Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ГЛАВА IX
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛВ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ
Порождение равномерной структуры семейством отклонений. Равномеризуемые пространства
Отклонения
Определение 1. Отклонением на банном множестве Е называют всякое отображение / произведения Е X Е в интервал [0, +°о] расширенной прямой R, удовлетворяющееследующимусловиям:
(ECj)/ (х, х) = 0 прилюбом х £ Е.
(ЕСц)/ (х, у) — f (у, х)при любых х £Е, у С Е (симметрия).
(ЕСш)/ (х, у) ^ / (х, z)+ / (z, у) прилюбых х £Е, у £ Е,
z £ Е (неравенство треугольника).
Примеры. 1) Евклидово расстояние па числовом пространство Rn (гл. VI, § 2, n° 1) есть отклонение.
Пусть Е — произвольное множество; функция /, определенная па Е X Е условиями / (я, х} = 0 для каждого х ^Е и / (ж, у) = 4* 00 при х -А У> есть отклонение на Е.
Пусть g — коночная числовая' функция, определенная на произвольном множестве Е; функция /, определенная на EXE равенством / (х, у) = | g (х) — g (у) [, есть отклонение па Е.
°4) Пусть Е — множество всех непрерывных отображений интер- 1
вала [0, 1] cz R в R. Положив / (х, у) — j | х (t) — у (/) | dt для о
всех пар элементов х, у из Е, получим отклонение / на Е.о
Замечания. 1) Приведенный выше пример 2 показывает, что для некоторых пар элементов из Е отклонение может принимать значение 4-оо.
. 2) Как показывает вышеприведенный пример 3, равенство/(ж, у)= = 0 для отклоневия / на Е может, вообще говоря, выполняться и при X * У-
Из неравенства треугольника следует, что если / (ж, z) и / (у, z) конечны, то и / (ж, у) конечно; кроме того, в этом случае имеем / (я, z)< / (у, z) + / (ж, у) и / (у, z)< / (ж, z) + / (ж, у), откуда
| / (ж, z) — / (у, z) К / (ж, у). (1)
Если / — отклонение на Е, то X/ тоже отклонение, каково бы ни было конечное число X >■ 0. Если (АХ^-какое-либо семейство отклонений на Е, то сумма 5 Л С^ У) определена для всех пар
(ж, у) С Е X Е; пусть / (ж, у) — ее значение; тогда / — отклонение на Е. Точно так же верхняя огибающая g семейства (Д) (гл. IV, § 5, п° 5) является отклонением на Е, ибо из отношений Д (ж, у) ^ ^ Д (ж, г) + К (z, у) следует, что
sup Д (ж, y)<sup (Д (ж, z) -L tx (z, у)) <sup Д (ж, z) + sup fl (z, у) хУ. 16 I xy 16/
(гл. IV, § 5, формула (17)).
3. Определение равномерной структуры • посредством, семейства отклонений
Пусть Uo для каждого числа а > 0 есть множество всех пар (ж, у) точек из Rn, евклидовы расстояния между которыми ^а\ как мы видели (гл. VI, § 2, п° 3), множества Uo, где а пробегает все числа >0, образуют фундаментальную систему окружений равномерной структуры пространства Rn.
Более общим образом пусть / — отклонение на множестве Е; для каждого а > 0 положим Ua ~~f ([0, а]); покажем, что когда а пробегает все числа >0, множества Uo образуют фундаментальную систему окружений некоторой равномерной структуры в Е. В самом доле, аксиома (U() выполнена в силу (ECi); если а < Ь, то UaczUb, так что множества UQ образуют базис фильтра; в силу (Е0ц) имеем Ua = Ua и, следовательно, выполнена аксиома (Un); наконец, в силу (ЕСП1) имеем йв с U^, так что выполнена аксиома (Uni)- Таким образом, можно сформулировать следующее определение:
Определение 2. Пусть на множестве Е задано отклонение f', равномерной структурой^ определяемой f, называется равномерная структура в Е, имеющая в качестве фундаментальной системы окружений семейство множеств t (10, «)), где а пробегает все числа >0.
Два отклонения на Е называются эквивалентными, если они определяют одну и ту же равномерную структуру.
Замечания. 1) Для любой последовательности (а^ чисел >0, стремящейся к 0, множества UOn образуют фундаментальную систему окружений равномерной структуры, определяемой отклонением /.
Определение равномерной структуры посредством отклонения / сводится к тому, что за фундаментальную систему окружений этой структуры принимается прообраз относительно / фильтра окрестностей нуля'в подпространстве [0, +оо] пространства R. Отметим, что этот способ вполне аналогичен применен вому нами для определения равномерных структур в топологической группе (гл. Ш, § 3, п° 1).
Пусть / и g — отклонения на Е; по определению 2, для того чтобы равномерная структура, определяемая отклонением /, мажорировалась равномерной структурой, определяемой отклонением g, необходимо и достаточно, чтобы для каждого а "> 0 существовало b > 0 такое, что g (х, у) ^ b влечет / (ж, у) ^ а. Для того чтобы отклонения { и g были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы для каждого а >■ 0 существовало Ь >■ 0 такое, что g (х, у) ^ $С b влечет / (ж, у) ^ а, а / (ж, у) ^ b влечет g (х, у) ^ а.
В частности, если существует постоянная к > 0 такая, что / ^ kg, то равномерная структура, определяемая отклонением f, мажорируется равномерной структурой, определяемой отклонением g.
Пусть ф — отображение интервала [0, -f-oo] в себя, удовлетво- ряющое следующим условиям: 1° ф (0) — 0 и ф непрерывно в точке 0; 2° ф возрастает на интервале [0, 4-ос] и строго возрастает на некоторой окрестности точки 0; 3° ф (и + г) ^ ф (и) + ф (и) для всех и ^ 0 п v > 0. Согласно определениям 1 и 2 для любого отклонения / на каком-либо множестве Е сложная функция g = фо/ является отклонением, еквивалентиим f.
Читатель легко проверит, что за ф можно принять, например,
любую излюбую изфункций Vй- log(1-Lu),функций Vй- log(1-Lu),иI -|- U ’иI -|- U ’inf (u, 1).inf (u, 1).Два последних примера показывают, что всегда существуют ограниченные отклонения, эквивалентные заданному (конечному или нет).Два последних примера показывают, что всегда существуют ограниченные отклонения, эквивалентные заданному (конечному или нет).
любую из
любую из
функций Vй- log(1-Lu),
функций Vй- log(1-Lu),
и
I -|- U ’
и
I -|- U ’
inf (u, 1).
inf (u, 1).
Два последних примера показывают, что всегда существуют ограниченные отклонения, эквивалентные заданному (конечному или нет).
Два последних примера показывают, что всегда существуют ограниченные отклонения, эквивалентные заданному (конечному или нет).
Определение 3. Пусть (Д)^/ — семейство отклонений на множестве Е; равномерной структурой в Е, определяемой этим семейством, называется верхняя грань множества равномерных структур, определяемых в Е каждым из отклонений Д.
Два семейства отклонений на Е называются эквивалентными, если они определяют одну и ту же равномерную структуру.
Согласно определению верхней грани множества равномерных структур (гл. II, 2-е изд., § 1, п° 2; 3-е изд., § 2, н° 5) фильтр окружений равномерной структуры 41, определяемой в Е семейством отклонений (ДХег, есть фильтр, порожденный (гл. I, 2-е изд., § 5, п° 3; 3-е изд., § 6, п° 2) семейством множеств Д ([0, я]), где i пробегает I, а а —множество всех чисел >0. Другими словами, фундаментальную систему окружений для 41 можно получить следующим образом: берем произвольное конечное число индексов iv i2, . . ., in и для каждого ц — любое число ah >■ 0; образуем множество всех пар (х, у) С Е X Е таких, что Дк (х, у) ^ а^ (1 ^ к ^ п); эти множества (при всевозможных п, i^ и яд) образуют фундаментальную систему окружений равномерной структуры 41. Впрочем, можно ограничиться случаем, когда все а^ равны одному и тому же числу а > 0, ибо окружение, состоящее из тех (х, у), для которых sup (Д. (х, у)) ^ inf ah, очевидно, 1гсл<п1<Л$п
содержится в предыдущем.
Пусть gn для каждого конечного подмножества П множества I означает верхнюю огибающую семейства (ДКен; мы видим, что когда Н пробегает всевозможные конечные подмножества мно- -1
жестка I, а а — всевозможные числа > 0, то множества gH ([0, я]) образуют фундаментальную систему ■ окружений равномерной структуры 41. По gH — отклонения па Е (п° 1), причем верхняя огибающая коночного числа функций из семейства (дн) по определению снова принадлежит этому семейству; это свойство выражают, говоря, что семейство отклонений (gH) насыщенно. Таким образом, семейство отклонений ^н) эквивалентно семейству (Д); будем говорить, что оно получено насыщением семейства (Д); из предыдущего видно, что всегда можно ограничиться рассмотрением равномерных структур, определяемых насыщенными семействами отклонений.
П той вастном случае, когда I — конечное множество, это рас- сиждопие показывает, что равномерная структура, определяемая семейством отклонений (Л)1£р определяется также одним отклонением g = sup fv
Пусть % и %' — равномерные структуры в Е, определяемые соответственно насыщенными семействами отклонений УОху, (^х)хек; для того чтобы 4Г мажорировала 41, необходимо и достаточно, чтобы для каждого индекса i £ I и каждого числа а > О существовали индекс х 5 К и число Ь > 0 такие, что gx (ж, у) ^ b влечет А (ж, у) < а.
Пример равномерной структуры, определяемой семейством отклонений. Пусть (Ahez — какое-либо семейство конечных числовых функций, определенных на множестве Е, и 41 ~ слабейшая из равномерных структур в Е, при которых все А равномерно непрерывны (гл. II, 2-е изд., § 5, п° 1; 3-е изд., § 2, п° 3); иэ определения окружений структуры 41 (гл. И, 2-е изд., § 5, n° 1; З-о изд., § 2, п° 3) следует, что 41. совпадает с равномерной структурой, определяемой в Е отклонениями gt (ж, у) = | A W — A (Z/) I-
Свойства равномерных структур, определяемых семействами отклонений
Пусть 41 — равномерная структура, определяемая в множестве Е семейством конечных отклонений (А); если наделить Е х Е произведением равномерной структуры 41 на себя, то каждая из числовых функций А будет равномерно непрерывна на Е х Е\ в самом деле, в силу (1)
I А (^ ?/) — К (ж', у') | < А (^» $") + h (у, y’Y
и, следовательно, отношения А (^ ж') ^ е/2, А (у, у') ^ е/2 влекут
I А ^ У) — А (s'. у”) I < е.
Для того чтобы 41 была отделимой, необходимо и достаточно, согласно определению ее окружений, чтобы для каждой пары различных точек ж, у из Е существовал индекс i такой, что А (ж, у) 0.
В частности, если 41 определена обком отклонением /, то для отделимости 41 необходимо и достаточно, чтобы / (х, у) — О влекло х = у (см. § 2).'
Если 41 неотделима, пересечением всех ее окружений служит подмножество произведения Е X Е, образованное всеми такими парами (х, у), что Д (х, у) = 0 для всех i; это подмножество есть график некоторого отношения эквивалентности R на Е, и отделимая ' . равномерпая структура, ассоциированная с 41, определена в E/R (см. гл. II, 2-е изд., § 1, п° 4; 3-е изд., § 3, п° 8). Легко видеть тогда, что функции Д согласуются (по х и у) с отношением R (Теор. множ., Сводка результ., § 5, п° 7) и что функции /и получаемые из Д факторизацией (по х и у), являются отклонениями на Е/R, определяющими отделимую равномерную структуру, ассоциированную с 41 (см. § 2, ii° 1)..■
Пусть А — непустое подмножество множества Е; очевидно, сужение на Л X Л отклонения, заданного на Е, ость отклонение на А; ясно, что индуцирует в А равномерную структуру, определяемую сужениями на Л X Л отклонений Д.
Рассмотрим теперь пополнение отделимого равномерного пространства. .
Предложение 1. Пусть Е — отделимое равномерное . пространство, равномерная структура которого '?/ определена семейством конечных, отклонений (JL), и Е — пополнение пространства Е. Функции ft продолжаются по непрерывности на Ё X Е; продолженные функции f,. являются конечными отклонениями на Е, и равномерная структура в Ё совпадает с равномерной структурой, определяемой семейством У^.
Прежде всего, функции Д допускают продолжение по непрерывности на Е X Е, ибо они равномерно непрерывны на Е X Е, и продолженные функции Д равномерно непрерывны на Ё х Ё (гл. II, 2-е изд., § 3, теорема 1; 3-е изд., § 3, теорема 2); кроме того, ft являются отклонениями на Ё в силу принципа продолжения неравенств (гл. IV, § 5, теорема 1). Обозначим через %! равномерную структуру в Ё как пополнении Е, а через ?/s — равномерную структуру, определяемую семейством отклонений УЗ- |?/1 мажорирует Ч!^ в самом деле, при наделении Ё структурой 41^ каждая из функций Д равномерно непрерывна на Е X Ё;
следовательно, для каждого л > О существует окружение V структуры 41 у такое, что | Д (ж, у) — Д (х, х) | ^ а для любой пары (х, у) £ V, т, е. (поскольку Д (х, х) = 0) V с Д ([0, а]); таким образом, всякое окружение структуры ДД является вместе с тем окружением структуры Ду. С другой стороны, ?/, и Дг индуцируют в Е одну и ту же равномерную структуру 7/. Поскольку Е в Ду полно и отделимо, заключаем (гл. II, 2-е изд., § 3, следствие предложения 9; 3-е изд., § 3, предложение 14), что Ду и 1L совпадают.
Построение семейства отклонений, онределякпцего равн омерную с. тру кт у ру
Способ определения равномерной структуры семейством отклонений важен тем, что он позволяет получить все равномерные структуры. Точнее говоря:
Теорема 1. Для каждой .заданной в множестве Е равномерной структуры '11 существует на Е такое семейство отклонений, что определяемая им равномерная структура совпадает с Д.
Для каждого окружения V равномерной структуры Д определим но индукции последовательность симметричных окружений Ц1Д такую, что Uy с: V и U^y с: Un при всех п ^ 1; последовательность (Е7П) является фундаментальной системой окружений некоторой равномерной структуры ?/у, мажорируемой структурой Д; при этом ясно, что Д есть верхняя грань множества структур Ду получаемых так, когда V пробегает фильтр окружений структуры "?/. Поэтому теорема 1 вытекает из следующего предложения: ’
Предложение 2. Если равномерная структура ' ?/ в Е обладает, счетной фундаментальной системой окружений, то на Е существует отклонение / такое, что 'Д совпадает с определяемой им равномерной, структурой.
Пусть (Уп) —- счетная фундаментальная система окружений структуры Д; определим по индукции последовательность (Уп) симметричных окружений структуры 7/ такую, что Uy с: 1Д и
Un+y с Un П Vn для всех и > 1.
- н. Бурбаки
Ясно, что (Un') тоже является фундаментальной системой окружений для ?/, причем Un+1 cz Un для п ^ 1. Определим следующим образом числовую функцию gнаЕ XЕ: g (х, у)= 0, если
(х, у) С Un для всех п; g (х, у) =2"Ji,если(х, у) С Un,когда 1 ^
^ п ^ к, по (х, у) $ Ui^v g (х, у)= 1,если(х, у) $ UvФункция g
симметрична, положительна и g (х, х)= 0для всех хС Е. Поло
жим
р- 1
Цх, у) — inf 2 g^t, zi+I),
О
где нижняя грань берется ио множеству всевозможных конечных последовательностей (z^o-:;<р (р произвольно) таких, что z0 — х, a z;, — у. Покажем, что / есть отклонение, удовлетворяющее неравенствам
.yg(^, y)^/(A'/)<g(^, у).(2)
В самом деле, из определения функции / тотчас вытекает, что она удовлетворяет неравенству треугольника, симметрична и положительна; очевидно, второе из неравенств (2) показывает, что / (х, х) — О для всех х £ Е; таким образом, / — отклонение. Для доказательства первого из неравенств (2) покажем индукцией по р, что для каждой конечной последовательности из р -|- 1 точек Мо^р-р множества Е, в которой z0 = х и zp = у, имеет место неравенство
2 8(zi, zi+0>-^g(.x, у).(3)
i--0
р -1
Для р = 1 это очевидно. Пусть а — 2 g ^;, z(+1); если ■i-л-О
а ^ 1/2, то неравенство (3) справедливо, поскольку g (х, у) ^ 1. Предположим поэтому, что а < 1/2, и пусть h — наибольший из индексов у, для которых
2 8 (zt, zz+i)s^ ;
таким образом, У g (zt, zM^^- и У, g (zt, гг.и) > у, откуда i<hi<A+t
i > h
По предположению индукции, g (х, z^ < a, g (гл+1, у) < а; с другой стороны, очевидно, g (z^, xh+1) ^ а. Пусть к — наименьшее целое число >■ 0, для которого 2"к ^ а; тогда к ^ 2, (х, zh) £ 6 Uh, Uh, 2к^ £ Uk и (zh+l, у) С Uk по определению функции g; следовательно, (х, у) £ Uk cz Uk_v откуда g (х, у) < 2v-h < 2а.
Итак, неравенства (2) установлены; они показывают, что при каждом а >-О множество / ((0, а]) содержит Uk для всех индексов к таких, что 2~к <_ а, и что, обратно, всякое Uk содержит множество / ({0, 2 t-1J); таким образом, множества / ([0, а|) образуют фундаментальную систему окружений структуры ?/, что и требовалось доказать.
Замечание. Равномерная структура 41 в Е определяется семейством'Ф всех отклонений на Е, равномерно непрерывных на EXE. В самом деле, ясно, что равномерная структура, определенная в Е семейством Ф, мажорируется структурой 7Z; с другой стороны, теорема 1 показывает, что существует подсемойствоТсемейства Ф, определяющее равномерную структуру 41, так что равномерная структура, определяемая Ф, мажорирует 4/; значит, она совпадает с 4/.
Равномерииуемые пространства
В главе II, § 4, п° 1 мы поставили проблему характеризации ратюмеризуемых топологических пространств; ее решение дает следующая теорема.
Теорема 2. Для того чтобы топологическое пространство А’ было равномеризуемо, необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяло следующей аксиоме-.
(Ору) Каковы бы ни были точка хй ^ Е и ее окрестность V, существует непрерывная функция на Е со значениями в [0, 1|, равная 0 в тоЧке х0 и 1 на С V.
Условие необходимо. В самом деле, если в пространстве Е существует равномерная структура, согласующаяся с его топологией, то по теореме 1 эта структура может быть задана семейст- ством (Д) отклонений на Е. причем всегда можно считать, что это семейство насыщенно (п° 2). Ио определению окружений равномерной структуры, определяемой таким семейством отклонений, существуют отклонение /а из семейства (Д) и число а > О такие, что /а (х0, х) ^ а для всех х С СУ; а отсюда следует, что функция 2*
20 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § I g (ж) — inf (1, ~р fa (ж0, ж)) удовлетворяет всем требованиям аксиомы.
Условие достаточно. В самом деле, пусть Ф — множество всех непрерывных отображений Е в [0, 1|. Аксиома (Oiv) устанавливает, что слабейшая из равномерных структур в Е, для которых функции из Ф равномерно непрерывны, согласуется с топологией пространства Е (гл. II, 2-е изд., § 5, и ° 1; 3-е изд., § 2, п° 3). ■
Определение 4. Топологическое пространство называется вполне регулярным, если оно равномеризуемо и отделимо.
По теореме 2 то же самое можно выразить, сказав, что пространство вполне регулярно, если оно удовлетворяет аксиомам (Н) и (OIV).
Замечена е. Аксиома (Oiv) влечет (Ощ) (см. гл. I, 2-е изд., § 6, и" 7; 3-е изд., § 8, п" 4), ибо если V -— окрестность точки ^0 и / — непрерывная числовая функция на К со значениями в [О, Г] такая, что / (^о) -“ 0 и / to = 1 для всех г б СУ, то множество / ( ^0, —J j есть замкнутая окрестность точки а0, содержащаяся в V. 11 частности, всякое вполне регулярное пространство регулярно (что и оправдывает терминологию). Напротив, можно привести примеры регулярных пространств, не являющихся вполне регулярными ), откуда видно, что (Ощ) не влечет (Ojv).
Как известно (гл. II, § 4, теорема 1), всякое компактное пространство, а значит и всякое подпространство компактного пространства, вполне регулярно. Мы сейчас дополним ото предложение доказательством его обращения; иными словами, справедливо
Предложение 3. Для того чтобы топологическое пространство Е было вполне регулярно, необходимо и достаточно, чтобы оно было гомеоморфно подпространству компактного пространства.
В самом деле, рассмотрим слабейшую из равномерных структур в Е, при которых все непрерывные отображения Е в [0, 1| равномерно непрерывны; мы использовали эту структуру при доказательстве теоремы 2 и видели, что она согласуется с топологией пространства Е, если Е равномеризуемо. Если Е, кроме того,
о г;1с.чимо, то в силу компактности интервала (0, 1] и в силу пред- .южеиия 5 § 5 главы II (3-е изд., гл. II, § 4, предложение 3) эта равномерная структура будет структурой предкомпактного пространства. Следовательно, пополнение Е, наделенного этой структурой, будет компактно, чем предложение доказано.
Можно еще сказать, что вполне регулярное пространство можно погрузить в компактное пространство; часто оказывается удобным' придать этому результату следующий вид.
Ьудем вообще называть кубом произведение К1 семейства топологических пространств, совпадающих с компактным интервалом К с: R, с произвольным множеством индексов I (если I конечно и состоит из п элементов, мы приходим слова к понятию замкнутого п-мерного куба, введенному в n° 1 § 1 гл. VI); куб есть компактное пространство (гл. I, 2-е изд., § 10, теорема 3; 3-е изд., § !), теорема 3).
Предложение 4. Вполне регулярное топологическое пространство Е гомеоморфно подпространству некоторого куба.
В самом деле, пусть (ДДег — семейство всех непрерывных отображений Е в К — (0, 1]. Рассмотрим отображение ап-* (Д (ж)) пространства Е в К1; будем обозначать его g. Согласно аксиомам (J I) и (Oiv) для каждой пары различных точек х, у из Е существует индекс I такой, что Д (ж) ^= Д (у); следовательно, g есть взаимно однозначное отображение Е в К1. С другой стороны, ясно, что g есть изоморфизм слабейшей из равномерных структур, при которых все Д равномерно непрерывны, на равномерную структуру, индуцированную Bg(E") равномерной структурой произведения К1; значит, и подавно g есть гомеоморфизм Е на g (5).
Полунепрерывные функции
ни равномеризуемом пространстве
В главе IV (§ 6, следствие теоремы 4) мы видели, что верхняя огибающая семейства непрерывных числовых функций на топологическом пространство есть полунепрерывная снизу функция. В равномеризуемом пространстве имеет место, кроме того, следующее обратное предложение:
Предложение 5. Для того чтобы всякая полунепрерывная снизу числовая (конечная или нет) функция / на топологическом пространстве Е была верхней огибающей непрерывных числовых (конечных или нет) функций на Е, необходимо и достаточно, чтобы Е было равномеризусмо.
Условие необходимо. В самом деле, пусть х0 — произвольная точка из Е и V — ее произвольная открытая окрестность; характеристическая функция Фе множества V полунепрерывна снизу (гл. IV, § 6, следствие предложения 1); следовательно, по предположению, существует непрерывная числовая функция g на А такая, что g Фе и g (а:0) = а > 0; непрерывная функция inf (1,~£+) принимает значения в (0, 1], равна 0 па CV и 1 в точке хй; следовательно (теорема 2), Е равноме- ризуемо. .
Условие достаточно. Рассмотрим сначала случай, когда / принимает значения в [—1, 4-1J. Требуется показать, что для каждой точки х0 € Е и каждого числа a <J (ж0) существует непрерывная числовая функция g на Е такая, что g ^ / и g (а:0) ^ а. Если а ^ —1, то в качестве g достаточно взять постоянную —1. Если —1 <. а <. f (ж0), то существует окрестность V точки х0 такая, что / (ж) ^ а для всех х 6 V. Поскольку Е равномеризусмо, существует непрерывная числовая функция А на Е со значениями в (0, 1] такая, что h (ж0) = 0 и h (ж) — 1 для всех х £ СЕ. Положив тогда g (ж) = а — (а + 1) А (ж), получим непрерывную функцию, удовлетворяющую поставленным требованиям. Отметим, что эта функция принимает значения в интервале [ — I, + 1).
Общий случай получается из рассмотренного переносом структуры: в самом деле, существует строго возрастающий гомеоморфизм интервала [—1, + Ц па К (гл. IV, § 4, предложение 2), а определение полунепрерывной функции связано только со структурой порядка и топологией в R.
Замечание. Из проведенного доказательства видно, что функция g не принимает значения -|-1. Посредством переноса структуры заключаем отсюда, что всякая полунепрерывная снизу числовая функция / на равпомеризуемом пространстве Е есть верхняя огибающая непрерывных числовых функций g ^ / на Е, не принимающих значения -роо.
Упражнения .
Для того чтобы положительная числовая функция /, определенная на Е X И, была отклонением на Е, необходимо и достаточно, чтобы / (z, х) = 0 для всех х £ Е и / (z, у) с7 / (х, z) + / (у, z) для всех х, у, z из Е.
Пусть /—отображение EX Е в [0, +°°]; Д-1Я того чтобы семейство множеств / ([0, а]), где а пробегает все числа >0, составляло фундаментальную систему окружений некоторой равномерной структуры в Е, необходимо и достаточно, чтобы / удовлетворяло следующим условиям: а) / (z, х} = 0 для всех х С Е; б) для каждого а > 0 существует 6 > О такое, что / (z, у) ^ Ъ влечет / (у, z) ^ а; в) для каждого й > 0 существует с > 0 такое, что соотношения / (z, z) ^ с и / (z, у) < с влекут / (z, у) ^ а.
В частности, условия б) и в) выполнены, если'существуют отобра» жепие ср интервала 1 = [0, ф-оо] на себя, непрерывное и равное нулю в точке 0, и отображение ф произведения I X I в I, непрерывное п равпос пулю в точке (0, 0), такие, что / (у, z) ^ ф (/ (z, у)) и / (z, у) -.г. ^ ф (/ (z. z), / (z, !/)) Для всех х, у, z из Е.
Пусть Е — топологическое пространство, .‘7 — его топология, (А) — насыщенное (н° 2) семейство отклонений на Е и 11 — определенная им равномерная структура
Для того чтобы топология, порожденная равномерной структурой 11, мажорировалась топологией ЕГ, необходимо и достаточно, чтобы все А были непрерывны на Е X Е (в произведении топологии 17 на себя), ■
Для того чтобы топология, порожденная равномерной структурой 11, мажорировала топологию .7, необходимо и достаточно, чтобы для каждой точки х0 С Е и каждой ее окрестности V (в топологии У”) существовали индекс i и число а > 0 такие, что Д (z0, z) > а для всех х С CV.
Пусть Е — неотделимое равномеризуемоо пространство и R — отношение у 6 (z) между двумя общими точками х, у из Е.
Показать, что R ость отношение эквивалентности и Е, что всякое непрерывное отображение А' в отделимое пространство согласуется с отношением R (Теор. множ., Сводка результ., § 5, п° 7) и что факторпрострапство Е/R вполне регулярно.
Для всякой равномерной структуры 11 в Е, согласующейся с его топологией, отделимая равномерная структура, ассоциированная с 11 (гл. II, § 1, н° 4), определена в факторпрострапство Е/R и согласуется с топологией этого пространства; топологическое пространство EiR называется вполне регулярным пространством, ассоциированным с равномеризуемым пространством Е.
Пусть Е— равномеризуемоо пространство; показать, что семейство всех отклонений на Е, непрерывных на Е X Е, определяет в Е равно-
мерную структуру,, согласующуюся с его топологией. Эта равномерная структура 41 й (называемая универсальной равномерной структурой в Е) является сильнейшей из всех равномерных структур в Е, согласующихся с его топологией. Каково бы ни было равномерное пространство F, всякое непрерывное отображение Е в F равномерно непрерывно при наделении Е его универсальной структурой, причем это предложение неверно для всякой другой равномерной структуры, согласующейся с топологией н ростра истца Е. Показать, что если в Е существует равномерная структура 41, согласующаяся с, его топологией, такая, что Е, наделенное этой структурой, полно, то Е, наделенное равномерной структурой ЧГ, мажорирующей 11 и мажорируемой 41 й, тоже полно. (Заметить, что структуры 41' в 41 й порождают одни и те же фильтры Коши.]
*6) а) Пусть Е — вполне регулярное пространство, 41 - равномерная структура, согласующаяся с его топологией, и 41* - - слабейшая из равномерных структур в Е, при которых остаются равномерно непрерывными все отображения Е в [0, 1 ], равномерно непрерывные при наделении Е структурой 11. Показать, что равномерная структура 41* отделима, согласуется с топологией пространства Е и что Е, наделенное этой равномерной структурой, предкомпактно.
Пусть К — произвольное компактное пространство. Показать, что всякое отображение / пространства Е в К, равномерно непрерывное при наделении Е структурой 41, остается равномерно непрерывным и при наделении Е структурой 41*. [Заметить, что единственная равномерная структура в К, согласующаяся с его топологией, совпадает со слабейшей из равномерных структур, при которых все непрерывные отображения К в [0, 1] равномерно непрерывны.| Вывести отсюда, что 41* есть сильнейшая ив мажорируемых 41 равномерных структур в Е, при которых Е иредкомпактно.
) Пусть Е — вполне регулярное пространство п 11 п — универсальная равномерная структура в Е (упражнение 5); равномерная структура 41* (упражнение б) есть не что иное как слабейшая из равномерных структур в Е, при которых все непрерывные отображения Е в [0, 1] равномерно непрерывны. Обозначим через Е компактное пространство, получаемое пополнением пространства Е, наделенного структурой Ж^; Е называют компактификацией Стоуна — Чеха пространства Е.
Показать, что всякое непрерывное отображение пространства Е в компактное пространство К допускает продолжение до непрерывного отображения F, в К (см. Теор. множ., гл. IV, § 3).
Пусть / — гомеоморфизм пространства Е на всюду плотное подпространство Е' компактного прострапстиа К и / — непрерывное отображение Е в К, продолжающее /; показать, что
Т№ — Я) = К — Е'.-
[Предположим, что существует а £ Е — Е, для которого / (а) ~ / (,)), где b С Е*, рассмотреть непрерывное отображение g пространства Е в | О, 1] такое, что g (Л) ™ 0, g (а) = I, и множество Р тех z б ?’, для которых g (z) ^t 1/2; существует непрерывное отображение h пространства К в [О, 1J такое, что к (J (/>)) -- 0 и А (/ (л:)) — 1 для всех z С Р; показать, что равенство А (7 (а)) — 0 противоречит тому, что а есть точка прикосновения для Р в Л'.|
) Пусть Е — вполне регулярное пространство и Е — его компактификация Стоуна — Чеха, ,
Фильтр Я- я Е называется вполне регулярным, если он обладает базисом ®, состоящим из открытых множеств, таким, что для каждого множества А С $ существуют множество В б ®, содержащееся п Д, и непрерывное отображение / пространства Л в [0, 1], равное О на В и 1 на СД. Вполне регулярный фильтр называется максимальным, если не существует более сильного вполне! регулярного фильтра. Показать, что для каждого вполне регулярного фильтра Л существует максимальный вполне .регулярный фильтр, мажорирующий ’ S. [Использовать теорему Цорна.]
Для того чтобы вполне регулярный фильтр 5 был максимальным, необходимо и достаточно, чтобы для каждой пары открытых множеств А, В в Е такой, что В а А и существует непрерывное отображение / пространства Е в [0,1 ], равное 0 на В и 1 на СД, выполнялось следующее условие: либо Д £а, либо Д б S и в S существует множество, не пересекающееся с В. [Если все множества из 7s пересекаются с В, рассмотреть фильтр, порожденный всеми множествами из <v II. множествами / ([0, л(), где а пробегает открытый интервал )0. ![.] ■
Показать, что всякий максимальный вполне регулярный фильтр) S есть фильтр Коши относительно равномерной структуры в Е, индуцированной из Е. [Рассуждая от пропгвного и используя б), показать,, что каждое непрерынное’отображоние / пространства Е в [0, 11 имеет предел по S.] .
Два различных максимальных вполне регулярных фильтра S, S' не могут сходиться к одной и той же точке в Е. [Заметит),, что, согласно б), существуют непересекающисся открытые множества А б 8 и А' б S'; далее рассуждать от противного, используя (СЦуМ
След $ па Е фильтра окрестностей произвольной точки z0 б Е есть максимальный вполне регулярный филбтр. [Рассуждать от противного, используя определения вполне регулярного фильтра и фильтра окрестностей точки в Д.|
а) Пусть Е — топологическое пространство, .7 — его топология и Ui\y — некоторое семейство отображений Е в К = [О, Г], непрерывных в топологии .7. Пусть ,7й — слабейшая из топологий в Еу
при которых псе Д непрерывны. Покапать, что для того, чтобы д'Q = g, достаточно, чтобы семейство множеств Д ([0, а[), где а пробегает открытый интервал ]0, 1[, a t пробегает I, было системой образующих топологии д' (гл. I, § 2, в° 3). Пространство Е тогда равпомеризуемо и в случае отделимости гомеоморфво некоторому подпространству куба К1.
б) Предположим, что (Д) есть семейство всех непрерывных (в д'1) отображений Е в К. Показать, что для каждого компактного пространства F всякое отображение Е в F, непрерывное в топологии д', непрерывно и в топологии д^,. [Погрузить F в куб.] Для того чтобы топология S' была равпомеризуемой, необходимо и достаточно, чтобы .Уо — д'. .
Пусть Е — вполне регулярное пространство, К — его компактное подмножество и V — окрестность К в Е.
Показать, что существует непрерывное отображение Е в [0, 1], равное 1 на К и 0 на СК [Использовать (Огу). покрывая К конечным числом надлежащих окрестностей.]
Пусть Е’ — фактор пространство, получаемое отождествлением в Е всех точек из К. Показать, что Е' вполне регулярно.
1) Пусть Е — вполне регулярное пространство. Замкнутые множества А, В и Е называются нормально отделимыми, если существует непрерывное отображение / пространства Е в [0.1] такое, что / /г) = 0 па А и / (х) = 1 на В.
Пусть Е — компактификация Стоуна — Чеха пространства Е. Показать, что для того, чтобы замкнутые подмножества А, В пространства Е обладали ионересекающимися замыканиями в Е, необходимо и достаточно, чтобы А и В были нормально отделимы. [Использовать упражнения 7а) и 10а).]
Пусть h — гомеоморфизм пространства Е на всюду плотное подпространство Е' компактного пространства К и к — непрерывное отображение Е в К, продолжающее Л. Предположим, что для каждой пары нормально отделимых замкнутых множеств А, В и Е замыкания множеств h (Л) и h (5) в Л' не пересекаются. Показать, что к есть гомеоморфизм Е на К. [Доказать, что к инъективно: предполагая, что а, Ъ — две различные точки в Е, для которых к (а) = 7 (Ь), рассмотреть множества Е П / ([0, 1/3]) и Е (] /([2/3, 1]), где / — непрерывное отображение Е в [0, 1] такое, что / (а) = 0, / (6) = 1.]
2) Пусть Е — компактификация Стоуна — Чеха вполне регулярного пространства Е.
Пусть / — непрерывная конечная числовая функция па Е такая, что / (х) > 0 на Е и множество A —f (0) cz Ё — Е не пусто; тогда в Е существует последовательность точек (ап), для которой
последовательность чисел Х„ = / (а71) > 0 строго убывает и Kin Хп = 0.
Сопоставим каждому целому л > 0 открытый интервал /я n Н) с центром Хп так, чтобы замкнутые интервалы /п попарно вс пересекались, п пусть Мп = / (/„) f) Е. Пусть Мд для каждого множества Яс N есть объединение всех множеств Мп, у которых я б Щ для каждого фильтра S в N, мажорирующего фильтр Фреше, обозначим через R' фильтр в Е базис которого образуют множества Л/н, где Н пробегает S. Показать, что g' — вполне регулярный фильтр (упражнение 8) и что если ^,, ^2 — два различных ультрафильтра в N, мажорирующих фильтр Фреше, то в Е не существует фильтра, мажорирующего л( и За- Вывести отсюда, что Card (Л) is 22Card ^N\ [Использовать упражнения 8 п 14в) § 8 гл. I.]
Предположим, что Е бесконечно и дискретно. Показать, что равномерной структурой, индуцируемой в Е из Е, служит равномерная структура конечных разбиений (гл. II, 2-е изд., § 3, упражнение 4 и § 4, упражнение 13; 3-е изд., § 4, упражнения 12 и 126)). [Использоватьупражнение 11 б)]. Вывести отсюда, что Card CA')=22Card ^ (см. гл. I, § 8, упражнение 14в)*)). Показать, что на Е существует непрерывная числовая функция / > 0, для которой / (0) не пусто и содержится в Е — Е.
При тех же предпосылках, что и в б), показать, что если Д — бескопечпое замкнутое множество в Е, то Card (Д) > 22Card^N\ [Показать сначала, что в Д существует бесконечная последовательность точек (ап), обладающих попарно ненересекающимися окрестностями Vn в Е; вывести отсюда, что всякая ограниченная числовая функция /, определенная па множестве D точек ап, продолжается до непрерывной функции па Е: рассмотреть для этого числовую функцию g, определенную на Е п равную / (ап) для всех точек из А’Г) V„. Заключить, что I) с: Д гомеоморфпо компактификации Стоуна — Чеха множества D (см. § 4, упражнение 17).]
Пусть G — некомпактная локально компактная топологическая группа. Показать, что равномерная структура, индуцируемая в произведении И — С X G равномерной структурой его компактификации Стоума — Чеха Н, сильнее равномерной структуры, индуцируемой из G X G. [Применяя упражнение 7а) к отображению (г, у) ь-*-ху-у пространства Н в G, показать, что в противном случае
*) В 3-м изд. воспроизведены только пункты а) и б) этого упражнения (гл. I, § 4, упражнение 5). Пункт в): Вывести из а) и б), что в Д множество всех ультрафильтров и множество всех фильтров равпомощны $($(Л))— Ред.
группа G была бы изоморфна подгруппе компактной группы, и затем использовать предложение 4 § 3 главы 1IL]
Показать, что если каждая точка топологического пространства Е обладает замкнутой окрестностью, являющейся равпомеризуе- мым подпространством пространства Е, то Е равиомеризуемо.
5) а) Пусть Е — локально компактно:1 пространство, Ф — множество всех его непрерывных отображений g в [О, Г], равных нулю на дополнении некоторого компактного множества (зависящего от g', и ^j — слабейшая из равномерных структур в Е, при которых все функции g £ Ф равномерно непрерывны. Показать, что ?/1 согласуется с топологией пространства Е, что пополнение Е пространства Е, наделенного этой структурой, компактной что дополнение к Е в Е либо пусто, либо сводится к одной точке. | Показать, что если Е не компактно, то фильтр дополнений относительно компактных множеств в Е есть фильтр Коши относительно структуры ?/].[
Показать, что равномерная структура ?/, является слабейшей иа равномерных структур, согласующихся с топологией пространства Е.,
Обратно, пусть Е — такое вполне регулярное пространство, что в множестве равномерных структур, согласующихся с ио топологией, существует структура ?/т, мажорируемая всеми остальными. Показать, что Е локально компактно. [Используя упражнение 6, показать, что Е, наделенное структурой ?Zb продкомпактио; убедиться затем, что дополнение к Е относительно его пополнения в структуре ”UV не может содержать более одной точки.]
Предположим, что Е локально компактно и счетно в бесконечности, так что (гл. I, 2-е пзд., § 10, п° 1.1; 3-е изд., § 9, п° 9) Е представимо в виде объединения возрастающей последовательности (<7„) относительно компактных открытых множеств таких, что Un с (/„+,. Показать, что па Е существует непрерывная числовая функция / такая, что / (я-) < п для всех х g Un и / Ст) > п для всех х ^ CUn. [См. упражнение 10а). 1 Пусть ?Z2 -- слабейшая из равномерных структур в Е, прп которых все функции gg® и функция / равномерно непрерывны: показать, что эта структура согласуется с топологией пространства Е и обладает окружением V таким, что V (г) относительно компактно в Е для каждого х g Е. [См. гл. [I, 2-е изд., § 4, упражнение 10: 3-е изд., § 4 упражнение 9.]■
(>) Пусть Е — полное отделимое равномерное пространство и 41 — его равномерная структура.
Пусть А — объединение последовательности (/-„) замкнутых подмножеств пространства Е и х g А. Показать, что на Е существует непрерывная конечная числовая функция / > 0 такая, что / (z) — 0 и / (у) > 0 для всех у g А. [Рассмотреть функцию / (я) = V й„ U)/2’‘, 71:: -0
где gn — непрерывные отображения Е в [0, 1] такие, что gn (ж) — О Н йп (у) " 1 для всех ч 5 Е,^ _
Пусть h — непрерывння числовая функция >0 на Е и V — открытое множество к (]0, -|-оо[). Рассмотрим в V равномерную структуру ®', являющуюся верхней гранью структуры, которую индуцирует Ж, и равномерной структуры, определенной отклонением
г(л’")-1тгЬ'~т^
Показать, что V полно в Ж'.1
Пусть В — пересечение семейства множеств Мд), каждое из которых есть объединение счетного семейства замкнутых подмножеств пространства Е. Показать, что в В существует такая равномерная структура, согласующаяся с топологией, индуцируемой из Е, что В в этой структуре полно. [Использовать б).]
Пусть Е— топологическое пространство, в котором открытозамкнутые окрестности каждой точки образуют фундаментальную систему ее окрестностей. Показать, что Е равяомеризуемо.
Пусть Е — счетное вполне регулярное пространство. Показать, что открыто-замкнутые окрестности каждой точки х £ Е образуют фундаментальную систему окрестностей этой точки. (См. § 6, п° 4.1 ' ‘
Пусть Е — локально компактное пространство. Показать, что всякая полунепрерывная снизу функция / ^ О на £ есть верхняя ■огибающая семейства непрерывных функций ^0, каждая из которых равна нулю на дополнении некоторого компактного множества.
а) Пусть Е — вполне регулярное прострапство и а — его точка; для того чтобы на Е существовала непрерывная функция / ^= 0 такая, что / (я) -= 0 и / (г) > 0 для всех х ^ а, необходимо и достаточно, чтобы точка а обладала последоиательноетью (Т^) окрестностей такой, что (а} -~ ^ Vn. 1См. упражнение Kia).]
Пусть Е -■ вполне регулярное прострапство, каждая точка которого обладает счетной фундаментальной системой окрестностей. Показать, что в его компактификации Стоуна — Чеха Е множество Е совпадает с множеством точек, обладающих счетной фундаментальной системой окрестностей в Е. [Использовать а) и упражнение 12.] Пусть также Е' — вполне регулярное пространство, каждая точка которого обладает счетной фундаментальной системой окрестностей; показать, что если компактификации Стоуна — Чеха Е и Е' гомооморфны, то также Е и Е' гомеоморфны.
*22) а) Пусть Е — топологическое пространство. Доказать рав- носилыюсть следующих двух свойств: а) всякая непрерывная конечная числовая функция на Е ограниченна; |1) всякая непрерывная и ограниченная числовая функция на Е обладает иапменьтпм и наибольшим
значениями. Пространство Я, обладающее этими свойствами, называется вейерштрассобым. Для каждого непрерывного отображения / веиерштрассова пространства Е в топологическое пространство Е* подпространство / (£) пространства Е* вейерштрассопо.
Рассмотрим следующие два свойства топологического пространства Е; у) для каждого счетного открытого покрытия (67П) пространства Е последнее является объединением конечного числа множеств U^; 6) всякий счетный базис фильтра в Е, состоящий из открытых множеств, имеет но крайней мере одну точку прикосновения. Показать, что свойства у) и 6) равносильны и влекут вейерттрассовость пространства Е. В частности, всякое абсолютно замкнутое пространство (гл. I, 2-е изд., § 10, упражнение 10; 3-е изд., § 9, упражнение 19) вейерштрассово. Если Е обладает свойствами у) и б), то ими обладает и всякое его подпространство вида А, где А — открытое множество. [См. § 4, упражнение 266).]
Рассмотрим следующее свойство топологического пространства Е*. Q всякое локально коночное открытое покрытие пространства Е конечно. Показать, что У влечет у). [Пусть (t/„) — возрастающая последовательность открытых подмножеств пространства Е, образующая его покрытие и такая, что Un+1 Ф ип; рассмотреть покрытие, состоящее из множеств Пп^ П Сб/П и дополнения последовательности (а„) такой, что an+i £ (7n+i ^CU Д Доказать, что если Е регулярно, то у) влечет 1Д. [Пусть (Z7a) — бесконечное локально конечное открытое покрытие пространства Е. Определить по индукции последовательность (an) индексов, последовательность (жп) точек ив Е и для каждой точки хп две ее открытые окрестности Vn, Wn, такие, что: 1° Vn с И^, Wn с Uan и Wn пересекается лишь с конечным числом множеств Еа; 2° UQn ио пересекает пи одного ТЕд с ип- дексом к < п. Рассмотреть затем покрытие пространства Е, образованное множествами Wn и дополнением к объединению множеств Еп.]
Во вполне регулярном пространстве Е свойства а), р), у), 6), У равносильны друг другу и следующему свойству: 0) Е иредком- пактно во всякой равномерной структуре, согласующейся с его топологией. [Чтобы убедиться в том, что а) влечет £), заметить, опираясь на (Оту), что если (Уп)— счетпо-бескоиечное локально конечное открытое покрытие пространства Е и an £ Un, то па Е существует непрерывная числовая функция / такая, что / (an) = п для всех п. Для доказательства того, что 0) влечет а), использовать упражнение 5 и заметить, что на предкомпактиом пространстве всякая равномерно непрерывная числовая функция ограниченна. Чтобы доказать, что у) влечет 0), заметить, что если Е по предкомпактпо в равномерной структуре Ж, то существуют симметричное окружение V этой структуры и последовательность Уп) точек из Е такие, что множества V (гп) попарно не 'пересекаются.]
Вполне регулярное вейсрштрассово пространство, полное в некоторой равномерной структуре, согласующейся с его тополо- гиейц компактно.
Во вполне регулярном вейерштрассовом пространстве Е универсальная равномерная структура (упражнение 5) индуцируется равномерной структурой его компактификации Стоуна — Чеха и является единственной равномерной структурой, согласующейся с топологией пространства Е, при которой все непрерывные отображения Е в [0, 1] равномерно непрерывны.
3) Пусть Е — отделимое равномерное пространство, F — его замкнутое подмножество и / — ограниченная равномерно непрерыв пая числовая функция на F. Показать, что / обладает ограниченным равномерно непрерывным продолжением 7 на Е [Можно считать, что / (/-') с [0, 1|. Каждой двоичной дроби г = klY1 £ [0, 1] отнесем множество Л (г) тех точек х £ F, для которых / (х) ^ г, и пусть S (г) =. = -А (г) Ц (Е ~ FV Определить по индукции °(как при доказательство теоремы 1 § 4)0 для каждой двоичной дроби г С [0, 1] открытое множество U (г) так, чтобы для каждой пары двоичных дробей г, г', где г < г', выполнялось следующее условие: существует окружение V равномерной структуры пространства Е такое, что
V (Л (г)) с U (г'), V (U (г)) с: U (г'), V (U (г)) с В (г').
Припять тогда ва / ^ нижнюю грань двоичных дробей г, для которых X Е и (г).]
Метрические пространства; метризуемые пространства
Расстояния и метрические пространства
Определение 1. Расстоянием на множестве Е называют конечное отклонение d на Е, для которого отношение d (х, у) = О влечет х = у. Метрическим пространством называют множество Е, наделенное структурой, определяемой заданием на Е расстояния..
Метрическое пространство Е будет всегда считаться наделенным равномерной структурой и топологией, определяемыми заданным на Е расстоянием.
Примеры. 1) Евклидово расстояние Д (а?, ?/) (гл. VI, § 2, п° 1) есть расстояние па числовом пространство R"; то же можно сказать а
о функциях sup | хг — iit \ и V | X; - ,/; |. Все эти расстояния жви- "l^isjn"
валентны (§ 1, п° 2).
Отклонение d, определенное на произвольном множестве Е соотношениями d (х, х) == 0, d (z, у) ~ 1 при х ^ у, есть расстояние; равномерная структура, определяемая им в Е, Дискретна.
Определение, равносильное определению 1, получится, если сказать, что расстояние есть такое конечное отклонение, которое определяет отделимую равномерную структуру; следовательно, конечное отклонение, эквивалентное некоторому расстоянию, является расстоянием.
С равномерным пространством, определенным заданием одного отклонения (которое можно считать конечным'), не являющегося расстоянием, можно связать метрическое пространство. Пусть / — такое отклонение на множестве Е и ^ — определяемая им равномерная структура; эта структура неотделима, и пересечение ее окружений есть множество в Е X Е, определяемое отношением эквивалентности / (х, у) " 0; обозначим это отношение через R. Если х = х' (mod Д'), то по неравенству треугольника / (х, у) ^ ^ / (х, х') + / (х', у') = / (х', у), и так же / (х', у) ^ / (х, у), так что / (х, у) = / (х', у); иначе говоря, / есть функций, согласующаяся (по х и у) с отношением эквивалентности R (Теор. множ., Сводка результ., § 5. п° 7). Пусть / — функция, полученная из / факторизацией (по х и у); опа определена на (Е/R) х (Е/R), и если х, у — классы (mod Д') точек х, у из Е, то / (х, у) == / (х, у). Отсюда сразу следует, что / —расстояние па EIR; его называют расстоянием, ассоциированным с отклонением /; при этом равномерная структура, определяемая им в EIR, есть не что иное, как отделимая равномерная структура, ассоциированная с/Н (гл. II, 2-е изд., § 1, п° 4; 3-е изд., § 3, п° 8). Таким образом, переходом к надлежащему факторнространству равномерная структура, определяемая одним отклонением, сводится к структуре метрического пространства.
Предложение 1 § 1 определяет структуру пополнения метрического пространства.
Предложение 1. Пусть Е— метрическое пространство, d — расстояние на Е и Е — пополнение Е (по равномерной структуре, определяемой расстоянием d\, функция d продолжается по непрерывности на Е, ее продолжение d является расстоянием на Е
и равномерная структура в Ё совпадает с равномерной структурой, определяемой расстоянием d.
В^самом деле, предложение 1 § 1 показывает, что d — конечное отклонение на Е и определяет в Е равномерную структуру, получаемую при пополнении; поскольку последняя отделима, d есть расстояние. Рассматривая пополнение Ё метрического пространства Е как метрическое пространство, всегда подразумевают, что расстояние на Е получено продолжением по непрерывности расстояния на Е.
tl. Структура метрического пространства
Пусть Е и Е' — метрические пространства, d — расстояние на Е и d' — на Е*. В соответствии с общими определениями (Теор. множ., Сводка результ., § 8, п° 5), взаимно однозначное отображение / пространства Е на Е* есть изоморфизм структуры метрического пространства в Е на структуру метрического пространства в Е', если
' d (я, у) = d* У к^* / (у)) (1) для всех х и у из Е.
Отметим, что отображение / пространства Е на Е*, удовлетворяющее тождеству (1), необходимо биективно it, следовательно, является изоморфизмом Е на Е'\ этот изоморфизм называют еще изометрией (или изометрическим отображением) Е на Е*.
Изометрия Е на Е', разумеется, является изоморфизмом равномерной структуры (соответственно топологии) пространства Е на равномерную структуру (соответственно топологию) пространства Е'; как показывает существование различных эквивалентных расстояний (§ 1, п° 2), обратное неверно.
Пусть Е — метрическое пространство и d — определяющее его расстояние. Для каждого числа а >• 0 обозначим через Va множество тех точек (ж, у) £ Е х Е, для которых d (х, у) <_ а, и через Wa — множество тех точек (х, у), для которых d (ж, у) ^ ^ о; когда а пробегает множество всех чисел >■ 0 (или только их последовательность, стремящуюся к 0), множества Va (соотв. Wa) образуют в силу непрерывности d (§ 1, п° 3) фундаментальную систему открытых (соотв. замкнутых1) окружений равномерной 3 И. Бурбаки
структуры пространства Е; при этом Va с: Wa, по эти два множества но обязательно совпадают.
По аналогии со случаем евклидова расстояния па R”, множество Уа (ж) (соотв. Wa (ж)) называется открытым (соотв. вамкнутым) шаром с центром х и радиусом а; это открытое (соотв. замкнутое) множество в Е. Точно так же сферой с центром х и радиусом а называют множество тех точек у, для которых d (ж, у) = а; это — замкнутое множество. Согласно предыдущему открытые (соотв. замкнутые) шары с центром х и радиусом а образуют фундаментальную систему окрестностей х, когда, а пробегает множество всех чисел >0 или последовательность чисел >0, стремящуюся к 0.
,Не следует обманываться введенной терминологией и думать,
что в произвольном метрическом пространстве шары и сферы обла- ' дают теми же свойствами, что и евклидовы шары и сферы, изученные в § 2 главы VI. Так, например, замыкание открытого шара может отличаться от замкнутого шара с темп нее центром и радиусом, граница замкнутого шара может отличаться от сферы с теми же центром и радиусом, открытый (или замкнутый) шар может не быть связным, а сфера может быть пустым множеством (см. упражнение 4).
Пусть А и В — произвольные непустые множества в метрическом пространстве Е. Расстоянием между множествами Л и В называют число
. d(A, В) = inf d(x, у).■
В частности, через d (х, А) обозначают расстояние между одноточечным множеством {ж} и множеством А; его называют расстоянием от точки х до множества Л; таким образом,
d (ж, Л) — inf d (ж, ?/),
VGA
откуда'
d (Л, В) = inf d (ж, В)
'х£А
(гл. IV,-§ 5, предложение 9). •.
Замечание. Прй d (х, А) = а может случиться, что в А пот пи одной точки, расстояние которой от х равно а. Однако это не может ■■ иметь места, если А -компактно, ибо тогда в силу теоремт/Вейерштрас-
■ ■ са (гл. IV, § 6, теорема 1) существует у б А, для которого d (х, А) = ■= d (х, у).
Предложение 2. Свойства d (я, Л) = О и х € А равносильны.'■
В самом деле, свойство d (х, Л) = 0 выражает, что шар TVCr) пересекается с Л при каждом а > 0, а это равносильно тому, что х £ Л.
Предложение 3. Функция d (ж, Л) равномерно непрерывна на Е.•
В самом деле, пусть х, у — произвольные точки из Е; для каждого е > 0 существует z € Л такое, что d (у, z) ^ d (у, Л) + 8, откуда в силу неравенства треугольника.
d (х, z) ^ d (х, у) + d {у, z^d (я, у) + d (у, Л) + 8.
Тогда, тем более, d(,x, А) ^ d (х, у) + d ^у, Л) + е, и так как в произвольно, то d (х, Л) ^ d (х, у) + d (у, Л). Тем же способом получаем, что d ^у, Л) ^ d (ж, y) + d (ж, Л), так что
| d (я, Л) - d (у, Л) |< d (z, у),(2)
откуда и вытекает справедливость предложения.
Замечание. Если ни одно иа множеств А, В не одноточечно, то может оказаться, что d (4, У) = 0 и при А П В = 0. Например, целые числа > 0 и точки последовательности ( п + =- ) образуют . \2п/пТ>1
пп числовой прямой R непересокающиеея замкнутые множества, расстояние между, которыми равно пулю.
Одпако если А компактно и В замкнуто, соотпошенис d (4 , У) = — О влечет А П-В Ф 5&i ибо в силу соотношения d (4, У) = inf d (i, У), хЕА
предложения 3 п теоремы Вейерштрасса существует з-0 ? 4 такое, что d (ж0, В) = d (4, У) — 0, откуда (предложение 2) ж0 £ В.
Диаметром непустого множества А в Е называют (конечное или равное + оо) число 6 (Л) = sup d (ж, у). Понятие множества х£А, у£А
«малого порядка Wo» (гл. II, § 3, п° 1) совпадает с понятием множества диаметра ^а. Для того чтобы непустое множество А было одноточечным, необходимо и достаточно, чтобы 6 (Л) = 0.
Множество А с: Е называют ограниченным (относительно расстояния d), если его диаметр конечен. То же самоо можно выразить, сказав, что, какова бы ни была точка х0 ^ Е, А содержится в некотором шаре с центром в х0. Всякое подмножество ограниченного
36 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX. § 2 множества есть ограниченное множество; объединение конечного семейства ограниченных множеств есть ограниченное множество.
Отметим, что множество и Е может быть ограниченным относительно расстояния d и неограниченным относительно некоторого расстояния, эквивалентного d (см. § J, н° 2).
Л. Колебание функции 1
С понятием диаметра связано понятие колебания функции /, определенной на произвольном множестве Е и принимающей значение в метрическом пространстве Е'; колебанием функции / на произвольном непустом множестве Л с: Е называют диаметр 6 (/ (Л)).
Если, кроме того, Е есть подмножество топологического пространства F, то колебанием функции f в точке х £ Е называют число со (х; /) = inf 6 (/ (Г П Е)), где V пробегает фильтр окрестностей точки х в F.
Предложение 4. Колебание со (х; /) произвольной функции f, определенной на подмножестве Е топологического пространства F и принимающей значения в метрическом пространстве Е*, есть полунепрерывная сверху функция на Е.
В самом деле, пусть а — произвольная точка из Е; для каждого к > со (а; /) существует открытая окрестность V точки а такая, что 6 У (V П Е)) < к но V есть окрестность любой точки х^ 5 V П Е, так что
со (х; П ^ 6 (/ (Е П Е^ < к
чем доказано, что функция со полунепрерывна сверху в точке а.
Для того чтобы со (х; /) = 0 в точке х £ Е, необходимо и достаточно, чтобы для каждого 8 > 0 существовала окрестность V точки х такая, что / (V f) Е) содержится в шаре радиуса е; если х £ Е, это условие выражает непрерывность функции / в точке х относительно Е\ если х С Е П СЕ, то оно выражает, что образ относительно / следа на Е фильтра окрестностей точки х в F ость базис фильтра Коши в Е'; в частности:
Предложение 5. Пусть / — функция, определенная на подмножестве Е топологического пространства F и принимающая
4
значения в полном метрическом пространстве Е'- для того чтобы / имела в точке х £ Е предел относительно Е, необходимо и достаточно, чтобы ее колебание в этой точке было равно нулю.
Метризуемые равномерные пространства
Определение 2. Говорят, что расстояние на множестве Е согласуется с равномерной структурой °U в Е, если равномерная структура, определяемая этим расстоянием, совпадает с 41.
Равномерную структуру в множестве Е называют метри- зуемой, если на Е существует расстояние, согласующееся с этой равномерной структурой. Равномерное пространство называют метризуемым, если метризуема его равномерная структура.
С одной и той же равномерной структурой могут согласоваться различные расстояния; они называются тогда эквивалентными (§ 1, н° 2, определение 2).
'Георема 1. Для того чтобы равномерная структура была метризуемой, необходимо и достаточно, чтобы она была отделимой и фильтр ее окружений обладал счетным базисом.
Условие необходимо, ибо (в обозначениях из и0 2) окружения Vi „(n^:l) образуют базис фильтра окружений равномерной структуры метрического пространства.
Условие достаточно, ибо если оно выполнено, то, согласно предложению 2 § 1,’рассматриваемая равномерная структура опрс- деляется одним отклонением, которое в силу отделимости структуры является расстоянием.
Следствие 1. Отделимая равномерная структура, определяемая счетным семейством отклонений, метризуема.
В самом деле, если (/„) — последовательность отклонений, определяющих такую структуру, то фильтр окружений порождается счетным семейством множеств /п ([0, l/zn|), где т и п пробегают все целые числа >0.
Следствие 2. Произведение всякого счетного семейства лишризуемых равномерных пространств метризуема.
В самом деле, такое пространство отделимо и ого равномерная структура обладает счетной фундаментальной системой окружений (гл. П, 2-е изд., § 5, п° 2; З-о изд., § 2, п° 6).
Метризуемме топологические пространства
Определение 3. Говорят, что расстояние на множестве Е согласуется с топологией f в Е, если топология, определенная этим расстоянием, совпадает с .9". Топологическое пространство Е называют метризуемым, если на Е существует расстояние, согласующееся с его топологией. ■
Дна расстояния на множестве Е, согласующиеся с одной и той же топологией /Г, могут быть не эквивалентны. .
Пример доставляет подпространство R? пространства R, образованное всеми вещественными числами >0; равномерная структура, индуцируемая аддитивной равномерной структурой из R, и равномерная структура, индуцируемая мультипликативной равномерной структурой из R*, обе метризуемы и согласуются с топологией подпространства R*, но не сравнимы.
Заметим также, что могут существовать неметризуемые равномерные структуры, согласующиеся с топологией метризуемого топологического пространства (упражнение 7).
Мы ограничимся здесь приведением необходимого условия метризуемости топологического пространства (необходимое и достаточное условие см. в упражнении 22 § 4). Прежде всего, топологическое пространство может быть метризуемым, только если оно вполне регулярно (мы увидим даже — см. §4, n° 1, предложение 2,— что метризуемое пространство необходимо «нормально», что является более сильным условием). С другой стороны, по теореме 1 имеем '
Предложение 6. Всякая точка метризуемого пространства обладает счетной фундаментальной системой окрестностей.
Более общим образом:
Предложение 7. В метригуемом пространстве всякое замкнутое множество есть пересечение счетного семейства открытых множеств и всякое открытое множество есть объединение счетного семейства замкнутых множеств.
В самом деле, пусть d — расстояние, согласующееся с топологией метризуемого пространства Е. Если А замкнуто в Е, то оно является пересечением открытых множеств ¥цп (Л) (где Е1/п (Л) — множество тех х, для которых d (х, Л) < 1/п; см.
<; МЕТРИЧЕСКИЕ И МЕТРИЗУЕМЫЕ ПРОСТРАНСТВА 39 предложение 2). Вторая часть предложения получается из первой переходом к дополнениям.
Замена н и я. 1) Приведешшо выше необходимые условия не являются достаточными (см. упражнение 43).
2) Можно указать примеры пространств, в которых всякая точка имеет счетную фундаментальную систему окрестностей, но не всякое замкнутое множество является пересечением счетного семейства открытых множеств (упражнение 15); такие пространства не метризуемы.
Следствие 2 теоремы 1 показывает, что произведение счетного семейства метризуемых топологических пространств метризуемо. И'роме того, сумма Е (гл. I, 2-е изд., § 8, п° 10; 3-е изд., § 2, п° 4) произвольного се.мейства (ЕХХу метризуемых пространств метри- зуема: в самом деле, пусть dL для каждого i С I ость расстояние, согласующееся с топологией в Ер можно считать, что все dt ограниченны и диаметры пространств Е^ не превышают 1; расстояние й, согласующееся с топологией суммы Ел можно тогда определить, положив d (ж, у) = dv, (ж, у), если ж, у принадлежат одному и п тому же пространству ЕИ и d(x, у) = 1 в противном случае.
(к Роль счетных носледовательностей
Предложение 6 лежит в основе той роли, которую играют счетные последоващелъности точек в метрическом пространстве; во многих вопросах оказывается возможным использовать их вместо фильтров. Это связано с тем, что фильтры окрестностей точек пространства (а потому и все сходящиеся фильтры?) определяются заданием сходящихся носледовательностей точек этого пространства; в самом деле, поскольку фильтр окрестностей какой- либо точки обладает счетным базисом, он является пересечением мажорирующих его элементарных фильтров (гл. I, 2-е изд., § 5, предложение 10; 3-е изд., § 6, предложение И), т. е. элементарных фильтров, ассоциированных с последовательностями, сходящимися к рассматриваемой точке.
Напротив, понятие сходящейся последовательности совершенно не приспособлено к изучению топологических пространств, содержащих точки, фильтр окрестностей которых не обладает счетным базисом. В частности, можно построить недискретныо отделимые топологические пространства, в которых пересечение счетного семей-
ства окрестностей каждой точки все еще является окрестностью этой точки ); в таком пространстве сходятся только те последовательности, у которых все члены, начиная с некоторого, равны между собой.
В качестве примеров применения счетных последовательностей отметим следующие предложения.
Предложение 8. Для того чтобы точка х метризуемого пространства Е была точкой прикосновения непустого множества А а Е, необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность точек из А, сходящаяся к х.
Мы уже знаем, что это условие достаточно (гл. I, 2-е изд., § 6, п° 3; 3-е изд., § 7, п° 2). Чтобы убедиться в его необходимости, рассмотрим счетную фундаментальную систему (Е„) окрестностей точки х такую, что Vn+i с: Уп для всех п. Если х — точка прикосновения множества А, то каждое множество VH Q Л не пусто; беря по точке хп £ Vn П А для каждого п, получим последовательность (х^, сходящуюся к X ).
Предложение 8 влечет следующее
Предложение 9. Для того чтобы метрическое пространство Е было полным, необходимо и достаточно, чтобы всякая последовательность Коши в Е сходилась.
В самом деле, пусть Ё — пополнение пространства Е; если существует точка х £ Ё, не принадлежащая Е, то существует последовательность (жп) точек из Е, сходящаяся к ж; это и будет не сходящейся последовательностью Кожи в Е.
Предложение 10. Пусть Е — метризуемое пространство и / — его отображение в топологическое пространство Е'. Для того чтобы / было непрерывно в точке а £ Е, необходимо и docma-
точно, чтобы для каждой последовательности (хп) точек из Е, сходящейся к а, последовательность У (ж„)) сходилась к f (а) в Е'.
Необходимость условия уже известна (гл. I, 2-е изд., § 6, следствие 1 предложения 9; 3-е изд., § 7, следствие 1 предложения 9). Чтобы убедиться в его достаточности, рассмотрим фильтр 2/ окрестностей точки / (а) в Е'; из условия вытекает, что / (23') мажорируется всяким элементарным фильтром, ассоциированным с некоторой последовательностью, сходящейся к а, т. е. всяким элементарным фильтром, сходящимся к а; но пересечение этих последних есть фильтр окрестностей точки а (гл. I, 2-е изд., § 5, предложение 10; 3-е изд., § 6, предложение 11), и предложение доказано.
Отметим, что предложения 8 и 10 справедливы также для всякого топологического пространства Е, каждая точка которого обладает счетной фундаментальной системой окрестностей.
Лолу непрерывные функции на метрику емом пространстве ■
Предложение 11. Пусть Е — метризуемое пространство, / — полунепрерывная снизу функция на Е со значениями в замкнутом интервале [а, б] ст В; тогда / есть, верхняя огибающая возрастающей последовательности непрерывных функций на Е со значениями в [а, 6[.
Применив перенос структуры:, можно считать, что а = 0г 6-1.'
1° Предположим сначала, что / — срд, где А — открытое множество в Е, а фд — его характеристическая функция. Тогда функция gn, определенная равенством gn (ж) == = (п — 1) inf (с/ (ж, Е — Л), 1/и), непрерывна и ^0 на Е. При этом gn (ж) - / (ж) == 0 при х £ Е — А и gn (z) - /п (а-)’- -
--- ^-i- , когда d (х, Е — Л) ^ 1/и. Отсюда сразу следует, что/ - sup gn; при этом gu (х) ^ (п — !)/«< 1 для всех х и п. 71
2° В общем случае рассмотрим для каждого целого n ^ 1 убывающую конечную последовательность открытых множеств
, 4- оо[ ) (0 ^ к ^ п — 1). При каждом п функция п—1'
Sn = — 2 Ф-Ah полунепрерывна снизу и 0 < / (г) — gn (а:) <
^ 1/н; следовательно, / является верхней огибающей последовательности (gn). С другой стороны, по 1°, gn, будучи линейной комбинацией с коэффициентами ^0 конечного числа характеристических функций открытых множеств, есть верхняя огибающая счетного мпо?кества (/гтп)ш^о непрерывных функций ^0; отсюда / -- sup hmn- Полагая /п = sup hpq, видим, что Уп) есть воз- т, пР-^п, 95"
растающая последовательность непрерывных функций ^0, имеющая своей верхней огибающей функцию /; при этом функции /п не принимают значения 1, поскольку gn ^ (и — ^(п.
Метризуемые пространства счетного типа
Определение 4. Метризуемое пространство, топология которого обладает счетным базисом, называют метризуемым пространством счетного типа.
Ясно, что всякое подпространство метризуемого пространства счетного типа также есть пространство счетного типа. Из определения базиса топологии произведения пространств (гл. I, 2-е изд., § 8, п° 1; 3-е изд., § 4, n° 1) и следствия 2 теоремы 1 вытекает, что всякое произведение счетного семейства метризуемых пространств счетного типа есть метризуемое пространство счетного типа. Также всякая сумма счетного семейства метризуемых пространств счетного типа есть метризуемое пространство счетного типа (п° 5).
Предложение 12. Для метризуемого топологического пространства Е следующие утверждения равносильны'. '
Е — счетного типа-,
в Е существует всюду плотное счетное множество;
Е гомеоморфно подпространству куба /N, где I — интервал tO, 1J в R.
Из предыдущих замечаний ясно, что в) влечет а); а) влечет б), ибо если (Un) — счетный базис топологии пространства Е и ап — точка из Un, то множество точек ап всюду плотно в Е. Покажем, наконец, что б) влечет в). Пусть (ап) — всюду плотная последова-
тельность точек в Е и <р (ж) для каждого х ^Е — точка (d (я, an))n6N из /ь (где d — расстояние, согласующееся с топологией пространства Е, при котором диаметр последнего ^1); пока- жем, что <р есть гомеоморфизм Е на подпространство пространства 7х. В самом деле, <р непрерывно, поскольку непрерывна каждая из функций х ►-*• d (х, а^у, кроме того, ср инъективно, ибо каждая точка из Е есть предел некоторой подпоследовательности последовательности (а,,) (предложение 8). Пусть В — шар в Е с центром х() и радиусом г, а и — целое число, для которого d (т0, an) < < r/З. Образ относительно ср множества W тех точек х Е, для которых
| d (ж0, an) — а (ж, an) | < r/3,
есть по определению, окрестность точки <р (z0) в ср (ЕУ Но для каждого х £ W имеем а (х, ап) < a (xQ, а^ ту < у > откуда
а (ж, х0) < а (х0, ап) 4- а (х, а„) < г.
Это показывает, что W есть окрестность точки х0, содержащаяся в В; тем самым <р есть гомеоморфизм Е на <p(S).
Заметим, что для произвольного топологического пространства Е свойство б) не обязательно влечет существование счетного базиса, даже если Е компактно и всякая его точка обладает счетной фундаментальной системой окрестностей (упражнение 13; см. гл. I, 2-е изд., § 2, упражнение 7; 3-е изд., § 1, упражнение 7).
Предложение 13. Пусть Е — топологическое пространство, обладающее счетным базисом (ДпУ для каждого открытого покрытия (Fi)tgi пространства Е существует счетное множество J с I такое, что У\Уу является покрытием Е.
В самом деле, пусть И — подмножество множества N, состоящее из тех индексов п, для которых ип содержится по крайней мере в одном из Vt; последовательность VU^^h образует покрытие пространства Е, ибо всякая точка х £ Е принадлежит какому-либо Ии а поскольку Vt открыто, существует индекс п такой, что х £ € Un с: Fi. Таким образом, существует отображение ip множества II в I такое, что Un с У^щ, для каждого п 6 II; полагая J = ^ (Н), получим требуемое счетное подмножество.
Компактные метрические пространства: компактные метризуемые пространства
Критерий предкомпактности равномерных пространств (гл. II, 2-е изд., § 4, теорема 4; 3-е изд., § 4, теорема 3) дает для метрических пространств следующее предложение:
Предложение 14. Для того чтобы метрическое пространство Е было пред компакт по, необходимо и достаточно, чтобы Оля любого в > О существовало конечное покрытие пространства Е множествами, диаметры которых ^е.
Присоединив предположение, что Е полно, получим критерий компактности метрических пространств.
Из предложения 14 вытекает топологический критерий компактности, применимым к метризуемым пространствам:
Предложение 15. Для того чтобы метризуемое топологическое пространство Е было компактно, необходимо и достаточно, чтобы всякая бесконечная последовательность его точек имела в Е предельную точку.
В силу аксиомы (С) (гл. I, 2-е изд., § 10, п° 1; 3-е изд., § 9, п° 1) условие необходимо. Чтобы убедиться в его достаточност и, рассмотрим на Е расстояние d, согласующееся с его топологией. Покажем сначала, что так определенное метрическое пространство полно1, в самом деле, всякая последовательность Коши в Е имеет тогда предельную точку и потому сходится (гл. II, 2-е изд., § 3, предложение 4; 3-е изд., § 3, следствие 2 предложения 5); предложение 9 показывает поэтому, что Е полно. Покажем, что Е, кроме того, предкомпактно; действительно, в противном случае в силу предложения 14 существовало бы число а > 0 такое, что Е не обладало бы конечным покрытием, диаметры всех множеств которого ^а. Тогда индукцией по п можно было бы получить бесконечную последовательность (,с„) точек из Е такую, что d (х{„ x„) > > а для всех п и р < п; во такая последовательность не может обладать предельной точкой, поскольку каждый шар радиуса <а/2 содержит не более одной ее точки.
Следствие. Для того чтобы множество Л в метризуемом топологическом, пространстве Е было относительно компактно.
необходимо и достаточно, чтобы всякая бесконечная последовательность точек этого множества имела в Е предельную точку.
13 самом деле, пусть d — расстояние, согласующееся с топологией пространства Е. Применяя критерий предложения 15, покажем, что пространство Л компактно: пусть (#„)—последовательность точек из Л; для каждого индекса п существует уп € Л такое, что (I (zn, уп) < 1/п; в силу предположения последовательность (у„) имеет предельную точку а £ Е, и а будет также предельной точкой для последовательности ^xnY ибо если ут принадлежит шару с центром а и радиусом Мп для некоторого т > п, то хт принадлежит шару с центром а и радиусом 2/п.
Следует заметить, что предложение 15 не является следствием существования счетной фундаментальной системы окрестностей у каждой точки из Е; можно привести примеры неметриауемых и некомпактных пространств, в которых всякая точка обладает счетной фундаментальной системой окрестностей и всякая последовательность точек имеет предельную точку, (упражнение 15).
Предложение 16. Для того чтобы компактное пространство Е было метризуемо, необходимо и достаточно, чтобы его топология обладала счетным базисом.
Условие необходимо. В самом деле, согласно предложению 14 для каждого целого и ^ 1 существует конечное множество Л n с Е, расстояние до которого от любой точки из Е не превышает 1/и; следовательно, счетное множество А — [J Лп всюду плотно в Е, п•
откуда и вытекает нагие утверждение (предложение 12).
Условие достаточно. В самом деле, пусть (У„) — счетный базис топологии пространства Е. Тогда всякая окрестность точки диагонали Л произведения Е X Е содержит окрестность вида Un X Un; применяя аксиому Бореля — Лебега к компактному множеству А в Е X Е, заключаем, что всякая окрестность диаго- иали А содержит окрестность А, являющуюся объединением конечного числа множеств вида (7^ X UTt. Таким образом, окрестности диагонали А, являющиеся объединениями конечного числа множеств вида Un X Un, образуют фундаментальную систему окружений равномерной структуры пространства Е (гл. II, § 4, теорема 1); следовательно, наше утверждение вытекает из теоремы 1.
Следствие. Пусть Е — локально компактное пространство и Е' — компактное пространство, полученное присоединением к Е бесконечно удаленной точки о» (гл. I, 2-е изд., § 10, п° 8; 3-е изд., § 9, п° 8). Следующие предложения равносильны:
топология пространства Е обладает счетным базисом-,
Е* метризуемо;
Е метризуемо и счетно в бесконечности.
Покажем сначала, что а) влечет б). Пусть ((7П) — счетный базис топологии пространства Е; всякая окрестность точки х в Е содержит компактную окрестность, которая в свою очередь содержит в качестве окрестности точки х одно из множеств Un; следовательно, эти Un, являющиеся относительно компактными, тоже образуют базис топологии пространства Е, так что можно считать все Uu относительно компактными. Таким образом, пространство Е является объединением счетного семейства компактных множеств U-n, т. е. счетно в бесконечности; это влечет, что точка to в Е' обладает счетной фундаментальной системой (Пп) открытых окрестностей (гл. I, 2-е изд., § 10, следствие предложения 19; 3-е изд., § 9, следствие 2 предложения 15); тогда ясно, что всякая окрестность точкиуЕ^' содержит либо одно из Un, либо одно из Vn, являющееся окрестностью у; другими словами, Z7„ и Vn образуют счетный базис топологии пространства Е', и наше утверждение вытекает из предложения 16. Очевидно, б) влечет в), ибо б) включает, что (о обладает счетной фундаментальной системой окрестностей (гл. I, 2-е изд., § 10, следствие предложения 19; 3-е изд., § 9, следствие 2 предложения 15).
Докажем, наконец, что в) влечет а). По предположению, существует возрастающая последовательность (Vn) относительно компактных открытых множеств, образующих открытое покрытие пространства Е и таких, что Vn с: Vn+1 (гл. I, 2-е изд., § 10, предложение 19; 3-е изд., § 9, предложение 15). Подпространство Vn, будучи компактным и метризуемым, обладает счетным базисом (предложение 16), а следовательно, то же верно для Уп; пусть (^mn)mSn — базис топологии пространства Vn. Для каждой точки х £ Е и каждой ее окрестности W существует п такое, что х£ Vn, и, значит, т такое, что ж € (7mn с: Уп П W; значит Umn (т^ 1, n ^ 1) образуют базис топологии пространства Е.
Фанторпространства метрику емых пространств
Факторпространство EIR метризуемого пространства Е по отношению эквивалентности R в Е не обязательно метризуемо (далее если, кроме того, Е локально компактно°и EiR нормально,,). Однако:
Предложение 17. Всякое отделимое факторпространство метризуемого компактного пространства есть метризуемое компактное пространство.
Зто же можно выразить, сказав, что если / — непрерывное отображение метризуемого компактного пространства Е в отделимое пространство Е', то / (А1) есть метризуемое подпространство пространства Е' (гл. I, 2-е изд., § 10, следствие 1 предложения 8; 3-е изд., § 9, следствие 4 теоремы 2)..
Пусть Е — метризуемое компактное пространство и R — отношение эквивалентности в Е такое, что Е/R отделимо. Тогда, как известно (гл. I, § 10, предложение 8), EiR компактно; по предло- жеишо 16 остается доказать, что топология пространства E/R обладает счетным базисом. Для этого мы воспользуемся замкнутостью R (гл. I, § 10, предложение 8) и компактностью классов mod R. Пусть ср — каноническое отображение Е на Е/R и (Un") — счетный базис топологии пространства Е. Пусть далее г — произвольная точка из Е/R и V — ее окрестность в E/R\ тогда ср (7) будет окрестностью компактного множества ф (z) в Е. Поскольку для каждого х £ ф (?) существует Un, содержащее ж и содержащееся в ф (V), из аксиомы Бореля — Лебега вытекает существова- ■-1
ппо конечного открытого покрытия (t/nft)i<A^r множества ф (?) такого, что W = (J C7nft является окрестностью этого множества,
содержащейся в ф (7). Так как R замкнуто, то ф (17) будет тогда окрестностью точки ? в EiR, содержащейся в V (гл. I, 2-е изд., § 9, предложение 7; 3-е изд., § 5, предложение 10). Обозначим через 28 множество внутренностей множеств вида ф (17), где W
48 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ГЛ. IX, § 2 пробегает множество % объединений всевозможных конечных семейств множеств Un; из сказанного выше следует, что 93 есть базис топологии пространства Е/R, а так как ^ счетно, то 93 — счетный базис.
Предложение 18. Пусть Е — полное метрическое пространство, R — открытое отношение эквивалентности в Е такое, что EIR отделимо, и ф — каноническое отображение Е на E(R. Для каждого компактного множества К в EIR существует компактное множество К' в Е такое, что ф (А") = К.
Пусть 9\ — множество всех открытых шаров радиуса 1/2 в Е. Множества ф (5), где В пробегает 9^, образуют открытое покрытие множества К, так что в Е существует конечное число точек хх, . . . . . ., хт таких, что образы относительно ф открытых шаров радиуса 1/2 с центрами жг (1 ^ г ^ т) образуют открытое покрытие множества К.
Положим Нх "{жр . . ., х„,} и предположим, что для каждого целого г, удовлетворяющего неравенствам 1 < г ^ п, определено конечное множество Hi так, что:
1° Ht а Н^ и каждая точка из Н^х находится от IIt на расстоянии < 1/2‘ (1 ^ i ^ и — 1);
2° образы относительно ф открытых шаров радиуса 1/2*, центры которых пробегают Ht (1 ^ г ^ и), образуют открытое покрытие множества К.
Обозначим тогда через Уп+1 множество всех открытых шаров радиуса 1/2"+1 с центром х таким, что cl (х, IIп) -< 1/2п; из свойств множества Нп вытекает, что множества ф (5), где В пробегает 1Z}n+1, образуют открытое покрытие множества К; следовательно, существует конечное множество Ln*x а Е такое, что образы относительно ф открытых шаров радиуса 1/2”+1, центры которых пробегают Еп*х, образуют открытое покрытие множества К; полагая П^ = Нп U £п+1, видим, что по индукции можно определить бесконечную последовательность (//п) множеств из Е, обладающих приведенными выше свойствами 1° и 2°. Положим Н = JJ Нп и покажем, что Н предкомпактно; в самом деле, для каждого р > 0 и каждой точки zn+p £ Hn*p существует такая последователь-
Иость точек znH € Hn+t (0 ^ i < р — 1), что d (z„+i, zn.M+1) < С-.^ ^-С’^-Р-"О; отсюда вытекает, что d (zn, zn+p) ^ ^ 2 ^~i< 2^=i ’ и ПОТОМУ d lib Ип) ^ V2”"1 для каждого у € Н, 1= 0
чем и доказано наше утверждение. Так как Е полно, то II компактно и, следовательно, ф (Я) компактно. Покажем, что —— 1
К а ф (Я); пусть z £ К; по определению d Щп, ф (z)) ^ 1/2” для каждого п, откуда d (JI, ф (z)) — 0; поскольку ф (z) ———L
замкнуто, а Я компактно, отсюда следует, чтс Н П ф (z) =# 0 (п° 2, замечание после предложения 3), чем наше утверждение к доказано. Пусть теперь К = II П ф (Я); тогда К замкнуто в Я, следовательно, компактно, и ф (К1) = К.
Упражнения
Пусть Е — отделимое равномерное пространство, (Д) — семейство отклонений на Е, определяющее его равномерную структуру, и Е^ — метрическое пространство, ассоциированное с равномерным пространством, получаемым при наделении Е равномерной структурой, определяемой одним отклонением J (n° 1). Показать, что Е изоморфно подпространству равномерного пространства П Ev
Показать, что в связном метрическом пространстве Е, у которого расстояние не ограниченно на Е X Е, ни одна сфера не пуста.
*3) а) Пусть Е — компактное метрическое пространство; если в Е замыканием всякого открытого шара служит замкнутый шар того же радиуса с тем же центром, то всякий шар в Е есть связное мпо- жество. [Показать, что если х, у — точки из Е и 5 — замкнутый шар с центром х и радиусом d (х, у), то для каждого е > 0 множество Л v, е точек из S, соединимых с у Ре-цепью, содержащейся в 5 (гл. II, § 4, и° 4), содержит все точки 2, для которых d (ж, z) < d (х, у). Рассуждая от противного и используя теорему Вейерттрасса (гл. IV, § 6, теорема 1), вывести отсюда, что ж С Д1(> е для всех е > 0.]
б) Пусть Е — компактное подпространство пространства F = R2, наделенного расстоянием d (х, у) = max (| ад —yt |, | хг — у2 |), образованное всеми точками (жъ жа), у которых хг = 0, 0 ^ жа а^ 1 или 0 ^ ^ ^ 1, ха = 0. Показать, что всякий пгар в Е связен, но замыканием открытого шара не обязательно служит замкнутый шар с тем же центром и тем же радиусом.
и. г.урбаки
Метрическое пространство Е называют улыпраметрическим, если расстояние в ком удовлетворяет для всех ж, ?/, г неравенству d (ж, j/) sj sup (d (ж, z), d (у, z))
влекущему неравенство треугольника) (см. § G, упражнение 2).
Показать, что если d Un z^V d (у, z), то
d (ж, A — sup (d U. 2), d (y, z)).
Пусть Vr (r) — открытый шар с центром ж и радиусом г; показать, что Vr (ж) есть открыто-замкнутое множество в Е (так что Е — вполне несвязно^ и что Vr (у) = VT (ж) для всех у С Иг (ж).
Показать, что замкнутый шар Wr (ж) с центром ж и радиусом г является открыто-замкнутым множеством в К и что Wr (у) = Wr (ж) для всех у С Wr (г). Различные открытые шары радиуса г, содержащиеся в Wr (ж), образуют его разбиение, причем расстояние между любыми двумя из них равно г.
Если два (открытых или замкнутых) тара в Е имеют общую точку, то один из них содержится в другом.
Для того чтобы последовательность (ж„) точек из Е была последовательностью Конги, необходимо и достаточно, чтобы d Un, жп-н) стремилось к 0 при неограниченном возрастании п.
Показать, что если А' компактно, то для любого ж0 б Е значения d (ж0, ж) на Е образуют конечное пли счетно бесконечное подмножество множества [0, -рос ], все точки которого, за исключением, может быть, точки 0, изолированные. [Для каждого значения г, принимаемого расстоянием d (ж0, ж), рассмотреть верхнюю грань значений d (ж0, ж) на множество точек ж, для которых d (ж0, ж) < г, л нижнюю грань на множестве точек ж, для которых d (ж0, ж) > г.[
Пусть Е — метрическое пространство и d — его расстояние. Для каждой пары (.т, у) точек из Е обозначим через du Un у} нижнюю грань чисел а > 0 таких, что ж и у соединимы Р^-цепно (гл. II, § 4, п° 4). Показать, что с/0 — отклонение па Е и что метрическое пространство, ассоциированное с равномерным. пространством, определяемым этим отклонением (n° 1), --- ультраметрпческое (упражнение 4).
) Пусть Е — метрическое пространство; для каждых двух непустых его подмножеств .1 и В положим
р (Л, В) sup d (ж, В) и а (Л, By--- sup (р (Л, В), р (В, Л));
«ел
положим, кроме того, о №, АТ) ~ 0 и it ^,0, А) =- а (Л, Я) « -[-<» для каждого непустого множества Л ст Е. Показать, что о есть отклонение на множестве ^(А') всех подмножеств множества Е и что определяемая нм равномерная структура совпадает с получаемой из равномерной структуры пространства Е способом, описанным в упражнении 7 § 2 главы 11 (3-е изд., гл. II, § 1, упражнение 5).
Предположим, что Е ограниченно. На множестве ту(А’) всех непустых замкнутых подмножеств пространства Е а является расстоянием.
Показать, что если, кроме того, Е полно, то 8(7?) — полное метрическое пространство. [Пусть Ф —- фильтр Коши в Й№) и 8 ($) для каждого множества Ж С Ф есть объединение всех множеств X, принадлежащих X; показать, что множества 8 (X) образуют базис фильтра в Е, что этот базис фильтра имеет непустое множество А точек прикосновения и что Ф сходится к Л.]
*7) Пусть Е — бесконечное дискретное пространство. Покапать, что равномерная структура конечных разбиений (гл. II, 2-е над., § 1, п° 2; 3-е изд., § 2, п° 2) в Е, согласующаяся с топо.чогией пространства Е, не метризуемя. [В противном случае существовала бы последовательность ($„) коночных разбиений пространства Е такая, что всякое его конечное разбиение состояло бы из множеств, каждое из которых было бы объединением множеств одного из разбиений Sn» вынести отсюда, что тогда множество всех конечных разбиений пространства Е было бы счетно.]
Пусть (Е^) — несчетное семейство отделимых топологических пространств, каждое из которых содержит более одной точки. Показать, что ни одна точка пространства jj£t по обладает счетной фундаментальной системой окрестностей.
Пусть Е — топологическое пространство, каждая точка которого обладает счетной фундаментальной системой окрестностей.
Для того чтобы Е было отделимо, достаточно, чтобы всякая сходящаяся последовательность в Е имела единственный предел.
Если а — предельная точка бесконечной последовательности (z„) точек из Е, то существует подпоследовательность последовательности (жп), сходящаяся к а..
Пусть А — непустое множество в Е, ха б А и / — отображение А в отделимое; топологическое пространство Е'. Для того чтобы а ^Е' было проделом / в точке ж0 относительно А, достаточно, чтобы для каждой последовательности (жп) точек из А, сходящейся к xot последовательность (/ (zn)) сходилась к а.
В обозначениях пункта в), предположим дополнительно, что всякая точка из Е' имеет счетную фундаментальную систему окрестностей. Тогда дли всякой предел!.вой точки а С Е' функции / в точке 20 относительно множества А существует последовательность (хп) точек пз Л , сходящаяся к z0 и такая, что (/ (хп)) сходится к а.
0) Пусть Е — компактное пространство. Если существует числовая функция /, определенная и непрерывная па Е X Е и обладающая том свойством, что отношение / (ж, у) = 0 эквивалентно отношению х = у, то Е метриауемо. [Показать, что когда V пробегает -1 фундаментальную систему окрестностей нуля в В, множества f (V) образуют фундаментальную систему окрестностей диагонали Д в Е X ЕЛ
*11) Пусть Е — метрическое компактное пространство и d — его расстояние. Показать, что отображение / пространства Е в себя такое, что d (/ (ж), / (у)) > d (х, у) для каждой пары х, у точек из Е, является изометрией Е на Е. [Пусть а п Ь — произвольные две точки из Е; положим /п = /п-1 о/, дп = р (а), Ьп = Р (Еу, выделяя из (а„) и (Ьп) надлежащие подпоследовательности, показать, что для каждого е > О существует индекс к такой, что d (а, ад) ^ е и d (Ь, Ьд) ^ е; вывести отсюда, что d (щ, bj) — d (а, Ь) н что / (Е) всюду плотно в £.]
*12) Пусть Е — метризуемоо компактное пространство.
Показать, что существует непрерывное отображение канторова множества К (гл. IV, § 2, п° 5) на Е (см. гл. IV, § 8, упражнение 11).
Если, кроме того, Е вполне несвязно и не имеет изолированных точек, то оно гомеоморфно К. [Рассуждать, как в упражнении 12 § 8 главы IV, используя то, что всякая окрестность точки х £ Е содержит открыто-замкнутую окрестность этой точки (гл. II, 2-е изд., § 4, следствие предложения 3; 3-е изд., § 4, следствие предложения 6).]
3) а) Рассмотрим на множестве R всех вещественных чисел топологию 3", определенную следующим образом: пусть Uy (л) для каждого у > 0 означает объединение интервалов [ж, х 4- у[ и ]—$ — у, —г[; 3 есть топология, в которой фундаментальную систему окрестностей каждой точки х образуют множества Uu (я), где у пробегает все числа >0. Пусть Е — пространство, полученное наделением интервала [—1, 1) топологией, индуцированной топологией 3.
Показать, что Е компактно. [Если х (- Е ость точка прикосновения для фильтра $ в Е в топологии числовой прямой, то х или —х есть точка прикосновения для 5 в топологии ЗА
Всякая точка в Е обладает счетной фундаментальной системой окрестностей, и в Е существует счетное всюду плотное множество, однако Е не метрнзуемо. [Показать, что его топология ire обладает •счетным базисом.]
Пусть А — открытое множество в Е; показать, что А есть объединение счетного семейства (1^ открытых интервалов, содержащихся в [0, 1J, интервалов —1п и некоторого подмножества множества левых концов интервалов 1п и — Тп и, может быть, точки +1. Вывести отсюда, что А есть объединение счетного семейства замкнутых множеств в Е.
Пусть F — множество Z X (1, 2), где I — интервал [0, 1] с R; положим Et = I X {<} (i = 1, 2) и обозначим через / биекцию (г, 1) г—►
, 2) множества Ех на Ег. Пусть S3 ((.г, 2)) для каждого х £ I означает множество подмножеств, сводящееся к {(х, 2)}, а S3 ((ж, 1))— множество подмножеств вида Vj U (/ (Vj) — ((г, 2)}), где V, = = V X {1}, а V пробегает фундаментальную систему окрестностей ж в Г, Показать, что S3 (у) для каждого у £ F есть фундаментальная система окрестностей у для некоторой топологии в F. Наделенное этой топологией пространство F компактно, и всякая его точка обла-
дает счетной фундаментальной системой окрестностей, однако счетного всюду плотного множества в F не существует. Всякое замкнутое множество в F, содержащееся в jE2, конечно; вывести отсюда, что в F компактное множество Ег не обладает счетной фундаментальной системой окрестностей. Отношение эквивалентности В в F, классами которого служат множество Ег и точки множества F —• Е^, замкнуто и всякий класс эквивалентности по В компактен, однако в FlB имеется точка, не обладающая счетной фундаментальной системой окрестностей. [См. § 4, упражнение 24а).]
14) а) Пусть Е —• достижимое тополопгческоо пространство ) (3-е изд., гл. I, § 8, упражнение 1). Доказать равносильность следующих свойств:
всякая последовательность точек в Е имеет предельную точку;
Р) всякое бесконечное дискретное подпространство пространства Е не замкнуто;
у) всякое счетное открытое покрытие пространства содержит^его коночное покрытие;
для всякого бесконечного открытого покрытия 91 пространства Е существует открытое покрытие © с 9? пространства Е, отличное от 91. ' .
Отделимое топологическое пространство Е, обладающее указанными свойствами, называется полу компактным.
Для того чтобы последовательность точек полукомпактного пространства была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она имела единственную предельную точку.
Всякое замкнутое подпространство полукомпактного пространства полукомпактно. Обратно, если Е отделимо и всякая его точка обладает счетной фундаментальной системой окрестностей, то всякое полукомпактное подпространство в Е замкнуто.
Пусть / — непрерывное отображение полукомпактного пространства Е в отделимое пространство Е'; тогда образ / (Е) является полукомпактмым подпространством пространства Е'.
Пусть Е — полукомпактпое пространство, каждая точка^Кото- рого обладает счетной фундаментальной системой окрестностей; тогда каждая последовательность точек в Е обладает сходящейся подпоследовательностью.
Пусть (Еп) — конечная или счетно бесконечная последовательность топологических пространств, в каждом из которых всякая точка обладает счетной фундаментальной системой окрестностей. Для того чтобы пространство JJl?n было полукомпактно, необходимо
п достаточно, чтобы каждое ив пространств Еп было полукомпактно.
[Использовать д) и упражнение 17 § 5 главы I 2-го пзд. (3-е изд., гл. I, § 6, упражнение 10).]
Полукомпактпое пространство, в котором всякая точка обладает счетной фундаментальной системой окрестностей, регулярно.
Если нолукомпактноо пространство имеет счетный базис, то оно компактно и, следовательно, метризуемо.
На полукомпактном пространство всякая полунепрерывная снизу числовая функция достигает своей нижней грани; в частности, всякое полукомпактпое пространство вейерштрассово (§ 1, упражнение 22). [См. § 4, упражнение 266).]
Показать, что свойство 6) пункта а) влечет свойство:
С) всякое точечно конечное (§ 4, п° 3) открытое покрытие пространства Е содержит конечное покрытие.
(Рассуждать от противного.] Обратно, регулярное пространство, обладающее свойством £), полукомнактпо. [Показать, что Е) влечет тогда Р).]
*15) Пусть Е = [а, 6[ — локально компактное пространство, определенное в упражнении 22 § 10 главы I 2-го изд. (3-е изд., гл. I, § 9, упражнение 12).
Для того чтобы множество в Е было относительно компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было ограниченным. Вывести отсюда, что Е полукомнактпо и, следовательно (упражнение 15), не метризуемо. [Заметить, что всякое счетное множество в Е ограниченно.].
Показать, что всякая точка в Е имеет мстризуомую окрестность. [Использовать предложение 16.]
Всякие два некомпактных замкнутых множества А и В в Е вмеют непустое пересечение. [Образовать возрастающую последовательность точек, члены которой с четными номерами принадлежат А, а с почетными принадлежат //.] Вывести отсюда, что всякая окрестность некомпактного замкнутого множества является дополнением относительно компактного множества. Показать, что множество А всех неизолированных точек пространства Е замкнуто и не является пересечением никакого счетного семейства открытых множеств.
Обозначим через Е' интервал [а, Ь], наделенный следующей топологией: фундаментальную систему окрестностей каждого х ^Е образуют интервалы ]у, z], где у пробегает все моменты <.г; фундаментальную систему окрестностей точки b образуют’ множества Ух (.г- f EV где Vv означает объединение Ъ с множеством тех точек из [ж, Ь], которые имеют предшествующую точку (другими словами, являются изолированными в Е). Показать, что Е' полукомнактпо, ио не регулярно [см. упражнение 14ж)|; Е, как подпространство пространства Е', полукомнактпо, по не замкнуто. [См. упражнение 14в).]
Пусть Е и Е — полукомиактные пространства. Доказать нолукомпактпость произведения Е X Е в каждом из следующих двух
случаев: 1° одно из пространств £, Г компактно; 2° в одном из пространств Е, F каждая точка обладает счетной фундаментальной системой окрестностей. [В первом случае, считая компактным, например, F, рассмотреть возрастающую последовательность (С^ открытых множеств, объединением которых служит Е X F, и для каждого п — множество Нп тех точек т g Е, для которых {т} X F ст Gn; показать, что множества Нп открыты и Е = Лп.]
п
*17) Пусть Е — компактификация Стоуна — Чеха дискретного пространства N (§ 1, упражнение 7).
Показать, что в Е существуют полукомиактиыо нодиростран- 2Card(N) ства Д, В такие, что Л П В — N и И U /7 ; ■ Е. [Пусть Ка~2;
в силу упражнения 126) § 1 существует биекция ь г-►/'g ординального числа <оа (Теор. множ., гл. Ш, § б, упражнение 1(1) па множество счопю-бескопотгых подмножеств множества Е. Определит,, с помощью трзнсфипитпой индукции два инъективных отображения £i—>®£, § >—► yg ординального числа юге в Е — N так, чтобы z^ f A'g, у$ б ."Х для каждого 5 и Р Г, у —■ 0, Р U Q — В — X, где Р (соответственно О) — мноящетпо всех .т^ (соответственно j/t); воспользоваться для итого упражнениями 126) и 12в) § 1. Показать затем, что А — Р [J N, В =-. (> (J N отвечают поставленным требованиям.]
Показать, что произведение А X В не иолукомпактио. [Заметит,,. что пересечение А X В с диагональю произведении Е X Е есть бесконечное дискретное замкнутое подпространство пространства А X Л.]
8) Пусть Е — метрическое пространство, в котором для каждого ж С Е существует открытый швр с центром ж, обладающий, как подпространство пространства Е, счетным базисом; пусть гя — верхняя грань радиусов тех шаров с центром ж, которые обладают этим свойством.
Показать (с помощью теоремы Цорна), что существует макси-, .мальиое семейство (Уа) попарно непересекающихсн открытых шаров в Е таких, что если .та-—центр шара Ва, радиус итого шара <г„ . Показать, что объединение шаров By. всюду плотно и Е; вывести отсюда, что в Е существует всюду плотное множество М такое, что всякий открытый шар с произвольным центром .г С Е и радиусом <гх содержит не более чем счетно-бесконечное множество точек из М, [Заметить, что такой шар может пересекать только счетное множество непарно пенеросекающпхся открытых множеств, 1, использовать предложение 12.]
Для каждой точки ж С М обозначим через Ад. открытый шар с центром в „той точке и ],адиусом тхГЛ\ показать, что шары 5V образуют покрытие пространства Е, и что каждая точка из Е может при-
надлежать не более чем счетному множеству этих шаров. [Заметить, что если у £ Sx, то d (ж, у) $^ г1(/2.]
Определим в Е следующее отношение эквивалентности R между точками ж, у: существует последовательность (zz)i^t<n точек из М такая, что я £ 5’^, у С Sz и St- П Sz ^ -13 (1 < i ^ »~!)• Показать, что классы эквивалентности по R являются открыто-замкнутыми подпространствами в Е, обладающими счетным базисом; другими словами, Е есть топологическая сумма метрических пространств, обладающих счетным базисом (гл. I, 2-е изд., § 8, п° 10, 3-е изд., § 2, п° 4).
*19) В метрическом пространстве всякое относительно компактное множество ограниченно. Показать, что для того, чтобы метризуемое пространство Е допускало расстояние, согласующееся с его топологией, при котором всякое ограниченное множество относительно компактно, необходимо и достаточно, чтобы Е было локально компактно и обладало счетным базисом. [Чтобы убедиться в необходимости условия, показать, что если всякое ограниченное множество относительно компактно, то Е локально компактно и счетно в бесконечности; для доказательства достаточности заметить, что Е в силу следствия предложения 12 метризуемо; рассмотреть в Е равномерную структуру, определенную отклонениями d (г, у) и I / (г) — / (у) I, где d — расстояние, согласующееся с топологией пространства Е, и / — функция, определенная в упражнении 15г) § 1.]
. *20) а) Дать пример замкнутого отношения эквивалентности R в метризуемом локально компактном пространство со счетным базисом так, чтобы ElR было паракомиактио, по содержало точку, не обладающую счетной фундаментальной системой окрестностей. [См. гл. I, 2-е изд., § 10, упражнение 14в); 3-е изд., § 10, упражнение 17.] (См. § 4, упражнение 24а).)
б) Пусть Е — метризуемое пространство и R — замкнутое отношение эквивалентности в Е. Показать, что если всякая точка из ElR обладает счетной фундаментальной системой окрестностей, то граница в Е всякого класса эквивалентности по R компактна. [Предположив противное, показать, что тогда в Е существовала бы последовательность, во имеющая предельных точек, члены которой попарно различны, а образ в ElR является последовательностью, сходящейся к проделу, отличному от всех ее членов.] Пусть Сг для каждой точки z С ElR — ее прообраз в Е, Ег — граница С2, если эта граница но пуста, или какое-нибудь одноточечное подмножество множества Сг, если С2 открыто-замкнуто, и F — подпространство пространства Е, полученное объединением всех Ег (z С ElRY, показать, что ElRF гомео- морфно EIR.
*21) а) Пусть Е — метризуемое пространство, d — согласующсе- ' ся с его топологией ограниченное расстояние, ст —- соответствующее d расстояние на множестве »?(£’) всех непустых замкнутых подмножеств множества Е (упражнение 6) и R — открыто-замкнутое отношение
эквивалентности в Е; показать, что сужение а на ElR есть расстояние, согласующееся с фактортопологней. [Воспользоваться упражнением 206) для доказательства того, что всякий класс но R является открытым или компактным. Доказать затем, что если последовательность (zn) точек иа ElR стремится к точке а, а ср — каноническое отображение Е -1-1
па ElR, то о (ф (a), ф (zn)) стремится к 0; рассуждать от противного, используя то, что R открыто.]
Пусть R — отношение эквивалентности в компактном интервале / = [0, 1|с R, классами которого служат точки канторова множества К (гл. IV, § 2, п° 5), отличные от концов смежных интервалов, и замыкания этих интервалов. Показать, что факторпростран- ство HR гомеоморфно I [гл. IV, § 8, упражнение 166)], но что на HR расстояние а не согласуется с топологией.
2) Пусть Е — отделимое топологическое пространство, обладающее счетным базисом (17п), и R — отношение эквивалентности в Е такое, что ElR отделимо и каждая точка из ElR обладает счетной фундаментальной системой окрестностей. Показать, что топология пространства ElR обладает счетным базисом. [Пусть ф — каноническое отображение Е на Е/R. Доказать, что внутренности объединений конечных семейств множеств ф (17п) образуют базис топологии пространства ElR. Для этого показать, что если V — окрестность точки z С ElR, а (Жд) — последовательность множеств из (J7n), содер-
-1-1
жащихся в ф (V) и образующих покрытие прообраза ф (z) точки z, то существует конечное число индексов к таких, что объединение множеств ф (W^) служит окрестностью точки z. Предположив противное, образовать последовательность (уп) попарно различных точек из ElR, стремящуюся к z и такую, что уп не принадлежит объединению множеств ф (IVh) для к ^ п; показать, что тогда объединение множеств -1
Ф (уп) было бы замкнутым в £.]
Показать, что то же заключение справедливо, если предположить, что R замкнуто и все классы по R компактны (метод аналогичен).
3) Топологическое пространство Е называют субметризуемым, если его топология мажорирует топологию метризуемого пространства. Субметриауомое пространство отделимо, но не обязательно регулярно. [Гл. I, 2-е изд., § 6, упражнение 19; Зе изд., § 8, упражнение 20.]'
Для того чтобы вполне регулярное пространство Е было суб- метризуемо, необходимо п достаточно, чтобы в У? существовала равномерная структура, согласующаяся с его топологией, определяемая семейством отклонений Ф, содержащим по крайней мере одно расстоя- впе d (см. § 1, упражнение 3). Обозначим тогда через Е пополнение пространства Е по этой равномерной структуре; пусть с/ — отклонение
на Е, получаемое продолжением d\ показать, что для каждого ж 6 Е существует не более одной точки у € Е такой, что d (.с, у) = 0.
Показать, что если Е — субметризуемоо вполне регулярное пространство, то в Е существует равномерная структура, согласующаяся с его топологией, такая, что К в пей полно. [Использовать а) и упражнение Юн) 5 1.] Вывести отсюда, что если, кроме того, Е — вейорштрассово (§ 1, упражнение 22), то оно компактно.
Показать, что паракомпактноо и субметризуемоо локально компактное пространство метризуемо. [Используя теорему 5 § 10 главы 12-го изд. (3-е изд., гл. I, § 9, теорема 5), свести к случаю, когда Е счетно в бесконечности; воспользоваться затем следствием предложения 10. См. также § 5, упражнение 15.]
*24) а) Пусть Е — полное метрическое пространство и Л — пересечение счетного семейства его открытых множеств. Показать, что па Л существует расстояние, при котором Л является полным метрическим пространством и которое определяет в Л топологию, индуцируемую на Е, и равномерную структуру, мажорирующую равномерную структуру, индуцируемую на Е. [См. § 1, упражнения 166) н в).]
б) Обратно, пусть Е — метрпзуемое пространство н Л - его подмножество, па котором существует расстояние d, согласующееся с топологией, индуцируемой из Е, и превращающее Л в полное- метрическое пространство. Показать, что Л есть пересечение счетного семейства открытых множеств из Е. [Рассмотреть для каждого натурального числа п множество Gn точек $ 6 Л, обладающих открытой окрестностью U такой, что диаметр множества Л П U относительно <1 не превышает 1/п.]
*25) Пусть Е — метризуемоо пространство, Е — его компактификация Стоуна — Чеха (§ 1, упражнении 7) и <1— ограниченное расстояние, согласующееся с. топологией пространства Е. Обозначим для каждого к Q Е через fx (у) числовую функцию, получаемую продолжением функции у г—> d (х, у) но непрерывности па Е.
Показать, что [х (z) -|- /у (z) 6s d (ж, у) для всех я £ Е, у Q Е, z б Е. Показать, что fx (у) > 0 для всех точек у £ Е, отличных от г G Е.
Показать, что если Е полно по расстоянию <1, то Е есть пересечение последовательности открытых множеств из Е. [Рассмотреть в Е множество Gn точек у таких, что }х (у) < 1/п хотя бы для одного г б Е, it показать, используя а), что Е есть пересечение множеств Gn.J
Показать, что и обратно, если Е есть пересечение последовательности (G„) открытых множеств из Е, то на Е существует согласующееся с топологией расстояние d', при котором Е полно. [Рассматривая толг.ко тот случай, когда Е ф Е, заметить, что Е— Е является
объединением семейства компактных множеств Fn = Е— Gn; пусть g (ж) — inf fx (у) для каждого м; исполыуя а), показать, что gn (ж) > О УбРп
на Е и что дп нопрерыппо на Е. Закончить рассуждение, как в упражнения 166) § 1.]
§ 3. Метрпзуемыс группы; нормированные тела;нормированные пространства и алгебры
/. Метрикуе.чме топологические группы
Предложение 1. Для того чтобы правая и левая равномерные структуры топологической группы G были метризуемы, необходимо и достаточно, чтобы G была отделима и ее нейтральный элемент е обладал счетной фундаментальной системой окрестностей.
Необходимость условия очевидна. Обратно, предполагая его выполненным, обозначим через (Fn) фундаментальную систему окрестностей е; пусть Un — множество тех пар ^х, у) из G х G, для которых х~гу С Vn\ множества Un образуют счетную фундаментальную систему окружений левой равномерной структуры в G; будучи, кроме того, отделимой, эта структура метризуема (§ 2, теорема t). Для правой равномерной структуры в G доказательство такое же.
Топологическая группа G называется метризуемой, если ее топология метризуема; предложение 1 показывает тогда, что обе ее равномерные структуры метризуемы.
Этот результат может быть уточнен с помощью следующего понятия:
Определение 1. Расстояние d на мультипликативной группе G называют инвариантным слева (соотв. инвариантным справа), если d (zx, zy) = d (ж, у) (соотв. d (xz, yz) -= d (x, у)) для всех x, у, z из G.
Предложение 2. Левая (соотв. правая) равномерная структура метризуемой группы G может быть определена посредством расстояния, инвариантного слева (соотв. справа).
В самом деле, предположим, что фундаментальная система (Тп) окрестностей е состоит из симметричных окрестностей таких, что В„+1 с Уп для всех п; соответствующие окружения Un левой рав-
60
номерной структуры будут тогда симметричными окружениями 3
такими, что (Jn41 <= Un. Прием, использованный при доказательстве предложения 2 § 1, приводит, отправляясь от последовательности (U^, к расстоянию d на G, согласующемуся с левой равномерной структурой группы G; кроме того, поскольку при любом z ^G отображение (ж, у) >-► (zx, zy) оставляет неизменным каждое Un, то же определение d показывает, что d есть расстояние, инвариантное слева. Для правой равномерной структуры рассуждение аналогично.
Отметим, что если правая и левая равномерные структуры в G различны, то d не инвариантно справа, и, следовательно, в общем случае d (от1, у1) Ф d (.г, ;/).
В частности, если G — метризуемая коммутативная группа, то ее равномерная структура определяется одним инвариантным расстоянием d; в аддитивной записи будем иметь d (х, у) =- = d (0, у — ж) = d (0, х — yY часто полагают d (0, ж) = | х | (или d (0, ж) = || ж ||), так что d (ж, у) — | ж — у |. Функция | ж | удовлетворяет следующим трем условиям: •
| —ж | = | ж | для всех х ^G;.
|» + у|^|ж| + |у1 для всех ж, у 6 <Д
Отношение | ж | = 0 равносильно ж = 0.
Обратно:•
Предложение 3. Пусть G — коммутативная группа в аддитивной записи и х *-► | ж | — отображение G в R+, удовлетворяющее предыдущим условиям а), б), в). Тогда функция d (ж, у) — — | ж — у | является инвариантным расстоянием на G; определяемая ею в G топология £Г согласуется со структурой группы, а определяемая ею равномерная структура совпадает с равномерной структурой топологической группы, получаемой при наделении. G топологией 5".
Функция d (х, у) действительно является расстоянием на G, ибо d (ж, у) = 0 равносильно ж — у в силу в), d {у, х) = d (ж, у) в силу а) и d (ж, у) = | (ж — z) + (z — у) | ^ | ж — z | + т | z — у | = d (ж, z) Ч- d (z, у) в силу б). Кроме того, d — инвариантное расстояние, поскольку (ж + z) — (у Ч- z) — ж — у. Пусть Va для каждого а > 0 — множество тех ж £ G, для которых
| т | < а; множества Уа образуют фундаментальную систему 3 окрестностей нуля в топологии У, а так как d инвариантно, то а -I- @ для каждого а £ G является фундаментальной системой окрестностей а в топологии ST. В силу а) множества Уа симметричны, а в силу б) Fa + Va с: У2а. Таким образом, топология ST согласуется с заданной в G структурой группы (гл. Ill, § 1, п° 2). Последняя часть предложения очевидна.
Условия а), б), в) равносильны соединению условия в) с условием
б') I х — у | < | ж | + I у |. ■
В самом доле, очевидно, а) и б) влекут б'). Обратно, полагая в б') х = 0 и принимая во внимание в), получаем | —у | ^ | у |, откуда, заменяя у на —у, имеем | —у | = | у |, т. е. а); заменяя в б') у на —у, получаем тогда б). ’
Предложение 4. Всякая отделимая факторгруппа GUI метриауемой группы G метризуема-, если, кроме того, G полна, то и G/H полна ). ’
Первая часть предложения вытекает из того, что в GIH нейтральный элемент обладает счетной фундаментальной системой окрестностей: в самом деле, если (Уп) — фундаментальная система окрестностей е в G, то канонические образы Fn множеств Vn в G/H образуют фундаментальную систему окрестностей нейтрального элемента в G/H (гл. III, 2-е изд., § 2, следствие теоремы 1; 3-е изд., § 2, предложение 17).
Чтобы показать, что если G полна, то и GIH полна, достаточно (§ 2, предложение 9) показать, что всякая последовательность Коши (хп) относительно левой равномерной структуры в G/H сходится; при этом всегда можно считать (выделяя, если потребуется, подпоследовательность последовательности (жп)), что x^Xq € Vn, каковы бы ни были индексы р, q такие, что р ^ п, q ^ п; это означает, что для любой пары точек у ^ хр, z ^ xq имеем yvz £ HVn = VnH, так что для любого у € хр пересечение xq
с окрестностью уУ„ точки у по пусто. Предположим теперь, что последовательность (Уп) выбрана так, что У‘+1с Уп, и определим по индукции последовательность (хп) точек из G так, чтобы хп £ 5 х„ та хп+1 с: xnVn, что по предыдущему возможно; по индукции заключаем тогда, что хп+р £ хпУпУп+1 . . . У^^^ с znyn_x для всех р > 0. Таким образом, (хп) есть последовательность Копт в G и, значит, сходится к некоторой точке а; отсюда сразу следует, что канонический образ а точки а в G/Н есть предел последовательности (хп).
Следствие 1. Пусть G — полная метризуемая группа, Go — ее всюду плотная подгруппа, Но — замкнутый нормальный делитель последней и II — его замыкание в G; тогда пополнение факторгруппы, G6/Hg изоморфно G/H.
Как известно, II есть нормальный делитель группы G (гл. III, 2-е изд., § 2, предложение 7; 3-е изд., § 2, предложение 8), а предложение 4 показывает, что факторгруппа G/Н полна; с другой стороны, ясно, что <р (Gg), где ф — каноническое отображение G на GIH, всюду плотно в GIH. Поэтому справедливость следствия вытекает из следующей леммы:
Лемма 1. Пусть G— топологическая группа, Gg— ее всюду плотная подгруппа, II0 — замкнутый нормальный делитель последней, II — его замыкание eG и ф — канонический гомоморфизм G на СНГ, тогда каноническое отображение GgHI0 на ф (Go) есть изоморфизм структур топологической группы.
Поскольку Пд — II П Сд, все сводится к доказательству того, что открытое множество Uo в Go, насыщенное по отношению х-1у € Пд, является следом па Gg некоторого открытого множества из G, насыщенного по отношению х-1у £ Н (гл. I, 2-е изд., § 9, предложение 4; 3-е изд., § 3, предложение 10). Пусть U — открытое множество в G такое, что UQ — U П Gg, поскольку Utt - — Ugllg, сразу видно, что Uo = UHg П Go; а так как UH0 открыто в G, то можно предполагать, что U = UHg. Тогда множество UH будет открыто в G и насыщено по отношению х~гу £ П; покажем, что UH П Gg — Uv„ чем доказательство и завершится. Пусть и £ U и h ^ Н таковы, что uh £ Go; существует симметричная окрестность У нейтрального элемента е в G такая, что uVcU;
поскольку Vh есть окрестность h в G, существует z £ У, для которого z/i £ Но; по тогда к"1 £ U, и так как uh — (uz*1) (z/г), то можно предполагать, что h £ Н6; поскольку UHQ = U, тогда uh € Uo.
Пусть G и G' — отделимые коммутативные топологические iруппы, a G и G' — их пополнения. Напомним (гл. III, § 3), что всякое непрерывное представление и группы G в G' равномерно непрерывно и продолжается единственным образом до непрерывного представления G в G', которое мы будем далее в этом н° обозначать через и. Диаграмма
G Л G*
G ЛЙ
где i и V — канонические инъекции G в G и G' в G', коммутативна. Ясно, что если и — непрерывное представление группы G*' в отделимую коммутативную топологическую группу G" и w =
• VO U, ТО W = Uo U.
Пусть Н — замкнутая подгруппа группы G, Е — GUI, а / и р— канонические отображения
Н ЛсЛ Е.
Пусть далее II — замыкание И в G; II — полная группа и потому отождествляется с пополнением II группы II. Непрерывное продолжение j отображения j на II есть, очевидно, каноническая инъекция И в G.
Будем предполагать, начиная отсюда, что группа. G метри- аусма. Тогда каноническое отображение факторгруппы Е — G/H в G/Н есть ее топологический изоморфизм на всюду плотную подгруппу полной группы GIII (следствие 1), так что можно отождествить GIH с Ё и непрерывное продолжение р отображения р на G с каноническим отображением G на GUI.
Следствие 2. Пусть G и G' — метризуемые коммутативные топологические группы,, и — гомоморфизм G в G', N — его
ядро, а Р — его образ. Тогда и есть гомоморфизм G в G* с ядром N и образом Р.
Пусть u — j о у о р — каноническое разложение гомоморфизма и, где и — изоморфизм топологической группы GIN на топологическую группу и (G) = Р. Имеем и — jo и о р и, как мы видели, р есть каноническое отображение G на GIN, а / — каноническое отображение Р в G'. С другой стороны, и есть изоморфизм GIN на Р (гл. III, 2-е изд., § 3, предложение 6; 3-е изд., § 3, предложение 5), и следствие доказано.
Следствие 3. Пусть G, G*, G"— метризуемые коммутативные топологические группы, и: G -* G’ и и: G' -*• G" — гомоморфизмы такие, что последовательность G—»-G' —>G” точна (т. ё. u (G) = и (0)). Тогда и последовательность G-^-G'—>G" точна.
-1
В самом деле, пусть N = и (G) = v (0); из следствия 2 вытекает, что N есть одновременно образ и и ядро и.
Замечания. 1) Пусть G — неотделимая топологическая группа такая, что ассоциированная с ней отделимая группа метри- зуема; то же можно выразить, сказав, что нейтральный элемент в G имеет счетную фундаментальную систему окрестностей. Доказательство предложения 4 переносится тогда без изменений на этот случай, с произвольным нормальным делителем группы G в качестве Н; оно показывает, что отделимая группа, ассоциированная с GlH, мстризуома и что G/N — полная группа (вообще говоря, неотделимая), коль скоро G полна.
Пусть d — инвариантное слева расстояние, определяющее топологию метризуемой группы G, и Н — замкнутый нормальный делитель группы G. Для произвольных точек х, у из GUI рассмотрим расстояние d (ж, у) между замкнутыми множествами х, у в G (§ 2, п° 2); покажем, что d (ж, у) является инвариантным слева расстоянием па GIH, определяющим топологию этой факторгруппы. Заметим сначала, что если ж € х, у С у, то d (ж, у) = d (ж, Ну)*, в самом деле, d (ж, Ну) = inf d (х, hy), откуда в силу инвариантности слева расстояния d сразу следует, что d Qi'x, Ну) =
г-.- (I (х, Ну) для всех h* € Н, чем нате утверждение и доказано (§ 2, п° 2); таким образом, для любой точки а £ GIH имеем (§ 2, в1' 2, формула (2))
| d (х, г) — й (у, z) | = |d (ж, z) — d (y, z) | ^ d (ж, у),
и так как это неравенство справедливо njpn любых ж £ ж и у 6 у, то | d (ж, z) — d (у, z) | < d (x, у), чем доказано, что d (ж, у) — расстояние на G/Н. При этом, согласно предыдущему, для каждого z £ z имеем d (zx, zy) = inf d (zx, hzy); но так как hzy — ьея"
-: z(z~rhz)y, a z~xhz пробегает H, когда К пробегает Н (ибо Н — нормальный делитель), то из инвариантности слева расстояния d (ж, у) вытекает, что d (zx, Hzy) = d (ж, Ну) = d (ж, у). Наконец, если V — окрестность е в G, определяемая неравенством d (е, ж) < < а, то ее образом V в GIH служит множество', определяемое неравенством d (е, ж) < а, чем и завершается доказательство.
.?. IIормированные тела
Определение 2. Л бсолютным значением на теле К называют отображение ж >-* 1 ж | тела К в R+, удовлетворяющее сле- иующим условиям:
(VMi) | ж | = 0 равносильно ж = 0;
(VMn)| жу | — | ж | | у\ для всех ж, у из К;
(VMih) | ж л- у | ^ | ж | л- | у | для всех х, у из К.
Согласно (VMn), I $ I = I 1 I I ж I, и так как в силу (VMi) существует по крайней мере одно ж, для которого | ж | ^= 0, то | 1 | = 1; в силу (VMn) тогда 1 = [ —1 |2, откуда также | — 1 | = = 1 и, следовательно,
| —ж | = I — t I I ж I I ж I;
отсюда заключаем, что .| ж — у | ^ | ж | + | у | для всех ж, у. Можно также сказать, что d (ж, у) = | ж — у 1 есть инвариантное расстояние на аддитивной группе тела К, а отображение ж *-* >-* | ж | — представление мультипликативной группы К* ненулевых элементов из К в мультипликативную группу R* вещественных чисел > 0.
■г> Н. Бурбаки•
Инвариантное расстояние | ж — у | определяет в К топологию метрического пространства, согласующуюся со структурой аддитивной группы в К (предложение 3); кроме того, эта топология согласуется со структурой тела в Л". В самом деле, непрерывность ху па К х К вытекает из соотношения
$У — КоУб = (* — жо) кУ — У о) + (^ — ж0) у0 -~ ж0 (у — у0), которое дает
I ку — хоуй | ^ | х — ж0 | | у — у0 || х — ж0 | | у0 | -и
ко I I У — //о I-
Точно так же непрерывность ж-1 в каждой точке ж0 Р 0 вытекает из тождества ж”1 — ж*1 = ж-1 (ж0 — ж) ж"1, которое па основании (VMH) дает
Если е > 0 взято < | ж0 |, то отношение | ж — ж0 | ^ 8 влечет I к | > | ж0 I— е, откуда | ж-1 —Жд1 | ^---у^ ^р—Bj- * чт0 11 Устанавливает непрерывность ж-1 в точке ж0.
Определение 3. Нормированным телом называют тело К, наделенное структурой, определяемой заданием на К абсолютного значения.
Мы будем всегда считать нормированное тело наделенным топологией, определяемой его абсолютным значением, и тем самым — топологическим телом. Если Ко — подтело нормированного тела К, то сужение на Ко абсолютного значения, заданного на К, является абсолютным значением на Кй и определяет в Ко топологию, совпадающую с индуцированной из К.
11 р и м е р ы. 1) Пусть К — произвольное тело; для каждого х С К положим | х | = 1, если х ~^ 0, и | ж ! — О, если х = 0; так определенное отображение х н-► | х | является абсолютным значением на К, называемым несобственным абсолютным значением. Для того чтобы топология, определенная в К абсолютным значением | х 1, была Оискретнон, необходимо и достаточно, чтобы | х | было несобственным абсолютным значением. Достаточность этого условия очевидна, Обратно, если топология тела К дискретна, то | ж | пе может принимать никаких значений а > 0, отличных от 1; в самом деле, если бы | ,г0 ] = а < 1 для некоторого х0 =£ 0, то последователь-
лость (х^), члены которой 4 0, сходилась бы к 0; случай а > 1 сводится к предыдущему переходом к хй’.
Абсолютное значение вещественного числа (гл. IV, § 1, п° б) удовлетворяет аксиомам (VMj), (УМц), (VMni) и определяет на поле R топологию числовой прямой. На поло С комплексных чисел (отождествляемом с II2) и па теле К кватернионов (отождествляемом с R4) евклидова норма является вместе с тем абсолютным значением, определяющим топологию каждого из этих тел (гл. VIII, § 1, п°п° 2 и 4).
вещественным нормированием па теле К называется функция и на К* со значениями в К, удовлетворяющая следующим условиям: а) и (ху) = и (х) 4- и (у) для всех х, у £ А'*; б) и (х + у) "^ ^ inf (и (х), v (у)), если при этом х -\- у V 0. Пусть а — какое-либо вещественное число >1; тогда положив | х | = а-^) для всех х ^- О и | 0 | — 0, получим на К абсолютное значение. В самом деле, из соотношения и (ху) = и (х) + и (у) при х =/-■ 0, у г/- 0 получаем для этих х, у соотношение | ху | = | х || у |, и это соотношение тривиальным образом верно, если один из элементов х, у равен нулю; точно так же неравенство и (х + у) ^ inf (с (х), и (у)) для х^О, у ф 0, х + у ^ 0 влечет неравенства | х 4* у | < sup (| х |, | у |) < | х | -|- 4- | у 1, и непосредственно проверяется, что эти неравенства остаются в силе, если какой-либо иа элементов х, у, х 4~ У равен пулю. В частности, если и,, (х) есть р-адичсское нормирование на поле Q рациональных чисел (показатель степени, в которой р входит в разложение числа х на простые множители), то соответствующее абсолютное значение | х |р — p~vP^ называется р-адическим абсолютным значением на поле Q.
Замечание. Если элемент х нормированного тела есть корень из единицы, то |.х | — 1, ибо если хп — 1 для целого п > 0, то | х |п = = 1 и, следовательно, | х | — 1. В частности, единственное абсолютное значение иа конечном теле есть несобственное абсолютное значение, поскольку всякий ненулевой элемент тела есть корень из единицы.
Определение 4. Два абсолютных значения на теле К называются эквивалентными, если они определяют в К одну и ту же топологию.
Предложение 5. Для того чтобы не несобственные абсолютные значения | ж ^ и | х |2 на теле К были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы отношение | х |t -< 1 влекло | ж |2<1- Тогда существует число р >■ 0 такое, что | х |2 = =- | х |р для всех х £ К.
Условие необходимо, ибо множество элементов х £ К, для которых | х |х < 1, совпадает с множеством тех х, для которых 5*
Нтжп:-0 в топологии, определенной абсолютным зиачени- Пн* ОО
ем |х h.
Обратно, предположим, что | ж |t < 1 влечет | ж |2 < 1. Тогда | ж к > 1 влечет | ж |3 > 1, ибо | ж-1 |t < 1 и, следовательно, | ж-1 |г<1. Так как, по предположению, абсолютное значение | ж |, но является несобственным, то существует ж0 £ К, для которого | ж0 ^ > 1; положим а — | ж0 h. b ~ | ж0 |2, р — log 6/log« > > 0. Пусть ж € К* н | ж |( ~ | ж0 |у. Если m и п — целые числа такие, что и > 0 и т!п > у, то | ж |L < | ж0 |у/л. откуда | х’Чх” |t -< 1 и, следовательно, | х'Чх™ [2 С 1, | ж |2 < | ж0 |"1/п. Так же покажем, что если тЧп < у, то | ж |2 > | ж0 |L"''n. Следовательно, | ж |2 -- | ж„ |У; иначе говоря, log | х |2 -- у log b = = ур log а -= р log | ж |т или | ж |2 = | ж |р; отсюда явствует тогда, что окрестности нуля в топологиях, определенных в К абсолютными значениями 1 ж |t и | ж |2, совпадают.
Обратно, для любого абсолютного значения | х | на К функция | х |р является абсолютным значением на К (эквивалентным | х |) при всяком р, удовлетворяющем неравенствам 0 <р^ 1. В самом доле, достаточно проверить неравенство | х J- у.|р < I ;r |р + I у |Р1 но I х -|- у |р < (| х | 4- | у |)р, так что остается показать, что если а > 0, Ъ > 0 и 0 < р < 1, то (а + Ь^ ^ ар 4- ZA Положив с = = «На -г Ь), 4 = Ъ/(а -|- 6), будем иметь с 4- d = 1 п требуемое . неравенство перепишется п виде 1 < е° + .< А последнее же непосредственно следует па соотношений ср > с, dp 5$ d, очевидных, поскольку О < с ^ 1, О < d 5^ 1 и 0 < р ^ 1.
Отсюда вытекает, что множество тех значений г > 0, для которых | х |г — абсолютное значение, есть конечный или бесконечный интервал в R с началом 0; е«[и он конечен, та, очевидно, содержит свой правый колец, ибо если для произвольных двух элементов х, у из К имеем | х -|- у |r ^ | х |r | -L | у |г, когда 0 < г < гд, то по непрерывности неравенство остается в силе и при г = гд. В случае, когда | х |г есть абсолютное значение при каждом г > 0, имеем
.1® + у1<(и1г+1уГ)1/г».
каковы бы пи были х, у £ К и г > 0. Но если а 5= 0 п 6 ^ (I, то lim (ог •}- ЪТУ1Т = sup (а, 6), ибо, предполагая, например, Ь < а, имеем
. а < («’•+ Ъ^/г ^ 2Мта, ■.
откуда, неограниченно увеличивая г, и получаем требуемую формулу.
У
Таким образом, видим, что если | г |г ость абсолютное значение при каждом г > 0, то I г -|- у I ^ sup (I я I, 1 {/ I); то же можно выразить еще, сказав, что и (г) = —log | ® | (л: ■=#■-- 0) является нормированием на К.
Замечай» е. Доказательство предложения 5 показывает, что если абсолютное значение | г |3 ire является несобственным и топология, определяемая в К. абсолютным значением | х |2, мажорируется топологией, которую определяет | х |п то | х |t и | х6 | эквивалентны, поскольку неравенство | х |3 < 1 влечет тогда | х |а < 1. Иначе говоря, топологии, определяемые и К двумя нс несобственными абсолютными значениями, могут быть сравнимы только когда они совпадают.
Предложение 6. Кольцо К, получаемое пополнением тела К, нормированного посредством абсолютного значения | ж |, является телом, а функция | х | продолжается по непрерывности до абсолютного значения на. К, определяющего топологию последнего.
Пусть ^ — фильтр Коши в К (относительно аддитивной равномерной структуры тела К'), для которого 0 не является точкой прикосновения; чтобы убедиться в том, что К — тело, достаточно установить, что образ % при отображении ж*-* ж-1 есть базис фильтра Коши (гл. Ш, 2-е изд., § 5, предложение 3; 3-е изд., § 6, предложение 7). Но, по предположению, существуют число а > 0 и множество Л С 3' такие, что | ж | ^ а для всех ж £ Л; с другой стороны, для каждого в > 0 существует множество В € 9 такое, что В а Л и | ж — У 1^8 для всякой пары элементов ж, у из В; отсюда.
чем доказана первая часть предложения. Инвариантное расстояние | ж — у | — d (ж, у) продолжается на К X К по непрерывности и дает расстояние на К (§ 2, предложение 1), определяющее топологию последнего и инвариантное в силу принципа продолжения тождеств; мы будем обозначать его по-прежнему d (ж, у). Если положить | ж | = d (0, ж) для всех ж € К, то ясно, что | ж | есть продолжение по непрерывности функции | х | на К, л значит, по принципу продолжения тождеств является абсолютным значением на К.
Нормированные пространства
над нормированным телом
Определение 5. Пусть Е —векторное пространство (скажем, левое) над недискретным нормированным телом К; нормой на Е называют его отображение х v-* р {х} в R+, удовлетворяющее следующим аксиомам:
(NOj) р (ж) = 0 равносильно х ~ 0;
(NOn) р (х + ?/) ^ Р С16) Ч- Р U/) для всех х, р из Е\
(NOin) р (tx) =- | t | р (ж) для всех t£Kux^ Е.
Чаще всего встречаются нормированные пространства, имеющие в качестве тела скаляров поле К или С (наделенное обычным абсолютным значением:). В книге V будут изучаться специплы1ые свойства этих нормированных пространств.
Из (МОш) вытекает, в частности, что р (—х)=-р (ж); отсюда, положив d (х, р) -- р (х— у), получаем инвариантное расстояние d на аддитивной группе векторного пространства Е; оно определяет в последнем топологию метрического пространства, согласующуюся с его структурой аддитивной группы (предложение 3). Кроме того, отображение (/, ж) >-* tx непрерывно на КхЕ; в самом дело,7 168
' tx — toxo = (t — t0) (ж — Жо) + (i — <0) Жо + t0 (x — ж0)'
и, следовательно,
p (tx — tgXg) ^ \ t — tg \p (X — Жо) -U
*l* | t t0 | p (x^) -|- | t0 | p (x — ж0), так что левая часть может быть сделана сколь угодно малой, если взять достаточно малыми | t— t0 | и р (х — х^.
Определение. 6. Нормированным пространством над недискретным нормированным телом К называют векторное пространство Е над К, наделенное структурой, определяемой заданием на Е нормы.
Нормированное пространство всегда будет считаться наделенным топологией и равномерной структурой, определяемыми его нормой.
II р и мер ы. 1) На нодискретпом вормиропапиом теле К, ]>ас- сматривасмом как (левое или правое) векторное пространство относительно самого себя, абсолютное зпачеппе | $ ! является нормой.
V ж^ , которое мы пазывпли евкли-
долой нормой на простри пегие Rn (гл. VI, § 2) , очевидно, есть норма в смысле определения 5. То же верно для функции sup [ г; ’
И 2 * I*
3) Пусть Л(Я) — множество всех функций / па Е со значениями в ледискретиом нормированном теле К, для которых числовая функция т. к-> | / (а1)] ограниченна на Е. Очевидно, это множество есть векторное подпространство (левого или правого) векторного пространства Кь всех отображений Е в К. Положив р (J') = sup [ / (ж) |, no.iv- х£К
чим норма р па векторном пространстве .Я(/'?) (см. гл. X, § 1).
°4) На векторном пространстве ^(/) всех непрерывных конечных числовых функций, определенных па интервале I = [О, 1], функция 1
р (т) = У | х (t) | dt. является нормой. о О•
Замкнутый шар В с центром 0 и радиусом 1 в нормированном пространстве Е, т. о. множество тех х ^Е, для которых р (ж) ^ 1, называют единичным шаром пространства Е. Покажем, что гомотетии x*-*tx единичного шара, где t пробегает множество всех ненулевых элементов из К, образуют фундаментальную систему окрестностей нуля в Е. В самом деле, образом шара В при такой гомотетии служит замкнутый шар с центром 0 и радиусом | t |; таким образом, достаточно показать, что для. каждого вещественного числа г > О существует t £ К такое, что 0 •< | t | < г. Но поскольку К наделено абсолютным значением, не являющимся несобственным, существует t0 С К, для которого 0< | t0 | < 1; следовательно, взяв / = Z” с достаточно большим целым п, будем иметь 1 # | = | <0 |п < г.
Определение 7. Две нормы на векторном пространстве Е (над недискретным нормированным телом К) называют эквивалентными, если они определяют на Е одну и ту ясе топологию.
Предложение 7. Для того чтобы нормы р и q на векторном пространстве Е были эквивалентны, необходимо и достаточно.
чтобы существовали числа а > 0, б > О такие, что
ар ^ Cq(x)C bp (ас)(1)
для всех х ^Е.
В самом деле, эти неравенства достаточны, ибо из отношения ар (х) ^ q (ас) вытекает, что для любого г > О замкнутый тар с центром 0 и радиусом аг в смысле нормы q содержится в замкнутом шаре с центром О и радиусом г в смысле нормы р; таким образом, топология, определяемая нормой q, мажорирует топологию, которую определяет р; совершенно так же неравенство q ^х} ^ ^ Ър (ас) показывает, что топология, определяемая нормой р, мажорирует определяемую нормой q; следовательно, эти две топологии совпадают.
Покажем теперь, что неравенства (1) необходимы. Если топология, определяемая нормой q, мажорирует определяемую нормой р, то единичный шар в смысле нормы р. содержит некоторый замкнутый шар с центром 0 и радиусом а > 0 в смысле нормы q; иначе говоря, д(ас)^ а влечет р (ас) ^ 1. Если /0 £ К таково, что О < Но I < 1, то Для каждого ас#= 0 из Е существует, и притом единственное, целое рациональное к такое, что а | f0 | •< q (^ас) ^ ^ а; тогда р (^ас) ^ 1, откуда
Рq
Hol'1 ®l(ol х
полагая а = а | £0 |, получим, что ар (x)^q (ас) для всех х Ф О, и это неравенство сохраняет силу также для ас = 0. Таким же образом убеждаемся, что если топология, определяемая нормой р, мажорирует определяемую нормой q, то существует б > 0 такое, что q (ас) Ър (ас).
Г п
Пример. В пространстве Rn нормы Т/ *?, SUP l^il
Г ь=|l:.i- n
n
и У | ц | эквивалентны, ибо
■ sup |жН<1/ 2 ^'С 3 l^l< ” SUP 1^1-(2)
Предложение 8. Пусть Е — нормированное пространство над недискретным нормированным телом К, р — его норма и Ё — аддитивная топологическая группа, полученная пополнением адди-
тивной группы пространства Е. Функция (t, ж) *-* tx продолжается по непрерывности на К X Е и определяет в Е структуру векторного пространства над К; норма р продолжается по непрерывности на Е до нормы р, определяющей топологию пространства К.
Продолжение по непрерывности функции tx есть частный случай теоремы о продолжении непрерывного билинейного отображения произведения Е х F двух коммутативных групп в третью G (гл. III, 2-е изд., § 5, теорема 1; 3-е изд., § 6, теорема I); по принципу продолжения тождеств имеем 1 -ж — х и t (пж) -~ (tu) х для всей t Е К, и^К и х g Ё', следовательно, внешний закон (/, ж) -*- tx действительно определяет в Ё структуру векторного пространства над К. С другой стороны, инвариантное расстояние d (ж, у) — р (х — у) продолжается на Е X Ё до инвариантного, расстояния <Гна Ё (§ 2, предложение 1), определяющего топологию пространства Ё; положив р (ж) ■--. d (О, х), получим продолжение по непрерывности р нормы р на Е, удовлетворяющее аксиомам (NOj) и (NOn); в силу непрерывности tx на К X Ё, оно удовлетворяет также условию (NOm) (принцип продолжения тождеств) и является, таким образом, нормой на Ё.
Рассматривая в векторном пространстве Е определенную структуру нормированного пространства, чаще всего (если это не порождает путаницы) обозначают норму вектора х через || ж ||.
Фанторпространства и произведения нормированных пространств
Предложение 9. Пусть Е — нормированное пространство над недискретным нормированным телом К и II — его замкнутое векторное подпространство. Если для каждого класса х 6 Е/Н положить || х |] = inf || ж ||, то функция || х || будет нормой на векторном пространстве ЕШ, и топология, определяемая этой нормой, будет совпадать с фактортапологией топологии пространства Е по Н.
В самом деле (п° 1, замечание 2), d (ж, у)~ || ж — у Ц есть инвариантное расстояние па Е!Н, определяющее фактортопологию
топологии пространства Е по II. Остается только убедиться в том, что |! tx || = | t | || х ||, а это непосредственно следует из определения || х || (гл. IV, § 5, формула (23)).
Норма || х || может быть истолковала еще следующим образом: это есть расстояние (в Е) от произвольной точки х 6. x до подпространства II, ибо множество точек из х совпадает с множеством точек х — к, где г; пробегает II.
Предложение 10. Пусть (Е^^г w —конечное семейство нормированных пространств над недискретным нормированным телом К; если, для каждой точки х -- (жг) векторного пространства п
Я - .11 Е. положить || х || -•• sup || х, ||, то функция || х || i И1 • п
будет нормой на Е, а определяемая, ею топология в Е будет совпадать с произведением топологий пространств Ef
В самом доле, если х - ■ ^х^ и ?/ •■- (у{), то х-\-у = (.х, + ?/,), и, следовательно,
IIэс л-У II sup || xt +yt ||<sup (|| Xj || -I-1| i/t || X
<8Пр||:Х!; || |- SUp || у t || -: || X || -|- || у ||.
С другой стороны, ясно, что || tx ||= | t | || x || и что || ас || = 0 влечет || х, |[ — 0 и, значит, xt = 0 (1 ^ г ^ п), т. е. х -- 0; таким образом, || х ]| действительно есть норма на Е. При этом отношение || х || < а равносильно п отношениям ||:ez || <' а, так что норма || ас || действительно определяет в Е топологию произведения .
ПГ 11
Можно доказать, что функции У ||»j|| и V/ V, ||a5Z|b тоже
являются нормами па £; в силу неравенств (2), укаапнныо три ш>р- мы эквивалентны.
В частности, если для точки ж — Udi.:v:u (левого или правого) векторного пространства К" над А' положить
pH^^supIXi |, Рг(я')=|хг|, Рз(^)=1/ I xf Pi
i-Ь^|’1=1
то фут,-ЦПи pt, р2, рз будут эквипалоитпыми нормами, определяющими и К" нроизвсдщгив топологий сомножителей К.
Непрерывные полилинейные функции
Теорема 1. Пусть ^f (1 ^ i ^ п) и F — нормированные пространства над недискретным нормированным телом К, a f — п
полилинейное отображение произведения JJ Ег в F. Для того что
бы / было непрерывно на JJ Еь необходимо и достаточно, чтобы
существовало число а > О такое, что
II / (ЭС!, хг, . . ., хп) II ^ а II X, II II Х„ II . . . II х„ 11,(3)
каковы бы ни были точки х, £ Е; (1 ^ г ^ п).
Условие необходимо. В самом деле, если / непрерывно в точке (О, 0, . . ., 0), то существует число b > 0 такое, что условия !!-«? II < Ъ (1 ^ i< п) влекут || / (хг, . . ., xn) ||<1. Пусть t6 £ К
каково, что 0 -< | t0 | < 1; для каждой точки (®;) £ 11^'ь в которой все х, отличны от нуля, существует п целых рациональных чисел kt таких, что b | t0 | < || t’^Xt || ^ Ь; следовательно,
так как, с другой стороны, неравенство (3) с а = -^-р^р-так как, с другой стороны, неравенство (3) с а = -^-р^р-11
так как, с другой стороны, неравенство (3) с а = -^-р^р-
так как, с другой стороны, неравенство (3) с а = -^-р^р-
“Т^УТТТ II «1 111 то получаем I to I 86 । i0 1
очевидно, оно остается в силе также,
если какое-либо ив xt равно нулю.
Условно достаточно. В самом деле, покажем, что если оно выполнено, то /^непрерывно в каждой точке (а() пространства
}] Et. Имеем
; -I
/ (х^ ..., хп)— /(«i, ...,ап) =
^ / («11 • -«м, Xi — at, Xi+i, ..., ^Cn).
Но в силу (3) условия || Xi —&г || ^ г (1 ^ i ^ п) влекут
||/(ai, ..., at-t, Xi —at, xl+i, ..., Жп)|КягЦ (||aft ||-|-r).
hyl
Обозначая через с верхнюю грань чисел || «J| (1 ^ ? ^ ?г), получаем отсюда
|| / (асг, . . ., уп) — / («,а^ -И ^ пат (с + г)"*1.
Поскольку правая часть есть полином относительно г без свободного члена, она стремится к 0 при г -*• О, чем непрерывность / и доказана.
Замс ч а и и с. Эта теорема влечет два доказанных выше предложения: с одной стороны, пелрерыпность билинейной функции !.г в силу соотношения ||/х || == | / | 11^11 и, с другой стороны, предложение 7, которое получается применением теоремы 1 к тождеетшч:- ному отображению Е на Е, рассматриваемому как линейное отображение пространства Е, наделенного нормой р, на пространство Е, наделенное нормой q (и обратно).
Абсолютно су ммиру емые семейства ' в нормированном пространстве
Определение 8. Семейство (ж() точек нормированного пространства Е называют абсолютно суммируемым, если семейство (|| 3CL ||) норм точек acL суммируемо в К.
Это понятие только по виду зависит от выбранной на Е нормы; в силу предложения 7 и принципа сравнения суммируемых семейств вещественных чисел, семейство, абсолютно суммируемое по норме р на Е, абсолютно суммируемо по всякой норме, эквивалентной р.
Если (x^i — суммируемое и абсолютно суммируемое семейство точек из Е, то
IlSMtilMI.W
4141
В самом деле, для каждого конечного множества J с I имеем || 2 Mill ^S IIЖ1II- и неравенство (4) получается отсюда пере- 4J 41
ходом к пределу по фильтрующемуся упорядоченному множеству конечных подмножеств множества /."
Предложение И. В полном нормированном пространстве Е всякое абсолютно суммируемое семейство суммируемо.
В самом деле, если (a$L) — абсолютно суммируемое семейство в Е, то для каждого е > О существует конечное подмножество J
множества индексов I такое, что S ll^'i II ^ ро каково бы ни было конечное множество Н с: 7, не пересекающееся с J. Следовательно, тем более || 2 ^i II ^ 8> чем в силу полноты Е предложение и доказано (критерий Коши, гл. III, 2-е изд., § 4, теорема 1; 3-е изд., § 5, теорема 1).
Ряд с общим членом хп называют абсолютно сходящимся в Е, если ряд с общим: членом [| эсп || сходится в И; то же можно выразить, сказав, что семейство (ж„) абсолютно суммируемо; отсюда (гл. III, 2-е изд.,§ 4, предложение 9; 3-е изд., § 5, предложение 9):
Следствие. В полном нормированном пространстве Е всякий абсолютно сходящийся ряд является коммутативно сходящимся.■
Обращение предложения 11, вообще говоря неверно.
Рассмотрим, например, пространство J9(N) всех ограниченных последовательностей а? = (zn)n£N вещоствеяных чисел с нормой || я?|| = sup | jcn |. Пусть щ„ — последовательность (.rn»i)nPN’ в к°т°" п
рой .rmn = 0 при п ;?ь т, .г00 = 0 и хтт " 1/т. для всех m > 1. Легко проверить, что последовательность (xm)mgN в ^Й(Х) суммируема и имеет своей суммой элемент у = (уп), в котором у0 = 0 и уп = 1/п при п>1; но поскольку || хт || = Мт, последовательность норм элементов «,к не суммируема в R.
Однако мы видели (гл. VII, § 3, n° 1), что в R" всякое суммируемое семейство абсолютно суммируемо.
Нормированные алгебры ■ над нормированным телом,
Определение 9. Пусть Л —■ алгебра над недискретным коммутативным нормированным телом К; говорят, что норма р (ж) на Л (рассматриваемом пак векторное пространство над К) согласуется с заданной в Л структурой алгебры, если топология, определяемая ею в А, согласуется со структурой кольца алгебры А. Алгебра над К, наделенная структурой, определяемой нормой, согласующейся с ее структурой алгебры, называется нормированной алгеброй.
Если А — нормированная алгебра над К и р (ас) — ее норма, то билинейное отображение (ж, у) н-*- асу произведения Л X Л в Л , по предположению, непрерывно; следовательно (теорема 1), существует число а>0 такое, что р (асу) ^ ар (ж) р(у). Заменяя р(ж) эквивалентной нормой ар (ж), можно, таким образом, всегда предполагать, что норма || ас || па нормированной алгебре Л удовлетворяет условию
.Пасу || ^ || ж || || у ||.(5)
По индукции отсюда следует, что
II ^ II II ж II"(6)
для всех целых п >• 0.
' Примеры. 1) Пусть К — нормированное тело и К' — подтело его центра такое, что след на) К' абсолютного значения | я |, заданного на К, не является несобственным абсолютным значением па К'; К, наделенное нормоб | z |, является тогда нормированной алгеброй над К'.
Пусть А — недискретное коммутативное нормированное тело п М„ (А) — кольцо квадратных матриц порядка п над К; известно, что, как векторное пространство вад А, М„ (А) изоморфно Ап2. Положив || X ||= sup | х^ | для каждой квадратной матрицы X = (zjj')
1,3"
порядка п над А, получим на Мп (А) норму, и топология, определяемая ею, будет совпадать с топологией произведения в А (предложение 10); отсюда вытекает (в силу непрерывности полиномов нескольких переменных над А'), что указанная норма действительно согласуется со структурой алгебры (над А) в Мп (А).
Множество /А(£) всех функций / на множество Е со значениями в педпекретпом коммутативном нормированном теле А таких, что к ,_». | / (z) | ограниченно на Е, есть алгебра пад А; норма || / || -- = sup | / (z) ] согласуется со структурой кольца алгебры <®(А), ибо
• II fa II ^ II/ II 111? II (см. ГЛ. X, § 1).
Пусть а — замкнутый двусторонний идеал в нормированной алгебре А; формула || ж || = inf || ж || задает в факторалгебре
Afa норму, определяющую в А /а фактортопологию топологии алгебры Л по а (предложение 9); так как эта фактортопология согласуется со структурой факторкольца факторалгебры Afa (гл. III, 2-о изд., § 5, n° 1; 3-е изд., § 6, п° 3), то факторалгебра A/а, наделенная нормой || ж ||, есть нормированная алгебра.
Аналогично пусть (Лг)1.«.-П — семейство п нормированных Я
алгебр над нормированным телом К и А = ]J At их произведение;
полагая ||«?|| = sup || х{ || для ас = (х;), получим на А норму; определяемая его топология совпадает с произведением топологий, заданных в алгебрах А, (предложение 10); поскольку последняя согласуется со структурой кольца в А (гл. III, 2-е изд., § 5, п° 3; 3-е изд., § 6, п° 4), алгебра А, наделенная нормой || ас ||, есть нормированная алгебра.
Пусть А — нормированная алгебра над нормированным телом К. Кольцо А, получающееся пополнением А (гл. III, 2-е изд., § 5, предложение 2; 3-е изд., § 6, предложение б), наделено также структурой векторного пространства над К (предложение 8) и, очевидно, по принципу продолжения тождеств t (ху) = (tx) у = х (ty) для всех t £ К, ас £ А, у 6 А; таким образом, А есть алгебра над К; так как, с другой стороны (предложение 8), заданная па А норма продолжается по непрерывности до нормы, определяющей топологию кольца А, то мы видим, что Л, наделенное этой нормой, есть нормированная алгебра над К.
Если (асх)х£/, и (?/ц)ц£м — абсолютно суммируемые семейства в нормированной алгебре А, то семейство (xpy^p, ^ьхм абсолютно суммируемо, поскольку || х^У^ II ^ II Жх II II Уи II (гл. IV, 2-е изд., § 7, предложение 2; 3-е изд., § 7, предложение 1); если, кроме того, А полна, то эти три семейства суммируемы и У ХхУп — (У жх) ( У У у) по ассоциативности суммы, (X, l^LXM 'X^L HEM '
стоящей в левой части равенства (гл. III, 2-е изд., § 4, формула (2); 3-е изд., § 5, формула (2)).
Если нормированная алгебра А обладает единичным элементом е ^ 0, то отображение t te есть изоморфизм структуры тела в К на структуру тела в подтеле Ке алгебры А; этот изоморфизм является вместе с тем изоморфизмом структуры топологического тела в К на аналогичную структуру в Ке (наделенное топологией, индуцированной из Л), ибо сужение || te || нормы ив А на К есть 1 норма, эквивалентная абсолютному значению | t | = р-рр || te ||. Если || е ||= 1, то || te || = 1t |, и тогда нормированное тело К можно отождествить с нормированным подтелом Ке алгебры А, и, в частности, обозначать единичный элемент алгебры А через 1.
В дальнейшем будет идти речь только о нормированных алгебрах Л с единичным элементом е, в которых норма удовлетворяет неравенству (5); положив в нем ж —if --е, получим, что ||е||^1.
Предложение 12. Если в А ряд с обидим членом »п сходится, то элемент е — » обратим и
(7)
Обратно, если || к || < 1 и е — s обратим, то ряд с обидим членом ап сходится и имеет место формула (7).
В^ самом деле, ■ для каждого р > 0
(е-s') ^ яп = е-^.(8)
п ~0.
Если ряд с общим членом ^" сходится и у — его сумма, то г" стремится к 0 при неограниченном возрастании и; следовательно, переходя к пределу в (8), будем иметь (с— ж) i; ™ е; и так же докажем, что у (е— «) ™е и тем самым что у — (е — «)-1 (заметим, что эта часть рассуждения сохраняет силу в произвольном топологическом кольцо с единичным элементом).
Обратно, если ||«||<1, то, поскольку ||«p+l II =С II ~ Нр+\ заключаем, что ,tp+1 стремится к 0; умножая обе части равенства (8) слева на (е— л)-1 и устремляя р к бесконечности, видим, что ряд с общим членом s" сходится и имеет своей суммой (е— г)"1.
Следствие. Пусть А — полная нормированная алгебра; тогда е —$ обратимо в А для каждого я С А такого, что || & || С 1.
В самом деле, ряд с общим членом я" абсолютно сходится, ибо II •*” II ^ II " 1Г для всех п > 0; следовательно, в силу полноты А этот ряд сходится (предложение 11).
Предложение 13. Пусть G — группа обратимых элемен- .тов полной нормированной алгебры А. Тогда G — открытое множество в А; топология, индуцируемая в G из А, согласуется с ее структурой группы; наделенная этой топологией, G является полной группой (по каждой из двух ее равномерных структур).
Следствие предложения 12 показывает, что G содержит некоторую окрестность V элемента е в А; тогда для каждого x0£.G
элементы из ж0У обратимы, а x0V — окрестность ж(| в А, поскольку
хйх есть гомеоморфизм А на себя; следовательно. G открыто в А.
Чтобы убедиться в том, что топология, индуцируемая в группе G из Л, согласуется с ее структурой группы, достаточно показать, что функция ж-1 непрерывна па G. Пусть х0 С 6'; для каждого ж С G положим ж — ж0 (е -рп), т. е. и — ж*1 (ж— ж0); тогда || и ||^ 6? Il^o1 II II ас —ж0 ||; следовательно, если ||ж —ж0 || < 1/Цж;1 ||, то || и ||< 1, элемент е -|-w = ж^ж обратим, ряд с общим членом (—1)п wn сходится абсолютно и
ж""1 = (е + гс)-1 ж;1 — ж^Н- (5 ( — 1)пмп) ас;1,(9)
откуда
Цжч-ж^кц 2 HI 11^IHI^KII 2 «"Hih^ip ||ж-жоц. п=0п=0
Когда ж стремится к ж0, || ж— ж0 || стремится к 0, и так как
п=0
остается ограниченным, то ж-1 стремится к ж;1.
Наконец, чтобы установить, что левая равномерная структура группы G есть структура полного пространства, покажем, что всякий фильтр Коши ^- относительно этой структуры является фильтром Коши относительно аддитивной равномерной структуры алгебры А и сходится к некоторой точке из G. В самом дело, для каждого е такого, что 0 < е <; 1, существует множество М € 9 такое, что ||ж*Ч/ — е || ^ 8 для всех х € М и ц рМ, откуда ||?/ —ж || ^ е || ж ||. Пусть а — точка из М\ для каждого жб М имеем || ж — а || ^ е ||« ||, откуда ]|ж || ^Z (1 л- е) || а ||. С другой стороны, существует множество N сМ, принадлежащее $ и такое, что || ж-1?/— е П^——-^—гг для всех х £ N hij^N. Тогда || // — ж || ^ yf^"'jyjj~7ji ^ е> так что ^' есть фильтр Коши относительно аддитивной равномерной структуры в А и, значит, 7\- сходится к некоторой точке ж0, поскольку А — полная алгебра. 1’ак как ж0 — предел фильтра ^, то по принципу продолжения *• И. ВурОаки
неравенств |1эс-1эс0—в ||^е для всех х'6 М\ поскольку е < 1, заключаем, что ас-1эс0 обратимо; следовательно, обратимо и х0, т. е. х0 £ G.
Предложение 14. В полном нормированном теле мультипликативная группа элементов #=0 есть полная группа.
Достаточно рассуждать, как при доказательстве предложений 13, заменяя заданную в Л норму абсолютным значением, заданным в рассматриваемом теле.
Отметим, что непосредственно применить предложение 13 нельзя, ибо некоммутативное нормированное тело не обязательно является алгеброй над не дискретным коммутативным нормированным телом (сужение абсолютного значения на центр тела может быть несобственным). ■•
Замечание. Предложение 13 неверно для неполной нормированной алгебры. Например, в алгебре ^(7) конечных непрерывных числовых функций на 7 = [0, 1] (с нормой 1| ® || = sup | ж (г) |) под-
■ алгебра Р, образованная полиномами от t (суженными на 7), не полна: пусть ж (г) — произвольный полипом, отличный от постоянной; полином 1 + ех при достаточно малом е сколь угодно близок к единичному элементу 1 подалгебры Р, однако 1 + е.т не обратим в Р. Тем по менее, если Л — неполная нормированная алгебра, G — группа ее обратимых элементов н Л — нормированная алгебра, полученная пополнением Л, то G — подгруппа группы обратимых элементов алгебры Л и, следовательно, топология, индуцируемая в G из Л, согласуется с ее структурой группы.
Упражнения
1) Отклонение / на группе G с мультипликативной ваписью называют инвариантным слева (соотв. инвариантным справа), если / (zx, zy} = / (г, у) (соотв. / (xz, yz) = / (г, у)) для всех х, у, z из G.
Если / — отклонение, инвариантное слова, то числовая функция g (ж) = / (с, г) на G удовлетворяет следующим условиям: 1° g Gr) > > 0 для всех х G G и g (е) = 0; 2° g (я-1) = g (я); 3° g (ху) < g (ж) + + g (у). Обратно, для всякой числовой функции g, удовлетворяющей этим условиям, / (ж, у) = g (z-1y) ость отклонение на G, инвариантное слева.
Для того чтобы топология д', определенная в группе G насыщенным семейством (§ 1, п° 2) инвариантных слева отклонений (Д), согласовалась с, ее структурой группы, необходимо и достаточно, чтобы для каждого а С G, каждого индекса i и каждого а > 0 существовали индекс х и число р > 0 такие, что Д (с, аха-1) < а для
всех х € G таких, что /х (с, г) < 0. Если это условие выполнено, то равномерная структура, определенная в G семейством (fOi совпадает с левой равномерной структурой топологической группы полу- чаомм, при паделепии G топологией .Т
На каждой топологической группе G существует семейство инвариантных слева отклонений такое, что определяемая им равномерная структура совпадает с левой равномерной структурой группы G.
Пусть G — топологическая группа, левая - правая равномерные структуры которой совпадают. Показать, что эта общая равномерная структура может быть определена семейством отклонений на G, инвариантных одновременно слева и справа. [Используя упражнение 3 § 3 главы III, показать, что, какова бы ни была окрестность V нейтрального элемента е группы G, также Ро = fl ^Vx-1 x£G
есть окрестность е.]
Пусть G — топологическая группа и (Д) — насыщенное семейство инвариантных слева отклонений, определяющее ее левую равномерную структуру; положим gt (т) = ft (е, ж). Пусть Н — замкнутый нормальный делитель группы G; для каждого класса я £ G/Н положим h^ (ж) = inf gt (ж); показать, что функции ft, заданные формулой х£х
"fi (z, ?/) = hv (z-1!/)> образуют семейство инвариантных слева отклонений, определяющее левую равномерную?структуру факторгруппы GIH. [Рассуждать, как в замечании 2 из n® 1.]
Показать, что топология нормированного тела удовлетворяет условию (КТа) упражнения 13 § 5 главы Ш|2-го изд.).
5) Пусть со — абсолютное значение на теле Q рациональных чисел.■
Показать, что со полностью определяется своими значениями иа простых числах.
Показать, что если существует простое число р такое, что со (р) < 1, то и для любого другого простого числа q имеем со (g) ^ 1. [Оценить сверху со (gn), записывая дп в системе счисления с базисом р,. и устремить п к бесконечности.]
Показать, что если существует простое число р такое, что' со (р) < 1, то для любого другого простого числа q имеем"со (д) = 1. [Показать невозможность неравенства со (g) < 1, используя тот факт, что для каждого целого п > 0 существуют целые рациональные г и s такие, что 1. = гр" -J- sgn.J Вывести отсюда, что со есть тогда абсолютное значение, получаемое из р-адического нормирования Ha^Q.
Показать, что если со (/)) > 1 для каждого простого числа р, то, каковы бы ни были простые числа р и q, log w(p) _ log (■)(<?)
■ log р log q '
[Тот жо метод, что и в пункте б).] Вынести отсюда, что тогда со (г) = = | ж lp где р < 1-о
0) Пусть Е — левое векторное пространство над толом К, обла. дающее счетным базисом (a,t), и (гп) — убывающая иоследователь- пость чисел >0, стремящаяся к 0; положим || 0 || = 0, а для каждого элемента а? = 2 Bt^h Ф 0 из Е положим ]| со П = П» где к — паимень- пшй из индексов к, при которых t^ ф 0. Показать, что || ж — ?/ || есть инвариантное расстояние на аддитивной группе лрострпнства Е и что топология, определяемая им в Е, пе зависит от выбранной последовательности (гп) (убывающей и стремящейся к 0). Вывести отсюда- что если распространить определения нормы и нормированного пространства (определения 5 и G) па случай, когда рассматриваемое абсолютное значение на тело скаляров — несобствен ное, то предложение 7 и теорема 1 пе будут больше-справедливы.
Пусть Е — нормированное пространство над нормированным телом. Показать, что если всякое абсолютно суммируемое семейство в Е суммируемо в Е, то Е полно. [Рассмотреть такую подпоследовательность (2nh) последовательности Коши (zn) в Е, чтобы ряд с общим членом ^п^ — ^пк был абсолютно сходящимся. 1
Дать пример суммируемого, но пе абсолютно суммируемого семейства в толе Qp р-адичоских чисел. [Использовать упражнение 28 § 5 главы III 2-го изд. ).]
Отображение w кольца Л в К+ называется полу абсолютном яначением на Л, если оно удовлетворяет следующим условиям: 1° ю (0) = 0; 2° w (.г — у) < ю (ж) + ю (уУ, 3° ю (ху) ^ ш (г) ю (у). Полу- абсолютпос зпачепио w называется отОели.чом, если ю (х) = 0 влечет х = 0. Если w — отделимое полуабсолтотпоо значение па Л, то ю (х — у) есть инвариантное расстояние на аддитивной группе кольца Л и, следовательно, определяет топологию, согласующуюся с его структурой аддитивной группы; показать, что вта топология согласуется с ого структурой кольца. Обобщить па кольца, наделенные полуабсолютным значением, основные свойства нормированных алгебр, в частности предложение 1,3.
Если to — неотделимое иолуабсолютпое зпачепио на Л, то мно- • жество io (0) является двусторонним идеалом а в Л. Топология в Л, определяемая отклонением w (х — у), согласуется с заданной струк-
турой кольца в Л, и отделимое пространство, ассоциированное с Л, есть по что иное, как факторкольцо Л/а, па котором функция га (z), равная для каждого класса t mod а общему значевию функции w (х) во всех х 6 х, является отделимым полуабсолютлым значением, называемым ассоциированным с w, определяющим фактортопологию топологии кольца Л но а.
*10) а) Полуабсолютвые значения wi и w2 па кольце Л называются эквивалентными, если эквивалентны отклонения w^ (z — у) н ю2 (^ — У)- Показать, что если w — нолуабсолютпое значение на А, то aw и w^a — иолуабсолютлые значения, эквивалентные w, для всех а > 1.
б) Пусть иц (1 ^ г ^ п) — полуабсолютвые значения ва кольцо А; тогда функции го = 2 w и w' = sup w^ — эквивалентные полу- г
абсолютные значения на А. Если aj = гД (0), то а = и? (0) = f^o;.
Обозначая через Л; пополнение факторкольца А!»^ паделепного отделимым полуабсолютлым значением, ассоциированным с wt, показать, что Л/а, наделенное отделимым полуабсолютлым значением, ассоциированным с ш, изоморфно подкольцу кольца JJ Л f; для того
чтобы это подкольцо было всюду плотно в Дл^ необходимо и доста-
1
точно (в предположении, что Л обладает единичным элементом 1), чтобы полуабсолютвые в. . чения wt удовлетворяли следующему условию: для каждого е > 0 и каждого индекса i существует элемент z б Л такой, что wt (1 — z) < е и w^ (z) ^ е для всех индексов к =А- I.
И) Пусть Л — кольцо, наделенное отделимым полуабсолютным значением, полное в топологии, определяемой этим полуабсолютным значением, и обладающее единичным элементом. Показать, что всякий максимальный идеал в А замкнут. [Использовать предложение 13.)
• *12) Пусть К — отделимое недискротное топологическое тело и ф — отображение К в TU такое, что ф (0) — 0, ф (zy) ~- ф (z) ср (у) и множества Vn тех z £ К, для которых ф (z) < 1/п, образуют фундаментальную систему окрестностей 0 в К.
Показать, что существует число а > 0, для которого ф (1 + х)< С а (1 + q> (z)). [В противном случае существовала бы последовательность- (zn) точек из К такая, что (1 -|- z )-1 и хп(1 4- Zn)'1 стремились бы к 0.] Вынести отсюда, что функция ф (z) = бр (z))“ для достаточно малых а удовлетворяет неравенству
Показать, что если п = 2г, то ф ( 2 Л'1) ^ ”SUP №ж<)); выв0' 1=1
сти отсюда, что ip (m) ^ 2m для каждого целого m > 0.;
Вывести из б), что для всех п = 2Р и всех я Р К выполняется неравенство ф ((1 + ж)п-1) г^ 2м (I " Ф (»))п“1; заключить отсюда, что ф есть абсолютное значение на К, определяющее его топологию.
3) Пусть К — отделимое] недискрстпое топологическое тело, R — множество тех х Е К, д.чя которых lirn х11 = 0, и N — донол- п—оо
ненке множества R U Н-1. Показать, что для того, чтобы на К существовало абсолютное значение, определяющее его топологию, необходимо и достаточно, чтобы: 1° R было открыто в К; 2° для каждой окрестности V пуля в К существовала окрестность Г/ нуля в К так я, что RU а V; 3° отношения х € R и у £ В U N влекли ух £ R.
' Для доказательства' достаточности этих условий установить последовательно, что:
IV есть нормальный делитель мультипликативной группы К непуловых элементов из К.
Если в факторгруппе K*/N положить х < у, когда существуют х £ х и у Е у, для которых ух-1 Е R U ^, то это отношение будет отношением порядка, согласующимся с ее структурой группы определенная так упорядоченная группа K*/N изоморфна подгруппе аддитивной группы R. [Использовать упражнение 1 § 3 главы V.]
В заключение воспользоваться упражнением 12..
В частности, топология педискретного локально компактного коммутативного тела может быть] задана абсолютным значением. См, Гл. Ш, 2-е изд. § 5, упражнения 19 и 20*).]
Нормальные пространства
Определение нормальных пространств
Аксиома ^Oty) равномеризуемых пространств (§ 1, в0 5) может быть сформулирована следующим образом: каковы бы ни были замкнутое множество А и точка х 5 С А, существует непрерывное отображение пространства Е в [0, 1 ], равное 0 в точке х и 1 во всех точках из А; это свойство выражают еще, говоря, что в равноме- ризуемом пространстве точка и замкнутое множество (не содержащее эту точку) отделимы непрерывной числовой функцией.
Мы перейдем сейчас к изучению пространств, в которых можно подобным же образом '-отделить непрерывной числовой функцией всякие два непересекающихся замкнутых множества; точно говоря:
Определение 1. Топологическое пространство Е • называют. нормальным, если оно отделимо и удовлетворяет следующей аксиоме1.
(Оу) Каковы бы ни были непересекающиеся замкнутые множества А и В в Е, существует непрерывное отображение Е в [О, I], равное 0 во всех точках из А и 1 во всех точках из В.
Ясно, что всякое нормальное пространство вполне регулярно; но существуют вполне регулярные пространства, но являющиеся нормальными (см. упражнения 9, 10, 13, 26 и § 5, упражнения 15 и 16). '
В формулировку аксиомы (Оу), как и аксиомы (Ору), входит как вспомогательное множество числовая прямая В. Однако можно дать формулировку, равносильную (Оу), в которую не входит уже никакое вспомогательное множество:
Теорема 1 (Урысон). Аксиома (Оу) равносильна следующей: .
(Оу) Каковы бы ни были непересекающиеся замкнутые множества А и В в Е, существуют непересекающиеся открытые множества U и V в Е такие, что A a U и В а V.
Ясно, что (Оу) влечет (Оу), ибо если / — непрерывное отображение Е в (0, 1], равное 0 на Л и 1 на В, то открытые множества 7 ((0, 1/21) и /\]1/2, 1]) содержат соответственно А нВ и не имеют общих точек.
Чтобы доказать обратное, заметим сначала, что аксиома (Оу) равносильна следующей аксиоме:
(Оу) Каковы бы ни были замкнутое множество А и его открытая окрестность V, существует открытая окрестность W множества А такая, что WcV.
Если существует непрерывное отображение / пространства Е в [—1, -НЦ, равное —1 на А и 1 на В, то, полагая [I (<) = — / (I—1, 4) Для каждого # Е JO, 1], получим в Е семейство открытых множеств, имеющее [0, 1) своим множеством индексов, такое, что А с U (0), В ел CU (1) и
" UAA с и Щ (1)
для каждой пары вещественных чисел t, t* такой, что 0 ^ t < <t'^l, поскольку U (£) содержится в замкнутом множестве
/ ([—1,ф. Обратно, предположим, что определено семейство открытых множеств U (<) (0 ^ < ^ 1), обладающее этими тремя свойствами; для каждого х ^ Е положим g (х)1 равным 1, если x^QU (1), и равным нижней грани тех t, для которых х,^. U (Z), в противном случае. Очевидно, тогда 0 ^ g (х) ^ 1 для всех х g Е, g (х) = 0 на Л, g (х) = 1 на В1, наконец, g непрерывно на Е: в самом деле, положив g (х) = а, будем иметь I g (у) — g (х) | ^ е для каждого у, принадлежащего множеству U (а 4- е) П ОДа—в), являющемуся окрестностью х в силу (1) (если еще условиться считать U (а 4- е) — Е при а +е>1, и U {а — в) = 0 при а — е < 0).
Таким образом, все сводится к определению семейства открытых множеств U (Z) указанного типа, опираясь на аксиому (Оу). Примем U (1) — CS; так как Л с U (1), то, согласно (Оу), существует открытое множество U (0) такое, что Л с: U^ и U (0) с с U (1). Предположим затем, что для каждого двоично-рационального числа kiy (к — 0, 1, . . ., 2") уже определено открытое множество U (^/2П) так, что U (кГ^) a U ((к 4- 1)/2п) (0 ^ к ^ ^ 2П — 1). Для каждого двоично-рационального числа (2А 4- l)/2n+1 (0 < к ^ 2П — 1), согласно (Оу), существует открытое множество U ^к 4- l)/2n+1) такое, что
U (.к!^ с U ((2^4- 1)/2та+1) и U №к 4- l)/2n+1) a U № 4- 1)/2п). Таким образом, для каждого двоично-рационального числа т такого, что 0 ^ z’ ^ 1, можно определить открытое множество U (г) так, чтобы Л с: U (0), В <= QU (1) и
О) с U (г') (2)
для всякой пары двоично-рациональных чисел г, г' таких, что 0 ^ г < г' ^ 1.
Положим теперь для каждого вещественного числа < Е [0 1)
U (Z) = (J U (г) (г—двоично-рациональные числа); г 't
в силу (2) это определение совпадает с предыдущим в случае, когда t — двоично-рациопальпое число; с другой стороны, если 0 ^ f С /' ^ 1, то существ у клЕ двоично-рациональные числа г, г' Такие, что ?^ г < г' ^ t'; в силу (2) тогда U (Z) с U lj) и, еле-
довательпо, U (() a U (г) с U кт'^ с: U kt'Y чем устанавливается отношение (1) и завершается доказательство.
Теорема 1 позволит нам доказать нормальность двух важных категорий топологических пространств. Прежде всего:
Предложение 1. Компактное пространство нормально.
В самом деле, такое пространство удовлетворяет аксиоме (Оу) в силу предложения. 2 § 10 главы I 2-го изд. (3-е изд., гл. I, § 9, предложение 2).
Что касается локально компактных простраиспв, то всякая точка такого пространства обладает компактной окрестностью, которая является нормальным подпространством; однако можно указать примеры локально компактных пространств, не являющихся нормальными (см. упражнения 9 и 26 и § 5, упражнение 15).
Предложение 2. Метризуемое пространство нормально.
Пусть Е — метризуемое пространство, d — расстояние, согласующееся с его топологией, а А и В — непересекающиеся замкнутые множества в Е; так как функции d (т, Л) и d kx, В) непрерывны, то множество U (соотв. V) тех точек х, для которых d (ж, Л) < < d (ж, S) (соотв. d (х, В) <_ d (х, Л)), открыто; ясно, что A. clU, В с V и U и V не пересекаются; таким образом, аксиома (Оу) выполнена.
Замечания. 1) Предложение 2 дает новое необходимое условие метризуемости топологического пространства, по это условие, даже в соединении со всеми необходимыми условиями, данными в § 2, по дает системы условии, достаточной для метризуемости топологического пространства (см. упражнение 6 и § 5, упражнение 10).
2)-,Можло указать примеры нормаль пых пространств, не являющихся ни метризуемыми, ни локально компактными (см. § 5, упражнение 16).
В силу (Оу), всякое замкнутое множество в нормальном пространстве является нормальным подпространством; но это свойство пе всегда верно для произвольного подмножества нормального пространства.
Например, вполне регулярное, но пе нормальное пространство, гомеоморфпо подпространству компактного пространства (§ 1, предложение 3), а последнее нормально.
Отметим, наконец, что произведение двух нормальных про* страпств не обязательно нормально (см. упражнение 9 и § 5, упражнение 16).
Продолжение непрерывной числовой функции
Пусть Е и F — топологические пространства п Л — замкнутое множество в Е (отличное от 7?); не всегда возможно продолжить непрерывное отображение А в F до непрерывного отображения всего Е. в F. При F = R условие возможности такого продолжения дается следующей теоремой:
Теорема 2 (Урысон). Аксиома (Оу) равносильна следующему свойству.
(Оу) Каковы бы ни были замкнутое множество А в Е и непрерывная числовая функция (конечная или нет) }, определенная на А, существует продолжение g функции f на все пространство Е, являющееся непрерывным отображением Е в R.
Ясно, что (Оу) влечет (Оу). В самом деле, если В и С непере- секающиеся замкнутые множества в Е, то функция, равная 0 па В и 1 на С, определена и непрерывна на замкнутом множестве В (J С. Если / — непрерывное продолжение этой функции на Е, то функция g = inf (/+, 1) будет непрерывна на Е, принимать значения в (0, 1] и равна 0 на В и 1 на С.
Покажем, обратно, что (Оу) влечет (Оу); поскольку R и интервал [—1, 4-1] гомеоморфны, можно ограничиться случаем, когда/ есть непрерывное отображение Л в R, принимающее значения в [—1, -|-1]. Мы определим продолжение g функции /, образуя последовательность (gn) непрерывных функций па Е, для которой последовательность (gn (х)) будет сходиться в каждой точке к некоторому числу из интервала [—1, 4-1]; этот предел будет по определению значением g (я), и из выбора функций g^ будет следовать, что функция g удовлетворяет требуемым условиям.
Определение функций gn основывается на следующей лемме:
Лемма 1. Пусть и—непрерывное отображение замкнутого множества А с Ив [—1, 4-1]; существует, непрерывное отображение и пространства Е в [—1/3, 1/3] такое, что | и (х) — о (х) | ^ 2/3 для всех х g А.
В самом деле, пусть Н — множество тех х £ А, для которых .—1 ^ и (х) ^ —1/3, и К — множество тех х € А, для которых 1/3 ^ и (х) ^ 1; И и К замкнуты в Л, а значит ив Е, и не пересекаются; по (Оу) существует непрерывное отображение v про-
странства Е в [—1/3, 1/3], равное —1/3 на И и 1/3 на К; оно и удовлетворяет условиям леммы.
Определим теперь gn по индукции. Применив лемму к и — /, определим g0 как непрерывное отображение Е в ]—1/3, 1/3], для которого | / (ж) — g0 (ж) | ^ 2/3 на А. Предположим затем определенным непрерывное отображение gn пространства Е в интервал |—1 + (2/3)"+1, 1 — (2/3)n+1] такое, что | / (ж) — gn (ж) | ^ (2/3)n+1 на А. Применяя лемму к функции и (ж) — (3/2)n+J (/ (ж) — gn (ж)), убедимся в существовании непрерывного отображения Ип+1 пространства Е в интервал [—2"+1/3’'+а, 2п+1/Зп+2] такого, что
| / (ж) - gn (х) - hn+1 (х) I ^ (2/3)п+2
па А, и продолжим индукцию, положив gn+1 = gn -hAn+i; эта функция в силу определения /гп+1 действительно будет удовлетворять на Е неравенству | gn+1 (х) | ^ 1 — (2/3)п+2.
Из этого определения следует, что
I gm (ж) gn (ж) | 3p+2 2 ( 3 ) \ 3 ) ' ■ /i==0
для всех m ^ p, n ^ p и z E 5; отсюда прежде всего вытекает, что (^п (ж)) есть последовательность Коши и, следовательно, сходится к некоторой точке g (ж) интервала [—1, -|-1]; а так как / (ж) — gn (ж) стремится к 0 во всех точках из А при неограниченном возрастании п, то g действительно является продолжением / на Е. Остается убедиться в непрерывности функции g на Е.
Итак, пусть ж — произвольная точка из Е; каково бы ни было е > 0, существует п0 такое, что | gm (у) — gn (у) | ^ е для всех т 2? п0, п 2? п0 и у £ Е, и значит также, устремляя т к 4-со, что | g (у) — gn (у) | ^ е; пусть V — окрестность точки ж такая, что | gn (у) — gn (ж) | ^ е для всех у € И; тогда для всех у £V будем также иметь
I g (у) — g (ж) К I g (у) — £п Ш + I gn (У) — gn (ж) I +
' + I ^ М — gn (ж) I ^ Зе, что доказывает непрерывность g в точке ж и завершает доказательство (эта последняя часть рассуждения использует для частного случая понятие равномерной сходимости, которое будет определено в общем виде в § 1 главы X).
Следствие. Если f — конечная числовая функция, определенная и непрерывная на замкнутом множестве Л с: Е, то существует конечная числовая функция g, определенная и непрерывная на Е, продолжающая /.
Проведем сначала доказательство для случая, когда / (ж) ^ 0; тогда существует непрерывное продолжение gx функции / на Е, -1 принимающее значения в [0, + оо]. Множество В ■-- £i(+°°) замкнуто и в силу предположения не пересекается с А; поэтому функция /г, равная / на А и 0 на В, есть непрерывная функция на замкнутом множестве A \jB. Пусть g2 — ее непрерывное продолжение на Е, снова со значениями в [0, + оо|; тогда функция g = inf (gx, g2) будет непрерывным продолжением / на Е с конечными значениями ^0 во всех точках ив Е.
Чтобы перейти отсюда к общему случаю, достаточно заметить, что если / конечна и непрерывна на А, то то же справедливо для функций /+ и /"; пусть gx и gt — непрерывные конечные функции, продолжающие соответственно /+ и /~ па Е; тогда gx — g^ будет конечной непрерывной функцией, продолжающей / на Е.
Замечание. Если Е — нормальное пространство и /I — его . замкнутое подмножество, то существует также непрерывное продолжение на Е всякого непрерывного отображения / подпространства А в куб К1 (§ 1, п° 5); в самом деле, тогда / = (/L)iep где Д — непрерывное отображение А в компактный интервал К с: К; и так как существует непрерывное отображение gx пространства Е в К, про- .должающее Д, то отображение g = (g^ будет непрерывным продолжением / на Е.
Локально конечные открытые покрытия " замкнутого множества в нормальном
пространстве
В главе I, § 10, п° 12 2-го изд. (3-е изд., гл. 1, § 1, п° 5) было определено понятие локально конечного покрытия топологического пространства Е. Волос общим, образом, семейство (AXgj подмножеств множества Е называют локально конечным, если каждая точка х^Е обладает окрестностью V такой, что FQ^i =7^ 0 лишь для конечного числа индексов t € 1. Множество @ подмножеств множества Е называют локально конечным, если семейство
множеств, определенное тождественным отображепием © на себя, локально конечно.
Лемма 2. Объединение локально конечного семейства замкнутых подмножеств топологического пространства замкнуто в Е.
В самом деле, пусть (Л)^/ — локально конечное семейство замкнутых множеств в Е и х £ Е — точка прикосновения множества U Ff, она обладает окрестностью V, пересекающейся только с множествами ЕИ соответствующими индексам, принадлежащим некоторому коночному множеству U с I; отсюда следует, что х есть точка прикосновения замкнутого множества (J/’i, чем лемма и доказана.
Теорема 3. Пусть (Д)^ — локально конечное открытое покрытие замкнутого множества F в нормальном пространстве Е. Существует открытое покрытие (B^i^i множества F такое, что Bi с Ai для всех i Е 7.
Наделим. 7 структурой вполне упорядоченного множества (Теор. множ., гл. III, § 2, теорема 1) и определим с помощью трансфинитной индукции семейство фгХу открытых множеств в Е так, чтобы: 1° Bi а Лс для всех i Е I', 2° для каждого i Е 7 семейство, образованное всеми В^ у которых X ^ i, и всеми Ах, у которых X >• i, было открытым покрытием множества F. Предположим, что множества Bt определены для i < у так, что указанные два свойства имеют место для всех i < у, и покажем, что В^ можно определить так, чтобы эти свойства имели место и для i = у. Покажем сначала, что множества Ви у которых i <; у, вместе с множествами Д, у которых i ^ у, образуют покрытие множества F. По предположению, для каждого х Е F имеется лишь конечное число индексов X Е I таких, что х Е Ах; пусть это будут Х3 < Х2 < . . . < Хп, и пусть Xh — наибольшее из тех Хг, которые <у; если h < п, то х Е А Хп и Хп ^ -у; если h — п, то предпосылка индукции показывает, что х принадлежит некоторому В х, у которого ХДЛ< у; этим и доказана справедливость утверждения. Положим далее С — (С7г) U (|J ^t) U ((J Д); С открыто и, по 1<V i>v
сказанному выше, С-Д с: С', поэтому в силу аксиомы (Ov)
нормальных пространств, существует открытое множество V такое, что С^17 cz V cz V cz С. Положив Bv — С V, будем иметь У7 cz СЕ cz Л7 и S7UC = Е, так что множества Ви у которых t^y, вместе с множествами Аи у которых t > у, образуют покрытие множества F.
3 а м е ч а и и е. Отметим, что мы исполт.вовали только то, что покрытие (Ль) точечно конечно, т. е. что каждая точка из F принадлежит только конечному числу множеств Ли
Определение 2. Пусть Е — топологическое пространство и / — определенная на нем- числовая функция. 11 аименъшее замкнутое множество 8 в Е такое, что / (ж) = 0 на CS, называют носителем / и обозначают supp (/).
Другими словами, supp (/) есть замыкание в Е множества тех х 6 Е, для которых / (ж) ^ 0; можно еще сказать, что это — множество тех точек ж С Е, в каждой окрестности которых существует точка у, для которой / (у) ^= 0.
Пусть' (ААе/ — семейство конечных числовых функций, носители которых образуют локально конечное семейство; тогда сумма 2 ^ (ж) определена для каждого ж Г-Е (поскольку содержит лишь конечное число ненулевых членов); конечную числовую функцию ж *-* 2 А (ж) называют суммой семейства ^^ и обозна- «У
чают 5 А- Если каждая из функций Д непрерывна, то непрерывна
и функция / = S А; в самом деле, каждая точка ж £ Е обладает 1У
окрестностью V, пересекающейся лишь с конечным числом носителей функций А, и, следовательно, имеется конечное множество Н с:1 такое, что / (у) = 2 А (у) Для вссх У € V.
i£7I
Определение 3. Пусть (АДег— семейство подмножеств топологического пространства Е; говорят, что семейство (АХе/ числовых функций, определенных на Е, подчинено семейству (Л,)^, если supp (A) cz Av для каждого t £ I.
Непрерывным разложением единицы на Е называется всякое семейство (A)lei непрерывных числовых функций ^0 на Е таких, что их носители образуют, локально конечное семейство и v А (ж) = 1 для всех х ^Е.
Предложение 3. Для каждого локально конечного открытого покрытия (4t)i=/ нормального пространства существует подчиненное этому покрытию непрерывное разложение единицы Wdw на Е.
Применяя, теорему 3, рассмотрим, открытое покрытие (BO^i пространству Е такое, что BL с Аи для всех i С 7; очевидно, это покрытие локально конечно. По аксиоме (Оу) для каждого i £ 7 существует открытое множество С^ такое, что BL с Ct с С\ с АИ По аксиоме (Оу) для каждого i £ 7 существует непрерывное отображение gt пространства Е в {0, 1] такое, что gt (ж) = 1 наВИ а носитель gt содержится в С,, и, следовательно, в А^. Так как (ВО — покрытие пространства Е, то 3 & (ж) > 0 для каждого х £ Е\ положим А (ж) = gL (ж)/(2 gt ($)) для каждого i £ I и каждого х £ Е; тогда функции А образуют непрерывное разложение единицы, подчиненное покрытию (4^.
Следствие. Для каждого локально конечного открытого покрытия (4t)iei замкнутого множества F в нормальном пространстве Е существует семейство (j0i£i числовых функций ^0, определенных и непрерывных на Е, подчиненное покрытию (4t)l£i и такое, что 2 А (ж) — 1 для всех ж £ F и 5 А (ж) ^ 1 для всех l£7lg/
х Е.
В самом деле, семейство множеств, состоящее из всех At и CF, является локально конечным открытым покрытием пространства Е. Поэтому существует подчиненное ему непрерывное разложение единицы, образованное семейством (A)ier таким, что swpp' (A) с ^i Для всех 1 Е 7, и функцией g с носителем, содержащимся в CF; ясно, что семейство (J0 и обладает требуемыми свойствами.
Пара компактные пространства
Напомним (гл. I, 2-е изд., § 10, и° 12; 3-с изд., § 9, п° 10), что топологическое пространство Е называется паракомпиктным, если оно отделимо и для каждого открытого покрытия Е существует мажорирующее его локально конечное открытое покрытие.
Предложи ни к 4. Всякое паракомпактное пространство нормально.
Это предложение вытекает из следующей леммы:
Лемма 3. Пусть А и В — непересекающиеся замкнутые множества в паракомпа ктном пространстве Е. Если для каждого х £ А существуют непересекающиеся открытая окрестность 1Д точки х и открытая окрестность Wx множества В, то существуют непересекающиеся открытые окрестности, Т и U множеств А и В.
В самом деле, предположим, что лемма доказана; так как Е отделимо,, то она применима к случаю, когда В одноточечно, и показывает тогда, что Е регулярно. Снова применяя затем лемму 3 уже к произвольным двум непересекающимся замкнутым множествам в Е, убедимся в справедливости аксиомы (Оу)-
Для доказательства леммы рассмотрим открытое покрытие пространства Е, состоящее из С-4 и указанных в лемме окрестностей Vx, где х пробегает А; пусть (T^i — мажорирующее его локально конечное открытое покрытие; по определению, если Л f) Tt ^= 0, то существует ад £ Л такое, что 7\ с 1^. Пусть Т — объединение всех ТИ для которых А П Л -Л 0» и, значит — открытое множество; покажем, что существует открытая окрестность U множества В, но пересекающая Т. В самом деле, каждая точка у £ В обладает открытой окрестностью 8М, пересекающейся лишь с конечным числом множеств Тр пусть J — конечное подмножество множества /, образованное томи индексами I, для которых Ту, пересекает одновременно 8Р и А; тогда множество U,, • - S„ П f3 Wx будет открытой окрестностью точки у, не пересекающей ни одного 7\, для которого А П Tv ^= 0, и, значит, U„^T — 0. Для завершения доказательства остается положить U — ^J Uy.
Hi В
Можно привести примеры нормальных пространств, не являющихся паракомпактными (упражнение 10).
Следствие. Для каждого открытого покрытия (XJiez пара- компактного пространства Е существует подчиненное ему непрерывное разложение единицы (ДДс/ на Е.
В самом деле, пусть (.U^x^l — локально конечное открытое покрытие, мажорирующее (Л^г; тогда существует отображение ср множества L в I такое, что Ux с ^4<p(M для всех X £ L. Согласно предложениям 3 и 4 существует непрерывное разложение единицы (gOxeb, подчиненное (U0; для каждого i £ I положим А — У gXl где сумма имеет смысл и непрерывна, поскольку <H?.h=i
посители функций gx образуют локально конечное семейство; кроме того, объединение Bt носителей тех gxi для которых ср (X) = = г, замкнуто (лемма 2) и содержится в Л/, поскольку Д (ж) — 0 при х ^ СВи носитель функции fv содержится в ВИ а значит и в Лг С другой стороны, семейство (7?t) локально конечно, ибо для каждой точки х £ Е имеются ее окрестность V и конечное множество Н cL такие, что 7Q Ux = 0 для всех X 5 Н, откуда следует, что BQBt = 0 для всех i $ <р (77). Наконец, для всех х £ Е имеем
1 = 5^ (»)=5 ( S gx ^ = S A к$\Х^Гл^£1 ф(^*)—**IE/
чем доказательство следствия и завершается.
Предложение 5. Всякое замкнутое подпространство F паракомпактного пространства Е паракомпактно.
В самом деле, F отделимо. С другой стороны, пусть (ТД) — открытое покрытие пространства F; каждое Vt имеет вид Vt = = Ut П F, где Uv — открытое множество в Е. Рассмотрим открытое покрытие ЭД пространства Е, образованное множеством CF и всеми Uv; существует локально конечное открытое покрытие ЭД' пространства Е. мажорирующее ЭД, и следы па F множеств из ЭД' образуют локально конечное открытое покрытие пространства F, мажорирующее данное покрытие (Vt).
Напротив, открытое подпространство компактного пространства может не быть паракомпактным, и даже нормальным (упражнение 266) и § 5, упражнение 15)..
7 н. Бурбаки
Следствие. Всякая окрестность замкнутого множества F в паракомпактном пространстве Е содержит замкнутую (и, следовательно, паракомпактную') окрестность этого множества.
Это вытекает из предложений 4 и 5 и аксиомы (Оу).
Предложение 6.. Произведение паракомпактного пространства и компактного пространства паракомпактно.
Пусть Е — паракомпактное пространство, К — компактное пространство и 3? — открытое покрытие их произведения. Для каждой точки (ж, у) € Е X К существуют открытая окрестность V*,y точки х в Е и открытая окрестность Wx,y точки у в К, произведение которых УЯ| ?/ X Wx, у содержится в некотором множестве из 9?. Для каждого х g Е множества WXiti, где у пробегает К, образуют открытое покрытие пространства К*, следовательно, в К существует конечное число точек yt (1 ^ i ^ п) таких, что уже множества WK, yt образуют открытое покрытие пространства К.
п
Положим Ux = Q УЯ1 уА каждое из открытых множеств t=t
U* X WX1 yt (1 ^ i ^ п) содержится в некотором множестве из 3?. Пусть тогда (T^tgi — локально конечное открытое покрытие пространства Е, мажорирующее покрытие, образованное множествами Ux (х € ^)« и xv для каждого i £ I есть точка из Е, для которой Ту, с UXJ обозначим через Sl>h множества Wx, Ук (1 ^ 7с ^ п,), отвечающие этой точке. Ясно, что множества Ту, X X ^ и (t С I, 1 ^ 7с ^ nL для каждого i € I) образуют открытое покрытие произведения Е X К, мажорирующее Ж; покажем, что это покрытие локально конечно. В самом деле, для каждой точки (я, у) £ Е X К существует окрестность Р точки х, пересекающаяся лишь с конечным числом множеств Та окрестность Р х К точки (ж, у) будет тем более пересекаться лишь с конечным числом множеств вида Ту, X 8цк.
Напротив, произведение двух пара компактных пространств может не быть паракомпактным, и даже нормальным (§ 5, упражнение 16).
Параком-пактност-ъ метризуемых -пространств ■
Следующая теорема уточняет предложение 2:
Теорема 4. Всякое метризуемое пространство паракомпактно.
Эта теорема вытекает из следующих четырех лемм. ■
Лемма 4. Пусть] 9t = (^а)ае1л — открытое покрытие мет- ризуемого пространства Е. Существует последовательность (бп), обладающая следующими свойствами: 1° каждое Sn есть локально конечное семейство открытых множеств из Е; 2° S = U @„ п является открытым покрытием пространства Е, мажорирующим Ж.
В самом деле, пусть d — расстояние, согласующееся с топологией пространства Е. Для каждого а £ Л и каждого целого п обозначим через Епа множество тех точек х £ Ua, для которых d(x, Е—(7а)^2-п; так как Е—Ua замкнуто, то t/a —(J/'na- 71 Наделим Л структурой вполне упорядоченного множества; пусть Спа для каждого а £ Л и каждого целого п означает множество всех точек х g Fna таких, что х ^ ^„+1. Р Ддя каждого 0 < а; наконец, пусть Vna есть множество тех точек у £ Е, для которых d кУ' 6па) < 2 ”"“8. Очевидно, F„a открыто. С другой стороны, так как для каждого у 5 Рп« существует х £ Gna такое, что d (ж, у) < 2~п-1, то Vna cz'Ua; поскольку х £ Fna, имеем
; d (у, Е — Ua) > d (х, Е — и») — d (х, у) > 2-п-\ откуда у £ Ua. Обозначим далее для каждого х £ Е через а наименьший индекс из Л, при котором ж £ Ув; тогда существует целое п, для которого х С Епа, и из определения а вытекает, что* вместе с тем х£ Gna, так что ж С Fna. Это показывает, что если положить <Э„ = (Fna)aeAf то S = Ц| gn будет открытым покры- "п■.
тием пространства Е, мажорирующим 9?. Остается доказать, что- каждое семейство ®п локально конечно. Для этого покажем сначала, что d (Gna, Gnp) ^: 2“"-1 при а Ф 0. В самом деле, предположим, 7*
что р -< а; пусть х Е Gna и у Е Еп^; по определению х $ Fn+1,p; следовательно, d (х, Е — U^ < 2-""1 и d (у, Е — U^) "^ 2-п, откуда d (ж, у) ^ 2"”"1; поскольку Gnp с Епр, заключаем, что
d(Gna, ^) >2-”-Ч
Из определения множеств Vna и Упр сразу видно теперь, что d (Пп«, Fnp) ^ 2-п~2. Из этого последнего неравенства вытекает, что открытый шар радиуса 2“п_3 с центром в любой точке z Е Е может пересекаться не более чем с одним из множеств семейства <уп, и тем самым — что это семейство локально конечно.
Лемма 5. Пусть (0П) — последовательность локально конечных семейств открытых подмножеств топологического пространства Е и ® = (J Sn — покрытие пространства Е. Тогда суще- п
ствует локально конечное (не обязательно открытое) покрытие 98 пространства Е, мажорирующее &.
В самом деле, пусть Еп — открытое множество в Е, являющееся п объединением всех множеств из ®„; положим Un — JJ Eh и Ап =
= Un— Un_i (UQ — 0). Покажем, что множества УПЛК, где, п — произвольные целые, а У Е @п, образуют требуемое покрытие S3. Поскольку множества Дп образуют покрытие пространства Е, для каждого х £ Е существует целое п такое, что х £ Ап; тогда х Е Еп и существует V Е ©п такое, что х £ V; таким образом. ®Е ИПЛП и совокупность 88 всех множеств УПЛ„ является покрытием пространства Е. Очевидно, оно мажорирует ©. С другой стороны, для каждого х Е Е существует целое п такое, что ® € Un, так как UH открыто, a Sm — локально конечные семейства, то для каждого т существует окрестность Wm точки х, содержащаяся в Еп п пересекающаяся лишь с конечным числом ■множеств из 0т; тогда окрестность W = Q Wm точки х будет 771—1
■пересекаться лишь с конечным числом множеств из 96, поскольку W П АГ = 0 для р > п. Это показывает, что 96 локально конечно, и завершает доказательство леммы.
Лемма 6. Пусть Е—регулярное пространство, обладающее тем свойством, что для каждого его открытого покрытия 91 суще-
ствует локально конечное (не обязательно открытое) покрытие, мажорирующее 31. Тогда Оля каждого открытого покрытия 31 пространства Е существует локально конечное замкнутое покрытие 5, мажорирующее 31.
В самом деле, пусть 31 — открытое покрытие Е. Для каждого х € Е существует открытое множество U € 31, содержащее, х, а значит, поскольку Е регулярно,— открытая окрестность l v точки х такая, что Уж с: U. Множество 93 всех Vx является открытым покрытием пространства Е и, следовательно, по предположению, существует локально конечное покрытие 3\ мажорирующее 93; пусть ?V — совокупность вамыкапий множеств из 33. Так как покрытие 93', образованное множествами Уж, мажорирует 31, а ^ мажорирует 93', то ^ есть замкнутое покрытие, мажорирующее 31. С другой стороны, % локально конечно, ибо если некоторое открытое множество не пересекается с множеством В £ 9S, то оно не пересекается также с ого замыканием В.
Лемма 7. Пусть Е — отделимое пространство, обладающее тем свойством, что для каждого его открытого покрытия 31 существует локально конечное замкнутое покрытие ^, мажорирующее 31. Тогда Е паракомпактно.
Пусть 31 — открытое покрытие пространства Е; требуется доказать существование локально конечного открытого покрытия пространства Е, мажорирующего 31. Пусть 31 — локально конечное покрытие пространства Е (замкнутое или пет), мажорирующее 31, и Wx для каждой точки х g Е ее открытая окрестность, пересекающаяся лишь с конечным числом множеств из 31. Множество 933 всех Wx является открытым покрытием пространства Е; пусть % — локально конечное замкнутое покрытие пространства Е, мажорирующее 933, далее UA для каждого Л € 31 — множество из 31, содержащее А, и С а — объединение всех множеств Г Е %, для которых А П Г = 0. Поскольку % локально конечно, Сд замкнуто в Е (лемма 2) и, следовательно, А' =
UA№—С а) открыто. Так как А П СА = 0 и Ас ил, то А с А', и множество ЗГ всех А' при А, пробегающем 31, является открытым покрытием пространства Е; при этом, поскольку A' cUA €31, 31' мажорирует 31. Остается показать, что 31' локально конечно. Каждая точка х € Е обладает окрестностью Т,
пересекающейся лишь с конечным числом множеств из 5; пусть Ft (1 ^ г ^ п) — эти множества. Поскольку Fi содержится в некотором множестве вида WVj, оно, по определению, пересекается лишь с конечным числом множеств из Я; пусть А^— эти последние (1 ^ / ^ «г). Если А — множество из 91, отличное от всех At) (1 ^ г ^ п, 1 ^ / ^ s^, то, как следует из определений, А1 не пересекается ни с одним из_^г и потому не пересекается с А
Т с: (J Ft. Этим доказательство завершается.
Упражнения
а) Топологическое пространство, удовлетворяющее аксиомам (Q) (гл. I, 2-о изд., § 6, упражнение 5; 3-е изд., § 8, упражнение 1) и (Оу), нормально.
Построить топологическое пространство, состоящее из четырех точек, удовлетворяющее аксиоме (Оу), но не удовлетворяющее аксиоме (Оцг)-
Для того чтобы топологическое пространство Е, удовлетворяющее аксиоме (Оу), удовлетворяло также аксиоме (Ощ), необходимо и достаточно, чтобы оно обладало следующим свойством: всякое замкнутое множество в Е является пересечением своих окрестностей.
* Тогда Е равномеризуемо, а вполне регулярное пространство, ассоциированное с Е (§ 1, упражнение 4), нормально.
Если топологическое пространство удовлетворяет аксиомам (С) и (Ош), то оно удовлетворяет и аксиоме (Оу), а ассоциированное вполне регулярное пространство компактно.
Пусть Е — топологическое пространство, удовлетворяющее аксиоме (Оу).
Показать, что отношение Д: {ж) Q {у} Ф ^ между точками я, у из Е равносильно отношению Д': «/ (г) = / (у) для каждой непрерывной числовой функции / на Е», и вывести отсюда, что Д есть отношение эквивалентности в Е.
Показать, что факторпространство F = Д/Д нормально и что всякая непрерывная числовая функция / на Е может быть записана в виде / -- # ° <р, где g — непрерывная числовая функция па F, а ф — каноническое отображение Е па F.
В топологическом пространстве Е следующие свойства равносильны:
всякое подпространство пространства Е удовлетворяет аксиоме <Оу);
всякое открытое подпространство пространства Е удовлетворяет аксиоме (Оу);
для всякой пары множеств А, В из Е таких, что
А П В = В П А=0,
существуют непересекающиеся открытые множества U, V такие, что А с U и В с: V.
Топологическое пространство Е называется вполне нормальным, если опо отделимо и обладает указанными свойствами. Всякое метри- зуемое пространство вполне нормально. Компактное пространство не обязательно вполне нормально.
4) Всякое совершенно упорядоченное множество Е, наделенное какой-либо из топологий З'а-(Е'), З'.ЛЕ') (гл. I, 2-е изд., § 1, упражнение 3; 3-е изд., § 2, упражнение 5), вполне нормально. [Пусть А и В — такие множества из Е, что А П В = В fl А = ^С; определить для каждой точки х С А ее окрестность Vx и для каждой точки у £ В ее окрестность Wy так, чтобы Vx П W„ = $2$, каковы бы пи были х 6 А и у £ 5.)
*5) Всякое совершенно упорядоченное множество Е, наделенное топологией ^(Е) (гл. I, 2-е изд., § 1, упражпотге 3; 3-е изд., § 2, упражнение 5), вполне нормально. [Рассмотреть прежде всего случай, когда Е компактно; с помощью упражнения 6 § 2 гл. IV показать сначала, что всякое открытое множество в Е есть объединение- некоторого множества попарно пепересекающихся открытых интервалов; использовать этот результат для доказательства высказанного предложения, рассматривая (в обозначениях упражнения 3) дополнение замкнутого множества А П В, а затем дополнение множества В; для перехода к общему случаю с произвольным Е использовать упражнение 7 §4 гл. - IV.]
*6) Показать, что в нормальном пространстве Е всякое подпространство F, являющееся счетным объединением замкнутых множеств, нормально. [Пусть А и В — непересекающиеся замкнутые множества в F, a F — объединение возрастающей последовательности (.F^ замкнутых множеств в Е. Определить по индукции последовательности (.U^ и (Vn) открытых множеств в Е так, чтобы: 1) Un П Fn и Vn П Fn не пересекались; 2) <7 П Fn содержало А П Fn и все множества Uj П Ft (1 i п), a Vn fl Fn содержало В П Fn и все множества V; f] F^ (1 ^ i ^ re).]
7) Топологическое пространство Е называется совершенно нормальным, если оно нормально и всякое ого замкнутое подмножество есть пересечение счетного семейства открытых множеств (или, что то же, всякое открытое множество в Е есть объединение счетного семейства замкнутых множеств).
Для того чтобы отделимое пространство Е было совершенно нормально, необходимо и достаточно, чтобы для каждого его замкну-
того множества Л существовала . непрерывная числовая функция / -1
на А', для которой / (0) = Л. [Метод упражнения 16а) § 1.]
Показать, что всякое совершенно нормальное пространство вполне нормально и что всякое его подпространство совершенно нормально. [Использовать упражнения .36) и 6.]
Всякая полунепрерывная снизу числовая функция на совер- шеипо нормальном пространстве является верхней огибающей некоторой последовательности непрерывных функций. [Метод, использованный в доказательстве предложения 11 § 2.J
Компактное пространство Е, получаемое присоединенном бесконечно удаленной точки к несчетному дискретному пространству, вполне нормально, по не совершенно нормально; всякое его подпространство паракомпактно.
*8) Показать, что неметризуемое компактное пространство Е, определенное в упражнении 13а) § 2, совершенно нормально, а иемет- ризуемое компактное пространство F, определенное в упражнении 13г) § 2, вполне нормально, но не совершенно нормально.
■ *9) а) Пусть Е — парикомпактпое пространство, каждая точка которого обладает счетной фундаментальной системой окрестностей, и F — полукомпактпое нормальное пространство (§ 2, упражнение 14). Показать, что произведение Е X F нормально. [Пусть А и В — непе- ресекающиеся множества, замкнутые в Е X F. Рассуждая от противного, показать, что дли каждой точки х б Е существуют ее окрестность Ux в Е и два открытых множества Vx, Wx в 7 такие, что Ух П И^ = $2$ и A (z) с Vx, В (z) ст Wx для каждого z g Ux. Пусть (Тд)^ — локально конечное открытое покрытие пространства Е, мажорирующее (^^д, и (/^) — рааложение единицы, подчиненное (7\); пусть далее х (X) для каждого X £ А таково, что Т^ с иха>,
11 Ик — непрерывное отображение F в [0, 1 ], равное 0 на Ух<^> 11 1 на ^(Х)! рассмотреть на Е X F функцию ^ к к) Ик (</)•]
к
Пусть F = [а, Ь[ — локально компактное пространство, опре- делештое в упражнении 22 § 10 гл. I 2-го изд. (3-е изд., гл. I, § 9, упражнение 12), и Е = [«, 6]— компактное пространство, полученное присоединением к F бесконечно удаленной точки; F нормально (упражнение 4) и полукомпактно (§ 2, упражнение 15), по произведение Е X F не нормально. [Использовать упражнение 12 § 4 гл. II 2-го изд. (3-е изд., гл. II, § 4, упражнение 4).]
*10) Пусть L — несчетное множество; рассмотрим вполне регулярное пространство Е = N^ (где N наделено дискретной топологией). Пусть А (соотв. В) — множество, образованное всеми х = (х (Х)),^ из Е такими, что для каждого целого к -^ 0 (соотв. к Ф 1) множество тех X £ А, для которых х (X) = к, содержит хотя бы один элемент.
Показать, что Л и В замкнуты и Е и вс пересекаются.
Пусть U и V — открытые множества в Е такие, что A a U, В ел V. Обозначим через Ф совокупность всех элементарных множеств в Е (гл. I, 2-е изд., § 8, п° 1; 3-е изд., § 4, n° 1), проекции которых, отличные от N, одноточечны, и И (И7) для каждого W £ Ф означает множество тех X f L, для которых рг^ (W) одноточечно. Показать, что существуют последовательность (z„) точек пз Л, последовательность ^U^ множеств пз <!>, последовательность (Хп) попарно различных элементов пз В и строго возрастающая последовательность (m (в))П£к целых чисел, обладающие следующими свойствами: 1) Un с с: U есть окрестность точки а„; 2) И (Un} есть множество тех Х^, для которых к С т (п); 3) т0 (X) = 0 для каждого X б L и каждого я > 0, хп (A/J = к для к ^ т (п — 1) и хп (X) = 0 для остальных X CL-
Пусть ;/ — точка из В такая, что у (Хд) = к для каждого целого к и у (X) = 1 для всех X £ L, отличных от Х^. Пусть Vo с V — множество из Ф, содержащее у, и п — целое число такое, что Х^ £ L —//(По) для каждого к > т (п). Показать, что UnAi Л Vo ^ 0, и вынести отсюда, что Е не нормально.
И) Вывести из упражнения 10, что:
Если произведение JJ Е^ отделимых пространств нормально,
то Et полукомпактны (§ 2, упражнение 14) для всех индексов, кроме не более чем счетного их множества.
Для того чтобы произведение JJ Et мотризуемых пространств iei
было нормально, необходимо и достаточно, чтобы Ev были компактны для всех индексов, кроме по более чем счетного их множества; и тогда произведение паракомпактпо.
) Пусть Е и F — отделимые пространства.
Предположим, что в Е существует замкнутое множество Л, не являющееся пересечением никакого счетного семейства открытых множеств, а в Г существует счетно-бесконечное незамкнутое множество В. Пусть b £ В —В. Рассмотрим в Е X F множества С ~ Л X В и D = = (Е — Л) X (Ь). Показать, что С П В = С П В = 0, но в Е X F не существует никакой пары (17, V) открытых множеств, для которой бы С с: U, D с V и U f| V = 0.
Для того чтобы Е X F было вполне нормально, необходимо, чтобы одно из пространств Е, F было совершенно нормально или чтобы в одном из пространств Е, F всякое счетно-бесконечное множество было замкнуто (см. § 5, упражнение 16).
Пусть Е = [а, Ь] — несчетное вполло упорядоченное множество- такое, что [а, ж[ счетно при всяком ж < Ъ. Наделим Е топологией, п которой (ж) открыто для каждого х < Ь, а интервалы ]к, 6] (где-
я < Ь) образуют фундаментальную систему окрестностей точки Ь. Показать, что Е X Е вполне нормально, ио Е не совершенно нормально.
Показать, что всякое компактное пространство Е, для которого Е X Е X Е вполне нормально, метризуомо. [Использовать теорему 1 § 2.]
3) Пусть (Et)ieI — несчетное семейство отделимых топологических пространств, каждое из которых имеет по крайней мере две различные точки. Пусть такими точками в Et для каждого i из I будут аи Ьи и F — подпространство пространства Е = jj£t, образованное теми точками'/ж,)^, у которых xt = at для всех индексов, кроме не более чем счетного их множества; пусть Ъ — точка (bj из Е.
Рассмотрим в произведении Е X F диагональ А множества F X F и множество В = {Zj} X F. Показать, что А и В замкнуты и в Е X F не существует никакой пары открытых множеств U, V, для которой А с U, Bc:VhUQV=j^, [Пусть U и V — открытые множества такие, что А с U и В а Г; показать, что существует возрастающая последовательность (Яп) не более чем счетных подмножеств множества I такая, что если хп есть точка из F, у которой каждая координата с индексами i б Нп равна bt, а каждая координата с индексами i Яп равна аи то точка (яп+1, яп) принадлежит V для каждого целого п; доказать, что последовательность (япц, яп) стремится к некоторой точке из Л, и вывести отсюда, что U П V Ф ^.j
Получить с помощью этого результата пример связного топологического кольца, которое не являлось бы нормальным.
Вывести также, что произведение несчетного семейства отделимых топологических пространств, каждое из которых имеет по крайней мере две различные точки, не может быть вполне нормально. [Использовать предыдущий результат для случая, когда все Е^ совпадают с дискретным двухточечным пространством.)
' ■ 14) Пусть Е — отделимое не нормальное пространство, А и В — . непересекающиеся замкнутые множества из Е, для которых не сущо-
■ствует непересекающихся открытых множеств U, V, удовлетворяющих -отношениям Ac U, В а Г, и В — отношение эквивалентности в Е, классами эквивалентности которого служат множество А, множество В и множества {я}, где х пробегает С (Л U BY Показать, что график •отношения В в Е X Е замкнут и отношение Я замкнуто, но фактор- пространство Е/В неотделимо (см. гл. I, 2-е изд., § 9, теорема 2; 3-е изд., § 8, предложение 8).
а) Пусть Е — нормальное пространство и Я — замкнутое отношение эквивалентности в Е. Показать, что факторпрострапство Е/В нормально. [Использовать предложение7 § 9 гл. 1,2-гоизд. (3-еизд., гл. I, § 5, предложение 10).]
Пусть Е — локально компактное пространство, счетное в бесконечности, и R — отношение эквивалентности в Е, график которого замкнут в Е X Е. Показать, что Е/R нормально. [См. гл. I, 2-е изд., § 10, упражнение 15 (3-е изд., § 10, упражнение 19).]
Пусть Е — дополнение в R множества точек вида' 1/н, где п пробегает все целые числа, отличные от 0 и ±1. Рассмотрим в мотри- зуемом пространстве Е отношение эквивалентности R, класс которого для каждого не целого х £ Е состоит из точек я и 1/я, а класс каждого целого х — только из ж. Показать, что R открыто и имеет замкнутый график в Е X Е, но Е/R ие регулярно.
Для каждого покрытия 9t топологического пространства Е обозначим через У^ объединение множеств U X U, где U пробегает St Открытое покрытие 91 пространства Е называется однообразным, если в произведении Е X Е существует окрестность W диагонали Д такая, что покрытие, образованное множествами W (я), где х пробегает Е, мажорирует 91. 91 называется делимым, если в Е X Е суще-2
ствует окрестность W диагонали Д такая, что W с Г^.
Показать, что всякое однообразное открытое покрытие пространства Е делимо (см. упражнение 196)).
Пусть 91 — открытое покрытие пространства Е, мажорируемое некоторым замкнутым локально коночным покрытием <5 этого пространства. Показать, что 91 однообразно. [Пусть Uа для каждого Л £ @ есть некоторое множество из 91, содержащее Л, и Va — объединение открытых подмножеств UA X Ua и (£ — Л) X (Е — Л) пространства Е X Е; рассмотреть множество JV= Ка-1
*17) а) Для того чтобы всякое конечное открытое покрытие топологического пространства Е было делимо (упражнение 16), необходимо, чтобы Е удовлетворяло аксиоме (Оу). [Рассмотреть бинарное (т. е. состоящее из двух множеств) открытое покрытие пространства /?.] Обратно, если Е удовлетворяет аксиоме (Оу), то всякое его конечное открытое покрытие однообразно. [Использовать теорему 3 (которая применима, поскольку Е удовлетворяет (Оу)) для сведения к случаю бинарного покрытия и затем для исследования этого случая.] Когда 91 пробегает всевозможные конечные открытые покрытия пространства Е, множества К^ образуют фундаментальную систему окружений некоторой равномерной структуры в Е, согласующейся с его топологией и называемой «равномерной структурой конечных открытых покрытий».
Пусть Е нормально; показать, что равномерная структура 7/ конечных открытых покрытий совпадает со слабейшей равномерной структурой ЧГ, для которой равномерно непрерывны непрерывные
отображения Е в [0, 1 ] (т. о. с равномерной структурой, индуцируемой и Е из его компактификации Стоуна — Чеха (§ 1, упраяпюине 7). [Чтобы убедиться в том, что It* мажорирует ®, образован, с помощью теоремы 3 и аксиомы (Оу) конечное семейство отклонений иа Е вида (ж, у) у* [/($) — / (у) I так, чтобы всякое окружение равномерной структуры, определенной этими отклонениями, содержалось в некотором окружении равномерной структуры #.]
Пусть Е — нормальное пространство, Е— его компактификация Стоуна— Чеха и F для каждого замкнутого множества F из Е — его замыкание в Е. Показать, что непрерывное отображение компактификации Стоуна — Чеха F пространства F в F, продолжающее тождественное отображение F в себя, является гомеоморфизмом. [Использовать б) или непосредственно теорему 2 и универсальное свойство пространства Г.] Показать, что, каковы бы пи были замкнутые множества F, С в Е, F П У = Е ПС в Е. [Предполагая, что z0 ^ F П G и ж0 Е F, рассмотреть замкнутую окрестность V точки $0 в Е, для которой V П Е и G — пеперосскающиеся замкнутые множества в 2?.]
8) Семейство (Ла) подмножеств топологического пространства В называется дискретным, если каждая точка г £ Е обладает окрестностью, пересекающейся не более чем с одним ил множеств /1а. Отделимое пространство Е называется коллективно нормальным, если для каждого дискретного семейства (Ла) замкнутых множеств н Е существует семейство (t7a) попарно неиересекающихся открытых множеств таких, что Иа с Ua для всех а. Всякое коллективно нормальное пространство нормально.
Для того чтобы каждое открытое покрытие вполне регулярного пространства Е было делимо (упражнение 16), необходимо и достаточно, чтобы множество всех окрестностей диагонали А в Е X Е было фильтром окружений утпзерсалыюй равномерной структуры в Е (§ 1, упражнение 5). Показать, что если это условие выполнено, то Е коллективно нормально. [Пусть (Ла) — дискретное семейство замкнутых множеств в Е; рассмотреть открытое покрытие (Ка), где Уа = " ” U ^Р Ддя каждого а.)
PV^oc
Пусть Г = fa, Ь[ — локально компактное простраистпо, определенное в упражнении 22 § 10 гл. I 2-го изд. (3-е изд., гл. I, § 9, упражнение- 12), Ео — множество F, падслепное дискретной топологией, и G — множество Fo U (Ь}, падслепное топологией, в которой каждая точка вв Го образует открытое множество, а множества фг, Ь], где ж пробегает Fo, образуют фундаментальную систему окрестностей точки 6. Показать, что пространство Е = F X G коллективно нормально. [Заметить, что в F пет бесконечных дискретных семейств подмножеств, и использовать упражнение 4.) Пусть 91 — открытое
покрытие пространства Е, состоящее из F X Fo и произведений (а, .т] х ] х, 4] (ж < 6): показать, что Ж неделимо и, следовательно, множество всех окрестностей диагонали А в Е X Е не является фильтром окружений никакой равномерной структуры и Е. [Использовать упражнение 22а) § 10 гл. I 2-го изд. (3-е изд., § 9, упражнение 126)).]
9) а) Для того чтобы регулярное пространство Е было паракомпактно, необходимо и достаточно, чтобы всякое ого открытое покрытие было однообразным (упражнение 16). [Для доказательства необходимости использовать лемму 6 и упражнение 166). Для доказательства достаточности использовать упражнение 16а) § 4, предложение 2 § 1 н теорему 4 § 4.]
Дать пример делимого не однообразного покрытия коллективно нормального, но не паракомпактпого пространства. [Использовать а) и упражнение 12 § 4 гл. II 2-го изд. (3-е изд., § 4, упражнение 4).]
Показать, что паракомпактное пространство Е полно в своей универсальной равномерной структуре (§ 1, упражнение 5). [Если •фильтр Коши $ относительно этой структуры не имеет точки прикосновения, то всякая точка а £ Е имеет открытую окрестность Fx, не пересекающуюся хотя бы с одним множеством из Л. Использовать затем а) и упражнение 18а).]
а) Для того чтобы регулярное пространство Е было параком- пактпо, достаточно, чтобы для каждого его открытого покрытия 9? существовала последовательность (<эп) локально конечных семейств, .для которой <S = ^J Sn являлось бы открытым покрытием простран- п
•ства Е, мажорирующим Ж. [См. леммы 5, 6 и 7.]
Вывести из а), что в паракомпактпом пространстве объединение всякого счетного семейства замкнутых множеств есть паракомпактное подпространство (см. § 5, упражнение 15).
Пусть Е — регулярное пространство и <? — локально конечпое ■семейство замкнутых множеств, являющихся паракомпактными подпространствами пространства Е. Показать, что объединение всех множеств из $ есть паракомпактиое подпространство пространства Е. 1И с пользовать лемму 7. См. § 5, упражнение 15.]
Показать, что произведение наракомпактного пространства Е и регулярного пространства Г, являющегося объединением счетного ■семейства своих компактных подмножеств, паракомпактно. [Погрузить F в его компактификацию Стоуна -- Чеха и использовать б). См. § 5, упражнение 16.]
1) а) Пусть Е — паракомпактиое пространство и R — замкнутое отношение эквивалентности в Е такое, что всякий класс экви- иалентпости по R компактен. Показать, что EiR паракомпактно. •[Использовать упражнение 15а), теорему 3 и лемму 7. См. упраж- .нение 15в).]
Пусть Е — отделимое пространство и R — замкнутое отношение эквивалентности в Е такое, что всякий класс эквивалентности по R компактен. Показать, что если Е/R паракомпактно, то Е паракомпактно. [Рассуждать, как в доказательстве предложения 6.]
Пусть F — не паракомпактное локально компактное пространство (см. гл. I, 2-еизд., §10, упражнение 22; 3-еизд., §9, упражнение 12), Fo — компактное пространство, полученное присоединением к F бесконечно удаленной точки, Е — топологическая сумма пространств F и Fo, R — отношение эквивалентности, отождествляющее всякую точку из F с ее каноническим образом в Fo. Покапать, что отношение R открыто, всякий класс эквивалентности по R содержит не более двух точек, a EIR гомеоморфно Fo и, следовательно, компактно.
2) Для того чтобы регулярное пространство Е было метризуемо, необходимо и достаточно, чтобы в нем существовала последовательность (53п) локально конечных семейств открытых множеств такая, что SB = ^J S8n — базис его топологии. [Для доказательства необ- п
ходимости условия воспользоваться леммой 4. Для доказательства достаточности показать сначала с помощью лемм 5, 6 и 7, что Е паракомпактно. Для каждой пары тп, п целых чисел и каждого U С ®т обозначим через U' объединение множеств V £ ®п таких, что V с U; показать, что U1 с U. Пусть )и —• непрерывное отображение Е в [0, 1], равное 0 на Е — U и 1 на V, и
dmnfc. у)= S l/uW-Zy (у)|;
показать, что отклонения dmn определяют топологию в £.] («Теорема Нагота — Смирнова»1). В частности, всякое регулярное пространство со счетным базисом метризуемо.
23) Топологическое пространство Е называют линделефовским, если всякое его открытое покрытие содержит счетное подпокрытие. Всякое пространство, обладающее счетным базисом, линделефовское; всякое квазикомпактное пространство (гл. I, 2-е изд., § 10, упражнение 23; 3-е изд., § 9, n° 1) линделефовское.
Всякое замкнутое подпространство линделефовского пространства есть линделефовское пространство. Для каждого непрерывного отображения / линделефовского пространства Е в топологическое пространство Е' подпространство / (£) последнего — линделефовское.
Всякое отделимое пространство, являющееся объединением счетного семейства компактных множеств,— линделефовское.
Всякое регулярное линделефовское пространство паракомпактно. [Использовать упражнение 20а).]
Произведение линделефовского пространства и компактного пространства есть линделефовское пространство. [Рассуждать, как при доказательстве предложения 6; см. § 5, упражнение 16.]
4) а) Пусть Е — метризуемое пространство, R — замкнутое отношение эквивалентности в Е такое, что всякий класс эквивалентности по R компактен. Показать, что Е/R метризуемо. [С помощью теоремы Нагата — Смирнова (упражнение 22) доказать аналог леммы 4 для открытых покрытий пространства Е, состоящих из насыщенных по R множеств; принять за Ена наибольшее насыщенное открытое множество, содержащееся в множестве тех х ^ Е, для которых cZ (ж, Е — U^ > 2-п, за ^а — насыщенные множества тех z ( Е, для которых d (х, Е —■ Ua) > 2-п, и за Gna — множество тех х 6 Епа, для которых ®Оп+1,₽ при всех Р < а.]
Распространить результат пункта а) па случай, когда R замкнуто, а каждая точка пространства Е/R обладает счетной фундаментальной системой окрестностей. [Использовать упражнение 206) § 2.)
Пусть Е — топологическое пространство и (Ед) — его замкпу- ' тое локально конечное покрытие. Показать, что если каждое из подпространств Еа метризуемо, то Е метризуемо. [Рассмотреть Е как факторпространство топологической суммы всех 7^.1■
Паракомпактное пространство, всякая точка которого обладает метризуемой окрестностью, метризуемо. [Применить в); см. гл. I, 2-е изд., § 10, упражнение 226) (3-е изд., § 9, упражнение 12в)). См. упражнение 25г) и § 2, упражнение 15, а также § 5, упражнение 15.)
25) Отделимое пространство Е называется метакомпактаным, если для всякого его открытого покрытия SR существует мажорирующее SR точечно конечное открытое покрытие..
а) Показать, что всякое замкнутое подпространство метакомпакт- ного пространства метакомпактно; если всякое открытое подпространство метакомпактного пространства метакомпактно, то и все вообще подпространства метакомпактны.
' б) Пусть Е — отделимое пространство и R — замкнутое отно- ' шение эквивалентности в Е такое, что всякий класс эквивалентности по R компактен. Показать, что если ElR метакомпактно, то Е мета- комиактно. [Рассуждать, как в упражнении 216).]
в)' Показать, что пространство, одновременно мотакомпактное и полукомпактное (§ 2, упражнение 14), компактно. [Заметить с помощью теоремы Цорна, что всякое точечно конечное открытое покрытие содержит минимальное открытое покрытие, и использовать упражнение 14а) § 2.]
Вполне нормальное локально компактное пространство Е = = [а, 6[, определенное в упражнении 22 § 10 гл. I 2-го изд. (3-е изд., гл. I, § 9, упражнение 12), не метакомпактво ).
Пусть F — метризуемое пространство, А — его подмножество, которое, как и ого дополнение, всюду плотно в F, и Е — не регулярное пространство, получаемое путем наделения F топологией, порождаемой всеми открытыми множествами из F в множеством А. Показать, что Е мстакомпактпо. [Рассмотреть для каждой точки ж £ Е ее окрестность Vx, содержащуюся в каком-либо множестве заданного открытого покрытия 91 пространства Е и удовлетворяющую следующим условиям: Ртс:Л, если ж^А, и Уж есть окрестность ж в F, если ж ^ А. Заметить, что подпространство А пространства Е нара- комппктпо, так же как подпространство пространства Е, получаемое объединением всех Ух для я^Л.]
а) Показать, что всякое вейерштрассово (§ 1, упражнение 22) нормальное пространство полукомпактпо (§ 2, упражнение 14). [Показать, что если последовательность! (х^ попарно различных точек из Е не имеет предельных точек, то па Е существует непрерывная коночная числовая функция / такая, что / (.гп) = п для всех в.]
б) Пусть F — [а, bf — локально компактное пространство, определенное в упражнении 22 § 10 гл. I 2-го изд. (3-е изд., § 9, утгражпоиие 12), и Fo — компактное пространство, получаемое присоединением к F бесконечно удаленной точки,— ее можно отождествить с 6» Пусть далее с — наименьший элемент в F, для которого [а, е[ бесконечно, и G — компактное подпространство [а, с] пространства F. Пусть, наконец, Е — дополнение к точке (6, с) в компактном пространстве Fo X С, Показать, что Е — пе нормальное локально компактное пространство (см. упражнение 12а)) и что оно вейерштрассово, во не полукомпактпо. Дать пример замкнутого подпространства в Е, которое не было бы вейерпттрассовым. Дать пример полунепрерывной снизу функции на Е, но достигающей своей нижней грани. [См. § 2, упражнение 14и).]
Топологическое пространство Е называется локально пара- компактиыя, если всякая его точка обладает вамкнутой окрестностью, являющейся пзракомпактным подпространством.
Показать, что локально варакомпактноо пространство вполне регулярно. ' ■
Пусть в компактном пространство Fo X G, определенном в упражнении 206), П означает дополнение к множеству тех точек (J>, у), у которых у < с. Показать, что И пе локально паракомпактпое нормальное пространство. [См. гл. Т, 2-е изд., § 10, упражнение 226); 3-е изд., § 9, упражнение 12в).]
Пусть Е — топологическое пространство и Ф — ого покрытие, образованное замкнутыми паракомпактпыми подпространствами и такое, что всякое А € Ф обладает в Е окрестностью, принадлежащей Ф. Пусть Е* — множество, полученное1 присоединением к Е точки о»; определим в Е* топологию, приняв за фундаментальную систему окрестностей точки х £ Е в Е' множество всех ее окрестностей в Е, а за фун-
даментальную систему окрестностей точки от — базис фильтра, порожденный дополнениями в Е* множеств из Ф (см. упражнение 20в)). Показать, что Е' — паракомпактное пространство.
*28) Пусть Е—метрическое пространство, й—его расстояние, Л — замкнутое множество в Е и / — непрерывная числовая функция, определенная на Л, со значениями в интервале [1, 2]. Показать, что числовая функция g, определенная на Е условиями g (х) — f (.т) на Л и
па С Л, непрерывна на Е. Получить отсюда доказательство теоремы 2 для метрических пространств.
Для того чтобы отделимое топологическое пространство Е было нормально, необходимо и достаточно, чтобы для каждого ого замкнутого подмножества А и каждой числовой функции / на Л, непрерывной в индуцированной топологии, существовало непрерывное отклонение д на Е, относительно которого / была бы равномерно непрерывна. [Для доказательства достаточности, следует показать, что всякая числовая функция / на замкнутом множество А, непрерывная в индуцированной топологии, может быть продолжена до непрерывной функции на Е1, рассмотреть для этого отделимое пространство Е, ассоциированное с равномерной структурой, определяемой в Е отклонением А].'
Пусть Е — нормальное пространство ng — полунепрерывная сверху, а / — полунепрерывная снизу функции на Е такие, что g < /. Показать, что на Е существует непрерывная числовая функция h такая, что g ^ h ^ /. [Ограничиться случаем, когда / и g принимают зпачения в [0, 1]. Для каждой двоичной дроби г £ [0, 1] обозначим через F (г) множество тех я £ Е, для которых / (ж) ^ г, и через С (г) — множество тех х £ Е, для которых g (х) < г. Действуя, как при доказательстве теоремы 1, определить по индукции семейство открытых множеств U (г) (где г пробегает множество всех двоичных дробей из интервала [0, 1]) так, чтобы при г < г' выполнялись условия F (г) с: с: U (г'), U (г) с. U (г') и U (г) с: G (г'); завершить затем доказательство, как в случае теоремы 1.]
§ 5. Бэровские пространства
Разреженные множества
Определение 1. Подмножество А топологического пространства Е называется разреженным, если его замыкание не имеет внутренних точек *).
*) В русской математической литературе такие множества называют нигде не плотнымиРеЭ.
8 И. Бурбаки ■
То же самое можно выразить, сказав, что внешность множества Л всюду плотна в Е.
Для того чтобы замкнутое множество Л было разреженным, необходимо и достаточно, чтобы оно не имело внутренних точек, или, что то же, чтобы оно совпадало со своей границей. Для того чтобы произвольное множество было разреженным, необходимо и достаточно, чтобы его замыкание было разреженным. Всякое подмножество разреженного множества является разреженным множеством.
Примеры. 1) Пустое множество в Е — разреженное. Для того чтобы одноточечное множество в отделимом пространстве было разреженным, необходимо и достаточно, чтобы образующая его точка не была изолированной в Е. В непустом пространство никакое всюду плотное множество не является разреженным.
Граница замкнутого пли открытого множества всегда есть разреженное множество.
В числовом пространство Лп всякое аффинное лилейное многообразие размерности р < п есть разреженное множество (см. гл. VI, § 1, предложение 2).
Замечание. Граница произвольного множества не обязана 1 быть разреженным множеством; например, если А и СЛ оба всюду плотны, то граница множества А совпадает со всем пространством Е.
Предложение 1. Объединение конечного числа разреженных множеств есть разреженное множество.
Достаточно доказать, что объединение двух разреженных множеств Л, В есть разреженное множество, причем можно ограничиться случаем, когда А и В замкнуты. Утверждение равносильно тогда тому, что пересечение всюду плотных открытых множеств СЛ, СВ всюду плотно. По если U — непустое открытое множество, то U Г) СА открыто и не пусто, а следовательно, и U П (СЛ П OB') — kU П СЛ) П СВ есть непустое открытое множество.
Пусть F — подпространство топологического пространства Е. Множество Л с F называется разреженным относительно F, если Л, как множество в топологическом пространстве F, разреженное.
Предложение 2. Пусть F — подпространство пространства Е и А с F; если А разреженно относительно F, то А разре-
женно относительно Е. Обратно, если F открыто в Е и А разреженно относительно Е, то А разреженно относительно F.
Пусть А разреженно относительно F; если бы замыкание А множества А относительно Е содержало непустое открытое множество U, то (по определению замыкания) U П А было бы не пусто п, значит, U П F — непустым открытым относительно F множеством, содержащимся, в замыкании А П F множества А относительно F, что противоречит предположению.
Пусть теперь F открыто в Е и А с: F разреженно относительно Е; если U — непустое множество, открытое относительно F, то U открыто относительно Е и, следовательно, содержит непустое множество V, открытое относительно Е (и тем более относительно F) и не пересекающееся с А; это показывает, что А нигде не плотно относительно F.
Вторая часть предложения 2, очевидно, неверна, если F не является открытым в Е; чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть случай, когда F Ф ^ разреженно относительно Е, а А = F.
'i. Тощие множества
Определение 2. Множество А в топологическом пространстве Е называется тощим, если оно является объединением счетного семейства разреженных множеств *).
То же самое можно выразить, сказав, что А содержится в объединении счетного семейства замкнутых множеств, не имеющих пиутренних точек.
Тощее множество вполне может быть всюду плотным в Е; даже все пространство Е может быть тощим множеством.
Примером последнего случая может служить всякое счетное отделимое пространство без изолированных точек; пространством такого типа является рациональная прямая Q. Впрочем, топологическое пространство Е, являющееся в Е тощим множеством, ле обязательно счетно (см. упражнение 9).
Всякое подмножество тощего множества в пространстве Е есть тощее множество; объединение счетного семейства тощих множеств есть тощее множество.
*) В русской математической литературе такие множества называют множествами 1 категории.— Ре<).
Пусть F — подпространство пространства Е; говорят, что множество А с F тощее относительно F, если при рассмотрении А в топологическом пространстве F оно является тощим множеством. Из предложения 2 (n° 1) вытекает, что если А с: F есть тощее множество относительно F, то А является тощим относительно Е; кроме того, если F от,к рыто в Е и А с: F — тощее множество относительно Е, то А является тощим множеством относительно F."
Бэровские пространства
Определение 3. Топологическое пространство Е называется бэровским, если, выполняется одно из следующих двух {равносильных) условий;
Пересечение всякого счетного семейства всюду плотных открытых множеств в Е всюду плотно в Е.
(ЕВ') Объединение всякого счетного семейства замкнутых множеств в Е, не имеющих внутренних точек, не имеет внутренних точек.■
Аксиома (ЕВ) может быть высказана еще в двух других равносильных формах:
(ЕВ”) Всякое непустое открытое множество в Е — не тощее.
В самом деле, для того чтобы множество было тощим, необходимо и достаточно, чтобы оно содержалось в объединении счетного семейства замкнутых множеств без внутренних точек.
(ЕВ”) Дополнение тощего множества в Е всюду плотно.
В самом деле, это означает, что ни одно тощее множество не может содержать непустое открытое множество, и, таким образом, равносильно аксиоме (ЕВ").
Предложение 3. Всякое непустое открытое подпространство F бэровского пространства Е есть бэровское пространство.
Это вытекает из (ЕВ"), поскольку всякое открытое (соответственно тощео) множество в F открыто (соответственно тощее) в Е.
В силу этого предложения всякая точка бэровского пространства обладает фундаментальной системой окрестностей, каждая из которых является бэровским пространством. Обратно:
Предложение 4. Если всякая точка топологического пространства Е обладает окрестностью, являющейся бзровским пространством, то Е — боровское пространство.
В самом деле, пусть Л — непустое открытое множество в Е, х — точка из А и V — ее открытая окрестность, являющаяся боровским пространством; если бы А было тощим в Е, то V П Л было бы одновременно тощим и открытым в V, что противоречит предположению.
Предложение 5. В боровском пространстве Е дополнение к тощему множеству является боровским пространством.
В самом деле, пусть А — тощее множество в Е; его дополнение F = СА относительно Е всюду плотно в Е. Пусть В — тощее относительно F множество; оно тощее также относительно Е, в, значит, A U В тощее относительно Е. Следовательно, дополнение к A U В относительно Е, являющееся также дополнением к В относительно F, всюду плотно в Е и, тем более, в F, чем предложение и доказано.
Теорема 1 (Взр). 1° Всякое локально компактное прост ранство Е — боровское.
2° Всякое топологическое пространство Е, на котором существует расстояние, согласующееся с его топологией и определяющее в Е структуру полного метрического пространства, есть бэровское пространство. ' •
Покажем, что в каждом из двух случаев выполнена аксиома (ЕВ). Пусть (Л„) — последовательность всюду плотных открытых множеств в Е и G — произвольное непустое открытое множество. 11о индукции можно определить последовательность (G^ непустых m-крытых множеств таких, что Gt = G и Gn+1 с= Gn П Ап; в самом деле, так как, по предположению, Gn не пусто, то Gn П Ап — непустое открытое множество; так как в обоих рассматриваемых случаях Е регулярно, то существует непустое открытое множество 6'п+1 такое, что Gn+1 с Gn П Ап. Тогда множество G П Q Ап
содержит пересечение всех Gn, а это последнее совпадает с пересечением всех Gn; остается доказать, что множества Gn имеют непустое пересечение. Но если Е локально компактно, то можно
предположить, что G2 компактно; ■ тогда Gn (п ^ 2) образуют в компактном пространстве G., убывающую последовательность непустых замкнутых множеств, и потому в силу аксиомы (С") имеют хотя бы одну общую точку. Если же Е — полное метрическое пространство (при наделении некоторым расстоянием, согласующимся с его топологией), то множества Gn можно выбрать так, чтобы их диаметры (относительно этого расстояния) стремились к 0 при неограниченном возрастании п; эти множества образуют тогда базис фильтра Коши, который сходится к точке, необходимо принадлежащей пересечению всех Gn.,
Замечание. Имеются бэровскио пространства, которые не подпадают ип под одну из указанных двух категорий, и частности боровские пространства, которые ни метризуемы, пи локально компактны (упражнение 16); имеются также метризуемыо баронские пространства, с, топологией которых не согласуется никакая структура полного метрического пространства (упражнение 14).
Полунепрерывные функции
на боровском пространстве'
Теорема 2. Пусть Е — бэровское пространство и (/а) — семейство полунепрерывных снизу числовых функций на Е, верхняя огибаюгцая sup /а (ж) которого в каждой точке х £ Е конечна. При а
этих условиях всякое непустое открытое множество содержит непустое открытое подмножество, на котором семейство (/о) равномерно ограниченно.
Эту теорему можно еще сформулировать, сказав, что точки, в окрестности которых семейство (/„) равномерно ограниченно, образуют плотное открытое множество.
Пусть / — верхняя огибающая sup /а семейства (/а); функция / а
полунепрерывна снизу (гл. IV, § 6, теорема 4) и конечна в каждой точке из Е. Таким образом, достаточно провести доказательство для случая, когда семейство и^ состоит из одной функции /. Пусть Лп — множество тех точек х € Е, для которых / (ж) ^ п; Jn замкнуто (гл. IV, § G, предложение 1), и из условия теоремы вытекает, что Е есть объединение всех /1„; поэтому хотя бы одно из множеств Лп имеет внутреннюю точку и, значит, существует непустое открытое множество, на котором / ограничена (некоторым целым п). Применение этого результата к произвольному непусто-
му открытому подпространству пространства Е (являющемуся, согласно предложению 3, бэровским пространством) завершает доказательство теоремы.
Наиболее часто встречающиеся приложения этой теоремы относятся к случаю, когда все /а непрерывны, па Е.
3 а м е ч а н и о. Теорема может оказаться неверной, если не предположить, что Е — бэровское пространство. Например, положив / (р/<?) = у для каждой несократимой дроби p)q, мы получим на рациональной прямой Q функцию, полунепрерывную снизу и конечную в каждой точке (см. гл. IV, § 0, п° 2); но в Q по существует пи одного непустого открытого множества, па котором бы / была ограниченной.
' Упражнения
а) Показать, что следующие свойства множества X в топологическом пространстве Е равносильны: а) граница X разреженна; Р) X есть объединение открытого множества и разреженного множества; у) X есть разность замкнутого множества и разреженного множества.
б) Показать, что если каждая точка множества X в Е обладает окрестностью V, для которой V П X разреженно в Е, то X — разре- желпое множество в Е.
Множество X в топологическом пространстве Е называется редким, если его пересечение Р П X с каждым совершенным множеством PdE разреженно относительно Р.
Показать, что объединение всякого конечного семейства редких множеств есть редкое множество. '
Показать, что граница редкого множества есть разреженное множество. •
В Е существует наибольшее совершенное множество с редким дополнением.
) Пусть X — множество в топологическом пространстве Е; обозначим через D (X) множество тех точек из Е, для любой окрестности V которых множество V f) X не тощее. D (X) С X.
Показать, что если D (У) = 0, то D (X U У) = D (X) для каждого X с Е.
Для того чтобы D (X) = £, необходимо и достато’пю, чтобы X было тощим множеством. [Начать с доказательства того, что если (Л 0 — семейство попарно непер осекающихся открытых множеств в Е, а Вх для каждого i — разреженное относительно Е множество, содержащееся в Лц то ^J йь — разреженное множество. Рассмотреть затем максимальное множество ЭД попарно непересекающихся открытых множеств : Е таких,. что X П Л для каждого Л б ® — тощее множество; существование такого максимального множества устанавливается с помощью теоремы Цорна. Показать, наконец, что если
D (X) = #, то X Л CG, где G — объединение всех множеств из 9R, разреженно, и заключить отсюда, что X тогда — тощее множество.]
Показать, что множество D (X) замкнутое, а множество X Л CD (X) — тощее. [Установить с помощью б), что X Л CD (X) тощее относительно открытого подпространства CD (X).]
Показать, что D (X) совпадает с замыканием своей внутренности. [Показать, что X П CD' (X), где D' (X) — замыкание внутренности множества D (X),— тощее множество, заметив, что оно является объединением множеств X f) CD (X) и X П D (X) Л CD* (Х[).
4) Пусть Е и F ■— топологические пространства, а А (соотв. 7?) — множество в Е (соотв. в F).
Для того чтобы А X В было разреженным (соотв. совершенным) в Е X F, необходимо и достаточно, чтобы одно из множеств А, В было разреженным (соотв., чтобы А и В были замкнуты и одно из них совершенно).
Для того чтобы А X В было редким множеством в Е X F (упр. 2), необходимо и достаточно, чтобы А и В оба были редкими.
) а) Пусть Е и F — топологические пространства и А — разреженное подмножество произведения Е X F. Показать, что если топология пространства F обладает счетным базисом, то множество тех точек х 6 Е, для которых срез A fl ({я} X ^) множества А по х разрежен относительно {ж} X F, есть тощее множество в Е. [Для каждого непустого открытого множества U в F показать, что множество тех х ЕЕ, для которых {ж} X U содержится в замыкании среза А по ж, разреженно в £.] .
Показать на примере, что результат пункта а) может оказаться неверным, если топология пространства F не имеет счетного базиса. [Принять за Е отделимое пространство без изолированных точек, за F — дискретное пространство с тем же носителем, что и Е, а за А — диагональ произведения £ X fj
Если В с: Е, С с F и одно из множеств В, С тощее (соотв. в Е или F), то В X С есть тощее множество в Е X F. Обратно, если В X С — тощее множество в Е X F и топология пространства Е или F обладает счетным базисом, то одно из множеств В, С тощее.
Вывести из в), что если топология одного из пространств Е, F обладает счетным базисом, то (в обозначениях упражнения 3) D (В X С) = D (8) X D (С).
Множество X в топологическом пространстве Е называется приблиясаемим, если существует открытое множество U такое, что каждое из множеств U Л СХ, X Л Си тощее.
Показать, что дополнение приближаемого множества приближаемо.
Показать, что объединение всякого счетного семейства приближаемых множеств приближаемо.
Показать, что следующие свойства равносильны:
X приближаемо;
Р) в Е существует тощее множество М такое, что в подпространстве Е — М множество X П СМ открыто-замкнуто;
V) в Е существует множество G с X, являющееся пересечением- счетного семейства открытых множеств, такое, что X •— С — тощее- множество в Е;
в Е существует множество F та X, являющееся объединением- счетного семейства замкнутых множеств, такое, что F — X — тощее- множество в Е;
D (X) П D (Е — X) (обозначения упражнения 3) — разреженное множество в Е;
6) D (X) R СХ — тощее множество в Е.
■ [Для доказательства равносильности свойств a), Q и 6) использовать упражнения За) и 36) и показать, что а) влечет £), £) влечет
6) и 6) влечет а).]
г) Пусть Е и F — топологические пространства, топология одного- из которых обладает счетным базисом. Для того чтобы множество- в Е X F вида А X В было приближаемым, необходимо и достаточно, чтобы одно из множеств Л, В было тощим или чтобы оба были приближаемыми. [Использовать свойство 5) из пункта в).]
Топологическое пространство Е называется неистощимим^ если оно не тощее относительно самого себя ).
Для того чтобы Е было неистощимо, необходимо и достаточно, чтобы всякое счетное семейство всюду плотных открытых множеств в Е имело непустое пересечение.
В неистощимом пространстве дополнение ко всякому тощему множеству является неистощимым подпространством.
■8) Пусть Е — топологическое пространство, в котором существует
непустое открытое множество А, являющееся неистощимым подпространством. Показать, что Е — неистощимое пространство и что А не тощее относительно Е.
Пусть В — подпространство в Ra, являющееся объединением; подпространства Q2 и прямой у = 0; показать, что Е тощее относительно самого себя. Вывести отсюда, что топологическое пространство может обладать неистощимым подпространством, не будучи само неистощимым.
Показать, что всякое вейерштрассово (§ 1, упражнение 22} вполне регулярное пространство — бэровскоо. [Рассуждать, как при доказательстве теоремы 1].
Пусть Е — топологическое пространство п А — его непустое подмножество. Точка a £ Е называется точкой конденсации множества А, если в каждой ее окрестности содержится несчетное множост- ■ во точек из А..
Показать, что если Е — бэровское пространство без изолированных точек, то всякая его точка есть точка конденсации множества Е.
Пусть Е — пространство, обладающее счетным базисом. Показать, что, каково бы ни было множество Л с: Е, множество В всех его точек конденсации совершенно, а множество Л П СВ счетно.
2) Топологическое пространство Е называется совершенно неистощимым, если всякое его непустое яамкнутое подпространство неистощимо. Локально компактное пространство совершенно неистощимо; полное метрическое1 пространство совершенно неистощимо.
Показать, что совершенно неистощимое регулярное пространство — бэровское.
Счетное замкнутое множество в достижимом ) (гл. I, 3-е изд., $ 8, упражнение 1) совершенно неистощимом пространстве — редкое (упражнение 2) и потому имеет по крайней мере одну изолированную точку.
В совершенно неистощимом пространстве Е всякое подпространство Л, являющееся пересечением счетно-бесконечного множества открытых мпожеств, совершенно неистощимо. [Показать, что если F с: Л замкнуто в Л, а Е — замыкание F в Е, то F П СЕ — тощее относительно Е.[
Если всякая точка топологического пространства Е обладает окрестностью, являющейся совершенно неистощимым подпространством, то Е совершенно неистощимо.
*13) Пусть Е — связное и локально связное совершенно неистощимое топологическое пространство. Показать, что Е но может быть объединением бесконечной последовательности (F^ попарно пепере- секающихся непустых замкнутых мпожеств. [Пусть Н — объединение границ Нп множеств Fn в Е; показать, что П замкнуто в Е, а каждое из множеств Нп разреженно относительно Н; чтобы установить последнее, рассмотреть фундаментальную систему связных окрестностей точки ив Нп и рассуждать от противного, используя предложение 3 § 11 главы I.] ■
14) Пусть Е — подпространство в R2, состоящее из точек (г, 0), где г пробегает множество Q всех рациональных чисел, и точек (7с/п, 1/п), где п пробегает множество всех целых чисел 5а1, а к — множество всех целых рациональных чисел. Показать, что Е — бэровское пространство, по не является совершенно понстощпмым.
*1.г>) Пусть Е — множество па плоскости R2, состоящее из прямой I) = {0} X R и точек (1/n, AVn3), где н пробегает множество всех целых чисел >0, а к — множество Z всех целых рациональных чисел.
Для каждой точки (0, у) из /) и каждого целого п > 0 обозначим через Тп (у) множество тех точек (и, г) из Е, для которых и < Мп
и I г — // I С “• Показать, что, приняв за фундаментальную систему окрестностей каждой точки (0, у) множество всех Тп (у), а за фундаментальную систему окрестностей каждой другой точки из Е множество, образованное этой точкой, мы получим топологшо д' в Е, мажорирующую топологию, индуцируемую из R2, и превращающую Е в локально компактное пространство.
Показать, что Е есть объединение счетного семейства метри- зуемых замкнутых подпространств и всякая точка в Е обладает метри- зуемон компактной окрестностью, но Е не является нормальным. [Пусть Л — множество тех точек (0, у), у которых у рационально, и В = D — Л; показать, что в Е всякая окрестность U множества А пересекается со всякой окрестностью V множества В; для этого рас- смотроть для каждого п множество Вп тех у 6 В, для которых Тп (у) с ст V, и заметить, что в 11 множество В — не тощее.]
6) Обозначим через R_ топологическое пространство, получаемое наделением совершенно упорядоченного множества R всех вещественных чисел топологией S'. (R) (глава I, 2-е изд., § 1, упражнение 3; 3-е изд., § 2, упражнение 5).
Показать, что всякое открытое множество в R_ является объединением счетного семейства попарно пепересекающихся открытых слева пли открытых интервалов. Вывести отсюда, что пространство R_ совершенно нормально (§ 4, упражнение 8) и совсртеппо неистощимо (упражнение 12).
Показать; что пространство R_ X R- не является нормальным и что, следовательно, R_ не метризуемо, хотя в R_ и существует всюду плотное счетное множество. [Рассматривая в R_ X R- множество точек (ж, у), для которых ж + у = 1, показать, что в R_ X R_ существует замкнутое подпространство, гомеоморфное пространству Е, определенному в упражнении 15.]
Показать, что R_ есть лпнделефово пространство (§ 4, упражнение 23) и, следовательно, паракомпактно (там же). [Пусть Ux для каждого ж С R_ — полуоткрытый интервал ]у (ж), ж] с правым концом ж. Показать, что множество тех z( R., которые по принадлежат никакому открытому интервалу ]// (ж), ж[, счетно; можно воспользоваться упражнением 1 § 2 гл. IV.]
Показать, что всякое компактное множество в R_ счетно. [Если А — компактное множество в R_, то топологии, индуцируемые в А топологиями 9"_ (R) и д'п (R), совпадают; вывести отсюда, что всякая точка из А является началом интервала, смежного с Л.]
17) а) Показать, что всякое произведение Е = Ц Е^ полных
■метрических пространств есть боровское пространство. [Рассуждать, как при доказательстве теоремы 1, принимая за Си элементарное множество (гл. I, 2-е изд., § 8, n° 1; 3-е изд., § 4, п° 1), проекции которого, отличные от пространств Еи имеют диаметр ^1/п; заметить
далее, что существует счетное множество Jal такое, что каждое Gn имеет вид Нп X JJ Л, где Нпа [J Л»)
i^j lEJ ■
Показать на примере, что если I несчетно, то Е не обязательно совершенно неистощимо (упражнение 12). [Использовать упражнения 1 и 236) §2.]
*18) а) Показать, что в полном метрическом пространстве всякое совершенное множество содержит подмножество, гомеоморфное кан- торову множеству (гл. IV, § 2, п° 5). [Использовать упражнение 11 § 8, гл. IV.] '
Вывести отсюда, что в полном метрическом пространстве со счетным базисом всякое совершенное множество имеет мощность континуума; всякое замкнутое множество не более чем счетно или имеет мощность континуум». [Использовать упражнение 116); всякое открытое множество не более чем счетно или имеет мощность континуума.] .
Показать, что в несчетном полном метрическом пространстве, обладающем счетным базисом, множество всех совершенных множеств имеет мощность континуума. [Доказать это сначала для компактного пространства {0, 1 }N, затем использовать а) и упражнение 126) § 2.]
Пусть Е — несчетное полное метрическое пространство со счетным базисом. Показать, что существует множество Z а Е такое, что Z и Е — Z имеют мощность континуума, но ни одно из них не содержит непустого совершенного множества. [Использовать б) и в) и метод, описанный в Теор. множ., гл. III, § 6, упражнепие 24а).] Показать, что если, кроме того, в Е нет изолированных точек, то пи Z ни Е — Z не тощее. [Используя в) и упражнение 24 § 2, показать, что пересечение А счетного семейства всюду плотных открытых множеств в Е содержит непустые совершенные множества.] Вывести отсюда, что в этом случае Z не является приближаемым множеством в Е (упражнение 6). [Заметить, что предыдущее рассуждение показывает, что U П Ж для каждого непустого открытого множества U в Е не тощее.]
19) Пусть А — всюду плотное подпространство топологического пространства Е и / — непрерывное отображение А в полное метрическое пространство F; показать, что то точки из Е, в которых / но имеет предела (относительно Л), образуют в Е тощее множество. [Рассмотреть для каждого п > 0 множество тех точек ж f Е, в которых колебание и (ж; У) функции / меньше 1/п.]
*20) Пусть / — гомеоморфизм подпространства Л полного метрического пространства Е на подпространство А* полного метрического пространства Е*\ показать, что у допускает продолжение У на пересечение В некоторого счетного семейства открытых множеств из Е, причем у является гомеоморфизмом В на пересечение В' счетного
семейства открытых множеств из Е*. [Применить к / и к обратному гомеоморфизму g упражнение 19.]
*21) а) Пусть (/„) — последовательность непрерывных отображений топологического пространства Е в совершенно нормальное пространство F (§ 4, упражнение 8) такая, что последовательность (/п (ж))
-1
для каждого х g Е имеет предел / (ж) в F. Показать, что А — < (5) для каждого замкнутого множества Sc F является пересечением счетного семейства открытых множеств. [В F существует убывающая последовательность (Z7n) открытых множеств такая, что ,S = f^ t/n;
n заметить, что для того, чтобы / (ж) g S, необходимо и достаточно, чтобы для каждого целого п > О существовало целое к ^ 0 такое, что /п+h W £ ^nJ Вывести отсюда, что А — А — тощее множество в Е.
б) Вывести из а), что если, кроме того, F метризуемо и счетного типа, то точки ж 5 Е, в которых / терпит разрыв, образуют тощее множество. [Показать, что если (Fn) — базис топологии пространства F,
•-1
5 = F — Vn и Ап = / (Sn), то ж Необходимо принадлежит одному из множеств Ап — Лп.]
а) Пусть Е — бэровское пространство, F — метрическое пространство и (/п) -■ последовательность непрерывных отображений Е н F такая, что последовательность (/п (ж)) имеет предел / (ж) в F для каждого ж g Е. Показать, что точки ж g Е, в которых / терпит разрыв, образуют тощее множество. [Доказать, что для каждого целого п > 0 множество точек ж g Е, в которых колебание со (ж, /) функции / не превышает 1/п, содержит всюду плотное открытое множество; обозначить для этого через Gp множество тех ж g Е, для которых расстояние между/у (ж) и fq (ж) ио превышает 1/2 л при всех р и д таких, что § > р; показать, что объединение внутренностей всех множеств Gp есть всюду плотное открытое множество.]
Пусть К — компактный интервал [0, 1] в R; привести пример последовательности ого непрерывных отображений /п в компактное пространство КК, для которой lim /п (ж) = / (ж) существует при всех х g К, но функция / разрывна в каждой точке из К.
*23) Пусть Е — топологическое пространство, F и G — метрические пространства с расстояниями соответственно d и d' и / — отображение Е X F в G такое, что у н* / (ж0, у) непрерывно на F для каждого ж0 g Е и х н-► / (ж, у0) непрерывно на Е для каждого у0 g F.
Пусть g (ж; 6, в) для каждого е > 0, каждой точки b g F и каждой точки ж g Е— верхняя грань чисел а > 0, для которых d (b, у) < а влечет Д’ (/ (ж, Ь), / (ж, у)) ^ е. Показать, что функция ж н* g (ж; Ь, з) полунепрерывна сверху.
Пусть Е — бэровское пространство; вывести из пункта а) я теоремы 2, что для каждого 6 g Е существует множество 8ъ с. Е
с тощим дополнением такое, что функция / непрерывна в точке (я, 6) для каждого а Е .Sb.
Пусть Е п F — топологические пространства. Отображение / пространства Е в F называется приближаемым, если прообраз / (5) каждого замкнутого множества 5 с: F является приближаемым множеством (упражнение 6).
Пусть g — отображение Е в F, для которого существует тощее множество М в Е такое, что сужение g на См непрерывно; показать, что g приближаемо. И обратно, если топология пространства F обладает счетным базисом.
Предположим, что F совершенно нормально (§ 4, упражнение 8). Пусть (/п)— последовательность приближаемых отображений Е в F, для которой lim /п (ж) = / (а:) существует при каждом х С Е.
П-*сю
Показать, что/ приближаемо. [Рассуждать, как в упражнении 21 а). 1
Пусть 7? — открытое отношение эквивалентности в топологическом пространстве Е. Показать, что если Е неистощимое пространство (упражнение 7) (соотв., боровское пространство, совершенно неистощимое пространство (упражнение 12)), то ElR — неистощимое (соотв. бэровское, совершенно неистощимое) пространство.
*26) Пусть Е — метризуемое локально компактное пространство, А — расстояние, согласующееся с его топологией, и Я — замкнутое отношение эквивалентности в Е такое, что всякий класс эквивалентности по R компактен. Как известно, тогда EiR локально компактно (гл. I, 2-е изд., § 10, упражнение 19, и предложение 17; 3-е изд., § 10, теорема 1 и предложение 9) и метризуемо (§ 4, упражнение 24).
Для каждой пары элементов и, и из ElR положим
p(u, v)— sup d^x, ф(г)),
»(x)=iu
где ф — каноническое отображение Е на Е/R, и для каждого и 6 EIR пусть
X(u) —lim supp(u, v).
a-»u, v=/u
Показать, что X полунепрерывно сверху на ElR п что для каждого а > 0 множество тех и £ EIR, для которых X (и) > а, разреженно. [Показать, что в противном случае существовало бы компактное множество К в Е, содержащее бесконечную последовательность (жп) точек, для которой d (хт, жп) > а/2 при m V= ».]
Вывести из а), что в EIR существует всюду плотное множество Mi являющееся пересечением счетного семейства открытых мио-1
жеств и такое, что для каждого х £ ф (Л/) образ относительно ф всякой окрестности точки х в Е является окрестностью точки ф (я) в E/R. [Использовать теорему 1.]
7) а) Пусть G — топологическая группа и А — ее приближаемое- подмножество (упражнение 6). Показать, что если А ио тощее, то ЛА-1 — окрестность нейтрального элемента в G. [Заметить сначала,, что в силу упражнения 3 G— бэровское пространство. ПустЕ, А — объедивение открытых множеств V с G, для которых U П ОД — тощее множество. Показать, что Д* но пусто п что если х £ G таково,, что аД* П Л* -/- g$, то хА П А Ф &• Заключить, что АА-1^ о А* (Л*)"1.]
Вывести из а), что доступная подгруппа топологической группы G либо тощая, либо открыта (и замкнута). В частности, счетная топологическая группа, являющаяся отделимым боровским пространством, дискретна.
Показать, что в топологической группе К существуют под- ■ группы Н такие, • что ХШ1 счетно-бесконечно. [Использовать базис Хамеля.] Всякая такая подгруппа всюду плотная, по тощая и не- приближаемая.]
Пусть G — метризуемая топологическая группа, правая и левая равномерные структуры которой совпадают. Показать, что если на (7 существует согласующееся с топологией расстояние, превращающее G в полное метрическое пространство, то С — полная метризуемая группа. [Использовать б), упражнение 2 § 3 и упражнение 24 § 2.),
*28) ПустЕ. G и G' — топологические группы. Показать, что всякое непрерывное представление / группы G на G' является гомеоморфизмом в каждом из следующих двух случаев:
G локально компактна и счетна в бесконечности, a G' неистощима. [Показать, что в G существует относительно компактное открытое множество U, для которого внутренность множества / (t/) непуста; вывести отсюда, что для каждой компактной окрестности V нейтрального элемента внутренность множества / (V) не пуста, и применить затем упраЖЕгение 16 § 2, гл. III 2-го изд.. (3-е изд., § 2, упражнение 18).]■
G полна и ее топология обладает счетным базисом *), a G' неистощима. [Используя то, что G есть объединение иослсдователт.иост» множеств вида xnU для всякой окрестности U нейтрального элемента е, показать, что для каждого открытого множества А с G существует открытое множество Д' с: G', содержащее / (Д) и такое, что/ (Д) плотно в Д'. Рассмотреть затем фундаментальную систему (1/п) симметричных окрестностей элемента е в G таких, что I/;2H1 с: Unk и показать, что / (Пр) содержит открытое множество Up^v, для этого взять точку а' 6 Uy+i и построить по индукции последовательность.
(6П) точек из G такую, что bn 6 Up+n и / (Ь}Ь2 . . .Ьп) стремится к а'; ' заметить, что если х 6 U^, то существует у С Uh такое, что / (у) 6
Пусть G — локально компактная группа, счетная в бесконечности, или полная метризуемая группа, топология которой обладает счетным базисом. Пусть Н — замкнутый нормальный делитель и Л — замкнутая подгруппа группы G. Для того чтобы факторгруппа Л/(Л fl Н) была изоморфна АНШ, необходимо п достаточно, чтобы АН было замкнутой подгруппой группы С. [Чтобы убедиться в необходимости условия, заметить, что в силу упражнения 13 § 2 гл. III 2-го изд. (3-е изд., § 4, предложение 13) и предложения 4 § 3 гл. IX, группа Л/(Л fl Я) полна; чтобы убедиться в достаточности условия, воспользоваться упражнением 28.]
*30) Пусть G — группа и d — расстояние па G такое, что при определяемой им в G топологии 5" отображения у ь-* хду и у •-* уха группы G в себя непрерывны для каждого х0 £ G.
Показать, что если G полна в топологии д', то отображение (ж, у) ь-> ху непрерывно на G X G. [Использовать упражнение 23.]
Пусть, кроме того, д' обладает счетным базисом. Показать, что тогда отображение х*-* ж-1 непрерывно на G, т. е., иначе говоря, что топология д' согласуется с заданной в G структурой группы. "[Рассмотреть в группе G X С, наделенной произведением топологии д' на себя, множество F точек (ж, ж-1), где ж пробегает G; F замкнуто в G X С и закон композиции (ж, ж-1) (у, у-1) = (жу, у-1ж-1) определяет в F структуру группы; используя а), показать, что топология, индуцируемая в F из G X G, согласуется с этой структурой группы. Рассуждая, как в упражнепии 286), доказать затем, что проекция F на G взаимно непрерывна.]
§ 6. Польские пространства; суслинские пространства; борелевские множества
Подъские пространства '
Определение 1. Топологическое пространство Е называется польским, если оно метризуемо, счетного типа (§ 2, п° 8) и на Е существует расстояние, согласующееся с его топологией, при котором Е полно.
Предложение 1. а) Всякое замкнутое подпространство польского пространства есть польское пространство.
Произведение счетного семейства польских пространств есть польское пространство.
Сумма счетного семейства польских пространств есть польское пространство. ■
В самом деле, всякое подпространство метризуемого пространства счетного типа есть метризусмоо пространство счетного тина и каждое замкнутое подпространство полного пространства полно (гл. II, 2-е изд., § 3, предложение 6; 3-е изд., § 3, предложение 8). Произведение всякого счетного семейства метризуемых пространств счетного тина есть метризусмое пространство счетного типа (§ 2, п° 8) и произведение всякого счетного семейства полных метрических пространств есть полное метрическое пространство относительно некоторого расстояния, согласующегося с его топологией (гл. II, 2-е изд., § 5, предложение 4 (3-е изд., § 3, предложение 10) и гл. IX, § 2, следствие 2 теоромы 1). Пусть, наконец, (fc’n) — последовательность непустых польских пространств; рассмотрим пространство F = N х Д5П, где N наделено дискрет- п
ной топологией; согласно предыдущему F — польское пространство. С другой стороны, сопоставим каждому п точку а^ из Еп, и пусть /п — отображение Ер в F такое, что для каждого х £ Ек /„ (х) = (/г, (//р)), где ур = ар при р ^ п и уп = х. Ясно, что отображение / суммы Е пространств Ен в F, совпадающее с /„ па Еп для каждого п, есть гомеоморфизм Е па / (Е); кроме того, fn (^п) замкнуто в F при любом п, а семейство (/п (ЕпУ) локально конечно, поскольку' N дискретно; отсюда вытекает, что / (Д) -- ” (J /п (^п) замкнуто в F (§ 4, лемма 2) и, следовательно, / (£) в силу а) есть польское пространство.
Предложение 2. Всякое открытое подпространство польского пространства есть польское пространство.
Пусть Е — польское пространство, d — расстояние, согласующееся с его топологией, и II — открытое множество в Е. отличное от Е. Пусть V — множество в R X Е, состоящее из тех точек (Z, ж), для которых Id (ж, Е — U) = 1; подпространство V пространства R X Л’ замкнуто (§ 2, предложение 3) и, следовательно, польское (предложение 1). Поскольку сужение на V проекции рг2 произведения R X Е на Е есть гомеоморфизм V на U (§ 2, предложение 3), U ость польское подпространство.
■• И. Бурбаки
Следствие. Всякое локально компактное метризуемое и счетное в бесконечности пространство является польским.
В самом деле, пусть Е'. — компактное пространство, получаемое присоединением к Е бесконечно удаленной точки; как известно, Е* метрпзуемо и счетного типа (§ 2, следствие предложения 16), а с другой стороны, Е* полно в своей единственной равномерной структуре (гл. II, § 4, теорема 1); таким образом, Е' — польское пространство, и то же верно для Е, как открытого подпространства пространства Е'.
Предложение 3. Пусть Е — отделимое топологическое пространство; пересечение последовательности (Лп) его польских подпространств есть польское пространство..
Пусть / — диагональное отображение Е в ^ (Теор. множ., гл. II, § 5, в0 3; напомним, что / (ж) = (уп), где уп = х для всех п); мы воспользуемся следующей леммой:.
Лемма 1. Пусть (Лп) — последовательность подмножеств отделимого топологического пространства Е; сужение диагонального отображения /: Е -*■ Е^ на подпространство Q Дп про- П.
странства Е есть гомеоморфизм пространства |^ Лп на замкнутое п подпространство произведения Jj4n.
В самом деле, этот образ есть пересечение Д4П с диагональю
А = / (£), которая замкнута в EN, поскольку Е отделимо (гл. I, 2-е изд., § 8, следствие 1 предложения 6; 3-е изд., § 8, предложение 2), а с другой стороны, / есть гомеоморфизм Е на А.
В условиях предложения 3 ДЛп есть польское пространство 71'
(предложение 1), и потому Q Лп, в силу леммы 1 и предложе- П •
ния 1,— его польское подпространство.
Следствие. Пространство всех иррациональных чисел, наделенное топологией, индуцированной топологией числовой прямой R, является польским.
В самом деле, оно является пересечением счетного семейства открытых множеств в R, а именно дополнений множеств, сводящихся к одной рациональной точке.
Теорема 1. Для того чтобы, подпространство F польского пространства Е было польским, необходимо и достаточно, чтобы, F было пересечением счетного семейства открытых множеств в Е-
Достаточность условия сразу следует из предложений 2 и 3. Докажем его необходимость. Пусть d — расстояние, согласующееся с топологией пространства F и превращающее его в полное метрическое пространство, и F — замыкание F в Е. Пусть Fn для каждого целого п — множество точек х £ F, обладающих открытой окрестностью U, пересечение U П F которой с F имеет диаметр (относительно расстояния d) ^1/п. Ясно, что Fn открыто в F и содержит F. Пусть х — точка, принадлежащая пересечению всех Fn; х есть точка прикосновения множества F и след на F фильтра ее окрестностей в Е есть фильтр Копти (относительно расстояния d); значит, этот фильтр сходится к некоторой точке из F и, следовательно, х € F; другими словами, F = Q Fn.
п
Пусть Нп для каждого п есть открытое множество в Е такое, что Нп П F = F^, с другой стороны, пусть (£7т) — последовательность открытых множеств в Е такая, что ^ = П Um (§ 2, предло- ш
жепие 7); тогда F есть пересечение счетного семейства (Яп f) Um) открытых множеств.
Следствие 1. Для того чтобы пространство Е было польским, необходимо и достаточно, чтобы Е было гомеоморфно пересечению счетного семейства открытых подмножеств куба IN (где I — интервал [0, 1] из R).
Достаточность условия очевидна; оно необходимо, ибо всякое метризуемое пространство счетного типа гомеоморфно подпространству куба 7n (§ 2, предложение 12).
Следствие 2. Пусть Е и F — польские пространства и i — непрерывное отображение Е в F. Прообраз f (G) всякого 9*
польского подпространства G пространства F есть польское подпространство в Е.
В самом дело, G — Q Gn, где Gn — открытые множества в F;
отсюда / (G) ~ I I / (6'п), где / (Gn) — открытые множества в Е.
71
Суслинские пространства ■
Определение 2. Топологическое пространство Е называется суслинским, если оно метризуемо и существуют польское пространство Р и непрерывное отображение Р па Е. Множество Л в топологическом пространстве Е называется суслинским, если подпространство Л суслинское.
Ясно, что всякое польское пространство — суслинское и что образ суслинского пространства Е относительно непрерывного отображения Е в метризуемое пространство F есть суслинское пространство.
Предложение 4. Всякое суслинское пространство Е есть пространство счетного типа. .
В самом доле, пусть Р — польское пространство и / — непрерывное отображение Р на Е; образ всюду плотного счетного множества из Р относительно / есть всюду плотное счетное множество в Е.
Предложение 5. Всякое замкнутое (соответственно открытое1) подпространство суслинского пространства Е есть суслинское пространство. '
. В самом деле, пусть / — непрерывное отображение польского пространства Р на Е; тогда прообраз относительно / замкнутого (соответственно открытого) множества из Е ость замкнутое (соответственно открытое) множество в Р, и потому польское подпространство (предложения 1 и 2).
Предложение 6. Пусть Е — суслинское пространство и f — его непрерывное отображение в отделимое пространство F. Прообраз относительно / всякого суслинского подпространства Л пространства F есть суслинское подпространство пространства Е.
В самом деле, пусть Р и Q — польские пространства, g — непрерывное отображение Р на Е и h — непрерывное отображение Q на А. Пусть R — множество тех точек (х, у) £ Р X Q, для которых / ^g (я)) — Л (у); R замкнуто в Р X Q и потому является польским подпространством (предложение 1). Пусть ср — суже- -1
и не на R проекции рп; тогда подпространство / (Л) пространства Е есть образ R относительно непрерывного отображения go <р и, следовательно,— суслинское пространство.
Предложение 7. Произведение и сумма счетного семейства суслинских пространств являются суслиискими пространствами. . .■
В самом деле, пусть для каждого целого п Еп — мотризуемое пространство, Рп — польское пространство и /„ — непрерывное отображение Рп на Еп. Произведение (соотв. сумма) пространств Рп есть польское пространство (предложение 1), а образ этого пространства относительно произведения отображений /„ (соотв. отображения, совпадающего с /п на каждом Рп) есть произведение (соотв. сумма) пространств Еп и, значит, будучи метризуемым, — суслинское пространство..
Предложение 8. Объединение и пересечение всякой последовательности (Ип) суслинских подпространств метризуемого пространства Е являются суслинскими подпространствами.
В самом деле, эти подпространства метризуемы. Существование канонического отображения суммы пространств Ап па подпро- с граиство [J Ап пространства Е показывает, что это последнее — суслинское (предложение 7); с другой стороны, ^ Ап — суслин- п
скос в силу предложений 5 и 7 и леммы 1.
В общем елучае даже в польском пространство дополнении к сус- линскому подпространству может не быть суслппскнм (см. упражнение 6); см., однако, в п° 0 следствие теоремы 2.
Предложение 9. Для каждого относительно компактного суслинского подпространства А метризуемого пространства Е существуют компактное метризуемое пространств К, убывающая последовательность (/?„) его подмножеств, каждое из который
есть объединение счетного семейства компактных множеств, и непрерывное отображение / пространства К в Е такие, что а = НПвп\ п
Заменяя А’ на Л, можем считать, что Е компактно и Л всюду плотно в Е. Поскольку Л — суслинское, существуют польское пространство Р и его непрерывное отображение g в Е такие, что g (Р) — Л. По следствию 1 теоремы 1 можно предполагать, что Р есть пересечение убывающей последовательности (U^) открытых подмножеств куба ZN. Возьмем в качестве К пространство ZN X Е; оно компактно и метризуемо (§ 2, следствие 2 теоремы 1). Пусть G с Р х Е — график отображения g и G — его замыкание в К; обозначим через / каноническую проекцию пространства К = = JN х Е на Е. Очевидно, /(G) = Л. Так как g непрерывно, то G замкнуто в Р X Е (гл. I, 2-е изд., § 8, следствие 2 предложения 6; 3-е изд., § 8, следствие 2 предложения 8), так что G = = 5 П (Р X Е) (гл. I, § 3, предложение 1) и, следовательно, G = Q Вп, где Вп = G• П Wn X ЕУ Так как каждое Un есть п
объединение счетного семейства замкнутых подмножеств куба ZN (§ 2, предложение 7), то каждое Вп есть объединение счетного семейства компактных множеств, и предложение доказано.
Борелевские множества
Определение 3. Множество £ подмножеств множества Л называется телом на Л, если выполняются следующие условия:
дополнение всякого множества из £ принадлежит £;
пересечение всякого счетного семейства множеств из £ принадлежит £.
Если £ — тело, то объединение всякого счетного семейства множеств из £ принадлежит £ (ибо дополнение этого объединения есть пересечение множеств из £).
Множество ^ (Л) всех подмножеств множества Л, очевидно, есть тело. Всякое пересечение тел на Л есть тело на Л. Следовательно, для каждого подмножества $ множества $ (Л) существует наименьшее тело, содержащее g; его называют телом, порожденным множеством ^.
Определение 4. Борелевскими множествами в топологическом пространстве Е называют элементы тела, порожденного множеством всех замкнутых подмножеств пространства Е.
Предложение 10. Пусть )— непрерывное отображение топологического пространства Е в топологическое пространство F. Прообраз относительно / всякого борелевского множества из F есть борелевское множество в Е.
В самом ■ деле, пусть £ — множество всех подмножеств Y -1
пространства F, для которых / (У) — борелевское множество в Е. Ясно, что £ есть тело, содержащее все замкнутые множества из F; следовательно, £ содержит все борелевские множества из F.
Предложение 11. Всякое борелевское подмножество суслин- ского пространства Е является суслинским.
В самом деле, пусть £ — множество всех подмножеств X пространства Е, являющихся суслинскими вместе со своим дополнением СХ; предложение 8 показывает, что £ — тело. Всякое замкнутое множество А в Е принадлежит £, ибо и Л и СМ — суслинские множества (предложение 5); следовательно, £ содержит все борелевские множества в Е (см. следствие теоремы 2).
Следствие. Пусть / — непрерывное отображение суслин~ ского пространства Е в метризуемое пространство F. Для каждого борелевского множества В из Е множество / (5) — суслинское.
В самом деле, В — суслинское множество, а тогда, по замечанию, следующему за определением 2, и / (5) — суслинское множество.
. Замечания. 1) Даже если Е и F — польские пространства, вообще говоря, неверно, что образ борелевского множества из Е при непрерывном отображении Е в F есть борелевское множество и F (см. упражнение б и п° 7, следствие теоремы 3).
Пусть Е — топологическое пространство и F — его борелесское подмножество. Тогда борелевские подмножестпа пространства F — не что иное, как те борелевские множества из Е, которые содержатся в F. В самом деле: 1° борелевские множества из Е, содержащиеся в F, ■ образуют в F тело, содержащее все ого замкнутые, а потому и все борелевские подмножестпа; 2° множества X а Е, для которых X Л F борелевское множество в F, образуют тело, л Е, содержащее все замкнутые, а потому и все борелевские множества из Е.
"Раздробленные и лузинские пространства
Определение 5. Топологическое пространство называется раздробленным, если оно отделимо и каждая его точка обладает фундаментальной системой открыто-замкнутых окрестностей.
Всякое раздробленное пространство вполне несвязно, ибо связная компонента точки х содержится во всех открыто-замкнутых множествах, содержащих х (гл. I, § 11, п° 5), а пересечение всех этих множеств сводится к точке х, если Е — раздробленное пространство.
Обратно, локально компактное вполне несвязное пространство является раздробленным (гл. II, 2-е изд., § 4, следствие предложения 3;
' З-о изд., § 4, следстпио предложения 6); однако существуют метрпзуе- мыо вполне несвязные пространства, не являющиеся раздробленными (упражнение 36)).
Всякое подпространство раздробленного пространства есть раздробленное пространство; всякое произведение (соответственно сумма) раздробленных пространств есть раздробленное пространство.'
Определение 6. . Топологическое пространство Е называется лузинским,, если оно метризуемо и является биективным непрерывным образом некоторого раздробленного польского пространства Р.■■
Ясно, что всякое лузинское пространство является суслинским.
Предложение 12. Для того чтобы метризуемое пространство было лузинским, необходимо и достаточно, чтобы оно было биективным непрерывным образом некоторого польского пространства.
Необходимость условия очевидна, и остается доказать его достаточность. Если / — биективное непрерывное отображение лузипского пространства Е на метризуемое пространство F, то, как следует из определения 6, F — лузинское пространство. Таким образом, все сводится к доказательству того, что всякое польское пространство является лузинским.
Заметим прежде всего, что всякое замкнутое (соотв. открытое) подпространство Л лузипского пространства Е есть лузинское
пространство (см. теорему 3); в самом деле, если / — биективное непрерывное отображение раздробленного польского прострап- -1.
ства Р на Е, то / (Л) замкнуто (соотв. открыто) в Р и, значит (предложения I и 2), является раздробленным польским подпространством, чем наше утверждение и доказано.
IIроизведение всякого счетного семейства лузинских пространств есть лузппское пространство; это вытекает из предложения 1 и того, что всякое! произведение раздробленных пространств есть раздробленное пространство. Пересечение всякого счетного семейства лузинских подпространств отделимого топологического пространства есть лузинское подпространство; это сразу следует из предыдущих замечаний и леммы 1. Кроме того:
Лемма 2. Если, метризуемое пространство Е допускает счетное разбиение (Лп), состоящее из лузинских подпространств, то Е — лузинское пространство. '
В самом деле, пусть для каждого целого п Рп есть раздробленное польское пространство, а /„ — непрерывная биекция Рп па Лп; сумма Р пространств Рп есть польское (предложение 1) раздробленное пространство, а его отображение / в Е, совпадающее с /п на каждом Рп, является непрерывной биекцией Р па Е, чем лемма и доказана.'
Установив это, покажем прежде всего, что интервал I— [0, 1), из R есть лузинское пространство. Пусть J — его подпространство, образованное всеми иррациональными точками; J — польское пространство (следствие предложения 3); с другой стороны, I — раздробленное пространство, ибо для каждой точки х из .1 следы на J интервалов из R вида Jr, s|, где г и s рациональны и г <_ х <_ з, образуют фундаментальную систему открыто-замкнутых окрестностей точки х в J (поскольку следы на I интервалов Jr, ,s[ п Jr, sj совпадают). Но J и множества, сводящиеся к одной рациональной точке, образуют счетное разбиение интервала I, и потому наше утверждение вытекает из леммы 2.
Пусть, наконец, Р — произвольное польское пространство; по следствию 1 теоремы 1 оно гомеоморфно подпространству ку-
ба ZN, являющемуся пересечением счетного семейства егооткры тых подмножеств; справедливость предложения вытекает теперь из того, что I — лузинское пространство, и замечаний, сделанных в начале доказательства.
Решето
Определение 7. Решетом называют последовательность С = (6’71, рп)п--о, где Сп при любом п есть не более чем счетное множество, а р1Х — сюръективное отображение Сп^г на Сп
Для каждой пары т, п целых чисел таких, что 0 ^ т ^ п обозначим через рт„ тождественное отображение Ст на себя, если т = п, и сюръективное отображение рт ° рт+1° . . . о рп_х множества Сп на Ст, если т-<п. Ясно, что если т ^ п^. q, то Рт9=Ртп 0 Pnq, и потому можно рассматривать множество Л (С), являющееся проективным пределом семейства (С„) относительно семейства отображений (pmn). (Теор. множ., гл. Ill, § 1, п° 12); тополо- гизируем это множество следующим образом. Каждое Сп наделим дискретной топологией, а Д Сп — топологией произведения; L (С) п
есть подмножество множества Д Сп, образованное теми последова- п
тельностями (сп), в которых. сп = рп (сп+1) для' каждого п, и мы наделим его топологией, индуцированной из Д Сп. Ясно, п
что L (С) замкнуто в пространстве Д Сп; отсюда сразу вытекает, что L (С) — раздробленное польское пространство (п° 4); мы будем называть L (С) топологическим пространством, ассоциированным с решетом С..
Просеиванием метрического пространства Е называют задание решета С = (Cn, р^ и для каждого целого п ^ 0 отображения ф„ множества Сп в множество всех непустых замкнутых множеств диаметра ^2~п из Е, удовлетворяющее следующим условиям:
Е является объединением всех <р0 (с), когда с пробегает Со;
<рп (с) при каждом п и каждом с £ Сп есть объединение всех -1
фл-и (И, где с' пробегает рп (с).
Просеивание называется строгим, если, кроме того, для каждого п множества <рп (с), где с пробегает Сп, попарно не пересекаются.
Лимма 3. Всякое метрическое пространство Е счетного типа допускает просеивание. Если, кроме того, Е раздробленно, то оно допускает строгое просеивание.
Заметим сначала, что если F — метрическое пространство счетного типа ив — число >0, то существует счетное покрытие пространства F множествами диаметра (§ 2, предложение 13). Если, кроме того, F раздробленно, то существует покрытие (Еп) указанного типа, состоящее из открыто-замкнутых множеств; обозначив через Wn пересечение Vn с Q (F — Ед), видим, что k<n*
Wn замкнуты, имеют диаметр ^е, попарно не пересекаются и покрывают Е. Во всех случаях замыкания непустых множеств рассматриваемого покрытия образуют счетное покрытие пространства F, элементами которого являются непустые замкнутые множества диаметра ^е.
Пусть теперь Е — метрическое пространство счетного типа. Пусть Со — множество индексов счетного покрытия пространства Е, состоящего из непустых замкнутых множеств диаметра ^1, попарно непересекающихся, если Е раздробленно, и <р0— отображение, сопоставляющее каждому индексу с £ Со соответствующее множество покрытия. Предположим, чтоб1,, ср, и сюръективные отображения р,: Cf—^Ct^ уже определены для всех z < п так, что для этих индексов выполнено условие б). Если с £ Сп, то пространство срп (с) обладает счетным покрытием непустыми замкнутыми множествами диаметра ^2-n_1, попарно непоресекающимися, если Е (а значит, и <рп (с)) раздробленное; пусть I (с) — множество индексов этого покрытия; примем за Сп+1 сумму множеств I (с), где с пробегает Сп; для каждого с/ £ Сп+1 обозначим через р„ (с') элемент с £ Сп, для которого с' ^ I (с), а через <рп+1 (с') — множество с индексом с' рассматриваемого покрытия пространства <рп (с). Ясно, что таким путем по индукции определится просеивание пространства Е, строгое, если Е раздробленное, и лемма доказана.
Предположим теперь, что Е — полное метрическое пространство счетного типа, и рассмотрим просеивание Е посредством решета С и отображений ср„. Если у — (сп) — точка пространства L (с), ассоциированного с С, то (<рп (с„)) —■■ убывающая последовательность замкнутых множеств в Е, диаметр которых стремится к 0; пересечение этой последовательности множеств сводится, следовательно, к одной точке, которую мы обозначим / (у). Тем самым мы определили отображение / пространства L (С) в Е; ясно, что если точки у и у' из Л (С) имеют одни и те же координаты с индексом I для всех i ^ п, то расстояние между / (у) и / (у') не превосходит 2”"; значит, в силу определения топологии в L (С), / непрерывно. Из определения просеивания вытекает, что для каждого х^Е индукцией по п можно определить последовательность у — (сп) так, чтобы х С фп (сп) для всех п ^ 0 и сп — рп (сп+1); следовательно, х — / (у), т. о. / сюръективно. Кроме того, если просеивание строгое, то последовательность у — (с„), для которой х — f (у), единственна, так что / биективно. Мы будем называть / отображением, порожденным рассматриваемым просеиванием.
Предложение 13. Для каждого лузинского (соотв. суслин- ского) пространства Е существуют решето С и непрерывное биективное (соотв. сюръективное) отображение L (С) на Е.
В силу определения 6 лузинского (соотв. определения 2 суслии- ского) пространства вопрос сводится к случаю, когда Е является раздробленным польским (соотв. польским) пространством, и предыдущее рассуждение приводит тогда к предложению 13.
6*. Отделение суелинсних множеств
Теорема 2. Для' каждой последовательности (Е„) попарно непересекающихся суслинских подпространств метризуемого пространства Е существует последовательность (Вп) его попарно непересекающихся борелевских множеств, такая, что Еп с Вп для каждого п.
Установим предварительно две леммы.
Лемма 4. Пусть (Лп) и (Л„) — последовательности подмножеств топологического пространства Е. Предположим, что для каждой пары (Л„, Л„) существует борелевское множество Впт
в Е такое, что Впт тэ Ап иВпт П Ат = 0. Тогда в Е существует борелевское множество В, содержащее U Ап и не пересекающееся
с Ат.
ТП
В самом деле, требуемым свойством обладает множество
/I т
Лемма 5. Пусть Е — отделимое пространство и А, А' — его суслинские подпространства, не имеющие общих точек. Тогда в Е существует борелевское множество В такое, что В =э А и В П А' = 0..
В самом деле, в силу предложения 13 существуют два реглета С, С, непрерывное отображение / пространства L ^С) на Л и непрерывное отображение /' пространства L (С') на Л', определенные способом, описанным в п° 5. Пусть qn (с) для каждого п^ О и каждого с Е Сп означает подпространство пространства L (С\ образованное всеми последовательностями (сд)а>о> У которых сп = с. Это — замкнутое подпространство в L ^Ср Для каждого У — (Сп.) € Е {С) последовательность замкнутых множеств gn (сп) убывает и образует базис фильтра, имеющего своим пределом у. Кроме того, для каждого с ^ Ср множества gn+i (ri), где ri пробегает множество рп (с) в Сп+1, образуют разбиение пространства qn (с). Аналогичные обозначения введем для решета С'.
Будем теперь рассуждать от противного, предполагая, что всякое борелевское множество, содержащее А, пересекается с А*. Прежде всего, из леммы 4 и определения просеивания вытекает существование таких с0 £ Со и с„ € Со, что всякое борелевское множество, содержащее / (qQ (с0)), пересекается с /' (д' ^с'^. Применив тогда индукцию по п, определим .элементы у ~ (с„) g 1, (С) и V' - (cn) g L (С') следующим образом: пусть ct и с', уже определены для всех i < п так, что для каждого г < п всякое борелевское множество, содержащее / (д; (с,)), пересекается с f (q\ (с<)); применяя лемму 4 и определение просеивания к множествам / (rin-i (Cn-i)) и f (q’n_} (с;.,)), видим, что существуют сп^Сп И Ср С с; такие, что рп_х {с^ = cn_u рр_ \ (с^ === cV\ и каждое борелевское множество, содержащее / (gn (сп)), пересекается
с /' (t/n (с«)). Но последовательность / (gn (сл)) сходится к точке а == f (у) £ А, а последовательность /' (gj, (с„)) — к точке а* = = /' (?') € А*. Поскольку А П А' — 0 и Е отделимо, существует замкнутая окрестность У точки а, не содержащая а'; для достаточно большого п она содержит / (gn Vc^ и не пересекается с /' (д„ Уп)), в противоречие с тем, что У — борелевское множество.
Итак, леммы доказаны. Обозначим теперь через Еп для каждого целого п объединение всех множеств Et с индексом I п; Еп — суслинское пространство (предложение 8). В силу леммы 5 для каждого индекса п существует борелевское множество В^, содержащее Еп и не пересекающееся с Еп. Пусть Вп — пересечение Вп и Q (Е — B'i). Множества Вп борелевские, попарно пепоресека- i<n
ющиеся и Вп =) Еп для каждого п; теорема 2 тем самым доказана.
Следствие. Если конечное или счетное разбиение метри- зуемого пространства образовано суслинскими множествами, то эти множества являются борелевскими. В частности, в метризуе- мом пространстве всякое суслинское множество, имеющее суслинское дополнение, есть борелевское множество.
Лузинские пространства и борелевские множества■
Теорема 3. Пусть Е — лузинское пространство. Для того чтобы его подпространство было лузинским, необходимо и достаточно, чтобы оно было борелевским в Е.
Это вытекает из следующих двух лемм:
Лемма 6. В лузинском пространстве Е всякое борелевское множество есть лузинское подпространство.
Пусть $ — множество всех подмножеств А пространства Е, которые вместе со своим дополнением СЛ являются лузинскими подпространствами.
Поскольку все замкнутые и все открытые множества в Е являются лузипскими подпространствами (п° 4), £ содержит все замкнутые множества из Е. Следовательно, лемма будет доказана, если мы установим, что £ — тело. Для этого достаточно показать, что для каждой последовательности (Лп) множеств из £ подпро-
странства Q^n и (J Л п пространства Е— лузинские. Но мы п«
видели в п°4, что пересечение всякого счетного семейства лузин- ских подпространств есть лузинское подпространство. С другой стороны, из предположения и предыдущего замечания вытекает, что пересечение Вп множеств Л.п и fl СМ;—лузинское подпро-
Т<71
странство; а так как (J Лп — (J5n, то подпространство (J Лп — ПП71
лузинское в силу леммы 2.
Лемма 7. -Всякое лузинское подпространство Л метри- зуемого пространства Е есть борелевское множество в Е.
По предложению 13 существуют решето С и непрерывное биективное отображение / пространства L (С) на А. Пусть в обозначениях леммы 5 gn(c) для каждого целого п и каждого с Е Сп означает подпространство / (qn (с)) пространства Е; это есть лузинское и, следовательно, суслинское подпространство пространства Е. Поскольку / биективно, множества gn (с), где с пробегает Сп, попарно не пересекаются; поэтому в силу теоремы 2 существует семейство с *-♦ g'n (с) (с Е Сп) попарно непересекающихся боре- левских множеств в Е таких, что g'n (с) лэ gn (с) для каждого с Е Сп. Заменяя g'n (с) его пересечением с замыканием gn (с) множества gn (с) в Е, можем предполагать, что g’n (с) ел gn {с). Обозначим через сп_г, сп_г, . . ., с0 ' образы элемента с соответственно в Сп_И Сп_а, . . ., Со при сюръективных отображениях
Рп-1, П = Рп-11 Pn-h П ~ Pl!-» ° Рп -11 • • • , Ро, П -= Ро ° Pl ° • • • 0 Рп-11 пусть Лп (с) — пересечение множеств
gn (с), gn-l (pn-Ol • • -1 go (^о)1
Так как qt (с J лэ q„, (с) (0 ^ i ^ п — 1), то hn (с) содержит gn (с)’, кроме того, ясно, что hn (с) — борелевское множество, содержащееся в gn (с), причем когда с пробегает Сп, множества hn (с) попарно не пересекаются; наконец, по построению hn+1 (с1) <л: с Ап С?» (с<)) для каждого с' Е Сп+Х. Пусть теперь Вп — объединение всех hn (с) (с Е Сп); Вп — борелевское множество и Вп+1 ел <л Вп; кроме того, Вп содержит объединение всех gn (с) (с Е €„),
т. е. множество Л. Пусть В — пересечение убывающей последовательности множеств Вп; это — боролевское множество, содержащее Л. Покажем, что В ~ Л, чем и завершится доказательство.
Пусть ж — точка из В; для каждого целого п существует, и притом единственное, с £ Сн такое, что х £ hn (с); обозначим его через сп (ж); тогда последовательность (сп (ж))„5-о принадлежит L(C). Убывающая последовательность (gn (сп (ж))) по определению сходится к некоторой точке а £ А; последовательность замыканий этих множеств также сходится к а в Е, и то же тем более имеет место для последовательности (hn (сп (ж))). Но х принадлежит всем hn (сп (ж)), следоватольно, ж == а б Л, и теорема доказана.
Следствие. Образ лузинского (в частности, польского) пространства Е относительно его инъективного отображения в метризуемое пространство F есть борелевское множество в F.
Борелевские сечения
Теорема 4. Пусть Е — польское пространство и В — отношение эквивалентности в Е такое, что классы по В замкнуты в Е, а насыщение по В всякого замкнутого множества есть борелевское множество. Тогда в Е существует борелевское множество, пересекающее каждый класс эквивалентности по В в одной и только одной точке.
Рассмотрим на Е расстояние, согласующееся с его топологией и превращающее Е в полное метрическое пространство. По лемме 3 существует просеивание пространства Е, определенное решетом С = (Сп, рп) п последовательностью отображений (<рп). Пусть gn (с) для каждого с £ Сп означает насыщение замкнутого множества гр„ (с) по В; в силу предположения gn (с) — борелевское множество в Е.
Поскольку каждое множество Сп не более чем счетно, мы можем наделить его отношением совершенного порядка, при котором для каждого заданного элемента множество всех элементов, меньших, чем он, конечно. Индукцией по п определим для каждого с С Сп множество Нп (с) следующим образом. Прежде всего, для с £ Со пусть 7гп (с) есть пересечение <р0 (с) и всех множеств Е — g0 (с'), где с* С Со и с' < с. Если с € Сп-м, то hu+v (с)
пусть будет пересечением фп+1 (с), hn (рп (с)) и всех множеств Я — gn+i (с'), где с' ( Сп+1, рп (с') = рп (с) и с' < с. Ясно, что все hn (с) — борелевские множества.
Докажем следующее утверждение: для каждого целого п ^ О и каждого класса эквивалентности Я по 7? существует, и притом единственный, элемент с С Сп такой, что hn {с) пересекается с 77, и тогда
^п (с) П Я = фп (с) fl Н,
что является, таким образом, замкнутым множеством. Для п — О рассмотрим наименьший элемент с С Сй такой, что ф0 (с) пересекается с 77; тогда ф0 (с) Л 77 не пересекается ни с одним из gQ (с'), соответствующих тем с' £ Со, которые <_с, и потому содержится в ^о (с) Л Н, а следовательно, совпадает с ним; кроме того, Я с cz g0 (с), так что множество h0 (с’) Л 77 для всех с' £ Со, больших чем с, пусто, и утверждение доказано для п = 0. Далее применяем индукцию по п; если существует с С Сл+1, для которого hn+1 (с) пересекается с Я. то из включения h„+1 (с) с hn (рп (с)) и предположения индукции вытекает, что рп (с) есть единственный элемент А ^СП1 для которого hn ^ пересекается с Я. Заметим, что hn (d), содержащееся в фп (d), по определению просеивания содержится
-1
в объединении всех фл+1 (с), у которых с £ рп (d); поэтому имеется -1
наименьший элемент, с g рп (d), для которого фл+1 (с) пересекается с 77. В силу предположения индукции имеем тогда
фп-и (с) Л н с ф„ (d) л н = hn (d) Л Н.
Следовательно,
Фп+1 (с) Л Н с ф„+1 (с) Л hn (d),
и так как, согласно определению, фл+1 (с) Л Я не пересекается
МИ С ОДНИМ ИЗ множеств gn+l (с'), у которых с' б р п W и с* <- С, то из определения hn+i (с) вытекает, что фп+1 (с) Л Я = hn+1 (с) Л -1
Л Я. Кроме того, Я с: gn+i (с) и, следовательно, если с' ^ рп (.d) и с' > с, то hn+i (с') Л Я пусто. Таким образом, наше утверждение доказано для всех п.
Пусть теперь Sn для каждого целого п есть объединение множеств hn (с), где с пробегает Cn; Sn — борелевское множество Ю Н. Бурбаки
и 8п+1 с 8п. Пересечение 8 множеств 8п является борелевским множеством в Е; покажем, что 8 пересекается с каждым классом эквивалентности 7/ по 7? в одной и только одной точке. В самом деле, пусть сп (77) для каждого п — тот единственный элемент с € Сп, при котором hn (с) пересекается с 77; тогда 8п П Н = = фп (сп (77)) П 77 и 5 Q Н есть пересечение всех фп (сп (77)) (ТЯ. Так как последовательность (с„ (Я)) принадлежит L (С), то убывающая последовательность замкнутых множеств ф„ (сп(77)), диаметр которых стремится к 0, сходится в силу полноты Е к некоторой точке х £ Е. Пересечение замкнутых множеств фп (Сп (Я)) Л 77 поэтому сводится к точке ж, что и завершает доказательство теоремы 4.
Замечание. В частности, отношение эквивалентности R удовлетворяет предположениям теоремы 4, если оно замкнуто. Таким образом, если Е — метризуемое компактное пространство, то теорема 4 применима ко всякому отношению эквивалентности Я, при котором EIR отделимо, поскольку такое R замкнуто (гл. I, §10, предложение 8).
Емкостностъ суслинских множеств■
Определение 8. Пусть Е — отделимое топологическое пространство. Емкостью на Е называют отображение / множества $ (Я) всех его подмножеств в расширенную числовую прямую R, удовлетворяющее следующим условиям:
(CAi) АсВ влечет / (А) ^ / (Я).
(САП) / (LJ^n) = SUP / (Ап) для каждой возрастающей после- П71■
дователъности (An) множеств из Е.
(САш) / (Q Кп) = inf / (Яп) для каждой убывающей после- Пп
дователъности (Кп) компактных множеств из Е.
Пример ы. °Пусть р — положительная мера на локально компактном пространство Е; соответствующая внешняя мера р* является тогда емкостью на Е. (См. Интегрирование, гл. IV: определение внешней меры дано в определении 4 § 1; (CAj) вытекает из предложения 16 § 1; (САп) — из предложения 17 § 1; (САщ)— из следствия предложения 7 § 4, если принять во внимание, что в силу следствия предложения 10 § 4 всякое компактное множество интегрируемо.
Можно показать, что в пространстве Rn, где п > 3, «ньютоновская внешняя емкость» является емкостью в смысле определения 8.0
Определение 9. Пусть / — емкость на Е; множество А в Е называется емкостным (относительно f), если f (А) — sup / (К), к
где К пробегает множество всех компактных подмножеств множества А.
°Например, если / есть внешняя мера р*, то всякое открытое множество емкостно; емкостные множества Л, для которых р* (Л) < < +<»,— не что иное, как р-иитегрируемыо множества (см. Интегрирование, гл. IV, § 4, следствия 1 и 4 теоремы 4).о
Предложение 14. Пусть К — компактное пространство uf — емкость на К. Пересечение А убывающей последовательности (Лп) множеств из К, каждое из которых является объединением счетного семейства замкнутых множеств, есть емкостное множество.'
Достаточно показать, что для каждого а < / (Л) существует компактное множество С cl А такое, что / (С) ^ а. Докажем сначала существование последовательности (В^^у замкнутых множеств Вп cl Ап таких, что, определяя по индукции последовательность (Сп) условиями С0 = А, Сп = Сп^ Q Вп для n ^ 1, будем иметь / (Сп) >• а для каждого п ^ 0. Пусть Bt определены для всех г < п; согласно предположению Cn_TCL A cl Ап я f (Cn_i) > > а; так как Ап есть объединение возрастающей последовательности (Dj) замкнутых множеств, то из (САП) вытекает, что
/(Cn_i) = sup/(C'n_inD>).
3
Поэтому существует индекс /, для которого / (Сп-1 П Dj) > а, и достаточно взять Вп = D
Пусть теперь С = Q Сп; так как А = Q Лп и Вп cl Ап, пп
то имеем также С = f^5n; значит, множество С компактно п
и содержится в А. Пусть В'^ = Q Вь так что (S„) — убывающая i<n -
последовательность компактных множеств. Так как Сп cl Ct cl cl Bt для i<?n, то имеем также Cn cl B'n. Поэтому, в силу (CAra), / (С) = inf/(£„), а так как СсСпс 5„, то также / (С) = п
~ inf / (Сп) ^ а, и предложение доказано, п.
Теорема 5. Относительно компактное суслинское подпространство F метризуемого пространства Е емкостно относительно любой емкости / на Е.
В самом деле, как мы видели (предложение 9), существуют компактное пространство К, убывающая последовательность (Лп) множеств из К, каждое из которых является объединением счетного семейства компактных множеств, и непрерывное отображение ср пространства К в Е, такие, что^ = ф(^ Лп). По предложению 14 п
Лп емкостно относительно каждой емкости на К. Поэтому п
теорема 5 вытекает из следующего предложения:
Предложение 15. Пусть ф — непрерывное отображение отделимого пространства К в отделимое пространство Е и / — емкость на Е. Положим g (Л) = / (ф (Л)) для каждого множества Л из К. Тогда g— емкость на К, и если, кроме того, Л емкостно относительно g, то ф (Л) емкостно относительно /.
■ Ясно, что g удовлетворяет аксиомам (CAj) и (САп). С другой стороны, пусть (Сп) — убывающая последовательность компактных множеств из К и С = Q Сп; множества ф (Сп) компактны
и их пересечением служит ф (С): в самом деле, оно содержит ф (С),
и если ж £ ф (Сп.) для всех п, то множества ф (ж) П Сп образуют убывающую последовательность непустых компактных множеств в К и тем самым имеют непустое поресечение. Поэтому / (ф (С)) = = inf / (ф (Сп)), т. е. g (С) = inf g (Сп) и, следовательно, g удов- Ип
летворяет аксиоме (САШ), чем доказано, что g— емкость на К. Пусть теперь Л — множество в К, емкостное относительно g; если а < / (ф (Л)) = g (Л), то существует компактное множество С cl А, для которого g (С) > а; тогда ф (С) есть компактное множество, содержащееся в ф (Л), и / (ф (С)) ^ а. Это доказывает, что ф (Л) емкостно относительно /, и завершает доказательство предложения 15 и теоремы 5.
Замечание. °Если р — положительная мера на метризуемом локально компактном пространстве Е, то всякое суслинское множество А с: Е р-измеримо. В самом деле, КП^ для каждого компактного
множества К из Е есть относительно, компактное суслинское множество, следовательно, емкостное относительно р* и, значит, ^-интегрируемое. Отметим, что дополнение в Е к суслинскому множеству, не будучи вообще суслинским, р-интегрируемо.о
Упражнения
а) Всякое раздробленное отделимое пространство вполне регулярно. Локально компактные не нормальные пространства, определенные в упражнении 266) § 4 и упражнении 15 § 5, являются раздробленными пространствами.
Топологическое пространство Е называется сильно раздробленным, если для каждого замкнутого множества А в Е и каждой его окрестности U существует открыто-замкнутая окрестность множества А, содержащаяся в U. Всякое сильно раздробленное отделимое пространство нормально. Всякое вполне несвязное компактное пространство является сильно раздробленным. Для того чтобы нормальное пространство Е было сильно раздробленным, необходимо и достаточно, чтобы его компактификация Стоуна — Чеха Е (§ 1, упражнение 7) была вполне несвязна. [Использовать упражнение 17в) § 4.]
Пусть Е — сильно раздробленное отделимое пространство и (,Un) — возрастающая последовательность непустых открытых мно жеств из Е. Показать, что в Е существует последовательность (Gn) попарно непересекающихся открыто-замкнутых множеств таких, что Gn с Un для всех п и ^J Gn = ^J Un. [Определить Gn по индукции.] • nn
Если, кроме того, Е совершенно нормально (§ 4, упражнение 8), то всякое открытое множество в Е является объединением счетного семейства попарно непересекающихся открыто-замкнутых множеств.
Пусть Е — нормальное пространство, являющееся объединением последовательности (?1П) своих сильно раздробленных подпространств. Показать, что Е — сильно раздробленное пространство. [Пусть В и С — непересекающиеся замкнутые множества в Е. Определить по индукции возрастающие последовательности (.G^ и (Яп) открытых множеств в Е таких, что Gn Л Ип ~ #' An Gn U Нп и В Л Ап cl Gn, С Л Ап cz НпЛ
) а) Пусть Е — метризуемое пространство. Показать равно сильность следующих свойств:
существует расстояние, согласующееся с топологией пространства Е и превращающее Е в ультраметрическое пространство (§ 2, упражнение 4);■
Р) Е — сильно раздробленное пространство (упражнение 1);
у) в Е существует последовательность (®п) локально конечных семейств открыто-замкнутых множеств такая, что ®=^J ®п есть п
базис его топологии в Е.
[Чтобы убедиться в том, что а) влечет -0), заметить, что если F — замкнутое множество в ультраметрическом пространстве Е, то множество тех х 6 Е, для которых d (г, Е) = р > 0, открыто-замкнуто. Чтобы показать, что 0) влечет у), использовать лемму 4 § 4 и упражнение 1в) § 6. Наконец, установление того, что у) влечет а), свести к случаю, когда SBn = (,Un, })^L и, обозначив через /п, х характеристическую функцию множества Un,x> рассмотреть отображение х>—> V—► / (л) = (/п,х (ж)) пространства Е в группу G = HNxL, где Н = = Z/(2) (отождествленное с множеством (0, 1}); пусть Gn для каждого n С N — подгруппа группы G, состоящая из всех элементов, проекции которых с индексом (к, X) равны нулю для всех X С L и всех к < п; показать, что' / — гомеоморфизм пространства Е на подпространство группы G, наделенной групповой топологией, для которой (Gn) служит фундаментальной системой окрестностей 0; в заключение заметить, что топология группы G может быть задана инвариантным расстоянием, превращающим G в ультраметрическое пространство.] б) Вывести из а), что всякое раздробленное отделимое пространство Е, обладающее счетным базисом, есть сильно раздробленное метризуемое пространство. [Используя предложение 13 § 2, показать, что существует счетный базис, состоящий из открыто-замкнутых множеств.] Кроме того, Е гомеоморфно тогда подпространству кан- торового множества К (см. § 2, упражнение 12) ).
а) Показать, что всякое вполне несвязное подпространство пространства R — раздробленное.
—— , где №)к>1 — строго возрас-—— , где №)к>1 — строго возрас-Пусть К — канторово множество; каждое х ^ К записывается единственным образом в виде х=^ к
—— , где №)к>1 — строго возрас-
—— , где №)к>1 — строго возрас-
тающая (конечная или бесконечная) последовательность целых чисел
>0 (гл. IV, § 8, упражнение 9); положим /(z) = 2 (—1) /2к. Пусть к
G — график функции / в К X R; показать, что метрнзуемое пространство G вполне несвя-зно, но не является раздробленным. [Заметить, что пересечение G с прямой {0} X R содержит открытый интервал, содержащий точку (0, 0).]
4) Пусть Е — метризуемое пространство.
Показать, что множество всех борелевских подмножеств пространства Е есть наименьшее подмножество 5 множества Ф(Е), содер-
жащее все замкнутые множества из 7? и обладающее тем свойством, что объединение и пересечение всякого счетного множества из 5 принадлежит ft. [Рассмотреть подмножество @ множества ft, образованное теми X £ ft, для которых Е — X С 5-1
Показать, что множество всех борелевских подмножеств пространства Е есть наименьшее подмножество ft множества $ (А), содержащее все открытые множества из Е и обладающее тем свойством, что пересечение всякого счетного семейства множеств из ft, а также объединение всякой последовательности попарно пепересекающихся множеств из ft принадлежат ft. [Тот же метод.)
Всякое ординальное число а может быть записано, и притом единственным образом, в виде а = гор + п, где п < to (Теор. множ., гл. III § 2, упражнение 14); а называют четным (сооти. нечетным^ если п четно (соотв. нечетно). Определим с помощью трансфинитной индукции для каждого счетного ординального числа а множества подмножеств fta (A) ®a (.Е1) (или просто fta, ®a) следующим образом: ft0 (соотв. ®0) есть множество всех замкнутых (соотв. открытых) множеств из Е; если а четно и > 0, то fta (соотв. ®а) есть множество тех множеств из Е, которые являются пересечениями (соотв. объединениями) счетного семейства множеств, принадлежащих JJ ftj (соотв.
£<а
^J ®j); если а нечетно, то5а (соотв. ®а) есть множество тех множеств £<а
из Е, которые являются объединениями (соотв. пересечениями) счетного семейства множеств, принадлежащих JJ ftj (соотв. JJ ®j).Показать, Е<«6<а
что объединение всех fta (соотв. всех @а) есть множество всех борелев- ских подмножеств пространства Е. [Использовать а).] Вывести отсюда. что если Е — счетного типа, то мощность множества всех его борелевских подмножеств не превышает мощности континуума.
X ( 5а тогда и только тогда, когда СХ С ®а. Объединение (соотв. пересечение) всякого конечного семейства множеств из fta (соотв. из ®а) принадлежит fta (соотв. ®а). Справедливы включения
fta с fta+1 П ®а+1 И ®а С fta+1 Г) ®а-ц.
(Применить трансфинитную индукцию.)
Пусть / — непрерывное отображение пространства Е в мет- ризуемое пространство F. Показать, что
-1-1
./ (fta (Л) с fta (Л И / (®a(A))c ®a(A).
Если Е и F — метризуемые пространства, то всякое произведение А X В, где А ^ fta (А), В 6 fta (А), (соотв. А £ ®а (А), В £ С ®а (Л). принадлежит fta (А X F) (соотв. ®а (А X А)).
Пусть (£п) — последовательность метризуемых пространств. Показать, что если Лп для каждого п — борелевское множество из ^п» то JJ 4П — борелевское множество в JJ Еп. пп
Пусть а > 0 — четное (соотв. нечетное) счетное ординальное число и (Дп) — счетное покрытие пространства Е, состоящее вз множеств, принадлежащих ®а (соотв. 5а). Показать, что существует раа- бионие (Дп) пространства Е такое, что Вп с. Ап для всех п, причем Вп принадлежат 5а fl @а. [Использовать г).]
) а) Пусть J — польское пространство Nn (где N наделено дискретной топологией) и Е — мотризуемое пространство счетного типа. Показать, что для каждого счетного ординального числа а существует множество Ga с J X Е такое, что: i° Ga с @а (7 X Е) (упражнение 4); 2° для каждого множества U Е @а (Я) существует такое z Е -Л что Ga (?) = U. [Рассуждение можно вести с помощью трансфинитной индукции следующим образом. Пространства J н /N гомеоморфны; пусть /— гомеоморфизм J на /N, /п = ргпо/для каждого целого п и (Дп) — счетный базис пространства Е, содержащий пустое множество. Выбираем Go так, чтобы Go (?) = ^J A f ^ для каж- п
дого ? Е J. Для каждого счетного ординального числа а берем Са+1 так, чтобы Са+1 (?) = ^ Ga Уп (?)), если а — четное, и Ga+i (?) = п
= (J ®а (/n (z))i если а ~■ нечетное. Наконец, если а не имеет пред- п
шествующего числа и (Хп) «— возрастающая последовательность ординальных чисел такая, что a = sup Ап. то берем Ga так, чтобы Ga (?) = п
= ^J G^ Vn (z))- Используем непрерывность /п на /.] п
Примем, в частности, Е = J. Показать, что множество РГ1 №а П А), гДе А — диагональ произведения J X J, принадлежит ®a (J), но не принадлежит Sa UY [Рассуждать от противного, используя а).]"
а) Пусть J — польское пространство Nn; показать, что для каждого суслинского пространства Е существует сюръективное непрерывное отображение J на Е. [Свести к случаю, когда Е — польское, и рассмотреть просеивание пространства Е решетом (Gn), где все Сп бесконечны. ]
Пусть Е — метризуемоо пространство; показать, что для каждого его суслинского подпространства А существует замкнутое множество F в J X Е такое, что А = рг2 UY [Использовать а).]
Пусть Е — метризуемое пространство счетного типа, L — пространство J X Е и F — замкнутое множество в J X L такое, что
для каждого замкнутого множества М из L существует z £ J, для которого F (z) = М (упражнение 5а). Показать, что для каждого суслипского подпространства 8 пространства Е существует z £ У такое, что рг2 (Е (z)) = 8. Вывести отсюда, что если Е = J, то множество Т тех z 6 У, для которых z £ рг2 ЦИ^,— суслинское, но J — Т — не суслинское. [Такое же рассуждение, что и в упражнении 56).] )
а) Показать, что всякое раздробленное польское пространство Е гомеоморфно замкнутому подпространству пространства J = Nn. [Рассмотреть строгое просеивание пространства Е открыто-замкнутыми множествами.]
Пусть Е — раздробленное польское пространство и F — всюду плотное его подпространство, не содержащее внутренних точек и являющееся пересечением счетного семейства открытых множеств в Е. Показать, что F гомеоморфно J. [Заметить, что в раздробленном метризуемом пространстве незамкнутое открытое множество есть объединение счетно-бесконечной последовательности попарно непере- секающихся открыто-замкнутых множеств; использовать теорему 1.], Вывести отсюда, что в R всякое всюду плотное подпространство не имеющее внутренних точек и являющееся пересечением счетного семейства открытых множеств, гомеоморфно J. [Заметить, что такое множество содержится в дополнении всюду плотного счетного множества D из R и что СD — раздробленное.]
. в) Всякое несчетное раздробленное польское пространство Е допускает разбиение на счетное множество и подпространство, гомео морфное J. (Использовать б) и упражнение 11 § 5.]
Пусть Е — суслинское пространство и / — непрерывное отображение его в отделимое пространство F. Показать, что если / (£) несчетно, то существует-подпространство А пространства Е, гомеоморфное канторову множеству К (гл. IV, § 2, п° 5), такое, что сужение / на Л инъективно. [Свести к случаю, когда Е — полное метрическое пространство. Показать, что существуют решето С = (Сп, р^, где множество Сп для каждого п состоит из 2П элементов, и для каждого п — отображение фп множества Сп в множество всех непустых замкнутых множеств диаметра s^2~n из Е такие, что: 1° фп+1 (с) с с фп (рп (с)) для каждого с £ Cn+v 2° для различных элементов с, с' из Сп множества / (фп (с)) и / (фп (с')) не пересекаются. Использовать упражнение И § 5.] В частности, всякое несчетное суслинское пространство содержит подпространство, гомеоморфное К, и, следовательно, имеет мощность континуума.
*9) а) Пусть Е — польское пространство и R — отношение эквивалентности в Е. Показать, что в Е существует множество, являющееся ' пересечением счетного семейства открытых множеств и пересекающееся с каждым классом эквивалентности по R в одной, и только одной, точке, коль скоро выполняется одно из следующих двух предположений:
R замкнуто. [Следовать методу доказательства теоремы 4, используя следующее замечание: если (Gn) — последовательность множеств, каждое из которых есть пересечение счетного семейства открытых множеств, и если для каждого п существует окрестность Fn множества Gn, такая, что семейство (Fn) локально конечно, to^JG„ п есть пересечение счетного семейства открытых множеств.]
Р) Е локально компактно и график отношения R замкнут в Е X Е. [Тот же метод с учетом того, что насыщение компактного множества тогда замкнуто; см. гл. I, 2-е изд., § 10, упражнение 14а); 3-е изд., § 10, упражнение 16.]
Пусть Е — польское пространство, R — открыто-замкнутое отношение эквивалентности в Е и ф — каноническое отображение Е на Е/R. Показать, что в Е существует множество Л, являющееся пересечением счетного семейства открытых множеств и такое, что сужение ф на Л есть гомеоморфизм Л па ф (Л), причем ф (Л) всюду плотно в ElR и является пересечением счетного семейства открытых множеств. [В обозначениях доказательства теоремы 4 показать, что для всякого и можно предполагать фп (с) определенным так, чтобы объединение внутренностей множеств hn (с) (с $ Gn) имело всюду плотный образ в ElR", использовать а) и теорему 1.]
■в) Показать, что заключение пункта б) остается в силе, если Е —
локально компактное пространство со счетным базисом, a R — замкнутое отношение эквивалентности в Е, всякий класс по которому компактен. [Свести к случаю б), используя упражнение 26 § 5.]
*10) а) Пусть Е — метризуемое пространство и S — его суслинское ■ подпространство. Показать, что множество S приближаемо в Е (§ 5, упражнение 6). [Пусть Р — польское пространство, g — непрерывное ■ отображение Р на S, (Сп, рп, фп) — просеивание пространства Р и f— соответствующее непрерывное отображение L (С) па Р (в обозначениях п° 5); положим h = gof и для каждого с£Сп обозначим через дп (с) подпространство пространства L (С), образованное всеми последовательностями? (с^), у которых сп = с. Пусть Fn (с) = А (<?„ (с)), Хп (с) = 6 (Фп W) ^ Fu М для каждого с £ Gn; обозначим через Zn (с) такое объединение множества D (Fn (с)) (§ 5, упражнение 3) н некоторого тощего множества в Е, что Fn (с) cz Zn (с) cz Хп (с), так что Zn (с) приближаемо в Е. Показать, что
^пИ П С ( (J ^п+1 (с')) — ^nfa)
Рп(с')==
— тощее множество в X, заметив, что Fn (с) = ^J Fn+1 (с'); с дру- Рп(с')==
гой стороны, доказать, что множество Zn (с) — Fn (с) содержится в объединении множеств Ут (d), где т пробегает все целые числа >п, a d для каждого т — множество всех элементов из Ст таких, что рпт (d) = с. Заключить, что Fn (с) — приближаемое множество.)
Дать пример непрерывного отображения / интервала I = = [О, 1J в себя и приближаемого множества В cl I, для которого / (Я) не было бы приближаемым. [Использовать упражнение 166) § 8 гл. IV и показать, что в качестве В можно взять подмножество канторова множества К, для которого /(/?)=£ обладает свойством,' описанным в упражнении 18г) § 5.)
*11) Пусть Е = R" и М — замкнутое множество в Е. Точка i ЕМ называется линейно достижимой, если в Е — М существует точка у такая, что открытый отрезок с концами х и у содержится в Е — М. Показать, что множество L cl М линейно достижимых точек множества ЛГ — суслинское. [Пусть d (г, у) — евклидово расстояние на Е и /2 (ж, у) = d (г, z) + ^ (z, У) — d (г, у) Для каждой точки z Е Е. Заметить, что в Е X Е X Е множество точек (г, у, z) таких, что х Е М, у Е Е — М, z Е М, z ^ х и /z (z, у) = 0, есть объединение счетного семейства компактных множеств и что, следовательно, то же справедливо для его проекции на произведение первых двух сомножителей.!
12) Пусть Е — метризуемое пространство и / — отображение множества Й (X) всех компактных множеств из Е в R, удовлетворяющее условиям (CAi) (для двух компактных множеств из Е^ и (САш). Для каждого множества АсЕ обозначим через /* (А) верхнюю грань значений / (X) для всевозможных компактных подмножеств X множества А и через /* (А) нижнюю грань значений /„ (Z7) для всевозможных открытых множеств U, содержащих А. Будем говорить, что А допустимо для /, если /ф (А) = /* (А).
Показать, что для каждого компактного множества К из Е и> каждого е > 0 существует открытое множество U о К, обладающее тем свойством, что для всех компактных множеств X из Е таких, что К cl X cl U, имеет место неравенство
■/ (X) < / (X) + 8.
[Рассуждать от противного.) Вывести отсюда, что всякое компактное и всякое открытое множество в Е допустимо для /.
Предположим, что / удовлетворяет следующему условию:
(AL) Для всякой пары компактных множеств К, К' из Е имеет место неравенство
/ (X U X') + / (X П X') < / (X) + / (X').
Показать, что если (К^ — конечное семейство компактных множеств такое, что / (JJ К^ < Н-оо, и (KJ) — второе конечное семейство компактных множеств с тем же множеством индексов, такое, что ^}с ^ и / (А^) > —оо для каждого I, то
/(H^-MLp^S (/№)-w»..
ii1
Пусть (Лг) и (В/) — конечные семейства множеств из Е с одним и тем же множеством индексов такие, что В; с. А} для всех I, f* (^J^j) <
< Н-оо и /* (Bj) > — оо для каждого I. Показать, что если / удовлетворяет условию (AL), то•
/•(IP-H'(UВ^С^иЧАй-Р^).
iг1
[Свести к случаю, когда множество индексов состоит из двух элементов. Рассмотреть сначала случай, когда А{ и Bj открыты, и использовать следующую лемму: если Ux и U2 — открытые множества и К — компактное множество такое, что Кс UXU Ult то существуют компактные множества Кх cz Ux и К2 cz U2 такие, что К cz Кх U As.] в) Предположим, что / удовлетворяет условию (AL). Показать, что /* (II An) = sup/* (Ап) для всякой возрастающей последова-
Т п
тельности (Дп) множеств из Е таких, что /* (Ап) > —о». [Использовать б).] Вывести отсюда, что если / не принимает на ® (А) значения — оо, то /* есть емкость на Е.
г) Предположим, что / удовлетворяет условию (AL). Показать, что объединение всякой последовательности (Дп) допустимых множеств таких, что /* (Дп) > —оо, есть допустимое множество. [Использовать б) и в).]
°13) Пусть К — компактное множество в R2. Для каждого вещественного числа у обозначим через 6Х (А, у) и 62 (К, у) диаметры пересечений К соответственно с [0, -|-оо [ X (у) и 1 —оо, 0[ X {у} Показать, что функции у 1—► бх (А, у) и у 1—► 62 (А, у) полунепрерывны сверху. Пусть ф — непрерывное возрастающее отображение интервала [0, +°oj в себя такое, что ф (0) = 1 и ф (4-оо) = 2; положим
ф(А, у) = ф(б!(А, у)62(А, у)) и /(А) = j ф(А, y)dy.
РЫК)
Показать, что / удовлетворяет условиям (CAj) и (САщ) и что / (A U А') ^ / (А) + / (А') для всякой пары компактных множеств
К, К' из R2. Но для замкнутого множества Л, определяемого неравенствами я > О и 0 < у < 1, /, (Л) = 1, а /* (Л) = 2.0
Пусть Е — метризуемое пространство и / — емкость на Е такая, что
/ (Л U В) < / (Л) + / ФУ
В обозначениях упражнения 12 показать, что для произвольных множеств Л, В из Е имеют место неравенства
У* (Л U В) < /* (Л) + /* ФУ
1» (Л U В)^ f* (Л) + /* ФУ
[Рассматривая компактные множества К cl A U В и открытые мно .жества U cd В, представить К в виде К = (К П Щ U Ф П С^)>1
Пусть К — компактное множество в Е, имеющее мощность континуума, и (Л, В) — разбиение К на два множества, любое компактное подмножество каждого из которых не более чем счетно (см. § 5, упражнение 18г)). Показать, что если / ({г}) = 0 для всякого одноточечного множества и / (К) > 0, то ни А ни В не емкостны отно сительпо /.
°15) Пусть ц — лебегова мера па R; определим емкость / па R-. удовлетворяющую условию (AL) упражнения 12, положив / (Л) = = И* (Рг1 Л) (предложение 15).
Пусть А — не емкостное (упражнение 14) ограниченное множество в R2, Во — окружность || х || = г такая, что А содержится в открытом круге || х || < г, и Вг — окружность || х || = г' радиуса г' > г. Показать, что A U Во и A U Bi емкостны, тогда как их пересечение А не емкостно.
Пусть Сп для каждого п означает множество тех х £ R2, для которых ’
Т< II ®||<г+А-.
Показать, что каждое из множеств A U Сп емкостно, а их пересечение но емкостно, и что inf / (Сп) ^ь f (^ ^п)о п
*16) Пусть Е и Е’ — метризуемые пространства. Отображение /
-1 пространства Е в Е' называется борелевским, если прообраз / (/”) каждого замкнутого множества F' из Е' есть борелевское множество в Е. Пусть а — четное (соотв. нечетное) счетное ординальное число;
-1
У называется отображением класса а, если прообраз / (/") каждого замкнутого множества F' из Е' принадлежит $а ф) (соотв. ®а фу -1
(упражнение 4); тогда / (О') для каждого открытого множества G' из Е' принадлежит @а (£) (соотв. За ФУУ Борелевские функции класса 0 — непрерывные функции.
Для того чтобы характеристическая функция фд множества Д с J? была функцией класса а, необходимо и достаточно, чтобы А принадлежало ^а П ®а-
Пусть /— отображение класса а пространства Е в Е'; пока- -1
зать, что прообраз / (Д') каждого множества В' Е Яр (Д') (соотв. В1 Е ®р (Д')) принадлежит 8га+р (Д) (соотв. ®а+р (Д))- [Применить трапсфинитную индукцию по ₽.]
Пусть / — отображение класса а пространства Е в Д' ng — отображение класса Р пространства Д' в метризуемое пространство Е”; показать, что gof есть отображение класса а + р.
Пусть а — произвольное четное (соответственно нечетное) счетное ординальное число и (Дп) — последовательность множеств из Е, принадлежащих @а (соотв. ^а), покрывающая Д; если отображение / пространства Е в Д' таково, что его сужение на каждое Ап принадлежит классу а, то / — класса а. Аналогичный результат для конечной последовательности множеств из Д, принадлежащих Яа (соотв. @а), образующих покрытие Е.
а) Пусть Е — метризуемое пространство, Е' — метризуемое пространство счетного типа со счетным базисом топологии ЦГ^ и а — четное (соотв. нечетное) счетное ординальное число; если отображе- -1
ние / пространства Д в Д' таково, что все / (Ду принадлежат ®а (Д) (соотв. 5а (Д)), то / — класса а.
Пусть (Д^) — последовательность метризуемых пространств счетного типа. Для того чтобы отображение / = (/п) пространства Е н JJ Д^ принадлежало классу а, необходимо и достаточно, чтобы
каждое/п принадлежало классу а. [Использовать а).] Вывести отсюда, что если Е счетного типа, то конечные числовые функции класса а Hu Е образуют кольцо.
Пусть Е и Д' — метризуемые пространства счетного типа и а — четное (соотв. нечетное) счетное ординальное число. Показать, что если отображение / пространства Е в Е' принадлежит классу а, то его график принадлежит Яа (Д X Д') (соотв. ®а (Д X Д')). [Использовать б) и упражнение 166).]
Пусть Д — суслинское пространство, Д' — метризуемое пространство счетного типа и / — отображение Е в Д'.
Показать, что если график G отображения / есть суслинское множество в Д X Д', то /— борелевская функция (и, следовательно (упражнение 17в)), G — борелевское множество). [Использовать следствие теоремы 2.]■
Показать, что если / инъективно и борелевское, а Д' суслинское, то / (А) — суслинское множество в Д' для всякого суслинского
подпространства А пространства Е. [Использовать упражнение 17в).[ Если / биективно, то обратное отображение — борелевское.
Пусть Е и Е' — метризуемые пространства и /— приближаемое '-1
(§5, упражнение 24) отображение Е в Е'. Показать, что/(/?') —приближаемое множество в Е для всякого борелевского множества В'а Е*. [См. § 5, упражнение 6.] Вывести отсюда, что если g — борелевское отображение пространства Е' в метризуемое пространство Е", то gof — приближаемое отображение. Дать пример непрерывного отображения / и приближаемого отображения g, для которых отображение gof не было бы приближаемым. [См. упражнение Юб).]
ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ IX
БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯВ НОРМИРОВАННЫХ АЛГЕБРАХ
1е Перемножаемые последовательности
в нормированной алгебре
Пусть А — нормированная алгебра над недискретным коммутативным нормированным телом К (§ 3, определение 9); обозначим через || ж II норму элемента ж ^А и будем предполагать, что она удовлетворяет неравенству ||жу || ^ ||ж || ]| у/ ||; кроме того, пред положим, что А обладает единицей е.
Пусть (xn)n£N — бесконечная последовательность точек из А; всякое конечное множество J с N, совершенно упорядоченное порядком из N, определяет серию (Алгебра, гл. I, § 1, п° 2) (жn)neJ точек из А; в Алгебре (там же) было определено произведение Pj— Д хп этой серии; мы будем называть его конечным частич- n^J
ним произведением последовательности (жп)п£к, соответствующим конечному множеству J с N (напомним, что для J == 0 полагают П осп = eY
Определение 1. Последовательность (жп)п£Х в нормированной алгебре А называется перемножаемой, если отображение J *-*• Pj имеет предел по фильтру сечений множества ^ (N) всех конечных подмножеств множества N, упорядоченному отношением с; этот предел называется произведением последовательности (acn)n£N и обозначается Д хп (или просто Д жп); элементы хп n£Nп
называются сомножителями этого произведения.
Определение 1 равносильно следующему: последовательность (.£„) перемножаема и имеет произведение р, если для каждого е>0 существует конечное множество 1й с: N такое, что || pj — р || ^ е - для всех конечных множеств J о J0 из N.
Замечания. 1) Если А — коммутативная алгебра, то определение 1 совпадает с определением, данным в n° 1 § 4 гл. Ш 2-го изд. (3-е изд., § 5) (замечание 3); но если алгебра А не коммутативна, то структура порядка в множестве индексов N играет в определении 1 существенную роль; беря какую-либо перестановку о множества N, мы отнюдь не можем тогда утверждать вообще, что последовательность (ка(пд перемножаема, коль скоро перемножаема последовательность (яп); кроме того, если эти две последовательности и перемножаемы, их произведения вообще различны.
Определение 1 непосредственно обобщается на случай семейства (£Cn)ngj, множество I индексов которого есть подмножество множества Z (совершенно упорядоченное порядком, индуцируемым из Z); предоставляем читателю распространить па этот случай излагаемые ниже свойства (см. упражнения 1 и 2).
Критерии неремножаемости
В дальнейшем мы ограничимся случаем, когда нормированная алгебра А полна.
Теорема 1. Пусть (acn)neN — последовательность точек полной нормированной алгебры А.
Если (асп) перемножаема и имеет своим произведением обратимый элемент из А, то для каждого в > 0 существует конечное .множество Jo с N такое, что || в— Pl II ^ е для каждого конечного множества Lett, не пересекающегося с JQ.
Обратно, если последовательность (асп) удовлетворяет этому условию, то она перемножаема. При этом, если каждое хп обратимо, то и Ця?п обратимо.
nCN
Пусть р — произведение перемножаемой последовательности <рс^, причем р обратимо в А; тогда (§ 3, предложение 13) существуют а > 0 и а >0 такие, что всякий элемент у ^А, для которого || у — р\\ ^ а, обратим и Цу"1 || ^ а. По предположению, для каждого е, удовлетворяющего неравенствам 0 < е < а, существует конечное множество Яос N такое, что || рн — р || ^ е И Н. Бурбаки
для всякого конечного множества Н cz N, содержащего Но. Пусть Jo ~ [0, тп] — интервал из N, содержащий Яо; для каждого конечного множества L cz N, не пересекающегося с Jq, любое целое число, принадлежащее Z, превосходит все целые числа, принадлежащие Яо; следовательно, положив Н = Но (J L, будем иметь рн = Ph0Pl. Но так как || рНо — р || ^ е ^ а, то рНо обратимо и || е — Р11пР || ^ 8 || р^0 || ^ ае; из неравенства II PhoPl — Р II ^ в следует, что || pL — р'^.р || ^ е || р'^ || ^ ае и, наконец, || в — pL II ^ 2ае.
Предположим, что для каждого е > 0 существует конечное множество JQ cz N такое, что || е’— pL II ^ е для всякого не пересекающегося с Jo конечного множества L cz N. Пусть Яо = = [0, jj] — интервал из N, содержащий Jo; всякое конечное множество Н из N, содержащее Но, может быть записано в виде Но U L, где каждое целое число, содержащееся в L, превосходит все целые числа, принадлежащие Яо; поэтому рн = Ph„Pli и так как L не пересекается с Jo, то || рн—Рн0 11^ е || Рн0 IL откуда II Рн II ^ (1 + 8) || Рн01|. Если рн0 = 0, то последовательность (эсп), очевидно, перемножаема и имеет произведением 0; если отбросить этот тривиальный случай, существует интервал Их = [0, д^. содержащий Яо и такой, что || е — Pl II ^ в || рнп II""1 для всякого конечного множества L cz N непересекающегося с Hv Как и выше, отсюда следует, что
II Рн — РН1 II С (II Рнй II)""1 II Рнх II 8 ^ е (1 + е) ,
для каждого конечного множества Н из N, содержащего Нг. Критерий Коши показывает тогда, что J^Pj имеет предел в А по фильтрующемуся множеству g (N). '
Если все хи обратимы, то то же верно и для всех конечных частичных произведений р,-, поэтому для всякого конечного множества Hcz N, содержащего Яо, будем иметь || е — Рт?0Рн II е; это показывает, что в мультипликативной группе G всех обратимых элементов из А образ фильтра сечений множества ^ (N) при отображении J Pj является базисом фильтра Коши относительно левой равномерной структуры группы G; а так как G полна (гл. IX, § 3, предложение 13), то предел отображения J >-* рт принадлежит G.
Замечание. Если (жп) перемножаемо и ого произведение не допускает обращения, то теорема 1 может не выполняться. Например, если все ®п равны одному и тому же элементу я; такому, что П я? ]| < 1, то последовательность (жп) перемножаема и имеет произведением 0, а для любого непустого конечного множества Н из N имеем || рн ||< || х || < 1 < || е ||.
Следствие 1. Если (х^ — перемножаемая последовательность, произведение которой обратимо в А, то Игл хп -- е.
Следствие 2. Если (хп) — перемножаемая последовательность, произведение которой обратимо в А, то всякая ее подпоследовательность (aenft)hcN (где (пь) — строго возрастающая последовательность целых чисел) перемножаема.
Это сразу следует из критерия теоремы 1.
Теорема 2. Пусть А — полная нормированная алгебра; если (ип) -— абсолютно сходящийся ряд точек из А, то последовательность (в + и^ перемножаема в А; если, кроме того, все элементы е + ип обратимы в А, то обратимо и JJ (е +«„).
.n£N
Применим критерий теоремы 1; для каждого конечного множества L cz N имеем pL — е = Ц(е + О—е = 2 (Пмп) , n£LМ п^М
где М пробегает множество всех непустых подмножеств множества L (совершенно упорядоченное в смысле индуцированного порядка). Поскольку || JJ мп ||С JJ || ип ||, будем иметь п£Мп^М
||рь-е||<2 ( П1|м„||) = П(1-4-||«„||)-1.М ngMn£L
По так как ряд с общим членом || ип ||, по предположению, сходится, то последовательность (1 -L || рп ||) перемножаема в R* (гл. IV, § 7, теорема 4); поэтому для каждого е "> 0 существует конечное множество /0 сд N такое, что |Ц(1 -,L II wn II) — 1 j ^ n£L
^ e для всех не пересекающихся с ним множеств Лсд N, и теорема доказана.
И»
Следствие. Если ряд с общим членом ип абсолютно сходится и ни один из элементов в + мп не является в Л делителем нуля, то и произведение JJ (е -|- ып) не является в Л делителем n£N нуля..
В самом деле, имеется только конечное число значений п, для которых || wn || ^ 1. Пусть J = [0, т] — интервал в N, содержащий все эти значения. Произведение последовательности (« + «,) равно произведению pj на элемент JJ (е + wn), все п>г«
сомножители которого обратимы (гл. IX, § 3, следствие предложения 12) и который, следовательно, сам обратим; будучи произведением конечного числа элементов, пе являющихся делителями нуля, pj тоже не является делителем нуля, а тогда то же верно для П(е + ипу n£N
Достаточное условие перемножаемости, сформулированное в теореме 2, не является вообще необходимым (см. упражнение 6). Однако оно необходимо в том важном случае, когда Л есть алгебра конечного ранга над R (в частности, когда Л есть тело кватернионов К или алгебра матриц Mn (R)):
Предложение 1. Пусть Л — нормированная алгебра конечного ранга над R. Если (е -|- ып) — перемножаемая последовательность в Л, произведение которой обратимо, то ряд с общим членом ип абсолютно сходится.
Как известно (гл. VII, § 3, предложение 2), существует число с > О такое, что
2 ||««||<csup||S ЭС/П(1)
i£IJ-I ^.Г
для всякого конечного семейства (рс^т точек из Л.
Пусть (an)ngN — произвольная последовательность элементов из А. Для каждого конечного множества / из N положим
Р1=П(е+а<)« «1 = 2 аг- =S И ”< II*i£Ii£Ii£I
Лемма 1. Пусть I — любое конечное множество из N и Ф (Z) = sup || pj — е ||. Тогда
Wpj-e-SjW^p^Gj(2)
для всех J cz I.
Лемма очевидна, если J пусто; докажем ее индукцией по числу элементов множества J. Пусть J = К (J {;}, где / строго больше каждого элемента из К", тогда pj = рк (е -и а^ и 8j = кк + а}, откуда
Pj — е — 8, = (рк — е — як) + (Рк — <0 «у и, в силу предположения индукции и определения ф (Z),.
11^ — е — Sj II ^ ф (Z) ак + Ф V) || а3 || = ф (Z) о„ чем лемма и доказана.
Лемма 2. Если I — конечное множество из N такое, что
Ф (Z) < —, то о/ < -т- —-тъ ..
В самом деле, если Jc I, то Oj ^ оь и потому, согласно (2), II Sj II ^ Ф W О/ + II Pj — е || ^ (1 + <П) Ф W; так как в силу (1) О; ^ с sup || 8j ||, то заключаем, что О/ ^ сф (Z)(l 4- П/), и лем- JCL1 ма доказана.
Пусть теперь (е + ип) — перемножаемая последовательность в А, произведение которой обратимо; по теореме 1 существует конечное множество J"o cz N такое, что | 71 (е -|- м<) — е |1 С
^ 1/2с для всякого множества Н из N, не пересекающегося с Jo. По лемме 2 отсюда вытекает, что У || ut ||^ 1 для всякого мно
жества Н из N, не пересекающегося с Jo, а это влечет суммируемость семейства (|| мп ||) в R (гл. IV, § 7, теорема 1).
Бесконечные произведения
Сопоставим каждой последовательности (асп) точек нормированной алгебры А последовательность частичных произведений п
рп — JI XV, бесконечным произведением с общим сомножителем жп
называют пару последовательностей (acn), ^рпУ Бесконечное произведение с общим сомножителем жп называется сходящимся, если последовательность (р^ сходится в Л; предел этой последовательности называется тогда произведением последовательности
(«„) и обозначается Р ас„.
Предложение 2. Пусть (ас„) — последовательность точек полной нормированной алгебры Л.
Если бесконечное произведение с общим. сомножителем хп сходится и Р хп обратимо, то для каждого с>0 существует п0 п=0
п
такое, что || Ц ®л —е || ^ е, если п0 ^. т^. п. h—m
Обратно, если последовательность (х^ удовлетворяет этому условию, то бесконечное произведение с общим сомножителем хп сходится; при этом, если каждое хп обратимо, то обратимо
иР хп.'
п—0■
Предоставляем читателю провести доказательство этого предложения, копирующее во всех пунктах доказательство теоремы 1 (лишь с заменой конечных множеств L из N, фигурирующих в этом последнем доказательстве, интервалами).
Следствие 1. Если бесконечное произведение с общим сомножителем хп сходится и Р хп обратимо, то Иш хп = е.
п =0п-*оо
Следствие 2. Если бесконечное произведение с общим сомножителем хп сходится и Р хп обратимо, то бесконечное произве- п—0
дение с общим, сомножителем у п = хп+н (га ^ 0) сходится. ,
Произведение последовательности ^у^ обозначается Р хп и 7l==/l и называется еще h-м остатком бесконечного произведения с общим сомножителем хп.
Предполагая по-прежнему обратимость Р хп, заключаем еще п=0
па основании предложения 2, что если (zn) — последовательность, в которой #п — хп для всех, кроме конечного числа, индексов, то произведение с общим сомножителем *п сходится.
Предложение 3. Пусть (к^) — строго возрастающая последовательность целых чисел ^ О, причем к0 — 0; если бесконечное произведение с общим сомножителем хп сходится'то и бесконечное '‘п+Г-1"
произедение с общим сомножителем ип — Д хр сходится, при
чем Р ип = Р хп.
п=0П"0
В самом деле, последовательность частичных произведений для (и„) является подпоследовательностью последовательности частичных произведений для (асп).
Наконец, то же рассуждение, что и для коммутативных групп (гл. III, 2-е изд., § 4, п° 7; 3-е изд., § 5, п° 7), показывает, что если последовательность (асп) перемножаема в нормированной алгебре А,
Г ОО
то произведение с общим сомножителем хп сходится, и Расп = п=0
= Д*п (оно записывается также в виде Д хп); [разумеется, n£Nп=0
обратное неверно (см. упражнение 7).
Упражнения
Пусть Е — отделимое топологическое пространство, в котором определен мультипликативно записываемый ассоциативный закон. Обобщить определение 1 на случай семейства (ад)^ элементов из Е с совершенно упорядоченним множеством индексов /. Пусть pj, для каждого конечного множества Jcl, означает произведение Дад
. последовательности (тд^у
Если Е — полная топологическая группа, то для того, чтобы семейство (а)^/ точек из Е было перемножаемо, необходимо и достаточно, чтобы для каждой окрестности V нейтрального элемента е
группы Е существовало конечное множество Jo с Z такое, что Pj (Pj0)-1 С V (пли (Pj^r1 pj G V) для всякого конечного множества J cl, содержащего Jo.
*2) Непустое подмножество J совершенно упорядоченного множества / называется обрубком, если вместе со всякими двумя своими элементами ос, р такими, что а < Р, оно содержит и весь отрезок [а, Р].
Пусть (ад)^ — перемножаемое семейство в полной группе G. Показать, что для всякого обрубка J множества / семейство (rL)ie<7 перемножаемо. [Рассмотреть сначала частный случай, когда множество минорант обрубка J, не принадлежащих J, пусто.]
Разбиение Ux)xeL совершенно упорядоченного множества I называется упорядоченным, если L — совершенно упорядоченное множество и отношения X < р, a G Jx, Р б J1L влекут а < р; подмножества Jx являются тогда обрубками множества I. Показать, что если (ад)^ — перемножаемое семейство в полной группе G, то семейство (.РхХ^г? где Рх = И^’ перемножаемо и имеет тожепроиз-
ведение, что и (xi)l6j.
Обратно, если VxKtL — конечное упорядоченное разбиение множества I и (яд)^/ таково, что каждое из семейств (^i)tg/ перемножаемо, то семейство (хО^/ перемножаемо.
*3) Пусть G — отделимая топологическая группа, обладающая окрестностью Ро нейтрального элемента е, на которой х I—► я-1 равномерно непрерывно (как отображение Gy, в Од; см. гл. III, 2-е изд., § 3, упражнения 7 и 14; 3-е изд., § 3, упражнения 7 и 8). Пусть (яд)^ — перемножаемое семейство точек из G. Показать, что для всякой окрестности U элемента е существует конечное множество Jo с I такое, что для каждого конечного множества К с I, содержащегося в обрубке множества I, не пересекающемся с /0, рх б U. [Показать сначала существование конечного множества HQ с I и коночного числа точек ах, а2, . . ., aq из G таких, что для каждого конечного множества L <- I, содержащегося в обрубке, но пере секающемся с Но, pl б «ь^яд1 по крайней мере для одного индекса к, где V, — некоторая окрестность элемента е такая, что 1’37 с Го. Ограничиться затем рассмотрением конечных подмножеств, содержащихся в одном из открытых интервалов, концами которых служат два последовательных индекса из Hq; использовать рассуждение упражнения 2а) и равномерную непрерывность х-1 на каждой из окрестностей ahVoa^.]
Вывести отсюда, что при тех же условиях lim яд = е по фильтру дополнений конечных подмножеств множества Z (если I бесконечно).
Пусть G — локально компактная группа. Показать, что множество конечных частичных произведений pj перемножаемого семейства (xj точек из G относительно компактно.
а) Пусть G — полная группа, всякая окрестностЕ, нейтрального элемента е которой содержит открытуго подгруппу. Для того чтобы последовательность (zn) точек из G была перемножаема, необходимо и достаточно, чтобы lira ,rn = е.
Пусть G — полная группа, всякая окрестность нейтрального элемента е которой содержит открытый нормальный белитель группы G. Для того чтобы семейство (а)^/ точек из G было перемножаемо, необходимо и достаточно, чтобы lim ад -- е по фильтру дополнений конечных подмножеств множества I. [Использовать упражнение 3.1 . 6) Пусть А — алгебра (над К) всех ограниченных числовых функций, определенных на интервале Е — [1, -[-оо [ с R, наделенных нормой ||/ || = sup | / (z) I, и и„ для каждого целого п > 0 означает функцию, равную tin, когда п < х < п + 1, и 0 во всех других точках из Е. Показать, что семейство (1 Д- и„) перемножаемо в А, по ряд с общим членом еуп не является абсолютно сходящимся в А.
Пусть (хп) — последовательность точек нормированной алгебры А такая, что для ненкой перестановки а множества N бесконечное произведение с общим сомножителем ЕГищ, сходится и р ЩО(П>обра- .п=0
тимо. Показать, что каждая последовательность (ж0(п>) перемножаема. [То же рассуждение, что и в предложении 9 § 4 гл. III 2-го изд. (3-е изд., предложение 9 § 5).]
) Пусть А — полная нормированная алгебра; показать, что если (я?п) — последовательность точек из А такая, что для всякой перестановки а множества N последовательность (a?a(n)) перемножаема и имеет обратимое произведение, то каждое a-n обратимо. [Доказать сначала следующую алгебраическую лемму: если в кольце с единицей элементы х, у таковы, что ху обратимо, а ух не есть целитель нуля, то каждый из элементов а;, у обратим; см. Алгебра, гл. I, § 8, унраж- нение 4.]
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
К ГЛАВЕ IX '
(Римские цифры относятся к библиографии, помещеннойв конце настоящего очерка.)
Как мы уже говорили (Исторический очерк к главе II), понятие метрического пространства было введено в 1906 г. М. Фреше и развито несколькими годами позже Ф. Хаусдорфом в его «Теории множеств». Оно приобретает особую важность после 1920 г., с одной стороны, благодаря фундаментальным работам С. Банаха и его школы по нормированным пространствам и их приложениям к функциональному анализу (см. книгу V), а с другой — в силу того интереса, который представляет понятие абсолютного значения для арифметики и алгебраической геометрии (где оказалось весьма плодотворным пополнение относительно абсолютного значения).
С периода 1920—1930 годов начинается целый ряд предпринятых московской школой исследований, посвященных свойствам топологии метрического пространства, направленных, в частности, на получение необходимых и достаточных условий для того чтобы заданная топология была метризуемой Именно это развитие идей привлекло интерес к понятию нормального пространства, которое было сформулировано Титце в 1923 г., но важная роль которого выявилась только благодаря ряду работ Урысона (VI) о продолжении непрерывных числовых функций. Не считая тривиального случая функции одной вещественной переменной, проблема продолжения на все пространство непрерывной числовой функции, определенной па замкнутом множестве, была впервые рассмотрена (для случая плоскости) А. Лебегом (III); до получения Урысоном окончательного результата она была рошена для метрических пространств Титце (IV). ■
Распространение этой проблемы на случай функций со значениями в произвольном топологическом пространстве приобрело в последние годы большое значение в алгебраической топологии. Недавние работы выявили при этом, что понятие нормального пространства недостаточно приспособлено к этому кругу вопросов, ибо оставляет еще много возможностей для «патологии»; чаще всего его приходится заменять более узким понятием паракомпактного пространства, введенным в 1944 г. Дьедонпе (IX); наиболее
замечательным результатом этой теории является теорема А. Стоуна (X), по которой всякое метризуемое пространство паракомпактно ).
Мы уже отмечали (Исторический очерк к главе IV) важные работы конца XIX и начала XX веков (У. Борель, Бэр, Лебег, Осгуд, Юнг) по классификации точечных множеств в пространствах Дп и по классификации и харак- терпзацпи числовых функций, получаемых исходя из непрерывных функций итерацией предельного перехода (для последовательностей функций). Вскоре было подмечено, что метрические пространства представляют естественную область для исследований подобного рода, развертываемых после 1910 г. главным образом русской и польской школами. Именно эти hi колы выяснили, наряду с другими вопросами, фундаментальную роль, которую играют в современном анализе понятие тощего множества и теорема о пересечении счетного семейства всюду плотных открытых множеств в полном метрическом пространстве (§ 5, теорема 1), ранее доказанная (независимо) Осгудом (I) дли Числовой прямой и Бэром (II) для пространств R".
С другом стороны, и 1917 г. Суслин (V), исправляя одну ошибку Лебега, показал, что непрерывный образ борелевского множества не обязательно является борслевским, что привело его к определению и изучению более тпрокого класса множеств, называемых с тех пор «аналитическими» или «суслинскими»; после ранней смерти Суслина это изучение было продолжено главным образом Н. Лузиным (идеи которого вдохновляли Суслина) и польскими математиками (см. (VII) и (VIII)). Актуальное значение этих множеств заключается главным образом в их применениях к теории интегрирования (где благодаря своим специальным свойствам они допускают построения, которые были бы невозможны для произвольных измеримых множеств) п к современной теории потенциала, где фундаментальная теорема о емкост- иости суслинских множеств, совсем недавно доказанная Г. Шоке (XI), уже обнаружила свою плодотворность в различных приложениях.
БИБЛИОГРАФИЯ
W. Osgood, Non uniform convergence and the integration of series term by term, Amer. Journ. of Math. XIX (1897), стр. 155—190.
R. 13 a i r e, Sur les fonctions de variables r&dles, Ann. di Mat. (3), III (1899), стр. 1.
H. Lebesgue, Snr le problemo de Dirichlet, Bend. Circ. mat. di Palermo, XXIV (1907), стр. 371-402.
II. Ti et zc, Uber Funktionen die auf einer ubgeschlossenen Menge stetig sind, J. de Crelle, CXLV (1915), стр. 9—14.
M. S о u s 1 i n, Sur une dSfinition des ensembles mesurables 13 sans nombres transfinis, C. R. Acad. Sci., CLXIV (1917), стр. 88—91.
P. U г у s о h n, Ueber die Machtigkeit (hr zusammeuhangenden Mengen, Math. Ann. XCIV (1925), стр. 262 [П. С. У p неон, Труды no топологии и другим областям математики, I, стр. 208.]
N. L u sin, Lefons sur les ensembles analytiques et leurs applications, Paris (Gauthier-Villars), 1930. [H. H. Лузин, Лекции об аналитических множествах и их приложениях, Москва, Гостехиздат, 1953.] (VIII) К. Kuratowski, Topologic I, 2е 6d., Warszawa-Vroclaw, 1948. [Русский перевод: К. Куратовскпй, Топология, т. I, перевод с 5-го изд., Москва, Мир, 1966.]
J. Dieudonne, Une generalisation des espaces compacts, Journ. de Math. (9), XXIII (1944), стр. 65—76.
A. H. Stone, Paracompactness and product spaces, Bull. Amer. Math. Soc., LIV (1948), стр. 977—982. [Русский перевод: Ст оу и А., Паракомпактность и произведения пространств, Математика, 5 : 5 (1966), стр. 3-11.]
G. С h о q u е t, Theory of capacities, Ann. Inst. Fourier V (1953— 1954), стр. 131—295.
ГЛАВАХ'
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Это издание отличается от предыдущего главным образом своим новым планом, позволившим сгруппировать более четко основные результаты главы, устраняя второстепенные предложения; единственное существенное добавление касается свойств счетности пространств непрерывных функций (§ 3, п° 3).
Нанкаго, осень 1960Н. Б.
§ I. Равномерная структура ©-сходимости
ОбознАЧЕния. Пусть даны множества X, У; напомним, что ^ (X; У) означает множество всех отображений X в У, отождествляемое с. произведением Vх (Теор. множ., гл. II, § 5, п° 2). Для каждого множества На Цр (X; У) и каждого х £ X мы будем обозначать через И (х) множество всех и (я) £ У, где и пробегает Н. Если Ф — базис фильтра в ^ (X; У), мы будем обозначать через Ф (я) базис фильтра в У, образованный множествами II (я), где Н пробегает Ф. Наконец, напомним, что для каждого и € S' (X; У) и каждого множества Аа X через и\А обозначается отображение А в У, являющееся сужением и на А; Н\А, где Н—подмножество множества ^ (X; У), означает множество всех сужений и]А (ц(Я).
Структура равномерной сходимости
Пусть X —■ множество, У — равномерное пространство. Для каждого окружения У из равномерной структуры пространства У обозначим через W (У) множество тех пар (и, к) отображений X в У, для которых (и (ж), и (ж)) £ У при всех х С X. Множества
НЧЮ, где V пробегает множество всех окружений для У, образуют фундаментальную систему окружений некоторой равномерной структуры в & (X; У). В самом деле, они очевидным образом удовлетворяют аксиоме (UJ) (гл. II, § 1, n° 1). Далее, если V, V' — окружения для У такие, что Ус= У', то ИДУ) с ИДУ'), так что множества W(У) удовлетворяют аксиоме (В^ (гл. I, 2-е изд.,
§ 5, п° 4; 3-е изд., § 6, п° 3); а так как ИДУ) = ИДУ), то выполнена аксиома (Un). Наконец, отношения «(и (а:), и (х)) £ У, каково бы ни было х £ X» и «(и (я), хо (ж)) £ У, каково бы пи было х £ X»
2
влекут отношение «(и (ж), иД®)) £ У, каково бы ни было х g X»;
иными словами, И’ (У) cz И' (У), что доказывает (Um).
Определение 1. Равномерная структура в $F (X; У), имеющая в качестве фундаментальной системы окружений множество всех W (У), где У — окружения для У, называется структурой равномерной сходимости; топология, порожденная этой равномерной структурой, называется топологией равномерной, сходимости. Если фильтр Ф в ^F (X; У) сходится к элементу и0 в этой топологии, то говорят, что Ф равномерно сходится к и0.
Отметим, что топология равномерной сходимости в .^ДХ; У) зависит от равномерной структуры пространства У, а не только от его топологии (упражнение 4).
Равномерное пространство, получаемое наделением ^ (X; У) структурой равномерной сходимости, обозначается ^и(Х; У).
^-сэсодимостъ
Определение 2. Пусть X — множество, У — равномерное пространство и ^ — некоторое множество подмножеств из X. Равномерной структурой, равномерной сходимости на множествах из <5, или просто равномерной структурой ^-сходимости, называют слабейшую из равномерных структур в множестве 3х (X; У), при которых его отображения-сужения и >-* и | А в равномерные пространства ^и(А; У) равномерно непрерывны для всех А £ ©• Равномерное пространство, полученное наделением
.У КХ\ У} равномерной структурой ^-сходимости, обозначается .Т^ (X; У).
Топология, порожденная равномерной структурой ©-сходимости, называется топологией ^-сходимости', это слабейшая из топологий в множестве ,у (X; У), при которых непрерывны его отображения и >-► и\А в пространства ,Уи (А; У) для всех А £ © (гл. II, 2-е изд., § 1, предложение 1; 3-е изд., § 2, следствие предложения 4).
Для того чтобы фильтр Ф в ^У (X; У) сходился к и,, в топологии ©-сходимости, необходимо и достаточно, чтобы и\А для каждого A g© равномерно сходилось к м0|Л по фильтру Ф (гл. I, 2-е изд., § 8, теорема 1; 3-е изд., § 7, предложение 10); говорят также, что Ф равномерно сходится к и0 на множествах из ©.
Точно так же, для того чтобы базис фильтра Ф в Г@(Х; У) был базисом фильтра Коши, необходимо и достаточно, чтобы образ Ф при отображении и >-* и | А был базисом фильтра Коши в .!Ги(А; У) для каждого Л £ © (гл. II, 3-е изд., § 3, предложение 4). ■
Пусть / — отображение топологического (соотв. равномерного) пространства Z в ^5 (X; У). Для того чтобы / было непрерывно (соотв. равномерно непрерывно), необходимо и достаточно, чтобы отображение г *-* / (z) | А пространства Z в jFu (Л; У) было непрерывно (соотв. равномерно непрерывно) для каждого Л £© (гл. I, § 2, предложение 4 и гл. II, 3-е изд., § 2, предложение 4).
Пусть, наконец, М— множество в jFg (X; У); для того чтобы М было прёдкомпактно, необходимо и достаточно, чтобы для каждого Л ( © множество сужений и\А (u £ М) было предкомпактно в S'и (Л; У) (гл. II, 3-е изд., § 4, предложение 3).
Замечания. 1) Общее определение окружений инициальной равномерной структуры (гл. II, 3-е изд., § 2, предложение 4) показывает, что фундаментальную систему окружений для У@(Х; У) можно получить следующим образом: пусть 1Г(Л, К) для каждого Л С © и каждого V из фундаментальной системы 93 окружений для У есть множество тех пар (и, г) отображений X в У, для которых (u (х), и (ж)) 5 V при всех х £ А; тогда пересечения
всевозможных конечных семейств множеств И7 (Л, У) образуют фундаментальную систему окружений для tF© (X; У).
Из этого описания сразу видно, что если ©, ©' —множества подмножеств из X и ©с ©', то равномерная структура ©'-сходимости мажорирует равномерную структуру ©-сходимости.
Однако равномерная структура ©-сходимости не изменяется при замене © множеством ©' всех подмножеств из X, содержащихся каждое в объединении конечного числа множеств из ©. Таким образом, при изучении ©-сходимости можно всегда ограничиваться случаем, когда множество © удовлетворяет следующим двум условиям:
(Fj) Всякое подмножество множества из © принадлежит ©.
(Fjj) Объединение всякого конечного семейства множеств из © принадлежит ©.
Если (Ед) выполнено, то фундаментальную систему окружений для S^tX; У) образуют множества W (4, У), где 4 пробегает ©, а У — какую-либо фундаментальную систему окружений для Y.
Равномерная структура ©-сходимости есть прообраз равномерной структуры произведения Ц (Л; У) относительно
отображения и *-* (и ! Л)д6@ множества (X; У) в ]~[ ^и (Л; У) ле®
(гл. II, 3-е изд., § 2, предложение 8). Если © покрывает X, то это отображение инъективно, и, следовательно, ^©(Х; У) изоморфно равномерному подпространству произведения Ц .^^(Л; У) —
образу ^ (X; У) при этом отображении.
Предложение 1. Если У отделимо и © покрывает X, то пространство ^^ (X; У) отделимо.
В самом деле, пусть элементы и, и множества ^ (X; У) таковы, что (и, 1^ £ ТУ (Л, У) для каждого окружения V из У и каждого Л £©; поскольку У отделимо, отсюда вытекает прежде всего, что и и. v совпадают на каждом множестве Л g ©, а так как © покрывает X, то и — и.
Замечания. 4) Пусть ZZ—подмножество множества F (X; У); допуская вольность речи, равномерной структурой (соотв. топологией) ©-сходимости на ZZ называют равномерную структуру (соотв. тополо-
гию), индуцированную в Я равномерной структурой (соотв. топологией) ©-сходимости из S' (X; У)..
Пусть X к—> их есть отображение в .^^(Х; У) множества Л, фильтрующегося по фильтру ®, причем это отображение имеет предел по ГО; тогда говорят, что по фильтру @ отображения и5 множества X в У равномерно сходятся к и (пли что семейство (п^) равномерно сходится к v) на каждом множестве из ©; если L = N и @ — фильтр Фреше, то упоминание об этом фильтре опускают.
В частности, предположим, что в У задай коммутативный и ассоциативный закон композиции в аддитивной записи. Пусть (zvn) — произвольная последовательность отображений X н У п ип — отображе- п
ния х I—*• У} их (х) (п £ N); говорят, что ряд с общим членом ип равно- А=0.'
мерно сходится на каждом множестве из S, если последовательность (v^ равномерно сходится па каждом множестве из ©. Аналогично определяют равномерно суммируемое семейство (uFx^L отображений X в У, рассматривая отображения х t—*• 2 и-, М для всевозможных
конечных множеств J С L и их предел в 9^ (X; У) ио фильтрующемуся упорядоченному множеству конечных подмножеств множества L (гл. ГП, 2-е изд., § 4, п° 1; 3-е изд., § 5, п° 1).■
Из определений 1 и 2 непосредственно следует, что для всякого х ^ (J^ отображение и и* и (я) пространства .^©(Х; У) - ае©
в У равномерно непрерывно. Отсюда, в частности, вытекает, что если обозначить через II замыкание множества //с ^g (X; У) в .^^ (X; У), то II (ж)с II (х) для всякого я: € U Л (гл. I, 2-е АР 5
изд., § 4, теорема 1; 3-е изд., § 2, теорема 1).
3. Примеры (g-сходимости
Равномерная сходимость на подмножестве множества X. Пусть ЛсХ, S = {Л}. Равномерная структура (соотв. топология) (^-сходимости называется тогда также равномерной структурой (соотв. топологией) равномерной сходимости на Л; если фильтр Фв pF<5 (X; У) сходится к и^ то говорят, что он сходится к и0 равномерно на Л. При Л — X мы вновь приходим к структуре равномерной сходимости, определенной в n° 1.
12 Н. Бурбаки
Простая сходимость на подмножестве множества X. Пусть Л с: X; примем за © множество всех одноточечных подмножеств множества Л (или, что в силу замечания 2 из н° 2 равносильно этому,— множество всех конечных подмножеств множества Л). Тогда равномерная структура (соотв. топология) ©-сходимости называется равномерной структурой (соотв. топологией) простой сходимости на Л; если фильтр Ф в ,Fg (X; Y) сходится к и0, то говорят, что он просто сходится к и0 на Л; то же самое можно выразить, сказав, что w0(.r) для каждого х С Л есть предел и (ж) но фильтру Ф. '
В частности, при Л — X равномерная структура (соотв. топология) простой сходимости па X называется также равномерной структурой (соотв. топологией) простой сходимости, а равномерное пространство, получаемое наделением ,<F (X; Y) этой структурой, обозначается .^ДХ; Y). Заметим, что топология простой сходимости есть не что иное, как топология произведения в Yx; она зависит, таким образом, только от топологии пространства, а не от его равномерной структуры, в противоположность тому, что имеет место в общем случае.
Компактная сходимость. Предположим, что X — топологическое пространство, и примем за © множество всех его компактных подмножеств. Равномерная структура (соотв. топология) ©-сходимости называется тогда равномерной структурой (соотв. топологией) компактной сходимости; равномерное пространство, получаемое наделением .^ (X; Y) этой структурой, обозначается ^с^Х; Y). Структура компактной сходимости мажорируется структурой равномерной сходимости, совпадая с ней, если X компактно; она мажорирует структуру простой сходимости, совпадая с ней, если X дискретно.
Если X — равномерное пространство, то аналогично, взяв в качестве © множество всех его предкомпактных подмножеств, определим в .^ (X; Y) равномерную структуру предкомпактной сходимости. Точно так же, если X — метрическое пространство, можем принять за © множество всех его ограниченных подмножеств; структуру ©-сходимости называют тогда равномерной структурой ограниченной сходимости.
/. (’войства пространств Д^ДХ; Y)
Предложение 2. Пусть Хп Х2— множества, Y— равномерное пространство, ©, — некоторое множество подмножеств множества X, (i --- 1, 2) и ©t X ©г — множество подмножеств вида Дц X Л2 произведения Х^ X Х2, где Лг £ ©t, I = 1, 2. Тогда каноническая биекция ,У (Хх X Х2; У) -> ^ (Хр, Д (Х2; У)) (Теор. множ., Сводка результ., § 4, п° 14) является изоморфизмом равномерного пространства Дg1x@2(^i X Х2; У) на равномерное пространство ■Де, №; .F@2 (Х2; У)).
В самом деле, пусть V — окружение для У и Ai ^ ©t (.1 = 1,2); из определений непосредственно следует, что каноническая биекция отождествляет ГГ (Л1 X Л2, У) с 1Г(Л1, Н" (Л2, V)), и предложение доказано.
Предложение 3. а) Пусть X—множество, ® — некоторое множество его подмножеств, У uY' — равномерные пространства и f — равномерно непрерывное отображение У в Y'. Тогда отображение и *-* /о и пространства .F^ (X; У) в Д^ (X', У') равномерно непрерывно.
Пусть X и X' — множества, © (соотв. ©') — некоторое множество подмножеств множества X (соотв. X'), У — равномерное пространство и отображение g: X* -*• X таково, что g (Л') для каждого Л' £ ©' содержится в объединении конечного числа множеств из ©. Тогда отображение и*-*ио g пространства Д^кХ; У) в Д^ДХ'; У) равномерно непрерывно.
Предложение 4. Пусть X и Y— множества, (Хх)^— семейство множеств и (У^)ц£М — семейство равномерных пространств. Для каждого X^.L пусть © х — некоторое множество подмножеств множества Xх и gx — отображение Хх в X; пусть © — множество подмножеств множества X, образованное путем объединения всех gx (<Ух)* Наконец, пусть /^ для каждого р. £ М — отображение У в Y^, и Y наделено слабейшей из равномерных структур, при которых все /^ равномерно непрерывны. Тогда равномерная структура ©-сходимости в Д’ (X; У) является слабейшей из тех, при которых все его отображения и v* /^ ° и о gx в .F^к (Х^; Уц.) равномерно непрерывны. .
Эти предложения пепосредствонно вытекают из описания фундаментальной системы окружений равномерной структуры ©-сходимости, данного в замечании 1 п° 2; детали доказательств мы оставляем читателю. Предложение 4 влечет, в частности,
Следствие. Пусть X — множество, (yjigi — семейство равномерных пространств и <5 — некоторое множество подмножеств множества X. Если наделить ЦУ, равномерной структура
рой произведения, то каноническая биекция равномерного пространства SF^ (X; ЦУь) на равномерное пространство JJ № у)
Igz ’tgz
(Теор. множ., Сводка результ., § 4, п° 13) есть изоморфизм.
5. Полные множества в ^©(Х; У)
Предложение 5. Пусть X — множество, У — равномерное пространство, <5 — некоторое множество подмножеств множества X. Для того чтобы фильтр Ф в .^^(Х", У) сходился к и0, необходимо и достаточно, чтобы Ф был фильтром Коши для равномерной структуры ^-сходимости, просто сходящимся к и0 на В = U'
ЛЕ®
Поскольку структура простой сходимости на В мажорируется структурой (g-сходимости, все сводится к доказательству того, что для каждого Л £ © и каждого замкнутого окружения У равномерной структуры пространства У множество Ж (А, У) замкнуто в топологии простой сходимости на В (гл. II, 2-е изд., § 3, упражнения 1а) и 16); 3-е изд., § 3, предложение 7). Но IF (Л, У) есть пересечение прообразов У относительно отображений (и, t;)i-> ►*^и(,х), v (х)), где а: пробегает Л, а эти последние непрерывны в топологии простой сходимости (п° 2, замечание 6).
Следствие 1. Для того чтобы подпространство И пространства jF^iX; У) было полно, необходимо и достаточно, чтобы для каждого фильтра Коши Ф в Н существовало и0 £ И, к которому Ф просто сходится на В = (J Л.
Это непосредственно следует из предложения 5.
Следствие 2. Пусть ©t и ©4 — множества подмножеств множества X такие, что их" объединения совпадают и ©tC2 ©2; и пусть Нс: ^ (X; У). Тогда полнота Н по ©Гсходимости влечет его полноту по ©^-сходимости.
В самом деле, всякий фильтр Коши по ©2-сходимости является фильтром Коши и по ©^сходимости, и можно применить следствие 1.
Следствие 3. Пусть Н— подмножество множества & (X; У) такое, что для всякого х ^В = (J Л замыкание мно
жества И (х) в У есть полное подпространство. Тогда замыкание П множества П в &g (X; У) есть полное подпространство. '
Пусть Ф — фильтр Коши в Н; определим отображение и множества X в У следующим образом. Если ж £ 5,то Ф (г) есть фильтр Коши в Н (х) (п° 2, замечание 6) и, следовательно, в силу предположения имеет по крайней мере одну предельную точку; за v (х) принимаем одну из них; если же х $ В, то принимаем за и (я) произвольную точку из У. При таком определении ясно, что Ф просто сходится к и на В, так что и является пределом Ф в ^@(Х; У) по предложению 5.
В частности, если У полно, то предположение следствия 3 предложения 5 выполняется для каждого Нс & № У), откуда
Теорема 1. Пусть X — множество, ©— некоторое множество его подмножеств uY — полное равномерное пространство; тогда равномерное пространство „Y© (X; У) полно.
(>. ©-сходимость в пространствах непрерывных отображений
Пусть X и У — топологические пространства; обозначим через Y- (X; У) множество всех непрерывных отображений X в Y. Если © — какое-либо множество подмножеств пространства X и У — равномерное пространство, то через Чз^ (X; У) будем обозначать множество Ч» (X; У), наделенное равномерной структурой ©-схо-
димости. В частности, 'йв (А; У), $с (А; У), ®и (А; У) означают множество У (А; У), наделенное соответственно равномерной структурой простой сходимости, компактной сходимости и равномерной сходимости.
Предложение 6. Пусть X — топологическое пространство, У — равномерное пространство, © — некоторое множество подмножеств из X. Для^каждого А 5 б и каждого замкнутого окружения У для У следи на (А; У) X У (А; У) множеств II (А, У) и II' (А, У) совпадают.
ВЪамом деле, пусть и и и — непрерывные отображения А в У; тогда х >-* (и (х), и (х)) есть непрерывное отображение А в У X У, и потому предположение, что (и (ж), и (аг)) € У Для всех х £ А влечет, что (и (а-), и (х)) 5 V для всех х £ А (гл. I, 2-е изд., § 4, теорема 2; 3-е изд., § 2, теорема 1).
Обозначая через © множество замыканий в А множеств из ©. заключаем из предложения 6, что в ^ (А; У) структуры ©-сходимости и ©-сходимости совпадают.
Следствие. Пусть В—плотное подмножество в А; в ^ (А; У) структура равномерной сходимости совпадает со структурой равномерной сходимости на В.
Предложение 7. Пусть А — топологическое пространство, <5 — некоторое множество его подмножеств и У — равномерное пространство. Если У отделимо и объединение В всех множеств из © плотно в А, то V^ (А; У) отделимо.
В самом деле, если и и и принадлежат всем Н'(Л, У) (И G ®, У —- окружение для У), то предположение отделимости У влечет, что и (аг) - у (ж) для всех х Е В; если и и у непрерывны, то по принципу продолжения тождеств (гл. I, 2-е изд., § 8, следствие 1 предложения 6; З-о изд., § 8, следствие 1 предложения 2) заключаем отсюда, что и = у.
В частности, в У (А; У) топология простой сходимости па множестве, плотном в А, отделима.
Предложение 8. Пусть X— множество, ^ — фильтр в А и Y — равномерное пространство. Множество Н всех отображе-
ний и-. X ->■ У, для которых и (%) есть базис фильтра Коши в Y, замкнуто в ,уи kX\ У)»
В самом дело, пусть отображение и0 множества X в У есть точка прикосновения для И в ^"ц (X; У). Для всякого симметричного окружения V равномерной структуры пространства У существует такое отображение и 5 П, что (щ, (х), и (х}) Е V, каково бы пи было х Е X; с другой стороны, по предположению, существует множество Л/ Е ?V такое, что (и (х), и (х')) Е V для каждой пары элементов х, х' из М. Поскольку ^и0 (ж), и (х)") Е V и (щ0 (х'), и (х1)) £ V, заключаем, что (uQ (ar), и0 (х1)) Е V для каждой пары элементов х, х' из М, и предложение доказано.
Следствие 1. Пусть X— топологическое пространство и У — равномерное пространство. Множество всех отображений X в У, непрерывных в некоторой точке х0 Е X, замкнуто в :глх-, У).
В самом деле, если S3 — фильтр окрестностей точки ж0 в X, то и (х0) есть продельная точка для и (S3); следовательно, для того чтобы и было непрерывно в хв, необходимо и достаточно, чтобы и (S3) являлось базисом фильтра Коши в У (гл. II, 2-е изд., § 3, предложение 4; 3-е изд., § 3, следствие 2 предложения 5).
Следствие 2. Пусть X и L — множества, фильтрующиеся соответственно по фильтрам ^ и ®, a Y — полное равномерное пространство. Пусть далее их для каждого X Е L есть отображение X в У. Предположим, что-. 1° семейство (и^х^ь сходится по фильтру @ равномерно на X к отображению и множества X в У; 2° их для каждого X б L сходится по фильтру ^ к пределу у к- При этих условиях и имеет предел по фильтру ^ и всякий такой предел является пределом семейства (Ух)кеь по ®-
В самом деле, и есть точка прикосновения множества отображений их в .Yu (X-, У), а значит, по предложению 8 и ($) есть базис фильтра Коши в У, чем в силу полноты Y доказано, что и обладает некоторым пределом у но ft. Пусть X' -= X U {<о} — топологическое пространство, ассоциированное с фильтром ft (гл. I, 2-е изд., § 5, п° 8; 3-е изд., § 6, п° 5); продолжим их (соотв. г) до отображения их (соотв. к) пространства X" в Y, полагая
“к (<°) = Ух (соотв. о (со) = у). Тогда все их и и будут непрерывны в X' и их будет сходиться равномерно на X к v по @; поскольку X плотно в X', следствие предложения G показывает, что ик будет сходиться равномерно на X’ к у и, в частности, что у = = Hmw ух-
Теорема 2. Пусть X — топологическое пространство и Y — равномерное пространство. Тогда множество ^ (X; У) всех непрерывных отображений X eY замкнуто в fp (X; У), наделенном топологией равномерной сходимости. -
В самом деле, для каждого х £ X множество всех отображений X в У, непрерывных в точке ж, замкнуто в ^u (X; У) (следствие 1 предложения 8); поэтому и пересечение ^S (X; У) этих множеств замкнуто. ■
Этот результат выражают еще, говоря, что всякий равномерный предел непрерывных функций непрерывен.
Следствие 1. Если Y — полное равномерное пространство, то $Г1 (X; У) полно.
Действительно, по теореме 2 ^ц (X; У) есть замкнутое равномерное подпространство равномерного пространства ^ДХ; У), полного в силу теоремы 1.
Следствие 2. Пусть X — топологическое пространство, ® — некоторое множество его подмножеств и Y — равномерное пространство", обозначим через ^@(Х; У) множество всех отображений X в У, сужение которых на каждое множество из © непрерывно. Тогда Т^ (X; У). замкнуто в равномерном пространстве \Р^ (X; У) и является полным равномерным подпространством, если Y полно.
Действительно, предположим, что и есть точка прикосновения для У@(Х; У) в ,^g (X; У); тогда (п° 2) и\Л при всяком Л б © есть точка прикосновения для % (Л; У) в .Fu (Л; У) и потому в силу теоремы 2 непрерывно. ■
Следствие 3. Пусть X — метризуемое или локально компактное топологическое пространство и Y — равномерное про-
странство. Тогда Т (X; У) замкнуто в равномерном пространстве 1рс (X; У); если., кроме того, Y полно, то равномерное пространство ^с (X', У) полно.
В силу следствия 2 достаточно показать, что если <5 — множество всех компактных подмножеств из X, то У~ (X; У) = ^^(Х; У) в обоих рассматриваемых случаях. Если X локально компактно, то это очевидно; если же X метризуемо, то предположение непрерывности сужения отображения и". X -► У па всякое компактное множество в X влечет, в частности, что для каждого х £ X и каждой последовательности (zn) точек из X, сходящейся к х, и (ar) — Пт и (zn); следовательно, и непрерывно в х П-*оо
(гл. IX, § 2, предложение 10).
Отметим, что последнее рассуждение применимо в том более общем случае, когда всякая точка в X обладает счетной фундаментальной системой окрестностей..
Замечания. 1) Вообще говоря, множество t? (X; У) не замкнуто в ^ (X; У), наделенном топологией простой сходимости; другими словами, простой предел непрерывных функций но обязательно непрерывен (упражнение 5а)).
Фильтр в К (X; У) может просто сходиться к непрерывной функции, не сходясь к ней равномерно.
Например, пусть и„ — числовая функция па интервале I = = [0, 1), равная 0, если ж — 0 или — ^ .г < 1, равная 1. при зс = tin и линейная на каждом из интервалов [0, 1/»] и [1'н, 2/п]; тогда после
довательность (un) просто сходится к 0, по не сходится к 0 равномерно на I (см. упражнение 6).
Если X — равномерное пространство, то рассуждение, совершенно аналогичное проведенному при доказательство предложения 8, показывает, что множество всех равномерно непрерывных отображений X в У замкнуто в jFu (Аг; У).
Предположим, что равномерное пространство У наделено аддитивно записываемым ассоциативным и коммутативным законом композиции таким, что отображение (у, у') i-* у -)- у* непрерывно на У X У. Пусть (un) — такая последовательность непрерывных отображений X в У, что ряд с общим членом ип
равномерно сходится па X; тогда сумма^ этого ряда непрерывна па X.
Мы оставляем читателю формулировку соответствующего результата для равномерно суммируемых семейств (и0 1, замечание 5) непрерывных отображений.
Предложение 9. Пусти X — топологическое пространство и ¥ — равномерное пространство. Тогда отображение У, х) я-* *-► / (х) пространства Ти (X; У) X X в ¥ непрерывно.
В самом деле, пусть /0 — непрерывное отображение X в У, х0 — точка из X и V — симметричное окружение для Y. Множество Т непрерывных отображений j: X -»- ¥ таких, что (/ (ж), /о (z)) € V для всех х ^ X, есть окрестность /0 в £„ (X; У). С другой стороны, так как /0 непрерывно, то существует такая окрестность U точки х0 в X, что (/0 ^х), /0 (Ху)) £ V для всех х 5 U. Сле-
2'
довательно, (/ (х), /0 (z0)) g V для всех (j, z) £Т х U, и предложение доказано.
Упражнения
Пусть X — множество, У — непустое и по сводящееся к одной точке равномерное пространство, S — непустое множество непустых подмножеств множества X л У' с S- (X; У) — множество всех постоянных отображений X в У. Обозначим через с,; для каждого у £ У постоянное отображение X в У, равное у.
Показать, что у v—> с,, есть изоморфизм пространства У па равномерное подпространство У' пространства S-^^X^YY •
Для того чтобы .Уg (X; У) было отделимо, необходимо (и достаточно), чтобы У было отделимо, a S покрывало X.
Для того чтобы У' было замкнуто в .^^(Xiy), необходимо и достаточно, чтобы 3^ (X; У) было отделимо.
Пусть X — множество, У — непустое и ве сводящееся к одной точке отделимое равномерное пространство, а ®] и S2 — множества подмножеств множества X, удовлетворяющие условиям (1*’£) и (Е][) п° 2; показать, что если Sj С ®2 и ©, у ©», то равномерная структура ©j-сходнмостн слабо!1 равномерной структуры ©2-с ходимости. В частности:
Если X — отделимое но компактно!! топологическое пространство, то равномерная структура компактной сходимости слабее равномерной структуры равномерной сходимости.
Если X — отделимое топологическое пространство, в котором существуют бесконечные компактные множества см. гл. I, 3-е изд.,
$ !), упражнение 4), то равномерная структура простой сходимости слабее ратюмерпой структуры компактной сходимости.
Пусть X — множество, © — его покрытие, У — неотделимое равномерное пространство п Уо — ассоциированное с. У отделимое равномерное пространство (гл. II, 2-е изд., § 1, н° 4; 3-е изд., § 3, н° 8). Показать, что отделимое равномерное пространство, ассоциированное с ^g (X; У), изоморфно 3^ (X; Уо).
Показать, что в множестве У (К, В) всех непрерывных конечных числовых функций, определенных на В, топологии равномерной сходимости получается различной, смотря по тому, наделим ли мы В аддитивной равномерной структурой или равномерной структурой, которую индуцирует (единственная) равномерная структура расширенной прямой В (хотя топологии, определяемые и К атнми двумя равномерными структурами, совпадают).
Пусть X — топологическое пространство; множество © его подмножеств называют насыщенным, если 6 удовлетворяет условиям (Fj) и (Fy п° 2 и замыкание всякого множества из 6 принадлежит ©.
Показать, что если X— нормальное пространство (гл. IX, § 4) и © — насыщенное множество его подмножеств, покрывающее X, то множество У(Х; В) плотно в пространство Y^ (X; В) (следствие 2 теоремы 2), наделенном топологией ©-сходимости; в частности, У (X; В) плотно в 3FS(X; В); У (X; В) замкнуто в .У,(Х; В) только когда X дискретно.
Пусть X — вполне регулярное пространство (гл. IX, § 1, н° 5), а ©1 п ©2 — насыщенные множества его подмножеств; предположим, что ©J с: ©2 п ©1 -/ ©2- Показать, что в У (X; В) топология ©[-сходимости слабее топологии ©2-сходимости.
G) а) Пусть X -- топологическое пространство, У — равномерное пространство и Ф — фильтр в множестве У (X; У), просто сходящийся к некоторой функции и0. Для того чтобы ип была тк'ирс'рыныа в точке х0 С X, необходимо и достаточно, чтобы для каждого окружения V равномерной структуры пространства У и каждого множества 47 Е Ф существовали окрестность (' точки т0 и и ( М такие, что (в„ (т), и (.г)) Е Е V при всех а: Е I/.
б) Пусть X — квазнкомиактвое пространство, У ■■ равномерное пространство и Ф — фильтр в У (X; У), просто сходящийся к некоторой функции »0. Для того чтобы ий была непрерывна на X, необходимо и достаточно, чтобы для каждого окружения V для У п каждого множества М Е Ф существовало конечное число функций ц; £ М (1 < I ^ а), для которых при любом .с С X имелся хотя бы один индекс / такой, что Фо (х), и, (z)) Е V. [Использовать а).]
*7) Пусть X и У — отделимые равномерные пространства. График G (/) С X X У' любого непрерывного отображения /: X -> У есть
замкнутое множество в X X У (гл. I, 2-е изд., § 8, следствие 2 предложения 6; 3-е изд., § 8, следствие 2 предложения 2), так что / н-*- G tf) есть инъективное отображение ^ (Х;У) в множество 5 (X X У) всех непустых замкнутых подмножеств пространства X X У.
Показать, что отображение / н♦ G (/) пространства Ч?и (X; У) в .У (X X У) равномерно непрерывно, если наделить S' (X; У) равномерной структурой, определенной в упражнение 7 § 2 гл. II 2-го изд. (3-е изд., § 1, упражнение 5).
Пусть Г — образ множества ^ (X; У) в ц (X X У) при отображении/ н-»С(/) и <р —отображение Г в Уи(Х; У), обратное к / н-> н* G (f). Показать, что если X компактно, тоф непрерывно на Г. [Рассуждать от противного.]
Пусть X и У совпадают с компактным интервалом [О, 1] в R. Показать, что ср не равномерно непрерывно на Г.
*8) Пусть X и У — метрические пространства и (/„) — последовательность борелевских отображений класса а пространства X в У (гл. IX, § 6, упражнение 16).
Предположим, что последовательность (/„) просто сходится к некоторому отображению /: X -* У. Показать, что / принадлежит классу а -|- 1. [Заметить, что если U — открытое множество в У, тоМП) = иш/п+А W)» и использовать упражнение 4 § 6
А^О•*
гл. IX.].
Предположим, что последовательность (/«) равномерно сходится к /. Показать, что / принадлежит классу а. [Пусть F — замкнутое множество в У и Уп для каждого п > 0 означает множество тех точек из У, расстояние которых до F не превышает 1/п. Показать, что существует возрастающая последовательность а н* т (и) номеров такая, что / (F) = HL(n) (^п)-)'
п
Предположим, что У — счетного типа. Показать, что если /: X -* У — борелевская функция класса а > 0, то существует последовательность (дп) борелевских функций gn: X -*• У класса < а, просто сходящаяся к /. [Показать, что в качество gn можно взять функции, принимающие только конечное число значений; использовать упражнения 4з) и 16в) § 6 гл. IX.]
) Пусть X — бэровское пространство, У — метрическое пространство и (/„) — последовательность непрерывных отображений X в У, просто сходящаяся к /. Точка ж £ X называется точкой равномерной сходимости, последовательности (/п), если для каждого в > О существуют окрестность V точки ж и целое р такие, что d (/m (у), tn О/)) ^ в для всех т > р, п ■> р и у С V (где d — расстояние в У). Показать, что дополнение S к множеству точек равномерной сходимо-
сти есть тощее множество п X. [См. упражнение 22а) § 5 гл. IX.] Привести пример, в котором 5 плотно в X. [Взять X = У = R; пусть и *-* гп —биекция N на Q; с другой стороны, пусть (#„) — последовательность непрерывных отображений R в [0, 1], сходящаяся к функции, равной 0 для ж -Л 0, и равной 1 в точке 0, причем сходимость равномерна на всяком открытом интервале из К, не содержащем 0. Рассмотреть последовательность функций
/п И = 2 «рйп ^ — Гр),
р = 0
где последовательность (а^,) надлежащим образом стремится к 0.]
Показать, что в группе Г всех гомеоморфизмов числовой прямой R па себя топология простои сходимости совпадает с топологией компактной сходимости. [См. упражнение 14 § 3.]
Пусть X — топологическое пространство и С — топологическая группа; множество $(X;G) всех непрерывных отображений X в G есть подгруппа группы Gx. Пусть S — некоторое множество подмножеств из X. '
Предположим, что для каждого Л £ S, каждой окрестности V нейтрального элемента е в G и каждого и ^ $(Х; С) существует окрестность W элемента е в G такая, что sWs'1 С V для всех $ £ и (Л). Показать, что тогда топология S-сходимости согласуется со структурой группы в К (X; С); кроме того, правая (соотв. левая) равномерная ■структура так определенной топологической группы t?g (X; G), где G наделена правой (соотв. левой) равномерной структурой, совпадает с равномерной структурой S-сходимости. Случай простой сходимости; случай компактной сходимости, когда G локально компактна. Случай, когда G коммутативна.
Показать, что если G — группа SL (2, R), наделенная топологией, индуцированной из К4, то топология равномерной сходимости не согласуется со структурой группы в Ч (К; GY
) Пусть X -- топологическое пространство и Л — топологическое кольцо (гл. Ill, 2-е изд., § 5, в0 1; 3-е изд., § 6, п° 3); множество ^(Х; Л) всех непрерывных отображений X в Л является подкольцом кольца Ах. Пусть S — некоторое множество подмножеств из X.
Предположим, что множества и (М) для всех М С ® и м Е Е ^(Х; Л) ограниченны (гл. III, 3-е изд., § 6, упражнение 12). Показать, что топология ©-сходимости согласуется со структурой кольца в Ч? (X; Л). Случаи простой и компактной сходимости.
Пусть X — локально компактное, но не компактное пространство, счетное в бесконечности (гл. I, 2-о изд., § 10, и° 11; 3-е изд., 5 9, п° 9). Показать, что топология равномерной сходимости не согласуется со структурой кольца в С (X; К).
Равностепенно непрерывные множества
Опредваение и ойщие признаки
Определение 1. Пусть X — топологическое пространство и Y — равномерное пространство. Говорят, что множество II ед ^ (X; У) равностепенно непрерывно в точке х0 £ X, если для каждого окружения У равномерной структуры пространства Y существует окрестность U точки х0 в X такая, что У (хи), f (z)) £ С V для всех точек х Е U и всех функций f 5 И. Говорят, что Н равностепенно непрерывно, если оно равностепенно непрерывно в каждой точке из X.
Определение 2. Пусть X и Y — равномерные пространства. Говорят,, что множество IIс ,Y (X; У) равномерно равностепенно непрерывно, если для каждого окружения У равномерной структуры пространства Y существует окружение U для X такое, что отношения (х, х') ^ U и j ^ Н влекут У (ж), / (а/)) 5 V.
Говорят, что семейство (ДДег отображений X в Y равностепенно непрерывно в точке х0 (соотв. равностепенно непрерывно, равномерно равностепенно непрерывно), если множество всех Д равностепенно непрерывно в х0 (соотв. равностепенно непрерывно, равномерно равностепенно непрерывно).
Ясно, что если 11 а ^ (X; У) равностепенно непрерывно в х0, то каждая функция j £ Н непрерывна в ж0; если Н равностепенно непрерывно, то все / Е II будут тем самым непрерывны па X, т. е. Н cz Т (X; У). Точно так же, если II равномерно равностепенно непрерывно (так что X — равномерное пространство), то каждая функция / Е Н равномерно непрерывна на X. Ясно, что если Н равномерно равностепенно непрерывно, то оно равностепенно непрерывно; однако множество равномерно непрерывных отображений может быть равностепенно непрерывным, но будучи равномерно равностепенно непрерывным (см. упражнение 1, следствие 2 предложения 1 и предложение 4).
Пример ы. 1) Пусть X — топологическое (соотв. равномерное) пространство и Y — равномерное пространство. Всякое конечное множество непрерывных (соотв. равномерно непрерывных) отображений Х<н Y равностепенно непрерывно (соотв. равномерно равностепенно непрерывно).
Пусть X и У — метрические пространства, <1 (соотв. d') — расстояние и X (соотв. в У), а к и а — числа >0. Множество всех отображений /: Л' У таких, что
d' ([ (.г), / (У)) С к (d (г, У))“
для каждой пары (ж, ж') точек из X, равномерно равностепенно непрерывно. Например, множество всех изометрий (гл. IX, § 2, п° 2) пространства X на некоторую часть пространства У равномерно равностепенно пеир>еры нно.
0 Пусть // — какое-либо множество дифференцируемых числовых функций на ипторпагю I G2 R таких, что | /' (а) | су к для всех х ^ 1 и всех / б II. Тогда 11 равномерно равностепенно непрерывно, ибо по теореме о конечных приращениях (Функции действ, перем., гл. I, § 2, теорема 1) | / (ад) — / (z2) | ^ к | ад — z2 | для всех а\, хг из I и всех / б II.о
Пусть G — топологическая группа, Y — равномерное пространство н / — равномерно непрерывное! отображение группы G, наделенной своей левой равномерной структурой (гл. III, § 3, n° 1), в У. Пусть I, для каждого s Q G означает отображение х v-*f (sx) группы G в У. Тогда множество отображений j„ (s б С) равномерно равностепенно непрерывно, поскольку соотношение z'V С. V равносильно (га)-1 (га') С У
Предложение 1. Пусть Т — множество, g — некоторое множество его подмножеств, Y — равномерное пространство, X — топологическое (соотв. равномерное) пространство и f — отображение Т X X вУ. Пусть далее. Па^ /у(Х; Y) для каждого ЛЕЕ есть множество всех отображений вида х *-* f (I, х), где t^A. Для того чтобы отображение х >-> / (•, х) пространства X в .У^ (Г; У) было непрерывно в точке ж0 Е X (соотв. равномерно непрерывно), необходимо и достаточно, чтобы множество Па для каждого Л ( б было равностепенно непрерывно в х0 (соотв. равномерно равностепенно непрерывно).
Рассмотрим сначала тот частный случай, когда 3 -- {7}, т. о. ■Дг (Т; Y) -= ДД (Т; У). Каково бы ни было окружение V для У, условие (/(•, х), / (•, х')) Е И’ (У) означает, что (/(7, х), i (t, х')) Е V для всех t Е Т. Поэтому непрерывность отображения х н-> / (., х) в х0 (соотв. равномерная непрерывность) означает, что каково бы ни было окружение V для У, существует окрестность U точки х0 в X (соотв. окружением для X) такая, что отношение х Е U (соотв. (ж, х') Е М) влечет (/ (i, х), f (t, х0)) ^ V (соотв.
(/ (Z, ж), / (t, ж')) б ^9 для всех t £ Т; а тогда справедливость предложения вытекает из определений 1 и 2. В общем случае, согласно сказанному в и0 2 § 1, следует сказать, что отображение ж*-* ►-*•/(•, ж) | Л пространства X в .^ (Л; У) для каждого Л £@ непрерывно в точке ж0 (соотв. равномерно непрерывно); в силу предыдущего это равносильно условию, что НА для каждого Л (g равностепенно непрерывно в точке ж0 (соотв. равномерно равностепенно непрерывно). .
Предложение 1 позволяет дать подчас удобную перефразировку определений 1 и 2 применительно к случаю, когда Т — И, a t — отображение (А, ж) И (х) произведения II X X в У; поскольку / (•, ж) есть тогда отображение h *-► h (ж) множества II в 1', получаем
Следствие 1. Пусть X— топологическое (соотв. равномерное') пространство, Y— равномерное пространство и Н с: аД (X; У); Для каждого ж £ X обозначим через х отображение h*-* h (ж) множества II в У. Для того чтобы II было равностепенно непрерывно в точке ж0 (соотв. равномерно равностепенно непрерывно), необходимо и достаточно, чтобы отображение х *-* х пространства X в равномерное пространство Ди (И; Y) было непрерывно в точке ж0 (соотв. равномерно непрерывно).
В частности, так как, когда X компактно, всякое непрерывное отображение X в ДДН-, Y) равномерно непрерывно (гл. II, § 4, теорема 2), имеем:
Следствие 2. Пусть X — компактное пространство и У — равномерное пространство. Всякое равностепенно непрерывное множество в Д (X; У) равномерно равностепенно непрерывно.
Рассмотрим теперь множество Т, топологическое пространство X, равномерное пространство У и отображение /: Т X X -> У. Обозначим через / отображение ж *-»/(-, ж) пространства X в Ди (Т\ У), и пусть 0: (Z, g) »-* g (<) —каноническое отображение Т X Ди {Т1 У) в ясно, что диаграмма
T^U(T;Y)
(где 1Г — тождественное отображение) коммутативна. Предположим теперь, что Т наделено топологией и отображение / (•, ж): t*-*} (t, х) для каждого ж € X непрерывно; тогда в предыдущей диаграмме можно заменить .^(Т; У) на Уи (Т; У). По, как мы знаем, в непрерывно (§ 1, предложение 9), и потому, если отображение / непрерывно, то непрерывно и /. Поскольку и (-прерывность / характеризуется предложением 1, получаем следующий результат:
Следствие 3. Пусть Т и X — топологические пространства, V — равномерное пространство и / — отображение Т X X в У. Для непрерывности f достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
10 частичное отображение t*-*f^t, х) непрерывно для каждого ж € X;
2° частичные отображения х >-*• f (£, ж), где t пробегает Т, образуют равностепенно непрерывное подмножество в ДЕ (X; У).
Возьмем, в частности, в качестве Т множество Нс Др (X; У), а в качестве / — каноническое отображение (jh, x)*-*h (ж) произведения Н X X в У; условие 1° следствия 3 будет означать, что Н наделено топологией, мажорирующей топологию простой сходимости, а условие 2° — что И равностепенно непрерывно. Таким образом: ■ '
Следствие 4. Пусть X — топологическое пространство, У — равномерное пространство и И — равностепенно непрерывное множество отображений X в У. Если И наделено топологией простой сходимости, то отображение (h, ж) н-* А (ж) произведения Н X X в У непрерывно.
Говоря образно, это означает, что если h С- П просто сходится . к h о ^ И, а х £ X сходится к ,т0, то h (ж) сходится к Ао (г0).
Следствие 5. Пусть X — топологическое пространство, У и Z — равномерные пространства и Н — равностепенно непрерывное множество отображений У в Z. Если. Н, *6 (X; У) и Е (X; 7Д наделены топологией простой сходимости, то отображение (и, и) ь-* и ° и произведения Н X % (X; У) в ^ (X; Z) непрерывно.
13 н, Бурбаки
В самом деле, требуется доказать непрерывность отображения (и, н) •-* и (у (ж)) произведения Я X У (X; У) в 2 для любого х^Х. Но v I-* v (ж) непрерывно на Н (§ 1, п° 2, замечание б), и из следствия 4 вытекает, что (и, у) н-* и (у) есть непрерывное отображение // X У в Z; поскольку (м, у) i-> и (у (ж)) есть композиция отображений (и, у')*-* и (у) и (и, к) >-* (и, к (ж)), предложение доказано.
Следующее предложение и его следствие — аналоги следствий 3 и 4 предложения 1 для равномерно непрерывных отображений.
Предложение 2. Пусть Т, X, У — равномерные пространства и / — отображение Т X X в У. Для того чтобы f было равномерно непрерывно, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены следующие условия:
1° отображения х*-*^ (t, ж), где t пробегает Т, образуют равномерно равностепенно непрерывное множество в ^ (X; У);
2° отображения tv-»f (t, ж), где ж пробегает X, образуют равномерно равностепенно непрерывное множество в ,Д Д; У).
Непосредственно ясно, что эти условия необходимы. Обратно, предположим, что они выполнены, и пусть W — окру-, жение для Y; тогда существуют окружение U для Т и окружение V для X такие, что: 1° (Я, У) g U влечет (/ (Я, ж), / (<", ж)) g g W для всех ж g X; 2° (ж', ж") g V влечет (/ U, х'), / (2, ж")) g W для всех t g Т. Ясно, что тогда отношение «(Я, Г) g U и (ж', ж") g
g У» влечет (/ (У, ж'), / (/", ж")) g W, и предложение доказано.
Пусть, в частности, Т есть множество II с .Д (X; У), наделенное равномерной структурой равномерной сходимости, а / — каноническое отображение (Я, x)i-*-h (ж); тогда условие 2е предложения 2 автоматически выполнено, ибо, каково бы ин было окружение W для У, множество тех пар (Я', Я"), для которых (/г' (ж), h" (ж)) g W при всех х g X, является по определению окружением равномерной структуры в Н. Достаточно поэтому выразить только условие 1°; таким образом имеем
Следствие. Пусть X, У— равномерные пространства и Н с Д7 (X; УУ Для того чтобы Н было равномерно равностепенно
з РАВНОСТЕПЕННО НЕПРЕРЫВНЫЕ МНОЖЕСТВА 195 непрерывно, необходимо и достаточно, чтобы отображение (h, х)—* v->h (ж) произведения Н X X в Y было равномерно непрерывно при наделении Н равномерной структурой равномерной сходимости.
М. Специальные признаки равностепенной
н епре рывн ости
Ясно, что всякое подмножество равностепенно непрерывного (соотв. равномерно равностепенно непрерывного) множества равностепенно непрерывно (соотв. равномерно равностепенно непрерывно). Кроме того, если X — топологическое (соотв. равномерное) пространство и У — равномерное пространство, то объединение всякого конечного семейства равностепенно непрерывных (соотв. равномерно равностепенно непрерывных) множеств из .3 (X; У) равностепенно непрерывно (соотв. равномерно равностепенно непрерывно).
Пусть X и X' — топологические (соотв. равномерные) пространства, У и У' — равномерные пространства, /: X* X — непрерывное (соотв. равномерно непрерывное) отображение и g: Y -*Y* — равномерно непрерывное отображение. Из определений непосредственно следует, что отображение и > g о и о / множества ЗДХ\ Y) в ^ (X'; Y') переводит равностепенно непрерывные (соотв. равномерно равностепенно непрерывные) множества в равностепенно непрерывные (соотв. равномерно равностепенно непрерывные) множества.
Предложение 3. Пусть X — топологическое (соотв. равномерное^ пространство, (yt)tgr — семейство равномерных пространств, Y — множество и Д для каждого i — отображение Y в Yt. Наделим У слабейшей из равномерных структур, при которых все К равномерно непрерывны. Для того чтобы множество На cz Д7 ^Х; У) было равностепенно непрерывно (соотв. равномерно равностепенно непрерывно), необходимо и достаточно, чтобы его образ при отображении и >-> Д о и был равностепенно непрерывным (соотв. равномерно равностепенно непрерывным) множеством в Д7 VX\ Y^ для каждого i g I.
Это непосредственно следует из определений 1 и 2 п° 1 и определения окружений для У.
Предложение 4. Пусть X и Y — равномерные пространства, П — некоторое множество равномерно непрерывных отображений X вУ, X uY — отделимые пополнения пространств X иУ и И — множество отображений и: X -*Y где и пробегает Н (гл. II, 3-е изд., § 3, предложение 15). Для того чтобы Н было равномерно равностепенно непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы таким было II.
Напомним, что имеет место коммутативная диаграммах Л у
X У и где i и / — канонические отображения; кроме того, равномерная структура в X (соотв. У) есть прообраз относительно отображения I (соотв./) равномерной структуры в X (соотв. У). Таким образом, для того чтобы II было равномерно равностепенно непрерывно, необходимо и достаточно, чтобы этим свойством обладал его образ при отображении и*-*- j о и (предложение 3), причем можно даже ограничиться случаем, когда У отделимо и полно; кроме того, если Н равномерно равностепенно непрерывно, то то же верно и для И—его образа при отображении и -*■ и о i; поэтому все сводится к установлению обратного в случае, когда У = У. Итак, пусть V — замкнутое окружение для У; по предположению, существует такое окружение U для X, что отношения (х, х') £ б U и и С Н влекут (и (х), и ^х'^ % V. Но если U' есть образ окружения U при отображении i X i, то его замыкание [Г в X X X является окружением в X (гл. II, 2-е изд., § 3, предложение 10; 3-е изд, § 3, предложение 12); из предположения следует, что для (z, z') £ U' и и £ И имеем (?z (z), и (z')) С V, а так как V замкнуто и и непрерывно, то тогда также (u (Z), и (Z')) £ V, каковы бы ни были (Z, Z') € U' и и 6 II, что завершает доказательство.
Предложение 5. Пусть G и G' — топологические группы, наделенные своей левой равномерной структурой, и И — некоторое множество представлений G в G'. Следующие условия равносильны:
Л
II равностепенно непрерывно в нейтральном элементе е группы G;
Я равностепенно непрерывно;
II равномерно равностепенно непрерывно.
Достаточно доказать, что а) влечет в). Пусть V' — окрестность нейтрального элемента е* группы G'; по предположению, существует окрестность V элемента е в G такая, что и (Г) с: V для всех н £ Я; поскольку элементы множества Я — представления, отношение х~гу £ V влечет (и (х))~хи(у) = и (х^у) £ V. Но в силу определения окружений левых равномерных структур в G и G' (гл. III, § 3, n" 1) это и означает, что Я равномерно равностепенно непрерывно.
Замыкание равностепенно непрерывного множества
Предложение 6. Пусть X — топологическое (соотв. равномерное') пространство, Y —' равномерное пространство и Я с cl ^ (X; Y). Для того чтобы Я было равностепенно непрерывно « точке хй^Х (соотв. равномерно равностепенно непрерывно), необходимо и достаточно, чтобы его замыкание Я в пространстве J"s (X; У) было равностепенно непрерывно в точке ж„ (соотв. равномерно равностепенно непрерывно).
Условие тривиальным образом достаточно. Для доказательства необходимости рассмотрим окружение V для У, замкнутое в У х Y; по предположению, существует окрестность U точки ж0 в X (соотв. окружение М для X) такая, что отношение х 6 U (соотв. (ж', х") £ М) влечет (Л (ж0), к (ж)) б У (соотв. (Л (ж'), к (х”)) ^ У) для всех к £ Я. Так как V замкнуто, то отображения к Е У7 (X; Y) такие, что Qi (ж0), к (ж)) € И для всех х £ U (соотв. (А (ж'), к (ж")) £ V для всех пар (ж', ж") £ М) образуют замкнутое множество в ,уа(Х; У) (§ 1, п° 2, замечание 6); поскольку это замкнутое множество содержит Я, оно содержит Я, чем предложение и доказало, поскольку окружения для Y, замкнутые в У х X Y, образуют фундаментальную систему окружений (гл. II, 2-е изд., стр. 162 русского перевода; 3-е изд., § 1, следствие 2 предложения 2).
4* Просшая сходимость и компактная сходимость в равностепенно непрерывных множествах
Теорема 1. Пусть X— топологическое (соотв. равномерное') пространство, У — равномерное пространство и II — равностепенно непрерывное (соотв. равномерно равностепенно непрерывное) множество в Т (X; У). Тогда в Н равномерные структуры компактной (соотв. предкомпактной) сходимости, простой сходимости и простой сходимости на плотном подмножестве D пространства X совпадают.
Достаточно показать, что последняя равномерная структура в И мажорирует первую; другими словами, требуется доказать, что для любых окружений V равномерной структуры пространства У и компактного (соотв. предкомпактного) множества А в X существуют окружение W для У и коночное множество FcD такие, что отношение
и £ II, v ^ II и (и (ж), и (х)) £ W для всех х ^F (2) влечет
(u ^х), v (х)) V для всех х £ А.(3)
Предположим сначала, что А компактно, а Н равностепенно непрерывно. Пусть дано симметричное окружение W для У; каждая точка х^Х обладает такой окрестностью U (х), что отношение х* £ U (ж) влечет (м (ж), и (ж')) £ W для всех и £ Н. Поэтому компактное множество А можно покрыть конечным числом открытых множеств Ut таких, что для каждой пары точек ж', ж", принадлежащих одному и тому же множеству Ut, (м (ж'), и (х")) £ 2
€ W при всех и ^ Н- Для каждого i возьмем по точке а; из D Q Ut, и пусть F — множество, образованное этими точками; предположим тогда, что (2) выполнено; для каждого х £ А существует индекс г такой, что нг и ж принадлежат одному и тому же множеству
22
17;, так что (и (ж), и (а,)) £ W и (г (аг), v (ж)) Е W, а отсюда сле
дует, что (2) влечет (3) коль скоро W выбрано так, что Wc V.
Если А предкомпактно, а Н равномерно равностепенно непрерывно, используем предложение 4: достаточно заметить, что i (Л) компактно в X, i (7)) плотно в X и все окружения для У являются прообразами окружений для У относительно / X j.
Следствие. В предположениях теоремы 1 замыкание Н множества Л в пространстве ,Т (X-, У), наделенном топологией простой сходимости, совпадает с замыканием Н в r6 (X; У), наделенном топологией компактной (соотв. предкомпактной) сходимости.
В самом деле, множество И равностепенно непрерывно (соотв. равномерно равностепенно непрерывно) в силу предложения 6 и потому содержится в б (X; У); поэтому утверждение следствия непосредственно вытекает пз того, что по теореме 1 обе рассматриваемые топологии в 77 совпадают.
Компактные множества непрерывных отображений
Теорема 2 (Асколи). Пусть X — топологическое (соотв. равномерное) пространство, 5 — его покрытие, У — равномерное пространство и Н — некоторое множество отображений X в У; предположим, что для всякого ЛЕ® сужение на Л каждого отображения и £ II непрерывно (соотв. равномерно непрерывно). Для того чтобы Н было предкомпактно в равномерной структуре 3-сходимости, необходимо во всех случаях и достаточно, если все множества ЛЕ® компактны (соотв. пред компактны), чтобы выполнялись следующие условия:
Для каждого ЛЕ® множество Я | Л с «Д (Л; У) сужений на Л всех функций и £ II равностепенно непрерывно (соотв. равномерно равностепенно непрерывно).
Для каждого х Е X множество II (ж) с У всех и (ж), где и пробегает II, предкомпактно.
Покажем сначала необходимость условий а) и б). Как мы знаем (§ 1, п° 2, замечание G), отображение и*-*и (ж) пространства .У® (X; У) в У равномерно непрерывно; если II предкомпакт- но, то предкомпактпо и И (ж) (гл. II, 2-о изд., § 4, упражнение 8; 3-е изд., § 4, предложение 2); тем самым б) доказано. Для доказательства свойства а) рассмотрим множество ЛЕ®, точку ж0 Е Л п окружение V для У; поскольку II предкомпактно, оно может быть покрыто конечным числом множеств, малых порядка 1Г(Л, У); другими словами, имеется конечная последовательность
(Uj) элементов из Н такая, что, каково бы ни было и g П, существует по крайней мере один индекс i, для которого
(и (ж), ut (х)) g V для всех х Е А.(4)
Так как теперь каждое иг | А непрерывно в точке ж0 (соотв. равномерно непрерывно), то имеется окрестность £7f точки ж0 в А (соотв. окружение Mi для Л), такая, что
ж Е Ut влечет (и, (ж), ut (ж0)) g V(5)
(соотв., что
(ж', ж") g Mi влечет (п< (ж'), и{ (х")) g К)-(6)
Пусть U (соотв. М) — пересечение всех Ut (соотв. всех М^; оно снова есть окрестность точки ж0 в А (соотв. окружение для Л). Для каждого и^Я существует индекс i такой, что выполняется (4); записав условие (4) для ж0 и для ж (соотв. для ж' и ж") и принимая во внимание (5) (соотв. (6)), видим сразу, что отношение х Е U (соотв. (ж', ж") g М) влечет (и (ж), и (ж0)) € V (соотв.
з
(и (ж'), и (ж")) g V) для всех и g И, чем установлено свойство а).
Покажем теперь, что условия а) и б) достаточны, если все Л g <5 компактны (соотв. предкомпактны). Действительно, выполнение условия б) влечет предкомиактность// в равномерной структуре простой сходимости (гл. II, 2-е изд., § 5, предложение 5; 3-е изд., § 4, предложение 3). Но из условия а) и теоремы 1 вытекает, что в Н | А равномерная структура простой сходимости на А совпадает со структурой равномерной сходимости на /1; следовательно, Н | А предкомпактно в /FUH; У), а это влечет предкомпактность Н в равномерной структуре ^-сходимости (§ 1, п° 2).
Отметим, что условие б) теоремы 2 всегда выполнено, если У — предкомпактное пространство.
Следствие 1. Пусть X— топологическое (соотв. равномерное) пространство, У — отделимое равномерное пространство и И — равностепенно непрерывное (соотв. равномерно равностепенно непрерывное) множество в Т (X; У). Предположим, что И (ж) относительно компактно в У для каждого х g X. Тогда Н относительно компактно вТ (X; У), наделенном топологией компактной (соотв. предкомпактной) сходимости.
Пусть Я — замыкание Н в ^S(X; У); оно также является равностепенно непрерывным (соотв. равномерно равностепенно непрерывным) множеством (предложение 6). Так как, кроме того, Н (ж) с II (ж) (§ 1, п° 2, замечание 6), то Н ^х) относительно компактно; поэтому теорема 2 показывает, что И предкомпактио относительно ©-сходимости, где © — множество всех компактных (соотв. предкомпактпых) подмножеств из X. Кроме того, поскольку II (х) компактно и, значит, полно, II полно в равномерной структуре простой сходимости (гл. II, 2-е изд., § 5, предложение 4; 3-е изд., § 3, предложения 10 и 8), а потому также — в равномерной структуре ©-сходимости (§ 1, следствие 2 предложения 5). Поэтому, будучи предкомпактным, полным и отделимым, II компактно (§ 1, предложение 1).
Следствие 2. Пусть X — топологическое (соотв. равномерное) пространство, У — полное отделимое равномерное пространство и II — равностепенно непрерывное (соотв. равномерно равностепенно непрерывное) множество в ^ (X; У). Предположим, что И (х) относительно компактно в У для каждой точки х из всюду плотного подмножества D пространства X. Тогда Н относительно компактно в *6 (Х;У), наделенном топологией компактной (соотв. предкомпактнои) сходимости.
Все сводится к доказательству того, что Н (х) относительно компактно для всех х Е X, ибо тогда можно применить следствие 1. Поскольку У полно, достаточно убедиться в том, что И (х) предкомпактно для всех х £ X. Но каково бы ни было .симметричное окружение V д.чя У, существует окрестность U точки х такая, что (ы (ж), и (ж')) Е V для всех х' Е U и всех и Е П. В силу предположения существует х* Е U П D, а так как И (У) относительно компактно в У, то существует конечное число точек yh Е У таких, что Н (ж') содержится в объединении множеств V (уь); тогда
П (ж) содержится в объединении множеств V (уь), чем доказательство и завершается.
Следствие 3. Пусть X — локально компактное пространство, Y — отделимое равномерное пространство и Нс ^ (X; У). Для того чтобы Н было относительно компактно в Те (X; У),
необходимо и достаточно, чтобы If было равностепенно непрерывно, а II (ж) относительно компактно в Y Оля всех х g X.
На основании следствия 1 достаточно показать, что если Н относительно компактно в Ус (А-; У), то II равностепенно непрерывно; по всякая точка х ^ X обладает компактной окрестностью Л, и из теоремы 2 вытекает, что II | Л равностепенно непрерывно; а это влечет равностепенную непрерывность И в точке х, что и требовалось.
3 а м е ч а и и е. Пусть X — топологическое пространство, У — равномерное пространство и g — некоторое множество подмножеств из X. Тогда во всяком предкомпактном множестве Пс 6"^ (X', Y) равномерная структура (g-сходимости совпадает с равномерной структурой простой сходимости на В = ^J Л.
Можно ограничиться случаем, когда В = X, а У отделимо и полно; действительно, равномерная структура (g-сходимости в '7 (X; У) является прообразом равномерной структуры (g-cxo- димости в .^ (В, У) относительно отображения 0: uv-* ъ»им, где i — каноническая инъекция В -> X, a i — каноническое отображение У -> У (§ 1, предложение 4), и для предкомпакт- ности II необходимо и достаточно, чтобы 0 (II) было предкомпактно (гл. II, 2-е изд., § 5, предложение 5; 3-е изд., § 4, предложе ние 3). Но если В — X, а У отделимо и полно, то Уб(Х; У) отделимо и полно (§ 1, предложение 1 и теорема 1), так что замыкание II множества II в этом пространстве компактно. В Н топология простой сходимости отделима (§ 1, предложение 1) и мажорируется топологией (g-сходимости; поэтому обе эти топологии совпадают (гл. I, 2-е изд., § 10, п° 4; 3-е изд., § 9, следствие 3 теоремы 2), и следовательно, совпадают равномерные структуры ©-сходимости и простой сходимости (гл. II, § 4, теорема 1).
Упражнения
Пусть / — числовая функция, равная 0 для ж ^ 0, равная х, если 0 ^ г ^ 1, и равная 1 для х^ t. Показать, что последовательность числовых функции /п (z) = / (пх — и2) (а £ N) равностепенно непрерывна, ио не равномерно равностепенно непрерывна в Н, хотя и состоит из равномерно непрерывных функций.
Пусть X — отделимое топологическое пространство, каждая точки которого обладает счетной фундаментальной системой окрестностей, и У — равномерное пространство. Показать, что если множество И с r6 (X; У) таково, что для каждого компактного КсХ множество И I К сужений на К отображений и Р II равностепенно непрерывно в У (К; У), то II равностепенно непрерывно. [Рассуждать от противного.]
Пусть X, У, Z — метрические пространства и II с % (X X У; Zy Предположим, что для каждого z0 С X отображения и (я0, •), где и Е II, образуют равностепенно непрерывное множество в У (У; Z). а для каждого у0 Е У отображения и (•, у0У где и £ II, образуют равностепенно непрерывное множество в У (X; Z). Показать, что если X полно, то для каждого Ь Е У сучдествует множество 5ь в X с тощим дополнением в X такое, что множество II равностепенно непрерывно в точке (а, 6) для каждого а С 5ь- [Применить упражнение 23 § 5 гл. IX, используя следствие 1 предложения 1 § 2 гл. X.)
Пусть X, У, Z — равномерные пространства.
Пусть И — равномерно равностепенно непрерывное множество в ГС (У; Zy Показать, что если II, ^ (X; У) н У (X; Z) наделены равномерной структурой равномерной сходимости, то отображение (и, о) н* ♦—► и о и произведения II X У (X; У) в У (X; Z) равномерно непрерывно.
Пусть К — равномерно равностепенно непрерывное множество в У (X; У) и L — равномерно равностепенно непрерывное множество в У (У, Zy Показать, что множество всех v о и, где и пробегает К, а v пробегает L, равномерно равностепенно непрерывно в У (X; Z).
Пусть X — топологическое пространство, У — нормированное пространство над недискретным нормированным толом К is II -— множество из SF (X; У), равностепенно непрерывное в точке т0 Е X. Показать, что для каждого вещественного числа к ^ 0 множество Н^ всех таких линейных комбинаций ^ сги; функций и^ £11, что У 1 сг | ^ к, равностепенно непрерывно в точке z0.
Пусть X — топологическое пространство, У — равномерное пространство, II — равностепенно непрерывное множество в У (X; У) и ф — фильтр в Я. Показать, что множество тех точек и' Х, для которых Ф '(г) есть базис фильтра Коши в У, замкнуто и X.
Пусть X — топологическое пространство, У — полное отделимое равномерное пространство и ф — равномерно непрерывный гомеоморфизм пространства У па открытое подмножество ф (У) отделимого равномерного пространства У'. Пусть далее 7/— равностепенно непрерывное множество в У (X; У) и IV — множество всех фон, где и £ II. Показать, что если и ость точка прикосновения для Н'
-1 ,
в б7 s (X; Y'), то и (ф (У))- открыто-замкнуто в Л".' В частности, если
X связно, то о (X) содержится в ф (У) или в связной компоненте его дополнения Сф (У). [Заметить, что v непрерывно, и использовать упражнение 6.]
Пусть Н — равностепенно непрерывное множество отображений топологического пространства X в R.
Покивать, что множество верхних (соотв. пижних) огибающих конечных подмножеств из Н равностепенно непрерывно.
Пусть г — отображение X в R, являющееся точкой прикосновения для Н в топологии простой сходимости. Показать, что г поире-
'-1-1
рывпо на X и что множества и (-|-оо) и г (--оо) открыто-замкнуты в X. [Использовать упражнение 7.]
Вывести из а) и б), что верхняя огибающая ю (соотв. нижняя
-1 ■ огибающая с) множества II непрерывна в X и что множество и- (-|-оо)
-1
(соотв. и (—оо)) открыто-замкнуто в X.
Пусть X связно и существует такое т0 Е X, что множество Я (z0) ограниченно в R. Показать, что для каждого компактного множества К из X множество сужений на К функций из И равномерно ограниченно на К. [Использовать в).]
Пусть X — множество, У — равномерное пространство и S — покрытие X. Для того чтобы подмножество Н равномерного пространства ^g (X; У) было предкомпактно, необходимо и достаточно, чтобы: 1° Н (л.) было предкомпактно в У для каждого х Е X; 2° в Я равномерные структуры ©-сходимости и простоя сходимости совпадали. [Применить теорему 2, рассматривая X как дискретное пространство и ограничиваясь! случаем, когда У отделимо и полно.]
а) Пусть X — компактное пространство и (/„) — последовательность непрерывных отображений X в себя, просто, но не равномерно сходящаяся па X к непрерывной функции (§ 1, п° 6, замечав не 2). Показать, что множество функций/л относительно компактно в $Я(Х; X), но не в <£с (X; X) = ^ (X; X).'
б) Пусть I — интервал [—1, +1] в R и u„ (я) = "Vх -j- 4,гл2 для каждого а > 0 и каждого х > 0. Показать, что множество П функций un равностепенно непрерывно в ^ (R+; Z) и относительно компактно в ^с (R+; Z), но не в ^„ (R+; Z). [Заметить, что последовательность (un) просто сходится к 0.]
Пусть X —■ вполне регулярное пространство и G — множество подмножеств из X, внутренности которых покрывают X. Показать, что пространство $g(X; R) не локально компактно.
Пусть X — топологическое пространство, У — равномерное пространство, Н —• равностепенно непрерывное множество в ^(Х; У) и V — симметричное окружение для У. Показать, что для каждой точки х Е X множество тех точек х' Е X, для которых, существует
n
целое п (зависящее от х'), такое, что И (z') с. V (Я (.г)), открытозамкнуто. Вывести отсюда, что для каждого компактного и связного множества Кв X и каждой точки х0 5 К существует такое целое
н > О, что Я (К) с V (Я (х0)).
*13) Пусть X — топологическое пространство, У — локально компактное равномерное пространство н II — равностепенно непрерывное множество в ^ (X; У).
Пусть А — множество тех точек я £ X, для которых Я (х) относительно компактно в У; показать, что А открыто в X. |См. 2-е над., гл. I, § 10, предложение 10 и гл. 1J, § 4, предложение' 1; 3-е изд., гл. 1, § 9, предложение 10 и гл. II, § 4, предложение 4.]
Предположим, кроме того, что У полно в своей равномерной структуре; тогда А также замкнуто в X. [Заметить, что если i0 Е Д, то Я (х0) относительно компактно в У, рассматривая для этого ультрафильтр в Я (z(l) как образ некоторого ультрафильтра из Z/.J В этом случае, если X связно, то для того, чтобы Я было относительно компактно в %с (X; У), необходимо и достаточно, чтобы множество Я (z0) было относительно компактно в У для какой-нибудь точки z„ е х.
Возьмем в качестве X компактный интервал [О, Ц из R, а в качестве У — интервал ]0,1[, наделенный равномерной структурой, индуцируемой из R. Привести пример равностепенно непрерывного множества ZZ в $ (X; У), для которого бы множество А, определенное в а), было интервалом ]0, 1J.
Пусть X = У и Я состоит из гомеоморфизмов X на себя. Показать, что если Я равностепенно непрерывно, то множество А, опре- делоппое в а), открыто-замкнуто в X.
14) Пусть Г — равностепенно непрерывная группа гомеоморфизмов пространства R на себя; показать, что если некоторый возрастающий гомеоморфизм я £ Г имеет хотя бы одну неподвижную точку, то и — тождественное отображение. [Показать, что в противном случае моногенная группа, порожденная элементом и, не была бы равностепенно непрерывна в надлежаще выбранной неподвижной точке.] Если и убывает, то и1 — тождественное отображение. ■
*15) Пусть X — метризуемоо компактное пространство, Г — группа всех его гомеоморфизмов па себя и G — подгруппа группы Г, действующая транзитияно в X. Показать, что централизатор Я группы G и Г равностепенно непрерывен. [Рассуждать от противного, предполагая, что Н не равностепенно непрерывен в некоторой точке « Е X; ' вывести отсюда существование последовательности точек тп Е X и последовательности элементов ип Е И таких, что lim xn =- а, lira un (а) == 6, lim ип (rn) — с, где 6 у= с. Заключить отсюда, что
П-*ОО
последовательность (un) просто сходится на X, но пи одна точка из X ле является точкой равномерной сходимости для этой последовательности, и противоречие с упражнением 9 § 1.]
Пусть X—отделимое равномерное пространство н Г — равностепенно непрерывная группа гомеоморфизмов X на себя. Тогда отношение эквивалентности Н, определяемое группой Г в X, открыто (гл. I, 2-е изд., § 9, и° 6, 7; З-о изд., § 5, н° 2). 1
Показать, что если всякая орбита относительно Г замкнута в X, то пространство орбит Х/Г отделимо.
Показать, что если всякая орбита относительно Г компактна, то отношение R замкнуто. [Использовать предложение 7 § 9 главы I 2-го изд. пли предложение 10 § 5 главы I 3-го изд.1
Привести пример, когда X компактно, но пи одна орбита относительно Г не замкнута в X. [См. гл. Ill, 3-е изд. § 2, упражнение 29.)
*17) Пусть X — компактное пространство и Г — счетная группа гомеоморфизмов X па себя; предположим, что пространство орбит Х/Г огпйелилю (и потому компактно').
Показать, что орбита Г U) каждой точки т £ X есть конечное множество. [Заметить, что если бы это множество было бесконечно, оно не имело бы ни одной изолированной точки, и применить теорему Бэра (гл. IX, § 5, теорема 1).]
Пусть Л (хп) для каждой точки r0 5 X означает нормальный делитель группы Г, образованный гомеоморфизмами, оставляющими неподвижными все точки орбиты Г (г0). Показать, что если А (т0) имеет конечное число образующих, то группа Г равностепенно непрерывна в точке х0. [Пусть it (1 < i ^ т) — образующие нормального делителя А (а;^ и ^ (1 ^ к ^ и) — представители каждого из классов группы Г по модулю А (д0), отличных от А (.г0); взять окрестность V точки т0 так, чтобы ни одно из множеств /; (V), /тт (р) Не пересекало ни одного из множеств gh (Г); использовать затем замкнутость отношения эквивалентности, определяемого группой Г (гл. I, § 10, предложение 8).]
Не предполагая ничего о А (т0), допустим, что ж0 обладает фундаментальной системой святых окрестностей в X; показать, что Г равностепенно непрерывна в точке х0. [Метод, аналогичный указанному в б).] Вывести отсюда, что если X локально связно, то Г равностепенно непрерывна.
Возьмем в качестве X компактное подпространство в R, состоящее из точек 0, 1, 1/п и 1 + 1/п, где п — целые >2; привести пример неравностепенно непрерывной счетной группы Г гомеоморфизмов X на себя, для которой Х/Г отделимо.
*18) Пусть G — отделимая топологическая группа, действующая непрерывно в отделимом топологическом пространстве X; говорят,
что G совершенна в точке х0 £ X, если орбита Grn замкнута в X и G действует совершенно n Gz0 (гл. III, 3-е изд., § 4, п° 1).
Пусть G — локально компактная топологическая группа, действующая непрерывно в отделимом равномерном пространстве X. Предположим, что множество гомеоморфизмов ж н* sx пространства X на себя, где s пробегает G, равностепенно непрерывно. Показать, что если G совершенна в точке л-0 f X, то существует окрестность V этой точки такая, что множество тех я £ G, для которых sV П V ч- 0, относительно компактно в G. [См. гл. III, 3-е изд., § 4, предложение 7.) Вывести отсюда, что множество D точек из X, где G совершенна, открыто в X, и G действует совершенно в D. Если X, кроме того, локально компактно, то D открыто-замкнуто в X. [Использовать следствие 2 предложения 1.]
Пусть Е — множество па числовой плоскости К2, состоящее из начала (0, 0) и точек (О, 2*п), где п — целые >0. Для каждого целого п £ Z, отличного от 0, обозначим через ип сужение па Е такого аффииного линейного отображения плоскости К2 в себя, что un (0. 0) = = (и, 0) п ип (0, 2~1п') = (0, О"), где 0 — иррациональное число такое, что 0 < 0 < 1; пусть X — локально компактное подпространство в R2, являющееся объединением Е и всех ип (Е) (п 5 Z, п #= 0). Обозначим, кроме того, через м0 тождественное отображение Е на себя и определим un (п С Z) на всем X, полагая ип (ит (я)) = ип.ит (я) для всех z £ Е и всех т £ Z; множество G отображений ип является группой гомеоморфизмов X на себя, которую мы наделим дискретной топологией, так что G будет действовать непрерывно в X. Показать, что G совершенна в каждой точке из X, во не равностепенно непрерывна и не действует совершенно в X.
Пусть X -- подпространство (не локально компактное) в R1 (отождествленном с С), состоящее из полуплоскости у > 0 и начала. Определим гомеоморфизм и пространства X на себя, положив и (0, 0)— == (0, 0) и и (геш) = ге1о)', где т' = в>/2, если 0 < со ^ л/2, со' — = о) — л/4, если л/2 sj со ^ Зл/4, и со' = 2ю — л, если Зл/4 С, ^ со < л (г > 0, 0 < со < л). Пусть G — монотонная группа гомеоморфизмов X па себя, порожденная и и паделеппая дискретной топологией. Показать, что Сравпостеиеппо непрерывна на X и что множеством тех точек из X, где G совершенна, служит полуплоскость у > 0.
Пусть X — отделимое равномерное пространство и G — группа гомеоморфизмов X па себя.
Показать, что если G равностепенно непрерывна и дискретна в топологии простои сходимости, то она замкнута в пространстве (X; X).
Показать, что если G, наделенная дискретной топологией, совершенна хотя бы в одной точке из X (упражнение 18), то опа замкнута в 8Fs (X; X) и топология простой сходимости индуцирует в G дискретную топологию.
Пусть X — топологическая сумма пространств Xt, Х3, гомеоморфных R, так что X отождествим» с произведенном R X {* ,2}; наделим X равномерной структурен! произведения. Для каждой пары (т, л) целых рациональных чисел обозначим через итп гомеоморфизм X на себя, определенный для всех яд 5 XL и ж2 $ Х2 уравнениями итп to) = Т] -!- та + лР, итп (z^ — та -|- ту -г мб, где а, р, у, 6 — вещественные числа =И=0 такие, что а/p и у/б иррациональны и различны. Показать, что отображения ит„ образуют группу G гомеоморфизмов X па себя, которая равностепенно непрерывна и дискретна в топологии простой сходимости, но что G (наделенная дискретной топологией) не является совершенной пи в одной точке из X.
Пусть G — группа гомеоморфизмов отделимого равномерного пространства X на себя. Предположим, что G равностепенно непрерывна и, будучи наделешюй дискретной топологией, действует совершенно в X. Предполоясим, кроме того, что множество всех z g X, не являющихся неподвижными ни для одного не тождественного гомеоморфизма и С G, всюду плотно в X. Показать, что при этих условиях в X существует открытое множество F, такое, что F П и (/■') = ^ для каждого не тождественного гомеоморфизма и g G и что канонический образ множества F в пространстве орбит FJG открыт в Е/G, всюду плотен и гомеоморфен F. [Использовать упражнение 16 и теорему Цорна.]
3. Специальные функциональные пространства
Пространства отображений в метрическое пространство
Пусть X — множество, У — равномерное пространство, (A)iei — семейство отклонений, определяющее равномерную структуру пространства У (гл. IX, § 1, п° 4), и © — некоторое множество подмножеств из X. Для каждого i g I, каждого множества Л € ® и каждой пары (и, v) отображений X в У положим
Л, А (», 0 = SUp К (и (ж), V ^Y\
х£А
ясно, что gu а —отклонение на ^(Х; У) и что семейство отклонений (gl>A), где i пробегает I, а А пробегает ©, определяет равномерную структуру ©-сходимости в .^ (X; У). В частности:
Предложение 1. Если У — метризуемое равномерное пространство, то равномерная структура равномерной сходимости в 5" (X; У) метризуема.
В самом деле, пусть d — расстояние в У, согласующееся с равномерной структурой этого пространства; тогда структура равномерной сходимости в ,7 (X; У) определяется одним отклоненном
6(//, Г’) ■ su р <7 (// (.г), и V^; ■
V=X
в общем случае эго отклонение не конечно; по опо эквивалентно некоторому конечному отклонению (гл. IX, i? 1, п" 2), и так как равномерная структура равномерной сходимости отделима (§ I, предложение 1), то она мотрнауема.
Следствие. Пусть X — топологическое пространство и У — мет рисуемое равномерное пространство; предположим, что существует такая последовательность ^Кп^ компактных множеств вХ, что всякое компактное. множество из X содержится в одном, из Кп. Тогда равномерная структура, компактной сходимости в ,Т (X; У) метризуема.
В самом деле, так как К„ образуют покрытие X, то /Г,. (X; У) изоморфно равномерному подпространству произведения Ц .Уи (AV- V) (§ 1, п" 2, замечание 3), и потому утверждение
следствия вытекает из предложения 1 (гл. IX, § 2, следствие 2 теоремы 1).
Заметим, что это следствие применимо, в частности, когда X — локально компактное пространство, счетное, в бесконечности (гл. J. 2-е изд., стр. 124 русского перевода; .‘1-е изд., $ 9, следствие 1 предложения 15).
Пусть теперь У — метрическое пространство и d — его расстояние. Для каждого множества X и множества S его подмножеств будем обозначать через .^g (X; У) множество всех отображений и: X -* ¥ таких, что и (/1) ограниченно для каждого А £ g; если не оговорепо противное, будем наделять .^g (X; У) равномерной структурой (S-сходимости; последняя определяется семейством отклонений
^aI'H^) sup tZ (и (.г), к (^)) (H^S)
па ,&Ъ(Х;У), по предположению, конечных. При S = {X} вместо ,^е(Х; У) будем писать .# (X; У); отображение и; X-»- У
I 'l П. Вурбакч
называется ограниченным, если оно принадлежит $ (X; У), т. е. если и кХ^ есть ограниченное множество в У.
Предложение 2. Пусть X — множество и У — метрическое пространство. Множество $ (X; У) всех ограниченных отображений открыто-замкнуто в пространстве ,у и (X; У).
Действительно, если и ограниченно, то и всякое отображение у: X ->• У такое, что d (и (ж), и (ж)) ^ 1 для каждого х £ X, ограниченно, ибо
d (v (ж), и (ж0)) ^ d (и (ж), и (ж0)) + 2;
следовательно, 98 (X; У) открыто. С другой стороны, если и — точка прикосновения для 98 (X; У) в ^и № ^)» то существует отображение и0 € 98 (X; У) такое, что d (и (ж), uQ (ж)) ^ 1 для всех ж £ X, и, следовательно, и ограниченно.
Следствие 1. Пусть X— множество, У — метрическое пространство и © — некоторое множество подмножеств из X. Тогда множество 98^ (X; У) всех отображений X в У, переводящих каждое А ^© в ограниченное множество в У, замкнуто в .Т^ (X; У). В частности, если У полно, то 98g, (X; У) полно в равномерной структуре ©-сходимости.
Действительно, ^@ (X; У) есть прообраз подмножества й.^ (Л; У) произведения П .^иИ* ¥) относительно кано- лё©
нического отображения пространства s? g (X; У) в [J .У и (X; У);
поэтому первое утверждение вытекает из замечания 3 п° 2 § 1. Второе вытекает из теоремы 1 § 1.
Следствие 2. Пусть X — топологическое пространство и У— метрическое пространство. Тогда пространство всех ограниченных непрерывных отображений. X в У открыто-замкнуто в пространстве Т'и (X; У); оно полно, если У, кроме того, полно.
В самом деле, рассматриваемое пространство является пересечением
^(Х; У) П ®и№ У);
первое утверждение следует из предложения 2, а второе вытекает из следствия 1 теоремы 2 § 1.■
?. Лространства отображений
в нормированное пространство
Рассмотрим, в частности, случай, когда Y есть нормированное векторное пространство над недискретным нормированным телом К (гл. IX, § 3, п° 3), с нормой [| у || элемента у Е У; тогда множество Л (X; У) = Ух канонически наделяется структурой векторного пространства над К.. Для того чтобы отображение ы: X -> У было ограниченным, необходимо и достаточно, чтобы числовая функция xv-* || и (х) || была ограниченной на X; ясно, что если и, и — ограниченные отображения X в У, то и 4- Р и Хи (X Е К) также ограниченны; иначе говоря, 96 (X; У) есть векторное подпространство пространства 5? (X; У). Кроме того, [|u|| —sup ||н (ж) || хЕХ
есть норма на ® (X; У), ибо эта функция удовлетворяет неравенству треугольника, || и |} — 0 влечет и — 0 и, наконец, для всех X £ К имеем || Хи || = sup || Хи (ж) || — sup | X | || и (ж) || — хехх=х
" | X | sup [| и (ж) || — | X | || ы ||. Непосредственно ясно также, что равномерная структура в ^ (X; У), определяемая этой нормой, есть структура равномерной сходимости. Если не оговорено противное, то рассматривая 96 (X; У) как нормированное пространство, мы всегда будем иметь в виду эту норму.
Предложение- 3.. Если нормированное пространство У полно, то всякий ряд (un) ограниченных отображений X в У, абсолютно сходящийся в нормированном пространстве 99 (X; У) (т. е.
такой, что 2 II ип II < + °0' см. гл. IX, § 3, п° 6), равномерно п—О
сходится на X.
В самом деле, поскольку 98 (X; У) полно (следствие 1 предложения 2), это вытекает из предложения 11 § 3 главы IX и определения равномерно сходящегося ряда.
Замечание 1. Если 2 II “п II < +°°> то для любого х £ X
имеем 5 и un to н < 5 11 un и < +оо; другими словами, каждый а=оп=0
из рядов с общим членом ин (z) (х С X) абсолютно сходится в пространстве У; но обратное неверно. Чтобы избежать всякой поясности,
иногда тот факт, что ряд с общим членом || »п || сходится, выражают, говоря, что ряд с общим членом ип нормально схоНится. Ряд может равномерно сходиться на А, но будучи нормально сходящимся; например, ото имеет место для ряда (ип) в пространстве ^ (1{; К), окределен- .1
иого следующим обратом: ин (л) — — ни а- в интервале [ял, (и 1) л]
П и„ (т) =- 0 Вне атого интервала.
Если У — нормированная алгебра (гл. IX, § 3, п° 7) над педи- скротным нормированным коммутативным телом К, то .^ (X; У) есть алгебра над К; кроме того, норма || и || согласуется тогда с этой структурой алгебры, ибо
II uv II — sup II u^v^ IKsnpdl и (х) II ||п(т) ||Х хЕЛ'хЕА
'<:sup|iH(.'r)||.siipi|p(z)ii-iiu и ii^n.
Иначе говоря, 9$ (X; У) является тогда нормированной алгеброй над телом К.
Предложение 4. Пусть X, (Д ^ 1^ п) и У — нормированные векторные пространства над недискретным нормированным телом К и X-~ |[ Xi- Множество всех полилинейных ото; л
брожений X в У замкнуто в пространстве гГ» (X; У).
В самом деле, это множество образовано всеми и €./Г(Х; У), удовлетворяющими соотношениям
иДх^, .... ^ |-.У, ...,х,Д -и (.г,д4, -МпН и (xt, ...,х”,..., ;г„),
и (xt, .. .Дх,, . . ., x^y^Xu (.Гь . . ., Xi, ..., .г„)
(1 ^ i ^ п, х,, х-,, х" — произвольные элементы из X;, X — произвольное в К); обе части каждого из соотношений (1) — непрерывные функции от и в ,Fs (X; У) (§ 1, п° 2, замечание 6), откуда и следует предложение (гл. I, 2-е изд., § 8, следствие 1 предложения 6; 3-е илд., § 8, предложение 2).
Предложение 5. При условиях предложения 4 множество X (Xi, . . ., Хп; У) всех непрерывных полилинейных отображений X в У замкнуто в 'К (X; У), наделенном топологией ограниченной сходимости; оно полно в равномерной структуре ограниченной сходимости, когда У полно.
Действительно, если (у — множество всех ограниченных подмножеств из X, то X (X), . . ., X^; У) есть пересечение множества всех полилинейных отображений X в У с множеством ./?3 (X; У) (гл. IX, § 3, теорема 1); справедливость предложения вытекает поэтому из предложения 4 и следствия 1 предложения 2.
Всюду далее в этом п° К означает коммутативное недискретное нормированное тело.
Тогда X (Х(, • • ., Хп; У) есть векторное подпространство в ;Г (X; У). Пусть В — единичный шар произведения X, т. е. множество тех (z-^ir-i-ni, для которых sup || аег || ^ 1; отображе- пне и и | В пространства X (Хь . . ., Хп; У) в Xi (В; У) инъективно; кроме того, прообраз равномерной структуры равномерной. сходимости н .9? (В; У) относительно этого отображения есть равномерная структура ограниченной сходимости в X (Xlt . . ., Хп; У\ Действительно, всякое ограниченное множество в X содержится в множестве вида рВ (где it £ K*Y 11 ска" зать, что для некоторого элемента и g X (Xt, . . ., Х„; У) и всех ™^рВ выполняется неравенство || и (s) || ^ а, равносильно тому, чтобы сказать, что || и (х) || ^ а!\ н |" для всех к^В. Отсюда непосредственно следует, что число || и || — sup (|| и (~) ||/|| а ||) о
является нормой, ла X (Хи . . ., Х„; У), определяющей в этом пространстве равномерную структуру ограниченной сходимости, и, очевидно,
Ни^,. . . ., х,^ II С II» II II Ж1 II . . . II ж» II- (2)
Если не оговорено противное, то, рассматривая X (Xj, . . . . . ., Хп; У') как нормированное пространство, мы всегда будем иметь в виду эту норму.
Предложение. (>. Полилинейное отображение
(«. -«1^п) -* » (-«ь • •-«^
нормированного пространства X (Xi, ..., Хп; У) X X, X ... X Хп в У непрерывно.
Это — непосредственное следствие неравенства (2) (гл. IX, S 3, теорема 1).
Предложение 7. Пусть X, Y, Z — нормированные пространства над К. Каноническое отображение нормированного пространства X (X, У; Z) в пространство линейных отображений X в X (У; Z), относящее каждому и б X (X, У", Z) отображение xv-* и (ас, •), есть изометрия X (X, У; Z) на X (Х;Х (У; Z)).
Это непосредственно следует из определений и соотношения
sup ( sup II и (ас, у) II) = sup || и (ас, у) Ц.
1И1%1 MylMSlII^IKi, llvIKl
Предложение 8. Пусть X, У, Z — нормированные пространства над К. Билинейное отображение (и, v) v* v ° и произведения X (X; У) X X (У; Z) в X (X; Z) непрерывно.
Действительно, для любых и б X (X; У) и v б X (У; Z), более точно, имеем
II V о и II ^ II и II II V II,(3)
ибо, каково бы ни было х б X, в силу (2)
II V (и (ж)) II < II Р II II и (ас) II < II и II II и II II ас ||.
В частности, на множестве X (X) всех непрерывных эндоморфизмов нормированного пространства X над К норма || и || согласуется со структурой алгебры над К.
Замечание 2. Множество Ж (R”; Rn) всех (необходимо ' непрерывных) линейных отображений Rm в Rn отождествимо с множеством Mn,m (R) всех матриц с и. строками и т столбцами над К, т. е. с Rmn; на Ж (Rm; Rn) равномерные структуры ограниченной сходимости (относительно евклидова расстояния в Rm), компактной сходимости и простой сходимости отождествляются тогда с аддитивной равномерной структурой в Rmn. В самом деле, возьмем в Rn норму || я? № sup | ®t | для я; = бс^, и пусть (е^) — канонический базис
в Rm; если и и и — такие линейные отображения Rm в Rn, что
II “ ^й — V {.С}) II < 8(1 ^ / С т),
то для матриц
и = (а^ и V =№^
этих отображений будем иметь | ау — ₽ц I < в для всех пар (i, /); и обратно, если эти неравенства выполнены, то для любой точки х куба с центром 0 и стороной а в Rm будем иметь
|| и (х) — и (х) || $5 таг.
Свойства счетности пространств н с п ре рывн ык фу нкуий
Теорема 1. Пусть X— компактное пространство.
Если X мет ризуемо, то для каждого метризуемого равномерного пространства У счетного типа (гл. IX, § 2, п° 8) метри- зуемое пространство %и (X; У) всех непрерывных отображений X в У, наделенное топологией равномерной сходимости, будет счетного типа.
Обратно, если метризуемое пространство Уtt (X; R) есть пространство счетного типа, то X метризуемо.
Пусть d (соотв. d'^ — расстояние, согласующееся с топологией пространства X (соотв. равномерной структурой пространства Y); как мы знаем, 6 (/, g) — sup d' (/ (ж), g (ж)) есть pac. «УС
стояние, определяющее структуру равномерной сходимости в '6 (X; У), состоящем из ограниченных функций, поскольку X компактно (п° 1). Обозначим через Gmn для каждой пары целых чисел т > 0, п > 0 множество тех функций / g б (X; У), для которых d (х, х') ^ Мт влечет d' У (ж), / (ж')) ^ 1/га; так как всякая функция / g ^ (X; У) равномерно непрерывна (гл. II, § 4, теорема 2), то ^ (X; У) при любом га > О является объединением всех Gmn (т >• 0). Пусть {«t, . . ., ap(m)} — такое конечное множество в X, что открытые шары с центрами а,- (1 ^ i ^ р (jn)^ и радиусом Мт. образуют покрытие пространства X; пусть, с другой стороны, (br)rEN — счетная всюду плотная последовательность в Y. Для каждого отображения ф множества {1, . . . . . ., р (т)} в N обозначим через Яф множество тех / g Gmn, для которых d' У (аА), Ьф(г1)) < 1/га (1 < к < р (гаг)). По определению точек br, Gmn есть объединение всех //ф (ф g №(т’); пусть Стп — множество тех ф g NP(m), для которых 27ф#= 0, и каждому ф g Стоп поставлено в соответствие по элементу #ф из Нф; обозначим, наконец, через Lmn счетное множество всех £ф (ф g Стп). Пусть / g С Стп и ф — элемент из Стп, для которого / £ 7/ф; из определений сразу вытекает, что d' У (ж), ^ф (ж)) < 4/га для всех ж g X, т. е. 6 У, ^ф) ^ 4/га. Отсюда следует, что объединение всех Етп всюду плотно в ®„ (X; У): действительно, для каждого целого п > 0 и каждого / g "6 (X; У) существует такое гаг, что / g Gmn, откуда явствует, что расстояние от / до Lmn не превышает 4/га.
Пусть 7 -Ц), 1|; как равномерное подпространство пространства ¥и (X; В), '6 и (X; I) есть пространство счетного типа; пусть (/,,) — всюду плотная последовательность в этом пространстве. Рассмотрим произведение K-l^ и отображение^: z>—>(/„ (.г)) пространства X в К, очевидно, непрерывное; ip инъективно: действительно, согласно определению последовательности (/„). выполнение равенства /„ (z) ■ ■■ /n(z') для всех п влечет путем перехода к пределу, что / (z) = / (z') для каждой функции / £ % (X; 7); по если z #= z', это невозможно в силу аксиомы (Orv), примененной к точке z п ее окрестности V, по содержащей z' (гл. IX, § 1, теорема 2). Отсюда заключаем, что компактное пространство X гомеоморфно подпространству ф(Х) пространства К (гл. I, 2-е изд., § 10, следствие 2 теоремы 2; 3-е изд., § 9, следствие 2 теоремы 2); по так как К мотрпзуемо и счетного типа, то то же справедливо для ф (X), а значит и для X. Теорема доказана. 38 12
Следствие. Пусть X — локальное компактное пространство с топологией, обладающей счетным базисом, и Y — метри- зуемое равномерное пространство счетного типа.
Пространство X всех непрерывных отображений. X в Y, имеющих предел на бесконечности, наделенное топологией равномерной сходимости на X, есть метризуемое пространство счетного типа.
Пространство YX. (X; У) всех непрерывных отображений X в Y, наделенное топологией, компактной сходимости, есть метризуемое пространство счетного типа.
Пусть X' — компактное пространство, получаемое присоединением к X бесконечно удаленной точки (гл. I, 2-е изд.. § 10, теорема 4; 3-е изд., § 9, теорема 4); по определению всякая функция / из X продолжается единственным образом до непрерывного отображения / пространства X' в У, так что есть биекция X ла '6 (X'; У); кроме того, в силу предложения 6 § 1 эта биекция есть гомеоморфизм пространства X на Уф (X'; У). Остается применить к X' и У теорему 1, заметив еще, что X’ метризуе.мо (гл. IX, § 2, следствие предложения 16).
Пусть (77„) — такое покрытие пространства X относительно компактными открытыми множествами, что всякое компактное .множество в X содержится в одном из Un (гл. I, 2-е изд., стр. 124
русского перевода; 3-е изд., § 9, следствие I предложения 15). Топология компактной сходимости в У (X; }') совпадает с топологией S-сходимостп, где ^ — множество всех Un. Следовательно (§ 1, и ’ 2, замечание 3). пространство У,. (X; )') гомеоморфпо подпространству произведения J j У„ ДУ, У}', поскольку каждое
из компактных пространств U„ обладает счетным базисом, оно метризуемо (гл. IX. § 2, предложение К>); значит, в силу теоремы 1 каждое из У „ (//„; У) метризуемо и счетного тина, и потому то же верно также дли Тс (X; У).
Заметим, что пространство всех ограниченных i u>i i рс-рывыых числовых функции на Н, наделенное топологией равномерной ('ходимости, не есть вростралстпо счетного типа (упражнение 4).
Топологии компактнок сводимое т и
Ткорима 2. Пусть X -топологическое пространство и У— равномерное пространство. Для каждой нары. (К, U^, где К —■ компактное множество в X и U - ■ открытое множество в У, обозначим через Т Uv U) множество всех непрерывных отображений и: XУ, для которых и (К) с: U. Тогда множества вида Т (К, О) порождают (гл. I, § 2, н ' 3) топологию компактной сходимости в Ч. (X, У).
Пусть У' -- отделимое равномерное пространство, ассоциированное с У (гл. И, 2-е изд., § 1, н° 4; 3-е изд., § 3, и' 8) и /: У —> ->- У каноническое отображение Уна У. Топология компактной сходимости есть слабейшая из топологий, при которых непрерывны все отображения и *-* (Z о п) | К пространства Ч' {Х\ У} в У „ (X; У'), где К пробегает все компактные множества из X (S 1, предложение 4). Потому мы получим систему образующих топологии пространства ЧД (X; Уг). беря для каждого компактного множества К из X какую-либо систему образующих топологии пространства У N (/V; У') и ее прообраз в У (X; У) и рассматривая об'ьединепне в ^ (У (X; У)) в^^^ получаемых таким образом множеств подмио/кеств Т (X; У). С другой стороны, всякое открытое
множество в У имеет вид I (U'), где U’ открыто в У (гл. II, 3-е изд., § 3, предложение 12); иозтому Т {К, I ((7')) для любого ком-
пактного К' о К является прообразом Т (К, U') относительно отображения If (X; У) -> ^^ (К', У') и доказательство теоремы сводится к случаю, когда X компактно, а У отделимо, что мы далее и будем предполагать.
Покажем сначала, что Т {К, U) открыто в ^с (X; У). Пусть и0 — точка этого множества; поскольку и„ (X) компактно (гл. I, 2-е изд., § 10, следствие 1 теоремы 2; 3-е изд., § 9, следствие 1 теоремы 2) и содержится в открытом множестве U, существует симметричное окружение И для У такое, что У (w0(X))c: U (гл. II, 2-е пзд., § 4, следствие предложения 1; 3-е изд., § 4, следствие предложения 4). Пусть W — окрестность точки и0 в ^с (X; У), образованная теми непрерывными отображениями u: X -*- У, для которых (и (л), uQ (ж)) g У при всех х £ К. Для этих отображений, очевидно, имеем и (К) с: У (u0 (Х))с U, откуда и ^Т (К, U) и, следовательно, Wc Т (К, U), чем наше утверждение доказано.
Обратно, пусть W— окрестность точки и0 £ ^с (X; У); покажем, что W содержит пересечение конечного числа окрестностей и0 вида Т (К, U). Можно предположить, что W есть множество тех и £ 46 (X; У), для которых (и (х), и0 (х)) £ У при всех ж £ X, где У — заданное окружение для У. Так как и0 непрерывно на X, то оно равномерно непрерывно (гл. II, § 4, теорема 2); пусть У1 — симметричное окружение для У, открытое в Y X У и такое, 2'
что У1 с: У. Существует покрытие пространства X конечным числом компактных множеств Kt (1 ^ I ^ га) таких, что u0 (X/) (1 ^ i ^ га) малы порядка У1. Пусть Ut — открытое множество У1 (и0 (Хг)) и и — непрерывное отображение X в У, принадлежащее пересечению га множеств Т (Kt, Ui) (являющихся окрестностями и0). Тогда и (z) для всех х С Kt принадлежит Ut, и потому 2
и0 (ж) и и (z) близки порядка У1, а следовательно, близки порядка V. Так как каждое х £ X принадлежит хотя бы одному Хг, то и W, и теорема доказана.
Этот результат подсказывает введение следующего определения:
Определение 1. Пусть X и У — топологические пространства (не обязательно равномеризуемые). Для любой пары (К, U), где К — компактное множество в X, a U — открытое
множество в Y, обозначим через Т (К, U) множество всех и Е Е ^ (X; У"), для которых и (К) с. U. Топологией компактной сходимости в ^ (X; Y) называется топология, порождаемая множеством всех подмножеств вида Т (К\ U); топологическое пространство, получаемое наделением *6 (X; У) этой топологией, обозначается ^ (X; У).
Из теоремы 2 следует, что в случае, когда У — равномерное пространство, это определение совпадает с данным в п° 3 § 1.
Топология,' индуцируемая в множестве 7/сл # (X; У) из Тс (X; У), будет по-прежнему называться топологией компактной сходимости. .
Пр и м о р. Пусть I — интервал [0, 1] в К; пространство Тс № Т) для любого топологического пространства У называется пространством путей в У; для каждого у С У его подпространство Й!7 (У), образованное путямц и, для которых и (0) = и (1) = у, называется пространством петель (в У) в точке у.
Замечания. 1) Говорят также, что топология, индуцированная в ^ (X; У) топологией произведения Yx — <F (X; У), есть топология простой сходимости (причем У не обязательно равноморизуемо); она порождается множествами вида Т ({ж}, 77), где х ^ X и U открыто в У, и следовательно, мажорируется топологией компактной сходимости. Отсюда вытекает, что если У отделимо, то пространство Тс (X; У) отделимо (гл. I, 2-е изд., § б, следствие предложения 4; 3-е изд., § 8, следствие предложения 5).
2) Пусть (£ — система образующих топологии пространства У и St — некоторое множество компактных множеств из X, обладающее следующим свойством:
(R) Для каждого компактного множества L в X и каждой его окрестности V существует конечное число множеств Хг Е St таких, что L с (J Kt с V.
Тогда Т (JK, U) {К Е St, 77 Е S)— система образующих топологии компактной сходимости в "8 (X; У). Действительно, достаточно доказать, что для каждого компактного множества L в X, каждого открытого множества У в У и каждого и £ Т (£, V) существует конечное число пар (Kt, Ut), где Kt € St и Ut Е S, таких,
что и £ pt Т (Kh U:)cT (L, V). Заметим сначала, что для каждой конечной последовательности (5^) множеств из S и каждого компактного множества М в X, по определению, 7’р/, Q Л’/.-) — -■ pt Т (М, Su). Поэтому прежде всего можно заменить 3 мио- к
жеством пересечений всевозможных конечных семейств множеств из S, другими словами предположить, что G есть базис топологии пространства У. По предположению, и (L) квазикомпактно и содержится в V, так что существует конечное число множеств ?7f € S, содержащихся в V' и покрывающих и (Л). Множества и (U;) открыты в X в покрывают L. Поэтому каждое х б L обладает компактной окрестностью У* в Л, содержащейся в одном из и {UiY и L может быть покрыто .конечным числом этих множеств Nx. Lp обозначим для каждого / через i (/) какой-либо
из индексов i, для которых Ь,с. a (Ut). Тогда для каждого индекса / существует, согласно (В), конечное число множеств Kjltc с и (17 ц^), принадлежащих St и покрывающих Lj. Для каждого г £ fl Т (Kjh, Ui(j,) будем иметь (J и (К^сг U iU„ откуда у (Lj) с Unj., и г (L) - U и (7^)а JJ ОцрС V, чем пате утверждение и доказано.
Теорема 3. Пусть X, У, Z — топологические пространства, и / -■ отображение X X У в Z. Если j непрерывно, то j: х*-*- j (х," •) есть непрерывное отображение X. в Lc (У; Z). Обратное справеб- ливо, если У локально компактно.
Предположим, что / пепрерывпо, и докажем пенрорывпость /; требуется доказать, что для каищого компактного множества К из У и каждого открытого множества (7 из Z прообраз V множества Т (К, U) отпоептелыю отображения / открыт в X. Итак, пусть х6 V. Для каждого у £ К имеем / (ж„, у) £ (7, и так как / непрерывно, то имеются окрестность V,, точки z0 в X и окрестность W,; точки у в У такие, что / (Уу х I4ZZ/) ед U. Поскольку К
компактно, существует конечное число точек у,- 6 К (1 ^ i ^. я) таких, что множества W„. покрывают К. Пусть V' — пересечение окрестностей Ун. точки х0; V' — также окрестность точки д-0; для всех х £ V и у Q К будем иметь / (а:, у) Е U, поскольку у содержится в некотором И^., а х g Уу. при любом/; таким образом, V" с: Г, так что V есть окрестность каждой своей точки и, значит, открыто в X.
Обратно, предположив, что / непрерывно и У локально компактно, докажем непрерывность /. Пусть х0 g X, у0 £ V и U — открытая окрестность точки/ (z0, у^ в Z; докажем, что существуют окрестность У точки хп в X и окрестность IV точки уй в У такие, что / (Г X И7) с IJ. Поскольку у *-* / (х0, у) непрерывно, существует компактная окрестность И7 точки у0 такая, что / ({z0} X X 1И) с U. С другой стороны, так как / непрерывно, то множество К тех х $ X, для которых / (,х, •) С ^ (W, U) (т. е. / (ж, у) $ U для всех у £ И ), открыто в X и есть, таким образом, окрестность точки Ху. Но тогда / (И X LV) с: U, и теорема доказана.
Следствии 1. Пусть X — локально компактное пространство, У — топологическое пространство и Ilc:Yt(X', YY Тогда в 11 топология компактной сходимости является слабейшей из топологий, при кото pax отображение (и, х) ►—> и (z) произведения II ?■. X. в Y непреравно.
' В самом деле, в силу теоремы 3 непрерывность этого отображения равносильна непрерывности канонической инъекции Н — Тс. (У; У).
Заме ч а в и я. 3) Пусть X — локально компактное пространство и У - отделимое топологическое пространство. Если .Г — топология и множестве // с; V^ (X; У), при которой отображение (н, .г) I—> и (.г) непрерывно па // :< X, и, кроме того, Ц ии.мпактно в этой топологии, то .Г совпадает с топологией компактной еходпмостп. Г- самом деле, в силу следствия 1 .Г мажорирует ату последшою, и так как топология компактной сходимости отделима, то эти] топологии совпадают. Заме-тпм, что если, кроме того, У «полис регулярно, то 11 раеносгнененпо непрерывно дли любой равномерной структуры, согласующейся с Touo.iorin-ii пространства Y (§ 2, следствие 3 теорс- мн2), и для каждого компактного множества К в X множество Н (К) -- — ^J // (.г) ком пак hi по, кпк образ произведения У X К при неире- .тек
рывном отображении (и, л) f—* и (.г).
Следствие 2. Пусть X, У, Z — топологические пространства, причем X отделимо, а У локально компактно. Тогда сужение на 'ЦХ XY; Z) канонической биекции ^ \Х X У; Z)-*• -> ^ (JC; У (У; Z)) (Теор. множ., Сводка результ., § 4, п° 14) есть гомеоморфизм $с (JC X У; Z) на Т>с (У; ^^ (У; Z)).
Ясно, что в силу теоремы 3 это сужение является биекцией р: 8 (X х У; Z) -> Т (X; Кс (У; Z)).
Остается убедиться в том, что топология компактной сходимости в ® (X х У; Z) является прообразом относительно р топологии компактной сходимости в ^ (X; ^(У; Z')'). Поскольку топология в *ёс (У; Z) обладает системой образующих, состоящей из всевозможных Т (К, U), где К — компактное множество в У, a U — открытое множество B.Z, из замечания 2 следует, что топология в @с (X; ^с (У; Z)) порождается множествами вида Т У, Т (К, UYb где К и 17 описаны выше, a J — компактное множество в X. Но об- -г
раз множества Т у, Т (К, Ц)) при отображении р есть не что иное, как Т ^.J X К, U); следовательно, это открытое множество, чем уже доказано, что р непрерывно. Обратно, заметим, что множества вида J X К в X X У, где J — компактное множество в X, а К — компактное множество в У, удовлетворяют условию (В) замечания 2: действительно, если L — компактное множество в X X У и У — окрестность L в X X У, то, поскольку X и У — отделимы, проекции М = pri (I/), N — рг2 (А) компактны, и У Q (M х У) есть окрестность L в компактном пространстве М х N, так что всякая точка из L обладает в М X N. окрестностью вида J X К с: У, где J с М и А'с N компактны; отсюда вытекает паше утверждение, ибо L может быть покрыто конечным числом этих окрестностей. Таким образом, множества вида Т У X К; V), где U открыто в Z, a J (соотв. А) компактно в X (соотв. У), порождают топологию пространства Yc (X X У; Z); но мы видели, что образ Т У X К, U) при отображении р есть открытое множество Т У, Т (К, U)) в Г6С(Х; Г6С (У; Z)), чем и завершается доказательство того, что р — гомеоморфизм.
Отметим, что если Z предположить, кроме того, равпомерязуомым, то следствие2 тривиальным образом вытекало бы из предложения 2 § 1.
Предложение 9. Пусть X, У, Z — топологические пространства, причем У локально компактно. Тогда отображение
(zz, и) *-* и о и произведения ^с (X; У) X &'с (У; Z) в ^^ <Х; Z) непрерывно.
' Требуется доказать, что для каждого компактного множества К из X и каждого открытого множества U из Z множество R тех пар (и, п), для которых и (и (А')) с:U, открыто в r6c (X; У) X X r6c (Y; Z). Пусть (zz0, п0)— элемент множества, R. Тогда ип (А) — компактное подмножество локально выпуклого пространства У, содержащееся в открытом множестве v0 (U); поэтому и0 (А) обладает компактной окрестностью L, содержащейся в и0 ((/) (гл. I, 2-е изд., § 10, предложение 10; З-о изд, § 9, предложение 10). Множество V тех и g ^с № У), Для которых и (К) с cz L, есть окрестность и0, а множество W тех v g ^.(У; Z), для которых и (L) с. U, есть окрестность п0; при этом (zz, zz) g V X W влечет и (и (А)) с U, и предложение доказано.
Топологии в группах гомеоморфизмов
Предложение 10. Пусть X — равномерное пространство и Я — равностепенно непрерывное множество гомеоморфизмов X на себя. Если наделить Я и И-1 топологией простой сходимости на X, то отображение и *-* и-1 пространства Я-1 на Я будет непрерывно. .
Достаточно доказать, что для каждого х0 g X отображение и. >-* и-1 (ж0) пространства II*1 в X непрерывно в каждой точке zz0 g Я*1. Пусть V — симметричное окружение для X и у0 — — и*1 (х^. По предположению, существует такое симметричное окружение U для X, что (ж, х^ g U влечет (zz-1 (ж), zz-1 (а:0)) g У для всех и g Я-1. Возьмем и g Я-1 близким порядка IF ({у0}< (Ту к и6; тогда будем иметь (zz (у0), и0 (z/,,)) g U, т. e. (zz (z/0), ж0) g U. Отсюда (y0, u"1 (x0^ g V, t. e. (zz;1 (x0), u*1 (a:0)) g V, и предложение доказано.
Следствие. Пусть X — равномерное пространство и Я — равностепенно непрерывная группа гомеоморфизмов X на себя. Тогда в Я топология простой сходимости на X согласуется (гл. III, § 1, п° 1) со структурой группы.
Это вытокает из предложения 10, а также следствия 5 предложения I § 2.
Предложение И. Пусть X— компактное пространство и Г — группа всех гомеоморфизмов X на себя. Тогда в I’ топология равномерной сходимости на X согласуется (гл. Ill, § 1, о0 1) со структурой группи.
Как мг.г уже знаем (предложение О), отображение (и, и) i—* и-* и о и. произведения Г X Г в Г непрерывно в зтой топологии, так что все сводится к доказательству nenpojibinnocTii отображения и *—> и""1 в каждой точке ии $ Г. Поскольку и"' равномерно непрерывно па X, каково бы пи было симметричное окружение V для X. существует такое окружение W для X, что (z, z') £ VV влечет (//~L (z), u,,^ (х')) V. Поэтому, если и $ Г таково, что (и0 (х), и (z)) g IV для всех х £ X, то из предыдущего следует, что (х, щ/ (и (z))) 6 V для всех х $ X, откуда, поскольку и биективно, (и-"1 (z), 7/yl (z)) g V для каждого z £ X, и предложение доказано.
Пусть теперь X — локально компактное пространство и Г — группа всех гомеоморфизмов X па себя; в Г топология компактной сходимости на X не обязательно согласуется со структурой группы (упражнение 17). Обозначим через X' компактное пространство, получаемое присоединением к X бесконечно удаленной точки со; всякий гомеоморфизм и пространства X на себя продолжается единственным образом до гомеоморфизма и' пространства X' ла себя такого, что и' (со) =- со (гл. I, 2-е изд., § 10, предложение 15; 3-е изд., § 10, следствие предложения 7), так что Г отожде- ствима с подгруппой группы Г' всех гомеоморфизмов пространства X', образованной гомеоморфизмами, оставляющими точку со неподвижной. Таким образом, топология, индуцируемая в Г из r€u (X'; X'), согласуется со структурой группы (предложение 11), и Г замкнута в Г' (в топологии, индуцируемой из ’С и (X'; X')), ибо Г определяется уравнением и' (со) - со (§ 1, п° 2, замечание 0). Обозначим через /Гр так определенную групповую топологию в Г; опа мажорирует топологию компактной сходимости и (в силу предложении б § 1) может быть также определена как топология равномерной сходимости на X, наделенном равномерной структурой, индуцируемой единственной равномерной структурой пространства X'.
Топология гГц может быть охарактеризована следующим образом:
Предложение 12. 7? группе Г всех гомеоморфизмов локально компактного пространства X топология ХГ р есть слабейшая из топологий, при которых непрерывны отображения и н-* и и и >-> и-1 группы Г в пространство 'б,, (X; Х\
Обозначим временно упомянутую слабейшую топологию через л '. Так как и *—* и"1 непрерывно в. Гр, а л р мажорирует топологию компактной сходимости, то ясно, что л р мажорирует 5"'. Чтобы доказать обратное, наделим X' его единственной равномерной структурой; пусть zz0 Е Г и V — некоторое окружение для X'; требуется доказать существование компактного множества К в X н симметричного окружения VV для X/ таких, что если и £ Г, а (м0 (х), и (ж)) $ W и (и;1 (х), и.-1 (х)) £ W для всех х £ К, то (и0 (т), и (ж)) £ V для всехлс^Х. Пусть IT— такое открытое 2
симметричное окружение для X*, что Pi с: V; тогда Ki -= X'— — Vi (со) компактно в X. Возьмем открытое симметричное окружение W для X' так, чтобы IV с V и W (го) f] W (u~l (761)) = - - 0; это возможно в силу предложения 4 § 4 главы П 3-го издания (предложения 1 § 4 главы II 2-го издания), и множество Х3 —
X’ — W (го) будет компактно в X; покажем, что IV л компактное множество К = К^ U К4 будут обладать требуемым свойством. Действительно; поскольку IV с: V, достаточно доказать, что если (y~L (ж), и-1 (т)) С IV для всех ж б /61 (где и g Г), то (и (у), го) £ 5 I7! для всех у £ IV (го); тогда будем также иметь (?/0 (у), го) £ Vt и потому (п0 (у), и (у)) С Где: V для всех у £ W (го) == X' — Х2. По если бы у $ IV(o>) и и (у) ^ X' — Vi (го) =- К\, то отсюда вытекало бы, что у ^ и-1 (АГ) с IV (пД (7<t)), в противоречие с выбором IV, и доказательство закопчено.
В общем случае группа Г, наделенная топологией .Гр, не локально компактна (упражнение 166)); однако имеет место следующий критерий:
Теорема 4. Пусть G ■—нобгрупна группы Г всех гомеоморфизмов локально компактного пространства X н.а. себя. Предположим, что в пуюстраистее 'б,. (Д'; X) существует такая окрест- !•’ И. Бурбапн
226 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. X, § з ностъ V тождественного отображения е, что V Q G “ Н симметрично в G и относительно компактно в $с (X; X). Тогда замыкание G подгруппы G в Г в топологии S ^есть локально компактная группа в топологии, которую индуцирует Sa, причем эта индуцированная топология в G совпадает с топологией компактной сходимости, а замыкание II множества Н в r6c (X; X) есть окрестность элемента е в G в этой топологии.
Покажем сначала, что Н содержится в Г и что в И топология, которую индуцирует Ур, совпадает с топологией компактной сходимости. Пусть uti £ II, являясь, таким . образом, продолом в r6c (X; X) некоторого ультрафильтра Ф в Н; поскольку Ф-1 (образ Ф при отображении и н- w1) есть базис ультрафильтра вНс Н, он сходится в компактном подпространстве Н пространства ®с (X; X1) к некоторому элементу г0. Отображение (u, и) >-* >-* ии сходится к иоио по Ф х Ф"1 (предложение 9); тем более и >-* ии-1 = е сходится к uovo по Ф, так что иоио = е, поскольку *ёс (X; X) отделимо; так же убеждаемся в том, что vouo = е, так что и0 и Vy — взаимно обратные биекции пространства X, и первое утверждение доказано. Это рассуждение показывает, кроме того, что Я-1 = II и что для каждого ультрафильтра Ф в II, сходящегося к Uy, Ф'1 сходится- в Тс (X; X) к и^\ таким образом, отображение и н* и-1 пространства II, наделенного топологией компактной сходимости, в ^с (X; X) непрерывно (гл. I, 2-е изд., § 6, следствие 1. предложения 9; 3-е изд., § 7, следствие 1 предложения 9). Предложение 12 доказывает тогда, что в II топология компактной сходимости совпадает с топологией, которую индуцирует S р.
Кроме того, поскольку топология Sр в Г мажорирует топологию компактной сходимости, Н является также замыканием II в Sр; но II есть окрестность элемента е в G в топологии компактной сходимости и тем более в топологии, которую индуцирует S а\ отсюда следует (гл. I, 3-е изд., § 3, предложение 2), что Н есть окрестность е в G в топологии, которую индуцирует S'р, чем доказана локальная компактность G в этой топологии. При этом, если W — внутренность V в топологии компактной сходимости, то W П Г открыто для .Ур, и, следовательно, РГ П G содержится
в замыкании множества Н — 7 f| G в топологии 5"р (гл. I, 2-е изд., § 1, предложение 3; 3-е изд., § 1, предложение 5); этим доказано, что Н является также окрестностью е вСв топологии компактной сходимости. Наконец, для каждого ий £ Г взаимно обратные биекции v *-► и0 о и и и *-* и"^ о и пространства ^е (X; X) на себя непрерывны (предложение 9); следовательно, ujl есть окрестность элемента u0 £ С в G в топологии компактной сходимости, и теорема доказана.
Следствие. Пусть G — некоторая группа гомеоморфизмов локально компактного пространства X на себя. Если ее замыкание G в 'ёс (X', X) компактно, то G есть группа гомеоморфизмов пространства X и топология компактной сходимости согласуется со структурой, группы в G, так что G— компактная группа.
Группа гомеоморфизмов локально компактного пространства X, локально компактная (но не компактная) в топологии компактной сходимости, локально замкнута в 46 с (X; X) в силу предложения 12 § 9 главы I 3-го издания (предложения 12 § 10 главы I 2-го издания), но не обязательно замкнута.
Пусть, например, Ж (R”) — кольцо эндоморфизмов пространства R", отождествленное с кольцом Mn (R) всех квадратных матриц го-го порядка над В и наделенное топологией компактной сходимости в этом кольце;' группа GL (n, R), отождествленная с группой всех обратимых матриц, локально компактна, но всюду плотна (гл. VI, § 1, предложение 6).
Упражнения
■ 1) Пусть X — топологическое пространство и У —- метрическое пространство. Показать, что множество всех отображений X в У, колебание которых в каждой точке из X (гл. IX, § 2, п° 3) <« (где а — заданное число > 0), замкнуто и пространстве ^u (X; У).
Пусть X — множество; показать, что отображение и <—► I—► .чир и (ж) пространства Д (X; В) в В непрерывно. ■
Пусть X — метрическое пространство и d — его расстояние. Для каждого г СХ обозначим через dT непрерывную на X числовую функцию у ►-► d (т, у). Показать, что отображение it—>dx есть изо- яетрия пространства X на некоторое подпространство пространства Vu (X; В) (наделенного отклонением 6 (и, v) = sup | и (г) — г (ж) |).
xgX ■
Для того чтобы вполне регулярное пространство X обладало тем свойством, что мстризуемое пространство У’и(Х;Я) есть пространство счетного тина, необходимо (и достаточно), чтобы X было метризуемым компактным пространством. (Рассматривая компактификацию Стоуна -- Чеха пространства X (гл. IX, § 1, упражнение 7), показать, что X должно быть метрнзуемо; далее заметить, что ^ lt (Z; К) но ость пространство счетного типа.]
Пусть X — вполне регулярное пространство.
Для того чтобы каждая точка пространства '(?с (X; R) имела счетную фундаментальную с1Гстсдгу окрестностей, необходимо, чтобы в X существовала возрастающая последовательность (/<„) компактных множеств такая, что каждое компактное множество из X содержится в некотором К„. Тогда ^(Х; У) для всякого метрпзуемого пространства У метрнзуемо.
Дли того чтобы ^(Х; R) было метрнзуемо н счетного тина, необходимо и достаточно, чтобы все компактные подпространства К^ пространства X были мотризусмы. (Исаольвовать упражнение 4.J Тогда $с VX\ Т) метрнзуемо и счетного типа для всякого метрпзуемого пространства У счетного типа.
) а) Пустг» X — топологическое пространство, У — метрическое пространство, <1 — расстояние в У, и — целое >0 и $ СХ’Х X Уп X R?. Для каждой, точки z --- ((.г,), (г//), г) £ S обозначим через UT открытое множество в ^я (X; У), образованное теми непрерывными отображениями /: X —* У, для которых d У (х^, у;) < г (1 у « гХ re). Показать, что если D — всюду плотное подмножество в 5, то (J 7/г ==
- и и.
Вывести из а), что если топологии пространств X и У обладают счетным базисом, то всякое подпространство пространства $s (X; У) является линделефовым (гл. IX, § 4, упражнение 23) и, значит, пара- компактным (там же).
Пусть X — пространство, содержащее плотное счетное подмножество, У — отделимое пространство, каждая, точка которого обладает счетной фундаментальной системой окрестностей (соотв. метрпзуомоо пространство), и И С2 'С (X; У). Показать, что если •У — топология в 77, мажорирукнцан топологию простои сходимости гга X, в которой 77 компактно, то всякая точка из If обладает счетной Фундаментальной системой окрестностей в топологии .Т (соотв. ХГ метрнзуемо). |Заметить, что для всякого всюду плотного множества D в X топология л мажорирует топологию простой сходимости па /) н что ;>та последняя отделима. I
а) Пусть / - непрерывно!1 отображение (г, р) н-► ху произведения И X К в В. Показать, что отображением н-*• f (х, •) пространства К в ^а (Rl II) яе непрерывно.
Пусть X и У — топологические пространства, Z — равномерное пространство и / — отображение X X У в Z; накалять, что если / (т, -) для каждого ж С X непрерывно на У Jr отображение г I—►/ (ж, ■) пространства X в 'Аи (У; 2) непрерывно, то f непрерывно на X X У.
) а) Пусть X, У и Z — топологические пространства; предположим, что X и У отделимы и всякая точка каждого из этих пространств обладает счетной фундаментальной системой окрестностей. Пусть у— тако*1 отображение X X Y в Z, что / (т, •) для каждого х Е X непрерывно на У, а отображение .т •—► / (я.-, ■) пространства X в %'с (У; 2) непрерывно. Показать, что / непрерывно па X У. У. [См. следствие 3 теоремы 2 § 1.1
б) Показать, что утверждение пункта а) остается в силе, если предположение об X заменить предположениями, что X локально компактно, a Z — равномерное пространство. [Использовать упражнение 2 § 2 и теорему Асколи.] (Ср. упражнение 116).)
*10) Пусть X и У — топологические пространства и Т (А, В> для всех А С X и В С X означает множество тех отображений и С Е % (X; У), для которых и<АДС.В.
Пусть 11 — (<7Ч) — открытое покрытие пространства X. Обозначим через Уц топологию в % (X; У), порождаемую множествами ТВ, V), где V пробегает все открытые подмножества из У, a F — всо замкнутые подмножества из X, содержащиеся хотя бы в одном f/a.
Показать, что Уц мажорирует топологию компактной сходимости. [Использовал, теорему 3 § 4 главы IX.[ Если X регулярно, то отображение (и, к) ►—*• и (г) произведения У (X; У) X X в У непрерывно при наделении У (X; У) топологией Уц.
Пусть У — такая топология в У (X; У), что отображение (и, х) г—► и (z) произведения У (X; У) X X в У непрерывно, когда У (X; У) наделено топологией У. Пусть и0 — непрерывное отображение X в У, ж о — точка из X и У — открытое множество в У такое, что к0 (z0) Е V. Показать, что существует открытая окрестность 77 точки ж0 в X такая, что Т (U, V) является окрестностью и0 в топологии У.
Предположим, что X вполне регулярно. Показать, что если среди топологий У в У (X; R), при которых (и, х) !—► и (ж) непрерывно, существует слабейшая Уо, то Уо необходимо есть топология компактной сходимости. (Пусть Т (Ъ-, У) — окрестность нуля в У (X; R), наделенном топологией Уо, (Иу — произвольное открытое покрытие множества U и ЭД — покрытие X, образованное всеми множествами Wa н Си, Используя а) п рассуждая' от противного, показать, что существует конечное число множеств Ну, покрыввющее ОД
Показать, что если X вполне регулярно, но не локально компактно, то отображение (и, г) а-* и (а) произведения У,. (X; R) X X
в R не непрерывно ни в одной точке. [Рассмотреть точку я0, но имеющую ни одной компактной окрестности; рассуждать от противного, используя б).]
*11) Пусть X и у — непустые топологические пространства, произведение которых X X У нормально, и ^ — такая топология в множестве $ (X; R), что для всякой непрерывной числовой функции / па X X У отображение у I—►/ (•, у) пространства У в ^ (X; К) непрерывно.
Пусть у0 — предел некоторой последовательности (zn) точек из У, отличных от у0, Д — счетно-бесконечное замкнутое множество в X, все точки которого изолированные, и I — ограниченный открытый интервал в R. Показать, что в топологии X множество ,Т (Я, Z) (упражнение 10) не имеет ни одной внутренней точки. [Для точки u0 £ Т (Д, Z) построить такое непрерывное отображение /: X X У —> —* R, что у (., у0) = к0, а / (•, zn) £ Т (Д, Z) для каждого и.]
Вывести отсюда, что если, кроме того, отображение (и, ж) ь-► t—► и (ж) произведения ^ (X; R) X X в R при наделении $ (X; R) топологией 2Г непрерывно, X — локально паракомпактно (гл. IX, § 4, упражнение 27) и в X существует последовательность точек (жп), сходящаяся к точке, отличной от всех жп, то X необходимо локально компактно. [Использовать упражнение Юб), а также упражнение 25 в) § 4 главы IX.]
Заключить из б), что если X метризуемо и не локально компактно, то в ^с (X; R) имеются точки, но обладающие счетной фундаментальной системой окрестностей. [Использовать упражнение 9а).] Дать прямое доказательство этого факта, используя упражнение 5а).
Пусть X — топологическое пространство, У и Z — равномерные пространства, S — некоторое множество подмножеств из X, £ — некоторое мноясество подмножеств из У.
Пусть 7z0 £ # (X; У). Показать, что если н0 (Д) для каждого А С б содержится в каком-нибудь В £ Ж, то отображение и н-► и о п0 пространства 46^ (У; Z) в У’^ (X; Z) непрерывно.
Пусть II — подпространство в ЧЕ^ (X; У) и v0 £ ^ (У; Z). Показать, что если р0 равномерно непрерывно на Н (Д).для каждого А £ ®, то отображение u I—•■ р0 о и пространства Н в ^g (X; Z) пепре- рывно.
Пусть »0 £ ^ (X; У), п0 6 ^ (У; Z). Предположим, что для каждого Д £ S существуют В £ £ и окружение V для У такие, что:
1° V (г,0 (Д)) С В; 2° р0 равномерно непрерывно на В. '
Тогда отображение (и, 77) н* и о и произведения ^g (X; У) X
X 4g ^ (У; Z) в ЧЕ^ (X;'Z) непрерывно в точке (и0, v0).
В частности, отображение (и, р) т—► 77 о и произведения ЧЕ (X; У)Х X Ч6и (^ ^) в ^и (-К". Я) непрерывно во всякой точке (и0, р0) такой, что р0 равномерно непрерывно па У. ■
Пусть р0 — гомеоморфизм ж у—» з? пространства R на себя. Показать, что отображение и у—* а0 о и пространства ^ц (R; R) в себя не непрерывно ни в одной точке.
*13) Пусть X, У- и Z — отделимые топологические пространства.
а)^Показать, что, каковыбыни были н0 £ $ (X; У) и р0 6 ^ (^! Z), отображения а у—*',о о н0 пространства 4gc (У; Z) в ^с (X; Z) и и у—► с0 ° и пространства ??с(Х;У)в ^^ (X; Z) непрерывны.
Предположим, что всякая точка в У (соотв. Z) обладает счетной фундаментальной системой окрестностей и что в X существует плотное счетное подмножество. Пусть II — компактное множество в ^с (X; У); показать, что отображение (it, а) у—* и о « произведения Я X Ч£с (Y; Z) в $с (X; Z) непрерывно. [Доказать сначала, используя упражнения 7 и 9а), что Я (X) компактно в У для каждого компактного множества К из X.] .
Показать, что отобраягепие (и, а) у—* и о и произведения Кс (Q; Q) X Тсс (Q; Q) в ^c (Q; Q) не непрерывно ни в одной точке.
Пусть Г — группа всех гомеоморфизмов числовой плоскости R2 на себя, наделенная топологией простой сходимости. Показать,
что отображение (к, а) ►-► и о и произведения Г X Г в Г не непрерывно. [С одной стороны, рассмотреть такую последовательность гомеомор
(^^^(ж.у-!-^).](^^^(ж.у-!-^).]параллельных переносовпараллельных переносовфизмов (t’n), что всякая точка (ж, у), где у не принадлежит интервалу (1/(п-|-1), 1/п], является неподвижной для ип, а сужением ап на прямую у = 2/(2га + 1) служит параллельный перенос (ж, у) у—* у—* (ж + 1, у); с другой стороны, рассмотреть последовательность (и^
(^^^(ж.у-!-^).]
(^^^(ж.у-!-^).]
параллельных переносов
параллельных переносов
а) Пусть X — равномерное пространство, © — некоторое множество его подмножеств, Г — группа всех гомеоморфизмов X па себя и и0 — элемент группы Г. Предположим, что для каждого Л С © существуют множество В £ © и окружение V для X такие, что: а) и,1 равномерно непрерывно на V (Л); [А) если и 6 Г и (и0 (ж), и (ж)) 6 б V для всех ж^ й, то Л С« (Л). Показать, что при этих условиях отображение и у—* и-1 (определенное на Г) непрерывно в точке н0 при наделении Г топологией ©-сходимости.
Показать, что условие Р) можно заменить следующим: Р') существует связное множество С с X такое, что У(Л)ссС, а V (С) содержится во внутренности множества и0 (В^. [Доказать, что Р') влечет Р), рассуждая от противного.]
*16) Пусть X — равномерное пространство и Го — группа автоморфизмов его равномерной структуры.
Показать, что в Го топология равномерной сходимости согласуется со структурой группы. [Использовать упражнения 12 и 15.] Кроме того, равномерная структура, индуцируемая п Го равномерной
структурой равномерной сходимости на X, совпадает с праной равномерной структурой топологической группы Го.
Показать, что если X — компактный интервал [0, 1] из R, то топологическая группа Ге, определенная н а), но .может быть полной. I Построить равномерно сходящуюся последовательность гомеоморфизмов (н„) интервала X па себя, для itoropoii последовательность (bJ1) но была бы равномерно сходящейся.]
Показать, что если X — полное отделимое равномерное пространство, то двусторонняя равномерная структура топологической группы Г0 (гл. Ш, § 3, упражнение б) есть структура полного пространства. [Заметить, что если Ф — фильтр Коши в группе Го, наделенной атой структурой, то Ф (.г) и Ф-1 (т) сходятся в X при любом х t X.J
7) а) Показать, что если X— локально компактное локально связное пространство, то топология, индуцируемая и группе Г всех гомеоморфизмов пространства X на себя топологией компактной сходимости, совпадает с топологией ,Тр, определенной в п° а. [Использовать упражнение 156) и предложение 12.]
Пусть X — локально компактное подпространство в R, состоящее из точки 0 и всех точек 2" (n G Z), и Г — группа всех гомеоморфизмов X па себя. Показать, что в Г топология, индуцируемая топологией компактной сходимости, не согласуется со структурой группы.
Пусть X — локально компактное пространство, наделенное равномерной структурой, согласующейся с его топологией, и Г — группа всех гомеоморфизмов X на себя. Пусть G (К, V) для каждого окружения V равномерной структуры пространства X и каждого компактного множества К и X означает множество всех пар (и, и) гомеоморфизмов X на себя таких, что (и (г), г (.г)) б V и. (и*1 (.г), г-1 (т)) (■'. V для всех .т С X.
Показать, что множества G (К, V) образуют фундаментальную систему окружений некоторой равномерной структуры ?/ в Г и что топология, порождаемая зтой равномерной структурен!, совпадает с топологией д'р, определенной л п° 5.
Показать, что если X полно в рассмотренной равномерной структуре, то Г полна в равномерной структуре ?/.
Показать, что Г полна в двусторонней равномерной структуре, порождаемой групповой топологией ^Гр. [Использовать упражнение 16и).|
Возьмем а качестве X .локально компактное! подпространство в И, образованное всеми точками вида и -[• 2~nl (л б Z, та — целое> 1). Показать, что в Г ни структура ?/, ни равномерная структура компактной сходимости не срапплма ни с одной из трех равномерных структур, - правой, левой или двусторонней,— порождаемых групповой топологией д'^.
19) Пусть II —■ равностепенно непрерывная группа гомеоморфизмов равномерного пространства X на себя; наделенная топологией простой сходимости, II есть топологическая группа (слодстпие предложения 10).
Показать, что левая равномерная структура в II мажорирует равномерную структуру простой сходимости и что яти структуры совпадают, если II равномерно равностепенно непрерывно.
Пусть и -- гомеоморфизм числовой прямой К на себя, опре-
1 деленный равенствами и (.к) == .г 1 для .г 0 и и (.с) = и- ;—-
для 1 Za 0. Пусть Н — порожденная им (и грунт! всех гомеоморфизмов прямой fl на себя) моногеппая группа. Показать, что 11 равностепенно непрерывна и дискретна в топологии простой сходимости, но равномерная структура простой сходимости в II отлична от дискретной равномерной структуры. [Заметить, что un+l к$1 — »” (т) стремится к 0 при п стремящемся к -hoc.]
Возьмем в качестве равномерного пространства X дискретное пространство N всех целых чисел >0, наделенное расстоянием, равным 1 для любой мары различных элементов, а и качестве И — группу всех изометрий N на себя, которая равномерно равмостепонио непрерывна. Показать, что топологическая группа, получаемая наделением И топологией простой сходимости, не может быть полной. [Тот же метод, что и в упражнении 166).]
Предположим, что X отделимо и полно, а П равномерно равностепенно непрерывна. Показать, что фильтры Коши в И, наделенном, двусторонней равномерной структурой топологической группы II,. сходятся в пространстве ?TR (X; X) и что множество IV их пределов является: равномерно равностепенно непрерывной группой гомеоморфизмов пространства X на себя, которая (при наделении ео топологией простой сходимости) полна в своей двусторонней равномерной структуре и содержит II как плотную подгруппу.
20) Пусть X — локально компактное подпространство в II2,. образованное пряшдми у — 0 и у - ■ 1/н (а ^ 1); С — группа гомео-. морфизмов и пространства X па себя, сужение которых на каждую из прямых у =-- 0, у — Мп есть перепое вида (а-, у) i—► (т + аИ, у). Показать, что С удовлетворяет условиям теоремы 4, ио топологии компактной и простой сходимости в G различны.
*21) Пусть А' — локально компактное прострапство, Т — множество в ^ (A'; X), состоящее на гюръскшквинх. отображений, и ОТ — топология и I, мажорирующая топологию простой сходимости и такая, что Гн топологии :Т локально ко.кпикнию. Рассмотрим следующее свойство пары (7’, ЯЛ".
(А) Если и б Г и г б Т, то п n р б 7'; кроме того, для каждого и £ Г отображения о >—> и о р и г с—» г о и множества Т, наделенного тополопнчй VT, п себя неиреръины.
Предположим, что X компактно и метризуемо, что (Г, ^Г) удовлетворяет условию (А) и что существует группа С гомеоморфизмов X на себя, плотная в Г, наделенном топологией S'. Показать, что множество Н всех биективных отображений и ^Т имеет в Т тощее дополнение. [Заметить прежде всего, основываясь на упражнении 7, что каждая точка из Т обладает в ST компактной и метризуемой окрестностью. Пусть (Уп) — фундаментальная система окрестностей в Т нейтрального элемента е группы G и Цп — множество тех v Q Т, для которых существует и g Т такое, что youg Vn; заметить, что И содержит перосочсляе всех НпД
Показать, что в предположениях пункта а) сужение на G X X отображения л: (и, ж) н-* и (ж) произведения Т X X в X непрерывно. [Показать сначала, что достаточно доказать, что для каждого ж0 g X существует и0 £ Н такое, что л непрерывно в точке (м0, ж0), установив, что это влечет непрерывность л в точке (е, ж0). Доказать затем, используя а) и упражнение 23 § 5 главы IX, что если V — метризуемая компактная окрестность элемента е в Т, то существует такое u0 g g Н П V, что л непрерывно в точке (я0, ж0).]
2) Пусть X —компактное пространство, Т — подгруппа группы его гомеоморфизмов на себя, наделенная локально компактной топологией S', для которой выполнено условие (А) упражнения 21. Пусть G — счетная подгруппа группы Т и / — непрерывная числовая функция на X. Рассмотрим непрерывное отображение ж i-> ср (ж) пространства X в IG, где I = / (X) с: R и ср (ж) = (/ (к (ж)))и£д; образ У пространства X при отображении ср есть метризуемое компактное подпространство в IG%
Показать, что множество тех v g Т, для которых ср о и = ср, есть подгруппа К группы Т, нормализатор которой в Т содержит G. Пусть R — отношение эквивалентности к о p-i g К в Т, Т* — фактор- пространство Т/R и р — каноническое отображение Т н-> TlR. Показать, что Г' локально компактно и если положить р (и) а = р (и о у), то Т действует справа в Т* так, что t’ i—»• t'v непрерывно на 7" для каждого о Е Т.
— 1
Пусть G’ — р (G), П* — замыкание С' в 7" и И = р ЦП’У Показать, что для и g II отношение р (р) = р (р') влечет р (и о р) = = р (и о и’), так что Н действует слева в Г'; кроме того, если для и g II и v g Т положить up (о) = р (и о р), то отображение t' i—► uf непрерывно па Т*. Пусть, иакопец, и^ и иг — элементы из П, для которых р Он) — р (,иау, тогда uyt' = и^', что определяет посредством факторизации отображение («', V) v-* и't' произведения И’ X Т* в Т* такое, что f с-* u’t' непрерывно на Т' при любом и' g Н'. Показать, что если и’ и р' принадлежат 77', то ио’ g 1Г, и так определенный
закон композиции в И' индуцирует в G* структуру группы (изоморфную структуре факторгруппы GK/K).
Если и ( Я, то отношение ф (ж) = ф (у) влечет ф (и (ж)) = — ф (к (у)), так что существует, и притом единственное, отображение к пространства У в себя такое, что ф о и = а о ф. Показать, что и непрерывно и сюръективно; кроме того, для того чтобы щ = u2, необходимо и достаточно, чтобы р (^ = р (м2); это позволяет написать и = а', полагая р (и) = и1, и определяет инъективное отображение ф: и' г-* и' пространства И' в ?^в (У; У). Показать, что ф непрерывно, и ф (»'i/) = ф («/) о ф (у'); отождествляя Н' с его образом в ®s (^i У) ПРИ отображении ф п обозначая через 5"' топологию, получаемую перенесением с помощью ф топологии, индуцированной в Н' из Т ' заключить отсюда, что (Д', ^') удовлетворяет условию (Л) упражнения 21.
Показать, что если G наделена топологией, индуцируемой топологией 3", то отображение (я, ж) г-* и (ж) произведения G X X в X непрерывно. (Доказать, используя в) и упражнение 21, что для каждой непрерывной числовой функции / на X отображение (я, ж) г-* •-♦•/(и (ж)) непрерывно на G х X; затем применить предложение 4 § 1 главы IX.)
*23) Пусть X — компактное пространство, Т — множество в $ (X; X), устойчивое относительно закона (и, и) v-* и о и. Предположим, что Г наделено локально компактной топологией 3", мажорирующей топологию простой сходимости, причем для каждого счетного множества S с: Т, устойчивого относительно и о и, сужение на S х’Х отображения л: (и, ж) г—► и (ж) произведения Т X X в X непрерывно. Показать, что при этих условиях л непрерывно на Т X X. (Пусть V — компактное множество в Г, наделенном топологией 3"; показать, используя следствие 1 теоремы 3, что для всякого счетного подмножества У множества V каждая точка прикосновения множества D в топологии У является также точкой прикосновения этого множества в топологии равномерной сходимости. Заключить отсюда, что V относительно компактно в gu (X; X) (гл. II, 2-е изд., § 4, упражнение 2; 3-е изд., § 4, упражнение 6) и, значит, равностепенно непрерывно.]
24) Пусть X — локально компактное пространство, Т — некоторая группа гомеоморфизмов X на себя и 3" — локально компактная топология в Г, мажорирующая топологию простой сходимости я такая, что выполняется свойство (Л) из упражнения 21. Показать, что ото- браженио .(н, ж) >—* я (ж) произведения Гх X в X непрерывно при наделении Т топологией :Т. [Продолжить гомеоморфизмы из Т до гомеоморфизмов александровской компактификации X' пространства X; затем, используя упражнение 22г), показать применимость результата'упражнения 23.)
*25) Пусть G — группа, наделенная топологией ?Г, в которой G локально компактна, а сдвиги t1—► si и ti—> is для. каждого ч $ G непрерывны. Покапать, что ;Т согласуется со структурой группы в G («теорема Р. Оллиса»^. [Отождествить G с группой левых сдвигси, наделенной топологией простой сходимости, так что G отождествится с группой гомеоморфизмов ее александровской компактификации X, наделенной топологией простой сходимости. Вывести отсюда с помощью упражнения 24, что в С топология простой сходимости на X совпадает с топологией рапомерной сходимости на X (следствие 1 теоремы 3), и в заключение применить предложение 11.]
*26) а) Пусть X — локально компактное равномерное пространство, G — некоторая группа его гомеоморфизмов и Т — замыкание G в ^s (X; X). Показать, что для того, чтобы Т было компактно в топологии простой сходимости и было группой гомеоморфизмов, необходимо и достаточно, чтобы G была относительно компактна в $, (X; X). [Использовать упражнения 12 и 24, а также следствие теоремы 4.]
Пусть G — локально компактная, но не компактная топологическая группа и X — ее александровская компактификация; отождествим G с некоторой группой гомеоморфизмов пространства X. Показать, что G не равностепенно непрерывна, хотя ее замыкание в ^s (X; X) и компактно.
Пусть X — отделимое равномерное пространство и G — равностепенно непрерывная группа его гомеоморфизмов.
Точка тп 6 -V называется почти периодической относительно G, если ее орбита но G относительно компактна в X. Пусть Y -- (компактное) замыкание в X агон орбиты и и. (У) с: У для всех и Е G. Пусть и сужение и. на У, рассматриваемое как элемент ^' (У; У); показать, что и. есть гомеоморфизм У па себя и что замыкание Г в ^ „ (У; У) образа группы G при отображении и н-► и. является компактной трупной гомеоморфизмов (следствие теоремы 4), транзитивной в У,]
Предположим, что X полно; для того чтобы точка г0 была почти периодической относительно С, необходимо и достаточно, чтобы для каждой ее окрестности У в X существовало конечное число элементов uf С G таких, что, каково бы пи было и £ G, ujl (и (г0)) (- у хотя бы для одного /.
Предположим, что г0 — почти периодическая точка и G наделена топологией, согласующейся с ее структурой группы; сохраним обозначения пункта а). Для того чтобы отображение им- и группы G в Г (наделенное топологией, равномерной сходимости) было непрерывно, необходимо н достаточно, чтобы для каждой пары различных точек .с, // из У существоиали окрестность Г: нейтрального элемента с группы G п окрестность У точки у, для которых и Q V влечет а (з) (t У. [Использовать то, что в Г топологии, индуцируемые ня фи (У; У) и ^s (У; У), совпадают.]
Пусть G— топологический группа п А' банахово пространство nctix ограниченных непрерывных отображений G в С, наделенное нормой || / || — sup | / (s) |. Для каждой функции / б X и каждого
«EG"'
5^0 обозначим через Usj функцию t v-* / (х""1/), также iifni пядл еисаицую X, так что Ua, где s пробегает G, образуют группу G' наометрнп пространства X. Элемент f (; X называется почти периодической (слева) функцией на G, если /—почти периодический элемент в А’ относительно группы G'. Для этого необходимо и достаточно, чтобы для каждого в > 0 существовало конечное число элементов х; С G таких, ч то, каково ■бы нп было х f G, существовал хотя бы одни индекс i, для которого
I / (<"10 - / М1^ I С у
при всех t С G.
а) Предположим, что /—почти периодическая функция. Пусть У —• замыкание в X орбиты / по С, а Г — замыкание в *6 и (У; У) множества сужений И, на У отображений Ua, где х пробегает G. Пусть /а б У для каждого а С Г означает образ / при отображении о;
/о W - U, Ча (»' ЛЧ
для каждого s С 0; вывести отсюда существование на Г такой непрерывной функции /, что
1У) = Г<Уач
(Использовать упражнение 27в).]
Используя а), показать, что для того, чтобы функция / б X ■была почти периодической относительно G, необходимо н достаточно, чтобы она имели вид д о q,, где <р — каноническое отображение группы G в компактную группу 0е, ассоциированную с G (Теор. множ., гл. IV, :§ 3, п° 3, пример 8), a g -- непрерывное отображение Gc в С.
Возьмем в качестве G аддитивную группу К. Показать, что ■если / — почти иерподпческвя функция па R, то для каждого я > О существует такое число 7' > 0, что всякий интервал из R длины Т содержит х, для которого 1 / (х -| .с) - / (.г) | <( в, каково бы ни было х С R (я называют «почтн-периодом с точностью до г>> функции /). (Использовать б) и доказательство упражнения 2 § 1 главы V.|
Пусть X — компактное пространство, a G ■■ топологическая группа, действующая непрерывно в X и такая, что всякая орбита для G плотна в X. Показать, что если дли каждой непрерывной числовой ■функции / на X существует z0 К X такое, что х н-► / (х.г„) есть почти периодическая функция на G, то G равностеП(Ч1но петгрерывна. [Использовать то, что X гомео.морфно замкнутому ноднространстпу некоторого куба.] Доказать обратное при дополни тельном предположении, что G коммутативна.
4. Аппроксимация непрерывных числовых функций
Аппроксимация непрерывных функций функциями из некоторой региетки
В этом параграфе мы будем изучать множество $ = $ (X; В} всех непрерывных числовых функций ), определенных на некотором компактном пространстве X; это множество будет всюду предполагаться наделенным топологией равномерной сходимости.; как мы знаем (§ 3, п° 2), эта топология определяется нормой II / II = sup | / (ж) |, согласующейся со структурой алгебры в *6
над полем В; наделенное этой структурой алгебры и этой нормой, ® является полной нормированной алгеброй над полем В (§ 1> следствие 1 теоремы 2).
Будем говорить, что непрерывная числовая функция / на X равномерно аппроксимируема функциями из заданного множества На Ч', если / — точка прикосновения множества И в пространстве 9?, т. е. для каждого е > 0 существует функция g £ Н такая, что | / (ж) — g (х) Ю для всех х g X. Утверждение, что каждая непрерывная числовая функция на X равномерно аппроксимируема функциями из Н, означает, таким образом, что Н всюду плотно в ^.
Как известно, в множестве *6 отношение / ^ g (равносильное «/ (я) ^ £ (ж) Для всех х ^ X») есть отношение порядка, относительно которого % является, решеткой. Очевидно, || | и |— | v | || ^ ^ || и — v ||, так что и 1-» | и | есть равномерно непрерывное отображение $ в себя; отсюда следует, что и отображения
(и, У) 1-> sup (и, у) = у (У -г У +1 и — У I )
И
(и, у) i-> inf (у, у) = у (м + у — | м — у |) равномерно непрерывны на $ X ^.
Предложение 1. Пусть X — компактное пространство, Н — некоторое множество непрерывных числовых функций, опре-
деленных на X, и / — непрерывная числовая функция на X, обладающая тем свойством, что для каждого ж ( X существует функция их ^ II такая, что гГх (ж)>/ (ж) (соотв. их (ж)</ (ж)). Тогда существует конечное число функций их^ — h ^ II (1 ^ I ^ п) таких, что если положить и = sup (Д, /2, . . ., /п) (соотв. w — = inf (/i, /3, . . ., /п)), то для всех х ^Х выполняется неравенство v (х) > / (ж) (соотв. ш (х) < / (ж)). '
Действительно, пусть Gx, для каждого х g X, означает открытое множество тех z ( X, для которых их ^ > / (z) (соотв. их (z) ■< / (z)); так как, по предположению, х £ Gx, то X является объединением всех Gx (х £ X). Так как X компактно, то тогда существует конечное число точек х( (1 ^ i ^ п) таких, что множества GX1 покрывают X; ясно, что функции /,- = их. отвечают поставленному требованию.
Теорема 1 (Дини). Пусть X — компактное пространство и II — множество непрерывных числовых функций на X, фильтрующееся по отношению ^ (соотв. ^). Если верхняя (соотв. нижняя') огибающая / множества Н конечна и непрерывна на X, то f равномерно аппроксимируема функциями из II (или, что то же, фтлътр сечений множества Н равномерно сходится к / на X).
Действительно, каково бы пи было е > 0, для каждого ж £ X существует функция их 5 И, такая, что их (ж) > / (ж) — е. На основании предложения 1 и поскольку Н фильтруется по отношению ^, существует g g II, такое, что g (х) > / (ж) — е для всех ж g X; так как с другой стороны, по определению g (ж) ^ / (ж), то теорема доказана.
Следствие. Пусть (и^ — возрастающая (соотв. убывающая) последовательность непрерывных числовых функций на X. Если верхняя (соотв. нижняя) огибающая / последовательности (ип) конечна, и непрерывна на X, то последовательность (ип) равномерно сходится к / на X.
Ясно, что утверждение теоремы 1 уже не обязательно верно, если не предполагать X компактным, как это показывает пример убывающей последовательности Функций xKn-Vx^ на К+.
Предложение 2. Пусть X — компактное пространство и II — множество непрерывных числовых функций на X такое, что
«месте с каждыми, двумя функц иями и € И и о € И также функции sup (w, z;) и inf (u, г’) принадлежат И. Для того чтобы непрерывная числовая функция / на X была, равномерно аппроксими руема функциями из И, необходимо и достаточно, чтобы для каждого е > 0 и каждой нары (ж, z/) точек из X существовала функция их. у Е И такая, что | / (ж) — их, y (z) | < к и | / (р) — их, и (у) | с
Необходимость условии очевидна. Докажем, что оно достаточно. Мы покажем, что, каково бы ни было е >■ 0, существует такая функция g Е Н, что | / (z) — g (z) | < е для всех z Е X. Пусть х — произвольная точка из X и Их — множество всех функции и ЕН, для которых и (.г) < / (ж) -|-в. По предположению, для каждого у ЕХ. функция иК1Ч принадлежит IIк, причем uxai (у) > 2> / (у) — в; поэтому, согласно предложению 1, существует конечное число функций из Их, верхняя огибающая которых. z’.v такова, что vx (z) > / (z) — в для всех z Е X; с другой стороны, по определению множества II х, vx (^) < / (ж) -|- в; наконец, гх принадлежит Н в силу предположения. Предложение 1 показывает тогда, что существует конечное число функций vXj, нижняя огибающая которых g такова, что g (z) <_ / (z) -{- в для всех z Е X; С другой стороны, поскольку V» (z) >■ / (z) — 8 для всех Z Е X и каждого индекса г, то также g (z) > / (z) — е для всех z Е X", так как в силу предположения g Е Н, то предложение доказано.
Замена я и е. Множество jf. удовлетворяющее. указанным условиям, является решеткой по отношению порядка / s^ д. Заметим, однако, что множество Jf cz гр может быть решеткой по этому отноите- лпю порядка и без того, чтобы верхняя (соотв. нижняя) грань в Н двух функций и, v из И совпадала с их верхней (соотв. нижней) гранью в ^, т. е. с функцией
tv—> sup (u (a-), i; (т)) (соотв. t v—* inf (и. (.c), v (.г))).
° Пример доставляют выпуклые отображеншг компактного интерпала числовой прямой Ц в R (см. Функции действ, пер., гл. I, § 4, уиражшчгие 20).„
Следствие. Предположим, что II таково, что вместе со всякими двумя его фпункциями и и i; также функции sup (?t, z>) и inf (zz, к) принадлежат П и, кроме того, для каждой пары различных точек х, у ил X и каждой пары вещественных чисел а, р
существует такая функция g ^Н, что g (х) --= а и g (у) — 0. Тогда всякая непрерывнаячисловая функция. на X равномерно аппроксимируема функциями из И.
Определение 1ч Говорят, что множество И отображений множества X в множество Y отделяет элементы, множества Л с: X (или является отделяющим множеством для элементов множества Л), если для всяких двух различных элементов х, у из Л существует, функция / £ П, для которой 1 (ж) #= / (у).
Например, если X — вполне регулярное пространство (гл. IX, § 1, п° .">), то множество всех непрерывных отображений А' в |.О, 1 | отделяет точки этого пространства.
Теорема 2. (Стоун). Пусть X — компактное пространство и II— такое векторное подпространство в ?" (X; R), что: Г постоянные функции принадлежат II; 2° и £ Н влечет | и | £ Н; Зп II отделяет точки пространства X. При этих условиях всякая непрерывная числовая функция на, X равномерно аппроксимируема функциями из IT.■
Достаточно показать, что И удовлетворяет условиям следствия предложения 2. По предположению, если и £ II и v £ Н, то также sup (и, у) — — (z/4- ц +1 и — у]) и inf (и, и) = — (?Н-У"| и — и |) принадлежат Н. С другой стороны, пусть х, у — произвольные две различные точки из X и а, 0— любые два вещественных числа; по предположению, существует функция И С Н, для которой h (ж) =4= И (у); положим h (я) = у, h (у) = 6; поскольку постоянные принадлежат II, функция g (z) = а 4- (0 — а) —^^ принадлежит Н, а для нее g (ж) — а и g (у) = 0.
?. Аппроксимация непрерывных функций полиномами
Пусть дано множество Н числовых функций, определенных на некотором множестве X; будем говорить, что числовая функция па X есть полином (соотв. полином без постоянного члена) с вещественными коэффициентами относительно функций из II, если опа имеет вид'
х'-* g kh^), ti ^х), . . ., /п (ж)),
lii Н. Бурбаки
где g — полином (соотв. полином без постоянного члена) с вещественными коэффициентами относительно п неизвестных (где га произвольно), а функции ft (1 ^ i ^ п) принадлежат Н.
Теорема 3 (Вейерштрасс — Стоун). Пусть X — компактное пространство и И — множество непрерывных числовых функций на X, отделяющее его точки. Тогда всякая непрерывная числовая функция на X равномерно аппроксимируема полиномами (с вещественными коэффициентами) относительно функций из II.
Другими словами, подалгебра алгебры *6 (X; R), содержащая постоянные функции и отделяющая точки пространства X, всюду плотна в (X; R).
Пусть Но — множество всех полиномов относительно функций из Н и Но его замыкание в $; для всякого полинома g от п переменных с вещественными коэффициентами (un ы2, . . ., ип) >-* ►-► g (иь и2, . . ., ип) есть непрерывное отображение ^ в ^, переводящее Н^ в Яо; тем самым оно отображает Н^ в Нй (гл. I, 2-е изд., § 4, теорема 2; 3-е изд., § 2, теорема 1). В частности, Но является векторным подпространством в Й и, очевидно, удовлетворяет первому и третьему условиям теоремы 2; покажем, что оно удовлетворяет и второму условию, откуда будет следовать, что Яо = ^ Поскольку всякая функция и С Но ограниченна на X, достаточно доказать следующую лемму:
Лемма 1. Для каждого числа е > 0 и каждого компактного интервала I с: R существует полином р (t) без постоянного члена такой, что | р (<) — Р I I ^ 8 для всех t £ I.
Достаточно установить справедливость леммы для интервала вида 7= [ — a,. + «], а следовательно, заменяя t на at, для интервала [—1, -Щ. Поскольку | t | = V t\ лемма 1 является следствием следующего результата:
Лемма 2. Пусть (рп) — последовательность полиномов без постоянного члена, определенная индукцией по п условиям р0 (t) = = 0 и
Pn+l (О = Рп (t) + У (^ “ ^Рп (О)2) (1) для п^О; на интервале [0, 1] последовательность (рп) возрастает и равномерно сходится к V t. -
Достаточно доказать, что для каждого t С [0, 1] выполняются неравенства
(2) 2+ п у I •
поскольку (2) влечет 0 ^ К/ — рп (t) ^ 2/п.
Неравенство (2) справедливо при п — 0; применим индукцию по п; из предположения индукции (2) вытекает, что 0 С Vt — — Рп $ ^ Ki> откуда 0 ^ рп (0 ^ У t. На основании (1) получаем тогда:
Ki- Рп^ (0 = W't-?» W) (1 - у (К< + Рп (О)), откуда Ki—Pn+i(0>° и в СИЛУ (2)
Vt-Pn+i^< 2 + nVF V 2 К
2 У 7 / 1/7\2 1/7
2 + (п + 1) уг / ~ 2 + (п + 1) У7 ’ что и требовалось доказать.
Без предположения, что X компактно, утверждение теоремы 3 уже не обязательно верно. Например, ограниченная непрерывная числовая функция на R, отличная от постоянной, не может быть равномерно аппроксимирована на R полиномами (см. упражнение 6).
Предложение 3. Пусть UQi^i — семейство компактных интервалов в R, К = f { К^ — их произведение и X — компакт,- ное подпространство пространства К. Всякая непрерывная числовая функция на X может быть равномерно аппроксимирована полиномами относительно координат xt = prta:.
В самом деле, для любых двух различных точек х = (tJ и у= = (гд) из X существует такой индекс t, что ад ^ yt; это показывает, что семейство непрерывных функций prt удовлетворяет услот виям теоремы 3.
Предложение 4. Пусть X — компактное пространство^ Л — замкнутое множество в X и Н — множество непрерывных числовых функций на X, отделяющее точки множества С-4 и такое, что А есть пересечение множеств и (0), где и пробегает Н. При этих условиях всякая непрерывная числовая функция на X, равная
нулю на А, равномерно аппроксимируема полиномами без постоянного члена относительно функций из И.
Рассмотрим сначала тот частный случай, когда А сводится к одной точке х0. Из предположения следует тогда, что И отделяет точки множества X, ибо если х ^ х0, то по условию существует функция и £ И, для которой и (ж) Ф 0 — и (ж0); поэтому (теорема 3) для каждого е > 0 и каждой непрерывной числовой функции / на X такой, что / (ж0) — 0, существует полипом g относительно функций из Н такой, что | / (ж) — g (ж) | ^ в для всех х С X; в частности, | g (х^ | ^ в, откуда | / (ж) — (g (ж) — — ? (жо)) I С 2е для всех х £ Х\ поскольку g (х) — g (х^ есть полином без постоянного члена относительно функций из Н, предложение для этого частного случая доказано.
В общем случае рассмотрим в X отношение эквивалентности R, классами которого служат множество А и множества {аг}, где х пробегает СМ; факторпространство X' -= Х/П отделимо (гл. I, 2-е изд., § 9, предложение 11; 3-е изд., § 8, предложение 15) и, следовательно, компактно. Пусть у — каноническое отображение X на XIR; всякая непрерывная числовая функция на X, равная нулю на всем А, может быть записана в виде / — /, » ф, где ^ — числовая функция, определенная и непрерывная на X' и равная нулю в точке х’о =- q) (Л); применяя предложение к пространству X* и точке аг', получаем требуемый результат для общего случая.
У. Приложение: аппроксимация непрерывных числовых функций, определенных на произведении компактных пространств
Теорема 4. Пусть (XJicr — семейство компактных пространств, X = 1^ Xi — его произведение. Всякая непрерывная числовая функция на X равномерно аппроксимируема суммами конечного числа функций вида (а) •-► [] иа ^ха), где J — (про- ag.T
извольные) конечные пдмножества множества I, а иа — непрерывные числовые функции на Ха (а 6 J).
Действительно, рассмотрим множество И всех непрерывных «функций одной переменной» (рц) >-* иа (жа) (a g 7) на X; это множество отделяет точки пространства X, ибо для любых двух раз-
личных точек х = ^х^ и у — (<у^ из X существуют а £ I такое, что ха ^ уа, и непрерывная числовая функция ha на Ха, для которой hv (ха) =# ha ^УаУ, тогда функция х >-> ha (ргах) принадлежит Н и принимает различные значения в точках х и у. Поскольку всякий полином относительно функций из И имеет вид, указанный в условии теоремы, последняя вытекает из теоремы 3.
Без предположения компактности всех X। утверящеппе теоремы 4 уже ио обязательно верно (см. ущтжнепие 9).
4. Аппроксимация непрерывных отображений ■компактного пространства в нормированное ■пространство
Пусть X — компактное пространство и У — нормированное векторное пространство над полом R (гл. IX, § 3); пространство 15 (X; У) всегда будет предполагаться наделенным топологией равномерной сходимости, определяемой нормой || и || = sup || и (z) || хех
(§ 3, п° 2).
Пусть II — некоторое множество непрерывных числовых функций, определенных на X, (u;)i^i^n—конечное семейство функций из Н и (а/)и-$«п— конечное семейство точек из У. Тогда отобра- п
жение х *-* У арц (х) пространства X в У непрерывно; мы будем
п *
обозначать его У арц и называть линейной комбинацией функций I.
из II с коэффициентами из У. Мы будем говорить также, что непрерывное отображение / пространства X в У равномерно аппроксимируемо линейными комбинациями функций из Н (с коэффициентами из У), если / есть точка, прикосновения векторного подпространства в If (X; У), образованного всеми этими линейными комбинациями.
Предложение 5. Пусть X — компактное пространство, У— нормированное пространство над R и П с ¥ (X; R). Если всякая непрерывная числовая функция на X равномерно аппроксимируема функциями из II, то всякое непрерывное отображение f пространства X в У равномерно аппроксимируемо линейными комбинациями (с коэффициентами из У) функций из И.
Каково бы ни было е > 0, каждая точка х £ X обладает открытой окрестностью, в которой колебание / пе превосходит е. Следовательно, существует конечное открытое покрытие (Л^^^п пространства X такое, что колебание / в каждом из At пе превосходит 8. Пусть at— любое значение / в A, (1 ^ i ^ п) и (u^i^i^n — непрерывное разбиение единицы, подчиненное покрытию (Лг) (гл. IX, § 4, следствие предложения 4). Возьмем произвольную точку х ^Х; тогда и; (ж) — 0 для всякого i такого, что х ^ Л г, и ||/(ж) — at || ^ в для всякого г такого, что х £ Л<; следовательно,
ппп
Ц/^) — S ««««(*) II = 11 S <f^ — «ОМ^ЦоЕ Ut (ж) = 8. г—1tn=li=-l
С другой стороны, согласно предположению, существует функция п
vt € Н такая, что | иг (я) — уг (ж) | ^ e/^j II #/ II для всех х g X п'
(1 ^ г.^ пУ, следовательно, ||/ (ж) — У atvt (ж) || ^ 2е для всех
г Е X, и предложение доказано.
Таким образом, на основании предложения 5 каждому из доказанных выше предложений, в которых устанавливается, что некоторое множество И всюду плотно в $ (X; R), соответствует аналогичное предложение для непрерывных отображений X в произвольное нормированное пространство У. Мы ограничимся формулировкой предложения, отвечающего указанным образом теореме 3. Пусть Я — некоторое множество числовых функций, определенных на X; назовем полиномом, относительно функций из Я с коэффициентами из У всякую линейную комбинацию с коэффициентами из У произведений конечных (возможно пустых) семейств функций из Я. Тогда■
Предложение 6. Яустъ X — компактное пространство и Я— множество непрерывных числовых функций на X, отделяющее его точки. Яри этих условиях в^игое непрерывное отображение пространства X в нормированное пространство У над R равномерно аппроксимируемо полиномами с коэффициентами из У относительно, функций из Я.
Отсюда вытекает также следующее предложение:
Предложение 7. Пусть X— компактное пространство и Н — множество его непрерывных отображений в поле комплексных чисел С, отделяющее точки пространства X. Всякое непрерывное отображение пространства X в нормированное пространство Y над С равномерно аппроксимируемо полиномами с коэффициентами. из Y относительно функций / £ II и сопряженных функций ].
Достаточно заметить, что Y есть также нормированное пространство над R, и применить предложение 6 к множеству, образованному вещественными и мнимыми частями функций / £ Н,
1 - 1 - приняв во внимание, что ^f = -у (/ + /) и Jf -=
Следствие 1. Если X — компактное множество в пространстве Сп, то всякое непрерывное отображение (zl, z2, . . . . . ., zn) >—► / (zn z2, . . ., zn) множества X в нормированное пространство Y над полем С равномерно аппроксимируемо полиномами относительно zh и z^ с коэффициентами из Y.
Мы увидим позже, что, вообще говоря, неволможво равномерно аппроксимировать / полиномами (с коэффициентами из У) относительно одних только переменных гь, даже если У = С.
Следствие 2. Пусть X — локально компактное пространство и $0 (X) — нормированная алгебра над С всех непрерывных отображенией X в С, стремящихся к 0 на бесконечности. Пусть А — подалгебра алгебры ^h (X), отделяющая точки пространства X и такая, что / ^А влечет / С А и для каждого х £ X существует / £ А, для которой / (ж) #= 0. Тогда А плотна в $0 (X).
Пусть X' — компактное пространство, получаемое присоединением к X бесконечно удаленной точки со; тогда ®0 (X) отожде- ствимо с подпространством в® (X'; С), образованным всеми непрерывными отображениями, равными нулю в точке со, а норма на ^0 (X) определяется равенствами || / || — sup | / (х | =
-= sup | / (х) |. В силу предложения 7 всякая функция / С гб0 (X) равномерно аппроксимируема полиномами с комплексными коэффициентами относительно функций из А; при этом, поскольку
/ (<») = 0, рассуждение, проведенное при доказательстве предложения 4, показывает, что эти полиномы можно предполагать без постоянного члена, и тогда они принадлежат А.
В качестве, другого примера применения предложения 7 отметим следующий результат:
Предложение 8. Пусть Р — множество всех непрерывных периодических отображений Rm в С, группа периодов которых содержит IH. Всякая функция, принадлежащая Р, равномерно аппроксимируема на Rm линейными комбинациями с комплексными коэффициентами функций вида
fa, хг, . . ., x^>->eQi^ -'rh^tz + . . . А-^тУ
где все >ц — целые рациональные числа (эти комбинации называются тригонометрическими полиномами от т переменных).
Достаточно заметить, что Р (наделенное топологией равномерной сходимости) канонически изоморфно пространству всех непрерывных отображений компактного пространства Тт в С (гл. VIII, § 1, п° 6), и применить предложение 7 к множеству отображений Тт в С, соответствующих т отображениям '
(хх, хг, . . ., xm) ►-► е (х;) (1 ^ i ^ т)
пространства Rm в С.
Упражнения
Пусть X — линделефово пространство (гл. I, 2-е изд., § 10, упражнение 19; 3-е изд., § 9, упражнение 15) и Н — некоторое множество непрерывных числовых функций на X, фильтрующееся по отношению 5=. Предположим, что нижняя огибающая g всех функций из II непрерывна. Показать, что существует убывающая последовательность (/п) функций из И, просто сходящаяся к g.
Пусть I — компактный интервал в В и (/„) — последовательность монотонных функций на I, просто сходящаяся на I к некоторой непрерывной функции g. Показать, что g монотонна и последовательность (/„) сходится к g равномерно па I.
*3) Пусть Г — просто транзитивная группа гомеоморфизмов пространства В, наделенная топологией простой сход1гмости. Для каждого х Е В обозначим через sx тот элемент группы Г, для которого sx (0) — = х. Показать, что отображение х i—» зх есть гомеоморфизм В на Г. [Воспользоваться тем, что если s Е Г таково, что х <.з (х) для некоторого гЕФ то у <з (у) для всех у С В.] Вывести остюда, что Г есть
топологическая группа, изоморфная R. [Воспользоваться упражнением ID § 1, упражнением 17а) § 3 и теоремой 1 § 3 главы V.|
Пусть X — компактное пространство и Я — такое векторное- подпространство в ^ (X; R), что а £ Л влечет | и. | £ Я. Для того чтобы непрерывная числовая функция / на Я была равномерно аппроксимируема функциями из Я, необходимо и достаточно, чтобы для каждой пары (ж, у) точек из X' функция / удовлетворяла каждому линейному соотношению af (z) = Р/ (у) такому, что аР ^ О и ag (х) — pg (уУ для всех функций g £ 7/. [Применить предложение 2, заметив, что образ Я при отображении и i—► (и (ж), и О/)) есть либо вся плоскость R2, либо прямая а,Х = РУ, где оф > 0, либо, наконец, сводится к одной точке ((I, 0).]
Пусть X — компактное пространство, Я — некоторое множество непрерывных числовых функций па X и Я — отношение эквивалентности «и (х) = и (у) для всех и £ Я». Для того чтобы непрерывная числовая функция / на X была равномерно аппроксимируема полиномами (соотв. полиномами боа постоянного члена) относительно- функций из Н, необходимо и достаточно, чтобы / была постоянной на каждом классе эквивалентности по Я (соотв. чтобы / была постоянной па каждом классе эквивалентности по В и равна нулю на множестве тех точек, в которых все функции и £ 11 обращаются в нуль).
) Пусть X — вполне регулярное пространство и ЧУ” (X; R) — нормированная подалгебра алгебры ^ (X; R), образованная всеми ограниченными непрерывными числовыми функциями на X. Для того- чтобы всякая подалгебра алгебры Ч?°° (X; R), отделяющая точки пространства X и содержащая все постоянные функции, была плотна в Чв” (X; R), необходимо и достаточно, чтобы X было компактным. [Пусть рХ — компактификация Стоуна — Чеха пространства X (гл. IX, § 1, упражнение 7). Заметив, что ^^ (X; R) отождествим» с ^(РХ; И), показать, что если РХ — X не пусто, то в ^” (X; R)- имеются не плотные подалгебры, отделяющие точки пространства X и содержащие все постоянные функции.]
) Пусть X — не компактное вполне регулярное пространство.
Показать равносильность следующих свойств:
Подалгебра алгебры ^”(Х; R), состоящая из функций вида- с -г /, где с — постоянная, а / имеет компактный носитель (гл. IX, § 4, п° 3), плотва в Чо” (X; R).
Р) рХ —■ X, гдо РХ —• компактификация Стоуна — Чеха пространства X, сводится к единственной точке.
у) Существует только одна равномерная структура предкомпакт- ного пространства, согласующаяся с топологией пространства X.
Если замкнутые множества Л и В в пространстве X нормально- отделимы (гл. IX, § 1, упражнение 11), то одно из них компактно.
£) Для каждой равномерной структуры 41 в пространстве X, согласующейся с его топологией, и каждого ее окружения V существует множество L, дополнительное к некоторому компактному множеству в X и такое, что LXLcV.•
0) Существует только одна равномерная структура, согласующаяся с топологией пространства X.
[Наметив, что а) влечет локальную компактность X и, значит, открытость X в РХ, вывести отсюда, что а) влечет р); чтобы убедиться в том, что Р) влечет а), попользовать теорему Вейерштрасса — Стоуна. Для вывода у) из Р) воспользоваться том, что равномерная структура, индуцируемая в X из РХ, есть сильнейшая из равномерных структур предкомпактного пространства в X, согласующихся с его топологией. Для вывода 6) из у) использовать упражнение 11 § 1 главы IX. Для вывода £) из 6) показать сначала, что для каждого окружения V равномерной структуры 41 существует точка z £ X, для которой V (z) не компактно; в противном случае X было бы полно в 41 и паракомпактно (гл. II, 2-е изд., § 4, упражнение 10; 3-е изд., § 4, упражнение 9), ■а значит, нормально; показать тогда с помощью 6), что X было бы полукомпактно (гл. IX, § 2, упражнение 14), и воспользоваться упражнением 2 § 4 главы II 2-го изд. (3-е изд., § 4, упражнение 6). Применить затем этот результат к окружению У, определенному неравенством / (я, а/) ^ 1 для некоторого непрерывного отклонения / на X, и вывести из б), что существует множество Л, дополнительное, к компактному множеству и X и такое, что А X .1с У. Наконец, чтобы установить, что У влечет 0), заметить, что всякий ультрафильтр в X либо сходится, либо мажорирует фильтр дополнений к относительно компактным множествам в X.]
Показать, что пространство X, обладающее равносильными свойствами пункта a), войергптрассово (гл. IX, § 1, упражнение 22) [Использовать упражнение 12 § 1 главы IX пли заметить, что если X не вейергатрассово, то в X существуют последовательность точек (тп), не имеющая предельной точки, и непрерывное отображение /: X [0, 1] такие, что / (я2п) = 0 и / (x3n+1) = 1.]
Пусть У — не компактное вполне регулярное пространство. Показать, что подпространство X пространства РУ, дополнительное к точке из РУ — У, удовлетворяет условиям пункта а).
Пусть (Х,-)1<{<п — конечное семейство компактных пространств, ' п
X = Ц X; — его произведение и Л; для каждого индекса I— — 1
замкнутой множество и X;. Показать, что всякая непрерывная числовая функция на X, равная нулю на объединении множеств Л,- X Ц Xj 3=М
(1 ^ i ^ п), равномерно аппроксимируема суммами конечного числа функций вида (тп . . ., ж„) >—► ггг (ж^ . . . ип (жп), где ut для каждого индекса i — непрерывная числовая функция на X;, равная нулю на A t.
°9) Пусть (сп)п>1 — последовательность всех рациональных чисел из интервала I — [О, I] в R, расположенных без повторений в каком- либо порядке. Определим по индукции последовательность замкнутых интервалов 1пс! следующим образом: 1п имеет своим центром точку^ с наименьшим номером, не содержащуюся п объединении интервалов Jp с номерами р < п; он имеет длину ^1/4п и по пересекается ни с одним /р с номером р < п; таким образом, /п образуют последовательность аамниутмх попарно непересекающихся интервалов. Определим на пространство I X R непрерывную числовую функцию w следующим образом: для каждого целого п > 1 функция ж v-* и (ж, и) равна 1 в некоторой внутренней точке интервала 1п, равна 0 всюду вне /п и псе ее значения содержатся в [О, 1]; с другой стороны, для каждого ж £ I функция у ь-*- и (.г, у) аффипио линейна в каждом из интервалов [п, п-Ь1]. Показать, что и не мояют быть равномерно- аппроксимирована на Z X R линейными комбинациями функций вида v (ж) ю (у), где v — непрерывная функция на I, a w — ограниченная непрерывная функция на R. [В пространстве $” (R; R) всех ограниченных непрерывных функций на R рассмотреть множество всех частичных функций у ь-*- и (х, у), где ж пробегает I; показать, что существует такая бесконечная последовательность (ял) этих функций, что || «„ || = = 1 и || ит — un || = 1 при т Ф п. Вывести отсюда, что в $” (R; R) не может существовать конечномерное векторное подпространство Е, от которого каждая нп находилась бы на расстоянии ^1/4: иначе в Е существовала бы последовательность точек (я„) такая, что Ц ип || = 2 и || ип — ит || > 1/2 при т Ф п, в противоречие с тем, что всякое конечномерное подпространство в У°° (R; R) локально компактно.]0
) Вывести из теоремы Вейерштрасса — Стоуна новое доказательство теоремы Урысона (гл. IX, § 4, теорема 2) для замкнутых подпространств компактного пространства X. [Для замкнутого множества F в X рассмотреть множество Н сужений на F всех непрерывных отображений X в R и заметить, что если У 6 Н и | / (ж) | ^ а на F, то существует функция g £ Н, совпадающая с / на F и такая, что I g (ж) I С « на X.]
1) а) Пусть X — вполне регулярное пространство и У — его замкнутое подпространство; отображение <р: u*-*u\Y пространства ^°° (X; R) в 7?” (У; R) линейно, непрерывно и имеет норму ^1. Если X нормально, то ср — сюръективный строгий морфизм-, кроме того, если Ху— факторпространство пространства X, полученное отождествлением всех точек из У (и нормальное согласно упражнению 15
4 главы IX), то ядро отображения ф отождествимо (вместо с пормой> с подпространством пространства $°° (Ху; И), образованным всеми функциями, равными нулю в ы, каноническом образе У в Ху.
Предположим, что X метризуемо и граница подпространства У в X — счетного типа. Показать, что ф: и i—► и | У есть строгий морфизм, обратимый справа (г.7. III, 3-е изд., § 6, предложению 3). [Пусть- <1 — расстояние, согласующееся с топологией пространства X, (ап) — последовательность точек из Fr (У), плотная в Г г (У), п Vn, т — множество тех ж 6 X, для которых d (х, а„) < А/т и d (х, У) > А/2т- Построить семейство непрерывных отображений/„, m пространства X в [0, 1] так, чтобы носитель функции fn,m содержался в Уп,т и 51 /п, т (ж) = 1 на СУ, причем семейство (/„, т) было равномерн» п, т
суммируемо в надлежащей окрестности каждой точки из СУ. Показать, что тогда для всякой функции v С ^“ (У; R) функция и, равная v на У и 2 (®п) /п, m М в каждой точке ж £ СУ, принадлежит ^°° (X; R) п, т
и такова, что ф (и) = г.] )
) а) Пусть IX — компактное пространство, /: X -> У — его сюръективное непрерывное отображение па компактное пространство У. Показать, что отображение “/: и н* и о / алгебры ^ (У; R) в $ (X; R) есть изоморфизм (сохраняющий норму) алгебры % (У; R) на замкнутую подалгебру алгебры $ (X; R), содержащую единичный элемент. -
Обратно, пусть А — замкнутая подалгебра алгебры ^ (X; R), содержащая единичный элемовт. Показать, что существует такое сюръективное непрерывное отображение / пространства X на некоторое компактное пространство У, что “f есть изоморфизм $ (У; R) на А. [Пусть (а.^)^^— всюду плотное семейство в А; рассмотреть неирерыв- поо отображение ж >—► (их (ж)) пространства X в R11 и использовать теорему Вейерштрасса — Стоуна.)
Вывести из б), что для каждой последовательности (и^ элементов из ^ (X; R) существуют метризуемое компактное пространство У и сюръективное непрерывное отображение /: X ->• У такие, что все. и^ принадлежат образу % (У; Я) при отображении %
*13) Пусть X — компактное пространство и А — нормированная алгебра ^ (X; R). Дли каждого М с А обозначим через V (М) множество тех ж С X, для которых и (ж) — 0 при всех и ( М, и для каждого- У с X обозначим через ^ (У) множество тех а С И, для которых и (ж) = 0 на У.
V (М) есть замкнутое подпространство пространства X, 9 (У)— замкнутый идеал алгебры Л. Если а — пдеал алгебры Л, порожденный множеством М с Л, то V (М) = V (а); У и 9 — убывающие отображения по отношению включения и Г ({0}) = X, У (Л) = 0, У ({и}) = $Й для каждого обратимого элемента и алгебры Л, v(U Мх) = F (S ЛМ = П 7 ^^ ДЛЯ кая<д”го семейства (Мх)хеЬ ■подмножеств алгебры" Л, V (ЛГМ') — У (М) U У (М'), 3 (X) = {0},. 9 №) = л, 9(и^)П9 (Ух) Для каждого семейства (УХ)Х£Ь X£L XEL множеств в X.
Показать, что 9 (^ (rt)) = 11 №я каждого идеала л алгебры Л и У (9 (У)) = У для каждого множества Ус X. [При доказательство первого равенства учесть, что У (л) — У (а), так что п можно предполагать замкнутым; заметить, что ес.чи ж и у — различные точки из X — У (л), то существует и С л такое, что и (ж) 4- и (ц), и использовать предложение 4. Для доказательства второго равенства использовать теорему Урысона.]
Вывести из б), что z ь-» 9({3'}) сст1' биекция пространства X на множество всех максимальных идеалов алгебры Л, которые, таким образом, замкнуты. Для того чтобы идеал алгебры Л был замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы он был пересечением максимальных идеалов. Кольцо Л не обладает радикалом (Алгебра, гл. VIII, § 6, п° 3).
Показать, что отображение е *—► У ((e)) есть биекция множества всех идемпотентов алгебры Л на множество всех открыто-замкнутых подмножеств пространства X. Для того что(Ты точка ж С X была изолированной, необходимо и достаточно, чтобы максимальный идеал 9 ({я}) был главным.
14) Пусть X — топологическое пространство. Для каждой функции и 6 ^ (X; R) такой, что и (г) > 0 во всех точках я С X, обозначим через Уц множество всех функций у С ^(Х; R), для которых | / | ^ и.
Показать, что множества Уи являются окрестностями нуля в некоторой отделимой топологии /У в Л--^(Х; R), согласующейся со структурой кольца Л.
Топология, которую З- индуцирует в ^°° (X; R), мажорирует топологию равномерной сходимости на X; для того чтобы эти топологии совпадали, необходимо и достаточно, чтобы X было вейерштрассовым (гл. IX, § 1, упражнение 22). Если X не вейерштрассово, то 3" индуцирует в множество всех постоянных функций дискретную топологию, так что S' пе согласуется со структурой векторного пространства (над R) в Л.'■
Показать, что Л, наделенное топологией .У, есть гельфандово кольцо (гл. III, 3-е изд., § 6, упражнение 11).
*15) Пусть X — вполне регулярное пространство и РХ — его компактификация Стоуна — Чеха; наделим кольцо Л=$(Х;В) топологией 3", определенной в упражнении 14. Пусть V (/) для каждого У б Л означает замыкание в рХ множества 7 (0) а X, V (М) для каждого М с Л — пересечение всех] V (/) (/ С ЛУ) и 3 (У) Для каждого У с: с рХ -- множество тех / С Л, для которых У с: У (У); вместо 3 (1®)) будем писать 3 (ж). Для того чтобы V Ц') = 0, необходимо и достаточно, чтобы / было обратимо в Л.
Показать, что если / и g — функции из Л, для которых /''(0) Л
Л g (0) = 0, то также V (/) П V (g) = 0. [Рассмотреть ограниченную непрерывную функцию | / |/(| У I + I g I)-] Вывести отсюда, что, каково бы пи было М с: Л, У (М) = У (а), 'где а — идеал в Л, порожденный множеством М.
Показать, что 3 09 есть идеал в Л для каждого множества У с: рХ [использовать а)], причем У (3 (У)) = У (замыканию У в РХ).
Пусть и — такая функция из Л, что и (х) > 0 во всех точках х £ X, и g — функция из Л. Показать, что существует функция Гб А такая, что | / — g [ < и, а У (/) есть окрестность множества У (g). [Показать, что функция /, равная g J- и там, где g (х) + и (х) < 0г равная g — и там, где g (х) — и (х) > 0, и равная 0 в остальных точках, обладает требуемыми свойствами; рассмотреть функцию /' = ~ inf ((а + g)+, (a — g)-) и использовать а).]
Пусть а — идеал в А; показать, что если функция f б А такова, что У (/) есть окрестность множества У (а), то f ба. [Заметить прежде всего, что существует g б а, Для которого У (g) содержится во внутренности У (У), и затем рассмотреть функцию h на X, равную У (x)/g (х) там, где / (х) ^ 0, и равную 0 там, где / (х) = 0.]
Вывести из в) и г), что 3 (^ (“)) ~ d Для всякого идеала а в А. [Показать сначала, рассуждая от противного, что У (М) = У (ЛО для каждого М с АЛ Вывести отсюда, что 3 СУ) есть замкнутый идеал в А для каждого У с: РХ. [Заметить, что 3 (У) = S (У (3 (У)))Л
Заключить из д), что хе-* 3(г) есть биекция РХ па множество всех максимальных идеалов (необходимо замкнутых) кольца Л. Для того чтобы идеал в А был замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы он был пересечением максимальных идеалов. Л — кольцо без радикала.
6) Предположения и обозначения тоже, что в упражнении 15.
Пус-Т1> а — замкнутый идеал кольца Л . Показать, что в фактор- кольце Л/а множество Р канонических образов всех функций / > О из А есть множество всех элементов >0 в некоторой структуре порядка, превращающей Л/а в решеточно, упорядоченное кольцо. [Заметить, используя упражнение 15д), что если f и g принадлежат а, то то же верно для | / | + | g |, как и для всякой функции h б А такой, что
I A I < I / М Канонический образ в Afa множества всех постоянных функций изоморфен R с его структурой упорядоченного поля.]
В частности, для каждого ж С РХ, Л/3 (ж) канонически наделяется структурой упорядоченного поля. Максимальный идеал 3 (ж) называют вещественным, если Al3 to изоморфно R, и гипервещественным — в противном случае. Для того чтобы 3 (ж) был гипервещественным, необходимо и достаточно, чтобы ж б рХ — X и существовала обратимая функция / б А такая, что lim / (у) = 0. Вывести и-х, и^х
отсюда, что для того, чтобы все максимальные идеалы в А были вещественными, необходимо и достаточно, чтобы X было вейерштрассовым (гл. IX, § 1, упражнение 22).
Пусть фх для каждого ж G РХ — канонический гомоморфизм Л ь-* Л/3 (ж). Для того чтобы фх (/) > 0 па Л/3 (ж), необходимо и достаточно, чтобы существовала функция g £ 3 to такая, что / (у) > > 0 на g (0). [Заметить, что отношение фх (/) > 0 эквивалентно срав- непию / = [./ | (mod 3 (ж))-1 Для того чтобы фх (/) > 0, необходимо и достаточно, чтобы существовала функция g С 3 to такая, что / (у) > О на g (0). [Заметить, используя упражнение 15, что если / С 3 to) то существует функция g £ 3 (ж), для которой / (0) f) g (0) = = 0Л
Показать, что если 3 to гипервещественный, то степень трансцендентности (Алг., гл. V, § 5, упражнение 1) поля Л/3 to наД К не меньше чем С = Card (R). [Пусть / > 0 — обратимый элемент из А, для которого фх (/) = и бесконечно большое относительно R (Алг., гл. VI, § 2, упражнение 1). Показать, что если г пробегает элементы какого-либо базиса для R над Q (состоящего из чисел >0), то элементы фх (/г) факторкольца Л/3 to алгебраически независимы.]
°д) Пусть /„ (X) для каждой точки а = (щ, . . ., а^Е Rn означает полином Xn 4- щХ”-1 + . . . + ап; далее v (?) для каждого вещественного числа 5 есть сумма кратностей пулей я полинома /0 в С, у которых .5? to = 5, и Ph to Для каждого целого/с такого, что 1 ^ 7с < п, означает наименьшее вещественное число ^, для' которого 2 v (Л) 5» к.
Показать, что функции р;( непрерывны на Rn. [Использовать теорему Руше.]
Доказать, что упорядоченное поле Л/3 (ж) для каждого ж £ рх максимально (Алг., гл. VI, § 2, н° 5). [Пусть F (X) = XF^+ ДХ”-1 + .. . • • • + /п — полином нечетной степени с"коэффициентами из А; функции gh to = Ph C/t to) • • M fn Cv)), где ph — Функции, определенные в д), непрерывны па X, и для каждого у g X имеется индекс к такой, что F (gy to} = ^ вывести отсюда, что произведение F lg^ . . . F (gn) принадлежит 3 W-lo
Пусть X — бесконечное дискретное пространство, у v-* FH — биекция X на множество всех его конечных подмножеств и Мх для каждого z Е X — множество тех у Е А", для которых z С FH‘ эти множества образуют базис некоторого фильтра Л в X; пусть у — точка из РХ такая, что соответствующий ей ультрафильтр в X (гл. 1, 3-е изд., § 9, упражнение 27) мажорирует Д. Пусть/У---подмножество в Л, для которого Card (7?) ^Card (X), п у ь-* g,; — сюръективное отображение X -* В. Для каждого к ^ X положим / (я) =- 1 -■- sup g„ (z). Иока- уУ-г
зать, что / (z) > gu (z) для всех z Е Мд, и вывести отсюда, что q\. (/) > > fPx (фу) Для всех у Е У. [Использовать в).] Заключить, что Card (Л/^ (.с)) > Card (X).
*17) Предположения и обозначения те же, что в упражнении 15.
Для того чтобы максимальный идеал 3 ^ был вещественным, необходимо и достаточно, чтобы для каждой бесконечной последовательности (gn) элементов из Q (ж) множества у' (0) имели непустое пересечение. [Использовать упражнение Юб); чтобы убедиться в пеоб-
■-1■
ходимости условия, показать, что если пересечение всех уп.(0) пусто,
то функция / (у) = 2 inf (,gn (у), 2-п) непрерывна, обратима в Л п=-0
и стремится к 0, когда у стремится к ж, оставаясь в X; заметить, что / (у) < 2~т на пересечении всех gy (0) с k < т, и использовать упрйж- нение 15а), а также то, что множества V (д) (g Е 3 (т)) образуют фундаментальную систему окрестностей точки ж в РХ.]
X называют вещественно полным, если единственные вещественные максимальные идеалы $ (z) — те, для которых ж Е X. Показать, что всякое вполне регулярное линделефово пространство (гл. I, З-о изд., $ 9, упражнение 15) вещественно полно. [Использовать а).] Вейер- штрассово вполне регулярное пространство вещественно полно, только когда оно компактно.
Пусть vX — множество тех г Е РХ, для которых 3 (у) — вещественный максимальный идеал; показать, что всякая числовая функция /ЕЛ может быть непрерывно продолжена па vX, так что ^ (X; R) и У; (пХ; R) канонически отождествимы. Доказать, что подпространство vX пространства РХ вещественно полно. [Заметить, что если / обратима в ^(Х; R), то ее непрерывное продолжение на vX обратимо в ^(пХ; R), и что р (vX) = РХ.] vX называют вещественным пополнением пространства X.
Показать, что vX является пополненном X, наделенного слабейшей из равномерных структур, при которых все функции /ЕЛ равномерно непрерывны. [Заметить, что всякий фильтр Коши [у в X сходится относительно этой равномерной структуры к некоторой точке $ Е РХ; если бы .г не привадлежала УХ, то существовала бы функция / ЕЛ, неограниченная на некотором множестве из 5V-1
Вывести из г), что всякое непрерывное отображение u: X -► У вполне регулярного пространства X в вещественно полное пространство У продолжается по непрерывности до отображения мХ в У. Таким образом, пространство пХ является решением проблемы универсального отображения, где 2 — структура вещественно полного пространства, а «-отображения и морфизмы — все непрерывные отображения
" (Теор. множ., гл. IV, § 3, п° 1).
Показать, что всякое замкнутое подпространство вещественно полного пространства вещественно полно; произведение всякого семейства вещественно полных пространств вещественно полно; в отделимом пространстве пересечение всякого семейства вещественно полных подпространств вещественно полно. [Чтобы доказать, например, что замкнутое подпространство X вещественно полного пространства У вещественно полно, рассмотреть продолжение / па пХ канонической инъекции /: X -► У и заметить, что /-1 (X) = X; вывести отсюда, что X замкнуто в иХ. В остальных двух случаях рассуждения аналогичны.]
Вывести ив б), г) и е), что для того, чтобы вполне регулярное пространство было вещественно полно, необходимо и достаточно, чтобы оно было гомеоморфно замкнутому подпространству некоторого произведения R^.
) Пусть X — вещественно полное пространство.
■ а) Показать, что для всякого гомоморфизма и алгебры $ (X; R) в R, не равного тождественно нулю, существует, и притом единственная, точка г Е X такая, что и ^ — f (ж) для всех / С ^ (X; R).
Пусть У — второе вещественно полное пространство. Показать, что для каждого гомоморфизма R-алгебр г: ^ (У; R) -► у (X; R), переводящего единичный элемент в единичный, существует, и притом единственное, непрерывное отображение w: X -»• У такое, что а (д) г= -= д ° ю. [Использовать а).] В частности, для того чтобы ^(Х; R) и ^(У; К) были изоморфны, необходимо и достаточно, чтобы X и У были гомеоморфны.
■ *19) Пусть X — компактное пространство и А — нормированная алгебра ^(Х; С) над С. Показать, что для всякого .замкнутого идеала а в А отношение / б а влечет / Е а. [Заметить, что / — равномерный предел функций вида р/.] Распространить тогда на алгебру А результаты упражнения 1.3.
*20) а) Пусть X — компактное пространство, А — алгебра конечного ранга над полем R, обладающая единичным элементом и наделенная топологией, определенной в п° 5 § 1 главы VI, и В — подалгебра R-алгебры ^‘(Х; 4). Предположим, что для каждого е > 0, каждой пары различных точек ж, у из X и каждой пары элементов и., v из А существует функция / Е В такая, что Н / (ж) — и || ^ г, и Ч / (//) — v И < е (где [| z || — какая-либо норма, определяющая топологию алгебры 4); предположим, кроме того, что если и и v при-
надлежат R, то имеется функция / 5 В, удовлетворяющая предыдущим условиям и принимающая впачепия в R. Покапать, что при этих условиях В плотва в $(Х; Л) в топологии равномерной сходимости. [Доказать сначала, что каждая функция из ^(Х;11) равномерно аппроксимируема функциями из В, а затем, используя сделанное предположение и некоторое разбиение единицы,— что то же верно для любой постоянной а С Л.].■
. б) Возьмем в качество Л тело кватернионов Н над R. Пусть В — подалгебра R-алгобры ^(Х; Н) такая, что: 1° вместо с каждой функцией f £ В также сопряженная / к пой (определенная для всех .г С X равенством / (,r) = f (я)) принадлежит В; 2° для каждого е > О, каждой пары различных точек ж, у на X и каждой пары элементов и, v из II существует функция / С В такая, что || / (ж) — и || ^ в и II / (у) ~ ,; || «Г. е. Показать, что В всюду плотна в 46 (X; Н). [Использовать а).)
Распространить на алгебру 46 (X; II) результаты упражнения 13 и показать, в частности, что всякий замкнутый идеал этой алгебры— двусторонний. [Рассуждать, каки упражнении 19, используя б).]
*21) а) Пусть X — вполне несвязное компактное пространство п Л — топологическое кольцо. Наделим кольцо 46 (X; Л) топологией равномерной сходимости (согласующейся со структурой кольца). Пусть п -- левый идеал в ^ДХ; Л) и 9 (ж), для каждого ж £ X, замыкание в Л множества всех / (.т), где / пробегает п, которое является замкнутым левым идеалом в Л. Показать, что а совпадает с множеством тех / С ^(Х; Л), для которых / (я) б 3 ^ при всех z ( X. [Заметить, что открыто-замкнутые окрестности каждой точки ж б X образуют фундаментальную систему ео окрестностей.]
б) Предположим, кроме того, что в Л существует фундамситаль пая система окрести остей пуля, образованная двусторонними идеалами. Пусть В — подкольцо кольца 46 (X; Л), содержащее постоянные и отделяющее точки пространства X; показать, что В плотно в У (X; Л). [Показать, что, каковы бы ни были замкнутое множество F в X, точка х 5 F и окрестность U пуля в Л , существует / б В такое, что / (.с)1,
а / (’/) € U для всех у б ^]
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
К ГЛАВЕ X
(Римские цифры относятся к библиографии, помещенной в конце настоящего очерка)
Как известно, понятие произвольной функции оформилось лишь в начало XIX века. Тем более идея общего изучения множеств функций и наделения их топологической структурой во появлялась до Римана (см. Исторический очерк к главе 1) и начала проникать в печатные труды только к концу XIX пека.
Однако понятием сходимости последовательности числовых функций стали более или менео сознательно пользоваться уже с первых шагов исчисле- шш бесконечно малых. Но при этом речь шла только о простой сходимости, п иначе быть не могло до того, как понятия сходящегося ряда я непрерывной функции не были точно определены Больцано и Коши. По последний вначале п< заметил различия между простой и равномерной сходимостью и полагал, что можно доказать непрерывность суммы всякого сходящегося ряда непрерывных функций (I, (2), том III, стр. 120). Ошибка была почти тотчас же обнаружена Абелем, который доказал в то же время, что сумма всякого степенного ряда непрерывна внутри его интервала сходимости, применив ставшее классическим рассуждение, существенно использующее примепи- телыю к атому частному случаю идею равномерной сходимости (II, стр. 223— 224). Оставалось .типи, выделить эту последнюю в общем виде, что было сделано независимо Стоксом н Зейдслем в 1847—1848 гг. и самим Коши в 1853 г. (I, (1), том XII, стр. 30) *).
Под влиянием Вейерштраеса и Римана систематическое изучение понятия равномерной сходимости и связанных с ним вопросов развертывалось в последней трети XIX века немецкой школой (Хаикель, Дюбуа-Реймоп) и особенно итальянской: Дини я Арчела уточнили условия, необходимые для непрерывности продела последовательности непрерывных функций, тогда как Аскол и ввел фундаментальное понятие равностепенной пепрерыв-
ности и доказал теорему, характеризующую компактные множества непрерывных функций (Ш) (теорему, популяризованную позже Монтолем в его теории «нормальных семейств», представляющих собой не что иное, как относительно компактные множества аналитических функций).
С другой стороны, сам Вейерпгтрасс (IV6) открыл возможность равномерно аппроксимировать полиномами непрерывную числовую функцию одной или нескольких вещественных переменных на ограниченном множестве — результат, который сразу возбудил живой интерес и привел к многочисленным «количественным» исследованиям, выходящим, однако, за рамки интересующего нас круга вопросов ).
Современный вклад в эти вопросы заключался главным образом в придании им всей свойственной им значимости путем распространения пх на функции, области определения и значений которых не ограничены пространством R или конечномерными пространствами, тем. самым очертив с помощью общих топологических понятий их естественные рамки. II частности, теорема Вейерттрасса, уже проявившая себя как орудие первостепенной важности в классическом апализе, была в последние годы распространена па гораздо более общий случай Стоуном: развивая одну идею Лебега (примененную последним в его доказательстве теоремы Вейерттрасса), Стоун выявил важную роль, которую играют в аппроксимации непрерывных числовых функций решеточные множества (аппроксимация «решеточными полиномами», см. § 4, предложение 2 и теорему 2) п, с другой стороны, показал, как обобщенная теорема Вейерттрасса сразу влечет целый ряд аналогичных аппроксимационных теорем, которые таким образом группируются более связным образом; мы довольно близко придерживались его изложения (V).
БИБЛИОГРАФИЯ
A.-L. Cauchy, Oeuvres, Paris (Gauthier-Villars), 1882—1932.
N. A. Abel, Oeuvres, т. I, ed. Sylow ot Lio, Christiania, 1881.
G. A s с о 1 i, Sulle curve limiti di una variety data di curve, Mem. Accad. Lincei (III), t. XVIII (1883), стр. 521-586.
К. W e i e r s t r a s s, Mathematische Werke, Berlin (Mayer und Muller), 1894—1903: a) Zur Theorie der Potenzreihen, Bd. I, стр. 67—74; 6) Uber die analytische Darstellbarkeit sogenanntor willkurlicher Funktionen reeller Argumente, Bd. Ill, стр. 1—37.
M. II. Stone, The generalized Weierstrass approximation theorem, Mathematics Magazine, т. XXI (1948), стр. 167—183 и 237—254.
СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВКНИГИ III
ВВЕДЕНИЕ
Настоящая сводка задумана, прежде всего, как некоторый справочник: для каждого из основных понятий топологии мы старались сгруппировать в возможно более кратком виде все существенные результаты, в которых опо участвует, так, чтобы при необходимости его использования оно было сразу под рукой. В частности, собраны вместе признаки, позволяющие утверждать, что некоторое множество или отображение обладает тем или другим свойством, например быть компактным или непрерывным. Этот способ изложения, с одной стороны, порождает повторения: например, теорема, утверждающая, что образ компактного множества при непрерывном отображении (в отделимое пространство) компактен, находится и в параграфе, посвященном непрерывным функциям, и в параграфе, посвященном компактным пространствам. С другой стороны, очень часто понятие упоминается в параграфе, предшествующем тому, в котором оно определено; указатель терминов, помещенный в конце книги, отсылает тогда к тому месту, где дано определение. Разумеется, знакомство с понятиями и результатами книг I и II, используемыми в книге III, предполагается; кроме того, предполагается, что читатель знаком с теорией вещественных чисел.
В соответствии с характером сводки она не содержит доказательств формулируемых результатов; для наиболее трудных теорем даны ссылки на то место книги III, где доказательство изложено.
Наконец, в виде исключения было сочтено полезным привести в этой сводке некоторые результаты, доказательства которых в книге III отсутствуют; эти результаты всегда окаймлены зна
ками
С
Топологические структуры;
открытые множества, окрестности, замкнутые множества
Говорят, что множество D подмножеств множества Е определяет в Е топологическую структуру (или топологию), если опо обладает следующими свойствами:
(Oj) Объединение всякого семейства множеств из £) есть множество из О.
(Ол„) Пересечение всяких двух множеств из £> есть множество из С-
(ОГ1б) Множество Е принадлежит С.
Множества из О называют открытыми множествами топологии. определяемой множеством D. Множество Е, наделенное топологической структурой, называют топологическим пространством, а его элементы — точками.
В топологическом пространстве пустое множество открыто; пересечение любого конечного числа открытых множеств открыто.
Каково бы ин было множество Е, множество ^ (/Д всевозможных его подмножеств обладает свойствами (Oj), (Оця) и (Оце); определяемую им топологию называют дискретной топологией в Е, а Е, наделенное этой топологией, —дискретным пространством. Для того чтобы топологическое пространство было дискретно, необходимо и достаточно, чтобы всякое одноточечное множество в нем было открыто.
Покрытие множества в топологическом пространстве называют открытым, если оно состоит из открытых множеств.
Пусть Е и Е' — топологические пространства; биективное отображение /: Е -*• Е' называют гомеоморфизмом Е на Е', если / есть изоморфизм топологии пространства Е на топологию пространства Е', другими словами, если образом множества всех открытых множеств пространства Е при отображении / служит множество всех открытых множеств пространства Е'. То же самое можно выразить, сказав, что / и его обращение непрерывно.
Пусть /—непрерывное отображение топологического пространства Е в топологическое пространство F; тогда прообраз L
/ (Л) каждого открытого множества Л из F ость открытое множество в Е.
В частности, в метрическом пространстве всякий открытый шар есть открытое множество.
Если g —полунепрерывная снизу (соотв. сверху) числовая функция на топологическом пространстве Е, то множество тех х £ Е, для которых g (х) > к (соотв. g (ж) < к), открыто. Для того чтобы множество А было открытым в Е, необходимо и достаточно, чтобы его характеристическая функция q;A была полунепрерывна снизу.
Окрестностью множества А в топологическом пространстве Е называют всякое множество, обладающее открытым подмножеством, содержащим А. Окрестности одноточечного множества {ж} называют также окрестностями точки х.
Всякая окрестность множества Ас Е является также окрестностью любого множества В с А. Для того чтобы множество было окрестностью каждой своей точки, необходимо и достаточно, чтобы оно было открытым.
Окрестности непустого множества А в топологическом пространстве Е образуют фильтр. Всякий базис этого фильтра называют фундаментальной системой окрестностей множества А; для того чтобы множество S окрестностей множества А было фундаментальной системой окрестностей этого множества, необходимо и достаточно, чтобы каждая окрестность множества А содержала множество из @.
Пусть Е — равномерное пространство, g — фундаментальная система его окружений; для каждой точки х0 Е Е множества V (х0), где V пробегает ©, образуют фундаментальную систему окрестностей этой точки в Е. Для произвольного множества А с Е ■множества V (Л) являются его окрестностями, но вообще не образуют фундаментальной системы его окрестностей; однако они образуют такую систему, если Е отделимо, а множество А компактно. Если V открытое множество в Е X Е, то V (/1) — открытое множество в Е.
В том более частном случае, когда Е — метрическое пространство, все открытые (соотв. замкнутые) шары с центром ж0* образуют фундаментальную систему окрестностей точки х0; то же верно и для открытых (соотв. замкнутых) шаров с центром х0 и'радиусами е1И где (еп) — убывающая последовательность веще-
ственных чисел, стремящаяся к нулю. Для произвольного множества Л с: Е и произвольного числа г > 0 множество точек из Е, удаленных от А на расстояние <_ г (соотв. ^г), есть открытая (соотв. замкнутая) окрестность этого множества А.
В регулярном пространстве всякая точка обладает фундаментальной системой замкнутых окрестностей. В нормальном пространстве всякое замкнутое множество обладает фундаментальной системой замкнутых окрестностей. В локально компактном пространстве всякое компактное множество обладает фундаментальной системой компактных окрестностей.
Пусть Е — произвольное множество и 23 (я) для каждой точки х £ Е — фильтр в Е. Для существования в Е топологии 5" такой, чтобы при любом х ^ Е фильтр 23 (я) был фильтром окрестностей точки х, необходимо и достаточно, чтобы фильтры 23 (я) удовлетворяли следующим условиям:
(Уш) Каждая точка х С Е принадлежит всем множествам фильтра 23 (г).
iv) Для каждой точки х 6 Е и каждого множества. V £ 23 (я) существует множество W € 23 (ж) такое, что V £ 23 (у), каково бы ни было у EW.
Топология ^ тогда единственна: для того чтобы множество А было открытым в топологии 5Г, необходимо и достаточно, чтобы А £ 23 (г) для каждой точки х $ А.
В топологическом пространстве множество называют замкнутым, если, ого дополнение — открытое. Все пространство и лустое множество открыто-замкнуты, т. е. одновременно открыты и замкнуты. Пересечение всякого семейства замкнутых множеств замкнуто. Объединение любого конечного числа замкнутых множеств замкнуто. Покрытие множества в топологическом пространстве называют замкнутым, если оно состоит из замкнутых множеств.
В отделимом пространстве всякое компактное множество (и, в частности, всякое конечное множество) замкнуто.
В отделимом равномерном пространстве всякое полное подпространство замкнуто.
В локально компактном пространстве всякое множество, имеющее замкнутое пересечение с каждым компактным множеством, замкнуто.
В мотризуемом пространстве всякое замкнутое множество есть пересечение счетного семейства открытых множеств, а всякое открытое множество — объединение счетного семейства замкнутых.
Пусть / — непрерывное отображение топологического про
-1
страпства Е в топологическое пространство У. Прообраз / (/1) каждого замкнутого множества А из У есть замкнутое множество в Я. В частности, в метрическом пространстве всякий замкнутый шар, как и всякая сфера, есть замкнутое множество.
Если / и д — непрерывные отображения пространства Е в отделимое пространство У, то множество тех х ^Е, для которых / (я) g (ж), замкнуто.
Если g — полунепрерывная снизу (соотв. сверху) числовая функция на Е, то при любом вещественном к множество тех х £ Е, для которых g (х) ^ к (соотв. g (.г) >к), замкнуто. Для того чтобы множество А было замкнутым в Е, необходимо и достаточно, чтобы его характеристическая функция <|>лбыла полунепрерывна сверху.
Говорят, что точка х топологического пространства Е есть внутренняя точка множества А с Е, если А является окрестностью этой точки; совокупность всех внутренних точек множества А называется внутренностью А и обозначается А; это — наибольшее открытое множество, содержащееся в А. Оно может быть пусто и при непустом А (п° 15). Для того чтобы А было открытым, необходимо и достаточно, чтобы оно совпадало со своей внутренностью.
В с А влечет В с А; внутренность пересечения любых двух множеств А и В есть пересечение внутренностей этих множеств.
Говорят, что точка х топологического пространства Е есть точка прикосновения множества А с: Е, если каждая окрестность точки х пересекается с А; совокупность всех точек прикосновения множества А называется замыканием А и обозначается А; это — наименьшее замкнутое множество, содержащее А. Для того чтобы множество было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы оно совпадало со своим замыканием.
В cl А влечет В с: А; замыкание объединения любых двух множеств А и В есть объединение замыканий этих множеств. Замы-
какие множества Л fl ./^содержится в Л П В, но может быть отлично от Л f) В.
Если V пробегает фундаментальную систему окружений равномерного пространства Е, то пересечение множеств V (Л) совпадает с Л. В частности, в метрическом пространстве, для того чтобы некоторая точка была точкой прикосновения множества Л, необходимо и достаточно, чтобы ее расстояние от Л было равно нулю.
В метризуемом топологическом пространстве, для того чтобы точка х0 была точкой прикосновения множества Л, необходимо и достаточно, чтобы в Л существовала последовательность точек, сходящаяся к х0.
Точку х ^ Е называют внешней для множества Л, если она — внутренняя точка ого дополнения СЛ; совокупность точек, внешних для Л, называют внешностью Л: это — дополнение замыкания Л. В метрическом пространстве, для того чтобы некоторая точка была внешней для множества Л, необходимо и достаточно, чтобы ее расстояние от Л было >0.
Точку х называют граничной точкой множества Л, если она является точкой прикосновения одновременно для Л и СЛ. Совокупность всех граничных точек множества Л называют границей Л: это — замкнутое множество, являющееся пересечением замыканий Л и СЛ. Если внутренность Л, внешность Л и граница Л не пусты, то они образуют разбиение всего пространства Е. Для того чтобы граница множества Л была пуста, необходимо и достаточно, чтобы Л 61.1ЛО открыто-замкнутым. В связном пространстве Е граница непустого множества, отличного от Е, никогда не пуста. Если в произвольном пространстве Е связное множество С пересекается с множеством Л и ого дополнением СЛ, то оно пересекается с границей Л.
Если х есть точка прикосновения множества Л, по принадлежащая Л, то всякая ее окрестность содержит точку из Л, отличную от х. Если точка xQ £ А имеет окрестность, не содержащую пи одной точки из Л, отличной от а:0, то говорят, что Хд есть изолированная точка множества Л. Для того чтобы все точки множества А были изолированными, необходимо, чтобы подпространство А было дискретно.
Множество Ad Е называют совершенным, если оно замкнуто и не имеет изолированных точек.
Говорят, что множество А в топологическом пространстве Е плотно относительно множества В d Е, если всякая точка из В есть точка прикосновения множества А, т. е. если В d А. Если А плотно относительно В, а В плотно относительно С, то А плотно относительно С. Говорят, что А всюду плотно, если оно плотно относительно Е, т. е. А — Е.
В метризуемом пространстве, для. того чтобы множество А было плотно относительно В, необходимо и достаточно, чтобы всякая точка из В была пределом последовательности точек из Л. .
Для того чтобы в метризуемом пространство Е, существовало счетное всюду плотное множество, необходимо и достаточно, чтобы топология пространства Е имела счетный базис. Тогда говорят, что Е — метризуемое пространство счетного типа'.
Множество А в топологическом пространстве Е называется разреженным, если его замыкание не имеет внутренних точек или, что равносильно этому, если его внешность всюду плотна. Для того чтобы множество было разреженным, необходимо и достаточно, чтобы его замыкание было разреженным. Для того чтобы замкнутое множество было разреженным, необходимо и достаточно, чтобы оно совпадало со своей границей.
Для того чтобы одноточечное множество {ж} в отделимом пространстве Е было разреженным, необходимо и достаточно, чтобы ж не было в Е изолированной точкой. Граница открытого (или замкнутого) множества есть разреженное множество; однако граница •произвольного множества — не обязательно разреженная. Всюду плотное множество пе может быть разреженным. В числовом пространстве R" всякое линейное многообразие размерности <_п разреженное. _
Всякое подмножество разреженного множества есть разреженное множество. “Объединение локально конечного семейства разреженных множеств есть разреженное множество.0
Множество А в топологическом пространстве Е называют тохцим, если оно является объединением счетного семейства разреженных множеств или, иначе, если содержится в объединении
счетного семейства замкнутых множеств, не имеющих внутренних точек. Пространство само может быть тощим, например когда оно счетно и не имеет изолированных точек, как рациональная прямая Q.
Всякое подмножество тощего множества есть тощее множество; объединение всякого счетного семейства тощих множеств есть тощее множество.
Топологическое пространство Е называется боровским пространством, если оно удовлетворяет любому наследующих четырех (равносильных) условий:
) Пересечение всякого счетного семейства всюду плотных открытых множеств всюду плотно.
(ЕВ') Для каждого счетного семейства (Е^ замкнутых множеств в Е, объединение которого имеет внутреннюю точку, но крайней, мере одно из Еп имеет внутреннюю точку.
(ЕВ") Никакое непустое открытое множество не является тощим. ■.
■ (ЕВ") Дополнение всякого тощего множества всюду плотно.
Всякое локально компактное пространство — бэровское. Всякое пространство Е, в котором существует метрика, согласующаяся с его топологией и такая, что Е в этой метрике полно, есть бэровское пространство (теорема Вора) (гл. IX, § 5, теорема 1).
В бэровском пространстве всякое открытое подпространство, а также дополпон^ге всякого тощего множества есть бэровское пространство. Если всякая точка топологического пространства Е обладает окрестностью, являющейся боровским пространством, то И — бэровское пространство.
■ § 2. Фильтры и пределы
Фильтром в множестве Е называют множество $ подмножеств из Е, обладающее следующими свойствами:
(Fi) Всякое множество, содержащее множество из ^, принадлежит %..
(Fna) Пересечение всяких двух множеств из $ принадлежит ^.
(Епо) Множество Е принадлежит ft.
(Fju) Пустое подмножество множества Е не принадлежит $.
Множество Е, наделенное структурой, определяемой заданием в пом фильтра, называется фильтрующимся множеством.
Если Е — бесконечное множество, то дополнения его конечных подмножеств образуют фильтр в Е. Когда Е — множество N неотрицательных целых чисел, этот фильтр называют фильтром Фреше.
■ В топологическом пространстве Е множество всех окрестностей непустого множества есть фильтр.
Если Е — непустое равномерное пространство, то множество ' его окружений есть фильтр в Е X Е.
Если ft и ft' — фильтры в одном и том же множестве Е, то говорят, что ft' мажорирует ft, или что ft мажорируется ft', если ft с: ft'; если, кроме того, ft'ft, то говорят, что ft' сильнее, чем ft, или что ft слабее, чем ft'. Два фильтра, один из которых мажорирует другой, называются сравнимыми.
Пересечение произвольного семейства (ftt) фильтров в Е есть фильтр; он служит нижней гранью семейства (ftt) в упорядоченном множестве всех фильтров в Е.■
Пусть @ — некоторое множество подмножеств множества Е; для того чтобы существовал фильтр, содержащий @, необходимо и достаточно, чтобы пересечение всякого конечного семейства множеств из @ было не пусто. Если @' — множество всех этих пересечений, то наименьшим фильтром, содержащим @, будет множество @" всех множеств в Е, содержащих хотя бы одно множество из @'; @" называется фильтром, порождаемым множеством @.■
Для того чтобы множество Ф фильтров в Е обладало верхней гранью (в упорядоченном множестве всех фильтров в Е), необходимо и достаточно, чтобы для каждой конечной последовательно- •п
сти (fth)i:.-h<n фильтров, принадлежащих Ф, пересечение Q ИА
не было пусто ни для какого набора множеств Ah £ ft/( (1 <^/с^ь).
Множество $ подмножеств множества Е называется базисом фильтра в Е, если множество всех подмножеств из Е, содержащих хотя бы одно множество из Ж, есть фильтр (он называется фильтром с базисом ®); для того чтобы й было базисом фильтра, необходимо и достаточно, чтобы Ж обладало следующими свойствами:
(Bi) Пересечение всяких двух множеств из 23 содержит множество из $>. .
(Вц) 23 не пусто и пустое подмножество множества Е не принадлежит 23. ■
Два базиса фильтра в Е, порождающие один и тот же фильтр, называются эквивалентными.
Для того чтобы подмножество 23 фильтра ^ было базисом этого фильтра, необходимо и достаточно, чтобы всякое множество из содержало множество из 23.
Для того чтобы фильтр с базисом 23' в Е мажорировал фильтр с базисом 23, необходимо и достаточно, чтобы всякое множество из 23 содержало множество из 23'.
Пусть Е — множество, упорядоченное некоторым отношением порядка х (о) у и фильтрующееся (вправо') по этому отношению; сопоставим каждому х £ Е множество 8$ тех у £ Е, для которых х (о) у (сечение Е относительно z). Множества 8К образуют базис фильтра в Е; порождаемый им фильтр называется фильтром сечений в Е. Фильтр Фреше есть фильтр сечений N (по отношению ^).
Фильтр в множестве Е называется ультрафильтром, если в Е нот более сильного фильтра.
Каков бы пи был фильтр $ в Е, существует мажорирующий его ультрафильтр (гл. I, 2-е изд., § 5, теорема 2; 3-е изд., § 6, теорема 1). "
Множество всех подмножеств множества Е, содержащих фиксированный элемент а £ Е, ость ультрафильтр.
Если ?V — ультрафильтр в Е и объединение конечной последовательности (Лг)1л п подмножеств множества Е принадлежит ?У, то хотя бы одно из Л,- принадлежит ^.
Пусть Л — непустое подмножество множества Е. Для того чтобы след ^л па Л фильтра ^ из Е был фильтром в Л, необходимо и достаточно, чтобы всякое множество из ^ пересекалось с Л. Фильтр $л называется тогда фильтром, индуцируемым в Л фильтром ^
Для того чтобы ультрафильтр $ в Е индуцировал фильтр в множество Ас? Е, необходимо и достаточно, чтобы Л £ $; тогда ^А является ультрафильтром в Л.
Пусть Е — топологическое пространство; для того чтобы след фильтра окрестностей точки хй ^Е на непустом множестве Л cz Е был фильтром, необходимо и достаточно, чтобы х0 было точкой прикосновения множества А.
Пусть / — отображение множества Е в множество F. Для каждого базиса фильтра 93в Е / (93) есть базис фильтра в F. Если 93 — базис ультрафильтра в Е, то / (98) — базис ультрафильтра в F.
Пусть 95' — базис фильтра в| F; для того чтобы / (93') было базисом фильтра в Е, необходимо и достаточно, чтобы всякое множество из 98' пересекалось с / (Е). Это условие, в частности, выполняется, если 93' = f (58); тогда / (/ (93)) порождает фильтр, мажорируемый фильтром с базисом 93.
Пусть (xn)n£N — бесконечная последовательность элементов множества Е. Его подмножества, содержащие все члены последовательности, за исключением коночного их числа, образуют фильтр в Е, называемый элементарным фильтром, ассоциированным с последовательностью (жп); это — фильтр, имеющий базисом образ фильтра Фреше при отображении п н* хп множества N в Е.
Элементарный фильтр, ассоциированный с подпоследовательностью последовательности (хп), мажорирует элементарный фильтр, ассоциированный с (хп). .
Всякий элементарный фильтр обладает счетным базисом. Фильтр, обладающий счетным базисом, является пересечением мажорирующих его элементарных фильтров.
И. Говорят, что точка х0 в топологическом пространстве Е есть предел базиса фильтра ЙЗ (или что 93 сходится к х0), если фильтр с базисом 93 мажорирует фильтр окрестностей точки хй, т. е. если всякая ее окрестность содержит некоторое множество из 93.
Говорят, что а есть точка прикосновения базиса фильтра 98, если а является точкой прикосновения каждого множества из 915, т. е., другими словами, если всякая окрестность точки а пересекается со всеми множествами из 93.
Базис фильтра 93 в равномерном пространстве Е называется базисом фильтра Коши, если для каждого окружения V для Е
существует множество М £ 93 малое порядка V, т. е. такое множество М, что (х, у) С V для всякой пары точек z, у из М.
Если Е — метрическое пространство, то для того, чтобы базис фильтра 93 в Е был базисом фильтра Коши, необходимо и достаточно, чтобы для каждого е > 0 в 93 существовало множество с диаметром ^е.
В топологическом пространстве Е всякий фильтр, мажорирующий фильтр, сходящийся к zn, также сходится к z0; пересечение любого семейства фильтров, сходящихся к z(l, сходится к z0.
В отделимом пространство фильтр не может иметь более одного предела.
Предел фильтра является точкой прикосновения этого фильтра. В отделимом пространстве фильтр, сходящийся к точке zn, имеет единственную точку прикосновения, а именно zn. Обратно, в компактном пространстве фильтр, имеющий только одну точку прикосновения, сходится к этой точке (гл. 1, 2-о изд., § 10, следствие теоремы 1; 3-е изд., § 9, следствие теоремы 1).
В компактном пространстве всякий ультрафильтр сходится.
Для того чтобы фильтр д в произведении Е — JJSt топологических пространств сходился к точке а ----- (щ), необходимо и достаточно, чтобы проекция prt^ сходилась к а^ при всяком I. ■
Пусть R — открытое отношение эквивалентности в топологическом пространстве Е и ср — каноническое отображение Е на EIR. Для того чтобы базис фильтра 93' в факторпрострапстпе Е!R сходился к точке а, необходимо и достаточно, чтобы в Е существовал базис фильтра 93, сходящийся к какой-либо точке х, канони- чоским образом ср (z) которой служит а, и такой, что базис фильтра <р (95) эквивалентен 93'.
l/i. Для того чтобы точка а топологического пространства Е была точкой прикосновения фильтра ^, необходимо и достаточно, чтобы существовал фильтр, „мажорирующий ?\ и сходящийся к а. Точка прикосновения фильтра $ является точкой прикосновения всякого фильтра, мажорируемого ^. Множество всех точек прикосновения фильтра ?V замкнуто. .
В компактном пространстве всякий фильтр имеет по крайней мере одну точку прикосновения. При этом всякая окрестность 1Я и, Бурбаки
множества А всех точек прикосновения фильтра $ принадлежит 9 (гл I, 2-е изд., § 10, теорема 1; 3-е изд., § 9, теорема 1).
В равномерном пространстве всякий сходящийся фильтр есть фильтр Коши. Всякий фильтр Коши, имеющий точку прикосновения, сходится к этой точке. В полном равномерном пространстве всякий фильтр Коши сходится.
Для того чтобы фильтр в произведении равномерных пространств был фильтром Коши, необходимо и достаточно, чтобы каждая из его проекций была фильтром Коши.
Пусть Е — множество, фильтрующееся» по фильтру %, F — топологическое пространство и / — отображение Е в F. Точка у0 £ F называется пределом (соотв. предельной точкой) функции / по фильтру 5, если Уо есть предел (соотв. точка прикосновения) базиса фильтра / (5)- Это означает еще, что для каждой окрестности 7 точки у0 существует множество М € 3 такое, что / (Л/) с: V (соотв. что для каждой окрестности V точки у0 и каждого М £ § множества / (ЛУ) и V пересекаются). Если у0 есть предел / по фильтру $, то пишут:
У о = Ит^ / или у 0 = Ит^ / (х).
Если^г/о — предел / по 5» то Уо есть предел / и по любому фильтру, мажорирующему ^. Если F отделимо, то / не может иметь более одного предела по 5-
Если F компактно, то всякая функция / имеет по крайней мере одну предельную точку по g; при этом, если эта предельная точка единственная, то она является пределом / по %. Если F компактно, то t имеет предел по каждому ультрафильтру §.
Если F — полное равномерное пространство, то для того, чтобы функция / имела предел по ^, необходимо и достаточно, чтобы / (5) было базисом фильтра Коши.
Точка а называется пределом (соотв. предельной точкой) последовательности (х^ точек топологического пространства Е, если а есть продел (соотв. предельная точка) отображения п*-*хп по фильтру Фреше (или элементарного фильтра, ассоциированного с данной последовательностью); это означает, что для каждой окрестности 7' точки а существует п0 такое, что хп 6 7 для всех п ^ п0 (соотв. что для каждой окрестности 7 точки а и каждого
п0 существует п ^ п0 такое, что хп £ V). Если а есть предел последовательности (х^, то пишут а = Нт хп и говорят, что после- •П**оо’
довательность (хп) сходится к а.
Последовательность (хп) в равномерном пространстве Е называют последовательностью Коши, если ассоциированный с ною элементарный фильтр есть фильтр Коши; это означает, что, каково бы ни было окружение U для Е, существует п0 такое, что (хт, хп) £ U для всех т ^ п0 и п ^ п0. Для того чтобы последовательность (хп) точек метрического пространства Е (с расстоянием (Г) была последовательностью Коши, необходимо и достаточно, чтобы для каждого е >- О существовало п0 такое, что d (хт, х,^ <^е, каковы бы ни были т ^ п0 и п ~^ п0. Для того чтобы последовательность (хп) сходилась к точке а, необходимо и достаточно, чтобы для каждого е > О существовало п0 такое, что d (а, хп) ^ е, каково бы ни было п ^ п0 (т. о. чтобы последовательность d (а, х^ в R сходилась к нулю). Для того чтобы точка b была точкой прикосновения множества A cz Е, необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность (хп) точек из А, сходящаяся к Ь.
Пусть А — фильтрующееся множество, 5 — ого фильтр сечений и / — отображение А в топологическое пространство Е; если / имеет предел а по ^, то вместо а = Итд. / (х) часто пишут а = lim / (х), и говорят, что а есть предел / (х) по фильтрующе- л£А■
муся множеству А.
Пусть Е и F — топологические пространства, а — точка прикосновения множества A cz Е, и / — отображение А в F. Говорят, что точка b £ F есть предел / (х), когда х стремится к а„ оставаясь в Л (или предел / в а относительно А\ если b ость продел / по фильтру, индуцируемому в А фильтром окрестностей точки а; пишут: b = lim / (х). Если такой предел b существует, х->а, я£А
то он является также пределом / в точке а относительно любого множества В с А такого, что а^В; обратно, если V— окрестность точки а и f имеет предел в а относительно V Л А, то этот предел будет также пределом / в а относительно А..
Если Л — окрестность точки а, то вместо Нш / (х) ншпут
Нт / (х) (существование предела относительно некоторой окрост- х-»и
нести точки а влечет его существование относительно вейкой другой окрестности, а также совпадение этих пределов, когда F отделимо). Непрерывность / в точке а означает, что / (а) = " Нт / (х).
Пусть G — множество, фильтрующееся по фильтру @, и /— отображение G п топологическое пространство Е; если / имеет предел а по @ и g — отображение Е в топологическое пространство F. непрерывное в точке а, то g о / имеет предел g (а) по @.
Пусть Е и Е — равномерные пространства и / — равномерно непрерывное отображение Е в F; образ всякого базиса фильтра Коти из Е при отображении / есть базис фильтра Копти в F.
Пусть Л — произвольное множество, Е' — метрическое пространство и / — отображение Л в Е'; колебанием f на А называют диаметр 6 (/ (Л)) множества / (Л). Если А — множество в топологическом пространство Е и х0 — его точка прикосновения, то колебанием / в точке х0 называют число св (х0; /) — inf б (/ (Л П Г)), где V пробегает фильтр окрестностей точки х0 в Е. Для того чтобы / имело предел в х„ относительно Л, необходимо, чтобы его колебание в точке х0 было равно нулю; если Е* полно, то это условие также достаточно.
Пусть / и g — числовые функции (конечные или нет), определенные па множестве Е, фильтрующемся по фильтру ^-. Если Knig, / и lining' существуют и / ^ g, то также lini^/^ ^ lim^. g (принцип продолжения неравенств).
Пусть А — фильтрующееся упорядоченное множество и @ — его фильтр сечений. Всякая возрастающая: числовая функция на А. (конечная или пет) имеет предел по @, равный ее верхней грани па А (теорема о пределе монотонной функции).
Пусть /—числовая функция (конечная или нет), определенная на множестве Е, фильтрующемся по фильтру g. Отображение X >-* sup / (х) (соотв. Хг н-> inf / (х)) фильтра ^ в К — х^ХкЕХ
убывающее] (соотв. возрастающее) в $, упорядоченном по вклто-
чению. Обозначим через lim snp^/ или limsup^/(x) (соотв. Jim infj / или lim inf^/(x)) предел отображения X sup / (x) (соотв. X н* inf / (x)) по фильтру сечений фильтра ^ (рассматри- хЕХ
ваемого как множество, фильтрующееся по отношению гл); это число называют верхним (соотв. нижним) пределом функции / по ^. Имеем
inf / (x)^lim inf^ /^lim stip^./<Csnp / (x) x£i-:x^k
и
lirn inf^ / =-• — (lirnsup^ (—/)).
Верхний предел числовой функции / но фильтру ?У есть верхняя грань множества предельных точек / по %. Для того чтобы lim sup^ / =-lim inf^./, необходимо и достаточно, чтобы функция f имела предел по $, и тогда lim^. / — lirn впрд. / --
lira. inf^. /. Если фильтр @ мажорирует ^, то
lira inf^ / ^ lim inf(S) / ^ lim sup^ / ^ lira snp$ /.
Если / и g — числовые функции, определенные на множестве Е, фильтрующемся по фильтру ^. то /^g влечет lira snp$ /< ^ lim sup^ g и lim inf^. / ^ lim inf^ g. Для любых двух числовых функций fug справедливы неравенства
lim sups (/ + g) ^ lim sup$ / + lirn sup$ g, lira supj / +lirn inf^ g ^ lim sup$ (/ + g),
в предположении, что обе части неравенства имеют смысл.
Смысл обозначений lim supxn, lim sup/(х), lim sup /(x) 71 *oox-hi, x£Ax-*a
определяется так же, как в нсп° 18 и 20, и аналогично для нижних пределов. Если Л и В — множества в топологическом пространстве Е такие, что В cz Л, и а £ В, то для каждой числовой функции /, определенной на Л, выполняются неравенства
lim inf /(x)^lim inf / (x)^lim sup / (x)<Jim sup / (x).
x-*a, x^Ax->a, x^Bx~*a, x£Bx-^at x^A.
Если a ^ А и V — окрестность точки а в E, то lim sup Цх) = lim sup /(x).
x-*a, xgVQAx-*a, xEA
Если f определена в некоторой окрестности точки а, то
lim inf / (х)^/ (a)<^litn sup / (х).
Для того чтобы числовая функция /, определенная на Е, была полунепрерывна снизу (соотв. сверху) в точке а, необходимо и достаточно, чтобы lim inf/ (х)^/(а) (соотв. lim sup/ (х) ^ / (а)).
Для того чтобы функция / была непрерывна в точке а, необходимо и достаточно, чтобы lim inf / (х) = lim sup / (х).
x-*ax-*a
Пусть Ei и E2 — множества, фильтрующиеся соответственно по фильтрам 51 и 5в- Обозначим через 51 X 5а фильтр в Ei х Е4, имеющий базисом множество всех произведений At X Л2, где А у £ 51 и ^а€5а (.произведение фильтров 51 и 5 г)-
Пусть / — функция, определенная на Еу х Еу со значениями в регулярном пространстве F и /Х1 для каждого хг — отображение х2 *-► / (xi, х2) множества Ег в F. Предположим, что выполнены следующие условия: а) существует lim^ х^ / (хп х2); б) для каждого Ху^Еу существует lim^ /Ж1 = g (х^. Тогда Нтй1д(х4) существует и равен Нтсу1Хд;а/ (хь х2) (теорема о двойном пределе) (гл. I, 2-е изд., § 8, предложение 8; 3-е изд., § 8, следствие теоремы 1).
Равномерные пространства; метрические пространства
Пусть дано множество Е\ говорят, что фильтр U в Е X Е определяет равномерную структуру в Е, если он обладает следующими свойствами:
(Ui) Всякое множество из U содержит диагональ А.
' '-1- ■
(Un) V g U влечет V £ U.■
(Um) Для каждого V £ U существует И7 £ U такое, что W«WcV.■
Множества U £ И называются окружениями равномерной структуры, определяемой фильтром U.
Если Е — непустое множество, то подмножества произведения Е х Е, содержащие диагональ А, образуют фильтр окружений
равномерной структуры в Е, которая называется дискретной равномерной структурой.
Пусть 41 и ЧЕ — равномерные структуры в множествах Е и Е'. Для того чтобы биективное отображение /: Е -> Е* было изоморфизмом 7/ па *?/.', необходимо и достаточно, чтобы образом фильтра окружений для ЭД относительно распространения / на Е X Е служил фильтр окружений для ЧЕ, или, что то же, чтобы отображения / и /-1 были равномерно непрерывны.
, 2. Фундаментальной системой окружений равномерной структуры называют любой базис фильтра окружений этой структуры. Для того чтобы базис фильтра © в Е X Е был фундаментальной системой окружений ранномерной структуры: в Е, необходимо и достаточно, чтобы он удовлетворял следующим аксиомам:
(Ui) Всякое множество из S содержит диагональ А.
(Ujj) Для каждого У 6 S существует У' £ S такое, что У' с У.
(Ufn) Для каждого У g S существует W £ (5 такое, что W.WcV.
Окружение У равномерной структуры называют симметрич- -1
нмм, если У = У. Симметричные окружения образуют фундаментальную систему окружений.
Для каждого целого п > 0 и каждого множества У cz Е X Е определим У, полагая У =. У о У ; когда У пробегает фундамен- п
тальную систему окружений, также множества У при любом целом п образуют фундаментальную систему окружений.
Отклонением на множестве Е называют всякое отображение / произведения Е х Е в R+ = [0, + со], удовлетворяющее следующим условиям:
(ECi) / (х, х) = 0 для всякого х £ Е.
(ЕСП) / (ж, у) = f (у, х) для всех х £Е и у £ Е.
(ЕСш) Каковы, бы ни были х g Е, у € Е и z £ Е,
/ U. У)< / (*, z) -|- / (г, у)
(неравенство треугольника).
Отклонение d называют расстоянием, если все его значения конечны и d (х, у) = 0 влечет х = у.
Для всякой коночной числовой функции ^, определенной па Е, функция / (ж, у) --- | g (x)—g(y) | есть отклонение на Е. Функция d (ж, у), равная 1 при х ^ у и равная 0 при х -■■ у, является рас
стоянием. На пространстве R”функция d (х, у) ~ V V (;сА —у/,)2 есть расстояние (евклидово расстояние).
Пусть (/l)l£F — произвольное семейство отклонений на множестве Е. Для каждого целого тг > 0, каждого семейства п индексов (i/Jis/1;;п из / и каждого семейства п положительных чисел (ад)1«гА<п обозначим через V ((ц), (ал)) множество всех пар (х, у) элементов из Е таких, что /t (z, у) •< ал (1. ^ /с ^ и). Множество S подмножеств V ((1д), (ад)) произведения Е X Е является фундаментальной системой окружений некоторой равномерной структуры в Е; она называется равномерной структурой, определяемой семейством отклонений (A)tCf.
Всякая равномерная структура может быть определена семейством отклонений (гл. IX, § 1, теорема 1); два семейства отклонений в одном и том же множестве Е называются эквивалентными, если они определяют одну и ту же равномерную структуру.
Пусть Е — множество, наделенное равномерной структурой 11, и 23 (ж) для каждой точки х £ Е — множество всех V (я) с Е, где V пробегает фильтр окружений структуры 11; существует, и притом единственная, топология /Г, в которой 23 (ж) является фильтром окрестностей х для каждой точки х £ Е. Говорят, что топология .У порождена равномерной структурой 11, а множество Е, наделенное топологией J и равномерной структурой 11, называют равномерным пространством.
• При наделении множества Е X Е произведопием топологии 5" на себя всякое окружение структуры 1! является окрестностью диагонали А; внутренности и замыкания (в Е X А1) всевозможных окружений структуры 11 образуют фундаментальную систему окружений для 11. Г (Л) для любого множества Л cz Е и любого окружения V структуры 11 ость окрестность множества Л; она открыта в Е, если V открыто в Е X Е. Для каждого множества А а Е пересечение всех V (Л), где V пробегает фундаментальную систему окружений структуры 11, совпадает с его замыканием Л в Е.
Для того чтобы топология ?/ была отделима, необходимо и достаточно, чтобы равномерная структура Ч! удовлетворяла следующей аксиоме:
(Lria) Пересечение всех окружений структуры *11 совпадает, с диагональю А.
В этом случае говорят, что равномерная структура ?/ отделима.
Говорят, что топология .7 и равномерная структура U. в множестве Е согласуются, если J совпадает с топологией, которую порождает 7/. Топологическое пространство называют ра<то- меризуемым, если существует хотя бы одна равномерная структура, согласующаяся с его топологией (может существовать не только одна).
Для того чтобы топологическое пространство Е было равпоме- ризуемым, необходимо и достаточно, чтобы выполнялась следующая аксиома:
(Oiv) Каковы бы ни были точка х0 Е Е и ее окрестность V, на Е существует непрерывная числовая функция со значениями в интервале [0, 1], равная 1 в точке х0 и 0 на множестве СК (гл. IX, § 1, теорема 2).
Всякое компактное пространство равномеризуемо, причем в этом случае существует только одна равномерная структура, согласующаяся с его топологией (гл. II, § 4, теорема 1). Эта структура имеет окружениями все окрестности диагонали в Е X Е. причем фундаментальную систему окружений можно получить следующим образом: для каждого конечного открытого покрытия 3i = (Лг) пространства Е образуем в Е X Е объединение F^ всех множеств Лг X Л(; тогда множества К^ образуют фундаментальную систему окружений равномерной структуры пространства Е.
Всякое локально компактное пространство равномеризуемо; ио вообще существуют различные равномерные структуры, согласующиеся с его топологией; так, например, обстоит дело для числовых пространств R".
Всякое подпространство равномеризуемого пространства рав- номеризуемо; произведение всякого семейства равномернзуемых пространств равномеризуемо.
Метрическим пространством называют множество Е, наделенное структурой, определяемой заданием на Е некоторого расстояния; метрическое пространство Е всегда считается наделенным также равномерной структурой и топологией, определяемыми заданным на Е расстоянием d. Пусть Е и Е' — метрические пространства, a d (соотв. d') — расстояние на Е (соотв. на Е'). Отображение / пространства Е на Е' называют изометрией, если d' (/ М, / О/)) = ^ (я, //), каковы бы пи были точки х Е Е и у С Е.
Расстоянием между множествами Л и В в Е называют число d (Л, В) = inf d (х, у); когда В сводится к одной точке х, х£Д.и=в"
вместо d ({ж}, Л) пишут d (х, Л) и это число называют расстоянием точки х до множества Л; функция х d (х, Л) равномерно нопре- рывна на Е. Для каждого а >• О множество Va (Л) (соотв. И^ (Л)) тех точек х, для которых <Цх, Л) < а (соотв. d (х, Л) s^ а), есть открытая (соотв. замкнутая) окрестность множества Л; замыканием множества Л служит множество всех точек х Е Е, для которых d (х, Л) — 0..
. 3 частности, для каждой точки х Е Е множество Уа (ж) (соотв. Wa Er)) называют открытым (соотв. замкнутым) шаром с центром х и радиусом а; это — открытое (соотв. замкнутое) множество. Множество всех точек у Е Е, для которых d (ж, у) = а, называется сферой с центром х и радиусом а; это — замкнутое множество (которое может быть и пустым). •
Диаметром множества Л с Е называют число]
6 (Л) = sup (Цх, у).
■х£А, VGA
Для того чтобы непустое множество Л сводилось к родной точке, •необходимо и достаточно, чтобы 6 (Л) = 0. Множество* называется ограниченным (по расстоянию d), если его диаметр конечен.
Равномерную структуру в множестве Е называют метрик зуемой, если она может быть определена посредством расстояния. Для того чтобы равномерная структура была метризуемой, необходимо и достаточно, чтобы она была отделимой и фильтр ео окружений обладал счетным базисом (гл. IX, § 2, теорема 1). Отделимая равномерная структура, определяемая счетным семейством отклонений, метризуема; в частности, произведение счетного семейства метризуемых равномерных структур метризуемо.
Дискретная равномерная структура в любом множестве Е метризуема: она определяется расстоянием d0 таким, что d0 (ж, у) = = 1 при х ф У и d0 (ж, ж) = 0. Топология, порождаемая равномер* ной структурой, дискретна.
Топологическое пространство Е называют метризуемым, если его топологию можно задать расстоянием. Метризуемое пространство равномеризуемо, но могут существовать различные метризуемые равномерные структуры, согласующиеся с его топологией (иными словами, неэквивалентные расстояния, определяющие топологию пространства Е), а также немотризуемые равномерные структуры, согласующиеся с его топологией.
Всякое метризуемое пространство паракомпактно (гл. IX, § 4, теорема 4). В метризуемом пространстве всякая точка обладает счетной фундаментальной системой окрестностей и каждое замкнутое множество есть пересечение счетного семейства открытых множеств. Эти необходимые условия метризуемости топологического пространства не являются достаточными.
Равномерное пространство Е называют полним, если всякий фильтр Коши в Е сходится.
Всякое замкнутое подпространство полного пространства полно. Всякое полное подпространство отделимого равномерного пространства (полного или пет) замкнуто.
Пусть А — всюду плотное подпространство равномерного пространства Е. Если всякий базис фильтра Коши в А сходится в Е, то Е полно. "
Для того чтобы произведение равномерных пространств было полно, необходимо и достаточно, чтобы каждое из этих пространств было полно.
Для того чтобы метрическое пространство Е было полно, необходимо и достаточно, чтобы всякая последовательность Конти в Е сходилась. Всякое полное метрическое пространство есть бэровское пространство (гл. IX, § 5, теорема 1).
Всякое компактное пространство полно (в своей единственной равномерной структуре). ' \
И. Для каждого равномерного пространства Е существуют полное отделимое равномерное пространство Е и равномерно непрерывное отображение V. Е -* Е такие, что дли всякого равно-
мерно непрерывного отображения / пространства Е в полное отделимое равномерное пространство F существует, и притом единственное, равномерно непрерывное отображение g; Ё -*• Р такое, что / -= g о г; при этом Eni определены с точностью до изоморфизма однозначно (гл. II, 3-е изд., § 3, теорема 3); Е называется отделимым .пополнением пространства Е; подпространство i (Е) плотно в Е и образы при отображении i У i окружений для Е являются окружениями для I (Е), а замыкания последних в Е X Е образуют фундаментальную систему окружений для Е- Когда Е отделимо, i инъективно, что позволяет отождествить Е с i (Е); тогда Е называется пополнением пространства Е. Если равномерная структура пространства Е задана семейством отклонений (/i), то на Е существует, и притом единственное, семейство отклонений (Д) такое, что Д = j^ix г) для каждого t и равномерная структура пространства Е определяется семейством отклонений (Д).
Отделимое пополнение подпространства А равномерного пространства £1 изоморфно замыканию i (Л) в Е.
Отделимое пополнение произведения равномерных пространств изоморфно произведению отделимых пополнений пространств сомножителей.
Равномерное пространство Е называется предкомпактным, если его] отделимое пополнение компактно. Множество 4с£ называется предкомпактным, если А, рассматриваемое как равномерное подпространство пространства Е, предкомпактно.
Для того чтобы равномерное пространство Е было иредком- пактным, необходимо и достаточно, чтобы для каждого окружения V существовало конечное покрытие пространства} Е множествами малыми порядка И (гл. II, 2-е изд., § 4, теорема 4; 3-е изд., § 4, теорема 3).
Для того чтобы метрическое пространство Е было предком- пактным, необходимо и достаточно, чтобы в Е дли каждого е > О существовало конечное число точек а, таких, чтобы каждая точка из Е отстояла от одной из точек at на расстояние <е. Всякое предкомпактное метрическое пространство Е обладает счетным базисом и счетным всюду плотным подмножеством.
Для того чтобы: метризуемое пространство Е было компактно, необходимо и достаточно, чтобы всякая последовательность (гп) его точек имела в Е предельную точку а; тогда из этой последовательности можно выделить подпоследовательность,1 сходящуюся к а.
Сравнение топологий и равномерных структур
Пусть в одном п том же множестве Е заданы топологические структуры Дх и ,Г2. Говорят, что .7, мажорируется Д 2 или что . Г 2 мажорирует Д ь если выполнено следующее условие:
Всякое множество, открытое в ,7 ь открыто 1» Д v
Если при этом ,7 t и Д a различны, то говорят, что Дх слабее Д .2 или что 72 сильнее .,7р Две топологии, из которых какая- нибудь одна мажорирует другую, называют сравнимыми.
Условие а) равносильно каждому из следующих условий:
Всякое множество, замкнутое в Д г, замкнуто в Д 4.
Окрестность каждой точки ж0 С Е в топологии Д х является ее окрестностью в топологии}72 (другими словами, фильтр окрестностей точки Яц в топологии Д 1 мажорируется фильтром ее окрестностей в топологии .7 Д
Тождественное отображение множества Е, наделенного топологией ^2, на Е, наделенное топологией Д i, непрерывно.
Пусть ,7х и Д2 — топологии в Е такие, что Д„ мажорирует Д1, и Л — произвольное множество из Е. Внутренность Л в топологии Д L содержится во внутренности Л в топологии Д2, замыкание Л в топологии Д i содержит замыкание Л в топологии .7 2. В частности, если Л всюду плотно при Д.^ то оно всюду плотно при Д л.
Пусть g — фильтр в топологическом пространстве Е и,7 — топология этого пространства. Если а — предел (соотв. точка прикосновения) фильтра ^ щ>и топологии Д, то а есть предел (соотв. точка прикосновения) ^ при всякой топологии, мажорируемой Д. .
Пусть / — отображение пространства Е в топологическое пространство Е' и Д' — топология последнего. Если / непрерывно при топологиях Д йД, то оно остается непрерывным при замене
3 топологией, мажорирующей 3, а 3' — топологией, мажорируемой 3'. ■
Всякая топология, мажорирующая отделимую топологию, отделима. Напротив, топология ‘может мажорировать метризуе- мую топологию, не будучи даже регулярной.
Если Е—компактное пространство и 3 — его топология, то всякая отделимая топология в Е, мажорируемая 3, необходимо совпадает с 3 ■
Если Е связно в топологии 3, то оно связно и во всякой топологии, мажорируемой 3.
Множество Q всевозможных топологий в множестве Е упорядочено отношением <3 мажорируется 34. Всякое множество Фей обладает нижней гранью — пересечением П всех топологий 3 6 Ф; для того чтобы множество было открыто в топологии J, необходимо и достаточно по определению чтобы оно было открыто в каждой топологии из Ф.
Пусть @ — произвольное множество подмножеств множества Е. Пересечение всех топологий в Е, при которых все множества из @ открыты, называется топологией, порожденной множеством @. Если @' — множество пересечений всевозможных конечных семейств множеств из @, а в’— множество всевозможных объединений множеств из @', то множество открыто в топологии, порождаемой @, тогда и только тогда, когда оно принадлежит @".
Для того чтобы топология 3 в Е порождалась множеством @ подмножеств множества Е, необходимо и достаточно, чтобы всякое множество из @ было открыто в 3 и всякая окрестность V (в 3) произвольной точки ж0 € Е содержала пересечение конечного числа множеств из @. Каждое множество S3 открытых в 3 множеств, обладающее тем свойством, что всякое открытое в 3 множество является объединением множеств из 93, называется базисом топологии 3. Для того чтобы 93 было базисом топологии 3, необходимо и достаточно, чтобы всякая окрестность У произвольной точки х0 £Е содержала множество из 93, содержащее х0.
Всякое множество Ф топологий в Е обладает верхней гранью 3; это топология, порождаемая, множеством @ всех подмножеств множества Е, открытых хотя бы в одной топологии 3 € Ф.
Наибольший элемент в Q — дискретная топология; наименьший — топология, в которой единственными открытыми множествами являются Е и 0.
Пусть 7/t и 7/2 — равномерные структуры в одном и том же множестве Е; говорят, что Ч1Л мажорируется 7/г или что ?/а мажорирует 7/х, если всякое окружен ' для 41 л есть окружение для 7/а (или, другими словами, если фильтр окружений структуры 7/1 мажорируется фильтром окружений структуры 7/а). Если при этом 7Zt и 7/2 различны, то говорят, что 7Z( слабее 41,4 или что 7Za сильнее 7Zi. Две равномерные структуры называются сравнимыми, если одна какая-нибудь из них мажорирует другую.
Если 7/1 и 7Z3 — равномерные структуры в одном и том же множестве Е, то для того, чтобы 41 х мажорировалась 7/2, необходимо и достаточно, чтобы тождественное отображение Е, наделенного 7/2, на Е, наделенпое 7Zi, было равномерно непрерывно.
Пусть 411 и 7/2 — равномерные структуры в одном и том же множестве Е, a ^i и ,02 — определенные ими топологии в Е. Если TZi мажорируется 7/а, то ^i мажорируется 3 г; но 3 х и /Га могут совпадать даже в случае, когда 7/г слабее 7/а.
Если 7/1 мажорируется 7/а, то всякий фильтр Коши в ?/2 есть фильтр Коши в 7/,; при этом, если Е, наделенное 7Zi, полно и существует фундаментальная система окружений для 7/а, замкнутых в Е X Е, наделенном произведением топологии 3 х на себя, то Е, наделенное 7/2, полно. Если Е, наделенное 7/а, полно, и Л — множество, всюду плотное в Е (наделенном топологией .0г), такое, что 7/1 и 7/а индуцируют в нем одну и ту же равномерную структуру, то 7/j — 7/г.
Пусть Е и Е' — равномерные пространства, а 7/ и 7/' — их равномерные структуры. Равномерно непрерывное отображение Е в Е* остается равномерно непрерывным, если заменить 7Z равномерной структурой, мажорирующей 7/, а 7// — равномерной структурой, мажорируемой 7Z'.
И. Множество 5 всевозможных равномерных структур в множестве Е упорядочено отношением «7/ мажорируется 7Z'». Всякое множество Фс 2 обладает верхней гранью 7/0: это — равномерная структура, фильтр окружений которой порождается объединением фильтров окружений всех равномерных структур 7/ £ Ф»
Топология, которую порождает Д 0, есть верхняя грань топологий, порожденных равномерными структурами ?/ £ (1). Если ^кко — семейство равномерных структур в Е и (Ax)xez. для каждого 1^7 — семейство отклонений, определяющих равномерную структуру Дц то верхней гранью семейства (?Л) служит равномерная структура, определяемая объединением всех семейств отклонений HvxY.
Наибольшим элементом семейства S является дискретная равномерная структура, наименьшим — равномерная структура, фильтр окружений которой состоит из одного множества Е X Е.
Аксиомы отделимости
Топологическое пространство Е называется отделимым или хаусдорфовым, если выполняется следующая аксиома:
(Н) Для всяких двух различных точек х и у из Е существуют окрестность точки х и окрестность точки у, не имеющие общих точек.
Эта аксиома равносильна следующей:
(Н') Пересечение всех замкнутых окрестностей каждой точки из Е состоит из одной этой точки.'
В частности, в отделимом пространстве всякое одноточечное множество замкнуто.
Другое условие, равносильное (И), таково:
(Н") Е'аково бы ни было множество I, диагональ произведения Ех является замкнутым множеством.
В отделимом пространстве фильтр не может иметь более одного предела. Если фильтр @ сходится к а, то а — единственная его точка прикосновения. Всякая функция, отображающая множество А, фильтрующееся по фильтру @, в отделимое пространство, может иметь не более одного предела по @.
Всякое подпространство отделимого пространства отделимо. Обратно, если всякая точка топологического пространства Е обладает замкнутой окрестностью, являющейся его отделимым подпространством, то Е отделимо. Произведение любого семейства отделимых пространств отделимо.
Для того чтобы факторпространство топологического пространства Е по отношению эквивалентности R было отделимо, пеобхо-
димо, чтобы всякий класс эквивалентности по В был замкнут в Е и множество С, определяемое в Е X Е отношением R, было замкнуто. Эти необходимые условия не являются достаточными; однако если отношение R открыто, а множество С замкнуто в Е X Е, то пространство EIR отделимо.
Если для каждой пары различных точек а и b топологического пространства Е существует такое непрерывное отображение / открытого множества Л, содержащего а и Ь, в отделимое пространство Е', что /(«)=/=/ (Ъ), то Е отделимо. В частности, всякая топология, мажорирующая отделимую топологию, отделима.
Топологическое пространство Е называется регулярным, если оно отделимо и удовлетворяет следующей аксиоме:
(Ош) Замкнутые окрестности каждой точки, из Е образуют фундаментальную систему окрестностей »той точки.
Эта аксиома равносильна следующей:
(Ош) Для каждой, точки а б Е и каждого замкнутого множества Ас Е, нс содержащего а, существуют окрестность точки а и окрестность множества А, не имеющие общих точек.
Всякое подпространство регулярного пространства регулярно. Обратно, если всякая точка топологического пространства Е обладает замкнутой окрестностью, являющейся его регулярным подпространством, то Е регулярно.
Пусть Е — регулярное пространство, А — замкнутое множество в Е и R — отношение эквивалентности, получаемое путем отождествления всех точек из А (иными словами — отношение эквивалентности, классами которого служат А и множества {х} для всех х Е СЛ). Тогда факторпространство EfR отделимо.
Топологическое пространство Е называется вполне регулярным., если оно отделимо и равномеризуемо, т. е. если оно отделимо и удовлетворяет следующей аксиоме:
(OTv) Каковы бы ни были точка х6 б Е и се окрестность V, на Е сугцествует непрерывная числовая функция со значениями в интервале [0, 1], равная 1 в точке х0 и 0 на СЕ.
Всякое вполне регулярное пространство регулярно. Обратное неверно. Всякое подпространство вполне регулярного пространства вполне регулярно. Произведение всякого семейства вполне регулярных пространств вполне регулярно.
19 и. Вурбаки
Всякое вполне регулярное пространство Е гомеоморфно подпространству некоторого «куба» К1, т. е. компактного пространства, являющегося произведением семейства (мощности, зависящей от Е) пространств, совпадающих с компактным интервалом Кс R.
°Всякое вполне регулярное пространство Е, обладающее счетным базисом, гомеоморфно подпространству «куба» вида К\ т. е. произведения счетного семейства пространств, совпадающих с компактным интервалом Кс R; в частности, такое пространство Е метризуемо.о
Пусть Е — равномеризуемое не обязательно отделимое пространство, 41 — (не обязательно отделимая) равномерная структура, согласующаяся с его топологией, и С — пересечение всех окружений структуры 41. Отношение (я, у) С С есть отношение эквивалентности в Е; обозначим его R. Пусть Е' — фактор- пространство Е/R; тогда образы в Е' X Е' окружений равномерной структуры 41. относительно расширения на Е х Е канонического отображения Е на Е* образуют фильтр окружений отделимой равномерной структуры в Е'; опа называется отделимой равномерной структурой, ассоциированной с 41. Порождаемая ею топология совпадает с (вполне регулярной) топологией факторпростран- ства Е!Вд при этом R эквивалентно отношению х £ {у}, и всякое открытое (соотв. замкнутое) множество в Е насыщено по R. Если F — второе равномерное пространство, F' — F/S — ассоциированное с ним отделимое равномерное пространство и / — непрерывное отображение Е в F, то / согласуется с отношениями R, S и дает при факторизации непрерывное отображение Е' в F’. Равно- ■ мерное пространство EIR изоморфно образу i (Е) пространства Е в его отделимом пополнении Е.
В случае, когда равномерная структура 41 определена семейством отклонений (/i), каждая из функций ^ (х, у) согласуется (по х и у) с отношением R и дает при факторизации отклонение /( на Е' такое, что семейство (/() определяет отделимую равномерную структуру, ассоциированную с 4/. В частности, если 41 определена счетным семейством отклонений, то ассоциированная равномерная структура метризуема.
Топологическое пространство Е называется нормальным, если оно удовлетворяет одной из следующих четырех равносильных аксиом (теоремы Урысона, гл. IX, § 4, теоремы 1 и 2).
(Оу) Каковы бы ни были непересекающиеся замкнутые множества А и В в Е, существует непрерывное отображение Е в (0, 1], равное 0 на А и 1 на В..
(Оу) Каковы бы ни были непересекающиеся замкнутые множества А и В в Е, существуют непересекающиеся открытые множества U и V такие, что А с U и В с V.
(Оу) Каковы бы ни были замкнутое множество А в Е и его окрестность V, существует окрестность W множества А такая, что Wc V.
(Оу) Каковы бы ни были замкнутое множество А в Е и непрерывная числовая функция f на А, существует непрерывная числовая функция g на Е, продолжающая L
Отметим, что если функция / в условии (Оу/) конечна, то па Е существует конечная непрерывная числовая функция, продолжающая /.
Всякое нормальное пространство вполне регулярно (и тем более регулярно). Обратное неверно. Однако если Е вполне регулярно, а А и В соответственно компактное и замкнутое множества в Е, не имеющие общих точек, то существуют непересекающиеся открытые множества U и V такие, что А с: U и В с V.
Всякое замкнутое подпространство нормального пространства нормально; произвольное подпространство нормального пространства не обязательно нормально. Произведение двух нормальных пространств но обязательно нормально.
Всякое метризуемое пространство нормально, но произведение несчетного семейства метризуемых пространств не обязательно нормально. Кроме того, факторпространство, даже отделимое, метризуемого пространства нс обязательно регулярно.
Всякое компактное пространство нормально. Локально компактное пространство не обязательно нормально. Однако всякое паракомпактное пространство нормально.
Пусть Е — нормальное пространство и (Л^-^п — конечное открытое покрытие замкнутого множества Fc Е. Тогда суще- 19*
ствует конечное открытое покрытие (B^vs^n множества F такое, что Btd At для всех I. .
Семейство (Л^/ подмножеств топологического пространства Е называют локально конечным, если каждая точка х ^ Е обладает окрестностью V такой, что V Q At пусто для всех индексов i, за исключением конечного их числа.
■ Пусть (Л,)^! — локально конечное открытое покрытие нормального пространства Е. Существует локально конечное открытое покрытие (.BtXci пространства Е с тем же множеством индексов, такое, что В^ At для всех i £ I.
Семейство (/Jigi конечных числовых функций, определенных на топологическом пространстве Е, называют локально конечным, если каждая точка х ^ Е обладает окрестностью V такой, что функции ft на V равны нулю для всех индексов i Е I, за исключением конечного их числа. Тогда сумма 2 А М определена в каждой точке х £ Е; она непрерывна на Е, если все функции ft непрерывны на Е.
Непрерывным разбиением единицы, определенным на Е, называют всякое локально конечное семейство (/Jigi неотрицательных числовых функций, определенных и непрерывных на Е, такое, что 2 A (я) = 1 в каждой точке х £ Е. Пусть (Д)^/ — локально конечное открытое покрытие пространства Е; говорят, что непрерывное разбиение единицы (/t)lgj подчинено покрытию (А), если ft (ж) = 0 для всех х ^ Ли каково бы ни было i.
Для всякого локально конечного открытого покрытия нормального пространства Е • существует подчиненное ему непрерывное разбиение единицы.
Непрерывные функции, равномерно непрерывные функции, . полунепрерывные функции
Пусть Е и Е* — топологические пространства; говорят, что отображение /: Е -+ Е' непрерывно в точке а € Е, если для всякой окрестности V точки / (а) существует окрестность V точки а такая, что / (V)cr V*, или, что то же, если / (У') — окрестность точки а для всякой окрестности V' точки / (а). Условие непрерывности /
в точке а записывается еще так: Нт / (ж) — / (а); это означает также, что для всякого базиса фильтра 58, сходящегося к а, / (58) есть базис фильтра, сходящийся к / (а).
Пусть Е й Е' — метрические пространства, a d и d' — их расстояния; для того чтобы отображение /: Е -> Е' было непрерывно в точке а С Е, необходимо и достаточно, чтобы lim d' (J (а), / (ж)) — 0 или также чтобы для каждого е > 0 суще-
ствовало 6> О такое, что d (ж, а) ^ 6 влечет d' (f (а), / (ж)) ^ е.
Если Е и Е' — метризуемые пространства, то для того, чтобы / было непрерывно в точке а, необходимо и достаточно, чтобы для каждой последовательности (жп) в Е, сходящейся к а, последовательность (/ (жп)) сходилась к / (а).
Пусть Е и Е* — топологические пространства. Говорят, что отображение /: Е -> Е’ непрерывно на Е (или просто непрерывно'), если оно непрерывно в каждой точке из Е.
Это условие равносильно каждому из следующих:
/ (Л) с / (Л) для каждого АсЕ,
Прообраз относительно / всякого открытого множества из Е*- есть открытое множество в Е.
Прообраз относительно / всякого замкнутого множества из Е' есть замкнутое множество в Е.
Пусть / — непрерывное отображение топологического пространства Е в топологическое пространство Е'. Образ открытого (соотв. замкнутого) множества из Е при отображении / не обязательно является открытым (соотв. замкнутым) множеством в Е’. Однако образ компактного (соотв. относительно компактного) множества из Е при отображении / компактен (соотв.относительно компактен) в Е*, если Е* отделимо.
Образ связного множества из Е при отображении / есть связное множество в Е'. Напротив, прообраз относительно / связного множества из Е' не обязательно связен.
Если Е — связное пространство, / — непрерывная числовая функция на Я, а и Ь — произвольные точки из £ и а — вещественное число, принадлежащее замкнутому интервалу с концами / (а) и / (Ь), то существует хотя бы одна точка х £ Е, для которой / (ж) = а.
Пусть Е и Е' — равномерные пространства. Говорят, что отображение /: Е -> Е* равномерно непрерывно, если для каждого окружения V равномерной структуры пространства Е' существует окружение V равномерной структуры пространства Е такое, что (я, у) £ F влечет (/ (я), / (у)) g V.
Пусть Е % Е* — метрические пространства, a d и d' — их расстояния; для того чтобы отображение /: Е -> Е' было равномерно непрерывно, необходимо и достаточно, чтобы для каждого е > О существовало 6 > 0 такое, что d (я, у) ^ 6 влечет d' (/ (я), / (у)) ^ ^ е. "
Если равномерная структура равномерного пространства Е определена семейством (Д) отклонении, то каждая числовая функция Д (я, у) равномерно непрерывна на Е х Е. В метрическом пространстве Е расстояние d (ж, А) точки х от множества А равномерно непрерывно.
Если / — равномерно непрерывное отображение равномерного пространства Е в равномерное пространство Е*, то образ при / всякого базиса фильтра Коши из Е есть базис фильтра Коши в Е'; образ при / каждого предкомпактного множества из Е есть пред- компактное множество в Е*. ■ .
Всякое равномерно непрерывное отображение непрерывно. Обратное неверно. Однако если Е — компактное пространство, то всякое его непрерывное отображение в равномерное пространство Е* равномерно непрерывно (гл. II, § 4, теорема 2).
Пусть Е, Е* и Е" — топологические пространства, / — отображение Е в Е’ и g — отображение Е’ в Е”. Если / непрерывно в точке а (соотв. непрерывно па Е), a g непрерывно в точке •f ^ (соотв. непрерывно на Е'), то композиция gof непрерывна в точке а (соотв. на Е). w
Непрерывное отображение /: Е -> Е' остается непрерывным при замене топологии прострапства Е мажорирующей ее топологией, а топологии прострапства Е' — мажорируемой ею топологией.
Для того чтобы биективпоо отображение / топологического пространства Е па топологическое пространство Е' было гомеоморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы / и /-1 были непрерывны; в этом случае / называют взаимно непрерывным.
Всякое биективное непрерывное отображение компактного прострапства Е па отделимое пространство Е' есть гомеоморфизм Е на Е*.
Пусть Е, Е' и Е" — равномерные пространства. Если / — равномерно непрерывное отображение Е в Е*, a g — равномерно непрерывное отображение Е' в Е", то g о / есть равномерно непрерывное отображение Е в Е".
Равномерно непрерывное отображение /: Е -*■ Е* остается равномерно непрерывным при замене равномерной структуры пространства Е мажорирующей ее равномерной структурой, а равномерной структуры пространства Е' — мажорируемой его равномерной структурой.
Для того чтобы биективное отображение / равномерного пространства Е на равномерное пространство Е' было изоморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы / и У"1 были равномерно непрерывны.
Пусть Е — топологическое (соотв. равномерное) пространство, F — полное равномерное пространство, Н — некоторое множество непрерывных (соотв. равномерно непрерывных) отображений Е в F и А — всюду плотное множество в Е. Если фильтр ^ в II равномерно сходится на Л, то он сходится в каждой точке х С Е к некоторому пределу /а (ж), причем функция /0 непрерывна (соотв. равномерно непрерывна) па Е (гл. X, § 1, теорема 2).
Если Е локально компактно и фильтр g в Я равномерно сходится на всяком компактном множестве из Е, то его предел непрерывен на Е.
Пусть Е — топологическое (соотв. равномерное) пространство, F — полное равномерное пространство и II равностепенно непрерывное (соотв. равномерно равностепенно непрерывное) множество отображений Е в /’; достаточно, чтобы фильтр $ в II просто сходился на А, для того, чтобы он сходился во всех точках х £ Е к пределу Уп (ж) такому, что /0 непрерывно (соотв. равномерно непрерывно) па Е (гл. X, § 2, следствие теоремы 1).
СВ частности, верхняя огибающая и и нижняя огибающая и равностепенно непрерывного множества II конечных числовых функций на Е — непрерывные функции на Е, а множества
и (-U оо) й п (— сю) открыто-замкнуты.о .
Пусть А — подмножество топологического (соотв. равномерного) пространства Е; отображение / пространства Е в топологическое (соотв. равномерное) пространство Е' называется непрерывным относительно А в точке х0 £ А, если его сужение на А непрерывно в точке жп; оно называется непрерывным относительно А (соотв. равномерно непрерывным относительно Л), если его сужение па А непрерывно (соотв. равномерно непрерывно).
Если функция / непрерывна (относительно Е) в точке х6 С А (соотв. непрерывна на Е, равномерно непрерывна на Е), то она непрерывна относительно А в точке х0 (соотв. вепрерывна относительно А, равномерно непрерывна относительно Л). Но функция, определенная на Е, может быть не непрерывной во всех точках из Е и тем не менее быть непрерывной относительно всюду плотного множества А с: Е.
Однако если А — окрестность точки а £ Е, то всякая функция, непрерывная в а относительно А, будет вместе с тем непрерывной в а относительно Е.
Пусть А — всюду плотное множество в топологическом пространстве Е, а / и g — такие непрерывные отображения Е в отделимое пространство Е*, что f (х) = g (ж) для всех х £ А; тогда / (ж) = g (ж) для всех х £ Е (принцип продолжения тождеств).
Если / и g — числовые функции (конечные или пет), непрерывные на Е и такие, что / (х) ^ g (х) для всех х С А, то / (ж) ^ ^ g (х) для всех х £ Е (принцип продолжения неравенств).
Пусть h — отображение А в топологическое пространство Е'; для того чтобы существовало непрерывное отображение Е в Е', продолжающее h, необходимо, чтобы в каждой точке х ^ Е функция Н (у) стремилась к некоторому пределу, когда у стремится к х, оставаясь в А. Если пространство Е* регулярно, то это условие достаточно, и тогда непрерывное отображение Е в Е', продолжающее h, единственно (гл. I, 2-е изд., § 6, теорема 1; 3-е изд., § 8, теорема 1); говорят, что оно получено продолжением h по непрерывности на Е.
Если Е' — полное отделимое равномерное пространство, то для того, чтобы h можно было продолжить по непрерывности на Е, необходимо и достаточно, чтобы для каждого х РЕ образ при h
следа на А фильтра окрестностей точки х был базисом фильтра Коши.
Пусть Е — равномерное пространство, а Е' — полное отделимое равномерное пространство; если А — всюду плотное множество в Е, то всякое его равномерно непрерывное отображение в Е' может быть продолжено по непрерывности на Е, причем продолженное отображение равномерно непрерывно на Е (гл. II, 2-е изд., § 3, теорема 1; 3-е изд., § 3, теорема 2).
И. Пусть А — замкнутое множество в нормальном пространстве Е. Для каждой числовой (соотв. конечной числовой) функции /, определенной и непрерывной на А, существует числовая (соотв. конечная числовая) функция /, определенная и непрерывная на Е и продолжающая / (гл. IX, § 4, теорема 2); при этом, если А Е„ то таких функций / бесконечное множество.
Пусть (FJ — семейство топологических (соотв. равномерных) пространств и F=JJFi— их произведение; проекция prt пространства F на Е^ для каждого i непрерывна (соотв. равномерно непрерывна). Для того чтобы отображение х i-> (Д (ж)) топологического (соотв. равномерного) пространства Е в F было непрерывно (соотв. равномерно непрерывно), необходимо и достаточно, чтобы каждая из функций Д была непрерывна (соотв. равномерно непрерывна).
Пусть Е, Е' и F — топологические (соотв. равномерные) пространства, а / — непрерывное (соотв. равномерно непрерывное) отображение Е х Е’ в F; тогда для каждого у g Е' частичное отображение х ,-► / (ж, у) (обозначаемое f^ Е в Е непрерывно (соотв. равномерно непрерывно). Обратное неверно: может случиться, что отображение ж и-»- / (ж, у) равномерно непрерывно для каждого у.^Е и отображение у i-* / (ж, у) равномерно непрерывно для каждого ж £ Е, а отображение (ж, у) ,-► / (ж, у) не непрерывно ни в одной точке из Е х Е'. .
Пусть Е — локально компактное пространство; для того чтобы / было непрерывно на Е X Е', необходимо и достаточно, чтобы: а)/у было непрерывно на Е при всяком у g Е'; б) каково бы ни
■было у0 ^ Е', fy равномерно сходилось к /Уо на всяком компактном множестве из Е при стремлении у к у0 в Е* (гл. X, § 3, теорема 3).
’Пусть Е — боровское пространство, Е' и F — метризуемые пространства и / — отображение Е X Е' в F такое, что для всякого у £ /^отображение xv-* / (х, у) непрерывно на Е и для всякого х £ Е отображение у ►-* / (х, у) непрерывно на Е'. Тогда для каждого b £ Е' в пространстве Е существует множество Sb с тощим дополнением такое, что функция / непрерывна в точке (а, Ь) при всяком а £ 8ь-0 ,
Пусть Е — топологическое пространство и Я — отнопге- ние эквивалентности в Е. Каноническое отображение ф пространства Е на факторпространстве Е/R непрерывно. Для того чтобы отображение / пространства Е/R в топологическое пространство Е* ■было непрерывно, необходимо и достаточно, чтобы /оф было непрерывно на Е; иначе говоря, имеется взаимно однозначное соответствие между множеством всех непрерывных отображений EIR в Е' и множеством всех непрерывных отображений Е^Е', постоянных на каждом классе по R.
Пусть Е и. F — топологические пространства, 7? — отношение эквивалентности в Е, S — отношение эквивалентности в F и / — непрерывное отображение Е в F, согласованное с отношениями эквивалентности R и 5; тогда отображение g: E/R -> F/S, получаемое из / факторизацией, непрерывно.
Пусть / — непрерывное отображение топологического про- •странства Е в топологическое пространство F til R — отношение эквивалентности / (ж) = / (у) в Е. Пусть /= ф ° £ ° ф — каноническое разложение /, где ф — каноническое отображение Е на E/R, g — биективное отображение Е/R на / (Е) и ф — каноническое отображение / (Е) в F. Биективное отображение g непрерывно, но не обязательно является гомеоморфизмом; для того чтобы g было гомеоморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы образ при / всякого насыщенного по R открытого множества был следом на / (Е) открытого множества из F. Это последнее условие всегда выполнено, если существует непрерывное отображение 7г: F-^E такое, что/о/г есть тождественное отображение F на себя, а также в том случае, когда Е компактно, a F отделимо.
Числовую функцию (конечную или нет), определенную па топологическом пространстве Е, называют полунепрерывной снизу (соотв. сверху) в точке а £ Е, если для каждого h <. j (а) (соотв. к > / (а)) существует окрестность V точки а такая, что h < / (ж) (соотв. к> f (ж)) при всех х g V. Функцию / называют полунепрерывной снизу (соотв. сверху) на Е, если она полунепрерывна снизу (соотв. сверху) во всех точках из Е.
Для того чтобы числовая функция / была непрерывна в точке, необходимо и достаточно,’ чтобы она была одновременно полунепрерывна снизу и сверху в этой точке.
Для того чтобы числовая функция /, определенная на топологическом пространстве Е, была полунепрерывна снизу (соотв. сверху) в точке а € Е, необходимо и достаточно, чтобы lim inf f (х) = f (а) (соотв. lim sup / (х) = / (а)).
х-*ах—а
Какова бы ни была числовая функция /, определенная на всюду плотном множестве А из Е, функция g (соотв. к), определенная для всех х £ Е формулой g (х) = lim inf / (у) (соотв. h (ж) = у-к, у?А
=-- lim sup / (у)) полунепрерывна снизу (соотв. сверху) на Е; у-^х, кед
g (соотв. h) называется полунепрерывной снизу (соотв. сверху) регуляризацией функции /; она является продолжением /, если / полунепрерывна снизу (соотв. сверху) на А.
Пусть / — произвольное отображение топологического пространства Е в метрическое пространство F; колебание со (ж; /) функции / в точке х полунепрерывно сверху на Е.
Для того чтобы числовая функция /, определенная на топологическом пространстве Е, была полунепрерывна снизу (соотв. сверху) на Е, необходимо и достаточно, чтобы для всякого конечного числа к множество тех х £ Е, для которых /(^)> к (соотв. / (х) •< к), было открыто, или, что то же, множество тех х £ Е. для которых /(ж) ^ к (соотв. / (ж) ^ к), замкнуто. В частности, для того чтобы множество было открыто (соотв. замкнуто), необходимо и достаточно, чтобы его характеристическая функция <рА была полунепрерывна снизу (соотв. сверху).
Если / — полунепрерывная снизу (соотв. сверху) функция па компактном пространстве Е, то существует хотя бы одна точка
а £ Е, для которой / (а) = inf / (ж) (соотв. / (а) = snp /(ж))
' ясЕ . х£Е
^теорема Вейерштрасса) (гл. IV, § 6, теорема 3).
Пусть Е — бэровское пространство и (J0i£i — семейство полунепрерывных снизу функций на Е, верхняя огибающая которых конечна во всех точках из Е. Тогда всякое непустое открытое множество содержит непустое открытое подмножество, на котором семейство (/J равномерно ограниченно (гл. IX, § 5, теорема 2).
Если функция / полунепрерывна снизу в точке а, то — / полунепрерывна сверху в точке а, и обратно. Если / и g полунепрерывны снизу в точке а, то это же верно для inf (/, g) и sup (/, g), а также для / -t- g (если эта функция определена в точке а) и fg (если / и g неотрицательны и их произведение fg определено в точке а). Если, кроме того, / ^ 0, то 1// полунепрерывна сверху в точке а.
Верхняя огибающая семейства функций (Д), полунепрерывных снизу в точке а, полунепрерывна снизу в этой точке. В частности, верхняя огибающая всякого семейства непрерывных функций на Е полунепрерывна снизу на Е. Обратно, если Е — равномери- зуемое пространство, то всякая полунепрерывная снизу функция на Е является верхней огибающей семейства непрерывных функций; если при этом Е метризуемо, то всякая полунепрерывная снизу функция на Е есть верхняя огибающая возрастающей последовательности непрерывных функций.
Подпространства; произведения пространств;факторпространств а
Пусть Е — топологическое пространство и А — его непустое подмножество. Следы на А всевозможных открытых множеств •из Е образуют совокупность открытых множеств в топологии, которую называют топологией, индуцируемой в А топологией пространства Е. Множество А, наделенное зтой топологией, называют подпространством пространства Е. '
Если В с: А, то подпространство В подпространства А совпадает с подпространством В пространства Е (транзитивность индуцированной топологии).
Если @ — система образующих топологии пространства Е, то следы на А • множеств из @ составляют систему образующих топологии подпространства А. "
■ Каноническое отображение А в Е непрерывно.
Множество, открытое в Л, но обязательно открыто в Е; для того чтобы всякое открытое множество из А было открытым в Е, необходимо и достаточно, чтобы А было открыто в Е.
Замкнутые множества в Л — не что иное, как следы на А замкнутых множеств из Е; для того чтобы всякое замкнутое множество в А было замкнутым в Е, необходимо и достаточно, чтобы А было замкнуто в Е.
Окрестности точки х £ А относительно А — это следы на А окрестностей х относительно Е; для того чтобы всякая окрестность точки х относительно А была ее окрестностью относительно Е, необходимо и достаточно, чтобы А было окрестностью х в Е.
Если 5сЛ, то замыкание В в А есть след на А замыкания В в Е.
Сужение на А непрерывного отображения / пространства Е в пространство Е' является непрерывным отображением А в Е'; но оно может быть непрерывно и в том случае, когда / не непрерывно ни в одной точке из Е. Кроме того, непрерывное отображение А в Е' не всегда можно продолжить до непрерывного отображения Е в Е'; однако такое продолжение возможно, если А — замкнутое подпространство нормального пространства Е, а Е’ = = R (гл. IX, § 4, теорема 2).
Пусть Е — равномерное пространство и Л — его непустое подмножество. Следы на Л X Л окружений равномерной структуры пространства Е образуют фильтр окружений равномерной структуры в А, которая называется равномерной структурой, индуцируемой в А равномерной структурой пространства Е; топология, порождаемая этой структурой, совпадает с топологией, индуцируемой в А из Е. Множество А, наделенное этой равномерной структурой и порожденной ею топологией, называется равномерным подпространством пространства Е. Если равномерная структура пространства Е определена семейством отклонений (А), то сужения А на Л X Л определяют в А индуцированную равномерную структуру.
Если Во А, то равномерное подпространство В равномерного подпространства А совпадает с равномерным подпространством В равномерного пространства Е (транзитивность индуцированных равномерных структур).
Каноническое отображение Л в Е равномерно непрерывно.
Сужение на А равномерно непрерывного отображения Е в равномерное пространство Е' равномерно непрерывно. Обратно, если А всюду плотно в Е, а Е' полно и отделимо, то всякое равномерно непрерывное отображение А в Е* продолжается, и притом единственным образом, до равномерно непрерывного отображения Е в Е'.
Всякое подпространство отделимого (соотв. регулярного, равномеризуемого, метризуемого) топологического пространства отделимо (соотв. регулярно, равномеризуемо, метризуемо). Подпространство нормального пространства но обязательно нормально; однако замкнутое подпространство нормального пространства нормально.
Всякое замкнутое подпространство компактного пространства компактно. Для того чтобы подпространство локально компактного пространства Е было локально компактно, необходимо и достаточно, чтобы оно было пересечением открытого и замкнутого множеств из Е.
Всякое замкнутое равномерное подпространство полного равномерного пространства полно. Всякое полное равномерное подпространство отделимого равномерного пространства Е замкнуто в Е.
Пусть (F^i — семейство топологических пространств и ^=п^ — произведение множеств Ft. Элементарным мно
жеством в Е называют всякое множество вида JJ^i, где At откры
то в Ft для всех индексов t и А — Ft для всех, кроме конечного числа, индексов i С I- Произведением топологий пространств Ft называют топологию в Е, порождаемую совокупностью всех элементарных множеств; множество Е, надоленное этой топологией, называют произведением пространств Ft (a Ft — пространствами- сомножителями пространства Е).
Пусть $gt для каждого i £ 7 — система образующих топологии пространства Fc, тогда элементарные множества ЦА, в которых
Ль Е $i для всех i таких, что At Ф Гц составляют систему образующих топологии пространства Е.
Для каждой точки х С Е элементарные множества, содержащие х, образуют фундаментальную систему ее окрестностей.
Для каждого непустого подмножества / множества индексов I проекция рг., произведения Е = ПА на частичное про
изведение Ej — П 7\ непрерывна. Если (7х)хек—разбиение
IE./■
множества 7, то каноничоскоо отображение Е на произведение П Ejk есть гомеоморфизм.
Пусть Ai для каждого t Е 7— непустое множество из Еи Топология, индуцируемая в множестве Л = П -^ i ^ ^ произ
ведением топологий пространств Еи совпадает с произведением топологий подпространств Лг
Пусть А — открытое (соотв. замкнутое) множество в произведении Е^ х Еа топологических пространств Е^ и Ег. Для каждого х ^ Е срез А (ж) множества А по х есть открытое (соотв. замкнутое) множество в Ег.
Проекции открытого множества из Ev х Ей на пространства- сомножители являются открытыми множествами. Напротив, проекция замкнутого множества вообще не замкнута; однако если Ei отделимо, а Ей компактно, то проекция на А каждого замкнутого множества из Ех х Е^ замкнута.
В произведении Е = Ц Ft замыкание произведения П A u
LL
множеств Л1 сд Fi совпадает с произведением Ц Л L их замыканий.
L
В частности, для того чтобы ПА было замкнуто в Е, необходимо I
и достаточно, чтобы каждое Л,. было замкнуто в Ft.
Для того чтобы базис фильтра ^ в произведении Е = Ц F^ сходился к точке х -- (яг,), необходимо и достаточно, чтобы его п роекция рц (^) сходилась к xt для каждого i С !•
Пусть / = (/J — отображение множества Л в произведение Е; для того чтобы / имело предел х — ^х^ по фильтру ^ из Л, необходимо и достаточно, чтобы Д имело предел xL по фильтру $ при каждом') i £ I. В частности, если Л — топологическое пространство, то для того, чтобы / было непрерывно в точке а С Л, пеобходи - мо и достаточно, чтобы каждое /L было непрерывно в а.
Пусть kE^iV и (^1)157 — семейства топологических пространств с одним и тем же множеством индексов и Д для каждого <- Е / — отображение Et в Ft. Для того чтобы отображение (xt) ►-*
(А(а)) произведения ]Д£\ в произведение ДЛ было непре- ter . ter
рывно в точке а = (aj, необходимо и достаточно, чтобы ft было непрерывно в точке aL для каждого i £ /. .
В случае, когда все пространства Et семейства („Е^! совпадают с одним и том же пространством Е, произведение Е1 множеств Et есть не что иное, как множество всевозможных отображений I в Е; топология произведения в этом множестве есть топология простой сходимости.
Пусть / — отображение произведения Et х Ег топологических пространств Et и Ег в топологическое пространство Е'. Если / непрерывно в точке («1, a2), то отображение zt н- / (хх, а^ (соотв. ж21-* / (щ, х^) непрерывно в точке ал (соотв. а2). Может случиться, что каждое из отображений^ i-> / ^xt, a2), x2^f (ab ж2) непрерывно (для любой точки (ab a2)), а функция / не непрерывна ни в одной точке из Ег х Ег (см. § 6, п° 13).
Для того чтобы произведение непустых топологических пространств Ei было отделимо (соотв. равномеризуемо), необходимо и достаточно, чтобы каждое из Et было отделимо (соотв. равномеризуемо). Произведение всякого счетного семейства мотри- зуемых пространств метризуемо. Произведение двух нормальных пространств не обязательно нормально; произведение несчетного семейства метризуемых пространств не обязательно нормально.
Для того чтобы произведение пространств EL было компактно, необходимо и достаточно, чтобы каждое Ei было компактно (теорема Тихонова, гл. I, 2-е изд., § 10, теорема 3; 3-е изд., § 9, теорема 3); для того чтобы оно было локально компактно, необходимо и достаточно, чтобы все Et были локально компактны и, за исключением конечного числа индексов, компактны.
Для того чтобы произведение пространств EL было связно (соотв. локально связно), необходимо и достаточно, чтобы каждое Ei было связно (соотв. чтобы все Ev были локально связны и, за исключением конечного числа индексов, связны).
Топология произведения Е =Jl^i семейства (SJ^i топо
логических пространств является слабейшей из топологий в Е, при которых все проекции prt непрерывны.
Вообще, пусть (Е^т — семейство топологических пространств, Е — множество, Д для каждого i g I — отображение Е в Еи S' — слабейшая из топологий в Е, при которых все функции Д непрерывны, и OL — совокупность всех открытых множеств в Fv Топология J" порождается объединением множеств подмножеств -1
Д (OJ. Для того чтобы базис фильтра 33 в Е сходился к точке а в топологии 77, необходимо и достаточно, чтобы для каждого i € I базис фильтра А (33) сходился к Д (а) в Fv Для того чтобы отображение g топологического пространства G в Е было непрерывно, необходимо и достаточно, чтобы каждое из отображений ft ° g было непрерывно.
Если все Ei отделимы, то для того, чтобы топология 77 была отделима, необходимо и достаточно, чтобы для каждой пары различных точек х,утЕ существовало i € / такое, что Д (ж) #= fv (у).
Пусть (FJiej — семейство равномерных пространств и Е — произведение JJ Ft множеств Ft. Рассмотрим на множестве Е X Е, канонически отождествленном с произведением 11(^1 х ^)> множества вида ЦД, где VL — окружение для L£l i£l
F( при всех i и 1Д = Fi X Ft при всех i, кроме конечного их числа. Эти множества образуют фундаментальную систему окружений равномерной структуры в Е, называемой произведением равномерных структур пространств ЕИ Топология, порождаемая этой равномерной структурой, совпадает с произведением топологий пространств Fv; множество Е, наделенное этой равномерной структурой и порожденной ею топологией, называется произведе- 21' И. Бурбаки
наем равномерных пространств Ft (a Ft — пространствами-солно- жшпелями пространства Е).
Пусть (FiX£i — семейство равномерных пространств. Для каждого непустого подмножества J множества индексов / проекция рг/ произведения Е = JJ Ft на произведение Е, = JJ Ft рав
номерно непрерывна. Если (А)йек — разбиение множества /, то каноническое отображение Е на равномерное пространство И ^J есть изоморфизм.
ИСК
Пусть Л1 для каждого i £ I — непустое подмножество пространства Fl. Равномерная структура, индуцируемая в множестве ^ = TT^t^ ^ равномерной структурой произведения равно- iEl
мерных структур пространств Fu совпадает с произведением равномерных структур подпространств АИ -
' 13. Для того чтобы базис фильтра $ в произведении Е = = JjFt равномерных пространств был базисом фильтра Коши, необходимо и достаточно, чтобы для каждого t £ / его проекция prt (у) была базисом фильтра Коши в ЕИ Для того чтобы Е было полно, необходимо и достаточно, чтобы каждое F,, было полно. Отделимое пополнение Е пространства Е изоморфно произведению JJ А отделимых пополнений пространств Ft. Для того чтобы Е iei.
было предкомпактно, необходимо и достаточно, чтобы каждое Ft было предкомпактно. ■
'14. Пусть А — равномерное пространство и / = (/() — его
отображение в произведение Е = JJ Ft равномерных пространств;
для того чтобы / было равномерно непрерывно, необходимо и достаточно, чтобы каждое Д было равномерно непрерывно.
В случае, когда все равномерные пространства Ех семейства (E^i совпадают с одним и тем же пространством*Е, равномерная структура произведения Е1 есть равномерная структура простой сходимости.
Пусть / — отображение произведения Ег X Е4 двух равномерных пространств в равномерное пространство Е’; если / равномерно непрерывно, то каждое частичное отображение ^ >->- / fo, а2) (соотв. ж21-* / (аь х^ равномерно непрерывно; обратное неверно.
Равномерная структура произведения ^ ~ Д ^с семей' iei
ства (Z?t) равномерных пространств является слабейшей из равномерных структур в Е, при которых все проекции prt равномерно непрерывны.
Вообще, пусть (Ft)tej — семейство равномерных пространств* Е — множество,, А для каждого i Е I — отображение Е в FK и 41 — слабейшая из равномерных структур в Е, при которых все А равномерно непрерывны; топология .У, индуцируемая равномерной структурой 41, есть слабейшая из топологий, при которых все А непрерывны. Для того чтобы отображение g равномерного пространства G в Е было равномерно непрерывно, необходимо и достаточно, чтобы каждое отображение А ° g было равномерно непрерывно. *
Для того чтобы Е было предкомпактно, необходимо и достаточно, чтобы для каждой пары различных точек х, у из Е существовало i Е ^ такое, что А (ж) ¥= А (Z/A и каждое подпространство A (5) было предкомпактно.
Пусть ^Ft\y — семейство топологических пространств и Е — сумма множеств Ft, так что каждое Ft отождествимо с подмножеством множества Е и множества Ft образуют его разбиение. Пусть OL —множество всех открытых множеств из Еи а @ — объединение (в $ (Е)) множеств Ot; топологию, порождаемую в Е множеством @, называют суммой топологий пространств Ft, а множество Е, наделенное этой топологией,— топологической суммой пространств Ft.
Для того чтобы множество А было открыто (соотв. замкнуто) в Е, необходимо и достаточно, чтобы при всяком t множество А П Ft было открыто (соотв. замкнуто) в Fv Каждое множество ?-\ открыто-замкнуто в Е. Обратно, если (Е^ — разбиение топологического пространства Е, состоящее из открыто-замкнутых множеств, то Е — топологическая сумма подпространств Et. . .
' 20*
' 17. Пусть Е — топологическое пространство, R — отношение эквивалентности в 5 и ф — каноническое отображение Е на фактормножество ЕШ. Фактортопологией топологии пространства Е по отношению R называют топологию в ЕШ, открытыми (соотв. замкнутыми) множествами которой являются те множества А, для которых <р (Л) открыто (соотв. замкнуто) в Е; таким образом, это — канонические образы тех множеств из Е, насыщение ко* торых по R открыто (соотв. замкнуто) в Е. Множество ЕШ, наделенное этой топологией, называется факторпространством Е по R.
Отношение эквивалентности R в Е называется открытым (соотв. замкнутым), если насыщение по R всякого открытого (соотв. замкнутого) множества из Е открыто (соотв. замкнуто) в Е, или, что то же, если образ при ф всякого открытого (соотв. замкнутого) множества из Е есть открытое (соотв. замкнутое) множество в E/R.
Для того чтобы R было открыто, необходимо и достаточно, чтобы для каждой точки х ^Е фильтр окрестностей точки ф (ж) в фак- торпространстве Е/R совпадал с образом при ф фильтра окрестностей точки х в Е. ■
Для того чтобы R было замкнуто, необходимо и достаточно, чтобы всякий класс эквивалентности по R обладал фундаментальной системой окрестностей, насыщенных по R. -
Для того чтобы факторпространство ЕШ было отделимо, необходимо, чтобы всякий класс эквивалентности по R был замкнут и множество С, определяемое в произведении Е х Е отношением R, было замкнуто. Если R открыто, это последнее условие также достаточно.
Если Е компактно, то следующие три условия равносильны: a) ЕШ отделимо; б) отношение R замкнуто; в) множество С замкнуто в Е х Е. Если одно из этих условий выполнено, то ЕШ компактно (гл. I, § 10, предложение 8).
Если Е локально компактно, то ЕШ может быть отделимо, не будучи локально компактным. Однако, если насыщение по R всякого компактного множества из Е компактно, то отношение R замкнуто и пространство ЕШ локально компактно.
Если Е метризуемо, то факторпрострапство Е/R может быть отделимо и не регулярно; однако, если Е компактно и метризуемо, a EIR отделимо, то EIR компактно и метризуемо.
Пусть Е — регулярное пространство, Л — замкнутое множество в Е и R — отношение эквивалентности, классами которого служат Л и все точки из СЛ; тогда Е/R (т. е. пространство, полученное «отождествлением всех точек ив Л») отделимо.
Всякое факторпростраиство связного (соотв. локально связного) пространства связно (соотв. локально связно).
Каноническое отображение ср топологического пространства Е на факторпрострапство EIR непрерывно. Для того чтобы отображение / пространства EIR в топологическое пространство Е' было непрерывно, необходимо и достаточно, чтобы / о ф было непрерывно на Е; другими словами, имеется взаимно однозначное соответствие между множеством всех непрерывных отображений EIR в 5' и множеством всех непрерывных отображений Е в Е'в постоянных на каждом классе эквивалентности по R. '
Пусть Е и F — топологические пространства и R (соотв. 5) — отношение эквивалентности в Е (соотв. F). Если / — непрерывное отображение Е в F, согласующееся с отношениями эквивалентности R и S, то отображение Е/R в F/S, полученное из / факторизацией, непрерывно.
Пусть / — непрерывное отображение топологического пространства Е в топологическое пространство Е*, R — отношение эквивалентности f (х) — f (у) в Е, ф — каноническое отображение Е на EIR и / = g о ф, так что g — биективное отображение EIR па некоторое множество из Е'. Отображение g непрерывно, но вообще не является гомеоморфизмом факторпространства E/R на подпространство / (Z?) пространства Е'; для того чтобы оно было гомеоморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы образ при / всякого открытого множества из Е, насыщенного по R, был следом на / (Е) открытого множества из^'. Это условие'всегда выполнено, если Е компактно, а Е' отделимо. Оно также выполнено, если существует непрерывное отображение К пространства G = / (Е) в Е такое, что / о h — тождественное отображение G па себя (непрерывное сечение). .
Пусть R и 8 — отношения эквивалентности в топологическом пространстве Е такие, что R влечет 8, и S/R — факторотно шение отношения эквивалентности 8 по 7? в факторпространстве Е/R; тогда каноническое отображение Е/S на (E/R)/(S/R) есть гомеоморфизм.
Пусть Е — топологическое пространство, R — отношение эквивалентности в Е, А с Е, ВА — отношение эквивалентности, индуцированное в А отношением R, и <р — каноническое отображение Е на Е/R. Биективное каноническое отображение h пространства AIRa на <р (А) непрерывно, но вообще не является гомеоморфизмом; для того чтобы h было гомеоморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы всякое насыщенное по RA открытое множество в А было следом на А насыщенного по R открытого множества из Е. .
Это последнее условие выполняется в каждом из следующих случаев:
а) А насыщено по R и открыто (или замкнуто) в Е;
■ б) отношение R открыто, А открыто в Е или насыщено по Я;
в) отношение R замкнуто, А замкнуто в Е или насыщено по R; ■ г) существует непрерывное отображение / пространства Е в А такое, что / (я) сравнимо с ж по модулю R для каждого х £ R. В этом случае h есть гомеоморфизм AIRa на EJR.
Пусть Е и F — топологические пространства, a R (соотв 5) — отношение эквивалентности в Е (соотв. Я). Биективное каноническое отображение (Я X F)/(R х 8) па (E/R) х (F/S) непрерывно; при этом, если R и 8 открыты, то оно является.гомеоморфизмом, a R X 8 открыто. ■
§ 8. Компактные пространства и локальнокомпактные пространства
■1. Топологическое пространство Е называется компактным,
если оно отделимо и удовлетворяет, кроме того, одной из следующих четырех равносильных аксиом.
(С) Всякий фильтр в Е обладает хотя бы одной точкой прикосновения.
^') Всякий ультрафильтр в Е сходится.
(С") Всякое семейство замкнутых множестввЕ, имеющее пустое пересечение, содержит, конечное подсемейство с пустым пересечением.
(G”) ^аксиома Бореля — Лебега). Всякое открытое покрытие пространства Е содержит конечное покрытие этого пространства.
Множество А в топологическом пространстве Е называется компактным, если подпространство А пространства Е компактно. В отделимом пространстве всякое компактное множество замкнуто. Множество А в топологическом пространстве Е называется относительно компактным (относительно Е), если А содержится в компактном множестве.
В компактном пространстве Е существует, и притом единственная, равномерная структура, согласующаяся с его топологией (гл. П, § 4, теорема 1); окружениями этой структуры служат все окрестности диагонали А в произведении Е X Е. Пусть Р$ для каждого конечного открытого покрытия 91 = (Л;) пространства Е— объединение множеств At х At в Е X Е; когда 91 пробегает все конечные открытые покрытия пространства Е, множества 7^ образуют фундаментальную систему окружений равномерной структуры пространства Е. В этой равномерной структуре Е отделимо и полно.
Равномерное пространство называется предкомпактным, если его отделимое пополнение компактно. Множество А в равномерном пространстве Е называется предкомпактным, если равномерное подпространство А пространства Е предкомпактно. В отделимом равномерном пространстве Е всякое относительно компактное множество предкомпактно; обратное вообще неверно; но оно верно, если Е • полно.
Пусть Е равномерное пространство. Для того чтобы множество АсЕ было предкомпактно, необходимо и достаточно, чтобы для каждого окружения V равномерной структуры пространства Е существовало конечное покрытие множества А, все множества которого малы порядка У (гл. П, 2-е изд., § 4, теорема 4; 3-е изд., § 4, теорема 3). Если Е — метрическое пространство, то для того, чтобы множество А с Е было предкомпактно, необходимо и достаточно, чтобы для каждого е > 0 существовало конечное число точек at £ А таких, что всякая точка из А удалена хотя бы от одной из точек at на расстояние ^е. ..
Топология метризуемого компактного пространства обладает счетным базисом; обратно, всякое компактное пространство, топология которого обладает счетным базисом, метризуемо.
Пусть Е — метризуемое пространство. Для того чтобы множество Л cz Е было относительно компактно в Е, необходимо и достаточно, чтобы всякая последовательность точек из Л имела в Е хотя бы одну предельную точку.
Для того чтобы множество Л в отделимом топологическом пространстве Е было компактно, необходимо и достаточно, чтобы всякое открытое покрытие множества Л в Е содержало его конечное покрытие.
Всякое подмножество относительно компактного множества относительно компактно. В компактном пространстве всякое замкнутое множество компактно.
В отделимом пространстве объединение двух компактных (соотв. относительно компактных) множеств компактно (соотв. относительно компактно); всякое конечное множество компактно. Обратно, всякое дискретное компактное пространство конечно.
Пусть Е и Е' — отделимые пространства. Если / — непрерывное отображение Е в Е', то образ при / всякого компактного (соотв. относительно компактного) множества из Е есть компактное (соотв. относительно компактное) множество в Е'. Всякое биективное непрерывное отображение компактного пространства Е на отделимое пространство Е' есть гомеоморфизм. Если пространство Е компактно, то всякая отделимая топология в Е, мажорируемая его топологией, необходимо совпадает с ней.
Пусть Е и Е* — равномерные пространства и / — равномерно непрерывное отображение Е в Е'\ образ при / всякого предком- пактного множества иа Е есть предкомпактное множество в Е*.
Пусть Е — компактное пространство и R — отношение эквивалентности в Е. Следующие свойства равносильны: a) EIR отделимо; б) отношение R замкнуто; в) множество С, определяемое в Е X Е отношением R, замкнуто. При этих условиях факторпро- странство Е/R компак^йо (гл. I, § 10, предложение 8); если, кроме того, Е метризуемо, то и Е/R метризуемо.
7. Произведение всякого семейства компактных пространств компактно (гл. I, 2-е изд., § 10, теорема 3; 3-е изд., § 9, теорема 1)
Для того чтобы множество А в произведении JJ Е^ отделимых пространств было относительно компактно, необходимо и достаточно, чтобы каждая его" проекция ргеЛ была относительно компактна в Et.
Для того чтобы множество А в произведении JJ Е,. отделимых 1=Т равномерных пространств было предкомпактно, необходимо и достаточно, чтобы каждая его проекция была предкомпактла.
Пусть Е — локально компактное пространство, F — отделимое равномерное пространство и 11 — некоторое множество' непрерывных отображений Е в F. Для того чтобы И было относительно компактно в пространстве 8 (Е; F) всех непрерывных отображений Е в F, наделенном топологией компактной сходимости, необходимо и достаточно, чтобы П было равностепенно непрерывно и для каждого х € Е множество Н (а:) (образованное точками / (ж), где / пробегает Н) было относительно компактно в F (теорема Аскола) (гл. X, § 2, следствие 3 теоремы 2).
Пусть Е — компактное пространство, ^ — фильтр в Е и А —множество всех его точек прикосновения (оно непусто). Каждая окрестность V множества А содержит некоторое множество из % (гл. I, 2-е изд., § 10, теорема 1; 3-е изд., § 9, теорема 1). В частности, если фильтр ^ в Е имеет только одну точку прикосновения, то он сходится к этой точке.
Для того чтобы базис фильтра %, образованный всеми замкнутыми окрестностями точки х в компактном пространстве Е, был фундаментальной системой ее окрестностей, необходимо и достаточно, чтобы пересечение всех множеств из % состояло из одной точки х.
Если А — относительно компактное множество в топологическом пространстве Е, то всякий базис фильтра в А обладает хотя бы одной точкой прикосновения в Е.
Всякое компактное пространство нормально. Более общим образом, если Е — отделимое равномерное пространство, а А и В — непересекающиеся компактное и замкнутое множества в Е, ■ то существует окружение V для Е такое, что V (Л) и V (В) не пересекаются. Если А компактное множество в Е, то множества
V (Л) образуют фундаментальную систему его окрестностей, когда V пробегает фильтр окружений для Е.
В локально компактном пространстве всякое компактное множество обладает фундаментальной системой компактных окрестностей.
Пусть Е — компактное, а Е* — равномерное пространства. Всякое непрерывное отображение Е в Е' равномерно непрерывно (гл. II, § 4, теорема 2). Всякое равностепенно непрерывное множество отображений Е в Е' равномерно равностепенно непрерывно.
Пусть Е* — полное отделимое равномерное пространство и А — всюду плотное подмножество компактного пространства Е; для того чтобы непрерывное отображение f: А -> Е' можно было продолжить по непрерывности на Е, необходимо и достаточно, чтобы / было равномерно непрерывно.
Всякая полунепрерывная снизу числовая функция / на компактном пространстве Е достигает своей нижней грани, т. е. существует точка а £ Е такая, что / (а) = Inf / (ж) (гл. IV, § 6,
«ЕЕ "
теорема 3). В частности, всякая полунепрерывная снизу функция на Е, не принимающая значения — оо, ограниченна снизу.
Пусть Е'— компактное пространство и 77 — некоторое множество непрерывных конечных ■ числовых функций на Е, фильтрующееся по отношению ^. Если верхняя огибающая / множества Н конечна и непрерывна на Е, то фильтр сечений множества Н равномерно сходится к / на Е (гл. X, § 4, теорема 1). В частности, если возрастающая последовательность непрерывных функций на Е имеет конечную и непрерывную верхнюю огибающую /, то она равномерно сходится к /.
• Пусть Н— равностепенно непрерывное множество отображений компактного пространства Е в отделимое равномерное пространство Е'. В Н топология простой сходимости совпадает с топологией равномерной сходимости (гл. X, § 2, теорема 1).
Пусть Е — компактное пространство и /7 — множество непрерывных конечных числовых функций на Е, отделяющее точки пространства Е. Тогда всякая непрерывная числовая функция на Е равномерно аппроксимируема полиномами (с вещественными коэффициентами) относительно функций из Н (гл. X, § 4, теорема 3). \
Топологическое пространство Е называют локально компактным, если оно отделимо и каждая его точка обладает компактной окрестностью. Всякое дискретное пространство локально компактно. В локально компактном пространстве всякая точка и, более общим образом, всякое компактное множество обладает фундаментальной системой компактных окрестностей.
Для того чтобы множество А в локально компактном пространстве Е было замкнуто, необходимо и достаточно, чтобы А П К было компактно для каждого компактного множества К из Е.
В отделимом пространстве Е всякое локально компактное подпространство А является пересечением открытого и замкнутого множеств. Обратно, в локально компактном пространстве Е всякое подпространство, являющееся пересечением открытого и замкнутого множеств, локально компактно.
Для всякого локально компактного, но не компактного пространства Е существует компактное пространство Е* такое, что Е юмеоморфно его открытому подпространству, дополнение которого сводится к одной точке («бесконечно удаленной точке»); это компактное пространство Е* с точностью до гомеоморфизма единственно (теорема Александрова) (гл. I, 2-е изд., § 10, теорема 4; 3-е изд., § 9, теорема 4). .
Для ■ того чтобы произведение непустых топологических пространств Ev было локально компактно, необходимо и достаточно, чтобы все Et были локально компактны и, за исключением конечного их числа, компактны. ■
Факторпространство локально компактного пространства Е по отношению эквивалентности R не обязательно локально компактно, ' даже если оно отделимо. Однако если насыщение по R всякого компактного множества из Е компактно, то отношение R замкнуто и факторпространство Е/R локально компактно.
Всякое локально компактное пространство вполне регулярно, но, вообще говоря, существуют различные равномерные структуры, согласующиеся с его топологией. Локально компактное пространство не обязательно нормально.
Всякое локально компактное пространство—бэровское (гл. IX,
§ 5, теорема 1).
Пусть Е и Е' — локально компактные пространства. Непрерывное отображение /: Е —> Е' называется совершенным, если прообраз относительно / всякого компактного множества из Е' есть компактное множество в Е.
Пусть Е и Е' — локально компактные, но не компактные пространства, a F и F' — компактные пространства, полученные путем присоединения к Е и Е* бесконечно удаленных точек с» и со' соответственно. Для того чтобы непрерывное отображение /: Е -> Е' было совершенным, необходимо и достаточно, чтобы оно могло быть продолжено до непрерывного отображения F в F*, переводящего со в со'.
Если / — совершенное отображение локально компактного пространства Е в локально компактное пространство Е', то образ при / всякого замкнутого множества из Е есть замкнутое множество в Е'.
Если R — отношение эквивалентности в локально компактном пространстве Е такое, что насыщение по R всякого компактного множества компактно, то каноническое отображение Е на E/R совершенно. Обратно, пусть / — совершенное отображение Е в локально компактное пространство Е' и R — отношение эквивалентности / (ж) = / (у); тогда насыщение по R всякого компактного множества из Е компактно. При этом, если ср — каноническое отображение Е на EiR, то биективное отображение g; EiR -*- -> / (5), для которого / = g ° ср, есть гомеоморфизм.
Говорят, что локально компактное пространство Е счетно в бесконечности, если оно является объединением счетного семейства компактных множеств. Тогда существует возрастающая после- •довательность ({/„) относительно компактных открытых множеств, образующая покрытие Е и такая, что U^c Un+i для всех п.
Пусть Е — локально компактное, но не компактное пространство, а Е* — компактное пространство, полученное путем присоеди- непия к Е бесконечно удаленной точки со. Для того чтобы Е было счетно в бесконечности, необходимо и достаточно, чтобы точка с» обладала в Е' счетной фундаментальной системой окрестностей.
Всякое локально компактное пространство, обладающее счетным базисом, счетно в бесконечности, а соответствующее компактное пространство Е* тогда метризуемо. -
Пусть 94 = (t/a)aEA и 94' = (Ур)рев — покрытия топологического пространства Е; говорят, что 94' мажорирует 94, если для каждого индекса Р € S существует индекс a € Л такой, что Vp с Ua. Если 94' мажорирует 94, а 94" мажорирует 94', то 94" мажорирует 94. Всякое покрытие, содержащееся в покрытии 94, мажорирует 94.
Покрытие 94 пространства Е называется покрытием конечного типа, если каждое множество из 94 пересекается лишь с конечным числом множеств из 94.
Всякое конечное покрытие локально конечно и конечного типа. Всякое открытое покрытие конечного типа локально конечно; обращения этих двух предложений неверны. Локально конечное покрытие компактного пространства конечно.
Топологическое пространство Е называется паракомпактным, если оно отделимо и для каждого его открытого покрытия 94 существует локально конечное открытое покрытие 94', мажорирующее 94. Всякое замкнутое подпространство паракомпактпого пространства паракомпактно. Всякое паракомпактное пространство нормально, но существуют нормальные пространства, не являющиеся паракомпактными. Произведение паракомпактного и компактного пространств паракомпактно, но произведение двух паракомпактных пространств может не быть паракомпактным.
Для того чтобы локально компактное пространство Е было паракомпактно, необходимо и достаточно, чтобы оно было топологической суммой семейства локально компактных пространств, счетных в бесконечности (гл. I, 2-е изд., § 10, теорема 5; 3-е изд., § 9, теорема 5). Тогда для каждого открытого покрытия 94 пространства Е существует мажорирующее его открытое покрытие 94' конечного типа, состоящее из относительно компактных множеств. Если Е счетно в бесконечности, то можно, кроме того, добиться, чтобы 94' было счетным.
Связность
Топологическое пространство Е называют связным, если не существует разбиения Е на два открытых (непустых по определению разбиения) множества. То же можно выразить, сказав, что не существует разбиения Е на два замкнутых множества или
также что в Е не существует открыто-замкнутых множеств, кроме самого Е и пустого множества. Множество А в топологическом пространстве Е называют связным, если подпространство А пространства Е связно.■
Числовая прямая R есть связное пространство; связные множества в R — интервалы..
Если А — какое-либо множество в пространстве Е, то всякое связное множество в Е, пересекающееся и с Л и с СЛ, пересекается с границей А. В частности, в связном пространстве Е всякое непустое множество, отличное от Е, имеет по крайней мере одну граничную точку.
Если множество А в топологическом пространстве Е связно, то связно и всякое множество В cz Е такое, что Лс5с Л.
Объединение семейства связных множеств, имеющих непустое пересечение, связно. Отсюда следует, что если (Л^о^е^т— последовательность связных множеств такая, что каждое Аь где 0 ^ ^ t ^ m — 1, пересекается с Л <+i, то объединение всех Л г связно.
Образ связного множества из Е при непрерывном отображении Е в Е' есть связное множество в Е'. Для того чтобы пространство Е не было связным, необходимо и достаточно, чтобы существовало непрерывное отображение его на дискретное пространство, содержащее более одной точки.
Для того чтобы произведение непустых топологических пространств Et было связным, необходимо и достаточно, чтобы каждое Е^ было связным.■.
Всякое факторпространство связного пространства связно. Если R — отношение эквивалентности в топологическом про- •странстве Е такое, что пространство Е/R связно и каждый из классов эквивалентности по R связен, то Е связно. ■'
Связной компонентой точки х топологического пространства Е называют наибольшее связное множество в Е, содержащее х. Связными компонентами множества A cz Е называют связные компоненты точек из А относительно подпространства А пространства Е.
Для того чтобы пространство было связно, необходимо и достаточно, чтобы оно совпадало со связной компонентой каждой своей
точки или, иначе, чтобы для каждой пары точек х, у пространства существовало связное множество, содержащее и х и у.
Топологическое пространство Е называют вполне несвязным, если связная компонента каждой его точки состоит из одной этой точки. Множество Л в пространстве Е называют вполне несвязным, если подпространство А пространства Е вполне несвязно. Дискретное пространство вполне несвязно, но вполне несвязное пространство может не иметь ни одной изолированной точки.
Всякое открыто-замкнутое множество в пространстве Е содержит связную компоненту каждой своей точки; но пересечение открыто-замкнутых окрестностей точки х £ Е может отличаться от связной компоненты этой точки (см. п° 6).
В топологическом пространстве Е связная компонента всякой его точки замкнута. Связные компоненты пространства Е образуют его разбиение; если R — отношение эквивалентности, классами которого служат эти компоненты, то факторпространство Е/R вполне несвязно.
В произведении ЦЛ связная компонента точки х = fo) есть произведение связных компонент точек хь в соответствующих пространствах Еи
Пусть V — какое-нибудь симметричное окружение для равномерного пространства Е; конечная последовательность (ж,)15«5п точек из Е называется V-цепью, если для каждого i такого, что 1 ^ i ^ п — 1, точки' х{ и ж<+1 близки порядка V; точки Xi и хп называются концами этой 7-цепи и говорят, что они соединены ею. (Если Е — метрическое пространство, структура которого определена расстоянием А, то е-цепью для каждого е > 0 называют 7е-цепь, где Ve — окружение, определяемое отношением А (х, у) ^ е.)
Отношение «существует 7-цепь, соединяющая х и у» есть отношение эквивалентности в Е; класс эквивалентности Ax,v точки х по этому отношению — открыто-замкнутое множество. Пересечение Л, множеств Ах, у, где 7 пробегает все симметричные окружения для Е, есть замкнутое множество; Л* содержит связную компоненту точки х, но может не совпадать с ней. Однако если Е компактно, то Ах совпадает со связной компонентой точки х
и с пересечением открыто-замкнутых окрестностей этой точки (гл. II, 2-е изд., § 4, предложение 3; 3-е изд., § 4, предложение 6).
Если Е — компактное пространство и Л — отношение эквивалентности в Е, классами которого служат связные компоненты этого пространства, то факторпространство EIR компактно и вполне несвязно.
Если Е — вполне несвязное локально компактное пространство, то множество всех открыто-замкнутых окрестностей каждой точки х ^ Е образует фундаментальную систему окрестностей этой точки.'
Топологическое пространство Е называют локально связным, если всякая точка в Е обладает фундаментальной системой связных окрестностей. Всякое открытое подпространство локально связного пространства локально связно. Для того чтобы пространство Е было локально связно, необходимо и достаточно, чтобы всякая связная компонента непустого открытого множества в Е была открытым множеством; тогда Е является топологической суммой своих связных компонент. Числовая прямая R локально связна. Пространство может быть связным, ио будучи локально связным, и обратно. Для того чтобы непустое пространство JJ Et было локально связно, необходимо и достаточно, чтобы
все Ei были локально связны и, за исключением конечного их числа, связны. Всякое факторпространство локально связного пространства локально связно (гл. I, 2-е изд., § И, предложение 13; 3-е изд., § И, предложение 12).
Топологическая алгебра
Топологической группой называется множество, наделенное структурой группы и топологией, удовлетворяющей следующей аксиоме (в мультипликативных обозначениях): "
(GT') Отображение (ж, у) >-* ху1 произведения G X G в G непрерывно.
То же можно выразить, потребовав непрерывности двух отображений: (ж, ур-+ ху произведения GxCbGhz-* ж-1 пространства G в себя. Симметрия ж*->ж-1 будет при этом гомеоморфизмом
G на себя; каковы бы ни были а и Ъ из G, отображение xv->axb есть гомеоморфизм G на себя.
Говорят, что структура группы и топология в множестве G согласуются, если они удовлетворяют аксиоме (GT'). Дискретная топология в произвольной группе G согласуется с ее структурой группы. Топология и структура аддитивной группы числовой прямой R согласуются.
Если А — открытое (соотв. замкнутое) множество в G и х — произвольная точка из G, то множества хА, Ах и Л-1 открыты (соотв. замкнуты) в G. Если А — открытое множество в G, а В — произвольное множество в G, то АВ и ВА открыты. Если V •— окрестность нейтрального элемента е группы G, а А — произвольное множество в G, то А V и VA — окрестности А. Отметим, что если А и В — замкнутые множества в G, то АВ ио обязательно замкнуто в G. Однако если одно из множеств А, В компактно, а другое замкнуто, то АВ замкнуто.
Если S3 — фильтр окрестностей нейтрального элемента е топологической группы G, то фильтр окрестностей произвольной точки а Е G совпадает с каждым из фильтров с№ и %а. Пусть G — группа и S3 — фильтр в пей; для того чтобы в G существовала согласующаяся с ее структурой группы топология АГ, для которой S3 служит фильтром окрестностей нейтрального элемента е, необходимо и достаточно, чтобы S3 удовлетворял следующим аксиомам:
(GVj) Для каждого U Е S3 существует V Е S3, такое, что VVc U.
(GVn) Каково бы ни было U Е S3, также U-1 Е S3.
(GVin) Каковы бы ни были а Е G и V Е S3, также aVa"1 Е S3. Тогда топология АГ, определяемая фильтром S3, единственна. Для того чтобы базис фильтра 93 в группе G обладал том свойством, что фильтр с этим базисом удовлетворяет аксиомам (GVi), (GVn) и (GVni), необходимо и достаточно, чтобы 93 удовлетворял следующим аксиомам:
(GVf) Для каждого U £ 93 существует V Е 93 такое, что VVc U.
(GVh) Для каждого U £ 93 существует W Е S3 такое, что IE"1 с U.
21 II. Бурбаки
(GVni) Каковы, бы ни были a^GuU ^%, существует 7 С ® такое, что Fc aUa-1.
Отметим, что условие (GVni) (соотв. (GVni)) выполняется само собой для всякого фильтра (соотв. всякого базиса фильтра) в коммутативной группе G; напротив, если G не коммутативна, то (GVjn) не является следствием (GVj) и (GVn).
Окрестность V нейтрального элемента е топологической группы G называют симметричной, если V-1 — V; для каждой окрестности U элемента е множества tZU^’"1* U П U~l и UU~l являются его симметричными окрестностями. Симметричные окрестности точки е образуют фундаментальную систему окрестностей этой точки. В произвольной группе G базис фильтра Ф, состоящий из подгрупп группы G, удовлетворяет аксиомам (GVf) и (GVn); для того чтобы он был фундаментальной системой окрестностей е в топологии, согласующейся с заданной в G структурой группы, необходимо и достаточно, чтобы он удовлетворял аксиоме (GVni), что всегда будет иметь место, осли все подгруппы из S6 нормальные. - ■
Для того чтобы топологическая группа G была отделима, необходимо и достаточно, чтобы множество {е}, состоящее из одного нейтрального элемента, было замкнуто; то же можно выразить, сказав, что пересечение всех окрестностей е состоит из одной этой точки. Всякая отделимая группа вполне регулярна, но не обязательно нормальна.
Для того чтобы топология отделимой топологической группы G была метризуемой, необходимо и достаточно, чтобы существовала счетная фундаментальная система окрестностей нейтрального элемента е; тогда G называется метризуемой группой.
■ 4. Пусть G и G' — топологические группы; изоморфизм G на G* есть биективное отображение /: G-+ G', являющееся одновременно изоморфизмом структуры группы G на G' (т. о. / (ж, у) — f ^ f (у), каковы бы ни были ж и у из G) и гомеоморфизмом G на G' (т. е. взаимно непрерывным отображением). Для каждого a ^G отображение xv-* аха~1 есть автоморфизм группы G; он называется внутренним автоморфизмом. Если топология ST согласуется со структурой группы в G, то она согласуется также со структурой группы
противоположной группы G0; симметрия х н-» х-1 есть изоморфизм топологической группы G на топологическую группу G°. .
Пусть G и G' — топологические группы; локальным изоморфизмом G в G1 называется гомеоморфизм / окрестности V нейтрального элемента группы G на окрестность V' нейтрального элемента группы G', обладающий следующими свойствами: 1° / (х, у) = / (х)/ (у) для каждой пары точек х, у из V таких, что ху ( 7; 2е если g — отображение, обратное к /, то g (х'г/') - ~ g (х') g (у') для каждой пары точек х', у' из V' таких, что х'у' £ 5 7' (откуда следует, что g есть локальный изоморфизм G' на G). Топологические группы G и G' называют локально изоморфными, если существует локальный изоморфизм G на G'. Изоморфные топологические группы G и G' локально изоморфны, однако существуют локально изоморфные, ио не изоморфные топологические группы, например R и Т.
Гомеоморфизм / окрестности V нейтрального элемента группы G на окрестность V' нейтрального элемента группы G*, удовлетворяющий условию 1° предыдущего определения, является продолжением некоторого локального изоморфизма G на G' (которые поэтому локально изоморфны). Допуская вольность речи, мы будем называть локальным изоморфизмом также всякое отображение окрестности V нейтрального элемента группы G в G’- сужение которого па некоторую окрестность WcV элемента е является локальным изоморфизмом.
Если II — подгруппа топологической группы G, то топология, индуцируемая в Н из G, согласуется со структурой группы, индуцируемой в Н из G; тем: самым 27, наделенная этими двумя структурами, будет топологической группой. Ее замыкание И в G также будет подгруппой группы G; кроме того, если Н — всюду плотная подгруппа в G, а К — нормальная подгруппа группы 77, то К — нормальная подгруппа группы G.
Для того чтобы подгруппа топологической группы была дискретна, необходимо и достаточно, чтобы она содержала изолированную точку. Всякая дискретная подгруппа отделимой группы замкнута.
Для того чтобы подгруппа топологической группы G была открытой, необходимо и достаточно, чтобы она имела внутреннюю
21»
точку. Всякая открытая подгруппа замкнута. Если V — симметричная окрестность нейтрального элемента топологической группы G, то подгруппа V°°, которую порождает V, открыто-замкнута; в частности, она совпадает с G, если G связна.
В топологической группе G связная компонента К нейтрального элемента е есть замкнутая нормальная подгруппа; связной компонентой каждого х £ G служит класс хК = Кх.
Если Н — произвольная подгруппа топологической группы G, отношение эквивалентности х-1у ^Н hG открыто; при наделении однородного пространства G/Н фактортопологией топологии группы G по этому отношению эквивалентности отображение (з, х) н-* sx произведения G X (GUI) в GUI непрерывно. Однородное пространство GUI всегда предполагается наделенным этой фактортопологией. Для того чтобы GUI было отделимым, необходимо и достаточно, чтобы II была замкнута в G. Если II —- открытая подгруппа группы G, то GUI дискретно.
Если Н — нормальная подгруппа топологической группы G, то фактортопология в факторгруппе G/Н согласуется с ее структурой группы; тем самым GUI, наделенное этими двумя структурами, является топологической группой, в которой канонические образы окрестностей нейтрального элемента группы G образуют фильтр окрестностей нейтрального элемента. Если G метризуема и II замкнута в G, то GUI метризуема.
Если Н — дискретная нормальная подгруппа группы G, то факторгруппа GUI локально изоморфна G.
Если И и К — нормальные подгруппы группы G и Пег К, то топологические группы G/К и (GUI)/(KUl) изоморфны.
. Если Н — нормальная подгруппа, а Л — какая-либо подгруппа группы G, то канонический образ А в GUI изоморфен топологической группе AHUI, но вообще пе изоморфен топологической группе А/(А П Н) •
. 9. Для того чтобы представление топологической группы G в топологическую группу G' было непрерывно на G, необходимо и достаточно, чтобы оно было непрерывно в точке е (нейтральном элементе группы G).
Пусть / — непрерывное представление G в С и / — ф о / о <р — его каноническое разложение, так что <р — каноническое отобра-
жение G па GUI (где Н — ядро /), а ф — каноническое отображение / (G) в G’; f— непрерывное биективное представление GUI на / (G), по не обязательно взаимно непрерывное. / называется строгим морфизмом G в G', если / — изоморфизм топологической группы G/H на топологическую группу / (G). Для того чтобы это имело место, необходимо и достаточно, чтобы образ всякого открытого множества из G при отображении / был открытым множеством в / (G). Это условие всегда выполнено, если G'—дискретная группа или если G — компактная группа, а G' отделима.
Пусть / — непрерывное представление топологической группы G в топологическую группу G', II — нормальная подгруппа группы G и g —- представление GIH в / (G)// Ц1у получаемое факторизацией /. Представление g непрерывно; при этом, если / — строгий морфизм (соотв. изоморфизм) G па / (G), то g - строгий морфизм (соотв. изоморфизм) GUI на / (G)// фУ
Пусть (G^te/ — семейство топологических групп. В множестве G — Ц Gt структура произведения групп Gt и структура
произведения топологий пространств Gt согласуются; топологическая группа, получаемая наделением множества G этими двумя структурами, называется произведением топологических групп Gv.
Для каждого разбиения (./Оху, множества I топологическая группа G изоморфна произведению топологических групп JJ СИ
Если Hv для каждого i g / — подгруппа группы Gt, то произведение топологических групп Hv изоморфно подгруппе Ц/Д
топологической группы Ц Gt, с которой обычно и отождестви иУ
ляется. В частности, если J с: I и J' — CJ, топологическая группа Gj = H^i изоморфна нормальной подгруппе Gj- IE Г
= (ll^1) ^ (iK^1-}) ГРУППЫ ^ (где ei—нейтральный элемент lEJ
группы Gt). Проекция рг7 группы G на Gj есть строгий морфизм; факторгруппа G/Gj изоморфна Gj», а значит, и Gj».
Пусть Gt и Сг — топологические группы, а Нх (соотв. //2) — нормальная подгруппа группы Gt (соотв. G<^; каноническое отображение ^GJH^) X (.G^H») на (Gt X G.)/(//! X Н^ есть изомор физм.
И. Пусть G — топологическая группа. Для каждой окрестности V ее нейтрального элемента е обозначим через Vd (соотв. К,) множество тех пар (ж, у) EG X G, для которых уж"1 С V (соотв. х-1у € V)- Когда V пробегает множество всех окрестностей точки е bG, множества Vd (соотв. Vs) образуют фундаментальную систему окружений некоторой равномерной структуры в группе G, согласующейся с ее топологией и называемой правой (соотв. левой) равномерной структурой топологической группы G. Каково. бы ни было .множество A cz G, Vd (Л) = VA (соотв. V, (Л) — AV), откуда следует, что замыкание А является пересечением множеств VA (соотв. AV), где V пробегает фильтр окрестностей е.
Правая и левая равномерные структуры топологической группы G вообще различны. Но когда G — коммутативная или компактная группа, они совпадают.
Если G метризуема, то ее правая (соотв. левая) равномерная структура метризуема; она может быть задана расстоянием d, инвариантным справа (соотв. слева), т. е. таким, что d (жз, yz) = = d (х, у) (соотв. d (zx, zy) = d (ж, у)).
Если G — топологическая группа, то правые и левые переносы являются изоморфизмами правой равномерной структуры на себя, а также левой равномерной структуры па себя. Симметрия ж*-* ж-1 есть изоморфизм правой равномерной структуры на левую равномерную структуру; заметим, что, напротив, она вообще ’не будет равномерно непрерывной в правой (или в левой) равномерной структуре. Также отображение (ж,. у)*-*ху произведения G X G на G может но быть равномерно непрерывным в правой (или левой) равномерной структуре; однако это имеет место, когда G коммутативна или компактна.
Непрерывное представление топологической группы G в топологическую группу G' равномерно непрерывно при наделении G и G* правыми (соотв. левыми) равномерными структурами.
Если II — подгруппа топологической группы G, то равномерная . структура, индуцируемая в // правой (соотв. левой) равно-
мерной структурой группы G, совпадает с правой (соотв. левой) равномерной структурой топологической группы II.
В произведении семейства (GJ топологических групп правая (соотв. левая) равномерная структура совпадает с произведением правых (соотв. левых) равномерных структур групп Gv
Топологическую группу G называют полной, если ее правая и левая равномерные структуры являются структурами полного иростраиства; впрочем, достаточно, чтобы одна из них была полна, тогда другая будет тоже полной.
Всякая замкнутая подгруппа полной группы полна. Произведение всякого семейства полных групп полно. Если G — полная метризуемая группа и II — ее замкнутая подгруппа, то факторгруппа GUI метризуема и полна (гл. IX, § 3, предложение 4); напротив, можно указать полную отделимую, но не метризуемую группу G, содержащую замкнутую подгруппу II такую, что GUI не полна.
Всякая локально компактная группа полна; всякая локально компактная подгруппа отделимой группы G замкнута в G.
Пусть Gi и Ga — полные отделимые топологические группы и Нг (соотв. Н^) — всюду плотная подгруппа группы Gt (соотв. Ga). Всякое непрерывное представление / группы IIг в IIа продолжается единственным образом до непрерывного представления / группы Gi в G2; если / — изоморфизм Н^ на Яа, то / — изоморфизм G1 на G2. .
Для того чтобы отделимая топологическая группа G была изоморфна всюду плотной подгруппе полной группы G, необходимо и достаточно, чтобы при симметрии т>—>t'1 образ всякого фильтра Коши относительно правой равномерной структуры в G был снова фильтром Копт относительно этой структуры (гл. III, § 3, теорема 1). Полная группа G, называемая пополнением G, тогда единственна с точностью до изоморфизма. Отметим, что указанное условие всегда выполняется, когда G — коммутативная группа; однако имеются некоммутативные отделимые группы, для которых оно не выполнено.
Если G обладает пополнением G, то замыкания в G окрестностей нейтрального элемента из G образуют фундаментальную систему окрестностей нейтрального элемента в G.
Пусть Е, F и G — полные отделимые коммутативные группы, а А и В — всюду плотные подгруппы соответственно в Е и F. Всякое непрерывное билинейное отображение произведения А X В может быть продолжено по непрерывности до непрерывного билинейного отображения Е X F в G (гл. III, 2-е изд., § 5, теорема 1; 3-е изд., § 6, теорема 1).
Топологическим кольцом называют множество А, наделенное структурой кольца и топологией, удовлетворяющими следующим аксиомам:
,) Отображение (х, у) *->• х 4 у произведения А X А в А непрерывно."
(АТН) Отображение х *-* — х кольца А в А непрерывно.
■ ■ (АТщ) Отображение (ж, у) н-* ху произведения А X А в А непрерывно.
Первые две аксиомы выражают, что топология кольца А согласуется с его структурой аддитивной группы.
. Говорят, что структура кольца и топология, заданные в множестве А, согласуются, если они удовлетворяют аксиомам (АТГ), (АТп) и (АТщ). В произвольном кольце А дискретная топология согласуется со структурой кольца. Если А — коммутативное топологическое кольцо, то всякий полином от п переменных с коэффициентами из А непрерывен на Ап.
Пусть Л — кольцо и 58 — фильтр в А; для того чтобы в А существовала согласующаяся с его структурой кольца топология Д, для которой 58 является фильтром окрестностей нуля, необходимо и достаточно, чтобы 58 удовлетворял следующим условиям:'
(GA]) Для каждого U Е^ сухцествует V £ 58 такое, что V 4- Vc U.
(GAn) Для каждого U 4 ® также —U 4 58.
(AVj) Каковы бы ни были х0 £ А и. V 4 ®, сухцествует W 4 58 такое, что x6W с: V и Wx0 4 V.
(AVn) Для каждого V 4 ® сухцествует VV 4 58 такое, что WWc V.
В частности, если А — кольцо и У — базис фильтра в Л состоящий из двусторонних идеалов, то в 4 существует согласующаяся с его структурой кольца топология .У, для которой Ж служит фундаментальной системой окрестностей пуля.
Если // — подкольцо топологического кольца Л, то топология, индуцируемая в 11 топологией пространства Л, согласуется с индуцированной в // из Л структурой кольца.
Если И — всюду плотное подкольцо топологического кольца Л . а К — подкольцо (соотв. правый, левый, двусторонний идеал) в //, то его замыкание А в Л является подкольцом (соотв. правым, .левым, двусторонним идеалом) в Л.
Если Н—двусторонний идеал в Л, то фактортопология топологии кольца Л по отношению эквивалентпости х — у ^ Н согласуется со структурой кольца А! 11.
Пусть (Л,)^/ — семейство топологических колец. В множестве Л = Л^Г произведение топологий колец At согласуется
со структурой произведения колец Л,; так определенное топологическое кольцо Л называется произведением топологических колец Л1.
Говоря о равномерной структуре топологического кольца Л, всегда имеют в виду, если не оговорено противное, равпомер ную структуру его аддитивной группы; в частности, говорят, что Л есть полное кольцо, если полна его аддитивная группа.
Всякое отделимое топологическое кольцо Л изоморфно всюду плотному подкольцу полного отделимого кольца Л, определенного с точностью до изоморфизма и называемого пополнением кольца А.
Топологическим телом называют множество А, наделенное структурой тела и топологией, согласующейся со структурой кольца в А и удовлетворяющей, кроме того, следующей аксиоме:
(КТ) Отображение х i—► х-1 мультипликативной группы. К* всех ненулевых элементов из К в себя непрерывно.
Говорят, что структура тела и топология в множестве А согласуются, если структура кольца тела А и рассматриваемая топология согласуются и, кроме того, выполняется аксиома (КТ).
В произвольном теле А дискретная топология согласуется со структурой тела. Топология и структура тела числовой прямой R согласуются.
Если А — топологическое тело, то топология, индуцируемая из А в мультипликативной группе А*, согласуется со структурой
этой группы. Каковы бы ни были элементы а ^ 0 и Ь тела К, отображение х*-* ах -\-Ь (соотв. х^ха +^) есть гомеоморфизм К на себя. Если К коммутативно, то всякая рациональная дробь от п переменных с коэффициентами, принадлежащими К, непрерывна в каждой точке из Кп, в которой знаменатель дроби отличен от нуля.
Если Н — подтело топологического тела К, то топология, индуцируемая в II из К, согласуется со структурой тела, индуцируемой в Н( из К’, кроме того, и замыкание Н тела И есть подтело тела К. , .
В топологическом теле К равномерная структура его аддитивной группы называется аддитивной равномерной структурой тела К; правая и левая равномерные структуры мультипликативной группы К*, определенные в К*, называют, допуская вольность речи, мультипликативными равномерными структурами тела К. В К* эти две структуры вообще несравнимы со структурой, индуцируемой аддитивной равномерной структурой тела К.
Всякое отделимое топологическое тело К может быть рассматриваемо как всюду плотное подкольцо полного отделимого кольца К; но К может обладать делителями нуля. Для того чтобы К было топологическим телом, необходимо и достаточно, чтобы при отображении х н* х-1 образ каждого фильтра Коши из К (относительно аддитивной структуры), не имеющего 0 своей точкой прикосновения, также был фильтром Коши в К.
Абсолютным значением на теле К называют отображение х ►-*■ | х j тела К в R со значениями ^0, удовлетворяющее сле- •дующим условиям:
(VMi) | х | = 0 равносильно х — 0.
(VMji) | ху | = | х I | у |, каковы бы ни были х, у из К.
(УМщ) |^+у|^|ж|л-|у|, каковы бы ни были х, у из К.
Из этих аксиом вытекает, что | 1 | = 1 и [ — х | = | х | для всех х € К. Функция d (ж, у) = | х — у | есть инвариантное расстояние на аддитивной группе К, и топология, которую оно определяет в К* согласуется с заданной структурой тела в К. Тело К, наделенное структурой, определяемой заданием на нем абсолют-
ного значения, называется нормированным телом; оно всегда считается наделенным топологией, определяемой заданным абсолютным значением.
Если в произвольном топологическом теле К положить | 0 | = 0 и | х | — 1 для всех ж ^ 0, то этим па К определится абсолютное значение, называемое несобственным; топология, определяемая им в К, дискретна. Обратно, абсолютное значение на К, определяющее в К дискретную топологию, есть несобственное абсолютное значение.
В поле R вещественных чисел (соотв. в поле С комплексных чисел, в теле Н кватернионов) обычное абсолютное значение (соотв евклидова норма) удовлетворяет аксиомам (VMj), (VMn), (VMm) и определяет в R топологию числовой прямой (соотв. топологию пространства R2 в С, топологию пространства R4 в Н).
Если для рационального числа х ^ О обозначить через vp (ж) показатель степени, в которой простое число р входит в разложение х на простые множители, то функция | х |р, равная p-vp(*> для х ^ 0 и 0 для х = 0, будет абсолютным значением на теле Q рациональных чисел; его называют р-абическим абсолютным значением.
Два абсолютных значения на теле К называют эквивалентными, если они определяют в К одну и ту же топологию. Для того чтобы не несобственные абсолютные значения | х |( и | х |2 в К были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы | х |, < 1 влекло | х |2 < 1; тогда существует число р > О такое, что | х |2 = -— | х |1 для всех х (гл. IX, § 3, предложение 5).
Обратно, если | х | — абсолютное значение на К, то то же верно для | х |р, где 0 < р < 1.
Если Ко — подтело нормированного тела К, то сужение па Ко абсолютного значения из К есть абсолютное значение на Ко, и оно определяет в Кй топологию, индуцируемую топологией тела К.
Если К — нормированное тело, то кольцо К, являющееся его пополнением, есть тело, а функция | х | продолжается по не прерывности до абсолютного значения на К, определяющего топологию тела К.
Пусть К — недискретное нормированное тело, | / | — его абсолютное значение и Е — левое векторное пространство над К; нормой на Е называют отображение as *-* р (ас) пространства Е в К со значениями ^ 0, удовлетворяющее следующим аксиомам:
(NOi) р (ас) = 0 равносильно ас = 0.
(МОц) р (рс + у) ^ р (х) -|- р (у) для всех х и у в Е, (КОш) Р (^) = I t | р (as) для всех t £ К и х £ Е.
Функция d (х, у) == р (as — у') является инвариантным расстоянием на аддитивной группе Е, и топология, определяемая им в Е, согласуется со структурой аддитивной группы пространства А; кроме того, отображение (f, ас) i-* tx произведения К х Е в Е непрерывно в этой топологии. Нормированным пространством над нормированным телом К называют векторное пространство Е над К, наделенное структурой, определяемой заданием на Е нормы; такое пространство всегда считается наделенным топологией и равномерной структурой, определяемыми заданной нормой.
Нормы р и q на векторном пространство Е называют эквивалентными, если они определяют в Е одну и ту же топологию. Для этого необходимо и достаточно, чтобы существовали числа а > 0 и Ь > О такие, что■
.ар (as) ^ q (as) С bp (as)
для всех х Е.
°В пространстве R” все нормы эквивалентны^
Пусть Е — нормированное пространство над нормированным телом К, р — норма на Е и Ё — аддитивная топологическая группа, являющаяся пополнением топологической группы Е. Функция (f, as) *-*tx продолжается по непрерывности на А’ х Е и определяет в Е структуру векторного пространства над А; норма р продолжается по непрерывности на Е до нормы р, определяющей топологию группы Ё.■
Если// — векторное подпространство нормированного пространства Е, то сужение на // нормы из Е является нормой на Н^ определяющей в // топологию, индуцированную топологией пространства Е.
Предположим, кроме того, что // замкнуто, и пусть || as || — норма на Е. Если для каждого класса ас = Е/И положить || as || =
-— inf || ас ||, то функция || ас || будет нормой на векторном про- страистве Е'Н, а топология, определяемая этой нормой,— фактор- топологней топологии пространства Е по И.
Пусть (£^)iin — конечное семейство нормированных пространств над нормированным телом К; для каждой точки п
ас — (z#) векторного пространства Е = JJ Et положим || ас || =
i 1
= sup || z; ||; тогда функция || ас || будет нормой па Е, определяю-
1:; in'?»
щей в этом пространстве произведение топологий пространств Et.
Для того чтобы полилинейное отображение / произведения
JI Et в нормированное пространство F было непрерывно, пеоб- г -1
ходимо и достаточно, чтобы существовало число а > 0 такое, что
|| / (асп ас2, . . ., жп) || ^ а || хг || || х2 || . . . || хп Ц,
каковы, бы ни были точки xt £ Et (1 ^ г ^ п).
Пусть К — недискретное нормированное поле и Л— алгебра над X. Говорят, что норма р (ас) на Л согласуется со структурой алгебры Л, если топология, определяемая ею в Л, согласуется со структурой кольца Л. Алгебра Л над К, наделенная структурой, определяемой нормой, согласующейся со структурой алгебры Л, называется нормированной алгеброй.
Заменяя, если нужно, данную норму эквивалентной, можно всегда предполагать, что норма || х || на нормированной алгебре Л такова, что || xij || ^ || х || || ?/ || для всех ас и // из Л.
Пусть К — нормированное тело и К6 — подтело его центра такое, что абсолютное значение на Ко не дискретно; тогда К, наделенное нормой | ж |, есть нормированная алгебра над KQ.
Пусть К — недискретное нормированное поле и Мп (К) — алгебра квадратных матриц X — (xij) порядка и над К; тогда || X || -- sup | хи | будет нормой па Mn (X), согласующейся 3
со структурой алгебры над К.
Пусть Л — нормированная алгебра над пе дискретным нормированным телом К. Пополнение Л кольца Л также наделено структурой алгебры над К; с другой стороны, норма из Л
продолжается по непрерывности на А и согласуется со структурой алгебры в А над К.
Пусть а — замкнутый двусторонний идеал в нормированной алгебре А; в факторалгебре А /а норма || ас || = inf || ас |[
согласуется со структурой алгебры А/а..
Пусть (Л^^^п— конечное семейство нормированных алгебр над нормированным телом К', для каждого элемента ас = (ac^i^i^n п
алгебры А = Ц А{ положим Цзе || = sup || хг ||; тогда || ас || будет г==1
нормой на А, согласующейся с его структурой алгебры.
Пусть А — полная нормированная алгебра над не дискретным полным нормированным телом. Если А обладает единичным элементом е, а норма ||ас || на А такова, что \\зсу ||^ ||х || || у Ц, то е — я обратимо в А для каждого к g Л с ||« || < 1. Таким образом, мультипликативная группа G обратимых элементов алгебры А есть открытое множество в А; кроме того, топология, индуцируемая в G из А, согласуется со структурой группы в G, и так определенная топологическая группа G полна (гл. IX, § 3, предложение 14). ',■'
Бесконечные суммы и произведения
Пусть G — отделимая коммутативная топологическая группа с аддитивной записью и (a:L)lSi — семейство ее точек. Для каждого конечного множества / с: I положим Sj — У жс (причем по условию 80 = 0), и пусть g (7) — множество всех конечных подмножеств множества /, фильтрующееся по отношению с. Семейство ^\у называют суммируемым, если отображение J ►—* sj множества ^ (7) в G имеет предел s по фильтру сечений множества § (/); этот предел называется суммой семейства (a?i)ie.r и обозначается У xt (или просто У хи или даже У жс).
teri
Если (ЗчХе/ суммируемо, то для каждой окрестности V нуля в G существует конечное множество Л, с I такое, что У xt £
t£H
£ V, каково бы ни было конечное множество Л с: 7, не пересекающееся с Jo (критерий Коши); ото условие достаточно, если G— полная группа. В частности, если семейство (x^ci суммируемо, то lim xt — 0 по фильтру дополнений конечных подмножеств множества /; если начало в G обладает счетной фундаментальной системой окрестностей, то множество индексов ц для которых ал ^ 0, необходимо счетно.
Пусть Е — нормированное пространство над нормированным телом К. Семейство (xj точек из Е называют абсолют но суммируемым, если семейство (|| а^ ||) их норм суммируемо в R; для этого необходимо и достаточно, чтобы множество всех конечных частичных сумм семейства (|| тл ||) было ограниченным в R. Если Е полно, то всякое абсолютно суммируемое семейство в Е суммируемо; это достаточное условие является также необходимым, если К = R, а Е имеет конечную размерность над R.
В полной отделимой группе G всякое подсемейство (zt)l£j суммируемого семейства (xt)te; суммируемо; пусть sj — ^ zL.
Если (J\)xel — какое-либо разбиение множества I то семейство' sj суммируемо в G и имеет суммой У жь (ассоциативность суммы) хig/
(гл. III, 2-е изд. § 4, теорема 2; 3-е изд., § 5, теорема 2).
Обратно, если (/Jxel— конечное разбиение множества I и каждое подсемейство (kJiej^ суммируемо, то семейство (а^фс/ суммируемо.
Пусть G — JJ Gx — произведение семейства отделимых ком
мутативных групп. Для того чтобы семейство (Xi,)i£z точек из G было суммируемым, необходимо и достаточно, чтобы для каждого л g L было суммируемо семейство (ргх^)^/; если sx € Gx — его сумма, то s “ (б\) — сумма семейства (ж,).
Пусть / — непрерывное представление отделимой коммутативной группы G в отделимую коммутативную группу G'. Если (ж,) — суммируемое семейство в G, то (/ (ж,.)) — суммируемое семейство в G’ и
2 7 Ы-f^^-
Пусть (хО и (yt) — суммируемые семейства в группе G с одним и тем же множеством индексов; тогда семейства (ит,) (где п £ Z) и (ж,, 4- z/t) суммируемы и
3 (Mt) - п 5 A, a 3 (^т + <л) — 3 -И + З/А-
Пусть (xn)ncN — последовательность точек в отделимой коммутативной топологической группе G с аддитивной записью;
п
положив sn — У х.„ имеем, обратно, ж0 = я0 и хп = sn — sn_v
для и ^ 1. Рядом с общим членом хп называют пару последова тельпостей (хп), (зп), связанных указанным образом. Ряд с общим членом xlt называют сходящимся, если сходится последовательность (з„); ее предел называется суммой ряда и обозначается 3 жп-
71" О
Для того чтобы ряд с общим членом ха был сходящимся, необходимо, чтобы последовательность (з„) была последовательностью Коши, т. е. чтобы для каждой окрестности V начала в G п+р
существовало такое целое и0, что sn+1, — sn — У, ж, £ У, каковы i- п+ 1
бы ни были целые п ^ п0 и р ^ 0. Если группа G полна, то это необходимое условие также достаточно.
Если ряд с общим членом хп сходится, то, в частности, Иш х„ = 0; но это необходимое условие сходимости ни в коей п-*оо мере не является достаточным, даже еслп G полна (и, например, G =: R).
Ряд с общим членом хп называется коммутативно сходящимся, если для каждой перестановки о множества N целых чисел ^ 0 ряд с общим членом ж„(п) сходится. Для того чтобы это имело место, необходимо и достаточно, чтобы последовательность (жп) была суммируема, и тогда S zn — 3 ^п (гл- Ш> 2-е изд.,
И---0n£N
§ 4, предложение 9; 3-е изд., § 5, предложение 9). Если Е — полное нормированное пространство и последовательность (жп) абсолютно суммируема, то ряд с общим членом хп коммутативно сходится; он называется тогда абсолютно сходящимся. В конечномерном векторном пространстве над К всякий коммутативно схо-
дящийся ряд абсолютно сходится (иначе говоря, эти понятия равносильны); однако существуют ряды сходящиеся, но не абсолютно сходящиеся.
Пусть (/с„) — строго возрастающая последовательность целых чисел ^0; если в группе G ряд с общим членом хп сходится, то ряд с общим членом хкп не обязательно сходится. Однако для каждого т ряд с общим членом хт+п (и = 0, 1, 2, . . .) сходится;
его сумма rm обозначается S ^п и называется т-м остатком ряда п- т
с общим членом x^ гт стремится к 0, когда т стремится к 4- оо.
Пусть (/сп) — строго возрастающая последовательность целых чисел ^0; если ряд с общим членом хп сходится и ип = hn -10000
= S жр, т0 ряд с общим членом ип сходится и S ип - S жп )1=кп-1п—Оп==0
(ограниченная ассоциативность рядов).
0. Пусть G = [[ GK — произведение отделимых коммутатив-
X=L
ных групп. Для того чтобы ряд с общим членом хп 6 G сходился, необходимо и достаточно, чтобы ряд с общим членом рг^п схо~ дился для каждого % Е £; если sx — его сумма, то s = (sj — сумма ряда с общим членом хп.
Пусть / — непрерывное представление отделимой коммутативной группы G в отделимую коммутативную группу G'. Если ряд с общим членом хп Е G сходится, то ряд с общим членом / (хп)
тоже сходится и его сумма равна ( ( § хп).
'.п—0■
Если ряды с общими членами хп и уа сходятся, то сходятся ряды с общими членами кхп (где к — произвольное целое рациональное число) и хп + уП1 причем
S (kXn)=k S ^п и S Un + z/n)^ S ^n-rS Уп.
п= 0п-0п-0п—0п-0
Отметим, наконец, что если (х„) и (уп) —такие две последовательности, что хп — уп для всех, кроме конечного числа, индексов, то сходимость ряда с общим членом (хн) влечет сходимость ряда с общим членом (?;„).
Все предыдущие результаты непосредственно переводятся па мультипликативные обозначения; тогда говорят не о сумми- 22 Н, Бурбаки
руемых, а о перемножаемых семействах, не о ряде с общим членом хп, а о бесконечном произведении с общим множителем хп, не о сходящемся ряде, а о сходящемся произведении.
Пусть А— нормированная алгебра над коммутативным нормированным телом К, и || х || — ее норма. Предположим, что |j Xi! ||^ || х || ||?/ || и Л обладает единичным элементом е. Пусть (aCn)neN — бесконечная последовательность точек из Л; всякое конечное множество / с N совершенно упорядочено порядком из N; положим pj — JJ жп(произведение, равное XitXi2 . . . Х\т,
nZJ■
если ^1«к<т — последовательность индексов п ^J, расположенная в порядке возрастания). Последовательность (хп) называется перемножаемой, если отображение J v-* рл имеет предел по фильтру сечений множества ^- (N) всех конечных подмножеств множества N (фильтрующегося по отношению с); этот предел называется произведением последовательности (х,^ и обозначается JJ хп (или ,n£N
просто ТТ^п)-
п
Пусть Л — полная нормированная алгебра. Если последовательность (asn) перемножаема в Л и имеет своим произведением обратимый элемент из Л, то для каждого е > 0 существует конечное множество Joc: N такое, что для всякого конечного множества Яс N, не пересекающегося с Jo, ||е— рн 11^ е. Обратно, если последовательность (хп) удовлетворяет этому условию, то она перемножаема; при этом, если каждое хп обратимо, то обратимо и Д х„.
п
Если последовательность (х^ перемножаема и имеет своим произведением обратимый элемент из Л, то всякая ее подпоследовательность (asnh) перемножаема.
Пусть Л — полная нормированная алгебра; если (?гп) — абсолютно сходящийся ряд в Л, то последовательность (е 4- ип) перемножаема в А (гл. IX, Приложение, теорема 2); при этом, если каждый из элементов е 4- мп обратим (соотв. пе является делителем нуля), то то же верно для Ц (е 4- и^.
п
Обратно, если Л — нормированная алгебра конечного ранга над полем вещественных чисел R и (е + мп) ■— перемножаемое семейство в Л с обратимым произведением, то ряд с общим членом w.n абсолютно сходится.
Пусть (хп) — произвольная последовательность в норми- п
рованной алгебре Л и рп = Ц xh для каждого п; бесконечным А—О
произведением с общим членом хп называется пара последовательностей (асп) и ^р^-, его называют сходящимся, если последовательность (jpn) сходится в Л; предел этой последовательности называется тогда произведением последовательности (ж„) и обозначается
Р аеп. Если (зеп) перемножаема, то бесконечное произведение с об- п=0
щим членом зеп сходится и Р хп — Ц хп. n=0 n=N
Пусть Л — полная нормированная алгебра. Если бесконечное произведение с общим членом хп С Л сходится и Р хЛ п—О обратимо, то для каждого е > 0 существует такое п0, что п
II И 56а — е II ^ 8 как только п„^ т ^п. Обратно, если после- h=m
довательность (хп) удовлетворяет этому условию, то бесконечное произведение с общим членом хп сходится; при этом, если каждое
хп обратимо, то Р хп обратимо.
Пт=о
В частности, если бесконечное произведение с общим членом хн сходится и Р жп обратимо, то Нт хп = е. При тех же условиях Плг-0П»оо
бесконечное произведение с общим членом абп+„, сходится для
каждого целого т ^ 0; оно обозначается Р зсп и называется /п-м n=m
остатком бесконечного произведения с общим членом хп; он стремится к е, когда т стремится к + оо.
Пусть (&п) — строго возрастающая последовательность целых чисел ^0; если бесконечное произведение с общим членом (жп) kn-1
-сходится и ип = JJ хр, то бесконечное произведение с общим p=hn-i
членом ив сходится и Р ив = Р хп. п-0п«0
Аддитивные группы в R"
Рангом множества А в векторном пространстве Rn (над полем R) называется размерность г (А) ^ п подпространства в Rn, порождаемого множеством А, или-, что то же,— максимальное число векторов, принадлежащих А и образующих свободную систему.
Пусть G — замкнутая подгруппа аддитивной группы Rn; существует наибольшее векторное подпространство V (необходимо замкнутое), содержащееся в G; для каждого векторного подпространства W в Rn, дополнительного к V, пересечение Ж Q G является дискретной подгруппой группы R", a G — прямой суммой V и W П G. Размерность d (б) подпространства V называется размерностью группы G. Если G имеет ранг г и размерность р, то W П G изоморфно дискретной группе Zr-P. Другими словами, существует базис (a^i^t^n пространства R" такой, что at ^G, если 1 ^ i ^г, а< € У, если 1 ^ i ^ р, и G совпадает с множеством рт
векторов 2 hai + S п^р где tt принимают все вещественные 1=1)=р-и
значения, а П)— все целые значения (гл. VII, § 1, следствие 1 теоремы 2); таким образом, существует автоморфизм пространства R”, преобразующий G в группу Rp х Zr~p — прямую сумму векторного подпространства, порождаемого первыми р векторами канонического базиса, и аддитивной подгруппы, порождаемой ^следующими г — р векторами..
В частности, всякая замкнутая подгруппа аддитивной группы R либо совпадает с R, либо сводится к 0, либо имеет вид aZ, где а =£ 0.
Для каждой подгруппы G группы R” обозначим через G* множество всех точек « = («,) из R” таких, что У utxt — целое 1=1
число для каждой точки ас = (xt) £ G; G* есть подгруппа группы R” и называется подгруппой, ассоциированной с G; если G и Н — подгруппы группы Rn такие, что Ga Н, то Н*а G*. Для каждой подгруппы G группы Rn ассоциированная подгруппа G* замкнута; при этом (G)* = G* и (G*)* = G. Если G — замкнутая подгруппа группы R", то г (G*) = п — d^G) и d (G*) = п — г (G). Для каждой пары замкнутых подгрупп G1? Ga группы R" имеем (G\ + G^)* = G* П Gg и (G, П G2)* = G* + G^.
Предыдущие результаты влекут следующую теорему об аппроксимации.
Пусть at = (а^) (1 ^ i ^ т, 1 ^ J ^ п) т точек из R" и 6 = = (by) (1 ^ J ^ п) точка из Rn. Для того чтобы при каждом в > О существовало т целых чисел qt (1 ^ i ^ т) п п целых чисел р} таких, что
I Ч1аИ + 9г<1ц + . . • + qm»mj — Pi — bj | < е (1 С 1 С п\ необходимо и достаточно, чтобы для каждой конечной последовательности п целых чисел (ry) (1 ^ / ^ п) таких, что числа Пп
v atjtj (1 ^ г ^ т)— целые, число 2 ^Л также было целым. 7^1'—4
Это условйе всегда выполняется, если все Ъ} равны нулю. Для того чтобы оно выполнялось для всех точек Ъ = ^Ь^ из Rn, необходимо и достаточно, чтобы не существовало никакой конечной последовательности (гу) п целых чисел, из которых не все равны п
нулю, для которой каждое из т чисел У! ацт} было бы целым.
В частности, пусть 0< (1 ^ i ^ п) — п вещественных чисел, из которых по крайней мере одно иррационально; тогда для каждого е > 0 существуют целое число q и п целых чисел pt (1 ^ i ^ п) такие, что
I q^t — Pt | ^ е (1 < i < п), где по крайней мере одна из левых частей неравенств отлична от нуля.
Через Т обозначается факторгруппа R/Z, называемая Аддитивной) группой вегцественних чисел, приведенных по моду-110 1, или также одномерным тором. Это компактная, связная
и локально связная группа; топологическое пространство Т гомео- морфно окружности ж2 4-у2 = 1, вещественной проективной прямой Pt (R) и факторпространству интервала [0, 1] из R, получаемому при отождествлении его концов.
Всякая отделимая факторгруппа группы R” изоморфна группе вида Rp X Т9, где р 4- q ^ п. Всякая группа вида Rp X Т3 локально изоморфна Rp+9; обратно, всякая связная группа G, локально изоморфная Rn, изоморфна группе вида Rp X Тп~р (О р га).
Всякая замкнутая подгруппа группы Тп изоморфна группе вида Т'1 X F (0 ^ h ^ га), где F — такая конечная коммутативная группа, что наименьшее число циклических подгрупп, прямой суммой которых она является, не превосходит га — h. Всякая отделимая факторгруппа группы Тп изоморфна группе вида Тк (О к ^ га).
В частности, всякая замкнутая подгруппа группы Т, не совпадающая с Т, есть конечная циклическая группа. Всякая отделимая! факторгруппа группы Т, не сводящаяся к нейтральному элементу, изоморфна Т.
Функция /, определенная на Rn и принимающая значения в произвольном множестве Е, называется периодической, если в Rn существует вектор а ^ О такой, что / (ас 4- а) = / (а) для всех я? £ R"; всякая точка aCR”, удовлетворяющая этому соотношению, называется периодом функции /. Множество G этих периодов образует подгруппу в R”, по предположению не сводящуюся к 0.
Если / — непрерывное периодическое отображение R” в отделимое топологическое пространство Е, то группа G его периодов замкнута; если V —наибольшее векторное подпространство, содержащееся в G, то / постоянно на всяком классе по модулю V, так что / определяется своим сужением на всякое подпространство W, дополнительное к V. Поэтому достаточно изучить непрерывные периодические функции с дискретной группой периодов G; если q — ранг G, то / называется q-периодической функцией, а всякая свободная система q векторов, порождающая G,— главной системой периодов функции /. Если (az) и (Ъ^ —■ две главные системы периодов функции /, то каждая из пих получается из другой линейным преобразованием с целыми коэффициентами, определитель которого равен 4-1 или —1.
Пусть G —замкнутая подгруппа группы R” и ф — канониче- ское отображение Rn на KnIG; тогда g *-* g ° ф есть биективное отображение множества всех отображений R'7G в Е на множество всех периодических отображений R" в Е, группа периодов которых содержит G. Если Е — топологическое пространство, то для непрерывности g необходимо и достаточно, чтобы g ° ср было непрерывно.
Всякое непрерывное представление аддитивной группы Rm в аддитивную группу R” есть линейное отображение R’n в R”.
В частности, если G — топологическая группа, изоморфная R, то для каждого элемента a ^G существует, и притом единственное, непрерывное представление /0 группы R в G такое, что /0 (1) = а; если а отлично от нейтрального элемента группы G, то это представление есть изоморфизм R на G.
Пусть V — окрестность нуля в Rn и / — ее непрерывное отображение в топологическую группу G (коммутативную или нет, записываемую мультипликативно) такое, что / Lx + у) = = / (х) f Lu) для каждой пары векторов х € V, у 6 V таких, что •«,+?/ С V. Тогда существует, и притом единственное, представление Rn в G, совпадающее с / во всех точках некоторой окрестности нуля W (гл VII, § 2, предложение 2).
В частности, если / — локальный изоморфизм группы Rn в топологическую группу G, то существует, и притом единственный, строгий морфизм группы R" на открытую подгруппу группы G, совпадающий с / во всех точках некоторой окрестности нуля.
Пусть G — топологическая группа, F — ее дискретная подгруппа и ф — канонический гомоморфизм G на GIF. Для каждого непрерывного представления / группы R" в GIF существует, и притом единственное, непрерывное представление и группы R” в G такое, что / = ф о и. В частности, всякое непрерывное представление / группы R”1 в группу Тп (отождествленную с Rn/Zn) имеет вид фон, где ф — канонический гомоморфизм R" на Т”, а и — линейное отображение R1” в R” (определяемое единственным образом заданием/). В частности, при тп = п = 1, всякое непрерывное представление / группы R в Т имеет вид х I-* ф (аж), где ф — канонический гомоморфизм R на Т, а а —
вещественное число, определяемое заданием /; для того чтобы это представление было строгим морфизмом, необходимо и достаточно, чтобы а =# 0.
Пусть ф (соотв. ф) — канонический гомоморфизм Rn на Т" (соотв. Rp на Тр); для того чтобы / было непрерывным представлением Тп в Тр, необходимо и достаточно, чтобы существовало линейное отображение и пространства R” в Rp такое, что / о ф = = ф ° и и и (Z")d Zp. Для того чтобы / было изоморфизмом Т” в Тр, необходимо и достаточно, чтобы и было биективным линейным отображением R” на Rp и все инвариантные множители подгруппы и (Z71) относительно Zp были равны 1.
В частности; всякий изоморфизм группы Т” в себя является ее автоморфизмом, получаемым факторизацией из линейного отображения и пространства R” на себя, сужение которого на Zn является автоморфизмом этой группы. Это означает еще, что элементы матрицы преобразования и относительно канонического базиса пространства Rn должны быть целыми, а се определитель равен 4-1 или —1.
В частности, единственные изоморфизмы Т в себя — это тождественное отображение и симметрия х ►-* —х. .
И. Топологическая группа G, в которой существует окрестность нейтрального элемента, гомеоморфная открытому интервалу из R, локально изоморфна R (гл. V, § 3, теорема 1). Это свойство не распространяется на группы Rn с п > 1.
В частности, всякая связная группа G, в которой существует окрестность нейтрального элемента, гомеоморфная открытому интервалу из R, изоморфна R или Т.
Например, мультипликативная группа R* вещественных чисел >0 изоморфна аддитивной группе R; для каждого а > 0 единственное непрерывное представление /0 группы R в R* такое, что fa (1) = а, обозначается ах; при а Ф 1 это — изоморфизм R на R*; обратный изоморфизм обозначают тогда 1ода х.
Точно так же мультипликативная группа U всех комплексных чисел с абсолютным значением 1 изоморфна аддитивной группе Т. Через е (х) обозначается непрерывное представление R на U. для которого в (1/4) = V, его главный период равен 1, и всякий строгий морфизм R на U имеет вид х *-* е (х/а), где а =# 0.
Пусть Е — полная нормированная алгебра над полем R, обладающая единичным элементом, и /— непрерывное представление аддитивной группы R в мультипликативную группу G обратимых элементов алгебры Е. Тогда / дифференцируемо в каждой точке из R и/' (ж) — /(ж)/' (0) (Книга IV, гл. Ill, § 1, теорема 1).
Этот результат приводит к следующему определению чисел е и л: е — зто единственное число а > 0, для которого производная функции ах равна а”; с другой стороны, е* {х) — kie (ж), где к— некоторое число >0, и полагаем л — к/2.
Мультипликативная группа С* всех комплексных чисел ^0 есть топологическая группа, изоморфная R X Т; всякий строгий морфизм R2 на С* имеет вид (ж, у) *-> e“+foe (уж + бу), где а, Р, у, б — вещественные числа, для которых аб — ру ^ 0. Такой строгий морфизм можно рассматривать как отображение z ►-* / (z) поля С в себя (z = х 4- iy); в частности, строгий морфизм х — 4- гу*-* ехе (у/2л) обозначается ег или exp z. Всякий строгий морфизм R2 на С*, являющийся дифференцируемым отображением С в С, имеет вид z *-► exp (az), где а — некоторое комплексное число. Поэтому отображение z ►-* exp z есть единственный дифференцируемый строгий морфизм С в С*, сводящийся к ех на вещественной оси.
Функциональные пространства
Пусть Е — произвольное множество, F — равномерное пространство, не сводящееся к одной точке, ^ (Е; F) — множество всех отображений Е в F и © — непустое множество подмножеств, множества Е. Для каждого Л £ © и каждого окружения V для F пусть W (А, V) — множество тех пар (и, у) отображений Е в F, для которых (и (ж), и (ж)) 5 V при всех х £ А. Фильтр, порождаемый множествами W (Л, V) в & (Е, F) х ^ (Е X F), когда А пробегает g, a F — фильтр окружений для F, является фильтром окружений некоторой равномерной структуры в ^ (Е, F), которая называется равномерной структурой равномерной сходимости на множествах из @; топология, порождаемая этой структурой, называется топологией равномерной сходимости на множествах из ©. Для того чтобы фильтр Ф (соотв. последовательность (un)) в ^ (Е, F) сходился в этой топологии к и £ ff (Ji, F), необходимо и достаточно, чтобы для каждого множества Л £ © и каждого
окружения V для F существовало множество М £ Ф (соотв. целое число п^ такое, что (и (ж), v (ж)) 5 V для всех х £ А (соотв. (ип (ж), v (ж)) £ V для всех х ^ Л), каково бы ни было и € М (соотв. каково бы ни было к ^ п^); тогда говорят, что Ф (соотв. (un)) равномерно сходится к и на всяком, множестве А 6 ©• Отсюда сразу получается определение ряда, равномерно сходящегося на всяком множестве из S, и семейства, равномерно суммируемого на всяком множестве из S, если F наделено коммутативным и ассоциативным законом композиции, записываемым аддитивно.
Важнейшие примеры структур равномерной сходимости таковы:
При ем за © множество всех конечных подмножеств множества Е; соответствующая равномерная структура (соотв. топология) называется тогда, равномерной структурой (соотв. топологией) простой сходимости; множество ^ (Е, F), наделенное этой равномерной структурой, есть не что иное, как равномерное пространство Fb. Если фильтр Ф в <F (Е, F) сходится к v в равномерной структуре простой сходимости, то говорят, что он просто сходится к и.
Примем за © множество, образованное одним Е; соответствующая равномерная структура (соотв. топология) называется тогда равномерной структурой (соотв. топологией) равномерной сходимости; говорят, что фильтр Ф, сходящийся к и в этой топологии, равномерно сходится к и.
Пусть Е — топологическое пространство; примем за S множество всех компактных множеств из Е; соответствующая равномерная структура (соотв. топология) называется равномерной структурой (соотв. топологией) компактной сходимости. Если Е компактно (соотв. дискретно), эта равномерная структура совпадает с равномерной структурой равномерной (соотв. простой) сходимости.
Если Si и S2 — множества подмножеств множества Е такие» что Si с: S2> то равномерная структура равномерной сходимости на множествах из Si мажорируется равномерной структурой равномерной сходимости на множествах из ®4.
Пусть ,^g (Е, F) (или просто ^@) — равномерное пространство, получаемое наделением ^а (Е, Е) равномерной структурой
равномерной сходимости на множествах из ^. Для того чтобы было отделимо, необходимо и достаточно, чтобы F было отделимо и каждый элемент из Е принадлежал хотя бы одному множеству из ©. Тогда подпространство F' пространства Я7© (Е, F). образованное всеми постоянными отображениями Е в F, замкнуто и изоморфно F. Если пространство ^^ отделимо, то для сходимости фильтра Ф в нем необходимо и достаточно, чтобы Ф был фильтром Коши и просто сходился; для того чтобы Я7 % было полным, необходимо и достаточно, чтобы F было полным; всякое множество Н с: ,<Г@, полное в равномерной структуре простой сходимости, есть полное подпространство пространства Я7^-
Пусть (ДХег — семейство отклонений, определяющее равномерную структуру пространства F. Для каждого i g Z, каждого Л С S и каждой пары (м, у) отображений Е в F положим gi А (и, у) = sup Д (и (ж), у (ж)); функции gL А являются откло- хел
нениями на Я7 (Е, F), определяющими равномерную структуру равномерной сходимости на множествах из ®.
В частности, если F — метрическое пространство, структура равномерной сходимости в я7 (^Е, F) определяется единственным отклонением б (и,- у) = sup d (и (ж), и (ж)) (где d — расстояние
пространства Е) и потому метризуема. Пусть ® (Е, F) — подпространство пространства Я7 (Е, F), образованное всеми ограниченными отображениями и: E->F(r. с. для которых и(Е)— ограниченное множество в Е); .^ (Е, Е) открыто-замкнуто в Я7 ЕЕ, F), и сужение отклонения 6 (и, и) на $ х $ есть расстояние в ®\ для того чтобы % (Е, F) было полным, необходимо и достаточно, чтобы F было полным.
Если F — нормированное пространство над нормированным телом К, то ® (Е, F) — векторное пространство над К, и || и || — = 6 (0, и) есть норма в ^ (Е, Е). Ряд с общим членом ип называется нормально сходящимся, если 2 И un II < + °о ; когда Е полно, п-а ■
такой ряд равномерно сходится на Е.
Если F — нормированная алгебра над нормированным полем К, то ^ (Е, F) — алгебра над К и || uv || ^ || u [| || v ||, так что .^ (Е, F) — нормированная алгебра над К.
Пусть Е — топологическое пространство, F — равномерное пространство и % (Е, F) — подпространство пространства ^ (Е, F), образованное всеми непрерывными отображениями Е в F. Если <3 — такое множество подмножеств множества Е, что всякая точка х £ Е является внутренней хотя бы для одного множества из ®, то f6 (Е, F) замкнуто в (Е, F); другими словами, всякая функция, являющаяся равномерным пределом непрерывных функций на каждом множестве из ®, непрерывна (гл. X, § 1, теорема 2). Для того чтобы подпространство V (Е, F) пространства ^■^(Е, F) было отделимо и полно, необходимо и достаточно, чтобы F было отделимо и полно.
Предыдущее условие на © выполнено, в частности, в следующих двух елучаях: а) <5 сводится к одному Е (равномерная структура равномерной сходимости); б) Е локально компактно и © множество всех его компактных подмножеств (равномерная структура компактной сходимости). Напротив, оно не выполняется, если © — множество всех конечных множеств из Е и Е не дискретно (равномерная структура простой сходимости), ибо простой предел непрерывных функций не обязательно непрерывен.
Пусть А — всюду плотное подмножество топологического пространства Е. В множестве ^ (Е, F) равномерные структуры равномерной сходимости на Е и равномерной сходимости на А совпадают. Отсюда вытекает, что если S — какое-либо множество подмножеств из Е, a S' образовано их замыканиями, то равномерная структура равномерной сходимости на множествах из (у и равномерная структура равномерной сходимости на множествах из ©' индуцируют в ^ (Е, F) одну и ту же равномерную структуру- '
Если наделить множество ® (Е, F) топологией равномерной сходимости, то отображение (и, ж)*-* и (х) произведения *8 (Е, F) х X Е в F непрерывно.
Пусть Е — локально компактное пространство, F — отделимое равномерное пространство и И — непустое множество в % (Е, F). Для того т»тобы топология У в И была такова, что
отображение (и, ж) н-* и (ж) произведения II х Е в F непрерывно, необходимо и достаточно, чтобы FT мажорировала топологию, индуцируемую в II топологией компактной сходимости (гл. X, § 3, следствие 1 теоремы 3).
Если Е локально компактно, то топология компактной сходимости в ^ (Е, Е) зависит лишь от топологии пространства F, а не от его равномерной структуры. Этот результат можно уточнить следующим образом: пусть й ^К, U) для каждой пары (A, U'), образованной компактным множеством К из Е и открытым множеством IJ из F, означает множество всех непрерывных отображений Е в F, для которых и (К) cl U; тогда множества й (А, О') порождают топологию компактной сходимости в 1- (Е, I") (гл. X, § 3, теорема 2).
Если Е — локально компактное пространство, a F — отделимое (не обязательно равномеризуемое) топологическое пространство, то топологию, порождаемую в *6 (Е, F) определенными выше множествами й (A, U), также называют топологией компактной сходимости.
Пусть Е — топологическое пространство, Е' — локально компактное пространство, F — отделимое топологическое пространство и / — отображение произведения Е х Е* в F. Пусть /е для каждого х ^Е означает отображение у н-* / (х, у) пространства Е' в F. Для непрерывности / на Е X Е* необходимо и достаточно, чтобы отображение /к было непрерывно на Е' при всех х £ 6 Е, а отображение х t-* fx пространства £ в ^ (Е', F) было непрерывно при наделении ^ (Е', F) топологией компактной сходимости (гл. X, § 3, теорема 3).
Предположим, кроме того, что и Е локально компактно, и обозначим через / отображение х*-* fx пространства Е в ^ (Е', Е); тогда при наделении множеств $ (Е', F), '6 (Е х Е', F) и $ (А, ^(А', А)) топологией (соотв. равномерной структурой, если F — равномерное пространство) компактной сходимости отображение /*-*/ является изоморфизмом F ^Е х Е', F) на -в (Е, ^ (£', Е)).
Если при тех же предположениях ^ (Е, Е'), '6 (Е1, F) и ^ (Е, F) наделены топологией компактной сходимости, то отображение (и, и) *-* и о и произведения $ (Е, Е') х $ (Е', Е) в ^ (Е, Е) непрерывно.
Пусть Е — топологическое пространство и F — равномерное пространство. Множество Н с. ^ {Е, F) называется равностепенно непрерывным с точке х0 5 Е, если для каждого окружения V для F существует окрестность U точки х0 такая, что (и (ж0), и (ж)) 5 С V, каковы бы ни были х £ U ни ^ II. II называется равностепенно непрерывным множеством, если опо равностепенно непрерывно в каждой точке из Е. Ясно, что если II равностепенно непрерывно в точке х0 (соотв. равпостененно непрерывно), то всякая функция из И непрерывна в точке х0 (соотв. непрерывна на Е).
Пусть Е и F— равномерные пространства; множество Нс с # (^Е, F) называется равномерно равностепенно непрерывным, если для каждого окружения У равномерной структуры в F существует окружение W равномерной структуры в Е такое, что (ж, у) £ W влечет (и (ж), и (у)) С V для всех и С II. В этом случае функции из II равномерно непрерывны на Е. Очевидно, всякое равномерно равностепенно непрерывное множество равностепенно непрерывно; но обратное неверно (см. п° 16).
Пусть Е и F — метрические пространства, d — расстояние на Е, d' — расстояние на F, к и а — числа >0. Множество всех отображений и: Е -+F, для которых d' (и (ж), и (у))^ к (^ (ж, у))“, равномерно равностепенно непрерывно. В частности, множество всех изометрических отображений Е в F равномерно равностепенно непрерывно. Если Н — некоторое множество числовых функций, определенных и дифференцируемых на интервале /с R и таких, что | и* (х) | ^ к для всех и С II и х 5 I, то Н равномерно равностепенно непрерывно.
Пусть С — топологическая группа, F — равномерное пространство, /— равномерно непрерывное отображение G, наделенного левой равномерной структурой, в F nfa для каждого а £ G — отображение ж >-*■/ (аж) группы G в F. Тогда множество всех отображений /0 равномерно равностепенно непрерывно.
Далее Е будет обозначать топологическое пространство или равномерное пространство, смотря по тому, идет ли речь о равностепенно непрерывных или равномерно равностепенно непрерывных множествах.
. Пусть F — нормированное векторное пространство над нормированным телом К, Н — множество в ^ (Е, F), равностепенно непрерывное в точке ж0 (соотв. равномерно равностепенно
непрерывное), и А— произвольное число >0; множество Нн всевозможных линейных комбинаций 2 ctui функций и{ £ Я, у которых 2 | сг | ^ А, равностепенно непрерывно в точке ж0 (соотв. равномерно равностепенно непрерывно) ,о
Пусть II — множество конечных числовых функций на Е, равностепенно непрерывное в точке i0 (соотв. равномерно равностепенно непрерывное). Множество всех верхних и нижних огибающих его конечных подмножеств равностепенно непрерывно в точке х0 (соотв. равномерно равностепенно непрерывно).
Пусть Я-—множество в /Я" (Е, F), равностепенно непрерывное в точке х0 (соотв. равномерно равностепенно непрерывное). Его замыкание Н в пространство jF (Е, F), наделенном топологией простой сходимости, равностепенно непрерывно в точке ж0 (соотв. равномерно равностепенно непрерывно).
°Пусть Н — равностепенно непрерывное множество конечных числовых функций на Е (соотв. отображений Я в С) относительно аддитивной равномерной структуры в R (соотв. С). Если у — отображение Е в R (соотв. С), принадлежащее замыканию Я в топологии простой сходимости, то р непрерывно на Е, а множества и (+ оо) и v (— оо) (соотв. у (оо)) открыто-замкнуты. В частности, если Е связно, то у (.г) либо конечно для всех х £ Е, либо постоянно на Я и равно 4- оо или — оо (соотв. оо).
Предыдущее предложение применимо, в частности, к верхней и нижней огибающим множества Я, когда Я состоит из вещественных функций.о
Пусть Я — множество в ,F (Е, F), равностепенно непрерывное в точке х0 £ Е. При наделении Н топологией простой сходимости, отображение (и, х) ь-> и (ж) произведения Я X Я в Я непрерывно в точке (и0, х0) для каждого wn $ Я.
Для того чтобы множество Я с: # (Я, Я) было равномерно равностепенно непрерывно, необходимо и достаточно, чтобы отображение (и, ж) н-> и (х) произведения Я X Я в Я было равномерно непрерывно при наделении Я равномерной структурой равномерной сходимости. .
Пусть Я — топологическое (соотв. равномерное) пространство, Я и G — равномерные пространства и Я — равностепенно
непрерывное (соотв. равномерно равностепенно непрерывное) множество в # (/', G). При наделении И, ^ (Е, F) и % (^Е, G) топологией простой сходимости (соотв. равномерной структурой равномерной сходимости) отображение (и, и)*-* и о и произведения 11 х X ^ (£, F) в £ (Е, G) непрерывно (соотв. равномерно непрерывно)
Пусть Е — равномерное пространство и И — равностепенно непрерывное (соотв. равномерно равностепенно непрерывное) множество гомеоморфизмов Е на себя. При наделении II и И"1 топологией простой сходимости (соотв. равномерной структурой равномерной сходимости) отображение и ^ и-1 пространства Н"* на И непрерывно (соотв. равномерно непрерывно).
Пусть Е — равномерное пространство и II — равностепенно непрерывная (соотв. равномерно равностепенно непрерывная) группа гомеоморфизмов Е на себя. Топология простой (соотв. рав номерной) сходимости согласуется со структурой группы И (гл.Х, 5 3, следствие предложения 10).
Пусть Н — равностепенно непрерывное множество в % (5, F) и А — всюду плотное множество в Е. В множестве II равномерная структура простой сходимости на Л и равномерная структура простой сходимости на Е совпадают (гл. X, § 2, тео рема 1).
Пусть Е — компактное пространство и F — равномерное пространство. Всякое равностепенно непрерывное множество Н в *6 (.Е, F) равномерно равностепенно непрерывно (гл. X, § 2, следствие 2 предложения 1). При этом в Н равномерные структуры простой сходимости и равномерной сходимости совпадают (гл. X, § 2, теорема 1). Поэтому всякий фильтр в II, просто сходящийся к и0, равномерно сходится к и0. Замыкание множества II в V (Et F), наделенном топологией равномерной сходимости, совпадает с замыканием II в ^ ^Е, F), наделенном топологией простой сходимости.
Пусть Е — топологическое пространство, F — равномерное пространство и Я — равностепенно непрерывное множество в F ЦЕ, F). В Н равномерные структуры простой сходимости и компактной сходимости совпадают. Если при этом Е локально компактно, то замыкание множества Я в ^ (Е, F), наделенном топологией компактной сходимости, совпадает с замыканием Я в З7 кЕ, F), наделенном топологией простой сходимости.
Пусть Е — локально компактное пространство, F — отделимое равномерное пространство и Н — некоторое множество непрерывных отображений Е в F. Если FT — такая топология в Н\ что Я, наделенное этой топологией, компактно, а отображение (и, ж) ь-> и (ж) произведения Н X Е в F непрерывно, то совпадает с топологией компактной сходимости.
Пусть Е — локально компактное пространство, F — отдели ■ мое равномерное пространство и И — некоторое множество непрерывных отображений Е в F. Для того чтобы И было относительно компактно в пространстве % (Е, Я), наделенном топологией компактной сходимости, необходимо и достаточно, чтобы И было равностепенно непрерывно и для каждого х € И множество И (ж) (всех и (ж), где и пробегает Я) было относительно компактно в F (теорема Аскола') (гл. X, § 2, следствие 3 теоремы 2). Если эти условия выполнены, то для каждого относительно компактного множества А из Е множество Я (.4) = U Я W относительно
компактно в F.'
В случае, когда F полно, второе условие предыдущей теоремы может быть заменено следующим: достаточно, чтобы Я (ж) было относительно компактно bF для'кзждой точки ж какого-либо всюду плотного множества А с Е.
“Кроме того, если F есть пространство II", а Е связно, то достаточно ограниченности Я (ж0) в F для какой-нибудь точки ж0 £ Е, чтобы множество Я (ж) было ограниченно в F для каждой точки ж $ Я (разумеется, в предположении, что Н равностепенно непрерывно) .о
Пусть G — группа гомеоморфизмов локально компактного пространства Е на себя. Предположим, что в множестве 1? (Е, Е), наделенном топологией компактной сходимости, существует такая окрестность V тождественного отображения е, что Я = V Л ^ симметрично в G и относительно компактно в $ (Е, Е). При этих условиях:■
Множество G пределов в ^ (Е, Е) тех фильтров Ф в G, для которых Ф и Ф-1 сходятся в $ (Е, Е), есть группа гомеоморфизмов пространства Е, содержащая (компактное) замыкание И множества Я в $ (Е, Е), и Я есть окрестность е в G; •
23 И, Бурбаки
35 435 4СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВСВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ5 1$
35 4
35 4
СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ
СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ
Топология компактной сходимости в G согласуется со структурой группы; наделенная этой топологией, G является локально компактном группой, a G — всюду плотная ее подгруппа (гл. X, § 3, теорема 4).
Заметим, что G содержится в замыкании G группы G в пространстве г6 (7?, Е), ио вообще не совпадает с ним; однако если G компактна, то G — G.
Пусть Е — компактное пространство и II — некоторое множество непрерывных (и конечных) числовых функций, определенных на Е. Говорят, что непрерывная числовая функция / на Е равномерно аппроксимируема функциями из 7/, если / принадлежит замыканию множества Н в пространстве $ (Е, R), наделенном топологией равномерной сходимости; равномерная аппроксимируемость каждой функции / 6 ? (Е, R) функциями из II означает, что II всюду плотно в 4? (7?, В). Если это имеет место, то для каждого нормированного пространства F над полем 7? множество всех линейных комбинаций ^арц функций из Н с коэффициентами из F всюду плотно в пространстве $ (7?, 7*’), наделенном топологией равномерной сходимости.
Пусть Е — компактное пространство и II — множества непрерывных числовых функций на Е, фильтрующееся по отношению 5$ (соотв. ^). Если верхняя (соотв. нижняя) огибающая / множества II конечна и непрерывна па Е, то / равномерно аппроксимируема функциями из Н; другими словами, фильтр сечений множества II равномерно сходится к / {теорема. Дини) (гл. X, § 4, теорема 1).
В частности, если верхняя (соотв. нижняя) огибающая / возрастающей (соотв. убывающей) последовательности (un) непрерывных числовых функций на компактном пространстве Е конечна и непрерывна, то (н„) равномерно сходится к /.
Говорит, что множество II отображении множества Е в множество F отделяет элементы множества Л а Е (или являет- зя отделяющим множеством для элементов из /1), если для каждых цвух различных элементов ж, у из А существует такое / £ 77, чта Цх) Д= j (у). Например, если Е — вполне регулярное прострав-
ство, то множество всех непрерывных отображений Е в [0, 1| отделяет точки пространства Е.
Пусть Е — комиактпоо пространство и И — такое векторное подпространство пространства ¥ (Е, R), что: 1° все постоянные функции принадлежат Н; 2° и £ Н влечет \ и \ £ Н; У II отделяет точки пространства Е. При этих условиях всякая непрерывная числовая функция па Е равномерно аппроксимируема функциями из II (гл. X, § 4, теорема 2).
Пусть II — некоторое мпожестЪо числовых функций, определенных на множестве Е; числовая функция, определенная на Е, называется полиномом (соотв. полиномом без постоянного члена) относительно функций из IE если опа илгеет вид х*-> g (Д (ж), . . . ...,/„ (ж)), где все ft принадлежат IE a g — полином (соотв. полипом без постоянного члена) с вещественными коэффициентами от п неизвестных (где п произвольно).
Пусть II — некоторое множество непрерывных числовых функций-на компактном пространстве Е, отделяющее его точки. Тогда всякая непрерывная числовая функция на Е равномерно аппроксимируема полиномами относительно функций из II {теорема Вей- ерштрасса — Стоуна) (гл. X, § 4, теорема 3). Другими словами, всякая подалгебра в V, {Е, И), содержащая постоянные функции и отделяющая точки из Е, всюду плотна в V {Е, R).
В частности, пусть (Ki)^ — семейство компактных интервалов из R, К — Ц Kt — произведение этих интервалов и В — его
компактное подпространство. Всякая непрерывная числовая функция на Е равномерно аппроксимируема полиномами относительно координат ж, ~ рцж.
Пусть {E^i — семейство компактных пространств и Е = -- IJ Ei — его произведение. Всякая непрерывная числовая
функция на Е равномерно аппроксимируема суммами конечного числа функций вида (xt) >-► Д иа {х^, где J — (произвольное) ricj
конечное множество индексов из /, а иа для каждого a £J — непрерывная числовая функция па Еа (гл. X, § 4, теорема 4).
23*
356356СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВСВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ6 18
356
356
СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ
СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ
Пусть Е — компактное пространство, А —. замкнутое множество в Е, и II — некоторое множество непрерывных числовых функций на Е, отделяющее точки множества QA и такое, что А совпадает с множеством тех точек из Е, в которых обращаются в нуль все функции из И. При этих условиях всякая непрерывная числовая функция па Е, равная нулю на А, равномерно аппроксимируема полиномами без постоянного члена относительно функций из Н. . ■
Пусть Р — множество всех периодических непрерывных отображений R"* в С, группа периодов которых содержит Z”1. Всякая функция из Р равномерно аппроксимируема на Rm тригонометрическими полиномами от т переменных, т. е. линейными комбинациями с комплексными коэффициентами функций вида
. (^i, • • м ^т)^*е УгуХх Д-h^ + . . . A-h^x^, .
где hi — целые рациональные числа (напомним, что в ^х) = е2л“). . 27. Пусть Е — компактное пространство. Для того чтобы пространство *6 (Е, R), наделенное топологией равномерной сходимости (в которой оно метризуемо), было пространствомечетного типа, необходимо и достаточно, чтобы Е было метризуемо.
Пусть Е — локально компактное пространство, счетное в бесконечности. Для того чтобы пространство ^ (5, R), наделенное топологией компактной сходимости (в которой оно метризуемо), было пространством счетного типа, необходимо и достаточно, чтобы Е было метризуемо.
СЛОВАРЬ*)
. Введение
Искусство рассуждать сводится к хорошо разработанному .язику... Слово должно порождать идею; идея должна выражать дело; это три оттиска одной и той же печати; и так как идеи сохраняются и передаются словами, то нельзя ни совершенствовать язык, не совершенствуя науку, ни — науку, не совершенствуя язик, и сколь бы достоверны ни были факты, и как бы правильны ни были порожденные ими идеи, они все же вызвали бы ложные представления, не обладай мы точными выражениями для их передачи... •
Мы старались сохранить за всеми предметами названия, которые они носят в обиходе; мы позволяли себе изменять их только в двух случаях: во-первых, для предметов, недавно открытых и вовсе не получивших еще названия или по крайней мере приобретших его лишь недавно, так что их название еще ново и не санкционировано общим признанием; во-вторых, когда названия, принятые в древности или в настоящее время, порождают, как нам кажется, очевидным образом, ложные представления, могущие привести к смешению выражаемых ими предметов с другими, обладающими иными или даже противоположными свойствами... Итак, мы старались выражать новыми названиями наиболее общие и характерные свойства предмета и предпочли не обременять память начинающих, которая с трудом удерживает новое слово, если оно совершенно лишено смысла, и приучать их с самого начала не допускать никаких слов, нс связывая их с каким-либо понятием.
Разумеется, невозможно выполнить эти различные намерения, не задев е какой-то мере сложившихся привычек и не приняв наименований, которые па первый взгляд покажутся грубыми и варварскими, но мы подметили, что ухо быстро привыкает к новым словам, особенно когда они связаны с общей системой и обоснованны ...
Когда мы опубликовали наш «Essai de Nomenclature chimique», нас упрекали в переделке языка, на котором говорили наши учителя, который они
♦) Воспроизведен из первого французского издания' главы X, вышедшего в 1949 г. Некоторые термины устарели п представляют лишь исторический интерес. Ред.
прославили и передали нам; но при этом упускали на виду, что сами Бергман и Макнер добивались такой реформы. Ученый, профессор ив Упсалы, М. Бергман писал М. Деморво в последние годы своей жизни: ч11е давайте пощады ни одному неподходящему наименованию; те, кто уже знает, всегда поймут; те, кто еще не знает, поймут позже».
.A. L. Lavoisier
Traite 616mentaire tie Cbhnie, Diseours preliminaire (Oeuvres, t. 1, Paris, 1864)
* ♦ ♦
Жирными прописными буквами набраны термины, определенные в книге III настоящего трактата; каждый из них сопровождается ссылкой па главу, параграф и пункт, где он введен. Остальные слова представляют собой либо перевод терминов, определенных в этой книге, на язык другой терминологии (французской или иностранной), либо термины, означающие понятия, тесно связанные с изучаемыми в книге, по пе рассматриваемые в основном тексте; в этом последнем случае понятие тут же определяется с помощью терминов, введенных в тексте книги. Немецкие и английские термины, весьма близкие по написанию к французским, имеющим тот же смысл, опущены (например, слово «continuous» или AompaW). Термита, стоящие во главе абзаца и фигурирующие затем в различных выражениях, не повторяются каждый раз, а заменяются знаком тире. Наименования, состоящие из нескольких слов, приводятся вообще лишь на первую букву одного из них (например, шрасе localement compact» на букву L, по пе па буквы Е и С). Слово, не сопровождаемое никакой ссылкой, имеет один и тот же смысл во всех основных сочинениях, шшиеапных на языке, к которому оно принадлежит; если это не так, то отмечается автор (или авторы), у которого слово имеет указанный смысл. Для наиболее часто встречающихся ссылок приняты следующие сокращения:
(Л—И) Р. Л 1 е х а п <1 г о f f, И. II о р f, Topologic I, Berlin (Springer), 1935. (С) С. С a r a t h о о d о r y, Vorlesungeii fiber reelle Fmiktionen, 2-е изд.,
Leipzig — Berlin (Teubner), 1927.
M. F r 6 c h e t, Les espaces abstraits, Paris (Gauthier-Villars), 1928. •(H) ■ l1'. И a u s d о г f f, Mengenlehre, Berlin (de Gruyter), 1927. (Русский перевод: Ф. Хаусдорф, Теория множеств, ГТТИ, 1934).
(Но) Е. W. И о b s о n, The theory of functions of a real variable, t. 1, 3« ed., Cambridge, 1927.
C. Kuratowski, Topologic, Warszawa, 1933. (Русский перевод: К. К у p а т о в с к и й, Топология, т. 1, «Мир», М., 1960, т. 2, «Мир», М., 1969).
S. L е f s с h е t z, Algebraic Topology, Ain. Math. Sec. Coll,, vol. XXVT1, New York, 1942. (Русский перевод: С. Лефшец, Алгебраическая топология, М., ИЛ, 1949).
(N) М. И. A. New m а п, Topology of plane sets, Cambridge, 1939.
(Р) L. Р о II t г j a g i n, Topological groups, Princeton, 1939. (Русский оригинал: Ji. С. Понтрягин, Непрерывные группы, над. 2-е, М., Гостехиздат, 1954; над. 3-е, «Наука», 1973.
(W) G. Т. W h у b и г п, Analytic Topology, Am. Math. Soc. Coll, vol. XXVIII, New York, 1942.'
A
Abgeschlossene Abbihlung (замкнутое отображение; ем. Ferinee (application);— Hu lie einer Menge (замыкание множества); -- Menge (замкнутое'мпожество).
Abgeschlossener Katun (absokit —, H —) (А-li): отделимое пространство E такое, что для любого его гомеоморфизма / и отделимое пространство К множество / (7?) замкнуто в F; — (n-) (А—И): нормальное пространство Е такое, что для любого его гомеоморфизма / в нормальное пространство F множество / (7-7) замкнуто в F; (г-) (Л— П): регулярное пространство Е такое, что для любого его гомеоморфизма / в регулярное пространство К множество / (/-,') замкнуто в F.
Ableitung einer Menge (производное множество, см, D6riv6 (ensemble)).
ABSOLUMENT CONVERGENT (PRODUIT INFIX!) (абсолютно сходящееся бесконечное произведение) вещественных чисел: IV, 7, (>; —- комплексных чисел: VIII, 3, 3.
ABSOLUMENT CONVERGENTE (SERIE) (абсолютно сходящийся ряд) вещественных чисел: IV, 7, (>; — точек из Rn: VII, 3, 2; — в нормированном пространстве: IX, 3, 6.
ABSOLUMENT SOMMABLE (FAMILLE) (абсолютно' суммируемое семейство) в нормированном пространстве: IX, 3, б.
Abweichung zweier Mengcn Л, В in eineui metrischen Raimi (отклонение множеств Л, В в метрическом пространстве) (Л —■ II): большее из чисел snp d (я, В) и sup d (у, A).
xgAуУ$
Abzahlbarkeitsaxiomc (аксиомы счетности; см. Denombralnlit6 (axiomes de)).
Accessible (espace) (достижимое пространство) (F): топологическое пространство, в котором всякое одноточечное множество замкнуто. Нем.: ТуВапт (^-пространство). Англ.: Г^ярасе.
Accumulation (point d’) (предельная точка) множества: я есть предельная точка множества Л, если любая ее окрестность содержит точку из Д, отличную от а; иначе говоря, если х — точка прикосновения для Л f;С{.г} (см. ADHERENCE). Нем.: Haufungspunkt einer Mongo. Англ.: limit-point of a set IN, W).
ACHEVEE (DRO1TE NUMERIQUE) (расширенная числовая прямая); IV, 4, 2.
Acute angle: angle aigu (острый угол).
ADHERENCE d'nil ensemble (замыкание множества): I, 1,6.13 прежней терминологии: fermeture d’un ensemble. Нем.: Abgeschlossene Hiille einer Menge. Англ.: closure of a set. P Понятие замыкания множества довольно поздно сделалось одним из основных понятий топологии. До Хаусдорфа в качестве первоначальных рассматривались ио Кантору понятия ире-
дельной точки и производного множества. Во французском языке слово «adherence» предпочтительное старого термина «fermeture», поскольку позволяет использовать соответствующее прилагательное «adherent» для точки, принадлежащей замыканию множества.
ADHERENCE (VALEUR D*) (предельная точка) функции по фильтру: I, 7, 3; — последовательности: I, 7, 3. В прежней терминологии (для последовательностей в пространстве, всякая точка которого обладает счетной фундаментальной системой окрестностей): предел подпоследовательности дайной последовательности.
ADHERENT (POINT) (точка прикосновения) множества: I, 1, 6;— базиса фильтра: I, 7, 2. Нем.: Beriihrangs punkt einer Menge (A—H). Англ.: point of closure (N).
AIGU (SECTEUR ANGULAIRE) (острый угловой сектор): VIII, 2, 5. Нем.: spitzer Winkel. Апгл.: acute angle.
Allgemeine Metrik (A—H) (общая метрика): функция на Е X Е с конечными числовыми значениями > 0
Allgemein-mefrisierharer Raum (А—Н): «Общее топологическое пространство» Е в смысле (А—Н) (см. TOPOLOG1QUE (ESPACE)), в котором существует «Общая метрика» (см. Allgemeine Metrik) / такая, что Х.для любого X с: Е есть множество тех точек у £ Е, для которых inf / (я, у) = 0.
ALTERNEE (SERIE) (знакочередующийся ряд): IV, 7, 0.
AMPLITUDE (амплитуда) комплексного числа: VIII, 2, 2. В прежней терминологии: аргумент комплексного числа.
ANGLE (угол) между парой полупрямых: VIII, 2, 2; — между парой прямых: VIII, 2, 6. Нем.: Winkel. Англ.: angle.
APPROXIMATION UNIFORME (равномерная аппроксимация) непрерывной числовой функции непрерывными функциями из данного множества: X, 4,1.
Argument (аргумент) комплексного числа (см. AMPLITUDE).
ASSOClE (ANNEAU SEPARE) (отделимое кольцо, ассоциированное с топологическим кольцом); Ш, 6, 4; — (FILTRE ElEMENTAIRE) (элементарный фильтр, ассоциированный с последовательностью): I, 6,8;— (GROUPE SEPARE) (отделимая группа, ассоциированная с топологической группой): III, 2, 6; — (SOUS-GROUPE) (подгруппа, ассоциированная с подгруппой в Rn): VII, 1, 3.
ASSOClEE (STRUCTURE UNIFORME SEPAREE) (отделимая равномерная структура, ассоциированная с равномерной структурой): И, 3, 8; — (TOPOLOGIF.) (топология, ассоциированная с фильтром); I, 6, 5.
Aiisserer Punkt einer Menge: точка, внешняя к множеству.
Automorphic (автоморфизм) топологического пространства (К): гомеоморфизм пространства на себя.
В
BAIRE (ESPACE DE) (бэровское пространство): IX, 5, 3. В прежней терминологии: пространство, в котором всякое непустое открытое множество есть множество второй категории.
Bairescher Baum (H) (пространство Бэра): метрическое пространство, образованное элементами х = (zn) произведения PJ Еп счетно бесконечного П=1
семейства множеств, наделенное расстоянием d (х, у), равным обратной величине наименьшего целого т, для которого а:т =А ут, если х Ф у, н нулю, если х == у.
BASE (базис) разложения вещественного числа: IV, 8, 2;—фильтра: 1,6,3; (основание) системы логарифмов: V, 4, 1; (основание) системы измерелия углов: VIII, 2, 3; (базис) топологии: 1,1,3. Нем.: Basis. Англ.: basis, base.
Base at a point (L): фундаментальная система открытых окрестностей точки. Base (closed) for a topological space (L): множество S3 замкнутых множеств такое, что всякое замкнутое множество есть пересечение множеств на S3.
Bedingt kompakte Menge (И): предкомпактное подпространство метрического пространства.
Begrenzung einer Menge: граница множества (см. FRONTTERE).
Bertihrungspunkt einer Menge (A—H): точка прикосновения множества, Beschrankte Funktion: ограниченная числовая функция; — Menge: ограниченное множество (в метрическом пространстве); —Metrik: расстояние на множестве Е такое, что соответствующее метрическое пространство ограничено. Betrag (absoluter) einer Zahl: абсолютное значение вещественного числа; — eines Vektors (С): евклидова норма вектора в R”.
Betrag (Н): числовая функция х ь-> | х 1, определенная на векторном пространстве Е над полем R такая, что | х 1 > О для всех я # 0, | 0 | = О, | — X | = | X I и |x+y|<|x|+|y|.
Bewerteter KSiper: нормированное тело.
Bewertung: абсолютное значение (па теле).
Bicompact (espace): пространство, удовлетворяющее аксиоме (С) (см. COMPACT).
BICONTINUE (APPLICATION) (взаимно непрерывное отображение: I, 2, 1.
Синоним: гомеоморфизм. Нем.: topologische Abbildung (А—И), beider- . seits stetige Abbildung (H), doppeltstetigo Abbildung (H), umkehrbarstetige Abbildung (H). Англ.: topological mapping (N), topological transformation (L, W).
BISSECTRICE (биссектриса) углового сектора: VIII, 2, 5. Нем.: Winkelhal- bierende,
BORNE (ENSEMBLE) (ограничеппое множество) в метрическом пространстве: IX 2, 2. Ном.: beschrankte Menge. Англ.: bounded set.
BORNE INFERIEURE (— SUPERJELRE) (нижняя верхняя) грань) числовой функции: IV, 5, 9, Мем.; Untere Cronyе (obere Grenze) einer Funktion. Англ.:,greatest lower bound (least upper bound) of a function, сокращенно g.l.b. (l.u.b.); lower boundary (upper boundary) of a function (Но). Нем, и англ.: infimum (supremum'.
BORNE INFERIEUREMENT (ENSEMBLE DE NOMBRES REELS) (ограниченное снизу множество вещественных чисел): IV, 2, 3; — SUPERIEURE-
MENT (ENSEMBLE. DE NOMBRES REELS) (ограниченное сверху множество вещественных чисел); TN', 2, .3. Нем.: nach unten (nach oben) besch- rankte Menge. Агпл.: bounded from below (from, above), bounded on the left (on the right) (Ho).
BORNEE (FONCTIOMNUMERIQUE) (ограниченная числовая функция); IV, 5, 1; — IN FElllEU BEMENT (FONCTION NUMERIQUE) (ограниченная снизу числовая функция); IV, 5, 1; — SUPERIEUREMENT (FONCTION NUMERIQUE) (ограниченная сверху числовая функция): IV, 5, 1. Нем.: beschriinkte (nach unten besclirankte, nach oben beschriinkte) Funktion. Англ.: bounded function.
HOULE EUC1JD1ENNE FERMEE (замкнутый евклидов map) «-мерный; VI, 2, 3. Мем.: Vollkugel (A- II), abgeschlossene Kugel (H, C).
BOULE EUCLIDIENNE OUVERTE (открытый евклидов map) «-мерный: VI, 2, .3. В прежней терминологии: внутренность «-мерной гиперсферы (или сферы). Нем.: offeno Kugel, spharischo Umgebung in R». Англ.: spherical region (L), spherical neighbourhood in JU* (N).
BOULE FERMfiE (замкнутый map) в метрическом пространстве: IX. 2, 2. Старая терминология: spheroide (F).
BOULE OUVERTE (открытый map) в метрическом пространстве: IX, 2, 2. Нем.: spharische Umgebung (А—И). Англ.: sphere, spheroid (L).
BOULE UNITE (единичный шар) в Ra VI, 2, 3; -в нормированном пространстве: IX, 3, з.
Boundary of a set (L, W): граница множества (см. FRONTlERE).
Bounded function: ограниченная функция; — set: ограниченное множество,
С
CANTOR (ENSEMBLE TRIADIQUE DE) (каиторово множество): IV, 2, 5. Нем.: Cantorsehes Diskoutimiuin, Cantorsche Menge. Англ.: Cantor set.
Caract6re d6nombrablc (espace a) (F): пространство, в котором каждая точка обладает счетной фундаментальной системой окрестностей).
CARRE) FERME (OUVERT) (замкнутый (открытый) квадрат): VI, 1, 1. Пом.: Quadrat (С) (открытый квадрат). Англ.: square.
■ Cartesian product of two spaces: произведение двух топологических пространств.
Cartesien (espace) h n dimensions (on ze-dimensionnel) (F): числовое и-мерное пространство.
Categoric (ensemble de premiere): (множество I категории): Тощее множество; — (ensemble de seeonde) (множество II категории): нс тощее множество.
CAUCHY (FILTER DE) (фильтр Коши): II, 3, 1.—(SUITE DE) (последовательность Komn): II, 3, 1. В прежней терминологии (для последовательностей в метрическом пространстве); фундаментальная последовательность, последовательность, сходящаяся в себе. Нем.: Canchysche Folge (II), Fuiidnmentalfolge. Англ.: Cauchy sequence, fundamental sequence.
Cell («-) (L): пространство, гомеоморфное замкнутому шару Bn. CENTRALE (PROJECTION) (центральная проекция): VI, 2, 3.
CENTRE (центр) евклидова шара (евклидовой сферы): VI, 2, 3; шара (сферы) в метрическом пространстве: IX, 2, 2. Нем.: Mittelpnnkt. Англ.: centre. Амер.: center.
CERCLE (окружность): VI, 2, 3. В прежней терминологии: «circonKrence» или «circonference de cercle». Нем.: Kreis, Kreislinie, Kreisrand. Англ.: circle, circumference. || (Алове «cercle» (и его пкввиаленты «Kreis» и «circle») ужо с очень давних пор употребляется двусмысленно, обозначая л зави симости от авторов (а иногда даже в различных местах одного и того же ■ сочинения) то «окружность», то «открытый диск», то «замкнутый диск» без заметного преобладания какого-либо из утих смыслов; именно для того, чтобы избежать згой двусмысленности, в тексте книги введен новый термин edisque» («диск»),
CERCLE UNITE (единичная окружность): VI, 2, 3. Нем.: Einbeitskreis. Апгл.: unit circle.
Chain of sets (L): (цепьмножеств): конечная последовательность (A,-)i<3<?1 подмножеств топологического пространства такая, что Аг П ^i+i (1 С ^ i <. п — 1) не пусты.
CHATNE (Т-) (F-цепь): II, 4, 4. Нем.: e-Kette. Англ.: e-cbain (К, W) (для метрических пространств).
Clairsem6 (ensemble) (нигде ne плотное в себе множество) (F, К): множество, любая непустая часть которого пе плотна в себе (см. Dense ensoi (ensemble). '
Closed set: замкнутое множество.
Closed transformation (L): замкнутое отображение (см. Fernice (application)). Closure of a set: замыкание множества.
COMMUTATIVEMENT CONVERGENTE (SERIE) (коммутативно сходящийся ряд): 111, 5, 7.
COMPACT (ENSEMBLE) (компактное множество): I, 9, 3;—(ESPACE) (— пространство): I, 9, 1. В прежней терминологии: бикомпактное хаусдорфово пространство; хаусдорфово пространство, совершенно компактов в себе (F). || До 1937 г. под «компактным пространством», или «пространством, компактным и себе» (Е), понимали пространство К, в котором всякое бесконечное множество обладает хотя бы одной предельной точкой (или, что сводится к тому же, в котором всякая последовательность имеет хотя бы одну предельную точку), а иод «компактным множеством» и пространстве Е — его подмножество, любая бесконечная часть которой) обладает хотя бы одной иредельвоп точкой и Е. Если ограничиться метрпзуемыми пространствами, то пространства, компактные в смысле Фреше, совпадают с компактными пространствами, определенными и главе I. В общем случае всякое пространство, компактное и смысле текста настоящей книги, компактно также п смысле Фреше, пространства же, компактные в смысле Фреше, ио не компактные в смысле текста книги, имеют патологический характер и пе встречаются в приложениях топологии. Заметим, что пространство, компактное в смысле (L) (или бикомпактное простран-
' ство (А—Н)), есть пространство, удовлетворяющее аксиоме (С), но не обязательно отделимое.
Compactum (компакт) (L): метризусмое компактное пространство. .
COMPARABLES (STRUCTURES UNI FORMES) (сравнимые равномерные структуры): II, 2, 2; — (TOPOLOGIES) (— топологии): I, 2, 2.
COMPATIBLE (DISTANCE) (расстояпио, согласующееся) с равномерной структурой: IX, 2, 4; — с топологией: IX, 2, 5; — (NORME) (норма, согласующаяся) со структурой алгебры: IX, 3, 7; — (STRUCTURE UNIFORME) (равномерная структура, согласующаяся) с топологией: II, 4, 1.
COMPATIBLES (STRUCTURE D’ANNEAU ЕТ TOPOLOGIE) (согласующиеся структура кольца и топология): III, 6, 1; — (STRUCTURE DE CORPS ЕТ TOPOLOGIE) (— структура тола и топология): III, 6, 7; — (STRUCTURE DE GROUPE ЕТ ТОРО LOGIE) (— структура группы и топология): III, 1, 1.
COMPLET (ANNEAU) (полное кольцо): III, 6, 5; - (ESPACE UNIFORME) (— равномерное пространство): II, 3, 3; — (GROUPE) (полная группа): III, 3, 3. Нем.: vollstandig. Англ.: complete. || Понятие полного пространства относится к заданной равномерной структуре, а не топологии пространства. Отметим в связи с этим, что некоторые авторы называют «полным пространством» метриауемое топологическое пространство Е, на котором существует расстояние, согласующееся с его топологией и такое, что Е является относительно, него полным метрическим пространством. В некоторых работах неметризуемое равномерное пространство называют , полным, если в нем сходится всякая последовательность Коши.
COMPLETE (пополнение) отделимого топологического кольца: III, 6, 5; — отделимой топологической группы: III, 3, 4; — отделимого равномерного пространства: II, 3, 7. Нем.: vollstandige Hulle. Англ.: completion.
Compl6tement normal (espace) (вполне пормальпое пространство): отделимое пространство, удовлетворяющее второй аксиоме Титце (см. Separation (axioines de)). Нем.: TVRaum (А—Н), vollstandig normaler Raum.
COMPLliTEMENT llEGULIER (ESPACE) (вполне регулярное пространство): IX, 1, 5. Нем.: vollstandig regulrirer Raum. Англ.: completely regular space, Tychonoff space (L).'.
’COMPLETION (пополнение) равномерного пространства: II, 3, 3. Пом.: Vervollstandigung eines Raumes. || Заметим, что по английски слово «пополнение» означает не операцию, состоящую в том, чтобы пополнить пространство, а ее результат.
COMPLEXE (NOMBRE) (комплексное число): VIII, 1,1.
Complexe ferm6 (plan) (замкнутая комплексная плоскость): старый термин, обозначающий пространство С (гомеоморфное сфере Sa), получаемое компактификацией С путем присоединения бесконечно удаленной точки; — ouvert (plan) (открытая комплексная плоскость): старый термин, обозпачаюпцгй тело С комплексных чисел, отождествляемое с R3.
Component (компонента): связная компонента.
COMPOSANTE CONNEXE (связная компонента): I, 11, 5. Нем.: Komponente. Англ.: connected component, или component.
Condensation (point de) (точка конденсации множества): точкой конденсации множества Л в пространстве Е называется точка пространства Е, каждая окрестность которой содержит несчетную часть множества А. Пом.: Verdichtungspunkt (Н).
Conditionally compact set (условно компактное множество) (W): относительно компактное множество (в метризуемом пространстве).
CONJUGU6 (сопряженное) комплексное число: VIII, 1, 1. Нем.: konjugfert. Англ.: conjugate.
Connected set: связное множество; — (е —) (N): множество А в метрическом пространстве, любые две точки которого соединимы е-цепью, состояний из точек множества А.
Connected in a space Е (points) (связанные в пространстве Е точки) (N): пара точек пространства Е, принадлежащих одной и той же его связной компоненте.
CONNEXE (ENSEMBLE) (связное множество): I, 11, 1; — (ESPACE) (связное пространство): I, 11, 1. Нем.: zusammonhangend. Англ.: connected.
Constituent (конституанта) точки: конституантой точки ж пространства Е называется объединение всех связных компактных множеств, содержащих х. Англ.: quasi-cornponent (L).
CONTIGUS (INTERVALLES) (смежные интервалы) к замкнутому множеству в R: IV, 2, 5. Англ.: contiguous.
Continu (континуум): в настоящее время это слово означает метризуемое связное компактное пространство (W), иногда с условием, что оно не сводится к одной точке (А—Н, N). Раньше под этим словом понимали вообще всякое связное замкнутое множество (Н) или связное замкнутое множество, не сводящееся к одной точке (F). Нем.: Kontinuum. Англ.: continuum.
CONTINU (PUISSANCE DU) (мощность континуума): IV, 8, 6. Нем.: Mach- tigkeit des Kontinuums. Англ.: power of the continuum.
CONTINUE (FONCTION) (непрерывная функция): I, 2, 1. Нем.: stetige Abbil- dung. Апгл.: continuous function.
Continument convergente (suite) (непрерывно сходящаяся последовательность): локально равномерно сходящаяся последовательность функций (см. Localement uniformement convergente (suite)).
Continuum (generalized) (обобщенный континуум) (W): связное метризуемое локально компактное пространство.
Continuum of real numbers (континуум вещественных чисел) (Но): числовая прямая.
Continuum (n-dimensional) (n-мериый континуум) (Но): n-мерное числовое пространство.:
CONVERGENT (FILTRE) (сходящийся фильтр): I, 7, 1; — (PRODUIT INFI NI) (сходящееся бесконечное произведение): III, 5, 7; — (PRODUIT INFINI DE NOMBRES REELS) (— бесконечное произведение веществен-
СЛОВАРЬСЛОВАРЬ' 3GG
СЛОВАРЬ
СЛОВАРЬ
них чисел): IV, 7, 6; — (PRODUIT INFIX! DANS UNE ALGEBRE NORMtiE) (бесконечное произведение в нормированной алгебре): IX, Прил., 3.
CONVERGEXTE (BASE DE F1LTRE) (сходящийся базис фильтра): I, 7, I; — (SER1E) (- ряд): Ш, 5, 6; (SERIE DE NOMBRES REELS) (- ряд вещественных чисел): IV, 7, б; — (SUITE) (сходящаяся последовательность): I, 7, 3.
COUPS DES NOMBRES COMPLEXES (поле комплексных чисел); VIII, 1, 1; — DES NOMBRES REELS (-- вещественных чисел): IV, 3, 1; — DES QUATERNIONS (тело кватернионов): VIII, 1, 1.
Cosets (space of right) (проетраистео правых смежных классов) (Р): однородное пространство, определенное подгруппой топологической группы.
COSINUS (косинус) угла: VIII, 2, 2; — числа: VIII, 2, 4.
COTANGENTE (котангенс) числа: VIII, 2, 4..
СОТЕ (сторона) куба: VI, 1, 1. Нем.: Lange der Kanton elites Wiirfels.
Countability axioms: аксиомы счетности (см. Denombrabilite (axiomes de)) Countably compact space (счетно компактное пространство) (L): пространство, компактной в смысле Фреше (см. COMPACT).
Covering (closed): замкнутое покрытие;--(е-) (L): покрытие метрическою пространства множествами диаметра <в; — (open): открытое покрытие.
CUBE (куб) я-мерпый замкнутый ( — открытый): VI, 1, 1; Мем.: n-dimensiona- ler Wiirfel; — бескопечпомерпый IX, 1, 5; aura.: Hilbert parallelotope (L) (гильбертов кирпич): счетное произведение компактных интервалов.
D'
DECIMAL (DEVELOPPEMENT) (десятичное разложение) вещественного числа: IV, 8, 5.
Decomposition space (факторпространство) (W)..
DEDUITE (TOPOLOGIE) (топология, порождаемая равномерной структурой):
1, 2.'
DEGRE (градус, (единица угла)): VIII, 2, 3.
DEMI-AXE REEL POS1TIF (-NEGATIF) (положительная (отрицательная) вещественная полуось): VIII, 1, 2.
DEMI-CERCLE FERME (—OUXERT) (замкнутая (открытая) полуокружность): VI, 2, 4. Нем.: Hnlbkreis. Англ.: semicircle.
DEMI-DR01TE FERMEE (— OUVERTE) (замкнутая (открытая) полупрямая, луч): VI, 1, 4. Нем.: Halbgerado, Strahl. Англ.: Ray.
DEMI-ESPACES FERMES (—OU VERTS) (замкнутое (открытое) полупространство), определенное гиперплоскостью: VI, 1, 4. Нем.: НаИпанте.
D6noinbrabilite (axiomes tie) (аксиомы счетности): первая аксиома счетности: всякая точка обладает счетной фундаментальной системой окрестностей. Вторая аксиома счетности: пространство обладает счетной базой. Нем.: Abzahlbarkeitsaxiome. Англ.: countability axioms.
DENSE (ENSEMBLE) (плотное множество) относительно другого множества: I, 1, б. Нем.: dichte Menge (zu tuner Menge). Англ.: dense set. || Многие авторы, определяют ornonietme «/I плотно относительно /?» только в слу-
чае, когда Л сг В, что является ограничением, неудобным для приложений. Слово «плотное» часто употребляется в смысле «всюду плотное» (А—Н, К, L, N).
Dense ensoi (ensemble) (множество, плотное в себе): множество, содержащееся в своем производном (см. Derive (ensemble)). Нем.: insichdichte Menge. Англ.: dense in itself.
DISPLACEMENT EUCLIDIEN (евклидово движение): VI, 2, 2. Нем.: Bewegung.
Deriv6 (ensemble) (производное множество) некоторого множества: производное множество подмножества Л топологического пространства К есть множество всех предельных точек множества Л (см. Accumulation (point d’)); часто обозначается А'. Нем.: Ablcihmg (finer Menge. Англ.: derived set.
Derived sei: производное множество (см. Derive (ensemble)).
DliVELOPPEMENT D’UN NON КЕЕ REEL (разложение вещественного числа) но базисной последовательности: IV, 8, 2.
DIAMETRAL (IIYPERPLAN) (диаметральная гиперплоскость): VI, 2, 4.
ШАМЁТКЕ (диаметр) множества ri метрическом пространстве: IX, 2, ?.
Нем.: Durchmesser. Англ.: diameter.
Dichte Menge: плотное множество.
Direct product (прямое произведение) топологических групп (Р): произведение топологических групп.■
D1SCONTINU (ENSEMBLE TOTALEMENT) (вполне несвязное множество): см. TOTALEMENT DISCONTENT (ENSEMBLE).
DISCONTINUE (FONCTION) (разрывная функция). Нем.: unstetig. Англ.г discontinuous.
DISCRET (ANNEAU) (дискретное кольцо): ПТ, 6, 3; — (C.ORPS)(— тело):Ш, 6, 7; — (ESPACE) (— пространство): I, 1,1; — (GROUPE) (дискретная группа): 111,1,1. В Под названием «дискретное пространство» Александров — Хопф понимают, более общим образом, всякое пространство (отделимое или лет), в котором всякое пересеченно открытых множеств есть открытое множество; если такое пространство отделимо, то оно дискретно к смысл» текста книги»
Discrete set (дискретное множество) (N): замкнутое множество, все точки которого нзолирояаипые, или, что то же, множество, не имеющее предельных точек (см. Accumulation (pointd’)).
DISCRETE (STRUCTURE UNI EORME) (дискретная равномерная структура): II, 1, 1; — (TOPOLOGIE) (— топология): I, 1, I.'
Diskontiiiuierlicbe Menge (H) (cm. Punclilornic (ensemble)).
Diskontinnierlicber Kompakluni (A—11): вполне несвязный метрнзуемый компакт.
Diskreter Raum (дискретное прострапстио) (A—11): см. DISCRET (ESPACE).
Disperse (ensemble) (польская школа): вполне несвязное множество.
DISQUE FERME ( - OUVERT) (замкнутый (открытый) круг): V), 2, 3 (см.
CERCLE). Нем.: Kreisscheibo.,
DISTANCE (расстояние) между двумя точками: IX, 2,1; — между точкой и множеством: IX , 2, 2;— между двумя множествами: IX, 2, 2;— (EUCLIDIENNE)
(евклидово): VI, 2, 1. Heir.: Entfornung, eigentliche Metrik (А—И) (для расстояния между двумя точками), untero Entfernung (И) (для расстояния между двумя множествами). Англ.: distance, metric. || В (К) «расстояние между двумя множествами» имеет тот же смысл, что «Abweichung zweier Mengen» (см.) в (А—И).
Distanci6 (espace) (F): метрическое пространство.
Distanz zweier Punkte (в метрическом: пространстве) (Н): пижняи грань чисел р> О таких, что данные две точки соединимы р-цепыо,
Divergente Menge (А—И): бесконечное множество, не имеющее предельных точек (см. Accumulation (pointd’)).
Divergente (suite, s6rie): расходящаяся (последовательность, ряд). || Смысл этого слова применительно к последовательности или ряду вещественных чисел у разных авторов различен. У одних оно означает «но сходящийся»; другие применяют его только к последовательностям, сходящимся в R к Ц-оо или —оо, или к рядам с суммой, равной -'-о0 или —оо; первые < называют иногда такие последовательности (соотп. ряды) «собственно расходящимися» («proprement divergentes») или «песобстпеипо сходящимися» («improprement cotivergentes»)."
Domaine (область). Нем.: Gobiet. Англ.: domain, region (W). || Первые авторы работ по топологии часто называли «областью» произвольное открытое множество, «замкнутой областью»— замыкание открытого множества; в (К) еще используется этот последний термин, и «открытой : областью» называется внутренность замкнутого множества.
Doppeltstetige Abbildung (взаимно непрерывное отображение) (И).
DROIT (ANGLE) (прямой угол)- между прямыми: VIII, 2, 6; — (SECTEUR ANGULAIRE) (прямой угловой сектор): VIII, 2, 5. Ном.: rechter Winkel. Англ.: right angle.
DROIT POSITIF (ANGLE) (положительный прямой угол) между полупрямыми: VIII, 2, 2.
DROITE COMPLEXE (комплексная прямая) в пространстве С”: VIII, 4, 3; — NUMERIQUE (числовая прямая): IV, 1, 3; англ.: real lino (L), continuum of real numbers (Ho); — PROJECTIVE REELLE (— проективная
. вещественная): VI, 3, 1; — PROJECTIVE COMPLEXE (— проективная . комплексная): VIII, 4, 3; — RATIONNELLE (— рациональная): I, 1, 2.
Нем.: Gerade. Англ.: line, straight line.,
Durehmesser: диаметр.
DYADIQUE (DfiVELOPPEMENT) (двоичное разложение) вещественного числа: IV, 8, 5.
Е
Ebene (p-dimensionale) (р-мериая плоскость) р-мерноо линейное многообразие.
ECART (отклонение): IX, 1,1. || В (F) смысл слова «ecart» другой: оно означает «Общую метрику» (см. Allgemeine Metrik) в смысле (А—Н), для которой / (у, л) = / (ж, у), а / (ж, у) = 0 равносильно я — у.
Eeart de deux ensembles (К): расстояние между двумя множествами. Egalement continue (famille): равностепенно непрерывное множество. Eigentlich divergente Folge roeller Zahlen (С): последовательность вещественных чисел, сходящаяся в К к Н-оо или—оо;Reihereellcr Zahlen (С):
ряд вещественных чисел с суммой 4-оо или —оо.
Eigentliche Metrik (А —Н): расстояние (между двумя точками).
Einheifskreis: единичная окружность.
Kinheitssphiirc: единичная сфера.
Einheitsvektoren (единичные лекторы): векторы канонического базиса в Rn.
ELEMENTAIRE (ENSEMBLE) (элементарное множество) в произведении пространств: I, 4, 1; — (FILTRE) (элементарный фильтр), ассоциированный с последовательностью: I, б, 8.
Endliche Funktion: конечная числовая функция.
ENGENDRE (FILTBE) (фильтр, порожденный некоторым множеством под- ■ множеств): I, 6, 2.
ENGENDREE (TOPOLOGIE) (топология, порожденная некоторым множеством подмножеств): 1, 2, 3.■
Enffernung zweier Punkle: расстояние между двумя точками; — zweier Mengen; — между двумя множествами (С, А—Н). В (II) слова «Entfernung zweier Mengen» имеют тот же смысл, что и слова «Abweichung zweier Mengen» (см.) в (Л—Н).■
ENTOURAGE (окружение) равномерной структуры: II, 1, 1. || В (К) слово «entourage» означает «окрестность» точки в топологическом пространстве, ENVELOPES INFERIEURE (- SUPERIEURE) (— нижняя (— верхняя) огибающая) семейства числовых функций: IV, 5, 5. Ном.: untere (obere) Greuze enter Folge von Funktionon (C).
EQUICONTINU (ENSEMBLE) (равностепенно непрерывное множество): X, 2, 1; — в точке: X, 2, 1; — относительно подмножества: X, 2, 3. В прежней терминологии: famille 6gnlement continue (равнонепрерывное семейство). Англ.: equicontinuous family (у некоторых авторов «равностепенно непрерывное» означает «равномерно равностепенно непрерывное»).
EQUIVALENTES (FAMILIES D’ECARTS) (эквивалентные семейства откло- нопий): IX, 1,2;- (NORMES) (- нормы): IX, 3, 3; — (VALEURS ABSOLVES) (—• абсолютные значения): IX, 3, 2.
EQUIVALENTS (ECARTS) (эквивалентные отклонения): IX, 1, 2.
Equivalent metrics (эквивалентные метрики): расстояния, определяющие на одном и том же множестве одну и ту же топологию.
ESPACE DES VARIETES LINEAIRES PROJECTIVES Л Р DIMENSIONS DE Р (R) (пространство р-мерных проективных линейных многообразий в Рп (R)): VI, 3, 5; - DE Рп (С) (- в Рп (С)): VIII, 4, 1.
ЕSPACE NUMERIQUE А п DIMENSIONS (n-мерное числовое пространство): VI, 1, 1. Нем.: n-dimonsionaler Raum; n-dimonsionaler Zahlenraum. Англ.: п-dimensional continuum (Ho), Cartesian n-space (N), Euclidean n-space (L).
ESPACE NUMfiRlQUE COMPLEXE A n DIMENSIONS (п-мерное комплексное числовое пространство): VIII, 4, 1.
24 II. Бурбаки
ESPACE PROJECTIF COMPLEXE a n dimensions (n-морное комплексное проективное пространство): VIII, 4, 3; — REEL a n dimensions (н-м₽рноо вещественное проективное пространство): VI, 3, 1.
Euclidean л-space (L): n-мсрпое числовое пространство.
EXPONENT1ELLE (FOXCTION) (покавательпая функция): V, 4, 1.
EXTERIEUR (внешность) множества: I, 1, 6.
EXTERIEUR (POINT) (внешняя точка) к множеству: 1, 1, 6. Нем.: Ausserer Punkt oiner Menge.
F
FACTEUR GENERAL (общий сомножитель) бесконечного произведения: III, 5, 7."
Factor group of a topological group (P): факторгруппа топологической группы.
FERME (ENSEMBLE) (замкнутое множество): I, 1, 4. Нем.: abgeschlossene Monge. Англ.: closed sot. || Слово «forme» («замкнутое») часто применяется для обозначения всяких других понятий, принадлежащих алгебраической топологии, как, папримор, в выражениях: замкнутая кривая, замкнутая поверхность (в смысле «компактная кривая (соотв. поверхность) без края»). Та же возможность смешения существует в английском языке; оо избегают в немецком, говоря «abgeschlossene Menge», по «gesch- Josseno Kurve».
Fermee (application) (замкнутое отображение): отображение топологического • пространства Е в топологическое пространство F, при котором образ всякого замкнутого множества из Е есть замкнутое множество в F. Нем.: ' abgeschlossene Abbildung. Англ.: closed transformation.
Fermee (relation d’equivalence) (замкнутое отношение эквивалентности): отношение эквивалентности Л в пространстве Е, васыщение' но которому всякого замкнутого множества замкнуто (иначе говоря, такое, что каноническое отображение Е на факторпространство Е/Л замкнуто), (см.: Zerlegung (stetigc) п (Upper semi-coutinuous collection)).
Fernietiire (замыкание): см. ADHERENCE. ■
.Fn-Rauni (/'п-пространство) (II): метрическое пространство, в котором всякое замкнутое подпространство но тоще в себе.
FJLTRE (фильтр): I, 6, 1; — DES SECTIONS (— сечений) фильтрующегося мпожества: 1,6,3.
F1LTRE (ENSEMBLE) (фильтрующееся множество): I, 6, 1.
FIN (см. PLUS FIN и MO1NS FIN).
FINI (NOMBRE REEL) (конечное вещественное число): IV, 4, 2, Нем.: endlich. ' Англ.: finite.■ •, . .
FINTE (FONCT1ON NUMERIQUE) (конечная числовая функция): IV, 5, 1; ■ —(SOMME PARTIELLE) (—■ частичная сумма): III, 5, 1.
Finite intersection property (collection of sets having the) (L): система образующих фильтра.
Flat (Л-) (N): k-мерпоо аффинное линейное многообразие в R”.
Fluctuation of a function (Но): колебание функции.
Founctionnel (espace) (функциональное пространство) (К): пространство ограниченных отображений метрического пространства Е в метрическое пространство F, наделенное топологией равномерной сходимости.
Гон nd ament ale (suite) (фундаментальная последовательность): последовательность Коши.
FRECHET (FILTRE DE) (фильтр Фреше): I, 6, 1.
Frontier of a set (N, W): граница множества.
FRONTliRE (граница) множества: I, 1, 6. Нем.: Begrenzung einer Menge.
Англ.: boundary of a set(L, W), frontier of a set (N, W). || Слово «frontiers» иногда употребляется некоторыми акторами для обозначения понятия алгебраической топологии, родственного понятию «frontiers» (в смысле настоящего текста), которое мы обозначаем словом chord» (край), ^акое же смешение имеет место в немецком языке с терминами «Begrenzung» и «Ваш!» и в английском с терминами «boundary» и «frontier». В этих языках, гю-видимому, сейчас преобладает употребление слов «Begrenzung» и «frontier» в смысле «граница», a «Rand» и «boundary» в смысле «край».
FRONTlERE (POINT) (граничная точка) множества: I, 1, 6.
Fn (ensemble) (множество jFo): объединение счетного семейств замкнутых множеств.
Fiindamentalfolge (фундаментальная последовательность): последовательность Коши.
G
Ge (ensemble) (множество GbY пересечение счетного семейства открытых множеств.
Gehiet: область.
GENERATELERS (SYSTEME DF) (система образующих) фильтра: I, G, 2? — топологии: I, 1, 3.
Gerade, gerade Linie: прямая.
б'ц-Rauin (И): боровское пространство (см. BA1RE (ESPACE DE)). Gleicbinassig: равномерно.
Gleichwertige t.'mgebiingssystenie: фундаментальные системы окрестностей, определяющие одну и ту же топологию.
GRADE (градус), единица угла: VJII, 2, 3.
Greatest lower bound (сокращенно g.l.b.): нижняя грань.
Grenznerf einer konvorgente Zahlenfolge (С): продел сходящейся последовательности вещественных чисел.
GROUPE ADDITTF (аддитивная группа) числовой прямой: IV, 1,3; — числового пространства Rn; VI, 1,2; — вещественных чисел, сравнимых по модулю я: V, 1, 2.
GROEPE A UN PARAMETRE (однопараметрпческая группа): V, 3. . . ,
н
Halbgerade: полупрямая.
Halhkreis: полуокружность (пли иногда пересечение круга с полуплоскостью, определяемой одним из его диаметров).
Halbraum: полупространство.
Halljstetige Funktion (abwtirts (С) пли nach unten): функция, полунепрерывная снизу; — (aufwiirts (С) или nach oben): функция, полунепрерывная сверху.
Halbstetigkeitspunkt (точка полунепрерывности) функции (С): точка, в которой числовая функция полунепрерывна..
HKufungspunkt einerl Menge: предельная точка множества (см. Accumulation (pointd’)).
Hauptlimes einer Zahlenfolge (С): верхний и нижний пределы последовательности вещественных чисел.
HAUSDORFF (ESPACE DE) (хаусдорфово (или отделимое) пространство): I, 8, 1. Нем.: Hausdorffscher Baum, 7’2-Raum (А—Н). Англ.: Hausdorff space, Tj-space (L).
HEMISPHERE FERME (- OUVERT) (замкнутая полусфера (открытая —)): VI, 2, 4.
Hilbert parallelotope (гильбертов кирпич) (L): произведение счетпобесковеч- ного семейства компактных интервалов из R, не сводящихся к одной точке (или топологическое пространство, гомеоморфное такому произведению).
HOME0M0RPHES (ESPACE TOPOLOGIQUES) (гомеоморфные топологические пространства): 1, 1, 1.
HOMEOMORPHIE (гомеоморфизм) двух топологических пространств: I, 1, 1. HOMEOMORPHISME (гомеоморфизм) топологического пространства на топо логическое пространство: 1, 1, 1. Нем.: НотботогрЫо. Англ.: Homeomorphism (L, W).
HOMOGENE (ESPACE) topologique (однородное топологическое пространство): III, 2, 5. Англ.: space of right cosets (P).
Homog^ne (ensemble) (однородное множество) (К): подпространство Л пространства Е такое, что для любой пары точек а, 6 из Л существует гомеоморфизм / пространства Е на себя, при котором / (Л) = Л и / (а) — 6.
Homomorphism of a topological group into a topological group (P): непрерывное представление топологической группы в топологическую группу.
H0MOM0RPHISME (гомоморфизм) топологической группы в топологическую группу: III, 2, 8; — топологической группы на топологическую группу: III, 2, 8. Англ.: open homomorphism of G iuto G* (P) (когда образ группы G при гомоморфизме открыт в G').
Htille (оболочка): вообще, если § —- такое множество частей множества Е, что всякое их пересечение снова принадлежит S, «оболочка» какого-либо Л с £ относительно 8 есть пересечение всех множеств из §, содержащих Л. Пример: abgeschlossene Hulle (замыкание множества), когда $ — множество всех замкнутых подмножеств топологического пространства.
HYPERPLAN COMPLEXE (комплексная гиперплоскость) н пространстве Сл: VIII, 4, 1.
HYPERPLAN DE PROJECTION (гиперплоскость проектирования) при стереографической проекции: VI, 2, 4.
Hyperspace of a decomposition (W): факторпрострапство.
I
IMAGE RECIPKOQLE (прообраз) топологической структуры: I, 2, 3; — равномерной структуры: II, 2, 4.
IMAGINA1RE PUR (NOMBRE) (чисто мнимое число): VIII, 1, 1.
Im kleinen bikompakter Hausdorffscher Raum (A—H): локально компактное пространство.
Im kleinen kompakter Raum (A—H): пространство, всякая точка которого обладает замкнутой окрестностью, компактной в смысле Фреше (см. _ COMPACT).
IMPROPRE (DEVELOPPEMENT) (несобственное разложение) вещественного числа:^ IV, 8, 3; — (VALEUR ABSOLUE) (— абсолютное значение): IX, 3, 2.
INDUIT (FILTRE) (индуцированный фильтр): I, б, 5.
INDUITE (STRUCTURE UNIFORME) (индуцированная равномерная структура): II, 2, 4; — (TOPOLOG1E) (—топология): 1, 2, 3.
Infimum: нижняя грань.■
Innerer Punkt: внутренняя точка.
Inneres Produkt: скалярное произведение в R".
Insichdichte Menge: плотное в себе множество (см. Dense en soi (ensemble)).
INTER1EUR (внутренность) множества: I, 1, 6. Нем.: offener Kern einer Menge. Англ.: Interior of a set.
INTfiRIEUR (POINT) (внутренняя точка) множества: I, 1, 6. Нем.: Innerer Punkt. Англ.: Interior point.
Interior transformation (W): открытое отображение (см. Ouverte (application)).
INTERSECTION (FILTRE) (пересечение фильтров): 1, 6, 2; - (TOPOLOGIE) (— топологий): I, 2, 3.
Interval (n-) (и-интервал) (L): ограниченный открытый кирпич в Rn. .
Interval (w-dimensionales) (n-морпын интервал) (С): ограниченный открытый кирпич в Rn.
INVARIANT!' (DISTANCE) (инвариантное расстояние) в группе: IX, 3, 1.
IRRATIONNEL (NOMBRE) (иррациональное число): IV, 1, 3.
Irreducible set (неприводимое множество) (Ио): множество, имеющее по крайней мере одну точку конденсации (см. Condensation (point de)).
Isolated set (изолированное мпожостпо) (N): множество, все точки которого изолированные (или также, дискретное подпространство).
ISOLE (POINT) (изолированная точка) множества: I, 1, 6.
Isolierter Teil einer Menge (изолированная часть множества) (Н): множество всех изолированных точек множества.
JSOMETRIE (изометрия): IX, 2, 2.
ISOMETRIQUE (APPLICATION) (изометричное отображение): IX, 2, 2.
1SOMORPHES (ESPACES UNJFORMES) (изоморфные равномерные пространства): II, 1, 1.
1SOMORPHIE (изоморфность) двух равномерных пространств: II, 1, 1.
ISOMORPHISM!!) (изоморфизм) равномерного пространства в равномерное пространство: II, 1, 1: — топологической группы па топологическую группу: III, 1, 3.
ISOMORPHISM!1) LOCAL (локаЛьпый изоморфизм) топологической группы в топологическую группу: III, 1, .3.
К
Kern (ядро): вообще, если 61 — такое множество частей множества Е, что всякое их объединение снопа принадлежит (У, «ядро» какого-либо множества А с Е относительно ® есть объединение всех .множеств из QJ, содержащихся в А (попятно, «дуальное» понятию «Ilii.Ho»). Пример: «оГГелег Кегл» (внутренность множества), когда (У — множество всех открытых подмножеств топологического пространства.
Kette (е-) (A—Н): е-цепь; — (Mengen —) (е-цепь множеств): конечная после допателыюсть (А,-)!^; :„ подмножеств топологического пространства такая, что пересечения А; [) А,+1 (1 сС Z^ я — 1) ио пусты.
Kobiirenz einer Menge (Н): множество всех неизолированных точек данного множества.
Kompakt in bezug auFden Кант: относительно компактный (для метризуомых пространств).
Kompaktum (компакт) (А—П): метризуемое компактное пространство.
Koinponente: связная компонента; — (е-) eincs 1’unktes (в-комнопента точки) (А — II): множество всех точек метрического пространства, соединимых е-цепыо с рассматриваемой точкой; — (0-) (О-компопспта точки) (A —II): множества всех точек, соединимых е-цопыо с рассматриваемой точкой для каждого е > 0.
Kongruento Riiume (конгружгтпые пространства) (А—И): изометрические метрические пространства (т. е. такие, что существует изометрия одного па другое).
Koiitinunm: континуум (см. Contino).
Kreis: окружность (см. СПИСКЕ).
Kugel (abgeschlossene) замкнутый шар; —(oFFene): открытый —.
Kugelflacbe, KugeloberFlache: сфера.'
L
Liinge dor Kanten nines Wiirfels: длина сторон куба; — eines Intervails: — интервала.
Least upper bound (сокращенно 1.и.Ъ.): верхняя грань.
Length of an interval: длина интервала.
Limes (melrische, «here topologisehe, untere topologisehe, topologisehe) einer Mengenfolgo (А— И): предел (метрический, верхний топологический, нпжегпii топологический, топологический) последовательности множеств.
Limes (nbgeschlossene, obere abgeschlossene, unlerc abgesehlossene) einer Men- genfolgo (H): предел (топологический, nepxnnit тоиологичоский, нижний топологический) последовательности множеств.
Limes (obere offene) einer Mengenfolge (H): множество всех точек, обладающих окрестностью, содержащейся в бесконечном числе множеств последовательности; — (miterc оУГопе) einer Mengenfolge (II): множество всех точек, обладающих окрестностью, содержащейся по всех, кроме коночного числа, множествах последовательности. Когда обп предела совпадают, их называют, следуя Хаусдорфу, «offene James dec Mengcnfolge»).
Limit (inferior, superior) of a sequence of sets (W): (нижний, верхний) топологический предел последовательности множеств.
Limit-point of a set (N, W): продельная точка (см. Aeeuniulafioit (point d’)) множества..
LIMITE A DROITE (— A GAUCHE) (предел справа (— слева)) функции веществен)гоii переменной: IV, 5, 3. Нем.: Gretizwert nnck rechts (— nach links). Англ.: limit to the light (— to the left).
LIMITE INFEIUEURE (— SU1>E1UK<1 BE) (нижний (верхний) предел) число пой функции по фильтру: IV, 5, 2. Нем.: Untere (obere) Limes einer Funk tion. Англ.: Minimum (maximum) of a function at a point (Ho).
Limite inferieure topologique (нижний топологический предел) последовательности множеств: множество всех точек, каждая окрестность которых пересекается со всеми множествами последовательности, за исключением конечного их числа.
Limite mefrique (метрический предел) последовательности замкнутых множеств: для! любых замкнутых множеств А, В метрического пространства положим
р (Л, Я) = max (sup d (г, й), sup d (у, Л)), хе л дев■
Говорят, что замкнутое множество А есть метрический продел последовательности замкнутых множеств (Лп), если р (А , Л,() стремится к 0, когда п неограниченно возрастает.
Limite snp^rieure (opologique (верхний топологический предел) последовательности множеств: множество всех точек, каждая окрестность которых пересекается с бесконечным числом множеств данной последовательности.
Limite topologiqne (топологический предел) последовательности множеств: так называют верхний и нижний топологические пределы последовательности множеств в том случае, когда они совпадают.
LIMITE (POINT) (продел) базиса фильтра: I, 7, 1; — фильтра: I, 7, 1.
LIMIT]: (VALUER) (предел) функции по фильтру: I, 7, 3; -- функции в точке относительно подмножества: I, 7, 5; -- последовательности: I, 7, 3.
LIMITE (DEVELOPPEMENT) d’un nombre reel (конечное) разложение вещественного числа: IV, 8, 3.
Local, localement (локальный, локально): слова, характеризующие свойства, связанные с фиксированной точкой z0 пространства Е и остающиеся в силе приламене его топологии другой топологией, подчиненной единственному условию, чтобы существовала окрестность точки z0, в которой обе индуцируемые топологии совпадают; пначо говоря, свойства, связанные
с функцией, определенной в некоторой окрестности точки z0 и остающиеся в сило при замене этой ф>упкции другой, подчиненной еднистген- ному условию, чтобы существовала окрестность точки z0, в которой обе функции совпадают. Расширительно, эти слова часто применяются ко всему пространству (например: локально компактное пространство, локально связное пространство), означая тогда, что одно и то же «локальное» свойство имеет место в каждой точке пространства. Ном.: im kleinen, lokal. Англ.: local, locally.-
LOCALEMENT COMPACT (ESPACE) (локально компактное пространство):
9, 7. Нем.: im kleinen bikompakter Hausdorffscher Raum (А—И). Апгл.: locally compact Hausdorff space (L). || Локально компактное пространство в смысле (L) (локально бикомпактное в смысле (А—Н)) — это пространство, каждая точка которого обладает окрестностью, замыкание которой есть пространство, удовлетворяющее аксиоме (С) (по ио обязательно отделимое). По старой терминологии под локально компактным пространством подразумевалось пространство, всякая точка которого обладает замкнутой окрестностью, компактной в смысле Фреше (см. COMPACT). LOCALEMENT CONNEXE (ESPACE) (локально связное пространство): 1, 11,6. Нем.: local zusammenhangender Raum. Англ.: locally connected space. Localement fernt (ensemble) (локально замкнутое множество) в точке (К): множество, данная точка которого обладает окрестностью, пересечение которой с множеством замкнуто (во всем пространстве).
Localement fini (recouvrement) (локально конечное покрытие): такое покрытие топологического пространства Е, что каждая точка я g Е обладает окрестностью, пересекающейся только с конечным числом множеств покрытия.
LOCALEMENT ISOMORPTTES (GROUPES TOPOLOGIQUES) (локально изоморфные топологические группы): III, 1, 3.
Localeinent uniformdment convergent (suite) (локально равномерно сходящаяся последовательность): последовательность функций /„, определенных на топологическом пространстве Е, со значениями в равномерном пространстве F, локально равномерно сходится к функции / в точке ,г0 5 Е, если для любого окружения V для F существуют целое число н0 11 окрестность U точки zQ такие, что Уп (ж), / (ж)) f V для всех т f Е и всех п 5$ пй.
LOGARITHME (логарифм) вещественного числа: V, 4, 1.
LONGUEUR (длина) интервала: IV, 1, 5. Нем.: Lange. Англ.: length. Lower boundary of a function (Но): нижняя грань числовой функции. Lower semi-coutinuous function: функция, полунепрерывная снизу.
М.
MAIGRE (ENSEMBLE) (тощее множество): IX, 5, 2. В прежней терминологии: множество первой категории.
MAJORfiE (FUNCTION NUMfiRIQUE) (ограниченная сверху числовая функция): IV, 5, 1. Нем.: nach oben beschrankte Funktion. Апгл.: bounded to the right, bounded from above.
Maxim6e (point d’accumulation) (максимальная предельная точка) множества (F): максимальная предельная точка множества А в пространстве Е это точка а-0, пересечение каждой окрестности которой с А равномощно А .
Maximum of a function at a point1 (Но): верхний предел функции в точке. MESURE PRINC1PALE (главная мера) угла между полупрямыми: VIII, 2, 3. MESURES (меры) угла между полупрямыми: VIII, 2, 3; — угла между прямыми: VIII, 2, 6.
METRIQUE (ESPACE) (метрическое пространство): IX, 2, 1. В прежней терминологии (F): esptice distancie. Нем.: metrischer Raum. Англ.: metric space.■
MfiTRISABLE (ESPACE TOPOLOGIQUE) (метризуемое топологическое пространство): IX, 2,5; — (ESPACE UMFORME) (—равномерное пространство): IX, 2, 4; — (GROUPE TOPOLOGIQUE) (метризуемая топологическая группа): IX, 3, 1. Нем.: metriierbarer Raum. Англ.: metrizable space (L).
Metrisches Produkt zweier metrische Raume (метрическое произведение двух метрических пространств) (А—И): произведение метрических пространств: Е, Е', в котором расстояние между точками (ж, У) и (у, у') определено формулой ЗЛ'Ця, у))2 + (d'^', у'))2, где d и d' — расстояния соответственно в Е и Е'.
MINOREE (FUNCTION NUMERIQUE) (ограниченная снизу числовая функция): IV, 5, 1. Нем.: nach unten beschrSnkte Fnnktion. Англ.: bounded to the left, hounded from below.
Minimum of a function at a point (Но): нижний предел функции в точке.
Mittelpunkt eines Kugels: центр сферы (или шара).
MO1NS FIN (FILTRE) (мажорируемый фильтр): I, 0, 2 (см. STRICTEMENT).
MOINS FINE (STRUCTURE UNIFORME) (мажорируемая равномерная структура): II, 2, 2; - (TOPOLOGIE) (- топология): I, 2, 2 (см. STRICTEMENT). Нем.: schwachere Topologic. Англ.: weaker topology.
MULTIPLIABLE (FAMILLE) (перемножаемое семейство): III, 5, 1; — (SUITE) (перемножаемая последовательность) в нормированной алгебре: IX, Прил., 1.
' N
Nach oben (— unten) beschriinkte Funktion: функция, ограниченная сверху (снизу); — halbstetige Funktion: функция, полунепрерывная сверху (снизу)..
Natural homomorphism of a topological group on a factor group (P): канонический гомоморфизм топологической группы па факторгруппу.
Neighbourhood of a point: открытая окрестность точки; — of a set: открытая окрестность множества; — (е-) of a set (L): множество всех точек, отстоящих от данного множества (в метрическом пространстве) на расстояние < е.
Net (е,-) (N), Nctz (е-) (А— Н) (е-сеть): конечное множество (в метрическом пространстве),' от которого всякая точка пространства удалепа на расстояние < 8."
Nirgendsdiehte Menge (нигде не плотное множество): разреженное множество. Non dense (ensemble) (неплотное множество) (К): разреженное множество. NORMAL (ESPACE) (нормальное пространство): IX, 4, 1. Лом.: normnler
Baum, Гд-Нашн (А—IT). Англ.: normal space; —(espace coinplfttemeid) (вполне нормальное пространство): см. Completeincnt normal (espace).
NORMALEMENT CONVERGENTE (SERIE) (нормально сходящийся ряд): X, 3, 2.
NORME (норма) на векторном пространстве: IX, 3,)3; нем. и англ.: norm.; — ALGEBRIQUE (—алгебраическая) комплексного числа: VIII, 1, 1; — EUCLID1ENNE (— евклидова) в Rn: VI, 2, 1; нем.: absolutor Botrag nines Vektors (С).
NORMS (ESPACE) (нормированное пространство): IX, 3, 3. Нем.: nonnierter Raum. Англ.: normed space.
NORMEE (AIX1EBRE) (нормированная алгебра): IX, 3, 7.
Nowhere dense set (нигде не плотное множество): разреженное множество. NUmERIQUE (EONCTION) (числовая функция): IV, 5, 1.
.О
Obere Enlfernung zweier Mengen А, В (И): верхняя грань расстояний d, (z, у), когда ж пробегает А, а у пробегает В (в метрическом пространстве).
Obere Grenze einer Funktion: верхняя грань функции; — einer Eolge von Funktionen: верхняя огибающая последовательности функций.
Obere Limes einer Funktion: aopxmiii продол функции по фильтру; — einer Eolge: верхний предел последовательности.
OBTUS (SECTEUR AXGULA1RE) (тупой угловой сектор): VIII, 2, 5. Нем.: stumpier Winkel. Англ.: obtuse angle.*
Offene Abbiltluiig: открытое отображение (см. Ouverte (application)); — Menge: открытое множество; — Uberdeekung einer Menge: открытое покрытие множества.
Offencr Kern einer Menge (открытое ядро): внутренность множества.
Open covering of a set: открытое покрытие множества; - homomorphism of a topological group G into a topological group G' (V): гомоморфизм G . на открытую подгруппу группы G'; —set: открытое множество; — (rans- foiiitalion: открытое отображение (см. Ouverte (application)).
ORTHOGONAL (GROUPE) (ортогональная группа): VI, 2, 2.
ORTHOGONALE (TRANSFORMATION) (ортогональное преобразование): VI
2.
ORTHOGONALES (VARlETES L1NEAIRES AFFIXES) (ортогональные аффинные линейные мпогообрааия): VI, 2, 2.
ORTHOGOXAUX (VECTEURS) (ортогональные векторы): VI, 2, 2. Пом.: senkrechte Vektoren.
OSCILLATION (колебание) функции на множестве: IX, 2, 3; — функции в точке: IX, 2, 3. Нем.: Schwankung einer Funktion. Англ.: oscillation of a finictioii, fluctuation of a function (Ho).
О cillation einer Fuiikliononi'olgo (колебание последовательности функций) (И): для последовательности числовых функций (/„) это фупкцпя, равная Lirn sup/ — lim inf/„ во всех точках, где эта разность определена.
OUVERT (ENSEMBLE) (открытое множество): 1, 1,1; — (RECOUVBEMENT) (— покрытие): 1, 1,1. Нем.: оП'еи. Англ.: open. |1 Слово «ouvert» иногда употребляется для обозначения всяких других понятий, как, например, в выражении «открытая поверхность» (некомпактная поверхность без края) в алгебраической топологии и в выражении «открытая группа» (не компактная группа) в теории групи Ли.
Ouverte (application) (открытое отображение): отображепие топологического пространства К в топологическое пространство F, при котором образ всякого открытого множества из Е есть открытое множество в F. Нем.: offeno Abbildung. Англ.: interior transformation (W), open transformation (L).
Ouverte (relation d’Equivalence) (открытое отношение эквивалентности): отношение эквивалентности R в пространстве Е, насыщение ио которому всякого открытого множества есть открытое множество (другими словами, такое, что каноническое отображепие Е на факторнространство FJ14 открыто).
OUVERTURE (раствор) углового сектора: VIII, 2, 5.
Р
p-ADlOUE (VALEUR ABSOLVE) (р-адическое абсолютное значение): IX,
2. HeM.:p-adische Rewertung. Англ.: р-жИс valuation (или absolute value).
Paracompact (espace) (паракомпактное пространство): отделимое пространство Е, для всякого открытого покрытия (/1а) которого существует локально конечное (см. Localement finl (rccouvrement)) открытое покрытие (Zip) такое, что каждое Ер содержится хотя бы в одном /1а.
PARALLELOTOPE FERME (— OUVERT) (параллелепипед замкнутый (— от крытый)): VI, 1, 3.
Parallelotope (я-) (^.-параллелепипед) (L): компактный кирпич в Rn, обладающий внутренней точкой, пли, более общим образом, пространство, гомеоморфное такому кирпичу.
PARAMETRES DIREC.TEURS (направляющие параметры) прямой: VI, 1, 4.
PARFAIT (ENSEMBLE) (совершенное множество): I, 1, б. Нем.: perfekt. Англ.: perfect.
Parfaitement compact ensoi (espace de Hausdorff) (F): компактное пространство. Parfaiteinent separable (espace) (F): пространство, имеющее счетный, базис. PARTIE ENTlERE (целая часть) веществениого числа: IV, 8, 2; -- IMAGINAI- RE (мнимая част:,) комплексного числа: VIII, 1,1; — REELLE (вещественная часть) комплексного числа; VIII, 1, 1.
PART1ELLE (SOMME) (частичная сумма): III, 5, 3.
PARTITION CONTINUE DE L’UNTTE (непрерывное разбиение единицы): IX, 4, 3.'
PARTITIONS FINIES (STRUCTURE UNIFORME DES) (равномерная слрук- тура конечных разбиений): II, 2, 2.
PARTOUT DENSE (ENSEMBLE) (всюду плотное множество): I, 1, 6. Нем.: im Baum dichte Monge. Англ.: dense set (L, N).
Partout non dense (ensemble) (нигде не плотное множество): разреженное множество.
PAVE FERME (замкнутый кирпич): VI, 1, 1; — OUVERT (открытый —):
, 1, 1. Нем.: n-dimensionales Intervail (С). Англ.: n-intcrval (L). PERIODE (период) функции: VII, 1, 6.
PERIODIQUE (FONCTION) (периодическая функция): VII, 1, б.
PETIT D’ORDRE V (ENSEMBLE) (малое порядка V множество): II, 3, 1. PLAN COMPLEXE (комплексная плоскость) в пространстве Cn: VIII, 4, 3;
— NUMERIQUE (числовая -): VI, 1, 1; - PROJECTIF REEL (вещественная проективная —): VI, 3, 1; PROJECTIF COMPLEXE (комплексная проективная —); VIII, 4, 3. [Нем.: Ebene.
PLAT (SECTEUR.ANGULAIRE) (развернутый угловой сектор): VIII, 2, 5. PLUS FIN (FILTRE) (мажорирующий фильтр); I, б, 2 (см. STRICTEMENT). PLUS FINE (STRUCTURE UNIFORME) (мажорирующая равномерная структура): II, 2, 2; - (TOPOLOGIE) (- топология):!, 2, 2 (см. STRICTEMENT). Нем.: starkere Topologie. Англ.: stronger topology.
POINT DE VUE (центр) стереографической проекции: VI, 2, 4.
Point of closure of a set (N): точка прикосновения множества.
POLYNOMES (полиномы) относительно данного множества числовых функций (с коэффициентами из нормированного пространства): X, 4, 2.
Ponctuellement discontinue (fonetion): функция с тощим множеством точек разрыва.
PRECOMPACT (ESPACE UNIFORME) (продкомпактное равномерное пространство): II, 4. 2. Нем.: total beschriinkter Raum, bedingt kompakter Raum (H). Англ.: totally bounded space.
PRODUIT D’UNE FAMILLE MULTIPLIABLE (произведение перемножаемого семейства) в коммутативной группе: III, 5, 1; — D’UNE SUITE MULTIPLIABLE (— перемножаемой последовательности) в нормированной алгеб- . ре: IX, Прил., 1.
PRODUIT INF1M (бесконечное произведение) в коммутативной группе: Ш, 5, 7; —в нормированной алгебре: IX, Прпл., 3.
PRODUIT (ANNEAU TOPOLOGIQUE) (произведение топологических колец): III, 6, 4; — (ESPACE TOPOLOGIQUE) (топологических пространств):
' I, 4, 1; — (ESPACE UNIFORME) (— равномерных пространств): II, 2, 6;
— (GROUPE TOPOLOGIQUE) (— топологических групп): III, 2, 9; англ.: •direct product of topological groups (P); —-(STRUCTURE UNIFORME) (равномерных структур); II, 2, 6; — (TOPOLOGIE) (— топологий) I, 4, 1. Prolongenient (продолжение) метрического пространства (К): пополнение. PROLONGEMENT PAR CONTINU1TE (продолжение отображения по непрерывности): I, 8, 5.
Propri6t6 de Borel (ensemble ayant la) (F) (множество co свойством Бореля): множество A, всякое счетное открытое покрытие которого содержит конечное покрытие.
Propri6t6 de LindelSf (ensemble ayant la) (множество co свойством Линделефа): множество Л, всякое открытое покрытие которого содержит счетное покрытие.
Punctiforme (ensemble) (польская школа): множество, не содержащее ни одного неодвоточечного связного компактного множества. Нем.: diskon- tinuierliche Menge (Н).,
Punkthafte Menge (H): вполне несвязное множество.
Q
QUADRANT (квадрант): VIII, 2, 5.
■Quadrat: квадрат.
Quasi-component of a set (квазикомпонента) множества (L) (см. Constituent).
Quasi-uniform6inent convergente (suite) (квазиравномерно сходящаяся последовательность): последовательность функций /п, определенных на топологическом пространстве Е со значениями в равномерном пространстве F, сходится квазиравномерно на Е к функции /, если она сходится к / в каждой точке и для всякого окружения V из F и всякого целого числа м0 существует конечное число целых чисел mt > п0 таких, что, каково бы ни было х ^ Е, существует хотя бы один индекс I, для] которого (/m, М. / И) 6 V. ■
QUOTIENT (ANNEAU TOPOLOGIQUE) (топологическое факторкольцо); III, 6, 4; — (ESPACE TOPOLOGIQUE) (топологическое факторпространство): I, 3, 4; нем.: Zerlegungsraum; апгл.: decomposition space, hyperspaco of ' a decomposition (W); — (GROUPE TOPOLOGIQUE) (топологическая факторгруппа): III, 2, 6. англ.: factor group of a topological group (P); — (TOPOLOGIE) (фактортопология): I, 3, 4. || В (A—H) на фактормножестве ElR определяется также топология, мажорирующая фактортополо- гню: .та окрестности точки г £ ElR в этой топологии принимаются канонические образы наибольших насыщенных по R множеств, содержащихся в окрестностях множества qHz) в Е, где q> — каноническое отображение Е на ElR; ElR, наделенное этой топологией, называется «schwacher Zerlo- gungsraum».
R
RACINE (CARREE, CUBIQUE, и-ЁМЕ) (корень квадратпый, кубический, n-й степени) из вещественного числа: IV, 3, 3. Нем.: WurzeL Англ.: root.
RADIAN (радиан) (единица угла): VIII, 2, 3.
Rand einer Menge (край множества) (IT, А—Н): пересечение рассматриваемого множества с его границей (см. FRONTIERS)
Randpunkt einer Monge: граничная точка рассматриваемого множества, принадлежащая этому множеству.
RARE (ENSEMBLE) (разреженное множество): IX, 5, 1. В прежней терминологии: нигде не плотное множество. Ием.: Nirgendsdichte Monge. Апгл.: nowhere dense set, nondense set (Ho).
RATIONNEL (RANG) (рациональный ранг) подгруппы группы R”: VII, 1. Raum (zi-diniensionaler): n-мерпое числовое пространство.
Ray: полупрямая.
RAYON (радиус) евклидова тара (— евклидовой сферы): VI, 2, 3; — шара (— сферы) в метрическом пространстве: IX, 2, 2. Нем.: Radius. Англ.: radius.
Rechteek: прямоугольник (двумерный кирпич).
Rechter Winkel: прямой угол.
REEL (NOMBRE) (вещественное число): IV, 1, 3.
REELLE (FUNCTION) (веществеппая функция): IV, 5, 5.
Region (область) (L): открытое множество в метрическом пространстве; — (W): область в метрическом пространстве.
REGUL1ER (ESPAC.E) (регулярное пространство): I, 8, 4. Нем.: regularer Raum, Z^-Rnum (А—И). Англ.: regular space; — (ESPACE COMPLETE- ■ MEN'T) (вполне регулярное пространство): см. COMPLETEMENT RE- GGJJER (ESPACE).
Reihe: рид.*
Relativ abgeschlossene, —offene, —perfekte Menge (H): множество, замкнутое (соотв. открытое, совершепвое) относительно подпространства.
RELAT1VEMENT COMPACT (ENSEMBLE) (относительно компактное множество): I, 9, 3. Нем.: in Rezug aul' den Raum kompakte Mongo (в случае метриэусмых пространств; в произвольном пространстве этот термин означает в (А—II) «компактное множество» в смысле Фреше; см. Compact). Relativierung. relativization (релятивизация): переход к топологии, индуцируемой в подмножестве данной топологией.
Relativrauin: подпространство.
RENTRANT (SECTEUR ANGULA1RE) (входящий угловой сектор): VIII.
5.■
Residuel (ensemble): дополнение к тощему множеству (в боровском пространстве). || Отметим, что слово «Residuum» означает в (И) совсем другое понятие. " ‘'’
RESTE (остаток)’ ряда: III, 5, О.
Right angle: прямой угол.
Root (n-th) of a real number: корень.н-н степени из вещественного числа.
S..
SAILLANT (SEC.TEUR ANGULAIRE) (выступающий угловой сектор): VIII, 2, 5..’■'’
SATUREE (FAMILLE D’ECARTS) (насыщенное семейство отклонений) IX, 1, 2..■ ■
Scattered set: нигде no плотное в себе множество (см. Clairsem6 (ensemble)).
Schwache Eraeitcrung eines Baumes (слабое расширение пространства) (A—И): пространство, получаемое путем присоединения к данному пространству Е «бесконечно удаленно!: точки» со и выбора в качестве открытых множеств в £ (J {со} открытых множеств из Е, а также дополнений (в Е (J {со}) к замкнутым множествам ив Е, компактным в смысле Фреиге.
Schwankuug einer Funklion: колебание функции.
SECTEUR ANGLLAJRE (угловой сектор): VIII, 2, 5. В прежней терминологии: угол.
SEGMENT FERME (- OllVERT, - OUVERT EN a-, FERME EN ?/) (отрезок замкнутый (— открытыii, — открытый n .т, — замкнутый в у): VI, 1,4. Нем.: Strecke (С) (замкнутый отрезок).
Segment (отрезок) (В): компактный интервал в В.
Semi-eirele: полуокружность.
SEMI-CONTINUE 1NFER1EUREMENT (FONCTION NUMER1QUE) (числовая функция, полунепрерывная снизу): IV, б, 2; — SUPER1EUREMENT (FONCTION NUMERIQUE) (сверху: IV, 6, 2. Нем.: abwatts (aufwarts) halbstetige: Funktion (C), Bach union (»ach oben) halbstetige Funktion./
Senkrechte Vektoren: ортогональные векторы.
Separable (espace) (сепарабельное пространство) (F): топологическое пространство, и котором существует счетное всюду плотное множество. || В случае метризуемых пространств понятие сепарабельного пространства совпадает с понятием пространства со счетной базой. От термина «separable» следует отказаться, ибо он приводит к смешению с понятием «separation» в топологических пространствах, относящимся к совсем другим вопросам.
SSparant (ensemble) (отделяющее множество) для двух множеств (К): множество С отделяет А от В, если СС = U (J У, где U и V -- отделенные- множества (см. SOpares (ensembles)) такие, что А ст V и В с.. I'.
SEPARANTE (FAMILLE DE FONGTIONS) (отделяющее семейство функции): X, 4, 1. Англ.: separating class of functions (L).
Separation of a space (W): разбиение пространства на два замкнутых множества. ■ .
Separation (axiomes de) (аксиомы отделимости):
Аксиома Колмогорова (или аксиома (7’0) (A —II, L)): для любых двух различных точек х и у существует окрестность одной из них, которая не содержит другой (что равносильно тому, что (л} У-{у}).
Аксиома Фреше (пли аксиома (7\) (А—II, L)): для любых двух различных точек хну существует окрестность каждой пл них, не еодер-
■ жащая другой. Пространство, удовлетворяющее этой аксиоме, называется достижимым.
Аксиома Хаусдорфа, или аксиома (И) (или аксиома (Т*2) (A —II), L)): для любых двух различных точек х и у существуют окрестность точки ж к вкростпость точки у, не имеюище общих точек; 1, 3, 1. Пространство,
удовлетворяющее этой аксиоме, называется отделимым (или хаусдорфовым).
Аксиома Урысона: для любых двух различных точек ж и у существуют замкнутая окрестность х и замкнутая окрестность у, не имеющие общих точек.
.5) Аксиома Виеториса, пли аксиома (Ощ) (или. аксиома (Т^ (А—II)):
для любого замкнутого множества А И любой точки х g А существуют окрестность точки г и окрестность множества А, не имеющие общих точек; I, 8, 4. Отделимое пространство, удовлетворяющее этой аксиоме, называется регулярным.
С>) Аксиома Тихонова, или аксиома (Ojy): для любого замкнутого множества А и любой точки т ^ А существует числовая функция /, непрерывная на Е, со значениями в интервале [0, 1], ранная 1 в точке х и О на Л; IX, 1, 5. Пространство, удовлетворяющее этой аксиоме, называется равиомеризуемим.
Первая аксиома Титце, или аксиома (Оу) (или аксиома (Т^ (Л — Н)): для любых непересекающихся замкнутых множеств Л и В существуют окрестность множества А и окрестность множества В, не имеющие общих точек; IX, 4, 1. Отделимое пространство, удовлетворяющее этой аксиоме, называется нормальным.
Вторая аксиома Титце (или аксиома (Т5) (Л—Н)): для любых множеств Л и В, ни одно из которых не содержит точек прикосновения другого, существуют окрестность множества Л и окрестность множества В, не имеющие общих точек. Отделимое пространство, удовлетворяющее этой аксиоме, называется вполне нормальным.'
Нем.: Trennungsaxiome.
SEPARfi (ESPACE TOPOLOGIQUE) (отделимое топологическое пространство): I, 8, 1; нем.: Hausdorffscher Raum, T2-Hanm (А—II); англ.: Hausdorff space, TV-space (L); — (ESPACE UNIFORME) (отделимое равномерное пространство): II, 3, 8. || Поскольку аксиома Хаусдорфа — наиболее важная из аксиом отделимости (см. Separation (axiomes de)) общей топологии, именно пространствам, удовлетворяющим этой аксиоме, мы присвоили наименование отделимых.;
. SEPARfiE (STRUCTURE UNIFORME) (отделимая равномерная структура): II, 1, 2; — (TOPOLOGIE) (— топология): I, 8, 1.■
SeparCs (ensembles) (отделенные множества) (К): множества А, В, ни одно из которых не содержит точек прикосновения другого.
Separierte Menge (Н): нигде не плотное в себе, множество (см. Clairsenie (ensemble)).'
Sequentially compact space (секвенциально компактное пространство) (L): пространство, каждая бесконечная последовательность точек которого обладает сходящейся подпоследовательностью. || Это понятие совпадает с понятием пространства ((компактного в себе» в смысле Фрегае (см. Compact), если каждая точка пространства обладает счетной фундаментальной системой окрестностей.
SERIE (ряд): III, 5, 6. Нем.: Reihe. Англ.: Serios.
SIMPLEMENT CONVERGENT (FILTRE) (просто сходящейся фильтр): X, 1,3.
SIMPLEMENT C.ONVERGENTE (FAMILLE) (семейство, просто сходящееся) ' по фильтру: X, 1,3; — (SERIE) (— сходящийся ряд): X, 1,2 —3; — (SUITE) (—сходящаяся последовательность): X, 1, 2—3. Англ.: pointwise convergent sequence of functions.
Simplement uniformeinent convergente (suite) en un point: последовательность функций /п, on p еде лепных на топологическом пространстве Е, со значениями в равномерном пространстве F просто равномерно сходится в точке r0 £ Е к функции /, если опа сходится просто к / в некоторой окрестности точки зс0 и для каждого окружения V из F и каждого целого п0 существуют окрестность U точки т0 и целое п > «о такие, что Un W- / М) 6 V для всех ж 5 U.
Singullirer Piinkt eines Raumes (11): точка, ne обладающая фундаментальной системой связных окрести остей.
SINUS (синус) угла: VIII, 2, 4; — числа: VIII, 2, 4.
SOMMABLE (FAMILLE) (суммируемое семейство): III, 5, 1.
SOMME (сумма) семейства: III, 5, 1; — ряда: III, 5, 6.
SOMME (ESP АСЕ ТОРО LOG] QUE) (топологическая сумма семейства пространств): I, 2, 4; — (TOPOLOGIE) (сумма семейства топологий): I, 2, 4.
SOUS-GROUPE (подгруппа) топологической группы: III, 1, 1.
SOUS-ESPACE (подпространство) топологического пространства: I, 3, 1; — равномерного пространства: II, 2, 4. Нем.: Relativrauin, Unterraum, Англ.: sub-space.
SPHERE (сфера) в метрическом пространстве/. IX, 2, 2; — EUCLIDIENNE. (— евклидова): VI, 2, 3; в прежней терминологии: hypersphere; нем.: Sphare, Kugolflache, Kugeloberriiicbe; англ.; n-sphere (см. CERCLE);. — UNITE (- единичная); VI, 2, 3.
Sphere fermee (— ouverte) в метрическом пространстве (К): замкнутый (открытый) шар.
Sphere (L): открытый шар.
Sphere (-п): открытый шар (V); топологическое пространство, гомеоморфное Sn (L).
Spheroid (сфероид) (L): открытый шар.
Spheroide (F): замкнутый шар.
Spitzer Winkel: острый угол.
S-space (Г): мотризуемое пространство, обладающее счетной базой.
Starke Erweiterung eines Raumes (A— II): пространство, получаемое путем присоединения к данному пространству Е «бесконечно удаленной» точки о и выбора п качестве открытых множеств в Е (J (о)} открытых множеств из Е, а также дополнений (в К 'J {га}) к бикомпактным (см. Bicoinpact (espace)) замкнутым множествам ил Е.
Stark stetige Abbildmig (сильно непрерывное отображение) (А—Н): непрерывное отображение / пространства Е в пространство F, при котором для
Vs 25 и. Вурбаки
любого замкнутого множества Л из Е, насыщенного по отношению эквивалентности / (я) = / (у), / (Л) замкнуто в F.
Steigung einer Strecke: наклон прямой.'
STEREOGRAPHIQUE (PROJECTION) (стереографическая проекция): VI, 2, 4, Stetig: непрерывный.
Strahl (луч): полупрямая.
Straight line: прямая.
Strecke: замкнутый отрезок.
STRICTEMENT (строго): напомним (см. Книга I, гл. III), что вообще, если некоторое слово выражает, что элементы х, у данного множества связапы некоторым отношением порядка, то оно же, предваренное словом «stricte- . merit», означает, что х, у связаны тем же отношением порядка и, кроме того, х Ф у. Например: фильтр 3' строго минорирует фильтр Д', если ■ 3 минорирует 3', и, кроме того, 9 =/= Д'. Stronger topology: мажорирующая топология.
STRUCTURE UNIFORME (равномерная структура): II, 1, 1; — ADDITIVE (аддитивная) топологического тола: III, G, 8; — ADDITIVE (аддитивная ) числовой прямой: IV, 1, 6; — ADDITIVE (аддитивная)
в R": VI, 1, 2; — DE LA CONVERGENCE СОМРАСТЕ (компакт' пой сходимости): X, 1,3; — DE LA CONVERGENCE SIMPLE (простой сходимости): X, 1, 3; - DE LA CONVERGENCE UNIFORME ( равномерной сходимости): X, 1,3;— DE LA. CONVERGENCE UNI- ■ FORME DANS LES ENSEMBLES D’UN FAMILLE (равномерной сходимости на семействе множеств): X, 1,2; — DELTNIE PAR UNE FAMILLE D’ECARTS (, определенная семейством отклонений): IX, 1, 2;
— DROITE (правая) топологической группы: III, 3, 1; — GAUCHE (левая) топологической группы: III, 3, 1; — MULTIPLICATIVE (мультипликативная) топологического тела: III, 6, 8.
Stumpier Winkel: тупой угол.
Subbase of a space (подбаза пространства) (L): система образующих топологии; — at a point. ж0 (— в точке ж0) (L): множество открытых окрестностей точки xq, составляющих систему образующих фильтра ее окрестностей. ■■
SUBORDONNEE (PARTITION CONTINUE DE L’UNITE) разбиение единицы, ' подчиненное локально конечному открытому покрытию: IX, 4, 3. Snpremum: верхняя грань.
SYMETRIQUE (ENTOURAGE) (симметричное окружение): II, 1, 1; — (VOI- SINAGE) (симметричная окрестность) нейтрального злемента в тополо-
• гической группе: III, 1, 2.
SYSTEME FONDAMENTAL D’ENTOURAGES (фундаментальная система ■ окружений) равномерной структуры: II, 1, 1; — DE VOISINAGES D’UN POINT (окрестностей точки): I, 1, 3. Нем.: Umgebungssystem eines Punktes. Англ.: base at a point (для систем открытых окрестностей).
■ SYSTEME PRINCIPAL DE PERIODES (главная система периодов) у-перио- ■ дической функции: VII, 1, 6.
Т
TANGENTE (тангенс) угла: VIII, 2, 2; — числа: VIII, 2, 4.
Tenant (ensemble d’un seul) (F): множество Л, для любых двух точек г, у которого существует связное замкнутое множество, содержащее ж и у и содержащееся в Л.
TERME GENERAL (общий член) ряда: III, 5, 6.
Topological equivalence of two spaces (топологическая эквивалентность двух пространств) (L): гомеоморфизм двух пространств; — mapping (топологическое отображение): взаимно непрерывное отображение (гомеоморфизм); — sphere (топологическая сфера) (L): пространство, гомеоморфное евклидовой сфере.
TOPOLOG1E (топология): 1,1,1; — DE LA CONVERGENCE СОМ РАСТЕ (- компактной сходимости): X, 1, 3 и 3, 4; - DE LA CONVERGENCE SIMPLE (— простой сходимости): X, 1, 3 и 3, 4; — DE LA CONVERGENCE UNIFORME (— равномерной сходимости): X, 1, 1; — DE LA CONVERGENCE UNIFORME DANS LES ENSEMBLES D’UN FAMILLE (- равномерной сходимости на семействе множеств): X, 1, 3.
TOPOLOGIQUE (ANNEAU) (топологическое кольцо): III, 6, 3; — (CORPS (- тело): III, 6, 7; - (ESPACE) (- пространство): I, 1, 1; — (GROUPE) (топологическая группа): III, 1,1. II Смысл, вкладываемый в слова «топологическое пространство», исторически очень менялся, и тот, который мы им придаем, еще не общепринят; иногда эти слова понимают в значительно более общем смысле, как, например, в (А— Н), (L) и (N). В (А —И) и (N) определена структура менее богатая, чем структура топологического пространства, а именно структура «общего топологического пространства» (А— И) или «абстрактного топологического пространства» (N); она определяется заданием любого отображения X —>- X множества $(£’) в себя (исходя от которого понятие «замкнутого множества» определяют условпем X с X, а затем другие основные топологические понятия обычным образом). В (F) топологическим пространством названо множество, наделенное структурой предыдущего типа с аксиомой X сХ (Фреше принимает за основное понятие производного множества, а но замыкания, но его определение равносильно предыдущему). В (W)-рассматриваются лишь достижимые пространства (см. Accessible (espace)) и именно такие пространства называются топологическими.
TOPOLOGIQUE (STRUCTURE) (топологическая' структура): I, 1, 1. Нем.: topologische Zuordnung (А—Н) (когда топологическая структура определена заданием отображения X —>- X).
Topologiquement complet (espace) (топологически полное пространство) (К, W): метризуемое топологическое пространство Е, в котором существует расстояние, согласующееся с топологией, относительно которого Е есть полное метрическое пространство; — contenu (espace) (— содержащееся 25*
в пространстве Е) (К): пространство, гомеоморфное подпространству пространства Е; — 6quivalents (sous-espaces) (— эквивалентные подпространства) пространств Е, F (К): подпространства, для которых суще ствуст гомеоморфизм Е на F, преобразующий одно из этих подпространств в другое.
Topologiscb aquivalente Кашпо (топологически эквивалентные пространства) (А—Н): гомеоморфные пространства; — gleichwertigen Metriken (— равносильные метрики) (А—Н): расстояпия, определяющие в одном и том же множестве одну и ту же топологию.
Topologischc Zuordnung (Л—И): топологическая структура; — (schwachste) (слабейшая — —): сильнейшая из топологических структур (данного семейства); — (starkste) (сильнейшая): слабейшая из топологических структур (данного семейства).
TORE A UNE DIMENSION (одномерный тор): V 1,2; — А п DIMENSIONS (п-морпый тор): VII, 1, 4. Англ.: toroidal group (Р).
Toroid (тороид) (L): произведение бесконечного семейства топологических пространств, совпадающих с Т.
Torus (тор) (А—И): двумерный тор.
Total beschrankte Menge: продкомпактное подпространство(метрического пространства); — imperfekte Menge (Н): множество, не содержащее ни одного непустого совершенного подмножества); — unzusaimnenhangende Menge (Н): вполне несвязное множество.
Totalement Ьогпб (ensemble) (К): иредкомнактпоо подпространство (метрического пространства).
TOTALEMENT DISCONTINU (ENSEMBLE) (вполне несвязное множество): I, И, 5. И другой терминологии: ensemble dispers6 (рассеянное множество) (польская школа). Нем.: punkthafte Menge (Н), total unzusammenhangende Menge (H), zusammenhangslose Menge (А—И). Англ.: totally disconnected set.
Totally bounded space: продкомпактное пространство; — disconnected set: вполне несвязное множество.
T0-Rauin (A—H), T0-space (L): пространство, в котором всякая пара точек удовлетворяет аксиоме Колмогорова (см. Separation (axionies de)).
^-Raum (A— H), Tj-space (L): достижимое пространство (см. Accessible • (espace)).
T2-Raum (A —II), T2-space (L): отделимое пространство.
Ta-Raum (Л—И): регулярное пространство.
T4-Raum (A—H): нормальное пространство.
T0-Raum (A—II): вполне нормальное пространство (см. CompMement normal (espacc)).
Trennungsaxiome: аксиомы отделимости (см. Separation (axioines de)).
TRIAD1QUE (DEVELOPPEMENT) (троичное разложение) вещественного числа: IV, 8, 5.
TRIGONOMETRIQUE (FORME) (тригонометрическая форма) комплексного числа: VIII, 2, 2.
Tychonoff space (тихоновское пространство) (L): вполне регулярное пространство.
Type topologique (espaces de meme) (пространства одинакового топологического типа) (А—Н, К): гомеоморфные пространства.
и
Uberdeckung (abgeschlossene, offene) eines Raumes: замкнутое (открытое) покрытие пространства; - (e-)eines Raumes: покрытие метрического пространства множествами диаметра < е.
ULTRAFILTRE (ультрафильтр): I, б, 4.
Umgebung eines Punktes: открытая окрестность точки; -- einer Menge: открытая окрестность множества (II, А—И); — (е-) einer Menge (А —II): множество всех точек метрического пространства, удаленных от рассматриваемого множества па расстояние < 8. || В (А—II) слово «Umgebung» оаначает сначала любую окрестность точки, а открытая окрестность именуется «absolute Umgebung»; ио со стр. 58 слово «Umgebung» применяется только к открытым окрестностям.
Umgebungssystem eines Punktes (А- II): фундаментальная система окрестностей точки; — eines Raumes (А—II): отображение, относящее каждой точке пространства некоторую фундаментальную систему ее окрестностей.
Uinkehrbar stetige Abbilduug (И): взаимно непрерывное отображение.
Ummetrisierung eines Raumes (переметризация пространства) (А—Н): замена одного расстояния другим, определяющим ту же топологию.
UNIFORME (ESPACE) (равномерное пространство): II, 1, 1.
UNIFORMEMENT BORNEE (FAMILIE DE FUNCTIONS NUMERIQUES) (равномерно ограниченное семейство числовых функций): IV, 5, 5; — CONTINUE (FUNCTION). (— непрерывная функция): II, 2, 1; нем.: gleich- miissig stetige Abbildung; англ.: uniformly continuous function; — CONVERGENT (FILTRE) (— сходящийся фильтр); X, 1, 1; — CONVERGENTE (FAMILLE) (—сходящееся семейство) по фильтру: X, 1, 2; — CONVERGENTE (SERIE) (—сходящийся ряд): X, 1, 2; — CONVERGENTE (SUITE) (— сходящаяся последовательность): X, 1, 2; — EQUICONTINU (ENSEMBLE) (—равностепенно непрерывное множество): X, 2, 1; - MAJOREE (FAMILLE DE FONCT1ONS NUMERIQUES) (- ограниченное сверху семейство числовых функций): IV, 5, 5; — MINOREE (FAMILLE DE FUNCTIONS NUMERIQUES (- ограниченное снизу семейство числовых функций): IV, 5, 5; — SOMMABLE (FAMILLE) (— суммируемое семейство): X, 1, 2.
UNIFORMISABLE (ESPACE TOPOLOGIQUE) (равномеризуемоо топологическое пространство): II, 4, 1.
UNITE D’ANGLE (единичный угол): VIII, 2, 3.
Untere Entfernung zweier Mcngen (H): расстояние между двумя множествами.
Untere Greuze einer Funktion: нижняя грань функции; — einer Folge von Funktionen: нижняя огибающая последовательности функций.
Untere Limes einer Funktion: нижний предел функции по фильтру; — einer Folge: нижний предел иоследог.атслъпости..
Unverdichteter Punkt einer Menge (H): точка множества А, ire являющаяся точкой конденсации (см. Condensation (point de)); — Tell einer Menge (H): множество всех точек множества А, не являющихся его точками конденсации (см. Condensation (point de)).
Upper boundary of a function: верхняя грань числовой функции»
Upper semi-continuous collection (W): разбиение топологического пространства такое, что определяемое им отношение эквивалентности замкнуто (см. Feri nee (relation d’equivalence)).
Urysohn’s characteristic function of a pair (Л, Z?) of closed sots (L): непрерывная числовая функция co значениями в [0, 1], определенная на всем пространстве, равная 0 па А и 1 на В.
V
VALEUR ABSOLUE (абсолютное значение) иа теле: IX, 3, 2; нем.: Bewer- tung, multiplikative Bewertung; англ.: absolute value;вещественного числа: IV, 1, 6;комплексного числа: VIII, 1, 1; нем.: absoluter Betrag.■ ■■
VALEUR APPROCHEE (приближенное значение) вещественного числа с точностью до в: IV, 8, 1.
VALUE (CORPS) (нормированное тело): IX, 3, 2. Нем.: Bewertoter Кбгрег, VARI ETC LINEAIRE COMPLEXE (— REELLE) (комплексное (вещественное) линейное многообразие) в Cn: VIII, 4, 1..
VECTEUR DIRECTEUR (направляющий вектор) прямой: VI, 1, 4.
Verdichtungspunkt einer Menge (Н): точка конденсации (см. Condensation (point de)) множества.
Verketteter Raum (e-) (A—H): метрическое пространство, каждые две точки которого соединимы е-цепью; — (0 —) (А — Н): метрическое пространство, каждые две точки которого соединимы е-цепью при всяком е > 0.
Verkettetes Mengcnsystem (А—Н): множество ft подмножеств пространства Е, для любых двух элементов А, В которого существует конечная последовательность (Aj)05i$cn множеств из ft такая, что Ао = А, Ап — В и А г П А Я (0< ls£ п - 1).
Vewollstiind g ng einos Raumes (H): пополнение метрического пространства.
VOISINAGE (окрестность) множества: I, 1, 2; — точки: 1,1, 2; — порядка V множества: II, 1, 2. Нем.: Umgebung. Англ.: Neighbourhood (заметим, что эти слова означают у упоминаемых нами авторов открытую окрестность) .
VOISINS D’ORDRE V (POINTS) (точки, близкие порядка V): II, 1, 1, Vollkugel (А--Н): замкнутый евклидов шар.
Vollstiindig normaler Наши: вполне нормальное пространство (см. Complb- tement normal (espace)).
VollstSndige Hiille eines Baumes: пополнение метрического пространства.
Vollstandiger Baum: полное метрическое пространство.
W
Weaker topology: мажорируемая топология.-
Well-chained set (W): множество (в метрическом пространстве), каждые две точки которого при любом е > 0 соединимы е-цепыо, состоящей и? точек множества.
Winkel: угол. .
Wiirfel: куб,
Wurzel (м-te) einer Zahl: кореш, п-й степени из вещественного числа,
Y■
Youngsche Menge (Н): метризуемое топологическое пространство Е, допускающее расстояние, согласующееся с его топологией, при котором Е есть полное метрическое пространство.■
Z
Zerlegbarer Baum (В): пространство, являющееся объединением двух отличных от него замкнутых подмножеств.
Zerlegung eines Baumes (А—Н): разбиение пространства; — (normale) eines Baumes (— нормальное) (А—Н): разбиение пространства, факторпро- страиство по которому нормально; — (reguliire) eines Baumes (— регулярное) (А—Н): разбиение пространства, факторпространство по которому регулярно; — (stetige) eines Baumes (— непрерывное) (А—Н): • разбиение пространства, которому соответствует замкнутое отношение эквивалентности (см. Ееппбе (relation d’equivalcnce)).
Zerlegungsraum (А—Н): факторпространство.
Zersttickelung einos Baumes: разбиение пространства на два открытых множества.
Zusammenhangende Menge: связное множество.■
Zusammenhiingender Baum: связное пространство.
Zusammenhangslose Menge (А—Н): вполне несвязное множество.
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ «Р» означает ссылку иа «Сводку результатов»»
Гл. §п°Гл. §п“
Е(Е — вполне ре-2?~
гулярное про-Р ®п> р i*7i (в
стрниство) ... IX 1 упр. 7 n h П:"°„
4 (A BY а^А^нормированной
6М)V-точка,огеб’,е) ' ' ■ • «Прил. 3
А, В— -множест-11
па в метрическом00Р 1116
пространстве, вЦ ^пIXПрил. 3
котором рас-п...о
стояние междуS' (X; У), И (л)
точками ж, у(П — множество
обозначаетсян.Т(Х; У)),Ф(.г)
d(г, у)) . . . ' IX 22(Ф—фильтр в
Р 37<Г(Х; У)), и (А,
| я: | (абсолютноеЯ|4 (И — мио-
значение в нор-жество в X,
мироваяном те-и ^ 9 (X;У),•
ЛО)IX32Яс 9 (X; У)) х j
Р Ю22р 13,
|[ я || (норма в пор-W(V) (У —окру-
мирона ином про-жеиие для Y) . X 11
странстве) . . . )х 339 а (.V; У) .... X 11
Р 1029<А': У>- S'^ Х 12
HWIX5 упр. 3Р4
Л (6) (<?-Реше-7Г(Л, Г) (4;S, У—'
w .ГХ 65окружение для У) X12
7 "' а1Х 6 >пр’ 1У/8(Х;У),ус(Х;У) X1з
П^а, П«а (в^№У),У@(Х;У),
n£NпУ$(Х;У),У’е(Х;У),
нормированнойУм (X; У) . . . X 16
алгебре) . . . . гх Прил. 1_Р 135
Р 1112 У G(У; г) ■ • • • X 16
Гл.§п°.т(ж — точка в X)<% № У)..« (X; У) (У - метрическоеX21пространство)X31||и]| (и— ограниченное отображение нормированное про-р134странство) . . .Ж №ХП;У) (Хг (l<i<n) и У—нормированные прост-X32ранства) . . . , || u|| j (и —полилинейное отображение произведения нормированных про- ■ странство) в нормированное про- ■X32странство) . . Т (X, У) (X-компактное множество в X, U — открытое мио-X32жество в У) . .X34X35^”(X;R) . . . .X4У пр- 6РХX4упр. 6vXX4у пр. 174р19Ар110lim^/, Hmg/W■ р216lim жп n**ooр218Гл.§п°.т(ж — точка в X)<% № У)..« (X; У) (У - метрическоеX21пространство)X31||и]| (и— ограниченное отображение нормированное про-р134странство) . . .Ж №ХП;У) (Хг (l<i<n) и У—нормированные прост-X32ранства) . . . , || u|| j (и —полилинейное отображение произведения нормированных про- ■ странство) в нормированное про- ■X32странство) . . Т (X, У) (X-компактное множество в X, U — открытое мио-X32жество в У) . .X34X35^”(X;R) . . . .X4У пр- 6РХX4упр. 6vXX4у пр. 174р19Ар110lim^/, Hmg/W■ р216lim жп n**ooр218lim / (ж) (4—фильт-рующееся упо-lim / (ж) (4—фильт-рующееся упо-Гл.§n°рядоченпое множество) . .P219lim / (ж), х-*а, хЕАНт 7 (ж) . . . .P220<в(то; /)P220lim sup^.f, lim inf^.7, lim sup^. / (ж), lim infr^J ^ . .P222lim sup zn, lim inf xn . . .P225lim sup 7 (ж), x-*a, x~Alim inf f (a) . .P225x-a, x£Alim sup 7 (ж),X— nlim inf 7 (ж) . .P225Pri X ?Va (Si, Рта — фильтры) . . .P226P111Ig/IsP115n—0P118n=mr(G), d(G) (G — замкнутая подгруппа группы Rn)P121G* (G —подгруппа группы Rn) . .P122TP124a”, loga x, с (ж)P'1211e, л, ez, exp z (z—комплексное число) . . .P1212Гл.§n°рядоченпое множество) . .P219lim / (ж), х-*а, хЕАНт 7 (ж) . . . .P220<в(то; /)P220lim sup^.f, lim inf^.7, lim sup^. / (ж), lim infr^J ^ . .P222lim sup zn, lim inf xn . . .P225lim sup 7 (ж), x-*a, x~Alim inf f (a) . .P225x-a, x£Alim sup 7 (ж),X— nlim inf 7 (ж) . .P225Pri X ?Va (Si, Рта — фильтры) . . .P226P111Ig/IsP115n—0P118n=mr(G), d(G) (G — замкнутая подгруппа группы Rn)P121G* (G —подгруппа группы Rn) . .P122TP124a”, loga x, с (ж)P'1211e, л, ez, exp z (z—комплексное число) . . .P1212
Гл.
§
п°
.т(ж — точка в X)
<% № У).
.« (X; У) (У - метрическое
X
2
1
пространство)
X
3
1
||и]| (и— ограниченное отображение нормированное про-
р
13
4
странство) . . .
Ж №ХП;У) (Хг (l<i<n) и У—нормированные прост-
X
3
2
ранства) . . . , || u|| j (и —поли
линейное отображение произведения нормированных про- ■ странство) в нормированное про- ■
X
3
2
странство) . . Т (X, У) (X-компактное множество в X, U — открытое мио-
X
3
2
жество в У) . .
X
3
4
X
3
5
^”(X;R) . . . .
X
4
У пр- 6
РХ
X
4
упр. 6
vX
X
4
у пр. 17
4
р
1
9
А
р
1
10
lim^/, Hmg/W
■ р
2
16
lim жп n**oo
р
2
18
Гл.
§
п°
.т(ж — точка в X)
<% № У).
.« (X; У) (У - метрическое
X
2
1
пространство)
X
3
1
||и]| (и— ограниченное отображение нормированное про-
р
13
4
странство) . . .
Ж №ХП;У) (Хг (l<i<n) и У—нормированные прост-
X
3
2
ранства) . . . , || u|| j (и —поли
линейное отображение произведения нормированных про- ■ странство) в нормированное про- ■
X
3
2
странство) . . Т (X, У) (X-компактное множество в X, U — открытое мио-
X
3
2
жество в У) . .
X
3
4
X
3
5
^”(X;R) . . . .
X
4
У пр- 6
РХ
X
4
упр. 6
vX
X
4
у пр. 17
4
р
1
9
А
р
1
10
lim^/, Hmg/W
■ р
2
16
lim жп n**oo
р
2
18
lim / (ж) (4—фильт-
рующееся упо-
lim / (ж) (4—фильт-
рующееся упо-
Гл.
§
n°
рядоченпое множество) . .
P
2
19
lim / (ж), х-*а, хЕА
Нт 7 (ж) . . . .
P
2
20
<в(то; /)
P
2
20
lim sup^.f, lim inf^.7, lim sup^. / (ж), lim infr^J ^ . .
P
2
22
lim sup zn, lim inf xn . . .
P
2
25
lim sup 7 (ж), x-*a, x~A
lim inf f (a) . .
P
2
25
x-a, x£A
lim sup 7 (ж),
X— n
lim inf 7 (ж) . .
P
2
25
Pri X ?Va (Si, Рта — фильтры) . . .
P
2
26
P
11
1
Ig/I
s
P
11
5
n—0
P
11
8
n=m
r(G), d(G) (G — замкнутая подгруппа группы Rn)
P
12
1
G* (G —подгруппа группы Rn) . .
P
12
2
T
P
12
4
a”, loga x, с (ж)
P
'12
11
e, л, ez, exp z (z—комплексное число) . . .
P
12
12
Гл.
§
n°
рядоченпое множество) . .
P
2
19
lim / (ж), х-*а, хЕА
Нт 7 (ж) . . . .
P
2
20
<в(то; /)
P
2
20
lim sup^.f, lim inf^.7, lim sup^. / (ж), lim infr^J ^ . .
P
2
22
lim sup zn, lim inf xn . . .
P
2
25
lim sup 7 (ж), x-*a, x~A
lim inf f (a) . .
P
2
25
x-a, x£A
lim sup 7 (ж),
X— n
lim inf 7 (ж) . .
P
2
25
Pri X ?Va (Si, Рта — фильтры) . . .
P
2
26
P
11
1
Ig/I
s
P
11
5
n—0
P
11
8
n=m
r(G), d(G) (G — замкнутая подгруппа группы Rn)
P
12
1
G* (G —подгруппа группы Rn) . .
P
12
2
T
P
12
4
a”, loga x, с (ж)
P
'12
11
e, л, ez, exp z (z—комплексное число) . . .
P
12
12
26 н. Бурбаки
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
«Р» означает ссылку на. «Сводку результатов»
Гл.
5
п”
Гл.
S
п°
Абсолютная схо
-
А сколи теорема
X
2
5
димость ряда
. р
11
7
P
1.3
18
Абсолютно сум
-
Ассоциированная
мируемое семей
-
отделимая
ство
IX
3
6
равномерная
р
и
2
структура . .
P
5
6
— сходящийся
— подгруппа . .
Р
12
2
ряд
IX
3
6
Абсолютное она-
Базис сходящего-
некие . . . .
р
10
22
ся фильтра .
Р
2
И
— значение р-
— топологии
Р
4
6
адическое . .
IX
3
упр. 5
— фильтра . .
Р
2
5
р
10
23
Коши ,. .
Р
2
11
Аддитивнаягруп-
Базисы эквива-
па веществен-
лентных филъ-
них чисел, сравнимых по моду-
трое . . . .
Р
о
■ 5
лю 1
р
12
4
Болес сильная
равномерная
— равномерная
структура . .
Р
4
8
структура на топологическом
топология
— сильный
Р
4
1
теле . . . .
р
10
21
фильтр . . .
Р
2
3
Алгебра нормированная . . .
IX
3
7
— слабая рае-
р
10
31
номерная
Александрова
р
структура . .
топология
Р
Р
4
4
8
1
теорема . . . А ппроксимацион-
8
16
— слабый фтльтр
Р
2
.3
пая теорема
12
Борелевское мно-
s R" . . . .
р
3
жество . • ,
IX
6
3
А ппроксимация
— отображение
IX
6
упр. 15
равномерная
X
4
1
Бэра теорема
IX
О
3
р
13
20
Р
1
17
Гл.
§
п°
Боровское про
странство . .
IX
5
3
Вейерштрасса
Р
1
17
теорема . .
—-Стоуна тео
Р
6
18
рема . .
X
4
2
Вещественное пополнение вполне регулярного
р
13
23
пространства Взаимно непрерывное ото
X
4
упр. 17
бражение . .
Внешность мно
р
6
6
жества . . .
р
1
И
Внешняя точка
Внутренность
р
1
11
множества . .
р
1
9
Внутренняя точка Вполне несвязное
р
1
9
множество
(пространство)
— нормальное
р
9
4
пространство
IX
4
упр. 3
— регулярное
•
пространство
IX
1
5
— регулярный
р
5
' 5
фильтр . . . Всюду плотное
IX
1
упр. 8
множество
р
1
14
Гомеоморфизм . Граница множе
р
1
1
ства . . . .
р
1
1.2
Граничная точка Грань верхняя семейства равномерных струк
р
1
12
тур . . . .
—тополо
р
4
11
гий
р
4
7
Гл.
§
п“
Группа аддитивная вещественных чисел, сравнимых по модулю 1. . . .
Р
12
4
— операторов, совершенная в точке . . . .
X
2
упр. 18
— полная
Р
10
13
топологическая
Р
10
1
метризуе- мая
IX
3
1
5
Группы топологические локально изоморфные
р
10.
Двойной предел
р
2
26
Диаметр . .
IX
2
2
р
3
7
Дини теорема
X
4
1
Дискретная рав
р
13
21
номерная структура ,
р
3
1
— топология .
р
1 ’
4
Дискретное про
р
1
1
странство . ,
р
1
1
Единичный шар
/х
3-
3
Емкость, емкост
ное множество
IX
6
9
Замкнутое
множество . .
р
1
7
— отношение эквивалентности
р
7
17
— покрытие . .
р
1
7
Замкнутый шар
IX
2
2
р
3
7
Замыкание множества , .
р’
1
10
— фильтра , . ,
р
2
14
Значение абсолютное . . .
IX
3
2
р
10
22
Гл.
S
п°
Значение абсолютное несобственное . . IX
3
2
Р
10
23
р-адическое IX
3
2
Р
10
23
— предельное функциипо
фильтру . . , P
2
16
Значения абсолютные эквивалентные . . IX
3
2
Р
10
24
Идеал максимальный вещественный X
■ 4
упр. 16
ги пер вещественный . . X
4
упр. 16
Изолированная точка . . . . Р
1
13
Изометрическое отображение IX
2
2
Изометрия . . . IX
2
2
Р
3
7
Изоморфизм локальный топологических групп . . . . Р
10
5
— топологически!
групп . . . . Р
10
4
Инвариантное расстояние . . IX
3
1
.Р
10
7
Инду цирован пая равномерная структура . Р
7
3
— топология . Р
7
1
Индуцированный фильтр . . . Р
2
8
Колебание функции на множестве, в точке . IX
2
3
.Р
2
20
Гл.
S
п°
Коллективно нормальное пространство , ,
IX
4
упр. 18
Кольцо топологическое . . .
Р
10
16
полное , .
Р
10
19
Коммутативно сходящийся ряд
Р
11
7
Компактификация Стоуна — Чеха . . . .
IX
1
упр. 7
Компактное множество . .
Р
8
1
— пространство
I*
8
1
Конденсации точка . . . .
IX
5
упр. 11
Конечного типа покрытие . .
Р
8
20
Коши базис фильтра . . .
Р
2
11
— последовательность . . , .
р
2
18
Куб
IX
1
3
Левая равномерная структура топологической группы. . . .
р
10
11
Линделефово пространство , .
IX
4
упр. 23
Линейно достижимая точка
IX
6
упр, 11
Локальноизо
морфные группы
р
10
5
— компактное пространство
р
8
15
— конечное семейство подмножеств . .
IX
4
3
р
5
10
функций
р
5
11
— паракомпактное пространство
IX
4
упр. 27
Гл. я
п'
гл. s
п”
Локально связное
Множество вполне
пространство
Р 9
7
несвязное . . ,
Р 9
4
Локальный изо
— всюду плотное
Р 1
14
морфизм . . .
Р 10
5
— замкнутое . .
Р 1
7
Лузинское про
— компактное ,
Р 8
1
странство . .
IX 6
4
— малое порядка V
Р 2
11
— ограниченное
IX 2
2
Мажорируемая
Р 3
7
равномерная
— открытое . ,
Р 1
1
структура . .
Р 4
8
— относительно
— топология . .
Р 4
1
компактное
Г 8
1
Мажорируемое
— отображений
покрытие . .
Р 8
20
отделяющее
Р 13
22
Мажорируемый
— плотное отно
фильтр . . .
Р 2
3
сительно друго
Мажорирующая
го множества
Р1
14
равномерная
— подмножеств
упр. 5
структура , .
Р 4
8
насыщенное , .
X 1
топология . .
Р 4
1
— приближаемое
IX 5
упр. 6
Мажорирующее
— равномерно
покрытие . .
Р 8
20
равностепенно
Мажорирующий
непрерывное
X 2
1
фильтр . . .
Р 2
3
Р 13
9
Малое порядка V
— равностепенно
множество . ,
Р 2
11
непрерывное
X 2
. 1
Метакомпактное
Р 13
9
пространство
IX • 4
yup. 25
в точке
X 2
1
Метр изуемая
Р 13
9
■ равномерная
— разреженное
IX 5
1
структура . .
IX 2
4
Р ' 1
15
Р 3
1 8
— — относи
— топологическая
тельнопод
группа . , . .
IX 3
1
пространства
IX 5
1
Метризуемое
Р 1
15
равн омерное
-— редкое. . .
IX 5
упр. 1
пространство
IX 2
4
— связное . . .
Р 9
1
— топологическое
— совершенное .
Р 1
13
пространство
IX 2
5
— суслинское . ,
IX 6
2
Р 3
9
— тощее . . .
IX 5
2
Метрическое про
Р 1
16
странство . .
IX 2
1
относи
Р 3
7
тельно под
Множество бо-
пространства
IX 5
2
релевское . . .
IX 6
3
Р 1
16
Гл. ?
п’
Гл. §
п°
Множество филъ-
Норма согласую-
пгрующееся , .
Р 2
1
щаяся со ст рун-
— глементарное
Р 7
а
турой алгебры IX 3
7
Монотонный пре-
Р 10
31
дел
Р 2
21
Нормально отде-
Морфизм силь-
лимие множа-
ний
Р 10
9
стваIX1
упр. 11
Мультиплика-
— сходящийся
тивные равно-
рядX3J
2
мерные струн-
Нормальное про-
туры топало-
странство . . IX 4
1
зического тела
Р 10
21
Р 5
7
Нормированная
Насыщенное се-
алгебра . . . IX 3
7
мейство откло-
Р 10
31
нений . . . .
IX 1
2 ‘
Нормированное
Неистощимое
пространство IX 3
3
пространство
IX 5
упр. 7
Р 10
26
Непрерывная
— тело . ... IX 3
2
функция в точ-
Р 10
22
ке
Р 6
1
Нормы вквива-
под-
лентные . . . IX 3
3
Р 10
27
множества от-
Носитель функ-
носительно
цииIX4
3
множества . .
Р 6
9
^на всем про-
странстве . ,
Р 6
3
Обрубок . ... IX Прил.
упр. 2
относитпелъ-
Ограниченное
но 3' подмноже-
множество в ме-
ства , . *. .
Р 6
9
трическом про-
Непрерывное про-
странстве . . Р 3
7
должение . . .
Р 6
10
Однообразное но-
— разбиение еди-
крытие про-
ницы . . , .
Р 5
И
странства . . IX 4
упр. 16
— сечение , . .
Р 7
20
Окрестность . . Р 1
3
Неравенство тре-
— симметричная Р 10
3
угольника , .
IX 1
1
Окружение рае-
Р 3
3
номерной
Несобственное аб-
структуры . . Р 3
1
солютное зна-
— симметричное Р 3
2
• чение . . . .
IX 3
2
Остаток веско-
Р 10
23
печного произ-
Норма . . . . .
IX 3
3
ведения . . . Р 11
16
Р 10
26
— ряда . . . . Р 11
8
Гл.
§
п°
Гл.
§
Отделение точек
Паракомпактное
множества по-
пространство
Р
8
20
средством мно-
Перемножаемая
жества фуик-
последователь-
цийX
4
1
ностъ . . . .
IX Прил.
1
Отделимая рае-
Р
II
12
номерная
Перемножаемое
структура . , Р
3
5
семейство . .
Р
И
и
Отделимое
Пересечение то-
пространство Р
5
1
пологий , . .
Р
4
5
Отделяющее мио-
Период функции
Р
12
о
жество ото-
Периодическая
бражений . . Р
13
22
и q-кратно пе-
Отклонение . . IX
1
1
риодическая
Р
Отклонения экви-
3
3
функция . .
Плотное множе-
Р
12
6
■ ст. во
Р
1
14
валентные . . IX
1
2
Подпрост ранство
Открытое множество . . . Р
— отношение
1
равномерного
пространства
Р
7
3
— топологиче-
эквивалентно-
стиР
7
17
ского простран-
ства . . . .
Р
7
1
— покрытие , . Р
1
1
Подчиненное ло-
Открытый шар IX
2
2
кально конечно-
■
Р
3
7
му покрытию
Относительно
непрерывное
компактное
разбиение еди-
множество . . Р
8
1
ницы . . . .
Р
5
11
Отношение экви-
— семейству
валентности
подмножеств
замкнутое , . Р
7
17
семейство функ-
от крытоеP
7
17
ций
IX
4
3
Отображение
Покрытие? замк-
борелевское . .IX
6
упр. 15
нутов . , . .
Р
1
7
— игометриче-
— конечного ти-
скоеIX
2
2
па
Р
8
20
— ограниченное
— мажорируемое
(в метрическом
(мажорирую-
пространстве) X
3
1
щее) . . . .
Р
8
20
— порожденное
— однообразное
IX
4
упр. 16
просеиванием IX
6
О
— открытое . ,
р
1
1
— приближаемое IX
5
упр. 24
Полином относи-
— совершенное . )’
8
18
телъно числовых
гл. §
п°
Гл. §
п°
функций из за
Порождаемый се
данного мно
мейством под
жества . . .
X 4
2
множеств
Р 13
23
фильтр . . .
PJ 2
4
Полиномы, три
Порожденное
гонометриче
множеством
ские от т пере
подмножеств
менных . . ►
X 4
4
тело множеств
IX 6
3
Полная тополо
Р 13
26
— просеиванием
отображение
IX 6
5
гическая груп
Последователь
па
Р 10
13
ность Коши
Р 2
18
Полное равномер
— перемножае
ное простран
мая
IX Нрил.
1
ство
Р 3
10
Р 11
12
— топологиче
19
— сходящаяся
Р 2
18
ское КОЛЬЦО . .
Р 10
Почти периоди
Полу компактное
IX 2
ческая точка
пространство
упр. 14
группы гомео
Полунепрерывная
морфизмов . .
X 3
упр. 27
снизу (сверху)
Правая равномер
функция . . .
Р 6
16
ная структура
Польское про
топологической
странство . .
IX 6
1
группы . . ,
Р 10
И
Пополнение ве
Предел базиса
щественное
фильтра . . .
Р 2
И
вполне регуляр
— нижний (верх
ного простран
ний) числовой
ства . . . ,
X 4
упр. 17
функции по
— отделимого
фильтру . . .
Р 2
22
равномерного
— последователь
пространства
Р 3
11
ности . . .
Р 2
18
топологиче
— функции в точ
ского кольца
Р 10
19
ке, относитель
— отделимой то
но подмноже
пологической
ства . . . .
Р 2
20
группы . . .
Р 10
14
'по фильтру
Р 2
16
Порождаемая
филь
равномерной
трующемуся
структурой
множеству . .
Р 2
19
топология , .
Р 3
5
Предельная точ
— семейством
ка базиса филь
подмножеств
тра
Р 2
11
топология . .
Р 4
6
— — множества
Р 1
10
Гл. §
п’
Гл. $
п°
Предкомпакт н ое
Пространство,
множество .
. Р 3
12
ассоциированное
— пространство
Р 3
12
с решетом .
. IX 6
Приблимсаемое
— боровское .
. IX 5
3
множество
IX 5
упр. 6
Р 1
17
— отображение
IX 5
упр. 24
— вещественно
Принцип продол-
полное . .
. X 4
упр. 17
жения нера-
— вполне несвяз
венете . . .
Р 6
10
ное . . . .
. Р 9
4
тождеств
Р 6
10
нормальное
IX 4
упр. 3
Продолжение по
— регулярное
IX 1
5
непрерывности
Р 6
10
Р 5
Произведение бес-
— дискретное
Р 1
1
конечное . .
IX Прил.
3
— коллективно
Р 11
11
нормальное .
, IX 4
упр. 18
— — сходягцееся
IX Прил.
3
— компактное .
Р 8
1
Р 11
11
— линделефово .
IX 4
упр. 23
Р И
15
— локально ком-
■— перемножаемо-
пакт ное , .
Р 8
15
го семейства .
р 11
И
— счетное
— перемножав-
в бесконечности
Р 8
19
мой последова-
параком-
телъности . .
IX Прил.
1
пактное . .
IX 4
упр. 27
Р И
12
связное . .
Р 9
7
— равномерных
— лузинское . .
IX 6
4
пространств
Р 7
11
— метакомпакт-
структур
Р 7
11
ное
IX 4
упр. 25
— топологий . .
Р 7
5
■— метризуемое
Р 3
9
— топологических
— — счетного
групп . . . .
Р 10
10
типа . . . .
IX 2
8
пространств
Р 7
Р 1
14
— фильтров . .
Р 2
26
— метрическое
IX 2
1
Просеивание . .
IX 6
5
Р 3
7
— сильное . . . :
IX С
о
— неистощимое
IX 5
упр. 7
Просто сходя-
—■ нормальное
IX 3
и^ийся фильтр
X 1
3
Р 5
7
Р 13
2
— нормированное
IX 3
3
Пространств пе-
Р 10
26.
ресечение . .
Р 4
5
— отделимое . .
Р 5
1
— произведение
Р 7
— паракомпакт-
— сумма . . .
Р 7
16
ное
Р 8
20
Пространства-
— полное . . .
Р 3
10
сомножители
Р 7
11
— полукомпакт,-
Р 7 . ,
15
ноеI
X 2
упр. 14
5 "duX
Т
XI
^^■^^" K»W
8
'/ d
• • • ■ (y-Dgor»
-wnadaaiwR
aavog ‘уончунэ
Е
1
X
* * зешэджон^
aavog lHDkioifi.d
-дои
-n.doacnw') ww
г
Т
X
* * g) ОУШО^ЭУ
-aftdndoncvw
-аэ хоаги эажошг
г
ET d
DH
£
T X
- * muoow-ngoxo
г
£1
d
yO'HtU3il)'UH*O3(
Е
Т
X
£
L d
• * ’ • УОННО»
т
Т
X
тиэожпдохэ
-odnhftgnn
•gondawonend
T
E d
wntuadaang
г
ЕТ
d
9
5 d
* * * ’ •KDH'H'09
Е
Т
X
эешээжонждоп
-odniihoaoT
УН
IS
ОТ d
yyaw
£
1
X
‘ muaowngoxo
огонээкпгоуогюш
gowaodu
уо'ндтгшпдд'п
£
Р
X
* * • muoowng
T
£ d
• ■ ndfiwafidiuo
-охэ понгиини
wndawonanj
-wongadu
9
£ d
oaiua'nvdiuoodu
п
01
d
«uufida gonaan
aowafie-ndawowD^
-neovouotu (vve
-av') weDdu
T
£ d
’ oao^dogaHvx —
9
С
d
nod
5
г xi
-fiiunfidtua gon
-aftendtuaw
daatonend yon
T
T d
SOU 3
-под a ironnirood
-эктоуогюги —
-nnftoaae •
г
9 XI
• •. aouannvoRa —
5
£
d
уокпуэдгио — —
X "dnX
S XI
aowvDwdoH
£
d
st -dnx
£ XI
• • aownhiouian
г
Т
XI
ппизногигио woe
-an onnaindaaoa —
-гиэтржаз 'wanu
I "dnX
9 XI
• • •ЭОННЭУ
-эноуишо УОН
-godgend onsvna —
-navagaduo
T
6 d
• • • Э0К8У8Э —
£
Т
X
muo
V
£ d
• • aondwRead —
-ow-пдохэ ^oh
V
9 XI
aonnavgodgevd —
-nabnnvdao
?
г xi
* * • • • ЭО1У
12
ОТ
d
ууэги
-aRendwaw
озоноэ-нтоуои
5
£ a
aondaivonaod —
-ow кп-нотипм
9
£ d
80W
-nvuniuqvRir
-aRendawowvd —
8
£
d
ST
£ d
3014
'?
г
XI
• vlowaRcnduiaw
-tuuvuwougadti —
vdRuinRduia
T
9 XI
• • • зомэчуои
«wdawonaoj
oawonndtuaod ц
oU
•KJ
ou
§ "KJ
UOHHHdHi ЧКНЛУЁУЯЛ
го^го^
го^
го^
Гл. §
п°
Гл. §
11°
Равномерно не-
Разложение еди-
прерывная
ницы непре-
функция . .
р 6
5
рывное . . . .
IX 4
3
— — — отно-
Размерность под-
сителъно под-
группы в Rn
Р 12
1
множества
р 6
9
Разреженное мно-
— суммируемое
жество . . .
IX 5
1
семейство
Р 1
15
функций . . ,
Ранг множества
X 1
2
в R» . . . .
Р 12
1
— сходящийся на
Р 13
1
Расстояние . .
IX . 2
1
всяком множе-
— инвариантное
стве ив ©
на группе . .
Р 10
11
фильтр . . .
Р 13
1
— — слева (спра-
ряд . . ,
Р 13
9
ва)
IX 3
1
фильтр
X 1
1
— между двумя
IX 2
Р 13
2
множествами
2
Равномерное под-
Р 7
— — точкой и
Р 3
7
пространство
3
IX 2
2
Р 3
множеством
— пространство
1
р з
7
— равностепенно
— согласующееся
непрерывное
с равномерной
множество . .
X 2
1
структурой
IX 2
4
Равномерные
—тополо-
структуры
гией . . . , *
IX 2
5
сравнимые . .
Р 4
8
Регуляризация
Равностепенно
функции полу-
непрерывное
непрерывная
в точке мно-
снизу (сверху)
Р 6
17
жество . ,
. X 2
1
Регулярное про-
— — множество
X 2
1
странство . ,
Р 5
4
Р 13
9
Редкое множе-
Радиус шара . .
IX 2
2
ство
IX 5
упр. 1
Р 3
7
Решето . . . .
IX 6
5
Разбиение непре-
Ряд абсолютно
рывное едини-
сходящийся . .
IX 3
в
ЦЫ
Р 5
11
Р 11
7
, подчи-
— коммутативно
сходящийся . . — нормально схо-
Р 11
7
ненное локалъ-
но конечному
дящи.йся . . .
Р 13
4
покрытию . .
Р 5
И
— равномерно
Раздробленное
сходягцийся
Р 13
1
пространство
IX 6
4
— сходящийся
Р и
5
Гл, §
п«
Гл. S
п
Связная компо-
Симметричное
нента . . . .
Р 9
4
окружение . . Р 3
2
подмноже-
Система глав-■
сгпва
Р 9
4
ная периодов q-
— — точки • .
Р 9
4
периодической
Связное множе-
функции . . . Р 12
G
С1П во
Р 9
1
— фундаменталь-
— пространство
Р 9
1
ная окрестно-
Семейства откло-
стейР1
4
нений эквива-
окружений Р 3
2
лет иные ♦ . .
Р 3
4
Совершенно неис-
Семейство абсо-
тощимое про-
лютно сумми-
странство . . IX 5
упр. 12
руемое • • . •
IX з
6
— нормальное
р 11
2
пространство IX 4
упр. 7
— множеств ло-
Совершенное
калъно конеч-
множество . . Р 1
13
ное
Р 5
10
— отображение Р 8
18
— отклонений
Согласующаяся с
насыщенное . .
IX 1
2
алгебраической
— перемножаемое
р 11
11
структурой
— равномерно
1 норма . . . IX 3
7
суммируемое
Р 13
1
Согласующееся с
— суммируемое .
р 11
1
равномерной
— функций ло-
структурой
калъно конеч-
расстояние . . IX 2
4
ное
Р 5
И
топологи-
подчинен-
ей расстояние IX 2
5
ное семейству
Согласующиеся ■
подмножеств .
IX 4
3
топология и
Сечение непрерыв-
равномерная
ное
Р 7
20
структура . . Р 3
6
— фильтрующе-
струк-
гося упорядо-
тура группы Р 10
1
ченного множе-
кольца Р 10
16
ства
Р 2
6
—тела Р 10
20
Сечений фильтр
Р 2
G
Сравнимые рае-
Сильно раздроб-
номерные
ленноепро-
структуры . Р 4
8
странство . .
IX 6
упр. 1
— топологии . . Р 4
1
Сильный мор-
— фильтры . . Р 2
3
физм . . . .
Р 10
9
Стоуна — Чеха
Сомметр очная
компактифика-
окрестность ,
Р 10
2
цияIX1
упр. 7
Гл.
6
п°
Гл.
§
п°
Структур рае-
Структура равно-
номерных про-
мерная предком-
изведение . .
р
7
И
пакгпиой схо-
Структура рае-
димости . .
X
1
.1
номерная . •
р
3
1
— — простой
— — аддитивная
сходимости
X
1
3
топологического
р
13
тела . . . .
р
10
21
—на
— —дискрет-
подмиожест ее
X
1
нал
р
3
1
р
13
индуци/ю-
— — равномерной
ванная . . . .
р
7
3
сходимости
X
1
1
— — компактной
X
1
3
сходимости
X
1
3
р
13
2
р
13
2
— —на
мажорируе-
подмноже-
мая (мажори-
стваз семей-
руюьуая, более
ства ©. . .
X
1
2
сильная, более
—— под-
слабая) . . .
р
4
8
множестве
X
1
3
метриауе-
универсаль-
мая
IX
2
4
ная
)Х
1
упр. ;
р
3
8
— топологиче-
мулътипли-
ская . . . .
р
1
1
кативная то-
Структуры ров-
пологического
номерные срав-
тела . . . .
р.
10
21
нимые . . .
1’
4
8
ограничен-
Сумма про-
16
ной сводимо-
странсто . .
р
7
ста . . . .
X
1
3
— ряда . . . .
р
И
5
определен-
— суммируемого
пая отклоне-
семейства . .
р
и
1
кием.' семей-
— топологий . .
р
7
16
ст ном откло-
Суммируемое се-
нений . . . .
IX
1
2
мейство . . .
р
11
1
—■ — отделимая
р
3
5'
Суслинское мно-
—ассоции»
жество^ про-
рованная с дан-
странстео
IX
6
2
ной раеномер-
Сфера . . . .
IX
2
ной структурой
р
5
6
Сходимости ком-
р
3
7
— — правая (ле-
пакгпиой равно-
вая) топологи-
мерная струк-
ческой группы
р
10
11
тура . . . .
р
13
9
Гл. §
п°
Гл. §
пс
Сходимости ком-
Счетное в веско-
пактной mono-
нечности ло-
логия
Р 13
2
кально ком-
— предкомпакт-
пахтное про-
ной равномер-
странство
Р. 8
19
ная структу-
X 1
3
Тело
IX 6
3
ра
— множеств, по-
— простой рае-
рожденное мно-
номерная
Р 13
жеством под-
структура . .
множеств . .
IX 6
3
топология
Р 13
2
— нормированное
Р 10
20
— равномерной
— топологическое
Р 10
20
на множествах
Теорема Алек-
семейства 6 рае-
сандрова . .
Р 8
6
номерная
Р 13
— А сколи . . .
X 2
5
структура . .
1
Р 13
6
— равномер-
— Бэра . . . .
IX 5
3
ная структу-
Р 13
Р 1
17
ра
2
1
— Вейерштрасса
Р 6
18
— — топология
Р 13
— —Стоуна . .
X 4
2
Сходимость ком-
Р 13
23
пактная . .
X 1
3
— Дини . . . .
X 4
1
X 3
4
Р 13
21
— ограниченная
X 1
3
— о двойном пре-
— предкомпакт-
деле . . . .
Р 2
26
ная
X 1
3
— — монотонном
— простая . . .
X 1
3
пределе . . .
Р 2
21
X 3
4
— об аппрокси-
— равномерная х
X . 1
1
мации в Rn .
Р 12
3
— — на миоже-
— Стоуна . .
X 4
1
ствах семей-
— Тихонова . .
Р 7
9
ства <5. . .
X 1 .
2
— Урысона . .
IX 4
1
.Сходящаяся по-
IX 4
2
следователь-
Р 5
7
ностъ . . . «
Р 2
18
Тип счетный ме-
Сходящееся бес-
триауемого про-
конечное произ-
апранства . .
IX 2
8
ведение . . .
Р 11
15
Тихонова теоре-
Сходящийся базис
ма
Р 7
9
фильтра . . .
Р 2
11
Топологии срав-
— ряд . . . .
Р 11
15
нимые, . .
Р . .4 .
1
Счетного типа
Топологическая
метризуемое
группа . . . .
Р 10
1
пространство
Р 1
14
— структура
Р 1
1
Гл.
§
п°
Гл.
§
Топологическое
Точка
Р
1
1
КОЛЬЦО, . .
Р
К)
16
— внешняя . . •
Р
1
11
— пространство
Р
1
1
— внутренняя .
Р
1
9
— тело . . . .
Р
10
20 .
— граничная . .
Р
1
12
Топология . . .
Р
1
1
— изолированная.
Р
1
13
— дискретная .
Р
1
1
— конденсации
IX
5
упр. 1 1
— индуцирован-
— линейно
нал
Р
7
1
стижимая . .
IX
6
упр. 11
— компактной
— почти перио-
сходимости
X
Г
3
дическая . . .
X
3
упр. 27
X
3
4
— прикосновения
р
13
2
базиса фильтра
р
2
И
р
13
7
— — множества
р
1
10
— мажорируемая
— равномерной
упр. 9
(мажорирую-
сходимости
X
1
щая, более силъ-
Тощее множество
р
1
16
ная,менее
сильная') . ,
р
4
1
Улътраметриче-
— порождаемая
сков простран
ство
IX
2
vnp. 4
множеством подмножеств
— — равномер-
р
4
6
Ультрафильтр
Универсальная
р
2
7
равномерная
ной структу
рой
р
3
5
структура . .
Урисона теорема
IX
IX
1
4
упр. 5 1
— простой схо-
IX
4
2
димости . . .
X
1
3
I1
5
7
X
3
4
Фактор простран-
р
13
2
ство топологи-
на под-
ческое . ♦ . .
I-
7
17
множестве . .
X
2
3
Фактор топология
I-
7
17
— равномерной
Фильтр
р
2
1
сходимости .
X р
1
13
1
— индуцированный
р
2
'8
— мажорируемый
на мно-
(минорируемый,
жествах семей-
более слабый,
ства <5. . .
под-
р
13
1
более сильный) — порождаемый
р
2
3
множестве . .
X
2
3
множеством
— ©-сходимости
X
1
2
подмножеств
р
2
4
Тор одномерный
р
12
4
— сечений филъ-
Точечно конечное
труюгцегася
семейство мно-
упорябоченн ого
жесте . , . ♦
IX
4
3
множества . ,
р
2
(5
Гл. §
п°
Гл.
S
п’
Фильтр сходящийся
Функция, полуне-
просто . . . .
Р 13
2
прерывная снизу
равномерно
Р 13
2
(сверху) в
16
— — — на каж-
точке . . . . Р
6
дом множестве
— почти перио-
семейства S
Р 13
1
дическаяX
3
упр. 28
— Фреше
Р 2
о
— равномерно не-
6
— элементарный
Р 2
10
прерывная . . Р
5
Фильтров про-
— — — относи-
изведение . .
Р 2
26
тельно * под-
9
Фильтрующееся
множества. . . Р
6
множество' . .
Р 2
1
Хаусдорфово про-
Фильтры сравни-
странства . . Р
г
1
мыв
Р 2
3
Фреше фильтр
Р 2
2
Центр шара . . IX
2
2
Функция, аппро-
Р
3
7
ксимируемая
Цепь (в-, V-) . . Р
9
6
равномерно
функциями за-
ПГар единичный IX
3
3
данного множе-
•— замкнутый.
ства
Р 13
20
открытый . . IX
2
2
— взаимно не-
Р
3
7
прерывная . .
Р 6
6
— непрерывная
Р 6
3
Эквивалентные
в точке . .
Р 6
1
абсолютные
под-
значения . . . IX
3
2
множества от-
Р
10
24
носительно
— базисы фильт-
множества . .
Р 6
9
ровР
2
5
относитель-
— нормы . . . . IX
3
3
но подмноже-
Р
10
27
ства
Р 6
9
— отклонения IX
1
2
— q-периодиче-
— семейства от-
окая . « . . .
Р 12
6
клоненнй . . . IX
1
2
—пер ио дичес-
Р
3
4
кая
Р 12
6
Элементарное
— полунепрерыв-
множество . . Р
7
5
пая снизу
Элементарный
10
(сверху) . . .
Р 0
16
фильтр . . . Р
2
ACTUALITES SCIENTIFIQUES ET INDUSTRIE LLES
N. BOURBAKI
ElementsDE MATHEMATIQUEPREMIERE PARTIE
LIVRE III
TOPOLOGIE GENERALE
TROlSItMK EDITION REVUE ET RUCMENTSE
HERMANN
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИКИ
И. БУРБАКИ
ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛВ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ
СЛОВАРЬ
ПЕРЕВОД С ФРАНЦУЗСКОГО
С. Н. КРАЧКОВСКОГО
ПОД РЕДАКЦИЕЙД. А. РАЙКОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫМОСКВА 1975
517 3/6 Б 91 513.83
Общая топология, вып, 3, Н. Бурбаки, Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1975.
Группа французских математиков, объединенная под псевдонимом «Бурбаки», поставила перед собой цель — написать полный трактат современной математической науки.
Настоящим третьим выпуском завершается перевод на русский язык «Общей топологии».
Книга рассчитана на математиков — научных работников, аспирантов и студентов старших курсов университетов и пединститутов.
Библ. 16 назв.
Н. Бурбаки
ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ
Использование вещественных чисел в общей топологии.
Функциональные пространства. Сводка результатов. Словарь
М., 1975 г., 408 стр. с илл.
Редактор М. М. Горячая
Техн, редактор А. П. Колесникова.Корректор Т. С. Вайсберг
Сдано в набор 4/XII 107 4 г. Подписано к печати 12/V 1975 г. Бумага BOxOOVie. Физ. печ. л. 25,5+2 вкл. Услопи. печ. л. 26,125. Уч,-изд. л. 24,67. Тираж 15000 экэ.
Цепа книги 1 р. 99 к. Заказ N 0603
Издательство «Паука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени Московская типография № 7 «Искра революции»Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по деламиздательств, полиграфия и книжной торговли
Москва К-1, Трехпрудный пер., 9
20203 - 083Ь О53(О2)-7520203 - 083Ь О53(О2)-7535-7535-75© Перевод на русский язык. Главная редакция фивико-математичсской литературы издательства «На ука», 1 975.
20203 - 083
Ь О53(О2)-75
20203 - 083
Ь О53(О2)-75
35-75
35-75
ОГЛАВЛЕНИЕ
От издательства 9
Глава IX. Использование вещественных чисел в общей топологии 11
Порождение равномерной структуры семейством отклонений. Рав- номеризуемые пространства И
Отклонения 11
Определение равномерной структуры посредством семейства отклонений 12
Свойства равномерных структур, определяемых семействами отклонений 15
Построение семейства отклонений, определяющего равномерную структуру 17
Равномеризуемые пространства 19
Полунепрерывные функции на равноморизуемомпространстве 21
Упражнения 23
Метрические пространства; метризуемыепространства 31
Расстояния и метрические пространства 31
' Структура метрического пространства 33
Колебание функции 36
Метризуемые равномерные пространства 37
Метризуемые топологические пространства 38
Роль счетных последовательностей 39
Полунепрерывные функции на метривуемом пространстве 41
Метризуемые пространства счетного типа 42
Компактные метрические пространства; компактные метри- зуемые пространства 44
Факторпространстваметризуемыхпространств 47
Упражнения 49
Метризуемые группы; нормированные тела; нормированные пространства и алгебры 59
Метризуемые топологические группы , . . .59
Нормированные тела . . . .65
Нормированные пространстванад нормированным телом . ,70
Факторпространства и произведения нормированных про- странств 73
Непрерывные полилинейные функции 75
Абсолютно суммируемые семейства в нормированном пространстве 76
Нормированные алгебры над нормированным телом . . . .77
Упражнения 82
Нормальные пространства 86
Определение нормальных пространств 86
Продолжение непрерывнойчисловойфункции 90
Локально конечные открытые покрытия замкнутого множества в нормальном пространстве 92
Пар а компактные пространства 96
Паракомпактность метризуомых пространств 99
Упражнения 102
Баронские пространства 113
Разреженные множества 113
Тощие множества 115
Боровские пространства . . 116
Полунепрерывные функции па боровскомпространстве . . .118
Упражнения 119
Польские пространства; суслинские пространства; борелевские множества 128
Польские пространства 128
Суслинские пространства 132
Борелевские множества 134
Раздробленные и лузинские пространства 136
Решето 138
Отделение суслинских множеств 140
Лузипские пространства и борелевскиемножества . . . .1 .142
Борелевские сечения 144
Емкостность суслинских множеств 146
Упражнения 149
П р и л о ж е и и е к главе IX. Бесконечные произведения в нормированных алгебрах 160
Перемножаемые последовательности в нормированной алгебре 160
Критерии перемножаемости 161
Бесконечные произведения 165
Упражнения 167
Исторический очерк к главе IX' 170
Библиография 172
Глава X. Функциональные пространства 173
Предисловие ко второму изданию 173
Равномерная структура ©-сходимости 173
Структура равномерной сходимости 173
©-сходимость 174
Примеры ©-сходимости 177
Свойства пространствSF^X*, Y) 179
Полные множества в ^д(Х; У) 180
S-сходимость в пространствах непрерывных отображений 181
Упражнения 186
Равностепенно непрерывные множества 190
Определение и общие признаки 190
Специальные признаки равностепенной непрерывности ...195
Замыкание равностепенно непрерывного множества , ...197
Простая сходимость и компактная сходимость в равностепенно непрерывных множествах 198
Компактные множества непрерывных отображений 199
Упражнения 202
Специальные функциональные пространства 208
Пространства отображений в метрическое пространство..208
Пространства отображений в нормированное пространство.211
Свойства счетности пространств непрерывных функций..215
Топология компактной сходимости 217
Топологии в группах гомеоморфизмов 223
Упражнения 227
Аппроксимация непрерывных числовых функций 238
Аппроксимация непрерывных функций функциями из некоторой решетки 238
Аппроксимация непрерывных функций полиномами . . . .241
Приложение:' аппроксимация непрерывных числовых функций, определенных на произведении компактных пространств 244
Аппроксимация непрерывных отображений компактного пространства в нормированное пространство 245
Упражнения . . . • 248
Исторический очерк к главеX 259
Библиография 261
Сводка результатов Книги III 262
Введение 262
Топологические структуры; открытые множества, окрестности, ' замкнутые множества 263
Фильтры и пределы 269
Равномерные пространства; метрические пространства . . . .278
Сравнение топологий иравномерных структур 285
Аксиомы отделимости 288
Непрерывные функции равномерно непрерывные функции, полунепрерывные функции 292
Подпространства; произведения пространств; факторпростраи-
ства
Компактные пространства и локально компактные пространства 310
S 9. Связность 317
Топологическая алгебра 320
Бесконечные суммы и произведения 334
Аддитивные группы в Rn 340
Функциональные пространства 345
Словарь 357
Указатель обозначений . . 392
Указатель терминов 394
Диаграмма основных типов топологических пространств . . . . вклейка
Определения и аксиомы главыIX вклейка
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
Настоящим выпуском, содержащим IX—X главы и сводку результатов «Общей топологии» И. Бурбаки, заканчивается ев перевод на русский язык. Одиннадцатая глава, обещанная автором в последнем французском издании глав I—II, не появилась из-за его безвременной кончины. Главы I—VIII «Общей топологии» выходили на русском языке дважды — в переводах со второго и третьего французских изданий. Настоящий перевод глав IX—X и сводки результатов выполнен с последних (вторых) французских изданий.
В последнем (французском) издании главы IX были даны ссылки только на второе французское издание глав I—VIII, а в главе X — лишь на третье. Для удобства читателя, имеющего только первое или второе русское издание предыдущих глав, в предлагаемом переводе IX—X глав и «Сводки результатов», там, где это оказалось возможным, даны ссылки на оба издания. Отсутствие ссылки на номер издания означает, что она одна й та же для обоих изданий.