Заметим, что и отображения fact /, ^У, g) и f i X • • • X fn переводят отмеченную точку в отмеченную, если этим свойством обладают исходные отображения.

В качестве общего обозначения для отмеченной точки мы используем символ Ьр.

Букеты и тензорные произведения

Нижеследующая конструкция заменяет для пространств с отмеченной точкой конструкцию суммы.

Пусть {^ц^ц ~ семейство топологических пространств с отмеченными точками х^. Факторпространство суммы Оцем Ху

по подмножеству, составленному из точек шДхД называется букетом пространств Д, и обозначается через УцемД, хД Если множество М состоит из чисел 1, ..., и, то пишут также (АД Xi) V ... V Un, xU Точка рг ° inv (xv) е V (А^, х(1) не зависит от v, 'называется центром букета V (АД хц) и принимается за его отмеченную точку.

Очевидно, букет V (АД хД есть объединение пространств Х№ (см. 4.2), так что имеются вложения immv: Av-> V (АД хД Специфическими для букета являются отображения prv: VtA^, хД->Ау, определяемые формулой

Г xv, если V ф v,

prv (immv' (х)) = s,

' t x, если v = v.

Ясно, что prv ° immv = id A’v и что prv ° immv' = const, если v'^v.

Если M индексирует еще семейство пространств ¥и с отмеченными точками у^ и семейство непрерывных отображений /Д Ху^Уц, таких, что /ц (хД = у^, то возникает непрерывное отображение ТасЦи/Д V (А^, хД-> V (1Д z/Д Оно обозначается через V Д.

Пусть Хь ..., Хп — пространства с отмеченными точками Хь . . ., Хп. Формулы XI—Дх, Х2, . . ., Х^ [хЕ АД Д ., XI—* (х!хп-ь х) [хеД определяют канонические вложения Хг -> Х^ X ... X Хп, ..., Хп -> Хх X • • • X Хп, обозначаемые через inb ..., in„, а формула xi—*(рГ](х), ..., рг„(х)) определяет каноническое вложение (Ab Xi) V . •• V (А„, хп) —> А’1 X • • • X Хп. Последнее позволяет считать букет (Ab Xi) V • • • V Un, х„) подпространством произведения Д X • • • X Хп, и ясно, что вложение in,: Х^ХуХ ••• X Хп есть композиция вложения immb Xt -* (Xb Xi) V . •. V (АД xj и включения (Ab x,) V • • • V (X„, x„)-> A X ■■■ X A„, а проекция prb (Xb Xi) V ••• V Un, x^)-* Xt есть сужение проекции prb XxX • • • X Xn-> Xt.

Факторпространство (X, X • • • X АД/[(ХЬ Xj) V • • • V Un, -UI называется тензорным произведением пространств Ab ..., Хп и обозначается через (А),^)® ... ®(А’„,х„). Точка pr [(AbXi) V ... V Un, ^n)l e(Ab Xj)® ... (x)Un, xn) называется центром тензорного произведения Ui, Xi)® ... ®Un, xn) и принимается за его отмеченную точку.

Тензорное перемножение пространств коммутативно и ассоциативно: имеются очевидные каноническйе гомеоморфизмы

-^1)®(2С2, х2) —>(А2, х2)®(Хь Xi) и (Хь Х|)® [(Х2, х2)®(Аз, Хд), bp] [(Xb X,) ® (Д, х2), Ьр ] ® (Х3, х3); в том же смысле [(Xb Xj) ® ••• ®Un-i, x„_1),bp]®(A„, x^f=Ux, Xi)® ... ®Un, хп)-

Если Уь ..., У„— другие топологические пространства с отмеченными точками и fv- Х^Уь •••> fn' Хп->Yn — непрерывные отображения, переводящие отмеченную точку в отмеченную точку, то возникает непрерывное отображение fact (А X • • • X fnY- (Хь *1)® • • ■ ®(Х„, -rJ-^OA, Z/i)® • • • ®(Ym Уп)- Оно обозначается через А ® ... ® fn. '

Конусы, надстройки, джойны

Конус над пространством X с отмеченной точкой х0 определяется как факторпространство обычного конуса сопХ по образующей рг(х0Х/)- Обозначение: con (А", х0). Образ указанной образующей при проекции conX —> con(X, х^ называется вершиной конуса соп(Х, х0) и принимается за его отмеченную точку. Образ основания конуса con X при проекции сопХ—> con (A", X(j) называется основанием конуса соп(Х, х0); эта проекция гомеоморфно отображает первое основание на второе и, поскольку первое' основание отождествлено с X, позволяет отождествить с X и второе основание.

Если У — пространство с отмеченной точкой уй и f: X -> У — непрерывное отображение, переводящее х0 в уй, то возникает непрерывное отображение fact con А соп(Х, х0)~>соп(У, у0), обозначаемое и просто через con А

Равносильным образом конус соп(Х, х0) может быть описан как факторпространство цилиндра XXI по (X X 0) U (xq X 7), т. е. как (X, х0)®(7, 0).

Надстройка над пространством X с отмеченной точкой х0 определяется как факторпространство обычной надстройки suA по образующей рг(х0ХД- Обозначение: su(X, х0). Образ указанной образующей при проекции suA-^-su(A, х0) называется вершиной надстройки su(X, х0) и принимается за ее отмеченную точку. . ’

Если У — пространство с отмеченной точкой у0 и А X -> У — отображение, переводящее xQ в у0, то возникает непрерывное отображение fact su A su (X, х^ ->■ su (У, у0), обозначаемое и просто через suf.

Равносильным образом надстройка su(X, х0) может быть описана как факторпространство цилиндра XXI по (XX (0U 1))1ЖХ7), т. е. как(Х, х0)® (//(0 U 1), bp) = (X, х0) ® (S1, огА). Другое равносильное описание: su(X, x0) = con(X, x^fX. .

Джойн пространств Хь Х2 с отмеченными точками хи х2 определяется как факторпространство обычного джойна Х]*Х2 по образующей рг^Х^ХЛ- Обозначение: (Аь xj * (Х2, х^. Образ указанной образующей при проекции А, * Х2 —>(Xb Xj) * (Х2, х2) называется центром джойна (Х^, Xi)*(X2, *2) и принимается за его отмеченную точку. '

Если Ух, У2 — пространства с отмеченными точками уь у2 и Л: Xx^-Yx, f2: Х2-^-У2 —- непрерывные отображения, переводящие хх, х2 в ух, у2, то возникает непрерывное отображение fact (Л * f2): (Xi, X]) * (^2, x2)->(Kb z/^ * (У2, уУ), обозначаемое и просто через ^ * /2

Для любых пространств Хх, Х2 с отмеченными точками xt, х2 букет (su(Xb X]), bp) V (su(A"2, х2), bp) канонически гомеомор- фен su ((jb Xj) V №, x2), bp).

Канонический гомеоморфизм su((Xb xj V №, xaY bp) -» (su (Xj, xj, bp) V (su (X2, x2), bp) определяется формулой ргСтшДх), t) ь—> imm; (pr (x, /)) [x e Xp i—\, 2].

Пространства con (Sm, orti), su (Sm, orti), (Sm, orti) * (Sn, orti) канонически гомеоморфны Dm+1, Sm+\ sm+n+i.

Канонический гомеоморфизм con(Sm, orti) ->If1^ определяется формулой pr((xb ..., xm+i), О1-*(^i + (l — t), ix2,..., txm+x).

Канонический гомеоморфизм su (Sm, orti)->Sm+1 отображает образующую, проходящую через точку xeSw, на лежащую в sm+1 окружность с центром (orti + х)/2 (которая вырождается в точку ortb если x = ort]); при изменении t от 0 до 1 образ точки рг(х, 0 равномерно перемещается по указанной окружности, отправляясь от точки orti и попадая сначала в полупространство хт+1^0 (см. рис. 1).

Канонический гомеоморфизм (Sm, orti) "* (S'1, orti)->S'n+n+1 на основаниях Sm, S" определяется формулами

(xb ..., xm+!)^

( Зх} + 1 х2 Уз xm+i -Уз „ п Уз (1 —xQ\

\4’2’ • •2, и, . • и, 4

(хь .... -tn+l)^‘

(3xv 4- 1 n п %2Уз хп+1Уз Уз (%1 — 1)4“ V 4,. • - ,2’ • • •’2’4

а образующую, соединяющую точки xeS"1, x'^Sn, отображает линейно по отношению к длинам на дугу большой окружности, соединяющую образы этих точек (см. рис. 2).

Поскольку con (Sm, orti) = (Sm, ortJOU, 0) [см. 4] и su(Sm, orti) = (Sm, orti)®(S‘, orti) [cm. 5], гомеоморфизмы con(Sm, orti)->.D'"+: и su(Sm, orti)^-Sm+l, определенные в 8, приводят при п^1 к каноническим гомеоморфизмам

Sn = (S!, orti)® ... ®(S’, orti),

У" = (5\ orti)® -у ®(S‘, orti)®(/, 0),

n-1

которые позволяют определить отображения

id® ... ®id®pr: Dn = (S1, ort,)® ... ®(S’, ort,)®(/, 0)->

' .(S’, ort,)® ... ®(S', ort,)® (Z/(0 U 1), bp^S",

(pr® . .. ®pr® id Z) ° pr: Г = 1Х • • • XJ-*

(//(01)1), bp)® ... ®(//(0Ul), bp)®(Z, 0) = £>\

Эти отображения будут обозначаться через DS и ZZ). Ясно, что DS гомеоморфно отображает IntD" на S"\ort, и переводит Fr Dn в ort,, a ID гомеоморфно отображает Int Z" на IntD" и Int/"-1 на S^Xort, и переводит Fr/"\IntIn~l в ort,.

Рис. 2 (m = О, /г = 1).Рис. 2 (m = О, /г = 1).

Рис. 2 (m = О, /г = 1).

Рис. 2 (m = О, /г = 1).

Так как отображение DS замкнуто (см. 1.7.9), то его взаимно однозначный фактор fact Z)S: DnISn~l ~^Sn является гомеоморфизмом. Таким образом, при п-^ 1 факторпространство Dn/Sn~l канонически гомеоморфно Sn. ■

Отображения ^Х, х0)®(У, уф->Х и X—^^ (Y, уй; Z, 20)

Пусть X, У, Z — топологические пространства с отмеченными точками х0, z/o, 20. Если отображение ф: VC, х0)®(У, уф-^Z непрерывно и переводит отмеченную точку в отмеченную точку, то формула [ф^ (х)] (у) = ф(рг (х, z/)) определяет непрерывное отображение фи: X -> (У, z/0; Z, z0), переводящее отмеченную точку в отмеченную точку. Ес ли отображение ф: Х-^ЧЗ (У, у0; Z, 20) непрерывно и переводит отмеченную точку в отмеченную точку, а пространство У хаусдорфово и локально компактно, то формула ф^(рг(х, z/)) = [ф (х)] (z/) определяет непрерывное отображение ф^: (Х, х0)®(У, Уо)-* Z, переводящее отмеченную точку в отмеченную точку.

Действительно,

Ф^ = ab [(ф ° рг: XXY^-Zy^,

ф- = (рг: XX Y -^(Х, xф®(Y, у0)) =

[фо (in: >(У, г/0; Z, гф->^(У, Z))T (см. 7.6).

Отображение ^(Х, х0)®(У, уф, bp; Z, гф-^> ^ ^Х, х0; ^(Y, у0; Z, гф, const), определяемое формулой фн>ф^ (СЛ1. Ю), непрерывно для любых топологических пространств X, Y, Z с отмеченными точками х0, у0, z0. Если X,- Y хаусдорфовы и компактны, то это отображение является гомеоморфизмом и обратный гомеоморфизм определяется формулой фн-*ф^.

Непрерывность отображения фн>фи следует из того, что при этом отображении прообраз множества ^ (X, А, хй-, ‘S' (У, у0; Z, гф, ^ (У, В, у0; Z, С, гф, const) совпадает с ‘S’ ((X, хф® (У, у0), рг(ЛХ5), bp; Z, С, гф. Предположим, что пространства X, У хаусдорфовы и компактны, и рассмотрим отображение ‘S’ (рг, viZy. ^Х, хф®<Х, уф, Z'l-^UXY, Z\ В силу 7.5, это отображение является вложением, из чего следует, ввиду коммутативности диаграммы

^ (X, ХО; ^ (У, Уа, z, zQy const) -> ^ ®Х, х0)® (У, уй\ bp; Z, гА

^ (X, ^ (У, Z))—► .% (X х у, Z),

обозначают отображения стрелки — сквозные ото-обозначают отображения стрелки — сквозные ото-^^^''"^ ^ (х; ^ (у, Z)),^^^''"^ ^ (х; ^ (у, Z)),в которой горизонтальные стрелки фн^ф^, ф>-*ф~, а вертикальные бражения

обозначают отображения стрелки — сквозные ото-

обозначают отображения стрелки — сквозные ото-

^^^''"^ ^ (х; ^ (у, Z)),

^^^''"^ ^ (х; ^ (у, Z)),

‘S’ (X, xQ; ‘S’ (У, у0; Z, гф, const)-—*

^(Z, ‘S’(У, z/0; Z, гф>

^((Х, хф®(Х, уф, bp; Z, гф^

^((Х, хф®(Х, уф, Z) ^(Pr'ldZ> ‘S’UXK, Z),

что отображение фг—>ф^ непрерывно. Взаимная обратность отображений фн->ф^ и фн->ф^ очевидна.

Упражнения

Доказать, что для всякого топологического пространства X и всякого компактного топологического пространства У отображение ргр XXY^>-X замкнуто.

Доказать, что подмножество сферы S", определяемое в стандартных координатах пространства Rn+I неравенством <1 + ... 4-хй^Д+1+ ... +хп-ц, гомеоморфно S6-1 XDn-k+1.

Пусть М, J и ф , обозначают то же, что в 4.2, и пусть X — объединение пространств Xg, определяемое гомеоморфизмами ф ,. Доказать, что отображения imm^: Х^^-Х являются топологическими вложениями, если М состоит из двух элементов, и могут не быть топологическими вложениями, если М состоит из трех элементов.

Доказать, что при п^1 пространства ИДО, 1; S", ortb ort2) и ^(7, 0, 1; S'1, ortb ort]) гомеоморфны.

Обозначим через Т множество всевозможных вещественных последовательностей {хг}”, топологизировэнное предбазой, составленной из множеств вида {{xj" | а < xs < b^, и через S — факторпространство пространства Т \ 0 (где 0 = {х, = 0}”) по его разбиению на лучи, т. е. на множества вида |{7х^”|о < t < оо| с {^"еТ\0. Показать, что Т метризуемо, a S регулярно, но обладает той, особенностью, что всякая непрерывная функция S^-R постоянна.

гомотопии

Общие определения

Непрерывное отображение /': X->Y называется гомотопны л непрерывному отображению f: X ->Y, если существует такое непрерывное отображение F; XXI->-Y, что Г(х, 0) = /(х), F(x, 1) = /' (х) для хеХ. Всякое такое отображение F называется гомотопией, связывающей / с f'. Говорят также, что F есть гомотопия отображения f.

Гомотопию F: XXI^Y часто истолковывают как семейство Непрерывных отображений fp X-^-Y, связанных с F соотношением /Дх) = Г(х, 7) [0<7 <1]. Согласно 2.7.6, из непрерывности F следует, что это семейство непрерывно как отображение отрезка 7 в ^(Х, У), а если пространство X хаусдорфово и локально компактно, то непрерывность этого семейства равносильна непрерывности отображения F.

- Ясно, что постоянная гомотопия F, определяемая по непрерывному отображению f: X —>Y формулой F (х, 7) = / (х), связывает f с f; что если гомотопия F связывает / с V, то обратная гомотопия F', определяемая формулой F'(х, 7) = Т7 (х, 1 — 7), связывает f' с /; и что если гомотопия F связывает f с f', а гомотопия F' связывает V с f", то их произведение F", определяемое формулой

А при . 7 <1/2,

f (И) t Их, 27-1) при 7>1/2, .

представляет собой гомотопию, связывающую / с f". Таким образом, гомотопность есть эквивалентность. Классы, на которые она разбивает множество ^(Х, У), называются гомотопическими классами. Множество этих классов обозначается через nU, У).

Примером гомотопии может служить прямолинейная гомотопия. Пусть f и f' — непрерывные отображения пространства X в подпространство У пространства Rn. Если для любой точки хеХ отрезок, соединяющий f(х) с f'(x), целиком лежит в У, то формула F Lx, 0 = (1 — t)f W + ^/W определяет гомотопию, связывающую f с f'. Такая гомотопия и называется прямолинейной.

Очевидно, что любые два отображения любого пространства в R" или Dn прямолинейно гомотопны.

Если отображения f, f': X —>Y гомотопны, то отображения g °f °h, g«V°h; X' ^-Y' гомотопны для любых непрерывных отображений g-. Y^-Y', h: Х'-^-Х.

Действительно, если F: XXI-*Y— гомотопия, связывающая f с f', то g о F ° (А X id /) есть гомотопия, связывающая g°f°h с g of' oh.

Из 3 следует, что отображение ^ (f, g): ^ (X, Y)—^(X', Y'), индуцированное непрерывными отображениями f; Х'-^Х, g: Y-> Y', переводит гомотопические классы в гомотопические классы. Возникающее отображение fact^(f, g): nU, Yf->j^U', У') обозначается через зЩ, g\ Из 3 следует, что оно определяется гомотопическими классами отображений f, g.

Связанные гомотопии

Пусть А— подмножество пространства X. Гомотопия F". XXI-*Y называется связанной на А, или, короче, А-гомо- топией, если F (х, t) — F (х, 0) при х е A, t е I. Два отображения, которые можно соединить Д-гомотопией, называются А-гомо- топными. Очевидно, Д-гомотопные отображения совпадают на А.

Как и обычная гомотопность, Д-гомотопность является эквивалентностью. Классы, на которые она разбивает множество непрерывных отображений X^-Y, совпадающих на Д с данным отображением f; A-*Y, называются А-гомотопическими классами или, подробнее, гомотопическими классами непрерывных продолжений на X отображения f. Множество этих классов обозначается через nU, A; f).-

. Заметим, что прямолинейная гомотопия, соединяющая f с g (см. 2), связана на множестве, где f и g совпадают.

Если хотят подчеркнуть, что та или иная гомотопия является не связанной, а обычной, ее называют свободной. ■

Гомотопическая эквивалентность пространств

Непрерывное отображение g: Y-*X называется гомотопически обратным непрерывному отображению /: X -> Y, если композиция g°f гомотопна тождественному отображению idX, а композиция fog гомотопна тождественному отображению id Y. Непрерывное отображение, обладающее гомотопически обратным, называется гомотопической эквивалентностью. Если существует гомотопическая эквивалентность X —>■ У, то пространство Y называется гомотопически эквивалентным пространству X.

Ясно, что тождественное отображение есть гомотопическая эквивалентность, что отображение, гомотопически обратное гомотопической эквивалентности, есть гомотопическая эквивалентность и что композиция двух гомотопических эквивалентностей есть гомотопическая эквивалентность. Следовательно, гомотопическая эквивалентность, как отношение между топологическими пространствами, есть эквивалентность. Классы, на которые она разбивает топологические пространства, называются гомотопическими типами.

Очевидно, гомеоморфизм есть гомотопическая эквивалентность.

Если одно из непрерывных отображений f; X^Y, g: Y—> Z и их композиция g°f: X-*Z являются гомотопическими эквивалентностями, то и другое есть гомотопическая эквивалентность.

Действительно, если h — отображение, гомотопически обратное g°f, то из того, что f — гомотопическая эквивалентность, следует, что отображение f ° h гомотопически обратно g, а из того, что g — гомотопическая эквивалентность, следует, что отображение h°g гомотопически обратно f.

Множество л^, У) гомотопически инвариантно-, если g; У —> У' и f: X' ^> X — гомотопические эквивалентности, то n(f, SY ^кХ, У)->л(Х/, Y'^ есть обратимое отображение.

Действительно, если f' — отображение, гомотопически обратное f, и g' — отображение, гомотопически обратное g, то отображение Tckf^g'f обратно n(f, g\

Стягиваемые пространства

Пространство X называется стягиваемым, если тождественное отображение id X гомотопно постоянному отображению.

Примерами стягиваемых пространств могут служить евклидовы пространства R" и шары Dn (см. 2).

Пространство стягиваемо в том и только том случае, если оно гомотопически эквивалентно точке.

.Доказательство. Если отображение id Л" гомотопно постоянному отображению ф, то отображение f; D°-> X со зна-

чением ф(Х) и отображение g: X—>D° гомотопически взаимно обратны, так как f»g = Ф и gof = id/)0.

Если f; D°^-X и g: X -> D° — гомотопически взаимно обратные отображения, то отображение id X гомотопно постоянному отображению f ° g. '

Если пространство X стягиваемо, то всякие два непрерывных отображения любого топологического пространства в X гомотопны. В частности, отображение id X гомотопно в этом случае любому постоянному отображению Х^Х.

Это следует из 10 и 8.

Деформационные ретракции

Ретракция р топологического пространства X на его подпространство А (см. 1.4.10) называется деформационной (строгой деформационной), если сквозное отображение X —^* А —-> X гомотопно id X (Л-гомотопно id X). Если пространство X допускает деформационную ретракцию на А, то А называется его деформационным ретрактом. Если пространство X допускает строгую деформационную ретракцию на А, то А называется его строгим деформационным ретрактом.

Ясно, что если р: X-* А— деформационная ретракция, то р и включение А->Х являются гомотопидески взаимно обратными гомотопическими эквивалентностями. Ясно также, что пространство, допускающее деформационную ретракцию на свою точку, стягиваемо и что любая точка стягиваемого пространства является его деформационным ретрактом.

Относительные гомотопии

Пусть X — пространство с отмеченной последовательностью подмножеств Дь ..., Ап и У — пространство с отмеченной последовательностью подмножеств Bv, ..., Вп. Отображение F; (XXI, А}Х1,---,АпХ1)^-(У, Вь...,Вп) называется гомотопией, связывающей непрерывные отображения f, f': (X, Ль ..., Ап) —> (У, Bi, ..., Вп), если abs F есть гомотопия, связывающая отображения abs f, absfF Очевидно, в этом случае ababs/7: А£ XI ~* Вг есть гомотопия, связывающая отображения ababsf, ababs f': А£->В£. Ясно также, что гомотопность, определяемая гомотопиями (XXI, AVXI, • •., AttXI)^(Y, Вх, ..., Вп), является эквивалентностью. Множество гомотопических классов, на которые она разбивает множество ^(Х, АхАп; Y,BX, ..., Вп), обозначается через ^(Х, Дь ..., Ап\ У, ВхВп). Соответствующим образом переносится на относительный случай определение отображения n(f, g), данное в 4.

Непрерывное отображение g: (У, Вь ..., Вп)->(Х, Ль ..., Л„) называется гомотопически обратным непрерывному отображению f: (X, Ль ..., Л„)->(У, Вь ..., Вп\ если композиция g°f гомотопна rel id X, а композиция / ° g гомотопна rel id У. Непрерывное отображение, обладающее гомотопически обратным, называется гомотопической эквивалентностью. Последовательности (А, Ль ..., Л„), (У, Вь ..., В^, которые можно связать гомотопической эквивалентностью, называются гомотопически эквивалентными. Предложения 7 и 8 переносятся на относительный случай дословно.

Сказанное в 13 охватывает, в частности, случай, когда X, У — пространства с отмеченными точками (в этом случае Ль В, — точки, /г=1 и гомотопии, определенные в 13, совпадают с гомотопиями, связанными в точке Л^. Кроме того, на пространства с отмеченной точкой очевидным образом переносятся определение стягиваемости, данное в 9 (гомотопия между id А’ и постоянным отображением должна быть связанной в отмеченной точке), и обе теоремы 10, 11, а также определения деформационной ретракции и деформационного ретракта, данные в 12 (в А" и в Л должна быть отмечена одна и та же точка, и гомотопия между сквозным отображением Х~^-> А-^> X и id А" должна быть связанной в этой точке), и сопровождающие их замечания. Что касается понятия строгой деформационной ретракции, то введение отмеченной точки ничего в нем не меняет.

Пути

Путем в топологическом пространстве X называется непрерывное отображение отрезка I в X. Точки s(0) и s(l) называются началом и концом пути s. Если s(0) = s(l), то путь s называется замкнутым. Замкнутые пути называются иначе петлями.

Путь, определяемый по пути s формулой tv—>s(l —/), называется обратным пути s и обозначается через s-1. Путь, определяемый по путям sh s2 с з1(1) = з2(0) формулой

( s^t), если <5^1/2,^1$2(2^—1), если ^^1/2,

называется произведением путей sb s2 и обозначается через SiS2. Ясно, что (s-I)-I=s и (з^г)-1 =$Г1$Г*.

Поскольку I = D°XI, путь в X может рассматриваться как гомотопия отображения D° —>Х, и ясно, что при такой интерпретации путей обратный путь превращается в обратную гомотопию, а произведение путей — в произведение гомотопий.

С другой стороны, гомотопия, связывающая непрерывные отображения f, f': X -> У, определяет путь в ‘g7 (X, У), соединяющий f с /', и при этом опять-таки обратной гомотопии отвечает обратный путь, а произведению гомотопий — произведение путей. Если пространство X хаусдорфово и локально компактно, то гомотопия между непрерывными отображениями f, f'; X—*Y может быть даже определена как путь в ^ (X, У), соединяющий f с f.

Будучи непрерывными отображениями, пути сами могут испытывать гомотопии. К сожалению, общепринятая терминология, относящаяся к этим гомотопиям, не вполне согласуется с определениями (тоже общепринятыми) п. 1. Именно, в применении к путям гомотопия и гомотопность всегда означают (О U 1)-гомотопию (т. е. гомотопию, связанную на концах отрезка /) и (О U 1)-гомотопность. Кроме того, если речь идет о петлях, то свободная гомотопия всегда означает обычную свободную гомотопию, в процессе которой петля остается петлей (т. е. такое непрерывное отображение F-. 1у.Д->Х, что Е(0, 0 = ^(1, 0 при ВСЯКОМ t^IY

Связность И Й-СВЯЗНОСТЬ

Свойства топологических пространств, изучаемые в этом пункте, представляют собой ослабленные варианты стягиваемости в абсолютном случае и ослабленные варианты деформационной ретрагируемости в относительном случае.

Связность

Топологическое пространство называется связным, если любые две его точки могут быть соединены путем. Равносильная формулировка: пространство X связно, если множество л(Д°, X) содержит не более одного элемента; см. 2.2.

Так как множество лф°, Х') гомотопически инвариантно (см. 1.8), то связность есть гомотопически инвариантное свойство. В частности, стягиваемые пространства связны. Например, пространства R" и Dn связны при любом п.

Сфера Sn с п > 0 также связна: любые две ее точки можно соединить путем уже в Sn\p, где р — третья точка (напомним, что пространство Sn\p гомеоморфно R"). Сфера S0 не связна: путь, соединяющий — 1 с 1, был бы непрерывной вещественной функцией на отрезке [0, 1], принимающей два значения, но не •принимающей промежуточных значений.

Из подмножеств прямой R связны только промежутки: пустое множество, точки, интервалы (конечные и бесконечные), полуинтервалы (конечные и бесконечные) и отрезки. Действительно,

если а, 0 —точные грани связного подмножества А прямой R, то А содержит интервал (а, 0).-

В случае произвольного топологического пространства X соединимость путем представляет собой отношение между-точками, обладающее всеми свойствами эквивалентности. Подмножества, на которые эта эквивалентность разбивает пространство X, являются его максимальными связными подмножествами и называются его компонентами. Множество компонент может быть очевидным образом отождествлено с л(Д°, X). Мы будем обозначать его через сотрХ.

Непрерывному отображению /: Х—>¥ отвечает отображение fact f = л (id D°, f): comp X-^- comp Y, не меняющееся при замене отображения f гомотопным отображением и обратимое, если f — гомотопическая эквивалентность (см. 1.4 и 1.8). Ясно также, что если f (X) = Y, то -fact f (comp X) = comp Y; в частности, образ связного пространства при непрерывном отображении связен.

Если пространство X представимо как объединение своих связных подмножеств Аь Д2 с А^Аз^О, то X связно.

Действительно, компонента пространства X, содержащая точку ХдеД^Дг, содержит Д1 и Д2, т. е. содержит все X.

Если пространство X разбито на открытые подмножества, то всякое его связное подмножество содержится в одном из элементов ’ разбиения. В частности, подмножество связного пространства, открытое и замкнутое одновременно, либо пусто, либо совпадает со всем пространством X.

Доказательство. Пусть А — связное подмножество пространства X и U — элемент разбиения, пересекающийся с А. Так как отображение f: X-*S°, переводящее U в 1, а Х\Е в —1, непрерывно, то множество /(Д) связно. Следовательно, /(Д) = 1 и AcU.

■ ^-связность

Для непрерывного отображения f: Sr->X с г^О следующие условия равносильны;

f гомотопно постоянному отображению;

/ может быть продолжено до непрерывного отображения Dr+l^X;

композиции f°DS+, foDS-t Dr -*Х, где DS+, DS_ — вложения шара DT в ST, определяемые формулами

DS+ (хр ..., х^ = (хр ..., xr, V1 — —~ х2^

DS_(xvхг) = (хр xr> —Vl—x^—... — х^),

ST-X-гомотопны;■

/ ortv-гомотопно постоянному отображению.

Доказательство будет проведено по схеме:

(i)^(ii). Действительно, гомотопия F\ ST^I->X, связывающая / с постоянным отображением, переводит верхнее основание цилиндра SrXI в одну точку; следовательно, F разлагается в композицию отображения Sr X I^Dr+v, определяемого формулой ((хь ..., хг+1),/)>—>(х1 (1 — Охг+1(1 — /)), и некоторого непрерывного отображения g: Dr+l^X (см. 2.3.4 и 1.7.9), и ясно, что glsr = f.

(11)^(111) и (ii)=^(iv). Действительно, если g; Dr+1 X — непрерывное продолжение отображения f, то формулы

((^, • xr), f^g^, ..., xr, (1 — 20 V1 — ^|— •— ^), ((Х1, ..., Xr+^O^gtf + U —tV\, (1 — 0*2,(1—0*r+l)

определяют 5г~'-гомотопию DrXI^X, связывающую f°DS+ с foDS_, и ortj-гомотопию SrXJ~>X, связывающую f с постоянным отображением.

) =>(11). Действительно, 5г-1-гомотопия F; Dr/X->X, связывающая f°DS+ с f°DS_, переводит каждую образующую цилиндра Sr~* XI в одну точку; следовательно, F разлагается в композицию отображения Dr X I -* 7У+1, определяемой формулой ((хр ..., xry t^v-^ (хр ..., хг, (2/ — 1) V1 — ^i ~ • • • — ^), и некоторого непрерывного отображения g; Dr+l^-X (см. 2.3.4 и 1.7.9), и ясно, что glsr = f.

Импликация (iv)=^(i) очевидна.

Непустое пространство X называется h-связным (0^ к ^ оо), если всякое непрерывное отображение Sr —> X с г 5^ к гомотопно постоянному отображению, т. е. удовлетворяет условию 6(1). В силу теоремы 6 эта формулировка равносильна трем аналогичным формулировкам, получающимся из нее при замене условия 6(1) условиями 6(11), 6(111), 6(iv). Так как, кроме того, для любых непрерывных отображений fb /2: Dr-^-X, совпадающих на Sr-1, существует непрерывное отображение f: Sr^-X с / ° DS+ = fb f ° DS- = f2, то непустое пространство X ^-связно

в том и только том случае, если любые непрерывные отображения Д, f2: Dr->-X с r^k, совпадающие на Sr-Y, Sr~’-ro- мотопны.

Очевидно, для непустых пространств 0-связность есть не что иное, как связность. 1-связность обычно называют односвязностью; для' 0-связных пространств она равносильна требованию, чтобы любые два пути с общими концами были гомотопны между собой.

Из гомотопической инвариантности множеств л (S', X) следует, что пространство, гомотопически эквивалентное ^-связному пространству, й-связно. В частности, стягиваемые пространства оо-связны.

Относительный случай

Для непрерывного отображения f: (pr, Sr~1')-> (X, Д) с г > 0 следующие условия равносильны".

(1) / гомотопно постоянному отображению;

(и) отображение absf Sr~Y-гомотопно отображению, переводящему Dr в подмножество множества А."

Доказательство. (i)=>(ii). Если F: {й'ХД Sr-Y X О-* (X, Д) — гомотопия, связывающая f с постоянным отображением, то формула.

F (x/dist (0, х), 2 (1 — dist (0, х))),■

(х, /) ь-> •(х, /) ь-> •если dist (0, х) ^ (2 — /)/2, F (2х/(2 — t), t), если dist (0, х) ^ (2 — 0/2,

(х, /) ь-> •

(х, /) ь-> •

определяет Sr~’-гомотопию DrXI^"X, связывающую abs / с отображением, переводящим Dr в подмножество множества Д.

(ii)=^(i). Если G; D'XJ^X— гомотопия, связанная на Sr~* и соединяющая abs / с отображением, переводящим Dr в подмножество множества А, то rel/7: (Dr ХЛ Sr~Y X (X, Д), где F — отображение цилиндра DrXI в X, определяемое формулой

Д((хь ..., xr),/) =

если / ^ 1/2,если / ^ 1/2,f G((x„ ..., хД, 2Д,

если / ^ 1/2,

если / ^ 1/2,

G((2xi (1—/),..., 2хг(1—Д), 1), если /^1/2,

есть гомотопия, связывающая f с постоянным отображением.

Пара (X, Д) называется к-связной (О^&^оо), если, каково бы ни было непрерывное отображение f: ^Ef, Sr~’)->(X, Д) с r^.k, отображение absf Sr~ ’-гомотопно отображению с образом, содержащимся в А. '

Ясно, что пара (X, Л) 0-связна в том и только том случае, если каждая компонента пространства X пересекается с А При к > 0 пара (X, Л) й-связна в том и только том случае, если всякое непрерывное отображение /: (Dr, Sr~')->(X, Д) с г ^ к гомотопно постоянному; см. 8.

Пара, гомотопически эквивалентная ^-связной паре, очевидно, fe-связна. Из этого, в частности, следует, что если Л —строгий деформационный ретракт пространства X, то пара (X, Д) оо-связна; действительно, она гомотопически эквивалентна паре (X, Х\ Как выяснится позже, пара (X, Д) оо-связна уже в случае, когда Д — деформационный ретракт пространства X, и даже в случае, когда включение А->Х является гомотопической эквивалентностью; см. 5.1.6.5.

" 4. Локальные свойства

Топологическое пространство X называется локально стягиваемым в точке х0 е X, если всякая окрестность U' этой точки содержит такую ее окрестность У, что включение V -*U гомотопно постоянному отображению, переводящему V в х0. Топологическое пространство X называется локально стягиваемым, если оно локально стягиваемо в каждой своей точке.

Если заменить в этих определениях гомотопность х0-гомо- топностыо, то получатся определения сильной локальной стягиваемости пространства X в точке х0 и сильной локальной стягиваемости пространства X.

Примерами сильно локально стягиваемых пространств могут служить R", Dn и Sn. '

Топологическое пространство X называется локально связным в точке х0 е X, если всякая окрестность U точки х0 содержит такую окрестность V этой точки, что любые две точки, лежащие в У, можно соединить путем в U. Топологическое пространство называется локально связным, если оно локально связно в каждой своей точке.

Ясно, что локальная связность следует из локальной стягиваемости. Примером связного пространства, которое не является локально связным, может служить часть плоскости R2, составленная из прямых mxxv + т2х2 = 0 с целыми mb т2.

Пространство локально связно в том и только том случае, если компоненты открытых множеств открыты. В частности, любая окрестность любой точки локально связного пространства содержит связную окрестность этой точки.

Доказательство. Если х0 —точка компоненты А открытого подмножества U локально связного пространства X, то U содержит такую окрестность V точки х0, что любые две

точки из V могут быть соединены путем в U. Следовательно, V ст А и, таким образом, хое1п1Л. Этим доказано, что в локально связном пространстве компоненты открытых множеств открыты, обратное же очевидно.

Пары Борсука

Топологическая пара (X, Л) называется парой Борсука, если, каковы бы ни были топологическое пространство У, непрерывное отображение f: X-*Y и гомотопия F; AXJ^Y отображения f |л, существует гомотопия XXI-^Y отображения f, продолжающая F.

Ясно, что если (А", А, В) — топологическая тройка и (X, Л), (Л, В) — пары Борсука, то и (X, В) — пара Борсука.

Для того чтобы топологическая пара (X, Л) была парой Борсука, необходимо, а в случае, когда А замкнуто, и достаточно, чтобы множество (X X 0) U (Л X Л было ретрактом цилиндра XXF

Доказательство необходимости. Всякая гомотопия отображения in: X = X Х.О -> (X X 0) U (А X Л, продолжающая гомотопию in: А X I (X X 0) U (Л X I), является ретракцией цилиндра XXI на (А" X 0) U(Л XЛ-

Доказательство достаточности. Если р: XXI** (X X 0) U (Л X Л — ретракция, то каковы бы ни были топологическое пространство Y, непрерывное отображение /: А->У и гомотопия F: AXI"*Y сужения f |л, сквозное отображение X XI (А" X 0) U (Л X Л—*¥, где G определяется формулой

( f (х), если t = 0,

О (хД) — | если хе А,

есть гомотопия отображения f, продолжающая F (непрерывность G следует из 1.3.6 и 1.4.3).

Существенным дополнением к теореме 2 служит тот факт, что если пространство X хаусдорфово, то замкнутость множества А автоматически следует из ретрагируемости цилиндра X X I на (АХО)и(ЛХ/)- Для доказательства достаточно заметить, что из указанной ретрагируемости следует замкнутость множества (А'ХО)и(ЛХЛ в X X I (см. 1.5.5) и что А есть прообраз этого множества при отображении X—> X X Л определяемом формулой хн^(х, 1).

Если множества А, В составляют замкнутое покрытие пространства X и (Л, А П В) — пара Борсука, то (А’, В) — тоже пара Борсука. .

Это следует из 2, поскольку любая ретракция р: А X I -> [Д X 0] U [(Л Л В) X /] определяет по формуле

( р(х, /), если хе А,( (х, /), если х е В,

некоторую ретракцию X X I -* (X X 0) U (В X Л-

Если (X, А) —пара Борсука с замкнутым А, то (ZXX, Z X А) есть пара Борсука для всякого топологического пространства Z. .

Доказательство. Если р — ретракция цилиндра XXI на (X X 0) U(ЛX Д, то idZXp есть ретракция цилиндра (ZX*)XZ = ZX(XX/) на [(ZXZ)X0]Ul(ZX^)X/] = ZX (UXO)UUX/)].

Пары Борсука и деформационные ретракции

Если (А', Д) — пара Борсука и включение А -> X является гомотопической. эквивалентностью, то А есть деформационный ретракт пространства X.

Доказательство. Пусть л: X —>Д — отображение, гомотопически обратное включению А-*Х. Продолжим гомотопию, связывающую отображение л|д = лоШ: Д->Д с id Д, до гомотопии отображения л'и обозначим через р ретракцию пространства X на А, с которой последняя гомотопия связывает л. Так как сквозное отображение X—>А—Л-X гомотопно id А", то и сквозное отображение X ~^* А—*Х гомотопно idZ, и, таким образом, р есть деформационная ретракция.

Если А — деформационный ретракт пространства X и (Х X Л (Z X 0) U (Д X I) U (А" X 1)) — пара Борсука, то А есть строгий деформационный ретракт пространства X. .

Доказательство. Пусть р: АД — деформационная ретракция и f: X X I —► X — гомотопия, связывающая id А со сквозным отображением Х-^- А —~> X. Определим гомотопию g; [(XX0)UMX/)UUXl)]X7->x формулой .

{

х, если /1=0,

f (х, (1 — t^tx\ если х е А,

f (р (х), 1 —/2), если /) = 1,

и продолжим ее до какой-нибудь гомотопии G: (XX Л XI ~* X отображения f: X XI X. Ясно, что формула (х, /) >—> G ((х, /), 1) определяет Д-гомотопию X XI X, связывающую idX с in°p.

Если (X, Л) — пара Борсука и В — деформационный ретракт пространства А, то отображение rel: (А', В) -> \Х, Л) является гомотопической эквивалентностью.

Доказательство. Продолжим гомотопию, связываю-, щую id А с композицией деформационной ретракции Л->В и включения В—> А, до некоторой гомотопии G отображения id X. Ясно, что отображение (ЙГ, Л)->(ЙГ, В), определяемое формулой x—^GCx, 1), гомотопически обратно rel.

Локальные характеристики пар Борсука

Если (ЙГ, Л) — пара Борсука с нормальным X, то, каковы бы ни были топологическое пространство У, непрерывное отображение f: X—>Y и гомотопия F сужения f |л, для всякой окрестности U множества А существует (X\U)-гомотопия отображения f, продолжающая F.

Доказательство. Если G — гомотопия отображения f, продолжающая F, то формула (х, /) н-> G(x, /ф(х)), где ф — какая- нибудь функция Урысона пары X\U,A, определяет (X\G)- гомотопию отображения f, продолжающую F.

Для того чтобы топологическая пара (ЙГ, Л) была парой Борсука, необходимо, а в случае, когда X нормально и А выделяемо (в частности, когда X метризуемо и А замкнуто), и достаточно, чтобы существовала окрестность U множества А, для которой включение U —> X А-гомотопно отображению, переводящему U в А.

Доказательство необходимости. Если о: XXI -> (ЙГ X 0) U (Л X Л — ретракция, то множество U, составленное из точек хеХ е а(х, 1)еЛХ(0, 1], открыто, и сквозное отображение

uxi^x xi-^axtfMAxn^xxi х . является Л-гомотопией и связывает включение U -> X с отображением, переводящим U в А.

■ Доказательство достаточности. Пусть F*. UX1-* X — такая Л-гомотопия, что В(х, 0) = х и F(x, 1)еЛ при любом хе U, и пусть ср: X -> I — функция Урысона пары A, X\U, выделяющая А (см. 1.5.9). Формула

( Е(х, т!п(//ф(х), 1)), если xeUXA, G(x,t) = \ .

х, если хе А,

определяет некоторое отображение G: UXI^X, и из теоремы 2.2.14 следует, что G непрерывно. Вместе с G непрерывно

отображение Н; X X I ~* X X I, определяемое формулой

' (G (х, max (О Д — ф (я))), max (0, / — Ф (я))),

Н^х, t) = *Н^х, t) = *(х, 0),(х, 0),если х е U,

Н^х, t) = *

Н^х, t) = *

(х, 0),

(х, 0),

если х е X \ U,

и ясно, что Н (X X Л = (Х X 0) U (Л X I) и что ab Н\ XX!-* (X X 0) U (Л X /) есть ретракция.

Пусть {X, Л) — такая топологическая пара, что Л — деформационный ретракт некоторой своей окрестности. Если X нормально и Л выделяемо (в частности, "если X метризуемо и Л замкнуто^, то {X, Л) есть пара Борсука.

Это следует из 10.

Если (X, Л) — пара Борсука, то для всякой окрестности 7 множества Л существует такая его окрестность W, что W cz V и включение W —> V А-гомотопно отображению, переводящему W в А.

Доказательство. В силу 10, существуют такая окрестность U множества А и такая Л-гомотопия F: U XI X, что В(х, 0) = х и FCt, 1)еЛ при любом хеП, а в силу 2.2.13 каждая точка х множества А обладает в U такой окрестностью Wх, что F (I7X X I) <= V. Положим W = 1Д е л ^х- Ясно, что 17 с V и FW'XIicV и что ab F: W XI есть Л-гомотопия, связывающая включение 17 —>7 с отображением, переводящим 17 в Л.

Если топологическое пространство составляет со своей точкой пару Борсука, то оно сильно локально стягиваемо в этой точке. Если нормальное пространство сильно локально стягиваемо в выделяемой точке, то оно составляет с ней пару Борсука.

Это следует из 12 и 10.

Корсы

Подмножество топологического пространства называется его окрестностным ретрактом, если оно являемся ретрактом некоторой своей окрестности.

Очевидными примерами окрестностных ретрактов служат ретракты и открытые множества.

Если А — окрестностный ретракт пространства X и В — окрестностный ретракт пространства А, то В есть окрестностный ретракт пространства X.

Действительно, если р: U —> А— окрестностная ретракция для А в X и а: 7->В— окрестностная ретракция для В в Л, то его(р|^): W-> В, где 17 = р~'(7), есть окрестностная ретракция для В в X. ' ■

Топологическое пространство называется кор,сом, если оно компактно и вкладывается в евклидово пространство (некоторой размерности) в качестве окрестностного ретракта.

Слово коре составлено из начальных букв слов компактный окрестйостный ретракт сферы.

Очевидными примерами корсов служат шары Dn и сферы Sn.

Компактный окрестйостный ретракт корса есть коре.

Это следует из 2.

При любом вложении корса в нормальное пространство образ является окрестностным ретрактом.

Доказательство. Пусть f — вложение корса X в нормальное пространство У и g: X->R" —такое вложение, что g(X) — окрестйостный ретракт пространства R”. Пусть, далее, = [ab f: X -> f (X)], g! = [ab g: X -* g (X)] и р: V -> g (X)—окрест- ностная ретракция. Так как множество /(X) замкнуто (см. 1.7.9), то отображение g°f7x: f(X)->-Rn продолжается до некоторого непрерывного отображения h: У-^-R” (см. 1.5.12), и ясно, что U = h-x (V) есть окрестность множества f(X), a f^g^opo [ab/г: U-> У] —; ретракция этой окрестности на /(X).

Для всякого компактного окрестностного ретракта X пространства R” существует такое положительное е, что любые непрерывные отображения f, g любого пространства У в X с

dist(f (z/), g(y)) < е для всех уе.¥

гомотопны. Гомотопию можно сделать связанной на множестве, где fug совпадают.

Доказательство. Пусть а: И—>Х — окрестности ая ретракция. Мы покажем, что за 8 можно принять расстояние между множествами X и R"\t7 (которое положительно в силу 1.7.16).

Пусть f; g: У—> X — непрерывные отображения с dist (f(z/), g(z/))<e для всех ye*?. Очевидно, отрезок, соединяющий fly) с g(.yf, лежит в U, какова бы ни была точка у еУ. Следовательно, сквозные отображения У-^- Х-—> U, У —^-> X —> U соединяются прямолинейной гомотопией F: У XI ~* U, и ясно, что гомотопия о °F: У X 1 —> X соединяет f с g и связана на множестве, где f, g совпадают."

Если А —- окрест постный ретракт корса X, то (X, Л) — пара Борсука.

Доказательство. Пусть a: U —> Л — окрести ости а я ретракция. Считая пространство. X окрестностным ретрактом пространства R", найдем для него е, указанное в 6, и обозначим через V окрестность множества Л в X, составленную из точек

х е U, для которых бражениех е U, для которых бражение°1к . In°1к . Indist (х, о(х))<е, и через ф сквозное ото-

х е U, для которых бражение

х е U, для которых бражение

°1к . In

°1к . In

Очевидно, dist (ф (х), х) < е, если хе У, и ф (х) = х, если х е Л; следовательно, включение V—> X Д-гомотопно ф, и поскольку ф(1/) = Д, остается применить теорему 5.10.

Корсы сильно локально стягиваемы.

Это следует из 5, 7 и 5.13.

Информация

Теорема 8 может быть обращена: всякое локально стягиваемое компактное подпространство евклидова пространства является его окрестностным ретрактом. Доказательство см. в [14].

Гомотопические свойства топологических конструкций

В этом пункте устанавливается гомотопическая инвариантность некоторых из конструкций, описанных в § 2, и изучаются гомотопические свойства пространств, к которым они приводят.

Произведения

Очевидно, непрерывные отображения f,g;Y^>-XiX ■ • • X Хп гомотопны в том и только том случае, если отображения рг, ° f, рг, ° g: Y-^-Xt гомотопны при любом i (ср. 2.2.4). Из этого, в частности, следует, что пространство XiX •■• ХХп й-связно в том и только том случае, если й-связны все пространства ХД0<6<оо).

Ясно.также, что если отображения gp Хх —>Уь ..., gn; Xn^-Yn гомотопны отображениям fp Хх —>Уь . .., f „р Xn->Yn, то отображение^ X . • • Xgn- XiX ... XXn^ YVX ... XY n гомотопно отображению LX...XU XxX ...X Xn-*YVX • • -XYn,n что если fb ..., fn— гомотопические эквивалентности, то и fi X • • • X fn ~ гомотопическая эквивалентность.

Если Л — деформационный ретракт (строгий деформационный ретракт) пространства X, то, очевидно, произведение AXY является при любом У деформационным ретрактом (стро.- гим деформационным ретрактом) произведения ХХ^- В частности, если X стягиваемо, то слои хXУ произведения XXY являются деформационными ретрактами этого произведения.

Факторизация

Поскольку проекция Х^-Х/\ непрерывно бтображает X на Х/(, факторпространство связного пространства связно (см. 3.3). Ясно также, что для связности факторпространства Х/А пространства X по его подпространству А достаточно уже 0-связности пары (X, Л) и что если компоненты пространства X открыты, то 0-связность пары (X, Л) следует из связности факторпространства Х/А.

Как мы увидим в дальнейшем, ни 6-связность с k > 0, ни стягиваемость при факторизации, вообще говоря, не сохраняется. '

Пусть f, t— разбиения пространств X, У. Если отображения ft: X —>Y составляют гомотопию и отображают элементы разбиения f в элементы разбиения t, то отображения fact /д X/f -* Y/t также составляют гомотопию.

Нужно доказать, что отображение G: (X/f) X / -* УД, определяемое формулой G(x, f) = (fact ft)(x), непрерывно. Для этого достаточно заметить (см. 2.3.4), что сквозное отображение X X I ———> №1^ X I —^У/t непрерывно, а отображение prX id / факторно; первое следует из коммутативности диаграммы

^X/-^^Wf)X7

У Д_> У/t,

где F определяется формулой F (х, t) = f( (х), второе —• из теоремы 2.7.8.

Если отображения /, f': (X, A)->(Y, В) гомотопны, то отображения relfactf, rel fact fz: (X/A, pr (Л)) ->(У/В, рг (В)) также гомотопны. Если f — гомотопическая эквивалентность, то и rel fact f — гомотопическая эквивалентность.

Первое следует из 5, второе — из первого: если отображение g; (У, В)->(Х, Л) гомотопически обратно f, то отображение rel fact g: (У/В, ^т(В^->(Х/А, рг(Л)) гомотопически обратно rel fact f.

Если (X, Л) — пара Борсука и Л стягиваемо, то rel pr: (X, Л) -» (Х/А, рг(Л)) есть гомотопическая эквивалентность.

Доказательство. Пусть F: АХ1~*А— гомотопия, связывающая id Л с постоянным отображением, и G: X XI -* X — гомотопия отображения id X," продолжающая F. Так как отображение g, с которым G связывает idX, постоянно на А, то определено отображение factg: Х/А-^Х, и так как, очевидно, fact §(рг(Л)) с А, то определено и отображение rel fact g: (Х/А, рг(Л))->(Х, Л). Покажем, что последнее гомотопически обратно

relpr. Для этого рассмотрим гомотопии rel G: (X X 7, АХ 7)-» (X, А) и rel fact G: ((Х/А)Х7, рг(Л) ХД^(Х/А, рг(А)). Первая из них связывает отображения rel id X, relg: (X, А)->(Х, А), вторая связывает отображения rel id (X/A), rel fact g: (X/A, pr (A))—> (X/A, pr(A)), и ясно, что [relg:(X, A)-»(X, A)] = [rel fact g: (X/A, pr(A))->(X, A)] ° [relpr: (X, A)->(X/A, pr(A))] и [relfactg; (X/A, pr (A))-*(X/A, pr (A))]=[relpr: (X, A)-+(X/A, pr(A))] ° [rel fact g: (X/A, pr(A))^(X, A)].

Приклеивания .

Если (X], С) — пара Борсука и отображения ф, ф': С—>Х2 гомотопны, то пространства Х2ифХр Xoll^X, гомотопически эквивалентны; более того, они могут быть связаны такой гомотопической эквивалентностью f: Х2 Uq)XI-> Х211ф, Хр что диаграмма

коммутативна.

Доказательство. Пусть Ф: С X 7 -> Х2 — гомотопия, связывающая ф с ф', и ст —ретракция цилиндра Х\Х1 на (X] X 0) U (С X 7). Определим отображения h; (Xi X 0) U (С X /)-> Х2ифХр h': (Х1Х0)и(СХ7)-*Д2иф^1 формулами

( imm. (х\ h.(x, = \ .- ,7( imm2 ° Ф(х, /),( imm. (х\ h.(x, = \ .- ,7( imm2 ° Ф(х, /),h' (х, f) =h' (х, f) =immi (х), 1тт2°Ф(х, 1 — f),immi (х), 1тт2°Ф(х, 1 — f),если 7=0, если хе С, если / = 0, если, хеС,если 7=0, если хе С, если / = 0, если, хеС,

( imm. (х\ h.(x, = \ .- ,

7( imm2 ° Ф(х, /),

( imm. (х\ h.(x, = \ .- ,

7( imm2 ° Ф(х, /),

h' (х, f) =

h' (х, f) =

immi (х), 1тт2°Ф(х, 1 — f),

immi (х), 1тт2°Ф(х, 1 — f),

если 7=0, если хе С, если / = 0, если, хеС,

если 7=0, если хе С, если / = 0, если, хеС,

и отображения f: X^X^X^Xbg: Х.,^^Х.^Х, формулами '

/ ° irnrH] (х) = h' ° а (х, 1),/ ° imm2 (х) = imm2 (х),

g ° immi (х) = h ° ст (х, 1),g ° imm2 (х) = imm2 (х).

Очевидно, что эти отображения непрерывны и что диаграмма (1) коммутативна. Ясно также, что отображение (Х211фTfj) X 7 —> Х2иф7Ср определяемое формулами

(imm! (х), /) h ° а ° ф (ст (х, I), t),

-(imm2(x),/)н-^ imm2(x)X '

где ф — отображение произведения (Л\Х7)Х7 в ХхХЕ определяемое формулой ф((х, м), <) —(х, шах (0, / — «)), представляет собой гомотопию, соединяющую id (Х2 (J Xj) с g°f- Таким образом, композиция g°f гомотопна id(Л"21)фА',), и подобным же образом композиция f°g гомотопна id (X2 Ugv X,).

(Лемма). Если f: У —>У/, f': Y' —>У— гомотопически взаимно обратные отображения, то для всякой гомотопии F: YXI~*Y, связывающей id Y с f' ° f, существует такая гомотопия F': Y'XJ-^Y', связывающая id У' с f ° f', что отображения

bF, F' = (fXid/): YXI-+Y'.

[(У X 0) U (У X Х^-гомотопны.

Доказательство. Пусть G; Y'XI^Y' — какая-нибудь гомотопия, связывающая id У' с f°f', и Е' — произведение трех

гомотопий: G, f ° F ° (/' X id 7) и гомотопии, обратной гомотопии G ° у X id 7) ° (Г X id 7). Разобьем квадрат 72 на 8 частей, как показано на рис. 3 (точки Ах, А2, А3, Л4 имеют абсциссы 0, 1/2, -3/4, 1 и ординату 0, точки Вх ВБ— абсциссы 0, 1/8, 1/4, 1/2, 3/4, 1 и ординату 1/2, точки Съ С2 — абсциссы 0, 1 и ординату 1), и определим аффинные отображения щ: 72-^Р1, а2: Р^-Р2 условиями: аДО, 0) = В3, а1(1,0) = В4, И) (0, 1) = Л2, 02(0, 0) = В5, а2(1, 0) = В4, а2(0, 1) = Л4- Определим, далее, для y^Y отображение фу: Р->Y' условиями: ФУ(«1(71, У) = f(F (F (.у, t2\ Ь\ <fy(a2(tx, t^-G^oE^y, t2\ /]); если 0 ^/^1/2, то Фу(/, O) = G(f(z/), 2/); сужение фу lQi постоянно на отрезках прямых, параллельных прямой А2В2; сужение фу |Qz постоянно на отрезках прямых, проходящих через точку Dp, сужение фу |Qi постоянно на вертикальных отрезках;

сужение фу |Q постоянно на отрезках прямых, параллельных прямой СгВ5; сужение фу |Q5 постоянно на отрезках прямых, проходящих через точку Z)2; сужение фу |Q> постоянно на вертикальных отрезках (отрезки постоянства отображения фу показаны на рис. 4). Ясно, что формула ((у, tvY У^Фу^ь ^ определяет [(У X 0) U (У X 1)]-гомотопию (У X /) X I ~>У/> связывающую fo F с F' o(fXid/).

Пусть {X, С) — пара Борсука с замкнутым С и ф: С —> У — непрерывное отображение. Если f: У —> Y' — гомотопическая эквивалентность, то

ta^XUHY Y^X-*Y'\)^X

также есть гомотопическая эквивалентность.

Доказательство. Фиксируем: (i) отображение (': Y'^»Y, гомотопически обратное f; (ii) гомотопию F-. YXI-*Y, связывающую id У с f'°h (ш) гомотопию F'; Y' X I ~+Y', связывающую id У' с f ° /', вместе с [(У X 0) U (^ X 1)]-гомотопией G: (У X Д XI Y’, связывающей f ° F с F' ° (f X id I) [см. 9]; (iv) ретракцию р: X X I —> {X X 0) U (С X I)- Определим, далее, отображения g: UXOMCX/HyiV, g'; [(ХХ0)и(СХ/)]Х/-*У'и,о/

формулами

( immi (x),

^^X’ ^( imm2°F(ф(x), /),

если

если

f^O, х е С;

z( immi U),

g ((я, G), ^2) — 1 imm2 0 Q ^ф ^, ^^ ^^

если

если

/1=0, хе С,

отображение h.: У'UfoqX-> У 11ф ^ формулами

h (immi (x)) = g ° p (x, 1), h (imm2 ^^ = imm2 (Г W).

Ясно, что формулы

H (imm! (х), f) = g ° p (x, /), H (imm, (y), f) = imm2 (F (y, tY определяют гомотопию И: (У Щ-К) XI У Щ X, связывающую id^yj^A") с h ° fact (id X U f), а формулы

H\ (imm, (x), /) = g' (p (x, tY 1), H\ (imm2 (y'Y f) = imm2 (F' (/, /)), H'2 (imm, (x), t) = g' (p (x, 1), t), H'^ (imm2 (y'Y t) = imm2 (f ° f' (y')) определяют гомотопии H'v H'2; (Y' Ufo<pX) XI Y' UfoqX, произведение которых связывает id(yz Uf0<p-^) c fact (id X LJ/) ° й. Таким образом, отображение h гомотопически обратно fact (id X LI f).

Более специальные конструкции

Конус сопХ стягиваем при любом X. Надстройка su^ связна'при любом X. Джойн Хх*Х2 связен при любых Хх, Х2.

Стягиваемость конуса очевидна. Связность надстройки следует из того, что она является факторпространством конуса. Связность джойна следует из того, что любые две точки рг(хр ху ty рг(х', х'у 1'^еХ^Х^ [(хр Ху f), (х', х'у ffeX/X Х2 X ^] соединяются путем, определяемым формулой

( рг(хь х2, Зт(1—0 +/), если тн_> | рг(Хр Ху 2 — Зт),если| рг(х', х'у С(3т— 2)), если( рг(хь х2, Зт(1—0 +/), если тн_> | рг(Хр Ху 2 — Зт),если| рг(х', х'у С(3т— 2)), если1/31/3т <т << т< т1/3,1/3,<2/3,<2/3,т>2/3.т>2/3.

( рг(хь х2, Зт(1—0 +/), если тн_> | рг(Хр Ху 2 — Зт),если

| рг(х', х'у С(3т— 2)), если

( рг(хь х2, Зт(1—0 +/), если тн_> | рг(Хр Ху 2 — Зт),если

| рг(х', х'у С(3т— 2)), если

1/3

1/3

т <

т <

< т

< т

1/3,

1/3,

<2/3,

<2/3,

т>2/3.

т>2/3.

Очевидное применение теоремы 5 показывает, что если отображения f, g: X-^Y гомотопны, то отображения suf, sug: suX—>su/ также гомотопны. Из этого обычным образом следует, что если f — гомотопическая эквивалентность, то и su f — гомотопическая эквивалентность.

Очевидное применение теоремы 5 показывает еще, что если отображения f\, g<- Xx-^-Yx гомотопны и отображения f2, g2; X2->Y2 гомотопны, то отображения f] * f2, gi * g2: Xx * X2 ~^YX * Y2 также гомотопны. Из этого обычным образом следует, что если fi, /2 ~ гомотопические эквивалентности, то и ft*f2— гомото-. пическая эквивалентность.

Ясно, что отображение rtf цилиндра Cyl f отображения f: Х\-^-Х2 на Х2 (см. 2.6.10) является строгой деформационной ретракцией. Таким образом, Х2 — строгий деформационный ретракт пространства Cyl f.' .

Включение JK"i —*-Cyl / в том и только том случае является гомотопической эквивалентностью, если/ — гомотопическая эквивалентность. Действительно, сквозное отображение Хх—> Cylf—*■ Х2 совпадает с f, a rtf есть гомотопическая эквивалентность.

Случай пространств с отмеченной точкой

Сказанное в 2, 3, 6, 7, 10, И и 12 очевидным образом переносится на случай пространств с отмеченной точкой. Добавим, что теоремы, аналогичные 12, верны для букетов и тензорных произведений: если отображения f^, g^: (Х^, хДт^(Уц, t/Д гомотопны при каждом р, то и отображения ХДф, V^К- (У^ДАф, хД, bpWV ДУЦ, уД, Ьр) гомотопны, а если каждое из отображений /м является гомотопической эквивалентностью, то и \/Дф

есть гомотопическая эквивалентность; если отображения f,, gp (Хь х1)-*(У1, z/J гомотопны и отображения f2, g2: (Х2, х2)-> (У2, Уг) гомотопны, то и отображения h®f.2, gi®g2- ((Ль х,)® (Х2, х2), Ьр)—*-((У1, г/1)®(У2, У1\ Ьр) гомотопны, а если fx, ^ — гомотопические эквивалентности, то и fx®f2 есть гомотопическая эквивалентность.

8. Упражнения

Доказать, что сфера S°° стягиваема.

Доказать, что если (X, Л) — пара Борсука и пространство X стягиваемо, то факторпространство Х/А гомотопически эквивалентно зиЛ.

Доказать, что если произведение двух топологических пространств гомеоморфно надстройке над каким-нибудь топологическим пространством, то либо оба сомножителя стягиваемы, либо один из них сводится к точке.

Доказать, .что если f: Xj—> Х2 — гомотопическая эквивалентность, то Xi есть строгий деформационный ретракт пространства Cylf.

Доказать, что если топологическое пространство X составляет со своей отмеченной точкой х пару Борсука, то проекция suX—>su(X, х) является гомотопической эквивалентностью.

Доказать, что для всякого связного топологического пространства X и любых его точек х, у часть пространства ^ (/, 0; X, х), составленная из путей, проходящих через точку у, стягиваема.

ГЛАВА 2

КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

§ 1. КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВАИ ИХ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА

Основные понятия

Разбиение f топологического пространства X называется клеточным, если на множестве элементов этого разбиения определена такая функция d с неотрицательными целыми значениями, что для каждого элемента е разбиения f существует непрерывное отображение D^ X с двумя свойствами: (i) оно гомеоморфно отображает Int Dd№ на е; (ii) оно отображает S^e)-! в объединение элементов разбиения f, на которых d принимает значения-, меньшие d^e\

Элементы клеточного разбиения называются клетками, а их замыкания — замкнутыми клетками. Число d(e) называется размерностью клетки е и обычно обозначается через dime. Всякое непрерывное отображение Dd^-> X со свойствами (i), (ii) называется характеристическим для е; в качестве стандартного обозначения для такого отображения будет употребляться символ chae.

Очевидно, chae(Z)d,me) с С1е, а если X —- хаусдорфово пространство, то chae(Z)dime) = С1е. В частности, замкнутые клетки клеточного разбиения хаусдорфова пространства компактны. Ясно также, что, какова бы ни была клетка е, в хаусдорфовом случае разность С1 е \ е покрывается клетками меньшей размерности.

Клеточное разбиение называется оснащенным, если для каждой его клетки фиксировано характеристическое отображение. Семейство {chae: Z)dlme->^}, возникающее при таком фиксировании, называется оснащением разбиения, а отображение '

.cha: Lleex/fOdime->X,

определяемое соотношениями cha ° ine = chae, — тотальным характеристическим отображением.

Согласно общим определениям главы 1 (см. 1.2.4.3), покрытие пространства X замкнутыми клетками клеточного раз-

биения f определяет в X вторую топологию. Запас замкнутых множеств этой топологии описывается правилом: множество замкнуто, если его пересечения с замкнутыми клетками разбиения f замкнуты в исходной топологии. Эта вторая топология называется слабой или клеточной, и переход к ней называется клеточным ослаблением топологии. Ослабление топологии может только увеличить запас открытых и замкнутых множеств и, в частности, оставляет хаусдорфово пространство хаусдорфовым. Во всех случаях оно не меняет топологии замкнутых клеток и, таким образом, оставляет разбиение f клеточным, сохраняя характеристические отображения.

В случае, когда пространство X хаусдорфово, а разбиение f снабжено оснащением {chae}, клеточная топология допускает эффективное описание через тотальное характеристическое отображение cha: множество А открыто (замкнуто), если открыт (замкнут) его прообраз cha-1 (Л). Другими словами, клеточная топология совпадает с топологией, перенесенной в X взаимно однозначным фактором отображения cha из факторпространства суммы U ееx/fDdlmе по разбиению zer(cha). Равносильность этого описания клеточной топологии первоначальному следует из замкнутости отображений chae (см. 1.1.7.9).

Клеточным пространством называется хаусдорфово топологическое пространство, наделенное клеточным разбиением с двумя свойствами: (С) замкнутая клетка пересекается лишь с конечным числом клеток", (W) замкнутые клетки составляют фундаментальное покрытие пространства. Условие (W), очевидно, означает, что топология пространства совпадает с клеточной топологией. Обозначения (С) и (W) общеприняты и происходят от английских терминов clos.ure finiteness и weak topology.

Ясно, что свойство (С) сохраняется при клеточном ослаблении топологии. Поэтому хаусдорфово пространство, наделенное клеточным разбиением со свойством (С), становится после клеточного ослабления топологии клеточным пространством.

Терминологию, относящуюся к клеточным разбиениям, принято применять и к клеточным пространствам. В частности, клеточное пространство может быть конечным, счетным и оснащенным. Конечность клеточного пространства означает, таким образом, не конечность числа точек, а конечность числа клеток.

Размерностью клеточного пространства называется верхняя граница размерностей его клеток; для пустого пространства (которое не исключается из числа клеточных пространств) она считается равной —1. Размерность клеточного пространства X, конечная или бесконечная, обозначается через dim X.

Множество r-мерных клеток клеточного пространства будет обозначаться через cellzX.

Простейшими клеточными пространствами являются дискретные пространства, разбитые на нульмерные клетки (отдельные точки). Ясно, что таковы все нульмерные клеточные пространства: разбиение хаусдорфова пространства с недискретной топологией на нульмерные клетки не удовлетворяет условию (W).

Примером клеточного разбиения, удовлетворяющего условию (W), но не удовлетворяющего условию (С), может служить разбиение шара Dn с п > 1 на п-мерную клетку Inti)" и нульмерные клетки, покрывающие сферу Sn-X.

Локально конечный случай

В согласии с общим определением, данным в 1.1.1.12, клеточное разбиение называется локально конечным, если каждая точка пространства обладает окрестностью, пересекающейся лишь с конечным числом клеток. Равносильное условие: каждая точка обладает окрестностью, пересекающейся лишь с конечным числом замкнутых клеток.

Ясно, что всякое компактное подмножество пространства, наделенного локально конечным клеточным разбиением, обладает окрестностью, пересекающейся лишь с конечным числом клеток. Из этого следует, что локально конечное клеточное разбиение хаусдорфова пространства удовлетворяет условию (С). Что касается условия (W), то, в силу теоремы 1.1.3.6, оно выполнено вообще для всякого локально конечного клеточного разбиения. Таким образом, хаусдорфово пространство, наделенное конечным или локально конечным клеточным разбиением, является клеточным пространством.

Клеточное пространство локально конечно в том и только том случае, если каждая клетка пересекается лишь с конечным числом замкнутых клеток.

Доказательство. Если клеточное пространство локально конечно, то замыкание любой клетки обладает окрестностью, пересекающейся лишь с конечным числом клеток (см. 6), и ясно, что такая окрестность, а с ней й взятая клетка, не пересекается с замыканиями других клеток.

Если каждая клетка клеточного пространства пересекается лишь с конечным числом замкнутых клеток, то, как это следует из аксиом (С) и (W), объединение любого набора замкнутых клеток замкнуто. Следовательно, дополнение объединения всех замкнутых клеток, не пересекающихся с произвольно взятой клеткой е, является в этом случае окрестностью клетки е. А так как это дополнение не может пересекаться с замкнутыми клетками, которые не пересекаются с е, то оно пересекается лишь с конечным числом замкнутых клеток.

Подпространства

(Лемма). Если подмножество клеточного пространства содержит вместе с каждой точкой замыкание ее клетки, то всякая часть этого подмножества, пересекающаяся с содержащимися в нем замкнутыми клетками по замкнутым множествам, замкнута.''

Действительно, если В — такая часть и е — произвольная клетка, то пересечение BQCle представляется как Ui=i[(^n Cie,) П Cie], где еь ..., es — все клетки из подмножества, пересекающиеся с С1 е, и потому замкнуто.

Подмножества клеточного пространства, содержащие вместе с каждой точкой замыкание ее клетки, называются подпространствами этого клеточного пространства. Они являются клеточными пространствами: клеточное разбиение пространства индуцирует в каждом из них клеточное разбиение, удовлетворяющее, в силу леммы 8, условию (W) и очевидным образом удовлетворяющее условию (С).

Другое следствие леммы 8 состоит в том, что подпространства клеточного пространства замкнуты. Заметим еще, что объединение и пересечение любой совокупности подпространств являются подпространствами и что всякое покрытие клеточного пространства подпространствами фундаментально.

Пара, составленная из клеточного пространства и его подпространства, называется клеточной парой. Подобным же образом определяются клеточная тройка и клеточная триада.

Предостережение: замкнутая клетка может не быть подпространством. Пример доставляет букет (Д', 0) V (52, ortj, разбитый на четыре клетки: нульмерные клетки imm] (—1) и imm^l), одномерную клетку imm^IntS1) и двумерную клетку imm2 (S2 \ ог^). Ясно, что это — клеточное пространство и что замыкание двумерной клетки задевает одномерную клетку, но не содержит ее.

Важнейшими подпространствами клеточного пространства X являются его остовы ske0X, ske(X определяемые формулой ske^ — Udime<re. Все они непусты, если непусто X (поскольку наличие клетки положительной размерности влечет за собой наличие клетки меньшей размерности); по формальным соображениям- к ним присоединяют пустой остов ske_j X и остов skeooX = X. Ясно, что {skerX}o<r<oo есть фильтрация пространства X.

Заметим, что всякое отображение Odime-*X, характеристическое для клетки е, отображает Sdime-1 в skedime-i^ (это уже было фактически сказано в 1). Если X наделено оснащением {chae}, то отображение abcha/ Sdime-1->ske<iime-i X называется приклеивающим для е и обозначается через atte.

И. Всякая клетка клеточного пространства содержится в конечном подпространстве.

Доказательство проводится индукцией по размерности клетки. Нульмерная клетка catoa является подпространством. Если е — клетка положительной размерности, то множество С1е\е покрывается конечным числом клеток меньших размерностей, и ясно, что объединение конечных подпространств, содержащих эти клетки, и самой клетки е есть конечное подпространство, содержащее е.

Компактные подмножества

Компактное подмножество клеточного пространства пересекается лишь с конечным числом клеток.

Доказательство. Во всяком подмножестве клеточного пространства содержится часть, пересекающаяся по одной точке с каждой клеткой, с которой пересекается подмножество. Поскольку такая часть пересекается с любой замкнутой клеткой по конечному множеству, она замкнута вместе со всеми своими частями и потому дискретна, а если исходное подмножество компактно, то она еще и компактна и, следовательно, конечна.

Компактное подмножество клеточного пространства содержится в конечном подпространстве.

Таким подпространством является объединение конечных подпространств, содержащих клетки, с которыми пересекается подмножество.

Компактное подмножество локально конечного клеточного пространства содержится во внутренней части конечного подпространства.

Действительно, такое подмножество обладает окрестностью, пересекающейся лишь с конечным числом клеток (ср. 6), и объединение конечных подпространств, содержащих эти клетки, является конечным подпространством, содержащим указанную окрестность.

Клеточные отображения

Отображение клеточного пространства X в" клеточное - пространство Y называется клеточным, если оно непрерывно и при любом г отображает остов skerA' в остов skerX.

Ясно, что клеточное отображение переводит каждую нульмерную клетку в нульмерную клетку. Клетка положительной размерности может и не отображаться клеточным отображением в одну клетку; например, тождественное отображение отрезка D1, разбитого на нульмерные клетки —1,1 и одномерную клетку (—1, 1), в тот же отрезок, разбитый на нульмерные клетки — 1, О, 1 и одномерные клетки (—1, 0), (0, 1), отображает одно-

§ 1] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 87 мерную клетку на объединение нульмерной клетки и двух одномерных клеток.

Клеточное отображение называется клеточной эквивалентностью, если оно обратимо и обратное отображение также клеточно. Равносильная формулировка: клеточная эквивалентность есть гомеоморфизм, в точности переводящий одно клеточное разбиение в другое. Два клеточных пространства, которые можно связать клеточной эквивалентностью, называются клеточно эквивалентными. Два оснащенных клеточных пространства, которые можно связать клеточной эквивалентностью, переводящей одно оснащение в другое, называются оснащенно эквивалентными.

Отображение f клеточного пространства X в клеточное пространство У называется клеточным вложением, если f(X) есть подпространство пространства У (в смысле 9) и ab/: У—►/ДЛ') есть клеточная эквивалентность.

Предостережение: клеточный гомеоморфизм может не быть клеточной эквивалентностью. Пример—гомеоморфизм, описанный в 15.

Склеивание клеточных пространств из шаров

При г^О остов skerX оснащенного клеточного пространства X канонически гомеоморфен пространству (sker_] ^) 0Ф (UceM^ADe = D^, где Mr = cell, X, а ф есть отображение пространства иеемг(5е = Sr-1) в ske,-^, определенное формулой фо1пе = аДе (ееМг).

Каноническим гомеоморфизмом (sker_j АД U<₽ (UeeM, D^ -> sker X служит взаимно однозначный фактор отображения (sker_] X) U (UeeM D^ sker X, определяемого включением sker_, X —> sker X и отображениями ab chae: De —> sker X.

Уже данное в КЗ описание слабой топологии через тотальное характеристическое отображение показывает, что всякое клеточное пространство можно склеить, притом не слишком грубым способом, из шаров. Теорема 1 разлагает это склеивание в последовательность приклеиваний: r-е приклеивание превращает sker_1X в ske,X (г = О, 1,...), и X определяется по последовательности {skefA’} формулой X = limskerA’ (см.1.10).

Следующая формализация преобразует это описание клеточных пространств в полезный индуктивный метод их построения. Заметим, прежде всего, что если к топологическому пространству А, наделенному оснащенным клеточным разбиением, все клетки которого имеют размерности, меньшие q, приклеить сумму ^-мерных шаров идем(Дц = Д9) посредством

какого-нибудь непрерывного отображения qp: UneMCs^S^-^^X, то получится пространство, наделенное очевидным оснащенным клеточным разбиением, все клетки которого имеют размерности, меньшие ^+1. Это пространство удовлетворяет условию (W), если Л удовлетворяет условию (W), и из теоремы 1.2.4.9 следует, что оно нормально, если Л нормально, а из теоремы 1.12 — что оно удовлетворяет условию (С), если Л клеточно; таким образом, если Л —нормальное оснащенное клеточное пространство, то и Л Uq>(Un<=M.Dn) — нормальное оснащенное клеточное пространство. Эти замечания и лежат в основе нашего индуктивного построения. Мы начинаем с д = 0, т. е. с пустого Л, и на r-м шаге приклеиваем к уже имеющемуся нормальному оснащенному клеточному пространству Xr~x с dim Xr-x ^ г — 1 пространство |_1це=м (2)ц — Dr) посредством непрерывного отображения фг: Ыце мг(Su = Sr-1)-> Jr-!- Результатом r-го шага является нормальное оснащенное клеточное пространство X, = X,— i иф (L^Zy с dim^^r, а результатом всего процесса — последовательность Х-х = 0, Хо, Хх, ...с естественными клеточными вложениями Хг—>Хг+1 и предельным пространством X = limXr. Последнее нормально, в силу теоремы 1.2.4.6, и обладает очевидным клеточным разбиением со свойствами (С) и (W). Таким образом, X— нормальное оснащенное клеточное пространство. Ясно, что skerA’ = Xr.

Мы называем X индуктивно склеенным клеточным пространством. Из изложенного следует, что всякое оснащенное клеточное пространство оснащенно эквивалентно индуктивно склеенному клеточному пространству.

(Следствие). Всякое клеточное пространство нормально.

Канонические клеточные разбиения сфер, шарови проективных пространств

Сферы, шары и проективные пространства обладают каноническими оснащенными клеточными разбиениями, которые делают их клеточными пространствами. Эти оснащенные клеточные разбиения и описываются в настоящем пункте. Тот факт, что они удовлетворяют условиям (С) и (W), во всех случаях очевиден.

Каноническое клеточное разбиение сферы 8п с О^и < оо состоит из нульмерной клетки ort, и n-мерной клетки Sn \ ort,. За каноническое характеристическое отображение для клетки Sn \ ort] принимается DS: Dn->Sn.

Каноническое клеточное разбиение шара Dn с 1 ^п < оо состоит из нульмерной клетки ort,, (п—1)-мерной клетки S^’Xort] и n-мерной клетки Int£)n. За каноническое характе-

ристическое отображение для клетки S” \ ort, принимается сквозное отображение

ГГХ 2^ sn-x _^ Dn

а для клетки IntZ)" —тождественное отображение i4Dn.

Каноническое клеточное разбиение вещественного проективного пространства RPn (О^н^оо) состоит из клеток er = W \ R/'1 с dime, —г, где О^г^м при п<оа и 0^г<оо при п = °о. За каноническое характеристическое отображение для ег принимается сквозное отображение

Dr-^RPr^*RPn,

где рг отвечает факторизации, описанной в 1.2.5.2.

Ясно, что atter есть pr: Sr-1RPr-1 и что sker RPn = RPr, если г ^п.

Каноническое клеточное разбиение комплексного проективного пространства СРп (0^/г^оо) состоит из клеток ег = СРГ \ СРГ-1 с dimer = 2r, где О^г^н при и < оо и 0^г<оо при п = оо. За каноническое характеристическое отображение для ег принимается сквозное отображение

0^ЛСкЛ СРп.

Ясно, что sker СРп — СР№', если г^2п.

Подобным же образом определяются канонические оснащенные клеточные разбиения пространств НРга (О^и^оо) и СаР" (О ^«^2). Разбиение пространства HP" состоит из клеток er = НРГ \ НРГ~' с dimer = 4r, где О^г^п при и < оо и 0^г<оо при п = оо, а разбиение пространства СаР"— из клеток ег = СаРг \ СаРг~1 с О^г^п, где dimer = 8r.

Дальнейшие топологические свойства клеточныхпространств

Компактность и локальная компактность

Клеточное пространство компактно в том и только том случае, если оно конечно.ч

Необходимость этого условия следует из 1.12, достаточность — из того, что конечное клеточное пространство покрывается конечным числом замкнутых клеток.

Клеточное пространство локально компактно в том и только том случае, если оно локально конечно.

Это условие необходимо, так как окрестность точки, имеющая компактное замыкание, пересекается, в силу теоремы 1.12, лишь с конечным числом клеток. Оно достаточно, так как замыкание окрестности, пересекающейся лишь с конечным числом клеток, содержится в объединении замыканий этих клеток.

Теоремы вложения

Конечное клеточное пространство вкладывается в евклидово пространство достаточно высокой размерности.

Это доказывается следующей конструкцией, позволяющей построить для конечного клеточного пространства X размерности п^О по вложению /: ske^X —>R9 некоторое вложение J: X-*R4+n+1 (начало индукции тривиально, поскольку клеточное пространство размерности —1 пусто). Оснастим X и занумеруем все п-мерные клетки в последовательность ех, ..., es. Определим, далее, отображения фь ..., ф5: Dn ->R?+n+1 формулой

фИУь • • Уп> = *

(0, ..., 0, у,, ..., уп-х, уп + 2k, 1),

если р = V^f + 1 • • + ^n ^ V2,

. (2p-l)/.cha,,(^-&-)+

(2-2р)(00,^- + 26, 1),

если р ^ 1/2,

и положим

( j(x), если xeske„-iX,

I Фь (1/), если х е Cl ек и х — eXxaefe (у).

Последняя формула определяет непрерывное отображение J; X-*R9+"+l (см. 1.1.4.3), и так как в плоскости ^=0, ...,

уа = ^, У^+п+1 = 1 нет прямых, параллельных R9, то это отображение взаимно однозначно. Следовательно, оно является вложением (см. 1.1.7.10).

Конечное клеточное пространство есть коре.

Доказательство является продолжением предыдущего и тоже проводится индукцией по п. Мы покажем, что R4 U J (X) есть окрестностный ретракт пространства R‘7+n+l. Этого достаточно, так как из того, что 7(ske„_! X) — окрестностный ретракт пространства R*7, очевидным образом следует, что 7 (X) — окрестностный ретракт пространства R^U^W-

Положим Ак = фА(1п1Д") и Bk = Ak Л {foх9+„+1)| Xq+n+x^ О- Так как множества Ль . .., Л5 замкнуты в R‘7+n+l \ и^=, ФА (S"-1) и попарно не пересекаются, то они обладают в P‘7+ra+I \ U®=] Ф6(5П~*) попарно непересекающимися окрестностями Ux, ..., Us, и ясно, что последние открыты и в R<7+«+i. Так как, далее, множества Л,, . . ., Лх гомеоморфны Rn, то тождественные отображения Л]-►Л] Л$ —> As продолжаются до некоторых непрерывных отображений фд UX->AX ф/. US^»AS (см. 1.1.5.12). Положим

Vk = {х е Uk | dist (х, ф* (х)) < Dist (х, R9)},

V {х s R^11 Dist (х, R») < 1/2}

и обозначим через ф ортогональную проекцию y-»R9. Ясно, что W = V U У1 U ■ • ■ U Vs есть окрестность множества R4 (J J (X) R <7 + ^ + 1

и что< множества

{[(uL,ci v6) QFrvjuuLi^W,

[(ик^г^лаул^хи^лЛ5”-1) '

не пересекаются и замкнуты в У \ U®=1 ф6 (Sn-1)> гДе У = (UL.C1 Vjnci ил IV. Пусть f: У \ Uti tX5"")-^ - какая- нибудь функция Урысона пары (1). Обозначим для у е Cl Вк, zeR4 через uyz путь пространства R9(J/(X), определяемый как произведение прямолинейного пути, соединяющего у с ФА (фй 1 (y)/dist (0, ф^1 (z/))), и прямолинейного пути, соединяющего ф6 (ф~1 (z/)/dist (0, Фй’(у))) с 2, и определим отображение

о: (uLi Cie^xR^XZ-fR" ^^)

формулой а^у, z, 0 = иуг^у В силу 1.2.2Л4, отображение

т: У —> R^ U / (X), определяемое формулой

<т(Фби), ФМ, ZW)

приприприприхе(СН/,ЛС17ЛГ)\фД5п-,)> xeUL.v/S"-1),

при

при

при

при

непрерывно. С ним, в силу 1.1.4.3, непрерывно и отображение W -* R? U / (X), определяемое формулой

ф6(х)

при

хеС1У6Л(Г \ У),

ф(х)

при

xeF\ULiVfc,

т(х)

при

хеУ,

и ясно, что оно является ретракцией.

Связность. Компоненты

Компоненты клеточного пространства являются открытыми подпространствами. "

Доказательство. Замкнутая клетка связна как образ шара при характеристическом отображении; следовательно, компонента клеточного пространства содержит вместе с каждой точкой замыкание ее клетки, т е. является подпространством. Дополнение компоненты есть объединение остальных компонент и потому также является подпространством; следовательно, оно замкнуто, т. е. компонента открыта.

Если г ^ 1, то r-й остов компоненты клеточного пространства является компонентой его r-го остова. В частности, клеточное пространство связно тогда и только тогда, когда связен его первый остов.

Доказательство. Если Л — компонента клеточного пространства X, то, очевидно, sker Л = Л f] sker X при любом г, и ясно, что если В — другая компонента пространства X, то sker Л и sker 5 лежат в разных компонентах пространства skerX. Таким образом, нужно лишь показать, что остовы sker Л с г^1 связны, или, если угодно, что остовы skerX с г^1 связны у связного X. А это делается очевидным, если заметить, что построение индуктивно склеенного клеточного пространства, описанное в 2.2, не может привести к связному пространству, если одно из пространств X, с г^1 несвязно.

. 8. Связное локально конечное клеточное пространство счетно.

Доказательство. Отметим в рассматриваемом связном локально конечном клеточном пространстве X какую-нибудь точку х0 и обозначим через Ат множество точек, которые можно соединить с х0 путем, задевающим не более т клеток. Так как

$ 1] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 93 путь может задеть лишь конечное число клеток (см. 1.12), то X = Um-i Ат, и ясно, что множества Ат составлены из целых клеток; таким образом, достаточно установить, что число клеток-, входящих в Ат, конечно при любом т.

Это проверяется индукцией по т. Ясно, что замыкание каждой клетки из Лт+1 пересекается с замыканием некоторой клетки из Ат, а из локальной конечности пространства X следует, что замыкание клетки из Ат (как и любое компактное подмножество пространства X) пересекается лишь с конечным числом замкнутых клеток. Поэтому из конечности числа клеток, составляющих Ат, следует конечность числа клеток, составляющих Ат+Х, и остается заметить, что Ах есть клетка.

Аксиомы счетности и метризуемость

Клеточное пространство сепарабельно в том и только том случае, если оно счетно.

Доказательство. Счетное всюду плотное подмножество счетного клеточного пространства можно получить, объединив счетные всюду плотные подмножества его клеток.

Счетность сепарабельного клеточного пространства следует из того, что каждая его точка содержится в конечном подпространстве (см. 1.11): объединение конечных подпространств, содержащих точки счетного всюду плотного множества, является счетным подпространством и совпадает со всем пространством.

(Лемма). Если у клеточного пространства X имеется в точке х0 счетная база, то эта база содержит ' окрестность точки х0, пересекающуюся лишь с конечным числом клеток пространства X.

Пусть это не так. Занумеруем элементы базы в последовательность Ux, U2, ... и построим в Х\х0 (пользуясь очевидной индукцией) последовательность хх, х2, . . . с двумя свойствами: (1) Х( г Up, (ii) если i =# j, то xt и х( лежат в разных клетках. Так как каждая замкнутая клетка содержит лишь конечное число точек xt, то множество, составленное из всех точек хь замкнуто, и его дополнение является окрестностью точки х». А это невозможно, поскольку указанное дополнение не содержит ни одной из окрестностей Ux, U2, ...

Для того чтобы клеточное пространство удовлетворяло первой аксиоме счетности, необходимо и достаточно, чтобы оно было локально конечным.

Необходимость следует из леммы 10. Чтобы доказать достаточность, заметим, что, в силу теоремы 1.14, каждая точка локально конечного клеточного пространства обладает окрестностью, содержащейся в конечном подпространстве. В силу теоремы 4, такое подпространство, а с ним и указанная окрестность,

удовлетворяет первой аксиоме счетности, и ясно, что счетная база этой окрестности во взятой точке будет счетной базой пространства в этой точке. .

Для того чтобы клеточное пространство обладало счетной базой, необходимо и достаточно, чтобы оно было счетным и локально конечным.

Необходимость следует из 9 и 11. Чтобы доказать достаточность, фиксируем для каждой замкнутой клетки окрестность, содержащуюся в конечном подпространстве (см. 1.14). Из теоремы 4 следует, что эти окрестности удовлетворяют второй аксиоме счетности, и ясно, что объединение их счетных баз является счетной базой пространства.

Для того чтобы клеточное пространство было метризуе- мым, необходимо и достаточно, чтобы оно было локально конечным.

Необходимость следует из И. Метризуемость связного локально конечного клеточного пространства следует из теорем 8, 12, 2.3 и 1.1.6.9. Метризуемость произвольного локально конечного клеточного пространства следует из метризуемости его компонент, поскольку оно гомеоморфно их сумме (см. 6 и 1.2.1.2).

Клеточные конструкции

Применительно к клеточным пространствам конструкции, описанные в §1.2, естественно модифицируются. Для одних конструкций модификация заключается в том, что получающееся пространство наделяется клеточным разбиением и делается клеточным; очевидным примером служит сумма пространств. У других конструкций, например у произведения, модификация затрагивает и топологию получающегося пространства.

Ниже описываются важнейшие модификации обоих типов. Подчеркнем, что в применении к оснащенным клеточным пространствам все они дают оснащенные клеточные пространства.

Клеточное произведение

Произведение ^Х^г топологических пространств Хъ Х2, наделенных клеточными разбиениями fi, [2, обладает естественным клеточным разбиением, именно, разбиением f! X 1г с dim (б! X е2) = dimet + dim е2. Характеристическим отображением для ev X е2 может служить композиция канонического гомеоморфизма Д<Нт г.+dim е, /)dim е, у /)dim е, (см 1.2.6.9) с произведением chae, X chae2: Ddim 61 X Sdim e?^ XY X X2 произвольных характеристических отображений chae,: Дд‘те'->Х1, chae2: Dtim ег->Х2. В случае, когда разбиения fi, f2 оснащены, это дает каноническое оснащение для ^ X 12-

■ Если разбиения fi, f2 обладают свойством (С), то разбиение fi X 1'2, очевидно, также обладает свойством (С). В противоположность этому условие (W) может не выполняться для разбиения h X (2 даже в случае, когда Xj, Х2 — клеточные пространства; см. упражнение 6.6. Клеточное пространство, в которое превращается произведение клеточных пространств Хь Х2 после клеточного ослабления топологии, называется их клеточным произведением и обозначается через ХхХсХ2.

Заметим, что клеточное ослабление топологии не меняет топологии компактных частей пространства Xv X Х2. Действительно, компактное подмножество пространства Хх X Х2 имеет компактные образы при проекциях ХхХ Х2^- Хх, XVX Х2-^ Х2 и потому покрывается конечным числом клеток.

Если пространство Хх локально конечно, то ХхХсХ2 = Хх X Х2 для всякого клеточного пространства Х2.

Доказательство. Пусть cha1, cha2— тотальные характеристические отображения, отвечающие каким-нибудь оснащениям клеточных разбиений (и (2 пространств Хх, Х2. Очевидно, тотальное характеристическое отображение, соответствующее разбиению h X (г, представляется как сквозное отображение | | £)dim (е^ег) _>. | | (/)dim ev ^ ydim еТ^ —

■(U £dim е0 X (U £dim е0 ^^^(2)

где левая стрелка обозначает сумму канонических гомеоморфизмов D4lm <е‘х^* —> Z)dim е, \^ ydim е,. ПОСКОЛЬКУ разбиения Ц и f2 удовлетворяют условию (W), отображения cha’ и cha2 факторны (см. 1.3), а так как пространства |j £)dlm и хх локально компактны (см. 4.3), то факторно и отображение cha* X cha2 (см. 1.2.7.9). С ним факторно и сквозное отображение (2), и, таким образом, разбиение h X (2 удовлетворяет условию (W).

(Информация). Если каждая точка каждого из клеточных пространств Хь Х2 обладает окрестностью, пересекающейся лишь со счетным числом клеток, то XvXcX2 = Хх X Х2. Доказательство имеется в [6].

Приклеивание

Пусть Хх, Х2 — клеточные пространства, С — подпространство пространства Х\ и ф: С—>Х2 — клеточное отображение. Согласно 1.2.4.8, определено топологическое пространство A2U(pA’i и из 2.3 и 1.2.4.9 следует, что оно нормально. Разобьем его на множества imm^^ и imm2e2, где ех пробегает все клетки из Хх \ С, а е2 — все клетки из Х2, и положим dim(imm1e1) = dime!, dim(imm2e2) = dime2. Это — клеточное разбиение: характеристическим отображением для immz е(- может служить композиция произвольного характеристического отображения chae

с imm,. Ясно, что замыкание клетки imm^i пересекается только с клетками вида immie^ где е( — клетка из Хь пересекающаяся сС1еь ис клетками вида imm2e2, где е2— клетка из Х2, пересекающаяся с qp (Cl et f] С). Ясно также, что .замыкание клетки imm2e2 пересекается только с клетками вида imm2e2, где е2 — клетка из Х2, пересекающаяся с С1е2. Следовательно, построенное разбиение удовлетворяет условию (С). Оно удовлетворяет и условию (W), так как из замкнутости пересечений подмножества F пространства ХзОуХ, с замкнутыми клетками следует, в силу формулы

imm^1 (F) П Cl е2 = imm^’^F П Cl (imm2 е2)), замкнутость множества imm^1^), а в силу формулы

‘ ( ф-'^шщ-'^ПфССи,)), если etcC, штшгЧЛ П Cl е, = j

[ imm~* (F П Cl (imm( 6])), если etcX,\ С,

— замкнутость множества imm^F). Таким образом, мы сделали X2UTXi клеточным пространством. Ясно, что imm2(X2) есть подпространство этого пространства и что imm2 есть клеточное вложение, a immj — клеточное отображение.

Если Х2 = О0, то отображение ф: С-> Х2 клеточно, какова бы ни была клеточная пара (Xb С), и X2UTXi = Xi/C. Таким образом, предыдущее определение делает факторпространство клеточного пространства по его подпространству клеточным пространством.

Предел

Пусть Хо, Хь ... — клеточные пространства и ф0: X0->Xi, ф]: Xi-*X2, ...—клеточные вложения. Согласно 1.2.4.4, определено топологическое пространство lim(Xfe, ф6), и из 2.3 и 1.2.4.6 следует, что оно нормально. Разобьем его на множества вида immfeeft, где ек — клетка из Xft\ Ф&-1 (Х^-О, а 6 = 0, 1, ..., и положим dim (imm* е^ = dim ek. Это — клеточное разбиение: характеристическим отображением для immfeefe может служить композиция произвольного характеристического отображения chaefc с imm*. Оно, очевидно, удовлетворяет условиям (С) и (W) и, таким образом, делает Пт(Х&, ф&) клеточным пространством. Ясно, что immft — клеточные вложения.

Заметим, что это определение предела содержит в себе предельную конструкцию, которой мы пользовались в п. 2 для склеивания клеточных пространств из шаров.

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВАТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА9797§ П

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА

97

97

Более специальные конструкции

Поскольку разбиение отрезка 7 на клетки 0, 1, Int7 делает его конечным клеточным пространством, цилиндр X X 7 является клеточным пространством для всякого клеточного пространства X; см. 2 и 3. Так как основания такого цилиндра являются его подпространствами в смысле 1.9, то факторизация, превращающая его в сопХ, и повторная факторизация, превращающая сопХ в suX, укладываются в схему определения 5, и, таким образом, конус и надстройка над клеточным пространством тоже являются клеточными пространствами.

Если f; Xi Х2 — клеточное отображение, то приклеивания, превращающие Х^Х1 в Cyl/ и conXi в Соп/, также укладываются в схему определения 5. Таким образом, цилиндр и конус клеточного отображения являются клеточными пространствами.

Мы определяем клеточный джойн ХГ*СХ2 клеточных пространств Хь Х2 формулой

Xi *с Х2 = (X, и Х2) Щ [Uj Хе х2) х 7],

где ф—отображение объединения [(Xi Хс Х^ X 0] U [№ Хс Х2") X1] в XiL)X2, определяемое формулами ф(х1; х2, 0) = inj (Х]), ф(хь х2, 1).= in2 (х2); ср. 1.2.6.3. Поскольку ф — клеточное отображение, Х\ *СХ2— клеточное пространство.

Если Xi локально конечно, то, в силу 3, Хг*сХ2 совпадает как топологическое пространство с Xi * Х2. В общем случае клеточное разбиение пространства Х!*СХ2, очевидно, является клеточным и для Х,»Т2, так что Xi*cX2 получается из Х\*Х2 клеточным ослаблением топологии. Ясно, что последнее не меняет топологию компактных частей пространства Ху * Х2, ср. 2.

Случай пространств с отмеченной точкой

Если X — клеточное пространство с отмеченной нульмерной клеткой хй, то конус соп(Х, х0) и надстройка su(X, х0) получаются из конуса сопХ и надстройки suX факторизацией по подпространству и, таким образом, являются клеточными пространствами. Подобным же образом, букет семейства клеточных пространств с отмеченными нульмерными клетками получается из суммы этих пространств факторизацией по подпространству и является благодаря этому клеточным пространством.

Наконец, мы определяем клеточное тензорное произведение клеточных пространств Хх, Х2 с отмеченными нульмерными клетками хь х2 как факторпространство (Xi Хс^Я/^Х] Xх2)U (х, X Х2)] и их клеточный джойн как факторпространство (X] *сЛ'2)/(х1 * х2). Это — клеточные пространства, обозначаемые

через (Хь х1)®с(Х2, х2), (Хь Xj) *С(Х2, х2). Если Xi локально конечно, то они совпадают как топологические пространства с (Хь Х!)®(Х2, х2), (Xi, Х])*(Х2, х2); в общем же случае их клеточное разбиение является клеточным и для (Хь Х])®(Х2, х2), (Хь xj * (Х2, х2), так что они получаются из (Xi, Х!)®(Х2, х2), (Хь xj* (Х2, х2) клеточным ослаблением топологии. Ясно, что последнее не меняет топологии компактных частей пространств (X], Х])®(Х2, х2), (Xb X]) * (Х2, х2у

Упражнения

Доказать, что для любого клеточного пространства X и любой его точки х существуют такое клеточное пространство У и такой клеточный гомеоморфизм f: Х->У, что f(x)eske0K.

Доказать,-что сфера S°° и шар D00 гомеоморфны клеточным пространствам.

Доказать, что всякое связное локально конечное клеточное пространство допускает топологическое вложение в R°°.

Доказать, что всякое связное конечномерное локально конечное клеточное пространство может быть вложено в R9 с достаточно большим q.

Доказать, что всякое конечное клеточное пространство допускает клеточное вложение в клеточное пространство, гомеоморфное шару D4 с достаточно большим q.

Рассматривая букет В = VteR (Л = Д 0) как клеточное пространство (см. 5.9), доказать, что отображение id: ВХСВ-* В ХВ не является гомеоморфизмом.

СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Евклидовы симплексы

Пусть А— подмножество пространства R", составленное из г + 1 точек (г^О), не лежащих ни в какой (г—1)-мерной плоскости. Выпуклая оболочка множества А (наименьшее выпуклое множество, содержащее Л) называется евклидовым симплексом, натянутым на А, и обозначается через Esi Л. Точки множества А называются вершинами симплекса Esi А, а число г — его размерностью. •

Ясно, что точка симплекса Esi Л в том и только том случае является его вершиной, если он не содержит невырожденного отрезка с серединой в этой точке. Таким образом, множество А определяется множеством Esi Л.

Симплексы, натянутые на подмножества множества А, называются гранями симплекса Esi Л. Очевидно, Esi Л11"| Esi Л2 = Esi ^ f] Л2) для любых Аь Л2с:Л.

СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВАСИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА9999§ 21

СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

99

99

Грани, натянутые на два взаимно дополнительные подмножества множества А, называются противоположными. Если АИ Л2 —такие подмножества, то формула

рг (хь х2, /) |—^- (1 — ^)xj + tx2 [Х[ е Esi Ab х2 е Esi А2, / г 7]

определяет гомеоморфизм джойна Esi Ах * Esi А2 на Esi А. Таким образом, евклидов симплекс канонически гомеоморфен джойну любой пары своих противоположных граней. .

Поскольку шар Dr канонически гомеоморфен джойну Dp * Dq с р A- q — r — 1 (см. 1.2.6.9), очевидная индукция показывает, что каждое из пространств Esi A, ТУ гомеоморфно джойну г +1 точек. Таким образом, r-мерный евклидов симплекс гомеоморфен Dr.

Очевидно, граница симплекса EsiЛ в определяемой им r-мерной плоскости совпадает с объединением его (г—1)-мер- ных граней. Обычно эту границу и ее дополнение в Esi Л называют просто границей и внутренностью симплекса EsiЛ.

Симплекс Esi Л можно эквивалентным образом описать как множество сумм Sae+aa, где ta— неотрицательные вещественные числа с суммой 1. Так как А не лежит в (г — ^-мерной плоскости, то числа ta однозначно определяются точкой х = 2О6=+йа; число ta называется а-й барицентрической координатой этой точки и обозначается через Ьаго(х).

Очевидно, грань Esi В симплекса Esi Л определяется в барицентрических координатах симплекса Esi Л уравнениями Ьагй(х)=0 с а е А \ В. Ясно также, что если х е Esi В, то координаты Ьагй(х) с а е В, вычисленные в Esi Л, совпадают с координатами Ьагй(х), вычисленными в Esi В.

Точка симплекса Esi Л, все барицентрические координаты которой равны между собой, т. е. равны 1/(г + 1), называется его центром.

Отображение симплекса Esi Л в симплекс Esi В называется симплициальным, если оно аффинно и отображает Л в В. Ясно, что такое отображение симплициально отображает каждую грань первого симплекса на некоторую грань второго симплекса и отображает внутренность первого симплекса на внутренность симплекса, служащего его образом.

Очевидно, всякое отображение Л -* В единственным образом продолжается до симплициального отображения Esi А—> Esi В. Если отображение А—>В взаимно однозначно, то его симпли- циальное продолжение Esi Л ^ Esi В является вложением, а если отображение Л —> В обратимо, то его симплициальное продолжение Esi Л Esi В является гомеоморфизмом.

Симплекс Esi Л называется упорядоченным, если упорядочено множество А. Поскольку подмножества упорядоченного

множества обладают естественным порядком, грани упорядоченного симплекса являются упорядоченными симплексами.

Если EsiS —другой упорядоченный симплекс той же размерности г, то порядок, имеющийся в А и В, определяет обратимое отображение А-* В и, тем самым, симплициальный гомеоморфизм EsiX—>Esi5. Таким образом, все упорядоченные евклидовы симплексы одной размерности канонически симпли- циально гомеоморфны между собой.

Симплекс, натянутый на точки ortiortr+1 пространства Rr+1, называется единичным и обозначается через Т. Он удобен тем, что барицентрические координаты его точек совпадают с их обычными координатами в Rr+i. Указанный порядок его вершин делает его упорядоченным, и, таким образом, всякий упорядоченный евклидов симплекс размерности г канонически симплициально гомеоморфен Тг.

Заметим, что в случае упорядоченного симплекса Esi А гомеоморфизм Esi4-*£)r, указанный в 1, делается каноническим. Канонический гомеоморфизм Tr -> Dr будет обозначаться через TD, а обратный гомеоморфизм — через DT. Ясно, что TD отображает границу симплекса Тг на Зг^', а его внутренность — на Into'.

Топологические симплексы

Топологическое пространство X называется упорядоченным топологическим симплексом размерности г, если оно наделено гомеоморфизмом ТГ->Х; последний называется характеристическим гомеоморфизмом симплекса, множество же X иногда называют носителем симплекса. Например, упорядоченные евклидовы симплексы размерности г и шар DT являются упорядоченными топологическими симплексами размерности г; см. 5.

Стандартный способ уничтожения порядка заключается в одновременном введении всех возможных порядков. В соответствии с этим мы называем топологическое пространство X топологическим симплексом размерности г, если оно наделено (г 4-1)! гомеоморфизмами ТГ>Х, переходящими друг в друга при симплициальных гомеоморфизмах Тг-^-Тг. Термины характеристический гомеоморфизм и носитель употребляются и в этой ситуации, только вместо одного характеристического гомеоморфизма имеется (г 4-1)! равноправных характеристических гомеоморфизмов. Примерами топологических симплексов могут служить евклидовы симплексы.

Если X— топологический симплекс (упорядоченный топологический симплекс) размерности г, а У — топологическое пространство, то всякий гомеоморфизм X —> У превращает У в топологический симплекс (упорядоченный топологический симплекс)

размерности г. Благодаря этому, топологическое пространство, на которое гомеоморфно отображен евклидов симплекс (упорядоченный евклидов симплекс) размерности г, становится топологическим симплексом (упорядоченным топологическим симплексом) размерности г.

Для топологических симплексов очевидным образом определяются вершины, грани, граница, внутренность, барицентрические координаты, центр и симплициальные отображения. Грани топологического симплекса являются топологическими симплексами, грани упорядоченного топологического симплекса — упорядоченными топологическими симплексами. Как и евклидов симплекс, топологический симплекс делается упорядоченным при фиксировании порядка вершин.

Симплициальные пространства и симплициальныеотображения

Триангуляцией множества называется его покрытие топологическими симплексами, удовлетворяющее трем условиям: (i) грани любого симплекса покрытия являются симплексами покрытия; (и) если один симплекс покрытия покрыт другим симплексом покрытия, то первый является гранью второго; (iii) пересечение носителей двух перекрывающихся симплексов покрытия является носителем некоторого симплекса покрытия. Множество, наделенное триангуляцией, называется симплициаль- ным пространством. Симплексы триангуляции называются симплексами пространства, а нульмерные симплексы — вершинами. Наименьший из симплексов триангуляции, содержащих точку х, обозначается через six.

Согласно 1.2.4.3, триангуляция множества делает его топологическим пространством, а согласно 1.2.4.1, носители симплексов триангуляции составляют фундаментальное покрытие этого пространства. Так как пересечения симплексов триангуляции замкнуты в каждом из них, то симплексы триангуляции, рассматриваемые как подпространства этого пространства, сохраняют свою топологию (см. 1.2.4.2).

Если а — вершина симплициального пространства X, то у точек симплексов с вершиной а имеется a-я барицентрическая координата Ьага (см. 1.2 и 1.6), и мы получим непрерывную функцию bara: X-*R, если положим Ьага(х) = 0 для точек хеХ, не принадлежащих симплексам с вершиной а. Эта функция называется а-й барицентрической функцией. Ясно, что для любых двух различных точек х, у симплициального пространства существует такая вершина а, что Ьагд(х) ^= Ьага(у). Следовательно, симплициальное пространство является хаусдорфовым.

В случае, когда множество X, наделяемое триангуляцией, уже имеет топологию, полезно знать, при каких условиях топология, определяемая триангуляцией, совпадает с первоначальной. Очевидное необходимое и достаточное условие состоит в том, что топология симплексов триангуляции совпадает с относительной топологией, индуцируемой первоначальной топологией пространства X, и носители этих симплексов составляют по отношению к первоначальной топологии фундаментальное покрытие. Если это условие выполнено, то триангуляция называется триангуляцией первоначального топологического пространства X. Например, покрытие топологического симплекса, составленное из всех его граней, является его триангуляцией.

Симплициальное пространство называется упорядоченным, если его симплексы упорядочены и при этом грани каждого симплекса упорядочены в согласии с упорядочением самого симплекса. Последнее условие выполняется, например, если порядок в симплексах индуцирован каким-нибудь упорядочением множества всех вершин пространства, из чего видно, что симплициальное пространство всегда можно упорядочить.

Следующий класс симплициальных пространств является фундаментальным. Обозначим для произвольного непустого множества Л через Si Л .множество всевозможных неотрицательных финитных функций <р: Л-*К с 2й(=лф(«) = 1 и условимся отождествлять множества Si В, отвечающие подмножествам множества Л, с подмножествами множества Si Л, считая функции из Si В равными 0 на Л\В. Если Л конечно и состоит из г +1 элементов, то Si Л в естественном смысле является топологическим симплексом: это подмножество (г+1)- мерного евклидова пространства всех функций Л^-R, и(г+1)! упорядочениям множества Л отвечают (г + 1)! гомеоморфизмов Т —> Si Л, относящих точке (хь ..., хг+1) функцию со значениями xh . .., хг+1 и переходящих друг в друга при симплициальных гомеоморфизмах ТГ—>ТГ. В общем случае, Si Л покрывается топологическими симплексами Si В, отвечающими всевозможным конечным подмножествам множества Л, и ясно, что это — триангуляция множества Si Л. Таким образом, Si Л есть симплициальное пространство. Оно называется симплексом, натянутым на Л. Его упорядочение эквивалентно упорядочению множества Л.

Внутренности симплексов симплициального пространства X составляют разбиение множества X, и ясно, что это разбиение делается клеточным, если определить размерность внутренности е симплекса s • формулой dimе = dims: характеристическим отображением для е может служить сквозное отображениеп_ m .

.£)>Т > Л,(1)

СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВАСИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА103103§ 21

СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

103

103

где <р — какой-нибудь характеристический гомеоморфизм симплекса s. Поскольку условия (С) и (W) выполняются здесь очевидным образом, а хаусдорфовость симплициального пространства уже была установлена, мы видим, что это клеточное разбиение превращает X в клеточное пространство. Таким образом, симплициальное пространство, разбитое на внутренности своих симплексов, является клеточным пространством.

- Поскольку у r-мерного симплекса имеется (г + 1)! характеристических гомеоморфизмов, формула (1) выделяет из всех отображений, характеристических для r-мерной клетки симплициального пространства, (г +1)! привилегированных отображений. Эти привилегированные характеристические отображения называются симплициальными и являются топологическими вложениями. Фиксирование одного из них равносильно упорядочению симплекса s, так что упорядоченное симплициальное пространство обладает каноническим оснащением.

Ясно, что остов skerX симплициального пространства X совпадает с объединением симплексов, размерность которых не превышает г, и что dim (sker X) = г, если r^dimX. В частности, ske0A" есть множество вершин пространства X. Конечность этого множества является, очевидно, необходимым и достаточным условием конечности пространства X. Для локальной конечности симплициального пространства, как это следует из 1.1.7, необходимо и достаточно, чтобы каждая вершина принадлежала лишь конечному числу симплексов. у

Подпространства

Подпространствами симплициального пространства называются его подмножества, составленные из целых симплексов триангуляции. Они обладают естественной триангуляцией и являются, таким образом, симплициальными пространствами. Подпространства упорядоченного симплициального пространства являются упорядоченными симплициальными пространствами.

Очевидно, подмножество симплициального пространства в том и только том случае является его подпространством, если это — подпространство в клеточном смысле.

Подпространство симплициального пространства называется полным, если его пересечение с носителем любого симплекса пространства является носителем некоторого симплекса пространства или пусто. Равносильная формулировка: подпространство полно, если оно содержит все симплексы, вершины которых в нем лежат.

Ясно, что симплексы симплициального пространства — полные подпространства. Полными подпространствами пространства Si Л являются пространства Si В с В cz А и только они.

Симплициальные отображения

Отображение симплициального пространства X в симпли- циальное пространство У называется симплициальным, если оно симплициально отображает каждый симплекс пространства X в некоторый симплекс пространства У. Ясно, что такое отображение является клеточным и отображает X на подпространство пространства У.

Следующие факты также очевидны. Если симплициальное отображение обратимо, то это — гомеоморфизм и обратное отображение симплйциально. Взаимно однозначное симплициальное отображение является топологическим вложением. Симплициальное отображение f: X->Y определяется индуцированным отображением abf: ske0 X —> ske0 У множества вершин пространства X в множество вершин пространства У. Отображение ske0 X —> ske0У в том и только том случае продолжается до симплициального отображения X-^Y, если оно переводит вершины каждого симплекса пространства X в вершины некоторого симплекса пространства У. Взаимная однозначность симплициального отображения f: X-*Y -равносильна взаимной однозначности отображения abf: ske0X->ske0У, его обратимость — обратимости отображения abf: skeoX->skeoy.

Симплициальные пространства, которые можно связать симплициальным гомеоморфизмом, называются симплициально гомеоморфными.

■ Симплициальное отображение f упорядоченного симплициального пространства X в упорядоченное симплициальное пространство У называется монотонным, если f (а) ^ f (6) для любых двух вершин а, b пространства X, принадлежащих одному симплексу и таких, что а=^Ь.

Симплициальное отображение одного симплициального пространства в другое всегда можно сделать монотонным, упорядочив надлежащим образом эти пространства. 'Более того, если X — симплициальное пространство, а У — упорядоченное симплициальное пространство, то симплициальное отображение f: X->Y можно сделать монотонным, упорядочив надлежащим образом X: достаточно как-нибудь упорядочить прообраз каждой вершины пространства У и определить порядок в симплексах пространства X правилом: а<_Ь, если f(a)<f(6) или f (а) = f (&) и а<^Ь в ГЧГШ

"8. Симплициальные схемы

/. Симплициальной схемой называется пара, первым элементом которой служит множество, а вторым — покрытие этого множества конечными подмножествами, содержащее вместе с каждым множеством все его части.

Отображением симплициальной схемы (Af, S) в симплициальную схему (Al', S') называется такая пара отображений ф: М->М', Ф: S-*S', что Ф (Д) = ф (4) для Де5. В силу последнего условия, отображение (ф, Ф) схемы (Af, S) в схему (М', S') определяется отображением ф, и ясно, что отображение ф: Af-*AT в том и только том случае определяет отображение схемы (М, S) в схему (М', S'), если ф(Л)е5' для ДеЗ. Если отображения ф и Ф обратимы (т. е. ф обратимо и Ф(5) = 5'), то отображение (ф, Ф) называется изоморфизмом. Симплициальные схемы, которые можно связать изоморфизмом, называются изоморфными.

Симплициальная схема (AI, S) называется подсхемой симплициальной схемы (М', 8'), если АТ с М' и S с S'. Подсхема (AT, S) называется полной, если S содержит все множества из S', лежащие в Ai.

Симплициальная схема, составленная из нульмерного остова симплициального пространства X и покрытия этого остова нульмерными остовами симплексов пространства X, называется схемой пространства X и обозначается через sh X. Например, схема пространства Si 4 (см. 2.2) состоит из множества А и его покрытия всеми конечными подмножествами.

Поскольку отображение ab f: ske02f —► ske0X', индуцированное симплициальным отображением f: Х-*Х', переводит нульмерный остов любого симплекса пространства X в нульмерный остов некоторого симплекса пространства X', оно определяет отображение схемы shX в схему shX/; последнее называется схемой отображения f и обозначается через sh f. Из сказанного в 2.5 следует, что симплициальное отображение определяется своей схемой, что всякое отображение схемы симплициального пространства X в схему симплициального пространства X' является схемой некоторого симплициального отображения пространства X в пространство X' и что симплициальное отображение обратимо в том и только том случае, если его схема является изоморфизмом. В частности, симплициальные пространства X, X' в том и только том случае симплициально гомео- морфны, если схемы sh X, sh X' изоморфны.

Если X — подпространство симплициального пространства X', то очевидно, shX есть подсхема схемы shX', полная одновременно с X. Ясно также, что всякая подсхема схемы симплициального пространства является схемой некоторого его подпространства. ’

Рассмотрим, в частности, для произвольно взятой симплициальной схемы (Af, S) симплекс SiAf. Очевидно, (М, S) есть подсхема схемы shSiAf; следовательно, (М, S) есть схема некоторого подпространства пространства SiAf и, таким образом, всякая симплициальная схема является схемой некоторого симплициального пространства. Беря в качестве (Af, S) схему произ-

вольно заданного симплициального пространства, мы видим, кроме того, что всякое симплициальное пространство X симпли- циально вкладывается в SiskeoX.

Симплициальная схема (М, S) называется упорядоченной, если множества из S упорядочены и упорядочение каждого из этих множеств согласовано с упорядочением его подмножеств. Отображение (<р, Ф) упорядоченной симплициальной схемы (Л1, S) в упорядоченную симплициальную схему (М', S') называется монотонным, если из а ^ Ь следует <р(а)^ф(6). Таким образом, упорядочить схему симплициального пространства — значит упорядочить это пространство, и схема симплициального отображения одного упорядоченного симплициального пространства в другое монотонна тогда и только тогда, когда монотонно это отображение.

Полиэдры

Полиэдром называется подмножество евклидова пространства, наделенное конечной триангуляцией, все симплексы которой евклидовы. Простейшим примером полиэдра служит евклидов симплекс.

Ясно, что подпространства полиэдра являются полиэдрами.

Так как симплициальное пространство симплициально вкладывается в симплекс, натянутый на его нульмерный остов (см. 3.3), и так как этот симплекс симплициально гомеоморфен Т4-1, если пространство конечно и содержит q вершин, то конечное симплициальное пространство симплициально вкладывается в евклидов симплекс с тем же числом вершин. Таким образом, всякое конечное симплициальное пространство симплициально гомео- морфно полиэдру.

Конечное симплициальное пространство размерности п симплициально гомеоморфно полиэдру, лежащему в R2n+1.

Доказательство. Так как конечное симплициальное пространство размерности п симплициально вкладывается в ske„7<? с достаточно большим q (см. 1), то достаточно построить для произвольно заданных q и п линейное отображение f: R9+1 ->R2"+1, взаимно однозначное на ske^T17.

Если q ^2п, то в качестве / можно взять включение R?+1->R°"+1. При q>2n мы определяем / формулой

и нужно лишь показать, что если точки х = (.х1, ..., х?+1), V = (х', ..., х'+1) лежат в skenTq и f (х) = f (х'), то х=х'. Так как каждая из этих точек лежит в /г-мерной грани сцмп- лекса Тч, то как среди чисел хь ..., xq+x, так и среди чисел

/р ..., х^+1 не более /г+1 отличных от нуля. Следовательно, среди чисел х, — х], ..., х+1 —х'+1 не более 2/г + 2 отличных от нуля, т. е. существуют такие натуральные числа ..., /++9 что Д < . . . < /2„+2 <2/7+1 и х, = х^ при / + /;,..., j^’. Так как 2^‘х/ = 2^%(= 1) и ^fx, = S^^'x- при / =1, ..., 2/г + 1, то Sr=t2 ^(xfr — X/J = 0 при i = 0, .. ., 2/г + 1, и так как определитель матрицы {/r}‘=2"+2’1r='2,i+2 отличен от нуля, то Хд = х'( при г=12/г+ 2. Следовательно, х = х'.

(Информация). При любом/г существуют/г-мерные полиэдры, топологически не вкладывающиеся в R2". Примером может служить ske„7'2"+2; доказательство см. в [10].

Симплициальные конструкции

Многие из топологических и клеточных конструкций, описанных в § 1.2 и п. 1.5, могут быть дополнены параллельными конструкциями, перерабатывающими симплициальные пространства в симплициальные пространства. Простейшими примерами служат операции Ши V: сумма симплициальных пространств и букет симплициальных пространств с отмеченными вершинами в очевидном смысле являются симплициаль- ными пространствами.. Важнейшие из более сложных симплициальных конструкций рассматриваются ниже. На первое место поставлена конструкция барицентрического подразделения, позволяющая измельчать триангуляции и не имеющая аналогов в § 1.2 и п. 1.5.

. 2. (Лемма). Пусть Г — фундаментальное покрытие топологического пространства X триангулированными -подпространствами. Если для любых А, В еГ пересечение Л Г) Л является полным подпространством каждого из пространств А, В {рассматриваемых как симплициальные пространства) и получает от А и В одну и ту же триангуляцию, то X обладает одной и только одной триангуляцией, в которой элементы покрытия Г являются подпространствами в симплициальном смысле.

Такой триангуляцией является объединение триангуляций элементов покрытия Г. Что это объединение удовлетворяет условиям (1), (ii), (ill) из 2.1, устанавливается очевидной проверкой [полнота пересечений нужна для (ill)]. Единственность также очевидна.

- Барицентрическое подразделение

Нижеследующая конструкция относит каждому симпли- циальному пространству X некоторое симплициальное пространство baX, совпадающее с X как топологическое пространство,

но имеющее более мелкую триангуляцию, которая называется барицентрическим подразделением исходной.

Пусть сначала X — евклидов симплекс. Рассмотрим для произвольной нумерации а0, ..., аг вершин симплекса X множество

{xEX|bar0o(xXbarai(x)< ... <Ьагй/.(х)}. (2)

Ясно, что (2) есть евклидов симплекс с вершинами в центрах симплексов Esi Ло, ..., Esi Дг, где Лг —- множество, составленное из точек я0, ..., аь и что симплексы (2), отвечающие всевозможным нумерациям вершин симплекса X, составляют вместе со своими гранями триангуляцию пространства X. Это и есть барицентрическое подразделение стандартной триангуляции симплекса X, превращающее его в ЬаХ. Очевидно, эта конструкция такова, что если X — грань симплекса X', то включение ba X ->ba X' является симплициальным вложением.

Барицентрическое подразделение стандартной триангуляции топологического симплекса X мы определяем как образ барицентрического подразделения стандартной триангуляции единичного симплекса Tr с г — dimX при симплициальном гомеоморфизме Тт—>Х. Ясно, что это определение корректно, т. е. что получающаяся триангуляция пространства X не зависит от выбора симплициального гомеоморфизма ТГ->Х среди (г + 1)! имеющихся.

Пусть, наконец, X — произвольное симплициальное пространство. Очевидная проверка показывает, что покрытие пространства X его симплексами, триангулированными по предыдущему рецепту, удовлетворяет условиям леммы 2. Триангуляция пространства X, доставляемая этой леммой, и называется барицентрическим подразделением исходной триангуляции. '

Заметим, что барицентрическое подразделение оставляет конечное симплициальное пространство конечным, а локально конечное симплициальное пространство — локально конечным. Столь же очевидно, что если ^ — полиэдр, то ЬаХ — тоже полиэдр.

Ясно, что множество вершин пространства baX есть в точности множество центров симплексов пространства X и что центры симплексов sb ..., sm пространства X в том и только том случае служат вершинами симплекса пространства ba X, если симплексы sb ..., sm составляют при надлежащей нумерации возрастающую последовательность. Это позволяет совсем коротко описать барицентрическое подразделение на языке схем: если shX = (М, S), то sh baX — (S, ba S), где ba S- есть совокупность тех конечных частей множества S, которые упорядочиваются включением. Вместе с тем пространство baX оказывается канонически упорядоченным: вершина aeskeobaX

109109§ 2] . СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

109

109

предшествует вершине XeskeobaA", если симплекс (пространства X) с центром а содержится в симплексе с центром а'.

Из изложенного описания схемы пространства baX, в частности, следует, что если X — подпространство пространства X', то Ьа^ есть полное подпространство пространства ЬаХ'; действительно, shbaX есть, очевидно, полная подсхема схемы shbaX'.

Для симплициального отображения f: Х^Х' отображение f: ba X ^-ba X', вообще говоря, не является симплициальным (простейший пример: Х = Т2, Х' = Т', f (orti) = ortb /(ort2) = f (ort3) = ort2), однако отображение sh/: sh X -> sh X' естественно индуцирует отображение sh ba X—> sh ba X' и, тем самым, сим- плициальное отображение ba X —> ba X'. Последнее обозначается через baf и, очевидно, всегда является монотонным.

Если X— полиэдр, то наибольший из диаметров симплексов полиэдра ba X не превосходит наибольшего из диаметров симплексов полиэдра X, умноженного на п/(п+1), где п = dim X.

Достаточно показать, что если X — евклидов симплекс с вершинами а0, ..., ат, то диаметр симплекса (2) не превосходит [r/(r + OJdiamA’. Рассмотрим для этого часть X' симплекса X, выделяемую неравенством barOr (х) ^ l/(r + 1). Это — евклидов симплекс, получающийся из X сжатием к вершине аг с коэффициентом г/(г+1); следовательно, diam X' X [r/(r + 1)] diam X, и остается заметить, что X' содержит симплекс (2). .

(Следствие). Для всякого полиэдра X и любого е > 0 существует такое натуральное пг, что диаметры всех симплексов полиэдра bam X меньше е.

Симплициальное произведение

Клеточное произведение Х1ХХ2 симплициальных пространств Хх, Х2 с dimX]>0 и dimX2>0, очевидно, не обладает триангуляцией, внутренности симплексов которой были бы произведениями внутренностей симплексов пространств Хх, Х2. Мы покажем, однако, что оно триангулируемо, и укажем конструкцию, триангулирующую его канонически, если пространства Хх, Х2 упорядочены. Симплициальное пространство., в которое эта конструкция превращает XjXc^, называется симплициальным произведением пространств Хх, Х2 и обозначается через Х,ХзХ?.

Пусть сначала Хх — евклидов симплекс в Rm с вершинами а0, ..., aq и Х2 — евклидов симплекс в R" с вершинами 60, ,.., Ьг. Положим для AjS^b х2еХ2 -

t 1

’ <4 (м) = Е bara. (хО, Р/(х2)= Z Ьаг6 (х2)

k-0 R . 1-0 ‘

и занумеруем числа ^(х^, ..., a^-Jx,), ₽о(х2), ..., рг-,(х2) в неубывающую последовательность уДх), х2), ..., у^+Дхь х2). Обозначим, далее, через М^ множество всех ^-элементных подмножеств множества, составленного из чисел 1, ..., q-Vr, и через $(р), где цеМ5Г, множество точек (хь х2)е XiXX2, для которых каждое из чисел Ур(хь х2) с рец равно одному из чисел а0(Х]), . .., а^-Дх^. Очевидная проверка показывает, что q + г + 1 точек

(ао, Ьй\ ..., (й0, fy.-O;

(йь bL_v\ .. ., (щ, Ь;,-^; (3) (Й»-Ь ^iq-x-(?-!)), (ар-Ь ^iq-q)’

(aq, biq_qy ..., (а», b^,

где /ь ..., iq — числа из ц, занумерованные в порядке возрастания, не лежат ни в какой (^ + г — 1)-мерной плоскости, и что для (хь x2)es(p)

9 /А+1Д&+1)

£ X [Va+z+1 Ui, ^2) — Yfe+z Дь ^2)] Да, ^z) = Дь x2), k=0 l=i^-k

где /о = О, ig+x = q-V г А-\, УоДь ^) = 0, Y„+r+i Д1,-«г) = И Кроме того,

q ;4+l“^+I*

££ [УА+г+1Дь x2) — у6+;Дь *2)] =

fe=0 l=j^-k

q-Vr

= £ [Yp+1 Дь x2) — Yp Дь x2)] = 1 p-0

и Yp+i Дь x2> — УрДь x2)^0. Следовательно, множество s(p) содержится в евклидовом симплексе, натянутом на точки (3), а так как оно, очевидно, выпукло и содержит точки (3), то оно совпадает с указанным симплексом. Ясно, что множества s(p) покрывают XiXX2 и что пересечение s^J П s (ц2) совпадает для любых Ць р2еМ^г с евклидовым симплексом, натянутым на общие вершины симплексов «(ц^, s(p2)- Из этого следует, что симплексы s(p) составляют вместе со своими гранями триангуляцию произведения Л^ХАг. Эта триангуляция и превращает А1ХА2 в AiXsA2. Она, очевидно, такова, что если Хх, Х2 — грани упорядоченных евклидовых симплексов Xi, Х2, то включение Хх Xs Хг—* Xi Xs Х2 является симплициальным вло

жением.

Чтобы определить симплициальное произведение упорядоченных топологических симплексов Хх, Х2, мы строим предыдущим способом триангуляцию произведения единичных симплексов Tq, Tr с </ = dimA"i, r = dimX2 и переносим ее в ХхХХ2 посредством произведения Тч X Tr -> Хх X Х2 канонических симплициаль- ных гомеоморфизмов Tq->Xi, Т —> Х2. Перенесенная триангуляция и превращает XiX^2 в XiXsAX .

Пусть, наконец, Хх, Х2 — произвольные упорядоченные симплициальные пространства. Очевидная проверка показывает, что покрытие пространства XiXc^ протриангулированными по предыдущему рецепту произведениями S[ X «2, г№ Si — симплекс из Хх, a s2 —симплекс из Х2, удовлетворяет условиям леммы 2. Триангуляция пространства XiXc^2, доставляемая этой леммой, и превращает Хх Хе Х2 в XiXsX2.

Заметим, что каждая клетка пространства A'iXc^ представляется как объединение конечного числа клеток пространства 2GXsX2, имеющих ту же или меньшую размерность. В частности, отображение id: Х\ХеХ2~* X\XsX2 является клеточным.

Очевидно, конструкция симплициального произведения такова, что если f,: Xv-^-X'v f2: Х2 Х2 — монотонные симплициальные отображения, то fx X f2- X, Xs Х2 -> X' Xs Х'2 — симплициальное отображение. Ясно также, что если Хь Х2 — подпространства упорядоченных симплициальных пространств Хх, Х2, то Х\ Xs Х2 — подпространство пространства XiXs^.

В заключение опишем симплициальное произведение на языке схем. Пусть sh Хх = (М,, SJ и sh Х2 = (М2, S2). Тогда sh (Xi Xs Х2) = (Afi X XL, S), где S — совокупность множеств АсМхХМ2 с двумя свойствами: (i) ргт (Л) е Sh рг2 (Л) е S2; (ii) если (ах, а.^^А, (а,, ^еЛ и а^а', то а2^а2.

Предел

Пусть Хо, Хх, ...—симплициальные пространства и ф0: Х0-*Хх, Ф1: Хх-^-Х2, ...—симплициальные вложения. Рассмотрим покрытие пространства lim(^, ф^) множествами вида immHsz:), г№ s^ — симплекс из Х^ (& = 0, 1, ...). Мы можем сделать эти множества топологическими симплексами, взяв в качестве характеристических гомеоморфизмов композиции характеристических гомеоморфизмов TdimSfc->s& с гомеоморфизмами abimmfc: sk -* immj, (sfc), и ясно, что это превратит указанное покрытие в триангуляцию пространства lim(Xft, ф^). Таким образом, lim(Xj>, ф^) есть симплициальное пространство. Как клеточное пространство, оно, очевидно, совпадает с пре-

делом, определенным в 1.5.6. Ясно также, что отображения imm^ являются симплициальными вложениями.

Если пространства Х^ упорядочены, а вложения <рд монотонны, то пространство Нт^, ф^) обладает очевидным порядком и вложения imm^ монотонны.

Джойн, конус и надстройка

Если Хь Х2 — топологические симплексы, то джойн Xt * Х2 в естественном смысле является топологическим симплексом: характеристическими гомеоморфизмами служат отображения вида

dim dim т т v v1 — 1 i * 1 2' A i * ^2»

где Ть ^ — противоположные грани симплекса 7'dim'vi+d,m;^+l с dim Ту = dim Хь dim Т2 = dim Х2, а фь <р2— симплициальные гомеоморфизмы (равенство 7dlm-Yi+dlmX2+1 = Т\ * Т2 означает симплициальный гомеоморфизм, установленный в 1.1). Это позволяет наделить канонической триангуляцией клеточный джойн Х^Аг произвольных симплициальных пространств Хь Х2: ее симплексами служат образы симплексов пространств Xt, Х2 при включениях Xi->Xi*c Хз, Х2 -> А, *е Х2 и образы симплексов Si*s2, где Sj — симплекс из Х\, a s2— симплекс из Х2, при вложении in*in: 8: * s2 ->Х\ *с Х2. Получающееся симплициальное пространство называется симплициальным джойном пространств Xi, X и обозначается через Хх*аХ2. Как клеточное пространство оно совпадает с Xj*cX2.

Если shX1 = (M1, SJ, sh Х2 = (М2, S2), то, очевидно, sh (Xi *s Х2) = W LJAb, S), где S — совокупность непустых подмножеств множества MvUM2, у которых прообраз при отображении 1^: М] -> Mt I IМ2 принадлежит Sj или пуст, а прообраз при отображении in2: М2 Mt I IМ2 принадлежит S2 или пуст.

Поскольку для всякого топологического пространства

con X = X * D°, su X = X * S° '

(см. 1.2.6.8), изложенная конструкция, в частности, делает симплициальными пространствами конус и надстройку над любым симплициальным пространством.

Симплициальный цилиндр

Эта конструкция, предполагает заданным монотонное симплициальное отображение f: Х\—>Х2 и относит ему некоторое симплициальное пространство Scyl f, называемое его симпли- циальным цилиндром. Симплициальный цилиндр не гомеоморфен,

§ 2] вообще говоря, -обычному цилиндру Cyl f отображения f (см. 4.6.6.10), но обладает близкими свойствами.

Для описания пространства Scyl f наиболее удобен язык схем. Пусть shA1=(/W1, SJ, shA2 = (Af2, S2) и sh f = (ф, Ф). Мы определяем Scylf формулой sh Scylf = (MiUM2, S), где S — совокупность таких множеств Ac MtLJ М2, что: (i) множество in'1 (Л) принадлежит S] или пусто; (И) множество ф^п”1 (Л)) U in^1 (Л) принадлежит S2; (ill) если множество iny1 (Л) непусто, то множество in”1 (Л) принадлежит Ф^); (iv) если а1е1П”'(Л), а2е!п7|(Л), то а2^ф(а1). Отображения in^ in2 определяют некоторые отображения, sh Aj—>sh Scyl f, sh A2->sh Scyl f и с ними симплициальные вложения Хг ~* Scylf, Х2-> Scylf; образы этих вложений называются основаниями цилиндра Scyl f (нижним и верхним) и могут быть отождествлены с Хь Х2. Кроме того, отображение Mt X (0 U 1) Al] LI М2, переводящее (a, 0) в иц (a) и (a, 1) в 1п2оф(а)> определяет некоторое отображение sh(^i Xs Лsh Scyl f и с ним симплициальное отображение Ai Xs/-> Scyl f. Ясно, что это симплициальное отображение составляет с включением Х2^> Scylf непрерывное отображение (А].Х Л U А2-> Scyl f и что последнее определяет некоторое непрерывное отображение cscf: Cyl f-> Scylf. Ясно также, что esc f (Cyl f) = Scyl f и что каноническая ретракция rt f: Cyl f -»■ X-, (cm. 1.2.6.10) постоянна на элементах разбиения zer(cscf), а каноническая А2-гомотопия, связывающая id (Cyl f) со сквозным отображением Cyl f—lAL А2 — >Cylf, постоянна на элементах разбиения zer(cscf)Xzer(id/). Благодаря этому, rtf определяет строгую деформационную ретракцию Scylf—>А2, и ясно, что композиция включения А] —» Scylf с этой ретракцией есть f. Таким образом, включение А2-> Scylf всегда является гомотопической эквивалентностью, а включение Xv-> Scylf является гомотопической эквивалентностью в том и только том случае, если f — гомотопическая эквивалентность.

Звезды. Линки. Регулярные окрестности

Звездой симплекса s симплициального пространства X называется объединение симплексов пространства X, содержащих s. Обозначения: Sts, St(s, А). Очевидно, что это —подпространство пространства А.

Открытой звездой симплекса s называется объединение внутренностей симплексов, содержащих s. Обозначения: sts, st (s, А). Ясно, что это — открытое множество, определяемое неравенствами

barflo (х) > 0Ьаг^ (х) > 0,где а0aq— вершины симплекса s, и что Clsts = Sts. .

Линком симплекса s называется объединение симплексов из Sts, не пересекающихся с s. Обозначения: Iks, Ik(s, X). Это — подпространство пространств X и St s.

Следующие факты очевидны. Если s— грань симплекса s', то

Sts' с Sts, st s' с st s, Iks'elks. '

Если a0, ..., aq— вершины, не лежащие в одном симплексе, то пересечение nLostaj пусто, а если «о, ..., aq — вершины симплекса s, то q

П sta; = sts. i—О■

Если X — подпространство пространства X', то для всякого симплекса s из X

st (s, X) = st (s, Х'^Х,

а если X — полное подпространство, то и

St (s, X) = St (s, X') n X,Ik (s, X) = Ik (s, X') П X.

Наконец, если s' —симплекс из lk(s, X), a s"— наименьший симплекс, содержащий s и s', то

Ik (s', lk(s, X)) = lk(s", XY

Звезды, открытые звезды и линки определяются также для точек симплициального пространства, а именно, звезда Stх = St (х, XY открытая звезда stx = st(x, X) и линк 1kх = Ik (х, X) точки х определяются формулами

St х= St six, st х = st six, Ikx = St si x \ st si x.

Очевидно, stx есть окрестность точки x, a Ikx = Fr St x = Fr st x. Кроме того, звезда Stx гомеоморфна конусу над линком Ikx; имеется даже канонический гомеоморфизм conIkx-* Stx: он определяется формулой

рг (у, 0 *-* ф ((1 — /) ф-i (х) + /ф-i (у)),

где y^Wx, iel и ф — какой-нибудь характеристический гомеоморфизм какого-нибудь симплекса, содержащего х и у.

Предостережение: Ikx совпадает с Ik six только в случае, когда х — вершина.

Если s' —симплекс из Ik (s, XY то, согласно 1.1 и 5.10, джойн s * s' канонически симплициально гомеоморфен наименьшему симплексу пространства X, содержащему s и s', и ясно, что вместе эти симплициальные гомеоморфизмы составляют симплициальный гомеоморфизм между джойном s*lk(s, X) и

СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВАСИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА115115§ 2)

СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

115

115

звездой St(s, X). Это значит, что звезда St(x, X) любой точки х пространства X канонически симплициально гомеоморфна джойну six * Ik (six, X), и ясно, что этот симплициальный гомеоморфизм отображает джойн границы симплекса six и линка Ik (six, X) на Ik (х, X). Так как, далее, граница симплекса six гомеоморфна сфере sdlmsix~lj а джойн 5dlmsix~1 * 1k(six, Л') го- меоморфен надстройке sudimsixlk(six, Х\ то линк Ik(х, X) гомеоморфен sudimslx Ik (si х, X).

Гомотопическая инвариантность линка точки

(Лемма). Пусть Л, В — ретракты топологического пространства У. Если включения i: A-*Y, j: B->Y гомотопны некоторым отображениям р. A—>Y, g: B->Y c f (Л) с В, g[H)^.A, то А, В гомотопически эквивалентны.

Взаимно обратными гомотопическими эквивалентностями А-*В, В-^А могут служить сужения а|л, р |в произвольно взятых ретракций ст: Y -^-В, р: Y-* А. Действительно, ст|л —o°z, р|я = р°/, и так как композиция ро/°а°г гомотопна отображению р° j ° а ° f = р° f, которое, в свою очередь, гомотопно р о i = id Л, то композиция р |в о а |л гомотопна id А. Подобным же образом, композиция ст|л°р|в гомотопна id В.

Пусть Тх, Т2— подпространства топологического пространства X, каждое из которых наделено конечной триангуляцией. Если точка х0 е X является внутренней для Тх и Т2, то линки Ik (х0, Т^, 1k (х0, Т2) гомотопически эквивалентны.

Доказательство. Обозначим через Ft гомотопию St(x0, Т^Х^-*Х, связывающую включение St(x0, Т^->Х с постоянным отображением, переводящим St(x0, Т^ в х0, и прямолинейную в каждом симплексе из St(x0, Т^, и положим Cz(t) = Ft (St (х0, Т^ X t) [/ = 1, 2]. Так как множества st (х0, ТJ, st (х0, Т^ открыты, а множества St(x0, Т^, St(x0, Т^ компактны, то существуют такие е>0 и б > 0, что Cj (в) cz St (х0, Т2\ С2(е)сд St (х0, Л) и Сх (6) с С2 (е), С2 (б) с С( (е). Так как, далее, С] (е) \ х0 — ретракт пространства St(x0, Тх)\х0, а С2(е)\х0 — ретракт пространства St(x0, Т2)\х0, то С1(е)\х0 и С2(б)\х0 — ретракты пространства Y — [St(x0, Т^П St(x0, Т2)] \х0. Наконец, формулы

(у, t)b->Bi(y, dt/e), (у, t)c->B2(y, 6t/e)

определяют гомотопии (Ci (е) \ х0) X I-^Y, (С2 (е) \ х0) X I ~^- У, связывающие включения С1(е)\х0->У, С2(е)\х0-»-У с отображениями, образы которых содержатся, соответственно, в С2(е)\х0, С[(е)\х0. Таким образом, С2(е)\х0 гомотопически эквивалентно Сх (е) \ х0 (см. 3), и остается заметить, что Ct (е) \ х0 гомотопически эквивалентно Ik(х0, Ty), а С2^ \х0 гомотопически эквивалентно 1k (х0, Т2)-

Регулярные окрестности

Регулярной окрестностью подпространства А симплициального пространства X называется окрестность, составленная из всех открытых звезд st (а, X) с ае А, или, что то же, из всех открытых звезд st (а, X) с а е ske<H.

Если подпространство А полно, то оно является деформационным ретрактом своей регулярной окрестности. Имеется даже каноническая Л-гомотопия h; U \ I —>U, связывающая тождественное отображение регулярной окрестности U полного подпространства А с композицией ретракции U—»A и включения A->U; она определяется формулой

1—/ У Ьаг6 (хЛ barQ (х)

если а е ske0 А,если а е ske0 А,be ske0 А/

если а е ske0 А,

если а е ske0 А,

Ьагй(/г(х, /)) = 'Ьагй(/г(х, /)) = '1 — У, Ьаг6(х)

Ьагй(/г(х, /)) = '

Ьагй(/г(х, /)) = '

b s ske0 А

lbara(x), если а е ske0 X \ ske0 А.

Из сказанного, в частности, следует, что всякое подпространство симплициального пространства X является деформационным ретрактом своей регулярной окрестности в ba X (см. 5.4).

Барицентрические звездыи барицентрические линки

Барицентрической звездой симплекса s симплициального пространства X называется объединение симплексов пространства baX, у которых первая вершина находится в центре симплекса s. Обозначения: bsts, bst (s, А). Равносильное описание: bst s есть множество точек х е X, для которых

bara(x) = bar6(x), если a, 6esPske0X, .

bar0 (х) ^ Ьагь (х), если а е s П ske0 X, b е (X \ s) П ske0 X.

Очевидно, барицентрические звезды симплексов пространства X покрывают X и являются подпространствами пространства baX. Ясно также, что bst s =7= bst s', если s=#s', и что bst sc bst s', если so s'.

Объединение симплексов барицентрической звезды bsts, не содержащих центра симплекса s, называется барицентрическим линком симплекса и обозначается через blks. Ясно, что звезда bsts симплициально гомеоморфна конусу над blks и что прямолинейное проектирование из центра симплекса s гомео- морфно отображает blks на линк Iks симплекса s в X (последний гомеоморфизм делается симплициальным после барицентрического подразделения линка Iks). Таким образом, пара (bsts, blks) гомеоморфна паре (conIks, Iks).

117117СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВАСИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА§ 2]

117

117

СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

СИМПЛИЦИАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Симплициальная аппроксимация непрерывного отображения

Симплициальное отображение g симплициального пространства X в симплициальное пространство У называется симплициальной аппроксимацией непрерывного отображения /: X -> У, если g (х) е si / (х) для любой точки х е Х-.

Симплициальная аппроксимация отображения f: Х->У канонически гомотопна f: каноническая гомотопия XX I~>У, соединяющая отображение f с его симплициальной аппроксимацией g, аффинно отображает каждую образующую х XI цилиндра XXI на прямолинейный отрезок (возможно, вырожденный), соединяющий f (х) с g(x). Очевидно, эта гомотопия связана на множестве точек хеХ, в которых g(x) = f(x).

Симплициальное отображение g: Х—>У в том и только том случае является симплициальной аппроксимацией непрерывного отображения f; Х->У, если f (st а) с st g (а) для любой вершины а пространства X. •

Доказательство. Предположим сначала, что g— симплициальная аппроксимация отображения f. Пусть хе st а. Так как g(x) е si f (х), отображение g симплициально и х лежит внутри симплекса с вершиной а, то g(x)- лежит внутри симплекса с вершиной g(a) [см. 1.3]. Следовательно, g(a) есть вершина симплекса si) (х) и f (х) е st g (а).

Предположим теперь, что f (st ц) с st g (а) для любой вершиныа пространства X. Пусть х е X. Если а0, ..., aq — вершины симплекса six, то х е П?=о st at и, следовательно,

qqq

f(x)ef(f| sta^e fl f (st az)c П stgt,ai\

1 = 0i = 0i = 0

Таким образом, точки g(a0), •••, g^aq) принадлежат к числу вершин симплекса si f (х), и так как g^ лежит в симплексе с вершинами g(a0),g^, т0 gMesiftx).

Непрерывное отображение f симплициального пространства X в симплициальное пространство У в том и только том случае обладает симплициальной аппроксимацией, если для любой вершины а пространства X существует такая вершина b пространства У, что /(stа) с st 6.-

Необходимость этого условия прямо следует из 2; чтобы доказать его достаточность, фиксируем отображение ф: ske0X-» skeoy, такое, что f (st а) с: st ф (а) для любой вершины aeske0A’. Если ай, ..., aq—вершины одного симплекса пространства X, - то пересечение f)?=oStai непусто и с ним, в силу включений

qqq

Г) 81ф(а<)=> Г) / (st а^ =3 f ( п sta,), i-0i-0.i-0

непусто пересечение nf=o st ф (а,), вследствие чего вершины ф(а0), ..., Ф^) принадлежат одному симплексу пространства У (см. 6.1). Поэтому ф продолжается до симплициального отображения Х-*У (см. 2.5), и из 2 следует, что это отображение является симплициальной аппроксимацией отображения f. '

Для любого непрерывного отображения f конечного симплициального пространства X в симплициальное пространство У существует такое т, что отображение f: bamX--^Y обладает симплициальной аппроксимацией.

При доказательстве X можно считать полиэдром; см. 4.1. Так как открытые звезды вершин составляют открытое покрытие пространства У, то существует такое положительное е, что, каково бы ни было подмножество А пространства X с diam А < е, множество ЦА) содержится в одной из этих открытых звезд (см. 1.1.7.16). Пусть пг столь велико, что диаметры симплексов пространства bamX меньше е/2 (см. 5.6). Тогда диаметр звезды любой вершины этого пространства меньше е и, в силу 3, отображение f: ba'n Х>У обладает симплициальной аппроксимацией. -

Упражнения

Пусть X — симплициальное пространство. Доказать, что формула .

dist(x, у) = [ X (Ьагй(у) — Ьагй (х))2]1/2

aeske0X

определяет в X метрику и что топология, определяемая этой метрикой, в том и только том случае совпадает с исходной, если X локально конечно. '

Доказать, что для всякого полиэдра X сц R" существует триангуляция пространства R\ составленная из евклидовых симплексов, по отношению к которой X является подпространством в симгйчициальном смысле.

Доказать, что связное локально конечное симплициальное пространство размерности п симплициально вкладывается в пространство R2"+1, триангулированное евклидовыми симплексами.

Пусть f — непрерывное отображение одного симплициального пространства в другое. Доказать, что существует новая триангуляция первого пространства с двумя'свойствам и: каждый ее симплекс содержится в некотором симплексе прежней триангуляции; по отношению к новой триангуляции / обладает симплициальной аппроксимацией.

§ 3. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ СВОЙСТВАКЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ

Клеточные пары

Пусть X — оснащенное клеточное пространство и Л — его подпространство. Обозначим через /г0 функцию Ли8ке0Х-*/, равную 0 на Л и 1 на (Л U ske0 X) \ Л, и определим индуктивно последовательность функций К/. Ли8кегХ-»/ (г = 1, 2, ...) формулой '

( hr_xto, если х е Л Usker-tX,

hr to | । _ г^ _ ^a^ ^^^ если x_ chag (r^),

где e e cell, X \ cellr А, те I, yeSr~l. Так как функции hr непрерывны и продолжают друг друга, то они определяют некоторую непрерывную функцию Х^-I. Последняя называется характеристической функцией пары {X, Л), а окрестность подпространства Л, составленная из всех точек, в которых характеристическая функция меньше 1, называется правильной окрестностью этого подпространства.

Ясно, что характеристическая функция пары (X, Л) обращается в нуль в точности на Л. Таким образом, подпространство клеточного пространства выделяемо.

Если пространство X симплициально, то характеристическую функцию можно построить по симплициальному оснащению, и ясно, что она не зависит от выбора такого оснащения. Правильная окрестность подпространства А совпадает в этом случае с его регулярной окрестностью в ba X.

Подпространство оснащенного клеточного пространства является строгим деформационным ретрактом своей правильной окрестности.

Доказательство. Пусть U — правильная окрестность подпространства А оснащенного клеточного пространства X. Так как произведения mjskerX)X/ покрывают цилиндр XXI и являются его подпространствами, то они составляют его фундаментальное покрытие, и потому их пересечения с цилиндром U XI, т. е. цилиндры UrXI, где Ur = U П (Л U sker^), составляют фундаментальное покрытие цилиндра UXI- Обозначим через Go постоянную гомотопию включения А->Х и определим гомотопии Fr: UrXI^U с г^1 формулой

FrtoFrto{х,если xeUr-x,

Frto

Frto

chae(((l — t) т + /) у), если х = сНав(тг/),

где е е cellr X \ cel!r Л, ге(0, 1], yeSr-1, и затем гомотопии Gr; UrXI^U с г^=1 формулой.

( х,если 0^/^2-г,

СДх, /) = < РДх, Yt—1), если 2~r^<^2~r+1,

( Ог_ДРДх, 1), 0, если 2-г+1</<1.

Гомотопии Gr продолжают друг друга и определяют Л-гомото- пию UXI->U, соединяющую id U с отображением, которое переводит U в Л. Сокращение этого отображения до отображения £7 —>Л и будет строгой деформационной ретракцией.

Клеточная пара есть пара Борсука.

Это следует из 2 и 1.3.5.11, поскольку клеточные пространства нормальны и их подпространства выделяемы.

Если (X, Л) — клеточная пара и включение А->Х является гомотопической эквивалентностью, то Л есть строгий деформационный ретракт пространства X.

Для доказательства мы применяем к паре (X, Л) теоремы 3 и 1.3.5.6, затем применяем к паре ^XXL (-Y X 0) U (Л X Л U (X X 1)) теорему 3 и, наконец, применяем к паре (X, Л) теорему 1.3.5.7.

Клеточные пары и А-св язно сть

Пусть к— неотрицательное целое число или оо. Если (X, Л) — такая клеточная пара, что размерность любой клетки из X \ Л не превосходит к, и (К, В) — произвольная к-связная топологическая пара, то всякое непрерывное отображение f: X->Y с f ( А) а В А-гомотопно отображению, переводящему X в подмножество множества В. В частности, всякое непрерывное отображение k-мерного клеточного пространства в k-связное топологическое пространство гомотопно постоянному отображению.

Доказательство. Мы построим последовательность продолжающих друг друга Л-гомотопий {Вг: (Л1|8кегЛ’)Х /-^Г}^, со свойствами: (i) РДх, Q} — f{x), если хеЛивкеД; (ii) Br(^UskerX)X(l-2-r-1))cz5; (Ш) РДх, не зависит от t при /^1— 2-г-1. Отображение F; XX1—*Y, совпадающее на MUskerX)X/ с Fr-i, будет тогда Л-гомотопией, связывающей f с отображением, переводящим X в подмножество множества В.'

Построение является индуктивным. Определим Р_х как постоянную гомотопию отображения f |л и предположим, что продолжающие друг друга гомотопии Р_р ..., Fq-1 со свойствами (1), (ii), (ill) уже имеются. Если q> к, то Л U ske, X = X, и мы

полагаем Fq = Fq-\", предположим, что -q^k. Поскольку ((Л U ske, X) X I, (XUske^-j^X/)—"пара Борсука (см. 3), существует такая гомотопия G отображения fLuske х» что 6|(ли5ке,_1х)х/ = В,_1,итак как B,-i ((Д U ske,-, АЭХ(1 —З^^с В, то для любой клетки е е cell, X X cell, А отображение A,: Dq->Y, определенное формулой Ае(у) = G(cha,(y), 1—2-’), отображает Sq~x в В. В силу у-связности пары (К, В), из этого следует, что для всякой клетки е е cell, X \ cell, А существует В^'-гомотопия Пр. DqXJ>Y, связывающая А, с отображением, образ которого лежит в В, и мы полагаем

В, (х, /) =

В,_,(х, 0, если х е Л U ske,-, X,

G (х, /), если 0 ^ / ^ 1 — 2-q,

Не(у, 29+1 (/ - (1 - 2-"))), '

если x = chae(y) и 1 — 2~q ^/ ^ 1 — 2-‘,~1, Пе(у, 1), если x = chae(y) и 1 — 2“'/~I < f 1.

Очевидная' проверка показывает, что отображение В, непрерывно, продолжает В,_, и удовлетворяет условиям (1), (И), (ill) с г = q.

Пусть к — неотрицательное целое число или оо. Если клеточная пара (X, Л) к-связна и размерность любой клетки из X \ А не превосходит к, то А есть строгий деформационный ретракт пространства X. В частности, k-связное к-мерное клеточное пространство стягиваемо.

Действительно, отображение id X Д-гомотопно (в силу 5) некоторому отображению g; X-> X с g(A)cA, так что abg: X -> А есть строгая деформационная ретракция.

Клеточная аппроксимация непрерывного отображения

(Лемма). Пусть X = А ЩЕНцем (В^ = Bfe+1)l, где А—топологическое пространство, а ф — непрерывное отображение пространства ице"м(Ву, = В6) в А. Пусть, далее, f — непрерывное отображение шара Dr+X в X, такое, что f(Sr) содержится в А' — imm2 (Л). Тогда:

) если г < к, то f 5г-гомотопно такому отображению g, что g(or+1)cz: А';'

(И) ■ если г — k, то f Sr-гомотопно такому отображению g, что существуют аффинные вложения аь . .., щ: Dk+1 —>Dk+I с четырьмя свойствами: (i) образы dt = аi (Д6+1) представляют собой попарно непересекающиеся шары, лежащие в Int£)*+1; (ii) каждая из композиций g ° аг- совпадает с одним из сквозных отображений •

in .

(1)

(Ш) множество g (£>ft+1 \ U,=1 Int dt-) содержится в A'; (iv) при к ^ 1 точка шара di с наибольшим значением первой координаты совпадает с аг (ог!^ и отрезок, соединяющий эту точку с огф, целиком лежит в ВкЛЛ \ Uj=1 Int d, (г = 1, ..., s).

(Часть этой леммы, относящаяся к случаю г < к, означает, что пара (А, А') /г-связна. Только эта часть и используется в настоящем параграфе; часть, относящаяся к случаю г = к, нужна для § 5.3.) "

Доказательство. Обозначим сквозное отображение (1) через ку и фиксируем в £>6+1 какой-нибудь (А + 1)-мерный евклидов симплекс а, а в Int а — какой-нибудь (А + 1)-мерный симплекс т триангуляции Ьа2 ст. Множества ку (Int ст) составляют вместе с А \ (ДемА^СО открытое покрытие пространства А, и потому существует столь мелкая триангуляция шара 7У+1, что образ любого ее симплекса при отображении f лежит в одном из множеств этого покрытия (см. 2.5.6 и 1.1.7.16). Обозначим через Ку объединение симплексов, образы которых содержатся в А^ (Int ст), и через L — объединение симплексов, образы которых содержатся в А \ и^ЛцСт). Очевидно, что множества Ку попарно не пересекаются, что среди них имеется лишь конечное число непустых, что Ку и L являются подпространствами симплициального пространства Dr+X и что L (J (О^Аф) = Dr+X.

Применим к сквозным отображениям

ab f (abAu)-1

К^А^ст)—^Ьа2ст (2)

теорему 2.7.4. В силу этой теоремы существует такое ш, что отображения (2) допускают после замены пространств Ку пространствами bamA|1 симплициальную аппроксимацию. Обозначим через Fy каноническую гомотопию, связывающую отображение (2) с указанной симплициальной аппроксимацией. Поскольку т не является гранью никакого другого симплекса, Fy ((А П Ку) X 7) не пересекается с Intr, и потому гомотопии Fy

§ 3] определяют некоторую гомотопию F: (L f| (О^ц)) X I -* X \ U^A^Int т). В силу 1.3 и 1.3.5.9, гомотопию F можно продолжить до некоторой гомотопии ■ G: L X 1 -* X \ ОцАц (Int т) отображения ab f: L->X \ 1)цАц(1п1т), связанной на B = Dr+i\ ицГ (Ац (Int т)), и ясно, что сквозные отображения

F h I ц иgin

K./XJ-^o>Х, LXI-^XXU^MW составляют В-гомотопию отображения f. Последняя соединяет / с таким отображением /^ Dr+x->X, что при любом ц сквозное отображение

abf.(^ц)"'

Ьа"2^ >- Лц (ст)> Ьа2 ст

симплициально и А^т) с (К^ с ЬДо\ Поскольку В zd Sr, отображение А 5гтомотопно f, и наша лемма будет доказана, если мы докажем (I) и (И) для f, вместо f.

Возьмем в Intr какой-нибудь шар д и обозначим через ф гомеоморфизм шара д на Dh+X, определяемый формулой ф(х) = (х —а)/р, где а — центр шара д, а р — его радиус, и через Ч1- отображение цилиндра Dfc+1 XI в Dfc+V, определяемое формулой

^(х, =,

v ’1 — <о(1 — р)

где /0— наибольшее из чисел т отрезка [0, /] с (х— та)/(1— т (1 — р)) е Dk+X. Ясно, что отображения рр Х-*Х, определяемые формулой

Pt (-г) =Pt (-г) =х,если х е А',

Pt (-г) =

Pt (-г) =

Ац» ^^’(х), 0, если х G ^ц (int Вк+'\

составляют Л'-гомотопию отображения id X, что рх (X \ 1)^(6)) с Л' и что pv ° h^ = h^ ° ф. Если г < к, то f1(Dr+I)c^ ^\Un^u(6), и в этом случае для завершения доказательства достаточно заметить, что формула (у, /) ь-^ pt (А] (у)) определяет 5г-гомотопию, связывающую f} с отображением, образ которого лежит в А'. Если г = к, то f-1 (1)^(6)) распадается на попарно непересекающиеся эллипсоиды бь ..., 6S, каждый из которых аффинно отображается посредством f^ на одно из множеств Ам(6). Пусть (у<) — такая В^-гомотопия отображения idDfe+1, что: прообразы d^q™1^?) являются шарами; отображения abc/j: dt^-bi аффинны; при А^1 точка шара d^ с наибольшим значением первой координаты переводится отображением Коск

в одну из точек АцСф-1 (ort])) и отрезок,, соединяющий эту точку с ortb целиком лежит в Dk+X \ U,s_1 Int 4р Ясно, что формула (у, /) ь-> У\° qt (у), О определяет 5г-гомотопию, которая связывает К с некоторым отображением g, удовлетворяющим условиям (i) — (iv).■

Клеточная пара (А, Л), у которой Л zd ske6 X, k-связна (О^й^оо). В частности, клеточное пространство с одноточечным k-м остовом к-связно.

Доказательство. Поскольку при всяком непрерывном отображении шара в X образ шара содержится в одном из остовов skerA, достаточно установить й-связность всех пар (AUskerA, Л) с г > к. А она очевидным образом следует из ^-связности пар (AUske?+] A, AIJske^A) с q^k, которая прямо утверждается леммой 1 (см. 1.2.1).

(Следствия). Сфера S" (п — 1)-связна (п^ 1). Пространства СРп односвязны (О^ц^оо). Пространства HP" 3-связны (0^/г^оо). Пространство СаР2 7-связно.

Всякое непрерывное отображение клеточного пространства в клеточное пространство гомотопно клеточному отображению. Непрерывное отображение клеточного пространства X в клеточное пространство Y, клеточное на подпространстве А пространства X, А-гомотопно клеточному отображению.

■ Доказательство. Мы построим по непрерывному отображению f: X->Y, клеточному на А, такую последовательность отображений {fr: X->Y^”=_x и такую последовательность гомотопий ^_Fr: X XI-*Y)7=o’ что: (i) f_, = f; (ii) отображение fr клеточно на A(JskerA; (iii) гомотопия Fr соединяет fr-x c fr и связана на AUsker-]A. Ясно, что формула

С Fr(x, 2-2г+1(1-0),

(х, ф—><если 1 — 2-r^l ^ 1 — 2~г~1,

^РДх, 1), если xeA|JskerA и ^ = 1, определит тогда Л-гомотопию, связывающую / с клеточным отображением..

Построение проводится индуктивно. Если fr и Fr с г < к имеются и удовлетворяют условиям (i) — (iii), то, в силу 2 и 1.5, существует (ske^ A U ske^-i А)-гомотопия, связывающая ffc-ilSke6x с отображением, образ которого лежит в ske^F. Вместе с постоянной гомотопией отображения f&—т у эта гомотопия определяет некоторую (AUskeA-t А)-гомотопию отображения /й—I I^U skeft Х> продолжающуюся, в силу 1.3, до некоторой (AUske^-i А)-гомотопии отображения f6-P Последнюю

мы и принимаем за Fk, а отображение, с которым она связывает ffe_b —за U-

Гомотопные клеточные отображения клеточно гомотопны. Более того, если клеточные отображения f, g: X -> Y А-гомо- топны и А — подпространство пространства X, то ^ g клеточно А-гомотопны.

Действительно, Л-гомотопия, связывающая f с g, есть непрерывное отображение цилиндра XXI в Y, клеточное на (X X (О U О) U (Л X I), и, в силу теоремы 4, это отображение [(X X (О U 1)) J (Л X /)]-гомотопно клеточному отображению.

Клеточные А-связные пары

Всякая h-связная клеточная пара (0 ^fe^oo) гомотопически эквивалентна некоторой клеточной паре (У, В) с В лэ skeA Y.

Доказательство. Пусть (X, Л) —клеточная /г-связная пара. Если h = oo, то, согласно 1.6, А есть строгий деформационный ретракт пространства X, так что пара (X, Л) гомотопически эквивалентна паре (X, X); предположим, что h<eo.

Можно считать, что Лгэвке^Х: общий случай сводится к этому специальному случаю индукцией по h, поскольку при fe^l fe-связная пара" (k — 1)-связна, а условие Лдэзке^Х бессодержательно. Согласно 1.5 и 2.5, включение ske*X->X может быть связано некоторой клеточной skefe Л-гомотопией f: (ske^ Х)Х I -> X с отображением, образ которого содержится в А. Определим отображение F; (skefcX)X/X/^Х формулой В (х,<ь/2)= / (х, /j) и положим -

С = ((ske, X) X1 X 0) U ((ske6 X) X (0 U 1) X /) U ((skeft Л) X / X /),

Z) = (skefcX)X/X 1.

Ясно, что С, D — подпространства клеточного пространства (skefe X) XIX I й что отображение F клеточно. Мы определяем Y и В формулами

Y — XUf\c ((skeA X) XI X I), B = (imm2 (Л)) U (imm, (D)).

Согласно 1.5.5, пространство Y является клеточным, и ясно, что В есть его подпространство, содержащее ske^E. Чтобы доказать, что пара (X, Л) гомотопически эквивалентна паре (У, В), заметим, что 1шш2(Л) есть строгий деформационный ретракт пространства В, a imm2(X) — строгий деформационный ретракт пространства У: гомотопия BXI^-B, соединяющая id В с ретракцией В->1тш2(Л) и связанная на 1тт2(Л), определяется формулами

СттД^, Ч, 1),/)>—s-imm^x, #ь 1) - [xeskefeX; t, t^I],- (imm2 (x), /) «—> i'mm2 (x) [x e= A, te /], .

а гомотопия YXl^Y, соединяющая id У с ретракцией У—>imm2(X)

и связанная на imm2QO, — формулами=

(imm^x, /ь /2), ^ь-эНттДх, tx, tt^ [xeske^J; t, tx, t2^I],

(imm2 (x), /) => imm2 (x) [x e X, t e /].

Следовательно, пара (К, imm2(X)) гомотопически эквивалентна как паре (К, В) [см. 1.3.5.8], так и паре (imm2(X), 1шт2(Л)), и остается заметить, что пара (imm2(X), 1тш2(Л)) гомеоморфна паре (X, Л).

Всякое k-связное клеточное пространство (0 ^ к ^ оо) гомотопически эквивалентно клеточному пространству с одноточечным k-м остовом.

Доказательство. Пусть X — клеточное 6-связное пространство. Отметим в X нульмерную клетку х0, заменим пару (X, х0) гомотопически эквивалентной ей клеточной парой (X, Л) с d^ske^X (см. 1) и положим Y = Х(А. Так как А стягиваемо, то Y гомотопически эквивалентно X (см. 1.3.7.7 и 1.3), и ясно, что skefcK есть точка.

Теорема 2 ничего не говорит о размерности пространства Y, которым она заменяет заданное пространство X, однако из ее доказательства видно, что Y всегда можно выбрать под условием dim У ^ max (dimX, 6 + 2). Наша ближайшая цель — показать, что при 6 = 0 последнее неравенство можно заменить неравенством dim У ^ dim X (см. 6). .

(Лемма). Пусть У — топологическое пространство и {1Д}Г=о — его фундаментальное покрытие, такое, что У & А У z = 0 при к —1>\. Если при каждом 6^1 пересечение УЙ_]ПУ& является строгим деформационным ретрактом пространства Y к, то Уо есть строгий деформационный ретракт пространства У.

Доказательство. Если Fk: У 6 XI -^Y k ■— гомотопия, связанная на Уб-iDEft и соединяющая id Уд с отображением, переводящим Yk в Уй-1ПЕ6, то формула .

(У, t^(У, t^у, если уеУк и 0^/^2 \ F^F^... Fkkx, 1) .... 1), 2zZ — 1),

(У, t^

(У, t^

если у е Yk и 2-z^/^2-z+1 (/^6),

определяет у0-гомотопию Y X I -*Y, которая соединяет id У с отображением, переводящим У в у0.

Во всяком связном клеточном пространстве имеется стягиваемое одномерное подпространство, содержащее все нульмерные клетки.

Доказательство. Отметим в заданном связном клеточном пространстве X какую-нибудь нульмерную клетку х0 и

обозначим через А^ множество нульмерных клеток, которые можно соединить с х0 путем /-^ske^, задевающим не более к одномерных клеток. Так как пространство ske^ связно (см. 1.4.7) и путь может задеть лишь конечное число клеток, то U”=0^fe = ske0A’. Фиксируем для каждой нульмерной клетки хе.Ак\Ак_х с ^>1 замкнутую одномерную клетку с^ху соединяющую х с какой-нибудь клеткой из Ак_х\Ак_2, и положим

г х0,если к = О,

У* = ] U с (у), если к > О,

G Ак\Ак-о

иУ = иГ=(Л- Ясно, что Y есть одномерное подпространство пространства X, содержащее ske0X, и что покрытие {УД пространства У удовлетворяет условиям леммы 4. Таким образом, Уо есть строгий деформационный ретракт пространства У, т. е. У стягиваемо.

Всякое связное клеточное пространство гомотопически эквивалентно клеточному пространству той же или меньшей размерности с единственной нульмерной клеткой. В частности, всякое связное одномерное клеточное пространство гомотопически эквивалентно букету окружностей.

Это следует из 5, 1.3 и 1.3.7.7.

Применения к к«л еточным конструкциям

Если клеточное пространство X k-связно, то пространства su X u su (X, х0), где х0 — нульмерная клетка, (k + ХУсвязны.

Доказательство состоит из трех замечаний. ' Первое: поскольку пространства suX и su(X, х0) гомотопически эквивалентны (см. 1.4.5, 1.3.6.8 и 1.3.7.7), (А + 1)-связность каждого из них влечет за собой (fe + 1)-связность другого. Второе: в силу 2 и 1.3.7.12, (к-У 1)-связность пространства su(X,x0) достаточно установить для случая, когда 8ке^Х=х0. Третье: в указанном случае (& + 1)-связность пространства su(X, х0) следует из теоремы 2, поскольку остов skefc+1su(X, х0) является одноточечным вместе с ske^X.

Если клеточное пространство Хх кх-связно, а клеточное пространство Х2 к2-связно, то тензорные произведения (Хь х^® (Х2, х2) и (X], х1)®с(Х2, х2), где хх, х2— нульмерные клетки, (кх + к2+ Хусвязны.

Доказательство состоит из трех замечаний. Первое: поскольку топология пространства (Хь Х[)®(Х2, х2) совпадает на его компактных частях с топологией пространства (Х[, Х[)®С(Х2, х2), ^кх + к2 + 1)-связность каждого из них влечет за собой^+^+О"

связность другого. Второе: "В силу 1 и 1.3.7.12, (^j + ^+l)- связность пространства (Xb х^ ®c№, ^2) достаточно установить для случая, когда ske^X^Xp skebX2 = х2. Третье: в указанном случае (X + ^2 + 1)-связность пространства (Xb xj ®с(12, ^2) следует из теоремы 2, поскольку оетов skefci+6,+1 ((Xj, xj ®с (Х2,х2)) является одноточечным вместе с ske,. X, и ske^.^. '

(Лемма). Для любых клеточных пространств Хх, Х2 с отмеченными нульмерными клетками хь х2 клеточный джойн (Л), Xi)*c(X2, х2) гомотопически эквивалентен su((Xb xj ®с U2, х2), bp).

Доказательство. В силу своих определений, пространства (Xb xj:^^, х2), su((Xb X!) ®c(X2, х2), bp) получаются повторной факторизацией из пространства (Х1ХСХ2)Х/, и ясно, что проекция (.¥] Хс^з) X/~* suO), Х])®С(ЛХ х2), Ьр) постоянна на элементах разбиения zer(pr: (^ XcA^XZ-^CXhXi) *С(Х2, х2)). Возникающее отображение

/ = fact[pr: UiXc^2)X/->(Xb'Xi)*c(X2, х2)]:

su((Xb хО ®С(Х2, х2), Ьр)->(Хь х1)*с№, ^2)

факторно (см. 1.2.3.4), и так как единственным неодноточечным элементом разбиения zer(f) является множество f—1 (Ьр), то su(Qfb x1)®c(X2, х2), Ьр) = [(Хь Xi) *ДХ2,_х^\1ГХ (Ьр). Наконец, Г‘(Ьр) = [№, Х!)*с(х2, x2)]U[(xb Х!)*с(^2, х2)], и так как это объединение стягиваемо, то факторпространство [(Xb xj *е (Х2, x2)]/f—1 (Ьр) гомотопически эквивалентно (Хь х1)*с(Л’2, х2).

Если клеточное пространство Хх ку-связно, а клеточное пространство Х2 к2-связно, то джойны Хх * Х2, Хх *СХ2 и (Хъ х^* №, хг), №, -^1)*с(^2, х2), где хх, х2 — нульмерные клетки,, (&!+ /?2 + ^-связны.

Доказательство состоит из четырех замечаний. Первое: поскольку пространство (Хь х1)*с(Л’2, х2) получается из пространства Хх*сХ2 факторизацией по стягиваемому подпространству (одномерной замкнутой клетке хх*х2\ эти пространства гомотопически эквивалентны. Второе: поскольку топология пространства Х^сЛг совпадает на его компактных частях с топологией пространства Хх*Х2, (kx + k2 + 2)-связность каждого из этих пространств влечет за собой (кх + к2 +2)-связность другого. Третье: подобным же образом (кх + к2 + 2)-связность каждого из пространств (Хь х1) *(Х2, х2), (Хь хх')*с^Х2, х2) влечет за собой (,кх + к2 + 2)-связность другого. Четвертое: (кх + к2 + 2)- связность пространства (Хь х1)*с(Л’2, х2) прямо следует из 9, 8 и 7. .

Симплициальная аппроксимация клеточных пространств

(Лемма). Пусть X, Y — клеточные пространства и {ХД^, (УД^о — их фильтрации, составленные из подпространств. Пусть, . далее, f; X->Y — клеточное отображение с f (Xr) cz УДО^г < оо). Если ab f: Xr->Yr — гомотопические эквивалентности, то и f— гомотопическая эквивалентность.

Доказательство. Так как пространства Zr = Cyl (abf: Xr-*Y/) являются подпространствами пространства Z = Cyl) в клеточном смысле и удовлетворяют условиям Zr cz Zr+1, U7=o^r — Z, то они составляют фильтрацию пространства Z (см. 1.1.9), и потому образ любого непрерывного отображения Dk~>Z содержится в одном из множеств Zr (см. 1.2.4.5). Из этого следует, что если все пары (Zr, Хд оо-связны, то и пара (Z, X) оо-связна, и остается заметить, что оо-связность пары (Zr, Хг) равносильна тому, что abf: Xr->Yr — гомотопическая эквивалентность, а oo-связность пары (Z, X) равносильна тому, что f — гомотопическая эквивалентность (см. 1.3, 1.6, 1.3.3.9 и - 1.3.7.13).-

Для всякого клеточного пространства X существует гомотопически эквивалентное ему симплициальное пространство той же размерности, конечное, если X конечно, и счетное, если X счетно.,

Для доказательства мы построим последовательность сим- плициальных пространств (УД^ц, последовательность симпли- циальных вложений {zr: Yr -> Уг+1}^,0 и последовательность клеточных гомотопических эквивалентностей (fr: бкегХ->УД^0 с четырьмя свойствами: (i) fr |Ske jx^ h—\0 fr-i> (ii)dimyr — ' dimskerX; (ill) если пространство skerX конечно, то и пространство Yr конечно, если skerX счетно, то и Yr счетно: (iv) если sker X = sker-j X, то Yr = Yr_x и ir-x = id У,—р Этим будут определены симплициальное пространство Иш (Уг, zr) размерности dimX, конечное или- счетное вместе с X, и клеточное отображение f: Х->Пш(Уг; zr) с f |ske х = immr ° f, и лемма 1 показывает, что последнее, будет гомотопической эквивалентностью.

Определим Уо и f0 как ske0X и idske0X и предположим, что при г < q симплициальные пространства Yr, клеточные гомотопические эквивалентности fr и симплициальные вложения ir-x имеются и удовлетворяют условиям (i) — (iv). Согласно 1.2.1, мы можем представить skegX как (skeg_tX) (JqA где Д = Uescell x(De=Dqy а <р — непрерывное отображение пространства

2 = Uesceii х(^е — S9-1) в ske^X; построим для Д триангуляцию, по отношению к которой 2 является полным подпространством, а отображение f^-jogc 2->У9_! обладает некоторой симплициальной аппроксимацией g: 2->У4_ь и упорядочим Y q_x и 2 так, чтобы отображение g стало монотонным. Применяя последовательно теорему 1.3.7.10, теорему 1.3.7.8 и снова теорему 1.3.7.10, мы получим три гомотопические эквивалентности: гомотопическую эквивалентность ske^X-^y^Uf^oqA, совпадающую на ske^-i X с fq_x, гомотопическую эквивалентность Yq-v и^_]ОфX^-Yq-x Ug Д, тождественную на Yq_\, и гомотопическую эквивалентность Yq_x UgA-*(Scyl g) Um Д c in = [in: 2-> Scylg] (cm. 2.5.11), совпадающую на Yq-X с включением Yq_, —> Scyl g. Мы определяем Yq как (Scyl g) (Jin X, fq как композицию трех указанных гомотопических эквивалентностей и iq_x как сквозное вложение Yq-X -* Scyl g->Yq. Триангуляция пространства Д вместе' с триангуляцией цилиндра Scylg определяют триангуляцию пространства Yq (см. 2.5.2), и ясно, что вложение lq-x симплициально и что Yq, fq и iq-x удовлетворяют условиям (i) — (iv) с г = q.

Если X — конечное клеточное пространство, a Y — счетное клеточное пространство, то множество л (X, У) счетно.

Доказательство. В силу теорем 2 и 1.3.1.8, достаточно рассмотреть случай, когда X и У — симплициальные пространства. А в этом случае, в силу теоремы 2.7.4, мощность множества л(Х, У) не превосходит мощности множества всех симпли- циальных отображений ЬатХ-*У(т = 0, 1, ...), которое, очевидно, счетно.

Упражнения

Доказать, что если клеточные пространства Хх, Х2 гомотопически эквивалентны клеточным пространствам X], Хг, то пространство XiXc^2 гомотопически эквивалентно пространству Х[ХсХ2, а пространство Xi*cX2 гомотопически эквивалентно пространству Х'*сХг. -

Доказать, что всякое клеточное пространство гомотопически эквивалентно локально конечному клеточному пространству.

Доказать, что всякая клеточная пара гомотопически эквивалентна симплициальной паре, а всякая конечная клеточная пара гомотопически эквивалентна конечной симплициальной паре.

Доказать, что не существует клеточного пространства, гомотопически эквивалентного подпространству прямой, составленному из точки 0 и точек \]п с п= 1,2, ... '

ГЛАВА 3

ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ

1. ОСНОВНЫЕ понятия

Топологические многообразия

Эта глава содержит элементарное введение в дифференциальную топологию. Ее основными объектами являются гладкие многообразия, определяемые в следующем пункте и представляющие собой (так же, как клеточные и симплициальные пространства) топологические пространства с дополнительной структурой. Топологические многообразия, которым посвящен настоящий пункт, занимают промежуточное положение между гладкими многообразиями и топологическими пространствами и еще не несут дополнительной структуры. "

Локально евклидовы пространства

Топологическое пространство называется локально евклидовым пространством размерности п, если каждая его точка обладает окрестностью, гомеоморфной пространству R™ или полупространству R1 пространства R", составленному из точек (хь ..., xj с Xi ^0. Полупространство R1 определено при п^ 1; при п — 0 мы его не определяем. Благодаря последнему обстоятельству определение локально евклидова пространства размерности 0 означает, что это — топологическое пространство, каждая точка которого обладает окрестностью, гомеоморфной R0, т. е. дискретное пространство.

Точки локально евклидова пространства, обладающие окрестностью, гомеоморфной R”, называются внутренними, остальные точки — краевыми. Внутренние точки составляют внутреннюю часть локально евклидова пространства, краевые точки — его край. Внутренняя часть локально евклидова пространства X будет обозначаться через int^, край — через дХ. (Различие между обозначениями int и Int вместе с контекстом должно исключить смешение этих внутренних точек и этой внутренней части с внутренними точками и внутренней частью множества в топологическом пространстве.) Внутренняя часть есть, оче-

видно, всюду плотное открытое множество, край — замкнутое множество. .

Ясно, что топологическое пространство является локально евклидовым пространством размерности п уже в случае, когда каждая его точка обладает окрестностью, гомеоморфной открытому подмножеству одного из пространств R", R1. Из этого следует, что открытое подмножество локально евклидова пространства размерности п. есть локально евклидово пространство размерности п; в частности, внутренняя часть локально евклидова пространства размерности п есть локально евклидово пространство размерности п без края. Ясно также, что внутренняя часть и край открытого подмножества U локально евклидова пространства X определяются формулами int U = U П int X, ди = ипдх. .

Так как локально евклидово пространство локально связно, то его компоненты являются открытыми множествами (см. 1.3.4.3), из чего следует, что они и замкнуты.

Очевидными примерами локально евклидовых пространств размерности п служат пространства R", RI, Sn, Dn. Ясно, что dRn = 0 и dS"=0. Ясно также, что все краевые точки полупространства R1 лежат в граничной гиперплоскости R"-1, составленной из точек (xj, ..., х„) с Xj = О, а все краевые точки шара Dn — в граничной сфере Sn~v. .

Из гомеоморфности произведения Rre‘ X R"2 пространству Rre,+”2 следует, что если Xi, Х2— локально евклидовы пространства размерностей щ, п2 без края, то Xt X Х2 есть локально евклидово пространство размерности п. + п2 без края, и, вообще, если Xi, ..., Xs — локально евклидовы пространства размерностей «ь ..., ns без края, то Х^ X ••• X Xs есть локально евклидово пространство размерности н1 + ... +/г5без края. Чтобы охватить локально евклидовы пространства с краем, заметим, что формула ((х1? ..;, xj, (у„ ..., y^^^v ...,хп, Ур • ■•’ УпУ определяющая канонический гомеоморфизм R"1 X' R”2 ->Rra'+"2, определяет при ^ > 0 и гомеоморфизм R-XR"2 —» R-+"2 и что формула ((х„ ..., х„), (ур ..., У^У-*^, • • •, Уп? хь ..., хп^ определяет при п2> 0 гомеоморфизм Rn‘XR--*R-+"2, а формула ((х„ ..., xj, (ylt ..., О) ^(-2^, x^-z^ х2, ..., хп? у^ ..., у^ определяет при ^ > 0, п2 > 0 гомеоморфизм RI1 X R-->R-+ra’. Таким образом, каждое из произведений R- X R"2, R"' X R-, R- X R- гомеоморфно R^+"2, и, следовательно, если Xi, Х2 — какие угодно локально евклидовы пространства размерностей пь г^, то X-XXi есть локально

евклидово пространство размерности и, + Щ, и, вообще, если Хь ..., Xs — какие угодно локально евклидовы пространства размерностей пь ..., ns, то Xi X • • • X Xs есть локально евклидово пространство размерности «| + ••• + »$•

Определения, данные в 2, порождают два нетривиальных вопроса. ■

Первый вопрос состоит в том, может ли непустое топологическое пространство быть одновременно локально евклидовым пространством размерности п и локально евклидовым пространством размерности п', если п' У= п. Как будет доказано в главе 4, ответ отрицателен (см. 4.6.5.10). Этот ответ очевиден, если п — 1, п' > 1 или n' = 1, n > 1 [всякое непустое открытое подмножество одномерного локально евклидова пространства делается несвязным после удаления двух надлежащим образом выбранных точек (например, двух точек, принадлежащих открытой части этого подмножества, гомеоморфной R1), тогда как непустое локально евклидово пространство размерности п' > 1 обладает непустым открытым подмножеством, которое не делается несвязным после удаления двух точек (например, открытым подмножеством, гомеоморфным R" )], и уж совсем очевиден, если п = 0 или п' = 0, но при п>1, п' > 1 доказательство требует техники, которая будет развита лишь в дальнейшем.

Второй вопрос может быть сформулирован как проблема’ более эффективного определения внутренних и краевых точек, которое позволило бы их фактически распознавать. Например, для полупространства R" мы установили пока лишь очевидное включение <?Rlc:R”-1 (см. 2), которое оставляет возможным как равенство dR- = R”-1, так и равенство dRl — 0 (других возможностей, очевидно, нет). В главе 4 будет доказано, что dRl = R”-1 (см. 4.6.5.12). Это равенство очевидно при п=\ (если бы точка 0 обладала в RL окрестностью, гомеоморфной R’, то удаление точки 0 сделало бы эту окрестность несвязной, что в действительности не происходит ни с одной связной окрестностью точки 0 в R'_), а при п > 1 опять-таки требует технических средств, которыми мы еще не располагаем. Оно удовлетворительно решает и общую проблему распознавания внутренних и краевых точек: из него следует, что точка х п-мер но го локально евклидова пространства X, обладающая окрестностью U с гомеоморфизмом LZ-^Rl, в том и только том случае является краевой для U и, значит, для X, если она переводится этим гомеоморфизмом в точку гиперплоскости R"-1. Для Dn эта теорема дает: dDn = Sn-x. Заметим, что из гипотетического равенства dRl = 0 столь же очевидным образом

следует равенство дХ = 0 для всякого n-мерного локально евклидова пространства X.

Всего осторожнее было бы совсем не пользоваться теоремами, сформулированными в 4, т. е. теоремой о размерности и равенством dRl = RX', пока они не доказаны. С теоремой о размерности мы так и поступим, если не считать незначительного замечания в 2.3, равенством же dRl = R"-1 мы уже успели воспользоваться и будем пользоваться до его доказательства еще в 7 и в 2.6, 2.7. Никаких других применений этих теорем или их следствий до их доказательства не будет.

Край локально евклидова пространства размерности п есть локально евклидово пространство размерности n—1 без края.

Действительно, если [/ — окрестность краевой точки локально евклидова пространства X, гомеоморфная R”, то край dU является окрестностью этой точки в дХ, так как совпадает с U Qdl, и гомеоморфен К"-1, так как dR" =R?“I (здесь равенство dR"=R”-1 не требует ссылки на. главу 4, поскольку альтернативное равенство dRl = 0 невозможно из-за непустоты края дХ\

Для любых локально евклидовых пространств Хг, ..., Xs int^X ... X^) = intX,X ... XintXs, d№X ... X/Q =

WlXX2x ... X^)U ... UU1X ... XXs-vXdXsY

. Доказательство достаточно провести Для s = 2. Пусть хь х2 — точки из Xlt Х2, и пусть ф] — гомеоморфизм окрестности UY точки xv на R"1 или RI' и ф2 — гомеоморфизм окрестности U2 точки х2 на R"2 или R12. Тогда ф1 X Фг есть гомеоморфизм окрестности UYXU2 точки (хь х2) на одно из произведений Rre‘ X R”2, R"' X R-, R- X R”2, R- X R-, а композиция этого гомеоморфизма с соответствующим гомеоморфизмом из 3 является гомеоморфизмом окрестности UYXU2 на Rra‘+”2 или R-+”2. Обозначим эту композицию через ф и рассмотрим четыре имеющиеся возможности. Если Ф1 (С^) = R”1, Фг(СУ = R”2, то qXlKXU^R^Xтак что все три точки хь х2, (хь х2) являются внутренними. Если ф! ([/J = R"1, ф2 ([/2) = RR, то ф (UY X U2) — RR4""2 и включение ф(хь х2) е R"1+”2-1 эквивалентно включению Ф2 (х2) s R”2-1, так что. точка (хр х2) является внутренней или краевой одновременно с х2, в то время как xY есть внутренняя точка. Подобным же образом, если фl([/1) = R-,, ф2((/2) = R"2, то точка (хь х2) является внутренней или краевой одновременно

с хъ в то время как х2 есть внутренняя точка. Наконец, если ф1((/l) = R-, <Р2(^2) = К-> т0 ф(^1 X U2) — R^+"2 и включение Ф (xt, х2) е R?1+n2-1 имеет место тогда и только тогда, когда Ф1 (xt) е R"1-1 или ф2 (х2) е R"2-1, так что точка (хр х2) является краевой тогда и только тогда, когда одна из точек хх, х2 является краевой. Таким образом, во всех случаях точка (хь х2) является внутренней, если xv, х2 — внутренние точки, й краевой, если Ху или х2 — краевая точка.

Локально евклидово пространство связно в том и только том случае, если связна его внутренняя часть.

Достаточность этого условия очевидна; докажем его необходимость. Пусть X — связное «-мерное локально евклидово пространство, А— компонента множества int X и В — объединение остальных компонент множества intX. Так как множества С1 А, С1 В замкнуты и покрывают X, а X связно, то пересечение С1 А П CI В непусто, если В непусто, и ясно, что С1 А П С1 В а дХ; пусть х — точка этого пересечения и U — ее окрестность, гомеоморфная R1. Так как множество intRl связно, то гомеоморфное ему множество U f| int X = int £7 тоже связно, что при непустом В невозможно. Следовательно, В пусто и int X связно.

. Топологическое пространство X Uin. ax-^x ^’ построенное по локально евклидрву пространству X, называется удвоением последнего и обозначается через dopp X. Очевидно, удвоение локально евклидова пространства размерности п есть локально евклидово пространство размерности п без края.

В дальнейшем мы будем отождествлять immi (X) с X, отображение ab imm2: X —> imm2 (X) будем обозначать через сор, a imm2(X) — через сорХ. Заметим, что X и сор X замкнуты в doppX. '

Многообразия

Локально евклидово пространство называется топологическим многообразием или, короче, многообразием, если оно хаусдорфово и обладает счетной базой. Многообразие называется замкнутым, если оно компактно и не имеет края, и открытым, если оно не имеет компактных компонент.

Сопоставляя сказанное в 2, 3, 6 и 9 с соответствующими свойствами хаусдорфовых пространств, пространств со счетной базой и компактных пространств, мы видим, что: открытое подмножество «-мерного многообразия есть «-мерное многообразие; внутренняя часть n-мерного многообразия есть «-мерное многообразие без края;жрай «-мерного многообразия есть (и — 1)- мерное многообразие без края; край компактного многообразия есть замкнутое многообразие; произведение многообразий

136 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 3 размерностей «ь . . ., ns есть многообразие размерности «] + ... + «$; удвоение «-мерного многообразия есть /г-мер ное многообразие без края; удвоение компактного многообразия есть замкнутое многообразие.

Так как компоненты многообразия составляют его открытое покрытие, то их число конечно в компактном случае и счетно в общем случае (см. 1.1.6.5). .

Пространства R", Rl, S" и Dn, рассматривавшиеся выше в качестве примеров локально евклидовых пространств, очевидно, являются многообразиями.

Многообразия локально компактны.

Доказательство. Пусть х— точка «-мерного многообразия X. Фиксируем гомеоморфизм ср окрестности U точки х на R” или R1 и окрестность V точки ф(х) в ф(П) с компактным замыканием Cl V и положим {7'==ф~1(У). Ясно, что U' есть окрестность точки х в X, содержащаяся в ф-1 (О У), и что множество ф-1(С1У) компактно. Из этого мы последовательно выводим, что множество ф-,(С1 У) замкнуто, что оно содержит вместе с окрестностью U' ее замыкание Cl U' и что последнее компактно.

Многообразия метризуемы.

Действительно, из хаусдорфовости и локальной компактности следует регулярность (см. 1.1.7.23), а из регулярности и второй аксиомы счетности следует метризуемость (см. 1.1.6.9).

Следующий пример показывает, что при и^1 локально евклидово пространство размерности п со счетной базой может не быть хаусдорфовым. Положим X = R"Ui R", где 1 = [in: R"\Rl->R”J. Ясно, что ^есть «-мерное локально евклидово пространство со счетной базой и что при «^1 точки imm^x), imm2(x) не имеют в X непересекающихся окрестностей, если xeR"-1.

(Информация). При п^1 связное хаусдорфово локально евклидово пространство размерности п может не иметь счетной базы. Двумерный пример имеется в [5], одномерный — в [11] (стр. 255), примеры старших размерностей получаются из этих примеров умножением на евклидовы пространства.

Одномерные многообразия

Связное нульмерное многообразие, очевидно, есть точка. Нижеследующие ‘теоремы. 17, 19 дают топологическую классификацию связных одномерных многообразий. Двумерный случай будет рассмотрен в § 5 (см. п. 5.3). Топологическая классификация многообразий более высоких размерностей представляет собой уже очень трудную задачу. . •

(Лемма). Если связное хаусдорфово пространство представляется как объединение двух своих открытых подмножеств, гомеоморфных R1, то оно гомеоморфно R1 или S1.

Доказательство. Пусть X = U U У -*• указанное представление и ср: tZ—>RT, -ф: y->R‘— гомеоморфизмы. Исключим из рассмотрения тривиальные случаи U с V и V aU, в которых X гомеоморфно R1, и изучим множества ф(ДЛ У) и ф(ДЛ У).

Так как пересечение UЛ У открыто в U и в У, то множества ф (Д Л У) и ф (U Л У) открыты в R1 и их компоненты являются интервалами. Среди этих интервалов нет конечных; действительно, если бы, например, множество ф((7ПУ) обладало конечной компонентой (а, 6), то множество ф-|((а, 6)) было бы одновременно замкнуто в У (как пересечение компактного и, значит, замкнутого множества ф~'([а, 6]) t У) и открыто в У, из чего следовало бы, что У=ф-1((а, b^czU. Кроме того, ф (Д П У) #= R1, так как иначе U cz У, и ф (U Л У) N= R1, так как иначе У cz U. Таким образом, не исключены лишь два случая: (i) каждое из множеств ф(Д ПУ), Ф(ДЛ У) представляет собой открытую полупрямую; (И) каждое из множеств ф(ДЛУ), ф(УЛУ) состоит из двух непересекающихся открытых полупрямых.

г Так как ф и’ ф допускают умножение на — 1, то можно считать, что в случае (i) множество ф(Д Л Ю имеет вид (— сю, а), а множество ф(ДПУ) —вид (6, оо). Рассмотрим сквозное отображение

(_оо, а) = ф((/ПУ)^-^^Лу ^Ф^ЛУ) = (6, оо).

Так как оно взаимно однозначно и непрерывно, то оно монотонно, и ясно, что оно возрастает (если бы оно убывало, то точки ф-1(а) и ф-1 (Ь) не имели бы в X непересекающихся окрестностей). Поэтому Х = ф-|((—оо, ф(х0)]) Кф-'([ф^о), °о)), где х0 — какая-нибудь точка из U Л У, откуда видно, что в случае (i) X гомеоморфно R1.

В случае (и) ф (Д П У) = (—°°, aj U («2, °°), Ф(^ПУ)=: (—оо, iJLK^, °0) с некоторыми аь а^, bx, b2 ^а\<аъ bx<b2) и можно считать, что сквозной гомеоморфизм

Ф^Л^^ДЛУ^-Ф^ЛУ) -

отображает (—оо, а^ на (62, °°), а (а2, °°) на (— оо, Ьх\ Обе функции (— оо, а^->ф2, оо), (а2, оо)->(—оо, 6J, служащие сокращениями этого сквозного гомеоморфизма, возрастают (если бы, например, первая убывала, то точки; ф-1 (aj и ф-1 (62) не имели бы в X непересекающихся окрестностей), и потому X = ф-1 ([ф (х2), ф (х,)]) U ф*' ([ф Ui), Ф (*2)]), гДе хх — какая-нибудь

точка из ф-1 ((— оо, а,)) = ф-1 ((62, °о)), а х2 — какая-нибудь точка из ф-1 ((а2, оо)) = ф-1 ((— °о, 6,)). Следовательно, в случае (11) X гомеоморфно S1.

Компактное связное одномерное многообразие гомеоморфно S1 или D1.

Доказательство. Предположим сначала, что многообразие замкнуто. Тогда оно покрывается конечным числом открытых подмножеств, гомеоморфных R1, и эти подмножества можно занумеровать в последовательность Ux, ..., Us со связными объединениями Vfe = Ux (J . . . U Uk. В силу леммы 16, первое из множеств Vb ..., Vs, не гомеоморфных R1, гомеоморфно S1, и так как это множество открыто и замкнуто, то оно совпадает со всем многообразием, которое оказывается, таким образом, гомеоморфным S1.

Пусть теперь многообразие имеет непустой край. Тогда его удвоение является замкнутым связным одномерным многообразием и, следовательно, гомеоморфно S', а само оно гомеоморфно части окружности. Так как эта часть связна, замкнута, непуста, отлична от всей окружности и не сводится к точке, то она гомеоморфна D1.

(Лемма). Если топологическое пространство представляется как объединение неубывающей последовательности своих открытых подмножеств, гомеоморфных R1, то оно гомеоморфно R1.

Доказательство. Пусть A' = U^z— указанное представление. Очевидно, всякий гомеоморфизм множества Vt на интервал (а, 6) продолжается до некоторого гомеоморфизма множества Vz+1 на один из интервалов (а, Ь\ (а — 1, b\ (a, b + 1), (а—1, 6 + 1). Это позволяет индуктивно построить такую последовательность интервалов Аь А2, ... и такую последовательность гомеоморфизмов фр. Vi-*Ab ф2: V2 —>А2, ..., что фг = аЬфг+ь и ясно, что отображение пространства X на интервал |JAZ, совпадающее на Vt с фь является гомеоморфизмом.

Некомпактное связное одномерное многообразие гомеоморфно R1 или RL.

Доказательство. Предположим сначала, что многообразие не имеет края. Тогда оно покрывается счетным числом открытых подмножеств, гомеоморфных R1, и эти подмножества можно занумеровать в последовательность Ut, U2, ... со связными объединениями Ux U . . . U Ufe. Все эти объединения гомео- морфны R1, так как первое из них, не гомеоморфное" R1, было бы, в силу леммы 16," гомеоморфно S' и совпало бы, вследствие своей открытости и замкнутости, со всем многообразием. Таким образом, к последнему применима лемма 18, и оно гомеоморфно R1. V .

Пусть теперь многообразие имеет непустой край. Тогда его удвоение является некомпактным связным одномерным многообразием без края и, следовательно, гомеоморфно R1, а само оно гомеоморфно части прямой. Так как эта часть связна^ замкнута, некомпактна и отлична от всей прямой, то она гомеоморфна Rl.

Дифференциальные структуры

Напомним, что вещественная функция, определенная на открытом подмножестве пространства R", называется функцией класса <(?г, если она имеет непрерывные частные производные всех порядков, не превосходящих г. Подразумевается, что О ^ г ^ оо и что класс ‘S0 состоит из всех непрерывных функций, а класс %” — из функций с непрерывными частными производными всех порядков. В дополнение к этому мы называем вещественно аналитические функции функциями класса ^^ Удобно считать, что а> оо; все перечисленные классы охватываются тогда неравенствами О^г^а.

Эти определения очевидным образом переносятся на вещественные функции, заданные на открытом подмножестве полупространства R1: дифференцирование по первой координате в точках граничной гиперплоскости R”-1 понимается как дифференцирование слева, а аналитичность — как аналитическая продолжимость на множество, открытое в R". Мы распространяем их, далее, на отображения открытого подмножества пространства R” или полупространства R" в любое подмножество пространства R?: такое отображение называется отображением класса ^ или, короче, ^-отображением, если его координатные функции принадлежат классу ‘ёД

Отображение открытого подмножества пространства R" или полупространства R- в открытое подмножество пространства Rp или полупространства R- называется диффеоморфизмом, если оно обратимо и оба отображения f, f~l принадлежат классу ‘ё’1. Множества, которые можно связать диффеоморфизмом, называются диффеоморфными.

Следующие факты содержатся в хорошо известных общих теоремах дифференциального исчисления:

Если открытое подмножество пространства Rp или полупространства Rp диффеоморфно открытому подмножеству пространства R" или полупространства R1, то р = п.

(п) Открытое подмножество полупространства R", диффео- морфное открытому подмножеству пространства R", открыто в R".

(Hi) Диффеоморфизм, обратный диффеоморфизму класса ^, принадлежит классу ^. ■ '

®"-структуры и ^"-пространства

Нижеследующие определения предполагают заданным некоторое множество X.

Картой размерности пз X называется обратимое отображение подмножества множества X на открытое подмножество пространства R" или полупространства R1. Отображаемое множество называется носителем карты ф и обозначается через supp ф.

Карты ф, тр называются ^'-согласованными (О^г^а), если множество ф (supp ф f) supp ф) открыто в 1тф, множество ф (supp ф П supp ф) открыто в 1тф и взаимно обратные сквозные отображения

ab ф-1ab ф ,

Ф (supp ф П supp ф)> supp ф П supp ф> ф (supp ф П supp ф),

/_х аЬ Ф~'ab ф . ._.

ф (supp ф П supp ф)> supp ф П supp ф> ф (supp ф n supp ф) принадлежат классу <ё" (т. е. являются ^'-диффеоморфизмами при г>1 и гомеоморфизмами при г = 0). Заметим, что это условие выполнено тривиальным образом, если множества supp ф, supp ф не пересекаются; если же они пересекаются, то, в силу 2 (i), из ^’-согласованности карт ф, ф следует равенство их размерностей, а согласно 1.4, это равенство следует и из их ^-согласованности.

Совокупность карт называется п-мерным ^'-атласом множества X, • если эти карты покрывают X, n-мерны и попарно ^'-согласованы. Два ^'-атласа множества X называются ^'-эквивалентными, если все их карты попарно ^'-согласованы. Очевидно, ^'-эквивалентность является эквивалентностью; классы, на которые она разбивает n-мерные ^'-атласы множества X, называются п-мерными ^"-структурами. ^'-структуры с г > 0 называются дифференциальными структурами.

Ясно, что при О^^^г всякий n-мерный ^'-атлас является n-мерным ^-атласом и ^'-эквивалентные ^'-атласы ^’-эквивалентны. Вследствие этого при 0 ^<7^ г всякая п-мерная ^'-структура единственным образом расширяется до некоторой ^-структуры.'

У каждой ^'-структуры есть наибольший атлас, представляющий собой объединение всех ее атласов. Он называется полным атласом структуры, а его карты называются картами структуры. При переходе от ^'-структуры к ее ^-расширению полный атлас также расширяется.

Множество, наделенное n-мерной ^'-структурой, называется п-мерным ^'-пространством. Карты и атласы структуры называются картами и атласами пространства. Полный атлас ^пространства X обозначается через AtlX.

ОСНОВНЫЕ понятияОСНОВНЫЕ понятия141141$11

ОСНОВНЫЕ понятия

ОСНОВНЫЕ понятия

141

141

Координатные функции карты ф ^-пространства X называются координатами в supp ф, а также локальными координатами в X. ,

^’-пространство, в которое превращается ^'-пространство X при расширении его ^-структуры до ^’-структуры (О^<7^ г), обозначается через Я^Х.

^-пространства с г^ц называются также ^^4-пространствами. '

Примером «-мерного ^"-пространства может служить любое открытое подмножество X пространства R" или полупространства R1 с ^'-структурой, определяемой атласом, составленным из единственной карты id: Х->Х. В частности, каково бы ни было г, карты id R" и id R1 делают R" и R" «-мерными ^-пространствами.

Локально евклидово пространство размерности п обладает очевидной «-мерной ^-структурой, полный атлас которой состоит из всевозможных гомеоморфизмов U —> U', где U — открытое подмножество пространства, a U'— открытое множество в R" или R". С другой стороны, конструкция объединения топологических пространств (см. 1.2.4.3), примененная к полному атласу «-мерного ^-пространства, делает последнее локально евклидовым пространством размерности п, и ясно, что этот переход обратен предыдущему. Таким образом, ^-пространство есть не что иное, как локально евклидово пространство.

Поскольку дифференциальная структура единственным образом расширяется до ^-структуры, ^'-пространство с г>0 также является локально евклидовым пространством. Более непосредственно его топология может быть описана как топология объединения, построенного- по любому атласу структуры.

Очевидно, каждую точку «-мерного ^'-пространства можно покрыть картой ф Пространства X с Imф' = R" или R1. Точки, для которых реализуется первая возможность, называются внутренними и составляют всюду плотное открытое множество, называемое внутренней частью пространства X. Остальные точки называются краевыми ц составляют замкнутое множество, называемое краем пространства X. Внутренняя часть обозначается через int X, край —через дХ. Эти обозначения согласуются с обозначениями, введенными в 1.2, поскольку при г = 0 опрецеления внутренних и краевых точек, данные там и здесь, совпадают.

При г > 0 проблема распознавания внутренних и краевых точек удовлетворительно решается предложением 2(ii): из него очевидным образом следует, что при г > 0 точка х «-мерного ^'-пространства, покрытая картой ф этого пространства, в том

и только том случае является краевой, если ImqpczR" и Ф (х) е R?-1; в частности, если R- рассматривается как ‘^'"-пространство с г > 0, то dRl = Rj1-1. Напомним, что то же утверждалось в 1.4 для г = 0 и что доказательство было отложено до главы 4.

Это описание краевых точек показывает, что внутренняя часть и край ^-пространства не меняются, когда его ^""-структура расширяется до ^-структуры с любым q, меньшим г; другими словами, если 0 ^ q г, то int (^’Х) = int X ид V^X^ = дХ. Подчеркнем, что равенства int (^Х) = int X, д^Х) — дХ доказаны нами со ссылкой на 1.4, т. е. со ссылкой на главу 4, тогда как равенства int (^Х) = int X, d (^Х) = дХ с q>0 такой ссылки не требуют.

Из равенства дХ — д^Х), в частности, следует, что теорема 1.8 верна и для ^-пространств с г > 0, т. е. что ^'-про- странство связно в том и только том случае, если связна его внутренняя часть. Впрочем, этот ^'-вариант теоремы 1.8 может быть доказан простым повторением доказательства теоремы 1.8' и, таким образом, не требует ссылки на главу 4.

Если Л —открытое подмножество «-мерного ^'-простран- ства X, то карты пространства X, носители которых лежат в А, составляют «-мерный ^'-атлас множества А и вследствие этого определяют в А «-мерную ^'-структуру. Таким образом, открытое подмножество «-мерного ^'-пространства есть «-мерное ^'-пространство. В частности, внутренняя часть «-мерного ^'-пространства есть «-мерное ^'-пространство без края. Ясно, что и при г >0 внутренняя часть и край открытого подмножества U ^'-пространства X определяются формулами int U = HflintX, dU = UQdX.

Если ф— карта «-мерного ^'-пространства X, то отображение аЬф: дХ П supp ф->ф (дХ П supp ф) представляет собой («—Г)-мерную карту в дХ. Карты этого вида составляют ^'-атлас множества дХ и вследствие этого определяют в дХ ^'-структуру. Таким образом, край «-мерного ^'-пространства есть («—1)-мерное ^'-пространство без края.

Если ф[ — карта ^'‘-пространства Xi с Imфl = R'г' или R1 и ф2 —карта ^-пространства Х2 с 1шф2 = Рге2, то композиция гомеоморфизма Ф1 Хф2 с одним из гомеоморфизмов R”' X R"2—> R"14""2, ХхР^-К4”2, определенных в 1.3, представляет собой («1 + «^-мерную карту в Xi X Х"2. Если дХ2 = 0, то карты этого вида составляют ^'-атлас множества Xi X Х2 с г = min(rb г2) и вследствие этого определяют в XiXX2 ^'-структуру. Таким образом, произведение ^'‘-пространства X] размерности «, на ^'“-пространство Х2 размерности п2 с дХ2 = 0

есть ^'-пространство размерности И] + п2, где г — меньшее из чисел Ft, г2. Вообще, произведение <@г'-, ..., ^-пространств Хь . . ., Xs размерностей пь ..., ns, среди которых все или все, кроме одного, не имеют края, есть ^'-пространство размерности /г, + ... + ns, где г — ме,ньшее из чисел гь ..., rs. При этом int (X] X • • • X Х^ = int Хх X ... X int Xs, а если все пространства Xi, ..., Xs, кроме Xt, не имеют края, то д(ЙЛХ ••• X ^) = X, X X ^-] X дХ£ X ^+1 X • •. X Xs; обе формулы содержатся в 1.7, если г = 0, и очевидны, если г > 0.

Ясно, что при расширении ^'-структуры ^'-пространства X до ^-структуры индуцированные ^'-структуры в открытых подмножествах пространства X и в его крае дХ тоже расширяются до ^’-структур и что ^’(Х^Х ••■ X -Х$) = ^ЧХ{ X • •• X ^дХ8. В частности, топология, определяемая указанными индуцированными ^'-структурами, совпадает с относительной топологией, а произведение с6Гх-, . . ., ^^-пространств Х\,.. .., Xs, рассматриваемое как топологическое пространство, совпадает с произведением пространств Xt, ..., Xs, рассматриваемых как топологические пространства.

Гладкие отображения

Непрерывное отображение f ^'-пространства X в (6>т - пространство У называется отображением класса %т или ^-отображением, если для любой карты ср пространства X и любой карты тр пространства У сквозное отображение

ф (supp ф п f(supp ф))> supp ф Л f1 (supp ф)

зиррф—► 1тф

принадлежит классу ^ (см. 1). Сквозные отображения этого вида называются локальными представлениями отображения f. Обозначение: 1ос (ф, ф)/. Очевидно, что для принадлежности непрерывного отображения f ‘^'-пространства X в ^'-пространство У классу ^ достаточно, чтобы этому классу принадлежали локальные представления отображения f, построенные по картам какого-нибудь атласа пространства X и какого- нибудь атласа пространства У.

Заметим, что это общее определение ^'-отображения содержит в себе определение, данное в 1. Как и там, отображение класса ^ есть просто непрерывное отображение. Отображения класса <₽’1 называются гладкими, отображения класса — аналитическими.•

. Ясно, что композиция двух ^'-отображений есть ^'-отображение. Включение А-*Х, Где А— открытое подмножество или.

край ^'"-пространства X, есть ^'-отображение. Сокращение Л->В ^'-отображения Х->У, где Л —открытое подмножество или край пространства X, а В —открытое подмножество или край пространства У, есть ^'-отображение.

Отображение f ^^‘-пространства X в ^‘-пространство У называется диффеоморфизмом, если оно обратимо и оба отображения f, f-1 являются гладкими. Пространство У называется диффеоморфным пространству X, если существует диффеоморфизм Х->К, и ЧХ-диффеоморфным пространству X, если существует ^'-диффеоморфизм Х->У.

Очевидно, тождественное отображение ^^'-пространства с г>1 есть ^'-диффеоморфизм. Ясно также, что композиция двух ^'-диффеоморфизмов есть ^'-.диффеоморфизм, и из 2 (ш) следует, что отображение, обратное ^'-диффеоморфизму, есть ^'-диффеоморфизм. Таким образом, ^'-диффеоморфность есть эквивалентность. , ■

Из 2 (i) следует, что непустые диффеоморфные пространства имеют одну и ту же размерность. ■

Если fxvXx ~>УХ, . .., fm; Хт^Ут — отображения класса^' с г^1, причем не более чем одно из пространств Хь ..., Хт имеет край и не более чем одно из пространств Ух, ..., Ут имеет край, то Л X X fm: ХхХ • •• ХХт->УхХ ... ХУт есть, очевидно, отображение класса 9?г. Если fb ..., fm — диффеоморфизмы, то и fxX ••• X fm ~ диффеоморфизм.

Канонический гомеоморфизм X! X Хг-> Х2 X ЙГ! является ^"-диффеоморфизмом для любых ^"-пространств Хх, Хг с г^1, одно из которых не имеет края. Канонические гомеоморфизмы № х... х х^ х хт -> хх х... х хт и хх хах2 х...ххт^-> Хх X • • • X Хт являются ^'-диффеоморфизмами для любых ^'-пространств Хх, ..., Хт с г^1, из которых не более чем одно имеет край.

Подпространства

Подмножество Л «-мерного ^'-пространства X с г^1 называется его к-мерным подпространством, если каждая точка из Л покрывается такой картой ф пространства X, что пара (Imф, ф(ЛПзиррф)) совпадаете одной, из пар (R”, R4), (R", R-), (R", R*). Очевидно, что при к > 0 это условие эквивалентно условию: каждая точка из Л покрывается такой картой ф пространства X, что ф(ЛПзиррф) = 1тфП R6 или ImфПR-■

1 Рассмотрим для ^-мерного подпространства Л «-мерного ^'-пространства X отображения аЬф: ЛГ)8иррф->ф(ЛП8иррф), отвечающие всевозможным картам ф пространства X с ф(ЛП supp ф) = Im ф f] R* или 11лфПК-- Каждое такое отображение

ОСНОВНЫЕ понятияОСНОВНЫЕ понятия145145§ и

ОСНОВНЫЕ понятия

ОСНОВНЫЕ понятия

145

145

представляет собой fe-мерную карту в Л, вместе же они составляют ^-мерный ^-атлас множества Л. Определяемая этим атласом ^"-структура делает Л fe-мерным ^"-пространством. Топология этого ^'-пространства совпадает, очевидно, с относительной топологией. ’

При расширении ^'-структуры пространства до ^’-структуры с q^\ подпространства остаются подпространствами. Подпространства пространства ^Х называются ^-подпространствами исходного ^"-пространства X. - ■

Разность между размерностью пространства и размерностью подпространства называется коразмерностью последнего.

Очевидными подпространствами ^"-пространства (с г^1) являются его открытые подмножества, в частности, его внутренняя часть и его компоненты. Предостережение: край ®"-про- странства, если он не пуст, не является подпространством.

Ясно, что если подпространство Л ^'-пространства X имеет коразмерность 0, то- int А ~ Int Л fl int X.

- Подпространство ^^пространства называется правильным, если оно замкнуто как подмножество и его край содержится в крае пространства. Заметим, что правильное подпространство коразмерности 0 всегда составлено из целых компонент пространства.

Определение подпространства, данное в 11, неявно содержит в себе употребительный способ задания подпространств уравнениями и неравенствами. Именно, согласно второму варианту указайного определения, подмножество А п-мерного ^-пространства с г^1 в том и только том случае является его подпространством положительной размерности 1г, если у каждой точки из А есть окрестность U с координатами фь ..., ф„, в которой пересечение А П U определяется уравнениями ф6+1 (х) = О, ..., qpra (л:) = 0 или уравнениями ф^+1(х) = 0, ..., фа(х) = 0 и неравенством ф^х^О.

Очевидное неудобство этой формулировки, рассматриваемой как способ задания подпространств, состоит в том, что она заранее предполагает функции ф], ..., фа локальными координатами. Следующее применение теоремы о неявных функциях делает ее более эффективной.

Условимся называть вещественные функции fj, ..., fm класса 48х, определенные в некоторой окрестности Uo точки х0 ^'-пространства X с г^1, независимыми в точке х0, если для некоторой карты ф пространства X, покрывающей х0, функции gb ...,gm: Ф (1/0 Л supp ф) -> R, определяемые формулой giiy)= Мф-1 (у)), имеют в точке ф(х0) линейно независимые градиенты. Из теоремы о неявных функциях следует, что: -(i) если ^'-функции fb ..., fm независимы во внутренней точке хй “iF'-пространства X, то они включаются в окрестности

точки х0 в систему координат; (ii) если ^'-функции fb ..., fm независимы в краевой точке х0 ^"-пространства X и функция отрицательна во внутренних точках и равна нулю в краевых точках* то функции fi,..., fm включаются в окрестности точки xQ в систему координат с первой координатой ft. Сопоставляя это с предыдущим координатным описанием подпространства ^'-пространства, мы видим, что подмножество А «-мерного ^'-пространства X является его подпространством положительной размерности к, если: (i) каждая точка х0 множества А, внутренняя для X, обладает окрестностью U, в которой пересечение Л П U определяется уравнениями фй+1(х) = О, .. ., q>„ (х) = 0, где ф6+ь . . ., Фге — некоторые ^'-функции, независимые в точке х0, или уравнениями ф6+1 (х) = 0, ..., Ф„(х) = 0 и неравенством ф!(х)^0, где фь ф*+ь . .., ф„ —некоторые ^"-функции, независимые в точке х0; (ii) каждая точка х0 множества А, краевая для X, обладает окрестностью (7, в которой пересечение int X Я 17 определяется неравенством ф] (х) < 0, пересечение дХ П ^—уравнением ф, (х) — 0, а пересечение А П U — уравнениями Фй+1(х) = 0, . .., ф„(х) = 0, где фь ф6+1, ..., ф„ — некоторые ^’’’-функции, независимые в точке х0.

Из определения подпространства очевидным образом следует, что внутренняя часть int А подпространства А ®"-про- странства X содержится во внутренней части intX пространства X и что пересечения OADintX и дАПОХ открыты в дА, т. е. состоят из целых компонент края дА. Ясно также, что int А есть подпространство каждого из пространств X, int АГ и что dAQintX есть подпространство пространства X. В частности, если А — правильное подпространство пространства X, то дА = АПдХ и int А есть правильное подпространство пространства int Л", а дА— правильное подпространство пространства дХ.

Включение подпространства ^'-пространства X в X есть, очевидно, ^'-отображение. Сокращение А->В ^-отображения Х->¥, где А — подпространство пространства X, а В — подпространство пространства У, есть ^-отображение.

Если Аь ..., As — подпространства ^'-пространств Хь ..., Xs, причем не более чем одно из пространств Х\, . . ., Xs имеет край и не более чем одно из пространств Аь ..., As имеет край, то А X • • • X As есть подпространство пространства Xi X • • • X Xs, правильное, если Аь .... As правильны. Например, слои произведения Xt X • • • X Xs являются его правильными подпространствами...

Из описания подпространств, данного в 12, следует, что подпространство подпространства ^'-пространства X является подпространством пространства X; в частности, правильное подпространство правильного подпространства ^'-простран-

ства X является правильным подпространством пространства X. Из этого же описания подпространств следует, что правильное подпространство '^'’-пространства X, лежащее в правильном подпространстве Л пространства X, является правильным под, пространством пространства Л.

^-многообразия

‘^’'"-пространство называется '^"'-многообразием или многообразием класса ^, если оно является топологическим многообразием, т. е. хаусдорфово и обладает счетной базой. Многообразие класса есть не что иное, как топологическое многообразие; см. 5. Многообразия классов ^ с г^ \ называются гладкими, а также дифференциальными. Многообразия класса ^ называются аналитическими.

Поскольку ^"’-структура определяется своим атласом, представляют интерес свойства атласа ‘^’'’-пространства, гарантирующие хаусдорфовость и существование счетной базы. Мы ограничимся двумя очевидными формулировками: если каждая пара точек пространства покрывается картой атласа или двумя не- перекрывающимися картами атласа, то пространство хаусдорфово; если атлас счетен, то пространство обладает счетной базой.

Хаусдорфовость и существование счетной базы не нуждаются в проверке, если дифференциальная структура вводится в множестве, которое уже является топологическим многообразием, причем вводится таким образом, что определяемая ею топология совпадает с имеющейся. Если дифференциальная структура вводится посредством атласа {фа}, то для совпадения указанных топологий необходимо и достаточно, чтобы множества зиррфа были открытыми, а отображения фо были гомеоморфизмами; см. 5."

Гладкое многообразие называется замкнутым, если оно компактно и не имеет края; ср. 1.10. Предостережение: пока равенство дХ = д^6°Х^ не доказано (см. 6), не следует смешивать замкнутость гладкого многообразия X с замкнутостью топологического многообразия ^Х.

Сопоставляя сказанное в 7 и 11 с соответствующими свойствами хаусдорфовых пространств, пространств со счетной базой и компактных пространств, мы видим, что: открытое подмножество п-мерного ^-многообразия есть n-мерное ‘^’'"-многообразие; внутренняя часть n-мерного ‘^'’-многообразия есть n-мерное ^'"-многообразие без края; край n-мерного '^"'-много- образия есть (п — 1)-мерное '^'’-многообразие без края; край компактного ‘^’'’-многообразия есть замкнутое ^-многообразие; произведение ‘^’'’-многообразий размерностей гцп„ среди

которых все или все, кроме одного, не имеют края, есть ^-многообразие размерности И] + ... + ns; подпространство ^'"-много- образия есть ^-многообразие.

Подпространства гладкого многообразия называются его подмногообразиями, правильные подпространства — правильными подмногообразиями.

Фундаментальными примерами/г-мерных ^-многообразий с г^1 служат опять таки пространства R" и R1 (см. 4). Неограниченный. запас дальнейших примеров ^-многообразий доставляют подмногообразия этих -пространств. Простейшими являются подмногообразия пространства R", задаваемые единой системой уравнений фй+1(х) = О, ..., ф„(х)=0, где фй+1, ..., ф„— функции класса ^, определенные на открытом подмножестве пространства R" и имеющие на множестве своих общих нулей линейно независимые градиенты; к этой системе может быть еще присоединено неравенство ф1(х)^0, где ф[ — функция класса 7?г, определенная в окрестности указанного множества общих нулей и имеющая в тех точках этого множества, в кото-, рых она обращается в нуль, градиент, линейно независимый от градиентов функций ф^+1ф„. Например, сфера S"-1

определяется в стандартных координатах уравнением х^ + ... + х2 —1=0, а шар Dn — неравенством х^ + ... + х^ — 1 ^0; это позволяет утверждать, что они являются подмногообразиями пространства R" и, в частности, делает их ^“-многообразиями.

Ясно, что R6 с k^n и Sk с k < п — правильные подмногообразия многообразия R", a R* и Dk с к ^ п — его неправильные подмногообразия, и что R- с к^п есть правильное подмногообразие многообразия R", S* с к^п— правильное подмногообразие многообразия Sn и Dk с к^п— правильное подмногообразие многообразия Dn.

В заключение заметим, что всякое вещественное векторное пространство размерности п обладает при любом г (О^г^а) естественной ^-структурой, делающей его n-мерным '^'"-многообразием; эта структура определяется линейными картами, т. е. линейными отображениями на R". /

Ориентации-•

Мы будем обозначать через CatlZ атлас '^'"-многообразия X, составленный из всех его карт со связными носителями. Если ф, ф —две карты гладкого многообразия X, то через J ^, ф) будет обозначаться якобиан отображения 1ос(ф, ф)14, т. е. сквозного отображения-

/„, аЬф~1„ab фл .

ф (supp ф Л SUpp ф)>- supp ф-Л supp ф► ф (вирф ф Л SUpp ф).

Ориентацией гладкого многообразия X называется функция Catl X —> S°, значения которой на любых двух перекрывающихся картах ф, гр из Catl X получаются друг из друга умножением на [sign/(<р, гр)] (у), где у — произвольная точка из ф(зирр ф Л supp гр) [функция sign/(ф, гр) должна быть, таким образом, постоянной на ф(supp ф П supp гр)]. Гладкое многообразие, наделенное ориентацией, называется ориентированным. Гладкое многообразие, обладающее ориентацией, называется ориентируемым. "

Ясно, что ориентация Catl X -* S° определяется своими значениями на картах произвольно взятого податласа атласа Catl X и что всякая функция, отображающая податлас атласа Catl X в S° с соблюдением предыдущего условия согласованности [значения на картах ф, гр получаются друг из друга умножением на [sign 7(ф, гр)] (у), если у е ф(supp ф Л supp гр)], продолжается до ориентации CatlX->S°. -

При расширении ^"'-структуры ^г-многообразия X до ^ч- структуры с q < г атлас Catl X делается податласом атласа Catl^j. Если q^\, то это устанавливает взаимно однозначное соответствие между ориентациями многообразий X и ^Х.

Каждой ориентации ©: CatlX-^S0 отвечает противоположная ориентация —©. Таким образом, непустое ориентируемое многообразие имеет по крайней мере две ориентации.

Каковы бы ни были две ориентации многообразия X, множество, покрытое картами, на которых они совпадают, и множество, покрытое картами, на которых они не совпадают, открыты, покрывают X и не пересекаются, т. е. состоят из целых компонент многообразия X. Следовательно, ориентация связного многообразия определяется своим значением на одной карте, и связное гладкое ориентируемое многообразие имеет ровно две ориентации, а s-компонентное гладкое ориентируемое многообразие имеет 2s ориентаций. 1

Стандартный способ задания ориентации связного гладкого многообразия состоит в указании карты, на которой она положительна. Например, R" обладает естественной ориентацией, положительной на карте idRn.

Так как у точки нульмерного многообразия X есть только одна покрывающая ее карта из Catl X, то нульмерные многообразия ориентируемы и, более того, обладают естественной ориентацией, тождественно равной + 1. Как выяснится в дальнейшем (см. 5.3.1, 5.6.3.4), одномерные гладкие многообразия также ориентируемы, многообразие же размерности ^2 может быть как ориентируемым, так и неориентируемым.

Эффективные достаточные условия ориентируемости "гладкого многообразия произвольной размерности будут указаны в главе 5 (см. п. 5.6.3). Наиболее грубым из них является односвязность.

Если А— открытое подмножество гладкого многообразия X, то Cat 1 А cz Catl X, вследствие чего всякая ориентация многообразия X сужается до ориентации многообразия А; в частности, из ориентируемости X следует ориентируемость А. Если при этом А пересекается с каждой компонентой многообразия X, то ориентация многообразия X определяется индуцированной ориентацией многообразия А.

В случае А = intZ можно утверждать больше: не только всякая ориентация многообразия X сужается до ориентации многообразия intZ и определяется последней, но и всякая ориентация многообразия intZ расширяется до ориентации многообразия X. Действительно, так как из связности открытого подмножества U многообразия X следует связность int 6/ = U f)intZ (см. 2.6 и 2.7), то сокращение аЬф: supp ф П int X -* q>(suppфПintАС) любой карты ср из Catl X принадлежит Catl (intZ), что позволяет продолжить ориентацию со: Catl (int Z)-* S0 до ориентации CatlZ —»S° формулой фь-»и(аЬф). Таким образом, сопоставление с ориентацией Catl X —>S° ее сужения Catl (int Z) -* S° устанавливает взаимно однозначное соответствие между ориентациями гладкого многообразия X и ориентациями его внутренней части intZ. В частности, из ориентируемости intZ следует ориентируемость X.

Согласно 2.7, каждой карте ф гладкого многообразия X отвечает карта аЬф: supp ф П дХ -*ф (supp ф П 5Z) его края дХ, и ясно, что каждая карта из CatldZ представляется как аЬф с фе Catl Z и что формула аЬф>—>со(ф) корректно определяет по каждой ориентации со: Catl Z -> S° многообразия X некоторую ориентацию Catl dX-*S° его края дХ; в частности, из ориентируемости X следует ориентируемость дХ. Если все компоненты многообразия X имеют край, то ориентация многообразия X определяется индуцированной ориентацией многообразия дХ.

Из подмногообразий ориентированного гладкого 'многообразия X только подмногообразия коразмерности 0 получают от X определенную ориентацию. Последняя уже была описана для открытых подмножеств многообразия Z; индуцированная ориентация произвольного подмногообразия А коразмерности 0 определяется ориентацией его внутренней части int А, которая открыта в Z. В частности, из ориентируемости X следует ориентируемость А. Если А пересекается со всеми компонентами многообразия X, то ориентация многообразия X определяется индуцированной ориентацией многообразия А. .

Поскольку многообразие R” обладает естественной ориентацией, получают определенную ориентацию и его n-мерные подмногообразия. В частности, шар О" обладает естественной ориентацией, и вместе с ним оказывается ориентированным его

ОСНОВНЫЕ понятияОСНОВНЫЕ понятия151151§ 1]

ОСНОВНЫЕ понятия

ОСНОВНЫЕ понятия

151

151

край S"-1. Предостережение: ориентация сферы S9, получающаяся из этого определения при п — 1, отличается от канонической ориентации, которой 8° обладает как многообразие размерности 0 (см. 3). ' .

Ориентации и диффеоморфизмы

Всякий диффеоморфизм f: X •->¥ устанавливает взаимно однозначное соответствие между ориентациями многообразий X и Y. Если оба многообразия ориентированы и f переводит первую ориентацию во вторую (в ориентацию, противоположную второй), то говорят, что f сохраняет (обращает) ориентацию.

Узнать, сохраняет ли диффеоморфизм /: X —>¥ ориентацию, можно по его локальным представлениям, а если X и У связны— по одному локальному представлению. Именно, пусть ©х, ©г — ориентации этих связных многообразий, ф —карта из Call X, ф — карта из Catl У и х — точка из supp ф П X* (supp ф); ясно, что f сохраняет ориентацию, если знак якобиана отображения 1ос(ф, ф)/ в точке ф(х) совпадает со знаком произведения ©^(ф)©г(ф), и обращает ориентацию в противном случае.

Специальный интерес представляет случай, когда X совпадает с У и связно. Очевидно, в этом случае диффеоморфизм, сохраняющий (обращающий) ориентацию при некотором ее выборе, сохраняет (обращает) ориентацию и при всяком другом ее выборе; таким образом, в этом случае можно говорить о сохранении (обращении) ориентации, не фиксируя ориентации. В частности, всякий (авто)диффеоморфизм связного ориентируемого гладкого многообразия либо сохраняет ориентацию, либо обращает ее.

В качестве примера рассмотрим невырожденное линейное преобразование f: R"—>R". Ясно, что оно является диффеоморфизмом и что оно сохраняет ориентацию, если det f > О, и обращает ориентацию, если det f < 0. Если f — ортогональное преобразование, то определены сокращения ab f: Dn—>Dri и ab f: S”-1 -> S"-1; это — диффеоморфизмы, сохраняющие ориентацию, если det f = 1, и обращающие ориентацию, если det f = —1 (сфера 8° считается ориентированной как 9DX). Если f определяется формулой f (х) — — х, то detf=(— 1)"; этот диффеоморфизм, и с ним антиподальное отображение ab f: 8”-|->8”~1, сохраняет ориентацию при четном п и обращает ориентацию при нечетном п. ,

Ориентации и перемножение многообразий

Согласно. 2.7, произведение ф] X • • • X Фз карт Фь • ■ •, Фз гладких многообразий Хь . .., Xs размерностей nlt ..., ns без края может рассматриваться, после канонического отождествле-

ния R"'.X ••• X R"s = Rn‘+ "" +”s [определяемого формулой ((^1Ь • • •, ^lni)> • • • > (-^Sb • • • > Х8ПзУ) 1 * (-^Ib ■ • •, ^Inp • • •, *sb • • ■ > xs„s)], как карта произведения Xx X • • • X Xs. Определим для ориентаций. <ob ..., ®s многообразий Xb ..., Xs отображение совокупности карт ф] X • • • X Ф$ c Ф^СаНйС, ..., <pseCatl Xs в S° формулой <pj X ■ • • X ф^'—*®i (ф1) • • • ю$(ф$)- Ясно, что эта совокупность является податласом атласа Catl(^ X ••• X A'j и что это отображение удовлетворяет условию согласованности значений, выставленному в 1; следовательно, оно продолжается до ориентации многообразия Хх X ••■ X Xs. Последняя называется произведением ориентаций ®ь ..., ®s. Она определяется также для случая, когда одно из многообразий .Хь ..., Xs имеет край, а именно, индуцируется в этом случае ориентацией своей внутренней части intX(X ■ '• X intXs. Таким образом, произведение ориентированных гладких многообразий (из которых не более чем одно имеет край) ориентировано, и произведение ориентируемых гладких многообразий ориентируемо.

Заметим, что и из ориентируемости произведения ДХ- • -XXS следует ориентируемость сомножителей Хх, ..., Xs. Доказательство: если со — ориентация произведения и фь ..., ф;-ь Фг+ь • ■ •, ф» —как-либо фиксированные карты из Catl (int Х^, ..., Catl (int JY-/—i), Catl (int Х;+]), ..., Catl (int Xs), то функция Catl(intХг)->50, определяемая формулой <p—*со(ф1Х • • -Хфг-iX ф Хф/+1Х ••• X ф$), является ориентацией многообразия intXb ’

Если Хх, Х2— ориентированные гладкие многообразия размерностей пх, п2, одно из которых не имеет края, то канонический диффеоморфизм Хх X Х2-*Х2Х Хх сохраняет ориентацию при четном пхп2 и обращает при нечетном пхп2.

Доказательство. Пусть ф]— карта из Catl (int Х)) с 1тф1=₽га‘ и ф2 —карта из Catl (int Х2) с 1тф2 = К"2. Ясно, что карта Ф1ХФ2 принадлежит Cat! (intOC X Х2)), а карта Ф2 X Ф1 принадлежит Catl (int (Х2 X Х^), и что отвечающее этим картам локальное представление рп+"2 _> ^+/12 канонического диффеоморфизма Хх X Х2 -* Х2 X Хх определяется формулой (хь ..., х№1+п^ *—* C*X+b ..., хп,+п2, хх, ..., хД. Следовательно, якобиан этого локального представления равен (—1)""!.

Если Хх, ..., Xs — ориентированные гладкие многообразия размерностей пх, ..., ns, из которых только одно, а именно Xt, имеет край, то каноническая ориентация произведения ХхХ .. . X Х{-хХдХ,Х Xix.xX ... XXS и ориентация, которую оно получает как дкХхХ ... ХХ^, различаются множителем (—l)"i+■••+"i-ie ■ '

Доказательство. Ясно, что указанные ориентации совпадают, если i = к Случай i > 1 сводится к случаю i = 1 диффеоморфизмами

ХгХ ... XXs^XiXXiX ... X Х^ХХ^Х ...XXS, Х.х ... XXt-xXdXiXXi+1X ... xxs-+

dXtXXiX ... X^-1X^Z+1X ... xxs, первый из которых определяется как произведение канонического диффеоморфизма Ui X • •. X ^,-0 X Xt-* Xi X(XiX-. -X Х,-^ на id(Xi+1X ... X ^s), а второй —как произведение канонического диффеоморфизма № X • • • X ^г-1) X dXt->dXt X (Xi X ... XXi-i) на id№+1X • .• XXS\ Множитель (-l)"i+-+"/-i возникает вследствие того, что первый диффеоморфизм сохраняет (обращает) ориентацию, если произведение («1+...+«<-О п< четно (нечетно), а второй — если произведение (щ + .. . ф- ni-x^n-i — 1) четно (нечетно); см. 8.

Ориентации в векторном случае

Поскольку вещественные векторные пространства являются гладкими многообразиями (см. 2.17), они охватываются определением ориентации, данным в 1. С другой стороны, имеется широко известное чисто векторное определение ориентации вещественного векторного пространства, согласно которому ориентация есть отображение множества всех базисов пространства в S0 такое, что его значения на двух базисах совпадают тогда и только тогда, когда определитель матрицы перехода от одного базиса к другому положителен. Это векторное определение очевидным образом согласуется с определением, данным в 1, и часто бывает более удобным.

В частности, оно делает очевидным следующее замечание. Пусть f — линейное отображение вещественного векторного пространства V на другое вещественное векторное пространство. Если мы фиксируем в V подпространство У', изоморфно отображающееся посредством f на Im f, то V представится как прямая сумма пространств Im f и Kerf, вследствие чего ориентация любых двух из трех пространств V, Imf, Kerf будет определять ориентацию третьего. Наше замечание состоит в том, что эта связь между ориентациями пространств У, Imf, Kerf не зависит от выбора У' и, таким образом, определяется отображением f. '

" 4. Многообразие касательных векторов

Пусть X — многообразие класса ^ с г^1.и размерности п. Мы будем обозначать через AtlxX, где х— точка из X, часть полного атласа All X, составленную из карт, по-

крывающих х.. Если Ф, ф — карты из Atlx X, то в точке ф (х) определен дифференциал диффеоморфизма

1ос (ф, ф) id: ф (supp ф П supp ф) -> ф (supp ф f) supp ф)

[линейное отображение R"-*R", матрицей которого служит якобиева матрица отображения 1ос(ф, гр) id в точке ф(х)]. Этот дифференциал будет обозначаться через ^(ф, ф).

Рассмотрим вещественное векторное пространство всевозможных отображений множества AtlxA в X (с естественными операциями). Очевидно, отображения у: AtlxA->R", удовлетворяющие для любых карт ф, феА11хА соотношению у(ф) = ^Х(Ф, Ф)у(ф), составляют подпространство этого векторного пространства, т. е. сами образуют вещественное векторное пространство. Последнее называется касательным к X в точке х и обозначается через TangxA, а отображения, которые его составляют, называются касательными векторами на X в точке х..

Ясно, что касательный вектор определяется своим значением на произвольно взятой карте из Atlx X и что для любой карты феАИ* А и любого вектора ueR1 существует вектор yeTang^ X с у(ф) = ы. Следовательно, 'отображение ф*: Tangx А-> К", определяемое по карте феА11гА формулой ф^ (и) = у (ф), обратимо. Так как это отображение, кроме того, линейно, то оно является линейным изоморфизмом, и, в частности, dim Tangx А = п. Базис пространства TangxA, в который изоморфизм ф*1 переводит канонический базис ortjortn пространства R", называется <р-базисом. Координаты вектора у е TangxA относительно ф-базиса совпадают с обычными координатами вектора и (ф) и называются ^-координатами вектора у.

Объединение 0х-лTangxA, т. е. множество всех касательных векторов на А, обозначается через Tang А. Отображение TangA->A, переводящее TangxA в х, называется проекцией и обозначается через рг. Таким образом, рг-1(х) = Tangx А.

Множество Tang А обладает естественной топологией, делающей его топологическим многообразием, а при г ^2 — и естественной дифференциальной структурой. Эти структуры могут быть описаны следующим образом. Определим по карте ф многообразия А отображение 1пф: рг ' (supp ф) -> Im ф X R" формулой tn ф (у) = (ф о рг (и), ф^у)). Обычное отождествление R" X R" = R2n, делающее Im ф X R" открытым подмножеством пространства R2" или полупространства Ri", позволяет рассматривать 1пф как 2п-мерную карту в Tang А, и ясно, что

если ф — другая карта многообразия X, то сквозное отображение'

Ф (supp ф П supp ф) х R" =

,,, .. _. ... ab (tn ф)~1

tn ф(рг^1 (supp ф) П pr (supp -ф))>■

pr~* (эиррф) Л РГ“’ (suppl]))>

tn Ф (рг-1 (supp qp) л pr-1 (supp ф)) =-ф (supp ф п supp Ф) х IR" ■ (1)

определяется формулой (a, u) t—> (loc (ф, ф) id (а), ^ф—«(о) (ф, Ф)и) или, что то же, координатной формулой (аь . .., ап\ щ, . . ., ы„) н-■> (^ь .. ., Ьп; у,, .. ., и^, где

а /н . .., /„ — координатные функции отображения 1ос(ф, ф) id. VDt обозначает дифференцирование по /-й координате.] Формулы (2) показывают, что карты tn<p, 1пф ^“’-согласованы (мы полагаем t?30’”1 == l^X ^“-I = (g’a)) и очевидно, что карты tnф с ф е Atl X покрывают TangX; таким образом, карты (пф с ф <= Atl А составляют '§,г~’-атлас множества Tang А. Этот атлас обладает счетным податласом (так как Atl А обладает счетным податласом) и содержит для любых двух векторов из Tang А покрывающую их карту или покрывающую их пару непересекающихся карт (так как Atl А содержит для любых двух точек из А покрывающую их карту или покрывающую их пару неперекрывающихся карт). Таким образом, он делает Tang А ^“’-многообразием размерности 2п. Последнее называется тотальным многообразием касательных векторов многообразия А.

Очевидно, проекция Tang А-> А, включения Tangx A->Tang А и естественное отображение АTang А, относящее точке х е А нуль пространства TangxA, являются '^’’“’-отображениями.

Формулы (2) показывают, что при г Xs 2 якобиан сквозного отображения (1) в точке (а, и) равен квадрату якобиана отображения 1ос(ф, ф) id в точке а. Из этого следует, что при г >2 многообразие Tang А всегда ориентируемо и даже обладает канонической ориентацией, положительной на картах 1пф с ф е Catl А. ,

Заметим еще,- что для любых двух гладких многообразий Аь А2 с дА2=0 и любых точек л^еАь х2еА2 между пространствами Tang,, „.(А. ХА,) и Tang, A. ©Tang А, имеется

естественный векторный изоморфизм и что изоморфизмы, отвечающие всевозможным парам (хь х2), составляют диффеоморфизм между многообразиями Tang(XiXX2) и TangХх XTangХ^.

Дифференциал гладкого отображения

Пусть f — отображение класса ^ m-мерного ^'’-многообразия X в /г-мерное ^^многообразие У с г^1. Обозначим для точки х е X и карт фе AtUA, фе Atlf^y через <5fx (f; ф, Ф) дифференциал отображения 1ос(ф, ф)/ в точке ф(х) [линейное отображение Rm^-R", матрицей которого служит якобиева матрица отображения 1ос(ф, ф)/ в точке ф(х)]. Если ф', ф' — любые другие карты из AtlxA, Atlf^T, то dx^f; <р', ^ = ^/(х)(Ф, ^QdxU; ф, Ф)0^х(ф\ ф), из чего следует, в силу равенств d^', ф) = ф# о (<₽*)“’, бД(х)(ф, Ф') = Ф#°Ф*> что -(ФУ"1 0 dx(f; <р', ф') о ф* = ф*1 ° dx (f; ф, ф)°ф#, т. е. что линейное отображение ф"1 ° dx(f; ф, ф) о ф#: TangxX ->Tangf w У нс зависит от выбора карт ф, ф. Это линейное отображение называется дифференциалом отображения f в точкех и обозначается через dxf, а отображение тотального многообразия Tang1 А в тотальное многообразие Tang У, совпадающее на TangxA с dj, называется дифференциалом отображения f-и обозначается через df. Очевидно, возникающая диаграмма

Tang АTangT

|₽г |рг* ’

'XУ

коммутативна.

Если обозначить координатные функции отображения 1ос(ф, ф)/ через 1^ ..., /„, то локальное представление 1ос(1Пф, 1дф)^ дифференциала df определится координатной формулой (аь ..., ат; их, ..., мт) (6Ь ..., Ь^ оь ..., ип\ где

/ = 1, .. ., /г./ = 1, .. ., /г.Ь; Ц (^1, • • *, й^, т

/ = 1, .. ., /г.

/ = 1, .. ., /г.

V/= Е DiljUx, ..., а^щ,

1 = 1

Таким образом, df принадлежит классу <ё’г-1. '

Ясно, что d^h ° f) = db ° df для всякого гладкого отображения h многообразия У в третье гладкое многообразие и что df = id (Tang А), если У = А и f = id А. Ясна также, что если / — диффеоморфизм, то df есть диффеоморфизм при г ^2 и гомеоморфизм при г = 1.

ОСНОВНЫЕ понятияОСНОВНЫЕ понятия157157§

ОСНОВНЫЕ понятия

ОСНОВНЫЕ понятия

157

157

В цлучае, когда X есть открытое подмножество пространства Rm или полупространства R-, а У —открытое подмножество пространства R" или полупространства R1, в каждой точке х г X, кроме дифференциала dxf: YangxX->Yangf (X)Y, имеется классический дифференциал отображения f, определяемый как линейное отображение Rm—*R", матрицей которого служит якобиева матрица отображения f в точке х. Ясно, что dxf превращается в этот классический дифференциал при отождествлении пространства Tang^X с Rm и пространства TangfW7 с R", осуществляемом линейными изоморфизмами (idX)#: TangxX-+Rm и (idУ)#: Tangly->Rrt.

Если А — подмногообразие или край гладкого многообразия X, то дифференциал dxin: Tangx X^-Tangx X включения Д -> X, очевидно, является мономорфизмом в каждой точке хеА. Это позволяет отождествить касательные пространства TangxД с ’ подпространствами dx in(Tangx Д) касательных пространств TangxX, a Tang Д —с d in (Tang Л).

Если А — подмногообразие пространства R", то к отождествлению Tangx А = dx in (Tangx Д) присоединяется отождествление Tangx R" — R", осуществляемое каноническим линейным изоморфизмом (id R")*: TangxR"^-R", так что касательное пространство TangxД оказывается подпространством пространства R". Это подпространство нетрудно указать явно, если А определяется в окрестности точки х независимыми функциями Фй+ь •■•> Фп по схеме 2.12: оно состоит из векторов простран- стваР", ортогональных «—£векторам grad^&+1 (х), ..., gradФ„(х). Например, Tang^S"-1 есть подпространство пространства R", составленное из векторов, ортогональных х.

Векторные поля

Векторным полем на гладком многообразии X называется непрерывное отображение Х-> TangX, относящее каждой точке многообразия X касательный вектор в -этой точке. Тривиальный пример доставляет нулевое векторное поле, значением которого в каждой точке хеХ служит нуль пространства TangxX (ср. 2). 1

Гладкое многообразие X размерности п и класса 4?>г+х называется ^-параллелизуемым, если существуют такие векторные поля fb ..., tn- Х-> TangX класса ^, что векторы ft (х), ..., /„ (х) составляют для каждой точки хеХ базис пространства TangxX. Например, пространство R" (рассматриваемое как ^-многообразие) ^-параллелизуемо и параллели- зуется векторными полями, относящими*точке xeR” (id R")-6a- зис пространства Tang^R".

^“-параллелизуемость называется просто параллелизуемостью. Как будет показано в главе 4 (см. 4.6.4.3), из параллелизуемости компактного ^^^'-многообразия с г^оо следует его ‘^’''-параллелизуемость.

Информация. Из параллелизуемости <ё’>г+1-многообра- зия следует его ‘^'"-параллелизуемость и в некомпактном случае, а также при г —а.

Если гладкое многообразие X параллелизуется векторными полями ft, ..., fn; X->Tan.gX класса %r, то формула (х, (уь . .., у,^^ У1/1М+ •■• +уи^М определяет ‘^'"-диффеоморфизм произведения X X R" на Tang X; действительно, формула ун-*(рг(и), (уь ..., у^, где у,, ..., уп — координаты вектора о относительно базиса Л(рг(о)), ..., f„(pr(y)) пространства Tangprf^X, определяет обратное отображение Tang X —> X X R", и ясно, что оба отображения принадлежат классу V. Таким образом, тотальное многообразие касательных векторов ^-параллелизуемого п-мерного гладкого многообразия X ^-диффеоморфно произведению X X R"-•

Из этого замечания, в частности, следует, что ^-паралле- лизуемое гладкое многообразие ориентируемо. Действительно, многообразие Tang Л" ориентируемо для всякого ‘^'"-многообразия X с г ^2 (см. 2), а из ориентируемости произведения X X следует ориентируемость X (см. 3.7).х

(Примеры). При нечетном п на сфере Sn существуют векторные поля, нигде не обращающиеся в нуль. Таково, например, векторное поле, относящее точке х = (хь . .., x„+i)eS” вектор (уь ..., y„+i) пространства R"+1 с ^-1 = —у2*=х2й_1 (k — 1,..., («+1)/2), рассматриваемый как вектор из TangxS" (см. 4). '-

Заметим, что то же поле можно определить более компактной комплексной формулой xv-^xi, рассматривая ки+! как ^(n+D/z, £сли n_j_ । делится на 4, то Rn+1 можно рассматривать как H(re+I)^, и формулы х.—>xort2, х>—>xort3, X'—>xort4 (ort2, ort3, ort4 рассматриваются как мнимые кватернионные единицы) определяют на S" три векторных поля, линейно независимых в каждой точке. Если п + 1 делится на 8, то R”+l можно рассматривать как Са("+1)/8, и формулы xi—»xort2, ..., хь-*хог18 (ort2, . . ., ort8 рассматриваются как мнимые единицы Кэли) определяют на Sn семь векторных полей, линейно независимых в каждой точке. Поскольку все перечисленные поля аналитичны, эта конструкция, в частности, обнаруживает, что сферы S1, S3 и S7 <ё’а-параллелизуемы.

Информация. При /г#=0, 1, 3, 7 сфера S” непараллели- зуема. Доказательство имеется в [1] и в [2].'

Вложения, погружения и субмерсии

■ 1. Отображение f гладкого многообразия X в гладкое многообразие У называется ^-вложением, если f(X) есть ^-подмногообразие многообразия У и abf: X^-H^S есть ^-диффеоморфизм. Примером может служить включение подмногообразия ^'■-многообразия в это многообразие. Поскольку всякое отображение f: Х->У представляется как композиция своего сокращения abf: X^-f^ и включения f (Х)—>У, ^-вложение действительно принадлежит классу V как отображение.

^‘-вложения называются иначе дифференциальными вложениями. Как это следует из доказываемой ниже теоремы 3, дифференциальное вложение, принадлежащее классу Ч?г, является ^-вложением. Ясно также, что дифференциальные вложения являются топологическими вложениями. Последние называют иногда ^-вложениями.

Дифференциальное вложение f: Х-*У называется правильным, если f (А) есть правильное подмногообразие многообразия У. Примером может служить включение правильного подмногообразия гладкого многообразия в это многообразие. Ясно, что если dimX = dimy, У связно, а X непусто, то всякое правильное дифференциальное вложение Х-*У является диффеоморфизмом.

Очевидно, для всякого ^-вложения f: Х->У и любой точки хеХ существуют такие карты tpeAtK^X, ipeAtlf (xi^T, что loc(<p, ip)f совпадает с одним из включений Rm—>R", R”-*R", R™->R1, где m = dimX, п = dim У, причем вторая возможность исключается, если f правильно.

Погружения

Гладкое отображение f гладкого многообразия X в гладкое многообразие У называется погружением или иммерсией, если: (i) dji Tangx X ->Tang}WY есть мономорфизм для любой точки хгХ: (ii) (df)-1 (TangdK) с TangM.

Заметим, что из условия (i) следует неравенство dimA^dimy, а из условия (ii) — включение f (int X) с int Y, и что условие (ii) выполняется автоматически, если У не имеет края.

Ясно, что композиция двух погружений является погружением. ’

Примерами погружений могут служить дифференциальные вложения.

Если fi X->Y — погружение класса Ч?т, то каждая точка многообразия X обладает окрестностью, на которой f является ^-вложением.

Доказательство. Пусть х0 — произвольная точка многообразия А; положим dimX=/n, dim У — п, фиксируем какие- нибудь карты ф е Atl^A, ф eAtlf(Xo) У и обозначим через Zb ..., /„ координатные функции отображения 1ос(ф, ф)/. В силу условия 2 (i), ранг якобиевой матрицы отображения 1ос(ф, ф)f, вычисленной в точке ф(х0), равен пг, а условие 2 (ii) позволяет считать отличным от нуля минор М этой матрицы, составленный из первых пг строк. [Если f(x0)einty, то условие 2 (И) не нужно/ неравенства гИ^=О можно добиться, перенумеровывая локальные координаты фь ..., ф„, отвечающие карте ф, т. е. переставляя строки матрицы. Если /(х0)едУ, то из 2 (ii) следует, что все элементы первой строки матрицы, начиная со второго, равны нулю; это позволяет добиться неравенства М^О перенумерацией координат ф2, ..., ф„.] Из теоремы о неявных функциях следует, что существуют такая окрестность W точки (Ф1(/Ч*о))> • • •, Фт(/М)) в Rm и такое ‘^'’-вложение h; W —>1тф, что при i = Г, . .., т■

■ h,t (ф1 (f (х0)), ..., фт У (х0))) = <рг (х0),'

U (^1 (У1, • • • > Ут), • • ■ > hm к,У\, • • • , Ущ)) ’ Уг КУ1, • • ■ > Ут) ^ IF],

где h\, ..., hm — координатные функции отображения h. Ясно, что: А —ф-1(А(^)) есть окрестность точки х0; f (А) определяется в ф~! (IF X Rn-m) уравнениями ф/ — //(А1(Фь • ■, Фт), .. hm^Y, • • •, Фт)) —0 и, возможно, неравенством МФь . .., фт)^0 и является, вследствие этого, ‘^’'’-подмногообразием многообразия У; сквозное отображение

f (А) ‘^ ф (f (А)) -> IF A h (IF) -^2^ N, в котором вторая стрелка обозначает сокращение ортогональной проекции Rn->Rm, принадлежит- классу ^ и обратно отображению abf: A-*f(A). Таким образом, fly есть 'ё’г-вложение. . 4 (Следствие). Если погружение класса ^ является топологическим вложением, то оно является ^-вложением. В частности, взаимно однозначное ^-погружение компактного многообразия является ^-вложением.

Пусть f: X—>Y — гладкое отображение с (df)^ (Tang3Y) с Tang дX и А — компактное подмножество многообразия X. Если f |л взаимно однозначно и в точках хе А дифференциал dj не вырождается, то на некоторой окрестности множества А отображение f является дифференциальным вложением-, в частности, если в предыдущих условиях dim X = dim У и f(dX)cdY, то f диффеоморфно отображает некоторую окрестность множества А на некоторую окрестность множества f(A).

ОСНОВНЫЕ понятияОСНОВНЫЕ понятия161161§ п

ОСНОВНЫЕ понятия

ОСНОВНЫЕ понятия

161

161

Доказательство. Фиксируем для каждой точки хе А окрестность Ux, на которой f является ‘^'"-вложением (см. 3), и покроем А конечным числом таких окрестностей, скажем, окрестностями UXx, ..., Ux . Поскольку множество У X У \ diagK открыто в У ХУ (см. 1.2.2.4), его/Прообраз W при отображении fXh X X X -*Y ХУ также открыт, из взаимной же однозначности отображения f на А следует, что "множество ru[u:=1(t/xz X ^хг)] содержит множество АХ А и, таким образом, является его окрестностью. Метризуем X (см. 1.1.12) и по нему X X X (см. 1Д.2.9) и положим

В = {х е X | Dist (А, х) < Dist ((X X X) \ №, А X А)/2}.

Так как В открыто и содержит А (см. 1.1.7.15), то и пересечение ВП(и,=1^х.) открыто и содержит А, а так как А компактно, то у А есть окрестность U с компактным замыканием, лежащая в этом пересечении. Кроме того, В X В a W, из чего видно, что / взаимно однозначно на В. Следовательно, Лот есть топологическое вложение, a fly— дифференциальное вложение (см. 4).

Субмерсии

Гладкое отображение f гладкого многообразия X в гладкое многообразие У называется субмерсией, если (i) dxf: TangxX-> Tangf (х) У есть эпиморфизм для любой точки х е X; (ii) dxf (Tangx<3X) =Tangf(x)y для любой точки хедХП pl (int У); (ш) пересечение дХ Г) f-1 (int У) состоит из целых компонент многообразия дХ.

Заметим, что из условия (1) следует неравенство dimX^dimy и что условия (ii), (ill) выполняются автоматически, если X не имеет края.

В качестве примеров рассмотрим гладкие вещественные функции f: X->R. Как в обычном анализе, точка хеХ и соответствующее значение f(x) называются критическими для f, если dxf = 0. Ясно, что f в том и только том случае является субмерсией, если ни одна из функций f, f |дЛ не имеет критических .точек.

Дальнейшими примерами субмерсий могут служить проекции произведения двух гладких многообразий (одно из которых не имеет края) на сомножители.

Отображение f гладкого многообразия X размерности tn 6 гладкое многообразие У размерности п в том и только том случае является субмерсией класса Я?т, если для любой точки хеХ существуют такие карты ф е Atlx ^Х, ф е Atif щ ^Y,

В. А3 Рохлин, Д. Б. Фукс

что-, f (supp <р) с supp ф; пара (1тф, 1тф) совпадает с одной из трех пар (Rm, R"), (R”, R"), (R”, Rl), причем, во всех трех случаях ф (х) = О и ф (f (х)) = 0; соответствующее локальное представление 1ос(ф, ф)/ может быть описано в первом случае как проекция произведения R" X R”1-” на первый сомножитель, во втором случае — как проекция произведения R2~" X R" на второй сомножитель и в третьем случае — как проекция произведения R- X R”1-" на первый сомножитель.

Достаточность этого условия очевидна; докажем его необходимость. Пусть ф1, ф1 — какие-нибудь карты из Atlx X, Atlf (х) Y с f (supp ф') = supp ф1 и с ф*(х) = 0, Ф’(Нх)) —0; обозначим через ф', .... ф^ и "ф{, ..., ф^ соответствующие координатные функции и через 1^ ..., /„ — координатные функции отображения loc(ф1,ф1)f. Мы будем различать три случая: х Sint A, f (х) £ int К; х GdX, f (х) е int Y; f(x)^dY. Условие 6 (i) означает, что ранг якобиевой матрицы отображения 1ос (ф1, ip1) f, вычисленной в точке 0, во всех трех случаях равен п, а условие 6(ii) — что во втором случае этот ранг не понизится, если мы вычеркнем из матрицы первый столбец. Таким образом, можно считать, что в первом и третьем случае отличен от нуля минор матрицы, составленный из первых п столбцов, а во втором случае — минор, составленный из последних п столбцов. Кроме того, в третьем случае точка 0 является граничной для 1гц ф1 в Rm и функция /] обращается в нуль на фДдАГДшф1) вблизи этой точки: первое следует из того, что функция /ь будучи неположительной, имеет в точке 0 равное нулю значение и отличный от нуля градиент, после чего второе следует из 6(iii).

Переход от Карт ф1, ф1 к нужным нам картам ф, ф совершается через промежуточные карты ф2 ekti^'X, ф2 е Atlf(x)y. В первом и третьем случае ф2 определяется как карта, локальными координатами которой служат сужения функций Ц оф1, ..., /„°ф', ФЙ-н, ■ • •> Фт на достаточно малую окрестность U2 точки х, а ф2 — как ab ф1: У2—> ф1 (К2), гДе К2 — f (П2). Во втором случае ф2 и ф2 определяются так же, только функции ^оф1/^Ф1, ФЙ+1» • • ■ > Фт заменяются функциями ф*, ..., Ф^_„, 1Х ° Ф1, ...,/„ ° ф1. Во всех случаях f (U2) = У2, и ясно, что в первом и третьем случае отображение 1ос(ф2, ф2)/ определяется в новых локальных координатах ф2, ..., ф^; ф2, ..., ф2 формулами ф2 = Ф2, ..., Ф2=Ф2, а во втором случае — формулами Ф2 = Ф^_„+1, ...', Ф^ = ф^. Фиксируем положительное е и определим в U2, У2 множества У, V неравенствами | ф/1 < е (/ = !,..., т), |фЛ<е, (/ = 1«)• Ясно, что при достаточно малом е карты ф, ф

с supp <р = U, supp ф = V и с локальными координатами

, х Ф;(у)1X1

Ф< (У) =iО ^ b ‘1 ‘ • ^

В - IФНУ) I

Ф/ (z) = — у У ,(/ = 1га)

6 - I (Z) |-

обладают всеми требуемыми свойствами.

(Следствия). Если f: X ->¥ — субмерсия, то f (int X) cr int У, КЧдУ^сдХ и отображения abf: intX —> intF, abf: KXW^->6Y являются суб мер сиями.

Если f: X->Y— субмерсия класса ^, то f~x (у) есть правильное ^-подмногообразие многообразия X при у е int ¥ и правильное '&'-под многообразие многообразия дХ при у е dY.

Субмерсия есть открытое отображение.

Композиция двух субмерсий есть субмерсия.

^'-отображение f: X —>¥ со свойством 6 (Hi) в том и только том случае является субмерсией, если для любой точки хое X существуют такая окрестность V точки /(х0) и такое ^'-отображение g: V->X, что t^gky^ = U при у eV и g (f (хф) = х0.

Достаточность этого условия очевидна, необходимость следует из 7.

Пусть f: X—>Y— субмерсия класса %' с f(X) = Y uh— отображение многообразия Y в третье гладкое многообразие. Если композиция hof принадлежит классу ^', то h также принадлежит классу %'.

Доказательство. В силу 9, для каждой точки многообразия Y можно найти такую окрестность V и такое ^'-отображение g; V-*X, что f°g = [in: 7->У], и из этого равенства следует, что h |F = (h ° f) о g.

Комплексные структуры

/. Напомним, что отображение открытого подмножества пространства Ст в подмножество пространства С" называется голоморфным, если его координатные функции голоморфны, и биголоморфным, если оно обратимо и как оно, так и обратное отображение голоморфно. В последнем случае, конечно, пг = п; ср. 2.2.

Если Ст и С" рассматриваются как R2"1 и R2", то голоморфные отображения превращаются в ^-отображения, а биголо- морфные отображения — в ^-диффеоморфизмы. Условиями, необходимыми и достаточными для того, чтобы гладкое отображение открытого подмножества пространства R2m в подмножество пространства R2" было голоморфным по отношению"

к комплексным структурам, определяемым в R2"1 и R2" отождествлениями R2m = Ст, R2n = С", являются условия Коши — Римана, и ясно, что отображение, обратное диффеоморфизму, удовлетворяющему условиям Коши — Римана, также удовлетворяет условиям Коши — Римана. Следовательно, голоморфный диффеоморфизм есть биголоморфное отображение.

Если голоморфное отображение одного подмножества пространства С" в другое имеет в некоторой точке невырожденный дифференциал, то оно сохраняет это свойство и как ^^отображение и потому диффеоморфно отображает некоторую окрестность указанной точки на ее образ. Следовательно, голоморфное отображение, имеющее в некоторой точке отличный от нуля якобиан, биголоморфно отображает окрестность этой точки на ее образ.'

Эта формулировка представляет собой точный аналог вещественной теоремы о локальном обращении гладкого отображения, из которой мы ее вывели, и совершенно так же в комплексную область переносится более общая теорема вещественного- анализа — теорема о неявных функциях. Пусть f — голоморфное отображение открытого подмножества А пространства Cm X С" в С , переводящее точку (г°, еу°) е Л в 0 и имеющее в этой точке отличный от нуля якобиан по второму аргументу. Комплексная теорема о неявных функциях утверждает, что существуют такая окрестность U точки 2° в Ст, такая окрестность V точки w° в С" и такое голоморфное отображение g: U->V, что U "XV с. А и отображение f\uxv переводит в нуль в точности график отображения g.

Линейное преобразование пространства С" является линейным и как преобразование пространства R2n, что относит каждой комплексной п X «-матрице С некоторую вещественную 2га X 2га-матрицу R. Если С = А + IB и 2 = х + 1у — разложения матрицы С и вектора геС" на вещественную и мнимую части,

[

Д Di

в д I. Из этой формулы, в частности, следует, что

det R = | det С |2;

действительно, если прибавить к первой (блочной) строке матрицы R вторую, умноженную на I, а затем ко второму столбцу первый, умноженный на —I, то R превратится в матрицу ГС 01'

Lb d

v Комплексные многообразия

Комплексной картой размерности га в множестве X называется обратимое отображение подмножества множества X на открытое подмножество пространства С". Комплексные карты ф, ф

называются согласованными, если множество ф(зирр ф Л supp-ф) [supp определяется так же, как в вещественном случае] открыто в 1шф, множество ф (supp ф f) supp *ф) открыто в 1тф и взаимно обратные сквозные отображения

,_. аЬф—1_аЬф

Ф (supp ф Л supp ф)>- supp ф П supp ф —► ф (supp ф Л supp ф), аЬф-1аЬф

ф(зирр ф л supp ф)> supp ф Л supp ф> ф (supp ф Л supp ф) голоморфны. Из согласованности перекрывающихся карт размерностей т, п следует, что т = п.

Совокупность комплексных карт называется п-мерным голоморфным атласом множества X, если эти карты покрывают X, /г-мерны и попарно согласованы. Два голоморфных атласа называются голоморфно эквивалентными, если все их карты попарно согласованы. Совокупность всех «-мерных голоморфных атласов множества X распадается на непересекаюшиеся классы голоморфно эквивалентных голоморфных атласов. Эти классы называются п-мерными комплексными структурами на X.

Комплексная карта размерности п может рассматриваться как 2«-мерная вещественная карта, т. е. 2«-мерная карта в смысле 2.3. При этом согласованные комплексные карты превращаются в ^-согласованные вещественные карты, голоморфные атласы — в ^-атласы и голоморфно эквивалентные атласы — в ^"-эквивалентные ^"-атласы. Таким образом, «-мерная комплексная структура на множестве X индуцирует '2«-мерную ^"-структуру на X. Важнейшим является случай, когда эта ^"-структура делает X многообразием, т. е. когда определяемая ею топология является хаусдорфовой и имеет счетную базу. Множество X, наделенное «-мерной комплексной структурой с этим свойством, называется комплексным многообразием размерности п..

■ Полный атлас комплексного многообразия X, т. е. совокупность всех карт всех атласов его комплексной структуры, обозначается через Atl X. ‘

Непрерывное отображение / комплексного многообразия X в комплексное многообразие У называется голоморфным, если все его локальные представления, т. е. отображения ф(зиррфП /~'(зиррф))—> 1шф, определяемые по картам феАО, феАНУ формулой Xi—>ф(/(ф-1 (х))), голоморфны. Отображение/: X—>У называется биголоморфным, если оно голоморфно и обратимо и обратное отображение также голоморфно. Комплексные многообразия, которые можно связать биголоморфным отображением, называются биголоморфно эквивалентными.

Если комплексные многообразия рассматриваются как ^"-многообразия, то голоморфные отображения превращаются

в ^“-отображения, а биголоморфные отображения — в ^"-диффеоморфизмы. .

-Подмножество А-комплексного многообразия X размерности п называется его к-мерным подмногообразием, если каждая точка хе А покрывается такой картой феАНХ, что ф(зирр ф П А) = Im фП С6. Построенные по картам феАНХ карты аЬф‘. supp ф Q А-> Im ф П С6 составляют fe-мерный голоморфный атлас множества А, превращающий А в комплексное многообразие.

Определение независимости функций, данное в 2.12, имеет смысл и в комплексном случае, и из теоремы о неявных функциях следует, что подмножество А комплексного многообразия X размерности п тогда и только тогда является его ^-мерным подмногообразием, когда для каждой точки хйеА существуют такая ее окрестность U в X и такие голоморфные функции ■ Фй+1, ..., ф„: (7 —> С, независимые в точке х0, что пересечение АП U определяется в U уравнениями <р6+1(х) = 0, ..., Фга(х) = 0; ср. 2.12.

Если комплексное многообразие X рассматривается как ^“-многообразие, то подмногообразия остаются подмногообразиями, а ^“-структура, которую они получают от X, совпадает с ^“-структурой, индуцированной их собственной комплексной структурой. ■

Если А — подмногообразие комплексного многообразия X, то включение А-* X есть голоморфное отображение.

Отображение f комплексного многообразия X в комплексное многообразие У называется голоморфным вложением, если abf: X^-f(A) есть биголоморфное отображение многообразия X на подмногообразие многообразия У. Так как в этом случае f есть композиция биголоморфного отображения X -> f (X) и включения f(X) —> У, то голоморфное вложение является голоморфным отображением.

Если Аь ..., Xs — комплексные многообразия размерностей пх, . .., ns, то произведения Ф1 X • • • X Ф$ карт фг е Atl Х{ составляют (/?i + ... + /г5)-мерный голоморфный атлас множества Xv X ■ ■ • X Xs, делающий это множество комплексным многообразием размерности nv + ... + ns. Рассматриваемое как ^“-многообразие, последнее совпадает с произведением многообразий Xv, ..., Xs, рассматриваемых как ^“-многообразия. •

Определения касательных векторов, касательных векторных пространств, тотального многообразия касательных векторов и дифференциала отображения (см, п. 4) дословно переносятся на комплексный случай. Пространство TangxX, касательное к n-мерному комплексному многообразию X в точке х, есть

.j 1] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 167 n-мерное комплексное векторное пространство, тотальное многообразие Tang X есть 2п-мерное комплексное многообразие, проекция TangX-*X есть голоморфное отображение. Дифференциал dxf голоморфного отображения f: X —*Y в точке х е X есть линейное отображение векторного пространства Tang^X в векторное пространство Tangly, дифференциал df — голоморфное отображение многообразия TangX в Tang У.

. Касательные пространства Tang^X и тотальное многообразие TangX, рассматриваемые как вещественные векторные пространства и ^-многообразие, совпадают с касательными пространствами и тотальным многообразием касательных векторов многообразия X, рассматриваемого как ^“-многообразие. Дифференциал голоморфного отображения f, рассматриваемый как ^“-отображение, совпадает с дифференциалом отображения f, рассматриваемого как ^“-отображение.

Первыми примерами комплексных многообразий служат сами пространства С". Неограниченный запас дальнейших примеров можно получить, определяя системами уравнений подмногообразия этих пространств; ср. 2.16. Оказывается, однако, что этим способом невозможно построить компактное многообразие положительной размерности: всякое компактное подмногообразие пространства С" нульмерно.

Чтобы убедиться в этом, достаточно установить, что на связном компактном многообразии единственными голоморфными функциями являются постоянные. -Последнее нетрудно вывести из известной теоремы анализа, утверждающей, что функция, голоморфная на открытом подмножестве комплексной прямой С и имеющая значение, наибольшее по абсолютной величине, постоянна. Пусть X — связное комплексное многообразие, f: X —> С — голоморфная функция и с —значение этой функции, наибольшее по абсолютной величине. Если хеХ— такая точка, что f(x) = c, то для любой карты ф из Atl X с зиррфэх, 1шф = Int D2dimX и любой точки уезиррф комплексные числа г, для которых точка (1 — г)ф (х) + гф {у) лежит в 1шф, составляют открытый круг с центром 0 и радиусом, большим 1, а формула zi-^-f (ф-1 ((1 — z) ф (х) + гф (у))) определяет на этом круге голоморфную функцию, которая имеет в точке 0 наибольшее по абсолютной величине значение. Поскольку такая функция должна быть постоянной, мы видим, полагая г = 0 и z=l, что f(y) = c; следовательно, множество f^c) открыто, и.так как оно замкнуто и непусто, то оно совпадает с X;

Примеры компактных комплексных многообразий появятся в § 2. -

Многообразия комплексного происхождения

//. Многообразия класса ^а, возникающие при овеществлении комплексных многообразий, как это описано в 5, называются многообразиями комплексного происхождения. •

Ясно, что многообразия комплексного происхождения четномерны и не имеют края. Они ориентируемы, и если комплексная структура известна, то они получают каноническую ориентацию, именно, ориентацию, положительную на овеществленных связных картах полного атласа комплексной структуры (что условие согласованности, выставленное в 3.1, здесь выполнено, следует из 3). Очевидно также, что произведение многообразий комплексного происхождения 'есть многообразие комплексного происхождения.

Упражнения

/. Доказать, что замкнутое гладкое многообразие размерности п > 0 не погружается в R"..

Доказать, что уравнение г2 + ... + г2 = 1 определяет в С" подмногообразие, ^“-диффеоморфное TangS"-1.

Доказать, что отображение f: S2->R4, определяемое формулой f (хр х2, х3) = (х2 — х2, х1х2, х,х3, х2х3), является погружением и что f (S2) есть подмногообразие пространства R4, гомеоморфное RP2. '

Доказать, что если одно из чисел п1( ..., ns нечетно и s> 1, то многообразие S"1 X ■•• XS"s параллелизуемо.

МНОГООБРАЗИЯ ШТИФЕЛЯ И ГРАССМАНА ,Х-?

Многообразия Штифеля

Мы будем обозначать через RV (п, £) или, короче, V (п, k), где О^^^п, множество линейных изометрических отображений пространства Rft в R". Такое отображение определяется образами векторов ortb ..., ort&e»R6, т. е.- ортонор- мированным й-репером пространства R". Координаты векторов этого репера составляют матрицу отображения, содержащую п строк и к столбцов. Таким образом, V (га, к^ можно интерпретировать как множество ортонормированных ^-реперов пространства R" или как множество п X ^-матриц ||и$,||, таких, что

И«з1«Я = Ьи (1 </</<&)• . х (1)

S=1

Будем рассматривать матрицу || vst || как точку пространства R"6, занумеровав лексикографически ее элементы. Тогда

У (га, fe) станет подмножеством пространства R"6, определяемым уравнениями (1). Как показывает короткое вычисление, на этом подмножестве градиенты левых частей уравнений (1) отличны от нуля и попарно ортогональны. Таким образом, V (п, k) есть \пк — к^к + 1)/2]-мерное ^-подмногообразие пространства Rnk, не имеющее края (см. 1.2.12). Оно называется многообразием Штифеля.

Очевидно, V (п, 0) есть точка, V (п, 1) —сфера S"-^ V (п, 2) — подмногообразие многообразия TangS"-1, составленное из векторов длины 1. ■

Точками многообразия V (п, га) являются ортогональные преобразования пространства R" или ортогональные матрицы порядка га, и обычно его обозначают через О (га). Компониро- вание преобразований (перемножение матриц) делает О (га) группой. Подгруппа этой группы, составленная из матриц с определителем +1, обозначается через SO (га). Множества SO (га) и О (га) \ SO (га) открыты в О (га) и, таким образом, являются ^-многообразиями. Они ^-диффеоморфны: диффеоморфизм устанавливается умножением на любую матрицу из О (га) \ SO (га). Кроме того, многообразие SO (га) канонически ^-диффеоморфно V (га, п—1):, диффеоморфизм приписывает к матрице из У (га, п — 1) столбец, превращающий ее в матрицу из SO (га), т. е. достраивает ортонормированный (га — 1)- репер пространства R" до положительного ортонормированного га-репера.

Заметим, что SO(2)== У (2, 1) = S' и что групповая структура на SO (2) совпадает с групповой структурой на окружности S1, рассматриваемой как мультипликативная группа комплексных чисел с абсолютной величиной 1.

Включение R"->R"+<7 определяет ^“-вложение У (га, й)-> У(га + </, к), относящее отображению ф: R6->R" сквозное отображение Rft -^* R” —> Rra+?. Имеется также каноническое ^-вложение У (га, к^-> У (га + д, к 4- д'), относящее отображению ф: R6 -» R" отображение

Rfe+^R^XR^^lR^XR^R^''.

Наконец, . включение Rft 4 —> Rft определяет ^“-субмерсию У (га, &) —> У (га, к — д'), относящую отображению Ф: R^R" сквозное отображение Rft-<7-^> R^-^-R", т. е. реперу (vb ..., v6) репер (и!Ук-qY Что это субмерсия, нетрудно вывести из теоремы 1.5.9, явно указав для заданного репера (у”, ..., v^e У (га, fe) требуемое этой теоремой окрестность У репера

(у?, ..., у$_?) в V (п, к— </) и ^-отображение g: К -> V (п, ку. в качестве V можно взять множество таких реперов (уи .... у6-,) из V (п, к — qy что векторы уь .... yk-q, у^_?+1, • • •, у^ линейно-независимы, а в качестве ^(у,, ..., уа_?) для (уь ..., Ук-^ е V — репер, получаемый из репера (уь ..., Ук , уй-<?+1’; ■ •’ и&) стандартной ортогонализацией. Добавим, что подмногообразие многообразия V (п, k), служащее прообразом произвольно взятого репера (у°, ..., у^) G И (га, к —q) при этой субмерсии, состоит из всех реперов вида (у^, . . ., у£ Ук-д+х, ..., УкУ где (у&-9+1, ..., Ук) — ортонормиров энный //-репер (п — к + ^-мерного подпространства пространства R", ортогонального векторам у®, ..., y°fe_q, и, в частности, диффеоморфно V (п — к + q, qy '

Из уравнений (1) видно, что множество V (га, /г) ограничено и замкнуто в R"6. Таким образом, многообразия V (п, &) компактны.•

Многообразие V (га, га — 1) = SO (га) связно: всякая матрица из .SO (га) представляется в виде си(ф[фг)с-1, где

ооcos qpi — sin ф1sin ф1 cos ф!

о

о

и(ф!Фг) =и(ф!Фг) =cos фг — sin фгsin фг cos фг

и(ф!Фг) =

и(ф!Фг) =

1

0

(с фь ..., фге₽), а с — ортогональная матрицу и, благодаря этому, соединяется с единичной матрицей путем t'<—> с«((1 — Оф/, ■•■> О-0Фг)с-1' Так как многообразия И (га, к) с к<п — 1 являются непрерывными образами многообразия V (га, га—1) [см. 3], то они также связны. Многообразие V (п, n) = Oyi) с га > 0 состоит из двух компонент: SO (п) и О (п) \ SO (га). ■

Комплексный случай

Через СИ (га, к), где 0<.к^п, мы обозначаем множество линейных изометрических отображений пространства Ск в С" или, что то же, множество ортонормированных fe-реперов пространства С", или, что то же, множество комплексных п X к-

. матриц II usi II, таких, что

п

■HuSiUsi = &i}0<< </<&).

'S=1

Эти уравнения определяют СИ (га, к) как подмножество пространства C"& = R2"6. Разделив в них вещественные и мнимые части, мы получим к2 вещественных уравнений, у которых градиенты левых частей отличны от нуля и попарно ортогональны на СИ (га, к). Таким образом, СИ (га, к') есть к^пк — к2У мерное ^-подмногообразие пространства R2"*, не имеющее края. Оно называется комплексным многообразием Штифеля.

Предостережение: многообразие СИ (га, к) нё является комплексным многообразием в смысле 1.6.5. Предыдущее определение не наделяет его комплексной структурой, и, более того, его нельзя наделить в общем случае комплексной структурой,. так как при нечетном к оно нечетномерно.■

Очевидно, СИ (га, 0) есть точка, а СИ (га, 1) —сфера S2"-1.

■Точками многообразия СИ (га, га) являются унитарные преобразования пространства С", и обычно его обозначают через U (га). Как и О (га), U (га) является группой с групповой операцией °. Подгруппа этой группы, составленная из матриц с определителем 1, обозначается через SU (п) и представляет собой ^-подмногообразие многообразия U (га), канонически диффеоморфное СИ (га, п— 1); ср. 2.

Многообразие U(га) канонически диффеоморфно SU(n)\Sl: диффеоморфизм относит паре (u, z)eS(/(n)XS' матрицу, в которую матрица и превращается после умножения элементов ее первой строки на z. Предостережение: этот диффеоморфизм не является групповым изоморфизмом между прямым произведением групп SU (га), S! и группой U (га).

Так же, как в вещественном случае, определяются ^-вложения СИ (га, к') —> СИ (га + q, к\ СИ (га, к') -> СИ (га + q, k-У q) г и ^-субмерсия СИ (га, к)—>СУ (п, k — q). Кроме того, тот факт, что линейное изометрическое отображение пространства С6 в С" может рассматриваться как линейное изометрическое отображение пространства R26 в R2", определяет ^-вложение СИ (га, к^ -> КИ (2га, 26).‘

Многообразия СИ (га, к) компактны. Все они связны: многообразие СИ (га, га) = U (га) связно, поскольку всякая унитарная матрица представляется в виде сиУрх,..., ф„)с-‘, где м(ф,,..., ф„) — диагональная матрица с диагональными элементами e^1, .... е1Ч>п (фь---, ф«еК), ас —унитарная матрица, и, благодаря этому, соединяется с единичной матрицей путем 7—*czz((l —/)фь . .., (1—/)ф„)с-1; многообразия СИ (га, кк с к < п связны как непрерывные образы многообразия СИ (га, га).

Кватернионный случай

Сказанное в 5 можно почти дословно повторить, заменив поле комплексных чисел телом кватернионов. (Напомним, что Нп рассматривается как левое векторное пространство — см. 1.2.5.4; таким образом, линейное отображение Н^-э-Н1 понимается как отображение, линейное слева, а скалярное произведение векторов (мь ..., ы„), (yb ..., у„) определяется как 2"=i«,yb) Так получаются: ^“-многообразие НК (n, fe) [O^fe^n] размерности 4пк — (2&2 — /г) без края, называемое кватернионным многообразием Штифеля; ^“-вложения НК (n, fe)->HK (n + q, k\ НК (n, к^-> НК (п + <7, & + <?) и НК (n, k^CV (2п, 2к\, ^“-субмерсия НК (n, к}-» НК (и, k — qY

' Очевидно, НК (п, 0) есть точка, а Нл («, 1) —сфера 54л-1. Многообразие НК (п, п) обычно обозначают через Sporty, его точками являются линейные изометрические преобразования пространства Н", и компонирование этих преобразований делает Sp^n) группой.

Все многообразия НК (п, к') компактны и связны. Поскольку доказательство связности, повторяющее сказанное в 4 и 5, использует нормальную форму матриц из Sp^, которая не может считаться столь общеизвестной, как нормальная форма матриц из SO (и) или U(n), добавим, что в главе 5 эта связность будет установлена другим способом (см. 5.2.7.4).

Некомпактные Многообразия Штифеля

Мы обозначаем через RK'(«, ^) или, короче, УЦп, к), где 0^/г^п, множество линейных мономорфизмов Р6-*^ или, что то же, множество невырожденных /г-репёров пространства R", или, что то же, множество вещественных пХ ^-матриц ранга к. Ясно, что это множество открыто в пространстве Rn£ всех вещественных пХ /г-матриц. Таким образом', К'(п, й) есть ^“-многообразие размерности пк, содержащее К (п, к^ в качестве' подмногообразия. ' "

Обозначим через Т (к, R) или, короче, Т (&) множество вещественных верхних треугольных матриц порядка к с положительными диагональными элементами. Очевидно, это множество открыто в пространстве R*(fe+D/2 всех верхних треугольных матриц порядка к и диффеоморфно Rk^+№. Если применить к невырожденному й-реперу пространства R" стандартйый процесс ортогонализации, то матрица этого репера представится в виде ut, где « е К (n, k), a t е Т (k), и ясно, что такое представление единственно й определяет диффеоморфизм К' (п, k)->V (п, к) XT (к), переводящий V (п, к) в'слой К (и, к) Х Е, где Е— единичная

матрица. Таким образом, многообразие V'(n, k) ^“-диффео- морфно V (п, k) X Rft <6+1>/2 и V (п, k) является его строгйм деформационным ретрактом. В уастностр, многообразия P"(n, к) с к<п связны, a V'^n, п) состоит из двух компонент.

Очевидно, V'tn, 0) есть точка, a V'(n, 1) совпадает с R"\0. Многообразие V'(n, п) обычно обозначают через GL(n, R); его точками являются невырожденные линейные преобразования пространства R” или невырожденные матрицы порядка п, и ком- понирование преобразований (перемножение матриц) делает его группой. Подгруппа этой группы, составленная из матриц с положительным определителем, обозначается через GL+ (п, R). Множества GL+(n, R) и GL^n, R)\GZ.+ (n, R) открыты в GL^n, R) и ^“-диффеоморфны SO (п) X Rn(n+1,/2; они и являются компонентами многообразия GL(n, R).

Если отнести линейному мономорфизму ф: R6 -* R" сквозные отображения R6 -^> R” -^ R^9, R6+" -^> R& X R9 ^ R" X R" Rn+<7 и R*-9 —^> R6—^>Rn; то получатся ^“-вложения V'(n, k)—> V'(,n-\-q, к\У'^п, k)->V' {n-\-q, k-\-q) и ^“-субмерсия V'^n, k)-> V' (n, к — qY cp. 3. .

Через CV'(n, к\ где О^й^п, мы обозначим множество линейных мономорфизмов С*-*СЛ или, что то же, множество невырожденных ^-реперов пространства С", или, что то же, множество комплексных пХ ^-матриц ранга к. Ясно, что это множество открыто в пространстве СлА всех комплексных пХ ^-матриц. Таким образом, CV^n, к-) есть ^“-многообразие размерности 2пк, содержащее CV (п, к) в качестве подмногообразия.

Повторяя с очевидными изменениями сказанное в 7, мы получаем ^“-диффеоморфизм CV'(n, &)->CV(n, к^ХТ^к, С), где Т ^к, С) —- многообразие комплексных верхних треугольных матриц порядка к с положительными диагональными элементами. Очевидно, Т (k, С) ^“-диффеоморфно R62, и, таким образом, СУ'(п, к1) ^“-диффеоморфно CV (п, к^Х^1- В частности, все многообразия CV'^n, к) связны. СУ'(п, 0) есть точка, CV'iqi, 1) совпадает с С"\0. Многообразие СУ^п, п) обычно обозначают через GL^n, С); оно состоит из невырожденных линейных преобразований пространства С” и является группой с групповой операцией °. Имеются также естественные ^“-вложения CV'kn, к^-^-CV' (n + q, к), CV'(n, k) -^- CV' (ri + q, & + <?) и естественная ‘S'“-суб мерси я CP"(n, k^-^CV' (п, k — q).’

Заменяя в предыдущих определениях поля R и С телом Н, мы получаем таким же образом 4п^-мг,рное ^“-многообразие Hl/^n, к\ состоящее из линейных мономорфизмов Hfc—>Н“, ^“-диффеоморфизм НУ'^, ^)->НУ(п, k'>iXR2k2-fe1 ^“-вложения

НУ' tn, й) -> НУ' (п 4- q, k), НУ'(п, й) -> НУ'(п + q, к + <7) и ^“-суб- мерсию НУ'(п, ^)->НУ'(н, k — q\ Очевидно, НУ'(п, 0) есть точка, а НУ'(п, 1) совпадает с Н“\0. Многообразие НУ'(п, п) состоит из невырожденных' линейных преобразований пространства Н", является группой с групповой операцией ° и обычно обозначается через GLtn, Н).

Многообразия Грассмана

Мы обозначаем через RG(n, к) или, короче, G(n, к\ где O^fe^n, множество /г-мерных плоскостей пространства R", проходящих через 0. Если у — такая плоскость, то через U^ обозначается совокупность плоскостей из G(n, к), проектирующихся на у без вырождения. Фиксируем в у ортонормированный базис е — {^ь ..., ^} и дополним его репером е = {8Ь .. ., вп-^ до ортонормированного базиса пространства R". Если у' е U^, то в у' имеется единственный репер их, ..., ик, проектирующийся в е, и, разлагая его по векторам еь ..., еА, ei, ..., e„-*, мы получаем - ’

У/ ■ в( 4“ '1 C{s&g (i 1 , • ■ • , к) С^д G= R). S=1

Этим определено некоторое отображение ф(е, е) множества U^ в пространство Rft(n-W вещественных к X (и— &)-м атриц, и ясно, что это отображение обратимо и что отображения ф(е, е) со всевозможными е и е составляют ^“-атлас множества G(n, к\ Так как, очевидно, любые две плоскости из G(n, /г) содержатся в некотором множестве U^, то топология, определяемая атласом {ф(е, е)}, является хаусдорфовой. Так как, далее, этот атлас обладает конечными податласами, например, податласом, составленным из карт ф(е, е), у которых* реперы е, е являются подреперами стандартного репера ort], ..., ort„ пространства R", то указанная топология обладает счетной базой. Таким образом, атлас {ф(е, е)} делает G(n, к) ^“-многообразием размерности к tn — к\ Оно называется многообразием Грассмана.

Очевидно, G(n, 0) и G(«, п) являются точками, a G(n, 1) совпадает как множество и как топологическое пространство >с RPn~*. Последнее означает, что мы наделили пространство RPn-1 "^“-структурой, согласованной с его топологией и делающей его ^“-многообразием размерности п — 1. Заметим, что эта "^“-структура допускает удобное прямое описание в однородных координатах: указанный выше конечный атлас многообразия G (п, /г) состоит при к = 1 из п карт фр Ux R'1-1, ..., ф„: (/-„-> R"-1,

§ 2] . МНОГООБРАЗИЯ ШТИФЕЛЯ И ГРАССМАНА 175 определяемых в однородных координатах формулами

" ^ = {(хр ... :х„)|хг =# 0},

Ф^: ... :х„)) = ^/хь ..., Xt-xfXb *l+ilxh ..., xjx;). '

Ясно также, что эта ^“-структура делает канонический гомеоморфизм RP'-^S1 (см. 1.2.5.6) ^“-диффеоморфизмом.

Определение многообразия G (п, к) допускает очевидную модификацию, состоящую в том, что неориентированные плоскости заменяются ориентированными. Подробнее: множество G (п, k) заменяется множеством G+(п, к) всех ориентированных ^-мерных плоскостей пространства Rn, проходящих через 0; модифицированное U^ определяется как множество плоскостей из G+(п, /г), проектирующихся на плоскость у е G+ (п, &) без вырождения и с сохранением ориентации; отображения ф(е, е): GY-*R6(re-6> определяются так же, как в 1, и, как и там, составляют ^“-атлас, обладающий конечными податласами; хаусдорфовость топологии, определяемой атласом {ф (е, е)}, следует из того, что любые две точки множества G+ (п, к^ покрываются множеством вида GvUGy, где у— плоскость, отличающаяся от у лишь ориентацией (очевидно, ПуП^у = 0). Получающееся & (п — &)-мерное ^“-многообразие называется верхним многообразием Грассмана. -

Многообразия G+ (п, 0) и G+ (п, ц) канонически гомеоморфны сфере S0, а многообразие G+ (п, 1) канонически диффеоморфно сфере S""1: диффеоморфизм относит точке xeS^"1 ориентированную прямую, определяемую парой точек 0, х.

Если отнести каждой плоскости yeG(n, й) ее ортогональное дополнение у1, то получится отображение многообразия G(n, k) на G^n, п—к), являющееся, очевидно, ^“-диффеоморфизмом. Так же определяется ^“-диффеоморфизм G+ (n, &)-> G+ (п, п—ку. ориентация ортогонального дополнения у1 плоскости у определяется ориентацией плоскости у по классическому -правилу, согласно которому базис плоскости у1, представляющий ее ориентацию, будучи приписан справа к базису плоскости у, представляющему ее ориентацию, должен дать базис пространства Rn, представляющий его каноническую ориентацию (ср. 1.3.10). В частности, G(n,n — 1) = RP"-1, a G+(n, п— l)=Sn~'.

Включение Rn-*Rn+', порождает очевидные ^“-вложения G(n, k) —* G (п + q, к^ и G+(n, к)-> G + (,п-V q, ку Кроме того, формула у у X R" определяет ^“-вложения G (n, k) -* G (n + q, k-\-qS й G+Vi, k)-^G+(n + q, к + q) [ориентация произведения у X R17 определяется ориентациями сомножителей — см. 1.3.7]. 'Эти вложения составляют с предыдущими диффеоморфизмами

коммутативные диаграммы

G (л,/г) -> G^n-^q,^ G+(n,k) -> G+(n + <7, fe)

G (n, n — /г) -> G (n + q, n — k-Y qY G+ (n, n — k) G+ (n + q, n — k + qY

Если отнести каждой ориентированной плоскости ее же, лишенную ориентации, то получится отображение G+(n, k) —> Gkn, ку являющееся, очевидно, ^“-сумберсией. Прообраз любой точки многообразия G(n, /г) при этой субмерсии состоит из двух точек. При к=к она совпадает с проекцией S"~'-> RPn~'.

Если отнести каждому реперу из V кп, к") натянутую на него ориентированную плоскость, то получится ^“-отображение V кп, k\->G+(n, k). Оно также является субмерсией, что нетрудно вывести из теоремы 1.5.9, явно указав для заданного репера v° е V (п, к) требуемую этой теоремой окрестность V ориентированной плоскости у0, натянутой на и0, и отображение g: V -^-V кп, к\. в качестве V можно взять U^ (см. 3), а в качестве g(y) для у е У — репер, в который превращается и0 после ортогонального проектирования на у и стандартной ортогонализации; Прообраз ориентированной плоскости у е G+(п, й) при этой субмерсии состоит из всех положительных ортонормирован- ных /г-реперов плоскости <у и, в частности, диффеоморфен ЗОккУ

Является субмерсией и отображение многообразия V кп, к) на Gkn, к), относящее реперу натянутую на него неориентированную плоскость. Эта субмерсия совпадает с композицией двух предыдущих. При ней прообраз плоскости уеСф, к) состоит из всех ортонормированных реперов плоскости у и, в частности, диффеоморфен Окк).

Наконец, являются субмерсиями отображение V'kn, к)-> G+kn, ку относящее каждому реперу натянутую на него ориентированную плоскость, и отображение V'kn, k'V^Gkn, ку относящее каждому реперу натянутую на него плоскость. Прообразы точек из G+kn, к) и Gkn, k) при этих отображениях диффео- морфны, соответственно, GL+ кк, R) и GLkk, R).

Поскольку многообразия Gkn, k} и G+ кп, к) являются непрерывными образами многообразия V кп, кУ они компактны и, за исключением G+ кп, 0) и G+ кп, пУ связны.

q\ Среди многообразий Gkn, k) [с к =# 0, п] имеются как ориентируемые, так и неориентируемые: многообразие Gkn, k) с к^ЬО, п ориентируемо, если п четно, и неориентируемо, если п нечетно. Для доказательства мы воспользуемся атласом, составленным из карт ф(е, е), у которых е и е являются взаимно дополнительными подреперами стандартного базиса пространства R" с унаследованным от этого базиса порядком векторов (ср. 1). Обозначим номера векторов репера е в этом базисе через А (в), . • ■» кке^ [! ^Л(е) < .. ■ < ihk^^n\ и назовем две карты

атласа, ф(е, е) и ф(е', в'), смежными, если существует такое /, что Л (/) = Л (е) ± 1 и jp(a') = jp(e) при р =£ I. Ясно, что при k =# 0, п смежные карты всегда существуют и что любые две карты атласа можно соединить конечной цепочкой карт атласа, в которой каждые две соседние карты являются смежными. Ясно также, что если cis и c[s — координатные функции смежных карт ф(е, е) и ф(е', е') с jtie,') = j^e) + 1, то координата с1т с т = ]( — /+ 1 не обращается в нуль в точках, покрываемых обеими картами, и принимает на множестве таких точек все остальные вещественные значения. Несложное вычисление пока

зывает, чтозывает, чтоkClsClm CimCls) Clm'еслиi =# кs#=mtClsClm’еслиi = /,s^m,Cis ~— C lmC Im’еслиi =# I,s = m,Clm’еслиi = l,s = m,kClsClm CimCls) Clm'еслиi =# кs#=mtClsClm’еслиi = /,s^m,Cis ~— C lmC Im’еслиi =# I,s = m,Clm’еслиi = l,s = m,

зывает, что

зывает, что

kClsClm CimCls) Clm'

если

i =# к

s#=m

t

ClsClm’

если

i = /,

s^m,

Cis ~

— C lmC Im’

если

i =# I,

s = m,

Clm’

если

i = l,

s = m,

kClsClm CimCls) Clm'

если

i =# к

s#=m

t

ClsClm’

если

i = /,

s^m,

Cis ~

— C lmC Im’

если

i =# I,

s = m,

Clm’

если

i = l,

s = m,

так что якобиан /(ф(е, е), ф(е', е')) [см. 1.3.1] равен (—1)"с^. При нечетном п он принимает в точках, покрываемых обеими картами, как положительные, так и отрицательные значения, из чего уже следует, что если п нечетно, то многообразие Gin, hi неориентируемо. Если же п четно, то формула ф (е, е)|—> (_ I)6 [Л <е>+•••+/&<е>] определяет отображение рассматриваемого атласа в S0, удовлетворяющее условию согласованности, выставленному в 1.3.1: для смежных карт эта согласованность очевидна, для несмежных карт следует из согласованности смежных карт. Таким образом, при четном п многообразие Gin, й) ориентируемо.

Нижеследующие конструкции определяют ^“-вложения многообразий Gin, k) и G+in, й) в евклидовы пространства.

Начнем с G+ in, k). Обозначим для матрицы и eV'in, k) через Mtx... tk (у) старший минор, составленный из строк с номерами z‘i, ..., к, и положим Nit... tk(у) = Mti... ift (у)/р (у), где ц (у)— положительный квадратный корень из суммы квадратов всех старших миноров. Функции Ntx...tk: V'in, Л?) —** R, очевидно, аналитичны, и если реперы у1, и2 е V'in, k) лежат в одной ^-мерной плоскости и одинаково ее ориентируют, то N{... ik (у1) = ск Nix...ibic2\ Следовательно, отображение N: V' in, fe)->R п с координатными функциями Nix...ik представляется как композиция канонической субмерсии V' in, k) -* G+ in, k), определенной в 3, и некоторого ^“-отображения g+: G^in, ty —^R " (см. 1.5.10). Мы покажем, что g+ есть ^“-вложение.

В силу теоремы 1.5.4, для этого достаточно установить, что отображение g+ взаимно однозначно и является погружением. Взаимная однозначность отображения g+ означает, что если у1, огеУЧп, k) и ^(у1) = ^(у2), то пХ 2^-матрица, составленная из матриц у1 и у2, написанных рядом, имеет ранг к; последнее же вытекает из того факта, что у указанной п X 2&- матрицы всякий (& + 1) X (& + 1)-минор с к столбцами из у1 и одним столбцом из у2 равен нулю (этот факт устанавливается разложением по столбцу из у2). Чтобы доказать, что ^ — погружение, достаточно доказать, что дифференциал d g+ имеет в каждой точке у0 е G+(п, к') ранг к^п—кУ для этого, очевидно, достаточно доказать, что дифференциал d^N имеет в каждой точке vQ^V'^n, k) ранг, не меньший к^п—ку последнее же будет доказано, если мы установим, что дифференциал dy,M, где М — отображение многообразия V' Цг, 1:) в R " с координатными функциямиимеет в каждой точке

у0 е V' (п, к.) ранг, не меньший k(n — &)+1. Пусть Л — какая- нибудь кХ й-подматрица матрицы уеЕ'(п, ку не вырождающаяся при у = у0, и У/о/о — элемент этой матрицы, у которого алгебраическое дополнение, скажем, а, отлично от"нуля при у = у0. Отметим миноры М^...^ матрицы у, имеющие с Л по крайней мере к— I общих строк, и рассмотрим подматрицу якобиевой матрицы отображения М, составленную из производных отмеченных миноров по элементам матрицы у, не входящим в Л, и по уг,/0. Это — квадратная матрица порядка Ип— k) 4-1, имеющая вблизи точки у0, при надлежащей нумерации строк и столбцов, вид

(л')'1 det Л 0...' О‘

О (Л*)-1 det Л ... О'•

ОО ... (л*)-’ det Л’

Ра (п-А)

.00 а _

где / обозначает транспонирование. Ее определитель равен a (det дуп-к№-^ И) таким образом, отличен of нуля.

Обращаясь к G(n, ку составим композицию вложения g.

с отображением q: R ”->R "^ п Я , определяемым формулой

q(xp ..., хск\ = \п/•

^с^-х^с^^с^-х^с^f^P Х^, . . ., Х^Х^, х^,' * *> ^Ч^С^

^с^-х^с^

^с^-х^с^

\пп

§2]§2]МНОГООБРАЗИЯ ШТИФЕЛЯ И ГРАССМАНАМНОГООБРАЗИЯ ШТИФЕЛЯ И ГРАССМАНА179 ,

§2]

§2]

МНОГООБРАЗИЯ ШТИФЕЛЯ И ГРАССМАНА

МНОГООБРАЗИЯ ШТИФЕЛЯ И ГРАССМАНА

Ясно, что сужение q | ск является ^“-погружением и что 'R "\0

q (,х) = q (.д') тогда и только тогда, когда х = ±у. Сопоставляя это с тем очевидным фактом, что g+ (у') = —g+ (у), если плоскости у, yz е G+ (n, k) геометрически совпадают, но различаются ориентациями, мы видим, что q°g+ есть ^“-погруже-

ние многообразия G+(n, к) в R п " и чТо g = g+(у')=<7 ° ^(у) тогда и только тогда, когда у и у' совпадают или различаются лишь ориентациями. Таким образом, определено отображение fact(Q°g+): G(n, fe)-»RC"^Cn+l^2, и оно является ^“-вложением.-

(Информация). Координатные функции g+ , z отображе

ния g+: G+(n, &)->R п удовлетворяют соотношениям

st,......,- £#... .,„,8?, .....1 = °-

ск

Рассматриваемые как уравнения относительно координат в R

эти соотношения определяют в R л подмножество, в точности совпадающее с g+(G+(n, 6)). Подробности см. в [9].

Числа gt „;ik^ называются координатами Грассмана — Плюккера ориентированной плоскости у.

Комплексный и кватернионный случаи

Комплексная модификация определения многообразия RG(n, fe) сводится к замене ^-мерных плоакостей пространства R", проходящих через 0, ^-мерными плоскостями пространства С", проходящими через 0. Результатом модификации является комплексное многообразие CG (ц, к^ размерности 2й(п—к\ называемое комплексным многообразием Грассмана.

Очевидно, CG(n, 0) и CG(n, п) являются точками, a CG(«, 1) совпадает как топологическое пространство с СР"-1. Последнее означает, что мы наделили пространство СР"-1 комплексной Структурой, согласованной с его топологией и делающей его комплексным многообразием, размерности п— 1. Зта структура описывается в однородных координатах так же, как ^“-структура многообразия RP"~l, и делает канонический гомеоморфизм CP*->S2 (см. 1.2.5.6) ^“-диффеоморфизмом.

Комплексные аналоги CG(n, k^-^CG^n, n—kY CG(n, k)-+ CG (n + q, k), CG (n, k) -> CG (n + q, & + q\ CV (n, k) -> CG (n, k) и СК'Ог, k^-^-CG^n, k) отображений G^n, k^->G^n, n — k),

G (п, А) -► G (n + q, k), G^n, /?) -> G (n + q, к + q\ V (n, k)-*G (n, k^ и V'^n, k^-*Gkyi, k\ определенных в 3, очевидны; первый из них является биголоморфным отображением, второй и третий являются голоморфными вложениями, а четвертый и пятый являются ^“-субмерсиями. Укажем еще на ^“-вложения CG^n, k)—^G+(in, 2^), определяемые тем, что при овеществлении, превращающем С" в R2", /г-мерные плоскости делаются ориентированными 2/г-мерными плоскостями.

Поскольку многообразие CG (п, /г) является непрерывным образом многообразия СУ (и, к\ оно компактно и связно. Ясно

также, что оно аналитически вкладывается в R 2л: композиция только что описанного вложения CG(n, &)->G+(2n, 2^) и кано- с2й

нического вложения G+ (2n, 2fe) -* R 2л является ^“-вложением.

Заменяя в этих определениях комплексные числа кватернионами, мы получим связное компактное 4к (п -— ^-мерное ^“-многообразие HG(n,. k), называемое кватернионным многообразием Грассмана. При к = 0, п оно сводится к точке, при & = 1, п—1 топологически совпадает с кватернионным проективным пространством HP"-1. Благодаря последнему обстоятельству, ИР"-1 оказывается ^“-многообразием, а канонический гомеоморфизм НР'->54 оказывается ^“-диффеоморфизмом.

Кватернионные аналоги отображений, указанных в 3 и 7, являются ^“-отображениями; в частности, имеется каноническое ^“-вложение HG(n, &)->G+(4fi, 4к\ Компонируя это вложение с каноническим вложением G+(4n, 4&)->R 4л, мы получим ^“-вложение HG (п, k) -> R 4л.

Отображения

S2"-1 = СИ кп, l)^CG(n, 1) = СР"-1,

54л~‘ = НИ(щ l)-»HG(n, l) = HP"-1, содержащиеся среди канонических отображений, определенных в 7 и 8, совпадают, очевидно, с соответствующими отображениями Хопфа (см. 1.2.5.8). В частности, последние являются ^“-субмерсиями. Является ^“-субмерсией и отображение Хопфа SI5->S8, что непосредственно видно из определяющей его формулы.

Некомпактные многообразия Грассмана

Множество всех ^-мерных плоскостей пространства R", как проходящих, так и не проходящих через 0, мы будем обозначать через RG'^n, к) или, короче, G' (п, к) [0^/г^.п]. Оче-

видно, что для всякой плоскости V eG'kn, к) в Rn+I имеется единственная (6 + 1)-мерная плоскость у, проходящая через 0 и через (6-мерную) плоскость, получающуюся из у' сдвигом на вектор ortn+1. Ясно также, что формула у'н->у определяет взаимно однозначное отображение множества G'^n, k) в G(n + 1, k + 1) с открытым образом. Это позволяет считать ~G'{п, k) открытым подмножеством многообразия G(n+1, 6 + 1) и, в частности, делает G'(n, 6) (6 + l)(n — 6)-мерным ^“-многообразием. Последнее называется некомпактным многообразием Грассмана.

Многообразие G' (п, к^ естественно отображается на G^n, ку плоскости у'еС'(д 6) отвечает параллельная ей плоскость уеС(п, ку Очевидное применение теоремы 1.5.9 показывает, что это отображение является ^“-субмерсией (в качестве требуемой теоремой 1.5.9 окрестности V плоскости у в G(n, к') можно взять все G^n, k}, а в качестве g— отображение, относящее плоскости из G^n, к) параллельную ей плоскость, проходящую через произвольно фиксированную точку плоскости у'). Прообраз плоскости yeG(n, к') при этой субмерсии состоит из всех 6-мерных плоскостей пространства Rn, параллельных у, и канонически диффеоморфен ортогональному дополнению у плоскости у (через каждую точку плоскости у-1 проходит единственная 6-мерная плоскость, параллельная у).

Ориентированный, комплексный и кватернионный варианты этих определений очевидны.■

Некоторые многообразия Штифеля и Грассманамалых размерностей

Многообразие RV (4, 2) канонически ^“-диффеоморфно 53Х52.‘.

Канонический ^“-диффеоморфизм S3 X ^ -> RV (4, 2) переводит пару (х, y)eS:XS2 в репер (х, xshi(y)}.

Многообразие SO (4) канонически ^“-диффеоморфно 5Л X SO (3).

Канонический ^“-диффеоморфизм 53Х 50(3)->50(4) опре-- деляется кватернионной формулой (х, \у, г}) »—> {х, х shi (z/), xshi(z)} (в которой точки многообразий 50(3) и 50(4) интерпретируются как реперы).

Многообразие 0+ (4, 2) канонически ■ Ч^-диффеоморфно S2 X 52.■

Канонический ^“-диффеоморфизм G+(4, 2)->52Х$2 относит ориентированной плоскости, натянутой на репер (х, z/j е V (4, 2), пару (shi~'(ху-1),. shi-1 (х~'у)). Обратный диффеоморфизм относит паре (zz, у) g S2 X 52 двумерную плоскость, заполняемую кватернионами вида shi (и) q + q shi (у), где q — пройзвольный кватернион. Что пара (shi-1 (ху-1), shi-1 (х-1у)) определяется ориентированной плоскостью, натянутой на репер {х, у), что кватернионы вида shi (zz) q + q shi (у) заполняют в точности двумерную плоскость и что построенные отображения G+(4, 2)-> 52 X 52, S2 X 52—> G+ (4, 2) взаимно обратны, проверяется автоматически.

Упражнения

Однородный многочлен от п+1 переменных с вещественными (комплексными) коэффициентами называется неособым, если в Rn+I \ 0 (в C"+I \ 0) его частные производные не обращаются в нуль одновременно. Показать, что проекция Rn+1 \ 0-> RPn (проекция С"+1 \ 0 -> СРП) переводит множество нулей такого многочлена, отличных от 0, в подмногообразие многообразия RPn (многообразия СРпУ

Показать, что подмногообразие проективной плоскости RP2, определяемое уравнением р(хь х2, х3) = 0, где р—неособый однородный многочлен степени k с вещественными коэффициентами, в том и только том случае обладает ориентируемой окрестностью, если h четно. (См. 1.)

Показать, что подмногообразие проективной плоскости RP2, определяемое уравнением р(хь х2, х3) = 0, где р —неосо- - бый однородный многочлен степени 3 с вещественными коэффициентами, гомеоморфно либо S1, ли^о S'US', причем обе возможности реализуются.

Показать, что уравнение xf + х; + х3 = 0 определяет в СР2 подмногообразие, гомеоморфное 52.

Показать, что уравнение х® + х3 + х3 = 0 определяет в СР2 подмногообразие, гомеоморфное S'XS1.

Показать, что уравнение х^ + х2-(-х|-(-х^ = 0 определяет в СР3 подмногообразие, гомеоморфное S2X$2.

1

Показать, что RG(n, У) допускает ^“-вложение в RP п , a CG(n, £) допускает голоморфное вложение в СР п .

Показать, что многообразие RV (8, £) ^“-диффеоморфно S7 X R^ (7, к — 1) [1 ^ к <. 8], а многообразие CV (4, к) ^“-диф- феоморфно S7XC7(3, к— 1) [1^^^4].

Положим, в согласии со схемой 1.2.4.2, Л’1 = Л2 = Л3 = Са2, Ли = Л22 = Л33 = Са2, А12 = A2i = А31 = {(уь у2)еСа2 |у2=#0), А13 — Аз = Аг = {(Уь Уг) s Са21 г/i #= 0} и определим отображения ф^,: Aw,-> А^ формулами Ф^= id, Ф12(yv, у2) = ф21 (ур у2^ = = (У7\ У2УГ‘)> ^(Уг У2) = Ф32(У1- У2) = (У1У2г. У2У Фз1 (Ур А)= (у2у?х, УТ1У Ф1з(Ур у2) = (у?г. У\У2'> Проверить, что ^, А^, и Фни' удовлетворяют требованиям определения 1.2.4.2, так что определено соответствующее объединение, и показать, что это объединение гомеоморфно СаР2. Показать, далее, что отображения (abimm^)’1: imm^ (Са2)-> Са2 = R16 составляют ^“-атлас этого объединения, делающий его ^“-многообразием.

§ 3. ОТСТУПЛЕНИЕ: ТРИ ТЕОРЕМЫ АНАЛИЗА

Аппроксимация функций многочленами

. Цель настоящего параграфа — сформулировать и доказать три теоремы анализа, именно, теоремы 4, 2.3 и 3.3. Они разнородны по характеру и собраны здесь потому, что все три потребуются нам в этой главе и ни одна из трех не входит в традиционный курс анализа.

Основная теорема настоящего пункта, т. е. теорема 4, выводится из леммы 3. Лемма 2 нужна для доказательства леммы 3.*

(Лемма). Для любого положительного д, меньшего 1,

в

lira — (1 — t2)k dt = 1,к-»оо ak

где

i

ак = ^1-Пк4(.(1)

-i

Это — очевидное следствие неравенств • в

о<1 —L ((1_,у»<Ш1^Д/Д^-У,

6-8v~~7

первое из которых, опять-таки, очевидно, а второе получается из оценок:

61

ак - J (1 - t2^ dt = 2 $ (1 — (2)6 dt < 2 (1 - 6) (1 - d2)\ -е6

6/2

ак> j (1-Л)М>б(1 --^)\ -6/2

(Лемма). Существует такая последовательность ^Рь- ^ Un, R) -* ^ (R", R)}”=1, что-, (i) ркУ) есть многочлен для любых f^'C(r, R) и к; (ii) если f обращается в 0 на Frln, то последовательность {р& (Л I/”} равномерно сходится к f; (iii) если f обращается в 0 на Fr 1п и имеет непрерывную частную производную DJ, то’

pAD^-D^Y

Доказательство. Мы полагаем для f е ^(/", R) [рИЛК^ь • • •, ХЛ = п

= АтМ (Л .. ■, и П Ч - (Л - xsY\k dtx ..... dtn, (2)

где ак определяется формулой (1). Что это многочлен — очевидно. Проверим свойства (ii), (iii).

Чтобы проверить (ii), продолжим функцию / на R", полагая /(х) —О при хекЛ/'1, и обозначим через М наибольшее значение абсолютной величины функции f. Найдем, далее, по произвольно заданному положительному - е такое положительное 6, меньшее 1, что ЩЛ> •••> xn) — ^(xi> •••> %п)|<~е/2, если I х( — х. I ^ 6, .'.., I х' — х„ К &, и затем такое К, что при к>К'

Г 6

(см. 2). Мы покажем, что если хеГ и к > К, то|[Рй(ЛКх) — f U) I < а.. ■

Представим [pfe (f)] (х) — / (х) в виде

“к ^/=1

заменим подынтегральную функцию ее абсолютной величиной, произведем в полученном интеграле замену переменных (/ь . .., /„)*-* Ui — *1, ..., tn— х^, расширим новую область интегрирования, т. е. куб [— xlr 1 — xj X • • • X [— хп, 1 — xnL до куба [—1, 1]" = [— 1, 1] X ... X [—гЬ 1] и разобьем новый интеграл на два интеграла, распространенных на куб [—6, dj" и его дополнение [-1, 1]«\[—б, д]л; мы получим:

IIpJDIW — fWI<4 $ lf(^+^i,^ + ^)-

[-6, 6]"

f(*i,х„)|П(1-<Л1 dtn +.

~1/(Л+х1tn-Vx^ —

°к l-l,ll”\l-6, 6]n'

f(xix»)l IJ(1 — ^dtx ... dtn.

/=i

Первое слагаемое меньше е/2, так как | f (^ +хь ..., tn + х„) — / (хь ..., хп) | < е/2 при (/ь ..., tn) е [— б, 6]п и

бп

no-<^iSo-^y^l <i.

Второе слагаемое также меньше е/2, так как |/(Zi+xb ..., tn-Vx^ — U^ ^„)I<2M и

■^$П^1"^^ dt* =

°6 l-i, п"\[-б, 6in/=1■

Тадим образом, | [р^(f)] (х) — f (х) | < е.

Чтобы проверить (ш), вставим Dtf вместо / в определение (2) и применим к правой части «интегрирование по частям по tp». Мы получим

[PaW)](4, •■•-, хп) =

-4 \Ж .... Q-^TTn-^-^M, ... dtn, (3)

и так как

^т ПI* - (0 -- - ^7 П U - - х,Н‘, -

‘ /-11 7 = 1.

то правая часть формулы (3) равна \Dtp)AbHxi, •••> хп\

Пусть X — компактное множество в R” и f — вещественная функция, определенная и принадлежащая классу Ч8Т в некоторой окрестности множества X. Если г<.оо, то для всякого положительного е и всякого целого s, не превосходящего г, существует такой многочлен g: Rn->R, что при любых неотрицательных целых sh ..., sn с st + ... + sn^s -

mjx| D,‘ ... Dsng^ — D®1 ... D^f (x)| < e.

Доказательство. Можно, очевидно, считать, что X с Int/R. Пусть (/ — упомянутая окрестность множества X и Р: Rn->-R — какая-нибудь ^""-функция, равная нулю на Dn и 1 вне концентрического шара радиуса 2. Обозначим для у е (/п\ (/) U Fr/п через d(y) шар радиуса Dist(y, Х)/4 с центром у, покроем множество (/”\f/)UFr/n конечным числом открытых шаров Intd(^), скажем, шарами Intd(yi), ..., Intd(ys), и определим функцию h: In->R формулой .-

S -

/i(z/) = -/i(z/) = -f (у) П Р (4 (у — ys)/Dist (ys, X)), если де U, z=i .

/i(z/) = -

/i(z/) = -

О,если y^.U.

Эта функция принадлежит классу ^, совпадает с f на X и обращается в 0 в окрестности множества Fr/”, из чего видно, что в качестве g можно взять pk (h) с рк из леммы 3 с достаточно большим к.'

2, Особые значения .

В этом.пункте предполагаются заданными открытое подмножество U пространства Rn и ^“-отображение f: t7 —* R'7 с <7^1. Часть множества [7, составленная из точек, в которых якобиева матрица отображения / имеет ранг, меньший у. обо-

значается через F. Цель пункта — доказать теорему 3, которая нужна для следующего параграфа (см. 4.7.4).

Нам потребуются еще два обозначения: через fj будет обозначаться /-я координатная функция отображения / (/ = 1, ...,</), через F$— множество точек из Ц, в которых все частные производные функций fj, имеющие порядки 1, ..., s, обращаются в 0. Ясно, что множества Fs замкнуты в U и что F^dF^ F2td ...

(Лемма). Если s>(n/q)—1, то образ f(C) любой компактной части С множества Fs нигде не плотен.'

Достаточно доказать, что для всякого лежащего в U куба Q пространства R" множество f(CHQ) нигде не плотно. Действительно, С можно покрыть конечным числом таких кубов, а объединение конечного числа нигде не плотных множеств нигде не плотно.

Пусть а — ребро куба Q. Разделим Q стандартным образом на mn кубиков с ребрами a/rn (т — произвольное натуральное число) и рассмотрим кубик Q', пересекающийся с С. Из теоремы Тейлора, примененной к функциям fj, и ограниченности на Q их частных производных порядка s + I следует существование такой постоянной Ь, что для любых х е Fs П Q, у ^Q dist (f(x),f(y))^b [dist (x,<+1.

Поскольку диаметр кубика Q' равен a^nfm, это неравенство показывает, что множество f(Q') содержится в шаре радиуса Ь^а-\Мпг) . Стало быть, f(Q') содержится в кубе пространства R" с ребром Sb^aAjnlrnf* , a f (С П Q)— в объединении самое большее mn таких кубов. Объем каждого из них равен [,2b (а л]п/m)S+] , а сумма их объемов не превосходит

'пг1 [26 (ал/п[пг) +1] = cmn-q('s+'\

где с не зависит от т, и, следовательно, сходится к 0 при т->со. Это исключает существование у множества f(CQQ) внутренних точек, а поскольку последнее замкнуто, отсутствие у него внутренних точек означает, что оно нигде не плотно.

Образ f(C) любой компактной части С множества F нигде не плотен.■

Доказательство проводится индукцией по п. Так как при п = 0 доказывать нечего, достаточно установить, что теорема верна при п — ^ + 1, если она верна при n = k. ,

■ Начнем со специального случая: пусть Fx = 0. Поскольку множество С компактно, достаточно найти для его произвольно взятой точки х такую окрестность V в U, что множество f (С П V) нигде не плотно. Будем считать, что Z)A+1f^(x)^O (этого

всегда можно добиться перенумерацией кцординат в R6+l и R9), и рассмотрим отображение g: U ->Rfe+1, определяемое формулой

У = (уь . . ., Уьн^ (уХ, . . •, Уь fq (у)).

Его якобиан не обращается в 0 в точке х (он равен Dk+Xfq), так что g ^“-диффеоморфно отображает некоторую окрестность W точки х на некоторую окрестность точки g(x). Оказывается, что в качестве V можно взять любую окрестность точки х с компактным замыканием, лежащим в 1F. Чтобы установить это, обозначим через h сквозное отображение

g (Г) J^lX W R».

Оно переводит каждую точку из g(W) в точку с такой же последней координатой и, в частности, при любом вещественном и допускает сокращение до отображения

которое, после стандартного отождествления левой части с ее ортогональной проекцией на R6 и правой части с ее ортогональной проекцией на К9-1, превращается в некоторое ^“-отображение hu открытого подмножества пространства R6 в R'7’"'. Ясно, что якобиеву матрицу отображения Аи в точке (уь ..., у^ можно получить из якобиевой матрицы отображения к в точке (уь •••> У&, м), вычеркнув последнюю строку и последний столбец, и что вычеркиваемая строка имеет вид 0 ... О 1. Следовательно, ранг первой матрицы меньше q—1 тогда и только тогда, когда ранг второй матрицы меньше q, т. е. когда (уь •••, Уь и) г g^F V\W). Применяя к отображениям hu индуктивное предположение, мы заключаем из этого, что множество A (g (С f) С1 7)) пересекается с каждой гиперплоскостью R^'X» по нигде не плотному в ней множеству. Но в таком случае . множество А(^(СПС1У)) не имеет внутренних точек в R9, и остается заметить, что оно замкнуто и совпадает с f (С f) Cl V),

Рассмотрим теперь второй специальный случай: С cFs и Fs+1 — 0 (при некотором s). Опять-таки, достаточно найти для произвольно взятой точки х из С такую окрестность V в U, что множество f (С П V) нигде не плотно. Пусть ср — такая производная порядка s одной из функций f/, что одна из производных £)/ф, скажем, /)6+1ф, не обращается в точке х в 0. Рассмотрим отображение g: U->Rk+1, определяемое формулой

У = (Уь . .., Уй+1)^(уь •уь ф(^))-

Его якобиан не обращается в 0 в точке х (он равен Д&+1ф),

так что g ^“-диффеоморфно отображает некоторую окрестность IF точки х на окрестность точки g(.x). Мы покажем, пользуясь сквозным отображением

g(r)^i^>F^>R9, (4)

что в качестве V можно взять любую окрестность точки х с компактным замыканием, лежащим в W. Для этого заметим, что g(C)czR6, и сузим отображение (4) до отображения A: gW') П R6 К9- Ясно, что все производные координатных функций отображения h, имеющие порядки, не превосходящие s, обращаются в 0 на §(СП!Г). Из этого следует, в силу индуктивного предположения, что компактные части множества §(СПГ) переводятся отображением 1г в нигде не плотные множества, и остается заметить, что g (С QCIF) есть компактная часть множества ^(СПИ^), a h\g^C Q Cl V)) совпадает с f(CQClF).

Обратимся, наконец, к общему случаю. В силу леммы 2, множество f (С П ^г) нигде не плотно при некотором г, и мы проведем доказательство индукцией по г, т. е. покажем, что если множество f(C("] Fr^ нигде не плотно, то при г = 1 множество f(C) нигде не плотно, а при г > 1 множество f (Cf)^—t) нигде не плотно. Пусть G — непустое открытое множество в Р'7. Поскольку множество СПД- компактно, а множество /(СП^г) нигде не плотно, у С П Д есть в R" такая окрестность N, что замыкание Cl N компактно и содержится в U, а множество f (С1 Д'") не покрывает G. Заменим отображение / его сужением на U\Fr, а множество С — множеством

z ( C\N, если г = 1,С =t (С\РГ)\У, если г>1.

Возникшая ситуация охватывается уже проведенной частью доказательства (а именно, первым специальным случаем, если r= 1, и вторым специальным случаем, если г > 1), из чего мы заключаем, что множество f(C') не покрывает G\f(Cl^. Следовательно, при г —1 множество /(С) не покрывает G, а при r> 1 множество /(СП^г-i) не покрывает G, что и завершает доказательство, поскольку множества /(С) и / (С fl^-i) замкнуты.

4 (Информация), ^“-гладкость отображения / является в теореме 3 излишне сильным условием: на самом деле изложенное доказательство использует лишь принадлежность / классу ^ с г = 2 + max(п — q, 0). Более внимательный анализ показывает, что это г можно уменьшить еще на 1 (см., например, [21]), однако дальнейшее уменьшение г уже невозможно (для q = 1 это доказано в [23], случай q > 1 легко сводится к случаю q = 1).

Невырожденные критические точки .

/. Критическая точка у вещественной функции f, определенной на открытом подмножестве пространства R" и принадлежащей классу ^2, называется невырожденной, если в этой точке второй дифференциал функции f (рассматриваемый как квадратичная форма) имеет ранг п. Индекс второго дифференциала (число отрицательных. квадратов в диагональном представлении формы) называется индексом точки у и обозначается через indfz/.~

Заметим, что если ф — диффеоморфизм класса 'S'2 открытого подмножества U пространства Rn на другое его открытое подмножество и у — невырожденная критическая точка функции f:-U-*R, то Ф (г/) есть невырожденная критическая точка функции /°ф-’: ф((/)->₽ и indf -i ф(у) — indf у. То и другое верно также в более общем1 случае, когда ф принадлежит классу <^1, если функция /оф-' принадлежит классу %2.

Рассмотрим функцию R"->-R, определяемую формулой

(хр .... Х„)^-Х2- ... ~4 + 4+1 + ... +х2 + с, (5)

где с — вещественное число (0^/?^п). Она имеет единственную критическую точку, именно 0, и ясно, что это — невырожденная точка индекса k. Главная цель настоящего пункта — показать, что в надлежащим образом выбранной системе координат всякая достаточно гладкая функция имеет вблизи невырожденной критической точки вид (5).-

2 (Лемма). Пусть V — открытый шар в R" с центром 0 и f: V -> R — функция класса ЧП с f(0) —0. Тогда существуют такие -функции h, ..., tn- V-^R, что для всякой точки x — <xv, ..., хф из V

п

^ = Т,хМх\(6)

Для доказательства достаточно положить

1■

’о

Равенство (6) следует из равенства

п .-

'■ ^-f(^) = ^X;£)zf(/x)..

<-1

Пусть у — невырожденная критическая ' точка функции f, определенной и принадлежащей классу Я?т. на, открытом под-

множестве пространства Rn. Если г^З, то существует такой диффеоморфизм ф некоторой окрестности U точки у на некоторую окрестность V точки Oj что сужение f |у представляется как сквозное отображение U-^-V—► R с к = тб^ у и с = ^у\ Доказательство. Достаточно рассмотреть случай у = 0, f(y) = O. Согласно 2, в некоторой окрестности точки 0 .

f(x)= £ xzfi(x)

с ^-'-функциями f{. Прямое дифференцирование показывает, что Dif (х) = fi (х) + £ XjDifj (х), так что fv(0)= ...=fn (0) = 0.

Снова применяя лемму 2, мы видим, что в некоторой окрестности Vo точки 0

fi^ = ^Xjfti^ (i=ln)

с ^""~2-функциями ftj и, таким образом, для хеУ0

. f(x) = ^gtj^XiXh

где gti (х) = [fi;- (х) + f^ (х)]/2. Очевидно, giy(0) = DtD^ (0)/2.

Дальнейшие построения следуют стандартному приведению квадратичной формы к каноническому виду линейными преобразованиями. Мы построим для р=0, ..., п окрестности V р, Wp точки 0 в Rn, диффеоморфизмы фр: WP^VP класса ^г~2 и функции g^: Vp -> R класса ^г-2 с I, j = р + I, ..., п, такие, что: (i) Wp с Vp-ь (ii) фр(0) = 0; (iii) сквозное отображение

представляется формулой вида-

"хн^±х2± ... ±х^+ ^ g^(x)xx;(7)

■.i, f-p+i

(iv) gplj = gpji. Этим доказательство' будет доведено до конца: в качестве V можно будет взятьч

фг’С

в качестве ф — сквозной диффеоморфизм

К—*Ф1(К)—*Фг(ф1(У)) —* ... —* V» —> л (К„),

где л — надлежащая перестановка стандартных координат в R", и в качестве U— множество ф-1(К).

Окрестность Ко у нас уже имеется. Положим Wo = Ко, Фо = id Хо, ^M = gu и допустим, что Vp, W р, фр и g? со свойствами 0), (ii), (iii), (iv) при p^q построены. Ясно, что 0 есть невырожденная критическая точка функции (7) с р — q; следо-

вательно, матрица G = ||gfy(O)Jj"+[ невырождена, и существует такая невырожденная вещественная (и — q) X (п — ^-матрица А, что левый верхний элемент матрицы A‘GA отличен от 0. Обозначим через / линейное преобразование простран-

ства R" с матрицейства R" с матрицейГ5 01

ства R" с матрицей

ства R" с матрицей

0 XJ’ ГДе ^ — единичная 1 X ^-матрица.

Композиция диффеоморфизма ab/: I 1 (Vg) -> Vq и функции (3)

представляется в виде

п

X I—* ± X2 ± . . . ± X2 +52 кц^ xixJ

4 i, /-9+1

с htl = hji и hq+itq+l (0) =Х 0, и мы вводим в рассмотрение часть L множества Г"' (У9), составленную из точек, в которых hq+i.q+i не обращается в 0 и имеет тот же знак, что и ^9+1,9+1W’ а затем определяем отображение ф: L-*Rn формулой ф(х) = (х!xq, g Vl^+M+itol, xq+2, • хп\ где

Уs>9+1Уs>9+1hs, 9+1 (x)Xs-rhq + 1, 9 + 1 (^)

У

s>9+1

У

s>9+1

Как показывают несложные вычисления, якобиан отображения ф в точке 0 отличен от 0. Следовательно, сокращение этого отображения на некоторую окрестность М точки 0 и ее образ ф(М) является <@"'-2-диффеоморфизмом, и очевидная проверка показывает, что множества V9+i =ф(М) и Wq+i — 1(М), отображение Ф9+1: Wq+1->Vq+1, определяемое формулой ф9+1 (х) = ф(Г1 (х)), и функции gj^1'- K9+1^-R, определяемые формулой

^/+1М = hti U) —^/+1М = hti U) —^t, 9 + 1 (Х) ^/. <7+1 (*)^9 + 1, 9 + 1 Сх)^t, 9 + 1 (Х) ^/. <7+1 (*)^9 + 1, 9 + 1 Сх)

^/+1М = hti U) —

^/+1М = hti U) —

^t, 9 + 1 (Х) ^/. <7+1 (*)^9 + 1, 9 + 1 Сх)

^t, 9 + 1 (Х) ^/. <7+1 (*)^9 + 1, 9 + 1 Сх)

обладают свойствами (i), (ii), (iii), (iv).

ВЛОЖЕНИЯ. ПОГРУЖЕНИЯ. СГЛАЖИВАНИЯ. АППРОКСИМАЦИИ■

Пространства гладких отображений

Пусть X, X'— многообразия класса Ri^ (О^г ^а). Мы обозначаем через ^(Х, Х'^ множество всех ^^отображений Х—>Х' и при г^оо наделяем ^ЧХ, Xх) ^-топологией, которая делает ^(Х, X') топологическим пространством и определяется следующим образом. Зададимся какими-нибудь картами ф£ AtlX, ф/еАПХ/, какой-нибудь последовательностью неотрицательных целых чисел гх, ..., rnc п = dimX и гх + ... + г„^г, каким-нибудь компактным подмножеством А множества 1тф и каким-нибудь открытым подмножеством А' пространства Rn с п' = dim X' и рассмотрим подмножество множества ^(Х, X'), составленное из отображений f, у которых

[О? ...£>? 1ос(Ф, ф')ГкЛ)с2 А'.'

Такие подмножества составляют предбазу ^-топологии в

^Чх, х'\

. Ясно, что ^(Х, X'f = R4X, X'), а ^“-топология есть просто компактно-открытая топология (см. 1.2.7.1). Ясно также, что при s<r включение ^(Х, Х'^-^ЧХ, Xх) является непрерывным отображением. Как это прямо следует из определения ^""-топологии, все пространства ^(Х, Xх) регулярны. Заметим еще, что множества, замкнутые (открытые) в ^“ЧХ, X'), — это в точности множества, замкнутые (открытые) во всех ^""-топологиях с конечными г.'

Каждой паре '^'"-отображений ft У-*Х, f4 X' отвечает отображение ^ЧХ, Х^-^ЧУ, У'У определяемое формулой gv-^-f' о g о f и обозначаемое через ^r(f, f'\ Ясно, что ^(V, f')~

Г) [см, 1.2.7.1], что ^(.f, Г) = ab ^Ч!. f') ПРИ s<r и что отображение R?4f> У) непрерывно, если г^оо.

Перечислим некоторые важные для дальнейшего подмножества множества ‘б'ЧХ, Xх). Множества '^"'-вложений, <@"'-погружений, '^"‘-субмерсий и '^"'-диффеоморфизмов Х->Х' обозначаются через Emb'XX, Xх), Immr(X, Х'\ Submr(X, Xх) и Diffx(X, Xх) [l^r^a]. Множество '^"’-отображений ft Х->Х', у которых f(dX)cdXx и dxf (Tang* X) (^ Tang f(x> (5Хх), если х^дХ, обозначается через ^(Х, Xх). Вместо Diff(X, X) обычно пишут DiffxX.

Очевидно, что при l^r^oo отображение пространства %(Х, X') в ‘б'ЧдХ, дХх), определяемое формулой f^—^ ab f, и отображение пространства ^(Х, Xх) в ‘@’г~1 (Tang X, Tang Xх), определяемое формулой f i—> df, непрерывны.

7 В. А. Рохлин. Л. Б. Фукс /

Если X компактно, то множество linin'" (X, X') открыто . в ^ЦХ, Xх) [1 <г<оо].

Мы должны указать для заданного‘^'"-погружения f0: Х—»Х' его окрестность в Чг>ЦХ, X'), составленную из погружений. Фиксируем для каждой точки х из X такие карты фхеАПхХ, ф'еА1и', что f0 (supp фх) с= supp фх и 1ос (фх, ф') f совпадает с одним из включений R"—>Rn, RI—>Rn, R1->R1 (см. 1.5.3 и 1.5.1; здесь n = dimX, п' = dim X'Y Покроем, далее, X конечным числом множеств Ux = q>xv (Int £>"), скажем, множествами UX1их$, и обозначим через ^, часть пространства ^т (X, Xх), составленную из отображений /, у которых / (Cl Ux) c= supp ф' и верхний иХ^-минор якобиевой матрицы отображения 1ос(фх , Ф^)/ не обращается в нуль нигде на D". Пересечение ^х П • • • П ^s и будет требуемой окрестностью отображения f0.

Если X компактно, а X' не имеет края, то множество Submr(X, Xх) открыто в г€ткХ, Xх) [l^r^oo].

Мы должны указать для заданной ‘^'"-субмерсии /V- Х-^Х' ее окрестность в Ч-Г^Х, Xх), составленную из субмерсий. Фиксируем для каждой точки х из X такие карты фхеА11хХ, Фх е All Xх, что f0 (supp фх) с= supp фх и 1ос (фх, фх) f0 совпадает с одной из ортогональных проекций R^^R", Rl->Rn (см. 1.5.7). Покроем, далее, X конечным числом множеств Ux = ф~* (Int£>"), скажем, множествами Ux? ..., Ux , и обозначим через ^ часть пространства ЧГ ^Х, Xх), составленную из отображений f, у которых f (Cl Ux J cz supp фх и левый н'Х^-минор якобиевой матрицы отображения 1ос(ф^, Ф^)/ не обращается в нуль нигде на Dn. Пересечение ^Ix П • • • Л ^s и будет требуемой окрестностью отображения /0.

■ 4. Если X компактно, то множество Embx(X, Xх) открыто d ^'(Х, Xх) [1<г<оо].

Доказательство. В силу теорем 2 и 1.5.4, достаточно указать для заданного ‘^'"-вложения f0; X -> Xх его окрестность в <@"‘(Х, Xх), составленную из взаимно однозначных отображений. Фиксируем для каждой точки х из X такие карты Фх®АНхХ, ф'еАНХ', что /0 (supp фх) с supp фх и 1ос(фх, фх) ^ совпадает с одним из включений Rn->Rn, Rl->-Rn, Rl—>R1 (см. 1.5.1). Покроем, далее, X конечным числом множеств П^ = Фу1 (Int Д"), скажем, множествами UX1UXs, и обозначим через 4Z"i часть пространства <@'Г(Х, Xх), составленную, из таких отображений /, что f (Cl Ux^ с supp фх^ и все главные миноры

симметризованной верхней пХ^-части якобиевой матрицы отображения loc^^, ФХ;)А вычисленной в точках шара Dn, положительны, (Главные миноры — левые верхние миноры; сим- метризойанная матрица —ее полусумма, с транспонированной матрицей.) Обозначим, наконец, через ^ часть пространства 'У'АХ, X'Y составленную из отображений, у которых прообраз каждой точки содержится в одном из множеств UXl. Мы покажем, что пересечение Т^'Ч/х^ ... П^Л^ является требуемой окрестностью отображения f0. Поскольку включение fQey очевидно и столь же очевидно, что все множества ^ открыты, достаточно показать, что: (i) множество ^ открыто; (и) отображения из ^ взаимно однозначны на Ux..

Чтобы доказать (i), заметим, что °11 есть прообраз множества.'

V = ^^XXX, UXX)\ Uz^Xl/x,);

m', (X'XX')\diag(X'))

при непрерывном отображении ^’’VX, Х'^-*^ (X X X; X' X X'), определяемом формулой f и-> / X f. Так как множество (ХХ^)\ U г (Ux^Ux?) компактно, а множество (X'X^^Xdiag^X') открыто в Х'ХХ' (см. 1.2.2.4), то W открыто в % (X X X, X' XX') и ^ открыто в IX (X, X').•

Чтобы доказать (И), обозначим для fe^/z и двух произвольно взятых различных точек у, геУ,. через s функцию Z—>R, относящую точке /е/ вычисленное в Rn скалярное произведение вектора v = фх (г) — ф^ (у) на вектор.

- [1ос(ф^. ту f] (U - ^Фх, (у) + 1ч?х. (2)) - 1ос(Tv Фу/(у). Обозначим, далее, через J (и) симметризованную верхнюю иХ^-часть якобиевой матрицы отображения 1ос(фх , ф' )/, вычисленной в точке uelntZ)”, и через ^ — билинейную форму R" X R" R с матрицей 7^(1 — Лфх.(^) + ^Фх.(2))- Функция s является гладкой, и ее производная в точке / равна ^<(v, о), а это число (в силу определения ^^ заведомо положительно. Так как, кроме того, s(0) = 0, то s(l)>0, т. е. f (у) + f (2).

Если X компактно, то множество правильных ^'-вложений Х->Х' открыто в ^э^Х, X') [l^r^oo],-■

Это следует из 4, поскольку указанное множество совпадает . с EmVU, X^n^aU, X').■"

Если X компактно, то множество Diffr(X, X') открыто ' в WX, Г) [l^r^oo].

Это следует из 5 (см. 1.5.1). ._

Простейшие теоремы вложения

Компактное многообразие класса Ч^ с 1 ^г ^ °о допускает ^-вложение в евклидово пространство достаточно высокой размерности.

Доказательство. Пусть п— размерность подлежащего вложению многообразия X и a; R"-> 7 — функция класса ^, равная 1 на Dn, меньшая 1 вне Dn и равная 0 вне концентрического шара радиуса 2. Фиксируем для каждой точки х из X карту фх е At 1 x X с 1ш фх = Rra или R1 и фх (х) = 0 и определим отображение /х: X -> R X R" формулой

. nf НфхШ «^((/^(z/)), если уезиррфх,

1х кУ)| (Д Q^если у s ^ \ supp фх.

Покроем, далее, X конечным числом множеств Ux = <px' (J^Dn), скажем, множествами UX1Ux , и определим отображение j: X —> (R X R”) X • • • X (R XRn) = Rs(rt+i) формулой Цу) = Qx kyY ix (у))- Это отображение принадлежит классу %г и взаимно однозначно, так как из включения y^Ux. следует, что !х. ky'} ^ ix. kyY если У'^У- [Последнее видно из того, что если y'^Ux., то а(фХ;(/))< 1, тогда как а(фх. ку)) — 1, а если y'^Ux., то а(фХг(/))фх<(/)=фхД/)=^фх^) = а(фХг(у))ф^ Кроме того, / является погружением, так как jx является погружением на Ux. (вторая компонента X->Rn отображения jx совпадает на Ux. с фЖ;). Следовательно, j есть ^-вложение (см. 1.5.4).

Дополнение в случае непустого края

(Лемма). На всяком компактном многообразии X класса <6>г с l^r^oo существует {вещественная) ^-функция h, обращающаяся в 0 на дХ, положительная на int X и не имеющая критических точек на дХ. .

Доказательство. Пусть a: R"—> 7 — функция класса ЧН с n = dimX, равная 1 на Dn и 0 вне концентрического шара радиуса 2. Фиксируем для каждой точки хедХ карту фх е AtlxX, у которой 1тфх==₽1 и фж(х) = 0, и определим функции gx‘ X->R формулами

к 1 — «(фх ку))>

если

fx ку) = j

1 1,

если

Г — Р(фх (у)).

если

gx kg) 7^ |

1 о,

если

У® supp ф^.

у&Х \ supp фх;

у е supp фх, у@Х\ supp фх,

где р — функция на R\ определяемая формулой р(^t^=

/ia(/b ..., tn\ Покрыв дХ конечным числом множеств Ux = Ф~'(Int Z)ra), скажем, множествами U*xv /.., UXs, и положив

А (у) = П fXi (у) + S gXi (у),i=l 1i=l 1

мы и получим требуемую функцию h; X-*R. Действительно: h обращается в 0 на дХ, так как fX( обращается в 0 на UXl и все gx. обращаются в 0 на дХ; h положительна на int X, так как все fx., gx неотрицательны и gx положительна на int X всюду, где fx обращается в 0; h не имеет критических точек на дХ, так как l>gx. не имеет критических точек на дХ [у локального представления 1ос(фХЙ, idR)gx. функции gx., т. е. у композиции ^&J ^v пР0ИЗВ°Дная по первой координате отрицательна на Z^nR”-' при k — i и неположительна на О'Т|РГ* при любом /г], a nfx. обращается в 0 на Ul7xr

Компактное многообразие- класса с6^г с 1 ^ г ^ оо допускает правильное ^-вложение в евклидово полупространство достаточно высокой размерности.

Таково вложение в Ri+I — Rl X R’, определяемое формулой Xi—>(—Л(х), /(%))> где /-какое-нибудь ‘^"‘-вложение в R9 (см. 1), а /г — функция из 2.

Информация

В формулировках 1, 3 условие компактности и условие г =h а могут быть отброшены: всякое гладкое многообразие класса <6>г, как компактное, так и некомпактное, как с г^оо, так и с г = а, допускает ‘^’’-вложение в евклидово пространство, и всякое гладкое' многообразие класса <@’>г, компактное или некомпактное, как с г^оо, так и с г = а, допускает правильное ‘^'"-вложение в евклидово полупространство. Доказательства имеются в [22], [8].

Заметим, что исключение из теорем 1, 3 случая г = а вызвано его несравненно большей трудностью. В дальнейшем это исключение скажется на ряде формулировок: ср., например, 4.2, 5.3, 6.5, 4.6.2.7.

Трансверсализации и трубки

В этом пункте изучается структура окрестности образа замкнутого гладкого многообразия, • дифференциально вложенного в евклидово пространство. Результаты содержатся в

теоремах 4, 5, 7 и служат технической основой остающейся части параграфа. .

Пусть j — дифференциальное вложение гладкого замкнутого «-мерного многообразия в R9. Трансверсализацией вложения / называется такое непрерывное отображение т: X -> G(q, q — n\ что для каждой точки хеХ плоскость т(х) транс- версальна плоскости dxj (Tangx ЙО [т. е. пересекается с ней в единственной точке]. Фундаментальным примером служит нормальная траневерсализация, относящая точке хеХ соответствующую нормальную плоскость [т. е. ортогональное дополнение плоскости dxj (Tangx X) в R'7]; если j принадлежит классу гбг, то нормальная траневерсализация принадлежит, очевидно, классу ‘t^7'-1 (ср. 1.4.2).

С трансверсализацией т: X-*G(q, q — п) вложения /: X->R9 естественно ассоциируется отображение тХ: X —> G' (д, q — п), относящее точке х плоскость /(х)4-т(х) [которая проходит через /(х) параллельно т(х)]. Шар и сфера этой плоскости с центром /(х) и радиусом р обозначаются через d^x, р) и sT(x, р). Объединения Ux<=x^T(x, р) и V)xsx\dx<x, p)\sT(x, р)] называются трубкой и открытой трубкой радиуса р трансвер- сализации т и обозначаются через TubTp и tubTp.

Трубка ТиЬтр называется правильной, если при некотором о > р: (i) открытые шары dx(x, o) \sT(x, о) попарно не пересекаются и составляемая ими открытая трубка tubT or является окрестностью множества /(X) в R9; (11) отображение этой окрестности на X, переводящее dx(x, a)\st(x, о) в х, является гладким. Сужения указанного отображения на ТиЬтр и tubTp (не зависящие, очевидно, от выбора о) называются проекциями и обозначаются через prt.

Ясно, что если трубка TubTp правильна, то все трубки TubTp' с р'< р также правильны.

Предостережение: нормальная траневерсализация может не обладать правильной трубкой и даже трубкой с непересекаю- щимися шарами dT(x, р); см. упражнение 11.4.

Нижеследующая конструкция позволяет представить правильную трубку как образ некоторой ее идеальной модели и нужна для доказательства теорем 4 и 5. Обозначим через Tut подмножество произведения X X R9, составленное из пар (х, /), у которых 1ет(Д и через Титр и tuTp с р > 0 — части множества Тит, на которых dist(O, О^р и dist(O, /)<р. Обозначим, далее, через nat отображение множества Тих в R9, определяемое формулой nat(x, t) = /(x) + /. Очевиднр», nat изометрически накладывает каждую плоскость хХт(х) на соответствующую плоскость j (х) -f т (х) и отображает Титр в точности на TubTpt a tuTp —на tubtp. Ясно также, что nat взаимно однозначно на Титр тогда и только тогда, когда шары dt(x, р) попарно

§ 4] ВЛОЖЕНИЯ. ПОГРУЖЕНИЯ. СГЛАЖИВАНИЯ. АППРОКСИМАЦИИ 199 не пересекаются, а на tuxp — когда открытые шары dx(x, р)\ зх(х, р) попарно не пересекаются. В первом случае nat переводит сужение проекции pr^ X X R^ ~* А- на Титр в проекцию ргх: Jubxp->X, во втором случае — сужение проекции prt на tuTp в проекцию ргх: tubxp->X.

Нас будут интересовать только гладкие трансверсализации т. Если / ит принадлежат классу 48' cr^l, то X X К9 есть ‘^'"-многообразие, Тит — его правильное g-мерное подмногообразие (без края) и nat — отображение класса ^Е В этом случае Титр есть компактное g-мерное подмногообразие многообразия Тих с int(TuTp) = tuxp, а сужение проекции ргд XX Rq-^ X на любое из многообразий Tux, Tuxp, tuTp является ‘^"'-субмерсией. •

Пусть i ит принадлежат классу ^г 8 г^1. Если трубка Tubxp правильна, то она является ^г-подмногообразием пространства ГД с int(Tubxp) = tubxp, a prT: Tubxp-*X есть ^г-субмерсия.

Доказательство. Пусть ст—число, большее р и удовлетворяющее условиям (i), (ii) из 2. Согласно 3, отображение abnat: tuxa —>tubTa обратимо, и ясно, что обратное отображение abnat"1: tubT а->tux а описывается формулой у * (ргт (у), у — /°ргх(у)). Эта формула показывает, что abnat"1—гладкое отображение; таким образом, abnat есть ‘^’’-диффеоморфизм и устанавливаемые свойства трубки TubTp и проекции ргт: Tubxp—>Х являются следствиями свойств их моделей Тихр и аЬргд Тихр—>Х, установленных в 3.

Всякая гладкая трансверсализация обладает правильной трубкой.

. Доказательство. Пусть т — гладкая трансверсализация вложения /: X-^Kq. Трансверсальность плоскостей т(х), dxj (Tangx X) означает, что дифференциал d^,^ nat не вырождается, если t = 0, и потому nat диффеоморфно отображает некоторую окрестность U множества ХХО в Тит на некоторую окрестность множества /(X) [см. 1.5.5]. Ясно, что если Tuxр с: U, то Tubxp есть правильная трубка трансверсализации т.

(Лемма). Пусть X, X' — замкнутые ^’’-многообразия с 1 ^г ^оо. Если X' допускает ^г-вложение в евклидово пространство с ^'-трансверсализацией, то множество ^Г(Х, X') плотно в ^ ^Х, X'Y

. Доказательство. Фиксируем ‘^'"-вложение /": X-*Rq и ‘^"'-вложение f: X'->Rq с ‘8"'-трансверсализацией т'; достаточно показать, что для всякого непрерывного отображения f: X-> X' и всякого положительного е существует ^-отображение g-. X X' с ' ■ - .

. max,exdist (/ О f (х), ]' О g(х)) < 8

(см. 1.2.7.3). Построим правильную трубку Tubv р' с р'^е/2, обозначим через 6 меньшее из чисел е/2, Dist (i' (X'), R9 \tubr р') и заметим, что д>0 (см. 1.1.7.15). Согласно 1.1.5.12, сквозное отображение -

продолжается до непрерывного отображения f^ R’-^R9 ; в силу же теоремы 3.1.4, существует покоординатно полиномиальное отображение gv: R9->R9, такое, что

maxx s х dist (Л ° / (х), gx ° / (х)) < д.

Последнее неравенство показывает, что ^ ° / (X) с tubT' р', и ясно, что формула g (х) = ptr (gi ° j (х)) определяет требуемое отображение g: Х-*Х'.

Всякое ^-вложение замкнутого ^^-многообразия с 1 ^ г^а в евклидово пространство обладает ^-трансверсализацией.

При г = а, оо такова нормальная трансверсализация. При 1^г<оо существование нормальной трансверсализации обеспечивает непустоту множества трансверсализаций заданного ‘^''-вложения X -* R9, и так как это множество открыто в ^ (X, G(q, q — dim X)) [что очевидно], достаточно установить плотность множества ^r (X, G(q, q — dim X)) в ^ (X, G ^q, q — dim X)). Но эта плотность следует из леммы 6, поскольку G^q, q — dim X) аналитически вкладывается в евклидово пространство (см. 2.2.5).

Сглаживание отображений в замкнутом случае

Мы обращаемся к главному предмету настоящего параграфа-аппроксимации отображений одного гладкого многообразия в другое отображениями, которые более регулярны в том или ином отношении, например, обладают большей гладкостью или являются вложениями или погружениями.

В этом пункте аппроксимации повышают лишь гладкость отображения, не улучшая других его качеств, причем рассматривается наиболее простой случай замкнутых многообразий.

Если г^оо, то. для любых замкнутых ‘^'"-многообразий X, X' множество ^'(.Х, X') плотно в ^^Х, Xх) с любым s<r. То же верно при г = а, если X и X' допускают ^“-вложения в евклидово пространство.

Мы должны показать, что в ^"(Х, X') заданная окрестность ^ заданного отображения f содержит ‘^'"-отображение. Фиксируем ‘^'"-вложения j: X->Rq, j': X'->Rq , их ^-транс- версализации т, т' и правильные трубки Tubtp, ТиЬг'р' и рассмотрим отображение

(ab /, prv): ^s(Tubx (р/2), tubv р') ^s (X, Х')>

§ 4] ВЛОЖЕНИЯ. ПОГРУЖЕНИЯ. СГЛАЖИВАНИЯ. АППРОКСИМАЦИИ 201 где ab/ = [ab/: Х—> TubT(p/2)] (см. 1.1). Поскольку оно переводит ‘^’’'-отображения в ‘^’''-отображения, достаточно установить, что прообраз V множества пересекается с @"'(Tub1.(p/2), tubT' р'). Но множество У открыто и содержит сужение на TubT(p/2) сквозного отображения

*4- к РГХ л, fV 7'

tubTp—>Х—> X —>tubT'p ,(1)

причем образ этого сужения компактен и потому находится на положительном расстоянии от R? \ tubr рх. Следовательно, существует такое' положительное е, что если у координатных функций отображения g е ^(Ти^ (р/2), R'7 ) частные производные порядков 0,1, .... s отличаются в точках множества ТиЬт(р/2) от частных производных координатных функций отображения (1) меньше чем на е, то g(Tubt(p/2)) с tubT'рх и [abg: Tubx (р/2)-> tubt'р'] е У. Применяя к координатным функциям отображения (1) теорему 3.1.4, мы видим, что существует покоординатно полиномиальное отображение g с этим свойством частных производных, из - чего и следует непустота пересечения ^f)‘@’r(TubT(p/2), tubT'р').

Сопоставляя теорему 2 с теоремами 1.2, 1.3, 1.4 и 1.6, мы видим, ЧТО При Г^оо и l^s<r для любых замкнутых ‘^’’-многообразий X, X' множество Immr(X, Xх) плотно в Imms(X, Xх), множество Sabin^X, Xх) плотно в Subms(X, Xх), множество Embx(X, Xх) плотно в Embs(X, Xх) и множество Diffx(X, Xх) плотно в Diffs (X, Xх). То же верно при г = а, если X и Xх допускают ^"-вложения в евклидово пространство.

(Следствие). Если два замкнутых ^^'-многообразия с 1^ г ^ оо диффеоморфны, то они Я?г-диффеоморфны. То же верно при г = а, если они допускают ^“-вложения в евклидово пространство.

(Информация). Из гомеоморфности замкнутых ^"-многообразий не следует их диффеоморфность. Исторически первым примером были ^"-многообразия, гомеоморфные, но не диф- феоморфные сфере S7; см. [15].

Дополнения к теореме 2

Если г^оо, то множество ^Г(Х, Xх) плотно в ^ЧХ, Xх) с s < г и в более общем случае, когда X — замкнутое ^^'-многообразие, а X' — открытое подмножество некоторого замкнутого ЯЛ'-многообразия У. То же верно при г —а, если X и У допускают ^“-вложения в евклидово пространство. .

Доказательство сводится к очевидному замечанию, что отображение-

^(id, in): ^ЧХ, Х'^^ЧХЛУ

является топологическим вложением с открытым образом и переводит ^ (X, X') в пересечение этого образа с ^(Х, У). Так как ^(Х, У) плотно в ^(X.Y), указанное пересечение плотно в этом образе, а ^'(Х, X') плотно в ^(Х, X')..

(Лемма). У всякой пары непересекающихся замкнутых подмножеств замкнутого <6Т-многообразия с г^оо есть функция урысона класса ^т.

Доказательство. Пусть ф: Х—>1 — какая-нибудь функция Урысона предложенной пары Л, В. В силу теоремы 6, существует ‘^'"-функция ф: X->R с шаххе^| ф(х) —- ф(х) | < 1/3, и ясно, что если X: R-* У —функция класса ^ с Х(у) = О при у ^1/3 и Х(у)=1 при у >2/3, то Х°ф есть ‘^'"-функция Урысона пары Л, В.

Пусть X, X'— замкнутые ^>г-многообразия и А— замкнутое множество в X. Если 0^5 < г^оо, то часть пространства Es (X, X7), составленная из ^-продолжений заданного отображения ф: А-*Х', плотна в части этого пространства, составленной из продолжений отображения ф, принадлежащих классу ЧП в окрестности множества А (каждое в своей\ ,

Мы должны показать, что в ^(Х, X') заданная окрестность 7/ заданного отображения /, продолжающего ф и принадлежащего классу ^ в некоторой окрестности U множества А, содержит ^-продолжение отображения ф. Фиксируем ^-вложение f: X-> R’, его ^-трансверсализацию т' и правильную трубку ТиЬт'р' и обозначим через Т часть пространства %S(X, X7), составленную из отображений g, у которых

шахх е X dist (f о / (%), j' о g (х^ < Dist (f (X), R" \ tubT- p7).

Ясно, что множество V открыто и что для любых g е V, хе X отрезок с концами j'°f(x), j'°g(x) содержится в tubv р'. Построим какую-нибудь ^-функцию Урысона ф пары А, Х\П (см. 7)-и рассмотрим отображение Ф: V-*(6S(X,X'\ переводящее g в отображение..

х рг< ((1 — Ф (х)) f ° f (х) + ф (х) j' ° g (х)).

Прямая проверка показывает, что Ф непрерывно, и очевидно, что Ф (/) = /. Из этих свойств Ф следует, что множество Ф-1 (<2/) открыто и непусто, .после чего из теоремы 2 следует, что оно содержит ‘^’'’-отображения. Остается заметить, что Ф переводит ^"■-отображения в ^""-продолжения отображения ф.

. Пусть X, X' — замкнутые ^^многообразия, А —подмногообразие многообразия X, замкнутое как самостоятельное многообразие, и ф: А—> X' — отображение класса ^^ Если 0^ ' s<r^oo, то часть пространства ^(Х, X7), составленная из

^г-продолжений отображения ф, плотна в части этого пространства, составленной из всех ^-продолжений отображения ф.

Мы должны показать, что в ^tX, X') заданная окрестность ^ заданного продолжения отображения ф содержит ‘^"‘-продолжение отображения ф. Фиксируем: ‘?"'-вложения /: X-^R’ и j': X'->R4; ^-трансверсализацию т вложения / |л: Л-^R9 и ‘@"'-трансверсализацию т' вложения j'; правильные трубки Tubtp и TubT-р\ Обозначим, далее, через V часть пространства ^(Х, X'), составленную из отображений g, у которых

шах, е л dist (/' ° ф (х), /' ° g (х)) < Dist (f (X'), R9 \ tubT' р').

Ясно, что множество У открыто и содержит все ^-продолжения отображения ф на X. Построим какую-нибудь ‘^"'-функцию Урысона пары X \/~‘(tubTp), Л и рассмотрим отображение Ф: У-^^{X, X'), переводящее отображение g в отображение

j'ogoprj/tx))]), еслиеслиj'ogoprj/tx))]), еслиесли/(х)гТиЬтр, /(x)^tubTp./(х)гТиЬтр, /(x)^tubTp.g^,g^,' рГт' У' ° g ^ + ф (х) Vf ° Ф ° ргт (/ (х)) —

j'ogoprj/tx))]), если

если

j'ogoprj/tx))]), если

если

/(х)гТиЬтр, /(x)^tubTp.

/(х)гТиЬтр, /(x)^tubTp.

g^,

g^,

Очевидно, что Ф непрерывно и что Ф (g) = g, если g продолжает ф. Из этих свойств Ф следует, что множество Ф-1 (^/) открыто и непусто, после чего из теоремы 2 следует, что оно содержит ‘^"’-отображение. Остается заметить, что Ф переводит ‘^"’-отображения в ‘^"’-продолжения отображения ф. .

Гладкое склеивание многообразий

Главная задача этого пункта — подготовить распространение основных аппроксимационных теорем предыдущего пункта, т. е. теорем 4.2 — 4.4, в их неаналитической части на компактные многообразия с краем. Основное средство распространения— гладкое удвоение гладких компактных многообразий, делающее их замкнутыми. Нам будет удобно определить и изучить сразу более общую операцию, нужную также для других целей — гладкое склеивание гладких компактных многообразий. Начать придется с изучения структуры гладкого компактного многообразия вблизи края.

Окаймление

Окаймлением компактного ‘^"‘-многообразия X (0 ^ г ^ а) называется ‘^"’-вложение цилиндра дХ XI в X, переводящее (х, 0) в х для каждой точки хедХ. Образ цилиндра дХХ1 при окаймлении называется каймой. '

В случае гладкого X (г ^ 1) окаймление является дифференциальным вложением, а кайма —подмногообразием коразмерности 0. Край последнего состоит из дХ и диффео'морф- ного дХ подмногообразия многообразия intX.

При 1 ^ г ^ оо всякое компактное ^-многообразие допускает окаймление.

Доказательство. Пусть X — предложенное многообразие. Фиксируем правильное ‘8’г-вложение j; X -> Ri (см. 2.3), ‘^"‘-транс- версализацию т сквозного вложения дХ —* Ri —-► Rq и правильную трубку ТиЬтр и рассмотрим отображение ф: /"1 (tubT р)-* дХ X RL, определяемое формулой х i—* (prT (/(х)), h W), гДе /^—первая координатная функция вложения /. Из правильности / следует, что дифференциал dx^ не вырождается, если хедХ, и, таким образом, ф диффеоморфно отображает некоторую окрестность края дХ на некоторую окрестность множества дХХО (см. 1.5.5). Пусть е —столь малое положительное число, что произведение дХ X [— е, 0] содержится в указанной окрестности; ясно, что формула (х, Г)*—>ф-1(х, — eZ) определяет окаймление многообразия X.

(Информация). Компактные топологические многообразия (г = 0) и компактные аналитические многообразия (г = а) также допускают окаймление. Случай г = 0 рассмотрен в [4].

Склеивание

Пусть X, X' — компактные n-мерные ^-многообразия с г>1 и С, С' — подмногообразия их краев дХ, дХ', составленные из целых компонент этих краев. Предположим, что С и С' диффеоморфны и наделены ‘^"'-диффеоморфизмом ф: С ->С', и приклеим X к X' посредством сквозного отображения C-^*C'-^>Xf (см. 1.2.4.8). Полученное пространство У — X'Uinoq>X, очевидно, является компактным n-мерным топологическим многообразием, и оказывается, что если X и X' наделены окаймлениями, то У обладает естественной ^-структурой, делающей и его окаймленным ‘^"'-многообразием. Эта ‘^"‘-структура задается атласом, составленным из карт атласов Atl(X\C) и Atl(X/\C/) [мы считаем X и X' частями многообразия У] и карт Т, определяемых по картам ф е Atl С и окаймлениям к1. дХ XI X, к': дХ'Ух1->Х' формулами

supp 'У = к (supp ф X [0, 1)) U к' (supp ф X [0, 1)),

z^C, t г [0, 1)z^C, t г [0, 1)W(z, /)) = (Ф(г), -0 )^(^(z,/)) = (ф(г), 0)

z^C, t г [0, 1)

z^C, t г [0, 1)

(ТтфсК"-1, а 1тЧг = 1тфХ(— 1, l)cR" ’XR^R")- Попар-

§ 4] ВЛОЖЕНИЯ. ПОГРУЖЕНИЯ. СГЛАЖИВАНИЯ. АППРОКСИМАЦИИ 205 ная ^^согласованность этих карт очевидна, естественное окаймление получающегося ^^многообразия Y составляется из сохранившихся частей окаймлений к, к'. Говорят, что ф склеивает Y из X и X'. Ясно, что dY = (дХ \ С) (J ^дХ' \ С') и что X, X' и С расположены в Y как подмногообразия. Части окаймлений к, к', примыкающие к С, С', составляют двустороннее окаймление многообразия С eY, т. е. ^-вложение СХ[—1,1 ] —* К такое, что (z, 0)гх^2-

Если Х' = Х, С' = С — дХ и ф = id, то склеивание называется удвоением и Y обозначается через doppX. Это согласуется с 1.1.9 в том смысле, что ^ (dopp X) = dopp ^Х\

Заметим, что если X и X' ориентированы и ф переводит индуцированную ориентацию многообразия С в индуцированную ориентацию многообразия С' (см. 1.3.4), то Y ориентируемо и может быть наделено канонической ориентацией. Последняя определяется тем, что индуцирует в X исходную ориентацию, а в X' — ориентацию, противоположную исходной. В частности, если X ориентировано, то и doppX ориентировано.

Как показывают простейшие примеры, ‘^'’-структура многообразия Y зависит не только от ^-структур многообразий X, X' и от диффеоморфизма ф, но и от окаймлений к, к'. Наша ближайшая цель — показать, что при г =^ а последняя зависимость исчезает, если Y рассматривается с точностью до <@"‘-диф- феоморфности.

6 (Лемма). Пусть X, X' —замкнутые <6>г-многообразия с 1 <r<oo uf: XX[-1, 1]-*XZX [—1, И— такое отображение, что f (X X [—1, 0]) с X'X (—1, 0] и ИХХЮ, 1])сХ'Х[0, 1). Если abf: XX [-1, 0]->Х,Х(-1, 0] и ab f: X X [0, 1] -* X' X [0, 1) — дифференциальные вложения класса ^r, a abf: ХХ0-» X' Х0 — диффеоморфизм, то существует ^'-вложение g; XX [—1, 1]^Х'Х[-1, 1], совпадающее с f на (XXI-К — V^DU (X X 0) U (ХХ[ 1/2, 1]) и такое, что g (XX [-1, 0]) = f (XX[~ 1, 0]), g(XX[0, 1]) = f(XX [0, 1]).

В нижеследующем доказательстве через Л, /2 обозначаются сквозные отображения

Предположим сначала, что при некотором положительном е отображение /, постоянно на каждом множестве хХ[—е, е] с хеХ. В этом случае мы фиксируем такие положительные

числа 6, т], что d^min(e, 1/2) и для любой точки хеХ производная функции / V-* f2 (х, У) не меньше г, на промежутках [— д, 0), (0, д], а затем строим такую ‘^"‘-функцию а: [— д, д] ->-1, что а(0 = 0 при | /1 ^6/4 и а(0 = 1 при |У|^б/2. [Существование таких д и т) следует из непрерывности функций X X [0, 1] —*R, XX [—1, 0] —*R, относящих точке (х, 0 производную функции тн-^/2(х, т) в точке t (при t = 0 у первой функции берется производная справа, а у второй слева), и положительности каждой .из этих функций на X X 0. В силу компактности X эти функции ограничены снизу положительной постоянной на ^Х0 и на произведении A^ X [—6, 6] с некоторым положительным д.] Как показывает прямая проверка, отображение g: А X [—1, ll^^'Xt-1, 1L определяемое формулой

g (х, t) =g (х, t) =(fl U, о,Н*, t),(fl U, о,Н*, t),(1 — а (У)) т]/ + a (У) f2 (x, /)), если |/|^d, если 1t1 ^ d,

g (х, t) =

g (х, t) =

(fl U, о,Н*, t),

(fl U, о,Н*, t),

является требуемым.

|/| <8!,|/| <8!,В общем случае мы фиксируем такое положительное еь не превосходящее 1/2, что отображение ф,: Х-*Х', определяемое формулой Ф/(х) = /1(х, У), является диффеоморфизмом при |/i^8j. [Существование такого bj следует, из непрерывной зависимости ф/ от У в ^-топологии, того факта, что ф есть диффеоморфизм (напомним, что ab f: X X 0-*Х' X 0 — диффеоморфизм), и открытости множества Diffr(X, X') в ^'(Х, X') (см. 1.6).] Пусть у: [— 8Ь 8]] -»-R — неубывающая ^-функция, такая, что у (У) = 0 при |УКе]/4 и Yi (0 = ^ при lyi^e^. Определим отображение р: X X [— 1, 1] X' X [~ 1, 1] формулой '

|/| <8!,

|/| <8!,

г <х п = ( ^ФГ^ФущМ- 0- если’ I /(х, У),если

Оно удовлетворяет условиям, наложенным в формулировке доказываемой леммы на f, а также дополнительному условию, при котором лемма уже доказана (сквозное отображение

хх[—1, i]-^rx[-i, 1]-^>г

постоянно на множествах хХ [— е, е] с е = е1/4). Соответствующее отображение g и будет требуемым, поскольку р совпадает на цгхн -i/2])uaxo)uax[i/2, id с /.

Пусть Хъ Хь Хг, Х2— окаймленные ^'-многообразия с l^r^oo, и пусть Ci, С', С2, С2 — части их краев, составленные из целых компонент, и ф,: С] -> С', ф2: С2->С' — диффеоморфизмы класса V. Если существуют ^'-диффеоморфизмы

F: Xi->X2, F': Хх->Х2, такие, что F(CX) — C2, F' (С() = С2 и диаграмма

с, -^ с[.

-^ab F |ab F'

С2^*С'2

коммутативна, то многообразия У! и У2, получающиеся при склеивании Хх с Х'х по <р, и Х2 с X' по ф2, ф'-диффеоморфны; более того, существует такой ^-диффеоморфизм G: YX->Y2, что G(X^ = X2, G(X^ = X2, G(Cx) = C2 и [ab G: Ci->C2] = [abF: Сх->С2у

Доказательство. Пусть lx; Cj X [— 1, 1]-*Уь k G2X [—1, 1] —> Y2 — двусторонние окаймления. Обозначим через Н отображение YX->Y2, определяемое формулами Н\х = [in: Х2-* У2]0 F, Н | ' = [in: X2-*Y2] ° F', найдем такое положительное е, что Н ° lx (С] X [— е, е]) с /2(С2 X (— 1, 1)), и применим лемму 6 к отображению f: С, X [— 1, 1]~*^гХ [—1, Ц, определяемому формулой / (z, /) — h-v {И ° /, (z, е^)). В силу этой леммы существует ^г-вложение g; С1Х[—1, 1]->С2Х[—1, 1], совпадающее с f на (С, ХМ, —1/2]) U (С, X 0) U (С, X [1/2, 1]) и такое, что gOH, (ЧНОН, 0]), g(c,x[o. i]) = f(G,x [0, 1]). Ясно, что формула

Г Н (у), если у ^ lx (Cj X [— в, е]),-

I 1-2° gk, <h\ если V^Uk, 0 с zxeCx, / е [— в, е], определяет требуемый ‘^"'-диффеоморфизм Gv У1 —>Y2.

Разрезание

Пусть Y — многообразие класса YH с 1 ^г ^ оо и X, X' — покрывающие его компактные подмногообразия той же размерности. Если С = X П X' — часть каждого из краев дХ, дХ', составленная из его целых компонент, то существует такое ^'-вложение V. С X [— 1, 1]~*^, что Цг^ — г для любой точки ze С u HCXV—L 0))<=intX, /(CX(0, l])cintr.

Доказательство. Фиксируем ‘^"‘-вложение /: У->₽9, ‘^"'-трансверсализацию т вложения / |с: C->Rq и правильную трубку ТиЬтр и рассмотрим отображение ф: C->Sq-\ относящее точке zeG единичный касательный вектор к /(У) в точке /(г), лежащий в т(г) и направленный в сторону X'. Это отображение непрерывно (принадлежит классу <6Т-Х\ и в силу теоремы 4.2 существует такое ^-отображение фр C->Sq""x,

что скалярное произведение (ф(г), ф,(г)) положительно на С. Рассмотрим отображение ф: tubTp->CXR, определяемое формулой ф (z) = (prt (z), (z —/°prT(z), фДг))). Оно принадлежит классу ^т, и если zeC, то дифференциал

й^1- тап8/м (tubT р) -^ Тang(2, 0) (С х R) = (тang2 С) © R

изоморфно отображает Tang/(2)/(C) на Tang2C и переводит вектор ф(г) в (ф(г), v^z^eR. Сверх того, Tang/(2)/(C) и ф(г) содержатся в Tang/(2)/(У), так что ^/(г)Ф эпиморфно отображает Tang/(2)/(y) на Tang(2,0) (С X R). Поскольку dim Tang/(2) / (У) = dimTang(2 0)(CXR), мы видим, что ^/(2)Ф lTang/(2)/(П, т. е. dj^ (Ф l/(nntubTp)> есть изоморфизм. В силу теоремы 1.5.5, из этого следует, что ф l/(y)ntab р диффеоморфно отображает некоторую окрестность множества /(С) на некоторую окрестность множества СХО. Пусть е — столь малое положительное число, что произведение С X [— е, е] содержится в указанной окрестности; ясно, что формула /(z,/) = Р1 (ф~‘(z, в/)) определяет требуемое вложение I: С X [—1, 1]~*У.

(Следствие). Пусть Y — многообразие класса %' с 1 ^ г ^ оо и X, X' — покрывающие его компактные подмногообразия той же размерности. Если X П X' — часть каждого из краев дХ, дХ', составленная из его целых компонент, то id X и idX' составляют <Ег-диффеоморфизм многообразия У на многообразие, склеенное из надлежащим образом окаймленных многообразий X, X' посредством id (X П X'Y

. Простейшее применение

Компактные гладкие многообразия являются корсами.

В замкнутом случае это следует из теорем 2.1, 3.7 и 3.5, поскольку образ гладкого многообразия при дифференциальном вложении в евклидово пространство является ретрактом внутренней части правильной трубки гладкой трансверсализации вложения. Незамкнутый случай сводится к замкнутому теоремой 1.3.6.4; действительно, компактное гладкое многообразие обладает, согласно 5, замкнутым гладким удвоением и является, очевидно, его" ретрактом.

Сглаживание отображений при наличии" края

Основные предложения этого пункта — теоремы, 5 и 9, обобщающие теорему 4.2. Лемма 2 нужна для доказательства леммы 3, лемма 3 — для доказательства леммы 4, лемма 4 — для

§ 4] ВЛОЖЕНИЯ. ПОГРУЖЕНИЯ. СГЛАЖИВАНИЯ. АППРОКСИМАЦИИ 209 доказательства теоремы 5, леммы 7, 8 —для доказательства теоремы 9.

2 (Лемма). Если функция f: RL -> R принадлежит классу ^ с г < оо, то функция g: R->R, определяемая формулой

•' f (х)при х ^ 0,

^ У (— 1)* Cr+if (— ^х) при х >0,

также принадлежит классу ^.

Нужно проверить, что при $ ^ г

£ (_ j)^ C^iksDsf (0) = Dsf (0), ’

е. проверить тождество Sfe=_] (—l)ft С^+М8 = 0. Но оно делается очевидным, если заметить, что его левая часть есть не что иное, как «(г + 1)-я разность» целочисленной функции k*-^-ks, вычисленная при k = — 1.

(Лемма). Пусть X — окаймленное ^^’’-многообразие. Если 1^г<оо, то всякая функция из ^т (X, R) продолжается до функции из ^(dcpp X, R).

Доказательство. Фиксируем двустороннее окаймление /: дХХ[~1, IJ^-doppX многообразия дХ в doppX (см. 5.5) и такую ^-функцию a: R-*/, что а(0=1 при /^0 и а(/) = 0 при 1>\!г. Если функция 0 X->R принадлежит классу ^т, то функция g; doppX—>R, определяемая формулами

g(x) = 0, если х g dopp Х\(Х U ЦдХ X [0, VH)),

g (х) = f (х), если х е X,

g V 1у, 0) =

а(0 У (-^О'Жу, -Ш если уедХ, 0</<1/г, &=0

продолжает f, и прямая проверка, основанная на лемме 2, показывает, что g принадлежит классу '?"’.

(Лемма). Пусть X — окаймленное ^^-многообразие и X' — замкнутое ^^’’-многообразие. Если 0^г<°о, то всякое отображение из ^Г(Х, X') продолжается до отображения из ^ (doppX, Х'\'

Доказательство. При г = 0 это очевидно. Пусть г > 0, и пусть f г^^Х, Х'\ Фиксируем ^'-вложение /0 X' ^R9', его ‘F''-трансверсализацию V и правильную трубку Tub-rp'. В силу леммы 3, координатные функции композиции f ° f продолжаются до ‘^"'-функций doppX->R, т. е. f°f продолжается

до некоторого ^'-отображения g; doppX->R'?'. Обозначим через U окрестность края дХ в X, составленную из точек х, у которых’

dist (/' ° f ру g (сор (х))) < Dist (/' (X'), R9' \ tubT' р'),

и построим для пары X, сор(Х\7/) ^'-функцию Урысона ф: dopp X—>7. Ясно, что для любой точки хеХ отрезок с концами j'°f(x), g(cop(x)) лежит в tubT'р' и что формулы

7z(x) = /7° / (х), если хеХ,

h (сор (х)) = /' ° / (х), если х е X \ U, h (сор (х)) = (1 - ф (сор (х))) g (сор (х)) + ф (сор (х)) /7 о / (х),

если х е Cl U, определяют ^'-отображение Л: dopp X -► R9 с A(dopp X) с tubT' р7 продолжающее f ° /. Сквозное отображение

dopp X -^- tubT' р' —^-> X'

и служит ^'-продолжением отображения / на doppX.'

. Пусть X, X' — компактные 7РГ-многообразия, причем X' замкнуто. Если. O^s < г^оо, то: (i) множество Ф\Х, X7) плотно в ^(Х, Х'У, (ii) для всякого ^'-отображения ф: дХ-*Х' часть пространства 'ё’ДХ, X'), составленная из ^'-продолжений отображения ф, плотна в части этого пространства, составленной цз C6S-продолжений отображения ф.■

Доказательство. Отображение

^s(in: X—>doppX, id X7): ^s(dopp X, ХЭ^^ДХ, X7)

переводит ^'-отображения в ^'-отображения, и, в силу леммы 4, его образ исчерпывает 'б'ДХ, X'). Поэтому (i) следует из плотности множества ^'(doppX, X7) в ^’(doppX, X7) [см. 4.2], a (ii) — из плотности множества ^'-продолжений отображения ф в части пространства ^s(doppX, X7), составленной из ^-продолжений отображения ф (см. 4.9).

(Следствие). Пусть X, X' —замкнутые '^^’'-многообразия с l^r^oo. Если два отображения из ^'{Х, X7) гомотопны, то они могут быть соединены ^'-гомотопией ХХ7-»Х7.

(Лемма).,Для любых компактных <6>г-многообразий Х,Х’ с 1 ^г^оо отображение ^(Х, Х')-^^'(дХ, дХ'), определяемое формулой f |—э- ab /, является открытым. ■

Доказательство. Непрерывность этого отображения уже была констатирована в 1.1. Чтобы установить его открытость, остается, согласно 1.1.4.4, указать для заданного fe'g’atX, X7) такую окрестность °tt отображения abf: дХ-^-дХ' в ^'(дХ.дХ7)

и такое непрерывное отображение Ф: °11->Ч>гд\Х, X'), что Ф (ab f) = f и [ab (Ф (g)): дХ дХ'] = g для любого g^'U. Фиксируем окаймления к; дХ X /-* X и кг\ дХ' Х1~*Х', ^""-вложение /: дХ'->Rq', его ‘8""-трансверсализацию т/ и правильную трубку Tubt' р'. Построим, далее, такую ‘^'"-функцию а: I ->1, что а (/) = 1 при 0 1/3 и а (/) = О при 2/3 1, фиксируем такое положительное е, что /(/г(5ХХ[0, е])) с .к'^дХ' ХД\ и обозначим через fb /2 сквозные отображения

•дГ,

I.I.дХх [О, s]-^A (dXxtO, e^^-KW’xlV-^^dXxI^

I.

I.

Мы определяем ^'как множество таких g е^^дХ, дХ'), что ■ шахтах dist (/' = f\y\ j' = g (у)) < Dist (/' <dX^, R9' \ tubv p'), а Ф формулами-

[Ф (g)] W = f W, если x e X \ к (дХ X [0, e]),

[Ф (g)] (k ^, t^ = k' (ptx' (/' (fi ky, 0) +

a We) [f (f (y)) — i'°g (y)l), f2 (у. 0), если yedX, te [0, e].

Что ^ и Ф обладают нужными свойствами, проверяется автоматически.

(Лемма). Пусть X, X'— компактные ^^-многообразия. Если l^r^oo, то множество сквозных отображений X—> X'—>doppX' с f e^a^, X') открыто в части пространства ^(Х, dopp X'), составленной из отображений, продолжающих отображения дХ-*дХ'.

Доказательство. Пусть f0 s ^ (X, X'). Обозначим сквозное отображение X-^>Х'-^> dopp X' через g0 и фиксируем окаймление k: dXXL^-Х многообразия X и двустороннее окаймление Г: dX'X[—1,1]—>doppXz многообразия дХ'вдоррХ'. Фиксируем, далее, такие положительные д, т], что: (i) g0(,k(dX X [0, д])) с= I'(дХ' X (— 1, 1)); (И) Для любой точки у^дХ производная функции [0, б]->[—1, 1], определенной формулой

^[рг2: ЭХХЫ, И —[—1, ШСГ-^ёГо^^, 0))/(2)

всюду меньше — ц. [Существование таких д и ц следует из непрерывности функции дХ X [0, 1]-*К, относящей точке (у, 0 производную функции, определяемой формулой (2), в точке t, и отрицательности этой функции на дХ X 0. В силу компактности дХ, эта функция ограничена сверху отрицательной

постоянной на дХ X 0 и на произведении дХХ [0, д] с некоторым положительным 6.] Ясно, что ‘^"'-отображения g; X-*doppX', обладающие свойствами (i), (ii) с g вместо g0 и такие, что g(.X\ k(dX X [0, d))) cz intA", составляют в ЯЗТ (X, dopp X') открытое множество. Остается заметить, что пересечение этого множества с частью пространства ^'(Х, doppX'), составленной из отображений, продолжающих отображения дХ—>дХ', представляет собой окрестность отображения g0 в множестве сквозных отображений X X' dopp X' с fe^a^X, X').

. Пусть X, X' — компактные ^^’’’-многообразия. Если 1 ^ s<r^oo, то; (i) множество ^(Х, X') плотно в ^a^X, X')-, (ii) часть пространства ^(Х, X'), составленная из ^-продолжений заданного отображения ср из ^(дХ, дХ'), плотна в части этого пространства, составленной из ^-продолжений отображения <р.

Доказательство. Лемма 7 и теорема 4.2 (примененная к многообразиям дХ, дХ') показывают, что в ^а^Х, Х'') отображения g с [abg: дХ-^-дХ'^ е ^(дХ, дХ'^ составляют всюду плотное множество. Таким образом, (i) следует из (ii), и нам достаточно доказать (ii).

Пусть f — продолжение отображения ср, принадлежащее ^aU, Х'\ и 41—- его окрестность в ^(А, Х'у, мы должны показать, что 41 содержит ‘^"'-продолжение отображения <р. В силу 8, в ^ЦХ, dopp Л") у сквозного отображения X -U- X'—>doppА' имеется такая окрестность Т, что если g е У и g (дХ) ст дХ', то giX'icX' и [abg: X -> Х'"\ е 41. Поэтому нам достаточно найти ^-продолжение отображения <р в Т, а такое продолжение существует в силу 5.

. Сопоставляя теоремы 5 и 9 с теоремами 1.2 —1.6, мы видим, что при l^s<r^oo: для любого компактного ‘^''-многообразия X и любого замкнутого ‘^'’-многообразия X' множество Immr(X, Х^ плотно в Imms(X, X'), множество ЗиЬтДА, X') плотно в Subms(X, X'1) и множество Emb'(X, X') плотно в Embs(X, X'); для любых компактных ‘^'’-многообразий X, X' множество правильных вложений из ^^Х, X') плотно в множестве правильных вложений из ^ (X, X') и множество Diffr(^, Х^ плотно в Diff5 IX, Х'\

(Следствие). Если два компактных ^^-многообразия с l^r^oo диффеоморфны, то они Я?т-диффеоморфны.

12 (Информация). Теоремы 5 и 9, подобно теореме 4.2, верны и при г = а (ср. 2.4). Мы обошли этот случай ввиду его трудности. ’

Теоремы 4.2 и 5, 9 (вместе со своими ^"-вариантами) сохраняют силу и'для некомпактных X, X'. Однако это обобщение

представляет лишь ограниченный интерес; например, его недостаточно для того, чтобы отбросить в формулировке И условие компактности, хотя это и возможно. Адекватное перенесение теорем 4.2 и 5, 9 на некомпактный случай связано с более сильными топологиями, чем ^""-топологии, определенные в 1.1, и требует более сильных аналитических средств, чем тео. рема 3.1.4.•

Приведение отображений в общее положение

Главной в этом пункте является его заключительная теорема 7, служащая основой значительной части дальнейшего. Подчеркнем, что она формулируется и доказывается только в ^“-ситуации. В п. 9 мы дополним ее формулировкой, охватывающей ‘^'"-отображения с конечными г (см. 9.10).

Техническая часть пункта состоит из теоремы 2, устанавливающей важнейшее топологическое свойство пространств Я^^Х, X'), и теоремы 4, которая представляет собой единственное нужное нам следствие теоремы 3.2.3.

Чтобы разгрузить формулировки теорем 2 и 3, мы даем специальное название пространствам, в которых пересечение любого счетного набора всюду плотных открытых множеств всюду плотно: мы будем называть их пространствами Бэра.

Технические теоремы

Ч^Х, X'} есть пространство Бэра для любых ^''-многообразий X, X' с О^г^оо.

Мы должны доказать, что для любых всюду плотных открытых подмножеств ^j, ^2, ••• пространства ‘i£"‘(A', X') и любого его открытого подмножества W пересечение V f| (П7=1 ^0 непусто. Пусть {ф()7=1> {^ziT^i — занумерованные атласы многообразия X, такие, что при каждом I множество Kt = Cl supp ф, компактно и содержится в эиррфг, причем фг = аЬф;, и пусть {ф^}^, {Ф;}^° ] — занумерованные атласы многообразия X', такие, что при каждом / множество К'; = Cl supp -ф' содержится в supp фу, причем фу = аЬфу. Мы построим такие ^'-отображения ^: Х-»Х', f2: Х->Х', ..., такие открытые подмножества Fb Т2, ... пространства ^'(Х, Х'\ и такие натуральные числа га(1), га (2), ..., что: (1) ft е Тр, (11) если I^ 2, то Tt с Тх-р, (ill) Cl Tt cz У П ^Л (iv) fz (Xz) c U/^/ supp ф'; (v) если s ^ z и t ^ n (s), to fz(^ П f~' (/Q) <= supp ф'; (vi) еслй z>2, s^z и, ^n(s), то частные производные координатных функций локальных

представлений loc (ф$, ф[) fp 1ос(ф$, ф^)^_1, имеющие порядки ^min(r, i— 2), различаются в точках множества ф/^С!// GQ) меньше, чем на 2-<. Этого и достаточно: в силу (v) и (vi) для любых s,4 с /^п(з) последовательность "

(supp»9)}i=s(supp»9)}i=s(1ос(ф , ф^Ш ,

(supp»9)}i=s

(supp»9)}i=s

I v*ps (supp <t>s Dfs 1

равномерно сходится вместе с частными производными порядков <г на ф$ (supp ^f] f/ (supp ф^)) к некоторому ^г-отоора- жению

gsr Ф$(SUPP Of/(supp Ф,))~*ImФ^

сквозные отображения

, /аЬФ$ '

supp ф, n fs (supp ф,)>

// v\x gst GO

Ф, (supp ф3 П fs (supp ф J) —> Im ф;> supp ф;

составляют некоторое ^""-отображение g: Х-^Х' [что множества supp ф$ f] f/(supp ф^ покрывают X, следует из (iv), а что отображения gsj согласованы на пересечениях этих множеств — очевидно]; отображение g является пределом последовательности fb f2, ... [в ^ЦХ, X')], и из (i), (ii), (iii) следует, что g принадлежит пересечению У fl (fl/] ^z)-

Построение проводится индуктивно. В качестве fI мы берем какой-нибудь элемент пересечения Ж Л ^ь в качестве ^ — какую-нибудь окрестность отображения fx [в ^(Х, Х')] с Cl^c yn^i (напомним, что пространство ФЦХ, Х'^ регулярно — см. 1.1). Предположим, что для некоторого ^^2 отображения ft^^r(X, X'), открытые множества TtC^^X, X') и натуральные числа н(/) с 1<к уже имеются и обладают свойствами (1) — (vi). Обозначим через 3 множество таких ^'"-отображений g: X->Xf, что при s^A—l, ^^n(s)'•

.S(^snf/(^))c suppv'f.

и частные производные координатных функций локальных представлений 1ос (ф5, ф') g, loc (ф5, ф[) tk_v имеющие порядки ^min(r, к— 2), различаются в точках множества ф/Лз Л f7* (^z)) меньше, • чем на 2-fe. Очевидно, множество ‘З открыто и содержит tk-v Следовательно, оно пересекается с Уи-\, а так как ^ всюду плотно, то и с Fft-tfl^fc- Мы принимаем за ^ какое- нибудь непустое открытое множество с Cl^c^fl^fc-ifl^A»

§4} ВЛОЖЕНИЯ. ПОГРУЖЕНИЯ. СГЛАЖИВАНИЯ. АППРОКСИМАЦИИ 215 за fk — какой-нибудь элемент множества Тк и за n(k) — какое- нибудь натуральное число с ffe(Xfe)c U^supp фр Что эти Тк, fk, п.(А) обладают свойствами (i) — (vi) с /=&, очевидно.

Топологические многообразия являются пространствами Бэра. ■

Это — специальный случай теоремы 2, поскольку топологическое многообразие X может рассматриваться как ^(D0, X).

Пусть X, X' ~ многообразия класса ^^ Или с6а. Если отображение f: X-> X' принадлежит классу ^°°, го образ f(F) множества F тех точек х из X, в которых dxf (Tangx X) =# Tangf ^Х', представляется как объединение счетного числа нигде не плотных множеств.

Доказательство. Пусть Ф, Ф'— какие-нибудь счетные атласы многообразий X, X'. Представим для каждой пары (ф, ф') е Ф X Ф' множество supp ф П Г' (supp ф') как объединение последовательности компактных множеств Ki (ф, ф'), Х2(ф, Фл), • • • и обозначим через СДф, ф') множество точек х из ^(ф, ф'), для которых якобиева матрица отображения 1ос(ф, ф')/ имеет в точке ф(х) ранг, меньший dimX'. В силу теоремы 3.2.3, каждое из множеств / (Cz (ф, ф')) нигде не плотно, и ясно, что f (F) есть объединение этих множеств.

Основная теорема

Пусть Хь Х2, X' — гладкие многообразия и Ль Л2 —подмножества многообразий Xv, Х2. Говорят, что гладкие отображения fv- Xi^-X', fa. Х2-*-Х' трансверсальны (друг к другу} на Ль Л2, если для любых точек х, еЛь х2 е Л2 с Л (Xi) = f2(x2) векторное пространство Tangf^yX' порождается своими подпространствами (Tang^ XJ, dxJ2 (Tangx Х2), причем в случае, когда точка х; является краевой, Tangly X'порождается уже подпространствами dxft (Тang^dX]), dx/2(TangxX2), в случае, когда точка х9 является краевой, — подпространствами dxft (Tangx Х^, d f2 (Tang^ дХ2у а в случае, когда обе точки хр х2 являются краевыми, — подпространствами dXif, (Tang^dX^, dx f2(Tangx dX2). Отображения Д: Х^Х', fa. Х2—>Х', трансверсальные на Хр Х2, называются просто трансверсальными.

Сделаем три очевидных замечания. Первое: если бппХу-Н dimX2<dimX, то трансверсальность отображений fa f2 на Ль Л2 означает,- что Л (Л]) и /2(Л2) не пересекаются. Второе: если отображения ^, f2 трансверсальны на множествах Л/, Л2, то _они трансверсальны и на некоторых окрестностях этих множеств. Третье: если Xb Х2, X' принадлежат классу ^>т с l^r^oo и Ль-Л2 компактны, то для всякого' отображения f2 из ^r(X2, X'}

множество таких отображений fj из 'S"‘(Xb Х'\ что fb f2 транс- версальны на Ль Л2, открыто в %" <ХЪ Х'У.

(Лемма). Пусть Хь Х2— многообразия класса %00 или %“. Если отображения fv: Xi-*R4 , f2: X2-*R9 принадлежат классу ЧТ0, то в R9 есть такое всюду плотное множество V, что для всякого вектора и eV отображение Xi —► R9 , определяемое формулой xI fi (xi) + у> трансверсально к f2.

Доказательство. В качестве V можно взять множество точек и из R9, удовлетворяющих условию: ни для одного из четырех отображений intXi X intX2->R9', int X! X dX2 -^ R9', дХ\ X int X2 -^- R\ <ЭХ] X dX2 -> R9 , определяемых формулой (xb x2)>-^ f2(x2) — fi to), y не является образом точки, в которой дифференциал этого отображения имеет ранг, меньший q'. Трансверсальность отображений xv >—* f (х,) + у с у eV к f2 очевидна. Плотность множества V в R9 следует из теорем 4 и 3.

Пусть Xb Х2, X' — многообразия класса ^^ или ^а, причем X' не имеет края. Если отображение f2. Х2 —*Х' принадлежит классу Ч?”, то часть пространства ^“(Xi, X'), составленная из отображений, трансверсальных к f2, является пересечением счетного числа всюду плотных открытых множеств.

Доказательство. Обозначим для подмножества Л1 многообразия X] и подмножества А2 многообразия Х2 через 9" (Д, А2) множество ^“-отображений fb X] ->X', таких, что fb f2 транс- версальны на Ль А2. Ясно, что если АИ А2 компактны, то множество 9" Д, А2) открыто в ^“(Х], Х'у, мы покажем, что если AV) А2 компактны, то множество ^"(Ль Л2) плотно в ^“(Xj, Х'У Этих двух фактов достаточно: X] можно представить как объединение последовательности компактных множеств Кц, К^, • •., а Х2 — как объединение последовательности компактных множеств К2Ь К22, ..., после чего интересующая нас часть пространства Ф°°(ХЬ Х'^ [т. е. ^(X], Х2)] представится как пересечение множеств 9" (Кц, К2;\

Итак, пусть Ль А2 компактны, и пусть ^ — окрестность [в ^“(Хь X')] произвольно взятого ^“-отображения §<• Х\^Х'\ мы должны построить отображение, принадлежащее к 9" (Ль Л2) и 91. Построение состоит из двух частей: сначала мы сократим до некоторой окрестности V отображения gb имеющей более специальный вид, а затем построим отображение, принадлежащее 9" (Аь Л2) и Т..

v Положйм dimXL = <7b dimX2 — q2, dimX' = q'. Конструкция окрестности T начинается с того, что для каждой точки х'е^2^А^ фиксируется карта ф^.ЁАИК,Х' с Iraq/, =R9 и <р',(х') = 0. После этого мы находим для каждой точки х2 е Л2 такую карту фгХ1 е АП^Х;,, что: Im<p2X2 = R92 или R92; Ф2Х1 (х2) = 0; множество

CI supp <р2Ха компактно и f2 (Cl supp ф2Я;) с [ф^ ^J-1 (int Dq). Затем мы покрываем Л2 конечным числом множеств ф^1 (lntZ>9!), скажем, множествами ф^.1 (Into”)ф"1 (into92), и обозначаем карту ф^ ^^ короче через фу, а карту ф^ через ф2/. Затем мы находим для каждой точки Xj е Ах такую карту Ф1г eAtL X,, что: lm<p.„ = R91 или R91; ф_ = множество Озпррф^ компактно и его образ gx (Cl supp фи) содержится при любом /=1, ..., /в одном из множеств X' \ f2 (Cl supp ф2/), ['Ф/1—1 (int D4 ). Наконец, мы покрываем А] конечным числом множеств ф“1 (int D91), скажем, множествами фГ1 (int D4}, . ... Ф^ (int Dq,\ и обозначаем карту ф1х через ф|Г Множество У определяется как часть множества QI, составленная из таких отображений hx: Хх—>Х', что hx (Cl supp фи) с X' \ f2 (Cl supp ф2/), если gx (Cl supp ф1г) с X' \ f2(Cl supp а^2/), и /ц (Cl supp ф1г)с A'\ (Ф;-)-1 (int Dq ), если gx (Cl зиррфн) cz X' \ (Ф/)-1 (int Dq ). Что У есть окрестность отображения gx в ‘g’00 (Ai, A') — оче

видно.

Обращаясь к заключительной части построения, занумеруем как-нибудь пары (z, /) с z = 1, ..., k и j—1,..., /в последовательность (ix, h\ • • •, Um, 5пй \т = к1\. Мы сконструируем индуктивно такие отображения /г?, ..., h?-. Хх-+Х', что: (1) ks, е У\ (11) если r^s, то отображения Vtv f2 трансверсальны на ф“/ (О'71), Фу (О'72)- Отображение к™ и будет принадлежать пересечению 9" (Ах, А2)ПУ.

Положим /г° = fx и допустим, что отображения hs{ с s < t ^ т уже имеются и обладают свойствами (1), (11). Если отображения /z,-1, f2 трансверсальны на ф^’ (jD91), ф2^ ^D41\ то мы полагаем /z^=^-1. в противном случае множество /z,-1 (ф^ (е>9)^ содержится в (ф^-1(£)9) и, согласно лемме 6, в R9 имеется такое всюду плотное множество V, что если и е V, то сквозное отображение

Im ф,ч\.п< It) 1—> R0' -^-±3+^ RO

трансверсально отображению loc (Ф2/, Ф/J f2‘ 1шф2^->₽9. Построим какую-нибудь ^"-функцию a: R9 —>R, равную 1 на D9 и 0 вне концентрического шара 2Dq радиуса 2, и определим

для вер’ отображение g0: Хх—>Х' формулой

^"‘(^l)’ еСЛИ ^^^Х^"*) 1 [(^/#) 1 (2^’)J>

g« М =g« М =№"' (Ч W-1 М)+“(^ №"' МТу)’

g« М =

g« М =

еслиесли^е^"1) '(зиррф^.^е^"1) '(зиррф^.

если

если

^е^"1) '(зиррф^.

^е^"1) '(зиррф^.

Ясно, что gQ = htv-1, что ga принадлежит классу ^°° для любой точки dgR и что отображение пространства R*' в ^^х» Х'\ определяемое формулой он-* g0, непрерывно. Следовательно, в R’ имеется открытое множество U, содержащее 0 и такое, что если у е U, то отображение g0 принадлежит У и отображения g^, f2 трансверсальны на множествах ф^1 Qd41'), ф'1 (О’2) с г < t. С другой стороны, из определения множества V видно, что если и е V, то отображения ga, f2 трансверсальны на ф^ (Z)91), Ф^* Мг\ Таким образом, мы можем принять за Zi, отображение gu с любым у е (7 П V.

Отображения, трансверсальные к подмногообразию

Теорема 7.7 наиболее часто применяется в ситуации, ' когда Х2 есть подмногообразие многообразия X', a f2 — включение. В этой ситуации мы будем пользоваться более сжатой терминологией, именно, вместо того, чтобы говорить, что отображение fp Хх^-Х' трансверсально включению, in: Х2-*Х', будем говорить, что оно трансверсально к Х2. Теорема 7.7 утверждает, что если Х; и X' принадлежат классу 48” или ^“ и X' не имеет края, то множество отображений из 48” (Хл> X'), трансверсальных к Х2, плотно в ^“^Хх, X')..

Особого внимания заслуживает еще более специальная ситуация, когда оба многообразия Хь Х2 являются подмногообразиями многообразия X', а оба отображения /ь f2 ~ включениями. Если включения in: Xi —► X', in: Х2->Х' трансверсальны, говорят, что сами подмногообразия Х\, Х2 трансверсальны. Сопоставление теоремы 7.7 с 1.4 показывает, что, каковы бы ни были подмногообразия X], Х2 замкнутого 48°°- или ^“-многообразия X', всякая окрестность включения in: Хх^-Х' в ^“(Хр X) содержит вложения, трансверсальные к Х2. Последнее утверждение часто высказывают более геометрично и более вольно: два подмногообразия мокно сделать трансверсальными сколь угбдно малым шевелением любого из них.-

К этим специальным ситуациям применимо, конечно, и упоминавшееся в 7.1 ®’<°°-дополнение к теореме 7.7 (теорема 9,10).

Заметим, что приведение двух подмногообразий в общее положение достигается на этом пути шевелением уже обоих подмногообразий. ।

Пусть Хь X'— многообразия класса ^>r (l^r^a) с dimXi = <7i, dimX' = q* и Х2 — подмногообразие многообразия X' с dim Х2 = Яг- Пусть, далее, fx: Хх —► X' — отображение класса ^, трансверсальное к Х2 и такое, что f1(dX1)ndX2cdX/. Тогда; Х12 = f^1 (^2) eCTb (^i + Я2—^Умерное ^-подмногообразие многообразия Хх с дХИ = f; (дХ,^; это подмногообразие правильно, если Х2 правильно-, линейный гомоморфизм

^<Mr ^&nSxXj^gxXX2^Twgf^^(3)

является изоморфизмом для каждой точки xt е Хх2.'

(Подразумевается, что подмногообразие отрицательной размерности — пустое множество.)

Доказательство. Второе утверждение является очевидным дополнением к первому, третье делается очевидным, если заметить, что факторпространства, стоящие в формуле (3) слева и справа от стрелки, имеют одну и ту же размерность. .Остается проверить справедливость первого утверждения. Мы сделаем это по схеме 1.2.12.

■ Рассмотрим сначала для точки ххеХх2 возможные расположения точки fi (xj. Включение fi (xj е int Х2 П дХ' исключено, поскольку int Д2 Л дХ' = 0 (Х2— подмногообразие многообразия Х'\ Включение fx (хО ^ дХ2 П дХ' исключено, если Хх е int Хх, поскольку оно противоречило бы трансверсальности fi к Х2 [если XieintAi и fi (xj едХ2П ЭХ', то каждое из пространств Imd^fp Tang^dXg содержится в Tang^ (x)dX' и эти пространства не могут порождать Tangf(Je)X/]. Включение ^(xO^dAgfl int Л"' исключено, если Хх^дХх, поскольку Л (ЭД]) П дХ2 с дХ\ Таким образом, остаются четыре возможности: (i) XieintXi, fx (xj e int X2 f] int X'; (ii) x, e int Xx, fx 0Д ^ ЭХ2 П int X'; (iii) Xx^dXx, fi Ui) e int X2 [) int X'; (iv)x, edXb fx (xO e дХ2 Q dX',

Фиксируем карту фЛ из Atif, (xij^^Y', переводящую тройку (suppq/, А*2 П supp q>z, fito)) в одну из троек (к4 , R92, 0), (R9, R-, О), (RI, R12, О), обозначим через ф', ..., q/,"соответствующие локальные координаты и рассмотрим функции фь ..., %'• ^Г' (SUPP фЭ“*• R> определяемые формулой фг (х) =^'l (fx (х)). Пересечение Х12П f?1 (supp фЭ определяется в случаях (i), (iii) и (iv) уравнениями Ф^+iW —0Ф^00 = 0, а в случае (ii) — этими уравнениями и неравенством Ф1 (х) < 0. Покажем, что в случаях (1), (Ш)' и (iv) эти уравнения, а в случае (ii) эти

220 ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ [ГЛ. 3 уравнения и это неравенство, удовлетворяют условиям независимости, выставленным в 1.2.12.

В случае (i) нужно установить независимость в' точке х1 функций ф9г+1, ..., ф^,; эта. независимость следует из равенства dim flf=grH Ker (dXi’^j')=q'— q^ которое, в свою очередь, является следствием очевидного включения dxifi (П/!^ Ker dx^^ ед Тап^,иЛ и равенства Tangfi ^ X' = Im 4^+ Tang 'f'M X2, входящего в определение трансверсальности. В случае (ii) нужно установить независимость в точке X! функций ф,, Ф^+р ..., ф?,; доказательство повторяет предыдущее с заменой равенства TangM^r = ImdJi+ Тапем^2 Равенством Tangfi(л) Г = Im^ f] H-Tangj ^d^. Наконец, в случаях (iii), (iv) нужно установить существование ^""-функции ф: f”1 (supp ф') —>R, обращающейся в 0 на <9Xj П f~’(supp ф'), отрицательной на IntX1f) f"1 (эиррф') и такой, что функции ф, ф^, .. ., фд, независимы в точке Хр это существование равносильно независимости в точке X] сужений функций Ф^,, .... Ф^ на дХ, П ^‘ (SUPP ф'), последняя же доказывается так же, как в случае (i), с заменой равенства Tangf; ^ X' = Im дх^ + Tangfi ( } Х2 равенством TangM^' = ImMflLJ^ ‘ ‘

(Следствие). Пусть Ху, Х2 — трансверсальные подмногообразия гладкого многообразия X', причем. Xt правильно. Тогда ^(1^2 есть (dim Xt + dim Д2 — dim Х'Умерное подмногообразие многообразия X', притом правильное, если Х2 правильно.

’ Простейшие применения '

Пусть Л — замкнутое подмножество замкнутого ^'-многообразия X и U — окрестность множества А. Если 1 ^ г ^оо, то в U имеется компактное подмногообразие В коразмерности 0, содержащее А в своей внутренней части. .

Доказательство. Пусть ф: X —>7—какая-нибудь ^-функция Урысона пары А, X \ U (см. 4.7) и с — число из интервала (0, 1), не являющееся критическим значением функции ф (см. 1). Положим 5 = ф~1/([0, с]). Это — прообраз подмногообразия (—оо, с] прямой R при сквозном ^""-отображении X —^>1—> R, трансверсальном к (— оо, с], и потому — подмногообразие коразмерности 0 (см. 2). Что В замкнуто как подмножество, что А с Int В и что Вс U, прямо следует из конструкции В.

Всякий коре гомеоморфен ретракту ориентируемого замкнутого ^-многообразия. \

Доказательство. Пусть / — вложение корса X в S’ с достаточно большим q и U— окрестность множества /(X), ретрагирующаяся на него. В силу теоремы 4, в U имеется компактное подмногообразие, содержащее /(X), и ясно, что удвоение этого подмногообразия ретрагируется на /(X).

Повышение класса гладкости многообразия

. Главное содержание этого пункта составляют теоремы 6 и 8. Леммы 2, 3, 4, 5 нужны для доказательства теоремы 6, лемма 7 позволяет вывести теорему 8 из теоремы 6.

(Лемма). Пусть X, X' — многообразия класса ^>г с 1^ г^оо, причем X компактно, а X' не имеет края. Пусть, далее, А' — подмногообразие многообразия X', замкнутое как самостоятельное многообразие, V- X —>• Х! — трансверсальное к Д' ^-отображение с f (dX) с X' \ А! и р: X —> f-1 (Л') — ретракция, являющаяся <6Г-субмерсией. Тогда в ^ЧХ, X') существует такая окрестность ЧТ отображения f, что если g е ЧТ, то: (i) g трансверсально к Д'; (ii) g (dX) с X' \ Д'; (iii) р |-i (Л): ^'(Л')-* f-1 ^АЧ есть субмерсия.

Доказательство. Мы определяем <21 как пересечение трех открытых множеств: -Ч1Х, ЧТЪ 41^,. Первое, ЧТХ, есть множество отображений из ^'(Х, X'), трансверсальных к А'. Второе, ЧТЪ есть множество таких отображений ge^'(X, X'), что g(dX) с X' \ Д'. Третье, ЧТй, есть множество таких отображений g^^VX, X'), что для любой точки х е g~4A4 подпространства Kerdxp и ^dxgy1 (Tangg(x)Л') пространства TangxX пересекаются в единственной точке 0.

Что множество Ч1Х открыто, мы уже знаем (см. 7.5). Открытость множества <2Z2 следует из компактности множества дХ и открытости множества X' \ А'. Открытость множества <2Z3 мы установим, дав ему другое описание. Для этого фиксируем какое-нибудь ^"-вложение /: X—>к7 и обозначим через С часть многообразия TangX, составленную из таких векторов и, что dp(u) = 0 и (d/(u), d/(u))=l. Ясно, что ^з совпадает с множеством отображений ge^4X, X'), для которых dg(C)c TangX' \ Tang А'. Открытость последнего вытекает из компактности множества С, открытости множества TangX'\ Tang Л' (в TangX') и непрерывности отображения пространства ^ЧХ, X') в ‘S""1 (TangX, TangX'), относящего каждому отображению из ^'(Х, X') его дифференциал (см. Л.1).

Таким образом, множество <2/ открыто, и ясно, что . t <=ЧТ и что для ее ЧТ выполнены требования (i), (ii). Что выполнено и (iii), нетрудно установить: из включения

g<=°llx следует, что g'HA') есть правильное подмногообразие многообразия X (см. 8.2); благодаря включению ge^ это подмногообразие содержится в int X, и потому замкнуто как самостоятельное многообразие; наконец, из включения ge% следует, что дифференциал dx (р | ~i (ДЛ)) является невырожденным для любой точки х е g-1 (Д').

(Лемма). Пусть X, X' — замкнутые гладкие многообразия одной размерности и f: X -> X' — субмерсия. Если многообразие X' связно и прообраз некоторой его точки состоит из одной точки, то f есть диффеоморфизм.

Достаточно установить обратимость f. Положим Д' — ^Д) и обозначим через В' множество точек многообразия X', у которых прообраз состоит более чем из одной точки. Множество Д' открыло, так как отображение f, будучи субмерсией, открыто (см. 1.5.8). Множество В' также открыто: если Чх\) = f(x2) — x' и х2=/=Хх, то Хх, х2 обладают в X непересекающимися окрестностями Щ, U2, на которых f является дифференциальным вложением, и f (Ui'lftft.U^ есть окрестность точки х', содержащаяся в В'. С другой стороны, множества А', В' замкнуты: первое потому, что X компактно, второе потому, что если Ux, ..., Us— такие покрывающие X открытые множества, что сужения f |yz являются дифференциальными вложениями, то

s'=Hf(m),

а множества ЧХ\П^ замкнуты. Так как, наконец, X' связно, Д' непусто и В' не совпадает с X', то А'= X' и В'=0, т. е. f обратимо.

(Лемма). Пусть*. X — компактное ^-подмногообразие пространства R17 с l^r^oo; U — его окрестность в R17; X' — открытое подмножество замкнутого ^“-многообразия, допускающего ^“-вложение в евклидово пространство. Если f — отображение из ^^U, X'), то всякая окрестность в ^т ^Х, Л') сужения fix содержит сужение некоторого отображения из ^“ф, Х'\ ч

Доказательство. Сначала мы предположим, что само X' — замкнутое ^“-многообразие. Обозначим через ^ заданную окрестность сужения f|^ в ^'(Л-, X') и фиксируем ^'-вложение j': Д'~>Е“, его ^“-трансверсализацию V и правильную трубку Tub^p'. Так как отображение ^'(id, prT'): ^'(J, tubvp')—> ^ЧХ, X') непрерывно, то прообраз множества ^ при этом отображении открыт, и он непуст, поскольку он содержит композицию [ab/': X' -> tubT' р'] ° f. Поэтому из теоремы 3.1.4 следует, что существует покоординатно полиномиальное отображение g: (/-*• tubr р', сужение которого на X принадлежит

§ 4] ВЛОЖЕНИЯ. ПОГРУЖЕНИЯ. СГЛАЖИВАНИЯ. АППРОКСИМАЦИИ 223 этому прообразу, и ясно, что композиция ргт ° g является требуемым отображением из ^Чи, X').

Общий случай сводится к рассмотренному: если X' — открытое подмножество замкнутого ^“-многообразия У, то отображение

^r(id, in):' ^ДХ, Х^-^ДХ, У) является топологическим вложением с открытым образом и отображает ^“(Х, Л') на пересечение этого образа с ДДХ, У) [ср. 4.6].

(Лемма). Для всякого компактного q-мерного ^^подмногообразия X пространства R9 с 1 ^ г ^ а и всякого компактного подмножества А пространства К9 множество ^-вложений f: X->Rq, таких, что f(IntX)o А, открыто в ^'(Х, К9).

(В настоящем пункте эта лемма используется только для случая, когда Л —точка. В полной общности она нужна для следующего пункта.) -

Доказательство. Предположим сначала, что Л —шар пространства R9. Пусть сиг — центр и радиус этого шара, и пусть f: X -> К9 — вложение класса Дг с f (Int X) 2D А. Обозначим через 41 множество таких ^-вложений g: X-»Rq, что для любой точки хе X '.

dist(f(x), g (х)) < min (г, Dist (f (Fr X), Л)).

Поскольку 41 открыто в ^(Х, К9) [см. 1.4] и содержит f, достаточно показать, что если g е 41, то g (Int X) 2D Л. Но если ge41, то пересечение g(FrX)nЛ пусто, так что множества g(X)(M, g(Int Х)Г) Л совпадают, ив то же время первое из этих множеств замкнуто в Л, а второе открыто в А. Кроме того, множество g(IntX)fM содержит g(f~‘(c)) [поскольку dist (g (Г’ (с)), с)<г] и, таким образом, непусто. Следовательно, g (Int X) П А = А, т. е. g (Int X) 2D Л.'

К рассмотренному случаю очевидным образом сводится более общий случай, когда А — объединение конечного числа шаров. Остается заметить, что в самом общем случае для любого ^'’-вложения f: X -* R’ с f (Int X) dd Л существует конечное число шаров, объединение которых содержит Л и содержится в f(IntX). '

. Для всякого замкнутого ^'-многообразия X с 1 ^ г ^ оо существует ^“-подмногообразие евклидова пространства, ^'-диф- феоморфное X.'

Доказательство достаточно провести для связного X. Фикси- • руем <§,г-вложение у. X->Rq, его '^'"-трансверсализацию т и правильную трубку TubTp и рассмотрим отображение f: TubTp-* G'(q, rt = dimX), относящее точке geTub^p плоскость у —jo ргДу) + (т °рг,(у))Х [которая проходит через точку у — jo р^(у)

ортогонально т°ргт(у)]. Ясно, что f трансверсально к G^q, о) [уже сужения отображения /на прообразы рг^Дх) точек хеХ трансверсальны к G^q, /г)] и что f~l (Gkfl> п)) = j(X). Отметим в X какую-нибудь точку х0 и обозначим через V часть многообразия G' (q, п\ составленную из плоскостей, трансверсальных к т(х0) [т. е. пересекающихся ст(х0) по одной точке], и через л отображение множества V в т(х0), относящее каждой плоскости из V точку ее пересечения с т(х0). В силу леммы 2, сужение Лтиь (о/л обладает в 7хг (ТиЬг(р/2), G'(q, п)) такой окрестностью ЭД, что если ^е^, то g трансверсально к G^q, п), образ ^(dTubT(p/2)) содержится в G' (q, n)\G^q,n) и abprT: g-AG'kq, п?р-> X есть субмерсия. Далее, в силу леммы 5, множество ^-вложений ф: dT(x0, р/2) -* т(х0) с ф(Int dx (х0, р/2))э О открыто в ^т (d^ (х0, р/2), т(х0)), и вследствие этого f |Tub (р/2) обладает в <8”’(ТиЬ1.(р/2), G' (q, д)) такой окрестностью V, что если g е Т, то g (dx (х0, р/2)) сд V и л ° [ab g: dx (х0, р/2) -> У] есть ^-вложение с образом, содержащим 0. Так как G' {q, п) есть открытое подмножество замкнутого ^“-многообразия, допускающего ^“-вложение в евклидово пространство (см. 2.2.10), то из леммы 4 следует существование ^“-отображения /г: tubxp-> G'{q, п), сужение которого на Tubt(p/2) принадлежит ^П^”. Положим У = piTub (р/2)]-* ($(?, д)). В силу теоремы 8.2, У есть ^“-многообразие, и остается заметить, что ргт|к: ¥—>Х есть диффеоморфизм. Последнее вытекает из леммы 3. Что условия этой леммы выполнены, видно из включения h |Tub (/2) е%!Л У: что ргт |г есть субмерсия, показывает включение h |Tub (р/2)е<?1, а что прообраз (ргт |к)-1 (хо) состоит из одной точки —- включение h |Tub^ (р/2) е Т.

7 (Лемма). Пусть X — замкнутое ^-многообразие с 1^г^ю и А, В — его компактные подмногообразия, причем А с int В и dim В = dim X. Если В наделено ^^-структурой, суживающей его ^'-структуру, то для любого замкнутого ^-многообразия X' часть пространства ^T {X, Х'\ составленная из отображений, продолжающих отображения из (Л, Х'\ плотна в ТТЛ (Д, Д').

Доказательство. Мы должны показать, что в ^ VX, Д') заданная окрестность ЧЛ заданного отображения / содержит отображение, продолжающее отображение из ^”(Л, Д'). Фиксируем ^“-вложение /': Д'-^К’, его ^“-трансверсализацию т' и правильную трубку Tub^-p' и обозначим через Т часть пространства кВ, Х'), составленную из отображений g, у которых таххев dist (/' ° f (х), j' (g (х))) < Dist (/' (Д'), R?' \ tuby р'). -

Ясно, что множество V открыто и что для любых geF, хе В отрезок с концами /z°f(x), /'(g(x)) содержится в tub^p'. Фиксируем окрестность U множества дВ вВсС1иП-А=0, построим ^“-функцию Урысона ф: В-*1 пары Cl U, А и рассмотрим отображение Ф: Т-^-^Хх, Х'), переводящее g в отображение

{

/ (х)при х е X \ В,

prv ((1 — Ф (х)) j' ° f (х) + ф (х) f (g (х))) при хе В.

Очевидно, что Ф непрерывно и что Ф (f |в) = f. Из этих свойств Ф следует, что множество Ф"1^) открыто и непусто, после чего из теоремы 6.5 следует, что оно содержит ^“-отображения. Остается заметить, что Ф переводит ^“-отображения в отображения, продолжающие отображения из ^“(Л, Х'\

Всякое компактное ^-многообразие с 1^г<оо ^-диф- феоморфно ^-многообразию. Более того, если X — компактное ^-многообразие с 1 ^r < оо, Y — многообразие класса %” и ф: Y -*дХ — диффеоморфизм класса %', то существуют ^-многообразие X' и ^r-диффеоморфизм ф: X -> X', такие, что сквозное отображение *

ф ab ф ,

Y-^dX—*дХ

является ^-диффеоморфизмом.

Доказательство. Композиция ^-диффеоморфизма ф X id: УХ[—1, IJ-^^Xf—1, 1] с произвольным двусторонним ^""-окаймлением дХ X I— 1, l]->doppX представляет собой ‘^'"-вложение У X [—1, 1] -*dopp X. Поскольку У X [—1, 1] —многообразие класса ‘8’°°, образ В этого вложения получает ^“-структуру, суживающую индуцированную ^""-структуру, и ясно, что dJ£ cz int В. В силу теоремы 6, существует замкнутое ^“-многообразие Z с ^""-диффеоморфизмом doppX->Z, а из леммы 7 и теоремы 1.6 следует, что этот <@’г-диффеоморфизм можно выбрать принадлежащим классу ^ на дХ. Образ многообразия X при выбранном таким образом диффеоморфизме мы принимаем за X', а сокращение этого диффеоморфизма до диффеоморфизма многообразия X на X' — за ф. Что эти X' и ф обладают нужными свойствами — очевидно. v

(Информация). Теоремы 6 и 8 могут быть значительно усилены: они верны и для некомпактных многообразий, и в теореме 8 вместо оо можно написать а. Однако в этих теоремах нельзя отбросить условие г ^1: существуют замкнутые топологические многообразия, не гомеоморфные гладким многообразиям. Первый пример такого рода был указан в [12].

Применение: дополнение к теореме 7.7

. Пусть Хь А2, X' — компактные многообразия класса Ф^ с 1^г<оо. Если X' замкнуто, то часть произведения ^ (Аь А^Х^' №, X'), составленная из трансверсальных пар ^ь f2), всюду плотна.

Доказательство. В силу теоремы 8 существуют ^“-многообразия Ух, У2, У' с ‘^"'-диффеоморфизмами У]'-*А1, У2-*Х2, У'->Х', вследствие чего достаточно доказать, что трансверсальные пары составляют всюду плотное множество в ^"(У], У') X V (У2, У')- Но из теоремы 7.7 следует, что такие пары составляют всюду плотное множество в ^“(У,, У') X <6” ^Хг, У'), а из теоремы 6.5 — что это произведение всюду плотно в ^(Уь У^Х^ДУг, У')-

Аппроксимация отображений вложениями и погружениями .

В этом пункте завершается выполнение программы, намеченной в 4.1. Его главное содержание составляют теоремы 4 и 5. Технической основой служит лемма 3, из которой можно извлечь и много других следствий; см., в частности, 11.11, 11.12 и 11.13.

Вспомогательные многообразия

Пусть X — замкнутое n-мерное ^'-многообразие с 1^ г^а.и j: X->К9 — вложение класса'^"’. Пусть, далее, пг — натуральное число, не превосходящее q. Нам потребуются две конструкции.

Первая конструкция: мы обозначаем через Аихь или, подробнее, АихД/; т), часть произведения Tang А X G (9, т), составленную'из таких пар (и, у), что (о?/(и), б//(и))=1 й б//(и)еу, и через aux,—отображение множества АпХ] в G'^q, пг), определяемое формулой aux, (и, у) = / (рг (и)) + У, где рг=[pr: TangA -> А]. Множество Aux, является [2п — 1 + (m — 1) (</—/и)]-мерным подмногообразием произведения TangAXG(<7, пг) [оно служит * прообразом подмногообразия S9-- X G^q, пг) произведения R’X G'^q, пг) при отображении произведения TangA ХО(<7> m) в R9XG'^q, пг), определяемом формулой (и, у) *~* № (и), d'/M + v); это отображение трансверсально к S4-1 XG^q, m)]. ' Отображение aux, принадлежит классу <@’г~1, и его образ состоит из тех m-мерных плоскостей пространства R9, которые содержат прямые, касающиеся /(А).

Вторая конструкция: мы обозначаем через Аих2, или, подробнее, Аих2(/; пг), часть произведения А XXX G^q, пг),

§ 4] ВЛОЖЕНИЯ. ПОГРУЖЕНИЯ, СГЛАЖИВАНИЯ. АППРОКСИМАЦИИ - 227 составленную из таких троек (х, х', у), что х^х' и /(х') — /(х)еу, и через аих2 — отображение множества Аих2 в G'^q, пг\ определяемое формулой аих2(х, х', у) = /(х) + у. Множество Апх2 является [2п + (/и — !)(<? —/п)]-мерным подмногообразием произведения X X X X G (q, т) [оно служит прообразом подмногообразия G(q, т) многообразия G'{q, т) при отображении произведения ((X X X) \ diag (X)) X G [q, т^ в G' (q, пг^, определяемом формулой (х, х', у) I—> / (х') — j (х) + у; это отображение трансверсально к G^q, ni)V Отображение aux2 принадлежит классу <8‘г, и его образ состоит из тех m-мерных плоскостей пространства R17, которые пересекают / (X) более чем в одной точке.

Основные теоремы '

(Лемма). Пусть X — замкнутое п-мерное ^>г-многообразие с l^r^oo и j: X->R" — вложение класса ^r, наделенное ЪН-трансверсализацией т: X -> G kq, q — п) с правильной трубкой TubTp. Тогда существуют такая окрестность °Н отображениях''*. X->G'{q, q — п) [см. 3.2] в пространстве c6’r (X, G'(q, q — п)) и такое непрерывное отображение Ф: °U ->DiffrX, что для всякого отображения geW. (i) [/° Ф (g)] (х) е g (х) при хеХ; (и) отображение xg; X-*G^q, q — п\ определяемое формулой Tg(x) = g W — [/ ° Ф (g)] (х), является трансверсализацией вложения /°Ф(g): X-> R^; (iii) некоторая правильная трубка этой транс- версализации содержит трубку TubT(p/2).

Доказательство. Обозначим для g г^ (X, О' (q, q — п^ через h6 отображение трубки TubTp в R’, относящее точке z/eTubTp ее образ при ортогональном проектировании на плоскость g(prT(y)). Очевидно, g^—>hR есть непрерывное отображение пространства ^ kX, G'kq, q — п)) в '?”’(Tubi:p, R’), и ясно, что ecлиg = т~, To/zg = [in: Tubтp->R‘,]; следовательно, у т~ есть в ^ (X, G' kq, q — п)) такая окрестность Т, что если geF, то hg — вложение класса ^ и /zg(tubTp) zd TubT(p/2) [см. 9.5]. Обозначим для g^V через ia сквозное отображение

X —> Tubx (р/2) -WTl^hax (TubT (р/2)) — > Tubr р —> X

Очевидная проверка показывает, что gv—>i6 есть непрерывное отображение окрестности Zb <8’г(Х, X) и что i\~ = id. Стало быть, у g имеется в Z такая окрестность °И, что если g е ОЦ,, то ig есть диффеоморфизм, и мы полагаем Ф(^) = /”1. Что Ф не' прерывно и что ^ и Ф удовлетворяют условиям (i), (ii), (iii) — очевидно..-t

Если X — компактное п-мерное <&>г-многообразие с 1 ^ г^оо и X' — замкнутое п' мерное 1?>г-многообразие, то при п'^2п

множество Immr(X, X') плотно в <@’r(X, Х'\ а при n,^2«4-l множество Embr(X, Х'^ плотно в ^(Х, X'}.

Доказательство достаточно провести для случая, когда г=оо: случай г < оо сводится к случаю г = оо теоремами 9.6 и 4.2. Пусть / — отображение из ^(Х, X') и 41 — его окрестность. Мы должны доказать, что если п'^2п, то ^ содержит погружение, а если п':>2п+1, то <2/ содержит дифференциальное вложение.

Фиксируем ^-вложения /: X->R7, fl X' -*R'7' и определим вложение Д: X' -> Rff +" = R? X R’ формулой Г (х') = Ц' (х'), 0). Фиксируем, далее, “^“-трансверсализацию т' вложения Г и правильную трубку Tub-г/pR Ясно, что при любом />0 формула It(х) = (j'(f(x)), tj(x)) определяет ^“-вложение Jt: X->^4+q. Выберем в столь малым, чтобы образ /8(Х) лежал в TubTz(p72), и обозначим 1е короче через /. В силу леммы 3 (примененной к многообразию X', вложению Г, трансверсализации V и трубке Tub^zp') существуют такая окрестность 41' отображения (т')в ^"(Х', G' \q' -V Я, q' "V q — n')) и такое непрерывное отображение Ф': 41' -> Diff“ X', что для g' е 41'\ (i) [Д0 Ф'(g')I СИ е g'(х') при х'еХ';(Н) отображение Tgz: X' G (q' + q,q' + q — п'\ определяемое формулой • Tg' (х') = g' (х') — [/' ° ф' (g')] (х), является трансверсализацией вложения /°Ф'(g'); (iii) некоторая правильная трубка этой трансверсализации содержит Tubxz(p72). Рассмотрим отображение ХР': 41' -^^(Х, X'), определяемое формулой [Tf,(g,)j(x) = prl.z/(Z(x)). Оно непрерывно и переводит т' в f, вследствие чего множество (ХР,)~1 (^) открыто в ^^Х', G* (q' + q, q' + q ■— n'^ и непусто. В силу теоремы 7.7 из этого следует, что (Ч/')-1^) содержит некоторое отображение h, трансверсальное к отображениям auxp Auxj (7; q'А-Р— п'^^> G' (q' + q, q' -r q — n'^) и aux2: Aux2 (7; q' + q — n') -> G' Vq' + q, q'-Vq — n'Y Мы покажем, что ^'(/i) есть погружение, если п'>2п, и дифференциальное вложение, если n'^^n-V 1. Этим доказательство будет завершено, поскольку Ч/' (А) е 4L

Неравенство п' ^ 2п равносильно неравенству dim X' + dimAuxJ/; q' -R q — n') < dim G' (q' + q, q' + q — n'), и потому при n'^2n трансверсальность отображений auxb h означает, что /i(Xz) не пересекается с Imauxj, т. е. что ни одна из плоскостей Л(х') с х'е X' не содержит прямой, касающейся /(X). Последнее, в свою очередь, означает, что для любой точки у е 7(Х) дифференциал ^у(Ргтй[у(л.)) сужения prxz |/да является мономорфизмом, т. е. что это сужение, и с ним отображение W'QiY является погружением.

Неравенство д/^2/г+1 равносильно неравенству dimX' + dimAux3(/$ q' + q —- nz) < dim G'(qf + q, q'-Vq — n'Y и потому

при лх^2л + 1 трансверсальность отображений aux2, h означает, что h (Xх) не пересекается с Im aux2, т. е. что ни одна из плоскостей й(х') с /еХ' не пересекает ЦХ) более чем в одной

точке. Последнее, в свою очередь, означает, что сужение ргт/ | ( } взаимно однозначно. С ним взаимно однозначно и отображение Ч^/г), а так как это — погружение, то это — дифференциальное вложение (см. 1.5.4).

Вложения и погруженияв евклидовы простр" анств а

Всякое компактное п-мер ное ^’’-многообразие с 1 ^г^оо допускает ^-погружение в R2” и ^-вложение в R2n+1.

Это следует из теоремы 4 (в качестве X следует взять заданное многообразие, а в качестве X' — сначала сферу- S2", затем сферу S2rt+1; мы оставляем в стороне тривиальный случай л = 0).

(Информация). В действительности всякое л-мерное %>т- многообразие с г^1 допускает при л^1 ^-вложение в R2" и при л >2 <8’г-погружение в R2"-1. Если л положительно и не является степенью двойки, то всякое л-мерное ^^многообразие с г^1 допускает ^- вложение в R2"-1, тогда как при любом л = 2$ с s^O существуют замкнутые гладкие л-мерные многообразия, не допускающие и топологического вложения в R2"-1 (таково, например, RP"). Всякое л-мерное '^'"-многообразие с r^ 1, не имеющее замкнутых компонент, допускает ^""-вложение в R2"-1. Всякое ориентируемое л-мерное ^'"-многообразие с г^1 и л #= 1,4 допускает ^-вложение в R2"-1. [Допускает ли гладкое замкнутое ориентируемое четырехмерное многообразие дифференциальное вложение в R7 — неизвестно; топологическое вложение всегда возможно.]

Дальнейшую информацию, подробности и литературные указания можно найти в [20] и [18].

Упражнения

L Показать, что для любых ^^-многообразий X, X' а 0 ^ г^оо пространство ^'(Х, Xх) обладает счетной базой.

Показать, что если X — компактное ^'-многообразие, 1 ^ г ^ оо и X' — какое угодно ^'"-многообразие, то множество Submr(X, Хх)П®а(Х, Xх) открыто в ^(Х, Xх).

Показать, что всякое компактное топологическое многообразие является корсом. (Ср. 5.10.)

[гл. а[гл. аГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ2за

[гл. а

[гл. а

ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ

ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ

Примем за X гладкое одномерное подмногообразие плоскости R2, замкнутое как самостоятельное многообразие и содержащее график функции хн-*x2sin(l/x) на интервале (0, 1), и за т нормальную трансверсализацию включения X->R2. Показать, что при любом р отрезок dx ((0, 0), р) пересекает отрезок dx (х, р) с некоторым х =£ (0, 0). [Ср. 3.2.] .

Пусть X — компактное ^-многообразие с 1 ^г^оо и Лего подмногообразие. Показать, что при надлежащем выборе окаймления многообразия X объединение A U сор (А) является подмногообразием многообразия doppX.

Пусть X, У —компактные ^""-многообразия с l^r^oo. Показать, что: (i) произведение X X У обладает ^""-структурой, индуцирующей на т!ХХУ и XXinty обычную ^""-структуру; (ii) ^""-многообразие, в которое X X У превращается ^""-структурой с этими свойствами, единственно с точностью до диффеоморфизма.

Пусть Xi, Х2, X — компактные “^“-многообразия, и пусть ^е^уСХг, X'). Показать,' что подмножество пространства ^(Xj, X'), составленное из отображений, трансверсальных к /2, плотно в этом пространстве.

Пусть Xi, Х2, X' и f2 обозначают то же, что в 7. Показать, что, каково бы ни было ^“-отображение ф: дХ^дХ', трансверсальное к abf2: дХ2-^-дХ', часть пространства

(Xi, Х'\ составленная из продолжений отображения ф, трансверсальных к f2, плотна в части пространства ^^ (Xb X'), составленной из продолжений отображения ф.

Пусть X, X' — компактные ^^-многообразия с 1 ^г^оо, и пусть ф: дХ-*дХ'— погружение класса Фг. Показать, что если dim Х'.^2 dim X, то часть пространства ^(Х, X'), составленная из '^"’-погружений, продолжающих Ф, плотна в части пространства ^(Х, Х'), составленной из продолжений отображения ф. ■

Пусть X, X' — компактные ‘^'"-многообразия с 1 ^г^оо, и пусть ф: ОХ^-дХ' — вложение класса ^г. Показать, что если dim Х'^ 2 dim X + 1, то часть пространства ^(Х, X'), составленная из ‘^'’-вложений, продолжающих ф, плотна в части пространства ^(Х, X'), составленной из продолжений отображения ф. [В частности, всякое компактное n-мерное “ё^-много- образие допускает правильное вложение в Z>2n+1.]

Пусть X, X' — замкнутые “@'>г-многообразия с 1 ^г^оо. Показать, что множество '^"’-отображений f: Х^-Х', у которых Tangf U)) X' = Im dXi f + Im dXi f для любых двух различных точек Xj, хгеХ с f (xj) = f (х2), плотно в ^(Х, X'). '

Пусть X, X' — замкнутые ^'"-многообразия с 1 ^г^оо. Показать, что если dimX* = 2 dimX—1, то множество ^г- отображений f: Х->Х', у которых ранг дифференциала dxf равен dimJV во всех точках хеХ кроме их конечного числа, где этот ранг равен dimX— 1, плотно в ^'VX, X'}.

Пусть X, X'— замкнутые ^^-многообразия с 1 ^г^оо. Показать, что если 2 dim X' > 3 dim X, то множество ^-отображений f: Х->Х', у которых прообразы точек не более чем двуточечны, плотно в ^(X, X').

5. ПРОСТЕЙШИЕ СТРУКТУРНЫЕ ТЕОРЕМЫ

Функции Морса

Центральная теорема этого параграфа — теорема 2.10. Ее главное содержание состоит в том, что всякое компактное ц-мерное ^“-многообразие может быть получено из пустого n-мерного многообразия конечным числом весьма стандартных операций, так называемых пристроек. Весь настоящий пункт и предшествующая теореме 2.10 часть п. 2 посвящены, по существу, подготовке к ее формулировке и доказательству, а остаток п. 2 — ее следствиям. Она же позволит нам произвести в п. 3 эффективное перечисление компактных гладких многообразий размерности 2. ’ .

То обстоятельство, что, в отличие от предыдущих параграфов, мы почти всегда ограничиваемся здесь ^“-случаем, не должно вызвать удивление: теоремы о сглаживании диффеоморфизмов и многообразий (т. е. теоремы 4.4.4, 4.6.11 и 4.9.6, 4.9.8) показывают, что замена класса ^ любым классом <8Т с 1^г‘<оо ничего не изменила бы в результатах излагаемой теории.

Кобордизмы и функции Морса

Компактное ^“-многообразие X называется кобордизмом, если многообразие ’дХ разбито на две части, дйХ и д\Х, состоящие из его целых компонент. Эти части называются началом и концом кобордизма X. Каждая из них может быть пустой. Пустота обеих означает, что X замкнуто, вообще же число способов, которыми компактное ^“-многообразие X можно сделать кобордизмом, равно 2г, где / — число компонент края дХ. Среди этих кобордизаций всегда имеется одна без начала (доХ = 0, д1Х = дХ) и одна без конца (,дйХ==дХ, д\Х = 0).

Два кобордизма X, X' называются диффеоморфными, если существует такой диффеоморфизм (и, значит, существует такой ^“-диффеоморфизм) /: Х->Х', что / (д0Х) = д0Х/, Кд1Х') = дхХ'.

Если X, X' — кобордизмы с диффеоморфными дхХ, д0Х' и ф: дхХ -*д0Х' — диффеоморфизм класса ®’°°, то многообразие У, получающееся после склеивания как-либо окаймленных многообразий X, X' по ф, в естественном смысле является кобордиз- мом: мы полагаем =\даХ, дх¥ = дхХ'. Говорят, что У получается из X, X' склеиванием по ф. Если кобордизмы X, X' ориентированы и ф обращает ориентацию (ориентации многообразий дхХ, dQX' индуцируются ориентациями многообразий X, X' — см. 1.3.4), то мы наделяем У ориентацией, определяемой требованием, чтобы оба вложения Х->У, Хг-*•¥ сохраняли ориентацию. Предостережение: это определение ориентации склеенного кобордизма не согласуется с определением ориентации склеенного многообразия, данным в 4.5.5.

Замкнутые гладкие многообразия Vo, Vj называются кобор- дантными, если существует кобордизм с началом, диффеоморф- ным Го, и концом, диффеоморфным У]. Если Уо и Vx ориентированы и существует ориентированный кобордизм X с диффеоморфизмами V0-*d0X, Vx-+dxX, один из которых сохраняет ориентацию, а другой обращает, то говорят, что Уо, Vt ориентированно кобордантны. Очевидно, что кобордантность и ориентированная кобордантность рефлексивны и симметричны, а возможность склеивания кобордизмов показывает, что эти отношения и транзитивны, т. е. являются эквивалентностями.

Критическая точка х ^-функции /: X-*R, где X — многообразие класса ^>2> называется невырожденной, если для некоторой (и, значит, для любой) карты ф г Atlx^X точка ф(х) является невырожденной критической точкой функции (f lsuppv) ° ф-1: 1тф^-Р (см. 3.3.1). Соответствующий индекс также не зависит от выбора карты ф (см. 3.3.1); он называется индексом точки х по отношению к f. ■

^“-функция f: X —>R, где X — кобордизм, называется функцией Морса, если: Im fez/; f_1(O)=5oX и f~‘(l) = diX; все критические точки функции f содержатся в intX и невырождены.

Функция Морса называется правильной, если ее значения в различных критических точках различны.

Локальная структура функций Морса

Пусть X — кобордизм размерности п. Если ft X -> R — функция Морса, то для любой точки хеХ существует такая карта феАН^Х с ф(х) = 0, что сужение /1виррф совпадает со сквозным отображением ■

виррф—*•Imф->R, '

где правая стрелка обозначает функцию

если х е дйХ, функцию '01/д)1-* 1 + 0»

если х е дхХ, функцию

0ь • • tn)'~^'fМ + о,

если х лежит в inf X, но не является критической точкой функции f, и функцию

01, • • •, 60|—* f W — t^ — ... — /1 + /1+1 + ... + /«> если х — критическая точка индекса к.

В первых трех случаях для доказательства достаточно заметить, что функция X-+R, определяемая формулой y^-^fly) — fix'), если xeintAUdi^, и формулой у i-^- — f (у), еслихеДД, включается в окрестности точки х в систему координат (см. 1.2.12). В четвертом случае мы можем сослаться на теорему 3.3.3.

(Следствие). Множество критических точек функции Морса конечно.

■Т е о р е м а су щ е с тв о в а н и я

б (Лемма). Для любой ^-функции f: D"->R существует такое открытое всюду плотное подмножество А пространства R", что если а^А, то функция Da-> R, определяемая формулой

x^flx) — (d, х),(1)

не имеет вырожденных критических точек.

Доказательство. Рассмотрим отображение gradf: Dn->R с координатными функциями DJ, ..., DJ. В качестве А можно взять Rn \ [grad f] IF), где F—множество таких точек хед", что ранг дифференциала d^grad f меньше п. Что это множество плотно, следует из теоремы 4.7.4, что оно открыто, очевидно. Ясно также, что если х е £>" —критическая точка функции (1), то [grad /] (х) = а и матрица вторых частных производных функции (1) в точке х совпадает с матрицей дифференциала ^(grad f) по отношению к стандартным координатам в Tang^D" и TangaR"; следовательно, если а г А, то эта матрица вторых частных производных невырождена.

На всяком кобордизме существует правильная функция Морса.,

Сначала мы покажем, что если на кобордизме X существует какая-нибудь функция Морса, то на X существует и правильная функция Морса. Пусть хь ..., хт — критические точки функции Морса f: X-^-R и UX1 ..., Um — попарно непересекаю- щиеся окрестности этих точек в int X. Пусть, далее, УД ..., Vm —

такие окрестности точек ,хт,чтоС1 VtcUb .. .,С1 V„cUm, и фь .... фт — какие-нибудь функции Урысона пар (X\0t, Cl Kt), ,.., Ц\ит, Cl Vm), принадлежащие классу %””. [Существование таких функций Урысона следует из теоремы 4.7, которая делается применимой к нашей ситуации после удвоения многообразия X.] Ясно, что если еь ..., ет достаточно близки к нулю, то функция, определенная на X формулой хн->/(х) + е1Ф1 to + • • • + етфт (х), как и f, является функцией Морса и не имеет критических точек, кроме хь ..., хт. Ее значения в точках хь ..., хт равны /(xj + ei, ..,, f(xm) + em, и надлежащий подбор чисел 6], ..., ет делает эти значения попарно различными.

Покажем теперь, что на X существует функция Морса. Фиксируем окаймление к1. дХХ^-^Х и ^“-функцию ₽: 1-^-1, равную 1 на отрезке [0, 1/2] и 0 в окрестности точки 1, и определим функцию g: X—>R формулами

g (х) = y ,если х е X \ к (дХ X [0. 1)),

gkk<z, /)) = 4 + т^ “ ОРЮ. если ze^X, tel,

g(k(z, /)) = -^ + у (1 — 0 Р (0, если z е dtX, t е I.

Ясно, что g принадлежит классу ®’“, отображает X в /, д0Х в 0 и д]Х в 1 и не имеет критических точек в £(дХХ[0, 1/2]). Построим такие карты фь ..., ф8 из AtlX, что 1тф1= . ..= Im ф$=К", гдеп—dim X, и множества ф~' (int Dn\ ..., ф”1 (int/>") покрывают Х\£(<ЭХХ[0, 1/2)). Построим, далее, ^“-функцию a: R"->7, равную 1 на Dn и 0 вне концентрического шара 2D" радиуса 2. Мы сконструируем индуктивно такие функции' g0, ..., gs: X~*R, что gt совпадает с g в окрестности края дХ, отображает intX в Int/, не имеет критических точек в к^дХХ [0, 1/2]) и не имеет вырожденных критических точек в U)_i Ф/"1 kDnY Функция gs и будет функцией Морса на X.

Положим go = g и допустим, что при некотором ^^1 функции g{ с i < к имеются и обладают перечисленными свойствами. Формула

( gfe_i to, если х е X \ фд1 ^D*),

ha(x) = < gk-t(x) — {a, ф^ (х)) ° ° Фа to,

если х е supp ф6,

определяет для любой точки а е R" ^““-функцию /го: X -* R, совпадающую с g^-x в окрестности множества дХ и совпадающую с gh~x на всем X, если а = 0. Очевидно, у точки 0 есть в R" такая окрестность U, что если aeU, то h0 не имеет

критических точек в (<9Х X [0, 1/2]), не имеет вырожденных критических точек в ll,”,1 Ф^"1 СО") и отображает int Л" в Int/. В силу леммы 6, в U можно найти такое а, что hQ не имеет вырожденных критических точек и в ф^1 (О"), и такую функцию ha мы принимаем за gh.

Кобордизмы и хирургия

Этот пункт посвящен специальным операциям над кобор- дизмами — пристройкам и перестройкам. Пристройки уже упоминались в 1.1. Перестройки проще пристроек, но и возможности их более ограничены: мы определяем их только для замкнутого случая, и с их помощью можно получить из замкнутого ^“-многообразия лишь кобордантные ему многообразия.

Стандартные кобордизмы

Мы определяем стандартные кобордизмы двух родов: стандартные тривиальные кобордизмы и стандартные элементарные кобордизмы индекса k. На каждом стандартном кобордизме имеется стандартная функция Морса.

Стандартный тривиальный кобордизм определяется по произвольному замкнутому ^“-многообразию V. Это — просто цилиндр V XI с д0 (У X I) = V X 0 и dv (И X I) = V X 1 • Соответствующая стандартная функция Морса определяется формулой (и, О1-*t и не имеет критических точек.

Стандартный элементарный кобордизм индекса к определяется по произвольному замкнутому (п — 1)-мерному ^“-мно- гообразию V сп^к и произвольному ^“-вложению ф: S6-1 X [Л"к-^- V и обозначается через El (У, ф). С точностью до гомеоморфизма это (У ХП \1 ^у^ХВ""^, где Ф1—отображение произведения S*-1 X Dn-k в У XI, задаваемое формулой ф] (х, у) = (ф (х, у), 1). Чтобы, определить Е1(У, ф) как ^“-многообразие, обозначим через Е(.п, k) множество

и через el — гомеоморфизм пересечения Е^г, fe)f][R" \ ^R*X Int (1 /У1"*))] на цилиндр ф(з^1 X ^Dn"k \ Int (у Dn~fe^ XI, задаваемый формулой .

Оь ..., ^^(ф^, .... t^H^-V ... -VH, {tk+b•

8^-^- —/i — ... —^1 + /б+1+ .

Как топологическое пространство, Е1(У, ф) представляет собой результат склеивания цилиндра JV X <р ^S*—' X Int(4 ^^jX! с Е (п, k) по гомеоморфизму el (см. рис. 5). ^“-структура в Е1(У, ф) определяется атласом, составленным из каких- нибудь атласов ^“-многообразий ^У \ ф (s6-1 X (у ^"^j)] XI

v

А ^2^^4А ^2^^4^5^5,^7^8^/\v(S°A^(lDr))Vl^5^5,^7^8^/\v(S°A^(lDr))Vl

А ^2^^4

А ^2^^4

^5^5,^7^8

^/\v(S°A^(lDr))Vl

^5^5,^7^8

^/\v(S°A^(lDr))Vl

- Рис. Б (п = 2, & = 1).

и Е^п, &)n(R6XInt.D" 6) [последние рассматриваются как части пространства Е1(У, ф)]. Начало ^0 Е1 (У, ф) составляется из множеств

[у \ Ф (s6’1 X Int (1/У1"6))] X О,VJD /

конец di Е1 (У, ф) — из множеств

[У \ Ф (S*-1 X Int (1 Dn-ft))] X 1,

{(tiqge^^Xt^- ... -d+d+i+ ... -vtn=^y Стандартная функция Морса составляется из функций [У\ф(з6 1 X Int (-£-.£>" fc)) j XI ~* R, Е (п, Е) ->. R, определяе-

мых формулами (у, t) i-> /, (/jQ ^ 8 ^ — ^—...—/14- &н +••• + $; она имеет единственную критическую точку -Ое Е Qi, к1), и индекс этой точки равен к. Обозначение стандартной функции Морса: то.

Фундаментальное свойство всех стандартных кобордизмов, построенных по V, состоит в том, что начало каждого из них канонически ^“-диффеоморфно V: в случае стандартного тривиального кобордизма диффеоморфизм определяется формулой у>—»(у, 0), в случае кобордизма El (V, ф) — составляется из отображения

[ V \ Ф (s^1 X Int (у D""6)) ] X 0, определяемого формулой у н-> (у, 0), и отображения Ф^Х^-ф, .... t^eE^n, k)\~^- ...-tH

/а+i 4*4*/» = —Гб}1

определяемого формулой

ф((^ь • • •» Ik), (^+iZ»))1—*^1 д/-^ + /1+1 + • • • + /», •.

tk А^-^ + /1+1 +4-/1, /&+ь •/«).

Конструкция стандартного элементарного кобордизма наиболее проста в случаях, когда индекс к равен 0 или п.

Если к = 0, то ф вкладывает в V пустое множество, Е (ti, k) есть шар — Dn и гомеоморфизм el связывает пустые множества. В этом случае подобное растяжение шара Е^п, к) [с коэффициентом 4] превращает Е1(У, ф) в сумму (УХ-/) LID". С до [(У х П и Dn\ = in, (У х 0), дх [(У х /) и Dn\ = (У X 1)U S"-1, а стандартную функцию Морса — в функцию, составленную из функций УХ/->В, D"-*R, определяемых формулами (у, t^t, (/ь ..., /„)->(! 4-/14- ... -Н1)/2.

Если к — п, то ф вкладывает в У сферу S" ', образом этого вложения служит одна из компонент многообразия У (см. 1.5,1), Е^п, k) снова есть шар -^Еп и гомеоморфизм el снова связывает пустые множества. В этом случае подобное

растяжение шара Е^п, k) превращает El (V, ф) в сумму ([клФ^’Ш^ия” с

до {( [V \ Ф (S"-1)] X /) U D"} = ( [7 \ Ф (S"'1)] X 0) U S""1,

^{([УхФ^-’Их/Эи/)"}-™!^^

а стандартную, функцию Морса — в функцию, составленную из функций [У \ Ф (S"-1)] XR, Dn->R, определяемых формулами (и, /) I—s-/, (/ь ..., /п) i-^- (1 — /1 — ... —■ ^)/2.

Заметим еще, что ^ = 0 и k = n— единственные значения индекса, при которых стандартный элементарный кобордизм может иметь связный край, причем в случае к = 0 край связен тогда и только тогда, когда исходное многообразие V пусто, а в случае k = n— тогда и только тогда, когда ф является диффеоморфизмом. Согласно предыдущему, в обеих ситуациях кобордизм диффеоморфен шару DE

Тривиальныекобордизмыи элементарные кобордизмы

Кобордизм называется тривиальным, если он диффеоморфен стандартному тривиальному кобордизму. Кобордизм называется элементарным кобордизмом индекса k, если он диффеоморфен стандартному элементарному кобордизму индекса й.

Из этих определений видно, что если X — тривиальный кобордизм, то многообразия дйХ, дхХ диффеоморфны, и что на тривиальном кобордизме существует функция Морса без критических точек, а на элементарном кобордизме индекса к — функция Морса с критической точкой индекса к и без других критических точек.

(Лемма). Пусть X, X' — такие кобордизмы, что многообразия д[Х, д0Х' диффеоморфны. Если кобордизм X' тривиален, то кобордизм, получающийся из X, X' склеиванием по произвольному %”-диффеоморфизму д\Х^-дйХ' (и произвольным окаймлениям многообразий X, X'), диффеоморфен X.

В силу теоремы 4.5.9, достаточно построить для заданного ^““-диффеоморфизма ф: дхХ -*дйХ' такие ^““-вложения jfX -> X, Г: Х'^Х, что ЦХШ0П = Х, i(X)(]j'(X') = i(dlX) = j'(d0X') и сквозной диффеоморфизм

doX'^j'WV^^dxX

совпадает с ф-1. Фиксируем для этого: окаймление к: дХ Х1~*Х; такой ‘^“’-диффеоморфизм f: X' -> д0Х' X Е что f (Х) = (Z, 0) для любой точки х' ед0Х'; возрастающую ^“-функцию в: 1-^-1, такую, что a(0 = (l/2) + (V3) при /^3/4 и а(/) = / при /> 7/8.

Определим, далее, функцию р: 1-^-1 формулой р(/) = (1—/)/2 и положим'

/ (х) = х,если х г X \ к tdvX X [0. 1))>

/ (^ (z, 0) = к (z, а (/)), если z е дхХ, t е /;

Fix') = к ° (ф-1 X Р) ° f кх'\ если х'еХ'.

Прямая проверка показывает, что / и f обладают нужными свойствами.'

Кобордизм, на котором существует функция Морса без критических точек, тривиален."

Доказательство. Пусть f: X —> R — функция Морса без критических точек. Согласно 1.5.8 (или, если угодно, 4.8.2), прообраз /-| (/) каждой точки / интервала (0, 1) является правильным подмногообразием кобордизма X, и очевидно, что этот прообраз замкнут как самостоятельное многообразие (прообразы f-1 (0) = д0Х, f-1 (1) = дхХ также представляют собой замкнутые многообразия). Из теорем 4.5.3 и 4.5.8 следует, что при любом tel у f-1 (^) есть окрестность Ut с некоторой ®>оо-суб- мерсией л^ t/;-*/-1^), тождественной на f~4t\ Определим для tel отображение Ft: Ut-^-f'^XI формулой Ft(x) = (л;(х), / (х)). Ясно, что Ft принадлежит классу^00, что дифференциал dxFt не вырождается, если х е f~l (/), и что Ft диффеоморфно отображает f-1 (/) на f-1 (!) X t. Следовательно, Ft является ^“-вложением на некоторой окрестности множества f-1 (/) [см. 1.5.5], т. е. диффеоморфно отображает прообраз F?' (Az) некоторой окрестности А, точки t (в /) на f-1 (/) X А(. Пусть пг столь велико, что каждый из отрезков, на которые / разбивается точками 1/т, .. .Дт — 1)/т, содержится в одном из множеств А(. Тогда все кобордизмы f-1 ([(z — 1)/т, ЦтД с daf~' ([(/ — l)/m, i/m\) = f-1 ^i — l)/m), дф~х ([(z — l)/m, z/m]) = f-1 (z/m) тривиальны, и из леммы 5 следует, что и весь кобордизм X тривиален.

■ 7. Если на кобордизме X существует функция Морса с единственной критической точкой и эта критическая точка имеет индекс к, то X есть элементарный кобордизм индекса к. ■

Мы начнем доказательство, которое довольно длинно, с. построения некоторого вспомогательного кобордизма У. Фиксируем функцию Морса f: A"->R, имеющую единственную критическую- точку индекса к, скажем, х, и не имеющую других критических точек. В силу теоремы 1.4, существует карта" ф е Atl% X с ф(х) = 0, такая, что сужение f 15иррф совпадает с композицией

отображения ф и функции 1тф->₽, определяемой формулой (Ь> • ••, tn')*—*f(1x')— /1— ,..—Д + Д+1 + • • • + tn* * Ясно, что множество 1шф содержит часть пространства R", определяемую в стандартных координатах неравенствами

Д+i + ••• +Д^4е2,

-4-<-^- -Д + Д+1+ ... +д<4

с некоторым положительным в. Обозначим эту часть через А и положим

В ■= А П (R6 X (R"~ft \ Int (у D"'6))).

Как топологическое пространство, У представляет собой результат склеивания подмножества•

Г'([/(х)-4- Г(х) + 4])ХФ'1(ЛХВ)

многообразия X с произведением S6~‘ X 2Dn~k XI по гомеоморфизму-

Ф-' (В) S6"1 X [(2D""6) \ Int (у О""6)] XI, определяемому формулой

Ф-*(/к ...,tnW(■ , (^+1, Q,

4 (75—- Д + Д+1+ ... +д)). [Мы пользуемся здесь неравенствами 4 < f(x) < 1 — 4’ которые являются очевидными следствиями включения Л с Im ф.] ^“-структура в У определяется атласом, составленным из каких-нибудь атласов ^“-многообразий f-1 ([^-"k fW + 4])\С1ф-,(Л\В) и S6-*XInt(2D"-6)X/. Начало д0¥ составляется из множеств

f' (^М - к) х к' И \ в^ Л г1 (f (х) - 4)]

и S6-1 X 2D"“6 X 0, а конец дх¥ — из множеств

г* (f (х)+4) \ к1 и \ в) п г* (г (х)+4)]

и S6-'X2D"-ftX 1.■

Составим из функций

r‘([f(x)-^, /(х) + ^])\ф-,(Л\В)->Р.S*-1 XInt(2Zr~*)x/->R,

определяемых формулами у t—> -^(-^- + f (у) — f (г)}, (и, у, t^*-*t [m eS6-1, у е Int (2D"-6), tel\ функцию g: У->К. Как показывает очевидная проверка, g есть функция Морса без критических точек. (Из ■ этого следует, - в силу теоремы 6, что кобордизм Y тривиален, однако его тривиальность не будет прямо использована в дальнейшем.) Рассмотрим, далее, сквозное вложение

S*'1 X Int (2£>"“*) XI -^ Y

и его сокращение ф: Зй~' X Dn~k-+g~l (1/2). Мы покажем, и этим доказательство теоремы будет завершено, что кобордизм X диффеоморфен El (g—1 (1/2), ф).

В качестве предварительного шага мы построим такое положительное б, меньшее у, и такой ^“-диффеоморфизм

№ г-'(4)Х[1-6,1 + б]-8-'([4-6,| + б])

что для любых и s S6-1, у е Dn~k, / е |у — б, ^ +'б] Н ((и, у, у), /) =(и, о, О-

В силу теоремы 4.5.8, при некотором положительном г), меньшем у, существует ^“-субмерсия л: g_| ^у — т], y^^))""* g_1^y^, тождественная на Я-1 (у)’ ФиксиРУем ^“-функцию a: Rn-6 -> R, равную 1 на Dn~k и 0 вне 2Dn-k, и определим новую ^“-субмерсию р: g_1^y —ц, Т "Ь^))“1 (у)

формулой ■

{

л (у), если у 96 S6-1 X Int (2Da-fe) X 7,

Л (и, у, у + (/ — у) (1 — а (у))),

если у = (и, у, /), где usS6-1, ue2Dn-k, tel.

Определим, далее, отображение G: g~l((т — т1’ т + Т|))-> £"'(т) Х(4" —П, Т + 11) формулой G(z/) = (p(z/), g^\ Поскольку G диффеоморфно отображает g-1 (у^ на g-' (у) Ху и дифференциал dtiG не вырождается, если z/eg-’^y то

существует такое положительное б, меньшее ц, что сужение отображения G на g-1 ([у — б, y + dj) является ^“-вложением, и ясно, что в качестве Н можно взять

(аЬО)-': г-'(1)х[4-6, 1+»]->,-'([|-6, у + б] ) .

Чтобы доказать, наконец, диффеоморфность кобордизмов X и El (g-1 (у), ф), мы разрезаем каждый из них на три ко- бордизма: X на кобордизмы f1 ([о, / (х) — ^-j^, f1 Qf (х) — 1-, fW + -^-]), r‘([fto + ^y-. 1]). aEl(g-‘(y), ф) на кобордизмы mo-' ([о, у-б])> mo-'Qy —б, у + 6])' то-1([Н6. ‘])-вкаждой -из этих троек первый и третий кобордизмы тривиальны в силу теоремы 6 и, значит, второй кобордизм диффеоморфен целому кобордизму. Таким образом, нам достаточно построить диффеоморфизм

mx'([i-6. х+6])^г' ([m-^. /м+^]).

а такой диффеоморфизм можно составить из сквозного отображения

(V* (у) \ Ф (5й-1 х Int Dn"k^ х [| - 6, 4- + б] ^

(У \ (5й"1 X Int Dn"k X /)) Л g~' ( [у - б, у + б] ) -У*

(X \ ср"1 (Rfe X Int Dn"k^ Л Г ([/ W - -V-. f to + -^] ) и отображения

Е (»,./?) Л то-1 ([1-6, у + б])^■

Ф"1 (1т Ф Л (R6 X eDn-k^ Л ГХ ( [f to - ^. f to + -^]), определяемого формулой (/ь ..., /J1—*ф-'(е/ь ..., е/„).

простейшие структурные теоремыпростейшие структурные теоремы243243§5]

простейшие структурные теоремы

простейшие структурные теоремы

243

243

(Следствие). Если на п-мерном кобордиэме со связным краем, существует функция Морса с единственной критической точкой, то этот кобордизм диффеоморфен Dn.

Пристройки

Пусть X — кобордизм размерности » и ф: SbLXO”-6-> дхХ — вложение класса <6СО. Склеивание кобордизма X и элементарного кобордизма ЕЦд^, ф) по каноническому диффеоморфизму <ЭХ->диЕ1 (д^, ф) (см. 2) называется пристройкой индекса к. ■

Пристройка индекса 0 есть, с точностью до диффеоморфизма, переход от X к XUD", причем новая компонента края, т. е. in2(S"-1), присоединяется к дхХ, а пристройка индекса п — склеивание кобордизма X и шара Dn по некоторому диффеоморфизму одной из компонент многообразия дхХ на З"-1.

С точностью -до диффеоморфизма всякий кобордизм X может быть получен из стандартного тривиального кообрдизма д0Х XI конечным числом пристроек. Какова бы ни была правильная функция Морса f: X —>R, пристройки можно выбрать так, чтобы их число не превосходило числа критических точек функции f.

Это доказывается, индукцией по числу критических точек функции /. В случае, когда критических точек нет, достаточно применить теорему 6. Если / имеет т^1 критических точек, то мы находим в интервале (0, 1) такое с, что одно из критических значений функции f больше с, а остальные меньше с, и разрезаем X на два кобордизма: f—1 ([0, с]) и f~'([c, 1]). На первом из них существует правильная функция Морса ст — 1 критическими точками, именно, функция хь-^f(x)/c. На втором существует функция Морса с единственной критической точкой, именно, функция x^-^k^l— cMk^ CY Остается заметить, что, в силу теоремы 7, второй кобордизм элементарен.

//. Замкнутое п-мерное ^-многообразие, на котором существует функция Морса с двумя критическими точками, гомео- морфно сфере Sn. .

Доказательство. Заметим, оставляя в стороне тривиальный случай п = 0, что функция Морса с двумя критическими точками правильна (эти точки должны быть точкой минимума и точкой максимума). Поэтому, из теоремы 10 следует, что рассматриваемое многообразие можно получить из пустого многообразия двумя пристройками. Ясно, что первая пристройка имеет индекс 0, а вторая — индекс п, и, таким образом, многообразие является результатом склеивания двух экземпляров шара Dn по, диффеоморфизму сферы S"-1. -

Гомотопическое следствие

12 (Лемма). Кобордизм Е1 (У, ф) гомотопически эквивалентен VUf-D. где f — отображение сферы S6-1 в V, определяемое формулой Ну) = <р(у, 0); более того, существует гомотопическая эквивалентность V Ur Dfe-»E1 (V, ср), совпадающая на V с включением У [=<Э0Е1(У, ф)]^Е1(У, ф).

Такую гомотопическую эквивалентность можно составить из указанного включения и вложения ДЙ->Е1(У, ф), относящего точке хе Д4 точку х/4 е Е (п, k). Для доказательства достаточно заметить, что составленное так отображение У\3$Ок—> El (У, ф) является топологическим вложением, а его образ — строгим деформационным ретрактом пространства ЕЦУ, ф).

Всякое компактное п-мер ное гладкое многообразие гомотопически эквивалентно конечному клеточному пространству размерности ^ п. '

Доказательство. Согласно сказанному в 1.2, мы можем считать предложенное многообразие кобордизмом с пустым началом. Поэтому нужно лишь доказать, что если «-мерный кобордизм гомотопически эквивалентен конечному клеточному пространству размерности ^«, то он сохраняет это свойство после любой пристройки; см. 10. Но из леммы 12 следует, что пристройка индекса к к кобордизму X производит тот же гомотопический эффект, что приклеивание к X шара Dk по некоторому вложению f: Sk~l —>Х. Заменим кобордизм X гомотопически эквивалентным ему конечным клеточным пространством У размерности ^« и отображение f его композицией с гомотопической эквивалентностью Х->¥, а затем заменим эту композицию гомотопным ей клеточным отображением g: S^-^Y (см. 2.3.2.4). Из теоремы 1.3.7.8 следует, что кобордизм, получившийся после пристройки, гомотопически эквивалентен пространству Y Js Dk, которое является, согласно 2.1.5.5, конечным клеточным пространством размерности ^«.

Если кобордизм X' получается из кобордизма X в результате пристройки, производимой по вложению ф: Sk-AXPn~k-> д\Х, то д^Х' получается из дхХ в результате перестройки, производимой по тому же вложению ф: Sk~' X Dn~k дхХ.

Доказательство. Поскольку дхХ' = д\ Е1 («Э^, ф), наше утверждение означает, что дх Е1 (дхХ, ф) получается из дхХ перестройкой, производимой по ф. Напомним, что ЕЦд^.ф) есть результат склеивания пространств ^Х \ ф (s6-1 X Int ^ Dn-k^ j X и Ekn, k) по el (см. 2). Очевидно, множества [«З^ \ ф(Зй-1 X Int О""6)] X 1 и E(n, k) П<51 El (ДХ, ф) являются компактными (и — 1)-мерными подмногообразиями многообразия d! Е1 (д^, ф), покрывают его и пересекаются по своему общему краю. Рассмотрим отображения.

рГ1: [д^ХфСз^'хМД^Лх 1-^^\ф(56-’Х1п12)"-6),

ф: Е^п, kjCldiEi^X, <p)~>DkXSn~k'\ второе из которых определяется формулой

Ясно, что ф — диффеоморфизм класса %” и что рг [ (ф-1 (zb z2)) = ф(2|, z2), если z^S6-1, ^eS"-*-1. Обращаясь к теореме 4.5.9, мы видим, что многообразие с^ЕЦОД, ф) действительно является результатом склеивания многообразий дхХ \ ф (S6-1 X IntZ>"~fe) и DkXSn-k-1 по аЬф. .

(Следствие). Каков бы ни был кобордизм X, многообразие дхХ может быть получено из д0Х конечным числом перестроек. В частности, край любого компактного ‘^-многообразия можно получить из пустого многообразия конечным числом перестроек. ■

■ 3. Двумерные многообразия

Теория, построенная в двух предыдущих пунктах, представляет собой в первую очередь попытку как-то обозреть и перечислить компактные гладкие многообразия заданной размерности. Для серьезных применений она нуждается в дальнейшем развитии, но в простейших ситуациях уже теорема 2.10 оказывается достаточно эффективной. Например, в одномерном случае всякий стандартный кобордизм является суммой отрезков, из чего следует, в силу теоремы 2.10, что всякое компактное одномерное гладкое многообразие диффеоморфно сумме нескольких

отрезков и окружностей. Предостережение: хотя эта дифференциальная классификация совпадает с топологической классификацией, содержащейся в 1.1.17, она имеет совсем другой смысл. [Добавим, что и в некомпактном случае (который из-за своей относительной сложности не рассматривается в нашем курсе сколько-нибудь систематически) дифференциальная классификация одномерных многообразий совпадает с топологической; см. 4.1.]

Настоящий пункт посвящен дифференциальной классификации двумерных компактных гладких многообразий, для которой также достаточно теоремы 2.10. Мы начнем с того, что составим список модельных многообразий (роль которых в одномерном случае играли окружность и отрезок), а затем докажем, что всякое связное двумерное компактное гладкое многообразие диффеоморфно одному из модельных. Модельные многообразия попарно не диффеоморфны и не гомеоморфны, однако это будет доказано только в главе 5 (см. 5.3.4.3); здесь мы лишь подготовим геометрическую часть доказательства, указав для замкнутых модельных многообразий канонические оснащенные клеточные разбиения, а для незамкнутых модельных многообразий — гомотопически эквивалентные им букеты окружностей. Как и при только что произведенной классификации одномерных гладких многообразий, мы не будем заботиться о классе гладкости (ср. 1.1).

Модельные поверхности

Начнем с элементарных модельных поверхностей — сфер с дырами и ленты Мебиуса.-

Сфера с / дырами—это сфера S2, из которой удалены внутренние части I попарно непересекающихся сферических сегмен- . тов; ее край представляет собой — < сумму / окружностей и получает от у-^/Х нее определенную ориентацию. Сфе-

/ра с одной дырой диффеоморфна D2,

[(сФеРа с ДВУМЯ дырами — цилиндру

I V . У \ 8‘XD1; последний мы будем назы- \у вать ручкой.

X.• Лентой Мебиуса называется под-

\многообразие пространства R3, за-

Рис 6метаемое отрезком длины 1, который

" 'скользит своей серединой по окруж

ности S1, оставаясь нормальным к ней и равномерно поворачиваясь на суммарный угол л (см. рис. 6). Это — неориентируемое компактное подмногообразие пространства R3 с краем, диф-. феоморфным S1..

Список всех модельных поверхностей состоит из пустого двумерного многообразия, Сфер с ручками и дырами и сфер с пленками и дырами. ,

Сфера с g ручками и / дырами (g^O, Z^O) определяется как результат склеивания сферы с 2g+Z дырами и суммы g ручек по сохраняющему ориентацию диффеоморфизму края суммы ручек на объединение 2g компонент края сферы с дырами. Это — компактное ориентированное гладкое двумерное многообразие, определяемое числами g, I с точностью до сохраняющего ориентацию диффебморфизма и •имеющее край, диффеомор- фный сумме I окружностей. При g = 0, Z = 0 оно совпадает с S2, при g = 0, Z=1 диффеоморфно Z)2, при g=l, 1 = 0 диффеомор- фно S’XS1 и называется тором, при g = 2, 1 = 0 называется

кренделем. При любых g и Z оно очевидным образом дифференциально вкладывается в R3; стандартное вложение с g = 3, Z = 2 показано на рис. 7.

Сфера с h пленками и Z дырами (й^О, Z^O) определяется как результат склеивания сферы с h 4- / дырами и суммы h лент Мебиуса по диффеоморфизму края суммы лент на объединение h компонент края сферы с дырами. Это — компактное гладкое двумерное многообразие, определяемое числами h, I с точностью до диффеоморфизма и имеющее край, диффеомор- фный сумме h окружностей; оно ориентируемо только при h = 0. При Н=\, 1 = 0 это многообразие диффеоморфно RP2, при h = 1, 1= 1 — ленте Мебиуса, при h = 2, 1 = 0 оно называется бутылкой Клейна и известно своим погружением в R3, изображенном на рис. 8, при Zi = 2, Z=1 оно называется кругом с вывернутой ручкой и изображено на рис. 9 слева (правый рис. 9 показывает, что склеивание круга с вывернутой ручкой и обыкновенного круга по диффеоморфизму, связывающему края, действительно дает бутылку Клейна).

Подчеркнем, что в нашем списке модельных поверхностей пленки не встречаются с ручками, т. е. что мы не включили в него сферу с дырами, часть которых заклеена ручками, а

Рис. 9.

часть лентами Мебиуса. Как будет показано в 3, при й^1 сфера с g ручками, h пленками и / дырами диффеоморфна сфере с 2g + h пленками и I дырами.

Вспомогательные предложения

(Лемма). Пусть Xi, Х2— компактные гладкие многообразия, Ф — диффеоморфизм компоненты края многообразия Х2 на компоненту края многообразия Хх и X — результат склеивания Хх с Х2 по ф. Тогда; (i) если Хх диффеоморфно сфере с gx ручками и 1Х дырами, а Х2 — сфере с g2 ручками и 12 дырами, то X диффеоморфно сфере с gx-\- g2 ручками и lx + к — 2 дырами; (ii) если Хх диффеоморфно сфере с hx пленками и 1Х дырами, а Х2— сфере с h2 пленками и 12 дырами, то X диффеоморфно сфере с hx + h2 пленками и 4 + /2 — 2 дырами; (iii) если Хх диффеоморфно сфере с gx ручками и 1Х дырами, а Х2 — сфере" с h2>0 пленками и Ц дырами, то X диффеоморфно сфере с 2gx + /г2 пленками и 1Х + 12 — 2 дырами.

Доказательства требует только случай (Hi), в котором X диффеоморфно, очевидно, сфере с gx ручками, h2 пленками и U + 12 — 2 дырами.

Предположим сначала, что ^ = 1, h2=l и 4 + 4 — 2 = 1. Тогда X диффеоморфно ленте Мебиуса с ручкой, изображенной на рис. 10 слева. Последняя, очевидно, диффеоморфна ленте "Мебиуса с вывернутой ручкой, изображенной на рис. 10 справа, и потому разрезается на сферу с пленкой и двумя дырами и круг с вывернутой ручкой. Согласно (ii), из этого следует, что X диффеоморфно сфере с тремя пленками и дырой. '

В общем случае мы применяем индукцию по gv При g1=0 доказывать нечего. Если g, > 0, то X можно склеить из сферы с g] — 1 ручками, h2 — 1 пленками и к + к- 1 дырами и сферы с одной ручкой, одной пленкой и одной дырой. Второе многообразие, согласно уже доказанному, диффеоморфно сфере с тремя пленками и дырой, вследствие чего X диффеоморфно сфере с g, — 1 ручками, А2 + 2 пленками и к + к — 2 дырами и, значит, сфере с 2gi + A2 пленками и к Л" к- 2 дырами.

Рис. 10.

(Лемма). Пусть X — связное компактное гладкое двумерное многообразие и X' — результат приклеивания к X ручки по диффеоморфизму ее края на объединение двух компонент края многообразия X. Тогда1, (i) если X диффеоморфно сфере с g ручками и I дырами, то X' диффеоморфно сфере с g + 1 ручками и I— 2 дырами или сфере с 2g + 2 пленками ul — 2 дырами; (ii) если X диффеоморфно сфере с h пленками и I дырами, то X' диффеоморфно сфере с А + 2 пленками и I — 2 дырами.

Это следует из леммы 3, так как X' в обоих случаях разрезается на два многообразия, первое из которых отличается от X только тем, что у него на одну дыру меньше, а второе диффеоморфно сфере с ручкой и дырой или кругу с вывернутой ручкой.

Пусть X], Х2 — компактные гладкие многообразия и ф-— диффеоморфизм непустой части края дХ2, составленной из его целых компонент, на часть края дХ\, составленную из его целых компонент. Пусть, далее, X — многообразие, склеенное из Хх и Х2 посредством ф. Если каждое из многообразий Хх, Х2 диффеоморфно одной из модельных поверхностей, то и X диффеоморфно одной из модельных поверхностей.,

Это следует из лемм 3 и 4, поскольку склеивание посредством ф равносильно склеиванию по сокращенному диффеоморфизму одной компоненты края дХ2 на соответствующую компоненту края дХх с последующим приклеиванием ручек, число которых равно половине числа остальных подлежащих отождествлению компонент краев дХх, дХ2.

Рис. 11.Рис. 11.

Рис. 11.

Рис. 11.

Основная теорема

Всякое связное компактное гладкое двумерное многообра

зие диффеоморфно одной из модельных поверхностей.

В силу теорем 2.10 и 5, достаточно установить, что компоненты элементарных двумерных кобордизмов диффеоморфны модельным поверхностям. А это нетрудно проверить прямым перебором имеющихся возможностей, если вспомнить, что одномерное замкнутое гладкое многообразие диффеоморфно сумме

нескольких окружностей. Именно: элементарный ко- бордизм индекса 0, построенный по сумме пг окружностей, диффеоморфен сумме пг сфер с двумя дырами и сферы с дырой; элементарный кобордизм индекса 2, построенный по сумме пг окружностей (и дифференциальному вложению окружности в эту сумму), диффеоморфен сумме пг — 1 сфер с двумя дырами и сферы с дырой; элементарный кобордизм индекса 1, построенный по сумме пг окружностей и дифференциальному вложению произведения 8° X D1 в эту сумму, диффеоморфен либо сумме пг — 2

сфер с двумя дырами и сферы с тремя дырами, либо сумме пг — 1 сфер с двумя дырами и сферы с тремя дырами, либо сумме пг — 1 сфер с двумя дырами и сферы с пленкой и двумя дырами (при пг = 2 эти три случая показаны на рис. 11).

(Информация). Всякое связное компактное двумерное топологическое многообразие гомеоморфно одной из модельных

поверхностей.

Клеточные разбиения замкнутыхмодельных поверхностей

Замкнутые модельные поверхности обладают стандартными оснащенными клеточными разбиениями, обобщающими каноническое двухклеточное разбиение сферы S2, каноническое трехклеточное разбиение проективной плоскости RP2 и каноническое четырехклеточное разбиение тора 8'Х5'. Каждое из этих стандартных разбиений,. кроме бесклеточного разбиения

1'6] пустой модельной поверхности, содержит единственную нульмерную клетку и единственную двумерную клетку, число же одномерных клеток равно в случае сферы с g ручками 2g, а в случае сферы с h пленками к. Таким образом, одномерный остов представляет собой в случае сферы с g ручками букет 2g окружностей, а в случае сферы с h пленками букет h окружностей, и описание всего оснащенного клеточного разбиения сводится к описанию приклеивающего отображения, отвечающего двумерной клетке, т. е. некоторого отображения окружности S* в указанный букет.

Оставляя в стороне уже рассмотренные значения g = 0,1 и h = 0,1, будем представлять себе S1 в случае сферы с g ручками как контур правильного 4g-yгoльникa с последовательно занумерованными сторонами

1’1’“g> g’ “g> g»

а в случае сферы с h пленками как контур правильного 2А-уголь- ника с последовательно занумерованными сторонами

ср Ср ..., ch, с^.

В обоих случаях мы факторизуем S1 посредством отождествления каждой нештрихованной стороны с одноименной штрихованной стороной, причем ai отождествляется с a't и Ь. с Ь^ посредством отражения в прямой (относительно которой они симметричны), а с(. отождествляется с с( посредством поворота многоугольника (вокруг центра). В обоих случаях факторпро- странство является букетом окружностей: в первом случае букетом 2g окружностей, во втором случае букетом h окружностей. Проекция окружности S1 на это факторпространство и есть приклеивающее отображение. .

Конечно, нужно еще убедиться в том, что построенные клеточные пространства гомеоморфны нашим модельным поверхностям. Разрежем наш 4g-yгoльник диагоналями, отсекающими четверки at, Ьр ар Ьр на g-угольник и g пятиугольников и наш 2й-угольник — диагоналями, отсекающими пары ср ср на /г-угольник и h треугольников (см. рис. . 12). Предписанные отождествления сторон ар аА и bt, Ц приводят к отождествлению вершин g-угольника в одну точку, что дает сферу с g круговыми отверстиями, и к отождествлению сторон пятиугольников, превращающему каждом из них в тор с круговым отверстием; приклеив эти продырявленные торы к продырявленной сфере, чтобы восстановить то, что было разрушено вспомогательными (диагональными) разрезами, мы.и получим, С точностью до гомеоморфизма, сферу с g ручками. Точно

так же, предписанные отождествления сторон ср с[ приводят к отождествлению вершин /г-угольника в одну точку, что дает сферу с h круговыми отверстиями, и к отождествлению сторон треугольников, превращающему каждый из них в ленту Мебиуса; приклеив эти ленты к продырявленной сфере, мы получим,

Рис. 12 (§ = 3, А = 3).

с точностью до гомеоморфизма, сферу с h пленками. [Предостережение: края предыдущих круговых отверстий (в сфере) имеют общую точку, а при g = 2 и h = 2 даже совпадают.]

Гомотопическая структура незамкнутыхмодельных поверхностей

Сфера с g ручками и I дырами гомотопически эквивалентна букету 2g +I -* 1 окружностей. Сфера с h пленками и I дырами гомотопически эквивалентна букету h + I —- 1 окружностей. '

Для доказательства заметим, что описанное в 8 приклеивание 4£-угольника к букету 2g окружностей приведет, с точностью до гомеоморфизма, к сфере с g ручками и I дырами, если мы предварительно удалим из внутренности 4^-угольника внутренности лежащих в ней / попарно непересекающихся кружков. Расположим эти кружки так, чтобы любая прямая, проходящая через первую вершину (ortj), пересекала не более одного кружка, и обозначим через А множество, составленное из: (i) контура 4^-угольника; (ii) 2/ — 2 касательных отрезков, проведенных из первой вершины к I — 1 кружкам; (Ш) внешних дуг границ этих кружков с концами в точках касания. Ясно, что А — строгий деформационный ретракт продырявленного 4g- угольника. Соответствующая строгая деформационная ретракция Превращается после проектирования 4^-угольника на сферу с g ручками в строгую деформационную ретракцию продырявленной .сферы с g ручками на образ множества А, а этот образ, очевидно, гомеоморфен букету 2g -ф I — 1 окружностей. . '

253253ПРОСТЕЙШИЕ СТРУКТУРНЫЕ ТЕОРЕМЫПРОСТЕЙШИЕ СТРУКТУРНЫЕ ТЕОРЕМЫ§ 5]

253

253

ПРОСТЕЙШИЕ СТРУКТУРНЫЕ ТЕОРЕМЫ

ПРОСТЕЙШИЕ СТРУКТУРНЫЕ ТЕОРЕМЫ

Для сферы с h пленками и I дырами доказательство проводится дословно так же, только наш 4§-угольник заменяется 2Л- угольником. ■

Упражнения

Показать, что всякое некомпактное связное гладкое одномерное многообразие диффеоморфно прямой или полупрямой (ср. 3.1).

Показать, что подмногообразие комплексной проективной плоскости СР2, определяемое в однородных координатах уравнением z”1 + 2™ -|- 2^ = 0, диффеоморфно сфере с (m—1)(т—2)/2 ручками (ср. 2.4.4 и 2.4.5).

Показать, что часть произведения СР1 X СР1, составленная из точек ((Z] : z2), (ш( : ш2)) с ^ С3^ + ^г) = ^ (®f — wp\ диф- феоморфна сфере с (р — 1)(д — 1) ручками.

Показать, что всякое трехмерное связное замкнутое ориентируемое гладкое многообразие можно получить, склеивая два экземпляра тела с ручками по некоторому диффеоморфизму его края. (Тело с ручками — часть пространства R3, ограничиваемая стандартно вложенной в R3 сферой с ручками.)

Показать, что многообразие, которое получается при склеивании двух экземпляров полнотория S‘X^2 по диффеоморфизму его края S1 X 51, задаваемому комплексной формулой (zp z2)>—>(z“z^, z=z0, где a, b, c, d — целые числа с ad — be = ± 1, диффеоморфно S3 при a = 0, диффеоморфно S2X S1 при a = ±1 и диффеоморфно RP3 при a=±2.

Показать, что на всяком связном замкнутом ^-многообразии существует правильная функция Морса с единственным локальным минимумом и единственным локальным максимумом.

Показать, что на всяком связном кобордизме X с непустыми d0X, dvX существует правильная функция Морса без локальных максимумов и локальных минимумов в int X.

Показать, что на всяком кобордизме существует такая правильная функция Морса /, что если X] — ее критическая точка индекса hx и х2 — ее критическая точка индекса /?2, большего кг, то f(x2) > Цх?).

Показать, что если на кобордизме X существует функция Морса без критических точек индекса 1 и многообразие дйХ ориентируемо, то кобордизм X ориентируем и всякая ориентация многообразия д0Х индуцируется некоторой ориентацией кобор- дизма X. -

Г Л А В A 4

РАССЛОЕНИЯ

§ 1. РАССЛОЕНИЯ БЕЗ ГРУППОВОЙ СТРУКТУРЫ

Общие определения

Расслоением называется тройка вида (7, р, В), где Т и В — топологические пространства, ар — непрерывное отображение первого пространства во второе. Пространство Т называется тотальным пространством расслоения (Г, р, В), пространство В — его базой, а отображение р — его проекцией. Тотальное пространство расслоения g будет обозначаться через tig, база — через bsg, проекция — через prg.

Прообраз prg-1(b) точки 6 s bsg называется слоем расслоения g над точкой Ь.

. Сечением расслоения g называется такое непрерывное отображение s: bsg —>tlg, что prg°s = idbsg. Два сеченид расслоения g называются гомотопными, если они могут быть связаны гомотопией, составленной из сечений, т. е. такой гомотопией h: bs | XI ~* tlg, что prg °/г совпадает с ргр bs g X /->bsg.

Сужением расслоения g на подпространство В базы bsg называется расслоение с базой В, тотальным пространством prg-l(S) и проекцией abprg. Оно обозначается через g|B.

Произведением расслоений gb g2 называется расслоение с тотальным пространством tl gj X tlg2, базой bsg] X bsg2 и проекцией prg]Xprg2. Оно обозначается через g, X g2. Его слой над точкой (6Ь Ь^ совпадает с произведением слоев prgF'^i), pr^'te).

Отображением расслоения % в расслоение g называется всякая пара непрерывных отображений F: tig'-* tig, f: bsg'-* bsg с коммутативной" диаграммой

tig'—>tlg .

’ ~ JprS' |рг$ . (1) bs g' —bs g.

Если ф = (В, /)— такая пара, то мы пишем ф: g'-*g, В = Нф, / = bs ф.

Отображение ф: g'->g называется изоморфизмом, если Яф и Ьзф — гомеоморфизмы, и эквивалентностью, если, кроме того, bsg = bsg' и bsф = idbsg. Расслоения, которые можно связать изоморфизмом (эквивалентностью), называются- изоморфными (эквивалентными).

Отображение ф: g'-*g называется включением, если 11 ф и Ьзф — включения. Например, включения in: prg-1 (В) -* 11 g, in: B-*bsg составляют (для всякого подмножества В пространства bs'g) включение расслоения g|s в g.

Из коммутативности диаграммы (1) следует, что отображение F является послойным, т. е. отображает каждый слой расслоения g' в некоторый слой расслоения g. Ясно также, что если pr g'(11 g') = bsg', то для всякого послойного отображения F: tig'—>tlg существует одно и только одно отображение /: bsg'-*bsg с коммутативной диаграммой (1), а если отображение prg' факторно, то из непрерывности F следует непрерывность t. Таким образом, если g' — расслоение с факторной проекцией, то для всякого непрерывного послойного отображения F: tig'-> 11g существует одно и только одно непрерывное отображение ф: g'-*g с 11ф = В.

Пусть / — непрерывное отображение топологического пространства В в базу расслоения g. Расслоение, базой которого служит В, тотальным пространством — подпространство произведения BXtlg, составленное из точек (Ь, х) с /(6) = prg(x), а проекцией — сужение отображения ргр BXtlg-* В на указанное подпространство, называется расслоением, индуцированным расслоением g посредством f, и обозначается через /’g.

Ясно, что сужение отображения рг2: В X tig-*tig на И(/^) гомеоморфно отображает слой расслоения /'g над любой точкой 6ebs(fg) на слой расслоения g над точкой f(b) и составляет с / отображение расслоения /'g в g. Это отображение расслоения fg в g называется присоединенным к f и обозначается через ad/.

Следующие формулировки также не нуждаются в доказательствах или пояснениях. Если / — гомеоморфизм, то присоединенное отображение ad/: /’g-*g является изоморфизмом, а если / = idbsg,— эквивалентностью. Если / — включение, то отображение ad/:/'g-*g устанавливает эквивалентность между /'g и g|B. Наконец, каковы бы ни были непрерывные отображения /: В-*-bsg, g: В'-* В, расслоение (/ ° g)*g канонически эквивалентно расслоению g'Vg).

Если ф — отображение расслоения g' в расслоение g, то формула х<—>(prg'(x), 11ф(х)) определяет непрерывное отображение пространства tig' в 11((Ьзф)'|), и ясно, что это непрерыв-

ное отображение составляет с idbs^ отображение расслоения £' в (Ьзф)1^. Мы обозначаем последнее отображение через соггф; говорят, что оно корректирует ф. Очевидно, ad (bs ф) ° согг ф = ф.

Локально тривиальные расслоения

Очевидным примером расслоения с заданной базой В и слоями, гомеоморфными заданному пространству F, служит стандартное тривиальное расслоение (ВХ F, ргь В). Его слоями служат слои bXF произведения BXF, которые даже канонически гомеоморфны F.

Заметим, что сечения B^-BXF стандартного тривиального расслоения с базой В и слоем F находятся в естественном взаимно' однозначном соответствии с непрерывными отображениями B->F; отображению f: B-+F отвечает сечение s: В-* BXF, определяемое формулой 8^ = ^, f^Y Говорят, что f и $ ассоциированы друг с другом.

Расслоение £ называется тривиальным или, подробнее, топологически тривиальным, если оно эквивалентно стандартному тривиальному расслоению. Всякая эквивалентность между стандартным тривиальным расслоением и § называется тривиали- зацией расслоения £.

Расслоение £ называется локально тривиальным или, подробнее, локально топологически тривиальным, если каждая точка его базы обладает такой окрестностью U, что сужение Цу тривиально.

Так как проекция произведения на сомножитель — открытое отображение, то проекция тривиального и, значит, проекция локально тривиального расслоения являются открытыми отображениями.

Очевидная проверка показывает, что произведение двух тривиальных расслоений является тривиальным расслоением, а произведение двух локально тривиальных расслоений — локально тривиальным расслоением. Ясно также, что расслоение, индуцированное тривиальным расслоением, тривиально, а расслоение, индуцированное локально тривиальным расслоением, локально тривиально. Кроме того, если f: S-> bs g — постоянное отображение, то индуцированное расслоение /’^ тривиально при любом £.

Как и слои стандартного тривиального расслоения, слои тривиального расслоения гомеоморфны между собой, однако в нестандартном случае гомеоморфизм уже не является каноническим. Слои локально тривиального расслоения также гомеоморфны между собой, если база расслоения связна; действительно, множество точек базы со слоями, гомеоморфными заданному слою, открыто, и такие множества составляют

разбиение базы (см. 1.3.3.5). С другой стороны, пример расслоения ((В XВ) LI (В' X Г')» РИ U pri, В LI В'), где В, F, В', F' — произвольные топологические пространства, показывает, что слои локально тривиального расслоения, лежащие над точками разных компонент базы, не обязаны быть гомеоморфными. Вместе с тем мы видим, что локально тривиальное расслоение может не быть тривиальным.

Нетривиальное локально тривиальное расслоение может иметь и связную базу; см. 5 и 6.

Накрытия

Локально тривиальное расслоение называется накрытием в широком смысле, если его слои являются дискретными пространствами. В этом случае тотальное пространство обычно называют накрывающим. Очевидно, у каждой точки накрывающего пространства есть окрестность, гомеоморфно отображающаяся проекцией на свой образ в базе.

Накрытие в широком смысле называется накрытием в узком смысле или просто накрытием, если накрывающее пространство и база связны и непусты. Согласно 3, все слои накрытия имеют одну и ту же мощность; она называется числом листов накрытия.

Накрытие с числом листов, большим единицы, нетривиально.

Действительно, тотальное пространство тривиального расслоения гомеоморфно произведению базы на слой и потому не может быть связным, если слой дискретен и состоит более чем из одной точки.

(Примеры). Расслоение с тотальным пространством и базой S1 и проекцией helm: S1—>S!, определяемой комплексной формулой helm(z) = zm, представляет собой при m ^ 0 |т|-листное накрытие. Расслоение с тотальным пространством'R, базой S1 и проекцией hel: R^-S1, определяемой формулой hel (х) = е?яи, является счетнолистным накрытием.

Расслоение с тотальным пространством 0+ (ц, /г) и базой G (п, /г), проекцией которого служит субмерсия, указанная в 3.2.2.3, является при к ^ 0, п двулистным накрытием. В частности, таково расслоение (S", рг, RP") с п^ 1.

В заключение покажем, что при любом натуральном /г сферу с /г пленками можно двулистно накрыть сферой с к — 1 ручками (см. п. 3.5.3). В случае к=\ такое накрытие у нас уже есть: это (S2, pr, RP2). В общем случае его можно построить из к экземпляров накрытия (S2, pr, RP2). Сузим для этого один экземпляр до накрытия над проективной плоскостью с к—1 дырами, а остальные к —• 1 экземпляров до накрытий над проективной плоскостью с одной дырой (т. е. над лентой Мебиуса), и склеим базы суженных к накрытий в сферу с к плен-

ками посредством диффеоморфизмов между краями дыр. Это склеивание можно накрыть склеиванием тотальных пространств, одно из которых представляет собой сферу с h — 1 парами антиподальных дыр, а каждое из h— 1 остальных — сферу с парой антиподальных дыр, т. е. цилиндр над окружностью. (Для каждого из этих h—1 цилиндров имеются два накрывающих приклеивания; можно воспользоваться любым из них.) Поскольку заклеивание пары дыр цилиндром означает ее замену ручкой, в результате действительно получится двулистное накрытие сферы с h пленками сферой с h — 1 ручками.

Расслоения Серра

Расслоение £ называется расслоением Серра, если оно удовлетворяет условию Серра: для всякого натурального г и любых непрерывных отображений f: /r->bs^, f^: Zr~‘ —>tlg, таких, что pr£ ° р = f |/Г-ь существует такое непрерывное отображение р: /Г-ИЦ, что рг§°/=/ и р\1Г-у = р. [Куб 1Г-1 отождествляется с гранью куба Г, определяемой равенством нулю-последней координаты; см. 1.2.5.7.]

Соотношение prt°P = f, входящее в условие Серра, является фундаментальным в теории расслоений* причем отображаемым пространством не всегда служит куб. Отображение р: X —> 11 £, связанное этим соотношением с отображением f; X -> bsg, называется при любых £ и X накрывающим по отношению к /. ■

Очевидная проверка показывает, что произведение двух расслоений Серра и расслоение, индуцированное расслоением Серра, являются расслоениями Серра.

Примерами расслоений, не удовлетворяющих условию Серра, могут служить расслоения Ц,р,1^ с р{х) = хр и с р(х) = 4х(1 — х). У первого из них отображения р с p°P=f и P\jr_Y=P не существует, если r = l, f = id/, /7(0) = О, а у второго —если г = 2, t определяется формулой /(хьх2) = 4хД1 — Х[)(1 — х2) и f~ = id Z.

Заметим, что у первого расслоения имеются как непустые, так и пустые слои, а у второго один слой связен, а остальные несвязны. Как выяснится в дальнейшем (см. 5.4.3.6), уже эти особенности расслоения несовместимы с условием Серра, если база связна. ■

Локальность условия Серра

Если каждая точка базы расслоения ^ обладает такой окрестностью U, что сужение £|у является расслоением Серра, то | есть расслоение Серра. '

Доказательство. Пусть f: /"-*bs£, f^: 7"-1->Щ— такие непрерывные отображения, что рг § °Ц = f ^„-ь Так как пространство bs£ покрывается открытыми множествами, на которых сужение расслоения £ удовлетворяет условию Серра, то из теоремы 1.1.7.16 следует существование такого натурального N, что любой куб с ребром 1/N, лежащий в 1п, отображается посредством / в одно из таких множеств. Разобьем /" на Nn кубов с ребрами \[М, занумеруем их лексикографически в последовательность QIQNn и положим Wt = In-x U (U '=[ Q^, Q'i = Qi?\Wl_v Ясно, что Г~х = 1170 с IF, с ... с№лгп = /п, и очевидный перебор имеющихся возможностей показывает, что пара (Qp Q') гомеоморфна паре (Z",/"^1). Допустим, что .для некоторого натурального Z, не превосходящего Nn, имеется ото

бражение j7-r ^z-i—^tlg, такое, что рг£°f^_x = f\wt_x и П-i U = И. и положим gt = / ^ и g~ = /?_, |у? Так как суже

ние Е |S (Qi)ние Е |S (Qi)удовлетворяет условию Серра, то существует такое не

ние Е |

S (Qi)

ние Е |

S (Qi)

прерывное отображение gT; Qz —> tl ^, что рг £ ° g^ = gv g^ I ,= g^P Так как, далее, отображения f^ и g7 совпадают на ^i-^Qj —Q,> то °ни составляют некоторое непрерывное отображение ff: Wt = Wi-X U Qi-* tl £, и ясно, что рг£°/, = /| и /7 |/ra_i = ^. Это позволяет применить индукцию по I, начав с г —0. В результате мы получим отображение P = f^n с рг£о/~ = / и Г |/«-l = П- -

Условие Серра и локальная тривиальность

Локально тривиальное расслоение является расслоением Серра..'

В силу теоремы 3, доказательство достаточно провести для расслоения (В X Л pri, В), где В и В — произвольные топологические пространства. Пусть ): 7"->В'и ^: Г-1 -> В X F — такие отображения, что pt] of^ =f |z„-i. Определим отображение fX In->BXF формулой Г По Х^ = ^П\хп)’ рг2 = ^(х,, ..., хп_х^. Очевидно, pr1of~ = f и f? |/n_, = ^.

Следующий пример показывает, что расслоение Серра может не быть локально тривиальным. Пусть Т — треугольник в R2 с вершинами (0,0), (0,1), (1,0) и рь р2 — его отображения в I, определяемые формулами р\Кхх, х^ = хх, Р2(х1,х2) = х2. Рас-

слоение (J,px,E не является локально тривиальным, так как слой над точкой 0 не гомеоморфен слою над точкой 1, хотя база связна. Однако оно удовлетворяет условию Серра: если отображения /: In-+I,fpнепрерывный рх °р = f |/Zl_b

то отображение р: Г->Т, определяемое формулой р (хь ..., хп) = №^)> min (1 - / (хр ..., х„), р2 о х^У),

непрерывно, накрывает / и совпадает с /' на /" \

Этот пример показывает также, что расслоение Серра со связной базой может иметь негомеоморфные слои. В действительности слои расслоения Серра со связной базой могут не быть даже гомотопически эквивалентными и эквивалентны лишь в некотором ослабленном смысле (см. 5.4.4.3 и 5.4.3.6).

Теорема о накрывающей гомотопии

Если g — расслоение Серра и (X, Л) — клеточная пара, то для всякого непрерывного отображения р: X -> tig, всякой гомотопии F; X X1 -* bs g отображения рг g ° р и всякой гомотопии G: Л X tl g отображения /~|л, накрывающей Р\^Х1, существует гомотопия отображения р, накрывающая F и продолжающая G.'■

Доказательство. Будем считать пространство X оснащенным и предположим, что при некотором г^О имеется гомотопия ppv: (X|Jsker_1A')X/-*tU отображения f|AUske х* на" крывающая F luUskez._lX)X/- Если е — клетка из X \ А с dime = r, то формула фе (х,/) — F (chae (х), t) определяет непрерывное отображение фе: Dr XI -> bs g, а формула

_( f~(chae(x)), если / = 0,

Фо.е х’ F^1(chag(x), /), если хг5г-х,

— непрерывное отображение ф~е: (Dr X 0) U (Sr~l X /)-»-tlg, и ясно, что пара (ДУ X Е ЦУ XO)lj(Sr-1 Х^)) гомеоморфна паре (Г+1, Г) и что prg°Фo7e = Фe|(Drxo)u(sr-Ix^); следовательно, существует непрерывное отображение ф^: ^X^-^tlg, накрывающей ф£ и продолжающее ф^в. Так как ф7(хД) = E^/chag (х),/), если х е Sr-1, то отображения ф^, отвечающие всевозможным r-мерным клеткам из Х\А, определяют вместе с Fpv некоторое непрерывное отображение F^: (A U sker X) XI -* tl g, и ясно, что Prg°F; = F|pUskerX)></ и /7;|(Лизкег_1Х)х/ = Ег~г Это позволяет применить индукцию по г, положив рр = G; мы полу-

чаем последовательность продолжающих друг друга гомотопий {Е~: (Л U sker X) X ^-’'tUl^t-p которые и составляют гомотопию отображения Р, накрывающую F и продолжающую G.

Пусть X —клеточное пространство и /~: Х-И1£— непрерывное отображение. Если £ — расслоение Серра, то всякая гомотопия отображения pr£°f~ накрывается гомотопией отображения р. '

Эта формулировка представляет собой абсолютный вариант теоремы 6 и получается из последней при А = 0. Заметим, что при X = /" она сводится к условии? Серра с г = п-\- 1.

Случай накрытия "

• 8. Пусть £ — накрытие в широком смысле, X — связное топологическое пространство и f,g: X ->tlg — непрерывные отображения. Если рг £ ° f = рг £ ° g и f совпадает с g в некоторой точке, то f = g.

До к а з а те ль ств о. Поскольку множество {хеХЩх)^ g (х)} открыто, а его дополнение непусто, достаточно установить, что это дополнение открыто, т. е. что если f(x0) = g(x0), то точка х0 обладает окрестностью, на которой / совпадает с g. Пусть V — окрестность точки f (х^, гомеоморфно отображающаяся посредством рг^ на prg(V) (см. 2.4), и U — такая окрестность точки х0, что /(1/)с V и g(U)cV. Так как рг | (/ (х)) = рг § (g (х)) для любой точки хеХ, то Px) = g^) для х eU. ‘

Пусть £— накрытие в широком смысле, X— связное клеточное пространство с отмеченной нульмерной клеткой х0 и f, g: X" —> 11 ^ — непрерывные отображения. Если отображения pp°f, pp°g хй-гомотопны и Hx^ — gVto), то отображения f, g хй-гомотопны. .

Доказательство. В силу теоремы 6, х0-гомотопия, связывающая рг^°/ с рг ^ ° g, накрывается х0-гомотопией отображения /, а в силу предложения 8, отображение, с которым последняя связывает /, совпадает с g.

Расслоения пространств отображений

Говорят, что расслоение £ удовлетворяет усиленному условию Серра, если для всякого топологического пространства X, всякого непрерывного отображения р: X —> tl S, и всякой гомотопии F отображения рг£°/~ существует гомотопия отображения р, накрывающая F. .

Если заменить в этом условии X кубом произвольной размерности, то оно превратится в обычное условие Серра, а если ограничиться в нем клеточными X, то оно сделается эквивалентным обычному условию Серра; см 3.7.

-Пусть (X, А) —пара Борсука и Y — топологическое пространство. Если X хаусдорфово и локально компактно, то расслоение ^кХ, У), ^ (in, id), ^(Д, У)) удовлетворяет усиленному условию Серра.

Доказательство. Пусть Z— топологическое простран- qtbo, f~: Z—>^(Z, У) — непрерывное отображение и F; ZXI^>- 48 (Л, У) — гомотопия отображения % (in, id) ° f\ Поскольку X хаусдорфово и локально компактно, отображения g~: Z XX-> У, О: ZX^X7^y, определяемые формулами g~ (2, х) = [/'(2)! W, G (z, х Д) = [F (2,ОЦх), непрерывны (см. 1.2.7.6), и ясно, что G есть гомотопия отображения g~\ZxA- Так как (Z XX, ZX^) —пара Борсука (ом. 1.3.5.5 и 1.3.5.3), то G продолжается до некоторой гомотопии G~ отображения g~, и ясно, что форт мула \F~ (2, 0] (*)= (z, х, t) определяет гомотопию F': ZX 7->^(Z, У) отображения р, накрывающую F.

Слои расслоения со связной базой, удовлетворяющего усиленному условию Серра, попарно гомотопически эквивалентны. .

Доказательство. Пусть £ —рассматриваемое расслоение и s — какой-нибудь путь, соединяющий заданные точки базы. Положит Д^ргГ’ (s(0)), Fv = pr^' (s(l)) и рассмотрим "смотопии 70: Fo X I ->-bs g, Jx; FxXl -* bs| сквозных отображений

Fo tl —> bs g, Fx —> tl £—> bs £,

определяемые формулами 70(x,/) = s(/), 7Дх, У) —s-1(/). Согласно усиленному условию Серра, они накрываются некоторыми гомотопиями 7~: Е0Х1^Ш, ^' F^l-^U^, отображений in:’ /=■(, —>tl g, in: Fi-*tl£, и так как J~ (Fo X ^cFv J^(FX X l)c Fti, то возникают отображения f0: F0^Fit fx: FX->FO, определяемые формулами /0(х) = Jq (x, 1), f1(x) = 7~(x, 1). Мы покажем, что отображение ,/i ° f0 гомотопно idF0. Ввиду симметрии ситуации, этим будет доказано также, что f0°fi гомотопно idFb

Определим отображение /: F0X 7 -^-tl^ формулой

/(х, /) =/(х, /) =Jq (х, 2/),если /^1/2,

/(х, /) =

/(х, /) =

7~(f0W, 2/ —1), если У>1/2,

и гомотопию Н: (Fo X 7) X 7 -> bs § отображения рг | ° / формулой Н (х, У, т) = s ((1 — т) (1.— 11 — 2/1)). Согласно усиленному условию Серра, Н накрывается некоторой гомотопией Н~; (Fo X 7) X 7->tl^ отображения j, и так кай (1 — т) (1 — 11 — 2t |) = 0 при т = 1 и при / = 0, I, то Н~ ((Fo х (о и 1)) X 7) и н~ ((Fo X 7) X 1) с

Fo. Благодаря этому, формула

' Я~((х, 0), 30, К^х, 0 = S Н~^х, з/- 1), 1), . Н~ Цх, 1), 3 - 3/),' Я~((х, 0), 30, К^х, 0 = S Н~^х, з/- 1), 1), . Н~ Цх, 1), 3 - 3/),еслиесли1/3,1/3,если 1/3^/если 1/3^/2/3,2/3,если t ^ 2/3,если t ^ 2/3,

' Я~((х, 0), 30, К^х, 0 = S Н~^х, з/- 1), 1), . Н~ Цх, 1), 3 - 3/),

' Я~((х, 0), 30, К^х, 0 = S Н~^х, з/- 1), 1), . Н~ Цх, 1), 3 - 3/),

если

если

1/3,

1/3,

если 1/3^/

если 1/3^/

2/3,

2/3,

если t ^ 2/3,

если t ^ 2/3,

определяет некоторую гомотопию К: F0XI—>F0, и так как КДх, ^ = 1Г^х, 0), 0) = /(х, 0)=7~(х, 0) = х, а ^ (х, 1) = FTFx, 1), 0) = j(x, l) = J~(f0(x), 1) = /, (/0 (х)), то эта гомотопия связывает idFo с /10/о-

Для любых точек. xQ, х,; х', х' связного топологического пространства X пространства % Д, 0, 1; X, х0, xj и ^(Z, 0, 1; X, Хд, х() гомотопически эквивалентны.

Доказательство. Пространства. ^Д, 0, 1; X, х0, х^ и ■S’ (1,0, 1; X, Хд, х() являются слоями расслоения (F (/, X), % (in, id), ^ ((0 U 1), X)), лежащими над точками (х0, xj и (х^, х() его базы ^((О U 1), X) = X X X, и потому их гомотопическая эквивалентность следует из теорем 2 и 3.

Присоединенное ра с слоение Серра

Обозначим для произвольного расслоения g через ad § расслоение с той же базой, тотальным пространством которого служит подпространство произведения tigX^(Л bsg), составленное из пар (х, s) с s(O) = prg (х), а проекцией — отображение (х, s):—>s(l). Это расслоение называется присоединенным к g.

Заметим, что тотальное пространство tladg гомотопически эквивалентно tl g: гомотопически взаимно обратные гомотопические эквивалентности tl g->tl adg, tl ad g-*tl g определяются формулами x н^* (x, мД, (x, s) i—> x, где ux — постоянный путь в bsg с началом prg(x). Действительно, композиция первого отображения со вторым есть id tl g, а композиция второго с первым связывается с id(tladg) гомотопией ((х, s), t) н-> (х, $<), где Si —путь в bsg, определяемый формулой st^ = зЦхУ

Расслоение ad g удовлетворяет усиленному условию Серра, каково бы ни было расслоение g.

Доказательство. Пусть Z— топологическое пространство, /~: Z ->tl ad g — непрерывное отображение и F: ZXI-* bs ad g (= bs g) — гомотопия отображения pr ad g ° f~. Обозначим через gb g2 сквозные отображения -

и определим гомотопию g; Z X Z ^-^ (/, bs ^) формулой '

г ,\ Н^г (^)](т (1+0), если т< 1/(1+Z),

[skOll^^d^..^ если ,>w+f).

Очевидная проверка показывает, что отображение F~: ZXI-* tl ad g, определяемое формулой F~(z, 0 = (gi(z), g^z, t^, является гомотопией отображения /~ и накрывает F.

Упражнения

Показать, что при любом g^ 1 сферу с g ручками можно накрыть сферой с 2g — 1 ручками.'

Показать, что при любом h^ 1 сферу с h пленками можно накрыть сферой с 2h — 2 пленками.

Показать, что при любом «^1 пространство ^(S’.orti; R Р", (1:0: ...: 0)) гомеоморфно ^ (S1, ortf, S", ог!^ X 5°.

Показать, что расслоение с тотальным пространством ^(Z, 0; Sn, orti), базой S" и проекцией я—>s(l) локально тривиально (ср. Е2.9.4).

2. ОТСТУПЛЕНИЕ: ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ГРУППЫ ■ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Топологические группы

Множество G называется топологической группой или групповым пространством, если оно наделено как топологической, так и групповой структурой, причем групповые операции, т. е. отображения GXG~^G и G->-G, определенные формулами (g, A)i—> gh и g^^g-', непрерывны. Очевидно, непрерывность этих двух отображений эквивалентна непрерывности одного отображения GXG G, определенного формулой ^g, Н)ь^ g-^h.

В силу определения топологии в G X G непрерывность отображения (g, /г) ь-> gh в точке (g0, h^ означает, что для-всякой окрестности W точки g0A0 существуют окрестности U, V точек g0, h0 с UV cl W, а непрерывность отображения (g, А) >—> g~'h в точке (g0, Ао)— что Для всякой окрестности 47 точки g^*/i0 существуют окрестности U, У точек g0, hQ с LTXV с 17.

Очевидно, всякую группу можно сделать топологической группой, наделив ее дискретной топологией.

Из непрерывности групповых операций следует, что левые и правые сдвиги, производимые элементами группы G (т. е. отображения G-^-G, определенные формулами g*—* ag, g^-gd), и отображение gi—> g-x являются гомеоморфизмами группового

пространства G. В частности, если В — открытое или замкнутое подмножество группового пространства G, то таковы же множество В-1 и множества gB, Bg с любым g е G.

Заметим еще, что если множество В открыто, то множества АВ и ВА открыты, каково бы ни было множество А. Действительно, АВ = U а=АаВ, ВА = U аЕДВа.

' Подгруппы и факторизация

Если подмножество топологической группы G является ее подгруппой в алгебраическом смысле, то оно получает от G как топологическую, так и групповую структуру, и ясно, что групповая операция остается при этом непрерывной. Возникающая топологическая группа называется подгруппой исходной топологической группы G.

Подгруппа топологической группы называется нормальной, если она нормальна в алгебраическом смысле. Как и в обыкновенной теории групп, нормальные подгруппы называют иначе нормальными делителями. '

Примером нормальной подгруппы топологической группы G, не имеющим аналога в обыкновенной теории групп, может служить компонента единицы, т. е. компонента пространства G, содержащая единицу eG группы G. Что это — подгруппа, очевидно: если и и у —пути в G, соединяющие eG с g и h, то путь ^н-*ы(/)-1у (/) соединяет eG с g^h. Что эта подгруппа нормальна, следует из того, что внутренние автоморфизмы группы G являются гомеоморфизмами и переводят eQ в е0. Очевидно также, что смежные классы по этой нормальной подгруппе совпадают с компонентами пространства G, а соответствующая факторгруппа совпадает, как множество, с comp G.

Если подгруппа топологической группы открыта, то она и замкнута.

Действительно, дополнение открытой подгруппы представляет собой объединение левых смежных классов, каждый из которых открыт согласно 2, и потому открыто.

Разбиение топологической группы G на левые смежные классы по подгруппе Н обозначается через zer(G, Н), а соответствующее факторпространство называется факторпространст- вом по Н и обозначается через G/Н. Правое факторпространство нам не понадобится.

Фундаментальное топологическое свойство разбиения zer(G, //) и проекции G->GjH состоит в том, что они открыты. Для доказательства достаточно заметить, что насыщение множества В относительно разбиения zer(G, //) совпадает с произведением ВН, которое открыто вместе с Н (см. 2).

Факторпрост ранет во топологической группы по замкнутой подгруппе регулярно. В частности, групповое пространство с замкнутой единицей регулярно.

Доказательство. Аксиома Т[ для G/H является следствием замкнутости смежных классов gH (см. 2). Чтобы доказать Т3 для G/H, достаточно построить по заданной насыщенной относительно-zer(G, Я) окрестности U заданного смежного класса g0H такую его насыщенную окрестность V, что Cl V с U. Действительно, этим для произвольной точки pr(g0) пространства G/H и ее произвольной окрестности рг(П) будет построена такая ее окрестность рг (V), что С1 рг (У) с рг (U); последнее включение является следствием включения рг (У) с± рг(С1 У) и замкнутости множества рг(С1У), которая следует из замкнутости и насыщенности множества C1V (насыщенность множества C1V следует из открытости разбиения zer(G, Я) —см. 1.2.3.10).

Так как eyxg0 = gti, то у точек eG, g0 есть такие окрестности W, 1У0, что W~xWoClU . Положим У = WQH. Если geCW, то множество Wg, будучи окрестностью точки g, пересекается с У, т. е. существуют такие точки w е IF, wd е IF0, he Н, что wg = wtih. Последнее соотношение показывает, что g = w-xwoh, и этим доказывает включение СШ с У, поскольку w-1w0^s W”XWQH eUH = U. '

Если Н — нормальная подгруппа топологической группы G, то, согласно обыкновенной теории групп, фактормножество G/H обладает групповой структурой. Покажем, что отображение (G/H) X (G/H) —> G/Н, определяемое формулой (х, у) н-> х-ху, непрерывно.

Для этого заметим, что композиция ф:СХС—>С/Я отображения GXG-*G, определенного формулой (g, h) н-* g~ xh, и проекции G-* G/H постоянна на элементах разбиения zer(G, Н) X zer(G, Я) и что отображение (х, у)^~^х-ху является композицией отображения (G/Я) X (G/Я)-> (G X G)/(zer (G, Я) X zer (G, Я)), обратного взаимно однозначному фактору отображения рг X рг: G X G^-(G/H) X (G/H), и отображения f act -ф: (G X G)/(zer (G, Я) X zer(G, H))^-G/H. Так как разбиение zer(G, Я) открыто, то указанный взаимно однозначный фактор является гомеоморфизмом (см. 1.2.3.11), откуда и следует непрерывность отображения (х, y)v-*х~ху. ’

■ Таким образом, G/Я — топологическая группа. Она называется факторгруппой исходной "топологической группы G по Я.

' Гомоморфизмы

Отображение f: G ->■ G' одной топологической группы в другую называется гомоморфизмом, если оно является алгебраическим гомоморфизмом и, кроме того, непрерывно,

• Как и в обыкновенной теории групп, ядро Kerf определяется как прообраз единицы группы G'. Гомоморфизм f называется Мономорфизмом, если он взаимно однозначен, т. е. если ядро Kerf сводится к единице группы G, и эпиморфизмом, если образ Imf совпадает с G'. Примером мономорфизма может служить включение подгруппы в топологическую группу, примером эпиморфизма—проекция топологической группы на факторгруппу.

Гомоморфизм называется изоморфизмом, если он обратим и обратное отображение также является гомоморфизмом. Другими словами, изоморфизм одной топологической группы на другую есть отображение, являющееся одновременно алгебраическим изоморфизмом и гомеоморфизмом.

Если f— гомоморфизм топологической группы G в топологическую группу G', то: (i) образ Imf является подгруппой группы G', а сокращение abf: G -* Im f — эпиморфизмом-, (ii) ядро Kerf является нормальной подгруппой группы G, а взаимно однозначный фактор factf: G/Ker f-^-G'— мономорфизмом.

Это предложение отличается от соответствующего предложения обыкновенной теории групп только тем, что констатирует еще непрерывность отображений abf и factf.

Эпиморфизм f: G^-G' в том и только том случае открыт, если его взаимно однозначный фактор factf: G/Ker f->G' является изоморфизмом.

Необходимость этого условия очевидна, достаточность следует из открытости проекции G -> G/Ker f.

Эпиморфизм компактной топологической группы на топологическую группу с замкнутой единицей открыт.

Доказательство. Пусть f: G->-G'— указанный эпиморфизм. Из компактности пространства G следует компактность пространства G/Ker f, а из замкнутости единицы в G' — хаусдорфовость пространства G' (см. 6). После этого из обратимости И непрерывности отображения factf: G/Ker f-^G' следует, что оно является гомеоморфизмом (см.1.1.7.10), и, наконец, из 10 — что отображение f открыто.

Прямое произведение

Пусть Gi, G2 — топологические группы. В обыкновенной теории групп произведение Gi X G2 множеств Gb G2 наделяется групповой структурой, а в топологии — топологической структурой (см. 1.2.2.1). Ясно, что эти структуры согласованы в смысле 1, т. е. что групповые операции непрерывны. Таким образом, Gi X G2 — топологическая группа. Она называется прямым произведением исходных топологических групп Gi, G2.

Это перемножение коммутативно и ассоциативно: имеются очевидные канонические изоморфизмы GVXG2^>G2XG1 и (G1XG2)XG3->G1X(G2XG3). ‘ ■

Заметим, что вложения ini: G1-^-G1XG2, in2: G2 —>G1XG2, определяемые формулами %! i—>(xb eo2), x2>—> (eob x2), являются мономорфизмами в смысле 8, а проекции prb G1XG2->GI, pr2: Gi X G2-> G2 — открытыми эпиморфизмами, и что КегрГ! = in2 (G2),Ker рг2 = in) (GJ. В силу теоремы 10 из этого следует, что отображения factprb № X G2)/in2(G2)—>-Gb factpr2: (Gt X GJ/mj (GJ ->■ G2 являются изоморфизмами. .

/5. Говорят, что топологическая группа G распадается в прямое произведение своих подгрупп Gb G2, если отображение GiXG2^-G, определяемое формулой ^gx, g-b^gxg^, является изоморфизмом в смысле 8. В последнем случае G обычно отождествляют с G{ X G2 посредством этого изоморфизма.

Напомним, что в обыкновенной теории групп соответствующее определение формулируется точно так же, только под изоморфизмом понимается алгебраический изоморфизм. Там для распадения группы G в прямое произведение подгрупп Gb G2 необходимо и достаточно, чтобы Gx и G2 порождали G, пересекались по е0 и были нормальными подгруппами; следовательно, если эти условия выполнены в нашей ситуации, то отображение (STi, g2)^* 611^2 является алгебраическим изоморфизмом. Ясно, что это отображение непрерывно, однако очевидные примеры показывают, что обратный алгебраический изоморфизм может не быть непрерывным. С другой стороны, непрерывность этого обратного алгебраического изоморфизма обеспечена, если пространство G компактно и хаусдорфово; таким образом, компактная хаусдорфова топологическая группа, распадающаяся в прямое произведение своих подгрупп алгебраически, распадается в прямое произведение этих подгрупп и в смысле предыдущего определения. •

. Простейшие примеры ■

Вещественная прямая R со сложением в качестве групповой операции является топологической группой. То же относится к пространству R”. Очевидно, R" = R X ... X R (п сомножителей; произведение понимается в смысле 12).

Проколотая вещественная прямая R* = R \ 0 с умножением в качестве групповой операции также является топологической группой. Ее подгруппа R^_, составленная из положительных вещественных чисел, изоморфна R:'изоморфизм устанавливается показательной функцией с произвольным положительным основанием, отличным от 1. Другой очевидной подгруппой является S0, и ясно, что R* = S»XR+.

Проколотая комплексная прямая С* = С\0 и проколотая кватернионная прямая Н* = Н\0 с умножением в качестве групповой операции тоже являются топологическими группами. Первая содержит в качестве подгруппы S1, вторая —S3, и ясно, что C*=S'XR+, a H* = S3XR+- .

Отображение hel: R^S1 (см. 1.2.6) представляет собой открытый эпиморфизм. Его ядром служит подгруппа Z группы R, составленная из целых чисел. Таким образом, факторгруппа R/Z изоморфна S1.

Отображение hel X • • • X hel: R" -> (S1)" = S1 X ■ • • X S' также представляет собой открытый эпиморфизм. Его ядром служит целочисленная решетка Z X • • • X Z = Zn пространства R". Таким образом, факторгруппа R"/Z" изоморфна (S1)".

Подгруппа группы S3, составленная из вещественных кватернионов (т. е. из кватернионов (хь х2, х3, х4) с х2 = .Гз = х4 = 0), есть 5°. Эта подгруппа нормальна, и факторгруппа S3/S0 совпадает, как топологическое пространство, с RP3.

Подгруппа группы S3, составленная из комплексных кватернионов (т. е. из кватернионов (хь х2, х3, х4) с х3 = х4 = 0), есть S1. Эта подгруппа не является нормальной. Факторпространство S3/S' канонически гомеоморфно S2: канонический гомеоморфизм S3/S‘->S2 определяется как взаимно однозначный фактор отображения Хопфа S3^-S2 [очевидно, zer(S3, S1) = zer(S3->S2)].

Группы гомеоморфизмов

• 1. Согласно 1.1.4.7, гомеоморфизмы топологического пространства X составляют подгруппу группы SymmX всех обратимых преобразований множества X, т. е. образуют группу с о в качестве групповой операции. Эта группа обозначается через ТорХ.

Мы топологизируем ТорХ двумя способами. Первая топология индуцирована включением Top X с:‘S'(X, X) (см. 1.2.7.1), т. е. определяется предбазой, составленной из множеств Nb(/С, 0) = <F(X, К; X, О') П ТорХ с компактным К и открытым О. Вторая топология определяется предбазой, составленной из множеств U, U-1, где U — множество, открытое в первой топологии, или, что то же, предбазой, составленной из множеств Nb(X, О), [Nb (/(, О)]”1.

(Лемма). Если пространство X хаусдорфово и локально компактно, то отображение (g, h)^- gh непрерывно в обеих топологиях.

Доказательство. Если gh г Nb (X, О), то h (К) с g-1 (О) и, в силу 1.1.7.22, каждая точка множества h^ обладает окрестностью с компактным замыканием, лежащим в g~l (О). Пусть О' — объединение конечного числа таких окрестностей,

покрывающее й(К). Ясно, что множество CIO' компактно и что g g Nb (Cl О', О), h s Nb (К, О'), Nb (Cl О', О) Nb (К, О') с Nb^, О).

Если gh е [Nb (7<, О)]-1, то h^g^ г Nb ^К, О) и, согласно уж‘е доказанному, существуют такие множества U, V с: Top X, открытые в первой топологии, что h~l eV, g-i eU, VU c Nb(K, О). Ясно, что gelT\ h^V~\ IT'V-1 c [Nb (К, O)]-1.

Если пространство X хаусдорфово и локально компактно, то группа Тор Л", топологизированная вторым способом, является топологической группой.

Это следует из 2 и того очевидного факта, что отображение gv-> g" ' непрерывно во второй топологии.

Если пространство X хаусдорфово и компактно, то вторая топология совпадает с первой.

Это следует из очевидной формулы [Nb^, О)]-1 = Nb(X \ О, X \ К).■

Если пространство X дискретно, то вторая топология совпадает с первой.

Это следует из очевидной формулы

[Nb(K, 0)]-'= и ГП Nb(g(x),x)1 geNb(K, О)J

и конечности компактных множеств в X.

(Лемма). Пусть g— гомеоморфизм пространства R” и К, V — множества в R", причем К и CW компактны, а V открыто. Если g~\K) с V, то у g есть в ^(R", Rn) такая окрестность 41, что h~l (К.) с V для всякого гомеоморфизма h из 44.'.,

Доказательство. Положим е = Dist (^ R” \ g(V)) и определим 44 как множество таких непрерывных отображений h:Rn-^-Rn, что dist (g (х),/г (х)) < е/2, если xeCIV. Открытость этого множества очевидна, и нужно лишь проверить, что если /г — гомеоморфизм из 44 и иеК, то h~[ (у) е V. Мы покажем, что противоположное включение h~l (у) s R” \ V, или, что то же, включение yeR'1\/z(V), будучи присоединено к включениям h е 44, у е К, приводит к противоречию.

Так как g-4y^V, то dist (у = g (g-1 (у)), h(g~} (у))) <е/2, и это - неравенство сохранит силу, если мы заменим в нем A(g-I(y)) любой точкой отрезка с началом у и концом /z(g-I(y)). Пусть z— точка этого отрезка, лежащая в Fr/z(V) [такая точка существует, поскольку у е R" \ h (V), a h. (g-1 (у)) е h (V); например, в качестве z можно взять нижнюю грань части отрезка, лежащей в /[(V)]. Так как z е Cl h (V), то /г-1 (г) е Cl V и, следовательно, dist ^g{h~' (г)), h(h~] (г)) —.z) < е/2. Вместе

с неравенством dist(z/, 2) < е/2 это дает: dist (z/, g(h._l (2))) < е. С другой стороны, так как z ^ h\V\ то g(h-1 (z))e R" \ g^ и, следовательно, dist (у, g (h~' (2))) е.

Если X— евклидово пространство, то вторая топология совпадает с первой.

Достаточно доказать, что у всякого гомеоморфизма g с g-1 е Nb(K, О) есть в &(Х, X) такая окрестность <21, что /?-1 е Nb (/(, О), если /г — гомеоморфизм из °И. А это делается прямым следствием леммы 6, если взять в качестве V какое- нибудь открытое множество с компактным замыканием, содержащее g-'ХК) и содержащееся в О. 1

Группы диффеоморфизмов

Пусть X — многообразие класса ^>r с l^r^oo. Согласно 3.1.2.9, множество его ‘^""-диффеоморфизмов, т. е. DiffrX, является группой с ° в качестве групповой операции, а в 3.4.1.1 это множество было топологизи'ровано. Очевидная проверка показывает, что операция ° непрерывна в этой топологии, в компактном же случае непрерывна и операция /*—>/-1. Таким образом, в компактном случае DiffrA есть топологическая группа. Чтобы сделать эту группу топологической в общем случае, достаточно модифицировать топологию так же, как в 1: составить предбазу новой топологии из множеств, открытых в старой топологии, и их образов при отображении ft—>f~'. Как и там, вторая топология совпадает с первой, если X компактно.

Ясно, что как в компактном, так и в некомпактном случае включение DiffrX->TopX является мономорфизмом в смысле 1.8, и то же относится к включениям Diffr X -> Diffs X с s < г.

Классические группы

Аналитические многообразия О(ц), SO (и), Шп\ SU(n), Sp (п), а также GL (n, R), GL+ (n, R), GL (п, С), GL ^п, Н), определенные в п. 3.2.1 (см. 3.2.1.2, 3.2.1.5— 3.2.1.9) и там же наделенные групповой структурой, являются, очевидно, топологическими группами. Группа О^Й называется ортогональной, группа SO (д) — специальной ортогональной, группа U (п) — унитарной, группа SU (п) — специальной унитарной, группа Sp ЙЙ — симплек- тической. Группы GL(n, R), GL (п, С), GL (д, Н) называются полными линейными группами. Ясно, что SO (д) — компонента единицы группы О (п), a GL+ (д, R) — компонента единицы группы GL(n, R). •

Ясно, что топологическая группа GL (Д, R) является подгруппой топологической группы TopR" в смысле 1.3. В том

же смысле являются подгруппами топологической группы TopR" и топологические группы О (га), SO (га) и GL+(n, R). •

Подобным же образом, топологическая группа GL(n, С) и ее подгруппы U (п), SU (га) являются подгруппами топологической группы ТорС", а топологическая группа GL (п, Н) и ее подгруппа Sp (га) являются подгруппами топологической группы Тор Н".

Заметим еще, что и включения U(га) с: SO (2га), Sp (га) с SU (2п), GL (д, С) с GL+ (2п, R), GL (п, Н) с GL (2п, С) являются включениями подгруппы в группу в смысле 1.3.

Действие

Действием группы G в множестве X называется отображение GXX-*X с двумя свойствами: (1) (цс, а) ^—> а; (и) если kg\,x)v->xv, (g2, А,)i-> а2, то (^ь хД~>а2. Образ пары (g, х) обычно обозначают через gx, что придает условиям (1), (и) вид eGx = х, g2 (gX) = (g2gi) х. .

Отображение X —> X, определяемое по элементу g группы G формулой x>—*gx, называется преобразованием, производимым элементом g. Из (i), (ii) следует, что это отображение обратимо (обратным является преобразование, производимое элементом g~*) и что возникающее таким образом отображение группы G в Symm^ есть гомоморфизм. Мы называем этот гомоморфизм присоединенным к действию. Ясно, что он определяет действие и что всякий гомоморфизм hvG-* Symm А присоединен к некоторому действию [именно, к действию (g, а) >—> (И (g)) (а)]. Таким образом, действие группы G в X может быть интерпретировано как ее гомоморфизм в Symm X.

В первую очередь нас будет интересовать случай, когда присоединенный гомоморфизм является мономорфизмом. Действие называется в этом случае эффективным, а в общем случае ядро присоединенного гомоморфизма называется ядром неэффективности действия. Если К — это ядро, то присоединенный гомоморфизм представляется как композиция проекции G-*G]K и мономорфизма GjK -* Symm X, а само действие — как композиция отображения prX idA": G X X -> (G/Д) X X и эффективного действия (G/K)XI^I. Переход от действия GXX-»X к действию )GjK)XX->X называется эффективизацией.

Подмножество множества X, на которое действие GXX->X отображает множество G X х, «называется орбитой точки х. Ясно, что орбиты двух точек либо не пересекаются, либо совпадают; таким образом, орбиты составляют разбиение множества X. В случае, когда имеется только одна орбита, действие называется транзитивным. В общем случае множество орбит обозначается через X/G.

§ 2]

Если /г: G, -> G — групповой гомоморфизм, то композиция отображения h X id X; Gj X X -► G X X с действием группы G в X представляет собой действие группы Gx в X. Говорят, что последнее индуцируется исходным действием посредством h. Присоединенный к нему гомоморфизм представляет собой, очевидно, композицию гомоморфизма h с гомоморфизмом, присоединенным к исходному действию. Ясно, что действие, индуцированное эффективным действием посредством мономорфизма, эффективно, а действие, индуцированное транзитивным действием посредством эпиморфизма, транзитивно.

Если G, — подгруппа группы G и h — включение, то говорят, что индуцированное действие получается из исходного сужением группы G до Gx, а исходное из индуцированного — расширением группы G, до G. Из предыдущего следует, что при сужении группы эффективное действие остается эффективным, и ясно, что при расширении группы транзитивное действие остается транзитивным.

Подмножество Хх множества X называется инвариантным относительно действия GX X X, если оно насыщено относительно разбиения на орбиты. В этом случае возникает суженное действие GXXx —>Хх. Ясно, что если последнее эффективно, то и исходное действие GXX-*X эффективно.

Произведением действий Gx X Xi—>Xi, G2X Х2->Х2 называется действие (G, X О2) X (Хх X Х^ -> Хх X Х2, определяемое формулой .(^i, g2) (хь х2) = (^х,, g2x2). Ясно, что произведение эффективных действий эффективно, а произведение транзитивных действий транзитивно.

Отображение f множества X, в котором действует группа G, в множество X', в котором также действует группа G, называется G-отображением, если f (gx) = gf (х) для любых g е G, х е X. В более общей ситуации, когда в X действует группа G, а в X' — группа G', и имеется гомоморфизм у: G-*G', отображение f: X -> X', такое, что / (gx) = y(g)f (х) для любых g е G, хеХ, называется у-отображением.

Действия группы G в множествах Х,Х' называются эквивалентными, если эти множества можно связать обратимым G- отображением.

Действие, определенное в 1, подробнее называется левым действием — в отличие от правого действия, которое определяется как отображение X X G-> X, такое, что: (i) (х, е0) ь-> х; (ii) если (х, gx)^xx, (хх, g2) ь-> х2, то (х, gxg2)t-> х2. В случае правого действия пишут не gx, a xg, условия (i), (ii) принимают для него вид xeG = x, (xgx) g2 = xgxg2, а присоединенный гомоморфизм превращается в присоединенный антигомоморфизм; в остальном все сказанное в 1 можно повторить для правого действия дословно.

Очевидно, формула xg = g-xx превращает левое действие в правое, а формула gx = xg-x превращает правое действие в левое. Эти действия называются сопряженными друг с другом.

В дальнейшем термин действие означает левое действие, если только контекст не указывает прямо, что речь идет о правом действии.

Если преобразования, производимые элементами группы G, действующей в X слева или справа, принадлежат подгруппе Н группы SymmJT, то действие (правое действие) может быть интерпретировано и как гомоморфизм (антигомоморфизм) группы G в Н. В этом случае говорят, что G действует в X (действует в X справа) посредством преобразований из И.

Группу Н не всегда указывают прямо. Например, если X — топологическое пространство и /7 = Тор^, то говорят просто, что G действует в X (действует в X справа) посредством гомеоморфизмов, а если —группа и Н — группа автоморфизмов группы X, то говорят, что G действует в X (действует в X справа) посредством автоморфизмов; само действие (правое действие) называется в последнем случае групповым.

В качестве важных специальных примеров рассмотрим действия G X G—> G, определяемые формулами (^g, х) н—> gx, (g, х) н-> gxg-*, и правые действия G XG->G, определяемые формулами Vg, х) |—> xg, ^g, х) н-* g~ Xxg (все произведения имеют групповой смысл). Первое называется левым каноническим действием, второе— левым внутренним действием, третье — правым каноническим действием, четвертое — правым внутренним действием. Очевидно, канонические действия эффективны и транзитивны, а внутренние действия являются групповыми.

Заметим, что после сужения левого канонического действия GXG->G до действия G1XG-> G, где Gt — подгруппа группы G, орбиты становятся смежными классами по GP Таким образом, два смысла, которые имеет в этом случае обозначение G]G\ (обычный теоретико-групповой и введенный в 1), совпадают.

Следующее обобщение левого канонического действия имеет уже общее значение. Пусть Gt — подгруппа группы G. Поскольку левый сдвиг переводит левый смежный класс в левый смежный класс, формула (g, х)>—gx определяет некоторое отображение G X (G/GJ-^G/Gj, и ясно, что последнее является действием. Это действие называется каноническим действием группы G в G/Gt. Оно транзитивно, и его ядро неэффективности совпадает с пересечением всех подгрупп группы G, сопряженных с Gj. Проекция G—>0/0, является, очевидно, G-отображением по отношению к левому каноническому действию группы G в G и ее каноническому действию в G/Gi-

Оказывается, что всякое транзитивное действие группы G эквивалентно ее каноническому действию в некотором фактор-

$ 2] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 275 множестве G/Gv Подробнее: пусть G X Х-*Х — транзитивное действие, и пусть хг — произвольно фиксированная точка множества X; тогда прообраз точки Xj при отображении f: Q->X, определяемом формулой Kg) = gxx, является подгруппой группы G, прообразы других точек множества X при отображении / являются левыми смежными классами по этой подгруппе, а взаимно однозначный фактор fact/: G]Gx-*X отображения / является G-отображением. Все это проверяется автоматически.

У подгруппы Gx есть специальное название: она называется стационарной подгруппой, принадлежащей точке Xj. Очевидно, точке gxx принадлежит стационарная подгруппа gGxg-i. Таким образом, стационарные подгруппы, возникающие при транзитивном действии группы G, в точности заполняют один из классов ее сопряженных подгрупп.

Непрерывное действие

Непрерывным действием топологической группы G в топологическом пространстве X называется непрерывное отображение G X X X, являющееся действием в смысле 1.

Ясно, что в случае непрерывного действия преобразования, производимые элементами действующей группы, являются гомеоморфизмами. Это значит, что гомоморфизм, присоединенный к непрерывному действию GXX-*X, может быть сокращен до алгебраического гомоморфизма группы G в Тор У. Согласно 1.2.7.6, последний гомоморфизм непрерывен в первой топологии группы Тор У (см. 2.1), а если пространство X хаусдорфово и локально компактно, то существование у присоединенного гомоморфизма непрерывного в этой топологии сокращения G —> Тор У даже эквивалентно непрерывности действия. Очевидно также, что алгебраический гомоморфизм б->ТорУ, непрерывный в одной из двух топологий группы ТорУ, непрерывен и в другой, а согласно 2.3, в случае, когда X хаусдорфово и локально компактно, Тор У является во второй топологии топологической группой. Таким образом, если У хаусдорфово и локально компактно, то непрерывное действие топологической группы G в X может быть определено как гомоморфизм G -> ТорУ, понимаемый в смысле 1.8.

Заметим, что дискретная группа, действующая посредством гомеоморфизмов, всегда действует непрерывно. Это позволяет рассматривать действия нетопологизированных групп, действующих посредством гомеоморфизмов, как непрерывные действия.

Топологическое пространство, наделенное непрерывным действием группы G, называется G-пространством. Сщростран- ство с эффективным действием группы G называется эффективным

G-пространством. В общем случае эффективизация превращает G-пространство в эффективное (С/Д)-пространство, где К — ядро неэффективности.

Множество X/G является в случае непрерывного действия GXX->X топологическим пространством (факторпространст- вом пространства X) и называется пространством орбит. Так как насыщением любого подмножества А пространства X относительно разбиения на орбиты служит объединение множеств gA с geG, то разбиение на орбиты всегда открыто, а если группа G конечна, то это разбиение и замкнуто. В частности, пространство X(G обладает счетной базой вместе с X, а если группа G конечна, то оно и нормально вместе с X; см. 1.2.3.10 и 1.2.3.9. Добавим, что разбиение на орбиты замкнуто и в случае, когда пространство X компактно и хаусдорфово, а группа G компактна; действительно, действие GX X -* X является в этом случае замкнутым отображением, и так как оно переводит произведение GX.A в насыщение множества А, то из замкнутости множества А следует при указанных условиях замкнутость его насыщения.

Сужение топологической группы G до ее подгруппы G1 очевидным образом превращает G-пространство в Gi-пространство. Инвариантные подмножества G-пространства в очевидном смысле являются G-пространствами; они называются его подпространствами. В столь же очевидном смысле произведение двух непрерывных действий является непрерывным действием, так что произведение Gj-пространства на С2-пространство есть (Gj X С2)-пространство.

G-отображения и у-отображения определяются для непрерывных действий заново: G-отображением G-пространства в G-пространство называется непрерывное отображение, являющееся G-отображением в смысле 1, а ^-отображением G-пространства в G'-пространство — непрерывное отображение, являющееся у-отображением в смысле 1; при этом предполагается, что у есть гомоморфизм в смысле 1.8. Два непрерывных действия группы G называются эквивалентными, если соответствующие G-пространства можно связать G-гомеоморфизмом.

Специальные действия, рассмотренные в 3, — левое каноническое действие и левое внутреннее действие — в случае топологической группы G непрерывны.

Заметим, что здесь, как и в 3, обозначение G/G] имеет два смысла (факторпространство группы по подгруппе и пространство орбит) и что эти смыслы опять совпадают.

Непрерывно и каноническое действие группы G в ее факторпространстве G[GX по произвольной подгруппе Gb Для доказательства рассмотрим композицию ф: GXG->G]Gx отображения G X G -* G, определяемого формулой ^g;K) н-* gh, и про-

§ 2] ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИИ 277 екции G->G/G]. Очевидно, эта композиция постоянна на элементах разбиения zer (G, eG) X zer (G, Gt) и интересующее нас действие G X (G/GJ -> G/Gx является композицией отображения G X (G/GJ -* (G X G)/(zer(G, eG) X zer (G, GJ), обратного взаимно однозначному фактору отображения idGXpr: GXG->GX (G/GJ, и отображения fact-ф: (G X G)/(zer(G, eG) X zer(G, GJ)-> GjGv Так как разбиения zer(G, eG) и zer(G, GJ открыты, то указанный взаимно однозначный фактор является гомеоморфизмом (см. 1.2.3.11), из чего и следует непрерывность нашего действия.

G-пространство, в которое факторпространство G/Gj превращается каноническим действием G X (G/GJ -> G/G^ называется однородным пространством.

, Установленная в 4 эквивалентность произвольного транзитивного действия G X X —>Х каноническому действию группы G в ее фактормножестве по стационарной подгруппе Gi переносится на случай непрерывного действия не полностью: хотя в этом случае отображение /: G->X, определяемое формулой f(g') = g'Ai, и его взаимно однозначный фактор fact f: GjG^^X непрерывны, отображение (fact /)-1, как показывают очевидные примеры, может не быть непрерывным. Однако непрерывность отображения (fact f)—1 обеспечена, если пространство G компактно, а пространство X хаусдорфово, и, таким образом, транзитивное непрерывное действие компактной топологической группы в хаусдорфовом пространстве с отмеченной точкой канонически эквивалентно ее каноническому действию в факторпространстве по стационарной подгруппе, принадлежащей этой точке.

■ 8. Непрерывное действие G X X -> X называется свободным, если отображение G->X, определяемое формулой gt->gx, является вложением для каждой точки хеХ.

Ясно, что свободное действие эффективно. Очевидно также, что сужение группы G до ее подгруппы и сужение G-пространства до его подпространства оставляют" свободное действие свободным и что произведение двух свободных действий есть свободное действие. Каноническое действие G X G -> G свободно, каноническое действие G X (G/GJ —> G/G[ не свободно, если G, =# eQ.

Рассмотрим для свободного действия GXX-*X расслоение (X, pr, X[G\ Если каждая точка пространства X обладает окрестностью, которая отображается преобразованиями, производимыми элементами группы G, на попарно непересекающиеся множества (в частности, если группа G конечна и пространство X хаусдорфово), то образ такой окрестности при проекции X-*X[G открыт и сужение расслоения (У, рг, У/G) на этот образ представляет собой тривиальное расслоение с дискретными слоями.

Таким образом, в этом случае IX, pr, X[G) есть, накрытие в широком смысле.

Непрерывным правым действием топологической группы G в топологическом пространстве X называется непрерывное отображение XXG —> G, являющееся правым действием в смысле 2.

Все определения и факты, изложенные в 5, 6 и 8, очевидным образом переносятся на правые действия. В частности, топологическое пространство, наделенное непрерывным правым действием, называется правым G-пространством. Мы не называем правое G-пространство просто G-пространством; этот краткий термин всегда означает левое G-пространство.

Примеры

Тождественный гомоморфизм Тор Х->Тор X определяет для всякого топологического пространства X эффективное действие группы Top X в X и с ним эффективное действие в X любой подгруппы этой группы. Если X хаусдорфово и локально компактно, то ТорХ есть топологическая группа и все эти действия непрерывны. В частности, группы GL (п, R), GLp (п, R), О (я), SO (п) эффективно и непрерывно действуют в RR группы GLln, С), U (п), SU(fi) —в С" и группы GLln, Н), Spin) — в FT.

Если г^оо, то включение Diffr X -* Top X определяет для всякого ^^-многообразия X эффективное и непрерывное действие группы DiffrX в X. ,

И. Поскольку сфера S"-1 инвариантна относительно действия группы О 1п) в R”, последняя непрерывно действует в S"-1 вместе со своей подгруппой SOln). Подобным же образом, группы U 1п) и SU (/г), как подгруппы группы 012п), непрерывно действуют в S2n-1, a Spin), как подгруппа группы О14п), непрерывно действует в S4"-1. Все эти действия эффективны и, если не считать тривиальных случаев, именно, действий SO (1) X S°-*S° и SG(T) X S1 —*•$*, транзитивны.

Для действий О (п) X S"-1 ->Sn-1, SO (п)Х S^-1 -> S^-' стационарные подгруппы, ассоциированные с ortn, совпадают с Oln — 1), SOln — 1); для действий Uln)XS2n-1 -> S2"-1, SU In) X S2"-*-^S2"-1 стационарные подгруппы, ассоциированные c ort2n, совпадают с U (и — 1), SU {п — 1); для действия Sp In) X S4"-1 -> S4"-1 стационарная подгруппа, ассоциированная с ort4re, совпадает с Spin— 1). Соответствующие гомеоморфизмы 01п)10{п- \)-*Sn~\ SOln)ISOln-\)->Sn~\ U ln)(U In — \)-> S2n~\ SU ln)]SU In - 1) -> S2n"\ ^Sp ln)[Sp In - 1) -> S4"-1 (cm. 7) совпадают с взаимно ^однозначными факторами субмерсий

V^n, п^ [ = 0(п)1 -* V (п, 1) [^S"-1], V (п, п- 1)-> V^n, 1), СУ (га, га)-> СУ (га, 1), СУ(п, п- 1)->СУ(«, 1),НУ(п,п)->

НУ (п, 1), определенных в п. 3.2.1 (см. 3.2.1.3, 3.2.1.5, 3.2.1.6), Если сузить группы О (га), U (га), Sp^ (с п^ 1) до подгрупп, состоящих из скалярных матриц, и произвести обычное отождествление этих подгрупп с 3°, S’, S3, то возникнут непрерывные действия 8й X Sn”x-> S^, S1 X S2"-1 -> S^~x, S^S4""1-* S4n~'. Эти действия свободны, и факторпространства З^/З0, S2"-1^1, S^yS1 совпадают с RP""1, СР'^!, НР^1.

Заметим еще, что и шары Dn, D2n, Din инвариантны относительно действия групп О (га), U (га), SpVy в Ra, С", Н" и что вследствие этого группы О (п), SO (п) непрерывно действуют в Dn, группы U Iny SU^ непрерывно действуют в D№ и группа Sp (га) непрерывно действует в D4n. Все эти действия эффективны.

В многообразии У (га, 6) непрерывно действуют слева группы О (га), 30 (га) и справа группы 0(6), 30(6): левые действия определяются формулой (g, о) i—> g° и [g е О (га) или 30 (га), о е V (п, ку g и и интерпретируются как отображения], правые — формулой (и, g)^»o°g. Подобным же образом, в СУ (га, 6) непрерывно действуют слева группы О(га), SU (га) и справа группы U (6), 30(6), а в НУ (га, 6) непрерывно действует слева группа Spin) и справа группа Sp^ky

Все левые действия эффективны, если 6=^0. Нетранзитивными среди них являются только действия SO (п) XV (п, n)->V (п, п) и SU (га) X СУ (га, я)-*СУ(га, га) с п^1. Стационарные подгруппы групп О (га), SO ^ совпадают для точки (хь ..., х^) ь-^ (О, .'. ., О, хь ..., xj многообразия У (га, 6) (последнее рассматривается как множество линейных изометрических отображений Rfe -» R") с О (га — 6), 30 (га — 6), стационарные подгруппы групп U (п), SU (га) и Зр(п) совпадают для точек (хь ..., х^ н-> (О, ..., О, хь ..., х^) многообразий СУ (га, 6) и НУ (га, 6) с U\n — ку SU (и — к( и Sp (га — 6), а соответствующие гомеоморфизмы О (га)/О (га — 6) -> У (га, 6), SO (n)/SO (п — 6) -> У (га, 6), U{n)IU {п— k) -> СУ (га, 6), SU М/SU ^ - 6) -> СУ (га, . 6), Sp (га)/3р (га—6)—>НУ (п, 6) совпадают с взаимно однозначными факторами отображений О (га)—>-У (га, 6), SO (п) -> У (га, 6), U (га) —> СУ (га, 6), SU (га) -* СУ (га, 6), Зр(га)-*НУ (га, 6), определенных в п. 3.2.1 (см. 3.2.1.3, 3.2.1.5, 3.2.1.6). При 6 = 1 эти действия превращаются в действия, указанные в 11.

Все правые действия свободны. Факторпространства У (га, к^О^кУ V{n, k^SOQty СУ (га, 6)/О (6), НУ (га, k^Sp^ канонически гомеоморфны многообразиям G(ra, 6), G+(ra, 6), CG(ra, 6), HG(n, 6); каноническими гомеоморфизмами служат взаимно однозначные факторы отображений У (га, 6)-»G(ra, 6), У (га, 6)-»-

G+(га, 6), СУ (га, 6)->CG(ra, 6), НУ (га, 6)->HG(ra, 6), определенных в п. 3.2.2 (см. 3.2.2.3, 3.2.2.7, 3.2.2.8).

Те же формулы kg, у) ^ g0 у и (у, g\^-* у ° g определяют левые действия групп GLkn, R), GL^^n, R) в У'(га, ку группы GLkn, С) в СУ'(га, 6) и группы GLkn, И) в НУ'(га, 6), а также правые действия групп GL(k, R), GL+ (k, R) в У'(га, 6), группы GL^k, С) в СУ'(га, 6) и группы GL^k, Н) в НУ'(га, ку

Все левые действия эффективны и, за исключением действия GL+(га, R)XH«, n^->V'kn,*ny транзитивны. Стационарные подгруппы групп GL in, R), GL кп, С), GL кп, Н) совпадают для точек (хь ..., хД~^(0, ..., 0, хь ..., хД многообразий У'(га, ку СУ' (га, ку НУ' (га, 6) с GL (га — к, R), GL кп - к, С), GL кп - к, Н), а соответствующие канонические гомеоморфизмы GLkn, R)/GL(n— к, К)-*У'(га, кУ GLkn, O/GLkn — k, С)-* СУ'(га, ку GLkn, H)/GL(ra — к,. Н) ->НУ' (га, 6) — с взаимно однозначными факторами отображений GLkn, R)-» У'(га, ку GLkn, С) -> СУ'(га, ку GLkn, Н)-»НУ'(га, ку определенных в п. 3.2.1 (см. 3.2.1.7, 3.2.1.8, 3.2.1.9). Стационарная подгруппа группы GL+(га, R) совпадает для точки (хь ..., х6) (0, ..., 0, хь ..., х6) многообразия У'(га, К) с GL* кп — к, R).

Все правые действия свободны. Факторпространства У'(га, k^GL^k, R), У'(га, k)IGL+{k, R), СУ'(га, k^GL^k, С), НУ'(га, k)/GL(k, Н) канонически гомеоморфны G (га, ку G+kn, ку CG^n, кУ nG(ra, ку каноническими гомеоморфизмами служат взаимно однозначные факторы отображений У'(га, к)->Окп, к), V'kn, k>->G*kn, ку СУ'(га, 6)->С6(га, ку НУ'(га, 6)->HG(ra, ку определенных в п. 3.2.2 (см. 3.2.2.3, 3.2.2.7, 3.2.2.8).

В многообразиях G(ra, ку G+kn, к) очевидным образом непрерывно действуют (слева) группа GLkn, R) и ее подгруппы GL+ кп, R), О (/г), SO (га). В многообразии CG(ra, 6) непрерывно действуют группа GL кп, С) и ее подгруппы О (га), SO (га). В многообразии HG(n, 6) непрерывно действуют группа GLkn, Н) и ее подгруппа Sp (га). Действия групп О (га), SO (га) в многообразиях G+(га, 6) с нечетным к эффективны. Ядра неэффективности действий GLkn, R)XG+(ra, 6)->G+(ra, ку GL+^n, R)XG+(ra, й)-> G+ (га, к-) с нечетным к состоят из скалярных’ матриц с положительными диагональными элементами. У остальных действий, если не считать тривиальных случаев 6 = 0 и к = п, ядра неэффективности состоят из всех скалярных матриц, имеющихся в действующей группе. Не транзитивны только действия GL^n, R)XG+(ra, 0)->G+(ra, 0), GL+(n, R) X G+ (n, 0)-*G+(n, 0), О (га) X G+ (га, 0) -> G+ (га, 0), SO (га) X G+ (га, 0) G+ (га, 0), GL* kn, R) X G+ {n, n)—>G+kn, n\ SO (га) X G+ (ra, n)—>G+ {n, пУ Если выбрать в каждом из многообразий Gin, кУ G+{n, кУ CG{n, k} и HG(ra, 6) в качестве отмеченной точки плоскость Xi = 0, .... х„_6 = 0, наделив ее в случае G+(ra, 6) естественной ориента-

цией, то для действий группы GLkn, R) в Gkn, k), группы GL кп, R) в G+ (п, к\ группы GL (п, С) в CG (п, к) и. группы GLkn, Н) в HG(ra, 6) стационарными будут подгруппы матриц

Г Л С].

вида 1g I, где Лив — невырожденные квадратные матрицы порядков п — k и к, а С — произвольная (п — к) X ^-матрица, причем в случае G+ (и, /г) матрица В содержится в GL+ кк, R).

При сужении действующих групп эти стационарные подгруппы суживаются до пересечения перечисленных подгрупп с новыми действующими группами. В частности, для действий группы О (п) в G кп, k) и в G+ (и, к"), действия группы SO кп) в G+kn, k), действия группы U {п) в CG(n к) и действия группы Sp (п) в HG (n, /?) стационарными подгруппами служат образы мономорфизмов О кп—к)ХО (k) -> О (и), Окп—k)XSOkk)-> ОН, SO(n-k)XSO(k)^SO(n), и^а-к^ХиИ^иН, 5ркп-к)Х Sp(k)-^Sp(n), определяемых матричной формулой (Л, В) н^- ГЛ 0]

D . Отождествление этих произведений с их образами L О В J

приводит к каноническим гомеоморфизмам:

О НПО кп — k)XO НА -^ G кп, к),

О И НО кп-кАХ so (6)]G+ Н k),

SO Н№ кп—к)Х SO (6)] -► G+ н 6),

U HHU кп-к^хи (6)] -> CG кп, k),SpH[\Spkn — /г) X Sp (&)]-> HG (n, k).

Пусть m; lx, ..., ln — взаимно простые натуральные числа. Комплексная формула

кк, (гь ..., zn^WnlHvlmzne^ik^m\

где к — целое число, а (гь . .., гга) — точка сферы 52п-х, определяет действие ZXS2"-1 ~>S2"-1 с ядром неэффективности mZ, превращающееся после эффективизации в свободное действие группы 7Jm — 'Z[tn7J в S2n~l. Факторпространство S2n-x(Zm обозначается через G(m; Ц, ..., /„) и называется линзой.

Имеются также бесконечные линзы L кт; /ь /2, .. .) со взаимно простыми т; Ц, 12, ... Линза L(m; Zb Z2, ...) определяется как факторпространство S°°/Zm, порождаемое свободным действием, которое получается при эффективизации действия

кк, (гь г2, ...)) н-> kzH^Om^ z^nikUm^ , ^

группы Z в S°°. Эквивалентное описание:

Lkm; 1Л, 12, .. .) =

lim(L(m; 1Хl^, in: Lkm,; lx, ..., l^-*Lkm; lxZn+i)).

Бесконечная линза L(m; 1, 1, ...) обозначается короче через L (гп).

Согласно 8, тройки (S2"-1, pr, L^m; 1Х, ..., /„)) и (3го, pr, L(m; /i, /2, ...)) являются накрытиями.

Формула (z/, х) ь-*уху~1, где х — кватернион, а «/ — кватернион с нормой 1, определяет непрерывное действие 33Х R4->R4. Пространство R3 мнимых кватернионов инвариантно относительно этого действия; таким образом, последнее пространство, а с ним и R3, оказывается ^-пространством. [Отождествление R3 с R3 осуществляется отображением shi: R3->R3; см. З.2.З.1.] Ядром неэффективности указанного действия 33XR3->R3 служит, очевидно, 3°; ясно также, что возникающее эффективное действие факторгруппы S3/S° = RP3 в R3 превращается при каноническом отождествлении пространства RP3 с 30(3) [см. 3.2.3.1] в стандартное действие группы 30(3) в R3 (см. 11).

Пусть Р — правильный выпуклый многогранник в R3 (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр или икосаэдр) с центром 0. Обозначим через GP подгруппу группы 30 (3), составленную из вращений, переводящих Р в Р, и через G~P — прообраз группы GP при проекции 3!->30(3) [см. 16]. Ясно, что GP и G~P не меняются при переходе от Р к двойственному многограннику и заменяются сопряженными подгруппами групп 30 (3), S3 при замене Р любым одноименным правильным выпуклым многогранником с центром 0. Таким образом, в 30 (3) есть ровно три класса сопряженных подгрупп GP, а в S3 — ровно три класса сопряженных подгрупп G~P. Первые называются группами тетраэдра, группами куба или октаэдра и группами додекаэдра или икосаэдра, вторые — бинарными группами тетраэдра, бинарными группами куба или октаэдра и бинарными группами додекаэдра или икосаэдра.

Если отнести каждому вращению из GP образ отмеченного ориентированного ребра многогранника Р, то возникнет обратимое отображение группы GP на множество ориентированных ребер многогранника Р. Таким образом, порядок группы GP равен удвоенному числу ребер многогранника Р, т. е. 8 в случае тетраэдра, 24 в случае куба или октаэдра и 60 в случае додекаэдра или икосаэдра. Для соответствующих бинарных групп G~P эти порядки равны 16, 48 и 120.

Групповые факторпространства SO ^jGP, S3/G~P представляют собой пространства орбит свободных действий, индуцированных левыми каноническими действиями групп SO (3), S3 посредством включений GP->SO (3), G~P-*S, и потому тройки (30 (3), pr, SO (3)/GP), (S3, pr, S3/G~P) являются накрытиями (см. 8). В очевидном смысле SO ^IGP = S3IG""P.

Упражнения

Показать, что если X — гладкое многообразие, то вторая топология в Top X совпадает с первой.

Показать, что если X — подмножество прямой R, составленное из 0 и точек 2" с гае Z, то вторая топология в ТорХ отлична от первой.

Показать, что канонический диффеоморфизм SU (2)->S3 (см. 3.2.1.5) является групповым изоморфизмом.

Показать, что линзы Р(гаг; /ь ..., /ft), 1Дт; /?, ..., IV) го- меоморфны, если при каждом z сумма h + /; или разность U — l'i кратна т.

Показать, что подмногообразие Tang1RP2 многообразия TangRP2, составленное из единичных касательных векторов (т. е. векторов, служащих образами единичных касательных векторов при отображении dpr: TangS2—► Tang RP2), гомео- морфнб линзе L(4; 1, 1).

Рассмотрим действие группы Z2 в многообразии V (3, 2) единичных касательных векторов сферы S2, при котором ненулевой элемент группы Z2 переводит касательный вектор у в —у. Показать, что факторпространство V (3, 2)/Z2 гомеоморфно L(4; 1, 1).

Рассмотрим действие группы Z2 в TangtRP2 (см. 5), при котором ненулевой элемент группы Z2 переводит вектор у в —у. Показать, что факторпространство Tang] RP2/Z2 гомеоморфно факторпространству S3IH, где Н — подгруппа группы S3, составленная из кватернионов ± ortb ± ort2, ± ort3, ± ort4.

Рассмотрим действие группы Z2 в СР2, при котором ненулевой элемент группы Z2 переводит точку (z, : z2: z3) в (zf. z2: z3). Показать, что факторпространство CP2/Z2 гомеоморфно S4.

Рассмотрим действие группы Z2 в СР1 X СР1, при котором ненулевой элемент группы Z2 переводит точку Oz-x : z2), (wj : йу2)) в ((zi: z2), (ш) '. ш2))- Показать, что факторпространство (СР1 X CP')/Z2 гомеоморфно S4.

Рассмотрим действие группы Z2 в S2 X S2, при котором ненулевой элемент группы Z2 переводит точку (х, z/) в (z/, х). Показать, что факторпространство (S2XS2)/Z2 гомеоморфно СР2.

РАССЛОЕНИЯ С ГРУППОВОЙ СТРУКТУРОЙ

Пространства с F-структурой

У расслоений, с которыми чаще всего приходится иметь дело, слои не просто являются топологическими пространствами, но обладают естественной дополнительной структурой, например, представляют собой векторные, евклидовы или

эрмитовы пространства. В настоящем параграфе эта дополнительная стуктура включается в теорию расслоений.

Мы начнем с точного описания структур нужного типа и их систематического внедрения в основные определения теории, данные в § 1 (см. пп. 1.1, 1.2).

Пусть (7 — топологическая группа и F — эффективное G-пространство. Говорят, что на топологическом пространстве W определена F-структура, если задано такое непустое множество А гомеоморфизмов F-*W, что, каков бы ни был гомеоморфизм аеА, гомеоморфизм 0: F-^W тогда и только тогда принадлежит А, когда 0~'°а есть преобразование, производимое некоторым элементом группы G. Гомеоморфизмы из А называются отмеченными.

Каждый отмеченный гомеоморфизм очевидным образом переносит действие группы G из F в W. Если G — коммутативная группа, то возникающее действие GXW -^W не зависит от выбора переносящего гомеоморфизма, так что в этом случае Е-структура сводится к действию группы G. Если группа G не коммутативна, то Е-структура не определяет никакого канонического действия этой группы в 17.

Заметим, что само пространство F обладает канонической Е-структурои, отмеченными гомеоморфизмами которой являются преобразования, производимые элементами группы G.

В простейшем случае, когда G — тривиальная группа, пространство с Е-структурой есть просто топологическое пространство, канонически гомеоморфное Е. -

(Примеры). Если G — GL (п, R), a F есть R" с обычным действием этой группы, то пространство с Е-структурой есть не что иное, как вещественное «-мерное векторное пространство. Фиксация отмеченного гомеоморфизма означает выбор базиса.

Если G — одна из групп GL+ (п, R), О (п), SO (га), a F есть R” с обычным действием этой группы, то пространство с Е-структурой есть, соответственно, ориентированное «-мерное вещественное векторное пространство, «-мерное евклидово пространство, ориентированное «-мерное евклидово пространство. Если G — одна из групп. GL(a, С), U(га), a F есть Сп с обычным действием этой группы, то пространство с Е-структурой есть соответственно «-мерное комплексное векторное пространство и «-мерное эрмитово пространство.

Если G = Diff'"A, где X—-многообразие класса ^ (l^r^ra), a F есть X с обычным действием этой группы, то пространство с Е-структ^рой есть ‘^'"-многообразие, чИ-диффеоморфное X.

Если G = Top X, где X — локально компактное хаусдорфово пространство, a F есть X с обычным действием этой группы, то пространство с Е-структурой есть топологическое пространство, гомеоморфное X.

285285РАССЛОЕНИЯ С ГРУППОВОЙ структуройРАССЛОЕНИЯ С ГРУППОВОЙ структурой§ У

285

285

РАССЛОЕНИЯ С ГРУППОВОЙ структурой

РАССЛОЕНИЯ С ГРУППОВОЙ структурой

Если G —группа всех симплициальных гомеоморфизмов единичного симплекса Тп, a F — симплекс Тп с обычным действием этой группы, то пространство с F-структурой есть топологический симплекс размерности п.

Гомеоморфизм одного пространства с F-структурой на другое, переводящий множество отмеченных гомеоморфизмов в множество отмеченных гомеоморфизмов, называется изоморфизмом или, подробнее, F-изоморфизмом.

В каждом из предыдущих примеров F-изоморфизмы составляют хорошо известный класс отображений: в первом и в пятом примере это линейные изоморфизмы, в третьем и в шестом — линейные изометрические изоморфизмы, в четвертом — сохраняющие ориентацию линейные изометрические изоморфизмы, в седьмом — ^""-диффеоморфизмы, в восьмом — гомеоморфизмы, в девятом— симплициальные гомеоморфизмы.

Произведение пространства 17 с F-структурой на пространство 17' с F'-структурой в очевидном смысле является пространством с F X F'-структурой (см. 2.3.6): отмеченными считаются гомеоморфизмы F X F' -> 17 X ^' вида аХ^, где а, а' — отмеченные гомеоморфизмы.

Если Српространство Fx получено из G-пространства F в результате сужения группы G до Gb то обратный переход от Fi к F превращает каждое пространство 17j с Fi-структурой в некоторое пространство 17 с, F-структурой: топологически 17 совпадает с 17ь а новые отмеченные гомеоморфизмы определяются как композиции преобразований, производимых элементами группы G, со старыми отмеченными гомеоморфизмами. Говорят, что 17 получается из 171 в результате расширения группы G] до G. .

Расслоения Стинрода

Пусть G — топологическая группа и F — эффективное G-пространство. Расслоение | называется F-расслоением в слабом смысле или W-F-расслоением, если все его слои наделены F-структурой. В этом случае F называется стандартным слоем расслоения £, a G — его структурной группой. Множество всех отмеченных гомеоморфизмов пространства F на эти слои обозначается через DH^Y Группа G естественно действует в DH ^ справа по правилу [ag] (z/) = ct(gz/) \ae.DH^Y geG, yeFY

Расслоение fg, индуцированное 17-Г-расслоением ^ посредством отображения f; B-^bsg, в очевидном смысле является 17-Г-расслоением: F-структура вносится в его слои гомеоморфизмами abtlad: pr f1 g-'Wpr (f (6)) [бе В].

Отображение f 17-В-расслоения £ в 17-В-расслоение ц называется W-F-отображением, если отображения abtl/ слоев расслоения £ в слои расслоения к) являются изоморфизмами

(см. 1.4). ^-/‘'-отображение, являющееся изоморфизмом (эквивалентностью) в чисто топологическом смысле (т. е. в смысле 1.1.2), называется W-F-изоморфизмом (W-F-эквивалентностьюУ Два IF-F-расслоения, которые могут быть связаны ^-^-изоморфизмом (IF-F-эквивалентностью), называются W-F-изоморфными (W-F-эквивалентными^.

Каждому lF-F-отображению f: §->1^ отвечает отображение ВНУУ ВН^-*ВНУ<\У относящее гомеоморфизму a: F-*prg-l(&) сквозной гомеоморфизм F -^> рг I"1 (6) -Ь И f> pr -ц-1 (bs f (6)). Ясно, что DH ^ есть О-отображение по отношению к естественным правым действиям группы О в DH (g) и DH (р).

Стандартное тривиальное расслоение (В X F, ргь В), где В — произвольное топологическое пространство, в очевидном смысле является IF-F-расслоением: F-структура вносится в его слои гомеоморфизмами F -*bXF, которые определяются формулой z/i—*(Ь, у\ Действуя по схеме п. 1.2, мы называем IF-F-расслоения, IF-F-эквивалентные таким lF-F-расслоениям, lF-F-тривиальными lF-F-расслоениями.

Расслоение £ называется F-расслоением в сильном смысле или, короче, F-расслоением, если, во-первых, оно является W-F- расслоением и, во-вторых, множество DHt^ наделено топологией.

Расслоение f1^, индуцированное F-расслоением § посредством отображения f: В—>bsg, в очевидном смысле является ^расслоением: топологизация множества DH (р^) производится взаимно однозначным отображением DH (Р£)~> В XDHtgy которое определяется формулой ан^(ргр^(а(В)), \DH (ad /)] (а)).

Отображение / F-расслоения £ в F-расслоение ц называется F-отображением, если оно является IF-F-отображением и, сверх того, отображение DH (/) непрерывно. F-отображение / называется F-изоморфизмом (.F-эквивалентностьюУ если оно является изоморфизмом (эквивалентностью) в чисто топологическом смысле и DH (f) есть гомеоморфизм.

Стандартное тривиальное расслоение (В X F, ргь В), где В — произвольное топологическое пространство, в очевидном смысле является F-расслоением: F-структура в его слоях уже была описана в 1, а тоцологизация множества DH^BXF, ргьВ) производится обратимым отображением В X G -> DH (В X F, ргь В), которое относит паре (6, g) гомеоморфизм F-*bXF, определяемый формулой у i—* (6, gyY Мы называем F-расслоения, F-эквивалентные таким F-расслоениям, Р-тривиальными, а саму эквивалентность называем F-тривиализацией.

F-расслоение | называется локально F-тривиальным, если каждая точка его базы обладает такой окрестностью U, что сужение g |у F-тривиально. Локально F-тривиальные расслоения называются F-расслоениями Стинрода.

Расслоения Стинрода будут играть в дальнейшем основную роль. Этим определяется и значение Е-расслоений. Е-расслоения в слабом смысле потребуются нам только как вспомогательные.

Заметим, что в случае расслоения Стинрода каноническое правое действие структурной группы в пространстве отмеченных гомеоморфизмов непрерывно и свободно. В стандартном тривиальном случае это очевидно, общий случай сводится к этому специальному случаю.

Расслоение /'£, индуцированное /-'-расслоением Стинрода посредством отображения f: 5->bs£, является Е-расслоением Стинрода: оно является Е-расслоением согласно 2, а его локальная Е-тривиальность следует из того очевидного факта, что оно Е-тривиально, если £ Е-тривиально. Ясно, что отображение adf: f|^-| является Е-отображением, что каноническая эквивалентность (id bs£)!£—>£ и канонические эквивалентности вида ёЧГ^ ^Ч 0 g)!£ (см- 1-1.4) являются Е-эквивалентностями и что для всякого Е-отображения h. расслоения £ в другое расслоение Стинрода корректирующее отображение соггА является Е-отображением. _

Произведение Е-расслоения Стинрода g на Е'-расслсеяие Стинрода V в очевидном смысле является F X Е'-расслоением Стинрода: F X Е'-структура в его слоях определяется правилом, указанным в 1.5; топологизация множества ВН^Х^Ч производится обратимым отображением DH^Х DH(^) —>DH(^XV), которое определяется формулой (а, а') н-> а X а'; локальная F X Е'-тривиальность получающегося F X Е'-расслоения следует из того, что оно F X /''-тривиально, если g Е-тривиадьно, а V Е'-тривиально.

Если (^-пространство Ft получается из эффективного G-пространства F в результате сужения группы G до Gb то обратный переход от ^ к / превращает каждое Еграсслоение Стинрода ^ в некоторое F-расслоение Стинрода £: топологически £ совпадает с ^; Е-структура в слоях определяется правилом, указанным в 1.5; топологизация множества DH ^ производится с помощью действия группы G, bG X DH^), определяемого через правое каноническое действие группы Gj в DH^ [см. 1] по правилу ^i (S’, а) (^ig, а-1^), обратимым отображением (G X DH (.^/Gy —> DH ^, относящим орбите пары (g, а) гомеоморфизм у i—* a (gyp, локальная Е-тривиальность получающегося Е-расслоения следует из того, что оно Е-тривиально,. если g, Ертривиально. Это преобразование Еррасслоений в Е-расслоения называется расширением структурной группы. Ясно, что оно превращает Е-отображения в Е-отображения и Е-экви- валентности в Е-эквивалентности.

. 5. F-расслоение Стинрода с тривиальной структурной группой F-тривиально. ■

Доказательство. Пусть g —расслоение Стинрода со стандартным слоем F и тривиальной структурной группой, и пусть Г —такое открытое покрытие пространства bsg, что все расслоения g |у с U е Г F-тривиальны. Положим T]=(bsgXF, ргь bsg). Ясно, что F-тривиализация тз Itz ~**^ Itz единственна для каждого Де Г и что вместе F-тривиализации ц |у->■ g |ц составляют F-тривиализацию тз —=►§.

Теоремы об F-o тображениях

Пусть g, g7 — расслоения Стинрода со стандартным слоем F, В — топологическое пространство и р: В ->bsg — факторное отображение (см. 1.2.3.4). Если т: tlg->tlg7, Р: bs g-> bs ^' — такие отображения, что (х ° tl ad р, р ° р) есть F-отображение расслоения р1^ в g7, то (т, Р) есть F -отображение расслоения § в g7.

Заслуживает проверки только непрерывность отображений Р, т и DH(x, Р). Непрерывность р прямо следует из непрерывности композиции Р°р и факторности р (см. 1.2.3.4). Непрерывность т и DH(x, р) достаточно установить в случае, когда g, g7— стандартные тривиальные F-расслоения. В этом случае т описывается формулой т(6, y^ = ${b\ ^{b^yY где <р — некоторое отображение пространства bsg в структурную группу G, а отображения DH (т ° tl ad р, р ° рУ DH (p'V)DH (^'У DH(x,^Y DH^->DH^Y после преобразования топологизи- рующими гомеоморфизмами BXG DH (pvy, hs^,X G DH (^), bs g7 X G -> DH ^ (см. 2) в отображения BXG -»bsg7 XG, bsg X G ->bsg7 X G, описываются формулами (b, g) i—> (P ° p (b\ (Ф ° p (6)) g), (b, g) н^(р (by q>(b)gY Первая формула показывает, что отображение ф°р непрерывно, из его непрерывности и факторности р следует, что ф непрерывно, а из непрерывности ф следует непрерывность т и DH (т, р). '

Пусть g, g7 — расслоения Стинрода со стандартным слоем F и р: bsg->bsg7— непрерывное отображение. Если т: 11 g-> tig7— такое отображение, что для каждого элемента U некоторого фундаментального покрытия пространства bsg сужения т |pr ^-1 (У), Р |у составляют F-отображение расслоения g |у в g7, то (т, Р) есть F-отображение расслоения g в g7.

Это следует из 6: в качестве р мы берем pr: Uyer^-*bsg, где Г — предложенное покрытие.

Если F-расслоения Стинрода g, g7 имеют общую базу, то всякое F-отображение f: g -> g7 с bs / = id bs g является F-эквивалентностью. 1

Доказательства требует только непрерывность отображений tl/-1, DH(f)~l, причем эту непрерывность достаточно установить для случая, когда g — стандартное тривиальное F-pac- слоение и |7 = |. В этом случае отображения tl/, tl/1-: bsgX

'F’ —> bs g X F описываются формулами

' {b, уУ^(Ь, ф (£)</)>

(6, У)^{Ъ, #^ [frebsg, yeFA,

где ф, ф— некоторые отображения пространства bsg в структурную группу G, а отображения DH^, DH(f)~'\ после преобразования топологизирующим гомеоморфизмом bsgXG-> DH ^ в отображения bsgX G->bsg X G> описываются формулами , ' '

(b, g)>-* (6, Ф U>)g\ (6, g) >-> (b, ф (6) g) [6 ebs£, geC].

Ясно, чтоф(6) —[ф(6)]-1, и, таким образом, непрерывность DH (f) последовательно влечет за собой непрерывность ф, непрерывность ф и непрерывность tl/—х, DH(f)~\ ■

(Следствие). Корректирующее отображение согг/ является F-эквивалентностью для всякого F-отображения f одного F-pac- слоения Стинрода в другое. ■ ' '

Главные расслоения

. 10. Расслоение Стинрода называется главным, если его стандартным слоем служит его структурная группа G, канонически действующая в • себе слева (см. 2.3.6). Мы позволим себе обозначать это G-пространство просто через Сив соответствии с этим будем называть главные расслоения со структурной группой G G-расслоениями Стинрода.

Фундаментальное свойство главных расслоений состоит в том, что у них пространство отмеченных гомеоморфизмов совпадает с тотальным пространством. Точнее, если g —главное расслоение, то отображение DH (g) -> tl g, определенное формулой аь—*a(eG), является гомеоморфизмом. В стандартном тривиальном случае это очевидно общий случай сводится к стандартному тривиальному случаю. •

Отождествление пространства DH^ с tig, производимое гомеоморфизмом a^-*a.^eG\ превращает естественное правое действие группы G в DH (см. 1) в ее свободное правое действие'в tig. Это свободное правое действие группы G в tig нетрудно описать и прямо: ясно, что его орбиты совпадают со слоями расслоения g, а само оно совпадает на каждом слое с правым каноническим действием, перенесенным в этот слой из G отмеченными гомеоморфизмами. - -

Это .построение свободного правого действия группы G в тотальном пространстве главного расслоения со структурной группой G допускает следующее частичное обращение. Пусть топологическая группа G действует справа в топологическом

пространстве X, и пусть это действие непрерывно и свободно. Рассмотрим расслоение (Л', pr, X(GY Его слои (орбиты) обладают естественной G-структурой: отмеченные гомеоморфизмы G->pr-1(6) [b г Х/G] определяются формулой g-—*xg с хе рг-1 (6). Поскольку разным х отвечают разные гомеоморфизмы g-—>xg, мы получаем одновременно обратимое отображение пространства X на множество отмеченных гомеоморфизмов, что топологизирует это множество. Таким образом, (Д, pr, XjG) есть G-расслоение.

Мы назвали эту конструкцию частичным обращением предыдущей, потому что в применении к правому действию tl g X G--*tlg, построенному в 10, она дает g. Точнее, взаимно однозначный фактор проекции prg отображает tl g/G на bs g и составляет с id (tig) G-изоморфизм расслоения (tl g, pr, tlg/G) на g.

Если G-расслоение (X, pr, X[G\ определяемое свободным правым, действием группы G, обладает сечением, то оно G-тривиально. В частности, G-расслоение Стинрода, обладающее сечением, G-тривиально.

Действительно, если s: X/G -> X — сечение, то отображение f: (X/GXG, prb X/G)->(X, pr, X[G), определяемое формулой tl/(6, g^ = s(b^g, является G-тривиализацией расслоения IX, pr, X/G\ '

(Следствие). Если G-расслоение (X, pr, X]G\ определяемое свободным правым действием группы G, топологически тривиально, то оно G-тривиально. Если оно локально топологически тривиально, то оно локально G-тривиально, т. е. является G-расслоением Стинрода.

Ассоциированные расслоения

Пусть G — топологическая группа и F, F' — эффективные G-пространства. Нижеследующая конструкция относит каждому F-расслоению Стинрода g некоторое Е'-расслоение Стинрода с той же базой.

Определим правое действие группы G в DH 1^)XF' по ее каноническому правому действию в DH (g) [см. 2.3] формулой g (a, г/) = lag, g~ly) [g г G, а е DH (g), у е F'] и обозначим через g' расслоение с тотальным пространством 1DH (g) X F')/G, базой bs g и проекцией, относящей орбите пары (a, z/) е DH (g) X Е' точку prg(a(F)). Слои этого расслоения обладают естественной ^'-структурой: отмеченные гомеоморфизмы F' ->(pr g')-1 (6) определяются формулой у i—> рг (а, у), где а — гомеоморфизм из DH1£) с a(F) = prg-1 1b). Поскольку разным а отвечают разные гомеоморфизмы у t—* рг (а, у), мы получаем одновременно обратимое отображение пространства DH 1с1) на множество DH (g')> что топологизирует это множество и делает g'

F'-расслоением. Наконец, очевидно, что сужение g' |у F'-три- виально для всякого множества U, для которого сужение § |у F-тривиально, из чего следует, что расслоение g' локально /•’'-тривиально, т. е. является /'’'-расслоением Стинрода. Оно называется ассоциированным с F и обозначается через asso (g, F'\ '

К этому описанию конструкции asso мы присоединим четыре замечания.

Отображение пространства tig в фН (g) X F)/G, относящее точке хе tig орбиту, составленную из пар (а, у) е DH (g) X F с а(у) = х, очевидно, является гомеоморфизмом и составляет с idbsg F-эквива’лентность между g и asso(g, F). Таким образом, расслоение asso(g, F) канонически F-эквивалентно g. -

Обратимое отображение DH (g) ->DH (asso (g, F'^, посредством которого мы топологизировали Z)//(asso(g, F')), является G-отображением по отношению к каноническим правым действиям группы G в DH (g) и DH (asso (g, F'^. Вслед- ствйе этого для всякого эффективного G-пространства F" произведение указанного обратимого отображения на id F" является G-отображением по отношению к правым действиям группы G в DH (g) X F" и DH (asso (g, F')) X F", определяемым формулой g(a, у) —(ag, g“'y), и ясно, что возникающий гомеоморфизм фН (g) X F'^jG -» фН (asso (g, F')) X F'^fG составляет c idbsg F''-эквивалентность между asso(g, F") и asso(asso(g, F'), F"). Таким образом, расслоение asso (asso (g, F'), F") канонически F''-эквивалентно asso(g, F").

Расслоение asso (g, G), т. e. главное расслоение, ассоциированное c g, канонически G-изоморфно G-расслоению фН(g), pr, ОНф/G), определяемому каноническим правым действием группы G в DH (g) [см. 2.11]. Канонический G-изоморфизм фН^, pr, DH (g)/G) asso (g, G) определяется гомеоморфизмом DH (g) -» фН (g) X G)/G, относящим отмеченному гомеоморфизму а орбиту пары (a, eG\

Если F' — подпространство G-пространства F" (см. 2.3.6), то фН (g) X F')/G есть часть пространства фН (g) X F"^[G и включение (/)//(g) X F')/G ^* (/)//(g) X E")/G составляет с idbsg включение расслоения asso (g, F') в asso (g, F"). При этом DH (asso (g, F')) состоит в точности из отображений вида ab a: F' -> а (F') с «е DH (asso (g, F")).

Поведение при отображениях

Пусть, как и выше, F и F' -— эффективные G-пространства, и пусть g, т) — расслоения Стинрода со стандартным слоем F и f: g-^f) — произвольное F-отображение. Определим

отображение asso (f, F'): asso(g, F')->asso(q, F') формулами bs asso (f, F') = bs f,'

tl asso (f, F') =’

[fact фН (f) X id F'y (DH^ X F^G фН (q) X FW .

Ясно, что asso (f,F') есть F'-отображение, и притом F'-изомор- физм (^-эквивалентность), если f есть F-изоморфизм (F-эквивалентность). Ясно также, что диаграммы

g -> asso (I, F)^f^asso (f, F^q -» asso (q, F),g -> asso (I, F)^f^asso (f, F^q -» asso (q, F),asso(£, F")-> asso (asso (|, F'y F"^ ^asso (f, f") . ^asso <asso (ft ^T ^

g -> asso (I, F)

^f^asso (f, F^

q -» asso (q, F),

g -> asso (I, F)

^f^asso (f, F^

q -» asso (q, F),

asso (tj, F") -* asso (asso (q, F'y F"),

(DH ®, pr.DH (£)/G) -> asso 6,- G)

^(ОЯ (f), fact DH (f))|asso (ft °>'

.фН (q), pr, DH (q)/G) -> asso (q, G),

где F" — произвольное эффективное G-пространство, а горизонтальные стрелки обозначают последовательно канонические F-эквивалентности из 2(i) и 2 (ii) и канонические F-изоморфизмы из 2 (iii), коммутативны.-

Операция asso перестановочна с операцией индуцирования. Точнее: для всякого F-расслоения Стинрода £ и всякого непрерывного отображения h; 5->bs£ отображение

corr [asso (ad h, F')]: asso ф^, F') -> h.' asso (g, F')

является F/-эквивaлeнтнocтью; см. 2.9.

Операция asso перестановочна также с расширением структурной группы. Точнее: пусть Fi, F' —- эффективные Gj-пространства, получающиеся .из F, F' при сужении группы G до ее подгруппы Gf, если Fj-расслоение Стинрода g] превращается расширением группы G1 до G в £, то отображение

fact (in X id F'Y. (DH &) X F'^G, ~> (DH ® X F'^Q

c in=[in: DH QJ -»DH (£)] определяет F/-эквивaлeнтнocть между расслоением, получающимся из asso(gp FQ при расширении группы G] до G, и asso (|, F'y

. Слабо ассоци иро в анные расслоения

Конструкция, описанная в 1, очевидным образом распространяется на случай, когда G действует в F' неэффек- _ тивно: к ней добавляется в качестве предварительного шага эффективизация этого действия, превращающая F' в некоторое

О/К-пространство F'~, где /С —ядро неэффективности. Таким образом, расслоение asso(g, F^ определено для любого F-pac- слоения Стинрода £ и любого G-пространства F' и представляет собой в общем случае расслоение Стинрода со структурной группой G/К и стандартным слоем F'~. Оно называется слабо ассоциированным с |.

Это расширение конструкции asso сохраняет и отображение asso(f, г\ определенное в 3, превращая его'В F~-отображение. Свойства конструкции, перечисленные в 2, 3, 4, модифируются очевидным образом; например, каноническая F''-эквивалент- ность asso (|, F") -> asso (asso (|, F'\ F"f превращается в случае неэффективного F" (и эффективного F') в FL-эквивалентность.

Сечения, ассоциированные с F-от о б р а же н и я м и

Пусть g, g' —- расслоения Стинрода со структурной группой G и стандартным слоем F и ft bsg-* bsg' — непрерывное отображение. Нижеследующая конструкция устанавливает взаимно однозначное соответствие между F-отображениями ht ^—>^ с 1osh = f и сечениями некоторого специально сконструированного расслоения Fibr(g, g'; f). ’

Обозначим через Gx группу G, наделенную действием группы G X G, которое задается правилом (gv g^ g = gxgg^y (это действиё, вообще говоря, не эффективно), и положим

Fibr(g,g'; /) = asso (diag'(gxm G4

где diag = [diag: bsg-*bsg X bsg], a asso понимается в смысле 5. Ясно, что для всякого F-отображения h с bsh = f и любой точки be bsg сквозной гомеоморфизм

F-X рг Г (6) ^(рг gy1 (/ Ф)) J^«^ (рг №' Ф(F)) ^ F, где оеМ®, prg(a(F)) = b и ₽ е DH (fg'), рг П'Ф (F)) = Ь, представляет собой преобразование, производимое элементом группы G. Обозначив этот элемент через g(a, Р), мы замечаем, что g(agp pg2) = gig(a, Р)^1 для любых gp g^eG [имеется в виду каноническое правое действие группы G в DH^ и DH ф^. Из этого следует, что при правом действии группы GXG в DH (g X f'^'f X Gx, построенном по схеме 1, орбита пары (aXP, g(a, Р)) не зависит от выбора аир, если h и b фиксированы. Относя эту орбиту точке b при фиксированном Н, мы получаем непрерывное отображение пространства bsg в (DH (gXf'£')XGx)/(GXG), и ясно, что это — сечение расслоения Fibr (g, g'; f). Оно называется ассоциированным с h и обозначается через hx. Сопоставление h^—>hx и представляет собой обратимое отображение множества F-отображений ht g-*g'

с bsh = f на множество сечений расслоения Fibr(£, £'; f): обратное отображение относит сечению s: bs£—>tl Fibr(£, £'; f) F-отображение й: £-►£', определяемое формулой '

tl/z(x) = tl adf (Рх(5х(а- ‘ (х)))),

где xetlg, ateDH®, ^DH^, gxeG и (ax X P„ gx) e s°pr£(x).

Заметим, что если bs£ = bs£ и f=idbsg, то F-отображение h: c,-^' c bsh = f есть не что иное, как F-эквивалентность (см. 2.8). Таким образом, в случае, когда ^ и ^ имеют общую базу, описанная конструкция устанавливает взаимно однозначное соответствие между F-эквивалентностями ^—>^ и сечениями расслоения Fibr(£, £'; id bs g).

Расслоения Эресмана — Фельдбау

Расслоением Эресмана — Фельдбау называется IF-F-pac- слоение, которое локально IF-F-тривиально; последнее означает, что каждая точка базы обладает окрестностью, над которой расслоение IF-F-тривиально.

Теория расслоений Эресмана — Фельдбау представляет собой вариант теории расслоений с групповой структурой, более простой, чем теория расслоений Стинрода (в нем меньше структур), и менее содержательный (в нем нет ассоциированных расслоений). Последнее обстоятельство почти лишает ее самостоятельной ценности; ее значение состоит в том, что для широкого класса стандартных слоев, охватывающего наиболее важные случаи, она оказывается эквивалентной теории. расслоений Стинрода и, таким образом, позволяет упростить эту теорию.'

Случай топологически эффективного действия

Эффективное непрерывное действие GXX-^X называется топологически эффективным, если всякое отображение /: У ->G, где У — произвольное топологическое пространство, с непрерывным сквозным отображением

УХЯ^СХ^Х(1)

непрерывно. Само G-пространство X также называется в этом случае топологически эффективным.

■ Ясно, что при сужении группы топологически эффективное действие остается топологически эффективным и что G-пространство, обладающее топологически эффективным подпространством, топологически эффективно.

Очевидными примерами топологически эффективных действий служат свободные действия; в частности, левое каноническое

§ 3] действие топологической группы всегда топологически эффективно. Другие столь же очевидные примеры доставляют обычные действия группы GL(n, R)n ее подгрупп в R".

Для топологической эффективности G-пространства X необ- ходимск, а если X хаусдорфово и локально компактно, то и достаточно, чтобы отображение с: G-^^^X, X), относящее каждому элементу группы G производимое им преобразование, было топологическим вложением; необходимость этого условия очевидна (нужно положить У = с(С), f = [(abc)-1: c(G)->G]), а если оно выполнено, то непрерывность отображения /: У -> G f с равносильна непрерывности сквозного отображения У—*G—► ^ (X, X), которая следует, в случае хаусдорфова локально компактного X, из непрерывности сквозного отображения (1) в силу теоремы 1.2.7.6. В частности: если группа G компактна, то всякое эффективное хаусдорфово локально компактное G-пространство топологически эффективно (см. 1.1.7.10 и 1.2.7.2); если пространство X хаусдорфово и компактно, а также если оно дискретно, то обычное действие группы ТорХ в X топологически эффективно (см. 2.2.4 и 2.2.5); обычное действие группы TopRn в R" топологически эффективно (см. 2.2.7).

Если стандартный слой F топологически эффективен, то всякое W-F-отображение {всякий W-F-изоморфизм, всякая W-F- эквивалентность) одного F-расслоения Стинрода в другое является F-отображением {F-изоморфизмом, F-эквивалентностью).

В доказательстве нуждается только непрерывность отображения DH{f), отвечающего ^-/’-отображению /: ^^-^ одного F-расслоения Стинрода в другое, причем эту непрерывность достаточно установить для случая, когда |, V — стандартные тривиальные расслоения. В этом случае tlg = bs£XF, tl^ = bs ^ X F и tl f имеет вид {b, у) н-> (bs f {b), ф (6) у), где ф — некоторое отображение пространства bs^ в структурную группу G, а отображение bs^X G-»‘bs^ X G, в которое DH {f) преобразуется каноническими гомеоморфизмами bs-^><G->DH (g), bs^X G-*DH{V) [cm. 2.2], определяется формулой {b, g) i—> (bs f {b), ^{b)g). Из непрерывности tl f следует непрерывность композиции pr2°tlf: bs^XF->F, которая совпадает co сквозным отображением bs g X F^> G X F-* F, где правая стрелка обозначает действие. Поскольку это действие топологически эффективно, <р непрерывно, и с ним непрерывно DH{f).

Расслоение Эресмана — Фельдбау с топологически эффективным стандартным слоем единственным образом превращается топологизацией множества отмеченных гомеоморфизмов в расслоение Стинрода.

Единственность такой топологизации следует из теоремы 3; докажем ее существование. Пусть | — расслоение Эресмана —

Фельдбау с топологически эффективным стандартным слоем F. Покроем bs £ открытыми множествами, над которыми £ I^-F-тривиально, фиксируем для каждого множества U из этого покрытия I^-F-эквивалентность Ни; (UXF, ргь G)->£|y и топологизируем множества DH (£|у) отображениями DH(hu\. DH^UXF, prh Щ -> DH (g |y). Мы получим покрытие множества .077 (£) топологизированными множествами DH (£ |у), и из теоремы 3 следует, что топологизации согласованы на пересечениях, как того требует конструкция 1.2.4.3. Топология в DH^, доставляемая этой конструкцией, и делает § расслоением Стинрода. ’

Локально тривиальные расслоениякак расслоения Эресмана — Фельдбау

Если F— локально компактное хаусдорфово пространство, наделенное обычным действием группы Top F, то I^-F-расслоение Эресмана — Фельдбау есть не что иное, как локально тривиальное расслоение со слоями, гомеоморфными F. Таким образом, обычные локально тривиальные расслоения с гомеоморфными между собой локально компактными хаусдорфовыми слоями могут рассматриваться как расслоения Эресмана — Фельдбау и в этом смысле обладают неявной групповой структурой. Если слои компактны, дискретны или гомеоморфны R", то они могут рассматриваться и как расслоения Стинрода. Заметим, что к этому классу расслоений относятся все накрытия в широком смысле со связной базой. '

Упражнения

Показать, что все эффективные действия, перечисленные в 2.3.11, 2.3.12, 2.3.13 и 2.3.14, топологически эффективны.

Показать, что, каково бы ни было ^'-многообразие положительной размерности с г^1, обычное действие группы Diffr^ вХ топологически неэффективно. '

3. Будем рассматривать R как Z-пространство ■ с действием (п, О1-^f + n ksZ, <eR) и расширим это действие до определяемого той же формулой действия аддитивной группы R, рассматриваемой как дискретная. Показать, что расслоение, получающееся из asso((R, hel, S'), R) указанным расширением структурной группы, нетривиально как расслоение Стинрода, но тривиально как расслоение Эресмана — Фельдбау. (Ср. 4.3.)

Пусть G — связная топологическая группа, F — эффективное G-пространство и £— нетривиальное F- расслоение Стинрода с односвязной базой. Обозначим через G® группу G, наделенную дискретной топологией, через F6 — пространство F, рассматри-

ваемое как ^-пространство, и через Е8 — расслоение g, рассматриваемое как ^-^^расслоение. Показать, что никакая тополо- гизация множества отмеченных гомеоморфизмов расслоения |6 не делает его F6-paccлoeниeм Стинрода. (Ср. 4.4.)

КЛАССИФИКАЦИЯ РАССЛОЕНИЙ СТИНРОДА

Расслоения Стинрода и гомотопии

Мы обращаемся к проблеме классификации расслоений Стинрода с заданным стандартным слоем F и заданной клеточной базой В относительно F-эквивалентности. В этом параграфе нашим главным достижением будет построение канонического взаимно однозначного соответствия между классами F-эквивалентных расслоений над В и гомотопическими классами отображений пространства В в некоторое специально сконструированное пространство, зависящее только от структурной группы. Это построение сводит указанную классификационную проблему к задаче обыкновенной теории гомотопий.

Л е м м ы о б F-тр и в и а л ь н ых расслоениях

Пусть £ — расслоение Стинрода со стандартным слоем F и Вх, В2 — замкнутые подмножества базы bs |, такие, что Вх\3 В2 = bs£ и В^В, есть ретракт пространства В2. Если сужения § |в, £ |в F-тривиальны, то и £ F-тривиально.

Доказательство. Фиксируем ретракцию р: В2-* BXV\B2 и F-тривиализации.

hv m = (StXF, prb S!)-^,,А2: г]2 = (В2 X F, prb В2)->^Вз

и обозначим через / сквозную F-эквивалентность

idab Ai(ab А2)—1

^2'В,ПВ2 * ^2 1В, ПВ/

Очевидно, tl/ описывается формулой (6, yY^-^kb, ф(6)у) [6 е Вх П В2, у е F], где ф — некоторое отображение пересечения BXV\B2 в структурную группу G, a DH (/), после преобразования каноническим гомеоморфизмом (Д ПВ^ХС-*- ОЯ(т)21В1Пв2) в отображение {Вх Q В^ X G (Bi П В^ X G, описывается формулой (b, g)^->[b, ф(6)£) [б^В^Вг, gsG]. Таким образом, непрерывность DH (f) влечет за собой непрерывность ф и с ней непрерывность отображения В2 X F -> В2 X F, определяемого формулой kb, y^^^kb, <v°pkb^y\ Последнее составляет с idB2 некоторую F-эквивалентность f': Пг-^Лг» и очевидное

равенство f = [abf': Л2[дщвг^Лг lB,nBJ показывает, что сквоЗ' ные F-отображения■

А' , in Г А= t । in „

П2—* '

совпадают над Bi П В2. В силу 3.2.7 из этого следует, что они составляют F-отображение расслоения (В X F, ргь В) в g, в силу же 3.2.8 последнее является В-эквивалентностью.

Всякое F-расслоение Стинрода с базой 1п F-тривиально.

Доказательство. Пусть л — произвольное В-расслоение Стинрода с Ь5л = /”- Найдем такое натуральное N, что л F-тривиально над любым лежащим в 1п кубом с ребром \(М, разобьем /” обычным образом на Nn таких кубов, занумеруем эти кубы лексикографически в последовательность Q^ ..., QNn и положим ^г = иу=^/. Индукция показывает, что л F-тривиально над каждым из множеств Wv ..., W Nn\ переход от Wt к W'i+i осуществляется на основании леммы 2, примененной к g = t] Iw7i+1> Вх = Wt, В2 = Qi+1. Таким образом, л F-тривиально над WNn = In.

Пусть gb g2 — расслоения Стинрода с общим, стандартным слоем F и общей базой В, и пусть А — ретракт пространства В. Если gb g2 F-тривиальны, то для всякой F-эквивалентности h; ^i 1Л~* 621д существует такая F-эквивалентность h'; gi~*g2, что [ab/iT g1U->g2U] = A.

Доказательство достаточно провести для случая, когда g] есть стандартное тривиальное F-расслоение (BXF, р^, В) и g2 = gi. Пусть р: В -> А — ретракция. Очевидно, tl h описывается формулой (а, у}*—> {а, у {а) у) [as Л, yeF], где ф — некоторое отображение множества А в структурную группу G, a DH(h), после преобразования каноническим гомеоморфизмом AXG-* DH (g] |л) [= DH (g2 |л)] в отображение А X G -> А X G, описывается формулой (a, £)н—>(а, ф(а)^) [as Л, §еС]. Таким образом, непрерывность DH^ влечет за собой непрерывность ф и с ней непрерывность отображения BXF->BXvF, определяемого формулой (6, у) I—* (6, <р ° р (6) у\ Последнее и составляет с id В F-эквивалентность h': gi~>g2, продолжающую h.

. Гомотопическая инвариантность индуцированного расслоения

.Пусть g — расслоение Стинрода со стандартным слоем F и fi, ti "— непрерывные отображения клеточного пространства X в bsg. Если fx, f2 гомотопны, то расслоения f*g, f^g F-эквиьа- лен^ны.', более того, если flt f21 А-гомотопны, где А — подпро-

странство пространства X в клеточном смысле, то существует F-эквивалентность f;^-»AJL тождественная на f^ |д.

Доказательство. Фиксируем Л-гомотопию Н: XX I-* bsg, соединяющую f, с fo, и положим ^ = (^£) X (Л id Л 7), ^ = Н^. Ясно, что EiI(xXO)U(axd = Mxxo)u(axj> и что канонический гомеоморфизм Х->ХХ1 превращает 6ilxxp ^1хх1 в f^, /^- Поэтому нам достаточно построить F-эквивалентность gi ~* £2, тождественную над (X X 0) U (Л X 7).

Мы получим ее как предел продолжающих друг друга F-эквивалентностей hp ^ |с. -> ^ 1сг, где Ct = (X X 0) U (Л X 7) U (skezXX7). Отображение А-! определяется как тождественное, F-эквивалентность Fi+1 строится по F-эквивалентности ht следующим образом. Будем считать пространство X оснащенным и обозначим для eecell/+1X \celli+1 Л через ge определяемую F-эквивалентностью h, F-эквивалентность между расслоением

[ab (chae X id 7)]। (^ |CJ = [(ch ае X id7)'^] |(d,+i xo)ц(s<x/), где.-

ab (chae X id 7) = [ab (chae X id 7): (Z)^1 X 0) U (S; X 7) -> CJ, и расслоением

[ab (chae X id 7)]'(£2 |c.)= [(cha^X id 7)'^] |(Di+i x0)u(s/x/).

В силу леммы 3, расслоения (chae X id 7)’^, (chae X id 7)'§2 F-тривиальны, и так как (D‘+l X 0) U C$z X 7) есть ретракт цилиндра DWXI, то лемма 4 позволяет продолжить ge до некоторой F-эквивалентности ge1. (chae X id 7)1 (chae X id 7)1 £2. Замечая, что отображение tlg7 постоянно на элементах разбиения zer(tl ad(chaeX id 7)), и применяя теорему 3.2.6 (с В = Dr+1 Х7 и р = [ab(chaeX id7): Dr-H X7->С1 еX7]), мы видщи, что сквозное F-отображение

gTab ad (cha„ X Id 7)

(chae X id /)' > (chae X id 7)' g2-X—Ц2 |C1 eXl '

определяет F-отображение^ 1С1вХ/-*^2 lcieX/> и из теоремы 3.2.8 следует, что последнее является F-эквивалентностью. Мы обозначаем эту F-эквивалентность через he и замечаем, что для любых клеток ei, е2 е celli+1 X \ сеПг+1 Л отображения tlAei, tlAe, совпадают над (Cl ei X 7) П (Cl е2 X 7) и что для любой клетки е е cell/+1 X \ се11<+1 Л отображение t\he совпадает над (С1еХ7)ПСг с 11/г£. Поскольку множества СгиС1еХ7сее celli+1 X \ cellf+1 Л составляют фундаментальное покрытие пространства Сг+1, из этого следует, в силу 3.2.7, что отображения ht и he с еесе11£+1Х \се11£+1Л составляют F-отображение

Si lc/+1 “^ Ich-? Его мы и принимаем за hl+x. Ясно, что оно продолжает 1ц, и из 3.2.7 следует, что К7+\ также есть F-oto- бражение.-.

Остается установить, что последовательность \hf. ^ |с -► ^lcz} сходится к F-эквивалентности li-^Вг- Для этого достаточно заметить, что множества С£ составляют фундаментальное покрытие пространства XXL и применить теорему 3.2.7 к последовательностям Уг^ и {^Г1}.

Множества Stee (В, F)

Мы обозначаем- через Stee(В, F) множество классов F-эквивалентных F-расслоений Стинрода над В. Ниже рассматриваются отображения, которым это множество пбдвергается под действием конструкций индуцирования, расширения структурной группы и ассоциирования.

Для всякого непрерывного отображения /: В'—> В сопоставление g i—> f^ определяет отображение

f: Stee (В, F)->Stee(B', F).

Теорема 5 показывает, что в случае клеточного В' отображение V определяется гомотопическим классом отображения f. Из этого следует, что если оба пространства В, В' клеточны и f — гомотопическая эквивалентность, то отображение /' обратимо.

Расширение структурной группы, превращающее (^-пространство Fv в эффективное G-пространство F, определяет для любого топологического пространства В отображение

ext: Stee (В, FJ —> Stee (В, F).

Это отображение естественно в том смысле, что диаграмма

Stee (В. Fx) -^l Stee (В, F)

.4fl lfl

Stee (S', F^-^-Stee (S', F) коммутативна, как это очевидно, для всякого непрерывного отображения f: Вг-*В.

Если F' —другое эффективное G-пространство, то сопоставление si—>asso(^, F') определяет для любого топологического пространства В отображение.

asso: Stee (В, F)-* Stee (В, F').-

Это отображение обратимо [обратным отображением служит asso: Stee (В, Р') -* Stee (В, F)] и естественно в том смысле, что диаграмма

Stee (В, F) —► Stee (В, F')

Stee (Bz, F) ^ Stee (В', F')

коммутативна для всякого непрерывного отображения f: В' -> В; см. 3.3.4.

Кроме того, диаграмма'

Stee (В, F,) Stee (В, Л)

|ех* |ех^ ^^

Stee (В, F)^ Stee (В, F')

коммутативна для .любого топологического пространства. В, любых эффективных Gi-пространств F^ F[ и любых эффективных G-пространств F, F', получающихся из Fi, F[ расщи- рением структурной группы; см. 3.3.5.

Универсальные расслоения

Пусть F — эффективное G-пространство. Из теоремы 1.5 следует, что для всякого F-расслоения Стинрода £ и всякого клеточного пространства В" сопоставление с непрерывным отображением f: B->bsg расслоения f1^ определяет отображение л (В, bs g) -> Stee (В, F). Мы будем обозначать это отображение через induz(B, £).

Ясно, что диаграмма■

О—^► Stee (B.F)

'rt(B, bs£) x ■*

коммутативна .для всякого ■ топологического пространства С и всякого, непрерывного отображения g: C->bsg и что

диаграмма

$tee(F,F)

коммутативна для любого эффективного G-пространства F'.

F-расслоение Стинрода £ называется универсальным, если отображение induz(B, £) обратимо для всякого клеточного пространства В. Другими словами, F-расслоение Стинрода £ называется универсальным, если: (i) для всякого F-расслоения Стинрода £ с клеточной базой существует такое непрерывное отображение f: bs^^-bs^, что расслоение р£ F-эквивалентно £; (ii) всякие два непрерывных отображения fi, f2 клеточного пространства в bs£ с F-эквивалентными расслоениями f^, /^ гомотопны.

Заметим, что условие (i) эквивалентно условию (f): для всякого расслоения Стинрода £ с клеточной базой существует F-отображение £—>£. Доказательство: если f: bs£-*bs£ и g: £-*/'£ — непрерывное отображение и F-эквивалентность, то adf°g: £->£ есть F-отображение; наоборот, если А: £->£ есть F-отображение, то соггА: g —> (bs Д)! g есть F-эквивалентность (см. 3.2.9).

Подобным же образом условие (ii) эквивалентно условию (if): для всякого F-расслоения Стинрода £ с клеточной базой и любых- F-отображений Ао, hp £^-£ отображения bsA0, bs Д] гомотопны. Действительно, если £, h0 и А, обладают указанными свойствами, то каждое из расслоений (bsA0)'£, (bsA^’g F-эквивалентно § и из (ii) следует, что отображения bsA0, bsAj гомотопны; наоборот, если /0, ^ — непрерывные отображения клеточного пространства в bs£ и A: f^-^-f^ — какая-нибудь F-эквивалентность, то f0 = bsadf0, ^ = bs (ad/.] ° А) и из (if) следует, что /ф Л гомотопны.

Заметим еще, что условия (f), (if) [и, значит, условия (i), (ii)] являются следствиями условия: для всякого F-расслоения £ с клеточной базой и всякого подпространства А этой базы любое F-отображение £|д->£ продолжается до F-отображения £->£. Чтобы вывести из этого условия (f), достаточно положить А=0. Чтобы вывести из него (if), достаточно применить его к F-расслоению g X (Л id /, /), взяв в качестве подпространства базы Ьз(^Х(Л id/, /)) = Ьз£ХЛ с которого про-

изводится продолжение, объединение (bs£ X 0)U(bs£X 1) и определив подлежащее продолжению отображение g: (|Х (Л id Л 7)) l(bs6xo)u<bsSxi) формулами

bsg(6, O) = bs/zo(6), bsg(6, l) = bs/ii(6) [6e=bs^,tl g (x, 0) = tl hQ (x), tlg(x, l^tl/гДх) [xetiy.

Расслоение, индуцированное универсальным расслоением посредством гомотопической эквивалентности, универсально.

Действительно, если £ — универсальное F-расслоение и f: В —>bs£— гомотопическая эквивалентность, то отображение induz(B, f^) совпадает для любого клеточного пространства В с композицией induz(B, ^)°n(f, id В) [см. 1] и потому обратимо.

Если F-расслоения £, V универсальны и пространства bs£, bsg' являются клеточными, то отображение beg: bs£-»bs£' является гомотопической эквивалентностью для всякого F-oto- бражения g: t,->t,'.

Доказательство. Фиксируем встречное В-отображение g'1. Так как композиции g' ° g: ^^, g ° g': ^ -* ^ являются В-отображениями, то из условия 2 (и') следует, что отображение bs g' ° bs g = bs ^g' ° g) гомотопно id (bs g), а отображение bsg°bsg' = bs (g°g') гомотопно id(bs^).

Расслоение, ассоциированное с универсальным, универсально.

Действительно, если £— универсальное В-расслоение и В'— другое эффективное G-пространство, то отображение induz(B, asso(£, В')) совпадает» для любого клеточного пространства В с композицией отображений induz(B, g) и asso: Stee(B, В)-> Stee(B, В') [см. 1] и потому обратимо.

Классифицирующие пространства

Теорема 5 показывает, что база универсального расслоения со структурной группой G одновременно служит базой универсальных расслоений со структурной группой G и всевозможными стандартными слоями и в этом смысле не зависит от стандартного слоя. Она называется классифицирующим пространством группы G. '

Из теоремы 3 следует, чтр пространство, гомотопически эквивалентное классифицирующему пространству группы G, также является . классифицирующим пространством группы G. Из теоремы 4 следует, что если два клеточных пространства являются классифицирующими. для G, то они гомотопически

эквивалентны.

^-универсальные расслоения

^-расслоение Стинрбда £ называется k-универсальным, если отображение induz(B, £): л (В, bsg)-> Stee(B, F) отображает л (В, bs£) на все множество Siee(B, F) для всякого клеточного пространства В размерности ^fe и взаимно однозначно для всякого клеточного пространства В размерности ^ fe—1. Другими словами, F-расслоение Стинрода g называется &-уни- версальным, если, во-первых, для всякого В-расслоения Стинрода g с клеточной базой размерности ^^ существует такое непрерывное отображение f: bsg->bsg, что расслоение f't, В-эквивалентно g, и, во-вторых, всякие два непрерывных отображения f0, f) клеточного пространства размерности ^й— 1 в bsg с В-эквивалентными расслоениями %g, fjg гомотопны. Эквивалентные условия: для всякого В-расслоения Стинродаg с клеточной базой размерности ^^ существует В-отображение g-*g; для всякого В-расслоения Стинрода g с клеточной базой размерности ^^—1 и любых В-отображений g0, gx: g->g отображения bsg0, bsg! гомотопны.

В этих формулировках к считается натуральным числом; в дополнение к ним универсальные расслоения иногда называют ^-универсальными.. Очевидно, ^-универсальное расслоение /-универсально, если К«к. Из теорем 2.3.2.4 и 2.3.2.5 следует, что при К; к сужение /г-универсального расслоения с "клеточной базой на подпространство базы, содержащее /-й остов, /-универсально.

На fe-универсальные расслоения очевидным образом- переносятся теоремы 3 и 5: расслоение, индуцированное /г-универ- сальным расслоением посредством гомотопической эквивалентности, й-универсально, и расслоение, ассоциированное с /г-уни- версальным расслоением, /г-универсально.

Расслоение Милнора

Нижеследующая конструкция относит каждой топологической группе G некоторое главное расслоение со структурной группой G, называемое G-расслоением Милнора и обозначаемое через MiG. В 2 — 6 будет показано, что MiG есть универсальное G-расслоение.

Обозначим через TG^ джойн к экземпляров группы G. Пространство TG(J^ естественно вкладывается в ГС(/г+1) [в качестве основания джойна TG(k)*G = TG(k + 1)], благодаря чему определен предел ГО = Игл ГО(&). Правое действие группы G в G, относящее элементу g группы G преобразование gi*—* g~vgx, индуцирует свободное непрерывное правое действие этой группы в TG(_k), и, поскольку включения TG (/?)-> TG (& + 1)

являются относительно этого действия G-отображениями, такое же действие возникает в TG. Таким образом, определено G-расслоение yG, pr, TG/G). Это и есть MiG.

Если Gx — подгруппа группы G, то определены включения in* .. . *in: TGX (J?')-> ТG (к) (k = 1, 2, . ..), где in = [in: Gx —> G], и ясно, что они являются in-отображениями. Кроме того, они согласованы с вложениями TG(k)-*TG (/?+ 1), TG^k'^TG^k-V-1), так что определено предельное отображение TGX-*TG (см. 1.2.4.4). Оно тоже является in-ото'бражением и составляет с индуцируемым им отображением TGX[GX -* TG/G отображение Mi Gx -* Mi G, являющееся, очевидно, (in, ш)-отображением. Таким образом, включению GX->G отвечает (in, ш)-отображение Mi G^Mi G.

Локальная тривиальность расслоения MiG

Нам будет удобно отождествить пространство TG^ с канонически гомеоморфным ему подмножеством произведения conGX ••• XconG (к сомножителей), составленным из точек {pr (gz, tt^_x с /,+ ..•+ 4 = 1 (см. 1.2.6.4; здесь pr = [рг: GXI -*conG]). После такого отождествления точки пространства TG представятся как последовательности {рг(^Г,, /г)}Х=! с 2^ = 1, финитные в том смысле, что у них все tb кроме конечного числа, равны нулю, а описанное в 1 правое действие группы G в TG будет задаваться формулой {pr (gz, /z)}g = {pr(g-,gz, /z)}-

Расслоение MiG локально G-тривиально.

Открытое покрытие, над элементами которого расслоение MiG G-тривиально, составляют множества prMiG(G]), pr Mi G(G2),..., где Us — совокупность последовательностей {pr(g£, /£)} с is=^0, а G-тривиализация pr Mi G (U^ X G -> pr Mi G-1 (prMi G (GJ) [= GJ относит точке (x, g) последовательность{pr(g£, t^, определяемую условиями prMiG{pr(g£, ^=х, gs = g.

' . Универсальность расслоения MiG 1

Расслоение Mi G универсально. '

Согласно 2.2, достаточно показать, что, каковы бы ни были G-расслоение £ с клеточной базой и подпространство Л этой базы, всякое G-отображение f- sU^-MiG продолжается до G-отображения £->MiG. *

Сначала мы рассмотрим случай, когда bs^ = Z)r+l (с некоторым г), а Л = 5Г. В этом случае расслоение £ G-тривиально (см. 1.3), что позволяет считать его стандартным G-тривиальньш G-расслоением (Z)r+1 X G, prb Z>r+1) и определить требуемое Продолжение h: £->MiG явной формулой: мы обозначаем через к наименьшее из чисел s с. TG (s) тэ tl f (Sr X е0) и через <р£

сквозное отображение

a k fl finРГ<

Sr X G>■ TG (k) —> con G X • • • X con G —► con G

(Z = 1/г), после чего определяем отображение ф: Dr+'XG-*

TG(k+^ формулой.

Wy, g) = (^i(Z/),^(1/)> pr(g, 1~ t)),

где ueSr, tel, a pr=[pr: GX^^conG], и полагаем tl/z = [in: TG(J? + 1)—►T'GJoip.

Общий случай сводится к этому специальному случаю. Будем считать пространство bsg оснащенным и предположим, что уже имеется G-отображение hr: £1лизке bs$-^MiG, продолжающее f. В силу уже доказанного, для каждой клетки ееcellr+1 bsg \ cellr+1 А G-отображение■

fe = hro ad [ab chae: Sr -> A U sker bs |]: chai I lsr -> Mi G продолжается до некоторого G-отображения g^. chai|->MiG, и ясно, что отображение 11 ge постоянно на элементах разбиения zer (11 ad chae). Применяя теорему 3.2.6 (с B = Dr+v и p = [abchae: Dr+V -> Cl e]), мы видим, что ge определяет G-отображение £|cle-*MiG. Мы обозначаем это отображение через he и замечаем, что для любых клеток eb e2ecellr+1bs£\ cellr+1 А отображения tl/z6l, tl Ле2 совпадают над CleiQCle2 и что для любой клетки ее cellr+1 bsc \ cellr+1 А отображение 11 Ае совпадает над С1е П (Д U skerbsg) с 11 Аг. Из этой согласованности следует, что отображения hr и he с eecellr+1 bsg \ cellr+1 А составляют некоторое G-отображение Лг+ь 11ли5ке ^s^-^MiG, продолжающее hr (см. 3.2.7). Этим индуктивно построена последовательность ^hs1. £l4Uske bs$->MiGj°° с /?-! = /, составленная из продолжающих друг друга G-отображений, и так как множества X|Jsker+Ibsg составляют фундаментальное покрытие пространства bs§, то, опять-таки в силу 3.2.7, отображения hs составляют G-отображение £->MiG, продолжающее/.

Об е щ а и и е■

База расслоения Mi G не является клеточным пространством, однако в следующей главе будет показано, что для всякой топологической группы G существуют и универсальные G-расслоения с клеточной базой; см. 5.6.1.4. Из этого будет следовать, согласно 2.7, что для всякой топологической группы G и всякого натурального /г существуют ^-универсальные G-расслоения с клеточной базой размерности

Сужение структурной группы

Говорят, что расслоение Стинрода ^ со структурной группой Gx и стандартным слоем Fx получается из расслоения Стинродд | со структурной группой G и стандартным слоем F сужением группы G до Gx, если £ получается из ti расширением группы Gx до G; см. 3.2.4.

В то время как расширение структурной группы расслоения Стинрода представляет собой корректно определенную операцию, сужение структурной группы до ее заданной подгруппы, как мы увидим, осуществимо далеко не для всякого расслоения Стинрода, а в тех случаях, когда осуществимо, может приводить к расслоениям, не эквивалентным над суженной группой. Другими словами, отображение

ext: Stee(B, F1)^Stee(B, F),(2)

определенное в 1.6, может иметь образ, меньший Stee(B, F), и может не быть взаимно однозначным.

Заметим, что теоретико-множественные свойства отображения (2) определяются тройкой В, G, Gx, т. е. останутся теми же, если мы, не меняя В, G и Gx, заменим F другим эффективным G-пространством, a Fx — соответствующим Огпространством. Это видно из диаграммы (1).

Напомним, что в клеточном случае Stee(B, В) можно интерпретировать как множество гомотопических классов непрерывных отображений пространства В в классифицирующее пространство структурной группы. Ниже на том же гомотопическом языке описывается отображение (2).

Пусть G, Gx и F, Fx обозначают то же, что в 1, и пусть g, ^ — универсальные расслоения со стандартными слоями F, Fx. Назовем непрерывное отображение ф: bs^-^bs^ классифицирующим, если расслоение ф1^ F-эквивалентно расслоению, получающемуся из ?i расширением группы G] до G. Из определения универсального расслоения следует, что такое отображение существует, если база bs^ является клеточной, и оно заведомо существует, если £ = MiG, $1 = MiG1 (см. 3.1). Наше основное утверждение состоит в том, что при таком ф диаграмма

Stee(B, rj-^ Stee^, F) ’

|lnduz(B, t,)|lnduz(B, J)(3)

л(В, bs^)—^-^-л (В, bs^)

коммутативна для любого клеточного пространства В. .

Доказательство. Композиция induz (В, 00 л (id В, ф) переводит гомотопический класс отображения tv B->bs^t

в класс-расслоения (гр°/1)’5, а композиция ext о induz (В, gj — в класс расслоения^ получающегося из fj^ расширением группы Gj до G. Так как расширение структурной группы перестановочно с индуцированием (см. 1.6), то последний класс содержит расслоение /} (ф’£), и остается заметить, что f[ (ф’£) = (ф 0 f,)1 £•

Из коммутативности диаграммы (3) и обратимости ее вертикальных отображений следует, что induz(В, ^) взаимно однозначно отображает множество гомотопических классов отображений В—>bs£b композиция которых с ф гомотопна заданному отображению f; B->bsg, на множество классов Вгэкви- валентнык В^расслоений, получающихся из pg сужением группы G до GP В частности, В-расслоение Стинрбда £ с клеточной базой в том и только том случае допускает сужение группы G до G,, если отображение bsg->bsg, посредством которого индуцируется расслоение, В-эквивалентное £, гомотопно композиции непрерывного отображения bs^->bs^ с ф.

Упражнения

Обозначим для топологической группы G и натурального числа к через Mi(G, к^ сужение расслоения MiG на TG^jG, т. е. расслоение \rG(k), pr, TG(k)/G). Показать, что Mi(G, к) есть (к—1)-универсальное G-расслоение. -

2. Показать, что расслоение MiZ2 изоморфно (В°°, pr, RP°°), а расслоение Mi(Z2, &) [см. 1] изоморфно (В6-1, pr, RP6-1).

Показать, что расслоение Mi В1 изоморфно (В°°, рг, СР°°), а расслоение Mi(S‘, к') изоморфно (В26-1, рг, СР6"1).

Рассмотрим для компактного «-мерного ^'-многообразия X с 1 ^г оо правое действие группы Diff'X в Emb^X, R9), определяемое формулой (/, <p)i—>/ о ср [/ е ЕшЬ' (X, R9), ср е Diff' X], и ее предельное правое действие в lim(Emb'"(X, R9), ab^r(idX, in): Embr(X, R^Emb'tX, R^1)).

Показать, что (limEmbr(X, R9), pr, [limEmbr(X, R^l/Diff'X) есть универсальное В1Г(гХ-расслоение и что если y^2«+l, то (Embr(X, R9), pr, Embr(X, R’)/DiffrX) есть (<? — 2n — ^-универсальное Diff'X-расслоение. .

. § 5. ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ .

’ - . 1. Общие определения

Главный предмет настоящего параграфа — расслоения Стинрода, у которых стандартным слоем является пространство 'R", наделенное обычным действием одной из групп GL^n, R), GL+(n, R), О (и), 80(«), или пространство С", наделенное обычным действием одной из групп ОЦп, С), U («).

Поскольку все перечисленные стандартные слои топологически эффективны, указанные расслоения можно определить также как расслоения Эресмана — Фельдбау . с этими стандартными слоями (см. п. 3.4). Пользуясь этим, мы совершенно игнорируем на протяжении всего параграфа топологию в множествах отмеченных гомеоморфизмов.

Чтобы облегчить изложение, мы вводим для перечисленных стандартных слоев специальные обозначения: GLRn, GL+Rn, ORn, SORn и GLC", UCn. ‘

■ Стандартный слой GLRn

Расслоения Стинрода со стандартным слоем GLRn называются вещест венными векторными расслоениями размерности п.

Поскольку пространство с СЛР^-структурой есть «-мерное вещественное векторное пространство (см. 3.1.3), W-GLRrt-pac- слоение есть просто расслоение, слои которого являются «-мерными вещественными векторными пространствами. Ясно также, что 1Г-СЛК"-эквивалентность между 1Г-СА₽"-расслоениями есть послойно линейная эквивалентность. Таким образом, вещественное векторное расслоение размерности п есть расслоение, слои которого являются «-мерными вещественными векторными пространствами и которое локально тривиально в естественном векторном смысле: у каждой точки базы есть окрестность U, над которой расслоение послойно линейно эквивалентно расслоению ([/ X R", РЧ, U).

Расслоение g, слои которого являются п-мерными вещественными векторными пространствами, в ■ том и только том случае Является вещественным векторным расслоением размерности -п (т. е. локально тривиально в предыдущем векторном смысле'), если: (1) оно локально топологически тривиально1, (и) имеющиеся в tig частичные векторные операции;, т. е. отображения

RXtlg-^tlg,

{(x„ x2)etlgXtm pr g (ч) = pr g (х2)) —> tl g,

определяемые формулами (X, x)i—>Кх, (xb х2) f—> хх + х2, непрерывны.

^Необходимость этих условий очевидна; докажем их достаточность. Пусть Ьй — точка базы bsg. Фиксируем какой-нибудь базис оь ..., оп пространства pr g—1 (&0), окрестность U точки Ьо с топологически тривиальным сужением g |у и тривиализацию h: )UXRn> РЧ, G)-*-^ этого сужения и определим послойно линейное отображение hf: (U X R", РЧ, И) g формулой tl h' ф, оНг) = 11 h (ф, рг2 ° И Л-1 (oj), где pr2 == [pr2: U X R" R"]-

Фиксируем, далее, непер ссекающиеся окрестности К и N множества рг2 0 tl h~l ° tl/i' (б0 X S”-1) и точки рг2 ° tl /г—1 otl/i'(60, 0) в R" и обозначим через V окрестность точки 60, составленную из точек beU с tl h' (b X S"-1) c tl A (b X K), tl h'(b, 0) cz WhkbXNY Ясно, что множество tlh' (б X S"-1) не содержит точки tl/z' (6, 0), если b eV; таким образом, отображение ab/i': (V X R"> РИ, V)"*^ послойно невырождено. Это позволяет применить к нему теорему 3.2.8, приняв за F пространство R", рассматриваемое как Тор ₽"-пространство (расслоения (V X R", РИ, V) и g |к рассматриваются как /-'-расслоения Стин- рода— см. 3.4.5). Из указанной теоремы следует, что аЬХесть эквивалентность в топологическом смысле, чем доказательство и завершается, поскольку ab К' послойно линейно.

Стандартный слой OR"

Расслоения Стинрода со стандартным слоем OR" называются евклидовыми расслоениями размерности п.

Поскольку пространство . с ОР"-структурой есть «-мерное евклидово пространство, !V-OR"-paccnoeHHe есть просто расслоение, слои которого являются «-мерными евклидовыми пространствами. Ясно также, что ^-О₽"-эквивалентность между 1Г-О₽"-расслоениями есть послойно ортогональная эквивалентность. Таким образом, евклидово расслоение размерности п есть расслоение, слои которого являются «-мерными евклидовыми пространствами и которое локально тривиально в естественном евклидовом смысле: у каждой точки базы есть окрестность U, над которой расслоение послойно ортогонально эквивалентно расслоению (И X R", Ргь Щ-

Расслоение §, слои которого являются п-мерными евклидовыми пространствами, в том и только том случае является евклидовым расслоением размерности п (т. е. локально тривиально в евклидовом ' смысле), если оно удовлетворяет условиям (1), (11) из 3 и условию (ill): функция tl£->R, относящая вектору его длину, непрерывна.

Необходимость этих условий очевидна; докажем их достаточность. В силу теоремы 3, из (1) и (11) следует, что у каждой точки базы bs^ есть окрестность U, над которой £ допускает послойно линейную тривиализацию h: (UX.^n, prj, U)->g [у. Пусть щ(6), ..., у„ (6) —базис пространства prg_1(6) с b е U, получающийся стандартной ортогонализацией из базиса WhAb, ort^, ..., tl Zz (&, ort„). Из (ill) следует, что векторы o^b) непрерывно зависят от Ь, и ясно, что послойно линейное отображение Н'-. (t/XR", РИ, £/)->■ £|у, определенное формулой t\h'$, oriA — vAb) (/=Г, ..., n)„ является послойно ортогональной тривиализацией расслоения 61щ

Ввиду включения О («) с GL Qi, R), каждому «-мерному евклидову расслоению £ отвечает единственное «-мерное вещественное векторное расслоение ^', в которое £ превращается расширением структурной группы. Теорема 5 позволяет интерпретировать сужение структурной группы, превращающее £' в £, как наделение расслоения £' дополнительной структурой: евклидовыми метриками в слоях с длиной, непрерывной на tlgz. Эта дополнительная структура называется евклидовой метрикой в ^'.

Стандартные слои GL+Rn и SOR"

Расслоения Стинрода со стандартным слоем GL+Rn’ называются ориентированными векторными расслоениями размерности п. Расслоения Стинрода со стандартным слоем SO R" называются ориентированными евклидовыми расслоениями размерности п.

, Так как пространство с СТ+^-структурой есть ориентированное «-мерное векторное пространство, а пространство > с 5ОР"-структурой — ориентированное «-мерное евклидово пространство, то Ц7-ОТ+₽"-расслоение есть расслоение, слои которого являются ориентированными «-мерныйи векторными пространствами, а И^-ЗОР^-расслоение есть расслоение, слои которого являются ориентированными «-мерными евклидовыми пространствами. Ясно также, что М^-СЗ+Р^-эквивалентность между И^-СЗ+Р"-расслоениями есть послойно сохраняющая ориентацию послойно линейная эквивалентность, а И^-ЗС^-эквивалентность между 1Г-ЗО₽"-расслоениями есть послойно сохраняющая ориентацию послойно ортогональная эквивалентность. Таким образом, ориентированное векторное расслоение размерности п есть расслоение, слои которого являются ориентированными «-мерными векторными пространствами и которое локально тривиально в том смысле, что у каждой точки базы есть окрестность, над которой расслоение допускает послойно сохраняющую ориентацию послойно линейную тривиализацию; ориентированное евклидово расслоение размерности п есть расслоение, слои которого являются ориентированными «-мерными евклидовыми пространствами и которое локально тривиально в том смысле, что у каждой точки базы есть окрестность, над которой расслоение допускает послойно сохраняющую ориентацию послойно ортогональную тривиализацию.

Чтобы модифицировать применительно к ориентированному случаю теорему 3, заметим, что ориентация, имеющаяся у каждого слоя ориентированного векторного расслоения g размерности п, отображает множество невырожденных «-реперов этого слоя в 3°. Вместе невырожденные «-реперы слоев составляют тотальное пространство ассоциированного расслоения asso(g, V'Qi, «)) [подразумевается, что GL+^n, R) действует в !/'(«, «) обычным образом —см. 2.3.13], а ориентации слоев —

312 РАССЛОЕНИЯ ' [ГЛ. 4 функцию, отображающую это пространство в S0. Ориентированный вариант теоремы 3 утверждает, что расслоение g, слои которого являются /г-мерными вещественными векторными пространствами, в том и только том случае является ориентированным вещественным векторным расслоением размерности п, если оно удовлетворяет условиям (i), (ii) из 3 и условию (iv): функция tlasso(g, Й'(/г, n))->S°, составленная из ориентаций слоев расслоения g, непрерывна.

Подобным же образом модифицируется теорема 5. Ориентация, имеющаяся у каждого слоя ориентированного евклидова расслоения g размерности п, отображает множество ортонорми- рованных n-реперов этого слоя в S0, и вместе ортонормиро- вэнные n-реперы слоев составляют тотальное пространство ассоциированного расслоения asso(g, V (п, /г)), а ориентации слоев — функцию, отображающую это тотальное пространство в S0. Ориентированный вариант теоремы 5 утверждает, что расслоение g, слои которого являются ориентированными п-мер- ными евклидовыми пространствами, в том и только том случае является ориентированным евклидовым расслоением размерности п, если оно удовлетворяет условиям (i), (ii) из 3, условию (iii) из 5 и условию (v): функция tlasso(g, У (и, n))->S°, составленная из ориентаций слоев расслоения g, непрерывна.

Ввиду включения GL+ (п, R)czGL(n, R), каждому ориентированному вещественному векторному расслоению g размерности п отвечает единственное вещественное векторное расслоение g' размерности п, в которое g превращается расширением структурной группы. Сказанное в 8 позволяет интерпретировать сужение структурной группы, превращающее g' в g, как наделение расслоения g' ориентациями слоев, составляющими непрерывное отображение тотального пространства главного расслоения asso(g', V'(п, п) — GL(n, R)) в S0. Эта дополнительная структура называется ориентацией, расслоения g.

Подобным же образом, ввиду включения SO (п) с О (п), каждому ориентированному евклидову расслоению g размерности п отвечает единственное евклидово расслоение g' размерности п, в которое gпревращается расширением структурной группы, и сужение структурной группы, превращающее g' в g, может быть интерпретировано как наделение расслоения g' ориентацией, т. е. ориентациями слоев, составляющими непрерывное отображение тотального пространства главного рас- слоейия asso (g', V Vi, П^ = О (п)) в S0.

Вещественные ректорные и евклидовы расслоения, обладающие ориентацией, называются ориентируемыми. Так как каждую ориентацию можно . заменить противоположной ориентацией, умножив ее на,—1, то ориентируемое расслоение обладает по крайней мере двумя ориентациями. ■ ’

, Стандартные слои GLCn и UCn

Расслоения Стинрода со стандартным слоем GLCn называются комплексными векторными расслоениями размерности п. Расслоения Стинрода со стандартным слоем UCn называются эрмитовыми расслоениями размерности п.

На комплексные векторные расслоения дословно переносится все, сказанное в 2 и 3 о вещественных векторных расслоениях, а на эрмитовы расслоения — все, сказанное в 4, 5 и 6 об евклидовых расслоениях. В частности: 1Г-бЛСп-расслоение есть расслоение, слои которого являются n-мерными комплексными векторными пространствами, 1Г-С7С"-расслоение есть расслоение, слои которого являются га-мерными эрмитовыми пространствами; 1Г-ОЛС”-эквивалентность между 1Г-бЛСга-расслоениями есть послойно линейная эквивалентность, ^-(/С^-эквивалентность между 1Г-^С”-расслоениями есть послойно унитарная эквивалентность; локальная 1Г-ОЛС"-тривиальность' ^-СЛС^рассЛоения эквивалентна локальной топологической тривиальности, усиленной непрерывностью векторных операций; локальная 1К-77С"-тривиаль- ность W-UCn- расслоения эквивалентна локальной топологической тривиальности, усиленной непрерывностью векторных операций и длины; сужение структурной группы, превращающее комплексное векторное расслоение g' в эрмитово расслоение g, может быть интерпретировано как наделение расслоения g' эрмитовой метрикой, т. е. эрмитовой метрикой в слоях с длиной, непрерывной на tig'. .

Каждому n-мерному комплексному векторному расслоению g отвечает n-мерное комплексное векторное расслоение conj g, получающееся, из g при замене каждого отмеченного гомеоморфизма а композицией а ° conj, где conj — обычное сопряжение в С". Расслоение conjg называется сопряженным с g.

Эта конструкция применима и к эрмитовым расслоениям и превращает их в эрмитовы же расслоения. Таким образом, каждому n-мерному эрмитову расслоению g отвечает сопряженное эрмитово расслоение conj g.

Расширение структурной группы, определяемое включением GL^n, С) с GL(2n, R), превращает комплексные векторные расслоения размерности п в вещественные векторйые расслоения размерности 2га. Расширение ' структурной группы, определяемое включением U^aO^ri), превращает эрмитовы расслоения размерности п в евклидовы расслоения размерности 2га. В обоих случаях расширение структурной группы называется овеществлением. Результат овеществления расслоения g обозначается через Rg. -

Напомним, что дополнительная структура, превращающая 2га-мерное вещественное векторное пространство в /1-мерное

комплексное векторное пространство, может быть описана как ' линейное преобразование с квадратом —id («умножение на z»), а дополнительная структура, превращающая 2«-мерное евклидово пространство в «-мерное эрмитово пространство, — как ортогональное преобразование с квадратом — id. В соответствии с этим, дополнительная структура, отличающая «-мерное комплексное векторное расслоение £ от R|, может быть описана - как ОЛР2"-эквивалентность I: R^->R^ с /2 = — id (R^) (минус следует понимать послойно), дополнительная структура, отличающая «-мерное эрмитово расслоение £ от R^, — как (^"-эквивалентность I: Rg-^>R| с Z2 = — id (R^) и сужение структурной группы, превращающее Rg в g, — как наделение расслоения Rg одной из таких эквивалентностей.

Ясно, что R (conj g) = R? для всякого комплексного векторного или эрмитова расслоения £ и что переход от £ к conj ^ может быть описан на предыдущем языке как переход от / к — /.

Поскольку группа GLkn, С) содержится не только в GL^Zn, R), но и в GL+(2«, R), а группа U («) содержится не только в О (2«), но и в SO (2«), овеществление комплексного векторного или эрмитова расслоения размерности « можно осуществить в два приема, расширив сначала GL^n, С) до GL+ ^п, R) или U (и) до SO (2«), а потом GL+ (2«, R) до GL(2n, R) или SO (2«) до О(2«). Таким образом, как в комплексном векторном случае, так и в эрмитовом случае расслоение £ наделяет R| канонической ориентацией.

Отобр ажения

Отображение одного вещественного или комплексного векторного расслоения в другое называется линейным, если оно послойно линейно. Линейные отображения, которые послойно невырождены, называются линейными мономорфизмами. Послойно изометрические послойно линейные отображения одного евклидова расслоения в другое называются ортогональными мономорфизмами. Послойно изометрические послойно линейные отображения одного эрмитова расслоения в другое называются унитарными мономорфизмами.

Заметим, что линейный мономорфизм «-мерного векторного расслоения в «-мерное же векторное расслоение есть не что иное, как GLR"-oтoбpaжeниe в вещественном случае и GZC"-oto- бражение в комплексном случае. Подобным же образом, ортогональный мономорфизм одного «-мерного евклидова расслоения в другое есть не что иное, как OR”-oтoбpaжeниe, а унитарный мономорфизм одного «-мерного эрмитова расслоения в другое — не что иное, как ^С"-отображение. -.

Векторные поля •

Сечения векторных расслоений ’называются векторными полями. Это наввание прилагается как к вещественным, так и к комплексным векторным расслоениям, а также к евклидовым и эрмитовым расслоениям и к ориентированным расслоениям обоих типов.

Последовательность, составленная из к векторных полей, называется к-реперным полем. Вырождение репера поля называется особенностью этого поля. Не имеющее особенностей /г-реперное поле в «-мерном векторном расслоении может быть интерпретировано как сечение ассоциированного расслоения со слоем RV' («, к) или CV' (п, к), а ортонормированное ^-реперное поле в «-мерном евклидовом или эрмитовом расслоении — как сечение ассоциированного расслоения со слоем RV («, к') или CV (п, k) [во всех случаях имеется в виду обычное действие структурной группы].

Всякое векторное расслоение обладает нулевым векторным полем, относящим каждой точке базы нуль соответствующего слоя. Сечение, не обращающееся в нуль, как мы увидим, имеется не у всякого векторного расслоения. Существование у «-мерного вещественного (комплексного) векторного расслоения «-реперного поля без особенностей эквивалентно б/.Р"-тривиаль- ности (ОЛС”-тривиальности) этого расслоения, и всякое такое поле представляет собой его С£Р"-тривиализацию (С£С”-тривиа- лизацию). Подобным же образом, в случае «-мерного евклидова (эрмитова) расслоения «-реперное поле, составленное из орто- нормированных реперов, представляет собой OR”-тpивиaлизaцию ((7Сп-тривиализацию), а в случае ориентированного «-мерного вещественного векторного расслоения (ориентированного «-мерного евклидова расслоения) «-реперное поле, составленное из невырожденных (ортонормированных) реперов, на которых ориентации слоев положительны, представляет собой бА+₽"-три- виализацию (5ОКп-тривиализацию).

Конструкции

В этом пункте рассматриваются конструкции, которые будут в дальнейшем применяться к векторным,, евклидовым и эрмитовым расслоениям и которые не охватываются общей теорией расслоений Стинрода, изложенной в § 3.

Подрасслоения ■

Пусть £— вещественное векторное расслоение размерности п и g — сечение слабо ассоциированного с £ расслоения asso(g, RG(«, £)) [подразумевается, что GL^n, R) действует

в RG(n, ft) обычным образом], т. е. непрерывная функция, отмечающая в каждом слое расслоения g fe-мерное подпространство этого слоя. Обозначим через g |g расслоение (Г, рг£|г, bs£), где Т — объединение выделенных подпространств. Поскольку слоями этого расслоения служат выделенные подпространства, оно является ОА₽й-расслоением, и ясно, что оно локально ОЛРА-тривиально. [Если £— стандартное тривиальное расслоение (ВXR”, ргь В) и для точки ЬйгВ фиксирован линейный гомеоморфизм I: R6 —>■ g(й0), то для сужения расслоения ||g на достаточно малую окрестность U точки Ьо имеется даже стандартная С/^-тривиализация A: (U X R\ РЛ, ^) ^ (? Ig) 1п: °на определяется формулой НА (6, и) = ргь(6, Z (и)), где рг6 —ортогональное проектирование слоя A X R” на его подпространство g(6).] Таким образом, ||g есть вещественное векторное рас- слоенир размерности к. Оно называется подрасслоением расслоения £, ассоциированным с g.

Подобным же образом определяются подрасслоения евклидовых, комплексных векторных и эрмитовых расслоений. В евклидовом случае RG (n, k) становится О (ц)-пространством, g остается сечением расслоения asso(g, RG(n, k)) и подрасслоение ||g оказывается евклидовым расслоением (его локальная ORй-тpивиaль- ность следует из его локальной послойно линейной тривиальности, установленной в 2, и непрерывности длины; см. 1.5). В комплексном векторном случае сказанное в 2 повторяется дословно с заменой буквы R буквой С [в частности, GL(n, R)- пространство RG(n, k) заменяется GL(n, (^-пространством CG^n, А)] и подрасслоение g |g оказывается комплексным векторным расслоением. В эрмитовом случае CG(n, k) становится U (^-пространством и подрасслоение ||g оказывается эрмитовым расслоением (его локальная УСй-тривиальность следует из его локальной послойно линейной тривиальности и непрерывности длины —см. 1.10).

Ясно, что включение llg.-*^ является линейным мономорфизмом в обоих векторных случаях, ортогональным мономорфизмом в евклидовом случае и унитарным мономорфизмом в эрмитовом случае. Наоборот, каждому линейному, ортогональному или унитарному мономорфизму/: £f->£ с bs^ = bsg и bs / — id отвечает подрасслоение расслоения g, ассоциированное с сечением Ai—Ml/(prgf1 (А)) расслоения asso(£, RG(n, dim^J) или asso(£, CG^n, dim^)). Это подрасслоение называется образом мономорфизма / и обозначается через Im/. Из теоремы 3.2.8 следует, что ab /: ^ -> Im / есть С^”-эквивалентность в вещественном векторном -случае, ОВС"-эквивалентность в ком-

плексном векторном случае, ОК"-эквивалентность в евклидовом случае и {/С"-эквивалентность в эрмитовом случае.

Заметим, что для корректирующего отображения corrf: gt-* (bsf)'g, которое является линейным, ортогональным или унитарным мономорфизмом вместе с f (см. 3,2.4), условие bscorrf = id выполнено всегда. Таким образом, Im согг/ имеется у всякого линейного, ортогонального или унитарного мономорфизма /.

Ортогональные дополнения и факторрасслоения

Если g —евклидово или эрмитово расслоение размерности п, то каждому сечению g расслоения asso(g, RG(n, k)) [asso(g, CG(n, /г))] отвечает ортогональное сечение g- расслоения asso(g, RG(n, п — /г)) [asso (g, CG (га, n —- b))], относящее точке bebsg ортогональное дополнение подпространства g^ слоя prT'W- Вследствие этого каждому fe-мерному подрасслоению Я = ^ |г евклидова или эрмитова расслоения g размерности п отвечает (га — /г)-мерное подрасслоение g |gj_. Оно называется ортогональным дополнением подрасслоенияр и обозначается через р-1-.

У подрасслоения векторного расслоения нет ортогонального дополнения, но есть факторрасслоение. Пусть р — подрасслоение размерности к вещественного или комплексного векторного расслоения g размерности п. Рассмотрим расслоение (7, fact pr g, bsg), где Т — факторпространство пространства tig по его разбиению на множества вида х + ргр-1(Ь) схе prg~' (b). Слоями этого расслоения служат факторпространства prg~* (6)/рг р-1 (6), что делает его GLRn-h- или бУО^-расслое- нием. Оно называется факторрасслоением расслоения g по р и обозначается через g/p.

Связь этой конструкции с предыдущей состоит в том, что она применима также в евклидовом и эрмитовом случае и дает в этих случаях тот же результат, что и предыдущая. Более точно: в евклидовом случае факторпространство prg~' (Ьургр"1 (Ь) представляет собой (п —/г)-мерное евклидово прострайство, так что g/p есть ОР^^-расслоение, и отображение /г: p-'-^g/p, определяемое формулой tl А (х) = рг (х), где pr = [pr: 11 g —* tl (g/p)j, является ОК'^-эквивалентностью; в эрмитовом случае фактор- пространство prg~'(Ь)/ргр~| (Ь) представляет собой (га —^-мерное эрмитово пространство, так что g/p есть 17С”~й-расслоение, и h есть {7С"“*-эквивалентнбсть. Таким образом, факторрасслоение евклидова расслоения g по его подрасслоению р есть евклидово расслоение размерности dimg — dimp, а факторрасслоение эрмитова расслоения g по его подрасслоению р есть эрмитово расслоение размерности dimg —dimp. -

Из этого нетрудно вывести, что факторрасслоение векторного расслоения | по его подрасслоению ц есть векторное расслоение размерности dim£ — (Итц. Действительно, доказательства требует только локальная послойно линейная тривиальность расслоения с/ц со стандартным тривиальным g, а она следует из предыдущего, поскольку такое £ можно считать евклидовым в вещественном случае и эрмитовым в комплексном случае.

Так как в вещественном векторном и евклидовом случае ориентация каждого из трех пространств рг£~'(/>), ргц-|(Ь), рг ^-1 (Ь)/ргт]_| (Ь) определяется ориентациями двух других (см. 3.1.3.10), то в этих случаях ориентируемость двух из трех расслоений g, ц, с/ц влечет за собой ориентируемость третьего и ориентации двух канонически определяют ориентацию третьего.

Суммы расслоений

Говорят, что векторное расслоение £ распадается в сумму своих подрасслоений |ь £2, если каждый его слой рг£-1(6) распадается в прямую сумму своих подпространств pr^r'W, pr^'(b). Говорят, что евклидово или эрмитово расслоение £ распадается в сумму своих подрасслоений ^, £2, если каждый его слой ргГ’(&) распадается в ортогональную сумму своих подпространств рг^Г1^), рг^Г'(Ь).

В евклидовом и эрмитовом случае всякое подрасслоение ^ расслоения £ расщепляет g в сумму подрасслоений ^ и ^. В п. 4 мы покажем, что для всякого векторного расслоения g с клеточной базой и всякого его подрасслоения существует такое его. подрасслоение £2> чт° £ распадается в сумму подрасслоений |] и |2; см. 4.2. .

Если векторное расслоение £ распадается в сумму своих подрасслоений ^, -g2, то факторрасслоение ^х канонически GLRdim^- или ОЛС^^-эквивалентно |2: каноническая эквивалентность h; ^->Шх определяется формулой tl/г (х) = рг (х), где pr=[pr: tl £-»-tl (^i)]. Такая же эквивалентность имеется в евклидовом и эрмитовом случае с О или U вместо GL (фактически она была установлена в 6).

Следующая конструкция позволяет обратить предыдущее определение и, в частности, восстановить расслоение по подрасслоениям, в сумму которых оно распадается.

Если |ь j2 — вещественные векторные расслоения размерностей пь «г с общей базой, то ^Х^2 есть расслоение Стинрода с базой bs^Xbs^i и структурной группой GL (tix, R^XGL^, R), и ту же структурную группу имеет расслоение diag4UiX^2) с базой bs£b индуцированное расслоением ^ X h посредством ото-

бражения diag: bs^->bsgt X bs £]. Расширение этой группы до GL(/n+n2, R) превращает diag1 (^1X^2) в вещественное векторное расслоение размерности n.\-\-ns, которое называется суммой расслоений £ь £2 и обозначается через ^©^2- Так же определяется и обозначается сумма двух расслоений с общей базой в евклидовом, комплексном векторном и эрмитовом случаях [в евклидовом случае группа О (/zj X О (/?2) расширяется до О (/11 +«2), в комплексном векторном случае группа GL кпх. С) X GL {п^, С) расширяется до GL (/Zj + п2, С), в эрмитовом случае группа U кп\1 X ^ (/z2) расширяется до U («] + /г2); сумма евклидовых расслоений есть евклидово расслоение, сумма комплексных векторных расслоений есть комплексное векторное расслоение, сумма эрмитовых расслоений есть эрмитово расслоение]. Во всех случаях bs (gj © £2) = bs ^ (=bs£2) и pr (^i ©^2) ' W — РГ^Г1 (^©рг^1 (&), причем в евклидовом и эрмитовом случаях последняя сумма является ортогональной. Эти равенства определяют тождественные на базе линейные, ортогональные или унитарные мономорфизмы ^-*^©%2, g2—> £i©£2, отождествляющие расслоения |ь с2 с подрасслоениями расслоения £i©g2 и расщепляющие £i©£2 в сумму этих подрасслоений. ■

Заметим, что эти отождествления позволяют построить фак- торрасслоения (61©^2)/^ь (£1©£2)Д2, а канонические эквивалентности, указанные в 8, позволяют считать, что 6i©§2)/^i = £2, 61 ©^2)^2 — ^i- В частности, в вещественном векторном и евклидовом случаях ориентируемость двух из трех расслоений ^, £2, £i©£2 влечет за собой ориентируемость третьего и ориентации двух канонически определяют ориентацию третьего.

Заметим еще, что расслоение g©£ ориентируемо и обладает канонической ориентацией, каково бы ни было вещественное векторное или евклидово расслоение |. Эта каноническая ориентация определяется в каждом слое ориентациями слагаемых, выбранными произвольно, но одинаково.

Сумма вещественного векторного или евклидова расслоения £ и одномерного стандартного тривиального GLR1- или OR'-расслоения (bs^XR, prb bs^) называется надстройкой надс и обозначается через sug. Так же называется и обозначается сумма комплексного векторного или эрмитова расслоения £ и стандартного САС^йли (/©‘-тривиального расслоения (bs^X©, prb bs^).

Вещественные векторные расслоения ^, g2 с общей базой, для которых существуют такие &ь £2, что dim^ + kx — dimg2 + й2 и расслоения su61 ^ь su^§2 ОЛРа‘т5‘+А‘-эквивалентны, называются стабильно эквивалентными. Так же (с ORdim^+й^ Q£Q<nm6i+6i и (/©dim^+A, вместо g^pdim^+A!) определяется стабильная эквивалентность в евклидовом, комплексном векторном и эрмитовом

случае. Расслоение, стабильно эквивалентное стандартному тривиальному, называется стабильно тривиальным. .

Заметим, что в вещественном и евклидовом случае ориентируемость одного из расслоений g, sug влечет за собой ориентируемость другого и ориентация одного канонически определяет ориентацию другого; см. 9.

'К о м п л е кси ф и к а ц и я

Рассмотрим для вещественного векторного расслоения § размерности п отображение /: g © g —> g © g, определяемое формулой tlg(x, у^ = ^— у, х) [х, у — точки одного слоя расслоения g]. Ясно, что / есть ОЛ₽2"-эквивалентность и что /2 = —id. Таким образом, / превращает g©g в комплексное векторное расслоение размерности п (см. 1.12). Это комплексное векторное расслоение называется комплексной оболочкой расслоения § и обозначается через Cg.,

Если g — евклидово расслоение размерности п, то та же конструкция превращает g©g в эрмитово расслоение размерности п. Оно также называется комплексной оболочкой, расслоения g и также обозначается через Cg.

В обоих случаях переход от g к Cg называется комплекси- фикацией. Ясно, что в обоих случаях RCg = g©g.

Каждое из расслоений RCg, g©g, входящих в последнее равенство, обладает канонической ориентацией; см. 1.13 и 9. Оказывается, что эти ориентации совпадают, если «=0, 1 mod 4, и противоположны, если п = 2,3 mod 4.

Для доказательства фиксируем в произвольно взятом слое prg-1(b) расслоения g какой-нибудь базис (ортонормированный базис) уь ..., Сп. Каноническая ориентация слоя prg-1(b)X prg-1 (6) расслоения RCg равна +1 на базисе (щ, 0), (0, оО, ..., (v„, 0), (0, vn) этого слоя, каноническая ориентация слоя рг g-1 (6)Х prg-1(^) расслоения g©g равна +1 на базисе (vb 0)(о„, 0),

(0, »]), ..., (0, у„) этого слоя, и остается заметить, что переход от одного базиса к другому осуществляется п^п — Г)/2 перестановками соседних векторов и что это число четно, -если /г = 0, 1 mod 4, и нечетно, если п = 2,3 mod 4.*

Отображение conj: Cg—>conj Cg, определяемое формулой tlconj(x, у) = (х, —у), являемся СЕС^-эквивалентностью для всякого вещест венного векторного расслоения g размерности п и иСп-эквивалентностью для всякого евклидова расслоения § раз-, мерности п.'-

Действительно, эквивалентности /ь /2: g©g->g©g, превращающие g © g в Cg и conj Cg, определяются формулами tl Д (х, у^= (—у, х), U = — Ii, так-то /2 ° conj = conj о iv -

Отображение К1, ^©conj с ^-CR1, определяемое формулой tl К (х, у) = (у (х + у}, у (tl / (у) — tl I (х))} , где I — эквивалентность, превращающая Rc в £, является GLCn-эквивалентностью для всякого комплексного векторного расслоения Е размерности п и иСп-эквивалентностью для всякого эрмитова расслоения ^ размерности п.

Действительно, эквивалентности 1\, /2: R£©R£ -> Rs ©RE, превращающие Rg©Rg в g©conjg и CRg, определяются формулами tl С (х, у) = (tl 7(х), — tl/(у)), tl /2(х, у) = (— у, х), так ЧТО 1-2.0 К = К ° 1\.

Классические универсальные векторные расслоения

/. Главная ценность конструкции п. 4.3 заключается в том, что она устанавливает существование универсального G-расслоения для совершенно произвольной топологической группы G. Для групп GL^n, R), GL+ (п, R), О (/г), SO (п), GL(n, С}, U (п) имеются более удобные классические конструкции, которые и излагаются в настоящем пункте.

Пространства Грассмана

Положим.

G (оо, «) — lim (G (m, п}, in: G (пг, п} -* G (т + 1, пф},

G+(eo, п) = lim (G+ (m, «), in: G+ (m, n} -> G+ (m + 1, «)),

CG(oo, n} = lim (CG (m, n}, in: CG (m, «) -> CG(m + 1, n)).

G(oo,«) состоит из всевозможных «-мерных плоскостей пространства R°°, проходящих через 0, и называется п-м (вещественным} пространством Грассмана, G+ (оо, п} состоит из всевозможных ориентированных «-мерных плоскостей пространства R°°, проходящих через 0, и называется п-м верхним пространством Грассмана, CG(oo,n} состоит из всевозможных «-мерных плоскостей пространства С°°, проходящих через 0, и называется п-м комплексным пространством Грассмана.

Ясно, что канонические отображения G+ (m, п} -> G (пг, п}, CG(m, п} ->G(2m, 2л}, СО(пг, п} -> G+ (2m, 2п}, G(m, n}->G(m-\-q, n + q}, G+ (m, n}^- G+(m + q, n + q}, CG (m, n} —> CG (m + q, n-Vq} (см. 3.2.2.3 и 3.2.2.7) составляют при любом п отображения G+ (со, п} -> G(co, п}, CG (со, п) -> G (со, 2п}, CG(eo,n}-> G+ (со, 2«), G (оо, п} G (оо, п + q}, G+ (оо, п} -» G+ (оо, п + q), QG(oo,n)-> CG(oo,« + y), из которых первое (как и каноническое отображение G+ (пг, п} G (m, п} с m < оо) является проекцией двулистного накрытия, второе представляет собой композицию

11 В. А. Рохлин, Д. Б, Фукс

первого и третьего и все, кроме первого, являются вложениями.

Пространства Грассмана обладают естественными клеточными разбиениями, которые мы теперь и опишем.

Начнем с G(oo,n). Обозначим через й„ совокупность всевозможных целочисленных последовательностей со = {со(1), ..., ®(п)} с (o(i)^O и условимся присоединять к каждой последовательности ® е Q„ еще член ®(0) = 0. Обозначим, далее, через е(®) часть пространства G(oo,«), составленную из (проходящих через 0 n-мерных) плоскостей пространства R°°, пересекающихся с каждым Rm по подпространству, размерность которого равна наибольшему из целых s с со (s) + s ^т. Мы покажем, что множества е(ю) составляют клеточное разбиение пространства G(oo,n) с dime(co) = с?(со), где с/(®) = ©(!) + . .. + ®(п).

Для доказательства нужно построить характеристические отображения chae(to): D11^ —> G (оо, nV Фиксируем ® и обозначим через г (и, у), где и, и — точки сферы 5“('t)+n_| с и + v =#= 0, преобразование из SO (со (п) + ц), переводящее ив пи оставляющее на месте векторы пространства R“W+n, ортогональные и и у. Обозначим, далее, через Ht ®(с)-мерную полусферу, составленную из точек (хь .... х^у^ eSa(1,+‘^:, у которых хи(П+/ = 0 при /=1, .... ZН- 1, a xo(p+{^0, и рассмотрим отображение q>: Ну X ••• XHn->G(eo, п), относящее последовательности («1uj плоскость, определяемую п-репером

«ь [r(ortto(n+1, щ)]^),■

[r(ottto(1)+1, «1)о ... о г (оДш („-!) + („-!), «„-,)](«„)(1)

(который, очевидно, является ортонормированным). Ясно, что оно непрерывно и отображает int (//[ X ••• ХН^ в е(®), а д (Ну X • • • X Н^ — в объединение множеств е (со') с d (со') < d (со). Кроме того, его сокращение ab ср: iht (Ну X • • • X GJ в (со) является гомеоморфизмом: обратное отображение относит плоскости уее(ю) последовательность

(иу = оу, u2 = [r(ortaW+i, Mi)]-1 (v2), •

«м= КоПо(1) + 1, Uy) ° ... or (ortti („-1) + („-,), «„-1)]-1 (y„)), где Vi, ..., y„ —векторы, составляющие ортогональный базис плоскости у и выбранные так, что ut лежит в половине х^у^у > О сферы sa(i)+i~‘ (этими условиями они определяются однозначно). Следовательно, в качестве chae((0) можно взять сквозное отображение

pd№ дш(1’х ... X Dto№ -*НуХ ... XH^^-G^.n),

где левая стрелка обозначает канонический гомеоморфизм, указанный в 1.2.6.9, а средняя — произведение гомеоморфизмов D®W-*HU определяемых формулой

(Xi, . . ., Яюц)) ^^ (^Ь • • • > -^шЦ), 0> ^codJ + l, • • •> хш (2), 0, ... О,

■^юЦ — 1)+Ь •••> Л-ш(г), V1 S| * *Xj ).

Клеточное разбиение пространства G+(oo, п) содержит вдвое больше клеток, чем клеточное разбиение пространства G(oo,n), а именно, над каждой клеткой е(со) лежат две клетки из G+(oo,n), гомеоморфно отображаемые на е(со) проекцией G+(oo,/г)-> G(oo,«): клетка е+(со), плоскости которой ориентированы так, что ориентация положительна на описанном выше базисе их, ..., и„, и клетка е_(со), плоскости которой ориентированы противоположно. Характеристические отображения строятся для этих клеток так же, как для клеток е (со), только под плоскостью, определяемой репером (1), теперь понимается ориентированная плоскость [ее ориентация положительна на репере (1) в случае клетки е+(со) и отрицательна в случае клетки е_(со)].

Клеточное разбиение пространства CG(oo,«) состоит из клеток Се (со) с со е Q„, которые определяются так же, как клетки е(со), с заменой пространств R°° и Rm пространствами С°° и Ст. Размерность клетки Се(со) равна 2cZ(co), и отображения сйасею) являются точными комплексно-эрмитовыми аналогами отображений chae(M).

Так как построенные разбиения содержат лишь конечное число клеток каждой размерности, то они обладают свойством (С). Они обладают и свойством (W), так как каждое из многообразий G(m,/г), G+ (т, п), CG^m,n\ составляющих фундаментальные покрытия пространств G(oo, /г), G+(oo, ц), CG(oo, ц), покрывается конечным числом клеток. Наконец, из теоремы 1.2.4.6 следует, что пространства G(oo, ц), G+(oo, ц), CG(oo, ц) нормальны. Таким образом, построенные клеточные разбиения делают G(oo, n), G+(oo, и), CG(oo,/г) клеточными пространствами.

Ясно, что многообразия G(m,n), G+^m,n\ CG(m,n) являются подпространствами пространств G(oo, ц), G+(oo,/г), CG(oo,n) в клеточном смысле. Таким образом, они тоже оказываются клеточными пространствами.

Заметим, что канонические вложения

G(oo, ц)->С(оо, n-Vq\ G+ (<х>, п) -^-Gv (оо, п + q),

CG(oo, /z)-*CG(oo, n + ^)

(см. 2) являются клеточными вложениями. Образ первого из них содержит ske„G(oo, п + дУ образ второго — ske„ G+ (оо, п + дУ образ третьего — ske2„+i CG (оо, п + дУ .

Столь же очевидны включения G (гаг, п} лэ skem_„ G (оо, пУ G+(m, и) лэ skem_„ G+ (оо, п), CG(m, п) гэ ske2m-2fl+i CG (оо, «).

Расслоения Грассмана

Пусть O^n^m^oo и п < оо. Обозначим через Г (гаг, га), Т+(т, пУ СТ (т, п) подмножества произведений G (гаг, га) X R"1, G+ (гаг, n) X Rm, CG^n, п)ХСт, составленные из точек (у, xj с хе у, и рассмотрим расслоения

(Г (/и, п), pr, G^ni, п)), (Т+(т, пУ pr, G+ (гаг, га)),

' (СТ (гаг, пУ pr, CG^m, пУ

с рг(у, х) = у. Слои первого расслоения в очевидном смысле являются евклидовыми пространствами, слои второго — ориентированными евклидовыми пространствами, слои третьего — эрмитовыми пространствами, и столь же очевидно, что первое расслоение локально ^-ОК^-тривиально и, следовательно, является евклидовым, второе локально 1Г-5О₽"-тривиально и, следовательно, является ориентированным евклидовым и третье локально И^СЛтривиально и, следовательно, является эрмитовым. Мы обозначаем их через Gra (гаг, О (га)), Gra (гаг, SO (га)), Gra (гаг, U (п)У а расслоения, в которые они превращаются расширением групп О (га), SO (га), О (га) до GL(n, ■₽), GL+(n, R), GL^n, С),— через Gra (гаг, GL(n, R)), Gra(гаг, GL^n, R)), Gra(гаг, GL(n, C)). Расслоения всех шести серий называются расслоениями Грассмана. При гаг= оо их обозначения сокращаются до Gra О (га), Gra SO (га), Gra U (пУ Gra GL ^n, R), Gra GL+ (n, R), Gra GL (n, C).

Заметим, что Gra (/га, О (га)) с гаг < оо есть подрасслоение стандартного тривиального расслоения (С(гаг, га) X Rm, prb G (гаг, «)) ■ (рассматриваемого как евклидово расслоение), ассоциированное с диагональным сечением yi—>(у, у) расслоения (G (m, ra)XG(m, га), prb G^rn, ri)). То же верно с очевидными модификациями для остальных пяти серий.

Расслоения GraG с G = GL(n, R), GL+ (п, R), О (га), SO (га), GL^n, С), U (га) универсальны.

Доказательства для разных G различаются лишь очевидными деталями и очень близки к доказательству теоремы 4.3.4. Мы ограничимся группой GL^n, R). Согласно 4.2.2, достаточно показать, что, каковы бы ни были вещественное векторное расслоение g размерности п с клеточной базой и подпространство А этой базы, всякое СТВ”-отображение g: U ^ Gra GL (п, R) продолжается до С^”-отображения ^->■ Gra GL(n, R).

Сначала мы рассмотрим случай, когда bs£ = Dr+1 (с некоторым г), a A = Sr. В этом случае расслоение g СБК”-триви- ально, что позволяет считать его стандартным тривиальным расслоением (£>г+1 X R", ргь Dr+1) и определить требуемое продолжение f: £ -> Gra GL (п, R) явной формулой: мы обозначаем через gj сквозное отображение

Sr X R" tl Gra GL (п, R) G (oo, n) X R°° — R°°, определяем отображение ff. Dr+1 X Rn->R°° формулой fi Oy, to, • • •, xny =

- tgAy, to, .... ^)) + Vi — t2 (0, ..., o, xb .... x„, o, ...),

m

где у e Sr, tel, a m есть жаименьшее из чисел s с Rsd gi^XS""1), и полагаем tlf(y, х) = (ft (у X R"), fAy, xV).

Общий случай сводится к этому специальному случаю. Будем считать пространство bs^ оснащенным и предположим, что уже имеется САР^-отображение fr: g |ливке bs?~> GraGL^n, R), продолжающее g. В силу уже доказанного, для каждой клетки е g cellr+1 bsg \ cellr+1 А СЛК"-отображение

ge =/г ° ad [ab chae: Sr A U sker bs g]: cha* g |sr->• Gra GL (n, R) продолжается до некоторого СЛк”-отображения he; cha^-» Gra GL(n, R), и ясно, что отображение tl/ге постоянно на эле-, ментах разбиения zer (tl ad chae). Применяя теорему 3.2.6 (с B = Dr+1 и p = [abchae: Dr+1 ->CI е]), мы видим, что he определяет СЛ^-отображение £ |Gl е -»• Gra GL (п, R). Мы обозначаем это отображение через fe и замечаем, что для любых клеток б^ е2 е cellr+I bs £ \ ceilr+1 А отображения tl fе, tl fe совпадают над Ое^Обз и что для любой клетки ее cellr+1 bs^ \ cellr+1 А отображение tlfe совпадает над Cl еП (XUskerbs£) с tl fr. Из этой согласованности следует, что отображения fr и fe с е g cellr+1 bs£ \ cellr+1 А составляют некоторое GLR”-oтoбpaжeниe fr+1: Е,1ли5ке bs5->Gra GL{п, R), продолжающее fr; см. 3.2.7. Тем самым индуктивно построена последовательность {fs: gl4Uske bs $ -> Gra GL (n, R)}”_| cf_x = g, члены которой — продолжающие друг друга ОБК”-отображения. Отображения fs и составляют GLR”-oтoбpaжeниe g-»Gra GL^n, R), продолжающее g.■

Расслоения Gra(m, GL(n, R)), Gra(m, GL+(n, R)), Gra(m, О (zz)), Gra (m, SO (zz)) (m — пУуниверсальны. Расслоения Gra (zn, GL (п, C)), Gra (zn, U (zz)) (2zn — 2zz + ХУуниверсальны.

Это следует из 7 (см. 5 и 4.2.7).-.

Ассоциированные главные расслоения

При m < оо тотальными пространствами главных расслоений, ассоциированных с расслоениями Грассмана

Gra(m, GLU, R)), Gra(m, GL+ U, R)), Gra(m, GL^n, C));

Gra (m, О (n)), Gra (/n, SO (n)), Gra (m, U (n)),

служат, очевидно, V'^m, nA, V'(jn,ri), CV'U1,^ V ^m, ri), V (m, re), СУ (m, ri), а проекциями — отображения из 3.2.2.3 и 3.2.2.7

V' (т, n)—>G (т, ri), V' (tn, п) -> G. (т, п),

СУ' (т, /г) -> CG Vn, nY(2)

V (т, ri)-^-G (т, ri), V (т, п) -»- G+ (т, ri),

CV <т, n^CGlm, п\ ■(3)

То же верно при т = оо, если У'(оо, ri), СУ'(оо, я), У (оо, я), СУ (оо, и) понимаются как Пт(У'(т, n), in), Пт(СУ'(т, n), in), Нт(У(т, ri), in), Ит(СУ(т, /г), in), а проекции (2), (3) с т = оо — как составленные из проекций (2), (3) с т < оо. Пространства У'(оо, и), СУ'(оо, ri), У (оо, и), СУ (оо, ri) называются пространствами Штифеля.

Ясно, что канонические правые действия структурных групп в рассматриваемых тотальных пространствах (см. 3.2.10) при пг < оо совпадают с правыми действиями, описанными в 2.3.12 и 2.3.13, а при т — оо составлены из последних.

Расслоения asso (Gra О (1), 0(1)) и asso (Gra U (1), U (1))

Главное расслоение, ассоциированное с Gra 0(1), ОкАУизо- морфно расслоению Mi 0(1). Главное расслоение, ассоциированное с Gra 0(1), U (ХУизоморфно Mi 0(1).

Для доказательства достаточно указать какой-нибудь О (1)-го- меоморфизм fl Mi О (1)-> tl asso (Gra О (1), О (1)), рассматривая 11 Mi О (1) и 11 asso (Gra О (1), О (1)) = У (оо, 1) с R°° как правые О (1)-пространства, и какой-нибудь О(1)-гомеоморфизм 11 Mi 0(1) -> 11 asso (Gra 0(1), 0(1)), рассматривая HMiO(l) и 11 asso(Gra0(1), 0(1)) = СУ(оо, 1)сС“. как правые О(1)-про- странства; см. 4.3.1.9 и 3.2.10. То и другое осуществляется формулой

{pr Ut, G))”=i U« 7^7=1;

смысл левой части этой формулы объяснен в 4.3.2, в правой же части элементы gt группы 0(1) или 0(1) рассматриваются как числа (имеются в виду включения 0(l) = S°cR, 0(1) = S'с С).

Важнейшие сужения структурной группы

Расслоения Грассмана позволяют применить к проблемам сужения структурной группы, которые рассматривались в п. 1, схему п. 4.4. Это и делается в настоящем пункте. Напомним, что сужения, отвечающие включениям

О ^ с GL <п, R), SO (п) с GL+ (п, R), U (п) с GL ^п, С), (4) означают введение евклидовой или эрмитовой метрики, сужения, отвечающие включениям

GL+ (п, R) с GL (п, R), SO (п) с О (п),(5)

— введение ориентации, и сужения, отвечающие включениям

GL (п, С) с GL (2п, R), U (п) с О (2п\(6)

— введение комплексной структуры. Мы укажем для каждого из включений (4), (5), (6) каноническое классифицирующее отображение и извлечем из этого наиболее очевидные следствия. Кроме того, мы сделаем то же для включений

GL (п - s, R) с GL (п, R), GL+ (п - s, R) с GL+ (п, R),

• GL (п - s, С) с GL {п, С),(7)

O(/i-s)cO(fi), SO (п - s) с SO (п), U ^п — s) с. U )п).(8)

Сужения структурной группы, отвечающие этим шести включениям, могут быть интерпретированы как представление заданного расслоения размерности п в виде s-кратной надстройки над (/г — з)-мерным расслоением.

Для включений (4) намеченная программа осуществляется совсем просто. Расслоения Gra GL{n, R) и GraO(n) имеют одну и ту же базу G (оо, п), расслоения . Gra GL+ (n, R) и GraSO(n)—одну и ту же базу G+(oo,n) и расслоения GraGZ.(n, С) и Gra U (п) — одну и ту же базу CG(oo, п), и ясно, что во всех трех случаях тождественное отображение базы является классифицирующим. Следовательно, отображения

ext: Stee (В, OR")-> Stee (В, GLR"),

ext: Stee(B, SOR") -> Stee (B, GL+Rn),

ext: Stee(B, UC") -> Stee (B, GLCn)

обратимы для всякого клеточного пространства В; см. 4.4.2. В частности, всякое вещественное векторное расслоение с клеточной базой обладает евклидовой метрикой и всякое комплексное векторное расслоение с клеточной базой обладает эрмитовой метрикой.

В качестве следствия мы получаем теорему, уже сформулированную в 2.8: для всякого векторного расслоения £ с клеточ;

ной базой и всякого его подрасслоения ^ существует такое его подрасслоение ^2, что £ распадается в сумму подрасслоений ^ И |2.

Столь же очевидно, что проекция G+ (оо, п) -* G (оо, п) является классифицирующим отображением для обоих включений (5), а включение CG (оо, п) -> G (оо, 2п) — классифицирующим отображением для обоих включений (6). Однако гомотопические свойства этих классифицирующих отображений уже достаточно сложны. К первому из них мы вернемся в § 5.6, где в нашем распоряжении будет больше средств. -

Для включений (7) и (8) также имеются очевидные классифицирующие отображения: для обоих левых включений это каноническое вложение G(oo, п — s)->G(oo, ц), для обоих средних включений—каноническое вложение G+ (оо, п—s)->G+ (оо, п), для обоих правых включений — каноническое вложение CG(oo, п — s)->CG(oo, ц) (см. 3.2). Отождествив посредством этих вложений пространства G (оо, ц — s), G+(oo,n —s), CG (оо, п — s) с их образами, мы можем написать, согласно 3.5:

G (оо, n — s) лэ ske„_s G (оо, ц), G+ (оо, п — s) о sken-s G+ (оо, ц),

CG(oo, п — s) лэ ske2„_2s+1 CG(oo, ц).

Первое включение показывает, что пара (G(oo,n(, G(oo,n— s)) (п — э)-связна (см. 2.3.2.2), из чего следует (в силу теорем 2.3.2.4 и 2.3.2.5), что отображение л (id, in): л (В, G(oo,n— s))—> л (В, G(oo, ц)) обратимо для всякого клеточного пространства В с dim В < п — s и отображает л (В, G (оо, п — s)) на л (В, G (оо, «)) для всякого клеточного пространства В с dimB = n — s. Таким образом, отображения

ext: Stee (В, GBR"~S)-> Stee (в, GLRn\ext: Stee (В, OR”~S) Stee (fi, OR")

обратимы для всякого клеточного пространства В с dim В < п — s и имеют своими образами Stee(В, GLRn), Stee (В, OR") для всякого клеточного пространства В с dimB = n — s. Совершенно так же из включения G+(оо, » — s) лэ ske„-sG+(оо, п) следует, что отображения '

ext: Stee (В, GB+R"~S)-> Stee (в, GL+R"\ext: Stee(В, SOR"~s)-> Stee (В, SOR")

обратимы для всякого клеточного пространства В с dim В < п — s и имеют своими образами Stee (В, GL^RnY Stee (В, SOR") для всякого клеточного пространства В с dimB = n —s, а из вклю-

чения CG(oo, п — s) о ske2„_2s+i CG (оо, «) следует, что отображения

ext: Stee(B, GLC""S)Stee (В, GLCn\

ext: Stee(B, GC"-S) Stee(B, GC")

обратимы для всякого клеточного пространства В с dimB^ 2(п —s) и имеют своими образами Stee(B, GLC\ Stee(B, GC") для всякого клеточного пространства В с dimB = 2n — 2s + 1. Таким образом: всякое вещественное (комплексное) векторное расслоение размерности п с клеточной базой размерности^n — s (размерности ^2п— 2s+1) СТК"-эквивалентно (ОВСЛэквива- лентно) s-кратной надстройке над расслоением размерности п — s; если у двух вещественных (комплексных) векторных расслоений размерности п —s с клеточной базой размерности <п — s (размерности <2п — 2s + 1) s-кратные надстройки ОПЕС-эквивалентны (СВС”-эквивалентны), то сами эти расслоения СВ^-5-эквивалентны (СВС”-5-эквивалентны).

Упражнения

Показать, что для всякого вещественного векторного расслоения g размерности п расслоение asso(g, R" \ 0) эквивалентно (в смысле 1.1.2) расслоению, тотальным пространством которого служит дополнение образа нулевого сечения в tig, а проекцией — сужение проекции prg.

Показать, что для всякого евклидова расслоения | размерности п расслоения asso(£, Dn) и asso (g, S"-1) эквивалентны расслоениям, тотальными пространствами которых служат части пространства tig, составленные из векторов длины ^1 и векторов длины 1, а проекциями — сужения проекции prg.

Показать, что для всякого вещественного [комплексного] векторного расслоения g размерности п расслоение asso (g, V' (п, &)) [расслоение asso(g, CV'(n, /г))] эквивалентно расслоению, тотальным пространством которого служит часть /г-кратного произведения tl gX • • • XtlI, составленная из таких последовательностей (хь .'.., хй),- что prg(x,) — ... = prg(xA) и векторы X], ..., хк линейно независимы, а проекцией — сужение сквозного отображения

' tlgx xtlg-^tlg-^bsg.

Показать, что для всякого евклидова [эрмитова] расслоения g размерности п расслоение asso(g, V (n, fe))_ [расслоение asso(g, СУ (п, /г))] эквивалентно расслоению, тотальным пространством которого служит часть /г-кратного произведения

tl £ X • • • X tl g, составленная из таких последовательностей (хь ..., х^, что prg(xi) = ... = prg(x6) и векторы хь .,., хк составляют ортонормированный репер, а проекцией — сужение сквозного отображения

tux ...Xtlg-^tlg-^bsg.

Рассмотрим пространства Т, S из упражнения 1.2.9.5 и определим правое действие группы GL+(1, R) в 7\0 формулой ({хг}, A^'KtXiY Очевидно, (Г \0)/GL+ (1, R) = S. Показать, что GZ.+ (1, ₽)-расслоение, определяемое этим действием, локально тривиально, но не тривиально, и что ассоциированное одномерное ориентированное вещественное векторное расслоение не может быть наделено евклидовой метрикой.

ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ

L Основные понятия

Пусть l^r^a. Расслоение g называется расслоением класса ^ или ^-расслоением., если пространства tig, bsg являются '^’^многообразиями и для каждой точки пространства bsg существуют такая ее окрестность U, такое '^"‘-много- образие F, не имеющее края, когда U его имеет, и такой ^-диффеоморфизм /г: U X F->prg~"' (И), что prg(/z(b, х^ = Ь при любых beU, xeF. Расслоения классов с s^r называются расслоениями класса ^>г или ^''-расслоениями. Расслоения класса lF>l называются гладкими.

Если g —расслоение класса ^, то pr g есть, очевидно, ^г-субмерсия; в частности, слои гладкого расслоения являются правильными подмногообразиями тотального многообразия tig (см. 3.1.5.8). Ясно также, что слои над точками одной компоненты базы ‘^'"-расслоения попарно ^""-диффеоморфны. Если база связна и имеет край, то слои не имеют края и dtlg=prg-1 (dbsg), если же база не имеет края, то dtlg = Ibebs^ dprg-1 (6); в первом случае сужение (dtlg, abprg, dbsg) расслоения g на dbsg является ‘iX-расслоением, во втором случае (dtlg, abprg, bsg) есть ‘^'"-расслоение.

Произведение двух ^""-расслоений, у одного из которых тотальное пространство и база не имеют края, является, очевидно, ^""-расслоением.

Сужение ^""-расслоения на правильное подмногообразие базы в очевидном смысле является ^""-расслоением.

Если g — расслоение класса ^, В — многообразие класса Я?г и /: В —> bs g — отображение класса ^г, такое, что слои pr g-1 (/ (6))

ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ331331§ 61

ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ

ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ

331

331

с Ь^дВ не имеют края, то индуцированное расслоение f’£ также в очевидном смысле является ^""-расслоением. Индуцирования этого типа мы будем называть правильными. Например, расслоение in'^, где in —включение правильного подмногообразия или края базы ‘^'"-расслоения g в эту базу, всегда индуцировано правильно, и ясно, что оно совпадает, как ^""-расслоение, с соответствующим сужением расслоения £.

Пусть O^s^r. Отображение ф одного ^'"-расслоения в другое называется ^-отображением, если tl ф и Ьзф принадлежат классу ^s, и ^-изоморфизмом, если tlф и Ьзф являются ^^диффеоморфизмами при s^ 1 и гомеоморфизмами при s = 0. ^-изоморфизм, являющийся эквивалентностью, называется ^-эквивалентностью. -

^^расслоение g, ^-эквивалентное стандартному тривиальному расслоению (bs£X^> РИ, bs^), где F — многообразие класса ^>г (не имеющее края, если bs^ имеет край), называется T?s-тривиальным. Ясно, что локально всякое ^-расслоение является ^""-тривиальным, т. е. что каждая точка базы такого расслоения обладает окрестностью, над которой оно ^""-тривиально; в частности, всякое гладкое расслоение локально топологически тривиально.

Заметим, что если расслоение f'S, правильно индуцировано ‘^'"-расслоением £ посредством ^-отображения f, то adf: f! g->£ есть ^-отображение. Ясно также, что если отображение ф ^'"-расслоения V в ^'"-расслоение £ принадлежит классу <ё’г и расслоение (Ьзф)1^ индуцировано правильно, то отображение соггф: V ->(Ьэф)Ч тоже принадлежит классу .

Гладкие расслоения и субмерсии

Если г ^ оо и f — субмерсия класса ^ компактного ^-многообразия X в ^-многообразие Y, причем f~l (дУ) = дХ, то (X, f, У) есть ^-расслоение. То же верно при г— а, если X допускает ^“-вложение в евклидово пространство.

(Дополнение к этой теореме см. в 6.1.)

Доказательство1 достаточно провести для случая, когда ^(Х) = У; действительно, в общем случае множество f(X) открыто (см. 3.1.5.8) и замкнуто (см. 1.1.7.9), т. е. состоит из целых компонент многообразия У. Мы покажем, что для каждой точки у0 пространства У существует такая ее окрестность U, такое замкнутое ^""-многообразие F и такой ^-диффеоморфизм h: U X F —> f-1 ((/), что f (h {у, х)) = у при любых yeU, xeF.

В силу 3.1.5.8 (или, если угодно, 3.4.8.2) f~! (#о) есть правильное подмногообразие многообразия X, если z/osinty, и

правильное подмногообразие многообразия дХ, если уйгд¥, и в обоих .случаях это подмногообразие замкнуто как самостоятельное многообразие. Положим F — f~l ^у0), фиксируем <й’г-вложение /: X -» Rl?, ’^'"-трансверсализацию т вложения j\P: F-»R4 и правильную трубку TubTp и рассмотрим отображение

ф: Г‘аиЬтр)->УХЛ

определенное формулой ф (%) = (/(%), ргт (/(%))). Очевидно, что: ср принадлежит классу ^^ cp^G"-1 (tubTp)))cd(K X Л; Ф взаимно однозначно на F\ дифференциал б^ф не вырождается, если xeF. Ввиду компактности F, из этого следует, что ср диффеоморфно отображает некоторую окрестность множества F на некоторую окрестность множества <p(F) = p/XF (см. 3.1.5.5), и опять-таки ввиду компактности множества F, последняя окрестность содержит множество вида V X F, где V — окрестность точки уа (в У). Пусть U — такая меньшая окрестность точки у0, что /G-1 (^)) с tubT р. Тогда ф-1 (U X F) = f-' ([/), и ясно, что в качестве к можно взять (аЬф)-1: U X F —> f~! ^U).

4 (Примеры). Расслоения (У (и, к), pr, G^n, &)), (У (и, к), рг, G+ (/г, ^)), (СУ (о, /г), pr, CG (п, k)), (НУ (п, к), рг, НС(и, А)), проекциями которых служат субмерсии, определенные в п. 3.2.2, являются главными ^“-расслоениями со структурными группами О (/г), SO (й), U (й), Sp (k). Расслоения (У (/г, к), рг, У (и, к — q)), (СУ (и, к), рг, СУ (о, к — g)), (НУ (и, /г), рг, НУ (м, к — д)), проекциями которых служат субмерсии, определенные в п. 3.2.1, являются ^“-расслоениями Стинрода со структурными группами О (я—& + <?), ^Цп—к+д), Sp (и — к + д) и стандартными слоями У (и — к + д, д), СУ (и — к + д, д), НУ (п — к + д, д) [в которых указанные группы действуют канонически — см. 2.3.12]. Являются главными ^“-расслоениями и накрытия (R, hel, S1), (S1, helm, S’), (G+(и, к), рг, G^n, к)), определенные в 4.1.2.6.

Заметим, что среди перечисленных главных ^“-расслоений находятся расслоения (S3, рг, S2) и (S7, pr, S4), проекциями которых служат субмерсии Хопфа (см. 3.2.2.9). Эти расслоения называются расслоениями Хопфа. Субмерсия Хопфа 315->38 также определяет ^“-расслоение, называемое расслоением Хопфа (последнее не наделено специальной групповой структурой); его слои диффеоморфны S7. '

Гладкие расслоения как расслоения Стинрода

Пусть F — многообразие класса ^т с т"^ 1. Согласно 2.3.10, F есть эффективное ПИГ-Г-пространство, так что всякое 'У'-рас- слоение со слоями, '??г-диффеоморфными F, является 1У-5-рас- слоением (см. 3.1.3 и 3.2.1), и ясно, что такое | локально

ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ333333§ 61

ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ

ГЛАДКИЕ РАССЛОЕНИЯ

333

333

1^-Е-тривиально, т. е. является расслоением Эресмана — Фельд- бау. Схема, позволившая нам в п. 3.4 превращать расслоения Эресмана — Фельдбау в расслоения Стинрода, здесь, однако, неприменима: если dimE>0, то естественное действие группы DiffrE в F топологически не эффективно, поскольку включение Diffr F ->% (F, F) не является в этом случае топологическим вложением (см. 3.4.2 и ср. 3.5.2). Тем не менее, множество DH (g) обладает естественной топологией: оно топологизируется своим взаимно однозначным отображением в <S,r(F, tl^), относящим каждому диффеоморфизму а из DH ^ его композицию с включением слоя а(Е) в tl g. Если вторая топология в DiffE совпадает с первой (см. 2.2.8), в частности, если F компактно, то эта топологизация множества DH (g) делает, очевидно, g Е-рас- слоением Стинрода..

Описанные неявные групповые структуры в гладких расслоениях полезно сравнить с неявными групповыми структурами в локально тривиальных расслоениях (см. 3.4.5). Мы ограничимся указанием на два осложнения, возникающих в дифференциальной ситуации: не всякое Е-расслоение Стинрода можно сделать гладким — хотя бы уже потому, что база может не быть многообразием; Е-отображение одного ^-расслоения со слоями, диффеоморфными Е, в другое, как показывают очевидные примеры, может не быть ^-отображением.

Сглаживания и аппроксимации

Настоящий пункт близок по своему характеру к § 3.4: здесь для гладких расслоений проделывается часть работы, выполненной там для гладких многообразий. Часть эта довольно значительна, однако некоторые вопросы не рассматриваются вовсе. Ради краткости, мы всюду ограничиваемся замкнутым случаем; несколько дополнений, относящихся к более общим компактным ситуациям, можно найти в п. 6 (см. 6.2—6.5).

Нам потребуются два обозначения, предполагающих, что O^s^r: через Secsg, где g— расслоение класса ^, будет обозначаться множество его ^-сечений; через ^(g, g'), где g, g' —- расслоения класса <8>г, будет обозначаться множество ^-отображений g—>g'. При sN=a оба множества естественно топологизируются: первое как часть пространства ^(bsg, tig), второе как часть произведения ^^(tl ^, tl g') X ^ (bs g, bs g').

g-трансверсализации и трубки

Наша ближайшая цель — модифицировать применительно к задачам настоящего пункта определения и теоремы п. 3.4.3.

Начнем с трансверсализаций. Пусть g —гладкое расслоение с замкнутым tig и j: tlg-^R17 —дифференциальное вложение.

Непрерывное отображение т: tl g -> G (_q, q — и), где n = dim tl g — dimbsg, называется ^-трансверсализацией вложения /, если сужение T|pr^_t(yi является для каждой точки у е Y трансверса- лизацией вложения ЛРГ£-1(У). Фундаментальным примером служит нормальная ^-трансверсализация, относящая точке хе tig ортогональное дополнение плоскости dx/(Tangx prg-1 (prg(x))) в R9. Наш g-вариант теоремы 3.4.3.7 утверждает, что если g и / принадлежат классу ^'(l ^г^а\ то / обладает g-трансверса- лизацией класса ^. Доказательство является очевидной модификацией доказательства теоремы 3.4.3.7.

■ Обратимся к трубкам. Пусть т — произвольная g-трансверса- лизация вложения /. Мы определяем трубку ТпЬт р и открытую трубку tubTp как подмножества произведения bsgXR9 формулами

Tubxp= U prg(x)X^Up),.'

хе tig'

tubT Р = U pr g (х) X № кх, р) \ St кх, р)), хе tig

где d^x, р) и sT(x, р) — шар и сфера плоскости /(х) + т(х) с центром /(х) и радиусом р; иначе говоря,

TubTp= и z/ХТиЬт] t р,у g bs$1РГ£ 1 (^

tubTp = U z/XtubTiyebsg^У)

Трубка Tubxp называется правильной, если: при некотором <т> р множества pr g (х) X (dT (х, а) \ sT (х, о)) попарно не пересекаются; составляемая ими открытая трубка tubTo является открытым подмножеством произведения bsgXR9', отображение tubTo—>-tlg, переводящее prg(x) X (dT(x, o)\sT(x, а)) в х, является гладким. Сужения этого отображения на TubTp и tubTp (не зависящие от выбора о) называются проекциями и обозначаются через ргт. Если g, / и т принадлежат классу ^ с г^1, то: правильная трубка существует; всякая правильная трубка ТпЬтр является подмногообразием произведения bsgXR9 с внутренней частью tubTp; prT: TubTp->tlg есть 'У'-субмерсия. Доказательство получается очевидной модификацией доказательств теорем 3.4.3.4 и 3.4.3.5. Модификация затрагивает и конструкцию 3.4.3.3: модель Тит определяется теперь как подмножество произведения tlgXR9, составленное из точек (х, t) с /ет(х), a nat отображает Тит в bsgXR’ и определяется формулой nat(x, /) = (pr£W> /W + O

.Основные теоремы

Если г^оо, то для любых Ч^-расслоений g, g' с замкнутыми тотальными многообразиями tig, tig' и замкнутыми базами bsg, bs g' множество ^'(g, g') плотно в 'в (g, g') при любом s < г.

То же верно при г = а, если tig, tig', bsg, bsg' допускают ^-вложение в евклидово пространство.

Доказательство. Фиксируем ^'-вложение f: tig'—► R’, его g'-трансверсализацию т' класса ^г и правильную трубку Tubv р'. Очевидно, подмножество 91 пространства ^(tl g, tl g') X ^S(bsg, bsg'), составленное из таких nap (F: tig-* tig', f: bsg-> bsg'), что (f (pr g(x)), j'(F(x)))gtubT' p' для любой точки x из tig, открыто и содержит ^(g, g'). Определим для пары ^F, f) из отображение Ф^, h- tig-*tig' формулой

х *-* ргТ' У (pr g (х)), /' (F (х))).

Ясно, что (Ф^, f), ^^^(g, g') и что отображение Чг: 9Z-* ^(g, g'), определяемое формулой Ч^Р, f) = ^(F, hi hi является ретракцией и переводит 94 П №r (tl g, tl g') X (bs g, bs g')) в Ф' (g, g'). Поскольку ^'(tlg, tl g') X ^ (bs g, bsg') плотно в ^(tlg, tl g') X ^(bsg, bsg') [см. 3.4.4.2], из существования такой ретракции следует, что ^'(g, g') плотно в ^(g, g').

Если г^.оо, то для любых Ф^-расслоений g, g' с замкнутыми tig, tig', bsg, bsg', любого ^-отображения f: bsg-*bsg' и любого s < г часть пространства ^ (g, g'), составленная из отображений ф с bs ф = f, плотна в части пространства ^ (g, g'), составленной из отображений ф с bs ф = f. То же верно при г = а, если tl g и tl g' допускают ^“-вложение в евклидово пространство.-

‘ Доказательство. Обозначим через 3* часть пространства ^(tlg, tig'), составленную из отображений вида tl ф с фе^5^, g'), Ьзф = Л Мы должны установить, что пересечение ^* П ^ (g, g') плотно в 3".

Фиксируем ^'-вложение V; tlg'-*R’, его g'-трансверсализацию т' класса ^ и правильную трубку Tubv р'. Очевидно, подмножество 91 пространства ^(tlg, tig'), составленное из таких отображений F: tig-* tig', что (f(prg(x)), j' (F (x))) e tubT' p' для любой точки x из tig, открыто и содержит 3". Ясно также, что отображение множества 91 в ^*, относящее отображению F е 91 отображение

х>-*ргтД/(prg(x)), /'(^(х))),

является ретракцией и переводит <2/f]'g’'(tl g, tl g') в З7 П ^Г (tl g, tl g'). Поскольку ^ (tl g, tl g') плотно в (tl g, tl g'), из существования такой ретракции следует, что 3"П1®’Г(^1 g') плотно в З7.'

Если г^оо, то для любых <&^г-расслоений g, g' с замкнутыми tl g, tl g', bs g, bs g' множество ^-изоморфизмов g -* g' плотно при 0 <s < г в части пространства ^(g, g'), составленной

из ^-изоморфизмов, а множество ^-эквивалентностей плотно при 0 < s < г в части пространства 47s (|, В'), составленной из ^-эквивалентностей. Если г = а, то первое верно при условии, что tl £, tl ^, bs g, bs ^ допускают ^“-вложение в евклидово пространство, а второе — при условии, что tl %, tl £' допускают ^“-вложение в евклидово пространство.

Это следует из 3, 4 и 3.4.1.6.

6 (Следствия). Если два <ё>г-расслоенин с замкнутыми тотальными многообразиями и базами ^-изоморфны, причем г^оо, то они ^-изоморфны. То же верно при г —а, если тотальные многообразия и базы допускают , ^-вложение в евклидово пространство.

Если два ТТ^-расслоения сзамкнутымитотальными многообразиями ^-эквивалентны, причем г^оо, то они TF-эквивалентны. То же верно при г —а, если тотальные многообразия допускают ^“-вложение в евклидово пространство.

Если г^оо, то для всякого ТТ^-расслоения 6 с замкнутыми tl £ ы bs £ множество Secr £ плотно при любом s < г в Secs£. То же верно при г — а, если tl £ и bsc допускают ^-вложение в евклидово пространство. —

Это следует из теоремы 4, примененной к расслоениям g и (bsg, id, bs g) и отображению idbsg.

Всякое Ч?^-расслоение g с замкнутыми tig и bsg ^-изоморфно ^“-расслоению, тотальное многообразие и база которого допускают ^“-вложение в евклидово пространство.

Доказательство. Согласно 3.4.9.6, существуют ^“-многообразия Т, В, которые допускают ^“-вложения в евклидово пространство и могут быть связаны с tig., bsg ^""-диффеоморфизмами F: Z —> tl g, f: 5->bsg. Фиксируем ^-вложение j: tlg-> Rq, его g-трансверсализацию т класса ^ и правильную трубку TubTp и обозначим через ОТ часть пространства <@7Г(7', 5), составленную из субмерсий р; Т-^-В, у которых образ сквозного отображения

содержится в tubTp. Ясно, что: ОТ открыто и содержит р1 о prg о F; отображение Ф: ОТ-^^ЦТ, tig), переводящее g е ОТ в отображение хе-^ргт(<р ° g^x\ j ° F (х)), непрерывно; Ф^-1 ° prg ° f) = F. Поскольку F есть ^-диффеоморфизм, композиция X'c-prgoF обладает в Ч^ф, В) такой окрестностью У с ОТ, что Ф(§) есть ^-диффеоморфизм, если g е Т. Фиксируем в У какое-нибудь ^“-отображение /г. Из теоремы 1.3 следует, что (Т, h, В) есть ^“-расслоение, и ясно, что Ф(/г) составляет с f ^-изоморфизм расслоения (Т, h, В) в |. . ■ .

Гладкие векторные расслоения

Обыкновенно гладкость встречается в расслоениях не сама по себе, а в переплетении с другими структурами, чаще всего с групповыми структурами стинродовского тица. В подобных случаях роль гладкости аналогична роли топологии в изложенной выше теории расслоений Стинрода (§§ 3, 4), и естественно попытаться развить эту аналогию до полноценной теории гладких расслоений Стинрода.

К сожалению, подобная программа слишком обширна для нашего курса. Мы ограничимся основными сведениями о гладких векторных расслоениях, которые представляют в этом круге вопросов наибольший интерес и могут быть изложены значительно менее громоздко, чем общая теория.

Заметим, что нижеследующие теоремы о сглаживаниях и аппроксимациях (теоремы 8—12) не получаются без дополнительных ухищрений из предложений предыдущего пункта, поскольку слои векторного расслоения положительной размерности не компактны. Мы предпочли дать этим теоремам несложные прямые доказательства, так что настоящий пункт независим от предыдущего.

Основные понятия

Расслоение £ называется п-мерным вещественным векторным <6"-расслоением (l^r^n), если оно одновременно является n-мерным вещественным векторным расслоением и ‘^""-расслоением, причем эти структуры согласованы в том смысле, что сужение расслоения | на достаточно малую окрестность любой точки его базы |?""-СА₽'г-тривиально, т. е. может быть связано со стандартным тривиальным расслоением |?"’-ОШ'г-эквивалентностью С@""-ОЛК"-эквивалентность есть ОШп- эквивалентность, которая одновременно является и ‘F’’-эквива- лентностью). Подобным же образом определяются евклидовы Ч?г-расслоения, комплексные векторные 'ё'-расслоения и эрмитовы ^'-расслоения.

Перемножение и индуцирование (в частности, сужение) векторных, евклидовых и эрмитовых ^^расслоений, приводит к таким же расслоениям, если выполнены условия, выставленные в соответствующих определениях пункта 1 (см. 1.1, 1.2). -

Заметим еще, что на векторные, евклидовы и эрмитовы ^^-расслоения переносятся с очевидными модификациями в формулировках и доказательствах теоремы 3.2.8 и 3.2.9. Мы ограничимся формулировкой ‘У'-ОЬ^-варнанта теоремы 3.2.9:

если компонента bs f ^'-СИ^-отображения f одного <6>>r-GLRn- расслоения в другое удовлетворяет условиям, выставленным в 1.2 при определении ^-индуцирования, то корректирующее отображение corr f является ^'-С/^-эквивалентностью.

Прямые описания векторных, евклидовых и эрмитовых расслоений, данные в п. 5.1, также обладают очевидными ^'-аналогами (l^r^a). ^-аналог теоремы 5.1.3 утверждает, что ^'-расслоение, слои которого являются «-мерными вещественными векторными пространствами, в том и только том случае является «-мерным вещественным векторным <8"‘-рас- слоением, если частичные векторные операции, указанные в 5.1.3, являются ^'-отображениями. ^'-аналог теоремы 5.1.5 утверждает, что ^'-расслоение, слои которого являются «-мерными евклидовыми пространствами, в том и только том случае является «-мерным евклидовым ^'-расслоением, если классу ^ принадлежат указанные .частичные операции и метрика (квадрат длины вектора, рассматриваемый как функция на тотальном многообразии расслоения). В частности, сделать вещественное векторное ^'-расслоение евклидовым ^'-расслоением — значит ввести в нем евклидову ^'-метрику. Соответствующие комплексные формулировки (т. е. ^'-аналоги теорем из 5.1.10) таковы же, только евклидовы расслоения и евклидова метрика заменяются эрмитовыми расслоениями и эрмитовой метрикой.

Гладкие расслоения Грассмана

Фундаментальными примерами гладких векторных, гладких евклидовых и гладких эрмитовых расслоений служат расслоения Грассмана, определенные в 5.4.6, с т < оо. Именно, если 0^«^«г<оо, то Gra(«z, GL(«, R)) в очевидном смысле является вещественным векторным ^"-расслоением, Gra(«г, GL(n, С)) — комплексным векторным ^"-расслоением, Gra («г, О («)) — евклидовым ^"-расслоением, Gra («г, U («))— эрмитовым ^"-расслоением. Напомним, что все они имеют размерность п. Третье расслоение отличается от первого только наличием евклидовой ^"-метрики, четвертое от второго — наличием эрмитовой ^"-метрики.

. Нижеследующая теорема 5 может рассматриваться как ослабленный ^'-аналог (с г =^ а) части предложения 5.4.8, относящейся к расслоениям Gra(«z, GL(n, R)) и Gra(«z, GL(n, С)).

Пусть £— вещественное или комплексное векторное ^-расслоение размерности п с компактной базой. Если г ^=щ то при - некотором m су ществует такое <6’г-отображение f\ bs ^->G(m, n) в вещественном случае и f: Ьз£->С6(«г, «) в комплексном случае, что £ <$г-ОЕКп-эквивалентно /’Ога(«г, GL^n, R)) в веще-

ственном случае и ^-GLC"-эквивалент но f' Gr a (гаг, GL (п, С)) в комплексном случае.■

Комплексный случай отличается от вещественного лишь очевидными деталями, и мы ограничимся вещественным случаем. Найдем для каждой точки 6ebsg карту фi,eAtlг,bsg с

фДзиррфг,, £) = (RZ, О) или (Rz_, О) [/ = dimbs g,

такую, что сужение £|5иррФб <@""-6£К"-тривиально, и фиксируем ®’г-САЯ"-тривиализации

т6: (supp^XRra, РП, supp фй) —>■ gsupp ф^.

Покроем, далее, bsg конечным числом множеств ф^1 (.D1), скажем, множествами ф”1^), ..., ф™1 (D!), и фиксируем ^-функцию a: RZ-*R, равную 1 на D1 и 0 вне 2D1. Определим, наконец, отображения Hv, ..., Hs: tlg->R" формулой

{

«(Фй. (pr g(x))) pr2 0 tl t”1 (x),

если x G pr g—* (supp фй.),

О, если x^pr^-1 (supp фй/),

где pr2 = [pr2: 8цррфй;ХК"-*К"], и отображение Н". tlg-*R"X . .. XRn = R'sn формулой Я(х) = (Я[ (х), ..., ЯДх)). Очевидно, Н есть ^-отображение и сужения Я| s-i(6) с Я <= bs £ являются линейными мономорфизмами. Мы полагаем m — sn и определяем отображение f: bsg->G(m, га) формулой f (6) = Я(рг£-1 (6)). Чтобы установить '?"'-СА₽'г-эквивалентность расслоений g и /'Ога(гаг, GL^n, R)), нужно лишь построить ^-GL^-oto- бражение ф: £->Gra(m, GL^n, R)) с bsф = f (см. 2), а для этого достаточно определить отображение 11 ф: tl g->tl Gra(m, GL(n, R)) формулой tl ф (x) = (f (pr g (x)), Я(х)) [напомним, что tl Gra (гаг, GL (n, R)) есть часть произведения G (in, n) X Rm, составленная из пар (у, у) с г/еу].

Применение

Если 1 ^г^оо, то всякое вещественное векторное ^-расслоение с компактной базой обладает евклидовой метрикой класса ^т и всякое комплексное векторное ^-расслоение с компактной базой обладает эрмитовой метрикой класса ^г.

Это следует из теоремы 5, поскольку расслоения Gra(m, GL(n, R)) обладают евклидовой метрикой класса <8а, а расслоения Gra(m, GL(n, С)) — эрмитовой метрикой класса ^L

Сглаживания и аппроксимации

В нижеследующих теоремах 8 и 10 через U^, g'; f), где g, g' — вещественные или комплексные ^'-расслоения и r>s>0, a f— отображение класса ЯЗ8 многообразия bsg' в многообразие bsg, обозначается множество линейных ^-отображений ф: g'-*g с Ьзф = /. При s=^a это множество обладает естественной топологией как часть пространства ^AY

Если dimg = dimg' = n, bsg = bsg' и / = id, то Ls (^, g'; f) содержит в качестве подмножества совокупность всех ^-GLR11- эквивалентностей g'-*g в вещественном случае и совокупность всех ^-СЕС^-эквивалентностей V ~А в комплексном случае. В обоих случаях это подмножество, очевидно, открыто при любом s =7= а.

Заметим, что среди пространств L8^, g'; f) находятся все пространства Secs'g (см. 2.1). Точнее: Sec^g канонически гомео- морфно Ls^, g'; /), где g'— стандартное тривиальное расслоение (bsg Х-R, ргь bsg), a /==idbs^; канонический гомеоморфизм 1/(6, i'; f)-*Secsg относит отображению ф: g'-* g сечение 6>—*11ф(6, 1).

Пусть g, g' — вещественные или комплексные векторные ^>г-расслоения с компактными базами. Если 0 ^s < г ^оо, то для всякого ЯЗТ-отображения f'. bs'^' ->bs с множество Lr (^ g'; f) плотно в Ls ^, g'; f).

Комплексная ситуация отличается от вещественной лишь очевидными деталями, и мы ограничимся вещественной. В силу теоремы 5 можно считать, что g = g'Gra(m, GL^n, R)) и V = gz' Gra(m', GL Ln', R)), где g и g' — некоторые ^-отображения баз bsg и bsg' в G(m, щ и G^m', n'Y Тогда tig можно отождествить с ^'-подмногообразием произведения bsgXR^ составленным из пар (Ь, у), у которых y = gVbY a tig' — с ^'-подмногообразием произведения bsg'XRm, составленным из пар ЦУ, y'Y у которых y' = g'kb,\ Ортогональные проектирования пространства Rm на его подпространства ^(6) с бе bsg составляют некоторое ^'-отображение р". bsgXR'^^tls, а ортогональные проектирования пространства Rm на его подпространства g'^b') с 6'ebsg' — некоторое ^'-отображение p':bsg'X Rm ->tlg'. Обозначим через А евклидово пространство всех

линейных отображений Rm ->Rm (т. е вещественных тХт'- матриц —ср. 3.2.1.1 или 3.2.1.7) и рассмотрим отображения

Ф: LS(L Г; П^ЧМ', А Ф: r'(bs^, А)^Г(6, ^; П, определяемые формулами

{[ф (ф)] О (/) = [pr2: bs ^ X Rm ^ Rm] (tl ф о р' (V, У'»,

[Н(ЧЧ/0)Ж, y') = p(f(b'), lh(b')](y'))

[cpeLs(E, ^; f), bebs^', у'eRm , h e ^s (bs £', А)]. Отображение Чг (как, впрочем, и Ф) непрерывно и переводит ^-отображения в ^"-отображения. Кроме того, 'Г ° Ф = id Ls(£,£';/)> так что Ч1 отображает ^(bs^, А) на V ^, ^; Л- Из этих фактов и плотности множества ^(bs^, А) в ^(bs^, А) [см. 3.4.6.5] следует плотность множества U ^, £'; Л в V ^, ^\ f). [Пояснение: теорема 3.4.6.5 применяется после дополнения пространства А точкой до сферы; ср. 3.4.4.2 и 3.4.4.6.]

Пусть £ — вещественное или комплексное векторное расслоение с компактной базой. Если 0 ^ s < г ^ оо, то множество Secrg плотно в Sec5^.

Это следует из теоремы 8, поскольку Secr£ = //(£, ^; idbsg), где ^ = (bs^XR, РИ, bs^), a Sec^ = Ls U, ^'; id bs^); см. 7.

JO. Пусть £, ^ — вещественные (комплексные) векторные ^-расслоения размерности п с общей компактной базой. Если O^s < г ^ оо, то множество Ч?г-О1_Кп-эквивалентностей £'—>£ (множество ^-ОиСЧ-эквивалентностей £'—>£) плотно в подмножестве пространства Ls (g, g'; id), составленном из ^s-GLRn-эквивалентностей (из <8’5-ОЕСп-эквивалентностей).

Это следует из теоремы 8 ввиду открытости указанного подмножества пространства Ls^, g'; id).

11 (Следствие). Если вещественные векторные ^-расслоения размерности п с компактной базой и г ф a GLRn-эквивалентны, то они ^’r-GLRn-эквuвaлeнтны. Если комплексные векторные ^-расслоения размерности п с компактной базой и г =£ a GLC'1- эквивалентны, то они ^T-GLCn-эквивалентны.

Если базой вещественного (комплексного) векторного расслоения g размерности п служит компактное ^-многообразие с l^r^oo, то | ОЬ^-эквивалентно (GLCn-эквивалент но) вещественному (комплексному) векторному ^-расслоению. Если базой вещественного (комплексного) векторного ^-расслоения ^ размерности п служит компактное ^-многообразие с 1 ^ s < г^оо, то £ 'У5-GLRn-эквивалент но (^8-СЕСп-эквивалентно) вещественному (комплексному) векторному ^-расслоению.

Комплексная ситуация отличается от вещественной лишь очевидными деталями, и мы ограничимся вещественной. Если g — вещественное векторное расслоение размерности п, базой которого служит компактное ‘^'"-многообразие, то, согласно 5.3.8 и 3.5.2.13, g ОЕК^эквивалентно при достаточно большом т расслоению f1 Gra (щ, GE (и, R)), где f— некоторое непрерывное отображение базы bsg в G(m, п). Если £ —вещественное векторное ^-расслоение размерности п с компактной базой, то, в силу теоремы 5, £ ^-СЕ^-эквивалентно при достаточно большом /и расслоению f’Gra(m, GL^t, R)), где f — некоторое ^-отображение базы bsc в G(m, п\ В обоих случаях f гомотопно некоторому ‘^'"-отображению g; bs^->G(m, и) [см. 3.4.6.5, 1.3.6.6 и 3.4.5.10], так что^ СЕР^-эквивалентно g' Gra(m, GL (п, R)) [см. 4.1.5]. В первом случае доказательство этим и заканчивается, во втором случае остается добавить, что, в силу 11, £ и ^^СЕК^эквивалентно g'Gra^, GL^n, R)).

Конструкции

Мы заключим этот пункт кратким пересмотром конструкций, описанных в § 5.

^-подрасслоением (вещественного, или комплексного) векторного ^""-расслоения g называется его подрасслоение в смысле 5.2.2 или 5.2.3, у которого тотальное пространство является ^-подмногообразием многообразия tig; ясно, что это — векторное ^-расслоение. Подобным же образом определяются ^-подрасслоения евклидовых ‘^'"-расслоений и эрмитовых ‘^'"-расслоений, ‘^'"-подрасслоения 4""-расслоений называются просто подрасслоениями.

Согласно 5.2.5, в евклидовом и эрмитовом случае всякое подрасслоение т] расслоения g обладает ортогональным дополнением т]-1-, и ясно, что: ц-1- является ^-подрасслоением вместе с ц; каноническая эквивалентность между ц-1- и факторрас- слоением Е/ц (см. 5.2.6) делает и g/q евклидовым или эрмитовым ^^расслоением (превращаясь в ^-эквивалентность). Благодаря последнему в векторных случаях (вещественном и комплексном) факторрасслоение g/q делается векторным ^Ерасслоением после введения ^-метрики (евклидовой или эрмитовой); ее выбор не влияет, очевидно, на результат, однако, следует помнить, что ее существование было установлено нами лишь при условии, что база компактна и s^a (см. 6).

Если вещественные векторные <ё""-расслоения gb g2 имеют общую базу без края, то конструкция суммы gi©£2> изложенная в 5.2.9, очевидным образом делает ее вещественным векторным ‘^'"-расслоением. Затруднение, возникающее при наличии края

(и состоящее в том, что произведение ^ X £2 не определено как ^'-расслоение), можно обойти, воспользовавшись . фор

мулами

tlfei©^) = tl((pr^)'y,pr 61 © ь) = рг (ь ° рг ((рг 61)’ Ь);

в условиях 5.2.9 эти формулы равносильны данному там определению суммы ^1©^2> в нынешних же наших условиях они равносильны предыдущему определению, если края нет, и распространяют его на случай, когда край есть. То же можно повторить в комплексной векторной, евклидовой и эрмитовой ситуации. В частности, сказанное относится к надстройкам (см. 5.2.10).

"^'-варианты других конструкций, описанных в § 5, и связи между ними уже вполне очевидны. В частности: сопряжение (см. 5.1.11) оставляет комплексное векторное ^'-расслоение комплексным векторным ^'"-расслоением, а эрмитово ‘^'"-рас- слоение — эрмитовым "^'-расслоением; овеществление (см. 5.1.12) делает комплексное векторное ^'-расслоение вещественным векторным ^-расслоением, а эрмитово ^'-расслоение — евклидовым ^'-расслоением; комплексификация (см. 5.2.11) делает вещественное векторное ^'-расслоение комплексным векторным ^'-расслоением, а евклидово ^'-расслоение — эрмитовым ^'-расслоением; в ^'-вариантах теорем 5.2.13 и 5.2.14 эквивалентности conj и К делаются ^'-эквивалентностями.

Касательные и нормальные расслоения

Основные понятия настоящего пункта, указанные в его названии, по существу, были использованы нами еще в главе 3. Однако только теперь, располагая общим понятием гладкого векторного расслоения, мы можем дать им полноценное определение и рассмотреть их с правильной общей точки зрения.

Касательные расслоения

Напомним, что в главе 3 для каждого многообразия X класса ^ с г 1 были определены вещественные векторные пространства Tang, Х(х е X), ^'“’-многообразие Tang X и проекция pr: TangX"->Z (см. 3.1.4.1 и 3.1.4.2). Сопоставляя эти

344 РАССЛОЕНИЯ [ГЛ. 4 определения с общими определениями, данными в 5.1.2 и 3.2, мы видим, что (TangX, pr, X) есть вещественное векторное расслоение размерности dimX, а при г ^2 — вещественное векторное ^г~'-расслоение размерности dimX. Оно называется касательным расслоением многообразия X и обозначается через tangX. '

Точно так же, сопоставляя определение дифференциала df: Tang X-> Tang У ^'-отображения f: X -* У (см. 3.1.4.3) с общими определениями, данными в 5.1.14 и 3.2, мы видим, что (df, f) есть линейное <вг~'-отображение расслоения tangX в tangT. Если f— диффеоморфизм класса ^, то (df, f) — линейный изоморфизм класса <^"~|-

Мы дважды определяли векторное поле: один раз для гладких многообразий (см. 3.1.4.5), другой раз для векторных, евклидовых и эрмитовых расслоений (см. 5.1.15). Теперь мы видим, что второе определение обобщало первое: векторное поле на гладком многообразии X есть не что иное, как векторное поле в касательном расслоении tangX. В частности, параллелизуемость гладкого многообразия X размерности п означает ОТРге-тривиальность расслоения tangX, а ^-параллелизуемость X есть ^-ОЛК^-тривиальность расслоения tang X. Сопоставляя это с теоремой 3.11, мы видим, что паралле- лизуемое компактное ^'-многообразие с г^оо У'~’-паралле- лизуемо.

Гладкое многообразие, касательное расслоение которого стабильно тривиально, называется стабильно параллелизуемым. Из сказанного в 5.4.4 и теоремы 3.5.2.13 следует, что если компактное многообразие стабильно параллелизуемо, то стабилизация наступает уже на первом шаге, т. е. что из стабильной параллелизуемости многообразия X размерности п следует С^Кге+1-тривиальность расслоения sutangA.

Напомним, что, какова бы ни была точка х гладкого многообразия Л', каждая карта феАПхХ определяет ф-базис в касательном пространстве Tang^A, причем матрицей перехода от <р-базиса к ф-базису служит якобиева матрица отображения 1ос(<р, ф) id, вычисленная в точке ф(х). Из этого следует, что значения любой ориентации многообразия X (на картах из Catl Xf корректно переносятся на базисы пространств TangxX, наделяя ориентацией расслоение tang X. Ясно, что этот переход обратим, так что ориентации гладкого многообразия X и его касательного расслоения tangX находятся в естественном взаимно однозначном соответствии. В частности, многообразие X ориентируемо тогда и только тогда, ко’гда ориентируемо расслоение tang X, и касательное расслоение ориентированного гладкого многообразия размерности п есть СЛ+^-расслоение.

Мы уже знаем, что параллелизуемые многообразия ориентируемы (см. 3.1.4.6 и 3). Теперь мы можем добавить к этому, что и стабильно параллелизуемые многообразия ориентируемы. ' ■

Привлекательной особенностью касательных расслоений является естественность, с которой они индуцируются расслоениями Грассмана. Именно, если /" — погружение класса ^ (например, |@?г-вложение) многообразия X в R, то dj отображает каждое касательное пространство TangxX на «-мерную плоскость пространства,R9, проходящую через О, так что возникает некоторое отображение h X->G^q, пЦ и ясно, что tangX есть (с точностью до корректирующей <ё"'_1-СГрге-эквивалентности) не что иное, как ГОга(</, GL(n, R)). [Это очевидное наблюдение в действительности старше теории расслоений и было одним из стимулов к ее созданию.] Если X ориентировано, то сказанное можно обогатить, заменив многообразие G^q, п) многообразием G+ ^q, п\ стандартный слой GLRn — стандартным слоем GL+Rn и расслоение Gra(7, GL{n, R)) —.расслоением Gra(g, GL+(«, R)). Во всех случаях t называется тангенциальным отображением. Если j — вложение и ориентации отсутствуют, то t совпадает с композицией нормальной трансверсализации X —> G (q, q— и) и канонического диффеоморфизма G^q, q— ц)—> G^q, п> [см. 3.2.2.3].

Гладкое многообразие, касательное расслоение которого наделено евклидовой метрикой, называется римановым пространством. Метрику в этом случае обычно тоже называют римановой. Ее класс, очевидно, не может быть выше ^г-', если X принадлежит классу %Г, и из теоремы 3.6 следует, что на всяком компактном ^многообразии с l^r^oo действительно существует риманова метрика класса <6r-v. Последнее заключение получается, впрочем, и из теоремы 3.4.2.1.

Касательное расслоение риманова пространства принято рассматривать не как векторное, а как евклидово. Если метрика принадлежит классу %s с s^l, то оно является евклидовым ^^расслоением..

к Нормальные расслоения

ния делают tangX подрасслоением расслоения tangX'|x, и, согласно 5.2.5, у tangX есть в tangX' |х ортогональное дополнение (tangX)"1". Это ортогональное дополнение представляет собой евклидово расслоение размерности п' —- п с базой X и называется нормальным для X. Обозначение: norm X. Если X и X' принадлежат классу ^^ сг^2, а риманова метрика — классу^-1, то normX есть евклидово ^'"‘-расслоение; см. 3.13- Во всех случаях сумма tang X©norm X канонически OR"-эквивалентна сужению tangX' |х, а если X и X' принадлежат к классу с г ^2, то эта эквивалентность принадлежит классу

Чтобы определить нормальное расслоение для произвольного погружения /: Х->Х', притом в отсутствие римановой метрики, приходится заменить суженное расслоение tang X' |х индуцированным расслоением j1 tangX', а переход к ортогональному дополнению — факторизацией. Это значит, что нормальное расслоение norm / погружения j гладкого многообразия X в гладкое многообразие X' определяется формулой

norm/= /’tangX7lmcorr(d/, /).

Это — вещественное векторное расслоение размерности п' — п с базой X. Сумма tangX©norm/ канонически GLRn -эквивалентна индуцированному расслоению /'tangX'. О классах гладкости расслоения norm/' и указанной канонической эквивалентности j1 tangX'-* tang X© norm / мы можем, к сожалению, утверждать меньше: если X' компактно или диффеоморфно открытому подмножеству компактного многообразия, а / принадлежит классу ^, причем 2^г^оо, то norm / есть вещественное векторное расслоение класса сё>г~х, а каноническая эквивалентность j1 tangX'-> tang X©norm / принадлежит классу <6Г-Х. Эти ограничения вызваны, конечно, отсутствием у нас теорем, гарантирующих существование римановой метрики в некомпактной и в аналитической ситуации.

Если /' — включение, то вместо norm/' можно писать normX.

Заметим еще, что, как это видно из определения нормального расслоения norm /', ориентируемость двух из трех расслоений /'tangX', tangX, norm/' влечет за собой ориентируемость третьего и ориентации двух канонически определяют ориентацию третьего; см. 5.2.7. Сопоставляя это со сказанным в 4, мы видим, что если многообразие X' ориентируемо, то ориентируемость расслоения norm /' равносильна ориентируемости многообразия X, а если многообразие X' ориентировано, то ориентации многообразия X и расслоения norm / канонически определяют друг друга.-

Введение касательных и нормальных расслоений позволяет лучше сформулировать основную теорему п. 3.4.8, т. е. теорему 3.4.8.2, и существенно ее дополнить.

Усовершенствование формулировки относится к третьей части теоремы 3.4.8.2, согласно которой рассматриваемые в ней линейные гомоморфизмы factdXlfi являются изоморфизмами. Теперь мы можем сказать, что, собранные вместе, они составляют с отображением ab/b Х12-*Х2 линейный изоморфизм нормального расслоения многообразия Х12 в нормальное расслоение многообразия Х2 (первое нормальное расслоение берется в Хь второе — в Х'\ Если многообразие X’ компактно и 2^г^оо, то этот линейный изоморфизм norm Х12—> norm Х2 принадлежит классу Г"1.

Дополнение относится к ориентациям и состоит в том, что если в условиях теоремы 3.4.8.2 многообразия Xb X', Х2 ориентируемы, то и многообразие Х\2 ориентируемо, а если Хь X', Х2 ориентированы, то они канонически ориентируют Х12; это — результат очевидного сопоставления сказанного в 4 и в 7. В частности, в условиях теоремы 3.4.8.3 из ориентируемости многообразий X' и Хь Х2 следует ориентируемость многообразия Xxf\X2, а ориентации многообразий X' и АД Х2 канонически ориентируют Xxf\X2.

Компактное гладкое многообразие размерности п в том и только том случае стабильно параллелизуемо, если оно допускает дифференциальное вложение с GLRq-n-тривиальным нормальным расслоением в некоторое R7.

Достаточность этого условия следует из бЕЕ^-эквивалент- ности суммы tang X © norm /, где / —указанное вложение, расслоению V tang R7. Чтобы установить его необходимость, начнем с какого-нибудь дифференциального вложения j: X-*Rq и рассмотрим сквозное вложение X—>R7—где & СТОль велико, что надстройка suKtangX бШ^-тривиальна (ср. 3). Нормальным расслоением этого сквозного вложения служит надстройка sun+& Потт j, а она бб₽7+*-тривиальна, так как GLRq+k- эквивалентна расслоению

norm / © su6 tang X = su6 (norm j © tang X) — sufc (/' tang R7).

Комплексный случай

Основные определения этого пункта, т. 6. определения касательного расслоения tangX, римановой метрики и нормальных расслоений normX, norm/, дословно переносятся на комплексные многообразия. Расслоения становятся комплексными,

риманова метрика заменяется эрмитовой, а / предполагается голоморфным погружением (т. е. локально должно быть голоморфным вложением). Если f: Х-*Х'— голоморфное отображение, то (df, f) есть линейное отображение расслоения tang X' в tang X'. Определение и свойства тангенциального отображения сохраняются, однако оно делается менее универсальным (см. 3.1.6.10). Наконец, овеществление комплексного многообразия (см. 3.1.6.9) приводит к овеществлению его касательного расслоения (см. 5.1.12 и 3.13) и превращает эрмитову метрику в риманову.-

Нельзя не заметить эклектичности этих определений. Непоследовательность заключается в том, что понятие дифференциальной структуры, лежащее в основе нашей теории гладких- векторных расслоений, является специфически вещественным даже в случае комплексных векторных расслоений, тогда как касательные и нормальные расслоения обладают в комплексной ситуации дополнительной комплексно-дифференциальной структурой, так называемой голоморфностью. К сожалению, теория голоморфных векторных расслоений выходит за рамки нашего курса.

Степени

. Этот пункт содержит применение простейших фактов дифференциальной топологии в теории гомотопий. Именно, мы определим для каждого непрерывного отображения f; (X, дХ)-> (У, 5У), где X — ориентированное гладкое компактное многообразие, а У —связное ориентированное гладкое компактное многообразие той же размерности, целое число, не меняющееся при гомотопии отображения f. Это число называется степенью отображения / и обозначается через degf.

Хотя степень deg / является глобальной характеристикой отображения f, которое, к тому же, предполагается всего лишь непрерывным, наш подход к ней будет инфинитезимальным: сначала мы предположим, что / принадлежит множеству (X, дХ-, У, дУ^^ЧХ, У) и что в inty отмечена точка у, к которой f трансверсально. Рассмотрим множество f-1 (у). Оно состоит из конечного числа точек, каждая из которых обладает окрестностью, диффеоморфно отображающейся посредством f на некоторую окрестность точки у (см. 3.4.8.2 и 3.1.5.5), и каждый из возникающих таким образом диффеоморфизмов сохраняет или обращает ориентацию, если окрестности ориентированы в согласии с ориентациями X и У (см. 4.8). Разность между числом точек из f"1 (у), для которых ориентация сохраняется, и числом точек, для которых она обращается, называется степенью отображения f в точке у и обо-

значается через degyf. Популярная более короткая формулировка: degy f есть алгебраическое число прообразов точки у.

Предположение, что точка у является внутренней для У, чрезвычайно существенно в этом определении степени degyf, однако последнее можно дословно повторить для краевой точки у, если предположить, что f принадлежит множеству % a (X, К) Л ^ ОС int X; У, int У) и что сокращение ab /: дХ->д¥ трансверсально к у. Получающаяся степень degyf, очевидно, совпадает в этом случае со степенью degy[abf: f-1(Z)-*Zl, где Z — компонента многообразия дУ, содержащая у.

Заметим еще, что если степень определена для точки у [т. е. у е int У, f е ^ (X, дХ; У, дУ) П 'У1 (X, У) и f трансверсально к у или у е дУ, f е ‘S'a^X, У) П ^ ^.Х, int X; У, int У) и ab f: дХ^дУ трансверсально к у], то она определена и для любой точки у' некоторой окрестности точки у (в У) и degy, f = degy f.

(Лемма). Пусть X, У — ориентированные компактные ^^-многообразия одной размерности, причем У связно, и g, h— отображения из ^a (X, У) П ^ (X, int X", У, int У). Пусть, далее, у, z — такие точки в У, что определены степени degy g, degzA (сл. 1). Если отображения

relg, rel/г: (X, дХ) -> (У, ЗУ)

гомотопны, то deg2 h — degy g.

Доказательство. Оставим в стороне тривиальный случай dimy = 0 и предположим сначала, что h = g. Согласно 1, точки у, г обладают такими окрестностями U, V, что если у' eU, ZeV, то degy'g = degy g, deg2' g = deg2 g. Ясно также, что точки у, z можно соединить путем, который является ^“-вложением отрезка / в У, и из теорем 3.4.1.4 и 3.4.7.7 следует, что существует путь s: I->inty с s(0)e(/, s(l)sV, который также является ^“-вложением и, сверх того, трансверсалей g. Рассмотрим прообраз g-I(s(7)). Это — ориентированное компактное одномерное ^-подмногообразие многообразия X с краем g-1 (s(0)) U £~* (s(l)) [см. 3.4.8.2 и 4.8], и ясно, что

degs (0) g = degs (0) ab g, degs (1) g = degs (1) ab g,

где abg = [abg: g-1 (s(I)) ^-s(/)]. Но вклад точки из g_1s(l) в степень degs(1)abg равен значению ориентации, полученной этой точкой, как компонентой края, от g_1 («(/)), а вклад точки H3g-1(s(0)) в степень degs(0) abg противоположен значению ориентации, полученной этой точкой, как компонентой края, от g-1 (s (/)). Следовательно, degs(1)g — degs(0)g есть разность между числом

точек края многообразия g-1(s(/)), получающих 0Tg-1(s(Z)) ориентацию + 1, и числом точек, получающих от g-l(s(Z)) ориентацию —1, а эта разность равна 0, поскольку каждая компонента многообразия g_1 (s(7)). диффеоморфна S1 или/)1 (см. 3.5.3.1).

Отбросим теперь предположение, что h = g, но допустим, что Y замкнуто. Тогда и X замкнуто, и из гомотопности отображений g, h следует, что они могут быть связаны некоторой !8?00-гомотопией F (см. 3.4.6.6). Ясно, что отображение Ф: X X I —* УХ/, определяемое формулой Ф(х, f) = (F(x, 0, 0, принадлежит пересечению

^а (XXI, УХПОТХ!, тЦХХП; YXI, М(УХ/)), и так как отображения аЬФ: X X 0->У X 0, аЬФ:Л'Х1-> Y X 1 превращаются после отождествлений X X 0, X X 1 с X и У Х0, УХ 1 с Y в g, h, то deg(y, о» Ф = degy g и deg(3 0Ф = degz/z. Но, в силу уже доказанного, deg(3 f) Ф = deg( Ф, и, таким образом, degz h = degy g.

Наконец, если У имеет край, то мы находим в какой-нибудь компоненте Z этого края точку у', к которой трансверсально сокращение ab g: dX->dY, и какую-нибудь точку X, к которой трансверсально сокращение ab/г: dX-*dY. Согласно уже доказанному,

' degy g = degy' g, degz h = degz' h, а согласно 1,

degy' g=degy'[at>g: g-'(Z)^Z],degy/z=degz'[ab/г: 7z“1(Z)-*Z].

Ho

deg/ [ab g: g-1 (Z) -* Z] = degz' [ab h; h-1 (Z)Z];(1)

действительно, h~l (Z) = g-1 (Z), поскольку relg, rel/г гомотопны, и потому равенство (1) является следствием только что доказанной части леммы.

(Лемма). Для любых компактных ^^-многообразий X, У множество ^(Х, У) f] ^ (X, int X; У, int У) плотно в ^ (X, дХ; У, 6YY

Доказательство. Построим удвоения doppZ, йоррУ с двусторонними окаймлениями k: dXXDv -> dopp X, I: dY X /)*->doppy и фиксируем ^“-вложение /: dopp У ->R?, ^“-транс- версализацию т сужения / |dr и правильную трубку TubTp.

Достаточно найти для заданного отображения f из ^(А, дХ; У, <ЭУ) и заданного положительного е такое отображение g из % а (А, У) П ^ (A, int X; У, inf У), что dist (/ (f (х)), j (g (х))) < е для любой точки хеХ. Чтобы найти такое g, мы последовательно построим три вспомогательных отображения h^ А2, А3: dopp X -* doppy. ■

Отображение hx строится совсем просто: мы полагаем

Ai(x) = f(x), А!(сор(х)) = op(f(х)) [хе А].

Чтобы построить Аз, фиксируем такое положительное б, меньшее 1, что: (i) dist (/' ° I (z, t), j ° I (z, /')) < e/4, если 1t — t' | < 6 [z e <ЗУ; t, t' e D1]; (ii) dist (/(Ai (A (z, /))), / (Ai (A (z, /)))) < e/4, если 1t — t' | < б [гедУ; t, t'^D']; (iii) для любой точки z из дУ шар с центром i^ и радиусом б содержится в TubTp и образ этого шара при отображении / ° prT: TubTp->R9 содержится в шаре с центром i^ и радиусом е/4. [Существование такого й следует из непрерывности отображений /, А, /, At и ргт.] Фиксируем, далее, такое ^“-отображение ф: дХ ->д¥, что dist (/(ф(г)),’ /°f(z))<6 для любой точки z из дХ (существование такого ф следует из 3.4.4.2), и определим отображение ф^ дХ ->д¥ с t е I формулой ф4 (х) = prT(t/ (ф(х)) + (1 —-1) j ° f (х)). Фиксируем, наконец, такую ^“-функцию a: R->R, что а(/) = 0, если |/|^1/3, и а(/)=1, если |t|^2/3, и определим отображения А^ Х->Х, lv ¥—>¥ формулами

A, (A (z, t)) — A (z, (1 — 6) t + 6), если z е дХ, / е I,

А, (х) = х,если х е А \ A (dA X Г),

h (Z (г> 0) = / (г, (1 — й) t + й), если г г д¥, tel, 1Лу^ = У1если у е¥ \ Цд¥Х1У

Ясно, что А] и /[ — топологические вложения. Мы определяем А2 формулами

А2 (A (z, 0) = I (фа № (г), /), если г е дХ, 11 < б,

Н^х^Ь^^ГЧх^,А2 (сор (х)) = сор (/j (/ (АГ1 (х)))),Н^х^Ь^^ГЧх^,А2 (сор (х)) = сор (/j (/ (АГ1 (х)))),если хе А \ А(дАХ [0, й)).если хе А \ А(дАХ [0, й)).

Н^х^Ь^^ГЧх^,

А2 (сор (х)) = сор (/j (/ (АГ1 (х)))),

Н^х^Ь^^ГЧх^,

А2 (сор (х)) = сор (/j (/ (АГ1 (х)))),

если хе А \ А(дАХ [0, й)).

если хе А \ А(дАХ [0, й)).

Ясно, что: A2e^(dopp A, intА, дХ; doppy, inty, 8YY dist(/ ° Ах(х), ] ° А2(х)) < е/2 для любой точки х s dopp А; сужение отображения А2 на к (дк X [— й/3, й/3]) принадлежит классу |8’00; еслиЯсно, что: A2e^(dopp A, intА, дХ; doppy, inty, 8YY dist(/ ° Ах(х), ] ° А2(х)) < е/2 для любой точки х s dopp А; сужение отображения А2 на к (дк X [— й/3, й/3]) принадлежит классу |8’00; еслиze<3A, тоze<3A, тоIm Xth '‘(«Ч-М]))*1™8Im Xth '‘(«Ч-М]))*1™8й, (г)й, (г)д¥.д¥.

Ясно, что: A2e^(dopp A, intА, дХ; doppy, inty, 8YY dist(/ ° Ах(х), ] ° А2(х)) < е/2 для любой точки х s dopp А; сужение отображения А2 на к (дк X [— й/3, й/3]) принадлежит классу |8’00; если

Ясно, что: A2e^(dopp A, intА, дХ; doppy, inty, 8YY dist(/ ° Ах(х), ] ° А2(х)) < е/2 для любой точки х s dopp А; сужение отображения А2 на к (дк X [— й/3, й/3]) принадлежит классу |8’00; если

ze<3A, то

ze<3A, то

Im Xth '‘(«Ч-М]))*1™8

Im Xth '‘(«Ч-М]))*1™8

й, (г)

й, (г)

д¥.

д¥.

Наконец, в качестве А3 мы берем какое-нибудь ^“-отображение многообразия dopp X в dopp У, совпадающее с /г2 на к (дХ X [— 6/6, 6/6]) и обладающее следующими свойствами: h3 (X \ к (dX X [0, 6/6])) с int Y; h3 (сор (X \ к (dX X [0, 6/6]))) с сор (int У); dist (/ ° h3 (х), / ° h2 (х)) < е/2 для любой точки хеХ. [Существование такого h3 следует из теоремы 3.4.4.8.] Ясно, что h3 (X) с Y.

Нужное нам отображение g определяется по Н3 формулой g = [ab/z3: Х->У]. Что g обладает .нужными свойствами, очевидно. '

Пусть (как в 1) X, Y — ориентированные гладкие компактные многообразия одной размерности, причем Y связно, и пусть / — отображение из ^ (X, <ЭХ; Y, dY\ Сузим дифференциальные структуры многообразий X, Y до ^“-структур (см. 3.4.9.8) и найдем в ^ (X, У) (W (X, int X; Y, int У) отображение g, столь близкое к / в ^-смысле, что отображения /, g: Х>У и ab/, abg: дХ—*д¥ гомотопны (см. 3, 3.4.5.10, 1.3.6.6). Из леммы 2 следует, что степень degy g, вычисленная в произвольной внутренней точке у многообразия У, к которой g трансверсально, не зависит ни от выбора g, ни от выбора у, а из 3.4.6.10 и 3.4.1.6 следует, что degy g не зависит и от способа сужения дифференциальных структур многообразий X, У (в силу указанных теорем ^“-многообразия, получающиеся из компактного гладкого многообразия двумя сужениями дифференциальной структуры, могут быть связаны ^“-диффеоморфизмом, сколь угодно близким в ^-смысле к тождественному диффеоморфизму). Это число и называется степенью отображения /. Обозначение: deg /.

Основные свойства степени являются очевидными следствиями ее определения и лемм 2, 3. Вот эти свойства: (i) если отображения /, /': (X, <ЭХ) (У, 6У) гомотопны, то deg/z = deg f (это следует' из леммы 2); (И) степень сквозного отображения (X, <ЭХ) —^* (У, <ЗУ) —^* (X, dZ) равна deg f deg g (это прямо выводится из определения степени); (ш) степень тождественного отображения равна 1 (очевидно); (iv) если f: (X, <ЭХ) (У, (ЗУ) — гомотопическая эквивалентность, то deg/ = ±l (доказательство: если g— гомотопически обратное отображение, то deg / degg = deg(g ° f) = deg id (X, dX) = 1); (v) если при отображении /: (X, <ЭХ)-* (У, (ЗУ) образ многообразия X не покрывает У, то deg / = 0 (действительно, / допускает сколь угодно точную аппроксимацию отображением из ^ {X, У) П ^ (X, int X; У, int У) с тем же свойством); (vi) если Z — какая угодно компонента края многообразия У, то deg[/: (X, <ЗХ)(У, <ЗУ)] = deg[ab/: f-i(,Z)-^Z} (это следует из

сказанного в 1) и, в частности, deg/ = 0, если X замкнуто, а У не замкнуто.

В качестве примеров рассмотрим отображения f:*(Dn, S"-1)-* (Z)", S"-1) и abf: S"-1-^-S"-1 с n^2, определяемые ортогональной nX «-матрицей и. Очевидно, deg / — deg ab f = det v, t. e. deg / = deg ab f = 1, если о eSO (n), и deg f = deg ab f = — 1, если и e О (n) \ SO («). Так, степень антиподального преобразования сферы Sn-1 (определяемого формулой хе-> — х) равна 1, если п четно, и —1, если п нечетно.

Неориентированный случай

Сказанное в 1, 2, 4 можно повторить, отбросив ориентации и заменив целые числа вычетами по модулю 2. Это позволяет определить степень deg/eZ2 для любого непрерывного отображения /: (X, дХ)-*(У, <ЭУ), где X — гладкое_компактное многообразие, а У — связное гладкое компактное многообразие (ориентируемость не требуется). Все свойства целочисленной степени, перечисленные в 4, сохраняются. В ориентированном случае, когда определены обе ■ степени (целочисленная и модульная), .отсутствие различия в обозначении обычно не приводит к недоразумениям благодаря контексту.

Применения

Замкнутое гладкое многообразие положительной размерности нестягиваемо.

В несвязном случае это очевидно, в связном же случае степень тождественного отображения такого многообразия равна 1, тогда как степень отображения, переводящего его в его точку, равна 0. (Имеются в виду степени из Z2, определенные в 5.)

Если п^= пг, то сфера Sn гомотопически не эквивалентна сфере Sm.■

.Действительно, если m < п, то всякое непрерывное отображение сферы Sm в Sn гомотопно постоянному (см. 2.3.2.3 и 2.3.1.6), тогда как отображение id: Sn->Sn не гомотопно постоянному (см. 6). ..

Край непустого компактного гладкого многообразия не является его ретрактом.

Доказательство достаточно провести для связного компактного гладкого многообразия X с непустым краем. Пусть р: X —> дХ — ретракция и . Z — какая-нибудь компонента края дХ. Рассмотрим сквозное отображение X—^*дХ-—*Х. Поскольку его образ не покрывает X, его степень равна 0 (см. 4 и 5).

12 В. А, Рохлин, Д, Б, Фукс-

С другой стороны, эта степень совпадает со степенью отображения ab(inop);- Z -»Z, которое является тождественным, и потому равна 1. ,

Всякое непрерывное отображение Dn->Dn имеет неподвижную точку.

Доказательство. Непрерывное отображение f: Dn-> Dn без неподвижных точек порождало бы ретракцию Dn->Sn-v, относящую точке х ее проекцию на S"-1 из точки f (х\ Между тем, существование ретракции Dn->Sn~1 противоречит теореме 8.

Если локально евклидово пространство размерности m гомеоморфно локально евклидову пространству размерности п, то п = т.

(Ср. 3.1.1.4.)

Доказательство. Поскольку точку пространства х9 можно окружить в R9 евклидовым симплексом размерности q, каждая точка локально евклидова пространства размерности q является внутренней для конечно триангулированного подмножества, в котором ее линк гомеоморфен S4-1. Но теорема 2.2.6.4 утверждает, что этот линк гомотопически инвариантен, а между тем сферы S'”-1 и S'1-1 гомотопически не эквивалентны, если пн^пг (см. 7).

И. Теорема 10 позволяет лучше понять не только определение локально евклидова пространства, но и определение клеточного пространства. Именно, она показывает, что размерность клетки однозначно определяется этой клеткой, вследствие чего размерностная функция, внесенная нами в определение клеточного разбиения как дополнительный элемент его структуры, в действительности определяется самим разбиением.

Край полупространства R1 есть R"~*.

(Ср. 3.1.1.4.)

Для доказательства достаточно установить, что в R1 у точки 0 нет окрестности, гомеоморфной R"; см. 3.1.1.4.

Если бы такая окрестность существовала, то точка 0 была бы внутренней для конечно триангулированного подмножества, в котором ее линк был бы гомеоморфен S'1-1 (ср. доказательство теоремы 10). С другой стороны, точка 0 является внутренней для конечно триангулированного подмножества, в котором ее линк гомеоморфен Dn-V: таким подмножеством является любой «-мерный евклидов симплекс, лежащий в R1 и содержащий 0 внутри одной из своих (п—1)-мериых граней. Поскольку сфера S"-1 нестягиваема (см. 6), а шар йп^" стягиваем, мы приходим к противоречию с теоремой 2.2.6.4.

.6. Упражнения

Доказать, что если г^оо и f— субмерсия класса ^ компактного ^'-многообразия X в замкнутое ^'-многообразие Y, то (X, /ДУ) есть ^'-расслоение. (Вместе с теоремой 1.3 эта теорема показывает, что если г ^ оо и f — субмерсия класса Ч?г компактного ^'-многообразия X в ^'-многообразие Y, то (X, f, У) всегда есть ^'-расслоение.)

Пусть Is^r^co, и пусть g— расслоение класса “F' с замкнутой базой. Доказать существование такого окаймления к: д tig XI tlg, что k (2 X П с р гX* (pr g (2)) для любой ТОЧКИ 2 S д tl g.

Пусть l^gr^oo, и пусть g — такое ^'-расслоение, что dtlg = prg~‘(dbsg). Доказать существование таких окаймлений к; dbsg X-^-^bsg, /: д tl g X I ~» tl g, что диаграмма

dtlgX / -^tigjab pr £ X id / |pr g

dbs g XI bsg

коммутативна.■

Показать, что если г^оо, то для всякого X"3''-расслоения g с компактными tig и bsg множество Sec'g плотно при любом s<r в Secsg. (Это — обобщение теоремы 2.7 с г ^ а.)

Показать, что всякое ‘©’^''-расслоение g с компактными tig и bsg ^'-изоморфно ^“-расслоению. (Ср. 2.8.)

Показать, что расслоение sutangRP" <®a-GLRn+v-эквивалентно сумме п +1 копий расслоения Gra(n+1, GL (1, R)), а расслоение su tang СР" |й’а-СРС"+1-эквивалентно сумме п +1 копий расслоения Gra(n + 1, GL(\, С)).

Показать, что нормально? расслоение ^“-вложения G(/n, и) —» G (m + 1, /г), описанного в 3.2.2.3, ^-ОЬК^-жвива- лентно расслоению Gra(m, GL (п, R)), а нормальное расслоение ^"-вложения CG(m, л)-* CG(m + 1, и), описанного в 3.2.2.7, ^“-СЛС^эквивалеятно расслоению Gra(m, GL^n, С)).

Пусть рь . . ., рп+1 — однородные комплексные многочлены степени т от п + 1 переменных, обращающиеся одновременно в 0 только в точке 0. Показать, что отображение СР"-»СР", определяемое формулой .-

(2): ... : 2„+1) v-> (р1 (2Ь ..., 2п+1): ... : pn+Y (гь ..., z^),

имеет степень тГ".'

Показать, что при п^1 всякое непрерывное отображение сферы S" в себя со степенью, отличной от (—1)"+1, имеет неподвижную точку. ' -

Показать, что при п"^\ всякое непрерывное отображение сферы S" в себя, имеющее нечетную степень, переводит некоторую пару антиподальных точек в пару антиподальных точек.

Ц, Показать, что при нечетном п > 1 степень всякого непрерывного отображения сферы S" в RP” четна.

Пусть f — симплициальное отображение двумерного стандартного симплекса на одномерный стандартный симплекс. Показать, что симплициальный цилиндр Scylf не гомеомор- фен Cylf.

'ГЛАВА 5

ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ

§ 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

Абсолютные гомотопические группы

Пусть (X, х0) — пространство с отмеченной точкой иг — неотрицательное целое число. Условимся обозначать множество ^ (/r, Fr/r; X, х0) всех непрерывных отображений пары (Г, Fr/r) в пару (X, х0) короче через Sphr(X, х0), а множество их гомотопических классов [т. е. л (Л, Fr/; X, х0)] — через лг(Х, х0\ Элементы множества Sphr(X, х0) называются г-мер- ными сфероидами пространства X с началом х0. .

При г > 0 мы определяем произведение фтр сфероидов Ф, фЕ Sphr(X, хф как сфероид из Sphr(X, хф, задаваемый формулой

Г ф(2/ь/2, •••, если 0^^1^1/2,ФФ(Л, ^2^) = )П<1^

।1• • • > если 1у

и сфероид ф-1, обратный сфероиду феЗрНДХ, х0),— как сфероид из Sphr(X, х0), задаваемый формулой Ф-1(6, 6, •••> <г) = ф(1 — /ь /2, ..., /г). Ясно, что если сфероид ф] гомотопен ф, а сфероид ф, гомотопен ф, то сфероид ф^ гомотопен фф. Следовательно, формула (1) определяет умножение в лг(Х, х0). Оказывается, что это умножение ассоциативно, что гомотопический класс постоянного сфероида const (отображающего Г в хф служит для него двусторонней единицей и что гомотопические классы сфероидов ф, ф-1 взаимно обратны.

Первое утверждение означает, что для любых сфероидов Ф, ф, x^Sphr(X, хф произведения (фф)х и ф(Фх) гомотопны; и действительно, формула

№1, ^2W, tW

Ф (т^гр- ^2, .... trY если 0</г<-Ш-,

■ ф(4/! —/ —1, /2,о, если -^^-<^<-Ц^-. (2)

X (—2^7 ' <2/г) ’ если "4" ^^1 ^ 1'

определяет гомотопию fXI^X, связывающую (фф)х с ф(Фх). Второе утверждение означает, что для любого сфероида ф е Sphr(X, х0) произведения ф (const) и (const) ф гомотопны ф; и действительно, формулы

((/ь /2, . •., tA, А^, .

ф(т^гр А^-.^аУ если 0<^,<-Ц^,

х0,если —2—^i ^ h

^tb а, ••., tA, А1-*

I xQ,если 0—g—,

j / 2/, - 1 + /, X 1 - /(4)

I Ф (—7+1• ^2A) • если —— < A < 1, '

определяют гомотопии, связывающие ф(const) и (const) ф с ф. Третье утверждение означает, что произведения ФФ-1 и ф"'ф гомотопны const; и действительно, формула

((Л, /г, • • •, tA, А.

Ф (2/1, А

если0s

С/15

/ 1 -/

2 ’

ф (1 — /, а, .

., tA,

1 -t если —2— 5

$ А5

/ 1 + t

2’

(5)

ф(2 —2tb А,

tA,

1 + - если —g— 5

Д! 6

определяет гомотопию, связывающую ФФ-1 с const. /

Превращенное таким образом в группу множество лг (Л\ х0) с г > 0 называется r-мерной гомотопической группой пространства X в точке xQ.

Если г > 0, то всякий r-мерный сфероид отображает Г в компоненту Хо пространства X, содержащую точку х0. Таким образом, при г>0 группа лг(Х, х0) канонически изоморфна Uo, Х0).

Из теоремы 2.3.4.3 -следует, что если X — счетное клеточное пространство, то все множества лг(Х, хА счетны.

Случай г = 0 .

Поскольку Z0 —точка, a FrZ°=0, Sph0(X, х0) можно отождествить с X, а лДХ, х0) — с множеством сотрХ компонент пространства X. Множество лДХ, хп) не обладает есте-

ственной групповой структурой, а обладает лишь отмеченным элементом, который, как и в старших размерностях, называется единицей: это гомотопический класс сфероида const, т. е. компонента пространства X, содержащая точку х0.

Чтобы сделать формулировки, относящиеся к случаям г > О и г = 0, единообразными, мы будем называть множество лДХ, х0) нульмерной гомотопической группой пространства X в точке х0 и распространим на множества с отмеченным элементом и их отображения групповую терминологию. В частности, под прямым произведением мы будем понимать обычное произведение, под гомоморфизмом — отображение, переводящее отмеченный элемент в отмеченный элемент,- под ядром гомоморфизма — прообраз отмеченного элемента и под изоморфизмом — обратимый гомоморфизм. " .

Случай г = 1

Одномерные сфероиды — не что иное, как замкнутые пути, и определения умножения, обращения и гомотопии сфероидов, данные в 1, согласуются с определениями умножения, обращения и гомотопии путей, данными в 1.3.2.1 и 1.3.2.3. Одномерная гомотопическая группа называется иначе фундаментальной группой. Она была определена на несколько десятилетий раньше, чем старшие гомотопические группы, и, как мы увидим, занимает среди гомотопических групп особое положение.

Ясно, что при г=1 гомотопии (2) — (5) имеют смысл не только в случае, когда ф, ф, % —■ петли с общим началом, но при единственном условии, что это — пути, для которых определены рассматриваемые произведения. Как и в случае петель, гомотопический класс произведения определяется гомотопическими классами сомножителей, так что можно перемножать гомотопические классы путей, если начало путей второго класса совпадает с концом путей первого класса. Это умножение ассоциативно,, класс постоянного пути служит левой единицей для классов путей с тем же началом и правой единицей для классов путей с тем же концом, и классы путей s, s-1 взаимно обратны в том смысле, что их произведение, взятое в-любом порядке, равно соответствующей единице.

Случай г > 1

При r"^ 1 группа лг(Х, х0) коммутативна.

Это означает, что для любых сфероидов ф, фе5рЬг(Х, х0) с г > 1 произведения фф и фф гомотопны. И действительно, произведение трех последовательных гомотопий Ir\I^Xt

определяемых формулами-

№, /2> ^3, <Д 0^

ф(2/ь (1+0^2, ^3М, если 0<Л<у, ОС^р^у, ф^-!, (1+/)/2-/,/3, ..., /Д если 4<^!, TTT^W, х0-в остальных случаях;

№, <2, ^з, •• •, <г), 0^-*

ф(2Л —/, 2/2, /3, • • ^). если у^Л ^""^ 1 ’ 0^2^4’ -ф(2^ 4-^—1, 2/2—1, /3Q, если l^^^^, |</2^1, х0в остальных случаях;

((Л, ^2, ^з> • • • > ^, О*-*

ф(2^ — 1, (2 — /)/2, /3, ..., /г), если у<^ <1, 0 </-2< 2 —Р ' ф^, (2-/)^-1, t3, ...,tr\ если О^^у, 49f<№, х0в остальных случаях,

Рис. 13 (г = 2).

связывает фф с фф. [Эти гомотопии иллюстрируются рис. 13, на котором заштрихованные части отображаются в точку х0.]

Поведение при непрерывных отображениях

Если ft (X, х0) ^(Х', Хо) — непрерывное отображение одного пространства с отмеченной точкой в другое, то каждому сфероиду ф: (/r, Fr /г) -* (X, хд) отвечает сфероид f о ф: (/г, Fr Zr)-> (Xq/Xo), так что возникает отображение f^=f^r: Sphr(X, х0)-> Sphr(Xz, Хо). Ясно, что f* переводит гомотопные сфероиды в гомотопные и постоянный сфероид в постоянный и что ^г(фф) = f*r (ф) f*r ^) ПРИ г > °- Следовательно, f#r определяет для кажд°го г^0 некоторый гомоморфизм лДХ, х0) ^^(Х', хо).

Он называется гомоморфизмом, индуцированным отображением f, и обозначается через f^ или, подробнее, ftr. _

.7. Для любых непрерывных отображений f: (X, х0)->(У, у0),

g: (У, Уо) (2, £о) и любого г ^ О

(g ° fL = g*r Ог-

рели f = id (X, х0), то fir = id лг (X, х0).

Доказательство: (go f)#r = g#r о f^r и [id (X, x0)]*r = id Sphr(X, x0).

Если отображения*. f, f': (X, х0)-*(У, у^ гомотопны, то f',r = fw при любом г. Если f: (X, х0)->(У, у^ — гомотопическая эквивалентность, то f* — изоморфизмы..

Первое следует из гомотопности сфероидов /оф, f' оф для всякого сфероида феЗрЬДХ, х0). Второе следует из равенств g.r0 U = (g 0 f\r id> L°g.r = tfog\r = id, где g — какое-нибудь отображение, гомотопически обратное f (см. 7).

Мультипликационная теорема

Для любых пространств с отмеченной точкой (X, х0), (У, у^ и при любом г гомотопическая группа лг (X X У, (хо, Уо)) канонически изоморфна прямому произведению лг (X, х0) X лг(У, Уо): канонический изоморфизм лДХХУ, (х0, у0)) -* лг(Х, х0)Х лг (У, у^ определяется формулой а >—> (ри* (а),. рг2«(а)). Если (X', Хо), У', уй — другие пространства с отмеченной точкой и f: (X, х0)-> (X', хб), g: (У, Уо)-*(У/, у$ — непрерывные отображения, то диаграмма

лг (X X Y, (х0, у0)) -► лг (X, х0) X лг (У, z/o)

^ (f X g)*^ f* X g*

лг (X' х Y', (х^, у;)) -> Лг (X', х') х Лг (У', у'йу

где горизонтальные стрелки — канонические изоморфизмы, коммутативна..■

Проверка очевидна.,

'2; Отступление: ансамбли■

Говорят, что на топологическом пространстве X задан ансамбль групп, если каждой точке х е X отнесена некоторая группа Gx и каждому, пути s: / -> X отнесен некоторый гомоморфизм Ts: GsfoV-^-Gs^, причем выполнены три условия:

■ (i) если Si(0) = s(l), то Г5Л = Г51 оГ5;

(и) если s — постоянный путь, то Ts — тождественный автоморфизм;"

если пути s, sx гомотопны, то Ts — TSl.

Условие (iii) показывает, что вместо Ts можно писать Тс, где о— гомотопический класс пути s. Кроме того, из условий (i) — (iii) следует, что все гомоморфизмы Ts (Та) являются изоморфизмами и Т~'=Ts-i ^Т”1 = Та-1У действительно, согласно

4, пути ss—!, s-1s гомотопны постоянным, так что Ts-i »!.= Tsrl = id G и Т »т х =т -i =idG

Изоморфизм Ts называется переносом вдоль s.

Если, в частности, s — петля с началом х, или, что то же, а — элемент фундаментальной группы л^Х, х), то Ts — Та есть автоморфизм группы Gx. Вместе с условиями 1 (i), 1 (ii) это показывает, что формула о^>Та определяет правое групповое действие группы Л] (X, х) в Gx.

Каждому пути s: 1-*Х отвечает естественный изоморфизм /s: л1 (X, $ (0)) -> л, СК, s (1)), определяемый формулой ts® = а-'аа, где о — гомотопический класс пути s, и обозначаемый также через t0. Очевидная проверка показывает, что Ts: Gs ^-> Gs есть /а-о-тображение (см. 4.2.3.1).- .

Пусть (X, {GJ, {7J), (X', {GJ}, ^T's-^ — ансамбли групп, заданные на пространствах X, X', и пусть f: X -> X' — непрерывное отображение. Предположим, что для каждой точки хеХ задан гомоморфизм hx. Gx->G^xy Говорят, что гомоморфизмы hx составляют с / гомоморфизм первого ансамбля во второй, если hs (1) ° Ts = Tf „ s ° hs (o> для любого пути s: I-*X. Гомоморфизм (f, {AJ) называется изоморфизмом, если f — гомеоморфизм и все hx — изоморфизмы, и эквивалентностью, если, сверх того, X' — X и f —id X.

Если (X', {GJ}, {?J}) — ансамбль групп и f — непрерывное отображение пространства X в X', то на X возникает индуцированный ансамбль (X, {GJ, {7S}), в котором Gx определяется как G'№, a Ts — как TfOS. Ясно, что-(f, {id GJ) есть гомоморфизм индуцированного ансамбля в исходный.

Ансамбли групп (X, {GJ, {7J) и (X, {GJ, {TJ}), заданные на связном пространстве X с отмеченной точкой х0, эквивалентны в том и только том случае, если определяемые ими действия группы л1 (X, х0) в Gx„ и Gx„ изоморфны в том смысле, что существует групповой изоморфизм GXo->Gx„ являющийся Л] (X, хф-отображением.'" •

Что изоморфность действий группы nJX, х0) в Gx, и GJ следует из эквивалентностей определяющих их ансамблей — очевидно. Чтобы доказать обратное, фиксируем л, (X, х0)-изомор- физм h\ GX1->GXo и выберем для каждой точки хеХ какой- нибудь путь sx с началом х0 и концом х. Очевидная проверка

показывает, что (id X, {/?,}) с hx = T'Sx ° h ° Т^ есть эквивалентность перЕОго ансамбля на второй.

Ансамбль групп, заданный на топологическом пространстве X, называется простым, если он эквивалентен каноническому простому ансамблю (X, {Gx}, {Г$}), у которого все группы Gx совпадают с некоторой группой G, а все гомоморфизмы Ts — с тождественным автоморфизмом этой группы. ’

Из теоремы 4 следует, что ансамбль групп, заданный на связном топологическом пространстве X с отмеченной точкой х0, прост в том и только том случае, если определяемое им действие группы Л[ (X, х0) в Gx. является тождественным. В частности, он заведомо прост, если группа Л] (X, хф тривиальна, а также если составляющие его группы изоморфны Z2.

Все, изложенное в этом пункте, очевидным образом переносится с ансамблей групп на ансамбли, составленные из других алгебраических образований, например, из векторных пространств или колец. ,

В этом параграфе нам встретятся, кроме ансамблей групп, ансамбли множеств с единицей (отмеченным элементом).

Ансамбли гомотопических групптопологического пространства

/.Сфероиды ф0 s Sphr (X, х0), ф! е Sphr (X, xj называются свободно гомотопными, если отображения аЬзф0, аЬзфр. Г-> X могут быть соединены гомотопией, составленной из сфероидов. Подробнее: сфероиды ф0, Ф1 свободно гомотопны, если существует непрерывное отображение h: IrXI~*X, постоянное на каждом из множеств Fr IrX< (tel) и такое, что h(y, 0) = <Ро(//)» h(y, 1) = Ф1(;/) для всякого у г Г.

Существенным элементом такой гомотопии h является путь, описываемый началом сфероида, т. е. определяемый формулой /1—> h (Fr Г X t). Говорят, что h есть свободная гомотопия, соединяющая сфероиды фо, Ф1 вдоль этого пути. '

Всякий сфероид с началом х0 допускает свободную гомотопию вдоль любого пути с началом х0. Свободные гомотопии гомотопных сфероидов вдоль гомотопных путей приводят к гомотопным сфероидам.

Чтобы осуществить свободную гомотопию заданного сфероида феЗрЬДХ, х0) вдоль заданного пути s с началом х0, достаточно как-нибудь продолжить гомотопию постоянного отображения ф|Рг/, определенную формулой Xy,t)^-s(t)XyePx Г, <е/], до гомотопии отображения ф: Г->Х. (Существование такого продолжения следует из 2.3.1.3.)

- Чтобы установить гомотопность сфероидов фр ф', в которые гомотопные сфероиды ф0, фд переводятся свободными гомотопиями А, h': ГХ1-*Х вдоль гомотопных путей s, s', мы фиксируем какие-нибудь гомотопии f: 1ГХ1-*Х и g: IXI->X, соединяющие ф0 с ф„ и s с s', и определяем подмножество К куба Г+2 = ГХ^Х1 и отображение Н; К-*Х формулами

К = Ргкг+2Г+2 \ [(lntRr+Z+1) X 1],

f (у, и\ если о = 0,

И (у, и, о) =И (у, и, о) =g^u, о), если у е FrRr/r’.

И (у, и, о) =

И (у, и, о) =

А (у, о), если и = О, h' (у, о), если и = 1

(где у el', и el, tie I). Существует гомеоморфизм А: Г X 1-*К такой, что к^у, и) = (у, и, 1) при (у, н)еРг(/гХД: та" ков, например, гомеоморфизм, обратный гомеоморфизму Ар К-> Г X L определенному формулой '

bi (У, и, о) = ^у0, у) + у (1 + о) (у — у0, и — ^У

где z/0 = (ort]+ ... + ortr)/2. Ясно, что Но к; 1ГХ1~^Х есть гомотопия, связывающая ф1 с ф'.

В силу предыдущей теоремы, свободные гомотопии вдоль пути s: I-> X определяют при любом г^О некоторое отображение Ts: лг (X, s(0)) -> лг (X, s(l)). В силу той же теоремы отображения Ts обладают свойством 2.1(111), и очевидно, что они обладают также свойствами 2.1(1) и 2.1(11) и являются гомоморфизмами. Возникающий ансамбль (X, {лг (X, х)}, {7^}) представляет собой при г^ 1 ансамбль групп, а при г = 0 ансамбль множеств с отмеченным элементом, и называется ансамблем r-мерных гомотопических групп пространства X.' В частности, при любых хеХ и г^1 имеется естественное правое групповое .действие группы л, (X, х) в лг(Х, х\

При г = 1 изоморфизм Ts действует по формуле Т8ю = а~'соо, где о — гомотопический Класс пути s (т. е. совпадает с изоморфизмом ts из 2.2). В частности, правое действие группы лДХ, х) в лДХ, х) есть внутреннее правое действие.

Доказательство. Возьмем в классе со какую-нибудь петлю w и определим путь st; I -» X с t е I формулой st (у) = s (/у) и петлю ait формулой wt = ^s^w^) sr Поскольку s0 —• постоянный путь, петля ш0 принадлежит классу со, и свободная гомотопия / XI -> X, определяемая формулой (у, /)с-> wt (у), соединяет ее вдоль s с петлей wx = (s~'^)s, принадлежащей классу а-1соа.

ОБЩАЯ ТЕОРИЯОБЩАЯ ТЕОРИЯ365365§ И

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

365

365

Из 3 следует, что в случае связного пространства X все гомотопические группы лДХ, х0) изоморфны между собой при любом г. Для г = 1 это следует уже из 2.2. - '

Пространство X называется r-простым, если оно связно и ансамбль его r-мерных гомотопических групп является простым. В этом случае группы лг(Х, х) не только изоморфны, но и связаны каноническим сквозным изоморфизмом, позволяющим отождествить их в одну группу лг (X) — гомотопическую группу пространства X. без отмеченной точки, элементами которой являются классы свободно гомотопных сфероидов. Пространство, г-простое при любом г, называется простым.

Если пространство X не является r-простым, то изомор- физмььТ$ не позволяют отождествить группы иДХ,х) с разными х. В этом случае о группе лг(Х) пространства X можно говорить только как об абстрактной группе.

Очевидно, ансамбль нульмерных гомотопических групп топологического пространства всегда является простым, а в случае, когда пространство связно, вырождается в ансамбль одноточечных множеств.

Из 4 следует, что пространство в том и только том случае 1-просто, если оно связно и его фундаментальная группа коммутативна (см. 2.5).

Согласно 1.6, всякое непрерывное отображение f пространства X в пространство X' определяет в каждой точке хе X некоторый гомоморфизм А, = (Ох: лг (X, х) -->лг (X7, f (х)). Ясно, что если А — свободная гомотопия, соединяющая сфероиды ф0, Ф1 вдоль пути s,Tof oh есть свободная гомотопия, соединяющая сфероиды / о Фо, / 0 Ф1 вдоль пути / о S, так что (f,)s(1) oTs = Tfoso У,\№. Таким образом, при любом г^О индуцированные гомоморфизмы (КЛ, составляют с f гомоморфизм ансамбля r-мерных гомотопических групп пространства X в ансамбль r-мерных гомотопических групп пространства X'.

Заслуживают упоминания три специальных случая: пространство X r-просто, пространство X' r-просто, оба пространства X, X' r-просты. В первом случае гомоморфизмы (Кг)х отображают в группы лг(Х7, f(x)) одну и ту же группу лг(Х) и диаграмма •

. «Д)

коммутативна для всякого пути s: I.—» X. Во втором случае гомоморфизмы (f„r)x отображают группы лДХ, х) в одну и ту же группу лДХ') и для всякого пути s: IX коммутативна диаграмма * *

В третьем случае ансамбли r-мерных гомотопических групп пространств X, X' сводятся к группам лг (X),'лг (Xх), а гомоморфизмы (f„-)x —к одному гомоморфизму Z^: лг (X) -» лг (Xх).

Если f: Х-^-Х' — гомотопическая эквивалентность, то все индуцированные гомоморфизмы (f^x" лг(^> х)->яДХ', /(х)) являются изоморфизмами.•

Доказательство. Пусть /Д Х'->Х — отображение, гомотопически обратное /. Если Я: XX/ -* X — гомотопия, связывающая /'о / с idX, то для любого сфероида сре Sphr(X, х) отображение ГД1 -> X, определенное формулой (у, /) i—» Н (ф (р), /), представляет собой свободную гомотопию, соединяющую ф со сфероидом /' ° f °ф eSphr (X,ff ° f (х)) вдоль пути s, определенного формулой s(0=H (хД\ Следовательно, гомоморфизм (/»)дХ)0 (f«)x = ((f' ° fW^r (X, Д —>лг (X, f' ° f (х)) совпадает с переносом Ts и, в частности, является изоморфизмом, а (Д)/(е) есть эпиморфизм. С другой стороны, из того, что аналогичная композиция (fjf,ofw ° (J^fW является изоморфизмом, следует, что (fx)fw есть моно- , морфизм. Таким образом, (ZOf^j есть изоморфизм и1 Щх = также есть изоморфизм.

Тривиальность гомотопических групп лг(Х, х0) с r^k (О^й < оо) в отмеченной точке х0 эквивалентна k-связности пространства X. Тривиальность всех гомотопических групп НДХ,х^ эквивалентна co-связности пространства X.

Что у ^-связного пространства X указанные гомотопические группы тривиальны, видно из прямого сопоставления определения гомотопических групп лДХ, х0) с определением ^-связности [см. 1.3.3.7; в 1.3.3.6 пару (/)r+1, Sr) можно заменить гомеоморфной ей парой (/r+l, Fr/r+l)]. Обратное следует из того же сопоставления, посколькутривиальность гомотопических групп лг(Х,х0) с r^.k влечет за собой, согласно 1.2 и 5, тривиальность гомотопических групп*лг (X, х) с r^k во всех точках хеХ.

Относитёдьные гомотопические группы

Положим Г-1 = FrRr/r \ Inter_i f~' и для произвольной топологической пары (X, Л) с отмеченной точкой хоеЛ и произвольного натурального г множество ^ (/r, Fr/r, /г-1; X, Л, х0) всех непрерывных отображений тройки (/г, Fr/r, Jr-1) в тройку (X, А, х0) обозначим короче через Sphr(X, А, х0). Элементы множества Sphr(X, А, х0) называются r-мерными сфероидами пары (X, Л) с началом х0. Множество л (Г, РтГ, Jr~'; X, А, х0) их гомотопических классов обозначается короче через лг(Х, А, х0\

Заметим, что всякий сфероид ф е Sph> (X, А, х0) с ф^сЛ гомотопен постоянному сфероиду. Имеется стандартная гомотопия fXI-^X, связывающая такой сфероид с постоянным: она определяется формулой•

((Лtr-v, tr\ t) н-^ ф (/ь ..., tr-b (1 — t) tr + t\

Одномерный сфероид пары (X, Л) с началом х0 есть, очевидно, путь с началом в А и концом х0. Предостережение: гомотопия такого сфероида, будучи связанной в точке 1, не обязана быть связана в точке 0, если А не сводится к х0.

При г^2 формула (1) определяет в Sphr(X, А, х0) умножение, которое переносится в лг (X, А, х0) и превращает лг(Х, А, х0) с г ^2 в группу. Единицей, этой группы служит гомотопический класс постоянного сфероида, и класс сфероида ф-1, определяемого формулой ф-1 (Д ^2, • • • Дг) = Ф(1 — ^> <2tr\ обратен классу сфероида ф. Все это доказывается так же, как в абсолютном случае.

Группа лг(Х, Л, х0) с г^2 называется r-мерной гомотопической группой пары (X, Л) в точке х0. Одномерная гомотопическая группа пары (X, Л) в точке х0 определяется как множество лДХ, Л, х0) с единицей (отмеченным элементом): ею служит гомотопический класс постоянного сфероида. '

Если А = х0, то лг (X, А, х0) совпадает с лг (X, х0) [т. е. лг (X, х0, х0) и лДХ, х0) совпадают как группы при г ^2 и как множества с отмеченным элементом при г = 1].-

При г > 1 группа пДХ, А, х0) канонически изоморфна группе лДХ0, Ло, х0), где Хо и Ло—компоненты пространств X и Л, содержащие х0.'.

При г > 2 группа лг(Х, Л, х0) коммутативна. Доказательство представляет ■ собой очевидную модификацию доказательства теоремы 1.5...

Всякому непрерывному отображению f: (X, А, х0) -> (X', Л', Xq) отвечает при г^1 индуцированный гомоморфизм ft : л>(Х, Л, х^-^лДХ', Л', х'^), определяемый так же, как в

абсолютном случае, и совпадающий при А = х0, А' = х'й с абсолютным индуцированным гомоморфизмом f,: лДХ, х0)—> лг (X', х'). Как и в абсолютном случае,- (g ° f)t — gt° ft и id* = id. Если f и f гомотопны, то ^ = t»> если / — гомотопическая эквивалентность, то t, — изоморфизм.'

- Граничный гомоморфизм

Сокращение аЬф: (/r-1, Fr/-1)->(Л, х0) сфероида фе Sphr (X, А, х0) является сфероидом из Sphr-i(A, х0) и в этом качестве называется границей сфероида ф и обозначается через дф. Возникающее отображение д: Sphr(X, А, х0)-> Sph^-j (Л, х0), очевидно, переводит гомотопные сфероиды в гомотопные и постоянный сфероид — в постоянный. Следовательно, оно определяет при любом г>1 некоторый гомоморфизм лг(Х, Л,х0)-»лг-1(Л,х0). Этот гомоморфизм называется граничным и также обозначается через д.-

Каково бы ни было непрерывное отображение /: (X, А, хф-* (X', А', х£), диаграмма

лг (X, А, х0) -^* лг_] (Л, х0)

лг(Х', Л'^-^п^Л'.х;)

коммутативна при любом r^ 1. Для доказательства достаточно заметить, что коммутативна уже аналогичная диаграмма, в которой вместо л всюду стоит Sph, а вместо f* и (abf)„ стоят /* и (abf)#.'.

Ансамбли гомотопических групптопологической пары

Сфероиды фое Sphr (X, Л, х0), ф] гSphr(X, A, Xi) пары (X, Л) называются свободно гомотопными, если они, рассматриваемые как отображения пары (/r, Fr/Z) в пару (X, Л), могут быть соединены гомотопией, составленной из сфероидов пары (X, Л), т. е. если существует отображение Н: 1ГХ1-*Х с /г(Рг/гХ/)сЛ, постоянное на каждом из множеств Г-1 Xt (^ е 7) и такое, что h {у, 0) = Фо (у), Ь\у, 1) = ф1(у) при любом угГ. Говорят, что h есть свободная гомотопия, соединяющая ф0 с ф] .вдоль пути, t^h(r-xxtY■'

Всякий сфероид пары (X, Л) с началом х0 допускает свободную гомотопию вдоль любого пути пространства Л <? началом х0,

и свободные гомотопии гомотопных сфероидов вдоль гомотопных путей ^пространства А всегда приводятк гомотопным сфероидам. Доказательство отличается от доказательства теоремы 3.2 в двух пунктах: в первой части доказательства мы начинаем с отображения ab ф: Г-1-* А (вместо ф lFrZr) и продолжаем его гомотопию, определенную формулой (у, () н-> s(/), сначала до гомотопии отображения аЬф: Рг/Г->Д а затем до гомотопии отображения ф: Г->X; во второй части мы вместо g: IXI ~*Х пишем g: 1 X I А. -

В силу этой теоремы, свободные гомотопии вдоль пути s: IА определяют (при любом г^1) некоторое отображение Ts: лг (X, A, s(0)) -* лг (X, A, $(1)). Как и в абсолютном случае, отображения Ts являются гомоморфизмами и обладают свойствами 2.1 (1), 2.1 (11) и 2.1 (ill), так что на А возникает ансамбль (Д, (лг (X, А, х)}, {7$}), представляющий собой при г^2 ансамбль групп, а при г — 1 ансамбль множеств с отмеченным элементом. Он называется ансамблем r-мерных гомотопических групп пары (X, Д). В частности, при любых xs А и г^1 имеется естественное правое действие группы л^Д, х) в лг(.¥, А, х), групповое, если г > 1, и оставляющее н-а месте единицу, если г = 1.

Из существования описанного ансамбля следует, что при любом г^1 все r-мерные гомотопические группы лг(Х, А, х) пары (X, Д) со связным-Д изоморфны между собой.

Пара (X, Д) со связным А называется r-простой, если ансамбль ее r-мерных гомотопических групп является простым. В этом случае все гомотопические группы лг (X, Д, х) с xs А могут быть отождествлены в г-мерную гомотопическую группу лг (X, А) пары (X, Д) без отмеченной точки, элементами которой являются классы свободно гомотопных сфероидов. Пара, /--простая при любом r^ 1, называется простой. Например, пространство с отмеченной точкой является простой парой.

Очевидно, что для любой пары (X, Д) и любого пути s; I-> А диаграмма

лг ^Х, A, s (0)) —-^ лг-1 (Д, s (0))

лг(Х, A, s(l))^> лг-1 (Д, s(l))

коммутативна. Таким образом, граничные гомоморфизмы д=дх- лг (X, Д, х) —> лг-1(Д, х) составляют с Id Д гомоморфизм ансамбля r-мерных гомотопических групп пары (X, Д) в ансамбль (г — 1)-мерных гомотопических групп пространства А. •

Каково бы ни было непрерывное отображение f:-(X. Д)-* (X', А'), гомоморфизмы 7 f.^f^x’ яг(^# А, х^лДХ', Д, /(х))

составляют с f гомоморфизм ансамбля r-мерных гомотопических групп пары кХ, Л) в ансамбль r-мерных гомотопических групп пары (X', Д'). Как и в 3.6, укажем на три специальных случая: пара (X, Д) r-проста, пара (X', Д') r-проста, обе пары (X, Д), (X', Д') r-просты. В двух первых случаях пути s: I-> А порождают коммутативные диаграммы, аналогичные диаграммам из 3.6, в третьем случае ансамбли r-мерных гомотопических групп пар (X, Д), (X', Д') сводятся к группам лг(Х, Д), лг (X', Д'), а гомоморфизмы (/А— к одному гомоморфизму /д лДХ, Д) —> лг (X', Д').

Если / — гомотопическая эквивалентность, то все гомоморфизмы (fX являются изоморфизмами. Это устанавливается так же, как в абсолютном случае (см. 3.7). -

Пусть кХ, Д) — пара с отмеченной точкой х0 г А. Если пространства X, А связны, то тривиальность всех гомотопических групп лг(Х, А, х^ эквивалентна oo-связности пары (X, Д), а тривиальность гомотопических групп лДХ, А, х0) с l^r^/г эквивалентна ее h-связности.

Доказательство повторяет с очевидными изменениями доказательство предложения 3.8 (ссылка на 1.3.3.7 заменяется ссылкой на 1.3.3.9).

Группа л2(Х, Д, х0)

Если а, Релд'Х, А, х0\ то а~^а — Тда^.

Доказательство (другое доказательство будет дано в п. 10). Доказываемое утверждение означает, что для любых сфероидов ф, ф g Sph2 (X, Д, х0) сфероид ф. можно соединит* со сфероидом ф-|ф<р свободной гомотопией вдоль петли dtp. Такую гомотопию составляют отображения хг /2~*Х (t е 1\ определяемые следующим образом. Положим f (0 — ~щ— Тр” Д') и Раз°бьем Р на восемь кусков, -показанных на рис. 14, где Д1 (/), ДД/), Д3 (/), ДДО имеют абсциссы f(/), //4, 1 — (//2), 1 — fkO, а В, (Д ВД/), В3Х, В4(/) лежат над ними на высоте 1 — Д/). Пусть, далее, ар Qi (/) =»Р, а2: (ЭДО™* А а3: Qa^-* Р — аффинные отображения, определяемые условиями

а, (Д кХ = kt, 0), а, (Д2 (/)) = (0, 0), Й1 № (0) = kt, 1), а2 (Д2 (/)) = (0,0), а2 кД3 (0) = (1,0), аДВ2 (/)) = (0,1), а3 (Д3 (/)) = (0, 0), а3 (A к^ = kt, 0), а3 (В3 (/)) = (0, 1).

Мы полагаем

X# lQ1(#) = Ф ° “1» XdQ2(Z)=^°a2, %<|(31(О = Ф°а3

и продолжаем полученное непрерывное отображение ,Qi(OU Q2U) U Q3 W —> ^ сначала до отображения АУДО-*^ так> чтобы

оно было постоянно на горизонталях в ^(OUQs^) и на вертикалях в Q6(/)UQ7(0, а затем на Q8(/) так, чтобы оно было постоянно на горизонталях. (Последнее возможно, поскольку уже имеющееся отображение UiQiCO-*^ постоянно на отрезке

Рис. 14.

[ВДО, 64(0] и принимает одинаковые значения в точках отрезков [5,(0, (о, 1)1, [В4(О, (1,1)1, лежащих на одной высоте.) Непрерывность отображения /2 X I —> X, составленного из построенных отображений /е /2->Х, следует из его очевидной непрерывности на каждом из восьми многогранников U(e/(Q< (0X0-

Действие группы лДХ, х0) в лДХ, А, х0)

Если w — сфероид из ЗрЬДХ, А, х0) и s ~ петля из Sphj(X, х0), то определено произведение ws, и ясно, что это — сфероид из Sphj (X, А, х0) и что его класс определяется классами сфероидов w, s; таким образом, для со ge nt (X, А, х0) и а 6= Л] (X, х0) определено произведение соа. Пользуясь снова гомотопиями из 1.1, мы видим, что со (ста') = (соа) о' и соел <х, Хо) = со для любых со е Л[ (X, А, х0) и а, а' г л, (X, х0), т. е. что формула (со, а)ь-*соо определяет правое действие группы Л[ (X, х0) В Л; (X, А, х0). '

Если А — х0, то это действие совпадает, очевидно, с каноническим правым действием группы л, (X, Xj). Столь же очевидно, что в общем случае для всякого пути s: I —> А перенос Ts: л,(Х, A, $ (0))-> «! (X, A, s(l)) является [Einos: Л1 (X, $(0))->

Л| (X, з(1))]-отображением, т. е. что Ts (окт) = Ts («>) Tiaos (о) для любых аелДХ, s(0)), ©елДХ, Л, з(0)). Ясно также, что для всякого непрерывного отображения fr\(X, А, х0) -> (X', А’, х') гомоморфизм ^х л, (X, А, х0) -*• л1 (X', А', х') является [f: л, (X, х0)-+л1(Х,> х')]-отображением, т. е. что ^(«ит) = /,(«>) f, (ст) для любых о) е л, (X, А, х0), <т е л, (Х, х0). В применении к отображению rel = [in: (X, х0, х0)—>(Х А, х0)[ последнее означает, что для любых со, ст е nt (X, х0) -

(rel* со) ст = rel, (сост).

Для любых со е Л] ^Х, А, хф и ст е Л] (Л, х0)

Tato = со (in, ст),

где in = [in: (Д х0) -* (^, х0)].

Доказательство. Пусть w, s— сфероиды классов со, ст. Определим путь 8<: I-> А с t г! формулой st (у) = s(/у) и положим wt = w (in ° st\ Поскольку s0 — постоянный путь, сфероид су0 гомотопен ш, и ясно, что свободная гомотопия /X I ~*Х, определенная формулой ^у, t)^-wt(y), соединяет w0 с ©! = w (in о s) ВДОЛЬ 8.

Отступление: последовательности групп и гомоморфизмови «-последовательности

Последовательностью групп и гомоморфизмов называется конечная или бесконечная в одну или обе стороны последовательность групп, в которой каждые две соседние группы Gt, Gi+\ связаны гомоморфизмом Gt->Gi+1.

Гомоморфизмом последовательности групп и гомоморфизмов Ю{, hp Gi->Gi+^ в последовательность групп и гомоморфизмов ^G'i, h'i: G'i—>G)+i}, занумерованных тем же множеством целых чисел, называется такая последовательность гомоморфизмов ^Нр. Gi-^-G'i}, что диаграмма

коммутативна. Гомоморфизм, составленный из изоморфизмов, называется изоморфизмом. ,

Последовательность групп и гомоморфизмов [Сг, /гг} называется точной, если в каждой группе Gt, кроме начальной и конечной, ядро Кег/гг гомоморфизма ht совпадает с образом Im/i(-i гомоморфизма hi-v

§ 1] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ . 373

Следующие предложения, очевидно, справедливы для любой точной последовательности {Gz, htY

Если Gt — внутренний (не начальный и не конечный) член .последовательности, то тривиальность гомоморфизма ht-x эквивалентна мономорфности h{, а тривиальность /г, — эпиморф- ности hi-x, так что тривиальность обоих гомоморфизмов ht_b hi эквивалентна тривиальности группы Gt. ;

Если Gt и Gz+1 — внутренние члены последовательности, то тривиальность гомоморфизмов ht-x и h£+x эквивалентна тому, что hi — изоморфизм.

(ш) В частности, из тривиальности групп GZ_I( Gz+[ следует тривиальность группы Gz, а из тривиальности групп Gz-b Gz+2 следует, что h( — изоморфизм.

Точные последовательности вида I-*/7—>G—^>Я->1 называются короткими (1 обозначает тривиальную группу). Примером может служить последовательность 1 -> F—> G-^-G/F 1, где F — нормальная подгруппа группы G. Это — универсальный пример: всякая короткая точная последовательность канонически изоморфна последовательности такого 'вида, а именно.

z f g

точная последовательность I-*/7—>G—>Н--*\ отображается на последовательность 1—>Imf-^»G—>G/Imf->1 изоморфизмом {id 1, abf: F-Hmf, idG, h^- pr(g_1 (Д)), idl).

Расщепление

Говорят, что последовательность групп и гомоморфизмов (Gz, h^ расщепляется в члене Ga справа гомоморфизмом ?: Ga+i~>Ga, если ha о £,*= id Ga+1, и что это расщепление нормально, если, сверх того, Im? — нормальная подгруппа группы Ga.

Говорят, что последовательность (Gz, h^ расщепляется в "члене Ga слева гомоморфизмом ?: Ga—*Ga_x, если t>°ha-x = id Ga_x.

(Лемма). Пусть А, В — группы и а: А->В, р: В->А — гомоморфизмы. Если Imp — нормальная подгруппа группы А и a°p = idB, то А= Ker а X Imp.

Доказательство. Всякий элемент а группы А представляется в виде [а(Р ° сДа))-1] (р ° a(a)), и ясно, что первый сомножитель содержится в Kera, а второй — в Imp. Если же aeKeranimP, то a(a) = eB и существует ЬеВ с р(6) = а, так что b = а ° р(6) = a(a) = ев и а = р(Ь) = ел.

Если точная последовательность {Gx, hi] нормально расщепляется справа в члене Ga и расщепляется справа в члене Оа_з; то она расщепляется -слева в члене Gau Ga^ Ga_x X Ga+1. Подробнее; в указанных условиях ha_x есть мономорфизм.

a Ко — эпиморфизм, и Ga распадается в прямое произведение подгруппы ImAa-j и некоторой подгруппы, изоморфно отображающейся на Ga+1 по.средством Ка; при этом всякий расщепляющий справа гомоморфизм g: Ga+1->Ga является мономорфизмом, и если он расщепляет нормально, то прямым дополнением подгруппы 1тйа_1 может служить Img.

Доказательство. Равенство Ga =Jmha_x X Im £ следует из леммы 5 .и точности последовательности ^G,, КД. Что Ка— эпиморфизм, а £ — мономорфизм, следует из соотношения Ка ° g = id Ga+1. Из расщепляемости последовательности {Gz, КД справа в члене Ga_3 следует, что и йа_3 — эпиморфизм, после чего из ее точности следует, что Ка_2— тривиальный гомоморфизм, а Ка_х— мономорфизм. Наконец, в качестве левого расщепляющего в члене Go можно взять гомоморфизм, обратный Ка-Х на Im/za-1 и равный единице на Im^.

Если точная последовательность {Gt, КД расщепляется слева в членах Ga ' и Gtt+3, то она нормально расщепляется справа в члене Ga и Ga^ G-a_vX Ga+1. Подробнее-, в указанных условиях Ка-Хесть мономорфизм, а Ка— эпиморфизм, и Go распадается в прямое произведение подгруппы Im /гга—] и некоторой подгруппы, изоморфно отображающейся на Ga+1 посредством Ка; при этом всякий расщепляющий слева гомоморфизм & Ga^>- Ga_x является эпиморфизмом, и прямым дополнением подгруппы Im ha_v может служить Кег?.

Доказательство. Равенство Ga = Im ha-x X Ker £ следует из леммы 5. Что Ка_х — мономорфизм, а £— эпиморфизм, следует из равенства £ о KQ-X = id Ga-X. Из расщепляемости последовательности {Gz, КД слева в члене Ga+3 и ее точности следует, что Ка — эпиморфизм. В качестве правого нормально расщепляющего в члене Ga можно взять сквозной гомоморфизм Go+1 = Ga/Ker ha — GJIm ha_x = (Im Ka-X X Ker £)/Im ha_x = Ker £Ga.

fg

Для точной последовательности 1 -> F—> G — > H -* 1 как левая расщепляемость, так и нормальная правая расщепляемость в члене G эквивалентна существованию у Im f = Ker g прямого дополнения.

Это следует из леммы 5.

5-л е м м а

Если‘

G] > G2 > G3 > G4 ► Gg

'|ф' j^ |ф3|ф<

КК

G) > G2—>■ G3 > G4 ► G5

375375ОБЩАЯ ТЕОРИЯОБЩАЯ ТЕОРИЯ8 И

375

375

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

— гомоморфизм точной последовательности в точную последовательность, причем ф] — эпиморфизм, ф2 и ф4 — изоморфизмы, а <рв — мономорфизм, то Ф3 — изоморфизм.

Докажем сначала, что ф3есть мономорфизм. Пусть «еКегф3. Тогда <р. ° h, (a) = h'0^.(0) = еГ/, и, следовательно, h„(a\ = er, 44

т. е. а е Кег/г3 = 1ш/г2. Пусть a = h2^, b е G2; поскольку й2 ° Фг W = Тз0 ^2 W = Ф3 (а) — ео'’ существует с е G, с /г' (с) = Ф2 (6), и, значит, существует d е Gx с ^ ° ф, (d) = ф2 (6). С другой стороны, й( ° ф] ^ = ф2 ° fy (^); и потому ф2 (6) = ф2 о /г1 ^. Следовательно, b = hl(d) и а = h2 ° hx (d) — eG.

Теперь докажем, что ф3 есть эпиморфизм. Пусть aeG',. Тогда Ф5°/г4°Ф4"Мг'(a)=A'o/z'(a)==eG', и, следовательно, h^cp-'oh'^a)^ eG_, т. е. ф-1 °/г'(а) еКег/г4 == 1т/г3. Пусть фу1 ° Л' (а) = А3 (6), b е Gy поскольку й' (а (ф3 ^у1) = (ф4 о <р-1 о й' (а)) (й' ° ф3 ^у1 = Ф4((ф4 10 ^z3 (а)) (^з (^))-1) = е ', существует ceG' с й'(с) = а(ф3(^)) , и, значит, существует (IeG, с й'°ф2(^) = а(ф3(й))-1. С другой стороны, й2 ° ф.,(б/) = ф3 о h.yd\ и потому а(ф3(й))-'= Ф3°/г2(^)- Таким образом, а = ф3 (/г2 ((/) Ь).

л-последовательности

В ближайших пунктах нам придется иметь дело с так называемыми гомотопическими последовательностями, которые представляют собой весьма громоздкие образования, близкие к последовательностям групп и гомоморфизмов, но наделенные рядом специфических структур и свойств. Эти последовательности возникают в различных геометрических ситуациях, но алгебраически родственны. В остающейся части этого пункта мы занимаемся их предварительным чисто алгебраическим описанием и изучением.

Бесконечная влево последовательность

... П^П^Пз-^^-^Пз-^Пз-^П^По,(6)

в которой:

По, П], П2 — множества с единицей (отмеченным элементом),

П3, П4, П5 —группы,

П6, П7, . . . — коммутативные группы,-

Ро, Pi> Рг — гомоморфизмы в смысле 1.2,

р3, р4, ... —групповые гомоморфизмы,

называется ^-последовательностью, если заданы:

правое групповое действие группы П3 в группах П3£ с ^^2, правое групповое действие группы П4 в группах II3fe+1 с 6^2, правое групповое действие группы П4 в группах П3ь-1 с 6^ 2, правое действие группы П3 в множестве П2,

такие, что:

p3fe с &^2 есть р3-гомоморфизм;

. (ii) p3fe+1 с Z?^2 есть П4-гомоморфизм;

Рз&—I с к ^2 есть П4-гомоморфизм по отношению к правому групповому действию группы П4 в П36, которое индуцируется имеющимся действием группы П3 в Пзй по- ■ средством гомоморфизма р3;

р4 есть П4-гомоморфизм по отношению к внутреннему правому действию группы П4;_

преобразование группы П5, производимое образом р4(а) элемента а группы П5, есть внутренний автоморфизм Р |—* а-1ра;

на р2(П3) преобразование множества П2, производимое элементом а группы П3, определяется формулой р2(и) о = р2 (иа)..

Гомоморфизмом «-последовательности {П,, р;)П=о в л-после- довательность {Пр р'}” называется последовательность гомоморфизмов ^hp П; -> Щ)” , такая, что: р( ° ht+1 = h( ° pz при любом z^O; Л3&, hsfe+x, h7,k_x с 6^2 являются (соответственно) h3-, Н^, /г4-гомоморфизмами; h2 (co) ha (or) = /z2 (coo) при любых co e П2, аеП3. Изоморфизм определяется как гомоморфизм, составленный из изоморфизмов.-.

Среди условий (i) — (vi), входящих в определение «-последовательности, два, именно (iv) и (v), относятся к р4. Из (iv) следует, что если П4 действует в П5 тождественно, то Im р4 содержится в центре группы П4. Из (v) следует, что если П4 действует в П5 тождественно, то группа П5 коммутативна, что обратное верно, если р4 — эпиморфизм, и что в общем случае Кегр4 содержится в центре группы П5.

Мы называем «-последовательность (6) точной, если Kerpz = Impz+1 при любом z^O и, кроме того, прообразы элементов множества П1 при отображении pi совпадают с орбитами действия группы П3 в П2.

Если «-последовательность (6) точна, то, очевидно, при любом z^Q тривиальность гомоморфизма рг эквивалентна эпи- морфности рг+ь а тривиальность ядра Кегрг эквивалентна тривиальности гомоморфизма p/+t. В общем случае при z^3 тривиальность ядра Кегр£ означает взаимную однозначность

3 773 77ОБЩАЯ ТЕОРИЯОБЩАЯ ТЕОРИЯ§ П

3 77

3 77

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

гомоморфизма р(, поскольку он является групповым. Тривиальность ядра Кегр2 также означает взаимную однозначность отображения р2: если р2 (а) = р2 (Р), то р2(ар-1) = р2(а)р-1 — Р2 Ф) Р”1 = Р2 (№”') = РУ(еп3) 1сМ- условие (vi) в 11] и а = р. Из тривиальности ядра Кегр0 не следует взаимная однозначность отображения р0, и то же относится к отображению рь однако в случае точной л-последовательности (6) взаимная однозначность отображения р1 гарантирована, если группа П3 тривиальна ил'и ее действие в П2 является тождественным.

Из сказанного следует, что в случае точной л-последовательности (6) при /^1 тривиальность рг и р(+2 эквивалентна обратимости рг+1 и из тривиальности Пг и 11(+2 следует тривиальность Пг + 1, а из тривиальности Пг—i и Пг+2 — обратимость pz (ср. 2). -

Пусть ^ — точная «.-последовательность. Если действие группы П4 в П2, индуцированное действием группы П3 посредством гомоморфизма р3, тождественно, то Im р3 есть нормальная подгруппа группы П3. Обратное верно, если р2 — эпиморфизм.

Доказательство. Пусть П4 действует в П2 тождественно. Если а е П4, реП3, то р2 (Р) Р3 (а) = р2 (Р), и потому Рг (Рр3 (а) Р~ ‘)=Р2(Рр3 (а)) F' =[Р2 (Р) Рз(а)] Р~ 1=Р2 (₽) F'=Р2 ^Р~ ‘)=еп2 [см. условие (vi) в 11], так что рр3(а)р-1 г Kerp2 = Imp3. Таким образом, Im р3 — нормальная подгруппа группы П3.

Пусть р2 — эпиморфизм и Im р3 — нормальная подгруппа группы П3. Если а е П4, уе П2, то существует р е Д3 с р2(р) = у, и так как Рр3(а)р-1 ее Imp3 = Kerp2, то урз (а) = р2 (Р) Рз (а) = р2 (Рр3 (а)) = р2 (ррз ja) р-1р) = р2 (рр3 (а) р-1) р = епР = р2(еп>) ₽ = р2(Р) = у [см. опять-таки условие (vi) в 11]. Таким образом, П4 действует в П2 тождественно.

Всякая последовательность коммутативных групп и групповых гомоморфизмов вида (6) может рассматриваться как л-последоватёльность, в которой действия группы П3 в группах Пзй с ^^2 и действия группы П4 в группах П36+1 и Пз^-! с fe^2 тождественны, а действие группы П3 в группе П2 определяется формулой ©о = ®р2(а) [®еП2, оеП-]. Ясно, что при этом последовательности, точные в смысле 2, оказываются точными и как л-последовательности, а гомоморфизмы в смысле 1 — гомоморфизмами в смысле 1L

Расщепление л-последовательностей

Говорят, что л-последовательность (6) расщепляется в члене По справа гомоморфизмом £: Па-1->По, если pa-i°£ = idno_b и что это расщепление нормально, если a = 0, 1, 2 или

Im S — нормальная подгруппа группы Па. Говорят, что «-последовательность (6) расщепляется в члене Па слева гомоморфизмом £: Па->Па+|, если £ ° pa=id По+1. (Гомоморфизм понимается как групповой, если это имеет смысл, и как гомоморфизм множества с единицей в множество с единицей в противном случае.) 17. В членах Па с а ^ 5 правое расщепление п-последова- тельности (6) всегда нормально. В члене. П4 правое расщепление также нормально, если последовательность точна и П4 действует в П5 тождественно.

Поскольку группы Па с а > 5 коммутативны, требуют внимания только члены П5 и П4. Пусть «-последовательность (6) расщепляется в члене П5 справа гомоморфизмом £: П4->П5. Если а, Ре П3, то

Pap”1 = [р$ (р4 (р"1))] k (Р4 (Р)) аР-*1 =

к (р4 (Р)) ар"1] № (р4 (Р"1))] = £ (Р4 (Р)) а? (р4 (Р-1));

перестановка сомножителей возможна, поскольку PS (рл (р ’)) принадлежит, как это следует из равенства р4 ° ^ == id П4, ядру гомоморфизма р4 и, значит, центру группы П5 (см. 12). Это представление произведения р«р" показывает, что если aelm ;, то pap 'elme при любом р е П5.

Пусть «-последовательность (6) точна и расщепляется в члене П4 справа гомоморфизмом С: П3-*П4, и пусть П4 действует в П5 тождественно. Если а, ре П4, то

рар~‘ = [РС (р3 (Р"1))] к (Рз (Р)) ар"1] =

к (Рз (Р)) ар"1] [PS (рз (Р"’))] = $ (Рз (Р)) а$ (р3 (р-*));

перестановка сомножителей возможна, поскольку р?(рз(Р"*)), как это следует из равенства р3 ° S = id П3, принадлежит Кег р3 = Imp4 и, значит, центру группы П4 (см. 12). Это представление произведения pap"1 показывает, что если aelmS, то pap"1 е ImS при любом реП4.

Пусть «-последовательность (6) точна, нормально расщепляется справа в члене Па и расщепляется справа в члене Па+3. Если а^4, то, в силу 6, последовательность (6) расщепляется в члене Па также слева и Па распадается в -произведение подгруппы, канонически изоморфной Па+1, и подгруппы, изоморфной Па-1- При а= 1, 2, 3 последовательность (6) тоже расщепляется слева в члене Па (доказательство повторяет аргументы из 6), но, как показывают очевидные примеры, изоморфизм Па ^ IIa+1 X Па-1 может не иметь места.

Пусть теперь «-последовательность (6) точна и расщепляется слева в членах Па, Па_3. Если а ^6, то, в силу 7, последова-

379379ОБЩАЯ ТЕОРИЯОБЩАЯ ТЕОРИЯ§ Л

379

379

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

тельность (6) нормально расщепляется справа в члене Па и Па распадается в произведение подгруппы, канонически изоморфной По+ь и подгруппы, изоморфной Па-j. Все это верно, как показывает дословное повторение аргументов из 7, и при а = 4, 5; при а = 3 можно утверждать лишь, что последовательность расщепляется справа в члене Па.

В дальнейшем мы будем часто сталкиваться с ситуацией, когда л-последовательность точна и расщепляется в каждом третьем члене. Из предыдущего следует, что если л-последо- вательность (6) точна и нормально расщепляется справа в членах П^+зй с z'j + 3^^1, то она расщепляется в этих членах и слева, а если она дочна и расщепляется слева в членах П<0+з&, то в членах Пщ+зй с i9 + 3k ^ 3 она. расщепляется справа, а в членах П,о+зй с i0-\-3k^4 она нормально расщепляется справа. .

л-в а р и а н т 5-л е м м ы

Пусть {Пг, Р;}”_0, {ПС, Р/}{10 — точные я-последователености, и пусть {hr. Пг--> П;}°°=0 — гомоморфизм первой во вторую. Если h^-t, Aa+i — изоморфизмы и КегНа-2 = еп , Im/za+2 = Пц+9, то Ker ha = еп и Im ha - П« {так что ha есть групповой изоморфизм, если а^З).

При а^5 это содержится в 9, при а = 2, 3, 4 доказывается так же.

Гомотопическая последовательность пары

Пусть (X, Л) — топологическая пара с отмеченной точкой х0 е Л. Согласно пп. 1, 4, при г^О определены гомотопические группы яг {X, х0) и лг (Л, хф, а при г ^ 1 определена гомотопическая группа лг (X, Л, х0). Кроме того, согласно 4.3, определены гомоморфизмы д: лг(Х, Л, х0)-*лг_1(Л, хф. Мы присоединяем к ним гомоморфизмы in#: лг (Л, хф->яг {X, х0), rel„: лг {X, хф-* яг{Х, Л, хф, индуцированные включениями in: А->Х, tel: {X, х0, хф->{Х, Л, хф. Эти три серии гомотопических групп и три серии гомоморфизмов объединяются в бесконечную влево последовательность-

... —> л2 (Л, х0)> л2 (X, х0)> л2 (X, А, х0) —> Л! {А, х0)>

л1 (X, х0) -^V Л] (X, Л, х0) -^- л0 (Л, х0) -^> л0 (X, х0),(7)

в которой все члены, кроме шести последних, — коммутативные группы, все члены, кроме трех последних, — группы, а три последних — множества с единицей, и все отображения, кроме трех последних, — групповые гомоморфизмы, а три последних —

гомоморфизмы множества с единицей в множество с единицей. Согласно 3.3 и 4.4, определены правые групповые действия группы Л] (X, х0) в группах лг (X, х0) и группы Л] (Л, х0) в группах лг(Л, Xq) и лг(Х, А, х0). Гомоморфизмы in,, rel,, д согласованы с этими действиями, как того требует определение 5.11 (см. 3.6, 4.5 и 3.4), и a~lPq = 7’aa₽ для любых а, § е л2 (X, А, х0) [см. 4.7]. Кроме того, согласно 4.8 и 4.9, определено правое действие группы Л! (X, х0) в Л1 (X, А, х0), такое, что rel, (®)о = rel, (®о) для любых со, оелДХ, х0). Таким образом, (7) есть л-последовательность. Она называется гомотопической последовательностью пары (X, Л) с отмеченной точкой х0.

Последовательность (7) точна.

Доказательство состоит в очевидной прямой проверке шести включений Im in, a: Ker rel,, Ker rel, с: Im in,; Im rel, cz Ker d, Ker d dm rel,; Im de Ker in,, Kerin, dmd и того факта, что для элементов а, 0 множества лДХ, А, х0) в том и только том случае существует оелДХ, х0) с ао = р, если da = dp.

Для любого пути s: I -* А вертикальные изоморфизмы

... лг (A, s (0)) 2Д> лг (X, s (0)) Д^. лг (X, A, s (0)) -Д- лг-, (Л, s (0)) ...

1^Irinos|^.|^

... л, (Л, s (1)) -Д^ яг (X, s (1)) -Д\ яг (X, A, s (1)) Л> лг_, (Л, s (1)) ...

составляют изоморфизм первой последовательности на вторую.

Коммутативность первого квадрата была установлена в 3.6, коммутативность второго и третьего — в 4.5. Согласованность вертикальных гомоморфизмов с действиями фундаментальных групп сводится к свойству 2.1 (i) ансамблей (Л, {лг(Л, х)}, {7S}), (X, {лг(Х, х)}, {Г^}), (Л, {лг(Х, А, х)}, IT's}) и равенству ТДа><Д = Ts^pT\№s^ [п^лДХ, з(0)), ©ел^Х, A, s(0))], установленному в 4.8.

Вертикальные гомоморфизмы

... лг (Л, х0) —*» лг (X, х0) ДД^> лг (X, А, х0) -Д> лг-1 (Л, хо) ...

|(abf)*|f.|f.-|(abf),(8)

... лг(л',Хо)-ДД>лг(Х/,Хо)-Д!^-лг(Х,1 Л'.х^-Л-л^^Л', Xg) ....

индуцированные непрерывным отображением f: (X, Л, х0)-> (X', Л', Xq), составляют гомоморфизм первой последовательности во вторую..

Коммутативность первых двух квадратов следует из 1.7 и 4.2. Коммутативность третьего квадрата была установлена в 4.3, а согласованность вертикальных гомоморфизмов с действиями фундаментальных групп — в 3.6, 4.5 и 4.8.'

Важнейшие специальные случаи

Если X оо-связно, то все гомоморфизмы д: лг(Х, Л, х0)-> лг-1(Л, х0) ядляются изоморфизмами. Если X 6-связно и '6< оо, то гомоморфизмы д: кДХ, Л, х0)->лг-1(Л, х0) с г^б являются изоморфизмами, а д: лк+1(Х, Л, х0)-> л6(Л, х0) есть эпиморфизм. В обоих случаях верно и обратное, если X связно.

Если пространство Л oo-связно, то все гомоморфизмы tel,: лг (^, х0) —> лг ^Х, Л, х0) являются изоморфизмами. Если Л 6-связно и 6 < со, то гомоморфизмы rel^: лДХ, х0)-* лг (Л’, Л, х0) сг^б являются изоморфизмами, a rel,: л^+1(Х, х0) —> лй+1 (К, Л, х0) есть эпиморфизм. В обоих случаях верно и обратное, если одно из пространств X, Л связно.

Если пара (X, Л) оо-связна, то все гомоморфизмы in,: лг(Л, х0)->лг(Х, х0) являются изоморфизмами. Если пара (X, Л) 6-связна и 6 < оо, то гомоморфизмы in,: л, (Л, х0)->лг(Х, х0) с г < к являются изоморфизмами, a in,: лДЛ, х^->лДХ, х0) есть эпиморфизм. В обоих случаях верно и обратное (без дополнительных условий). В частности, если in: Л -* X — гомотопическая эквивалентность, то пара (X, Л) оо-связна (см. 3.7 и ср. 1J3.3.9). .

Если Л— ретракт пространства X, то последовательность 7 ^расщепляется слева в членах лг (X, х0). Расщепляющими могут служить гомоморфизмы р,: пДХ, х0)-*лг(Л, х0), индуцированные любой ретракцией р: X -> Л.

Доказательство. Так как р ° in = id Л, то р, °in, = id пг (Л, х0).

Если (X, х0) стягивается в (Л, х0), т. е. отображение id X хй-гомотопно некоторому отображению h: Х->Х' с М) с: Л, то последовательность (7) расщепляется справа в членах лДЛ, х0). Расщепляющими могут служить гомоморфизмы (ab6),: nr(X,x0)—> "г (Л, х0). '

Доказательство. Композиция in ° abh х0-гомотопна id X, и потому in, ° (ab 6), = id лг (X, х0). _

Если (Л, х0) стягивается по (X, х0) в точку х0, т. е. включение А —>Х х0-гомотопно постоянному отображению, то последовательность (7) расщепляется справа в членах иДХ, А, х0). Расщепляющими могут служить гомоморфизмы лг (Л, х0) -> л^+1(Х, А, х0), индуцированные отображениями уг; 8рЬг (Л, х0)-> ЗрЬг+ДА-, А, х0), которые определяются формулой [уг(<р)](^, ..., ^+1) = 6(ф(/ь ..., tr\ /г+1) [фе 8рЬг(Л, х0)] по любой х0-гомото- пии h: AXI->X, соединяющей in: А -> X с постоянным отображением. '

Это следует из очевидного равенства doyr = id 8рЬг(Л, х0).

Нижеследующие замечания относятся уже не к самим гомотопическим последовательностям пар, а к гомоморфизму (8),

индуцированному отображением f: (X, Д, х0)->(Х', А', Хд) пары с отмеченной точкой в пару с отмеченной точкой..

Из л-варианта 5-леммы (см. 5.19) следует, что: если все гомоморфизмы (ab f),: лг(А, х0)> лДА', xf,) с г^О и все гомоморфизмы f,: лг(Х, А, х0)->лг(Х/, A', Xq) с r^ L являются изоморфизмами, то и все гомоморфизмы /д лг (X, х0)->лг(Х', х'^ с гф1 являются изоморфизмами; если все гомоморфизмы /д лДХ, х0)->лг(Х/, Хд) cr^l и все гомоморфизмы f,: лг (X, Л, х0) "> лДХ', A', Xq) с г>1 являются изоморфизмами, то и все гомоморфизмы (ab/)*: лДД, х0) —>лДЛ', хЛ cr^l являются изоморфизмами; если все гомоморфизмы Д: лг {X, х0) —> лг (X', х7) с г ^0 и все гомоморфизмы (abf),: лДЛ, хф >лДА', Xq) с г^О являются изоморфизмами, то все гомоморфизмы Д: лДХ, А,х^-^- лг ДС, А', Xq) с г ^ 2 являются изоморфизмами, a f д Л] (X, А, х0) -» л^Х7, A', Xq) есть эпиморфизм с нулевым ядром.

В последнем случае отображение /д Л) (X, А, х0) -> Л1 (X7, А', Хд) не обязано быть взаимно однозначным; см. 3.8.8. Можно, однако, утверждать, что оно взаимно однозначно (и, значит, является изоморфизмом), если предположить дополнительно, что все гомоморфизмы (ab Дд л, (Л, х) —» Л] (Л7, f (х)) с хе Л являются эпиморфизмами. Действительно, пусть соь ^епДХ, А, х0) и Д (о)]) = Д (и2), и пусть ®ь ш2 — сфероиды классов юь <в2. Так как Д (юф = Д (й2), то точки ДдаДД, /°ш2(1) могут быть соединены путем s': I А', таким, что петля

((f°^)([in: Л'-^Х^о^Д/о^Г’ (9)

гомотопна постоянной петле. Поскольку (ab Лд л.ДА, х0)-> л0 (Л7, Хд) — изоморфизм, a (ab Дд лДА, ®v (1)) —> Л1 (Л7, / (гщ (1))) — эпиморфизм, точки Ю] (1), г®2(1) могут быть соединены таким путем s: I-> А, что путь abf°s: 1>/V гомотопен s'. При таком выборе s петля ■

- (W]([in: А -> X] ° s)) дау1 (10) переводится отображением f в петлю, гомотопную петле' (9) и, значит, постоянной петле. Так как Д: Л[ (X, х0) -^- л, (X7, хф — изоморфизм, из этого следует, что петля (10) также гомотопна постоянной петле, т. е. что сфероиды wv, w2 гомотопны.

Гомотопическая последовательность тройки

Пусть (X, А, В) — топологическая тройка с отмеченной точкой хоеВ. Согласно п. 4, при г^1 определены гомотопические группы лг(Х, А,. х0), лг(Х, В, х0), лг(Л, В, х0) и гомоморфизмы in,: лг(Л, В, х0)->лг(Х, В, х0), rel,: лг(Х, В, х0)-> лг(Х, А, х0), индуцированные включениями in: (Л, В) ^-(Х, В), rel: (X, В)^-(Х, Л). При г ^2 мы определяем еще гомоморфизм

д: лг(Х, А, х0)-* л,-! (А, В, х0) как композицию граничного гомо- м, рфизма лДХ, А, х0)-* лг-1 (А, х0) и гомоморфизма л^-ДА, х0)-> л,. ] (Л, В, х0), индуцированного включением (А, х0, х0) -> (А, В, х0). Эти три серии гомотопических групп и три серии гомоморфизмов объединяются в бесконечную влево последовательность ... -^- л2 (Л, В, х0) —•> л2 (X, В, х0) л2 (Л", А, х0) —

.^(А, В, хД-^-лДХ, В, хД-^-лДХ, А, х0),(11)

которая, как и (7), является л-последовательностью: правые групповые действия группы л2(Х, Л, х0) в группах лг(Х, А, х0) и правые групповые действия группы л2(Х, В, х0) в группах лг (А, В, х0), лг (X, В, х0) индуцируются действиями групп лДА.Хд) и лДв, х0) посредством гомоморфизмов д: л2(Х, А,х0)-> лДА, х0), д: л2 (X, В, х0) -> nt (В, х0), а правое действие группы лДХ’, А, х0У в Л[ (А, В, х0) индуцируется действием группы Л] (Л, х0) посредством гомоморфизма д: л2(Х, А, х0)->л1(Л, х0); что выполнены условия, налагаемые определением 5Л1, следует из 4.4, 4.5, 4.7, 4.8. Эта последовательность называется гомотопической последовательностью тройки (X, А, В) с отмеченной точкой х0.

Последовательность (11) точна; ср. 2. Для любого пути s; I—> В переносы лДХ, A, s (0)) —> лг (X, A, s (1)), лг (X, В, s(0))-> лг(Х, В, з(1)), лг(А, В, 5(0))->лг(Л, В, s(l)) составляют изоморфизм гомотопической "последовательности тройки (X, А, В) с отмеченной точкой s (0) на гомотопическую последовательность тройки (X, А, В) с отмеченной точкой s(l); ср. 3. Для любого непрерывного отображения f тройки (X, А, В) с отмеченной точкой х0 е В в тройку (Xх, А', В'^ у отмеченной точкой Xх е В' гомоморфизмы [„: лДХ, А, х0)->лг(Хх, А', x'Q\ t;. л.ДХ, В, х0) -» лг (Xх, В', Хо), ab fp лДЛ, В, х0)->лг(Ах, В', х„) составляют гомоморфизм гомотопической последовательности первой тройки в гомотопическую последовательность второй тройки; ср. 4.

Ансамбли гомотопических групп слоеврасслоения Серра

Пусть ^ — расслоение Серра, FQ, Fv —- его слои и х0, х, —, точки в Fo, Fv Сфероиды ф0 е Sphr (Хо, х0), Ф1 е Sphr(Fb xj называются слоисто гомотопными, если сфероиды [in: Fo—> 1Ц] оф0 е Sphr(tH, х0), [in: Fv -> tig] ° Ф1 е Sphr (tig, xj могут быть соединены свободной гомотопией, составленной из сфероидов пространства tig, отображающих Г в слои расслоения g, т. е. если существует отображение h\ /rX7->tlg, постоянное на каждом из множеств Fr/xX< с tel и такое, что h(y, 0) = Фо (у), h^y, 1) = Ф1(г/) при у ^ 1Г и отображение prg°/z посто-

янно на каждом'из множеств ГXt с tel. Говорят, что h есть слоистая гомотопия, соединяющая ф0 с ф1 . вдоль пути ^ЦРгГХП.

. Всякий сфероид слоя Fo с началом х0 допускает слоистую гомотопию вдоль любого пути пространства 11g, начинающегося в х0. Слоистые гомотопии гомотопных сфероидов вдоль гомотопных путей пространства 11 g всегда приводят к гомотопным сфероидам. Слоистые гомотопии свободно гомотопных сфероидов вдоль путей, накрывающих гомотопные пути пространства tl g, приводят к свободно гомотопным сфероидам.

Доказательство. Пусть s: 7->tlg— путь с началом ^, и пусть феЗрЬДГо, х0). Определим гомотопии Н: ZrX/-*bsg, G: Fr/rX/->tlg формулами Д (г/, 1) = prg ° s (1), G (у, t) = s (/). Поскольку H (у, 0) = pr g (ф (у)) при у s lr и G (у, 0) = ф (у) при уеРгГ, существует гомотопия Н~: IrXI-*ti^, накрывающая Н и такая, что Н~ (у, t) — G(y, t) при у sPr Ir и Н~ (у, 0) = ф(у) при у s [г (см. 4.1.3.6). Ясно, что Я~ — слоистая гомотопия сфероида ф вдоль s.

Чтобы доказать вторую часть теоремы, достаточно установить, что сфероиды ф, феЗрЬДГц, х0), слоисто гомотопные вдоль петли s: /->tlg, гомотопной постоянной петле, гомотопны в обычном смысле. Фиксируем слоистую гомотопию Ф: Ir XI-* 11 g, связывающую ф с ф вдоль з, и гомотопию A: 1Х1~*^. связывающую s с постоянной петлей, и определим отображение р; Zr+1->tlg и гомотопии Н". Ir+1 XI-*6s^, G". PtIwX Z->tlg формулами Г Vi, . . ., 1г+1) = Ф((1ь . .., tr\ tr+d, A((th ..., tr+1), t) = prg = s(l) и

' Ф(/ь ...,G^vlr+1), = J ф(р. Ц1г+ъ I)' Ф(/ь ...,G^vlr+1), = J ф(р. Ц1г+ъ I)при tr+I=0, при tr+i = l, при (tb ..., td sPrIr.

' Ф(/ь ...,

G^vlr+1), = J ф(р

. Ц1г+ъ I)

' Ф(/ь ...,

G^vlr+1), = J ф(р

. Ц1г+ъ I)

Поскольку H (y, 0) = pr g (Г (у)) при у s Ir+V и G (у, 0) = Г (у) при уеРгГ+1, существует гомотопия FT; ГХ!-*^, накрывающая Н и такая, что НГ (у, /) = G(у, t) при ySPrIr и НГу, 0) = ф(у) при yslr. Ясно, что формула Т ((1Ь ..., tr\ t} = Н~ ((/b ..., tr, t\ 1) определяет гомотопию Д: rxi->FQ, связывающую (в обычном смысле) сфероиды ф, ф.

Докажем последнюю часть теоремы. Пусть сфероиды фое Sph^Fo, х^, фое8рЬг(Го, z/o) соединяются со сфероидами Ф1 е Sphr(Fb xt), ф1 е Sphr(Fb уд слоя Fv слоистыми гомотопиями вдоль путей и, и; /-+tlg, таких, что пути prg°n, prgoy: /->bsg гомотопны. Пусть, далее, ф0 соединяется с ф0 свободной гомотопией вдоль пути w". I-*F0. Последнее означает, что фо соединяется с ф0 слоистой гомотопией вдоль пути w0 = [in: Fq-> 11 g] = w, и ясно, что петля prg°(u-1(zyoy)): Z->bsg

385385ОБЩАЯ ТЕОРИЯОБЩАЯ ТЕОРИЯ§ и

385

385

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

гомотопна постоянной, так что путь и-1 (.Wqu) гомотопен некоторому пути wp. /->tlg с w^cp! (см. 4. Г.3.6). В силу первой части доказываемой теоремы, ф{ допускает слоистую гомотопию вдоль wx, а, в силу ее второй части, сфероид, к которому приводит эта гомотопия, гомотопен сфероиду ф, [с которым <р, -соединяется слоистой гомотопией вдоль пути u-1(tyoy)]. Таким образом, q, 1 соединяется с ф] слоистой гомотопией вдоль пути, проходящего в Fb т. е. сфероиды фь ф] свободно гомотопны.

В силу теоремы 2, слоистые гомотопии вдоль пути s: /->tlg определяют (при любом г^О) некоторое отображение Ts: лДР0, 8^^лДРх, s(l)), где Ро = ргg"1 (prg(s(0))), Fx = prg"1 (prg(s(l))). Эти отображения, очевидно, являются гомоморфизмами и обладают свойствами 2.1 (i), 2.1(H), 2.1(111), так что на tig возникает ансамбль (tig, (лг(prg 1 (prg(x)), х)}, {Г,}), представляющий собой при г^1 ансамбль групп, а при г = 0 ансамбль множеств с отмеченным элементом. Он называется верхним ансамблем r-мерных гомотопических групп слоев расслоения g. В частности, при любых хе tig и г ^ 1 имеется естественное правое групповое действие группы n^tlg, х) в лДргГ^ргКх)), х).

Ясно, что сужение этого ансамбля на любой слой расслоения g совпадает с ансамблем r-мерных гомотопических групп этого слоя. Ясно также, что гомоморфизмы in*: лг (prg-1 (prg(x)), х)—>лг (tl g, х) составляют с отображением id tig гомоморфизм этого ансамбля в ансамбль r-мерных гомотопических групп пространства tl g.

Если слои расслоения g r-просты, то для каждой точки бе bsg все гомотопические группы лг (pr g"1 (б), х) с хеprg"1 (б) могут быть отождествлены в гомотопическую группу n^prg"1 (б)) [см. 3.5]. Определим в этом случае для пути s: /->bsg отображение Тр лг (pr g"1 (s (0)))-> лг (pr g"1 (s (1))) как перенос Ts< n^prg"1 (s(O)K s"(0))->n.r (prg"1 (s(l)), s~(l)) вдоль какого-нибудь пути s'": /->tlg, накрывающего s; что Ts не зависит от выбора s~, следует из 2. Отображения Ts, очевидно, являются гомоморфизмами и обладают свойствами 2.1 (i), 2.1 (ii) и 2.1 (Ш), так что на bsg возникает ансамбль (bsg, {лг (pr g"1 (б))}, {^О, представляющий собой при г^1 ансамбль групп, а при г = 0 ансамбль одноточечных множеств. Он называется нижним ансамблем r-мерных гомотопических групп слоев расслоения g. В частности, при г ^ 1 для каждой точки бе bsg имеется естественное правое групповое действие группы Л, (bsg, б) В лДрГд"1 (б)).

Ясно, что ансамбль, индуцированный этим ансамблем на tig посредством проекции prg, есть не что иное, как верхний ансамбль, определенный в 3.

Если ф — отображение расслоения Серра £ в расслоение . Серра ^, то гомоморфизмы аЬНфф лг (рг £-1 (рг £(х)), х)-> лг (рг^1 (рг^ (Иф(х)), ИфСт))) [xetUJ составляют с tl ф гомоморфизм верхнего ансамбля r-мерных' гомотопических групп слоев расслоения § в верхний ансамбль r-мерных гомотопических групп слоев расслоения ^. Если при этом слои расслоений g, ^ просты, то гомоморфизмы ab tl ф.: лг (pr g-1 (6))-> лг(рг^‘(bs ф(6))) [6sbs^J составляют с bs ф гомоморфизм нижнего ансамбля r-мерных гомотопических групп слоев расслоения g в нижний ансамбль r-мерных гомотопических групп слоев расслоения ^.

Гомотопическая последовательность расслоения Серра

(Лемма). Если ^ — расслоение Серра, с отмеченной точкой xoetlg и В — подмножество базы bs^, содержащее точку &о = ргЕ (х0), то гомоморфизм рг^: лг (tlL prg Чв\ Xq) —> лг(Ьз^, В, ЬО, в частности, гомоморфизм рг§х лл(tlg, prg Y(b0\ x0)-> лДЬз^, ЬО, является изоморфизмом при любом г^Л.

Доказательство эпиморфности рг^. Пусть фе Sphr(bsg, В, boY Определим отображение р: /r-1->tl^ и гомотопии Н: Г-1 X I -* bs g, G". Fr lr~{ X I ~* tl^ формулами Г(^г-1) = х0, H ((0, tr-iY 0 = ф(Д tr_x, A — 0, G(?tГ-1 X 0 = x0. Поскольку H(y, 0) = pr g (f~ (у)) при уе.Г"' и G (y, 0) = X (у) при у e Fr lr-x, существует гомотопия НГ; Zr-1X/"*tl^, накрывающая . H и совпадающая с G на Fr/-1 X/ (см. 4.1.3.6). Формула ф(<ь ..., t0 = f''((ti, ..^-i), 1 —- О') определяет сфероид i|)eSphr(tl^, pr^ 1 (5), x0), и ясно, что ргЦ(ф) = ф.

Доказательство мономорфности prg„. Пусть фе Sphr(tU, рг^^В), х0), и пусть сфероид рг^(-ф) е Sphr(bsg, В, Ьо) гомотопен постоянному сфероиду. Фиксируем гомотопию Ф: Г X Z->bs£, соединяющую сфероид рг ^(ф) с постоянным сфероидом, и определим отображение р: Zr->tl£ и гомотопии Н: 1ГХ 7->bs £, G: Fr Zr X/~*tl g формулами f (Zr) = x0, H ((tx, ..., trY i) = Ф№, tr-x, i-t), tr) и-

( ^(tx,tr-\, X-0 при /r = 0,

| Xo при ^ , tO^ErT, tr^0.

Поскольку H(y, O) = pr£(p(z/)) при уеГ и G (у, 0) = f" (у) при yeFrf, существует гомотопия Н~: ГХ^-^^l, накрываю-

щая Н и совпадающая с G на Ft Г XI- Ясно, что формула V ((F, . .., tT\ t^-fC^to ■••> ^-i, О, 1 —^г) определяет гомотопию Д': ГХ1->1^, соединяющую ф с постоянным сфероидом.

Действие группы ni(bsg, б0) в comp(F0)

Пусть g— расслоение Серра с отмеченной точкой 60ebsg. Положим F0 = prg-1 (бо) и определим правое действие группы Л] (bs g, б0) в множестве comp (Fo), приняв для С е comp (Fo), оелДЬз^, б0) за Со компоненту пространства Fo, содержащую начала путей, кончающихся в С и накрывающих петли класса о. Корректность этого описания Со следует из леммы 1: путь, кончающийся в С и накрывающий петлю класса о, может быть интерпретирован как сфероид пары (tl g, Fo) с началом в С, переводящийся отображением рг g# в петлю класса о, и если Si е Sphj (tl g, Fo, хД s2 e Sph] (tl g, Fo, x2) — Два таких сфероида и w — путь в С, соединяющий Xi с х2, то петли prg*(s1ty), prg^(s2) гомотопны, из чего следует, в силу леммы 1, гомотопность сфероидов SjZ®, s2 е Sph[(tl g, Fo, х2) и с ней совпадение компонент пространства Fo, в которых лежат точки 5Д0), s2(0). Что это —правое действие, очевидно.

Это действие согласовано с действием фундаментальной группы пространства tig в гомотопических группах слоев (см. 7.3) в том смысле, что С prgt (о) = ТОС для любых Cecomp(F0) = n0(F0, х0), оелД!^, х0) с любым xoeFo. Ясно также, что если / — отображение расслоения | в другое расслоение Серра, g', то

fact ab tl f: comp (Fo) -> comp (pr g'-1 (bs f (60))),

где ab tl f = [ab tlf: Fo->prg,-! (bs f (60))], есть [ЬзД: njbsg, 60)-> лДЬз!', bs f (б0))]-отображение.

Если Cecomp(Fo) и хйеС, то принадлежащая к С стационарная подгруппа группы лДЬз^, б0) [см. 4.2.3.4] совпадает с образом гомоморфизма prg,.: л; Д11 g, х0)->лДЬз^, б0).

Действительно, равенство Со = С означает, что в tl g имеется путь с началом и концом в С, накрывающий петлю класса о, а если такой путь существует, то, очевидно, существует и петля с началом х0, накрывающая петлю класса а.

, Построение последовательности

Пусть g— расслоение Серра с отмеченной точкой xoetlg. Доложим 60 = prg(x0),- Fo —prg-1^) и преобразуем гомотопическую последовательность пары (tl g, Fo) с отмеченной точкой х0 посредством леммы 1, заменив при каждом г^1 гомотопиче-

скую группу лг (tl g, Fq, х0) гомотопической группой лг (bs g, b0\ гомоморфизм rel,: nr(tlg, x0) -> лг (tl g, Fo, x0) его композицией с изоморфизмом prg,: nr(tlg, Fo, Xo)->nr(bsg, Ьо) и гомоморфизм d: лг (tl g, Fo, x0) —> лг_] (Fo, x0) — композицией A'= d°(pr^)-1: nr(bsg, d0)-> лг-] (Fo, x0). Поскольку композиция включения rel: (tig, x0, x0)-*(tlg, Fo, x0) и проекции prg: (tig, Fo, x0)-*(bsg, b0, d0) есть не что иное, как проекция prg: (tig, х0, x0)->(bsg, dQ, d0), композиция [prg,: nr(tlg, Fo, x0)-> nr(bsg, d0)]°rel, есть не что иное, как prg,: nr(tlg, x0)->nr(bsg, d0). Если приписать справа к получившейся последовательности гомотопическую группу n0(bsg, d0) и гомоморфизм prg,: n0(tlg, х0)-* n0(bsg, d0), то мы придем к последовательности '

... Л2 (Fo, х0) -^* л2 (tl g, х0) ^> л2 (bs g, d0) -^>

Л1 (Fo, x0) -^* Л1 (tl g, x0) Л1 (bs g, d0)

■n0(F0, x0)-^-n0(tlg, x0)^>n0(bsg, d0).(12)

Согласно 3.3, 7.3 и 2, определены правые групповые действия группы n^bsg, d0) в группах nr(bsg, d0) и группы л, (tig, х0) в группах nr(tlg, х0) и лг(Е0, х0) и действие группы njbsg, d0) в множестве n0(F0, х0). Гомоморфизмы in,, prg,, А согласованы с этими действиями, как того требует определение 5.11 (см. 3.6, 4.5, 7.3 и 2), и, таким образом, (12) есть л-последователь- гюсть. Она называется гомотопической последовательностью расслоения g с отмеченной точкой х0.

Последовательность (12) точна.

Это следует из точности гомотопической последовательности пары (tig, Fo) и двух очевидных дополнительных фактов: ядро гомоморфизма prg,: n0(tlg, х0)-> nn(bsg, d0) совпадает с образом гомоморфизма in,: n0(F0, х0) —> л0(tl g, х0); два элемента а, р множества л0(Е0, х0) в том и только том случае переводятся друг в друга некоторым элементом группы n^bsg, d0), если in,(a) = in,(P).

Для любого отображения f расслоения g в другое расслоение Серра, g', вертикальные гомоморфизмы

in,prg*А

... лг (Fo, х0) —* лг (tl g, х0) —► Лг (bsg, bo) —> лг-1 (Fo, Хо) ...

|(abtlf), jwf*|bsf*|(abtlf),

... nr (Fo, x0) —> nr (tl g , x0) —* nr (bs g , b0) —> лг_] (Fo, x0) ..

где x' = tlf(x0), d' = bsf(d0), F'== prg'-1 ({>'), составляют гомоморфизм первой последовательности во вторую.

Коммутативность первых двух квадратов следует из 1.7, коммутативность третьего — из 4.2 и 4.3, согласованность вертикальных гомоморфизмов с действиями фундаментальных групп была установлена в 3.6, 4.5, 7.5 и 2.

Важнейшие специальные случаи

Если пространство tig oo-связно, то все гомоморфизмы A: nr(bsg, б0) ~* лг-1 (Ео, х0) являются изоморфизмами. Если пространство tig ^-связно и к<оо, то гомоморфизмы A: nr(bsg, b0)-> Лг-^Ео, х0) с г^к являются изоморфизмами, а А: Лд+^bsg, 60)—> лй (Ео, х0) есть эпиморфизм. В обоих случаях верно и обратное, если пространство tig связно.

Если пространство bsg oo-связно, то все гомоморфизмы in,: лг(Е0, х0)-> лг (tl g, х0) являются изоморфизмами. Если пространство bsg ^-связно и к < оо, то гомоморфизмы in,: лг (Ео, х0)-> nr(tlg, х0) с г^к являются изоморфизмами, a in,: л6+1 (Ео, х0)->лй+1 (tig, х0) есть эпиморфизм. В обоих случаях верно и обратное, если пространство bsg связно.

Если пространство Eq oo-связно, то все гомоморфизмы prg,: nr(tlg, x0)->nr(bsg, b0) являются изоморфизмами. Если пространство Ео й-связно и к < оо, то гомоморфизмы prg,: лД^Ц, x0)->nr(bsg, bQ) с г X к являются изоморфизмами, a prg,: nA+1(tlg, х0)-> n6+1(bsg, Ь^ есть эпиморфизм. В обоих случаях верно и обратное (без дополнительных условий).

Если g обладает сечением, переводящим bQ в х0, то последовательность (12) расщепляется справа в членах nr(tlg, х0). Расщепляющими могут служить гомоморфизмы s,: лг(ЬзЕ, Ь^—> nr(tlg, х0), индуцированные любым сечением s: (bsg, 60)-->(tlg, х0).

Доказательство. Так как prg ° s = id bsg, то prg, = s,= id лг (bs g, Ь^.

Если Ей — ретракт пространства tig, то последовательность (12) расщепляется слева в членах nr(tlg, х0). Расщепляющими могут служить гомоморфизмы р,: лг (tl g, х0) —> лг (Ео, х0), индуцированные любой ретракцией р: tig—>Е0.

Доказательство. Так как p°in = idE0, то р, ° in, — id лг (Ео, х0).

Если включение in: E0->tlg х0-гомотопно постоянному отображению, то последовательность (12) расщепляется справа в членах mr(bsg, b^. Расщепляющими могут служить гомоморфизмы тсг (Ео, х0) -* лг+1 (bsg, Ьф, индуцируемые отображениями yr‘. Sphr(Eo, x0)->Sphr+1(bsg, b^, которые определяются формулой [уг (ф)] Уь ..., tr+1) = pr g = h (ф (tb ..., tr\ tr^ [ф e Sphr (Eo, x0)J no любой Ху-гомотопии h: E0X7->tlg, соединяющей in с постоянным отображением.

Для доказательства достаточно для каждого сфероида фе Sphr(^о, х0) указать сфероид феSphr+1 (tig, Fo, х0) с <3ф = ф, pr g+ (ф) = yr (ф). Таков, например, сфероид, определяемый формулой ф(/ь ..., /r+J = F (<р (^, ..., Е\ tr+1).

Если проекция prg х0-гомотопна постоянному отображению, то последовательность (12) расщепляется слева в членах л,. ^Fo, хф. Расщепляющими могут служить гомоморфизмы nr(F0, х0)-> nr+1 (bsg, 60), индуцируемые отображениями уг: Sphr(F0, ^о) Sphr+i (bsg, 60)> которые определяются формулой [Yr (»)!№,^г+1) = ^(ф(^itr\ ^-+1) по любой х0-гомотопии

h: tlgX/->bsg, соединяющей prg с постоянным отображением.

Достаточно доказать, что для любого сфероида фЕ Sphr+1(tlg, Fo, х0) сфероиды уг°д(ф), pr g#№ е Sphr+1 (bsg, b^ гомотопны. Требуемая гомотопия определяется формулой №ь . .., /г + 1), «д^ИДДД . .., tr, ttr+l\ (1— Otr + l)-

Если g — накрытие в широком смысле, то prg„: nr(tlg, х0)-> nr(bsg, b^ есть изоморфизм при гД2 и мономорфизм при г — 1. Если g — накрытие в узком смысле, то, сверх того, отображение fact A: rtj (bs g, 60)/Im pr g„ —> Fo, определяемое отображением A: ni^bsg, 60) —> л0 (Fo, Xq) = F0, обратимо.

Это следует из точности гомотопической последовательности расслоения g и того факта, что лг (Fo, х0) — 0 при г>0 и л0 (tl g, х0) = 0, если g — накрытие в узком смысле.

Пусть / — отображение расслоения Серра g с отмеченной точкой х0 е tl g в расслоение Серра g' с отмеченной точкой XoGtlgC Из предложений 6 и 5.19 следует, что: если все гомоморфизмы bs/ж: nr(bsg, b^ -> лг (bs g', b^ с /XI и все гомоморфизмы (ab tl/)*: лг (Fo = pr g-1 (pr g (x0)), x0) ~> лг (p'Q = pr s' 1 (prg'to), Xq) c XO являются изоморфизмами, то и все гомоморфизмы tl/*: лг (tl g, х0) —> лг (tl g', Xq) с XI являются изоморфизмами; если все гомоморфизмы tl f„: nr(tlg, х0)—> .чДХ'.х') с r^O и все гомоморфизмы (abtlf)/. щДР0, х0)~> яг(^, х^ с Х0 являются изоморфизмами, то и все гомоморфизмы -bs Д: nr(bsg, 60)-» лг (bs gz, 6д) с rX 1 являются изоморфизмами; если все гомоморфизмы bsft: nr(bsg, b0) —> лг (bs g', 6q) c r^O и все гомоморфизмы tl ft: лг (^ ^, xo) лг (^ ^, xo) с r^0 являются изоморфизмами, то все гомоморфизмы (abtl/)„: кДЕ0, х0) -> лг (Fn, Хо) с r^ 1 являются изоморфизмами, a (ab tl f^". ло (Fq, х0) —> л0 (Fc, Xq) есть эпиморфизм с нулевым ядром.

Заметим, что в последнем случае и отображение (abtlf)*: fi0(F0, х0)-> л0 (Fq, Xq) является изоморфизмом, если все гомоморфизмы tlf«: njtlg, x)-^n,(tlg/, tl/(x)) c xeF0 являются эпиморфизмами. Действительно, пусть хь х2 — такие точки слоя Fo, что точки tl f (Xi), tlf(x2) лежат в одной компоненте слоя Fq, и пусть

ОБЩАЯ ТЕОРИЯОБЩАЯ ТЕОРИЯ391391§ П

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

391

391

s'; I -> Fq — путь, соединяющий tlf^) с tlf(x2). Так как (tl h;. л0 (tl g, x0) -> л0 (tl g', x„) — изоморфизм, a (tl h,: Л] (tl g, Xi) -> nj (tig', tl f (xj) — эпиморфизм, то X], x2 можно соединить таким путем s: /->tlg, что путь tl f ° s: /->tlg' гомотопен пути [in: Fg-> tl g'] ° s'. При таком выборе s петля prg'°tlf°s гомотопна постоянной петле, а так как bs f/Л) (bsg, б0)-» Л] (bsg', &о)— изоморфизм, то и петля’ prg°s гомотопна постоянной петле. Применяя теорему 4.1.3.6 к отображению s, произвольной гомотопии, связывающей петлю prg°s с постоянной петлей, и постоянной гомотопии отображения s |Fr р мы получаем гомотопию, связывающую s с путем, соединяющим X] с х2 и проходящим в Fq.

9. Воздействие других структур

В этом пункте рассматриваются простейшие свойства гомотопических групп, вытекающие из наличия в пространстве дополнительных структур группового типа, согласованных с топологией. Важнейшим из этих свойств является простота.

Случай группового пространства

Если X — групповое пространство, то для всякого пути s: I-> X перенос лг (X, s (0)) -> лг (X, s (1)) совпадает при любом г^О с изоморфизмом, который индуцируется левым сдвигом на [s(l)J [s(0)]-‘.

Имеется даже каноническая свободная гомотопия Г X I -^ X, соединяющая сфероид ф е Sphr (X, s (0)) с [s (1)] [s (О)]-1 ф вдоль s: она определяется формулой ((/,,..., tr\ t^Н^ОП^ОЖ'ф^ь..., tr\

(Следствие). Компоненты группового пространства являются простыми пространствами. В частности, фундаментальные группы компонент группового пространства коммутативны. •

В случае группового пространства X в множествах Sphr(X, е = ех), кроме умножения, определенного в 1.1, имеется умножение, определяемое умножением в X [произведение сфероидов ф, х|) е Sphr(X, е) задается формулой у t-^- ф (у) ф (г/)], причем это второе умножение имеет смысл и при г = 0, когда первое отсутствует. Ясно, что новое умножение делает множество Sphr(X, е) при любом'г^О группой, что сфероиды, гомотопные постоянному, составляют нормальную подгруппу этой группы и что соответствующая факторгруппа совпадает как множество с пДХ,е\ При г = 0 возникающая группа л0(Х, е) совпадает с факторгруппой Х/Хо, где Хо — компонента единицы, а при г>1 новая групповая структура в лг(Х, е) совпадает с прежней: для любых двух сфероидов ф, фе5рЬг(Х, е)

гомотопия F XI-^Х, определяемая формулой

№ь ..., tr\

ф(шт(1, 7^77) > ^2, ...,/г)ф(тах(0, —^-f--) , /2, .. .,/r),

соединяет прежнее произведение этих сфероидов с новым.

Добавим, что умножение, имеющееся в X, делает группой и множество Ux s л Sph^ (X, х) всех r-мерных сфероидов пространства X. Сфероиды, гомотопные постоянным, составляют в ней нормальную подгруппу с факторгруппой, канонически изоморфной при г>1 группе лг(Х, е).

Поскольку каждый внутренний автоморфизм топологической группы X индуцирует автоморфизмы групп лг (X, е), внутреннее правое действие группы X определяет ее правое групповое действие во всех группах лг(Х, е). Преобразования, производимые элементами подгруппы Хо (см. 4), оказываются при этом тождественными: если w: 1->Х — путь, соединяющий е с х, то для любого сфероида фЕбрЬДХ.е) формула (z/, О1—* [№(/)]”"'<р (у) w (0 определяет гомотопию FXJ^X, связывающую ф со сфероидом у х-1ф (у)х. Таким образом, в группах лг (X, е) имеется естественное правое групповое действие группы л0 (X, е) = Х/Хо.

Случай однородного пространства

Пусть G — топологическая группа и Н — ее связная подгруппа. Если (G, pr, X = GfH)— расслоение Серра, то для всякого пути s: I-* X перенос лг(Х, s (0)) —► лг (X, s(l)) совпадает при любом г^О с изоморфизмом, индуцируемым любым преобразованием пространства X, производимым (при каноническом действии) элементом группы G и переводящим s(0) в s (1)."

Доказательство. Пусть g— произвольный элемент группы G с g's(0) = s(l), и пусть s~: I —> G — какой-нибудь путь, накрывающий s. Так как точки s' (l) и gs'(O) лежат в одном смежном классе группы G по Н и так как смежные классы по связной подгруппе связны, то эти точки можно соединить в их смежном классе некоторым путем w. Формула

№1, ..., /г), 0^[31№1(0Г’ф(Л, ..., /,),

где S] = s' w, определяет для любого сфероида ф е Sphr (X, s (0)) свободную гомотопию ДХ/^Х, связывающуюф с [эД!)] [«1(0)]-1ф

393393ОБЩАЯ ТЕОРИЯОБЩАЯ ТЕОРИЯ§ ч

393

393

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

вдоль пути, гомотопного $ (именно, вдоль произведения пути s на постоянный путь).

(Следствие). Если Н — связная подгруппа топологической группы G и (G, рг, G/H) — расслоение Серра, то компоненты пространства G[H являются простыми прост ранет вами. В частности, фундаментальные группы компонент такого пространства коммутативны.

Условие серровости расслоения (G, pr, G/Н), содержащееся в формулировках теорем 6, 7, в дальнейшем будет выполняться автоматически: группа О и факторпространство GjH всегда будут замкнутыми гладкими многообразиями, а проекция G-^G/H будет субмерсией, так что серровость расслоения будет следствием теорем 4.6.1.3 и 4.1.3.4.

Случай //-пространства

Топологическое пространство X с отмеченной точкой е называется Н-пространством, если определено такое непрерывное отображение ц: X X X-> X, что ц(е, е) = е и отображения Х->Х, определенные формулами xt—*р,(е, х) и х^ц(х, е\ е-гомотопны id X. Отображение ц называется умножением, в — единицей. Вместо р(х, у) обычно пишут ху.

//-пространство X называется гомотопически ассоциативным, если гомотопны отображения X X X X X —>Х, определенные формулами (хь х2, х3) I—* (XjX2)x3, (xb х2, х3) г—> xt (х2х3), и гомотопически коммутативным, если гомотопны отображения X X X -> X, определенные формулами (хь х2)ь—>х1х2, (хь х^н-э-х^хр

Непрерывное отображение v //-пространства X в X называется гомотопическим обращением, если отображения X -> X, определенные формулами xi—xv (х) и xt-^»v(x)x, гомотопны постоянному отображению, переводящему X в е. Вместо v(x) обычно пишут х-1.

Первыми примерами //-пространств служат топологические группы. Топологическая группа (рассматриваемая как //-пространство) гомотопически ассоциативна и обладает гомотопическим обращением, а коммутативная топологическая группа гомотопически коммутативна.

Другой важный класс //-пространств составляют про- с/ранства сфероидов. Для всякого топологического пространства X с отмеченной точкой х0 множества Sphr(X, х0) с г^1, топологизированные как подмножества пространства ^(Г.Х^ и наделенные постоянным сфероидом в качестве отмеченной точки и обычным умножением, являются //-пространствами: отображение <р (const) ср соединяется с отображением id Sphr (X, х0) const-гомотопией ЗрИДХ, х0) X Sphr(X, х0), определяемой формулой (ф, /) ф^ где <р# — сфероид,

значение которого в точке (/ь ..., t^^f равно правой части формулы (3), а отображение ф н-* ср (const) соединяется с отображением id Sphr(X, х0) const-гомотопией, которая определяется точно так же по формуле (4). //-пространства Sphr(X, х0) гомотопически ассоциативны и обладают гомотопическим обращением при г^1 и гомотопически коммутативны При г >2; гомотопии, нужные для доказательства этих фактов, также получаются из формул п. 1.

Подобным же образом, для всякой топологической пары (X, Л) с отмеченной точкой х0 множества Sphr(X, А, х0) с г ^2 являются гомотопически ассоциативными //-пространствами, обладающими гомотопическим обращением. При г^З они гомотопически коммутативны.

Связное Н-пространет во является простым и, в частности, имеет коммутативную фундаментальную группу. _

Доказательство. Если //—-связное //-пространство, с единицей е, то формула (у, t) ь-^ s (/) ф (у) определяет для сфероида феЗрНДХ, е) с любым г и петли s е Sphj (X, е) свободную гомотопию Ir X 1-*Х, соединяющую сфероид yv—> еф (у), гомотопный ф, с тем же сфероидом у t—> е<р (у) вдоль петли tv-^s^e, гомотопной s. Таким образом, группа лДХ, е) действует в группах иДХ, е) тождественно.

На //-пространство X с единицей е очевидным образом переносится второе описание гомотопических групп лг(Х, е), данное в 4 для группового случая. Хотя умножение, получаемое множествами Sphr(X, е) от X, не делает их в общем случае группами, в пДХ, е) оно определяет умножение, совпадающее при г>1 с обычным. Множество л0(Х, е) оказывается при этом группой, если X гомотопически ассоциативно и обладает гомотопическим обращением.

Ансамбли гомотопических групптотального пространства главного расслоения

(Лемма). Пусть £— главное расслоение со структурной группой Guu, и: /->tlg— пути с рг^°м = рг^°о. Если So, gi — такие элементы группы G, что и (0) g0 = о (0), «(!)£] = и(1) \имеется в виду каноническое правое действие группы G в tl| — см. 4.3.2.10], то диаграмма-

.' лг(Щ, «(0))ЛлМ м(1))

ЛДПЬ К(0))2Хлг(1Ц, v(l)),

e которой вертикальные стрелки обозначают изоморфизмы.

§ Т) индуцированные преобразованиями x^>xgn, xv—>xgv, коммутативна.'

Доказательство. Напомним, Что каноническое правое действие tlgXG^-tlg является свободным и что его траектории совпадают со слоями расслоения g. Поскольку точки и (t), о (0 лежат в одном слое, для каждого t е I существует один и только один элемент g^ группы G с M(t)g(O = v(/). Таким образом, если h: Г XI^- tig — свободная гомотопия, соединяющая сфероид ф0 е Sphr (tl g, и (0)) с некоторым сфероидом ф! s S.phr (tl^, м(1)) вдоль и, то формула (z/, t)i—>h(y, Og^O определяет свободную гомотопию, соединяющую сфероид У ^ Фо (У) go со сфероидом у^фХу)^ вдоль и.

Преобразования, производимые в тотальном пространстве главного расслоения g элементами его структурной группы при каноническом правом действии, связывают для любой точки bebsg и любого г^О гомотопические группы nr(tlg, х) с х е рг^—1 (Ь) каноническим сквозным изоморфизмом, позволяющим отождествить их. Результат отождествления (представляющий собой группу при г > 0 и множество с единицей при г = 0) называется r-мерной гомотопической группой пространства tig над b и обозначается через лг (tl g, b\

Определим ‘для пути s: I -> bs g отображение Ts; лг (tl g, s (0)) —* лг (tlg, s (1)) как перенос TV: лг (tl g, X (0)) -* лг (tlg, s~ (1)) вдоль какого-нибудь пути s", накрывающего s; корректность этого определения следует из леммы 13. Отображения Ts, очевидно, являются гомоморфизмами и обладают свойствами 2.1 (1), 2.1 (11) и 2.1(111), так что на bsg возникает ансамбль (bsg, {nr(tlg, 6)}, {7s}). Он называется нижним ансамблем г-мерных гомотопических групп тотального пространства расслоения g.

Ясно, что ансамбль, индуцированный этим ансамблем на tig посредством проекции prg, совпадает с обычным ансамблем r-мерных гомотопических групп пространства tig.

Если ф: G -> G' — мономорфизм, то всякое ф-отображение G-расслоения Стинрода в G'-расслоение Стинрода очевидным образом индуцирует при любом г гомоморфизм нижнего ансамбля r-мерных гомотопических групп тотального пространства первого расслоения в такой же ансамбль второго расслоения.

Гомотопическая последовательность главного расслоения■

Пусть g — главное расслоение с отмеченной точкой xoetlg. Если заменить в последовательности (12) слой Fo с отмеченной точкой х0 канонически гомеоморфной ему структурной группой G с отмеченной точкой e = eQ (подразумевается гомеоморфизм gv—>xog) и приписать к этой последовательности справа 1, то

получится последовательность

... л2(С, e)r^n2(tlg, Xo)^ n2(bsg, &0)—*«j(G, е)-^

Л] (tig, х0)^ л1 (bsg, 60) ^> л0 (G, е)

n0(tlg, х0)^n0(bsg, &о)-^1.(13)

Напомним, что л0 (G, е) есть группа (см. 4) и что группа Л! (G, е) коммутативна (см. 3). Очевидная проверка показывает, что гомоморфизм A: n^bsg, b0)—>л0(6, е) является групповым. Группа л0(6, е) действует справа в группах лг(О, е) [см. 5], а группа л, (bs g, 60) — в группах лг (bs g, 6U) [см. 3.3] и лг (tl g, х0)= nr(tlg, 60) [см. 14]. Каноническое правое действие группы G в tig индуцирует ее правое действие в л0 (tl g, х0) = comp (tl g) и благодаря этому правое действие группы л0(6, е) в n0(tlg, х0). [Мы рассматриваем л0(С, е) как факторгруппу группы G по компоненте единицы — см. 4; эта компонента- действует в n0(tlg, х0) тождественно.] Ясно, наконец, что гомоморфизмы ■in,, prg„ А согласованы с этими действиями, как того требует определение 5.11. Таким образом, (13)есть л-последовательность. Она называется гомотопической последовательностью G-расслоения g с отмеченной точкой х0.

Ясно, что prg„: л0(tlg, х0) л0(bsg, 60) есть эпиморфизм* и что разбиение множества n0(tlg, х0) на орбиты действие группы л0(6, е) совпадает с zer(prgj. Таким образом, последовательность (13) точна.

Ясно также, что если ф: G'-*G— мономорфизм, то всякое ф-отображение f главного расслоения g' со структурной группой G' и отмеченной точкой Xyetlg' в главное расслоение g со структурной группой G и отмеченной точкой х0 е tl g, такое, что tl / (xq) = xQ, индуцирует гомоморфизм гомотопической последовательности первого главного расслоения в гомотопическую последовательность второго.

Другие описания гомотопических групп

Сфероид DS ° ID <= Sphr (Sr, ortA [см. 1.2.8.9] называется - фундаментальным сфероидом сферы ST и обозначается через IS, а определяемый им элемент группы лг (Sr, ortА обозначается. через sphr. Сфероид ID е Sphr (Dr, Sr~x, ort]) называется фундаментальным сфероидом шара Dr, а определяемый им элемент гомотопической группы nr(Dr, Sr-1, ort]) обозначается через kugr.

Ясно, что d(ID) = IS и, следовательно, 5(kugr) = sphr-i.

2. Обозначим через SphP^, х0) множество всех непрерыв- „ ных отображений пространства с отмеченной точкой (Sr, ortA "

в пространство с отмеченной точкой (X, х0) и определим отображение /3*: Sph?(X, x0)->Sphr(X, х0) формулой 73*(ф)=ф°/3. Ясно, что это отображение обратимо, и из 1.3.7.6 следует, что отображёния ср, ф е SphP(X, х0) гомотопны тогда и только тогда, когда гомотопны сфероиды /3*(ф), 73* (ф). Таким образом, мы получим эквивалентное описание множества лг(Х, х0), если заменим наши кубические сфероиды и их гомотопии сферическими сфероидами из SphP(X, х0) и их гомотопиями.

Очевидно, тождественный сфероид id Зг принадлежит классу sphr. Ясно также, что элемент группы лг(Х, х0), определенный сфероидом f: (Sr, ог1[)->(Х, х0), совпадает с ^(sph,).

При г>1 отображение /3* переносит в Sphp(X, х0) и умножение, имеющееся в Sphr (X, х0). Возникающее в Sph? (X, х0) умножение нетрудно описать и непосредственно: произведение сфероидов ф, ф: (Зг, ог^) —(S1, ort,)® ... ®(S’, ort()->(X, x0) есть сфероид фф: (Sr, ort,) = (S1, ort])® ... ® (S1, orti)-»-(X, x0), определяемый формулой

f Уг)> если imz/^0, фФСУЬ №,•••» Уг) = 1 9 X • (14)

где yv, ..., ут— комплексные числа, равные 1 по абсолютной величине, a im — мнимая часть. Это умножение индуцирует в лг(Х, х0) умножение, совпадающее с уже имеющимся. Гомотопические свойства умножения в SphP(X, х0) можно изучить прямо на основании формулы (14), что дает независимое описание гомотопических групп лг(Х, х0) на языке сферических сфероидов.

Особенно просто описывается на языке сферических сфероидов сфероид ф-1 = (/3*) *([73*(ф)] '), обратный сфероиду феЗрИР (X, х0): он определяется формулой ф-1 (хь х2, х3, ..., хг+1)= Ф(л-Ь — х2, х3, ..., хг+1).

Обозначим через SphP(X, А, х0) множество всех непрерывных отображений тройки (/У, Sr-1, ort!) в тройку (X, А, х0) и определим отображение ID*: SphP(X, А, х0)—> Sphr (X, А, х0) формулой ID* (ф) = ф ° ID. Это отображение обратимо, и из 1.3.7.6 следует, что отображения ф, феЗрЬр(Х, А, х0) гомотопны тогда и только тогда, когда гомотопны сфероиды ID* (ф), 77)*(ф). При г^2 отображение ID* переносит из Sphr(X, А, х0) в SphP(X, А, х0) и умножение. Возникающее в Sph'p (X, А, х0) умножение легко описать и непосредственно: для отображений ф, ф: (Dr, ort1) = (SI, orti)® ... ®(3', оПг) ®

(7, 1)—>(Х, х0) формула (14), в которой уь ..., z/,.-! —комплексные числа, равные 1 по абсолютной величине, a yr^L определяет отображение фф: (£>r, ort^-^X, х0), принадлежащее Sph?(X, А, хс) при ср, гр е Sphp(A", А, х0). Сфероид ф-1 = (/£>*) *([^*(ф)1 '), обратный сфероиду фе8рйР(Х, А, х0), определяется, как и ■ в абсолютном случае, формулой ф-1^!, Xb *3, ^г + 1) = ф(^Ь ~ ^2, *3, . ■•> *г+1)-

Таким образом, замена кубических сфероидов шаровыми приводит к адекватному •описанию гомотопических групп лг(Х, А, х0). ■ '

Очевидно, тождественный сфероид id/У принадлежит классу kugr. Ясно также, что элемент группы лг(Х, А, х0), определенный сфероидом f: (Dr,Sr-\ ortt)^(X, А, х0), совпадает с /„(kugr).

В отличие от кубических множеств Sphr(X, хй, х0), Sphr (X, х0), множества Sph?(X, х0, х^ и SphP(X, х0) не тождественны, а лишь связаны каноническим обратимым отображением (/£>*) 1 ° (/3*): Sphp (X, х0) -> Sphp (X, х0, х0), которое может быть более непосредственно описано формулой ф |—> ф ° DS.

Граница дф шарового сфероида фе5рЬр(Х, А, х0) определяется как сферический сфероид [из SphP-i (Л, х0)] формулой <5ф = [аЬф: (Sr-1, ort;)-*^, х0)]. Очевидно, IS* ° д = д ° ID*, так что это определение границы сфероида приводит к тому же граничному гомоморфизму д; лг(Х, А, х0)-^Лг-] (Л, х0), что и определение кубической теории.

Всякому непрерывному отображению /: (X, х0) -> (X', х/) или /: (X, А, х0) -> ^Х', А', х') отвечает отображение /*: Sphp(X, х0)-> Sphp(X', х/), соответственно, f#: Sph® (X, А, х0) Sphp (X', А', х'), определяемое формулой /# (ф) = / ° ф. Очевидно, 78* ° / n = L ° /3* и ID* of«=fno ID*, так что эти отображения /^ приволят к тем же индуцированным гомоморфизмам f*: кДХ, х0)->лг(Х', х'), f*; лг(Х, А, х0) -> лг ^Х', А', х'), что и определения кубической теории. .

Свободная гомотопия, связывающая сфероиды ф0е5рЬ® (Х,х0), Ф( е Sphp'/X, х^ вдоль пути s: I^X, определяется как обычная гомотопия SrXI-*X, связывающая отображейия ф0, Ф1 и переводящая (ortb /) в s^ при любом t. Если /г — такая гомотопия, то, очевидно, h ° (IS X id 7) есть свободная гомотопия, связывающая сфероиды 73* (ф0) е Sphr (X, х0), IS* (фО е Sphr(X, xj вдоль того Ае пути s, так что сферические гомотопии вдоль s

приводят к тому же изоморфизму Ts: лг(Х, х0) —»лДХ, х^, что и кубические. Все это очевидным образом переносится на относительный случай.

Другое доказательство теоремы 4.7

Введение шаровых сфероидов и гомотопическая последовательность пары позволяют дать второе доказательство теоремы 4.7, менее непосредственное, зато свободное от громоздких формул.

Сначала мы рассматриваем модельный случай: X = (Z)2, ort]) V ЦУ, orti); Л = (5\ ortj) V (S', ottj; х0 —центр обоих букетов; а = immI;t (kug2), р — imm2ai (kug2j. Так как д(а-1Ра) = (да)-1(<5Р)(5а) = 7'дадр (см. 3.4) и Таад$ = дТ9а$ (см. 4.5), то д(а~1Ра) = д7'даР, а так как, кроме того, пространство X стягиваемо, то д — изоморфизм (см. 6.5). Таким образом, a-1pct=7’dap.

В общем случае мы фиксируем какие-нибудь сфероиды Ф, ф е Sph^-X, А, х0) классов а, р и определяем отображение f: ^D2, orti) V (Z)2, ortj), (S', ortj) V (S1, ort]))->(X, А) формулами f (imm] (x)) = ф (x), f (imm2 (x)) = ф (x) c x^D2. Так как <p = /°imm1, ф = /°1тш2, то

а = Ц° immO, (kug2), p = (/ ° imm^ (kug2),

и потому

«-10“ =M[immi* (^ХГ' [imm2. (kug2)] [immi* (kUg2)]) = Ц (Jdoimnn, (kug2) *mm2* (kug2)) ^SaP-

Сфероиды в пространствах сфероидов

Пусть X — пространство с отмеченной точкой х0. Каждая из формул

[ф(/ь ..., /г)](мь ..., ы5) = ф(^, ..., tr, щ, и^,

[ф (Zb . .., ZJ] («1, ..., м$) = ф (мь ..., us, Ц ..., tj

относит сфероиду феЭрЬ^+ДХ, х0) r-мерный сфероид ф пространства Sphs(X, х0) [см. 9.10],*в котором отмечен постоянный сфероид. Это приводит к двум отображениям Cub, Вис: Sphr+$ (X, х0)-> Sphr(Sphs(X, х0), const), которые, очевидно, обратимы и, как и обратные отображения, переводят гомотопные сфероиды в гомотопные. При г>0 умножение, имеющееся в Sphr+s(X, х0), переводится отображением Cub в обычное умножение в Sphr(Sphs(X, х0), const) [умножение сфероидов], при s>0 умножение в Sphr+s(X, х0) переводится отображением Вис в умножение, возникающее в Sphr(Sphs(X- xn), const) благодаря тому,

что Sphs(X, х0) есть //-пространство с единицей const (см. 9.11 и 9.10). Следовательно, при r + s>0 отображения Cub, Вис определяют - групповые изоморфизмы cub, buc: лг+$(Х, х0)-> nr(Sphs(X, х0), const) [групповая структура в n0(Sphs(X, х0), const) с s>0 описана в 9.12]. Таким образом, группа лг(Х, х0) может быть описана как nr—q(Sph^(X, х0), const) с произвольным q^r.

Заметим, что изоморфизм cub: лДХ, х0)-> лг_] (Sph] (X, х0), const) входит в гомотопическую последовательность расслоения Серра

£ = (ф(/, 0; X, х0), ab ^ ([in: Fr/-►/], id),

X = ^(Fr/, 0; X, x0)),

слой которого над точкой х0 есть Sph] (X, х0), в качестве гомоморфизма А: лг(Х, х0)~>лл_] (Sphi(X, х0), const). Что | — расслоение Серра, следует из 4.1.4.2.

Аддиционные теоремы

Пусть йх, ..., dm— попарно непересекающиеся шары пространства Rr, лежащие в Dr, и g — сфероид из Sph?(X, А, х0), отображающий множество С = If \ U”!, hit d. в А. Обозначим через т( отображение шара Dr в Dr, определяемое формулой т£ (у) = (центр d^ + (радиус d^y. Если отрезки, соединяющие точки Tt (ortt), ..., ТпДогф) с ortb лежат в С, то при г >2

■ <15>

где у и ^£ — элементы групп лДХ, А, х0) и лДХ, А, £отг(огф))> представляемые сфероидами g и g ° tz е Sph? (X, A, g ° т£ (ort])), a Si — путь в А, определяемый формулой st (0 = g ((1 — 0 т, (ort]) + tort]). Го же верно при г = 2, если нумерация dxdm естественна, т. е. каждый из 2-реперов ту (ort]) — ortb Ti+1(ort])— ort; определяет естественную ориентацию плоскости R2.

Доказательство проводится индукцией по ш. Мы предпошлем ей два замечания, в которых через Ц обозначается (прямолинейный) путь в С, определяемый формулой /£ (/) = (1 — /) т£ (ort,) -ф /ortb

Первое замечание: при заданных шарах dx, ..., dm доказательство достаточно провести для случая, когда (X, А, х() = ЦУ, С, ort,), g = relid£>r и St = li. Действительно, гомоморфизм g*. лДПГ, С, orti) -»лг (X, А, хф переводит класс сфероида rel idOr в у, а класс сфероида т£, перенесенный вдоль lt, в Г,.у£.

Второе замечание: при заданном m доказательство достаточно провести для стандартного набора шаров dv, ..., dm, а именно, для шаров радиуса l/2m с центрами —^— ort2,

§ 1] ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ' 401

т — 3 , 3 — т. , 1 — т , тт , ,

—-—оп2, ..., —-—оп2, —-—ort2. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим наряду с указанными стандартными шарами и соответствующими С, ть 7; произвольно взятые шары d\, ..., d'm, удовлетворяющие условиям теоремы, и соответствующие им С', тр Гг Очевидно, существует такое непрерывное отображение 7г: Dr —> Dr, ^"’-гомотопное тождественному, что /г(С)с:С/, йот; = тр И'ф — ф Ясно также, что для такого h гомоморфизм ге1 /г*: лг фг, С, ortj) -> лг фг, С', ог^) переводит класс сфероида id Dr в класс сфероида id Dr, а классы сфероидов ть перенесенные вдоль путей 1р в классы сфероидов т), перенесенные вдоль путей V..

Обратимся к индукции. Случаи m = 0, 1 тривиальны; рассмотрим случай т = 2. Наши замечания позволяют считать, что (X, A, х0) = фг, С, orti), g = id и что шары dx, d2 стандартны (имеют радиус 1/4 и центры ort2/2, — ort2/2). Обозначим через рф поворот шара Dr на угол <р вокруг подпространства, определяемого уравнениями хх=х2 = б, и рассмотрим гомотопии Dr"XI->Dr, определяемые формулами

■ (У, 0 * [(1 + 0 Р„</2 (у) - 2 ort2]/4,to, t) [(1 + О р_ w (у) + 2 ort2]/4

(уеО',4е/). Эти гомотопии могут рассматриваться как свободные гомотопии сфероидов пары фг, С) и в этом качестве связывают ть т2 с некоторыми сфероидами аь <т2 с началом 0. Обозначим пути, вдоль которых производятся эти гомотопии, через ир и2. Ясно, что каждый из путей 1фЧр и~Ч2 гомотопен прямолинейному пути /, соединяющему 0 с ortj. Следовательно, произведение классов сфероидов ть т2, перенесенных в точку ort! вдоль путей /ь /2, совпадает с произведением классов сфероидов ох, <т2, перенесенных в точку ortj вдоль /, т. е. с классом произведения сфероидов аь <т2, перенесенным в точку ortj вдоль 7. Остается заметить, что произведение охо2 может быть связано с id Dr свободной гомотопией вдоль 7, например, прямолинейной гомотопией.

Пусть, наконец, т^З. Как и при т = 2, мы будем считать, что (X, A, х0) — фг, С, ortj), g = id и что шары dx, ..., dm стандартны (имеют радиус 1/2т и центры—-—ort2, —-—ort2,..., 3 — от ort2, 1 ~~ ort2) . Введем в рассмотрение шар d радиуса 3/2т с центром -—— ort2 (охватывающий шары dm-x и d^, отображение т: Dr->Dr, определяемое формулой т(у) =

(центр с?) + (радиус d) у, и прямолинейные пути I, и и и, соединяющие Т (ortj) С ortb Tm—, (ort,) С Т (ortj) И Tm(ort]) CJ^rtj). Обозначим, далее, через б элемент группы лг(Ьг, С, T(ort])), определяемый сфероидом т. Очевидно, произведения ul, у1 гомотопны путям 1т-х, 1^, и потому

^ ■•■ Tl^m = Tl^X ••• Т^Дт^^т-^,^- (16)

Применяя доказываемую теорему сначала к случаю двух сомножителей, а затем к случаю пг — 1 сомножителей, мы видим, что

. Г и\т-\Г —6>, (17)

TI^V Tim_^m_Jlb = N. (18)

(В первом случае индуктивное предположение применяется к (X, Л, x^ = (DT, С, T^^ortJ), g = T и шарам т-1 (c?w_1), т—1 (^m), а во втором случае к (X, Л, х0) = (Вг, С, ort]), g = id и шарам db ..., dw_2, d.) Из (16), (17), (18) следует (15).

Пусть- X = lim(X6, <р*), причем все Хь являются Т^-про- странствами, и пусть хеХ, х0 е Хо, х^ Xh ... — такие точки, что imm^ (х^ = х. Если при некотором г все гомоморфизмы (фДд nr(X^, хй)->лг(Хд+1, xk+x) являются изоморфизмами, то при этом г все гомоморфизмы (1ттйХг: лг(Х^, хй)->лг(Х, х) также являются изоморфизмами.

Для доказательства заметим, что, в силу теоремы 1.2.4.5, всякий сфероид Г—> X представляется как композиция некоторого сфероида Ir~>Xi с достаточно большим / и вложения 1шш/, а всякая гомотопия Ir X IX — как композиция некоторой гомотопии EXI^Xt с достаточно большим / и вложения immz. Это замечание делает эпиморфность и мономорф- ность гомоморфизмов (immft),r следствиями эпиморфности и мономорфности композиций

. ^1-\\г°к^1-^г° ••• Чф/г),/- пДХь, х^->д.ДХь xv\

Упражнения '

-1. Пусть X — топологическое пространство с отмеченной точкой х0 и G — произвольная группа, наделенная правым групповым действием группы Л! (X, х0). Показать, что существует ансамбль групп (X, (ОД, (7s}) с GXo = G, определяющий это дей-" ствие. ■ . .

Показать, что если X — счетное клеточное пространство, Л— его подпространство в клеточном смысле и х0 —точка из Л, то группы лг (X, Л, х0) счетны.

Пусть (X, Л) — топологическая пара с отмеченной точкой хое Л, такая, что группы л/(Х, хД лг(Л, х0) конечнопорождены

(г>1). Показать, что если X односвязно, то и группы аДХ, А, х0) конечнопорождены (г ^2).

Показать, что если база накрытия fe-проста, то и его тотальное пространство ^-просто.

Показать, что при г > 0, s > 0 гомоморфизмы cub, buc: nr+s(X, x0)~>nr(Sphs(X, x0), const) ' различаются лишь множителем, именно, множителем (— l)rs.

ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ СФЕРИ КЛАССИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ

Надстройка в гомотопических группах сфер

Надстройкой над сфероидом ср из Sphr(X, х0) называется сфероид из Sphr+1(su(X, х0), bp), определяемый формулой (^ь ..., /г+1)ь->рг(ср(/1, ..., tr\ tr+1\ где рг = [рг: X XI ~> su(X, х0)]. Обозначение: su ф. Как показывает очевидная проверка, надстройки над гомотопными сфероидами гомотопны, надстройка над произведением двух сфероидов положительной размерности совпадает с произведением надстроек над этими сфероидами и надстройка над постоянным сфероидом есть постоянный сфероид. Следовательно, сопоставление фн-*зиф определяет при любом г^О гомоморфизм л,ДХ, х0)->лг+1 (su(X, х0), Ьр)- Этот гомоморфизм также называется надстройкой и обозна- чаётся через su.

Напомним, что мы уже дважды, в 1.2.6.2 и в 1.2.8.5, определяли надстройку над непрерывным отображением: в 1.2.6.2 это была надстройка над отображением пространства в пространство, в 1.2.8.5— надстройка над отображением пространства с отмеченной точкой в пространство с отмеченной точкой. Нынешнее третье определение, более специальное, относится к отображениям пары (/r, FrZr) в пространство с отмеченной точкой и не пересекается с предыдущими. Вместе с тем, оно согласовано со вторым определением в том смысле, что получается из него при переходе от сферических сфероидов к кубическим. Подробнее: сфероиды из SphP(X, х0), будучи отображениями пространства с отмеченной точкой в пространство с отмеченной точкой, обладают надстройкой в смысле 1.2.8.5, и диаграмма -•.

Sph? (X, х0)~^> Sph^i (su (X, х0), bp) '|'s*.|/s*

' ■ Sphr(X, x0)S.phr+1(su(X, x0), bp) коммутативна.

Сделаем еще два очевидных замечания. Первое: если f — непрерывное отображение пространства с отмеченной точкой (X, х0) в пространство с отмеченной точкой (К, у(Д то диаграмма

кДХ, х0)-—> nr+i(su(X, х0), Ьр)|f*|(su h*

«г О', Уо) -^ Лг+! (SU (У, Z/o), Ьр)

(где suf понимается в смысле 1.2.8.5) коммутативна при любом г^О. Второе: поскольку (su(Sra, ort]), bp) = (srt+l, ort,), в применении к сферам наша конструкция дает гомоморфизм дД8\ ort,) -* лг+1 (Sn+'r ort]). Главная теорема настоящего пункта, теорема 4, посвящена именно последнему гомоморфизму.

Другое описание гомоморфизма su: лДХ, х0) -> лг+1 (su (X, х0), Ьр) доставляет отображение Ip: (X, x0)->Sph,(su(X, х0), Ьр), определяемое формулой [Ip (х)] (t) = (х, t\ Именно, всякий сфероид феЗрЬДХ, х0) переходит, как показывает автоматическая проверка, при сквозном отображении

Sphr(X, х0)—* Sphr(Sph, (su(X, х0), bp), const) ^>

Sphr+1(su(X, х0), bp)

(см. 1.10.6) в suq), так что гомоморфизм su: лг(Х, х0)-> лг+, (su (X, х0), Ьр) можно определить формулой su = cub°lpJ,.

Еще одно описание гомоморфизма su возникает из интерпретации надстройки su(X, х0) как факторпространства конуса соп(Х, х0) по основанию (которое отождествляется с X). Именно, каков бы ни был сфероид феЗрЬДХ, х0), сфероид из Sphr4i (con (X, х0), X, х0), определяемый формулой (th ..., /г+1) |—> (ф (/,, ..., tr\ 1Г+Д переходит при отображении рг^: Sphr+1 (con (X, х0), X, х0) —> Sphr+1 (su (X, х0), Ьр), где рг = [pr: con (X, х„) —> su (X, х0)], в зиф, а при отображении д: Sphr+1 (con(X, х0), X, x0)->Sphr(X, х0) в ф, так что su: лг(Х, х0)-> лг+1 (su (X, х0), Ьр) совпадает со сквозным гомоморфизмом

лг(Х, х0)^-> лг+! (cpn(X, х0), X, х0)-^* nr+1(su(X, х0), Ьр)

(обратимость гомоморфизма д: лг+1(соп(Х, х0), X, х0)->лг(Х, х0) следует из стягиваемости конуса; см. 1.6.5).

Если, например, (X, x0) = (5L", бг^), то con (X, x0) = Dra+1, su(X, x0) = Srt+1, a pr = DS.

Теорема о надстройке

(Лемма). Пусть К, L —замкнутые непересекающиеся подмножества куба Im, такие, что К покрывается конечным числом h-мерных плоскостей, a L — конечным числом l-мерных плоскостей, и что К f)Fr Г с Г^ X [0, 1/2), А Л Рг/^сд/"^'Х(1/2, 1]. Если k + I + m—2, то существует такая Fr ^-гомотопия F\ Im У, I—> Im, что-. (1) составляющие F отображения 7m —> Im являются гомеоморфизмами, и обратные им отображения также составляют гомотопию; (ii) F связывает id Im с отображением Г-* Г, отображающим К в Г~х X [0, 1/2], a L в 7m-1X[l/2, 1].

Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда L с Гп-Х X [1/2, 1]. Так как прямые, пересекающиеся и с К и с L, заполняют множество, покрываемое конечным числом плоскостей размерности k + I + 1 ^ tn— 1, то в множестве Int 7’П“‘Х (0, 1/2) можно найти точку а, не лежащую ни на одной из этих прямых. Спроектируем из а множества К, L на Ет1т. Образы будут непересекающимися замкнутыми подмножествами множества Fr 7т, и мы можем построить для них функцию Уры- сона FrZm->Z, скажем, а. Фиксируем такое положительное е, что подобие с центром а и коэффициентом е втягивает куб 1т в Im-' X [0, 1/2], а подобие с центром а и коэффициентом 1/(1 — е) не выводит пересечение К Л (7m-1 X [1/2, 1]) за пределы куба Г", и обозначим, во-первых, для xeFT7m через фх линейный путь 1->1т, ведущий из а в х, и, во-вторых, для / из (—1, 1) через фг гомеоморфизм 1-*1, линейно отображающий [0, (1 +/)/2] на [0, (1 -/)/2] и [(1+/)/2, 1] на [(1 -/)/2, 1]. Формула

F (фх (м), 0 = Фх ° Ф( (1-е) а (х) (“),

где xeFrZm, a t, uel, доставляет, очевидно, требуемую гомотопию F.

Чтобы свести все к этому специальному случаю, достаточно в общем случае построить Fr7т-гомотопию F; 1тУД->1т со свойством (i), соединяющую id 7т с отображением, которое отображает L в Im-X X [1/2, 1]. Такую гомотопию можно определить по произвольному числу б из интервала (0, 1), удовлетворяющему условию L с Im~x X [(1 — б)/2, 1], формулой

F^x, и), 0 = (х, Ф_<6(и)),

где хе 1т~х и t, и el.'.

Гомоморфизм su: ur^Sn, огф)->лг+1 (Sn+I, ort]) является изоморфизмом при г ^Чп —2 и эпиморфизмом при г = 2п — 1.

Доказательство эпиморфности su при re^.2n—Y. Мы должны доказать, что для всякого сфероида ф г Sphr+1 (Sn+I, ortj существует такой сфероид феЗрЬДЗ", ort^, что сфероид зиф гомотопен ф. '

■ Доказательство совсем просто,, если ф(/гХ[0, 1/2]) содержится в верхней половине сферы Sn+I (где последняя координата хп+2 неотрицательна)., а ф(/гХП/2, 1]) — в нижней половине сферы Sn+1 (где последняя координата хп+2 неположительна). В этом случае ф(/г Х(1/2)) содержится в пересечении указанных полусфер, т. е. в Sn, и нужный сфероид ф доставляется формулой

Ф&, ..., /г) = ф(/ь ..., /г, 1/2), .

а гомотопия, связывающая ф с зиф, — формулой

((/ь ..., /r+i),

| ф (/ь ..., t„при

■ рг (ф(/ь . . ., tr, у), /г+1) при

Ф (^, . . ., tr, "^Lv^") ПРИ

где рг = [pr: Sn X /-> su (Sn, ortO].

К этому случаю легко сводится более общий случай, когда множество ф^/оН,^) содержится в Zr X [0, 1/2), а множество Ф-1 (—ort„+2) ~ в ZrX (1/2, 1]. Именно, мы фиксируем такое е > 0, что для любой точки у из ZrX [1/2, 1] последняя координата точки ф(у) не превосходит 1—е и для любой точки у из Zr X [0, 1/2] последняя координата точки ф(у) не меньше, чем — (1 — е), и затем определяем отображение Иа (s"+1 , ort])—> (Sn+1, ortj формулой

^Ui, • • •, ^„+2) =

|если |1* ®,

(xp . Xn+p O)/^.^ + . . . + X^, ,.

.' если I Xn+2 | ^ 1 — 8.

[Это отображение натягивает полярные шапки сферы S”*1, выделяемые неравенствами х„+2^1—е, xn+2^ —(1 —е), на верхнюю и нижнюю полусферы^а остающийся экваториальный пояс стягивает на экватор S".] Ясно, что отображение h ortproMO-

§ 2] СФЕРЫ И КЛАССИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 407 топно id Sn+1 (гомотопия равномерно перемещает каждую точку xeS"+! к й(х) вдоль кратчайшей дуги большого круга) и что композиция h оф отображает Zr X [0, 1/2] в верхнюю полусферу, а ГХ\М^, 1] —в нижнюю полусферу.

Наконец, в самом общем случае мы строим триангуляцию сферы Sn+1, в которой ortt — вершина, a ortn+2, — ortra+2 — внутренние точки симплексов размерности п+1, и затем прямолинейную триангуляцию куба /", обеспечивающую существование симплициальной аппроксимации отображения ф. Если Ф! — такая аппроксимация, то, очевидно, множества К = Ф~* (ortn+2), L = ф-1 (— ortn+2) удовлетворяют условиям леммы 3 с m = r+l и h = l — r — п [причем пересечения ZC fl Fr Zr+*, ZPFr/r+1 даже пусты]; пусть О: /r+1 X I F+l — гомотопия, составленная из гомеоморфизмов, обратных гомеоморфизмам, составляющим гомотопию F леммы 3. Ясно, что ф] есть сфероид, гомотопный ф, и остается заметить, что гомотопия Ф) ° rel G: (lr+1XL Fr/+I хО ->(Sn+I, orti) связывает ф, со сфероидом, у которого прообраз точки ortra+2 содержится в 1ГХ [0, 1/2), а^прообраз точки — ortra+2 в /ГХ (1/2, 1].

Доказательство м о н о м о р фнос ти su при г<Дп + 2. Мы должны доказать, что сфероид ф: (/r, Fr/r) ->(Sn, ortt) с надстройкой зиф: (/r+l, Fr/r+!)(S"+I, ortj, гомотопной постоянному сфероиду, сам гомотопен постоянному сфероиду.

Пусть Ф: (Г+'Х1, Fr/r+1 Х-О-*^"^, orti) — гомотопия, связывающая зиф с постоянным сфероидом. Триангулируем сферу 5"+1 так, чтобы экватор S" сделался ее подпространством в симплициальном смысле, точка ortt стала вершиной, а точки ortrt+2, — ort„+2 стали внутренними точками симплексов размерности п+ 1. Затем мы прямолинейно триангулируем куб /r+1 X I = Г X I X I так, чтобы множество /гХ(1/2)Х0 сделалось подпространством в симплициальном смысле и отображение Ф стало симплициально аппроксимируемым. Если Ф] — его симплициальная аппроксимация, то Ф] (/r X(l/2)X0)c:S" и формула ф, (у) = Ф] (у, 1/2, 0) определяет сфероид фр (Г, Fr Д)-* (S", ortt), гомотопный ф. Рассмотрим отображение perm: 1г+2—>Г+2, определяемое формулой perm(tb ..., tr+2) = (/ь ..., tn tr+2, tr+1\ Множества К = perm (ФГ1 (ort„+2)), L = perm (ФГ1 (— ortn+2)), очевидно, удовлетворяют условиям леммы 3 с m = r'+2, k = l = r— «+1. Пусть G; 1т+2Х1~* Г*2 — гомотопия, составленная из гомеоморфизмов, обратных гомеоморфизмам, составляющим гомотопию F леммы 3, и пусть р: Sn+I \ (ortn+2 U (—ortn+2)) -> S” — ретракция. Очевидная

проверка показывает, что формула

(У, O^P^i "perm» G(^, t, 1/2), 1)

(где (г/, t, 1/2) г Z,+2 — Г XIX /) определяет гомотопию ГХ1-* 8", связывающую ф] с постоянным сфероидом.

'Серии {лп+й(Зп, ottj}

Главное содержание теоремы 4 состоит в том, что каждая из серий

... лг(3", ort[)-^> лг+1 (S"+1, ort])—^> лг+2(3"+2, ort]) ~* ..., на которые надстройка разбивает гомотопические группы сфер, стабилизируется. Подробнее: в fe-й серии (л„+й(3", ortO) группы лп+й(3", ortj с п^^ + 2 связаны сквозным изоморфизмом, который устанавливается надстройкой. Этот канонический изоморфизм позволяет отождествить группы л„+й (S'1, ort]) с /г + 2 в одну группу. Последняя называется стабильной группой серии {л„+й(5'1, ort])} и обозначается через Stab (/г).

Простейшие гомотопические группы сфер

Группы nXS”) с г < п тривиальны. В частности, Stab(^)=O, если к < 0.

Это следует из 2.3.2.2 и 1.3.8.

Гомотопические группы окружности

Группы лг(5') с г> 1 тривиальны, лДЗ1, ortt) есть бесконечная циклическая группа с образующей sphb

Для доказательства мы воспользуемся накрытием (R, hel, S') [см. 4.1.2.6]. Сначала заметим, что hel (O) = ortb a hel-1 (ort])=Z. Так как прямая R стягиваема, то ее гомотопические группы тривиальны, из чего уже следует, согласно 1.8.12, что группы лДЗ1, ort]) cr> 1 тривиальны, а отображение А: лДЗ1, ort])—> n0(Z, 0) = Z обратимо. Кроме того, (R, hel, S1) в очевидном смысле есть главное расслоение со структурной группой Z, из чего следует, что А — групповой гомоморфизм (см. 1.9.15). Таким образом, А — групповой изоморфизм, и остается заметить, что A(sph]) = —1..

Изложенное доказательство представляет вычисление гомотопических групп окружности как молниеносное применение общей теории к накрытию (R, hel, S’). Такое изложение естественно, поскольку общая теория уже построена, однако замаскировывает тот факт, что в’ действительности вычисление сов-

§ 2] СФЕРЫ И КЛАССИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 409 сем просто. Поскольку фундаментальная группа окружности занимает, как исторически, так и по существу, особое положение, мы не пожалеем еще нескольких строк и перескажем доказательство равенства n^S1, ortr)-=Z элементарно, обнажив те несложные извлечения из общей теории, которые действительно используются. Их два: у всякого пути в S1 с началом ortj есть накрывающий путь в R с началом 0; два пути в R с началом 0, накрывающие гомотопные пути, имеют общий конец. (Ср. 6.2.1.)

Рассмотрим для этого степени фундаментальной петли /S: I—> S' (с естественным порядком перемножения), обозначим ради краткости п-ю степень через un(,neZ) и введем в рассмотрение пути и„: /->R с началом 0, накрывающие петли ип. Ясно, что Un (1) = га, из чего следует, что петли ип попарно не гомотопны. Кроме того, какова бы ни была петля и: /->5' с началом ortb накрывающий путь и'; I-*Rc началом 0 ведет в целую точку, из чего следует, что он гомотопен одному из путей ип, а петля и гомотопна одной из петель и„. Но это значит, что классы петель ип, т. е. классы (sph,)" с neZ, попарно различны и исчерпывают группу л^З1, ortt).

Следствия

Пара (D2, S') проста, гомотопические группы лДВ2, S’) с г Д 2 тривиальны, л2(О2, S', оД) есть бесконечная циклическая группа с образующей kug2.

Все это следует из теоремы 2 и стягиваемости диска D2, в силу которой гомоморфизм д: лДВ2, S', orti) --* лг_, (S1, orti) является изоморфизмом при любом г^\ (см. 1.6.5).

Из 1 и 2 . следует, что все сферы 5"ся^1 являются простыми пространствами. Подобным же образом из 1 и 4 следует, что все пары ^Dn, S"-1) с п^2 являются простыми парами. ‘

В частности, какова бы ни была точка yeSn сп>1, группа Лп(8", у) может быть отождествлена с л„(8", orti), и, -какова бы ни была точка yeSn-1 с п^2, группа Un^D", S"-1, у) может быть отождествлена с ли(/)", S"-1, orti). Вследствие этого при г>1 непрерывное отображение f сферы 8Г в топологическое пространство X определяет элемент группы лг(Х, х) для каждой точки х из f(Sr), а не только для х = /(ortt), и, подобным же образом, при г ^2 непрерывное ото-- бражение / пары (/У, 8Г-1) в топологическую пару (X, Л) определяет элемент группы лг (X, Д х) . для каждой точки хе Ksr l), а не только для x = /(ort1).

Группы л„ (3")

При всяком п ^ 1 надстройка su: л„ (Sn, огф) -> лп+1 (S"+l, ortj является изоморфизмом и переводит sph„ в sphn+i. ■ '

Доказательство. Теорема 1.4 прямо утверждает, что su: лга(Зп, oTtJ-> л^+1 (S"+i, огф) есть изоморфизм при п^2 и эпиморфизм при n = 1. Что и этот эпиморфизм является изоморфизмом, можно вывести из гомотопических свойств расслоения Хопфа (S3, рг, S2) [см. 4.6.1.4]: отрезок его гомотопической последовательности

л2 (S3) = 0 —> л2 (S2) Л] (S1) -> Л] (S3) — 0

(см. 1) показывает, что л2(32) = л, (З1), и этим исключает существование у su: лДЗ1, ortj) —> л2 (S2, огф) нетривиального ядра, поскольку n1(S,) = Z (см. 2). Что su (sphra) = sphn+1 — очевидно.

Если n^l, то an(Sn, отф) есть бесконечная циклическая группа с образующей sphra. В частности, Stab(O) = Z.

Прип=1 эта теорема дублирует часть теоремы 2, при п> 1 следует из 2 и 6.

(Следствие). Если п^2, то пп(ф)п, Sn *, ortj) есть бесконечная циклическая группа с образующей kug„.

При п>\ теорема 7 устанавливает канонический изоморфизм л„(3")—>Z и, в частности, сопоставляет с каждым непрерывным отображением f: Sn->Sn целое число. Нетрудно убедиться в том, что последнее совпадает со степенью degf, определенной в п. 4.6.5. Это следует из трех очевидных фактов: deg (su f) = deg f; класс fesphj представляется сфероидом Неф (см. 4.1.2.6); deg (hel6) = k. -

Точно так же при п^2 теорема 8 устанавливает, канонический изоморфизм лп(о", 3"-1)->2 и, в частности, сопоставляет с каждым непрерывным отображением /: ^D'\ З’1-1)-» ^D", S"-1) целое число, которое совпадает со степенью deg f, определенной в п. 4.6.5.

Дальнейшие сведения,доставляемые расслоениями Хопфа

При г^З гомоморфизм pr*: лг (S3) —> лг (S2), индуцированный отображением Хопфа рг: S^->S2, является изоморфизмом. В частности, группа л3(32) канонически изоморфна Z и

порождается классом рг^(зрЬ3), т. е. классом самого отображения Хопфа.

Это видно из отрезка

лг (S1) = 0 -> л, (S3) -> лг (S2) -> лг_! (S’) 0

гомотопической последовательности расслоения Хопфа (S3, рг, S2). .

При любом г>1 гомоморфизм рг*: лг(57)->лг(34), индуцированный отображением Хопфа рг: S7—>S4, изоморфно отображает группу лг(37) на подгруппу группы лг(34), обладающую прямым дополнением, изоморфным л^-ДЗ3). В частности, л7 (S4) ^ Z © Лд (S3). ■

Это следует из теоремы 1.8.10, примененной к расслоению Хопфа (S7, рг, S4).

При любом г>1 гомоморфизм рг*: лг (S15) -> лг (S8),x индуцированный отображением Хопфа рг: S15 -> S8, изоморфно отображает группу лДЗ15) на подгруппу группы щ\8^, обладающую прямым дополнением, изоморфным Лу-ДЗ7). В частности, л15 (S8) Z© л14(37).

Это следует из теоремы 1.8.10, примененной к расслоению Хопфа (S15, рг, S8).

Сквозные отображения лг-! (S1)—>-лг(32)—>лг_1(31), лг_, (S3) -^> лг (S4) -^ л,-! (З3^, лг_] (S7) лг (S8) -^» лг-! (S7), в которых гомоморфизмы А отвечают расслоениям Хопфа, совпадают при любом г>1 с id л^-ДЗ1), id nr_j(S3), idn^-^S7).

Доказательство. Будем понимать под q одно из чисел 2, 4, 8 и рассмотрим отображение Dq—>S2q-\ определяемое формулой

(Д- . . ., xq^Qcv, ..., xq, ф-х^- ... -х2,0, ..0).

Его сужение на Sq-' есть, очевидно, включение Sq~v —> S2q~\ а его композиция с отображением Хопфа рг: S2</-1->S'7 — отображение OS: Dq->Sq; следовательно, диаграмма

rel pi^rel DS'Xrel pi^rel DS'XrtrkS^S^ArtrkS^S^Aаааа

rel pi^

rel DS'X

rel pi^

rel DS'X

rtrkS^S^A

rtrkS^S^A

а

а

а

а

в которой вертикальный гомоморфизм индуцируется релятивизацией указанного отображения Dq->S2q-\ коммутативна. Далее, rel рг* и нижний гомоморфизм д являются изоморфизмами (см. 1.8.1 и 1.6.5), и из этой коммутативности следует, что сквозной гомоморфизм

„,., ($•-■)2Ц* „г (о«, s.-i) ^ „г (S«) SL^ii

совпадает с icln^S9). Остается заметить, что композиция двух первых гомоморфизмов есть su (см. 1.2), а композиция двух последних есть А (см. 1.8.4).

Из 13 и 1.8.7 следует, что гомоморфизмы su: л5(53)-> л6 (S4) и su: л13 (S7)-> л14 (S8) являются изоморфизмами, т. е. что в сериях {nn+2(S”)} и {Лп+6(5”)} [как и в серии ^„(S")}] стабилизация наступает по крайней мере на шаг раньше, чем это гарантирует теорема 1.4.

Композиционное умножение

Пусть X — пространство с отмеченной точкой х0. Для любых сфероидов ф г Sph^ (X, х0), ф г Sph1^ (Sp, ortj композиция Ф ° ф: (S'7, orti)->(X, х0) представляет собой сфероид из Sph^ (X, х0), и гомотопический класс последнего определяется гомотопическими классами сфероидов ф, ф. Благодаря этому, для любых классов иел„(Х, х0), рел?(5р) определена их композиция а°|3 е л9(Х, х0). Равносильное определение: а°р есть фДр), где Ф — сфероид класса а.

Ясно, что: если аел,^, х0), то a°sphp=a; если аелрД, х0), Р е л^ (Sp), у G лг (S'7), то а ° (Р ° у) — (а ° р) ° у; если а е лр (X, х0), Рел3(5р), то /Да ° Р) = (Д (а)) ° Р для всякого непрерывного отображения f пространства X в другое пространство; если аелр(Х, х0), рел^(5р), то su (а ° Р) = sua ° sup. Ясно также, что если a <= лр(Х, х0) и рь р2ел17(5/'), то а ° (Р, + р2) — а° Pi + а ° Рг [в частности, а ° k sphp = ka для любых а е лр (X, х0), k е ZJ. Это свойство принято называть правой дистрибутивностью — в отличие от левой дистрибутивности, которая состоит в том, что если ab а2елр(Х, х0) и рел9(5р), то (at + а2) ° р — at ° р + а2 ° р. Левая дистрибутивность имеет место далеко не всегда; см., 2 и 5, а также 9.1. ’

Для любых ab a2 г лр (X, х0) и релг1(5”~:)

(а1 + а2) ° sup = ai ° sup + а2 ° sup. (1)

В частности, для любого р <= л^ (Sp~*) и любого целого к

(/г sphp) ° su Р = /г su р.

Доказательство. Фиксируем сфероиды фь ф2г Sph® (X, х0) и ф г Sph^-i (Sp~*, ortj), представляющие ab a2 и p, и обозначим проекции pr: Sp-1 X/-*su(Sp"1, orti) = SP, pr: S4-1XI~*' su(S?-1, orti) = S'7 через pb p2. Согласно своему определению

Pi(x, Z)t-*Pi(x, Z)t-*(см. 1.10.2), класс сц+аг представляется сфероидом Ф^рДх, 2Z) при 0^/^1/2, Фзсрфх, 2/— 1) при 1/2 ^Z^l,

Pi(x, Z)t-*

Pi(x, Z)t-*

а класс su р — сфероидом р2 (х, /) н-^ р{ (ф (х), /) [см. 1.1], из чего следует, что обе части равенства (1) представляются сфероидом

р2(х, /)>-*р2(х, /)>-*Ф1 о р, (ф (х), 2Z) при 0 ^/^1/2, Фг ° Pi (Ф W, 2Z — 1) при 1/2 </«^1.

р2(х, /)>-*

р2(х, /)>-*

Кольцо Stab

(Лемма). Пусть к, I — неотрицательные целые числа и п — натуральное число. Если а г nn+k(Sn), р eun+l^Sn\ то

su" а ° su"+* р — (— 1)ы sun р ° sun+z а.

Доказательство. Фиксируем сфероиды ф г Sph^-&(S", ortt), ф г Sph2+; (Sn, orti) классов а, р и обозначим для неотрицательных целых чисел р, q через perm(p, 7) гомеоморфизм

Sp+q = ^Sp, ort1)®(Sp, ortJ^lX ort,)®(Sp, ort,) = Sp+q, переставляющий сомножители (равенства обозначают канонические гомеоморфизмы — см. 1.2.8.9). Как показывает прямая проверка, композиции'

sun ф ° perm (и, п + к) ° surt+* ф о perm (п + к, п + Z): S-^^^1 -> Sn, perm (n, n) ° su" ф ° perm (/г, n + Z) ° su"+z ф: S2rt+Zi+Z -> Sn

совпадают, и так как deg perm (р, 7) — (—1)рч, из этого совпадения следует, что

su" а о [(_ i/W) Sph2ra+fe] = su"+A Р = [(-1)("+6)("+Z) sph2n+fe+J = [(—1)"! sph2n] ° su" р о [(— 1)"("+Z) sph2n+;] о su"+za.

Пользуясь обеими дистрибутивностями (правой и левой — см. 1 и 2), нетрудно привести это равенство к виду

(_ i )«("+*>+ <«+*>(«+Z) suna 0 sun+A р = (_1)nW+Z) sun р о sun+Z а>

и остается заметить, что \п\п. + k) + (п + к) (п + Z)] —- [п2 ф- п (n + Z)] = kl mod 2.

Положим Stab = ®“=0 Stab (6) и отождествим группы Stab (/г) с их образами при естественных вложениях Stab (/?)-> Stab. Операция ° превращает Stab в кольцо: если агл„+й(5"), Рsn„+fc+z(S"+6), то su(a°P) = sua°sup (см. 1), что. делает

операцию ° корректно определенной как дистрибутивное умножение элементов из Stab (/г) на элементы из Stab (Z) со значениями в Stab (^ + О (см. 1 и 2) и позволяет бидистрибутивно продолжить ее до перемножения элементов множества Stab со значениями в Stab. Из 1, 2 и 3 следует, что кольцо Stab ассоциативно, обладает единицей sph = sphi = sph2 — ... и косокоммутативно в том смысле, что если а е Stab (/г), ре Stab(Z), то р°а = (—l)6Za°p.• ,

Применение

(Лемма). Композиция (— sph2) ° pr»(sph3), где рг — хопфов- ское отображение сферы S3 в S2, совпадает с рг» (sph3).

Это следует из коммутативности диаграммы

S3->S3 ipr b S2 -> S2,■

в которой горизонтальные отображения определяются формулами (хь Х2, Х3, X4)i—*(хь — х2, х3, —Х4), (хь Х2, X3)l~*(хЬ — х2, х3) и представляют собой сфероиды классов sph3, — sph2.

Группа Stab(l) содержит не более двух элементов.

Поскольку группа л4(Э3) уже стабильна, a su: л3 (S2) —> л4 (S3) есть эпиморфизм (см. 1.4), достаточно показать, что Kersu содержит удвоенную образующую 2 [pr: S3-> S2]» (sph3) группы л3(52) (см. 2.10). Доказательство: так как

2 рг» (sph3) = рг» (sph3) + рг» (sph3) =

sph2 ° pr»(sph3) + (— sph2) ° pr»(sph3)

(см. 5), то

su (2 рг» (sph3)) = sph3 ° su (pr» (sph3)) + (— sph3) ° su (pr» (sph3))

(см. 1), и остается заметить, что правая часть последнего равенства есть 0 в силу 2.'

Информация: гомотопические группы сфер

Долгое время изучение и вычисление гомотопических групп сфер находилось в центре внимания топологов. Надеялись, что с этой задачей удастся справиться и что к ней в значительной степени сведутся другие, более сложные, задачи теории гомотопий. В обоих направлениях действительно удалось получить глубокие результаты, однако^иервоначальные надежды не оправдались: постепенно выяснилось, что с гомотопической точки зрения сфера является не элементарным, а скорее сложным составным

объектом. С другой стороны, добытая информация о гомотопических группах сфер нашла применения, которых не ожидали,— прежде всего в дифференциальной топологии.

Ниже излагается некоторая (довольно незначительная) часть этой информации: в 2 общего характера, в 3 — табличного характера. Более полные сведения, а также ссылки на доказательства, можно найти в [7].

Из групп лг (Sn) с г > п бесконечны только группы лЬт—1(^2т) с т=\, 2, ... Каждая из этих бесконечных групп изоморфна прямой сумме Z© (конечная группа).

При нечетном простом р порядок группы Stab (2m (р — 1) — 1) с т — 1, 2, . . ., р — 1 делится на р, но не делится на р2, и порядок группы Stab (Ze) с к < 2р (р — 1) — 1 не делится на р, если к^ — 1 mod 2 (р — 1).

Среди вычисленных групп лг(5п) находятся все группы л„+6(5") с /г ^23 и все группы Stab (Ze) с к ^33. Группы лп+й(5'г) с п ^2 и 1 ^ к ^ 7 собраны в таблице:

к п

1

2

3

4

5

6

7

2

Z

Z2

z2

Z12

Z2

z2

z3

3

z2

z2

Z12

Z2

z2

• Z3

Z15

4

z2

Z © Z12

Z2 © Z2

z2 © z.

Zo © Z24

Z15

5

Z24

z2

z2

z2

Z30

6

0

z

z2

Zee

7

0

Z2

Z120

8

z2

2 © Z120

9

Z240

В нижеследующей таблице, где рг всегда обозначает одно из отображений Хопфа S3->S2, S7-->S4, S15->S8, указаны образующие групп Stab(&) с к = \7:.

Группы

Образующие

Stab (1) = n4(S3)[sZ2]

su(pr,(sph3))

Stab (2) = n6(S4)[s Z2]

' su2(pr,(sph3))osu3(prt(sph3))

Stab (3) = ns(S5)[s Z24]

su(pr.(sph7))

Stab (4) = Лю(56)[= 0]

—•

Stab (5) = ni2(S7)[=0J

—

Stab (6) = л14(№)[^ Z2]

su4(prt(sph7)) о su7(pr.(sph7))

Stab (7) = л16(№)[^ Z240]

su(pr,(sphi5))

Добавим к этому, что

SU3 (pt, (sph3)) о su4 (pr* (sph3)) = su5 (pr. (sph3)) = 12 su (pr, (sph7)),su7 (pr*(sph3)) о su6 (pt, (sph7)) ° su9 (pr, (sph7)) = 120 su (pr,(sph15)).

Вместе с предыдущей таблицей эти соотношения дают полное описание части ®^=1Stab(&) кольца Stab.

Группы Stab (й) с к = 815собраны в таблице:

A

Stab№)

ft

Stab (Й)

8

Z2 © Z2

12

0

9

Z2 © Z2 © Z2

13

z3

10

z2

14

Zq © Z2

11

Z504

15

Z48O © ^2

Гомотопические группыпроективных пространств и линз

/. При 2 ^н^оо группа Л] (RP”, (1 : 0 : 0 : ...)) состоит из двух элементов и порождается классом петли гр: I-*RPn, определяемой формулой гр (t) = (cos nt: sin л/: 0 : 0 : ...), а гомотопическая группа лг^Рп, (1:0:0: ...)) с r^= 1 изоморфна лДЗ”) [в частности, тривиальна, если и = оо], причем изоморфизм индуцируется проекцией Sn -> RP". Пространство RP" просто при нечетном п и не является п-простым при четном п.

(Случай п=\ был рассмотрен в 2.2.)

Доказательство. Все, относящееся к самим группам nr(RP”, (1 : 0 : 0 : ...)), следует из теоремы 1.8.12, примененной к накрытию (S”, pr, RPn). 1-простота пространства RPn следует

из коммутативности его фундаментальной группы. Рассмотрим автоморфизм ТГр. лг(КР”, (1 : 0 ". О : .. .))->лг(КР”, (1:0:0: ...)) с г^2. Пусть гр" — путь с началом ortb накрывающий гр. Из очевидной коммутативности диаграммы

^"ог^^ пД^-ог^) ^^^"orti)

1рг*jpr,

следует, что преобразование Тгр тождественно или нет вместе с композицией (— id Sn)^ ° Др-, которая сводится, после отождествления лД5п, — orti) = лг (Sn, orti) = лг (S”) [см. 2.5], к (—idS”),: лг (S”)лг (S”). Остается заметить, что если п нечетно, то отображение — id S” гомотопно id S”, так что автоморфизм (—idS”),: лг (S”)-> лг (S”) является тождественным при любом г, а если п четно, то [(—idS”),: л„ (S”)-> л„ (S”)J = -idn„(S”).

При 1^/г^оо группа л2 (СР”, (1:0 : 0 : .. .)) изоморфна Z и порождается классом сфероида in: S2 = СР1 -> СРп, а гомотопическая группа лг (СР”, (1 : 0 : 0 : ...)) с г ^= 2 изоморфна лг(52п+1) [в частности, тривиальна, если п = оо], причем изоморфизм индуцируется проекцией S2n+{ -> СРп.

(При п=\ эта теоррма дублирует теорему 2.10.)

Здесь два утверждения: что in,: л2(СР', (1 : 0 : 0 : ...))-> л2(СР”, (1:0:0: . . .)) есть изоморфизм и что рг,: лг (S2n+1, ortj)-* лг (СР”, (1:0:0: . . .)) с г N= 2 есть изоморфизм. Первое следует из 3-связности пары (СР”, СР1) [см. 2.3.2.2 и 2.1.3.5], второе получается из гомотопической последовательности расслоения (S2”+1, рг, СР”) и теоремы 2.2.

При 1 п ^ оо и любом г Д? 1 гомоморфизм, индуцированный проекцией S^3—>НР”, изоморфно отображает группу лг(54,1+3) на подгруппу группы лг(НР”, (1:0:0: ...)), обладающую прямым дополнением, изоморфным лг-!(53). В частности, при г^1 группа лг(НР°°, (1 :0-: 0: ...)) изоморфна лг_](53).

(При г —1 эта теорема дублирует теорему 2.11.)

Для доказательства достаточно применить теорему 1.8.10 к расслоению (S4n+3, рг, HP”).

Линзы L^m; Ц, ..., 1ф и L(m-, 1Ь 1^, ...) просты. Группы щиДт; 1ь • • •> In)) и Л1 (^(пг; Ц, 12, • • •)) изоморфны Zm. Группы лг(Ь(пт, 1{, • • •, 1ф) с г >2 изоморфны nr(S2n~}), причем изоморфизм индуцируется проекцией S2n~Y-> L (т; 1ь..., Ц- Группы nr{L{m', li, 12, • ••)) с г"^2 тривиальны.

Доказательство очевидным образом обобщает начало доказательства теоремы 1.

Гомотопические группы классических групп

/. Гомоморфизм включения nr(SO(n))->nr(SO(n + 1)) является изоморфизмом при г ^п — 2 и эпиморфизмом при г = п — 1. Группа лД5О (/г)) изоморфна Z при п — 2 и Z2 при и^З и порождается классом включения S'= SO (2)-> SO (п). Группа u^SOkn^ тривиальна при любом п. Группа л3 (SO (и)) тривиальна при п^2, изоморфна Z при п = 3, изоморфна Z©Z при п = 4 и изоморфна факторгруппе группы Z©Z по циклической подгруппе при п^З.

Доказательство. Тривиальность групп л2 (SO (2)), л3 (SO (2)), л2 (SO (3)), л2 (SO (4)) и изоморфности nj (SO (2)) Z, Л[ (SO (3))^ Z2, л3 (SO (3))= Z, л3 (SO (4)) ~Z©Z являются следствиями равенств SO(2) = S', SO (3) = RP3, SO (4) = RP3 X S3 (см. 3.2.1.2, 3.2.3.1 и 3.2.3.3) и теорем 2.2, 2.7, 5.1. Остальное получается из гомотопической последовательности расслоения (SO (п + 1), pr, S'1), описанного в 4.6.1.4, с отмеченной точкой id е SO (п + 1).

Гомоморфизм включения лг (U (п^ -> лг (U (п + 1)) является изоморфизмом при г + 2п —- 1 и эпиморфизмом при г = 2п. При п ^ 1 группа Л[ (U (п)) изоморфна Z и порождается классом включения S’ = U (1) -> U (п\ Группа л2([/ (п)) тривиальна при любом п. Группа л3(О(1)) тривиальна, группа nA(U (п)) с п^2 изоморфна Z. Гомоморфизм включения л1 (U (и)) -> Л] (SO (2га)) является эпиморфизмом при любом п.

Это получается из равенств [in: U (1) -* SO (2)] = id, U (2) = S1 X S3 и гомотопической последовательности расслоения (U (/г+1), pr, S2n+1), описанного в 4.6.1.4, с отмеченной точкой id е U (n+ 1).

Гомоморфизм включения ar(Sp(n))-+ar(Sp(n-\-1)) является изоморфизмом при г^4/г + 1 и эпиморфизмом при г = 4п + 2. В частности, при г ^ 5 и любом п "^ 1 группа лг (Sp (п^ изоморфна лг (Sp (1) = S3).

Это видно из гомотопической последовательности расслоения (Sp (п + 1), pr, S4n+3), описанного в 4.6.1.4, с отмеченной точкой id eSp(n-V 1).

- Стабилизация

Теоремы 1—3 показывают, что при любом г^1 каждая из серий групп

лг (SO (1)) -> лг (SO (2)) -> лг (SO (3)) -^ ..., лг(Д(1)) -^лг(Д(2)) ->nr(U(3^ ^ ....

лг (Sp (\^->ur (Sp (2)) -> лг (Sp (3)) .

стабилизируется: первая — начиная с лг (SO (г + 2)), .вторая —начиная с лг (О([(г + 2)/2])), третья — начиная с лг(5р([(г +2)/4])).

Группы лг (SO (м)) с и > г + 2, лг (О (м)) с м > [(г + 2)/2] и лг (Sp (м)) с м>[(г + 2)/4] называются стабильными и обозначаются через лг(50), лг(О) и лг(8р\ Согласно теореме 1, n,(SO)^Z, л2(5О)=0, л3 (SO) (Z®Z)/(HHOH4ecK3H подгруппа). Согласно теореме 2, Л[ (О) Z, л2 (О) = 0, л3 (О) ^ Z. Согласно теореме 3, л, (Sp) = О, n2(Sp) = 0, л3 (Sp) ^ Z.

Обозначения nr(SO), лг([/), лг(5р) имеют и прямой смысл: это обычные r-мерные гомотопические группы предельных пространств SO = lim SO (м), U = lim (7 (м), Sp = lim Sp(n) (cm. 1.11.2).

Информация

Группы лг (SO), лг(О), лг(5р) полностью вычислены. Именно, при г^1 имеются канонические изоморфизмы лг (SO)-> лг+8 (SO), лг(5р) —>-лг+8 (Sp), лг(О)->лг+2(О), начальные же восемь гомотопических групп пространств SO и Sp и две начальные гомотопические группы пространства U даются таблицами:

Г12345678лг(50)Z20z000zz2nr(Sp)00zz2Z20z0Г12345678лг(50)Z20z000zz2nr(Sp)00zz2Z20z0Г12itAU1)Z0Г12itAU1)Z0

Г

1

2

3

4

5

6

7

8

лг(50)

Z2

0

z

0

0

0

z

z2

nr(Sp)

0

0

z

z2

Z2

0

z

0

Г

1

2

3

4

5

6

7

8

лг(50)

Z2

0

z

0

0

0

z

z2

nr(Sp)

0

0

z

z2

Z2

0

z

0

Г

1

2

itAU1)

Z

0

Г

1

2

itAU1)

Z

0

Доказательства можно найти в [17].

Известны и многие нестабильные гомотопические группы многообразий SO (и), U (м), 5р(пУ, например, л2„ (U (п)) = Znl, ^4^+2 (^Р (м)) = Z(2/i+i)t при четном п, л4п+2 (Sp (м)) ^ Z2№n+оц при нечетном п. Подробности и ссылки на доказательства имеются в [7].

Гомотопические группымногообразий и пространств Штифеля

(Лемма). Если к < п, то: многообразие V (п, k) просто; гомоморфизм включения лг(У (п, /г))-> лг (У (и + 1, к + 1)) является изоморфизмом при г < п — 1м эпиморфизмом при г = п— 1; он является изоморфизмом и при г — п—1, если п нечетно и к = \.

Все многообразия СИ (п, к) и НУ (п, k) просты. Гомоморфизм включения лг(СУ(м, ку -> лг (СУ (п + 1, к + 1)) является изоморфизмом при г <2п и эпиморфизмом при г = 2п. Г омоморфизм включения лг(НУ(/г, А))-»лг(НУ (п + 1, /г+О) является изоморфизмом при г < 4м + 2 и эпиморфизмом при г = 4м + 2.

'/«14*

Простота следует из того, что У (n, k) = SO (n)/SO (п — k), СУ (ri; k) = U (п)/U (п — k), НУ (и, k) — Sp(n)ISp{n —k) (см. 4.2.3.12 и 1.9.7). Остальное получается из гомотопических последовательностей расслоений (У (и + 1, к + 1), pr, S”), (СУ (и+1, к + 1), pr, S2n+1), (НУ(и+1, к + 1), pr, Sto+3), описанных в 4.6.1.4, с включениями R6->R", С*->С", «+-++ в качестве отмеченных точек. В вещественном случае мы пользуемся дополнительно тем фактом, что при нечетном п расслоение (У (и + 1, 2), pr, Sy обладает сечением (см. 3.1.4.7), благодаря чему при нечетном п и к = X первая из указанных гомотопических последовательностей расщепляется справа в членах я,г (У {п + 1, к + 1)) (см. 1.8.8).

При к < п многообразие У (n, k) (п — к — ХУсвязно. Группа л„_й(У (п, ку с 0<т<п циклична и порождается классом включения Sn~k = У (п — k + 1, 1)-*У(/г, к); она бесконечна, если п — к четно, а также если k — X.

Это следует из леммы 1: если г < п —- к, то лг(У (и, ку^ л, (У (п- 1, к- 1))^ ... = л, (У [п — к-У 1, 1)) = лг (S"-fe) = 0, в последовательности же ип_ь (Sn~k) = nn-k (У (и — /г + 1, 1))-* лп-к (У (и — к + 2, 2))-> . .. -> л„_4(У (п, ку все стрелки, кроме первой, — изоморфизмы, а первая — изоморфизм при четном п—к и эпиморфизм при нечетном п— к.

Многообразие СУ (/г, к) 2 (п — кусвязно. Группа л2п-2й+1 (СУ (/г, ку изоморфна Z и порождается классом включения ,$2п-2№ — су (й _ с 1) -» су (и> /г).

Это следует из леммы 1: при г^2п — 2^+1 в последовательности лг (S2«-2^+i) — лг (СУ (п — к + 1, 1)) -> лг (СУ (п— /г + 2, 2))—> ... —> лг (СУ (п, ку все стрелки — изоморфизмы.

Многообразие НУ (и, к) ^п — 4k + 2Усвязно. Группа ^4n-№+s (НУ (п, ку изоморфна Z и порождается классом включения S^n~^ = НУ (/г - к + 1, 1) -* НУ (/г, ку

Это следует из леммы 1: при г^4п— 4к + 3 (даже при г^4п — 4/г + 5) в последовательности лг (З'^-^+э) — лг (НУ (п — к + 1, 1)) —> лг (НУ (/г — к + 2, 2)) -> ... -> лг (НУ (п, ку все стрелки — изоморфизмы.

Пространства У (оо, к) и СУ (оо, /г) [см. 4.5.3.9], а также пространство НУ (оо, /г) = Иш (НУ (n, ky in: НУ (п, /г)-^-НУ (/г+1, ку оо-связны.

Это следует из теорем 2, 3, 4 и 1.11.2.

Гомотопические группымногообразий и пространств Грассмана

В этом пункте вычисление важнейших гомотопических групп многообразий Грассмана G(n, к\ G+(,n, ку CG^n, кУ ViG(n,k) и пространств Грассмана G (оо, ку G+ (оо, k) и СО (оо, k)

[см. 4.5.3.2], а также HG(oo, k) = iim (HG (га, &), in: HG(ra, /г)—> HG(ra+l, &)) сводится к вычислению гомотопических групп соответствующих классических групп.

Многообразия и пространства Грассмана рассматриваются совместно, -так что для п допускается и значение оо.

Если /г > О и 0 < г <п — к, то группа лг (6+ (га, &)) изоморфна лг_1(50(к)) и гомоморфизм включения лДО+^п, кф)- > лГ (G+ (п', к)) является изоморфизмом для всякого п' > п.

Первое получается из теорем 7.2, 7.5 и гомотопической последовательности расслоения (Г (га, Кф pr, G+(ra, кф опреде ленного в 4.6.1.4, с включением R^->R” в качестве отмеченной точки. Второе следует из коммутативности диаграммы

л, (G+ (га, /г)) лг_! (SO (/?))

-|in*|in*=fd

лг (G+ фГ, &)) лг_, (SO (й))

(см. 1.8.6).■

Группа лг(О(п, k)) с 0<к<п и г ^2 изоморфна лДО+^п, &)). Группа лфО^п, /г)) изоморфна Z, если п — 2, к — \, и' Z2, если Q < k < п и п^З."

Что n1(G(2, 1))^Z, следует из теоремы 2.2, поскольку многообразие G(2, 1) гомеоморфно S1. Остальное следует из теоремы 1.8.12, примененной к каноническому двулистному накрытию (G+(ra, к), pr, Оф, к.)).

Если 0<г<2п— 2/?+1, то группа лг(СС(га, /г)) изоморфна лГ_^и^к")1) и гомоморфизм включения лг(СС(п, k))—> лг (CG (п', к)) является изоморфизмом для всякого п' > п.

Доказательство повторяет с очевидными изменениями доказательство теоремы 2.

Если 0 < г < 4га — 4к 4- 3, то группа лг (HG (га, к^ изоморфна лг_] (Sp (/?)) и гомоморфизм включения лг(Н6(га, кф-» лг (HG (п', k)) является изоморфизмом для всякого п' > п.

Доказательство опять повторяет с очевидными изменениями доказательство теоремы 2..

Упражнения-

Пусть q — 2, 4, 8, и пусть pr: S2<?-1 -> S4 — отображение Хопфа. Показать, что при любом целом к

(k sph?) = ргДврЬг^-О = k2 pr, (sph2?-i).

Показать, что при любом натуральном п пространство RP" (га + 1)-просто.

Показать, что пространство GQi, k) с четным п и нечет ным к просто.

Показать, что пространство О(п, 2) не является 2-простым, если 3 ^п< оо.

Показать, что гомоморфизмы включения

лг (SO (3)) -> лг (SO (4)), лг (SO (7)) лг (SO (8)),лг (О (1)) -> лг (О (2)), лг (О (3)) -> л, (С/ (4)),л, (SpO))-^ (Sp (2))

являются мономорфизмами при любом целом г.

Показать, что гомоморфизм л2„_2й+1 (СУ (и, к^ -> щп-1к+\^У к2п, 2k— 1)), индуцированный отображением СУ (n, к) —> V (2/г, 2к — 1), которое относит реперу (uj, . . ., и^ пространства Сп репер (О], /У], . .., v6_b 1ик-ь yj пространства Сп, рассматриваемого как R2”, переводит образующую группы л2п-9£+1 (СУ (/г, /г)), указанную в 7.3, в образующую группы л2„_24+1(У (2/г, 2k — 1)), указанную в 7.2.

ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ КЛЕТОЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ

. 1. Гомотопические группыодномерного клеточного пространства

В этом пункте вычисляются гомотопические группы букета В = Vp.em(Sh = S‘, orti), построенного по произвольному семейству окружностей {SM = S*}|igM. Как обычно, отмеченной точкой Ьр служит центр букета.

Чтобы укоротить формулы, мы будем обозначать петлю, определяемую вложением imm^: S’->B, т. е. петлю imm^o/S: 1->В, через Мц, а ее гомотопический класс, т. е. imm^* (sphj), —- через с^. Петли вида (. . . ((У1У2)у3) . . . оп-^оп, где каждый из сомножителей щ, ..., vn есть одна из петель и^ или одна из обратных петель и~х и петлям и , ы”1 с одним и тем же ц не разрешается стоять рядом, называются стандартными. Случай п = 0 не исключается: считается, что в этом случае произведение представляет собой постоянную петлю с началом Ьр.

(Лемма). Существует накрытие ^В'-, р, В) с двумя свойствами: (i) пространство В~ стягиваемо-, (ii) пути, накрывающие стандартные петли и начинающиеся в некоторой точке х0 слоя Fo — р~1 (Ьр), ведут в попарно различные точки слоя Ро, и Fo исчерпывается концами этих путей.

Доказательство. Условимся обозначать, как обычно, через GF (М) свободную группу, порожденную множеством М, наделим Gp (М) дискретной топологией и составим букет А = Уцем(Дц = D1, 0) и произведение AXGF (М). Обозначим, далее, через f разбиение этого произведения на пары (imm|i(l), g),

(imm^—1), gp) с цеМ, g г GF (М) и точки, не входящие ни в одну из этих пар, и через р сквозное отображение

Очевидная проверка показывает, что это отображение постоянно на элементах разбиения (, и мы полагаем

В~ = [Л X GF (M)]/f, р = [fact р: В~ -> В], xti = рг (а0, е), где а0 —центр букета Л, е = ear (М), а рг = [рг: Л X GF(M) -> ВД. Ясно, что ЦЗ, Р, В^ есть накрытие, что Fo = рг («0 X GF (М)) и что xqgFq.

Стягиваемость пространства В' следует из леммы 2.3.3.4: условиям этой леммы удовлетворяют подпространства рг (Л X VGFn (М) \ GFn_x (М)]) пространства В\ где G/Д (М) — часть группы GF (М), составленная из слов длины ^и. Путь, накрывающий стандартную петлю (... (u^u^,) ...) щ? [еь..., е„ = ±1] и начинающийся в точке х0, ведет в точку pr(«0, g) с g = р^р®2 • • • Н^' Что концы таких путей попарно различны и исчерпывают Fo — очевидно.

Группы лг(В) с г>1 тривиальны, л^В, Ьр) есть свободная группа со свободными образующими imm^* (sphj.

Доказательство основано на лемме 2 и использует ее обозначения. Так как пространство В~ стягиваемо, то все его гомотопические группы тривиальны и, следовательно, группы лг(В) с r> 1 тривиальны, а отображение А: Л] (В, Ьр)->л0(В0, х0) обратимо (см. 1.8.12). Сопоставляя эту обратимость со свойством (ii) накрытия (В~, р, В), мы видим, что гомотопические классы стандартных петель попарно различны и исчерпывают группу Л! (В, Ьр), а это и значит, что Л[ (В, Ьр) есть свободная группа со свободными образующими 1тшц, (spilt).

Фундаментальная группа связного одномерного клеточного пространства свободна', его остальные гомотопические группы тривиальны.

Это следует из теоремы 3, поскольку связное одномерное клеточное пространство гомотопически эквивалентно букету окружностей (см. 2.3.3.6).

Эффект приклеивания шаров

Пусть X = Л ОфЕШцеМ (Вц = ВА+1)], где Л — связное топологическое пространство и <р— непрерывное отображение пространства ицем(Вц = ВА) в Л (ср. 2.3.2.1). Пусть, далее, х0 — точка в Л. В этом пункте указывается система образующих группы л^+ДХ, Л, х0) [й^1].

Заметим, что гомотопические группы лДХ, Л) с г^^ тривиальны (см. 2.3.2.1), а группы лг (X, Л) с г > к + 1 представляют собой уже значительно более трудный предмет: в простейшем, случае, когда Л —точка, а семейство ^В^ состоит из единственного шара, лг (X, Л) есть лг(5*+1).

В нижеследующей теореме 2 через (^ обозначается сквозное отображение -

и через Оц —элемент группы л6 + 1(Х, Л, ^(ort^), определяемый сфероидом f^: ^Пк+\ Sk, ortj—>(Х, Л, ^(оНО).

Пусть шц: I -> Л— какие-нибудь пути, соединяющие точки ^(ortj с хй. Если k^l, то группа лй+1(Х, Л, х0) порождается над Л[ (Л, Xq) классами Рц = Т^а^ [г. е. порождается в обычном смысле классами Т^Ру, смел, (Л, z0)].

Мы должны показать, что всякий элемент р группы л6+1(Х, Л, х0) допускает представление вида '

Р = П И^ (X)]*1 (Hi е М, со, е л, (Л, х^. (1)

В силу леммы 2.3.2.1, существуют такой сфероид ge Sph^CV, Л, х0) класса р и такие подобия аь . . ., ат шара Dk+1 на лежащие внутри него попарно не пересекающиеся шары dlt . . ., dm, что: точка шара dt с наибольшим значением первой координаты совпадает с at (огф); отрезок, соединяющий эту точку с ort[, лежит в С = Dk+X \ UT=i Int dp, сквозное отображение

совпадает с некоторым fu ; ^(С)с:Л. Очевидно, X, Л, х0, g и db ..., dm удовлетворяют условиям теоремы 1.11.1, если шары dx, ..., dm занумерованы надлежащим образом, так что в ее обозначениях у = nT=iTs. (yz). В нашем случае у — р, а У, =а^1; последнее равенство получается из того, что ag и уг определены как элементы группы лй+1(Х, A, ^(ortj)), представленные сфероидами /ц. и go т,, которые переводятся друг в друга взаимно обратными ортогональными преобразованиями од1 ° аЬт., (abTf)~‘off/ шара DfcJrl. Таким образом, р = nTLiTs. (а^.1), и, чтобы представить правую часть в виде (1), остается обозначить через u)i класс петли w~^st.

(Следствие). В условиях теоремы 2 гомоморфизм включения лг(Л, х0) —> лг (Z, х0\ является изоморфизмом'при г^/г — 1 и эпиморфизмом при r — k. Ядро этого эпиморфизма порождается над Л] (Л, хо) классами d0u = Tw^ ^да^ [т. е. классами приклеивающих сфероидов df^, перенесенными в точку х0].

Пусть )Х, Л) — клеточная пара с отмеченной точкой х^еА. Если пространство Л связно и содержит остов ske6X с к^\, то гомотопические группы яг(Х, Л) с г<.к тривиальны, а группа n*+I(X, Л, х0) порождается над л^Л, х0) как-либо перенесенными в точку х0 классами характеристических отображений, отвечающих (й + \умерным клеткам из Х\А (и рассматриваемых как сфероиды)-, гомоморфизм включения лг(Л, х0) —>пДХ, х0) является изоморфизмом при г ^Ак — 1 и эпиморфизмом при г = к; ядро последнего эпиморфизма порождается "над Л] (Л, х0) как-либо перенесенными в точку хй классами приклеивающих сфероидов, отвечающих (к + \)-мерным клеткам из Х\А.

Все это содержится в 1, 2, 3, если X \ А с зке6+1 X. Общий случай сводится к этому специальному случаю теоремой 2.3.2.4.

Фундаментальная группа клеточного пространства

В этом пункте мы указываем эффективную схему вычисления фундаментальной группы клеточного пространства с единственной нульмерной клеткой. Последнее условие не является существенным ограничением, поскольку в важнейших случаях оно выполняется и поскольку всякое связное клеточное пространство можно превратить несложной факторизацией в гомотопически эквивалентное пространство, для которого оно выполнено (см. п. 2.3.3). Распространение схемы на произвольные клеточные пространства не представляет труда, но усложняет формулировки.

Пусть X — клеточное пространство с единственной нульмерной клеткой х0. Поскольку она является единственной и для остова ske] X, последний клеточно гомеоморфен букету окружностей. Следовательно, л, (skej X, х0) есть свободная группа, порожденная гомотопическими классами характеристических петель, т. е. характеристических отображений, отвечающих одномерным клеткам (см 1.3).

Согласно 2.4, гомоморфизм in,: nI(ske1J, х0)-»л1(Л‘, х0) является эпиморфизмом и его ядро порождается над л, (sket X, х0) как-либо перенесенными в точку х0 гомотопическими классами приклеивающих отображений, отвечающих двумерным клеткам. Поскольку в нашем случае группа л, (ske] X, х0) действует как группа внутренних автоморфизмов, это значит, что Kerin, есть наименьшая нормальная подгруппа группы л^Х, х0), содержащая указанные гомотопические классы, а фундаментальная

группа л, (X, х0), которую мы ' хотим вычислить, канонически изоморфна факторгруппе группы Л] (skcj X, х0) по этой нормальной подгруппе.

Из сказанного следует, что для вычисления группы л, ^Х, х0) достаточно знать одномерный остов пространства X и приклеивающие отображения, отвечающие двумерным клеткам. По этим данным можно составить систему образующих и соотношений группы Л] ^Х, х0): каждой одномерной клетке отвечает* образующая, именно, класс соответствующей характеристической петли, и каждой двумерной клетке — соотношение, именно, равенство единице слова, которое представляет через образующие класс соответствующего приклеивающего отображения, перенесенный в точку х0. Совсем коротко можно сказать, что систему образующих группы л1 (X, х0) составляют одномерные клетки пространства X, а систему соотношений — двумерные клетки.

Заметим, что система соотношений (в отличие от системы образующих) является не вполне канонической: она зависит от выбора путей переноса, так что левые части соотношений определены лишь с точностью до сопряженности.

(Следствие). Фундаментальная группа конечного связного клеточного пространства может быть задана конечной системой образующих и соотношений.

Аддициониая теорема

Если А, В — подпространства топологического пространства X с включениями '

Л

Ад В X

В

и х0— точка, лежащая в АП В, то формула а * (5—*i* (a) i'(р) определяет гомоморфизм Hj (А, х0) * л( (В, х^ -> л, (X, х0) [* обозначает свободное перемножение] с ядром, содержащим все элементы вида /,(б) * Д (б-1) [бел^АПЗ, х0)]. Следовательно, она определяет и .гомоморфизм

[л^А, х0)*л1(5, x0)]/vk(X, А, В, х0)->л,(Х, ха\ (2)

где vk(X, А, В, х0)— наименьшая нормальная подгруппа группы л, (А, х0) * л, (S, х0), содержащая указанные элементы (она называется подгруппой ван Кампена). Гомоморфизм (2) является

§ з]

естественным в том смысле, что диаграмма

[л, (А, х0) * л, (В, x0)]/vk(X, А, В, х0) -> л, ^Х, х0)

[л^Л', ^^л^В', x')]/vk(X\ А', В', х^-э-л^Х', х'),порожденная непрерывным отображением четверки (X, А, В, х0)в аналогичную четверку (X', А', В', х'), всегда коммутативна.

Пусть (X, А, В) — клеточная триада (т. е. X — клеточное пространство, а А, В —его подпространства с А\}В = Х^ и х0 — точка, лежащая в D = А П В. Если А, В и D связны, то гомоморфизм (2) является изоморфизмом.

Доказательство. Предположим сначала, что х0 — единственная нульмерная клетка пространства X. Согласно 3, фундаментальная группа каждого из пространств X, А, В, D в точке х0 задается системой образующих, отвечающих одномерным клеткам, и соотношений, отвечающих двумерным клеткам, так что система образующих и соотношений группы Л] (X, х0) и система образующих и соотношений группы Л] ф, хф являются объединением и пересечением системы образующих и соотношений группы Л! (А, х0) с системой образующих и соотношений группы л, (В, х0), а гомоморфизмы /*, Д и i*, j* из 5 тождественны на образующих. Систему образующих и соотношений группы л, (А, х0) * л, (В, х0) также можно составить из систем образующих и соотношений групп Л[ (А, хф, лфВ, хф, только образующие, отвечающие клеткам из D, придется считать дважды. При таком выборе образующих и соотношений гомоморфизм Л! (А, хф * Л] (В, х0)->л1(Х, х0), определяемый формулой а*Р>—> i*(a)/*(P), тоже будет тождественным на образующих и его ядро будет порождаться отождествлениями образующих, отвечающих клеткам из D, что и завершает доказательство в рассматриваемом случае.

Общий случай сводится к этому специальному случаю переносом начала в пределах D из точки х0 в какую-нибудь нульмерную клетку е0 и заменой четверки (X, А, В, еф гомотопически эквивалентной ей четверкой (X', А', В', еф с A'U В'= Х' и с единственной нульмерной клеткой еф Замену можно осуществить факторизацией пространства X в два приема: сначала X факторизуется по стягиваемому одномерному подпространству пространства D, содержащему все нульмерные клетки пространства.-В (см. 2.3.3.5 и 1.3.7.7 и ср. 2.3.3.6), а затем полученное факторпространство факторизуется по объединению (букету) таких же одномерных ‘подпространств профакторизо- ванных пространств А, В.

(Следствие). Если А, В — клеточные пространства с отмеченными нульмерными клетками а, Ь, то л, ((Д, а) V (В, 6), Ьр)

Л! (Д, а) * л1 (S, 5).

Гомотопические группы компактных поверхностей

Напомним, что сфера с ручками или пленками и хотя бы одной дырой гомотопически эквивалентна букету окружностей, причем число окружностей равно 2g + / — 1 в случае g ручек и / дыр и h +1 — 1 в случае h пленок и / дыр (см. 3.5.3.9). Следовательно, фундаментальная группа такой поверхности свободна, причем число образующих равно, соответственно, 2g+ /^-1 и h-V I — 1, а старшие гомотопические группы тривиальны; см. 1.3.

Ниже мы занимаемся гомотопическими группами замкнутых поверхностей, т. е. сфер с ручками или пленками без дыр. Сначала мы вычисляем фундаментальные группы (пользуясь клеточными разбиениями, указанными в п. 3.5.3, и теоремой 3.3), а затем справляемся (при помощи несложного приема) со старшими гомотопическими группами, исключив из рассмотрения сферу и проективную плоскость. Гомотопические группы двух последних поверхностей рассматривались в предыдущем параграфе (см. 2.2.7, 2.2.10, 2.4.3 и 2.5.1), и нам нечего добавить к сказанному там.'

Фундаментальные группызамкнутых поверхностей

Клеточное разбиение сферы с g ручками, построенное в 3.5.3.8, содержит одну нульмерную клетку е0, 2g одномерных клеток аь 6Ь ..., ag, bg и одну двумерную клетку, причем приклеивающее отображение, отвечающее последней, переводит ort] как раз в е0. Гомотопический класс этого отображения (рассматриваемого как петля) представляется через образующие аь рь ..., ag, Pg фундаментальной группы одномерного остова поверхности, отвечающие клеткам аь 5Ь ..., ag, bg, словом

Таким образом, фундаментальная группа поверхности в точке е0 может быть описана как группа с образующими аь Ьх, ..., ag, bg и соотношением

Клеточное разбиение сферы с h пленками, построенное в 3.5.3.8, содержит одну нульмерную клетку е0, h одномерных

клеток сь ..., ch и одну двумерную клетку. Повторяя с очевидными изменениями предыдущее рассуждение, мы видим, что фундаментальная группа поверхности в точке е0 может быть описана как группа с образующими сц .... сд и соотношением

ОО ... ОО = 1.

Важно заметить, что группы, вычисленные в 2, попарно не изоморфны. (Для доказательства достаточно прокоммутиро- вать их: коммутирование превращает фундаментальную группу сферы с g ручками в свободную абелеву группу ранга 2g, а фундаментальную группу сферы с h, пленками — в прямую сумму свободной абелевой группы ранга h,— 1 и группы порядка 2.) В частности, замкнутые модельные поверхности попарно не гомеоморфны.

Из этого нетрудно вывести, что и все компактные модельные поверхности попарно не гомеоморфны: достаточно заклеить дыры кругами. Что число дыр топологически инвариантно, следует из его совпадения с числом компонент края (см. 3.1.1.4 и 4.6.5.12).

Старшие гомотопические группы

Пусть Р — сфера с g ручками. Если g^l и г X 2, то лг (Д) = 0.

Доказательство. Поверхность Р очевидным образом накрывается бесконечной гирляндой Р", получающейся из произведения S’XR после удаления открытых кружков с центрами

Рис. 15 (^ = 3).

(ortt, 2&) [й = 0, ±1, .;.] и приклеивания вместо каждого из них сферы с g — 1 ручками и одной дырой (см. рис. 15). Обозначим через Рп конечную гирлянду, получающуюся таким же способом из произведения S’X[—2и—1, 2/г+1]. Очевидно, Рп есть сфера с (2n+l)(g—1) ручками и двумя дырами, так что лДРп) = 0 при г ^2(см. 1). Так как P2=lim(P2, in: Рп—>Ра+i),

то и лг (В') = 0 при г ^ 2 (см. 1.11.2). Следовательно, и лг (В) = О при г^2 (см. 1.8.12).

Пусть Р— сфера с h пленками. Если h ^2 и г ^2. то

лДР) = 0.*

Это следует из 4, поскольку Р накрывается сферой с h — 1 ручками (см. 4.1.2.6).’.

Гомотопические группы букетов

. Мы предполагаем заданным семейство {(А^, х^)} м Т^простр-анств с отмеченной точкой. Рассмотрим букет ^V^^X», хД. Ясно, что фор'мула 1тт({а,Д|С^ 2^е м ™mSw (%) определяет при г ^2 гомоморфизм 1mm: ©geM^^g’ хД-^ДВ, Ьр), естественный в том смысле, что если В' — V^r еМ, (Х^,, х',) — другой букет Tj-пространств, а: М' —»М — произвольное отображение и Д,: (АД, х^,) -» (^а(ц')’ ха (и')) ~ непрерывные отображения, то диаграмма

ДЕм-лг(Д ^)ЬР)

II(3)

© g е МЛг О лг (В- ЬР)>

в которой левая вертикальная стрелка обозначает гомоморфизм

.х gz s a (g)е м

а правая вертикальная стрелка — гомоморфизм, индуцированный отображением В'-* В, которое определяется формулой ^gM']- коммутативна.

(Лемма). Для любого аелДВ, bp) [г^1] существует такое конечное множество М'с: М, что-. рг1Д(а) = 0, если цеМХАГ; а принадлежит образу гомоморфизма яДВ', Ьр)-> лг (В, Ьр), индуцированного естественным вложением букета В' = VueM-^g’ xg) 8 В‘-

Для доказательства достаточно заметить, что у всякого сфероида фе5рНг(В, Ьр) множество ф(/г) покрывается конечным числом множеств imm^A^). [Последнее вытекает из компактности множества ф(7г) и замкнутости одноточечных множеств в пространствах АГЦ: если взять в каждом непустом пересечении ф (Г) П imm^ (Хц \ х^) по точке, то получится множество, которое одновременно дискретно и компактно и потому конечно.]

Определим при г ^2 отображение Рг: лг(В, Ьр)-* ©^м^С^ -У формулой Рг (а) = {рг^(а)}^еМ (корректность этого определения следует из 2). Ясно, что Рг — гомоморфизм и что диаграмма (3) остается коммутативной после замены стре- 1mmРг

лок —стрелками —. Если множество М конечно, то, очевидно, Рг совпадает с композицией гомоморфизма лг(В, Ьр)-> яг(Хцем^' {©})- индуцированного включением В-^ХиеМХц (см. 1.2.8.3), и канонического изоморфизма ^(ХцеМ^- Ы)- ©^M^m ^) tCM- ^^Ь

Композиция Рг ° 1mm совпадает с тождественным автоморфизмом группы ©^ Е млг (Х^, х ). В частности, Рг есть эпиморфизм ,1mm—мономорфизм и иДВ, bp)=KerPr©Im Imm.

Доказательство. Так как pr^oimm^ — id Х^ и prv° imm^A^) = xv при v ^= ц, то для любых о^елДАц, х^) Prolmmfla^}м) = РгГ X imm^ (ац) I =

( Ц (prv ° imm^Ja^) 1 ={av}veM.

(. ц М' v е М

Пусть пары (Хц, хц) клеточны, и пусть m и k^ (р. е М) — такие натуральные числа, что ку.-У кД>пг при v © ц и для каждого ц

л5 (Хц, х^) = 0 при 1 © s ^ ку

Если 2 ^ г ^ т, то гомоморфизмы

1mm: ©^ем л,(^, xj лг (S, bp),Рг: яДВ, Ьр)-> ©иеМлг(Хц, xjявляются изоморфизмами.

Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда М конечно. В силу теоремы 2.3.3.2 и естественности гомоморфизма Imm (см. 1), можно считать, что остовы ske& Хц сводятся к точкам хц, и ясно, что в этом случае В содержит остов skem+1X клеточного произведения X пространств Х^. В силу теоремы 2.3.2.2 из этого следует, что in*: лг(В, Ьр)->лДХ, Ьр) есть изоморфизм при r^m, а согласно 1.1.9, композиция in* ° Imm: ©ц е м лл (Х^, х ) -* лг (X, Ьр) является изоморфизмом при любом г. Следовательно, Imm есть изоморфизм, если r^m.

В общем случае, в силу 2, для любого аелДВ, bp) с r^m существует такой конечный подбукет В'= V^ е М/ (Х^, х^) букета В, что а принадлежит образу гомоморфизма лг(В', Ьр)^-

лг(В, Ьр), индуцированного естественным вложением В'->В. Согласно 1, этот гомоморфизм включается в соответствующую коммутативную диаграмму

© лг (А х^> лг (В , Ьр)

ц е М'

© лг (X х ) -^ лг (В, Ьр), цеМ

и так как верхний гомоморфизм Imm, в силу уже доказанного, является изоморфизмом, то а принадлежит и образу нашего (нижнего) гомоморфизма Imm. Таким образом, последний является эпиморфизмом, что в соединении с теоремой 4 показывает, что наши Imm и Рг — изоморфизмы. .

6 (Следствие). Пусть В — букет п-мерных сфер, построенный по семейству {(Sil = Sn, ort^^^y. Если n^S, то группы лг(В) с г < п тривиальны, а л„ (В, Ьр) есть свободная абелева группа со свободными образующими imm^ (sph„).

Гомотопические группы ^-связной клеточной пары

(Алгебраическая лемма). Если в коммутативной диаграмме

составленной из групп и гомоморфизмов, а, р, у — эпиморфизмы и Кег р с а (Кет у), то б — эпиморфизм и Кегр = а(Кег у), Кегб = у (Кег а).

Доказательство. Эпиморфность б следует из эпиморф- ности а и р и коммутативности диаграммы, и из той же коммутативности следуют включения а (Кег у) с Кег р, у (Кег а) с: Кег б. Докажем включение Кег б с: у (Кег а). Пусть d е Кег б. Если d = y(a), то (опять-таки в силу коммутативности диаграммы) а(и)еКегр и, следовательно, а (а) е а (Кег у), так что существует с е Кег у с а(с) = а(а). Последнее равенство показывает, что ас~‘ е Кег а и, таким образом, d = у (а) = у (ас-1) е у (Кег а). ■ ’

Пусть (А, А) — клеточная пара с отмеченной точкой х0 е А. Если А связно и лг(А, А) = 0 при r<-k, то рг*: л6+1(А, А, х^—* ^Ч^Л^А, рг(хо)) есть эпиморфизм и при k">\ ядро Кегрг, есть наименьшая подгруппа группы nk+i(X, А, х0), содержащая все

частные (Тоа)а~’ с ае ni,+i№, Д, z0), а е ^ (Л, х0). При ^ = 0 ситуация описывается коммутативной диаграммой

л^Л,ж0)^(Xж0) -ге-*-> ^ (XЛ,ж0)

X\absprx рг* (4)

^(Х/А, рг(ж0)),

в которой abs рг, и rel,— также эпиморфизмы и j\er(abspr,) есть наименьшая нормальная подгруппа группы nj (X, х0), содержащая Ker rel, = Im in,.

Доказательство для случая к^\. Предположим, сначала, что X \ А состоит из одних (k + 1)-мерных клеток, так что XJA — букет (к + 1)-мерных сфер. Перенесем для каждой клетки е cz X \ А гомотопический класс отвечающего ей характеристического отображения, рассматриваемого как сфероид пары (X, Л), в точку х0, обозначим полученный элемент группы л6+1 (X, А, х0) через ае и положим Ре = рг, (ае). Согласно теореме 2.4, классы Т^е с аел^А,*»)- составляют систему образующих группы л4+1(Х, А, х0), а согласно теореме 5.6, классы ре составляют систему независимых образующих абелевой группы nk+v^X/A, рг(х0)). Кроме того, очевидно, рг, (^а) = рг,(а) для любых а е л4+] (X, А, х0), сел, (А, х0), и этих данных достаточно, чтобы довести в рассматриваемой ситуации доказательство до конца. Эпиморфность рг, следует- из того, что классы Ре = рг, (ае) порождают группу л6+1(Х/Л, рг(х0)). Включение (Г^а-1 е Кег рг, следует из равенства рг,(7'аа) = рг, (а). Покажем, что частные (Г^а-1 порождают Кегрг,. Если к> 1 и класс Е, = П(е, а) (Т^а^ to- ^ (с целыми Х(е, о), отличными от нуля лишь в конечном числе) принадлежит Кегрг,, то 5^(6, ст) = 0 для каждой клетки е (так как Хе[ХЛ(е, о)]Ре = рг, (а) = 0), и, следовательно, ^ = П(е, 0) [(^«е) аГ‘Т <е’"^ При к=\ это рассуждение проходит только после коммутирования группы л6+1 (X, А, х0) и доказывает лишь, что всякий элемент ядра Кегрг, получается из произведения предыдущего вида умножением на несколько коммутаторов; но поскольку в л2(Х, Л, х0) коммутатор у-16у6~' представляется как (7^6) б-1 (см. 1.4.7), мы опять получаем для g требуемое разложение по частным (Г„а)а-1. /

В общей ситуации мы можем сделать пару (X, Л) ^-связной, отбросив компоненты пространства X, не содержащие х0 (см. 1.4.6), и затем заменить ее гомотопически эквивалентной ей парой ^Х', А') с ske^. X' cz А! (см. 2.3.3.1); таким образом, можно считать, что ske^X cz Л. Положим У = Лизке^Х и рассмотрим

диаграмму•

л^+1 (К, А, х^ ль+1 (А, А, х0)

Л&+1 №, рг (х0)) —^ л6+1 (Х/А, pr (М).

Она коммутативна, и I, V, р'— эпиморфизмы: эпиморфность I следует из включения зке6+1Ас:У, эпиморфность V — из включения skeft+1 (АМ) с УМ> эпиморфность р' — из уже доказанной части теоремы. Покажем, что эта диаграмма удовлетворяет и последнему условию леммы 1: Ker i' с р' (Ker i).

Каждая клетка размерности k + 2 из (А/Д)\(У/А) является образом некоторой клетки е из А\У при отображении рг, а отвечающее ей приклеивающее отображение представляется как рг ° <р, где <р — приклеивающее отображение, отвечающее е. В силу теоремы 2.4, из этого следует, что Ker I' с pr* (Ker in*), где in, = [in,: лА+1 (У, х0)лА+1 (A, Ml и рг* = [ргж: лА+1(У, х0)-> л4+1 (У/A pr (x0))j. А так как диаграмма

Л к+1 (У, х^ -^* л h+! (А, х^|rel.|геЦ

Лд+1 (У, А, х0) -^> лА'+1 (А, А, х0) коммутативна и рг* = р' ° [rel: л6+1 (У, х0) -> л6+1 (У, А, х0)], то pr* (Kerin*) ср' (Kerz), и, значит, Кег /' с р' (Ker i\ _

Применяя лемму 1, мы видим, что р —эпиморфизм и Кегр = г (Ker p'Y а согласно уже доказанной части теоремы, Кег р' порождается частными (Ма) а-1 с а е л6+1(К, А, х0), а е nt (Л, х0). Поскольку z ((Ма) а-1) = [Га (Z (а))] (z (а))-1 и z — эпиморфизм, из этого следует, что Кегр порождается частными 1Таа)а.-1 саЕ л6+1 (А, А, х0), аел, (Л, х0).

Доказательство для случая ^ = 0. Коммутативность диаграммы (4) очевидна, эпиморфность rel* следует из связности А, и нужно лишь установить, что abspr* — эпиморфизм с указанным ядром. Если х0 — единственная нульмерная клетка пространства А, то это следует из 3.3, так как указанную там систему образующих и соотношений группы Л) (А/Л, рг (х0)) можно получить из указанной там же системы образующих и соотношений группы Л] (А, х0) вычеркиванием одномерных и двумерных клеток пространства А. Общий случай сводится к этому специальному случаю переносом начала (в пределах Л) в какую-нибудь нульмерную клетку е0 и заменой тройки (А, А, е0) гомотопически эквивалентной ей тройкой (А', А', бо) с единственной нульмерной клеткой 6q. Замену можно осуществить

§ 3}

факторизацией пространства X в два приема: сначала X факторизуется по стягиваемому одномерному подпространству пространства А, содержащему все нульмерные клетки пространства А, затем полученное факторпространство факторизуется по своему стягиваемому одномерному подпространству, содержащему все нульмерные клетки (ср. доказательство теоремы 3.6).

Факторпространство клеточного пространства X по его односвязному подпространству А в том и только том случае k-связно (О^/г^со), если h-связна пара (X, Д). Если это условие выполнено при некотором к < оо, то гомоморфизм рг*: л6+1(Х, А, х0) -> л6+1 {XI А, рг (х0)) является изоморфизмом.

Вторая часть этой теоремы — очевидное следствие теорем 2 и 1.4.6. Первая часть выводится из второй индукцией по к. Заметим, что для вывода fe-связности пространства Х[А из fe-связности пары (X, Д) достаточно уже теорем 2.3.3.1 и 2.3.2.2.

Если клеточное пространство X с отмеченной нульмерной клеткой х0 k-связно, то гомоморфизм su: л^+ДХ, х0)-* ЛА+г(8и(Л', х0), Ьр) является изоморфизмом.

Это следует из 3 (см. 2.1.2).

Пространство с заданными гомотопическими группами

(Лемма). Пусть л — группа и п — натуральное число. Если группа л абелева или гГ=1, то существует связное клеточное пространство X, у которого группы иДХ{ с г =^ п тривиальны, а л„ (X) л.

Доказательство. Мы построим индуктивно такие связные клеточные пространства Хо, Хь ... с отмеченными точками х0, хь. . . и такие клеточные вложения ф0: ХО-*ХЬ фр Х\ -* Х2, ..., переводящие отмеченные точки в отмеченные точки, что: (1) группы лг {Х^, х6) с г < » и с м <r^/i + & тривиальны; (11) группа лп{Хь xk) изоморфна л; (ill) фь: ^{Х^, х4) -* л„ {Xfe+1, Ад+i) есть изоморфизм. Пространство X = 11m {Х^, фД будет тогда требуемым (см. 2.1.5.6 и 1.11.2).

Чтобы построить Хо и х0, представим л как факторгруппу FjE', где F — свободная группа, если п = 1, и свободная абелева группа, если п>1. Пусть В, В' — букеты п-мерных сфер с щЛВ, bp) = F, л„(В', bp) = F' (см. 1.3 и 5.6) и f: (S', bp)-* (S, bp) —такое непрерывное отображение, что /*: л„(В', bp)-* л„(В, bp) совпадает с включением F' -* F (такое отображение можно составить из сфероидов, представляющих вл„(В, bp) —F какие-нибудь свободные образующие группы F'^ Заменим в В' каждую сферу ограничиваемым ею шаром и примем за Хо результат приклеивания полученного букета шаров к В посредством f. Из теорем 1.3, 5.6 и 2.3 следует, что Хо и х0 = imm.! (bp) [= imm2 (bp)] удовлетворяют условиям (1), (11) с k = 0.

Пусть при некотором Z ^ 1 Хи и хк с к < i и ф^ с к < i — 1 уже построены, причем Хи и хк удовлетворяют условиям (i), (ii), a q>u удовлетворяет условию (iii). Представим л^ДХ,-!, как факторгруппу свободной абелевой группы, скажем, G, и построим такой букет (п + /)-мерных сфер, скажем, С, и такое непрерывное отображение g: (С, bp)-*(Xz_[, х^-^, что гомоморфизм g*: л^+ДС, Ьр)-> л„+/(XZ_I; х(-^ совпадает с проекцией б->л„+г(^-ь xz-]). [Существование таких С и g устанавливается так же, как выше было установлено существование В' и f, только ссылка на теорему 1.3 здесь не нужна.] Заменим, далее, в С каждую сферу ограничиваемым ею шаром и определим Xt как результат приклеивания полученного букета шаров к С посредством g. Положим, наконец, xt = imm2(xz+i) и Фг—i = imm2. Что Х{ и Xi удовлетворяют условиям (i), (ii) с k — i, а ф(-1 удовлетворяет условию (iii) с к = 1— 1, следует из 2.3.

. Каковы бы ни были группа л, и абелевы группы л2, л3, ..., существует связное клеточное пространство X с дг (X) ^ лг (г = 1,2, ...).

Доказательство. Пусть Ху, Х2, ... — такие связные клеточные пространства с отмеченными нульмерными клетками Xi, х2, ..., что группы лДХД с г ^= к тривиальны и лДХ^ е<лк (см. 1). Определим индуктивно клеточные пространства Уо, Гь • ■• формулами ¥й = Г)0, ¥и*\ = ¥к Хс^/г+t и клеточные вложения ф4: У&-*Уй+1 формулой ф6 (у) = (у, xk+\Y Из теорем 1.1.9 и 1.11.2 следует, что пространство X = lim(Уй, фд) обладает требуемыми-свойствами..

Восемь поучительных примеров

При г>1 r-мерная гомотопическая группа связного конечного клеточного пространства может не быть конечно порожденной (ср. 3.4). Простой пример доставляет букет (Sr, ortj V (S', ort]), r-мерная гомотопическая группа которого при г > 1 является свободной абелевой группой бесконечного ранга. Последнее видно из того, что (Sr, ort]) V (S', ortj) накрывается пространством, гомотопически эквивалентным бесконечному букету r-мерных сфер, именно, прямой, к которой в каждой целой точке прикреплен одной точкой экземпляр сферы S'".

Информация. Гомотопические группы конечного клеточного пространства с конечной фундаментальной группой конечно порождены. Доказательство имеется в [19].

В условиях теоремы 1.6.6 подгруппа Ker rel* = Im in* группы л1 (X, х0) может не быть нормальной (ср. 1.5.14). Пример: X — букет двух окружностей, А — первая окружность, х0 — центр букета, р переводит вторую окружность в х0.

В условиях теоремы 1.6.7 правое расщепление гомотопической последовательности пары (X, Л) в члене л| (X, х0) может не быть нормальным (ср. 1.5.17). Пример: Х=ф2, ort,) V(S‘, ort]), Л=(51, ort,) V (S1, ort!), x0 —центр обоих букетов, h=[imm2: S'—> X] ° [pr2: X-*$'].

При любом k ^0 существуют /г-связные пары (X, Л) со связным Л, не являющиеся (/г + 1)-простыми; более того, в условиях теоремы 6.2 при любом й^О эпиморфизм рг/. Л4+1 (X, Л, х0)~* л«>+! (Х/Л, рг(х0)) может не быть изоморфизмом. Пример: X = (Sft+I, ort)) V (S1, orti), Л = imm2(Sl)[cp. 1 и 3].

Двумерная гомотопическая группа пары (X, Л) со связным Л может не быть коммутативной даже в случае, когда группа Л! (Л) коммутативна, а пространство X односвязно. Простейший пример: Л = S’X S1, х0 = (ort!, ort!), X получается из Л приклеиванием двух экземпляров диска D2 посредством отображений S1—>Л, определенных формулами у—>(у, orti),y^> (ort!, у). Здесь Л] (Л) = Z® Z, л2(Л) = О, Я] (X) = 0, л2 (X) ^ Z (X гомотопически эквивалентно сфере S2), так что возникает точная последовательность

0-^г^л2(Х, Л, х0)—-* Z©Z-^-0, • (5)

из которой, в частности, видно, что д — эпиморфизм. Если бы группа л2(Х, Л, х0) была коммутативной, то, в силу 1.4.7, группа Л! (Л, х0) действовала бы в ней тождественно, а тогда из теоремы 2.2 следовало бы неравенство rank л2 (X, Л, х0)^2, противоречащее точности последовательности (5).

Гомоморфизм рг,: л3 (X, Л, х0)-* л3 (Х/Л, рг (х0)) может не быть для простой 1-связной пары (X, Л) уже и эпиморфизмом. Пример: X — Д2, Л = S‘, x0 = ort]. Здесь лг(Х, Л) = 0 при г ^ 2, a n3(XM)^Z (пространство Х/Л гомеоморфно S2).

При любом fe^2 существуют (& — 1)-связные, но не /г-связные клеточные пары (Х,Л) со связными X, Л и стягиваемым факторпространством Х/Л. Чтобы указать пример, обозначим через о и а элементы групп л, ((S1, ort,) V (S\ orti), bp), л6((5‘, ort!)V(S\ orti), bp), определяемые сфероидами immf. S1 -* (S’, ort!) V kSk, ort!), imm2: Sk ^(S1, ort]) V (S\ ort!), и приклеим к (S1, ort,) V (Sft, ortf) шар Dfe+1 посредством какого-нибудь сфероида Sk ->(8*, ort!) V (Sk, orti) класса 2a — Taa. Получившееся клеточное пространство и есть X, Л же определяется как окружность skeiX. Факторпространство Х/Л может быть описано как результат приклеивания шара Dk+t к Sk посредством отображения Sk->Sk, гомотопного тождественному, из чего и следует, что оно стягиваема (см. 1.3.7.8). Поскольку связность пространств X, Л и (/г — 1)-связность пары (X, Л) очеви-

дны, нужно лишь установить нетривиальность группы л6 (Jf). Согласно 1, л^ЦЗ1, ort]) V (S&, ortO, bp) есть свободная абелева группа со свободными образующими а№ = 7"а (n = 0, ± 1,...), а лд^) получается из л^ ((S1, огф) V (8к, огф), bp) факторизацией по подгруппе, порожденной элементами 2а„ — а«+1 (см. 6.2). Следовательно, группа лк(Х) изоморфна аддитивной группе двоично рациональных чисел.

Гомоморфизм /*: л^Х, А, Хд^л^Х', А', х'), индуцированный отображением f; (X, А, х0)-> (X', А', х'^, может не быть изоморфизмом даже в случае, когда все гомоморфизмы f,: лг(Х, х0)->л,.(Л', х„) и все гомоморфизмы (abf),: лг(Д, х0)-> лг(А', х') являются изоморфизмами. Пример: X=X/=(S1, ortt) V (/, 0), ^ = imm1(ort2)Uimm2(l), А' = imm, (S1) U imm2(l), x0 = Xq= imm2(l), f = relidX.

Упражнения

(Описанные диффеоморфны(Описанные диффеоморфныпересеченияокружности,пересеченияокружности,Рассмотрим часть пространства С2, определяемую уравнением хр = х^, где р, <? — взаимно простые целые числа, и пересечем ее со сферой S3. Показать, что фундаментальная группа дополнения этого пересечения в S3 изоморфна группе с образующими И], а2, которые связаны соотношением а? = а2.

(Описанные диффеоморфны

(Описанные диффеоморфны

пересеченияокружности,

пересеченияокружности,

лежат на содержащемся в S3 торе | X) | = V2/2, | х21 = д/2/2 и называются торическими уз ами. На рис. 16 торический узел и несущий его тор представлены лежащими в R3 = S3\bp.)

Рассмотрим подмногообразие многообразия СР2, определяемое уравнением х? + х™ + хТ = 0 с натуральным m (ср. 3.5.4.2). Показать, что фундаментальная группа дополнения этого подмногообразия изоморфна Zm.

Рассмотрим подмногообразие многообразия касательных векторов сферы с g ручками, составленное из ненулевых векторов. Показать, что фундаментальная группа этого подмногообразия изоморфна группе с образующими пь ..., ag, b,, .... bg, d, которые связаны соотношениями

а.Ь^г^г1.. .a b a'xb~x = d2^1111 g g g g’

axd = dav, ...,agd = dag, bvd = dbb..., bed = dbg.

§4] '

Рассмотрим подмногообразие многообразия касательных векторов сферы с h пленками, составленное из ненулевых векторов. Показать, что фундаментальная группа этого подмногообразия изоморфна группе с образующими сь ..., ch, d, которые связаны соотношениями

схсх .. .chch = d2-h,c,d — d~iclchd = d~ich.

Показать, что для всякой группы л, которая может быть задана конечным числом образующих и соотношений, существует гладкое замкнутое четырехмерное многообразие с фундаментальной группой, изоморфной л..

Показать, что всякое замкнутое гладкое ориентируемое многообразие ориентируемо кобордантно односвязному. '

Показать, что группа л2 (X, А, х0,) из примера 8.5 изоморфна группе с образующими а, Ь, с, которые связаны соотношениями ас = са, bc = cb, аЬа~}Ь~х = с.

§4. СЛАБАЯ ГОМОТОПИЧЕСКАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ

Основные понятия

Непрерывное отображение f топологического пространства X в топологическое пространство У называется слабой гомотопической эквивалентностью, если гомоморфизм /„: nr(%, х)—> лг(У, f (х)) является изоморфизмом при любых г^О и х е X. Это название оправдывается двумя фактами: гомотопическая эквивалентность всегда является слабой гомотопической эквивалентностью; обратное неверно. Первый факт был установлен в 1.3.7, по доводу второго см. 3.5.

Очевидно, композиция двух слабых гомотопических эквивалентностей есть слабая гомотопическая эквивалентность.

Если f: X->Y — слабая гомотопическая эквивалентность, то для любой клеточной пары (К, L) и любых непрерывных отображений ф: К—*Y, ф: L—>Х с /°ф = ф|£ существует такое непрерывное отображение х: К->Х, что х|д = 'Ф и композиция f ° х L-гомотопна ф. Верно и обратное; более того: если f: X—> У — непрерывное отображение и для любых непрерывных отображений ф: Dr->Y, ф:>X(r^0) с f оф = ф|5Г_1 существует

такое непрерывное отображение х: Dr-*X, что xl^r—1 = Ф “ композиция f°% Sr-V-гомотопна ф, то t есть слабая гомотопическая эквивалентность.

Чтобы доказать первую часть, рассмотрим цилиндр Cylf (см. 1.2.6.10). В силу теоремы 2.3.1.3 существует гомотопия Ф: KXI ->Cylf сквозного отображения К—-> У -^> Cyl/, такая,

что Ф (2, /) = imm] (ф(2), 1 — /) при ге/, и любом tel. Так как rtf ° [in: X—>Cylf] = f и f — слабая гомотопическая эквивалентность, a rtf— гомотопическая эквивалентность, то in — слабая гомотопическая эквивалентность, и, значит, in,: лг(Х,х) -> лг (Cyl f, х) — изоморфизм при любых г > 0. и хеХ. Следовательно, пара (Cyl X, X) 00-связна (см.1.6.5), и так как Ф(L XI) с X, то существует L-гомотопия Чг: XX/~*Cylf такая, что XF(х, 0) = Ф(х, 1) при любом хе К и что T^XD еХ (см.2.3.1.6). Определим отображение %: К-*Х, положив %(х) = ¥(х, 1). Ясно, что х|д = ф и что произведение гомотопий rt f ° Ф и rtfoV является Z-гомотопией, связывающей f°x с ф.

Доказательство второй части состоит из доказательства эпиморфности и доказательства мономорфности отображения f,: лг (X, х) -* лг (У, f(x)) при любых хеХ и г^О. Доказательство эпиморфности: положим ф(Sr-1) = х и возьмем в качестве Ф какой-нибудь сфероид (Z> . S^1)—>(У, f (х)) произвольно заданного класса р из лг (У, f (х)); возникающий сфероид %: (2У, Sr~I)-»-(X, х) определяет некоторый класс аелг(Х,х), и ясно, что f, (а) = р. Доказательство мономорфности: пусть а е лг (X, х) и f*(ct) = O; возьмем в качестве ф какой-нибудь сфероид класса а, а в качестве ф какое-нибудь отображение шара Dr+l в У с фlsr = f °Ф; возникающее отображение %: Dr+X-*X продолжает ф, и потому а = 0.

Если f: X->Y— слабая гомотопическая эквивалентность, то для всякого клеточного пространства М отображение n(id,f): л (М, X) -> л (Л1, У) обратимо. "

Доказательство. Что для всякого рел(ЛДУ) существует а е л (/И, X) с [л (id, f)] (а) = Р, следует из первой части теоремы 2: достаточно положить К = М, Е=0 и принять за ф любое отображение класса р. Из той же первой части теоремы 2 следует, что для любых непрерывных отображений ф0, фр М -^ X гомотопность композиций f ° Фо, f0 Ф1 влечет за собой гомотопность самих Фо, фр’ в качестве К и L нужно взять М X I и (ТИХ0) U (ТИХ 1), в качестве ф —отображение (MX0) U (М X 1)-> X, определенное формулами (х, 0)>^фа(х), (х, ^ь^фДх), а в качестве ф —гомотопию MXI^-Y, соединяющую foФ0 с /°фр

Случай клеточных пространств ■

' 4. Если пространства X, У клеточны, то всякая слабая гомотопическая эквивалентность X-^Y является гомотопической эквивалентностью. .

Доказательство. Пусть f: X->У—слабая гомотопическая эквивалентность. Согласно 3, отображение n (id,f): л (У, Х^ л(У, У) обратимо, и, следовательно, существует непрерывное

отображение g: ¥-*Х, класс которого переводится отображением л (id, f) в класс отображения id. Последнее означает, что композиция fog гомотопна id У, и остается показать, что композиция gof гомотопна id А. А это следует, из обратимости отображения n(id,/): л(А, X) -* л(Х, У), поскольку это отображение переводит (в силу гомотопности отображений f°g°f и /) классы отображений gof и id X в один и тот же класс.

Теорема 4 утверждает, что связные клеточные пространства X, У гомотопически эквивалентны, если существует непрерывное отображение Х->¥, индуцирующее изоморфизмы гомотопических групп, но отнюдь не утверждает, что они гомотопически эквивалентны, если их гомотопические группы просто изоморфны. Как показывают несложные примеры, это и неверно. Положим X = SPXRPQ, ¥ = 8РХКРР, и пусть 1 < р < q. В силу 2.5.1 и 1.1.9, лг(А) = лг(У) при любом г; покажем, что X и У гомотопически не эквивалентны. Очевидно, отображение prp Sp X R/’^-^S" индуцирует изомор.физм группы лД8РХ RP4) на л,Д8г'У, мы покажем, что не существует непрерывного отображения f: 8Ч XRPP8Р, индуцирующего изоморфизм группы лДЗ"7 XRH на лр(8р). Если бы такое f существовало, то сквозное отображение

8Р RPp * ,orl" f 8Ч X RPP -^ Sp (1) индуцировало бы автоморфизм группы лр(8р); между тем (в силу 2.3.2.4) всякое непрерывное отображение RPP —>8Р гомотопно отображению, переводящему RP0-1 в огф, вследствие чего отображение (1) гомотопно композиции сквозной проекции Sp —> RPP -* KX/RR”-' = Sp с некоторым непрерывным отображением 8Р->8Р и не может иметь степень + 1, поскольку указанная сквозная проекция имеет степень 0 при четном р и степень 2 при нечетном р. - ’

Следующий пример демонстрирует тот же феномен в односвязной ситуации. Положим А = S3 X СР”, У = 82. В силу 2.2.10, 2.5.2 и 1.1.9, лг(А) = лг(У) при любом г; между тем эти пространства гомотопически не эквивалентны, поскольку отображение ргр S3 X СР” -*S3 не гомотопно постоянному отсбра- жению (оно индуцирует изоморфизм группы л3 (^Х СР”) = Z в n3(S3) = Z), а всякое непрерывное отображение S2->S3 гомотопно постоянному отображению.

Топологическое пространство называется гомотопически полноценным, если оно гомотопически эквивалентно клеточному пространству. Из теоремы 4 следует, что если пространства X, У гомотопически полноценны, то всякая слабая гомотопиче-

ская эквивалентность X-*■Y является гомотопической эквивалентностью.

Из теоремы 3.5.2.13 следует, что все компактные гладкие многообразия гомотопически полноценны.

Пример гомотопически неполноценного пространства был указан в 2.3.5.4. Это пространство несвязно; пример связного (даже оо - связного) гомотопически неполноценного пространства имеется ниже в 4.1. .

Информация. Все корсы— гомотопически полноценные пространства. Все топологические многообразия (как компактные, так и некомпактные)—гомотопически полноценные пространства. Произведение двух гомотопически полноценных пространств является гомотопически полноценным пространством. Если У — гомотопически полноценное пространство, то пространство ^(А, У) гомотопически полноценно для любого компактного пространства X. Если У гомотопически эквивалентно счетному клеточному пространству, то®’(А, У) гомотопически эквивалентно счетному клеточному пространству для любого компактного пространства X со счетной базой. Доказательства имеются в [16].

^-эквивалентность

Непрерывное отображение / топологического пространства X в топологическое пространство У называется к-эк- вивалентностью, если для любого х е X гомоморфизм f*: лДХ, xf—> лг (У, f (х)) является изоморфизмом при г<к и эпиморфизмом при г = к. Здесь к — неотрицательное целое число; слабую гомотопическую эквивалентность называют иногда оо-эквивалентностью. .

Очевидно, композиция двух ^-эквивалентностей есть й-экви- валентность.

Если f: А—» У есть k-жвивалентность, то для любой клеточной пары (К, Ц с К \ L с ske^. К' и любых непрерывных отображений ф: K^-Y, ф: L-^X с / ° ф = ф]д существует такое непрерывное отображение %: К—>Х, что хк = Ф и композиция fox L-гомотопна ф. Верно и обратное; более того-, если f: X -» У— непрерывное отображение и для любых непрерывных отображений ф: Ef^-Y, ф: Sr"'1->X cO^r^ku f о-ф = ф |sr-i существует такое непрерывное отображение х: Dr-*X, что xlsr—1 = ф и композиция f°x Sr-X-гомотопна ф, то f есть k-эквивалентность.

Доказательство повторяет доказательство теоремы 2 с очевидными изменениями: в его 'первой части пара (Су1/, А) теперь /г-связна, во второй части при доказательстве эпиморфности нужно предположить, что r^k, а при доказательстве моно- морфности — что г < к. '

§ 4]

Если f: Х—>¥ есть к-эквивалентность, то отображение л (id, fy л(М, X)-> л (Af, У) обратимо для любого клеточного пространства М с dim М < к и имеет своим образом все множество л (Л4, У) для любого клеточного пространства М с dim Л/=/г. ■

Доказательство повторяет доказательство теоремы 3 с заменой ссылок на теорему 2 ссылками на теорему 8.

Если X — клеточное пространство с dim X < k, а У — клеточное пространство с dimy^^, то всякая к-эквивалентность X —>¥ является гомотопической эквивалентностью.

Доказательство повторяет доказательство теоремы 4, только ссылка на теорему 3 заменяется ссылкой на теорему 9.

Относительный случай

. И. Отображение / топологической пары (X, Л) в топологическую пару (У, В) называется слабой гомотопической эквивалентностью, если отображения abs'f: X -> У и ab f (= ab abs /): А -> В являются слабыми гомотопическими эквивалентностями.

Заметим, что если f: (X, А)^>(¥, В) — слабая гомотопическая эквивалентность, то гомоморфизм f*: лг IX, А, х) -> лг (У, В, f (х)) является изоморфизмом при любых г^1 и хеА; для доказательства достаточно применить 5-лемму (см. 1.5.19) к гомоморфизму гомотопической последовательности пары (X, Л) в гомотопическую последовательность пары (У, В), индуцированному отображением /. Другое следствие той же 5-леммы: если f: (X, А 56= 0) -> (У, В) — такое непрерывное отображение, что одно из отображений abs/: Х->¥, ab/: Л-> В —слабая гомотопическая эквивалентность и в.се гомоморфизмы /*: лг (X, А, х)-> лг(У, В, f (х)), /*: л0(Х, х)^л0(У, f(x)), (ab/)*: л0(Л, х) ^л0(В, / (х)) с г^1 и хе А— изоморфизмы, то / — слабая гомотопическая эквивалентность.

Если f: (X, Л) —> (У, В) — слабая гомотопическая эквивалентность, то для всякой клеточной пары (Л1, N^ отображение л (id, /): л (/И, N; X, Л)—>л(Л1, N; У, В) обратимо.

Доказательство. Покажем сначала, что всякое непрерывное отображение ф: (M, N) -* (У, В) гомотопно композиции некоторого непрерывного отображения (М, АО —> (X, Л) с /. В силу 2, существует непрерывное отображение ф: X —> А, композиция которого с ab/: А-* В гомотопна аЬф: Х-^-В. В силу 2.3.1.3 гомотопия, связывающая аЬф с ab / ° ф, продолжается до гомотопии отображения ф, так что существует гомотопное ф отображение ф': (Al, X)-> (У, В) с аЬф' = аЬ/оф. Наконец, опять в силу 2, существует непрерывное отображение Х'.М-^Х, продолжающее ф и такое, что композиция /°% N-гомотопна ф7. Ясно, что xWcB и что отображения f°x, ф: (Л1, jV) -> (У, В) гомотопны.

Остается показать, что для непрерывных отображений Фо, фр. (Al, А)->(Х, Л) гомотопность композиций /°Фо,/°Ф1 влечет за собой гомотопность самих Фо, Фи Пусть Ф: (Л1X I, N%1)->{Y, В) — гомотопия, связывающая /°Фо с /°Ф1. В силу 2, существует такая гомотопия 'У: NXI~*A, связывающая аЬф0: N-> А с аЬфр N-> А, что композиция ab f ° Ф [(А X 0) U (X X 1)]-гомотопна отображению аЬФ: NXI->B. В силу 2.3.1.3, ^ X 0) U (Л^ X 1)]-гомотопия, связывающая аЬФ с abfoV, продолжается до [(Л1X 0) U (М X OJ-гомотопии отображения Ф; следовательно, существует такая гомотопия ФР (Л1 X I, N X Г) ~* (Y, В), связывающая /°ф0 с /°Фь что [аЬФР N X1 -* В] = ab f ° Ф. Наконец, опять-таки в силу 2, существует такое непрерывное отображение X: МХ1-*Х, продолжающее Ч7, что X (х, О) = фо(х), Х(х, 1) = ф[(х) при любом х е М, а это и есть гомотопия, связывающая ф0 с фр

Если пары (X, Л), (У, В) клеточны, то всякая слабая гомотопическая эквивалентность (X, А)-» (У, В) является гомотопической эквивалентностью.

Доказательство повторяет доказательство теоремы 4 с заменой ссылки на теорему 3 ссылкой на теорему 12.

Отношение к конструкциям

Многие из операций,^производимых над отображениями и описанных в § 1.2, * переводят слабые гомотопические эквивалентности в слабые гомотопические эквивалентности. Ясно, например, что для любого семейства слабых гомотопических эквивалентностей {^: Х^отображение U^:

ШЦХ^ является слабой гомотопической эквивалентностью и что для любых слабых гомотопических эквивалентностей fp Х]-> Х;, ..., f„: Х„ -* Х'п отображение X • • • X /„: X, X . •. X Хп-> Х]Х.--ХХ' является слабой гомотопической эквивалентностью. Ясно также, что предел последовательности слабых гомотопических эквивалентностей есть слабая гомотопическая эквивалентность.

Аналогичные теоремы, относящиеся к другим конструкциям, требуют дополнительных аргументов или верны лишь при дополнительных предположениях. Им и посвящена остающаяся часть этого пункта.

Пусть f — такое отображение триады (X, А, В) в триаду (X', А', В'), что ab f: А -► A', ab /: В-* В', ab f: А П В -► A' f] В' - слабые гомотопические . эквивалентности. Если Int A U Int В = X и Int A' U Int В' = X', то absf: Х-*Х' — также слабая гомотопическая эквивалентность.

Доказательство. В силу теоремы 1.2, достаточно для заданных непрерывных отображений ф: Dr->X', -ф: Sr-V-*X

с ^ о -ф = q> |sr_t построить такое непрерывное отображение X: Dr->Х, что xlsr-i = ^ и композиция foX 5г-’-гомотопна ф. Очевидно, множества

U = [ф-1 (Int Д') П Int Dr] U ^-' (Int Л),

V = [ф-1 (Int S') П Int /У] [J ip-1 (Int S)

открыты и покрывают Dr. Следовательно, существует такое положительное е, что всякое лежащее в Dr множество с диаметром, меньшим е, содержится в U или в V. Триангулируем S'-1 так, чтобы диаметры всех симплексов триангуляции были меньше е, и продолжим ее с сохранением этого свойства на Dr. Пусть К — объединение симплексов, лежащих в U, и L — объединение симплексов, лежащих в V. Ясно, что К и L — подпространства шара Dr в симплициальном смысле и что 1Н/<П5^')сд1п1Л, ф(АПЗ'~‘)сд IntB, ф(^ сд Int Д', ф(А) ед Int S'. В силу теоремы 1.2, существует такое непрерывное отображение Хо: /<ЛА->ЛПВ, что Хо 1т<Пд nsr—1 = ab ф и композиция отображений Хо и aW: ЛПВ-> Д' П S' (/СП L П5г-1)-гомо- топна отображению аЬф:/СПА—>Л'ПS'. В силу 2.3.1.3, (/СП L П Sr~ ^-гомотопию, соединяющую ab ф: ^ П L->A' П S' с ab f о хо, можно продолжить до (ОЗ'"1)-гомотопии отображения аЬф: /<->Л' и до UnS'"1)-гомотопии отображения аЬф: А—>В'; две последние гомотопии составляют S'-‘-гомотопию, соединяющую Ф с таким отображением ф': Dr-* X', что ф'| кпг = (fl алв) ° Хо и ф'(/С) с Л',, ф'(А) сд S'. Наконец, опять-таки в силу теоремы 1.2, существуют непрерывные отображения Хг /С —* Л, Х2: A->S, такие, чтоХо = аЬХь Хо = аЬХ2И композиция отображения Xi с abf: А->А' (/С П А)-гомотопна аЬф': /С~>Л', а композиция отображения Х2 с abf: B->S' (К П А)-гомотопна ab ф': L->B'. Вместе Xi и Х2 составляют требуемое отображение %: Dr->X.'

Пусть (X, С), (X', С') — пары Борсука, Y, Y' — топологические пространства, ф: С -*Y, ф': С' -> Y' — непрерывные отображения и ft (X, С)-^(Х', С'), gt У-> У'— такие непрерывные отображения, что §оф = ф'°аЬ/. Если f, g —слабые гомотопические эквивалентности, то отображение F; У Uv ^~*У'Uq/^'» определенное формулами

Fo[immi: ^->УиФА"] = [1тт1: X' У'иФ/X'] = f, fo[imm2: У У11Ф/С] = [imm2: У' -> У'иФ^1 ° g,'

' тшше является слабой гомотопической эквивалентностью.

Доказательство. Склеим X, Y и С XL отождествив каждую точку (с, 0) из С X I с точкой с из X и каждую точку (с, 1) из CXI с точкой ф(с) йз Y. Получившееся пространство мы обозначим через Z, а погружения imm]: Х^2, imm2: Y—>2, imm3: CXI-*Z, во избежание путаницы, через а, р, у. Прежде всего мы покажем, что отображение Л: Z^YVi^X, определенное формулами

/гоа—ртт^ X->■ Y U^XV Aop = [imm2: У->Уи<рЛ

/г° у = [imm2: У-> KUgX] °<р° [ри: СХ/->С],

является гомотопической эквивалентностью. Для этого продолжим гомотопию у: СХ1~*2 до гомотопии Г: XXI *2 отображения а и определим отображение k: У U фХ -> Z формулами к (immi (х)) = Г (х, 1) [х е X], ^ojmm2 = p. Формулы

Н (imni] (х), i) = h (Г (х, 0) ЯДтт2(у), i) = imm2(y)Н (imni] (х), i) = h (Г (х, 0) ЯДтт2(у), i) = imm2(y)' Я(а(-х), /) = Г(х, 0КМ, Й = ^. К (у (с, 0, и) = Y (с, tu — и + 1)' Я(а(-х), /) = Г(х, 0КМ, Й = ^. К (у (с, 0, и) = Y (с, tu — и + 1)При X GE X, t ЕЕ I, при у е У, tel,

Н (imni] (х), i) = h (Г (х, 0) ЯДтт2(у), i) = imm2(y)

Н (imni] (х), i) = h (Г (х, 0) ЯДтт2(у), i) = imm2(y)

' Я(а(-х), /) = Г(х, 0

КМ, Й = ^

. К (у (с, 0, и) = Y (с, tu — и + 1)

' Я(а(-х), /) = Г(х, 0

КМ, Й = ^

. К (у (с, 0, и) = Y (с, tu — и + 1)

при х е X, 1 г I, При у ЕЕ У, / GE I, при с g С, t г I, ие I

определяют гомотопии Я: (У 0$ X) XI У Uq> X, К: ZXI >2, соединяющие h°k с id (К U<p X) и к ° h. с id X, и, таким образом, отображение к гомотопически обратно /г.

Повторим все построение, заменив нештрихованные объекты X, С, У, <р, ... штрихованными. Мы получим пространство 2', отображения а': X'—>2', fY: Y'—>2', у': С'X I2' и гомотопическую эквивалентность 1г'; Y' Уф' X' —>2'. Пусть G: Z->Z' — отображение, определяемое формулами G ° a = az ° f, G ° Р=|У ° g, G ° у = у'° (ab / X id/). Ясно, что оно отображает триаду (Z, «U)Uy (С X [0,1/2]), ₽(У)иу(СХЛ) в триаду (Z7, X (Л U V кС' X [0,1/2]), РДУ') 0 у'Л X 1^, причем выполнены все условия теоремы 2. Применяя последнюю, мы видим, что G — слабая гомотопическая эквивалентность, после чего из коммутативности диаграммы

уи^-^у^г

следует, что F—слабая гомотопическая эквивалентность. .

Пусть f — отображение триады (X, А, В^в триаду (X', А', В'), такое, что abf: Д-^Д', ab/: В-*В' и ab/: ДПВ—>Д'Я^/ —

слабые гомотопические эквивалентности. Если (Л, А П В), (Д', А' ПВ') — пары Борсука, то и abs f: Х-^-Х'— слабая гомотопическая эквивалентность.

Это следует из теоремы 3, поскольку X=BUin A, X^B'UinA', где в первом равенстве in = [in: Л П В -* В], а во втором in = [in: А'П B'-*B'Y-

Если (X, Л), (X', Д') — пары Борсука и f: (X, Л) -> (X', Д') — слабая гомотопическая эквивалентность, то fact/: Х[А-> X'[Д' — тоже слабая гомотопическая эквивалентность.

Для доказательства достаточно применить теорему 3 к случаю Y = D°, Y' = D°.

Если f: Х->Х'— слабая гомотопическая эквивалентность, то и su f: su X -> su X' — слабая гомотопическая эквивалентность.

Для доказательства достаточно применить теорему 5 к отображению relcon/: (сопХ, Х)->(сопХ\ X').

Если f: Х->Х', g: Y-->Y' — слабые гомотопические эквивалентности, то и f * g: X * Y -> X' * Y'— слабая гомотопическая эквивалентность. .

Доказательство. Обозначим'через А, В образы множеств XX УХ [0, 2/3], ХХУХ[1/3, 1] при проекции XX УХ 7->Х * У и через А', В' — образы множеств X' X У' X [0, 2/3], X' X У' X [1/3, 1] при проекции X' X У' X I ~X' * Y'. Ясно, что / * g отображает А в Л' и В в В' и что отображение rel(f*g): (X * У, Л, В)-> (X'* У', Л', В') удовлетворяет условиям теоремы 2. Из нее и следует, что /*g— слабая гомотопическая эквивалентность.

Если-f: X ->Y — слабая гомотопическая эквивалентность и К — локально конечное клеточное пространство, то ^(id,/): (X, X) -» 7? (К, У) — слабая гомотопическая эквивалентность.

Достаточно доказать, что для любых непрерывных отображений ф: ГУ-^К, У), ф: 5г-1->^(Х, X) с ^(id, ^оф^^ существует такое непрерывное отображение %: Dr -^Y? (К, X), что %|sr-i—ф и композиция ^(jd.^ox Sr-1-гомотопна ф (см. 1.2). Рассмотрим отображения ф": DrXK~*Y и фХ S^'XK->X (см. 1.2.7.6 и 2.1.4.3). Они непрерывны, и f °ф~ = Ф~ [sr-ixx что позволяет применить к ним первую часть теоремы 1.2. Стало быть, существуют такое непрерывное отображение a: DrXK~*X и такая (Sr-1 X Х)-гомотопия /г: (Dr X X) X 7 —> У, что а |5г-1хЛ = ф~ и /г связывает ф~ с f°a. Обозначим через Н композицию канонического гомеоморфизма (Dr X 7) X К-> (Dr X X) X 7 с h. Мы полагаем х = а^ (см. снова 1.2.7.6). Ясно, что %|5Г-1=ф и что Н" есть Sr-‘-гомотопия, связывающая ф с ^ (id, f)°%.

Пусть пространства Лц и X' составляют со своими отмеченными точками хц и х^ пары Борсука. Если f/ДХ^, х^)-* -> (X', х') — слабые гомотопические эквивалентности, то VJ^: V„ (Х„, х„)->(X' х') — тоже слабая гомотопическая эквива-

И ИЦЦ

лентность.

Это следует из 5.

Клеточная аппроксимация топологического пространства

Клеточной аппроксимацией топологического пространства X называется всякая пара (К, ф), составленная из клеточного пространства К и слабой гомотопической эквивалентности ф: К-*Х.

Пример: если X — хаусдорфово пространство, наделенное клеточным разбиением, таким, что каждое компактное подмножество пространства X пересекается лишь с конечным числом клеток, то клеточное пространство, полученное из X после клеточного ослабления топологии, составляет с id X клеточную аппроксимацию пространства X. В частности, если Х\, ..., Хл — клеточные пространства, то (X] Хс • • • ХсХп, id) есть клеточная аппроксимация пространства Хх X • • • X Хп, a (Xi *с. . . *сХп, id) — клеточная аппроксимация пространства ^ * ... * Хп.

Всякое топологическое пространство обладает клеточной аппроксимацией.

Доказательство. Поскольку клеточные аппроксимации компонент топологического пространства очевидным образом составляют клеточную аппроксимацию всего пространства, а случай пустого пространства тривиален, можно ограничиться случаем, когда предложенное пространство X связно и непусто. Пусть х0 — какая-нибудь его точка. Мы построим такие связные клеточные пространства К^ Къ ... с отмеченными нульмерными клетками уй, ух, ....такие непрерывные отображения Ф<: (Ki, У^-* (X, х0) [/ = 0,1, . .. ] и такие клеточные вложения Лр (^-р У/-1)-*"(^» У^ U = L 2, . • • ], что ф; есть /-эквивалентность и ф(. от). =ф;_г Пара (Ит^Сг, Итф;) будет тогда клеточной аппроксимацией пространства X (см. 1.11.2).

Построение проводится индуктивно. Положим Ko = DQ, y0 = D°, q>AKo) = xo и допустим, что Ki,yi, П.. Фг с i<r Уже построены и обладают всеми перечисленными свойствами. Фиксируем для каждого элемента а группы лг(Х, х0) сфероид fa: Sr—> X класса а и для каждого элемента Р ядра N гомоморфизма (фг-О,: nr_] (Кг-\, уг-Д->лг_х (X, х^ сфероид g^ Sr-' -> Kr-i классари непрерывное отображение h^. Dr->X с h^sr-i = , Фг-1°5р- Отображения fa, gs, /гд определяют непрерывные

отображения

f- V .к=лг(л, *0) (So = S', orti) —* X,

g: LIbeaCSs = Sr *)—> K.r-\, h; иВел(ДВ = Dr) —>X.

Положим •

Kr=[(^-iUg(UBe^B))> 1тт2(г/г_,)] V[(Vos^(x, Xo)(Sa, bp)), bp] и определим qr как сквозное отображение

Кг-Х ^> Kr-lUg (UBs^B) Кг,

Фг: Кг—>Х — как отображение, составленное из фг-ь h и f, и уг как т\Дуг_х). Применяя теоремы 3.2.3 и 3.5.5, мы видим, что фг есть r-эквивалентность, и ясно, что фг о т)г = фг_ь а гр есть клеточное вложение.

Если (К, ф), )К', ф') — клеточные аппроксимации топологических пространств X, X', то для всякого непрерывного отображения f: X—> X' существует такое непрерывное отображение g: К -* К', что диаграмма

К^К'

х-^х'

гомотопически коммутативна (т. е. отображения f°ty, ф7 ° g гомотопны). Гомотопический класс отображения g определяется этим условием однозначно.

Доказательство. Отображение л (id, ф7): л(/<, /(')-> и (К, X') обратимо (см. 1.3), и потому в л (К, К') имеется один и только один элемент, переводимый отображением л (id, ф7) в класс отображения f ° ф.

Для любых клеточных аппроксимаций ^К, ф), к.К', ф7) одного и того же топологического пространства существует гомотопическая эквивалентность g: К-> К', такая, что композиция Ф7 ° g гомотопна ф.■

Чтобы получить требуемое отображение g, мы применяем теорему 3 к случаю, когда X' = X и f = idX. Гомотопически обратное отображение g7 получается таким же образом, если поменять ролями, (К', ф7) и (.К, ф); что композиции g°g', g' ° g гомотопны тождественным отображениям, следует опять-таки из теоремы 3...-

Слабая гомотопическая эквивалентностькак отношение

Дна топологических пространства называются слабо гомотопически эквивалентными, если они обладают клеточными аппроксимациями (/<, ф), (L, ф) с K = L. Очевидно, это отношение является эквивалентностью в обычном смысле.

Если для пространств X, У существует слабая гомотопическая эквивалентность /: X —>¥, то X и У слабо гомотопически эквивалентны; действительно, если ^К, ф) — клеточная аппроксимация пространства Х, то (К, / ° ф) есть клеточная аппроксимация пространства У. Обратное неверно: можно указать слабо гомотопически эквивалентные пространства X, У, для которых не существует ни слабой гомотопической эквивалентности X —>У, ни слабой гомотопической эквивалентности ¥->Х. Пример имеется ниже в 4.2.

Если два пространства гомотопически эквивалентны, то они, конечно, и слабо гомотопически эквивалентны. Обратное неверно; например, всякое топологическое пространство слабо гомотопически эквивалентно клеточному (см. 2), ио не всякое топологическое пространство гомотопически эквивалентно клеточному (см. 1.6). С другой стороны, как это следует из теоремы 1.4, в клеточном случае слабо гомотопически эквивалентные пространства гомотопически эквивалентны.

Слабая гомотопическая эквивалентность слоев расслоения Серра

Любые два слоя расслоения Серра со связной базой слабо гомотопически эквивалентны.

Доказательство. Пусть g —расслоение Серра со связной базой и Ьо, Ьх—точки базы. Фиксируем путь s: /->bsg, соединяющий Ьо с Ьь и клеточную аппроксимацию (Д, ф) слоя рг£-1 ^Ьо\ Отображение / = [in: ргg—1 (fcf0) —>tl §] о<р и гомотопия F: КХ I—>bsg, определенная формулой F^x, f) = s(f), удовлетворяют соотношению F (х, 0) — pr g ° /^ (х) [х е К\, так что существует некоторая гомотопия Е~: KX/^-tU отображения /~, накрывающая F (см. 4.1.3.6). Определим отображение ф: ^ —> ргg—1 (6,) формулой хь->F~(x, 1) и покажем, что ф— слабая гомотопическая эквивалентность.

Для этого заметим, что, каковы бы ни были точка хе К и сфероид g е Sphr (Д', х), формула (у, /)>—> F" (g(y), t) определяет слоистую гомотопию (см. 1.7.1) между сфероидами ф^ (g), ф# (g) в доль пути s: I -> tl g, задаваемого формулой t н-*

лг(К, х\лг(К, х\F~ (^(oTtJ, /). Стало быть, диаграмма

лг(К, х\

лг(К, х\

Яр (рг ГЧбД ср И)~^ %г(рг £ 1 (Ьх), ф (ж))

(перенос Ts определен в 1.7.3) коммутативна, и так как Ts — изоморфизм, то обратимость ф* влечет за собой обратимость ф*.

Клеточная аппроксимация топологической пары

Клеточной аппроксимацией топологической пары (X, Л) * называется всякая пара [(/<, L), ф], составленная из клеточной пары (К, Е) и слабой гомотопической эквивалентности ф: (Д, Е)-> (X, Л).

В случае, когда Л и L — точки, клеточная аппроксимация ПК, Е), ф] пары (X, Л) называется клеточной аппроксимацией пространства X с отмеченной точкой.

Всякая топологическая пара (А", Л) обладает клеточной аппроксимацией. Более того, для всякой клеточной .аппроксимации (Е, ф) подпространства Л существует такая клеточная аппроксимация [(К, Ер ф] пары (X, Л), что ф = ab ф.

Доказательство. Пусть (Af, %) — клеточная аппроксимация пространства X (см. 2) и g; L->M — такое клеточное отображение, что композиция % ° g гомотопна [in: Л->2С]°ф (см. 3 и 2.3.2.4). Положим K = Cylf и определим ф как релятивизацию отображения К-*Х, составленного из % и какой-нибудь гомотопии ЕХ1~*Х, связывающей [in: Л->А']°'ф с % ° g. Ясно, что ф — слабая гомотопическая эквивалентность и что аЬф = ф.

Если [(К, А), ф], [(Д', Е'\ ф'] — клеточные аппроксимации топологических пар (X, Л), (X', А'), то для всякого непрерывного отображения f: (А’, А)—* (Д', Л') существует и единственно с точностью до гомотопии такое непрерывное отображение g: (К, Ц—> (К'} Е'), что диаграмма

{К, ц-^>(к', е^

(X, Л)-^^', Л')

гомотопически коммутативна. Для любых клеточных аппроксимаций [(К, Е\ ф], [(Д', Е'\ ф'] одной и той же топологической пары существует такая гомотопическая эквивалентность g; ^К, Е) -> (К', Е'), что композиция ф' ° g гомотопна ф. •

Доказательство повторяет доказательства теорем 3 и 4, только ссылка на 1.3 заменяется ссылкой на 1.12.

Клеточная аппроксимация и конструкции

Ясно, что если (Кц, Фи)— клеточные аппроксимации пространств ^(цеМ), то (Ш^у/^, U^-мФц) есть клеточная аппроксимация пространства ШцемХц- Из теоремы 2.9 следует, что если пространства Хц составляют со своими отмеченными точками х^'пары Борсука и [(K1U у^, <pj — их клеточные аппроксимации, то [Vp.(^, У^, V^J есть клеточная аппроксимация букета V^G^, х^).

Если (Ki, Ф,), . .., кКп, Фл) — клеточные аппроксимации пространств Хь ..., Х№, то, как это следует из сказанного в 2.1 и 1, (Ki Хс • • • ХеКт Ф1 X • • • X Фл' есть клеточная аппроксимация произведения Х,Х ... X ^л- В тех же условиях, как это следует из 2.7 и сказанного в 1, №*с... *сКл, Ф1 * • • • X * Фл) есть клеточная аппроксимация пространства Х-, * ... * Хп; в частности, если (К, ф) — клеточная аппроксимация пространства X, то (su/(, snip) есть клеточная аппроксимация пространства suX.

Если [(/С, Ц, <р] — клеточная аппроксимация пары Борсука (X, Л), то VK[L, 1ас1ф: K/L^- X)A) есть клеточная аппроксимация пространства XjA. Это следует из 2.5. .

Применение: обобщение теорем 3.3.6, 3.5.5 и 3.6.2.

(Лемма). Если (X, А, В) —такая триада, что Int Л и Int В покрывают X или (Л, А Л В) — пара Борсука, то существуют такая клеточная триада (К, L, АД и такое отображение f: (К, L, М^—ЦХ, А, В),- что отображения absf: К~>Х, ab f: L—>A, abf: М^-В, abf: ЬПМ->АПВ являются слабыми гомотопическими эквивалентностями.

Доказательство. Согласно 2, пространство ЛQB обладает клеточной аппроксимацией, скажем, ^N, %), а согласно 8, последняя продолжается до некоторых клеточных аппроксимаций [(//, N\ q>], [(AT, N\ гр] пар (Л, Л Л в), (В, Л Л В). Приклеим к L' LI М' цилиндр NXI посредством отображения (XXO)U (X X 1)->В U М, составленного из отображений (х, 0) in, (х), (х, l)i—>in2(x), и обозначим полученное клеточное пространство через К- Отождествим, далее, N ХЕ Е', М' с их образами в К, положим L = (N X I) U L', M — (N X О U М' и составим отображение f: (X, L, М)^-{Х, А, В) из сквозных отображений

DFt Vin

■NXI-^N^AHB—*х,

,in, Ф in

L'—*A-->X,М'-^>В—>Х.

Ясно, что Int L (J Int М = К и что abf: В->Л, ab f: М->В и

abf: L П М -» А П В — слабые гомотопические эквивалентности. Следовательно, и absf: К-> X — Слабая гомотопическая эквивалентность (см. 2.2 и 2.4). '

Гомоморфизм .

[л^Л, х0)*л1(й, x0)]/vk(X, А, В, х0) -> Л[ (X, х0), (2) определенный в 3.3.5, является изоморфизмом не только для клеточной триады (X, А, В) со связными А, В и А П В (как это утверждает теорема 3.3.6), но и для всякой триады (X, А, В) со связными А, В и А П В, у которой Int А и Int В покрывают X или (Л, ЛПВ) есть пара Борсука. Это следует из 3.3.6 и леммы 11, поскольку гомоморфизм (2) является естественным.

В частности, фундаментальная группа букета двух пространств канонически изоморфна свободному произведению фундаментальных групп этих пространств при единственном условии, что одно из них составляет со своей отмеченной точкой пару Борсука (ср. 3.3.7).

В теореме 3.5.5 требование клеточности пар (Х^, Хц) можно ослабить до требования, чтобы они были парами Борсука. Это следует из теоремы 8, сказанного о букетах в 10 и коммутативности диаграммы (3) из 3.5.1. ■

Теорема 3.6.2 и ее следствие 3.6.3 верны не только для клеточных пар, но и для произвольных пар Борсука. Это следует из теоремы 8 и сказанного о факторизации в 10.

. Упражнения

Рассмотрим объединение графика функции хь—>sin(l/x) на промежутке 0 < х^ 1/л и четырехзвенной ломаной с последовательными вершинами (1/л, 0), (1/л, 2), (— 1, 2), (— 1, 0), (0, 0). Показать, что это объединение oo-связно, но не является гомотопически полноценным. (Ср. 1.6.)

Обозначим через А подмножество прямой R, составленное из 0 и точек 2П с «sZ (ср. 4.2.4.2). Показать, что пространства X = Z \J (АХ S'\ Y — AI I (Z X S') слабо гомотопически эквивалентны, но что не существует ни слабой гомотопической эквивалентности Х->У, ни слабой гомотопической эквивалентности Y-*X. (Ср. 3.5.)

Примем за X часть пространства R3, составленную из отрезка / и последовательности отрезков с концами nort2i ort[ + ort3/n (п = 1,2, ...). Показать, что (X, (хь х2, х3)|—>хь Г) есть расслоение Серра и что слои этого расслоения не все гомотопически эквивалентны между собой.

Пусть X, Y — топологические пространства с отмеченными точками-х0, z/o и Z — локально конечное клеточное пространство

с отмеченной нульмерной клеткой г0. Показать, что если /: X —>Y — слабая гомотопическая эквивалентность и / (х0) = у0> то ab^(id, t¥ ^(Х, z0; X, x0)^-^(Z, zQ; Y, у^ есть слабая гомотопическая эквивалентность. (Ср. 2.8.)

5. УМНОЖЕНИЕ УАЙТХЕДА .

Класс wd(m, п)

L В этом параграфе определяется и частично изучается операция над элементами гомотопических групп, обобщающая в известном смысле действие фундаментальной группы в гомотопических группах. Определение предполагает заданной пару натуральных чисел т, п.

Настоящий пункт посвящен очень конкретной предварительной конструкции. Напомним (см. 2.1.3.2 и 2.1.5.2), что клеточное разбиение произведения Sm X Sn, определяемое стандартными двухклеточными разбиениями сфер Sm, S'1, состоит из четырех клеток, старшая из которых имеет размерность т + п, а три другие составляют букет (Sm, ort]) V (S'1, ог!^. Этот букет мы будем обозначать через В^пг, п) или, короче, в. Стандартное характеристическое отображение, отвечающее (т + п)-мерной клетке, представляет собой композицию канонического гомеоморфизма Dm+№ -> D'n X D'1 (см. 1.2.6.9) и отображения DS X DS^ Оно отображает сферу Sm+'1~l в в и точку (orb + ortm+1)/V 2 в bp = (orth ortj) и определяет благодаря этому некоторый элемент группы лт+„ (Sm X Sn, В, bp) [см. 2.2.5]. Мы обозначаем этот элемент через Wd(m, /г) или, короче, Wd, а элемент d(Wd) группы л,т+п-х(В, Ьр), т. е. класс приклеивающего сфероида Sm+n-1В, —через wd (т, п) или, короче, wd.

Нам потребуются еще два обозначения: гомеоморфизм В(т, п)-+В(п, т), переставляющий Sm и S”, будет обозначаться через л, произведение сфероидов immb imm2: (S'1, ort[)-» (B(m, n¥ bp) при m = n— через ц.

Порядок класса wd равен оо.

' Достаточно установить, что порядок класса Wd равен оо и что d: rtm+„(S'nXS'1, В, Ьр^л^-ДВ, Ьр)

есть мономорфизм. Первое следует из того, что гомоморфизм рг.: лт+п (Sm X S'1, В, Ьр)->лт+п ((Sm XSn)/В = Sm+n, pr (bp)) =Z переводит Wd в образующую правой группы. Второе следует из точности гомотопической последовательности пары (Sm X S", В) с отмеченной точкой Ьр, поскольку in,: лот+п(В, Ьр)-> лт+п (S"1 X S'1, Ьр) есть эпиморфизм (см. 3.5.4).

Изоморфизм л,: лт+п_[(В(т, и), Ьр) ->кт+п_х (В(п, т), Ьр) переводит wd (m, и) в (—l)mflwd(n, m\

Это следует из коммутативности диаграммы

^m+n-l^ ^m+n—1

'В (т, п) —> В (п, tn),

в которой вертикальные стрелки обозначают сфероиды из 1, представляющие wd (m, и) и wd (я, m), а верхнее горизонтальное отображение определяется формулой (хь . .., хт+п)—* (хт+х, ..., хт+п, хх, ..., хт\ [Степень последнего отображения равна (—l)mn.]"

Если т= 1, то

wd (m, ra) = imm; ^sph^pYnm^sph,) imm2.(sph„)]-1.

В частности, wd(l, 1) = адар’ар1, где через ар а2 обозначены (как в п. 3.1) элементы imml*(sphi), immz* (sphj) группы л, (В(1, 1), Ьр).

Доказательство. Согласно 1, wd(l, п) представляется сфероидом S" —>• В(1, п), определяемым формулой

(хь ..., хп+1)н->

Г immtoDS(V2 xjпри |x1|^l/V2,

( imm2°Z)S(V2 (х2^n+i)) ПРИ I xi I ^ 1/V2 •

Этот сфероид гомотопен, очевидно, произведению сфероида

(Х), ..., хп+х) । >

( Ьрпри Xi<l/V2,

( imm2°BS(V2 (х2, ..., хп+1)) при Xi^ 1/^/2

и сфероида, получающегося из сфероида'

(хь ..., хп+1)ь-^

С imm2oBS(V2 (х2x„+i))при X! < - 1/V2", ^

( Ьрпри хх^— 1/V2

переносом вдоль пути 11—* imm] ° DS (1 — 2Z). Остается заметить, что сфероид (1) принадлежит классу imm2.(sphn), сфероид (2) — классу [imm2.(sph„)j-1, а путь — классу ппгщДзрЬ^.

Класс wd (m, п) принадлежит ядру каждого из трех гомоморфизмов

рТ1.: Кт+п-АВ, bp)->nm+n-i (S'", orb),рг2*: лт+п-1(В, Ьр)-> лт+п-1 (S", ort,),in,: л^-ДВ, bp)->nm+n-!(S'"XS", bp).

Для третьего гомоморфизма это следует из точности гомотопической последовательности пары (SmXSn, В) с отмеченной точкой Ьр, для первого и второго — из равенств [ргц B-*Sm] = [рГ1: SmXS"^Sm] = in, [рг2: B->S"] = [pr2: Sm X Sn -> S"] = in.

Гомоморфизм (id S'" V p)„: ftm+n-\ {В ^m, n), bp)-> лт+„-1 ((S'”, orti)V(B(rt, n\ bp), bp) переводит wd(m, n) в

[(id SmA/imm J, (wd (m, n))] [(id S'" V imm2), (wd(m, «))].

Доказательство. При m = 1, а также при л=1 это следует из 4 и 3; пусть /и > 1 и п>\. Так как букет (S'”, ort!)V(B(rt, n), bp) односвязен, а произведение Sm X В ^n, и) получается из него после добавления двух (т + п)-мерных клеток с приклеивающими сфероидами sm+a~1 -* (S'", ort]) V(В(п, п), Ьр) классов (id S'" V imm])* (wd (т, «)), (id Sm V imm2), (wd {m, n)), to ядро гомоморфизма

in»: лт+п-1 ((S'”, ort!) V (B(n, n\ bp), bp)->

^m+n-i(S'" X B(n, n\ bp) порождается указанными классами. Это ядро содержит и класс (id Sm V р), (wd (m, и)), поскольку wd(m, п) принадлежит ядру гомоморфизма, индуцированного включением B(m, n)->SmXSn (см. 5), a id S'" V р есть сокращение отображения id Sm X р: SmX S”—>S"1 X В tn, n). Следовательно,

(id Sm V pk (wd (/и, «)) =,

[(id Sm V imrri]), (wd (m, n))]fel [(id Sm V imm2). (wd (m, n))]6’(3)

e fei, fe2 e Z, и остается показать, что fe! = fe2=l.

Очевидно, композиции (id Sm Vpri) ° (idSm V p) и (idSm V pr2)° (idSmVp), где pr^ pr2 —проекции букета B(n, п^ на S", гомотопны 1д В\пц п), композиции (id S'" V prj ° (id S'" V imHi]) и (id S'" V pr2)0 (id S'" V imm2) совпадают c idB(m, n^, а композиции (id Sm V pri) ° (id S'" V imm2) и (id S'" V pr2) ° (id Sm V imrni) совпадают co сквозным отображением B(m, n)—>S n). Действуя на обе части равенства (3) гомоморфизмами (idSmVpri)„ (id S'" V рг2), и применяя предложение 5, мы получаем равенства wd(m, n) = wd(m, п)*‘, wd(m, n) = wd(m, пУ2, из которых и следует, в силу 2, что ^[ = 1, А2=1.

Класс wd (m, п) принадлежит ядру гомоморфизма su: лт+п_,(В(т, и), Ьр) -* лт+п (su (В (tn, п), bp) = B(m+l, n-V 1), bp).

Доказательство. Согласно 2.1.1, диаграмма РП.Рг2*

лт+п-1 (Sm, orti) <лт+п-1 (В (т, я), Ьр) > Лт+n-i (Sn, ort,)

|su|su|su

nm+n(sm+1, orti) -«Лт+n (В (m + 1, П + 1, bp)► лт+я (Srt+1, orti) коммутативна. Из этой коммутативности и предложения 5 следует, что su(wd(m, и)) принадлежит ядру каждого из гомоморфизмов pri„ ргг*, т. е. ядру составленного из них гомоморфизма

л^+п(В(т+ 1, «+ 1), Ьр)-> лш+„(5т+1, ort,)® nm+n(Sn+1, ort,), и остается вспомнить, что последний является изоморфизмом (см. 3.5.5).

Определение и простейшие свойствапроизведения Уайтхеда

Пусть X — пространство с отмеченной точкой х0, и пусть а, р — элементы групп лт(Х, хф, лп(Х, хф. Очевидно, гомотопический класс отображения к; (В, Ьр)-*^, хф, составленного из каких-нибудь сфероидов (Sm, ort,)—>(Х, х0), (S", ort,)-ДУ, х0) классов а, Р, не зависит от выбора этих сфероидов. Следовательно, элемент At(wd(m, л)) группы лт+п_,(Х, х0) определяется классами а, Р; он называется произведением Уайтхеда этих классов и обозначается через [а, р].

Заметим, что, в силу этого определения, сам класс wd (т, п) оказывается произведением Уайтхеда классов сфероидов imm,: (Sm, ort,) —> (В, bp), imm2: (Sn, ort,)->(B, bp), т. e. что wd (m, n) = [irnmI.(sphm), imm2*(sphn)].

Ясно, что /Д[а, P]) = (СДа), ft(p)J для любых аелт^Х, x0), релп(Х, x0) и любого непрерывного отображения /: (X, х0)-> (У, уф. Ясно также, что Ts([a, р]) = [7Дх, ГД] для любых а е лт(Х, х0), релп(%, х0) и любого пути s: I-^ X с началом х0.

Если аелт(Х, х0), р е лп(Х, х0), то [р, а] = (—1)т"[а, р]. Действительно, если отображение Н; (В, Ьр)-*(Х, хф составлено из сфероидов (Sm, ortj-*^, х0), (Sn, orti) —> (X, х0) классов а, р, та

[р, а] = (Л ° л), (wd («, тф) = АДл, (wd (п, m)j) =

h. ((- l)mn wd (zn, «)) = (- l)mn[a, p] (cm. 1.3).

15 В. А. Рохлин, Д, В, Фукс

■ 3. Если аелт (X, х0) и рь р2 е Пп ^Х, х0) с п > 1, то [а, Pj + р2]= [а, 01] + 1а> 0г]- Если аь а2Елт(Х, х0) с пг > 1 и р е л„ (X, х0), то [а, + а2, р] = [аь Р] + [а2, 0].

В силу 2, достаточно доказать первое. Рассмотрим отображение

A: (XSm, ortj) V (в (п, п\ Ьр), Ьр)->(Х, х0)

составленное из каких-нибудь сфероидов f: (Sm, ortj) -> (X, х0) и g\, g2- (Sn, ortj) —> (X, x0) классов а и Pj, p2. Отображение (B(m, n), bp) —>(X, x0), составленное из сфероидов f, gb совпадает, очевидно, с композицией Ao(id S'" V imnij), отображение, составленное из сфероидов f, g2, —с h ° (id Sm \/ imm2), и отображение, составленное из / и произведения сфероидов gb g2, — с h ° (id S'" V ц). Следовательно,

[a, Pi + 02] = h, ° (id S'" V p)„ (wd (m, n^ =

A, ((id S'" V imnij), (wd (m, n)) + (id S'" V imm2), (wd (m, «))) =

(h ° (id Sm V immj)), (wd (m, n)) + (A ° (id S'" V imm2)), (wd (m, n)) =

[a, PJ + [a, 02J.

Если a e Л] (X, x0), а реля(Х, x0) с любым n^\, to [a, p] = P (TaP)-1. В частности, если a, p e Л| (X, x0), to [a, p] = Pap'a-1.

Это следует из 1.4.

Произведение [а, р] классов аеят(Х, х0), рел„(Х, х0) всегда принадлежит ядру гомоморфизма su: nm+n-j(X, х0)-> nm+„(su(X, х0), bp).

Это следует из 1.7.

Для любых ае nm (X, х0), Р е л„ (У, уо) произведение [immI.(a), imm2.(P)] принадлежит ядру каждого из трех гомоморфизмов:

Pri.: ^m+n-v^X- xo)V(y, Уй> Ьр)->лт+п_1(Х, х^,

РГ2*’ rtm+n-1 ((^’ ^о) V (У, Уо)> Ьр) —> ^m+n—l (У, у0).

in,: л^-!^, x0)V(y, z/o), Ьр)-^лт+п-1(ХХУ, bp).

Это следует из 1.5.

Умножение Уайтхеда, вообще говоря, не ассоциативно. Это видно уже из 4: если обозначить (как в п. 3.1) через ab a2, a3 элементы immi.(sphi), imm2.(sphj), imm3*(sphj) группы nj((S‘, ortj V (S1, ortJV^S1, ortj), bp), то окажется, что [[«i, ct2], a3] = agaga^^'a-^^^j^a,-^”1, a [ap [a2, a3]] = = ада^'а-'^^а^'а^'а,-1. Другой пример имеется ниже в 4.2.

Случай Я-пространства

Если X есть Н-пространство, то [а, р] = О для любых х0 е X и ct лт (X, х^), р ее кп (X, Хо)*

(Это обобщает теорему 1.9.11.)

Достаточно рассмотреть случай, когда х0— единица. Пусть f: (Sm, ortj) —* (X, х0), g: (Sn, ort1)->(X, x0) — сфероиды классов a, p. Определим отображение h: (SmXSn, bp)-*(X, x0) формулой h(x, y) — f (x) g (у) и сфероиды fp (Sm, огф)-^(Х, x0), gp (Sn, ort,)--> (X, x0) формулами ft (y) =. f (y) x0, gily) = g (y) x0. Ясно, что сфероиды fb gt гомотопны сфероидам f, g и что отображение (В, bp)-* (X, х0), составленное из ft и gt, совпадает с А |5 =/г ° [in: B->SmXSn]; следовательно, [a, Р] = (/г ° in), (wd (пг, п)) = /г, ° in, (wd (m, n)), и так как in, (wd (m, nff = 0, to [a, p] = 0.

Применения

Пусть X, Y — пространства с отмеченными точками х0, у0 и k, I — неотрицательные целые числа. Если X к-связно, Y 1-связно и (X, х0), (У, Уо) — пары Борсука, то ядро гомоморфизма

in,: л6+;+1 ((X, х0) V (У, Уо), bp) -> л&+;+1 (X X Y, bp)

порождается, как подгруппа отображаемой группы, произведениями [immi*(a), imm2»(P)J с аелй+1(Х, х0), релг+1(У, у0).

(Ср. 3.5.5 и 4.3.13.)

■ Доказательство. Что все такие произведения содержатся в Ker in,, следует из 2.6; покажем, что они порождают Kerin,. В силу 4.2.1, 4.2.9 и 2.3.3.2, можно ограничиться случаем, когда (X, х0), (У, у0) — клеточные пары и skefeX = x0, skez У = у0. В этом случае ske6+z+1 (X X У) с U, х0) V (У, yof и классы приклеивающих отображений fk + I + 2)-мерных клеток из (X X У) \ [(X, х0) V (У, у0)] являются, как это прямо следует из определения 2,. 1, произведениями Уайтхеда классов характеристических отображений, отвечающих (У + 1)-мерным клеткам из immi (У) на классы характеристических отображений, отвечающих (/+ 1)-мерным клеткам из imm2(y). Следовательно: если У>0 и / > 0, то Kerin, порождается классами [imml,(a), imm2i(P)] с ct е лй+1 (X, х0) и рел(+1(У, у^ [см. 3.2.4]; если к > 0, а / = 0, то Ker in, порождается классами

Т immg# (<т)[immija), imm2*(P)]

с a G л&+1 (X, х0) и р, оелДУ, у0) [см. 3.2.4]; если к = 0, а Z > 0, то Kerin, порождается классами

Дтпц.м [immi* (a), imm2*(P)]

с а, аелДХ, х0) и р е л;+1 (У, z/0) [см. 3.2.4]; если к = 1 — 0, то Ker in, порождается классами

Timm], (<Т[) imm2* (®1) • • • immj, (а^) 1тт2* (®^) [immi* (а), imm2* (Р)]

с а, аь ..., Qq е Л] (X, х0) и р, «>! ..., sqe Л( (У, у0) [см. п. 3.3]. Остается заметить, что для любых а, сте л, (X, х0), р е л/+1 (У, у0) с / > 0-

Т^щиц* (<т) [immi* (а), imm2* (Р)] =

.— [immi* (<т), imm2* (Р)] + [imm,* (аа), imm> (р)],

для любых аЕлА+[(Х, х0), р, аел^У, z/0) с ^>0

Ttmm2*(a) [immi* (а), imm2*(P)] =

— [immi* (a), imm2* (а)] + [imm!* (a), imm2. (pa)], для любых а, ае л, (X, х0) и р, со е л, (У, у0)

7’(imm1.a) (imm2.ffl) [immi*a, imm2*p] = [immi*a, imm.^coP]"1 [immi* aa, imm;* ®P] [immi* aa, imm2*co]-1 [immi. a, imm2*co] (cm. 2.4).

При любом четном натуральном п класс [sph„, sphn] имеет в n2n-{{Sn) порядок оо. В частности, группы л^-ДЗ26) с ^^1 бесконечны.1

(Ср. пп. 2.2 и 2.4.)

Доказательство. Так как

Р* [sphn, sph„] = [ц, (sph„), у, (sph„)] =

[immi* (sphn) + imm2* (sphn), immi* (sph„) + imm2* (sphn)] = [immi* (sph„), immi* (sphn)] + [imm2*.(sphn), imm2* (sphn)] +

2 [immi* (sphn), imm2* (sphn)] = immi* [sph„, sph„] + imm2* [sphn, sph„] + 2 wd (.n, n),

TO

2 wd (n, n) = p.,[sphn, sphn] — immi*[sph„, sph„] — imm2*[sphn, sphn].

Если бы класс [sph„, sph„] был элементом конечного порядка, то класс wd(n, п), вопреки 1.2, также был бы элементом конечного порядка.

При любом четном натуральном п ядро гомоморфизма su: л2'п-1 (Sn) n2n(Srt+l) бесконечно.-

Это следует из 2 и 2.5.

Упражнения

/. Вычислить трехмерную гомотопическую группу букета двумерных сфер.

Показать, что

[[а, р], у] [а, [Р, \П, если

a = imm1„(sph1) е л, (S (1, 2), Ьр),Р = У = imm2, (sph2) е л2 (В (1, 2), Ьр).

Показать, что для любых аетЦХ, х0), рел„(Х, х0), у е лр (X, х0) с m > 1, п > 1, р > 1

(- Ш [ [a, Р], у] + (- D^l [р, у], а] + (- 1Г [ [у, а], р] = 0.

ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ РАССЛОЕНИЙ

Слабая гомотопическая эквивалентностьи расслоения Стинрода

/. Расслоения Стинрода gb g2 с одним и тем же стандартным слоем F называются к-эквивалентными, если существуют такое клеточное пространство В и такие ^-эквивалентности <₽,: B^bs^, ф2: B->bsg2, что расслоения ф^, ф^ ^-эквивалентны. В этом определении О^^^оо. Важнейшим является случай ^ = оо. Расслоения Стинрода, которые оо-эквивалентны, называются также слабо гомотопически эквивалентными.

Ясно, что расслоение, индуцированное расслоением Стинрода посредством ^-эквивалентности, fe-эквивалентно этому расслоению. Ясно также, что базы слабо гомотопически эквивалентных расслоений Стинрода слабо гомотопически эквивалентны, и применение леммы 1.5.19 показывает, что то же верно для их тотальных пространств (лемма 1.5.19 применяется к гомоморфизмам гомотопических последовательностей расслоений Ф^р ф^2 в гомотопические последовательности расслоений gb 62, индуцированным отображениями ad фр ф}^-*^, абф2: ф^2->^,).

Пусть & и £2 ■— расслоения Стинрода с одним и тем же стандартным слоем F. Если расслоение ^ универсально, то расслоение ^2 универсально тогда и только тогда, когда оно слабо гомотопически эквивалентно ^..

Докажем сначала достаточность этого условия, т. е. покажем, что для всякого расслоения Стинрода £ со стандартным слоем F и клеточной базой, всякого подпространства (в клеточном смысле) В пространства bsg и всякого непрерывного отображения ф: B-*bs£2 с индуцированным расслоением ф'&>

^-эквивалентным g |в, существует такое непрерывное отображе" ние ф: bsg—>bsg2, что ф|в = ф и расслоение ф'£2 f-эквивалентно g (см. 4.4.2.2). Согласно 1, существуют такое клеточное пространство К и такие слабые гомотопические эквивалентности /у TC^-bs^ и f2: Д—>bsg,, что расслоения f-^ и f^2 ^"-эквивалентны, а согласно 4.1.2, существует такое непрерывное отображение g: В^> К, что композиция f2 ° g гомотопна ср. В возникающей цепочке ^-расслоений (f, о gy^ = gi (f^j), g’(f*^2) = (f2 ° gYU, Ф^2? § Is соседние расслоения ^-эквивалентны, и потому расслоение (^ ° g)'gj ^-эквивалентно g |в. Так как расслоение ^ универсально, то существует такое непрерывное отображение Л: bs * bs ^i, что /г |в = fs °g и расслоение /г^2 F-эквивалентноg (см. опять 4.4.2.2). Поскольку f есть слабая гомотопическая эквивалентность, существует такое непрерывное отображение к: bs^-*K, что k\B = g и композиция f\°k гомотопна h (см. 4.1.2). Сужение отображения ^ ° к; bsg->bsg2 на В совпадает с f2 ° g и, значит, гомотопно ср; следовательно, существует гомотопное f2 ° к отображение ф: bs£, —> bs g2> совпадающее с ср на В. Так как в цепочке фф2, (/, ° к^2 = кх фф, кхфф = Ui°kyt,b к'^ь 6 соседние расслоения /"-эквивалентны, то расслоение ф|£2 /"-эквивалентно g.

Вывод слабой гомотопической эквивалентности расслоений gj и g2 из их универсальности опирается на до^аТанную часть теоремы. Пусть (К, Ф1), (К, Фг) — клеточные аппроксимации баз расслоений gb g2- Так как расслоения ф^,, ф.-g, слабо гомотопически эквивалентны, то они универсальны, и, следовательно, пространства Кь К2 гомотопически эквивалентны (см. 4.4.2.4).

(Следствие). Если два пространства являются классифицирующими для одной и той же топологической группы, то они слабо гомотопически эквивалентны.

Для всякой топологической группы G существует универсальное G-расслоение с клеточной базой.

Это следует из 4.4.3.4, 4.3.2 и 2.

Главное расслоение универсально в том и только' том случае, если его тотальное пространство оо-связно.

Доказательство. Пусть сначала g — универсальное G- расслоение. В силу 2, g слабо гомотопически эквивалентно Mi G, а так как пространство tl Mi G oo-связно (см. 2.3.3.10, 4.2.7 и 1.11.2), то и пространство tig oo-связно (см. 1).

Пусть теперь g — такое G-расслоениеСтинрода, что пространство tig oo-связно. Фиксируем какую-нибудь клеточную аппроксимацию (К, ф) пространства bs g и рассмотрим G-расслоение Ф^. Так как расслоение Mi G универсально, то ф'е G-эквивалентно расслоению, индуцированному расслоением Mi G по-

средством некоторого непрерывного отображения ф: 7(->bs MiG. Поскольку пространства tl Mi G и fl (ф'-g) оо-связны, а вместе с 11(ф!£) оо-связно и пространство tl (ip'Mi G), применение леммы 1.5.19 показывает, что ф есть слабая гомотопическая эквивалентность (лемма 1.5.19 применяется к гомоморфизму гомотопической последовательности расслоения ф'М1 G в гомотопическую последовательность расслоения MiG, индуцированному отображением ad ф: ф!М1 G —> Mi G). Таким образом, расслоение g слабо гомотопически эквивалентно Mi G и, следовательно, универсально (см. 2).

Если X — классифицирующее пространство топологической группы G, то при любом г ^ 1 группа лг(Х) изоморфна лг-1(О).

Действительно, в силу теоремы 5 гомоморфизмы А из гомотопической последовательности универсального G-расслоения с базой X являются изоморфизмами (см. 1.8.7).

Теоремы 2 и 5 переносятся на ^-универсальные расслоения: если одно из двух расслоений Стинрода с одним и тем же стандартным слоем ^-универсально, то другое ^-универсально в том и только том случае, если оно ^-эквивалентно первому; главное расслоение ^-универсально в том и только том случае, если его тотальное пространство й-связйо. Доказательства представляют собой очевидную модификацию доказательств теорем 2 и 5.

Применение: универс а льные гл а вныерасслоения для Z и Zm

Расслоение (R, hel, S1) является универсальным Z-расслоением. Расслоение (5Д pr, L (тр является универсальным Zm- расслоением. ■

Это следует из 5 ввиду oo-связности пространств R и S°°.

Теория накрытий

1. Главное содержание этого пункта — весьма эффективное перечисление накрытий связного непатологического пространства, дополненное условием эквивалентности двух заданных накрытий. Инструментом служит фундаментальная группа. Изложение очень элементарно и фактически использует из всей теории расслоений только две теоремы, предполагающие заданным накрытие g с отмеченной точкой хе tig: (i) всякий путь в bsg с началом prg(x) обладает одним и только одним накрывающим путем (в tig) с началом х; (ii) если два пути в bsg с началом prg(x) гомотопны, то накрывающие пути (в tig) также гомотопны и, в частности, имеют общий конец. (Эти теоремы являются очевидными следствиями теорем 4.1.3.6 и 4.1.3.8.) Правда,

в действительности мы ссылаемся кое-где и на другие факты теории расслоений (например, на теорему 1.8.12), однако все они легко выводятся из (i) и (И).

В основе теории накрытий лежит определение группы накрытия. Напомним, что, согласно 1.8.12, гомоморфизм рг*: Л] (11 g,x) л, (bsg, prg(x)) является, мономорфизмом для любого накрытия g с отмеченной точкой хе tig. Образ этого мономорфизма называется группой накрытия g с отмеченной точкой х и обозначается через grg(x).

Если pr g (х[) = prg (х0) и s — путь в tig, соединяющий х0 с Х\, то grg(x()=ff [grg(x0)] ст-1, где а—класс петли prg°s. В частности, если prg(x1) = prg(x0), то grg(x0) и grg(xj сопряжены в nj(bsg, х0). Верно и обратное-, группами grg(x) с хе pr g-I(prg(x3)) исчерпываются подгруппы группы n^bsg, prg(x0)), сопряженные с grg(x0). '

Действительно, grg(x,) = prgjnjtlg, аД) = pr g, ° ТДЛ] (tig, ^o)) = ?’pr5oSoprgi(n1 (tig, X0)) =Tpr^os (grg(x0)) = <T[gr g(x0)J CT-', и эти же равенства показывают, что для любого элемента а группы n^bsg, prg(x0)) группа a [gr g (х0)] а'1 совпадает с grg(s(l)), где s —путь в tig с началом х0, накрывающий какую- нибудь петлю класса а.

Иерархия накрытий

Накрытие g с отмеченной точкой х0 е tl g называется подчиненным накрытию g' с отмеченной точкой х' е tl g', если bsg' = bsg и существует такое отображение ср: g' ->g, что bscp = idbsg и tlcp(x') = x0. Отображение ср называется в этом случае подчинением.

Ясно, что если ср: g'-» g — подчинение, то (tig', tlqp, tig) есть накрытие. -

Если подчинение существует, то оно единственно.

v Доказательство. Пусть ср, ф— подчинения накрытия g с " отмеченной точкой х0 накрытию g' с отмеченной точкой х', и пусть х' — произвольная точка пространства tlg'. Если путь s: /—>tlg' соединяет х' с х', то пути tlcp°s, tl гр о s пространства tig накрывают один и тот же путь prg'°s базы bsg и начинаются в одной и той же точке. Следовательно, Вф°« = tl ср ° s и tl ф (х') = tl ф ° s (1) ^ tl ср ° s (1) = tl ср (х').

Если два накрытия с отмеченной точкой подчинены друг другу, то подчинения являются взаимно обратными эквивалентностями.

Доказательство. Пусть ср: g'->g, ср': g—>g' — подчинения. Тогда и ср'о <р: g'^-g', ср о ср': g—> g — подчинения, из чего следует, в силу 4, что ф' ° ср = id g', ср ° ср'= id g.

(Лемма). Пусть g, g' — такие накрытия с общей базой и отмеченными точками xQetlg, x'etlg', что prg'(x') = prg(x0) и gr V (х') с gr g (х0). Если пути $р s': Z —> tl g' начинаются в точке Xq и имеют общий конец, то пути в tl g, накрывающие prg' ° s', prg' о s' w начинающиеся в точке х0, также имеют общий конец.

Доказательство. Пусть sb s2 — пути в tl g с началом х0, накрывающие pr£'°Sp prg'° s'. Класс петли (рг ^ ° s') (pr g' os')-1 принадлежит grg'(x'), а следовательно и gi'g(x0), и потому путь в tig с началом х0, накрывающий указанную петлю, замкнут. Этот замкнутый путь представляется как произведение пути, накрывающего prg' ° s', и пути, накрывающего (prg'° s')-1, причем первый сомножитель начинается в точке х0 и потому совпадает с sb а второй кончается в точке х0 и потому совпадает с s”1. Таким образом, sp s2 имеют общий конец.

Пусть g, g' — такие накрытия с общей базой и отмеченными точками xoetlg, x'etlg', что pr g'(х') = pr g (х0). Тогда-, если g подчинено g', то gr g' (х') сд gr g (х0); если grg'(x')c . grg(x0) и база bs g локально связна, то g подчинено g'.

Первое очевидно; докажем второе. Отнесем точке x'etlg' общий конец путей в tl g, начинающихся в точке х0 и накрывающих пути вида pr g'° и', где и' — путь в tig', соединяющий х' с х' (см. 6). Этим определено некоторое отображение F; tig'—>tl§, удовлетворяющее соотношению prg ° F = prg', и нужно лишь показать, что оно непрерывно. Пусть х' — точка в tig' и U — окрестность точки F (х'у, мы укажем такую окрестность U' точки х', что F (U') ед U.

Для этого найдем в bs g такую окрестность W точки prg'(x'), что некоторые окрестности V', V точек х', F(x') гомеоморфно проектируются на W посредством prg', prg. Поскольку пространство bsg локально связно, W можно уменьшить до такой окрестности Wt точки prg'(x'), что prg'(x') соединяется с любой точкой из Wv путем, проходящим в W. Положим V' = V'H (prg')-1 (I^i), V, = V fl prg-1 (IFj) и примем за U' пересечение HlfKprgT'Cpr^H)). Очевидно, x'eU'; покажем, что F (t7') сд U.

Пусть y'eU'. Так как abprg': V' ->• W — гомеоморфизм, то x' можно соединить с у' некоторым путем у': / > tl S,', проходящим в V'. Определим путь и; Z —> tl g формулой

у (/) — (рг § |у)-1 (pr g' ° у'(/)), фиксируем путь и': Z—> tl g', соединяющий Хд с х', и рассмотрим путь и: I->tlg, соединяющий х0 с F(x) и накрывающий

путь рг£' ° и'. Ясно, что путь и'о' соединяет х' с у', а путь ии накрывает путь рг^о^^О и начинается в точке х0. Следовательно, иу (1)=Е(/), и, значит, К(/)=у(1)=(рг^11/)-' (рг^(у))е КПргГ^Рг^^сгД.

(Следствие). Накрытия £, ^ с общей локально связной базой эквивалентны в том и только том случае, если для некоторых точек х0 е tl g, х' е tl ^ с рг ^ (х') = рг ^ (х0) группы gr £ (х0), gr^(Xg) сопряжены в nf (Ьз^, рг^ (х0)).

Группа автоморфизмов накрытия

Как и автоморфизмы (автоэквивалентности) любого расслоения £, автоморфизмы накрытия ^ составляют группу Autg. Ее структура описывается нижеследующей теоремой 10, в которой х0 обозначает, как обычно, точку, отмеченную в tig. Кроме того, в 10 употребляются два новых обозначения. Первое: через ev обозначается отображение группы Aut^ в слой ргГ'(рг^(х0)), определяемое формулой ev (ф) = tl ср (х0). Второе: через Reg обозначается множество таких точек х из prg~' (£(х0)), что gr £ (х) = gr g (х0). Из 2 следует, что прообраз множества Reg при^отображении A: лДЬз^, prg(х0))л0(ргЕ"1 (рг£(х0)), х0) = prE, ’(pr^Uo)) совпадает с нормализатором Nr(gr£(x0)) группы gr£(x0) в л, (bs ^, рг^(Хо)). [Напомним, что нормализатором Nr (Я) подгруппы Н заданной группы G называется часть группы G, составленная из таких g, что gHg-1=H; это — подгруппа группы G, содержащая Н в качестве своей нормальной подгруппы.] Таким образом, А индуцирует обратимое отображение fact abA: Nr(gr^(x0))/gr^(x0)->Reg.

Отображение ev взаимно однозначно, его образ ev(Autg) содержится в Reg, и сквозное отображение

., ab ev „ (fact ab A)-1.. .. ,, , .

АиЦ>Reg> Nr(gr£(x0))/gr£(x0)

является антигомоморфизмом. Если база ЬзЕ локально связна, то ev (Aut g) = Reg, так что группа Autg антиизоморфна группе Nr (gr£(x0))/gr£(x0). Если, сверх того, накрытие £ регулярно, то Nr(grg(x0)) совпадает с лДЬз^, рг£(х0)), так что группа АиЦ антиизоморфна лДЬз^, рг g(x0))/grg(x0).

Доказательство. Так как всякий автоморфизм ф е Aut^ может рассматриваться как подчинение накрытия g с отмеченной точкой Вф(х0) накрытию g с отмеченной точкой х0, то взаимная однозначность отображения ev прямо следует из 5. Подобным же образом включение ev(Aut g) с Reg следует из первой части теоремы 7, а равенство ev (Aut 1-) = Reg (в случае локально связной базы) — из второй части теоремы 7. Наконец, .антигомоморфность отображения (factab А)-1 ° ab ev очевидна.

Регулярные накрытия

Накрытие g называется регулярным, если для некоторой точки xoetlg подгруппа gr2(x0) группы rtjbs^, рг£(х0)) является нормальной. Из 2 следует, что в этом случае gr£(x) будет нормальной подгруппой группы nj(bs|, рг|(х)) для любой точки xetl£.

Если накрытие 2, регулярно, то, как это видно из 2, для любой точки 6sbs| группы gr^(x) с херг^-1(&) совпадают.

Заметим,что все двулистные накрытия регулярны (подгруппа индекса 2 всегда нормальна). Дальнейшими примерами регулярных накрытий могут служить накрытия (R, hel, S1) и (S’, helm, S1) [см. 4.1.2.6], а также накрытия (S'1-1, pr, L(m; /1, ..., 1^ [см.

2.3.15] и (S3, pr, S^G'P') где Р- тетраэдр, куб или додекаэдр [см.

2.3.17]. Пример нерегулярного накрытия показан на рис. 17 (где две точки, обозначенные через А, как и две точки, обозначенные через В, считаются отождествленными); нерегулярность этого накрытия следует из нижеследующей теоремы 12.

Накрытие 2 в том и только том случае является регулярным, если для некоторой точки хое11^, любой петли з: /-*112, с началом х0 и любой точки х ел рг Д' (рг^ (х0)) п

рг^ ° з и начинающийся в точке х,- замкнут.

Действительно, последнее условие означает, что всякий элемент группы gr^(x0) принадлежит и любой группе gr^(x) с х е ргД"1 (рг£(х0)), из чего следует, что любая подгруппа группы Л! (bs£, рг 2, (х0)), сопряженная с gr £ (х0), совпадает с gr £ (х0) [см. 2].

Накрытие 2, в том и только том случае регулярно, если оно эквивалентно главному расслоению. Структурная группа такого расслоения дискретна и изоморфна G = ni(bs£, pr Hx0))/gr |(х0), и всякие два G-расслоения Стинрода, которым эквивалентно £, G-эквивалентны между собой.■

Доказательство. В силу 4.3.2.10 и 4.3.2.11, £ в том и только том случае эквивалентно G-расслоению Стинрода, если в 112, можно определить непрерывное свободное правое действие группы G, траектории которого совпадают со слоями, так что, в частности, группа G должна быть дискретной. Преобра-

зования пространства tig, определяемые таким действием, определяют автоморфизмы накрытия g, согласно же 9 такое действие возможно лишь в случае, когда g регулярно и группа G антиизоморфна Autg, т. е. изоморфна n^bsg, pr g (x0))/gr g (х0).

Существование накрытий

Топологическое пространство X называется микроодно- связным, если у каждой точки х е X есть такая окрестность U, что гомоморфизм in,: Л! (77, х) —> Л] (А, х) тривиален.

Класс микроодносвязных пространств содержит, очевидно, все односвязные пространства и все локально стягиваемые пространства [в числе последних все локально евклидовы пространства и все корсы (см. 1.3.6.8), в частности, все клеточные пространства (см. 2.1.4.5)].

Пространство, обладающее односвязным накрывающим, микроодносвязно.

Действительно, если g — накрытие с односвязным накрывающим tl g и b — точка базы bs g, то гомоморфизм in,: л, (U, 6) -> %](bsg, b) тривиален для любой окрестности U точки b с тривиальным сужением g |у.

Если пространство В связно, локально связно и микроодносвязно, то для всякой его точки Ьй и всякой подгруппы л группы щ{В,Ь^ существует такое накрытие g с отмеченной точкой xoetlg, что bsg = B, prg(x0) = &0 « §г^(х0) = л.

Доказательство. Профакторизуем множество ^ (7, 0; В, Ь^, отождествив каждые два пути sb s2 с общим концом, у которых класс петли s^1 содержится в л, и обозначим фактормножество через Е. Обозначим, далее, через Mb (77, V; s), где 77 — открытое множество в В, V — открытое множество в 77, as — путь в В с s(0) = b0, s(l) е V, подмножество множества Е, составленное из точек, представляемых путями вида say с® (7) сU, w (1) е V. Множества Nb(77, V; s) удовлетворяют условиям предложения 1.1.1.9 и, следовательно, составляют базу некоторой топологии. [Мы оставляем в стороне отношение этой топологии к фактортопологии, определяемой в Е топологией пространства ^(7, 0; В, &0).] Ясно, что отображение р; Е—>В, относящее точке из Е общий конец представляющих ее путей, непрерывно и, более того, открыто. Мы полагаем g = (£, р, В) и определяем х0 как точку пространства Е, представляемую постоянным путем. Очевидно, р (х0) = Ьо; покажем, что g есть накрытие и что grg(x0) = n. ■

Сначала мы докажем, что g — накрытие в широком смысле. Пусть b — произвольная точка пространства В. Найдем такую окрестность U точки Ь, что гомоморфизм включения ЛД77, Ь)-> Л1 (В, Ь) тривиален, и в ней такую окрестность V точки Ь,

ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ РАССЛОЕНИИПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ РАССЛОЕНИИ469469$ 6)

ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ РАССЛОЕНИИ

ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ РАССЛОЕНИИ

469

469

что b соединяется с любой точкой из V путем, проходящим в U. Мы покажем, что | |v есть тривиальное расслоение с дискретным слоем.

Для этого соединим bQ с b каким-нибудь путем s: I-^ В и фиксируем для каждого смежного класса аел] (в, Ь0^л петлю иа: I -* В, представляющую какой-нибудь элемент этого смежного класса. Множества Nb(77, V; uas) открыты и попарно не пересекаются [если пути (uas) w и (uas) wx с w (7) cz U, wY (7) az U определяют одну и ту же точку пространства Е, то a = ab так как петля ((uas) ф) ((na s) ©j)-1, и с ней гомотопная ей петля wau~', принадлежит классу из л]. Они покрывают р-' (V) [всякий путь s', соединяющий Ьо с точкой из V, гомотопен пути вида (us) ш, где и — петля и ш (7) az 77, например, пути (((s'®~') s—1) s) w, где w — какой-нибудь путь в 77, соединяющий b с s'(l)]. Наконец, отображения abp: Nb(77, V; uas)-^-V открыты вместе с р и обратимы [если пути (uas)®, (иа5)йУ] с w^ciU, Wt (Г) с U имеют общий конец, то они гомотопны], т. е. являются гомеоморфизмами. Таким образом, сужение £ |к действительно является тривиальным расслоением с дискретным слоем.

Остается доказать, что Е связно и что путь в £ с началом х0, накрывающий петлю класса а из Л] (В, Ьо), замкнут тогда и только тогда, когда пел. Обозначим для пути s: 7 -*■ В с началом &0 через s' путь в Е, относящий числу t <= I точку пространства Е, которая представляется путем т>—>s(/t). Ясно, что s' .соединяет х0 с точкой пространства Е, представляемой путем s, и накрывает s. Из этого следует, во-первых, что всякая точка из Е соединяется путем с х0 и, во-вторых, что конец пути с началом х0, накрывающего петлю с началом Ьй, совпадаете точкой пространства Е, которая представляется этой петлей. Первое показывает, что пространство Е связно, -а второе показывает, что конец пути с началом х0, накрывающего петлю с началом Ьо, тогда и только тогда совпадает с х0, когда гомотопический класс этой петли принадлежит л.

Предыдущая теорема завершает теорию накрытий с фиксированной базой. Вместе с теоремой 7 она устанавливает взаимно однозначное соответствие между классами эквивалентных накрытий над связным локально связным микроодносвязным пространством В с отмеченной точкой 60 и классами сопряженных подгрупп группы Л] (В, bQ\ Оно переводит иерархию накрытий в обычную теоретико-множественную иерархию подгрупп, причем нормальные подгруппы соответствуют регулярным накрытиям. Тривиальной подгруппе отвечает накрытие с односвязным накрывающим. Поскольку последнему накрытию подчинены все остальные, его называют универсальным. (Предостережение: не следует смешивать эту универсальность с универсальностью в теории

расслоений Стинрода. Впрочем, среди универсальных расслоений Стинрода имеются универсальные накрытия: таковы универсальные главные расслоения, отвечающие дискретным группам; см. 1.5 и ср. 18.)

Применение: классифицирующие пространствадискретных групп

Для того чтобы связное топологическое пространство X было классифицирующим пространством дискретной группы л, необходимо, а если X локально связно и микроодносвязно, то и достаточно, чтобы группы лг(Х) с г ^2 были тривиальными, а группа Hj (X) была изоморфна л.

Необходимость следует из 1.5, 13 и 1.9.15. Достаточность следует из 16, 1.8.12 и 1.5.

Накрывающие отображения

Пусть £, £' — накрытия с отмеченными точками х0 е tl g, x'etl^ и f: (bs^, pr ^ (%'))-> (bs g, pr | (x0)) — непрерывное отображение. Тогда включение f (gr ^ (х^)) с= gr ^ (х0) является необходимым, а в случае, когда база bs^ локально связна, и достаточным условием существования отображения ср: ^-> ^ с Нср(Хд) = х0. Если такое отображение ср существует, то оно единственно.

Доказательство. Что существование такого отображения влечет за собой включение f (gr ^ (х')) с gr- (х0), видно из коммутативности диаграммы

л, (tl ^, х') Л, (11 В, х0)

|рг Iрг

^(bs^, pr V(^))-^n1(bsg, ргЦх0))

(см. 1.8.6). Докажем обратное. Рассмотрим расслоение f1^ и отображение ad/: )^—>^. Пусть z/q — точка слоя (pr/g)-1 (рг Д (х')), такая, что tl ad f (с/') = х0. Пусть, далее, У'— комцонента пространства 11 (/'£), содержащая z/', и р' — сужение отображения pr fg на ¥'. Ясно, что (У', р', bs ^) — накрытие, что tl ad f составляет с f отображение этого накрытия в § и что отображение 11 ad ) ]у' взаимно однозначно на каждом слое этого

накрытия. Так как в диаграмме

Л1 (у'. Уо) "1 (bs g', pr f (x'))> л0 ((/) 1 (pr g' (x')), Z/')

|ab tl ad f*|f*|ab tl ad Ц

Pr 5»A

Л1 (tl g, x0) ► Л1 (bs g. pr I (x0))* Ло (pr g (pr I (x0)). x0)

строки точны, а левый вертикальный гомоморфизм является мономорфизмом, то f;1(lm(prgj) = lmp' и, значит, Im р( лэ grg'(x'). Из этого следует, ввиду локальной связности пространства bsg', что накрытие (У', р', bs g') с отмеченной точкой у-, подчинено накрытию V с отмеченной точкой х'. Если ф' — подчинение, то композиция (tl ad / |у,) ° tl ф' составляет с f требуемое отображение ср.

Докажем, наконец, единственность ср. Пусть фр g'->g— другое отображение с ИфДх^ — Хд. Тогда для любой точки х' g tl g' и любого пути s': /->tlg', соединяющего^ с х', пути tl ф ° s', Иф] ° s' накрывают путь f°prg'°s' и начинаются в точке х0. Следовательно, в этих условиях tl ф ° s' = tl ф] ° s' и, значит, tl ф (х') = И ф ° s'(1) = И ф] ° s'(1) = И ф] (х').

Пусть g — накрытие с отмеченной точкой х0 е tl g, и пусть У — локально связное пространство с отмеченной точкой у0 и f: (У, z/o)-*(bsg, prg(x0))— непрерывное отображение. Если f^^iiY, z/o)) ^ grg (х0) [в частности, если Y односвязно\, то существует отображение F: (У, z/0) -> (tl g, х0), накрывающее f.

(Ср. 4.1.3.8.)

Для доказательства достаточно применить теорему 19 к накрытиям g и g' = (У, id, У).■

Накрытия и дополнительные структуры

Существует важный общий принцип, согласно которому дополнительная структура, определенная в базе накрытия, естественно поднимается при благоприятных условиях в накрывающее пространство. Мы заключим наше изложение теории накрытий применением этого принципа к трем структурам: дифференциальной, клеточной и- симплициальной. Дальнейшие применения имеются в упражнениях 5.10,-5.11.

В случае дифференциальной структуры мы с самого начала ограничимся многообразиями, т. е. предположим, что база bs g накрытия g является ^'-многообразием (1^г^я) и что число листов накрытия счетно. Каждая карта ф е Atl bs g, над которой § является тривиальным расслоением, обладает в tig копиями, покрывающими множество pr ё—1 (supp ф), и ясно-, что

все вместе такие копии составляют ^-атлас пространства tl g. Этот атлас наделяет пространство tig ^'-структурой и делает его ^'-многообразие. Фундаментальное свойство поднятой ^'-структуры, определяющее ее единственным образом, состоит в том, что относительно нее проекция рг g является ^'-субмерсией, т. е. накрытие g является ^'-расслоением. Добавим, что из ориентируемости bsg следует ориентируемость tl g.

Подъем клеточной структуры производится аналогично, только для подъема клеток и характеристических отображений приходится пользоваться теоремой 20. В итоге тотальное пространство накрытия с клеточной базой оказывается клеточным пространством (оснащенным, если оснащена база), а проекция — клеточным отображением.

Подъем симплициальной структуры, может рассматриваться как специальный случай подъема клеточной структуры. Тотальное пространство накрытия с симплициальной базой оказывается симплициальным пространством (упорядоченным, если упорядочена база), а проекция — симплициальным отображением.

Во всех трех рассмотренных ситуациях поднятая структура инвариантна относительно автоморфизмов накрытия, и ясно, что, по крайней мере в случае регулярного накрытия g, всякая дифференциальная или клеточная структура, определенная в tl g и инвариантная относительно автоморфизмов накрытия, может быть спущена в bsg, т. е. получена как результат подъема (для симплициальной структуры последнее делается верным после двукратного барицентрического подразделения). Например, линзы и факторпространства сферы S по бинарным группам тетраэдра, куба и додекаэдра (см. 4.2.3.17) накрываются сферами регулярно (см. 4.3.2.11 и 13) и, таким образом, являются ^-многообразиями.

Заметим, что предыдущее условие инвариантности структуры относительно автоморфизмов накрытия g заведомо выполнено, если g является ^'-расслоением и речь идет о ^'-структуре, имеющейся в tig. В этом случае спущенная ^'-структура, очевидно, совпадает с имеющейся в bs g. Именно так обстоит дело, например, со всеми накрытиями, описанными в 4.1.2.6, в частности, с накрытиями (R, hel, S1), (S', helm, S1) и (S", pr, RP").

Пусть g — вещественное векторное расслоение размерности п. Рассмотрим ассоциированное главное расслоение asso(g, GL(n, R)) и профакторизуем его тотальное пространство tl asso (g, GL (n, R)) по правому действию группы GL+ (n, R), возникающему при сужении канонического правого действия группы GL^n, R) в tlasso(g, GL^n, R)) [см. 4.3.2.10]. Пространство орбит этого действия группы GL+ (п, R) обозначается через bs+g. Оно служит тотальным пространством расслоения с базой bs g и проекцией fact pr asso (g, GL^n, R)). Ясно, что это расслоение является двулистным накрытием в широком смысле. Оно обозначается через org.

Точки пространства bs+ g очевидным образом интерпретируются как пары (х, е), где х — точка пространства bs g, а е — ориентация слоя prg-1(x). Это позволяет интерпретировать одновременное ориентирование слоев расслоения g как отображение s: bsg—>bs+|, такое, что pr or § ° s = id bsg, и ясно, что согласованность этих ориентаций в смысле 4.5.1.8 есть не что иное, как непрерывность отображения s. Таким образом, ориентации расслоенйя g оказываются сечениями расслоения org.

Важнейшие следствия: (i) расслоение g ориентируемо в том и только том случае, если or g — тривиальное расслоение; (ii) расслоение g заведомо ориентируемо, если база bs g локально связна и фундаментальные группы ее компонент не имеют подгрупп индекса 2 (последнее условие выполнено, например, если компоненты односвязны); (iii) если расслоение g ориентируемо, то число его ориентаций совпадает с числом отображений comp bs g->S° (в частности, если число компонент конечно и равно т, то число ориентаций равно 2т).

В дополнение к предыдущему построению мы сделаем следующее замечание. Рассмотрим для вещественного векторного расслоения g расслоение g+с базой bs+ g, индуцированное расслоением g посредством проекции prorg. Наше замечание заключается в том, что расслоение g+ обладает канонической ориентацией. Именно, ориентация его слоя prg+*(x, е), где х — точка базы bsg, а е —ориентация слоя prg~'(x), определяется как ориентация е, перенесенная в prg+* (х, е) изоморфизмом ■

abtl ad (prorg): prg7’(x, e) ->prg-1 (x);

что эти ориентации согласованы в смысле 4.5.1.8, очевидно.

Случай гладких многообразий

Поскольку ориентировать гладкое многообразие — значит ориентировать его касательное расслоение (см. 4.6.4.4), сказанное в 2 применимо к ориентируемости и ориентациям

гладких многообразий. В частности: гладкое многообразие X ориентируемо в том и только том случае, если расслоение or tang X (двулистное накрытие в широком смысле с базой X) тривиально; гладкое многообразие заведомо ориентируемо, если фундаментальные группы его компонент не имеют подгрупп индекса 2 (например, если все компоненты односвязны).

Добавим, что, согласно 2.21, пространство tl or tang X является гладким многообразием, и из 3 следует, что оно обладает канонической ориентацией. Если X связно и неориен- тируемо, то or tang X есть (двулистное) накрытие в узком смысле; это накрытие называют ориентирующим.

Некоторые расслоения над сферами

Настоящий пункт содержит простейшие сведения об ориентированных вещественных векторных расслоениях и о комплексных векторных расслоениях над сферами малых размерностей. Эти сведения, с одной стороны, представляют самостоятельный интерес, с другой стороны, иллюстрируют общую теорию.

Напомним, что классы О£+Кп-эквивалентных ОЕ+К”-расслое- ний над клеточной базой находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с гомотопическими классами непрерывных отображений этой базы в G+(oo, п), а классы GLCn- эквивалентных ССС^-расслоений над клеточной базой — в естественном взаимно однозначном соответствии с гомотопическими класса:: I непрерывных отображений этой базы в CG(oo, п\ см. 4.5.3.7. Если базой служит сфера Sr с г^1, то, ввиду простоты пространств G+ (оо, п) и CG(oo, п), указанные гомотопические классы могут быть отождествлены с элементами групп лг(С+(оо, ц)) и nr(CG(co, «)), последние же канонически изоморфны группам лг_] (SO (»)) и лг_1(О(л)) [см. 2.8.2 и 2.8.4]. Таким образом, классы ОТ+Кг‘-эквивалентных ОЕ+К^-расслоений над Sr с г>1 находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с элементами группы nr_j (SO (п)), а классы GLCn- эквивалентных ОТС^-расслоений над Sr с r^ 1 —в естественном взаимно однозначном соответствии с элементами группы л^ДО^)). Поскольку группы лг_] (SO (п)) и лг_ДСДи)) с несколькими начальными значениями г нам известны [см. п. 2.6], это дает классификацию соответствующих расслоений. Она и излагается здесь в самых грубых чертах. Некоторые дополнения имеются в упражнениях 5.14—5.19.

Стоит заметить, что этот метод применим в значительно более общей ситуации. Пусть G — топологическая группа и F — эффективное G-пространство. Согласно общей теории расслоений (см. п. 4.4.2), элементы множества Stee(S4, F) находятся

в естественном взаимно однозначном соответствии с элементами множества л (S'7, X), где X— произвольное классифицирующее пространство группы G. Если X g-просто (например, если группа G связна), то л (S'7, X) не отличается от л^Х), а при q^Y — от ^-i(G) [см. 1.6].

Ориентированный вещественный случай

Так как группы л0 (SO (п)) тривиальны, то при любом натуральном п всякое ОЕ+Е^-расслоение над окружностью S1 СЕ+К^тривиально.

Так как группа Л[(5О(1)) тривиальна, группа Л) (SO (2)) изоморфна Z, а группа л, (SO (га)) сп^З изоморфна Z2, то: всякое бЕ+Е'-расслоение над сферой S2 ОЕ+Е'-тривиально; число попарно ОЕ+Е2-неэквивалентных ОЕ+Е2-расслоений над S2 счетно бесконечно; при и^З число попарно ОЕ+Е^-неэквивалентных ОЕ+Е^-расслоений над S2 равно 2.

Так как группы л2 (SO (и)) тривиальны, то при любом натуральном п всякое СЕ+Еп-расслоение над сферой Sj GL+Rn- тривиально.

Так как группы л3 (SO (1)) и л3 (SO (2)) тривиальны, а группа л3 (SO («)) си^З счетно бесконечна, то: всякое ОЕ+Е'-расслоение над сферой S4 СЕ+Е*-тривиально; всякое ОЕ+Е2-расслоение над S4 ОЕ+Е2-тривиально; при п^З число попарно GL+Rn- неэквивалентных СЕ+Е"-расслоений над S4 счетно бесконечно.

Комплексный случай

Так как группы л0(О(п)) тривиальны, то при любом натуральном п всякое ОЕС^-расслоение над S1 ОЕС'г-тривиально.

Так как группа л, (U (и)) с n^Y изоморфна Z, то при любом натуральном п число попарно GL (^-неэквивалентных GL С^-расслоений над S2 счетно бесконечно.

Так как группы л, ((7(h)) тривиальны, то при любом натуральном п всякое ОЕС'1-расслоение над S3 ОЕС"-тривиально.

Так как группа л2(£/(1)) тривиальна, а группа л3(£/(п)) с и^2 изоморфна Z, то: всякое ОЕС*-расслоение йад S4 GEC'-тривиально; при и 2^2 число попарно ОЕС^-неэквивалент- ных СЕС"-расслоений над S4 счетно бесконечно.

Упражнения

Показать, что гладкое компактное двумерное многообрг зие нельзя нетождественно накрыть кругом Е)2.

Показать, что гладкое компактное двумерное многообразие нельзя накрыть полуплоскостью R-.

Показать, что сфера с g~ ручками в том и только том случае способна m-листно накрыть сферу с g ручками, если GT-l) = m(g- 1). [Ср. 4.1.5 Л.]

Показать, что сфера с h пленками в том и только том случае способна /n-листно накрыть сферу с h пленками, если (/Г - 2) = m (А - 2). [Ср. 4.1.5.2.]

Показать, что сфера с g ручками в том и только том случае способна m-листно накрыть сферу с h пленками, если т четно и g — 1 = tn (А — 2)/2. -

Показать, что топологическое пространство в том и только том случае способно нетождественно накрыть бутылку Клейна, если оно гомеоморфно бутылке Клейна, внутренней части ленты Мебиуса или одному из произведений R.X R, R-X S1, S1 X S’.

Показать, что для всякой группы Л] и любых абелевых групп л^, л3, ..., наделенных правым групповым действием группы ль существуют такое клеточное пространство X с отмеченной точкой х0 и такой изоморфизм f: л, -> nt (X, х0), что группы л2(Х, х0), Лз^, х0), ... /-изоморфны группам л2, л3, . ..

Показать, что если база накрытия g является п-мерным локально евклидовым пространством, то tig есть «-мерное локально евклидово пространство с краем prg-l(dbsg).

Показать, что накрывающее локально конечного клеточного пространства локально конечно (см. 2.21).

Пусть база накрытия g является топологической группой. Показать, что, какова бы ни была точка х слоя prg-1(ebS|), пространство tig обладает одной и только одной групповой структурой, делающей tig топологической группой с единицей х, a prg — гомоморфизмом. ‘

Показать, что если в базе конечнолистного накрытия можно определить транзитивное действие связной компактной топологической группы, то и в тотальном пространстве этого накрытия может быть определено транзитивное действие связной компактной топологической группы.

Показать, что если у двулистного накрытия g база является неориентируемым гладким многообразием, а тотальное пространство ориентируемо, то g эквивалентно ориентирующему накрытию многообразия bsg.

Показать, что если неориентируемое гладкое многообразие X накрывается ориентируемым многообразием, то и tlortangX накрывается этим ориентируемым многообразием.

Показать, что: (1) при любом натуральном п существует и единственно с точностью до ОА₽"-эквивалентности GAR"-He- тривиальное G/^"-расслоение над окружностью S1, причем в случае п=1 его тотальное пространство гомеоморфно внутренней части ленты Мебиуса; (И) число попарно* GLR2-ue- эквивалентных GAR2-paccлoeний над S2 счетно бесконечно;

ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ РАССЛОЕНИИПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ РАССЛОЕНИИ477477S в]

ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ РАССЛОЕНИИ

ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ РАССЛОЕНИИ

477

477

(Hi) при га^З число попарно GZ.R"-нeэквивaлeнтныx GLRn- расслоений над S2 равно 2; (iv) при любом натуральном п всякое О£Р"-расслоение над S3 ОЛ₽"-тривиально; (v) всякое ОбР2-расслоение над S4 бАР-тривиально; (vi) при п^З число попарно ОТ^-неэквивалентных О/^-расслоений над S4 счетно бесконечно.

Показать, что при г ^2 всякое GLR'-расслоение над Sr СЛР'-тривиально.

Показать, что при г^З: всякое ОбР2-расслоение над 5Г GLR2-тpивиaльнo; всякое С£+Р2-расслоение над Sr GL+R2- тривиально; всякое О£С‘-расслоение над Sr GGC'-тривиально.

Показать, что два С1+К2-расслоения над S2 в том и только том случае делаются эквивалентными после расширения структурной группы GL+ (2, R) до GL (2, R), если соответствующие элементы группы Л] (50(2)) [см. 4.1] совпадают или взаимно обратны.

Показать, что для всякого нетривиального О₽2-рассло- ения £ с базой S2 пространство tl asso(£, S') гомеоморфно одной из линз 1Дт\ 1, 1) [подразумевается каноническое действие группы 0(2) в S'].

Показать, что при п^2 число попарно О£С"-неэквива- лентных ОЛС"-расслоений над S5 не превосходит 2.

Информация. Это число равно 2; если га = 2, и 1, если га > 2.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

A d a m s J. F., On the non-existence of elements of Hopf invariant one, Ann. Math. 72, № 1 (1960), 20—104; русский перевод: Математика 5, № 4 (1961), 3—86.

Adams J. F., Atiyah M. F„ /(-theory and the Hopf invariant, Quart. J. Math. 17, № 65 (1966), 31—38.

Бурбаки H„ Общая топология. Основные структуры, Физматгиз, 1958.

Brown М., Locally flat imbeddings of topological manifolds, Ann. Math. 75, № 2 (1962), 331—341.

Gala bi E., Rosenlicht M„ Complex-analytic manifold without countable base, Proc. Amer. Math. Soc. 4 (1954), 335—340.

Dowker С. H., Topology of metric complexes, Amer. J. Math. 74 (1952), 555—577.

Фукс Д. Б., Гомотопическая топология, в сб. «Алгебра. Топология. Геометрия» из серии «Итоги науки», ВИНИТИ, 1971, стр. 71 —122.

Grauert Н., On Levi’s problem and the imbedding of-real analytic manifolds, Ann. Math. 68 (1958), 460—472; русский перевод: Математика 4, № 3 (1960), 29—40.

Ходж В., Пидо Д., Методы алгебраической геометрии, т. 1; ИЛ, 1954.

Kampen Е. R., van, Komplexe in Euklidischen Raumen, Abh. Math. Sem. Hamburg Univ. 9 (1932), 72—78, 152—153.

Келли Дж., Общая топология, «Наука», 1968.

Kervaire М., A manifold which does not admit any differentiable structure, Comment. Math. Helv. 34 (1960), 257—270.

Куратовский К., Топология, т. 1, «Мир», 1966.

Куратовский К., Топология, т. 2, «Мир», 1969.

Milnor J., On manifolds, homeomorphic to the 7-sphere, Ann. Math. 64, № 2 (1956), 399—405; русский перевод: Математика, 1, № 3 (1957), 35—42.

Milnor J., On spaces having the homotopy type of CW-complex, Trans. Amer. Math. Soc., 90, № 2 (1959), 272—280.

Милнор Дж, Теория Морса, «Мир», 1965.■

Рохлин В. А., Вложение неориентируемых трехмерных многообразий в пятимерное евклидово пространство, ДАН СССР 160, № 3 (1965), 549—551.

Serre J.-P., Groupes d’homotopie et classes de groupes abeliens, Ann. Math. 58, № 2 (1953), 258—294; русский перевод: сб. «Расслоенные пространства», ИЛ, 1958, стр. 124—162

S m а 1 е S., A survey of some recent development in differential topology, Bull. Amer. Math. Soc. 69, № 2 (1963), 131—145; русский перевод: УМН 19, № 1 (1964), 125—138.

Стернберг С., Лекции по дифференциальной геометрии, «Мир», М., 1970.■ .

Whitney Н., Differentiable manifolds, Ann. Math. 37 (1936), 645—680.

W h i t n e у H., A function not constant on a connected set of critical points, Duke math. J. 1 (1935), 514—517.

Аксиомы счетности 26

Аналитическое многообразие 147

— отображение 143

Ансамбль гомотопических групп, 364, 369

слоев верхний 385

нижннй 385

тотального пространства нижний

395

•— групп 361

— индуцированный 362

— канонический простой 363

— простой 363

Аппроксимация клеточная 121, 448

— симплицнальная 117, 129

Ассоциированное расслоение 291

— сечение 256, 293

Атлас 140

— голоморфный 165

— полный 140

База 14, 254

— в точке 15

Барицентрические координаты 99

Барицентрическое подразделение 108

Биголоморфное отображение 163, 165

Бинарная группа додекаэдра или икосаэдра 282

куба или октаэдра 282

тетраэдра 282

Борсука пара 70

Букет 55

Бутылка Клейна 247

Бэра пространство 213

Ван Кампена подгруппа 426

Вектор касательный 154

Векторное поле 157, 315

нулевое 315

— расслоение вещественное 309

комплексное 313

ориентированное 311

Верхнее многообразие Грассмана 175

— пространство Грассмана 321

Верхний ансамбль гомотопических групп слоев 385

Вершина евклидова симплекса 98

— конуса 48, 56

— надстройки 48, 56

Вещественное векторное расслоение 309

^^расслоение 337

— проективное пространство 45, 47

Взаимно однозначный фактор 11

Вложение голоморфное 166<

— дифференциальное 159

— клеточное 87

— правильное 159

— топологическое 22

Внешняя точка 14

Внутреннее действие 274

Внутренность 14•

Внутренняя точка 14, 131, 141

— часть 14, 131, 141

Всюду плотное множество 14

Выделяемое множество 23

Главное расслоение 289

Гладкое многообразие 147

— отображение 143

Голоморфное вложение 166

— отображение 163, 165

Голоморфность 348

Голоморфный атлас 165

Гомеоморфизм 21

отмеченный (^-структуры) .284

Гомоморфизм ансамбля в ансамбль 362

индуцированный непрерывным отображением 361, 367

присоединенный к действию 272

топологической группы в топологическую группу 266

Гомотопическая группа 358

относительная 367

*— последовательность главного расслоения 396

пары 380

расслоения 388

тройки 383

— эквивалентность 62

— — слабая 439, 443, 461

Гомотопический класс 61

— тип 62

Гомотопия 60

— обратная (другой гомотопии) 60

— постоянная 60

— прямолинейная 61

— свободная 61, 363

— связанная 61

— слоистая 383

Граница 14

— сфероида 368

Граничная точка 14

Грань 98

Грассмана многообразие 174

верхнее 175

кватернионное 180

комплексное 179

некомпактное 181

— пространство 321

верхнее 321

комплексное 321

— расслоение 324

Грассмана — Плюккера координаты 179

Группа гомотопическая 358

относительная 367

— додекаэдра или икосаэдра 282

бинарная 282

— куба или октаэдра 282

бинарная 282

— накрытия 464

— ортогональная 271

— полная линейная 271

Евклидов симплекс 98Евклидов симплекс 98 ориентированное 311— o’ -расслоение 337Единицы компонента 265Единичный симплекс 100 ориентированное 311— o’ -расслоение 337Единицы компонента 265Единичный симплекс 100

Евклидов симплекс 98

Евклидов симплекс 98

ориентированное 311

— o’ -расслоение 337

Единицы компонента 265

Единичный симплекс 100

ориентированное 311

— o’ -расслоение 337

Единицы компонента 265

Единичный симплекс 100

Группа симплектическая 271

— специальная ортогональная 271

унитарная 271

— стабильная 408

— структурная 286

— тетраэдра 282

бинарная 282

— топологическая 264

— унитарная 271

— фундаментальная 359

Групповое действие 274

Действие 272

— групповое 274

— индуцированное 273

— левое 273

внутреннее 274

каноническое 274

— непрерывное .275

— правое 273

внутреннее 274

каноническое 274•

— сопряженное 274

— топологически эффективное 294

— транзитивное 272

— эффективное 272

Деформационная ретракция 63

Деформационный ретракт 63 '

Джойн 48, 56

— клеточный 97

— снмплициальный 112

Диагональ 12

Диагональное отображение 12

Диаметр 17

Дискретная топология 13

Диффеоморфизм 139, 144

— обращающий ориентацию 151

— сохраняющий ориентацию 151

Дифференциал 156

Дифференциальная структура 140

Дифференциальное вложение 159

— многообразие 147

Додекаэдра или икосаэдра группа 282

бинарная 282

Дополнение ортогональное (подрасслоения)

упорядоченный 99

Евклидова метрика (в векторном расслоении) 311

Евклидово расслоение 310

Замкнутая клетка 82

Замкнутое многообразие 135, 147

— множество 13

— отображение 20

— покрытие 16

— разбиение 39

Замкнутый путь 64

Замыкание 11

Звезда 113.

— барицентрическая 116

— открытая 113

Значение критическое 161

Изоморфизм расслоений 255

Иммерсия 159

Инвариантное множество 273

Индекс критической точки 190, 232

— перестройки 244

— пристройки 243

— стандартного элементарного кобордизма 235

— элементарного кобордизма 238

Индуктивно склеенное клеточное пространство 88

Индуцированное действие 273

— расслоение 265

Индуцированный ансамбль 362

— гомоморфизм 361, 367

Кайма 203

Канонический простой ансамбль 363

Карта 140

— комплексная 164

Касательное расслоение 344

Касательный вектор 154

Кватернионное многообразие Грассмана 180

Штифеля 172

—- проективное пространство 46, 47

Класс гомотопический 61

— Л-гомотопический 61

Классифицирующее пространство 303

Клейна бутылка 247

Клетка 82

— замкнутая 82

Клеточная аппроксимация 121, 448

— пара 85

— топология 83

— триада 85

— тройка 85

— эквивалентность 87

Клеточное вложение 87

— ослабление топологии 83

— отображение 86

— произведение 95

— пространство 83

индуктивно склеенное 88

— разбиение 82

оснащенное 82

— тензорное произведение 97

Клеточный джойн 97

Кобордизм 231

— стандартный тривиальный 235

элементарный 235

— тривиальный 238

— элементарный 238

Компактно открытая топология 51

Компактное пространство 28

Комплексифнкация 320

Комплескная карта 164

— оболочка (расслоения) 320

— структура 165

Комплексное векторное расслоение 313

-расслоение 337

— многообразие 165

Грассмана 179

Штифеля 171

— проективное пространство 45, 47

— пространство Грассмана 321

Компонента. (топологического пространства) 66

— единицы 265

Конус 47, 56

— отображения 50

Координаты барицентрические 99

— Грассмана — Плюккера 179

— локальные 141

однородные 45, 46

Коразмерность 145

Короткая последовательность 373

Корректирующее отображение 256

Корс 74

Краевая точка 131, 141

Край 131, 141

Крендель 247

Критическая точка 190

невырожденная 190

Критическое значение 161

Круг с вывернутой ручкой 247

Куба или октаэдра группа 282

— —бинарная 282

Левое внутреннее действие 274

— действие 273

— каноническое действие 274

Лента Мебиуса 246

Линза 281

Линк 114

— барицентрический 116

Локально евклидово пространство 131

— компактное пространство 32

— конечное покрытие 16

— связное пространство 69

— стягиваемое пространство 69

— тривиальное расслоение 255

Локальное представление отображения 143

Локальные координаты 141

Мебиуса лента 246

Метризуемое пространство 17

Метрика 16

— евклидова (в векторном расслоении) 311

— риманова 345

Метрическая окрестность 17

— топология 17

Метрическое пространство 16

Микроодносвязное пространство 468

Милнора расслоение 304

Многообразие 135

— аналитическое 147

— гладкое 147

— Грассмана 174

верхнее 175

кватернионное 180

— — комплексное 179

некомпактное 181

— дифференциальное 147

— замкнутое 135, 147

— касательных векторов тотальное 155

— класса ^Г 147

— комплексного происхождения 168

— комплексное 165

— ориентированное 149

— открытое 135

— параллелизуемое 157

— стабильно параллелизуемое 344

— топологическое 135

— Штифеля 169

вещественное 169

кватернионное 172

комплексное 171

некомпактное 173

Множество всюду плотное 14

— выделяемое 23•

— замкнутое 13

— инвариантное 273

— насыщенное 11

— нигде не плотное 14

— ограниченное 17

— открытое 13

— плотное 14

Модельные поверхности 247

Морса функция 232

правильная 232

стандартная 235

Надстройка 48, 56, 319, 403

Накрывающее отображение 258

— пространство 257

Накрытие 257

— в узком смысле 257

широком смысле 257

— ориентирующее 474

—• подчиненное 464

— регулярное 467

— универсальное 469

Насыщение 11

Насыщенное множество 11

Некомпактное многообразие Грассмана 181

Штифеля 173

Непрерывное действие 275

— отображение 19

Неравенство треугольника 16

Неэффективности ядро 272

Нигде не плотное множество 14

Нижний ансамбль гомотопических групп слоев 385

тотального пространства 395

Нормальная трансверсализация 198

— ^-трансверсализация 334

Нормальное пространство 23

— расслоение 345

Носитель карты 140

— топологического симплекса 100

Оболочка комплексная (расслоения) 320

Образующая джойна 48

— конуса 47, 56

— надстройки 48

— цилиндра отображения 50

Обратный путь 64

— сфероид 357

Объединение (топологических пространств) 41

Овеществление 313

Ограниченное множество 17

Однородное пространство 277

Однородные координаты 45, 46

Односвязное пространство 68,

Окаймление 203'

— двустороннее 205

Окрестиостный ретракт 73

Окрестность 13, 14

— метрическая 17

— правильная 119

— регулярная 116

Орбита 272

Ориентация 149, 312

Ориентированное векторное расслоение 311

— евклидово расслоение 311

— многообразие 149

Ориентирующее накрытие 474

Ортогональная группа 271

Ортогональное дополнение (подрасслоения) 317

Ослабление топологии клеточное 83

Оснащенное клеточное разбиение 82

Основание джойна 48

— конуса 47

— надстройки 48

— цилиндра отображения 50

Остов 85

Открытая звезда ИЗ

— трубка 198

Открытое многообразие 135

— множество 13

— отображение 20

— покрытие 16

— разбиение 40

Открытый шар 16

Отмеченный гомеоморфизм (F-структуры) 284

Относительная гомотопическая группа 367

— топология 17

Отображение аналитическое 143

— биголоморфное 163, 165

— гладкое 143

— голоморфное 163, 165

— гомотопически обратное (другому отображению) 62

— диагональное 12

— замкнутое 20

— класса 139, 143

— клеточное 86

— корректирующее 256

— линейное (векторного расслоения в векторное расслоение) 314

— накрывающее 258

— непрерывное 19

в точке 20

— открытое 20

— послойное 255

— приклеивающее 85

— присоединенное 255

— расслоения в расслоение 254

— снмплицнальиое 99, 104

монотонное 104

— тангенциальное 345

— трансверсальное 215

— факторное 38

— характеристическое 82

снмплициальное 103

тотальное 82

— Хопфа 47

Пара Борсука 70

— клеточная 85

— простая 369

— топологическая 18

— ^-связная 68

— /"-простая 369

Паракомпактное пространство 33

Параллелизуемое многообразие 157

Перенос 362

Перестройка 244

Петля 64

Плотное множество 14

Поверхности модельные 247

Погружение 40, 159

Подгруппа ван Кампена 426

— стационарная 275

Подпространство 18, 85, 103, 144, 276

— полное 103

— правильное 145

Подразделение барицентрическое 108

Подрасслоение 316

Подсхема 105

Подчинение 464

Подчиненное накрытие 464

Покрытие замкнутое 16

— локально конечное 16

•— открытое 16

— фундаментальное 18

Поле векторное 157, 315

— — нулевое 315

— реперное 315

Полиэдр 106

Полная линейная группа 271

Полное подпространство 103

Последовательность гомотопическая глав

ного расслоения 396

пары 380

1расслоения388

тройки 383

— 'групп и гомоморфизмов 372

— короткая 373

— расщепляющаяся 373

— точная 372

Послойное отображение 235

Правильная окрестность 119

— трубка 198

Правильное вложение 159

— индуцирование 331

— подпространство 145

Правое внутреннее действие 274

— действие 273

— каноническое действие 274

— (/-пространство 273

Предбаза 15

— в точке 15

Предел 42, 43

Приклеивание 44

Приклеивающее отображение 85

Прикосновения точка 14

Присоединенное отображение 255

— расслоение 263

Пристройка 243

Проективная плоскость Кэли 46

Проективное пространство вещественное 45, 47

кватернионное 46, 47

комплексное 46, 47

Проекция 10, 12, 254

Произведение гомотопий 60

— действий 273

— клеточное 95

— ориентаций 152

— отображений 12

— прямое (топологических групп) 267

— путей 64

— расслоений 254

— снмплициальное 109

— сфероидов 357

— тензорное 55

клеточное 97

— топологических пространств 34

— Уайтхеда 457

Простое пространство 365

Простой ансамбль 363

Пространство Бэра 213

— Грассмана 321

верхнее 321

комплексное 321

— групповое 264

— классифицирующее 303

— клеточное 83

— компактное 28

— локально евклидово 131

компактное 32

связное 69

в точке 69

стягиваемое 69

в точке 69

— метризуемое 17

— метрическое 16

— микроодносвязное 468

— накрывающее 257

— нормальное 23

— однородное 277

— односвязное 68

— орбит 276

— паракомпактное 33

— проективное вещественное 45, 47

Пространство проективное кватернионное 46, 47

комплексное 46, 47

— простое 365

— регулярное 23

— риманово 345

— связное 65

— сепарабельное 26

— сильно локально стягиваемое 69

в точке 69

— симплициальное 101

упорядоченное 102

— стягиваемое 62

— топологическое 13

— тотальное (расслоения) 254

— хаусдорфово 23

— Штифеля 326

— ^-связное 67

— г-простое 365

Прямое произведение (топологических групп) 267

Прямолинейная гомотопия 61

Путь 64

— замкнутый 64

— обратный (другому пути) 64

Разбиение замкнутое 39

— клеточное 82

— — оснащенное 82

— открытое 40

Расслоение 254

— ассоциированное 291

— векторное вещественное 309

комплексное 313

— главное 289

— гладкое 330

— Грассмана 324

— евклидово 310

индуцированное 255

— касательное 344

класса ^Г 330

локально (топологически) тривиальное 256

— Милнора 304

— нормальное 345

— ориентированное векторное 311

— — евклидово 311

— присоединенное 263

— Серра 258

— слабо ассоциированное 293

— сопряженное 313

— стандартное тривиальное 256

— Стинрода 286

— (топологически) тривиальное 256

— универсальное 302

— Хопфа 332

— Эресмаиа — Фельдбау 294

— аомитово 313

— ^-универсальное 304

Расстояние 16, 17

Расширение группы 273, 287

Расщепляющаяся последовательность 373

— л-последовательность 377

Регулярная окрестность 116

, Регулярное накрытие 467

— пространство 23

•Реперное поле 315

Ретракт 22

— дефопмационный 63

— окрестпостный 73

— строгий деформационный 63

Ретракция 22

— деформационная 62

*- строгая деформационная 62

Риманова метрика 345

Риманово пространство 345

Свободная гомотопия 61, 363

Связанная гомотопия 61

Связное пространство 65

Сепарабельное пространство 26

Серра расслоение 258

— условие 258

усиленное 261

Сечение 254

— ассоциированное 256, 293

Сильно локально стягиваемое пространство 69

Симплекс евклидов 98

упорядоченный 99

— единичный 100

— топологический 100

упорядоченный 100

Симплектическая группа 271

Симплициальная аппроксимация 117, 129

— схема 104

•симплициального пространства 105

■упорядоченная 106

Симплициальное отображение 99, 104

■монотонное 104

— произведение 109

— пространство 101

упорядоченное 102

характеристическое отображение 103

Симплициальный джойи 112

цилиндр отображения 112

Склеивание 40

Слабая гомотопическая эквивалентность

39, 443, 461

— топология 83

Слабо ассоциированное расслоение 293

Слоистая гомотопия 383

Слой 34, 254

— стандартный 285

Сокращение отображения 10

Сопряженное расслоение 313

Специальная ортогональная группа 271

унитарная группа 271

Стабильная группа (гомотопическая) 408

эквивалентность (расслоений) 317

Стабильно параллелизуемос многообразие 344

тривиальное расслоение 318

Стандартная функция Морса 243

Стандартное тривиальное расслоение 250

Стандартный слой 285

тривиальный коборднзм 243 •

элементарный кобордизм 243

Стационарная подгруппа 275

Степень отображения 348

в точке 348

Стинрода расслоение 286

Строгая деформационная ретракция 63

Строгий деформационный ретракт 63

Структурная группа 285

Стягиваемое пространство 62

Субмерсия 161

Сужение группы 273, 307

расслоения 254

Сумма множеств 11

отображений 11

расслоений 318

топологических пространств 33

Сфера 16

с пленками и дырами 247

с ручками и дырами 247

Сфероид 357, 367

обратный (другому сфероиду) 357

— фундаментальный (сферы или шара) 396

Схема симплициальная 104

Счетности аксиомы 26

Тангенциальное отображение 344

Тензорное произведение 55

— — клеточное 97

Тетраэдра группа 282

— — бинарная 282

Тип гомотопический 62

Топологическая группа 264

— пара 16

— тройка 18

Топологически тривиальное расслоение 256

— эффективное действие 294

Топологическое вложение 22

— многообразие 135

— пространство 13

Топология 13

— дискретная 13

— клеточная 83

— компактно-открытая 151

— метрическая 17

— относительная 17

—• слабая 83

— тривиальная 13

Тор 247

Тотальное многообразие касательных векторов 155

— пространство (расслоения) 254

— характеристическое отображение 82

Точка 13

— внешняя 14

— внутренняя 14, 131, 141

— граничная 14

— краевая 131, 141

— критическая 190

— — невырожденная 190

— прикосновения 14

Точная последовательность 372

— л-последовательность 376

Транзитивное действие 272

Трансверсализация 198

— нормальная 198

Трансверсальное отображение 215, 218

Треугольника неравенство 16

Триада 19

— клеточная 85

Триангуляция 101

Тривиализация (расслоения) 256

Тривиальная топология 13

Тривиальное расслоение 256

стандартное 256

Тривиальный кобордизм 238

стандратный 235

Тройка клеточная 85

— топологическая 18

Трубка 198

— открытая 198

— правильная 198

Уайтхеда произведение 455

Удвоение 135, 205

Универсальное накрытие 469

— расслоение 302

Унитарная группа 271

Упорядоченная симплициальиая схема 106

Упорядоченное симплициальиое пространство 102

Упорядоченный евклидов симплекс 99

— топологический симплекс 100

Урысона функция 25

Условие Серра 258

— — усиленное 261

Фактор взаимно однозначный 11

факторное отображение 38

Факторпростраиство 37, 265

Факторрасслоение 317

Фактортопология 37

Фильтрация 43

Фундаментальное покрытие 18

Фундаментальный сфероид 396

Функции, независимые в точке 145

Функция Морса 232

— .— правильная 232

стандартная 235

— Урысона 25

Характеристическое отображение 82

симплициальиое 103

тотальное 82

Характеристический гомеоморфизм 100

Хаусдорфово пространство 23

Хопфа отображение 47

— расслоение 332

Центр букета 55

— джойна (пространств с отмеченными точками) 56

— евклидова симплекса 99

— тензорного произведения 55

Цилиндр 34

— отображения 50

— — симплициальиый 112

Число листов накрытия 257

Шар 16

— открытый 16

Штифеля многообразие 169

кватернионное 172

комплексное 171

некомпактное 172

— пространство 326

Эквивалентность гомотопическая 62

— слабая 439, 443, 461

—• клеточная 87

— расслоений 255

— — стабильная 317

Элементарный кобордизм 238

стандартный 235

Эресмана — Фельдбау расслоение 294

Эрмитово расслоение 313

^-расслоение 337

Эффективизация 272

Эффективное действие 272

— ^-пространство 275

Ядро неэффективности 272

Д-гомотопия 61

^^-атлас 140

^-вложение 159

^-изоморфизм 331

^-многообразие 147

^-отображение 139, 331

^ -подпространство 145

^•пространство 140

485485

485

485

указатель терминов

^Г-расслоение 330

— вещественное векторное 337

— евклидово 337

— комплексное векторное 337

— эрмитово 337

У -структура 140

У -топология 193 6 -эквивалентность 331

У -пространство 141

^^г-расслоение 330

F-изоморфизм 285, 286

F-отображенне 284

F-расслоение 286

— к слабом смысле 285

— локально F-тривиальное 286

— F-тривиальное 286

О-отображение 273, 276

О-простраиство 275

— правое 273

G-пространство эффективное 275

О-структура 284

О-эквивалеитность 286

//-пространство 393

А-связная пара 68

А-связное пространство 67

А-уииверсальиое расслоенне 304

А-эквивалеитносТь 442, 461

r-простое пространство 366

I^-F-изоморфизм 286

^-^-отображение 285

И^-расслоение 285

lT-F-эквивалеитность 286

у-отображение 273, 276

|.трансверсализация 334

— нормальная 334

л-последовательиость 376

— расщепляющаяся 377

— точная 376

ф-базис (касательного, пространства) 154

ф-координаты (касательного вектора) 154

ab — 10

con — 48, 56

ext — 300

abs — 10

conj — 313

fact — 11

ad — 255,

263

const — 54

Fibr - 293

asso — 291

, 292,

cop — 135

Er - 14

300

corr — 256

G(n, k) — 174

All - 140

CP" - 45

G(oo, n) —321

Atlx — 153

CP°° — 47

G4n, 6)- 180

att — 85

esc — 113

G+(n, A) — 175

Aut — 466

Cub - 399

G+ (oo, n) — 321

Aux — 226

cub — 400

GF - 422

aux — 226,

227

CVRi, k)- 170

GL^n, 0—173

ba - 107,

109

CV (oo, Ai)-326

GL<,n, H) — 174

bar — 99, 1

101

СУ'О ^) — 173

GL^n, R) - 173

blk- 116

07'(oo, ft)-326

GUU, R) — 173

bp — 54

Cyl - 50

GL+Rn - 309

bs - 254

Q - 320

GLCn - 309

bst —116

d- 156

GLRn - 309

Buc — 399

d— 131, 141, 368

gr — 464

buc — 400

Dt- 155

Gra - 324

C — 44

Dn — 17

grad — 233

^-5i

dx — 154, 156

H — 44

O- 44

D°° — 47

Hrt — 44

- 139,

141,

dAx, p) — 198

H°° — 44

193, 387

deg - 348

H* - 269

141

DH — 285, 286

hel - 257

^a — 193

diag — 12

helm — 257

C°° — 47

Diff - 193

HG (n, k^ — 180

C* - 269

Ca — 44

Dist- 17

dist — 16

HP" — 46

HP00 - 47

Ca" - 44

dopp — 135, 205

. HV(n, k^- 172

CaP' — 46

DS-58

H7'(n, k^ — 173

CaP2 — 46

DS- - 66

/- 18

Call - 148

DS+ - 66

Г — 18

cell - 83

DT — 100

/D — 58

CG(n, kV

- 179

eQ — 265

id — 9

CG (oo, kR

-321

El - 236

ID* - 397

cha — 82

el - 237

Imm — 430

Cl - 14

Embr — 193

imm — 40

comp — 66

Esi — 98

Imm' — 193

Con — 51

ev — 466

in - 10

inv — 11 ind — 190 induz — 301 Int- 14 int— 131, 141 78 — 396 78* - 397 7 (qp, -ф) — 148 jc — 48 kug — 396 L — 281, 282 lim - 42, 43 Ik- 114 loc- 143 Ip - 404 Mi — 304, 308 mo - 237 nat — 198 Nb - 269, 468 norm — 346 O(n) - 169 OR"-309 or - 473 ort — 21 perm — 413 Pr - 431 pr — 10 pr(— 12 prx — 198 prg — 254 R- 16 R" — 16 R°° — 47 R* - 268 RI — 132 КГ1 - 132 R+ - 268 R£ —313 Reg — 466 rel — 10RG(n, й) — 174RG^n, /?) — 180 RP" - 45inv — 11 ind — 190 induz — 301 Int- 14 int— 131, 141 78 — 396 78* - 397 7 (qp, -ф) — 148 jc — 48 kug — 396 L — 281, 282 lim - 42, 43 Ik- 114 loc- 143 Ip - 404 Mi — 304, 308 mo - 237 nat — 198 Nb - 269, 468 norm — 346 O(n) - 169 OR"-309 or - 473 ort — 21 perm — 413 Pr - 431 pr — 10 pr(— 12 prx — 198 prg — 254 R- 16 R" — 16 R°° — 47 R* - 268 RI — 132 КГ1 - 132 R+ - 268 R£ —313 Reg — 466 rel — 10RG(n, й) — 174RG^n, /?) — 180 RP" - 45

inv — 11 ind — 190 induz — 301 Int- 14 int— 131, 141 78 — 396 78* - 397 7 (qp, -ф) — 148 jc — 48 kug — 396 L — 281, 282 lim - 42, 43 Ik- 114 loc- 143 Ip - 404 Mi — 304, 308 mo - 237 nat — 198 Nb - 269, 468 norm — 346 O(n) - 169 OR"-309 or - 473 ort — 21 perm — 413 Pr - 431 pr — 10 pr(— 12 prx — 198 prg — 254 R- 16 R" — 16 R°° — 47 R* - 268 RI — 132 КГ1 - 132 R+ - 268 R£ —313 Reg — 466 rel — 10

RG(n, й) — 174

RG^n, /?) — 180 RP" - 45

inv — 11 ind — 190 induz — 301 Int- 14 int— 131, 141 78 — 396 78* - 397 7 (qp, -ф) — 148 jc — 48 kug — 396 L — 281, 282 lim - 42, 43 Ik- 114 loc- 143 Ip - 404 Mi — 304, 308 mo - 237 nat — 198 Nb - 269, 468 norm — 346 O(n) - 169 OR"-309 or - 473 ort — 21 perm — 413 Pr - 431 pr — 10 pr(— 12 prx — 198 prg — 254 R- 16 R" — 16 R°° — 47 R* - 268 RI — 132 КГ1 - 132 R+ - 268 R£ —313 Reg — 466 rel — 10

RG(n, й) — 174

RG^n, /?) — 180 RP" - 45

RP” — 47

rt — 51

Rk (n, й) — 168

RV'(n, k)- 172

S'2 - 17

S°° — 47

sx (x, p) — 198

Scyl- 112

Sec' — 333

sh- 105

shi — 181

Si - 102

si - 101

ske — 85

SO - 419

SO 169

SOR" — 309

Sp —419

Sp(n) — 172

Sph-357, 367

sph — 396

Sph0 - 396, 397

St- 113

st - 113

Stab - 413

Stee — 300

su—48, 56,319,403

SU^- 171

Submr — 193

supp — 140

Symm — 269

* (напр. A') — 178

Ts — 361, 363, 369, 385

Г- 100

Tang — 154

tang — 344

TD— 100

TG — 304

tl - 254

tn - 154

Top — 269

Tu - 198

tu- 198

Tub — 198

tub — 198

0-419

O(n) — 171

ULn - 309

У (n, k)- 168

У (<x>, £) —326

V" (oo, p) — 326

vk - 426

Wd - 454

wd — 454

Z —269

Zm —281

zer —11, 265

A-388

л — 61

лг — 358, 367

(напр. ф")— 52

(напр. ф~)—52

(напр. ф^) — 58

(напр. ф°) — 58

(напр. у-1, ^)— 175, 317

(напр. f) — 255 # (напр. /#)—154, 360, 398

х (напр. hx, Gx)— 293

* (напр. fj — 361 0-9

и- Н

X — 9, 254

* - 48, 56

V -55

®—55, 56

®—319

*с —97, 98 ®с —98 Х3-Ю9

*а — 112

Чтобы описать этот диффеоморфизм, обозначим через shi отображение пространства R3 на R3, переводящее (уь у^, у3)

в (0, ух, Уч, у3У Канонический ^“-диффеоморфизм RP3->SO(3) относит прямой из RP3, проходящей через точку хеК4\0, преобразование ф: R3-> R3, определяемое кватернионной формулой ф(у) = shi-1 (xshi (у)х-1). Обратный диффеоморфизм SO(3)->RP3 относит преобразованию ф: R3-> R3 прямую, составленную из кватернионов вида

q — shi (ф (ortO) q ort2 — shi (ф (ort2)) q ort3 — shi (ф (ort3)) q ort4, где <7 — произвольный кватернион, a ort2, ort^, ort4 рассматриваются как кватернионные единицы. Что кватернионы этого вида заполняют в точности прямую и что построенные отображения RP3->SO(3), SO (3)->RP3 взаимно обратны, проверяется автоматически.

Наиболее важен случай, когда / -—вложение. В нижеследующих определениях n = dimA', n' = dimX/.

В.А.Рохлин, ДБ. Фукс НАЧАЛЬНЫЙ КУРС ТОПОЛОГИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГЛАВЫ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» Москва 1977 Книга возникла из лекционных курсов, читавшихся авторами в Ленинградском и Московском университетах и содержавших систематическое изложение основ современной топологии. Она охватывает следующие разделы этих курсов: основы общей топологии, симплициальные и клеточные пространства, элементарную часть дифференциальной топологии, расслоения и гомотопические группы.

Книга рассчитана на студентов-математиков и -физиков университетов и пединститутов, а также на аспирантов и научных работников в области математики и смежных областях.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие7

Теоретико-множественные термины и обозначения, употребляемые в этой 9 книге, но не являющиеся общепринятыми

ГЛАВА 1ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

Основные понятия13

Топология (13). 2. Метрика (16). 3. Подпространства (17). 4. Непрерывные отображения (19) 5. Аксиомы отделимости (23). 6. Аксиомы счетности (26). 7. Компактность (28).

Конструкции33

Суммы (33). 2. Произведения (33). 3. Факторизация (37). 4.

Склеивание (40). 5. Проективные пространства (44). 6. Более специальные конструкции (47). 7. Пространства непрерывных отображений (51). 8. Случай пространств с отмеченной точкой (54). 9. Упражнения (59).

Гомотопии60

Общие определения (60). 2. Пути (64). 3. Связность и А-связ-ность (65). 4. Локальные свойства (69). 5. Пары Борсука (70). 6. Корсы (73).

Гомотопические свойства топологических конструкций (75). 8. Упражнения (81).

ГЛАВА 2КЛЕТОЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Клеточные пространства и их топологические свойства82

Основные понятия (82). 2. Склеивание клеточных пространств из шаров (87). 3. Канонические клеточные разбиения сфер, шаров и проективных пространств (88). 4. Дальнейшие топологические свойства клеточных пространств (89). 5. Клеточные конструкции (94).

Упражнения (98).

Симплициальные пространства98

Евклидовы симплексы (98), 2. Симплициальные пространства и симплициальные отображения (101). 3. Симплициальные схемы (104).

Полиэдры (106). 5. Симплициальные конструкции (107). 6. Звезды. Линки. Регулярные окрестности (113). 7. Симплициальная аппроксимация непрерывного отображения (117), 8. Упражнения (И8),

Гомотопические свойства клеточных пространств

Клеточные пары (119). 2. Клеточная аппроксимация непрерывного отображения (121). 3. Клеточные ^-связные пары (125). 4.

Симплициальная аппроксимация клеточных пространств (129). 5. Упражнения (130).

ГЛАВА 3

ГЛАДКИЕ МНОГООБРАЗИЯ

Основные понятия

Топологические многообразия (131). 2. Дифференциальные структуры (139). 3. Ориентации (148). 4. Многообразия касательных векторов (153). 5. Вложения, погружения и субмерсии (159). 6. Комплексные структуры (163). 7. Упражнения (168).

Многообразия Штифеля и Грассмана

Многообразия Штифеля (168). 2. Многообразия Грассмана (174). 3. Некоторые многообразия Штифеля и Грассмана малых размерностей (181). 4. Упражнения (182).

Отступление: три теоремы анализа

Аппроксимация функций многочленами (183). 2. Особые значения(186). 3. Невырожденные критические точки (190).

Вложения. Погружения. Сглаживания. Аппроксимации

Пространства гладких отображений (193). 2. Простейшие теоремы вложения (196). 3. Трансверсализации и трубки (197). 4. Сглаживание отображений в замкнутом случае (200). 5. Гладкое склеивание многообразий (203). 6. Сглаживание отображений при наличии края (208). 7. Приведение отображений в общее положение (213). 8. Отображения, трансверсальные к подмногообразию (218). 9.

Повышение класса гладкости многообразия (221). 10. Аппроксимация отображений вложениями и погружениями (226). 11. Упражнения (229).

Простейшие структурные теоремы

Функции Морса (231). 2. Кобордизмы и хирургия (235). 3. Двумерные многообразия (245). 4. Упражнения (253).

ГЛАВА 4РАССЛОЕНИЯ

Расслоения без групповой структуры

Общие определения (254). 2. Локально тривиальные расслоения (256). 3. Рацслоения Серра (258). 4. Расслоения пространств отображений (281). 5. Упражнения (264)-.

Отступление: топологические группы и группы преобразований

119131168183193231254264119131168183193231254264Топологические группы (264). 2. Группы гомеоморфизмов (269). 3.

119

131

168

183

193

231

254

264

119

131

168

183

193

231

254

264

Действие (272). 4. Упражнения (283).

Расслоения с групповой структурой283

Пространства с ^-структурой (283). 2. Расслоения Стинрода (285).

Ассоциированные расслоения (290). 4. Расслоения Эресмана— Фельдбау (294). 5. Упражнения (296).

Классификация расслоений Стинрода297

Расслоения Стинрода и гомотопии (297). 2. Универсальные расслоения (301). 3. Расслоение Милнора (304). 4. Сужение структурной группы (307). 5. Упражнения (308).

Векторные расслоения308

Общие определения (308). 2. Конструкции (315). 3. Классические универсальные векторные расслоения (321). 4. Важнейшие сужения структурной группы (327). 5. Упражнения (329).

Гладкие расслоения330

Основные понятия (330). 2. Сглаживания и аппроксимации (333). 3. Гладкие векторные расслоения (337). 4. Касательные и нормальные расслоения (343). 5. Степени (348). 6. Упражнения (355).

ГЛАВА 5

ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ

Общая теория357

Абсолютные гомотопические группы (357). 2. Отступление: ансамбли (361). 3. Ансамбли гомотопических групп топологического пространства (363). 4. Относительные гомотопические группы (367).

Отступление: последовательности групп и гомоморфизмов и л- последовательности (372). 6. Гомотопическая последовательность пары (379). 7. Ансамбли гомотопических групп слоев расслоения Серра (383). 8. Гомотопическая последовательность расслоения Серра (386). 9. Воздействие других структур (391). 10. Другие описания гомотопических групп (396). 11. Аддиционные теоремы (400). 12. Упражнения (402).

Гомотопические группы сфер и классических многообразий403

Надстройка в гомотопических группах сфер (403). 2. Простейшие гомотопические группы сфер (408). 3. Композиционное умножение (412). 4. Информация: гомотопические группы сфер (414). 5.

Гомотопические группы проективных пространств и линз (416). 6.

Гомотопические группы классических групп (418). 7. Гомотопические группы многообразий и пространств Щтифеля (419). 8.

Гомотопические группы многообразий и пространств Грассмана (420). 9. Упражнения (421).

Гомотопические группы клеточных пространств422

Гомотопические группы одномерного клеточного пространства (422). 2. Эффект приклеивания шаров (423). 3. Фундаментальная группа клеточного пространства (425). 4. Гомотопические группы компактных поверхностей (428). 5. Гомотопические группы букетов

(430). 6. Гомотопические группы ^-связной клеточной пары (432). 7. Пространство с заданными гомотопическими группами (435). 8.

Восемь поучительных примеров (436). 9. Упражнения (438).

Слабая гомотопическая эквивалентность439

1. Основные понятия (439). 2. Отношение к конструкциям (444). 3.

Клеточная аппроксимация топологического пространства (448). 4.

Упражнения (453). -.-'.

уУмножение Уайтхеда :454

Класс wd (т, и) (454). 2. Определение и простейшие свойства произведения Уайтхеда (457). 3. Применения (459). 4. Упражнения (461 ).

Продолжение теории расслоений461

Слабая гомотопическая эквивалентность и расслоения Стинрода(461). 2. Теория накрытий (463). 3. Ориентации (472). 4. Некоторые расслоения над сферами (474). 5. Упражнения (475).

Цитированная литература478

Указатель терминов479

Указатель обозначений486

УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ

Аксиомы счетности 26

Аналитическое многообразие 14

— отображение 143

Ансамбль гомотопических групп,

364, 369

слоев верхний 385

нижний 385

тотального пространства

нижний 395

групп 361

— индуцированный 362

— канонический простой 363

— простой 363

Аппроксимация клеточная 121, 448

— симплициальная 117, 129

Ассоциированное расслоение

291

— сечение 256, 293

Атлас 140

— голоморфный 165

— полный 140

База 14, 254

— в точке 15

Барицентрические координаты 99

Барицентрическое подразделение 108

Биголоморфное отображение 163, 165

Бинарная группа додекаэдра или икосаэдра 282

куба или октаэдра 282

тетраэдра 282

Борсука пара 70

Букет 55

Бутылка Клейна 247

Бэра пространство 213

Ван Кампена подгруппа

426

Вектор касательный 154

Векторное поле 157, 315

нулевое 315

— расслоение вещественное 309

комплексное 313

ориентированное 311

Верхнее многообразие Грассмана 175

— пространство Грассмана 321

Верхний ансамбль гомотопических групп слоев 385

Вершина евклидова симплекса

98

— конуса 48, 56

— надстройки 48, 56

Вещественное векторное расслоение

309

(^-расслоение 337

— проективное пространство 45, 47

Взаимно однозначный фактор 11

Вложение голоморфное 166

— дифференциальное 159

— клеточное 87

— правильное 159

— топологическое 22

Внешняя точка 14

Внутреннее действие 274

Внутренность 14

Внутренняя точка 14, 131, 141

— часть 14, 131, 141

Всюду плотное множество 14

Выделяемое множество 23

Главное расслоение 289

Гладкое многообразие 147

— отображение 143

Голоморфное вложение 166

— отображение 163,165

Голоморфность 348

Голоморфный атлас 165

Гомеоморфизм 21

— отмеченный (/^-структуры) .284 Гомоморфизм ансамбля в ансамбль 362

— индуцированный непрерывным отображением 361, 367

— присоединенный к действию 272

— топологической группы в

топологическую группу 266

Гомотопическая группа 358

относительная 367

— последовательность главного

расслоения 396

пары 380

расслоения 388

тройки 383

— эквивалентность 62

слабая 439, 443, 461

Гомотопический класс 61

— тип 62

Гомотопия 60

— обратная (другой гомотопии) 60

постоянная 60

— прямолинейная 61

— свободная 61, 363

— связанная 61

— слоистая 383

Граница 14

— сфероида 368

Граничная точка 14

Грань 98

Грассмана многообразие 174

верхнее 175

кватернионное 180

комплексное 179

некомпактное 181

— пространство 321

верхнее 321

комплексное 321

— расслоение 324

Грассмана — Плюккера координаты

179

Группа гомотопическая 358

относительная 367

— додекаэдра или икосаэдра 282

бинарная282

— куба или октаэдра 282

бинарная282

— накрытия 464

— ортогональная 271

— полная линейная 271

Группа симплектическая 271

— специальная ортогональная 271

унитарная 271

— стабильная 408

— структурная 286

— тетраэдра 282

бинарная 282

— топологическая 264

— унитарная 271

— фундаментальная 359

Групповое действие 274

Действие 272

— групповое 274

— индуцированное 273

— левое 273

внутреннее 274

каноническое 274

— непрерывное .275

— правое 273

внутреннее 274

каноническое 274

— сопряженное 274

— топологически эффективное 294

— транзитивное 272

— эффективное 272

Деформационная ретракция

63

Деформационный ретракт 63

Джойн 48, 56

— клеточный 97

— симплициальный 112

Диагональ 12

Диагональное отображение 12

Диаметр 17

Дискретная топология 13

Диффеоморфизм 139, 144

— обращающий ориентацию 151

— сохраняющий ориентацию

151

Дифференциал 156

Дифференциальная структура

140

Дифференциальное вложение

159

— многообразие 147

Додекаэдра или икосаэдра группа 282

бинарная 282

Дополнение ортогональное

(подрасслоения) 317

Евклидов симплекс 98

упорядоченный 99

Евклидова метрика (в векторном

расслоении) 311

Евклидово расслоение 310

ориентированное 311

— (^-расслоение 337

Единицы компонента 265

Единичный симплекс 100

Замкнутая клетка 82

Замкнутое многообразие 135, 147

— множество 13

— отображение 20

— покрытие 16

— разбиение 39

Замкнутый путь 64

Замыкание 11

Звезда 113

— барицентрическая 116

— открытая 113

Значение критическое 161

Изоморфизм расслоений 255

Иммерсия 159

Инвариантное множество 273

Индекс критической точки 190, 232

— перестройки 244

— пристройки 243

— стандартного элементарного кобордизма 235

— элементарного кобордизма 238

Индуктивно склеенное клеточное пространство 88

Индуцированное действие 273

— расслоение 265

Индуцированный ансамбль

362

— гомоморфизм 361, 367

Кайма 203

Канонический простой ансамбль 363

Карта 140

— комплексная 164

Касательное расслоение 344

Касательный вектор 154

Кватернионное многообразие Грассмана 180

Штифеля 172

— проективное пространство

46, 47

Класс гомотопический 61

—Л-гомотопический 61

Классифицирующее пространство

303

Клейна бутылка 247

Клетка 82

— замкнутая 82

Клеточная аппроксимация 121, 448

— пара 85

— топология 83

— триада 85

— тройка 85

— эквивалентность 87

Клеточное вложение 87

— ослабление топологии 83

— отображение 86

— произведение 95

— пространство 83

индуктивно склеенное 88

— разбиение 82

оснащенное 82

— тензорное произведение

97

Клеточный джойн 97

Кобордизм 231

— стандартный тривиальный 235

элементарный 235

— тривиальный 238

— элементарный 238

Компактно открытая топология

51

Компактное пространство 28

Комплекснфикация 320

Комплескная карта 164

— оболочка (расслоения) 320

— структура 165

Комплексное векторное расслоение

313

/-расслоение 337

— многообразие 165

Грассмана 179

Штифеля 171

— проективное пространство 45, 47

— пространство Грассмана 321

Компонента (топологического пространства) 66

— единицы 265

Конус 47, 56

— отображения 50

Координаты барицентрические 99

— Грассмана — Плюккера 179

— локальные 141

— однородные 45, 46

Коразмерность 145

Короткая последовательность 373

Корректирующее отображение 256

Коре 74

Краевая точка 131, 141

Край 131,141

Крендель 247

Критическая точка 190

невырожденная 190

Критическое значение 161

Круг с вывернутой ручкой

247

Куба или октаэдра группа 282

бинарная 282

Левое внутреннее действие 274

— действие 273

— каноническое действие

274

Лента Мебиуса 246

Линза 281

Линк 114

— барицентрический 116

Локально евклидово пространство

131

— компактное пространство 32

— конечное покрытие 16

— связное пространство 69

— стягиваемое пространство 69

— тривиальное расслоение 255

Локальное представление

отображения 143

Локальные координаты 141

Мебиуса лента 246

Метризуемое пространство

17

Метрика 16

— евклидова (в векторном расслоении) 311

— риманова 345

Метрическая окрестность

17

— топология 17

Метрическое пространство 16

Микроодносвязное

пространство 468

Милнора расслоение 304

Многообразие 135

— аналитическое 147

— гладкое 147

— Грассмана 174

верхнее 175

кватернионное 180

комплексное 179

некомпактное 181

— дифференциальное 147

— замкнутое 135, 147

— касательных векторов тотальное 155

— класса 0 147

— комплексного происхождения 168

— комплексное 165

— ориентированное 149

— открытое 135

— параллелизуемое 157

— стабильно параллелизуемое 344

— топологическое 135

— Штифеля 169

вещественное 169

кватернионное 172

комплексное 171

некомпактное 173

Множество всюду плотное 14

— выделяемое 23

— замкнутое 13

— инвариантное 273

— насыщенное 11

— нигде не плотное 14

— ограниченное 17

— открытое 13

— плотное 14

Модельные поверхности 247

Морса функция 232

правильная 232

стандартная 235

Надстройка 48, 56, 319, 403

Накрывающее отображение 258

— пространство 257

Накрытие 257

— в узком смысле 257

широком смысле 257

— ориентирующее 474

—1 подчиненное 464

— регулярное 467

— универсальное 469

Насыщение 11

Насыщенное множество 11

Некомпактное многообразие

Грассмана 181

Штифеля 173

Непрерывное действие

275

— отображение 19

Неравенство треугольника 16

Неэффективности ядро 272

Нигде не плотное множество 14

Нижний ансамбль гомотопических

групп слоев 385

тотального пространства

395

Нормальная трансверсализация 198

— ^-трансверсализация 334

Нормальное пространство 23

— расслоение 345

Носитель карты 140

— топологического симплекса 100

Оболочка комплексная (расслоения)

320

Образующая джойна 48

— конуса 47, 56

— надстройки 48

— цилиндра отображения 50

Обратный путь 64

— сфероид 357

Объединение (топологических пространств) 41 Овеществление 313 Ограниченное множество 17 Однородное пространство 277 Однородные координаты 45, 46

Односвязное пространство 68

Окаймление 203 — двустороннее 205 Окрестностный ретракт 73 Окрестность 13, 14 — метрическая 17 — правильная 119 — регулярная 116 Орбита 272 Ориентация 149, 312 Ориентированное векторное расслоение 311 — евклидово расслоение 311 — многообразие 149 Ориентирующее накрытие 474 Ортогональная группа 271 Ортогональное дополнение

(подрасслоения) 317 Ослаблениетопологии

клеточное 83

Оснащенноеклеточное

разбиение 82

Основание джойна 48

— конуса 47

—~ надстройки 48

— цилиндра отображения 50

Остов 85

Открытая звезда 113

— трубка 198

Открытое многообразие 135

— множество 13

— отображение 20

— покрытие 16

— разбиение 40

Открытый шар 16

Отмеченный гомеоморфизм (F- структуры) 284

Относительная гомотопическая

группа 367

— топология 17

Отображение аналитическое 143

— биголоморфное 163, 165

— гладкое 143

— голоморфное 163, 165

— гомотопически обратное (другому отображению) 62

— диагональное 12

— замкнутое 20

— класса 0" 139, 143

— клеточное 86

— корректирующее 256

— линейное (векторного расслоения в векторное расслоение) 314

— накрывающее 258

— непрерывное 19

в точке 20

— открытое 20

— послойное 255

— приклеивающее 85

— присоединенное 255

— расслоения в расслоение 254

— симплициальное 99, 104

монотонное 104

— тангенциальное 345

— трансверсальное 215

— факторное 38

— характеристическое 82

симплициальное 103

тотальное 82

— Хопфа 47

Пара Борсука 70

— клеточная 85

— простая 369

— топологическая 18

— ^-связная 68

— г-простая 369

Паракомпактное пространство 33

Параллелизуемое многообразие 157

Перенос 362

Перестройка 244

Петля 64

Плотное множество 14

Поверхности модельные 247

Погружение 40, 159

Подгруппа ван Кампена 426

— стационарная 275

Подпространство 18, 85, 103,

144, 276

— полное 103

— правильное 145

Подразделение барицентрическое

108

Подрасслоение 316

Подсхема 105

Подчинение 464

Подчиненное накрытие 464

Покрытие замкнутое 16

~ локально конечное 16

открытое 16

— фундаментальнее 18

Поле векторное 157, 315

нулевое 315

— реперное 315

Полиэдр 106

Полная линейная группа 271

Полное подпространство 103

Последовательность гомотопическая

главного расслоения 396

пары 380

расслоения 388

тройки 383

— групп и гомоморфизмов 372

— короткая 373

— расщепляющаяся 373

— точная 372

Послойное отображение 235

Правильная окрестность 119

— трубка 198

Правильное вложение 159

— индуцирование 331

— подпространство 145

Правое внутреннее действие 274

— действие 273

— каноническое действие 274

— G-пространство 273

Предбаза 15

— в точке 15

Предел 42, 43

Приклеивание 44

Приклеивающее отображение

85

Прикосновения точка 14

Присоединенное отображение

255

— расслоение 263

Пристройка 243

Проективная плоскость Кэли 46

Проективное пространство

вещественное 45, 47

кватернионное 46, 47

комплексное 46, 47

Проекция 10, 12, 254

Произведение гомотопий

60

— действий 273

— клеточное 95

— ориентации 152

— отображений 12

— прямое (топологических групп) 267

— путей 64

— расслоений 254

— симплициальное 109

— сфероидов 357

— тензорное 55

клеточное 97

— топологических пространств 34

— Уайтхеда 457

Простое пространство 365

Простой ансамбль 363

Пространство Бэра 213

— Грассмана 321

верхнее 321

комплексное 321

— групповое 264

— классифицирующее 303

— клеточное 83

— компактное 28

— локально евклидово 131

компактное 32

связное 69

в точке 69

стягиваемое 69

в точке 69

— метризуемое 17

— метрическое 16

— микроодносвязное 468

— накрывающее 257

— нормальное 23

— однородное 277

— односвязное 68

— орбит 276

— паракомпактное 33

— проективное вещественное 45, 47

Пространство проективное

кватернионное 46, 47

комплексное 46, 47

— простое 365

— регулярное 23

риманово 345

— связное 65

— сепарабельное 26

— сильно локально стягиваемое 69

в точке 69

— симллициальное 101

упорядоченное 102

— стягиваемое 62

— топологическое 13

— тотальное (расслоения) 254

— хаусдорфово 23

— Штифеля 326

— ^-связное 67

— г-простое 365

Прямое произведение

(топологических групп) 267

Прямолинейная гомотопия

61

Путь 64

— замкнутый 64

— обратный (другому пути) 64

Разбиение замкнутое 39

— клеточное 82

оснащенное 82

— открытое 40

Расслоение 254

— ассоциированное 291

— векторное вещественное

309

комплексное 313

— главное 289

— гладкое 330

— Грассмана 324

— евклидово 3 JO

— индуцированное 255

— касательное 344

— класса 0" 330

— локально (топологически) тривиальное 256

— Милнора 304

— нормальное 345

— ориентированное векторное 311

евклидово 311

— присоединенное 263

— Серра 258

— слабо ассоциированное 293

— сопряженное 313

— стандартное тривиальное 256

— Стинрода 286

— (топологически) тривиальное 256

— универсальное 302

— Хопфа 332

— Эресмана — Фельдбау 294

— эомитово 313

— ^-универсальное 304

Расстояние 16, 17

Расширение группы 273, 287

Расщепляющаяся

последовательность 373

— ^-последовательность 377

Регулярная окрестность 116

Регулярное накрытие 467

— пространство 23

Реперное поле 315

Ретракт 22

— деформационный 63

— окрестностный 73

— строгий деформационный

63

Ретракция 22

— деформационная 62

— строгая деформационная 62

Римансдеа метрика 345

Риманово пространство 345

Свободная гомотопия 61, 363

Связанная гомотопия 61

Связное пространство 65

Сепарабельное пространство

26

Серра расслоение 258

— условие 258

усиленное 261

Сечение 254

— ассоциированное 256, 293

Сильно локально стягиваемое

пространство 69

Симплекс евклидов 98

упорядоченный 99

— единичный 100

— топологический 100

упорядоченный 100

Симплектическая группа 271

Симплициальная аппроксимация 117, 129

— схема 104

симплициального пространства 105

упорядоченная 106

Симплициальное отображение 99,

104

монотонное 104

— произведение 109

— пространство 101

упорядоченное 102

— характеристическое

отображение 103

Симплициальный джойн 112

— цилиндр отображения 112

Склеивание 40

Слабая гомотопическая эквивалентность 439, 443, 461 — топология 83

Слабо ассоциированное расслоение 293

Слоистая гомотопия 383

Слой 34, 254

— стандартный 285

Сокращение отображения 10

Сопряженное расслоение 313 Специальная ортогональная группа 271

— унитарная группа 271

Стабильная группа (гомотопическая) 408

— эквивалентность (расслоений) 317 Стабильно параллелизуемое многообразие 344

— тривиальное расслоение 318

Стандартная функция Морса 243

Стандартное тривиальное расслоение 250

Стандартный слой 285

— тривиальный кобордизм 243 •

— элементарный кобордизм

243

Стационарная подгруппа 275

Степень отображения 348

в точке 348

Стинрода расслоение 286

Строгая деформационная ретракция 63

Строгий деформационный ретракт 63

Структурная группа 285

Стягиваемое пространство 62

Субмерсия 161

Сужение группы 273, 307

— расслоения 254

Сумма множеств П

— отображений 11

— расслоений 318

— топологических пространств

33

Сфера 16

— с пленками и дырами 247

— с ручками и дырами 247

Сфероид 357, 367

— обратный (другому сфероиду) 357

— фундаментальный (сферы или

шара) 396

Схема Симплициальная 104

Счетности аксиомы 26

Тангенциальное отображение

344

Тензорное произведение 55

клеточное 97

Тетраэдра группа 282

бинарная 282

Тип гомотопический 62

Топологическая группа

264

— пара 16

— тройка 18

Топологически тривиальное расслоение 256

— эффективное действие

294

Топологическое вложение 22

— многообразие 135

— пространство 13

Топология 13

— дискретная 13

— клеточная 83

— компактно-открытая 151

— метрическая 17

— относительная 17

— слабая 83

— тривиальная 13

Тор 247

Тотальное многообразие касательных векторов 155

— пространство (расслоения) 254

— характеристическое отображение 82

Точка 13

— внешняя 14

— внутренняя 14, 131, 141

— граничная 14

— краевая 131, 141

— критическая 190

невырожденная 190

— прикосновения 14

Точная последовательность 372

— ^-последовательность 376

Транзитивное действие 272

Трансверсализация 198

— нормальная 198

Трансверсальное отображение

215,218

Треугольника неравенство 16

Триада 19

— клеточная 85

Триангуляция 101

Тривиализация (расслоения)

256

Тривиальная топология 13

Тривиальное расслоение 256

стандартное 256

Тривиальный кобордизм 238

стандратный 235

Тройка клеточная 85

— топологическая 18

Трубка 198

— открытая 198

— правильная 198

Уайтхеда произведение 455

Удвоение 135, 205

Универсальное накрытие 469

— расслоение 302

Унитарная группа 271

Упорядоченная симплициальная схема 106

Упорядоченное симплициальное пространство 102

Упорядоченный евклидов симплекс 99

— топологический симплекс

100

Урысона функция 25

Условие Серра 258

усиленное 261

Фактор взаимно однозначный

11

Факторное отображение 38

Факторпространство 37, 265

Факторрасслоение 317

Фактортопология 37

Фильтрация 43

Фундаментальное покрытие 18

Фундаментальный сфероид 396

Функции, независимые в точке

145

Функция Морса 232

правильная 232

стандартная 235

— Урысона 25

Характеристическое отображение 82

симплициальное 103

тотальное 82

Характеристический

гомеоморфизм 100

Хаусдорфово пространство 23

Хопфа отображение 47

— расслоение 332

Центр букета 55

— джойна (пространств с

отмеченными точками) 56

— евклидова симплекса 99

— тензорного произведения

55

Цилиндр 34

— отображения 50

симплициальный 112

Число листов накрытия 257

Шар 16

— открытый 16

Штифеля многообразие 169

кватернионное 172

комплексное 171

некомпактное 172

— пространство 326

Эквивалентность гомотопическая 62

слабая 439, 443, 461

— клеточная 87

— расслоений 255

стабильная 317

Элементарный кобордизм 238

стандартный 235

Эресмана — Фельдбау расслоение

294

Эрмитово расслоение 313

— 0 -расслоение 337

Эффективизация 272

Эффективное действие

272

— 0 -пространство 275

Ядро неэффективности 272

Л-гомотопия 61

0" -атлас 140

0" -вложение 159

0" -изоморфизм 331

0" -многообразие 147

0" -отображение 139, 331

0" -подпространство 145

0" -пространство 140.

0 -расслоение 330

— вещественное векторное 337

— евклидово 337

— комплексное векторное 337

— эрмитово 337

0" -структура 140

0" -топология 193

С -эквивалентность 331

в"г -пространство 141

С"г -расслоение 330

/^-изоморфизм 2S5, 286

/''-отображение 284

/''-расслоение 286

— в слабом смысле 285

— локально /''-тривиальное 286

— /''-тривиальное 286

G-отображение 273, 276

G-пространство 275

— правое 273

G-пространство эффективное

275

G-структура 284

G-эквивалентность 286 //-пространство 393 ^-связная пара 68 ^-связное пространство 67 ^-универсальное расслоение 304

^-эквивалентность 442, 461 r-простое пространство 363 ^-/'-изоморфизм 286 ^-/'-отображение 285 ^-/'-расслоение 285 ^-/'-эквивалентность 286

у-отображение 273, 276

^-трансверсализация 334

— нормальная 334

^-последовательность 376

— расщепляющаяся 377

— точная 376

ф-базис (касательного, пространства)

154

ф-координаты (касательного вектора)

154