ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКОВ

В последние годы интерес к топологии многообразий малых размерностей и, в частности, к двумерной топологии заметно растет. Этому способствует, с одной стороны, расширение ее применений в смежных областях и успешное развитие этих областей, а с другой стороны, успехи самой двумерной топологии и появление в ней новых средств и идей. Изданная в 1970 г. на немецком языке книга Цишанга, Фогта и Колдевая «Поверхности и плоские разрывные группы», содержащая широкое и в то же время достаточно элементарное введение в двумерную топологию и связанные с нею аспекты комбинаторной теории групп, быстро разошлась, и в 1980 г. в той же серии Lecture Notes in Mathematics издательство Шпрингер выпустило ее в расширенном и переработанном виде на английском языке. К этой книге примыкает изданная в той же серии годом позже более специальная монография Цишанга «Конечные группы классов преобразований поверхностей», посвященная знаменитой проблеме Нильсена. Перевод этих двух книг, объединенных в соответствии с указаниями автора, X. Цишанга, перед вами. Читатель, интересующийся двумерной топологией и ее связями с другими областями математики, найдет в ней много полезного. Чтобы охватить и новейшие направления, мы, с согласия X. Цишанга, включили в книгу обзор Н. В. Иванова, содержащий, в частности, набросок решения упомянутой выше проблемы Нильсена, которое было получено С. А. Керкхофом в 1980 г. при помощи новой техники, введенной У. Терстоном.

Пользуясь случаем, выражаем нашу признательность X. Ци- шангу за внимание к переводу, помощь в исправлении ряда мелких неточностей и большую работу по расширению и реорганизации списка литературы, выполненную специально для настоящего издания.

О. Я. Виро, Н. Ю. Нецветаев

ПРЕДИСЛОВИЕ

Для поверхностей классические проблемы топологии — проблема классификации и хауптфермутунг — давно решены, и можно обратиться к более тонким вопросам. Однако наиболее интересна не топологическая, а аналитическая сторона теории поверхностей. Результаты комплексно аналитической теории часто являются чисто топологическими, тогда как их доказательства опираются на глубокие теоремы теории функций. Это проистекает из естественной и тесной связи с разрывными) группами движений неевклидовой плоскости.

В первой части этой книги рассматриваются комбинаторнотопологические теоремы о поверхностях и плоских разрывных группах. При этом мы приняли точку зрения книги «Введение в комбинаторную топологию» К. Райдемайстера. Однако в главах 1—5 мы не придерживаемся комбинаторной точки зрения строго и отступаем от нее, где это представляется удобным. Таким образом, мы далеки от стремления к чистоте, которое характерно для упомянутой выше книги К. Райдемайстера. Например, теоретико-групповые теоремы иногда доказываются геометрически, и наоборот.

В главе 6 доказываются триангуляционная теорема и хауптфермутунг для поверхностей; эти теоремы объясняют, почему в двумерной топологии наиболее интересные вопросы могут быть решены с помощью комбинаторной (или кусочно линейной) теории. В главе 7 рассматриваются римановы поверхности и излагаются элементарные основы теории О. Тайхмюллера, предназначенной для решения проблемы модулей.

Вторая часть книги посвящена реализационной проблеме Нильсена, т. е. вопросу о том, можно ли конечную группу гомотопических классов преобразований поверхности реализовать как конечную группу преобразований.

Впервые эта проблема была решена положительно для случая циклических групп Нильсеном в работе [Nielsen 1942] с привлечением геометрических аргументов, развитых в других его знаменитых работах, опубликованных в Acta Mathematika. Используя модули Фрике, Фенхель [Fenchel 1948, 1950] передоказал теорему Нильсена и обобщил ее на случай конечных раз

решимых групп гомотопических классов преобразований. Предположение о разрешимости необходимо из-за использования теоремы Смита о неподвижных точках. Позже Кравец [Kravetz 1959] дал положительное решение в общем случае. В своем доказательстве он использовал некоторые свойства кривизны пространств Тайхмюллера, влекущие более сильную теорему о неподвижных точках, чем теорема Смита. (Результат и подход работ [Fenchel 1948, 1950] были переоткрыты в работе Макбета [Macbeath 1962] с использованием теории Тайхмюллера.) Опираясь па ту же теорему из работы [Kravetz 1959], Цишанг [Zies- chang 1971] дал положительный ответ на вопрос А. Карраса о том, всякое ли свободное от кручения конечное расширение группы поверхности является также группой поверхности; этот вопрос был интересен как параллельный аналогичному вопросу о свободных группах, положительный ответ на который был получен чуть раньше в работах Столлингса [Stallings 1968] и Суона [Swan 1969]. В это же время, однако, возникли некоторые сомнения в справедливости главного результата работы [Kravetz 1959], см. Линч [Linch 1971]. Позже в работе Мазура [Masur 1975] был приведен пример, показывающий, что результат Кра- веца о кривизне пространства Тайхмюллера не вереи; таким образом, применение его следствия к реализационной проблеме Нильсена не обосновано должным образом. С другой стороны, как показано на некоторых примерах в работе [Цишанг 1976], оказалось, что рассуждение в конце работы [Nielsen 1942] не корректно; тем не менее ее основная теорема остается в силе, поскольку она следует из результатов работ [Fenchel 1948, 1950]. Положительное решение реализационной проблемы Нильсена в общем случае было анонсировано Керкхофом [Kerckhoff 1980]; подробное доказательство опубликовано в его работе [Kerckhoff 1983]. Частичные результаты, аналогичные тем, которые можно получить методами Нильсена, доказаны с применением гомологической алгебры в работе Экманна и Мюллера [Eckmann — Muller 1982]; этот подход близок к подходу работ [Stallings 1968] и [Swan 1969]. Еще два тесно связанных подхода к реализационной проблеме Нильсена найдены В. Нейманом и П. Тукией (не опубликовано). Во второй части книги мы описываем различные подходы к реализационной проблеме Нильсена, а также некоторые смежные задачи и даем несколько приложений к трехмерной топологии.

Для чтения главных параграфов первых пяти глав и главы 8 необходимы лишь первоначальные сведения из теории групп; комбинаторная теория групп и теория поверхностей излагаются с азов. В нескольких заключительных разделах этих глав мы, для удобства, пользуемся некоторыми результатами алгебраической топологии. Однако при первом чтении эти разделы можно пропустить. Для чтения глав 6, 7 и 9—11 необходимы первоначальные сведения из теоретико-множественной и алгебраической топологии, неевклидовой геометрии и комплексного авали-

зд; надеемся, что мы выбрали один из простых подходов к рассматриваемым задачам.

Эта книга возникла из записей моих лекций, прочитанных в разное время и в разных местах. Мне особенно приятно отметить здесь, что первые лекции по этому предмету, и вообще свои первые лекции, я прочитал в МГУ в 1963/64 году.

При завершении этих двух томов Lecture Notes мне посчастливилось иметь много помощников. Повторяя сказанное в немецком варианте 1970-го года, я благодарю А. Б. Сосинского, А. В. Чернавского и А. М. Макбета за предложения и критику. Эльмар Фогт сделал записи моих лекций во Франкфурте-на- Майне, а Дитер Колдевай работал вместе со мной над параграфами 7.8—10. Отправным пунктом моих исследований по проблеме реализации Нильсена послужил вопрос А. Карраса; своим пониманием предмета я во многом обязан происходившим в разное время дискуссиям с В. Фенхелем и Т. Йоргенсеном. Началом для второй части явились лекции по этому предмету в Мэдпсоне, штат Висконсин, в 1974/75 году, организованные П. Орликом, который посещал эти лекции и делал критические замечания. На лекциях в Миннеаполисе, штат Миннесота, в 1979 году я смог изложить и усовершенствовать материал главы 8 о кристаллографических группах.

Большое значение для обоих томов Lecture Notes имели семинары на различные темы в Рурском университете в Бохуме, и я благодарю студентов и ассистентов, принимавших в них участие: Б. Бекемайера, Е. Грамберг, Ф. Хиллефельда, Р. Келлера, М. Кролля, Н. Печинского, В. Райвера, X. Фолльмер и Б. Циммермана. К тому же я хочу поблагодарить госпожу Фабер, напечатавшую исходный текст по-немецки, и госпожу Шварц, напечатавшую английские тексты, В. Биггера, выполнившего чертежи, У. Дедерек-Бройер, Г. Краузе и Б. Виха- Краузе, прочитавших корректуры. За подготовку английских текстов и математические предложения я благодарю Д. Коллинза, Ф. Левина и Дж. Стилуэлла.

Я весьма признателен О. Я. Виро и Н. Ю. Нецветаеву за тщательный перевод книги и исправление многих неточностей. Совместная работа была мне очень приятна.

X. Цшианг

ЧАСТЬ 1

ПОВЕРХНОСТИ

И ПЛОСКИЕ РАЗРЫВНЫЕ ГРУППЫ

СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ И ГРАФЫ

Свободные группы

Здесь мы рассмотрим одномерные комплексы (графы) и пх фундаментальные группы; последние обладают одним замечательным комбинаторным свойством: они являются так называемыми свободными группами. Мы введем читателя в круг проблем комбинаторной теории групп и разовьем методы Нильсена и Райдемайстера — Шрайера. В основе нашего подхода лежит тесная связь комплексов с группами и накрытий с подгруппами, важная и для последующих глав. Начиная излагать зту теорию, Мы предполагаем известным только определение группы.

Определение. Для данной системы символов (S<)ie; каждое выражение вида

Ш = ^%22 ... S^, et = ±l,

называется словом из букв S,; пустое слово обозначается через 1. Произведением слов называется слово, которое получается, если ■■писать символы одного слова и, следом за ними, символы ■торого.

Слова W = W^S?^ и V = W,W2 назовем элементарно вквиналентными. Слова W и V называются эквивалентными, если существует конечная последовательность слов W = Wt, W2, ... . । „ IV,„ — Г, в которой соседние слова Wt и W,+, элементарно аквивплептны, Класс слов, эквивалентных слову ТУ, обозначается '«’Рез [IV]. Произведение классов [И7] и [V] определяется формулой

[РУ] . [у] = [ТУУ].

Это произведение корректно определено; действительно, если W = Wb TV2, ..., 1У„ = W' и V = УЛ, ..., Vm = V' — две последовательности элементарно эквивалентных слов, то WV = ТУ, У,, W2Vt1 ..., ТУПУ,, ШПУ2, ..., WnVm=W'V' также является

такой последовательностью. Множество S классов эквивалентных слов образует группу относительно этого умножения, ее единичным элементом служит класс пустого слова. Обратным элементом ДЛЯ IW] = ра* . . . ^У служит [IV-1] = [5«'п . . . 5a'1]-

Определение. Построенная группа S называется свободной группой со свободными образующими [SJ, t е /; мощность множества индексов I называется ее рангом. Мы пишем S = < (5,),е1|>, а для конечного или счетного I употребляем запись типа S = <5„ ...., 5„|>, S = <5,, S2, ...1> и т. п.

В дальнейшем мы покажем, что группы различных рангов не изоморфны (теорема 1.7.7). Мы ограничиваемся свободными группами не более чем счетного ранга. Свободная группа S = = <(5,)1е/1> со свободными образующими s, = [5(] обладает следующим свойством.

Предложение. Для каждой группы G и семейства ее элементов (х,)<е1 существует единственный гомоморфизм ф: S -> G такой, что ф ($,) = #„ г el. Это часто выражают при помощи диаграммы

Доказательство станет очевидным к концу следующего параграфа.

Это свойство называется свойством универсальности. Оно характеризует S с точностью до изоморфизма.

Теорема. Пусть F — группа и (£,)lei — такие ее элементы, что для любой группы G и любого отображения (^)1е1

G, £* *-► hi, существует единственный гомоморфизм ф: F-»-G такой, что <р(Ц = h<. Тогда F = S.

Доказательство. В силу 1.1.3 найдется такой гомоморфизм ф: S-*F, что ф («.)=£,.. Далее, по предположению, существует такой гомоморфизм if: F-► S, что if (£,) = «,. Таким образом, хр°ф: S -> S и (if ° ф) (s,) = з„ Следовательно, if ° ф = ids по свойству единственности пз 1.1.3. То же рассуждение, но уже с использованием предположения о единственности из условия доказываемого предложения, дает, что ф ° if = idr. Следовательно, Ф и if — изоморфизмы. □

Понятие свободной группы может быть введено также при помощи свойства универсальности 1.1.3. Это наиболее подходящий способ с категорной точки зрения (см. [Massey 1967, 3.5]). Наш элементарный подход непосредственно приводит к вопросу о том, какие слова определяют один и тот же элемент группы. Эта так называемая проблема тождества в случае свободных образующих свободной группы имеет простое решение.

Упражнения 1.1—3.

Проблемы тождества и сопряженности

Если в свободной группе задана система свободных образующих, то легко определить, представляют ли два слова один и тот же элемент и представляют ли они сопряженные элементы.

Определение. Слово ТУ = 5^ ... Sa„(Ei = ± 1) называется редуцированным, если ни для какого г = 1, ..., n—1 не выполняется равенство 8аг = 5^1х.

Конструкция. Следующий процесс превращает данное слово

W = 5»* . . . S^

в эквивалентное редуцированное слово. Положим W1 = 5а1. Если JVi_1 = 5p1 . .. 5pj, то положим W, = W,-2 в случае, когда S^v = S^1, в противном случае положим Wt — W^yS^ . Слово W„ будет редуцированным словом, эквивалентным W. □

Пусть теперь V — редуцированное слово, эквивалентное W, и пусть V = Vi, У2, ..., Vm = W — последовательность, в которой соседние слова элементарно эквивалентны. Покажем, что описанный выше процесс превращает W в V. Ясно, что этот процесс оставляет У неизменным.

Если V, = GH и У,т1 = G5/5, ’Н и если Л(Х) обозначает редуцированное слово, ассоциированное с X описанной выше процедурой, то легко видеть, что К ^GS/S3 J) = К (G) и, следовательно, Л(У,) = /<(У,+1). Таким образом, мы доказали

Предложение. Два слова эквивалентны тогда и только тогда, когда они определяют одно и то же редуцированное слово. □

Решение проблемы сопряженности мы сформулируем в виде следующего предложения.

Предложение. Два редуцированных слова W, и W2 представляют сопряженные элементы тогда и только тогда, когда они имеют вид

W1 = H-'KJH, W2 = L"4KL.

Здесь ни KJ, ни JK не оканчивается символом, обратным начальному символу. Редуцированное слово, у которого начальный и конечный символы не являются взаимно обратными, называется циклически редуцированным, и говорят, что JK получается из KJ циклической подстановкой.

Доказательство — упражнение 1.4. □

Выполните также упражнения 1.5, 6.

Графы

Со свободными группами тесно связаны одномерные комплексы, которые мы здесь вводим. Их связь с группами служит предметом следующего параграфа.

Определение. Граф, или одномерный комплекс,— это не более чем счетная система точек, называемых вершинами, и направленных дуг, называемых ребрами, обладающая следующими свойствами:

Каждое ребро имеет вершины, называемые его началом и концом (они могут совпадать).

Для каждого ребра а существует обратное ребро ст-1, причем (ст-1)-* = ст.

Начало ребра а является концом ребра о-1, а конец ребра ст — началом ребра ст-1.

В дальнейшем мы будем называть пару обратных друг другу ребер геометрическим ребром.

Определение. Путь о» — это конечная последовательность ребер сти о2, ..., Стп таких, что конец ребра ст, совпадает с началом ребра ст1+,. Мы используем запись

(О = 0,02 . . . Стп ИЛИ (О = СТ, ... Стп.

Путь называется замкнутым, если конец ребра стп есть начало ребра ст,; он называется редуцированным, если в нем не встречается пара вида сто-1 (шип *)).

Граф называется связным, если каждые две его вершины служат началом и концом некоторого пути со = о,... стп. Он называется конечным, если содержит лишь конечное число вершин и ребер. Степенью вершины называют число ребер, для которых она служит началом.

Примерами графов являются сеть городских улиц, сеть железных дорог, телеграфные линии и лабиринты. Один вопрос о графах, задача о кёнигсбергских мостах, считается отправной точкой развития топологии. Спрашивалось, можно ли пройти по всем мостам, изображенным на следующем рисунке, не проходя по одному мосту дважды:

*) В оригинале —spur (англ.) и Stachel (нем.).— Примеч. пер.

по пути, в котором каждое геометрическое ребро встречается в точности один раз. Эйлер показал, что пути с таким свойством не существует. Более того, им доказана следующая

Теорема. Если в связном конечном графе С все вершины имеют четную степень, то С можно обойти по (замкнутому) пути, в котором каждое геометрическое ребро встречается ровно один раз. Если С содержит 2п вершин нечетной степени, то чтобы пройти по каждому его ребру ровно один раз, требуется п (незамкнутых) путей. '

Доказательство — упражнение 1.7. □

Определение. Связный граф, не содержащий редуцированных замкнутых путей, кроме тривиального пути 1), называется деревом.

Теорема. В конечном графе С существует дерево, содержащее все его вершины.

Доказательство. Возьмем в С произвольную вершину Ро. Пусть подграф В» состоит из Ро, а подграф В, графа С получается из В,-, присоединением всех вершин, отстоящих от B,_t па одно ребро, каждой — вместе с одним связующим геометрическим ребром. Тогда В = U Вг — дерево, содержащее все вершины графа С. □

Дерево, содержащее все вершины графа С, называется остов- ным деревом ) графа С. Построенное нами дерево обладает по отношению к Ро некоторым свойством минимальности. А именно, в дереве В каждую вершину графа С соединяет с Ро путь той же длины, что и «кратчайший» (т. е. содержащий минимальное число ребер) путь в С.

Так как дерево не содержит редуцированных замкнутых путей и каждый путь определяет единственный редуцированный путь, то любые две вершины дерева можно соединить ровно одним редуцированным путем.

Пусть В — остовное дерево графа С и о — не содержащееся в В ребро с различными концами Р и Q. Пусть со — редуцированный путь из Р в Q, содержащийся в В. Если удалить из В ребро ст', входящее в со, и вставить вместо него о, то получится повое остовное дерево В', которое называется соседним с В. Если два остовпых дерева В и В' отличаются друг от друга только к ребрами, го можно превратить В в В' при помощи к таких операции. По этой причине имеет смысл следующее определение.

Определение. Числом связности графа называется число геометрических ребер, лежащих вне остовного дерева.

Если вершин конечное число, то число связности равняется

где а, — число геометрических ребер и а0 — число вершпн.

Фундаментальная группа графа

Конструкция и определение. С этого места мы предполагаем, что С — связный граф и Р — его вершина. Аналогично тому, как это делалось со словами в случае свободной группы, доказывается, что для каждого пути имеется однозначно определенный редуцированный путь. Два замкнутых пути с началом в Р называются эквивалентными, если они дают один и тот же редуцированный путь.

Как и в случае слов, это есть отношение эквивалентности. Для путей ®t и <л>2, конец первого из которых совпадает с началом второго, можно определить произведение о = сщюц как путь, который проходит сначала по ®„ а затем — по <o2. Классы эквивалентных замкнутых путей, начинающихся в точке Р, тоже можно перемножать: их произведение определяется как класс путей, содержащий произведение представителей перемножаемых классов. Как и в случае свободных групп, видно, что такое перемножение корректно определено и что множество классов эквивалентных путей с этим перемножением является группой. Она называется фундаментальной группой (иногда — группой путей') графа С.

Теорема. Фундаментальная группа (связного) графа свободна.

Доказательство. Пусть В — остовное дерево. Каждому не лежащему в В ребру можно поставить в соответствие символ 8. или «?7\ причем взаимно обратным ребрам ставятся в соответствие взаимно обратные символы, и разным ребрам — разные

символы. Тогда замкнутому пути с началом в Р отвечает слово W = S^ ... 8^ из символов S^1, если этот путь проходит одно за другим ребра, отвечающие символам Sa1\ ..., 8^. Поскольку целиком лежащие в В замкнутые пути можно стянуть в их начало, пути с эквивалентными словами сами эквивалентны, и обратно. К тому же произведение путей соответствует произведению соответствующих им слов. Таким образом, фундаментальная группа изоморфна свободной группе с образующими 8,. □

Путь аг ... Мт1 ... а?1 называется шипом (ср. 1.3.2). Как мы видели, редуцированная форма произвольного пути получается последовательным удалением всех шипов.

В частности, всякий замкнутый путь в дереве «состоит из шипов».

Если вместо Р в качестве начальной вершины взять любую другую вершину Р', то получится изоморфная группа. Чтобы убедиться в этом, возьмем путь v в дереве, соединяющий Р с Р', и поставим в соответствие пути со с началом и концом в Р путь v'wv. Это определяет взаимно однозначное соответствие между классами путей.

Примеры остовных деревьев приведены на рис. 1.4.1.

Упражнения 1.8, 9.

Накрытия графов

Определение. Под накрытием f: С ^-С графа С графом С мы понимаем отображение множества вершин, соответственно ребер, графа С' на множество вершин, соответственно ребер, графа С, обладающее следующими свойствами:

Если ст'— ребро с началом Р' и концом Q', то Но') — ребро с началом /(Р') и концом f(Q').

(/(о'))-* = /(о'-‘).

Если ЦР )=Р, то / взаимно однозначно отображает множество ребер Ох , 02) ... с началом в Р' на множество ребер Оц 01, ... с началом в Р.

Если /(о')=о, то мы говорим, что а' лежит над о. Пусть /: С* -* С — накрытие. Тогда образ любого шипа в С' является типом в С, и, следовательно, образы эквивалентных путей вквивалентны. Если теперь о'т'— путь в С' такой, что /(т') = ■/(о')-1, то в силу свойства (с) также V = о'-1. Таким обра- аом, путь, отображающийся в шип, сам является шипом, а пути С одним и тем же началом, отображающиеся в эквивалентные пути, сами эквивалентны. Ясно, далее, что / переводит произ- иедонне двух путей в произведение их образов. Следовательно, / (Индуцирует мономорфизм фундаментальной группы графа С' И точке /* в фундаментальную группу графа С в точке Р = /(Р').

. Продложение. Фундаментальная группа накрыва- МИ#(Гб*<1 <*раф« изоморфна некоторой подгруппе U фундаментальной зруппы накрываемого графа. □

Если вместо Р* взять в качестве отмеченной любую другую лежащую над Р вершину, то образ фундаментальной группы в пей будет подгруппой, сопряженной с U.

Обратно, для произвольной подгруппы U фундаментальной группы S графа С мы построим накрытие /: С' -»- С такое, что индуцированный мономорфизм отображает фундаментальную группу графа С' на U.

Пусть gb g.., ...— представители правых смежных классов Ug группы S но подгруппе U. В качестве представителя класса U

возьмем gt = 1. Пусть В — остовное дерево графа С. Для каждого класса Ug{ возьмем копию В, дерева В. Всякое не лежащее в В ребро а графа С соответствует некоторому элементу s е S. Пусть Q и В — начало и конец ребра a, a Qt и Rt — соответствующие вершины в В,. Если Ug.s = Ug„ то добавим ребро т(1, о) с началом Q, и концом Н5 и обратное ребро т(/, ст-1). Пусть С'— объединение деревьев В, и ребер т(г, о), где г = 1, 2,... и о е С\В. Тогда С* — связный граф, и отображение /, переводящее В. «тождественно» в В и т(1, о)—в ст, является накрытием.

Пусть Р — отмеченная точка фундаментальной группы S графа С и Pt — вершина дерева Bt, лежащая над Р. Пусть S' — фундаментальная группа графа С' в Pt. Если путь с началом в Pt лежит над замкнутым путем, то он тоже замкнут в том случае, если лежит целиком в Bt или если проходит по такой цепочке ребер вне В,

r(i„ ст,), ..., т(г„, ст„),

что $1$2.. . s„ — элемент подгруппы U.

Здесь s, — элементы группы S, соответствующие ребрам ст,. Таким образом, индуцированный накрытием мономорфизм отображает S' в U. Наоборот, если о» — путь в С, соответствующий какому-нибудь элементу подгруппы U, а ст,, ст2, ..., стт — ребра из С\В, которые он по очереди проходит, то s,s2... sm ^ U и ® = ®iCTiC02CT2... ®mCTm®m+i, где с», — пути в В, а ст, — ребра вне В. Мономорфизм / отображает в о» следующий путь с началом в Рр.

tol.1T (1, о^ to2j,T (/2, СТ2) . . . Т (/m, Стт) tom+1,1,

где tOijj — путь в Bjv лежащий над со,, и т(/(, о,) ведет из Вк в 5Л+Г1

Указанный путь замкнут. Таким образом, S' изоморфно отображается на U и нами доказана

Теорема. Накрытие /: С'С индуцирует мономорфизм фундаментальной группы S' графа С' на подгруппу U фундаментальной группы S графа С при том условии, что отмеченные точки их лежат друг под другом. Наоборот, для каждой подгруппы U группы S существует такое накрытие f: С' ->■ -► С, что индуцированный им мономорфизм отображает фундаментальную группу графа С' изоморфно на U. □

Упражнение 1.10.

Метод Райдемайстера — Шрайера для подгрупп

Топологические результаты предыдущего параграфа можно попользовать для теоретико-группового вычисления образующих подгруппы. Этот метод был введен в работах Райдемайстера [Reidemeister 1927] и Шрайера [Schreier 1927]. Его мы сейчас и разовьем.

Если S — свободная группа, свободно порожденная элементами Si, $2, ..., а граф С имеет одну вершину и по одному ребру at1 для каждого образующего s^1, то его фундаментальная группа изоморфна S. В этом случае остовное дерево состоит из единственной вершины. Если U — подгруппа группы S и С' — накрывающий граф, ассоциированный с U, то U изоморфна его фундаментальной группе и, таким образом, сама является свободной.

Это доказывает первую часть следующей теоремы.

Теорема. Подгруппы свободных групп свободны. Если подгруппа U свободной группы S имеет конечный индекс I, то

Rank U = (Rank S — 1) • i + 1.

По построению С' состоит из а0 = i вершин и at = Rank S • а» геометрических ребер. Для построения дерева нам требуются Ct0 — 1 вершин, поэтому число связности графа С' равно RankS i-i+1. □

Пусть В' — некоторое остовное дерево графа С'. Каждое его ребро соответствует образующему группы S, а именно, классу путей, на который его отображает /: С' -* С. Пусть Р^ Рг1 ... — вершины графа С' (все они лежат над единственной вершиной В С), и пусть Pi — отмеченная точка его фундаментальной группы. Эти вершины однозначно соответствуют правым смежным классам группы S по U. Для каждой вершины Р< имеется ровно один редуцированный путь в В', ведущий из Рх в Р4. Начальные отрезки редуцированных слов, соответствующих таким путям, соответствуют путям из Pi в Pj. Слово, соответствующее пути Р<, представляет элемент wt смежного класса Ug< (построение накрытия для заданной подгруппы в теореме 1.5.3). Вместо gt в качестве системы представителей смежных классов МЫ можем взять wt. По отношению к образующим st они удовлетворяют следующему «условию Шрайера».

Условие. Каждый начальный отрезок слова w, (рассматриваемого как слово из букв $,) сам входит в систему пред- ставитвлей.

Здесь мы считаем, что w, — редуцированные слова.

Наоборот, если система представителей (gj удовлетворяет условию ШВайера, то эти представители соответствуют остовно- Му Дереву д’ Графа С'. Образующие подгруппы U соответствуют путям «'©’(«’а)”1, где а' — ребро из С'\В', а' — единственны Й род у ЦПрованный путь в В', ведущий в начало ребра о', а а а — такой Же путь, ведущий_ в его конец. Подгруппа U порождается элементами вида as (as)-1, где а пробегает множество шрайоровских представителей смежных классов, а s пробегает множество образующих группы S. Здесь as соответствует a'a' и является, таким образом, представителем смежного класса Uas. Если а'а' является, одновременно с а', представителем

смежного класса, то аз(аз) 1 = 1. Остальные элементы вида аз (аз)-1 будут свободными образующими, поскольку ребро а', лежащее над а, не принадлежит дереву.

Теорема. Пусть S — свободная группа со свободными образующими з^ s2,„. и U — некоторая ее подгруппа. Если gi, gz,... образуют шрайеровскую систему представителей для U по отношению к образующим s^ s2, ..., то элементы gxs\gxs^-t порождают подгруппу U, а те из них, которые отличны от 1, в действительности свободно порождают подгруппу U (здесь через g,s, обозначен представитель смежного класса Ug,s,). □

Упражнения 1.11, 12.

Метод Нильсена

Сейчас мы рассмотрим метод Нильсена, позволяющий работать с подгруппами свободных групп. Этот важный инструмент комбинаторной теории групп был введен в работе Нильсена [Nielsen 1921]; на первый взгляд кажется, что он никак не связан с комбинаторной топологией. В следующем параграфе будет показано, что это не так.

Пусть S — свободная группа с образующими sh з2,... В этом разделе слова, представляющие элементы, всегда редуцированы.

Определение. Длиной Цш') элемента w группы S называется длина редуцированного слова, представляющего w. Она зависит от системы образующих.

Определение. Пусть vt, ..., v„— элементы группы S. Если I (v?^) < I (кг) при i ^ /, ц, е = ± 1, то р^, ..., vn с v'h = = vh при k^=i и vt = (оРо®)’1 порождают ту же подгруппу U, что и и,, ..., v„. Такая замена образующих подгруппы U называется операцией Нильсена первого рода. Очевидно, она приводит к уменьшению числа 2 И^/О- Новые элементы мы снова обозначаем через рн ..., и„.

После конечного числа таких операций мы найдем образующие Pi, ..., р„, для которых

I (vF^F) >1 W (i^/).

Это неравенство означает, что умножение любого из vF на щ справа или слева сокращает его не более чем наполовину.

Допустим, что умножение на Vk слева и на и- справа (е, ц = = ±1) полностью сокращает vx, i^j, к, т. е. левая половина слова и, сокращается с некоторым отрезком слова i^, а правая половина — с конечным отрезком слова Vj. (Более половины сократиться не может в силу (1.7.3).) Тогда и1 имеет четную длину 2пг. Поскольку число элементов и< конечно, в их записи появляется лишь конечное число образующих. Упорядочим элементы, порожденные этими образующими з3, по длине, а среди элементов одинаковой длины фиксируем какой-нибудь порядок,

не различающий взаимно обратных элементов. Заменяя при необходимости элемент р, четной длины ему обратным, мы всегда можем добиться, чтобы р, = игр-1, где и и w имеют равную длину и и по порядку идет раньше w (имеется в виду, что и и гр оканчиваются разными символами). Каждому элементу при этом упорядочении предшествует лишь конечное число элементов.

В дальнейшем мы будем возвращаться к операции Нильсена первого рода каждый раз, когда нарушается неравенство (1.7.3), а потом начинать заново с операции Нильсена второго рода, которую мы теперь опишем.

Определение. Пусть vk = uw~l—первый элемент четной длины среди р,. Если р, имеет (редуцированный) вид р, = = ipz или у, = zip-1, то мы заменяем его на v3 = uz или р, = zu-1 соответственно. Мы называем это заменами по отношению к р6. Это будет проделано в каждом случае, т. е. и тогда, когда ш является только частью первой половины слова р^1. После того как эти замены произведены, ни одно из слов pf1 (/ т^ /с) не начинается со слова w и не кончается словом ip-1. В результате длины слов р, не меняются, поскольку иначе было бы возможным применение операции Нильсена первого рода. Далее мы последовательно производим эти замены по отношению к словам ръ длина которых равна длине vk. Поскольку эти р( обладают половиной наибольшего порядка, а мы заменяем половины только предшествующими половинами, этот процесс закончится через конечное число шагов. Тогда мы производим эту операцию применительно к следующему по длине элементу р, четной длины.

При выполнении этой операции ни один элемент р„ более короткий, чем vk, не меняется, иначе мы смогли бы выполнить первую операцию. Поскольку каждая операция уменьшает либо длину, либо порядок, после конечного числа шагов мы получим систему образующих ip„ ..., w. для U, к которой ни первая, ИИ вторая операции Нильсена более не применимы. Могут появиться и образующие, равные 1, пусть это будут wm+1, ..., wn.

Предло ж е н и е. Элементы иц, ..., wm обладают следующими свойствами Нильсена:

они порождают U;

I (wjw?) > I (шО при i=7^/ или при i = j и е = т], где а, п — *1;

I (u^W?) > I (wk) + I (w}) — I (iPj) при г ¥= /, k или при k — t и —1, или при i = j и т) = — 1. □

Пусть теперь z = ТТ ш^ — редуцированное слово из букв w„ I ■ 1, ..., m. Из свойств Нильсена следует, что

.7.6) I (z) >к + 1-1 (гив1) + l-l^a^-^,

Ц^>1^оа^ + к — 2,

х Цишаиг и др.17

поскольку ни одно из w, полностью не сокращается и по крайней мере половина начального и конечного элементов остается. Следовательно, Z(z)> О для к^ 1.

Таким образом, если г = 1, то г должно быть пустым словом из букв w„ и, значит, wt, ..., wm свободно порождают U. Наши рассмотрения дают новое доказательство того, что конечно порожденные подгруппы свободных групп свободны. Доказательство можно усовершенствовать настолько, чтобы показать, что все подгруппы свободных групп свободны, используя вместо индукции трансфинитную индукцию.

7.7. Теорема. Две свободные группы изоморфны в том и только в том случае, если они имеют одинаковый ранг.

Доказательство. Достаточность этого условия очевидна.

Пусть ги ..., Um — образующие свободной группы S, которая свободно порождена элементами st, ..., sn. С помощью операций Нильсена мы получим из г,, ..., vm элементы wt, .. ., w„ 1, ..., 1 (s^m), где w, свободно порождают S. Поэтому можно написать

^ = П4’.

Из того, что Z(s()=l, следует, что г=1 и sT = и?^. По этой причине т^п, и, в силу симметрии, т = п. Отсюда немедленно следует, что свободная группа бесконечного ранга не может быть порождена конечным числом элементов. □

Теорема остается верной и без предположения о счетности ранга.

7.8. Предложение. Если образующие р,, ..., vm подгруппы U обладают свойством Нильсена, то они являются кратчайшими среди всех возможных, а именно, если wt, ..., wm — другие свободные образующие подгруппы U и если щ, ..., v^, а также Wi, ..., wm упорядочены по длине, то

ЦиО^КиО, i = l, ..., тп. □

Упражнения 1.13—17.

Геометрическая интерпретация свойства Нильсена

В этом параграфе мы изложим геометрическую интерпретацию свойства Нильсена образующих подгруппы, данную в работе Райдемайстера и Брандиса [Reidemeister — Brandis 1959].

Пусть S — фундаментальная группа графа С, имеющего только одну вершину, и пусть U — накрывающий граф, отвечающий подгруппе U. Выберем в качестве свободных образующих группы S те ее элементы, которые соответствуют ребрам графа С. Под минимальным относительно Р' остовным деревом графа U мы понимаем остовное дерево, которое для каждой вершины Q' графа U содержит кратчайший путь, соединяющий

Р' и Q'. Как мы уже видели при доказательстве теоремы 1.3.3, в каждом графе есть минимальное остовное дерево. Доказательство теоремы 1.3.5 показывает, как найти свободные образующие подгруппы U.

Если образующие заданы при помощи минимального остов- ного дерева, то они обладают свойством Нильсена по отношению к образующим группы S, соответствующим ребрам графа С.

Теорема. Если конечная система образующих подгруппы, U группы S обладает свойством Нильсена, то она получается при помощи минимального остовного дерева.

Доказательство. Пусть U — накрывающий граф, отвечающий подгруппе U, и Р' — отмеченная точка его фундаментальной группы. Пусть Ui, ..., Um — нпльсеновская система образующих и уь ..., и, — образующие нечетной длины. Для заданной отмеченной точки в U каждый образующий группы S определяет ребро в U, и каждый элемент р„ г = 1, ..., in, определяет, таким образом, редуцированный замкнутый путь в U. Если взять все пути, соответствующие vt, ..., vT, и выбросить их средние сегменты, то получится дерево В, в U. Действительно, если бы в В, имелся редуцированный замкнутый путь *1, то нашлись бы Vi, v} — начальные или конечные отрезки слов v„ v3 соответственно или обратные к этим отрезкам такие, что слово ир;, определяло бы замкнутый путь и было бы составлено из образующих Нильсена. Однако в силу свойства 1.7.5 (с) слово щи] не является само образующим Нильсена, поскольку подходящим умножением на rf1 и v^1 оно пол- Яостью сокращается.

Таким образом, ир/, является произведением Ра1^ ... vdr- Пусть и^ = wtwb vdt = Шх^ю^тде слово wtw2 редуцировано. Если U>i — начальное подслово не только в^,, но уже и в щ, то Ра1 ПОЛНОСТЬЮ сокращается при умножении на v, или и?1 слева ■ на Ра* справа, что противоречит 1.7.5 (с). Если захватывает часть Vj, то то же рассуждение применимо к Раг.

Таким образом, В, должно быть деревом, которое мы сейчас расширим. В силу 1.7.5 (Ь) и 1.7.5 (с) не больше половины Каждого из образующих vr+i, .. ., vm четной длины содержится В Bt. Если половина содержится целиком, то мы добавляем к Bt всю оставшуюся половину кроме ее ребра, примыкающего К пирной половине. Мы проделаем это для всех образующих и„ 1> г, у которых половина содержится в уже построенном дереве. Если на этом этапе ни одна половина какого-то из образующих не содержится в построенном на данный момент дереве, то мы добавляем его половину к дереву и продолжаем действовать тем же образом. Как и выше, можно убедиться в 2* 19

том, что на каждом шаге получается дерево, так что в конце мы приходим к остовному дереву В, содержащему все ребра г„ г = 1, ..., т, кроме одного. При правильном выборе направления отвечающая дереву В система образующих фундаментальной группы графа U в точке Р' соответствует образующим Нильсена г,, ..., Vm, и В является минимальным относительно Р' деревом. □

Однако если начать с минимального остовного дерева, взять (соответствующие) образующие и вновь построить минимальное остовное дерево, то может получиться другое дерево.

Автоморфизмы свободной группы конечного ранга

Пусть S — свободная группа конечного ранга со свободными образующими s„ s2, ..., sn. Если а — автоморфизм группы S, то as,, ..., as„ — тоже система образующих группы S. Обратно, если г,, ..., г„ — система образующих группы S, то Si^Vi определяет некоторый автоморфизм. Теперь мы можем преобразовать s, в и, при помощи операций Нильсена, и получится следующая

Теорема. Каждый автоморфизм свободной группы S со свободными образующими s^ s2, ..., sn является произведением следующих автоморфизмов {см. [Nielsen 1919, 1924]):

s1>-»s1s2, si>->st при i>l;

Sx^sf1, Sj>-»-Si при i>l;

перестановка образующих. □

Дж. Г. К. Уайтхед нашел конструктивный ответ на следующий вопрос: существует ли для заданных элементов wu w2^S автоморфизм группы S, переводящий w, в w2. Уайтхед использует следующую систему автоморфизмов:

8а5 saj при 1 ^ / С nv

Set- ^Set Setпри^1/^^^2»

Saj ^ Sa^-ПриП2 < / ^ П3,

SajSa/a/^приП3 < ) ^ П,

где ^ а)—некотораяподстановка, е = ±1и 1 С и, С п2

С п3 С п — натуральные числа.

Уайтхед [Whitehead 1936, 1936'] получил свои результаты при помощи топологических рассмотрений, которые кажутся трудными для понимания. Позже в работах Рапапорт [Rapaport 1958] и Хиггинса и Линдона [Higgins — Lyndon 1974] появились доказательства в стиле комбинаторной теории групп. См. также Линдон и Шупп [Lyndon — Schupp 1977, р. 31—38], с. 52—59 русского перевода. Они были усовершенствованы в работе Маккула [McCool 1974], где даны условия на длины для

систем, появляющихся при применении метода Уайтхеда, ср. [Lyndon — Schupp 1977, р. 38—41], с. 59—62 русского перевода.

Теорема. Если слово w, эквивалентно слову меньшей длины, то существует автоморфизм вида (1.9.2), переводящий Wi в элемент меньшей длины. Если wt и w2 оба имеют минимальную длину и эквивалентны друг другу, то существует такая цепочка АИ ..., Лг автоморфизмов вида (1.9.2), что Л,.. • Л1(ш1) = ш2 и ЦА3.. .Аащ'^Циц') при 1С/<г. Поскольку существует лишь конечное число автоморфизмов вида (1.9.2) и конечное число слов данной длины, этот процесс) конечен. (Два элемента здесь называются эквивалентными, если один из них переводится автоморфизмами в другой ).) □

Пример. Рассмотрим свободную группу S2, порожденную s, t, и пусть w3 = satb, w2 = sctd с a, b, с, d> 2. Рассмотрим поведение длины при эквивалентности Уайтхеда). Достаточно взглянуть лишь на следующие автоморфизмы Уайтхеда, поскольку остальные получаются из них сопряжением:

($, Z) •-»■ (s, tsR), (s, Z) >-» (st6, <), где e = ±l.

В первом случае

./(а + 2Ь при е = 1,

s»tb ~ s“(fs ) , Z (sa (Zs®)6) =, ол

4(а + 26 — 2 при е = — 1,

поэтому /(s’^JC Z(s“(Zs')b), и равенство достигается только при b — 2. Второй случай рассматривается аналогично. В обоих случаях, следовательно, s4b имеет наименьшую длину среди всех элементов, эквивалентных ему по Уайтхеду. Поэтому $ЧЪ не эквивалентен в смысле Уайтхеда свободному образующему группы Si, и пара (sntb, scZd) тем более не эквивалентна по Уайтхеду системе свободных образующих. Это особенно интересно в случае, когда [" ^| = ± 1, поскольку тогда satb, s'? порождают проком мутированную группу.

Число подгрупп конечного индекса можно определить, используя результаты Нильсена, см., например, М. Холл [Hall 19391.

Уиуажиеиия

, Довяжите, что Z — свободная группа ранга 1.

/[окажите, что группа Z © Z не свободна.

Докажите, что свободная группа ранга > 1 бесконечна.

. Докажите предложение 1.2.4.

1Л. Пусть F — свободная группа и х, у е F таковы, что ху = ух. Докажите, что существует элемент zeF такой, что х и у оба являются его степенями.

Z (u>z®) < Z (ta)Z (u>z®) < Z (ta)званий элементов будут объяснены в главе 2, см. 2.1.10(b) и 2.11.3.)званий элементов будут объяснены в главе 2, см. 2.1.10(b) и 2.11.3.)

Z (u>z®) < Z (ta)

Z (u>z®) < Z (ta)

званий элементов будут объяснены в главе 2, см. 2.1.10(b) и 2.11.3.)

званий элементов будут объяснены в главе 2, см. 2.1.10(b) и 2.11.3.)

Выведите отсюда, что если нетривиальная абелева группа свободна, то она изоморфна Z.

Докажите теорему 1.3.3.

Найдите остовное дерево для следующего графа

и тем самым найдите ранг его фундаментальной группы.

Замена остовного дерева соответствует замене образующих фундаментальной группы. Опишите действие на образующих при переходе к соседнему дереву.

Используя остовные деревья следующих графов

найдпте систему образующих для подгрупп группы <s, i|>, определенных графами (а), (Ь), (с) как накрывающими графа

и найдите ранг п индекс каждой из этих подгрупп.

Покажите алгебраически, что шрайеровская система элементов, указанная в теореме 1.6.3, свободно порождает U.

Выполните упражнение 1.10, используя метод Райдемайстера— Шрайера.

Докажите предложение 1.7.8.

Докажите, что подгруппа U группы S = <$, t|>, порожденная элементами s2<3 и s3Z4, имеет бесконечный индекс, но что после «абелианиза- цип» (т. е. после добавления соотношений коммутирования) факторгруппа S/U будет тривиальной.

Пусть S = <$, t|>, и пусть U —подгруппа, порожденная элементами s2Z3, sis-’t-1, s4i5s4t5. Определите системы образующих для U, обладающие свойством Нильсена.

Докажите, что если элементы £|, ..., хп свободной группы обладают свойством Нильсена и элемент и? #= 1 лежит в порожденной имп подгруппе, то

для некоторого х®.

Пусть ф — гомоморфизм конечно порожденной свободной группы F на свободную группу S. Тогда F обладает набором свободных образующих Z = Z1 U За таким, что ф отображает <Zi|> изоморфно на S, a <Z2|> — в 1.

Докажите, что элементы

Д(7, 3) = uuvu-’v^’ttvtt-’u-’u-'yup-’ll ’,

Д(7, 5) = vuv-'uvn-'vu-'v-'uv-'u-'vu"'

нельзя перевести друг в друга автоморфизмом свободной группы со свобод- пымп образующими и, и. (Причина интереса к этому примеру и выбор на

Пусть S — свободная группа со свободными образующими $ь ... ..., sn, <ь ..., tm, и пусть w — слово из букв я, ..., $п, имеющее наименьшую длину относительно автоморфизмов подгруппы U, порожденной я, ..$„. Покажите, что не существует автоморфизма а группы S такого, что IWwn <ЦшУ

(а) Покажите, что для произвольного автоморфизма а свободной группы S с двумя образующими s, t выполнено соотношение

afsis-'t-1) = u($i$-,t-,)±,u-,1

где и — подходящий элемент группы S.

(Ь) Если некоторый эндоморфизм р группы S удовлетворяет уравнению P(sts-,t-1) = sis-1!-1,

то р — автоморфизм (см. [Nielsen 1918], [Chang 1960], [Мальцев 1962]).

(а) Пусть S —та же, что выше, и (<z, b) = 1, |а|, |Ь| > 2. Покажите, что эндоморфизм р с P(s“tb) = 8*ЧЬ является автоморфизмом.

(Ь) Если для некоторого автоморфизма а выполняется соотношение a^t6) = sa'tb', то а' = ±а, Ь' =± b или а' = ±Ь, V = ±а. (Это упражнение трудное; ср. [Lyndon 1959], [Zieschang 1962].)

ДВУМЕРНЫЕ КОМПЛЕКСЫ

И КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАНИЯ ГРУПП

Каждая группа есть факторгруппа свободной группы, поэтому, в дополнение к системе образующих, нам нужно описание ядра. Это приводит к понятиям соотношения и задания группы. В этой главе мы рассмотрим задания групп и их связь с двумерными комплексами. Мы обобщим методы первой главы с тем, чтобы, используя накрытия этих комплексов, доказать некоторые теоремы о подгруппах.

Теорема Титце

Определение. Пусть (5.) 1е/— семейство букв, и пусть (R^S) ),eJ — семейство слов из символов St и 5 Г1- Говорят, что группа G имеет ^комбинаторное^ задание <(5,)1е,| 7?,(5),gj\ если:

имеются элементы з( группы G, отвечающие буквам St и порождающие G;

для всех / соотношения /?Д«)=1 выполнены в G;

для каждого семейства (и.).^ элементов группы Н с Д,(^)= 1 формула зц-»щ определяет гомоморфизм G-»-Н.

Тогда пишут G = < (S,),G; 1 (Rj)jeJ> и говорят, что G задается образующими (SJ.ei и определяющими соотношениями (R^j. Мы рассматриваем, главным образом, конечные или счетные семейства и пишем <5И ..., S„\Rl(S), ..., Rm(Sp, <St, ...I Ri^S), .. .> и т. п. В случае свободной группы с образующими 51, ... мы пишем <5И .. .1 >.

Эта система обозначений не вполне корректна, так как буквы 5Ь 52, ... не являются элементами группы G, но она удобна, поскольку позволяет избежать постоянных изменений в обозначениях, не делая различий между символами, словами и элементами группы. Во всех случаях из контекста ясно, что имеется в виду. Ниже мы будем писать также

G = <s„ з2, ...1Л(8), R^s), ...>,

где s, — элементы группы G. Очевидно, имеет место следующая

Теорема единственности. Две группы, имеющие одинаковые задания, изоморфны. □

Пусть S — свободная группа с образующими $ь s2, ... и R — наименьший нормальный делитель группы S, содержащий элементы 7?i(s), T?2(s), ... Тогда группа S/R порождается элементами Si = Rs„ и 7?,(s) = 1 для любого I.

Если группа Н содержит такие элементы plf р2, ..., что Rf(y)=_l для любого I, то формула st >-► к, определяет гомоморфизм a: S -»- Н, который переводит R в единицу группы Н. Следовательно, а индуцирует гомоморфизм а: S/R -► Н, переводящий $< = Rs, в щ:

Теорема существования. Для любой системы (Slt S2, ...; Ri(S), Д2(5), ...) существует группа G = <s,, s2, ...I R,(s), R^s^ ...>. □

Замечание. Мы видим, что другие соотношения группы G, рассматриваемые как элементы R(s) группы S, лежат в R. Все слова, ассоциированные с элементами нормального делителя R, называются (соотношениями-) следствиями соотношений R.(S). Они являются произведениями элементов, сопряженных элементам R.(S) и обратным к ним элементам.

Ново, что группа G может иметь различные задания. Сейчас мы опишем операции 2.1.5—2.1.8, при помощи которых от одного задания можно перейти к любому другому заданию той же группы. Пусть G = <(St)1el\(R1(S))ieJ>.

Добавление новых образующих U< и такого же коли- чостна новых соотношений Ru^S, иг) = UiWt \ где W, есть слово ИЗ букв Si.

Операция, обратная к 2.1.5.

Добавление соотношений-следствий. Среди них допускаются и тривиальные соотношения, т. е. слова, равные 1 в свободной группе.

Операция, обратная к 2.1.7.

Эти операции носят имя Титце, который доказал следующую теорему.

). Теорема.Два задания <(Si)tGl I (R^S))3eJ> и

^Т^91.\(Р^Т))^')определяют изоморфные группы в том

Й ТОЛЬКО в том случае, если одно из них можно превратить в посредством конечной последовательности преобразований /( о к а а я т о л ь с т в о. Остается только показать, что условие необходимо.

Предположим, что задания определяют одну группу. Пусть S — свободная группа с образующими (s,)„=, и Т — свободная группа с образующими (zOisr-B силу предположения, существует эпиморфизм <р: S -► G с ядром R, так что S/R = G, и эпи- морфиэм ф: Т -* G с ядром К, так что T/K = G. Пусть Х„ Xi,... — слова, определяющие такие элементы хИ хг,... группы Т, что М^) — <p(sj), и пусть У„ У2,...— слова, определяющие такие элементы у,, у2,... группы S, что <р(г/.)= ф(<,).

Тогда операция 2.1.5 превращает <(Si')tei\(R3(S)),eJ> вШе1 U (Г0^гГ№ (-$)),-E17 U (W1)^),

и посредством 2.1.7 мы получаем

<№ei U (TO^pURiWej и (РДП),ег и и (т.уг1)^ и (s^r1)^), затем, применяя 2.1.8, получаем

<(Si)i52 U (Т^гег Wn)jGJ, U (SiX?1)^) и, наконец, применяя 2.1.6, получаем

ДТ^гЦРДТ^.у □

Если ограничиться заданиями, содержащими только конечное число образующих, то 2.1.5 и 2.1.7 можно заменить операциями:

'. Добавление новой образующей U и соотношения Ru (S, U) = UW~\ где W — слово из букв S3.

'. Добавление конечного числа соотношений-следствий.

Для заданий с конечным числом образующих и определяющих соотношений теорема 2.1.9 остается в силе, очевидно, если операции 2.1.5—2.1.8 заменить операциями 2.1.5', 2.1.6, 2.1.7' и 2.1.8.

Примеры.

Группа

<з, t I зЧ3, s3t4> =

= <s, 11 зЧ3, s3t4, st>, так как зЧ4 = s(s43)t,

= <s, fl зЧ3, st> по той же причине, = <s I s2s-3>, так как t = s-1,

1.

(Функе [Funcke 1975]). Рассмотрим группу К с образующими

а,, Ь„ ж„ у„ О С г С 6, и определяющими соотношениями

Ь^\ аоувг, Ь1у?1Ъо1у2, а^а^х^ Ь^Ь?1^1» аг^Г^з"1, Ь3Уз г^2 У в! а3ж5 *а2 ^61 64^0 63 х15 (i^Jo а» yv ЬаУ^Уз1, а^а^хз1, ЬзХ^^^Ху а^а^уу Уо^в 1, ^оав > bo = bi = ... be, о.» = a,t = ... = flg.

(Это группа узла (7, 3) с двумя мостами, но с большим числом образующих чем обычно, а именно по одной для каждого отрезка в проекции, см. рис. 2.1.1.)

Если положить и := хй = Ьо = ... = Ьв = у0 и v := у, = а0 =...

...” Ое = х0, то получатся следующие соотношения:

у^ = PUP-*, Уг = uytu-\ Уз = и~1Уги, У.. = и-1у,и, Уь = vy^-1.Уз = иу5и~\у^ = PUP-*, Уг = uytu-\ Уз = и~1Уги, У.. = и-1у,и, Уь = vy^-1.Уз = иу5и~\Xt = UPU“‘, Хг = РХ1Р-*, х3 = и-1а:2м, х4 = р-'ждР, Х5 = U^iU-1, хв = рх5р~‘,Xt = UPU“‘, Хг = РХ1Р-*, х3 = и-1а:2м, х4 = р-'ждР, Х5 = U^iU-1, хв = рх5р~‘,

у^ = PUP-*, Уг = uytu-\ Уз = и~1Уги, У.. = и-1у,и, Уь = vy^-1.

Уз = иу5и~\

у^ = PUP-*, Уг = uytu-\ Уз = и~1Уги, У.. = и-1у,и, Уь = vy^-1.

Уз = иу5и~\

Xt = UPU“‘, Хг = РХ1Р-*, х3 = и-1а:2м, х4 = р-'ждР, Х5 = U^iU-1, хв = рх5р~‘,

Xt = UPU“‘, Хг = РХ1Р-*, х3 = и-1а:2м, х4 = р-'ждР, Х5 = U^iU-1, хв = рх5р~‘,

Теперь исключим при помощи преобразований Титце все образующие, кроме и, v, и получим определяющие соотношения

UPU-'p-'nPHp-^-'pUp-'ll-'p-1,PPP-1U-1PPPP~1P-1IWU-IP~IP-1.

Первое слово сопряжено слову, обратному второму, поэтому его

Рис. 2.1.1Рис. 2.1.1

Рис. 2.1.1

Рис. 2.1.1

МОЖНО (Йбросить, а сопряжение второго слова приводит к за- (11Л1)K*<U, V | PUPlT'p-VtPU-’p-'u-'pUp-'a-’X

Обозначим это соотношение через Rn, 3) (ср. упр. 1.18). Добавим теперь новые образующие а, Ь, положив

ТогдаТогдаа = рири_,р-1, b = ииии~^и~^.

Тогда

Тогда

R<i. з) = ab-1»-^uuv^u'^R^^uvu^v-1 = ba-1b~Ju.

Проделаем преобразования Титце:

К = <и, v, а, Ы /?(7, з), «"‘fufu-'p-1, d-^pup-'u-*) =

= <u, р, a, b | ab-1a-1v, ba"'b-'u, а”'ииии-'и-\ b~iuvuv~'u~t'> = = <а, b I а~1аЬа~1ЬаЬ~1аЬа~{Ьа~'Ь~'аЬ~1а~\

b~lbab~laba~'bab~'ab~'a~'ba~lb~''} =

= <а, b I ba~lbab~laba~lba~lb~lab~la~l'>.

Мы сначала исключили Т?(7,3), потому что R^, 3) = ab~'a~lv, затем выразили и, р через а и b и, наконец, смогли исключить второе соотношение, поскольку оно сопряжено с элементом, обратным первому. Новое соотношение сопряжено с соотношением R^, 5> из упражнения 1.18, где мы обнаружили, что R^ 3) и R^, 5> не переводятся друг в друга автоморфизмами свободной группы <и, р|>. Мы вернемся к этому примеру в параграфе 2.11.

Эти два задания группы К отражают тот факт, что узлы с двумя мостами (7, 3) и (7, 5) изотопны. Диаграммы (7, 3) и (7, 5) определяют задания с соотношениями R^ 3) и Rn, 5) соответственно (см. рис. 2.1.1). Таким образом, эти группы одинаковы по геометрическим причинам. Читатель, знакомый с методом получения заданий групп узлов, может заметить, что соотношения в двух столбцах исходного задания приходят из точек скрещивания, лежащих на двух мостах. Чтобы получить Rn, 3) непосредственно, надо добавить Ьо = ... = Ь6, а0 = .. . = ав, а чтобы получить R^ 5j, надо добавить х0 = .. . = хв, у» = ... — у6.

Определение. Рангом группы G называется наименьшее число образующих, нужных для задания G.

Это понятие обобщает понятие ранга свободной группы (теорема 1.7.7). Мы пользуемся им ниже, см., например, 2.9.2.

Упражнения 2.1, 2.15.

§ 2.2. Метод Райдемайстера — Шрайера

Пусть U — подгруппа группы G = <(5,),е1 I (Z?j(S) ))eJ>, и пусть S — свободная группа со свободными образующими (5,),е/. Пусть <р — канонический эпиморфизм S на G, и пусть U' = ф_,и.

Если (С^дек — шрайеровская система представителей для правых смежных классов группы S по U', то GkS,(<GltS1')-1 свободно порождают подгруппу U', если исключить образующие, для которых GhS. = GkS., см. § 1.6. Пусть Х,к — система символов, которые поставлены во взаимно однозначное соответствие с нетривиальными (свободными) образующими 6^,(6^,) “* подгруппы U'. Нормальная подгруппа R группы S, порожденная словами (Z?j(5))jej, содержится в U', и факторгруппа U7R изоморфна U. Таким образом, R, как подгруппа, порождается элементами XR^S^X-1, где X^S, /G У, и потому элементами UG^Rj^G^U-1, где l/eU', j^J, кеК. 28

Следовательно, R является нормальной подгруппой группы U', порождаемой (как нормальный делитель) элементами

G^"1. Поэтому если записать GiRj (S) G71 как слово ИДХ^ из букв Х,к, то <Xlh\R3<(Xtkp будет заданием груп-

Теорема. Пусть U — подгруппа группы G = — <(5(),g7 I (КА^РзеА, и пусть элементы gt, g2, ..., записанные как слова из букв 8„ образуют шрайеровскую систему представителей правых смежных классов по U. Тогда элементы gkst(gkst)~* порождают подгруппу U. Если исключить тривиальные образующие gksAgksy\ то элементы giRA^gV^ записанные при помощи нетривиальных образующих, составляют систему определяющих соотношений. D

Пример. Пусть G = ^vv . .., ип | и^.. . vl\ и пусть a: G->Z2— гомоморфизм, отображающий все и, в — 1. Найдем ядро гомоморфизма а.

Представителями являются 1, и„, а образующими тогда являются элементы

Xi = l-t;^,)-1 = PtUn1, i = 1, • • •, n — 1,

Vi = v«vt (v^y1 = vnL’i, i = 1, .. ., n — 1, И

z = 1^.

У вас есть два соотношения и®.. .Un = 1 и pny^. • • ^пУ1 = 1. Первое можно переписать в виде

^А^Л^. • • .Vn-^AunVn-lVn,

и, таким образом, это то же самое, что

^iZ/i^z. . . Xn-tyn-tZ = 1.

Далее мы можем произвести преобразование Тптце 2.1.6, за- меияющее z элементом ^ххух.. .х„-,уп-У'-. Второе соотношение можно переписать в виде

Ч^У^У^УТ? • •VnVn-lVn-lVn1.V,1 = 1.

Ht НИМИ обрааом, это то же самое, что и соотношение

у1х1у1х2 ... y»-iXu-tz = 1,

Которое переходит #

У^гУйХ». • .Уп-1Хп-1У7-1х7-1. ■ -УТ^1 = 1

после подстановки выражения для z.

Таким образом, ядро гомоморфизма а обладает заданием

<ХХХп_п Уп ..Уп_гIу^у^...

• • • Уп— 1^п—1Уп— 1^п— 1 • • • У^1 ^"1 X

Это задание можно превратить преобразованиями Титце в задание

<А, Bv ..., Л^, Вп_г | Л^^Г1^1. . .А^В^Д^В^.

Воспользуемся, как это принято, сокращением [ж, у] для коммутатора хух-1у-1. Тогда наше задание принимает вид

л,,^,лп_1,уп_1|п 1А,5,1

Теорему 2.2.1, принадлежащую Шрайеру, можно усилить, см. [Cramberg — Zieschang 1979]. А именно, часто некоторые из соотношений giB}(s) gT1, будучи выражены через образующие gns,(<gks1')-1, оказываются очевидными следствиями остальных. Мы приведем критерии, позволяющие уменьшать количество соотношений. (Оставшаяся часть параграфа используется в этом тексте лишь в параграфе 4.14 и может быть пропущена при первом чтении.)

Поясняющий пример. Рассмотрим гомоморфизм ф: G = <s, t1 s®, t3, (s£)®> -►Ze = {0,1, 2}, где s, t ь*1,

п найдем его ядро. В качестве представителей смежных классов выберем 1, s, s2. Образующими Райдемайстера — Шрайера будут х = s3,у 0 = ts-1,yi = s^-2, у2 = s2<.

Для нахождения определяющих соотношений нам нужно переписать девять соотношений

sVs-*, s’t3s~’,s’(st)3s-" (i = 0, 1, 2)

как слова, составленные из новых образующих. Мы видим, что первые три соотношения все равны s3, т. е. х. Во втором случае мы получаем

<3 = fs-l . sts-i . s2f = у^у^ St3S~l = StS-3 ■ S~t tS~l = У1У2У0, s2fs-2 = s^t • is-* • Sts-2 = УгУоУн и все это одно и то же с точностью до циклических перестановок, т. е. из них получается только одно определяющее соотношение. В третьем случае мы получаем

(st^3 = StS-2 • S3 ■ tS~2 • S2t = У^ХУоУг,s(stys-1 = S2t • sts""2 • S3 • ts-1 = УгУ^Ху»,s2(stys-2 = s3 • ts-1 • s2t • Sts-2 = xyay2yi,и эти три соотношения «одинаковы». Следовательно,ker ф = <х, у0, yt, уг I х, у^у^г, хуау2уУ =

= <Уо, У1, Уг I УоУ^г, УоУгУУ =

= <У1, Уг I УгХУ1ХУгУУ =

= z®z.

Мы покажем, что эти упрощения имеют общий характер. 30

Предположения и определения. Пусть G = •■ <(Я{)1е71 (Я,),Е7>, и пусть на / введено отношение частпч- ■ого порядка <. Мы предполагаем, что этот порядок транзитивен и что ]\ < и =*" 71 ^ 7г- Группу G сокращенно обозначаем через <3 I R>. Аналогично, пусть G =^<3 |> — свободная группа с образующими (S.).ei, и пусть ф: G->-G— канонический гомоморфизм. Более того, пусть.

GB = <S| {Я' eR| R'<m>

для каждого Д = fl, gR, и пусть фн: G -► GH — канонический эпиморфизм.

Обозначим через stabR стабилизатор множества {фв(Я), фя(Я-1)} в GR, и пусть 81аЬд = ф51(в1аЬд)с2 G.

Пусть U <= G — подгруппа и К — шрайерова система представителей смежных классов по ф~’(и) в G. Представители К, К' е ■ К называются ^-эквивалентными, если существует такой элемент Хе G с ХЯХ-^екегф^ что Я'ХЯ"1 еф"’(U).

Мы пишем К ~ „К'.

Пусть X(R, К)= |{Я' е К I К' ~в Я}| — количество Я-эквива- леитных представителей.

Я-эквивалеитность очевидно является отношением эквивалентности, и X(R, К) равно мощности класса Я-эквивалентности представителя К. Иногда удобнее следующая интерпретация числа X (Я, ку.

Лемма.

X(R, Я) = [ф(81аЪд) : (ф(Я)-*иф(Я)Л ф(81аЬд))].

Доказательство. Согласно определению,

ЦН, К)- I (Я'еК1Я81аЬдЯ'-‘Пф-‘(и)^0} I =

^= I (А'еК|ф(81аЬд) Л ф(Я-*)иф(Я')^ 0} I.

Так мак произведения К-'К', К' е К, образуют систему пред- бТадмтолей смежных классов по подгруппе ф(Я_,)иф(Я), то

<Ф (StabR) Л ф (Я-‘) Иф (Я') I Я' е К}

МЫМММ разложением группы ф(81аЬд) на смежные классы по нидгруяма ф(8№Ь*)Пф(Я-')иф(Я). Это доказывает 2.2.5. □

Непосредственно получается

2J.6, Следствие. Для того чтобы число X(R, К) не зависело от К, достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих условий:

U — нормальная подгруппа группы G;

U свободна от кручения, и группа stabR конечна. □

Конструкция. Для каждого Я е R фиксируем функцию выбора 0*: К -► К, которая отображает каждый класс Я-эквивалеитности представителей в один из его элементов, т. е. 0я(Я)~яЯ, и 0ц(Я)”Оя(Я') тогда и только тогда, когда Я ~д Я'.

Сформулируем теперь основной результат:

Теорема. Пусть G = <S I R> и U — подгруппа группи G со шрайеровской системой К представителей смежных классов, и пусть (бд)нзн— система функций выбора. Тогда

U = <S(U, K)l <(eB(^)/?eB(^)-,)J/?eR, А'еК»,

где т — переписывающая операция Райдемайстера — Шрайера, соответствующая К, a S(U, К) обозначает, как и прежде, образующие Райдемайстера — Шрайера, соответствующие К, см. начало этой главы.

Доказательство. Пусть К', К" е К, К'~НК" и К"ХК’-1 е <p-‘(U) для некоторого^ е StabB. Тогда К" =UK'X-1 для некоторого t^eq)-*(U), где = обозначает равенство в свободной группе. Из равенств

K'RK"~X - UK'X^RXK'^U-1 =н uk’R^k’^u^

для подходящего е = ±1 следует, что соотношение (К" ПК"-1'), выводимо в группе U из (К'НК'-1^ и соотношений {9Д, (К) R'Qr,(K)~11К е К, R э R’ < R\. (Здесь =в обозначает равенство в GB.) □

Определение. Задание 2.2.9 называется порядково редуцированным заданием Райдемайстера — Шрайера группы U.

При помощи простого вычисления мы получаем следующие два следствия:

Следствие. Пусть G = <S|R>, где |R|<«>, пусть U — подгруппа конечного индекса, которая либо нормальна в G, либо не имеет элементов конечного порядка, и пусть группа stabB конечна для всякого Rе R. Тогда порядково редуцированное задание Райдемайстера — Шрайера группы U содержит [G : U] • 2 х(д 1) соотношений. □

Следствие. Пусть G = <S I R> — группа с одним определяющим соотношением R(S), где R (S) = W (S)k, k^Y. Пусть if: G->-Za— эпиморфизм, переводящий W(S) в образующий группы Zb- Тогда порядково редуцированное задание Райдемайстера — Шрайера для ядра гомоморфизма if имеет одно определяющее соотношение. □

В главе 4 мы приведем еще одно приложение теоремы 2.2.8 и докажем, что подгруппы фуксовых групп также являются фуксовыми группами. Следующий пример касается заданий, которые будут представлять интерес позже — так называемых «плоских» заданий.

Пример. Пусть G = <S" | R'U R" >, где S" = =^Уо .... ym>,R”=lyL ..., Ут) И R' = {(г/1г/2)'"1, ..., (ут_1Ут/’П-\ (УтУ1) т}- Введем обозначение R, = (У^У^)^ при 1 ^/ С т, где /+1 рассматривается по модулю т. Пусть /: G->Z2, yt •-* — 1 (1 ^ г ^ т^, и пусть U — ядро гомоморфизма /. По-

ложим К = {1, ym}. Пусть i/iC^j при всех z, /е{1, ..., ml. Тогда Gy? = G = <yv ..., Ут|>, и, таким образом,

stab^ = Stab^ = {У| 1I е ZL

ТаК как уту<G U для 1 < z < т, то Ym е Staby$ <р-1 (U), следовательно, у.~ , 1. Положим по определению 0 2(1) = 0 Лу-Л = 1.

ViViV{ ' my

Далее, У^УГ = R?\ т. е. y<eStabHr и уту<е^. Следовательно, мы получаем, кроме того, что ут ~Rt 1, и полагаем ея<(1) = еД1(Ут) = 1.

Образующие Райдемайстера — Шрайера составляют систему S' (U, К) = {zt := г/#^1, Zi = утУг при 1 < i < m — 1, zm = yW (Немотивированные здесь обозначения S" и S'(U, К) будут объяснены в § 4.13, где дается также геометрическая интерпретация.)

6у1 (Я) У®0у2 W "Х = уХ = ZiZi при 1 < i < т — 1,

^R^R&r^K^ = Ri = (.УгУг^г = (rfWi+l)*1 =

= (ZiZi+1)h’ при 1 ^ z ^ т — 2,

Rm—1 = (Z/m-lZ/m) 1 = {Ут-гУт1 ’ Ут) 1 = (Zm-lZm)

Rm = kymyi)hm-tm.

Обозначим через R'(U, К) множество всех полученных соотношений. Задание <S"(U, K)|R'(U, К)> группы U является плоским, как это следует из теоремы 4.13.7 или несложно про- ’•еряется непосредственно. (Понятие плоского задания вводится ■ пункте 4.13.6, см. также теорему 4.14.1.)

Если исключить Zm, каждое zf заменить на Z?1 (1 < z < т— 1) И убрать соотношения z(zlf мы получим другое плоское задание группы U:

U - <ZtZ^jKzjZJ-1)"1(Zm-.Z-Ij""-2, Z^\ zrhm>.

Йелм мы положим zm-i=zm_1 и z, = zfz<+1 при l^z^m —2, to получим

^-^...^п-х (l<z<m —1) и zlzi“11 = zt (l^z<m —2). Тбким образом, U имеет (почти каноническое) задание

/Т Т l^^l ^т-г ^m-l-~ x—hm\

\Zi, . . ., Zm—xj Zx , . . ., Zm_2 , Zm-x , (Zx . . . Zm-x) ^Z.

Если .мы положим zm =(zi... Zm-i)-1, то получим каноническое задание.

U = <ZV . , ., Zm| Zi\ . . ., Zmm, Zv . .2^.

Шаги, упрощающие задания, являются элементарными операциями Титце. Аналогичный пример был рассмотрен в 2.2.2.

Метод Райдемайстера — Шрайера был впервые введен Рай- демайстером в работе [Reidemeister 1927], где использовалась произвольная система представителей смежных классов, т. е. условие Шрайера 1.6.2 не постулировалось. Вскоре после этого Шрайер в работе [Schreier 1927] ввел ограничение на представители и получил задание подгруппы, описанное в теореме 2.2.1. Без этого ограничения получается больше образующих и определяющих соотношений, см. [Reidemeister 1932, S. 69—81], хотя и эти задания иногда могут быть полезны. Модификация метода Райдемайстера — Шрайера возникла из того наблюдения, что соотношения часто оказываются лишними. Одно интересное приложение будет рассмотрено в § 4.13. Оно, так же как и указанная модификация, взято из работы Грамберга и Цишанга [Gramberg — Zieschang 1979]. Модификация очень хорошо применима к соотношениям, являющимся степенями; эффективна она и в случае соотношений коммутирования.

Упражнения 2.2—5, 22, 23.,

Свободные произведения с объединенной подгруппой

Рассмотрим теперь некоторые способы построения «больших» групп по заданным группам. Эти операции соответствуют прямой сумме в категории абелевых групп.

Определение. Пусть даны группы G = <(S,)^, I (Я,)^> и Н = <(Т^г1, | ШЙ5^.

Группа G * Н = <(S,),5Z U (ЛЬ | (Я, №=j U № №=„> называется свободным произведением групп G и Н.

Эта группа определена однозначно с точностью до изоморфизма. Если <Х„ Х2, .. JP^X), Р2(Х), .. .> и <У„ У2, ...I ^1(У), Q^Y), . •■> —два других задания групп G и Н соответственно, то имеется конечная последовательность преобразований Титце Tt, Т2, ..., Т„, превращающих <Xt, ... I Pt(X), .. .> в <8,, ... I 7?! (S'), .. .>, а также преобразования Титце TL, Т2, ..., Тт, превращающие второе задание группы Н в первое. Тогда Т,, Т2, ..ц Tn, Ti, .. .,Т'т превращают <ХИ ..., Уи ...I Р^Х), ..., Q^Y), ...> в <8и Г„ ... 1^(5), ..., U^T), ...>, поскольку Т, не затрагивает ни Tj, ни Uh, а Т< не затрагивает ни 8„ ни Я/.

Определение. Пусть U и V — подгруппы групп G и Н соответственно, и пусть <р: U -► V — изоморфизм. .Пусть, далее, (рл)*фх -*- система, порождающая U, ¥к — слово из букв

S{, соответствующее элементу vM a ф(уа) — слово из букв Tt, соответствующее элементу (рС^). Тогда положим

G*u=vH=.

= <(^)<51 и (Tih^r | № Wex и ф} (Т))}^ и (^ф (^Г^йек).

Последние соотношения Г*<р(Г*)-1 естественно приводят к мысли рассматривать G * u-v Н как свободное произведение групп G и Н, в которых подгруппы U и V отождествлены. Это отождествление можно произвести вначале, так что А = G П Н ^ ^и. Иногда пишут G*AH и называют эту группу свободным произведением групп G и Н с объединенной подгруппой А.

Это Определение можно очевидным образом обобщить на произвольное число сомножителей. В этом случае отождествления производятся всегда с одной и той же подгруппой. Для свободного произведения групп G<, i^I, используется обозначение •X- Gj, или какое-нибудь подобное ему.

Чтобы решить проблему тождества в свободных произведениях с объединенной подгруппой, введем нормальную форму их элементов. Группу А, по которой производится отождествление, мы рассматриваем как подгруппу групп G и Н. Выберем представителей gt, gi,... правых смежных классов группы G по А и Alf А2,... правых смежных классов группы Н по А. При этом в качестве представителя класса А всегда будет выбираться 1.

Каждый элемент wgG*aH можно записать в виде- произведения,.

W=XtytXiyi...Xnyn1 •

где xt е G и у, е Н. Прежде врего , превратим произведение xtyt... хкук в такое, в котором ни один из элементов х„ у{, кроме Xi или у„, не принадлежит подгруппе А, Если элемент у„ принадлежит А, то он равен 1. Имеется очевидная процедура, действующая справа налево, которая приводит произвольное произведение к такому виду.

Пусть уп = а^п, где at е А и у„ — представитель класса Ауп, пусть xnat = a2xuai и т. д. Продолжение этой процедуры в конце концов приводит w к виду

iy = agf А^А,2...^А,г,-

jcpe а е А и не более чем один из элементов g^ или А,( может равняться 1.

Мы называем это нормальной формой элемента w. Только что описанная процедура приводит любой элемент, заданный в виде w = Xiyt... хпук, в нормальную форму.

Лемма. Нормальная форма элемента единственна.

Мы следуем доказательству, данному ван дер Варденом [van der Waerden 1948]. Пусть 0 — множество нормальных форм, и пусть ze G или Н. Для axtyt...хпуп е 0 обозначим Через

(ая,^ ... xnyn)nz нормальную форму, которая получится, если применить описанную выше процедуру редукции к ах^... x„p„z. Этим определено отображение П2: 0^-0. Если z и z' оба лежат в G или оба в Н, то Пя, = ПгПг/.

Доказательство этого утверждения не является трудным, однако оно длинновато и включает перебор многих случаев.

П, представляет собой тождественное отображение, поэтому П1_1П2 = ПгЩ-j = id. Таким образом, мы можем рассматривать П, как элемент группы Кв всех перестановок множества 0, а формула z П2 определяет гомоморфизм a: G К* (и Р: Н-*-Кв). Пусть К — наименьшая подгруппа в Ке, содержащая a(G) и Р(Н). Тогда К удовлетворяет условиям 2.1.1 (а) и (Ь) в применении к заданию группы G*AH, и поэтому существует гомоморфизм

П. G*AH-^K,

с Па$11,1.. ,xnyn: 1 axYy v.. .

Таким образом, П является мономорфизмом, и различные нормальные формы отображаются в различные перестановки. В частности, различные нормальные формы соответствуют различным элементам. □

Отсюда легко вывести следующие свойства:

Предложение. G м Н можно рассматривать как подгруппы группы G *А Н. □

Предложение. Если ф: G->-X и ф: Н -► X — такие гомоморфизмы, что ф(а) = ф(а) для всех аеХ, то существует единственный гомоморфизм Ф: G*AH-»-X, совпадающий с ф на G и с ф на Н. □

Предложение. Если [G*АН : G] < оо, то либо А = G, либо А = Н (и G *А Н совпадает с Н или G соответственно). □

Из предложения 2.3.5 следует также единственность группы G *А Н с точностью до изоморфизма, поскольку свободное произведение двух групп G и Н с объединенной подгруппой А обладает следующим свойством универсальности.

Свойство*). Пусть К — группа, и пусть гомоморфизмы ^: G-* К, ц: Н-► К таковы, что ^(а)=ц(а) при аеХ. Пусть X — какая-нибудь другая группа, и пусть гомоморфизмы ф: G->-X, ф: Н -► X таковы, что ф(а) = ф(а) при аеХ, Тогда существует единственный гомоморфизм х: К -* X такой, что ф = = X ° Т и ф = х ° Л, т- е- такой, что следующие диаграммы коммутативны:

*) Это свойство группы К и гомоморфизмов f и ц.— Примеч. пер.

Предложение, (а) Свойством 2.3.7 группа К определена с точностью до изоморфизма.

т и л являются мономорфизмами.

KsG#aH.

Доказательство. Пусть К и К' обладают свойством универсальности; отображения, в которые входит К', помечены штрихом. Так как f': G-^K' и rf: Н->-К'— гомоморфизмы, то найдется такой гомоморфизм х: К -»- К', что диаграмма

коммутативна. Теперь у нас есть коммутативные диаграммыкоммутативна. Теперь у нас есть коммутативные диаграммы

коммутативна. Теперь у нас есть коммутативные диаграммы

коммутативна. Теперь у нас есть коммутативные диаграммы

Тождественные отображения К -> К и К' -»- К' соответственно решали бы те же задачи), поэтому из свойства единственности 2.3.7 гомоморфизма х следует, что

X' - х = idK и х • X' = Мк'.

Таким образом, х и х' — изоморфизмы.

Далее, пункт (Ъ) доказывается при помощи диаграммы

Ж пункт (с) следует из пункта (а) и того, что в силу предложения 2.3.5 группа G*aH обладает свойством 2.3.7. □

Предложение. Элемент z принадлежит центру группы, G А Н тогда и только тогда, когда 2 лежит в А и, следовательно, в центрах групп G и Н (G^A^H).

_ Доказательство. Очевидно, что условие является достаточным. Обратно, если z лёжит в центре группы G*AH и имеет нормальную форму

z = axtyt... х„уП1 Уп^1, то элементы гх и хг имеют различные нормальные формы при ze G, х £ А. Аналогично рассматривается случай, когда у„ = 1 и хп * 1. Таким образом, .z должен дринадлежать А и потому центрам групп G и Н. □

Предложение, (а) Всякий элемент конечного порядка сопряжен элементу, принадлежащему G или Н.

_(Ь) Всякая конечная подгруппа группы G*AH сопряжена

какой-нибудь подгруппе группы G или группы Н.

(с) Если l¥=zeG является нетривиальной*') степенью какого-нибудь элемента группы G*AH, то х уже является нетривиальной степенью какого-то элемента группы G.

Доказательство. Пусть zeG*AH и zm = 1, z = = axiz/t... хиуи. Если п = 1 и один из элементов xt, у„ равен 1, нам нечего доказывать. Если xt = 1, то Уп^Уп1 обладает более короткой нормальной формой, чем z, и то же можно сделать XnZXn1 при у„ = 1. Эт?и укорачивания невозможны лишь при х, * 1 и у„ ¥= 1. Но тогда, если мы напишем ax^t... хпу„ последовательно m раз и приведем результат к нормальной форме, ни один сомножитель не пропадет. Поэтому zm не может лежать в А, не говоря уже о том, Чтобы равняться 1.

Доказательства пунктов (Ъ) и (с) оставляются читателю в качестве упражнений. □ „„„2.3.11. Предложение. Предположим, что zeH, х^Д, у.е G *аН и уху-1 е Н. Тогда либо у е Н, либо элемент х со- “пряжен с каким-то элементом группы X. □

Предложение. Пусть, так же как раньше, задана система представителей смежных классов групп G и Н по подгруппе А. Тогда элемент группы G*AH имеет единственную нормальную форму ,

ш = гх.. .ттк^ттУх... (п)-1,

где элементы r„ г< являются представителями смежных классов, отличными от 1, соседние элементы rt (соответственно г<) принадлежат различным группам, а к либо принадлежит группе А, и в этом случае rm и(г^~1 различным группам, либо принадлежат принадлежит группе G (соответственно Н), и в этом случае г„ "u(rm)-1 принадлежат группе Н (соответственно G). Длина нормальной формы w равна 2m, если к е А, и 2m + 1, если к^Х. □

, Для подгрупп свободных произведений имеет место теорема, аналогичная теореме о подгруппах свободных групп. '', .

Теорема Куроша. Подгруппы свободных произведений являются свободными произведениями. Более точно, подгруппа UcG»H может быть представлена в 'виде свободного произведения'

и = * Ui * S,

где S — свободная группа, а группы U{ сопряжены подгруппам групп G и Н.

Интересным приложением теоремы Куроша является следующая

Теорема. Пусть G = G, • ... • Gn = Н, • ... • Нт, где группы G< и Н{ нетривиальны и не разложимы в нетривиальные свободные произведения. Тогда п = m и существует такая подстановка (^ fc У что группы Н{ и Gfti изоморфны. Если Н( не является бесконечной циклической группой, то Н, сопряжена (в G) группе Gft..

Доказательство. Рассмотрим подгруппу Нт группы G. По теореме 2.3.13 группа Нт является свободным произведением групп, сопряженных подгруппам сомножителей G, группы G, и свободной груцпы. Так как группа Нт неразложима, то возможен один из двух случаев:

(а) Нт сопряжена подгруппе некоторого сомножителя Gftm, (b) Hm^Z (единственная неразложимая свободная группа). В случае (а) мы рассматриваем Ghm. По тем же причинам она сопряжена некоторой подгруппе одного из сомножителей Hj или изоморфна группе Z. В первом случае Нт сопряжена подгруппе группы Н„ откуда, в силу предложения 2.3.11, следует, что m = j, а подгруппы G^ и Нт сопряжены. Во втором случае Hm Z. Поскольку Нт является свободным сомножителем группы G, образующий -группы Нт не может быть нетривиальной степенью никакого элемента группы G (2.3.10 (с)); таким образом, подгруппы Нт И Gftm сопряжены. Нормальная подгруппа N, порожденная группой Нт, совпадает с нормальной подгруппой, порожденной Gftm, и ..

. - -G/N = Нх *... * Hm_x ^ Gj *... * G,^ * Gftm+1 *... * Gn.

Затем можно воспользоваться индукцией.

В случае (Ь) мы рассматриваем по очереди группы Нт-ц Hm-z, .. г, Н,, пытаясь оказаться в ситуации (а) и применить дндукцию. Если это не удается, то H,^Z при 1 ^i^m, и Q является свободной группой ранга т. Поэтому все Gf — неразложимые свободные группы, т. е. изоморфны Z, а равенство Л ^ «-следует из теоремы 1.7.7. □’

Теорему 2.3.13 мы докажем в § 2.6. В конце доказательства имеются несколько замечаний об усилениях этой теоремы. Для свободных произведений с нетривиальной объединенной подгруппой верна лишь гораздо более сложная и выглядящая более слабой теорема, см. Каррас и Солитэр [Karras — Solitar 1970]. Подгруппы строятся при помощи многократного применения конструкции «свободного произведения с отождествлением», причем объединяемые подгруппы меняются.

Свободное произведение (с отождествлением) впервые появилось при изучении разрывных групп движений плоскости в работе Фрике и Клейна [Fricke — Klein 1897], где использовался термин «Composition von Gruppen». Как самостоятельное понятие оно появляется в работе Шрайера [Schreier 1927], где имеется доказательство существования, основанное на решении проблемы тождества. В наше время более принято использовать в качестве отправной точки свойство универсальности 2.3.7.

Упражнения 2.6, 7.

Двумерные комплексы

Задание группы образующими и соотношениями можно изобразить геометрически, но для этого приходится добавлять грани (для изображения соотношений) к графу, отвечающему образующим.

Определение. Двумерный комплекс, или 2-комплекс F — это система вершин, ребер и (ориентированных) граней со следующими свойствами:

Вершины и ребра образуют граф С ).

Для каждой грани ф имеется замкнутый путь со в С. Множество путей со', получающихся из со циклической перестановкой, называется классом положительных граничных путей грани ф.

Путь со-1 ограничивает ф отрицательно. Положительный граничный путь грани ф часто обозначается через дф.

Для каждой грани ф имеется противоположно ориентированная грань ф-1, положительные граничные пути которой являются отрицательными граничными путями грани ф. Пара (ф, ф-1} называется геометрической гранью.

Определение. Два пути в одномерном остове комплекса F называются эквивалентными, если один из них можно превратить в другой при помощи конечной цепочки следующих модификаций:

(а) Удаление или добавление шипов (старая эквивалентность Я графе С).

. (Ь) Если со = ®1®2®1, и если путь ш^1^ является граничным путем некоторой грани, то о можно заменить путем со = — Ы^'гЫз.

Предложение и определение. Классы, эквивалентных замкнутых путей с фиксированной начальной точкой Р образуют группу — фундаментальную группу комплекса F в точке Р. Эта группа называется также первой гомотопической группой и обозначается символом n,(F). О

Задание фундаментальной группы. Предположим для простоты, что граф С связен. Мы получаем задание фундаментальной группы W комплекса F следующим образом. Пусть В — остовное дерево графа С. Как и в § 1.4, образующие группы W соответствуют ребрам, не лежащим в В. Определяющими соотношениями являются обходы вокруг граней, т. е. слова, соответствующие путям вида ^ср^-*, где у — некоторая грань, а £ — путь, ведущий от Р к началу пути Др. Поскольку всегда можно изменять соотношения при помощи сопряжения, не меняя группы, мы всегда можем выбрать путь § в дереве В так, чтобы его ребра не входили в соотношение лишний раз.

Определение. Два 2-комплекса называются родственными, если один из них можно превратить в другой при помощи конечной цепочки следующих элементарных преобразований (операций):

Пусть а — ребро, идущее из Р, в Р2. Измененный комплекс состоит из тех же частей, что и исходный комплекс, кроме о и ст-1, а также из новой вершины Р и новых ребер ст,, о2 и им обратных, причем ot идет из Pt в Р, а о2 — из Р в Р2. В граничных путях ребро о заменяется произведением о,о2.

Эта операция называется подразделением ребра.

Пусть у —грань комплекса и Др = <о,®2. Новый комплекс состоит из всех частей старого, кроме ф и ф“‘. Кроме того, он содержит новое ребро ст, идущее из начала пути ©Г1 в конец пути со^"1, и обратное ему ребро о“‘, а также грани ф, и ф2 с Др, = (о,о и Др2 = со2о-1 и обратные им. (Подразделение грани.)

О ®

Операции, обратные операциям (а) и (Ь) в случае, когда они возможны.

'(d) При помощи операций (а), (Ь), (с) можно совершить

Переход.

'_" Следует заметить, что удаление геометрического ребра из йбиплексапе всегда возможно:

Тойво так же следует соблюдать осторожность с вершинами, поскольку, например,

, 2.4.6. Предложен и е. Число а0 — а, + а2, где а0 и аи как и раньше, равны количеству вершин и количеству геометрических ребер, а а2 -- количеству геометрических граней, остается При этих операциях Неизменным. Число а0 — ai + a2 называется Эйлеровой характеристикой 2-комплекса. □

'2.4.7. Пре-дложейИ-& ' Фундаментальные группы родственных двумерных комплексов изоморфны.

Доказательство. Если, например, мы выполняем операцию (а) и о-принадлежит остовному .дереву, то доказывать нечего; если □ не принадлежит дереву^ то нам придется добавить к нему о, или о2, чтобы получить новое остовное дерево. Незатронутое ребро дает, образующий, которому соответствует а. В случае операции (Ь) мы введем новый образующий s и новое соотношение зи^, где ил — слово из прежних образующих. Это — бйерапйй^Тктце^Л.З. Й' ~

Упражнение 2.8.

Накрытия

Здесь аналогично накрытиям графов мы определим накрытия комплексов.

Определение. Отображение) /: F' -^F называется накрытием, если выполнены следующие условия (а), (Ь) и (с).

Сужение отображения / на одномерный остов задает накрытие f\c- С'-*-С графа С графом С',

Грани отображаются в грани, и /(ф-,) = (/(ф))_*. Образ положительного граничного пути грани ф является положительным граничным путем грани /(ф) (пройден- ным однократно).

Если путь <о встречается к раз в каче- L/" стве положительного граничного пути граней гjs2

комплекса F, то каждый путь а/ в F', накры- К..4

вающий о», также встречается к раз в качест-\^

ве положительного граничного пути граней

комплекса F'. (При этом имеются две возмож-I

ности: 1) граница со грани ф является т-йЛ'"~~~

степенью пути ®0 с максимальным m 5= 1, тог- Г\

да о учитывается тп раз; 2) w является грани- V.>1 Рг

цей различных граней. См. рис. 2.5.1.)

Для некоторых приложений необходимо усилить условие (с) до условия локальной рнс 2.5.1 гомеоморфности, аналогичного условию 1.5.1 (с) из определения одномерных накрытий. Поскольку это не сыграет важной роли в этой книге (см., впрочем, упражнение 2.7), мы оставляем на долю читателя сформулировать соответствующее условие локальной гомеоморфности в случае 2-комплексов,

Пусть /; F* -* F — накрытие, пусть комплекс F связен и пусть Р' — некоторая точка, лежащая над Р ^ F. Так же как и в случае накрытий графов, можно показать, что / индуцирует мономорфизм фундаментальной группы U комплекса F' в точке Р' в фундаментальную группу W комплекса F в точке Р. Действительно, условие (с) говорит о том, что каждый путь, образ которого есть путь, эквивалентный единичному, сам эквивалентен единичному.

Обратно, каждая подгруппа U группы W соответствует некоторому накрытию:

пусть С — граф комплекса F, и пусть W* — фундаментальная группа графа С в отмеченной точке Р, вычисленная прц помощи дерева В. Свободную группу W* можно подучить,, выбросив все соотношения из задания группы W, полученного при помощи дерева В. Имеется канонический гомоморфизм a: W* -*■ -*W. Пусть U* = a_,(U), и пусть /,: С' -► С — накрытие, ассоциированное с подгруппой U*. Мы получим желаемое цакрытйе

f: F' -► F, натянув грань на каждый путь в С', образ которого является границей некоторой грани комплекса F. Такой путь замкнут, поскольку его образ эквивалентен единичному пути в F, и это говорит о том, что он соответствует в С некоторому элементу группы U*. Отображение / получается теперь как естественное продолжение отображения /t на F'.

Таким образом, мы можем повторить теорему 1.5.3 слово в слово, понимая под С и С' двумерные комплексы. (Эта теорема остается в силе и для комплексов произвольной размерности.) А именно:

Теорема. Накрытие f: С' -► С индуцирует мономорфизм фундаментальной группы W' комплекса С' на подгруппу U фундаментальной группы W комплекса С {при условии, что отмеченная точка первой лежит над отмеченной точкой последней). Обратно, для каждой подгруппы U группы W существует такое накрытие f: С' -* С, что индуцированный им мономорфизм изоморфно отображает фундаментальную группу комплекса С' на U. □

Определение. Изоморфизм h между двумя 2-комплексами Ft и Fi — это взаимно однозначное соответствие, которое отображает грани, ребра и вершины комплекса F, соответственно в грани, ребра и вершины комплекса Рг таким образом, что обратные элементы отображаются в обратные и граничные отношения сохраняются. Под последним мы подразумеваем, что если путь щ ... стп является положительной границей грани ф в комплексе Ft, то путь h{at)...h{on) является границей грани А(ф); если а — ребро из Л в Р2 в комплексе Ft, то h{a)— ребро из h{Pi) в h{P4).

Определение. Если /: F' -► F — накрытие, то изоморфизм h: F' -► F' индуцирует отображение комплекса F в себя, если части комплекса F', лежащие над одной и той же частью комплекса F, отображаются изоморфизмом h в части с тем же свойством. Изоморфизм h, индуцирующий указанным образом тождественное отображение (т. е. такой, что /А™/), называется автоморфизмом накрытия или скольжением.

Автоморфизмы накрытия образуют группу относительно композиции. Вычислим эту группу. Автоморфизм накрытия не Может перевести ребро или грань в им обратные. Заметим, что из свойства накрытий 1.5.1 (с) следует

Лемма. Если точка Р' лежит над Р, а со — путь в F, начинающийся в Р, то существует ровно один путь, лежащий над со, который начинается в Р'. □

Аналогичным образом из свойства 1.5.1 (с) вместе со свойством 2.5.1 (Ь) следует

Лемма. Автоморфизм накрытия, имеющий неподвижную вершину или переводящий ребро или грань в себя, является тождественным. □

Пусть Р — отмеченная точка фундаментальной группы G комплекса F, пусть Р'?Р'2. • • • — вершины, лежащие над Р, в 44

U — подгруппа группы G, на которую отображается при гомоморфизме, индуцированном проекцией /, фундаментальная группа комплекса F' в точке P'v Представителей g, = 1, g2, ... смежных классов группы G по подгруппе U выберем так, чтобы путь с началом в Рг, лежащий над путем, представляющим g„ оканчивался в Pv

(По лемме 2.5.5 путь, лежащий над петлей, представляющей gt, однозначно определен, а в пункте 1.1.5 мы видели, что два пути в F' с началом в Р^ лежащие над двумя петлями из одного и того же класса смежности, кончаются в одной и той же точке над Р. Если эти две петли находятся в разных классах, то и концы будут разными вершинами, лежащими над Р.)

.Автоморфизм накрытия, отображающий Р, в Pj, определяет взаимно однозначное соответствие между замкнутыми путями, начинающимися в Р; и в Pj. Любые два соответственных пути накрывают один и тот же путь. Поэтому индуцированные накрытием / гомоморфизмы фундаментальной группы комплекса F' в точке Р, и фундаментальной группы комплекса F' в точке Pj являются эпиморфизмами на одну и ту же подгруппу группы G, т. е. gF^gj = gj"xUgr Таким образом, мы доказали половину следующей теоремы.

Теорема. Пусть U, Р, Pj, Pg, ...,gvgii ...— те же, что выше. Автоморфизм накрытия, переводящий Pi в Pj, существует тогда и только тогда, когда gi^Hg^ = gj1^..

Наоборот, если gi^Ug. = gJ^Ug^., то два пути, лежащие над одним и тем же замкнутым путем в Р и начинающиеся в Р, и Pj, либо оба замкнуты, либо оба разомкнуты. По этой причине мы можем определить следующее отображение Л:

Если Q — вершина комплекса F', ы' — путь из Р< в Q, лежащий над и, а с»" —единственный путь над о», начинающийся в Pj, то h отображает Q в конечную точку пути ы". Преобразование И корректно определено на вершинах комплекса F', поскольку если_ш' — другой путь из Pi в Q, лежащий над путем ®, то путь to'to'-1 замкнут. Но тогда путь ш"ы"_,_с началом в Pj, лежащий над путем ©to-*, также_замкнут, и ©" — начинающийся в Р, путь, который лежит над to.

Теперь ясно, как можно распространить h до автоморфизма накрытия. □

Автоморфизм накрытия, построенный в доказательстве теоремы 2.5.7, переводит, в частности, точку Рг в точку Р', если Ugi 8j = Ugr Поскольку автоморфизм накрытия однозначно определен образом точки Рг (лемма 2.5.6), каждый представитель gi и, значит, каждый класс Ug,-, для которого gT^gj = U, одно-

значно соответствует автоморфизму накрытия. Если g(, g, обц принадлежат нормализатору N ={х; x_‘Ux = U) подгруппы U, то произведение автоморфизмов накрытия, ассоциированных 'с Ug( и с Ugj, является автоморфизмом накрытия, ассоциированным с Hg,g3. Нами, таким образом, доказана

Теорема. Группа автоморфизмов накрытия изоморфна группе N/U. Если £^=£1=1, g.^ g^, ... являются представителями смежных классов по подгруппе U, лежащих в N, то для любых точек Р,л и Р,г существует автоморфизм накрытия, переводящий Р,к в P'jr □

Если подгруппа U нормальна, так что N = G, то группа автоморфизмов накрытия действует на вершинах Р'х, Р'г, ... транзитивно. В частности, если U = 1, то G действует в F' в качестве группы автоморфизмов накрытия.

Упражнение 2.9.

Доказательство теоремы Куроша

Пусть F — двумерный комплекс. Мы будем перестраивать F, не меняя его фундаментальной группы.

Разделим комплекс F на различные части, страны, так чтобы грань и ее граничные ребра (и им обратные), ребро и его концы, граничное ребро и грани, им ограничиваемые, принадлежали одной и той же стране. Ребро или грань могут принадлежать только одной стране. Мы также допускаем ничейную землю, которая не содержит граней и ее ребра не принадлежат никакой стране.

Если вершина Р лежит не только в стране L, но и в других странах, мы вводим новую вершину Q и ребро т, ведущее из Р в ^ и перестраиваем F так, чтобы все ребра страны L, исходящие из Р, начинались в Q, а все остальные ребра, исходящие и^ Р, начинались в Р.

Новый комплекс обладает изоморфной фундаментальной группой," поскольку мы можем включить добавленные ребра в 46

старое остовное дерево и получить таким образом остовное дерево "йового комплекса. Мы переносим прежнее разделение на страны 5 новый кЬмплекс и присоединяем ребро т к- ничейной земле.

f \ После нескольких таких шагов мы получаем 2-комплекс F, в котором ни одна вершина не принадлежит одновременно нескольким разным странам. Мы предполагаем, что каждая страна связна, выбираем остовные деревья доя стран L^ Ьг, ••'•-, и затем дополняем их. до остовного дерева в F. Чтобы задать фундаментальную группу комплекса F, мы берем образующие s,„ которые "получаются из ребер, лежащих в L„ а также добавочные образующие sf, s2, ... из ничейной земли *).

Поскольку граничный путь грани принадлежит целиком одной стране, она определяет соотношение между образующими $„ С фиксированным I. Поэтому фундаментальная группа комплекса /имеет вид *G(£i)*S, где G(Lf)—группа путей в стране

Li, перенесенная вдоль некоторого пути, ведущего из начальной точки в L„ a S — свободная группа с образующими из ничейной земли. Произведение берется по всем странам.

Пусть G и И — две группы с фиксированными заданиями. Построим по ним 2-комплексы G, Н с вершинами Pt и Р2, с ребрами, отвечающими образующим, и с гранями, отвечающими соотношениям. Присоединим к G и Н точку Р и два ребра ti, т2, соединяющие Р с Pi и с Р2 соответственно. У полученного 2-комплекса фундаментальная группа в точке Р равна G • Н.

Возьмем накрывающий комплекс F' с отмеченной точкой Р' над Р, соответствующий подгруппе U <= G • Н. В нем выберем остовное дерево, содержащее все ребра, лежащие над ь и т2. Далее, определим страны Lt, Ьг, ... в F' транзитивным применением правила: «два ребра принадлежат одной и той же стране комплекса F', если оба они входят в границу какой-нибудь грани». Ребра, не затронутые этой процедурой, включаются в ничейную землю. Каждая страна связна, и мы выбираем путь с началом в Р' в остовном дереве, ведущий к каждой стране. Тогда фундаментальная группа является свободным произведе- ,нием * G (Lj) * S. Но поскольку путь, лежащий в одной из стран L„ целиком проходит над G или Н, группы G(L<) сопряжены подгруппам групп G и Н, а сопрягающий элемент соответствует пути, ведущему к L,. □

Естественно, можно сформулировать более точные утвержде- ■дия, если тщательнее исследовать реализацию этой конструкции. В качестве сопрягающих множителей можно выбрать наперед заданные представители смежных классов группы G * Н по U, удовлетворяющие условию Шрайера, и можно считать, что каждый представитель появляется в качестве сопрягающего множителя при подгруппе группы G или Н не более одного раза. Ин-

‘*) Соответствующие ребрам, не попавшим в остовное дерево.— При-

УмеЧ. пер.

тересно сравнить также различные представления группы в виде произведения, см. Бэр и Леви [Ваег — Levi 1936]. Другие доказательства можно найти в работах Куна [Kuhn 1952], Маклейна [MacLane 1958], Вейра [Weir 1956], Линдона и Шуипа [Lyndon — Schupp 1977], Куроша [Kurosch 1934, Курош 1967].

Гомологические группы

Фундаментальные группы неудобны тем, что бывают неабелевыми, что затрудняет или даже делает невозможными вычисления и решение вопроса об изоморфности. Более известными топологическими инвариантами являются гомологические группы, которым в алгебраической топологии уделялось больше внимания. Хотя мы ими пользуемся не очень часто, введем, не вдаваясь в детали, понятия теории гомологий, нужные при работе с 2-комплексами.

Поставим в соответствие каждой геометрической грани (ф, ф-*}, каждому геометрическому ребру (о, о-1} и каждой вершине Р 2-комплекса F пары символов (/, — /), (s, —з) и символ р соответственно. Свободные абелевы группы Со^Р^С^Р^Сг^Р) с образующими р (где Р пробегает все вершины комплекса F), з (где о пробегает все геометрические ребра) и / (где ф пробегает все геометрические грани) называются группами цепей комплекса F размерностей 0, 1 и 2 соответственно. Элементы группы цепей называются цепями. Если ф — грань, положительный граничный путь которой дф равен щст2... ст„, и если / и Si + s2 + ... + sn — цепи, соответствующие ф и дф, то отображение / •-* зг + з2 + ... + з„, где ф пробегает все геометрические грани, определяет гомоморфизм d2: C2(F)->-Ct(F), называемый граничным гомоморфизмом в размерности 2. Аналогично получается граничный гомоморфизм д,: C^F^^- CQ(F) в размерности 1: он переводит образующую з в q — р, если дуга а, соответствующая элементу з, идет из Р в Q. Наконец, д0 обозначает гомоморфизм Со (F) -► 0. Элементы ядра ker д( называются 1-циклами, а элементы образа im д1+1 называются /-границами. Если цепь з является границей, то з часто называют гомологичной нулю, и мы пишем з ~ 0.

Лемма. did2 является нулевым гомоморфизмом.

Для доказательства достаточно показать, что гомоморфизм д,д2 переводит образующие группы C2(F) в 0. Но это ясно, поскольку граничный путь любой грани замкнут. □

Определение. Гомологические группы комплекса F размерности 0, 1 и 2 определяются равенствами

^(F)=C0(F)/im д„ ^(F)=ker d./im d2, Я2(F) = keгд2.

Лемма 2.7.2 гарантирует, что определение группы Н^Р) осмысленно. Два элемента группы Со (F) или кег д, называются

Гомологичными, если они принадлежат одному и тому же смежному классу по подгруппе im д, или im д2 соответственно. Два элемента группы CAF) называются гомологичными, если они равны. Два гомологичных элемента принадлежат одному и тому же гомологическому классу.

Теорема. Гомологические группы остаются неизменными при операциях 2.4.5 (а) —(с) (т. е. родственные 2-комплексы обладают изоморфными гомологическими группами во всех размерностях).

Доказательство этой теоремы провести нетрудно (в действительности, некоторые из случаев, которые нужно рассмотреть, тривиальны), и мы оставляем его читателю в качестве упражнения 2.10. □

Определение. Отображением 2-комплекса F' в 2-комплекс F называется соответствие /: F' -► F, переводящее грани комплекса F' в грани, ребра или вершины комплекса F, ребра комплекса F' — в ребра или вершины комплекса F, и, наконец, вершины комплекса F' — в вершины комплекса F таким образом, что граничные соотношения сохраняются. Уточним, что это значит:

Граничные объекты элемента переводятся в образ этого элемента или в его граничные объекты. Обратные элементы переводятся в обратные элементы или в одну и ту же вершину.

Если грань ф' отображается в ф, то после устранения шипов образ ее границы дф' будет являться положительной степенью границы дф.

Если образом грани ф' является ребро о, то граничные ребра и вершины грани ф' отображаются в ребра о и о-1 или их концы. Получающийся в результате путь /(дф') должен быть замкнутым.

Если грань или ребро отображаются в вершину, то в нее же отображаются все их граничные объекты.

В качестве примера отображений 2-комплекса в 2-комплекс упомянем накрытия, определенные в § 2.5.

Конструкция. Отображение g: F' -► F индуцирует гомоморфизмы

g,: САР')^СЛР), г = 0, 1, 2, следующим образом:

Если g отображает элемент а е F', соответствующий образующему а' группы CAF'), г = 0, 1, в а, то положим gAa')= а И случае, если dim а = dim а'; в противном случае положим gAa')=0. Далее gt распространяется по линейности на всю группу CAF').

Если образом грани ф' является грань ф и для граничных цепей выполняется равенство gi(d2f') =nd2f то положим gif = ■ nf Если образ грани ф' имеет меньшую размерность, то положим gif = 0. Тогда имеет место

Предложение. Отображение g 2-комплекса F' в 2-комплекс F индуцирует гомоморфизмы g.*: Hi(F')-+Hi(F) сле-

4 X цшпанг и др. 49

Зующим образом: если 2ЖА— такая цепь из группы C,(F'), что ^(2^а,) = о, и если 12^1 обозначает ее гомологический класс, то’,

gt [2 *Х1 = [^ (2 зд)] = [2 ^г («;)]•?

Доказательство — упражнение 2.11. □

Заметим, что отображение g индуцирует очевидным образом в гомоморфизм g*: G -»- G' фундаментальных групп.-

Теорема. Пусть F — сбязный 2-комплекс. Тогда группа Ht(F) изоморфна прокоммутированной фундаментальной группе G комплекса F (в произвольной точке).

Доказательство. Построим эпиморфизм G ^- HV(F), ядро которого совпадает с коммутантом группы G.-

Если путь о представляет элемент (col^G и weC^F) есть цепь, соответствующая to, то dtw = 0, поскольку путь <в замкнут. Таким образом, w представляет гомологический класс [ш] е е Я1 (F). Непосредственно видно, что соответствие {о} •-► [»] определяет гомоморфизм ф: G -► Я1 (F). Далее, если [и] — произвольный элемент группы H^F), то, поскольку dtu = 0, и можно разложить в сумму u>t + п>2 + ... + wn, где соответствующие пути ©,, Юг, ..., On замкнуты. Добавленйем шипов мы можем соединить каждый путь <о, с отмеченной точкой фундаментальной группы. Поскольку при отображении ф шипы переходят в 0 е ^ЯДЕ), произведение путей <щ с ведущими к ним путями составляет замкнутую петлю to с ф{со)= [и]. Таким образом, ф является эпиморфизмом. Поскольку группа H^F) абелева, ядро гомоморфизма ф содержит коммутант группы G. Если, с другой стороны, {(о} принадлежит ядру гомоморфизма ф, a w — цепь в С 1(F), соответствующая пути to, то существует цепь/=2а»/»^ eC2(F), для которой д2/ = 2агд^г= w. Элементы /, соответствуют граням комплекса F. Поскольку пути д2/( ограничивают грани, путь to должен равняться произведению граничных путей граней, в котором составляющим дугам позволено меняться местами. Таким образом, путь ю гомотопен пути, составленному из коммутаторов. □

Упражнения 2.10 — 12.

*) Первая гомотопическая группа и фундаментальная группа. Теорема Зайферта — ван Кампена.

Склеивание комплексов

В этом параграфе комплексы являются обычными клеточными комплексами или CW-комплексами произвольной размерности. Свойства первой гомотопической группы л,, особенно касающиеся накрытий, предполагаются известными. Их можно найти

К учебниках по алгебраической топологии. Особенно рекомендуем книгу Масси [Massey, 1967].

Если К обозначает i-мерный остов комплекса К, то мы определяем фундаментальную группу G комплекса К как фундаментальную группу 2-комплекса, отвечающего CW-комплексу К?.

Пусть К — комплекс со связным остовом К*, и пусть отмеченная точка • группы л, (Я) принадлежит остову. К\ Тогда каждый замкнутый путь, исходящий из точки *, можно непрерывно про деформировать в путь, лежащий в К1, а каждую замкнутую поверхность — в поверхность, лежащую в К2, Следовательно, л,(К) = л. (К2). Каждому замкнутому пути в нашем смысле *) с началом в точке • соответствует непрерывное отображение (S1, •) -► (К2, •) (где 5‘ — окружность с отмеченной точкой •), и, следовательно, он представляет некоторый элемент группы л, (К). Комбинаторно эквивалентным путям соответствуют, по тривиальным соображениям, гомотопные отображения, и, таким образом, мы получаем гомоморфизм ф: G ->■ л^К?). Так как замкнутый путь в К? с началом в точке * можно продефор- мировать в путь, целиком лежащий в К1, который проходит полностью каждое задеваемое им ребро, то ф является эпиморфизмом. Более того, группа G действует как группа автоморфизмов накрытия К2 -► К? (а также накрытия R^-Ky и это действие является свободным. Но накрытие, определенное в § 2.5, также можно рассматривать как топологическое накрытие. Два различных элемента группы G соответствуют различным автоморфизмам накрытия, поэтому ф является также и мономорфизмом.

Предложение. Фундаментальная группа комплекса совпадает с его первой гомотопической группой. □

Следующая теорема дает процедуру для вычисления фундаментальной группы комплекса К = Ki U К2 по фундаментальным группам комплексов Kt и Кг.

Теорема Зайферта — ван К ампен а. Пусть К — связный комплекс произвольной размерности, Kt, Кг — его связные подкомплексы со связным пересечением К, П Кг. Выберем для всех фундаментальных групп одну и ту же отмеченную точку в пересечении. Пусть фундаментальная группа комплекса К< обладает заданием (jS^, 8^\ ... | R^ (-S(l)), ...), и пусть фундаментальная группа комплекса Ki П Кг порождена элементами 7U V2, ■.. Обозначим через V^ элемент фундаментальной группы комплекса К„ соответствующий образующему V,. Тогда фундаментальная группа комплекса К очевидным образом обладает заданием

<8^, 8^\ ..., 8^, S^, ... | R^ (Sw\ ...

. ....^(S^), ..., ^(r^)-1,...). □

В этом пункте мы вычислим фундаментальную группу комплекса, который получается в результате склеивания двух изоморфных подкомплексов. Пусть К — связный комплекс, L^ L2 — его связные подкомплексы с пустым пересечением. Выберем отмеченную точку • фундаментальной группы вне L2 U Ь2. Пусть i: Lv^ Ьг — изоморфизм, а ^ — комплекс, который получается из К в результате отождествления подкомплексов Li и L2 при помощи I. Пусть Р и i (Р) — вершины комплексов Lt и L2i а щ, о2 — пути из точки • в Р и i(P) соответственно. Обозначим через т путь ст^1, а через t — его гомотопический класс. Тогда задание фундаментальной группы комплекса К' получается из задания фундаментальной группы комплекса К добавлением образующего t и соотношений (с^Г1) = = t {cr2i (Л) сг^-1) ^-^где X пробегает петли, классы которых порождают фундаментальную группу комплекса 1ц.

По поводу применений этих двух результатов см. упражнения 2.13, 2.8.

Теоремы Грушко и Фукса-Рабиновича

В качестве еще одного применения топологических методов в теории групп мы предлагаем доказательство теоремы Грушко [1940], принадлежащее Столлингсу [Stallings 1965]. В теореме идет речь об эпиморфизмах свободных групп на свободные произведения, и мы формулируем ее лишь для свободных групп конечного ранга, хотя в действительности рассуждение Столлингса можно распространить на общий случай.

Теорема. Пусть ф: S -> ^ Gj — эпиморфизм свободной группы S конечного ранга на произвольное свободное произведение групп. Тогда существует такое разложение группы S в свободное произведение

S = * S,,

что ip (St) cz G, для каждого i.

Если обозначить сужение гомоморфизма ф на S{ через ф(, то каждый гомоморфизм ф, должен быть эпиморфизмом на G< (иначе ф не будет эпиморфизмом на * Gtj, поэтому теорему можно истолковать как утверждение о том, что эпиморфизм S->- * G является «свободным произведением» эпиморфизмов свободных сомножителей группы S на отдельные группы G(.

Следствие. Ранг свободного произведения равен сумме рангов сомножителей.

Доказательство — упражнение 2.14. □

Доказательство теоремы 2.9.1 получается в результате применения теоремы Зайферта — ван Кампена 2.8.2 и следующего способа добавлять грани к 2-комплексу, не меняя его фундаментальной группы.

Конструкция и предложение. Пусть F — двумерный комплекс, аю — путь в F, соединяющий вершины Pt и Р2. Тогда, если мы введем новое ребро т из Pt в Р2 и новую грань q> с dtp = tot-1, то новый комплекс F' будет иметь ту же фундаментальную группу, что и F. Из определения 2.4.3 фундаментальной группы 2-комплекса и построения 1.5.2 образующих при помощи остовного дерева следует, что г и ф просто добавляют новый образующий t и новое соотношение t = w, где w — элемент, соответствующий пути ®. В частности, если группа n^F) свободна, то яДР')—свободная группа с тем же набором образующих, что и л, (Р).

Доказательство теоремы 2.9.1. Реализуем S в качестве фундаментальной группы графа F с единственной вершиной Р, имеющего по одному ребру а для каждого свободного образующего s группы S. Если at .. ,ап — нормальная форма элемента ф(«) в -X-G{, то разобьем а на п подребер ст,, ...," ст„ и

определим отображение if подразбитого графа F в -X- G, по правилу ст, а^ Естественно, if индуцирует отображение if: nx (Р) = = S->-X-Gi. (См. рис. 2.9.1.) Мы сохраняем за новым графом обозначение F и полагаем

Р,={ребра графа F, отображаемые в СДСКвершины графа Р).

деревьев.В процессе дальнейших модификаций через Р всегда будет обозначаться непосредственно перед тем построенный комплекс,деревьев.В процессе дальнейших модификаций через Р всегда будет обозначаться непосредственно перед тем построенный комплекс,Тогда A Р,= {вершины графа Р}. Этот граф, вообще говоря, несвязен и является (очевидно) дизъюнктным объединением

деревьев.

В процессе дальнейших модификаций через Р всегда будет обозначаться непосредственно перед тем построенный комплекс,

деревьев.

В процессе дальнейших модификаций через Р всегда будет обозначаться непосредственно перед тем построенный комплекс,

а Р, будут определяться, как указано выше. Наша стратегия будет заключаться в том, чтобы добавлять новые ребра и грани к комплексу F так, чтобы сделать А Р, «более связ

ным», не меняя n,(P) и оставляя А Р, дизъюнктным объединением де

ревьев. Более точно, мы будем сохранять следующие свойства: (1) Л1(Р)= S, с исходными образующими s.

Граф А Р{ является дизъюнктным объединением де

ревьев, и Pi1 А Р,2 = А Р, для любых it Ф it.

Определение. Перевязью в графе F называется такой путь ю в Р, что:

to связывает вершины Р„ Рг, принадлежащие различным Компонентам пересечения А ^ъ

to c Ft для некоторого i;

ф(®) = 1.

Если в F задана перевязь to, мы вводим новое ребро г нз Рх в Р2 и новую грань ф с дф = ют-1 и полагаем ф(т) = 1). Тогда новый граф F по-прежнему обладает свойствами (1) (по п. 2.9.3) и (2), но ПЛ имеет на одну компоненту меньше, поскольку две" компоненты прежнего пересечения П F, соединены ребром т,

Если перевязи существуют всегда, когда граф П Ft несвязен, мы можем сделать ПР, связным (и поэтому деревом) за конечное число шагов. Заметим, что каждый граф F, содержит О Ft, а значит, и все вершины графа F, поэтому на этом этапе каждый граф Ft также связен, и свойства (1), (2) вместе с теоремой 2.8.2 Зайферта — ван Кампена дают равенство

8 = Л1(Р)= *Л1(Р0= #8„

поскольку лх ( П ^i) = (дерево) = 1. Искомые эпиморфизмы ф,: S< -»- G, в точности совпадают с теми, которые ф индуцирует на Ft.

Таким образом, чтобы доказать теорему 2.9.1, остается доказать следующее:

Лемма. Если пересечение П Fx несвязно, то в F существует перевязь.

Доказательство. Поскольку пересечение Л F, несвязно, существует вершина Q, не лежащая в компоненте, содержащей отмеченную точку Р группы яДР). Выберем любой путь р. из Р в Q.

Поскольку ф отображает Л1VF^ на % G,, найдется такой замкнутый путь v из Р в Р, что ф(у) = ф(р), и поэтому если а = v_1p, то:

ф(а)= 1; а также, так как а идет из Р в Q, то

а £ П F,; из этого вытекает:

существует разложение а = aia2... af с более чем одним сомножителем, в котором последовательные сомножители принадлежат различным Ft.

В частности,~

1 = Ш) = ф(а,)ф(о2)...ф(а,),

и последовательные элементы ф(а,) лежат в различных группах G,. Если концы такого пути а, лежат в различных компонентах пересечения П Fx, то а, является перевязью. Если нет, мы стро-

Мм новый путь а с теми же свойствами (3), (4), (5), но с меньШим числом сомножителей следующим образом:

Выберем по одной отмеченной точке в каждой компоненте пересечения П Ft так, чтобы Р и Q пойали в число и этих отмеченных точек, и построим новое произведение

Р = «iPiPF^aPa- • -рГ-Л,

Где р, — путь в f) ^t из конца пути af в отмеченную точку компоненты пересечения А ^и его содержащей (см. рис. 2.9.2^..Обозначим сомножители элемента Ц через рх = ’«iPn ..., pt = pt^i«t. Очевидно имеем, что 1|ДР) = ф(а) = 1, поэтому для [1 выполняются

Отмеченные • точки

Рис. 2.9.2•

свойства (3), (4), (5), если а, заменить на р,; отсюда тем же рассуждением'находим р, с ф(РД= 1. Но теперь, если путь Pj не является перевязью, он начинается и кончается в одной и той ate отмеченной точке и поэтому может быть целиком выброшен из произведения. Отбрасывая все такие пути р, и объединяя,появляющиеся при этом смежные пути р„ лежащие в одном и том же графе F„ мы получаем новый-путь а со свойствами (3), (4); (5), но с меньшим числом сомножителей..

Если число сомножителей уже нельзя уменьшить, то один из них является перевязью. □ ..

Группу автоморфизмов свободного произведения G = А, • ... ... * А„ можно- вычислить, если известны группы автоморфизмов сомножителей. Это сделал Фукс-Рабинович [1940, 1941]. Если сомножители А, неразложимы и не изоморфны Z, то легко указать задание группы автоморфизмов.'

Для <р, е Aut А, определим ф,:.С ->- G, положив

есл”.

W ]g, если geXj, j^i.

Эти автоморфизмы ф, образуют группу Ф,/ изоморфную Aut А<.

Для фиксированной пары (г, ;), i^j, и а.еА, определим автоморфизм [a,]/ G -► G формулой

^ga^ если geAy,,

если 8sA.,/

Для фиксированных i, / автоморфизмы {[a,]Дa, e AJ образуют группу Гу, изоморфную группе А,.'

Если для г ч= / группы А; и А, изоморфны, то имеются очевидные дополнительные автоморфизмы. Упорядочим группы в виде

А<(1)+1, ..., Ai(2),

Af(s-1)+1, ..., А„

таким образом, чтобы группы в каждой строке были попарно изоморфны, а группы, стоящие в различных строках,— не изоморфны. Зафиксируем изоморфизмы

Ai(i)+i ** А{(1)+2 -►...-► A,(1+i)(z‘(s) = re)

и обозначим через фы: А* -► At, i(t)< к < I < z(< + 1), их композицию. Определим <оы: G -»- G для к < I формулой

1

g, если g е А{, где i Ф к, I,

Фм^), если ?еАй,фй?^), если g^Kx.

Автоморфизмы ®ы порождают группу Q, изоморфную произведению симметрических групп степеней z(l), z(2)—i(l), ... .... re- z(s— 1).

Теорема. Пусть G = A, • ... • A„ — свободное произведение n неразложимых групп Af, не изоморфных Z. Тогда группа Aut G порождена своими подгруппами Ф„ Г<„ Q, описанными в пп. 2.9.6—8. Определяющие соотношения перечислены в следующем списке;

Ф,Ф, = ф^, (г =# /),

Ф1[а,Ь= [а,]1ф< ki*]^

ф4[«Н1 - [ф<(аОЬфг

[adj [a,Jr = [az]r [a{]j (Z ф j, r =# i, i^

[aft]t [«dj fafelF1 = [«^Г1 Г«*Ъ 1®ь]<>

Ыуф, =ф-Ыу,

“уф1 =Ф1му (Z=£i, у),

toyfadj =[toytadlitoy,

®ij[adz= [wytadJiOy,

“v[adi =[azb®y,

<*)y [fifth = [«fc]i toy, где к, 1=^1, ). □

Эта теорема принадлежит Фуксу-Рабиновичу [1940]. Если среди сомножителей А{ присутствуют бесконечные циклические группы, то задание (и доказательство) сильно усложняется; оно приведено в статье Фукса-Рабиновича [1941]. В обеих статьях имеются некоторые некорректные утверждения; Б. Виха-Крау- 56

де, Б. Циммерманн и X. Цишанг смогли исправить ошибки й первой статье, но со второй не справились).

Метод Уайтхеда, описанный в § 1.9, можно обобщить на свободные произведения, что также позволяет, следуя рассуждениям Маккула [McCool 1975], указать задание группы автоморфизмов, см. [Collins — Zieschang 1984, 1984', 1984", 1987].

Упражнение 2.14.

О методе Нильсена в свободных произведениях

В этом параграфе мы приводим без доказательства теорему о нильсеновском методе сокращения в свободных произведениях с объединением. Доказательство основной теоремы 2.10.2 является громоздким, но получается без труда, если попытаться понять, почему метод Нильсена из §1.7 не поддается прямому обобщению.

Построение упорядочения в группе G = = Gx *А G2. Мы пользуемся нормальными формами элементов свободного произведения, описанными в п. 2.3.12: в каждой группе G, выбираем представителей смежных классов Ag, где класс А представлен единицей. Тогда произвольный элемент а обладает однозначно определенным представлением

g=Tx.. .ТткГт . . .Г?1,

где rs и fj являются нетривиальными представителями, последовательные элементы лежат в различных сомножителях G„ а к либо лежит в G,\A при некотором i, причем гт и rm не лежат в G„ либо к е А, причем гт и гт лежат в различных сомножителях. Положим

., . Vim + 1, если к^К,— 12тп, если к g А.

Далее, линейно упорядочим всевозможные произведения представителей смежных классов: сначала по длине т, затем произведения одинаковой длины упорядочиваются лексикографически в соответствии с некоторым порядком на множестве групп G, и затем на множествах классов смежности в пределах одной группы.

Далее упорядочим пары (g, g-t) элементов группы G следующим образом:

(g, g"^<kg\g < g'

либо Z(g)<Z(g'),__

либо Z(g) = Z(g') и одна из «половин» rt...rm и rt...r„ предшествует обеим половинам элемента g'.

либо, если первые половины элементов g и g' совпадаю», то вторая половина элемента g предшествует второй половине элемента g'."

Если g < g' и g' < g, то произведения g и g' (или g'-1) совпадают, за исключением среднего сомножителя.

Мы особенно заинтересованы в таких упорядочениях, что в пределах одного сомножителя G( каждому представителю предшествует лишь конечное число других.

Теор е м а. Пусть G=.G1*AG, и пусть длина I и отношение порядка < определены так же, как в § 1.7 и п. 2.10.1. Пусть (g,)^i — система элементов группы G, a U — подгруппа, порожденная элементами gt. Тогда имеет место один из следующих случаев:1

Каждый элемент w е U обладает представлением

W = Д g^,Ej = ± 1,,

где Z(glj)<Z(tv)."

При помощи одной из операций Нильсена можно перейти от системы (gi)tei к более короткой системе (gi)t=i, т. е. такой системе, что gx<.gxnpu всех ielu gi<.gt по крайней мере при одном ie I.

Существуют произведение а= П gk, где а^^ и 1^ =# gi^ е А при ; = 1, ..., К, и элемент х е СДА при некотором г такие, что хах-^ е А.

Существуют произведение а = Ц g?] (i, e/)iz сомножитель Gfc такие, что:

все gt- лежат в некоторой подгруппе, сопряженной подгруппе Gft, и либо все они одной длины, либо их длина ^1;

по крайней мере один из элементов gi- не лежит в А; , (с) элемент а сопряжен нетривиальному элементу группы А;

вс^ элементы gt —одинаковой длины 1^ 1 и Z(a)^Z, либо все они лежат в одном и том же сомножителе G,, некоторые, возможно, лежат в А, а элемент а сопряжен некоторому элементу из А при помощи некоторого элемента из G,.

По поводу доказательства см. [Zieschang 1970], [Collins — Zieschang 1988]. D

Случай 2.10.4 предлагает некоторый индуктивный шаг, соответствующий шагу из § 1.7: в результате применения операций Нильсена получается система (gi)iej, для которой возможны лишь случаи 2.10.3, 5j 6 и некоторые из элементов g, могут быть тривиальными. Следующий пример показывает, что лучшего ре' зультата достичь нельзя.

58

' 2.10.7. Пример (Розенбергер [Rosenberger 1974]). Пусть G = Gx »А G2 где-

Gt = (sx, . . ., $2п—2 | SU • • •» ®2n—2) — Z2 • • » « • Zgt

Gg = (s2n—1, $2п I $2n—1, s2n^ ^ — Z2 • Z2fe+1,

A = <SX . . « ®2n-2^ = ^($2п—lS2n)-1> ^ Z,

и n > 2, к > 1. Тогда элементы xv = s^, хг = $,$3, ..., x2n_2 = = $iS2n-i порождают G. При доказательстве этого важную. роль играет уравнение*

#2п = ^1^2 X^t . . . Х2п—2^1 ^2^3• • • ^ЗП—3^2п-2-

При п = 2 имеет место случай 2.10.5, поскольку zt = s,s2eAH s^^r1 = Sg®! = Xi1 eA, и не имеют места ни случай 2.10.6,, ни 2.10.4. При п = 3 при помощи операции Нильсена можно перейти от набора (xt, х2, х*, х^ к (xb х2, у2, х^, где у3 — Xx*vх» =ч = s1s2s3s4eA. Тогда имеет место случай 2.10.6, а именно; G8 cot- держит элемент ’- ■

V2 = ^Vl^VaX = ^х^х^Ч^Х =

= (Ws'J (Mi) (Mi) (Мз) (W,‘1) (Мз) (ViX'i М

: :G1 Gj Gj Gp

j " =WisGi Г

. .= WA G A

Здесь не имеют места ни случай 2.10.4, ни 2.10.5.1

- 2.10.8. Замечание. Теорбма Грушко 2.9.1 является непосредственным следствием теоремы 2.10.2, поскольку в свободном произведении не встречается препятствий к выполнению операций -Нильсена.1’

-Теорема-2.10.2 была доказана в работе Цишанга [Zieschang 1970] и использовалась там для определения ранга плоских разрывных групп, см. п. 4.15.1. Доказательство ее довольно неприятно, но, насколько нам известно, более простое обсуждение отсутствует. Эту теорему можно обобщить на случай HNN-rpynn, см. [Peczynski — Reiwer 1978], и групп с функцией длины, см. [Hoare 1981]. См. также [Collins — Zieschang 1988].

О группах с одним определяющим соотношением .

После свободных групп наиболее доступными кажутся группы с одним определяющим соотношением. Действительно, они являются предметом обширной теории. Некоторые результаты о них приводятся ниже. Наиболее известной является

Теорема о свободе. Пусть G=«, xt, .,., xn| "R(t, x,)>, где R — циклически редуцированное слово. Пели R{t, х^ содержит t, то подгруппа, порожденная" элементами

59

xt, ..., xn, является свободной группой ранга п, т. е. между элементами х< нет нетривиальных соотношений.

Эта теорема была сформулирована Деном и впервые доказана в работе Магнуса [Magnus 1930]. Большинство ее доказательств, может быть, чуть более изощренных, в основных чертах повторяют это первое доказательство. Мы следуем изложению Линдона и Шуппа [Lyndon — Schupp 1977]. Поднимаясь в свободную группу, порожденную теми же образующими, теореме 2.11.1 можно придать следующий вид:

Предложение. Пусть F=<X|>—свободная группа с базисом X, и пусть R — ее циклически редуцированный элемент. Тогда каждый нетривиальный элемент нормальной оболочки N(Z?)<F (т. е. наименьшей нормальной подгруппы, содержащей R) содержит все образующие из X, которые встречаются в R.

Магнус получил этот результат, доказав некоторое, на первый взгляд более общее, утверждение. Чтобы его сформулировать, введем удобное обозначение:

Определение. Задание G = <Х 1 R> называется ступенчатым, если выполнены следующие условия:

Пусть/ = Z или /={1, ..., п}, и пусть Y — подмножество множества X, являющееся объединением не пересекающихся множеств Y„ 1^1. Пусть R=(r/l7e/}, где / — линейно упорядоченное множество и каждый элемент г, циклически редуцирован и содержит некоторую образующую из Y.

Для j^J обозначим через а(/) наименьшее 1^1, такое, что г, содержит образующую из Yb а через Ь (/) — наибольшее такое I.

От ступенчатого задания мы требуем, чтобы неравенство / < к влекло неравенства а(/)< а^ и 6(/)< Цк1).

Такие ситуации часто встречаются, если, начав с задания группы Н, применить метод Нильсена — Шрайера к нормальной подгруппе U с циклической факторгруппой H/U, см. 2.11.6. Мы докажем:

Предложение. Пусть <XIR>— ступенчатое задание, в обозначениях определения 2.11.3. Допустим, что следствие w набора соотношений R (т. е. и е N (R)) содержит образующие у из Y( лишь при i, лежащих в некотором интервале а ^ I < Ъ. Тогда ш является следствием тех г„ которые содержат образующие у из Y лишь при а^г^Ъ, (В доказательстве мы используем обычное обозначение [а, Ь] интервала а^1^ЬД

Докажем теперь предложения 2.11.2 и 2.11.4 при помощи некоторых индукционных рассуждений. Доказательство будет закончено в п. 2.11.6.

Лемма. Утверждения 2.11.2 при ЦП^К и 2.11.4 при l(Rj) ^К,)е J, эквивалентны.

Доказательство. Предложение 2.11.2 в случае соотношений с ограничением ЦП^К является частью предложения 2.11.4 с соответствующим ограничением, поэтому остается дока- 60

зать, что из первого следует второе. Поскольку w уже является следствием конечного поднабора соотношений, достаточно рассмотреть случай конечного множества Z={1, ..., и). Мы будем доказывать индукцией по и и начнем с тривиального случая п = 0. Можно предположить, что R=(Z?t, ..., /?„} и что а(1)= 1 и Ь(т)=п. Положим X'= X\Y„, Y'= Y\Y„, R' = R\{flJ. Тогда задание G' = <X'|R'> удовлетворяет условию предложения 2.11.4 с п = п — 1. По индуктивному предположению, нормальная оболочка N' множества R' в группе Г'=<Х'|> не содержит нетривиальных элементов, которые были бы словами из образующих, принадлежащих Z = X\Y. Поэтому образ Н' группы U=<Z|> в группе G' — свободная группа, а системой ее свободных образующих служит образ множества Z при вложении в G'.

Аналогично, положим X" = X\(Yt U ... U Yn_,), Y" = Y„ и R" ={flm>. Тогда задание G" =<X"|R"> удовлетворяет условиям предложения 2.11.2, поэтому образ Н" группы U в группе G" есть свободная группа, а системой ее свободных образующих также служит образ множества Z при вложении в G". Это доказывает, что группа G является свободным произведением групп G' и G" с объединенной подгруппой Н' = Н", см. 2.3.2.

Если, в обозначениях предложения 2.11.4, интервал [а, 6] не содержит и, то w е N (R) П F' = N', где последнее равенство является следствием результата Шрайера о том, что сомножители свободного произведения с объединением вложены в это произведение (предложение 2.3.4). Теперь мы можем применить индуктивное предположение к G' =<X'|R'>. Случай, когда

[а, 6], следует из симметрии. Остается случай [а, Ь] = [1, и], и тогда заключение выполняется автоматически. □

Доказательство предложения 2.11.2. Сейчас мы докажем его индукцией по длине соотнощения R. Можно считать, что все образующие из X появляются в 7? и что X содержит по крайней мере два элемента. Сначала рассмотрим случай, когда некоторый образующий, скажем (е X, появляется в R с суммарным показателем 0. Обозначим остальные образующие через xt. Соотношение R лежит теперь в нормальной оболочке Ft элементов х. в F, поэтому N(/?)<F1 и, значит, »eFt. Подгруппа F, порождена множеством Хх = (^ = t^x^ xt е ^X\{t), feeZh Более того, из предыдущего следует, что N(Z?) является нормальной оболочкой множества Ri = 1^ь = t^Rt^ *gZ) в Fi, где мы выражаем эти соотношения через элемен-

Заметим, что R, получается из Ro увеличением всех вторых хндексов на /; поэтому перед нами ступенчатое задание. Кроме того, все соотношения R^ имеют одну и ту же длину; она, оче- иядно, равна полному числу вхождений в R букв, отличных от i и tr1. Поскольку t входит в R, длина слова Ri в образующих «е меньше, чем длина слова R в образующих из X.

Мы Должны показать, что R содержит t и все остальные z,eX. Для начала Возьмем Yfe ^xjxj ее X, xt¥=A. Теперь R содержит t и некоторую часть вида х^!хр, где е, е'= ±1, Z¥=0 И Хг, ху е Х\{^. Тогда R» как слово в алфавите Xt будет содержать х1-к+1 и ху^ при некотором h. Поэтому а(О)<Ь(О); по поводу определения этих чисел см. 2.11.3 (Ь). Ясно, что а(&)< <Ь(Лг) и что бели к<1, то а(к)< a(Z) и b^k) < b(Z). Поэтому ни одно из слов Нз не состоит только из образующих, принадлежащих ¥о. Из индуктивного предположения и леммы 2.11.5 следует, что мы можем применить предложение 2.11.4 к заданию <F1|R1>. Поэтому w, как слово в алфавите X,, не может содержать только буквы из Yo; но тогда w, как слово в алфавите X, должно содержать t.

Чтобы показать, что R содержит х, е Х\Ш, полагаем Хк : — :=Ь\Д. Поскольку R содержит х„ слово R» тоже должно содержать некоторый элемент х^. Еще раз применяя предложений 2.11.4 к соотношениям длины, меньшей Z(/?), заключаем, чтош, как слово в алфавите X,, должно содержать некоторый элемент Ху, и, следовательно, как слово в алфавите X, должно содержать х,.

Остается разобрать случай, когда ни один из образуюИщх не входит в R с суммой показателей 0. Мы продолжаем предполагать, что X содержит по крайней мере два элемента, # и и. Достаточно будет показать, что w содержит, скажем, и. Пусть т И у. — суммарные показатели, с которыми t и и входят в R. Вложим F в свободную группу F' с базисом {x}U(X\{Z}) таким образом, чтобы af = t. Поскольку w является следствием соотношения 7? в F, оно является им и в F'. Возьмем теперь для F' базис X*=(X\{f, u})U(x, и*}, где и* = их'. Элемент х входит в R, как в слово над X*, с суммарным показателем 0. Мы переходим, как и раньше, к подгруппе F^ группы F' с базисом

X' = {Мй = Х^НХ*, Xik = X-hXiXh | fc Е Z, ^G X\{Z}}.

Длина слова R относительно X' равна, очевидно, полному числу вхождений букв, отличных от t и Z-1, в R, как в слово над X, и она поэтому меньше длины его, как слова над X. Мы можем, таким образом, прийенитЬ, как и раньше, индуктивное предположение и заключить, что ш, как слово в алфавите X', содержит некоторый элемент ик и поэтому, как слово в алфавите X, содержит и. Этим доказательство теоремы о свободе 2.11.2 заканчивается. □

Используя конструкцию из только что приведенного доказательства, докажем следующее

2Л1.7. Предложение. Если элементы R и Q свободной группы F имеют одну и ту же нормальную оболочку N в F, то R сопряжен Q или Q~l.

Доказательство. Можно считать, что R и Q не тривиальны и циклически редуцированы. Из теоремы о свободе 2.11.2 следует, что, поскольку каждый из них является (как соотноше- 62

ние) следствием другого, в их запись входят в точности одни и те же образующие. Можно считать, что F=<X|> и что как R, так и Q содержат все элементы множества X. Случай одной образующей тривиален, и мы не будем его рассматривать. Докажем наше утверждение индукцией по длине слова R. Как и раньше, вкладывая, если это необходимо, F в большую свободную группу F', мы можем считать, что некоторый элемент < еХ входит в R с суммарным показателем 0. Как и раньше, перейдем к свободной группе F, с базисом X] = (хгй = ^^Xt^l хх е е Х\{<}, к е Z) и заключим, что N < F, является нормальной оболочкой как для Rj = [7?, = r’Rt* |/eZ) bFj, таки для Qj = = (^ = r^j|7-eZL

Пусть xx e X\{i}. Пусть слова RP и Qt содержат xx0 в качестве х* с наименьшим вторым индексом. Пусть х„, и х,„ соответственно — вхождения в них символа x1)t с наибольшим вторым индексом. Каждое слово R, с ] ^ р содержит образующие х,к с к «МО, ..., mV Если теперь п < т, то теорема о свободе в версии. 2.11.4, примененная к ступенчатому заданию <XjRi>, дает противоречие с предположением, что Qt является следствием соотношений из Rb Поэтому п > т, и из симметрии мы заключаем, что п = т. Но предложение 2.11.4 влечет, что Qt является следствием соотношения RP и, симметрично, RP является следствием соотношения Qt. Это означает, что Rp и Qt имеют одну и ту же нормальную оболочку в Fj. Поскольку Rp, как слово в алфавите X,, короче, чем R, как слово в алфавите X, мы можем применить индуктивное предположение и заключить, что RP сопряжено в F, с Qt или Ql\ Но тогда RP сопряжено в F с Qt или QT1- Так как RP сопряжено с R, a Qt с Q, то R сопряжено с Q или Q-1. □

Среди разнообразных следствий и усилений теоремы о свободе мы упомянем лишь следующее предложение 2.11.8. Большое число’ других можно найти в книге Линдона и Шуппа [Lyndon — Schupp 1977, П.5], где имеется также подробный список литературы.

Предложение. Если свободная группа G обладает заданием <X|R> с одним определяющим соотношением R, то либо R = 1, либо R входит в некоторый набор свободных образующих группы F = <Х|>.

Доказательство. Мы можем считать, что ранг группы F конечен и равен п 1 и что Т?^!. По теореме о свободе rank G С п — 1; в то же время, прокоммутировав, получим, что rank G 5® га—1. Из теоремы Грушко 2.9.1 или из упражнения 1.17 следует, что F обладает таким базисом у1х ..., уп, что образы элементов у,, ..., yn-t образуют базис группы G. Поскольку R и уп обладают одной и той же нормальной оболочкой в F, мы делаем из предложения 2.11.7 вывод, что R сопряжен с уп или у„ , и поэтому является элементом некоторого базиса группы F. □

О гипотезе Магнуса. Предложение 2.11.7 доставляет простой способ определить, изоморфны ли две группы с одним определяющим соотношением. Это имеет место, если одно слово можно перевести в другое или ему обратное при помощи нескольких операций Нильсена. То, что это единственная возможность, иногда называют гипотезой Магнуса, см. Магнус, Каррас и Солитэр (Magnus — Karrass — Solitar 1966, р. 401]). Если для группы G оиа верна, то при помощи метода Уайтхеда можно определить, описывает ли данное задание группу G. Примерами, для которых гипотеза Магнуса верна, являются фундаментальные группы поверхностей, см. Цишанг [Zieschang 1970], Печински [Peczynski 1972], Печински, Розенбергер и Цишанг [Peczynski — Rosenberger — Zieschang 1975]. Доказательство этого довольно неприятно и основывается на теореме 2.10.2 о методе Нильсена для свободных групп с объединением. Другие примеры групп, для которых верна гипотеза Магнуса, приведены в работах Розенбергера.

Контрпример к гипотезе Магнуса был приведен в работе Ци- шанга [Zieschang 1970]. Тот же пример был найден независимо в работе Маккула и Петровски [McCool — Pietrowski 1971]. По поводу обобщений см. Цишанг [Zieschang 1977, 6.3]. Мы опишем этот пример в п. 2.11.10. Оказывается, что для каждой из этих групп (это группы торических узлов) имеется лишь конечное число заданий с одним соотношением, не эквивалентных по Нильсену, см. Коллинз [Collins 1978]. В работе Бруннера [Brunner 1978] приводятся примеры групп, обладающих бесконечным числом неэквивалентных заданий с одним соотношением. В работах Прайда [Pride 1973, 1974, 1977] рассмотрены и расклассифицированы группы с двумя образующими и одним соотношением. Другие контрпримеры к гипотезе Магнуса получаются из двух представлений Виртингера узлов с двумя мостами, если мы один раз возьмем в качестве образующих дуги-переходы, а другой раз — дуги-проходы, см. Функе [Funcke 1975]; простейший из этих примеров обсуждался в п. 2.1.10 и в упражнении 1.16.

Пример. Рассмотрим Т =<s, tXs^t4^, р, q 5= 2. Возьмем такие числа сиг, что р = 1 — ст. Тогда, пользуясь преобразованиями Титце, получаем:

<s, t|spt_’>=<s, t, n|us-r, s1-crM> = =<s, t, u\us~T, 8и~Ч~я~>= = <t, u\u(t4ue)~T,>.

Если q, с, r ^ 3, то слово «(t’u')-' имеет минимальную длину среди всех слов, получающихся из него при помощи преобразований Нильсена. То же самое верно и для слова s*t~4. (Чтобы доказать это, нужно применить автоморфизмы Уайтхеда 1.9.2.)

Что касается их длин, то р + q < |rc| + 1 + |rg|, поэтому из теоремы 1.9.3 следует, что не существует изоморфизма свободной группы, порожденной элементами s и t, на свободную группу, порожденную t й и, переводящего spt-q в u(<t4uc')-r-

§ 2.12. Замечания

Комбинаторная теория групп в своих истоках была тесно связана с комбинаторной топологией. Это должно быть ясно уже из того, как используются одномерные и двумерные комплексы в изложенных выше доказательствах теоретико-групповых результатов. И действительно, основные направления исследования уже были заложены в топологических работах Титце [Tietze 1908] и Дена [Dehn 1910]. Титце, отталкиваясь от своей теоремы о преобразованиях Титце, пришел к постановке общей проблемы выяснения того, когда два задания определяют изоморфные группы (проблема изоморфизма); он даже предположил, что эта задача может быть неразрешима. Ден поставил проблему тождества и проблему сопряженности для произвольных конечно заданных групп. Мы видели в § 1.2, как решаются эти проблемы в случае свободных групп. С другим решением — для групп поверхностей — мы познакомимся в § 4.9, оно было получено Деном [Dehn 1912].

Проблема тождества решена лишь для небольшого числа узких классов групп, например, для групп с одним определяющим соотношением, см. Магнус [Magnus 1932]; еще меньше известно о проблеме сопряженности (не решенной даже для групп с одним соотношением), и совсем мало — о проблеме изоморфизма. Это положение дел несколько прояснилось с появлением замечательной работы Новикова [1955], в которой доказано, что для некоторых конечно представленных групп не существует алгоритма для решения проблем тождества и сопряженности. Подобным образом в работе Адяна [1955] доказано, что не существует алгоритма для решения проблемы изоморфизма.

Конкретные примеры конечно заданных групп, в которых неразрешима проблема тождества, довольно сложны, но их можно Построить из групп, в которых проблема тождества разрешима, при помощи свободных произведений с объединением (см. Бриттон [Britton 1963]).

Топологические методы применялись также к свободным произведениям с объединением и связанной с этим HNN-kohct- рукции, см. Хигмэн, Нейман Б. и Нейман X. [Higman— Neumann В. Н,— Neumann Н. 1949]. В работе Серра [Serre 1977] рассмотрены группы, действующие на деревьях, и соответствующие факторпространства способом, очень похожим на тот, ка- рсим мы в этой книге рассматриваем группы, действующие на

X. Цишанг и др65

плоскости (см. гл. 4). Как оказывается, свободные группы — это те, которые действуют таким образом, что ни один нетривиальный элемент не имеет неподвижных точек, свободные группы с объединением — те, для которых факторпространство представляет собой ребро, и HNN-группы — это те, для которых факторпространство является петлей. (Вообще, HNN-rpynna— это группа, получающаяся из циклических групп при помощи многократных свободных перемножений с отождествлениями и HNN-конструкций.) Это дает мощный метод доказательства теорем о подгруппах и нахождения заданий конкретных групп.

Свободное перемножение с отождествлением и HNN-kohct- рукции тоже можно интерпретировать на языке фундаментальных групп, ср. § 2.8. Свободное перемножение с отождествлением соответствует склеиванию двух комплексов, а HNN-конструкция соответствует склеиванию комплекса с самим собой («добавление ручки»).

Насколько трудно извлечь информацию о группе из ее задания, настолько же трудно получить задание группы, описанной каким-нибудь другим способом, например, как группа автоморфизмов. Первыми были результаты, полученные Пуанкаре и Кляйном в 1880-е годы для автоморфизмов замощений плоскости. В главе 4 мы приводим эти результаты в более общей форме. Для группы автоморфизмов свободной группы конечного ранга и для групп классов преобразований поверхностей также могут быть получены конечные задания, см. [Nielsen 1924] и [McCool 1975], ср. § 5.15.

Для свободного произведения иногда можно вычислить количество его подгрупп конечного индекса, например — для модулярной группы Z2*Z3; cm. [Dey 1965], [Godsil — Imrich — Razen 1979], [Hall 1949], [Imrich 1977, 1978], [Wohlfarth 1977].

Упражнения

Докажите, что если D = \ad — be| =# 0, то <8, Т | 8°, Г6, З'Т*} = at ZD. Что происходит при 0 = 0?

Пусть G = (Sv 32 | 3[, 3*, (З^)2), и пусть гомоморфизм <р :G-*Z, ={0, 1, 2, 3} определен формулой Sji—1. Докажите, что ядро гомоморфизма ф изоморфно Z ® Z.

2Д Докажите, что группа G = <Г, 17, Х|Г-Ч7-'Г17, Х^ТХТ, Х*ШХП, Х2> изоморфна группе <4, В, С|42, В2, С2, (АВС')2} и содержит подгруппу Т индекса 2, изоморфную Z2. Покажите, что подгруппа Т этими свойствами однозначно определена.

Пусть G = <3, Т|ЗаГь>, (а, Ь) = 1. Факторгруппа G/[G, G] этой группы по ее коммутанту изоморфна Z. Покажите, что ядро канонического отображения G -* G/[G, G] = Z -*Z/»Z = Z, изоморфно С.если (s, ab) = = 1. (Докажите это сперва для а = 2, Ь = 3 и » = 5.)

2Л Найдите все подгруппы индекса 8 группы <3, Г|3*, Т2, (ЗГ)8>, изоморфные группе <4,, В,, А*, В2| [4h Bi] [4» В2] = 1>, и покажите, что среди них есть ровно одна нормальная подгруппа (см. [Sanatani 1967]).

Пусть ф: Н -► G = G1 *А G2 — некоторый эпиморфизм. Докажите, что Н = ф-1 (G1) *ф-1(А)Ф-1 (G2). В частности, если G можно иетривиаль-

ныи образом разложить в свободное произведение с объединением, то то же можно сделать и с Н (см. [Stallings 1965], [Zieschang 1976']).

Докажите, что в свободном произведении с объединенной подгруппой два элемента х, у. не принадлежащие одной циклической подгруппе, коммутируют только тогда, когда существует такой элемент z что zxz~’ и zyz-1 лежат в одном и том же сомножителе (ср. упражнение 1.5).

Вычислите при помощи склеивания фундаментальные группы кольца, проективной плоскости

бутылки Кляйнабутылки Кляйна

бутылки Кляйна

бутылки Кляйна

и «шутовского колпака»

Докажите, что всякая конечно порожденная нетривиальная нормальная подгруппа конечно порожденной свободной группы имеет конечный индекс. (Указание: воспользуйтесь для геометрического доказательства свойствами групп автоморфизмов накрытия.)

Докажите теорему 2.7.4.

Докажите предложение 2 7.7.

Найдите гомологические группы графа и тора.

Найдите при помощи теоремы Зайферта — ван Кампена фундаментальную группу комплекса

Докажите следствие 2.9.2.

Докажите, что группа (Sp S2, S3, S J S^, S^, S2, S2^ ,S ^^^^ порождена элементами SA, SA-

(а) Докажите, что группу Zn нельзя породить меньше, чем п элементами.

(Ь) Докажите, что группу Z" ф Zo © ... ф ZOm при щ 5$ 2 и ai|a2, «2,аз • • «т-1 |«т нельзя породить меньше, чем п + т элементами.

Расклассифицируйте конечно порожденные абелевы группы с точностью до изоморфизма.

При g, к>0 группы ^Тр Up ..., Tg, 17, | Ц^, U ^ и (yv ..., Vklvl, . ..,F^ не свободны. Докажите это несколькими способами.

Найдите все элементы конечного порядка в группе <8, Г, ЩЗ®, S[T, UV), п > 2.

Расклассифицируйте группы <8, Г|5аГ~ь> с точностью до изоморфизма ([Schreier 1924]).

Пусть G = <8, Г|5аГь> с а, 6^2, и пусть а, Р е Z таковы, что (а, а) = (Z>, Р) = (а, Р) = 1. Докажите следующие утверждения:

Группа G порождена элементами 8®, Т*.

Если а или Р равняется 1, то требуется лишь одно определяющее соотношение между образующими 8®, Ге.

При помощи некоторой последовательности операций Нильсена (1.7) систему (8®, Ге) можно преобразовать в систему (8а', Г^') с 0 < а' ^ Р'а/2 и 0 < Р' а'Ь/2. (Равенство имеет место, только если а или р равняется 2.) Более того, справедливо следующее утверждение (d), хотя его доказательство гораздо труднее.

При а =/= Ъ каждую из систем (8®, ГР) и (8а', Т^') при 0 < а, а' ^ а/2 и 0 < р, р' ^ Ь/2 можно преобразовать во вторую при помощи операций Нильсена в том и только в том случае, если а = а' и Р = р'.

(В действительности имеет место даже более общий результат, состоящий в том, что систему (8®, Т») с 0 < а ^Ра/2, 0 < р ^ аЬ/2 можно преобразовать в (S®', Гр'), где 0 < а'< Р'а/2, 0 < р' С а'Ь/2, в том и только в том случае, если а = а' и р = Р', см. [Zieschang 1977]. Доказательство этого результата кажется непропорционально длинным, и хотелось бы найти красивое короткое доказательство.)

Для образующих 8, ГР с (Р, Ь) = 1 или 8®, Тс (а, а) = 1 достаточно одного определяющего соотношения. (В действительности каждая система образующих с этим свойством «эквивалентна по Нильсену» некоторой системе указанного выше типа, см. [Collins 1978].)

Докажите, что группа С = <а, Ь[а4, б2*, (аЬ)2, (а-'Ь)^ (А^1) имеет порядок Вк и содержит абелеву подгруппу А порядка 4к. Если к ^ 3, то подгруппа А однозначно определена. Вычислите А. Обследуйте ситуацию при к = 1, 2 и при к = 0.

Пусть группа С та же, что выше, и пусть D = (а^ s2 | s4, s2h, («Л)2>, ^2.

Покажите, что ядро гомоморфизма р: D-»-C, ^w-a, $2»-*Ь, имеет ранг 2 (А — 1).

Докажите, что кег р обладает заданием

<^Г Up .... th_p Ид,^ g [t{, U{]^>.

Обследуйте ситуацию при к = 0, 1.

(Упражнения 2.22—23 взяты из статьи [Maclachlan 1969]; мы вернемся к ним в п. 4.14.26.)

Пусть а, Ъ ее Z, (а, Ь) = 1 и G = <8, Г^-Г” = 1>, Н = <», t|s“ = = 1, tb = 1> и ф: G->H — гомоморфизм, при котором 5н«, Гн- t. Обозначим через G' и Н' коммутанты групп G и Н. Докажите, что:

кег ф П G' = 1, G' ^ Н'.

Н'- F^ где g = (а -1) (6 - 1)/2.

Пусть G = Gx *А G2, где подгруппа А конечно порождена. Докажите, что G конечно порождена в том и только в том случае, если конечно порождены Gj и G2.

ПОВЕРХНОСТИ

Первыми интересными примерами многообразий являются двумерные многообразия, называемые также поверхностями. В компактном случае имеется полный список различных типов поверхностей, и их классификация хорошо известна. Мы рассматриваем ее в §§ 3.1 и 3.2 в духе комбинаторной топологии. Поскольку в размерности 2 верна хауптфермутунг и каждая топологическая поверхность триангулируема (см. [Rado 1924]), это дает также топологическую классификацию. В § 3.3 мы доказываем, что в случае замкнутых ориентируемых поверхностей каждый автоморфизм фундаментальной группы реализуется гомеоморфизмом. Это — теорема Дена — Нильсена (см. [Nielsen 1927]). Мы придерживаемся доказательства, принадлежащего Зайферту [Seifert 1937]. В главе 5 мы дадим еще одно доказательство этой теоремы и приведем ее обобщения.

Определения

Пусть С — двумерный комплекс, обладающий следующими свойствами:

С связен.

Каждое направленное ребро о входит по крайней мере в один граничный путь.

В совокупности каждое направленное ребро входит в граничные пути не более двух раз. (Хотя оно может входить в один и тот же путь дважды.)

Ребро а называется краевым, если оно входит в граничные пути лишь один раз. Направленное ребро о' называется соседом направленного ребра ст, если путь сто' является отрезком некоторого граничного пути. У краевого ребра только один сосед. Наоборот, ребро, имеющее лишь одного соседа, является краевым ребром, а ребро с двумя соседями не лежит на крае *).

Единственное исключение может встретиться в вершине, где сходятся два ребра. Тогда возможно, что каждое из этих направленных ребер о имеет лишь одного соседа т, но ст-1т входит в границы граней дважды. Содержательный пример доставляется «проективной плоскостью». Ее можно задать как комплекс, сос-

*) То есть не является краевым,— Примеч. пер.

тоящий из одной вершины Р, одного геометрического ребра {о, о-*} и одной геометрической грани {ф, ф-1}, такой, что со является границей ф, см. рис. 3.1.1.

Звезда — это последовательность Ста , . • ■, Оап направленных ребер с общим началом*), в которой ребра а»^ (1 < i <2 га) являются соседями ребер □„,_! и оа£+1 и аа{_1 # оа,+ 1. Таким образом, лишь ребра оа и о^ могут быть краевыми.

Звезда называется замкнутой, если ffan является соседом ребра о^1, и называется простой, если никакое направленное ребро не входит в нее дважды.

Рис. 3.1.1Рис. 3.1.1Конструкция. Построим по данному направленному ребру о содержащую его звезду. Сначала добавим ребра a-t и щ, соседние с ребром ст-1, и получим последовательность Ст-i, о, Ci. Затем добавим слева второго соседа ребра ст!}, а справа — второго соседа ребра oi"1, и продолжим эту процедуру до тех пор, пока сможем находить соседние ребра. Если из начала ребра а исходит лишь конечное число ребер, то мы получим однозначно определенную максимальную простую звезду. Каждое

Рис. 3.1.1

Рис. 3.1.1

направленное ребро принадлежит единственной простой замкнутой или максимальной простой незамкнутой звезде. Эта звезда определена с точностью до ориентации и циклической перестановки.

Определение. Поверхностью называется 2-комплекс, удовлетворяющий условиям 3.1.1 (а) —(с) и следующему условию:

(d) Для любых двух ребер с началом в точке Р существует звезда ax = aai, ...,= о2 с центром в точке Р.

Из условия (d) следует, что в вершине Р поверхности либо нет замкнутой звезды, либо существует единственная (с точностью до ориентации и циклической перестановки) замкнутая

*) Называемым центром звезды.— Примеч. пер.

звезда. Вершины, в которых есть замкнутые звезды, называются внутренними вершинами, а остальные — краевыми вершинами.

Замечание. Если путь вшо-1®' является граничным для некоторой грани, и Р — конец ребра о, то ребро о-1 само образует целую звезду с центром в Р. Тогда, как следует из 3.1.3 (d), Р не может быть также и началом ребра о. По той же причине никакой граничный путь не может содержать подпути okt... kna-1, в котором к, = ОцО^ай оГ2 > а ребра а и о„ имеют совпадающие начало и конец.

Лемма. Операции 2.4.5 (а) и 2.4.5 (Ь) переводят поверхности в поверхности-, то же верно для обратных операций 2.4.5 (с), когда они возможны. □

Мы называем две поверхности родственными, если каждую из них можно перевести в другую операциями 2.4.5 (а) —(с).

В дальнейшем мы часто будем пользоваться еще двумя операциями, получающимися из операций 2.4.5 (а) — (с). Предположим, что из каждой вершины исходит лишь конечное число ребер.

(а) Пусть Р — вершина поверхности F со звездой щ, ..., ст„. Пусть F' — поверхность, содержащая в дополнение к старым частям новую вершину Q и новое ребро а, причем ребра

Рис. 3.1.2Рис. 3.1.2

Рис. 3.1.2

Рис. 3.1.2

Oj, ..., 0k (j < к) начинаются в Q, оставшиеся ребра о, начинаются в Р, а о ведет из Р в Q. Тогда звездами в Р п Q являются 01, ..., б,-1, а, Щ+ь • • ■, ®п и о-1, ст„ ..., ак соответственно. Единственным изменением граничных путей является замена фрагментов (о^о,)8 и (ar^h+i)8 фрагментами (о^оо^)8 и (ой 1n~1aft+1)e соответственно (е = ±1).

(Ь) Операция, обратная к (а), в случае, если она приводит к поверхности. Мы называем операцию (Ь) стягиванием ребра.

Операция стягивания переводит поверхности в поверхности, если стягиваемое ребро о не связывает двух краевых вершин, само при этом располагаясь внутри поверхности. Если о соединяет две краевые вершины, то комплекс F', который получается

из F стягиванием ребер, не удовлетворяет условию 3.1.3 (d) определения поверхностей; см. рис. 3.1.2.

Операцию 3.1.6 (Ь) можно представить в виде композиции операций 2.4.5, как это показано на рисунках 3.1.3.

§ 3.2. Классификация конечных поверхностей

Пусть F — связная поверхность с конечным числом элементов. Сначала покажем, что верна следующая

Лемма. Край поверхности F состоит из конечного числа простых замкнутых путей.

Действительно, если краевое ребро т является замкнутым, то, как следует из определения 3.1.3, оно не пересекается с осталь-

ными краевыми ребрами. Если же его начало и конец, вершины Р и Q соответственно различны, то т~* является первым ребром звезды с центром в Q, последнее ребро Ti которой также является краевым. Если конец Q, ребра т, совпадает с Р, то построение замкнутого пути закончено, если нет, то мы его продолжаем. Поскольку из краевой точки исходит, самое большее, два краевых ребра, а поверхность F конечна, этот процесс закончится за конечное число шагов, и мы получим простую замкнутую кривую, которая не имеет общих точек с остальной частью края поверхности F. □

Объединяя грани (при помощи операции 2.4.5 (с)), пока это возможно, мы в конце концов получим поверхность, различные грани которой пересекаются целиком по своим граничным путям.

Предложение. Поскольку поверхность F связна, она либо состоит из двух граней, пересекающихся вдоль общей границы (эта асферическая поверхность» определена однозначно с точностью до родства), либо имеет одну-единствен- ную грань. □

Если F не сфера, то при помощи элементарных преобразований можно прийти к следующей ситуации: F имеет в точности одну внутреннюю вершину; на каждой компоненте края имеется ровно одна вершина и одно ребро, и еще по одному ребру соединяют внутреннюю вершину с каждой краевой вершиной; все остальные ребра начинаются и кончаются во внутренней вершине. В этом случае мы говорим, что поверхность имеет нормальную форму. Таким образом, F состоит из одной грани, граничный путь которой содержит подпути вида про-1, где р — краевая кривая, а о — путь, ведущий к ней. В силу условий 3.1.1 (Ь) и 3.1.1 (с) каждое внутреннее ребро, если не обращать внимания на ориентации, входит в граничный путь ровно два раза, и граничный путь однозначно определяет поверхность F. Это означает, что F можно задать посредством многоугольника ф, стороны которого обозначены теми же символами, что и ребра поверхности F. Последняя восстанавливается по ср посредством отождествления одинаково обозначенных сторон. Образно говоря, ф получается из F в результате разрезания вдоль внутренних ребер, a F получается из ф в результате склеивания надлежащих пар сторон.

Следующая операция переводит нормальную форму в нормальную форму и не меняет F. Опишем ее в терминах многоугольника.

Пусть а — внутренняя петля, т. е. пусть после первого вхождения в границу многоугольника ф в ней еще раз встречается о или о-1, и пусть со есть подпуть в дф, начинающийся в конце стороны о и не содержащий ни о-1, ни а. Тогда мы отрезаем от ф часть вдоль диагонали а', идущей от начала стороны о к концу пути со, и приклеиваем ее вновь вдоль а (или а-1). На поверхности F это выглядит как подразделение ее грани при помощи о' с последующим объединением получившихся граней в

результате стирания ребра ст.

При этом граничный путь ... ст сот ... о-1... превращается в ... ст'т... юст'“*... (это происходит, если о входит в него второй раз как о-1), и граничный путь . ..ст®т...о в ...ст'т...о'©-1... (это происходит, если ст входит в него второй раз как ст). Аналогично тому, как мы заменяли сто» стороной о', можно заменить а/а стороной ст'. Если, к примеру, о — это путь, ведущий к краевой петле р, то ...б/стрст-1... преобразуется в ... о'ро'^а/...

Мы называем эту операцию бифуркацией и сторону ст', замещающую путь шст, обозначаем через (шо). Таким образом, о замещается путем to-1 (ист), и (®о) является новой стороной, возникающей в результате применения этой операции.

Пусть <о = дф. Поскольку ... ю^рст-1... превращается в .. .(й)1О)р(®1ст)_1ш1..., мы можем перенести в начало все части пути с», соответствующие краевым петлям. Другими словами, © принимает вид © = о^^Г1... ОгРгСТ^1®', где никакие краевые петли не входят в ®'.

Если а входит в ©' два раза с одним и тем же показателем, то произведем следующие бифуркации:

®' = ... ®^ст®2О ...-*... (®1О) ®2®Г1 (®1°) • •. —**

. ((®1СТ) ©2®! *) ((®ха) ®2®1 *) ®х®2 1. . .

Таким образом, можно считать, что все стороны, появляющиеся дважды, появляются в виде квадратов (т. е. подряд дважды), и эти квадраты появляются в начале пути, который получается из ©' предыдущими бифуркациями. Поэтому можно заменить ©' путем Vi ... Vh®', где каждая сторона входит в ©" с показателями + 1 и —1.

Если имеется участок ... рчОЦаТЦзС^’щт-'..., то, преобразовав многоугольник так, чтобы появилась сторона (piOp2), мы получим фрагмент вида .. .отц'ст_,ц"т-1... Создав (р."т~*), мы получим теперь .. .сттрст-|т-1... Построив (ци-1), получим ... стцтц-'т-1..., и, наконец, построив (рт), получим ;>. стто^т^р... Таким образом, о принимает окончательно вид ТТ РРоГ1 ТТ Vi ТТ [Tj, щ] ®z" .... где путь ©'" не обладает уже

фрагментами вида стрггргО р3т • 74

Если бы путь со"' был нетривиален, то в нем нашелся бы отрезок вида оо-1, что противоречило бы условию на звезды 3.1.3 (d), поскольку ребро а само по себе образовывало бы тогда замкнутую звезду (см. замечание 3.1.4).

Таким образом, о» имеет вид со = II сггргсг^-1 II vi II [Tt, ml-

Если числа I и к оба отличны от нуля, то в со имеется фрагмент м2трт-1р-1, который допускает следующие бифуркации:

v2TpT~1p-1 -> v (vt) u (t-iv-1) vu"1 ->

-> (vu"1) u (vt) ц (т-iv-1) (ур-1)->

-> (vp-1) (p (vt)) (p (vt)) (vt)-i (vt)-i (vp-1);

получившийся фрагмент имеет вид v1v2"v32vp который преобразуется в v2 v3 v2 способом, описанным выше. Следовательно, мы доказали

Предложение. Если имеется символ а, который входит в со' дважды, то со можно привести к виду

о) = JI щрщГ1 Ц v2, где к>0,

при помощи бифуркаций. Если каждая буква входит в со' (гао разу) с показателями +1 и —1, то со можно привести к виду

со = П^Рс^Г1 П [Ti,Hib g^O. D

Разложения поверхностей, имеющие вид (3.2.5) и (3.2.6), называются каноническими нормальными формами.

Теперь мы покажем, что поверхности типов (3.2.5) и (3.2.6) не являются родственными друг другу, а числа j, к и g являются инвариантами. Мы уже знаем, что фундаментальная группа является инвариантом. Возьмем внутреннюю точку и пути, идущие к компонентам края, в качестве остовного дерева для F. Таким способом мы получаем образующие s„ ..., sr, соответствующие компонентам края, образующие и,...ик в случае (3.2.5), образующие t„ щ, ..., tg, ug в случае (3.2.6). Разложение (3.2.5) дает определяющее соотношение Ц з, П^, и разложение (3.2.6) — определяющее соотношение П^П[<i, Ui], так что получаются фундаментальные группы

(3.2.5') W = <^sv ...,sT,vv ....^[ПяП^, ^>0,

(3.2.6') W = <^s1, ...,8,,^,^, ..., tg, “»|П «{ДГ^^Иу* Соответственно. При г = 0 при помощи коммутирования можно увидеть, что группы типа (3.2.5') и (3.2.6') не изоморфны друг

75

другу и что g и к являются инвариантами. Если имеется край, то группы как типа (3.2.5'), так и типа (3.2.6') свободны, поэтому вопрос в этом случае не так прост. Задания (3.2.5') и (3.2.6') называются каноническими заданиями фундаментальных групп поверхностей. Образующие и соотношение в этом случае также называются каноническими.

Чтобы различать поверхности типов (3.2.5) и (3.2.6) с краем, введем понятие ориентируемости.

Определение. Поверхность называется ориентируемой, если из каждой геометрической грани (ф, ф-1} можно выбрать «положительного» представителя таким образом, чтобы каждое внутреннее направленное ребро ровно один раз входило в граничный путь «положительной» грани. Легко видеть, что ориентируемость инвариантна относительно операций (2.4.5). Поскольку поверхность в нормальной форме имеет лишь одну грань, а в разложении (3.2.5) по крайней мере один сегмент появляется в граничном пути дважды с одним и тем же знаком, поверхности типа (3.2.5) не ориентируемы; в случае (3.2.6) каждое внутреннее ребро поверхности F появляется в граничном пути с различными знаками, поэтому поверхности этого типа ориентируемы.

Поскольку число компонент края очевидным образом является инвариантом, нам нужно лишь показать, что к и g являются инвариантами. В случае (3.2.5) эйлерова характеристика (см. предложение 2.4.6) а0 — «i + otz равна (1 + г)— (г+г + + &)+!, поскольку у нас есть одна внутренняя вершина, по одной вершине на каждой граничной компоненте, по одному ведущему к ней ребру, по ребру на каждой компоненте края и к внутренних ребер. Таким образом, в случае (3.2.5) характеристика равна 2 — к — г. В случае (3.2.6) характеристика равна (г+1) — (r+r+2g)+l = 2 — 2g— г. Итак, мы видим, что gn к, соответственно, являются инвариантами; они называются родом поверхности F.

Теорема. Ориентируемость, число компонент края и род образуют полный набор инвариантов (конечных) поверхностей. Фундаментальная группа ориентируемой поверхности рода g с r-компонентным краем имеет задание (3.2.6'), а фундаментальная группа неориентируемой поверхности рода к — задание (3.2.5'). □

Первую часть теоремы можно доказать также средствами теории групп. Поскольку краевые петли поверхностей заданы и мы можем выбирать лишь порядок, ориентации и пути, ведущие к краю, то образующие s,, ..., s, в заданиях (3.2.5') и (3.2.6') определены с точностью до перестановки, обращения и сопряжения. Поэтому наименьшая нормальная подгруппа, содержащая элементы, приходящие с края, однозначно определена и при коммутировании переходит в прямое произведение бесконечных циклических подгрупп. В случае (3.2.6') сумма образующих этой подгруппы никогда не равна нулю, в то время как при под- 76

ходящем выборе знаков сумма образующих в случае (3.2.6') равна нулю.

Рис. 3.2.1

Определение. Конечная поверхность без края называется замкнутой.

Следствие. Пусть F— связная поверхность. Тогда:

H0W = Z (^o(^) = Zn в случае п-компонентной поверхности');

если F замкнута, ориентируема и имеет

HX<F) =HX<F) =Z2xZft-1,Z2xZft-1,^m-{Zo'^m-{Zo'если F ориентируема, имеет род g и г>0 компонент края,

HX<F) =

HX<F) =

Z2xZft-1,

Z2xZft-1,

^m-{Zo'

^m-{Zo'

еслиР неориентируема, имеет род к и г>0 компонент края,

если F неориентируема, замкнута и имеет род к;

если F замкнута и ориентируема, в противном случае. □

3.2.11. Терминология. Следующие поверхности являются простейшими и носят специальные названия

Название

(g)

(Ь)

(f)

(2-)сфера

о

о

1

тор

+

1

0

2

проективная плоскость

—

0

бутылка Кляйна

—

2

0

диск

+

0

5

кольцо

+

2

лист Мёбиуса

1

1

7

Здесь (о)—это ориентируемость (+, если поверхность ориентируема), (g) —род, (Ь)— число компонент края, a (f) —номер на рис. 3.2.1.

Упражнения 3.1 — 12.

Формула Кнезера

Мы введем понятие степени отображения и докажем, что степень с любого отображения поверхности рода g в поверхность рода g' (g, g' положительны) удовлетворяет неравенству

g' — 1 > lc| (g — 1).

Следуя работе Зайферта [Seifert 1937], мы затем получим отсюда короткое доказательство теоремы Дена — Нильсена.

В этом параграфе мы допускаем несвязные поверхности). Это несколько упрощает доказательство теоремы 3.3.3.

Для заданного отображения /: F' F поверхности в поверхность мы можем при помощи подразделения граней поверхности F' добиться того, чтобы в случае 2.7.5 (Ь) петля /(Эф') обходила границу Эф ровно один раз, возможно с шипами; в дальнейшем мы будем считать, что это так и есть. Накрытия, введенные в § 2.4, являются отображениями поверхности в поверхность, сохраняющими размерность и заведомо удовлетворяющими условию, к которому мы только что пришли. Кроме того, при накрытии образы звезд поверхности F инъективно отображаются в звезды поверхности F.

Определение. Разветвленное накрытие — это сохраняющее размерность отображение поверхности в поверхность, обладающее тем свойством, что граничные петли двух граней поверхности F', которые отображаются на одну и ту же граничную петлю в F, не имеют общих ребер. Однако звезды в F' могут многократно накрывать звезды поверхности F. Кратность этого накрытия называется индексом ветвления в соответствующей вершине.

Определение. Пусть F и F' — замкнутые ориентируемые поверхности с фиксированными ориентациями, и пусть F связна. Разность между числом положительных и числом отрицательных граней поверхности F, отображаемых в положительную грань поверхности F', не зависит от выбора этой положительной грани (доказательство — упражнение в конце главы) и называется степенью отображения f. В работе Кнезера [Kneser 1930] доказывается

Теорема. Если F и F' — замкнутые ориентируемые поверхности рода g и g' соответственно (g'^1), и если /—

Отображение степени с поверхности F' на поверхность Б, тоg'-l^lcl(g-l).

. Доказательство. Поскольку g'> 1, то можно считать, что и g> 1, так как в противном случае утверждение тривиально. Таким образом, ни F, ни F' не являются сферой. Более того, можно считать, кроме того, что F' не содержит сфер (напомним, что мы не предполагаем связности поверхности F'). Пусть п и п — эйлеровы характеристики поверхностей F и F' соответственно. Тогда утверждение теоремы состоит в том, чтои'^ |с| -п.

Следующая лемма, которую мы не станем доказывать имеющимися в нашем распоряжении средствами, оправдывает то предположение, что F' не содержит сфер.

Лемма. Отображение сферы на поверхность большего рода имеет степень 0 *). □

Если /: F' -► F — накрытие (неразветвленное), то над каждой геометрической гранью, вершиной и каждым геометрическим ребром находится ровно |с| геометрических граней, вершин и геометрических ребер соответственно, поэтому п’ = |с| • п. Если / разветвлено, то точно так же над геометрическими гранями и геометрическими ребрами поверхности F находится по Ic I геометрических граней и геометрических ребер, а над вершинами не более |с| вершин, стало быть и в этом случае п' ^ |с| • п. Чтобы доказать теорему, мы рассмотрим теперь по отдельности несколько случаев.

Пусть отображение / не понижает размерности.

При помощи подразделения мы можем сперва добиться, чтобы все грани поверхности F были треугольными, ни одно ребро не входило в границу одного треугольника дважды и ни одно ребро не было замкнутым. Поднимем такое подразделение в F'. (Теперь / — симплициальное отображение.) Ребро о поверхности F' называется складкой, если два треугольника, граничным ребром которых является ст, отображаются на один и тот же треугольник поверхности F.

Если имеются складки, изменим F' таким образом, чтобы степень отображения осталась прежней, а эйлерова характеристика возросла или число граней уменьшилось. После конечного числа таких операций все складки исчезнут, отображение станет (разветвленным) накрытием. Это даст доказательство утверждения теоремы в случае 3.3.6.

' Имеется три типа складок.

Два треугольника, отображающиеся на один и тот же треугольник, имеют только одно общее ребро PQ (рис. 3.3.1).

Отрежем эти два треугольника от F' вдоль замкнутого пути P1QP1.PP1 и склеим у оставшейся поверхности РР, с РР2 и QPV с QP^. Поскольку отрезанные треугольники отображались с разными ориентациями, степень отображения останется той же. Эйлерова характеристика не изменится, и новый комплекс также будет замкнутой поверхностью.

Указанные треугольники имеют два общих ребра (рис. 3.3.2).

Отрежем конус от F' вдоль ст,ст2 и склеим ст, с ст^1 в оставшемся комплексе. Как и раньше, ни эйлерова характеристика,

Рис. 3.3.2Рис. 3.3.2

Рис. 3.3.2

Рис. 3.3.2

ни степень отображения не меняются, а комплекс остается замкнутой поверхностью.

Указанные треугольники имеют общее ребро и общую противоположную вершину, см. рис. 3.3.3. (Других случаев нет, поскольку, если у двух треугольников все ребра общие, то они составляют сферу.) Разрежем тогда F' вдоль О1СТ2 и склеим о, с ст2-1 ). В результате эйлерова характеристика увеличится на 2, а степень отображения не изменится. Если ctiO2 разбивает поверхность F', то новые компоненты обе сферами быть '5 не могут, иначе была бы сферой уже компонента, содержавшая ранее эти треугольники. Таким образом, мы получаем из F' новую систему поверхностей, из которой, возможно, требуется удалить одну сферу, что уменьшит эйлерову характеристику на 2.

В результате эйлерова характеристика поверхности F' возрастет или останется прежней. После конечного числа таких шагов мы получим родственное накрытие, и утверждение теоремы окажется редуцировано к уже рассмотренному случаю 3.3.5.

Пусть ст' — ребро поверхности F', отображаемое в точку. Если концы ребра о' не совпадают, то мы можем стянуть их в одну точку (операция 3.1.6 (Ь)). Если они совпадают, то мы

Рис. 3.3.4Рис. 3.3.4и существует (е = ±1). Под-и существует (е = ±1). Под-делаем разрез вдоль а' и стягиваем полученные граничные кривые в точку. Это увеличит эйлерову характеристику на 2. Если с' разбивает поверхность F', то, как и раньше, две компоненты не могут обе быть сферами. Если одна из новых компонент сфера, то мы отбросим ее. Таким образом, эта операция не уменьшает эйлерову характеристику и сохраняет степень отображения.

Рис. 3.3.4

Рис. 3.3.4

и существует (е = ±1). Под-

и существует (е = ±1). Под-

на ребро о, но ни одно ее ребро не отображается в точку. Пусть дф' = ох ...на ребро о, но ни одно ее ребро не отображается в точку. Пусть дф' = ох ...... On - Тогда ребра Oj... On - Тогда ребра Ojотображаются наотображаются наЕсли грань отображается в вершину, то ее граничные ребра отображаются в точку, и применимо рассуждение 3.3.7. Наконец, остается лишь разобрать случай, когда грань ф' отображается

на ребро о, но ни одно ее ребро не отображается в точку. Пусть дф' = ох ...

на ребро о, но ни одно ее ребро не отображается в точку. Пусть дф' = ох ...

... On - Тогда ребра Oj

... On - Тогда ребра Oj

отображаются на

отображаются на

подпуть OiOi+i пути д<р' с образом aea-t

разделим ф ребром т, идущим из конца ребра б,+1 в начало ребра a'i (см. рис. 3.3.4), и стянем т. После конечного числа таких шагов граница грани, отображающейся на ребро о, состоит ровно из двух ребер, которые отображаются на ребро а и ему обратное. Тогда мы разрежем F' вдоль двух граничных ребер, выбросим эту грань и вновь склеим ребра. Поскольку эта операция также не меняет эйлерову характеристику и в ней не

участвует ни одна грань, связанная с вычислением степени отображения, мы можем считать, что / не понижает размерность, и теорема редуцирована к случаю 3.3.6. □

Материал оставшейся части параграфа в дальнейшем не используется.

Сейчас мы извлечем некоторые полезные следствия из доказательства формулы Кнезера. К сожалению, формулировать их в терминах уже развитой комбинаторной теории было бы довольно сложно и искусственно (отчасти это будет сделано в главе 5), но это легко сделать, используя основные понятия и результаты алгебраической топологии.

Следствие. Пусть F' u F — замкнутые ориентируемые поверхности рода g' и g соответственно, и пусть f. F' -► F — отображение степени с Ф 0. Если

g' — 1 = lcl(g— 1),

го / можно непрерывно продеформироватъ в накрытие р; F' -► F степени с.

Доказательство (набросок). При g = 0 мы получаем, что |с|=1 и g' = 0. Известно, что отображение № ^-№ степени ±1 гомотопно гомеоморфизму, см. упражнение 3.29.

Предположим теперь, что g', g> 1. При доказательстве формулы Кнезера мы изменяли отображение / (и, возможно, поверхность F''), не меняя его степени. При замене F' другой поверхностью эйлерова характеристика возрастала. Так как теперь

81816 X. Цишанг и др.

81

81

мы считаем, что выполняется равенство, поверхность F' остается неизменной. Более того: операции 3.3.6 (а) и (Ь) можно заменить гомотопиями отображения / так, чтобы новое отображение отображало два треугольника на некоторое ребро. В случае применения операции 3.3.6 (с) кривая oto2 ограничивает диск, и мы можем так деформировать /, чтобы этот диск отображался на /(щ). В случае 3.3.7 единственной возможностью является появление сферы, и мы точно так же можем непрерывно продефор- мировать /, чтобы диск отображался на некоторое ребро. В пункте 3.3.8 описана операция, применимая к отображениям, понижающим размерность (переведите эту операцию на язык гомотопических деформаций). Таким образом, мы можем считать, что / не понижает размерности и не имеет складок, т. е. является разветвленным накрытием. Так как наличие ветвления влечет строгое неравенство в формуле Кнезера, то / есть накрытие. □

При помощи аналогичных рассуждений можно получить следующий результат:

Предложение. Пусть F* u F — те же, что раньше, и пусть f: F'-*F — отображение степени 0. Представим поверхность F двумерным комплексом С1. Тогда / можно непрерывно продеформировать в отображение, при котором F отображается в одномерный остов С1 комплекса С1. □

Из следствия 3.3.9 мы можем вывести следующую важную теорему 3.3.11, принадлежащую Нильсену. В главе 5 мы дадим другое ее доказательство, основывающееся лишь на материале, развитом в этой книге, и допускающее обобщение на случаи, к которым не применим представленный здесь метод.

Теорема Дена—Нильсена [Nielsen 1927]. Пусть F — замкнутая ориентируемая поверхность, F — ее фундаментальная группа и a: F -* F — автоморфизм. Тогда существует гомеоморфизм ф: F^>-F, индуцирующий а, т. е. такой гомеоморфизм ф, что ф+ = а.

Доказательство. Пусть т„ рь ..., xg, pg — каноническая система петель на F, см. (3.2.6) при г = 0 и роде g. Тогда их гомотопические классы h, щ, ..., tg, ug порождают F. Петля

П [ть pt] ограничивает диск D на поверхности F. Выберем петли ri, pi, ..., Tg, pg, реализующие классы а(^, a(ut), ... ..., a(tg), a(ug), и определим отображения т,тр р,->pi, при которых отмеченная точка переходит в себя и ориентации кривых сохраняются. Кривая Ц [ть pt] гомотопна нулю, поэтому отображение объединения кривых ти ..., р4 можно продолжить до отображения ф': D -► F. Поскольку ф' переводит эквивалентные точки ребер т< и т?1 (и ребер р, и р?1) в одну, ф' факторизуется до отображения ф": F -* F, индуцирующего а. Пусть с — степень отображения ф". Формула Кнезера (теорема 3.3.3)

принимает в этом случае вид

g- 1 > kl(g — 1).

Поэтому либо g = 1, либо с равно 0 или ±1. Если степень равна О, образ F можно продеформировать на 1-остов, поэтому фундаментальная группа образа свободна. Так как а является автоморфизмом, группа F должна быть свободной, что неверно (по поводу доказательства см. упр. 2.4). При с = ±1 утверждение 3.3.11 вытекает из следствия 3.3.9. В случае g = l требуются другие рассуждения. Можно, например, воспользоваться тем. что автоморфизмы группы Z Ф Z подробно изучены. Мы оставляем это в качестве упражнения 3.19. □

Упражнения 3.13— 19.

Накрытия поверхностей

Как мы видели в § 3.2, поверхности характеризуются своей эйлеровой характеристикой, числом компонент края и ориентируемостью. Сейчас мы в терминах этих инвариантов сформулируем необходимые и достаточные условия того, что существует накрытие одной поверхности другой поверхностью, имеющее заданную степень.

Обозначения. В дальнейшем через F' и F обозначаются связные поверхности, которые можно представить в виде конечных комплексов. Через х, g, г мы обозначаем эйлерову характеристику, род и число компонент края поверхности F; соответствующие инварианты поверхности F' обозначаются через х\ g\ г'.

Нашей целью является следующая теорема:

Теорема. Пусть F' и F такие, как в 3.4.1, и с > 1, ceZ. Поверхность F' есть с-листное накрывающее поверхности F тогда и только тогда, когда '/„' = с-^ и выполнено одно из следующих условий:

F' и F обе ориентируемы и г С г' С ст.

F' и F обе неориентируемы, г С г' С сг и г'= cr mod 2^ (с) F' ориентируема, F неориентируема и 2г ^ г' < ст и 2 1 с. Доказательство будет закончено в п. 3.4.12. Мы следуем работе Хаймеса и Штёккера [Heimes — Stocker 1978] и ищем вложения с индексом с фундаментальной группы поверхности F' в фундаментальную группу поверхности F. Этот подход мотивируется результатами, доказанными в § 2.5, и доказательство явится хорошим упражнением на их применение. Нам придется рассмотреть несколько случаев. Первый случай 3.4.3 дан в качестве упражнения 3.20.

В случае, когда F и F* — замкнутые поверхности, утверждение теоремы 3.4.2 справедливо.

Если р: F' -► F является с-листным накрытием и х0 — вершина поверхности F, то фундаментальная группа W поверх- 8е83

ности F действует в множестве р- (х0) вершин поверхности F, лежащих над хй. Это является следствием единственности накрывающего пути при накрытии (см. доказательство предложения 1.5.2). Перенумеровав некоторым образом вершины из р-1^х^ числами 1, ..., с, поставим в соответствие каждому элементу группы W подстановку из 8е и получим гомоморфизм /: W -► 8е, так называемое представление группы W в симметрической группе 8в *). Здесь мы пользуемся следующими обозначениями: если х, у е 8С, то асу (г) = ас (у (i)) при 1 ^ i ^ с. Поскольку поверхность F* связна, образ/(со) действует в множестве (1, ..., с) транзитивно. Если два с-листных накрытия поверхности F изоморфны, то соответствующие представления в 8С отличаются на автоморфизм группы 8е; в таком случае эти представления называются эквивалентными.

С другой стороны, каждому транзитивному представлению группы W в 8С соответствует подгруппа индекса с, состоящая из элементов, которые отображаются в перестановки, оставляющие элемент 1 неподвижным. Этой подгруппе соответствует, как мы видели в § 2.5, некоторое накрытие поверхности F. Если два представления эквивалентны, то накрытия изоморфны. Таким образом, мы получаем:

Существует взаимно однозначное соответствие между с-лист- ными (связными) накрытиями поверхности F и классами эквивалентных транзитивных представлений группы W в 8е. □

(Это утверждение верно для всех конечнолистных накрытий достаточно хороших топологических пространств, см. [Heimes — Stocker 1978] или книги по алгебраической топологии.)

Пусть Y — простая замкнутая кривая в F. Тогда f следующим образом определяет некоторое множество элементов группы W: соединим отмеченную точку х0 с началом пути у при помощи пути v. Тогда путь vyv-1 определяет некоторый элемент g е W. Этот элемент однозначно определен с точностью до сопряжения. Гомотопные кривые определяют одинаковые классы сопряженных элементов. Для л е 8С обозначим через |л| количество элементов в множестве орбит (1, ..., с}/<л>, где <л>с 8С — подгруппа, порожденная элементом л). Из этих определений непосредственно следует:

Лемма. Во введенных выше обозначениях, p-l(j) состоит из l/(g)l простых замкнутых кривых. □

Заметим, что g зависит от f и v, но /(g) зависит лишь от *(. При помощи несложных вычислений из равенств х' = 2 — г' — — 2g' и х = 2 — k — 2g получается следующая

Лемма. Если F* и F — такие ориентируемые поверхности с краем, что т^г' ^сг и х' = СХ> т0

(с (г — 2) + 2, если g = О, (3.4.7) г'= cr mod2 и г< г'< '-

''1сг,если g>0.

В случае ориентируемых поверхностей теорема 3.4.1 вытекает из следующего предложения.

Предложение. Пусть F — ориентируемая поверхность с непустым краем, и пусть г' и с — целые числа, удовлетворяющие условию (ЗАЛ). Тоеда существует такое с-листное накрытие поверхности F, что накрывающее пространство имеет г' компонент края.

Мы используем предложение 3.4.8 для доказательства теоремы 3.4.1 в том случае, когда обе поверхности ориентируемы и имеют непустой край. Как отмечалось выше, из предположений г^г' ^ сг и х'= СХ следует условие (3.4.7). В силу 3.4.8 поверхность F с-листно накрывается поверхностью F" с г' компонентами края. Эйлерова характеристика поверхности F" равна сх, поэтому F" и F' имеют одинаковую эйлерову характеристику и одно и то же число компонент края. Поскольку F" и F' ориентируемы, из предложения 3.2.8 следует, что они гомео- морфны. Поэтому F' является с-листным накрытием поверхности F.

Доказательство предложения 3.4.8. Фундаментальная группа поверхности F обладает заданием

W = W (г, g) = <^slt ..., sr, tv uv .. ., tg, ug | П Si П t3u^.

Попробуем найти представление группы W в Sc, при котором некоторая образующая отображается в циклическую перестановку (1, 2, ..., с). Тогда прообраз соответствующей кривой является связной кривой, следовательно, накрывающая поверхность является связной. Она ориентируема, поскольку F ориентируема.

Поскольку г> 1, группа W является свободной группой со свободными образующими s2, ..., sr, tt, ut, ..., tg, ug. Таким образом, чтобы построить представление /: W -► 8С, достаточно указать элементы, в которые переходят образующие. Мы пользуемся следующими сокращениями:

(с(г— 2) + 2, если g =0, Sr=|/($i)|++l/(s,)| и rmax = |cr>если g>0.

Будем говорить, что / реализует данное целое число г', если представление /: W ->- Sc является транзитивным с 2Г = г'.

Докажем наше утверждение по индукции и начнем с индуктивного перехода:

Пусть g > 2. Предположим, что /0: W(г, g—l)-*Sc реали- •Ует г'. Тогда «продолжим» /0 на W(r, g), полагая f(tg) =

85

■fto)™ !• Теперь /: W(r, g)->5'c также реализует г'. Поэтому мы можем считать, что g ^ 1.

Пусть г ^ 4 или г = 3, g = 1, и предположим, что /: W(r — — 2, g) -* Sc реализует г0. Продолжим /0 на W(r, g), полагая f(Sr-i) = (l, ..., m) и f(sr)+/($,_])-*, где 1 ^ т С с. Поскольку элементы /(s(), 1 ^ i ^ г — 2, при этом не меняются, мы получаем

2Г = 2Г_2 + | / (^,01 + | / (Sr) | = ^ + 2 (с - m + 1).

Если утверждение 3.4.8 верно для W (г — 2, g), то г, может быть любым целым числом, удовлетворяющим сравнению г0 =е в с (г— 2) mod 2 и неравенству г — 2 ^ г'о ^ (г — 2)Шах- Поэтому г' = г0 + 2 (с — m + 1) может быть любым целым числом, таким что г' = cr mod 2 и г^г'^Гща,. Поэтому утверждение 3.4.8 верно для W(r, g), и мы можем считать не только, что g< 1, но и что г< 3 и даже что г ^ 2, если g = 1. Рассмотрим теперь оставшиеся случаи.

g = 0, г = 1: из условия (3.4.7) следует, что с = г' = 1; в этом случае утверждение 3.4.8 тривиально.

g = 0, г =2: из условия (3.4.7) следует, что г'=2. Положим У (s2) = (1, ..., с), тогда / реализует г'.

. g = 0, г = 3: из условия (3.4.7) следует, что r'=cmod2 и З^г'^с + 2. Положим /(s2) = (l, ..., с) и У(«3) = (1, ..., с — — г'+З). Тогда l/(s2)| = l и l/(s3) I =г'—2. Таким образом, /(s2s3) осуществляет подстановку

с — г' + Зн-с- г' + 4н>. ... >-*с .-» 2 -* 4-* ... ►♦

*-* с — г' + 2^-*-1,~*3'-* ...’-♦ с — г' + З,

поскольку с—г'= 0mod2. Поэтому !/($,) I = 1 и, следовательно, 23 = г .

g=l, г=1: из условия (3.4.7) следует, что r'=cmod2 и l^r'^c. Положим /(tt) = (l, ..., с) и /(«,) = (!, 2) (3, 4)... ...(с — г'—1, с— г'). В случае подстановкиsT = (^и^Г^Г1)-1 мы имеем следующие циклы:

(1, 3, ..., с-г'- 1, с-г', с-г'— 2, .... 2) (с — r'+1).. .(с — 1).

Поэтому 2i = |/(si) I — г'.

g=l, г = 2: из условия (3.4.7) следует, что г'^0 mod 2 и 2 ^ г'^ 2с. Положим f (ti) = (l, 2, ..., с), /(«0=1 и У(s2) = (l, ... ..., m), где m=c+ 1у. Из равенства s"^1=s^u^i1 и—1 следует, что iy(Si) I = ly(s2) | = с — m + 1. Таким образом, 22 = г' и, следовательно, У реализует г'.

Этим доказательство предложения 3.4.8 заканчивается. □

В случае неориентируемых поверхностей воспользуемся каноническими заданиями (3.2.6) фундаментальной группы.

Предложение. Пусть F' и F — неориентируемые поверхности с непустым краем, причем F' является с-листным 86

накрывающим поверхности F. Тогда

(с (г — 1) + 1, если g = lf (3.4.10) r' = ст mod 2 и г ^ г' < . ' ' (сг, если g>l.

Доказательство. Указанное неравенство легко следует из неравенства 1 < г'^ сг и равенств х'= СХ, Х'= 2 — г'— g' и X = 2 — г — g. Но, в отличие от ориентируемого случая, см. 3.4.6, сравнение из этих равенств не следует (см. замечание 3.4.13).

Пусть р: F'-»- F — некоторое с-листное накрытие. Если /: W -* Sc — соответствующее ему представление, то при помощи леммы 3.4.5 мы получаем, что г'= |/(s,) | + ... + |/(sr) I. Для я е Sc положим sgn л равным 0, если л — четная подстановка, и 1 — если нечетная. Тогда с + sgn л = 0 mod 2. Отсюда

r'= cr + sgn /(st) + ... + sgn /(5r)^ cr+ sgn f (s,... sr)mod 2.

Поскольку sx ... sr = (fi... p|)-1, подстановка /($i... sr) является четной. □

Пред ло ж е н и е. Пусть F — неориентируемая поверхность с непустым краем, и пусть целые числа г', с таковы, что выполнено условие (3.4.10). Тогда существует неориентируемая поверхность с г' компонентами края, с-листно накрываю-

Доказательство — упражнение 3.21. □

Доказательство теоремы 3.4.2. Мы уже доказали теорему в случае замкнутых поверхностей и в случае ориентируемых поверхностей. Будем теперь считать, что поверхности F' и F обе неориентируемы и имеют непустой край. То, что условия 3.4.2 (Ь) необходимы, следует из предложения 3.4.9. Допустим теперь, что они выполнены. Из того, что х = сх и г С г'^ С сг, мы получаем неравенство из (3.4.10). Сравнение имеет место по предположению, поэтому, в силу предложения 3.4.11, существует неориентируемая поверхность с г' компонентами края, которая с-листно накрывает поверхность F. При помощи того же рассуждения, что и в ориентируемом случае,1 мы заключаем, что ата поверхность гомеоморфна поверхности F'. Поэтому F' есть с-листное накрывающее поверхности F.

Предположим теперь, что поверхность F' ориентируема, а поверхность F неориентируема. Пусть F, — ориентирующее накрывающее поверхности F. Его эйлерова характеристика равна Xi = 2х, а число компонент края равно г, = 2г,, поскольку каждая краевая петля сохраняет ориентацию. Если теперь F' с-листно жакрывает F, то х'= сх и г ^ г'^ сг. Поскольку поверхность F ориентируема, она накрывает F, таким образом, что композиция Них накрытий F'-* F^ F совпадает с исходным накрытием F' -► F (докажите!). Следовательно, г, С г' и число с должно быть четным. Обратно, допустим, что 2г^г'<сг, х'= сх и 21 с. Тогда г,^ г'^ с,г и х'= ciXi, где с, = с/2. Так как теорема уже доказана в случае ориентируемых поверхностей, мы знаем, что

существует Cj-листное накрытие F' -► Fb Тогда композиция F' Л -*" F есть искомое с-листное накрытие. □

Замечание. Между ориентируемым и неориенти- руемым случаями 3.4.8 и 3.4.11 есть разница. Если F— ориентируемая поверхность и г', с — такие целые числа, что г ^ г' ^ сг, то, вообще говоря, не существует ориентированной поверхности с эйлеровой характеристикой г' = сг и с г' компонентами края; если такая поверхность существует, то она автоматически является с-листным накрытием поверхности F, как показывалось в примечании к предложению 3.4.8. Если F — неориентируемая поверхность рода g > 1, то для каждого с > 1 и каждого г' с г< ^ г' С сг существует неориентируемая поверхность F' с эйлеровой характеристикой х' = СХ и с г' компонентами края, но F' является с-листным накрытием поверхности F, только если, кроме того, имеет место сравнение r'=cr mod 2. (В ориентируемом случае это сравнение следует из того, что х' = СХ-)

Задача, решаемая в этом параграфе, впервые рассматривалась Масси в работе [Massey 1974] и была решена им при помощи геометрической конструкции в случае, когда обе поверхности ориентируемы. Общая теорема доказана Хаймесом и Штёккером в работе [Heimes — Stocker 1978], которой мы следуем в своем доказательстве. Часть новых результатов работы [Heimes — Stocker 1978] была независимо получена О. Фаджуйигбе (Бенин-Сити, Нигерия).

Типы простых замкнутых кривых на поверхностях

Мы найдем способ перечисления типов простых замкнутых путей на поверхностях. Прежде всего мы укажем процедуру для определения гомотопического класса петли в канонической системе образующих фундаментальной группы.

Определение. Мы уже знаем, что такое каноническая система кривых 2 = {щ, ..., стт, т1; Мь ..., rg, y,g> или {щ, ..., От, Vi, ..., vj на ориентируемой или неориентируемой поверхности F родд gem компонентами края (см. (3.2.5|, (3.2.6)). Имеется двойственная система 2* = [оц.. .,Om,Ti/ М*, . ..,Tg, Mg) или [оц..., ат, vi, ...,vg) со следующими свойствами:

Все кривые имеют общую начальную точку Р* и больше нигде не пересекаются.

Кривая о< не замкнута и соединяет Р* с i-й граничной кривой pf поверхности F.

Разрезание вдоль 2* превращает поверхность F в диск mgmg

с границей Д о^Г1 Д [т*, (р*)"1] или Ц о*Р«<£-1П *Г соответственно.

Звезда с центром в точке Р* (относительно 2*) имеет вид

<4, ..., От, т?, р*, т?-1, м*-1, Ma, <"\ mJ-1

at, ..., at., v*, v* \v£, vg 1

соответственно. -

Кривая Ц» системы 5* пересекается с соответствующей кривой ц, системы 2 ровно в одной точке, а с другими кривыми системы 5 не пересекается.

Система 2*, удовлетворяющая условиям 3.5.1 (а) — (е), называется каноническим разрезом поверхности F.

Определение. Дадим определение того, что кривая ® пересекает кривую th системы 5* в точке Pt в положительном направлении. С этой целью окружим гр узкой ленточкой. Для кривых а, эта ленточка есть «прямоугольник», для кривых т,, р< —цилиндр, а для кривых Vj —лист Мёбиуса. Если компонента пересечения кривой ю с ленточкой, проходящая через Pt, есть отрезок, идущий с одной стороны на другую, то в первых двух случаях можно сказать, что отрезок пересекает ленточку в том же направлении, что и кривая ц,. Если ленточка является листом Мёбиуса, то мы разрежем ее вдоль дуги, проходящей через Р* и не пересекающей ц„ чтобы она превратилась в прямоугольник. Теперь мы и в этом случае можем решить, верно ли, что отрезок пересекает этот прямоугольник в том же направлении, что и кривая г)„ Это направление называется положительным, а противоположное направление — отрицательным. (В последнем случае в наших действиях есть произвол. Принятие противоположного соглашения в действительности изменит описание кривой со, определенное ниже в 3.5.3, однако это касается только определяющих соотношений.)

Определение. Обозначим кривые Цт, . ..,Цп канонического разреза символами Я,, ..., Яп. Пусть со — замкнутая кривая, не проходящая через Р*. Поставим в соответствие кривой со слово Я^ ... Hat из букв Я(, если со последовательно пересекает тц, . .., Ла;и е( равно +1 или — 1 в зависимости от того, в каком направлении, положительном или отрицательном, со пересекает кривую Цаг Здесь мы должны считать, что со пересекает каждую кривую Цс трансверсально, а не касается ее. Будем называть слово Яа* ... Яаг описанием кривой со. Кривые ц, имеют описания Я„ а простая замкнутая кривая, обходящая вокруг Р* один раз и не содержащая фрагмента вида Я/Я4 \ имеет описание Пф (Я). Обратно, легко убедиться, что простая замкнутая кривая с описанием П* (Я) ограничивает диск с центром в точке Р*.

Конечно, у кривой могут быть различные описания, соответствующие различным каноническим разрезам. Укажем для каждой простой кривой некоторое выделенное описание. При этом мы ■е будем придавать значения начальной точке кривой — поэтому 89

мы рассматриваем описания как циклические слова. Вместо того чтобы менять описание при переходе к новому каноническому разрезу, можно сохранить старый разрез, но заменить кривую на ее образ при гомеоморфизме Н. Эта кривая' имеет такое же описание относительно 2*, какое старая кривая имеет относительно разреза Я~‘(2*), а для любого канонического разреза 2*' существует гомеоморфизм, переводящий 2* на 2*'.

Теорема (перечисление типов простых кривых). Пусть со — простая замкнутая кривая, лежащая во внутренней части поверхности F и не ограничивающая диск. Тогда существует канонический разрез поверхности F, относительно которого to имеет одно из следующих описаний.

F ориентируема;

если to не разбивает, то ее описанием является

7„

а если со разбивает, то

Sg+1 ... Sm П [Л, ^i], где (m - q) + 4k О + 4g)/2.

Единственный случай неоднозначности в (3.5.6) встречается при m = 4g; 8, ... Sm или Ц [7., 17,1 соответственно. Тогда мы выделим, скажем, то описание, которое содержит Ть

F неориентируема;

Если со не разбивает и является односторонней и если после разрезания вдоль to получается неориентируемая поверхность, то описанием является слово

Pt; при этом обязательно g>l.

Если же после разрезания получается ориентируемая поверхность, то описанием является слово

Vt... Vg (g — нечетно').

Если to — двусторонняя кривая и после разрезания поверхность остается неориентируемой, то описанием является слово

Р,Р2, g > 2;

если получается ориентируемая поверхность, то

Vt...Vg (g — четно).

Если же to разбивает и обе получающиеся компоненты неори- ентируемы, то описанием будет слово

Sg+1 ... Sm П »!, k> 0 и (m-q) + 2k^(m + 2g)/2.

Если одна из компонент ориентируема, а другая — нет, то имеются три типа слов;

(3.5.12а) Se+1 ... SmVX ... П-г^ ...VgV,... Vg,

90

где (g — i) четно и >0, m — q + 2(i — 1) + 1 ^(m + 2g)/2. Если это неравенство не выполняется, то слово Sg+l ... SmKi ... Ki- заменяют на обратное к его дополнению в П* и циклически редуцируют. Получается слово

(3.5.12b) S"1 .. . S^V;2 .. . УГ№И1+1 . . . VgVt . . . Vg (^>0), (3.5.12с) У»1^ ... У^Г1^-! . .. VgV. ... Vg^ (9 = 0).

Если описания двух кривых различаются по классификации (3.5.5) — (3.5.12), то эти кривые нельзя перевести друг в друга гомеоморфизмом поверхности.

Доказательство. Достаточно заметить, что кривые, имеющие одинаковое описание хотя бы и относительно разных кано- ническпх разрезов, можно перевести друг в друга гомеоморфизмом, а именно тем, который переводит друг в друга эти канонические разрезы. (Кривые, имеющие одинаковые описания относптельно одного и того же разреза, можно перевести друг в друга при помощи изотопии, ср. § 5.11.) То, что кривые с различными описаниями (3.5.5) — (3.5.12) нельзя перевести друг в друга гомеоморфизмом, усматривается непосредственно из описания взаимосвязи ситуаций (3.5 8). (3.5.9) и (3.5.10) друг с другом и сравнения их с (3.5.5). (3.5.6) и (3 5.7). Так же можно убедиться. что случаи (3.5.5), (3.5.6) и (3.5.7) отличаются друг от друга. Причина различия описаний в случаях (3.5.6), (3.5.11) и (3.5.12) заключается в том. что описание однозначно определяет род и число компонент края. □

Описания (3 5.5) —(3 5 12) обладают следующими свойствами:

Они циклически редуцированы.

Они не содержат подслое, включающих в себя более половины определяющего соотношения (П^Я))- •

Если окажется, что одно из слов содержит половину определяющего соотношения Г* (Я), е = + 1, то при g = 0 оно содержит SEm. а при g>0 содержит Т\ или У1 соответственно.

§ 3.6. Индекс пересечения кривых

'В этом и следующем параграфах мы рассмотрим некоторые гомологические свойства ориентируемых поверхностен: индексы пересечения кривых п гомологические свойства отображений поверхностей в поверхности, в частности, мы вновь обращаемся к степени отображения. Ограничимся в основном замкнутыми поверхностями.

Определение индекса пересечения двух кривых. Пусть F — ориентируемая поверхность. Выберем на ней ориентацию. Тогда: звезда оь ..., о„ в вершине Q называется положительной, если о? u,+i (1 ^ i < п — 1) содержится в положительной границе некоторой положительной грани. Пусть те-

перь ®t и ®2 — пути. Допустим, что имеют место равенства ю< = = (0,10^0,20.2 (г = 1, 2), где ребра o,„ i, i = 1, 2, имеют общее начало Q. Такой конфигурации ставится в соответствие число:

О, если пары (Оц, о12) и (о21, о22) не разделяют друг друга в звезде вершины Q;

если эти ребра входят в положительную звезду вершины Q в следующем порядке: ои, о21, а№ о22;

— 1, если они входят в таком порядке: ои, о22, о12, о21.

Допустим теперь, что кривые <ot и <о2 замкнуты и не имеют общих ребер. Тогда индекс пересечения v(coi, о2) равен, по определению, сумме таких чисел по всевозможным конфигурациям.

Подобным образом будем действовать в том случае, когда кривые со, и <о2 имеют общие ребра. Допустим, что имеет место равенство

®<* = юн (он ^XJ toi2, ех = 1, е2 = ± 1,

где ребра о« и ау различны (/ = 1, 2), и пусть ®0 = ч®^1 (т< — ребра) ведет из Q^ в Qt. (Если ®0 состоит только из одного ребра, то Ч = ш0 = ч \ ) Положим теперь е2 = 1 и рассмотрим тройки Оц, аи, ч и ч, а12> ®22- Если обе они входят в положительные звезды вершин Qi и Q2, то поставим этой конфигурации в соответствие число +1. Если обе они входят в отрицательные звезды — то число —1, и число 0, если они входят в звезды с различными ориентациями. При е2 = — 1 заменим знаки на противоположные. Теперь индекс пересечения полагается, как и выше,

равным сумме этих чисел по всевозможным таким конфигурациям. (См. рис. 3.6.1.)

При помощи несложных рассуждений можно доказать, что индекс пересечения двух кривых о и to* не изменится, если кривую со заменить кривой ю, которая получается при помощи деформации 2.4.2 (а) или (Ь), соответствующей ребру или грани: v(co, <o*) = v(co, со*). Таким образом, индекс пересечения является инвариантом класса эквивалентности пути <о. Далее, очевидна следующая 92

Лемма, (a) v(co1, со2) = — v(co2, (Di).

V (co?1, ®2) = — V ((Oj, C02) = V (o^, to^1).

V (cD1CDv to2) = V (со1т CO2) + V ((i>i, CO2).

Если coi и to,— гомотопные кривые, то v (со1? со2) = v(®lf со2).

Пусть F — фундаментальная группа поверхности F. Тогда v индуцирует кососимметрическое билинейное отображение, также обозначаемое v:

v: F х FZ, (юц ю2) ^ v (со^ о2), если op e wi. □

Для фиксированного элемента у eF мы получаем гомоморфизм v': F-*Z, x~v(x, у\ Поскольку группа Z абелева, V обращается в нуль на коммутанте группы F, поэтому V индуцирует гомоморфизм прокоммутированной фундаментальной группы, т. е. Hi(F), в Z, см. 2.7.8. То же рассуждение применимо ко второй переменной, и мы получаем:

Предложение, (а) Индекс пересечения кривых на ориентированной поверхности F индуцирует билинейную кососимметрическую форму

v: ^1(F)x/71(F)-*Z.

(b) Если s„ . . ., s„„ t„ и,, ..., tg, u^ есть каноническая система образующих группы F, го

v (s„ з^ = v (sb «Д = v (st, и,) = v (<., М = v (ub ut) = О

(1 ^ I, k ^ m, 1 ^ /, I ^ g^

|0, если

В этой системе образующих форма описывается матрицей

(3.6.4) К =(3.6.4) К =

(3.6.4) К =

(3.6.4) К =

Ш. е. если coj ~ 2 cih°h + 2 (aijT, + Ьцщ), а х, обозначает вектор (ctl, ..., с1т, а„, Ь,„ ..., азг, blgy, то

v ((Оц, со2) = х\Кхг = 2 (ai/2; — b13b23). □

Замечание. При т = 0 эта билинейная форма определяет симплектическую геометрию на R2g. Обычно определяющую эту геометрию форму задают матрицей J = ^_^ 0)> где Е обозначает единичную матрицу размера gXg, см. [Siegel 1945]. В дальнейшем мы докажем некоторые факты, относящиеся к такой геометрии, но для матрицы К, а не для /.

Воспользовавшись групповым кольцом группы nt(F), можно более детально изучить неподвижные точки, см. [Ваег 1927], что делает возможной классификацию простых замкнутых кривых.

Теорема. Пусть F — ориентированная компактная поверхность рода gem компонентами края, и пусть st, ..., ug — каноническая система образующих группи F = л, (F). Те же символы мы используем для обозначения элементов индуцированного базиса группы гомологий Ht (F).

(а) Пусть ф: F -► F — гомеоморфизм, и пусть индуцированный гомоморфизм ф*: Нг (F) -> Нг (F) описывается в вышеуказанной системе образующих матрицей А. Положим е = 1, если ф сохраняет ориентацию, и 8 = — 1 в противном случае. Тогда*.

2 = (f о),

где А' есть матрица порядка m с единственным ненулевым коэффициентом е в каждой строке и каждом столбце, а А — целочисленная матрица, удовлетворяющая равенству

А‘КА = гК.

(Ь) Каждая матрица А, обладающая указанными свойствами, индуцируется некоторым гомеоморфизмом ф: F -* F.

Доказательство, (а) Заданная ориентация поверхности F определяет положительное направление на каждой компоненте края. Гомеоморфизм переставляет компоненты края и либо сохраняет положительные направления всех компонент, либо обращает их у всех компонент, поэтому первые m столбцов матрицы А такие, как в (3.6.8).

Поскольку ф — гомеоморфизм, мы получаем

v(<P*M, Ф* (у)) = ev & у) при х, y^Hx<F\

или, в обозначениях х = (х', х)‘ и у =^у', у)*,

(Ля) *К (Л у) = (Ля) ‘К (Ау) = гх‘Ку = гх‘Ку,

поэтому А*КА = еК.

(Ь) Ограничимся случаем, когда m = 0. Для удобства воспользуемся упражнением 3.19 (а). Следующие матрицы являются решениями уравнения Х‘КХ = К и индуцированы гомеоморфизмами 94

для каждого L Перестановка ручек описы-для каждого L Перестановка ручек описы-поверхности F:

для каждого L Перестановка ручек описы-

для каждого L Перестановка ручек описы-

(А)

где Bi ^SL (2, Z) вается матрицей

(В)

где каждый блок Е, равен 0 1 j и различные Ег не задевают одной строки пли одного столбца.

(С)

Эта матрица индуцируется автоморфизмом a: F F: tvw»txt2, u^wt^u^t^ <2^“i^f1^, “2 ^ “г^м?1^,

ut*->ut при i^3.

(Автоморфизм а индуцирован гомеоморфизмом, который может быть задан непосредственной геометрической конструкцией; существование такого гомеоморфизма следует также из теоремы 3.3.11. Другое доказательство: в свободной группе со свободными образующими ti, . . ., ug имеем а(П 1^, ЫД) = П l^’ U*L поэтому, как вытекает из следствия 5.2.13. а является автоморфизмом и индуцирован некоторым гомеоморфизмом, см. теорему 5.6.2.)

Следующая матрица

и (, ° V)

Является решением уравнения Х‘КХ = —К и индуцирована автоморфизмом fx *-*• ug+1_t, u, ►-* Zg+i-i, 1 C i C g. (В свободной группе с такими образующими этот автоморфизм отображает элемент П [h, Mil в обратный ему.)

Пусть теперь х есть 2^-столбец. Тогда найдется такая матрица В типа (А), что элемент Вх имеет вид (^, 0, хг, 0, ... . ..,х3, 0)‘. Применим теперь произведение таких матриц типов (С) и (В), что СВх = (х,, 0, ..., 0)‘, где xt есть наибольший общий делитель коэффициентов столбца х (по поводу деталей см. упражнение 3.27).

Теперь рассмотрим такую матрицу А, что А'АА = К. При помощи умножения ее на матрицы типа (А)—(С) получим Матрицу А,, первый столбец которой имеет вид (ж,, 0, ..., 0)', Xj>0. Так как определитель матрицы А равен ±1, то xt = 1. Мы можем добавлять кратное первого столбца ко второму, что соответствует умножению на матрицу типа (А), поэтому можно считать, что второй столбец начинается с 0. Из равенства А* КА = К следует, что второй коэффициент второго столбца равен 1 и что вторые коэффициенты остальных столбцов обращаются в нуль, поэтому

АА

А

А

Преобразуем, далее, таким же образом второй столбец и приведем его к виду (0, 1, 0, уг,..., 0, pg)', а затем — к виду (0,1,0,... ..., 0)'. Мы можем сделать это при помощи операций, не изменяющих первый столбец. Пусть А — полученная матрица. Теперь из равенства А'КА = К следует, что в первой строчке матрицы А все коэффициенты, кроме первого, обращаются в нуль; поэтому

и доказательство теперь может быть закончено по индукции.

Если мы рассматриваем матрицу типа А со свойством А* КА = = —К, то сначала умножим А на матрицу (D) и далее будем действовать, как раньше. Этим доказательство пункта (Ь) теоремы 3.6.7 в случае т = 0 заканчивается. □

Следствие (Шафер [Schafer 1976]). Пусть F — замкнутая ориентируемая поверхность рода g, и пусть £ь иъ ... ..., tg, us — канонический базис группы Н, (F), т. е. базис, полученный из канонической системы кривых. Ненулевой элемент

х = У, (а^, + btu^ е Hv (F)

можно реализовать простой замкнутой кривой тогда и только тогда, когда (а^, ..., ag, blt ..., 6g) = 1.

96

Доказательство. Если это условие выполнено, то х можно реализовать простой замкнутой кривой, как мы доказали в п. 3.6.10. Если х можно реализовать простой замкнутой кривой §. то g является элементом некоторой канонической системы кривых, поэтому х принадлежит некоторому базису группы HX^F^ = = Z2S и не может быть нетривиальным кратным никакого элемента группы Я, (Я). □

Следствие. Группа М целочисленных матриц X, удовлетворяющих уравнению

х*кх = +к,

порождена матрицами 3.6.9 (A) —(D). Определитель каждого элемента группы М равен 1. □

Очевидно, что число образу ющих нельзя у меньшить, поскольку группа целочисленных матриц второго порядка, так же как и симметрическая группа, порождена двумя элементами. Система образующих группы М, тесно связанная с у казанной системой, была получена Клебшем и Горданом в книге [Clebsch — Gordan 1866, S. 304—308]. То, чю эти образующие индуцированы отображениями между каноническими системами кривых (Canonisches Querschnittssystem), доказано Буркхардтом [Burkhardt 1890. S. 208—212]. Если в определении заменить К сопряженной матрицей 7, то соответствующая группа будет называться модулярной группой Зигеля или группой целочисленных симплектических матриц. В таком виде группа в последнее время часто исследовалась. Ее образующие указаны в работах Витта [Witt 1941]. Хуа и Райнера [Ниа — Reiner 1949] и Клингена [Klingen 1956]. Клинген [Klingon 1961] описал метод отыскания конечной системы определяющих соотношений. В работе Бирман [Birman 1971] система определяющих соотношении описана явно.

Очевидно, что, если род g 5= 2, имеются автоморфизмы группы лДС), индуцирующие тождественный автоморфизм группы ЯДЯ). Группа таких автоморфизмов изучалась в работах Пауэла [Powell 1978] и Джонсона [Johnson 1979]; в них найдены бесконечные наборы образующих, принадлежащих, однако, небольшому числу классов сопряженности: трем в работе Пауэла и одному в работе Джонсона.

Упражнения 3.23—28.

§ 3.7. О непрерывных отображениях поверхности в поверхность

В этом параграфе мы следуем работе Хопфа [Hopf 1931]. Для удобства, упрощения обозначений и т. п. мы воспользуемся некоторыми элементарными понятиями и результатами алгебраичеСкой топологии, а не станем переводить их на язык комбинаторНОЙ топологии.

Предположения. Пусть Fg — замкнутая ориентируемая поверхность рода g, a ¥g = n^Fg^—ее фундаментальная t X. Цишанг и др, 97

группа. Пусть т15 р1? ..., Tg, pg — каноническая система кривых на Fg; символами h, ut, ..., tg, ие будем обозначать и определяемые ими образующие группы Fg (произведение в ней записывается мультипликативно) и соответствующие образующие группы Я|(Р,) (операция в ней записывается аддитивно). Далее, мы рассмотрим непрерывные отображения ф: Fg -► Fh и будем обозначать образы наших кривых в Fh и их гомологические классы через тъ ..., рл, ^, ..., ик.

Сначала повторим несколько определений из алгебраической топологии.

Определение, (а) Два непрерывных отображения Ф, ф: Fg -* Fh принадлежат одному и тому же гомотопическому классу, если ф гомотопно ф, т. е. если существует такое непрерывное отображение Ф: Fg X [0, 1] ->■ Fh, что

Ф(Р, О)=ф(р), Ф(р, 1)=ф(р).

Этот гомотопический класс обозначается через [ф], а множество всех гомотопических классов — через [Fg, Fh],

(Ь) Два гомоморфизма а, ^: Fg -► К принадлежат одному и тому же классу гомоморфизмов, если существует такой внутренний автоморфизм группы Fh, что р = i ° а. Класс гомоморфизма а обозначается через [а], а множество всех классов гомоморфизмов — через [Fg, FJ.

Если ф, ф: Fg -* Fh переводят отмеченную точку поверхности Fg в отмеченную точку поверхности Fk, то они индуцируют гомоморфизмы ф+, ф+: Fg -► Fh. Если гомотопия связана на отмеченной точке, то ф+ = ф+. Если образ отмеченной точки движется во время гомотопии, то ф+ и ф+ отличаются на внутренний автоморфизм группы Fh, соответствующий пути, проходимому образом отмеченной точки. Во всяком случае гомотопический класс отображения ф определяет класс гомоморфизма ф*. Теперь можно отбросить то условие, что ф переводит отмеченную точку в отмеченную точку.

Предложение. Соответствие Т: [Fg, Fh] -► [Fg, Fh], [ф] ►-► [ф#], является биективным, если Л > 1.

Доказательство. Сначала покажем, что Т сюръективно. Пусть a: Fg-»-Fh — гомоморфизм. Кривые т{, р, можно рассматривать как непрерывные отображения интервала [0, 1] в Fg; будем обозначать эти отображения той же буквой. Выберем петли |, е «(£.), ц. еа£и,)^ и рассмотрим отображения |. ° т,, ^-ц, (iCi^g), где т„ р( обозначают «отображения, обратные» к т„ р„ Они определяют непрерывное отображение ф': 0 (т» ([0, 1]) U и Pi ([0, 1)) -*- Fh. Поскольку Пр,. П,]е«(П[Zi, uj) = 1, петля Ф'(П[Т<, Рг]) = П[^ П4] стягиваема в Fh. Поскольку поверхность Р6 может быть получена из правильного 4^-угольника Расклеиванием стороны Tj с т,- и р^ с р, — так что Fg = X(P4g), 98

см. рис. 3.7.1,—отображение ф' можно продолжить до непрерывного отображения ф: Fg -► Fh. По построению ф+ = а.

Сложнее доказать, что Т инъективно. Это можно сделать средствами теории гомотопий (см. упражнения 3.30). Подход Хопфа [1931] более геометричен; к сожалению, мы описываем геометрические средства только в гл. 7, см., в частности. § 7.2, но воспользуемся ими уже здесь.

Поверхность Fh можно наделить комплексно-аналитической структурой п превратить в риманову поверхность. Если мы поднимем эту структуру в универсальное накрывающее Fk поверхности Fh, то получим односвязную риманову поверхность, т. е.

(с точностью до конформной эквивалентности) евклидову или неевклидову плоскость. Это следует из теоремы Римана об отображении — напомним, что h > 1. Накрывающие преобразования будут тогда движениями в соответствующей геометрии.

Пусть теперь ф, ф: Fg->~Fh— непрерывные отображения, которые индуцируют гомоморфизмы, принадлежащие одному и тому же классу. При помощи деформации отображения ф ситуацию можно свести к такой, когда ф и ф переводят отмеченною точку поверхности Fg в одну и ту же точку поверхности Fh. Поднимем отображения фХ, фХ: Plg -► Fh в универсальное накрывающее и получим отображения Ф, V: Ptg -► Fh. (Можно считать, хотя это здесь и необязательно, что Ф и ^ отображают одну из вершин многоугольника Pbg в одну и ту же точку.)

Гомотопию Фг: Pig-^Fh можно определить следующим образом. Для реР1в линейно запараметризуем отрезок от Ф(р) до У (р) точками интервала [0, 1]; здесь отрезок и длина берутся в соответствующей геометрии. Обозначим точку, отвечающую значению параметра t, через ФДр). Отображение Фг является корректно определенным и непрерывным, оно непрерывно завиСИТ ОТ t, И Фо = ф, Ф, = V.

Каждая пара (т„ т;) (или (р,, р,)) сторон многоугольника Ptg определяет два таких скольжения х^, х;г(или y®,yj соот- Зетственно), что

^(фт;) = ф(т;), ^(уо-ч^о(или у® (ф^;) = ф (pj), yf(ти;) = у (р^)).

г

По предположению, ф и ф отличаются на внутренний автоморфизм, поэтому существует такое скольжение z, что

z х^ = х,, г yiz = y} (X]<g).

Заменим Т на 4^= zV: Ptg -► Fh и получим, что х^ (г"1^) = z"1^ «)

¥' «) = гх^гГ1 (Ч"^) = xt (Т'^)

и т. д. Поэтому можно считать, что чг фW Ф

х, = х, =: Xj и у, =yj =: у,.

Пусть теперь р е т,, и пусть р" — соответствующая точка в т}. Тогда

Ч(Ф(/))=Ф(Р") и М'ПрЭНЧЧр").

Поскольку скольжение х, является движением в соответствующей геометрии, то

ЖДФ< (р')) = Ф< (?") ПРИ 0<<<1.

Поэтому композиция гомотопии Ф(: Pbg -► Fh с проекцией на Fh пропускается через естественную проекцию X: P4g -> Fg. Таким образом, мы получили гомотопию между ф и ф. □

Предложение. Пусть ф: F g -► F, — непрерывное отображение, и пусть ф* (tt) = а^ + Ъ,и, ф* (uj) = c,t + d,u; здесь (t,, ..., Ug)— канонический базис группы H,(Fg), а (<, и) — базис группы Н,(Р,)= ^(Fi). Тогда отображение

bg d^

задает взаимно однозначное соответствие между [Fg, FJ и множеством целочисленных (2 X 2g)-матриц.

Доказательство. Поскольку группа л j (F,) коммутативна, матрица М, полностью характеризует гомотопический класс отображения ф. Осталось доказать, что всякая матрица индуцируется некоторым гомоморфизмом. Отображение ф' множества {tb ии ..., tg, ие} в группу G можно продолжить до гомоморфизма группы Fg тогда и только тогда, когда ТТ [ф' (h), ф' («»)] = 1 в G. Если G абелева, то это выполняется автоматически. Теперь утверждение следует из предложения 3.7.3. □

Поскольку гомотопический класс отображения определен матрицей Мт, должна иметься возможность вычислить степень отображения по матрице М,. На этот счет имеется простой результат:

Предложение. Пусть выполнены условия предложения 3.7.4, и пусть с — степень отображения ф. Тогда

Доказательство. Рассмотрим Fg как «сферу с g ручками»: возьмем g простых замкнутых кривых xt, ..., xg, разбивающих Fg на g торов с дырой Л, ..., Tg и сферу S с g дырами, см. рис. 3.7.2 (а). Петля х. будет гомотопна коммутатору [т,, р.], поэтому [ф(х.)] = 0 в абелевой группе Fi = «1(F1). Следовательно,

отображение ф можно про деформировать в отображение ф, переводящее каждую кривую х, в точку. Пусть Fg — сфера S, к которой приклеены g торов Т^ ..., Tg, каждый в одной точке, см. 1>ис. 3.7.2 (Ь). На Fg введем индуцированную ориентацию. Тогда Ф пропускается через отображение ф: Fg -► Ft,

а ф и ф имеют одну п ту же степень.

нение 3.18. Теперь наше^утверждение следует из того факта, что степень отображения ф равна _сумме степеней отображений ф!^ (l^y^g) и отображения ф^, причем степень последнего равна нулю, см. лемму 3.3.4. □

3.7.6. Теорема Хопфа [Hopf 1931]. Пусть ф: Fg -► Fh индуцирует в гомологиях гомоморфизмф* (Q = 2 (««Л + Ьци3\ ф* (Ui) = 2 (с,^ + diju')j=ij=i3.7.6. Теорема Хопфа [Hopf 1931]. Пусть ф: Fg -► Fh индуцирует в гомологиях гомоморфизмф* (Q = 2 (««Л + Ьци3\ ф* (Ui) = 2 (с,^ + diju')j=ij=iЭля 1 ^ i ^ g.Эля 1 ^ i ^ g.Воспользуемся предложением 3.7.5 для вычисления степени отображения ф: Fg^ Fh при Л > 1.

3.7.6. Теорема Хопфа [Hopf 1931]. Пусть ф: Fg -► Fh индуцирует в гомологиях гомоморфизм

ф* (Q = 2 (««Л + Ьци3\ ф* (Ui) = 2 (с,^ + diju')

j=ij=i

3.7.6. Теорема Хопфа [Hopf 1931]. Пусть ф: Fg -► Fh индуцирует в гомологиях гомоморфизм

ф* (Q = 2 (««Л + Ьци3\ ф* (Ui) = 2 (с,^ + diju')

j=ij=i

Эля 1 ^ i ^ g.

Эля 1 ^ i ^ g.

Пусть степень отображения ф равна с. Тогда

где ] — любое из чисел 1, 2, ..к.

Доказательство. Кроме Fg и Fh рассмотрим тор Fy, как и раньше, базисом группы Ht^F^ будет Vt, и}. Пусть ф(: Fh->- -* Ft — такое непрерывное отображение, чтоф1е(^) = t, ф1е(«,) = = и и ф1Ф (^) = ф1Ф (нд) = 0 при k^j. Из предложения 3.7.4

следует, что такое отображение существует, а из предложения

3.7.5 следует, что его степень равна 1. Отображению ф^: Fg^Ft

следовательно, по пред- d . . Поскольку степеньследовательно, по пред- d . . Поскольку степеньотвечает матрица ^ь _ Д3 b83

следовательно, по пред- d . . Поскольку степень

следовательно, по пред- d . . Поскольку степень

ложению 3.7.5, его степень равна У, |ь^

ведет себя мультипликативно (см. упражнение 3.17), указанная сумма равна степени отображения ф. □

Сумма в формуле из теоремы 3.7.6 не зависит от /, поэтому теорема дает нам необходимые условия на коэффициенты ач, ..., dtj. Подобными рассуждениями можно доказать сле

дующее:

Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 3.7.6. Тогда-.

(Ь) 1|Ь” d’J = ° пРи V^bk^h, j^k;

<С) з|а” ^1 = 0 при Y^j^^h;

(d) S|b” ^| = ° nPu ^<Ьк<к-

Доказательство — упражнение 3.31. □

Условия (a) —(d) можно выразить и по-другому. Рассмотрим гомоморфизм ф': Ht (Fh) -»- Ht (Fg), определенный формулами

(3.7.8)

<ф' (О = 2 (dy^ — byu,), ф' (uj) = 2 (— cyti + a^) (1 < jOY

Несложным вычислением получаем:

Ф*Ф'(t^) = c^, ф*ф' (м,) = си, (1^7^Л),

откуда следует

Предложение. Пусть выполнены условия теоремы 3.7.6 и гомоморфизм ф': Н^Е^-*- H^Fg) определен равенствами (3.7.8). Тогда

Предложение 3.7.9 объединяет 3.7.7 и (3.7.8). При помощи линейной алгебры получаем:

Следствие, (а) Если с ^ О, то ранг гомоморфизма Ф* равен 2h.

(Ь) Если с = О, то ранг гомоморфизма ф* не превосходит g. □

При помощи индексов пересечения можно следующим образом охарактеризовать несколько озадачивающее отображение ф':

Лемма, v (ф' (.г'), у) = v (х', ф* (у)) при х' г H^F^, y^Hi{Fe). Этим условием гомоморфизм ф' определен однозначно.

Доказательство. Достаточно проверить эту формулу на элементах каких-нибудь базисов групп H^Fg) и H^FF). Из предложения 3.6.3, определений коэффициентов, фигурирующих в теореме 3.7.6, и равенств (3.7.8), определяющих ф', получаем:

v(<L ф* (Q) == v(<p'(<'), t^ и т. д. □

Следствие, (а) v(ф'(x,), ф'(у') )= с ■ v^x', у') при, х', у' е H^Fh).

Если х = <р\х'У У = у’{у'), х\ у'G Н^Е^, то с-м^х, у) = х(ф*(ж), ф* (у)). Иначе говоря; индекс пересечения двух элементов группы ф' (Я, (ЯД) под действием отображения ф* умножается на с.

Если с #= 0, то ф* отображает <р'кН vkFь^ инъективно в Ht(Fh)', по предложению 3.7.9 образ совпадает с c-H^F^).

Если с + 0, го ф, 1 kcHxVFFFl = кег ф* © ф' кН Y kEFfv

Доказательство — упражнение 3.32. □

Теперь мы можем вычислить в значительной степени действие гомоморфизма ф* на элементах группы Н^ {Fg) и на их индексах пересечения, поскольку результат умножения на с любого элемента группы Н^ {Fe) содержится в ф^1 (сЯ, (ЯД).

Замечание. То, что в пунктах 3.7.4—12 было проделано с использованием лишь линейной алгебры, имеет также ■ важную топологическую подоплеку: когомологическую теорию степени отображения и индекса пересечения, и двойствен- ■ость Пуанкаре. Теория когомологий делает приведенные конструкции и выводы более прозрачными.

Достаточные условия того, что (2g X 2/Д-матрица индуцирована непрерывным отображением, в литературе, кажется, отсутствуют.

Упражнения 3.29—35.

Замечания

Первыми объектами, изучавшимися с топологической точки зрения, были группы и 2-комплексы. Открытие Эйлером в 1752 году эйлеровой характеристики можно рассматривать, как первое серьезное топологическое достижение. (Эта формула для многогранников содержится уже в одном неопубликованном отрывке, принадлежащем Декарту.) Поверхности привлекли интерес благодаря работам Римана [Riemann 1851,1857]. В результате систематического изучения, проведенного в работах Мёбиуса [Mobius 1866, 1886], Жордана [Jordan 1866], Шле- фли [Schlafli 1872, 1873] и Дика [Dyck 1888], была получена классификация замкнутых поверхностей: они классифицируются наличием пли отсутствием ориентируемости и эйлеровой характеристикой. Классификация по фундаментальной группе произведена Райдемайстером [Reidemeister 1932].

Определение поверхности и комбинаторной эквивалентности для 2-комплексов в § 3.1 уже демонстрирует трудность классификационных проблем и показывает, что для их решения нужны инварианты. В размерности 2 фундаментальная группа, или даже первая гомологическая группа достаточно сильны, чтобы справиться с этой работой. К сожалению, эти проблемы в старших размерностях становятся гораздо более сложными, и в действительности алгоритмически неразрешимыми, начиная с размерности 4. Доказательство последнего принадлежит Маркову [1958]); оно основано на неразрешимости проблемы изоморфизма для групп, ср. § 2.12.

Классификацию компактных многообразий размерности 2 можно распространить на некомпактные поверхности с конеч- нопорожденной фундаментальной группой. Эти поверхности можно получить из компактных поверхностей при помощи «удаления края». В некотором смысле все некомпактные поверхности можно расклассифицировать (см. [Richards 1963]), но, естественно, менее эффективным образом.

Дополнительная литература к главе 3:

[Brown — Messer 1979], [Edmonds 1979], [Goldman 1971], [Hansen 1974], [Hempel 1972], [Hirsch 1976], [Johansson 1931], [Jucovic — Trenkler 1973], [Luft 1971], [Mennicke 1961], [Pettey 1972].

Упражнения

Докажите, что разбиения сферы на многоугольники, в которых все многоугольники имеют одинаковое число сторон и каждую вершину окружает одно и то же число многоугольников, исчерпываются разбиениями, соответствующими пяти правильным многогранникам.

Какие пз следующих поверхностей родственны друг другу?

-@®@®

Пусть /: F'-^F— накрытие. Докажите, что если один из комплексов F, F' есть поверхность, то и друюй является поверхностью (ср. замечание после определения 2.5.1 (с)).„

ЗЛ. Докажите, что замкнутая поверхность обладает симметричной нормальной формой с граничным путем

<7! ... П-уи.^1 . .. О^^+1<Х+2.'

— 1, если поверхность ориентируема,1 в протпнном случае

■ N есть эйлерова характеристика.

Определите, какие пз следующих групп изоморфны фундаментальным группам замкнутых поверхностей и определите в этих случаях тип поверхности:

<6^’Яп|°1• "к0?1 • ’ • "1^’8 = + 1.

Докажите, что каждая ориентируемая поверхность рода ? ^ 2 ко- печиолпстно накрывает крендель (ориентируемую поверхность рода 2)

(а) Докажите, что каждая пеориептируемая поверхность А об ia- даст единственным ориентируемым двулистным накрывающим F (ср. пример 2.2 2).

Как свякапы их роды, если Д’, а значит и F,— замкнутая поверхность?

Докажите утверждение: ес ш поверхность .V замкнута и ее род больше двух, то существует лишь одно накрытие поверхности А поверхностью F (с точностью до изоморфизма). Сформулируйте соответствующее утверждение для фундаментальных групп поверхностей V и F.

(<1) Как обстоит дело в том случае, когда род поверхности .V равен

Докажите, что гомотопная пулю простая кривая па поверхности ограничивает диск (Используйте теорему Зайферта — ван Кампепа. Другой способ доказательства появится в следующей главе, где это упражнение приводится еще раз.)

Докажите, что фундаментальные группы поверхностей, за исключением проективной плоскости, не содержат нетривиальных элементов конечного порядка

Пусть F — ориентируемая поверхность. Докажите, что гомотопический класс простой замкнутой кривой о не может быть нетривиальной степенью в фундаментальной группе (Указание: рассмотрите отдельно случаи, когда о разбивает и когда не разбивает, и найдите простые выражения для о через канонические образующие.) )

Пусть поверхность F пеориептируема, и пусть о — простая замкнутая кривая иа F. Тогда класс [о] является нетривиальной степенью гомотопического класса другой кривой 0 в том и только в том случае, если 0 обращает ориентацию, а о ограничивает лист Мёбиуса со средней линией 0,

Вспомните определение 2.1.12 ранга группы. Найдите рант фундаментальных групп замкнутых поверхностей

Что говорит о ранге формула Кнезера, когда в пей имеет место равенство'1 Сравните с формулой Шрайера для индекса и объясните разницу.

Докажите, что всякая замкнутая ориентируемая поверхность является разветвленным накрытием сферы.

Докажите, что определение 3.3.2 степени- отображения является корректным. ' '

Пусть F' и F — замкнутые ориентируемые поверхности рода g' и g, и пусть g'— 1> |c|(g —1) при некотором ceZ. Докажите, что существует отображение /: F' ^-F степени с.

Докажите, что отображение поверхностей /: F'^-F индуцирует гомоморфизмы /и: Я{ kF*) Н^ kF) и что. образующая группы Н^ (F'} = Z переводится им в элемент групп На (F) as Z, равный по абсолютной величине степени отображения.

Пусть f: ГГ — отображение тора Т в себя. Зафиксируем базис фундаментальной группы, которую мы записываем как Z © Z, и пусть / определено целочисленной матрицей Л второго порядка. Докажите, что степень отображения / равна det Л.

Будем записывать элементы группы Z © Z в виде столбцов ^, где х, у е Z. Целочисленные матрицы с определителем J- 1 образуют группу по умножению, обозначаемую через GL (2, Z) = Aut (Z © Z). Она содержит подгруппу SL (2, Z) матриц с определителем 1. Докажите Следующие утверждения:

(a) SL (2, Z) порождена матрицами Л=^ — ^ и5=^ ^ jj. Если добавить к ним матрицу С = ^ ^, то получится система образующих группы GL (2, Z).

(b)* SL (2, Z) = <Л, В | А2В"\ Л4> = <Л | Л4> ^(В | Дв>, где Z2 =<Л2> = = (В3) — группа, порожденная элементом Л2,

GL (2, Z) = <Л, В, С | Л2Д-3; Л4, С2 кСА)2, (.СВ2^ = ’ '

= <Л с I Л4,‘ С2, (СЛ)2)*^ <в, с I в\ с2, kCBf> = d2 ^ D,.

Где D2 = <С, Л2> = <С, В3> = Z2 © Z2, Ю4 и De — группы диэдра порядков

(с) Рассматривая Z © Z как фундаментальную группу тора, докажите, нто каждый автоморфизм группы Z © Z индуцирован некоторым гомеоморфизмом.

Докажите теорему 3.4.2 в случае 3.4.3.

Докажите предложение 3.4.11.

Пусть Т — тор, a s, t — каноническая система образующих его фундаментальной группы. Докажите следующее:

Если а, Ъ е, Z и (а, Ь) = 1, то гомотопический класс satb содержит простую замкнутую кривую.

Если а, Ъ, с, d е L и ad — Ъс = ± 1, то существует каноническая пара кривых, принадлежащих гомотопическим классам «"^ и »с^.

Утверждение, обратное утверждению (Ь).

(а) Приведите примеры таких простых замкнутых негомотопиых друг другу кривых 71, 72 на ориентированной замкнутой поверхности рода ^ ^ 2, что для любой кривой 6 выполняется равенство

v(Ti, 6) = v(72, 6)..

(Ь) Покажите, что кривые 71 и 72 гомологичны.

Восполните пропущенные детали в определении 3.6.1.,

Проделайте явно вычисления, нужные для получения формулы 3.6.5.

Опишите гомеоморфизмы поверхности из теоремы 3.6.7, индуцирующие матрицы (A) — (D). В случае (А) можете ограничиться случаем, когда матрицы В2, ..., Bg — единичные, а матрица Вх есть ( i д) или ^ 11)’ см" УпРажнеиие 3.19 (а).

. Восполните пропущенные детали в п. 3.6.10.

Докажите пункт (Ь) теоремы 3.6.7 также и в случае т > 0.

Докажите следующее утверждение: непрерывное отображение f: S^-t-S2 степени + 1 гомотопно гомеоморфизму, а именно, либо тождественному, если степень равна 1, либо отражению относительно экватораг (ж, у, z)t— (х, у, — z), если степень равна —1. (Здесь S2 отождествляется с множеством {(я, у, z) е R3 | я2 + у2 + z2 = 1}.)

Докажите предложение 3.7.3 средствами алгебраической топологии- 331. Доказательство следствия 3.7.7.

, 3.32. Доказательство формулы, следующей за формулой (3.7.8).

3.33. Докажите, что не существует отображения Fg -► Fk, g < h, нену

левой степени.

,334. Исследуйте отображение Т; [Fg, Fo] -► [Fg, Fo], см. предложен

Кие 3.7.3.

ПЛОСКИЕ РАЗРЫВНЫЕ ГРУППЫ

В этой главе мы рассмотрим конечно порожденные группы, действующие на плоских комплексах, построим их канонические фундаментальные области и задания и расклассифицируем их относительно геометрической эквивалентности и изоморфности. Затем покажем, что каждую группу, обладающую заданием одного из канонических видов, можно реализовать как группу, действующую на плоском комплексе. Эти группы представляют интерес для комплексного анализа, где они появляются в качестве разрывных групп движений неевклидовой плоскости, часто называемых фуксовыми группами; к этой стороне вопроса мы обратимся в главе 7. Здесь наш подход является чисто комбинаторным, и мы доказываем теоретико-групповые свойства этих групп, используя лишь комбинаторные рассуждения.

Плоские сети

В этом параграфе мы укажем характеристическое свойство плоскости, отличающее ее от остальных поверхностей, и докажем комбинаторные варианты теоремы Жордана о кривой и теоремы Шенфлиса. Знаменитые топологические варианты этих теорем и некоторые замечания об их истории можно найти в книге Ньюмена [Newman 1951], см. также гл. 6.

Определение. Пусть F— поверхность. Будем говорить, что две грани ф, ф' можно соединить цепочкой граней, если существует цепочка ф1 = ф, ф2, ..., ф™ = ф граней, в которой ф1 и ф,+1 имеют по меньшей мере одно общее граничное ребро. Кривая со называется разбивающей, если у F существуют грани ф и ф', которые нельзя соединить цепочкой граней, в которой ребра, общие для соседних граней, не лежали бы в ®.

Лемма. Пусть F — поверхность, a to — гомологичная нулю {см. п. 2.7.1) простая замкнутая кривая, лежащая внутри F. Тогда to разбивает F.

Доказательство. Пусть ® = щ ... ст„, и пусть w = = $, + ... + $„ — соответствующая цепь в С, (см. § 2.7). Поскольку кривая (о — простая и замкнутая, то все элементы s, различны, а так как со гомологична нулю, то существует цепь / ^ Сг с d2f = w. Пусть / = 2 ad^ где А соответствуют граням Ф, поверхности F. Естественно, что лишь конечное число коэф-

фпцпентов а, не равно нулю. Если две грани ф„ ф, имеют общее ребро, не входящее в со, то, поскольку 5/ = д (2 «гЛ) = и7, выполняется равенство а, = — еа„ где общее ребро входит в граничный путь грани ф, с показателем +1, а в граничный путь грани ф, — с показателем е. Если со не разбивает, то любые две грани можно соединить, не «пересекая» со. Но это означает, что все коэффициенты а, имеют одинаковую абсолютную величину, поэтому коэффициенты при s, в цепи су делятся на 2. Но это противоречит тому, что су = s, + ... + sn п что s, различны. □

Определение. Под прямой мы будем понимать связный бесконечный граф, в котором из каждой вершины выходит два ребра. Поверхность, эквивалентная комплексу с одной геометрической гранью ф±1, одним краевым геометрическим ребром о±| и одной вершиной, называется диском. Плоской сетью называется связная поверхность Е со следующими свойствами:

Е открыта, т. е. Е имеет бесконечно много граней и пустой край.

Каждый простой замкнутый путь ограничивает диск.

Из (Ь) немедленно следует, что лх (Е) = 1 и Нх (Е) = 0. Верно и обратное.

Лемма. Пусть Е — связная открытая поверхность. Если Нх ^t?> = 0, mo Е является плоской сетью.

Доказательство. Пусть со — простая замкнутая кривая. су — соответствующий элемент группы С^ Тогда найдется конечное число таких граней ф„ что д (2 «1/1) = w, с а, + 0. где /, е Q2 соответствует ф„ Так как поверхность Е бесконечна, а кривая со простая, то а, = ±1. Грани ф, образуют связную поверхность с единственной краевой петлей со. Легко убедиться в том, что гомологии этого комплекса в размерности 1 тривиальны. Значит, в силу следствия 3.2.10, он образует поверхность рода 0 с краевой петлей со. Следовательно, это диск. □

Лемма. Прямая, лежащая в плоской сети, разбивает ее.

Доказательство. Если это не так, то рассмотрим две гранп, которые граничат вдоль отрезка о этой прямой, и возьмем две вершины Pv, Р2 (возможно, после подразделения), которые лежат на их границах, но не на прямой. Соединим их простой кривой со, не пересекающей прямую. Далее, после подразделения этих граней двумя ребрами щ, о2, где о, идет из Рх в точку Q на ребре о, а о2 идет из Q в точку Р2, добавим к со ребра щ и о2. Тогда а,а2со ограничивает (конечный!) диск, содержащий одну из двух (бесконечных!) половин прямой. □

Лемма. Если Е—плоская сеть, а поверхность Е' родственна ей, то и Е'—плоская сеть.

Доказательство. Поскольку Е' родственна Е то Е' Является открытой поверхностью. Кроме того, Нх (Е') = 0, и потому доказываемая лемма вытекает из леммы 4.1.4. □

Напомним, что, согласно определению, две сети Е и Е' изоморфны, если существует биекция /: Е-*-Е', переводящая грани в грани, ребра в ребра и вершины в вершины, при которой граничные соотношения сохраняются.

Теорема. С точностью до изоморфизма любые две плоские сети родственны.

Таким образом, все плоские сети реализуют одну и ту же топологическую поверхность — плоскость.

Доказательство. Пусть Е — плоская сеть. Подразделяя ребра, можно превратить Е в родственную сеть без замкнутых ребер. Эта сеть также будет обозначаться через Е. Пусть фо — грань сети Е с граничным путем ю0. Двумерный комплекс К, содержащий все грани, которые имеют с ф0 общее ребро или вершину, а также их границы, является конечным комплексом, поскольку в каждой вершине сходится лишь конечное число граней. Рассмотрим все простые замкнутые кривые, лежащие на его границе. Каждая из них ограничивает диск. Если мы добавим к К все такие диски, не содержащие внутри себя граней комплекса К, то останется лишь одна простая замкнутая граничная кривая ®„ поскольку ф0 можно соединить с любой гранью нового комплекса, не пересекая его граничной кривой. Пусть ф, — диск, ограничиваемый кривой со. Повторяя предыдущую операцию для ф] и продолжая так действовать и дальше, мы получим систему дисков ф0 с ф, с ..., в которой i-й диск содержит внутри себя все предыдущие диски, а также все ребра, исходящие из ф.-i. Так как сеть Е связна, то ясно, что и ф» содержит вообще все ребра и потому совпадает с Е. Поэтому если удалить диск ф, из ф,+|, то поверхность ф,+1 — ф, будет родственна поверхности рода 0 с двухкомпонентным краем (т. е. кольцу). Таким образом, при помощи

(а)(Ь)

элементарных преобразований можно превратить ф,+1 — ф, в комплекс, показанный на рис. 4.1.1 (а), и, по индукции, Е имеет вид, указанный на рис. 4.1.1 (Ь). То же самое можно проделать с сетью Е' и получить диски ф0, фь ... с граница-

ми Од, Оь ..., связующими ребрами т0, ть ... и вершинами Ро, Р*, ... Отображение, ставящее в соответствие элементам без штрихов элементы со штрихами, является изоморфизмом плоских сетей. □

Определение. Подкомплексом плоской сети мы будем называть множество геометрических граней вместе с их граничными ребрами и вершинами.. В дальнейшем подкомплекс будет называться сильно связным, если любые две грани в нем можно соединить цепочкой граней, см. п. 4.1.1. (Это определение отличается от определения связности, по которому комплекс называется связным, если связен его одномерный остов.) Подкомплекс называется односвязным, если он сильно связен и каждая простая замкнутая кривая ограничивает диск. □

Лемма, (а) Односвязный непустой подкомплекс К плоской сети Е либо совпадает с Е, либ’о является диском, либо имеет несколько простых открытых «бесконечно- длинных» попарно непересекающихся краевых путей (т. е. прямых-).

(Ь) Подкомплекс К сети Е, не имеющий ребер, которые входили бы в границу только одной грани из К, либо пуст, либо совпадает с Е.

Доказательство — упражнение 4.1. □

В частности, край, представляющий собой замкнутую кривую, отвечает диску; край, который представляет собой бесконечную прямую,— полуплоскости; две прямые — полосе и т. д.

Автоморфизмы плоской сети

Изучим элементарные свойства автоморфизмов плоских сетей.

Определение. Автоморфизмом плоской сети Е называется изоморфизм сети Е на себя.

Как мы видели при доказательстве теоремы 4.11.7, плоская сеть родственна объединению возрастающей последовательности дисков. Из этой конструкции непосредственно видно, что всякая плоская сеть ориентируема. Выберем какую-нибудь определенную ориентацию, чтобы раз и навсегда фиксировать положительного представителя и положительный граничный путь для каждой грани.

Определение. Если автоморфизм переводит какой-нибудь положительный граничный путь в положительный граничный путь, то все положительные граничные пути отображаются на положительные граничные пути, и автоморфизм называется сохраняющим ориентацию. В противном случае он называется обращающим ориентацию.

Лемма. Сохраняющий ориентацию автоморфизм, оставляющий неподвижным некоторое ребро, является тождественным.

Доказательство. Пусть х — сохраняющий ориентацию автоморфизм с неподвижным ребром о. Пусть <р, и <р2 — две грани, в граничные пути которых входит а. Поскольку гранич-

ные соотношения сохраняются, ф1 может отображаться только на ф1 или на ф2. Вторая возможность исключена, поскольку х сохраняет ориентацию. Поэтому грани ф1 и ф2 являются неподвижными. Автоморфизм х может, самое большее, циклически сдвинуть граничные пути граней ф, и ф2, но это невозможно, поскольку ребро ст неподвижно. Поэтому граничные пути граней ф! и ф2 неподвижны. Повторяя это рассуждение для все новых соседних граней, получаем, в силу связности сети Е, доказываемое утверждение. □

Лемма. Автоморфизм бесконечного порядка не имеет ни неподвижных вершин, ни инвариантных граней.

Доказательство. Допустим, что х оставляет вершину Р неподвижной, и пусть ст — какое-нибудь ребро в звезде вершины Р. Поскольку каждая звезда конечна, существует степень п автоморфизма х, отображающая ст в себя. Тогда х2л является автоморфизмом, сохраняющим ориентацию и имеющим неподвижное ребро ст и, значит, тождественным. Если х переводит в себя грань ф, то некоторая степень автоморфизма х оставляет неподвижным одно из ребер этой грани, и поэтому является тождественным автоморфизмом. □

Теорема. Сохраняющий ориентацию автоморфизм конечного порядка (отличный от тождественного) имеет ровно один инвариантный элемент, т. е. либо одну неподвижную вершину, либо одну инвариантную грань, либо переводит некоторое ребро в себя с обращением ориентации. (На такие автоморфизмы мы можем смотреть как на вращения ).)

Доказательство, а) Пусть Р и ^ — вершины, неподвижные относительно автоморфизма х. Соединим их путем со минимальной длины. Тогда каждая вершина, входящая в пересечение путей (о и ых, является неподвижной вершиной для ж). Поэтому можно считать, что у х имеются две неподвижные вершины Р и Q, соединенные таким путем со, что путь to(tox)-1 является простым замкнутым. Последний ограничивает диск, и образы этого диска при всех степенях автоморфизма х образуют конечный (!) подкомплекс без края, что противоречит лемме 4.1.9.

Если подразделить неподвижные грани, соединив их центры с вершинами и продолжив естественным образом автоморфизм х на новую сеть, то ясно, что каждая инвариантная грань соответствует неподвижной вершине новой сети. Тем самым единственность инвариантного элемента установлена. Ясно также, что вершина или грань, инвариантная относительно некоторой нетривиальной степени х, инвариантна и относительно х (это следует из ее единственности для степени). Требуется поэтому

провести доказательство существования лишь для степеней автоморфизма х, не вникая в то, как оно проводится для х.

Ь) Пусть п — порядок автоморфизма х, Р — вершина и о» — кратчайший путь из Р в Рх. Путь ю(юх') ((йх2) .. .(юх"-1') замкнут. Если путь со(юа") (он2)...(о)^"'1) не является простым и Q — точка пересечения путей со п co.cJ (0</<n) (исключая вершины Рх и Р при / = 1 и и — 1), то рассмотрим вместо х автоморфизм х*, вместо Р — вершину Q и вместо со — ту часть пути tax', которая идет из Q в Qx1. Можно считать, что этот путь короче чем со, так как иначе мы бы уже имели неподвижную вершину для степени автоморфизма х. Поэтому после конечного числа таких шагов мы найдем либо неподвижную вершину, либо простой замкнутый путь со' (со'ж ) (со'ж2')..., который ограничивает диск 8.

В последнем случае пусть Р, — вершина, лежащая внутри 8, a coi — путь минимальной длины из Р, в Pvx, проходящий внутри 8. Как и выше, найдем такой путь coj и такую степень хи (/у ^ 0 mod к), что путь со, (со^1"') (со^2^) . .. является граничным для диска 8,. Последний целиком лежит внутри S и отображается автоморфизмом x;j па себя. Этот процесс оборвется па паре граней, имеющих общее ребро, пли па диске без внутренних вершин, который, таким образом, является инвариантной гранью; в противном случае мы получим неподвижную вершину. □

Лемма. Обращающий ориентацию автоморфизм конечного порядка имеет порядок 2.

Доказательство. Если х — обращающий ориентацию автоморфизм конечного порядка, то х2 сохраняет ориентацию и имеет конечный порядок, тем самым имеет неподвижную вершину' Р (возможно, после подразбиения неподвижной грани). Если бы хг не был равен 1. как утверждается доказываемой леммой, то, в силу равенств (Рх}хг = {Рх2)х = Рх и теоремы 4.2.5. вершина Р была бы неподвижной и для х. Далее, х отображает звезду'- вершины Р в себя с обращением ориентации. Поэтому, если х отображает ребро о звезды вершины Р в ох, правый сосед ребра о отображается в левого соседа ребра ох. Еслп мы перейдем к соседу справа и продолжим, мы неизбежно найдем либо пару’ соседних ребер в звезде вершины Р. которые х меняет местами, либо неподвижное ребро для х. В обоих слу чаях автоморфизм х2 обладает неподвижным ребром, поэтому он, в силу леммы 4.2.3, является тождественным. □

Покажем теперь, что обращающий ориентацию автоморфизм х порядка 2 есть «отражение». Пусть Р — вершина сети и со — путь из Р в Рх. Поскольку Рх2 = Р, то tox соединяет Рх с Р. Заменяя Р на точки пересечения путей ы и ыж, можно добиться того, что либо путь со w.r будет простым замкнутым путем, либо вершила Р будет неподвижной, либо со — таким ребром, что сож = со-1. Первый случай иметь места не может. Действительно, пусть ср — грань диска, ограничиваемого путем со • сож. которая примыкает к его краю. Тогда ф.г лежит снаружи этого 8 X Цишапг и тр 113

диска, поскольку х обращает ориентацию (см. рис. 4.2.1). Поэтому диск вместе со своим образом составляет конечный замкнутый) подкомплекс плоской сети, что противоречит лемме 4,1.9.

Таким образом, каждый обращающий ориентацию автоморфизм порядка 2 либо имеет неподвижную вершину, либо переводит некоторое ребро в ему обратное. Подразбив это ребро, по- шлучим, что х имеет неподвижную

«/1 * \вершину Q. В ее звезде имеются

\ Хаг либо Два неподвижных ребра, Г'хлибо неподвижное ребро и пара

*Л7Г^ * :соседних ребер, переставляемых t I \автоморфизмом х, либо два такие

/ ^\пары. Пусть ст„ ст2 — пара сосед

них ребер, переставляемых авто

Рис. 42.1морфизмом х. Тогда оГ^г входит

в граничный путь грани, отображающейся на себя. Ня ее границе имеется либо вторая пара ребер, меняющихся местами, либо ребро, которое отображается в себе обратное. В обоих случаях, тщдразбив, если необходимо, ребро, мы найдем на границе еще." одну неподвижную вершину Qt. Подразобьем грань неподвижным ребром, идущим из Q в Qv Таким образом, можно считать, что в звезде вершины Q имеются, по крайней мере, два неподвижных ребра, но нет двух соседних ребер, которые переставлялись-бы. Пусть ст, и ст2 — два неподвижных ребра. Поскольку одна, из граней, содержащих ребро ст„ отображается на другую, то каждое ребро из звезды вершины Q, лежащее между ст, и ст2, отображается на ребро, лежащее между ст2 и ст,. Поэтому в звезде вершины Q неподвижны только ст,, Q, о2. Точно так же неподвижными являются концы ребер ст,, ст2, и мы, производя, при необходимости, дальнейшие подразбиения, получаем еще два неподвижных ребра. Продолжая эту операцию, мы получим некоторую кривую. У нее нет точек самопересечения, поскольку из каждой вершины выходит не более двух неподвижных ребер, и она не ограничивает диск, так как иначе его «конечная внутренность» отображалась бы на его «бесконечное дополнение». Таким образом, она является неподвижной прямой и, следовательно, разбивает плоскую сеть на две половины, переставляемые автоморфизмом х. Поэтому больше неподвижных элементов не имеется. Таким образом, доказана:

Теорема. Каждый обращающий ориентацию автоморфизм х конечного порядка обладает, после надлежащего подразделения, ровно одной неподвижной прямой. Можно сказать, что автоморфизм х есть отражение относительно этой прямой ). □

Упражнение 4.2.

Группы автоморфизмов плоских сетей

Покажем, что пространство орбит группы автоморфизмов плоской сети является поверхностью и построим для нее специальное разбиение. В следующем параграфе мы поднимем это разбиение в плоскость и введем понятие фундаментальной Области.

Пусть Е — плоская сеть, G — ее группа автоморфизмов.

• 4.3.1. Определение. Две вершины, два ребра или две грани сети называются эквивалентными, если в G существует автоморфизм, переводящий один из этих объектов в другой.

Предположение. Будем считать, что никакой автоморфизм, отличный от 1, не отображает никакую грань в нее саму или ей обратную и ни одно ребро — в ему обратное. Поэтому вращение, входящее в G, всегда происходит вокруг вершины сети Е, а отражение, входящее в G, имеет полную ось вращения. Этого всегда можно добиться при помощи надлежащего подразделения. Расширение (подразделение ребра вершиной или грани ребрами) производится одновременно для всех объектов, эквивалентных относительно G, и действие G распространяется на новую сеть Е'. Обратный процесс называется сокращением при том условии, что новая пара (Е', G') не имеет инвариантных граней и т. д.

Определение. Две пары (Е, G), (Е', G') называются эквивалентными, если одну из них можно превратить в другую при помощи последовательности расширений и сокращений. Центры вращений и оси отражений всегда сохраняются при этих операциях. Класс эквивалентных пар называется плоской разрывной группой. Впрочем, часто мы будем использовать это выражение и в случае отдельного представителя.

Если отождествить эквивалентные вершины, ребра и грани соответственно, перенося на классы эквивалентности граничные соотношения, то получится система Е/G вершин, ребер и граней — так называемое пространство орбит.

Теорема. Е/G является поверхностью.

Доказательство. Будем обозначать классы эквивалентных вершин, ребер и граней через PG, aG и т. п. Если два ребра эквивалентны, то их начала и концы также эквивалентны. Далее, ребра aG и o_,G являются различными, и ребро a~*G можно рассматривать как (oG)-t. Таким образом, из остова С сети Е получается граф С/G. Поскольку нет граней, инвариантных относительно G, то фС и ф-,С являются различными для всякой грани ф, и никакое ребро aG не входит в граничные пути граней фС более, чем дважды.

Условие на звезды также выполняется. Пусть Р — вершина сети Е, и пусть о,, ..., а„, о, — звезда вершины Р. Если Р лежит на осях отражений, то найдется подзвезда а„ aJ+i, ..., щ, состоящая из неэквивалентных ребер, в которой а, и щ лежат иа осях отражений (остальные, естественно, не лежат). Тогда 8* 115

ребра o,G, ..., oftG образуют звезду вокруг PG. Если Р не лежит ни на какой оси отражения, то найдется подзвезда щ, ... ..., а„ в которой ребра <?! и а, эквивалентны, а остальные — нет, и ребра OjG, ..., o,G образуют звезду вокруг PG. □

Возникает очевидное отображение E->E/G. Будем говорить, что объект из Е лежит «над» своим образом. Край поверхности E/G состоит из образов ребер, лежащих на осях отражений. Элементарное преобразование поверхности E/G можно поднять в Е, если оно не затрагивает образы центров вращения. В E/G лежат образы центров вращения двух типов, а именно центров, которые лежат на осях симметрии, и центров, которые не лежат. Образы первого типа находятся на крае поверхности E/G в отличие от образов второго типа. (Если вершина Р сети Е лежит на двух разных осях отражений, a ct, сге G — соответствующие отражения, то c,c2 есть вращение с центром в Р.) Образы центров вращения также будут называться центрами вращения.

Предположение. Предположим, что имеется лишь конечное число неэквивалентных относительно G граней сети Е, и будем говорить, что группа имеет компактную фундаментальную область.

Тогда E/G = F является конечным комплексом (компактной поверхностью) и к нему можно применить нашу классификацию. Однако теперь мы должны принимать во внимание наличие отмеченных вершин и центров вращения. В качестве вершин поверхности Е/G возьмем образы центров вращений, а также еще по одной вершине на каждой компоненте^ края и еще одну отличную от них всех внутреннюю вершину Q. Пусть ребра щ, ..., ст™ ведут из Q к центрам вращения, не лежащим на крае. Пусть, кроме того, к каждой компоненте края идет ребро щ с концом в вершине, не являющейся центром вращения. k-я краевая петля будет иметь вид Удi • ■ • Тд mft+i kmh^^k где ^ , начинается в конечной точке ребра щ, a yft тд+1 в ней оканчивается. При z = 1, ..., тпк конец ребра ^д, * совпадает с началом ребра 7д,.+1 и является центром вращения (если mk^ 1). Добавив к уже имеющимся путям начинающиеся и кончающиеся в Q петли Т[, р.1, ..., rg, pg или v1T ..., vg соответственно, мы получим разрез поверхности E/G. Тогда у E/G будет иметься одна-единственная грань, и ее граничный путь можно записать в виде

П^ПтД’^Г^П^Тдд . . . Уд^д-И^

П^ГП *Л gvM . . . Тд,тд+1Пд 1

соответственно, точно так же, как в § 3.2. Все операции, необходимые для получения этой канонической нормальной формы, можно поднять в Е, и, таким образом, имеет место

Теорема. Плоскую разрывную группу с компактной фундаментальной областью можно реализовать парой (Е, G), в которой любые две грани эквивалентны, элементы группы G, отличные от тождественного отображения, не имеют инвариантных граней и граничный путь каждой грани имеет вид

ft ^?1П bl^V1^ П Wtl ■ • • Тк,тй+1Пк1

П сг^аГ1 П Vjv,' Ц т\^кд ... Tft>mfc+lTh1

соответственно. Здесь ребра, обозначенные одинаковыми греческими буквами с одним и тем же индексом (например оги ст,), эквивалентны. Конец, ребра а, является центром вращения (порядка /i,^2). Если тпк>0, то концы ребер цк-1 (l^i^m^ также являются центрами вращения (порядков hki,>2). Если mk > 0, то начало ребра у*., не является центром вращения. Никакие два из этих центров вращения и никакие два ребра, обозначенные разными греческими буквами, не являются эквивалентными.

Путь (4.3.7), соответственно (4.3.8), является простым и замкнутым. □

Последнее утверждение будет доказано несколько позже. Упражнения 4.3, 4.

Фундаментальные области

Определение. Сильно связный подкомплекс сети Е, содержащий ровно по одной грани вместе с ее границей из каждого класса эквивалентности, называется фундаментальной областью группы (Е, G).

Теорема. Каждая пара (Е, G) обладает фундаментальной областью, и все фундаментальные области односвязны.

Доказательство, а) Пусть ф — грань. Присоединяя последовательно к ф другие грани, каждая иэ которых имеет граничное ребро, общее с уже построенным комплексом К, но не эквивалентна ни одной из входящих в него граней, мы получим связный подкомплекс F. Тогда всякая грань ф', не эквивалентная граням комплекса F, могла бы граничить лишь с гранями, же эквивалентными граням комплекса F. Поскольку ф и ф' можно соединить цепочкой граней, такой грани ф' не существует.

• Ь) Пусть о» — простая замкнутая кривая в фундаментальной Области F, которая ограничивает диск 8, не лежащий в F цели-

ком. Тогда по крайней мер» одна грань ф этого диска 5 не принадлежит комплексу F. Пусть ф' — грань, лежащая в F и эквивалентная грани ф, а х — автоморфизм, переводящий ф' в ф. Тогда ф содержится в Fx, и Fx — связный комплекс. Поскольку общими у F и Fx могут быть лишь граничные ребра, и каждое ребро из q = dS лежит в F, то Fx, и, следовательно, ых содержится в S, и мы получаем, что Sx cz S. Это противоречит тому, что S и Sx содержат одинаковое и притом конечное число гра-

Такпм же образом доказывается, что два образа фундаментальной области пересекаются, самое большее, по простому незамкнутому (возможно, бесконечному) пути. Если область F конечна, то F есть диск. В частности, его граничный путь простой и замкнутый. Факторпространство E/G получается пз F при отождествлении эквивалентных граничных ребер. Граничный путь области F однозначно определяет E/G (как поверхность). Снабдим граничный путь ориентацией.

Теорема. В граничном пути фундаментальной области встречается, самое большее, два направленных ребра из каждого класса эквивалентности. Если их встретилось два, то они переводятся друг в друга некоторым обращающим ориентацию автоморфизмом, и ни один элемент из класса обратных им ребер не встречается. Если из некоторого класса эквивалентности встречается лишь одно ребро о, то в граничном пути имеется и ребро, эквивалентное ребру о-1; в противном случае ребро а является неподвижным при некотором обращающем ориентацию преобразовании.

Доказательство — упражнение 4.5. □

При помощи элементарных преобразований, выполняемых одновременно во всех областях Fx при ze G, можно добиться того, что F превратится в грань с граничным путем (4.3.7) или (4.3.8). Ясно, кроме всего прочего, что этот путь является простым и замкнутым.

Алгебраическая структура плоских разрывных групп

Алгебраическую структуру плоской разрывной группы легко установить при помощи «двойственной сети».

Определение. Поверхность F*, двойственная поверхности F без края, определяется следующим образом:

Каждой геометрической грани ф11 поверхности F соответствует вершина ф* поверхности F*.

Каждому геометрическому ребру п*1 поверхности F соответствует геометрическое ребро о*11 поверхности F*.

Каждой вершине Р поверхности F соответствует геометрическая грань Р*11 поверхности F*.

Граничные соотношения обращаются. Это, в частности, означает: если Р — граничная вершина ребра а, то о* является 118

граничным ребром грани Р (если щ, ..., ст„, ст, — звезда вершины Р в F, то путь о*, ... ,а п является положительным граничным путем геометрической грани Р*±4; противоположно ориентированная звезда вершины Р соответствует положительному граничному пути противоположно ориентированной грани*)). Если ребро входит в положительный граничный путь грани ф, то ф* является началом ребра о* и концом ребра (о_|)* = о*-1. Если Р лежит на границе грани ф, то ф* лежит на границе грани Р*.

Лемма. Двойственный комплекс F* поверхности F без края можно отождествить с некоторым комплексом той же самой поверхности F.

Доказательство (см. [Reidemeister 1932, S. 133—136]). Сначала построим подразделение поверхности F; мы опишем его скорее интуитивно, чем формально. Каждое ребро о разделим на два ребра о', о" новой вершиной о0. Затем внутри каждой грани ф возьмем вершину ф* и соединим ф* ребрами со всеми новыми вершинами о0, лежащими на ребрах, которые ограничивают ф. Полученный комплекс F' эквивалентен комплексу F.

Пусть Р — вершина комплекса F. Тогда число граней, содержащих Р в своей границе, равно числу ребер в звезде с центром Р комплекса F. Объединим все грани комплекса F', на границе которых лежит Р, в одну грань Р*. После этого выбросим все ребра комплекса F' с концом или началом в Р, а также и саму вершину Р. В вершине типа о0 встречаются ровно два ребра, скажем из вершин ф, и ф;, лежащих в гранях ф„ ф„ на

Рис. 4.5.1

границе которых лежит о0. Выбросим о0 и соединим эти два ребра в одно ребро о*. Эта конструкция понятна из рисунка 4.5.1. □

Предположим теперь, что группа G действует на гранях сети Е просто транзитивно ): в частности, G имеет компактную фундаментальную область. Группа о действует в Е*, но теперь

уже просто транзитивно на вершинах и, возможно, вращениями на гранях. Для каждой вершины пометим выходящие из нее ребра символами S^1, Ту1, Uf1, Еу1, Ск,у как это указано ниже, где верхняя строчка содержит символ из формулы (4.3.7) или (4.3.8), а нижняя строчка содержит символ для обозначения соответствующего двойственного ребра:

(4 5 3) Oi Т' ^,Г1 Т,Г1 ^ V; V^ n'k 7kJ Пк 1

SiS'1 TjUJ1 T^UjVjVJ1 EhCh,jEk\

Звезда ребер, выходящих из вершины, выглядит тогда следующим образом:

8г, S71, ...,S„, Sm1, Ти U;1, Т;\ Uv ..., Т^ Ug1, Tg1, Ug, Еу, С1Д, . . ., Ciimi4-1, Ex ,. . •, Eq, Cq y, . . ., Cq^m^Xi Eq

S?1, ...,Sm, Sm1, VT, УГ1Vg, P^1, ЕхС1л, ...

••ч Ст.п^-Н, Ex , . . . , Eq, Cqj , . . ., Cg_mg4-1, Eq соответственно.

В дальнейшем будем использовать букву X для обозначения «общего» символа.

Пара противоположно направленных ребер сети Е* обозначается либо взаимно обратными символами, либо одним символом Ска, поскольку G действует на вершинах сети Е* просто транзитивно и не имеет никаких неподвижных ребер, кроме ^к,,. Поэтому эквивалентными являются только ребра, обозначенные одинаковыми символами (включая показатель степени).

Выделим теперь одну из вершин сети Е* и назовем ее 1. Всякой другой вершине сети Е* соответствует единственный автоморфизм из G, переводящий эту вершину в 1. Если ребро с началом в 1, помеченное символом X. ведет в вершину х, то поставим символу X в соответствие элемент х группы G. Тогда ребро с началом в 1, помеченное символом X-1, будет вести в вершину х-1, и таким образом, X-1 соответствует обратному элементу. Эквивалентным ребрам сети Е* соответствуют одинаковые символы. Таким образом, каждый путь в сети Е* соответствует некоторому слову из символов X, и обратно, если задана начальная вершина, то каждое такое слово W(X) однозначно определяет некоторый путь. Будем говорить, что этот путь получается прослеживанием слова IV (X) из этой вершины. Если, далее, всюду написать вместо X соответствующий элемент х, то получится произведение W(x) элементов группы G, т. е. некоторый элемент группы G. Концом пути с началом в 1, соответствующего слову W(X), является вершина 1Р(х); действительно, если W(X) = Xi ... Хп, то при автоморфизме Zi е G конец ребра, начинающегося в 1 и помеченного спмво-

лом Хи отображается в 1. В результате путь с началом в Хи обозначенный словом Хг... Х„, отображается в путь с началом в 1, обозначенный тем же словом Х2... Хп. Следовательно, элементы х, соответствующие символам X, являются образующими группы G, а соотношения соответствуют петлям с началом в 1.

Так как эквивалентными относительно G являются лишь те ребра сети Е*, которые обозначены одним и тем же символом X, то, если проследить слово ^(Х) из некоторой вершины, замкнутый путь будет получаться либо при любом выборе вершины, либо ни при каком. Это облегчает нам нахождения определяющих соотношений. А именно, замкнутый путь можно разложить на простые замкнутые подпути (возможно, с подводящими и отводящими путями) и шипы. Но простой замкнутый путь в плоской сети является произведением путей, состоящих из подводящего пути и граничного пути некоторой грани. Каждый из шипов содержит подпуть, который проходит в одну и в другую сторону по одному-единственному ребру. Поэтому мы получим определяющие соотношения для G, если пройдем в одну и в другую сторону по ребрам, обойдем граничные пути граней сетей Е* и заменим в получающемся слове W (X) символы X образующими х. Разумеется, путь, проходящий по ребру в одну и в другую сторону, вносит нетривиальный вклад в соотношение, только если два эти направления не помечены взаимно обратными символами, т. е. если ребро находится на оси симметрии. Поскольку G действует на вершинах просто транзитивно, достаточно рассмотреть только ребра и грани, содержащие 1 в своей границе. Даже после этого некоторые слова W (X) могут появляться несколько раз (с точностью до циклической перестановки). Не будем пытаться абстрактно охарактеризовать минимальную систему определяющих соотношений, а лишь укажем те слова IV(X), которые при этом появляются.

Будем называть звезду (4.5.4) или (4.5.5) положительной, если ее центральная вершина соответствует сохраняющему ориентацию автоморфизму. Во всех остальных вершинах положительной будет считаться противоположно ориентированная звезда. Тогда мы получим граничные пути граней, если будем последовательно вслед за каждым ребром проходить соседние к обратному ему ребро, соседнее — в смысле положительности направления в звезде его конца. К тому же, разумеется, мы должны учитывать порядки вращений, в результате чего граничный путь грани имеет вид (Я*^))*.

Из формул (4.5.4) и (4.5.5) мы получаем граничные пути ^ , (Cftj+iCfcj) h’5 при 1^;^тпй, CktlEkCktmk+iEk \

ЯД ... SmT^J^U?1 . .. U^E^ ...Eq

S^ ... S^V^ ... ¥г8ЕхЕ2 ...Eq соотве тственно.

Кроме того, у нас есть еще шипы С|д. Таким образом, мы доказали следующую теорему, дающую каноническое задание*.

Теорема. Плоская разрывная группа имеет одну из следующих структур*.

Тип Л.

Образующие*.

Si, ..., sm, m >0;

ti, u^ ..., tg, u6, g > 0;

ei, ..., eq, q> 0;

Ci,i, ..., Ci.mi+i, ..., Cg^g+n т^^О.

Определяющие соотношения:"

st 1 = 1, i = 1, ..., m;

c^j = 1, i = 1, ..., q, / =1, ..., m,+1;

(c.j+ic.j) 11 = 1, i = l, ...,q, i=i,...,mi;

Ci.ietCi^+ieT1 = 1, i = 1, ..., q

П>,Ц 1<ь “«] И ^ = 1.

Тип В. Так же, как в случае А, но вместо образующих tf,uf образующие

(4.5.7b')щ, ..., vg, g>0;

и, вместо последнего соотношения, соотношение

(4.5.8d')П^1рЩ^=1

Среди образующих только с^ и v2 обращают ориентацию. Никакое собственное подслово определяющего соотношения не является определяющим соотношением. □

Замечание. Мы не утверждаем здесь, что последнее верно для групп, абстрактно заданных образующими и соотношениями вышеуказанным способом, а лишь то, что это так в случае плоских разрывных, групп.

Упражнения 4.6—9.

Классификация плоских разрывных групп

Для плоских разрывных групп налицо два типа эквивалентности:

Группы имеют одинаковый алгебраический тип (алгебраическая изоморфность').

Существуют реализации (Е, G), (Е', G') и такой изоморфизм h: Е' —>Е, что соответствие x>-»-h~1xh определяет изоморфизм из G в G' (геометрическая изоморфность').

Очевидно, что геометрическая изоморфность влечет алгебраическую. Из предыдущего легко следует

Теорема. Две плоские разрывные группы (Е, G) и (E',G') с компактными фундаментальными областями геометрически изоморфны тогда и только тогда, когда-.

Поверхности Е/G и E'/G' изоморфны, т. е. обе ориентируемы или обе неориентируемы (поэтому (Е, G) и (Е', G') обе принадлежат типу А или обе — типу В), имеют одинаковый род (т. е. g = g') и одинаковое количество компонент края (т. е. q = q'Y

Количество неэквивалентных центров вращения, не лежащих на крае, у них одинаково (т. е. m = m'^ и порядки вращения также одинаковы.

На каждой компоненте края поверхностей E/G, E'/G' соответственно имеется цикл, состоящий из центров вращения с порядками вращения hi,i, .. .,hi_mv Если мы имеем дело с группами типа А, то либо (Е, G) и (Е', G') имеют одинаковые циклы, либо все циклы пары (Е', G') являются обратными к циклам пары (Е, G). Если группы принадлежат типу В, то циклы пары (Е, G) могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие циклам пары (Е', G'), причем отвечающие друг другу циклы могут иметь одинаковые или противоположные ориентации.

Утверждение 4.6.3 (с) вытекает из классификации поверхностей. Ориентации всех компонент края ориентируемой поверхности однозначно определены ориентацией самой поверхности, в то время как у неориентируемых поверхностей существуют автоморфизмы, отображающие одну из краевых петель на ей обратную, и оставляющие остальные компоненты края неподвижными. (Доказательство этого утверждения оставляется читателю в качестве упражнения 4.9.) □

Далее, имеет место

Теорема. Если между двумя плоскими разрывными группами с компактными фундаментальными областями существует алгебраический изоморфизм, то между ними существует и геометрический изоморфизм.

В общем случае это было доказано Макбетом [Macbeath 1967]. Он показал, что каждый изоморфизм реализуется геометрически, см. также гл. 5, § 6—8. Если отражений не встречается, то утверждение теоремы 4.6.4 доказать легко: группа в этом случае имеет вид

^®1> . . . , Sm, flt М1Т . . . , tg, Ug I Si , . . ., Sm , Д^ Si J J [^-, Mj]^

^$1, . . ., Sm, Vv . . ., Vg I Sx 1, . . . , Smm, JJ Si JJ ^j^

соответственно. Ее элементы конечного порядка сопряжены степеням элементов $,. Далее, числа ht, ..., hm равны порядкам максимальных циклических подгрупп группы G, не сопряженных друг другу. Если отбросить элементы конечного порядка и прокоммутировать, то получится либо Z28, либо Z2 Ф Z*-1. Этим однозначно определен тип (А или В) и род g.

В общем случае, однако, доказательство использует трудные аналитические методы, и никакого алгебраического доказательства нам не известно, ср. следствие 7.5.10. Более слабые результаты имеются в § 4.8. □,

Упражнения 4.9—12.

Доказательство существования

В этом параграфе мы покажем, что всякое задание вида < (4.5.7) I (4.5.8) > действительно встречается в качестве канонического задания группы автоморфизмов плоской сети.

Теорема. Группа, абстрактно заданная образующими и определяющими соотношениями типов А или В из теоремы 4.5.6 и имеющая бесконечный порядок, реализуется в качестве плоской разрывной группы с компактной фундаментальной областью.

Конечные группы, обладающие заданием, указанным в теореме 4.5.6, таковы:

Группы типа А:

g = 0, q = 0, m =5 2;

g=0, 9 = 0, т = 3, А +А +А>1;

g = 0, 9 = 1, m = 1, mt = 1, ^- + ^- + -^— > 1;

g= 0, 9 = 1, тп = 0; mi = 3, J-+J- + ^->l;

g = 0, 9 = 1, 2m + mt^2.

Группы типа В:

g= 1, 9 = 0, m^ 1.

Группы (b) с порядками вращения (ht, h2, h3)—это хорошо- известные группы вращений платоновых тел:

(2, 2, 4)— группа диэдра,

(2, 3, 3)— группа тетраэдра,

(2, 3, 4)— группа октаэдра,

(2, 3, 5)— группа додекаэдра.

Эти группы разрывно действуют на сфере.

Доказательство. Примем пока без доказательства, что никакое собственное подслово определяющего соотношения не является само определяющим соотношением и что группы, не входящие в список (а) —(f), бесконечны. Докажем это позже 124

(лемма 4.7.4). Поставим в соответствие каждому элементу группы вершину и построим по одному ребру, выходящему из нее, для каждого из символов St, 571, Тэ, Ту1, U5, Uy\ V3, Vy1, Ек, Ey1, Ch t, отвечающих образующим. Ребро, помеченное символом X. ведет из вершины у в вершину у^-1, а обратное ребро, начинающееся в ух-1, помечено символом X-1. (Если Х = Ск]1, то положим X-1 = Ckt.^ Пусть С — полученный таким образом граф. Как и раньше, можно прослеживать слова из символов X, начиная с любой вершины, и в результате получать пути. Соотношение С^,31 соответствующее отражению, означает теперь проход по ребру туда и обратно. Исключим эти соотношения из последующих рассмотрении.

Далее, проследим каждое определяющее соотношение из каждой вершины. С каждым из полученных таким образом путей свяжем грань и 65 дем говорить, что путь обходит ее в положительном направлении. Обратный путь обходит ее в отрицательном направлении, и мы свяжем с ним грань, обратную первой. При этом отождествляются грани, связанные с путями, которые отличаются только на циклическую подстановку. Полученный таким образом комплекс обозначим через D.

Предложение. Каждое направленное ребро входит в граничные пути ровно двух граней и каждый из этих путей проходит по ребру ровно один раз.

Это ясно для образующих, которые входят в соотношения дважды (считая и вхождение обратных им элементов). Для образующих, входящих в степенные соотношения (4.5.8 а, с) это следует из того еще недоказанного утверждения, что собственные подслова соотношений не являются соотношениями. Действительно, пз этого утверждения следует, что путь, отвечающий степенному соотношению, не может несколько раз пройти по одному и тому же ребру. Поэтому данное ребро может входить не более одного раза в граничный путь грани, отвечающей одному пз таких соотношений. Граничный путь, включающий mgqm g q

в себя Ek. имеет вид П s. п г^, <7,1 П Ek, п st п Ч П^ либо EhChimh+1Ey ChA или обратный ему ChAEkCb,mh+1Ey1, что, с точностью до циклической перестановки, есть то же самое. □

Предложение. Для любой точки рёбра с началом, в этой точке образуют замкнутую звезду.

Соседними с символом X являются, по определению, символы, идущие в соотношениях вслед за X-1, или символы, обратные к символам, предшествующим X. У каждого символа, таким образом, имеется два соседних. Если написать их подряд, то получатся циклы (4.5.4) и (4.5.5) соответственно, в которые входят все символы X. □

Таким образом, канонический комплекс D является поверхностью. Поскольку каждый замкнутый путь представляет собой соотношение, а оно является произведением слов, сопряженных

к определяющим соотношениям, фундаментальная группа по верхности D тривиальна, поэтому D должна быть плоской сетью или сетью на сфере. Группа G действует на этой сети очевидным образом. Итак, теорема 4.7.1 доказана. О

Лемма. В бесконечной группе, заданной образующими и определяющими соотношениями из теоремы 4.5.6, никакое собственное подслово определяющего соотношения не является соотношением. Группы, не входящие в список (4.7.1 а — f), являются бесконечными.

Доказательство. Сначала покажем это для групп типа А без образующих (4.5.7 с, d) (т. е. без образующих, соответствующих отражениям). Пусть

G = <(\, . . ., Sm, iv uv ..., tg, Ug I <4 • . -, Smm, П Si П [<i^i]^>,

и пусть F — свободная группа с образующими S„ Т„ U,. Ядро канонического отображения F -► G состоит из соотношений. Разложим G в свободное произведение с объединенной подгруппой. В группе

<SpS2|Sl \ $г ) = О1 I S1 1>*<S2]S2 2>

элемент $i$2 имеет бесконечный порядок. Аналогично, в группе

<s3, ...,sm, tv Up ..., tg, ug | s^3, ..., s^m>

элемент s, ... sm JT f <1, ud имеет бесконечный порядок при g > 0 или m > 4. Поэтому G является свободным произведением групп <Sp 8г I Si \ S2 2> И <s3, . . ., Sm, tv uv ..., tg, Ug ] S3 3, . . . ..., sm m> с объединенной циклической подгруппой, порожденной элементами зд и ^s3 ... smJJ [£,, и,]^ соответственно. Исключение представляют случаи:

g = 0, m С 3;

m = 1, g > 0;

1 m = 0, g>0.

Таким образом, если G не представляет собой одного из исключительных случаев, из этого задания непосредственно видно, что никакое собственное подслово определяющего соотношения не отображается каноническим гомоморфизмом в единичный элемент сомножителя или объединяемой подгруппы.

Если g>l в случае (4.7.6), то G раскладывается в произведение

и утверждение доказывается аналогично предыдущему.

При g = 1 введем соотношения

“i = 1, «1 = <г2

и получим группу <AV ut | <ih‘, u?, <i 1u1t11UiX, которая является диэдральной группой из 4ht элементов. Никакое подслово определяющих соотношений не равно здесь 1, поэтому утверждение доказано и в этом случае.

В случае (4.7.7) утверждение опять-таки следует из подходящего разложения или является тривиальным (для g = 1). Поэтому нам нужно рассмотреть лишь случай (4.7.5). В этом . h. h2 h„

случае группа G имеет вид <sv s2, s3 | Si , s2 , s3 , s^s.,). Ona называется треугольной группой.

В зависимости от того, число ^—^ ^—Ь — больше, равно пли меньше 1, рассматривается треугольник с углами л//1и л//г2, л//г3 на сфере, плоскости или плоскости Лобачевского (рис. 4.7.1).Д

Производя многократные отражения относительно сторон а, Ь, с, мыь/~

получаем сеть на сфере, на плоско-/

сти или на плоскости Лобачевского.

Ассоциированная группа порождена //-"'"'”*

отражениями относительно ребер а, Ъ, с; эти отражения мы обозначаемРис. 4 7.1

через А, В, С соответственно. Композиции С А, АВ, ВС являются вращениями на углы 2л/й,, 2л//г2. 2л//г3 соответственно, и преобразование ^СА^АВ^ВС') является тождественным. Отображение s^ С A, s2-^AB, s^BC определяет, таким образом, гомоморфизм группы G в только что описанную группу. Если бы подслово соотношения само было бы соотношением, то его образ в новой группе был бы тождественным Преобразованием. Однако, как немедленно следует из геометрических рассмотрений, такого слова не существует.

Доказательство в случае групп G с обращающими ориентацию элементами оставлено читателю в качестве упражне- ■ия 4.13. Для доказательства надо рассмотреть подгруппу «сохраняющих ориентацию» элементов и доказать, что она является группой типа А без отражений. «Обращающими ориентацию» образующими являются с., и,. □

Построенный выше комплекс представляет собой так называемую плоскую групповую диаграмму, элементы группы представлены вершинами, образующие — ребрами (она, таким образом, представляет собой групповую диаграмму или диаграмму Кэли), а соотношения — гранями. Этот подход к теореме существования возник в обсуждениях с К. Райдемайстером и был впервые опубликован в статье [Цишанг 1966]. Альтернативный некомбинаторный подход изложен в § 7.3.

Упражнения 4.13, 14.

Об алгебраической структуре плоских групп

Используя представление плоских групп в виде свободного произведения с объединенной подгруппой, мы найдем в них все элементы конечного порядка и покажем, что группы, которые содержат обращающие ориентацию элементы, не изоморфны труппам, которые таких элементов не содержат.

Согласно теоремам 4.2.5 и 4.2.7 и лемме 4.2.4, элементы конечного порядка характеризуются тем, что имеют неподвижную вершину (это — вращения) или неподвижную прямую (это — отражения). Если вершина Р или ребро а остаются неподвижными при преобразовании Ъ е G, то Рх-1, ох-1 соответственно неподвижны при преобразовании а = xbx-1 для любого zeG. Если Р или о неподвижны при Ь, а Рх-' или ох-1 соответственно неподвижны при а, то xbx~l и а имеют общую неподвижную вершину или, соответственно, неподвижное ребро и, следовательно, являются степенями одного и того же элемента. Если центр вращения а не лежит на оси симметрии, то хах-1 имеет тот же центр вращения, что и а, только в том случае, когда преобразование х само является вращением с тем же центром; таким образом, х и а являются степенями одного и того же элемента и поэтому коммутируют. Следовательно, различные степени преобразования а не сопряжены друг другу. Если центр вращения а лежит на оси отражения с, так что а имеет вид сс0, где с0 — другое выбранное подходящим образом отражение, то а-1 = сос = с(сс0)с. Таким образом, а и а-1 сопряжены. Других возможностей для сопряженности не существует, поскольку возможный сопрягающий множитель отличается от с, самое большее, на вращение. Итак, нами доказана

Теорема, (а) Всякий элемент конечного порядка сопряжен некоторой степени элемента stck , или (ск1см+1').

Среди различных степеней элементов s, и (сМ-а, ?+<) сопряженными являются только элементы (с*,А, я-i)” и (cft А >н)~а, и никакое вращение не сопряжено отражению ск ,.

Если преобразование коммутирует с элементом конечного порядка, но они не являются степенями одного и того же элемента, то одно из них есть отражение.

Свободная от кручения плоская разрывная группа является фундаментальной группой некоторой поверхности. □

Замечание. Если число hk., нечетно и равно 2п+1, то. поскольку (с* ,ск 1+1уск 3(сА ,_tck })пс„ ,+1 = 1, элементы ск , и ck-3^i сопряжены.

Утверждение (с) можно существенно уточнить. Если предположить, что отражений вовсе нет, то, в общем случае, два элемента будут коммутировать, только если они являются степенями одного и того же элемента. Исключения представляют небольшое число групп таких, как фундаментальные группы тора и бутылки Кляйна. Доказательство этого и отыскание исключительных случаев остается в качестве упражнения 4.15.

Теорема. Плоские группы, состоящие из сохраняющих ориентацию преобразований, не изоморфны плоским группам, содержащим элементы, обращающие ориентацию.

Доказательство. При первоначальном рассмотрении исключим следующие группы:

) Группы, все элементы которых сохраняют ориентацию, с g = 0.

(4.8 4) Группы с отражениями, для которых g = 0 и 9=1.

Если мы профакторизуем по подгруппе, порожденной элементами конечного порядка, то, в силу теоремы 4.8.1, получим фундаментальные группы замкнутых поверхностей рода, большего 0. в случае плоских групп, все элементы которых сохраняют ориентацию, и фундаментальные группы неориентируемых поверхностей или нетривиальные свободные группы в случае групп, которые содержат обращающие ориентацию преобразования. Поскольку такая факторизация в случаях типа (4.8.3) и (4 8.4) приводит к тривиальной группе, остается лишь различить группы в этих двух исключительных случаях. В случае (4.8.3) мы имеем

(4.8.3 ) C^i, $2> • • •, §т | 8Х , . . ., sm m, 3^2 . . . sm>,

а группы в случае (4.8.4) имеют вид

(4.8.4') <s1; . . ., sm>, cv .. ., cr,+1, е| Sx \ . . ., sm,m , с], . . ., с?-+1,

(С1С2)Л1,1, .. ., (cr,cr^i)'‘'1’r', cxecr,+1e-\ sx . . . sm,e">.

Если в случае (4.8.4') г > 0, то имеются элементы порядка 2, которые не являются степенями одного и того же элемента и произведение которых имеет конечный порядок. Для групп (4.8.3') это верно лишь прп тп = 3, как это видно из разложения в свободное произведение с объединенной подгруппой (см доказательство леммы 4.7.4).

Если г' = 0, то с, и е коммутируют, и поэтому, в силу теоремы 4.8.1, они должны быть степенями одного и того же эле- 'мента в случае, если мы имеем дело с группой вида (4.8.3'). .В случае тп' ^ 1, элемент е не тривиален и не равен элементу ^ь как это видно из факторизации по с,. Однако с, является

X Цишанг и др129

только своей степенью. Если г' и т' равны нулю, то группа конечна. Таким образом, остается лишь сравнить группы (4.8.3') при т = 3 с группами (4.8.4') при г' > 0.

Классификацию элементов конечного порядка в соответствии с наличием у них тех или иных неподвижных точек (теорема 4.8.1) можно выразить алгебраически. А именно, два элемента конечного порядка принадлежат одному «классу», если некоторые сопряженные им элементы являются степенями одного и того же элемента. Для групп типа 4.8.3' количество таких классов равно т, для групп типа 4.8.4' оно не меньше, чем т' + г' + 1.

Количество этих классов и «максимальный» порядок элементов одного класса являются алгебраическими инвариантами. Нас интересует случай, когда т = 3, а рассматриваемой группе типа (4.8.4') соответствуют такие числа т', г', что т' + г' + + 1 С 3, г' > 0. Имеются три случая:

т' = 0, г' = 1. Группа конечна (=Z2)-

т'=0, г' = 2. Группа конечна (группа диэдра).

т' = 1, г' = 1. Подлежащие сравнению группы имеют

(4.8.3 ) <Si, S2, S3 | 51, S2 , 5g \ SiS2Sj),

(4.8.4")<s, си с2, е | с?, с^ s~Hi, <схсуНг, с^е-1, se).

При помощи преобразований Титце мы приводим их к виду (4.8.3"')<sx, s21 Si\ s2 (s1s2)~,13>,

(4.8.4"')<s, с I c2, s^i, (cs-’cs)-®2).

Поскольку мы можем определить максимальный порядок элементов в каждом классе, и для групп (4.8.3") они равны йи h2, й3, а для групп (4.8.4") они равны 2, Н2, Н2, то без потери общности можно считать, что ht = 2, h2 = Ht и h3 = Нг. Группа (4.8.4'") содержит нормальную подгруппу индекса 2, а именно, подгруппу элементов, сохраняющих ориентацию. Она обладает заданием

(4.8.4IV)(к, w | к®1, w®1, (pip)”2).

Подгруппа индекса 2 в группах типа (4.8.3"') однозначно определяется как ядро гомоморфизма на Z2. Такой гомоморфизм определен образами в Z2 элементов Si и s2. При отображении группы (4.8.4) на Z2 по крайней мере один элемент порядка 2 должен отображаться в —1. Поскольку для группы (4.8.3'") числа h2 и h3 оба больше, чем 2 (иначе мы получили бы группу диэдра), то, по существу, имеет смысл рассматривать только два гомоморфизма, а именно:

«! -♦ — 1, s2 ►-> + 1 и $i >-» — 1, s2 — 1.

В первом случае должно быть четным число Л3 = Н2, а во вто-

ром — чпсло h2 = Н,. Если мы вычислим эти подгруппы, то получим соответственно задания

О, у | х\ ун\ (ху)н^) и (х, у | хн\ ун\ WW-

Но ни одна из этих групп не изоморфна группе (4.8.4IV), значит, и в этом случае группы (4.8.3') и (4.8.4') различны. □

Следствие. Подгруппа сохраняющих ориентацию элементов плоской группы является характеристической). □

§ 4.9. Проблемы тождества и сопряженности

Теперь мы опишем принадлежащий М. Дену метод решения проблем тождества и сопряженности.

Теорема. Пусть Е—такая плоская сеть, что из каждой ее вершины выходит р > 6 ребер, и пусть В — диск в Е. Тогда имеет место один из следующих случаев:

дВ является граничным путем некоторой грани сети Е ).

дВ содержит такие не налегающие друг на друга связные подпути, что один из них есть граничный путь грани, из которого, может быть, выброшено одно ребро, а другой есть граничный путь грани, из которого выброшено не более двух ребер.

дВ содержит по меньшей мере три таких не налегающих друг на друга связных подпути, что они являются граничными путями граней, из каждого из которых удалено не более двух ребер.

Если р^Ч и ни (а) ни (с) не имеют места, то дВ содержит два не налегающих связных подпути, каждый из которых представляет собой граничный путь грани, из которого выброшено одно ребро. В этом случае В есть цепь, т. е. В состоит из цепочки граней ф<7 ..., срг, где Ар, Л Ap1+l (l^i<g), состоит из одного ребра и 5ф, Л Ар, = 0, если |i — / I > 1.

Доказательство. Пусть фь ..., фя — геометрические гра- ви диска В, к, — количество геометрических ребер пути дф„ лежащих внутри В, a Z, — количество ребер, лежащих в дВ. Пусть / и е — числа геометрических ребер и вершин диска В Соответственно.

^ Эйлерова характеристика диска равна 1, поэтому

О)e-/ + g=l.

Количество вершин внутри В равно е — ^l/, кроме того,

/ = т2 Ь +

Поскольку из каждой внутренней вершины выходит р ребер, у из каждой граничной вершины — по крайней мере по два ребра,

то мы получаем

/>т(е-2^) + 2^

отсюда, в силу (2),

т(е-2 ^с42*ь

и, в силу (1),

4 ^ + /-^-2 ^42^-

Так как / — ^ Zt = 4 ^ ^'ь т0 П0ЛУчаем окончательно

pte-1)^(4-1) 2

Если g=l, то имеет место случай (а). В противном случае g>l и fc,> 1 при всех i. Если два числа к,> 1, а остальные числа к, > 2, то 2p(g—1)^(р — 2) (3(g—2)+4),

поэтому 6g > pg + 4, что невозможно, поскольку р > 6.

Мы получаем то же неравенство, если, самое большее, одно из чисел к% не превосходит 2. Поэтому всегда найдутся два числа к„ не превосходящие 2. Если ровно два числа kt не превосходят 2, то одно из них равно 1. Если р ^ 7, то оба числа к, равны 1, так как если бы одно из них равнялось 2, то мы получили бы P(g-l)^(4-l)(3(g-2) + 3),

нз чего бы следовало, что р С 6. В этом случае по индукции доказывается, что D есть цепь (см. формулировку теоремы). Если ни одно из чисел к. не равно 1, то по меньшей мере три числа к, равны 2. Поэтому, если D не является гранью, 9D либо содержит два граничных пути граней, в одном из которых недостает ребра, а в другом, возможно,— двух, либо содержит три граничных пути, в каждом из которых недостает, самое большее, двух ребер. Если часть границы грани ф, с к. = 2, лежащая в 8D, не связна, то внутри D найдется ребро с концами на границе. Это ребро делит D на два диска. Вновь применим то же рассуждение к каждой компоненте и найдем «большие» подпути в граничных путях граней. Но лишь один из этих подпутей содержит разделяющее ребро, поэтому по индукции отсюда следует, что мы можем найти связные граничные подпути желаемой длины. Их можно выбрать непересекающимися, поскольку не больше

одной грани диска D содержит данное граничное ребро диска D, а граничные подпути принадлежат различным граням диска D. □

В дальнейших рассуждениях мы будем считать, что плоская разрывная группа G задана по меньшей мере тремя каноническими образующими п все определяющие соотношения имеют длину, не меньшую пяти. (В частности, отсутствуют отражения.) Образующие группы G будут обозначаться через h^ .... hn, a Ни ..., Яп будут считаться свободными образующими. Каждый элемент x^G можно представить словом ИДЯ) (т. е. ИД/г) = = ж) и можно считать также — рассматривая определяющие соотношения как циклические слова и позволяя переходить к обратным словам,— что:

(4.9.2а) Слово W(Я) является редуцированным.

(4.9.2b) Слово W (Я) не содержит более половины никакого определяющего соотношения.

Аналогично, мы можем выбрать слова — представители классов сопряженности со следующими свойствами:

(4.9.3а) Слово ИДЯ) является циклически редуцированным.

(4.9.3b) Будучи рассмотренным как циклическое слово, W(Я) не содержит более половины никакого определяющего соотношения.

Теорема. Пусть G — плоская разрывная группа, у которой по меньшей мере 3 образующих и все соотношения которой имеют длину, не меньшую пяти. Пусть и и и — элементы группы G, представленные словами U и V. Тогда и и и равны в G тогда и только тогда, когда мы можем редуцировать слово U-1V к пустому слову, заменяя подслова определяющих соотношений их более короткими дополнениями и сокращая соседние взаимно обратные символы.

Доказательство. Как п в доказательстве теоремы 4.7.1, построим плоскую сеть, вершины которой соответствуют элементам группы, направленные ребра с началом в каждой вершине соответствуют образующим п их обратным, а граничные пути граней соответствуют определяющим соотношениям. Тогда слово равно 1, как элемент группы, тогда и только тогда, когда оно соответствует замкнутому пути в этой сети. После удаления шипов этот путь будет содержать простои замкнутый подпуть (иначе он тривиален). Поскольку G имеет по крайней мере три образующих и ни одна пз них не является отражением, мы можем применить теорему 4.9.1 и найти по крайней мере один подпуть, который является соотношением не более чем без двух символов. Поскольку длина соотношений ^5, это подсоотношенпе длиннее своего дополнения. □

Теорема. Пусть G— плоская разрывная группа по Меньшей мере с четырьмя образующими, и пусть длины всех определяющих соотношений не меньше 8. Пусть и и v — сопря-

женные элементы группы G, записанные словами U и V с соблюдением условий (4.9.3 а, Ь). Тогда некоторая циклическая перестановка а(V) слова V совпадает с U либо с h~*Uhe для некоторой образующей h группы G, е = ±1.

Доказательство. Так как U и F сопряжены, то найдется слово W^Щ с Z7-,IFFIF-1(/i)= 1, удовлетворяющее условиям (4.9.2 а, Ь). Если равенство LMWVW~ltH^ = 1 уже имеет место в свободной группе, то U и V получаются друг из друга при помощи циклической перестановки. В противном случае применим теорему 4.9.1 и найдем в U^WVW-1 «большие» куски определяющих соотношений. Если W = 1, то доказывать нечего. Кроме того, U-1WVW-1 не может быть определяющим соотношением, так как в этом случае Z(W)=1 и Z(Z7) или Z(F)=1, но из этого следует, что V или U, соответственно, не удовлетворяют условию (4.9.2b).

Допустим сперва, что путь U~lWVW-t не является границей цепп пли набора цепей. Тогда он содержит по крайней мере три «больших» куска определяющего соотношения, см. теорему 4.9.1. Поскольку ни один из них не содержится в U, V или W, то, следовательно, может быть, после смены обозначений два из них содержат части слова V и один из них — слова U. Пусть WtVt и V^W^1—редуцированные слова, где W\ есть конец слова W, F, и У2 представляют собой начало и конец слова V, a Wg1 — начало слова IV-1. Если Z(TVt), l(W2)^2, то положение фрагментов Wu Wg1 в определяющем соотношении восстанавливается однозначно. Из этого следует, что первый символ слова V является обратным к последнему, что противоречит условию (4.9.3а). Если Z(PF1)=1, то Ft равняется определяющему соотношению R не более, чем без двух букв; поэтому Z(F,)+3>Z(fl), Z(fl)>8, и, таким образом,

l(V ^>1(^/2,

в противоречие с (4.9.3b).

Поэтому можно считать, что U-tWVW-1 является границей цепи или набора цепей и содержит два дизъюнктных редуцированных подслова, дающих в объединении определяющее соотношение без одной буквы. Если оба они пересекаются с U и V, то W состоит лишь из одной буквы; это один из перечисленных в теореме случаев. В противном случае можно считать, что l(W)^2 и что одна из «больших» частей соотношения содержится в WV. Из этого, как и прежде, следует, что вторая большая часть не содержится в VW-1, таким образом, она содержится в V~W или в И^-^-1. Опять запишем первое большое подслово в виде W^F,; здесь Z(W1), Z(F,)^3. Заменим Wt словом XFf1, где WtVtX-1 есть определяющее соотношение с ЦХ)^ 1. Если W = W0Wtl F = VtVo, то мы получаем

iZ^.^XFr^F^.F.X-1^-1 =

Таким образом, после циклической перестановки слова Г мы сможем найти более короткий сопрягающий множитель И70Х. Второе «большое» подслово соотношения не меняется. Эту процедуру, требующую лишь циклических перестановок слова V, можно продолжать до тех пор, пока все «большие» подслова определяющих соотношений не будут пересекать как Z7, так и V. Как мы уже видели, сопрягающий множитель W либо тривиален, либо имеет длину 1. □

Приведенное выше решение проблем тождества и сопряженности было изложено впервые в работах Дена [Dehn 1912. 1912'] для случая фундаментальных групп ориентируемых поверхностей, и в книге Райдемайстера [Reidemeister 1932] —в той же общности, что и выше. Наш подход близок к подходу работ Линдона [Lyndon 1966] и Шуппа [Schupp 1968]. Обе проблемы — и тождества, и сопряженности — решаются при помощи многократного замещения «длинной» части определяющего соотношения короткой дополнительной частью. Возникает вопрос: при каких условиях на группу возможен такой метод решения? Этот вопрос рассматривается в так называемой теории малых сокращений; описание ее результатов и список литературы см. в книге Линдона и Шуппа [Lyndon — Schupp 1977], глава 5. В статье Ци- шанга [Zieschang 1965', § 3], при помощи рассмотрений, близких к использованным в предыдущих доказательствах, но более подробных, были найдены слова, реализующие элементы и классы сопряженности группы G.

Возможен другой подход к проблемам тождества и сопряженности, использующий разложение в свободное произведение с объединенной подгруппой из доказательства леммы 4.7.5. Мы воспользуемся им в § 5.14.

Группы поверхностей как подгруппы конечного индекса

Подгруппы плоских разрывных групп сами являются плоскими разрывными группами. Мы уже знаем, что плоские группы без элементов конечного порядка являются фундаментальными группами поверхностей. В этом параграфе будет доказана

Теорема. Всякая плоская разрывная группа содержит группу поверхности в качестве подгруппы конечного индекса.

Теорему 4.10.1 сформулировал в качестве гипотезы Фенхель, впервые она была доказана в работах Бундгора и Нильсена [Bundgaard — Nielsen 1951] и Фокса [Рох 1952]. Приведенное ниже доказательство было предложено А. М. Макбетом. Другое доказательство, использующее матрицы третьего порядка, имеется в работах Меннике [Mennicke 1967, 1968]. Случай треугольных групп см. в статье Фойера [Feuer 1971]. Этот результат является специальным случаем леммы Сельберга, см. [Selberg 1960].

Для доказательства этой теоремы нам потребуется несколько фактов из теории конечных полей (полей Галуа) (ср., например, ван дер Варден [van der Waerden 1955, § 40]). В конечном поле GF(q) из q элементов целочисленные кратные единицы поля образуют поле — простое поле Р. Действительно, целочисленные кратные элемента 1 образуют гомоморфный образ кольца Z целых чисел. Поэтому кольцо целочисленных кратных элемента 1 изоморфно Z/(p), где р — наименьшее натуральное число, для которого р-1 = 0 в GF^. Поскольку поле GF (q) не имеет делителей нуля, то р— простое число; значит, Z/(p)— поле. Следовательно, Р изоморфно полю классов вычетов целых чисел по модулю р. Если «1, ..., а™ образуют базис векторного пространства GF^q) над Р, то q = рт.

Поскольку порядок мультипликативной группы равен q — 1, каждый элемент xeGF(q') удовлетворяет уравнению хя — х = 0. Следовательно, все элементы поля являются корнями уравнения Xя — X = 0, а соображения степени показывают, что Хч — X = = П (X — у"). Таким образом, GF(q) получается из Р при- y£GF(g)

соединением всех корней многочлена Xя — X, и имеет место

Предложение. Все конечные поля из q элементов изоморфны. □

Существование поля GF(pm) следует из того, что производная многочлена Х1 — X равна ртХр — 1 и, тем самым, всегда равна —1, поскольку pm = 0(modp). Поэтому все корни многочлена Хр — X, присоединяемые к полю классов вычетов по модулю р, попарно различны. С другой стороны, они уже образуют поле, поскольку

(х-уУт = х»т- у»т = х-у И (х/уут = хРт/уРт = х!у

(для любых X И у С Хрт = х, ур = у).

Предложение. Для каждой степени рт простого числа существует ровно одно поле из рт элементов. □

Для всех элементов х, не равных 0, мы имеем хч~1 — 1 = 0. Поэтому мультипликативную группу G можно записать в виде

G = Z^ Ф Zd2 ф .. . ф Zdn,

где число d, делит числа d,+t и q — 1, причем мы считаем, что 1<йь Если п>1, то в Z^ Ф Z<z2 имеется dl элементов, удовлетворяющих уравнению xdl+1 = х*\ Но это означает, что di ^ dt + 1 ), т. е. d, = 1. Итак, имеет место

’ 4.10.4. Предложение. G является циклической группой Порядка q — 1. □

Предложение. Пусть р— простое число >2. Тогда при m^ 1 квадратное уравнение X2 + г У2 + $ = 0 имеет решения с GF(pm) ).

Действительно, в GF^pm') имеется ровно (рт+1)/2 элементов вида х2. Если каждый ifa них подставить вместо X2, то мы получим (р”*+1)/2 выражений для У2, поэтому одно из них должно быть квадратом. Таким образом, уравнение Х2 + гУ2 + « = 0 всегда имеет решения. □

Группа SLF(2, q) специальных дробно-линейных преобразований над GF(q) определяется как множество функций и? = ^+"5’ где а<^ — Ьс = 1 и а, Ъ, с, de GF(q). Каждый ее элемент представляется матрицей А = ^ ^. Нас интересуют порядки дробно-линейных преобразований. Собственное число X матрицы А удовлетворяет уравнению X2 — (а + d)X + 1 = 0. Если а + дч^ ±2, то мы получаем два различных решения: X и 1/Х. Поэтому в общем случае существует такое преобразование Те eSLF(2, q2), что ТАТ-Х = ^ ^j. Преобразованием, соответствующим последней матрице, является w = \2a, и порядок этого преобразования равен порядку элемента X2. Если X (а значит и 1/Х) лежит в GE(pm), то порядок матрицы А делит число (рт—1)/2. Если X не лежит в GF^p™), то X лежит в поле GF(p2m), которое является расширением степени 2 поля GF(pm). Группа автоморфизмов поля GF(pm) состоит из отображений х-^х1* для fc = 0, 1, ..., т — 1. Они оставляют неподвижными элементы поля GF^py Автоморфизм х^з? поля GF^p2m^ является тождественным на GF(pm), но он не является тождественным на GF(р2т). Если мы применим этот автоморфизм к уравнению X2 — (а + d)X + 1 = 0, то мы получим (Хр )2 — (a+d)Xp + + 1 = 0. Таким образом, X и Хр совпадают с (различными) решениями X и 1/Х. Итак, нами доказана:

Лемма. При а + d^2 порядок матрицы А делит одно из чисел (рт — 1)/2 и (р”* + 1)/2. □

Лемма. Если число d делит одно из чисел ^рт—\^/2 и (рт + 1)/2, го существует элемент группы SLF(2, pm), имеющий порядок d.

Доказательство. Действительно, если d делит (р™ — 1)/2, то существует элемент X^GF (рт) порядка 2d. Но тогда преобразование ^^ X ^ имеет заданный порядок d. Если же d

делит (pm+l)/2, то мы возьмем в GF^ргт^ элемент X, имеющий порядок 2d. Тогда Xpm = -£-, так что X + -^- е GF (рту, следовательно, и в этом случае преобразование ^+ х ^eSLF ^2, рт) имеет порядок d. □«

Доказательство теоремы 4.10.1.

1-й случай. Пусть G — плоская группа вида

<t, и, р | Г\ и~т, у", tuv>.

Будем искать подходящее число q = р\ для которого имеется гомоморфизм <р: G SLF(2, q), отображающий элементы t, и, и в элементы порядков Z, т, п соответственно. Таким образом, мы будем искать элементы t', и' ^ SLF(2, q) с o(t') = Z, о(м')=?п и o(t'u') = п, где о (ж) обозначает порядок элемента х.

Выберем р так, чтобы (р, 2lmn')=L Затем найдем число к со следующим свойством: Z, т и га делят (рк — 1)/2. Нам нужно лишь найти такое число к, что выполняется сравнение р* — 1 = = 0 (mod 2Zmra); напомним, что р взаимно просто с а — 21тп. Вычеты по модулю а взаимно простые с а, образуют конечную группу по умножению, а р представляет некоторый элемент этой группы. Если порядок этого элемента равен к, то рк=1(тойа), и наш поиск закончен.

Таким образом, мы нашли элементы X, р, v группы GF (рк>) порядков 2Z, 2пг, 2га. Если мы положим а = X +—, 0 = р + —, у = v + —, то, как мы знаем, элементы группы SLF(pk) со следами, равными а, 0, у, будут иметь порядки Z, т, п соответственно.

Положим t' = ^_^ ^ и будем искать и' = ^ ^ порядка т. Тогда должны выполняться равенства

x+u? = p, wx — yz = l.

Поскольку элемент t'u' должен иметь порядок га, мы получаем дополнительные уравнения

z — у + au? = y, — y(z + aw) + w^x+ay^ 1.

Последнее уравнение является следствием уравнения xw — yz = = 1, поэтому наша система условий состоит только из трех уравнений, и разрешимость этой системы вытекает из разрешимости квадратных уравнений (см. предложение 4.10.5). Следовательно, существование описанного гомоморфизма ф установлено.

Никакая степень элементов t, и, v, отличная от 1, не лежит в ядре, и, поскольку элементы конечного порядка в группе G сопряжены степеням элементов t, и, v, ядро не содержит элементов конечного порядка. Оно не тривиально, поскольку группа G 138

бесконечна, в то время как группа SLF(2, 7) конечна, и оно имеет конечный индекс).

2-й случай. Пусть G—плоская разрывная группа. Поскольку каждая плоская группа содержит подгруппу конечного индекса, состоящую только из элементов, сохраняющих ориентацию, мы можем считать, что G имеет вид

<^ч, . .., sm, tvuv . .tg, ug\st \fi $- П 1Л, “=]^>.

Мы уже доказали теорему 4.10.1 для g = 0 и т = 3. Предположим, что т 5$ 3. Как и ранее, выберем р и к так, чтобы (р, 2hi... hm) = 1 и рк — 1 = 0 (mod 2ht... hm). Затем возьмем в SLF(2, р1") такие элементы s3, s4, ..., sm, . . ., ug, tg, что s, имеет порядок к. и элемент л = 4 • • • sm П IX, UJ не равен 1. Так же, как в предыдущем доказательстве, найдем в SLF{2.pk) такие элементы s4 п s2, имеющие порядки 1ц и й2 соответственно, что s4s2 имеет одинаковый с л""1 след. Тогда л-1 сопряжен с s^i, поэтому хз^х-'л = 1 при некотором ж или, другпмп словами, ^s^r-1-ars^-^n = 1. Если мы положим s4 = .rs^-1, s2 = = -rs^-1, то, отображая символы без штрихов в символы со штрихами, получим гомоморфизм группы G в SLF{2, р1^, обладающий теми же свойствами, что и в случае (1)).

Еслп т = 2 и g > 0 (g = 0 означает, что группа G конечна и теорема тривиальна), то мы гомоморфно отобразим G на группу

Н = <s1, s2, t, и | s?1, s2z, sisztut-1u”1>.

Определим гомоморфизм Н->/2, полагая Sj^l, s2 >-» 1, t>-*l и — 1 (здесь Z2 = {1, — 1}). Его ядро обладает заданием

<81, S2, S?, S2, X, У Is?1, S^1, в?2, S^, S1S2s'YS1TyX-1y-1').

Для этой группы m = 4. Таким образом, у нас есть подгруппа U конечного индекса в Н, не содержащая элементов конечного порядка. Но тогда и прообраз группы U в G имеет конечный индекс. Он не содержит элементов конечного порядка, поскольку ядро гомоморфизма G-+H не содержит элементов конечного порядка.

Если т = 1, применим эту конструкцию дважды, а если ш = 0, теорема тривиальна. □

Замечание. Теорема 4.10.1 тривиальна в случае групп, действующих на сфере. Они конечны и потому фундаментальная группа сферы является их подгруппой конечного индекса.

По поводу индекса подгруппы см. 4.14.27—28.

Если вспомнить, что пересечение двух подгрупп конечного индекса также является подгруппой конечного индекса и что имеется лишь конечное число подгрупп с заданным индексом (поскольку наши группы конечно порождены)), то ясно, что пересечение всех подгрупп — групп поверхностей одного и того же индекса является характеристической подгруппой конечного индекса. Отсюда:

Следствие. Всякая плоская разрывная группа с компактной фундаментальной областью содержит группу замкнутой ориентируемой поверхности в качестве характеристической подгруппы конечного индекса. □

Возможные индексы подгрупп, изоморфных группам поверхности, в плоских разрывных группах найдены в работе Эдмондса, Эвинга и Кулкарни [Edmonds — Ewing — Kulkarni 1982'].

О плоских группах

с некомпактной фундаментальной областью

В этом параграфе некоторые результаты, имеющиеся в литературе, мы излагаем без доказательств, но сопровождая указаниями относительно того, как их можно было бы доказать, следуя плану, который был реализован в предшествующей части главы для компактного случая.

Пусть, как и раньше, группа G действует на плоской сети Е. Тогда G имеет фундаментальную область F, т. е. связный подкомплекс сети Е, содержащий ровно по одному представителю из каждого класса эквивалентных граней. Сеть Е покрыта образами области F под действием группы G, и два образа Fx и Fy при х Ф у не имеют ни одной общей грани. Будем называть области Fx и Fy (х5^ у) соседними, если у них есть по крайней мере одно общее граничное ребро. (Если у них есть лишь общая граничная вершина, соседями они не называются.) Ограничимся случаем, когда область F имеет лишь конечное число соседей. При помощи теоремы Жордана о кривой 4.1.2, теоремы Зайферта — ван Кампена" 2.8.2 и теоремы Грушко 2.9.1 легко доказывается

Предложение. Для группы G автоморфизмов плоской сети эквивалентны следующие два утверждения;

G конечно порождена.

G имеет фундаментальную область F лишь с конечным числом соседей. □

Доказательство этого утверждения становится более сложным, еслп действие происходит не на комплексе, см. [Marden 1967]. Если G имеет фундаментальную область с конечным числом соседей, то, действуя, как в § 4.3, можно найти нормальную форму. Опишем один из способов сведения к компактному случаю. Рассмотрим факторповерхность Е/G, Можно доказать, что на "E/G

имеется конечное число простых замкнутых кривых у,, ..., f„, разбивающих факторповерхность на связные поверхности So, Sb ..., Sn, из которых каждая поверхность S„ 1 С i С п, имеет внутренность, гомеоморфную цилиндру, и одну замкнутую компоненту края (кроме того, могут быть и незамкнутые компоненты), a So является компактной поверхностью. Кроме того,

(0, если 1^г</^и,

51 П ^ = (Yj, если i = О, 1</<п.

Образы вершин, неподвижных при некотором преобразовании ж =/= 1 и не лежащих на прямой, все вершины которой были бы неподвижны при х (т. е. на оси отражения), содержатся внутри

So (они представляют собой центры «вращения»). Общая схема факторповерхности изображена на рисунке 4.11.1.

Здесь отмеченные точки соответствуют центрам вращения, а жирные линии — осям отражения. Отмеченные точки на жирных линиях обозначают центры вращений, являющихся композицией двух отражений из G. Количество отмеченных точек и жирных линий конечно.

Поверхность So вместе с отмеченными на ней точками и жирными линиями, как и раньше, задает группу, причем кривые f и • •., fn задают дополнительные свободные образующие, которые встречаются только в «длинном» соотношении. Подповерхности Si, 1 С i Сп, с тем, что на них отмечено, дают дополнительные образующие (если имеются жирные линии) и соотношения. Ниже приводится полная система образующих и определяющих Соотношений. Здесь образующие (4.11.3 с, f) и определяющие соотношения (4.11.4 d, f) относятся к «дырам».

Образующие:

$,, г = 1, ..., т, _ (b, +) tk, ик, к = 1, ..., g, ' (Ь, -) ик1 к = 1, ..., g.

е„ 7 = 1, ..., г (здесь г-г2 —г3>0, если фундаментальная область не компактна),

с„/ = и + 1, ..., г, + г2,

с,„/= г, + г2 + 1, ..., rt + r2+r3,р = 1,...,^+ 1,

с^в,/ = г, + г2 + гз+1, .... г, р =1, ..., к„

9 = 1, ..., т».

Определяющие соотношения:

s^ = 1,j= 1, ..., т, й, ^ 2,

с} = 1,/= ^ +1,...,^ + ^,

сг)Р = 1,j= гг +г2 + 1, ..., гг + г2+ г3,

р =1, .. ., т, + 1, (d)c,2pg=l,7 = ^ + r2+г34-1, ...,г, р = 1, ..., кр

9=1, ...,7П,р,

(cjpCj р+1ЛР= 1, / = гх + г2 + 1, ..., гх + г2 + г3,

р=1, , ..,nip hjp^2, тп,^1,

(CjpgCj.p.g+i)^8 = 1, 7 = rx + r2 + r3 + 1, ..., г; p = l, .. ., kp 9=1, ..., m.jP — 1; к,^ 1, т5р ^ 1,

CjejC^J1 = 1,/ = ^ + 1,...,^ + ^,

cnejCj.m^e;1 = 1, / = rx + r2 + 1, ..., ^ + r2 + r3,

(i. +) П^П^Й [^, «ft] = 1,

(i, -) П ^ П <У П 4 = 1-

Здесь строчки (b, +) и (i, +) или (b, —) и (i, —) входят или не входят в систему вместе. Знаком «+» отмечен случай, когда поверхность Е/G ориентируема, знаком «—» — когда она неориентируема.

Теорема. G обладает каноническим заданием <(4.11.3)1 (4.11.4) >. □

Мы оставляем доказательство этой теоремы читателю. Алгебраическая структура таких групп была описана в работах Макбета и Хора [Macbeath — Hoare 1976] и Цишанга [Zieschang 1976]. Из геометрической интерпретации образующих и используемых чисел m, g, ... ясно, что задания с существенно различными числами описывают неэквивалентные действия групп. Конечно, можно переставить порядки й„ так же как и системы (Л31, ... ..., him.) или (йдп hjl2, ..., hjk.m у Другой вопрос — классификация с точностью до (алгебраического) изоморфизма. Из задания 4.11.5 становится ясно, что эта группа является свободным произведением циклических групп и групп, порожденных отражениями, которые связаны вращениями (длинные связующие со- 142

отношения (4.11.41) можно отбросить). Следовательно, классификацию можно произвести при помощи перехода к разложению в свободное произведение неразложимых сомножителей, которые определены однозначно с точностью до изоморфизма и перестановки, см. теорему 2.3.14.

Упражнение: 4.16.

О разложениях плоских разрывных групп

Разложение плоской разрывной группы в свободные произведения, упомянутое в конце предыдущего параграфа, не соответствует «геометрическому разложению действия». Но разложения в свободные произведения с объединенными подгруппами, которые мы использовали в §§ 4.7, 8, допускают его геометрическую интерпретацию. Подгруппа, общая для обоих сомножителей, соответствует простой замкнутой кривой ^ на факторповерх- ности EyG и состоит из гомотопического класса этой кривой и его степеней. Кривая ^ разбивает поверхность Е/G на части, определяющие сомножители. Все нетривиальные разложения в свободное произведение с бесконечной циклической объединенной подгруппой получаются таким образом. Ради простоты формулировки ограничимся случаем плоских разрывных групп с компактной фундаментальной областью, все элементы которых сохраняют ориентацию.

Теорема. Пусть

G = <^Sp ..., sm, tv uv ..., tg, Ug I Si* , ft Si П Rr “jl^-

и допустим, что G = G_1*AG1, где Z = A =/= Gi; i = ± 1.

Тогда у G существует такая система образующих и определяющих соотношений, что

G{ = ^^Ь $ц, . . •> Stm(i), ^ii, uil, • • •, ^ig(i), uigW |

. m(i) g(i)\

s4, ^i П Si, П [<U, “i,Iy

при i = — 1, 1. Отождествляющим соотношением является х-^ху1; элемент х, порождает группу А.

На факторповерхности Е/G элемент х. реализуется простой замкнутой кривой ^, которая не проходит через образы центров вращения и разбивает Е/G на две факторповерхности.

Теорема 2.8.2 Зайферта — ван Кампена дает по разложению факторповерхности Е/G разложение G = G_i*aGp

Кроме того, что формулировка теоремы 4.12.1 несколько расплывчата, мы еще и не можем привести полного ее доказательства, основанного на развитой к настоящему моменту теории. Имеется два способа ее доказательства: один из них использует

143

для доказательства пункта (а) обобщенный метод Нильсена и теорему статьи Цишанга [Zieschang 1970], сформулированную в § 2.10. Пункт (Ь) тогда следует из теоремы Дена — Нильсена 3.3.11 и теоремы Бэра 5.11.1. Этот способ доказательства можно обобщить на случай произвольных конечно порожденных плоских разрывных групп и даже на случай свободных произведений с произвольными объединенными подгруппами (см. [Цишанг 1980]). Это — неприятное комбинаторное доказательство. В работе Хендрикса и Шастри [Hendriks — Shastri 1979] приведено приятное топологическое доказательство этой теоремы для случая поверхностей. Мы обобщим их доказательство на вышеуказанный случай. К сожалению, мы вынуждены будем использовать некоторые результаты из алгебраической топологии, например, результаты из теории препятствий и результаты нз гл. 5. Таким образом, доказательство останется схематичным.

Доказательство. Пусть pv . . ., рт^ E/G — образы центров вращения. Пусть Dv ...,Dm— такие попарно непересекаю- щиеся диски, что px^Dv Удалим внутренность каждого диска Di и приклеим к его краю край другого диска D, при помощи отображения степени А,. (Если мы параметризуем края дисков D, и Di комплексными числами, равными по модулю 1, то приклеивающее отображение задается функцией z^z71'.) Мы получим топологическое пространство М, которое выглядит, как многообразие всюду, кроме точек, принадлежащих dDt. Фундаментальная группа пространства М изоморфна группе G.

Пусть X, — пространство типа K(G., 1), т. е. клеточное пространство с nt(X,) = G, и л,(Х,) = 0 при /^2. Вложения А С^ Gt можно реализовать отображениями g,: 5" -► Х„ и мы получим

Рис. 4.12.1

цилиндры отображений Х_, U 5‘X [—1, 0] и S* X [0, 1] U X,. Склеим их по подмножеству S1 X 0 и получим пространство X = = X_t U 5* X [-1, 1] U Х„ см. рис. 4.12.1.

Из теоремы Зайферта — ван Кампена следует, что Л[(Х)=6 и что фундаментальные группы комплексов Х_,, X, и окружности St вкладываются в G так же, как группы G-u G, и А. Пространство X является пространством типа K(G, 1), поэтому найдется отображение /: М ->- X, индуцирующее изоморфизм

.фундаментальных групп Л1(Л7) и л^Х). Поскольку в свободном произведении с объединенной подгруппой всякий элемент конечного порядка сопряжен с некоторым элементом сомножителя, можно считать, что край каждого из дисков D, отображается в Х_, или X,, и поэтому не пересекается с S1.

Затем деформируем /, чтобы привести t-1^1^ в общее положение; полученное отображение также обозначим через /. Тогда ]~1(8') будет состоять из нескольких простых замкнутых кривых в М, ни одна из которых не пересекает края диска D, и не гомотопна нулю. Так как /+ — изоморфизм, то эти кривые попарно гомотопны). Небольшое обобщение теоремы Бэра 5.11.1 состоит в том, что если две непересекающиеся не гомотопные нулю простые замкнутые кривые гомотопны друг другу и не задевают dO„ то они ограничивают кольцо. Деформируя /, мы можем избавиться от любой пары соседних кривых из /"‘(S1). В конце концов мы придем к такому отображению, по-прежнему обозначаемому через /, что /-1(S*) состоит не более, чем из одной кривой. Если бы прообраз Л1^*) был пустым, то пространство М отображалось бы целиком в одну «половину» комплекса X; тем самым группа G отображалась бы в один из сомножителей ni(X,) = G,. Это противоречит нашему предположению о том, что f индуцирует изоморфизм фундаментальных групп, поскольку каждый сомножитель л^Х,) имеет бесконечный индекс в лДХ). Далее, воспользуемся тем, что простая замкнутая кривая в М, которая не задевает dD„ не гомотопна нетривиальной степени другой кривой, см. упражнение 3.10. Поэтому / отображает ЛЧ^') гомеоморфно на S1 ). Из теоремы Зайферта — ван Кампена следует, что кривая /_‘(5‘) разбивает М на две части, M-t и Ми которые отображаются в Х_, и X, соответственно, и / определяет изоморфизм между фундаментальными группами частей М, и комплексов Х(.

Этим доказан пункт (Ь). Утверждение пункта (а) представляет собой простое следствие пункта (Ь) и классификационной теоремы 4.6.3 для плоских разрывных групп. □

Если факторповерхность не ориентируема, рассуждение становится более интересным и сложным из-за возможного появления листов Мёбиуса; этому случаю посвящена главная часть доказательства в работе Хендрикса и Шастри [Hendriks — Shastri 1978].

Алгебраические разложения плоских разрывных rpjnn в сво- ,бодные произведения с объединенной подгруппой, с одной стороны, и геометрическое разложение действия, с другой, рассматривались в работах Цишанга [Zieschang 1976'] и Линдона [Lyndon 1978]. Геометрическая задача решена, но алгебраический Лопрос в нескольких случаях остается нерешенным. Например,

группы <t, и I [t, n]2fc+1> при к>1 обладают неразложимым действием, хотя их можно представить в виде нетривиальных свободных произведений с объединенной подгруппой, см. упражнение 4.22.

Задания и диаграммы плоских групп

В комбинаторной теории групп иногда удобно изображать группу с заданными образующими при помощи 1-комплекса, диаграммы Кэли или Gruppenbild’a Дена. По сути, мы уже пользовались этими диаграммами, не называя их так, при решении проблемы тождества в § 4.9. Интересующие нас группы обладают красивыми заданиями, которые соответствуют полезным 2-комплексам. Мы использовали эти комплексы при доказательстве теоремы существования 4.7.1.

Исследование было бы гораздо проще, если бы нам нужно было рассматривать только плоские разрывные группы без отражений. Этот случай был рассмотрен в работе [Цишанг 1966], при этом использовалась одна идея К. Райдемайстера, см. также [Reidemeister 1932]. Более общие ситуации исследованы в книге Линдона и Шуппа [Lyndon — Schupp 1977] и статье Грамберга и Цишанга [Gramberg — Zieschang 1979]. Мы следуем здесь подходу последней, применяя улучшенную процедуру Райдемайстера — Шрайера из § 2.2, и продолжая пользоваться обозначениями из того же параграфа.

Определение. Пусть G=<S|R>. Символы и, ше е S U S-1 называются алгебраическими соседями, если и-1 предшествует символу w в слове Д8, где Дей и е = ±1. Здесь Д8 рассматривается как «циклическое» слово.

Если, например, R = Sk, к^ 1, то S~l является алгебраическим соседом символа S. Если v является алгебраическим соседом символа w, то w, в свою очередь, является алгебраическим соседом символа и. При изучении плоских кристаллографических групп удобно уже в заданиях выделять отражения следующим образом, ср. [Hoare — Karrass — Solitar 1973] и [Lyndon — Schupp 1977, III, 7.8].

Пусть G = <S' U S" I R' U R" >, где:

S' = U IieH, S" = ^AieI"\ S'П8"=0;

причем каждое соотношение R3 является словом из букв, принадлежащих S' U S'~* U S";

R'=[^|i €=/').

Множества Г, Г' и 3 являются конечными или счетными. Символы у, и уГ\ 1^1", не различаются.

Для каждого Rb j^3, корень R, определяется из равенства Rj = R, 3 с максимальным й, еМ, где = обозначает

равенство в свободном произведении бесконечных циклических групп с образующими zeS' и циклических групп порядка 2 с образующими у Е S".

Пусть R* состоит из корней R3 и им обратных R3 . если только они не отличаются циклической перестановкой. В противном случае в R* входит только R3. (Здесь мы существенно используем то, что у, и у7х (i е I") не различаются; например, слово yV^h^'1 = УгЗДг^1' обратное слову ху^-'уг, получается из него циклической перестановкой, п лишь одно из этих слов принадлежало бы множеству R*.) Кратностью соседа и символа w, где к, w е S' U S'-1 U S", называется число вхождений сочетания ш-|у в набор R* (циклических) слов. Сумма кратностей всех алгебраических соседей символа называется числом его соседей.

Допустим, что заданпе <S'US" 1R'UR"> группы G обладает следующими свойствами:

число соседей у любого символа у е S'U S'-1 U S" не превосходит 2. (Это число отражает частоту появления и в корнях определяющих соотношений.)

для уе§" число соседей равно 2. Соотношение ReW содержит у в том и только в том случае, когда R-1 получается из R циклической перестановкой. (Напомним, что уг = У; при г^Г'. Этпм условием мы характеризуем «отражения» в группе G.)

порядок корня R* (s) равен h„ j^J. При 1еЛ" мы имеем у г 1.

Используя свойства (а) —(с), можно разбить множество S' US'”1 US" на несколько цепочек, в которых символы, идущие подряд, являются алгебраическими соседями. Выберем цепочки наибольшей длины, или — что то же самое — набор из наименьшего числа цепочек. Таким образом, мы получаем следующую лемму.

Лемма. Пусть задание <S'U S" | R'и R"> обладает свойствами 4.13.4. Тогда множество S' US'-1US" можно разбить на систему L попарно непересекающихся цепочек Lk = (..., гкъ Zk2, • • •) таким образом, что два символа идут подряд в некоторой из этих цепочек тогда и только тогда, когда они являются алгебраическими соседями. Каждый символ входит в одну из цепочек L^L ровно один раз-, первый и последний символы цепочки могут быть, а могут и не быть алгебраическими соседями. □

Каждая цепочка Lh из леммы 4.13.5 называется цепочкой соседствующих символов из S' U S" U S'-1 или просто цепочкой соседей. Если первый и последний символы конечной цепочки Lk являются алгебраическими соседями, цепочка называется замкнутой.

Определение, (а) Задание <S'U S" I R'b R" > группы G называется плоским, если оно обладает свойствами 4.13.4 (а) —(с) и, кроме того, следующими свойствами (i) — (iii): 10* 147

Если |L|>1, то каждая цепочка конечна, а первый и последний символы цепочки Lk имеют не более одного алгебраического соседа.

Если L состоит только из одной бесконечной цепочки L, то у L нет ни первого, ни последнего члена, т. е. все ее члены имеют по два алгебраических соседа.

Если L состоит из одной конечной цепочки L, то L может быть, а может и не быть замкнутой. Во втором случае ее первый и последний символы имеют лишь по одному алгебраическому соседу.

(Ь) Положим, если IS'I + IS" I <<», ^((S'US"|R'UR"»:=2.f|S'| + |S"|- 2

Здесь мы используем упорядочение, при котором R" <R' для /i'eR', R" eR" . (Определение числа Stab см. в п. 2.2.4.)

В определении цепочки соседей мы исключаем периодические цепочки, и считаем, что каждый символ появляется в наборе цепочек лишь один раз.

Плоские задания появляются при изучении разрывных групп движений евклидовой или неевклидовой плоскости. Эти группы являются основными примерами:

Теорема. Если G является плоской разрывной группой, то всякая фундаментальная область будет определять пары образующих (преобразования, переводящие фундаментальную область в соседнюю, имеющую с ней общую сторону) и определяющие соотношения (которые соответствуют неэквивалентным вершинам фундаментальной области). Если образующие, соответствующие отражениям, поместить в S", а из остальных пар поместить по одному элементу в S', то получится плоское задание.

Это легко проверить в случае канонических заданий конечно определенных разрывных групп, см. [Macbeath — Hoare 1976], [Zieschang 1976']; обобщения на случай остальных «геометриче- скпх заданий» можно доказать, используя § 4.14. Фундаментальная область компактна в том и только в том случае, если существует лишь одна замкнутая цепочка. Сейчас мы покажем, что всякое плоское задание можно получить таким образом, кроме того случая, когда группа G конечна. (В последнем случае задание соответствует разрывной группе, действующей в сфере.) Для доказательства воспользуемся модифицированной диаграммой Кэли, см. [Lyndon — Schupp 1977, § III.5], и начнем с того, что повторим конструкцию Линдона и Шуппа:

Построение модифицированных диаграмм Кэли. Пусть G задана, как в п. 14.3.2. Построим следующим образом 2-комплекс: '

Пусть С° состоит из вершин, находящихся во взаимнооднозначном соответствии с элементами группы G; будем считать, что вершины помечены элементами группы.

Каждой nape (g, z), где g^G и z e S'U S'-1 U S", соответствует ровно одно направленное ребро, начинающееся в вер- кшне g и кончающееся в вершине gz. Обратное ребро (g, ^i)1 совпадает с ребром (gz®, ац®), где i^Z', е = ±1, а обратное ребро (g, y*Vl совпадает с ребром (gy„ у,) при i^Z".

Пусть С1 состоит из С° и описанных выше ребер. Заметим, что (g, у<) и (gy„ y,) = (g, г/,)-1 совпадают, как неориентированные ребра. (За этим исключением С* является обычной групповой диаграммой, соответствующей образующим S'US".) Будем помечать (направленное) ребро (g, z) символом z. Каждой паре (g, w), где gE G, a w — слово из образующих, соответствует теперь однозначно определенный путь w в С1 с началом в точке g и такой, что последовательность символов на ребрах совпадает с w, концом его является вершина gw. Будем называть w реализацией слова w в точке g.

Каждой паре (g, R®^), где g е G, е = ±1, j^ I, соответствует ориентируемая грань D(g, R®3\ причем граничный путь грани О (g, 7?®) является реализацией слова R®3 в g. Грань с обратной ориентацией совпадает с Z)(g, Я®). Две грани D(g, R®^ и D^g', R^ с общим краем будем считать одинаковыми. (Здесь индекс j е J фиксирован, но направление и начальная точка могут меняться.)

Комплекс C(S, S'; R), получающийся из С1 добавлением описанных граней, называется модифицированной диаграммой Кэли (или групповой диаграммой).

Замечание, (а) Группа G обычным образом действует в 2-комплексе C(S', S"; R) как группа автоморфизмов: при фиксированном gе G соответствующее ему преобразование tg переводит вершину g' в g'g, ребро (g', z) — в (g'g, z) и грань P(g',7?®) —в D (g'g, R®)- Граничный путь грани переходит в граничный путь грани — ее образа, и т. д.

(Ь) л,С(8', S"; R')=l.

Определение. Модифицированная групповая диаграмма C(S', S"; R') называется плоской, если ее комплекс можно вложить в плоскость или двумерную сферу (последнее — если G конечна) таким образом, чтобы группа U^lgeG} индуцировалась некоторой разрывной группой гомеоморфизмов плоскости или сферы. Если |S'US"I=«>, мы вкладываем только <комплекс» С (S', S"; R') без вершин. (Их можно рассматривать, нак «концы», лежащие «на крае» неевклидовой плоскости.) . Нашей ближайшей целью является следующая теорема: . 4.13.11. Теорема. Если задание <S'US" |R'UR"> группы G является плоским, то модифицированная диаграмма Кэли С(S', S"; R') является плоской.

. Прежде чем ее доказывать, найдем критерий того, что комплекс является плоским.

Определение. Пусть С — двумерный комплекс и р — вершина остова С”. Два (направленных) ребра к, w, принадлежащие звезде вершины р, т. е. начинающиеся в р, называются геометрическими соседями, если v~lw является фрагментом граничного пути некоторой грани. Если ребро и само составляет граничный путь некоторой грани, то р и г1 считаются соседями. Упорядоченное подмножество L звезды вершины р называется геометрической цепочкой, если каждые два идущих подряд элемента являются геометрическими соседями и L — максимальное подмножество с таким свойством. Если ребро и не содержится в граничном пути никакой грани, то оно само образует геометрическую цепочку. Геометрическая цепочка называется замкнутой, если она конечна и если первый и последний ее элементы являются соседями; в противном случае она называется открытой.

Лемма. Пусть С — счетный 2-комплекс со следующими свойствами:

Каждое {ориентированное) ребро комплекса С входит в граничные пути {ориентированных) граней комплекса С не более двух раз.

Если звезда с центром в вершине комплекса С не образует замкнутой геометрической цепочки, то каждая цепочка в этой звезде является конечной и первый, так же как и последний, символ в каждой цепочке имеет только одного геометрического соседа.

«.(£)=!.

Из свойств (а) —(с) следует, что комплекс С ориентируем. Зафиксируем ориентацию, т. е. выберем из каждой пары взаимно обратных граней одну грань, так чтобы каждое {направленное) ребро входило в граничные пути выбранных граней не более одного раза.

Пусть «комплекс» С* получается из С после удаления всех вершин, имеющих бесконечные звезды. Тогда существует такое вложение «комплекса» С* в плоскость или двумерную сферу, при котором выбранная ориентация продолжается до ориентации плоскости или двумерной сферы соответственно.

Доказательство. Комплекс С состоит из компонент сильной связности. Согласно определению 4.1.8, две грани принадлежат одной компоненте, если их можно соединить цепочкой граней из С, в которой подряд идущие грани имеют общие граничные ребра. Если зафиксировать ориентацию одной из граней компоненты Ct, то будет однозначно определена ориентация всех граней этой компоненты, делающая С, ориентированной. Ориентации на различных компонентах можно выбирать независимо. Если ребро е не принадлежит краю ни одной грани, то само ребро е можно рассматривать как компоненту комплекса С.

Если сильно связный комплекс Со имеет тривиальную фундаментальную группу, то он ориентируем.

Из теоремы Зайферта — ван Кампена, см. § 2.8, мы получаем следующее описание фундаментальной группы комплекса С. русть Ct, Сг, ...— компоненты сильной связности комплекса С, упорядоченные таким образом, что С, имеет общую точку pt с Ci U ... U С,-,. Пусть Ct, Cg, ... —дизъюнктные копии компонент Ct, С 2, ..., и пусть p'i обозначает образ точки р, в Су Склеим эти копии следующим образом: пусть Ct = Ср Затем отождествим точку р2 с соответствующей точкой в Сг и получим комплекс Су Будем строить Су Су С3, ... по пндукции. Пусть построен комплекс Cv Тогда отождествим точку pt+i с точкой комплекса Су соответствующей точке р1+1. Фундаментальная группа комплекса Ci+1 изоморфна свободному произведению фундаментальных групп комплексов Ci и Ci+1, см. § 2.8. При помощи индукции мы получим комплекс С", содержащий копии всех компонент С„ фундаментальная группа которого равна свободному произведению фундаментальных групп комплексов С„ Наконец, чтобы получить комплекс С, нужно отождествить некоторые вершины комплекса С". Для каждой пары отождествляемых вершин придется добавить к фундаментальной группе бесконечную циклическую группу в качестве свободного сомножителя, см. § 2.8. Из того, что к,С = 1, следует, что фундаментальные группы всех компонент сильной связности тривиальны и что если поставить в соответствие каждой компоненте вершину и соединить ребром вершины, которые соответствуют компонентам, имеющим общую вершину, то получится дерево. ,

Далее, построим вложение комплекса С в плоскость или двумерную сферу. Зафиксируем ориентацию каждой компоненты комплекса С. Это возможно, как отмечалось в пункте (d). Следовательно, в каждой вершине компоненты можно по следующему правилу определить «положительную» звезду из ребер с началом в этой вершине: ребро s следует за ребром s', если путь s-1s' является частью положительного граничного пути некоторой положительной грани. Затем полученные таким образом последовательности (о, как-нибудь упорядочим: ..., вц, ..., ®m, ... Пусть, до определению, последний член цепочки ю, будет соседом первого члена цепочки co,+i; здесь г+1 рассматривается по модулю т, если полное число цепочек равно т. Этим в вершинах комплекса С определены циклы или бесконечные цепочки ребер. Наконец, введем полуграни с бесконечными краями, уславливаясь, дто первое ребро цепочки ®i+1 следует за обратным к последнему ребру цепочки <о(. Затем отбросим все вершины, имеющие бесконечную звезду. Тогда получившийся модифицированный комплекс будет иметь тривиальную фундаментальную группу и представлять собой поверхность. (Очевидно, что можно разложить «бесконечные» диски в бесконечные системы обычных дисков.) Следовательно, модифицированный комплекс представляет собой Жвбо плоскость, либо двумерную сферу, см. теорему 4.1.7. □

Доказательство теоремы 4.13.11. C(S',S";R') является счетным 2-комплексом. Пусть теперь z е S' U S'-1 U S" входит в слово R*E = uw, е = ±1, j^J. По свойству 4.13.4 (а) для расположения символа z в словах из R* имеется не более двух возможностей. Рассмотрим одно из вхождений z в R*. Пусть ge G и ze S' U S'-1. Ребро (g, z) е С входит в граничный путь грани D^g'^R^ в месте, соответствующем рассмотренному вхождению z в R}, в том и только в том случае, если g' = = gu-1R*ea, где О^а^/г, — 1. По свойству 4.13.8 (с), грани, соответствующие различным а, отождествляются, поэтому ребро (g, z) входит в граничные пути граней комплекса C(S', S"; R') не более двух раз.

Если zeS", то ребро (g, z) = (gz, z)-1 входит также в граничные пути граней D (gvR*a, R?8^ О^а^А, — 1. Различные а задают один и тот же, с точностью до выбора начала, граничный путь; поэтому, в силу свойства 4.13.8 (с), они соответствуют одной и той же грани. Если количество алгебраических соседей символа z равно 1, то ребро (g, z) входит в граничные пути не более чем двух (ориентированных) граней. Если количество алгебраических соседей равно 2, то Rj 1 получается из R, циклической перестановкой, как это постулируется свойством 4.13.4 (Ь). Произведя циклическую перестановку, можно привести Rj к виду 7?, = uzu^z', где z' eS", а и является словом из образующих S'US", и полагать, что v = u-lz'. Граничным для грани D (gv, RyE) является путь (gf, Rye>) = (gf, (z'uzu-1)^), получающийся при помощи циклической перестановки из пути (gu-1, (uzu^z')^) = (gu-1, 7?,), так как v^z'uzu-^v-1 = = U^^UZU^z'^ju,

Таким образом, мы доказали, что 2-комплекс C(S', S"; R') обладает свойством 4.13.3 (а). Условие 4.13.3 (Ь) на звезды немедленно следует из определения геометрических соседей и условий 4.13.6 (i) — (iii). Так как всякий замкнутый путь, идущий по ребрам комплекса C(S', S"; R'), соответствует соотношению, являющемуся произведением элементов, сопряженных к определяющим соотношениям, то Л1С(8', S"; R')=l. Наконец, нужно фиксировать ориентацию комплекса так, чтобы отображение tg, gsG, либо всюду сохраняло ориентацию, либо всюду обращало. Пусть L = {L,|j = l. 2, ...} —система цепочек из символов S' US'-1 US", см. лемму 4.13.5. Зафиксируем на L некоторый порядок; без потери общности можно считать, что задан он при помощи нумерации:

({Li 11 ^ г^ &}, если |L|<oo, L UL.IfeZ}, если|Ъ| = оо.

Во втором случае будем считать, что последовательность L бесконечна в обе стороны. Образуем из символов S' US'-1 US" цикл 152

Z*v = ^Lt, ..., L^, если |L| < °°, или бесконечную в обе стороны последовательность Z+t = (..., L_,, Lo, L,, ...). Здесь каждая цепочка L„ по определению, состоит из элементов множества S' U S'-1 US" и является конечной, если |L| > 1. Под Z-^ мы понимаем последовательность Z+1, идущую в обратном порядке.

Пусть теперь и, v — подряд идущие символы в какой-то цепочке L®. Тогда наблюдается такое соотношение R^, что и-1 и является его фрагментом. Рассмотрим слово R^ как циклическое и обозначим через w его следующую букву. Если v-1, tv идут подряд в некоторой цепочке^, то положим о(и) = ец. Отсюда немедленно следует, что если функция о определена для и, то она определена также и для г1, и о(р) = о(и~*). Далее, из свойства 4.13.4 (Ь) следует, что о(г/,) = —1 при 1^1". На оставшихся образующих из S придадим функции о произвольные значения из множества {—1, 11. Тогда о можно продолжить до гомоморфизма о: G->Z2 = {—1,1}, поскольку если идти вдоль соотношения R3, то каждая пара подряд идущих символов определяет, остается ли направление звезды неизменным, или же его нужно обратить; а когда мы вернемся к началу, то получим исходную звезду.

Далее, по определению, будем называть цикл (g, Ze) положительным, если o(g)=e. Этим задается ориентация на модифицированной групповой диаграмме. Как доказано в лемме 4.13.13, комплекс C(S', S"; R') можно вложить в плоскость (или сферу) так, чтобы выбранная ориентация продолжалась до ориентации плоскости (или сферы). Более того, преобразование tg: C(S', S"; R')^C(S', S"; R') (см. свойство 4.13.9 (а)) продолжается до гомеоморфизма плоскости, который сохраняет ориентацию в том и только в том случае, если o(g) = 1. По условию, циклы из ребер при вершинах совпадают с Z+1 или с Z-1. Этим доказательство теоремы 4.13.11 заканчивается. □

Следствие. Пусть группа G обладает плоским заданием <S'U S" I R'U R" >, где S'US"—конечное множество. Тогда;

R' U R" — тоже конечное множество.

Группа G изоморфна разрывной группе движений неевклидовой или евклидовой плоскости или сферы и обладает каноническим заданием, описанным в 4.11.5, см. статьи Макбета и Хора [Macbeath — Hoare 1976] и Цишанга [Zieschang 1976', 1.3,4].

Указанное задание <S' US" |R'UR"> соответствует фундаментальной области группы G, и его можно преобразовать в каноническое задание за конечное число шагов, соответствугои^их бифуркациям фундаментальной области.

Доказательство. Переходя к двойственному комплексу плоской групповой диаграммы, мы получим плоский комплекс С* и действие на нем группы G. Группа G действует в множестве граней комплекса С* просто транзитивно, поэтому каждая грань является фундаментальной областью группы G. Хорошо

известно, что действие конечно порожденной группы на плоском комплексе можно реализовать вполне разрывной группой движений евклидовой или неевклидовой плоскости или сферы и что при помощи бифуркаций можно так изменить фундаментальную область, что получится фундаментальная область канонического вида, см. § 4.3.6. □

Замечание. То, что плоское задание можно превратить в каноническое задание плоской разрывной группы, можно доказать, не строя плоский комплекс, а производя соответствующие операции над самим заданием, как это делалось при доказательстве того, что вполне разрывная группа обладает каноническим заданием.

Подгруппы и формула Римана — Гурвица

Здесь мы пользуемся обозначениями из п. 2.2.4.

Теорема. Пусть <S' U S" I R' U R" > — плоское задание группы G и UcG — подгруппа. (Обозначения те же, что в п. 14.13.2.) Введем на R' U R" прежнее отношение порядка (4.14.2)R" <R' для всех R" eR", fl'eR'.

Пусть К—шрайеровская система представителей смежных классов, (6Д |/? е R'U R"}— система функций выбора, ат — соответствующая операция переписывания Райдемайстера — Шрайера.

Пусть

(4.14.3а) S'(U, K):=k(i, Ку.-Кх^уЧ i е Г, КеК, К7<*

^Kx,Wy(i, Ку.= Kyt(Ky^)~l \ i е I", Key Ку^ТГу^Ю, (4.14.3b) S"(U, Ky.= (y(i, Ку.= Ky^.V1 Не I", КеК,

Ку. = Ю, (4.14.4а) R'(U, К): =

:=(Я(Л Ку.= (9^^ П^к^КГ^Н е J, К^К} U

U [0 (^ К): = (0^ (К) ^0^ (TQ-1^ | г е Г, Ке К,

(4.14.4b) R" (U, К): = (Q (i, К): =**

: - (0^ (К) /,0^ (КГгу I ie Г, КеК, 9^^)^ = 0^ (X)}. Тогда

<S' (U, K) U S" (U, K) | R' (U, K) U R" (U, K) >

представляет собой плоское задание группы U.

Следствие. Подгруппа разрывной группы движений плоскости сама является разрывной группой движений плоскости. 154

. Это следствие теоремы 4.14.1 и следствия 4.13.15. Разумеется, утверждение следствия 4.14.6 очевидно из определения разрывной группы. Но здесь мы имеем чисто алгебраическое доказательство того, что подгруппы групп с плоским заданием, в частности с каноническим заданием, также обладают плоским заданием. Кроме того, мы укажем общий метод отыскания плоского задания для подгруппы, см. замечание 4.13.16. Другое, не использующее геометрии, доказательство изложено в работах Хора, Карраса и Солитэра [Hoare — Karrass — Solitar 1971, 1972, 1973]. □

Примеры. Ядром гомоморфизмов <s, i |s4, t4, (s<)2>-»- -*Z4 и <s, 11 se, t3, (sZ)2> ->Z6 является группа Z ® Z, и ее плоское задание можно получить, используя модифицированный метод Райдемайстера — Шрайера, как это делается в примере 2.2.3. Другой, более наглядный пример был приведен в п. 2.2.13.

Доказательство теоремы 4.14.1. В данном случае G 2 = G и Stab 2 = [УЯ I е Zl- Если К ~ 2К', где К, К' е «1У,1У{

е К, то по определению 2.2.4 имеем К'¥\К-Х е <р-1 (U). Если 2 I Z, то К' = К. В противном случае К' = иКу„ где и е U, откуда (4.14.9)К'= К' = Щ = К^.

у У, К) е S" (UJC) ^ ^1 = ^ ^

^Kyt = K, ХК’-^К, К'еК^К' = КД^^К^ = К, S^-K^Q^K^y^K^

**уУ, K)3^W(U, К).

Это доказывает, что:

S"(U, К) и R" (U, К) находятся в соответствии, постулированном в п. 4.13.2.

В этом случае мы также отождествляем у У, К) и y(i, X)-*.

Пусть символ R*y, К) обозначает корень соотношения RУ, К), ср. п. 4.13.3:

Ry, K) = R*y, K)hU-K\ где hy, К)> 1 — максимальное.

В дальнейшем мы можем считать, что К = 0Д . ЦС). Тогда

R* у, Kf}-K) = R у, К) = KRjK"x = KR^K'1 = IkR'KT^.

Следовательно, hy, К)\ h3, поскольку число h,— максимальное для G, a h У, К) — максимальное только для U с G. Тогда (4.14.11) ((KR^K-^^-R* у, К), где h, = ту, КУЩ, К).

Допустим теперь, что R*y, К)~1 получается из R*y, К) циклической перестановкой. (Напомним, что у У, X)eS"(U, К) отождествляется со своим обратным, но это следует из отождествления у с у-1.) Отсюда

KR'-^’^K-1 = URp'^’^U-1, где U г qT1 (U).

Следовательно, Rj-1 получается из Rj циклической перестановкой. Таким образом:

Для определения числа соседей у образующих x(i, К) и уЦ, К), см. п. 4.13.3, нужно использовать R3 наравне с R^j, К^.

Рассмотрим теперь фиксированное вхождение некоторого символа zeS'US" в какое-нибудь из R*3, j_^J. Пусть R* = vzw. Пусть z(K) обозначает образующий ^z(Kz)-1, Kz^Kz группы U. Тогда мы имеем следующие эквивалентности:

z(K') находится в /?*(/, К') на соответствующем месте, здесь К* е К и К' = Br^K?') ^

^(R* и, ку^к'нТикч^-^Цку^инТ^^^

^ K'R> = К^ K'R^vKT1 е U <^

<=^ К' ~R ^р-!(так как R*a е Stabfl^) -^-К' = 9н.(Ки-1).

Это доказывает, что:

Существует ровно один корень R*U, К') и в нем одно подходящее положение, которое соответствует фиксированному положению образующего z(K) в R3.

Те же соображения можно применить в случае z е S'-1 или слова, обратного корню R,. Тогда из условия 4.13.4 (а) на задание группы G следует, что задание (4.14.5) группы U обладает свойством 4.13.4 (а).

Так как задание G= <S' U S" I R' U R"> обладает свойством 4.13.4 (b) и элементы множества S" (U, К) имеют «ядро» из S", то из определения 4.13.12 и утверждения 4.14.13 следует, что задание (4.14.5) также обладает свойством 4.13.4 (Ь). То, что R*(/, К) имеет порядок h(j, К), следует из равенства h, = = Щ, K)m(j, К), равенства (4.14.11) и предположения, что R^ имеет порядок h3. Наконец, если y(i, ^)eS"(U, К), то y(j, К) = Ку.К-1 ч^ 1. Теперь доказательство теоремы 4.14.1 закончено. □

Далее мы приведем некоторые усовершенствования теоремы 4.14.1 и докажем комбинаторную формулу Римана — Гурвица. При этом мы ограничимся случаем групп с компактной фундаментальной областью, хотя большинство этапов доказательства можно распространить на общий случай. Возникающая трудность состоит в том, что отбросив некоторые образующие, можно получить очевидное заданпе в виде свободного произведения, но остальные образующие могут потерять свои геометрические свойства.

Определение. Пусть <S'U S" I R'U R" > —плоское задание группы G, определяющее замкнутую цепочку соседствующих элементов, см. определение 4.13.6. Пусть ^eR' и хе S' таковы, что R = vxEw, где слова v, w состоят из образующих,

отличных от х, и е = ± 1. Положим теперь S' = S'\{x) и заменим х во всех соотношениях из множества R'\{7?} на (пж)-в. Пусть R' — полученная система соотношений между образующими S' U S". Замена задания <S' U S" I R' U R"> на задание <S' U S" I R'UR"> называется геометрическим сокращением, а обратная операция — геометрическим расширением. Два задания называются геометрически эквивалентными, если одно получается из другого при помощи конечного числа геометрических сокращений и расширений.

Определение геометрической эквивалентности осмысленно в силу следующей леммы, непосредственно вытекающей из определений:

_4.14.15. Лемм а. Пусть два задания <S'U S" I R'U R" > и <S' US" I R' UR"> связаны друг с другом, как это описано в определении 4.14.14. Если одно из них является плоским и определяет замкнутую цепочку соседей, то это верно и для второго. □

Лемм а. Предположим, что задания <S'US"|R'U UR"> U <s; U So|Ro U R^ являются плоскими, определяют замкнутые цепочки соседей и геометрически эквивалентны. Тогда-.

|S'|-|R'| = |s;i-|R;|;

р «S- и s" । R' и R"» = и (<s; и s; । r; и r;'».

(Определение числа р см. в п. 4.13.6 (Ь).)

Доказательство. Рассмотрим один элементарный шаг. 4.14.14. На этом шаге мы теряем одно соотношение из R' и одну образующую из S'. Замена х словом «iy)~e не может превратить никакое соотношение из R'\{7?} в тривиальное, как это следует из свойств 4.13.4 и предположения, что задание <S'US" I R' U UR"> определяет замкнутую цепочку соседей. Теперь пункт (а) следует по индукции. Поскольку исключенный элемент лежит в S', а х, х-1 входят в соотношение R в совокупности только один раз, то |(p(StabB)l = 1, откуда следует пункт (Ь). □

Следствие. Число p(<S'US" |R'UR">) является инвариантом группы G). Положим p(G) := p(<S' U S" I R' U UR">), если <S' U S" I R' U R"> — плоское задание группы G. □

Следствие. Пусть <S' U S" I R' U R" > — плоское задание, определяющее замкнутую цепочку соседей. Допустим, что определяемая им группа F не имеет кручения. Тогда-.

S" =R" = 0 и F изоморфна фундаментальной группе замкнутой поверхности Fg рода g, где

g _ S' | — (| R' | — 1)), если Fg ориентируема, || S' | — (| R' | — 1), если Fg неориентируема.

p(F)=2ag —4, где a = 2, если Fg ориентируема, и а=1, если Fg неориентируема.

Доказательство. В силу следствия 4.13.15 (b), F изоморфна группе, не имеющей кручения, разрывно действующей в плоскости. Следовательно, F изоморфна фундаментальной группе поверхности. Из классификационной теории плоских разрывных групп хорошо известно, что всякое плоское задание геометрически эквивалентно каноническому заданию, см. § 4.6. Поэтому утверждение 4.14.18 вытекает из леммы 4.14.16. □

Вполне разрывная группа движений евклидовой или неевклидовой плоскости с компактной фундаментальной областью допускает плоское задание следующего типа, см. теорему 4.5.6. (4.14.19) Образующие:

(a) s„ 1 Cf < т,

(Ь, 2) t„ и„ 1 ^/ ^ g (или (6, 1) v„ i^j^g),

еь 1^1^ q,

clh, 1 < I C q, 1 С к С m,+ 1, т^ 1.

Определяющие соотношения:

s~hi для l^i^zn, где /ц^2,

c2lh для l<Z<g, l^fc<mz + 1,

(clftcI,fe+1)h"‘ для l<Z<g, 1</с<?пг, где h,lh^2,

Ctiezcz.m^ier1 Для l^Z<g, mgq Гm g q

(d, 2) П Я И [^, ^1 П ei или (d, 1) П »i П ui П et

Мы имеем mq ml

p(G) := 2-2 (1 -^ + 22 (1~ ^) + 2g + 2ag-4.

Здесь a = 2 в случае (4.14.19 b, 2) и (4.14.20 d, 2), в противном случае a=l. (Если G — группа движений неевклидовой плоскости, то число p.(G)-n равно площади фундаментальной области группы G. Группа G с заданием < (4.14.19) I (4.14.20) > реализуется группой движений неевклидовой плоскости, если p.(G)>0, евклидовой плоскости — если p.(G) = 0, и сферы —если H(G)<0.)

Число p(G) можно определить чисто алгебраически: группа, содержащая обращающие ориентацию элементы, не изоморфна группе, все элементы которой — отображения, сохраняющие ориентацию, поэтому подгруппа сохраняющих ориентацию элементов является характеристической, см. следствие 4.8.5. Тогда можно определить числа т, mb h,, hlk иди, наконец, число g и тип а.

Теорема (формула Римана — Гурвица). Пусть G — разрывная группа движений неевклидовой или евклидовой плоскости с компактной фундаментальной областью и Н — ее подгруппа конечного индекса. Тогда р.(Н) = [G: Н] • p.(G).

Эта теорема доказывается прп помощи следующего предложения и того факта, что всякая разрывная группа с компактной фундаментальной областью содержит подгруппу конечного индекса, изоморфную фундаментальной группе замкнутой ориентированной поверхности, см. теорему 4.10.1. (Последнее утверждение можно доказать также чисто алгебраически.) □'

Предложение. Пусть G — разрывная группа движений неевклидовой или евклидовой плоскости, и пусть U — ее подгруппа конечного индекса, изоморфная фундаментальной группе замкнутой ориентируемой поверхности рода ^. Тогда

4у — 4 = р (U) = [G : U] • р (G).

Доказательство. Применим теорему 4.14.1 и найдем количество образующих и соотношений в задании 4.14.5.

Так как U не имеет кручения, то S" (U, K)=0 = R"(U, К) для любой системы представителей смежных классов. Пз результатов § 2.2 следует, что

(4.14.24) | S' (U, К) | = [G : U] • (| S' | + | S" | - 1) + 1 =

= [G:U]-^m + ag+ 2 (mi + !)”<? — 1^ + 1,

где мы пользуемся заданием < (4.14.19) 1 (4.14.20) > группы G и помещаем элементы с1-к в S", а остальные образующие — в S'.

Рассмотрим частичный порядок (4.14.2) на множестве соотношений. Нам нужно определить, сколько соотношении в R'(U, К) получается из данного соотношения fieR'jR". Докажем, что К^Н, К) принимает следующие значения:

(4.14.25)

Соотношение

с№

$-А.

^l^Uk-Vl) lk

cHelcl,m[ + iel 1

п

Л (Я, ^)

2

^lk

2

1

где через П обозначено данное соотношение-произведение (4.14.20 d, a).

Чтобы доказать это, применим лемму 2.2.5. Для этого нужно найти порядки стабилизаторов. Простые вычисления показывают,

ф (Stab^J = 0> cikh Ф (Stab/i) = 1^ I 0 < а < ^L

<?(StabЛ») = 4cikci.wfcu\0<;a<hlh, 0<д<1|,

(,clkcl,kV^)

Ф (StabfiieiC; m^ie-i) = (1, с|д)

и что стабилизатор соотношения-произведения П состоит только

из тех степеней самого этого элемента, которые отображаются гомоморфизмом ф в единичный элемент. Поэтому множества ф(81аЬн) являются конечными для всех соотношений, и, таким образом, X(R, К) не зависит от К.

Так как U не имеет кручения, то, как следует из леммы 2.2.5, Х(Я, K) = k(R, 1) = |ф(81аЬд)| для ReW UR", КеК.

Этим заканчивается доказательство утверждения 4.14.25. □

Из теоремы 4.14.1, следствия 2.2.11 и таблицы (4.14.25) вытекает, что множество R'(U, К) состоит из (gтq т1

42 и + а + 24+2 2 4;+т+1 соотношений. Так как U является фундаментальной группой ориентируемой замкнутой поверхности рода у, то она обладает плоским заданием с 2у образующими и с одним определяющим соотношением; примером является каноническое задание. Используя следствие 4.14.18, равенства (4.14.24) и (4.14.21), мы заключаем, что

4(p(U) + 2) = 2Y-l = |S'(U, К)| —|R' (U, К)| =

= [G: UJ- ^m + ag + 2 (^z + 1) + 9 — i] + 1 —-[С:и].[4.2(™, + 1) + 24+22124+-г+1]--i+TiG^j^^iti-4)+22(1-4)+

+ 2g + 2ag—4] = 1 +4-[G:U].p(G).

Этим доказательство предложения 4.14.23 заканчивается. □

Формула из теоремы 4.14.22, или более специальная формула из предложения 4.14.23, известна в теории фуксовых групп как формула Римана — Гурвица; там обе ее части умножаются на л. Здесь мы привели комбинаторное, алгебраическое доказательство этой формулы, не использующее результатов теории функций комплексного переменного. Наше доказательство аналогично доказательству из работ Хора, Карраса, Солитэра [Hoare — Karrass— Solitar 1971, 1972, 1973]. В работе Линдона [Lyndon 1976] имеется другое комбинаторное доказательство, в котором используется (комбинаторная) угловая мера заданий. Эта угловая мера соответствует площади многоугольников в неевклидовой плоскости, так же как и наша p(G). См. также Шепардсон [She- pardson 1973], Циммерман [Zimmermann 1977].

В качестве первого приложения приведем оценку числа «автоморфизмов» замкнутой поверхности.

Следствие (Гурвиц [Hurwitz 1893], Зигель [Siegel 1954]). Пусть F — замкнутая ориентируемая поверхность рода ^>2, и пусть А — разрывная группа сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов поверхности F. Тогда |А| ^84(у — 1).

Доказательство. Поднимем А в универсальное накрывающее Е поверхности F и получим разрывную группу G, действующую в Е с компактной фундаментальной областью. Следовательно, G обладает заданием < (4.5.7) I (4.5.8) > с ^ = 0. Формула Римана — Гурвица 4.14.22 и определение 4.14.21 дают в этом случае:

0<2у—2 = | А |.[5(1-^) + 2g-2^=:|А|-7.

Ясно, что I > 0. Найдем нижнюю границу для I. Пусть ht ^ ^ h2 С ... С hm. Тогда, как легко проверить:

g>0=^I>V2,

g = 0, m^5=* 1^1/2,

тп = 4=> h3^3=*-7 3$ 1/3,

m = 3,ht>4=^1^1/4,

h1 = 3=>h3>4=>7^1/12,

Л, = 2, Л2 > 4 => Л3 > 5 =* 7 ^ 1/20, /12 = 3=>йз^7 =>7^1/42.

Таким образом, 42 • 2 -(у — 1)> 1 А|. □

По поводу других результатов подобного типа см. [Hurwitz 1893, S. 423]. Впервые оценка 84 (g — 1) была получена в работе Кляйна [Klein 1879].

Следствие, (а) Если F — нормальная подгруппа без кручения треугольной группы D = (sv s2, s3 | sy, s2, s3, s1s2s3) и индекс [D: F] конечен, то F является фундаментальной группой ориентируемой замкнутой поверхности рода ц, где

[D :F] = 84(y — 1).

Таким образом можно получить бесконечное число поверхностей ([Macbeath 1965']).

(Ь) Пусть F— замкнутая ориентируемая поверхность рода •(>2, и пусть группа я^Е) не изоморфна никакой нормальной Подгруппе группы D. Тогда всякая разрывная группа сохраняющих ориентацию автоморфизмов поверхности F имеет порядок <48-(ч-1).

(| Доказательство. Эти утверждения являются простыми Следствиями теорем 4.14.22 и 4.10.1 и того факта, что всякая замкнутая ориентируемая поверхность рода у > 2 накрывается ■вековечным числом других замкнутых поверхностен, см. упраж- 1ение 4.22. □

И X Цишанг и др.

Вопрос о верхних границах для порядков абелевых или циклических групп сохраняющих ориентацию отображений замкнутой поверхности в себя или о нижних границах в случае заданного рода является более сложным. Извлечем некоторые частичные результаты из упражнений 2.22 и 2.23.

Предложение. Пусть F —замкнутая ориентируемая поверхность рода у. Тогда у F имеются следующие группи автоморфизмов, сохраняющие ориентацию:

группа С порядка 8 (у +1);

абелева группа А порядка 4(у+ 1);

циклическая группа порядка 2(^ + 1).

Доказательство. Возьмем k := g + 1, g > 2. Пользуясь методом Райдемайстера — Шрайера, можно показать, что (в обозначениях упражнения 2.22) А ^ Za ф Za(g+i). Из этого следует, что элементы a, b, ab группы С имеют порядки 4, 2(g+l) и 2 соответственно. Группа D из упражнения 2.23 является треугольной группой, поэтому элементы конечного порядка сопряжены степеням элементов s,, s2 и sts2, см. теорему 4.8.1. Поэтому ядро kerp не имеет кручения и, следовательно, изоморфно фундаментальной группе замкнутой ориентированной поверхности некоторого рода у, см. 4.8.1 (d). При помощи формулы Римана — Гурвица находим:

поэтому t = g. Этим доказан пункт (а) (а также пункты (а), (Ь) упражнения 2.23). Пункты (Ь) и (с) следуют теперь из того, что А = Z2 ф Z2(g+i). □

Детально изучая формулу Римана — Гурвица, можно получить следующие

Результаты. Пусть N^ и NA(^ обозначают максимальный порядок группы или абелевой группы сохраняющих ориентацию автоморфизмов замкнутой ориентируемой поверхности рода у. Как мы видели:

8(у + 1)^А(у)^84(у-1), 4(^ + 1)^КА^.

Дальнейшие результаты:

А(у) = 8(у + 1) для бесконечного множества чисел (Ак- кола [Accola 1968], Маклахлан [Maclachlan 1969]).

В работе [Accola 1968] указаны простейшие значения у:

Если р — такое простое число, что ((р —1)/2, 42) = = 1 и р>863, то А(2р + 1) = 8(2р + 2).

Если р — такое простое число, что р = 59 mod 60 и р > >214, то N(p + 1)=8(р + 4). Другие примеры имеются в работе Кайли [Kiley 1970].

Ал(у) = 4(у +1), как указал Маклахлан [Maclachlan 1969, proof of theorem 3], это можно получить из работы [Maclachlan 1965]. См. также Аккола [Accola 1968 (5)].

162

Максимальный порядок циклической группы, действующей на замкнутой ориентируемой поверхности рода ц, равен 2(2^ +1) (см. Виман [Wiman 1895/96], Харви [Harvey 1966]). Мы заимствуем из второй статьи пример действия группы Z2(2?+i) на поверхности рода ц. Существует эпиморфизм

D„ - <,„ w,>-*z,№1).

ядро которого изоморфно фундаментальной группе замкнутой ориентируемой поверхности рода у. (Доказательство — упражнение 4.23.)

Автоморфизмы римановых поверхностей являются предметом многих статей. Упомянем здесь еще несколько работ, в основном содержащих результаты, которые можно доказать без пспользо- рания комплексно аналитической структуры, а лишь при помощи комбинаторных соображений, основанных на формуле Римана — Гурвица 4.14.22: [Accola 1970, 1971], [Bujalance 1981], [Greenberg 1960, 1963], [Jones — Singerman 1978], [Macbeath 196Г, 1965'], [Maclachlan 1971], [May 1975, 1977, 1979], [Натанзон 1978], [Sab 1969], [Singerman 1974', 1976], [Timman 1976]. См. также работы, упомянутые в § 4.15.

Упражнения 4.18 — 23.

§ 4.15. Конечные группы, действующие в замкнутых поверхностях

Как мы впдели в § 4.10, каждая плоская разрывная группа G содержит нормальную подгруппу F конечного индекса, изоморфную фундаментальной группе ориентируемой поверхности F. Если G имеет компактную фундаментальную область, то поверхность замкнута. Мы можем интерпретировать F как факторпро- странство Е/F. Тогда A:=G/F действует на F.

Обратно, если конечная группа А действует на замкнутой Ьриентпруемой поверхности F, то, поднимая это действие в универсальное накрывающее, мы получим плоскую разрывную группу G; здесь мы считаем, что F не является сферой. В пи. 4.14.26—29 мы указали соотношения между родом поверхности F и порядком группы А. Рассмотрим теперь пндуцирован- гЖое действие в группах, ассоциированных с F.

г Поскольку отмеченная точка не остается неподвижной при гЖействии, действие в фундаментальной группе не может быть Корректно определено. Лучше обстоит дело с гомологической Крупной, которая представляет собой прокоммутированную фундаментальную группу. Основным нашим результатом является бедующее

5 4.15.1. Предложение. Пусть G — плоская, разрывная груп- И|а с компактной фундаментальной областью, и пусть F<G— ■Юрмальная подгруппа, изоморфная фундаментальной группе ^минутой ориентируемой поверхности S рода ^>1. Тогда

[G: F] < оо, и действие группы G/F на F/[F, F]:

y[F, F]^®-iyx.[F, F], zeG, yeF, является эффективным, т. e.:

x~'yx [F, F] = у • [F, F] для всех у e F =*■ x e F.

Докажем сначала, что индекс [G: F] конечен:

Лемма. Пусть G — плоская разрывная группа с компактной фундаментальной областью и N ^ 1 — ее конечно порожденная нормальная подгруппа. Тогда [G: N] < °°.

Доказательство. В силу следствия 4.10.8 мы можем ограничиться случаем, когда G является фундаментальной группой замкнутой ориентируемой поверхности. Если [G: N] = °°, то N действует на Е с некомпактной фундаментальной областью и, как это следует из задания 4.11.3, является свободной группой, поскольку т = 0 и г = п>0. Но фундаментальная группа замкнутой поверхности, отличной от S1, не является свободной, см. упражнение 2.18. □

Доказательство предложения 4.15.1. Допустим, что действие группы G/F на F/[F, F] не является эффективным. Тогда найдется такой элемент z е G, х ^ F, что х~1ух е у • [F, F] при всех y^F. Мы можем считать, что относительный порядок элемента х равен простому числу р: xpeF. Пусть Н — подгруппа группы G, порожденная элементом х и подгруппой F, и пусть ср: H->Zp— гомоморфизм, отображающий F в 0, а х — в 1. Тогда ker<p = F, и последовательность

l->F<=-^H->Zp->l

точна. Так как [F, F] <= кег <р, то последовательность

1 -> F/[F, F] H/[F, F] ZP 1

также точна. Так как х действует в F тривиально, то согласно упражнению 4.23

H/[F, F] = Z2T еВ, где В = 1 или Z₽.

Поэтому [Н, Н] с [F, F], и, таким образом,

[F, F] = [Н, Щ.

Группа Н является плоской разрывной группой с компактной фундаментальной областью. Поэтому она обладает заданием, указанным в теореме 4.5.6.

Предположим сначала, что х сохраняет ориентацию. Тогда Н обладает заданием <(4.5.7)! (4.5.8)> с у=0 и ht = р (lCz^ ^тп). Прокоммутировав Н, из вида задания <(4.5.7) I (4.5.8) > и равенства (1) заключаем, что g = t. При помощи формулы Римана— Гурвица (предложение 4.14.23) и определения (4.14.21)

получаем

4у —4 = p.^2m (1 —*у) + 4g —4]-^2 — 2у = m,

поскольку рф 1.

Это противоречит предположениям, что у S® 2 и т S® 0.

Пусть теперь х обращает ориентацию. Тогда р = 2. Если Н обладает заданием <(4.5.7 а, b, с, d)l (4.5.8 а, b, с, d)>, то q > 1, поскольку лишь элементы и, и с<,3 обращают ориентацию. После коммутирования мы приходим к выводу, что

9 = 1, т = 0 и t = g.

Если Н обладает заданием <(4.5.7 а, b', с, d)l (4.5.8 а, b, с, d')>, то имеются следующие две возможности:

9 = 1, m = 0, 2y = g;

9 = 0, m = l, 2y = g—1.

Для случаев (2) и (3) из формулы Римана — Гурвпца получаем, что

47-4 = 2^2(!-^) + 2 + 2ag-4j

где а = (2 СЛучае (2)’ (1 в случае (3).

стене группы А в группе гомологий Ht(F) является зффектив~

(См. упражнение 4.25.)’

Теперь займемся другим подходом к конечным группам преобразований поверхности и докажем даже более сильные результаты (следствие 4.15.12). Сделаем следующее общее

/Предположение. Пусть F — замкнутая ориентируемая поверхность рода ^>2 и ф: F -* F — сохраняющий ориентацию гомеоморфизм простого порядка р. Обозначим через Fo факторповерхность /'’АфХ Тогда проекция F-*Fe является разветвленным накрытием, см. определение 3.3.1. Пусть m обозначает число точек ветвления в F01 a g — род поверхности Fo.

Если мы поднимем действие группы <ф> в универсальное накрывающее Е поверхности F, то получим плоскую разрывную группу G, обладающую заданием, указанным в теореме 4.5.6. Но тогда ht = ... = hm = p и q = 0. Кроме того, у нас имеется эпиморфизм ф: G->Zp с кегф = Л1(^), поэтому ф («<) = &< с (/>,&.) = = 1. Затем нормализуем образующие группы G относительно ф и получим:

. Лемма. G обладает заданием

G = ^$1, . . ., sm, tp Up . . ., tg, Ug I sf, . . . ,Sm, XI Si JI [ij, Uj]^,ф($<) = /с< c (p, fc,) = l при i^Ci^m,

ф(11) = ф(и1) = ... = ф(М = ф(ие) = 0,

если mX), и

ф(И1) = ф(М = Ф(“2) = ... = ф(М = Ф(“в) = °. (ф(М, P^V если m = 0. В таком случае будем говорить, что задание согласовано с ф.

Доказательство. Начав с канонического задания, мы получим согласованное задание при помощи бифуркаций, использовавшихся в § 3.2, см. также § 5.2. Например, при помощи бифуркации

f11 • ^^Х-1 (У-^-1)ж • • •

...хух у •••**|.i.(^)y(y-i^-i)z/-i..i

мы получим образующий, образ которого при ф равен ф(ж)+ф(у). За конечное число подобных шагов мы найдем образующие х', у' свободной группы, порожденной элементами х, у, с х'у'х'~1у'~1 = = хух-1у-1 такие, что ф(ж') = (ф(я), ф(у)) и ф(у') = 0. При помощи бифуркаций можно также доказать, что имеются операции, позволяющие редуцировать образы при ф коммутаторов различных элементов. Это мы оставим в качестве упражнения 4.26. (Лемму можно вывести также и из теоремы 3.6.7, которая была доказана при помощи тех же шагов, что описаны выше.) О

Теперь применим метод Раидемайстера — Шрайера, описанный в теореме 2.2.1, чтобы получить задание группы л^Е); при этом удобно воспользоваться улучшенным его вариантом, описанным в теореме 2.2.8. В качестве представителей смежных классов выберем

U|O<Z<.pL если т "> 0;

U11 0 ^ Z<p], если т = 0.

Тогда в первом случае получим:

Образующие:

tjX = s\t3sT\ из1 = Ди^ (!</<?, 0<1<pY

= sls,Si 1 Йг(2^!^7П, 0^.1 <Lp\

Определяющие соотношения:

Ц s, (2^i^»z, ZA, рассматриваются mod р),

(Й/м-^ T^-JntCb^z] ^CKpY

Во втором случае: (4.15.6') Образующие:

tji = t'ltjtT1, U3t = tptjti1 (2</<^ O^Kp).

(4.15.7') Определяющие соотношения:

тц ц-рЦ: П [Zj!, пд] (0 ^ I ^ p — 2),

Шг йГгиг p_, П [Z;,P-b “;,P-ib

Пусть у: nJP)-* nj^)—автоморфизм, прп котором ^^s/ts^"1 ■ли x^-tYxt3Y соответственно. Тогда s,, = xz(sjo) = %z(SJ п т- Д- Мы подошлп к следующей теореме:

Теорема (Нпльсен [Nielsen 1937]. Джилман [Gilman 1977]). Пусть выполнено предположение 4.15.4. Тогда существует такой автоморфизм у: л, (F)-* л, (Р), «полученный из if»*), что верно следующее:

*) Вообще говоря, i|- не индуцирует автоморфизм if ~ группы л,(Г). по- скольку if можрт не иметь неподвижных точек, пэ в гомологиях определен

Если m>0, то группа rti(F) порождена такими элементами

X' М х' Нi < / ^ ^ 0 < I р -1,

x4$iL S^i^m, 0^l^p-2,

что n^F) имеет единственное определяющее соотношение, в которое каждый образующий и элемент, ему обратный, входят ровно один раз. Поэтому

24 = p-2g + (m-2) (р-1).

Далее, для каждого iG13, ..., ml леы имеем

или, на уровне гомологий, s< + ф* ($i) + ... + ^-1 (st) ~ 0.

Если m = 0, то группа a^F) порождена элементами

X'№), x'(“J c 2^j^g, O^ZCp-1,t = <i, uv

В этих образующих группа Kt(F) также имеет единственное определяющее соотношение, в которое каждый образующий и обратный ему элемент входят ровно по одному разу. Мы имеем X^ = tu х^-и,.

В обоих случаях указанные образующие группы n.i(F”j ведут себя следующим образом по отношению к индексам пересечения (их определение см. в п. 3.6.1):

v(x'№), Х*(“.)) = М«, v(x'№), х* (*.))=о, v(x'(“J, X* (“•)) = О,

при 0^1,k^p — 1, 1 ^ i,/^g. Кроме того, в случае (Ь) v(x'(O, Х*(и0) = 1 пРи O^l,k^p-i.

Доказательство. Пункты (а), (Ь) были доказаны до формулировки теоремы. Пункт (с) является прямым их следствием, поскольку коммутаторы, входящие в соотношения (4.15.7) или (4.15.7'), переводятся в коммутаторы из единственного определяющего соотношения группы n^F). □

Замечание. Утверждения (а) и (Ь) содержатся в работе Нильсена [Nielsen 1937], а утверждение (с) — в работе Джилман [Gilman 1977].

Изучим теперь действие группы <ф> в группе гомологий Ht(F), т. е. в прокоммутированной группе nt(F). Для хе:ЦР) будем обозначать его образ в Hi(F) также через х, но групповую операцию будем записывать аддитивно. В качестве свобод-

ного базиса в группе Hi(F) воспользуемся базисом, полученным из образующих, указанных в теореме 4.15.8:

xWx4^ (i^j^g, o^z^p-i),

x'(s.) (3^i^m, O^Z^p-2)’

Ml, x'M ^^i^g» o^z^p-iy, t, Ui соответственно.

Определение, (a) nH := {ce Ht(F) | с = пд при некотором

С (п, ф): = {с е Нг (F) | с — фф (с) е пН).

(Ь) Для с^Н^Р) положим

М.1С’если ф* (с) = с,

* ' * к + ф* (с) + ... + фр-1 (с) в противном случае

(ф= £2(; + 1)ф:(с).г

Заметим, что обе эти группы, пН и С(п, ф), являются подгруппами группы Ht (F) и что С (п, ф) с пН.

Следствие. В ситуации предположения 4.15.4 группа Ht(F) имеет базис, не содержащий элементов групп С (п, ф) при п > 3.

Доказательство. Если т^О, то это непосредственно следует из теоремы 4.15.8. Если т = 0, то заменим t на i+Z2, а и — на и + и2. Здесь g > 2, как это следует, например, из формулы Римана — Гурвица 4.14.22. О

Лемма. Пусть сеНДРу Тогда ф*(с)~с в том и только в том случае, если

с = 2 (MQ + Ъг\и^ с ab bi^Z. □

Следствие (Аккола [Accola 1967]). Пусть F — замкнутая ориентируемая поверхность рода ^ >2, и пусть ф: F ^ F — сохраняющий ориентацию гомеоморфизм конечного порядка. Допустим, что найдутся четыре таких (линейно независимых') элемента, с,, с2, с3, с^еНДЕ), что

v(cn с3) = v(c2, с4) = 1,

•v (cv сД) = V (cv сД = V (с2, с3) = V (с3, с4) = О,

Ф* (ci) = с< пР“ 1 ^ i ^ 4.

Тогда гомеоморфизм ф — тождественный.

Доказательство. Если ф^idr, то мы можем считать, что Порядок его равен простому числу р. Выберем базис группы \(Р), полученный из системы образующих группы iti(F), согласованных с ф, которые введены в теореме 4.15.8.

Если m^O, то из леммы 4.15.11 и пункта (с) теоремы 4.15.8 следует, что для любых с, deHt^F) равенства

Ф* (с) = с, ф* (<1) = а

могут иметь место, только если v (с, d) = 0 mod р. Так как, по предположению, v(cn с3)= 1 и if* (с,) = с,, то ясно, что m = 0.

Пусть теперь с( = ш{ + a,t + btut при 1 ^ i ^ 4, где ш4 — линейные комбинации элементов {^}, {uj (2 ^ / < g). Из пункта (с) теоремы 4.15.8 следует также, что

v(wt, u;*) = 0modp при l^i, к ^4.

Подсчитаем: '

1 = (с,, с8) = а^з — а3Ь, + {шз, w,\= aj)s — asb, modp,

1 S3 alb4 — aj>* mod p,

0 S3 a,bx — a*6t ■ a,b4 — a4bt = o26s — а3Ь, = 0*64 — a463 mod p.

Следовательно,

0 = a, (a,b4 — 046,)+84 (0,6, — 0,63) = a, (a*bt — 846,) = s, mod p,

0 = 64 («ib, — ajbx\* b* (a,b4 — atb,) — b, (axbt — b,a4) = b, mod p.

Это противоречит тому, что 1 ^ aj^ — asbt mod p.

Поэтому порядок гомеоморфизма ф равен 1. □

Лемма. Пусть р — порядок гомеоморфизма ф и сеН^Е).

Допустим, что р и п взаимно просты и что m = 0. Тогда

с^С(п, ф) -**- с = 2 («,{О + Ь, {u,}) + nd,

1=1

где а,, 6, е Z и d е Ht (F).

Допустим, что р = п и тп > 0. Тогда

сеС(п, ф) ** с = S (а? {^} + bj {и,}) + 5 е [Sj] + pdt

где at, bi, е е Z и d^ H^F^.

Доказательство. Запишите с в виде линейной комбинации элементов согласованного с ф базиса и приравняйте коэффициенты modn. □

- Предложение. Обозначения те же, что и в предположении 4.15.4.

Если гомеоморфизм ф: F -*F имеет простой порядок р, то С(п, ^fnH ^(7^q, 8де

q = 2g, если p и н относительно просты или m = 0, и

q = 2g + nt — 2, если p = n и m > 0.

Никакой базис группы Н4(Ру не может содержать более q элементов группы С^п, ф).

Доказательство, (а) является прямым следствием леммы 4.5.13.

(Ь) Элементы базиса группы Ht(F) не являются нетривиальными кратными других элементов. Поэтому если некоторый базис содержит г элементов группы С(п, if), то порядок группы С(п, ^/пН будет не меньше пт. □

Следствие (Серр [Serre 1960/61]). Пусть F — ориентируемая замкнутая поверхность рода у>2 и if: F-* F— гомеоморфизм конечного порядка. Если if индуцирует тождественный автоморфизм группы Нг (F, Zn) при некотором п 3, го гомеоморфизм if — тождественный.

Доказательство. Достаточно доказать это утверждение в случае, если порядок if — простое число р> 1. Допустим, что в' —простой делитель числа п. Из того, что ф индуцирует тождественный автоморфизм группы Нг (F, Im^ следует (например, в силу теоремы универсальных коэффициентов, см. [Spanier 1966, § 5.2]), что

С<п\ ^ = H^F)^Zy.

Из предложения 4.15.14 получаем:

2у = 2g > 4, если (р, n') = 1 или m = О;

2^ = 2g + m — 2, если p — n' и m > 0.

Из формулы Римана — Гурвица 4.14.22

4<4?-4 = р^2-2 (1--^) +4g-4^

вытекает, что в первом случае р = 1 и, следовательно, ф = idF, а во втором случае g = 0, поэтому m ^ 6 и р = п’ = 2.

Остается, таким образом, лишь случай, когда р = 2, а п является степенью двойки. Пусть п = 2“. Как и раньше, g = 0, поэтому:

G = (sp ...,3m|s[, ,..,$=,, $i .,.$„)

Ж ni(F) = ker(p, где <p: G->Z2, s{ ■-* 1 (Z2 = {0, 1}). Используя метод Райдемайстера — Шрайера 2.2.1, мы получим, что

Л1 (F) = <Х3, Уз, ..., Хт, уп | R>, Xi = sis?1, у, = S1sh

|де каждый образующий со своим обратным входят в R ровно Яо одному разу. Поэтому образующие дают базис группы H^F*). Действие группы G/nt(F) в группе nt(F) задается так:

1Xi I— SiXiS-1 = уь Уг** SxyiS~X = Хц

В поэтому действие гомоморфизма ф* в Hf(F) определяет нетривиальную перестановку векторов вышеуказанного базиса. Таким Образом, действие не индуцирует тождественного автоморфизма группы HY (F, Zn) □

Следствие. Пусть F— замкнутая ориентируемая поверхность рода •у ^ 2 и ^; F -* F — гомеоморфизм конечного порядка.

Пусть порядок гомеоморфизма ф делит п, и пусть р — наименьшее простое число, делящее п. Допустим, что некоторый базис группы гомологий Ht (F) содержит более 2Vp 1 + 2 таких элементов с, что ф* (с) = с. Тогда гомеоморфизм ф — тождественный.

Если в НДР) существует базис, который содержит более 7 + 1 элементов, остающихся неподвижными при ф*, то гомеоморфизм ф — тождественный.

Доказательство — упражнение 4.27. □

Конечные группы симметрий поверхностей изучались, в основном, в качестве групп конформных отображений римановых поверхностей в себя. К этой ситуации относится следствие 4.15.3 (Гурвиц [Hurwitz 1893]). Комплексно аналитический подход лежит в основе работ Акколы [Accola 1967] и Джилман [Gilman 1977]. В этой главе мы развили комбинаторную теорию плоских разрывных групп, включающую в себя формулу Римана —Гурвица. Поэтому мы смогли перевести работы Джилман на язык комбинаторной топологии и доказать результаты пунктов 4.15.4— 16 без использования комплексно аналитических теорем.

Доказательство предложения 4.15.1 получено в сотрудничестве с М. Меллисом и У. Шадовски (Бохум) при изучении (евклидовых) кристаллографических групп. Дополнительную литературу по теории автоморфизмов римановых поверхностей см. в конце § 4.14 и гл. 7. Кроме того, см. Эдвардс (препринт), [Gilman 1976, 1982], [Macbeath 1973], [May 1975, 1977, 1979], [Moore 1970, 1972].

Упражнения 4.24—27.

§ 4.16. О ранге плоских разрывных групп

Напомним, что рангом группы называется наименьшее число элементов, необходимое, чтобы породить группу (определение 2.1.12). Теорема Грушко 2.9.1 утверждает, что ранг ведет себя аддитивно при свободном произведении. Очевидно, что это не так в случае свободных произведений с объединенной подгруппой. Дж. Нильсен поставил проблему: определить, действительно ли у плоской разрывной группы (sv s2, s3, s4, s5|si, s2> s3» si. s”’ ^1^2^з^4^5^ не может быть меньше четырех образующих. При более общей постановке можно спросить о ранге производьной плоской разрывной группы. При помощи теоремы Грушко эту проблему можно свести к более простой, если группа не имеет компактной фундаментальной области. Для групп с компактной фундаментальной областью, не содержащих отражений, проблема также решена. Решение дается следующей теоремой:

4.16.1. Теорема. Группа4.16.1. Теорема. Группа

4.16.1. Теорема. Группа

4.16.1. Теорема. Группа

еде h, > 2, имеет ранг

2g, если тп = О,

тп — 2, если g = 0, тп четно и все числа К, кроме одного, равны 2, а оставшееся число нечетно,

2g + тп — 1 во всех остальных случаях, когда G — бесконечная группа, т. е. в случаях:

g>0, ш>0;

g = О, тп 5® 4 — четное, и по крайней мере два из чисел й4 отличны от 2;

g = 0, тп^З нечетно;

g = О, m 5® 3, и все числа ht четны.

У этой теоремы имеется длинное комбинаторное доказательство, основанное на обобщенном методе Нильсена, описанном в § 2.10; такое доказательство можно найти в статьях Цишанга [Zieschang 1970], Печинского, Розенбергера и Цишанга [Peczyn- ski — Rosenberger — Zieschang 1975]. Исключительный случай найден Бернсом, Каррасом, Петровски и Перзицки в 1973 г., он был пропущен в статье [Zieschang 1970]; мы поместили его в качестве упражнения 4.28. Из теоремы 4.14.1 легко вывести

Следствие. Группа

имеет ранг g при g> 1, пг = О и ранг m + g — 1 при g^ 1, m> 1 “ I™, 2)^(1, 1)-

Доказательство. При m = 0 достаточно прокоммутиро- вать группу G. Если m = 1, то введем соотношение st = 1, и требуемое утверждение будет следовать из предыдущего случая. Предположим теперь, что тп 5® 2. Группа G содержит обращающие ориентацию элементы, а именно V;. Подгруппа U индекса два, состоящая из сохраняющих ориентацию элементов, имеет задание

U = ^«1, 4, ...,8m, Sm, Xv yv . . ., Xg-i, У g-г | 4\ S^, . . .

)->)->..., 4m, stm, П st п х3у3 (п 4-1 П У№

)->

)->

см. упражнение 4.14, где это представлено как пример на метод Райдемайстера — Шрайера. К подгруппе U можно применить теорему 4.16.1 с 2тп и g — 1 вместо тп и g. При g>l ранг равен 2(g—l) + 2m —1; при g = l группа U.имеет четное число обра- вующих нечетного порядка, соответствующих вращениям, поэтому исключительный случай 4.16.1 (Ь) встретиться не может и ранг равен 2m — 1.

Из теоремы 2.2.1 Райдемайстера — Шрайера о заданиях подгрупп следует, что если г — ранг группы G, a U — подгруппа группы G индекса с, то

rankU < с(г— 1)+ 1.

Следовательно,

2(g—1)+2m—1 ^ 2(г—1)+1, т. е. r>m + g-l. □

Определить ранг групп, содержащих отражения, этим способом нельзя, и вопрос по-прежнему остается открытым. В связи с действием группы в плоскости интерес представляет другое минимальное число образующих, а именно, минимальное число образующих, полученных при помощи фундаментальных областей, см. конструкцию в § 4.5.

Определение. Пусть G —группа автоморфизмов плоской сети Е, и F — фундаментальная область для G. Пусть г, обозначает количество таких пар {х, х-1} с G, что пересечение FDFx имеет размерность 1. (В терминологии из § 4.11, F и Fx являются соседями.) Геометрический ранг группы G, по определению, равен минимальному из чисел т,, где F пробегает все фундаментальные области. (Напомним, что комплекс на Е можно изменять, см. § 4.3, меняя при этом задание группы G.)

Теорема. Группа

автоморфизмов сети Е имеет геометрический ранг 2g, если пг = 0,

2g + m — 1, если g > 0, ш > 0 или g = О, m > 3.

Группа

Ъ-^Ч» ..., sm, vx, .... vjs?1, ..., s^, П^П^имеет геометрический ранг.

g, если m = О,

g + тп, — 1, если m > О, g > 0.

Доказательство. Указанные числа являются верхними оценками геометрического ранга потому, что нам не нужна специальная отмеченная точка на факторповерхнЬсти Е/G, а мы можем выбрать в качестве нее какой-нибудь центр вращения, см. рис. 4.16.1. Если мы воспользуемся для этого центром вращения Sm, то получим задание

G = ^$х, ..., sm_x, tx, их, ..., tg, ug | sx\ ..., s^1,

(I#l, mJ . . . [^ Ug] sx ... Sm-i)1*”1/ c 2g + m — 1 образующими.x

174

Чтобы убедиться в том, что указанное в теореме число является оценкой снизу для геометрического ранга, рассмотрим эйлерову характеристику факторповерхности E/G. Пусть F — фундаментальная область. Не меняя эйлеровой характеристики, мы можем скомпоновать грани области F в одну. Тогда все ребра й вершины области F окажутся на ее границе. Кроме того, мы

Рис. 416.1

Можем считать, что 9F содержит ровно rF пар ребер. Таким образом, E/G наделяется структурой комплекса с одной гранью и rF ребрами. Образы центров вращения являются вершинами (это требует дополнительного рассмотрения вращений порядка 2). Поэтому эйлерова характеристика в ориентируемом случае больше, чем m — rF + 1, и, таким образом, ’

2 — 2g >т — rF+l и rF>2g + m — 1.

В неориентируемом случае мы получаем

2 — 2g^m — rF + 1 и rF 5= g + m — 1.

Это дает желаемые формулы при m > 0. Если m = 0, то комплекс E/G содержит, по крайней мере, одну вершину. Из этого следует, что 2 — 2g 5= 1 — rF+1 и 2 — g> 1 — гг + 1 соответственно. □

Геометрический ранг не изменится, если мы от комбинаторной теории перейдем к группам гомеоморфизмов, действующих на плоскости, возможно, с достаточно общими фундаментальными областями, см. [Peczynski — Rosenberger — Zieschang 1975, § 4].

Упражнения 4.28—29.

Дополнительная литература к главе 4:

' [Appell — Goursat 1930]. [Armstrong 1968], [Bailey 1961], [Baumslag 1962], [Best 1973], [Cohen 1974], [Jonsson 1970], [Maskit 1965], (Медных 1979], [Purzitsky 1974], [Purzitsky—Rosenberger 1972], (Rosenberger 1972, 1973], [Schattschneider 1978], [Scherrer 1929], [Stothers 1977].

Упражнения

Докажите лемму 4,1.9.

Пусть х — элемент бесконечного порядка, Р — точка, a R — компактная область. Докажите, что Рх" лежит вне 7? для всех достаточно больших п.

Докажите, что универсальные накрывающие (т. е. накрывающие, соответствующие тривиальной подгруппе) ориентируемых поверхностей рода >0 и неориентируемых поверхностей рода >1 являются плоскими сетями.

Пусть Е — плоская сеть, a G — плоская разрывная группа, действующая в Е, не содержащая отражений и имеющая компактную фундаментальную область. Докажите, что каноническое отображение Е -► E/G является разветвленным накрытием, см. определение 3.3.1.

Докажите теорему 4.4.3.

Рассмотрите сеть, состоящую из квадратов евклидовой плоскости с вершинами в точках с целыми координатами. Докажите, что группа, порожденная вращениями порядка 4 вокруг точки (0, 0) и (0, 1), имеет компактную фундаментальную область, и найдите каноническое задание этой группы.

Найдите фундаментальную область и каноническое задание группы всех автоморфизмов сети из квадратов.

(а) Найдите все группы автоморфизмов сети из квадратов, обладающие компактной фундаментальной областью.

(Ь) То же самое в случае сети из треугольников и сети из шестиугольников.

Докажите теорему 4.6.3 (с).

Докажите, что максимальными конечными подгруппами плоской разрывной группы с заданием <(4.5.7) | (4.5.8) > или < (4.5.7') | (4.5.8') > являются следующие подгруппы, и только они:

подгруппы порядка 2, порожденные отражениями,

циклические подгруппы порядка Aj и

диэдральные группы порядка 2А^ j.

Пусть G, G' имеют задания <(4.5.7) | (4.5.8) >, и пусть G и G' изоморфны. Докажите, что т = т' и что наборы чисел /ц и h't совпадают с точностью до перестановки.

Докажите, что нормальная подгруппа, порожденная элементами »«, является характеристической.

Докажите лемму 4.7.5 для групп с обращающими ориентацию элементами.

Найдите числа ^, т' и порядки вращений hv ...,hm для подгруппы G обращающих ориентацию элементов (по поводу определения этих чисел см. задания групп в теореме 4.5.6). Например, воспользуйтесь методом Райдемайстера — Шрайера из § 2.2.

Найдите все контрпримеры к тому утверждению, что при отсутствии отражений два элемента коммутируют, только если они являются степенями одного и того же элемента. Докажите это утверждение во всех остальных случаях. Что происходит, если допускается отражение?

Определите, какие из групп типа 4.11.3 не являются нетривиальными свободными произведениями.

Докажите, что треугольная группа ^х, «2, «3|»“, »g, »j, s^»^ содержит Z ф Z в качестве подгруппы индекса

при а = Ъ = 4, с = 2,

при а = Ъ = с = 3,

6 при а = 6 = 3, с = 2.

Докажите, что группа^, е2, s31 s”, s",»”, s^s^ при нечетном п содержит фундаментальную группу замкнутой ориентируемой поверхности

рода (n—1)/2 в качестве нормальной подгруппы индекса п. Что происходит при четном п? (Докажите, в частности, что при п = 8 эта группа не содержит фундаментальную группу замкнутой ориентируемой поверхности рода 2, 3, 4 или 5 )

Докажите, что ориентируемая поверхность рода 6 не накрывает ориентируемую поверхность рода 3.

Пусть G — плоская разрывная группа, состоящая из автоморфизмов, сохраняющих ориентацию, которая содержит треугольную группу D. Докажите, что D имеет в G конечный индекс и что группа G тоже является треугольной.

Найдите все конечные группы сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов тора Г, т. е. замкнутой ориентируемой поверхности рода 1, н сравните результат со следствием 4.14.24.

Докажите, что фундаментальная группа замкнутой ориентируемой поверхности F рода 7^2 содержит бесконечно много нормальных попарно не изоморфных (и даже бесконечно много характеристических) подгрупп конечного индекса. Докажите, что они являются фундаментальными группами замкнутых ориентируемых поверхностей рода, большего, чем у.

Докажите последнее утверждение в и. 4 14.27 (е).

Пусть А — конечная абелева группа, тривиально действующая на U ^ Zn. Докажите, что всякое расширение G группы U при помощи группы А изоморфно Zn Ф В, где В — подгруппа группы А.

Исследуйте ситуацию следствия 4.15 3 в случае поверхностей ро-

Докажите лемму 4.15 5.

Докажите следствие 4.15 16.

Докажите, что ранг группы (s^ »2, sg, $4 | s2, s|, s^, s2, $1$2$з$4^ Ра'

Докажите, что группа <t, u|[i, a]2n+I> (n ^ 2) разложима. Воспользуйтесь тем, что группа из упражнения 4 28 является ее факторгруппой.

Пусть р, q, г — различные простые числа и D = (s^ »2, sg | s₽, s’, s', *1®2®зХ Тогда никакая собственная нормальная подгруппа N < D не имеет элементов конечного порядка.

Пусть G — плоская разрывная группа, все элементы которой сохраняют ориентацию. Если G имеет элементы конечного порядка и не является треугольной группой, как в упражнении 4.30, то G содержит собственную нормальную подгруппу N, имеющую элементы конечного порядка.

Пусть п ^ 3, п 5s ш, а,, Ь, 5= 2,

Н = <zr ..., zn [ x^, .... 4”, xr..xn)

Ж /: G ->■ H — эпиморфизм. Тогда:

/(si) = у^”^-1 для 1 ^ i ^ m,

m=n, (a4, bh J =1, n

если n 5$ 4, to ^ "' /, ) есть подстановка.

(Для доказательства воспользуйтесь теоремой 4.16.1 о ранге.)

Пусть G и Н —такие же, как в упражнении 4.32, и пусть f: G-»-H — эпиморфизм с / ($,) = ^^Г1. Если группа кег/ не имеет

* /1 ... m \

Влементов конечного порядка и если^ J — подстановка, то /

12 х. Цишанг и др.

является изомррфизмом. Кроме того, при каждом i имеем а^ = Ъц и оц = ва emodaf, где в = ±1.

Пусть ^,6^2, ^ + 7 + Г ^ 1 ’

Н = (^Г *2' Х3 I ^ ^ Л3* Ws)’

и пусть /: G-»-H эпиморфизм, в ядре которого нет элементов конечного порядка. Докажите:

Если числа аь аг, ад попарно различны, то / — изоморфизм.

Если bi, 62, &з > 6, то / — изоморфизм.

Пусть

'и4 (V,)‘>-

Докажите:

Формула s1>— z , $2i— z~1z®z1 определяет гомоморфизм a: G-+H.

Если а > 2 и 2 > 6, то а является эпиморфизмом, причем ядро кега нетривиально и не имеет элементов конечного порядка.

Пусть G и Н — такие же, как в упражнении 4.35, и допустим, что имеется эпиморфизм /: G-*-H с нетривиальным ядром. Если кег/ не содержит элементов конечного порядка, то 2 > 6 и а > 2.

(а) Пусть F — фундаментальная группа замкнутой поверхности F. Допустим, что F содержит конечно порожденную нетривиальную нормальную подгруппу N. Тогда либо [F: N] < оо, либо F является тором или бутылкой Кляйна.

(Ь) Исследуйте этот же вопрос в случае произвольных поверхностей, см. упражнение 2.9, и в случае нормальных подгрупп плоских разрывных групп.

(Упражнения 4.30—38 взяты из статьи [Цишанг 1976]; результаты упражнения 4.35 содержатся также в статье [Knapp 1968], где можно найти другие примеры того же сорта.)

АВТОМОРФИЗМЫ ПЛОСКИХ ГРУПП

В этой главе мы докажем, что каждый автоморфизм фундаментальной группы поверхности индуцируется гомеоморфизмом (теорема Дена — Нильсена), и охарактеризуем те гомеоморфизмы, которые индуцируют тождественный автоморфизм фундаментальной группы (теорема Бэра). В этой главе мы будем поль- юваться в основном аргументацией комбинаторной теории групп, в отличие от доказательства теоремы Дена — Нильсена в § 3.3. Преимущество такого подхода состоит в том, что мы оказываемая в состоянии доказать подобный результат также для случая неориентируемых поверхностей и плоских разрывных групп.

Предварительные рассмотрения

Пусть Е — плоская сеть, G — ее группа автоморфизмов, а а— автоморфизм группы G. Будем говорить, что «а можно реализовать гомеоморфизмом», если найдутся два подразделения Е' и Е" сети Е и изоморфизм ц: Е'->Е" с а(я) = ц-'ят], xeG. Действие группы G в Е естественным образом продолжается на Е' и Е".

Будем называть ц гомеоморфизмом и перенесем это понятие на случай поверхностей. Если взять за основу, скажем, кусочно линейную теорию, то, очевидно, в качестве ц можно выбрать Кусочно линейный гомеоморфизм.

В этой главе мы докажем, что каждый автоморфизм плоской разрывной группы без отражений можно реализовать гомеоморфизмом (теорема 5.8.2). Если G является группой поверхности "(Т. е. отсутствуют образующие s,), то подразделение сети Е ■ндуцирует подразделение поверхности Е/G и ц превращается * гомеоморфизм поверхности Е/G. Таким образом, каждый автоморфизм фундаментальной группы поверхности F можно реализовать гомеоморфизмом поверхности F. Этот результат известен как теорема Дена — Нильсена 3.3.11, см. [Nielsen 1927].

Разумеется, когда мы говорим об автоморфизмах фундаментальной группы, мы должны помнить об отмеченной точке; по- Втому нужно потребовать, чтобы гомеоморфизм ц оставлял отмеченную точку неподвижной в Е/G. Если учесть также центры ■ращений, лежащие в Е/G, то общую теорему можно будет Сформулировать и как теорему о поверхностях. А именно, гомео-

морфизм поверхности E/G, переставляющий центры вращений и оставляющий отмеченную точку неподвижной, индуцирует автоморфизм группы G. Если мы удалим из Е/G «маленький» диск вокруг каждого центра вращения и вокруг отмеченной точки, то фундаментальная группа продырявленной поверхности будет представлять собой свободную группу G с образующими St, S2, ..., 8т и 7\, U1JL Tg, Ug (соответственно, Уи ..., VJ «из G». Автоморфизм a: G-»-G, производящий перестановку гомотопических классов граничных кривых, соответствующих вращениям одинакового порядка (или отображающий их в им подобные), и переводящий разрезы канонического разреза друг в друга, можно реализовать гомеоморфизмом. Этот гомеоморфизм можно продолжить на Е/G, отображая соответствующие диски надлежащим образом. Если автоморфизм а индуцирует гомеоморфизм а, то гомеоморфизм плоскости, накрывающий гомеоморфизм поверхности, реализует а. То условие, что а переставляет классы компонент края, соответствующих вращениям одинакового порядка, и оставляет неподвижной малую петлю, охватывающую отмеченную точку, выражается алгебраически равенствами

a (Si) = ьДьт\

а(ШЛ^, 17.])-£(П5Л[Г„ Z7,])CL_1 для е, е< = ±1.

Мы докажем, что при заданном а существует такой автоморфизм а.

Бинарные произведения

Для доказательства теоремы Дена — Нильсена нам потребуются некоторые результаты о специальных соотношениях между элементами свободной группы. Для этого мы воспользуемся методом, относящимся к комбинаторной теории групп, отвечающим замене «геометрических образующих» фундаментальной группы при помощи бифуркации. Он называется методом бинарных произведений.

Определение. Пусть S —свободная группа с образующими Slt S2, ... Пусть Xt, Х2, ..., Хп — такие элементы группы S, что

Х^Х^ХТ1, е{=±1,

Пусть Xt, ..., Х„ — буквы, и пусть Пх = Пх (Х^..., Х„) — такое слово из символов Xf1, что каждая буква X,, ..., Хт входит в него ровно один раз (либо с показателем +1, либо с показателем —1), а каждая из букв Хт+1, ..., Х„ —ровно два раза (и, значит, не более двух раз с показателем +1). Будем называть {Хп ...,Х„;Пх} бинарным произведением. Пх(Х) = nx(Xlt..., Хп)

представляет собой элемент группы S, который получится, если вместо X, подставить Х„ Он называется значением бинарного произведения в S. Бинарное произведение {Xv ..., Хп; Пх} называется альтернирующим, если Хт+1, ..., Хп появляются один раз с показателем +1 и один раз с показателем —1. Символы X, (а иногда и элементы X,) называются сомножителями бинарного произведения. По аналогии с бифуркациями поверхностей определим бифуркации бинарных произведений.

Определение. Следующие операции называются бифуркациями1.

Если в Пх имеется фрагмент .. .Х,Х... с Y^i^m, то определим символы Y„ / — 1, ..., п, при помощи равенств Y< = = Х-1Х,Х, Yj = X„ /^i, и введем соответствующие новые элементы Yi = X-1X1X, У, = Х„ ]=£ г. Пу получается из Пх, если написать слово YY, вместо фрагмента Х,Х и в остальных случаях заменить X, символом Yj.

Операция, «обратная» операции (а). В этом случае у нас имеется участок ... XX,..., который мы заменяем при помощи равенств Y( = XX,X-1, Y, = Х„ j^i, и записываем Пу = = ...Y,Y..., ¥г = Х^Х"1, У,. = Х„ I.

Пусть Пх = ... Х,Х ... X®..., i > m, е = ± 1. Тогда положим Y, = Х,Х, Х = ХЯ i^i, У, = Х,Х, Y3 = Xh i^i, и П¥ = = ...Yt...(Y,Y-1)®.

Если Пх = ...XXi... X®.... i > m, e = ± 1, то положим Y, = XX„ Y, = X„ i^i, Yt = XX„ Y, = Xh j^i, Пу = ... Y,... ... (Y'Wi)8.

Определение. Два бинарных произведения называются родственными, если одно из них можно превратить в другое при помощи конечного числа следующих операций:

Перенумерация первых m и последних п-m образующих.

Замена сомножителя на обратный ему.

Бифуркации 5.2.2 (a) —(d).

Следующие свойства усматриваются непосредственно.

Лемма, (а) Сомножители родственных произведений порождают одну и ту же подгруппу группы S.

Родственные произведения имеют одно и то же значение Пх(Х)в S.

Произведение, родственное альтернирующему, само является альтернирующим. □

Чтобы описать бифуркации (и операции 5.2.3 (а), (Ь)) в геометрических терминах, рассмотрим поверхность с тп дырами. В этом случае граничная петля диска, получающегося из разреза, определяет бинарное произведение. Оно является альтернирующим, если поверхность ориентируема, и не является таковым В неориентируемом случае. Если X, — петля разреза, обходящая Один раз i-ю компоненту края, а X — петля разреза, идущая по граничному пути вслед за Х„ то Х-1Х,Х также есть кривая, проходящая один раз по i-й компоненте края, а ... Х(Х-1Х,Х)...

тоже представляет собой разрез, получающийся из исходного при бифуркации поверхности. Остальные операции можно представить наглядно аналогичным образом, (ср. § 3.2). Подведем итог:

Лемма. Если бинарное произведение возникает из разреза поверхности (с краем), то все родственные бинарные произведения тоже возникают из разреза той же поверхности. □

Каждый сомножитель в бинарном произведении, будучи словом из образующих 8(, имеет некоторую длину, и можно говорить о половинах сомножителей. Сомножитель X называется несущественным, если он стоит в Пх после X-1 или равен единичному элементу группы S.

Процедура нахождения образующих подгруппы свободной группы, обладающих свойством Нильсена, может быть применена для доказательства следующей теоремы: (ср. [Zieschang 1964]).

Теорема. Для каждого бинарного произведения существует родственное бинарное произведение, обладающее следующими свойствами:

Не более половины каждого существенного сомножителя сокращается соседним сомножителем.

Ни у какого существенного сомножителя обе половины не сокращаются обоими соседями.

Если начальный сомножитель является существенным, то сокращается меньше его половины. □

Чтобы добиться выполнения свойства 5.2.6 (с), с первым сомножителем, у которого сокращается половина, обращаются как с сомножителем, который сокращается до середины с обеих сторон.

Определение. Бинарное произведение, удовлетворяющее условию 5.2.6 (а), называется редуцированным, а если оно удовлетворяет также и условиям 5.2.6 (Ь), (с), то говорят, что оно обладает свойством Нильсена.

Пусть группа S обладает свободными образующими St, ..., Sm и Tt, Ut, ..., Tg, Ug либо Vb ..., Vg соответственно, и пусть П* = Sx... Sm П [Т,, Ut] либо П* = Sj... SmVi... Vg соответственно. Чтобы не различать постоянно эти два случая, будем записывать элементы группы S в образующих Ht, ..., Нп. При этом {Иц ..., Нп; Щ} — бинарное произведение. ’

Теорема. Если {Хп . ..,Хп.;Пх] является бинарным произведением в S с п'^п, Х,= Х^Н^Х^1, l^r^m, i^m', е, = ±1, и Пх(Х) = П*(Н) в S, то m' = т, п' = п и бинарные произведения {Хп .. ,,Хп;Пх] и ^Hv ..., Нп; П*} родственны.

Доказательство. Удалим все несущественные сомножители из (Хц . ..,Х„,;Пх] и получим бинарное произведение {Хц . ,.,Х„«;Пх] с п" ^п, в которое т" =т' сомножителей входят один раз. Превратим его в обладающее свойством Нильсе-

на родственное произведение, которое мы будем обозначать теми же символами. Удалим из него все несущественные сомножители и снова добьемся выполнения свойства Нильсена. Эта процедура закончится через конечное число шагов, и мы получим обладающее свойством Нильсена бинарное произведение без несущественных сомножителей. В нем от каждого сомножителя останется по меньшей мере по одной букве. Пусть Xf1 является первым Сомножителем вида L^S^L^ в Пх- Будем теперь вместо г, писать просто г. Так как S. не сокращается, то е = +1. Если К является частью слова Пх, стоящей перед Х^1, то Пх можно превратить в (КЬ^Д^К-1) ... = Пх при помощи конечного числа операций 5.2.2 (Ь), в результате чего Х( превратится в X; = (KLiS.LT1 К"1). Ясно, что Sr также не сокращается в Пх. Поскольку Пх (X) = Пх(Х), то Пх (X) = (KLiS.LT1 К"1) ... имеет вид (8г ... S.-1S.S7-1 ... ST1) St .. / S.-xS.^ ... ...Sm... Если убрать X, из Пх и S. из П*, то получатся бинарные произведения {Xv ..., Х{_г, Xi+1, ..., Хп„; Пх} и {<?!, ..., Sr-i, Sr+i, ..., Нт+1, ..., Ни; П*}, имеющие в S одно и то же значение, равное St ... Sr-i5r-n ••• 5тЦ[Л, ^Л] или X, ... 5r_x5r+i ... SnVt ...Vg соответственно. Условия теоремы по-прежнему выполнены, но т и т’ уменьшились на 1. За несколько шагов мы сможем удалить из Пх все сомножители, появляющиеся один раз. Если прокоммутировать и вычислить по модулю 2, то станет ясно, что ив П* ни один сомножитель не входит только один раз (т. е. т" =т). В силу свойства Нильсена мы можем также сделать вывод, что первый сомножитель равен Sv По индукции можно перейти к родственному бинарному произведению, в котором первые т сомножителей равны ^, .., Sm.

Таким образом, мы свели теорему 5.2.8 к следующей ситуации: {Xv ..., Хп; Пх} является бинарным произведением, в котором каждый сомножитель встречается два раза, и П* является произведением коммутаторов [Г,, £7,] или квадратов Ei соответственно. Разумеется, образующие S, могут входить в слова Xj. Предположим, что {Хп ..., Хп,; Пх} обладает свойством Нильсена и что отсутствуют несущественные сомножители, и разберем сначала «неориентируемый случай» Пх (X) = П* (У) = — У? ... Уп- Пусть после перенумерации Xf1 будет первым сомножителем в Пх, и тогда Х^1 = У® ... Vi-xViL или Xf1 = ■= У1 ... Vi-iL при i С g, где L есть та часть слова Х^1, которая Сокращается в Пх- Здесь l(L)^2(i — 1) или 2(i—1)+1. Поскольку Х±х еще один раз входит в Пх, второй случай не может иметь место. В первом случае от начальной большей поло- айны может остаться разве лишь символ У„ и он остается опять- 1вки в силу свойства Нильсена. Таким образом, за Хр1 также

следует множитель Х^1, и имеет место равенство Х^1 = Fi ... ... Pi-iP,(Pi ... Vi-i)-1. Как и раньше, из того, что i — 1 >0, следует, что п < п. Мы получаем теперь, что Пх = Х^Пх с Пх (X) = Pi ... Р<_! Pi+!... Р„. Если применить ту же процедуру к [Х2, ..., Хп,; Пх}, то неравенство п* <п приведет к противоречию. Но из того, что п' = и, следует, по индукции, что исходное бинарное произведение родственно произведению (Ри ... ..., Кп; Щ}.

В «ориентируемом» случаеПх(Х)=7'11717'Г1^Г1-• -TgUgTg 1UJ1 с g = п(2. Пусть Xi является первым сомножителем в Пх. В силу свойства 5.2.6 (с), сокращается менее половины слова Xi. Если обозначить через L сокращающуюся часть слова X,, то

получим следующие четыре случая:

Хх- П 1^,ид T^L,Z(L)<4(i - 1);

Хт= П I^b^1 Т№I(£)<4(i- 1)+1;

Хг= Д [Tj,ид T^iT?1!, I (L)<4(i - 1) +2;

XT= Д [Tj,ИД L,Z(L)<4(Z-l) +3.

Покажем, что возможен только случай (5.2.9).

Так как Xt в случае (5.2.12) появляется еще один раз, a L составляет меньше половины слова Х(, часть слова Д [Г,, UЯ оставалась бы при втором появлении сомножителя X,. Но этого произойти не может, поскольку П* не содержит больше ни одного из этих символов. В случае (5.2.11) при втором вхождении сомножителя X?1 01■ ТТ\Тi, U<1 TjUjTj1 мог бы остаться, самое большее, символ Ux. Это возможно лишь в случае вхождения символа Х^1, для чего сомножители X, и Х^1 должны быть соседними, и потому несущественными. В случае (5.2.10) первые i — 1 коммутаторов сократятся с частью второго вхождения сомножителя Xf1. Но Т^1 или U^x останется, поскольку в противном случае сократилось бы больше половины слова Xf1. По этой причине сомножитель Xt появляется второй раз с показателем —1, и, поскольку он является существенным, Т”1 не может оставаться, а П71 может. Если сомножитель Х2 идет вслед за Х„ то Г?1 должен входить в Х2 и не сокращаться. Тогда Х2 = L-1T7TM, и Xf1 следует эа Х2 в Пх. Но тогда Х2 = L^T^L, и символ ТГ1 должен оставаться при втором 184

вхождении сомножителя Х2. Однако это не так. Поэтому остается лишь случай (5.2.9).

Пусть Kw = П \Т3, и}]. Тогда Xt=KwTtL. Если Х2 является вторым сомножителем, то Х2 имеет вид Х2 = Е^и^М, и от Хг остается лишь Я„ так как КУ4 сокращается во втором вхождении сомножителя Х„ так что символ Т, должен оставаться. Таким образом, Х3г следует за Х2 в Пх, и поэтому имеет вид М-1Т7г (Х^))'1, так что М = L. Тогда, поскольку U^1 остается во втором вхождении сомножителя Х^\ сомножитель Х^1 должен следовать за Х^1, и мы имеем

Пх = ХДХ^Пх, Х^ХГ^Пх (X) = П* (Я).

Поскольку XTX2Xf 1Х^-1 = Kw VTb Я,] (Kwy\ мы имеем

Пх (X) = Kw [Т,^, Г{+1] ... [Tg, Яг] = П2 (Я).

Если мы будем проделывать то же самое с [Х3, Х4, ..., Хп,; Пх] и {Т1!, U^ . .., Tt_v LVi, Л-п, Z7i-i, . ..,Tg, Ug; П*] и продолжим так далее, то получим также, что п" =п, и теорема доказана. □

Следствие. Если а — эндоморфизм группы S с е, е, = ±1, а(Sj) = Е^Ч.™1, i = 1, пг, и а(П*(Я)) = = Ln® (Я) L-1, то а является автоморфизмом.

Доказательство. Пусть ф — внутренний автоморфизм группы S, переводящий X в L-1XL. Тогда аф является эндоморфизмом с аФ (S.) = L^L.S^^L и аф(П*) = П*. Если 8 = = — 1, то пусть ф — автоморфизм, отображающий Tt в Ug+l_t, U< в Tg^i-t или V, в Vg+j-j соответственно, и S, в (Si+i ... •.. Sm JJ [Т,, U^ 1 8г 1 (Si-ц ... Sm JJ IT,, Ujf) или в (Si+i ... ... SmVy ... Vg)-1 S?1 (S,+1 ... SmV3 ... V» соответственно. При этом П* перейдет в П”1. В силу теоремы 5.2.8, афф отображает {Ях, ..., Нп; П*} в родственное бинарное произведение {аф^Я^ ..., аффЯп; П*}; в частности, аффЯ^ ..., аф<|)Яп порождают ту же подгруппу, что и Яь ..., Яп, а именно, всю группу S. Но тогда афф, а значит и а, является автоморфизмом. □

При g = 1 это следствие содержится в работе Нильсена [Nielsen 1918]. Оно известно также и при g = 0. В этом случае наши операции 5.2.2 (а), (Ь) представляют собой операции над косами из работ Артина [Artin 1925, 1947, 1947'].

Метод бинарных произведений, сначала как метод альтернирующих произведений, появился в работах Цишанга [Zieschang 1964', 1965] первоначально для решения некоторых задач о телах с ручками. Теорема 5.2.8 дала толчок для нахождения нового доказательства теоремы Дена — Нильсена из работы Нильсена

[Nielsen 1927]. Фундаментальную роль в приложениях к телам с ручками играют уравнения из упражнений 5.1—3. Уравнение агЬг = с2 в свободной группе уже рассматривалось в работе Линдона [Lyndon 1959], но другими методами. См. также [Rosenberger 1978, 1978'].

Упражнения 5.1—4.

Гомотопные бинарные произведения

При бифуркациях бинарного произведения его значение не меняется. Однако бифуркаций недостаточно для доказательства теоремы Дена — Нильсена, требующего чего-то вроде гомотопической деформации кривых, при которой кривая перетягивается через отмеченную точку. Сейчас мы сформулируем соответствующее алгебраическое преобразование.

Определение. Пусть G — конечно порожденная группа и G — свободная группа, построенная на образующих группы G. Отображение, переводящее свободные образующие группы G в соответствующие образующие группы G, определяет гомоморфизм ф: G -> G с ядром N.

Пусть {Хх, ..., Хп; Их} и (Уи ..., Уп; Пу} — бинарные произведения в G. Если Х,= XiS^X^1 и Yt = УА-УГ1 для i^m с Yt = XtNt, ^eN, и Y, = XtN„ NteN, при 1>т, и если слово Пх получается из Пу при замене каждого ¥< на X, то эти бинарные произведения называются гомотопными. Тогда фХ, = фУ\, ф(Пх(Х))= ф(Пу(У)), т. е. гомотопные бинарные произведения в G дают одно и то же бинарное произведение в G.

Будем говорить, что бинарное произведение (Xv ..., Хп; Пх} разлагается (над N), если найдется подслово Пх слова Пх, содержащее собственное подмножество сомножителей, ни один из которых не появляется больше в Пх, н ф (Пх (X)) = 1 в G. Бинарное произведение называется разложимым, если некоторое родственное ему бинарное произведение разлагается.

Бинарное произведение {Хп ..., Хп; Пх} называется простым, если при Пх (ж) ^ N никакое собственное подслово слова Пх (рассматриваемое как редуцированное слово из образующих группы G) не лежит в N, и соответственно при Пх (X) е N никакое собственное подслово циклически редуцированного слова Пх(Х) не лежит в N.

Чтобы получить геометрическую интерпретацию, построим для G граф, вершины которого соответствуют элементам группы, как это делалось при доказательстве существования для плоских групп. Ребра, выходящие из вершины, соответствуют образующим и элементам, обратным образующим, и будут обозначаться соответствующими символами (см. доказательство теоремы 4.7.1). Тогда Пх(Х) является путем в этом графе. Произведение 186

{Хр ..., Xn; Пх} является простым, если путь становится простым после удаления шипов или если Пх(Х) принадлежит N И имеет вид ЛУЛ-1, где путь В прост и замкнут.

« 5.3.2. Теорема. Определим длину бинарного произведения Как длину циклически редуцированного пути, соответствующего Пх(Х). Если бинарное произведение {Хх, ..., Хп; Пх} не разложимо относительно N и не является простым, то существует более короткое произведение, гомотопное ему.

Доказательство. Мы можем предположить, что ни один сомножитель не равен 1 в G и что такие сомножители не появляются в результате бифуркаций. В противном случае этот элемент можно сперва отбросить, а потом вновь вставить в подходящем месте. Будем рассматривать Пх(Х) как не редуцированный путь. Редуцированный путь обладает замкнутым простым подпутем, содержащим двойную точку редуцированного пути. Применив к этому пути внутренний автоморфизм группы G, мы можем считать, что путь начинается в двойной точке. В конце доказательства мы применим обратное преобразование. Внутренний автоморфизм переводит {Xv ..., Хп; Пх} в другое не простое и не разложимое бинарное произведение такой же длины. Поэтому достаточно показать, что теорема верна в случае бинарных произведений, соответствующих редуцированным путям с началом в двойной точке.

При помощи теоремы 5.2.6 превратим {Xlf ..., Х„; Пх} в редуцированное бинарное произведение. Оно обладает тем же самым редуцированным путем и такой же длиной. Оно будет обозначаться теми же символами. Среди сомножителей Х{ нет такого, больше половины которого сокращалось бы с одним из его соседей. В частности, средний элемент Sr* в каждом сомножителе Х{ = XtS^ X-1 не сокращается. Для каждого сокращающегося символа в X,, i = 1, ..., п, в соседнем сомножителе найдется соответствующий обратный символ, который также сокращается. Будем говорить, что эти два символа образуют сокращающуюся пару, или что один из них является сокращающим партнером второго. Остающаяся часть сомножителя Х< называется его ядром и обозначается через |Х,|.

. Всем символам, кроме средних сомножителей слов Xt, i ^ m, доставим в соответствие формальных партнеров. Формальным партнером символа в Xt или X?1 будет соответствующий обратный символ в X?1, X, соответственно. Формальным партнером символа в Х{, i > m, будет такой же символ в X® в том случае, если X® появляется второй раз с показателем е; в противном случае им будет соответствующий обратный символ в XV6.

. Простой замкнутый путь, с которого начинается редуцированный путь Пх(Х), будет в дальнейшем называться петлей. Если в двойной точке начинаются шипы, то петля определена переду-

Рис. 5.3.1Рис. 5.3.1сомножителя, либо разделяет по крайней мере одну пару.Предположим сначала, что пара, соответствующая Х( (z>m), разделена двойной точкой и что символ 4 сомножителя X, и егосомножителя, либо разделяет по крайней мере одну пару.Предположим сначала, что пара, соответствующая Х( (z>m), разделена двойной точкой и что символ 4 сомножителя X, и егоцированным словом Пх(Х) не однозначно. Чтобы определить, принадлежат ли выходящие из двойной точки пшпы к нередуцированной петле (петле с шипами), зафиксируем двойную точку. Тогда вплоть до сомножителя, содержащего двойную точку, про каждый сомножитель можно сказать, принадлежит он (нередуцированной) петле или нет. Если один из двух сомножителей с индексом i > m лежит на петле, а второй — нет, то будем говорить, что двойная точка разделяет пару X,. Поскольку бинарное произведение неразложимо, двойная точка либо лежит внутри некоторого

Рис. 5.3.1

Рис. 5.3.1

сомножителя, либо разделяет по крайней мере одну пару.

Предположим сначала, что пара, соответствующая Х( (z>m), разделена двойной точкой и что символ 4 сомножителя X, и его

сомножителя, либо разделяет по крайней мере одну пару.

Предположим сначала, что пара, соответствующая Х( (z>m), разделена двойной точкой и что символ 4 сомножителя X, и его

формальный партнер не лежат на шипе. Если заменить 4 в Х{ остатком петли, как это показано пунктиром на рис. 5.3.1, то это будет гомотопическим изменением, поскольку петля лежит в N; в результате длина слова Пх уменьшится по крайней мере на 2. Эта укорачивающая операция лежит в основе следующего доказательства.

Переходя от символа попеременно к его формальным и сокращающим партнерам, мы получим цепочку символов; если мы начнем с сокращающего партнера и снова будем переходить к формальным и сокращающим партнерам, то получим еще одну цепочку. Соединим две такие цепочки, соответствующие одному символу, в одну цепочку и рассмотрим все максимальные цепочки. Возможно, что среди них найдутся цепочки, проходящие по простой замкнутой цепочке бесконечно много раз, но в любом случае найдутся простые открытые цепочки, концы которых лежат на редуцированном пути. Сделаем следующее

Предположение. Существует максимальная открытая цепочка, концы которой разделены двойной точкой.

Ясно, что эта цепочка не содержит средней буквы никакого сомножителя Х( (Кт).

Пусть эта цепочка есть Xt, ..., Кт, и пусть Kt лежит на петле, а Кт — вне нее. Пусть образующие группы G обозначены через Я,, ..., Я„. Редуцированная петля имеет вид PK,Q, где Р — путь из двойной точки в Kt, a Q — часть петли от Kt до двойной точки. Предположим, что Х{ = Я?*, ц, = ±1, при подходящем фиксированном / и К К г. Если заменить К{ на (^Р)_т,*п1, то получится новое бинарное произведение {Уц ... . ..,Уп;Пу}, гомотопное исходному (относительно N). Сравним /(Пу (У)) с /(Пх(Х)). Петля PK^Q заменяется шипом, и это укорачивает Пх(Х) на ЦР) + /((?)+! символов. Каждая пара

(K2i, ^2i + l), I — 1, • • •, -y — 1, является сокращающейся парой. Таким образом, K2i = К^!. Для каждой такой пары мы ввели более длинный шип (QP) ''^'.(QP^21^^ но это не меняет длины редуцированного слова. Вместо Кт вставили ^QP') ’lrT’1. При этом длина возрастает не более, чем на l(P) + l(Q) — 1. Отсюда следует, что

^(nY(y))^Z(nx(X))+Z(P) + Z(0-l-Z(P)-Z(0-l, так что длина уменьшилась по крайней мере на 2, и, таким образом, теорема в этом случае доказана.

Покажем теперь, что всегда можно перейти к родственному бинарному произведению, удовлетворяющему предположению 5.3.3.

Лемма. Если двойная точка разделяет пару с индексом г, то найдется родственное бинарное произведение, имеющее редуцированный вид, которое удовлетворяет одному из следующих условий-.

Существует максимальная открытая цепочка, концы которой разделены двойной точкой.

Сумма длин сомножителей уменьшилась.

Количество пар, разделенных двойной точкой, уменьшилось, а сумма длин сомножителей не изменилась.

Доказательство. Пусть пара, соответствующая X, (i> >m), разделена двойной точкой, и пусть Х,^!. Обозначим через Х^ символ, принадлежащий петле, а через Х^ — второй символ.

Можно считать, что никакой формальный партнер никакого символа из ядра сомножителя Х^ не принадлежит ядру сомножителя Х^, поскольку в противном случае условие (а) уже Выполняется. Тогда X, = АВ, где А и В имеют равную длину, Н одна из соответствующих слову А половин Л<о) и Л(а) сомножителей Xw и Х№ полностью сокращается; то же самое верно для В№ и Bw. Мы можем предположить, что Л(о’ и, следовательно, Bw полностью сокращается. Пусть X® — левый сосед Сомножителя Х-а). Тогда X® имеет вид X® = С (Л(а))~\ и С и 8 не сокращают друг друга полностью, l(C)^l(Aw). Если )^тп, то превратим X® в Y® = (Х^°^)-1 Х®Х-а> при помощи бифуркации; при j > m произведем бифуркацию, аналогичную бифуркации 5.2.2 (d).

Мы получим родственное бинарное произведение (Ух, ..., Уп", Пу} с прежней суммой длин сомножителей. В случае бифуркации 5.2.2 (d) это очевидно. В случае бифуркации 5.2.2 (Ь) это Также легко следует из того обстоятельства, что X, имеет вид Tj 1Sr^Xj. Если это слово не редуцировано, мы можем умень-

шить сумму длин сомножителей при помощи бифуркаций, и будет выполнено условие (Ь).

Пусть произведение {У v ..., Уп; Пу} редуцировано. При указанных выше бифуркациях все сомножители, кроме Х^, остаются на своих местах. Если Х^ сходит с петли, то выполнено условие (с). В противном случае либо найдется символ в ядре сомножителя Y^, имеющий формального партнера в ядре сомножителя Y^ (так что выполнено условие (а)), либо Yi0) и Y^a) образуют такую же пару, какую раньше образовывали Х(о) и Х^\ Проделаем то же самое с У, = Х4 = АВ и заменим Л** на B±l. После каждого шага либо мы добиваемся выполнения условия (а), (Ь) или (с), либо уменьшается количество сомножителей, начинающихся или кончающихся символами В или В-1. Однако последнее может произойти лишь конечное число раз. □ Окончание доказательства теоремы 5.3.2.

Предположим теперь, что условие 5.3.4 (а) ни разу не выполняется во время вышеописанной процедуры, так что мы получим редуцированное бинарное произведение (Zn .. .,ZU; П2}, родственное произведению (Xt, ..., Х„; Пх}, в котором ни одна пара не разделена двойной точкой. Покажем, что (2ц ..., Zn; П2} удовлетворяет условию 5.3.4 (а).

Пусть Z, содержит двойную точку, и пусть Zt = A\Zt\B. Если \Zt\ не содержит внутри себя двойной точки, то либо А, либо В — нетривиальное слово; в противном случае произведение {Zv . ..,2п;Пх} разложимо. Следовательно, мы можем выбрать символ Со в начале или конце сомножителя Zt, отделенный от своего формального партнера С, двойной точкой. Начиная с Со и Ct, построим цепочки C0C-i... и CtC2..., переходя сначала к сокращающему партнеру. Покажем, что ни одна из этих цепочек не переходит с петли на оставшуюся часть и с оставшейся части на петлю. Предположим, например, что Со находится на петле. Поскольку двойная точка не разделяет ни одной пары, C0C-iC_2... может сходить с петли лишь при помощи символа из Z4. Так как Со является начальным символом, то все символы С„ С_„... являются начальными либо конечными. Таким образом, C0C-tC-2... возвращается к Со при помощи сокращающего партнера, C-iC_2... возвращается к С-4 при помощи формального партнера и т. д. Возвращаясь все дальше и дальше назад, мы обязательно найдем символ, который является своим собственным формальным или сокращающим партнером. Это, однако, невозможно. Если Со не лежит на петле, рассуждаем аналогично. Таким образом, ... C-iC0CtC2Cs... образует максимальную открытую цепочку, концы которой разделены двойной точкой.

Мы, таким образом, перешли от нашего исходного бинарного произведения к родственному ему, которое гомотопно бинарному произведению меньшей длины. Если мы теперь обратим все бифуркации, восстановим необходимые единицы и обратим первоначальное сопряжение, то в результате получим бинарное про-

Наведение, гомотопное исходному (отношения «гомотопности» и «родственности», очевидно, коммутируют). □

Следствие. Для каждого неразложимого бинарного произведения найдется гомотопное ему бинарное произведение такой же или меньшей длины. □

Теорема. Пусть G = <$1?..., sm, tx, Uy, .. .,tg, Mg | s2 ... ... sm П [^ “il> или (sv ...,sm,v1,...,Ug\s1... smVy ... Vg) соответственно, и пусть G — свободная группа с образующими St, ..., Sm, Tt, ..., Ug или Sh ..., Sm, Vt, ..., Vg соответственно. Пусть a: G->-G— автоморфизм c aS^ = L\STXL^X, i^m, и пусть а индуцирует автоморфизм a группы G. Тогда произведение {aSv ..., aSm, aTy, ..., aUg, Щ.}, {aS'1, ..., aSm, aVy,...,aVg; Ilj соответственно, является неразложимым {относительно ядра N канонического гомоморфизма ф: G -»- G). Как и выше, П* обозначает произведение S1S2 ...Sm И [Тц U,] или SjS2 ...

... SmV( ... Vg соответственно.

Доказательство. Как и выше, будем записывать G как {йи ..., hn', Щ}. Пусть группа G свободно ^порождена элементами Hi, ..., Нп. Допустим, что произведение {аЯ1, ..., аЯ„; nJ разложимо. Тогда оно родственно разложимому бинарному произведению {Ny, ..., Nn; Пх}. Если мы применим к {Яц ..., Яп; П*} те же самые операции, которые превращают (аЯ1, ..., аЯп; П*} в разложимое произведение, то получим родственное произведение (Я^, ...,Яп;Щ] с аЯ} = N,. Пусть Пх — подслово слова Пх с Пм (Я) е N. Тогда Пх (фЯ) = 1 в G. Поскольку Пх (фЯ) = = Пх (фаЯ') = <раПх (Я'), то Пх (Я') лежит в N, поэтому \Ny, ..., Яп; Пх} разлагается, т. е. {Я1, ..., Яп; П*} разложимо. Но это противоречит, например, тому, что это произведение Соответствует каноническому разрезу поверхности с m дырами, бифуркации соответствуют геометрическим бифуркациям (ср. § 3.2) и никакое подслово граничного пути не становится тривиальным в фундаментальной группе. □ ' Другое доказательство использует диаграммы плоских групп. Кроме прочего, оно дает следующую теорему из работы Цишанга [Zieschang 1965, Theorem 7]. Ее доказательство мы оставляем читателю в качестве упражнения 5.5.

Теорема. Пусть группа G = <s1, .. ., sm, ty, ... ..., ug | s~\ ..., s^m, П*) или, соответственно, (sn ... ..., sm, Vy, ..., vg | s~\ ..., s Jm, П J бесконечна. Для простоты • обоих случаях будем использовать запись G = (hy, ... . •.. hn\hy\ • • •, ^mt П*)- Пусть G — свободная группа с образующими И,, ..., Яп, N — ядро стандартного гомоморфизма

ф: G -► G и а — эндоморфизм группы G с аЯ4 = ЦН^ЬТ1, 1 =5 ^г<^т, 1 ^ i ^ m, et = ±l, который индуцирует автоморфизм группы G. Тогда^бинарное произведение (aHv ..., аЯп; Щ,} неразложимо (над N). □

Понятие гомотопных бинарных произведений было введено в работах Цишанга [Zieschang 1964', 1965], где доказана также основная теорема 5.3.2. Этот результат является главным шагом в направлении теоремы Дена — Нильсена.

Свободные образующие группы соотношений

В этом параграфе мы изучим группу соотношений в случае разрывных групп. Это позволит нам определить в следующем параграфе некоторый аналог степени отображения. Оба параграфа взяты из статьи Цишанга [1966].

Пусть G — плоская группа с заданием, указанным в теореме 5.3.7. Для простоты вновь запишем G = Qiv ..., hn\ h~kl, ... ..., Л^™, П*). Пусть G — свободная группа с образующими Я,, ..., Ни, и пусть N — ядро стандартного гомоморфизма. Прописные буквы обозначают элементы группы G, строчные буквы — элементы группы G, и прописная буква отображается в соответствующую строчную при стандартном гомоморфизме.

Определение. Пусть ®(L) равно +1 или —1 в зависимости от того, сохраняет или не сохраняет LeG ориентацию, либо (что то же самое) является число образующих V,, входящих в L, четным или нечетным.

Пусть L = (ZJ — система представителей левых смежных классов группы G по N, удовлетворяющая условию Шрайера. Пусть 1ч — подмножество множества L, содержащее ровно по одному представителю смежных классов AN, ASiN, ..., LS^-W.

Теорема. Элементы L(П*(H^^L-1, Le L, и LS-^^tL-1, L^Lh, i = 1, ..., пг, свободно порождают N.

Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 4.7.1, рассмотрим плоскую сеть для G. Пусть С — одномерный остов этой сети. Тогда мы можем рассматривать N как фундаментальную группу графа С. В силу условия Шрайера, пути, соответствующие элементам AeL, образуют остовное дерево графа С (ср. § 1.6). Таким образом, для каждой вершины графа С существует однозначно определенный представитель, соответствующий пути, соединяющему 1 с этой вершиной. Если а — ребро, не принадлежащее дереву, a v и р — пути в дереве, идущие от 1 к началу и концу ребра о, то vap-1 является представителем класса путей, и множество этих классов образует базис группы N. Далее, vap-1 является простым замкнутым путем и ограничивает диск в сети группы G. Может случиться, что внутренняя

грань диска, содержащая о, соответствует соотношению S^1; тогда возьмем однозначно определенный элемент L г L,, соединяющий вершину 1 с точкой на границе этой грани. Путь £, соответствующий элементу L, лежит в диске, ограниченном путем хоц-1, и хоц-1 можно представить в виде произведения, как показано на рис. 5.4.1. Если грань, содержащая ребро о, соответствует соотношению — произведению, то выберем путь L е L,

ведущий в «начальную точку» соотношения-произведения, и разложим вышеуказанным образом. Выбросим образующую, соответствующую пути хоц-1, и вместо этого возьмем LS^^'L 1 или ЬП^’Ь"1 соответственно. Доказательство теперь заканчивается индукцией по числу граней, лежащих внутри пути. □

Доказательство тесно связано с порядково редуцированным заданием Райдемайстера — Шрайера, см. 2.2.10—2.2.12 и упражнения 4.13 и 4.14. Эта теорема следует также из результатов работы [Cohen — Lyndon 1963].

Если вникнуть в доказательство теоремы существования 4.7.1, то видно, что плоская сеть обладает ориентацией, относительно которой все граничные пути с началом в 1, соответствующие соотношениям /г~\ . .., й~йт, П^ДЬ), являются положительными. Так как положительные звезды, соответствующие обращающим ориентацию элементам и сохраняющим ориентацию элементам, обходятся в противоположных направлениях, то каждый образующий LS^^^^^L-1 или 7/П“(Г)Л-1 положительно ограничивает свою внутреннюю грань. Отсюда вытекает

Следствие. Пусть путь с началом в 1, соответствующий элементу N е N, является, не считая подводящего пути, простыл! и замкнутым. Тогда если записать N как редуцированное слово в свободных образующих из теоремы 5.4.2, то все образующие будут входить с одним и тем же показателем, +1 или — 1. □

Упражнение 5.6.

Матрица отображения

Пусть G, G и N обозначают то же самое, что и в § 5.4. Определяющие соотношения будут обозначаться через П,, i= *, 1, ... ..., ш, где П* = П* (Н) и Пг = .У"*4 для i = 1, .. ., m. Пусть

13 \ Цишанг и др

Zm+"i—свободная абелева группа с образующими е*, et, ..., em. Тогда имеет место

Лемма. Формулы КП^К-1 ~ е* и KS^^IC1 ~ <-> ej (i = 1, ..., т и A7 eG) определяют гомоморфизм 9: N ->•

Доказательство. Указанное отображение, примененное к образующим из теоремы 5.4.2, однозначно определяет некоторый гомоморфизм 9. Мы должны доказать, что наше отображение совпадает с этим гомоморфизмом.

Легко увидеть, что все представители смежного класса по N имеют один и тот же образ при со. Аналогично, со отображает всех представителей смежных классов ZN, LS^1^ ..., AS^’^N в одно и то же целое число. □

Пусть теперь а — автоморфизм группы G. В силу теоремы 4.8.1, элементы конечного порядка сопряжены степеням элементов s(, ..., sm. Таким образом, a ($i) = Z^Zi"1, где s^ и s^ имеют один и тот же порядок. Можно считать, что — W2 <Ь,^ CkJ2. Поскольку элемент зе сам не является степенью элемента более высокого порядка в G, то ki = kTt (поэтому bt и К взаимно просты), и ^ ’ Гт) является подстановкой, в чем можно убедиться, например, прокоммутировав. Таким образом, мы можем индуцировать а при помощи эндоморфизма а группы G, для которого a(St) = Ь^.Е^1. Сужение гомоморфизма а на N дает эндоморфизм группы N.

Пусть, как и раньше, через П,, z=«, 1, ..., т, обозначены определяющие соотношения. Тогда элемент группы N может быть записан в виде произведения N = П (^П^ А”1) И отображается гомоморфизмом 9 в элемент 2 ^ S ® №) Ejj ev Под дей

ствием гомоморфизма 9 элемент aN =Ц ^(а^)(аПр?.)е^(аА, x)j переходит в 2 ^5co(aAj) е,^ 9 (аП^. Группа сохраняющих ориентацию преобразований является характеристической (следствие 4.8.5), поэтому <о(а^)= <i»(Kj), и равенство 9А = 0 влечет равенство QaN = 0.

Таким образом, ядро гомоморфизма 9 переводится гомоморфизмом а в себя. Следовательно, а индуцирует гомоморфизм a группы Zm+1, который можно описать матрицей Jf (a)*=(a.j), где я„ является коэффициентом при е< в а(е,). Поскольку a (S,) •

= L^r'Li1» в i-м столбце (i^*) единственное ненулевое число стоит в г,-it строчке. Оно равно со(Л,)6(. Кроме первого (*-го), только i-й элемент г,-й строчки не равен нулю.

Если ^ является эндоморфизмом того же вида, что а, то М(^а) = = М(p)J/(a). Будем называть Л/(а) матрицей гомоморфизма.

Лемма. Пусть a — автоморфизм группы G, и пусть а, и a2 — эндоморфизмы группы G, индуцирующие гомоморфизм а.

a ($,) = Z^t;1(; = 1m^

то положим

^ (S,) = L^L;1, a2 (S,) = l;^;-1,

где L„ L', отображаются в l, каноническим гомоморфизмом. Тогда М^а^ = М^агу

Доказательство. Очевидно, что везде, кроме *-го столбца, -Vfotj) и Л/(а2) совпадают, поскольку L3 и L3 равны modN, и, значит, со (L,) = го (/^). Остальное легко следует из того факта, что образы любого элемента при гомоморфизмах а, и а2 фавны modN. Например, A’Vj.W, = N (V^Vf1) F®, так что (NT,) (АП7,) и У? имеют одинаковые образы при гомоморфизме В для N е N. Разобрать случай группы, все элементы которой сохраняют ориентацию, мы предоставляем читателю в качестве упражнения 5.7. □_

Следствие. Пусть г — эндоморфизм группы G с lS^ = LxStL~x. L, eN, индуцирующий тождественное отображение группы G. Тогда матрица М (е) является единичной. □

Теорема Дена — Нильсена

Теперь у нас есть все необходимое для доказательства теоремы Дена — Нильсена. Сначала мы докажем ее для замкнутых Поверхностей, затем — для поверхностей с краем и, наконец в j 5.8, для плоских групп, обладающих компактной фундаментальной областью п не содержащих отражений.

Пуст., G = <Zn uv .. ., Zg| ug\ П*> или <vv . . ., vg | П*> соответственно. Чтобы избежать разделения этих случаев, воспользуемся 1'1* 155

записью G = <hv . .., /in | Щ>. Пусть, как и раньше, G — свободная группа с образующими Нц ..., Нп. Будем представлять себе бинарное произведение <Яц ..., Нп | Пф> реализованным системой ДУг Ць • • •, Л» и простой замкнутой кривой П* (ц) в плоской сети, соответствующей указанному заданию группы G (ср. доказательство теоремы 4.7.1), или канонической системой кривых на замкнутой поверхности Е/G. Разрезы вдоль простых замкнутых кривых ц,, ..., ц„ превращают Е/G в грань с граничным путем Ш

Теорема. Каждый автоморфизм а группы G индуцируется автоморфизмом а группы G с аП* = LH^L-1.

Доказательство. Пусть ^ — эндоморфизм группы G, индуцирующий а. В силу теоремы 5.3.6 произведение |рЯ1, ..., 0ЯП; П*) неразложимо. Поэтому найдется такое бинарное произведение V^v • • •» ^; П*}, гомотопное произведению 1рЯи ..., рЯп; П*), что путь Щ. (К) в Е является простым и замкнутым. Если положить аН< = К„ то этим будет определен эндоморфизм, который тоже индуцирует автоморфизм а, поскольку ^Кц • • чЯп; ГЦ} и $HV ...Ляп; nj гомотопны. Л (а) состоит из одного-един- ственного числа. Если эндоморфизм а' индуцирует автоморфизм а-1, то ао/ индуцирует тождественный автоморфизм, и 1 = = Л(а)Л(а'). Таким образом, Л(а) = ±1. Это равносильно тому, что 0П* (аЯ) = ± е*; но тогда из следствия 5.4.3 вытекает, что аЩ(Я) = Ш*1 (Я) L-1. Поэтому а является автоморфизмом группы G (следствие 5.2.13). □

Пусть А — гомеоморфизм поверхности F. Пусть G — фундаментальная группа поверхности F в отмеченной точке Р. Потребуем, чтобы Л оставлял точку Р неподвижной. Тогда h переводит каждую замкнутую кривую с началом в Р в замкнутую кривую с тем же началом. Если 71 — кривая, гомотопная кривой 7 (т. е. 7 и 7, реализуют один и тот же элемент группы G), то /1(7) и Ь^) также гомотопны, поскольку элементарные операции 2.4.2 (а), (Ь) переносятся на образ. Поэтому h индуцирует эндоморфизм h* группы G, являющийся в действительности автоморфизмом, поскольку гомоморфизмы (/i_,)+/i+ и /i+(/i-1) + оба являются тождественными. □

Геометрическим аналогом теоремы 5.6.1 является

Теорема Дена — Нильсена. Каждый автоморфизм фундаментальной группы замкнутой поверхности индуцируется гомеоморфизмом.

Доказательство. Пусть G — фундаментальная группа замкнутой поверхности F и а — автоморфизм группы G. Будем считать, что группа G бесконечна. Пусть ц,, ..., ц„ — каноническая система кривых, реализующая бинарное произведение {Яц ..., Нп, П*}. Гомотопический класс кривой ц.- совпадает тогда с образующим h. группы G. Если а — автоморфизм груп-

пы G, индуцирующий автоморфизм а, то, по теорему 5.2.8, бинарные произведения V^r ■ • - ^п! П*} и ^a.Hv . .., о-Н^ П*} родственны. Геометрически это означает, что при помощи бифуркаций поверхности F можно превратить каноническую систему кривых гр, ..., ц„ в каноническую систему кривых Лр .Л„> реализующую произведение \аНи ..., а.Нп; nJ (ср. § 3.2). Класс путей кривой Лг равен, таким образом, а/г„ и поэтому отображение л, ц( определяет искомый гомеоморфизм.

В силу теоремы 5.6.1, найдется автоморфизм а группы G с аП* (Я) = £П® (Я) LT1, е = ±1, индуцирующий а. Далее, для каждого Я, и 6 = ±1 найдется гомеоморфизм, индуцирующий автоморфизм р группы G с РЯ* (Я) = Я^П* (Я) ЯГ6- Рассмотрим теперь узкую ленточку вокруг кривой ц, (рис. 5.6.1), обнесем точку Р один раз вдоль л?6 и продолжим это до гомеоморфизма

Рис. 5.6 1

полоски, оставляющего край неподвижным. Этот гомеоморфизм можно продолжить на всю поверхность F, он отображает каждую кривую Т], в кривую, гомотопную петле Л2Л,Л?6. Таким образом, П* (ц) переходит в ц.П* (ц) цГ6.

Производя указанные гомеоморфизмы один за другим, мы получим для каждого L е G гомеоморфизм поверхности F, индуцирующий автоморфизм р группы G с РП* = L~ П*/,.

Наконец, гомеоморфизм, определенный формулами тг>-* р8+1_{, Цс-» т§+1_{ (или v2 v^+i соответственно) u задает автоморфизм t группы G с уП* = ПГ1. Поскольку уРаП* = П* при • = — 1 и РаП* = П# при 8 = 1, то уРа и Ра соответственно, • значит и а, можно индуцировать гомеоморфизмом. □

Для ориентируемых поверхностей теорема 5.6.2, совпадающая ■ атом случае с теоремой 3.3.11, была высказана в качестве гипотезы Деном и впервые доказана в работе Нильсена, где он ДЫводит теорему 5.6.1 из теоремы 5.6.2, см. [Nielsen 1927, S. 272]. Другое доказательство теоремы 5.6.2 неявно содержится в работе Кнезера [Kneser 1930], в явной форме оно проведено в работе Вайферта [Seifert 1937]; последнее доказательство мы уже при- Юдили в качестве доказательства теоремы 3.3.11. Для неориенти-

руемых поверхностей она была впервые доказана в работе Манг- лера [Mangier 1939]. Использованный здесь подход был анонсирован в работе Цишанга [1964] и реализован в его работах [Zie- schang 1965], [1966]. Другой подход к этой задаче, использующий неевклидову плоскость, содержится в известной неопубликованной рукописи Фенхеля и Нильсена. Он имеет то преимущество, что позволяет доказать соответствующую теорему сразу для всех конечно порожденных плоских разрывных групп, содержащих только сохраняющие ориентацию преобразования (фуксовых групп).

Упражнение 5.8. •

Теорема Нильсена для поверхностей с краем

Пусть G = ^s^ ..., sm, tv Uv ...,tg,Ug\s1... $„Д [<i, Ui]^> или <sv ..., sm, vv ..., Vg I sx ... smUi ... v»>. Как и выше, чтобы не различать эти случаи, воспользуемся записью G = </i1, ... ...,/i„ | Щ (А)>. Пусть G — свободная группа с образующими Яи ..., Я„ и N — ядро канонического гомоморфизма группы G на G.

Для рассматриваемых здесь групп мы не можем построить плоскую сеть, на которой G действует как плоская группа. Поэтому мы не можем применить следствие 5.4.3. Следствие 5.4.3 играло существенную роль в доказательстве теоремы 5.6.1. Из него и из равенства 0 (П* (аЯ)) = + е* следует, что

аП* (Я) = £П+Х(Я) ZT1.

В любом случае мы можем построить для G одномерный комплекс, как это делалось в доказательстве теоремы 4.7.1, так чтобы каждая вершина соответствовала элементу группы G, из каждой вершины выходили ребра, помеченные символами Я[*-*, и путь W(H) с началом в фиксированной вершине 1 шел в гер шину W(h): т. е. диаграмму Кэли, ср. § 4.13.

Рассматриваемые здесь группы являются фундаментальными группами компактных поверхностей с тп-компонентным краем Как и в § 5.6, мы докажем, что автоморфизмы можно индуци ровать гомеоморфизмами. Поскольку гомеоморфизмы всегда ото бражают компоненты края в компоненты края, индуцируемые ими автоморфизмы должны подчиняться естественным ограни чениям.

Т е о р е м а. Автоморфизм а фундаментальной группи G поверхности F с краем индуцируется гомеоморфизмом в том и только в том случае, если а($,) =/^Н?1! i = 1, ..., m, ?<>i ^ "" 7 ) является подстановкой и ю(/<)е, = ±1, Z, е G. До кажем эквивалентную теореме 5.7.1 алгебраическую теорему.

Теорема. Каждый автоморфизм а группы G с а (s,) = = Ztsr^7\ i = К где^ ™^ является подстановкой, е, = ±1 и 7. е G, индуцируется автоморфизмом а группы G с аП* (Н) = /.П* L 1 и а (S',) = L^^L, \ L, L, s G и to (Zv) 8Z = = cd(L,)e, = e = = 1.

Доказательство. При доказательстве нам потребуются результаты пз § 5.8. В силу теоремы 5.3.6 и следствия 5.3.5 существует эндоморфизм а группы G с а (5,) = L^^L^1, индуцирующий а, для которого аП* (Я) является простым замкнутым путем в диаграмме группы G. В силу следствия 5.2.13, а является автоморфизмом, если аП* (Н) = LH^L-1.

Пусть N/ — наименьшая нормальная подгруппа группы G, содержащая П* (Я) и 5^ . .., SL Покаяхем, что

П Ny = N.

Ясно, что Ncf|N/. Пусть ЯеПМу. Допустим, что fi^N.

Тогда элемент R', получающийся из R при помощи циклической редукции, также лежит в HNZ и не лежит в N. Если заменить часть слова П^Ч^) в R ее дополнением, то полученное слово тоже будет принадлежать nN,\N. Таким образом, мы найдем в f|N/\N циклически редуцированный элемент, содержащий пе более половины слова Щ. Но G/N, представляет собой плоскую разрывную группу, поэтому из деповского решения проблемы Тождества, т. е. пз теорем 4.9.1 и 4.9.4, следует, что R содержит Иодслово слова 5{, меньшее его не более чем на два символа. Последнее должно выполняться для всех целых чисел /, что невозможно. ~

Слово аП^Я) соответствует простому замкнутому пути в 'диаграмме Кэли группы G. Поэтому никакое его собственное ■Одслово не лежит в N, и, таким образом, существует такое <ЖСЛо /, что аП* (Я) является простым замкнутым путем в плос- ®0Й сети, соответствующей группе G/N,. а индуцирует автоморфизм группы G/N,. В § 5.8 мы покажем, что в этом ^случае ЙОисанный в § 5.5 гомоморфизм 0: N/->Zm+1 отображает аП* (Я) 1 ± е*. Но тогда, как вытекает из следствия 5.4.3 (которое нам •ДОСЬ опять потребовалось), аП* (Я) = £11*' (Я) L~x. Точно так мы покажем в следующем параграфе, что ю^Ь^г, = to(£)e' = »±1. □

Доказательство теоремы 5.7.1. Теорема 5.7.1 следует из теоремы 5.7.2 так же, как теорема 5.6.2 следовала из теоремы 5.6.1. Пусть F— компактная поверхность рода g с т компонентами края рь ..., рт. Каноническая система кривых есть система 2 простых кривых 01, ..., От, Ti, ць ..., tg, pg (если F ориентируема) или 01, ..., 0m, Vi, ..., Vg (если F неориентируема), обладающая следующими свойствами.

(а) Кривые имеют общую начальную точку Р и пересекаются только в этой точке.

Кривая ст, отсекает от F кольцо, второй компонентой края которого является i-я граничная кривая поверхности F, р„ Остальные кривые системы 2 не пересекают этого кольца.

После удаления этих колец рассечение поверхности вдоль оставшихся кривых превращает F в диск с граничной кривой Oi ... От П [Ti, pi] или Oi ... omVi ... Mg соответственно.

Каноническая система кривых имеется для любой начальной точки (ср. § 3.2). Фундаментальная группа G поверхности F в отмеченной точке Р обладает заданием <«i, ..., sm, tv иъ ... .. .,tg,ug\ П*> или <sx, ..., sm, vv ..., vg | П*> соответственно. При этом образующие группы G можно выбрать таким образом, чтобы ст., т„ Pi, vk реализовывали гомотопические классы s„ tj, и„ vk. Это немедленно следует из того, что ст, и Жгр^1, с точностью до показателя +1 или — 1, реализуют один и тот же класс, если xf является простым путем, идущим из Р к z-й краевой петле р, и лежащим внутри кольца, отрезанного кривой ст,. Более точно это вытекает из следующего.

При помощи элементарных преобразований мы можем превратить F в поверхность, состоящую из т колец с краевыми петлями ячр.хг^1 (при подходящей ориентации путей ж,) и еще одной грани с краевой петлей ст, ... ат JJ [Т{, р4] или ах . . .

... CTmVi ... Mg. Тогда дерево, позволяющее найти задание фундаментальной группы G поверхности F, состоит из дуг хц ..., z„. Образующие, соответствующие петлям х^^1, можно заменить образующими s„ соответствующими петлям □„—воспользовавшись соотношением ^рд-^”1,— и G имеет указанное задание, образующие которого как раз реализованы петлями канонической системы. Пусть теперь а — автоморфизм группы G с a («О = = ^А^Г1, i = l,...,m, где (r ” ) есть перестановка и ю(/,)е, = е = ±1. Из теоремы 5.7.2 следует, что а можно индуцировать автоморфизмом а группы G с а (Si) — Ь^ЗДЬг 1 и аП* = ZJI* Л-1, е = ы(Ь)е'. Как и в доказательстве теоремы 5.6.2, мы можем исключить сопрягающий множитель и е' при помощи гомеоморфизмов.

Но если аП* (Я) = П* (Я), то {Я15 . . ., Я„; П*} и {аЯ, .. . ..., а.Нп, П*} родственны, и утверждение доказывается так же, как теорема 5.6.2.

Необходимость условия следует из того, что гомеоморфизм переставляет краевые петли поверхности F, т. е. индуцирует автоморфизм а группы G с а (s,) = Z^IY1, где ег = ± 1 и ^ ''' ^^ есть подстановка. В случае ориентируемых поверхностей непосредственно видно, что со^е, = е' = ±1. Именно, ®(Z,)=1, а гомеоморфизм либо не меняет ориентации ни у какой краевой петли, либо меняет ее у всех. В случае неориенти- руемых поверхностей утверждение следует из теоремы 5.7.2. А именно, а можно индуцировать автоморфизмом а группы G, для которого се (S',) = L^^L^1 с со (L,) е, = е = ±1. Поскольку при каноническом гомоморфизме G -* G элемент L, отображается в Z,, то w(L,) = co(Z,). □

Теорема 5.7 1 впервые была доказана Магнусом в статье [Magnus 1934]. Если род поверхности равен 0, то полученные автоморфизмы тесно связаны с косами. Теория кос хорошо развита, см. [Artin 1926, 1947], [Burde 1963].

Упражнение 5.9.

Автоморфизмы плоских групп

Пусть^ G — плоская группа, не содержащая отражений, и пусть G, N — те же, что в §§5.4и5.5. Пусть 9 — гомоморфизм N~*Zm+1 из § 5.5, п пусть е*, ev ..., ет — образующие группы Zm+1, в которые П*. 8 % . . ., Smhm отображаются при 0.

Пусть а — автоморфизм группы G, и пусть эндоморфизм а индуцирует а. Пусть а (Sj) = L^^L^1 и а (sj) = ZjS^Zf1; тогда Lf отображается в Z, при каноническом гомоморфизме G -► G. Мы уже видели в § 5.5, что такой эндоморфизм существует для любого a (s,) = Z^Zi"1, где kt = krv (А-4, b{) = 1 и ^ является подстановкой.

Прежде всего покажем, что матрица гомоморфизма а имеет вид

-/. О Ох

Л/(а) =1 ;ш(1.)&4 I,

т. е. первый элемент первого столбца равен +1 или — 1, а остальные — нулю.

В силу теоремы 4.10.1, в G найдется подгруппа F конечного индекса, являющаяся фундаментальной группой поверхности. Кроме того, мы можем добиться того, чтобы она была характеристической, заменив ее пересечением подгрупп того же индекса. Тогда а индуцирует автоморфизм группы F, который мы также будем обозначать через а. Пусть F — свободная группа, соответствующая группе F, и N — ядро стандартного гомоморфизма F -*■ -► F. Мы можем считать, что F лежит в G и N — в N. Пусть П* — определяющее соотношение группы F. Таким образом, N «порождается» словом П*. Пусть 0 (П*) = х*е* + ххег + ... + ^mem. Группе F соответствует в F бинарное произведение {Kt, ..., К2,; П*}. Предостережение: хотя а(^<) не обязательно лежит в F, найдется бинарное произведение ^Kt, ..., ^Кгр; П*}, гомотопное произведению {a^t, ..., aK2p; П*} относительно N, где £ является эндоморфизмом группы F, также индуцирующим автоморфизм а. Так как 0n* = 0nlf если П* и П, гомотопны (ср. лемму 5.5.2), то, так как 0П* = 0П*,

0 (cdl* (К)) = 0 (П* (аК)) = 0 (П* (^)).

Если вернуться к рассмотрению групп F, F, N, то мы получим отображение 0': N-»-Z, и для ^ определена матрица отображения относительно 0'. Как показано в § 5.6, эта матрица есть число, равное е = ±1, и поэтому 0'П*^К) = е0'П*(К). Каждый элемент ^ е N лежит также и в N, и

0(^=0'(^)0(П*(ЛГ)), поскольку N является произведением элементов, сопряженных элементу П*, причем сопрягающие множители лежат в F и потому сохраняют ориентацию. Подводя итог, получаем:

0 (П* (аК)) = 0 (П* (Р (К)) = О' (П* (^К)0 (П*^)) =

= 60' (П* (К)) 0 (П* (Я)) = е0(П* (К)).

Таким образом, нами доказана

Лемма. При эндоморфизме группы Zm+1, индуцированном эндоморфизмом а, элемент 5 ^е, = 0(П*(К)) остается неподвижным или отображается в — 2 г^ь □

Соответствие, при котором все образующие группы N отображаются в себя, а S,- в S**+1, определяет эндоморфизм группы G, индуцирующий тождественный автоморфизм группы G. Далее, в Zm+1 индуцируется эндоморфизм, который может быть

описан своим действием на образующих е*, ev . . ., ет;

е< — (/.ч + 1)е<,

поскольку S~ki •-► ^-М^4"1).

Далее, П* (Я) = Sx . .. St ... Sm Ц [Т,, U Д переводится в St... ... S^i+IS,+1 .. 5т П [2"^ УД = Sl... S,-^^-! • • - S^S^... . .. SXS +i ... Sm П (T„ ид = п' (Я). Поэтому 9П' = — е, + е*. Тот же результат получается в неориентируемом случае. Поэтому е* отображается в е* — ег. Но, в силу леммы 5.8.1, элемент 2 xtex остается неподвижным (он не отображается в — . . xte,, поскольку этот эндоморфизм индуцирует на G тождественное отображение).

Таким образом, мы имеем х*е* + . . . + хгег + . . . + хтет = = х^е* — x*et + ... + (кг + 1) я^ + ... + хтет.

Но это означает, что х*е1 = К1хгег. П*(Я) пе лежит в ядро гомоморфизма 0. Действительно, если сделать бинарное произведение {Я[, ..., Я28; П*} простым при помощи гомотопических относительно N изменений, то 9П*(Я) не изменится. Простой путь П*(Я) ограничивает фундаментальную область подгруппы F с G. Тогда из следствия 5.4.3 вытекает, что по крайней мере одно из чисел х, отлично от нуля. Тем самым числа х4 однозначно определены числом х*; само х* зависит от вложения Fc G.

Рассмотрим теперь еще раз исходный гомоморфизм а и эндоморфизм а: G->-Gc aSi = Ь^’ЬГ1, индуцирующий а. Пусть —&/2 < 6, < /с,/2. Как и раньше, этому выражению при каноническом гомоморфизме соответствует Z^Z:"1 = a ($,). Пусть М(а) — матрица отображения гомоморфизма а. Тогда индуцированный на Zm+1 эндоморфизм отображает е, в 6,(0 (БД ег. И = 1, ..., тп). Пусть е* отображается в а*е* + а^ + ... + атет. Тогда 9(П*) отображается в

Л^(а)(Д ^е^ =

•= х*а#е* + х^а^ + ... + x*amem + а^о (ЕД еТ + ,..

... + хтЬтю (Lm) еТт.

Но, по лемме 5.8.1, это равно е2% где е = ±1. Если сравнить коэффициенты, то получится, что a* = е = ± 1. Если г, = I,

то хге» = е (xNa, + Xjb,® (£,)) ej и /с, = к,. Тогда поскольку х* = = ktXh то х< = eklxiai +ex-bjto^L,'), и поскольку kt = k3, то х.= = х2. Таким образом, 1 = 8&,ai +eb,® (Lj). Если рассмотреть это уравнение mod к;, то из неравенства —fcj/2 < bj ^ &/2 будет следовать, что Ь5 должно равняться 8®(Д) при kj¥=2, поэтому а, = = 0 (i = l, ..., т). При kj = 2 мы можем при необходимости заменить bj на —Ь„ так что Ь2 = ею (Я,), и затем получить, что а< = 0.

Следовательно, а отображает S, в LjSr\L^\ В силу теоремы 5.3.7 произведение [аЯг ..., аЯп; П*} неразложимо, и, в силу следствия 5.3.5, можно считать, что оно просто. Теперь из равенства а* = ± 1 и следствия 5.4.3 вытекает, что аП* обходит в точности одну грань и аП* = ЯП®Ь . Таким образом, а является автоморфизмом (следствие 5.2.13), и нами доказана

Теорема. Каждый автоморфизм а плоской группы G, не содержащей отражений, индуцируется автоморфизмом а группы G, обладающим следующими свойствами1.

a(St) = LjS^LV, i = 1, ..., m;

аП* (Я) = ЯП® (Я) Я'1;

® (Я{) б, = и (Я) е= ± 1, к, = kri u ^ "'" ^ является подстановкой. □

Замечание. Воспользовавшись несложными рассуждениями, из теоремы 5.8.2 можно вывести даже, что каждый автоморфизм а плоской группы G индуцируется автоморфизмом свободной группы F, где г есть ранг группы G (см. упражнение 5.24 [Rosenberger 1980]).

Чтобы получить геометрический аналог теоремы 5.8.2, рассмотрим Е/G. Удалим по маленькому диску с центром в каждом центре вращения. (Поскольку в G не содержатся отражения, каждый центр вращения лежит во внутренности поверхности Е/G. Все центры вращения изолированы, поэтому найдется система дизъюнктных дисков, внутри каждого из которых содержится один центр вращения.) Таким образом, мы получим поверхность F с дырами. В фиксированной отмеченной точке А поверхности F фундаментальная группа F последней имеет задание F = <ST, ..., Sm, Tv Uv ..., Tg, Ug\П*> или <Sv...,Sm, Fv • • • > Vg | П*> соответственно. Пусть a — автоморфизм группы G и a — автоморфизм группы G, индуцирующий а и обладающий свойствами 5.8.2 (а) — (с). В силу свойства 5.8.2 (b), а индуцирует автоморфизм а' группы F, от которого мы можем, в силу 5.8.2 (а), (с), потребовать, чтобы он удовлетворял условиям теоремы 5.7.1. Таким образом, а' можно индуцировать гомеоморфизмом h" поверхности F, оставляющим отмеченную точку А группы F неподвижной. Если удалить прообразы отверстий 204

в Е/G из плоской сети Ч (т. е. удалить диски с центрами во всех неподвижных точках), то получится «продырявленная» плоская сеть Е, и Е —vF будет неразветвленным накрытием.

Гомеоморфизм h," поверхности F можно поднять до гомеоморфизма сети Е). Для этого подразделим Е в сеть, состоя^ щую из фундаментальных областей, которые содержат внутри себя вершины Ах, х ^ G, лежащие над отмеченной точкой А группы F. Пусть Ai лежит в фундаментальной области F,, и пусть Fx является образом области Ft при гомеоморфизме те eG, так что Ах лежит в Fx. Очевидным образом_С можно определить как разрывную группу, действующую в Е, п, после уда; ления дисков, Fx образуют сеть фундаментальных областей в Е. Образы граничных ребер фундаментальной области образуют систему простых кривых на F, разрезы по которым превращают F в круг. Гомеоморфизм h" отображает эту систему в систему кривых с тем же свойством, и мы получаем соответствующее второе разложение сети Е на фундаментальные области F х, tgG. Поскольку h" оставляет отмеченную точку неподвижной, то Ах лежит внутри области Fx- reG. Отобразим теперь граничные ребра области F, на граничные ребра области ^а(х) точно так же, как к" отображает образы этих граничных ребер в F, и аналогично — грань Fx на F^xy

Это отображение корректно определено и представляет собой гомеоморфизм сети Е. Чтобы доказать _это, заметим, что подгруппа, ассоциированная с накрытпем Е -> F, является наименьшей нормальной подгруппой S группы F, содержащей Sy 1Sm т, и G является группой автоморфизмов этого накрытия. Таким образом, G канонически изоморфна группе F/S.

Если, далее, о является общим граничным ребром областей Fx п Fv, то тогда путь со из Л т в А„, пересекающий границу областей Fx и Fv только одни раз п только в о, определяет замкнутый путь со в F, не пересекающий образов никаких граничных путей фундаментальных областей Fz, zeG, кроме о. Путь h" (со), таким образом, не пересекает образов никаких граничных путей областей F„ z е G, кроме_й"(о) (где о рассматривается как петля в F). Класс {со} пути со принадлежит смежному классу группы F по S, который соответствует элементу r'yeG. Но {h" (со)} = «'{со} по определению гомеоморфизма /г", и индуцированный на F/S = G гомоморфизм «' совпадает с а. Это означает, что путь с началом в Л,,,,, лежащий над й" (со), ведет в Ааж и пересекает только граничное ребро, лежащее над h" (о). Таким образом, F^ и F^ имеют общее ребро, лежащее

над h" (ст), и отображения, определенные на F, и F^ совпедают на о. Поскольку а является автоморфизмом, а Л" —гомеоморфизмом, отображение, определенное на Е, является гомеоморфизмом. Обозначим его через К'.

Соответствие х >-► h'xh^1, х е G, индуцирует на F тождественное отображение. Таким образом, h'xh'-1 лежит в G и определяется образом вершины Л^ Но h'xh'^^A^ — h'x^At)™ = h'(Ax)=^Aaw, поэтому h'xh'-1 =a(x). Поскольку h' переставляет граничные петли дисков в Е, содержащих центры вращения одинакового порядка, h' можно так доопределить до гомеоморфизма К сети Е, чтобы h индуцировал на Е/G гомеоморфизм. Тогда h,xh-1 также является элементом группы G и равняется а(х). Тем самым нами доказана

Теорема. Каждый автоморфизм плоской разрывной группы, не содержащей отражений, можно реализовать гомеоморфизмом. □

В случае, когда G порождена только вращениями, эта теорема впервые была доказана в работе Фольмерхауса [Vollmerhaus 1963].

Построенный здесь гомеоморфизм можно рассматривать как кусочно линейный в подходящей метрике (евклидовой, если G действует на евклидовой плоскости, гиперболической, если G — плоская разрывная группа в неевклидовой плоскости). Кроме того, мы можем наложить на него произвольные условия дифференцируемости. Однако конформности в общем случае добиться нельзя.

Теорема 5.8.3 была анонсирована Цишангом [1964], а ее первое доказательство имеется в работе Цишанга [1966]. В работе Макбета [Macbeath 1965] содержится другое ее доказательство, использующее теорию Тайхмюллера и классическую теорему Дена — Нильсена 5.6.2. Таким же образом можно доказать и соответствующую теорему для плоских разрывных групп, содержащих отражения; доказательство подобного типа приводится в п. 7.5.11. Если группа порождена элементами конечного порядка (например, если g = 0), то ее автоморфизмы подобны автоморфизмам, индуцируемым косами, см. 5.8.2 и 5.7.2, и теорему можно доказать при помощи теории кос. Другое доказательство, использующее комплексный анализ и теорию Тайхмюллера, см. в работе Мардена [Marden 1976].

§ 5.9. Комбинаторная изотопия

Как мы видели в §§ 5.6 и 5.7, каждый автоморфизм фундаментальной группы поверхности, сохраняющий периферическую структуру (т. е. отображающий классы петель, содержащихся в крае, друг в друга), индуцируется гомеоморфизмом поверхности. Здесь мы исследуем, насколько могут отличаться друг от друга гомеоморфизмы, индуцирующие один и тот же автоморфизм.

Строго говоря, гомеоморфизм может индуцировать автоморфизм фундаментальной группы поверхности, только если он оставляет неподвижной отмеченную точку фундаментальной группы. Между тем две фундаментальные группы поверхности в различных отмеченных точках изоморфны, и изоморфизм определен однозначно с точностью до внутреннего автоморфизма. Можно, таким образом, сказать, что гомеоморфизм индуцирует автоморфизм фундаментальной группы и тогда, когда отмеченная точка не неподвижна. Естественно ожидать, что гомеоморфизмы, мало отличающиеся от тождественного, будут индуцировать внутренние автоморфизмы. Сейчас мы уточним, что значит «мало отличаться».

Определение. Пусть F — поверхность.

Элементарной комбинаторной изотопией поверхности F называется гомеоморфизм Н поверхности F в себя, который является тождественным вне диска S с F, пересекающего край поверхности F самое большее по простому незамкнутому пути. Комбинаторной изотопией поверхности F называется композиция элементарных комбинаторных изотопий.

Два гомеоморфизма Яо и Я, поверхности F называются комбинаторно изотопными, если существует комбинаторная изотопия Н с ЯЯ0 = Я,.

Будем называть два простых замкнутых пути комбинаторно изотопными, если существует комбинаторная изотопия, переводящая один путь в другой.

Упражнение 5.10.

$ 5.10. Решение проблемы тождества и сопряженности в фундаментальных группах поверхностей

Пусть G — фундаментальная группа поверхности с каноническим заданием

G = <^sv .. ., sm, tv uv tg, ug | Ц Si П Ur "J^> ИЛИ / I rn g \

G= \Si, Sm, Vv . . ., Vg | Д «i П

Сейчас мы представим каждый класс сопряженных элементов словом специального типа. Оказывается, что это слово определено с точностью до циклической перестановки. Определяющее соотношенпе будем по-прежнему обозначать через П*.

Определение. Слово W называется представителем класса сопряженных элементов группы G, если оно обладает следующими свойствами:

W циклически редуцировано.

W не содержит подслова, включающего в себя более половины определяющего соотношения П* или ему обратного; оба они рассматриваются как циклические слова.

Если W содержит подслово, включающее в себя половину соотношения П®, то при g = 0 она содержит sm, а при g>0 содержит <! или е-ю степень первого vt.

Теорема о решении проблемы сопряженности. В предыдущих обозначениях1.

Каждый класс сопряженных элементов содержит элемент, записываемый словом с указанными свойствами.

Пусть длина определяющего соотношения >7. Тогда если два слова с указанными свойствами являются представителями одного и того же класса, то они совпадают с точностью до циклической перестановки.

Доказательство. Пункт (а) тривиален. Что же касается пункта (Ь), то он следует из деповского решения проблемы сопряженности, см. п. 4.9.5. Там приведено доказательство только для случая разрывных групп с компактной фундаментальной областью, а не для фундаментальных групп поверхностей с краем. Но этот случай легко свести к рассмотренному следующим образом: введем для некоторого к 5= 9 дополнительные соотношения Si, l^i^zn; получится группа G*. Если слова W и V задают сопряженные элементы в G, то они задают сопряженные элементы и в Gfc. Выберем число к большим, чем 2(Z(IV) + Z(7)). По теореме 4.9.5 слова W и V совпадают с точностью до циклической перестановки. □

Изотопия свободно гомотопных простых замкнутых кривых

Теперь докажем теорему о деформациях простых замкнутых кривых. Впоследствии мы распространим ее на канонические системы кривых с тем, чтобы получить теорему Бэра об отображениях.

Теорема. Пусть у и 6 — простые замкнутые кривые, лежащие во внутренности поверхности F и не ограничивающие дисков. Если ц и 6 гомотопны, то они и комбинаторно изотопны.

То условие, что у и 6 не ограничивают дисков, является необходимым, как показывает следующее

Предложение. На ориентируемой поверхности F рода, большего 0, две кривые, ограничивающие диски, комбинаторно изотопны в том и только в том случае, если их направления обхода вокруг дисков индуцируют одну и ту же ориентацию поверхности.

Доказательство. Оно проводится при помощи комбинаторных методов, развиваемых в упражнении 5.11. Предложение можно обобщить на неориентируемые поверхности; мы приведем доказательство этого интересного обобщения, основанное, однако, на обычном определении деформации, используемом в алгебраической топологии, см. [SpaPier 1966], [Massey 1967].

Теорема. Пусть /0, Л: (S1, *)->-(Е, Р) — вложения простых замкнутых кривых, ограничивающих диски в противоположных направлениях; здесь * и Р— отмеченные точки в S1 и F. (Заметим, что в окрестности точки Р можно задать ориентацию, даже если вся поверхность F и не ориентируема.) Тогда f0 и ft изотопны посредством изотопии, постоянно отображающей * в Р, в том и только в том случае, если F—сфера.

Доказательство. Допустим, что F + S2. Если поверхность F неориентируема, то пусть F' — ее ориентируемое двулистное накрытие, Р—отмеченная точка в F', лежащая над Р, и пусть /о, /i: (S1, *)-*(F', Р') — поднятия вложении /0 и /ь Пусть h: F' -► F' — автоморфизм накрытия. Изотопию между /0 и А, оставляющую отмеченную точку неподвижной, можно поднять до изотопии между /0 и Д в F'\h(P'). Поскольку F'\ h (?')#= S2, без потери общности поверхность F можно считать ориентируемой. Теперь теорема следует из предложения 5.11.2. Другое доказательство заключается в следующем:

Пусть ft: (S', ^^-(F, Р)—изотопия между /0 и f, с ft(*) = — Р. Поскольку петля ft гомотопна нулю, ^(S1) ограничивает диск Dt. Так как F*S\ этот диск однозначно определен. Граничная петля ft(Sv) сообщает ориентацию диску Dt и, тем самым, поверхности F (в точке *) для каждого t. Очевидно, что эта ориентация не меняется при малом изменении параметра t. Следовательно, fo(Sl) и ft(S1) ограничивают диски и сообщают им одну и ту же ориентацию, что противоречит предположению. □

Теорема 5.11.1 вытекает из следующей леммы, которая может быть использована и в другом контексте, см. лемму 5.14.11 и работы [Zieschang 1965', 1969].

Лемма. Пусть F—поверхность, X*— канонический разрез, а 6 — простая замкнутая кривая на F, не задевающая край. Тогда при помощи комбинаторной изотопии кривую 6 можно продеформироватъ в кривую 6*, описание которой относительно 5* обладает свойствами 5.10.1 (а)—(с).

Доказательство. Все деформации кривой 6 имеют вид:

Пусть 6' — незамкнутый подпуть кривой 6 с началом в точке А и концом в точке В, так что 6 = 6^'62. Пусть 6" — такой простой путь из А в В, что 6'6 "-1 ограничивает диск. Тогда 6 заменяется кривой 6 = 616"62. Рисунок 5.11.1 поясняет наш способ определения комбинаторной изотопии.

Ясно, что при помощи комбинаторной изотопии можно так изменить кривую 6, чтобы она трансверсально пересекала кривые Из системы 2* и не проходила через Р*, и получить таким образом ее описание W (Н), ср. § 3.5. Мы рассматриваем W (Н) Как циклическое слово.

Если W (Н) обладает фрагментом XX-1, то пусть |, — ВОДпуть петли ?#, соответствующей символу X, который соединяет точки пересечения кривых 6 и £, соответствующие указанным вхождениям символов X и X-1, и не проходит через Р*.

|4 X. Цишанг и др. 299

Пусть 6i — подпуть петли 6, соединяющий эти же точки. Для подходящего е = ±1 кривая 6®gt является простой и замкнутой. Поскольку 61 не имеет с 2* общих точек, кроме своих концов,

Рис. 5.11.2

в результате разрезания вдоль 2* из 6ЦХ получится простой замкнутый путь на разрезанной поверхности. Таким образом, 6®^i ограничивает в F диск D. Поскольку кривая 6 простая, каждая ее часть, входящая в О, соответствует еще одному участку ХЛХ-П, ц = ±1. Однако 6 может пересекать g* лишь конечное число раз; поэтому некоторый подпуть 60 кривой 6 вместе с дугой g0 петли g* ограничивает диск О0, внутрь которого путь 6 уже не заходит. Пусть 60 — простой путь с началом и концом в тех же точках, что и 60, который не лежит в Do, ограничивает вместе с g0 диск и не пересекает 6 и 2* нигде, кроме граничных вершин (см. рис. 5.11.2). Тогда заменим 60 в 6 на 60; это можно сделать при помощи комбинаторной изотопии. При помощи еще одной комбинаторной изотопии мы можем добиться того, что 6 не будет касаться g* в начальной и конечной точках пути 601 причем новых точек пересечения с 2* не появится. В результате мы уменьшим на 1 количество фрагментов XX-1 в W(H).

Теперь можно считать, что описание петли 6 циклически редуцировано. Предположим, что описание W(H) кривой 6 содержит подслово И^Я), составляющее более половины слова П®, е = ± 1. При этом мы рассматриваем П® и W (Я) как циклические слова. Пусть 61 — соответствующий подслову Wt (Я) подпуть кривой 6, и пусть ц", ц* — петли из системы 2*, соответствующие первому и последнему символам слова РИ, (Я). В качестве фрагмента слова П» слово И^Я) определяет подзвезду положительной или отрицательной звезды с центром в Р*, состоящей из кривых системы 2*, см. свойство 3.5.1 (d). Если Я®1 — первый, а Я^2 — последний символ в Wi^H), то подзвезда начинается с (ти)81*, а оканчивается на (ц*)8®8» Пусть %i идет

вдоль (л*) 1 из Р* в точку, соответствующую первому символу слова Wt (Я); пусть %2 — часть петли (^) 2 , соединяющая Р*

с точкой, соответствующей последнему символу слова Wt(H). Петля хАхГ1 ограничивает диск, поскольку Wt (Я) является под

словом в П* (см. рис. 5.11.3). Как и выше, мы можем заключить,

Рис. 5.11 3Рис. 5.11 3что подпуть 6о кривой 6 с описанием И^Я), т] = ±1, вместе с подпутямп путей Xi и Хг ограничивает диск, внутрь которого 6 не заходит. Тогда заменим б0 на простой путь б0 с описанием, обратным дополнению в W^H):60 обходит Р* с другой стороны и не пересекает б. Того же можно добиться при помощи комбинаторной изотопии.

Рис. 5.11 3

Рис. 5.11 3

После каждого из этих шагов будем снова циклически редуцировать W(Я) и продолжим эту процедуру до тех пор, пока описание кривой б не будет удовлетворять условиям 3.5.13 и 3.5.14.

Если теперь дуга 6' на б обладает заданием, совпадающим с половиной определяющего соотношения или ему обратного, то 6 задает угол с вершиной в Р*, и каждая дуга кривой 6, входящая в этот угол, имеет такое же описание, как б' или б'_*. В частности, такое описание имеет самая внутренняя дуга; если это описание не содержит символа, указанного в условии 3.5.15, то при помощп комбинаторной изотопии ее можно проде- формировать в простую кривую 6*, обладающую свойствами 5.10.1 (а)-(с). □

Доказательство теоремы 5.11.1 для «больших» поверхностей. Допустим, что определяющее соотношение для фундаментальной группы поверхности F имеет длину по крайней мере 8. Выберем разрез Е*, относительно которого кривая ч имеет одно из описаний 3.5.4. В силу леммы 5.11.4 мы Можем деформировать б при помощп комбинаторных изотопий до тех пор, пока она не будет иметь описание со свойствами 5.10.1 (а) —(с). Из пункта (Ь) теоремы 5.10.2 мы знаем, что теперь описания кривых у и 6 совпадают с точностью до циклической перестановки. При помощи комбинаторных изотопий мы можем продеформировать кривую 6 таким образом, чтобы она пересекала S* в тех же точках, что и у (доказательство — в качестве упражнения 5.20). Теперь при помощи комбинаторных пзотопий можно совместить те дуги на у и б, которые лежат Между одинаковыми точками пересечения с 2*: поскольку либо у них нет других точек пересечения и поэтому они вместе ограничивают диск, либо их можно разделить в дополнительных точках пересечения на поддуги, и тогда найдется по меньшей мере 14* 211

одна пара дуг, ограничивающая диск. Поэтому при помощи такой комбинаторной изотопии, какая описана в п. 5.11.5, мы можем либо сдвинуть дугу кривой 6 на дугу кривой у, либо уменьшить число точек пересечения кривых у и 8, разумеется, не меняя пересечения с 2*. □

Доказательство теоремы 5.11.1 для поверхностей, не рассмотренных в п.5.11.6.

Здесь имеется несколько случаев. Первый — когда фундаментальная группа является нетривиальным свободным произведением с циклической объединенной подгруппой. Снова выберем такой разрез 2*, чтобы кривая у пересекала его каноническим способом из теоремы 3.5.4. Во втором варианте доказательства теоремы Бэра будет показано для всех случаев, что существуют желаемые изотопии, сдвигающие 6 на у. Здесь нам понадобятся лишь некоторые «малые группы», например, фундаментальная группа бутылки Кляйна G = (р17 и2 | г^) = <yi |> *z <f2|>, где Z = (f2) = (^Г2)- Тогда простая замкнутая кривая имеет вид ии либо p'L либо PjP2, и легко увидеть, что других слов, описывающих классы, представимые простыми кривыми, нет; таким образом, мы можем прийти к тому же заключению, что и в п. 5.11.6. Это рассуждение применимо в следующих случаях:

Ориентируемость

Род

Число компонент

Разложение группы

ориент.

1

2

<SF е21>е<»1«2><<1» “11>

неориент.

2

0

(^ У2Ж) = <У1|>*^<У2|>

неориент.

1

2

(‘г $2' У1 1 ^1^2^1) = <$Г *2 1>*<«1«2> <У1 1>

Для «очень маленьких» поверхностей теорема очевидным образом верна:

Ориентируемость

Род

Число компонент

Название поверхности

ориент. ориент. неориент. неориент.

0

0

цилиндр

лист Мёбиуса проективная плоскость

Осталось рассмотреть тор (ориентируемый, род 1, без края), тор с дырой и сферу с тремя дырами. На торе всякая простая замкнутая, не гомотопная нулю кривая у может быть включена в каноническую систему кривых. Описание со свойствами кривой

6 может состоять только из образующей [у], поэтому опять можно воспользоваться рассуждением из п. 5.11.6. Случай тора с дырой можно свести к случаю замкнутого тора; в этом случае простые замкнутые кривые либо параллельны краю, либо могут быть включены в систему кривых. Случай сферы с тремя дырами также допускает специальное решение. Доказательство — в качестве упражнения 5.12. □

Упражнения 5.11—13, 20.

Изотопии простых замкнутых кривых, сохраняющие отмеченную точку

В доказательстве теоремы 5.11.1 мы не заботились об отмеченной точке. Но это7 теорему можно уточнить следующим образом:

. Теорема. Пусть у и 6 — две простые замкнутые кривые с одним и тем же началом Р, не принадлежащим краю поверхности, которые не ограничивают ни дисков, ни листов Мёбиуса. Если между ними существует постоянная на Р гомотопия (г. е. если они принадлежат одному и тому же элементу фундаментальной группы поверхности F в отмеченной точке Р), то они изотопны, причем изотопия оставляет точку Р неподвижной.

(а). Мы будем понимать здесь под изотопиеп кусочно линейную изотопию, т. е. кусочно линейный гомеоморфизм Н: F X I F XI с Н (F X /) = F X t при всех t^I, где /—единичный интервал, причем Н^х, 0) = (х, 0) для x^F. Это определение изотопии для теоремы 5.12.1 более удобно, поскольку нас интересует путь, проходимый точкой Р во время пзотопип. Легко показать, что для любой элементарной комбинаторной изотопии Нк существует такая изотопия Н*. FXI^-FXI, что H(Q, 1) = = (Hk(Q), 1) для всех Q^F. Следовательно, всякую комбинаторную изотопию можно реализовать при помощи изотопии. (Более того, всякая изотопия поверхности соответствует комбинаторной изотопии.')

Точка P^F называется неподвижной при изотопии Н, если Я(Р, £) = (P, t') прп всех tel.

Ограничимся доказательством теоремы 5.12.1 в том случае, когда фундаментальная группа G поверхности F имеет не менее четырех образующих и I (П*) ^ 8.

Доказательство теоремы 5.12.1. В силу теоремы 5.11.1 найдется изотопия Н; FXI-^FXIcH^, 1) = (6, 1). Если Н, (^) задается равенством H(Q, t} = (Ht(Q), t) при всех Q из F, то соответствие t>-*-Ht(P') определяет кусочно линейное отображение I -► F. Это отображение определяет путь в F, путь а отмеченной точки Р во время изотопии Н. Далее, изотопия Ht, 0^<^1, ограниченная на у, является гомотопией (в обычном смысле) между у и ауа-1. Тогда ауа-1 и у гомотопны в обычном смысле, если точка Р закреплена. Выберем опять канонический разрез 2*, относительно которого у имеет описание У (Я) вида

3.5.5—12. Если L(H) является описанием пути а, то в фундаментальной группе G поверхности F имеет место равенство Л(й)Е(й)£_,(й)= Е(й). (Здесь мы вновь рассматриваем 7(й) как произведение элементов группы G, a V^H^ является словом из символов, соответствующих образующим.) Таким образом, L^ и Е(й) коммутируют в G. Из разложения группы G в свободное произведение с отождествлением видно, что Ь^Ц и V (й) должны быть степенями одного и того же элемента. Сейчас мы покажем, что V (й) не является степенью никакого другого элемента и, следовательно, £(й) является степенью элемента И(й). Далее, найдется изотопия, во время которой Р проходит вдоль петли у, а у переходит в себя. Таким образом, можно считать, что петля а гомотопна нулю.

Пусть найдется такое редуцированное слово М(Н), содержащее не более половины слова П, что М(h)lV(h) = 1 в G для Z>1. Тогда в М найдется такое циклически редуцированное подслово N(Н1),что W-lNW(Д') = М(1Г) и И^-*(А)Х'(й)И^(й)Г(й)=- = 1 в G. Мы уже видели, как можно применить решение проблемы сопряженности к группе G, включая случай непустого края. Таким образом, можно потребовать, чтобы слово N1 обладало свойствами 3.5.13—15, поэтому как циклическое слово оно совпадает с V. Однако мы можем считать, что как циклическое слово N не содержит более половины соотношения и что оно удовлетворяет условию 3.5.15. Но тогда то же самое верно и для N1, поскольку из слов 3.5.5—12 словами VtVt и V,... VgVt... V8 при g нечетном исчерпываются все требующие рассмотрения возможности для V (Я). Соответствующие пути ограничивают листы Мёбиуса и потому исключаются по предположению.

Теперь изменим изотопию Я таким образом, чтобы точка Р оставалась неподвижной. Поскольку петля а гомотопна нулю, при помощи конечного числа операций Kt, ..., Кт вида 2.4.2 (а) или (Ь) она превращается в постоянную петлю. Если г = 0, доказывать нечего. Будем считать, что изотопию Я можно изменить требуемым образом при r<k. Пусть теперь г = й.

Пусть Xt состоит в удалении из а шипа ост-1. Этому шипу соответствует временной интервал [/„ Z2] с Д в течение которого Р проходит этот шип. Существует такая изотопия Gt, 0 ^ t < 1, что: G, = G0 = id, при 0^*^; Gt = Gt2 при tt ^ t ^ 1, и HtGt (PJ- = Ht (Я) при t е [;,, ;2], т. е. в каждый момент времени t е e[Z,, Z2] мы возвращаем точку Р в ее начальное положение Ht (Я) на интервале [#„ Z*]. Существование этой изотопии на части произведения F X [Zt, Z2], находящейся над ст, и ее «маленькой» окрестности наглядно видно из рисунка 5.12.1*). «ц представляет собой прежний путь точки Я в PX[Zt, Z2], заданный формулой t н- (Я1 (Я), Z), а <в2 — новый путь: t >-* (Я(1 (Я), Z). Изотопия GH по-прежнему переводит у в 6, но а можно превра-

тить в постоянную петлю при помощи операций К,, ..., Кг, и, следовательно, при помощи меньшего числа комбинаторных изотопий. Если Kt является добавлением шипа, то действия проводятся в обратном порядке. Тогда со2 переводится в со,.

Аналогично следует действовать, если Kt представляет собой замену одной части граничного пути грани другой, составляющей

Рис. 5.12.1Рис. 5.12.1

Рис. 5.12.1

Рис. 5.12.1

вместе с первой треугольник. При этом также требуется сдвигать точки только в маленькой окрестности треугольника. Индуктивное предположение дает изотопию, при которой точка Р остается неподвижной, а у переводится в 6. □

То предположение, что кривые пе ограничивают ни дисков, пи листов Мёбиуса, является существенным. Для дисков мы видели это в теореме 5.11.3; покажем это сейчас для листов Мёбиуса. Снова воспользуемся алгебро-топологическим понятием изотопии.

Т е ор е м а. Пусть F — поверхность и Р — отмеченная точка на F, а * — отмеченная точка на S1 (например, комплексное число 1), и пусть образ вложения f0; (S1, *)->- (F, Р) ограничивает в F лист Мёбиуса. Допустим, что fo(Sl) не пересекается

(а)(Ь)Рис. 5.12.2(а)(Ь)Рис. 5.12.2

(а)(Ь)

Рис. 5.12.2

(а)(Ь)

Рис. 5.12.2

с краем поверхности F. Тогда найдется такая изотопия ft1. (S', *)^-(F, Р), что h является вложением, не изотопным вложению f0 при неподвижной отмеченной точке. (Образы ft (S'1) не пересекаются с краем поверхности F.)

Доказательство. На рисунке 5.12.2 (а) показан лист Мёбиуса, немного больший того, который ограничен кривой f0(S'). Показанное на рисунке вложение ft изотопно вложению /0 при помощи изотопии, меняющей на рисунке только вертикальную Координату.

Для того чтобы показать, что не существует изотопии от /0 к /1, которая все время оставляла бы отмеченную точку неподвижной, рассмотрим два случая. Предположим сначала, что F является проективной плоскостью. Тогда /0 и ft ограничивают диски

с противоположными ориентациями, и мы можем применить теорему 5.11.3.

Предположим теперь, что F не является проективной плоскостью. Тогда каждое кратное элемента /0 представляет собой нетривиальный элемент фундаментальной группы поверхности F. При подъеме в универсальное накрывающее мы видим, что каждая компонента прообраза листа Мёбиуса представляет собой бесконечную полосу. Пусть h — скольжение, соответствующее образующей фундаментальной группы листа Мёбиуса, и пусть /о, fv ([0, 1], 0)^(F', Р')—поднятия отображений /о, А; здесь Р' обозначает отмеченную точку поверхности F'. Допустим, что у нее есть изотопия А: (5‘, *)^-(Р, Р). Тогда при подъеме она дала бы изотопию /^ ([0, 1], 0, 1)—•- ((F' \/i (Р')), Р', /i2(P')), см. рис. 5.12.2 (Ь). В частности, простые замкнутые кривые, полученные обходом сначала вдоль /о([О, 1]), а затем в обратном направлении вдоль Л ([0, 1]), были бы гомотопными нулю и, таким образом, ограничивали бы диск в F'Xh^P'y рисунок (Ь) показывает, что это не так. □

Бэр [Ваег 1928] доказал теорему 5.12.1 для замкнутых ориентируемых поверхностей; его подход аналогичен подходу, которым мы пользуемся в § 5.14. Комбинаторное доказательство этого же результата содержится в работе Геритца [Goeritz 1933]; оно аналогично нашему подходу в § 5.11. Уточнение 5.12.1 было впервые найдено Эпштейном и опубликовано в его работе [Epstein 1966]. Чуть позже и только в «наиболее интересных» случаях этот результат нашел Цишанг и опубликовал его впервые в книге [Zie- schang — Vogt — Coldewey 1970]; это доказательство приводится здесь. «Контрпример» 5.12.4 появился в результате обсуждений «доказательств» утверждения, подобного теореме 5.12.1, но не содержавшего ограничения, связанного с листами Мёбиуса; он был опубликован в работе Эпштейна и Цишанга [Epstein — Zie- schang 1966].

Внутренние автоморфизмы и изотопии

При помощи многократного применения теоремы 5.11.1 мы получим теорему об изотопии для канонических разрезов и выведем из нее, что гомеоморфизмы, гомотопные тождественному, изотопны тождественному. Это обобщает результат из работы Бэра [Ваег 1928] со случая замкнутых ориентируемых поверхностей на произвольные. Кроме того, при помощи эпштейновского уточнения 5.12.1 теоремы Бэра о простых замкнутых кривых мы докажем, что гомотопию с неподвижной отмеченной точкой можно заменить изотопией, оставляющей отмеченную точку неподвижной.

Теорема. Если гомеоморфизм h поверхности F индуцирует внутренний автоморфизм фундаментальной группы G, то h является комбинаторной изотопией поверхности F (в кусоч-

но линейном случае имеется изотопия Н между тождественным гомеоморфизмом поверхности F и h).

Доказательство. Пусть 2 — каноническая система кривых с отмеченной точкой Р. Первая петля тр системы 2 гомотопна /Дщ), поскольку h индуцирует внутренний автоморфизм; поэтому в силу теоремы 5.11.1 найдется изотония (комбинаторная изотопия) Ht, переводящая /Дтр) в т) и /ДР) в Р.

При необходимости перенеся Р вдоль /Д/Дщ). мы можем считать, что соответствующие петли систем 2 и /Д/ДЕ) гомотопны при закрепленной отмеченной точке. (Ср. доказательство теоремы 5.12.1; там показано, что, возможно после переноса точки Р вдоль у, путь а точки Р гомотопен нулю, а это есть в точности требуемое здесь свойство.) Если применить метод доказательства теоремы 5.12.1 к системе кривых, то в результате получится последовательность изотопий Н^ Н2, ..., Нп с Н,... Hih (->} ,) = р„ 7=1. ..., I. В конце концов мы получим изотопию Н поверхности F, отображающую h^ в S. Нh представляет собой гомеоморфизм поверхности F, который является тождественным на Е. Если у далить кольца, ограниченные кривыми щ, ..., о„, системы 2, и разрезать F вдоль S, то получится диск. Hh индуцирует гомеоморфизм диска, тождественный на крае. В силу леммы Александера 5.13 3. приводимо!! ниже, такой гомеоморфизм является комбинаторной изотопией. Аналогично, Hh индуцирует на кольцах, ограниченных кривыми оь . .. от, гомеоморфизм, являющийся комбинаторной изотопией. Это следует также из леммы 5 13 3 □

Теорема. Если гомеоморфизм h повертности F оставляет отмеченную точку Р фундаментальной группы G неподвижной и индуцирует тождественный автоморфшзм группы G, то он изотопен тождественному посредством изотопии, связанной в точке Р.

Доказательство. Нужно применить теорему 5.12 1 к петле щ, не ограничивающей листа Мёбиуса, и далее действовать, как выше. □

Лемма (теорема Александера — Титце о деформации). Гомеоморфизм h диска, тождественный на крае, .можно проде- фюрмироватъ в тождественный при помощи изотопии, не сдвигающей точек края.

Доказательство. Пусть диск является единичным кругом {(л, у) Д2 + у2 •' 1} в евклидовой плоскости Й2. Пусть Gt — гомотетия (л. г/)->■ Дл, ty) плоскости ^2, а Н—гомеоморфизм, совпадающий с h в единичном круге и тождественный вне него. Если, далее. К, — тождественный гомеоморфизм и Ht = GtHGt 1 при 0 < ? =С 1, то Н, представляет собой изотопию гомеоморфизма h в тождественный. □

Замечание. Эта изотопия будет кусочно линейной, если вместо круга взять треугольник с тем же центром. Очевидно, что аналогичное доказательство проходит и в высших размерностях.

Для замкнутых ориентируемых поверхностей теорема 5.13.1 была впервые доказана в работе Бэра [Ваег 1928]. Комбинаторное доказательство, подобное нашему, содержится в работах Гёритца [Goeritz 1933, 1933']. Доказательство для произвольных замкнутых поверхностей имеется в работах Брёделя [Brodel 1935] и Манглера [Mangier 1939]. Общий вариант и его доказательство взяты из работы Цишанга [1966]. Уточнение 5.13.2 было впервые доказано в работе Эпштейна [Epstein 1966]. Теорема Александера — Титце о деформации была впервые доказана в работе Титце [Tietze 1914]. Приведенное доказательство взято из работы Александера [Alexander 1923], сейчас оно является стандартным для книг по алгебраической и геометрической топологии.

В § 5.14 мы докажем обобщение теоремы Бэра, а в § 5.15 обсудим литературу с изложением дальнейших связанных с ним результатов.

Упражнения 5.14—16.

Теорема Бэра для плоских разрывных групп

В этом параграфе мы обобщим теорему Бэра на произвольные конечно порожденные разрывные группы, которые содержат лишь сохраняющие ориентацию преобразования. (Последнее предположение мы делаем для простоты; его можно опустить.) Позже, в § 5.16, мы воспользуемся основной теоремой 5.14.1 в доказательстве относительных вариантов теоремы Бэра.

Теорема Бэра. Пусть G—конечно порожденная группа сохраняющих ориентацию преобразований сети Е, не являющаяся циклической. Пусть ф: Е -> Е — такой сохраняющий ориентацию гомеоморфизм, что

Ф-1£Ф = g для всех geG.

Тогда существует изотопия ф^ Е->Е с Фо = ф, Ф1 = ide “ (5.14.3) 4>71g(Pt = g для всех g е G и t е [0, 1].

Удобно представлять себе отображения и изотопии так, как это обычно делается в алгебраической топологии. Прежде чем сделать несколько замечаний, относящихся к теореме, и приступить к ее доказательству, введем некоторые полезные обозначения.

Обозначения. Рассмотрим каноническую фундаментальную область F группы G, описанную в §§ 4.4, 4.11; граничный путь области F имеет вид

а^1 • - - «W^pi □ р?1 •.. р, □

□ Р^М-Г^Г1^ • • • т^-1^1^, где каждый значок □ обозначает «конец» области F). Положим,

для простоты,ч

011 ^Н • * *) ^т От. Km-H рц • • *j O^m-f-g Pg, Otm+g+i ^ 1 *

OCrn+gJ-2 = Ць • • м 01m + q+2g

и аналогично поступим с кривыми, помеченными штрихом. Каждой паре ориентированных граничных ребер а„ а, соответствует элемент группы G, переводящий а, в а,; обозначим его через а,. Через п = т + q + 2g обозначим количество образующих. В случае использования для а, прежних специальных обозначений, например о„ мы будем пользоваться каноническими обозначениями S, и т. д.

Группа G обладает каноническим заданием

G =. ., sm, Гхrg.•

Обозначим через Л7 сеть, полу ченную из F под действием группы G. G действует на гранях сети N просто транзитивно. Возьмем внутри F точку р* и соединим ее с а^р* при помощи ломаной у, (i = 1, ..., л), пересекающей ос, ровно один раз; ломаные 7, не должны проходить через неподвижны,- точки преобразований пз G Пусть C = {y,|c = 1, ..., «}. GC задает сеть N* в Е, двойственна ю сети N. Для g^G ребро gf, разрезает одно и только одно ребро или луч из IV, и этот элемент сети N G-эквивалентен элементу а,. Это следует из того, что, по предположению, ломаные у, не проходят через центры вращений порядка 2.

Иногда удобно работать с поверхностью 5 = EG. Отметим на 5 образы ри ..., рт центров вращений и образ р0 остальных граничных точек ребер о,, р„ т,, р,— все они G-эквпвалептны. Тогда S будет ориентиру емок поверхностью рода g с q дырами и m отмеченными точками. Проекция П: “ —>5 является накрытием. разветвленным в точках рь ..., рт. Звезда вершины р3 имеет впд

ЩаДП(от). П(Р1)П(Рд), ЩтД, П(И1), п(тГ), n(^rL)п^-1), пСц-1).

Обозначим эти кривые через ^ ..., 0Р. р = т + q + 4g (если g> > 0. то р * п).

Точки сети Е, отображающиеся в одну и ту же точку поверхности S, принадлежат одному и тому же слою.

Мы воспользуемся этим заданием группы G и этим типом сети N в случае, когда G допускает нетривиальное разложение в свободное произведение с отождествлением, см. п. 5.14.17.

Замечания, (а) Равенство (5.14.2) выражает тот факт, что отображение ср является послойным; равенство (5.14.3) описывает послойную изотопию.

Из равенства (5.14.2) следует, что ф оставляет неподвижными все неподвижные точки нетривиальных элементов груп-

В случае, когда G не содержит элементов конечного порядка (т. е. тп = 0), теорема 5.14.1 представляет собой переформулировку теоремы Бэра 5.13.1. Наше доказательство довольно близко к оригинальному, имеющемуся в статье Бэра [Baer 1928].

Доказательство теоремы 5.14.1 будет закончено в п. 5.14.33. Докажем сначала несколько лемм.

Из замечания 5.14.8 (Ь) следует, что фС не содержит точек, неподвижных при нетривиальном отображении из G. Таким образом, соображения общего положения, примененные к проекции ПфП-1, показывают, что ф можно так продеформировать при помощи послойной изотопии, что будут выполнены условия: (5.14.9 а) фС пересекается с N лишь в конечном числе точек;

(5.14.9 b)фСПП-‘ро = 0.

Это позволяет указать для каждого элемента ф^ из фС описание, т. е. слово из образующих, участвующих в задании (5.14.6), и им обратных, которое описывает, каким образом фу пересекает N.

Пусть W, (ф) обозначает слово, соответствующее элементу ф(уО. Длина d. (ф) слова W, (ф) равняется количеству символов, входящих в ЖДф). Пусть й(ф) равняется сумме чисел й,(ф). Если слово ^(ф) содержит пару а®аГ® (е = ±1), то будем говорить, что ф допускает свободное сокращение.

Рис. 5.14.1Рис. 5.14.1Л е м м а. Если для ф возможно свободное сокращение, то ф можно при помощи послойной изотопии продеформи- роватъ в отображение ф,, также обладающее свойствами (5.14.2) и (5.14.9) и такое, что й(ф,)<й(ф).

Рис. 5.14.1

Рис. 5.14.1

Доказательство. Достаточно повторить рассуждения из случая (1), рассмотренного в доказательстве теоремы 5.11.1 (п. 5.11.5). См. рис. 5.14.1. □

Лемма. Если все слова И\(ф) начинаются с одного и того же символа и кончаются ему обратным, то ф можно при помощи послойной изотопии продеформировать в такое ото

бражение ф1 со свойствами (5.14.2) и (5.14.9), что й(ф1)< й(ф).

Доказательство. Условие теоремы говорит о том, что все пути в ф(СС), начинающиеся или кончающиеся в ф(р*), ведут к одному и тому же ребру сети N или заканчиваются прохождением через него соответственно. Как и в лемме 5.14.11, из этого следует, что существует послойная изотопия, перемещающая ф(р*) на другую сторону ребра и уменьшающая число Й(ф). □

Определение. Назовем отображение ф циклически редуцированным, если невозможны свободные сокращения и не возникает ситуация, описанная в лемме 5.14.12.

Лемма. Пусть отображение ф циклически редуцировано. Тогда W, (ф), 1 5: i ^ п, не содержит подслова s^U = = 1, . .., m) или г^ (7=1, . .., q), е = ± 1.

Доказательство. Предположим, что в И^Дф) за символом следует еще один такой же. и рассмотрим образ в S = x/G, где ситуация такова, как это показано на рисунке 5.14.2. Дуга

Рис. 5.14.2

Ti, входящая внутрь, порождает бесконечную спираль, поскольку, в силу предположения, она не может оканчиваться в Пф(р*) и не допускает свободных сокращений. □

Лемма. Пусть ри ..., рл— последовательные ребра звезды вершины р0, а рл+1, ..., рр — остальные ребра. Будем считать, что отображение ф циклически редуцировано. Пусть 6 — часть одной из петель Пф(7,), 1<;^». пересекающая Pt в указанном порядке и ближайшая к р0 из всех таких частей в Пф(^), !$£/$£ п. Если кривая Пф(у3), содержащая б, пересекает непосредственно перед или немедленно вслед за б одно из ребер ^к, где 1 $£; k ^ h, то все части кривых (Пф (у,))±1, 1^/^и, пересекающие рь ..., pft в таком же или обратном порядке непосредственно перед или немедленно вслед за пересечением_с ^или^н соответственно, пересекают также и некоторое ребро р,. l^Z$C/z.

Доказательство. Рассуждение упростится, если слегка изменить систему разрезов. Для каждой ручки поверхности S стянем часть одной кривой на другую и получим простую замкнутую кривую, не содержащую точки р0. Разрезав ручку вдоль кривой, мы получим две дизъюнктные дыры. Из р0 к этим дырам идут две дуги. Пересечение с одной из этих дуг соответствует пересечению с ребром рз, а пересечение с другой — последовательному пересечению ребер рз+,, Р^РГ+г (см. рис. 5.14.3).

Сделав разрезы вдоль всех р(, не проходящих через р0, мы получим сферу с q + 2g дырами и тп отмеченными точками. Из 6 получится простая кривая 6', не содержащая р0. Тогда Рй U 6' ограничивает диск D, возможно, содержащий дыры и отмеченные точки. Но последние принадлежат только кривым рь ..., рл.

Если путь П<р(^и)11:1 входит внутрь О, он может выйти оттуда только после пересечения с Рй или с некоторыми из дыр. В обоих случаях мы получим пересечение с некоторыми Pj, 1 ^ / ^ h (рис. 5.14.4). □

Замечание. Разумеется, что к тому _же самому заключению можно прийти в случае, если 6 идет от Вм к одному

Рис. 5.14.4Рис. 5.14.4из ребер ^, 1 ^ / С h, или если 6 пересекает £»+1, ..., рр в этом или обратном порядке.

Рис. 5.14.4

Рис. 5.14.4

Рис. 5.14.3Рис. 5.14.3Для того чтобы воспользоваться решением проблем тож-

Рис. 5.14.3

Рис. 5.14.3

дества и сопряженности, придется рассмотреть несколько случаев. Самым важным является следующий случай (для него мы докажем теорему 5.14.1 в первую очередь). Остальные случаи рассматриваются, начиная с п. 5.14.25.

Случай т + ^ + 2^^4. В этом случае группу G можно разложить в нетривиальное свободное произведение с объединенной бесконечной циклической подгруппой, как было сделано в лемме 4.7.5. Пусть G = G,*AG2, и пусть образующие аи ..., ак, к^ 2, порождают Gt, а образующие ай+1, ..., а„ порождают G2. Каждая пара (t„ п,) принадлежит одному сомножителю.

Разложим теперь слово ^(ф), соответствующее кривой ф(^,), на подслова:

И^ф)-^...^.,

где все символы одного слова W,, — из одного сомножителя, а символы слов lVi3 и Wt.m — n3 разных. Положим, по определению.

*(ф) = 2 i,; как и раньше, й(ф) равняется полному числу символов в ^«(ф), 1 ^i^n. Доказательство проводится при помощи индукции по (Ц^, й(ф)) в лексикографическом упорядочении. Будем считать, что отображение ф минимально, т. е. что его нельзя при помощи послойной изотопии продеформировать в отображение с меньшим набором (^ф), й(ф)).

Поскольку свободные сокращения, производившиеся в доказательстве лемм 5.14.11, 12, не увеличивают 1(ф), но уменьшают й(ф), мы получаем, что

Отображение ф циклически редуцировано.

Лемма. W„ ^ А при всех возможных i, j.

Доказательство. Допустим, что IV,, еА. Рассмотрим звезду pi, ..., рР точки р о = П(р0) • Поскольку W„eA, кривая Пф(у,) пересекает ^,..., ^* или ^+1,..., ^Р в указанном или обратном порядке, причем пересечение, возможно, повторяется несколько раз. Допустим, что пересекается первая система. Тогда ситуация выглядит, как это показано на рисунке 5.14.5. Если же кривая Пер (у,) tyC/J_

входит в треугольник, который об-Д2

разуют ^i, ^ и Пер (у,), то она дол- _ жна пересекать ^„ 1 $£ i $£ А, в том °о хх /):

же порядке в силу утверждения X. \/ У

Следовательно:У

Самая внутренняя дуга.

пересекающая ^, ..., ^ в этом илиПуру) х h

обратном порядке, соответствует од-рцс 5145

HO.MAj U3 СЛОв В\ц."" _

В противном случае до или после пересечения с ^, ..., ^ она шла бы к какой-то кривой ^, 1 ^ j ^ h. и, таким образом, в силу леммы 5.14.15 все дуги, пересекающие ^._.... ^ в указанном порядке, пересекали бы какую-то кривую ^(, 1 $£ i ^ h. еще раз. Так как IV^eA, то соответствующая часть кривой 7, пересекает ^^„ несколько раз; но рассуждение со спиралью по

казывает, что это невозможно.

Самую внутреннюю дугу, о которой идет речь в п. 5.14.20, можно при помощи изотопии поверхности S продеформировать на другую сторону звезды в р». Эту изотопию можно поднять до послойной изотопии. Новое отображение ф, удовлетворяет неравенству Z(ф1)<Z(ф), если Z, >1, что противоречит минимальности отображения ф. Но Z, должны быть >1, иначе IV^p)eA, что невозможно в силу решения проблемы тождества в группах типа 5.14.17. □

Так как во время деформации отмеченная точка движется, то имеется такой элемент geG. что ТСДф) = ga,g~'. Запишем g в нормальной форме как элемент свободного произведения. Пусть его длина равна X. Тогда l< = 2Х — 1, если а, принадлежит тому же сомножителю, что и последняя часть элемента g; в противном случае Z, = 2Х+1. В силу леммы 5.14.19, слова 1Т,(ф) уже записаны в форме, близкой к нормальной форме (чу ть менее жесткой, поскольку мы не фиксировали представителей смежных классов по объединенной подгруппе).

Х^ 1.

Доказательство. Допустим, что X ^ 2. Тогда Z, > 2 и Wh1 = AWit при некотором 4 е А. Но тогда WlltWtlG А является подсловом, которое соответствует простой кривой, содержащей в середине отмеченную точку. Таким образом, либо WUl

совпадаете W7i\ либо Wt[.Wn является одним из слов (6,... . ..Ьл)±* или (Ь,,+1... Ьр)±1. Здесь 6, соответствует образующему, связанному с пересечениями ^, или обратному ему элементу. Так как система (ф^.)) является простой, все кривые начинаются с одних и тех же сомножителей V или Г, а оканчиваются сомножителями V-* или 7-*, где V^'P равняется (bt.. .Ь^^1 или (Ьл+1... Ьр)**. Эти сомножители приходят из первой части элемента g. Мы можем изотопически продеформировать V на другую сторону звезды и получить VA, где А равняется (6Л+1... Ьр)*1 или (6„ ..., Ь,^1. Эта деформация не увеличивает Z„ но теперь все кривые начинаются с одного и того же сомножителя V, и поэтому найдется деформация такая же, как в лемме 5.14.12. после которой все первые и последние сомножители Wiv W,it исчезнут. При этом /(ф) уменьшится, что противоречит минимальности отображения ф. □

При Х = 0, 1 применимы подобные рассуждения, показывающие, что

IV, (ф) = а, или W, (ф) = «Г1 u al = 1.

Передвинем теперь Пф(р0) обратно в П(р0) при помощи изотопии поверхности S (т. е. объемлющей изотопии), не пересекая Pi, ..., рР, и поднимем эту (объемлющую) изотопию в плоскость Е.

Лемма. Случай Иг{(ф) = аГ1 при al = 1 встретиться не может.

Доказательство. Кривая у,а, (у,) ограничивает диск, содержащий внутри неподвижную точку отображения а„ Тогда ф^,) проходит по ребру, пересекающемуся с yfyjXTXаЛъХ а фаДу.) —по ребру, пересекавше-

/ / \) муся с у,. Поэтому диск, ограниченный

/ /у/ /петлей у.аД'у.), отображается на диск, ог-

/\ /раниченный петлей ф(’у.)ф(а1у1)- ПоследУ•X ний задает на Е противоположную ориеы- /\ тацию, в противоречие с тем предположе- ( \a;fyj / ) нием, что ф сохраняет ориентацию \ \(₽пс- 514-6)- п

Доказательство теоре- Рис 5146 мы 5.14.1 для случая 5.14.17. Так как " " 'JV,^) = a„ мы можем изотонически пере

вести каждую кривую Пф(^() в Щ'у,) и, наконец, ф— в тождественное отображение при помощи послойной изотопии. □

Случай g = 0, m + q = 3. Теперь поверхность S представляет собой сферу с д дырами и тп отмеченными точками, всего с тремя «аномалиями». Рассмотрим разрез поверхности S, указанный на рис. 5.14.7 (а), где х обозначает отмеченную точку или дыру. Поднимем этот разрез в Е.

Из системы разрезов, указанной на рис. 5.14.7 (а), мы получим для G два образующих х, у и определяющие соотношения

zhi = у*2 = (ху')>з = 1, 0 < kt, к, ¥= 1. Эти образующие можно реализовать кривыми s, ip как это показано на рис. 5.14.7 (Ь). Циклически редуцированная простая замкнутая кривая с началом в р», не допускающая свободных сокращений, принадлежит одному из типов, представленных на рис. 5.14.7 (с); при этом, возможно, 5 и ц меняются ролями. Это ясно из простых геометрических соображений. Такая кривая может реализовать образующий х пли у, лишь если слово уже совпадает с х пли у соответственно, или с ж-1 или у-1 при &1 = 2 пли к2 = 2 соответственно.

(Ъ)(Ъ)(с)(с)

(Ъ)

(Ъ)

(с)

(с)

Последние случаи встретиться не могут, поскольку <р сохраняет ориентацию. Это доказывает теорему 5.14.1 при g = 0, т + q = 3.

Остаются следующие случаи:

т = 0, q = 1, g = 1: тор с дырой,

т = q = 0, g = 1: тор.

В обоих случаях теорема 5.14.1 следует из обычной теоремы Бэра 5.13.1. Остается рассмотреть

Случаи m=t, q = 0, g = l- Рассмотрим задание G = <t, u|[i, пР>, где к>1.

Здесь t, и являются образующими из диаграммы плоской группы, и к ним можно применить деновское решение проблемы тождества, см. теорему 4.9.4.

Пусть <7(У) обозначает количество символов в слове У. Пусть слова Г=УЦ, и) и W = W(t, и) соответствуют путям ф(«1) п <р(а2), a t и и — путям а, и а2. Найдется такое слово X = X(t, и), ЧТ0XtX~l = Г, ХиХ"1 = 1У.

Сейчас мы несколько раз изменим слова и т. п., чтобы сделать их «хорошими». В силу лемм 5.14.11, 12 мы можем считать, что:

Свободные сокращения невозможны, и Г циклически редуцировано.

Если А и Г начинаются с одного и того же символа, то этот символ можно переместить в конец слова V (что соответствует изотопии), и X станет короче. Точно так же, если X оканчивается на t (или Г1), заменим образующие на t, и =tut"v (или 1-1иЦ. Новые образующие также принадлежат диаграмме пло-

15 X Цишанг 11 др225

ской группы. (После этих операций, возможно, W станет длиннее, но нам зто не важно.) Получаем:

X и V не начинаются с одного и того же символа и не оканчиваются одним и тем же символом; X не оканчивается степенью элемента t.

При деновском решении проблемы тождества (см. теорему 4.9.4) возникают следующие случаи:

(a) X=^V = t.

Определяющее соотношение или ему обратное целиком входит в XtX^V-1.

Определяющее соотношение один раз входит за вычетом одной буквы, и один раз — за вычетом двух.

Определяющее соотношение за вычетом двух букв входит три раза.

Заметим, что в случаях (с) н (d) части определяющего соотношения являются дизъюнктными. При помощи рассуждения со спиралью мы получаем первое утверждение:

Длина входящего в У подслова определяющего соотношения не превосходит четырех.

Слово X можно выбрать таким образом, чтобы оно не содержало подслое, представляющих собой более половины определяющего соотношения.

Равенство d(X)=l невозможно.

Утверждение 5.14.31 тривиально. При d(X)=l определяющее соотношение, в силу утверждения 5.14.30, может входить самое большее один раз. Поскольку XtX-1 может добавить лишь 3 символа, это также противоречит утверждениям 5.14.30, 31, так как длина определяющего соотношения > 8. Этим утверждение 5.14.32 доказано.

Каждое из указанных в п. 5.14.29 длинных подслое определяющего соотношения задевает две из частей X, t, X-1, У-1.

Доказательство. Если одна часть содержит t и несколько символов из X, она может пересекать X-* не более, чем по одному символу. Если она пересекает и У-1, то X является ее подсловом, и второго длинного подслова, пересекающего X-1 и У-1, существовать не может: оно содержало бы несколько символов из X-1, а это возможно, лишь если У-1 имеет обратные символы в начале и в конце, что противоречит п. 5.14.27. Таким образом, имеет место случай 5.14.29 (Ь). Пусть v — длина содержащегося в X подслова определяющего соотношения, ц — длина части, содержащейся в У-1. Тогда

v + ц + 2 ^ 4h.

Если теперь заменить X дополнительной частью определяющего соотношения, длина окажется равной 4h — v С р, + 2. Но тогда У-1 будет допускать р свободных сокращений, что дает нам некоторые циклические перестановки слова У-1. Кроме того, мы получим одно сокращение с t. Проделав это, мы бы имели У = I или d(X) = 1.

Как следует пз сказанного ранее, подслово определяющего соотношения может пересекать три из сомножителей X, t, X-1, У-1 лишь в том случае, если оно пересекает X-1, У-1, X. Оно может пересекаться с X или X-1 лишь по одному символу, с оставшимся— по ц символам, а У-* является подсловом определяющего соотношения длины v ^ 4. Снова получается, что должен иметь место случай 5.14.29 (Ь). Заменим подслово в X или X-1 дополнительной частью определяющего соотношения. Тогда часть длины р заменится словом длины 4к — р = v + 1. Снова применив циклическую перестановку, все можно свестп к случаю d(X) = = 0, 1. □

Теперь мы можем считать, что выполнено условие 5.14.33, т. е. что длинные подслова определяющего соотношения пересекают ровно два из сомножителей X, t, X-1, У-1. Но тогда невозможно, чтобы символ t принадлежал одной из частей. Поэтому подслов может быть самое большее два, и каждое пз них пересекает X или X-1 по меньшей мере по двум символам. Но ими порядок следования и предшествования в определяющем соотношении полностью определен, п слово У-1 не могло бы быть тогда циклически редуцированным. Таким образом, единственная возможность заключается в том, что определяющее соотношение входит один раз и содержит по меньшей мере четыре символа пз X. Этот случаи разбирается точно так же, как в доказательстве утверждения 5.14.33. Таким образом, V = t и ТУ=м и утверждение теоремы доказывается, как и выше. На этом доказательство теоремы 5 14.1 заканчивается. □

Упражнение 5.23.

О группе классов преобразований

Задача классификации преобразований с точностью до гомотопии приводит к понятию класса преобразований. При работе с этими классами основными инструментами являются теоремы Дена — Нильсена и Бэра. В этом параграфе мы соединим эти теоремы и докажем несколько футдаментальпых результатов о группе классов преобразований. Кроме того, мы обсудим некоторые результаты, имеющиеся в литературе.

Определение, (а) Говорят, что гомеоморфизмы g, f: S —*■ S' поверхности в поверхность принадлежат одному и тому же классу преобразований или классу гомеотопии, если они гомотопны в классе отображений, переводящих край в край. Класс гомеоморфизма / мы будем обозначать через [/].

(Ь) Множество всех классов гомеотопии гомеоморфизмов поверхности S в себя с операцией [/] ["] = [f • g] образует группу, называемую группой гомеотопии, пли группой классов преобразований и обозначаемую через Homeot S. Если ограничиться гомеоморфизмами и гомотопиями, сохраняющими отмеченную точку * е S, то мы придем к группе Homeot(5, *).

Отметим справедливость следующего факта: Эва гомеоморфизма принадлежат одному и тому же классу преобразований тогда и только тогда, когда они изотопны,— это простое следствие теоремы Бэра 5.13.1. Обозначим множество отображений, изотопных тождественному, через IsolS; это тоже группа. Пусть Homeom S — группа всех гомеоморфизмов поверхности S в себя. Тогда из определений и теоремы 5.13.1 мы получим:

(5.15.2) HomeotS = Homeom S/IsotS.

Пусть F = nt (5)—фундаментальная группа поверхности S, и пусть Aut* F обозначает группу всех автоморфизмов группы F, индуцированных гомеоморфизмами поверхности S. Через InnF обозначим группу всех внутренних автоморфизмов группы F. Обозначим через X: Homeot (S, *)-> Aut* F гомоморфизм, ставящий в соответствие каждому сохраняющему отмеченную точку гомеоморфизму поверхности S в себя индуцированный автоморфизм фундаментальной группы. Отображения, которые можно продеформировать в тождественное посредством изотопий, не связанных в отмеченной точке, переходят во внутренние автоморфизмы группы F.

Теорема. Пусть S — поверхность, отличная от круга и сферы.

X: Homeot (5, *)->Aut*F является изоморфизмом.

X: Homeot S -> Aut* F/Inn F = : Out* F является изоморфизмом.

Aut* F состоит из всех автоморфизмов группы F, при которых образующие, соответствующие дырам, отображаются в элементы такого же типа.

Доказательство. Пункт (с) представляет собой переформулировку теоремы Депа — Нильсена 5.6.1. В силу этого пункт (а) является следствием теоремы Эпштейна 5.13.2, а пункт (Ь) непосредственно следует из пункта (а). □

Теперь встает задача: вычислить группу классов преобразований поверхности. Для круга и сферы это сделать легко:

Предложение. Группы классов преобразований сферы и круга изоморфны Z2. Единица содержит все сохраняющие ориентацию гомеоморфизмы, а нетривиальный элемент — обращающие ориентацию гомеоморфизмы.

Группа классов преобразований проективной плоскости тривиальна. Группа гомеотопии ленты Мёбиуса равна Z2; гомеоморфизмы из нетривиального класса обращают ориентацию края.

Доказательство — упражнение 5.17. □

В общем случае группа классов преобразований с трудом поддается изучению. См. [Hatcher — Thurston 1980], [Wajnryh 1983]. В случае тора имеется красивое решение этой задачи:

Теорема. Группа классов преобразований тора изоморфна группе AutZ2, причем изоморфизм устанавливается при помощи К из теоремы 5.15.3. Группа AutZ2=GL(2, Z)

может бить задана образующими

и определяющими соотношениями S3P, Ss, Г*, N\ NTN^T, NSN-'S.

Доказательство. См. упражнение 5.18 пли 3.19. Найдите геометрическую интерпретацию образующих элементов. См. также теорему 8.3.1. □

0 геометрических исследованиях группы классов преобразований. Для замкнутых поверхностен образу ющие группы классов преобразований в общем слу чае давно известны, см. Бэр [Baer 1928'], Гёритц [Goeritz 1933'], Деп [Dehn

1936] и переоткрытпе метода последней работы в статьях Лико- риша [Lickorish 1963, 1964, 1966]. См также Бирман и Чилин- гуорт [Birman — Chillingworth 1972]. Образующие, во всяком случае большая их часть, соответствуют скручиваниям вдоль простых замкнутых кривых; кольцевая окрестность кривой так перекручивается, что на крае кольца отображение является тождественным, см. рис. 5.15.1. Эти скручивания часто называются скручиваниями Дена, или скручиваниями Ликориша. См. также [Calugareanu 1968].

В случае сферы с дырами группа классов преобразований тесно связана с так называемой группой кос, образующие п определяющие соотношения которой известны со времени публикации оригинальной работы Артина [Artin 1926], см. также [Artin 1947]. Связь между ними известна со времени публикации работы Магнуса [Magnus 1934]. Картинка, на которой системы д\ г в R’ при проекции на плоскость (у, z) дает косу, а при проекции на плоскость ^х, у)—разрез, явилась основой для работы Бурде [Burde 1963], из которой ясна связь между теориями кос и классов преобразований. Относительно задания Артина решена не Только проблема тождества, как это сделано в работе Артина [Artin 1925], но и гораздо более трудная проблема сопряженно-

сти, Гарсайд [Garside 1969]. К сожалению, решение Гарсайда не допускает непосредственной геометрической интерпретации. С 1962 года началось новое развитие теории кос, и результаты можно применить к группам классов преобразований поверхностей; укажем некоторые статьи: [Fadell — Neuwirth 1962], [Fa- dell—van Buskirk 1962], [Fadell 1962], [Fox — Neuwirth 1962], [van Buskirk 1966], [Арнольд 1969, 1970, 1971]. Далее это развивалось в работах Бирман [Birman 1969, 1969', 1969"], Скотта [Scott 1970']; хорошим путеводителем по результатам и литературе является книга [Birman 1974], см. также статьи [Magnus 1972] и [Maclachlan 1978]. Известно, что не все классы преобразований можно получить из кос. Уже нахождение определяющих соотношений довольно трудно, но еще более трудно применить полученные задания к решению проблем тождества и сопряженности, нахождению конечных подгрупп, и других естественных задач; задания слишком сложны. Для наступления на эти проблемы использовались и используются геометрические методы. См. также [Lee 1972].

В статье Хэтчера и Тёрстона [Hatcher — Thurston 1980] опубликована общая формула, дающая конечное задание для всех групп классов отображений одновременно.

0 6 алгебраическом нахождении задания группы классов преобразований. При помощи изоморфизма X или X из теоремы 5.15.3 задачу нахождения группы классов преобразований можно свести к чисто теоретико-групповой задаче. Как мы видели, автоморфизмы фундаментальной группы F индуцируются автоморфизмами свободной группы F, натянутой на образующие группы F, и эти автоморфизмы отображают произведение П* коммутаторов или квадратов, соответственно, в ему сопряженное или обратное, см. теоремы 5.6.1 и 5.7.2. Систему образующих для группы таких автоморфизмов можно найти при помощи метода Уайтхеда, см. теорему 1.9.3. В работе Маккула [McCool 1975] метод Уайтхеда рассматривается более подробно, и приводится метод для нахождения определяющих соотношений группы свободных автоморфизмов, оставляющих неподвижным некоторый элемент, откуда мы можем получить задание для группы автоморфизмов, отображающих элемент в сопряженный ему или обратный. Из этого легко получается задание группы классов преобразований, см. 5.8. По поводу деталей см. также [Lyndon — Schupp 1977, 1.4, 5]. Этот способ нахождения задания группы классов преобразований можно запрограммировать для компьютера; к сожалению, даже в простых случаях требуется очень много машинного времени. Другой недостаток этого подхода заключается в том, что мы не получаем общего задания для групп классов преобразований всех поверхностей, в котором образующие и определяющие соотношения каким-нибудь явным образом зависели бы от рода, и т. д. См. также [Zieschang 19851

Нахождение простых замкнутых кривых. Из доказательств теорем Дена — Нильсена и Бэра становится

ясно, что простые кривые представляют собой эффективный инструмент. Возникает вопрос: какие элементы фундаментальной группы могут быть реализованы простыми замкнутыми кривыми? Как мы видели в § 3.5, такой элемент можно реализовать кривой, обладающей описанием со свойствами 3.5.13—15 по отношению к произвольно заданному разрезу поверхности. Как показал Цишанг [1963], [Zieschang 1965', 1969] с помощью методов и доказательств, относящихся к комбинаторной топологии, нарисовав диаграмму, легко определить, содержит ли класс простую замкнутую кривую. (По поводу соответствующей гомологической проблемы см. следствие 3.6.11.)

Первое алгоритмическое решение этой задачи приведено в работах Райнхарта [Reinhart 1960, 1962], где используется интересный индекс вращения, см. также [Reinhart 1963]. Этот алгоритм, а также алгоритмы работ Калугареану [Calugareanu 1966— 1975] и Чилингуорта [Chillingworth 1969, 1971, 1972, 1972'] тоже используют результаты из геометрии неевклидовой плоскости. Новый алгоритм, работающий также и в случае бесконечных слов, приводится в работе Бирман и Сиериз [Birman — Series 1984], их подход близок к методам работы Нильсена [Nielsen 1927]. и его можно использовать для упрощения алгоритма из работ Цишап- га [Zieschang 1965, 1969]. Для проколотых торов имеются простые алгоритмы, описанные в работах Бирман и Сиериз [Birman—Scries 1984] и Осборна и Цишанга [Osborne — Zieschang 1981], см. также работы Коэна, Метцлера и Циммермана [Cohen — Metzler — Zimmerman 1981], Маккула [McCool 1982], Кането [Kaneto 1982].

0 гомотопических свойствах пространства гомеоморфизмов поверхности. До сих пор мы не рассматривали деформации. Еще один круг задач возникает при изучении пространства гомеоморфизмов поверхности, наделенного топологией, например, компактно открытой. Оно не линейно связно, поскольку при деформации преобразования мы пе можем перейти от тривиального класса преобразований к нетривиальному. Ясно, что изучение компоненты единицы представляет особый интерес, поскольку знание ее и знание группы классов преобразований в совокупности дадут всю нужную информацию. Доказало, что компонента единицы стягиваема; поэтому и все компоненты стягиваемы. Для пространства всех гомеоморфизмов это сделано в работе Хэмстром [Hamstrom 1966], для пространства диффеоморфизмов — в работе Ерла и Иллса [Earle — Eells '1967] и для пространства PL-гомеоморфизмов — в работе Скотта ’[Scott 1970]. Для сфер с дырами это было доказано в работе Мор- 'tona [Morton 1967]. Дополнительная литература об этом предмете: [Hamstrom 1962, 1965].

0 геометрической природе преобразова- Вий поверхностей. Нильсен интенсивно изучал геометрическую природу преобразований поверхностей в работах [Nielsen 1927, 1929, 1932, 1937, 1942, 1944] и других; преобразования ко- Вечного порядка расклассифицированы в работе [Nielsen 1937].

В последнее время под влиянием работ Терстона возродился интерес к этой области, см. [Thurston 1982], [Fathi — Laudenbach — Poenaru 1979], [J. Gilman 1981, 1982, 1983], [Miller 1982]. См. также статью Дж. Бирман в сборнике избранных работ Я. Нильсена.

Накрытия и группа классов преобразований

Один из способов получения информации о группе классов преобразований поверхности состоит в том, чтобы изучать ее связь с группами классов преобразований других поверхностей, связанных с исходной поверхностью при помощи накрытия. Это то же самое, что сравнивать автоморфизмы плоской разрывной группы с автоморфизмами одной из ее подгрупп. Основной результат, из которого можно вывести известные теоремы, сформулирован в виде теоремы 5.16.2. Для удобства мы отложим доказательство п. 5.16.2 (а) относительной теоремы Дена до п. 7.5.11, хотя имеется и доказательство, основанное на уже полученных результатах, см. упр. 5.21.

Определение. Пусть G — плоская разрывная группа. G-слой) состоит из всех точек(или вершин,ребер, граней), которые могут быть переведены друг в друга при помощи преобразований из G. Как и выше, в определении 4.3.1, элементы G-слоя называются G-эквивалентными, Изотопия называется G- изотопией, если в каждый момент образы G-эквивалентных точек G-эквивалентны. Автоморфизм а группы G называется геометрическим, если он индуцируется гомеоморфизмом <р: Е->Е:

«(бг)=ф"16Гф.

Теорема. Пусть G — нециклическая конечно порожденная плоская разрывная группа, состоящая только из сохраняющих ориентацию элементов, и пусть F — подгруппа конечного индекса. Пусть G — гиперболического типа, т. е. пусть централизатор каждого нетривиального элемента цикличен. Тогда-.

Геометрический автоморфизм а группы F индуцируется сохраняющим G-слои гомеоморфизмом сети Е тогда и только тогда, когда а индуцируется автоморфизмом а группы G.

Если сохраняющий G-слои гомеоморфизм ф сети Е F- изотопен тождественному, то он G-изотопен тождественному.

Доказательство. Пункт (а) будет доказан в п.7.5.11. (Ь). Мы можем считать, что подгруппа F нормальна в G. Так как гомеоморфизм ф является F-нзотопным тождественному, то при всех f^F выполняется равенство ф-1/ф= /• Для произвольного /ер получаем

(фб'Ф^Лф^Ф-1)- фб'/^’ф"1 = gfg-1.

Поскольку G — гиперболического типа, центр группы G тривиа

лен, см. п. 6.4.9, поэтому фgф_1 = g. Теперь теорема 5.16.12 следует из теоремы 5.14.1. □

Сейчас мы применим это к накрытиям поверхностей поверхностями.

Пусть л: St ->■ S — регулярное накрытие с конечным числом точек ветвления и листов. Пусть, кроме того, Si — «гиперболическая» поверхность, т. е. 2g, + g! ^ 3 для рода gi и числа qt дыр. Обозначим через g и q род и число дыр поверхности S. Фундаментальная группа Fi поверхности S, действует на универсальном накрытии поверхности S^ Скольжения накрытия л можно поднять в Е и определить тем самым плоскую разрывную группу G, в которой Ft имеет конечный индекс. Из теоремы 5.16.2 получаем

Следствие. Если сохраняющее слои преобразование (р: S, -* St изотопно тождественному, то ф послойно изотопно тождественному. □

Пункт (а) теоремы 5.16.2 можно перевести подобным образом, но формулировка будет несколько длиннее:

Следствие. Пусть в ситуации п. 5.16.3 В — группа геометрических автоморфизмов группы u^^S^, содержащая такую группу внутренних автоморфизмов J, что В/J представляет собой группу внешних автоморфизмов, задаваемых скольжениями. Геометрический автоморфизм а группы я^8^ индуцируется послойным по отношению к накрытию л: Si S отображением в том и только в том случае, если соответствие ^ ^ а^а-* определяет автоморфизм группы В. □

Следствия 5.15.4, 5 описывают связь между группой гомеото- пий относительно л и группой классов автоморфизмов. Заметим, что обращающие ориентацию преобразования поверхности S, не индуцируют тождественного гомоморфизма группы Л1(5,). Немного изменив доказательство, мы получим такие же результаты в том случае, когда поверхности S и S, не открыты, а имеют непустой край.

Следствие (теорема Бэра — Нильсена). Пусть группа G такая же, как в условии теоремы 5.16.2. Тогда факторгруппа группы сохраняющих G-слои гомеоморфизмов плоскости Е ' по G-изотопиям канонически изоморфна факторгруппе группы геометрических автоморфизмов по внутренним автоморфизмам.

Доказательство. То, что все геометрические автоморфизмы индуцируются сохраняющими G-слои гомеоморфизмами плоскости Е, утверждается в теореме 5.8.3. Остальное следует из утверждения (Ь) теоремы 5.16.2. □

Если поднять все в универсальное накрытие, то получится следующая формулировка усиленной формы теоремы Бэра 5.13.2.

Теорема. Пусть группа G —такая же, как в условии теоремы 5.16.2, и в ней нет элементов конечного порядка. Пусть ф: Е->Е — такой гомеоморфизм, что

ф-^ф = g для любого g е G.

Пусть, кроме того, у(хй) = хй при некотором гоеЕ. Тогда найдется такая послойная изотопия ф( преобразования ф в тождественное, что ф<(х0)= х0 при is [О, 1]. □

Заме чание. Доказательство обобщенной теоремы Бэра 5.13.1 следует схеме доказательства из § 5.11; препятствием к тому, чтобы в результате получить обобщение Эпштейна, являются центры вращения.

При помощи объемлющей изотопии к раз обнесем отмеченную точку р, вокруг центра вращения порядка к. Эта изотопия индуцирует тождественный гомоморфизм разрывной группы, но не может быть продеформирована в тождественное отображение при помощи изотопии, не сдвигающей отмеченную точку, поскольку отмеченная точка не может проходить через центр вращения ни при какой послойной изотопии. Таким образом, нам требуется изотопия в дополнении неподвижных точек, которое имеет свободную фундаментальную группу Н. Гомеоморфизм ц можно про- деформировать в тождественный при помощи изотопии, не сдвигающей отмеченную точку, тогда и только тогда, когда ц индуцирует тождественный гомоморфизм группы Н.

Теперь рассмотрим евклидов случай.

Допустим, что тотальное пространство St накрытия л: St^- S является цилиндром или тором. Можно непосредственно доказать аналог следствий 5.16.5, 6 для неразветвленных накрытий.

Предложение. Если л: St-* S представляет собой неразветвленное регулярное накрытие, то сохраняющее слои отображение ф: St -► S„ изотопное тождественному, послойно изотопно тождественному. Изотопический класс гомеоморфизмов поверхности St содержит сохраняющий слои гомеоморфизм в том и только в том случае, если индуцированный автоморфизм группы л^яД^))^ n^S) продолжается на nt(S). □

В случае разветвленных накрытий ситуация существенно другая. В этом случае S является кругом или сферой, как это следует из подсчета эйлеровой характеристики. Пусть р— порядок ветвления, г — количество точек ветвления порядков kt, ..., k„ Из подсчета эйлеровой характеристики получаем (5.16.11)^(^+ •'• +-^-r + d) = O,

где d=l, если 5— круг, и d = 2, если сфера. Всего будет насчитываться пять случаев (см. таблицу 5.16.1). Поднимая скольжения в универсальное накрытие, мы получим группу G. Ее можно при помощи гомоморфизма % отобразить в Zg, Z3, Z4 или Ze- (Мы полагаем Zm = {0, 1, ..., m — 1}.) Ядро R не содержит элементов конечного порядка. Подгруппа R является характеристической. Пусть F — подгруппа конечного индекса в G. Тогда R Л Л F является подгруппой конечного индекса в R и в F. Поэтому автоморфизм группы G индуцирует тождественный автоморфизм группы F в том и только в том случае, если он индуцирует тождественный гомоморфизм группы R. Если автоморфизм группы F

Таблица 5.16.1

Случай

Г

hi

S

G

X: G-2m

Образующие х, у для R

Индуцированные автоморфизмы группы R

Ядро гомоморфизма p: Aut G -»Aut R, a-»a | R

(а)

4

kt=2

тор

сфера

<si- $2' $з- $4 К = = W3$4 = 0

Х: G->Z2

AutR

id, (s4 Н» s1s2s1, s2 h> s1, sg I-» s^Sg), (^Wi’^Wa-^^i)- ($1,- s/gS^gSp s2 >- »1s3»1, s3^ s1$2$1)

(Ь)

з

kt=3

тор

сфера

<’1>*2’взИ =

= W3 = 0

X: G^Z3

х = з-\

S1, NU1

id,(sii-'«13^131,32i-*31), (si^sAlsi<srs2^ »AIsi)

(с)

з

кг=4 кг = 4 к3 = 2

тор

сфера

<sp s2 | ^ = 4 = = ($1$2)2 = 1>

X: G->Z4

У = $r2Vi

NTi

id,

»1 t-» 5,$^1$р S I-» s.

(d)

3

^ = 3

Ь3 = 2

тор

сфера

<S1-»2I s! =S2 = = М2 = 0

X: G->Z6

id

(е)

2

*1=2

л индр

ДИСК

<41’52К = ^=1>

Х= g-*Z2

Х = Sl$2

Aut R s Z2

id

$l ^Vl' S2 si

индуцирован автоморфизмом группы G, то на R П F он индуцируется автоморфизмом группы R. При помощи предложения 5.16.9 мы можем решить вопрос для неразветвленных накрытий Е/R П П F->E/R, Е/R П F->E/F, и для полного ответа нам остается рассмотреть разветвленное накрытие E/R->E/G.

В дальнейшем мы считаем, что Sх = Е/R. Найдем образующие х, у группы R^Z2 (случаи (а) — (d)) или х группы R^Z (случай (е)) и внутреннее действие элементов s, на этих образующих при помощи метода Шрайера 2.2.1. (В нижеследующих рассмотрениях мы опустим случай R^Z, и лишь приведем в таблице результат.) Здесь R= <х, г/| [х, г/]>.

Т: R->R, х-*у,у^г1,

S; R-^-R, х^у-1, у^-ху,

N: R -> R, х у, у х,

являются образующими группы AutR, и AutR=<S, Т, N\Sar, S\ Т\ N2, NTN~lT, NSN-lS>, см. теорему 5.15.5.

Поскольку элементы конечного порядка в группе G сопряжены со степенями элементов s, или 5,82 соответственно, автоморфизм группы G имеет вид st ViS^, vi"1, где ^ &J является перестановкой и е = ±1. (Обозначения взяты из п. 5.16.3.)

Таким образом, в каждом классе автоморфизмов имеется отображение следующего вида:

(5.16.12а) Sub-ps^p-1, s2 н-pgs^p-1, 83 — 8кз;

(5.16.12 Ь — d) Sj >-» vs^v-1, s2 8д2.

Так как x(s«) Iй x(M в случае (а)] порождает G/R, мы можем считать, что v = x"yb, v2 = xcyd.

То, что индуцированное отображение является автоморфизмом, накладывает ограничения на числа а, 6, с, d, и легко найти все автоморфизмы, которые так индуцируются. При вычислении ядра гомоморфизма р: AutG-»-AutR, а •-> al R, помогает то, что лежащее в ядре отображение с тривиальной перестановкой kt = = г является тождественным на G. Опишем шаги детально только в самом сложном случае (а):

„/1 2 3 4)

Перестановку N 1 3 4/ можно индуцировать при помощи отображения 8Х >-» s1s2s1, s2 ^ s^ s3 ^ s3, которое определяет на R автоморфизм NT^S-1!-1, (2 3 4 1) индуцируется при помощи соответствия Si^Si^^to дает на R автоморфизм TSTS~'T~l. При отображениях с тривиальной перестановкой мы получаем на R отображения х -* x2Q-2c+1y2b-2d, у >->- х2°у2Ь+1, и условие за-

| 2a — 2с + 1 2a |, . _

ключается в том, что 26 — 2d 26 + 11^егко проверить,

что так можно получить все целочисленные матрицы

^qu ^j с определителем ±1, где аи п tz22 — четные, a ощ, «12 — нечетные числа. В частности, мы получим NT-1. Автоморфизмы ЛТТ-1, NT-^'T-1, TST^T-'S-' порождают AutR. Так как целочисленные матрицы (а„) с четными щи а1г и нечетными «12, «21 образуют нормальную подгруппу индекса 6 в AutR, то ядро гомоморфизма р имеет порядок 4, и его элементы легко найти.

Геометрическая интерпретация этого простая: элементы представляют точки одинакового порядка в случаях (а), (с) и (е), и поворачивают тройку в случае (Ь). Эти преобразования изотопны тождественному отображению поверхности 5], но не послойно изотопны ему.

Изучение того, как ведут себя группы классов преобразований в случае накрытия поверхности поверхностью, было начато Бирман и Хилденом с той целью, чтобы решать задачи о классах преобразовании при помощи кос, см. Бирман и Хплден [Birman — Hilden 1971. 1973]. Ими получены результаты этого параграфа для случая перазветвленных накрытий и некоторых специальных типов разветвленных накрытий. В гиперболическом случае теорема была доказана в работе Маклахлана и Харви [Maclachlan—Harvey 1975] при помошп методов комплексного анализа. Геометрический подход, использующий теорему 5 14.1, взят из работы Цишанга [Zieschang 1973], и мы воспроизвели эту статью. Результаты можно распространить на разрывные группы, содержащие элементы конечного порядка. Это легко сделать в случае, когда пет отражений, применив довольно общую теорему о классах преобразований и (неразветвлепных) накрытиях, см. Бирман и Хилден [Birman — Hilden 1972]. Цишанг [Zieschang 1973']; это — легкое упражнение по теории накрытии. Если группа содержит отражения, то приходится привлечь еще некоторые геометрические соображения, см. [Zieschang 1973, § Ю, 11].

Упражнения 5.21, 22.

Дополнительная литература к главе 5:

[Alexander 1923]. [Andrea 1967], [Bell 1976], [Bergau— Mennicke 1960], [Birman 1970], [Bourgin 1968], [Brodel 1935]. [Bundgaard — Nielsen 1946],[Dehn 1938, 1939], [Elvin—Short 1975], [Grossman 1974], [Jaco — Shalen 1977], [Kerekjarto 1943], [Kneser 1928], [Levine 1963], [Marden 1969], [Quine 1977], [Quintas 1965], [Ritter 1978], [Stillwell 1979, 1979'], [Тураев 1978], [Zarrow 1979], [Zieschang 1971, 1974]. [Zimmermann 1977].

Упражнения

Докажите, что в свободной группе <t. u|> любое решение уравнения [гг, е] = [Г, и] дает систему свободных образующих (ср \пр 121).

Решите следующие уравнения в свободной группе (лд, л2, .-.|>:

Л2 = 4

и2с2и;2 = 1,

где и, v, ш являются словами из букв п, т2, ... (см [Lyndon 1959]).

Пусть S = <zb хг, ... | > — свободная группа ранга п ^ оо. Пусть wt (я), ..., wm^z^ eS, m ^ п, таковы, что

w^ (я) • • ■ w^ (х) = х% ... х^.

Покажите, что wt(x'), ..., wm(x') являются свободными образующими подгруппы в S с базисом xt, .... хт. Докажите аналогичный результат, если

П^-Г №2i] = П [^i-r *2lb

Пусть S —свободная группа <$ь ..., $„|>. Рассмотрим бинарное произведение {Хр ..., Хп; Пх} в S с Пх (X) = X® ... X® или Пх (X) = = JJ [X2i_v X2j] н пх (X) = 1. Покажите, что в первом случае бинарное произведение родственно произведению {Ух, • • •, ^n—1> ^п’ Yi • • • Ynl с

У2{_1 = Y^, i = l,...,n/2 при четном п,

Y^_1 = Y~X1, Уп = 1, i = 1, ..., (и—1)/2 при нечетном п.

Во втором случае бинарное произведение родственно произведению {Yi- -^ П [Y2i-v Y2i]) С У21 = 1, i = 1п(2.

Докажите теорему 5.3.7.

Воспользуйтесь методом Райдемайстера — Шрайера, чтобы найти базис для коммутанта группы <4, а|>. Дайте геометрическую интерпретацию и сравните с § 1.5.

Докажите аналог леммы 5.5.2 для групп, содержащих только сохраняющие ориентацию элементы.

Пусть

Е = <ГГ Uv ..., Tg, Ug\>, Y=<\v агtg, ^Ц Ь. «,?>,

F->F—естественная проекция и П* = JJ [Т^, UJ.

Пусть a: F->F — автоморфизм с а(П,) = П*, индуцирующий тождественный автоморфизм группы F. Докажите, что а является внутренним автоморфизмом со степенью элемента П*^ качестве множителя.

Пусть А —группа автоморфизмов группы F, отображающих П* в П* или П71, и пусть Т состоит из внутренних автоморфизмов со степенью элемента П» в качестве множителя. Покажите, что

AutFsA/T.

(Указание: воспользуйтесь теоремой 5.6.1.)

Подобные результаты имеют место в случае неориентируемых поверхностей и поверхностей с краем (Грамберг — Цишанг, не опубликовано).

Докажите геометрически равенство ш(А<)е< = е = ±1 из теоремы 5.7.2 в случае неориентируемых поверхностей.

Какие из следующих элементов группы <tb ab t2, u2| [tb kJ [i2, а2]>, фундаментальной группы замкнутой ориентируемой поверхности рода 2, можно реализовать простыми замкнутыми кривыми:

Докажите предложение 5 112 Как обстоит дело для неорпентируе- мых поверхностей"1

Докажите 5.11.7.

Докажите, что любую не гомотопную нулю простую замкнутую кривую на торе можно отобразить на любую другую при помощи гомеоморфизма тора,

используя классификацию поверхностей.

используя теоремы Дена — Нильсена и Бэра

Пусть F— компактная поверхность рода g^l, к: F-► F — такой гомеоморфизм, что гомеоморфизм к2 гомотопен тождественному. Докажите, что:

гомеоморфизм к изотопен гомеоморфизму к', для которого найдется такая простая замкнутая кривая %, что к' (7) П Y = 0, или к'to = T^S

гомеоморфизм к изотопен гомеоморфизму к* порядка 2: к*2 = id. (Воспользуйтесь элементарными геометрпческп-топологическими соображениями )„

Приведите пример отображения /: F-.-F поверхности F в себя, не гомотопного тождественному, но индуцпрующего тождественный гомоморфизм группы Нх (F), т. е. такого, что

id^^p)^/*: Лг (/")-> n^F), но idHi(F) =/,: Яг (F)Ят (F).

Пусть F — замкнутая ориентируемая поверхность рода g > 1, и пусть /: F^F гомеоморфизм. Докажите несколькими способами следующие утверждения:

j^- Нг (F) -► Н2 (F) ег Т отображает 1 в 1, еслп / сохраняет ориентацию, ив —1, если / обращает ориентацию.

/¥1: Н^ (F) -► HY (Я) = I28 имеет определитель 1, еслп / сохраняет ориентацию, и —1, если / обращает ориентацию.

Индекс пересечения v(Ch С2). С.еЯДБ), остается неизменным, еслп / сохраняет ориентацию, и умножается на —1, еслп / обращает ориентацию

Докажите предложение 5 15 4.

Докажите предложение 5 15.5.

Пусть Т — тор.

Найдите все классы преобразований конечного порядка тора Т и все конечные подгруппы группы Homeot Т.

Докажите, что каждый класс преобразований тора Т, имеющий конечный порядок, содержит гомеоморфизм такого же порядка Докажите, что все конечные подгруппы группы Homeot Т можно реализовать изоморфными группами преобразований

Докажите то утверждение п 5 11.6, что б можно при помощи комбинаторных изотопий продеформировать в кривую, пересекающую 2* в тех же точках, что и 7.

Докажите теорему 5 16.2, используя результаты предыдущих параграфов.

Восполните педостающие детали в и. 5.16 10 и докажите результаты таблицы 5 16 13 в оставшихся случаях.

Дайте непосредственное доказательство утверждения теоремы 5.14 1 для случая, когда G является группой автоморфизмов сети квадратов в евклидовой плоскости

Докажите, что каждый автоморфизм плоской группы G индуцируется автоморфизмом свободной группы F, имеющей тот же ранг, что и G (см. [Rosenberger 1980]).

ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

В этой главе мы докажем, что всякая топологическая поверхность триангулируема и что триангуляции гомеоморфных поверхностей эквивалентны (утвердительный ответ на хауптфермутунг). Фундаментальную роль в нашем доказательстве играет теорема Шенфлиса 6.5.1, представляющая собой усиление хорошо известной из книг по алгебраической топологии теоремы Жордана о кривой. Доказательство теоремы Шенфлиса взято из книги Ньюмена [Newman 1951] с небольшими изменениями в тех местах, где мы считаем известными некоторые результаты из алгебраической топологии, которые у Ньюмена доказываются с нуля. (Его книга представляет собой превосходное введение в теорию гомологий и ее применения в геометрической топологии.) Доказательство теоремы триангулируемости скопировано с оригинального доказательства из статьи Радо [Rado 1924].

Структуры на поверхностях

Сначала напомним понятие многообразия.

Пусть М — пространство со счетной базой, и пусть К = = Ш, фо) — система его подмножеств и их взаимно однозначных отображений фи: U -► Qn на га-мерный открытый единичный куб пространства Rn (пли С" соответственно). Пусть (J U = М. Для U, U' eR пересечение U П £7' определяет подмножества фи(£7П£7') и Фи'(^ A U'^ куба (У1, и фи ° ф^ задает отображение одного из них в другое. Мы будем требовать, чтобы эти подмножества были открытыми. Об отображениях делаются разнообразные предположения, из которых чаще всего используются следующие:

Они непрерывны.

Они m раз непрерывно дифференцируемы (т. е. принадлежат классу Ст).

Локально их можно разложить в степенной ряд по вещественному аргументу (класс С").

Локально их можно разложить в комплексный степенной ряд.

В соответствии с этим Л/ называется топологическим, дифференцируемым (или класса С""), вещественно аналитическим или ^комплексным^ аналитическим многообразием вещественной или

комплексной размерности п. К называется атласом из карг

В дальнейшем мы ограничимся вещественной размерностью 2 пли комплексной размерностью 1 и будем говорить о топологическпх, гладких или римановых поверхностях в соответствии с тем, какое из условий 6.1.2, 6.1.3 или 6.1.5 выполняется. (Мы не будем касаться условия 6.1.4.)

В предыдущей части книги поверхности определялись как комплексы. Такие поверхности также можно охватить понятием многообразия, и притом многими способами. Нам будет достаточно таким образом отождествить диски с единичным кругом или со стандартным симплексом, чтобы общие граничные отрезки задавали непрерывный или дифференцируемый переход. Наделить комплекс аналитической структурой уже не так просто.

Комплексы, или, лучше сказать, триангуляции, тесно связаны с другим видом отображений: отображение называется кусочно линейным, еслп области определения и значений можно таким образом разбить на симплексы, чтобы отображение было линейным на каждом симплексе (см. [Graeub 1950], [Schubert 1953]). Очевидно, что все 2-комплексы можно снабдить триангуляцией, и притом настолько мелкой, чтобы все необходимые отображения реализовывались кусочно линейно. Углубляться в это мы не будем. Мы ограничимся замкнутыми поверхностями и плоскостью. (Вместо замкнутости можно было бы потребовать, чтобы поверхность имела конечное число концов.) Естественно возникают вопросы, касающиеся различных структур и их взаимосвязей. Допускает ли топологическая поверхность триангуляцию, дифференцируемую или даже аналитическую структуру? Ответ прост: «да». Все трудности сосредоточены в доказательстве следующей теоремы.

Теорема. Всякая топологическая поверхность триангулируема.

Мы докажем эту важную теорему Радо [Rado 1926] в следу ю- щих параграфах. В предыдущей части книги все топологические поверхности рассматривались с этой точки зрения. Кроме того, в п. 7.3.7 мы увидим, что:

Теорема. Каждая ориентируемая замкнутая поверхность может быть снабжена аналитической структурой.

Обратно, спрашивается, сколько комбинаторно неэквивалентных триангуляций имеется на топологической поверхности. Поскольку ориентируемость и род характеризуют комплекс и определены группой гомологий, мы получаем:

Теорема. Любые две триангуляции одной и той же поверхности эквивалентны. Другими словами, в размерности 2 верна хауптфермутунг. □

Кроме того, поверхность обладает лишь одной дифференцируемой структурой. Вопрос о возможных аналитических структурах гораздо более сложен: это вопрос о модулях римановых Поверхностей.

<6 X Цишанг и др. 241

Гомологические свойства подмножеств плоскости

Мы будем пользоваться сингулярными гомологиями и когомологиями с коэффициентами в Z2. Сфера № представляет собой риманову сферу К2 U {оо}. Следующая теорема Жордана о кривой доказывается во всех учебниках алгебраической топологии как иллюстрация силы теории гомологий, см., например, [Spanier 1966, 4.8.15]. В работе Достала и Тиндела [Dostal — Tindell 1978] имеется библиография статей с ее элементарными доказательствами.

Теорема (теорема Жордана о кривой). Пусть у — простая замкнутая кривая в S2 (или R2). Тогда №\IyI (соответственно R2 \| у |) состоит из двух линейно связных множеств, имеющих ц своей общей границей. □

Следующее предложение тоже хорошо известно:

Предложение. Рассмотрим гомологии, соответственно когомологии, с коэффициентами в Z2. Пусть X — топологическое пространство. Точки пространства X отождествляются с О-симплексами, а 0-цепи являются тогда конечными формальными суммами х, + ... + хп, xt е X. Путям в X соответствуют 1-цепи.

Две точки х, у^Х лежат в одной и той же компоненте {линейной связности') пространства X в том и только в том случае, если х + у ~ 0.

Группа Яо (X): = Яо (X; Z2) изоморфна группе Z”(n^l), если X состоит из п линейно связных компонент.

Если X состоит из п линейно связных компонент, то группа Н°(Х) изоморфна Z”. Когомологические классы из Н”(Х') единственным образом реализуются функциями X-»-Z2, постоянными на компонентах пространства X.

Пусть А — подмножество в X и г; А -* X — включение. Если А и X линейно связны, то г*: И” (X) -► Н° (4) является изоморфизмом. □

Лемма (Александер [Alexander 1922]). (а) Пусть Ft, F2 — компактные подмножества сферы S2 и х, у е SP\(F\U F4). Допустим также, что при i = 1, 2 найдется путь Xt в S2\Fe, соединяющий х и у, и что Xi + x2~0 в S2\(Fl0 F2). Тогда х~у в S2\(F^F2y

(b) То же самое верно, если S2 заменить на К2. (Здесь предположение о компактности множеств Ft становится необходимым.')

Доказательство. Без потери общности мы можем считать, что оо ^Fi U F2 и что Xi и х2 не содержат точки оо, а потому лежат в К2, и что они представляют собой ломаные. И действительно, мы можем найти такую решетку из'линий, параллельных вещественной и мнимой осям, что х и у будут вершинами этой решетки, а пути х< будут идти вдоль ее ребер. Этого всегда можно добиться, заменив исходную кривую х( новой кривой х(, гомологичной х< в S^Fj (для этого нужна только «малая» деформа-

цня, ср. [Spanier 1966, 3.3—4]). В частности, по-прежнему х,+ + х2 ~ О в 5г\ (F, П р2). Таким образом, мы можем считать, что х. уже находятся на решетке. В этом случае, то, что х, + х2 ~ О в S2\ (Ft 6 F2), означает существование 2-цепи с2 из прямоугольников решетки с дс2 = х, + х2. (Здесь мы также отождествляем некоторые множества с цепями, как это обычно делается для удобства в симплициальной или клеточной теории гомологий. Поскольку группой коэффициентов у нас служит Z2, нам не требуется давать более точное описание.)

Пусть |с2|— объединение прямоугольников решетки, имеющих в с2 коэффициент 1. Тогда

|с2| HF, П F2 = 0.

Следовательно, найдется измельчение решеткп, ни одна клетка которого не пересекает |с21 Л F, и |с21 Л F2 одновременно, поскольку эти два множества дизъюнктны и компактны. Рассмотрим

Рис. 6 2.1

теперь с2 как сумму прямоугольников этой измельченной решетки. Пусть с2 — сумма всех прямоугольников, входящих в с2 и пересекающих F, (рис. 6.2.1). Пусть х0 = х2 + дс2. Тогда дх0 = = дх2 = ж -V у. Покажем, что

|х0| n(F,UF2)=0.

В итоге мы получим, что z + y ~0 в S2\(Ft UF2), что и утверждается в (а). В силу выбора пути х2

lx2l nF2 = 0.

Каждый прямоугольник цепи с2 пересекается с F,, и, следовательно, в силу выбора измельченной решетки, ни один прямоугольник цепи с2 не пересекается с F2, поэтому

|5с2| nF2c 1с2| 6F2 = 0.

Следовательно, так как |x2 + dc2l с ]х2| U |дс2|, то

|х0| ПF2 = |x2 + dcj HF2 = 0.

1с2 + с2| не пересекается с F„ поскольку каждый прямоугольник цепи с2, пересекающийся с F,, входит и в с2 и, таким образом, 16*243

не входит в с2 + с2. Отсюда следует, что

0 =Л П |d(c2 + с2) I =Я П Ix.j + х2 + Зс2|.

В силу предположений, сделанных о хь 0=Л П IxJ.

Из этих двух равенств вытекает, что

|хо|П^, = 0,

поскольку

Iх01 = |х2 + дс2| = Iх, + (х, + х2 4- dc2) I с IxJ U |х, + х2 + дс2|.

Ясно, что (1) следует из (2) и (3).

(Ь) немедленно следует из (а), если дополнить К2 при помощи оо до №. Построенный в доказательстве путь х0 не проходит через °0. □

Лемма. Пусть Л — компактное линейно связное подмножество сферы S2. Тогда Hi{S2\A) = Q.

Доказательство. Применим к точной гомологической последовательности пары (№, №\Л) теорему двойственности Александера (в слегка обобщенной форме), ср. [Spanier 1966, 6.2.17]: z2о

IIII

Я2 (№\Л)Н2 (№)Н2 (№, №\Л)Я1(52\Л) Нг (S2)

Vub Vc4~ . ?USVL4a Vt4 =

->Я°(№, Л)-> Я° (№)-^ Я0 (Л)иЯ1^2, Л) Я1 (№)->•.

Здесь Я2 (№) = Z2^ (№) = 0. Кроме того, Н1 (№) = И* (№). (По определению Н1 (X) = Игл Н1 (U) (X cz №), где U — окрест

ность множества X в №.) Аналогично, Н° (Л) = Н° (Л) = Z2, поскольку

Н° (Л) = lim {Я0 (Я) | U — окрестность множества Л}.

Так как множество А компактно и линейно связно, каждая •окрестность U множества А содержит такую линейно связную открытую окрестность U', что замыкание U' компактно и U' с и. Поэтому окрестности, обладающие последним свойством, образуют конфинальную систему, и, следовательно, Я0 (Л) = = lim {Я0 (U') | U' —компактная линейно связная окрестность

множества Л1. Но в этом случае Н° (Я') = Z2, и для U' гомоморфизм /*: Я0 (Я^)->-Я0 (Я') является изоморфизмом в силу 6.2.2 (d). Кроме того, /*: Я0 (№)-»- H°(U') всегда является изоморфизмом. Следовательно, Я0 (Л) = Я0 (Л)= 22, и г* является изоморфизмом.

Таким образом, нижняя строка диаграммы вырождается:

Н» (S2) -± И» (Л)№ (S2, Л) -> 0.

Следовательно, Я1^2, Л) = 0, т. е. Я,(52\Л) = 0. □

Предложение, (а) Пусть Fv и F2 —компактные подмножества сферы S2. Пусть х, у е S^X^FiU F2^ таковы, что х ~ у в S2\F< при i = 1, 2. Пусть, кроме того, множество Ft Л F2 линейно связно. Тогда х~у в №\(Ли F2).

(Ь) Если S2 заменить на R2, то будет иметь место аналогичное утверждение.

Доказательство. Следует пз леммы G.2.4 в спл\ леммы 6.2.3. □

По поводу материала этого параграфа см. [Newman 1951, V, § 2].

Упражнения 6.1—6.

Локальная линейная связность

В доказательстве теоремы Шенфлиса нам понадобится стягивать штп. Поэтому нас будет интересовать существование путей в окрестностях точек.

Определение. Пусть Е — подмножество топологического пространства X, аеХ — точка. Е называется локально линейно связным в точке а, если всякая окрестность U точки а содержит такую окрестность V точки а, что любые две точки из V Л Е можно соединить путем в U Л Е.

Очевидно, множество Е локально линейно связно во всех точках пз ХХЕ. Если X является многообразием и множество Е открыто, то Е очевидным образом локально линейно связно во всех своих точках. Следовательно, для таких множеств вопрос о локальной связности интересен только в случае граничных точек. Следующий пример показывает, что локальная линейная связность может отсутствовать даже в случае << хороших» множеств: Е представляет собой открытии квадрат за вычетом отрезка [а, Ь]. В каждой точке с полуоткрытого интервала [а, Ь) множество Е не является локально линейно связным, см. рпс. 6.3.1.

Определение. Метрическое пространство Е называется равномерно локально линейно связным, если для любого е>0 найдется такое 6 > 0, что для любых двух точек х, у^Е с й(,х, у)<б найдется путь со пз х в у (в Е) с cZ (со) < е ).

Множество Е на рисунке 6.3.1 не является равномерно локально линейно связным в метрике, индуцированной из R2.

Предложение. Пусть Е— подмножество метрического пространства. Тогда-.

Если Е равномерно локально линейно связно), то Елокально линейно связно во всех точках из Е.

Если_Е локально линейно связно во всех точках из Е и множество Е компактно, то Е равномерно локально линейно связно. _

Доказательство, (а) Допустим, что 5 =^ 0 и что а^Е. Достаточно проверить локальную линейную связность для базы окрестностей U (а, e) = {x^E\d(x, а)<е}. При е>0 возьмем число 6 > 0, соответствующее числу е/2 в определении равномерной локальной линейной связности для Е. Пусть теперь х, уе eU(a, 6/2). Тогда d^x, у) <6, и, таким образом, в Е найдется путь со, соединяющий х и у с d(to)<e/2. Следовательно, со лежит в U (а, е) П Е.

Допустим, что пространство Е не является равномерно локально линейно связным. Тогда найдется а>0 и такая последовательность пар точек хп, у» с d (хп, у») 0, что хи и уп нельзя соединить путем, диаметра <а. Поскольку множество Е компактно, найдется подпоследовательность #„,, сходящаяся к точке а е Е. Тогда и последовательность yHi сходится к а. Теперь, поскольку каждое множество E(\U(a, 6), 6>0, содержит точки xnv Уп{, множество Е не локально линейно связно в а; а именно, в качестве U возьмем а/2-окрестность точки а. □

Следствие. Пусть Е — компактное метрическое пространство. Если Е локально линейно связно во всех своих точках, то Е равномерно локально линейно связно. □

Следствие. Пусть пространство X компактно и локально линейно связно во всех своих точках. Открытое множество Е^Х равномерно локально линейно связно тогда и только тогда, когда оно локально линейно связно во всех точках из дЕ = Е\Е.

Доказательство. Необходимость следует из утверждения (а) предложения 6.3.3. Поскольку пространство X локально линейно связно во всех точках, множество Е локально линейно связно во всех точках из Е. По предположению, это верно и для точек из дЕ, и, таким образом, достаточность вытекает из утверждения (Ь) предложения 6.3.3. □

Локальная линейная связность является топологическим свойством пары (X, Е), в отличие от равномерной локальной линейной связности, которое таковым не является, как видно из рисунка 6.3.2.

Предложение. Пусть J — простая замкнутая кривая в S2 или R2, и пусть D — одна из двух линейно связных

компонент дополнения S2\J (соответственно R2 \/). (О называется также жордановой областью.) Тогда1.

Область D локально линейно связна во всех точках из J = dD.

Область D равномерно локально линейно связна.

Доказательство. Если 7 лежит в S2, мы можем добиться того, чтобы оо ^ 7. Покажем сначала, что область D локально линейно связна во всех точках из 7. Пусть а^ J, е > 0. Пусть

Рис. 6.3.2Рис. 6.3.2Рис 6 3.3Рис 6 3.3

Рис. 6.3.2

Рис. 6.3.2

Рис 6 3.3

Рис 6 3.3

£i — такая замкнутая дуга на 7 с L1dJ(a1 е), что а является ее внутренней точкой, см. рис. 6.3.3.

Пусть 6 = d(a, J\L^. Покажем, что:

(1) Две точки x,y^DV\U(a, 6) можно соединить путем в DftU(a, е) . Для этого положим Fe = dU (а, в) = (х е R21 d (а, х) = = е}. Кроме того, пусть <в — путь в U (а, б), соединяющий х и у. Тогда

® n fe = 0, ® п Ж = 0,

т. е. х~ув R2\(£’eU7'\£1).

Так как х, y^D, то х~у и в R2\7. Множество 7 П (Fe U U 7\£t) = J\Lt линейно связно. В силу предложения 6.2.5, х ~ у в R2\(Ee U ^\^i U J) = R2 \(^е U JY Из этого следует, что х и у можно соединить путем в D П

П U(а, е), т. е. справедливо ут-/

верждение (1)._Л

Если множество D U 7 = D ком-/ 1а )\

пактно, то предложение выте- ("А \уу и)•

кает пз утверждения (1) и след-

ствия 6.3.4. Если D является бес- ’ ""

конечной компонентой множестваРис 6 3 4

R2\7, то выберем такую боль

шую окружность К, что 7 лежит в ограничиваемом ею_открытом круге. Пусть a = d(J, К)1, мы имеем К cD._Область DOl заключенная между К и 7, компактна, поэтому Do — равномерно локально линейно связное множество. Найдем для е > 0 число 6(е)>0 в соответствии с определением 6.3.2. Распространим его на D, для данного е >0 положив б'= min {6(e), а). О

Аналогичным образом доказывается

Предложение. Дополнение простой дуги L в S1 или R2 локально линейно связно в своих концах. □

Это неверно для внутренних точек дуги L,— см. рис. 6.3.4.

По поводу материала этого параграфа см. [Newman 1951, VI, § 4].

Построение разреза

В этом параграфе мы найдем способ достичь точки х на границе жордановой области при помощи кривой, лежащей внутри области целиком, за исключением своего конца х.

Определение. Пусть В— область в R2 (см. рис. 6.4.1).

Простая кривая ц называется надрезом области В, если один из ее концов лежит на границе дВ, а все остальные точки лежат внутри В.

Простая кривая X называется разрезом области В, если оба ее конца лежат на границе области В, а остальные точки лежат внутри В.

Точка х на границе области В называется достижимой пз В, если х является концом некоторого надреза.

Дуга ц называется квазилинейной, если она является объединением не более чем счетного числа отрезков и каждая ее

Рис. 6.4.1Рис. 6.4.2Рис. 6.4.1Рис. 6.4.2точка, возможно, за исключением концов, лежит либо внутри одного из этих отрезков, либо на границе двух из них. Другими словами, каждая собственная замкнутая поддуга кривой ц состоит из конечного числа отрезков.

Рис. 6.4.1Рис. 6.4.2

Рис. 6.4.1Рис. 6.4.2

у- достижимая х- недостижимая

Достижимость точек является топологическим свойством пары (D, dDy На рис. 6.4.2 указан пример недостижимой точкп.

Лемма. Пусть В — область в R2 или S*.

Точки границы дВ, достижимые из В, плотны в дВ.

Если точка а^дВ достижима, то она достижима при помощи квазилинейных дуг. Можно добиться того, чтобы отрезки зтих дуг были параллельны вещественной и мнимой осям попеременно.

Если точка а^ дВ достижима и Ь = В, то В содержит квазилинейный надрез от b до а.

Если точки a,b^dD достижимы, то В содержит квазилинейный разрез от а до Ь.

В пунктах (с) и (d) тоже можно добиться того, чтобы все отрезки были параллельны вещественной или мнимой осям.

Доказательство, (а) Пусть е>0 и а^дВ, х^Ща, е)Л Л В. Пусть у представляет собой либо отрезок [х, а], либо фигуру состоящую из двух отрезков: отрезка, параллельного вещественной оси, и отрезка, параллельного мни- [мой оси. Первая точка кривой у, после х,

1лежащая на дВ, достижима и лежит в

Рис. 6 4.3Рис. 6 4.3।U (а, е) (см. рис. 6.4.3).

Рис. 6 4.3

Рис. 6 4.3

Рис. 6 4.4

Если у является надрезом с концом а, то у\{»} можно покрыть набором кругов, лежащих в В. Внутри них у можно изменить до желаемого вида.

Пусть у — надрез области В с концом а и х — лежащий внутри В конец надреза у. Тогда х можно соединить с b при помощи простой д>гп X. Пусть теперь у — первая за а точка кривой у, лежащая на /.. Пусть yi — поддуга кривой у, заключенная между any, Xi — поддуга кривой X, заключенная между у п Ь. Тогда у, U X, является надрезом от b до а (см. рис. 6.4.4).

доказывается аналогично. □

Предложение. Пусть В — область в 8: или R2. Если она локально линейно связна в точке а^дВ, то точка а достижима из В.

При доказательстве используется

Лемма. Пусть де?2, и пусть А— объединение последовательности отрезков [.гп, у„] с Нттп = lim уп = а. Допустим, П-»ООП->0О_

что а лежит в той же линейно связной компоненте множества А, что и be А, Ьч^а. Тогда в А найдется простая дуга с концами а и Ъ.

Доказательство. Пусть Cn = ^еР | d (г, «) = ^ d (6, а)}— окружность радикса ^d(b,a) с центром в а. Поскольку лишь конечное число отрезков [хп, г/„] пересекает область, лежащую вне С„. при помощи подразбиения мы сможем добиться того, чтобы вне любой из окружностей С„ два отрезка имели не более одного общего конца и чтобы общая точка отрезка и окружности

С» совпадала с концом отрезка. Пусть теперь Л„ — часть множества Л, лежащая вне или на С„. Так как а и b лежат в одной и той же линейно связной компоненте множества Л, в Л„ найдется простая дуга 7„, идущая из Ь в точку на Сп. Таким образом, 7„ П С„ представляет собой точку. Поскольку вне Ct лежит лишь конечное число отрезков из А, найдется простая дуга А, являющаяся начальной дугой бесконечного числа дуг 7„. Пусть концом дуги Ji является Ъи так что Л П ^г = &v Бесконечное число этих дуг имеет одно и то же начало J2 от Ъ до точки Ь2е е Сг. При этом J2 \{Ь2} и Сг дизъюнктны. Таким образом, для каждого п мы найдем в А простую дугу 7П с концами Ъ и bu = Cu(\Jni кроме того, 7*с7л+1. Положим b0 = b.

Выберем гомеоморфизм ф„ поддуги дуги 7П, заключенной между Ъи и bu-t, на промежуток [1/2”, 1/2”-1] с ф„(д„) = 1/2". Эти гомеоморфизмы можно скомпоновать в гомеоморфизм

ф: U 7п-> (0. 1]. Если положить ф(а) = 0, то в результате получится гомеоморфизм ф: {a} J J Jn~H0, 1], дающий искомую дугу. □

Доказательство предложения 6.4.3. Выберем такое число 6„ > 0, что любые две точки х, у е D П U{a, 6„) можно соединить ломаной в DhU{a, 1/га). Пусть х„е U {а, 6П)ПО, и пусть Ln — ломаная в ОПЩа, 1/п), идущая из хп в xn+i-

Пусть А = U Ln. К А можно применить лемму 6.4.4. (Для этого разобьем ломаные на отрезки.) Поэтому в Л = Ли{а} найдется ломаная, соединяющая xt е А с а и целиком, за исключением своего конца а, лежащая в А с D. Это и есть надрез области D с концом а. □

Пз предложения 6.3.6 (а) мы получаем

Следствие. Точки жордановой кривой достижимы с обеих сторон. □

Пз предложений 6.3.7, 6.4.3 и леммы 6.4.2 (d) получаем

Следствие. Каждый простой путь в R2 или S2 представляет собой поддугу простой замкнутой кривой в К3 или S2. □.

Теперь мы подошли к главному результату этого параграфа.

Теорема. Пусть 7 — простая замкнутая кривая в R3 или S2, и d — метрика на К2, соответственно на S2. Пусть L — дуга на 7 с концами а и Ь, и пусть D — одна из линейно связных компонент множества К2 \I {соответственно S2\J). Тогда-.

При любом е > 0 в D найдется разрез К от а до Ъ с d{K)< d{L)+г.

Разрез К можно выбрать квазилинейным; кроме того, можно считать, что его отрезки параллельны вещественной или мнимой осям.

Доказательство. В силу следствия 6.4.5. найдутся надрезы ч„ от а до точки р е В и уь от Ь до q ^ В. Можно считать, что d(y„), й(уь)<е/2. Покажем, что р и q можно соединить путем в ВСМЦЬ, е/2) (см. рис. 6.4.5). Чтобы доказать это, найдем в J\L такую дугу Lo, что J\Loc U (L, е/2), и применим предло

жение 6.2.5 к точкам р, q и компактным множествам L» U dU (L, е/2)

Lo и dV(L, е/2) не пересекают кривой ya U L U у6, точно так же 7 не разделяет а и Ъ. Кроме того, множество 7 П (La U dU(L, в/2)) = 7Л Л Lo = L„ линейно связно. Поэтому,

в силу предложения 6.2.5, найдетсяРис. 6 45

квазилинейный простой путь у, из р в q, не пересекающий 7 U (Lo U dL7(L, е/2)). Так как р, q^D(\ fl U(L, е/2), то ч^ВГМЦЬ, е/2). Теперь искомый путь К можно составить из на, уь и у,, как это делалось в доказательстве утверждения (с) леммы 6.4.2.

По поводу материала этого параграфа см. [Newman 1951, VI, § 4].

Упражнения 6.8—10.

Теорема Шенфлиса

При помощи конструкции из § 6.4 мы сведем теорему Шенфлиса 6.5.1 к случаю многоугольников.

Теорема Шенфлиса. Пусть у — простая замкнутая кривая в S2 (соответственно в R2). Тогда найдется гомеоморфизм / сферы S2 в себя (соответственно плоскости iK2 в себя), отображающий кривую у в единичную окружность. (Мы даже покажем, что на f отображение / может быть задано произвольным образом.)

Здесь № нужно рассматривать как Е2 U {оо}; единичная окружность соответствует экватору. Доказательство заканчивается в п. 6.5.8.

Разбиение единичного квадрата. Построим по индукции следующие разбиения Zn единичного квадрата Q = = ((х, у) |0Сх, z/Cl} на прямоугольники, стороны которых параллельны осям (см. рис. 6.5.1). Zo представляет собой неразбитый квадрат Q; Z, и Z2 получаются в результате разбиения каждого квадрата предыдущего разбиения его средними линиями; Z„+1 получается из Zn в результате разбиения квадратов из Zn, выходящих на край квадрата Q, их средними линиями. Таким образом, приграничные квадраты разбиения Zn имеют стороны длины 1/2", и поэтому их диаметр <2/2".

Определение. Пусть Z — сеть в квадрате Q, являющаяся пределом разбиений Z„, и пусть Z = |Z1 U dQ. Пусть, кроме того, Z(0) — множество вершин сети Z, a Z(1> — множество ее

замкнутых 1-клеток. Последние представляют собой параллельные вещественной или мнимой осям отрезки, не содержащие внутри себя точек из Zw. 2-клетками сети Z являются замкнутые квадраты в Q, края которых совпадают с их пересечениями

Z5Z5

Z5

Z5

с Zw. (Z индуцирует во внутренности квадрата клеточное разбиение в обычном смысле, однако на границе это не так.)

Предложение. Пусть у — простая замкнутая кривая в К2, a D — ограниченная линейно связная компонента дополнения кривой ч. Пусть g: dQ 1^1 — гомеоморфизм. Тогда D содержит такой 1-мерный комплекс У, 1-клетки которого являются компактными ломаными, что:

Существует изоморфизм f: Zw ^-Y, при котором каждой 1-клетке из Zw соответствует некоторая клетка из Y. Изоморфизм f можно реализовать гомеоморфизмом f: \ZW I -»- |У1.

Если to является границей 2-клетки из Z, то f(to) представляет собой простую замкнутую кривую в Dcz^, внутри которой нет точек из |У|.

Соответствие

!/(#), если хе^^Ц, 1g (х), если х е dQ,

задает гомеоморфизм Fw: Z^>-Y, где У = Y U I у I.

Доказательство. Будем рассматривать g, как параметризацию кривой у. Пусть d— евклидова метрика на R2. Разделение квадрата на четыре части можно произвести при помощи трехразрезов, как показано на рис. 6.5.2. Пусть теперь 6 — простая замкнутая кривая и а', Ь', с', d' — четыре ее точки, идущие в указанном порядке. По теореме 6.4.7 внутри 6 можно найти разрезы, соединяющие точки a', b', с', d' по той же схеме, см.

рис. 6.5 3. Приняв 7 за Уо, мы можем построить сеть У1, изо

морфною Z,. Концами путей, лежащими на 7, являются образы при g середин сторон квадрата Q. Очевидно, мы можем, повторяя

комплексам Zi, Z2, . .. При этом каждый пз этих изоморфизмов можно реализовать гомеоморфизмом, в частности, Уо реализуется отображением g. Однако, как показывает рисунок 6.5.4, это не гарантирует непрерывности при переходе к пределу. Чтобы добиться непрерывности, нужно ужесточить условия разделения

областей па четыре части при переходе от У„ к Уп+ь Рассмотрим область, не лежащую ни в одном из четырех углов, при этом воспользуемся_следующими обозначениями (см. рис. 6.5.5). Обозначим через х'р' д^гy от х до р' на 7, так же поступим с остальными дугами.

Пусть р'= g(p), где р — середина отрезка [а у]. Точки q' п s' выбраны так, что

d(x's')^ d(х'р'),dVij'q'^d^p'y'V

Тогда, по теореме 6.4.7, можно найти такую дугу s'p', чтобы d^s'p')^ 3d{x’p’).

Выберем теперь и' е s'p' так, чтобы

d^u'p'^d^p'y'V

Тогда, по теореме 6.4.7, можно найти такую дугу u'q', что dVu'q'^4d<p'y'y

Таким образом, граничные дуги криволинейных квадратов удовлетворяют неравенствам

d^x'p'u's1') ^ M^'p'^-V d(p'y')^ М^х'у'^, d<y'q'u'p'y'^1d<p'y'^ld^x'y'y

Следовательно, диаметр ограниченной этими кривыми области не превосходит Чд^х'у'^.

Теперь применим вышеописанную процедуру для использованного при переходе от У„ к У„+1 деления на 4 части выходящих на край «криволинейных квадратов». Так как точки s' и q' выбираются одновременно и независимо друг от друга, выбор одной из них не мешает выбору другой. (Подобное правило имеется относительно четырех квадратов в углах квадрата Q.^

Реализуем теперь изоморфизмы Z„ ->■ У„ один за другим такими гомеоморфизмами /„: lZn| -► |У„|, что /„+i I IZnl =/я. В частности, /nld(> = g. Пусть Hx^jn^ при хе |Zn|. Этим определяется инъективное и сюръективное отображение f: Z -»- У с f\dQ = g.

Если d^x, 9(2)>1/2”, 1/2” и xeQ, то f(x') = fn(x') = lm(x'). Отсюда следует непрерывность отображения / во внутренности квадрата Q. Пусть теперь х е QQ — точка квадрата Q, отличная от угла, и пусть е > 0. Тогда, в силу непрерывности кривой 7, найдется такое число 6 > 0, что при у,, у2 е dQ из неравенства d^Xi, г/()<6 следует, что d(g<y1’), g(y2))< е/14.

Выберем теперь п так, чтобы 1/2" < 6. Возьмем в качестве окрестности U точки х квадрат разбиения Zn, на границе которого лежит х (если их два, возьмем их объединение). По построению комплекса Z, образ границы dU имеет диаметр <е. Образы множеств U П Zn+i, U П Z„+2, ... лежат во внутренности образа множества U П Z„, поэтому d^f^U П Z), /(ж) )< е.

Доказательство непрерывности в каждом из четырех углов квадрата Q проводится аналогично. □

Покажем теперь, что отображение /: Z У можно продолжить до гомеоморфизма F: Q -*D. Для этого напомним следующие (хорошо известные) теоремы:

Теорема. Пусть Е, и Е2— диски (E, = Q), и h: dE^ ->- дЕ2 — гомеоморфизм. Тогда найдется гомеоморфизм Н: Е, Е2 cH\dEl = h. □

254

Теорема (теорема Шенфлиса для жордановых ломаных). Пусть ч — простая замкнутая ломаная в к2 и D — ограниченная линейно связная компонента дополнения. Тогда замыкание D гомеоморфно квадрату Q.

Доказательство. См. лемму 4.1.4. □

Теорема. В условиях и обозначениях предложения 6.5.4 отображение g: 5<2^lfl можно продолжить до гомеоморфизма F: Q-+D. Более точно, Fw: ZY можно продолжить- до гомеоморфизма F.

Доказательство. Нам нужно лишь показать, что Fw можно продолжить на внутренность каждой 2-клеткп £ комплекса Z. Но Fll)(d£) является простои замкнутой ломаной. В силу теоремы 6.5.6, F(1) (5^) ограничивает диск Е; и, в силу теоремы 6.5.5, F(1)ld£ можно продолжить до гомеоморфизма Fc: £->-£;. В силу пункта (Ь) предложения 6.5.4, образы Е- и Еу для двух различных 2-клеток 5, V комплекса Z не имеют общих внутренних точек. Следовательно, гомеоморфизмы F(l) и {Fj^ есть 2-клетка комплекса Z} можно скомпоновать в искомый гомеоморфизм F: Q-D. □

Доказательство теоремы Шенфлиса 6.5.1. Если у лежит в №, то к обеим линейно связным компонентам дополнения №\у можно применить теорему 6 5.7. Заданный гомеоморфизм кривой у на экватор можно, таким образом, продолжить до гомеоморфизма, отображающего одну компоненту на верхнюю полусферу, а другую —на нижнюю. Вместе они составляют искомый гомеоморфизм сферы S2 в себя.

Если мы имеем дело с кривой в К2, то замкнем R2 до 52 при помощи точки оо и применим предыдущее рассуждение. Полученный гомеоморфизм F: S2 -> S2 можно выбрать так, чтобы компонента, содержащая <», отображалась в полусферу, содержащую оо. Далее, для любых двух точек внутри единичного круга найдется гомеоморфизм, отображающим одну из них в другую и тождественный на границе. Таким образом, можно считать, что наш гомеоморфизм F; S2 -► S2 оставляет точку оо неподвижной. Тогда F | У2 представляет собой искомый гомеоморфизм. □

По поводу материала этого параграфа см. [Кем шан 1951, VI, § 5].

Упражнения 6.11—14.

Трпангулируемость и хауптфермутунг для поверхностей

Этот параграф содержит следующие две теоремы:

Теорема (триангулируемость поверхностей). Каждое двумерное топологическое многообразие F со счетной базой триангулируемо.

Теорема (положительный ответ па .хауптфермутунг в размерности 2). Любые две триангуляции одной и той же поверхности обладают изоморфными подразделениями.

Приводимое нами доказательство теоремы 6.6.1 следует статье Радо [Rado 1924], в которой впервые была доказана эта теорема. Другие доказательства можно найти в статьях Альфор- са и Сарио [Ahlfors — Sario 1960], Дойла и Морана [Doyle — Moran 1968] и в книге Мойза [Moise 1977].

В доказательстве теоремы 6.6.2 используется топологическая инвариантность комбинаторных инвариантов поверхности из § 3.2, см., например, [Massey 1967], [Seifert — Threlfall 1934].

В основе доказательства теоремы 6.6.1 лежит

Лемма. Существует последовательность замкнутых областей Bi, Вг, ... в F со следующими свойствами:

Si^D2 = {zeC||zKl};

0 ^ = F;

дВ, П дВ3 — конечное множество, если i N= j.

Доказательство. Существуют покрытие поверхности F множествами Вх, Вг, . .., гомеоморфными кругу D2, и такие множества Еъ Ег, ..., что й;с£; и £, = R2, если В* П dF = = 0, а если В,С\ dF ч^ 0, то Е, гомеоморфно правой полуплоскости $+• В последнем случае Вг [) dF = = 5,ПЗЕ{. Найдем теперь систему Bv Вг, ... с Вг аВ, обладающую свойствами (а), (Ь), (с). *

Пусть BY: = BY. Предположим теперь, что уже найдены Bi, ..., Bn_t со свойствами (а) и (с) и что Вt аВг (i = = 1, ...,п— 1). Пусть /?„_!:= J дВг.

Рис. 6.6.1Рассмотрим сначала случай En^R2.

Пусть <р: A\-^D2 — гомеоморфизм на внутренность единичного диска. Найдется такая концентрическая окружность К, что <рВп=:Ви лежит внутри К, причем кольцо G между К и 3D2 не содержит двойных точек из <p/?„-i, т. е. точек, лежащих более чем на одной из кривых ф(35,) (i = = 1, ..., п — 1), см. рис. 6.6.1.

Так как множество Bn-i Л £п нигде не плотно, в G найдутся две точки р п q, лежащие на различных радиусах и обладающие окрестностями, которые не пересекаются с Rn-i. Радиусы, про ходящие через р и q, делят G на две области Gt и Сг. Кривые из /?„-! Л G обладают дизъюнктными регулярными окрестностями, поскольку G не содержит двойных точек из 7?„-i. Кривые из Вп-1 П Gf делят G, на несколько частей. Если расширить каж дую часть за счет пересечения с Gt регулярных окрестносте}! и\ граничных кривых, то получится покрытие кольца G, открытыми в G. множествами. Две точки, лежащие в одном из этих мио жеств, можно соединить простым путем, имеющим с Bn-i не более двух общих точек. Соединим теперь р с q при помощи про

стого пути со. в Gv Покрытие кольца G. открытыми в G, множествами дает открытое покрытие пути со.. Поэтому найдется конечное подпокрытие этого пути. Следовательно, со, можно заменить путем v„ пересекающим /?„-, лишь конечное число раз. Два пути г, и v2 имеют общими лишь точки р и q, поскольку V! ■ v2 является жордановой кривой, имеющей лишь конечное число точек пересечения с Rn-i. В силу теоремы 6.5.1 она ограничивает диск Вп. Тогда Вп:=(р-1Вп обладает требуемыми свойствами.

Б случае Еп = $+ доказательство проходит аналогично. □

Доказательство теоремы 6.6.1. Построим такие последовательные разложения областей Вп на конечное число замкнутых областей ^п), что:

В^ ОпВг = и<),

дЛ^ С R„

А^ П А^ = эД1^ Q 9А^ при (т, г) ^ (п, /),

Каждая область Л^п) ограничена конечным числом дизъюнктных простых замкнутых кривых.

Пусть Л^’^Вр Предположим, что разложение для U Bi уже получено. Воспользуемся индукцией по г, чтобы разложить Вп при помощи граничных кривых ЭВ, па замкнутые области, для которых выполнены утверждения (Ь) и (с). Если Вп лежит внутри U Вг, то будем считать, что все области А^ пусты. Если Bi П Вп = 0, то не будем менять Вп. Если 9BV fl ЭВп = 0 и Bi с В„, то Вп разделяется на Bt и замкнутое дополнение области Bl Если dBi П дВп ¥= 0, то 9Bt П Вп раскладывается па несколько простых дуг. концы которых лежат па границе области Вп. Эти дуги разбивают Вп на несколько замкнутых областей, обладающих свойствами (Ь) и (с). Теперь проделаем то же самое для 9Вг и каждой области, полученной на первом шаге. В конце концов получим разложение области со свойствами (Ь), (с) и (d). После этого отбросим все области, уже содержащиеся в ,ип5г.

В итоге мы получим разложение поверхности на замкнутые области со свойствами (а) — (d). Затем, если дА^ состоит из к компонент (/с>1), мы можем ввести к дуг, чтобы разложить А^ на две области, каждая из которых ограничена простой замкнутой кривой. Поскольку А^п) лежит в Вп и Вп = D2 с R2, то, как следует из теоремы Шенфлиса 6.5.1, каждая уже полученная область представляет собой диск. Точка поверхности F принадлежит лишь конечному числу областей Л*"1; таким образом, мы получили клеточное разложение поверхности F, которое и даст нам триангуляцию. □

17 X. Цишанг и др.257

Доказательство теоремы 6.6.2. Ограничимся случаем поверхностей конечного типа, т. е. поверхностей с конечно порожденной группой гомологий. Их топологическими инвариантами являются (см. упражнение 6.15):

ориентируемость,

количество компонент края,

количество «концов»,

род.

Здесь количество концов определяется следующим образом: возьмем компактное связное подмножество К поверхности F и рассмотрим количество компонент дополнения F\K, замыкание которых не компактно. Супремум по всем К и есть количество концов. Комбинаторная классификация поверхностей дает те же инварианты, см. § 3.2, она может быть произведена аналогичным образом для бесконечного случая, см. [Kerekjarto 1923], [Richards 1963]. □

Приведенная выше теорема доказывает хауптфермутунг в размерности 2, т. е. дает положительный ответ на следующий вопрос:

Любые ли две триангуляции топологического пространства эквивалентны? То есть обладают ли они изоморфными подразделениями?

Можно, в частности, спросить, родственны ли комплексы двух гомеоморфных триангулируемых многообразий. Это очевидным образом верно для одномерных многообразий, а также давно известно в размерности 2, хотя доказательство — как мы видели — требует некоторых усилий. Для размерности 3 это было доказано Мойзом (1952 г.), а также Бингом (1959 г.). В старших размерностях хауптфермутунг, вообще говоря, неверна (Милнор, 1961г.). Ответ неизвестен для многообразий размерности 4). Хауптфермутунг верна для большинства многообразий размерности >5, но, как показали Кирби, Зибенман и Уолл, она неверна для небольшого их числа в каждой размерности.

Упражнение 6.15.

Дополнительная литература к главе 6:

[Doyle —Moran 1968], [Narens 1971], [Wagner 1974], [Young 1947].

Упражнения

Повторите доказательства теорем 6.2.1, 6.2.2 и теоремы двойствен ности Александера.

Если Dx и й; — области в S2 (т. е. открытые связные подмножества) и множество 8DX Л 8D2 линейно связно, то множество D\ П Ь2 связно (Указание: воспользуйтесь леммой 6.2.3).

Если Dx и D2 — области в S2 и 8DX П 8D2 состоит не более, чем и i двух компонент, то Dx Л D2 имеет не более двух компонент. (Примените рассуждение, использованное при доказательстве того, что простая дуга не разделяет У2.)

Пусть граница области D с S2 состоит из двух непересекающихся простых замкнутых кривых у, и f2, и пусть X, и Х2 — дизъюнктные простые дуги, у каждой из которых один конец лежит на уь другой — на у2, а все остальные точки лежат в D. Тогда D\(Kt J Л2) имеет две компоненты, каждая из которых представляет собой область, ограниченную одной простой замкнутой кривой.

Пусть D с S2 — область, а Л — дуга, концы которой лежат в разных компонентах множества 9D, а все остальные точки — в D. Тогда множество D\X связно.

Воспользуемся обозначениями леммы 6 2.3 Допустим, что Х| + х2 ~ ~0в S2\(Ft ПС) для каждой компоненты С множества Рг- Тогда х ~ у в S2\(P, UF2).

Пусть х, у eS2 — точки, а Л - компактное связное подмножество сферы S2, содержащее более одной точки (Ei называется континуумом), а Е2 — произвольное замкнутое подмножество сферы S2. Допустим, что ни одно из множеств Fv П С, где С — компонента множества Е2, не разделяет хну. Тогда Ft U Г2 не разделяет х и у.

Докажите, что в области D, показанной на рисунке 6 7 1 (том же, что и в п. 6.4.1), точки {(СО) | 0 < t < 1/2} не достижимы из D, а все остальные точки границы dD достижимы.

Постройте области, границы которых обладают компонентами: (а) не содержащими достижимых точек, (Ь) содержащими ровно одну достижимую точку и по крайней мере еще одну точку.

Если А — связное множество, то разбивающей его точкой называется такая точка х, что множество 4\{х} несвязно. Докажите, что если D — простая связная область в S2, то каждая точка, разбивающая множество S2\D, достижима из D.

Если а — простая дуга в S2, то существует гомеоморфизм сферы S2 в себя, отображающий а в некоторую дугу большого круга.

Рис. 6.7.1Рис. 6.7.1Пусть а— простая дуга в (к2. Тогда существует гомеоморфизм плоскости R2 в себя, отображающий а на одно из следующих подмножеств

Рис. 6.7.1

Рис. 6.7.1

Рис. 6.7.2

вещественной осп: замкнутый интервал, полуоткрытый интервал, открытый интервал, прямая, замкнутая полупрямая, открытая полупрямая.

Если Л — разрез в жордановой области D, то D можно гомеоморфно отобразить на единичный круг так, что Л отобразится на диаметр.

Пусть «1, ...,«„ — простые дуги в S2 с общим концом, не имеющие кроме него никаких пересечений. Тогда S2 можно гомеоморфно отобразить на себя, так что дуги отобразятся на отрезки, выходящие из одной точки. Докажите, что для любых двух таких отображений циклические порядки образов либо совпадают, либо противоположны друг другу (см. рис. 6.7.2).

В случае поверхности конечного типа охарактеризуйте топологически: ориентируемость, количество компонент края и «концов», род.

КОМПЛЕКСНО АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РИМАНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ПЛОСКИХ ГРУПП

До сих пор все наши рассмотрения были, по существу, комбинаторными, но в этом отношении размерность 2 является особой. Поверхности и плоские разрывные группы служат также предметом подробного изучения в комплексном анализе, как римановы поверхности и разрывные группы движений неевклидовой плоскости. Тем не менее, некоторые теоремы этих теорий не содержат упоминания о комплексно аналитической структуре, по природе они чисто топологические. В предыдущих параграфах часть из них установлена нами при помощи топологических методов, но при этом остаются некоторые чисто топологические теоремы, требующие для своего доказательства применения трудных аналитических теорем.

Здесь мы намерены описать комплексно аналитическую теорию плоских разрывных групп, и извлечь несколько следствий. При первом чтении предполагается лишь знание теоретико-множественной топологии и анализа, но для полного проникновения в предмет совершенно необходима специальная литература. Ссылки на нее будут приведены в подходящих местах.

Дробно-линейные преобразования

Как это принято в теории_ функций комплексного переменного, положим C = CU{°°} с С = S2 и K^S1. Оба пространства обладают естественными ориентациями. В первом ориентация определяется комплексной структурой (т. е. положительным объявляется направление от вектора и к iu), во втором — естественным упорядочением. Вычисления с числом оо производятся обычным образом: при zeC

z+oo = oo; Z'oo = oo, если z=5^0; ~ = 0.

Определение. Дробно-линейным преобразованием называется отображение/: С~С вида /(z) = “^ д- при а, Ь, с, deC,ad—bc=i. Группа всех дробно-линейных преобразовании обозначается через LF (2, С) *). Дробно-линейное преобразование называется

эллиптическим, если а + deR и |a + dl <2,

параболическим, если а + d = ±2,

гиперболическим, если а + deR и |a + d| >2,

локсодромическим, если а + d^ R.

В силу условия на определитель коэффициенты a, b, с, d определены отображением / с точностью до общего множителя ±1. Имеется «стандартный» гомоморфизм SL(2, О--LF ^2, С) с ядром {5, —Е}, где Е— единичная матрица, так что LF (2, С) канонически изоморфна группе проективных преобразований PGL(2, С). Поэтому след матрицы мы будем называть также следом дробно-линейного преобразования. Он определен однозначно с точностью до умножения на — 1.

Важность группы LF (2, С) видна пз следующих четырех теорем, которые доказываются в этом параграфе ниже.

Теорема. Всякое дробно-линейное преобразование является конформным (= сохраняющим углы') гомеоморфизмом, отображающим С на себя, и всякий сохраняющий ориентацию конформный гомеоморфизм, отображающий С на С, является дробно-линейным преобразованием.

Теорема. Всякий сохраняющий ориентацию конформный гомеоморфизм плоскости С на себя является линейным преобразованием вида /(z) = az+ b, ач^О. Всякое такое линейное преобразование является конформным гомеоморфизмом плоскости с.

Теорема. Всякий сохраняющий ориентацию конформный гомеоморфизм / единичного диска H = {z|zeO, |21<1} на себя является дробно-линейным преобразованием вида

=pp-qq = l.

Всякое отображение такого типа является конформным гомеоморфизмом круга Н на Н. Легко проверить, что такие преобразования образуют группу.

Мы обозначаем эту группу через М.

Следствие. Всякий сохраняющий ориентацию конформный гомеоморфизм / верхней полуплоскости

Н* = {z = .г + гу\х, y^R, у>0} на себя имеет вид

t^ = “^21^ a,b,c,de.R, ad — bc = i.

Всякое отображение этого вида является конформным гомеоморфизмом полуплоскости на себя. Мы обозначаем группу всех таких отображений через SLF (2, К) *) или М*. □

Для доказательства нам потребуются некоторые свойства дробно-линейных преобразований, собранные ниже.

Лемма. Любое дробно-линейное преобразование представляется в виде композиции отображений следующих типов:

(a) zz + b, be С,

(Д^г^—аг,ае$,а>0,

(с) z и* az, а е С, |«| = 1,

(d)z^-l.

Доказательство. Пусть /(z) = ^^^ Допустим, что с ¥= 0. Для /i (z) = z — c-1d мы получаем, что / ° Л (z) = —^— = = а* + —. Положим /2(z) = — y* Тогда /° /1 ° /2(z) = а' — b"z. Применим теперь отображение A(z) = — b"~lz, представляющее собой композицию отображений типа (Ь) и (с): / ° Л °/г °/з(г) = = a' + z. Применим, наконец, /4(z) = z —д'. □

Определение, (а) Число D(zn za, z3, z4) = z1__-?:

: / _ / называется двойным отношением. Используя переход к пределу, это выражение можно определить и в том случае, когда какие-нибудь из аргументов zt, ..., z4 совпадают.

(Ь) («Обобщенная») окружность есть евклидова окружность, либо евклидова прямая, замкнутая при помощи точки оо. (Такие окружности соответствуют евклидовым окружностям на S® с cRs.) К обозначает множество всех таких окружностей.

Предложение, (а) Дробно-линейные преобразования сохраняют двойные отношения, углы и ориентацию.

(Ь)Дробно-линейные преобразования отображают обобщенные окружности в обобщенные окружности.

Доказательство, (а) То, что дробно-линейное преобразование сохраняет двойное отношение, очевидно в случае преобразований 7.1.6(a) —(с). Это легко проверить в случае 7.1.6(d). То, что оно сохраняет углы и ориентацию, также ясно в случае 7.1.6 (а) — (с). Отображение 7.1.6 (d) соответствует вращению сферы вокруг оси, проходящей через —гиг.

(Ь) Это хорошо известно для преобразований 7.1.6 (а) —(с), представляющих собой движения евклидовой плоскости или преобразования подобия. Чтобы доказать (Ь) в случае 7.1.6 (d), воспользуемся следующей характеризацией обобщенных окружностей: обобщенные окружности совпадают с множествами (z^C|azz + bz + bz + с = 0), где а, се®, ЬеСи bb-ac>0. Если а = 0, мы добавляем к этому множеству точку «>. Легко проверяется, что преобразование z>-*—1/z индуцирует перестановку обобщенных окружностей. □_

Предложение. Пусть zt, z2, z3eC— три различные точки.

Существует единственное преобразование feLF(2, С), такое, что f(zi) = 0, /(z2)= 1, /(z,)= «>.

262

Существует единственная окружность К е К такая, что (z4, z2, z3} К.

Доказательство. Если z3#= =», применим преобразование z >-»• z J_ z . Поэтому мы можем считать, что z3 = °°. Применим

преобразование 2 *-*• z _ z- Тогда оо ►-► 00, z4 >-»■ 0, z2 ►-► 1. Если /(Z) = ^T^ оставляет 0, 1, °о неподвижными, то Ъ = с = О и а = d, т. е. /(z) = z.

следует из (а), так как вещественная ось является единственной окружностью из К, содержащей_0, 1, °°. □

Лемма. Пусть zv z2, z3, z4 e C.

D (zt, z2, z3, z4) e R -<=>- 3K e K: {zn z2, z3, z4} с K.

RbjD(zi, z2, z3, z4)>0-<=> точки Zi, z2 не разделяют z3, zt на окружности К <= К, содержащей zb z2, z3, z4.

Доказательство. Если два из чисел z,, z2, z3, z4 равны, то двойное отношение равно 0, 1 или оо, поэтому (а) выполняется. Предположим теперь, что Zi, z2, z3, z4 попарно различны. Из предложения 7.1.9 следует существование такого преобразования / е LF (2, С), что /(z3) = 0, /(z3)= 1, /(z4) = °°. Воспользовавшись предложением 7.1.8, получим

D (zv z2, z3, z4) = D U (zT), 1, 0, 00) = ц^_™ : r^ = / (zi)-

Следовательно, zt принадлежит окружности, проходящей через точки z2, z3, z4, в том и только в том случае, если / (z^ е R. Наконец, /(zi)>0 в том и только в том случае, если /(zt) и l = /(z2) не разделены на окружности R точками /(z3) = 0 и /(z4)= оо. □

Из леммы 7.1.10 видно, что дробно-линейное преобразование переставляет окружности и что каждую окружность можно отобразить в R, т. е. справедливо

Следствие. Группа F(2t) действует в К транзитивно. □

Предложение (а). Трем различным точкам xv х2, zssR соответствует ровно одно такое преобразование f ее eLF(2, R), что/(<£,) = 0,/(^2)= 1,/(.г3) = 00.

/ е SLF (2, R) -ФФ- Zj, z2, z3 и 0, 1, °° задают на R одно и то же направление.

Для / е LF (2, С) мы имеем: f (Н*) = Н* / е SLF (2, R).

Для z,, z2 е И* существует такое преобразование j е eSLF(2, R), 4to/(z1) = z2.

Если zv z2 е И*— различные точки и / eSLF (2, R)— такое преобразование, что /(z,) = z„ то f = l.

Доказательство, (а) является следствием из доказательства предложения 7.1.9.

Перейдем к доказательству пункта (Ь). Допустим, что /(н*) = н*- Тогда /(Ч) = Ч и /(R) = R. Пусть х, = /(0), х2 = /(1), х3 = /(оо). жп хг, х3 и 0, 1, оо задают на R одно и то Же направление. В силу (а) найдется ge SLF (2, R) с g(0) = =/(0), g(l) = /(l) и g^°°) = К00*). В силу предложения-7.1.9 (а), / = g. Обратная импликация очевидна.

Перейдем к (с). Допустим, что z2 = z и zt = х + iy, где у > 0.

Положим а = ^у. Тогда /(z) = -——-=-^-(2 — ^ лежит в SLF (2, R) H/(zt) = i.

Перейдем к (d): Zi, z2 е Н* определяют в точности одну окружность с центром на R или одну полупрямую, ортогональную прямой. R. Так как / сохраняет углы, отображает R на себя и оставляет z,, z2 неподвижными, точки пересечения указанной окружности (или прямой) с R также неподвижны. Теперь можно применить (а). □

Доказательства теорем 7.1.2, 3. Начнем с 7.1.2. Конформный гомеоморфизм /: С-*-С имеет лишь один полюс, и тот порядка 1. Если это полюс в deC, то ряд Лорана имеет вид 7L 4 + с0 + ^ с» (z — ^ и сходится всюду, кроме точки d. Но если бы с, =# 0 при некотором г > 0, то точка оо также была бы особой, в противоречие с тем, что / — гомеоморфизм. Таким образом, / (z) = —-7377—-• Если полюс — в точке «>, то / имеет вид /(z) = az + Ъ.

Перейдем к 7.1.3: из теоремы Казорати — Вейерштрасса следует, что конформный гомеоморфизм /: С-*-С имеет на бесконечности полюс первого порядка, т. е. /(z) = az + b. □

Для доказательства теоремы 7.1.4 нам потребуется

Лемма Шварца. Пусть /:Н->1Н голоморфное отображение, /(0) = 0. Тогда:

|/(z)|<|z| VzeH;

|/(z)| = |z| при некотором z=^ 0, z e IH -<=>-/(z) = z-e*1, teR.

Доказательство. Так как /(0) = 0, то отображение g(z) = = 7^ корректно определено и голоморфно в Ш. На окружности с центром в 0 и радиусом г < 1 мы имеем

|5г(2)| = ^р-<7> так как |/(z)|<l.

В силу принципа максимума модуля (см. [Behnke — Sommer 1955, II, Satz 14], [Rudin 1966, 10.24]) это неравенство выполняется и внутри круга. При г->-1 мы получаем |g(z)|^l Vzg^ eH=»-|/(z)|^|z|. Если |g(z)l = l для некоторой внутренней точки zeH, то g есть константа: g(z) = e'', ZeR. □

Лемма. Гомеоморфизм ф: С->С, if(z) = -—-, голоморфно отображает ^* на Н.

Доказательство. z еН* <=> |z — i| < lz 4- il ** I if (z) I < < 1. □

Доказательство теоремы 7.1.4. Докажем сначала, что ■фМфф-1 ст М. Мы имеем ф-1(з) = —7^-. Если h е SLF (2, R), т. е.

7г (2) = c' + d ^а’ ^C^G 5, ad — be = 1),

то для hQ = if^'f'1: Н->Н имеем, что

-у- [а 4- d + i (6 — с>] г 4- 4- [а — d — г" (Ь 4- п]

^о СО = ЛJ ,

-^ [а — d 4- i (6 4- с)) г 4- -^ [а 4- d - i ф - с)1

и й0 имеет вид h0^ = ^—= с рр — qq = 1. Поэтому из предложения 7.1.12(c) следует, что для всякой точки зеН существует отображение geM с g-1 (z) = 0.

Возьмем любое такое отображение g, соответствующее /(0), где / — произвольный сохраняющий ориентацию конформный гомеоморфизм круга Н. Тогда g-1 ° / отображает Н в Н, и g-1°/(0) = 0. В силу леммы Шварца 7.1.14, g~l ° /(z) = e'Tz для некоторого угла ср, т. е.

У _ Л» Р^ — Ч _ " ~ ч' е гч/"д2-\-е ^^р q z + р

с р'р' — q'q' = 1. Это доказывает теорему 7.1.4. Применив сопряжение посредством if, получаем отсюда следствие 7.1.5. □

Приведем теперь несколько утверждений о геометрическом поведении преобразований из SLF (2, R), которыми мы часто будем пользоваться. Следующий результат можно получить при помощи простых вычислений:

Предложенпе. (а) Пусть f е LF (2, С): /(z) = = ^ 4- cZ’ г^е а' ^’ с’ ^ G С 11 ad — Ьс = 1. Тогда неподвижными точками преобразования / являются

"^” ± ^ V(а + dy — 4, если с ^ 0, 5~^ = t “6 2’ 00>еслис=0,а =^ + 1,

оо,еслис=0п а = + 1.

(Ь) Пусть f е SLF (2, R). Если преобразование ] эллиптическое, то / имеет две мнимые сопряженные неподвижные точки. Если / параболическое, то оно имеет одну неподвижную точку в

R. Если f гиперболическое, то оно имеет две неподвижные точки в R. □

Предложение. Пусть feLF^.O— гиперболическое преобразование с неподвижными точками р, q. Тогда / отображает каждую обобщенную окружность К, содержащую р и q, в себя. Более точно, каждая компонента множества К\{р, д) отображается в себя, и все ее точ- еки сдвигаются к одному из концов. Если этот конец есть q, то q называется притягивающей, а р отталкивающей точкой преобразования / (см. рис. 7.1.1).

Доказательство. При помощи сопряжения отобразим р и g в 0 и °°. После этого / принимает вид /(z) = a2z, гдеаеС и а¥=±1. По предположению, а + - = <е$ и IfI >2, поэтому РиС" 7,1а = у±^-1/^2 — 4 и ае R. Обоб

щенные окружности, проходящие через 0 и °о, являются евклидовыми прямыми, проходящими через 0. Умножение на а2 > О сдвигает каждую точку по ее лучу. Точка сдвигается в направлении к 0, если a2 < 1, и в «сторону бесконечности», если а2 > 1. □

Предложение. Пусть jeSLF{2, R), /(z) = "^ j (а, Ь, с, de R, ad — Ъс = 1) — гиперболическое преобразование с с¥=0 и через

Р» = ^ + £/(«+ й)2 - 4, где е = ±1,

обозначены неподвижные точки. Тогда pt является притягивающей точкой ровно в том случае, если а--~ > 0. Другими словами, притягивающая неподвижная точка расположена правее отталкивающей тогда и только тогда, когда —^ >■ 0.

Если с = 0, то о» является притягивающей неподвижной точкой тогда и только тогда, когда а? > 1.

Доказательство. «> не остается на месте, если с¥=0. Так как —gy является серединой промежутка между неподвижными точками преобразования /, притягивающая неподвижная точка содержится в промежутке между 2с и /(°°) = у* Таким образом, имеем следующее:

pi является притягивающей неподвижной точкой ч=> -^->-- 2™ ** ' ^1±^>0.а

Движения евклидовой плоскости. Отождествим евклидову плоскость с С при помощи отображения (ж, р) >-* х + iy. Расстояние между двумя точками z и z равно |z — z'l. Движения евклидовой плоскости задаются следующим образом:

(р) z н* az + Ъ, где a, b е С, а = е,ф, в случае сохранения ориентации. Если а = 1, то получается параллельный перенос. В противном случае это поворот на угол ф вокруг неподвижной точки 6/(1-а)._

(г) z az + b, а, 6 е С, а = е'ф, в случае обращения ориентации. Эти движения являются либо симметриями, либо скользящими симметриями в зависимости от существования или не существования неподвижных точек, или от того, равен порядок двум или бесконечности:

_ [ = 0 — симметрия,ад + 6 q — скользящая симметрия.

См. упражнение 7.6.

Упражнения 7.1—6.

§ 7.2. Неевклидова геометрия

Опишем модель Пуанкаре неевклидовой геометрии (иначе называемой геометрией Бойяи — Лобачевского — Гаусса, или гиперболической геометрией) плоскости. Сначала определим различные геометрические объекты, а затем докажем, что они обладают свойствами, желательными во всякой геометрии.

Определение, (а) Точки гиперболической плоскости есть точки, лежащие внутри единичного круга

Н = {z е С 11 z | < 1}.

Прямые гиперболической плоскости есть дуги окружностей, ортогональных единичной окружности, п диаметры круга И. Предельные точки такой прямой, лежащие на S1, называются концами этой прямой. Две различные точки из И определяют в точности одну содержащую нх прямую, см. 7.2.2.

Для zn z2 gH, Z1 =^ z2, обозначим через z3 и z4 концы гиперболической прямой, проходящей через zt п z2. Предположим, что они следуют в таком порядке: z3, z„ z2, z4. Тогда расстояние d(z,, z2) определяется по формуле

d (zv z^ = In (jl^ : ^7^) =ln ° (zn Z2, Z4, 2з)-

Для Zi = z2 положим d(z4, z2) = 0. (В литературе расстояние часто в два раза меньше нашего, как, например, в книге Бенке и Зоммера [Behnke — Sommer 1955]. Приведенное выше определение взято из книги Зигеля [Siegel 1964'], оно соответствует красивой формуле площади, см. 7.2.11.)

При помощи замены w =При помощи замены w =можно отождествить единичможно отождествить единич(dj Гиперболический угол равен евклидову углу.

При помощи замены w =

При помощи замены w =

можно отождествить единич

можно отождествить единич

ный крут Н с верхней полуплоскостью Н#. Двойное отношение

и, таким образом, длина остаются наименьшими в силу предложения 7.1.8. Гиперболические прямые отображаются в евклидовы полуокружности и полупрямые, ортогональные вещественной оси. Эта модель иногда удобнее при доказательствах и вычисле

ниях, и мы будем свободно переходить от одной модели к другой. Гиперболическая прямая в Н* — это либо луч, параллельный мнимой оси, либо полуокружность, ортогональная вещественной оси, т. е. полуокружность с центром, лежащим на R. Отсюда легко следует утверждение 7.2.2, см. рис. 7.2.1.

Предложение. Две различные точки гиперболической плоскости определяют ровно одну содержащую их прямую. □

Отсюда легко следует, что в плоской гиперболической геометрии выполняются обычные свойства инцидентности и порядка для точек и прямых. Чуть позже мы докажем, что расстояние d определяет на этой плоскости метрику.

Теорема. Группа сохраняющих ориентацию движений гиперболической плоскости в модели Н* совпадает с SLF(2, R) = М*, а в модели И— с группой М дробно-линейных преобразований w = £^-2, рр — qq = i. Обращающие ори

ентацию движения задаются формулами

w = °-^ ^ а, 6, с, <?е R, ad — be = — 1 для И*,

w = 1, pt qeC, РР — ЧЧ = li Эля н.

Доказательство. В силу теоремы 7.1.2, преобразования первых двух типов являются конформными й сохраняют двойное Отношение. Таким образом, это — движения. Так как движения сохраняют углы, т. е. являются конформными, наше утверждение в случае сохраняющих ориентацию движений следует из теоремы 7.1.4 и леммы 7.1.5. Случай движений, обращающих ори-

ентацию, сводится к предыдущему при помощи замены Z-*

Мы часто будем пользоваться матрицами из SL(2, R) для задания элементов из SLF{2, К). Ядро стандартного гомоморфизма равно К—Е, Ек Таким образом, абсолютное значение следа элемента группы SL(2, R) есть инвариант соответствующего элемента группы SLF (2, R). Мы видим, что группа SLF (2, R) канонически изоморфна группе проективных преобразований PSL^, R).

Пре дл о же ние. Пусть zv z2 е Н и t = ^2 к у d(zn z2) = lnkk.

Это позволяет выразить расстояние между z, и z2 непосредственно через z, и z2.

Доказательство. Дробно-линейное преобразование g, за- 2 —I 22 — Zi | —— Zl22)

данное формулой g (z) =где X =,

переводит z, в 0, a z2— в t>0. Так как |Х| =1 и отображение 2"—=- переводит 1, —1 и i в точки единичной окружности, то g является движением плоскости И. Имеем

й (zD z2) = d (0, <) = In О (0, t, 1, — 1) = In Ш. □

Предложение (неравенство треугольника). Пусть z0, zv z2 е н. Тогда

a^, Z2)^d(z!, z0)+d(z0, z2).

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда z„ z0, z2 лежат на одной прямой, причем в указанном порядке.

Доказательство. Можно считать, что zo = O и что z2 — положительное вещественное число. В силу предложения 7.2.4 имеем:

a (zv z2) - In где t = ' 2 ——, 1 t1 -

^(zpZo) = In I + ^ ' d(z2,z0) = lnV^. Далее,

i±t = <l±k8 = (P-v^l + l^-2!!)2 2±ЬМ±151±Ы! = i-t i_t2 (i-|22|2)(i-|Z1|2)(i-|^i2)(i-|^J2)

1 + I 2! I 1 + I 22 I 1-р1Г1-|22Г

Так как, по предположению, число z2 — положительное вещественное, равенство имеет место тогда и только тогда, когда число zt — отрицательное вещественное. □

Предложение, (а) Точки, находящиеся на одинаковом расстоянии г от точки ре-, образуют евклидову окружность.

(Ь) Пусть I — ^гиперболическая) прямая в Н с концами z„ z2, и пусть г>0. Точки, находящиеся на расстоянии г от I, лежат

Рис. 7.2.2Рис. 7.2.2Рис. 7.2.3Рис. 7.2.3

Рис. 7.2.2

Рис. 7.2.2

Рис. 7.2.3

Рис. 7.2.3

в объединении двух евклидовых окружностей С,, С2, содержащих zi, z2; см. рис. 7.2.2, 7.2.3.

Доказательство, (а) При помощи движения плоскости Н мы можем переместить р в 0. Пусть z = ре**. Тогда

и точки, находящиеся на фиксированном евклидовом расстоянии р от 0, находятся на гиперболическом расстоянии г от 0.

(Ь) Если вместо Н взять модель И* и предположить, что Z — мнимая ось, то сразу же получается требуемый результат. □

Замечание. В построенной геометрии плоскости наблюдаются основные свойства евклидовой плоскости, описывающие инцидентности, конгруэнции, углы и т. д. Единственным исключением является аксиома параллельности: в евклидовой геометрии для каждой прямой I и точки р £ I имеется в точности одна прямая I', проходящая через р и не пересекающая прямой Z. Все точки прямой V находятся на одинаковом расстоянии от I. В гиперболической плоскости ситуация другая. Через р проходят две различные прямые Z^ Z2, не пересекающие прямой I, но имеющие с Z по одному общему концу, а все прямые, проходящие через р и лежащие в угле, не содержащем Z, не пересекают Z, см. рис. 7.2.4. В том случае, когда прямые к, Z2 не пересекаются и не имеют общего конца, существует ровно один общий перпендикуляр к, и если р, = к П к, a q, ^ к, то

d(Pu p^Mq,, q2),

причем равенство имеет место только для (р„ Pi) = Vh, уг).

Предложение. Две непересекающиеся прямые li и Z2 в Н имеют либо общий конец, либо общий перпендикуляр.

Доказательство. Для доказательства рассмотрим И* и предположим, что к есть мнимая ось. Если прямая Z2 не пересекает li и не имеет общего конца, мы можем при помощи движения передвинуть ее в прямую с концами 1 и а>1. Перпендикуляры к li, проходящие через точки iy, 1<у <а, пересекают Z2.

При у -* 1 положительный угол между Z2 и перпендикуляром стремится к 0, а при у -► а он стремится к л. Так как угол зависит от у непрерывно, некоторый перпендикуляр к Z, является также перпендикуляром и к Z2.

Геометрическое построение общей ортогонали показано на рис. 7.2.6. □

Предложение. В Н* инфинитезимальная длина задается формой '-^, а инфинитезимальная мера площади — формой В Н эти формы равны —-d--~ и т-^-^Цг-г coomeemcm-

У21-|г12(!_|21-)2

венно.

Форма '-y-i определяется следующим свойством: если s: I-*- ->И*— гладкая кривая, то длина равна интегралу

Cl^(t)| Cl^(OI 1

J yW J I dt

Доказательство. Докажем сначала, что дифференциал инвариантен. Достаточно сделать это для порождающих преобразований /2 (z) = г + Ъ (Ь е R), /2(z) = az(aEi?+), /з(2) = = -V’ f^ = -2.

Например,

I ^2 <г) I _ а\аЦ = |dz|Im /2 (z) a Im z у ■

ИЛИ ДЛЯ W = /3 (z) =ИЛИ ДЛЯ W = /3 (z) =w = и + то = ——^, м =®2 + у2

ИЛИ ДЛЯ W = /3 (z) =

ИЛИ ДЛЯ W = /3 (z) =

du dv1 ^х - „а duI дуdu dv1 ^х - „а duI дуdydyл л dx dyйхйу = —^.л л dx dyйхйу = —^.

du dv1 ^х - „а du

I ду

du dv1 ^х - „а du

I ду

dy

dy

л л dx dyйхйу = —^.

л л dx dyйхйу = —^.

Чтобы определить длину отрезка прямой, мы можем при помощи движения сдвинуть концы в i и аг, а > 0. Тогда

а {аг, г) = In I ._0 : 1 — оо I = In а,

;^_^_1П„. о

Предложение. Отрезок является кратчайшей спрямляемой кривой между двумя точками.

Доказательство. Упомянутые точки при помощи движения можно переместить в i и ai, а>1. Пусть z(<) (O^t^ < 1)— кривая с z(0) = i, z{l) = ai. Тогда

f|dz(t)|_ [Н^ММ^ _ f_Li /(d£? , (dy? dt> J У(0 J I di ly(t) J y(<) У \dJ + W

^Ji^l^H^ = ^И1) —h^Z/t0) = lna = d(i- i«)- a

Теорема. Пусть P — многоугольник, возможно, имеющий вершины в К. {В последнем случае смежные стороны имеют общий конец.) Пусть ссц ..., ос™— его углы. {Угол между двумя прямыми с общим концом равен 0.) Тогда площадь многоугольника Р доставляется формулой

ц {Р) = {п — 2) л — 2 «1=2 (л — а4) — 2л.

Доказательство. Сначала докажем теорему 7.2.11 для треугольников и начнем с треугольника, две вершины которого являются концами (или все три — концы). Тогда одна пз сторон представляет собой прямую. При помощи движения мы можем переместить концы в 1 и оо, а всю прямую —в {z = х + iy\x = 1, у>0). Другая сторона есть часть единичной окружности. Пусть en = a-Vib — третья вершина, и а —угол при ней. (Если третья вершина также является концом, она совпадает с —1 и тогда

a = 0). Поэтому 7 = л — a, см. рис. 7.2.7, иa = 0). Поэтому 7 = л — a, см. рис. 7.2.7, и

a = 0). Поэтому 7 = л — a, см. рис. 7.2.7, и

a = 0). Поэтому 7 = л — a, см. рис. 7.2.7, и

При помощи замены x = cos<p получаем:

Если две вершины конечны, а одна является концом, то формула следует из рис. 7.2.8:

ц (Р) = л - a - [л - (л - Р)] = л - a - р.

Если все вершины из И*, то р = р' + р" (см. рис. 7.2.9),

ц (Р) = л - (a + а' + р ") + л - (7 + 7' + р') - [л- (а' + 7')] =

= л-(а + Р + 7).

Общий результат теперь следует по индукции: соединив две вершины многоугольника Р отрезком s, лежащим внутри Р, мы получим два таких многоугольника Р', Р" с п', п" сторонами,

что Р' UP"=P, Р'fl P"=s, п + п" = п + 2, п\ п" > 3. Допустим, что s соединяет первую вершину многоугольника с /с-й. Пусть а, — угол при i-й вершине. Тогда s делит «! на at, с^ и «й — на ай, aft. Следовательно, ц(Р) = И(Р') + ц(Р") =

= (к — 2) л — [ai + £ a, + «^ + (и — к + 2 — 2) л —

— ^«h + t a. + «ij = (п — 2) л — 2 «г- °

Замечание. Если одна из сторон многоугольника Р лежит в R, то р(Р)=°°. В этом случае Р содержит такой «четырехугольник» Q с вершинами gb q2, q3, qt, что сторона qtq2 18 X Цишанг и др273

лежит в R, а стороны 9^4 и цгцг лежат на прямых с одним и тем же концом. Кроме того, мы можем считать, что углы при g3 и qt равны. При помощи движения мы можем так сдвинуть Q, чтобы q, = —92, 92 > 0, общий конец равнялся оо, а отрезок 9394 лежал на единичной окружности (рис. 7.2.10). Тогда

1 ,

Замечание. Если S есть риманова поверхность, то универсальное накрывающее есть односвязная риманова поверхность, она, таким образом, конформно эквивалентна С (тогда

Рис. 7.2.9Рис. 7.2.9Ч, 0 q2

Рис. 7.2.9

Рис. 7.2.9

Рис. 7.2.10

S = С), С или Ч. Если поверхность S — замкнутая рода g > 1, то универсальное накрывающее есть Ч (ср. 9.1.10), а скольжения накрытия являются движениями гиперболической плоскости. Таким образом, метрика на Ч индуцирует метрику на S. Группа скольжений имеет фундаментальную область, представляющую собой многоугольник с 4g вершинами, и сумма его внутренних углов равна 2л. Таким образом, площадь всякой замкнутой римановой поверхности рода g>l равна 4л (g — 1).

Предложение, (а) Сохраняющее ориентацию и отличное от тождественного движение f плоскости Ч, которое имеет неподвижную точку реН, является эллиптическим, up — его единственная неподвижная точка в Н. Оно является поворотом гиперболической плоскости, т. е. / сохраняет гиперболические окружности, состоящие из точек, удаленных от р на равное расстояние (они являются и евклидовыми окружностями, но центр в общем случае отличается от р). Два поворота плоскости Ч сопряжены в группе движений тогда и только тогда, когда они имеют один и тот же угол поворота.

(Ь) Для любого г^О имеются точки q с d(q, f(q)) — r. Доказательство — упражнение 7.13.

Предложение, (а) Всякие два параболических движения плоскости Ч сопряжены в группе движений. Если потребовать, чтобы сопрягающий множитель сохранял ориентацию, 274

то имеются два класса сопряженности, реализуемые любым параболическим преобразованием и ему обратным.

Пусть j — параболическое движение гиперболической плоскости. Для любого г>0 существуют точки z с d(f(z), z) = r.

Неподвижная точка параболического движения принадлежит S1.

Доказательство. Воспользуемся моделью Н*. Можно считать, что / имеет «> своей неподвижной точкой, т. е. что f(z) = z + d, b¥=0. Сопрягая czi-»yz при Ь>0 и з^-у-2 при b < 0, мы можем считать, что b = 2. Это доказывает пункт (а). При /(z) = z + 2 для z = x-Viy имеем (см. рис. 7.2.11)

d (/ (z), z) = Ind (/ (z), z) = In(1 + /1 + у2 + iy) (- 1 - /1+ «2 + iy) (- 1 + /1 + y2 + iy) (1 - /1 + у2 + гу)'

d (/ (z), z) = In

d (/ (z), z) = In

Далее, lim d(f (x + iy), x + iy) = oo, lim d^f^x-V iy), x + iy) = 0, y-*0y-*oo

из чего следует пункт (Ь), так как d(f(x + iy), x + iy) непре

рывно зависит от у. (с) следует из 7.1.16 (Ь). □

Предложение. Пусть f — гиперболическое движе

ние, и пусть q и р — притягивающая и отталкивающая точки движения f, см. 7.1.17. Тогда р, q^S'..

Прямая 4 с концами р и q называется _/+/

осью движения f.'v

Функция d(j(z), z) постоянна / I\

на множестве точек, равноудаленных1\

от 4. Как функция расстояния до 4,—11.11—

она непрерывна и монотонно возрастает. ~1°'

Для любого гиперболическогоРис. 7.2.11

движения I точки оси сдвигаются

на минимальное расстояние, называемое длиной сдвига Lh движения f Для любого r^L, найдется такая точка, что

d^z, j(<z)) = r. Два гиперболических движения сопряжены в группе движений плоскости ^ в том и только в том случае, если они имеют одинаковую длину сдвига.

Пусть t обозначает положительный след движения /, полученный из задания движения f матрицей. Тогда

L, = In -|- (2i2 + 2t V^ - 4 - 4).

Доказательство. To, что p, q^S1, следует iиз 7.1.16 (b). Из геометрических соображений ясно, что d(f^z), z) зависит от z непрерывно; это следует и из предложения 7.2.5. То, что эта функция постоянна на множестве точек, равноудаленных от 4, и непрерывно зависит от расстояния (до 4), также следует из геометрических рассмотрений или из следующих вычислений: воспользуемся моделью И* и возьмем в качестве 4 мнимую ось. Тогда /(z) = az, аеР, а#=1. Точки, равноудаленные от 4, ле-

жат на евклидовых лучах (z = pei<p|p ^ R, р>0}, (z = ре*<л~ф>|ре eR, р>0}, 0 < <р ^ л/2. При умножении на а каждый из этих (евклидовых) лучей отображается на себя (см. рис. 7.2.12).

Очевидно, что

d(ape'T, ре!ф) -► °° при ф ->■ +0.

Если бы расстояние d(/(z), z) не возрастало монотонно, то нашлись бы две такие точки zt, z2, что

d(z„ Л)< d(z2, Л) и d(/(zi), Zi) = d(/(z2), z2).

Можно считать, что zt и z2 лежат на одной и той же гиперболической прямой I, ортогональной Л, и при этом на одном и том

Рис. 7.2.12Рис. 7.2.12Рис. 7.2.13Рис. 7.2.13

Рис. 7.2.12

Рис. 7.2.12

Рис. 7.2.13

Рис. 7.2.13

же (гиперболическом) луче. Пусть р = IП Л. Эта ситуация изображена на рис. 7.2.13.

Пусть V — гиперболическая прямая, содержащая середину отрезка pf(p) и ортогональная Л. Симметрия относительно V отображает р в /(р), Л— в Л и, таким образом, I — в tW и со~ храняет расстояния. Поэтому z1-»f(z1) и z2>-*/(z2), и четырехугольник Zi, z2, /(z,), /(z2) отображается в себя. Это доказывает, что d(z„ /(z2)) = d(z2, /(zt)), и а = а' и £ = £', где а, а', ^, £' — углы при zt, /(zt), z2, f(z2).

Треугольники (zi, /(zt), /(z2)) и (/(Zi), /(z2), z2) конгруэнтны, поскольку d(zt, /(z,))= d(f(z2), z2), d(/(Zi), /(z2))= d(f(zt), /(z2)) и d(/(z2), Zi) = d(z2, /(zi)) и существует движение, отображающее z, в z2, /(Zi) в /(z2), /(z2) в /(z,). Следовательно, a = p', т. e. все четыре угла равны. Так как площадь четырехугольника (р, /(р), Zi, /(zi)) положительна и равна 2л —2--2— — 2 (л — а) = 2а — л, см. 7.2.11, следовательно, а > л/2, и четырехугольник (z,, /(г,), /(z2), z2) имеет площадь 2л —4а<0. Это доказывает, что расстояние d(z, /(z)) монотонно зависит от й(г,Л).

При /(z) = az имеем

(

Ln—= In а,если а>1.

21

1п^ = 1п-^-, если а<1.'

Поскольку сопряжение /с z i-»- — 1/z даст нам г^ = -т^ = -^г = ^ мы заключаем, что преобразования с одинаковой длиной сдвига сопряжены. Чтобы найти связь между длиной сдвига и следом, рассмотрим еще раз преобразование /(z) = az, где а>1. Тогда / задается матрицей (q ^j, где Ь > 1. Следовательно, t = Ь + у и а = = Ь2. Таким образом, b = -у- (t + V t" — 4). □

Предложение. Пусть f— гиперболическое движение, и пусть z, /(z) и f{z) лежат на прямой 4. Тогда 4 есть ось движения t- Таким образом, под действием f ровно одна।

прямая отображается в себя.

Доказательство. Пустьи

4' — ось движения /. Если //'''чРГ'гХ.\

4'#=4, то 4'Л 4 = 0, посколь- / Л9 f Wx \ ку иначе 4Л/(4) = 0, в про-/А А

тиворечие с тем предположен!!- J[jL у

ем, что {z, /(z)}<=4. Пусть I—Р|1С 79,14

отрезок перпендикуляра к 4'

между z и 4' с /Л 4' = р. Четырехугольник (р, z, /(z), /(р)) отображается при / в четырехугольник (/(р), /(z), ?(р), ^(z)). Поэтому7 сумма углов каждого четырехугольника равна 2л, что нротпворечит теореме 7.2.11 (см. рис. 7.2.14). □

Предложение. Пусть XYglSL^,^). Тогда имеем 1гУ-,Х-‘УХ = (1гХ)2 + (1гУ)2 + (1гУХ)2 — (trX) (tr У) (1гУХ)—2.

Доказательство проводится при помощи непосредственного вычисления. □

П р е д л о ж е н и е. Пусть X, Y е SL (2, R) соответствуют гиперболическим преобразованиям из SLF (2, R), которые мы будем обозначать теми же символами. Тогда относительное расположение осей преобразований X и У определяется по следу коммутатора У^Х^УХ следующим образом-.

Оси движений X и У пересекаются и не совпадают тогда и только тогда, когда tr У-1Х-‘УХ < 2.

Оси движений X и У не пересекаются и отображения X и У не имеют общей неподвижной точки тогда и только тогда, когда tr У-,Х-1УХ > 2.

Отображения X и У имеют общую неподвижную точку').

*^- Оси совпадают или касаются друг друга. -^> о 1гУ-1Х-‘УХ = 2.

УЧУЧЕсли оси касаются, то порожденная движениями X и У группа действует на Ш* не разрывно.

УЧ

УЧ

Доказательство. Нормализуем ситуацию так, чтобы О был притягивающей, а оо — отталкивающей неподвижной точкой отображения X; таким образом, осью движения X будет мнимая ось. Обозначим неподвижные точки движения Y через z и w.

Х-^ А™ о<И<1,

^= (с d)’гдеad—bc=Y

tr Y-1X-1YX = (tr Xf + (tr У)2 + (tr YXf - (tr X)(tr У) (tr YX) —

-2 = (-bc^x- ^ + 2.

Докажем (а): Оси движений X и У пересекаются и не совпадают. •** Произведение неподвижных точек z, w движения Y отрицательно zip = 1—^ = — ^<0 <=► tr Y-1X-1YX < 2.

Докажем (b): X и У не имеют общей неподвижной точки и их оси не пересекаются. •** Произведение неподвижных точек положительно. —Ьс > 0 tr У_,Х“‘УХ > 2.

Докажем (с): Если X и У имеют общими обе неподвижные точки, то коммутатор матриц есть единичная матрица, поэтому след равен 2. Предположим, что единственной их общей неподвижной точкой является =». Тогда У = (о ^^ где Ъ * 0. Так как с = 0, из указанной выше формулы вытекает, что след коммутатора равен 2. Пусть

Ku = Y^X^X"11 = (‘ 4 (*2П- ^

Последовательность К„ сходится, пусть К = lim К». Движения К, попарно различны, так как 6#=0и0<Ы<1. Поэтому при любом z G И* последовательность точек Kn(z) сходится к ^(z), и, таким образом, группа, порожденная движениями X и У, не является разрывной. □

Упражнения 7.7—13, 22, 23.

Плоские разрывные группы

В этом параграфе мы напомним некоторые результаты о плоских разрывных группах. Они понадобятся нам при изучении конечных групп классов преобразований, но не были доказаны ранее. Доказательства будут, в основном, опускаться, мы ограничимся ссылками и, изредка, разъяснениями понятий.

Если группа G действует в топологическом пространстве R, то G можно снабдить топологией, отражающей то об-

стоятельство, что малые изменения отображений лишь немного смещают образы точек. Топология, которую часто рассматривают, имеет предбазу, состоящую из множеств {ж е GlxCZ с у}, где U — компактные, а У — открытые подмножества в R. Подгруппы, разумеется, наделяются индуцированной топологией. Если G состоит из движении евклидовой или неевклидовой плоскости, то получается топология, естественным образом связанная с параметрами а, Ь, с, d.

Определение. Пусть X — топологическое пространство и G — группа его гомеоморфизмов. Точка z е X называется регулярной, если найдется такая окрестность U точки х, что множество {g е G|gt7 fl U =/= 0} конечно. Группа G — разрывная, если G имеет регулярные точки. Множество регулярных точек называется областью разрывности. G называется вполне разрывной, если каждая точка х^Х регулярная. (Часто термин вполне разрывность понпмается в более узком смысле: его применение ограничивается случаем, когда из того, что gU П U ^ 0, следует, что g = 1.)

Мы будем изучать группы G, действующие в плоскости и разрывные всюду*), используя при этом выражение: G действует разрывно в плоскости Е. Здесь Е обозначает плоскость с топологической или дифференцируемой структурой, но без евклидовой или гиперболической метрики. Мы ограничимся конечно порожденными группами G и кусочно линейными или дифференцируемыми преобразованиями. Последнее предположение не является ограничительным в силу положительного ответа на хаупт- фермутунг в размерности 2, см., например, § 6.6. Результаты 7.3.6, 7, 10—14 можно доказать, используя только топологические или кусочно линейные соображения.

Имеется следующая интересная связь между топологией группы G п ее действием.

Теорема. Подгруппа группы движений евклидовой или неевклидовой плоскости дискретна в том и только в том случае, если она разрывно действует на плоскости.

Доказательство — упражнение 7.16. □

Можно упомянуть также следующую теорему Нильсена:

Теорема. Пусть G — подгруппа группы движений неевклидовой плоскости Иф, обладающая тем свойством, что ни одна точка из Н* и R и ни одна прямая в И* Не остаются неподвижными под действием G. Тогда группа G разрывна в Нф в том и только в том случае, если множество центров вращений из G не имеет в И* точек накопления.

В частности, если некоммутативная подгруппа группы движений плоскости Ц* содержит только гиперболические преобразования, то она дискретна.

Более слабый результат содержится в работе Нильсена [Nielsen 1940], см. также Лаурицен [Lauritzen 1939]. Более сильное

То есть вполне разрывные,— Примеч. пер.

утверждение доказано в статьях Фенхеля и Нильсена [Fenchel — Nielsen 1948] и Зигеля [Siegel 1950], см. также [Siegel 1964', S. 39]. Другие доказательства, основанные на результатах из теории групп Ли, содержатся в работах Ван Эста [Van Est 1950] и Фукса, Каммлера и Цишанга [Fuchs — Kammler — Zieschang 1978]. Мы приведем доказательство, использующее те же аргументы, что и последняя статья, где при помощи алгебры Ли находятся недискретные подгруппы группы SLF (2; П?).

Доказательство. Прямым вычислением или при помощи изучения алгебры Ли группы SLF^2;$') можно найти замкнутые недискретные подгруппы группы SLF (2; R). Каждая из них сопряжена одной из следующих групп, см. [Fuchs — Kammler — Zieschang 1978, 5.2.3 и 6.4].

Одномерные замкнутые группы:

группа поворотов (эллиптических преобразований) с общим центром;

группа гиперболических преобразований с общей осью;

расширение предыдущей группы при помощи вращений порядка 2 с центром на оси;

группа параболических преобразований с общей неподвижной точкой на R;

расширение группы (4) при помощи гиперболического преобразования, оставляющего неподвижным центр преобразований (4); типичный пример — заданный матрицами

^р-г : = |(о г-п) К, гае zj.

Двумерные замкнутые группы:

группа всех гиперболических и параболических преобразований, оставляющих неподвижной одну точку на iR.

Пусть G ст SLF(2\ R) есть недискретная подгруппа. Тогда G есть замкнутая подгруппа положительной размерности. Если размерность меньше чем 3, то G либо оставляет неподвижной точку из Н* или К, либо сохраняет ось, как можно увидеть из приведенного списка (1) —(6). Следовательно, G = SLF (2; К). Если существует не принадлежащее группе G эллиптическое преобразование е, то найдется последовательность /, е G, сходящаяся к е. Так как след является непрерывной функцией на SLF^2",^), то можно считать, что все f,— эллиптические. Но тогда их центры сходятся к центру преобразования е. Это доказывает, что условие на центры влечет разрывность группы G.

И, следовательно, наоборот, если центры эллиптических преобразований из G имеют предельную точку в И*, то G не действует разрывно. □

Определение. Пусть G разрывно действует в плоскости Е. Фундаментальная область группы G есть подмножество Fc:E со следующими свойствами (ср. с § 4.4 и п. 7.4.5):

F совпадает с замыканием своей внутренности.

UjF =

Каждая точка хе" обладает такой окрестностью U, что множество {g ^ Gl U П gF Ф 0} конечно.

Из того, что gF Л F + &, ge G, следует, что g = 1.

Множество F связно.

Граница множества F кусочно гладкая.

В литературе имеются сильно отличающиеся друг от друга определения «фундаментальной области». Часто фундаментальной областью называется F. Условие (f) не является необходимым: мы налагаем его лишь для удобства.

Предложение. Пусть G разрывно действует в плоскости, и пусть F— фундаментальная область группы G. Тогда:

область F односвязна;

для l^geG пересечение F Л gF пусто либо представляет собой точку или простую незамкнутую кривую. □

Теорема. Каждая конечно порожденная группа G, разрывно действующая как группа движений в плоскости, обладает фундаментальной областью. Если фундаментальная область компактна, то на плоскости найдется сеть, ребра и грани которой являются прямолинейными отрезками и выпуклыми многоугольниками соответствующей геометрии.

То требование, чтобы группа обладала компактной фундаментальной областью, является излишне сильным. Идея доказательства переносится на общий случай, в результате также строится сеть, грани которой, однако, могут иметь на своей границе лучи и, возможно, участки вещественной оси, это обязательно происходит, если фундаментальная область не компактна, ср. [Siegel 1964', S. 42].

Доказательство. Так как группа разрывна, найдется точка Р е Н пли 2 соответственно, которая не остается неподвижной ни при одном преобразовании из G, кроме тождественного. Пусть Рх по-прежнему обозначает образ точки Р при отображении х е G. Для каждого x^G, z^l, возьмем замкнутую полуплоскость, состоящую из точек плоскости, удаленных от Р не дальше, чем от Рх. (Геометрические термины относятся к соответствующей геометрии.) Это полуплоскость, определяемая средним перпендикуляром к отрезку от Р до Рх и содержащая Р. Пусть F — пересечение всех этих полуплоскостей. F представляет собой множество точек, которые удалены от Рх по крайней мере на то же расстояние, что и от Р. Если Q е F, то Q находится к Р ближе, чем ко всем остальным Рх, поэтому Р находится к Q ближе, чем ко всем Qx (ятЧ). Если две точки из одной орбиты лежат в F, то они должны лежать на границе многоугольника F. Таким образом, F является фундаментальной областью и из каждого класса эквивалентности содержит точки, ближайшие к Р.

Далее, имеется круг К с центром в Р, содержащий по точке из каждого класса, при этом он содержит F (здесь используется компактность фундаментальной области). Если теперь взять точки из орбиты точки Р и находящиеся от Р на расстоянии, большем удвоенного радиуса круга, то определяемые ими средние перпендикуляры не пересекают круг. Но так как G —разрывная группа, мы исключили лишь конечное число преобразований, т. е. F как компактное пересечение конечного числа полуплоскостей представляет собой выпуклый многоугольник. Если построить соответствующий многоугольник для каждой точки, эквивалентной точке Р, то получится плоская сеть, на которой группа действует. Это следует из того, что F пересекается с каждой орбитой в точности по ближайшим к Р точкам. □

Тем самым мы показали, что каждая разрывная группа движений плоскости, имеющая компактную фундаментальную область, переводит некоторую плоскую сеть в себя и, следовательно, относится к типу, рассмотренному в главе 4 с алгебраической точки зрения. И наоборот, можно утверждать, что каждая из этих групп реализуется группой движений.

Теорема. Группа, заданная образующими и определяющими соотношениями типа X или В из теоремы 4.5.6, может быть реализована в качестве разрывной группы движений на сфере (>), евклидовой (=) или неевклидовой (<) плоскости в соответствии со знаком неравенства, в случае X

0|2 2(1-У+22(1-^) + 4г-4 + 2д,

или, в случае В, 1,

0^2 £ + 2 2 (1-^) + 2£-4 + 29.

Доказательство. Сначала выберем на сфере, евклидовой или неевклидовой плоскости, соответственно, многоугольник, стороны которого обозначены так же, как в теореме 4.3.6; тем самым он имеет вид 4.3.7 или 4.3.8. Пусть отрезки, обозначенные одинаковыми греческими буквами и индексами, имеют равную длину, отрезки, обозначенные через б, и о,, образуют угол 2л/й„ а отрезки, обозначенные через у*,, и ^к, ,+1,— угол кЛцз, пусть суммы углов между т^ и у»,, и между yh,mft+i и т]л равны л, а сумма оставшихся углов равна 2л. То, что на сфере и в евклидовой плоскости такие многоугольники существуют, известно; более того, они соответствуют хорошо известным группам. Существование таких многоугольников в неевклидовой плоскости доказывается при помощи соображений непрерывности. (Маленькие многоугольники «почти евклидовы», поэтому они могут иметь сумму углов, сколь угодно близкую к евклидову значению, в то

время как большие многоугольники имеют сумму углов, сколь угодно близкую к 0. Поэтому, в силу непрерывности, можно получить любое промежуточное значение.)

В теореме 4.7.1 мы начали с групп и построили плоские сети, на которых они действуют. Возьмем сеть, двойственную описанной в теореме. В этом случае группа просто транзитивно действует на гранях, границы которых можно естественным образом записать в виде 4.3.7 или 4.3.8. Если заменить грани сети многоугольником, сохраняя обозначения ребер, то получится риманова поверхность, поскольку для каждой точки можно найти окрестность, голоморфную единичному кругу. Для внутренних точек многоугольника это тривиально; для граничных, по не являющихся вершинами, это следует из того, что одинаково обозначенные отрезки имеют равную длину; а для вершин — из условий на углы. Кроме того, риманова поверхность открыта и односвязна, и G действует на ней конформно. Поэтому, в силу теоремы Римана об отображении, G можно реализовать разрывной группой движений евклидовой или неевклидовой геомет-

Замечания, (а) Из неравенств для суммы углов выпуклого многоугольника следует также, что по неравенствам в теореме можно определить, на какой плоскости группа действует аналитически.

Естественным, возможным и часто встречающимся в литературе (хотя часто с ошибками) является построение сети в плоскости при помощи последовательного укладывания многоугольников, так как конгруэнтные многоугольники можно требуемым образом прикладывать друг к другу, задавая тем самым образующие движения, которые удовлетворяют определяющим соотношениям. Начав укладывание с многоугольника, мы в результате получим голоморфное отображение построенной сети в евклидову или неевклидову плоскость, а более точно — накрытие без ветвления. Так как плоскость односвязна, и так как при помощи подходящей цепи конгруэнтных многоугольников можно достичь любой точки плоскости, отображение оказывается сюръекцией («на»), и наша риманова поверхность голоморфно эквивалентна плоскости. Таким образом, разрывная группа состоит из движений соответствующей геометрии.

Формула Римана — Гурвица из 4.14.23 в этом контексте самоочевидна. Она просто состоит в сравнении площади фундаментальных областей группы и подгруппы.

Кратко повторим построение, проделанное в главе 4.

Построение геометрических заданий. Две области gF и hF (g, к е G) являются соседями, если у = gF Л ЛЕ есть кривая. Будем называть пересечение у 1-клеткой (хотя это не обязательно топологическая 1-клетка). Следовательно, для каждой фундаментальной области gF и граничной 1-клетки ч существует однозначно определенное преобразование ze G, что x(gE)Q gF = у. Если gF является соседом области F, то то же

верно и для g~^F. Пусть С с G содержит по одному элементу из каждой пары kg, g~4, соответствующей соседям области F. Тогда С есть система образующих группы G.

Определим вершины как те точки, которые либо принадлежат более чем одной 1-клетке, либо остаются неподвижными при преобразовании g е G порядка 2 и обладают окрестностью, не содержащей других неподвижных точек преобразования g. Очевидно, G переставляет вершины. В каждом классе эквивалентности вершин можно выбрать вершину, лежащую на dF. Пусть у,, ... ..., у* обозначает звезду при этой вершине, где у( = g,F П g^F, gi = gk+t = 1. Тогда g2F является соседом области F, и g2 либо g2Te.C. Пусть g2=g?1g2 = ^i1, где е, = ±1. Так как g3F является соседом для g2F, то ^g^gs^F является соседом области F, таким образом, gT^gs = h22 и h2 е С, е2 = ±1. По индукции мы получим, что g71gi+i = АД где А,еС при 1 С i < к и е, = ±1. Далее, gk=hh а(ЛйеС, |eft| = 1), так как F является соседом для ghF с общей 1-клеткой уЛ. Отсюда

^Г* = gk = g2 (g^gs) Ul^ • • • Ukhgh) = k-h^-h^ ... А^Д.

Выберем в каждом классе эквивалентных вершин представителя

в dF и получим систему соотношений, которая является определяющей, если G не содержит «отражений». Чтобы получить полную систему, возможно, придется добавить все соотношения с2, где се С есть топологическое отражение, т. е. имеет порядок 2 и

оставляет на месте все точки некоторой 1-клетки. Тогда описанные соотношения образуют систему определяющих соотношений.

Будем говорить, что полученное задание группы G является геометрическим и соответствует фундаментальной области F. Заметим, что ни образующие, ни соотношения не определяются областью F однозначно. Любой образующий можно заменить на обратный, соотношение можно заменить его циклической перестановкой или перестановкой обратного соотношения.

Теорема. Каждой фундаментальной области F группы G, раз-

Рис. 7.3.1рывно действующей на плоскости, со

ответствует геометрическое задание группы G. Оно определено однозначно с точностью до некоторых «тривиальных» изменений образующих и определяющих соотношений и может быть получено описанным в п. 7.3.10 способом. Эту ситуацию часто изображают рисунком, подобным рис. 7.3.1. Стрелки указывают на пары сторон, которые отображаются (переводятся) друг в друга образующими.

Классификацию разрывных групп плоскости можно свести к топологической классификации поверхностей при помощи изучения пространства орбит. Хотя более подробно мы рассмотрим эту связь в § 9.1, здесь мы приведем основные результаты. По поводу дальнейших деталей см. [Macbeath — Hoare 1976], [Zie- schang 1976].

Теорема, (а) Пусть G — плоская разрывная группа, действующая в плоскости Е. Если пространство орбит S = = Е/G с фактортопологией хаусдорфово, то это поверхность. (Условие «8 хаусдорфово» является необходимым, см. Масси [Massey 1967, р. 167—169], с. 183—186 русского перевода; оно выполнено, если G состоит из движений евклидовой или гиперболической плоскости.') Поверхность компактна тогда и только тогда, когда компактна фундаментальная область группы G. Поверхность имеет край тогда и только тогда, когда G содержит «топологические» отражения, т. е. элементы порядка 2, обращаю

щие ориентацию.

Точка из Е регулярна, если единственным преобразованием из G, оставляющим ее на .месте, является тождественное. Пусть Е' обозначает множество регулярных точек, a S’— его образ в 8. Тогда проекция E'->-S' есть регулярное накрытие.

Точка из S называется исключительной, если она является образом точек, остающихся неподвижными при сохраняющем ориентацию не тождественном преобразовании из G. Добавим к 8' все те исключительные точки, которые обладают окрестностью, не содержащей других исключительных точек. Пусть 8" обозначает получающееся в результате подмножество в 8, а Е"— прообраз множества 8". Тогда проекция Е'-»-5" является регулярным разветвленным накрытием.

ветвление которого происходит в \

исключительных точках.\ \)

Если G содержит топологи-^У) )

ческие отражения, то над краем по- \ верхности 8 проекция имеет особен- 1

посте типа складки.S'X

На крае поверхности 5 могут)

иметься исключительные точки. ОниV

соогветству ют парам отражений с пересекающимися осями. Топологи-Рис. 7.3 2

ческий тип группы G определяется факторповерхностью и исключительными точками вместе с их порядками. Система разрезов поверхности есть система простых кривых, разрезающих 8 на диск, внутри которого не содержится исключительных точек. Прообраз системы разрезов является сетью в Е, причем замыкание каждой компоненты дополнения является фундаментальной областью группы G. Что касается канонических систем разрезов на некомпактных поверхностях, то можно доказать следующую теорему, см. рис. 7.3.2.

Теорема. Пусть группа G разрывно действует в плоскости. Допустим, что G не содержит «топологических» отражений. Тогда найдется система В разрезов на факторповерх- ности Е/G со следующими свойствами:

Все кривые из В имеют одну и ту же начальную точку р», и различные кривые других общих точек не имеют. Кривые являются простыми или простыми замкнутыми.

Звезда в р» имеет следующий вид:

(+) Or ..., oft, 6Ь ..., 6„, ть pn rf1, рГ1тй, рг, tJ1, pg 1

(—) on ..., ah, 6n ..., 6„, vi, v?1, ..., vg, Vg \

Здесь кривые Oi незамкнуты с одной стороны и уходят в дыры поверхности S". Кривые 6< заканчиваются в исключительных точках, и все исключительные точки получаются таким образом. Кривые т,-, р< (или v< соответственно') замкнуты. Случай (+) соответствует ориентируемой поверхности S, а (—) соответствует неориентируемой. □

Если G содержит «топологические» отражения, то ситуация усложняется. По звезде в ро мы можем определить границу диска, получающегося в результате разрезания вдоль В: она состоит из замкнутой цепочки простых кривых. Эту цепочку можно перевернуть. Каждая кривая в цепочке состоит из нескольких полупрямых и отрезков. Граничный путь имеет следующий вид: ОГ^а, ОГ^з, • • ..^to1^!1. • .^n^^iPF^r^l. • -TgP^^^^gCT!

oi1^, а^йз, .. ..йд^!^1 ... SnSn^iVi ... vgvgov

и состоит из к кривых. (Заметим, что коммутатор т,рГ1т71Р1 в границе отличается от коммутатора т{, р{, т?1, рГ1 в звезде.)

Как отмечено выше, система разрезов определяет фундаментальную область группы G. Эта область соответствует геометрическому заданию группы G образующими и определяющими соотношениями, см. теорему 7.3.11. Полученное таким образом задание описано в следующей теореме.

Теорема. Пусть группа G разрывно действует в плоскости. Если группа G конечно порождена и не содержит «топологических» отражений, то G обладает так называемым каноническим заданием:

(+) ^$1» • •$й, ^v ..., dn, tv uv .. .,tg, ug ldi*=l (l^i^n, ^i^2), П Si П ^ П = 1^

(—) ^sn ..., sk, d1, .. .,dn,vv ..., vg | dj * = 1 (1 ^ t^ n, ht ^ 2),

ПяП^П^-1^.

В первом случае все элементы сохраняют ориентацию, во втором элементы и, обращают ее. Каждую бесконечную группу с указанным заданием можно реализовать разрывной группой, действующей в плоскости. □

Таким заданием обладают лишь немногие конечные группы. Если G содержит отражения, соответствующее задание становится гораздо более сложным. Здесь мы его рассматривать не будем; задания, возникающие в общем случае, приведены в § 4.11, см. также Макбет и Хор [Macbeath — Hoare 1976] или Цишанг [Zieschang 1976], а для групп с компактной фундаментальной областью см. Уилки [Wilkie 1966] и теорему 4.5.6.

Во второй части книги мы займемся конечными подгруппами группы Homeot(E, G) с тем, чтобы доказать, что их можно реализовать конечными группами преобразований. При этом группы будут реализовываться в основном группами движений евклидовой или неевклидовой плоскости. Следующая теорема говорит нам, в каком случае группы можно реализовать геометрически. Оказывается, что это возможно для всякой разрывной группы плоскости, в некоторых случаях — в С, а большей частью — в Н :

Теорема. Пусть G — группа с каноническим заданием, указанным в теореме 7.3.14.

G можно реализовать разрывной группой движений евклидовой плоскости С в следующих случаях-.

N.

(О)

8

Л

C/G

(I)

4

—

2

бутылка Кляйна

2

—

4

2е 2 2

F2

3

—

1

1

лист Мебиуса

4

+

4

тор

Z ©Z

+

4: 2, 2, 2, 2

S1

+

3:3 3 3

S2

+

3: 4 4 2

S1

-|-

3: 6 3 2

81

9

+

2: 2, 2

1

R2

D<»sZi»Zi

10

+

2

цилиндр

Z

Столбец (о) показывает ориентируемость-, если все преобразования сохраняют ориентацию, то в нем + иначе —, g — род

факторповерхности, п: h, — число исключительных точек и их порядки, к —число дыр, Q/G—тип факторповерхности, (i) — алгебраический тип группы G, если она элементарная.

Все остальные группы с заданием 7.3.14 можно реализовать в качестве групп движений гиперболической плоскости Ц. Это имеет место при

k>Y,

k = 0, 2 (1-1) + 2g-2 = ^>0.

В последнем случае всякая фундаментальная область группы G имеет площадь пМ. {При к = 0 действующие в евклидовой плоскости группы характеризуются равенством М = 0, в сфере — неравенством М < 0.)

Следующее понятие очень часто используется в литературе.

Определение. Фуксова группа (Hauptkreisgrup- ре)) есть разрывная группа сохраняющих ориентацию движений гиперболической плоскости. Если условие сохранения ориентации опущено, группы называются неевклидовыми кристаллографическими группами.

Фуксовы группы могут иметь и бесконечное число образующих. Обычно фуксовы группы определяются не так, как это сделано выше, а как группы, состоящие из дробно-линейных преобразований и разрывно действующие в сфере С таким образом, что при всех преобразованиях некоторая обобщенная окружность (Hauptkreis )) отображается в себя с сохранением направления. В этом случае группа индуцирует в обеих компонентах дополнения главной окружности разрывные группы, которые обе изоморфны исходной группе и однозначно ее определяют. На главной окружности могут лежать регулярные точки, т. е. точки, обладающие окрестностью, которая пересекается лишь с конечным числом своих образов. Эти точки образуют интервалы регулярности на главной окружности. Но могут быть и точки, не обладающие окрестностью указанного типа. Они называются предельными точками и образуют в совокупности предельное множество. По поводу деталей см. [Behnke — Sommer 1955, VI § 1], [Lehner 1964, III]. При помощи сопряжения с дробно-линейным' преобразованием главную окружность можно отобразить в единичную окружность и получить ситуацию, описанную в определении 7.3.16.

В случае фуксовых групп приходится различать гиперболические и параболические дыры, и мы будем делать это уже на уровне задания группы. Общий вид задания таков:

Теорема. Конечно порожденная фуксова группа G обладает заданием

G = <^sv ...,sh,rv ...,rm,dv d„, tv uv ..., tg, ug | d^1 =

= 1 (1 < i < n, hi ^ 2), $! . .. skrx ... rmdx .. . dn Ц Ri, uj = 1^>.

Здесь s, — образующие, соответствующие различным гиперболическим дырам, они определены с точностью до перестановки и сопряжения. То же справедливо для образующих п, соответствующих различным параболическим дырам. Образующие d, порождают не сопряженные друг другу максимальные конечные подгруппы в G. Всякий эллиптический элемент группы G сопряжен степени одной из образующих d„ всякий параболический элемент сопряжен степени одной из образующих л. Каждый элемент конечного порядка является эллиптическим, и потому сопряжен степени некоторого элемента d„ Набор чисел (g; п: hi, ..., hn; m; к) называется сигнатурой группы G. Если m = k = Q, и это ясно из контекста, то сигнатура часто записывается в виде (g; п: ht, ..., hn) или (g; h^ ..., h„).

Структурная теорема 7.3.17 для фуксовых групп и теорема существования 7.3.15 принадлежат Пуанкаре [Poincare 1882]. По поводу деталей, доказательств и более общих результатов, в частности о группах, содержащих отражения, см. §§ 4.6, 9.1, 9.2 и работы Ленера [Lehner 1964], Макбета [Macbeath 1961], Макбета и Хора [Macbeath — Hoare 1976], Зигеля [Siegel 1964'], Цишанга [1966], [Zieschang 1973, 1976'].

Теорема существования является следствием следующей теоремы, так называемой теоремы Пуанкаре. В литературе имеется много доказательств этой важной теоремы, содержащих пробелы в глобальной конструкции. Полное доказательство в случае замкнутых поверхностей, основанное на неевклидовой геометрии, имеется в книге Зигеля [Siegel 1964', Кар. 3, § 9]; доказательство, основанное на теоретико-групповой конструкции плоских диаграмм Кэли, приводится в работе Цишанга [1966]. См. также теорему 4.7.1.

Теорема Пуанкаре. Пусть W обозначает односвязную область на гиперболической плоскости, граница которой разделена на конечное число «частей» ои ..., Оь Эти части являются ориентированными неевклидовыми отрезками или полупрямыми. (Может случиться, что некоторый неевклидов отрезок поделен на две части.') Каждой части о, соответствует часть o1W той же самой длины, причем ЦЩ-Н^- Следовательно, существует такое однозначно определенное преобразование ^ е М, см. 7.2.3, что f,(a.) = aiw. Концы части о, называются вершинами. Назовем начальную вершину части о< и конечную вершину части о,(1) эквивалентными и распространим это до отношения эквивалентности между вершинами границы dW. При каждой 19 х. Цишанг и др. 289

вершине определен внутренний по отношению к W угол. Допустим, что для каждого класса эквивалентности сумма внутренних углов при вершинах из этого класса равна 2n/h при некотором Ле{1, 2, .. .1. Тогда группа, порожденная преобразованиями fi, ..., ft, есть разрывная группа плоскости uW—ее фундаментальная область. Если из каждой пары образующих f„ f (1> взять одну, то получится геометрическое задание, см. 7.3.10, в котором соотношения соответствуют звездам в вершинах.

Заметим, что фундаментальная область W может иметь «стороны» на границе S плоскости И. Стороны области W, идущие из внутренности IH к S1, являются неевклидовыми полупрямыми, т. е. частями окружностей или прямых, ортогональных единичной окружности. Эту ситуацию поясняет рис. 7.3.1. Прямым следствием теоремы Пуанкаре является следующая комбинационная теорема. Набросок ее доказательства приведен в доказательстве леммы 9.4.2.

Комбинационная теорема. Пусть Н] и Н2 — плоские разрывные группы, и пусть s — гиперболическое преобразование, принадлежащее обеим группам. Пусть ось Л преобразования s делит плоскость на замкнутые полуплоскости PTlt И/_1 : Wt (J W_T = Н, И7! П И7-, = А. Предположим, кроме того, что если hWt П W( ^ 0 эДЯ йеН|; то Н является степенью преобразования s, а если K'W_t П W_, Ф 0 для А'еН_ь то h' является степенью преобразования s. Тогда группа G, порожденная подгруппами Н, и Н_н разрывно действует на плоскости и являются свободным произведением с отождествлением: G = = Hj *zH_x, где Z—бесконечная циклическая группа, порожденная преобразованием s. Группы Hi и Н_( обладают такими фундаментальными областями Vt и V_t с многоугольными границами, что

= v; и pL v\ n p"i c a, v'; = ip, n vb p; = w_t n vv

Следовательно, Pi U P-i есть фундаментальная область группы G = H1*ZH_1. См. рис. 7.3.3. □

Следующая теорема легко получается при сравнении мер фундаментальных областей, она имеет также чисто теоретикогрупповое доказательство и допускает обобщение на случай групп с некомпактной фундаментальной областью, см. § 4.14, а также [Hoar — Karrass — Solitar 1971] [Gramberg— Zieschang 1979].

Теорема (формула Римана — Гурвица). Пусть G — разрывная группа, действующая в плоскости Я, и F — подгруппа конечного индекса, представляющая собой фундаментальную группу замкнутой ориентируемой поверхности рода ц. Если сигнатура группы G есть (g; п: h^ ..., Н^; 0; 0), то

2Y-2 = [G:F]^2g-2-2(l-£)J \ П

Группа G из теоремы 7.3.20 индуцирует конечную группу конформных преобразований римановой поверхности H/F. Очевидно, что в торе, представляющем собой пространство орбит группы Z Ф Z переносов в С, действуют бесконечные группы

Рис. 7.3.3Рис. 7.3.3

Рис. 7.3.3

Рис. 7.3.3

конформных преобразований. Но такого не бывает на римановых поверхностях большего рода.

Теорема, (а) Пусть G—фуксова группа с компактной фундаментальной областью, а Н — подгруппа группы М, см. 7.2.3, содержащая G. Тогда Н также является фуксовой группой. Если, G есть фундаментальная группа поверхности рода g, то [Н : G] ^ 84(5-1).

(Ь) (Замкнутая) риманова поверхность рода 5 > 1 имеет, самое большее, 84(5—1) автоморфизмов, т. е. аналитических отображений поверхности в себя.

Доказательство. Покажем, что [Н : G] < ”, из чего сле- д>ет, что Н также есть разрывная группа и, таким образом, теорема 7.3.21 будет вытекать из следствия 4.14.24. В силу теоремы 4.10.1 и следствия 4.10.8 достаточно рассмотреть случай, когда G есть фундаментальная группа ориентируемой замкнутой поверхности рода >2 и GOH.

Пусть D — фундаментальная область для G и х е D. Пусть U — такая окрестность точки х, что U Г\ g(U')iA 21 для 5е G мо- 19* 291

жет быть лишь при g = l. Для каждого Л^Н найдется такой элемент /gG, что (/°А)(х)еД. Если [H:G] = o°, то найдется такая последовательность (&i | i = 1,2, ...), что

/i;G ^= AjG, если i ^= j,

К)^ сходится к точке x,eD.

Тогда либо h”, (х) = х0 для бесконечной подпоследовательности (/ц | i = 1, 2, ... ) последовательности (/ij, либо существует такая подпоследовательность (&(), что

Ai (х) ^ xQ при всех I

d (х0, hi (х)) < min [у, ^ d (х0, h"^ (х))}. Тогда

^ d (х0, h} (х)) < d (х, h^h" (х)) =

= d (h-+1 (х), h- (х)) < 4 d (х0, h^ (х)).

Следовательно, последовательность ht = hi+i h^ i = l, 2, ..., состоит из различных преобразований и h, (х) монотонно сходится к х. В первом случае последовательность hi-1^ обладает тем же свойством.

Пусть l¥=geG и y = g(x). Так как множество {Л,(у)1г = = 1, 2, ...} содержится в компактной окрестности точки х, то последовательность (Му)) содержит бесконечную подпоследовательность, сходящуюся к точке у0. Найдем при помощи того же построения, что и выше, такую последовательность (к, I i = = 1, 2, ...), что Л,(х) остается в окрестности радиуса <l/i точки х, а кг (у) находится в окрестности радиуса 1/i точки у. В частности, если число i достаточно велико, то к, (х) е £7 и кг^е g^PV Так как kigk^1 (х) е g(Щ, при достаточно больших i из того, что kiyk^1 е G, следует, что кгукХх = g. Следовательно, эти ki являются гиперболическими преобразованиями, имеющими ту же ось, что и g. Будем в дальнейшем считать, что &,(х) = х при всех I.

Начав с последовательности kt, можно проделать такое же построение для другого преобразования g' eG с осью, отличной от оси преобразования g. Мы получим бесконечную подпоследовательность последовательности (А,), состоящую из преобразований, оставляющих на месте две различные прямые, что противоречит предложению 7.2.17. □

Другие, более изощренные доказательства, использующие точки Вейерштрасса, см. в книгах [Behnke — Sommer 1955, S. 554] или [Farkas — Kra 1980, p. 242].

292

Предложение. Пусть F — свободная от кручения фуксова группа с компактной фундаментальной областью. Тогда, при заданном г>0, число классов сопряженности элементов из F, имеющих длину сдвига, меньшую г, конечно.

Доказательство. Пусть D — фундаментальная область и x^D. Каждый нетривиальный класс сопряженности группы F содержит такой элемент g, что ось элемента g пересекает D. Так как расстояние между точкой х и ее образом gx непрерывно и монотонно зависит от расстояния точки х до оси преобразования g (см. 7.2.16) и от длины сдвига преобразования g (это непосредственно следует из предложения 7.2.14), то найдется компактное множество С, содержащее gD при любом g с длиной сдвига, меньшей г, и осью, пересекающей D. Теперь утверждение следует из того, что число элементов /^F, для которых Цж^ е С, конечно. □

Следующий результат хорошо известен, но его трудно найти в литературе.

Предложение. Пусть F — такая поверхность, что F = я,Е содержит конечно порожденную нормальную подгруппу N =#1 бесконечного индекса. Тогда F есть тор, бутылка Кляйна, цилиндр или лист Мёбиуса.

Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда F есть замкнутая поверхность. Нормальная подгруппа N определяет бесконечнолистное регулярное накрытие р: F' -* F, причем группа D скольжений изоморфна группе F/N. В частности, D имеет бесконечный порядок. Так как группа N конечно порождена, то найдется такое компактное подмножество C'^F', что г# : л1С" —>- л^' есть эпиморфизм, где V : С' c^F’ —включение. Можно считать, что С' является связной компактной поверхностью и что никакая ее граничная петля не гомотопна ну-

Пусть В' — компонента дополнения F'\C'. Тогда С' П В' состоит из набора {^о, цД i^B простых замкнутых кривых. (Здесь I есть множество <1, ..., га} или I = М.) Из теоремы Зайферта — ван Кампена следует, что

Л1 (с' (J ^-X^Yi) = л1£' *<[?о!> лг®'’

где гомоморфизмы подгрупп индуцированы включениями. Если к C'\jB'\ J yi добавить уп, то л^С'и^'Х |J yt) будет расширением группы Л!^'и^'\ U Vi) при помощи Z. Из теоремы Зайферта — ван Кампена следует, что включение С J В' <=-► F' индуцирует мономорфизм лх (С" (J В')-*-я^', сужение которого на подгруппу л1С" совпадает с исходным эпиморфизмом, индуцированным при включении г: С' F'. Поэтому гомоморфизм i# инъективен, л^'= <[у0]> SZ и 7 = 0. Из этого следует, что В' есть лист Мёбиуса или цилиндр.

Так как D разрывно действует в F' и имеет бесконечный порядок, а множество С' компактно, то найдется такое скольжение d: F’-^F’, что й(С")ПС" = 0. Скольжение d индуцирует внутренний автоморфизм группы n,tF и, таким образом, автоморфизм 6 группы л^'. Пусть 5'— содержащая d(C') компонента дополнения F'\C', и пусть i": d(C')c_^S' обозначает включение. Тогда мы имеем следующую коммутативную диаграмму

mvC'^MdkC'W^^B' = 1 л^'^л^'.

Это доказывает, что Л]С'= 2 = Л]^'. Следовательно, С = D2 X XI и F' ^ D2 X 5, a D s ?■ Значит, поверхность F есть тор или бутылка Кляйна.

Если поверхность F не замкнута, то Л1Е есть свободная группа. и мы можем повторить предыдущее доказательство, воспользовавшись графами. □

Упражнения 7.14—21.

Проблема модулей в случае торов

В этом параграфе обсуждаются вопросы, касающиеся комплексно аналитической структуры римановых поверхностей и плоских разрывных групп. По определению, риманова поверхность есть одномерное комплексное аналитическое многообразие. Классификация римановых поверхностей с учетом их комплексно аналитической структуры называется проблемой модулей. Знаменитым результатом является (ср. [Behnke — Sommer 1955, V, Satz 37]; [Ahlfors— Sario 1960], [Springer 1957]) следующая

Теорема Римана. Односвязная риманова поверхность конформно эквивалентна С = А2, С или Н. Эти три римановы поверхности попарно не эквивалентны. □

Следовательно, универсальным накрывающим произвольной римановой поверхности S «является» С, С или Н, а группа скольжений накрытия состоит из обратимых голоморфных отображений универсального накрывающего на себя. Так как скольжения накрытия, отличные от тождественного, не имеют неподвижных точек, и так как все они сохраняют ориентацию, то из теоремы Лефшеца о неподвижной точке (см. Спеньер [Spanier 1966, р. 195], с. 254 русского перевода) следует, что С не может быть нетривиальным накрывающим другой римановой поверхности: т. е. универсальным накрывающим всякой неодносвязной римановой поверхности является С или И. Конформное сохраняющее ориентацию отображение / плоскости С в себя имеет вид f(z) = az + 6, где a, 6eQ, а^О (ср. 7.1.3 и [Behnke — Sommer 1955, IV, Satz 13]). Оно не имеет неподвижных точек в том и только в том случае, если а = 1 и Ь + 0. Отсюда следует, что

фундаментальная группа римановой поверхности 5 с универсальным накрывающим С абелева, т. е. поверхность 5 есть тор пли кольцо. То, что имеются торы и кольца с С в качестве универсального накрывающего, ясно. То, что И не может быть универсальным накрывающим тора, следует из 7.1.4: голоморфные отображения Н в себя имеют вид / (z) = р? ч_, где рр — qq = 1, и являются гиперболическими, параболическими либо эллиптическими. Два таких преобразования коммутируют в том и только в том случае, если они принадлежат к одному и тому же типу и оставляют неподвижными одни и те же точки в С. Так как группа скольжений накрытия разрывна, то всякая ее коммутативная подгруппа является циклической (это можно доказать при помощи рассуждений, аналогичных тем, которыми мы воспользуемся в доказательстве предложения 7.4.4). Таким образом, имеет место

Теорема, (а) С есть единственная риманова поверхность с универсальным накрывающим С.

С может являться универсальным накрывающим колец и торов. Универсальное накрывающее всякого тора есть С-

И есть универсальное накрывающее всех остальных римановых поверхностей. Ш может также являться универсальным накрывающим кольца. □

Чтобы решить проблему модулей, «поднимем ее в универсальное накрывающее». Пусть Т = Z Ф Z и Т' ^ Z Ф Z — группы движений плоскости С, сохраняющие ориентацию. Т и Т' называются конформно эквивалентными, если существует такое голоморфное отображение /: С->С, что формула 1-» j =t = j"1 задает изоморфизм /*: Т->Т'. Мы построим «модули» классов эквивалентности для действий группы тора в С и расклассифицируем их. Если Т ^ Z Ф Z действует в С без неподвижных точек, то каждое преобразование tel имеет вид <(z) = z + o). Мы будем называть а периодом преобразования t. Множество Р периодов группы Т есть {^(O)UeT); оно образует группу по сложению.

Предложение. Пусть T^l есть нетривиальная разрывная группа {сохраняющих ориентацию) движений плоскости С, не содержащая нетривиальных элементов, которые имели бы неподвижную точку. Тогда найдутся один или два таких периода 0),, Ы2, что

Т порождена элементом tu Z,(z)=z + o)i или

Т порождена элементами tt, t2, где t,{z) = z + а,.

В последнем случае Im o)t/o)2 ^ 0. Факторпространство С/Т представляет собой кольцо в случае (а) и тор —в случае (Ь). Таким способом получаются все классы эквивалентности торов.

Доказательство. Поскольку Т действует разрывно, всякое компактное множество в С содержит лишь конечное число периодов, и, следовательно, среди ненулевых периодов найдется

период to^O, обладающий минимальным модулем ItoJ. Если группа Р периодов порождена периодом ®п мы приходим к случаю (а). Допустим теперь, что группа Р не порождена элементом to!. Если для ше? частное ®/®i есть вещественное число, то мы можем найти такое число neZ, что Irewd С |ю! С | (и+ 1)®J. Но тогда ю —ratot будет периодом с I® — ntoj <l®il. Из свойства минимальности периода со, следует, что ® = п©1. Возьмем теперь ®2 из P\{nto2| пе 2} с минимальным модулем. Поскольку ю, и ю2 линейно независимы над R, они порождают векторное пространство R2 = С. Следовательно, для со е Р найдутся такие вещественные числа х, у, что со = xwi + У®21 осталось доказать, что х, у eZ. Вычитая кратные векторов со, и ю2, можно добиться, чтобы |х|, lyl С 1/2. Но тогда I со I < 1x1 • l®J + + |у| |ю21 С |®21, и, следовательно, со зависит лишь от ®lt т. е.

Рис. 7 4.1Рис. 7 4.1ю = х®1. Из неравенства Itoi < ^ Itoi 1/2 следует, что ю = 0. □

Рис. 7 4.1

Рис. 7 4.1

Ограничимся теперь случаем торов. Решетка {я®! + Ью2| а, 6 G eZ} задаст сеть на С, если соединить узлы решетки отрезками, идущими в направлениях векторов cot и ю2. Сеть состоит из параллелограммов с вершинами

я®! + дю2, (« + 1)®1 + б®2, (я + 1) ©, + (6 + 1) ю2, а®! + (6 + 1)®2, а, deZ (см. рис. 7.4.1). При скольжении z-* z— а®! — Ь®2 указанный параллелограмм отобразится в параллелограмм с вершинами 0, ®i, ®t + со2, со2. Так как движения z,-»-z + toi, г = 1, 2, порождают группу всех скольжений накрытия, то две различные точки внутри этого параллелограмма соответствуют различным точкам тора. Для корректной формулировки удобно воспользоваться следующим понятием (ср. § 4.4 и п. 7.3.5):

Определение. Пусть G — группа гомеоморфизмов хаусдорфова пространства X, действующая разрывно в каждой точке (т. е. у каждой точки хеХ существует такая окрестность U, что gU ПС/ #= 0 лишь для конечного числа элементов g е G). Подмножество F^X называется фундаментальной областью для G, если выполнены следующие условия:

^gF-X.

Внутренность F множества F непуста, и F Г\ gF = 0 для любого g ^ 1.

Если X связно, то множество F связно.

Теперь данное выше описание ситуации можно сформулировать как

Следствие. Решетка (а®! + Ь®21 а, Ь е 2} задает разбиение плоскости на параллелограммы, представляющие собой фундаментальные области для Т. □

Лемма. Если a, b, с, deZ. ad — be = ±1, то преобразования gi, gi, заданные формулами g^z^ z-V atot-¥ Ъю^, gi^z^

= z + coil + dm2, порождают T. Кроме того, coj = auj + Ьыг и £02= C(0i + da^ задают в евклидовой плоскости решетку, состоя- щую из фундаментальных областей для Т.

Доказательство. Это следует из равенств £tox = dtox— — Ьсо2, есо2 = — соц + асо2, где е = ad — be = ±1. □

Проектируя в торы евклидову метрику, мы зададим в этих поверхностях риманову метрику, что позволяет сформулировать наш результат как

Следствие. Каждый гомотопический класс разрезов на торе можно реализовать парой простых замкнутых геодезических. Если отмеченная точка фиксирована, геодезические однозначно определены своими гомотопическими классами. □ Перейдем к классификации торов. При этом удобно воспользоваться следующим понятием:

Определение, (а) Отмеченный тор (S, 5) есть тор 5 с выделенным гомотопическим (а значит, изотопическим) классом 2 разрезов. Отмеченному тору соответствует пара образующих группы Т ^ Z ® Z, действующей разрывно и голоморфно в универсальном накрывающем С тора S. Мы будем использовать запись (Т, 2) и называть (Т, S) отмеченной группой тора.

(Ь) Два отмеченных тора (S, 2) и (S', S') принадлежат одному и тому же классу, если существует конформный (и сохраняющим ориентацию) гомеоморфизм /:

S S', отображающий 5 в S'. На уровне*ш,

универсального накрывающего: две отме- ченные группы тора (Т, 2) и (Т', S') конформно эквивалентны, если сущест- вует такое голоморфное отображение о-^—— f: С->С, что соответствие ^/о^о/-1^ ^^

есть изоморфизм Т Т', заданный отображением S S'.

В дальнейшем мы не будем различать образующие группы Т и их периоды <х>1, со2. Каждый тор обладает ориентацией, п мы ограничимся положительными парами образующих, т. е. такими парами со,, со2, что Imco,/co2>O. Это значит, что угол поворота от вектора со2 к вектору со, меньше л (см. рис. 7.4.2).

Предложение. Каждому отмеченному тору (S. S) сортветствует комплексное число со с Im со > 0. Оно называется модулем тора (S, S). Два отмеченных тора конформно эквивалентны в том и только в том случае, если их модули равны.

Доказательство. Отмеченному тору соответствует деii- ствие группы Т sZ Ф Z на плоскости и пара образующих tv, t2 группы Т. Пусть £,(z) = z + со,. Положим со = со,/со2. По предположению, Im со > 0. Применив /: С->С, z^co^^, получим:

Мг<Д 4^ = 1°^ (co2z) = / (co2z + co,) = z + ^.

Так как отображение / конформно, отмеченные группы (Т, ©,, ®2) и (/Т/-1, 1, со) эквивалентны.

Если две отмеченные группы (Т, 1, со) и (Т', 1, со') конформно эквивалентны, то существует конформное взаимно однозначное отображение / плоскости С на себя с /(0) = 0, /(1)=1 и )(со) = со'. Эти условия соответствуют тому, что / переводит единицу группы Т в единицу группы Т' и образующие — в образующие. Так как / есть голоморфное отображение плоскости С на С, то /(z) = az + 6 с некоторыми a, be С, а=^0. Из равенств /(0) = 0 и /(1) = 1 следует, что a = 1 и b = 0 и со' = / (со) = со. □

Теперь нам нужно выяснить, какие отмеченные торы принадлежат одному и тому же классу, или, что то же, выяснить, какие модули задают эквивалентные торы.

Предложение. Модули, со, со' задают эквивалентные торы в том и только в том случае, если существуют такие а, Ь. с, de Z, ad — be = 1, что

ю ~ с® + а"

Доказательство. Обозначим через Т группу тора, действующую в С, а через оц, со2 — пару отмеченных образующих с to = to,/co2. Всякая другая система образующих toj, со2 группы Т выражается через cot, со2 при помощи равенств сох = а®! + Ь®2, ®2 = ссо, + dco2 для a, b, с, d е Z и ad — be = ± 1. Если tolt со2 также образуют положительную пару, то ad — Ьс = +1. Формула для модулей получится, если поделить одно равенство на другое. □

Группа SLF(2,Z) :={/: Н*->Н*|/(со) = ^5, а, b, с, de gZ, ad — be = + 1} называется модулярной группой. Она действует в верхней полуплоскости модулей, и как мы доказали, ее орбиты находятся во взаимно однозначном соответствии с классами конформно эквивалентных торов.

Предложение. SLF (2, Z) порождена любыми двумя из следующих преобразований:

s:$ (со) = —

<(со) = —

и: Н#-*-1Н#, м (со) = со-f- 1.

Доказательство. Это непосредственно следует из теоремы 8.3.1, см. также 5.15.5. □

Рассмотрим (неевклидов) треугольник (е2л,/3, <», ел,/3), заштрихованный на рис. 7.4.3. Он является фундаментальной областью фуксовой группы, порожденной двумя из следующих преобразований: вращение (в гиперболической плоскости) с центром

i на угол л, вращение с центром e21'73 па угол 2л/3, параболическое преобразование z •—* z + 1. Мы получаем возможность интерпретировать SLF (2,1^ как фуксову группу с указанным треугольником в качестве фундаментальной области. Следовательно, каждому тору отвечает один и только один модуль из множества

{со = х + iy I ж2 + у2 > 1; —1/2 ^ х < 1/2 для

х2 + у2 > 1; —1/2 sS х С о для хг + у2 = 1).

Пространство H^'SLF^, Z) гомеоморфно проколотой сфере оно накрывается полуплоскостью Н* с точками ветвления по

рядков 2 п 3, принадлежащими орбитам точек i и е2'"73. Таким образом, нами доказана следующая

Теорема, (а) Два модуля го и го' задают конформно эквивалентные отмеченные торы в том и только в том случае, если го переводится в го' унимодулярпым преобразованием, т. е. го' = ^ ^ а, Ь, с, del, ad — be = 1.

(b) Каждый кгасс эквива

лентности можно реализовать в

точности одним модулем из описанного выше .множества. Пространство классов конформно эквивалентных торов гомеоморсфно К2. Оно накрывается полуплоскостью Н* с двумя точками ветвления порядков 2 и 3 соответственно. □

Следствие, (а) Пусть S—тор, и пусть x^S. Тогда существует однозначно определенное конформное отображение тора S в себя с единственной неподвижной точкой х.

(Ь) Только торы, отвечающие значениям модуля i и е2л,/3, допускают добавочные конформные преобразования, не гомотопные тождественному. Группа всех конформных преобразований, профакторизованная по группе преобразований, изотопных тождественному (они являются образами переносов), изоморфна группе

Z4 — для модуля I,

Ze — для модуля е2л5'3,

Z2 — для всех остальных случаев.

Доказательство. Не гомотопное тождественному конформное преобразование тора 5 переводит всякую отмеченную пару образующих в эквивалентную. Пример такого отображения дает формула z _ (2 — а) + а для а = О, но это лишь означает замену параметров иц, со2 на —иц, —со2, что не влияет на моду-

ли. Всякое другое конформное преобразование тора соответствует неподвижной точке унимодулярного преобразования, отличного от тождественного. Однако уравнение

со = сш + d’ а' b' с’ ^ G ^, ad — be = 1,

имеет решение со с Im со > 0 в том и только в том случае, если |a + d|<2, как это следует из 4.10.1 и 7.1.1. Так как у всех коэффициентов можно поменять знак, то можно считать, что след aA-d равен 0 или 1. Из нижеприведенной леммы следует, /0 д\ /0 д\

что матрица сопряжена одной из матриц [г о)и(г 1 с —дг=1. Следовательно, q = — г = ±1 и имеются лишь возможности:

Последние два преобразования сопряжены в модулярной группе. □

Лемма. В группе SL(2,T) матрица со следом Т сопряжена матрице вида ^ г ^, где 0^s<|7| или з = Т = = 0. (Разумеется, (Т — s)s — rq = 1.)

Доказательство. Имеют место равенства

И0\ (аЬ\ (1 0\ (а —хЬЬ\

1Дсх* d + xb j’

Их\(аЬ\/1— х\_(а-\-хс♦\

,0 1Дс йД0с d-xc)*

Idled, \b\^d-T, Ided,Idled, \b\^d-T, Ided,Id ed-7.Id ed-7.Без потери общности можно считать, что Т = а + d 5® 0, d 5® Т и с > 0, b > 0. Тогда либо d = Т = 0, либо выполняется одно из следующих неравенств:

Idled, \b\^d-T, Ided,

Idled, \b\^d-T, Ided,

Id ed-7.

Id ed-7.

В противном случае — b > d и с > d — Т, поэтому —be >(d + 1) X X(d — T+ 1)= — be + 2d + T; а это означало бы, что d = T = O. Однако если имеет место одно из указанных неравенств, то Id <d или IЫ < cZ, и при помощи одного еиз вышеприведенных сопряжений мы можем уменьшить d. □

Проблема модулей очень усложняется в случае рода >1. Однако в различных случаях найден аналог верхней полуплоскости, а именно, пространство канонических систем образующих. Сначала Фрике и Кляйн [Fricke — Klein 1897, 1912] указали систему модулей, представляющих собой следы образующих и некоторых других преобразований. Эти модули вновь рассматривались Кином [Keen 1966, 1971] и Цишангом, см. вторую часть этой книги, см. также [Kroll 1974], [Vollmer — Bekemeier 1978]. Другой подход ведет свое начало от работ Тайхмюллера [Teichmuller 1940, 1943], в которых используются квазиконформные отобра-

жения. В дальнейших работах Альфорса [Ahlfors 1953, 1960] и Берса [Bers 1958, 1960, 1973] теория была завершена и расширена; она выросла в важнейший раздел комплексного анализа. Хорошая библиография имеется в книге Кра [Кга 1972].

В следующем параграфе мы опишем схему теории Тайхмюл- лера, следуя Альфорсу [Ahlfors 1953], а позже дадим ее геометрическое обоснование. Оно тесно связано с теорией канонического разреза на поверхности, рассмотренной нами раньше. По поводу обобщения этого на произвольные фуксовы группы с компактной фундаментальной областью см. Колдевай [Coldewey 1971].

Упражнение 7.24.

Теория Тайхмюллера и следствия из нее

Обсудим теперь подобное решение проблемы модулей в случае большего рода.

После задания ориентации плоскости каждая риманова поверхность также получает естественную ориентацию, так как голоморфные отображения сохраняют ориентацию. Таким образом, канонические системы кривых или разрезы можно разделить на два класса так, чтобы элементы одного и того же класса можно было перевести друг в друга при помощи сохраняющих ориентацию преобразований. Назовем один из них «положительным» и будем в дальнейшем рассматривать разрезы только из этого класса.

Определение. Пара (R, 2), состоящая из римановой поверхности 7? и изотопического класса 2 некоторого (положительного) канонического разреза, называется отмеченной римановой поверхностью.

В силу теорем Нильсена и Бэра, 2 можно рассматривать также как множество сопряженных друг другу канонических систем образующих, и мы будем свободно этим пользоваться. Сами эти теоремы, однако, нам здесь не понадобятся.

Определение. Две отмеченные римановы поверхности (R, 2) и (R', 2') называются голоморфно эквивалентными, если найдется голоморфное отображение ср: R -* R' с <р2 = 2', где ф2 определяется очевидным образом. Гомеоморфизм ср: R -►

R' с ср2 = 2' будет просто обозначаться через ср: (7?, 2)-»- ^(7?', 2'). Множество отмеченных римановых поверхностей, голоморфно эквивалентных поверхности (7?, 2), будет обозначаться через [7?, 2], а пространство этих классов будет называться пространством Тайхмюллера. В дальнейшем мы снабдим его топологией, в которой оно гомеоморфно пространству R68-6, если g — род поверхности 7?.

Определение. Множество Т гомеоморфизмов между римановыми поверхностями рода g называется базисом теории Тайхмюллера рода g, если выполнены следующие условия (a)-(c).

Для каждых двух отмеченных римановых поверхностей (7?, S) и (7?', S') рода g в Т существует в точности одно отображение ф: (7?, S)^- (Д', S').

Если существует голоморфное отображение ф: (R, S)-*- -► (R', S'), то это — отображение из Т.

Если ф: (R, S)-»-(7?', S') содержится в Т, а отображения фн (7?, S)->(7?, 2) и ф2: (7?', S')—► (7?', S') конформны и либо оба сохраняют ориентацию (и, таким образом, голоморфны), либо оба обращают ориентацию, то ф2 ° ф ° фч содержится в Т.

Гомеоморфизмы, входящие в Т, будут называться Т-отобра- жениями.

При выполнении условий (Ь) и (с) условие (а) распадается на утверждения о существовании и единственности. Если S рассматривать как множество изотопических канонических систем петель, то теорема существования является наиболее простой частью при изложении, принятом в литературе; если рассматривать S как класс сопряженности канонических систем образующих, то она следует уже из теоремы Нильсена. Основная нагрузка по обоснованию теории Тайхмюллера в литературе падает на теорему единственности. В нашем решении, близком к подходу Фрике, оба утверждения будут рассматриваться единообразно.

Кроме того, в совокупности условия 7.5.4 (а), (Ь) утверждают, что изотопический класс содержит не более одного голоморфного отображения. Это верно для рода g 5= 2. Мы приведем два доказательства этого факта, одно — на основе теории Тайхмюллера, второе — с применением формулы неподвижных точек.

Сделаем теперь

П ре дп о л о ж е ни е: мы можем найти базис теории Тайхмюллера Эля любого рода g^2, и покажем, что можно также найти базис теории Тайхмюллера для разрывных групп с компактной фундаментальной областью. Множества Т для различных g могут не иметь друг с другом ничего общего. Наше предположение соответствует решению проблемы А в статье Альфорса [Ahlfors 1953], а наше рассуждение следует этапам решения его проблемы С.

Универсальное накрывающее поверхности 7? есть неевклидова плоскость Н, и фундаментальная группа F действует в Н в качестве группы скольжений. Таким образом, пара (Н, F) ставится в соответствие поверхности 7?, причем однозначно с точностью до голоморфной эквивалентности: пара (Н, F) эквивалентна паре (Н, F'), если найдется голоморфное отображение ^: [H->H с £F£-‘ =F'. Классу S из отмеченной римановой поверхности (7?, S) соответствует, в силу теоремы Бэра, класс сопряженности канонической системы образующих групп F, который мы также будем обозначать через S, и, следовательно, паре (7?, S) соответствует тройка (И, F, S). Две тройки^, F, S) и (Н, F', S') голоморфно эквивалентны, если существует такое голоморфное отображение £: Н—*-0Ч, что £F£-1 = F' и

£2£-1 = 2 . Пусть [Н, F. 2] обозначает класс эквивалентности. Очевидно, что [/?, 2] можно отождествить с [И, F, 2]. Если мы будем рассматривать R как H/F, то. наоборот, получим из троек отмеченные римановы поверхности.

Под гомеоморфизмом тройки (Н, F, 2) на (И, F', 2') мы понимаем гомеоморфизм Ф: Н^-Н с

(7 5.7) /Ф = Ф/Т,

где F -> F' есть изоморфизм с «2 = 2'. Здесь через /а обозначен образ элемента / при а.. Различные изоморфизмы а с а2 = 2' отличаются только на внутренние автоморфизмы группы F', так как образ при а фиксированной системы образующих 2 может быть изменен только при помощи сопряжения. Если мы заменим а на а* с /а* = /о-1/“/о, ГДС /oeF' — фиксированный элемент, то нам придется заменить Ф на Ф* = Ф/о, т. е. изменить Ф при помощи нетривиального сдвига. Наоборот, если мы заменим Ф при помощи сдвига на Ф* = Ф/о, то мы должны будем также заменить а на а* с /“* = /о-1/а/о-

Если гомеоморфизм Ф удовлетворяет равенствам (7.5.7), то он индуцирует гомеоморфизм ср: H/F->IH/F'. В результате ср не изменится, если заменить Ф на Ф/о, а а — на а*. И наоборот, каждый гомеоморфизм ср: (R, ^-^(R', 2') можно поднять до гомеоморфизма Ф: (И, F, 2) -> (Н, F', 2'); при этом Ф определяется однозначно с точностью до сдвигов. Гомеоморфизм Ф называется Т-отображеиием, если индуцированный на римановой поверхности гомеоморфизм ср есть Т-отображеппе. Наше обсуждение показывает, что имеет место

Теорема. Пусть выполнено предположение 7.5.5.

Для любых двух троек (Н, F, 2) и (Н, F', 2') существует ровно одно такое Т-отображение Ф: Н->!Н, что выполнено (7.5.7), т. е.:

[Ф = ФГ, где a: F F' — изоморфизм с а2= 2'.

Если существует голоморфное отображение Ф, удовлетворяющее уравнениям (7.5.7), го оно является ^-отображением.

{с) Если ЧП и Ч72— произвольные конформные, либо оба го- лиморфные, либо оба антиголоморфные отображения Н->-1Н, /о Ч^ФЧ7» так же, как и Ф, есть Т-отображение. □

3 а м е ч а и и е. Чтобы придать точный смысл утверждению (с), мы должны считать ЧП отображением тройки (М, Ч^ЕЧ^, wr1 2ЧП) в (Н, F, 2), а Чг2 — отображением тройки (Н, F, 2) в (К ТзГЧ7?1, Ч^Ч7"1).

В теореме 7.5.8 системы образующих 2 и 2'. собственно, больше не требуются, нужен лишь изоморфизм а. Теперь мы можем сформулировать теорему непосредственно для всех разрывных групп с компактной фундаментальной областью.

Теорема. Если выполнено предположение 7.5.5, то существует теория Тайхмюллера для всех имеющих компактную фундаментальную область разрывных групп движений неевклидовой плоскости. Для каждого алгебраического типа таких групп существует множество Т гомеоморфизмов H->H со следующими свойствами:

Если a: G^G'— изоморфизм, то существует ровно одно отображение ФеТ с gФ = Фgа, g^G.

Если голоморфное отображение удовлетворяет этим уравнениям, то оно содержится в Т.

Если Vi и Va — конформные и либо оба голоморфные, либо оба антиголоморфные отображения Н->1Н, то, так же, как и Ф, V^Va есть Т-отображение.

Доказательство. Пусть G, G' — группы требуемого типа и a: G G — изоморфизм. По теореме 4.10.9, G содержит нормальную подгруппу F конечного индекса, изоморфную фундаментальной группе ориентируемой поверхности рода g^2. Пусть F' = aF. Рассмотрим теперь Т-отображение для рода g. По теореме 7.5.8, найдется такой Т-гомеоморфизм Ф: И->1Н, что

/Ф = Ф/“ для / е F.

Этот гомеоморфизм Ф есть единственное Т-отображение, удовлетворяющее этим уравнениям, и его следует взять в качестве Т- отображения для a: G -* G'. Для geG положим Ф* = g-1Фga. Если, далее, /eF, то

/ф* = /^"‘ф^" = g^gig^g0, = 5-1ф kgU~xYg “ =

= g-^gT = ф#Л так как g/g-1 е F. Таким образом, Ф* также удовлетворяет функциональным уравнениям. Поскольку g-1 и g“ конформные и либо оба голоморфны, либо оба антиголоморфны, Ф* также является Т-отображенпем для рода g и потому совпадает с Ф:

gФ = фg“, g е G.

Следовательно, Ф тоже удовлетворяет уравнениям; единственность следует уже из действия в подгруппе.

Следствие. Алгебраическая изоморфность плоских разрывных групп с компактной фундаментальной областью влечет их геометрическую изоморфность. □

Другие доказательства этого следствия имеются в работах [Macbeath 1967], [Tukia 1972], [Keller 1973].

С помощью приема, использованного в доказательстве теоремы 7.5.9, легко можно доказать пункт (а) теоремы 5.16.2. Переформулируем и немного обобщим это утверждение:

Теорема. Пусть G — конечно порожденная плоская разрывная группа с компактной фундаментальной областью, и пусть F — подгруппа конечного индекса, имеющая гиперболический тип, т. е. такая подгруппа, что централизатор каждого

нетривиального элемента группы F есть циклическая группа. Тогда геометрический автоморфизм а группы F индуцируется сохраняющим G-слои гомеоморфизмом Ф (гиперболической) плоскости ОН в том и только в том случае, если а индуцируется автоморфизмом а группы G.

Упражнение 7.25. □

Базис теории Тайхмюллера

Универсальное накрывающее замкнутой римановой поверхности рода g^2 конформно эквивалентно верхней полуплоскости. Неевклидова геометрия определяет на поверхности риманову метрику, в которой геодезические соответствуют отрезкам неевклидовых прямых. Следовательно:

Лемма. В гомотопическом классе петель (с закрепленной начальной точкой') имеется ровно одна геодезическая. □

Если имеется разрез поверхности, то он определяет на плоскости многоугольники (вообще говоря, криволинейные), которые могут служить в качестве фундаментальной области группы скольжений. Перенесем длины и величины углов из неевклидовой геометрии:

Определение. d(ro) обозначает длину кривой го. Если петли разреза представляют собой геодезические (однако в начале петли может быть излом), то мы говорим о геодезическом разрезе Если сумма двух подряд идущих \глов в звезде вокруг отмененной точки не превосходит л, то разрез называется дважды выпуклым.

Двойная выпуклость геодезического разреза означает, что в универсальном накрывающем объединение двух примыкающих многоугольников сети все еще выпукло. Наша цель теперь — доказательство следующей теоремы 7.6.3, которому, однако, предшествует несколько лемм.

Теорема. На всякой римановой поверхности R существует дважды выпуклый геодезический разрез.

Лемма. На R существует замкнутая, не гомологичная нулю геодезическая тр, имеющая наименьшую длину среди всех не гомологичных нулю замкнутых кривых.

Доказательство. Пусть F — фундаментальная группа поверхности F, рассматриваемая как группа скольжения универсального накрывающего Н Для Q е Н реализуем

inf{d(^, ^x)|xeF, x^lL

В силу разрывности, минимальное расстояние для каждой точки Q реализуется лишь при конечном числе преобразований х, и, таким образом, мы получаем непрерывную функцию на Н, которая, кроме того, периодична относительно действия группы F. Так как фундаментальная область компактна, то эта функция достигает минимума. Поскольку в F отсутствуют вращения, этот

20 х Цишанг и др.

.минимум положителен, и, в силу предположения 7.2.15 (Ь), не может содержать параболические преобразования.

Рассмотрим теперь

inf{d(C, ^)|zeF, x£[F, F]}.

Снова получается непрерывная функция на И, периодическая •относительно F и достигающая минимума, скажем, в точке Р. В силу разрывности группы F. найдется такое гиперболическое преобразование xt G F, xt^ [F, F], что

d(P, Px^^a^Q, Qx)

при любом zeF, x ^ [F, F], Q e H. Так как точки оси сдвига преобразования xt переносятся им на кратчайшее расстояние, точки Рх" лежат на некоторой прямой, а именно, на оси сдвига преобразования xt. Образ последней на R есть замкнутая геодезическая гр, которая проста в силу условий экстремальности и имеет наименьшую длину среди всех не гомологичных нулю кривых. □

Замечание. Разумеется, Р и Xj не определяются однозначно условием минимальности; по крайней мере все сопряженные с х, элементы допустимы, и Р можно выбирать на их осях сдвига произвольно. Однако эти оси сдвига дают одну и ту же геодезическую в R.

Лемма. Среди, кривых, индекс пересечения которых с гр равен ±1, имеется кривая минимальной длины, и она представляет собой простую замкнутую геодезическую, пересекающуюся с гр ровно один раз.

Доказательство. В каждом свободном гомотопическом классе имеется замкнутая геодезическая, а именно, образ оси сдвига; она единственна и имеет минимальную длину сред всех кривых этого гомотопического класса. Среди всех замкнутых геодезических, индекс пересечения которых с гр равен ±1, выберем кратчайшую. Обозначим ее через х и покажем, что она пересекает гр ровно один раз и является простой. Если бы она Пересе кала гр несколько раз, то мы получили бы ситуацию, показанную па рисунке 7.6.1, где верхняя дуга ^ кривой х больше не пересекает гр. Тогда дуга р была бы длиннее, чем а, иначе мы могли укоротить тр, заменив а на р и получив кривую, имеющую с какой-то другой кривой индекс пересечения ±1 и, в частности, не гомологичную нулю. Но тогда, если заменить Р на а в х, получилась бы кривая, более короткая, чем х, индекс пересечения которой с гр равнялся бы ±1. Таким образом, кривая х должна пересекать гр только один раз. Если бы она не была простой, то -опа содержала бы более короткую часть, пересекающую тр только один раз. □

Пусть теперь Р — точка пересечения петель тр и х. Покажем по индукции, что можно найти 2g кривых тр, ..., тр4, для которых выполняются следующие утверждения (Е<), l^i^2g.

(Е,) зр, ..., 1], — простые замкнутые геодезические на F с оо- щим началом Р, не пересекающиеся друг с другом нигде, кроме

Р. Кривые т)1, ..., гр гомологически независимы, и для зр, ..., ip_t справедливо утверждение (Е,-,). Если £— замкнутая кривая с началом в Р, гомологически не зависящая от тр, ..., зр_,. то d^,')- Если тр имеет ненулевой индекс пересечения—

с T]i, то % встречается среди

Пг, • Пь/

Лемма. (Е,) выпол- /а

няются при 1=1, . . ., 2g. х“'

Доказательство. (ЕДРпс 7 6 1

выполняется в силу леммы 7.6.4.

Допустим, что выполняется (Е.) для i < 2g, и докажем истин

ность утверждения (Е,+1). В любом случае существует петля, гомологически не зависящая от тр, ..., тр. Пусть го — кратчайшая такая петля с началом в Р. Если ни у одной из петель тр, ... тр индекс пересечения с тр не равен ±1, но, однако, d(го) = d(х), то положим го = х. Покажем, что в качестве тр+1 можно взять ы. Очевидно, что со есть геодезическая и удовлетворяет требованию минимальности. Если бы петля со не была простои и замкнутой, то мы получили бы противоречие с ее минимальностью следующим образом. Тогда го = Ы1Со2со3, где го2 — замкнутая петля и й(го2)>0. Так как й(со1со3)< й(со), то петля "^-х содщ должна быть гомологична некоторой /7-Д линейной комбинации классов зр, .. .. тр.

Если, например, d(w,) «S d(ro3), то петля \х шг,/\ со1м2соД1 имеет не большую длину, чем со. ХГ"—*) и не гомологична никакой сумме из тр, . . .

. . ., тр. Поэтому петля ro^prof тоже долж- риг у g2 на быть геодезической, и го3 = wf1. Однако такого не может быть: пекся со должна была бы идти к своей середине, а затем возвращаться по себе же

Мы получаем, что со второй раз пересекается с ц„ вне Р. в Q. Таким образом, со и тр делятся точками Р и Q на пары дуг со,, <о_ и тр,. Цк соответственно, так что тр=тр,тр2 и со = со,со2. и Q есть конец путей со, и тр,, рпс. 7.6.2. Поэтому следующие четыре пути начинаются и оканчиваются в Р: ipico,. тр ^т)-1, т^ор, тр2 к>1 . Все они — не геодезические, поскольку в Q должно происходить трансверсальное пересечение. Следовательно, соот

ветствующие геодезические пути имеют строго меньшую длину. Так как d^tiP)^ dlj\^, то должно выполняться неравенство d(a>j) 5= ^(Цм), скажем, d(го,) 5s й(тр,). Следовательно, й^мСОз) ^ =^d(ro), а заменив зр^р на геодезическую, мы получим строгое неравенство. Поэтому петля зр,го2 гомологична линейной комбинации классов г-!,ц„ и мы можем заменить ю2 па тр/, не нарушая условий, наложенных на го. В силу минимальности го

имеем (/(Цы) >d(<o2). Но тогда петля <о2 ^м короче чем т]й, и, таким образом, в силу утверждения (Е*) она должна быть гомологична линейной комбинации классов щ, ..., Цд-l Гомологические вычисления показывают, что (otr)M и о отличаются только на некоторую линейную комбинацию классов гр, ..., т]*-!, и, следовательно, Ю1Т)А2, как и со, гомологически не зависит от Цн ..., тр-i. Поэтому должно выполняться неравенство й(цд2)> >d(<o2), и гр можно заменить более короткой петлей цА1Со2 и утверждение (ЁА) не может быть верным. Поэтому если в качестве ц,+1 мы возьмем со, то утверждение (Е<+1) будет верно. □

Доказательство теоремы" 7.6.3. При помощи леммы 7.6.8 мы в результате найдем геодезический разрез, содержащий две замкнутые геодезические — гр и %. Поэтому сумма двух смежных углов не может превосходить л и разрез будет дважды выпуклым. □

Лемма. Пусть Z — дважды выпуклый геодезический разрез поверхности R и F — фундаментальная область группы F в Н, граница которой отображается на Z. Допустим, что /"П^Е), ieF, есть отрезок PQ.

Тогда найдется такая точка A^PQ, что £—1 (Л), A, t(A) лежат на одной прямой, а именно на оси преобразования t, см- рис. 7.6.3.

Если ti, tt — два образующих, определяемые областью F и соответствующие петлям в R с индексом пересечения ±1, то оси преобразований t^ и t2 пересекаются внутри F.

Доказательство. По поводу обозначений см. рис. 7.6.3. Из двойной выпуклости разреза Z следует, что углы а и Р не

превосходят л. Возьмем теперь точку X^PQ и рассмотрим угол между <~‘(Х)Х и Xf(X). Он непрерывно меняется от аСл до 2л — р > л. Поэтому найдется точка А с требуемым свойством. Если для дробно-линейного преобразования £ точки А, 1~*(А) и t (Л )#=£"* (Л) лежат на одной прямой, то преобразование является гиперболическим и прямая совпадает с осью преобразова-

ния V. по поводу доказательства см. 7.2.17. Пункт (Ь), в свою очередь, непосредственно следует из (а). □

Лемма. Пусть Z— дважды выпуклый геодезический разрез. Тогда каждая точка поверхности может служить отмеченной точкой геодезического разреза, двойственного разрезу Z, и разреза, изотопного разрезу Z.

Доказательство. Рассмотрим еще раз универсальное накрывающее и разделим фундаментальную область F, определяемою разрезом Z, на части по следующему правилу: пусть F содержит точку Q, лежащую над предполагаемой отмеченной точкой, и пусть Fx — сосед области F, имеющий с ней общее ребро. Так как многоугольник F дважды выпуклый, F и Fx составляют вместе выпуклый многоугольник, внутри которого Q и Qx можно соединить прямолинейным отрезком, один раз пересекающим общее ребро. Так как многоугольник F — также выпуклый, то п^ти к различным граничным ребрам многоугольника F пересекаются лишь в Q. Если выполнить это построение для всех клеток, то мы получим двойственную сеть из геодезических ребер, вершины которой лежат над предписанной точкой и на которой по-прежнему действует группа. (См. рис. 7.6.3.) '

Имеются два образующих t,, t2 разреза Z, индекс пересечения которых равен ±1, т. е. F и Ft, имеют общее ребро т,, и пары т1т т^1 и т2, т-1 пересекаются на границе области F. Возьмем точку Q пересечения осей сдвига преобразований i, и t2 в качестве отмеченной точки для построения двойственного разреза Z*. В силу леммы 7.6.9 он содержит две пересекающиеся прямые и потому является дважды выпуклым. Начав с произвольной точки, мы можем построить двойственный к Z* разрез при помощи геодезических сетей. Все такие разрезы изотопны друг другу, и Z находится среди них. □

Лемма. Пусть Z— дважды выпуклый геодезический разрез, и пусть Z' получается из Z при помощи бифуркации. Тогда можно найти точку Q и разрезы Z, и Zx с отмеченной точкой Q, которые изотопны разрезам Z и Z' соответственно, оба являются геодезическими и дважды выпуклыми.

Доказательство. Выберем в Z пару петель, не участие ющих в бифуркации, с индексом пересечения ±1 и такую точку Q, что выходящие из нее геодезические, изотопные этим двум петлям, геодезически замкнуты. Лемма 7.6.10 позволяет выбрать геодезический разрез Z, с началом в Q и изотопный разрезу Z. Затем мы можем произвести бифуркацию, добавив геодезическую, и получить разрез Z,, изотопный разрезу Z'. Zx также является геодезическим и притом, поскольку он содержит две замкнутые геодезические, дважды выпуклым разрезом. □

Теорема. Пусть R— риманова поверхность, Р — произвольная точка на R и S — класс сопряженности канонической системы образующих фундаментальной группы поверхности R с отмеченной точкой Р. Тогда найдется такая каноническая си-

стема Z геодезических на R, что получающаяся из Z система образующих принадлежит классу X.

Доказательство. В силу теоремы 7.6.3 на R имеется по крайней мере одна дважды выпуклая геодезическая система петель. Из доказательства теоремы 5.6.3 следует, что при помощи цепочки бифуркаций и перенумераций от соответствующей системы образующих можно перейти к заданной. По лемме 7.6.11 каждую бифуркацию можно производить таким образом, чтобы получалась снова дважды выпуклая система геодезических. При этом нам обязательно придется менять отмеченную точку. В силу леммы 7.6.10 в конце мы можем сделать Р отмеченной точкой. Из-за того, что отмеченная точка передвигалась, наше утверждение верно лишь с точностью до внутреннего автоморфизма. □

Без применения теоремы Нильсена можно было бы обойтись, если бы в качестве Z был взят класс канонических разрезов, и если было бы показано, что от одного канонического разреза к другому можно перейти при помощи цепочки бифуркаций.

Пусть R— риманова поверхность, и пусть Ф: Ш ->- -* R— универсальное накрытие. Каждый элемент zeF, будучи гиперболическим преобразованием, обладает осью переноса, образ которой есть замкнутая геодезическая, возможно, с двойными точками. Оси переноса элементов, сопряженных с х, являются образами оси переноса элемента х под действием группы F и, следовательно, имеют на поверхности тот же образ. Обратно, эти петли или подходящая степень однозначно реализуют класс сопряженности элемента х. Если элемент х фундаментальной группы содержит простую замкнутую кривую, и если на промежутке между эквивалентными точками на оси преобразования х нет точек, эквивалентных концам, то образ оси есть простая замкнутая геодезическая. Для неразбивающих простых замкнутых кривых это следует из теоремы 7.6 12, поскольку их можно включить в разрезы; разбивающие, но не стягивамые кривые можно рассматривать как «диагонали» разреза, и все также следует из той же теоремы.

Пусть теперь группа F задана каноническими образующими Л, .., и, с П -% mJ = 1. Так как индекс пересечения петель h и их равняется 1, оси сдвига преобразований i, и их пересекаются в некоторой точке: поэтому и их образы пересекаются в некоторой точке поверхности R, пусть это точка Р. Если заменить систему образующих на сопряженную, оси сдвига сдвинутся под действием преобразования из группы; поэтому точка пересечения всегда лежит над Р. Следовательно, эта точка однозначно определена классом сопряженности 2 системы образующих. Возьмем теперь Р в качестве отмеченной точки и реализуем образующие геодезической системой петель. В результате tv и и, окажутся замкнутыми геодезическими, а остальные образующие —

заведомо нет, так как они только касаются h и ut в Р. Во вся- $ с м случае, эта система петель дважды выпукла. После разрезания получится выпуклый многоугольник в неевклидовой плоскости. естественным образом соответствующий системе образующих в качестве фундаментальной области в универсальном накрывающем. Обратно, система петель определяет систему образующих с точностью до сопряжения.

Если X' есть класс сопряженности канонической системы образующих для поверхности R', и если имеется голоморфное отображение R^R', переводящее 2 в 2', то фундаментальные многоугольники, ассоциированные с X, X', конгруэнтны с учетом обозначений сторон. Это так, поскольку выделенная выше система петель переносится при отображении и ею реализуется такая же система, как та, которая сейчас реализует класс сопряженности X'. Все утлы и неевклидовы длины сохраняются.

Определение. Чтобы сформулировать результат приведенных выше рассмотрений, определим канонический многоугольник как ^-угольник с суммой внутренних углов 2л (т. е. с площадью (4g —2) л —2л), стороны которого обозначены символами т15 рп т?1, Ц?1’ . .., Tg, р§, Tg1, rig1 таким образом, что граничный путь есть Ц тщ^^Г^ а отрезки, обозначенные через т. и т^1, так же как и р, и рГ1, имеют равную

Будем говорить, что два канонических многоугольника конгруэнтны, если один из них допускает такое конформное отображение на второй, при котором одинаково обозначенные отрезки отображаются друг на друга. При этих определениях наш результат мо/ьет быть сформулирован как

Теорема. Каждой отмеченной римановой поверхности. однозначно соответствует дважды выпуклая каноническая геодезическая система петель и, следовательно, дважды выпуклый неевклидов канонический многоугольник. □

Канонические системы петель, соответствующие голоморфно эквивалентным отмеченным поверхностям, голоморфно эквивалентны, а пх канонические многоугольники конгруэнтны. Очевидно, конгруэнтные канонические многоугольники задают голоморфно эквивалентные отмеченные римановы поверхности.

Следствие. Изотопное тождественному голоморфное отображение замкнутой римановой поверхности R рода >1 на себя является тождественным.

Доказательство. Действительно, рассмотрим па R класс X. Отображение сохраняет X, а следовательно, и образы осей сдвпга преобразований К и и^, так же как и точку Р их пересечения. Кроме того, отображение является конформным, и потому оно тождественно на образах осей смещения, а значит, и везде. □

См. такяде Керекьярто [Kerekjarto 1934].

Конструкция. Построим теперь некоторое отображение между каноническими многоугольниками одного и того же рода, что даст нам Т-отображения для римановых поверхностей.

Выберем сначала внутри канонического многоугольника точку Q инвариантно относительно конгруэнций, например, следующим образом: соединим отрезками середины сторон, обозначенных через т, и ti , Pi и p,j соответственно, и пусть Q — точка пересечения этих отрезков. Если переместить канонический многоугольник при помощи конформного отображения, то середины перейдут в середины так же обозначенных отрезков, соединяющие отрезки перейдут в соединяющие отрезки, и, следовательно, их пересечение перейдет в пересечение.

PiП 1р, 1PiП 1р, 1Начальная точкаотрезкаНачальная точкаотрезкаЗначение параметраЗначение параметраВведем теперь полярные координаты относительно Q, например, следующим образом: параметризуем границу, так чтобы значения параметра в начальных точках отрезков соответствовали бы следующей таблице:

PiП 1р, 1

PiП 1р, 1

Начальная точкаотрезка

Начальная точкаотрезка

Значение параметра

Значение параметра

4 (г — 1)4 (i - 1) + 14 (t — 1) + 24 (г-1)4.3

4g4g4g4g

и чтобы стороны параметризовались линейно (в смысле неевклидовой длины), т. е., например, чтобы середине стороны т4 отвечало значение параметра -^—^ "^ ^ . Аналогично параметризуем линейно отрезки, идущие от Q к границе многоугольника, так чтобы точка Q получила значение 0, а граничные точки — значение 1. Далее, если точка X лежит на отрезке, соединяющем Q с граничной точкой, соответствующей значению параметра t, и если X имеет на своем отрезке значение s, то отобразим X в точку s • е2я<‘.

Для всякого канонического многоугольника Р это дает нам некоторый фиксированный гомеоморфизм Фр: Р-> {z 11 z | ^ 1). Возьмем Фрг1Фр1 в качестве Т-отображения многоугольника Pt в Р2. Если склеить соответствующие стороны многоугольников Pi и Р2, то образы отождествленных точек также будут отождествлены, и мы получим гомеоморфизм одной из соответствующих римановых поверхностей на другую. Пусть Т — множество определенных таким образом отображений римановых поверхностей друг в друга. Тогда, так как голоморфные отображения единичного круга в себя совпадают с движениями неевклидовой плоскости, при голоморфных отображениях не только переходят друг в друга отмеченные точки, но и отрезки переходят в отрезки. Итак, имеет место

Теорема. Т есть базис теории Тайхмюллера. □

Классическое основание

Оно базируется на новом понятии — понятии квазиконформного отображения. Говоря нестрого, диффеоморфизм переводит маленькую окружность с центром в точке в «маленький эллипс» с центром в образе этой точки. Отображение конформно, если этот эллипс по-прежнему является окружностью. Если отношение большой и малой осей эллипса для каждой точки остается ограниченным (скажем, ограниченным числом К), то отображение называется ^-квазиконформным. Для более точной формулировки следует рассмотреть на касательном пространстве метрику, согласованную с комплексной структурой. Тогда диффеоморфизм определяет в каждой точке линейное отображение касательного пространства п, тем самым, число, характеризующее его отличие от подобия.

Чтобы распространить теорию па недифференцируемые отображения, разумнее воспользоваться следующим определением: будем понимать под четырехугольником Q область в комплексной плоскости, граница которой есть простая замкнутая кривая, разделенная на четыре дуги <Zi, ^i, a2, ^2. Тогда имеется голоморфный внутри Q гомеоморфизм па прямоугольник со сторонами длины а и Ь, при котором дуги а, отображаются па стороны длины а, дуги ^, — на стороны длины Ъ. Два прямоугольника можно отобразить друг на друга при помощи гомеоморфизма, голоморфного па внутренности и переводящего стороны в так же обозначенные стороны, в том и только в том случае, если отношения длин сторон равны. Таким образом, отношение alb есть конформный инвариант четырехугольника Q: его модуль. Гомеоморфизм называется К-квазиконформным, если произвольный четырехугольник с модулем т имеет образ с модулем т' =5 Кт. Если переставить а и Ь, то получатся модули Цт и 1/т', поэтому число К должно быть >1. Гомеоморфизм является конформным в точности тогда, когда он 1-квазиконформен. Из теорем о квазиконформных отображениях упомянем лишь одну: отображение ^-квазиконформно, если оно ^-квазиконформно на всех «маленьких» четырехугольниках [Ahlfors 1953]. Следовательно, понятие квазиконформности можно распространить на отображения между римановыми поверхностями.

Под относительным растяжением четырехугольника при отображении будем понимать отношение модулей образа и прообраза. Сопоставим отображению его максимальное растяжение. Важнейшим для нас результатом является следующая теорема Тайх- мюллера:

Теорема. Пусть R и R'— две замкнутые римановы поверхности рода g^2, и пусть гр: R^- R’ — гомеоморфизм. Тогда существует в точности один гомеоморфизм, изотопный гомеоморфизму гр, обладающий наименьшим максимальным растяжением среди всех отображений, изотопных ф.

Доказательства этой трудной теоремы можно найти в статьях Тайхмюллер [Teichmuller 1940, 1943], Альфорс [Ahlfors 1953], Берс [Bers 1960]. Полученные отображения называются экстремальными квазиконформными. □

Из определения квазиконформности непосредственно следует, что композиция К,- и Аг-квазиконформных отображений KXKV квазиконформна, и, таким образом, конформные отображения не меняют максимального растяжения. Поэтому из теоремы 7.7.1 следует:

Теорема. Множество Т экстремальных квазиконформных отображений является базисом теории Тайхмюллера. □

Этот базис имеет преимущество перед указанным в § 7.6. Он определяется при помощи локального свойства, не такого произвольного, как выделение многоугольника, выбор центра Q и введение зависящих от этого полярных координат. В частности, Т- отображения поверхностей различных родов принадлежат одному типу.

Естественно возникает вопрос о смысле наших произвольных выборов. Следует, однако, подчеркнуть, что при нашем определении композиция двух Т-отображений, если она определена, также является Т-отображением.

Пространства Тайхмюллера

По теореме 7.6.16 каждой отмеченной римановой поверхности рода g однозначно, с точностью до конгруэнтности, соответствует 4^-угольник в неевклидовой плоскости. Это позволяет задать на пространстве таких отмеченных поверхностей топологию, например, следующим образом:

Конструкция. Зафиксируем начальную точку и направление первого отрезка Ti. Тогда многоугольнику однозначно соответствует точка в 1Н48—\ и все такие многоугольники образуют некоторое замкнутое подмножество. Перенесем индуцированную топологию на пространство отмеченных римановых поверхностей. Эта топология может быть получена и таким образом: если ввести в качестве параметров угол и длины дуг, то для g-ro коммутатора получится 5, а для остальных (g — 2) коммутаторов — по 6 параметров. Пятиугольник для первого коммутатора определяется, как это показано на рис. 7.8.1. Длина отрезка % определяется остальными g — 1 коммутаторами. Кроме того, сумма углов пятиугольника определена полной его площадью. Видно, что если а и длины сторон т, и ц, заданы, то однозначно определены пунктирные линии, а, следовательно, и сам пятиугольник. В силу условия, что угол при Q равен в точности л —а (рис. 7.8.2), и того, что сумма углов фиксирована, становятся лишними еще два параметра, так что остается всего 6(g — 1) свободных параметров. Если быть более точным, получится R68-6, см. теорему 7.8.2.

Естественное определение топологии получается, если в качестве параметров взять длины осей смещения, см. [Bers 1960] и главу 9. Пространство можно наделить также и метрикой, и в действительности расстояние между двумя отмеченными римановыми поверхностями равно логарифму максимального растяжения экстремального квазиконформного отображения между

Рис. 7.8.1Рис. 7.8.2

ними. В результате пространство Тайхмюллера получает более тонкую структуру [Ahlfors 1960].

Теорема. Пространство отмеченных римановых поверхностей рода g>0 с описанной выше топологией гомеоморф- но пространству R68-6 > 0.

Мы докажем эту теорему в п. 7.10.11 ).

Очевидно, что достаточно сделать это для пространства канонических многоугольников. В следующем доказательстве канонический многоугольник будет рассечен таким образом, что появятся возможность обозреть возникающие куски и средство шаг за шагом восстановить канонический многоугольник по его рассечению. Процесс восстановления естественным образом приводит к расслоению пространства канонических многоугольников, из чего легко будет следовать гомеоморфность с R68-6.

Доказательство по своей природе таково, что в нем существенно используются методы неевклидовой геометрии (в частности, модель Пуанкаре гиперболической геометрии), в том числе несколько специальных формул (расстояние между двумя точками как функция координат, площадь треугольника как функция длин его сторон), которые здесь не доказываются.

В связи с этим мы, кроме уже цитированной книги Зигеля {Siegel 1964'], особенно рекомендуем читателю книгу Либмана {Liebmann 1912].

Несколько лемм из гиперболической геометрии

Лемм а. Площадь гиперболического треугольника со стороной а —ВС можно выразить как функцию от |а|, s = = (Ы + I bl + 1с| )/2 и А = 1Ы — |с|. Площадь возрастает с уве

личением s, если фиксировать А, и с уменьшением А, если фиксировать s. (Здесь |а|— длина отрезка а.)

Доказательство. По «формуле Герона» площадь F треугольника дается формулой

F _ Vsh s sh (S — I а |) sh (s — I Ь I) sh (s — I с I)

2 ch п ch л ch п

(см. [Liebmann 1912, S. 80]). Далее,

s — 1Ы =(lai + icl - 1Ы)/2 =(|а| — Д)/2,

s- icl = (|а| + |6| - |с|)/2 =(|а| + А)/2, откуда

sh (s - | b [) sh (s — | с I) = sh A (| a | - A) sh A (| a | + A) =

= A (ch | a | — ch A);

точно так же:

sh s sh (s — | a I) = sh A (2s — | a | + | a |) sh A (2s — | a | — | a |) = = A (ch (2s — | a |) — ch | a |),

_-^(сЬ($-У) +ebA).

Это дает

gin F =1 V(ch (2s - | a I) - ch | a I) (ch | a | — ch A)

2chA' '("‘(‘-t)"1"011^

F • = 4 ch2 *A Sin2 A = (ch(2s-|«l)-ch|«|) (ch|a|-ch A)

2 H-'fHA"

Но так как 0 < -^ <-тр т<> ^ возрастает или убывает при фиксированной длине а тогда же, когда возрастает или убывает F соответственно.

L|sh A (Ch|a| —chA) +L|sh A (Ch|a| —chA) +6Fch (2s — | а |) — ch | a

L|sh A (Ch|a| —chA) +

L|sh A (Ch|a| —chA) +

M ch(s-l|lM ch(s-l|l)+ch4-

M ch(s-l|l

M ch(s-l|l

+ sh A ^ch ^s — Al^ + ch Ajj

=»- sgn ^Aj = — sgn А (так как 2s > | a | > | A |).

Это означает просто, что Г (а значит и F) монотонно возрастает, если |А| убывает.

" =г ь _ „ ch/ _Ы_

й- (cl,(.-Oi) + =i,|p1 г1

— ch (2s — | а |) sh ^s — Aj + sh (2s — | а |) ch А +

+ sh ^s — ch | a | j =

klJs-AH + ch L\ A

+ ch A sh (2s — I а I)] => A > 0r

и так как sgnA=SgnAi т0 площадь F треугольника растет с возрастанием s. □

Эта лемма будет применяться в случае, когда третья вершина А движется по перпендикуляру К к стороне а. Перпендикуляр ha определяется следующим образом. Пусть ga— прямая, содержащая а. Прямая Л„, пересекающая ga в точке D иод прямым углом, называется перпендикуляром кас основанием D.

Тогда имеет место

Лемма. Пусть а = ВС — прямолинейный отрезок, ha — перпендикуляр кас основанием D и А — точка на ha. Если отодвигать точку А от D по ha, то |6| = |СЛ| и |с| = |УЛ| будут строго монотонно возрастать, в то время как НЫ —1с|| будет монотонно уменьшаться. {Даже строго монотонно, если 1Ы Ас|.)

Доказательство. Чтобы доказать это, конформно отобразим внутренность единичного круга в себя таким образом, чтобы точки В, С отобразились на вещественную ось, a D — в точку (0, 0). Перпендикуляром, по которому перемещается третья точка, будет тогда мнимая ось.

Формула расстояния, см. [Siegel 1964', § 2] и 7.2.4,

d (Zi, z2) =d (Zi, z2) =

d (Zi, z2) =

d (Zi, z2) =

для конкретных значений

zx = х, z2 = ti; х, t e R,

дает нам

d (ж, ti) = In

/1 + Л2- /?+72’

Нас интересует здесь то, как меняется d^x, £,) в зависимости

■от t. Короткое вычисление дает

где |ж|<1, 0 < Z < 1.где |ж|<1, 0 < Z < 1.да (л, щ _ it1 + х2

где |ж|<1, 0 < Z < 1.

где |ж|<1, 0 < Z < 1.

9t~/(г2^)^^

Таким образом, d (х, ti) строго монотонно возрастает с возрастанием kl, а также, в силу соображений симметрии, с возрастанием kl. Но 94 ^ ^ зависит и от х, и имеет место равенство

AZ_^_il) = о Xt(l -х2)(1 -I2)дх dttf + <2)3/2 (! + ^^уЦ ’

эа (х, о)

означающее, что —^— есть строго монотонно возрастающая функция от kl при фиксированном t.

Отсюда, в частности, следует, что с ростом kl более короткая из двух сторон АС и АВ в треугольнике АВС с

Л =(0, Z), В = (х, 0), С(у, 0), kl 1у1

удлиняется быстрее, чем более длинная сторона. Следовательно, I А| = | |ЛС| — 1ЛВ11 = 116| — kl I есть строго монотонно возрастающая функция от t.

Если kl = |у|, то |А| = 0. □

Таким образом, лемма 7.9.2 доказана и, как видно из леммы 7.9.1, площадь треугольника АВС строго возрастает при удалении точки А вдоль hQ от прямой, проходящей через В и С. Однако все еще остается открытым вопрос о верхней границе для площади треугольника АВС при фиксированных точках В и С и точке А, движущейся вдоль фиксированного перпендикуляра.

Лемма. При фиксированном значении А верхняя граница Эля площади есть функция от А и kl, строго монотонно возрастающая вместе с kl и строго убывающая при возрастании |А|. Если А лежит на перпендикуляре ha с основанием D, то верхняя граница растет строго монотонно по мере приближения точки D к середине отрезка а.

Доказательство. Сначала зафиксируем А. Тогда

• , F _ ch | а | — ch Д ch (2s — | а |) — ch | а | 2” 4,Ь=У '^(.-^.„h^1

lim ch (2s — | a |) — ch | о | = Итsh (2s- |a|)

— (cb (. - ti) + sb A)’ — sh (. - Ш)(,Ь (. - 4) + eh 4)

,2 A

ch|a| — ch A _ . _ ch A + 1 = . _ ch 2 ch | a | + 1ch | a Ц- 1 —„ | a | ’

ch -ТГ

0

fmax Л

•■ ■■

ch4

Fmax = 2 arCCOSрур

Это доказывает первую часть утверждения и, кроме того, показывает, что верхняя граница для площади всех треугольников

Рис. 7.9.1Рис. 7.9.1с основанием а в точности равна

Рис. 7.9.1

Рис. 7.9.1

2 arccos ——г. Несобственный треуголь- ch 2

ник с такой площадью получится, если поместить 4 в точку пересечения вещественной оси перпендикуляром к отрезку а, проходящим через его середину.

Чтобы доказать вторую часть утверждения, рассмотрим такое дробно-линейное преобразование (Н—*-04*, что сторона

а отображается на мнимую ось и при

этом точка С переходит в точку (О, 1). Пусть координаты точки В станут (0, ty Перпендикуляры к а будут тогда евклидовыми полуокружностями с центром в (О, 0). Пусть Аг—предел, к которому приближается А при приближении точки 4 движущейся по окружности ж2 + г/2 = г2 (или zz = г2) _к вещественной оси. Тогда достаточно показать, что при r^lit Аг монотонно растет вместе с г (см. рис. 7.9.1). Расстояние между точками

zi = ^i + Чк = г^1, z2 = x2 + iy2 = r2e,<P2 равно

d (zn z2) = arch -L^^2 2l^\

и, следовательно, при Л = (ж, г/), ж2 + г/2 = г2,

Д = | b | - | с | = arch Ц^ — arch^j^- .

= arch_ i /((l + rT-^W + r^-W)]

=(1 + r2)(<2 + r2) - /((1 + r^ - 4yW r2)2 - W)

ch дг = Hm Sy ((t2 + r2)2 - 4m + 8i/£2 ((1 + r2)2 - 4y2) v-0 I6yt /((1 + Г2)2 - 4y2)((t2 4- Г2)2 - 4<V)

v-o 2 tV^^^yW + r^-Vm1_

2£(l + ^ + ^)

Отсюда следует, что Ar = 0 -^(r2 — <)2(< — I)2 = 0, или, так как t ^ 1, Аг = 0 **- г = lit. Следовательно, при r> Vt, ~^’^> >0^^1^>0. Далее,

^ ch Аг _ 1 Г 2tr(£2 + r2)-2tr(l + r2) 2tr(l и г2) — 2tr (<2г2) I dr - 2 [^ + r^+£2(l + r2)2 J

= rt (<2 - 1) [(<2 + r2)2 - ,2(1 + r2)2] =

= ^+^7^^ (^ + 2^^ + tv -t*- 2tv - r^ = r (t2-1)2 (r4-t2) ((1+r2)2(t2 + r2)2 *

r>Vt^>t^_^L>o. n

Нами также доказана

Лемма. Пусть а — заданный отрезок. Верхняя граница для площади всевозможных треугольников с основанием а равна

Fmax = 2 arccos—^-р.

Верхняя граница для площади треугольников с фиксированной

еедичиной Д равна

Г max — 2 arccos|"а~|*ch “2"

Верхняя граница для площади всех треугольников с основанием а, третья вершина Л которых лежит на перпендикуляре ha с основанием D, монотонно растет по мере приближения точки D к середине отрезка а. □

Леммой 7.9.4 заканчиваются предварительные сведения из геометрии треугольников. Но прежде чем рассматривать специальные свойства канонических многоугольников, отметим следующее свойство многоугольников, непосредственно вытекающее из леммы 7.9.4.

Лемма. Верхняя грань площади всевозможных многоугольников с п вершинами и заданным основанием непрерывно и строго монотонно возрастает вместе с длиной этого основания. □

Аналогично доказывается утверждение о специальных многоугольниках, которое мы используем ниже.

Упражнения 7.26, 27.

Канонические многоугольники

Здесь мы рассмотрим канонические многоугольники Kg замкнутых римановых поверхностей рода g.

Kg представляет собой g-угольник, к каждой стороне которого приставлен некоторый пятиугольник, «коммутаторная грань». Коммутаторные грани обладают тем свойством, что если обозначить их внешние стороны последовательно через st, s2, s3, s4, то IsJ = |s3| и Is21 = Is4|. Одна из этих коммутаторных граней, в дальнейшем называемая «несвободной», удовлетворяет, кроме того, условиям на углы:

21 (S1, 5э) = 21 ($з, s4) , z. (sh S2)+ Z- (S2, S3) = Л.

Сумма внутренних углов многоугольника Kg равна 2л, а его площадь, следовательно, равна

(4g — 2)л — 2л = 4(g—1)л.

Определение. Пространство g-угольников наделяется топологией при помощи вложения в Н8 ^ R28 с вершинами в качестве координатных функций. Эта топология соответствует топологии пространства отмеченных римановых поверхностей из и. 7.8.1.

Конструкция. Так как несвободная коммутаторная грань уже содержит два угла, сумма которых равна л, все остальные углы в ней меньше л. Рассмотрим теперь следующее разбиение многоугольника (рис. 7.10.1). Начав с вершины Ai

21 х. Цишанг я др.

несвободной коммутаторной грани AiBtCtDtA^ мы сначала разбиваем многоугольник на g — 2 шестиугольников A1AtB1C1DtAt+1 (KKg) (коммутаторные шестиугольники) и 2 пятиугольника (несвободная коммутаторная грань AtBlCiDlA4 и свободная коммутаторная грань AlAgBgCgDg'), как показано на рисунке.

Рис. 7.10.1

Коммутаторный шестиугольник, далее, разбивается на треугольник ААА^! и приставленную коммутаторную грань A,B1C1D,A1+i (Ki<g). Так как сумма углов многоугольника К8 равна 2л, а несвободная коммутаторная грань уже содержит два угла, сумма которых равна л, получаются следующие оценки площадей h граней:

(а) несвободная коммутаторная грань: л</,<2л;

свободная коммутаторная грань: 2л </2 (<3л);

коммутаторный шестиугольник: Зл</3 (<4л).

Здесь верхние оценки для свободной коммутаторной грани и коммутаторного шестиугольника представляют собой имеющие место в общем случае оценки для гиперболических пяти- и шестиугольников соответственно, поэтому в действительности они не налагают ограничений на грани.

Эти простые оценки были главной причиной для выбора такого разбиения. А именно, если строить канонический многоугольник, начав с несвободной коммутаторной грани, то в процессе построения будут появляться лишь такие условия, которые ограничивают площади строящихся граней снизу, но не сверху. Поэтому на каждом шаге нужно заботиться лишь о том, чтобы

длина той стороны, вдоль которой должно продолжиться построение, позволяла построить на этой стороне грань соответствующего размера (площади); ср. лемму 7.9.5. Ниже прежде всего будут тщательнее исследованы эти отдельные элементы поверхности.

Несвободная коммутаторная грань:

Треугольники АСЕ и CBD конгруэнтны. Поэтому |ЛС| = IBCI, и С лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АВ. (Отсюда видно также, что точки А, В, С и Е определяют точку О.)

В силу специального расположения точки С можно при помощи движения верхней полуплоскости перевести серединный перпендикуляр к отрезку АВ на мнимую ось, так что С будет лежать над АВ симметрично (рис. 7.10.2). Если фиксирована

вершина С, то фиксирован и угол ^г. В силу того, что а+71 + 272 + 74 = л, т. е. 2f2 = л — (а + ^1 + 7*), определена площадь треугольника АСЕ: 1ACEI = 272.

Площадь коммутаторной грани равна

/ = Л - 27г - 2ф + 47а, = л + 2 (7г - ф).

Какие отсюда можно вывести условия на С и Е, если отрезок АВ задан?

21*

Так как площадь должна быть больше, чем л, прежде всего должно выполняться неравенство ^2 > Ф или, что равносильно, (1)|CF|<4-|4B| = |4F|,

поэтому MFI является границей для |CF|. Но, кроме того, величина |СЕ| ограничена снизу. Площадь треугольника, который нужно построить на основании АС, должна равняться 2^2, но „п Л I ле i V1

также должна быть меньше, чем 2arccoslcn 2 / ’ поскольку это верхняя граница для площади всевозможных треугольников с основанием АС (лемма 7.9.4). Таким образом,

cosY2>l/ch-L^l.

По теореме синусов для гиперболических функций (см. упражнение 7.28)

sh MF| = sh IЛ 671 • sin у2;

отсюда и из того, что ch2 ж — sh2 х = 1, мы получаем, что ,,4 Sh2 | ЛГ I ch2 I AC I - ch2 I AF I

Г2sh2 I AC I ch2 I ЛС I — 1

Кроме того, ch2 -Цг^" = ch | ЛС I + 1 в сиду упражнения 7.26. Поэтому неравенство (2) равносильно неравенству

ch21 ЛС | - ch21 ЛГ |2

ch2 | ЛС | — 1 ch | ЛС | + 1 ^ ch21 ЛС ] — ch21Л/^ [ > 2 ch | ЛС ] — 2 ^ ^ch | ЛС |>sh |Л/^ | + 1.

Воспользовавшись теоремой косинусов для гиперболических функций: ch \АС\ = ch |ЛЕ| • ch |CF|, см. упражнение 7.28, мы получим

=^l"l>^lr|,■

Далее, для того чтобы неравенства (1) и (3) могли выполняться одновременно, должно выполняться неравенство

ch IAF1 sh । -^ I + 1сЬ(ЛГ| ,

эквивалентное (см. упражнение 7.27) неравенству 1п(3 + 2У2)< < |ЛУ| = 21ЛЛ. Точки С серединного перпендикуляра к отрезку АВ, удовлетворяющие условиям (1) и (3),_образуют конечный открытый интервал, если |ЛУ| >1п(3 +2У2). Если |ЛУ| < <1п(3 + 2У2), неравенства (1) и (3) несовместны.

Теперь площадь коммутаторной грани определяется точками А, ВиС и при фиксированном отрезке АВ есть монотонно убы-

вающая функция от |CF|. Одновременно из условия cosу2> > ^ch । ^С ^ ясно, что супремум площадей всевозможных несвободных коммутаторных граней, которые можно построить на АВ, растет вместе с длиной основания |Л5|.

естествен-1^£| = |сл||£С| = 1^|естествен-1^£| = |сл||£С| = 1^|Пусть теперь задано основание АВ с МУ| > ln(3 + 2V2). Пусть, далее, в открытом интервале, определяемом отрезком АВ, фиксирована точка С (ас ней и площадь несвободной коммутаторной грани). Каким образом может быть выбрана точка Е*? Необходимым и достаточным условием на Е является то, что площадь треугольника АСЕ равна 2^2: MCFl = 2у2. Если потребовать, чтобы точка Е лежала на перпендикуляре к АС с основанием G, то, в силу леммы 7.9.4, это возможно, лишь если G лежит в содержащем середину отрезка АС открытом интервале, определенном длиной |ЛС| и углом у2. Но если это условие выполнено, то, по леммам 7.9.1, 2, на перпендикуляре найдется ровно одна точка Е, для которой |ЛС/г|=2у2. Из соображений непрерывности следует, что геометрическое место всех этих точек есть кривая, покидающая верхнюю полуплоскость в двух различных точках вещественной оси и пересекающая любую линию уровня на АС не более одного раза. Следовательно, множество возможных точек гомеоморфно прямой R1, если ным образом наделить его топологией, соответствующей топологий пространства канонических многоугольников из //\

естествен-

1^£| = |сл||£С| = 1^|

естествен-

1^£| = |сл||£С| = 1^|

п. 7.8.1./ Ь а х

Суммируем полученные вы- //

ше результаты:Е1с /

Лемма. Площади'худ

несвободных коммутаторных граней, которые можно построить на отрезке АВ, образуютРис. 7.10.4

открытый интервал (л, s), s <

< 2л. При этом s есть монотонно возрастающая функция длины |ЛУ|, асимптотически приближающаяся к_значению 2л и принимающая значение л при |ЛУ| = ln(3 + 2V2) ($ ^ л (л, $)= 0). Для каждой константы к пространство несвободных коммутаторных граней площади, большей, чем к, либо пусто, либо гомеоморфно плоскости R2 в топологии п. 7.10.2. Если потребовать, чтобы площадь равнялась к, то пространство будет либо пусто, либо гомеоморфно прямой R1. □

Свободная коммутаторная грань, так же как и несвободная, удовлетворяет условию l$J = |s3l, |s2| = |s4|, но на углы накладывается более слабое условие: сумма пяти внутренних углов должна быть меньше л, т. е. площадь свободной коммутаторной грани должна быть больше, чем 2л. Легко видеть, что супремум площади построенной на с коммутаторной грани Здесь также растет вместе с |с|. (См. рис. 7.10.4.)

Пусть теперь дана сторона АВ = с. Тогда, если зафиксировать и С, для площадей треугольников АСЕ и BDC, которые нужно построить на АС = Ъ и ВС = а, должно выполняться неравенство

| АСЕ | + | ВВС | < 2 arc cos —щ- + 2 arccos —уур.

С другой стороны, при подходящем выборе вершины Е (и О) можно сделать сумму IACEI + \BDC\ сколь угодно близкой к этому предельному значению, например приближая Е по серединному перпендикуляру отрезка АС к краю полуплоскости. Таким образом, если удалять С от с по перпендикуляру ht1 то будет возрастать не только IABCI, но и супремум для IACE1 + + \ввс\.

Здесь нужно пояснить связь между Е и D. В силу выбора точки Е треугольник CBD должен быть построен на ВС с длинами сторон |СО| = 1Л5| и |SD| = 1CEI. Это возможно в точности в том случае, если I |Л£| — \СЕ\I < \ВС\ и |Л5| + \СЕ\ > > \ВС\. Поскольку, кроме того, задана ориентация треугольника, существует ровно одна точка D, удовлетворяющая в этом случае указанным выше условиям.

Пусть теперь точки А, В, С фиксированы, а точка Е удаляется от b по перпендикуляру. Тогда \СЕ\ и |Л5| возрастают, в то время как I \АЕ\ — \СЕ\ I = |Д| убывает (лемма 7.1.2). Таким образом, если на перпендикуляре найдется такая точка Е, что на ВС можно построить треугольник CBD с |УО| = \СЕ\ и |С£>| = |Л5|, то это возможно и для всех следующих точек, и 1ACEI + \СВВ\ монотонно растет с удалением точки Е от АС (леммы 7.9.1, 2). Далее, если наряду с Л, У и С задать не перпендикуляр, а разность длин сторон Д = |Л5| — 1СЕ1, то, по лемме 7.9.4, супремум суммы (АСЕ) + \СВО\ будет функцией F* от Id, 1Ы и Д:

ch ли

F* (| a |, | Ь |, Д) = 2 arccos=—=—b 2arccosm-.

ch 2ch 2

Так как ch -j- есть строго монотонно возрастающая функция от |Д|, a arccos является строго монотонно возрастающей функцией, то F* есть строго монотонно убывающая функция от |Д|.

Поэтому, если потребовать, чтобы

\АСЕ\ + \CBD\ = К = const > л

при заданной С, то множество возможных точек Е либо пусто, либо образует кривую Е, которая покидает верхнюю полуплоскость в двух различных точках вещественной оси и пересекает каждый перпендикуляр hb не более одного раза. (Доказательство аналогично доказательству леммы 7.9.6.) Если же потребовать, чтобы

IACE1 + \CBD\ = К = const > л,

то Е может свободно изменяться в области между Е и вещественной осью. Если множество допустимых точек Е непусто, то в первом случае, будучи снабжено естественной топологией, оно гомеоморфно R1, а во втором — гомеоморфно R2.

Пусть теперь от точки С требуется лишь, чтобы она лежала на фиксированном перпендикуляре Лс с основанием F. Если С отодвигается по Нв от F, то не только IABC1, но и |ЛС5| + + \CBD\ монотонно возрастает. Верхние пределы обеих величин зависят от F и возрастают при приближении точки F к середине отрезка АВ. Это позволяет точке С меняться в некотором гомеоморфном R2 множестве, если lABCl + sup(lACE) + |CSZ)|) будет больше, чем фиксированное число, и если хотя бы одна такая точка С вообще существует. По этой причине свободные коммутаторные грани с основанием АВ и площадью J > к (или J = k соответственно), где число к фиксировано и Зя > & > 2л, образуют пространство, которое либо пусто, либо гомеоморфно R4 (или R3 соответственно) в топологии из п. 7.10.2. Тем самым доказана следующая

Лемма. Если число к фиксировано и 2л<А:<Зл, то пространство свободных коммутаторных граней площади J > >к (или J = k соответственно), которые могут быть построены на данной стороне АВ, либо пусто, либо гомеоморфно R4 (или R3 соответственно) в топологии из п. 7.10.2. Если это пространство пусто при некотором к6, то оно пусто и при любом к>кл. Инфимум всех к, для которых пространство пусто, есть возрастающая функция от |ЛУ|. □

Коммутаторный шестиугольник состоит из треугольника АВС и свободной коммутаторной грани с основанием, совпадающим со стороной ВС треугольника АВС (рис. 7.10.5). Если

Рис. 7.10.5

использовать этот многоугольник для построения канонического многоугольника, то сторона Ъ = АС должна быть настолько длинной, чтобы она могла служить основанием грани достаточно большой площади. Если это вообще возможно при данном основании АВ, то при помощи индукции получается следующая ситуация: АВ становится «свободным ребром» (ср. 7.10.11). Грань, которую еще нужно целиком построить на АВ, должна иметь площадь /2, определяемую площадью /, построенной перед

этим грани, а именно: /, + J2 = 4(g — 1) л. Если теперь коммутаторный шестиугольник имеет площадь |Я|, то на b еще остается построить грань площади /2—|Я|. Нижняя граница для 1Ы при заданном АВ оказывается строго монотонно убывающей функцией от площади |Я| и будет обозначаться через 6*, ср. п. 7.10.11 и лемму 7.9.5.

Таким образом, вопрос, касающийся коммутаторного шестиугольника, можно сформулировать так: пусть задана сторона АВ, на которой нужно построить такой коммутаторный шестиугольник Н, что | Аб11 = | b | > Ъ* ([ Н |), где Ъ* есть непрерывная строго монотонно убывающая функция от |Я1. Пусть ^ — перпендикуляр к АВ = с с основанием О и Со — такая точка на ht, что на треугольнике АВС» можно построить коммутаторный шестиугольник с | b | > Ъ* = b* (| Н |).

Тогда такие коммутаторные шестиугольники существуют и для всех точек на hc, находящихся от D дальше, чем Со. А именно, если С удаляется от D по hc, то Id, 1Ы и IABC1 возрастают, и верхняя граница площадей свободных коммутаторных граней, которые можно построить на а, также возрастают вместе с а. Таким образом, 1Ы и супремум площадей всевозможных коммутаторных граней, построенных на треугольнике АВС, возрастают вместе с |ОС|. В частности, для любой точки С с \DC\ > > |Z>Col существуют коммутаторные шестиугольники с такой большой площадью |Я|, что | b | > b* (| Н |).

Как эта процедура зависит от точки D — основания перпендикуляра? На каждом перпендикуляре при помощи подходящего выбора вершины С длину Id, так же как и 1Ы, можно сделать сколь угодно большой. Следовательно, D не влияет на верхнюю границу площади всевозможных свободных коммутаторных граней, которые можно построить на а, и не накладывает ограничений на Id и 1Ы. Но верхняя граница для площади исходного треугольника АВС зависит от D и монотонно растет по мере приближения D к середине отрезка с, см. леммы 7.9.1, 2. Следовательно, множество всех таких точек С, что на АВС можно построить коммутаторный шестиугольник и | b | > b* (| Н |), образует пространство, которое либо пусто, либо гомеоморфно плоскости R2 в топологии и. 7.10.2.

Предположим, что это пространство непусто, а С — произвольная его точка. Тогда АВС, а значит, и а и b (!) фиксированы, и существует коммутаторный шестиугольник Нс b* (| Н |) < | Ь|. Будем искать теперь всевозможные свободные коммутаторные грани с основанием а, площадь / которых удовлетворяет неравенству b*(J + | АВС|)<| 61. Существует положительное число J* с b*(J* + | АВС^) = | 6|. Далее, поскольку функция Ь* строго монотонна и непрерывна, существует решение / предыдущего неравенства, и 6* (J + | АВС |)-> оо при /->0, так как сумма углов свободной коммутаторной грани должна быть меньше, чем л. Следовательно, мы ищем всевозможные свободные коммутаторные грани с основанием а и площадью J > J*- Это

пространство в силу п. 7.10.8 гомеоморфно R4, поскольку оно непусто.

Так как возможные точки С пробегают некоторое множество, гомеоморфное R2, коммутаторные шестиугольники образуют пространство, которое либо пусто, либо гомеоморфно пространству R®. Этим доказана

Лемма. Пусть 6: {х е R | ж> 0}->{х е R | х > 0} J (J {оо}— непрерывная строго монотонно убывающая функция, и пусть с = АВ — заданный отрезок. Тогда пространство всех коммутаторных шестиугольников Н с основанием с, состоящих из треугольника АВС и свободной коммутаторной грани с основанием а = ВС, площадь которых 1Я| удовлетворяет условию МЯ|)<|Ы = ИС|, либо пусто, либо гомеоморфно пространству R6 в топологии п. 7.10.2. □

Пространство канонических многоугольников *).

Рассмотрим рис. 7.10.1. Пусть задан род g>l. Пусть вершины канонического многоугольника обозначены по порядку через Л,, В,, Ct, Du Л2, Я2, ..., Cg, Dg, Ag+i=Alt где А^СД^Аг есть несвободная коммутаторная грань. Тогда если 1 < i < g, то A,BtCtDtAx+, является свободной коммутаторной гранью, в то время как если 1 <i< g, то А1А,В,СД),А,+1 есть коммутаторный шестиугольник. В дальнейшем для 1 < i < g мы будем обозначаешь многоугольник А^В,... CgDg через Q,. Это (g —г + 2)-угольник, к которому присоединены g — г + 1 свободных коммутаторных граней. Пусть Qi = Q* (| AjAi |) — супремум площади для всех многоугольников типа Q, с основанием Л,Л„ Тогда, как легко увидеть,

Q* =(4 (g - 1) + 2) л + 2arccos

(ср. лемму 7.9.4).

Таким образом, Qi есть функция, строго монотонно возрастающая с ростом ^Л,!. То же самое верно для супремума площади G*(M^J) всевозможных несвободных коммутаторных граней, построенных на А,А2 (лемма 7.10.6). Построение канонического многоугольника следует начать с отрезка AtA2. Различные расположения этого отрезка на неевклидовой плоскости должны рассматриваться как эквивалентные, поскольку их можно перевести друг в друга при помощи дробно-линейных преобразований. Однако отрезки, имеющие различные длины, не приводят к конгруэнтным многоугольникам.

Единственное условие, наложенное на отрезок Л ,Л2, состоит в том, что на нем можно построить канонический многоугольник;

это значит, что

G + ^ = G*(^^2|) + (4(g-2) + 2)n +

G* (| АгАг |) + 2 arccosG* (| АгАг |) + 2 arccosch 1 £ 2 1ch 1 £ 2 12л.2л.

G* (| АгАг |) + 2 arccos

G* (| АгАг |) + 2 arccos

ch 1 £ 2 1

ch 1 £ 2 1

2л.

2л.

Оба слагаемых, стоящих в левой части неравенства, являются строго монотонно возрастающими функциями от |Л1Л2|, сумма которых становится больше, чем 2л. (В силу леммы 7.10.6, lim G(| Л,Л21) = 2л, кроме того, lim 2 arccos —■ *■ =

ch I

= л.)

С другой стороны, чтобы на |Л1Л2| можно было построить несвободную коммутаторную грань, должно выполняться неравенство |Л1Л21 >1п(3 + 2У2) (ср. п. 7.10.5). Но тогда

lim (g* (| АгА21) + 2 arccos [ch^^л.

Ja^jI-» In (34-2/2)4-0 '''

Из строгой монотонности этой функции следует, что найдется такое число Л#>1п(3 + 2 /2), что на Л1Л2 можно построить канонический многоугольник тогда и только тогда, когда Л1Л21 •> к* *). Следовательно, множество всех точек Л2, позволяющих (при фиксированной точке Л, и заданной полупрямой, на которой должна лежать точка Л2) построить канонический многоугольник, гомеоморфно R1.

Единственное условие на несвободную коммутаторную грань G с фиксированным теперь основанием Л^2 состоит в том, что ее площадь больше, чем

(g — 1) л — @2 (I АгА21) = — 2 arccos [ch -^^-) .

Поскольку, в силу построения отрезка Л,Л2, такая коммутаторная грань с основанием AtA2 существует, множество всех таких граней, по лемме 7.10.6, гомеоморфно R2.

Следующий шаг состоит в построении на Л1Л2 коммутаторного шестиугольника Я2 = AtA2B2C2D2A3. (Если g = 2, то нужно перейти к последнему шагу, см. ниже.) Для этого M^l и IGI должны быть такими, чтобы на Л,Л2 можно было построить Q2,

а значит и Я2, т. е. чтобы Qi (| АА I) + I ^ | > 2л. Но этот шаг в точности соответствует «индуктивному переходу» при построении шестиугольника Я{ = A^^CiDjAt+i (l<i<g—1) на А,А„ где, по индуктивному предположению, lAtA,| и площадь |Р,| уже построенного многоугольника Pi = AtB1CiDtA2... ... C^tD.-iA. удовлетворяет неравенству Q\ (| ЛХА{ |) + | А | > 2л.

По предположению, можно так построить шестиугольник Я„

^+1(М1Л+1|) + |Я{| + |А|>2л.

Это условие определяет такую функцию ^*(|Я,|), что неравенство | АА+11 > &и (| Hi |) выполнено в точности в том случае, если

&-i (| А4+11) + I Hi I + I Pi I > 2л (ср. п. 7.10.9).

При этом Ь^ есть непрерывная строго монотонно убывающая функция от |Я,|. В силу леммы 7.10.10 пространство таких шестиугольников Я„ будучи непустым, гомеоморфно R®. При этом построении индуктивное предположение все время выполнено, так как Р1+1 = Я, U Pv После g — 2 таких шагов будет построен многоугольник

Pg = AlBlClD1Aa...Ag,

причем будет выполняться неравенство

с;^А) + 1^|>2л.

Найдем теперь все свободные коммутаторные грани на AtAg фиксированной площади 2л—IPJ. Поскольку лемма 7.10.8 гарантирует существование одной такой грани, эти грани образуют множество, гомеоморфное R3.

Пространство канонических многоугольников гомеоморфно пространству

R1 X R2 X (R6)8-2 X R3 = R68-6,

так как оно возникает в результате последовательных тривиальных расслоений над R6. Проверка тривиальности построенных расслоений предоставляется читателю (упражнения 7.32—7.34).

Этим заканчивается доказательство теоремы 7.8.2. □ Упражнения 7.32—34.

Автоморфизмы конечного порядка

Здесь мы применим результаты последних параграфов к проблеме Нильсена реализации классов преобразований конечного порядка. К этому вопросу мы вернемся и в главе 9, а материал настоящего параграфа послужит неплохим введением в этот метод.

Теорема. Пусть G — фундаментальная группа ориентируемой замкнутой поверхности рода g>2, и пусть a: G->

G — такой автоморфизм, что а" является внутренним автоморфизмом, где п — степень простого числа. Тогда а индуцирован гомеоморфизмом исходной поверхности, имеющим порядок п.

Эта теорема представляет собой часть результата Нильсена (Nielsen 1942]. Наше доказательство следует работам Фенхеля [Fenchel 1948, 1950] и Макбета [Macbeath" 1962]. Более сильные теоремы имеются во второй части книги (см. § 9.7).

Доказательство. Автоморфизм а определяет отображение 4 пространства отмеченных римановых поверхностей в себя: A (R, S) = (A, aS). Так как систему образующих aS можно вычислить по S независимо от римановой поверхности, «aS непрерывно зависит от S»; а так как арТП есть внутренний автоморфизм, то [/?, apmS] совпадает с [/?, S]. В результате мы получаем отображение пространства R68-6 в себя, имеющее порядок, равный степени простого числа. В силу теоремы Смита о неподвижной точке, см. 9.6., отображение А имеет неподвижную точку: [7?о, So] = [ffo, aS0]. Следовательно, от системы образующих So можно перейти к aS0 при помощи конформного отображения ф: Ro->-Ro, причем отображение фрТП изотопно тождественному. Но в изотопическом классе тождественного отображения имеется лишь одно конформное отображение: само тождественное, ср. следствие 7.6.18, или приведенное ниже доказательство. □

То, что изотопное тождественному конформное отображение само тождественно, можно доказать следующим образом: неподвижные точки такого отображения, отличного от тождественного, должны располагаться дискретно и все иметь индекс 41. Следовательно, количество неподвижных точек равно алгебраическому числу неподвижных точек, т. е. числу Лефшеца 2 (— 1)* tr фй где ф, — индуцированный отображением ф эндоморфизм группы гомологий Hi (R, Z), см., например, [Alexandroff — Hopf 1935, Ch. XIV, § 3, Th. 1]. Поскольку в нашем случае все эндоморфизмы ф, тождественные, мы приходим к противоречию:

0 «С количество неподвижных точек = 2 — 2g < 0. □

Дополнительная литература к главе 7:

[Appell — Goursat 1930], [Bailey 1961], [Ballmann 1978], [Cohen 1974], [Greenberg 1960, 1967], [Herman 1973], [Игнатов 1978], [Jorgensen 1978], [Keen 1971], [Kneser 1928], [Larcher 1963], [Macbeath — Singerman 1975], [Maclachlan 1977], [Magnus 1972, 1975], [Marden 1969], [May 1975, 1977, 1977", 1980], [Натанзон 1972], [Purzitsky 1974], [Purzitsky — Rosenberger 1972], [Rosenberger 1972, 1973], [Scherrer 1929], [Stoibers 1977], [Zarrow 1979], [Zies- chang 1971, 1974], [Zimmermann 1977].

Упражнения

Докажите при помощи вещественных координат, что дробно-линейные преобразования сохраняют углы.

Опишите и расклассифицируйте преобразования

“^^ . ad-bc = l,

(а) где а, 6, с, de С, с точностью до сопряжения в LF (2, С), (Ь) где а, Ь, с, de R, с точностью до сопряжения в SLF^2, R). Во втором случае дайте геометрическую интерпретацию результатов.

Дайте необходимые и достаточные условия того, что для /, g е е LF (2, С) имеет место одно из следующих равенств:

(a) /og = g=f; (b) f»g = g-'=f; (с) f=g = g-M-1.

Рассмотрите ту же задачу, что и в упражнении 7.3, для f, ge е SLF (2, R) или для произвольных движений гиперболической плоскости Н (т. е. допуская движения, обращающие ориентацию) и дайте геометрическую интерпретацию.

Покажите, что при локсодромическом преобразовании ни одна обобщенная окружность не отображается в себя.

Восполните детали в п. 7.1.19. (В частности: найдите длину сдвига, угол и центр вращения и т. д. Найдите неподвижную точку композиции сдвига и вращения, двух вращений и т. д. Найдите и расклассифицируйте с точностью до сопряженности связные замкнутые подгруппы группы движений евклидовой плоскости.)

Пусть Ет = (z е С11 z К г < 1), и пусть / — гиперболическое преобразование круга Н . Если f(ET) О Ег = 0, то евклидово расстояние от /(£г) до притягивающей неподвижной точки qt преобразования / меньше,

Пусть Ро, Рг и Qo, Qi — точки гиперболической плоскости с d(P0, Pt) = d^Qo, Qi) =/= 0. Докажите, что существует в точности одно преобразование из SLF (2, R), отображающее Pt в Qt, i = 0, 1.

Докажите, что два гиперболических преобразования f, ge е SLF (2, R) сопряжены в SLF (2, R) в том и только в том случае, если их длины сдвига равны. Решите аналогичную задачу для LF (2, R).

Задайте на SLF (2, R) и LF (2, С) топологию при помощи коэффициентов а, Ь, с, d.

Укажите все связные замкнутые подгрупиы группы SLF (2, R), расклассифицируйте их с точностью до автоморфизмов группы SLF (2, R) и опишите их геометрические свойства.

Проделайте то же самое для произвольных (не обязательно связных) замкнутых подгрупп размерности 1.

Укажите все (непрерывные) автоморфизмы группы SLF (2, R).

Допустим, что подгруппа U состоит только из гиперболических преобразований (не считая тождественного). Докажите, что либо U дискретна, либо U состоит из гиперболических преобразований с общей осью. (Для доказательства воспользуйтесь упражнением 7.10. Этот результат принадлежит Нильсену [Nielsen 1940]. По поводу других доказательств см [Siegel 1950], [Van Est 1950] и [Fuchs — Kammler — Zieschang 1978].)

Докажите предложение 7.2.14.

Пусть X, У е GL (2, С). Тогда tr X-tr XY = trXY + trXy-'.

(Кон [Cohn 1981]). Пусть X, Y e SL (2, R) задают гиперболические преобразования, a XY задает параболическое преобразование. Положим а = tr X, b = tr Y, с = tr XY. Тогда

а2 + 62 + с2 = abc,

C2 + /?Z^ а2 + /^4 &2 + /^4

2<2'2'

Докажите теорему 7.3.3.

Докажите формулу Римана — Гурвица 4.14.22 при помощи евклидовой или неевклидовой геометрии.

Укажите все разрывные группы сохраняющих ориентацию движений сферы и евклидовой плоскости и дайте геометрическое описание фундаментальных областей, образующих, определяющих соотношений и т. д.

Докажите 7.3.15 (а).

Докажите 7.3.20.

Проведите доказательство предложения 7.3.23 в некомпактном случае.

Обобщите предложение 7.3.23 на фуксовы группы.

Пусть P = ^“ ^)| nt—pu>=1, u, р, w, te Z ® iz} ^{Е, — Е). (То, что ueZ$iZ, означает, что u = a + ib, а, beZ.) Снабдите Р топологией, заданной коэффициентами. Каждый элемент группы Р задает дробно-линейное преобразование zi— ^^- Докажите, что группа Р дискретна, но, тем не менее, ее действие на С не является разрывным. (Группа Р называется группой Пикара).

Решите проблему модулей для колец. (Обратите внимание на разницу между «параболическими» и «гиперболическими» дырами в кольце.)

Докажите 7.5.11.

Докажите, что:

а — Ъ а 4-61

sh —2— sb —2— = "з- (ch а — ch Z>),

ch ~2~ ch -тг = ~2~ (ch (a + h) + ch (a — b)),и опишите связь с формулами для тригонометрических функций sin и cos.

Докажите что для a > 0 из неравенства (ch a)2 > sh a + 1 следует, что In (3 + 2У2) < 2а.

Пусть АВС — треугольник на гиперболической плоскости с углами a, р и л/2 при вершинах А, В и С соответственно. Обозначим длины сторон АВ, ВС и СА через с, а и Ъ соответственно. Тогда:

sha = she-sin а (теорема синусов),

chc = cha-ch6 (теорема косинусов).

Найдите все автоморфизмы конечного порядка фундаментальной группы тора и докажите теорему, соответствующую теореме 7.11.1. (Указание: воспользуйтесь результатами § 7.4.)

Найдите все конечные группы классов отображений тора и бутылки Кляйна.

Докажите, что недискретные замкнутые подгруппы группы SLEW'S) сопряжены подгруппам, описанным в доказательстве теоремы 7.3.4.

Пусть X — топологическое пространство и fv f2 : X ->- R — непрерывные функции, причем /i(z) < /2(z) для всех хеХ. Тогда подмножества

{(*, t)l*e=X, Мх) < 0 и {(х, t)l*eX, f^x) < t </2(z)}

произведения XxR (с топологией произведения) гомеоморфны XxR.

Пусть X — топологическое пространство и a{: X -► R, 0 sc г <С п,— непрерывные функции, не имеющие общих нулей. Положим

Нх: ={f = (tr ..., tn) е Rn | aT (z) <г + ... + an (z) tn > aQ (z)} с R”. Тогда подмножество {(z, t) | х е X, t е Н,) произведения Хх R” (с топологией произведения) гомеоморфно _XX(Rn.

Докажите, что расслоения пространств канонических многоугольников, построенные в доказательстве теоремы 7.8.2, тривиальны. При этом воспользуйтесь результатами упражнений 7.32, 33.

КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ КЛАССОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ

ТОРЫ, КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И РЕАЛИЗАЦИЯ КЛАССОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Нильсеновская проблема реализации требует совершенно разных подходов в «евклидовом» и «неевклидовом» случаях. Глава 8 посвящена евклидову случаю.

В § 8.2 описываются разрывные группы движений евклидовой плоскости, т. е. 17 плоских кристаллографических групп. В § 8.3 описывается группа автоморфизмов группы Z Ф 27 Результаты этих параграфов используются в § 8.4, где нильсеновская проблема реализации для тора решается методами комбинаторной теории групп. Это рассмотрение одного случая за другим представляет собой просто упражнение в комбинаторной теории групп.

Общий подход к вильсоновской проблеме реализации в случае тора объясняется в § 8.5, где формулируются и затем применяются к проблеме реализации знаменитые теоремы Бибербаха, Фробениуса, Жордана и Цассенхауза; доказывается, что эффективное конечное расширение кристаллографической группы также является кристаллографической группой (теорема 8.5.18). В § 8.6 доказываются основополагающие теоремы о кристаллографических группах. Доказательства являются улучшенными вариантами оригинальных. Они тесно связаны с доказательствами из стимулирующей книги Вольфа [Wolf 1967]. Чтобы сохранить очарование теории кристаллографических групп, мы ограничиваемся классическим случаем кристаллографических групп в Rn.

В §8.7 реализационная теорема доказывается при помощи когомологических методов, развитых в § 8.1. Легко доказывается, что эффективные конечные расширения группы Zn содержатся в надлежащем полупрямой произведении (см. теорема 8.7.3), которое, очевидно, является кристаллографической группой.

Результаты параграфов 8.2—8.7 используются в главе 12.

О расширениях групп

В этом параграфе мы напомним основные факты общей теории расширений групп. Ее наиболее популярная часть, как мы увидим, (почти) не применяется к расширениям групп поверхностей. Так как мы интересуемся главным образом конечными расширениями, то можем считать расширения нормальными, т. е. считать, что расширяемая группа окажется нормальной подгруппой расширения.

О задании расширения. Рассмотрим группы G = <5|7?> и А = <У|^> и короткую точную последовательность

1->-оД-в4-а-*о.

Найдем задание группы В. Выберем некоторое отображение а: А-► В о р»а = idA; здесь а не обязательно гомоморфизм. Ясно, что 1(5)11 а(А) порождает В. Следовательно, 5 U Г" можно рассматривать как множество образующих группы В. Найдем соотношения. Заметим сначала, что соотношения из R можно рассматривать и как соотношения между элементами системы 8 U Та образующих группы В. Другие соотношения получаются из действия группы А в G: формула g«« («)-1 g« («) определяет автоморфизм fo: G -► G. Получаются равенства a(i)-1sa(£) = ^(s) с s^S, teT. Используя эти соотношения, каждый элемент группы В можно представить в виде iy(s)v(a(t)). Этот элемент отображается гомоморфизмом р в y(t), и значит, если он тривиален в В, то и(£) есть соотношение в А, и, следовательно, v(<i(t) )е i(G). В этом случае и есть произведение элементов, сопряженных соотношениям из Q и обратным к ним элементам. Поэтому значение выражения к («(<)) можно найти, если известны значения выражений g(a(<)) для q е Q. Таким образом, ш(«)и(а(<)) есть соотношение тогда и только тогда, когда w^-1 равняется значению выражения к(«(<)). Для каждого q^Q выберем соответствующее слово wq. Описанные выше соотношения являются определяющими, и мы получаем следующее задание:

<SUГNZ?U{a(t)-^кz(t)^1(s)-, = 1 IseS, tef)u

U {^g(s)?(a(i))= 1 I 9е 0>.

Это мотивирует следующий подход к теории расширений группы G посредством группы А. Сначала взять образующие, взаимно однозначно соответствующие образующим 8 U Т групп G и А. В качестве определяющих соотношений взять, во-первых, все соотношения группы G, затем фиксировать действие группы А в G, задав некоторое отображение а множества образующих группы А в группу автоморфизмов группы G, и ввести соотношения, отвечающие этому действию. Наконец, заменить определяющие соотношения группы А равенствами вида wq(s)q(a(t)) = = 1 с u7g(s)sG. Однако возникают следующие вопросы:

Является ли группа с заданием (8.1.2) расширением групп» G посредством А?

Какие задания вида (8.1.2) определяют «.одно и то же» расширение?

Сначала уточним выражение «одно и то же расширение». По определению расширения 1->G->B->A->1 и 1 ->- G -»- В'->- А -»- -► 1 называются эквивалентными, если существует такой изоморфизм if, что диаграмма

g->b Ла

II v 1* » IIG-»B<A

коммутативна, т. е. V = if ° i, /' = / ° ф. Чтобы упростить обозначения, мы будем рассматривать G как подгруппу групп В и ВЛ и опускать обозначения включений г и г. Пусть а: А -► В и1 а': А ->- В' — такие отображения, что j = а = f = а' = idA, и пусть Ч» и Та—автоморфизмы группы G, отвечающие элементу деА:

Ya (?) = а (а)-1 g« ^ ^ (?) = а' (а)"1 ga' (а).

Тогда а'(а) = а(а) • i'(ga) для некоторого ga^G. Простым вычислением мы получаем, что Та(^) = ga *" ta^)'g^ т- е- чт0 ЭВ- томорфизмы Ча и Та отличаются друг от друга на внутренний автоморфизм. Конечно, каждый автоморфизм Ча можно умножить на какой угодно внутренний автоморфизм и это ничего по существу не изменит. Профакторизовав по группе внутренних автоморфизмов, мы получим отображение ^: A->-OutG = = Aut G/Inn G; для него будем пользоваться обозначением а -* Ра. Так как a(a'a")-1a(a')a(a")е i(G) для а', а” е А, имеем Pa'a" = Ра" ° Ра'1 Следовательно, ^: A->-Out(G) есть гомоморфизм. Он характеризует расширение в том смысле, что эквивалентные расширения определяют один и тот же гомоморфизм.

Определение. Система (A, G, ^), состоящая из групп G и А и гомоморфизма ^: А-* Out G = Aut G/Inn G, называется абстрактным ядром. Группа В вместе с точной последовательностью 1->G->B—>А->1 называется расширением, связанным с ядром (A, G, ^), если для bej-1^, а^А. автоморфизм группы G, определенный формулой g ►-* i-1 [b-1i (g) b], принадлежит классу ри.

Главные проблемы теории расширений формулируются теперь следующим образом:

Проблема существования. Существует ли расширение, связанное с данным абстрактным ядром?

Проблема единственности. Расклассифицировать расширения, связанные с данным ядром, с точностью до эквивалентности.

22 х. Цишанг и др. 337"

Займемся сначала проблемой существования. Следующий пример дает абстрактное ядро, которое невозможно реализовать расширением. В предложениях 8.1.7 и 8Л.8 будет доказано, что абстрактные ядра, которые нам понадобятся в дальнейшем, можно реализовать расширениями.

Пример (Цишанг и Циммерман [Zieschang — Zimmermann 1979, 4.1]). Пусть

fzp+l = ^^1> иъ • • • > ^2р+1, м2р+1 Гв [ti, Ui] = 1^

— фундаментальная группа замкнутой ориентируемой поверхности рода 2р + 1, и пусть G = Г2р+1 ф Z с Z = <z | >. Определим автоморфизм ф: G -»- G формулами

^■-►^z, иг >-► u2<2u^"1t^1u1,

ti — ti+i, Ui — ut+i, 2<i<2p,

^2p+l ^ Мг^1 , M2p+1 ^ ^1^1 »

Тогда <p2p есть внутренний автоморфизм х ^ txxt~\ Пусть А = = ZzP. Допустим, что существует расширение В с ядром (A, G, Р), где р переводит образующий 1 е А = Z?p в класс автоморфизма q>. Выберем х^В так, чтобы сопряжение относительно х индуцировало автоморфизм ф группы G. Тогда х2р = ^z* для некоторого к, и

t^ = х2р = x-V'x = х-Ч^х = х~Ч,х • x^z^x = <,z • z-*;

это приводит к невозможному выводу к = -^-.

Этот пример имеет геометрическое происхождение: он связан •с проблемой реализации классов преобразований расслоенных пространств Зайферта, ср. 12.2.1. Вырос он из примера, рассмотренного в работе Нильсена [Nielsen 1932, S. 125].

Предложение. Каждое абстрактное ядро ^Х, G, Р) с коммутативной группой G можно реализовать расширением.

Доказательство. Эту задачу решает полупрямое произведение, т. е. А X G = {(a, g) |а е A, g е G} с умножением

« g')(«, g) = (««'> 7a(g')-g).

Это — группа, обозначающаяся через A Q G. Включение i определяется формулой g •-► (1, g), проекция р — формулой (a, g) <-► а.

Тогда последовательность 1-*G->AQG^-A->1 точна и

(а"*, l)i(gt(a, 1) = (а-*, 1)(1, g) (а, 1) = (1, T»(g) )“f(T,(g)), следовательно, это — расширение с требуемым ядром. □

Предложение. Каждое абстрактное ядро (A, G, р), в котором центр группы G тривиален и ^ — мономорфизм, можно

реализовать расширением. Любые два расширения, связанные с этим ядром, эквивалентны.

Доказательство. Пусть X: AutG-► OutG = AutG/InnG — естественная проекция. Положим В := A^^tA)). Гомоморфизм i: G-»-AutG, переводящий g^G во внутренний автоморфизм: х ^ g-1xg, инъективен согласно предположению, и потому (1)1 + G^B^A-^l

есть точная последовательность, являющаяся расширением с заданным ядром.

Пусть l-*-G-^B' -*А-*- 1 — любое расширение с ядром (Аг G, Р) и 7: B'->-AutG— отображение, переводящее Ь' в автоморфизм группы G, определенный формулой g-* i'-^b'^i’ (g)br). Тогда 7 есть мономорфизм и его образ равен В = Л-1(Р(А)). Подгруппа G переводится, естественно, в группу внутренних автоморфизмов, и на G индуцируются те же классы автоморфизмов^ что и в расширении (1). □

Вообще говоря, расширение не единственно; например, в ситуации предложения 8.1.7 возможны неэквивалентные расширения с одним и тем же ядром. Вот хорошо известный контрпример:

o-*z^z-*z„-*o, o->z-*z® Zn->z„^o,

k ~ (k, 0),

(k, c) •-► c,

где Zn действует в Z тривиально. Бывает даже, что группы,, реализующие данное абстрактное ядро, изоморфны, а расширения, тем не менее, не эквивалентны; см. примеры 8.6.30 и 8.7.4. Различные расширения с заданным ядром изучаются средствами некоторой теории когомологий, которая будет описана в 8.1.13—15.

Нас будут интересовать, главным образом, конечные эффективные расширения фундаментальных групп поверхностей. За, исключением немногих поверхностей (тор, бутылка Кляйна, кольцо, лист Мёбиуса и проективная плоскость) фундаментальные группы обладают тривиальным центром, и, значит, к ним применимо предложение 8.1.8. Но это по существу не помогает, поскольку ни конечные подгруппы группы внешних автоморфизмов группы поверхности (которая совпадает с группой классов преобразований этой поверхности, см. § 5.15), ни их действия не известны. В случае «малых» поверхностей мы воспользуемся подходом, отличным от подхода в случае больших поверхностей, для них может быть применена общая теория расширений групп, см. § 8.7. Напомним теперь некоторые определения и результаты этой теории. Детали можно найти в книгах по теории групп и алгебраической теории когомологий, например, [Cartan — Eilenberg 1956], [Hall 1959], [Hilton - Stammbach 1971] [Курош 1967], [MacLa- ne 1963].

Мы будем пользоваться обозначениями из 8.1.1 Отображение а соответствует выбору представителя из каждого класса смежности группы В по подгруппе G. Пусть сама подгруппа G представлена единицей.

Определение. Для а, бе А определим (a, 6)eG формулой

а(а)а(Ь) = а(аЬ)-(а, 6).

{(а, б)|а, бе А} называется множеством факторов.

Свойства множества факторов. Пусть а, Ь, с е А. Тогда

[а(а)а(5)]а(с) = [а(аб)-(а, Ь)] а(с) = а(абс)-(аб, с)-уе((а, б))

а(а)[а(б)а(с)] = а(а){а(бс)•(&, с)] = а(абс)-(а, ЬсУ(Ъ, с).

Отсюда, в силу ассоциативности умножения в В, получаем

(аЬ, с^-^Ца, b)) = (a, bc)-(b, с).

Предположение, что 1 е А представляется единицей 1 е В, влечет

(а, 1) = (1, а)=1 для всех аеА.

Для g е G и a, be А имеем

Wl.g^al.bVa^V^aWatb^

= («, bV^ttbV^W (а, б) = (а, bV^U) («, ь>).

Выполнения этих равенств и условий (1), (2) достаточно для построения расширения В с абстрактным ядром (A, G, Р)—это теорема из работы Шрайера [Schreier 1926], см. также 8.1.26. Если мы ограничиваемся случаем абелевой G, то уравнения (3) пропадают и y = Р; это дает следующий результат:

Предложение. (а) Пусть В — группа с абелевой нормальной подгруппой G и факторгруппой A:=B/G. Тогда В определяет действие 0 группы А в G и систему факторов в G относительно А, которая удовлетворяет уравнениям (1) и (2) из 8.1.10.

(Ь) Наоборот, если ^ есть действие группы X в абелевой группе G и если {(a, 6)eG|a, b е А) — множество факторов, удовлетворяющее уравнениям (1) и (2) из 8.1 ЛО, то

В={а -g\ae A, geG) с умножением

(a-g')(b-h') = ab-Y(a, b)^b(g)-h]

есть группа с нормальной подгруппой G и с B/G = A. Расширение l->-G-^B->-A-^l определено (с точностью до эквивалентности^ действием группы А в G и множеством факторов. □

Рассмотрим теперь два эквивалентных расширения, связанных с ядром (A, G, В):

1->G-^B ->А->1

II 1* II

1-*G-*B'-*A-*1.

Пусть а: А -► В и а: А -► В' выборы представителей смежных классов, а(1)=1 и а'(1)=1, и {(а, 6)} и {(а, 6)'} — соответствующие множества факторов. Тогда определим отображение X: А G формулой

a'(a) = ip(a(a))X(a).

Так как а'(1) = 1 и а(1)=1, то Х(1)=1. Далее, для множеств факторов

а'(а)а'(д) = ф(а(а) )Х(а)ф(а(Ь) ^(Ь^

= ф(а(а)а(Ь))[Мад)1МЬ) =

= ф(а(аЬ))(а, Ь)[ММ«))1 Щ) =

= а'(ab) (а, Ь)'= ф(а(аЬ))Х(аЬ) (а, 6)';

и потому'

(4)(а, д)'= Х(аЬ)-1(а, 6)рь(Х(а))Х(6) для а, Ъ е А.

Наоборот, если отображение X: А -► G обладает свойством (4) и Х(1)=1, то расширения с множествами факторов {(а, 6)} и {(а, Ь)'^ эквивалентны.

Предложение. Пусть В и В' — расширения с абстрактным ядром (A, G, Р), имеющие множества факторов {(а, 6)} и Ца, Ь)'} соответственно. Тогда следующие два утверждения равносильны;

Расширения В и В' эквивалентны.

Существует такое отображение X: A->-G, что Х(1)= 1 и

(а, Ь)' =Х(а6)-1(а, Ь)[МХ(а) )]Х(Ь) для всех а, b е А. □

Теперь мы дадим «простое» определение когомологических групп группы, следуя главе 15 книги Холла [Hall 1959]. Рассмотрим группу А, записываемую мультипликативно, которая действует в абелевой группе G, записываемой аддитивно. Действие записывается в виде g-a (или gay где а^А, geG. (В предыдущем тексте мы пользовались символом ра для обозначения этого действия: g • а = ^a^gy') Это действие продолжается на групповое кольцо ZA по формуле

g-2retai = Sni(g-ai).

Таким образом, G становится ZA-модулем; ZA-модуль часто называют также А-модулем.

Определение, (а) Через С"(A, G), п>1, обозначается группа всех таких отображений /: А" = А X... X А ->- G, что /(«1, ..., ап) = 0, если какой-либо из аргументов at равен 1. Такое f называется п-мерной коцепью. Формула (/ + /i) (а^ ...

.., »„):=/(«[, ..., a„)+/i(at, ..., an) определяет сложение, и Си (A, G) превращается в абелеву группу. Положим С” (\ G) = G и Сп (A, G) = 0 при п < 0.

(Ь) Граничный оператор 6n; Cn(A, G)->Cn+1 (A, G) определяется формулой

(бп/) (a0, ..., an) := f (av . . ., an) +

+ .2 (— 1/ / (a0> • ■ • > aj-2, а^аb aj+„ . .., an) +

+ (— l)^1/(a0, .. ..an-Ja, при n> 1 и a0, ..., a„ e А; для g = G и at e A

(6°g) (a,)=g —g - a,.

При n < 0: 6n = 0.

Лемма. (Cn(A, G), 6") есть коцепной комплекс, т. е. бп+‘6п = 0. □

Определение, n-мерная когомологическая группа этого концепного комплекса называется и-й когомологической группой группы А с коэффициентами в G и обозначается через Я" (A, G).

Пример, (а) Пусть A=Z2 = {1, —1} и G = Z и пусть А действует в G тривиально. Тогда Я® (Z2, Z) = Z, ^(Z2)Z) = 0 И №(Z2,Z) = Z2.

Доказательство. Я0 (A, G) = Z°(A, G)=Ker6°. Далее, (6°g) (—1) = g —g ■(—!) = g —g = 0 для g^Z- Пусть he eC^Z,, Z). Тогда

(6*й)(1, -1) = (6‘Л)(-1, 1) = (6‘Л)(1, 1) = 0

(6*й)(-1, -1)=Л(-1)-Л(1)+Л(-1)(-1)=2Л(-1),

и потому Z1 (Z2, Z) = 0 и Я1 (Z2, Z) = 0. Пусть теперь f е С2 (Z2, Z). Тогда (62/) (gi, g2, gs) = 0, если g, = 1 для какого-нибудь /, и потому 67 определяется своим значением на (—1, —1, — 1):

(-1, -1, -!) = /(-!, -!)-/(!, -1) +

+ /(-1, !)-/(-!, -1)(-1)=/(-1,-1)-0 + 0-/(-1,-1)=0.

Таким образом, Z2 (Z2, Z) = С2 (Z2, Z) = Z. Далее, так как (б*Я) (—1, —1) = 2А(—1), то 52(Z2,Z) = 2Z и №(Z2,Z) = Z2-

(Ь) Пусть теперь А и G такие же как раньше, но действие группы Z2 в Z нетривиально: 1 •(—1)=—1. Тогда Я°(/2,/) = 0, Я1 (Z2, Z) = Z2, Я2 (Z2, Z) = 0. (Доказательство —упражнение 8.1).

Пусть (A, G, Р)—абстрактное ядро и {(g, h^g, he ХА — множество факторов, удовлетворяющее уравнениям (1) и (2) из 8.1.10. Определим отображение AXA-»-G формулой (а, Ь) '-►(а, Ь) =: = :/(а, 6). Тогда уравнения (2) из 8.1.10 соответствуют условию равенства нулю из 8.1.13 (а). Если мы переобозначим Mg) через g-a, то уравнение (1) превратится в

0 = (Ь, с) —(ab, с) —(а, Ь^-с;

правая часть этого равенства равна (62/) (а, Ь, с) в силу опреде- 342

ления 8.1.13 (b). Следовательно, каждое расширение определяет 2-коцикл. Наоборот, каждому 2-коциклу отвечает множество факторов, обладающее свойствами (1) и (2) из 8.1Л0. Полупрямое произведение можно получить из множества тривиальных факторов.

Если множества факторов {(а, 6)} и {(а, 6)'} определяют эквивалентные расширения, то существует отображение /: А ->■ G, удовлетворяющее уравнению

(a, b/-(a, b) = f(b)-f(ab) + f(a)-b,

см. 8.1.12. Правая часть равна (б*/) (а, 6) в силу определения 8.1.12 (Ь), и, значит, мы получаем взаимно однозначное соответствие между множеством расширений с абстрактным ядром (A, G, Р) и группой Я2(A, G):

Теорема. Пусть (A, G, ^ — абстрактное ядро с абелевой группой G. Тогда каждое множество факторов есть 2-коцикл; два множества факторов определяют эквивалентные расширения, если и только если они различаются на кограницу. Следовательно, множество расширений с абстрактным ядром (A, G, р) и когомологическая группа Н1^, G) связаны взаимно однозначным соответствием. Полупрямое произведение AQG отвечает нулю 0еЯ2(А, G). □

Теперь мы можем определить структуру группы в множестве расширений, связанных с некоторым абстрактным ядром; это можно сделать и непосредственно, используя множества факторов, см. Бэр [Baer 1934], Холл [Hall 1959, 15.2] или Курош [1967, § 49].

Следующие два свойства являются прямыми следствиями определений:

Предложение. Пусть X действует в абелевых группах G и G' по формулам g-> g-a и g' -* g'-a соответственно, и пусть ф: G -* G' — гомоморфизм, согласованный с действием группы А, т. е. пусть <p(g -a) = q)(g)-a для geG, аеХ. Тогда ф индуцирует гомоморфизмы ф* : Я” (A, G) -> Яп (A, G'), и е Z. Они определяются формулой / *-► ф/ (в обозначениях определения 8.1.13 (а)). □

Предложение. Пусть A, G, G' и ф— такие как выше. Предположим, что ф — мономорфизм. Пусть расширения

1-G^-X->A->1 и 1 -► G' -► X' А -»- 1 отвечают элементам ^еЯ2(А, G) и ^'еЯ2(А, G') соответственно. Если ф* (£) = £', то существует мономорфизм Ф: Х-^Х' со свойствами Ф(а) = = ф(а) для aeG и /Ф;-1 = idA. Таким образом, X можно рассматривать как подгруппу группы X' и [X': X] = [G': ф(6)]. □

Предложение. Пусть тп — порядок группы А. Тогда гомоморфизм тп; Cg(A, G)-»-Cg(A, G), m(j) = m • f, индуцирует тривиальный гомоморфизм т*: Я® (A, G)-► Я® (A, G) для q ^ 1, т. е. тп* (Нч (A, G)) = 0.

Доказательство. Пусть bt1 ..., bq — элементы группы А и ]^Z4( A, G) коцикл. Тогда

°= 2A(69/)(a,bi,...,bg) =

= ^J^, . . ., bq)— ^^Ц^Ь^ b2, . . . , bq) +

+ 2 (— l)1 2^ / (®, bv . . . , &1-2, bi-l^b b1+1, ...,bq) +

+ (-l)9+1 ^J^ b1,...,bq.1).bq.

Положим К (xv ..., xg~i): = 2 / (a>• *i ^-i) и из (1) получим

m^bv...,bq) = K^b2,...,bq)-

2 (- l)j К <bv . . ., d,_2, VA, Ьг+Ъ ...,bq)-

-(-t^K^.-.^bq-^.bq.

К есть (g— 1)-коцепь, так как оказывается равным 0, если какой-либо иэ Ьг равен 1. Из определения оператора б9-1 и из (2) следует, что

ЦМ^ .., bq)=m.f<b1, ..., bq)^^-lK)(bt, ..., bq). □

Следствие. Я9(Zm, Zn) = 0 Эля 9^=1, если т и п взаимно просты. □

Вычисления когомологических групп, если они основаны на определении 8.1.15, довольно канительны. Мы опишем и используем другой часто применяемый подход; детали см. Грюнберг [Gruenberg 1970], Хилтон и Стамбах [Hilton — Stammbach 1971].

Рассмотрим Z как A-модуль с тривиальным действием группы А и возьмем проективную резольвенту группы Z, т. е. точную последовательность

где X, — проективные A-модули. (Напомним, что свободные А- модули являются проективными A-модулями.) Как и выше, группу G рассмотрим как А-модуль.

Определение.

С”(A,G) := Hom2A(Xn, G) для п^О,

Cn(A, G) = 0 для п<0.

бп: Сп (A, G) Cn+1 (A, G), / ~ /Эп+1, для п > 0, 6" = 0 для п < 0.

Я" (A, G) = Z"(A, 6)/Я"(А, G)=Ker_6n/6n-,(C"-1(A, G)).

Легко проверить, что бп+,б" = О, и, значит, определены когомологические группы. Из общих теорем следует, что когомологиче-

ские группы не зависят от выбора проективной резольвенты модуля Z. Более того, группы Я" (A, G) и Я" (A, G) изоморфны, см. [Hilton — Stammbach 1971, р. 184]. Ниже мы будем использовать только обозначение Я" (A, G).

Когомологии циклических групп. Пусть А = Zm = {а* | 0 ^ i ^ тп — 1}. Возьмем следующую проективную (и даже свободную) резольвенту модуля Z:

<1)...-*ZA^ZA —ZA-* .. AZA^ZA-^Z-*O,

где 521-i есть умножение на а — 1, а д2,— умножение на (ат~*+ -Ь ат~2 + ... + а + 1), г>1. Простые вычисления показывают, что -эта последовательность точна.

В силу определения 8.1.22 и следующего за ним замечания, из коцепного комплекса

О -> HomzA (ZA, G) -> HomzA (ZA, G) -*

HornzA (ZA, G) HomzA (ZA, G) -► ... /-/5v/-/52./-/^з,

мы получаем когомологические группы. Так как / е HomZA (ZA, G) определяется значениями f(a) eG и каждый элемент g^G может быть значением такого гомоморфизма, то мы можем отождествить HomzA (ZA, G) и G. Следовательно, коцепной комплекс приобретает вид

<2)o-G^G^G^G^Gi...,

где t(g) = g-(a-l) и o(g) = g -{am~l + ... + а + 1).

Положим Ga = {g е G | g-a = g}. Из последовательности (2) получаем

Я° (A, G) = Ga,

Я2’-1 (A, G) = (kero)/T(G) = (kera)/G-(a- 1),

Я84(А,С) = (kerr)/a(G) = Ga/G-(1 + а + ... + a”1"1).

Следующие два следствия непосредственно вытекают из (3) :

Следствие. Если действие группыX = 7Lm в G = Zn тривиально, то

„, я°(гт,гп) = гп, я24-1(гт,г") = о

и для 1„

я2*(гт,гп) = (гт)п. □

Следствие. Пусть группа X=lm действует в абелевой группе G гак, что GA = 0. Тогда H4i (Zm, G) = 0 для z^O. □.

Вернемся к проблеме существования 8.1.4. Как показывают предложения 8.1.7 и 8.1.8, абстрактное ядро (A, G, р) обладает расширением в случае, если группа G абелева или если центр Z

группы G тривиален. Однако, как мы видели в 8.1.6, существуют абстрактные ядра, не обладающие расширением. Ниже мы определим препятствие к существованию расширения, являющееся элементом группы №(А, Z). (Здесь мы следуем книге Маклейна [MacLane 1963, IV. 8].)

Будем пользоваться обозначениями пункта 8.1.1; в частности, функция а: А -»- В выбирает представителей смежных классов подгруппы G в В и через уа: G -► G обозначается автоморфизм, действующий по формуле g -♦ a (a)-1 ga (а) для а е А. Следующая лемма Шрайера уже упоминалась в 8.1.10:

Лемма. Пусть X и G— группы, у — отображение группы А в AutG и Ца, 6) la, be А} — множество факторов, удовлетворяющее условиям (1)— (3) из 8.1.10. Тогда множество Во = {[a, g]la е A, g е G} с умножением

И, g'bk gl = ka, (a', a)^g(g')-g]

является группой. Формула g >-* [1, g] определяет мономорфизм I; G->-Во, а формула [a, g] ^ а — эпиморфизм р; Во-»-А. Поскольку сопряжение в Во,

а ~ (g ~ i-x ([а, 1]-1 g [а, 1]) = уа (g)),

определяет заданное отображение уа, расширение 1 -*- G -> Во -> -»-А-*-1 связано с ядром (A, G, Р).

Доказательство. Ассоциативность выводится прямым вычислением из 8.1.10 — свойства (1) и (3); из (2) следует, что [1, 1] есть единичный элемент и элемент ^а-1, Уа-1 (g-1)-(a, a-1)-1 j является обратным к [a, g], О

Пусть (A, G, Р)—абстрактное ядро и у: А -► AutG, а ^ £а— отображение, индуцирующее гомоморфизм ^: АAut G/Inn G = = Out G; будем считать, что ^ = ida- Тогда Ть ° Ya ° Т^проектиру- ется в единичный элемент группы OutG, т. е. является внутренним автоморфизмом. Следовательно:

Существует такое отображение < , >: AXA-»-G, что

ЧЪ°Ч« = Ч». »> ° Tab,

где через ig обозначается внутренний автоморфизм x~*g~1xg груп-

Внутренний автоморфизм i<a ь> однозначно определен отображением у, однако элемент <а, Ь> определен только с точностью до умножения на элементы центра Z группы G. Условия (2) и (3) из 8.1.10 выполнены; однако условие (1) из 8.1.10 не обязательно. В силу ассоциативности композиции отображений, примененной к уа, у» и ус, мы получаем:

(?с ° V») ° Y„ = ^ь,с) ° Vbc ° V„ = \bA ° l(o,bc) ° Yabe =

= Vc ° ^b ° Va) = Vc ° (Ha,b) ° Yob) = lVc((«.»)) ’ ЧаЪ.е) - Yabc; следовательно:

Существует такой элемент <а, Ь, с> центра Z группы

<ab, с> • "(е^а, Ь>) = <а, Ъс> • <Ь, с> • <а, Ь, с>, <1, b, с> = <а, 1, с> = <а, Ь, 1> = 1.

Отображение А X А X А ->- Z, (а, Ь, с)-*- {а, Ь, с> является 3- коцепью, см. 8.1.13; здесь операция записывается мультипликативно. Эта коцепь называется препятствием для абстрактного ядра (A, G, Р). Если это препятствие тривиально, то условие (1) из 8.1.10 выполнено; следовательно, в силу 8.1.26:

Лемма. Абстрактное ядро (A, G, £) обладает расширением тогда и только тогда, когда его препятствие есть тривиальная коцепь из С3 (A, Z). □

Формула из 8.1.28, определяющая < , , >, выглядит как формула для кограницы коцепи < , >. И действительно, мы покажем, что препятствие является коциклом; это не очевидно, поскольку группа G не абелева.

Лемма. Любое препятствие для абстрактного ядра (A, G, Р) является коциклом.

Доказательство. Определим

V= <abc, d> -^d^ab, с> "ус(<а, Ь>)).

Применяя формулу из 8.1.28 к среднему члену, получим

V = <abc, d> • чД<а, Ьс> • <Ь, с> • <а, Ь, с>).

Затем применим формулу из 8.1.28 к двум средним членам и воспользуемся тем, что <х, у, z) eZ для любых х, у, z е А. Получим

V=<b, с, dXa, be, d> • *(d(<.a, b, OyU,

где U = <a, bed) • <b, cd) • < c, d).

Теперь применим сначала формулу из 8.1.27 к представлению элемента V формулой (1), а затем применим формулу из 8.1.28 к членам с yd и

V = <abc, d^-v^ab, с>)- ^ДчД^ Ь))) =

= <abc, d) -td^ab, с))-<с, d^-^^a, b)y<c, d) =

= <abc, d) • <abc, d)-1 • <ab, cd) • <c, dXab, c, d) •

• <c, d)-1 • <ab, cd)~l • <a, bed) • <b, cd) • <a, b, cd) -<c, d) = = <ab, c, d> • <a, b, cd> • U.

Так как члены <x, у, z> принадлежат центру группы G, то можно в формуле для кограницы из 8.1.13, переписанной мультипликативно, менять порядок членов, и, воспользовавшись формулами (2) и (3), получить

6<а, Ъ, с, d> =

= (<Ь, с, d> • <а, be, d> ■ ^(<а, Ь, с>)) • (<ай, с, d’>~1 • <а, Ъ, cd>-1) =

= (ГС7-*).(17Г-‘)=1. □

347

Следующая лемма доказывается прямым вычислением.

Лемма. Пусть фиксировано отображение у: А-* -►AutG, представляющее ^. Если отображение < , > из 8.1.27 заменяется другим таким отображением, то к препятствию < , , > прибавляется кограница. Наоборот, любое изменение на кограницу получается в результате изменения отображения < , > из 8.1.27. □

Лемма. Если отображение у заменяется другим таким отображением, то отображение < , > можно изменить так, чтобы препятствие < ,, > не изменялось.

Доказательство. Предположим, у заменяется отображением е. Для аеА автоморфизмы ца и еи принадлежат одному классу Pa^OutG; следовательно, ee = U(<.)Y« для некоторого отображения d: A^Gc d(l)=l. Тогда

Ч ° Ea = ld(b) 0 Yb ° ld(a) ° Ya = l?b(d(a))d(b) ° 4° 4 =

= 4“,b)?b(d(a)).d(b) ° Yab = ld(ab)-l.(a,b) ?b(d(a))d(b) ° £ab"

Определим отображение « , )) формулой

^a, b^ = d(ab')~l • <a, b> • yb(d(a) )d(b);

препятствие, отвечающее « , )), будем обозначать через « , , К Из определений 8.1.28 и 8.1.27 следует, что

«ад, с^ес(«а, д))) =

= d^abc)-1 • <а, Ьс> • <Ь, с> ■ <а, Ь, с> • <д, с>-1 •

•Т»=(^(а))-<д, с>-yc(d(d))-d(c)

«а, bcHb, сМа, Ь, с)> =

= d(adc)_*<a, дс> • y6c(tZ(a)) ■ <д, с> • y=(d(d)) • d(c) ■ «а, b, сХ

Так как левые части равны и препятствия <а, Ь, с> и «а, Ь, с^ принадлежат центру Z группы G, то <а, Ь, с> и «а, Ь, с)>. □

Эти леммы можно соединить в следующей теореме.

Теорема. Пусть (A, G, р) — абстрактное ядро. Рассмотрим центр Z группы G как К-модулъ с операцией с • а = уа(с), где ца — автоморфизм из класса ^а. Построение по (A, G, р) одного из его препятствий определяет элемент Obs(A, G, ^)е Я3 (A, Z), не зависящий от выбора препятствия. Ядро (A, G, ^) обладает расширением тогда и только тогда, когда Obs(A, G, Р)=0. □

Прямым следствием теоремы 8.1.33 является предложение 8.1.8. Если группа G абелева, то формула из 8.1.28, определяющая препятствие ядра (A, G, ^), совпадает с формулой кограницы для коцепи < , >, см. 8.1.13; значит, Obs(A, G, Р) = 0. Интереснее когомологическая интерпретация примера 8.1.6.

Пример. В 8.1.6 группа А = Z2P = {0, 1, ..., 2р — 1} действует в центре Z=<z|> группы G = F2p-i ф Z по формуле 348

z-*z~i; следовательно, согласно 8.1.23, №'(А, Z) = 0 для всех г и Я21-1 (A, Z) = Z2, поскольку a(z — 1) = — 2a и a(zlp~* + ... .. . + z + l) = 0. Если коцикл принимает нечетное значение на некотором элементе произведения А X ... X А, то он представляет нетривиальный когомологический класс. Выберем теперь некоторую функцию 7: A->-AutG для вычисления препятствия Obs(A, G, Р), например,

Чк = ф* Для О С к < 2р.

Тогда

fYi+jДля г + /<2р,

Ti ° Vj = Ц\-х) ° Yi+j Ддя г + 7 > 2р

(здесь г + / приводится по модулю 2р). Следовательно,

для i + /<2p,

—НГ1 Для г + />2р.

Уравнение из 8.1.28, определяющее препятствие, теперь выглядит так:

<г + /, к> • Чн^Ц Р) = ^i j + к> • <j, к) • <i, /, к').

Положим г = 2р — 1, / = 2р — 1, к = 1. Тогда

<2р —1, 2р —1,1> =

= <2р - 1, I)-1 • <2р - 1, 0>-1 • <2р - 2, 1> • Y1 «2р - 1, 2р - 1» =

= Ц-Ы-у1(7Г1) = Цф(Ц)-1 = Цг-1^1 = z-1.

Это доказывает, что коцикл < , , > не когомологичен нулю, и 8.1.33 дает новое доказательство того факта (см. 8.1.6), что ядро (A, G, Р) не имеет расширения.

Вычисления вроде только что проделанного слишком длинны, чтобы делать их часто, а в случае нециклической группы А они становятся гораздо сложнее. Для циклического случая Б. Циммерман сообщил авторам критерий, который, кажется, уже достаточно прост, чтобы употребляться:

Предложение. Пусть G — группа с центром Z и пусть a: G-»-G — такой автоморфизм, что а" представляет собой внутренний автоморфизм ix: g *-* x-1gx группы G. Положим z = = x-1a^xY Тогда:

zeZ и z удовлетворяет условию z ■ a(z) • a2(z)... ...an-‘(z)=l.

Абстрактное ядро ^п, G, &)> где Q относит единице 1 е Zn класс автоморфизма а, можно реализовать расширением, если и только если z удовлетворяет условию коцепи

z = a(v~*)>v для некоторого peZ.

Доказательство. Из того, что а” = ix, следует, что а и гх коммутируют; отсюда для ge G

х-‘а (g) х = ixa (g) = aix (g) = а (ar*) а (g) а (ж).

Следовательно, х-1а(х) = z е Z. Так как а” = ix, то

1 = х_*• а^х-^а? ^ • ... • а^^х-^а?кх^ =

= z • a(z) •... ■ an-,(z).

Допустим, что абстрактное ядро имеет расширение Е. Пусть «еЕ представляет 1 е Zn, т. е. a-1ga = a(g) для geG. Тогда уп = х • с с ceZ. Следовательно,

х • с = ап = а~^аиа = а^хахг^са = a(x)a(c) = xza(c),

и потому z = a(c-1)c.

Теперь найдем коцикл, представляющий Obs(Zn, G, й). Элементы группы Zn будем, как и раньше, обозначать через 0, 1, ... ..., п — 1 и групповую операцию записывать как сложение. Для вычисления Obs(Zn, G, й) рассмотрим отображение у: Zn~* —► Aut G, у, = а'. Как и в 8.1.34, отсюда следует, что

{

1, если i + у < и, хи, если i + / ^ и,

где и — некоторый элемент группы Z. (На самом деле для различных (i, ;") можно выбрать разные к.) Определяющие уравнения 8.1.28 для препятствия теперь выглядят так:

{i + j, k}ah({i, j)) = {i, j + к} {j, к} {i, j, к}, где iJ.ieZ».

Следовательно,

<с, у, /с> =<с, у, /с> =если i + /<n,

<с, у, /с> =

<с, у, /с> =

^-’a^ (x) v-1^ (к) = U az (zp-^(и)), если i + j^n.

Таким образом, препятствие исчезает, если z = a(v-l')v для некоторого peZ, и, в силу 8.1.33, ядро обладает расширением. □ Последнюю часть доказательства можно заменить следующим более элементарным рассуждением. К образующим и соотношениям группы G присоединим образующий а и соотношения an = = х • и, a~lga = a (g) для g е G. Получилось задание группы Е. Затем при помощи метода Райдемайстера — Шрайера доказывается, что ядро гомоморфизма E-»-Zn, a*-»l, g ^ О с geG, изоморфно G. Появление в этом контексте доказательства, данного выше, объясняется тем, что в нем существенно используется гомологическая теория расширений.

Когомологии групп обладают обычными функториальными свойствами когомологических теорий. Мы формулируем два из них, а именно, 8.1.36 и 37, но не даем доказательств — они каноничны; см. Вайс [Weiss 1969].

Предложение. Пусть А—группа и 0-»-X->-¥->-

-► Z 0 — короткая точная последовательность Х-модулей. Тогда имеется следующая длинная точная последовательность:

...-^(Х, Х)-5-Я"(А, ¥)^Я"(А, г)4-Я"+1(А, X)-*...

(Ь) Эта длинная точная последовательность естественна в следующем смысле. Пусть X: А -> А — гомоморфизм, и пусть

o-*x4-y4-z-*o

О-»-X-»-Y-»-Z-»-О

— коммутативная диаграмма, в которой верхняя строка есть точная последовательность Х-модулей, нижняя строка — точная последовательность Х-модулей и вертикальные стрелки — «.гомоморфизмы», т. е. удовлетворяют условиям вида /(а • ж) = Х(а) •/(ж). Тогда следующая диаграмма коммутативна и ее строки точны:

...-^H^Xy^lT (A, Y) 4 Ни (A, Z) Л Яп+1 (А, X) .

...->ЯП(А, Х)-*Я"(А, ¥)-*Яп(А, г)->Яп+1(А, Х)^...

Доказательство см. [Weiss 1969, 2.2.4 и 2.2.5] или проделайте как упражнение 8.2. □_ _ _

Предложение. Пусть (A, Z, 0) и (A, Z, 0)—абстрактные ядра с абелевыми Z и Z. Пусть Y и Y — расширения, отвечающие этим ядрам и определяющие классы а^Н^^Х, Z) и аеН2^Х, Z). Пусть f: Z-»-Z и <р: А ->- А — гомоморфизмы. Группу Z можно рассматривать и как Х-модулъ, полагая a-z = = <p(a) z. Тогда существует такой гомоморфизм g: Y ->- Y, что диаграмма

1-»-Z->-Y->-А-»-1

4 4_ ф£

1->Z-*Y-*A-*1

коммутативна тогда и только тогда, когда:

/ есть Х-модульный гомоморфизм,

/*(а) = <р*(а).

Доказательство см. [Weiss 1969, 5—1—1] или проделайте в качестве упражнения 8.3. □.

В качестве упражнения докажем следующее предложение, которое будет использовано в § 12.3.

Предложение (Циммерман [Zimmermann 1980]). Пусть (A, G, Q) — абстрактное ядро. Предположим, что центр Z группы G изоморфен 1? и что группа А конечна. Тогда сущест-

351

«ует расширение В группы (2,тТ с некоторым тп посредством группы А такое, что абстрактное ядро (В, G, Q') обладает расширением. Здесь Й' определяется коммутативной диаграммой

Доказательство. Если расширение, отвечающее ядру ^А, G, Q), существует, то положим В = А. В противном случае пусть же Я3(A, Z)— препятствие к существованию расширения. Так как группа А конечна, то и Я3 (A, Z) конечна. Обозначим через тп порядок класса х. Точная последовательность

l-^Z^Z^Z^CZm)"^!

определяет часть

№ (A, (Zm)n) ^ Н» (A, Z) — Н» (A, Zn)

длинной точной когомологической последовательности. Так как m • х = 0, то существует у е Я2 (A, (Zm)n) с бу = х. Элемент у отвечает расширению

l-^Zm^B-^A-H.

Рассмотрим диаграмму

Я3 (A, Z)-^-> Я3 (В, Z)V р* hЯ2 (A, (Zm)n)-^2(B, (Zm)"),

которая коммутативна в силу 8.1.36. Элемент р*^ определяет такое расширение

l-*(Zm)"-*C^B-^l,

что следующая диаграмма коммутативна, см. 8.1.37:

l->(Zm)n->C-tB->lld| I’' |₽1^(гтГ->вЛА->1.

Мы покажем, что

X: С -> {(а, 6) е В X В | р (а) = р (b)}, с ~ (q (с), q (с)),есть изоморфизм. Если Х(с) = О, то q(c) = q' (с) = 0; следователь-но, с е (Zm)n и c = q' (с) = 0. Теперь пусть (а, Ь)еВХВ с р(а) == р (Ь). Возьмем а' е С с q (а') = а. Тогда q' (а') = к ■ b с к e(Zm)”,

и потому к (к *•»') = (», 6). Поэтому X есть изоморфизм и С — полупрямое произведение групп В и (Zm)n, так как В можно вложить в С как диагональ по формуле Ъ ►-► (Ъ, Ь). Следовательно, P*(Z/) = O, и отсюда

O = S(p*(p)) = p*(S(y)) = p*(z).

Поскольку препятствие естественно относительно р*, то существует расширение, отвечающее абстрактному ядру (В, G, Й'). □

Упражнения 8.1—3.

§ 8.2. Разрывные группы движений евклидовой плоскости

Как и выше, мы будем отождествлять евклидову плоскость с полем С комплексных чисел и пользоваться представлениями групп движений из 7.1.19.

Определение. Пусть G —разрывная группа движений евклидовой плоскости. Через Т обозначим группу переносов, содержащихся в G.

Лемма, (a) T<G.

(b) Группа Т изоморфна 1, или Z, или 7?.

Доказательство, (а) Пусть tsT. <(z) = z + c, с е С. Сопрягая преобразование t посредством /, /(z) = az + 6, мы получаем преобразование z >-> z + -^-, т. е. перенос. Аналогично, и для /(z) = az + b мы получаем перенос.

(Ь) Это—следствие предложения 7.4.4. □

Лемма. Существуют такие точка р е С и ее окрестность V, что из gV П V ^ 0, g е G, следует, что g= 1.

Доказательство. Согласно определению, существуют точка g е С и окрестность UT (q) = {z е С | a (z, q) < 1/r} такие, что

|{g = GlgZ7r (g) П 77r(g)=/= 0}| < оо.

Положим U :=Uir(q). Так как U пересекает только конечное число осей симметрий из G и содержит только конечное число центров вращений, то существует точка p^U, не являющаяся ни центром вращения, ни точкой оси симметрии из G. Такая точка обладает окрестностью с требуемым свойством. Действительно, в противном случае для каждого fi е N существовали бы q„ ^Un(p) и g„ е G такие, что gnU^e Un(P) и gn ^ 1. Для п^ ^- имеем

d <<ъ gn (q)) < а (р, 9) + a (p, q^ + a <qn, gn (gn)) + a (gn (q^, gn (p)) + +a {gn (p), g„ (g))< -^ + 4- + -^ + -r + ^<-r-

Поэтому gnUr^u Ur^q^ 0. Отсюда следует, что существует такая подпоследовательность п„ г е IN, что все gu^ равны одному и тому же элементу g'. Имеем qu -► р и gn(qn)^- р. Следовательно,

g' (р) = lim g' (qn) = lim gu (qn\ = p,

П~>ООj-»OO

23 x, Цишанг и др.

-что противоречит предположению, что р не является неподвижной точкой нетривиального преобразования из G. □

Прямым следствием леммы 8.2.3 является

Теорема. Для точки р такой, как та, что доставляется леммой 8.2.3, множество

D:=Vq^C\d(>p,q')<1d(vp,g^ VgeG} =

= Д {9 е с | d [р, q'lCd (р, g (q))}

называется областью Дирихле. Она обладает следующими свойствами-.

D есть пересечение полуплоскостей и потому выпукла;

Df}gD^0, g е G g = 1;

UGg2) = C. □

Теперь мы обсудим случаи различных G, описывая их области Дирихле и действие группы G на границе области Дирихле.

Случай Т = 1. Так как Т = 1, то G не содержит вращений с различными центрами. Далее, поскольку квадрат скользящей симметрии является переносом, G не может содержать скользящих симметрий. В силу разрывности группы G, группа

Рис. 8.2.1

поворотов, содержащихся в G, имеет конечный порядок и цик- лична. Оси различных отражений из G не могут быть параллельными, поэтому их произведение является поворотом, сохраняющим пересечение осей. Это доказывает следующее

Предложение. Если подгруппа Т переносов группы G тривиальна, то имеются следующие возможности:

Gs 1.

G^Zn и G состоит из поворотов с общим центром q на углы 2n.k/n, к = 0, 1, ..., п — 1.

G sZ2 и G состоит из отражения относительно одной оси и тождественного отображения.

G s Dn- Группа G состоит из поворотов на углы 2лк/п с центром qeC и из отражений относительно п осей, которые пересекаются в точке q; углы, образованные парами соседних осей, равны я/п.

Области Дирихле D и действие группы G на dD показаны на рис. 8.2.1. □

Случай T^Z- Направление переноса при его сопряжении посредством поворота на угол а изменяется на угол а. Поэтому группа G может содержать только повороты на угол л. Если G содержит отражения, то их оси либо параллельны направлению переносов, либо ортогональны ему. Если G содержит скользящие симметрии, то их оси параллельны направлению переносов. В этом случае группа G порождается скользящей симметрией. Эти соображения доказывают следующее предложение.

Предложение. Если подгруппа Т переносов групп» G изоморфна Z, то имеются следующие возможности;

G = Т ^ Z. В этом случае G состоит из степеней одного переноса.

G ^ О» s Z2 * Z2, [G: Т] = 2. Группа G состоит из степеней одного переноса на расстояние а и поворотов на угол л с

Рис. 8.2.2

центрами, лежащими на одной прямой с интервалами а/2. Направление этой прямой совпадает с направлением переносов.

G ^ Z, [G : Т] = 2. Группа G порождается скользящей симметрией, а Т состоит из ее четных степеней.

G s Z2 Ф Z = Z2 ф Т. Группа G порождается переносом и отражением, ось которого параллельна направлению этого переноса. G содержит скользящую симметрию с той же осью.

G ^ D<x> = Z2 * Z2, [G : Т] = 2. Группа G порождается двумя отражениями с параллельными осями, Т порождается их 23* 355

.произведением, представляющим собой перенос в направлении, перпендикулярном направлению осей, на расстояние, в два раза большее расстояния между осями.

Области Дирихле D и действие группы G на dD показаны на рис. 8.2.2. □

Остался случай Т = Z ф Z, в котором область D компактна. В следующих ниже предложениях перечисляются все возможности для этого случая, но доказательство полноты этого списка

мы отложим. В естественном доказательстве рассматривается регулярное накрытие C/T-*-C/G и все возможности исследуются либо при помощи эйлеровой характеристики и некоторых прямых рассуждений, либо при помощи канонических форм разрывных групп движений плоскости, ср. § 7.3. Мы не последуем этому плану, а докажем, что «эффективное» расширение группы Z Ф Z имеет желаемый вид.

Предложение. Пусть Т = Z ф Z, и пусть все элементы группы G сохраняют ориентацию. Тогда имеются следующие возможности:

(a) GO = T = Z ф Z и G состоит из переносов.

(к) Gb= (s4,s2, s3, s41 Si= s2= s| = s4 = s4s2s3s4 = 1\Gb/T ~ Z2.

Gc= (s4,s2, s3 I Si =s2 =s3 = s1s2s3 =1\Gc/T =Z3.

Gd= <svs2, s31 st =st =S3 = SjS2s3 =1),Gd/T ^Z4.

Ge= <s4,s2, s31 s4 =s2 =s3 = s4s2s3 =1\Ge/T ^Z3.

Геометрическое описание представлено на рис. 8.2.3. □

Используя описание, доставляемое рисунком 8.2.3, или метод Райдемайстера — Шрайера, можно показать, что Gd содержит экземпляр группы Gb как нормальную подгруппу индекса 2. Группа Ge содержит в качестве нормальной подгруппы экземпляр группы G6 (индекса 3) и экземпляр группы Gc (с индексом 2).

Другие интересные подгруппы группы G* (ж = b, с, d. е) можно построить следующим образом. Обозначим через пТ подгруппу nZ Ф nZ группы Т = Z Ф Z- Пусть у — элемент конечного порядка группы Gx, образ которого порождает Gx/T. Тогда группа, порожденная подгруппой пТ и элементом у, изоморфна Gx. Этот изоморфизм можно реализовать как сопряжение группы Gx посредством преобразования z >-* nz.

Предложение. Пусть Т = Z Ф Z и С/G есть ориентируемая поверхность. Тогда имеются следующие возможности:

Gy = (cj, с2, е | с? = cl = с1ес1е-1 = с^есге~г 1),

G//T = Z2 = Dv

(?) Gg = (с4, с2, с3, с41 Ci = с2 = С3 = с4 = (с4с2)2 = (с2с3)2 =

= (с3с4)2 = (с4с4)2 = 1>, Gg/T - Z2 Ф Z2 = D2.

№ Gh = <cv c2, c3 I c? = cl = ci = (c4c2)3 = (c2c3)3 = (c3Cj)3 = 1>,

Gh/TsD3.

Gj = <CV C2, C3 I Ct = Cl = d = (C4C2)4 = (C2C3)4 = (C3CJ2 = 1>,

Gt/T ^ Dt.

(!) G, = <cv c2, c31 cl - cl = c| = (C1c2y = (c2c3)3 = (c3c4)2 = 1>,

G;/T D6.

Gft = <s4, c4, c21 st = cl = cl = (c4c2)2 = (c2s1c1sr1)2 = 1>,

Gft/T = Z2 Ф Z2 = D2.

G( = <s4, c41 cl = s? = (cxS^sr1)3 = 1),

Gi/T-Dg.

Gm = <sn C11 c? = sf = (с^ед ^ = 1), Gm/T~D4.

Gn = (s1, S2, с I C2 = 81 = $2 = С8182С8281 = 1), Gn/T = Z2 Ф Z2 = Юг-

Геометрическое описание представлено на рис. 8.2.4. Под

группами сохраняющих ориентацию преобразований являются

Т в G,,

Gb в G4, Gb в G„,

Gc в Ga и Gj,

Gd в Gi и Gm,

Ge в G,.

Пре дложе ние. Пусть ■ Т = Z Ф Z, и пусть C/G — неориентируемая поверхность. Тогда имеются следующие воз-

можности:

Ge = <pltp2|py2 = l>, G0/T^Z2 (фундаментальная группа бутылки Кляйна'),

Gp = (с, иг | с2 = си^сщ8 = 1), Gp/T ^ Z2 Ф Z2.

Gg = (Sp S2, иг I S[ = S2 = S1S2^ O' Gg/T = Z2 Ф Z2.

Геометрическое описание представлено на рис. 8.2.4. Подгруппами сохраняющих ориентацию преобразований являются

Т в Go и Gp, Ge в Gg.

Упражнения 8.4—9.

Группа автоморфизмов группы Z Ф Z

Для того чтобы найти расширения данной группы, необходимо знать группу ее автоморфизмов. В рассматриваемом случае эта группа хорошо известна.

Теорема. В группе Z Ф Z выберем какой-нибудь базис и будем представлять автоморфизмы группы Z ф Z матрицами. (Действие будем считать правым1, (п, пг) >-*-(п, пг) А.) Пусть

Тогда

GL(2, Z) = Aut(ZФ Z) = <А, В, В\А3 = В3, А* = В3 = (ВА)3 = = (ВВ)3 = 1> = <А, В\А* = В3 = (BA)3 = 1> »о2<В, В\В6 =

= В3 = (ВВ)3 = 1> - D4 *о2 D6, еде Da = <В, Л2> = <В, В3), и

SL(2, Z) = <А, В| А3 = В3, Л» = 1> = <Л | А* = 1> .^ {В | В6 = 1>, еде Z2 = <А3> = <В3>.

Доказательство. Покажем сначала, что матрицы А. В и В порождают GL(2, Z). Пусть

-;). с=5л=(;»).

Тогда

/а Ъ\_(а-пс b-nd\/а 6\_ /а b - па\

Ь \с d)~\ сd Г \е dKd — nc)'

\е а)1.6 + па а + пб/* \е a) U + па а)*

Следовательно, умножая матрицу слева на степени матриц С и D, мы можем приводить а по модулю с и с — по модулю а. Этот

359

процесс остановится, только если одно из этих чисел станет нулем, а другое — единицей или минус единицей. Можно добиться, чтобы с = 0. Таким образом, мы получили матрицу ^~ ^. Ясно, что d = ±1. Умножая на степень матрицы С справа, мы избавимся от b и получим матрицу (^ + ^. Проверив соотношения, участвующие в заданиях из формулировки теоремы, мы легко убеждаемся в том, что А, В порождают SL(2, Z), а вместе с ВА - и GL^, IY

Для того чтобы доказать, что указанные соотношения являются определяющими, рассмотрим сначала группу SL{2, Z). Формула

определяет эпиморфизм SL^, Z) ^ SLF (2, Z). Его ядро состоит из Е = ^0 J и — Е. Группа SLF (2, Z) действует в Н* как разрывная группа движений. Это действие хорошо известно, ср. 7.4.13. Из его фундаментальной области мы получаем классическим образом (ср. § 7.3) образующие и определяющие соотношения этой группы. Таким образом, доказывается, что SLF (2, Z) = Z2 *Z3, где образующими являются образы матриц А и В. Каждое соотношение в SL(2, Z) индуцирует соотношение в SLF(2, Z). Поэтому оно содержит сомножители, которые отображаются в элементы, сопряженные определяющим соотношением гуппы SLF(2, Z)> и, возможно, другие сомножители, принадлежащие ядру. Поскольку — Е коммутирует со всеми элементами, соотношение в SL (2, Z) есть произведение элементов, сопряженных с А2 и В3 и степеней элемента —Е. Так как —Е N= Е и элемент А2 = В3 = —Е принадлежит центру группы SL(2, Z), то любое соотношение является следствием соотношения (—ЕУ = Е и приведенных выше соотношений.

Чтобы получить определяющие соотношения для GL (2, Z), нужно только узнать, как В действует на образующих группы 5£(2, Z) и какой элемент равен наименьшей степени элемента В. принадлежащей SL^, Z). Поскольку R^SL{2, R), остается добавить соотношения В2 = Е и ВАВ~1 = Л-1, ВВВ~1 = = B~v к соотношениям группы 8Ц2, Z), чтобы сделать набор соотношений полным. □

Чтобы найти конечные расширения группы Z ф Z, нужно знать конечные подгруппы группы GL^^ Z). Как и в доказательстве того, что элементы конечного порядка в свободном произведении с отождествлением сопряжены элементам, принадлежащим одному из сомножителей, мы получаем, что конечные подгруппы сопряжены подгруппам, лежащим в одном из сомножителей. Поскольку мы не можем сослаться по поводу этой теоремы на книги по комбинаторной теории групп, приведем ее доказательство.

Лемма. Пусть G = Gx *AG2, г е G„ i = 1 или 2 и У=иги4 • • ■ Vnkun1... у?1 — элемент группы G, представленный в Нормальной форме (т. е. каждый vt принадлежит одному из сомножителей, но не принадлежит А, причем v„ р1+1 принадлежат разным сомножителям, к принадлежит сомножителю, не содержащему рп, и к^Х}. Если ху имеет конечный порядок, то либо п = 0, либо и^1 ... Ui1xv1 ... рп е А.

Доказательство. Пусть п > 0, и пусть тп— порядок элемента ху. Тогда

1 = XVt . . . Рцкий1 . . . Р?^! . . . рГ^Рг • • • VnkVn 1 . . . pf1.

Если pf^Pj ^ А, то правая часть есть элемент длины пг{2п + + 1) + тп или тп{2п— 1)+?п и потому не равна единице. Теперь лемма доказывается по индукции. □

Из леммы 8.3.2 вытекает, что элементы конечного порядка сопряжены элементам, принадлежащим сомножителям. Более того, имеется

Следствие. Пусть G = Gx *aG2 и UcG — конечно порожденная подгруппа, состоящая из элементов конечного порядка. Тогда U сопряжена подгруппе одного из сомножителей. □

Это следствие вытекает также из теоремы о подгруппе работы Карраса и Солитэра [Karrass — Solitar 1970]. Предположение о конечной порожденности подгруппы U в действительности не является необходимым.

Лемма, (а) Следующие два набора состоят из элементов, попарно сопряженных в GL{2, Z)- Элементы разных наборов не сопряжены в GL {2,7,};

{R, RB, RB2, RB3, RB\ RB^,

{RA, RA3}.

Подгруппа группы GL {2,7}, изоморфная Z2, сопряжена в точности одной из следующих трех подгрупп; {1, R}, {1, 7?Л}, {1, Л2}. Подгруппа, изоморфная D2, сопряжена одной из следующих подгрупп; (1, R, RA2, Л2), {1, RA, RA~l, Л2}.

Подгруппы {1, В2, В4, R, RB2, RB4} и {1, В2, В4, RB, RB3, RB3} не сопряжены в GL (2, Z). Каждая подгруппа группы GL{2,7}, изоморфная D3, сопряжена одной из этих подгрупп.

Доказательство. В силу соотношений из 8.3.1, AB2{RB}B-2A-t = AB2RB-tA-t = AB2BAR = R, B(RB2) В-1 = = BRB = R, A{RB3}A~l = ARA2A~'= ARA = А и RA3 = = Л~‘ {RA} А. Теперь допустим, что R hRA=(q _ J сопряжены в GL{2, Z). Тогда существует такая матрица ^. ^ с а, Ь, с, d е Z и ad — be = ±1, что

/а 6\ /1 0 \ /0 1\ /а Ь\

U d) kO — 1/ \1 0/ \с d)*

из чего вытекает а = с и —Ъ = d, но тогда ±1 = ad — be = 2ad, что невозможно.

доказывается непосредственно. Справедливость (с) вытекает из 8.4.17 и 8.4.18, поскольку данные группы определяют неизоморфные расширения подгруппы U. □

Поскольку, в силу 8.3.3, в свободном произведении с отождествлением конечные подгруппы сопряжены подгруппам сомножителей, из 8.3.1 и 8.3.4 мы получаем

Следствие. В следующей таблице перечислены все конечные подгруппы группы GL(2, Z).

Случай

Конечные подгруппы группы

сопряженные группе, состоящей из

изоморфны группе

А

SL (2, Z)

в

SL (2, Z)

1 Л2

Z,

с

SL (2, Z)

1 S2 В4

Z3

SL (2, Z)

и’ А, А2, А3

z*

Е

SL (2, Z)

1, В, В2, В3, В4, В3

Z,

F

GL (2, Z)

Н’ о)

Bi^Z2

G

GL (2, Z)

Dr az.

н

GL (2, Z)

1, А2, В, ВА2

D^Z, Ф Za

т

GL (2, Z)

1, А2, В А, В А3

D2s z,® z.

т

GL (2, Z)

1, В2, В4, В, ВВ2, ВВ4

К

GL (2, Z)

1, ВВ, В2, ВВ3, В4, ВВ3

d.

L

GL (2, Z)

A1, BA1 (i =0, ..., 3)

d4

М

GL (2, Z)

В*, ВВ1 (1 = 05)

Упражнение 8.10. □

Эффективные расширения группы Z ф Z

Мы дадим элементарное доказательство того, что каждое конечное эффективное расширение группы Z Ф Z изоморфно некоторой кристаллографической группе евклидовой плоскости (теорема 8.4.1). Это — специальный случай теоремы 8.5.18 о кристаллографических группах произвольной размерности, однако доказательства этих теорем очень различаются. Еще одно доказательство теоремы 8.4.1 можно было бы дать средствами когомологической теории расширений. Связь с этой теорией мы рассмотрим в § 8.7.

Теорема. Пусть Т = Z ф Z, и пусть Q — группа, содержащая Т в качестве нормального делителя конечного индекса. Предположим, что выполнено следующее условие;

Если ge G имеет конечный порядок и если g~ltg = t для всех t е Т, то g = 1.

Тогда G изоморфна разрывной группе движений евклидовой плоскости с компактной фундаментальной областью. Если группа Т представлена как группа параллельных переносов евклидовой плоскости, то G можно геометрически реализовать как группу аффинных преобразований, содержащую Т.

Доказательство этой теоремы займет все место до 8.4.20.

Определение. Формула g*-* (t•-► g^tg) определяет гомоморфизм a: G->-AutT ^GL(2, Z). Положим

U := {ge G| a(g) = idT},

H:=G№(2, Z) = {geG|deta(g)>0}.

(Детерминант deta(g) определяется при помощи базиса группы Т и представления автоморфизма a(g) матрицей в этом базисе. Эта матрица определена с точностью до сопряжения в GL(2, Z), и потому deta(g) не зависит от выбора базиса.)

Непосредственно из этого определения вытекает

Лемма. (a)G>H>U>T.

Группа G/Uизоморфнаконечнойподгруппегруппы

GL(2, Z).

Группа H/Uизоморфнаконечнойподгруппегруппы

SL (2, Z).

Группа G/H тривиальна или равна Z2-

Сначала мы докажем (в 8.4.6), что группа U изоморфна Z Ф Z, затем (в 8.4.11)—что Н есть одна из групп Ga, Gb, Gc, Gd и Ge из 8.2.9, и, наконец, (в 8.4.13—20) найдем расширение G группы Н.

Лемма. Пусть V — свободное от кручения конечное расширение группы Т ^ Z”, и пусть действие факторгруппы V/T в Т тривиально, т. е. v~Yuv = и для любых и е Т и и eV. Тогда V ^z".

Доказательство. Пусть х, у е V и t, и е Т. Тогда [xt, уи] = xt - уи • t~lx~l ■ u~ly-t =

= хух^у-1 (уху-^ух-'у-1) • (.ухиНх^у-1^ • (gu-‘g-*) =

= |>, у] • 1иГ1и"1 = [х, у],

поскольку V действует в Т тривиально и коммутант группы Т тривиален. Следовательно, V и V/T имеют изоморфные коммутанты. Так как группа V/T конечна, а группа V не имеет элементов конечного порядка, коммутант группы V тривиален, т. е. V абелева, не имеет периодической части и содержит Z" в качестве подгруппы конечного индекса. □

Как специальный случай этой леммы мы получаем первое утверждение следующего предложения.

Предложение, (а) U ^ Z Ф Z-

(b) U является максимальной абелевой и характеристической подгруппой группы G.

Доказательство утверждения (Ь). Если элемент g Е G перестановочен со всеми элементами группы U, то он должен иметь конечный порядок в силу 8.4.5. Так как Тс U, то g = 1 в силу условия 8.4.2. Следовательно, U есть максимальная абелева подгруппа и U есть централизатор подгруппы Т в G. Пусть теперь if: G -»- G — автоморфизм. Из неравенств [G: U] С С [G : Т] < оо следует, что [G : ф(1Т) Л U] < оо и [Т : -ф(U) П U П П Т] < оо. Следовательно, все элементы группы rp(U) перестановочны с элементами группы Т, и потому if(U)cU. Однако [G : -ф(U)] = [G : U] < оо, и, значит, i|)(U) = U. □

Теперь определим Н. Возможные действия группы H/U в U описаны в следствии 8.3.5 случаями А—Е. Случай А охватывается предложением 8.4.6. Используя подходящий базис, мы можем считать, что H/U действует в U как степени элементов, указанные в следствии 8.3.5, случаи В—Е. Пусть а, b — такой базис. Тогда действие образующего группы H/U описывается формулами

(8.4.7В)х~^ах = a-1, x-lbx = Ь~1,

(8.4.7С)у^ау = а~'Ь, у-4Ьу = а-\

(8.4.7D)z-laz = b-1, z~'bz = a,

(8.4.7Е)(8.4.7Е)t~lat = b, t~lbt = a~lb.t~lat = b, t~lbt = a~lb.

(8.4.7Е)

(8.4.7Е)

t~lat = b, t~lbt = a~lb.

t~lat = b, t~lbt = a~lb.

Обозначим представителя образующего через |. Расширение будет описано, если мы укажем, кроме того, степень элемента |, принадлежащую подгруппе U. Эта степень должна быть неподвижна при автоморфизме группы U, определяемом сопряжением посредством §. Поэтому мы должны найти целочисленные решения т и п следующих уравнений (8.4.8 В—Е):

(8.4.8 В)(8.4.8 В)(8.4.8 С)(8.4.8 С)(n, m) = (n, т) ( у _у = (— (га, т^ = (га, ш) (_ ^= (—(n, m) = (n, т) ( у _у = (— (га, т^ = (га, ш) (_ ^= (—п — т, п),п — т, п),

(8.4.8 В)

(8.4.8 В)

(8.4.8 С)

(8.4.8 С)

(n, m) = (n, т) ( у _у = (— (га, т^ = (га, ш) (_ ^= (—

(n, m) = (n, т) ( у _у = (— (га, т^ = (га, ш) (_ ^= (—

п — т, п),

п — т, п),

(8.4.8 D)(п, тп) = (n, т) ^^ = (т, — п),

(8.4.8 Е)(и, т) = (п, т) ^^^ = (—т, п-V т\

В каждом случае существует только тривиальное решение п = т = 0. Поэтому, для того чтобы получить задание группы Н, мы должны взять соотношение [а, 6] = 1, соотношения (8.4.7) и соотношение |‘ = 1, где к — порядок группы Н/U. Это дает следующие возможности, где обозначения для групп Gb, Gc и т. д.

такие же, как в 8.2.9:

<а, b, x\a~lb-lab = x-laxa = x-lbxb = х2 = 1>= =<х, и, кк2 = и2 = и2 = u"2xv-lux~lv = 1>=

=<х, и, и, u>k2 = и2 = р2 = ip2 = wuxv = 1>= Сь, где и = ха, v = xb и w = ихи.

<а, b, y\a~lb~lab = у-*ауЬ-1а = y~lbya = у1 = 1>= = <b, у\у~*Ь~*уЬ~1х~1ЬуЬ = у-гЬугЬу-1Ьу = у3 = 1> =

=<u, р|и3 = р3 = (up)3 = 1>^Gc, где и = у2 и р = у~Ч>.

(8.4.9D) <а, Ь, г\а~'Ь~1аЬ = 1, z~*az = b~‘, z^bz = a, z4 = 1>= =<а, z\a~lz~lazaz~la~lz = z* = 1, z-2az2 = a~*> =

=<z, ulz4 = a2 = (uz)4 = l>s Gd, где и = az2.

(8.4.9E) <a, b, t\a~lb~lab = t6 = 1, t~lat = b, t~lbt = a~lb>= =<a, tit6 = a-'f-'a-'taf'at = t-2ata-,ta = 1>.

Используя третье соотношение, получаем из второго: q-'t-'g-'tat-'at = g-^^a^tat = а"*Ч-3а~Н3

и, окончательно, получаем задание

<р, t|te = p2=(tp)3 = l>-Ge,

где р = а~Ч~3.

Все зти расширения реализуются геометрически, как видно из рис. 8.2.3. Таким образом, доказано

Предложение. Группа Н изоморфна одной из групп Ga — Ge и может быть реализована как группа аффинных преобразований таким образом, чтобы группа Т оказалась представлена параллельными переносами. Подгруппой всех параллельных переносов в Н служит U. □

Наконец, мы хотим определить расширения G групп Н. Поскольку группы автоморфизмов возможных Н мы знаем недостаточно хорошо, рассмотрим G как расширение группы U. Снова выберем такой базис, чтобы индуцированные автоморфизмы группы U = Z ф Z описывались случаями F — М следствия 8.3.5. Простота определения возможных Н была связана с тем, что матрицы Л и В не имели неподвижного элемента в U, но теперь это уже не так, и нам придется найти элементы, неподвижные относительно образующих групп G/U. Ответ дан в следующей таблице. Преобразования соответствуют образующим групп G/U, которыми мы пользуемся в последующих заданиях.

8.4.11. Лемма. Для произвольного к ^Z имеются следующие ситуации-.

Матрица

Неподвижные элементы

Преобразования

Н? 2)

(к, к)

Г

(к, 0)

9, rz

RA" = Го 1 '

№,к^

qx

(.к, - А)

ТХ, РУ

^=(=:;)

(к, - 2А)

ту

нв=^ о1 !)

(0, А)

р, rt

Случай F. Согласно общему подходу к задаче расширения, возможные кандидаты имеют задания следующего типа: (а, Ь, т | [а, 6] = 1, r-1ar = b, r^br = а, г2 = ahbh') с к е Z. Если заменить г элементом г' = ra\ то последнее соотношение превратится в

г'2 = гаУа' = Wa? = a^b**1,

тогда как другие соотношения останутся прежними. Таким об-

Рис. 8.41Рис. 8.41разом, имеется только одно расширение, и оно обладает следующим заданием:

Рис. 8.41

Рис. 8.41

<а, Ь, г | [а, Ь]= 1, т^аг = b, r~lbr =

= а, г2 = 1>=<с, р|с2 = р-2ср2с = 1>= Gp, где с = г, v = ат. Эта группа — такая, какая нужна, см. рис. 8.4.1.

Случай G. Нужно рассмотреть задания

(a, b, q | [а, Ь] = 1, q-1aq = a, q-xbq = b~\ • q2 = ah), keZ.

Если заменить q элементом q' = qa‘, то последнее соотношение превратится в

q'2 = qa‘qa' = q2a“ = ak*ti.

Поэтому возможные расширения имеют одно из следующих двух заданий:

(а, 6, q | [а, 6] = 1, q^aq = а, q-1bq = b~\ q2 = 1) = = (сц с2, а | Ci = с2 = cvacxa~v = с2ас2а-1 = 1) ^ G/,

где с, = q, с2 = qb, или

(a, b, q | [а, 6] = 1, q-1aq = а, q-1bq = Ь-1, (f = а) =

= <Vi, v21М = 1> Go, где vt = q,v2 = q^b.

Оба случая действительно встречаются среди кристаллографических групп (см. рис. 8.4.2).

Рис. 8.42

Случай Н. В этом случае возможные расширения имеют одно из следующих заданий:

<а, Ь, х, г 1 [а, &] = 1, х~‘ах = а-1, х~1Ьх = Ь-1, г-1 аг = Ъ,

r^br = а, х2 = 1, г2 = акЪ\ (гх)2 = а'Ь-^, к, leZ.

Если заменить г элементом г' = га~* и х — элементом х' = = ха-,-к, то получится:

г'2 = га~*га~* = т^Ъ^а-* = 1,

(r'x')2 = ra~kxa~l~kra~kxa~l~k = ^гхуЬ’а~1 = 1, а все остальные соотношения останутся прежними. Поэтому имеется самое большее одно расширение, и оно обладает заданием

^а, Ь, х, г | [а, 6] = 1, х-1ах = а-1, х-1Ъх = Ъ-1, г-1 аг =

= b, г-1Ьт = а, х2 = г2 = (гх)2 = 1) =

= <с15 Су $11С1 = Сз = (с^)2 = s? = (s^s^)2 = 1> ^ Gft, где Ct = г, с2 = гх, «1 = ха.

Это расширение также реализуется аффинной группой, см. рис. 8.4.3.

Случай I. Возможные расширения имеют одно из следующих заданий:

<а, Ь, х, q | [а, fr] = 1, х-1ах = а-4, x-lbx = b~l, q~‘aq = а,

q~‘bq = b~\ х1 = 1, д2 = а*, (дх)2 = Ь'>, к, I е Z-

Заменяя g элеметом q' = qa* и х — элементом х' = xb1, получаем

из двух последних соотношений соотношения g'2 = qa'qa* = д2а2* = а**2", (q'x')2 = qa'xb’qa'xb1 ^qx^b23 = 6,+2\

тогда как все остальные соотношения не меняются. Поэтому у нас остается четыре задания с к, Ze={0, 1}.

При к = I = 0 получаем

<а, Ь, х, q | [а, 6] = (ха)2 = (xbf = х2 = q2 = (gx)2 = (gd)2 =

= qaqa-i = 1> = <съ c2, c3, c41 cl = й = c^ = 4 = (C1c2)2 =

= (С2Сз)2 = (C3C4)2 = (C4C1)2 = 0 — ^gl

где Ci = g, c2 = gx, c3 = qb и c^ = qxa (см. рис. 8.4.4).

Рис. 8.43Рис. 8.43Рис. 8.44Рис. 8.44

Рис. 8.43

Рис. 8.43

Рис. 8.44

Рис. 8.44

Группы с к = 1, Z = О и с к = О, Z = 1 изоморфны: изоморфизм определяется формулами а b, b -* а, х -* х, g дх. Первая из этих групп обладает заданием

(а, Ь, х, g | [а, 6] = (ха)2 = (хй)2 = х2 = д2а~1 =

= (дх)2 = д-1ада-1 = q^bqb = 1) =

= <s1? s2, с | с2 = s2 = s2 = cs1s2cs2s1 = 1) ^ Gnt

где st = х, s2 = xb, с = q~lx (см. рис. 8.4.5).

При к = I = 1 получаем

(а, Ь, х, д | [а, 6] = (ха)2 = (хд)2 = х2 = д^ада-1 =

= q-1bqb = д2а-1 = (дх)2 Ь-1 = 1) =

= (sv s2, v I Si = s| = S^p2 = 1) ^ Gg,

где St = ха, s2 = x, v = g (см. рис. 8.4.6).

Случай J. В этом случае имеем задания

<а, Ь, у, г I [а, 6] = 1, y~lay = a-lb, у~1Ъу = а-1, г~*аг = Ь, r^br = а, у3 = 1, г2 =* a*bh, (ry)2 = a’b-2^, кг I

Если заменить г элементом г' = га-* и у — элементом у' = yb!+*, то последние два соотношения преобразуются:

г'2 = га~кга~к = iAb-ka-k = 1, (r'y')2 = га-*уЬ'+*га-*уЬ'+* = гуакЬ-к+1+кгуакЬ-к+1*к =

= ryrbkalyakb’ = ryrya~ka~lblakbl = a”b” = L

Поскольку остальные соотношения не изменяются, имеется са-Поскольку остальные соотношения не изменяются, имеется са-

Поскольку остальные соотношения не изменяются, имеется са-

Поскольку остальные соотношения не изменяются, имеется са-

описан указанным выше заданием с к и I, равными 0. В качестве новых образующих можно взять

ci = гу,г = с2,

с2 = Г,У = С^Ср

с3 = ry-1b, b = с^с^Сз,

(1 = Сх с2с3 с^.

Это приводит к заданию

<Ср с2, С3 | С1 = с2 = Сз = (с1с2)3 = (с2с3)3 = (CgCj3 = 1) ^ Gh.

Такая группа реализована на рис. 8.4.7.

Случай К. В этом случае мы должны рассмотреть задания

<а, Ь, у, р I [a, i>] = 1, у~'ау = a-1b, y~lby = а-1, р~'ар = а-1д, р-'Ър = b, у3 = 1, р2 = Ьк, (ру)2 = a’b-!>, kje?,.

Если мы заменим р элементом р* =ра~к и у — элементом у'= = ybi+2k, то получим р'2 = у'2 = 1. Поэтому можно ограничиться случаем к = I = 0. Далее, имеются гомоморфизмы

<а, Ь, у, р I [а, d] = 1, у^ау = a~lb, у~1Ъу = а-1, p~lap = а~1Ь,

p^bp = b, у3 = 1, р2 = 1, (ру)2 = 1>^

?± <s, с | с2 = s3 = (cscs-1)3 = 1> G

24 х Цишанг и др.

где ф и ф определяются формулами ф(р, у, а, Ь) = (с, scs-1c, cscs, scs~‘cs) и ф(с, s) = (p, у-1Ь). Так что фф и фф— тождественные отображения. Геометрическая реализация показана на рис. 8.4.8.

Рис. 8.48

Случай L. Здесь мы должны рассмотреть задания

<а, 6, z, г | [а, 6] = 1, z~*az = b~\ z~*bz = а, r~lar = Ь, r~*br = a, z* = 1, г2 = akbk, (rz)2 = а‘>, к, I е Z.

При г' = га~к и z' = za? получаем г'2 = 1 и (r'z')2 = а'+2‘, тогда как остальные соотношения остаются прежними. Поэтому можно считать к = 0 и Ze{0, 1).

370

При I = 0 имеются два гомоморфизма:

<а, Ь, z, г I [а, &] = 1, z~*az = Ь-1, z_,6z = а, г^ат = 6, /-‘Ьг — а, z4 = г2 = (rz)2 = l)^

^ Gi = <С1, С2, с3 | С? = cf = Сз = (с^)4 = (С2С3)* = (C3CJ2 = 1\ заданные формулами ф(съ с2, c3) = (rz~‘a, г, rz) и ф(г, z, а, Ъ) — •=(с2, с2с3, c2c3c2Ci, с3с2С1С2). Так как фф и фф являются тождественными отображениями, группы изоморфны. Это расширение геометрически реализуемо, см. рис. 8.4.9.

Рис. 8.4.9Рис. 8.4.10

При I = 1 находим два гомоморфизма

<а, 6, z, г I [а, &] = 1, z~*az = b-1, z~*bz = а, г~*аг = Ь, r~lbr = a, z1 = г2 = 1, (rz)2 = а)^ фФ

^ Gm = <s, с | с2 = s4 = (cscs-1)2 = 1>, определяемые формулами ф'(8, c) = (z, гА и ф'(г, г, а, Ь) = = (s, с, (cs)2, (sc)2). Композиции ф'ф' и ф ф' являются тождественными отображениями. Следовательно, группы изоморфны. Геометрическая реализация описана на рис. 8.4.10.

Случай М. Здесь мы должны рассмотреть задание <a, b, t, г I [а, 6] - 1, t^at = 6, tr^bt = а-16, r-1ar = b,

i-'br = a, <= = 1, r2 = a*^, (rt)2 = b1}, k,leZ. При r' = ra~k и t' = ta2k~l получаем r'2 =(r't')2 = 1. Поэтому имеется самое большее одно эффективное расширение группы U посредством D6, и им может быть лишь группа G,. Она описывается указанным выше заданием при к = I = 0. Чтобы получить из него задание, приведенное в 8.2.10, положим сх = tr, с2 = г, с3 = t4ra,

Г — С2, t — С^С2 , CL —- С2С^С2С^С2С2, Ь = С^С2С^С2С2С2.

Тогда мы получаем задание

<Сц С2, С3 | С? = С2 = сХ = (CiCj® = (c2c3)3 = (сасху = 1).

Это расширение геометрически показано на рис. 8.4.11.

Соединяя результаты из 8.4.12—19, мы получаем следующее предложение, чем доказательство теоремы 8.4.1 и завершается.

Предложение. Группа G из 8.4.1 изоморфна одной из групп G/ — Gg или совпадает с Н. Она может быть реализована как группа аффинных преобразований таким образом, чтобы Н оказалась подгруппой преобразований, сохраняющих ориентацию, U — подгруппой па/ раллелъных переносов, и под-,

7группа Т действовала заранее

/=^га ^\г=сг/ предписанным образом. □

/' 7Более общую характериза-

// цию конечных эффективных

//расширений разрывных групп

/4 движений евклидовой плоско-

_1 $v * c^tr сти, чем теорема 8.4.1, дает | а ^следующая

Рис. 8.4.118.4.21. Теорема. Пусть G —

группа движений евклидовой плоскости с компактной фундаментальной областью, и пусть Н — ее эффективное конечное расширение. Тогда группа Н изоморфна разрывной группе движений плоскости R2 с компакт

ной фундаментальной областью. □

Эту теорему можно обобщить на случай произвольной размерности (см. теорему 8.5.18). Прямое доказательство теоремы 8.4.21 следовало бы плану доказательства теоремы 8.5.18, и потому мы опускаем здесь детали. Грубо говоря, доказательство протекает следующим образом. В силу 8.4.6 (Ь) подгруппа U параллельных переносов является максимальной абелевой и характеристической подгруппой группы G. Докажите, что централизатор подгруппы U в Н не имеет периодической части. Тогда 8.4.5 обеспечит изоморфность этого централизатора группе Z2, и тем самым теорема 8.4.21 окажется редуцирована к 8.4.1.

Другой подход к доказательству теоремы 8.4.21 состоит в том, чтобы скопировать доказательство теоремы 8.4.1 для каждой разрывной группы из списков 8.2.9, 10 и 11. При этом придется изучить строение этих групп. Это хорошее упражнение в комбинаторной теории групп.

Упражнения 8.11—13.

Кристаллографические группы

В этом параграфе мы рассмотрим разрывные группы движений и-мерного евклидова пространства, обладающие компактной фундаментальной областью. Они называются кристаллографическими группами. Главный результат состоит в том, что в каждой размерности имеется только конечное число типов кристаллографических групп. Это резко отличается от неевклидовой ситуации, в которой имеется бесконечно много неизоморфных групп уже в размерности 2. Мы сформулируем здесь знамени-

тые теоремы Бибербаха, но их доказательства отложим до следующего параграфа. Для удобства мы начинаем с более общих понятий разрывности и дискретности. Подробнее с теорией и историей кристаллографических групп можно познакомиться по книге Буркхардта [Burckhardt 1947] и по главе 3 книги Вольфа [Wolf 1967].

Определение, (а) Через Rn обозначается, как обычно, п-мерное евклидово пространство с метрикой

d(x, у) = [_2(х — Z/i)] , где х = (ххzn), у = (г/п ..., г/п). Через А” обозначается п-мерное вещественное аффинное пространство.

(Ь) Группа движений евклидова и-мерного пространства обозначается через Е (га), через А (га) обозначается группа аффинных преобразований пространства А”. Действие в R” элемента g е Е (п) описывается Формулой

(8.5.2) xg = (x)g = (xt, ..., х^ U + (at, ..., а„) = xU + а,

где х = (Х1, ..., х^, a=(at, ..., а„), а^К и UeO^. Здесь через О(п) обозначается группа ортогональных матриц порядка п. Действие элементов группы А (га) описывается той же формулой, но с U е GL(n, R). Пишут g = (U, а) и называют U линейной частью преобразования g, а а — вектором переноса или трансляционной частью. Единичная матрица обозначается через Е„.

Группы О(п) и GL(n, R) отождествляются с подгруппами {(U, 0)1 U^O(n)} и {(Л, 0) | А е GL(га, R)} группы А(га). С каждым элементом re R” ассоциирован параллельный перенос (Еп, х) е Е (га), у -» у + х. Подгруппа параллельных переносов отождествляется тем самым с Rn.

Определение и предложение. (а) Группа А (га) топологизируется посредством коэффициентов, т. е. тем, что рассматривается как подмножество пространства Rn +п. Поскольку детерминант есть непрерывное отображение в R и А (га) является прообразом открытого множества R \{0}, группа к (га) — открытое подмножество пространства Rn +п и потому локально компактна. Поскольку перемножение дифференцируемо, К (га) есть группа Ли.

(Ь) Подгруппа Е (га) наделяется индуцированной топологией. Условия ортогональности выражаются равенствами между непрерывными вещественнозначными функциями. Поэтому Е (га) — замкнутое подмножество группы К(п). Это также группа Ли. О(п) и GL(n,^ тоже получают индуцированную топологию. О(п) компактна. □

Доказательство следующей теоремы оставляется читателю в качестве упражнения в теоретико-множественной топологии.

Теорема, (а) Группа !\{п) действует в /\п непрерывно, т. е. отображение

А"хА(п)-*А”, (x.g^xg, непрерывно. Более того, оно — дифференцируемое и аналитическое.

Топология в 1\{п) совпадает с компактно-открытой топологией, определяемой этим действием.

Стандартная топология пространств R” и К1 совпадает с фактортопологией пространств Е.(п)/О(п) и A (n^/GL (п, R). Соответствующими проекциями служат р: E(ra)->Rn, g^O^g, и q: А(и)-*-[Рп, а ~GL(n, R)-a. □

Теорема. Пусть Г — подгруппа группы Е(п) движений евклидова п-мерного пространства.

Следующие условия равносильны:

Г является разрывной в некоторой точке пространства R”;

Существуют точка уе®" и ее окрестность V такие, что из yg е V, g е Г, следует, что g = 1;

Г является разрывной в Rn;

Г является вполне разрывной в Rn;

Г есть дискретная подгруппа группы Е (га).

Г действует вполне разрывно в R" и имеет компактное пространство орбит тогда и только тогда, когда Г является дискретной подгруппой группы Е (га) и пространство Е (и)/Г компактно.

Если Г замкнута, то она действует свободно в R” тогда и только тогда, когда в ней нет нетривиальных элементов конечного порядка.

Доказательство, (а) Пусть Г разрывна в точкеxeRn. Согласно определению, существует такая окрестность У точки х, что множество {g е Г I xg е У} конечно. Заменив У меньшей окрестностью, мы можем считать, что, кроме того, из xg е У следует xg = х. Пусть В — шар с центром в точке х такого радиуса р, что шар с центром в х радиуса 2р содержится в У. Тогда из Bg П В =#= 0 следует, что xg = х, и, значит, Bg = В. Поскольку множество неподвижных точек любого нетождественного движения является аффинным подпространством меньшей размерности, существует точка у G В, не являющаяся неподвижной ни для какого преобразования, входящего в стабилизатор точки х, кроме тождественного. Следовательно, у не является неподвижной ни для какого нетривиального элемента группы Г. Более того, поскольку множество неподвижных точек движения замкнуто, существует такая окрестность W точки у, что из Wg=W, g^t, следует, что g = 1. Следовательно, из (1) вытекает (2).

Если бы группа Г не была дискретна, существовала бы последовательность gt1 gi, ... ее нетривиальных элементов, сходящаяся к единице. Однако тогда, как следует из 8.5.4 (а), последовательность gi(g), g2(y), .... сходилась бы к у. Следовательно, иэ (2) вытекает (5).

Пространство R" отождествляется с факторпространством Е(ге)/О(п) классов смежности О (ph. Пусть р:, Е (п) -► Rn — проекция. Группа Е (га) действует в Rn по формуле О (га) h i->

O(n)h-g для gei(n). Допустим, что Г дискретна. Пусть U — такая компактная окрестность единицы в Е (га), что U Л Г = = 1. Тогда U-^O(n)U и W.= h^U^OlpUh при heE(n) компактны. Далее, piPlpUh)— окрестность точки рЩ. Из pPlpUh)!) pPlpUPg* 0

^O(n)Uhl\O(n)Uhg^0 ^geVh

следует, что окрестность pPlpUh) точки p(h) пересекается со своим образом при преобразовании g е Е (га) тогда и только тогда, когда g е Vh. Поскольку Г дискретна и Vh компактна, то пересечение Ел Л Г конечно. Отсюда следует, что (5) влечет (4).

Импликации (4)=>- (3) =► (1) и (2)=>-(1) очевидны.

Пространство К”/Г гомеоморфно Е (п)/(О(п)-Г). Поэтому утверждение (Ь) вытекает из компактности О^п).

В силу нижеследующего результата, леммы 8.5.6, каждая конечная подгруппа группы Е (га) обладает в R" неподвижной точкой. Следовательно, если Г действует свободно, то она должна быть без кручения.

Теперь предположим, что Г — группа без кручения. Для жеВя рассмотрим стабилизатор Г, ={g е Г I xg = х}= Г Л Л(Е„, х)~1О(п) (Еп, х). Это замкнутая подгруппа группы Г, изоморфная замкнутой подгруппе группы О (га). Для простоты обозначений будем считать, что х = 0 и интерпретировать Гх как подгруппу группы О^п). Мы хотим доказать, что Гх=1. Допустим противное: пусть Гх содержит элемент g^l. Выбрав подходящие координаты, мы можем представить g матрицей в канонической форме

^iО

/cos 2л<4 sin 2л<4' где Л{ = ^_ дшЗл^ cos2nt^

Предположим, что числа А, ..., tm иррациональны, a tm+1. ... ..., tT — рациональны и что т минимально для всех 1 ¥= g е Г. Так как Г не содержит элементов конечного порядка, то множество ^т — [^m] | к eN} плотно в единичном интервале. Следовательно, для любого рационального г, 0 < г < 1, существует такая последовательность к3, / = 1, 2, ..., что lim(fc,<m —

— [^jtm]) = г. Так как О(га) компактна, то последовательность А 3, je IN, обладает сходящейся последовательностью. Ее пределом служит матрица, не являющаяся единичной и содержащая меньше чем т «иррациональных» подматриц вращений, что противоречит минимальности числа т. Следовательно, Гх = 1. Таким образом, стабилизатор каждой точки х е Rn тривиален, т. е. Г действует свободно. □

Лемма, (а) Любая конечная подгруппа Н группы к(п) обладает неподвижной точкой хе Дп = Rn.

(Ь) Любая компактная подгруппа группы Дп обладает неподвижной точкой.

Доказательство, (а) Пусть у е А" — любая точка. Положим:

Тогда xh = х для всех h е Н. (Читатель должен понять, почему мы взяли среднее арифметическое, а не просто сумму.)

(Ь) Доказательство такое же как и для (а), но с использованием меры Хаара группы Н. □

Теперь мы подошли к центральному понятию этой главы.

Определение. Подгруппа Г группы Е (га) называется кристаллографической группой, если она действует в Rn разрывно и обладает компактным пространством орбит Кп/Г. (Говорят также, что Г имеет компактную фундаментальную область.)

Некоторые свойства, близкие к этим, обсуждались в 8.5.5. Теперь мы сформулируем главные теоремы Бибербаха и некоторые связанные с ними теоремы о кристаллографических группах. Поскольку доказательства весьма длинны, мы отложим их до следующего параграфа.

Теорема Бибербаха [Bieberbach 1911, Satz VI]. Пусть Г <= Е (га) — кристаллографическая группа.

Подгруппа Т = Г f] Rn параллельных переносов, содержащихся в Г, является нормальной подгруппой конечного индекса.

Любая минимальная система образующих группы Т является базисом векторного пространства R". Относительно такого базиса линейные части преобразований группы Г представляются матрицами с целочисленными коэффициентами.

T-Zn.

T — максимальная абелева подгруппа группы Г.

Доказательство теоремы 8.5.8 завершается в 8.6.17. Теперь мы подходим к классификации кристаллографических групп. Наша первая задача — определить понятие подобия кристаллографических групп. Их можно классифицировать и с точностью до алгебраических изоморфизмов, и с точностью до изоморфизмов геометрических действий. Последнее опять-таки можно делать по-разному, в зависимости от геометрии, лежащей в основе классификации. В литературе эти классификации строго не разграничиваются, но, поскольку нам придется, кроме того, иметь дело с модулярной проблемой, мы введем для различных геометрий различные понятия.

Определение. Две кристаллографические группы называются изоморфными, если они изоморфны как группы, геометрически эквивалентными, если они сопряжены в !£ (п), и аффинно эквивалентными, если они сопряжены в А (га).

Очевидно, из геометрической эквивалентности следует аффинная, а из нее — изоморфность. Решение проблемы модулей для двумерных торов (ср. 7.4.13) показывает, что в каждой размерности имеется бесконечное число геометрически неэквивалентных кристаллографических групп. То, что классификация с точностью до аффинной эквивалентности довольно утомительна, можно видеть из § 8.2, однако там мы имели только конечное число типов. Это частный случай следующей общей теоремы, справедливой для всех размерностей.

Теорема Бибербаха [Bieberbach 1912]. В каждой размерности существует только конечное число неизоморфных кристаллографических групп.

Эта теорема кажется очаровательным законом природы. Ее доказательство будет завершено в 8.6.25. Классификация с точностью до изоморфизма совпадает с классификацией с точностью до аффинной эквивалентности.

Теорема Бибербаха [Bieberbach 1912]. Две кристаллографические группы изоморфны тогда и только тогда, когда они аффинно эквивалентны.

Эта теорема будет доказана в 8.6.18. Ввиду 8.5.11, кристаллографическими группами мы будем называть также подгруппы группы АДп), аффинно эквивалентные кристаллографическим группам. Если Г — кристаллографическая группа и Т — ее подгруппа параллельных переносов, то факторгруппа Г/Т изоморфна подгруппе группы О (и) и является конечной в силу 8.5.8. Следующая теорема дает некоторое представление о числе конечных подгрупп группы О^пУ, теорема 8.5.11, например, может быть получена из этой теоремы при помощи когомологической теории расширений.

Теорема Жордана. Для каждого целого га>0 существует такое положительное целое v^ny что любая конечная подгруппа группы О(п) содержит нормальную абелеву подгруппу индекса, меньшего ■v(n').

Теорема Жордана доказывается в 8.6.8. Теперь встает проблема найти оценки сверху для v(n). Одна из них: ( У%п + 1)2" — — ( У 8п — 1)8П — см. Фробениус [Frobenius 1911]. Другой подход опирается на представление группы Г/Т в виде конечной группы целочисленных матриц. Здесь мы докажем (в 8.6.23) следующую теорему.

Теорема Минковского [Minkowski 1910]. Порядок конечной группы матриц порядка п с целочисленными коэффициентами меньше числа (2"+* — 2)п.

Оценки, полученные до сих пор, не являются наилучшими. Следующая задача состоит в том, чтобы определить все кристаллографические группы, отвечающие данной конечной подгруппе группы О^п) или конечной группе целочисленных матриц. В следующем параграфе мы опишем алгоритм, принадлежащий Буркхардту и Цассенхаузу, для нахождения всех кристаллографических групп для данной конечной матричной группы. Сложность этого алгоритма драматически возрастает с ростом размерности. Например, число типов кристаллографических групп равно

17 для п = 2 — Пойя (1924 г.), см. также 8.2.9—11;

230 для и = 3—Федоров (1885 г.), Шенфлис (1891 г.), Барлоу (1894 г.).

Более того, Цассенхауз получил алгебраическую характеризацию кристаллографических групп:

Теорема Цассенхауза [Zassenhaus 1948]. Группа \ изоморфна некоторой кристаллографической группе тогда и только тогда, когда Д содержит нормальную подгруппу Т конечного индекса, которая изоморфна Z” и является максимальной абелевой подгруппой группы \.

Это будет доказано в 8.6.28. Доказательство, основанное на когомологических рассуждениях, см. в 8.7.3. Подгруппа параллельных переносов кристаллографической группы может быть охарактеризована алгебраически, из чего следует, что группа может действовать как кристаллографическая группа в R" только, при одном значении и:

Теорема. Пусть Г — кристаллографическая группа, действующая в R”, и Т — ее подгруппа параллельных переносов.

Пусть U — подгруппа группы Г, имеющая конечный индекс и изоморфная Z”* для некоторого т. Тогда UcT, тп = п и Т является единственной максимальной абелевой подгруппой, содержащей U.

Подгруппа Т параллельных переносов является характеристической подгруппой группы Г, т. е. каждый автоморфизм группы Г переводит Т в себя.

Доказательство. (В этом доказательстве из не доказанных выше теорем мы будем пользоваться только теоремой 8.5.8.) Подгруппа U П Т имеет конечный индекс в Т ^ Z” и в U ^ Zm; следовательно, m = п. Пусть теперь g е Г коммутирует со всеми 378

элементами группы U. Для feT существует такое к>0, что t^U. Пусть t — параллельный перенос на вектор х. Если (Л,р) коммутирует с элементами группы U, то

^=1А, РГЧЧА, р) = [М, pvw, р)Г.

Таким образом, кх = кхА, х — хА и (Л, р) коммутирует с t. В силу 8.5.8 (d), g^T, и утверждение (а) доказано.

Пусть а: Г -► Г — автоморфизм. Тогда а (Т) —подгруппа конечного индекса, изоморфная Z". В силу (а), а(Т)<=Т. □

Теперь можно обобщить теоремы 8.4.1 и 8.4.21 на случай произвольных размерностей.

Теорема. Пусть Г — группа, содержащая нормальную подгруппу Т ^ Z” конечного индекса, и пусть Г обладает следующим свойством1.

7) Если gel имеет конечный порядок и если g~ltg = t

для всех (еТ, то g = 1.

Тогда Г изоморфна кристаллографической группе.

Доказательство. Положим U := {ge r|g-,fg = t для всех (еТ). В силу предположения U не имеет кручения, и, в силу

U ^ Zn. Подгруппа U является максимальной абелевой подгруппой группы Г конечного индекса. В силу 8.5.14, Г изоморфна кристаллографической группе. О

Теорема. Любое эффективное конечное расширение Д кристаллографической группы Г, действующей в R", также изоморфно кристаллографической группе, действующей в R”.

Доказательство. Пусть Т — подгруппа параллельных переносов группы Г, и пусть А := (dE Д |d-1fd = t для всех t^T}. Пусть deД, d¥=l. Тогда существует такой элемент gef, что g':= d_,gd=/=g. Пусть ем ..., e„ — минимальная система образующих группы Т. В силу первой теоремы Бибербаха 8.5.8, это базис векторного пространства Rn. Относительно этого базиса и после фиксирования отмеченной точки в Rn каждый элемент группы Г приобретает вид (А, а), где А — матрица с целочисленными коэффициентами и определителем ±1. Этот элемент принадлежит Т тогда и только тогда, когда А — единичная матрица. Т оказывается группой параллельных переносов на векторы с целочисленными координатами. Если g = (A) а), где А = = (<М, то

g-1etg = (0, ..., 1, ..., 0) А = (а^, а^, ..., ain) = 2 «-^i

g'-^tg' = d-'g-^e.d-'gd = d-'g-'Cigd = g~‘e<g при g' = d~lgd, так как d коммутирует co всеми элементами группы Т и g-le.g е Т. Таким образом, элементам g' и g соответ-

ствует одна и та же матрица А и g'g-1 е Т. Далее,

d~hgdh = d-^-n (d~lgd) d^-^ = d-№-^ (g'g~lg) d*-1 =

= d"^ WW'^'V"1 = (g'g-*) d-^'g^.

Повторяя эти выкладки, получаем d^gd* = (g'g-^^g для к = = 0, 1, ... Так как Т не имеет кручения, то элементы d^gd1* с различными к различны, поэтому d имеет бесконечный порядок. Следовательно, Л не имеет кручения и содержит Т в качестве подгруппы конечного индекса. Из 8.4.5 следует, что Л ^2”. Пусть се А, t/ЕЛ и ie Т. Тогда

(c~*dc)_7(c_,dc) = c-1d-1 ^ctc^dc с-1 (с£с-,)с = t,

так как t/еЛ и cfc-t ^ Т в силу 8.5.15 (Ь). Таким образом, c-1dceA и Л<А. Следовательно, теорема 8.5.18 есть следствие теоремы Цассенхауза 8.5.14. □

Для последующих целей (см. 12.1.17) выпишем следствия теорем 8.5.14 и 8.5.16:

Следствие. Пусть Г — кристаллографическая группа и А — ее конечное расширение. Пусть Z — централизатор в X максимальной абелевой нормальной подгруппы U ^ Z" группы Г. Тогда X является кристаллографической группой в том и только том случае, если Z не имеет кручения.

Доказательство. Пусть d^A, zeZ и u^U. Тогда (d-1zd)-1u(d-1zd)= d~lz~l {dud~l)zd = d-1 ^dud-l^d = u,

поскольку U — характеристическая подгруппа группы Г. Следовательно, d~YzdeZ, т. е. Z<A. Так как U абелева и [Z: U] < °°, то коммутант группы Z конечен,— это легко показать, см. 12.1.7. Таким образом, если группа Z не имеет кручения, то она абелева. Теперь 8.5.19 есть непосредственное следствие теорем 8.5.14 и 16. □

Теперь дадим переформулировку теоремы 8.5.18, описывающую ситуацию в многообразии, которое накрывается пространством R" таким образом, что автоморфизмы накрытия являются движениями евклидова пространства. Замена многообразия его универсальным накрывающим и обратная замена будут часто производиться в следующих главах.

Следствие. Пусть Мп — замкнутое плоское риманово многообразие, т. е. пусть его универсальное накрывающее изометрично Rn, автоморфизмы накрытия являются изометриями пространства Rn и фундаментальная область компактна. Для конечной подгруппы X группы OutHjAf" следующие два утверждения равносильны;

Ядро (А, л^", г) обладает расширением-, здесь через i обозначено включение А в OutntAf".

А может быть реализована как группа аффинных диффеоморфизмов многообразия М" (или, что то же самое; А реализуется как группа изометрий многообразия, аффинно эквивалентного многообразию Мп).

Доказательство. Пусть р: ^п-^Мп— универсальное накрытие. Тогда группа автоморфизмов накрытия является кристаллографической группой Г = л^М". Если 1^-Г^А-»-А-»-1 — расширение с ядром (A, л^”, i), то, в силу 8.5.18, А изоморфна кристаллографической группе Л; пусть ^: А -► Л—изоморфизм. В силу теоремы Бибербаха 8.5.11, существует такое аффинное преобразование ф: R"-*-R" что фГф_‘= ^(Г). Следовательно, Г есть подгруппа группы ф-1Лф = А аффинных преобразований. Проектируя, получаем желаемую группу «аффинных» диффеоморфизмов многообразия Мп. То, что из (Ь) вытекает (а), очевидно. □

§ 8.6. Кристаллографические группы: доказательства

Этот параграф содержит доказательства теорем Бибербаха и Цассенхауза, а также некоторые дальнейшие результаты о кристаллографических группах. Мы будем следовать подходам оригинальных работ. Однако будут представлены упрощенные рассуждения из работ Фробениуса [Frobenius 1911, 1911'].

Определение. Если А— комплексная матрица, то

0(Л) = 5|аур,

где суммирование распространяется на все коэффициенты матрицы А.

Через || х || = 1/^.S I ^i |2 обозначается обычная евклидова или эрмитова норма в R” и С" соответственно. В частности, 9(х) = = НжИ2.

Следующие равенства и неравенства часто будут использоваться.

Лемма.

9(xZ7) = 0(x) для х ^ С" и U е U (п).

Если U, V е U(п) и А-квадратная матрица порядка п, то 0(Р4Г) = 0(4).

Для матриц. А и В порядка п;

9(4Д)С0(4) -0(Д) (неравенство Коши — Шварца).

У0(4+5)^ У0(4)+У9(У) (неравенство треугольника). □

Теперь докажем, что система коммутирующих элементов группы U(п) может быть диагонализирована одновременно. Для изложения доказательства введем полезные обозначения. Пусть

Th, ..., nr — числа c nt +...+ Пт = n и 1 < га,. Для 1 ^ i ^ г положим

Квадратную матрицу В порядка п поделим на блоки В,5, 1 ^ i, / С г; блок В,5 располагается на пересечении строк с номерами nt +...+ n.-i +1, ..., ih +...+ га, и столбцов с номерами п, +...+ raj-t +1, ..., и, +...+ га,. Таким образом,

В дальнейшем В„ часто будет сокращенно обозначаться через Bt.

Лемма. Пусть матрицы A,BeU(n) коммутируют, и пусть Л = 2 а-гЕъ где а, ¥= а3 при i, * j, числа пи ..., пг составляют некоторое разбиение числа п, т. е. п = nt +...+ пт и матрицы Е, устроены так же, как выше. Тогда-.

Блоки В„ при i^j равны нулю, т. е. В имеет вид

/510\

5=.

\0в,)

Существует такая матрица QeU(n), что Q~lBQ есть диагональная матрица и что Q-x ^ 2 с»#< j Q = 2 ct^i для любых с,еС.11

Доказательство. По предположению

A = '21atEi, А"'-^^ и E=^Et.

Более того, все элементы матрицы EtBE$ кроме тех, что образуют (г, ;)-блок, равный В(3, равны нулю. Поэтому

2 ЕгВЕ3 = В = А-1ВА =(S^-)5^^)-,^irEiBEj.

(i, 7)-блок левой части этого равенства равен Вц, тогда как (i, 7)-блок правой части равен у-^о- Так как а^а, при t^j* то блок Вч равен нулю при i^j, и В имеет требуемый диагональный вид. Тем самым утверждение (а) доказано.

Для доказательства утверждения (Ь) применим (а) к матри-

Г1. °\

це В. Получим, что В = I • . I.

\0 Ч

Пусть Q.e U(nt) при г^ И, ..., г} — такая матрица, что матрица Q^B^ диагональна. Ясно, что Q?1 (а^Е'Л Q^ = а<Е\, где Е

Г1 ■ °\

есть единичная матрица порядка п. Поэтому С:=1' . I

\0 Ч обладает требуемым свойством. □

Предложение. Пусть S^U{n)— любое множество коммутирующих матриц. Тогда существует такая матрица U^U(n), что множество U~lSU состоит из диагональных матриц.

Доказательство. Для проведения индукции применим лемму 8.6.3. Допустим, что существует такая матрица По^Щн} и такое подмножество 80 с 8, что матрицы из U^SqUq диаго- нальны, но в U^SUo имеются и недиагональные матрицы. Следовательно, некоторые матрицы из S\S0 не выражаются в виде линейных комбинаций матриц из 80. Множество (1, ..., и} распадается на такие попарно не пересекающиеся множества (in, «12, ..., ii^l, ..., что:

для всех матриц иэ U^SJJq диагональные элементы с индексами из одного и того же из этих множеств равны,

(И) эти множества являются наибольшими среди множеств обладающих свойством (i).

Перестановкой координат добьемся того, чтобы эти подмножества имели вид {1,..., m^v tmt + 1,..., m2},..., {771,+...+ тпг+ 1,... ..., тг}. Теперь для В е S\S0 применим 8.6.3 и найдем такую матрицу Ui е U (п), чтобы множество Ui1 {50, В) Ux состояло из диагональных матриц. Поскольку 8 не может содержать бесконечного числа линейно независимых матриц, этот метод самое большее через тг шагов приведет к диагонализации всех матриц из 5. □

Лемма. Пусть A,B^U(n). Положим С:=[Л, В]. Тогда

9(Е — С^йв^Е — А) • 5ЦЕ — В).

Доказательство. Сопряжение посредством унитарной матрицы не меняет значения функции 0, поэтому можно считать.

что 4 — диагональная матрица:

=х О

О

Полагая, как обычно, 6,, =Полагая, как обычно, 6,, =если i = /, п• , . получаем:

Полагая, как обычно, 6,, =

Полагая, как обычно, 6,, =

О, если i=#j,

6 (Е — С) = 9(Е — (В4)-1 АВ) = Q(A(E — В) — (Е — В)А) =

= Д I «1 (бу - М - («У - М а, |2 = ,gJ ^i - ^) («< - ^ I2-

e(5-C) = igJaI-a,P|6u-bi,p.

Так как

6 (5 — 4) = 2 I 1 — a.P>| 1 — «гр + 11 — ^ р при i=j=j

= 1(|1-а£|4Д1_я,|)244(|1-аДН1-«^

|a, — aj2 С 29(5 — 4) для l«u,/Cn..

Подставляя неравенство (2) в (1), получаем

9(5 — С) <29 (5 — 4) 2 |6v-b„p = 29(5 — 4) 9 (5-5). □

Следующее утверждение вытекает из (2).

Следствие. Если 29(5 — 4)< 1, то |«,— aj < 1 при

Лемма. Пусть А, В е= Щи), и пусть 9(5 — В) <2. Если коммутатор С :=[4, В] коммутирует с 4, то АВ = ВА.

Доказательство. Из АС = СА следует равенство (В^АВ^А-1 = А^В^АВ1). В силу леммы 8.6.3 можно считать, что матрицы А и В-1 АВ диагональны. Пусть матрица А — такая, как в 8.6.5, а матрица 5. — такая, как в доказательстве леммы 8.6.3. Собственные значения матриц В-1 АВ и А одинаковы и отличаются только на перестановку. Этой перестановке отвечает матрица РеО(п), такая что Р-1АР = В-1АВ. (Матрица Р состоит из нулей и единиц.) Положим

Qv=PB"\

Тогда

QA=AQ.

384

Как и в доказательстве леммы 8.6.3, Л = 2 а^Ей и из (2) мы получаем

Q = A^QA = 2 ^ EtQEh

Это вместе с Q = 2 Е&Е, дает

E,QE3 = Q при i=#j.

Если РА = АР, то Л = Р-1АР, и из Р-1АР = В-1 АВ вытекает, что- ВА=АВ. Поэтому можно считать, что P + A^^PA. Следовательно, 2 ЕгРЕ3^ 2 "^E^PEj и

существуют такие V ^= f, что Е^РЕу ^ 0.

Из (3) и (4) следует, что 9(Р — (>) >2. Из (1) и 8.6.2(b) получаем

2^9(,P-Q') = 9(,P-PB-l') = 9(,E-B-t')1

что противоречит предположению 9(5 — В) <2. Следовательно, РА=АР иВА=АВ. □

Доказательство теоремы 8.5.12. Пусть Ес сО(п) — конечная подгруппа, пусть W := {L еО(п) 19(5 — 5)< < 1/4), и пусть F' — группа, порожденная пересечением РЕПЕ. Пусть ^еЕи^е^ПЕ. Тогда X^LX^F и 9(5-Х"*5Х) = = 9(Х-,(5 — 5)Х)= 9(5 — 5)< 1/4. Таким образом, K~lLKeP' и F' <F.

Допустим, что 5, К е F П W. Образуем последовательность коммутаторов

У, := [5, X], У2 := [5, У,], ..., У, :=[5, У,-^, ...

Из леммы 8.6.5 следует, что 9(5—У,)< 2-1-2. Следовательно, У, 5 при i-*». Поэтому существует такое /, что У, = 5, т. е. L п Vj-t коммутируют. Из леммы 8.6.7 последовательно получаем, что L коммутирует с У,-,, У,-2, ..., yt и с К. Таким образом, любые два элемента пересечения F П W коммутируют, и, значит, группа F' коммутативна.

Пусть 5, Кер и LWnKW=^0. Тогда L^Kep'. Поэтому для системы /„ ..., /г, г = [F: F'], представителей смежных классов множества jAV, ..., jrW попарно не пересекаются. Все эти множества имеют равные положительные меры Хаара, и потому г^1/р(ТУ), где через у, обозначена нормализованная мера Хаара группы О(и). Граница 1/р.(1У) не зависит от F. (Без меры Хаара можно обойтись: рассмотрим О(п) как подпространство

25 х. Цишанг и др.385

пространства R" . (Евклидова) метрика пространства Rn индуцирует меру в О (га), относительно которой общий объем всей О (га) конечен, поскольку О (и) компактна. Множества f,W обладают одинаковыми объемами.) □

Лемма. Пусть (Л, р), (В, q) — такие элементы дискретной подгруппы Г группы ^(п), что 9(5 —Л)<1/2 и QtE-B^ 1/2. Тогда (А, р) (В, q) = (B, q) (А, р).

Доказательство. Пусть а^ ..., ап и bt, ..., 6„ —собственные числа (возможно, комплексные) матриц А и В. В силу 8.6.6 существует такое К < 1, что

|а, —а,|, |Ь, —Ь,|, |1 —а,|, |1 —Ь.|^5<1 при 1 < f, / С гг.

Выберем U s U(n) таким образом, чтобы

. Г1 °\

U-1AU = \.,

\0 М

и для любого г ей" положим s :=Ш. Тогда, в силу леммы 8.6.2, 9 (< (5 - Л)) = 9 (sir1 (Е - Л)) = 9 (sU-1 (Е -A)U) =

= Цз(Е- U-1 AU)) = 2 hi (1 - а{) P < 2 Б21 s, P =

= №9 (tU) = №9 (0-

(Здесь s = (si, ..., s„).) Следовательно,

9(f(5 —Л))<529(0 при гей".

Введем теперь последовательность коммутаторов:

(Г„ р,):=[(Л, р), (В, 9)], .... (7Ь у.):=[(Л, р), (7._„ га.-,)],...

Напомним, что ¥<е(Дп), utGK71. Чтобы оценить число 9(5 — У,), поступим следующим образом. Положим а:=9(5 —Л) и £:=9(5 —В). В силу 8.6.8, 9(5—У,)^2ар. Далее, по индукции 9(5— ^)^(2а)^. Так как 0Са< 1/2, то

9(5—7Д<|И? для 0^5<1.

Можно даже считать, что

9(г(5-Л))^7Г9(г) и 9(5-7,)^^,

потому что в противном случае, т. е. если L > 52, можно заменить К числом V5.

Теперь оценим 9(га,). Согласно определению,

vl=pB-pA-iB~lAB+ q-qB-^AB.

Из того, что 9(рУ-рЛ-,У-,ЛУ) = 9(р(5-У-,))=9(р(Б-5))< <9(р)-9(5-В) = 9(р)-р и 9(д-9В-,ЛВ) = 9(9(5-Л))^

386

^A20(g) (последнее неравенство вытекает из (3)), получаемV0(pj^ У?0(р) + АУ0(дГ

То же рассуждение, примененное к

Pj = pVj-г — рА^УДАУ}^ + Vj-y — Uj-xVJ^AVj-u дает

У0 (pj ^ У0 (p (E - 7,-0) + У0 (P,-, (E - A)) ^C У 0(pj ^0(5-^-,) + ^(pj-,),

и, используя (3), получаем по индукции, что

уом С 7^-*У№+к^Ш.

Из (3) и (6) заключаем, что

У, -► Е и р, ->- 0 при / -► о°.

Так как группа Г дискретна, то найдется такое f, что (F„ из) = (Е, 0) при /^/'. В силу леммы 8.6.7, V, = Е и при /^ < 7" и E = Vt = [Л, В]. Из (5 J имеем

р, = p,-t(£ — Л) = Vi{E — Л)1-1 при j^f,

и, в силу (4), pt = q(E — А) — р(Е — В). Следовательно,

(g (Е — Л) — р (В — В)) (Е - Л/'-1 = р,., = 0.

Если мы поменяем А н В местами и возьмем 7" достаточно большим, то точно так же получим

(д (В - Л) - р (Е - В» (Е - БУ'"1 = 0.

Так как [Л, В^ = Е, то, в силу леммы 8.6.3, найдется такая матрица UgU^, что U~lAU и U^BU—диагональные матрицы:

/а10\/\0

1ГгАи=Д ‘ • ., B^BB-I ‘ .

\0\0 ьп

Если ак ¥= 1 при некотором к, l^fc^ra, то 0<|1 —а*1<1, поскольку 0(В —Л)<1/2, и, значит, (l — afe)J'-17^=0. Из (9) следует, что

Pk^ — b^ = qk<i — ah\

где р' :=pU, q' = qU и pk, qk есть k-e коэффициенты. Аналогично, для bi=/=l (l^Z^ra) мы получим из (10)

Pi (1 — bi) = q'i (1 — ai).

Для ah = bh = 1 уравнение ph (1 — b^ = qk (1 — a^ тривиально, 25е387

и потому

pU^E — U-'BU1) = qU(E — U~lA U),pUU-1 (E — B)U = qUU"1 kE-A^U,p(E — B)= q(E — A),qA + p = pB + q.

Так как AB = BA, то окончательно получаем (Л, р)(В, q) = = (В, q) (Л, pV □

Мы подошли теперь к доказательству первой теоремы Бибербаха 8.5.8 (которое будет завершено в пункте 8.6.17). Сначала докажем, что линейные части преобразований из кристаллографической группы не близки к тождественному преобразованию (в смысле 6-метрики) (лемма 8.6.12 (Ь)). По этой причине образ группы Г в О (и) конечен, и, значит, Т имеет конечный индекс в Г, см. 8.6.12. Наконец, мы докажем, что базис группы Т является базисом пространства Rn (лемма 8.6.14), и максимальность Т в Г (лемма 8.6.17).

Обозначения. Пусть Г — кристаллографическая группа в R", и пусть Тс Г — подгруппа параллельных переносов. Определим Г' = Г/Т. Отображение (Л, р^А определяет изоморфизм группы Г' на группу линейных частей элементов группы Г. Положим 8 = {(Л, р)е Г19(5 —Л)< 1/2} и обозначим через S' образ множества S в Г'. Наконец, символ А = [аь .. ., а*] обозначает диагональную матрицу порядка п

0)

Ч

о• 1

Л е м м а. (а) Г имеет бесконечный порядок.

Если для Р^О(п) и гей” каждое преобразование

(L, и)^(Р, г)~‘Г(Р, г) имеет вид

/ьг 0\Ч

ьг) • “ = (0, . ..,0, uk+v

то к = 0.

Т<Г.

Доказательство, (а) Группа Г бесконечна потому, что пространство Йп/Г компактно.

Сопряжем группу Г посредством (Р, г). Тогда, если л: Rn —>Rft— проекция на первые к координат, то

II л (х (L, и)) II = II л (ж) II при X е Rn.

Следовательно, если к>0, то образ фундаментальной области не компактен, что противоречит определению 8.5.7.

Это следует из того, что Т = Г f) К” и Rn < Е (и). □

Лемма, (а) Любые два элемента множества S коммутируют. Множество S инвариантно относительно внутреннего действия группы Г, т. е. g~lSg с S для g^Y.

(b) 8 = Т.

Доказательство, (а) В силу леммы 8.6.9 элементы множества S коммутируют. Г-инвариантность вытекает из формул

9(E-L-1AL') = 9(L-4E-A')L') = 9(1E-A')1

(L, и) "* (Л, р) (L, и) = (L^AL, -uL"vAL + pL + u).

(Ь) Осталось доказать, что T=>S. Рассмотрим R" как векторное пространство над 0?. Множество точек, неподвижных относительно S', т. е. F= Л (ж е Rn | хА = ж}, является его подпространством. Для каждого ненулевого вектора х из ортогонального дополнения F-1- существует такое преобразование А е S', что xAN=x. Далее, существует такое V^Okn^, что элементы множества ^“‘S'V имеют вид

где Л+ е О (А:), к + тп = п и ни один ненулевой вектор из Rh с R” не является неподвижным для всех А* при Л ^8. Можно считать, что уже исходное множество S обладает этими свойствами.

Теперь рассмотрим Rn как подпространство пространства С” и О (и)— как подгруппу группы U (п). В силу предложения 8.6.4 существует матрица U = ^ ^°)’ Диагонализирующая все матрицы из S' одновременно. Положим

S2=(C7,O)-‘S(C7,O), S'^-'S'tf,

(Л,р) = (С7,О)-‘(Л,р)(17,О), где p=pU.

Так как ни один ненулевой вектор из Rft не является неподвиж- вым для всех элементов множества S', то:

Для _каждого /е{1, ..., кА существует такое преобразование (В3, q’) е S, что

В3 = [ья, • • •, Ь3, ,-t, b3„ b3, j+i, ..., bj c bti * 1.

Из коммутативности S следует, что pSj + q1 = qjA + p, / = 1, ... ..., к, для любого (Л, p)e S. Если A = [a,, ..., a*], to

Pj = ^7ZT?j при 7=1, ---Л.

Теперь положим sj : = , _ 6- <^ для l^/^fc и $:=($!, ...

..sb, О, ..., О). Через х+ будем обозначать вектор,^составленный ji3 первых к координат вектора х. В частности, s+ = (sb ... ..., $„). Так же будем обозначать и соответствующую операцию над матрицами. Из равенства (3) получаем

р* = 7+ (£+ - Л+) => p*U+ =7+ (Е* - (U+)-*л+U+) =

=>(U*)-4E-AVU+^p+=>(U+'r4E-Ay'\

Вектор s+ := s+(U+)-1 — вещественный, так как р* и (Е — Л) + вещественны, и, полагая s : = (s+, 0) е Rn, получаем

(Е, -з) (Л, р) (Е, s) = (Л, р - s (Е - А)) =

= (Л, (0,...,0,р^,...,Р^

для любого (Л, p)GS. Таким образом, можно считать, что для каждого (Л, р) е S

Л = (о £°) и Р = (°> • • • > °> Ph+v ..., рп) =: (0, р").

Теперь докажем, что каждое преобразование (L, и)е Г имеет впд (4). Так как множество S инвариантно относительно Г, то для каждого (Л, p)GS можно найти такое (С, r)eS, что

(Ди) (Л, р) — (С, r)(L, и).

Пусть L=: ^-+ L~ ) и и="Ли+, и^, гДе Е* — матрица порядка к и u+ е Rft. Из (4) и (5)

(LA, и* A*, u~ + p^^CL, r~L~+ + u+, r~L~ + u-).

В частности, LA = CL, т. е.

(l+a+ l+-\(c+l* c+l+~\

^-+л+ L- )\^~+ L~

и, значит, L-*<E* — Л+) = 0 для всех (Л, p)eS. Следовательно, (7) o = l-*u*(,u*v4e*-a^u* = l-*u*<e*-a*>)

для (Л, р)е S.

В силу (2) при /е(1, ..., А:} существует такое (Л, p)eS, что Л = [аи ..., ай] и »,=/=!. Поэтому из равенств (7) следует, что L~*U* =0 и Z"+ = 0. Аналогично, L*- = 0. Обращаясь к векторам переноса в (6), мы получаем и+ — и+Л+ = 0. Следовательно, и+ = 0, поскольку единственным вектором в Rft, неподвижным для всех матриц Л+ при (Л, p)eS, является нулевой вектор, см. (2).

Следовательно, для любого преобразования (А, и) е Г,

L=(o L-) И « = (0,0.

В силу леммы 8.6.11 (Ь), & = 0, и, значит, S<=T. □

С л е дет в и е. (а) [Г:Т]<«>.

(Ь) Т=#0.

Доказательство. Группа Г' = Г/Т является дискретной подгруппой группы О (и), потому что для Р, Q е Г', P^Q,

ЧР-<У) = НЕ-QP-^ ^ 1/2,

в силу леммы 8.6.12 (Ь) и определения множества S в п. 8.6.10. Так как О (ri') компактна, то Г' конечна; следовательно, Т бесконечна в силу леммы 8.6.11 (а). □

Лемма. Г содержит п линейно независимых параллельных переносов.

Доказательство. Допустим, что векторное пространство V, порожденное векторами переносов из Т с Г, имеет размерность п — I (0<Z<ra), и пусть {xi+1, ..., хЗ — ортогональный базис пространства V. Расширим этот базис до базиса {xi, ... ..., Xi, xt+i, ..., z„} пространства R” и будем представлять элементы группы Г в этом базисе. Тогда для (Е, г)еТ

г = (0, ..., 0,г,+„ ...,г„)=:(0, И-

Для (L, и)еГ и (5, t/)eT существует такое (Е, г)еТ, что

(1)(L, «)(V) = (M(M-

Разложим теперь (L, и) следующим образом:

(b+l+~\+

L= I £_+ L_ I, и = \и и-

где V есть матрица порядка I и и* имеет I компонент. Из (1) следует, что и + г = qL + и, так что г = qL. Так как первые I компонент векторов г и q равны нулю, то q~L~+ = 0, а так как этому уравнению удовлетворяют п — I линейно независимых векторов q-, то L~* = 0. В силу ортогональности матрицы L матрица L*~ также равна нулю.

Пусть теперь {(Л, и1), ..., (Lm, и”*)} — система представителей для Г/Т. Тогда для любого элемента (Д и) Г существуют такой представитель (Д, и5) и такой параллельный перенос (Е, р)^ Т, что

,(L, и) = (Lh и5) (Е, р) = (Д, (и,+, и1" + р~)).

Пусть s = ^^и3 — барицентр множества векторов и5. Сужения

(Д, и‘)+, ..., (Д,, итУ образуют конечную группу движений пространства Кг, и потому каждое преобразование (L„ ?п,)+ пе-

391

реставляет образы точки 0 при этих преобразованиях и сохраняет их барицентр s+, т. е.

s+Lt + u‘+ = s+.

Сопряжем теперь группу Г посредством (Е, $). Тогда

(Е, s) (L, и) (Е, -s) = (L,sL + u — s).

Так как (L, и) + = (£„ и’) + для некоторого /, то (sL + и — s)+ = = s+L* + и’ + — $+=0. Таким образом, элементы из (5, s)T(E, —s) (м* о\

имеют вид ^М, у), где АГ = I 0 м-1еО(п) и у = (0, у ).

Следовательно, 1 = 0 — см. 8.6.11 (Ь). □

Лемма. T^Z” и всякая система из п образующих группы Т состоит из линейно независимых параллельных переносов.

Доказательство. Мы построим «минимальную» систему образующих при помощи стандартного рассуждения, основанного на алгоритме Евклида. Пусть st, ..., sn — какие-нибудь п линейно независимых параллельных переносов из Т. Рассмотрим Т как подмножество пространства параллельных переносов пространства Кп и воспользуемся обычными обозначениями линейной алгебры. Для t е Т существуют такие т, е R, что t = т^ +... ...+ t„s„. Скажем, что элемент p1s1 +...+ pnsn е Т выше, чем t, если lrj = |pj, ..., It,-,! = lp,-J и 1 тJ < Ip,I для некоторого i. Множество М : = {г е Т | г = 2 Pisi, О =С Pi ^ 1| непусто, так как s, е Л/, и конечно, поскольку Т дискретна. Если Л Т, 1 < i п, есть самый нижний элемент из {2 Pjsj | 0^ р, ^ 1, р,у=о|, то

<i, .. ., £„ линейно независимы. Пусть С = 2 хй5г Если Ъ =

= 2 РдеТ, то существует такое Yn^Z, что 0^^„ — f„т„п< < т„п. Тогда последняя компонента вектора b — ^Лп должна быть равна 0, так как в противном случае этот вектор оказался бы ниже чем t„. Повторяя это рассуждение, получаем также целые Ч„, у«-1, . •., Чч что Ь-2 Y^ = Mi + -- +Visi-i- В конце концов получаем, что b = 2 Yi^i с YiG Z. Отсюда следует, что Т ^ Z”. Любая система образующих группы Т получается из tt, . .., tn при помощи целочисленной матрицы с определителем ±1, и потому векторы соответствующих переносов линейно независимы. □

Последнее рассуждение доказывает также

Следствие. Если система из п образующих группы Т выполняет роль базиса пространства R", в котором записываются элементы группы Г, то каждое преобразование из Г имеет вид (К, v), где К — целочисленная матрица с определителем ±1. □

Лемма. Т является максимальной абелевой подгруппой группы Г.

Доказательство. Если (5, ()еТ и (L, и)еГ, то

(Д и)-ЧЕ, t^L, и) = (Е, tL).

Поэтому tL = t, если (L, и) коммутирует со всеми элементами группы Т. Но поскольку Т содержит п линейно независимых элементов, отсюда следует, что L = Е, т. е. (L, u) ^ Т. □

Этим завершается доказательство первой теоремы Бибербаха 8.5.8 и вместе с тем— теоремы 8.5.15, алгебраически характеризующей подгруппу Т параллельных переносов кристаллографической группы. Теперь мы приступаем к доказательству следующего результата Бибербаха.

Доказательство теоремы 8.5.11. Пусть Г и А — кристаллографические группы и %: Г -► А — изоморфизм. Пусть Т и S — подгруппы параллельных переносов групп Г и А. В силу 8.5.15, x(T) = S. Пусть элементы группы Г записываются в базисе {Д .. ., М группы Т. Подвергнув группу А сопряжению посредством некоторого V eGL^n, R), добъемся, чтобы элементы группы А были представлены в базисе х(М, --ч Х(А). Тогда gsP и x(g)GA обладают одинаковыми линейными частями.

Мы будем пользоваться следующими обозначениями:

g' : = X (g) ПРИ geT, g = (Л> tg)» т- е- *g = ^g + tg- g' = (Л- t’g), T- e- ^g* = ^Ag + t'g-

Вообще говоря, tg ^ tg. Определим

g" = (^ tg-tgY т.е. xg" = xAg + (tg — t'g). Тогда

X: Г-> А (и), g I-»- g", —гомоморфизм с ядром T.

Второе утверждение очевидно. Чтобы доказать первое, возьмем g, h е Г. Тогда

(g^) = (-^g^h, tgAh + th) = (AgAh, tgAh + th tgAh th),

^h = (-4g, tg tg) (-4^, th th) = (-^lg-4h, (tg tg) Ah + (th th)).

Из (1) следует, что Х(Г)=Г/Т и что X (Г)—конечная подгруппа группы А (и). Пусть Х(Г)={с,, ..., ст} и s = ^"2 xoCi

для некоторого xoeR". Тогда з— неподвижная точка для Х(Г), поскольку это барицентр множества образов точки х0, которые только переставляются элементами группы Х(Г). Если через t, обозначать параллельный перенос х ^ х + з, то s = sg" = sAg + tg — tg и

tg = — sAg + tg + s для всех ge Г.

Докажем теперь, что Г = t^M*. Пусть g е Г и g' = x(g)e е Д. Тогда

x^g't. = (х — s) g'ts = ((ж — s) Ag + tg) t, =

= xAg — sAe + tg + s = xAg + tg (в силу (2)) = xg.

Таким образом, изоморфизм x-1 реализуется аффинным преобразованием. □

Приступим теперь к доказательству теоремы 8.5.13 Минковского. Доказательство будет завершено в 8.6.23.

Конструкция. Пусть F —конечная группа матриц порядка п с целочисленными коэффициентами, пусть через |F| обозначается ее порядок. Пусть Q — евклидова квадратичная форма в Rn, т. е.

Q(x, у) = ху1 = 2 ^J/i при х = (хгх„), у = (уи ..., уп).

(Верхний индекс ' обозначает транспонирование матрицы.) Тогда (1)Q<^ У) = |4[ 2 QU^ УА) Для

есть F-инвариантная положительно определенная квадратичная форма. Для zeR” через Их11е = 11x11 = "tQ(x, х) будем обозначать евклидову норму и через Пх110 = 1Q(x, х) —норму, отвечающую Q. Норма II llQ является F-инвариантной и F является группой движений по отношению к этой норме. Пусть симметрическая матрица S eGL (п, В?) представляет форму Q

Q(x, y) = xSy‘ и ASA* = S для A^F.

Докажем теперь следующую лемму.

Лемма, (а) Пересечение любой прямой с гиперповерхностью Н = |хейп|||х||р = тп>0] состоит не более чем из двух точек. Множество,В = |ze Кп|||х|]р^т> 0] компактно и строго выпукло и В = В.

Существует^ такое преобразование СеСЦп.К), что евклидова форма Q инвариантна для F' := G“*FG.

Доказательство. В силу теоремы о приведении к главным осям существует такая матрица РеО(п), что

, Г. °\

P*SP = \• с $i>0 при l^i^ra.

\0и

(ЧУчо \

Для L =II получаем, что ^РЦ1 SPL = Е=

\о4VTJ

/10\

=" • I. Этим доказано, что существует такое G е

\01/

eGL(n,R), что S = GG*. Далее,

klle-i^lle Для ^^^

Следовательно, Н является образом (n— 1)-мерной сферы радиуса m при линейном преобразовании. Отсюда вытекает утверждение (а).

Положим F' = G-l¥G. Для А' = G-1AG е F' и х, у е Rn имеем, в силу (2),

хА'Е^уА'У = xG-vAGE(,yG-lAGY = xG-lAGG4yG-xAY = = xG~‘A SA ‘(yG^Y- xG-'S (G~l) *y* — xEy*.

Этим доказано (b). □

Построение минимального базиса. Положим ml := min (khl хе Zn, я#=0(, ^ = (ж е Zn | kilo = т1}, и, по индукции для г 5= 2,

mt = min (|| ж||е | х е Z", х ^ [Мг (J ... U Mi-il 1,

Мг - {ж е Z" | Mq = mb ж ^ [^ U . • • U Mi-ilL

(Здесь через [X] обозначается векторное подпространство пространства Rn, порожденное множеством XczR") Пусть h — самое большое значение индекса, для которого Mh N= 0. Тогда (4) /г^п;

каждое Mt1 1 С i С h, является F-инвариантным;

каждое М, конечно, так как множество (же R”|||ж|'д^тп] компактно и Z дискретно.

Базис минимальной Элины определяется как такой базис {Ьх, ..., Ьп} е Zn пространства R”, что для некоторых и., О < Th < пг <... < nh = п, 6ni_1+i, .. • ,&П{ е Mi. Каждый элемент А ер переводит любой базис минимальной длины в базис минимальной длины.

Для того чтобы вычислить верхние границы для числа минимальных базисов, будем рассуждать следующим образом. Для векторов ж, ж' е Zn говорят, что ж конгруэнтен ж' mod р для е Z,

р>2, и пишут х = х' mod р, если это имеет место для всех координат:

х = (xv ..., хп), х’ = ^х, ..., xV) и Xi = xt mod p

при i = 1, ..., n.

Если x = x* mod p, то существует такой вектор (Лц .. ., кп) е Z", что Xi = хх + kip для 1 ^ i С и. Следовательно, ^(х — х”) = = (kv ...,кп) и

х = х'mod р-е*-^ (х — х'^еТ,".

Докажем теперь, что количество элементов в каждом Mt не превосходит 2п+* — 2. Главным шагом доказательства является следующая

Лемма. Пусть х,х’^М, u 1 < г ^ h.

Если х^х' mod р и р > 2, то х = х'.

Если х^х' mod 2, то х' = х или х' = — х.

Доказательство. 17k — ^') |Q< ^(Ikh + Ik'IIqXj mi< С m,, и равенство может выполняться только при р = 2.

Если |~k —^')|Q<mi и i=l, то мы получаем х = х'. Если I > 2, то, согласно определению 8.6.21,

(8)(8)Более того, О)Более того, О)х := х — х' е [Jf, U ... U ^-,].

(8)

(8)

Более того, О)

Более того, О)

kk44(1k)zkkk-7)№ + 7|z'l'1<'n*-

Так как точкахх находится на прямой, соединяющей х иТак как точкахх находится на прямой, соединяющей х и

Так как точкахх находится на прямой, соединяющей х и

Так как точкахх находится на прямой, соединяющей х и

в силу 8.6.20.

Если [|х—— х| <.m,i, то, согласно 8.6.21, х = х — — х е е [.Wj U ... U Mi-x], и значит, в силу 8.6.20 и (8), х = х + + ^х f J ...U Afi-iL Это противоречит включению хеМЙ в силу определения ЛГ,,— см. п. 8.6.21.

Наконец, как мы заметили в начале доказательства, если |^-(х — x')^Q = mj, то р = 2. Значит, Их — х'И = 2т„ Пусть Ge е GL (п, 0?) — такая матрица, как в доказательстве леммы 396

, пусть y — xG и y' = x'G. Тогда из (3) следует, что

Чу — у% = 2тп,, Иг/Н, = 11г/'11е = т^

но это возможно только при у' = — у. Следовательно, х' = — х. □ 8.6.23. Доказательство теоремы 8.5.13. В силу леммы

(Ь), каждый элемент группы (Z2)n представляет самое большее две возможности выбора элемента хеМ(. Однако сравнение х = 0 mod 2 невозможно, так как тогда элемент -^ х содержался бы в [J/t U... U Mf-J. Поэтому у нас остается не более 2(2" —1) возможностей, а для выбора минимального базиса — не более (2"+* — 2)" возможностей. □

Другие оценки, более грубые, чем полученная выше, можно получить при других целых р. В размерности 2 полученная (по Минковскому) оценка равна 36, тогда как максимальный порядок конечной подгруппы в GL (2, Z) равен 12.

Чтобы завершить доказательство второй теоремы Бибербаха 8.5.10, рассмотрим трансляционные части элементов.

Теорема. Пусть F — конечная группа целочисленных матриц и Г' — такая кристаллографическая группа, что ip (Г') = F, где

ф: А (га) = GL (га, R) Q 5?" GL (га, R)

переводит каждое преобразование в его матрицу. Тогда существует кристаллографическая группа Г со следующими свойствами:

Г^Г' и 1|)(Г) = Р.

Трансляционная часть любого элемента группы Г имеет рациональные координаты со знаменателем |F|.

Доказательство. Пусть rai:=lF| и ■ф(Г/) = F = (G,, ... ..., Gm). Элемент (Л, р^Г' называется приведенным, если 0$£р,<1 для i=l, ..., га. (Здесь p=(pt, ..., р„).) Для любого (Л, р) существует такой параллельный перенос (Е, г), что преобразование (Л, р) (Е, г) = (Л, р + r) редуцировано, поскольку Z" с Г' (см. 8.6.15, 16). Поэтому существует система редуцированных представителей {(Glt A), ..., (Gm, tm^ для F'/Z". Далее, (1)

(Gi, A) (G,, A) = ^k, tk) mod Z" при 1 ^ i, j^ m и Gk = GjG,.

Фиксируем / и позволим i пробегать множество (1, ..., гаг}. Тогда к также пробегает {1, ..., гаг}. Если мы сложим сравнения

AG,- + А = A m°d Zn, то получим

^S t^Gj + mtj = ^ h + Р3, где p’ef.

Полагая u = А ^ ^ь П0ЛУчаем из (2):

каждому /е{1, ...,т\ и (Gj, t,^ соответствует такой вектор р г Z”, что uGj + tj = и + ^ rf.

Теперь положим Г = (Е, и)Г'(Е, —и). Тогда все трансляционные части преобразований из Г принадлежат Azn, поскольку для любого (Gh t,) ^Е, г^ Г', г е Z" имеем

^Е, м) (С;, ^) (Я, г) (5, - и) = (5, и) (G,, <,) (Е, - и) (5, г) =

= (G,-, uGj + ^-и) (Е, г) = (G,, А р#) (Е, г),

где последнее равенство вытекает из (3). О

Доказательство второй теоремы Бибербаха 8.5.10. Если Л — кристаллографическая группа, то в силу первой теоремы Бибербаха 8.5.8 (Ь), существует базис пространства R", относительно которого линейные части преобразований из Л имеют целые коэффициенты. Более того, в силу теоремы 8.6.24, существует изоморфная группа Г с теми же линейными частями, такая, что трансляционные части принадлежат Azn, где т есть порядок группы A/(Rnf|A). Группа Г полностью определяется системой приведенных представителей (Gb Л), ..., (Gm, tm). Так как существует лишь конечное число Приведенных систем {^, ..., <m} е — Z” и лишь конечное число конечных групп F матриц с целочисленными коэффициентами*), то существует только конечное число возможностей для Г и, следовательно, только конечное число классов изоморфных кристаллографических групп в размерности п. Доказательство теоремы 8.5.10 окончено. □

Намного более простое доказательство, из которого, кроме того, следует конечность числа классов сопряженности конечных подгрупп группы GL(n, Z), было недавно найдено Бузером [Buser 1985].

Доказательство теоремы 8.6.24 дает нам возможность свести задачу отыскания всех кристаллографических групп с данной линейной частью F к задаче линейной алгебры. (Доказательство теоремы 8.6.26 содержится в доказательстве теоремы 8.6.24.)

Теорема. Пусть F = {Gt, ..., Gm} — группа целочисленных матриц порядка п, и пусть Т = ((Е, р) | р е Z"! и tv ... ,.., tme —Т?. Тогда следующие утверждения равносильны;

Группа Г, порождаемая группой Т и преобразованиями (Gt, tj), ..., (Gm, tm), является кристаллографической. Т в ней — максимальная абелева подгруппа, Т нормальна и имеет индекс m в Г и Г/Т = F.

Выполняются п2 сравнений (Фробениуса):

ttGj + tj = th modZ” для i, j g {1, ..., m), G^ = G{Gj. □

Теорема 8.6.26 представляет возможность определить для любой конечной группы F целочисленых матриц все кристаллографические группы Г, у которых F — группа линейных частей. Очевидно, нулевое решение t( = 0 при i = 1, ..., т. существует в каждом случае. Ему соответствует кристаллографическая группа, являющаяся полупрямым произведением группы F на Т = Z". Более того, мы видим, что каждая кристаллографическая группа с линейной частью изоморфна подгруппе полупрямого произведения группы F на — Z".

Предложение. Если Г — кристаллографическая группа с подгруппой параллельных переносов Т = Z" и с факторгруппой F = Г/Т, имеющей порядок т, то Г есть подгруппа полупрямого произведения F Q "Z”, имеющая индекс пт. □

Доказательство теоремы Цассенхауза 8.5.14. Согласно предположению, группа Д содержит нормальную подгруппу Т конечного индекса т, являющуюся максимальной абелевой и изоморфную Zn. Положим F := Д/Т и определим (1) ф: F->-AutT, / I—►Фу, где Ф,(£) = f~ltf при teT.

Так как Т есть максимальная абелева подгруппа, то ф инъективно и F изоморфна конечной подгруппе группы AutT. Отождествим Т с Zn. Теперь F — конечная подгруппа группы Aut Z"* В Zn возьмем базис единичных векторов е, = (0, ..., О, 1,0, ... ..., 0) с 1 на i-м месте. Тогда каждое Ф/, / е F, определяет матрицу А;

Ф/(С1) = е^А = 2 «це,.

Теперь

f~4f = tA, где tA=<Df(t).

Пусть А, ..., /теД —система представителей для Д/Т и А„ ... ..., Ат — соответствующие матрицы. Допустим, что Т представлена элементом А и что А — единица группы Д. Через /у обозначим

399

представителя класса, содержащего /,/,. Для каждой пары г, j е е (1, ..., т} существует элемент е Т = Z” такой, что

А/, = ААь

В силу выбора представителя h,

^ = АА = А при i = 1, ..., т.

Теперь

А (ЛА) = А(ЛйАл) = f>jkti.}kti,h,

(Ш к = иаКй к = MkKXjfk = h3ktliiK ktiAV

и, в силу ассоциативности fiUik) = Udi)ki получаем

tilk+t3ik = tljih + tt-iAk при l^z,/, к^т.

Уравнения (4) и (5) иногда называют уравнениями Цассенхауза. Положим

(в)

Заметим, что (А. a, kik, •••, к,^ есть перестановка от (А,*, t2]k, ..., im, s). Сложим уравнения (5) при z=l, ..., т и при фиксированных /, к. Получим

тпКзк + mt5 к = тКк + тК3Ак,

Klk +t3_k = Кк +К,Ак.

Любой элемент de Д обладает единственным представлением d = АА где 1 ^ i §; m и t G Т = Z”- Определим

Л: Д->А(п), d~(Au Ki + t).

Докажем, что h является гомоморфизмом. Пусть dt = f3t и d2 = = fkr. Тогда

AA = jjtfkr = fjfhfh^tfkr = fjkkk (<A) r,

где последнее равенство вытекает из определения (2) матрицы и из (3). Далее,

h (dA) = (Л,м, Кзк + t3. к + tAk + г),

h^h(d^ = (Л,, К5 + i) (Лм, Кк + г) = (А,Ак, КДк + tAk + Кк + г),

и из (7) вытекает, что h ^Д) = h(dl)h(d2).

Если d = f,te Kerb, т. е. A(d) = (E, 0), то (Л„ t + KS) = (E, 0), в силу определения (8) гомоморфизма h. Поэтому Л, = Е и f3 е Т. Так как представитель тривиального класса Т имеет индекс 1 и является единицей, то из (3) и (4) мы получаем, что ti]3 = 0 для всех г, и, значит, К3 = 0 в силу (6). Из того, что # + ^ = 0, теперь следует, что i = 0, т. е. что d есть единица группы Д. Следовательно, h — мономорфизм.

Мономорфизм h отображает группу А на подгруппу Л аффинной группы А (га). Его образ Л дискретен, поскольку: (i) линейные части преобразований из Л образуют конечную группу матриц и (ii) все трансляционные части преобразований из Л принадлежат группе — Z", что вытекает из определения векторов К,. Так как группа Л содержит га линейно независимых параллельных переносов, то ее фундаментальная область компактна.

Таким образом, группа А изоморфна кристаллографической группе с аффинным представлением. В силу леммы 8.6.20 (Ь), существует такая матрица G е GL (га, П?), что (G-1, 0)Л(С, 0) является реализацией группы А в качестве кристаллографической подгруппы группы Е (га). □

Метод приведенного выше доказательства принадлежит Буркхардту [Burckhardt 1936]. Цассенхауз [Zassenhaus 1948] придал ему алгоритмический вид и его можно использовать для эффективного перечисления кристаллографических групп. Это было превосходно проделано в работе Буркхардта [Burckhardt 1947].

Пример. В этом примере мы воспользуемся сравнениями Фробениуса из 8.6.26 для нахождения возможных кристаллографических групп специального вида. Рассмотрим Т = Z2 и группу, соответствующую случаю Н из следствия 8.3.5, как матричную группу F. Последняя состоит из матриц

-(И). Н7-J. ^=(7 7)

и изоморфна Z2eZ2. Преобразования (Gt, <j), ... (ср. 8.6.26 (а)) мы будем искать в виде

№, (0,0)), ^^av«^ (^, 1^, Ь2)), ^ ^cv е2)).

Тогда сравнения Фробениуса приобретают вид:

mod 4,mod 4,Ни —а2) + (Ьъ 62) = (с,, с2) (Ь2, Ь^ + (ап a2) = (clf с2) (— а2, — aj + (с1т с2) = (bv Ь2) (с2, cj + (ax, а^^, b^ (- Ьг, - dj + (сп с2) = (ап а2) (— сп — с2) + (bv b2) = (аь а2)

mod 4,

mod 4,

остальные 10 сравнений тривиальны. Эти сравнения выполняются в том и только том случае, если

mod 4,mod 4,с2 — га^ -Р Ь2

mod 4,

mod 4,

by 2ах + b2

26 х. Цишанг и др.

где a2 и Ь2 — произвольные из 0, 1, 2 и 3. Будем обозначать возможный случай парой (at, Ь2).

Теперь мы хотим расклассифицировать эти расширения с точностью до сопряжений в А (2). Сопряжем группу, отвечающую паре (0, 0), посредством параллельного переноса ^E,~(a:, у)^, где 0 ^ х, у ^ 7 их, у eZ. Полученная группа отвечает паре («ь Ь2), которая удовлетворяет сравнениям

аг = — у + у mod 4» b2 = — у mod 4.

Таким образом можно, как легко видеть, получить все пары (а,, Ь2)с 0^at, Ь2^3, аь 62eZ- Следовательно, в случае Н следствия 8.3.5 существует только одна кристаллографическая труппа, которая, разумеется, является полупрямым произведением. (Тот же результат был получен в 8.4.14.)

Пример. Рассмотрим случай I следствия 8.3.5. Здесь мы имеем матрицы

Взяв в качестве (Gt, if), ... преобразования

(ДЛ\ 4 (С1’ С2>)’(ДЛ\ 4 (С1’ С2>)’<5, (0,0)), (^,1(^,0,)), (ЯЛ, 1^, Ь2)),

(ДЛ\ 4 (С1’ С2>)’

(ДЛ\ 4 (С1’ С2>)’

мы получаем сравнения Фробениуса

mod 4.mod 4.(ап а2) + (Ьц Ьа) = (сп с2) (— bv — Ь2) + (an a2) = (cn с2) (—av a2) + (сц c2) = (bv b^ №, -Ь2) + (Ьь 62H

mod 4.

mod 4.

(— cv — c2) + (an a2) = (bv b2) (— bv b2) + (cu c2) = (an a2) (cv — c2) + (bv b2) — (av a2) (— cu c2) + (cn c2) = 0

Очевидно, Ci и c2 можно исключить. Выписанные сравнения выполняются в следующих случаях:

О ^ а, ^ 3, Ь^ (0, 2), аг, Ъ^ или оба принадлежат (0, 2), или оба принадлежат (1, 3).

Для классификации этих возможностей применим, как и в 8.6.29, сопряжение посредством (я, у (х, у)), где х, yeZ, 0^ ^ х, у ^ 7. Если результат сопряжения группы, отвечающей числам at, Оз, ..., отвечает числам aj, а2, ..., то имеем следующие

сравнения:

Следовательно, bt является инвариантом и каждая из групп сопряжена группе с at = а2 = 0. В силу последнего условия Ьг s е {0, 2), и, значит, остаются четыре возможности. Сопряжение посредством ^ _Д (0, 0)j не изменяет (нулевые значения) at и а2, но дает ci = 63 и с2 = bv Так как ах = а2 = 0, то с2 = Ь2г ci = 61. Следовательно, случаи с bt = 0, 62 = 2 и bt = 2, 62 = О эквивалентны.

То, что оставшиеся три случая попарно не эквивалентны, можно показать вычислением. К сожалению, приходится рассмотреть несколько случаев. (Мы получили этот результат в. 8.4.15. См. также 8.7.4.)

Упражнения 8.14—18.

Когомологическая интерпретация уравнений Цассенхауза )

В этом параграфе мы будем использовать результаты и обозначения § 8.1. Пусть Г — кристаллографическая группа, Т < Г — подгруппа параллельных переносов, и Е = Г/Т с ?п=|Е| = = [Г: Т]. Тогда F эффективно действует в Т, действие описывается гомоморфизмом ф: F-»-AutT, см. (1) из 8.6.28. Следовательно, Г является расширением с абстрактным ядром (F, Т, ф). Пусть, как и выше, (Д, ..., /„} — система представителей смежных классов. Уравнения (3) из 8.6.28 выражают взаимодействие представителей с мультипликативной структурой; в частности, t.,; образует множество факторов, см. 8.1.9. Уравнения (4) и (5) из 8.6.28 превращаются в уравнения (2) и (1) из 8.1.10. Эта дает доказательство пункта (а) следующей леммы; пункт (Ь) был доказан в 8.6.28.

Лемма, (а) Система И, ,11 С i,/е т} есть коцикл из C2(F, Z").'

(b) Всякий коцикл из ^(F, Z") можно реализовать как систему U< Д, связанную с кристаллографической группой. □

Кристаллографическая группа Г, отвечающая коциклу И,,}, может быть реализована как подгруппа группы А (и) следующим образом:

/г: Г->А(п), f,t^^Ab К} + 0,

где <еТ, Aj = — ^ ^’ см- (®) из 8.6.28. Матрицы Лj получа

ются после выбора базиса группы Т = Z".

Предположим теперь, что коциклы {tf-,} и {^.Д отличаются на кограницу б*с*:

Положим Z( := с* (/,), 1^ := с1 (f^ для 1 < i,/ < т,

Тогда

(б^1)^, ^L-l^Uj-

Следовательно,

К - ^ 2 Х> - ^ 11. J +1. - ^ 2к+^ 2 Mi -

= Kj + Zj — s + sAj.

Тем самым мы доказали

Предложение. Кристаллографические группы

Г = ((Л„ ^+t)ll^/^m, (еТ)

Г = {(ЛЛ ^+#)|1^/^т, ZeT}

эквивалентны как расширения с абстрактным ядром (F, Т, ф)

-в том и только том случае, если для некоторого s е — Т

Kj = Kj + (Е — Л,) s mod Z" при 1^/^т.

Здесь А5 —матрицы, описывающие действие группы F, т. е. гомоморфизм ф, относительно некоторого базиса.

В описанной выше ситуации говорят, что группы Г и Г сильно эквивалентны, см. Цассенхауз [Zassenhaus 1948, S. 123] и Буркхардт [Burckhardt 1966, S. 283]. По сравнению с эквивалентностью из 8.5.9 это более тонкая эквивалентность. Алгебраический смысл определений 8.5.9 состоит в следующем: расширения Г и Г с абстрактным ядром (F, Т, ф) слабо эквивалентны, если существуют такие изоморфизмы т и у, что диаграмма

1^Т^Г^Г-+1

1->Т^гГ^Г->-1 коммутативна.

Дадим теперь еще одно доказательство теоремы Цассенхауза 8.5.14 и усиление теоремы 8.5.18.

Теорема. Пусть Г — эффективное конечное расширение группы T=Zn, пусть Е:=Г/Т и m:=|F|. Тогда группа Г изоморфна подгруппе полупрямого произведения F Q Т и, значит, изоморфна кристаллографической группе.

Доказательство. Пусть

— аддитивная группа векторов. Тогда F эффективно действует в U по формуле/(u)= —/(mu); напомним, что действие группы F в Т имеется по предположению. Включение ф: Tc^U индуцирует гомоморфизм ф*: Я2 (F, T)->-^(F, U), см. 8.1.18. В силу предложения 8.1.19 расширение Г группы Т посредством F можно рассматривать как подгруппу расширения А группы U посредством Ей [А : Г] = [U : Г] = ^ < оо.

Пусть X: U -> Т — изоморфизм и ^ тпи. Тогда Хф: Т Т есть умножение на т, и потому, в силу предложения 8.1.20, гомоморфизм (Хф)*: Я2 (G, Т) -> IP (G, Т) равен нулю. Так как (Хф)* = = Х*ф* и X* — изоморфизм, то ф*(Я2(Е, Т)) = 0. Следовательно, Г является подгруппой полупрямого произведения Л = F Q U. Так как А можно рассматривать как разрывную подгруппу группы А (га) компактной фундаментальной областью, то А является кристаллографической группой (точнее, аффинно эквивалентна кристаллографической группе). То же верно и для Г, поскольку [А : Г] < оо. □

Замечания. Когомологическая теория расширений проясняет вычисления, проделанные в § 8.4. Нормализации, произведенные там, соответствуют выбору подходящих множеств факторов. Следствие 8.1.25 объясняет, почему в каждом из случаев В — Е следствия 8.3.5 существует только одно расширение; см. также 8.4.8 и замечание после предложения 8.4.10.

Другие рассмотренные в 8.3.5 случаи также поддаются исследованию когомологическими методами. Опишем этот подход в наиболее интересном случае I из 8.3.5. Группу F можно представить матрицами Е, D = Л2 = ^ Q _ J, S = ЯЛ = ^ _ J, SD = ЯЛ3 = ( 0 ^ Чтобы найти расширения, нужно вычислить Я2(Е, Z © Z), см. 8.1.17. Отправляясь от свободного задания (Грюнберг [Gruenberg 1960, 1970]), построим свободную резольвенту тривиального F-модуля Z- В нашем случае начинаем с задания

l-»-R->-<s, J|>^<s, d|s2 = t? = sds-1d=l>^ 1

и находим при помощи соответствующей резольвенты, что

я2 (о2, z2) = z2 (d2, zw (d2, z2),

^ (D2, Z2) = {(ж, Z/) Iх, у е z2, xS = xD, yS = у} cz Z4, S2 (D2, Z2) = V^SD + X + yS — y, xS + XI x, z/ e Z2} CZ z4.

Следовательно, Я2 (D2, Z2) = 0 ф Z Ф Z Ф 0/0 ф 2Z Ф 2Z Ф 0 ^ = Z2 Ф Z2. Четырьмя попарно неэквивалентными расширениями являются полупрямое произведение Гг: = D2 Q Z2 и группы Г2, Г„ Г4, определяемые следующими системами представителей:

ЦЕ, 0), (Я, 0), (5, (0, 1/2)), ^SD, (0, 1/2))},

ЦЕ, 0), (Я, 0), (5, (1/2, 0)), (5Я, (1/2, 0))},

ЦЕ, 0), (Я, 0), (S, (1/2, 1/2)), (5Я, (1/2, 1/2))}.

Группы Г2, Г3 изоморфны, но расширения Г2 и Г3 группы Z2 не эквивалентны. Этот результат уже был получен в 8.6.30. Детальное обсуждение этого подхода можно найти в работе Менке [Menke 1977, §§ 14, 15], где все расширения группы Z2 исследованы при помощи когомологических методов.

По поводу когомологической теории кристаллографических групп см. [Ascher — Janner 1965, 1968], [Brown — Billow — Neubii- ser — Wondratscheck — Zassenhaus 1978].

Упражнения 8.19—20.

Упражнения

Докажите утверждение 8.1.16 (b).

Докажите предложение 8.1.36.

Докажите предложение 8.1.37.

Докажите утверждения о подгруппах, сформулированные после предложения 8.2.9.

Докажите утверждения о подгруппах, содержащиеся в формулировках предложений 8.2.10 и 8.2.11.

Докажите непосредственно, что любая разрывная группа с компактной фундаментальной областью, состоящая из движений аффпиной плоскости, аффинно изоморфна одной из 17 групп G„ — G,.

Решите проблему модулей для групп Gb — G, и найдите пространство модулей. (Результатами относительно Ga = Z ф Z можно пользоваться.)

Докажите, что любая свободная от кручения подгруппа группы

<sp s2, s3 | $2 = $2 = s3 = SjS2«3 — 1) изоморфна или Z или Z Ф Z:

при помощи геометрических рассуждений,

методами комбинаторной теории групп.

Найдите все подгруппы группы <sr $2, s3 | 4=s2 = sa= siVs = 1), используя:

геометрические рассуждения,

теоретико-групповые методы.

При помощи метода Райдемайстера — Шрайдера покажите, что ядро гомоморфизма SL (2, Z) -> SLF (2, Z), (|( z,— аг + ч, изоморфно ^2.

а) \ cz а '

Для каких-нибудь из расширений, описанных в 8 4.9, 11—19, проверьте различными способами, что они действительно являются расширениями группы Z ф Z.

Проверьте, что Т является максимальной абелевой подгруппой расширений Gb — G„ ср. с теоремой 8.5.15.

Докажите теорему 8.4.21 непосредственно.

Приведите примеры изоморфных кристаллографических групп, которые не являются геометрически эквивалентными, и попытайтесь оценить размерность пространства модулей n-мерных торов.

Докажите лемму 8.6.2.

Доведите до конца рассуждения в примере 8.6.30.

Примените метод Цассенхауза в случае Е, К, L из 8.3.5.

/100\/-10I 010 I,0— 1\001/\ оо/100\/-10I 010 I,0— 1\001/\ ооПрименяя метод Цассенхауза, найдите все кристаллографические группы Г в R3, для которых Г/Г Л R3 есть группа, состоящая из следующих матриц:

/100\/-10

I 010 I,0— 1

\001/\ оо

/100\/-10

I 010 I,0— 1

\001/\ оо

Восстановите детали в п. 8.7.4.

Найдите при помощи когомологических методов все кристаллографические группы в случае G из 8.3.5.

Пусть F — фундаментальная группа замкнутой ориентируемой поверхности рода g > 1 и S — такая фуксова группа, что [S: F] < оо. Тогда группа S/[F, F] изоморфна кристаллографической группе, действующей в 'R28. (См. также упражнение 11.3 и предложение 4.15.1.)

Покажите, что существуют кристаллографические группы, действующие в R28, g > 1, которые не могут быть получены способом, указанным в упражнении 8.21.

Пусть G —свободное от кручения конечное расширение группы ■Z* s U < G такое, что g^ug = и для всех a eU, ?eG. Тогда G ss Z".

ОТМЕЧЕННЫЕ РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ И ФУКСОВЫ ГРУППЫ

И ТЕОРЕМА ФЕНХЕЛЯ О РЕАЛИЗАЦИИ

Проблема классификации римановых поверхностей с точностью до аналитических биективных отображений называется проблемой модулей. Один из подходов к этой трудной проблеме использует классификацию канонических систем образующих фундаментальной группы и состоит в обобщении изложенного в § 7.4 решения проблемы модулей для торов. Уже к классификации отмеченных римановых поверхностей в литературе имеется несколько подходов. Первую систему модулей указал Фрике, см. Фрике и Кляйн [Fricke — Klein 1912, II, 1]. Мы рассмотрим его инварианты — называемые теперь модулями Фрике — в §§ 9.1— 9.4 и докажем, что следы канонических образующих и еще некоторых преобразований образуют полную систему инвариантов и что пространство отмеченных фуксовых групп гомеоморфно некоторому евклидову пространству. В § 9.5 мы сделаем некоторые замечания о других подходах к проблеме модулей. В § 9.6 при помощи элементарных методов мы докажем ослабленный вариант теоремы Смита о неподвижных точках. Наконец, в § 9.7 мы покажем, что каждую конечную разрешимую группу классов преобразований поверхности можно реализовать конечной группой преобразований.

Факторповерхности

В этой главе мы будем изучать фуксовы группы средствами, связанными с их факторповерхностями (т. е. с их пространствами орбит)*). Это удобно для решения проблемы модулей. Мы ограничимся случаем конечно порожденных фуксовых групп и будем рассматривать только сохраняющие ориентацию преобразования и ориентируемые поверхности. Из общей теории фуксовых групп и римановых поверхностей нам потребуется

*) В последнее время для пространства орбит группы, действующей в многообразии, появился специальный термин — orbifold (англ), т. е. орбио- бразие. Для наших целей он неудобен из-за различия между римановой поверхностью и римановым двумерным многообразием. Не рискнув ввести термин орбиповерхностъ, мы предпочли придерживаться терминологии оригинала,— Примеч. пер.

Предложение, (а) Если G — фуксова группа, действующая на единичном круге Ш, то факторпространство (пространство орбит) H/G=:S есть поверхность, а проекция р: И—>S является регулярным (возможно) разветвленным накрытием. Точками ветвления являются образы центров вращений из G.

(Ь) Гиперболическая метрика плоскости Hi определяет метрику в S. Вне множества ветвления эта метрика является римановой, а геодезические являются образами отрезков из Н. Более того, дополнение множества ветвления представляет собой риманову поверхность. Длины кривых определяются при помощи этой метрики. О

Мы воспользуемся факторповерхностью S вместе с набором точек ветвления и их порядков для описания фуксовой группы. Рассмотрим сначала некоторые топологические свойства, а затем обратимся к конформной структуре.

Определение, (а) Пусть S — (топологическая) поверхность без края, и пусть Q = V(q<, ht) li = 1, 2, .. J — конечное или счетное множество со следующими свойствами:

ht есть целое число >2;

q,^S и q, * q5 при i^j;

Множество {gji = l, 2, ...} не имеет точек накопления. Тогда 5 с отмеченным на ней множеством Q называется факторповерхностью. Точки q., i = 1, 2, ..., называются исключительными; число h, называется порядком точки q,.

Отображение /: (S, Q)-* (S', Q') есть гомеоморфизм фак- торповерхностей, если /: SS' есть гомеоморфизм, отображающий Q в Q' и сохраняющий порядки исключительных точек.

Характеризация дыр. Пусть S — факторповерхность. Простая замкнутая кривая у на 5 задает дыру поверхности S, если S = Si U S2, Si Л Si = у, где Si, S2 являются связными поверхностями, S± s D2\{0} и Si не содержит исключительных

точек. Две кривые у и у' задают одну и ту же дыру, если верно следующее (см. рис. 9.1.1):

у и у' задают дыры поверхности S, т. е. S = ST U S4 = S'x U [J S4 и S± A S4 = у, a Sx A S4 = у', где St и S, обладают вышеуказанными свойствами.

Существует такая простая замкнутая кривая у", что

Y" с Sx А ^, Si = s; и Sxx, 5; = 5; и Su,

Y" = Sxx A Sx = Sx A SH,s; = D2 \{0}, Su ^ Six = s1 X [0, 1].

Определение. Пусть (S, Q) — факторповерхность. Две петли ^0 и % не проходящие через исключительные точки д,е9, называются Q-гомотопными, если 70 можно продеформи- ровать в ^ при помощи конечной последовательности следующих операций:

Гомотопии с фиксированной начальной точкой, во время которых не задевается ни одна исключительная точка.

Пусть 6 — кривая в 8, ограничивающая диск, внутри которого содержится ровно одна исключительная точка qt. Если 7, содержит подпетлю 6', совпадающую с 6 *, ее{1, —1}, и не содержащую начальной точки петли ^„ то 6' можно отбросить.

Операция, обратная операции (Ь).

Петли Yo и ^ называются свободно Q-гомотопными, если начальная точка в процессе деформации может двигаться.

Замечание, ^-гомотопия на 5 соответствует гомотопии в следующем пространстве: возьмем для каждой точки qxGQ маленький диск Dt с центром qb так чтобы Z>, П О, = 0 для г * j. Удалим из 8 внутренности дисков О, и вклеим новые диски Di таким образом, чтобы край диска Di отображался на крап диска D< со степенью h(. Обозначим полученное пространство через 8*. Тогда две кривые, лежащие в дополнении дисков D„ Q-ro- мотопны в том и только в том случае, если они гомотопны в 8+ в обычном смысле. Как и следовало ожидать, имеет место

Предложение. Пусть (8, Q) есть факторповерхность и ре S\Q. Тогда множество Q-гомотопических классов петель с началом в р образует группу. Эта группа называется Q-гомотопической группой и обозначается через т^ (S). □

Предложение. Пусть G — группа, разрывно действующая в плоскости или сфере. Допустим, кроме того, что все преобразования из G сохраняют ориентацию. Обозначим через S пространство орбит. Тогда S является поверхностью и плоскость или, соответственно, сфера накрывает S, возможно, разветвленно. Пусть Q —множество точек, взятых с соответствующими порядками. Тогда (8, Q) есть факторповерхность. В этой ситуации мы говорим, что факторповерхность (8, Q) определяется (или реализуется) группой G. □

Это — прямое следствие теоремы о классификации разрывных групп, действующих в плоскости или сфере, см. 7.3.12. Воспользовавшись стандартными рассуждениями о накрытиях и заданием группы л? (5) в виде фундаментальной группы построенного в п. 9.1.5 пространства, получим

Предложение. Пусть группа G разрывно действует в плоскости или сфере, причем все ее элементы сохраняют ориентацию. Пусть (8, Q) — определяемая группой G факторповерхность. Тогда

n?(S^G.

Этот изоморфизм устроен следующим образом;

(•) Пусть хг^— точка, не остающаяся неподвижной ни при каком преобразовании из G. Для geG через x,g(x) обозначим какой-нибудь путь из х в g(x), не проходящий через точки с нетривиальным стабилизатором. Пусть р- Е—>5— проекция. Тогда р(х, g(x')')—петля с началом в р(х), и искомый изоморфизм Ф: G-)-ni(S') задается формулой

g— [p(^7^j)],

где скобки [ ] обозначают Q-гомотопический класс. □

Сразу же возникает вопрос, какие факторповерхности можно реализовать разрывными группами, действующими в плоскости или сфере. Как мы уже отметили в п. 7.3.15, ответ хорошо известен. Результаты мы соберем воедино в таблице 9.1.11, Но сначала введем на факторповерхностях аналитическую структуру и рассмотрим разрывные группы движений евклидовой или гиперболической плоскости и сферы.

Аналитические структуры на факторповерхностях. Аналитическая структура на факторповерхности (S, Q) определяется так же, как определяются настоящие римановы поверхности, только в точках ветвления она определяется при помощи разветвленных накрытий, а не гомеоморфизмов. Более подробно:

S\Q есть риманова поверхность в обычном смысле.

Для каждой исключительной точки (q, h^eQ существует такая ее окрестность U и два таких непрерывных отображения <р, ф: Н -► U, где ф есть гомеоморфизм, что отображение

ф: Н\{0} —С7\{д}

биголоморфно и следующая диаграмма коммутативна:

wz"

Факторповерхность с аналитической структурой будет называться римановой факторповерхностъю.

Из общей теоремы существования для фуксовых групп и групп, действующих на евклидовой плоскости (см. 7.3.15), получается следующая

Теорема, (а) Если факторповерхность (S', Q'') реализована разрывной группой топологических преобразований плоскости или сферы, то каждую риманову факторповерхность (S, @), гомеоморфную факторповерхности (S', Q'), можно реализовать группой движений сферы или евклидовой либо гиперболической плоскости.

(b) В таблице (9.1.11) перечислены случаи, когда поверхность (S, Q^ можно реализовать. Обозначения таковы:

g— род поверхности S,

к — число дыр,

п — число исключительных точек,

hi, • •., hm — порядки исключительных точек,

2 есть сумма 2 1/^*

Теорема. Пусть факторповерхность (S, Q) реализуется группой G. Пусть ц и в — непересекающиеся простые замкнутые кривые на факторповерхности (S, Q), которые не проходят через точки из Q. Тогда ц и 6 свободно Q-гомотопны в том и только в том случае, если они ограничивают кольцо, не содержащее точек из Q.

Доказательство. Если кривые у и б ограничивают кольцо, не содержащее точек из Q, то ц можно продеформировать в 6 при помощи изотопии, не задевающей исключительных точек.

Допустим теперь, что у и б свободно ^-гомотопны. Обозначим через ц' и 6* поднятия петель ^ и б в Н. Тогда найдутся такие преобразования 4, ВеЦ, что А (^'(0) )= ^'(1) и 5(6* (0)) = = 6*(1). Преобразования А и В сопряжены, поскольку у и б свободно ^-гомотопны: В = 7-147, Г е G. Заменим 6* на поднятие 6' :=Т = 6* петли 6. Тогда 46'(0) = 7’57’-,6'(0)= 6'(1), следовательно, у' и 6' соответствуют одному и тому же преобразованию А (см. рис. 9.1.2).

Теперь мы получаем две кривые: у:= ^"(у') и 6:= := J 4” (6'). Так как у и 6 являются простыми и не пересекающимися, кривые у и б являются простыми и у fl 6 = 0. Таким образом, у и б ограничивают связную область D с Н. Ес-

ли преобразование 4 эллиптическое, то кривые у и 6 просты и замкнуты и они ограничивают диски, содержащие неподвижную точку преобразования 4. Следовательно, один из этих дисков содержится в другом. Если преобразование 4 гиперболическое

Рис. 9.1.2

или параболическое, то кривые незамкнуты и стремятся к неподвижным точкам преобразования 4.

Докажем теперь следующее: если две точки х, у ^ D G-эквивалентны, то у = 4” (ж) при некотором гае Z- Допустим, что у = = 7(ж), где 7е G. Сравним расстояния d^x, t'), d(x, ^),d(y,^) и d^y, 6). Без потери общности можно считать, что d^x, ^ есть наименьшее из них. Обозначим через z конец отрезка от z до у длины d^x, ч). Так как

d<y, 7(z))=d(7(z), 7(z)) = d(x, z)^min{d(y, y~), d(y, 6^}, то мы получаем, что V^eD.

Если 7(z)edZ), то 7(z) принадлежит либо у, либо 6. Вторая возможность исключена, поскольку по предположению z е ут а у и 6 не пересекаются. В первом случае мы имеем, что 7(у) = = у, так как кривая у — простая. Теперь из того, что кривая у — простая и не содержит исключительных точек, следует, что 7 = 4" при некотором raeZ.

Докажем теперь, что V^z^D. Допустим, что 7(z)eO. Пользуясь тем, что рассматриваемые кривые просты, мы заключаем, что 7(у)<=О. Если 4 есть гиперболическое или параболическое преобразование, то эта кривая имеет те же концы, что и у и 6. Следовательно, 747-1 имеет те же неподвижные точки, что и 4. Так как кривая у простая, то преобразование 4 порождает бесконечную циклическую подгруппу, которая состоит из элементов группы G, имеющих те же неподвижные точки, что и 4. Итак, 7 = 4" при некотором raeZ и 7(у)=у, т. е. V^eQD. Если преобразование 4 эллиптическое, то у ограничивает компактное множество X, содержащее неподвижную точку преобразования 4, и 7(у)сХ. Тогда 7(Х)сХ, и мы получаем последовательность Л 2 7 (X) дэ 72 (X) дэ ... замкнутых мно-

жеств. Так как X компактно, то 0 Ф 0 V" (X) с X с Н, что

противоречит разрывности группы G. □

Теорема. Пусть а и $ —дизъюнктные простые замкнутые кривые на факторповерхности (8, Q) группы G, не проходящие через исключительные точки. Пусть а' и ^' — кривые в И, однократно накрывающие а и ^ соответственно, и пусть а и Ъ— преобразования из G с а(а'(0)) = а'(1), Ь(Р'(О)) = = Р'(1). Допустим, что а и b — гиперболические преобразования, и обозначим их оси через А и В. Допустим, кроме того, что элемент а не сопряжен ни с Ъ, ни с Ь~1. Пусть Н = = {^G|<4=4). Тогда

Ось А —простая, т. е. при t^G из условия 1АПА¥=0 следует, что tA = А. Имеются следующие две возможности:

Н ^ Z и а порождает Н. Тогда на А найдется такой отрезок w, что

I

w, если п = О,

конец отрезка w, если | п | = 1, 0, если |ге|^2.

Образ отрезка w есть простая замкнутая геодезически замкнутая) геодезическая, не содержащая исключительных точек.

Н ^ Doo и а порождает бесконечную циклическую подгруппу индекса 2. Тогда ось А содержит отрезок ю со следующими свойствами: концы его являются центрами двух неэквивалентных вращений порядка 2; ни одна его внутренняя точка не является исключительной. Одно из впащений и гиперболическое преобразование а порождают Н, a w есть фундаментальная область для действия группы Н на А.

[J gA гл J gB = 0. Другими словами: образы осей А и В являются непересекающимися простыми замкнутыми геодезическими на 8.

Доказательство, а* := U а” (а') есть простая жорданова кривая в И, стремящаяся в обоих направлениях к неподвижным точкам преобразования а. Таким образом, если бы tA П А ¥= 0, и tAV=A, то I ° а* и а* пересекались бы трансверсально, ср. рис. 9.1.3. Поэтому из того, что tA П А + 0, следует, что tA =А. При этом имеются две возможности:

t есть гиперболическое преобразование с осью А

t есть вращение порядка 2, и его неподвижная точка лежит на 4.

В случае (i) преобразования а и t являются степенями элемента группы G, порождающего циклическую подгруппу, образованную гиперболическими преобразованиями из G с осью А.

Но элемент а должен быть образующим, поскольку иначе его нельзя было бы реализовать простой замкнутой кривой. (Это можно доказать и геометрически.) Если случай (И) не имеет места, то реализуется возможность (1).

В случае (ii) t и ta являются вращениями порядка 2, и у обоих неподвижные точки лежат на 4. Расстояние между неподвижными точками равно половине длины сдвига преобразования а. Допустим, что найдется элемент g е G с/\

g"4g = ta.

Пусть х — неподвижная точка преобразования ta, и пусть у := g(x). Тогда

У = g(x^= gta(x)= tg(x^= t(yV

Следовательно, у есть неподвижная точ- Рис 913 ка вращения t и у^А. Отсюда выте-' ' "

кает, что g4n4=#0 и gA=A. Можно считать, что g не изменяет направления оси А, этого всегда можно добиться умножением на t. Тогда g является гиперболическим преобразованием с осью А. Его длина сдвига равна расстоянию между неподвижными точками х и у преобразований ta и t, которое составляет половину длины сдвига преобразования а. Мы опять приходим к тому же противоречию с простотой кривой а*, что и выше. Это доказывает пункт (а).

Поскольку никакая степень преобразования а не сопряжена со степенью преобразования Ь, мы имеем, что gA * g'B для любых g, g'е G. Если gA П g'B¥= 0, то оси gA и g'B пересекаются трансверсально и их пары предельных точек разделяют друг друга на ЭН. Следовательно, кривые ga* и g'^* пересекаются, поскольку они имеют те же предельные точки, что и gA и g'B. (Здесь р* строится так же, как а*.) Но это противоречит тому, что а П р = 0. □

Важное следствие теоремы 9.1.13 состоит в том, что оси канонических образующих не пересекаются, если они соответствуют различным ручкам или дырам, см. теорему 9.1.16.

Для изучения фуксовых групп требуется дополнительное определение, относящееся к дырам.

Определение. Пусть (5, Q)— риманова факторпо- верхность. Дыра поверхности S называется параболической или рогом, если она задается кривыми сколь угодно малой длины. В противном случае она называется гиперболической.

Теорема. Пусть G — разрывная группа движений евклидовой или гиперболической плоскости, не являющаяся циклической, и (S, Q) — соответствующая факторповерхность. Пусть у — простая замкнутая кривая на S, не содержащая отмеченных точек.

у задает параболическую дыру в том и только в том случае, если ц соответствует (при изоморфизме Ф, см. предло-

жение 9.1.8) классу сопряженности параболического преобразования из "G.

7 ограничивает диск на S, содержащий ровно одну от- меченную точку q, в том и только в том случае, если ч соответствует классу сопряженности эллиптического преобразования je G, имеющего наименьший угол поворота среди всех эллиптических преобразований из G с тем же, что и у t, центром.

7 соответствует при Ф классу сопряженности гиперболического преобразования в том и только в том случае, если она не гомотопна нулю (в обычном смысле') и не задает параболической дыры, а также не обходит вокруг исключительной точки.

Доказательство, (а) Допустим, что 7 задает параболическую дыру. Тогда 7 разбивает S на два связных куска. Один пз них, 51, гомеоморфен Н2\{0} и содержит нестягиваемые простые замкнутые петли сколь угодно малой длины. Одну из них, петлю ^, можно соединить с начальной точкой р петли 7 при помощи такой простой кривой а, что 7оф-1а~1 ограничивает диск на S, не содержащий исключительных точек. Пусть р е Н накрывает р._ Поднятие кривой 7оф-1а2‘ с началом в р имеет вид 7а(^)-1(а)_‘, где 7 накрывает 7, а и а накрывают а, и накрывает ^. Поднятие является замкнутой_кривой. Следовательно, 7 и р задают преобразование i^Gc £(а) = а, т. е. они соответствуют одному и тому же преобразованию. Это доказывает, что 7 соответствует преобразованию t е G, сдвигающему некоторые точки на сколь угодно малые расстояния. Таким образом, t есть эллиптическое либо параболическое преобразование. Если преобразование t эллиптическое, то U 1п^) будет простой за

мкнутой кривой в И; следовательно, кривая 7 должна ограничивать диск, содержащий проекцию центра преобразования t. Это невозможно, так как 7 задает параболическую дыру, а группа G — не циклическая. Таким образом, t есть параболическое преобразование.

Допустим, далее, что 7 соответствует параболическому преобразованию < eG. В силу разрывности группы G неподвижная точка преобразования t не может находиться в И; поэтому она определяет параболическую дыру в S. Тогда найдется некоторая простая замкнутая кривая [3 на S, задающая эту дыру и не пересекающаяся с 7. Далее, 7 и ^ соответствуют при изоморфизме Ф одному и тому же параболическому преобразованию t, поэтому они свободно ^-гомотопны. Следовательно, в силу теоремы 9.1.12, 7 и 3 ограничивают кольцо на S. Поэтому 7 задает ту же дыру, что и 0.

следует из того факта, что л: Н->5 есть накрытие, разветвленное в q, и того, что накрытие любого диска, содержащего ровно одну точку ветвления, эквивалентно стандартному разветвленному накрытию круга кругом:Н2->Н2, z --* z .

Утверждение (с) следует из (а) и (Ь). □

Будем говорить, что кривая обходит дыру в положительном направлении, если выполняется правило правой руки, т. е. если при движении правой руки в направлении кривой большой палец указывает в дыру. Если у нас есть каноническая система кривых, то кривые, определяющие дыры, обходят их либо все в положительном, либо все в отрицательном направлении. В первом случае будем говорить о положительной канонической системе. Поднимем теперь ситуацию в универсальное накрывающее и получим положительную систему образующих для фуксовых групп. Ситуация изображена на следующих рисунках:

Рис. 9.1.5Рис. 9.1.5

Рис. 9.1.5

Рис. 9.1.5

Теорема. Положительной канонической системе петель или — что равносильно — положительной канонической системе образующих соответствует фундаментальная область F в Н, как это изображено на рис. 9.1.4, причем оси и т. п. преобразований расположены, как на рис. 9.1.5. □

Упражнения 9.1—3.

§ 9.2. Отмеченные римановы поверхности

п фуксовы группы

В этом параграфе мы определим объекты, образующие пространство модулей для поверхностей рода g > 2. Мы воспользуемся конструкцией, подобной построенной нами для случая торов (см. § 7.4).

Определение. На римановой факторповерхности (S, Q) система петель

У = (oi, ..., щ, ри ..., pm, 6t, ..., б„, т„ р-i, ..., ts, pg) называется канонической, если она обладает следующими свойствами:

Петли имеют общую начальную точку р*; она является единственной точкой пересечения различных петель.

6, = б{б{б{-1, г = 1, ..., п;

Pi = P^PiPi~\ i = l,...,m;

di = cFididi \ i = 1, ..., k.

Здесь б4, щ, Pi — простые дуги, a 6i, Oi, pi— простые замкнутые 27 x. Цишанг и др.417

кривые; концы дуг б{, а'ь р< лежат, соответственно, на 6", ст,, р,. Каждая петля ст{ задает гиперболическую, а каждая петля р, — параболическую дыру; 6, ограничивает диск, содержащий в точности одну исключительную точку. Различные кривые задают различные дыры или исключительные точки соответственно.

Звезда в р* равняется

Oi, ..., Ста, pi, ..., pm, 6t, ..., 6П, т15 цх х, Ti\ рц ..., Tg,pg, т8 \ рг.

Система У разрезает поверхность S на п + т + к + 1 связных кусков, т + к из которых гомеоморфны проколотому диску (диски ограничены кривыми a", pt), а п+1 гомеоморфны диску (п из них имеют краями 6lt ..., бп). Последний диск пмеет следующий край (см. рис. 9.2.1):

"1 . . . HfcPj . . . риД . . . бпТ1р1тГ1рГ1 . . . TgPgT^Pg \

Определение. Пусть (5, Q) есть факторповерх- ность. Говорят, что две канонические системы петель У и У'

изотопны, если существует изотопия поверхности S, пе-

при ко-при ко-реводящая У вреводящая У второй исключительные точки все время неподвижны. Если факторповерхность соответствует группе G движений плоскости И, то будем говорить также, что У и У' являются G-изотопными.

при ко-

при ко-

реводящая У в

реводящая У в

Мы подошли к ключевому определению, позволяющему нам найти модули римановых поверхностей. При этом обобщается подход,

описанный нами случая торов.описанный нами случая торов.Определение, (а) Если G есть фуксова группа, а Е — класс сопряженности канонических систем образующих, то (G, Е) называется отмеченной фуксовой группой. Иногда вместо (G, Е) пишем (G, Е), где Е^Е.

описанный нами случая торов.

описанный нами случая торов.

(Ь) Если (S, Q') есть факторповерхность, a Y — изотопический класс канонических систем кривых на (S, Q). то (№ Q), Y) называется отмеченной факторповерхностъю. Обычно мы будем писать лишь (S, Y).

Е и Y будут называться маркировками исходных группы G и поверхности S.

Если факторповерхность (5, Q) есть факторповерхность фуксовой группы G, то каждая каноническая система кривых на 5 поднимается до канонической системы образующих группы G.

Подъем зависит от выбора начальной точки в И; следовательно, он определен с точностью до внутреннего автоморфизма группы G. Если изменить систему кривых У при помощи G-изотопии, то соответствующие образующие изменятся всего лишь под действием некоторого внутреннего автоморфизма. Отсюда с помощью теоремы Нильсена 5.8.3 мы получаем:

Предложение. Если факторповерхность (S, Q) определяется фуксовой группой G, то каждой маркировке поверхности (S, Q) соответствует маркировка группы G, и наоборот. □

Определение, (а) Две фуксовы группы G и G' конформно эквивалентны, если существует такое дробно-линейное преобразование /: Н->Н, что формула g1-/-1^/ задает изоморфизм /#: G^G'.

Две отмеченные фуксовы группы (G, Е) и (G', Е') конформно эквивалентны, если существует такое дробно-линейное преобразование /: Ш->Н, что /# (Е) = Е'. Класс эквивалентности группы (G, Е) обозначается через [G, Е].

Две римановы факторное ерхности (S, Q) и (S', Q') конформно эквивалентны, если существует гомеоморфизм /: (S, Q)-* -*(8', Q'), аналитический в локальных координатах и сохраняющий порядки исключительных точек.

Две отмеченные римановы факторповерхности ((S,Q),Y) и ((S', Q*'), Y') конформно эквивалентны, если существует гомеоморфизм /, такой же, как и выше, с /(Y)=Y'. Обозначим через [(S, Q), Y] класс всех отмеченных факторповерхностей, конформно эквивалентных поверхности (S, Q).

Множество

^":=^"(g; п: А„ ..., Лп; тп; к): =

:= {[G, Е] I (G, Е) — отмеченная фуксова группа сигнатуры (g; п: ht, ..., Л„; m; /с)}=

= {[(S, Q^, Y)]1S имеет сигнатуру (g; n: h^ ..., тп; A:))*)

есть пространство Тайхмюллера для сигнатуры (g; п; h^ ..., hu;

При помощи стандартных рассуждений с накрытиями и кривыми получаем

Предложение. Две отмеченные римановы факторповерхности ((S, @), Y) и ((S', Q'^, Y'), отвечающие отмеченным фуксовым группам (G, Е) и (G', Е') соответственно, конформно эквивалентны в том и только в том случае, если (G, Е) и (G', Е') конформно эквивалентны. □

Топология пространства Тайхмюллера. Пусть G — фуксова группа, а Е — каноническая система образующих,

идущих в каноническом порядке. Реализуем их унимодулярны- ми матрицами Ht, ..., HN, где N = 2g-Vn-Vm-Vk и Н, = ^ ^ с pi = Xj + гур qi = х, + гур p,p, — q3q, = 1. Поставим в соответствие системе Е точку

Uv Ун ^ь Уь • • •. х№ Ун. x'n, Z/n) г R4N.

Обозначим через М подмножество пространства R4N, полученное таким образом из множества всех канонических систем образующих всех фуксовых групп с одной и той же сигнатурой (g; га: h^ ..., hn; т; к). Разумеется, размерность множества М гораздо меньше, чем 4N, потому, например, что условие на определитель х; + г/J — x'j2 — у2 = 1 убивает N измерений. Так как матрицы Н, и — Н, задают одно и то же дробно-линейное преобразование, то одна и та же каноническая система образующих соответствует 2" точкам в М. Введем теперь в множестве М отношение эквивалентности R; две точки эквивалентны, если они задают одну и ту же каноническую систему образующих, или, что то же, если они соответствуют таким двум системам матриц, что одна получается из другой при помощи сопряжения с матрицей вида ^ ^, pp — qq = 1. Из определения немедленно следует, что Т можно отождествить с множеством классов эквивалентности М/R; тем самым на Т определена фактортополо- гия. Здесь М считается наделенным индуцированной из R4N топологией.

Определение. Топология на Т есть определенная выше топология.

Пусть (Go, Ео)—группа типа (g; га: ht, ..., й„; гаг; к) с канонической системой образующих, рассматриваемая сейчас лишь как абстрактная группа. Тогда для каждой пары, состоящей из фуксовой группы G того же самого типа и класса Е канонических систем образующих, однозначно определен такой изоморфизм A(G, Е): G0^G, что A(G, Е)(Е0) = Е.

Предложение. Пусть A: GoGo есть автоморфизм, отображающий элементы, которые соответствуют параболическим или гиперболическим дырам, в элементы того же типа. Тогда отображение

0А: Т^Т, (G, E)~(G, АоА-А-ЦЕ)), где A = A(G, Е), является гомеоморфизмом. Отображение 4 >-* 0А есть гомоморфизм 0 : Aut* Go Homeom Т.

Доказательство. Коэффициенты матриц из системы АЛЛ~‘(Е) являются многочленами от коэффициентов матриц из системы Е и, следовательно, зависят от этих коэффициентов непрерывно. Поэтому индуцированное отображение непрерывно на М с: R4N. Так как оно, кроме того, согласовано с отношением эквивалентности R, то отображение 0А также непрерывно. То, что

0а=а' = 9а°9а' и 0ld = id, очевидно. Таким образом, 0А есть гомеоморфизм для каждого Л, и 0 : Aut#G0->Homeom^”, Л >-» 0А, есть гомоморфизм. □

Ближайшей нашей целью будет разложение отмеченных римановых факторповерхностей на неразложимые части: на ручки (торы с гиперболической дырой) и сферы с гиперболической дырой и еще двумя дырами или отмеченными точками. Пользуясь теоремой 9.1.13, мы докажем, что гиперболические дыры можно отрезать при помощи простых замкнутых геодезических, и сведем тем самым проблему модулей в общем случае к соответствующим проблемам для частей. В § 9.3 мы найдем пространства Тайхмюллера для неразложимых фуксовых групп, а в § 9.4 скомбинируем их, чтобы найти Т в общем случае. К сожалению, мы вынуждены исключить из рассмотрения случай сферы с гиперболической дырой и двумя исключительными точками порядка 2, который уже появлялся в 9.1.13 (2). Чтобы сократить количество случаев, возникающих из-за большого числа возможностей для g, га, т, к, введем искусственные, но зато единые обозначения.

Обозначения. Пусть Ц8, Q), Y) есть отмеченная факторповерхность сигнатуры (g; га: hif ..., hn; пг; к), и У = = (Оц ■ • ■, <$к, Pi, ■ • •, pm, б„ ..., б„, т,, ц,, ..., т4, ^)eY есть каноническая система кривых, см. 9.2.1. Положим р = k-V m-V n-V + g. Пусть кривые Xi, ..., Xg задают ручки, т. е.:

Каждая кривая х, проста и замкнута и пересекает кривые системы У и кривые х, (/ * i) только в отмеченной точке.

(и) Кривая х, разбивает S на две части, одна из которых есть тор (с дырой) с краем х,. Этот тор содержит петли т, и ц, и пересекает остальные кривые только в отмеченной точке.

(in) Петля к, (^-гомотопна петле 'rip,xi’1pi’1-

Обозначим кривые о,, ..., р,, ..., 6Ь . .., Xi, .. . через Xi, Хг, ... следующим образом:

:=ст„ если1СгСХ;

:=p,-fc, еслиk+iCiCk + m;

:= 6,-t-m, если к + гаг + 1 С i С k-V m-V п;

:= x.-g-m-n, если k + m-rn + lCiCk + m + n+g = p. Кроме того, обозначим дыры, исключительные точки и ручки поверхности (S, @) через а, следующим образом:

ос, есть i-я гиперболическая дыра, если 1 С г С к;

а, есть (г — к)-я параболическая дыра, если к + 1 < i С к + гаг;

а< есть (г — А: — гаг)-я исключительная точка, если к + гаг + 1 С С г С к + гаг + га;

а< есть (I — к — гаг — га)-я ручка, которую отсекает кривая, определяемая ниже в п. 9.2.10 (а), если Аг+гаг + и+1 С ^i^k-tm-Vn-V g = p.

Теорема о разложении. Пусть предположения U обозначения те же, что и в п. 9.2.9. Тогда-.

8 содержит простые (геодезически) замкнутые геодезические ap-g+1, ..., аР со следующими свойствами-.

кривая aP-g+, свободно Q-гомотопна кривой х,;

кривые а, попарно не пересекаются, если р>2;

at = а2, если p = g = 2.

За исключением случаев, перечисленных в (d), на S существует система кривых (Р,, ..., j}p-3) со следующими свойствами:

кривые р, являются простыми (геодезически) замкнутыми геодезическими и попарно не пересекаются. Они также не пересекаются с кривыми ap-g+1, ..ар;

кривая р, свободно Q-гомотопна петле ГТ kj при KiC р — 3;

система (aP-g+i, ..., ар, ри ..., рр_3) разбивает S на g + + р - 2 частей И,, ..., 7g, Wt, ..., WP-2.

Здесь V, есть тор с дырой и краевой петлей аР-*+<, 1 ^ i ^ g; И\ является сферой с краевой петлей ^ и содержит at и а2 (более точная формулировка: Wt есть поверхность рода 0, содержащая ръ аъ а2 и не имеющая других компонент края, дыр и т. д.); W„ 2^i^p — 3, есть сфера с краевыми петлями pt—i и ^„ содержащая а,+1; Wp-2 есть сфера с краевой петлей рр_2, содержащая a.P-i и ар. Границы множеств W{ не содержат исключительных точек.

Кривые aP-g+i, ..., ар и ^, ..., рр_3 однозначно (с точностью до выбора начальной точки на каждой кривой) определены маркировкой Y.

Исключением являются случаи:

g = O, п^2 и hu = h^1 = 2,

(И) m = к = О; п^2 и h, = h2 = 2.

Исключительных случаев можно избежать, если g + к + тп 5® 2 или g + к + m = 1 и некоторое h, > 2, либо если g + к + тп = О и два числа h, > 2. Следовательно, остаются лишь случаи, когда g + к + m = 1 и все числа ht = 2, либо когда g + к + тп = 0 и, самое большее, одно число ht > 2. Эти случаи охватываются следующей теоремой о разложении:

Следствие. Пусть предположения и обозначения те же. что в п. 9.2.9. Пусть, кроме того, либо

g = 0, п = 2, h1 = h2 = 2,

к = тп = 0; п>2, hn = hn-i = 2,

либо имеют место оба случая. Тогда существует система кривых (Рн р2, ..., РР-з) с такими же свойствами, как и в теореме 9.2.J0, за тем исключением, что: в случае (i) кривая рр_3 есть простая дуга, соединяющая две последние исключительные точки. Аналогично, в случае (И) кривая ^1 есть дуга, соединяющая

исключительные точки порядка 2. В случае (i) множество П7Р_3 отсутствует, a IVP_4 содержит рр_3 и, таким образом, аР, aP-i и аР-2, его краевой петлей является р„_4. В случае (И) множество W2 содержит ^ и первые две исключительные точки порядка 2, а его краевой петлей является р2- (См. рис. 9.2.2.)

Доказательство. Рассмотрим систему простых замкнутых кривых Pi, ..., Рр-з с общей отмеченной точкой, полученных тем же способом, что и кривые х„ Других точек пересечения ни у каких двух кривых Х(, .. ., Л,, ть р,, . . ., те, рЛ Pi- . . . .. .,Рр-з нет. Каждая кривая р, разбивает поверхпосп. S, причем одна из частей содержит кривые Лч, ..., Хц и Pi, . ..,Pt-i

и только их. Слегка изменив кривые х, и р, в окрестности отмеченной точки, получим систему попарно непересекающпхся простых замкнутых кривых x'i, ..., х£, Рь ..., Рр_3. Эта система обладает свойствами, постулированными в теореме о разложении 9.2.10, но состоит не из геодезических кривых. Воспользуемся теперь теоремой 9.1.13 и получим 9.2.10 или 9.2.11. □

Следующее понятие позволяет упростить формулировку теоремы 9.2.10. *

Определение. Фуксова группа G и соответствующая факторповерхность разложимы, если р = g + п + т + к > 4, или g^l и р>2; в противном случае группа и поверхность называются неразложимыми.

В 9.2.10, 11 кривые а„ р, разбивают факторповерхность па части, границы которых состоят из простых (геодезически) замкнутых геодезических. Присоединим к этим частям гиперболические дыры, края которых совпадают с указанными кривыми. В результате получатся уже неразложимые факторповерхпости. Теорема 9.2.10 и следствие 9.2.11 означают, что каждую отмеченную факторповерхность (фуксову группу) можно разложить На неразложимые факторповерхпости (фуксовы группы) в соот- жетствии с маркировкой. Соответствующие полученным неразло-

жимым факторповерхностям фуксовы группы можно рассматривать в качестве подгрупп исходной фуксовой группы; «большую» группу можно построить из частичных групп, образуя свободные произведения с объединенной подгруппой. Однако эти части позволяют восстановить не только алгебраическую структуру группы G, но и конформную структуру, как мы докажем в § 9.4. Поэтому прежде всего мы решим проблему модулей для неразложимых фуксовых групп. В качестве координат мы воспользуемся не коэффициентами матриц, как это делалось в п. 9.2.6 при определении топологии на 17", а следами некоторых вспомогательных преобразований. Перечислим сначала все различные неразложимые факторповерхности.

Список неразложимых факторповерх-

(а)

8

771

к

(c)

!

!

Q

0

(R3

9 3 23

2

о

0

—

9.3.23

4

о

Q

9.3.19

4

о

Q

0

—

Pt

9.3.25

5

0

2

1

0

—

pt

9.3.24

2

0

1

+

R

9.3.14

о

2

о

Pt

9.3.24

о

+

R

9.3.14

9

0

1

0

2

+

R2

9.3.11

10

0

9.3.26

11

0

о

2

4

+

9.3.14

12

о

о

9

+

9.3.11

13

0

о

0

з

+

R3

9.3.7

Здесь (а)—номер по списку, (Ь) означает, может эта поверхность служить частью более сложной поверхности (+) или

(с) указывает номер пункта, в котором доказывается данный результат, g — род факторповерхности, к и т — число параболических и гиперболических дыр соответственно, п — количество исключительных точек, (17”) — топологический тип пространства Тайхмюллера.

Теперь мы укажем для каждой канонической системы образующих большую систему таких элементов фуксовой группы, что их следы полностью определяют точку в пространстве Тайхмюллера. Таким образом, эти следы могут рассматриваться в качестве модулей отмеченной фуксовой группы.

Построение систем разрезов для 4 ^ р = = g + n + m + k. Рассмотрим конфигурацию, двойственную описанной в 9.2.10, И. Кривые а„ ..., ag и plt ..., рр_3 разбивают 5 на j ручек Yt и р — 2 сфер W, с дырами и (или) исключи-

тельными точками. Внутри каждой из частей У< и W3 выберем по точке и, и w, соответственно, не являющейся исключительной. Образуем систему кривых и дуг, подобную двойственной системе, следующим образом: соединим дугой каждую пару отмеченных точек, которые лежат в областях, имеющих общую компоненту края. Эта компонента пересекается с дугой в одной точке. Возьмем на ручке каноническую систему разрезов т„ щ с началом в к„ двойственную т„ щ. На W, выберем дуги с началом в w„ кончающиеся в исключительной точке, либо уходящие в дыру. Пусть при этом различные дуги и кривые не имеют общих внутренних точек.

Опишем теперь звезды в точках к, и w,. Обозначим через у„ 1 С i С р, дугу, либо уходящую в z-ю дыру, либо оканчивающуюся в (i — к — т)-й исключительной точке или в и<-к_т_и. Через со, обозначим дугу, идущую из w3 в w3+t. Тогда положительные звезды выглядят так:

точка

wx

w3 (2</</>-3)

WP~2

"i (l<t<g)

звезда

Vr v2, ^

<o-i3, Vp_r Vp

4, Pi, ТГ1, pri, Vp—k—m—n+i

(Здесь не рассмотрены случаи с р С 3; их модули будут найдены позже специальным образом.)

Будем называть систему дуг и петель, обладающую перечис

ленными выше свойствами, модулярной системой разрезов. Представление о ней дает рис. 9.2.3. Дополнение модулярной системы

Рис. 9.2.3Рис. 9.2.3разрезов гомеоморфно открытому диску. Теперь снова обратимся к двойственной конфигурации.

Рис. 9.2.3

Рис. 9.2.3

Модулярные системы кривых и образующих. Модулярная система кривых двойственна модулярной системе разрезов. Она состоит из вершины рй и 2g + (p-g) + р-3 простых замкнутых кривых. Она

содержит каноническую си

стему кривых, но кроме того, в нее входят g кривых, соответствующие коммутаторам ручек V,, и р — 3 кривых, разбивающие поверхность на неразложимые куски. Поскольку детальное описание мало что объясняет и слишком длинно, опустим его и сошлемся на рисунок 9.2.3. Модулярная система кривых задает систему элементов в фуксовой группе G, реализующей фактор- поверхность S. Будем называть такую систему модулярной си-

стелой образующих группы G. Она определена канонической системой образующих У, как это немедленно следует из построения модулярных систем разрезов и кривых:

Предложение. Пусть (G, Е) соответствует отмеченной факторповерхности (S, Q) где, как обычно, E = (st, ..., s*, r„ ..., rm, dlt ..., dn, tt, Щ, ..., tg, ue), cm. 7.3.14. Тогда модулярная система образующих состоит из Е и элементов kt, ..., kg и с2, ..., ср_2, где

fc, = (^^мГ1)1 для 1 < г < g,

С{ = s1 .. .для 2 ^ г ^ k,

Ck+i = ckri .. • О для 1 ^ i ^ m,

См.тмл = ck+mdt ...d, для 1 < i < k,c„+m+„+i = Смлп+Jct ...k, для i^i^g.

(Напомним, что p = A: + m+ ra + g.) □

Следующее предложение непосредственно вытекает из опреде- ленпп и из 9.2.10, И, 16. Оно дает нам возможность описать пространство отмеченных фуксовых групп при помощи пространства модулярных систем образующих. Оказывается, что такие системы определены следами своих гиперболических элементов и g + р — 3 склеивающими коэффициентами, независимо пробегающих открытые лучи. Следовательно, 9" гомеоморфне евклидову пространству размерности

(А: + 2g) + (g + p —3) + (g + p —3)= 6g +ЗА: + 2т+2п —6.

Предложение, (а) Всякая каноническая система кривых задает модулярную систему кривых однозначно с точностью до изотопии, и наоборот.

С точностью до изотопии всякая каноническая система кривых однозначно определена канонической системой образующих, а всякая модулярная система кривых — модулярной системой образующих.

Модулярные системы образующих находятся в биективном соответствии с каноническими системами образующих.

Классификация модулярных систем образующих с точностью до сопряженности в SLF (2, R) эквивалентна классификации отмеченных фуксовых групп. □

Упражнения 9.4—6.

Модули для неразложимых отмеченных фуксовых групп

В этом параграфе мы найдем пространства модулей для семи типов неразложимых отмеченных фуксовых групп, комбинации которых образуют более сложные группы. К сожалению, рассуждения во всех случаях однотипные, но не идентичные. Большего единообразия можно было бы добиться, воспользовав- шпсь для гиперболической плоскости моделью Кляйна вместо модели Пуанкаре, см. Фрике и Кляйн [Fricke — Klein 1912].

В этом параграфе дробно-линейные преобразования будут задаваться матрицами из SL(2,R), причем не будет делаться различия между дробно-линейным преобразованием и задающей его матрицей. Разумеется, матрица определена лишь с точностью до умножения на — Е, где Е = ^ ®j—единичная матрица. Матрицы будут обозначаться прописными буквами: А = (“ ^, где а, Ь, с, de R и ad — Ьс = 1. До сих пор мы практически отождествляли элементы фуксовых групп с элементами фундаментальной группы и интерпретировали произведение ху двух элементов как преобразование, полученное применением сперва преобразования х, затем у. Это расходится с обычной записью для преобразований и матриц. Поэтому в §§ 9.3, 9.4 мы будем под произведением АВ понимать композицию А ° В и обратим соотношения в канонических заданиях фуксовых групп. Это не вызовет недоразумений, поскольку в этом случае элементы будут обозначаться прописными буквами.

Чтобы найти модули для отмеченных фуксовых групп, мы приведем некоторые образующие к специальному виду. Для этого мы произведем одновременное сопряжение образующих отмеченной фуксовой группы с элементом из SLF(2, R). В следующем предложении перечислены случаи, представляющие для нас интерес.

Предложение, (а) Если, 0 и оо являются отталкивающей и притягивающей точками преобразования fe е SLF (2,R), то f = ft для некоторого t > 1, где ft(z)=tz. Преобразование ft реализуется однозначно определенной матрицей (о 1/т}’ г^е £ = т2 и т>1. В ELFE'S) преобразование ft сопряжено преобразованию fv (1 ^ t, t') в том и только в том случае, если t = t'.

Элемент группы SLF (2, R), меняющий местами 0 и оо, имеет вид rt (z) = —Hz, где t > 0. Он задается матрицей Bt = ” (_°i/T о)’ г^е ^ = т2 “ т>0. Такие преобразования являются вращениями порядка 2, следовательно, все они попарно сопряжены в SLF(2,R). _

Пусть q', р', q, р е R — четыре точки, идущие в указанном порядке (относительно положительного направления на R). Тогда существует такое однозначно определенное преобразование f г SLF (2,R), что

/(9')=”, /(Р')= 0</(g)</(р) и /(д)-/(р)=1.

Пусть q', р', ре R — точки, идущие в указанном порядке. Тогда существует такое однозначно определенное преобразование feSLF(2,R), что

/(/)=0°, У(/) = 0 и Hp)-!.

Пусть q’^p'e.^ и р е И* таковы, что р не содержится в полуплоскости на Н*, которая ограничена прямой с концами р' и q' и частью прямой R, идущей от q' к р' в положительном направлении. Тогда существует такое однозначно определенное преобразование f е SLF (2,R), что

/(/)=“, /(/) = 0 и Re/(p)=l.

Пусть р, р', q, q' е К идут в указанном порядке. Тогда существует такое однозначно определенное преобразование f е SLF (2, R), что

^Р)=~, f(p')<f(q)=O<f(q') и f(p')f(q')=-i.

Эти нормализации изображены на рис. 9.3.1.

Доказательство, (а) и (Ь) получаются в результате несложных вычислений. Тем, что две точки прямой R можно отобразить в 0 и оо при помощи некоторого элемента группы

Р'=0 у р р*=о 1=рр'=0 / Р’ 3=0 1 q'

(С)(d)(е)m

Рис. 9.3.1

SLF (2, R), мы пользовались в § 7.3. Если t-1 е R и 0 < t-1, то fi(£-1)= 1, и мы получаем нормализации из (с) — (е).Как мы уже знаем, преобразование_из SLF (2,’К'), оставляющее неподвижными три точки в И*, является тождественным, следовательно, в случаях (с), (d) преобразование / определено однозначно. Единственность в (е) следует из того, что если преобразование / е SLF (2, R) оставляет 0 и оо неподвижными, то каждая евклидова полупрямая с концом в 0 отображается им в себя, поскольку она состоит из точек, находящихся на фиксированном неевклидовом расстоянии от мнимой оси, см. рис. 7.3.3. □

А. Модули для групп сигнатуры (0; 0; 0; 3). Пусть S,, 8г, S3 = (-S,2-S'i)""1 — элементы группы SLF (2, R), задающие отмеченную фуксову группу сигнатуры (0; 0; 0; 3) или, что равносильно, отмеченную риманову поверхность рода 0 с тремя гиперболическими дырами. Так как петли, соответствующие образующим, попарно дизъюнктны, то оси преобразований St, 8г, 83 не пересекаются. Кроме того, неподвижные точки этих преобразований лежат на R в следующем порядке:

Зз, Рз, Зи Рг, Зн Pi.

В силу предложения 9.3.1, эту систему можно при помощи сопряжения с элементом группы SLF(2, К) нормализовать таким образом, чтобы 53 = оо, р3 = 0, 0 < q2 < р2 < qt < р^ и q2p2 = 1. Заменив S3 на (SzS,)-1, мы получим

Предложение. Всякую отмеченную фуксову группу сигнатуры (0; 0; 0; 3) можно задать системой образующих 8^ S2 со следующими свойствами:

где | х | < 1 и | х + у | > 2,

где ad + b2 = 1 и | а + d | > 2, где |dx+y|>2.

Оси расположены так, как это показано на рис. 9.3.2. Этими

свойствами преобразования 8„ S2 определены однозначно.

Доказательство. Легко убедиться в том, что дробно-линейные преобразования, оставляющие неподвижными 0 и оо име

Рис. 9.3.2Рис. 9.3.2ют вид ^ ^.хе®, и что из соотношения p2qt = — 1 следует, что матрица / а Ь\ _

Рис. 9.3.2

Рис. 9.3.2

имеет вид I ь Л. Расположение осей было описано перед формулировкой

предложения.

Для сопряженной системы точки 0 и оо также являются неподвижными для образующего, сопряженного с S2St; следовательно, сопрягающий множитель отображает множество {оо, 0) в себя. Если бы он менял 0 и оо местами, то положительная вещественная полуось отображалась бы в отрицательную и, следовательно, неподвижные точки образующих, сопряженных с S2 и 8,, были бы отрицательными. Таким образом, сопрягающий множитель оставляет оо и 0 неподвижными и имеет вид ^q ^j. Тогда образующий S2 сопряжен с [° „ Ьу а эта матрица удов-

\-bly d )

летворяет наложенным на S2 условиям, только если у2 = 1. Но тогда она равна Е или —Е, и соответствующее дробно-линейное преобразование является тождественным. □

Лемма. Пусть 8^ S2 — система образующих, соответствующих отмеченной фуксовой группе сигнатуры (0; 0; 0; 3), нормализованная, как в предложении 9.3.2. Тогда рис. 9.3.2 можно дополнить до рис. 9.3.3. Кроме того, коэффициенты удовлетворяют неравенствам

и имеют место эквивалентностии имеют место эквивалентности

и имеют место эквивалентности

и имеют место эквивалентности

Ь > О ■<=> а + d > О, а < О, d > О,

6<0-«=>a + d<0, а > О, d < О.

Доказательство. Поскольку Su 8г и 83 соответствуют системе простых замкнутых кривых на римановой поверхности, которые попарно дизъюнктны, оси преобразований S2St, S2, 8„

«, 5 У2 '^2 ^124,2 4<Pt

v? v? p12=S1(~) = S^(~'i,q1=S1(O)=S;1(OA

Рис. 9.3.3

S2(S2S1)S21 и S1(S2S1)S11 = 8г82 не пересекаются. Из рисунка 9.3.1 видно, что

O<S1(O)<g1, PaCS^too), ^(ooXS^O).

Преобразование StS2 оставляет неподвижными точки р12 = = .^(оо) = 5^(00) и qi2 = 5_,(0) = 5,(0), поскольку S1S2 = = S21 (528г) S2 = S1(S2S1)S71. Так как ось преобразования 5,52 не пересекается с осями преобразований St, S2, 525,, то точки pl2, ql2 содержатся в (0, ^,)П(р2, °°) = (р2, ?,). Из неравенства р12 = 5,(<») < St (0)= ql2 следует, что 5, отображает отрицательную вещественную полуось в интервал (р2, q^.

Неподвижными точками преобразования 8г^8г8^82г являются 52(оо) и 52(0). Так как 0 < 52 (0)< q2 и так как оси не пересекаются, то ясно, что обе неподвижные точки лежат в интервале (0, q2y Следовательно, расположение соответствует рис. 9.3.3.

Подставив коэффициенты матриц из 9.3.2, получим

0<52 (оо) = — у < 52 (0) =-^ < 1 < 51(оо) = у <5Х(0)=—у.

Эквивалентности теперь вытекают из неравенства 0 < у <

Лемма. Пусть 8^ S2 — те же, что в 9.3.2. Если следы матриц. S2St и S2 оба положительны или оба отрицательны, то след матрицы St отрицателен.

Доказательство. Из уравнения z= ^dxz —^^^bxz + yj на неподвижные точки р„ qt преобразования 8г следует, что

^■(Pi + 9i)=1 ^Ьх1"* ^ как ^i (°°)= ^, то из рис. 9.3.3 видно, что

По предположению, числа х и а + d либо оба положительны, либо оба отрицательны, и, следовательно, Ьх > 0 в силу 9.3.3. Теперь из (1) следует, что

2dx<.dx—^, т. е. dx + -|<0. □

Объединив эти результаты, мы получим

Предложение. Пусть (G, Е) — отмеченная фуксова группа сигнатуры (0; 0; 0; 3) и Е =(St, 52, 53)еЕ. Тогда матрицы 8е можно выбрать таким образом, чтобы tt = tr St < —2. Неподвижные точки преобразований St расположены в следующем порядке; q^, pt, q2, р2, qt, pt ^относительно положительного направления на R). □ s

Докажем теперь обращение предложения 9.3.5.

Предложение. Для всякой тройки (ti, t2, #3), где t<<—2 (i = l, 2, 3), существует система E=^St, S2, S3) гиперболических преобразований со следующими свойствами;

trS, = <, для i = 1, 2, 3;

$3=(ед-*;

неподвижные точки преобразований Su S2, S2 идут в таком порядке;

Цз = °°, Рз = 0< q2< Рг< qt < Pl, и q2p2 = i;

группа G с образующими St, S2 действует в Н, разрывно.

Преобразования S„ S2, S2 составляют модулярную систему образующих группы G и определены свойствами (а)— (d) однозначно.

Доказательство. Существует такое однозначно определенное число ze 5, — Кх<0, что х + — = t3<; — 2: х = = "2 (^з Р^з 4). Выберем теперь S2 = ^_ “ &j так, чтобы ad + Ъг = 1 и коэффициенты удовлетворяли следующим уравнениям и неравенствам:

а + d = t2 < — 2,

dx 4- -^ = tY < — 2,

Ь<0, а>0, d<0;

неравенства здесь обеспечивают разрывность группы, см. 9.3.3. Решения этих уравнений таковы:

а = 7^77 > °- 6 = - /1 - а^ < 0.

Отсюда следует единственность преобразований 5,, S2 (если они вообще существуют). Специальный выбор преобразования S2 обеспечивает для его неподвижных точек справедливость равенства 92р2 = 1. Поскольку trS2<—2, то преобразование S2 гиперболично и его неподвижными точками являются вещественные числа. Из неравенств —b > 0, a + d<—2 вытекает неравенство a_j~b < 0, и, следовательно, q2 < р2 в силу предложения 7.1.18.

Кроме того, 9i < рь поскольку —&^- < -^ < 0. В силу предложения 7.1.6, неподвижные точки преобразования 8г находятся по Yd— я , * / (d— а\2.d — а. п _

формуле—2д-± V I~ a так как ~26то обе не

подвижные точки положительны. Следовательно, 0 < 92 < 1 < р2.

Докажем теперь, что р2< q^. Из неравенств 5х(0)= —”>^ и ^(оо) = у > 0 следует, что 0 < 91. Если 91 < 92, то S2S^q^ = = 52(91)> 9i, в противоречие с тем, что, по предположению, 0 является притягивающей неподвижной точкой преобразования S2SV В свою очередь, из того, что 92 < 91 < Р2, следовало бы, что 9г < 51(92) <Р2, поскольку 91 < р,; поэтому S2S1(q2')> q2, а это тоже невозможно. Этим заканчивается доказательство неравенств (1)0 < 92 < 1 <р2 < 91 <Pi-

Обозначим через 912 и р12 неподвижные точки преобразования SiS2. Из равенств 8г8г = 82г (828г) S2 = 8г (828г) S^1 следует, что

Р12 = ^ГЧ00) = ^Joo),

912 = 521 (0) = 8г (0).

Из (1) вытекает теперь, что

О < 912 < 91, Р12 < 91, Р« > Рг и 912 > Рг либо 912 < 0.

Следовательно, р2 < р12 < 912 < 9ь Кроме того, 5, отображает отрицательную вещественную полуось в промежуток (pi2, 912)с С(₽2, 91)-

Следствием этих неравенств является то, что оси преобразований 8И S2, S2St и StS2 попарно не пересекаются и расположены так, как это показано на рис. 9.3.2. Выберем точки zte^q„ р^, г = 1, 2, и положим /, = 5,(з4). Тогда z^ е (9,, рг). Проведем

теперь через z2 перпендикуляр к оси преобразования S2Si п обозначим второй конец этого перпендикуляра через z3. Положим

2з = S3 (z3) — (S2SY) 1 (z3).

z0 := S21 (z3) = 8г (z3) e SY (— oo, 0) с: (р2, qY).

Соединим теперь z3 и zv zY и z0, z0 и z2 прямыми и получимрис. 9.3.4. Из того, что S1(z3) = z0 и S'1(z1) = z1, следует, что.

St отображает ориентированную прямую z3zT в zozY, а S2 отображает прямую z2z0 в прямую z2z3, так как S2(z2) = z2 и 52(z0) = z3. В силу теоремы Пуанкаре 7.3.18, преобразования Si, S2 порождают разрывную группу, фундаментальной областью которой является многоугольник со сторонами z3zY, z^,, zoz2 и z2z3. □

Следствие. Пространство Тайхмюллера фуксовых групп с сигнатурой (0; 0; 0; 3) гомеоморфно R3. Координатами служат следы канонических образующих, см. предложение 9.3.6.

Доказательство. Всякую отмеченную фуксову группу сигнатуры (0; 0; 0; 3) можно задать образующими, нормализованными, как это сделано в начале доказательства предложения 9.3.6. Коэффициенты матриц непрерывно зависят от следов, и наоборот. Из упоминавшегося свойства единственности преобразований Si, S2, 83 следует, что пространство Тайхмюллера гомеоморфно пространству таких троек, т. е. множеству

|(^,#2,<3)eR3|<.<-2}^R3. □

В. Модули для групп с сигнатурами (0; 1; 0; 2) и (0; 0; 1: 2). Пусть (О, Si, S2)—модулярная система образующих, где Si и S2 — гиперболические, a D — эллиптическое или параболическое преобразование, и S2StD = 1. Обозначим порядок преобразования D через К Если D — параболическое, то положим h = <». Рассмотрим сначала эллиптический случай. В конце доказательства, после формулировки следствия 9.3.11, приведены рисунки 8.3.7 и 9.3.8, относящиеся к параболическому случаю. Пусть

433-433-28 X. Цишанг и др.

433-

433-

РеН*—неподвижная точка преобразования D, a qt, р, — отталкивающие и притягивающие неподвижные точки преобразований S„ i = 1, 2. По предположению, оси преобразований St и S2 не пересекаются, а неподвижные точки идут в следующем порядке (относительно положительного направления на Ik): q2, р2, qt, р,. В силу 9.3.1 (с) можно считать, что д2 = °°, Рг = 0 < qt < 1 < р, и 91Р1 = 1. Из равенства

D (оо) = S?1 (SjD) (оо) = Sf1 (оо)

.вытекает, что р1<511 (ею), следовательно, ^ 1 (оо) <5f1 (0), лоскольку соответствующая скольжению SJ) петля является про- •стой. Аналогично доказывается, что 0 < St(oo)< 5,(0)< qt. Следовательно, мы доказали, что оси расположены так, как показано ла рис. 9.3.5.

Положительный угол между лучами р°° и рО(°°) меньше л, поэтому неподвижная точка р не может лежать по ту же сторону

х 0 )0 Mz)’х 0 )0 Mz)’STD = ^Г1STD = ^Г1s^ ьлs^ ьлD-S^O)-^ ~$,D-S^O)-^ ~$,

х 0 )

0 Mz)’

х 0 )

0 Mz)’

STD = ^Г1

STD = ^Г1

s^ ьл

s^ ьл

D-S^O)-^ ~$,

D-S^O)-^ ~$,

ют прямой с концами °° и О(°°), что и мнимая ось. (Если р лежит на этой прямой, то порядок преобразования D равен 2.) Теперь мы легко сможем доказать следующее предложение:

Предложение, (а) Всякую отмеченную фуксову группу сигнатуры (0; 1; 0; 2) можно задать такой системой образующих (D, St, S2), что

где — 1 < х < 0;

где ad + № = 1, а + d < — 2;

где — 2 < dx +< 0.

(Ь) Обозначим через р неподвижную точку преобразования D в Н*. Тогда ситуация соответствует рис. 9.3.5, где прямая Z либо 434

Ь а"d>0, d<0.Ь а"d>0, d<0.отделяет р от мнимой оси, либо содержит р:

Ь а"

d>0, d<0.

Ь а"

d>0, d<0.

Кроме того,

6 > О а + d> О, а < О,

Ъ < О -^ а + d < 0, а > О,

Доказательство. То, что dx + -^ < 0, следует из неравенств х + ^- < О и а + d < 0 точно так же, как в доказательстве леммы 9.3.4. Таким образом, осталось доказать пункт (с). Он следует из того, что

0<51(оо) = -|<51(0) = 4<КО(оо) = 4<П(0) = -1

ReP = ^2T

последнее же равенство следует из 7.1.16 и того, что |& + -^ |<

<2. □1

Лемма (а) Если следы, преобразований StD и St оба положительны либо оба отрицательны, то след преобразования D не положителен.

(Ь) Если D принадлежит канонической системе образующих uh — порядок преобразования D, то trO = ± 2 cos у.

Доказательство. Пункт (а) доказывается так же, как лемма 9.3.4 (ср. доказательство предложения 9.3.8).

(Ь) Как уже отмечалось, D представляет собой вращение на угол 2n//i. Для вычисления следа рассмотрим модель Н и вращение / с центром в 0 на угол 2л//г. Тогда

;- е z —

tr О = ± t/^ + е"^ = ± 2cos -J. □

Сформулируем теперь решение проблемы модулей для рассматриваемого случая:

Предложение. Для каждой пары (£„ t^, где tt< <—2, i = 1, 2, существует система E = (Di, Su S2), состоящая КЗ эллиптического преобразования D и двух гиперболических преобразований S„ S2 со следующими свойствами-.

(&) tr Si = Ц для i = 1, 2, tr D = — 2 cos ^-.

‘ (b) S2=(StDV.

28*435

Пусть р„ q, — отталкивающая и притягивающая точки преобразования S„ i = 1, 2, а р — неподвижная точка преобразования D в И*. Тогда

q1 = ooi p2 = 0< qt< pt, qtpt = 1, D(°°)CRe p.

Группа G, порожденная преобразованиями D, St, действует в И* разрывно.

Преобразования D, St, S2 дают модулярную систему образующих для G и определены свойствами (а) — (d) однозначно.

Доказательство. Существует такое однозначно определенное число х е (—1, 0), что х + ^ = t3 < — 2. Положим 82г = = (о 1/х]' Найдем теперь 51 = ^_“ &), где ad+b2 = l, и D = = S^S^1 со следующими свойствами:

а + d = t2<— 2, dx +у = — 2 cos у, b<0, а>0, d<0.

Неравенства необходимы для разрывности группы, см. 9.3.8 (с). Указанная система имеет в точности одно решение:

— 2z cos v+ ^х cos -т

d-^-А—1<о, а = 2—___А>0,

b = — Vi-ad<o,

и, следовательно, существует не более одного класса отмеченных ■фуксовых групп сигнатуры (0; 1; 0; 2) со следами t2, t3.

Как и в доказательстве предложения 9.3.6, мы получаем, что qiPt = 1, qt < pi и 0 < qt < 1 < pi. Вещественная часть числа, являющегося неподвижной точкой преобразования D =^.^)>

6х —

равна —^—, см. 7.1.16, и 8г (оо) = Z)(oo) = d/b. Из неравенства

2Ъх Ь2Ьх U

следует, что оси преобразований Si, S2 и неподвижная точка преобразования D расположены, как на рис. 9.3.5. Так как 5Г1(0) = -|>0, то ^ = 81г^<-^=8^^, и, следовательно, ось преобразования DST = S^1 (S^Si расположена, как на рис. 9.3.6.

Рис. 9.3.8

Выберем точку z2 е (д2, pi) и положим z2 = 8г (z2). Тогда qt < < z2 < z2 < pv Проведем через z2 прямую, ортогональную мнимой оси, и обозначим второй ее конец через z3 = — z2. Положим z3 = ^ (z3). Тогда

z0 := ST 1 (z3) = О (z^ e ф (oo), D (0)).

Следовательно, St отображает ориентированную прямую z2z» в прямую z2z3, и D отображает z3p в zop. В силу теоремы Пуанкаре 7.3.18, группа G с образующими D, 8, действует в Н* разрывно. □

Те же рассуждения, при помощи которых доказывалось следствие 9.3.7, позволяет вывести из предложения 9.3.10 следующее утверждение.

Следствие. Пространство Тайхмюллера фуксовых групп с сигнатурой (0; 1: И^ 0; 2) или (0; 0; 1; 2) гомеоморфно плоскости R2. Координатами служат следы канонических образующих, являющихся гиперболическими, см. предложение 9.3.10. □

На рис. 9.3.7 и 9.3.8 изображена ситуация в случае сигнатуры (0; 0; 1; 2). (Докажите, что ситуация действительно такова.)

С. Модули для групп с сигнатурами (0; 2; 0; 1), (0; 1; 1: 1} и(0; 0; 2; 1). Для единства обозначений и рассуждений в этих трех случаях положим h, = °°, если преобразование D, параболическое; тогда неподвижная точка р, лежит в R с И*. Сначала мы рассмотрим только рисунки, относящиеся к случаю (0;2;0; 1); ситуация в двух оставшихся случаях изображена на рис. 9.3.1L

Предложение, (а) У всякой отмеченной фуксо- вой группы (G, Е) сигнатуры (0; 2: hv, h2; 0; 1) существует такая система образующих ф,, D2, S'), состоящая из дробно-линейных преобразований, что

Пфх = 8"г = ^ ^, где -\<x<Q,

D2 = ^ * j, где с = “"^d, а + d = — 2 cos 5- и ad — be = 1,

Z>1 = Or1(O2Oi) = f dZ ~b/,X], где + - = - 2 cos^.

v 2 v \_cx a[xj1 xhT

(b) Если pt и p2— неподвижные точки в И* преобразований Dt и D2, а р и q — отталкивающая и притягивающая точки преобразования 8, то

q = оо, р = О<О2(0о)<О2(О)<1 = Вер2= ^<0,(00^

а оси и неподвижные точки расположены, как на рис. 9.3.9.

2« Ь2d Ъ, 2d dz — "7

(С' а — d dd — a- a’ d — а (d — а) я*

6>0**а + с?>0, а < О, d > О =^ d — а > О,Ъ <0 *^ а-¥ d <0, а > О, d> Q ^ d — а < О.

(d) Если h, = h2 = 2, то образующие можно выбрать так, чтобы неподвижными точками были pt = i и рг = at, aeR, а>1, а матрицы имели вид

Доказательство. В силу 9.3.1 (е), неподвижные точки и оси расположены, как показано на рис. 9.3.9; следовательно,

Рис. 9.3.9

имеют место (Ь) или (d) соответственно, первое утверждение пункта (с) непосредственно вытекает из (Ь), а из него уже следуют обе эквивалентности. Следовательно, следы матриц можно нормализовать, как это требуется в пункте (а). □

Предложение. Для всякого числа ts = t< —2 найдется система E=(D„ D2, S') дробно-линейных преобразований, обладающая следующими свойствами-.

tr S = t < — 2, trZ), = — 2 cos — для i= 1,2,где (hi, hV)^

*(2, 2).*

SDJX-L

Пусть p и q -— отталкивающая и притягивающая неподвижные точки преобразования S, а р„ р2 — неподвижные точки преобразований D, и Ь2. Тогда q = °°, р = 0, Re р2 = 1 < Re Pi.

Группа G с образующими D^D^ действует в Н* разрывно.

Преобразования D2, D2, S дают модулярную систему образующих групп G и определены свойствами (a) —(d) однозначно.

Доказательство. Решим следующую систему:

№ = (? ^ где x + 4 = f<-2 и — 1<х<0, ^ = ((вЛ/2 d)’ г«е a + d=-2cos^ и ad-d^ = l, ^Др "^ где ^ + Т = -2СО8Г1-

В силу условия — 1 < ж < 0 у нее существует единственное решение. В частности,

а = 2х „ (х cos £— cos> О,

d - —^-т (х cos 5cos < О,1-х2 (^ М

Ь = 2Т^<°-

Осталось доказать, что Dt и О2 порождают группу, действующую в Н* разрывно. Из неравенств d — а < 0, а + d < 0 и dx + -^ ^ 0 следует, что

1 С j^ ^("^ afz’ следовательно, Rep2 ^О1(оо) ^ Верл.

В силу теоремы Пуанкаре 7.3.18 область F на рис. 9.3.10 является фундаментальной областью для разрывной группы с образующими Dt и D2. Здесь z3 — отрицательный конец проходящего через р2 перпендикуляра к мнимой оси (= оси преобразования

Рис. 9.3.10Рис. 9.3.10

Рис. 9.3.10

Рис. 9.3.10

D2D^, Zg = (О2Ол) ^Zg) и z0 = Ол (2з) = D2 ^Zg). Так как z3 и Zg находятся между отталкивающей неподвижной точкой °о и притягивающей неподвижной точкой 0 преобразования Т)2Оь то z0 лежит в промежутке между Oi(°°) и 0,(0). Так как Re р2 С ^ ОДоо)^ 01(0) < оо, то точка z0 расположена, как показано на рис. 9.3.10, a F есть искомая фундаментальная область. □ 440

Не составляет труда рассмотреть случай Л, = Л2 = 2 и получить

Следствие. Пространство Тайхмюллера фуксовых групп с сигнатурой (0; 2: h^ h2; 0; 1), (0; 1; ht; 1; 1) или (0; 0; 2; 1) гомеоморфно R. Координатной функцией служит след гиперболического преобразования, входящего в каноническую систему образующих. □

Рис. 9.3.11

Рис. 9.3.11 соответствует случаям сигнатур (0; 1; 1; 1) и (0; 0; 2; 1).

D. Модули для групп сигнатуры (1; 0; 0; 1).

Предложение, (а) У всякой отмеченной фуксовой группы (G, Е) сигнатуры (1; 0; 0; 1) существует такая система образующих (Т, U, К), состоящая из гиперболических дробнолинейных преобразований, что

T = Vo г9е °<ж<1>

^ = (b d)’ г®е а<1—Ь2 = 1 и a+d>2,

/б2(1-х2) + 1

K-X=ITXT-XUT=\v ' , где ЪК<-2.

I аЪ (х2 — 1) b2U —/

Пусть рг, рп, Рк — отталкивающие точки преобразований Т, U, К, a qT, qv, qK — притягивающие. Тогда

Рт == 00, Чт = 0, quPu = —1,qK < Рк < Ри < О < Чи-,

при этом неподвижные точки и оси расположены, как показано на рис. 9.3.12.

а > О, d > О, Ъ > О и д2 ^ж — ^ >4.

При доказательстве то предположение, что преобразования Т и U образуют каноническую систему образующих фуксовой группы, будет использовано нами лишь для нормализации осей

Чк Рк Ри° Чи

Рис. 9.3.12

преобразований Т и U. Таким образом, мы докажем попутноследующую лемму.

Лемма. Пусть Т, U— два произвольных гиперболических преобразования, неподвижные точки которых в R идут в таком порядке- рт, рП, Чт, Чи- Тогда-

Система (Т, U) сопряжена системе, изображенной на рис. 9.3.12, с матрицами, описанными в 9.3.15, причем коэффициенты a, b, d положительны.

Если преобразование К-1 = U~lT~lUT гиперболично, то ось преобразования К расположена, как на рис. 9.3.11, т. е. выполняется неравенство из 9.3.15 (Ь).

Если преобразование К параболично, то для его неподвижной точки рк имеет место неравенство рк < ри.

Если преобразование К эллиптично и представляет собой поворот на угол ф с 0 < ф С л, то Re рк ^ Ри.

Доказательство предложения 9.3.15 и леммы 9.3.16. В силу 9.3.1(f) мы можем таким образом произвести нормализацию, чтобы

Рт = °°, Чт = 0, риЧи = — 1 и Ри<0<Чи,

т. е. чтобы неподвижные точки располагались, как на рис. 9.3.12. Следовательно, Т и U задаются матрицами вида, указанного в 9.3.15 (а). В силу предложения 7.2.19, мы можем считать, что tr Т > 2, trf7 = a + d>2 и trK-1<—2. Из того, что a+d>2, ad — Ь2 = 1, следуют неравенства а > 0, d > 0. При помощи 7.1.18 мы делаем вывод, что 0 < х < 1 и Ь > 0. Несложные геометриче-

ские рассуждения, относящиеся к рис. 9.3.12, показывают, что ^-*(o°)<ptr и что ^~*(0)е[—оо1 pP]U [0, оо] независимо от типа преобразования К. Для доказательства пункта (Ь) осталось показать, что обе точки являются отрицательными вещественными. Рассмотрим сперва случаи, когда преобразование К гиперболическое или параболическое. Из вида матрицы, задающей К-1, следует, что

+ [б2 (1 - аГ2) + 1] > Ь2 (1 — х~2) + 1.+ [б2 (1 - аГ2) + 1] > Ь2 (1 — х~2) + 1.К-1 (ею) = 6 '^pi^'^~ < 0, так как 0 <х< 1 и 0 <а, 0 <6, ^"1(°) = ^5^-1<0’ так как -2^[Ь2(1-^) + 11 +

+ [б2 (1 - аГ2) + 1] > Ь2 (1 — х~2) + 1.

+ [б2 (1 - аГ2) + 1] > Ь2 (1 — х~2) + 1.

В эллиптическом случае воспользуемся тем, что (положительный) угол поворота не превосходит л, поэтому Керк^ ^K^^^Pu- □

Лемма. Положим ^ — ytrX, k2 = -^trY, к3 = = 4 tr Y-1X""1YX, и пусть 1&31 > 1.

Тогда

1 < (/с2 — 1) (fc2 — 1).

l-2(fc?-l)(fci-l)<fc3<-l.

Доказательство. Положим к := у tr YX. В силу 7.2.18

к3 = 2кХ + 2^ + 2к? - 4кхк2к — 1=>

=>k = ktk2± Vklki-kl-k^ + l. + ^k^ к = 8^

=^ к^кг3 -кХ-кХ-У-^ + 4 *з>0 =>

=и-2де-1)(^-1)<&з<-1;

здесь последнее неравенство вытекает из 7.2.19 (а). □

Предложение. Для каждой точки множества M:=^kv k2, k3, k^ | kt > 1, k2 > 1, 1 - 2 (kX - 1) (kX - 1) <

</С8<-1, кХ = к3-1 + 2(кХ-1Ж-Г)}

существует набор E = (T, U, К) гиперболических преобразований со следующими свойствами:

tr 7* = 2&i, trU = 2k2, trK = 2k3, sign (a — d) = sign к^ где sign t = 1, если t > О, sign t = — 1, если t <0, а числа a и d являются коэффициентами матрицы U, которые определены условиями, наложенными на U в (а) и (с). (См. 9.3.17.)

T-lU-lTUK = 1.

Если pT, qT, ... и t. 8. обозначают отталкивающую и притягивающую неподвижные точки преобразований Т, U и К, то

Рт = °°, 9т = 0, quPu = —1 и qK < рк < 0 = qT < qu.

Порожденная преобразованиями Т, U группа G разрывно действует в И*.

Преобразования Т, U, К образуют модулярную систему образующих группы G и определены свойствами (а) — (d) однозначно.

Доказательство. Преобразование Т однозначно определено условиями (а) и (с):

7 = (о vJ' где ^ + т = 2^ и °<^<1-

а именно: х = кх — V кХ — 1. Из равенства Риуи = —1 следует, что = (z> d)’ где а^—&2 = 1 и <z + d = 2/c2. Тогда К-1 есть та же матрица, что в 9.3.15, и Ь2 можно найти, зная след матрицы К-1:

В силу 7.1.18, из неравенства qu>Pv следует, что -^ ^> О, а так как а + d > 0, то и Ъ > 0, т. е. Ъ = -^ —-. Коэффици

енты а и d определены числами кг и к с.

a+d = trU = 2k2, ad-b2 = l, а2 - 2кга+ (1 + Ъ2) = 0.

Число а может принимать значения кг ± у к^ — (1 + Ь2). Они

вещественны, поскольку

к2 — fl +- к2 — 1 — 2~2^3 - к2 — 1 — 2~2^3 -

= 2"(^)(2(^-1)№-1)-1 + &3)^О

по предположению; здесь мы воспользовались тем, что

4= = кг + У"к2-1. ^-Vk^-i

Из равенства а + d = 2кг sign (а — d) = 2кг sign kt следует, что: если /с4 ^ 0, то а = к2 +У"к2-^А-Ь2^

d^-Vk2-^ + b2^

если fc4 ^ 0, то а = к2 — V ^2 ~ (1 + Ь2),

d=k2 +)/" к2 — (1 + 62).

о для всякого четырехугольника точности одна система гипербо-о для всякого четырехугольника точности одна система гипербо-Таким образом, мы доказали, чт (kt, к2, к3, к^е М существует в лических преобразований, следы которых удовлетворяют указанным условиям. Осталось доказать, что порожденная преобразованиями Т и U группа действует в И# разрывно.

о для всякого четырехугольника точности одна система гипербо-

о для всякого четырехугольника точности одна система гипербо-

Из леммы 9.3.16 следует, что оси преобразований Т, U и К расположены, как показано на рис. 9.3.13. Если заменить Т и U преобразованиями Т-1 и U-1, то условие леммы 9.3.16 останется выполненным, следовательно, неподвижные точки преобразования UTU'^T^1

принадлежат интервалу между

Pu-i = qu = 0 и ри-у Из равенства иТ(и~1Т~1иТ)Т~1и~' = = ити~^Т~' следует, что UT отображает интервал ^qK, Рь) » интервал (0, да1).

Пусть ze^qK, рК) и z' = K(z). Обозначим точку пересечения осей преобразований Т и U через у. Рассмотрим последова

тельность

< т-'и-ЧуУ т-Чу>, у. и-Чу}, и^т-Чу'ь =

и соединим подряд идущие точки (неевклидовыми) отрезками или лучами, a z и z' — отрезком вещественной оси. Докажем, что- в результате получится простая замкнутая ломаная, ограничивающая фундаментальную область группы, порожденной преобразованиями Т и U. В силу теоремы Пуанкаре 7.3.18 это следует из следующих двух утверждений.

Сумма углов при внутренних вершинах равна 2л, а сумма углов при вершинах z, z' равна л.

Различные отрезки и лучи не пересекаются.

Вторая часть утверждения (1) очевидна. Для доказательства оставшейся части нужно показать, что

ZL^z-, т^и-Чу), т-ЧуП+^(Т-1и~Чу), т-Чу), у) +

+ ^(Т-Чу), у, и~Чу))+^(у, и-Чу), и-т-ЧуП*

+ ^Ч^Чу^ U-Ч-ЧуУ = 2лг где все углы мы выбираем положительными. Это следует и$ рис. 9.3.13:

^(у, и-Чу^, и-ч-ЧуП= ^Фку^, у, т~ЧуП=

= л.^т-1и-Чу^ т-Чу^ у^-^

ответственно. Нормализуем Тответственно. Нормализуем Тг-(о ”4 где ^К*и = ^ ^ где ай — b2 = 1г-(о ”4 где ^К*и = ^ ^ где ай — b2 = 1

ответственно. Нормализуем Т

ответственно. Нормализуем Т

г-(о ”4 где ^К*

и = ^ ^ где ай — b2 = 1

г-(о ”4 где ^К*

и = ^ ^ где ай — b2 = 1

ф + ф = л для ф := ^(^-'(г/), г/, ^“‘(г/)), ^', т-ч-Чу^ т-ЧуУ)=^ФТ^ У. и^^'.^,, ^"Чу^ U-4-Чу^ г)=ЧПУ^ у, ТЩ2))=:ф2. Далее, ф, + ф2 = ф, поскольку точка TU^4 = UT (z), как уже доказано выше, лежит в интервале (0, qu). Следовательно, 'ф, + ф2 + ф + 2<р = 2л;

и, таким образом, утверждение (1) доказано. Кроме того, мы до

казали, что ф, и ф2 меньше л.

Чтобы доказать (2), вновь обратимся к рис. 9.3.13. На нем буквами g и h обозначены прямые, проходящие через Т-1 (у) и г'

и через и~ЧУ^ и z соответственно. Так как углы ф, и ф2 меньше л, то прямые g и h разделяют и-Ч-Чу') И Т-ЧТ-Чу), следовательно, пересечение отрезков или лучей где-нибудь, кроме концов, невозможно. □

Следствие. Пространство Тайхмюллера фуксовых групп сигнатуры (1; 0; 0; 1) гомеоморфно R*.

Координатами могут служить следы канонических образующих. На рис. 9.3.14 зто пространство изображено относительно координат, полученных в 9.3.18. □

Е. Модули для групп с сигнатурами (1; 1; 0; 0) и (1; 0; 1; 0).

Пусть (G, Е) — отмеченная группа с сигнатурой (1; 1; h; 0; 0), и пусть (Т, U, К) е Е. Образующие Т, U являются гиперболическими преобразованиями, а К — эллиптическим или параболическим сои U, как это делалось в 9.3.15.

Возникающее при этом расположение изображено на рцс. 9.3.15. Здесь

и 1^ + 41>2»и ] а + d\ > 2,ъа (я-2 — 1) \

где [ tr^ [ = [а + 61 = 12 — Ь2 ^у) | = 2cosy. Кроме того, Re рк < 0, где рк — неподвижная точка преобразования К.

Лемма. Пусть Т, U, К — дробно-линейные преобразования с вышеуказанными коэффициентами. {Мы не предполагаем при этом, что они образуют модулярную систему образующих фуксовой группы.') Если числа Хт Т и VvU оба положительны или оба отрицательны, то tr К $5 0.

Доказательство. Из неравенства 0 < [7(0) < (7(<») следует, что 0<-^-<-^-. Это, в свою очередь, влечет, что числа а. Ъ, d и а + d либо все положительны, либо все отрицательны. Далее, Х-1(0)< 0; следовательно, 0/6 < 0. Поскольку угол поворота преобразования К не превосходит л, то КГ»)^ Re рк < 0. 14таь. мы получаем, что

Если tr Т и tr U положительны, то а > 0, Ь > 0 и d > 0: еле юва- тельпо, а > 0, 0 > 0, у < 0 и 0/6 < 0. Из неравенств — -у ^ ~лу" и у < 0 вытекает, что 26 С б — а и, следовательно, а + б С 0.

В случае, когда tr Т и tr U отрицательны, доказательство проводится аналогично. О

Предложение. Для всякого угла л/h {h^2 и iu h = оо) и для всякой точки из множества

N:=V{kvk2,k3')e\R3\Kkv 1<к2,

к^ = - cos^- - 1 + 2 (fc! - 1) <кг2 - 1) >0}

существует система Е = {Т, U, К) дробно-линейных преобразований со следующими свойствами:

tr Т = 2кт, trU = 2k2, tr К = — 2 cos -^,

sign (а — d) = sign к3, где а и d — коэффициенты матрицы U, см. 9.3.15.

k = {U-4-^utv.

Если рт, qT, Ри и qv — неподвижные точки преобразований Т и U, а рк — неподвижная точка преобразования К, то

Re рА ^ ри <0 = qT < qu, Рт = 00 и РиУи = — 1.

Группа G с образующими Т и U действует в и* разрывно и принадлежит типу (1; 1: h; 0; 0) или (1; 0; 1; 0).

IIреобразования Т, U, К образуют модулярную систему обра- аующих группы G и определены свойствами (а) — (d) однозначно.

Доказательство. Ход рассуждении тот же, что и при доказательстве предложения 9.3.18. Рис. 9.3.15 соответствует ри-

сунку 9.3.13, на нем изображена фундаментальная область. Как и выше, если заменить Т и U преобразованиями Г-1 и U~l, то из 9.3.16 (d) будет следовать, что точка UT(pK) = TU(pK) содержится в изображенном на рис. 9.3.15 «квадранте», из чего следует условие на углы. □

Следствие. Пространство Тайхмюллера фуксовых групп с сигнатурой (1; 1: Л; 0; 0) или (1; 0; 1; 0) гомеоморфно Ж2. □

F. Оставшиеся случаи.

Все остальные неразложимые отмеченные поверхности с одинаковой сигнатурой принадлежат одному и тому же классу эквивалентности. Другими словами, их пространство Тайхмюллера есть точка. Проще всего доказать это при помощи вычислений: нормализовать два параметра и показать, что условие на третий уже однозначно определяет преобразования. Проделаем это для «случаев (0; 3; 0; 0) и (0; 0; 3; 0).

Случай (0; 3; 0; 0). Задание имеет вид

<DV D2, D31 Di1 = D> = D33 - D3DJ\ = 1>.

Не теряя общности, можно считать, что i есть неподвижная точка преобразования Dt, a ti, где t > 1,— неподвижная точка преобразования О2; следовательно,

лпл . . л

— COST- — sin—-COST- —I Sin—

"1"1 Пz

1.лл ’21 . лл

Sin— — COST-— Sin —— COS 7—

hlЛ1i h2Л2

Условие заключается в том, что Ог^! есть поворот на угол: —2л/Л3. Это значит, что выполняется равенство

2 cos соя sini sin^ ft += ± 2 cos

”1\"1”2 \* )"з

Следовательно, для заданных йь Л2, h3 имеется не более одного' решения относительно t:

где знак выбирается так, чтобы выражение в правой части равенства было положительным.

Случай (0; 0; 3; 0). Задание имеет вид

<Rt, R2, R3 I R$R2Ri = 1^"

Без потери общности можно считать, что 7?!=^ ^ и что неподвижной точкой для R2 является 0, следовательно, R2 = ° \

= (с _а_2р гДе а = —1 в силу условия на определитель: а(—а — 2)=1, а с#=0. Так как преобразование R2Rt параболическое, то

±2 = tr R2Ri = с — 2,

следовательно, с = 4. Тем самым доказано, что существует только один класс канонических образующих для случая (0; 0; 3; 0), реализованный преобразованиями

7?1(z) = z+l, =R(z\ = TL^Z^

'’ 2Х *4з4-Г4z-|-3

На этом нахождение пространств неразложимых отмеченных факторповерхностей заканчивается; нами доказаны все утверждения, содержащиеся в списке 9.2.13.

По поводу других подходов см. также Кин [Keen 1974], Пер- аицки [Purzitsky 1974], Перзицки и Розенбергер [Purzitsky—Rosenberger 1972].

Упражнения 9.7—8.

29 х. Цишанг и др.449

Пространство модулей отмеченных фуксовых групп

В предыдущем параграфе нами были построены модули для неразложимых фуксовых групп. Здесь мы с их помощью построим модули для общего случая. Лемма 9.4.2 описывает метод получения модулей фуксовой группы из модулей «более простых» групп; в лемме 9.4.1 описывается используемая в 9.4.2 нормализация.

Лемма. В каждом классе отмеченных фуксовых групп с сигнатурой (g; п; тп\ к), где 2g + n + m+k>3 и к > 1, существует однозначно определенная отмеченная группа (Н, Е) со следующими свойствами:

E = (JJe, Tg, ..., Ut) Т^ Du, ..., Dt, Rm, ..., /?„ SM ..., SJ.

Определяющими соотношениями являются Dxx = 1 для

[Ug, TA-.^Un TAD_..DxRm...RxSK...Sl = \.

Отталкивающей и притягивающей неподвижными точками преобразования Si являются 0 и =». Ни одна неподвижная точка никакого нетривиального элемента из Н не находится слева от мнимой оси.

Нормализацию завершают следующие условия, различные для различных типов групп;

к^2:

ЧгРг = 1, где Цг, рг — притягивающая и отталкивающая неподвижные точки преобразования Sa;

k=l, m>V.

1 есть неподвижная точка преобразования Rt;

k= 1, m = g = 0, п = 2, /i, = /i2 = 2:

Pi = i, где pt есть неподвижная точка преобразования В,;

к = 1, тп = 0, п>1, но не покрывается предыдущим случаем:

Re pi = 1;

k = 1, m - п = 0, g^= 1:

Ри Чи = 1, где ри и ди —неподвижные точки преобразования U,.

(е) Н обладает такой соответствующей системе Е фундаментальной областью, что стороны, отвечающие образующей St, пересекают мнимую ось в точках г и S^i), а все остальные стороны находятся справа от мнимой оси.

Доказательство, (а) и (Ь) лишь повторяют, что Е является канонической системой образующих. По предположению, S, задает гиперболическую дыру, и сопряжением можно добиться того, чтобы оо и 0 были притягивающей и отталкивающей неподвижными точками преобразования St. В силу условия па

ориентацию канонических образующих, из теоремы 9.1.16 следует, что «дыра» накрывается полуплоскостью, лежащей слева от мнимой оси. В силу условий на неподвижные точки преобразования Si остается в точности один свободный параметр, он определен условием (d), как следует из нормализации, произведенной в 9.3.1.

В справедливости пункта (е) проще всего убедиться на фак- торповерхности 8 = Н^/Н: ось преобразования 5, проектируется в простую замкнутую геодезическую у на S, и f разбивает ^Ф/Н на дыру L и «большую» часть. Всякая каноническая система разрезов содержит кривую □ с началом в отмеченной точке, идущую в дыру L. Отмеченную точку можно выбрать так, чтобы она не содержалась в L, и можно считать, что а пересекается с_ у в одной точке. При помощи небольшой деформации кривой а можно добиться того, чтобы точкой пересечения кривых о и 7 служила проекция точки L □

Замечание. В случае (0; 2: 2, 2; 0; 1) ситуация несколько вырождается: здесь «остальные стороны» представляют собой часть отрезка мнимой оси, а фундаментальная область содержится в полуплоскости {ze M|Rez^0). Отрезок мнимой оси содержит центры двух неевклидовых вращений порядка 2.

Лемма. Пусть G — фуксова группа со следующим заданием, в котором, как обычно, образующие обозначены в соответствии с типом преобразования.

Образующие:

Е = ф8, Т8, ..., Uv Tv Du, ..., Dv Rm, ...,RV Sh, ..., Sv 8),

E* = (U^, Tg«, ...,U*, T*, D*; ..., D*, Rm*, ...,Rl S^,..., S*,5*);

определяющие соотношения;

D<* = 1 для 1 ^ i ^ п, D*h* = 1 Эля 1 ^ i ^ п*, где hi, h* ^ 2;

‘[t7g, Tg] ... [Z7l, TJ Du . - • DxRm ... RA ...8г8 = 1,

[lr**, 7M ... [tf*, 7^] Du*... DX* ... R*Sh* ... 8*8* = 1.

Обозначим через H и Н* подгруппы группы G, порожденные Элементами, входящими в Е и Е* соответственно. Тогда

(a) G=H*ZH*, где Z=<5> = <5*-1>^Z. Определяющими для Я и Н* является те из вышеприведенных соотношений, которые Содержат образующие только из Е или из Е* соответственно. ‘(Ь) Классу группы (G, Е U Е*] отвечают при взаимно одно

значном соответствии классы групп (Н, Е], (Н*, Е*] и еще одно вещественное число t > 0, которое называется коэффициентом уклейки. Оно непрерывно зависит от (G, Е U Е*) (и может быть ЗЫражено через следы определенных элементов группы G). Я пространствах Тайхмюллера для Н и Н* имеется координата, Заданная следом матрицы 8 или 8* соответственно; таким обра- ООЖ, эти следы совпадают.

»•451

(с) Пусть (Н, 5) и (Н, 5*) — отмеченные фуксовы группы с сигнатурами (g, п: hu ..., /гп; m; fc+l) и (g*; п*: h*, ...,h**; m*; k* + 1). Тогда для любого вещественного числа t>0 существует такая отмеченная фуксова группа (G, Е U 5*), что группа (Н, £) конформно эквивалентна группе (И,' Е), группа (В*, Е*)—группе (Н*, 5*), a t есть коэффициент склейки. Здесь по-прежнему Н и Н* — группы с системами образующих Е и Е*.

Доказательство. Ось преобразования S проецируется на простую замкнутую геодезическую, определяющую на фак- торповерхности И^/Н гиперболическую дыру. Следовательно, можно считать, что 0 и ю являются притягивающей и отталкивающей неподвижными точками преобразования S и что неподвижные точки всех преобразований из Н находятся справа от мнимой оси. Тогда неподвижные точки преобразований из Н* лежат слева от мнимой оси. Далее, нормализуем Н дополнительным условием на неподвижные точки, зависящим от типа группы Н, как это указано в 9.4.1, и распространим необходимое сопряжение на G. Теперь И определяется своими модулями.

Подгруппа Н* уже приведена к некоторому предварительному виду, но еще не нормализована. Мы должны нормализовать ее при помощи дробно-линейного преобразования, меняющего О

„,, . Oz + 6,.

и °° местами. Оно имеет вид /(z) = ^ ^, где — ос = 1; следовательно, / (z) —, где t > 0. Далее t определяется группой (Н*, Е*') однозначно (мы считаем, что группа (Н, Е^ уже нормализована вышеописанным способом). Таким образом, группа (G, Е U £*) однозначно с точностью до конформной эквивалентности определена классами групп (Н, Е), (Н*, Е*) и числом t. Число t называется коэффициентом склейки.

Если даны классы [Н, Е], [Н*, 5*] и числом t > 0, то реализуем [Н, Е] нормализованной группой, которую мы обозначим через (Н, Е). Затем сопряжем нормализованную группу из [Н*, Е*] при помощи преобразования /(z) = — t/z. Результат обозначим через (И*, Е*). Из теоремы Пуанкаре 7.3.18 и пункта (е) леммы 9.4.1 следует, что HUH* порождает разрывную группу G, которая представляет собой свободное произведение групп Н и Н* с объединенной циклической подгруппой, порожденной элементом S, т. е. G имеет требуемый вид.

При других нормализациях коэффициент склейки может зависеть от следов элементов, представляющих собой «простые» произведения некоторых образующих из Е U Е*. Рассмотрим это подробнее на примере того случая, когда окончательная нормализация определяется для обоих сомножителей при помощи условий на гиперболические преобразования АеЕ и А* е Е* (случаи 9.4.1 (d)). В этих случаях требуется, чтобы неподвижные точки были бы положительными вещественными числами с произведением, равным 1. Тогда, в силу 9.3.1, А = (_ db ), где

ad + b2 = 1, A" = (_ “„ *„), a"d" + b"2 = 1, где A* = RtA"R7\ Rt = lAh 3’t2 = l Тогда

tr AA* = ad" + da" - bb" ^ + 4)’ f > °: следовательно, {t, t-1} определяется следами преобразований Л, А* и S. Напомним, что a, d, b2 являются непрерывными функциями от Л и S, a a", d", b"2— непрерывными функциями от 1гЛ"=1гЛ* и tr S* = tr S. Это было показано в начале доказательства предложения 9.3.6. □

Теорема. Пространство Тайхмюллера Т (g; п; ht, ... ..., hn, ш; к) гомеоморфно [^бе+гп+гтн зй-6, ^ качестве независимых координат можно выбрать следы модулярной системы образующих и коэффициенты склейки. Каждая из этих координат свободно и независимо от остальных изменяется в пределах некоторого луча.

Доказательство. Применим лемму 9.4.2. Если утверждение теоремы верно для двух сомножителей Н, Н' в 9.4.2. то пространство Тайхмюллера их произведения получается из произведения пространств, отвечающих сомножителям, при помощи отождествления координат, заданных следами преобразований S и S', и добавления множителя R, соответствующего коэффициенту склейки, взятому в качестве дополнительной координаты. Следовательно, если пространства Тайхмюллера сомножителей являются евклидовыми пространствами размерностей I и Z', то пространство Тайхмюллера их произведения есть евклидово пространство размерности I + V. На первый взгляд, координаты не совпадают со следами преобразований, входящих в модулярную систему, по образующие, указанные в 9.4.2, сопряжены модулярным образующим, и обратно. Эти рассуждения показывают, как надо действовать дальше.

Рассмотрим разложение из теоремы 9.2.10. Пусть р = = g + n + m +/с > 3. Взглянем сначала на И^ U ... U И^-э. Каждая поверхность W, (2 С i С р — 3) соответствует одной ручке, или одной исключительной точке, или одной параболической дыре, ■ли одной гиперболической дыре исходной факторповерхности. Как мы видели в § 9.3, пространство Тайхмюллера поверхности W, гомеоморфно R3 или R2. Следовательно, пространство Тайхмюллера группы, сооответствующей поверхности ТТ2 U ... U ТТр-з, гомеоморфно [рзг'+зп'+гт'+зй', где g^ ^^ и ^, обозначают Количество исходных образующих соответствующих типов, которые входят в W2 U ... U 1Ур-з. Часть Wi задает две составляющие. Они добавляют в выражение для размерности слагаемые vt и v2, 2Cv<^3. При помощи 9.3.11 можно убедиться в том, что раз- Мерность пространства Тайхмюллера для Wt равна v, + v2 — 3. Аналогично для ТУр-2. Следовательно, пространство Тайхмюллера ДЛЯ Wt U ... U Wp_2 есть евклидово пространство размерности 3g + 2и 4-2тп + 3fc — 6. Наконец, в силу 9.4.2 и 9.3.19, добавление

ручки увеличивает размерность на 3; следовательно, пространство Тайхмюллера есть евклидово пространство размерности 6g+2n + + 2m + 3& — 6. Поскольку координатами для всех частей являются следы модулярных образующих, последние остаются координатами в пространстве Тайхмюллера ST (g; п; т; к1). Кроме того, имеются р — 3 + g коэффициентов склейки.

Для р = 2 мы имеем либо g = р = 2, либо g = 1 и n + т+ к = = 1. В последнем случае группа неразложима и размерность равна 3 или 2, см. 9.2.13. Если g = p = 2, то размерность пространства Тайхмюллера равна 3 + 3 = 6g —6 в силу 9.4.2. □

В дальнейшем нам понадобятся еще два предложения. Первое из них тесно связано с предыдущей конструкцией.

Определение. Симметрией фуксовой группы G называется такое биконформное обратимое отображение /: Н->Н, что соответствие g^-f^gf является автоморфизмом группы G; если / ^ G, то / называется нетривиальной симметрией группы G, feG называется тривиальной симметрией. Пусть /7"— пространство Тайхмюллера фуксовых групп, имеющих тот же тип, что п G. Тогда через Q мы будем обозначать множество элементов из ^", которые соответствуют фуксовым группам, обладающим нетривиальной симметрией.

Предложение. Пусть G — неразложимая фуксова группа. Тогда ^ является тощим подмножеством в Т за исключением того случая, когда G имеет одну из следующих сигнатур-. (2;—;—;—), (1; 2: h, h\ —; —), (1;—; 2; —), (1; 1; —;—), (!:-;!;-), (!;-;-;!), (-; 4: h, h, h, h- -; -), (-; -; 4; -), (—; 4: h,, ht, h2, Hv, —; —), (—; 2: h, h-, 2; —), (—; 2: h, h; —; 1), (-:-,2;l).

Доказательство. Воспользуемся формулой Римана — Гурвица из теоремы 7.3.20 и ее обобщением на фуксовы группы с некомпактной фундаментальной областью из статьи Хора, Карраса и Солитэра [Ноаге — Karrass — Solitar 1971]). В силу

7.3.21, группа симметрий неразложимой фуксовой группы G является конечным расширением группы G и подгруппой группы SLF (2, R); следовательно, она является фуксовой или неевклидовой кристаллографической группой. Из формулы Римана — Гурвица (теорема 7.3.20) следует, что имеется лишь конечное число типов неевклидовых кристаллографических групп, содержащих подгруппы того же типа, что и G. Пусть И — группа, содержащая подгруппу G' того же типа, что и G. Канонические образующие группы G' можно выразить в виде произведений образующих группы Н и им обратных; следовательно, координаты группы G', отвечающие произвольной системе образующих, полиномиально выражаются через координаты группы Н. Размерность пространства Тайхмюллера 9"q группы G меньше размерности пространства 9"н, за исключением того случая, когда группа G элементарна или является группой треугольника, или имеет одну из перечисленных сигнатур. Это — следствие формулы для размерности из теоремы 9.4.3 и формулы Римана — Гурвица n(G) = [Н : G] • ц(Н); см. Гринберг [Greenberg 1963], Зингерман [Singerman 1972] или упражнения 9.17, 18. Таким образом, отмеченные группы, имеющие тип G и являющиеся подгруппами групп типа Н, образуют подпространство меньшей размерности пространства Тайхмюллера для G, и это подпространство нигде не плотно. Так как для фиксированной пары (G, И) имеется лишь счетное число вложений группы G в Н, то неевклидовы кристаллографические группы типа Н задают лишь тощее подмножество в 9". Для Н имеется лишь конечное число возможных типов; следовательно, 5 является тощим в 9". □

Предложение. Пусть G — неэлементарная фуксова группа, и f- H-*-H—такое конформное отображение, что f*lgi = g для всех geG. Тогда / есть тождественное отображение.

Доказательство. Мы дадим наброски нескольких дока- Ветельств этого утверждения. Первое основано на фундаментальных результатах комплексного анализа, второе — на гиперболической геометрии, а третье — на алгебраической топологии.

Из равенства f~lgf = g следует, что / оставляет неподвижные точки отображения g неподвижными; следовательно, множество неподвижных точек отображения / обладает в И точкой Накопления. В силу усиленного принципа отражения Шварца, см. Бенке и Зоммер [Behnke — Sommer 1955, IV, Satz 47], Кон (Cohn 1967, Lemma 11.2], / можно продолжить до конформного Отображения С-»-С , и, таким образом, / есть тождественное Отображение, см. например, [Behnke — Sommer 1955, S. 130, Batz 27].

Отображение / можно распространить на S1 при помощи тождественного, поскольку f~lgf = g для всех geG, см. теорему 10.1.2. Следовательно, / отображает каждую неевклидову прямую в нее же саму. Поэтому пересечение каждых двух прямых Остается неподвижным под действием /, т. е. все точки плоскости И остаются неподвижными (ср. 7.6.18).

Рассмотрим тот случай, когда G есть фундаментальная группа замкнутой ориентируемой поверхности рода g, и изучим индуцированное отображение ср: H/G->H/G факторповерхности (ср. 7.11.2). Допустим, что ф #= id. Так как ср конформно, то неподвижные точки отображения ф образуют в М/G дискретное подмножество и все имеют индекс +1. Следовательно, их количество равно алгебраическому числу неподвижных точек, совпадающему с числом Лефшеца tr <рФ0 — tr ср »i+1г <рФ2, где Ф*,: Я, (H/G)-> Я/H/G) — индуцированный гомоморфизм, см. Александров и Хопф [Alexandroff — Hopf 1935, Кар. XIV], и Спе- ньер [Spanier 1966, 47.7]. Поскольку ф», = id, мы приходим к противоречию:

О $5 количество неподвижных точек отображения ф = 2 — 2g < < 0, где последнее неравенство следует из того, что H/G — гиперболического типа, т. е. g>2.

Это доказывает, что / есть автоморфизм накрытия, следовательно, /eG. Поскольку централизатор всякого нетривиального элемента группы G цикличен, то группа G является циклической, г. противоречие с предположением о неэлементарности группы G.

Упражнения 9.9—10, 15—18.

О других подходах к проблеме модулей

Проблема классификации римановых поверхностей и фуксовых групп относительно аналитической эквивалентности встала вскоре после определения этих понятий, и поиск инвариантов начался уже в прошлом столетии. Для случая торов она была быстро решена при помощи модулей из И и действия модулярной группы, см. § 7.4. Для поверхностей старшего рода и для фуксовых групп среди подходов выделились несколько путей, тяготеющие к различным математическим дисциплинам.

В этом параграфе мы сделаем несколько замечаний о других подходах, в основном — о тех, которые имеют геометрическую природу. При первом исследовании модулей в книге Фрике и Кляйна [Fricke — Klein 1912] Фрике использует в качестве модулей следы подходящих преобразований, принадлежащих фуксе вым группам, и показывает, что они образуют евклидово пространство. (Модули из §§ 9.3—9.4 имеют ту, же природу.) Эти координаты задают глобальные вещественные аналитические координаты на пространстве Тайхмюллера Т. При первом знакомстве книга [Fricke — Klein 1912] отпугивает читателя своей длиной, использованием старомодных понятий (и тем, что она написана по-немецки) и нестрогих определений. Однако требуется лишь немного времени, чтобы привыкнуть к книге и читать ее с у довольствием.

Модули Фрике были вновь построены в нескольких статьях. Среди них работа Кин [Keen 1971], где рассмотрен случай римановых поверхностей, см. также [Keen 1966', 1980]. Сходное изложение, близкое к первоначальному из книги [Fricke — Klein

1912], имеется в статье Кролля [Kroll 1974]. Параграфы 9.1—9.4 представляют собой переизложение дипломных работ Б. Беке- майера и X. Фольмер, опубликованных в совместной работе [Vollmer — Bekemeier 1978]. Длительные обсуждения с этими студентами были очень полезными.

Следы гиперболических преобразований равны расстояниям между соответствующими точками, и, следовательно, в случае преобразований, принадлежащих фуксовой группе, длинам кривых на факторповерхности; мы несколько раз пользовались этим обстоятельством в §§ 9.1—9.4. В знаменитой рукописи Фенхеля и Нильсена фуксовы группы геометрически разлагаются в свободные произведения с объединенной подгруппой, причем зта процедура повторяется до тех пор, пока возможны нетривиальные разложения. (Они соответствуют разложению из § 9 2, однако производятся в И.) В качестве модулей берутся длины сдвига подходящих преобразований; при проекции на отмеченную риманову поверхность получаются координаты, подобные описанным в §§ 9.3—9.4. Другая система координат используется в §§ 7.9—10 и в работе Колдевая [Coldewey 1971]. Каждая отмеченная фуксова группа реализуется фундаментальной областью специального вида, и координатами служат длины сторон и углы между сторонами. К сожалению, они зависят от «неестественного» выбора отмеченной точки. Однако доказательства являются топологическими по природе и проводятся при помощи конструкций, аналогичных используемым в §§ 9.1—9.2 (последние появились на их основе), и опираются лишь на стандартные факты из неевклидовой геометрии и топологии поверхностей. При помощи этих средств можно доказать следующую привлекательную теорему 9.5.1, которая играет решающую роль при нахождении модулей. Она принадлежит Кин [Keen 1966], которая доказала ее с помощью результатов из теории уравнений Бельтрами.

Теорема. Пусть (S, Y)— отмеченная факторповерх- ностъ, и пусть точка p«eS — не исключительная. Тогда существует однозначно определенная система У е Y кривых с начальной точкой р0, состоящая из геодезических (разумеется, не все они геодезически замкнуты). □

В случае замкнутой римановой поверхности теорема 9.5.1 делает возможной простую конструкцию для фундаментальных областей в универсальном накрывающем И. Будем рассматривать 6 = л1(5) как группу, действующую в Я, а У — как класс сопряженности систем канонических образующих. Выберем точку РоеН. Тогда найдется система Y = (Tt, Ut, ..., Tg, Ug)eY образующих группы G, обладающая следующим свойством:

Положим

Р1=Л(Ро), p^UiTApo^ p^t^ujap»), p^u^t^uvtap^ и, по индукции,

Pti+l = ^i+l (Pti)i Р41+2 " ^i+1 (P»i+1), Р41+З = ^i+1 (P41+2),

P*i+4 = Ui+\ (Pli+з).

457

Тогда p>.g = pl). Для каждого j соединим р3 и р)+1 (неевклидовым) отрезком. Получится простая замкнутая ломаная, ограничивающая выпуклый (в смысле неевклидовой геометрии в И) многоугольник, который является фундаментальной областью группы G. Остается выяснить, какие системы У е Y допустимы для данной точки р0. Если дана система У, то в качестве р0 можно взять точку q пересечения осей преобразований Ttl UY для некоторого I, или любую другую точку, которую можно соединить с q, не пересекая прямых, G-эквивалентных осям преобразований из У.

Фуксова группа является дискретной подгруппой группы SLF (2, R). Для изучения фуксовых групп можно попытаться применить теоремы о замкнутых подгруппах топологических групп. Эта возможность была указана А. М. Макбетом, см., например, [Harvey 1971] и [Maclachlan — Harvey 1975].

Более аналитический подход к проблеме модулей берет начало в работах Тайхмюллера [Teichmuller 1940, 1943], который изучал экстремальные квазиконформные отображения римановых поверхностей и получил теорему о существовании и единственности экстремального квазиконформного отображения в каждом гомотопическом классе отображений. Этот подход также использовался для нахождения модулей, при этом пространство Тайхмюллера преобретает комплексно аналитическую структуру. Альфорс [Ahlfors 1953] ввел более гибкое геометрическое определение квазиконформного отображения и дал строгие доказательства теорем Тайхмюллера. Кравец [Kravetz 1959] ввел на пространстве Тайхмюллера риманову метрику и намеревался доказать некоторые свойства ее кривизны. Если бы кривизна пространства Тайхмюллера обладала такими свойствами, то проблему Нильсена о реализации можно было бы решить с помощью тех же рассуждений, что и при доказательстве теоремы 9.7.1. Конечная группа А классов преобразований действует в ^ изометриями. Если бы выполнялось упомянутое свойство кривизны, то А имела бы в Т неподвижную точку, которая соответствовала бы фуксовой группе, на которой А действовала бы конформными симметриями; следовательно, расширение этой группы при помощи А есть фуксова группа или неевклидова кристаллографическая группа. Однако Мазур [Masur 1975] доказал, что кривизна римановой структуры на 9" не может обладать требуемым свойством.

Новый облик теории квазиконформных отображений придал Берс [Bers 1958, 1960], связавший ее с теорией уравнения Бельт- рами. Последнюю использовали при изучении пространства Тайхмюллера в своих работах К. Дж. Ерл, И. Кра, А. Марден, Б. Ма- скит и другие. Определения и результаты этой теории замечательно описаны в работе Берса [Bers 1972], где, кроме того, имеется обширный список литературы.

Модули определялись и для поверхностей с краем (кляйно- вых поверхностей), см. Сеппяля [Seppala 1981].

Упражнение 9.11.

Теорема Смита о неподвижной точке

Р этом параграфе мы докажем (в ослабленном виде) теорему Смита о неподвижной точке, состоящую в том, что всякое периодическое отображение /: Rn -> R” простого порядка обладает неподвижной точкой. Этот результат будет использован в доказательстве того, что разрешимые расширения фуксовых групп также являются фуксовыми группами, см. теорему 9.7.1. Доказательство теоремы о неподвижной точке является косвенным, следовательно, оно не дает никакой информации о множестве неподвижных точек. Однако оно короткое и «элементарное», т. е. основано на стандартных рассуждениях алгебраической топологии. Более сильный, стандартный вариант теоремы Смита о неподвижной точке сформулирован в п. 9.6.3 без доказательства, поскольку оно требует понятий и результатов из теории пучков. Если отображение / симплициально, то гомологии множества неподвижных точек можно найти способом, аналогичным приводимому ниже доказательству теоремы.

Теорема. Пусть р— простое число, X — односвязное и локально односвязное пространство с Нn (X; Zp) = 0 для га^1. Пусть G ^ Zp разрывно действует вХ,и пусть существует такое число N, что Zfn(X/G;Zp) = 0 для n^N^X. Тогда у G есть не- псдвижные точки.

Доказательство. Допустим, что G действует в X без неподвижных точек. Пусть g порождает G; по предположению, g'^ + x для iCi^p — 1, и gp^ = x для всех теХ. Подсчитаем HY (X/G; Zp) двумя способами.

Так как группа G конечна и действует без неподвижных точек, то проекция р: X-*- Х/G есть накрытие степени р, см. Спень- ер [Spanier 1966, 2.8]. Поэтому лг (X/G)^ZP, поскольку Hj(X)=l; следовательно, ^(X/G) ^Zp, см. [Spanier 1966, 7.4], и

^(X/G;ZP)-Zp

в силу теоремы универсальных коэффициентов, см. [Spanier 1966, 5.2].

Пусть Cn(X; Zp) = С„(Х) ® Zp — группа сингулярных га-мер- ных цепей с коэффициентами в ZP; здесь операция в Zp записывается аддитивно. Если а: А„ -* X есть сингулярный га-симплекс, то g'a также есть сингулярный и-симплекс; здесь через А„ обозначен «стандартный га-симплекс». Следовательно, G = <g\gp = 1> действует на Си (X; Zp). Отображение р: X -► Х/G индуцирует гомоморфизм

Р«: Cn(X;Zp)^Cn(X/G;Zp).

Положим Сп (X; Zp) = ker р„; тогда последовательность

0 Cn (X; Zp) Cn (X; Zp) -^- Си (X/G; ZP) О

точна и

Cn№ ZP) = ^2«(ст)ст| 2 «(g^^Omodp для всех ст: ДП->Х^.

Граничный оператор группы Cn(X;ZP) отображает Сп(Х; ZP) в Cn-i(X;Zp); следовательно, группы Cn(X;ZP) образуют цепной комплекс С, и последовательность (2) является короткой точной последовательностью цепных комплексов. С ней ассоциирована длинная точная гомологическая последовательность

... -> Яп+1 (X; ZP) -* Яп+1 (X/G; Zp) Я„С^ Я„ (X; Zp)-*...

_ Так как симплекс Д„ стягиваем, то каждое отображение ст: Д„ -> X/G можно поднять до отображения ст: Д„ -*■ X, определенного отображением □ с точностью до умножения на степень g. Определим гомоморфизмы

ф: ^„(X/G; ZP)-*C„(X; Zp) формулой ст^ а + go + ... + ^р-1ст,

ф: С„ (X; ZP)-*Cn(X; Zp) формулой т —gr—т.

Опп согласованы с оператором границы. Кроме того, ф ° ф = О, т. е. кегф=>1тф. Из равенства

о = ф (2 «(о) ст) = 2 (а (ст) go — a {о) о) = 2 [«(?~М — «(")] ст

следует, что a(g~lo) = a(n)modp для всех ст: Дп^-Х; следовательно, а (ст) = a(go)= ... = a(gp~l ст) mod р, и 2а(ст)сте1тф. Это доказывает, что кег ф <= im ф. Кроме того, гомоморфизм ф сюръективен; это следует из равенства

Р-1р-1Р-1 Г /р-1\]

2 aigi - 2 «i = Jj 2. «3) g1-1 j (S' — 1)•

Таким образом, точна следующая короткая последовательность цепных комплексов:

О -> С (X/G; Zp) Л С (X; Zp) X С 0.

Поэтому точна длинная гомологическая последовательность (4)

• • • ~Яп+1 (X; Zp) —*■ Яп+1С —>• Нп^х (X/G; Zp) ■*■ Яп (X; Zp) —*■ ...

Из точности последовательностей (3) и (4) и того, что ЯП(Х; Zp) = 0 при n > 1, следует, что

Нп+1 (X/G; Zp) = Н^^С = Нп (X/G; Zp) для ra^l.

ТАк как Н jy(X/G;Zp) и H^+l (X/G; Zp) обращаются в нуль, то Hn,(X/G; Zp) = 0 при n> 1. Но это противоречит равенству (1). □

Ёсли в качестве X взять К”, то Х/G будет Димерным тополо- гичерким многообразием; следовательно, его гомологии в размер- ностйх, больших N, обращаются в нуль. Поэтому можно применить теорему 9.6.1 и получить:

Следствие. Пусть f: Rn->-Rn—периодическое отображение простого порядка. Тогда у / есть неподвижные точки. □

На этом пути можно доказать лишь существование неподвижных точек, но ничего — о структуре множества неподвижных точек. Привлекательный и интересный подход к этой задаче, использующий теорию пучков, позволяет доказать следующую теорему.

Теорема Смита о неподвижной точке [Smith 1934]. Пусть G есть р-группа для некоторого простого числа р, т. е. G обладает нормальным рядом G = Go > G, > ... > Gm = = 1, где Gi/Gi+1 ^ Zp для 0 m — 1.

Пусть G действует в пространстве X с Н* (X; Zp) = = И* (S'”; Zp), и пусть F — множество точек, неподвижных при действии группы G. Тогда JI* (F;Zp)=H* (S"; 7Р) для подходящего г, — 1 С г С п. (Равенство г = —1 означает, что F = 0.) Если р^2, то п — r = 0rnod2.

Пусть G действует в пространстве X cdimzpX<°o. Допустим, что H°(X;Zp) = Zp и что Н1 (X; Zp) = 0 для i>0. Тогда Я0 (F; Zp) = Z и И1 (F; Zp) = 0 для i > 0. В частности, множество неподвижных точек непусто.

По поводу доказательства и литературы см. Бредон [Bredon 1967]. □

Упражнение 9.14.

Реализация конечных разрешимых групп классов преобразований

Перед тем как сформулировать теорему, которой посвящена эта глава, напомним, что группа А называется разрешимой, если у нее имеется такая последовательность

А = А„ > А, ▻... > Аг > Аг+1 = 1

подгрупп, что для каждого i группа А,/А,+1 есть простая циклическая, т. е. изоморфна Z или Zp для некоторого простого числа р.

Теорема (Фенхель [Fenchel 1948, 1950]). Пусть G — конечно порожденная группа движений гиперболической плоскости Н, и пусть H>G— расширение со следующими свойствами:

Для всякого /г^Н автоморфизм i^: G-»-G, g^hT^gh, содержится в Aut^G, т. е. он индуцирован некоторым гомеоморфизмом Н -► И.

Если Эля h е Н автоморфизм ц: G ^ G является тождественным, то h содержится в G. /

Группа A = H/G конечна и разрешима. /

Тогда Н можно реализовать разрывной группой Н* гомео!мор- физмов плоскости Н, содержащей группу движений G в качестве подгруппы.

Более точно; существует группа Н* гомеоморфизмов плоскости Н и такой изоморфизм р: Н-»-Н*, что p|G =ido, г. е. коммутативна следующая диаграмма;

В общем случае группу Н нельзя реализовать группой движений плоскости IH, не изменяя подгруппу G, хотя G состоит из движений. В действительности мы докажем следующее: существуют разрывная группа Н' движений плоскости Н, изоморфизм <р: Н-^Н' и такой гомеоморфизм s: Ш—*-Ш, что

<p(g) = s-* og-s для geG.

Тогда группа $Н'$-1 = (s = h' ° «-‘[Л's Н'} может служить в качестве искомой группы Н*. Группы s~‘Gs и G, вообще говоря, конформно не эквивалентны.

Доказательство. Сначала докажем теорему 9.7.1 для специального случая, из которого общий случай легко следует. Начнем с того, что повторим некоторые понятия и результаты.

Так как группа G действует в IH, каждый ее элемент либо сохраняет, либо обращает ориентацию. Если все элементы сохраняют ориентацию, то группа называется фуксовой, см. п. 7.3.16. Фуксова группа называется элементарной, если она есть группа диэдра или циклическая. Два элемента фуксовой группы коммутируют только в том случае, если они являются степенями одного и того же элемента. Неэлементарная фуксова группа не содержит нетривиальной коммутативной нормальной подгруппы.

Группа Н действует в G сопряжениями:

для АеН 1Л: G->G, g-^h^gh.

По предположению, каждый автоморфизм и индуцирован некоторым гомеоморфизмом th" Н -► Н, т. е. для каждого g е G имеет место равенство ц (g)= fh 1 ° ge th- Отображение tn определено элементом h далеко не однозначно, но если / и f индуцируют один и тот же автоморфизм и, то они изотопны, см. 5.14.1; следовательно, они оба сохраняют, либо оба не сохраняют ориентацию.

Теперь мы можем сформулировать наше ограничение.

G есть неэлементарная фуксова группа, и все элементы группы Н сохраняют ориентацию.

Пусть Т — пространство Тайхмюллера фуксовых групп, имеющих тот же тип, что и G. Воспользуемся предложением 9.2.8, чтобк получить действие группы А = H/G в ^”: в приведенной там конструкции положим Go = G. Кроме того, выберем какую- пибуДь каноническую систему 5 образующих группы G. Пусть Л£,: G-*G'— изоморфизм, отображающий Е в Е', где (G', Е'^ имеет тот же тип, что и (G, 5). Тем самым определен гомоморфизм

А -* Homeom Т, при котором [Л] ^ 0л для йеН, где 0л(6', 5') = (G', (Ле, ° 1д 1 = ЛЕ/) (£')). Отображение 0 является мономорфизмом почти для всех G; исключения приведены в упражнении 9.16.)

Так как группа А конечна и разрешима, имеется последовательность

А = Ао> А,> ...> А,> А,+1 = 1,

где А,/А{+1 ^ ZPi для 0 ^ i< г и некоторых простых чисел pt. Обозначим через Н{ прообраз группы А{ при отображении H^H/G = A. Будем доказывать 9.7.1 при ограничении 9.7.2 индукцией по длине г указанной последовательности. Для т=— 1 доказывать нечего. Предположим, что утверждение верно для г— 1. Пусть р :=рг._

0(АГ) есть циклическая группа простого порядка, действующая, как группа гомеоморфизмов, в £Г = KN для некоторого N, см. теорему 9.4.3. Следовательно, можно воспользоваться теоремой Смита о неподвижной точке 9.6.1 и найти для 0(АГ) неподвижную точку (G", Е"). Пусть й,еНг определяет образующий группы Аг. Тогда (ЛЕ« = t^1 = ЛЕ^ (Е”') принадлежит тому же классу Е", что и Е". Следовательно, найдется такое преобразование /г е SLF (2, R), что

(ЛЕ„ о i^1 о Ae»J (Е”') = frE"jr

Так как Л? е G, то преобразование fT G"-изотопно некоторому элементу g” eG". Поскольку оба преобразования конформны, то, как следует из предложения 9.4.6, они совпадают. Это доказывает, что присоединение элемента /, к G" задает конечное расширение Нг группы G", все элементы которого содержатся в SLF {2, К). Следовательно, Нг есть фуксова группа, и притом неэлементарная, поскольку ее подгруппа G" неэлементарна.

По построению диаграмма

G* G

Ля"^ р£"°—* G

коммутативна. Поскольку центр группы G тривиален, существует такой изоморфизм фг: Нг-*Нг, что ф"|С = ЛЕ». Кроме того, существует такая группа Н" и такой изоморфизм ф": Н->-Н", что ф" | Нг = фг. Так как изоморфизм Л£» индуцирован геометрически, то найдется такой гомеоморфизм s": Н^-Н, что s'-i = Е = s" = Е", т. е. ф" (g) = ЛЕ« (g) = s"-1° g = s".

Применим теперь индукционное предположение к расширению Н" группы Нг. Мы получим, что существуют такие разрывная группа Н' движений плоскости И, изоморфизм ф': Н" ->-

Н' и гомеоморфизм s': Н->-!Н, что ф' (Л) = s'-1 ° h ° s для Ле H*. Далее, Н', ф : = ф'°ф": Н-+Н' и s: = s" = s': обладают требуемыми свойствами, так как для g е G

ф(£) = фДф"(?)) =5,-1-ф" (g)°s' = s,-1=AE-(g) = s,=

= s'-‘ = (s"-1 og = $") = s' = S~* °g = s.

На этом доказательство теоремы 9.7.1 при предположении 9.7.2 закончено. Если группа G элементарна, то доказательство утверждения теоремы 9.7.1 несложно, см. 8.2.8. Если появляются элементы, обращающие ориентацию, то надо рассмотреть подгруппы U <1 G и V <1 Н сохраняющих ориентацию элементов. Можно считать, что U есть неэлементарная фуксова группа. Следовательно, из уже доказанного вытекает, что V соответствует некоторой фуксовой группе. Так как [Н : V] = 2, то из теоремы Смита о неподвижной точке следует, что Н можно реализовать в виде группы Н преобразований плоскости Н, содержащей U в качестве подгруппы. Соответствующая группе G подгруппа G < И действует в U так же, как G; следовательно, G и G геометрически эквивалентны и существует такой гомеоморфизм s: И-*-И, что формула g >-*■ (s)-1 gs_ задает изоморфизм G-»-G. При помощи формулы h^ s = h = (s)-1 отобразим Н в группу Н' гомеоморфизмов плоскости Н, содержащую G и реализующую Н геометрически. □

Упражнения 9.12—13.

Упражнения

Докажите предложение 916.

Пусть (У2, (я, 2), (д2, 3), (д3, 4)) — факторповерхность. Опишите построенное в п. 9.1.5 пространство S+ и его универсальное накрывающее

5+ \и покажите, что, вырезав из 5+ несколько дисков, можно получить- сферу S2.

Определите, какие из построенных в и. 9.1.5 пространств 5+ обладают компактным универсальным накрывающим.

Нарисуйте разложения 9.2 10 для фуксовых групп со следующими: сигнатурами:

(0; 4: 2, 2, 2, 3),(1; 1: 5),(0; 5: 2, 3, 5, 7, 11),(2; 2: 3, 5).

Докажите, что (1; 1: Л,), hi 5s 2, нельзя разложить па нетривиальные части.

Докажите предложение 9.2 17.

Покажите, что ситуация в и. 9.3 11 соответствует изображенной на рис 9 3 7. 8.

Докажите то утверждение из доказательства следствия 9.3.7, что коэффициенты матриц в предложении 9.3.6 непрерывно зависят от следов, и наоборот Сделайте то же самое для соответствующих ситуаций в 9.3.11, 14, 19. 23.

Приведите пример, показывающий, что условие конформности / в предложении 9.4.6 необходимо.

Восполните пробелы в подстрочном замечании к предложению 9 4 5

Докажите теорему 951 для случая фундаментальной группы замкнутой римановой поверхности. (Воспользуйтесь результатами из §§ 9 1-9.4 )

Решите проблему модулей для элементарных разрывных групп движений гиперболической плоскости.

Пусть G — конечно порожденная пеэлементарная фуксова группа и Н — ее нормальная подгруппа конечного индекса Выясните связь между пространствами Тайхмюллера групп G и Н.

Докажите теорему Смита о неподвижной точке 96 3 для случая, когда X — симплициальное пространство, a G состоит из симплициальных отображений. (Воспользуйтесь рассуждениями из доказательства теоремы 9.6 1.)

Пусть G — свободная от кручения фуксова группа с компактной фундамептальпой областью, т. е. G — фундаментальная группа замкнутой римановой поверхности рода g 5= 2. Будем считать, что G есть подгруппа группы SLF (2, R); пусть i: G -► SLF (2, R) — включение Докажите, что существует такой гомоморфизм <р: G -► SL (2, R), что i= рыр, где р — «стандартный» гомоморфизм.

(а) Докажите утверждение, соответствующее упражнению 9.15 в случае произвольной фуксовой группы с компактной фундаментальной областью

(Ь) Рассмотрите ту же задачу для произвольной конечно порожденной фуксовой группы.

Фуксова группа G называется конечно максимальной, если не существует другой фуксовой группы, содержащей G в качестве подгруппы конечного индекса. Докажите:

Если G — конечно максимальная, то G не обладает нетривиальными сохраняющими ориентацию симметриями, и маркировки группы G принадлежат 9"\Q.

Всякая фуксова группа с сигнатурой типа, указанного в столбце (G) следующей таблицы, является нормальной подгруппой группы с сигнатурой типа (Н) из той же строки. Ни одна из групп столбца (G) не является конечно максимальной.

Для всякой пары Н, G из таблицы гомоморфизм 6: H/G-> -►Homeom 9" G имеет нетривиальное ядро; т. е. действие модулярной еруппы на 9~G не является эффективным.

QG = 9"G для всех перечисленных в таблице групп G. Для всех остальных фуксовых групп Q + 9", и Q является тощим подмножеством в 9".

30 X. Цишанг и др.4615

(G)

(Н)

[Н

(2; -; -; -)

(-; 6; 2, 2, 2, 2, 2, 2; -; —)

(1; 2: к, А; -; —)

(-; 5: 2, 2, 2, 2, А)

(1;-; 2; -)

(—; 4: 2, 2, 2, 2; 1; —)

(1; 1: А; -; -)

(-; 4: 2, 2, 2, 2А; —; -)

(I; -; I; -)

(—; 3: 2, 2, 2; 1; —)

(г, -; -; D

(—; 3: 2, 2, 2; —; 1)

2

(—; 4: А, А, А, А; —; —)

(—; 4: 2, 2, 2, А; —; —)

41

(-; -; 4; -)

(—; 3: 2, 2, 2; 1; -)

4J

(—; 4: А, А, А', А'; —; —)

(-; 4: 2, 2, А, А'; -; —)

21

(-; 2: А, А; 2; -)

(—; 3: 2, 2, А; 1; —)

2)

(-; 2: А, А; -; 1)

(—! 2: 2, А; —; 1)

(-; -; 2; 1)

(-; -; 2; 1)

(—; 3: А, А, А; —; —)

(-; 3: 3, 3, А; —; —)

(-; -; 3; -)

(—; 2: 3, 3; 1; )

(-; 3: А, А, А; -; -)

(—; 3: 2, 3, 2А; —; —)

(-; -; 3; -)

(-; 2: 2, 3; 1; -)

6)

(—; 3: А, А, А'; —; —)

(—; 3: 2, А, 2А'; —; —)

(-; 2: А, А; 1; -)

(—; 2; 2, А; 1; )

2^

(-; 1: А; 2; -)

(—; 2: 2, 2А; 1; —)

(По поводу доказательства ср. п. 9.4.5; с параболическими образующими удобно обращаться как с эллиптическими образующими бесконечного порядка, тогда случаи, объединенные скобкой «}», рассматриваются одновременно. Результаты из этого упражнения принадлежат Гринбергу [Greenberg 1963] и Зингерману [Singerman 1974].)

Каждой группе G сигнатуры (g; п; Ai, ..., А„; т; А), где к > 0. можно поставить в соответствие такую фуксову группу G с компактной фундаментальной областью и сигнатурой (2g + А — 1; 2n: h^ hu ..., h„, An; 2m; —), что из включения Gt < G2 с индексом N следует включение Gt < G2 с индексом N (Маклахлан [Maclachlan 1972]).

КОНСТРУКЦИЯ НИЛЬСЕНА КОНЕЧНЫХ ГРУПП КЛАССОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

В работе Нильсена [Nielsen 1942] им был развит метод построения в классе преобразований, имеющем конечный порядок, преобразования того же порядка.

Здесь его конструкция будет обобщена на случай конечных групп классов преобразований, к сожалению, с некоторыми оговорками. Опишем вкратце то, что будет сделано:

Фундаментальную группу F поверхности (гиперболического типа) можно представить в виде группы дробно-линейных преобразований, оставляющих на месте единичный круг. Автоморфизмы накрытия являются гиперболическими преобразованиями; следовательно, каждое из них обладает парой неподвижных точек на S1. В § 10.1 показывается, что, следя за концами осей, можно по любому автоморфизму группы F построить (почти) однозначно определенный гомеоморфизм окружности S1, позволяющий, в свою очередь, восстановить исходный автоморфизм. Возникающие при этом гомеоморфизмы окружности S1 расклассифицированы в § 10.2. Более детально и глубоко соотношения между автоморфизмами группы F и гомеоморфизмами окружности S1 изучены Нильсеном [Nielsen 1927, §§ 8—15]. Так как всякий автоморфизм а группы F индуцирует перестановки пар неподвижных точек, то можно определить формальный образ оси 4 под действием а как прямую, соединяющую образы концов оси 4. Если никакие два формальных образа оси 4 не пересекаются (внутри Н), то ось 4 называется простой. Это понятие вводится в § 10.3, где показывается, что преобразования, принадлежащие конечному расширению S группы F, можно непрерывно продолжить с S1 на формальные образы простой оси 4, не меняя при этом элементов группы F.

В последующих параграфах еще несколько раз требуется продолжать группу гомеоморфизмов на большее множество, не затрагивая при этом преобразований из некоторой подгруппы, уже определенных на всем пространстве. В § 10.4 рассматриваются топологические средства решения этой задачи, а в §§ 10.5— 10.7 с их помощью строится реализация расширения группой гомеоморфизмов; реализации дробно-линейными преобразованиями добиться, вообще говоря, невозможно. Окончательный результат сформулирован в виде теоремы 10.7.5.

30* 467

В §§ 10.8—10.9 описано препятствие к существованию простой оси, см. теорему 10.9.1: если расширение не обладает простой осью, то оно содержит полутреугольную группу.

Результаты главы 10 будут усилены в главе 11 и еще раз применены в главе 12.

Гомеоморфизмы множества предельных точек

В этом параграфе мы укажем «естественный» способ поставить в соответствие фундаментальной группе поверхности некоторый гомеоморфизм множества предельных точек. Позже, в §§ 10.5—10.7, мы воспользуемся этими гомеоморфизмами для построения «хороших» преобразований в заданных классах гомео- топии. На этом подходе основана теория Я. Нильсена преобразований поверхностей.

Определение, (а) Пусть F —фуксова группа без кручения, действующая в Н. Если GF есть множество неподвижных точек элементов бесконечного порядка, то GF с S1, и замыкание Gy есть множество предельных точек группы F (см. 7.2.15 (с), 7.2.16, а также абзац, следующий за определением 7.3.16). ~

Для всякого a^AutF обозначим через a: Gy-* Gy отображение, переводящее притягивающую неподвижную точку преобразования /eF в притягивающую неподвижную точку преобразования a (/). _

Множество S^xGr либо пусто, либо представляется в виде объединения непересекающихся открытых дуг уг, Iе L. Каждой дуге *^t соответствует неевклидова прямая, имеющая с ней общие концы. Эта прямая делит Н на две области, одна из которых содержит оси всех элементов группы F. Замыкание в 1Н пересечения всех этих областей обозначается через Ку и называется главной областью группы F (Hauptgebiet у Нильсена [Nielsen 1942]). Граница области Ку состоит из неевклидовых прямых. Те из них, которые являются осями элементов группы F, называются граничными осями.

Множество Ку очевидным образом F-инвариантно. Если группа F конечно порождена, то F | Ку обладает компактной фундаментальной областью. В этом случае все граничные прямые области Ку являются граничными осями. Так как элементы группы F, имеющие общую притягивающую неподвижную точку, являются положительными степенями одного и того же элемента, то отображение а из (Ь) корректно определено и биективно.

Теорема, (а) Если a^Aut^F, т. е. автоморфизм а геометрически индуцирован (ср. 5.16.1), то а продолжается до гомеоморфизма множества Gy, который, в свою очередь, можно продолжить до гомеоморфизма окружности S1 (продолжение

не является естественным, если S'^Gy). Продолжение на Gy также будем обозначать через а. _

(Ь) Отображение Aut* F-> Homeom Gy, а^-а, инъективно.

Доказательство будет закончено в и. 10.1.6. Следующие леммы являются частью доказательства.

Лемма, а либо сохраняет (циклический) порядок на Gy, либо обращает его.

Доказательство. Притягивающая неподвижная точка q; преобразования /ер, /¥=1, отличается тем, что lim fp = qf для любой точки р е Н. Более того, существует такая точка р G И, что отрезок [р, /(р)] не пересекает отрезки [f(p), f*4pYL ^>1, и что [р, /(р)] П [/(р), Г(р)] = (f(p)L Например, возьмем р на оси А,. На самом деле, это верно для любой р s Ы, —достаточно рассмотреть перпендикуляр из р на А#.

Пусть qt, q2, q3, q4 e Gy. Тогда qt, q2 не разделяют точек y3, g4 в том и только в том случае, если в И существуют такие кривые р?, р^ соединяющие q, с q2 и q3 с д4^з

соответственно, что р® П р" = 0 • Окружим qi, ..., 91 маленькими непересекающимися евклидовыми кругами и выберем для каждого i в круге с центром в q, точку р„ Пусть р, лежит на кривой р®, ведущей к qt. Заменим участки q,p, кривых р® «периодическими» и получим новые кривые pi, рг- (Ср. рис. 10.1.1.)„

Пусть гомеоморфизм т]0 индуцирует а. рис юдд Тогда ц0 можно поднять до гомеоморфизма ц универсального накрывающего И, который удовлетворяет уравнениям а(/)° ц = ц ° / для /eF. Так как ц есть гомеоморфизм, т](Р1) и ц(р2) не пересекаются. Кроме того, концы кривой т)(рД являются периодическими: они состоят из отрезков

‘пИО’Д А*+1 (рг)] (i=l, 2 для 7 = 1, и г = 3, 4 для 7 = 2).

Из равенства a (qt) = ра(/1) = Игл а U^h (pi)) = I™ Л/t (Pi) следует, что ct(qi), a(q2) не разделяют точек а(?3), а(?4). □

Лемма. Всякие две точки из Gy, ограничивающие на S1 интервал регулярности, отображаются в точки с тем же свойством.

(Интервалом регулярности называется максимальное связное подмножество в 5", точки которого являются регулярными точками относительно действия группы F в С.)

Доказательство. Поскольку группа F конечно порождена, эти точки являются неподвижными для преобразований, соответствующих граничным осям. О

Лемма. Отображение a: GF-*GF непрерывно.

Доказательство. Пусть qt, q2, ...— последовательность неподвижных точек, монотонно сходящихся к неподвижной точке q. Тогда содержащая точку q2 дуга qtq не содержит неподвижной точки, которая отделяла бы все q{ от q. В силу леммы 10.1.3 это свойство сохраняется отображением а. Если точка а(?) не была бы пределом последовательности a(g.), I-*- °°, то она являлась бы концом интервала регулярности на S1, лежащим внутри содержащей точку а(д2) дуги a(9i)a(?)- Однако второй конец этого интервала регулярности лежал бы тогда между а(^) и всеми а(?.). Противоречие. □

Доказательство теоремы 10.1.2. Точка peGF\GF задает «разрез» множества GF. Более точно: пусть qeGF. Тогда на S1 имеются такие интервалы It1 12, что It UA= = 5\ /1П/2 = {р2}, q^Ii- Интервал It «оканчивается» ври замкнут, интервал/2 «начинается» ври полуоткрыт (рис. 10.1.2). Множества А = ^т П А» А = ^г П Z2 образуют разрез множества Gf. В Jt нет последнего перед ]г элемента, а в Л нет элемента, первого после Л- Далее, а(Д) и а(72) также образуют разрез множества Gf, поскольку отображение а биективно и сохраняет либо обращает (циклический) порядок. Если а сохраняет порядок, то, как следует из тех же соображений, что и при доказательстве леммы 10.1.5, в а(Д) нет последнего перед а(72) элемента, а в а(Л) нет элемента, первого после а (У,). Следовательно, этот разрез множества GF задает в точности одну точку р' е Gf. В случае, если а обращает порядок, применимо аналогичное рассуждение. Положим а(р) = р'. Заданное так продолжение отображения а непрерывно на GF. Так как концы интервалов регулярности (см. абзац, следующий за определением 7.3.16) в Gf переводятся отображением а в концы интервалов регулярности, то а можно непрерывно продолжить на S1. Однако не существует естественного способа задать продолжение, и потому оно не так интересно.

EcnHa = idGF, то а(/) для /ер имеет ту же притягивающую неподвижную точку, что и /. Так как полугруппа элементов с общей притягивающей неподвижной точкой порождена одним элементом, то этот элемент и, значит, вся полугруппа инвариантны относительно а. Следовательно, а(/) = / для всех /eF. Этпм доказательство теоремы 10.1.2 заканчивается. □

Предложение. Пусть h^Y, z = l, 2, ...— последовательность, в которой ни один член не встречается бесконечно

много раз. Пусть множество М с Н ограничено в гиперболической метрике. Тогда последовательность множеств f,(M) имеет то же самое множество точек накопления в круге И (в евклидовой топологии), что и последовательность q^ притягивающих неподвижных точек.

Доказательство. Рассмотрим множество Ер. = (z е

С11 z |< 1}, содержащее М. Из разрывности группы F сле

дует, что множество f(M) пересекается с Ет лишь для конечного числа элементов /SF. Для всех остальных /еГ евклидово расстояние между f(M) и притягивающей неподвижной точкой q, меньше, чем 1 — г.

Пусть р — точка накопления последовательности {/( ^М) I I = = 1, 2, . .J. Тогда для любого е>0 найдется бесконечное число таких элементов /„ г^1, что евклидово расстояние от р до }((М) меньше е/2. Применим предыдущее рассуждение с г = 1у и получим, что евклидово расстояние между f,(M) и q^ меньше е/2 для бесконечного числа индексов г е /. Таким образом, евклидово расстояние между р и всеми этими точками qfi меньше е. Это доказывает, что р является точкой накопления последовательности притягивающих неподвижных точек.

Обратное включение доказывается аналогично. □

Предложение. Пусть а е Aut* F индуцируется гомеоморфизмом Л: И-^Н, удовлетворяющим уравнению а(/)° ° Л = Л ° A feF. Тогда а задает непрерывное продолжение т) гомеоморфизма т] на Ky\^Gy, определяемое формулой

И(д), q^Ky,

11- |а (7), q е Gy.

Доказательство. (По поводу определения Ку см. 10.1.1 (с)). Достаточно доказать, что г](qi)-" а(р) для р е Gy, q , q2, ... е Ку и q,^- р. Пусть С — такое компактное подмножество главной области Ку, что F-C = Ку. Выберем для каждого i такую точку q,, что

Чг = hq'b i = 1, 2, ..., А е F, q'i е С.

Всякое компактное множество в И содержит лишь конечное число членов последовательности Ку,, уг, ...}. Следовательно, преобразование /eF встречается в последовательности {/^ А,...) лишь конечное число раз. Так как множество С ограничено в гиперболической метрике, и так как q, ej^C), то последовательность /.(С) сходится к р. (Чтобы доказать это, можно воспользоваться рассуждениями из доказательства предложения 10.1.7.) Из предложения 10.1.7 следует, что притягивающие неподвижные точки преобразований /, стремятся к р. Далее,

Л (?i) = ПА (?i) = «(А) Л (?i) е а (А) (С).

Применив теперь к последовательности (а(/,) (С)} предложение 10.1.7, мы получим, что она сходится к пределу притягивающих неподвижных точек д«(А), т. е. а(р). Это доказывает непрерывность отображения тр □

Следствие. Пусть автоморфизм а—тот же, что и в предложении 10.1.8. Тогда _ ц | К¥ U GF можно продолжить до непрерывного отображения ц:

Доказательство. Замыкание ' (в Н) множества Н\5Р состоит из неевклидовых замкнутых полуплоскостей. Каждая из них обладает бесконечным циклическим стабилизатором в F). Пусть Е — одна из этих полуплоскостей. Тогда ц (95) = дЕ' для какой-то другой полуплоскости Е'. Отображение ц согласовано с действием стабилизаторов прямых дЕ и дЕ'. Введем в Е «хорошие» координаты: в качестве координатных линий возьмем неевклидовы лучи, ортогональные дЕ, и эквидистанты прямой дЕ. (Как мы видели в п. 7.2.6, последние представляют собой дуги евклидовых окружностей или отрезки с теми же концами, что и 95.) Далее, пусть продолжение отображения ц I 95 переводит эквидистанту прямой 95 в эквидистанту прямой дЕ', находящуюся на том же расстоянии, и переводит перпендикуляр к дЕ, проходящий через точку х, в перпендикуляр к дЕ', проходящий через ц(х). Этими условиями продолжение однозначно определено. Оно непрерывно, согласовано с действием группы F и может быть продолжено на Е (замыкание здесь берется в И). □

Замечание. В дальнейшем мы будем отождествлять группу Aut*F с ее образом в Homeom7?F и обозначать одним и тем же символом гомеоморфизм плоскости Н, его сужение на 5f и продолжение на Йили^иСг. Внутренний автоморфизм g f-1gf, g, /s F, обозначим через l/. Тогда i: F—>Aut*F есть гомоморфизм и даже мономорфизм.

Ось преобразования / обозначим через Af. Образом оси А, при автоморфизме a^AutF будем называть Аа(/) и записывать это так: 4a(/)=a4. Это определение формальное, его не следует рассматривать как задание поточечного отображения множества А, в множество 4a(f).

Типы гомеоморфизмов множества GF

Обозначения. Пусть So с: Out* F = Aut*F/iF — конечная группа внешних автоморфизмов порядка п, и пусть S — группа всех автоморфизмов, классы которых содержатся в So, т. е. iFcS, S/iF = S0. Обозначим через Т группу «сохраняющих ориентацию» автоморфизмов, а через То — ее образ в So.

Упражнение 10.1.

Наконец, будем обозначать притягивающую и отталкивающую неподвижные точки преобразования feF, /¥=1, через qf и р, соответственно.

Предложение, (а) Пусть xs S имеет конечный порядок I > 1, и пусть т сохраняет ориентацию, т. е. хе Т. Тогда х, х2, ..., х!~* действуют в Gp без неподвижных точек.

_(Ь) Элемент группы S, имеюгций бесконечный порядок, имеет в Gp две неподвижные точки.

Из равенства [1/, х] = 1 для /еЕ следует, что / = 1, если х имеет конечный порядок.

[о, х] ^ 1 для любого элемента geS бесконечного порядка.

Всякая конечная подгруппа U группы Т является циклической.

Доказательство, (а) Будем рассматривать элементы группы S как гомеоморфизмы окружности S1. Пусть oeS, а=^А, сохраняет ориентацию и обладает неподвижными точками в 8*. Так как не все точки в Gp неподвижны, то найдется_ такой максимальный (открытый) интервал 7 на 5*, что J[\Gt^0 и что ни одна точка из J П G f не остается неподвижной под действием а. Концы интервала J содержатся в Gp, так как оба конца интервала регулярности неподвижны, если хотя бы одна точка интервала или его замыкания неподвижна. Это следует из того предположения, что о сохраняет ориентацию. Другое следствие состоит в том, что преобразование а и его положительные степени сдвигают все точки интервала 7 в одном направлении. Это доказывает, что а имеет бесконечный порядок.

Если оп=/=1, то o" = i/ для некоторого f^F, /=#1. Тогда о(7/) является притягивающей точкой для i-1(oonCT_,) = f, т. е.

Если /^Е, /^ 1, то образ х(?,) является притягивающей неподвижной точкой для i~1(t(i/)x~1) =/. Но равенство т(д^ = = q, противоречит пункту (а).

Достаточно применить (с) к ст".

Каждый элемент группы U сохраняет циклический порядок. Возьмем какую-либо точку р е S1 и выберем такой элемент р е U, что дуга между р и р(р) не содержит образов точки р под действием U. Тогда р порождает U. □

Предложение. Пусть a^S обладает тем свойством, что al = vf, /SF, /^1, Z>1. Тогда неподвижными точками в Gp (и в S1) преобразования о являются неподвижные точки преобразования f и только они.

Доказательство. Так как if оставляет неподвижными лишь две неподвижные точки преобразования f, то других неподвижных точек у а быть не может. Притягивающая неподвижная точка преобразования f переходит под действием а в притягивающую неподвижную точку преобразования i-1 (o(if)a""1) = f, т. е. остается на месте. □

Теорема. Пусть f^F порождает циклическую подгруппу Fa группы F, состоящую из элементов с той же осью A = Af. Тогда1.

ТА := (т е т|т(9/) = qf, t^Pf^p^ является максимальной абелевой подгруппой группы Т и, кроме того, бесконечной циклической группой.

Если ТА := (т е Т | тА = 4} ), то Т* = ТА либо [ТА: Т] = = 2. (У последнем случае ось А называется амфидромической.) Если теТА\ТА, то т2 = 1; если ТА^ТА, то группа ТА изоморфна бесконечной диэдральной группе Doo-

Доказательство. Под действием автоморфизмов из ТА бесконечная циклическая подгруппа FA F переходит в себя; следовательно, т(/) = /±1 для теТл. Так как элементы группы ТА оставляют на месте притягивающую неподвижную точку q}, то т(/) = / для т е ТА.

Из 10.2.2 (а), (Ь) следует, что нетривиальные элементы группы ТА имеют бесконечный порядок. Пусть т, т, е ТА. Рассмотрим элемент т' = т^т^\ содержащийся в ТА. Будем считать, что т^т'. Тогда т'т-1 имеет бесконечный порядок и оставляет неподвижными только точки pf и qf. Пусть /—открытый интервал на S1 с концами р, и q,, для которого JAGf^ 0 Тогда все точки множества J f) Gy сдвигаются под действием т'т-1 в одном направлении. Докажем по индукции, что преобразование (т')гт-г (г>1) сдвигает точки множества J Г\ GF в том же направлении, что и т'т-1, и, таким образом, отличается от тождественного. Допустим, что это верно для г—1, г>2. Тогда

т'гт-, = т/т-1.т(т'г-«т-г+.)т-«.

Из индуктивного предположения следует, что т'г-1т-г+1 сдвигает точки множества Gf П J в том же направлении, что и т'т-1. Следовательно, и т'гт-г сдвигает их в этом направлении.

Пусть I есть относительный порядок элемента т, и пусть т! = if*. Так как элементы группы ТА оставляют / на месте, то автоморфизм if коммутирует с ть п, следовательно,

т'' = (т^тГ1)' = т^'тГ1 = Ч (ifft) тГ1 = ifh = т'.

Это противоречит тому, что V't-'^!.

Поэтому т = т', и, следовательно, группа ТА абелева. Поскольку ТА не содержит элементов конечного порядка, то [ТА: ТА Г) П iF] < оо и ТА П iF = Fa s Z; следовательно, TA ^ Z. Если оеТ\Тд, то ст обязательно сдвигает по крайней мере одну из точек р, и qj. Если opf^Pf, то i-1 (o(if)CT-1) оставляет на месте точку, которая не является неподвижной для f; поэтому

o(i/)a-1 ^ i/. Следовательно, TA является максимальной абелевой подгруппой в Т. Тем самым утверждение (а) доказано.

Докажем (Ь): если теТА\ТА, то т(р/)=9/ и т(?/) = Р/. Следовательно, т2(р,) = р/, т2 (<?,) = qt. т2 оставляет неподвижную точку преобразования т неподвижной и потому имеет больше двух неподвижных точек. Это доказывает, что т имеет конечный порядок и что т2 = 1, поскольку т2 имеет две неподвижные точки (см. 10.2.2 (а)). Из равенства rps = qf следует, что t(i/)t_1 =

Предложение, (а) Пусть a^S обращает ориентацию. Тогда либо ст2 = 1, либо ст2 е ТА и aeSA для подходящей оси Л = А,, F.

SA := {о е S I opf = pf, oq; = q^ является максимальной абелевой подгруппой группы, S и содержит ГА в качестве подгруппы индекса 1 или 2. В последнем случае SA = Z или SA = = z2 @ z.

Для SA := {ст е S | aAf = ЛД имеются следующие возможности:

S*a = Sa=^Sa^Zuau Sa^14®Z;

[Sa:Ta] = 2, Sa = Ta=>Sa^Doo;

[SA:TA] = [TA:TA] = 2=>SA~D«, или SA^Z2 Ф D».

Доказательство, (а) ст задает обращающий ориентацию гомеоморфизм окружности S*. Следовательно, ст оставляет неподвижными в точности две точки qt, q2 е S1. Так как ст2 также оставляет их неподвижными, то ст2 либо является тождественным отображением, либо имеет бесконечный порядок (см. 10.2.2). Если точка qt остается неподвижной под действием нетривиального преобразования /еГ, то точка д2 должна быть второй его неподвижной точкой, т. е. а е SA/. Если qt ^ Gy, то о" оставляет qt, q2 неподвижными и принадлежит группе iF. Таким образом, ст" = 1 => о2 = 1.

Пусть /SF порождает в F циклическую группу FA преобразований с осью А. Пусть т порождает группу ТА (она является циклической в силу 10.2.4 (а)). Если ct^Sa обращает ориентацию, то

' СТ (/) = /** СТ (l/) СТ-1 = l/=> сттст-1 = т.

Таким образом, порожденная преобразованиями о и т группа является абелевой. Эта группа совпадает с SA и является максимальной абелевой, поскольку группа ТА имеет индекс 2 в SA ц является максимальной абелевой в группе Т сохраняющих ориентацию элементов. Пусть о2 = т2й+', где е s (0, 1). Если е = 0, то стт-* обращает ориентацию и имеет порядок 2. В этом случае SA^Z2 ©Z- Если е = 1, то стт-'1 порождает группу SA, являющуюся бесконечной циклической.

Допустим, что [8д:Тд] = 2, и рассмотрим образующий т е Тл и обращающий ориентацию элемент а е SA. Если SA = = Тд, т. е. 8д = Тд, то о меняет местами концы оси 4 и имеет место равенство сттст~‘ = т-1; следовательно, Sa порождается элементами о и т, и SA = Doo-

Если [SA : ТА] = 2 и Та = ТА, то Sa=Sa, и этот случай рассмотрен в (Ь). Если [SA : Тд] = [Тд: ТА] = 2, то найдутся такие элементы о и т0, что

т порождает ТА = Z,

то И Т порождают Т* = Doo (тдТТ^1 = т-1, То = 1),

а и т порождают SA = Z или Z2 Ф Z ([и, т] = 1, а2 = т или 1),т0, ст и т порождают Sa.

Действительно, Тдстх^1 = ст-1. Это тривиально для ст2 = 1, поскольку тогда о является единственным элементом порядка 2 в SA, а тостт~1 s SA. Если ст2 = т, то ст является образующим группы Sa = Z, имеет место равенство t0SaT^ = Sa, но ТоР/ = 9/. Это доказывает, что Sa есть либо бесконечная группа диэдра, либо прямая сумма группы Za с бесконечной группой диэдра. □

Следствие. Всякая бесконечная абелева подгруппа U группы S изоморфна Z или Z2 Ф Z. В последнем случае S содержит обращающие ориентацию элементы.

Доказательство. В силу 10.2.2, эта подгруппа не может содержать одновременно элементы из Т конечного и бесконечного порядка. Так как U П iF ^ 1, группа U содержит элементы бесконечного порядка и является подгруппой некоторой группы 8Л. □

Предложение. Всякий нетривиальный элемент группы S, имеющий конечный порядок, содержится в однозначно определенной максимальной конечной циклической подгруппе.

Доказательство остается в качестве упражнения 10.2. □

Предложение. Пусть (еТ порождает максимальную конечную циклическую подгруппу <t> группы S, и пусть х^Т содержится в нормализаторе подгруппы <О\ x-4t> х = <V>. Тогда х е <f>.

Доказательство остается в качестве упражнения 10.3. □

Предложение. Всякая конечная подгруппа U группы S является либо циклической группой, либо группой диэдра.

Доказательство остается в качестве упражнения 10.4. См. также Нильсен [Nielsen 1927, S. 242, Satz 3]. □

Доказательства этих предложений можно найти в статье Циммермана [Zimmermann 1977].

Упражнения 10.2—4.

§ 10.3. Простые оси

Наша следующая цель состоит в_том, чтобы продолжить группу S гомеоморфизмов множества Gy до группы S гомеоморфизмов круга И, которая содержит F в качестве подгруппы, соответствующей подгруппе iF <= S. Тогда образ группы S на поверхности S = H/F даст нам конечную группу преобразований, реализующую группу So. Для этой конструкции нам требуется существование оси, обладающей некоторым свойством простоты. Такая ось соответствует лежащей на S простой замкнутой кривой, которая не пересекает своих образов при гомеоморфизмах, подходящим способом выбранных в классах_преобразований из So. Сначала мы продолжим S с множества Gy на систему простых осей, затем на «разрезы» между ними и, наконец, на связные области, ограниченные простыми осями и разрезами. Три эти продолжения производятся почти единообразно, но в статье Нильсена [Nielsen 1942] это несколько замаскировано специфичностью рассуждений в каждом случае. Более абстрактно процедуру продолжения мы опишем в § 10.4, отступив от основной линии изложения. Материал настоящего параграфа служит мотивировкой для § 10.4. Его изложение продолжается в § 10.5.

Определение, (а) Две оси называются S-эквивалентными, если одна из них переходит в другую под действием элемента группы S). Они называются конгруэнтными, или F- эквивалентными, если одна из них отображается в другую некоторым преобразованием из F.

Ось Л называется S-простой, если никакие две различные оси из множества 8Л = ХоА I о е S1 не пересекаются. Две оси Ль А2, не являющиеся S-эквивалентными, называются S- диз-ъюнктными, если оси из S4! не пересекаются с осями, входящими в 8Л2, т. е. если ( U стЛ^П^ J аЛ2) = 0. Система Л,, ..., Л„ состоящая из S-неэквивалентных осей, называется S-простой, если каждая ось Л, является S-простой и при 1*] оси Л, и А, S-дизъюнктны.

Множество точек, лежащих на оси А, мы будем обозначать через |ЛI, если потребуется подчеркнуть формальную разницу между Л и ее множеством точек. Аналогично, через I ЭЛ I обозначим множество точек, лежащих на осях, S-эквивалентных

Предложение. Если Ai, ..., А, —оси элементов группы F, то множество U 8Л4 осей не имеет точек накопления в IH; это значит, что для каждой точки р е М существует окрестность, пересекающаяся лишь с конечным числом осей из

и SA. f=i

Доказательство. Образ множества U SA на $ = H/F представляет собой конечную систему замкнутых геодезических (их число не превосходит гаг)).

Пусть л: H-^S—проекция. Так как л есть накрытие, то у каждой точки на 5 можно указать такую окрестность U, что связные компоненты ее прообраза л-1 U будут ей гомеоморфны. Так как U, очевидно, пересекает лишь конечное число образов осей из U 8Л„ то всякая связная компонента прообраза л-1 U

будет пересекать лишь конечное число осей из U 8Л,. □

Определение. Пусть Л,, ..., Лг образуют S-простую систему осей. Тогда Кг разбивается набором осей М = = 8Л, U ... U 8ЛГ на выпуклые области, ограниченные гиперболическими прямыми из М. Тем самым на Ке определен комплекс Cv. и 8 индуцирует группу автоморфизмов комплекса См, которую мы также будем обозначать через 8. (Эти автоморфизмы носят формальный характер: они не являются отображениями, заданными на точках пз Н. )

Обозначение. Для выпуклой области Be См1) положим

SB:={aeS|ofi = B} и Тв := (т е Т | тВ = В}.

Предложение, (а) Если теТв, т=^1, имеет конечный порядок, то В является единственной гранью в Сч, инвариантной относительно т.

Если теТв имеет бесконечный порядок, и если Tn = tf, feF, то ось А/ входит в край грани В.

Если В4Г\ В2 = А е М для областей В,, В,еСм, то ТВ] Г) Тд2 = Та- Если Btf\ В2 = 0, то Тв] П Тв2 = 1.

Всякий обращающий ориентацию элемент группы 8В имеет порядок 2.

Доказательство, (а) т задает перестановку граничных осей области В, причем ни одна из осей не может остаться неподвижной, так как т сохраняет ориентацию и не имеет в Gf неподвижных точек, см. 10.3.2 (а). Всякая отличная от В область из См лежит в одной из полуплоскостей, пересекающихся с В по общей граничной прямой. Эти полуплоскости попарно не пересекаются, и ни одна из них не остается на месте под действием т.

Если Af^dB, то А, П дВ = 0, и, кроме того, существует ось А' е ЭВ, разделяющая В и А,. Тогда найдутся ровно две такие точки q и q' на Л/ и А' соответственно, что йф, Л,) = = d(q', q). Так как теТв?1ТА/и if = Tn, то f(q’)eB, Kq^e

ел, и dUU')» f(qyy—d(q', дУ- Отсюда следует, что /(/) = / и fUy = qi в противоречие с тем, что / не имеет неподвижных точек в Н. Этим доказан пункт (Ь).

Это немедленно следует из доказательства пункта (Ь).

<feTB для aeSB\TB. Если элемент ст2 отличен от 1, то, в силу 10.2.5 (а) и 10.2.2 (а), он имеет бесконечный порядок и, в силу 10.3.5 (Ь), оставляет на месте ось А, ограничивающую В, и концы оси А. Так как □ обращает ориентацию, то он должен менять местами полуплоскости, задаваемые осью А, и не может принадлежать группе 8В. □

Предложение. Пусть А — ось. Положим и* : = = [8д:8дП1Г] и у := [8д : 8д П iF]. Тогда [S : 81* iF] = nlv* и [8 : SA • iF] = nlv и имеются nlv* классов ^-эквивалентности в 8д и nlv классов F-эквивалентности направленных осей.

Доказательство.

[8 : Sa-lF] = [8: iF]/[Sa-iF : vF] = [8 : iF]/[Sl: 8^.D vF] =Ши*.

Далее,

ось 01-4 F-эквивалентна оси а2А -и- 3/eF: f(a1A) = а2А <=t-

*4-(if) отА = а2А ^ (^(i/^eS* -^ о^^ е Sa-iF.

Это доказывает 10.3.6 для Эд. Те же рассуждения годятся и для 8а. □

Сформулируем теперь предложение о продолжении на простые оси. Доказательство будет закончено в п. 10.5.6.

Предложение. Пусть ось А является S-простой. Тогда группу 8 можно непрерывно продолжить на СРи|8Л|. Более точно; существует такая группа 8 гомеоморфизмов множества GF U | 8Л |, что:

р: S^S, а •-* а | GF, есть изоморфизм;

p(o)=j/, /^F^ctI |8Л^ = /Н8Л|;

/ е F, ст е 5 =^ о о / = (р (а) /) о ст'

Напомним о том нашем соглашении, что элементы группы 8 являются одновременно гомеоморфизмами множества Gf (как в (а) и (Ь)) и автоморфизмами группы F (как в (Ь) и (с)). Стоящая перед нами задача заключается в том, чтобы продолжить группу гомеоморфизмов на большее множество, на котором действие элементов подгруппы уже определено.

В применениях предложения 10.3.7 нам не потребуется то, что каждый элемент группы 8 непрерывен на GfU |8Л|, нам Нужна будет лишь непрерывность на |8Л|. Непрерывность на Gf U1841 можно вывести отсюда при помощи предложения 10.1.7, как это делается при доказательстве предложения 10.5.8. Она следует также из основной теоремы 10.7.5 и того факта, что всякая разрывная группа гомеоморфизмов плоскости геометри-

чески эквивалентна группе конформных преобразований, см. теорему 7.3.8. Тем не менее мы приводим доказательство в п. 10.5.8, чтобы сделать понятнее взаимосвязь между гомеоморфизмами круга Н и множества G^.

Упражнения 10.5—6.

О построении продолжения

Определение. Пусть X — топологическое пространство, У с X — замкнутое подмножество. Пусть G — группа, а Н — ее подгруппа. Пусть, далее, G' и Н" — группы гомеоморфизмов пространств Y и X соответственно и р": Н^-Н" и X'; G -> G' )— такие изоморфизмы, что

(а) р" (h)\Y = X'(h) для h е Н.

(Это строгое описание того, что «подгруппа Н определена на X, a G — только на У».) Группа G" гомеоморфизмов пространства X называется ^непрерывным') продолжением группы G' на X относительно Н", если существует такой изоморфизм X": G->-

(bj Г°(/г)=р" W для йеН,

(с) X" (g) I Y = X'^ для geG.

Группа G" преобразований пространства X (не обязательно гомеоморфизмов), для которой выполнены свойства (Ь) и (с), называется продолжением преобразованиями.

Предложение. Пусть X, У, G, Н, G', Н", X', р" - те же, что и в 10.4.1. Пусть Z — множество, состоящее из замыканий связных компонент дополнения X\Y, и пусть Z8eZ — фиксированный элемент. Обозначим через Gz и Hz подгруппы в G и Н, сохраняющие УЛ У и Z соответственно, т. е. geGz**

X' (g) (Z П У) = Z Л Y. Допустим, что1.

для g^G, ZeZ существует одно и только одно такое множество Z' е Z, что V (g) (Z Л У) = Z' Л У;

для Z, Z'eZ существует g^G, для которого V(g)(Z0 Л У) = Z' Л У;_

существует такая группа Gz0 гомеоморфизмов множества Zo и такой гомоморфизм х: GZq->GZo, что;

x(g)|Zony = V(g)|Zony для geGzo,

x(/i)=p"(/i)lZ0 для heH^;

для Z, Z' eZ существует такой гомеоморфизм £: Z^-Z’, что £ I Z Л У = V(g) I Z Л У, где geG удовлетворяет (b): X'(g) (Z П Y) = Z' ЛУ.

Тогда существует продолжение преобразованиями G" группы G' на X относительно Н". Отображения из G" непрерывны во всех тех точках пространства X, которые обладают окрестностями, пересекающимися лишь с конечным числом множеств Z eZ.

Рис. 10.4.1Рис. 10.4.1Мы хотим так продолжить заданную группу GZq гомеоморфизмов множества Zo на все остальные множества Z, не меняя действия группы Н, чтобы на У индуцировалась группа G' (рис. 10.4.1). Процедура этого интуитивно ясна: надо некоторым образом преобразовать ZeZ в Zo, применить гомеоморфизм из G' и, воспользовавшись обратным преобразованием, перевести Zo в Z. Приведенное ниже доказательство представляет собой более подробное изложение этой конструкции. Эта же самая конструкция проделывается в § 10.5 для специального случая, и мы рекомендуем читателю сперва ознакомиться с этим применением.

Рис. 10.4.1

Рис. 10.4.1

Доказательство). Построим сперва подходящие представители

классов смежности GZ()g е G/GZq. Рассмотрим разбиение множества Z на классы Н-эквивалентности:

Z = JJ^ Zi, Z, f) z, = 0 для i ^ 7, Zo э Zo;

Z, Z' e Zt для некоторого i e / «- Э/i e H: p" (Л) (Z) = Z'.

Для каждого i e / зафиксируем множество Z, e Z„ отображение £,: Zo -► Z, и элемент g{ e G. Это возможно в силу 10.4.2(d). Тогда X' kg^ kZ» Л У) = Z( Л У. В качестве представителя для Zo выберем Zo и положим £0 = idz0, g0 = l. Для Z^Z, возьмем такой элемент ЛгеИ, что р" (hz)Zt = Z; здесь hzi = 1-

Для g е G пусть Z = Z(g)e Z есть область с X'(g) (Zo Л У) = = Z(g)DY, корректно определенная в силу 10.4.2 (а), и пусть Z^e Z.w = Z,. Тогда ghztgri е GZo, так как

X' [g^M)] (Zo П У) = [X' (gi)-1 - X' OtzV о X' (g)] (Zo и У) =

= [Х' (g.)-1 - х' (м-ч kz п У) = х' (g^-i (Zj п У) = zQ п у.

Следовательно, g = cg,whZ№, где с е GZo, причем это разложение единственно, поскольку X' (g) (Zo Л У) определяет Z и г. Положим (Ю.4.3)X*g: = р" (hz^ = £i(g) =х (с).

Отображение X*(g) определено на Zo. Далее,

X*g\Zor\Y = X'g\Zor\Y,

поскольку р", ^, и % совпадают с X' на H|Z0 Л У. Кроме того, (10.4.5)X* (dg) = X*g = X*d для d е GZ().

Определение отображения X" g. В силу 10.4.2 (Ь),для Z найдется такой элемент 6 е G, что X'b(ZoO У) = = Z П У. Для х е Z положим

Л"^ (х): = [X^bg = (Ч6)-1! to-

Если х е У, то

V'g(x) ;=X'g<xy

Докажем, что X" есть искомое продолжение преобразованиями для X'. Сделаем это за несколько шагов.

Для х е Z П У при помощи (10.4.4) получаем, что

*'Ш = [Ч (6g) о (ЧЬ)-Ч (х) = (46g о (Х'Ь)-1] ^ -

= [X'bgo (Х'Ь)-1] (х) = X'g^xY

Это доказывает, что отображение X" g корректно определено на У и что выполнено условие 10.4.1 (с).

Если х ^ У, то однозначно определено множество Z э х, и элемент 6 можно отобразить только в элемент ab, где а е G^. Из (10.4.5) следует, что

(Ч(аЧ) ° (4a&)“4 И = VX*bg о Х*а • (Х^Ь - A*a)~i] (х) =

= (Ч^ ° (ЧЬ)^Ч W-

Следовательно, отображение X"g корректно определено на X.

Сужение X" g\Y так же, как и X"g\Z, непрерывно для всех ZeZ. Поэтому отображение X" g непрерывно во всех точках, некоторая окрестность которых пересекается лишь с конечным числом множеств ZeZ (см., например, Кверенбург [Querenburg 1973, Satz 3.7]).

Докажем теперь, что X" ^gig^ = X" g2 0 X" gt. Для точек из У это ясно. Для х^Х\У возьмем ZeZ, Z^x, и элемент beG, для которого X'b{Z0 Л У)= Z Л У. Тогда X" gi (х)е Zb где множество ZteZ определяется из равенства X'bgt (Zo Л У) = Zt Л У. Теперь bi := bgt можно использовать для определения отображения X" g2 в точке X"gi(x), и мы получим, что

[X”g2 = rgj (х) = X"g2 [((X^bg^ = (Ч6)-1) (^1 =

= [(4MJ ° (Ч^)"1 ° (Ч^) - (ЧЬ)-Ч to =

= ((Ч6!^) ° (Ч6)”1] to = КЧЬ£1&) ° (ЧЬ)-Ч W = (Vg!g2) (х).

Это доказывает, что X" есть гомоморфизм. Он-является изоморфизмом вместе с X'.

Осталось доказать 10.4.1 (Ь), т. е. равенство X"h = n"h для h е Н. Пусть х и Ъ те же, что и выше, и пусть b = cgxhz. Из определений 10.4.6 и (10.4.3) получаем:

X"h (х) = WX*bh') о (ЧЬ)"1] W =

= UKcg-^zh1) = (Ч^.-Ч)-1] кх) =

= [Ц" (Чй) ^i = х ксГ1 ° ^ »(^"kz)"1] to = р"Л to- □

Следующее утверждение получается из 10.4.2 по индукцип.

Предложение. Пусть X, Y, G, Н, G', Н", V, р" — те же, что и в 10.4.1. Пусть Z= |J Zi—множество, состоящее из замыканий связных компонент дополнения Х\У, где Z, 0 Z, = = 0 для i ^ /, и множество I счетно. Пусть 2,^1, — фиксированный элемент. Будем считать выполненными следующие свойства:

для g^G, Z е Z существует одно и только одно такое множество Z' е Z, что X' (g) (Z 0 Y) = Z' 0 Y;

если Z, Z' е Z, для некоторого г е I. то существует такой элемент g е G, что X' (g) (Z 0 У) = Z' П У;

существует такая группа GZi гомеоморфизмов множества Z, и такой гомоморфизм xt: GZt->GZj, что

Xi (g) | Zj Г) Y = X’ (g) | Zi Г) У для geGZi,

x, (h) = p" (Л) | Z, для h e HZi,

для Z, Z' e Z, существует такой гомеоморфизм £: ZZ',

что £|Z Л У = X'(g) \Z П Y, где g — элемент из (b).

Тогда существует продолжение преобразованиями G" группы G' на X относительно Н". Отображения из G" непрерывны во всех точках пространства X, обладающих окрестное! ями, которые пересекаются лишь с конечным числом множеств ZeZ. □

Упражнение 10.7.

Продолжение на простые оси

Вернемся к ситуации из предложения 10.3.7 и попробуем применить предложение 10.4.2.

В условиях предложения 10.4.7 положим

Х = ёгШ8Л|, y = g¥,

G = G' = S,

H = tF, H = F|GfU|SH|,

и пусть p"—гомоморфизм, ставящий в соответствие гомеоморфизму i/е tF гомеоморфизм множества Сри|8Л|, равный / на |8Л| и равный t/ на Gy. Из 10.3.7 получим:

Z = SJ,

Gz = S*A, Hz = FaA Z для Z = a | A |.

Пусть, далее, Zo = |Л|. Тогда

Условия 10.4.2 (a), (b), (d) выполнены.

Осталось определить GZq и х. Пусть / — образующий группы Fa. Для ре А обозначим через [р, /(р)] замкнутый отрезок оси А с концами р и /(р). Положим k = [SA: FA]. Нам предсто-

ит рассмотреть различные возможности для Sa, перечисленные в 10.2.5:

S*^Z(^Sa = Sa),

Sa — Z2 Ф Z (^ Sa = Sa),

Sa Doo(=^[S1:SA] = 2),

Sa — Z2 Ф Doo (^ [Sa : Sa] = 2).

Sa = Z (=>Sa = Sa). Выберем на [p, У(р)] к различных точек po = p, Pt, •.., Pfc-i, лежащих на 4 в таком порядке: Ро < Pi < -.. < р»-1 < Рн := У (Ро). Пусть а — такой образующий группы Sa, что о* = 1/. Пусть а — произвольный гомеоморфизм отрезка [р0, р*] в [р,, рЛ, переводящий р, в р,+1, г = 0, ..., к— 1. Для х е Хрн-1, рЛ положим

а(ж):=/oct-^+i^).

Так как CT(p»-i) = У(р0) = Ph, то два определения для □ на [р0, P*-i] 0 [p*-i, рЛ совпадают, и мы получаем гомеоморфизм о отрезка [р0, рЛ в [р,, У(Р1)]. Его можно продолжить на А следующим образом. Пусть хе А и У-)(ж)е [р, /(р)]- Положим

o(x):=f°o°/-J(x).

Кроме того, пусть а оставляет «концы» оси А неподвижными. Этим определен гомеоморфизм А^- А.

Пусть Gzq — циклическая группа, порожденная гомеоморфизмом ст, и пусть к: Sa —** Gzo — изоморфизм, переводящий ст в ст. Так как а оставляет концы оси А неподвижными, то выполнено условие 10.4.2 (с (i)). Далее, ст = / ° ст ° /~* на А, поскольку для х е U’Pot f+*Po] из определения (ii) следует, что

(/ ° о ° У"1) ^ = у(о (Г* (х)) = у ((Г* о О о f-^ (/-V)) =

= (f °о°/-3)Сг)=стСг).

Для х е [р0, р,] из (i) следует, что

°* (х) = ст (о*-^) = (У о а-*+‘) ^х) =Кх'),

так как ok~i(x)e [рй_,, pj. Для хе А существуют такие 7, I, что (ст-1 ° /_J) ^е [р0, р,]. Так как / и а коммутируют, то

^ (х) = (о* = f ° o') Цо"' = У"3) (х) ] = = (/' ° о') [ст* ((о-' ° р) (ж))] = = (/J = о') [/ ((ст-' ° Г) (а:)) ] = / (х).

Таким образом, ст1 = У на А. Это доказывает 10.4.2 (c(ii)). □ 484

Замечание. Мы воспользовались конструкцией из § 10.4 ■ специальной ситуации X = A, Y = Д\Л, G = Si, Н = Ед.

Si ^Z2 Ф Z(=>S1 = 8д). Для Тд воспользуемся той же конструкцией, что и в п. 10.5.3. Элемент порядка 2 в'81^ ^ Z2 Ф Z реализуется тождественным отображением. □

8д - Doc (^[S1: 8а] - 2). Для 8д sZ воспользуемся той jKe конструкцией, что и в п. 10.5.3; это даст нам образующий а. В интервале [р0, ор0] зафиксируем внутреннюю точку q и определим ст, на [р0, 9] как некоторый гомеоморфизм [р0, 91 •*[9, пр»] (точка 9 неподвижна!), а на [9, стр0] —как обратное отображение. Следовательно, ст? (х) = х для х е [р0, стр0]. Если о*(х)е [р0) стр0] для хе А, то положим

оДх):-?^,^)].

Тогда а-3 (ст,х) е [р0, стр0], и, следовательно,

О14 (^ =^-1 [О1 (о-5 (О^))] = (CT-'CT1CT~'CT'CT1S) (х) = X.

Из равенства ст,(стх) = ^"‘[CTiCT^^tx)] = о-,(ст,(х)) мы получаем, что ст,ст = ст-1ст,. Если, кроме того, ст, меняет местами концы оси А, то соответствие ст ь* ст, CTj •-► CTj задает изоморфизм х группы 8д в группу Gz0 гомеоморфизмов замыкания А.

(Здесь мы опять-таки воспользовались рассуждениями из 10.4.2.) □

81 ^ Z2 Ф Do, (=> [S1: 8д] = 2). Для SA ~ Z^ Ф Z проделаем конструкцию из 10.5.4 и добавим элемент из 8д\8д, как в 10.5.5. □

Теперь уже мы можем применить 10.4.2. Положим о:=Х"(о) для ct^S. Нам бы хотелось, чтобы группа 8 всех таких о представляла собой группу, существование которой утверждается в 10.3.7. Остается лишь обсудить свойства непрерывности отображений ст.

Оси из 8Л не имеют в И точек накопления; следовательно, каждое отображение ст е 8 непрерывно на 18ЛI, как следует из 10.1.2. (Повторяем, что для окончания доказательства большего не _требуется.) Из равенства а | Gp = а следует, что сужение ^|Gf также непрерывно. Докажем теперь

ь 10.5.8. Предложение. Продолжение ct^S отображения igeS непрерывно на Gp U |8Л|.

» Доказательство. Нужно доказать, что для всякой последовательности (х,, х2, .. J точек из Gp Ц | 8Л | из того, что lim Х( = х, следует, что Иш ст (х,) = ст (х). В силу замечания, сде

ланного в 10.5.7, и того, что множество Gp замкнуто, мы можем ог-

485

раничиться случаем, когда все х,е |8Л|, а хе Ст. Так как 8Л состоит лишь из конечного числа классов F-эквивалентности, то можно считать, что точки xt лежат на F-эквивалентных осях. Пусть Ло — представитель этого класса F-эквивалентности, и /о — образующий группы Рде и 7 — такой компактный отрезок оси Ло, что | Ло | = U /о (7). Для каждого х, существует такой элемент /, е F, что xt е /, (7).

Так как х, —> х Е GF, то элемент / eF может входить в Мъ h-> •••) лишь конечное число раз. В силу 10.1.7, множество точек накопления для (А (7), hUh • • •) совпадает с множеством притягивающих неподвижных точек q#- преобразований А- Так как евклидов диаметр образов ft (7) стремится к нулю при г -* <», то последовательности <А(7), А (7), ...} и Vxt, х2, ...} имеют одни и те же точки накопления; следовательно, х = lim qfv

Так как o|Gf = o, а отображение о непрерывно, то сг(х) = = Птп(у/4). Теперь из 10.3.7 (с) следует, что

o(x.)^o(A(7))=o(A)(g7).

Поэтому \од#1, aqfl, ... ], {о (A) (g7), о (A) (g7), ...} и {gx,, gx2, ...} имеют одни и те же точки накопления. Это доказывает, что lim a (xj) = g (х). □

Следствие. Если Ль Л2, ..., Лг образуют S-простую систему осей, то S можно непрерывно продолжить на Gr U и ^| и ... и |8ЛГ|.

Доказательство. Для этого достаточно независимо применить конструкцию из 10.3.7 к каждой из осей Ль Л2, ..., А„ так как оси из 8Л! U ...U 8ЛГ не имеют точек накопления

Предложение. Пусть В — замыкание связной компоненты множества ^р\|8Л1 U ... U 8ЛГ|, пусть 8а={ое е SloB = В} и ¥в =М G Fl/В = В}. Тогда:

В/¥в есть поверхность конечного типа.

Исходную задачу достаточно решить для В, FB и 8В, но теперь гомеоморфизмы из 8В уже заданы на Gy U дВ, (Определение множества Ку см. в 10.1.1 (с)).

Доказательство. 8Л, U ... U 8ЛГ задает на S = Ky/¥ простую систему, состоящую не более чем из пт кривых. Если разрезать 5 вдоль этих кривых, то получится набор поверхностей с краем. ВЛ?в — одна из них. Это доказывает предложения 10.5.10 и 10.5.11. □

Предложение. Связные компоненты множества Ку\ 18ЛХ U ••• U 8ЛГ | образуют лишь конечное число классов ¥-эквивалентности. О

Ниже Af, ..., А, будет максимальной S-простой системой. Сначала мы докажем теорему о расширении для каждой связной компоненты множества Kf\ | SA1 (J • • • U SAr |, а затем применим 10.4.6.

Разрезы

В этом и следующем параграфах мы считаем, что группа F конечно порождена.

Определение. Разрезом называется (неевклидов) отрезок, соединяющий две различные граничные оси главной области Ку. Разрез называется нормальным, если он ортогонален обеим граничным осям А, А'. В этом случае он обозначается через А нА'.

Заметим, что (неевклидова) длина разреза Ан А* равна (неевклидову) расстоянию d(A, А') между А и А'.

Лемма. Для заданного числа 6 > 0 количество чисел, меньших 6, которые равны расстояниям между граничными осями области Ку, конечно.

Доказательство. Пусть А — граничная ось области Ку и I с А— такой (компактный) отрезок, что F/=>A. Лишь конечное число осей А/, /G F, могут пересекать 6-окрестность (в неевклидовой метрике) отрезка I, поскольку группа F разрывна. Следовательно, имеется лишь конечное число возможных расстояний (меньших 6) между граничными осями, соответствующих разрезам с одним из концов, лежащим на I. Так как d(fA, fA')= d(A, А') для / е F, и так как F7^>A, то это верно и в том случае, если один конец лежит на А или на F-эквивалентной ей оси. Это доказывает лемму, поскольку имеется лишь конечное число граничных осей, не являющихся F-эквивалентными. □

Определение. Пусть о0, ..., о„_, g SAF — система представителей. Тогда число

d*(A, А') := -^- ^ d (а,А, atA')

называется средней длиной разреза Ан А'.

Определение средней длины не зависпт от выбора представителей. Если ст е S, то

d*(aA, OA')=d*(A, А').

Так как число п фиксировано, то возможные значения для d* не имеют точек сгущения.

Определение, (а) Пусть А, А' — граничные оси и С—нормальный разрез А нА'. Для o^S через оС обозначим нормальный разрез оАноА'.

(Ь) Нормальный разрез С называется S-простым, если из того, что IctCI П |С| =#= 0, следует равенство lo(7| = Id. В этом

487

случае аС совпадает с С или имеет противоположное направление.

Предложение. Для любых двух классов 8Л и SA' граничных осей существует S-простой нормальный разрез с началом на 8Л и концом на 8Л'. Если 8Л = 8Л', то этот разрез соединяет различные оси из 8Л.

Рис. 10.6.1Рис. 10.6.1Доказательство. Докажем, что если нормальный разрез Л |-< А' не является S-простым, то найдется такая ось A" eSA', что d*(A, A")<d*(A, А'). Отсюда, в силу 10.6.4, следует предложение 10.6.6.

Рис. 10.6.1

Рис. 10.6.1

Два разреза, имеющие более одной общей точки, совпадают или имеют противоположные направления. Следовательно, можно считать, что разрезы С = А *-* А' и аС имеют одну общую точку. Так как граничные оси не пересекаются, то ситуация выглядит, как это показано на рис. 10.6.1. Здесь разрез а,С разделен точкой пересечения с а,аС на

два отрезка с длинами а,, Ь,; таким же образом а.аС определяет длины с„ df. Далее,

d^atA, g^')= а< + bf, d(a{aA, а,аА') = с< + d„ и из 10.6.4 следует, что

d* (Л, Л') = d* (аЛ, оЛ') = X ^ («1 + Ь{ + с< + d^.

С другой стороны,

d(a,A, а,оА') <a, + d„ d^aA, а,А') < с, + д„

Наконец, просуммировав по г, получим

2d* (A, A')>d*(A, aA')+d*(aA, А') = d*(A,oA')+ d^A^-'A').

Таким образом, в качестве искомой оси А" можно взять стЛ'или о-1 А'. □

Предположение. Пусть Ку имеет граничные оси (больше одной), но не имеет внутренних S-простых осей. Кроме того, допустим, что действие группы S определено на границе области Ку.

Мы хотим доказать, что S можно продолжить на Ку. Общий случай, когда имеются внутренние S-простые оси, окажется простым следствием того, что мы докажем затем, см. 10.7.5. Доказательство теоремы в предположении 10.6.7 будет закончено в п. 10.7.7.

488

Замечание. Для всякой граничной оси 4 области Ку существует бесконечно много граничных осей, которые S-эквивалентны оси А. Чтобы убедиться в этом, возьмем другую граничную ось А' и f^F с осью А'. Тогда оси /'(4) S-эквивалентны оси А для любого г.

(а) Пусть 4, А' — различные S-эквивалентные граничные оси области Ку, и пусть р е S удовлетворяет уравнению А = р4. Предположим, что разрез С = АА! является S- простым *).

(Ь) Так как 4 есть граничная ось, то ТА = Та = Sa. Если Sa #= Та, то группа Sa изоморфна Doo в силу 10.2.5 (И). Пусть т есть образующая группы ТА, а х —образующий группы Тд», причем Ку лежит справа от их осей А и А'. Тогда:

ртр-1 = т'е для е = 1 или — 1;

(И) р сохраняет ориентацию тогда и только тогда, когда е = 1. 10.6.10. Описание различных случаев.

[4,]; е = ±1. Выполнены предположения из 10.6.7, 9, а е — то же, что и в 10.6.9 (Ь). Кроме того, предполагается, что не существует такого элемента 1GS, для которого ^4 = 4', f4' = 4.

[У,]. То же, что и [4е], но теперь мы считаем, что существует элемент к е S, меняющий местами 4 и 4':

■у4=4', ^4'= 4.

Лемма. Если выполняется [4е], то существует такой элемент а s S, что ситуация выглядит, как показано на рисунках 10.6.2, е = ±1.

Доказательство. р°8д = 8д, ° р есть множество преобразований из S, отображающих А в 4'. По предположению [4„], элементы этого множества не отображают 4' в 4. Следовательно, оба конца оси т',ор4', /Е?, принадлежат либо дуге q-tPvi либо дуге?т'Рт. (Здесь дуги на S1 считаются идущими по часовой стрелке от первой точки ко второй.) При / -► — оо концы стремятся к рТ', а при / ^- оо — к q^, и эта сходимость монотонна на q^Pv- Следовательно, существует такое число г, для которого концы оси (т'10 р)4' лежат на дуге q^Pv^ концы оси (т'<+‘ « р)4' — на дуге qvPt-

Для а:=т',ор оси А, А', а~*4, оА' расположены, как Изображено на рис. 10.6.2 при е =+1 и е = —1 соответственно. Применив о-*, мы получим, что С начинается между концами Отрезков о~1С и т-6 ° а-1С = о-1 ° т'-1С. □

*) Пусть р, g — концы отрезка. С. Тогда их образы под действием а уже ОИределены, но в общем случае отрезок [р, о] не совпадает с сС = nA —

Поскольку группа S уже .определена на дКт, образ g'D разреза D под действием элемента а' е S можно определить формально как неевклидов отрезок с концами в образах концов разреза D. (Для нормального разреза этот образ может отличаться от нормального разреза между образами осей.)

Лемма. Пусть имеет место случай [Ле]. Для ре А пусть qe А' лежит на отрезке [стр, т' ° стр]. Обозначим разрез [р, д] через D. (Ситуация изображена на рисунках 10.6.3, е — = ±1.) Если ОП рР¥=0 для р s S, то р = 1 млмре(3А\ТА) Ц U (S1'\TA,) (J (8д,\Та,)оСТ у (Sl\TA)oCT"1, в частности, р обращает ориентацию. (Здесь о — элемент, описанный в 10.6.11.)

Доказательство. Если оси А, А* и рЛ, рЛ' представляют собой четыре различные стороны области Kf, то эти пары не разделяют друг друга, поскольку нормальный разрез Л^ А* = = С является S-простым. Следовательно, отрезки D и pZ) де пересекаются. В оставшихся трех случаях две из этих четырех прямых совпадают, т. е. ре SA U SAr (J oSA U ст-13А/»

рЛ=Л. Если и^Тл, то р = т\ При к>0 р сдвигает все точки из Л U S1, кроме точки рт, ближе к qT. Следовательно, уВ содержится в той компоненте множества Ky\D, которая имеет qt своей предельной точкой; таким образом, D Л yD = 0;

противоречие. Аналогичные рассуждения проходят для случая, когда к < 0 и рЛ' = Л'. Это доказывает, что це(8л\ТА) U U(S^\TA,).

рЛ = Л'. Тогда це SA, = о. Если р е ТА,, то р = т'* ° о. Если к > 0, то рр принадлежит лучу [g, дт/[, концы оси рЛ' лежат на дуге 9т'Рт'1 следовательно, р£> Л D = 0. То же рассуждение применимо для к < 0. Это доказывает, что р е (SA,\TA,) = а.

рЛ' = Л. В этом случае поменяем местами ст и ст-1, Л и Л', р и q. Из случая 2 следует, что рЕ (SA\TA) ° ст-1. □

Лемма. Пусть выполняется [ЛЕ]. Тогда найдется такой интервал J с А и для каждой точки р G J — такой интервал Г^сД', что всякий разрез от р до точки q^J'(p) является S-простым.

Доказательство. Для SA = ТА все сделано в 10.6.12. Каждый элемент р е SA\TA имеет порядок 2 и оставляет на S1 неподвижными две точки в силу 10.2.5. Кроме того, р имеет неподвижную_ точку на А и, следовательно, еще одну — на Gy U |8Л[ = 6у U дК?. При доказательстве этой леммы будем называть отрезок или луч с концами в неподвижных точках осью симметрии элемента р и обозначать его через Е,. Так как для р, v е Sa\Ta неподвижные точки на А ТА-эквивалентны, то оси симметрии Ем Ем не пересекаются.

Оси симметрии Еи, р е S1\TA, разбивают Kv на выпуклые области Si, ieZ. Если концы двух осей Е„ Ем лежат на одной и той же оси А', то pv-1 оставляет неподвижными оси Л и Л',

а значит, и их концы; таким образом, р = v. Следовательно, имеется, самое большее, две области Bt, Bi+l, пересекающие А’.

Случай 1. А'<= В,. Обозначим через / внутренность (в Л) отрезка pS< П А. Выберем ре /, тогда (открытый) интервал (ар, (т/ °а)р) содержит одну и только одну точку р, S-эквивалентную точке р, т. е. р = ар для некоторого o^S, и две точки rt, г2, неподвижные при Pi, р2 е 8д,\Тл,. Пусть W — отрезок от р до точки на оА'. Пусть г —та из точек rt, г2, которую можно соединить с р, не пересекая W, а г' — оставшаяся. Тогда ^ЧрУ-=Чр, гУ (Ситуация изображена на рис. 10.6.4 для г е (ар, р).) Пусть р — симметрия оси А' относительно точки г. Выберем qe ]' (р) и обозначим через W неевклидов отрезок [р, ад]. До

кажем, что разрез D = [р, д] S-прост. В силу 10.6.12, достаточно рассмотреть отображения

це(81\ТА) IJ (SA,\TAz) U (SA,\TA,) = a U (sl\TA) = a"1.

р е 8А\ТД. Так как р и g лежат по одну сторону от оси Ем то их образы лежат по другую сторону.

peSAz\TAz. Тем же способом, что и утверждение: «П П П vD = 0 для v е TAz», можно показать, что yD П р'О = 0 для pt р' е SAz\TA,. Поскольку g и pg являются соседями в {vg|veSA«), утверждение следует из равенства £>ПрО = 0, которое, в свою очередь, вытекает из того, что D П Е„ = 0.

р е (SAz\TA,) = а. Тогда р = р'; ст, р'еЗ^. Так как р'ПП П y.”D = 0 для р', р" е SAz\TAz, и так как (д, р) не содержит ни одной точки из Sg U Sp, то достаточно доказать, что ОП(рост)П = 0 или _D П (р ° т' ° a)D = 0. Но_ (р ° o)D или (р ° т' ° a)D равняется oD, a D не пересекается с aD.

р е (SA\TA) о а-1. Имеем pD П D = 0 D П р~*.О = 0. Но р~*(Л) = Л', а этот случай уже рассмотрен выше.

Случай 2. Пусть р — отображение, концы оси которого лежат на Л и Л'. Выберем точку р в интервале А П В, и рассмотрим отрезок [стр, (т'°о')р]. Если р и ар находятся по разные стороны от Ер, то возьмем вместо ст отображение р ° ст, обладающее теми же свойствами, что и ст в доказательстве леммы 10.6.11. Докажем теперь:

На А' найдется не более одной точки п, принадлежащей оси симметрии и лежащей между ар иг. Ер П Л'. Для точек из Л'0 Sp и Л'П8г возможные расположения исчерпываются изображенными на рисунках 10.6.5 и 10.6.6.

Доказательство. Предположим противное: пусть точки из (Sp U Sr)0 [стр, г] расположены на А' в порядке

ар, гь Pi, г2, (т' ° ст)р, г3, р3, ..., г,

где г, е Sr и р, = о.р е Sp, см. рис. 10.6.7. Пусть s е [стр, п] и D' := [р, $]. Так как система S4 проста, D' не пересекает осей симметрий с началом на А. Следовательно, отрезок рВ , где

Рис. 10.6.5Рис. 10.6.6Рис. 10.6.5Рис. 10.6.6

Рис. 10.6.5Рис. 10.6.6

Рис. 10.6.5Рис. 10.6.6

peS и цА=А', не пересекает осей симметрий с началом на А'. Оси симметрий с началом в i\, г2, ... находятся по ту же сторону от pD', что и г, и попарно не пересекаются. Таким образом, aJY и (t'"ct)D' не пересекают Ер, и, следовательно, они пересекаются с D'. Так как одно из отображений of и т' ° ст сохраняет ориентацию, то мы пришли к противоречию с 10.6.12.

Возьмем теперь некоторую точку q в (р, г) Или в (стр, г).

Так же, как и в предыдущем случае, можно доказать, что ось D = [р, <Д S-проста. Решающую роль играет то, что «соседи» У и рР не1

пересекаются. □/\

Следствие. Пусть D= /\'

= [р, 7] — разрез из 10.6.13. Из ра- /\

венства pD = p.'D следует, что р = /1

= рЛ; следовательно, разрез D опре- Iв/^. I деляет п классов ¥-эквивалент- Г ^^Х/ д' / кости. □\ЕР /

Лемма, (а) Допустим, \\\/

что выполняется [В8] (см. 10.6.10)\/

и что Sa f) 8д' = 1. Если ре А —— 1

Та же точка, что и в 10.6.13, то раз-рис щ.6Л

рез [р, fp] = D является S-простым.‘ ’ ‘

SD состоит из п/2 классов F-эквивалентности, и каждому раз

резу из SD соответствует элемент группы S, меняющий его кон

цы местами.

(Ъ) Предположим, что выполняется [Ве], и пусть 1^=уе8дП П Sa'. Пусть р — неподвижная точка преобразования v на А.

Тогда разрез D = [p, ^р] является S-простым и SD состоит из и/4 классов ¥-эквивалентности. Каждый разрез из SD является неподвижным для четырех элементов, ф неподвижен при 1, у,

Доказательство. То, что цВ 0 Р = ^, доказывается для ц е Sa U Sa» таким ясе образом, как и в 10.6.13, а для р. с попарно различными Л, Л', рЛ, рЛ' — как в 10.6.12. Осталось рассмотреть случай, когда р отображает Л в Л' или Л' в Л. Если р, = у, то pD = D. Теперь нам придется отдельно рассмотреть случаи (а) и (Ь).

Если рЛ' = Л, p^f, то р = т<о^ или р = р°т’ «у, где т порождает Тл и рЛ=Л, р2 = 1, рЛ'т^Л'. В первом случае образами точек р и ур являются (т* ° ^р е т^Л') и т'р и они лежат по одну сторону от D. Из того, что D 0 pD = 0, утверждение следует для р = pr'Y

Так как уЛ=Л, уЛ' = Л', то yvy4 = 4, угуЛ'= 4'; следовательно, yvyv = 1. Напомним, что у2 = v2 = 1. Так как vp = р, то vyp = ч^Р = ЧР» и, таким образом, ЧР является второй неподвижной точкой преобразований V. Следовательно, [р, ур] есть ось симметрии преобразования v. Теперь S-простота оси D доказывается, как и выше. □

Предло яс е н и е. S можно непрерывно продолжить на |SZ)|, где D есть S-простой разрез из 10.6.13 или 10.6.16.

Доказательство. Метод продолжения из 10.4.2 нужно применить к X = Gf U дКт U | SD |, У = Ge U ЭКе. Здесь Z = = SD, и все множества из Z представляют собой интервалы. В случае 10.6.13 GB состоит из тождественного отображения. В случае 10.6.16 реализуем v тождественным отображением, а у в Gd — гомеоморфизмом, меняющим местами концы отрезка D. □

Продолжение на Ке

Область Ке выпукла, а разрез D S-прост, следовательно: 10.7.1. Лемма. SD делит Ке на выпуклые области. □ Обозначим через Е и Е' области, в границах которых содержится D\ будем считать, что Е лежит слева от (направленного) отрезка D. Группа S естественным образом действует на семействе областей подстановками. Ясно, что | SE | (J | SE' | = Ке- Пусть SB — подгруппа группы S, оставляющая на месте область Е. Мы хотим доказать, что выполнено условие 10.4.2 (с) (соответственно 10.4.7 (с)). К сожалению, четыре случая [4J, [4_t], [Bt], [В-J придется рассматривать по отдельности. Найдем границу области Е.

- 10.7.2. Случай [4J: о сохраняет ориентацию, п мы получаем рис. 10.7.1. Пусть D' = [б"1^, р]. В границу области Е входит ломаная

...(а-1В)О,В(аВ')(аО)...

Напомним, что в случаях [4,] и [4-J SD = 1.

Пусть о имеет конечный порядок I. Тогда дЕ = ^D'D(oD') (cD)...^1-^') (а'-1П). Докажем, что SB = {1, о, ... ..., ст'-1}. Ясно, что 8Я содержит все степени элемента о. Если ц е 8Я, то либо цО = oD и ц сохраняет ориентацию, либо p.D = = (0'0)"* и ц обращает ориентацию. Если о'р сохраняет ориентацию, то из равенства cr'pD = D следует, что неподвижные точки qt) рх, qvi Pv остаются на месте, следовательно, р = а*. Так

Рис. 10.7.1

как равенство ст_'цД = D-1 противоречит предположению [Л,], то Эя = (1, о, ..., о'-1}.

Очевидно, что 8В можно реализовать в виде группы гомеоморфизмов области Е, которая действует как группа вращений порядка I, см. рис. 10.7.2. Таким образом, 10.4.2 (с) и, более общо, 10.4.7 (с) доказаны для компонент, S-эквивалентных области Е.

Пусть о имеет бесконечный порядок. Пусть if = o', tG Г, я предположим, что число I минимально. Пусть D := '.= D'D{cD') (аО)...(с1~*О') (a^D). Тогда ломаная D компактна и d*D стремится к qt при к -► +» и к pf — при к -► —оо. Лома- рые D и 0*5 равноудалены от А,. Таким образом, F = U fhD содержится в области, параллельной (в гиперболической метрике) к Л/*). (См. рис. 10.7.3.) Докажем теперь, что ось Л/ является S-простой. В противном случае найдется такой элемент ЦЕ8, что цЛ/П А,+ 0 и цЛ/^Л/. Тогда pF = U ц/'Р со- 5ержится в области, параллельной цЛ,, следовательно, F и цЕ не пресекаются. Однако это противоречит тому, что Л и D 8- просты.

Так как ось Л, S-проста, то, как следует из предположения 10.6.7, Л, есть граничная ось области Ку. Докажем теперь, что ЭЕ = F U Л/. В противном случае некоторый отрезок ^D, у G S, пересекает внутренность G той области, которую ограничивают

Рис. 10.7.2Рис. 10.7.2Рис. 10.7.3Рис. 10.7.3

Рис. 10.7.2

Рис. 10.7.2

Рис. 10.7.3

Рис. 10.7.3

F и Л/. Таким образом, ^F с G, поскольку D и А S-просты. Следовательно, оси уЛ и уЛ' пересекают G. Из того что Л и D S-просты, следует, что оси у Л и уЛ' целиком содержатся в G. Из этого, в свою очередь, следует, G-irчто их концами на 5* являются

©Qi и р,, в противоречие с тем, что А+А'. Тем самым мы доказали, что G=E и 6E = FUAf.

Отсюда, так же- как ив (а), следует, что SE = (о61 к <= Z}- Преобразование а переводит Л у в Л,. Возьмем точку геА,, и для yeS соединим уг с ур отрезками. Так как из равенства цр = р, ц е S, следует, что ц = 1, то мы можем применить 10.4.2 к Y=GT U ЭКу UISD | и X = = У U {[yr, ур] | у е S). Отрезки Рис. 10.7.4[уг, ур] разбивают образы области Е

на выпуклые подобласти, имеющие тривиальные стабилизаторы (см. рис. 10.7.4). Еще раз применив 10.4.2, мы можем продолжить S на X U |S£|.

Продолжив таким же образом S на |S5'I, мы получим искомое действие группы S на Ку. □

Случай [Л_i]: о обращает ориентацию, и мы получаем рис. 10.7.5. Положим D' = [та_,9, р], D" =\q, ар], D* = = D'DD" (aD) и % = та-2. Граница области Е содержит ломаную

... (та-2У") (та"2 (а»)) D’DD" (а») (^т*1!)') (а^"1»") (а^-^Р) ... =

= ft_U xkD*.

Пусть x = то-2 имеет конечный порядок I. Тогда D*(xZ)*)...n,-1D*... есть граница области Е. Докажем, что

SE={^|j = O, ..., Z- 1)

ИЛИ SE ={xJl / = 0, Z- 1}U(x^l 7 = 0, Z- 1),

где уе 8д П Sa> = {1, у}, у2 = 1, у обращает ориентацию. Для ц е Sz возможны четыре случая:

(i) №D, Ц сохраняет ориентацию, (ii) (x'Z>)~\ ц обращает ориентацию, (iii) ^ |xjoZ), ц сохраняет ориентацию, (iv) Цх%Д)-1, р обращает ориентацию.

В случаях (И) и (iv) существует такой элемент р е S, что pD = D-1 и рА=А', рА'= А, а это невозможно в ситуации типа [Ле], которую мы рассматриваем. В случае (i) D = p.~ly.’D,

Рис. 10 7.5Рис. 10 7.5

Рис. 10 7.5

Рис. 10 7.5

где ^“‘х1 сохраняет ориентацию. Таким образом, преобразование p,_1xJ оставляет A, A', gT, pT,qv, Pv на месте; следовательно, оно равно 1. В случае (iii) ц-'х^ оставляет D на месте и обращает ориентацию; следовательно, | Sa П Sa, | = 2.

Если SB ={х,| /‘ = 0, ..., Z — 1), будем рассуждать, как в 10.7.2 (а). Здесь «примитивной» частью границы дЕ является D*, «ломаная удвоенной длины». Если SE ={х\ х^о-у! у = 0, ... ..., Z — 1), то SE ={ (оу)1 I / = 0, ..., 2Z — 1), так как о^Е = Е и оу сохраняет ориентацию. Доказательство заканчивается так же, как в 10.7.2 (а). В обоих случаях Е и Е' S-эквивалентны.

Пусть х имеет бесконечный порядок. Как и в 10.7.2 (Ь), можно доказать, что х оставляет на месте некоторую граничную 32 х Цишанг и др 497

ось Л/и что 1-4/1 U , U ^D* есть граница области Е. Те же рассуждения, что и в 10.7.3 (а), показывают, что Se = {xj | / е Z} или Se = {(оу? I / е Z} для некоторого у тМ, Т G S, ^D = D. Продолжение группы S на | SE | = К? можно теперь построить так же, как в 10.7.2 (Ь). □

Случаи [BJ. Рассмотрим случай [Bt] из 10.6.10. Если у сохраняет ориентацию и является единственным нетривиальным элементом, оставляющим D на месте, то задачу можно решить так же, как и в случае [Л^; теперь Е и Е* S-эквивалентны, см. рис. 10.7.6. Если существует еще один такой элемент р е S, что 1^01 = Ю|, то р обращает ориентацию и представляет собой симметрию с осью D. На отрезке [тр, р] имеется

Рис. 10.7.6Рис. 10.7.7

одна точка 1, которая не S-эквивалентна другим точкам этого отрезка. Воспользуемся точкой t и центром с вращения у для подразделения области Е, см. рис. 10.7.7, и применим 10.4.2. В случае [В-J рассуждения аналогичные (в действительности, последний рассмотренный случай также относится к [B_J). □

Теорема. S можно продолжить на К? J Gt, если существуют S-простые оси.

Доказательство. Пусть Ли ..., Лг— максимальный набор S-простых осей. Тогда эти оси разбивают И на выпуклые области, множество которых обозначим через В. Для ВеВ группу Sa можно так реализовать в В группой гомеоморфизмов, что элементы из F 0 SB останутся прежними; это было доказано впп. 10.7.2—4.Применим теперь 10.4.7 к Х = К^ Y = 18ЛИ U ... ...U 18ЛГ1, G = S, H = F, где G'= G действует на У, как описано в 10.5.9, Н" =F. Множества Д будут различными классами S-эквивалентности в В, a Gz. — группами, построенными в пп. 10.7.2—4. □

Упражнение 10.8.

§ 10.8. О длине сдвига

В этом параграфе мы определим длины сдвига и средние длины сдвига для элементов группы S. Эти понятия будут использованы для нахождения S-простой оси. Для приложений в § 10.9 нам понадобится неравенство 10.8.3 для средней длины сдвига, носящее чисто геометрический характер.

Определение. Если geS имеет относительный порядок к и о* = if, где /е F и / * 1, то длина сдвига L„ элемента а определяется равенством

где L, = d(p, f(p)), для peAh есть длина сдвига преобразования /.

Если х0, . •., x„-i — представители смежных классов группы S по iF, то средняя длина сдвига Lo элемента а определяется равенством

Число L* не зависит от выбора представителей х<; кроме того, очевидно, что L*r=|r|-Za и ^м = -^-2 для /^F.

Лемма. Пусть G — ориентированная прямая на гиперболической плоскости, и пусть {A|ieZ}—последовательность ориентированных прямых в одной из полуплоскостей, определяемых прямой G. Пусть, кроме того, каждая прямая А, находится на положительном расстоянии от G и выполнены следующие условия:

все прямые А( имеют одинаковое с G направление, т. е. А, и G пересекают общий перпендикуляр в одном и том же направлении-,

прямом. А,-! пересекается с А, в такой точке г„ что положительный луч с началом в р прямой А< заключен между G и Л^;

существуют такое гиперболическое движение ч с осью G и такое целое число h>0, что у Л, = Л,+* для всех г е Z.

Тогда имеет место неравенство

£т<б(г«, г,+1)+6(г,+1, г,+2)+... + б(г,+л-1, г<+„),

где 6(г„ г,+1) положительно, если г1+1 следует за rs на ориентированной прямой Л„ отрицательно в противном случае, и 16(г„ rj+1)| = д(гь r,+1).

Доказательство. Если все числа 6(r„ rj+1) положительны, то, в силу неравенства треугольника, d(rt, r,+)l) не превосходит суммы в правой части неравенства (10.8.3). Но ясно, что L1<d(r„ r,+h), так как у сдвигает все точки гиперболической 32*499

плоскости, лежащие вне G, на расстояние, большее длины сдвига преобразования у (см. 7.2.16).

Если 6(r„ rJ+1)<0, то Л,+1 пересекает Л,-1 в некоторой точ

ке г,+1, см. рис. 10.8.1, и

8(г,-1, rj) + 6 (г,-, гж) + б(г,+1, гН2) =

= б(г,-_1, г,'+1) + 6(r,'+1, rj + 6 (г,-, г,+1) + б(г,+1, г'+1) +

+ ® (г2-ы» Гж) > 8 (г,-!, Г,+1) +б(г,+1, Г;+г).

Здесь мы пользовались тем, что 6 ведет себя аддитивно для то

Рис. 10.8.1Рис. 10.8.1чек, лежащих на одной (направленной) прямой, и тем, что

Рис. 10.8.1

Рис. 10.8.1

0 < 6 (г;+1, г,) < 6 (rj+1, г,'+1) +

+ 6(rj+n rj.

Удалим теперь прямые {у* Л, | к е Z}. Тогда оставшиеся прямые по-прежнему будут обладать свойствами 10.8.2 (а) — (с), но период уже будет равен к— 1. После конечного числа таких шагов все отрицательные члены исчезнут. На

каждом шаге правая часть неравенства (10.8.3) уменьшается, и так как нера

венство уже доказано для случая, когда все члены положительны, то неравенство (10.8.3) всегда верно. О

Рис. 10.8.2Рис. 10.8.2Рис. 10.8.3Рис. 10.8.3Лемма. Пусть G — ориентированная прямая в гиперболической плоскости, и пусть \At | i е Z}—последовательность

Рис. 10.8.2

Рис. 10.8.2

Рис. 10.8.3

Рис. 10.8.3

ориентированных прямых. Обозначим через qt и р, «концы» прямой А{, а через q и р — «концы» прямой G. Пусть, кроме того, выполнены следующие условия-.

qt и qi+t, так же, как и р< и р1+1, лежат по разные стороны от прямой G;

0¥=Л<Л At_i = г, есть точка;

последовательности ..., qt-a, qh q{+2, ... и ..., pt-2, p{, Pt*i, ... монотонно стремятся к q при !-►+<» икр при i-^—<»;

существует такое гиперболическое преобразование f с осью G и притягивающей неподвижной точкой q, что уД( = Д1+* Эля некоторого периода /г ^ 2.

Тогда имеет место неравенство

LT < е[6 (j\,+,)+... + 6 (г,г.+л)].

Здесь е = 1 в том и только в том случае, если положительные «концы» прямых А, и G не разделены отрицательным «концом» одной из прямых G, A(_t или Л^ь В противном случае е = —1.

Доказательство. Прямые At пересекают G и расположены, как показано на рис. 10.8.2 и 10.8.3. Из монотонности последовательностей q„ q<+2, ... и pt, pt+2, ... следует, что Дй П Ai+2 = = 0 и что все числа 6(г„ г,+1) положительны или все отрицательны. Теперь 10.8.5 вытекает из экстремального свойства числа LT и неравенства треугольника

d(r„ r,+h)^d(rt, r,+l) + ... + d(r,+k-t, r,+k). □

О существовании простой оси

В этом параграфе мы ограничимся рассмотрением того случая, когда все преобразования из S сохраняют ориентацию. Прекрасное нетривиальное упражнение состоит в том, чтобы избавиться в теореме 10.9.1 от этого ограничения и доказать, что в этом случае группа содержит нециклический гомоморфный образ треугольной группы или группы, порожденной отражениями относительно сторон треугольника.

Теорема. Пусть So состоит из классов гомеотопии, сохраняющих ориентацию преобразований, т. е. S = Т. Если S не обладает простой осью, то S содержит два элемента х и у со следующими свойствами:

х и у порождают нециклическую группу,

элементы х, у и ху имеют конечный порядок.

Доказательство теоремы 10.9.1 заканчивается в п. 10.9.20. По поводу обозначений см. пн. 10.2.1, 4, 5.

Формальное определение точки пересечения осей. Пусть А — ось, не являющаяся S-простой, и пусть т порождает подгруппу элементов бесконечного порядка в Sa- Ориентируем А так, чтобы преобразование т" сдвигало точки на А в положительном направлении. Пусть ст е S — такое преобразование, что А П а-1 А есть точка р. Обозначим через Ак ось о*Д; ее ориентация индуцируется из ориентации оси А при отображении ст*. Для р е S формально определим рр как пересечение осей рД-i и рД. (Если, например, две другие оси, В и В', также пересекаются в точке р, то пересечение рВ и рВ' может отличаться от рр.) Допустим, что Д-1 пересекает Д = До слева направо. Ситуация в этом случае такая, как показано на рисунках 10.9.1 и 10.9.2, где т — преобразование, описанное в 10.9.3.

Если р е S, то точки рр и pop лежат на оси 4. Так как ось А ориентирована, на оси р4 задано направление, и на р4 можно рассмотреть длину со знаком, 6(g«, q^, положительную, если q* следует за qt в направлении, указанном на р4, и отрицательную

Рис. 10.9.1Рис. 10.9.2

в противном случае. Для SAF выберем специальную систему представителей:

Представители для SAF.

т, ..., тт-‘, где т — относительный порядок т

(т. е. тт = if, f е F, и V iF при 0 < ] < т),

х0 = 1, Хц ..., Хд-1 для S/(iF-(Th|keZ}).

Здесь q • т = п, а {х(т?|0 ^ i<q, O^j <т} есть система представителей для S/iF. Положим

а: = a^:== 2 2 б^л’р, xtT$ap\

Очевидно, что для любой системы представителей v0, ..., v„-t для SAF

« = 2 6 (viP, vtop).

Лемма, а (то) = а (ст) + n-L*x. (Определение средней

длины сдвига Lx см. в п. 10.8.1.)

Доказательство.

а (то) = 228 (^Vp, х.т’тор) =

= 2 2 [6 (xiVp, хл^стр) + б(хгт’стр, Х^’тСТр)] =

= а(ст)+ У У б(х.т/стр, х4т^тор).

Для фиксированного преобразования х< отрезки [xfVap, х^тор] лежат на оси х.Л; следовательно,

5 б^х^ор, хл’тор} = б(х.ар, х./(ар))

а (та) = а (а) + ^ 6 (^ар, х,/(ар)).

Так как для вычисления средней длины сдвига преобразования т можно использовать любую точку оси А, то

рд = ^ 2 26 W°P' н^1 <°р^=4* 26 (W’ *д°рУ)-

Отсюда следует 10.9.5. □

По индукции получим:

Лемма, а (т6а) = а (а) + knL\. □

Если мы заменим а «правильным» преобразованием т^а, которое также обозначим через а, то получим, что

0<a<nL*.

Положим

b-V^iL 6 (xtTJrp, х.т’ар).

Тогда

b = 2 2 6 b^’P' к^т^ар) = а (т-1а);

следовательно,

-п.1Д<Ъ<0.

Лемма. Если а имеет бесконечный порядок, то L*O<L*.

Доказательство. Обозначим через I относительный порядок элемента о, и пусть а' = tg, где 1 * g е F. Если Ло = Ag пересекает А, то «концы» оси а1 А лежат по разные стороны от А. Под действием а оба они монотонно движутся к притягивающей неподвижной точке преобразования g. Следовательно, различные оси а*А не пересекаются. Это доказывает, что Ао П А = 0.

Теперь нам придется по отдельности рассмотреть две возможности относительного расположения осей Ав и А.

Случай (R): Ао находится справа от А. Ситуация изображена на рис. 10.9.3. Если мы применим лемму 10.8.2, положив G = A0, Ai = о* A, h = I и 1 = g, то получим

Lg<6(p, ар)+б(ар, а2р)+... + 6(ot-1p, а'р).

Случай (L): Л„ находится слева от Л, и мы получаем рис. 10.9.4. Поменяв направления на всех осях At, мы сможем применить лемму 10.8.2. Для исходного направления получим,

Lg < — [6(р, стр) + Цар, о2р)+...+6(о'-1р, о-!р)].

Всякое преобразование реS переводит систему осей в «изоморфную» конфигурацию, и соответствующие элементы группы

Рис. 10.9.3Рис. 10.9.4

S должны быть сопряжены с р. Таким образом, из (10.9.11) и (10.9.12) следует, что

Lp(g) < е • 2 6 (рагр, ра*+1р),

где е = 1 для случая (R) и е = — 1 для случая (L). Здесь е не зависит от р.

Пусть Цо, ••; Щ-1 — система представителей для S/^/7-{ст* | / е eZI). Тогда

2 ^(g) < Е 2 2 6 (и^Р, P^V?) = еа,

где равенство следует из замечания к (10.9.4). В силу определения 10.8.1, ^(g) = Z-^ а[1-и и мы получаем:

= L— 1 + L , —1 + • • • + -^ , , ,,, —1-

Так как що’ пробегает целиком всю систему представителей, то

S Лц(г) = п ■ ^-

Из (10.9.13) и (10.9.14) следует, что ra-Lo<e-a; следовательно, в силу (10.9.7), 1^<_1Д. □

504

Лемма. Если ст' = стт-* имеет бесконечный порядок,

Доказательство. Для о' ось тЛ_, и константа b из (10.9.8) играют ту же роль, что Л_, и а для о. Здесь также возможны два случая (см. рис. 10.9.5 и 10.9.6).

■Случай (а): ось □' А находится с той же стороны от Л, что и «положительный конец» оси тЛ_, (т. е притягивающая неподвижная точка преобразования tct~Vctt-1)- Тогда Л и Л„ по-разному

Рис. 10.9.5Рис. 10.9.6

направлены, и из 10.8.2 следует, что nLa, < — Ь, а из (10.9.9) — что nLg, <_nLv.

Случай (b): ось Аа' и «положительный» конец оси А находятся по разные стороны от оси тЛ-!. Из этого следует, что nLa,-<Ь, и мы получаем противоречие с неравенством (10.9.9). □

Лемма. Если а" :=о'о имеет бесконечный порядок, ТО L*„<L*.

Доказательство, о" =стт-,а и a"A_t = Ah так как a"A_i = ат^^А-! = стт-,Л = аА = Ль

Поскольку a"A_t = At, положительный и отрицательный «концы» оси Л, ближе находятся к притягивающей неподвижной точке преобразования а", чем соответствующие точки оси Л-i. Легко проверить, что при этом возможны лишь случаи, изображенные на рис. 10.9.7 и 10.9.8, причем рис. 10.9.7 соответствует случаю Л_, П А, * 0, а рис. 10.9.8 — случаю A_t П Л, = 0. Пунктиром изображена ось преобразования а". Видно, что ось Ао« не пересекается с Л и Л-i.

Применим теперь лемму 10.8.2 к последовательности

..., a"-1A-t, а"~‘А, A-t, А, а" А-,, а"А, ...

Положим, по определению, А^^ : = а'^А^ и Л^ : = ст"*Л. Пусть к" — относительный порядок элемента ст" и а”к" = ig", где g" G eF, Из рис. 10.9.7 и 10.9.8 следует, что все оси а"‘А сонаправ- хены с Аа», либо все противоположно направлены. То же верно

для осей a"‘A_t. При необходимости обратим направление в одной из последовательностей либо в обеих сразу.

Воспользуемся обозначениями из п. 10.8.2. Точки г. бывают двух различных типов:

Число Л из 10.8.2 равняется 2к". Из 10.8.2 следует, что (10.9.17) Lg„ <е 2 б(®"^» ст"’стр) + Л 5 б^а^ар, ст",+1р), где е = 1, если А и Аа„ одинаково направлены, и е = — 1 в противном случае, а т] = 1, если Л_, и Аа» одинаково направлены и г) = — 1 в противном случае.

Если v0, vv ..., vft,_i образуют систему представителей для

ьсли v0, vv ..., v^-i образуют систему представителен для SAiF.I^'I/eZI), TO [v^lOCiC^-l, 0</<F-l} естььсли v0, vv ..., v^-i образуют систему представителен для SAiF.I^'I/eZI), TO [v^lOCiC^-l, 0</<F-l} естьсистема представителей для S/iF. Из (10.9.17) получаются неравенства для v^v?1, а не для g"; сложив их, получим

ьсли v0, vv ..., v^-i образуют систему представителен для SAiF.I^'I/eZI), TO [v^lOCiC^-l, 0</<F-l} есть

ьсли v0, vv ..., v^-i образуют систему представителен для SAiF.I^'I/eZI), TO [v^lOCiC^-l, 0</<F-l} есть

5 £-1 < е 2 2 6 W3P. v.^op) +

i=0 viS"vii=0 7=0

+ Л 2 2 6 (х^стр, \\o"Vp').

(10.9.19)(10.9.19)n-L*n<Lea -V 11&.n-L*n<Lea -V 11&.Так как 6 (стр, о"р) = 8 (ар, стт ‘стр)=б(от *тр, стт *ор), то из определения числа а в (10.9.4), b в (10.9.8) и L*a-, в 10.8.1 мы заключаем, что

(10.9.19)

(10.9.19)

n-L*n<Lea -V 11&.

n-L*n<Lea -V 11&.

Из 10.9.6 и того, что b =• а(т”‘ст), см. замечание к (10.9.8), следует, что a — b = п- L*. Из неравенств (10.9.7) и (10.9.9) вытекает,

ЧТО I а + ЬI < n-Lx, Поэтому

еа + vjb^_n-L*x

для всех комбинаций знаков. Скомбинировав с (10.9.19), получим, что Lq„<<Lx. □

Доказательство теоремы 10.9.1. Для заданной константы г>0 существует лишь конечное число классов сопряженных элементов из F, имеющих длину сдвига, меньшую г, см. 7.3.22. Следовательно, S содержит элемент т бесконечного порядка, обладающий наименьшей средней длиной сдвига. Если ось Л = Лт не S-проста, то найдется такой элемент ст е S, что оЛ пересекает Л. Наконец, мы можем, нормализовав о, добиться выполнения условия (10.9.7) и применить леммы 10.9.10, 10.9.15 и 10.9.16. □

Замечание. То предположение, что элементы группы сохраняют ориентацию, не является необходимым для доказательства лемм 10.9.10 и 10.9.15. Общая ситуация отличается лишь большим числом случаев и тем, что приходится использовать лемму 10.8.4. С доказательством леммы 10.9.16 дело обстоит сложнее, но со всеми возможными случаями удается справиться. Окончательная теорема несколько слабее теоремы 10.9.1, поскольку элементы х и у из 10.9.1 могут обращать ориентацию, что соответствует случаю двух симметрий, произведение которых есть вращение конечного порядка. Однако и в этом случае может существовать простая ось. Если преобразования сохраняют ориентацию, то простой оси существовать не может,— см. 10.9.22.

По-видимому, стоило бы доказать аналог теоремы 10.9.1 для общего случая, без предположений об ориентации. Но тогда придется доказывать, что найдутся такие три элемента о, ст' и ст" порядка 2, обращающие ориентацию, что произведения стст', ст'ст" и о" ст имеют конечный порядок, и порожденная элементами ст, ст', ст" группа не является диэдральной. Это следует из теоремы 10.9.1, но неплохо было бы иметь непосредственное элементарное доказательство, подобное доказательству теоремы 10.9.1.

Теорема 10.9.1 содержит необходимое условие несуществования простой оси. Как мы сейчас увидим, оно является и достаточным.

Предложение. (а) Треугольная группа

D = <x,y\xa = yb = (xyf = l>, 4-+| + |<1, не обладает простой осью.

(Ь) Если группа G преобразований плоскости И содержит {полу-} треугольную группу D, то G не обладает простой осью.

Доказательство. H/D есть двумерная сфера с тремя отмеченными точками рц р2, р3, которые являются образами неподвижных точек преобразований х, у и ху. Пусть а — образ D- ■ростой оси Л. Тогда а представляет собой либо простую замк- ■утую кривую, не содержащую р„ либо отрезок, ограниченный двумя из точек р,. Так как ось А проста, то порядки кон-

цов должны быть равны 2, что противоречит неравенству -^+"|'+"7-<1- Значит, а есть простая замкнутая кривая, не проходящая через одну из точек р,; поэтому а ограничивает диск на сфере H/D, содержащий по крайней мере одну из исключительных точек pt. Следовательно, каждая компонента прообраза кривой а есть замкнутая кривая в ^, в противоречие с тем предположением, что а есть образ D-простой оси.

Всякая G-простая ось U-проста для каждой подгруппы U < G.

Поэтому (Ь) следует из (а). □

Термин «полутреугольная» группа будет объяснен в п. 11.3.1, и станет непосредственно ясно, что если G содержит полутреу- гольную группу, то простые оси отсутствуют.

Сформулируем, наконец, главный результат этой главы:

Теорема. Если эффективное конечное расширение S фундаментальной группы F гиперболической поверхности конечного типа не содержит полу треугольную группу, то его можно реализовать разрывной группой гомеоморфизмов плоскости К о

Проблема реализации для случая, когда S содержит полу- треугольную группу, в главе 10 не решена; мы изучим ее в главе 11.

Упражнения 10.9—13.

Упражнения

Докажите последнее утверждение" из доказательства предложения 10.1.7.

Докажите предложение 10.2.7.

Докажите предложение 10.2.8.

Докажите предложение 10.2.9.

Докажите предложение 10.3 6 для 8Л/

Докажите предложение 10.3.7 непосредственно (не используя предложения 10.4.2).

Приведите пример ситуации в предложении 10.4.2, в которой нельзя построить расширение G", состоящее из непрерывных отображений. (См. последнее утверждение в предложении 1042.)

Докажите теорему Нильсена 5 7.1 для компактной поверхности с краем повторением рассуждений из §§ 10.1—10.7 (или для случая, когда существует простая ось).

Пусть F — ориентируемая замкнутая поверхность рода >2 и 1 -> n^F -► Е -> А -►1 — конечное эффективное расширение группы niF, обладающее простой осью. Докажите, что Е эффективно действует на некотором дереве.

Пусть F — ориентируемая замкнутая поверхность рода ^2 и 1 -> ntF -> Е -> А -►1 — конечное эффективное расширение группы niF. Тогда простая ось существует в том и только в том случае, если Е есть нетривиальное свободное произведение или HNN-расшпрение. (По поводу понятия HNN-расширения см. [Lyndon — Schupp 1977, IV.2] )

Воспроизведите доказательство лемм 10 910 и 10.9.15 для случая обращающих ориентацию элементов.

Докажите аналог теоремы 10 9.1 в общем случае, т. е. для групп, которые могут содержать обращающие ориентацию элементы. (См. замечание в предисловии к гл. 10 )

Докажите, что полутреугольная группа не обладает простой осью. (См. 10.9.22.)

О НИЛЬСЕНОВСКОЙ ПРОБЛЕМЕ РЕАЛИЗАЦИИ

В этой главе мы изучим расширения разрывных групп движений гиперболической плоскости и сведем воедино результаты, полученные в двух предыдущих главах.

В § 11.1 будет описана изучаемая нами ситуация и используемые в последующих параграфах обозначения. Кроме того, мы дадим две существенно различных формулировки проблемы Нильсена.

В § 11.2 мы обобщим формулу Римана — Гурвица на случай конечных эффективных расширений фуксовых групп, см. теорему 11.2.1. Доказательство ее требует привлечения интересных методов из различных областей; однако большей частью используемые результаты могут быть доказаны здесь. В §11.3 мы более детально изучим препятствие к существованию простой оси. Примеры 11.3.6, 7 показывают некорректность рассуждений в статье Нильсена [Nielsen 1942, S. 99]. В §§ 11.4, 11.6 будут скомбинированы и усилены результаты, полученные в главах 9 и 10. Доказательства используют обобщенную формулу Римана — Гурвица и изложенный в § 11.5 результат о сигнатурЬ подгрупп. В пп. 11.4.8—11 мы воспользуемся рассуждениями Циммермана и покажем, что теорема реализации в случае разрешимой группы следует из теоремы реализации в случае, когда существует простая ось.

В теореме 11.6.25 подытоживаются результаты, полученные в этой книге. Однако эта теорема существенно слабее результата Керкхофа [Kerckhoff 1980].

Введение

Опишем сначала ситуацию, в которой мы будем работать, и обозначения, используемые в последующих параграфах.

(а) Пусть G —группа движений гиперболической плоскости Н. Будем считать, что G конечно порождена, но неэлементарна-, в частности, G неабелева и имеет тривиальный центр. Возможные группы такого типа описаны в 7.3.17. Так как нас интересует только топологическая природа группы G, то можно, когда это удобно, считать, что G не содержит параболических преобразований. Если G свободна от кручения и, следовательно, изоморфна фундаментальной группе поверхности, то для нее часто используется обозначение F.

Пусть S — группа, содержащая группу G в качестве нормальной подгруппы индекса га < «>. Расширение S эффективно, т. е. для $eS условие «s-1gs = g для всех g е G» влечет s = 1. Расширение S геометрическое, т. е. для любого s е S существует такой гомеоморфизм гр И-*-И, что T}~*gi] = s~‘gs для всех ge е G. Другими словами, автоморфизмы g >-► s-1gs принадлежат группе Aut* G.

S/G будет обозначаться через А.

Нас будет интересовать, можно ли реализовать геометрически всю группу S, а не только отдельные ее элементы, как это постулировано в (Ь). Более точно:

Нильсеновская проблема реализации. Существует ли группа So гомеоморфизмов плоскости Н и такой изоморфизм a: S->-So, что a(g) = g Эля всех geG?

Особый интерес представляет случай, когда G есть фундаментальная группа поверхности: G = n1(S). В этом случае группе А соответствует конечная группа классов преобразований. В силу эффективности расширения эти группы изоморфны, и проблема 11.1.2 формулируется так:

Нильсеновская проблема реализации. Можно ли так реализовать каждый класс аеХ гомеоморфизмом faG га, чтобы эти гомеоморфизмы образовывали группу {/л|аеА} преобразований поверхности 8? В случае положительного ответа эта группа, очевидно, изоморфна группе X.

. Изоморфна ли группа S плоской разрывной группе?

Нильсеновская проблема реализации 11.1.3 решается положительно, если род поверхности 8 и число дыр невелико:

Теорема. Если поверхность 8 сферическая (т. е. го- меоморфна 8г или Р2) или евклидова (т. е. гомеоморфна кольцу, листу Мёбиуса, тору или бутылке Кляйна1), то проблема 11.1.3 решается положительно.

Имеется прямое доказательство, основанное на свойствах эйлеровой характеристики. Другое доказательство использует рассуждения с кристаллографическими группами, его можно извлечь из классических результатов Бибербаха, Фробениуса и Буркхардта, ср. также Вольф [Wolf 1967, chap. 3]. Оба варианта были изложены в главе 8.

В остающемся «гиперболическом» случае решить эту задачу гораздо труднее, и полное решение только недавно было получено Керкхофом [Kerckhoff 1980]. Мы сможем дать здесь только частичные ответы. Нашими главными результатами являются следующие две теоремы:

Теорема Нильсена. Пусть S, 8 и т. д.— те же, что в 11.1.3. Пусть, кроме того,

(•) g, AgS: ga = hb = (gh)a= 1 для a,b,c^l=>

=^ g,h порождают циклическую подгруппу в S.

Тогда проблема 11.1.3 решается положительно.

Для случая циклической группы А это доказано Нильсеном [Nielsen 1942]; обобщение его результатов было анонсировано Цишангом [Zieschang 1974]. Первое подробное доказательство было дано в главе 10. Заметим лишь, что условие (•) автоматически выполняется для незамкнутых поверхностей. В оригинальной работе [Nielsen 1942] доказывалось, что проблема реализации решается положительно для любой циклической группы классов преобразований. Однако при разборе исключительных случаев, т. е. тех, в которых отсутствует простая ось, на стр. 99 в доказательстве Нильсеном допущена ошибка, как это отмечено Цишангом [1976], см. 11.3.5—8.

Теорема Фенхеля. Если в предположениях п. 11.1.3 группа А разрешима, то проблема реализации 11.1.3 решается положительно.

Доказательство этой теоремы, изложенное в главе 9, использует тот факт, что пространство модулей гомеоморфно 3?” для подходящего п, и теорему Смита о неподвижной точке. Этот подход принадлежит Фенхелю [Fenchel 1948, 1950], см. также Кравец [Kravetz 1959] и Макбет [Macbeath 1962]. Попытка решения общей проблемы 11.1.3 в статье [Kravetz 1959] основывалась на теореме о кривизне пространства Тайхмюллера, которая, как показал Мазур [Masur 1975], неверна.

В § 11.4 мы дадим еще одно, алгебро-топологнческое доказательство теоремы 11.1.6, взятое из статьи Циммермана [Zimmermann 1977'].

В настоящей главе будут скомбинированы теоремы 11.1.5 и 11.1.6 и найдены оставшиеся случаи. Здесь мы воспользуемся обобщенной формулой Римана — Гурвица, полученной для циклического случая Нильсеном [Nielsen 1932] и для произвольных конечных групп классов преобразовании Циммерманом [Zimmermann 1977]; гораздо более общий результат принадлежит Брауну [Brown 1974].

Несколько лет назад Керкхоф положительно решил проблему 11.1.3 в общем случае, см. Керкхоф [Kerckhoff 1980].

Те о р ем а Керкхофа. Всякую конечную подгруппу группы гомеотопий замкнутой ориентируемой поверхности S рода g ^ 2 можно реализовать группой преобразований, в действительности — группой преобразований, конформных относительно подходящей комплексно аналитической структуры на S.

Так как доказательство основано на методах Терстона, сильно отличающихся от наших, то мы воздержимся от его описания.

Другой подход к проблеме реализации Нильсена принадлежит Экману и Мюллеру [Eckmann, Muller 1980]. Они рассматривают группы с двойственностью Пуанкаре, т. е. такие группы, что их группы гомологий и когомологий удовлетворяют двойственности Пуанкаре, и доказывают, что двумерные такие группы (с некоторым условием конечности) изоморфны фундаментальной группе замкнутой поверхности. В качестве следствия они получают,

что группа, содержащая группу поверхности в качестве подгруппы конечного индекса, сама является группой поверхности.

В своей новой работе они при помощи тех же методов обобщили этот результат.

Теорема Экмана и Мюллера [Eckmann — Muller 1982]. Пусть S — конечное расширение группи F поверхности, и пусть первое число Бетти ?i(S) положительно. Тогда группа S изоморфна плоской разрывной группе.

Число Pi(S) можно вычислить, воспользовавшись теоретикогрупповыми свойствами группы S и обобщенной формулой Римана-Гурвица 11.2.2. Из условия pt(S)>0 следует, в частности, что S обладает простой осью, см. 10.3.1, и что выполнено условие (*) из 11.1.5, см. 10.9.1. То условие, что P[(S)>0, слишком ограничительно; достаточно, чтобы S обладала нетривиальным разложением в свободное произведение с отождествлением. Кажется правдоподобным, что последнее условие равносильно условию Нильсена о существовании простой оси.

Как отмечалось в статье Цишанга [Zieschang 1971], положительное решение реализационной проблемы Нильсена можно использовать при изучении многообразий старших размерностей, допускающих расслоения над поверхностями, таких, например, как расслоенные пространства Зайферта. В главе 12 обсуждаются некоторые результаты, в основном принадлежащие (в таком виде) Б. Циммерману.

Вернемся от случая фундаментальной группы поверхности к общему случаю.

Если ответ на вопрос 11.1.2 положительный, то So является конечно порожденной разрывной группой гомеоморфизмов плоскости Н, и потому эквивалентна группе движений плоскости Н, см. 7.3.15.

Предложение. Если проблема реализации 11.1.2 решается положительно, то существуют разрывная группа S, движений плоскости Н, изоморфизм а0: So -► Si и гомеоморфизм £: И -► Н такие, что ае (s0) = £_,So£ для всех s0 е So. И обратно, из последнего утверждения следует положительный ответ на вопрос 11.1.2. □

Таким образом, вопрос 11.1.2 можно переформулировать так:

Проблем а реализации. Существуют ли группа S, движений плоскости И, изоморфизм at: S-^St и гомеоморфизм £: Н-*-Н такие, что ^l{g') = t,~lgt, для всех geG?

Вообще говоря, гомоморфизм at не тождествен на G. Если ответ на вопрос 11.1.2 или 11.1.10 положителен, то будем говорить, что S можно реализовать в качестве разрывной группы движений плоскости Н (в качестве фуксовой или неевклидовой кристаллографической группы) или что группа S геометрически изоморфна такой группе, или просто, что S можно реализовать геометрически.

Прежде чем приступить к решению указанной проблемы, мы докажем для S и G обобщенную формулу Римана — Гурвица, из 512

которой видно, что S ведет себя так же, как фуксова или неевклидова кристаллографическая группа, хотя об S нам известно лишь то, что постулировано в п. 11.1.1. Затем мы изучим более детально, чем в главе 10, тот представляющий собой исключение случай, когда не существует простой оси. Основные ответы на вопрос 11.1.2, 11.1.10 даны в пп. 11.4.2, 4, 7 и 11.6.25.

§ 11.2. Обобщенная формула Римана — Гурвица

Формула Римана — Гурвица из теоремы 7.3.20 сравнивает площади фундаментальных областей фуксовой группы и ее подгруппы. Нильсен [Nielsen 1942] доказал такую же формулу для конечного циклического расширения S фундаментальной группы поверхности и использовал это обобщение для доказательства того, что S действительно изоморфна фуксовой группе. Позже Циммерман [Zimmermann 1977] обобщил доказательство и формулу на случай произвольного конечного эффективного расширения. В этом параграфе мы докажем этот его результат. Как следует из предложений 10.2.2, 3, он представляет собой частный случай гораздо более общей теоремы 6 из статьи Брауна [Brown 1974]. Излагаемое здесь доказательство Циммермана использует лишь первоначальные сведения о представлениях, в то время как алгебраическая база доказательства Брауна более серьезна.

Теорема (обобщенная формула Римана — Гурвица; см. [Nielsen 1942], [Zimmermann 1977]). Пусть S — конечное расширение фундаментальной группы F замкнутой поверхности S рода g>2, А = S/F, и пусть п = [S : F] = | А|. Пусть-.

расширение эффективно, т. е. если seS и s~lfs = f для всех /е F, то s = 1;

элементы группы S сохраняют ориентацию. Тогда

(11.2.2)(11.2.2)2gr — 2 = п- 2у — 2 +2gr — 2 = п- 2у — 2 +

(11.2.2)

(11.2.2)

2gr — 2 = п- 2у — 2 +

2gr — 2 = п- 2у — 2 +

где h^ ..., hm — порядки подгрупп, образующих максимальную систему попарно не сопряженных максимальных конечных циклических подгрупп группы S, у е Z и 2у— «свободный» ранг прокоммутированной группы S, т. е. S/[S, S] ^Z2T®^, где |Ё| < оо. Будем называть (у; пг; ht, ..., hm) сигнатурой груп-

Доказательство этой теоремы будет окончено в п. 11.2.18. Оно использует методы различных математических дисциплин: нильсеновскую теорию неподвижных точек, число Лефшеца, теорию представлений конечных групп. Начнем с теории Нильсена неподвижных точек, при этом ограничимся случаем поверхностей.

Определение. Пусть S — ориентируемая замкнутая поверхность рода g > 2 и t; S -* S — непрерывное отобра-

33 х. Цишанг и др. 513

жение. Тогда две неподвижные точки у, у' отображения t принадлежат к одному и тому же классу неподвижных точек (отображения <), если их можно соединить таким путем с, что пути с и t ° с гомотопны (гомотопия, разумеется, с закрепленными концами у, у'); это значит, что с~ (t« с) 0.

Предложение. Пусть p'.^-^-S—универсальное накрытие поверхности S. Множество всех поднятий отображения t: S^S в Н будем обозначать через L(t) *).

Если у, у' еН неподвижны относительно teL^f), то р(у) и р(у') принадлежат к одному классу неподвижных точек отображения t.

Если у, у' е S принадлежит к одному и тому же классу неподвижных точек отображения t, то найдется такое поднятие 1еЦГ) и такие две его неподвижные точки у, у', что р(у) = У и р^у'^у'-

Доказательство, (а) Соединим у, у' путем с в Н Тогда t = с^с; следовательно, р(с) обладает требуемым в 11.2.3 свойством.

Пусть у принадлежит прообразу точки у. Тогда t единственным образом поднимается до такого отображения t, что t(y) = y. Пусть с —такой путь, как в определении 11.2.3. Тогда существует такое однозначно определенное поднятие с пути с, что с(0) = у. В этом случае точка ?(с(1)) = с(1) может быть выбрана в качестве точки у'. □

Определение. Обозначим группу скольжений накрытия р: также через F. Два поднятия it и t2 отображения t: S -* S называются ¥-эквивалентными, если найдется такой элемент / g F, что /-1t1f = t2.

В силу 11.2.4, классы неподвижных точек отображения t взаимно однозначно будут соответствовать классам F-эквивалентности в L(t), если ввести «пустые» классы неподвижных точек для поднятий, не обладающих неподвижными точками.

Предложение. Число непустых классов неподвижных точек отображения t конечно.

Доказательство. Выберем te L(t). Пусть D — фундаментальная область группы F, точка у^ S неподвижна относительно t, и пусть y^D, р(у) = у. Тогда у определяет такой элемент /eF, что J(y) = /(y); следовательно, ?(О)П/(О)=0. Так как множество t(D) компактно, а диаметр множества /(О) равен диаметру области D и конечен, то, как следует из разрывности группы F, 1(0) может пересекать /(О) лишь для конечного числа преобразований j^F. Далее, если две неподвижные точки у15 у2 отображения t принадлежат одному и тому же классу неподвижных точек, то у/и у2, р(у.) = У1, неподвижны относительно некоторого поднятия отображения t; следовательно, найдется такое преобразование f^F, что yt и у2 неподвижны относительно /-1 ° Г. Этим предложение 11.2.7 доказано, поскольку число возможностей для /eF конечно. □

Рассмотрим теперь индексы неподвижной точки и класса неподвижных точек. Они связаны с числом Лефшеца, которое можно подсчитать при помощи гомологий. Напомним, что поднятие 1 непрерывного отображения t-^S ^_S можно продолжить до непрерывного отображения f: Н->Н в точности одним способом, см. 10.1.8, 9.

к и. Пусть х, уеН, х=#у. Через z(x, у') обозначим пересечение с S1 неевклидова луча с началом в х, проходящего через у. Если х е Н и у е S\ то z (х, у) := у.

Пусть t: S—► S и teL(t); продолжение отображения t на Н также будет обозначаться через f. Через Ч^Т) обозначим множество неподвижных точек отображения f в Н, через 0(f)—множество неподвижных точек в S', а через Ф(4) = = V (f) U 0(f) — множество всех неподвижных точек отображения f в Н.

Тогда формула х-» z(x, t (х)) задает непрерывное отображение на^ Н\ф(£) со значениями ^ 5*. Если ®: [0,1]-*- _>н\ф(/) — путь, то т ь* z (to (т), Цй)(т)))=:£(т) —путь £ в <$*. При помощи универсального накрытия R-^S1, т >->■ e2nit поднимем £ в путь т«-»£'(т) в R. Разность £'(!) —£'(0) не зависит от подъема и называется индексом пути to относительно t.

Пусть у е И — изолированная неподвижная точка отображения f. Выберем в Н\ф(0 петлю to, ограничивающую диск, который не содержит никаких неподвижных точек отображения f, кроме у._

Определим индекс точки у как индекс петли о». Индекс точки § не зависит от выбора петли to.

Если у е S — изолированная неподвижная точка отображения t, то найдутся такие уеН и teH^, что р(у)=у и f(y) = y. Индексом точки у относительно t называется индекс точки у относительно f. Это определение не зависит от произвола в выборе у и t.

Следующее определение индекса эквивалентно тому, которое обычно используется в алгебраической топологии (см. Александров и Хопф [Alexandroff — Hopf 1935, S. 534]): Возьмем (евклидов) вектор г'(т) с началом в ы(т) и концом в F(« (т)); будем отождествлять его с комплексным числом Г(ш(т)) —<о(т). Положим г(т) := ^,^ р Тогда отображение г: S1->-S1, е2ли^г(т) для 0^т^1,

Индуцирует эндоморфизм г*: Я1(51)-*-Я1(51) ^ Z, и г* (1) Обычно называется индексом неподвижной точки у отображения Г ЕЛИ точки у относительно t.

83*

Предложение. Индекс изолированной неподвижной точки у отображения t: S -► S, определенный в п. 11.2.8, совпадает с обычным индексом точки у, описанным в п. 11.2.9.

Доказательство. При непрерывной деформации отображения г из 11.2.9 эндоморфизм г* не меняется. Сейчас мы опишем деформацию отображения г в отображение

£: 5х->5\ е2л1^2(ы(т), 7(ю (т))) =: £ (т),

определяющее индекс в п. 11.2.8. Через Иг обозначим неевклидов луч, идущий от <(ю(т)) к ^(т). (Здесь мы допускаем вольность, отождествляя S1 и [0, 1] mod 1.) Для упрощения обозначений будем считать, что у = 0. Тогда мы приходим к ситуации, изображенной на рис. 11.2.1, где два вектора соответствуют векторным полям на S1, которые можно сравнить следующим образом. При помощи неевклидовой длины зададим такую гомотопию

ф^г^^Н для 0^^1,

перь гомотопию между ©^где (Do = (o,перь гомотопию между ©^где (Do = (o,что ^WGhx, фо(т) = <(<о(т)) и ф^т^^т). Рассмотрим те

перь гомотопию между ©^где (Do = (o,

перь гомотопию между ©^где (Do = (o,

гомотопия между г' и £;гомотопия между г' и £;~ю и тривиальным отображением: (0!(т) = 0. Тогда 7£=ф& — ок есть следовательно, г^ = г^/| г^ | есть гомотопия между г и £. Поэтому г и £ действуют на гомологиях одинаково. □

гомотопия между г' и £;

гомотопия между г' и £;

Определение. Пусть t: S ->■ S — гомеоморфизм, имеющий только изолированные неподвижные точки. Индексом класса неподвижных точек называется сумма индексов неподвижных точек из этого класса.

Нильсен [Nielsen 1929] вычислил индекс класса неподвижных точек, воспользовавшись действием отображения t на фундаментальной группе поверхности S. Мы приводим этот результат в п. 11.2.12 без доказательства, по

скольку в интересующем нас случае имеется более сильный результат с коротким доказательством.

Пусть t — сохраняющий ориентацию гомеоморфизм ориентируемой замкнутой поверхности S рода g 5s 2, teL(t) и аг: F-> F — автоморфизм / «■ t = / = г-1. Положим, по определе

нию, H(t) = {/eFla((/) = /}. Если H(t)=^F, то [F:H(t)] = «> и группа Н(<) свободна. Пусть b — ее ранг, и пусть 2а— число не F-эквивалентных неподвижных точек гомеоморфизма Г на S1 = УН, не являющихся предельными точками для H(i), т. е.

не лежащих в замыкании множества неподвижных точек нетри-

виальных дробно-линейных преобразований из H(t). Тогда справедливы следующие утверждения:

Предложение. a-V 2b ^ 4g — 2.

Теорема. Сумма индексов неподвижных точек из класса неподвижных точек р(Чг (t)) равняется 1 — а —Ь.

По поводу доказательства см. Нпльсен [Nielsen 1929] или Циммерман [Zimmermann 1977]. □

Пусть теперь S, F, S и т. д. те же, что в п. И 2.1. Предположим, кроме того, что все элементы группы S сохраняют ориентацию. Как мы видели в п. 10.1.8, группу S можно считать действующей в S1 = 5Н. В силу теоремы реализации 9 7.1 каждый отдельный элемент № S можно реализовать таким гомеоморфизмом t; Н->Н, чтобы ?k = sseF, где к — относительный порядок элемента $. Неподвижные точки отображения, индуцируемого гомеоморфизмом t в S, изолированы, так как t сопряжен сохраняющему ориентацию движению плоскости И. Докажем теперь следующее

Предложение. Пусть t: S S — сохраняющий ориентацию гомеоморфизм, служащий представителем класса сопряженности из S/F. Допустим, что t имеет лишь изогированные неподвижные точки-, как было замечено перед формулировкой, это не существенное ограничение. Пусть teL(ty продолжение преобразования t на И будет обозначаться тем же символом. Тогда сумма индексов неподвижных точек отображения I, т. е. индекс класса неподвижных точек p(W (1у отображения t, равняется 1, если i | ЗН имеет конечный порядок, и 0— в противном случае.

Доказательство, (а) Допустим, что < | № имеет конечный порядок. Если yv у2 е Н — неподвижные точки отображения I с р(у^ = р(угУ то найдется такое преобразование /eF, что 1(уЛ = уг; следовательно, /t/-1 (уУ = у г = I (угУ Поэтому fiy1 = t, так как fly1 и I — поднятие одного и того же отображения t; В силу 10.2.2 (с), / = 1 .Это показывает, что каждой неподвижной точке из класса p(W (lye S соответствует в точности одна неподвижная точка отображения t в И. Поэтому для того, чтобы, следуя 11.2.8, найти индекс класса p(W (t)), в качестве го можно взять границу S1 = 5^ плоскости И, поскольку на ней нет неподвижных точек, см. 10.2.2 (а). Так как t индуцирует на 5" сохраняющий ориентацию гомеоморфизм, то степень пути 5, см. п. 11.2.8, равна +1.

(Ь) Пусть теперь 11ЭН имеет бесконечный порядок. Возьмем минимальное число к такое, что (zld-^e F|£H, и пусть /eF удовлетворяет равенству f11 ЭН = (< | 5ук с максимальным I. Тогда степенями элемента f исчерпываются элементы группы F, коммутирующие с 11У^, а следовательно, и с t на И. Отсюда следует, что в фундаментальной области D группы </> над каждой неподвижной точкой отображения t из класса p(W(ly ле-

жит ровно одна неподвижная точка отображения t. В дальнейшем нам придется считать, что dD не содержит неподвижных точек отображения t, но мы можем предположить, что ЗДЦН состоит из двух неевклидовых прямых (см. рис. 11.2.2), и можем воспользоваться границей со области D для вычисления индекса класса неподвижных точек р^У)). Тогда со = = б^сог/ («Г1) «Г1. Так как tf = ff, то z(/(x), ^UW^™ = ^i^x, t (г))); по поводу определения z см. 11.2.8. Если хе е mi U сод, то z (х, ? (х)) = t (х). Неподвижные точки преобразования / неподвижны и относительно t, и ими исчерпываются неподвижные точки отображения t на

№, см. 10.2.2 (Ь); поэтому I действу- /^'ч ет строго монотонно на обеих дугах в

ух.X. дН, ограниченных неподвижными точ-

/—^j ками. Следовательно, g(<o2) представ/ffcu,)\ляет собой отрезок, соединяющий g-об-

кшзj^гкраз конца прямой ®, с g-образом кон-

I_ 1ца прямой /(©,). Для с», ситуация ана

логичная. Обозначим через /т гипербо- . ^у лическое преобразование с той же, что

./ и у /, осью, но с длиной сдвига, умноженной на т. Если к g(®i) применять

Рис. 11.2.2преобразования /t-T, 0 ^ т ^ 1, то по

лучится гомотопия, передвигающая g(<Di) в g(/(<i»1)). Следовательно, g-образ петли to^/^J^co^"1 гомотопен в 5* g-образу петли /((о1)/((о1)~1, т. е. нулю. Поэтому индекс равен 0. □

Как мы видели, индекс класса неподвижных точек отображения t можно найти, зная действие поднятий t на №. Так как оно зависит лишь от действия на фундаментальной группе, см. 10.1.2, мы получаем:

Следствие. Для гомотопных отображений S-► S суммы индексов классов неподвижных точек совпадают.

Определение. Для seS через [s] обозначим смежный класс в S/F. Пусть v [s] — сумма индексов классов неподвижных точек элемента из класса [а]. Напомним, что [s] можно реализовать отображением t: S ->■ S, имеющим только изолированные неподвижные точки, поэтому число v[s] определено и, в силу предложения 11.2.13, не зависит от выбора t. Кроме того, положим v [1] := 2 — 2g.

В алгебро-топологической теории неподвижных точек основным средством служит число Лефшеца Х^Ц отображения i, см. Александров и Хопф [Alexandroff — Hopf 1935, Кар. 14], Спеньер [Spanier 1966, § 4.7]. Но X является инвариантом гомотопического класса отображения t, как это следует из формулы Хопфа, см. [Spanier 1966, 4.7.6]; поэтому для seS/F можно определить Х[$]. Если неподвижные точки отображения t имеют индекс 1 или 0, то X(t) равняется числу неподвижных точек индекса 1,

см. [Alexandroff — Hopf 1935, S. 547]. Из равносильности двух определений индекса (предложение 11.2.10) и предложения 11.2.13 следует

Лемма. A [s] = v [s]. □

Лемма. 2 v И = 2 - 2g + n-2 (1--у?)’ г9е h^ ..., hm—порядки попарно несопряженных максимальных конечных циклических подгрупп группы S, образующих максимальную систему.

Доказательство. Два гомеоморфизма ti, t2 плоскости Н назывались F-эквивалентными, если f-1tj = t2 для некоторого j^F, см. п. 11.2.5. Как было замечено в п. 11.2.6, F-эквивалентные поднятия гомеоморфизма S -► S представляют один и тот же класс неподвижных точек. В силу предложения 11.2.13, индекс класса неподвижных точек равен 1, если соответствующие элементы группы имеют конечный порядок, и равен 0 в противном случае. Этим доказано, что

2 v И равняется количеству классов F-эквивалентных

(нетривиальных) элементов конечного порядка в S.

Обозначим через К множество классов F-эквивалентных максимальных конечных циклических подгрупп группы S. Сопряжение с элементом s^S определяет перестановку в К, являющуюся тождественной, если seF. Следовательно, S/F действует в К. Пусть, далее, В — максимальная конечная циклическая подгруппа группы S и [В] — ее класс F-эквивалентностн. Тогда орбита класса [В] в К состоит из классов F-эквивалентности [s-lBs], где $е S. Достаточно рассмотреть в качестве сопрягающих множителей систему представителей $ь ..., $„ для S/F. Кроме того, если s е В, то s~'Bs = В. Так как из равенства s-1Bs = В следует, что s е В, то элементами из BF исчерпываются элементы группы S, оставляющие [В] на месте. Поскольку В П F = 1, орбита класса [В] состоит из n/h классов F-эквивалентности, где h — порядок группы В. Следовательно, S-орбита подгруппы В содержит -у (h — 1) нетривиальных не F-эквивалентных элементов конечного порядка. В силу (1) имеем

и2я;/ и - 2 х =" - У-

Теперь лемма 112.17 следует из того, что, по определению, v[l] = 2 —2g. □

Для следующей леммы нам понадобятся первоначальные сведения о представлениях конечных групп. Их можно найти в главе 18 книги ван дер Вардена [van der Waerden 1955].

Важность представлений, а точнее их характеров, для нашей задачи станет очевидной, если вспомнить, что число Лефшеца определяется при помощи следов матриц.

Лемма. Пусть е — свободный ранг группы S/[S, S] = S"6). Тогда

S X[s] = п(2—е).

[<]=S/F

Число е четно; е = 2у, у е Z.

Доказательство. S/F действует в Нг(S) = F/[F,F] = 1}6. Поэтому выбрав какой-нибудь базис в Z28, мы получим представление группы S/F. Характер х этого представления отображает элемент [s] е S/F в след матрицы, соответствующей элементу [s], С точностью до эквивалентности представление однозначно определено своим характером у. Кроме того, х раскладывается в линейную комбинацию характеров неэквивалентных неприводимых представлений:

X-S^^ (et^Z);

здесь Хч 1 ^ i ^ г,— характеры неприводимых представлений, а Хо — характер тривиального представления группы S/F. Из соотношений ортогональности для характеров неприводимых представлений получаем:

(1)4- 2 хи = 4- 2 2%и =

[«1GS/F[«leS/Fi=0

= 4"2е1 2 Xi и=4-2

i=0[«]SS/Fi=0

здесь мы пользовались соотношениями

(п, если i = 0,[»]Й/кХ‘М= 1°, если i^O,

см. ван дер Варден [van der Waerden 1955], формула (16) на с. 412 русского перевода. Для числа Лефшеца имеем, см. Спень- ер [Spanier 1966], с. 253 русского перевода:

X [s] = 2 — х [s] для [s] е S/F,

и, следовательно, в силу (1):

2 X [s] = 2п — 5 X И = 2п — пе0.

[«]SS/F[«]GS/F

Докажем теперь, что е0 = е. Из точной последовательности l^-F-»-S->-A^-l мы, прокоммутировав, получим точную по-

следовательность коммутативных групп:

О F/F П [S, S] -> S/ [S, S] = Sab -> АаЬ -> 0.

Так как [F, S] <= F П [S, S], то мы имеем также следующую точную последовательность абелевых групп:

F/[F, S]-^Sab-*Aa6-*0.

Мы хотим доказать, что F/[F, S] и Sob имеют одинаковый свободный ранг.

Группа A = S/F действует в Fab; будем записывать Fab аддитивно и обозначать результат действия через а ■ / для а е А, je?16. Положим

Uo = {/ е F аЬ | а • f = f для всех a е A) s Z*0,

и Fab = Uo ® W. Через Р и 6 обозначим естественные гомоморфизмы в коммутативной диаграмме

^z8=Fab=Un ® W,s^eteW„

Подгруппы здесь определяются следующим образом: Sob = T$U, где |Т|< оо и U^ Z*,

F/[F, S] = Тх ф R, ф Un где [^Коо, Ux = р (Uo) Z*1

и Rx ~ Zd с подходящим d.

Тогда, очевидно,

с, ^ е0.

Покажем, что d = 0 и е = е0. Пусть z е R, и хе Fab, причем р(х) = х. Тогда Р(ах) = х; следовательно, р[2 a-x^=nxeR1. Однако 2 а • х е Uo, и, следовательно, пх = 2 a • х е Rx П flUi = O, т. е. х = 0. Это доказывает, что Ri = 0. Так как [S: F] <

< °°, то a(U!) имеет конечный индекс в Sab, и, следовательно, (4)в ^ et.

С другой стороны, группа Uo вкладывается автоморфизмом б в Sab, так как А действует в Uo тривиально. Чтобы убедиться в этом, выберем в Uo базис иг, ..., utQ и дополним его до базиса Ui, ..., u2g группы Fab. Тогда элементы группы А реализуются

матрицами вида

и S/ [F, F] состоит из аффинных преобразований вида (С, с), где С имеет вышеуказанный тип. Так как

. «см^.-кс м< ").(':))]-< .ЛК))-

то ([S, S]/[F, F]) Пи0 = 1, и следовательно, 6 вкладывает Uo в 8аЬ. Этим доказано, что

(5)е0 < е.

Из цепочки неравенств (3) —(5) следует, что е0 = е, и, таким образом, пункт (а) доказан.

Кроме того, мы доказали, что возможно такое разложение группы Zf1(S) = Fab = U0 ® Wo, в котором lp(W0)|<oo и Uo является подгруппой элементов, инвариантных относительно действия группы А = S/F. Для элементов группы Я, (S) можно определить индекс пересечения, задающий антисимметрическую невырожденную билинейную форму на Ht (S). Пусть и,, ..., и, — базис группы и0 и ylf ..., ус — базис группы Wo, е + с = 2g. Пусть («1, ..., и,, уь ..., Ус) —базис, двойственный базису (и„ ... ..., ие, у,, ..., ус) относительно индекса пересечения. Так как действие группы S/F не меняет индексов пересечения и оставляет на месте элементы Ui, ..., ие, то ии .. .,иее Uo. Поэтому индекс пересечения дает при сужении на Uo антисимметрическую невырожденную билинейную форму на Uo, которая, таким образом, описывается антисимметрической матрицей порядка е с ненулевым определителем. Отсюда следует, что в матрице четное число строк, т. е. число е четно. □

.11.2.19. Доказательство теоремы 11.2.1, Мы имеем

' ' 2g—2 = n i(i-y-2 v [s] в силу 11.2.17, i-1 \* /[«]SS/F

-2(*-У-.2 X[s] в силу 11.2.16, i=l \< /[«]=S/F

= п 2 (1 — 4") + П (2у — 2) в силу 11.2,18, □

Упражнения 11.1—4.

О расширениях без простых осей

В этом параграфе мы изучим препятствие к существованию простой оси, описанное в п. 10.9.1, и перечислим случаи, для которых нильсеновская проблема реализации в главах 9 и 10 не решена. В следующих двух параграфах мы, комбинируя оба подхода, решим ее еще в нескольких случаях.

Теорема. Пусть F — фундаментальная группа замкнутой ориентируемой поверхности рода g > 1, a S > F — конечное эффективное расширение группы F, все элементы которого сохраняют ориентацию. Допустим, что S содержит два таких элемента х, у, что-.

элементы х, у и ху имеют конечные порядки а, b и с соответственно,

группа D, порожденная элементами х и у, не циклическая.

Тогда [S: D] < <». Кроме того, существует эпиморфизм ф: D-»-D, где D = <x, у\ха = уъ = {xyY = 1> — треугольная группа с характеристическими числами а, Ь, с, и ядро гомоморфизма ф свободно от кручения.

Мы будем называть D полутреуголъной группой.

Доказательство. Пусть D — упомянутая в теореме группа и ф: D -► D — гомоморфизм, при котором х^-х, у *—* у. Положим F':=FnD, Р:=ф~‘(F') и ф:=ф|Р, и получим следующую коммутативную диаграмму:

5-—-з

(!)! I t

Группа F является группой без кручения, так как элементы конечного порядка в D сопряжены степеням элементов х, у и ху, а образы этих элементов не содержатся в F. Порядок группы D бесконечен, поскольку всякая конечная подгруппа группы S циклична в силу 10.2.2 (е); следовательно, |D|=oo. Это доказывает, что — + у + — ^ 1.

Если у + -у + -у = 1, то, как следует из 8.2.8 и 8.2.9, всякая подгруппа без кручения группы D изоморфна Z или Z Ф Z. Так как F — фундаментальная группа замкнутой ориентируемой Поверхности рода g > 1, то всякие два коммутирующих друг с другом элемента группы F содержатся в циклической группе;' следовательно, F' должна быть изоморфна Z. Таким образом, D есть конечное расширение группы F' ^ Z и содержит элементы порядков а, Ь, с, причем не более, чем одно из чисел а, Ь Н с может равняться 2. Пусть х имеет порядок а > 2. Из того, Что Aut Z = Z2, следует, что ж2 коммутирует с элементами из F.

Поэтому х2 определяет на ЭН = S1 отображение, оставляющее неподвижными неподвижные точки элементов группы F'. Это противоречит тому, что автоморфизм конечного порядка не имеет неподвижных точек на ЭН, см. 10.2.2 (а); поэтому — + + 7- + ” < 1» и группа F' не циклическая.

Таким образом, достаточно доказать, что

(F:F']<=o,

так как [S : F] < оо. Предположим противное. Пусть [F : F'] = оо. Тогда F' — свободная группа ранга >2. Так как группа D конечно порождена и [D: F'] < °о, то мы заключаем, что ранг группы F' конечен. Следовательно, ЦТ' есть ориентируемая поверхность конечного ряда с конечным и большим нуля числом дыр. Так как De Sc Aut* F, то каждый элемент группы D индуцируется некоторым гомеоморфизмом плоскости п, согласованным с действием группы F и, следовательно, с действием подгруппы F'cF. Это доказывает, что D с Aut* F'. Оси, соответствующие дырам поверхности H/F', D-просты, и мы можем применить теорему 10.7.5. Таким образом, группа D изоморфна фуксовой группе, порожденной двумя элементами конечного порядка, и содержит свободную подгруппу конечного индекса. Следовательно, D должна обладать заданием вида

D = («л, $2 ] Sj = sf = 0 — Za * Zp

с некоторыми a, Р; это вытекает из 7.3.14 и соображений, связанных с площадью фундаментальных областей.

В свободном произведении (3) элементы конечного порядка сопряжены степеням элементов s, и s2. Следовательно, для двух элементов х, у конечного порядка произведение ху имеет конечный порядок только в том случае, если х и у — степени одного и того же элемента. Это противоречит нецикличности группы D = <х, у>. Тем самым неравенство (2) и вся теорема 11.3.1 доказаны. □

Следствие. Группа F' = F П D является фундаментальной группой замкнутой ориентируемой поверхности рода g'>2. □

Сравним теперь сигнатуры групп F, S, D из предыдущей теоремы:

Предложение. Пусть F, F', S и D — те же, что в 11.3.1, 2. Допустим, что группы S u D имеют сигнатуры, см. 11.2.1, (y; v: a,, ..., а») и (0; 3: а, Ь, с) соответственно. Тогда группа F' имеет сигнатуру (g'; 0). Кроме того, пусть n = [S:F] и п := [D : F']. Тогда

w'(l--l---L_^ = 2g'_2^2g-2 =

_B^-2 + S(l-^)j

и п'^п. Более точно; 2g'— 2 = [F : F'] • (2g — 2) и п' • [S : D] = = п • [F : F'].

Доказательство. Так как F'— подгруппа группы F, то поверхность рода g' накрывает поверхность рода g с конечной степенью [F:F']. Следовательно, 2g' — 2 = [F : F'] • (2g — 2), см. 7.3.20. Равенства (11.3.4) следуют из обобщенной формулы Римана-Гурвица (11.2.2). □

Замечание. Теперь ясно, какие основные шаги нужно предпринять:

Найти D.

Вычислить S по D.

Можно попытаться доказать, что эпиморфизм ф в диаграмме (1) из доказательства теоремы 11.3.1 является изоморфизмом. Такая попытка была, например, предпринята Нильсеном [Nielsen 1942, S. 99], но, к сожалению, рассуждение было ошибочным, как будет видно из примеров 11.3.6, 7. В этих примерах D по-прежнему является треугольной группой, но не изоморфной D, так что мы начали с неправильной сигнатуры. В § 11.6 мы докажем, что S также является полутреугольной группой, и что D — треугольная группа, если [S : D] > 1.

Пример (Цишанг [1976]). Пусть

Gx = («ц, s2 | sx = s2 = (siS2) = 1\

Нх = (^п ^2 I ^1 = ^2 = Cka)2 = О,

и пусть tv- G, -»- Н, — гомоморфизм, при котором sv^> xv з2 •-♦ хГ1^!- Этим он корректно определен. Если а>2 и 216, то ft — эпиморфизм, ядро его нетривиально и свободно от кручения.

Корректность определения гомоморфизма /, следует из того, что хг (х^х^х^ = хг (х^ = х^^х^1, а так как 2 f Ь, то, очевидно, h отображает G, на Ht. Поскольку всякий элемент конечного порядка группы Gt сопряжен степени одного из элементов Si, s2, 8,52, то ядро не имеет кручения. Так как две треугольные группы изоморфны в том и только в том случае, если их вращения имеют одинаковые порядки, то ясно, что G, и Н, не изоморфны.

Пример (Цишанг [1976]). Пусть

G2 = <Slt 32 | Sx = S2 = (S]82) = 1\

H2 = (Zli x2 | Xi = xg = (ад)3 = 1),

u /2: G2 -> H2 — гомоморфизм, при котором 8Х >-► xv s2 *-► х^^аХ^х»1. Если 2 f а, a > 2, то ядро гомоморфизма ft нетривиально и свободно от кручения.

То, что гомоморфизм /2 корректно определен и ядро его свободно от кручения, следует из того, что

8^2 -* Хц (xg^^r1^1) = (х1Х2Х1Х2)хГ1х71 = Х^Х?^.

Образ /2(G2) содержит хь х2х1хах?1хГ1, ХаХ^хГ1, а значит, и x2xh х2; поэтому /2(G2) = H2.

Предложение (Цишанг [1976]). Пусть Gb Ht, /,— Те же, что в 11.3.6, и пусть а, Ъ — различные нечетные простые числа. Если U < G, содержит нетривиальный элемент конечного порядка, то /, (U) = Ht.

Доказательство. Так как /1 сюръективен, то f1(U)<lH1. Пусть, далее, и е U, и=Н — элемент конечного порядка. Тогда и сопрйжен степени одного из элементов st, s2, sts2, см. 7.3.17. Поскольку числа а и Ъ простые, U содержит по крайней мере один из элементов sb s2, 818г. Следовательно, группа Hj/f^U) может быть задана образующими хь х2 и соотношениями^ х“ = = Xg = (х^)2 =11 и ЛИбо Xi = 1, ЛИбо Х2 = 1, ЛИбо XiX2 = 1. Так как (а, 2) = (Ь, 2) = (а, Ь)=1, то группа H^/^U) тривиальна. □

Образы элементов sb s2 допускают геометрическую интерпретацию. Она изучалась Кнаппом [Knapp 1968].

Упражнения 11.5—6.

Теорема о продолжении в случае существования простой оси и первые приложения

Глава 10 была посвящена доказательству теоремы 10.7.5. Здесь мы укажем небольшое обобщение этого результата и сформулируем его в виде, удобном для применения.

Пусть G —та же группа, что в п. 11.1.1. Допустим на время, что G состоит из сохраняющих ориентацию элементов. Так как нас интересует лишь топологический тип группы G, то будем считать, что G не содержит параболических преобразований; параболические дыры можно, не меняя топологического типа, заменить гиперболическими, см. 7.3.14. Тогда каждый элемент бесконечного порядка в G является гиперболическим преобразованием. Следовательно, он имеет ось. Элементы группы G с общей осью образуют максимальную бесконечную циклическую подгруппу, и обратно, каждая максимальная циклическая подгруппа соответствует некоторой оси. Если S — нормальное расширение группы G, то внутренние автоморфизмы группы S индуцируют автоморфизмы группы G и, следовательно, перестановки осей группы G. Так же, как в главе 10, будем обозначать образ оси А при отображении s^S через sA. Ось А группы G называется S-простой, если из того, что s4 0 4 #= 0, следует, что зА=А. Этим обобщается определение 10.3.1, где рассматривались только расширения фундаментальных групп поверхностей. Нетрудно получить обобщение на тот случай, когда G содержит и обращающие ориентацию элементы.

Те opем а реализации. Пусть G и S — те же, что в 11.1.1.

Если существует S-простая ось группы G, то группа S геометрически изоморфна некоторой разрывной группе S' движений гиперболической плоскости И, т. е. существуют изоморфизм a: S -»- S' и гомеоморфизм k: Н -> Н такие, что k~lgk = = «(g) для geG.

Если S-простой оси не существует, то S содержит элементы х, у со следующими свойствами-.

существуют такие числа а, Ь, с >2, что ха = уь = = (xyY = 1;

группа D = <х, у>, порожденная элементами х, у, не циклическая.

Как и раньше, будем называть D полутреуголъной группой.

Доказательство. В силу 4.10.1, G содержит фундаментальную группу F ориентируемой поверхности в качестве подгруппы конечного индекса. Так как группа G не элементарна, то F не абелева группа; следовательно, F либо свободная группа ранга >2, либо фундаментальная группа замкнутой ориентируемой поверхности рода >2. Можно считать, что F является характеристической подгруппой группы G; следовательно, F<S.

Допустим, что у группы G существуют S-простые оси. S-простая ось группы G является одновременно S-простой осью группы F, и обратно. Поэтому можнб применить теорему 10.7.5 к (S, F), что позволит нам найти группу S" гомеоморфизмов плоскости Н и изоморфизм a": S->-S" такие, что a"(f)=f для /eF. Так как всякая плоская разрывная группа геометрически изоморфна разрывной группе движений плоскости Н (или С), то найдутся такие группа S' движений, гомеоморфизм к'-. Н->Н и изоморфизм a': S"-► S', что a'(s") = k'~ls"k' для s" eS".

Поскольку G действует в F точно так же, как a"(G) = :G", группы гомеоморфизмов геометрически эквивалентны, т. е. существует такой гомеоморфизм к”; Н->1Н, что k"-1gk" = «" (g) для geG. Наконец, a:=a' ° а" и к*=к'°к" обладает требуемыми свойствами.

Утверждение (Ь) следует из 10.9.1. □

Следствие. Пусть S и G — те же, что в п. 11.1.1. Если факторпространство H/G не компактно, то группа S геометрически изоморфна разрывной группе движений плоскости Н.

Доказательство. G обладает заданием, указанным в п. 7.3.14 с &>0. То, что S является геометрическим расширением группы G, означает, что для каждого из образующих st ж любого элемента г е S элемент х-1$(х сопряжен в G элементу Вида s*1. Следовательно, преобразования s( обладают S-простыми осями, и 11.4.3 следует из 11.4.2. □

Теорема (Циммерман [Zimmermann 1977']). Пусть Q и S — те же, что в 11.1.1. Кроме того, допустим, что G обла-

дает нетривиальным кручением. Тогда S можно реализовать разрывной группой движений плоскости И.

Доказательство. Предположим сперва, что G — фуксова группа, т. е. что все ее элементы сохраняют ориентацию. По предположению, G содержит эллиптические преобразования. Обозначим через Q множество неподвижных точек эллиптических преобразований из G и положим С7:=Н\^. Множества Q и U инвариантны относительно действия группы G. Обозначим через G группу преобразований области U, индуцированную группой G, а через ~: G ->- G — изоморфизм сужения. Пусть а е е Aut* G, и пусть ф: Н Н — индуцирующий а гомеоморфизм, т. е. ф_,^ф = а^)_для g^G. Тогда ф(О = С> и Ф индуцирует согласованный с G гомеоморфизм ф: U -*U;

ф-1gф = a(g)=:a(g) для ged

Если два гомеоморфизма ф0 и ф! плоскости Н индуцируют один и тот же автоморфизм а группы G, то они G-послойно изотопны, как утверждает теорема Бэра 5.1.1, см. часть 1 книги. Во время изотопии точки из Q неподвижны; следовательно, изотопию можно ограничить на U. Другими словами, ф0 и ф, изотопны. Тем самым доказано, что

Описанная конструкция задает мономорфизм

Homeot (Н, G) -► Homeot (И, G).

(Определение группы Homeot (H,G) см. в п. 5.15.2.) _

В частности, А отображается в конечную группу А классов преобразований области U относительно G. Далее, Щ = U/G есть (риманова) поверхность, обладающая, кроме дыр поверхности 1H/G, остриями, соответствующими образам центров вращений из G. Таким образом, Ut представляет собой некомпактную риманову поверхность конечного типа. Напомним, что задача 11.1.2 в случае U имеет положительное решение, см. 11.4.3. Так как нетривиальные элементы группы G не имеют неподвижных точек в U, то проекция р: U ->■ Ui является неразветвленным накрытием. Пусть теперь ф: Н-^-Н реализует класс преобразований из А. Тогда р°ф°р-1 есть гомеоморфизм поверхности Ui, изотопический класс которого не зависит от произвола в выборе ф. Это доказывает, что А отображается геометрически па конечную подгруппу Ai <= Homeot Ui. В силу 11.4.3, А, можно реализовать конечной группой St преобразований поверхности U,. Подъем в U даст нам такую группу S гомеоморфизмов ^бласти U, что формула a ►* р = ст о р-1 определяет эпиморфизм S -> S, = ^ А, = А с ядром G. Другими словами, S есть расширение группы G, реализующее А1# Так как каждый гомеоморфизм ст ^ S отображает острие, соответствующее конечной циклической под-

группе порядка h, в острие того же порядка, то всякое преобразование о единственным образом продолжается до преобразования а: Н->Н, и S определяет изоморфную группу S гомеоморфизмов плоскости И. Если geS отображается при " в ^, то продолжение гомеоморфизма g на Ч в точности совпадает с исходным гомеоморфизмом g; следовательно, S содержит G. Действие группы S в G соответствует действию группы S на G, реализующему А^ Следовательно, S реализует группу А классов преобразований плоскости Н относительно G, т. е. S реализует S. Этим доказательство заканчивается в том случае, когда G — фуксова группа.

Пусть G — не фуксова группа. Если G содержит эллиптические преобразования, то, применив полученный выше результат к подгруппе Н индекса 2, состоящей из сохраняющих ориентацию элементов группы G, мы получим группу S' преобразований, реализующую группу А' = S/H классов преобразований плоскости Ч. Группа S' содержит подгруппу G', реализующую G. В силу теоремы классификации для неевклидовых кристаллографических групп, можно найти такой гомеоморфизм ф: Ч-*. —>- Н, что формула g ►-► ф о g* о -ф—1 определяет изоморфизм G' -► ->-G. Тогда группа S := {ф ° о' ° ф-1|о' е S'} решает исходную задачу.

Если G не содержит эллиптических преобразований, то G содержит отражения, причем оси различных отражении не могут пересекаться. Отсюда следует, что либо G не обладает компактной фундаментальной областью, либо каждая ось отражения S- проста и в то же время служит осью некоторого гиперболического преобразования из G (докажите!). Тогда 11.4.4 следует в первом случае из 11.4.3 и во втором случае — из 11.4.2(a). □

В оставшейся части параграфа мы приведем еще одно доказательство теоремы 9.7.1, следуя Циммерману [Zimmermann 1977']. Это доказательство основано на теореме 11.4.2 и использует обобщенную формулу Римана — Гурвица (11.2.2), но не использует ни теорию модулей Фрике, ни теорию Тайх- мюллера.

Лемма. Пусть F и S — те же, что в 11.1.1. Предположим, кроме того, что F есть фундаментальная группа замкнутой ориентируемой поверхности рода g > 1, что все элементы, группы S сохраняют ориентацию и что [S : F] = р — простое число. Тогда S можно реализовать разрывной группой движений плоскости Ч.

Доказательство. Если существует S-простая ось, то утверждение следует из 11.4.2 (а). В противном случае S содержит полутреугольную группу D. Каждый элемент конечного порядка в S имеет порядок р, поскольку ядро F гомоморфизма S—>Zp = S/F свободно от кручения. В частности, D имеет сигнатуру (0; ц: р, р, .. „ р). Обозначим через g' род поверх-

34 х. Цишанг и др.

ности с фундаментальной группой F' = DRF. Из 11.3.3 мы получим

2g'-2 = n'(lx-2-^-)>

>^2Т-2 +j^l-y)] = 2/)-2>0, где n' := [D : F'] С р.

Пусть D — треугольная группа сигнатуры (0; 3: р, р, р; 0; 0) и ф: D -► D — эпиморфизм из 11.3.1 (Ь). Тогда <p-,(F') = F есть фундаментальная группа замкнутой поверхности, скажем рода g, и ф|Р: F F' — эпиморфизм. Так как ранг группы F' равен

2g^2g\ причем равенство имеет место, только если ф|Р— изоморфизм.

Последнее утверждение следует из доказательства формулы Кнезера (теорема 3.3.3). Так как [D : F] = [D : F'] = и', то из (1) и (2) следует, что

»'(1 -А)-й-2>2е'-2-»'(ц-2-^.)>

>p[2t-2 + »(1-^)].

Следовательно,

^-^2^—2 + vу, или, что то же,

Отсюда следует, что у < 1. Если бы 7 = 1, то v > 0 и и^-^ 0, противоречие.

Поэтому 7 = 0, v > 3 и

Отсюда вытекает, что v = 3, и мы получаем, что п' = р и что в (3) имеет место равенство. В силу (2), ф|Р есть изоморфизм; поэтому ф: D-»-D — тоже изоморфизм. Из (1) следует, что g' = = g; это означает, что F' = F и D = S. Следовательно, Dal) = = S. □

Теперь мы можем приступить к другому доказательству теоремы 9.7.1. Начнем с того, что повторим ее формулировку.

Теорема реализации. Пусть G и S — те же, что в 11.1.1, и пусть группа A = S/G разрешима. Тогда S можно moouaovu ппнэжпэд поииМг nouorideva чюэоетпгоэД И.

Доказательство. Так как группа А конечна и разрешима, то достаточно рассмотреть случай А = ZP, где р — простое число (и далее доказывать 11.4.7 по индукции). Если G обладает некомпактной фундаментальной областью или имеет кручение, то теорема следует из 11.4.3 и 11.4.4. Если G является фундаментальной группой замкнутой ориентируемой поверхности, то S можно реализовать разрывной группой движений плоскости И, см. 11.4.6. Если G содержит обращающие ориентацию элементы, то рассмотрим сперва подгруппу Н сохраняющих ориентацию элементов и присоединим к ней элементы из S, также сохраняющие ориентацию. В силу 11.4.6, это расширение Т можно реализовать геометрически. Рассмотрим теперь расширение степени 2 группы Т до всей S. Если Т является фундаментальной группой замкнутой ориентируемой поверхности, применим 11.4.6; в противном случае Т не обладает компактной фундаментальной областью или имеет кручение, и наше утверждение следует из 11.4.3 и 11.4.4. □

В своей диссертации Циммерман [Zimmermann 1977°] дал доказательство теоремы 11.4.7, основанное на теореме 11.4.2, см. также [Zimmermann 1977']. Доказательство это аналогично приведенному выше, но вместо леммы 11.4.6 используются следующие три леммы; мы приводим их в качестве дополнения, поскольку доказательства элементарны и интересны сами по себе.

Лемма. Пусть F — фундаментальная группа замкнутой ориентируемой поверхности рода g> 1, и пусть S — конечное эффективное расширение группы F с S/F ^ Zp, где р — простое число. Пусть для каждого $е S автоморфизм / >-► s-1/s группы F индуцируется сохраняющим ориентацию гомеоморфизмом. Тогда S можно реализовать разрывной группой сохраняющих ориентацию движений плоскости Н, т. е. фуксовой группой.

Доказательство. В случае, когда S свободна от кручения, лемма 11.4.8 следует из теоремы 11.4.2. Теперь предположим, что S имеет кручение. Тогда_найдется элемент seS порядка р. Пусть гомеоморфизм ф: Н->Н индуцирует автоморфизм f-^s-^s группы F; такой гомеоморфизм существует в силу теоремы Нильсена 5.8.3. Тогда суженпе ф | ЭИ имеет порядок р, и, следовательно, в силу 10.2.2, ф не имеет неподвижных точек на S1 = 9Н. Из теоремы Смита о неподвижной точке 9.6.1 можно вывести, что ф имеет неподвижные точки в Н. Пусть q — одна из них, и пусть

0:={OeF}, t7:=H\0, F:= {/[U | fe F}.

Гомеоморфизм фр индуцирует тождественный автоморфизм группы F и оставляет неподвижными все точки из Q. Из теоремы Бэра 5.14.1 следует, что фр можно продеформировать в тождественное отображение при помощи изотопии, оставляющей неподвижными точки множества Q, см. § 5.14 и [Zieschang 1973]. Следовательно, (ф|Uy принадлежит тому же классу преобразо- 84е 531

ваний, что и id у в U относительно F. В частности, ф|?7 задает расширение S степени р группы F. Применяя к U, S, F те же рассуждения, что в доказательстве утверждения 11.4.5, нетрудно показать, что S можно реализовать требуемым образом. □

Лемма. Пусть F — фундаментальная группа ориентируемой поверхности рода >1 и S — эффективное расширение группы F с S/F ^ Z2- Тогда группа S изоморфна некоторой неевклидовой кристаллографической группе.

Доказательство. Пусть sgS\F и ф: Н-> Н— гомеоморфизм, индуцирующий автоморфизм f^s^fs группы F. Тогда ф индуцирует гомеоморфизм Ф римановой поверхности R : = М/F и Ф ^ idH. Применим теперь нижеследующую лемму 11.4.10: Ф можно изотонически продеформировать в гомеоморфизм Ф', для которого существует такая не гомотопная нулю простая замкнутая кривая у на R, что либо Ф' (у) Л к = ®, либо Ф'^^Т**- При подъеме в Н кривая у даст нам элемент группы F, обладающий S-простой осью, и остается применить теорему 11.4.2. □

Лемма. Пусть Ф — гомеоморфизм замкнутой ориентируемой поверхности R рода >1, и пусть Ф2 ^ idH. Тогда найдутся изотопный Ф гомеоморфизм Ф': R^>- R и не гомотопная нулю простая замкнутая кривая у на R такие, что либо Ф'(^)Л Л ^ = 0, либо Ф' (l) = т“.

Доказательство. Если существует такая не гомотопная 0 простая замкнутая кривая р, что Ф(^)—^^ то для нахождения искомого Ф' можно воспользоваться теоремой Бэра. Если существует кривая ^, для которой Ф({})Лр = 0, то в качестве Ф' можно взять Ф. Исключив эти возможности, можно считать,

Рис. 11.4.1Рис. 11.4.1/3Рис. 11.4.2/3Рис. 11.4.2

Рис. 11.4.1

Рис. 11.4.1

/3

Рис. 11.4.2

/3

Рис. 11.4.2

что у нас есть такая кривая ^, что ^ и Ф(^) имеют лишь конечное число общих точек.

Если имеет место ситуация, изображенная на рис. 11.4.1, где область D представляет собой диск, то Ф можно изотонически продеформировать способом, показанным на рис. 11.4.1.

За конечное число таких шагов мы избавимся ото всех ситуаций указанного типа, поэтому можно считать, что для Ф они не встречаются. Кроме того, Ф(Р)Л^#=0 (иначе все было бы

закончено). Продеформируем теперь Ф таким образом, чтобы Ф2(Р)Пр = 0. Если р и Ф2(Р) пересекаются, то имеет место ситуация, изображенная на рис. 11.4.2, где D — диск, она рассматривалась при доказательстве теоремы Бэра, см. § 5.14 и [Zie- schang 1973]. (Напомним, что Р — Ф2(Р).)

Если Ф(Р)ПО¥=0, то картина соответствует рис. 11.4.3; ситуация, изображенная на рис. 11.4.4, не может встретиться, иначе стал бы возможным первый шаг, изображенный на рис. 11.4.1.

Рис. 11.4.3Рис. 11.4.3Рис. 11.4 4Рис. 11.4 4

Рис. 11.4.3

Рис. 11.4.3

Рис. 11.4 4

Рис. 11.4 4

дишь внутри D", такдишь внутри D", такРис. 11.4.6Рис. 11.4.6

дишь внутри D", так

дишь внутри D", так

Рис. 11.4.6

Рис. 11.4.6

Пусть D' — диск, ограниченный пунктирной кривой. Рассмотрим D” :=Ф-1 (О'), см. рис. 11.4.5.

Пусть V: R -* R — такой гомеоморфизм, что

S'lflXZr-idflxo", ^(рПЯ^рП^, УМ = 5г.

Такой гомеоморфизм V существует. Рассмотрим Ф'— Ф^ЧС Так как ^(Р)” ^, то Ф'(Р)=Ф(Р); следовательно, Ф'2(Р) = = Ф'(Ф(Р)). Рассмотрим

ф'2(Р) = (ф о ip = ф = Чг)(Р) = Ф((Ч' оф) (р)).

Кривая (ЧГ°Ф)(Р) отличается от Ф(Р) как отображение Ф совпадает с тождественным вне D". Следовательно, Ф'2(Р) и Ф2(Р) могут отличаться только внутри D'. Если применить Ф к D", см. рис. 11.4.5, то мы получим рис. 11.4.3; применив Ф' = ф°Чг— получим рис. 11.4.6. Это уменьшает количество точек пересечения кривых р и Ф2(Р) на 2. Через конечное число таких шагов р и Ф2(Р) перестанут пересекаться, так как поверхность R ориентируема и алгебраическое число точек иересечения произвольной кривой с го

мотопной кривой равно 0. Можно, таким образом, считать, что Р и Ф2(Р) ограничивают кольцо А. Кроме того, пересечение кривой Ф(Р) с Л, если оно непусто, состоит из отрезков, соединяющих р и Ф2(Р). Поэтому при помощи тех же рассуждений, что и выше,

можно найти такое изотопное отображению Ф отображение Ф", чтобы Ф"2(Р) и р совпадали. Кривые Ф"2(^) и ^ «равны» и оди> наново направлены, поскольку Ф"2 ^ idH.

Следовательно, мы можем считать, что Ф2 (£) = £. Пусть р и Ф(Р) имеют п общих точек, где и>2. Выберем на £ соседние две точки пересечения р(, р2, см. рис. 11.4.7. (Обозначения см. там же.) Ни одна из кривых а^ и ар2 не гомотопна нулю, так как

Рис. 11.4.7Рис. 11.4 8

ситуация, изображенная на рис. 11.4.1, больше встретиться не может. Одна из этих кривых содержит не более, чем п — 1 точек из р Л Ф(Р). На нее мы и заменим р.

Теперь можно считать, что РЛФ(Р) состоит не более, чем из 2 точек. Если имеется ровно две точки пересечения р,, р2, то рассмотрим кривую а^2 с рис. 11.4.7. Так как Ф2(Р)=Р, то либо Ф(а) = Рг:1, либо Ф(а) = р^х. В первом случае Ф(оф2) = = (ар2)±*. Во втором случае при помощи малой деформации кривой а^2 получим такую кривую р', что р'ЛФ(Р')=0. Если же Р и Ф(Р) имеют одну общую точку, то рассмотрим произведение РФ(Р). После малой деформации мы получим простую замкнутую кривую р0 и такое отображение Фо, что Фо(ро)=Ро, см. рис. 11.4.8; напомним, что Ф(РФ(Р))^ Ф(Р)р. □

Замечание. При помощи использовавшихся в доказательстве методов можно по индукции показать (разрезая R вдоль простых замкнутых кривых р и Ф(Р)), что Ф можно изотонически деформировать в инволюцию (упражнение). Это позволяет непосредственно доказать лемму 11.4.9. На самом деле при доказательстве теоремы 11.4.2 мы следовали аналогичному плану.

Упраженения 11.7—8.

§ 11.5. О сигнатуре подгрупп

Прежде чем продолжить изучение расширений фуксовых групп, рассмотрим поведение сигнатуры при переходе к подгруппе.

Лемма. Пусть S —группа и ieS, х * 1,— элемент, обладающий следующим свойством:

(•) Если wxaw~l = x? (w^S, a, P^O), то w есть степень элемента х.

Через X обозначим группу, порожденную элементом х.

Пусть Р — группа, транзитивно действующая в множестве из q точек и 9: S^-P— эпиморфизм. Пусть Р* — стабилизатор некоторой точки, и пусть Т = 9-1(Р*). Тогда у = [8;Т]. (Как мы усидим, к этой же ситуации можно прийти, начав с подруппы Т и рассматривая действие группы S на левых смежных классах уТ.) Если подстановка 9(х) состоит из к циклов, имеющих длины nt, ..., nfc, то Т содержит к подгрупп Xt, ..., X» со следующими свойствами:

Каждая подгруппа Х< S-сопряжена (т. е. сопрягающий множитель принадлежит S) подгруппе группы X и является максимальной среди таких подгрупп*1).

Всякая подгруппа группы Т, S-сопряженная подгруппе группы X, Т-сопряжена подгруппе одной из групп Xf, 1 ^ г ^ к.

Если X, П /Х^_‘ * 1 для teT, то i = j и t^X,.

Если х имеет конечный порядок п, то порядки подгрупп X,, ..., Хк равны п/н,, ..., n/nk.

Доказательство. В множестве левых смежных классов по Т группа S действует по формуле уТ >-► syT, $ е S. Рассмотрим цикл длины v в подстановке, определяемой элементом х:

У,Т, у2Т = xytT, ..., у„Т = х'^у^, х'у^ = у,Т,

где xxyYT * ytT для 1 ^ X < v. Следовательно, Ух^Ух е Т, но у7 ^Ух ^Т для 1 ^ X < V. Для z е S положим: X (z) = z~‘Xz П Т. Если порядок элемента х равен п, то порядок X(yt) равен n/v. Тогда из равенства

уТ^у. = уТ^+Ч^х^Ух = уТ^Ух

следует, что X(yt) = X(y2)= ... = X(yv). Кроме того, X(yt) = = t-‘X(y)t для tel.

Пусть теперь z^, ..., гД — другой цикл с z1+1 = xzt. Допустим, что существует такой элемент v е Т, что Х(у,) П v~lX(zt) v Ф Ф1. Тогда найдутся такие a, ^, что

v^Zx ^^Zjf = у^я^Ух Ф 1-

Из предположения (•) следует, что

y1f~1z^1 = х-'t для некоторого у и л^н = zSv.

Далее,

ztT = х^у^Т = хту,Т = у1+тТ,

где 1 + у рассматривается modv; следовательно, ztT принадлежит

*) Максимальность вытекает из следующего свойства (Ь).— При-

одному с z/iT циклу. Это доказывает, что группы Х(г/1), отвечающие различным циклам, имеют тривиальное пересечение, т. е. обладают свойством (с).

Элемент з~1ххз еТ (seS) принадлежит той из подгрупп Xf, которая соответствует циклу с началом sT. Этим доказано свойство (Ь). □

Теорема (Зингерман [Singerman 1970]; Циммерман [Zimmermann 1977, Satz 4.4]). Пусть S и G— те же, что в 11.1.1, и пусть S содержит только сохраняющие ориентацию элементы, a G обладает компактной фундаментальной областью. Выберем элементы x,eS, 1 С i С m, порождающие максимальную систему попарно не сопряженных максимальных конечных {циклических) подгрупп группы S. Обозначим через к; порядок элемента х„ и пусть q, Р, О, Р* и Т — те же, что в 11.5.1. Предположим, что подстановка Q{x,) состоит из к, циклов, длины которых меньше к,. Если длины этих циклов равны ki/кц, ..., к^куц с hxi > 1, то-.

Т является подгруппой группы S и имеет сигнатуру

^?j ^j kv* Ац, ...,k^^ ..., kmi, ...,kmhm' 0; 0^, где y находится из равенства

2т - 2 + 2 2 (‘ - У - 42^-2 + 2 (‘ - х)]-

Всякая подгруппа Т конечного индекса в S может быть получена описанным в (а) способом.

Доказательство. Применяя лемму 11.5.1 к каждому из элементов х„ мы получим к, попарно не Т-сопряженных подгрупп конечного порядка. Так как группы, порожденные различными х„ не S-сопряжены, то полученные таким образом 2 к^ максимальных конечных подгрупп группы Т не Т-сопряжены. Поэтому теорема 11.5.2 следует из обобщенной формулы Римана— Гурвица (11.2.2), которую надо применить дважды для сравнения групп S и Т со свободной от кручения подгруппой конечного порядка группы Т. □

Вышеуказанный результат легко обобщить на тот случай, когда G не обладает компактной фундаментальной областью. В этом случае сначала нужно найти число гиперболических п параболических дыр факторповерхности, соответствующей подгруппе. Для этого можно снова воспользоваться леммой 11.5.1. Этот метод позволяет обобщить формулу Зингермана [Singerman 1970] на тот случай, когда группа S не предполагается фуксовой.

Упражнение 11.9.

Дальнейшие приложения теоремы о продолжении

Докажем сначала лемму о целых числах, которой нам придется несколько раз воспользоваться.

Л е м м а. Пусть а, Ь, с, Л, >2, g>0, ^>1 и 2g — 2 + ^ ^1 — у-^ > 0. Допустим, что каждое из чисел а, Ь, с делит одно из h,. Тогда, если выполнено неравенство

(Ц.6.2)1—|—L

справедливы следующие утверждения'.

g = 0, 3<m<4.

Если m = 4, то q = 1 и для некоторого i С 4

max {/i,!l С/ С 4, / i} < min (а, b, с),

а числа а, Ь, с делят h,.

Если тп = 3 и ht = h2 = h3, то q = 1, а = b = с = h, и в (11.6.2) имеет место равенство.

Доказательство. Так как левая часть неравенства (11.6.2)

меньше 1 0^(1—т0 8^^ и т^1- Без потери

общности можно считать, что alA,. Если g=l, то (11.6.2) приводит к противоречию:

Следовательно, g = 0. Из этого, в силу неравенства 2g — 2 + + ^ fl — -%-} > 0, вытекает, что m > 3. Но тогда

0>—L0>—L11 , "V Л 1 \* , т-3 ш —5

0>—L

0>—L

Таким образом, тп < 4, и пункт (а) доказан.

Пусть теперь тп = 4, а> Ь> с и h, ^ Н2 5= h3 > ht. Тогда 2<a^ht и из (11.6.2) вытекает, что

Ч h» Ь4

+ (5-i)2(i-^)>V + to-*)-2;

следовательно, q=\. Если h2 5® с, то получаем противоречие:

таким образом, h2<c. Этим доказан пункт (Ь).

Предположим теперь, что m = 3. Если hv = h2 = h3, то а, 6,

откуда следует, что g = 1, а = Ь = с = й,, и что в (11.6.2) имеет место равенство. □

Укажем теперь еще несколько случаев, когда расширение фуксовой группы есть фуксова группа. Нам потребуется диаграмма (1) из п. 11.3.1:

5с-S

(11.6.3)Л U , U U

где D — треугольная группа. D — полутреугольная группа и ф — эпиморфизм. Группы F' и F являются фундаментальными группами замкнутых ориентируемых поверхностей рода g' и g соответственно. Положим g:=[S:D]. Достаточно рассмотреть случай, когда S состоит из преобразований, сохраняющих ориентацию, см. 11.4.4 и 11.4.7.

Предложение. Пусть S и F — то же, что в п. 11.1.1, и пусть (g; mt й,, ..., й„) — сигнатура группы S, причем й, 5= й2 5=... 5= йт. Предположим, кроме того, что элементы группы S сохраняют ориентацию и что F обладает компактной фундаментальной областью. Тогда;

Группу S можно реализовать фуксовой группой в каждом из следующих случаев;

(i) g > 0 или т^5,

(И) т = 4 и 1г-^0,

(Hi) т = 3 и й, = й2 = й3.

Если S нельзя реализовать фуксовой группой и т = 4, то S является полутреуголъной группой, и всякая ее нормальная подгруппа конечного индекса свободна от кручения.

Доказательство. Если S нельзя реализовать фуксовой группой, то не существует S-простой оси, см. п. 11.4.2, и S содержит полутреугольную подгруппу D: имеет место ситуация, изображенная на диаграмме (11.6.3). Группа F является группой без кручения и имеет конечный индекс в D; следовательно, она представляет собой фундаментальную группу замкнутой ориен- тпруемой поверхности, род которой, скажем, равен g. Если г := [D : F] = (D : F'], то, в силу классической формулы Римана —

Гурвица, имеет место равенство

(«г(*-т-т-т)-2?-2.

где (0; 3: а, Ь, с) есть сигнатура группы D.

Гомоморфизм if: F -► F' сюръективен и (2)2g —2 > 2g' —2,

где 2g' есть ранг группы F'. В (2) имеет место равенство тогда и только тогда, когда ip, а значит и <р, есть изоморфизм, т. е. группа D является треугольной. Так как q = [S: D], то получаем, что [S:F'] = rg, и обобщенная формула Римана — Гурвица 11.2.2

принимает теперь вид

(3)2g'-2 = r-q 2g-2

Из (1) —(3) получаем, что

(4)(4)

(4)

(4)

причем равенство имеет место в том и только в том случае, если ф и ф — изоморфизмы, т. е. D^D.

В силу 11.6.1 (a), g = 0 и т^4. Если g = 0, m = 3 и ht = = hz = h3l то, в силу 11.6.1 (с), q = 1, т. е. S = D, и в (4) имеет место равенство. Последнее означает, что D = D; таким образом, группа S = D является треугольной.

Если т = 4, то, в силу 11.6.1 (b), l = g = [S:D], т. е. S = D. Кроме того,

и, следовательно,и, следовательно,

и, следовательно,

и, следовательно,

Допустим, что S содержит нормальную подгруппу N * S конеч ■ него индекса, обладающую нетривиальным кручением. Если группа N изоморфна фуксовой группе, то, в силу 11.4.5, группа S также изоморфна фуксовой группе. В противном случае N, а значит и S, содержит полутреугольную группу конечного индекса. Но предыдущее рассуждение показывает, что всякая такая группа должна совпадать с S. □

Замечания, (а) Если S является полутреугольной группой с m = 4, то S нельзя реализовать фуксовой группой. Иначе, как следует из теоремы о ранге (Печински, Розенбергер и Цишанг [Peczynski — Rosenberger — Zieschang 1975, Satz 3]), S имела бы сигнатуру (0; 4: 2, 2, 2, 2Z+ 1). Профакторизовав

по любому элементу конечного порядка, мы получили бы нециклическую группу, что противоречит тому предположению, что S является полутреугольной группой и, таким образом, порождена двумя элементами конечного порядка. (Кажется сомнительным, чтобы полутреугольная группа имела сигнатуру с m = 4, но нам не удалось исключить такую возможность.)

Из 11.6.4, 11.4.2, и 10.9.22 мы можем сделать вывод о том, что следующие два утверждения равносильны:

не существует S-простой оси;

группа S является полутреугольной с m = 3 или 4.

То, что существуют расширения фуксовых групп, не имеющие собственных нормальных подгрупп с нетривиальным кручением, показано в п. 11.3.8. В указанных там примерах расширения также являются фуксовыми группами.

Теперь рассмотрим более детально случаи, для которых проблема расширения здесь еще не решена.

11.6.6. Следствие. Пусть S — расширение группы F, содержащее только сохраняющие ориентацию элементы, и пусть S имеет сигнатуру (0; 3: Ль й2, ^3). Кроме того, предположим, что S содержит полутреуголъную группу D и что существует эпиморфизм треугольной группы D с сигнатурой (0; 3: а, Ь, с^на группу D, ядро которого свободно от кручения. Пусть индекс [S : D] = = q. Тогда либо группа S геометрически изоморфна фуксовой группе, а именно — треугольной группе, либо выполнены следующие условия;

Каждое из чисел а, Ь, с делит одно из чисел h,.

1Г^0(1:т> 0.

Если в неравенстве (Ь) имеет место равенство, то группа D = D является треугольной.

Не существует такой подстановки ^ ^ ) ), что а^Ь^, b^h^ и с /1,з.

Какие-то два из чисел а, Ь, с (если не все три) делят одно и то же число hv

Доказательство. Утверждения (а) —(с) уже были доказаны в ходе доказательства предложения 11.6.4. Если а^Ьц^ b^hi2 и c^hia для некоторой подстановки из (d), то, в силу (Ь),

следовательно, q = 1, и в (Ь) имеет место равенство, т. е. D = = D = S — фуксова группа; противоречие. Этим доказан пункт (d). а пункт (е) непосредственно следует пз (d). □

Предложение. Пусть S — расширение, описанное в п. 11.1.1. Допустим, что все элементы группы S сохраняют ориентацию и S имеет сигнатуру (0; 3: hv, h2, h3). Пусть D с S —

полутреугольная группа с сигнатурой (0; 3: а, Ь, с), и q = = [S : D] > 1. Пусть D — треугольная группа сигнатуры (0; 3: а, Ь, с; 0; 0), и пусть существует эпиморфизм D -► D со свободным от кручения ядром.

Тогда либо группа S (геометрически) изоморфна фуксовой группе, либо D = D, и имеет место один из случаев, перечисленных в таблице 11.6.1.

Таблица 11.6.1

Сигнатура группы S

Сигнатура группы D

o

Условия на ht

j5

Доказательство заканчивается в п

(a)

(0; 3: 7, 2, 3)

(0; 3: 7, 7, 2)

(0; 3: ht, hjl, 2)

g

11.6 11

(b)

(0; 3: hv 2, 3)

3

2| hu hx>1

Л-

и'б'н, 24

(c)

(0; 3: hv h2, 2)

(0; 3: Ai,

2

2 | h2, у —

+

11.6.12

hu h,J2)

—A — JL>o

(d)

(0; 3: 3, 7, 2)

(0; 3: 3, 3, 7)

8

11 6.14

(e)

(0; 3: 4, 5, 2)

(0; 3: 4, 4, 5)

6

+

11.6.15, 24

(f)

(0; 3: 7, 7, 2)

(0; 3: 7, 7, 3) (0; 3: 8, 8, 3)

16

11.6.17

(g)

(0; 3: 8, 3. 2)

10

-j-

11’бЛ7, 24

11.6.18, 24

(h)

(0; 3: hx, 3, 2)

(0; 3: Aj/2,

2(hi, hT>7

4-

hJ2, 3)

11.6.18, 24

(i)

(0; 3: hy, 3, 2)

(0; 3, hv h^, 3)

3|A„ h,>7

+

(j)

(0; 3: hx, 3, 3)

(0; 3: hi, hv h^

3

hi>4

+

11.6.20, 24

(k)

(0; 3 hx, 4, 2)

(0; 3: hv hv hi№

4

2|/ц, A^S

+

11.6.21, 24

(0; 3: 5, 4, 2)

(0; 3: 5, 5, 5)

8

(I)»

(0; 3: 7, 3, 2)

(0; 3: 7, 7, 7)

11.6.23

(n)

(0; 3: 8, 3, 2)

(0; 3. 8, 8, 4)

12

.6.23

(0)

(0; 3. 9, 3, 2)

(0; 3- 9, 9, 9)

12

11.6.23

(p)

(0; 3: h^ 3, 2)

(0; 3: h^a,

6

a 1-0 f-Y=6,

+

11*6.23, 24

Ai/0, A^Y)

a | Ai, 01 hi. T\h1,h1>7

Доказательство. Нам нужно рассмотреть несколько случаев.

hi = а ■ а = 0 • Ъ, h2 = y • с, где а, 0, у е Z-

Применим к действию группы S в S/D теорему 11.5.2. Из нее следует, что циклы, определяемые элементом, который соответствует h3, имеют длину h3. Элементы, соответствующие hu задают два цикла длины а и 0, а все остальные циклы имеют длину hi. То же верно для h2. Таким образом, получаем:

1 = а 4-0 mod/ih 2^a.-V^<2ht;

ц = ц mod h2,1 ^ у < h2;

q = 0 mod h3.

Группа S содержит нормальную подгруппу индекса, не превосходящего [S : D]!, и содержащуюся в D.

Утверждение 11.6.10 вытекает из существования представления группы S в группе подстановок, действующей на смежных классах группы S по D. Докажем теперь, что:

h, = 2, или имеют место случаи (а), (Ь) из таблицы 11.6.1.

Допустим, что Л3>3. Тогда q 5= 3. Из 11.6.6. (Ь) получаем,

а2 a3 + w a, a2 Aj-

поэтому 0 > 1 — -^у-. Отсюда следует, что Л2 = 2, 7 = 1 и

Л, = 3. Так как выражение для площади 1 —^^-^- должно

принимать положительное значение, то Л1>7. Из 11.6.9 следует теперь, что 31 q и q= 1 mod 2. Если q > 3, то q > 9 и

2 hihi 2\42

+ (q - 9)- T-) > 9

или, что то же, 7/ht> 1, причем равенство имеет место только для q = 9 и а + р = 2. Это случай ht = 7, а = р = 1. Таким образом, мы получили равенство в 11.6.6 (Ь).~

Следовательно, S есть расширение треугольной группы D = = D, имеющей сигнатуру (0;3:7,7,2), и [S:D] = 9. Группа S имеет сигнатуру (0; 3:7, 2,3). Это случай (а) из таблицы 11.6.1.

Для q = S имеем

1 « + Р ±^чИ П_±__3_

Т7"26- 2 А/

Отсюда следует, что а + р < 3, и, поскольку 3 = ? = а + р mod ht, ht > 7, мы заключаем, что а + р = 3. Поэтому в указанной формуле имеет место равенство. Следовательно, S имеет сигнатуру (0; 3: hi, 2, 3) и содержит треугольную группу D = D сигнатуры (0; 3: h,, ht/2,2) в качестве подгруппы индекса 3. Это случай (Ь) из таблицы 11.6.1.

Предположим теперь, в дополнение к условиям 11.6.8—10, что /i3 = 2. Если 7> 1, то

JИ

—A, Aa+wЧ"Г

Из этого следует, что а+р = 2, 7 = 2, q = 2 и что в 11.6.6 (Ь) имеет место равенство. Следовательно, S содержит треугольную группу D = D сигнатуры (0; 3: ht, ht, hJ2^ в качестве подгруппы индекса 2. Таким образом, подгруппа D нормальна, и из 9.7.1 542

или из 11.4.7 следует, что группа S фуксова, поэтому S является треугольной группой сигнатуры, (0; 3: ht, h2, 2). Это случай (с) из таблицы 11.6.1. Так как 9 > 1, мы можем в дополнение к 11.6.8—10 предположить, что

Л3 = 2, 7 = 1, q >4.

Предположим теперь, что ht = 3. Тогда h2>l и q >8, так как 9 = lrnod/i2. Далее, из 11.6.6 (Ь) следует, что

следовательно, 7 > й2, 9 = 8, а + р = 2. В этом случае имеет место равенство. Поэтому S имеет сигнатуру (0; 3: 3, 7, 2) и содержит треуголъую группу D = D сигнатуры (0;3:3,3, 7) в качестве подгруппы индекса 8. Этот случай (d) из таблицы 11.6.1.

Предположим теперь, что /г, = 4. Тогда й2^5 и 9 >6, так как 9 = lmod/i2. Из 11.1.6 (Ь) вытекает:

Следовательно, 5/Л2 5= 1. Это означает, что h2 = 5, и что в приведенной формуле имеет место равенство, так что 9 = 6 и а + Р = 2. Следовательно, S имеет сигнатуру (0; 3: 4, 5, 2) и содержит треугольную группу D = D сигнатуры (0; 3: 4, 4, 5) в качестве подгруппы индекса 6. Это случай (е) из таблицы 11.6.1.

Предположим, что /^ = 5. Тогда Л2>4 и 9 > 6, так как 2I9 и 9^1mod/i2. В силу 11.6.6 (Ь),

, _ _2Lс Л_ J*_1_\ =_ _6_

5Л2Д 5\2'5 V

и, следовательно, Л2 = 4. Получаем противоречие: 2I9 и 9 = 7 = = 1 mod 4.

Рассмотрим теперь случай, когда ht 5= 6. Так как Л2 > ^ 3, то 9^4. Далее, из 11.6.6 (Ь) получаем

.23 . 23. .

из этого вытекает, что 0^1—ТГ' т‘е" ^/2 га2.

Следовательно, Л2 = 3 или 4. Так как 9 = 1 mod h2 и 219, остается единственная возможность h2 = 3; из этого следует, что ht 5= 7 и 9 = 4, 10, 16, ... Если 9 > 10, то

1 —Т|->1оЦ- —+ р/1 —-^Л где ^°-

п оb п_ ) I п /

Вычеркнув член с и, получим, что hi ^ 8. Если р > 2, то 6 > ht; таким образом, v = 0 или 1. При v = 1 имеем hi = 7, а = ^ = 1, н имеет место равенство. Следовательно, S имеет сигнатуру ■(0; 3: 7,3,2) и содержит треугольную группу D = D сигнатуры

(0; 3: 7, 7,3) в качестве подгруппы индекса 16. Это случай (i) из таблицы 11.6.1.

Если v = 0, то q = 10. В этом случае hi не может равняться 7, так как а и р делят Н^ тогда а, ^ равнялись бы 1, но 2 = а + р * q = lOmod 7. Если А, = 8, то а = Р = 1 ив 11.6.6 (Ь) имеет место равенство. Следовательно, S имеет сигнатуру (0; 3: 8, 3, 2) и содержит треугольную группу D = D сигнатуры (0; 3: 8, 8, 3) в качестве подгруппы индекса 10. Это случай ^ из таблицы 11.6.1.

Если q = 4, то 1 —^—^ ^>4^— -y-j, следовательно. 4>а + р. Так как, в силу 11.6.9, 4 = q = а+ ^mod hi и hi 5= 7, то а+р = 4 и в 11.6.18 имеет место равенство. Таким образом, возможны два случая:

группа S имеет сигнатуру (0^3:/it, 3, 2), где 2\hi, h, ^ 8, и содержит треугольную группу D = D сигнатуры (0; 3: hJ2, hi/2, 3) в качестве подгруппы индекса 4. Это случай (h) из таблицы 11.6.1

Группа S имеет сигнатуру (0; 3: hi, 3, 2), где 3|Л1, /ii 5= 9, и содержит треугольную группу D = D сигнатуры (0; 3: ht, ht/3, 3) в качестве подгруппы индекса 4. Это случай (i) из таблицы 11.6.1.

В обоих случаях группа S геометрически изоморфна фуксовой группе, как следует из 9.7.1 или 11.4.7, так как всякая группа порядка ^ 4! = 24 разрешима. На этом рассмотрение случая 11.6.8 закончено.

ht = а • а = ^ • b = у ■ с. Тогда Л, > 3, Л21?, Л31? и q = а + р + у mod h,. Таким образом, q^3.

Рассмотрим сначала тот случай, когда ^ = 3, так что h2 = h3 = q, а = р = у = 1 и в 11.6.6 (Ь) имеет место равенство. Тогда S имеет сигнатуру (0; 3: h^ 3, 3) и содержит треугольную группу D = D сигатуры (0; 3: ht, ht, hi) в качестве подгруппы индекса 3. Это случай (j) из таблицы 11.6.1. Подгруппа D нормальна в S; поэтому группа S геометрически изоморфна фуксовой группе, как следует из 9.7.1 или НАЛ. (Чтобы сделать этот вывод, нам не требуется нормальность группы D в S, поскольку пересечение N подгрупп, S-сопряженных с D, есть нормальная подгруппа индекса С 3! = 6, и поэтому S/N — разрешимая подгруппа. Так как N есть фуксова группа, то мы можем применить указанные теоремы к расширению S группы N.)

Предположим теперь, что q = 4. Тогда из 11.6.6 (Ъ) следует, что

Так как h3 и h3 делят q, и у- + -^- < 1, то либо h3 = h3 = 4, либо одно из h, равняется 2, а другое — 4; скажем, h2 = 4, h3 = 2. Предыдущее неравенство показывает, что первый случай невоз-

можен. Следовательно, Л2 = 4, h3 = 2 и Л, >5; тогда из того, что а + ? + t = 4 mod h,, следует, что а + ^ + у = 4; поэтому а = ^ = 1 и у = 2, и 2l/ij. В этом случае в 11.6.6 (Ь) имеет место равенство. Таким образом, S имеет сигнатуру (0; 3: йп 4, 2), где 2|ЛЬ и содержит треугольную группу D = D сигнатуры (0; 3: ht, ht, hJ2) в качестве подгруппы индекса 4. Так как всякая группа порядка С 4! разрешима, то, как следует из 11.4.7, группа S фуксова. Это случай (к) из таблицы 11.6.1.

Допустим теперь, что q 5= 5. Если /г2>3 и h3 5= 3, то, в силу 11.6.6 (Ь),

Из этого неравенства следует, что ht С 3, в противоречие с тем, что а ^ + - < 1. Следовательно, можно считать, что h3 = 2, /г2^3 и q^G (напомним, что А3|д). Если /г2>5, то ht 5= 3, т. е. /ij = 3, h3^l и ? >8, и из 11.6.6 (Ь) получаем противоречие:

Ч \ Ч Ч Ч) 42

Таким образом, h2 = 3 или 4.

При 4 = 4 получаем, что 4 >4 и 41g; тогда из 11.6.6 (Ь) следует, что

причем равенство возможно только для а = ^ = у = 1 и q = 8. Следовательно, 4 = 5, q = 8. Таким образом, S имеет сигнатуру (0; 3: 5, 4, 2) и содержит треугольную группу D = D сигнатуры (0; 3: 5, 5, 5)е качестве подгруппы индекса 8. Эго случай (1) из таблицы 11.6.1.

Остается тот случай, когда 4 = 2, 4 = 3 и 4 5= 7. В этом случае 61g, скажем, q = 6q'. Из 11.6.6 (Ь) получаем:

1-±>1-^±1±V>6 ' / 1 _ И

^1Ч 4 ( 6 h^ I 4 hx

следовательно, ^, _ ^ ^ /ii ^ 7, либо q'= L В обоих случаях q' =5 4. Для q' = 4 существует единственная возможность: ht = 7, а = р = у, и выполняется равенство. Следовательно, S имеет сигнатуру (0; 3: 7, 3, 2) и содержит треугольную группу D = D сигнатуры (0; 3: 7, 7, 7) в качестве подгруппы индекса 24. Это случай (т) из таблицы 11.6.1.

Для q' = 3 получаем, что 1 — “ ^^ ^ ^ 3 — -^-, следовательно, ^ ^ ———~ ^~ У ^hx и й] = 7. Поэтому а = ^ = у = 1, что приводит к противоречию: 3 = а + Р + у^д = 18mod7.

35 х Цишанг и др545

Пусть теперь q' = 2. При помощи 11.6.6 (Ь) получаем, что 7 С hi С 9 и а + ^ + 7 = 12 mod h^ где а, £, 7 делят /г,. Возникают две возможности: ht = 8, а = ^ = 1, 7 = 2 и ht = 9, а = ^ = = 7 = 1. Получаем следующие два случая:

группа S имеет сигнатуру (0; 3: 8, 3, 2) и содержит треугольную группу D = D сигнатуры (0; 3: 8, 8, 4) в качестве подгруппы индекса 12. Это случай (п) из таблицы 11.6.1.

Группа S имеет сигнатуру (0; 3:9,3,2) и содержит треугольную группу D = D сигнатуры (0; 3: 9, 9, 9) в качестве подгруппы индекса 12. Это случай (о) из таблицы 11.6.1.

Для q' = 1 формула 11.6.6 (Ь) дает неравенство

, а + Р + т^, _ 6 .

следовательно, 6 > а + ^ + 7. Кроме того, « + ^+7^5 = 6 mod ht и /г, > 7. Это доказывает, что а+р + 7 = 6 и что в 11.6.6 (Ь) имеет место равенство. Таким образом, S имеет сигнатуру (0; 3: hh 3, 2), где /г, >7, и содержит треугольную группу D = D сигнатуры (0; 3: hja, hj^, hj^ в качестве подгруппы индекса 6. Здесь а+р + 7 = 6 и а, р, 7 делят h„ Это случай (р) из таблицы 11.6.1.

На этом доказательство предложения 11.6.7 закончено. □

В части случаев, перечисленных в предложении 11.6.7, можно непосредственно заключить, что не только группа D, но и группа S фуксова. Нам потребуется следующая конструкция.

Пусть G — группа и U <= G — ее подгруппа индекса q. Формула xU -* gxU, где х пробегает элементы группы G, a g — фиксированный элемент группы G, задает подстановку 6 (g) смежных классов. Тем самым определен гомоморфизм 9: G -* Sq. (Ср. п. 11.5.1.)

Применим эту конструкцию, взяв S в качестве G, и D — в качестве U. Можно даже считать, что образ группы S есть знакопеременная группа А, <1 Sq. В противном случае нужно сначала рассмотреть прообраз группы Aq. Если он является фуксовой или неевклидовой кристаллографической группой, то, в силу 11.4.7, то же верно для S.

Поскольку наименьший порядок неразрешимой группы равен 60, то как следует из 11.4.7, S можно реализовать фуксовой группой при q С 4. Этим доказана часть (1) следующей леммы:

Лемма. Группу S можно реализовать фуксовой группой в следующих из перечисленных в таблице 11.6.1 случаев:

(Ъ), (с), (h), (i), (j), (k),

(P),

(e), (g).

Доказательство. Пункт (2) следует из того, что элементы группы Л, имеют порядки 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

Рассмотрим случай (е). Применим теорему 11.5.2 к действию группы S в S/D, причем можно считать, что встреча-

ются только четные подстановки. (Здесь D есть группа Т из

11.5.2.) Образующий порядка 2 группы S задает четную подстановку порядка 2 или 1. В обоих случаях найдутся по крайней мере два неподвижных смежных класса, и потому стабилизатор всякого смежного класса содержит по крайней мере две несопряженные максимальные циклические подгруппы порядка 2. Это противоречит тому, что D является таким стабилизатором, но не содержит максимальных циклических подгрупп порядка 2.

В случае (g) рассуждение проводится аналогично. Элемент порядка 8 задает в Л10 подстановку, состоящую из циклов длины

, 2, 4 или 8. В силу предположений о сигнатуре группы D, циклы длины 2 и 4 можно исключить, и имеются два цикла длины 1. Следовательно, найдется один цикл длины 8, и мы получим нечетную подстановку. □

Результаты пп. 11.4.2, 11.4.7, 11.6.6 и 11.6.7 можно подытожить таким образом:

.6.25. Теорема. Пусть S — эффективное конечное расширение фуксовой группи конечного типа.

Если все элементы группы S сохраняют ориентацию, то возможны следующие случаи;

(aj Группу S можно реализовать фуксовой группой.

(а2) Группа S является полутреуголъной. Всякая ее нормальная подгруппа конечного индекса свободна от кручения. Кроме того, либо S содержит треугольную группу в соответствии с таблицей 11.6.1, либо S не содержит собственной подгруппы, которая была бы полутреуголъной группой. (В первом случае m = 3, во втором — m = 3 или 4.)

Если S содержит элементы, обращающие ориентацию, то либо S есть неевклидова кристаллографическая группа, либо ее подгруппа (индекса 2) сохраняющих ориентацию элементов принадлежит к описанному в (а2) типу. □

Упражнения 11.10, 13.

Упражнения

Покажите, что отображение К —»- Ш, zw zn, имеет индекс п в начале координат:

для индекса, определенного в п. 11.2.8;

для обычного идекса, п. 11 2.9.

Докажите утверждения 112.12 (а), (Ь).

Пусть S — эффективное расширение фундаментальной группы F замкнутой ориентируемой поверхности F рода g > 1 при помощи конечной группы А (эффективность означает, что для se S из того, что s-,/s = 1 при всех / е F, следует, что $ = 1). Докажите, что:

группа А эффективно действует на Hy (F) = F/[F, F] = Z28;

S/[F, F] есть кристаллографическая группа.

(Меллис — Шадовски — Цишанг. По поводу доказательства см. п. 4.15.1 ж § 85.)

Рассмотрим гомоморфизм

<S1' $2’ *3’ %’ V S6 I $, = $1 • ' ' $6 = 0Z2«

35»35»547

35»

35»

Z2= {1,—1}, »,•—-!. Ядро его представляет собой фундаментальную группу замкнутой ориентируемой поверхности F, рода 4, и S] задает (с точностью до изотопии) гомеоморфизм Ft-*Ft. Найдите классы неподвижных точек и их индексы.

Пусть G— фуксова группа с компактной фундаментальной областью и F — такая ее свободная от кручения нормальная подгруппа конечного индекса, что G/F — циклическая группа. Тогда образующие группы G/F можно реализовать преобразованием конечного порядка замкнутой римановой поверхности F с л^ = F. Опишите классы неподвижных точек и их индексы.

Найдите треугольную группу D с тем свойством, что всякая ее нормальная подгруппа U, содержащая нетривиальный элемент конечного порядка, совпадает с D.

Докажите утверждение об осях симметрий, сформулированное в конце доказательства теоремы 11.4.4.

Докажите утверждение из замечания 11.4.11.

Докажите теорему, аналогичную теореме 115.2, для произвольных фуксовых групп конечного типа. (Воспользуйтесь подстрочным примечанием на с. 454.)

Пусть F — замкнутая ориентируемая поверхность рода 2. Тогда всякую конечную группу А классов преобразований можно реализовать группой преобразований.

Пусть V — тело с ручками. (Следовательно, Л[У есть свободная группа, ранг которой равен роду края дУ.) Приведите пример конечной группы А с Out П] V, которую нельзя реализовать группой гомеоморфизмов тела V.

Пусть F — компактная поверхность с краем и А — конечная группа классов преобразований. Покажите, что, вообще говоря, не существует простых осей, не параллельных прямой, которая соответствует краю.

Пусть F — поверхность и А — циклическая группа классов преобразований, имеющая простой порядок р. Тогда в nJ найдутся элементы, которые под действием группы А переходят в свои сопряженные; однако, вообще говоря, простой оси не существует. (Это контрастирует с ситуацией, возникающей в случае бесконечной циклической группы классов преобразований: если в niF существует элемент, инвариантный относительно некоторой нетривиальной подгруппы, то существует простая ось, см. Йохан- сон [Johannson 1979, Lemma 6.6].)

Определите понятие, аналогичное «простой оси», в случае тора, и выясните, существует ли простая ось для группы классов преобразований, если А — конечная или бесконечная циклическая группа.

О КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ КЛАССОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ТРЕХМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЙ:

НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Естественно попробовать применить результаты о конечных группах классов преобразований поверхностей к расслоенным трехмерным многообразиям. При этом возникают новые интересные аспекты, поскольку некоторые конечные группы классов преобразований трехмерных многообразий нельзя реализовать. Несколько таких «контрпримеров» мы опишем в § 12.2, большинство их заимствовано из литературы. В этой главе мы не предполагали давать полную сводку результатов или приводить исчерпывающие доказательства, поэтому мы будем часто отсылать читателя к статьям по трехмерной топологии.

В § 12.1 мы изучим конечные группы классов преобразований тех трехмерных многообразий, которые локально тривиально расслаиваются над окружностью (расслоения Столлингса), и дадим прямое доказательство того, что нильсеновская проблема реализации в этом случае решается положительно, если выполнены некоторые заведомо необходимые условия, см. теорему 12.1.1. Ситуация усложняется в случае расслоенных пространств Зайферта, т. е. трехмерных многообразий, слоеных на окружности. Для простоты мы ограничимся тем, что обсудим только свободные от кручения расширения фундаментальной группы, см. теорему 12.3.1. Кроме того, мы сформулируем несколько результатов, имеющихся в литературе, и укажем еще некоторые возможные приложения теорем, доказанных в предыдущих главах.

В § 12.4 будут рассмотрены трехмерные многообразия, допускающие как локально тривиальное расслоение над S*, так и «двойственное» расслоение Зайферта. Мы покажем, что конечную группу классов преобразований можно реализовать группой преобразований, сохраняющих расслоение Столлингса и подходящее расслоение Зайферта, отличное, вообще говоря, от исход-

Конечные группы классов преобразований расслоенных трехмерных многообразий

Пусть М — компактное трехмерное многообразие, локально тривиально расслаивающееся над S1. Тогда М неприводимо и его фундаментальная группа содержит конечно порожденную нормальную подгруппу, факторгруппа по которой изоморфна Z-

В силу важной теоремы Столлингса [Stallings 1962], эти свойства (почти) характеризуют расслоенные трехмерные многообразия, см. также Хемпел [Hempel 1976, 11.12]. Мы рассмотрим конечные группы классов преобразований многообразия М и возможности их реализации конечными группами послойных гомеоморфизмов. Основной наш результат сформулирован в виде теоремы 12.1.1, доказательство которой заканчивается в п. 12.1.19. Теорема 12.1.1 представляет собой обобщение одного результата Толлефсона [Tollefson 1976].

Теорема (Цишанг и Циммерман [Zieschang — Zimmermann 1979]). Пусть М — трехмерное многообразие, расслоенное над S1 с компактной поверхностью F в качестве слоя. Допустим, что группа F = лД7 бесконечна. Тогда-.

Конечная группа X классов преобразований многообразия М допускает реализацию группой послойных гомеоморфизмов многообразия М в том и только в том случае, если выполнены следующие условия:

Фундаментальная группа F слоя инвариантна относительно действия группы А в Л1 (М) = G. Мы запишем это при помощи включения Q(A) с Out* (G, F).

Существует расширение с абстрактным ядром (A, G, Q|A).

Если условия (i) и (it) выполнены, то всякое расширение с ядром (A, G, Q|A) можно реализовать группой послойных гомеоморфизмов универсального накрытия многообразия М.

В и. 12.2.1, 2, 5 приведены примеры многообразий и конечных групп классов преобразований, для которых не выполнены условия 12.1.1 (i) и (И).

В этой книге мы докажем теорему 12.1.1 при дополнительном условии (Hi), возникающем из-за того, что наши методы не позволяют решить нильсеновскую проблему реализации во всех случаях. Однако теорема в том виде, в каком мы ее сформулировали, следует из теоремы Керкхсфа 11.1.7. В нужных местах мы укажем, где используется теорема Керкхофа. Наше дополнительное условие состоит в следующем:

(Hi) Пусть 1 -* G -* Е -► А 1 — некоторое расширение с абстрактным ядром (A, G, QIA), и пусть ТЕ — подгруппа элементов конечного порядка в Е/F, тривиально действующих в G/Fs?. Тогда ТЕ можно реализовать группой гомеоморфизмов слоя F.

К сожалению, доказательство теоремы 12.1.1 распадается на несколько частей, поскольку нам приходится использовать различные рассуждения в случаях «евклидова» слоя, т. е. тора или бутылки Кляйна, и «гиперболического» слоя.

Мы начнем со второго случая и вернемся к «евклидову» случаю в п. 12.1.19. Таким образом, мы делаем следующее

Предположение. Слой F является компактной поверхностью гиперболического типа. В частности, его фундаментальная группа F = KtF имеет тривиальный центр и не содержит циклических нормальных подгрупп.

В этом случае универсальное накрывающее многообразия М можно отождествить с Н X R. Сейчас мы опишем связь между М и Н х Р.

Определение, (а) Пусть V — группа гомеоморфизмов и <р — отдельный гомеоморфизм плоскости Н. Для aeR определим фа: HxR->-HxK формулой фа(^, г) = = (ф(х), r + а). Положим Vo = {ф01ф G ЧЧ, где ф0(я, г) = = (ф(я), г), и обозначим через Тд^фа группу гомеоморфизмов пространства Я X К, порожденную группой Vo и элементом фа. (Она изоморфна полупрямому произведению групп V и Z-)

(Ь) Многообразие М можно построить, отождествив у цилиндра FXI верхнее и нижнее основания при помощи гомеоморфизма Ф поверхности F, т. е. М = (FX ^/Ф. Эквивалентный способ состоит в том, чтобы отождествить точки (ж, г) и (Ф(х), г + + 1) в произведении F X R. Пусть ф: Н->М — поднятие гомеоморфизма Ф в универсальное накрытие. Тогда сопряжение с Ф индуцирует автоморфизм а группы F.

Следующая лемма легко выводится пз вышеприведенных определений и замечаний.

Лемма, (а) Группа С = Г05ф1 есть группа скольжений универсального накрытия Нхй многообразия М; следовательно, М = (Н X R)/Fo Q фР Если заменить Ф изотопным гомеоморфизмом Ф' поверхности F, и если ф' есть поднятие гомеоморфизма Ф', то многообразия (Н X W)/Fo Q Ф1 “ (Н X IR)/F0 Q ф1 гомеоморфны; в частности, найдется такой гомеоморфизм с поднятием у: Н х К-»-И х R, что автоморфизм группы F, заданный формулой /е у-1/оу, является внутренним, и Т-1Ф1Т = ф/.

(Ь) Группа скольжений G обладает заданием вида G = F»f := <F, t\t~4t = а(/) для всех / eF>.

Здесь /oEFgCFgQrp! соответствует элементу /eFcF»t и ф, соответствует элементу teF *t. В частности, F (и Fo) является нормальной подгруппой группы G с факторгруппой G/F ^ SZ. □

В дальнейшем мы будем пользоваться обоими заданиями группы G: рассматривая G как абстрактную группу, мы будем использовать задание (а), а рассматривая ее в качестве группы гомеоморфизмов произведения И X R, мы предпочтем (Ъ).

Пусть А — конечная группа классов преобразований многообразия М. Через Out*G обозначается группа классов «сохраняющих край» автоморфизмов (ср. 5.15.3). Обозначим через Out* (G, F) те классы из Out* G, элементы которых переводят F в F. Тогда включение & (A) cz Out* (G, F) является необходимым условием того, что А можно реализовать группой, Сохраняющих край гомеоморфизмов.

Лемма. Отображение

Q: Horneom M/Isot М -* Out* G инъективно. □

Это — следствие предложения 3.1 из статьи Вальдхаузена [Waldhausen 1968]. Из леммы 12.1.5, в свою очередь, вытекает

Лемм а. Следующие два утверждения равносильны:

Группу А можно реализовать группой сохраняющих слои гомеоморфизмов многообразия М.

(И) Существует расширение l->-G->-E^A->l, соответствующее ядру (A, G, й|А), группа Е' сохраняющих слои гомеоморфизмов произведения И X R (слои имеют вид Их(г}, г е^), для которой G<E', и изоморфизм у: ЕЕ', индуцирующий на G тождественный автоморфизм. □

Допустим, что найдется расширение 1-> G-> Е-* А-> 1. отвечающее ядру (A, G, Q|A) и такое, что Й(А) с Out* (G, F). Каждому такому расширению можно поставить в соответствие группы ТЕ и Ее, отражающие его алгебраическую структуру. Нам потребуется следующая лемма 12.1.7. Цишанг и Циммерман [Zieschang — Zimmermann 1979, 3.5] приводят ее доказательство, использующее результаты гомологической теории расширений. Здесь мы докажем ее непосредственно, следуя Хемпелу [Hempel 1976].

Лемма. Если группа X имеет центр Z(X) конечного индекса, то ее коммутант [X, X] является конечной группой.

Доказательство. Пусть хИ ..., хп образуют систему представителей смежных классов группы X по Z(X). Для g^X обозначим через g представитель класса Z(X)g. Заметим, что gh = = gh.

Далее, группа [X, X] порождена коммутаторами [х„ х,], I, / = = 1, ..., п, и содержит абелеву группу [X, X]DZ(X) в качестве подгруппы конечного индекса. Поэтому достаточно доказать, что каждый элемент группы [X, X] имеет конечный порядок. Для этого рассмотрим функцию о: X^-Z(X), заданную формулой o(g) = II ^tg^ig)'1- Поскольку каждый сомножитель x,gVxtg^-1 лежит в Z(X), то порядок сомножителей не имеет значения. Отсюда следует, что о является гомоморфизмом. Так как группа Z(X) абелева, то [X, X] с kero. Докажем теперь, что o(g) = g" для всех g е X, и, следовательно, gu = 1 для g s [X, X], т. е. что всякий элемент группы [X, X] имеет конечный порядок. Для этого зафиксируем g^X. Тогда x^g, ..., xng есть перестановка элементов хь ..., хп. Запишем ее в виде произведения циклов длины kt, k2, ..., km соответственно. Тогда, для подходящих Xi,

ст(g) = x^g^1 . .. х^тх?^, где x^a"1 г Z(X).

Следовательно, x^g*^1 = gkC и CT(g) = gfti+ ‘ +ftm = gn. □

Лемма. Пусть H = Z—имеющая конечный индекс нормальная подгруппа группы X. Пусть Т — множество элементов конечного порядка в X, действующих в Н тривиально. Тогда

Т является конечной нормальной подгруппой группы X. При этом возможен один из двух случаев;

Х/Т ^ Z,

(п) Х/Т = Z2 * Z2 = Z2 ® Z = Doo-

Случай (ii) имеет место, если не все элементы группы X действуют на Н тривиально.

Доказательство. Пусть X' — нормальная подгруппа группы X, состоящая из тех элементов, которые действуют в Н тривиально. Тогда [Х:Х']С2 и H<Z(X'). Пусть ф: X'-► -► Х'/\Х', X'] — естественная проекция. В силу леммы 12.1.7, группа [X', X'] конечна, и, следовательно, Х'/[Х', X'] Z Ф То, где |Т01<°°. Так как группа [X', X'] конечна, то Т,= = 4>-1(Т0) в точности совпадает с множеством элементов конечного порядка группы X'. Поэтому подгруппа Т, инвариантна относительно автоморфизмов группы X'; следовательно, она нормальна в X'. Если X =Х', то X/T, = Z и Т = Т,. Если X X', то группа Х/Т, является расширением группы Z при помощи Z2; поэтому она изоморфна Z, Z2*Z2 или Z Ф Z2-В первых двух случаях Т = Т,. В последнем случае Т есть прообраз слагаемого Z2 при проекции Х->Х/Т, = Z Ф Z2. □

Пусть 1->-G-> Е->-А->-1 — расширение группы G = F*f. Так как Q (А) с Out* (G, F), то подгруппа F нормальна в Е и последовательность

1->G F^Z-*E/F->E/G = А->1

точна. Применим в этой ситуации лемму 12.1.8.

Определение и лемма, (а) Обозначим через ТЕ подгруппу элементов конечного порядка группы Е/F, тривиально действующих в G/F. В силу леммы 12.1.8 группа ТЕ конечна. При этом возможен один из двух случаев;

(E/T)/Te^Z,

(Е/Т)/Те = Z2 * Z2 = Z2 Q Z = Doo.

Пусть л: Е -► E/F — проекция, и пусть РЕ = л-1(ТЕ). Тогда l-»-G^E->-A^l и 1->F->FE->TE->1 являются эффективными геометрическими расширениями. (Это значит, что; (1) для любого ееЕ автоморфизм G-»-G, заданный формулой g e-ige, лежит в Aut*G, т. е. индуцируется некоторым гомеоморфизмом многообразия М; (2) если элемент е е Е таков, что e~lge = g для всех g^G, то е е G; аналогично для FE.) При этом ТЕ можно интерпретировать как группу классов преобразований поверхности F = Н/F. Ее можно реализовать конечной группой гомеоморфизмов поверхности F тогда и только тогда, когда группа FE изоморфна некоторой неевклидовой кристаллографической группе.

Доказательство. Остается доказать пункт (Ь). Поскольку отображение Q: Homeot/K -► OutG инъективно и А —группа классов преобразований, то l-^G->-E-^A->-l представляет собой эффективное геометрическое расширение. Из этого следует, что 1-*-F-*-Fb-*-Tb-»-1 также является эффективным геомет-

рическим расширением. Действительно, п^сть /eFecE тривиально действует в F. Тогда /” = 1 для некоторого me N, так как центр группы F тривиален. Кроме того, f^tf = ct для некоторого с е F. Поэтому t = j~mtfm = cmt и, следовательно, cm = = 1. Значит, с = 1, и / действует в G = F * ( тривиально. Так как расширение l-»-G-»-E^-A^l эффективно, то / е Fe П G = F. Но отсюда следует, что / = 1 и что расширение 1 -*- F -»- Fe -> ->ТЕ->1 эффективно. То, что это расширение тоже является геометрическим, следует из теоремы Нильсена 5.8.3. □

Так как G является расширением группы F при помощи бесконечной циклической группы и FE является конечным расширением группы F, то GDFe = F. Таким образом, мы получаем следующую коммутативную диаграмму, в которой все отображения являются естественными включениями и проекциями:

11 111 111 iF ->G->G/F^Z-11 iF ->G->G/F^Z-(12.1.10)(12.1.10)I FK^II FK^II I E^EFeA-^A/ieTeI I E^EFeA-^A/ieTe111111

11 1

11 1

11 i

F ->G->G/F^Z-

11 i

F ->G->G/F^Z-

(12.1.10)

(12.1.10)

I FK^

I

I FK^

I

I I E^EFe

A-^A/ieTe

I I E^EFe

A-^A/ieTe

1

1

1

1

1

1

Эта диаграмма, лемма 12.1.9 (а) и равенства E/Fe = = (E/F)/(Fe/F) = (E/F)/Te дают нам следующее:

Лемма. В ситуациях (1) и (И) леммы 12.1.9 су- ществует такое п^ г М, что соответственно

E/Fe = Z и Х^-^Тъ = ZnE,

E/Fe = Ю» и A/iETE = DnE = Z2 Q ZnE. □

Изучим теперь геометрические свойства групп ТЕ и FE. Будем предполагать, что расширение l-»-G-»-E-»-A^-l можно реализовать группой гомеоморфизмов произведения Н X R» сохраняющих слои Н X {г}, г eR. Поэтому можно считать, что группы Fe и Е являются группами послойных гомеоморфизмов произведения Н X R. Отождествим F и G с Fo и Fo Q ^т соответственно, т. е. с подгруппами групп гомеоморфизмов. Проектируя группы Fe и Е на М = (И х R)/G, мы реализуем группы Те и А группами послойных гомеоморфизмов многообразия М.

Всякий гомеоморфизм из Е индуцирует гомеоморфизм сомножителя R из h х R, причем элементы группы F индуцируют тождественный гомеоморфизм. Так как F является подгруппой конечного индекса в Fe, то каждый элемент из FE индуцирует гомеоморфизм конечного порядка на R; это может быть тождественный гомеоморфизм или симметрия. Симметрия индуцировала бы нетривиальный гомеоморфизм на G/F; следова- 554

тельно, в силу определения 12.1.9 группы FE, элементы группы Fs отображают слой ^ X {г} на него же.

Обратно, если элемент ж е Е отображает каждый слой Н X X {г} на тот же слой, то х индуцирует на G/F тождественный гомоморфизм и некоторая степень элемента х принадлежит группе F. Следовательно, проекция элемента х в E/F лежит в ТЕ, т. е. же FE. Кроме того, группы G/F п E/Fe можно отождествить с группами преобразований R -*- R, которые индуцируются группами G и Е соответственно, и А/«ЕТЕ можно интерпретировать как группу преобразований базы 5* расслоения М S1, индуцированную группой А.

Подведем итог:

Предложение. Допустим, что расширение 1 ->G->E->A-»-l реализовано группой гомеоморфизмов произведения ^ X S, сохраняющих слои И X {г}, г е К, и отождествим А с проекцией группы Е на М = (М х R)/G. Тогда подгруппа Ef группы Е образована всеми преобразованиями из Е, отображающими каждый слой h X {г} на него же. Подгруппа ТЕ группы А состоит из всех послойных гомеоморфизмов многообразия М. □

Лемм а. Пусть l-»-G->-E-*-A-*-l и 1->G->E'-* -►А-^ 1 — расширения, отвечающие ядру (A, G, Q|A). Если ТЕ можно реализовать группой гомеоморфизмов поверхности F, то и ТЕ, можно так реализовать.

Доказательство. Группа ТЕ,/(ТЕ П ТЕ,) изоморфна подгруппе группы A/iETE, см. диаграмму (12.1.10), и потому, в силу 12.1.11, разрешима. Теперь 12.1.13 следует из теоремы 9.7.1. □

Доказательство теоремы 12.1.1 в гиперболическом случае. Допустим, что А можно реализовать группой А, послойных гомеоморфизмов многообразия М. Тогда фундаментальная группа F слоя инвариантна относительно действия группы А,; следовательно, условие (i) выполнено. Обозначим через Е группу послойных гомеоморфизмов произведения ^ X К, получающуюся из А, подъемом в универсальное накрывающее. Группа Е содержит группу G = Fo Q h^ скольжений накрытия в качестве подгруппы, и l-*-G->-E-»-A->-l является расширением с ядром (A, G, Q|A). Этим доказано условие (п). В силу 12.1.12, Fe состоит из элементов группы Е, оставляющих каждый слой Н X {г} произведения Н X R на месте. Тогда (FE | Я X {r})/(F01 Н X {г}) действует в F = = (Н х {r})/(F01М х{г}) и реализует ТЕ = FE/F, т. е. выполнено условие (iii).

Допустим, что выполнены условия (i) —(ш) из 12.1.1. Пусть l->-G->-E-»-A->-l — то расширение, для которого выполнено условие (lit). Предположим, что FE есть неевклидова кристаллографическая группа, и рассмотрим два случая из 12.1.11; при 8том заменим пЕ на п. Напомним, что G = F»t и М = = (FX[0, 1])/Ф.

Случай E/FB ^ Z- Выберем такой элемент s^E, что смежный класс FEs порождает E/Fe и t = /s” для подходящего / е F. Тогда

Е = FE *8 <FE, з] s^/s = р (/) для /е FE>, где £: FE->FE — автоморфизм. Так как А является конечной группой классов преобразований многообразия М, то элементы группы Е переводят подгруппу, порожденную краевыми петлями, в себя. В силу теоремы Нильсена 5.8.3, гомоморфизм Р: FE-> ->Fe можно реализовать гомеоморфизмом X: Н->Н.

Обозначим через Л' проекцию гомеоморфизма /X" на F = = H/F. Тогда Ф и Л' (определение Ф см. в п. 12.1.3 (Ь)) индуцируют один и тот же внешний автоморфизм группы F = л^. Поэтому, в силу теоремы Бэра 5.14.1, они изотопны. Так же, как и в 12.1.4 (а) и 12.1.3, мы можем считать, что G = = Fo Q (/X") и М = (Н X^/fFo Q (ТЛтУ

Рассмотрим группу Е' := (FE)0 Q Х1/п послойных гомеоморфизмов произведения И х R. Тогда Е' содержит группу G = = Fo Q (№1 в качестве нормальной подгруппы. Формулы £•-► •-* go для ge Fe и з ^- Х1/п задают изоморфизм группы Е = = FE *8 В группу Е' = (Fe)0 Q Х1/п, индуцирующий тождественный изоморфизм группы G = F *( = Fo Q (/Х")^ Теперь утверждение теоремы 12.1.1 легко выводится из леммы 12.1.6. Для дальнейших целей отметим такое следствие теоремы 11.1.6.

Следствие. Если степень sm элемента s индуцирует внутренний автоморфизм х g~1xg1 где g е FE, то найдется такой гомеоморфизм X: Н->Н, индуцирующий гомоморфизм Р: FE FE, что Xm = g. D

Случай E/FesZ2*Z2. Пусть s, и s2 — два такие элемента группы Е, что их смежными классами FESi порождаются сомножители произведения Z2*Za- Тогда /(з1з2)"= = t для подходящего элемента /gFe. Если з, для ге{1, 2} индуцирует внутренний автоморфизм группы FE, то без потери общности можно считать, что это тождественный автоморфизм. Далее, Е обладает заданием вида

Е = <ГЕ, зи s21 Si = jv s2 = /2 для некоторых /ь /2 е F, sf^Sj = ах (х), s^xs^ = а2 (ж) для всех х е FE) где av а2: FE -> FE — автоморфизмы.

Доказательство завершается так же, как в случае E/Fe = Z: мы реализуем группу Е группой послойных гомеоморфизмов произведения И х R, содержащей группу G скольжений накрытия Н х R-*M в качестве нормальной подгруппы. Чтобы построить такую группу, определим два гомеоморфизма 0t и 02 плоскости Н следующим образом. Если s{, ie{l, 2}, индуцирует на FE тождественный автоморфизм, то sf = 1, поскольку центр группы FE тривиален. В этом случае положим 0i = id^.

В противном случае возьмем в качестве 6, гомеоморфизм плоскости И, для которого 9i = /„ индуцирующий автоморфизм af группы FE; такой гомеоморфизм 0< существует в сплу 11.1.6.

Пусть теперь преобразования 01 и 02 действуют на первую координату точек произведения Н х R как 0, и 02 соответственно, а на вторую — как симметрии относительно точек Об R и 1/2?г е К соответственно. Пусть Е' — группа, которую порождают (Fe)0, 91 и 02; она состоит из послойных гомеоморфизмов произведения Н X R. Следовательно, О]02 = (бДК/п- Подгруппу группы Е', которую порождают Fo и ^(б^г)”, можно рассматривать как группу скольжений универсального накрытия многообразия ЛГ. Так как формулы / |-* /0 Для / G FE и Sj <-► 0Ь $2 -♦ 02 задают изоморфизм Е ->• Е', индуцирующим тождественный автоморфизм группы G, наше утверждение можно доказать так же, как и в предыдущем случае.

По аналогии с 12.1.16 отметим

Следствие. Если степень (sts2')m произведения SiS2 индуцирует внутренний автоморфизм — сопряжение с элементом f е Fe, го 01 и 02 можно выбрать так, чтобы (0,02)™ = /. □

Что касается доказательства пункта 12.1.1 (Ь), то можно начать с произвольного расширения, соответствующего ядру (А, G, Q|A), и применить 12.1.13. На этом доказательство теоремы 12.1.1 для гиперболического случая закончено. □

Доказательство теоремы 12.1.1 в евклидовом случае. Рассмотрим сначала тот случай, когда многообразие М замкнуто. Тогда слой F представляет собой тор или бутылку Кляйна. Как и в гиперболическом случае, у нас имеется расширение l->-G-^E-^A->-l, и мы можем определить группы ТЕ и Fe, как это сделано в п. 12.1.9, и получить точную последовательность 1->F->FE->TE->1. Однако этот случай отличается от гиперболического тем, что расширение может не быть эффективным. Докажем сперва, что группа FE изоморфна кристаллографической группе. Так как центр группы F не имеет кручения, то элемент конечного порядка группы FE тривиален, если он тривиально действует в F. Если F является фундаментальной группой бутылки Кляйна, то она содержит характеристическую подгруппу индекса 2, изоморфную группе Z ® Z- В силу теоремы 5.16.9 (см. также [Zieschang 1973, Prop. 9.1]), гомеоморфизм бутылки Кляйна изотопен тождественному, если он индуцирует на характеристической (соответствующей накрытию тором) подгруппе тождественный изоморфизм. Следовательно, в силу теоремы 8.5.16, группа FE изоморфна кристаллографической группе.

Если E/Fe = Z, то мы можем повторить без изменений рассуждения из 12.1.15. В случае же E/Fe = Z2*Z2 остается доказать существование двух гомеоморфизмов 0„ для которых 0i = ft, ср. 12.1.17. Пусть Fe— группа, которую порождают FE

и s,. Если s, не индуцирует внутренний автоморфизм группы FB, то, в силу 8.5.19, Fe изоморфна кристаллографической группе, и эта кристаллографическая группа содержит требуемый гомеоморфизм плоскости R2. Если группа Fe не изоморфна кристаллографической группе, то s, индуцирует внутренний автоморфизм i< группы FE.

Как следует из 8.5.19, мы можем считать, что s, тривиально действует на максимальной абелевой нормальной подгруппе U ^ ^Z®Z группы Ее и 4tos? = 1. Пусть и,, и2 — образующие группы U. Тогда ч (х) = u“uXxuibUia для фиксированных а, Ь е Z и произвольного х е Fe; сопрягающий множитель принадлежит U, так как U является максимальной абелевой подгруппой в Fe и, в частности, совпадает со своим централизатором в Fe. Далее:

2 / \ 2а 2b —2b —2а 2а 2b—1 2а 2b тт

X — Ц (х) — Ну Н% ХН^ Ну , Ну Н^ — X Ну Н^ X ^Е Uj

следовательно,

U“U2 = X-1UiUbZ.

Отсюда следует, что i((x) = x для всех zgFe, т. е. s, индуцирует на Fe тождественный изоморфизм. Теперь можно положить 0t = id,2.

Случай, когда многообразие М не замкнуто и слой F является цилиндром или листом Мёбиуса, остается в качестве упражнения 12.1. □

Замечания. (а) Инволюции многообразий, расслоенных над 5", изучались в работах Кима и Толлефсона [Kim— Tollefson 1977], Квана и Толлефсона [Kwun — Tollefson 1975] и Толлефсона [Tollefson 1976].

Рэймонд и Толлефсон [Raymond — Tollefson 1976] построили трехмерные многообразия, расслоенные над S1, у которых отсутствуют периодические преобразования.

Компактные трехмерные многообразия, расслоенные над S’, представляют собой специальные случаи многообразий, наделенных слоением коразмерности 1 с компактными слоями. Каждый слой L обладает окрестностью вида L X [0, 1] или(£Х[0, l])/g, где g индуцирует на отрезке [0, 1] отражение относительно 1/2, а на L — гомеоморфизм без неподвижных точек. В первом случае слои имеют вид L X {г}, а во втором L X {г, 1 — г). Возможные многообразия принадлежат одному из следующих типов:

Jf = FX[0, 1];

Jf = (FX[0, l])/g;

М расслоено над 5* со слоем Е;

М получено из двух многообразий типа (Ь) склеиванием по краю.

Для многообразий типа (а), (Ь) и (d) можно доказать аналог теоремы 12.1.1. Если слои имеют гиперболический тип, то

расширения всегда существуют, так как центр фундаментальной группы в этом случае тривиален. Некоторые расслоенные пространства "Зайферта, в частности все, имеющие тривиальный центр и непустой край, принадлежат классу (с).

Упражнения 12.1—4.

Примеры

В § 12.1 нильсеновская проблема реализации была решена положительно, но только при некоторых ограничениях. Эти ограничения являются существенными; имеются случаи, когда нильсеновская проблема реализации имеет отрицательное решение. Первый такой пример был указан Рэймондом и Скоттом [Raymond — Scott 1977]. Ниже мы опишем несколько «контрпримеров» к нильсеновской проблеме реализации для некоторых типов многообразий.

Предложение (Цишанг и Циммерман [Zieschang — Zimmermann 1979]). Пусть Fu — ориентируемая замкнутая поверхность рода п и F„ = Л1^п — ее фундаментальная группа. Трехмерное многообразие Мгр+1 = F2p+lX S', расслоенное над S' посредством проекции, обладает циклической группой А классов преобразований, имеющей порядок 2р, для которой отсутствуют расширения с ядром (А, п^Мгр^„ QIA). Следовательно, А нельзя реализовать группой преобразований.

Доказательство. Группа HjATzp+i изоморфна группе G = = F?p+i Ф Z из примера 8.1.6. Автоморфизм <р в этом примере индуцируется гомеоморфизмом / многообразия ЛЛр+ь Так как гомеоморфизм fp индуцирует внутренний автоморфизм ф2р, то он изотопен тождественному; следовательно, / реализует класс преобразований, имеющий порядок 2р. Чтобы доказать это, нужно воспользоваться теоремами Нильсена и Бэра о поверхностях, см. 5.8.3 и 5.14.1, или вывести непосредственно из теорем 6.5 и 7.1 работы Вальдхаузена [Waldhausen 1968], см. также Хемпел [Hempel 1976, chap. 13].

В силу 8.1.6, расширения с абстрактным ядром (A, G, ф) не существует, т. е. условие 12.1.1 (ii) нарушено; следовательно, А нельзя реализовать группой преобразований. □

В приведенном доказательстве мы пользовались лишь тем, что не выполнено условие 12.1.1 (И); но очевидно, что нарушено также условие 12.1.1 (i), так как образующая t, фундаментальной группы слоя не отображается в элемент группы F2p+1. Найдем теперь такое расслоение многообразия Мгр+1 над S', для которого условие 12.1.1 (i) выполнено:

Предложение (Цишанг и Циммерман [Zieschang — Zimmermann 1979]). Существует такое локально тривиальное расслоение многообразия F2P+1X S' над S', что группа G из 12.2.1 удовлетворяет условию 12.1.1 (i), т. е. Q (А) с Out* (F2P+i Ф Ф Z, F2p+i). Это расслоение не тривиально.

Доказательство. Рассмотрим гомоморфизм Т: F2p+i ф ®Z~*Z, заданный формулами 40

v (М = 1, v (<2)=... = т (t2P+t) = у (щ) =... = т (п2Р+1)=о,

V(Z) = -2.

При помощи метода Райдемайстера — Шрайера нетрудно показать, что ядро гомоморфизма V конечно порождено; в действительности оно изоморфно Ftp+3 (упражнение 12.5). Поскольку многообразие F2P+1 X 5* неприводимо, то, как следует из теоремы Столлингса о расслоении трехмерных многообразий над окружностью (см. Столлингс [Stallings 1962] или Хемпел [Hempel 1976, 11.12.]), F^^XS1 локально тривиально расслаивается над S1 со слоем — поверхность, фундаментальная группа которой равна ядру гомоморфизма Т. (Другое доказательство имеется у Джей- ко [Jaco 1970].) При автоморфизме <р из 8.1.6 это ядро отображается в себя; следовательно, для указанного расслоения условие 12.1.1 (i) выполнено.

Нетривиальность расслоения следует из того, что сопряже- нпе с /, не индуцирует внутреннего автоморфизма ядра (упражнение 12.6). □

Замечание. Пространство Mg = FgXSl расслаивается над S1 бесконечным числом различных способов. Например, для каждого натурального п существует гомоморфизм Тп: n1(Fgx-S'1)-»-Z, заданный формулами:

v„(<,)= 1, 'Fn(t2) = ... = Yn(M='F„(ui)=... = T„(«g) = 0,

Ядро гомоморфизма Ч^ изоморфно F„(g-1)+1; следовательно, пространство Fg X S1 допускает локально тривиальное расслоение над S* со слоем Fn(g_i)+i (упражнение 12.7).

Пусть теперь g = 2p+l. Рассмотрим группу А из 12.2.1. Условие 12.1.1 (i) выполнено; при этом с расслоением, использованным в 12.2.2, совпадает только расслоение, отвечающее Тг.

Автоморфизм группы поверхности, описанный Нильсеном [Nielsen 1932] и играющий основную роль в доказательстве предложения 12.2.1, можно использовать для получения подобных примеров в старших размерностях. Там у нас гораздо больше свободы в выборе автоморфизма V:

Предложение. Пусть п, тпе N, d = (п — 1, m + 1), и пусть р — (п — 1) (m + \)/d есть наименьшее общее кратное чисел п— 1 и т+1. Тогда многообразие FnX(Sl)m обладает классом преобразований, имеющим порядок р, но не содержащим гомеоморфизмов порядка р.

Доказательство. Пусть G = Fn®Z = Fn®Zm— фундаментальная группа многообразия FnX(S,,)m с ее естественным

разложением. Тогда

G = ^n uv ..., <„, м„, zv ..., zm | [fb z,] = [Ui, z,] = [z„ zft] =

= П ««, ud = i^

Определим ф: G -► G формулами

fi^^i+l 1ti*-* tizvtn1-* t^^ty ,

Ui->wi+1 JМц — [u2, <2]zzlf «„^tM ;

z, -* z71zj+1 для 1 ^ / < гаг; zm>->- z^1.

hIt А, если k = hmodm и 1^/г<гаг,

Ф ^lt1T если к = 0 mod т.

Следующие формулы очевидны или доказываются несложными вычислениям и:

<p',n-1,|F„ есть внутренний автоморфизм группы F„, соответствующий элементу tr*;

ф’“(Рп)#=Рп, если к* 0 mod гаг; следовательно, ф* не может быть внутренним автоморфизмом группы G;

фг(т+1) | z = idz.

фft|Z^=idz, если /с ^ 0 mod (гаг + 1).

Так как Fn и Z являются нормальными подгруппами группы G, то ф* является внутренним автоморфизмом группы G в том и только в том случае, если к = 0 mod(7ra+l) и mod(ra—1), т. е. если к - 0 mod р.

Автоморфизм ф индуцируется таким гомеоморфизмом /, что /* гомотопен тождественному, если к = 0 mod р; элементарная конструкция гомеоморфизма / использует подходящие отображения сомножителей Fn и ("S’1)".

То, что не существует расширения, соответствующего ядру (Zp, G, Р) (где р отображает образующую 1 группы Zp в класс гомеоморфизма ф), доказывается так же, как в 8.1.6. Здесь мы воспользуемся критерием 8.1.35: фр является внутренним автоморфизмом, соответствующим элементу t\, где l = p/(n — 1). Следовательно, z = t^(tFz) = z^1 является «препятствием» из 8.1.35 (а). Допустим, что в центре группы G найдется элемент У, для которого ф(у-1)у = z. Тогда

и = z? ... z^,

2?1 = Ц (z^zr+^-z^.Zi1 ... zTm = z2(ri+-+rm)n гГп-1+Г1.

36 x. Цишанг и др.561

Из этого следует, что г, = г2 = ... = rm и что / = —2rtm, в противоречие с тем, что т -Г I. □

Покажем теперь, что условие 12.1.1 (И) может выполняться в то время, как условие 12.1.1 (i) нарушено.

Предложение (Цишанг и Циммерман [Zieschang— Zimmermann 1979]). Существует многообразие М, расслоенное на торы над S1 и одновременно являющееся расслоенным пространством Зайферта, и конечная группа X его классов преобразований со следующими свойствами:

М не может так расслаиваться над S1, чтобы фундаментальная группа слоя была инвариантной относительно действия группы А на я^М.

(И) Существует расширение с абстрактным ядром (А, л,ЛГ, Q|A). В действительности, А можно реализовать конечной группой преобразований. Однако эти преобразования не будут послойными.

Доказательство. Рассмотрим группу

G = <<, и, й I [f, й] = [и, й] = 1, [t, и] = йп>

при и*0 и ее автоморфизм

ф: G-*G, ^ ^ ц-i, и >-» ut, h^-h.

Тогда ф” есть внутренний автоморфизм — сопряжение посредством И, и] = йп — и, следовательно, является тождественным. Пусть А = Ze и р: A^-OutG, 1 -* ф. Центр группы G есть бесконечная циклическая группа Z, порожденная элементом й. Так как ф тривиально действует в Z, то Я3 (A, Z) = 0 в силу 8.1.24; следовательно, существует расширение с абстрактным ядром (A, G, р), и выполнено условие 12.1.1 (И). Этим доказано свойство (й). (Расширение мы укажем в конце доказательства, так что в рассуждении, в котором участвует Я3 (A, Z), здесь нет нужды.)

Допустим, что р: G-*Z есть эпиморфизм и что его ядро кегр инвариантно относительно ф. Тогда ф индуцирует на Z отображение й н* ей, где е = ±1. Далее,

р(ф(<)) = ер(<), р(ф(и))=ер(и), р(ф(й)) = ер(й);

следовательно,

-p(u) = ep(O, p(u) + p(t) = ep(u).

Отсюда вытекает, что р(Ц = р(в) = 0 и р(й)=О, так как й" = = [i, в] и п ^ 0. Этим доказано, в частности, что G нельзя так гомоморфно отобразить на Z, чтобы ядро было инвариантным относительно ф. Ядро эпиморфизма G->Z, i^O, и>-*1, й0, изоморфно Z ® Z; следовательно, G есть фундаментальная группа трехмерного многообразия М, допускающего расслоение над S1 со слоем тор. Автоморфизм ф группы я^М = G индуцирован гомеоморфизмом /: М -► М, степень которого f изотопна тождественному. Непосредственно доказать это можно так:

Рассмотрим группу

Н =<t, и, h, х I [t, /г] = [и, Ц = [ж, Л] = 1, [<, и] = Л", х'Чх = и-1, х~'их = ut, хе = /г2п>= = <t, h, х I [t, Л] = [x, /г] = 1, tx-4-lxtr^x-4x = /in, х^^хЧ^х'Ч = 1, x6 = /t2n>, где и было заменено на x-‘t~‘x. Воспроизведем шаги из (8.4.9Е) и дважды применим второе длинное соотношение к первому длинному соотношению:

й” = tx-4-1xt~lx-4x = <х~Ч-1х-,<х2 = 1т"Чх3 = = (<х-3)2х” = (<x-3)2/i2n = v4r\

где и = tx-3, и исключаем t при помощи и. Тогда второе длинное соотношение принимает вид

1 = х-1х-3у-1х2х-3у-1х-1ух3 =

= X-3 (x~iv~lx~iv~ix~iv~th~n)x3 = x_3(x~1p-‘)3x3/i_n.

Следовательно,

Н =<у, х, h I [у, /г] = [х, Л] = 1, у2 = h~n, (их)3 = h-n, х” =/г">. Это — задание фундаментальной группы расслоенного пространства Зайферта М\ и h имеет в Н бесконечный порядок, см. Орлик, Фогт и Цишанг [Orlik — Vogt — Zieschang 1967, § 1].

Сравним Н с группой Gd из (8.4.9Е). Соответствие t^a-1, и^-Ъ, х >-* t и й 1 задает гомоморфизм р: Н -► Gj с ядром кег р = Z =<h\>, и p(G)= U. Рассмотрим гомоморфизм v: G-* Н, при котором <*—►<, и i—» и, ht->- h. Докажем, что это — включение. Действительно, это видно из коммутативной диаграммы

11

Ij

1-> Z->Z ->1

1-> G^НА-И

1 UG(jА -^1

11

Тем самым мы доказали, что М накрывает расслоенное пространство Зайферта М' регулярно. Следовательно, скольжения накрытия реализуют А группой преобразований. Кроме того, М также является расслоенным пространством Зайферта. □

Многообразие М одновременно расслаивается на торы над S1 и является расслоенным пространством Зайферта над тором без исключительных слоев и с препятствием к существованию сечения, равным и, ср. [Orlik — Vogt — Zieschang 1967]. Это показывает, что условие гиперболичности слоя в 12.4.4 является необходимым.

86»563

Предыдущий пример можно немного изменить. Положим

Н =<tt, ut, t2, и2 I р„ 7t] = [и„ й] = [tb ujf^, «гй-"] = 1> и рассмотрим автоморфизм V: Н -»- Н, при котором

t^Ui1, u1i-^-u1#1, h^h,

t2 '-* t2U2, U^ i—»■ t2 •

Тогда 4м есть внутренний автоморфизм, соответствующий сопряжению с [t,, иД. Как и раньше, не существует эпиморфизма р: H->Z, ядро которого было бы инвариантным относительно Т. Группа Н является фундаментальной группой некоторого расслоенного пространства Зайферта, не допускающего, однако, расслоения над окружностью. Не существует эпиморфизма р: Н—>2 с конечно порожденным ядром. (Докажите последние два утверждения.)

Предыдущий пример доставляется расслоением на торы. Расслоение на поверхности рода, большего, чем 1, которое обладает конечной группой классов преобразований, не удовлетворяющей условию 12.1.1 (i), в литературе не описано, хотя вполне правдоподобно, что такие примеры существуют. Правда, объем вычислений при этом значительно возрастает.

Опишем теперь пример Рэймонда и Скотта, который явился первым контрпримером к нильсеновской проблеме реализации.

Пример (Рэймонд и Скотт [Raymond — Scott 1977]). Пусть'

G =<t, и, v I [t, u] = 1, у~Чу = tu3k\ ir‘tw = м>.

Определим z: G -»- G формулами

х (t) = t-lu-\ х (и) = и-*, х (р) = ии.

Нетрудно проверить, что х2* есть внутренний автоморфизм х -► v-izv и что хг не является внутренним автоморфизмом, если О < г < 2&. Пусть Р: Z2ft->OutG, 1 ^ [х], — мономорфизм, при котором образующая переходит в класс внешних автоморфизмов, содержащий х. Имеет место следующее

Предложение, (а) Не существует расширения с абстрактным ядром (Z2A, G, Р).

G является фундаментальной группой многообразия М3(к, П, расслоенного на торы над окружностью.

M3(k, j) является расслоенным пространством Зайферта с базой тор без исключительных слоев и с препятствием к сечению, равным 2kj. При этом образующий и порождает фундаментальную группу слоя.

Доказательство — упражнение 12.9. □

Предложение (Циммерман [Zimmermann 1980]). Существуют плоское четырехмерное многообразие М и конечная

подгруппа А ^ Z2 группы OutЛ1Л/, для которой отсутствует расширение с абстрактным ядром (А, л^, Й|А).

Доказательство. Пусть М' — плоское трехмерное многообразие типа G2, описанного в теореме 3.5.5 книги Вольфа [Wolf 1967], т. е.

лхМ' = (g, tv t2, <31 g2 = tv g-4Yg = tv g-42g = t^\

g-xt3g = t3\ [Ц, <J = 1 для г, / = 1, 2, 3).

Пусть М — М' X 8*. Так как многообразие М' плоское, то М тоже плоское. Далее, л^М = л^' ® Z, где Z = л^1 ^ Z; обозначим образующий группы Z через z.

Определим ф: л^ -► л,М формулами

g^g-z, t^t^ t2^t3, t3^t2\ Z^Z"1.

Тогда ф2 является внутренним автоморфизмом группы л^, соответствующим элементу g-1. Следовательно, ф задает подгруппу А = Z2 группы Out л^М. Допустим, что найдется расширение 1 -► л^М Е А 1 с абстрактным ядром (А, л^, QIA). Тогда найдется такой элемент х е Е, что сопряжение с х индуцирует автоморфизм ф группы лМ, а сопряжение сг — внутренний автоморфизм, соответствующий элементу g~‘. Так как центр группы л4М порожден элементами ^ и z, то ж2 = g-1<”zm для подходящих тп, не Z. Далее,

g-1tiZm = х2 = х-1А = x-1g-1t "zmx =

-tter’WJ* ФИ” -

следовательно, z2m+,-2n = 1. Противоречие. □

Доказательство несуществования расширения при помощи предложения 8.1.35 остается в качестве упражнения 12.10. Теперь приведем пример группы классов преобразований расслоенного трехмерного многообразия, которую нельзя реализовать группой гомеоморфизмов, в то время как каждую ее циклическую подгруппу реализовать можно.

Пример (Циммерман). Пусть F— круг с тремя дырами, см. рис. 12.2.1 (а). Обозначим (почти канонические) образующие группы л^ через а, х, у, z с определяющим соотношением z~lyax = Y. Рассмотрим поворот на 180° (рис. 12.2.1 (Ь)) и отражения относительно вертикальной оси (рис. 12.2.1 (с)). Они индуцируют автоморфизмы

а: а ^ а,х^-у,у^- аха-1, z ~ у^ы^

Р: а^а-1, х^-у-1, у -* х-1,z^z-1.

Пусть М = F X S1. Тогда

лгМ = л^ ф Z = <а, х, у, z, t \ z-^yax = [а, <] = [ж, <] = [г/, <] = !>.

Рассмотрим гомоморфизмы

а: л^Р-^л^, а >-» а, х^- у, у -* аха~г,