Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ТЕОРИЯ ГОМОЛОГИЙ
ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРАИЧЕСКУЮ ТОПОЛОГИЮ
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГОА. В. АРХАНГЕЛЬСКОГО
ПОД РЕДАКЦИЕЙП. С. АЛЕКСАНДРОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
МОСКВА 1966
УДК 513.83
Книга представляет собой введение в современную алгебраическую топологию, методы которой в последние годы нашли многочисленные приложения в самых различных областях математики. Она рассчитана на тех, кто не знаком с этой теорией. В первых главах книги авторы рассматривают элементарные вопросы, однако в дальнейшем они вплотную подходят к самым актуальным проблемам алгебраической топологии. Книга написана с большим мастерством и содержит большое количество упражнений. Авторы постоянно подчеркивают геометрическую природу рассматриваемых понятий.
Книга будет полезна математикам различных специальностей. Она представляет интерес для студентов и аспирантов университетов и пединститутов, а также для научных работников, занимающихся алгебраической топологией.
Редакция литературы по математическим наукам
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Уже давно ощущается потребность в книге, которая давала бы достаточно обстоятельное введение в алгебраическую топологию, и прежде всего в теорию гомологий, соответствующее современному состоянию этой области математики, которая за последние приблизительно два десятилетия претерпела столь существенное переустройство и развитие столь бурное, что старые изложения этой теории, в частности принадлежащие Лефшецу, Хопфу (в соавторстве с пишущим эти строки), а также автору этих строк (в книге «Комбинаторная топология») совершенно перестали отражать состояние науки в настоящее время.
Мне кажется, книга Хилтона и Уайли, предлагаемая сейчас вниманию советского читателя, в значительной степени способна заполнить образовавшийся пробел в русской математической литературе, сама потребность заполнения которого не может возбуждать сомнения. Книга содержит достаточно большой материал и, вероятно, даст читателю достаточно основательное знакомство с теми сведениями из алгебраической топологии (в современном смысле слова), которые сейчас могут считаться составляющими первый концентр этой области математики, концентр, уже созревший для того, чтобы быть предметом учебной монографии. Изложение в книге достаточно полное и тщательное (что в полной мере относится к ее первой части, и почти в полной — ко второй). Здесь, впрочем, приходится пожалеть о том, что классическая теорема Брауэра — Хопфа о классификации отображений и-мерной сферы на себя сообщается без доказательства — читатель должен сам как-то познакомиться с ним; правда, он может почерпнуть его, например, из моей «Комбинаторной топологии» или в более современном изложении из книги Ху Сы-цзяна «Теория гомотопий»; но необходимость таких «займов» едва ли можно особенно приветствовать.
Тем не менее я полагаю, что книга вполне подходит для чтения ее студентом, скажем, третьего курса механико-математического факультета университета, намеревающимся серьезно познакомиться с топологией. Вполне подходит она и для аспирантов, имеющих в плане своих занятий изучение топологии, и, конечно, для всех вообще научно работающих математиков, нуждающихся в топологии или серьезно интересующихся ею. Словом, недостатка в читателях книга испытывать не будет!
Не скрою, в книге Хилтона и Уайли мне очень понравилось то, что в своем изложении авторы примыкают к, так сказать, «классической» топо-
логии полиэдров, а не ошарашивают читателя алгебраической абстрактностью изложения. Геометрическая наглядность вообще сознательно культивируется авторами, и за это читатель будет им благодарен.
Перевод воспроизводит оригинал без каких-либо изменений, если не считать устранения немногих случайных неточностей и шероховатостей. Терминам «гомология» и «когомология» возвращен их традиционный смысл (с отказом от употребляемого в оригинале термина «контрагомология»
в смысле «когомология»). Дальнейшие общие сведения о книге читатель ного предисловия, которое авторы предпосылают
получит из обстоятель- своей книге.
П. С. Александров
Москва, 2 сентября 1965 г.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ
Цель этой книги — дать общее введение в современную алгебраическую топологию. Книга рассчитана на читателя, незнакомого с этой областью математики. Необходимые для ее чтения сведения из общей топологии и абстрактной алгебры излагаются в главе «Основные вспомогательные сведения, ч. I». Характер изложения определялся нашим стремлением дать обзор основных понятий алгебраической топологии, доступный математикам, не владеющим соответствующей техникой и незнакомым с ее основными проблемами. Однако, хотя изложение и элементарно, при отборе материала мы были более разборчивы, чем это обычно принято в элементарных книгах. Нам кажется, что в литературе по алгебраической топологии нет недостатка ни в элементарных вводных учебниках, ни в книгах повышенного типа. Тем не менее нельзя сказать, что эти два типа книг эффективно связаны между собой. Книги повышенного типа в свою очередь можно разбить на два класса, которые в широком смысле можно определить как классические и современные, однако из-за быстрых изменений, которые испытывает предмет, нелегко узнать классические рассуждения в их современной одежде. Мы пытались восполнить эти пробелы, считая, что изучающему этот предмет может быть трудно сделать это на основе самостоятельного чтения доступной литературы.
Наша книга начинается совсем элементарно, но в дальнейшем нам удалось, опуская отдельные вопросы, в особенности те, которые наиболее просто изложены в классических работах, подойти к проблемам, занимающим передовые позиции современных исследований. Книга делится на две части. Первая часть «Гомологическая теория полиэдров» включает также главу о фундаментальной группе и накрывающих пространствах и главу, в которой читатель знакомится с гомологической алгеброй. За исключением некоторых разделов только что упомянутой главы, понятия, представленные в части I, являются классическими — хотя мы и стремились к современному стилю изложения. Эта часть носит вполне самостоятельный характер, за единственным исключением — доказательство формулы Кюннета для групп гомологий топологических произведений. В ней определяются группы гомологий с произвольными коэффициентами и кольцо когомологий пар симпли- циальных комплексов и доказывается — для случая конечных комплексов — их топологическая инвариантность (в действительности даже гомотопическая инвариантность). Далее, проверяются аксиомы Стинрода и Эйленберга. Точка зрения, нашедшая выражение в теории категорий и функторов (развитой Эйленбергом и Маклейном), принимается нами в том смысле, что всюду выявляем естественность (в техническом смысле) вводимых понятий и преобразований. В явном виде понятия категории и функтора в первой части не определяются (хотя несколько раз мы ссылаемся на книгу Стинрода и Эйленберга). Все же мы надеемся, что настойчивое ударение, которое мы делаем на идеях, соответствующих функториальному подходу (т. е. ковариант-
ность и контравариантность, канонические изоморфизмы), подготовит читателя к следующему этапу борьбы за овладение литературой по алгебраической топологии.
Мы пользуемся здесь случаем решительно возразить против обвинения, что, стремясь к современному стилю изложения, в частности желая приблизиться к подходу Стинрода — Эйленберга, мы усложнили книгу. Напротив, систематическое обращение к гомологическим свойствам несомненно облегчает понимание сути теории гомологий. Это не что иное, как частный случай общего принципа, заключающегося в том, что систематическое введение алгебраических методов в любую ветвь математики способствует ее успеху. Это вовсе не означает, что нужно пренебрегать геометрическим содержанием алгебраической топологии. Всюду, где это было уместно, мы стремились придать алгебраическим понятиям геометрический смысл.
Во второй части рассматривается применение теории гомологий к изучению общих топологических пространств. Для этого, и особенно для чтения гл. 7, читатель должен быть знаком с некоторыми результатами теории гомотопий. Они собраны в разделе «Основные вспомогательные сведения, ч. II». В гл. 7 развитая в части I симплициальная теория когомологий применяется к изучению отображений полиэдра в произвольные пространства. Мы рассматриваем эту главу как введение в теорию препятствий. Следующие две главы посвящены теории сингулярных гомологий (краткое описание когомологий, введенных Чехом г), дано в приложении к восьмой главе). Сингулярная теория строится подробно: проверяются все аксиомы теории гомологий, устанавливаются канонические изоморфизмы (а) между сингулярными симплициальными и сингулярными кубическими гомологиями и (б) между сингулярной теорией полиэдров и симплициальной теорией, построенной в первой части. Мы восполняем пробел первой части, показывая, что использованный в гл. 5 цепной комплекс действительно приводит к группам сингулярных гомологий топологического произведения. Глава 9 о кольце сингулярных когомологий содержит параграф, в котором описывается инвариант Хопфа (отображений сферы ^зп-г в сферу 5П). Завершается эта глава приложением, в котором наконец-то точно определяется понятие естественности. Сделать это рано или поздно было просто необходимо, поскольку понятие естественности фигурирует в качестве рабочего инструмента во многих наших доказательствах, в особенности в главах 8 и 9. Мы так долго не давали этого определения, считая, что его общий смысл будет легче понять читателю, уже подготовленному некоторыми примерами.
Существует точка зрения, заключающаяся в том, что излагать теорию симплициальных гомологий нет необходимости, так как на категории полиэдров она совпадает с теорией сингулярных гомологий. Это аргументируется тем, что важны только две теории гомологий — сингулярная теория (приспособленная к теории гомотопий) и теория Александрова — Чеха (приспособленная к изучению многообразий и к алгебраической геометрии) и что симплициальная теория является в некотором смысле пересечением этих двух теорий. Мы посвятили значительную часть этой книги симплициальной теории полиэдров по той причине, что эта книга является введением в теорию гомологий, а симплициальная теория, с нашей точки зрения, наиболее подходит для этой цели: понятия, с которыми она оперирует, наиболее просты, с геометрической точки зрения она вполне удовлетворительна и в случае конечного комплекса все возникающие в ней группы имеют конечное число
х) В русской литературе принято называть соответствующие группы группами Александрова — Чеха. Этой терминологии мы будем придерживаться и в дальнейшем. Отметим, что именно П. С. Александров ввел фундаментальное понятие этой теории — понятие «нерва покрытия».— Прим, перев.
образующих. К тому же при построении симплициальной теории мы знакомимся с основными понятиями, которые являются общими для всех теорий гомологий (например, с понятиями цепного комплекса и цепного отображения). При этом техника, пригодная для более мощных гомологических теорий, демонстрируется на простых примерах (так ацикличные модели Эйленберга — Маклейна обобщают ацикличные носители). Мы утверждаем также, что на основе симплициальных комплексов легче проводить вычисления. В первой части также рассматриваются модификации симплициальных комплексов (предразбиения и цепи из блоков), позволяющие проводить вычисления легче и быстрее.
Заключительная глава посвящена двум абстрактным направлениям теории гомологий, а именно спектральной теории гомологий и гомологической теории групп. Эти две теории приобрели выдающееся значение в последние годы, и знание основных фактов этих теорий представляется существенной частью вооружения алгебраического тополога. Указываются применения этих теорий к топологии и алгебре.
В конце каждой главы даны упражнения. В первых главах они довольно просты, чтобы читатель мог «набить руку» и обрести некоторую уверенность. В последних главах упражнения сложнее и интереснее х).
Мы предлагаем некоторые новые обозначения. Одно из них состоит в том, чтобы писать преобразования пространства и «ко»-объектов справа, а преобразования «контра»-объектов слева (более точно, отображения в категории, являющейся образом некоторой категории топологических пространств, при ковариантном (контравариантном) функторе записываются справа (слева)). Этот прием оказался бы неудобным, если бы нам часто пришлось иметь дело со смешанными функторами. Однако в этой книге большинство функторов либо ковариантно, либо контравариантно. Когда рассматривается смешанный объект (скажем, Нот (Л, В) как функтор от Л и В), никакого априорного правила не дается. С другой стороны, наш прием имеет определенные преимущества. Например, для пространств, если / отображает X в У, a g отображает Y в Z, то композиция отображения / с отображением g обозначается через fg, а не через gf. Далее, когда мы сталкиваемся с цепными отображениями ф и ассоциированными с ними (сопряженными к ним) коцепными отображениями ф', оказывается удобным, что (фф)" = ф’ф*. К тому же для кронекеровского произведения мы имеем (сф, d) = (с, ф^), c^G, dP Hom (В, G).
Мы принимаем соглашение, что контравариантные функторы обращают стрелки в записи последовательностей объектов и отображений. Так, например, в нашей записи последовательность
сЛпХе
индуцирует последовательность
Hom(G, G)^Hom(D, G)^Hom(B, G).
В действительности, начиная с гл. 3, мы, следуя обозначениям Э. Зимана, пишем С ф^ G вместо Hom (G, G). Мы пользуемся этим обозначением по той причине, что оно лучше выявляет двойственность между тензорным произведением 0 G и (ф G. Чтобы добиться единообразия в обозначениях, периодическое произведение двух абелевых групп А в В мы обозначаем через А * В и, чтобы подчеркнуть двойственность, вместо Ext (Л, В) пишем А ф В.
2) Далее в оригинале следует абзац, опущенный в переводе, где авторы защищают употребление в английском оригинале термина «контрагомологии» (вместо термина «когомологии»), от которого мы при переводе отказались.— Прим, перев.
Мы старались избегать повторного использования сложных обозначений даже там, где логическая точность, казалось, требует такого повторения; так, например, р-мерная группа цепей с коэффициентами в группе G симплициальной пары К, Ко, имеющей ориентацию а, может быть обозначена громоздким символом Ср (К, Ко; G). Наш общий принцип состоял в том, чтобы писать полные обозначения в определениях, а затем при последующих появлениях того же понятия воспроизводить только ту его часть, которая не определяется контекстом. Так, обозначение, о котором мы говорили выше, успешно могло быть заменено на Ср. Здесь, во введении, мы только устанавливаем сам принцип; в основном тексте каждое такое сокращение подробно объясняется.
Читатель убедится в грамматической гибкости символа «=». Также гибко и обозначение ^:А —> В»; его следовало бы расшифровывать так: «/, которое является преобразованием А в В», однако иногда его следует понимать иначе, в частности так: «/ является преобразованием А в В». Подобные же случаи грамматической неопределенности относятся к обозначению «а £ А».
Мы позаимствовали обозначение ] у Халмоша, находясь под впечатлением эффективности его применения в книге «General topology», и отмечаем им конец каждого доказательства. Появление знака ] сразу после формулировки теоремы (или предложения и т. д.) означает, что либо доказательство предшествует формулировке, либо провести его предоставляется читателю. Для удобства читателя мы применяем, кроме того, такие приемы: (а) помечаем звездочками некоторые параграфы или их части; (б) часть материала даем петитом. Звездочка означает, что содержание параграфа несколько более сложно, чем можно было бы ожидать, учитывая место, которое оно занимает в книге, и что при первом чтении его можно опустить. А использование петита указывает только, что соответствующий материал не играет ведущей роли в логическом развитии темы. Именно так будут часто излагаться иллюстративные замечания и примеры.
При нумерации разделов мы пользуемся тройками а-§-у, где а — номер главы, § — номер параграфа внутри главы и у —номер пункта внутри параграфа. Даже при ссылках внутри одной главы а номер а-р-у не сокращается до p-у; так, например, ссылка на 5.7 есть ссылка на параграф, а не на его часть. Пункты параграфа нумеруются последовательно — это теоремы, предложения, леммы, следствия, определения, примеры или просто формулы. Основное исключение из этого правила таково: следуя Стинроду и Эйленбергу, мы нумеруем утверждение о когомологиях, соответствующее уже получившему номер а-р-у утверждению о гомологиях, той же тройкой с добавлением буквы с. Другое исключение встречается в § 5.3 и там же объясняется.
Мы получали разнообразную помощь от многих людей. В отношении большинства из них мы вынуждены ограничиться самым общим изъявлением благодарности. Оживленные беседы и дискуссии с нашими друзьями- математиками нашли отражение в книге. Однако ссылки в тексте даны лишь по поводу части сознательно принятых нами идей. Должно быть, еще больше было таких, которые мы использовали как свои собственные. Доктор Э. Зиман'прочитал в рукописи то, что мы собирались сделать книгой, и результатом его действенной критики явилось большое количество усовершенствований и существенное улучшение книги. Много хороших примеров принадлежит именно ему. М-р Э. К. Томпсон прочитал книгу, когда она приняла гораздо менее подвижную форму, в корректуре. Он оказал нам большую помощь в устранении ошибок и неточностей. Мы очень благодарны им обоим.
Мы благодарим также тех, кто стимулировал нашу работу. Некоторые достигали этого, проявляя конструктивную, а иногда и вдохновляющую заинтересованность в продвижении книги. Другие, и мы им благодарны в той же мере, достигали той же цели иным образом —это те из наших друзей, которые твердили нам, что сейчас не время писать книгу по теории гомологий или, во всяком случае, не время писать такую книгу, какую задумали мы. Сюда же относятся и те, кто занял менее формальную позицию (наши жены, например), которые считают, что сейчас не время писать какую бы то ни было книгу вообще.
Нам исключительно повезло с издательской стороной. Мисс Керридж, отпечатавшей машинописный вариант, удалось сделать очень хорошую копию с весьма неприглядной рукописи. Мы горячо благодарны ей за это, как и тем работникам издательства Кембриджского университета, которые занимались книгой, проявляя неистощимое терпение и готовность помочь.
П. Дж. X.
Февраль 1960 г.Февраль 1960 г.С. У.
Февраль 1960 г.
Февраль 1960 г.
Часть I
ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯПОЛИЭДРОВ
ОСНОВНЫЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯК ЧАСТИ I
. Общая топология
Топологическим пространством называется множество X, в котором выделены некоторые подмножества, называемые открытыми; семейство открытых множеств при этом должно удовлетворять следующим аксиомам:
) объединение любого числа открытых множеств является открытым множеством;-
) пересечение любого конечного числа открытых множеств открыто;
) все пространство и пустое множество открыты.
Указать открытые множества означает задать топологию на X. Если %, Т — две топологии на множестве X, то говорят, что 7/ тоньше Т ^Т грубее %), если каждое множество из X, открытое в топологии Т, открыто в топологии %. Семейство открытых множеств пространства X образует базу (открытых множеств), если каждое открытое в X множество является объединением множеств этого семейства.
Замкнутым множеством топологического пространства называется дополнение открытого множества. Следовательно, топология определяется указанием замкнутых множеств; при этом замкнутые множества должны удовлетворять следующим аксиомам:
объединение любого конечного числа замкнутых множеств замкнуто;
пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто;
все пространство и пустое множество замкнуты.
Если Хо—подмножество топологического пространства X, то под индуцированной топологией в Хо понимается топология, открытыми множествами которой служат пересечения с Хо открытых множеств из X. Подмножества всегда будут предполагаться снабженными индуцированной топологией. Очевидно, если Xt s Хо г X, то Хо и X индуцируют одну и ту же топологию в Хп и открытое (замкнутое) подмножество открытого (замкнутого) в X множества является открытым (замкнутым) в X множеством.
Под внутренностью множества Хо понимают объединение всех открытых в X множеств, содержащихся в Хо.
Предложение. Внутренность множества Хо есть наибольшее открытое множество, содержащееся в Хо.
Замыкание множества Хо есть пересечение всех замкнутых множеств, содержащих Хо.
Предложение. Замыкание множества Хо— это наименьшее замкнутое множество, содержащее Хо.
Подмножество из X называется окрестностью точки х^Х в X, если внутренность его содержит х.
Предложение. Замыкание множества Хо — это совокупность- всех точек х^Х, таких, что любая окрестность каждой из этих точек пересекается с Хо. '
Границей множества Хо в X называется пересечение замыкания множества Хо с замыканием его дополнения. Говорят, что множество Хо всюду плотно в X, если его замыкание совпадает с X. Последовательность xv х2, ..., ж„, .. . точек из X сходится к х £ X, если каждая окрестность точки х содержит все точки этой последовательности, кроме, быть может, конечного числа их.
Система {XJ подмножеств из X называется покрытием пространства X, если их объединение есть все X. Говорят, что покрытие открыто (замкнуто), если каждое Xt открыто (замкнуто). Покрытие называют конечным (счетным), если оно состоит из конечного (счетного) множества элементов. Покрытие {У,} называется подпокрытием (измельчениемх) покрытия {XJ, если каждый элемент Yj из {У;} есть некоторый элемент Xi покрытия {XJ (соответственно содержится в некотором элементе Х; из {XJ).
Под отображением / : X —> У пространства X в пространство У будем понимать непрерывное отображение) X в У; непрерывность / означает, что если U — любое открытое множество в У, то f-1(U), т. е. множество всех точек пространства X, которые / отображает в U, открыто в X. Эквивалентно, / непрерывно, если /-1 (F) замкнуто для любого замкнутого ХС У. Если ХосХ, то Хо/ обозначает множество точек вида xf, х£Х0, и называется f-об разом множества Хо. Если У0СУ, то /-1 (Уо) называется /-прообразом множества Уо. Отображение / : X —У определяет функции: /0: Хо —> Y, f : X—>Xf, определяемые формулами: xfQ = xf, х£Х0; xf = xf, х^Х. Можно обозначить /о через /1 X о! мы говорим, что /0 является сужением отображения / на Хо и что / есть продолжение /0 на X.
Предложение. Функции f0, f непрерывны.
Предложение. Если f’.X—> У, g\Y—»Z— отображения, то fg:X—>Z— также отображение.
Пусть (At)— конечное покрытие пространства X замкнутыми множествами и Г : Ai —У — такие отображения, что /, | Аг П А, = f | At П Ар Тогда мы можем однозначно определить функцию f:X—>Y, положив f\At=ft.
Предложение. Функция f: X —> У непрерывна.
(Ибо если множество F ^Y замкнуто, то f-1F = U /Г1 (Е), где все /^(F) г
замкнуты в А4 и, следовательно, в X; значит, в силу (31), f-1F замкнуто в X, и / непрерывно.) Аналогичный результат имеет место для любых открытых покрытий.
Пусть Х0^Х; определим i: Хо—>Х следующим образом: xl — x, х£Х0. Тогда I, очевидно, непрерывно; мы будем называть это отображение отображением включения, или инъекцией. Если существует отображение р : X —> Хо, для которого ip = i, где 1—тождественное отображение Хо, то говорят, что Хо — ретракт пространства X и р— ретракция.
Отображение / : X —» У называется гомеоморфизмом пространства X на У (сокращенно гомеоморфизмом), если существует отображение g : У —^ X (называемое обратным к /), такое, что fg = l;X—»X и gf = V.Y-^Y. В этом случае мы пишем X ^ У и говорим, что пространства X и У гомеоморфны или что они одного топологического типа.
Предложение. Отношение Х^ У есть отношение эквивалентности.
х) В этом случае также говорят, что покрытие {УД вписано в покрытие {ХД. — Прим, перев.
Отображение / : X —» Y называют гомеоморфизмом X в Y, если гомеоморфизмом является индуцированное отображение f : X—» Xf. Очевидно, (: Хо—> X есть гомеоморфизм Хо в X; если / : X—> У—гомеоморфизм X в У, то X может быть вложено в У посредством отождествления х с xf, х £ X. Говорят, что отображение /: X --> У локально гомеоморфно, если у каждой точки х £ X есть окрестность U, которую / гомеоморфно отображает на некоторую окрестность точки xf.
Пусть f : X —> У—отображениех) пространства X на множество У; тогда фактортопологией2) в У, порожденной отображением /, называется топология, в которой Уо — У замкнуто тогда и только тогда, когда замкнуто /-1(У0). Если У снабжено фактортопологией, то f называют факторото- бражением, или проектированием.
Предложение. Фактортопология является самой тонкой из всех топологий, при которых f непрерывно.
(Заметим, что это предложение содержит в себе утверждение, что фактортопология действительно является топологией.)
Пусть R — отношение эквивалентности на множестве точек из X (т. е. xRx; из xRx' следует x'Rx; из xRx' и x'Rx", выполненных одновременно, вытекает жДж"). Пусть У—множество классов Я-эквивалентности, и пусть k : X —»У ставит в соответствие каждой точке ее класс эквивалентности. Если У снабжено фактортопологией, порожденной к, это записывают так: Y = X!R и У называют факторпространством пространства X по R (с фактортопологией).
Пусть даны два пространства X и У; их топологическим произведением XxY называется множество пар (х, у), х^.Х, y^Y, с топологией, базу открытых множеств которой образуют множества вида U к V, где U открыто в X, а V открыто в У. Отображения (ж, у)—>х, (х, у)—>у проектируют XxY на X, У. Если х^Х, y^^Y, то отображения ж—> —»(ж, у*), у-^(х,„ У) вкладывают X, У в X X У. Мы будем называть эти отображения инъекциями.
Подпространство (X X у*) U (х¥ X У) пространства X X У называется букетом пространств X и У и обозначается через X V У, когда нет необходимости в указании точек ж*, у*. Тогда X X р*, ж* X У— подпространства 3) пространства X \/ Y, объединение которых есть все X V У, а пересечение состоит из единственной точки (ж*, у*). Следовательно, используя определенные выше инъекции, мы можем интерпретировать X \/ У как «сумму пространств X и У с единственной общей точкой».
Понятие типологического произведения обобщается очевидным образом на случай любого конечного числа пространств (оно также обобщается на случай бесконечного числа сомножителей, но мы будем иметь дело только с конечными произведениями).
Метрикой на множестве X называется вещественная функция Q, определенная на (упорядоченных) парах точек из X и удовлетворяющая следующим условиям:
(Ml) для любых ж, у£Х, р(ж, у)>0;
2) р(ж, y) — Q(y, х);
3) р(ж, у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у;
4) (неравенство треугольника) для любых ж, у, z^X, р (ж, у) + + Q(y, z)>q(x, z).
Разумеется, предположение о непрерывности / здесь бессмысленно, так как в Y нет топологии. — Прим, перев.
Мы предпочли термин «фактортопология» термину «топология отождествления» из эстетических соображений. — Прим, перев.
Эти подпространства замкнуты, если точки х*, у* являются замкнутыми множествами в X, У.
2 Заказ № 1335
. Под г-шаром с центром в ж в множестве X (с метрикой р) понимается множество V (ж. е) точек у^Х, для которых Q (ж, р)<е. Метрическая топология в множестве X — это топология, в которой открытыми множествами являются объединения множеств вида V (ж, е).
Предложение. Метрическая топология является топологией.
X— метрическое пространство, если его топология задана некоторой метрикой р. Диаметром множества Хо метрического пространства X называется sup р (ж, у).
х, у Е Ао
Говорят, что топологическое пространство X метризуемо, если множество X допускает такую метрику, что метрическая топология совпадает с заданной.'
Предложение. Функция f:X—>Y из метрического пространства X в метрическое пространство У непрерывна тогда и только тогда, когда для любых ж^Х и е>0 найдется такое б(х, е) = 6>0, что У (х, d)f^V(xf, е).-
Отображение / называется равномерно непрерывным, если 6 при этом может быть выбрано общим для всех ж.
Пространство X называется
хаусдорфовым, если любые две точки из X обладают непересекающи- мися окрестностями;
бикомпактным), если каждое открытое покрытие X содержит конечное подпокрытие;
секвенциально компактным, если любая последовательность в X содержит сходящуюся подпоследовательность;
локально бикомпактным, если каждая точка пространства X имеет бикомпактную окрестность;
связным, если X не является объединением никаких двух непустых замкнутых непересекающихся подмножеств;
сепарабельным, если в X есть счетное всюду плотное подмножество.
Предложение. Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно секвенциально компактно.
Предложение. Компактное метрическое пространство сепарабельно.
Предложение. Любое (непрерывное) отображение компактного метрического пространства в метрическое пространство равномерно непрерывно.
Предложение. В хаусдорфовом пространстве всякая сходящаяся последовательность имеет единственный предел.
Предложение. Бикомпактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто.
Предложение. Если X —локально бикомпактное хаусдорфово пространство, то в любой окрестности (произвольной его точки) содержится некоторая бикомпактная окрестность (этой точки).
Предложение. Пусть / : X —> Y — отображение бикомпактного пространства X на хаусдорфово пространство Y; тогда топология пространства Y совпадает с фактартопологией, порожденной отображением f. В частности, если отображение / взаимно однозначно, то оно является, гомеоморфизмом.
Предложение. Подмножество евклидова пространства R" компактно в том и только том случае, если оно замкнуто и ограничено.
Пусть г > 0 —действительное число, и 7Г— замкнутый интервал O^f^r в R1. Путем в X называется произвольное отображение /: 1Т —> X, где г>0. Говорят, что путь выходит из О/, начальной точки пути, и оканчивается в г/, его конечной точке. Пространство X называется линейно связным, если для любых двух точек х, у^Х существует путь в X, начинающийся в х и оканчивающийся в у. Компонентой (линейной связности') точки х в пространстве X называется наибольшее связное (линейно связное) подмножество из X, содержащее х.
Предложение. Линейно связное пространство связно.
Гильбертово пространство Ню — это метрическое пространство, точками которого служат все те бесконечные последовательности действительных чисел и = (щ, иг, ..., ип, .. .), для которых, сходится ряд 2 71=1 а метрика определяется формулой
е(ц, v) = (3 (ип—г„)2) 2.
п= 1
Предложение. Пространство Ню сепарабельно..
(Множество конечных последовательностей рациональных чисел образует счетное всюду плотное в Н" подмножество.)
Евклидово пространство R" (размерности п) может быть вложено в Н” посредством отождествления (иь ..., и^ с (uv, ..., ип, 0, 0, ...). При этом имеют место включения
R1 S Я2 s s R" S R^1 г ... с=Ню.
Единичной п-сферой Sn называют подмножество в JR”"1"1, определенное уравнением и[ + . .. + и2+1 = 1. Сфера Sn является границей в Я"+1 (замкнутого) шара V"+1, описываемого неравенством Ы2+. ..+м2+1<1. Под п-клеткой понимают гомеоморфный образ шара Vn; п-сферсй называют гомеоморфный образ п-сферы 5”; граница n-клетки Еп — это образ сферы 5”-1 при гомеоморфизме V" —> Еп; дополнение в Еп до границы Еп называется внутренностью Еп.
.§ 1.2. Алгебра
Группой G называется множество элементов g, g', g", ... вместе с определенным на нем законом умножения, записываемым мультипликативно; при этом выполнены следующие аксиомы:
(Gl)(gg'^i g” = g (g'g’’^ для всех g, g', g";.
(G2) существует такой элемент e g G, что ge — g для всех g £ G;
(G3) для каждого g^G существует такой элемент g gG, что gg = e..
'2*:
Порядком группы G называется число (не обязательно конечное) элементов G.
Абелевой группой А называют множество элементов а, а', а", .. . вместе с определенным на нем законом сложения, записываемым аддитивно, удовлетворяющее следующим аксиомам:
(А1) (а -|- а') + «" = а 4- (а' 4- а") для всех а, а', а”;
(А2) существует такой элемент 0 g А, что а-|-0 = а для всех а;
(АЗ) для каждого а^А найдется такой (— а)£А, что «+(— <0 = 0;
(А4) а + а' = а' + а для всех a, a' g А.
Говорят, что группа G коммутативна, если gg'= g'g при любых g, g' g G. Попросту говоря, каждую коммутативную группу можно отождествлять с абелевой группой, ей очевидным образом соответствующей. Алгебраическая сторона книги в основном связана с абелевыми группами.
Подгруппой (более точно, абелевой подгруппой!) абелевой группы А называют подмножество элементов группы А, которое является абелевой группой относительно закона сложения, определенного в А. Пересечение подгрупп является подгруппой.
Через S + C, где В и С — подмножества абелевой группы А, мы обозначаем совокупность всех элементов группы А вида Ь-^-с, где Ь^В, с^С. Множество В-\-С называется суммой множеств В и С; это обозначение очевидным образом распространяется на случай произвольного конечного семейства подмножеств группы А и даже па любое (бесконечное) семейство {Sa}, если только условиться, что для всех, кроме конечного числа, индексов а из Ва берется нуль. Если каждое Ва является подгруппой группы А, то подгруппой будет и сумма всех Ва.
Пусть Ао — подгруппа группы А; комножеством) группы А по Ао называется множество вида аЦ-А0; факторгруппой) А!А» называется множество комножеств группы А по Ао, наделенное следующим законом сложения:
(a 4" Ао) + к.а' А" Ао) = (я А"а ) А" Ао-
Предложение. Если At —подгруппа группы Ао и Ао —подгруппа группы А, то Ao/Aj—подгруппа группы A/Aj и (A/AJ (Ар/АО = А/Ао.
Предложение. Если В и С—подгруппы группы А, то ф 4- С)[С ^ ^В/(ВПС).
Г омоморфизмом ф :А—>В абелевой группы А в абелеву группу В называется функция, удовлетворяющая следующему условию: (а + «') ф = аф + 4-«'ф; тогда Оф — 0 и (— а) ф = —аф. Множество ф-1 (0) является подгруппой группы А и называется ядром гомоморфизма ф. Образ при ф, т. е. множество Аф, образует подгруппу группы В. Коядро гомоморфизма ф— это факторгруппа) В/Аф группы В. При этом ф — мономорфизм, если его ядро содержит лишь нуль, эпиморфизм, если его коядро состоит только из нуля (эквивалентно, если В образ при ф), и изоморфизм, если ф мономорфно и эпиморфно. Через 0 : А —> В мы обозначаем нулевой гомоморфизм (а0 = 0 для всех а). Гомоморфизм А-^А называется эндоморфизмом, а изоморфизм А—» А — автоморфизмом. Мы пишем ф:А^В,
если ф — изоморфизм, и обозначаем через 1:А^А тождественный автоморфизм (аА = а для всех а\ Если Ло-—подгруппа группы А, то мономорфизм 1:А0—>А, задаваемый формулой al a, а£А0, называется отображением включения или инъекцией. Если ф : А —» В — мономорфизм, то А может быть вложена в В путем отождествления а с йф для всех а. Пусть Ао—подгруппа группы А; эпиморфизм р : А—* А/Ао, сопоставляющий каждому элементу из А порожденное им комножество, называется проектированием.
Конечная или бесконечная последовательность абелевых групп и их гомоморфизмов
называется точной на Ап, если ядро гомоморфизма]) ф„ служит образом гомоморфизма фп+1. Эта последовательность называется точной, если она точна на каждой группе Ап.
Предложение. Последовательность 0 —> Ао —> А -^> А/Ао —» О точна.
Если определить сумму ф + ф' двух произвольных гомоморфизмов ф, ф' : А —> В формулой
а (ф -J- ф') = аф © аф', где а^А,
то семейство всех гомоморфизмов А -—- В наделяется структурой абелевой группы. Эту группу обычно обозначают через Нот (Л, S); мы же вводим для нее обозначение Л^В, следуя Е. К. Зиману.
Если ф :Л—>Виф:В-^-С — гомоморфизмы, то преобразование фф : А—> —> С — также гомоморфизм. Если ф' : А —> В и ф' : В —> С — гомоморфизмы, то
(ф + ф') ф = фф+ф'ф,
ф (ф + ф') = фф + фф'.
Пусть {Ла}— индексированное семейство абелевых групп; их прямой суммой 2 Аа называется абелева группа А, определенная следующим образом: элементами А служат всевозможные наборы элементов {«„}, аа^Ла, причем аа=0 для всех а, кроме конечного множества. Сложение в А определяется покоординатно: {яа} + («а} = {аа + «а}- Если отбросить ограничение на {аа}, то получится группа, называемая прямым произведением или неограниченной прямой суммой групп Аа и обозначаемая через П^«- *а
Если множество значений индекса а конечно, например а = 1, 2, . .., к, к
ТО Зд^Пла; при этом прямая сумма обозначается либо через 2 Аа, ааа=1
либо через А^ © ... © А^. Группу Лао можно вложить в 2 ^« (или в |[ Ла) , аа
отождествляя аао с {аа}, где аа=0, а ^= а0. Мы будем такое вложение называть инъекцией; подобным же образом эпиморфизм 2^а~* а
Лад^Ла—> Лао), заданный формулой {««}—^«а0, будет называться а
проектированием.
Группы Аа пока не являются подгруппами группы 2 Ла- Точнее говоря, мы а
определили внешние прямые суммы групп Аа. Если группы Аа являются подгруппами абелевой группы А, причем А есть сумма групп Аа и каждая группа Ла
х) В диаграммах удобно писать А—>В вместо ср : А—>В.
пересекает сумму остальных Аа лишь по нулевому элементу, то Л называется внутренней прямой суммой своих подгрупп Аа.
Предложение, (а) Если группа А— внутренняя прямая сумма своих подгрупп Аа, то Д в ^ Аа; (б) каково бы ни было обозначенное семейство групп {Ла}, а
^ Аа является внутренней прямой суммой образов групп Аа при их инъекциях в ^j аа
Если Ао — подгруппа группы А и А может быть представлена как внутренняя прямая сумма подгруппы До и некоторой другой подгруппы группы А, то группу До называют прямым множителем группы А.
Множество {аг} элементов абелевой группы А порождает подгруппу Ло, в которую входят элементы А, представимые в виде ^п^^ где nt — целые числа, лишь конечное число которых отлично от нуля; когда множество ^а^ счетно, мы будем писать 40 = (at, а2, •••)• Если А0 = А, то {а^ называется множеством образующих группы А, а каждое тождество ^т^/^О в А называется отношением (между образующими а^. Под порядком элемента а понимают порядок подгруппы группы А, порожденной элементом а.
Говорят, что абелева группа F свободна, если в ней существует такое множество элементов {/J, что каждый элемент из F единственным способом представим в виде ^п^. Множество {/,} называется базисом группы F, а число элементов в каком-нибудь базисе (это число не обязательно конечно) называется рангом группы F. Данное определение оправдывает
Предложение. Ранг группы F не зависит от выбора базиса. (Когда ранг конечен, это классическая теорема линейной алгебры. Если ранг бесконечен, он совпадает с порядком группы F.)
Предложение. Если F — свободная абелева группа, {/;} —ее базис и А — произвольная абелева группа, то любое отображение, определенное на базисе, со значениями в А может быть единственным способом продолжено до гомоморфизма всей группы F в А.
(В самом деле, пусть 6 —такое отображение; положим (^п^^ ф = i
~Sni(/i9)- Тогда отображение ф однозначно, так как представление ^n^i г‘i
единственно, и является, очевидно, гомоморфизмом. Более того, ф служит продолжением 6 и является единственным гомоморфизмом, удовлетворяющим последнему условию.)
(Свободным абелевым) представлением абелевой группы А называется эпиморфизм ц : F—>А, где F — свободная группа.
Запись «А =1» означает, что группа А изоморфна аддитивной группе целых чисел; запись <A=Jm» означает, что А изоморфна группе вычетов целых чисел по модулю т, где т— положительное целое число.
Пусть G— произвольная группа. Ее подгруппа Go называется нормальной или самосопряженной, если g -1gog € Go для всех g0 £G0, gQ G. Если Go — нормальная подгруппа группы G, то соответствующая факторгруппа1) обозначается через GiG0. Центр С группы G— это ее подгруппа, образованная всеми такими элементами c^G, что cg—gc для любого g^G.
х) Определения подгруппы, комножества и факторгруппы для произвольной группы аналогичны соответствующим определениям для абелевых групп.
Предложение. С —нормальная подгруппа группы G.
Для каждой пары g, g'^G положим [g, g'] = g^g'^gg', и пусть [G, G]— наименьшая подгруппа группы G, содержащая все коммутаторы [g, g']. Подгруппа [G, G] называется коммутантом группы G.
Предложение. [G, G] — нормальная подгруппа группы G; факторгруппа G/(G, G] коммутативна. Более того, если подгруппа Go группы G нормальна, а факторгруппа G/Go коммутативна, то Go ^ [G, G].
Кольцом R называется абелева группа, в которой определена еще одна операция, записываемая мультипликативно и удовлетворяющая аксиомам
(R1) (rr') г" = г (/г”) для всех r,r',r"(R;
(R2) (г-|- г') г" = rr" А т’т", г" (г + г') = г"г + г"г' для всех г, г’, г” (R.
Говорят, что кольцо R коммутативно, если rr’ ~г'г для всех г, г' (R. Единичным элементом (единицей) кольца R называют элемент 1у=0, для которого rl=lr = r для всех r^R1). Кольцо R называется полем, если ненулевые его элементы образуют коммутативную группу относительно операции умножения.
Идеал (двусторонний) кольца К — это такое его подкольцо I, что ra(I, ar(I, каковы бы ни были элементы a(I, r(R. Если I— идеал, то проектирование R-^R/I индуцирует в R/I структуру кольца; это кольцо называется факторколъцом кольца R по 7. Если ф: R—>8— кольцевой гомоморфизм, а это означает, что
(г + г') ф = гф + г'ф, (rr') ф = (гф) (г'ф), г, r’(R, то ядро К гомоморфизма ф является идеалом кольца R, образ R при гомоморфизме ф образует подкольцо в 5 и справедливо
Предложение. RfK^R^ (как кольца).
Диаграмма.
А-^В
с
множеств и их преобразований называется коммутативной, если ро = = фф : А —> D. Эта терминология будет употребляться и в случае более сложных диаграмм. Диаграммы, которые появятся в этой книге, относятся в основном к абелевым группам и их гомоморфизмам.
§ 1.3. Лемма Цорна
R ряде мест этой книги нам понадобится обобщение обычного принципа математической индукции. Здесь мы даем некоторые определения, ведущие к его формулировке (лемме Цорна).
Частично упорядоченным множеством называют множество А . вместе с заданным на нем отношением порядка av -< а^ (читаемым как «меньше или равно»), установленным для некоторых пар элементов множества А. Это отношение должно удовлетворять следующим условиям:
для всех а (А, а-<а;
если av -< аг, а2 < а3, то at -< а3.
Кольцо может не иметь единицы. — Прим, перев.
Отметим, что мы, вообще говоря, не требуем выполнения условия (в) если сц -< а2, а2 -< а^ то at = а2.
Частичное упорядочение -< , удовлетворяющее условию (в), будет называться строги..»'). Условие (в), в частности, не выполнено в нижеследующем примере (6). Пусть А—частично упорядоченное множество; в А можно ввести отношение эквивалентности, положив a^Ra^ в том и только том случае, если а^ —< а2 и а2 —< ау. Если А* — множество классов эквивалентности, то частичное упорядочение, заданное на А, порождает строгое частичное упорядочение на А*.
Вполне упорядоченным множеством называется такое строго частично упорядоченное множество, что для каждой пары элементов а, а’ ^ А либо а -< а', либо а' -< а.
Примеры: (а) действительные числа, упорядоченные отношением ^, образуют вполне упорядоченное множество;
(Р) комплексные числа, упорядоченные по правилу а + ib -< а’ -|- ib' в том и только том случае, если а^а' и b^.b', образуют частично упорядоченное множество;
(у) множество подмножеств данного множества, упорядоченное по включению ^ , является частично упорядоченным множеством;
(6) множество покрытий пространства (или множества) X, упорядоченное по правилу {XJ < {УД в том и только том случае, если {УД вписано в {XJ (см. 1.1), образует частично упорядоченное множество.
Отметим, что если {XJ—множество всех шаровых окрестностей радиуса 1/2ге метрического пространства X, a {Y>}—множество таких же окрестностей радиуса 1/Зп, где п пробегает значения 0, 1, 2, ..., то {Хе-} -< {Yj} и {У?-}~<{Хг}, но, вообще говоря, {X;} {Yj}.
Элемент b частично упорядоченного множества А называется верхней границей множества Ад ^ А, если а0 -< b для всех ао£Ао. Говорят, что А индуктивно, если каждое вполне упорядоченное подмножество множества А имеет в А верхнюю границу. Элемент т^А называют максимальным, если для всех а^А из т -< а следует, что а -< т.
(Лемма Цорна.) Если (непустое) частично упорядоченное множество А индуктивно, то оно обладает максимальным элементом.
Предложение. Произвольное вполне упорядоченное подмножество Ло индуктивного множества А обладает максимальной верхней границей.
(Ибо если А индуктивно, то и множество верхних границ Ло в А индуктивно.)
Мы рассматриваем здесь лемму Цорна как аксиому теории множеств. Дальнейшие сведения (в частности, об отношении леммы Цорна к теореме о вполне упорядочении и аксиоме выбора) можно почерпнуть в книге J. L. Kelley «General Topology», гл. 0.
1
ТОПОЛОГИЯ ПОЛИЭДРОВ
Прямолинейные симплексы
Элементарная комбинаторная топология рассматривает те топологические пространства, которые можно расчленить на достаточно правильные- части. Если мы захотим пойти по этому пути, то нам надо будет точно сформулировать понятие стандартного пространства и затем определить, как строить более общие пространства из таких «кирпичей». В этом первом параграфе мы определяем «кирпичи», оставляя описание техники построения из них пространств до следующего параграфа.
Кирпичи называются симплексами,. Симплекс — это обобщение интервала (1-симплекс), треугольника (2-симплекс) и тетраэдра (3-симплекс). В этом параграфе мы будем иметь дело исключительно с подмножествами евклидова пространства Rm; точки из Rra можно задавать действительными m-мерными радиусами-векторами, отнесенными к некоторой фиксированной декартовой системе координат в Rm; и точка в R" и вектор, ассоциированный с ней, будут обозначаться одной буквой. Таким образом, если а и b—точки в Rm, а /. и ц— действительные числа, то можно говорить- о точке Ха + ц&. В этом смысле символ 0 соответствует началу отсчета.
Введем предварительные понятия, необходимые для определения р-сим- плекса. Множество а0, а1, . ..,ар в Rm, состоящее из (р + 1) точек, называется независимымх) множеством точек, если из одновременного выполнения равенств
2V=o, 2^ = о
i=0 i=0
следует), что Х0 = Х1= . .. = Хр = 0. Это определение, очевидно, описывает свойство самих точек а0, а1, ..., ар и не зависит от выбора начала отсчета. Говорят, что точка Ъ зависит от множества а°, а1, ...,ар, если существуют такие Хо, . .., Хр, что
2 Х^-Ь и 2^ = 1.
При этом, очевидно, множество а°, а1, . .., ар, Ъ не является независимым^ так что никакая точка независимого множества не зависит от остальных.
Более того, справедливо
Предложение. Если а°, ...,ар— независимое множество точек и точка b от него зависит, то представление 1.1.2 определено однозначно. Если точки а0, . . ., ар образуют зависимое множество и b от него зависит.
то представление 1.1.2 определено неоднозначно; более того, если точка Ь допускает представление 1.1.2, в котором все Хг>0, то Ь представляется ■в таком виде не единственным способом.
Пусть сначала наше множество независимо, и пусть 6=2 ^i®1 = 2 Hi®1’ .ii
причем 2 ^i = S Pi = 1- Тогда 2 (^i ~ Pi) ^ = °* 2(4~ Pi) = °, откуда, гггг
в силу 1.1.1, Хг = р.г-, i = О, . .., р, чем доказана единственность представления 1.1.2.
Обратно, предположим, что множество а0, ..., ар не является независимым. Тогда существуют такие числа vz, г = 0, . .., р, не все равные нулю, что 2ущ- = 0, 2 vi = 0- Тогда если Ь='21Х1аг, то будут справедливы и соотношения.
^ = 2(^+^)^ и 2(^+^) = 1,
гг
так что представление элемента в виде 1.1.2 не единственно. Более того, вели все лг>0, то можно числа v, выбрать настолько малыми по абсолютной величине, что все Хг-|-уг>0.]
Множество точек, зависящих от множества а°, а1, .. ., ар, образует (замкнутое) подпространство пространства R"1; если множество а0, а1, ..., ар независимо, то это подпространство имеет (евклидову) размерность р. В последнем случае предложение 1.1.3 позволяет сопоставить каждой точке этого подпространства однозначно определенное множество координат; а именно точке b мы отнесем координаты (Хо, Xt, ..., Хр), удовлетворяющие соотношениям 1.1.2. Координаты (2i0, ^i, • ••,Хр) называются барицентрическими координатами точки b относительно независимого множества а0, а1, ...,ар. Название «барицентрические» объясняется тем обстоятельством, что точка b служит центром тяжести масс Хг, помещенных в точках аг, i = 0, ..., р. Напоминаем, что 2^i = l-
Пусть а0, а1, ..., ар — некоторое независимое множество.
Определение. Прямолинейным р-симплексом sp с вершинами ■а°, а1, ..., ар называется множество точек, зависящих от а0, а1, .. ., ар, -барицентрические координаты которых удовлетворяют условиям X, > 0, i = 0, ..., р. Симплекс sp с вершинами а0, а1, ..., ар мы будем иногда обозначать через (а0, а1, ..., ар); про симплекс sp говорят, что он натянут на свои вершины.
Ясно, что sp является открытым множеством в подпространстве пространства R'1, образованном точками, зависящими от а°, а1, ...,ар. Для краткости назовем последнее пространство подпространством, определенным точками а0, а1, .. ., ар, и обозначим его через R (а0, а1, . . ., ар\ Замыкание симплекса sp, множество sp, называется замкнутым прямолинейным р-симплексом (с вершинами а0, а1, . .., ар) и состоит из всех точек пространства R (а°, а1, .. ., ар), координаты которых удовлетворяют условиям Xt > 0, г = 0, ...,р. Граница симплекса sp определяется как sp — sp и обозначается через Sp. Это, следовательно, не что иное, как граница симплекса sp я смысле теоретико-множественной топологии, если sp рассматривается как подмножество пространства R (а0, а1, . .., ар'). Таким образом, sp состоит из тех точек симплекса sp, для которых X, = 0 при каком-нибудь i, 0<Ci^ Р- Про симплекс sp говорят, что он имеет размерность р. Это согласуется, разумеется, с размерностью симплекса как подмножества евклидова про-
•странства. Термин р-симплекс обозначает некоторый симплекс размерности р; каждую вершину а мы отождествляем с О-симплексом, ею определяемым.
Предложение. Симплекс sp однозначно определяет свои вершины.
В самом деле, каждая точка множества sp, за исключением вершин, является серединой некоторого отрезка, лежащего в sp; это обеспечивает характеризацию вершин симплекса sp.]
Из доказанного предложения вытекает, что размерность симплекса является свойством самого симплекса.
Предложение. sp и sp— выпуклые подмножества пространства Rm.
Пусть
6=2М4 3^ = 1, ^>0,гг
И
к = 2 Ма\ 2 ^i = 1 > а; > о.
Тогда, если 0-<<-<1,
4" (1 — О — 2 (^г + (1 — 0 ^i)
:и
2 М^Ч 4" (1 ■—0 ^г) = t 2 К, -|- (1 '— Л 2 ^i = 1, ^t "Г (1 — 0 ^i 0-
■Этим доказано, что sp выпукло; выпуклость подмножества sp доказывается почти также.]
Пусть sp = (а° . . . ар); каждое подмножество множества а°, а, ...,ар также независимо, и симплекс, натянутый на такое подмножество, называется гранью симплекса sp. В частности, симплекс sp сам является своей гранью; остальные грани симплекса sp называются его собственными гранями, размерность их меньше р. Удобно считать, что пустое множество также является подмножеством множества вершин симплекса и образует множество вершин некоторого (пустого) симплекса. Имеет смысл припи- ■сать пустому симплексу размерность1) —1. Мы пишем sq-<sp, если sq является гранью симплекса sp; таким образом, s_! -< s для любого симплекса $.
Предложение. Каждая точка множества s принадлежит в точности одной собственной грани симплекса s. Обратно, все точки собст- •венных граней симплекса s принадлежат множеству s.
Действительно, если s— sp и а°, а1, ..., а? — вершины симплекса s, то точка 2 ^г®1 лежит в s в том и только том случае, если некоторое Хг = 0. Предположим, что ktv . .., лг не равны нулю; тогда 2^га1 — точка 9г
•собственной грани, натянутой на а’1, .. ., аЧ. Обратное утверждение столь же очевидно.]
Мы завершим этот параграф важным замечанием относительно топологии _р-симплексов. Мы видели, что каждый р-симплекс определяется своими
вершинами. В частности, произвольное отображение вершин симплекса sp в евклидово пространство R" может быть продолжено до линейного отображения всего симплекса $р, и это продолжение единственно. Если &°, Ь1, .. ., № — независимое множество в Д”и tp— натянутый на него симплекс,, то формула
(Ж^)/ = 2^
определяет линейное отображение f:sp~-tp. Очевидно, / — гомеоморфизм. Более того, можно считать, что 1.1.8 определяет гомеоморфизм между sp и tp. Значит, топологический тип как замкнутого, так и открытого симплекса полностью определяется их размерностью. Важно, однако, подчеркнуть, что Sp и tp (соответственно sp и tp) не только гомеоморфны. Действительно, при фиксированном порядке их вершин существует единственный линейный гомеоморфизм, сохраняющий этот порядок.
Геометрические симплициальные комплексы
В этом параграфе мы опишем, как из симплексов можно получать- более интересные конфигурации. Идя по этому пути, мы научимся применять комбинаторные методы к исследованию пространств самых различных топологических типов. Рассматриваемые конфигурации мы будем называть конечными геометрическими симплициальными комплексами, или сокращенно, когда это не дает повода к недоразумению,—геометрическими комплексами, или даже просто комплексами.
Пусть R’H — фиксированное евклидово пространство.
Определение. Конечным геометрическим симплициалъным комплексом в R™ называется конечное семейство К симплексов s^, лежащих в Rm, подчиненное следующим условиям:
К1: Если sp£K и sq ■< Sp, TOSq^K.
К2: Различные симплексы из К попарно не пересекаются.
Если принято соглашение, что s-ц -< s для всех $, то комплекс называется пополненным, и мы будем обозначать его через К*; таким образом, в К+ есть один (— 1)-симплекс, являющийся гранью каждого симплекса из К. Пока отсутствует верхний индекс +, К следует считать непополненным комплексом, т. е. полагать, что (—1)-симплекс в нем отсутствует; мы говорим, что КА получается пополнением К.
Размерностью комплекса К называется наибольшая из размерностей составляющих его симплексов.
Предложение. Условия К1 и К2 эквивалентны1) условиям К1 и
К2: любые два замкнутых симплекса из К либо не пересекаются, либо- их пересечение является замкнутой гранью каждого из них. {Любые два замкнутых симплекса из К* пересекаются по замкнутой грани каждого из них.)}
В дальнейшем читатель убедится, что говорить в формулировке К2 о пополненном комплексе К* действительно удобно. Наиболее важные технические преимущества этого приема обнаружатся в последующих главах.
Условие К1 означает, что геометрический комплекс является объединением замкнутых прямолинейных симплексов, условие К2,-—что эти симплексы скомпонованы подходящим образом. Например, на рис. 1.1 изображено семейство симплексов в R2, удовлетворяющее условию К1 и не удовлетворяющее условию К2; действительно, симплекс а3а4 пересекается с симплексом aVa2. С другой стороны, легко описать комплекс, пространство которого изображено на рис. 1.1; этот комплекс приведен на рис. 1.2.
Пространство комплекса К, т. е. множество всех точек пространства R'u, принадлежащих симплексам комплекса К, с топологией, индуцированной из R"1, называется полиэдром комплекса К и обозначается через | А? |; разумеется, |ЛГ+| = |АГ|. Комплекс К называют также разбиением, или триангуляцией полиэдра ] АГ |. Конечно, полиэдр | К | — нечто большее, чем просто топологическое пространство; он наследует из Rm некоторую метрику и аффинную структуру на каждом симплексе (как
Рис. 1.2.Рис. 1.2.
Рис. 1.2.
Рис. 1.2.
описано в § 1.1). Каждая точка ж из | А" |, в силу К2, принадлежит в точности одному симплексу комплекса К, который называется носителем точки х. Очевидно, различные комплексы могут иметь один и тот же полиэдр; читатель легко приведет примеры. Наша задача, по существу, состоит в том, чтобы так определить свойства (или «функции») комплекса, чтобы они в действительности зависели только от топологического типа полиэдра.
Пусть К — комплекс; подсемейство Ко его симплексов называется подкомплексом комплекса К, если оно само является комплексом. Если Ко — подкомплекс «комплекса К, то | Ко | называют подполиэдром полиэдра | АГ j. При этом, конечно, надо только проверить, удовлетворяет ли Ко условию К1, так как условие К2 выполняется автоматически. В очевидном смысле можно сказать, что семейство Ко является подкомплексом, если оно замкнуто, т. е. если оно является объединением замкнутых симплексов из К. Важный пример подкомплекса представляет множество всех граней некоторого симплекса s комплекса К; при этом [ АГ01 = s. Можно также взять все собственные грани симплекса s; тогда [ Ко | = s. Для обозначения этих комплексов мы будем часто использовать символы s, s, хотя на самом деле s и s — их полиэдры. Обозначим через К" множество всех симплексов размерности ^га комплекса К. Тогда Кп—подкомплекс комплекса К; его называют п-секцией комплекса К. Пустое множество симплексов комплекса К тоже считается его подкомплексом.
Предложение. Если Ко, К t —подкомплексы комплекса К, то KqUKv и Ко П Ki также являются его подкомплексами^
Предложение. Если комплексы К и L, лежащие в Rm таковы, что
mi£i=w,
где М— некоторый подкомплекс как комплекса К, так и комплекса L, то и К J L является комплексом. ]
Заметим, что комплекс — это семейство симплексов (а не точек), так. что объединение и пересечение комплексов являются семействами симплексов. Пересечение двух комплексов в Rm, конечно, является комплексом, но полиэдр этого комплекса может не быть пересечением соответствующих, полиэдров.
Подойдем теперь к определению комплекса К с другой точки зрения.. Обратим особое внимание на то обстоятельство, что комплекс К вполне- определен, если известны (а) его множество вершин, т. е. множество тех точек из Rm, которые служат вершинами симплексов комплекса К, и его- (б) схема вершин, т. е. множество тех подмножеств множества вершин, на которые натянуты симплексы комплекса К. В этом случае условия К1 и К2 могут быть интерпретированы как условия, наложенные на схему вершин)..
Приведенная точка зрения полезна в практическом отношении, поскольку комплекс часто представляют как некоторую схему вершин, а затем доказывают, что она служит схемой вершин некоторого комплекса. Таким образом, можно рассматривать произвольные схемы вершин в Rm. Мы говорим, что V является схемой вершин, заданной на вершинах а1, . . ., aN, где а1, .. ., aN — произвольные точки из Rm, если V есть некоторый набор подмножеств множества {а1}, подчиненный единственному условию, что каждая вершина принадлежит хотя" бы одному множеству из V. Схема вершин называется замкнутой, если с каждым входящим в нее множеством ей принадлежит и любое его подмножество. Схема вершин V определяет некоторое подмножество | V | <= R™, а именно множество- N
тех точек 2 ^i®1- Для которых 1
Хг>0 при всех I;
2^ = 1;■
если 7ц0, . . ., ^ — множество всех ненулевых X, то («’“, .. ., а‘р) — множество из схемы.
Предложение. Если каждое входящее в V подмножество независимо, то |F| является объединением симплексов, натянутых на эти подмножества. Если V есть схема вершин комплекса, то она замкнута и |F| = |^|.J
Полиэдры
Топология изучает свойства, общие для всех пространств одного топологического типа. Следовательно, подходящими объектами для исследования в элементарной комбинаторной топологии являются пространства, гомеоморфные полиэдрам. Мы расширим рамки термина «полиэдр», включив в рассмотрение все такие пространства, но временами, чтобы подчеркнуть разницу, будем эти более общие объекты называть абстракт-
ними, полиэдрами. Заметим, что полиэдр, как подпространство Rm, имеет более богатую структуру, чем абстрактный полиэдр, рассматриваемый лишь как топологическое пространство. Конечно, из существования гомеоморфизма между абстрактным полиэдром Р и некоторым полиэдром | К I. вытекают некоторые сведения о топологическом типе Р; например, пространство Р метризуемо.
Пусть h:\K\^P— гомеоморфизм; для каждого симплекса sp^K можно рассмотреть подпространство (sp) h полиэдра Р. Очевидно, Р является объединением своих подпространств (sp) h, называемых криволинейными симплексами полиэдра Р; множество всех криволинейных симплексов ($р) й образует разбиение полиэдра Р в криволинейный комплекс. Обсуждать свойства полиэдра Р в такой форме часто гораздо удобнее, чем. все время переходить от Р к | К | и обратно. Например, га-сфера 5П гомео- морфна $п+1 (в этом легко убедиться, если поместить центр сферы 5” в центр, тяжести симплекса $п+1 и осуществить радиальное проектирование); частоудобно представлять Sn расчлененной на криволинейные симплексы, определенные посредством некоторого гомеоморфизма
^ : sn+i = 8п-
Теорема. Абстрактный полиэдр является компактным метри- зуемым пространством.
Рассмотрим полиэдр [ АГ |. Очевидно, | К) метризуем. Кроме того, | АГ [ является объединением конечного числа замкнутых симплексов; каждый из этих замкнутых симплексов представляет собой замкнутое ограниченное подмножество пространства Я”1 и, следовательно, является компактом. Таким образом, полиэдр К сам является компактом. Поскольку утверждение- теоремы носит чисто топологический характер, из справедливости его- для полиэдров вытекает справедливость для абстрактных полиэдров.] ■ Отметим, что обращение теоремы 1.3.1 неверно. Так, множество точек из R1 с координатами 0, 1, 1/2, . .., 1/га, ... образует компактное метри- зуемое пространство. Но оно не является полиэдром, так как не содержит никакого 1-симплекса, а число вершин комплекса должно быть конечно.
Замечание, завершающее доказательство теоремы 1.3.1, свидетельствует о том, что не имеет смысла различать полиэдры и абстрактные- полиэдры, когда нас интересуют чисто топологические свойства. Поэтому в дальнейшем при рассмотрении полиэдров термины «абстрактный» и «криволинейный» мй будем опускать (если не оговорено противное). Конечно, термины «вершина» и «грань» могут употребляться при рассмотрении разбиений произвольных полиэдров.
Подпространство Ро полиэдра Р мы будем называть его подполиэдром,. если для некоторого разбиения К полиэдра Р и некоторого подкомплекса Ко комплекса К имеет место равенство |А/0| = Ро. Заметим, что здесь- о подмножестве Ро ^ Р утверждается больше, чем то, что оно полиэдр.
Пусть К — комплекс, а | К | — соответствующий полиэдр..
Предложение. Подмножество А = | К | замкнуто в том и только том случае, если для каждого 8рбК множество A f) sp замкнуто в sp.J
Следовательно, если Ко — подкомплекс комплекса К, то | А"о | — замкнутое в | А | множество.,
Предложение. Пусть Y — топологическое пространство и для каждого sp£K так определено отображение fp:sp-^Y, что если Sq-<sp,
то /p|sg = /g. Тогда существует такое единственное отображение / : | К | —> У, что / | Sp = /р для всех симплексов яр комплекса К.
Вообще, попросту говоря, в этом предложении утверждается, что семейство преобразований, определенных согласованно и непрерывных на отдельных замкнутых симплексах комплекса К, вместе дает непрерывное преобразование всего полиэдра | К); это сразу следует из 1.1.6.]
Пусть s — произвольный симплекс комплекса К; звездой симплекса s, обозначаемой через stK ($), мы назовем множество всех симплексов комплекса К, для которых s является гранью. Заметим, что, вообще говоря, stK (s) не является подкомплексом комплекса К и что если Ко — подкомплекс комплекса К и збКп, то st^0 ($) может не совпадать) с stK(s). Тем не менее мы будем писать просто st(s), когда нет повода к недоразумениям. При этом через |st(s)| будет обозначаться множество всех точек, покрытых симплексами из st(s).
Теорема. |st(s)| является открытым в | К | множеством.
Рассмотрим К — st(s). Если s не является гранью симплекса t, то s, очевидно, также не является гранью никакой грани этого симплекса. Значит, семейство К — st ($) удовлетворяет условию К1 и является подкомплексом комплекса К; поэтому | К — st ($) ]— компакт и, следовательно, замкнутое в | К | множество. (Мы используем 1.1.15 и тот факт, что любое метрическое пространство хаусдорфово.) Но так как | К | является объединением непересекающихся симплексов, то
| К—st(s) | = | К | — ] st (s) |.
Следовательно, | st (s) j открыто в |^|.J
Правильное ) подразделение
Пусть К — геометрический комплекс, лежащий в Rm. Тогда | К [ допускает прямолинейное разбиение К. Мы сейчас опишем процесс, который позволит для комплексов К положительной размерности получить дальнейшие все более мелкие разбиения К', К”, ... полиэдра J АГ |. Этот процесс правильного подразделения очень важен для дальнейшего.
Пусть У —схема вершин комплекса К. Мы определим схему вершин V и докажем в следующем параграфе, что она служит схемой вершин некоторого комплекса К', такого, что \К' (= | ТС |. После того как схема V' определена и будет приведен пример, читателю нетрудно будет временно принять на веру справедливость этого утверждения.
Пока же мы рассмотрим более доступные факты, относящиеся к К'. Комплекс К' называется первым производным от К; говорят, что он получен из К посредством правильного подразделения.
Дадим теперь определение схемы V'. Для каждого симплекса (а1”, . .., У") комплекса К определим вершину ь'а"‘гр схемы V* формулой
р
Р А-1
О
Таким образом, 610 - является барицентром, т. е. центром тяжести равных масс, помещенных в вершины а’», .. ., «*р. Отсюда следует, что так определенные вершины схемы У' различны. Ясно, что &1° - '1р не зависит от порядка верхних индексов. Опишем далее отмеченные множества вершин, образующие схему У'. Именно, подмножество из У' считается отмеченным в том и только в том случае, когда его элементы могут быть так упорядочены, чтобы множество верхних индексов каждой вершины содержалось в множестве верхних индексов предыдущей вершины. Например, если б1’9-3’4-7, Ь4,3, Ь3’9’4 — вершины схемы У', то множество, которое они образуют,—отмеченное, ибо их можно записать в таком порядке: 61’9’3’4’7, 63= 9,4, ^4, з q другой стороны, вершины Ь1’3] 4=7, Ь4’ 3, Ь3’ 9> 4 не составляют отмеченного множества. Разумеется, схема У' замкнута. На рис. 1.3 изображены К и К' для одного простого случая.
В предположении, что К' — комплекс и что | К' | = | К |, можно, очевидно, продолжать наш процесс, получая К", К”, .. ., К(Г\ . . . . Обратите внимание на то, что наши обозначения копируют обозначения производных в дифференциальном исчислении. Заметьте также, что каждая
Рис. 1.3.
вершина комплекса К является одновременно и вершиной К'; однако удобно обозначать одну и ту же точку разными символами в зависимости от рассматриваемого комплекса. По определению, К4"' --- К'*.
Предложение. Если Ко является подкомплексом комплекса К, то К'о является подкомплексом комплекса К'Д ,
Конечно, пока теорема 1.5.3 не доказана, более правильным было бы заключить лщпь, что К'о является замкнутой подсхемой схемы К'.
Предложение. Если Ко и Kt —такие подкомплексы комплекса К, что Ко (J К^ — К, то К^ (J К'1 = К'.
Очевидно, К'/иК^К'. Пусть s'— какой-нибудь симплекс из К' и Ъг°""гр — вершина симплекса $', обладающая наибольшим числом верхних индексов. Тогда (а{°, . ..,aip)— симплекс комплекса К. Можно предположить, не теряя в общности, что этот симплекс принадлежит Ко. Тогда, очевидно, s' £ АЧ]
Приведенное доказательство (вместе с определением У') наводит на мысль называть вершину симплекса s'^K', обладающую наибольшим числом верхних индексов, ведущей вершиной симплекса s'.
Выясним теперь, в каком смысле процесс правильного подразделения дробит полиэдр |АГ| все мельче и мельче. Пусть Л — ограниченное множество в Rm. Тогда пересечение всех содержащих А выпуклых множеств является выпуклым множеством, называемым выпуклой оболочкой А. Очевидно, замкнутый симплекс служит выпуклой оболочкой своих вершин.
3 Заказ № 1335
Лемма. Диаметр множества Л равен диаметру его выпуклой оболочки.
Пусть d—диаметр множества Л, и d—диаметр его выпуклой оболочки А. Предположим, что а^А, х£А. Тогда1) р(а, ж)^^, так как замкнутый шар с центром в точке а и радиусом d является выпуклым множеством, содержащим А и, следовательно, А. Отсюда вытекает, что если ж, х'ЕА, то р(ж, x')<.d, так как'замкнутый шар с центром в ж и радиусом d, как мы только что доказали, является выпуклым множеством, содержащим А и, следовательно, содержащим А. Значит, tZ^d; но, очевидно, d^d, так что d = d.]
Следствие. Диаметр симплекса равен длине его наибольшей стороны (одномерной грани).]
Мы назовем мелкостью ц Д) комплекса К верхнюю грань диаметров составляющих его симплексов; в силу следствия 1.4.4, мелкость р (К) равна наибольшей из длин 1-симплексов комплекса К. Главным результатом этого параграфа является
Теорема. Если размерность комплекса К^п, то
^)-^)-
^)-
^)-
Произвольный 1-симплекс комплекса К’ имеет вид (610' ’ гр?°- • -^ ь30’' 'Д, где p + q-V 1^и- Вектор, идущий из первой его вершины во вторую, равен
9Рqq
2—7+7+2 (2 QVt + 2 ^^ = (g+1)^+9+2) 2a38 -
s=0r=0s=0s=0
—2 Y
p+<? + 2p + g + 2<9+lZJp+1)
r=0s=0r=0
HoHo—— V иq +1s=0—— V иq +1s=017+i17+ip2 air суть точки замкнутого симплекса комплекса К, г=0p2 air суть точки замкнутого симплекса комплекса К, г=0натянутого на вершины а °, .. ., а+, а30, ..., а^ч. Следовательно, длина раснатянутого на вершины а °, .. ., а+, а30, ..., а^ч. Следовательно, длина рас
Ho
Ho
—— V иq +1s=0
—— V иq +1s=0
17+i
17+i
p
2 air суть точки замкнутого симплекса комплекса К, г=0
p
2 air суть точки замкнутого симплекса комплекса К, г=0
натянутого на вершины а °, .. ., а+, а30, ..., а^ч. Следовательно, длина рас
натянутого на вершины а °, .. ., а+, а30, ..., а^ч. Следовательно, длина рас
Но р+^+2v 7Но р+^+2v 7
Но р+^+2v 7
Но р+^+2v 7
сматриваемого 1-симплекса комплекса К' не превосходит
—, так как p-Yq-Vi<.n. Теорема вытекает теперь p + q + 2p+q + 2 ^/г+1г 1 ч 1гГ
из замечания к следствию 1.4.4 (она, очевидно, тривиальна, если dim Ут =0).
Так как ^^—Qr —»0 при г—> со и поскольку легко видеть, что dim #'= dim А\ можно заключить, что справедливо
Следствие. Пусть К — геометрический комплекс и е —произвольное положительное число; тогда существует такое целое число г, что
Это следствие точно устанавливает, в каком именно смысле, правильно подразделяя полиэдр, можно достичь сколь угодно мелкого его расчленения; очевидно, ц Д) является вполне удовлетворительной характеристикой мелкости комплекса К.
х) Как обычно, g обозначает метрику.
Коническая конструкция
Пусть W — схема вершин в Rm, и а — некоторая точка из Вта, не являющаяся вершиной схемы W. Рассмотрим схему aW, вершинами которой служат вершины схемы W и точка а, а отмеченными множествами являются: (а) отмеченные подмножества схемы W, (б) сама точка а и (в) все подмножества, получающиеся добавлением а к отмеченным подмножествам схемы W. Назовем aW соединением а с W или конусом над W с вершиной а. Схема aW замкнута, если замкнута схема W. Если W является схемой вершин некоторого комплекса L и aW является схемой вершин ' некоторого комплекса К, то мы говорим, что К есть соединение точки а и комплекса L или конус над L с вершиной а, и пишем К = aL. Так, например, если | L | с R'n-1 и R™-1 вложено в R"\ a a^R™— Д"1"1, то aL является комплексом и | aL | — конус (в обычном евклидовом смысле1)) с основанием | L | и вершиной а.
Предложение. Пусть а°, а1, ..., ар—независимое множество в R™, sp = (а0, а1, . . ., ар), и Sp-} = (а1, . . ., ар); тогда sp = a°sp_1.]
Докажем теперь общий результат.
Теорема. Пусть В —замкнутое ограниченное выпуклое множество евклидова пространства Rm, и В — граница В в натянутом на него евклидовом пространстве. Если L — комплекс, для которого \L\ = В, и а^В— В, то aL является комплексом с полиэдром В.
Мы используем тот факт теории выпуклых множеств, что каждая точка, лежащая в В — а, единственным способом записывается в виде Х«+(1 — X)/, где /^5 и 0<Х<1, и что любая точка такого вида принадлежит множеству В — а.
, 1 , 12 й 2?4 2, 1 , 12 й 2?4 2р2ор2оОтмеченными множествами схемы aL, в очевидных обозначениях, являются: (а) {$}, s ^ L, (б) а, (в) {ах}, s^L. Все они являются симплексами. Последнее утверждение тривиально в случаях (а) и (б); остается проверить его лишь для случая (в). Предположим, что s = (а0 . .. ар) и что а, а0, .. ., ар не является независимым множеством. Тогда, в силу 1.1.3, если
, 1 , 1
2 й 2?4 2
, 1 , 1
2 й 2?4 2
р
2
о
р
2
о
а\ то точка b имеет и другое представление вида 1.1.2
р
= р,а + 2 М^1’ гДе ^ + 2^2 = 1» 0 < р, < 1 и все рг > 0. Тогда Ь = о
= у а 4- / = pa -J- (1 — ц) g, где f,g^scB. Так как рассматриваемые представления точки b различны, то либо р, =4 у, либо / 4= g; в любом случае некоторая точка из В — а имеет два различных представления вида Ха 4(1—X)/, где f^B. Это противоречие доказывает, что вершины из as независимы.
Остается показать, что aL удовлетворяет условию К2 из определения комплекса и что | aL | — В. Очевидно, К2 будет проверено, если мы убедимся, что для любых различных симплексов s,t^L, as не пересекается ни ci, ни с at. Эти утверждения доказываются рассуждениями, подобными только что проведенным. Равенство ) aL [ = В вытекает опять
х) Конечно, не бесконечный конус.
из представления точек множества В — а, данного в начале доказательства теоремы. Читатель сам сможет восстановить недостающие детали доказательства. ]
Докажем теперь результат, сформулированный в предыдущем параграфе.
Теорема. Пусть К — геометрический комплекс со схемой вершин У. Тогда V является схемой вершин некоторого комплекса К', для которого \К'\ = \К\.
Доказательство будем вести по индукции. Теорема, очевидно, справедлива для комплексов размерности <: 0. Предположим, что теорема справедлива для всех комплексов размерности, меньшей п, и для всех комплексов размерности п, число n-симплексов в которых меньше q, тдед>1, и докажем нашу теорему для произвольного га-мерного комплекса К, в котором ровно g га-симплексов.
Пусть зп—какой-нибудь га-симплекс комплекса К; положим K0 = sn, Kt= K — sn и L = зп. Тогда Кх — подкомплекс и Ко П Ki = L, [ Ко | П I К\ | = = |L|.
По предположению индукции, L' является комплексом и | L' | = | L | = sn. Пусть Ъ — барицентр симплекса sn; тогда bU = К’й. Но sn является границей симплекса sn в евклидовом пространстве, натянутом на зп, и b £ зп—sn. Значит, по теореме 1.5.2, К’а является комплексом и | К'о | = sn = | Ко |.
И снова, по предположению индукции, Кг является комплексом и | Кг | = = 17^]. В силу предложения 1.4.1, U служит подкомплексом как комплекса Ко, так и комплекса К'^, таким образом, мы доказали, что ^ ] Q I ^i I = I -^о | П П | | = | L | = | L' |. В силу предложения 1.2.4, Кй (J А"' является комплексом. Согласно 1.4.2, К'о\3 К'г = К.'*, значит, К'—комплекс 1). Наконец, заметим, что
|A'l = |7f;u^| = jA;iui^| = !^o!ui^i! = ^oU^i| = |^|, и индукция завершена.]
Пока «конус», или «соединение», определен нами как чисто комбинаторное понятие. Естественно (и это согласуется с принятой терминологией) называть \aL\ конусом над \L\ с вершиной а, или соединением точки а с \L\, если aL является комплексом.
Предложение. Если aL и bL-—комплексы ^лежаи^ие в некотором Rm), то
\aL\^\bL\.
В самом деле, любая точка из |а£|— а единственным способом записывается в виде Ха + (1 — X) х, 0 < X < 1, х £ | L |, и гомеоморфизм h : I aL I ^j bL определяется формулами
ah = b, (Xa-)-(l—X) ж) h = Xb -)- (1—X) ж.]
Заметим, что /г — не просто гомеоморфизм: h отображает симплексы на симплексы и на каждом симплексе линеен.
Предложение 1.5.4 показывает, что выбор вершины не влияет на топологию конуса. Таким образом, мы можем говорить как о «конусе над L», так и о «конусе над [А]», если нас интересуют его чисто топологические свойства.
!) Конечно, ни одно из предложений 1.4.1, 1.4.2 не опирается на доказательство теоремы 1.5.3.
Предложение. Конус над sn гомеоморфен sn.
Это утверждение легко получить из теорем 1.5.2 и 1.5.3; можно было бы дать и прямое доказательство, что рекомендуется сделать читателю.) При определении конуса над полиэдром топология в нем задавалась с помощью топологии окружающего евклидова пространства. В действительности можно определить конус над произвольным подпространством евклидова пространства, причем топологический тип этого конуса не зависит от выбора вершины. Таким образом, для. любого X ^ Rm можно определить его евклидов конус X, который реализуется в Rm+1. Однако в топологии часто приходится сталкиваться с пространствами, которые не только не являются подпространствами евклидовых пространств, но даже не гомео- морфны таким подпространствам. Мы опишем теперь, как построить конус над произвольным топологическим пространством.
Пусть I— единичный интервал 0<3<И, и Хх1— топологическое произведение X на I. Введем отношение эквивалентности R на множестве точек из Хх1 по следующему простому правилу: (ж, i) R (х', t') в том и только том случае, если (x,t) = (x', t') или t = t' = l, и наделим фактормножество (X х I)/R фактортопологией; построенное факторпростран- ство СХ мы называем конусом над X. Класс эквивалентности Л X 1 называется вершиной конуса.
Интуитивно ясно, что СХ получается из цилиндра X X I сощипыванием верха цилиндра в точку. Топология в СХ индуцируется проектированием k : X X I—* СХ. Таким образом, топологии цилиндра и конуса находятся в тесной связи друг с другом; каждая из них, как мы увидим, играет существенную роль в понятии гомотопии.
Предложение, IlycmbW—произвольное пространство, R— отношение эквивалентности, определенное на его точках, и k -.W—» Z = W/R— факторотображение1); пусть f :W—>Y такое отображение, что из wRw', где w, w'^W, следует, что wf = w'f; тогда / порождает отображение g:Z—»Y, для которого kg — j, причем такое g единственно.
Условия, наложенные на /, обеспечивают существование преобразования g, а тот факт, что к является отображением «на», дает возможность утверждать, что искомое g единственно. Непрерывность g доказывается таК: для любого замкнутого подмножества F CY, к-1 (g^F) = У1 (F), причем последнее множество в силу непрерывности / замкнуто в И7; из определения топологии в Z вытекает, что g^F замкнуто bZ. Следовательно, g непрерывно.)
Рассмотрйм теперь случай, когда W = X X I, a Z = CX. Тогда из предложения 1.5.6 следует, что если отображение f:XxI—>Y переводит Хх1 в одну точку, то оно порождает отображение g: СХ—» У, для которого kg = f.•
Если X вложено в евклидово пространство, то X и СХ можно, очевидно, рассматривать как два топологических пространства с одним и тем же множеством точек. Это интуитивное представление уточняет
Теорема. Отображение f;XxI—>X, заданное соотношением (х, i) / = t-а + (1 — t)-x, порождает взаимно однозначное и непрерывное преобразование g : СХ —> X.
Применим 1.5.6 к пространствам X X I, СХ и Х\ отображение / удовлетворяет условиям предложения 1.5.6, а фигурирующее здесь отображение g играет роль g из 1.5.6. Проверка быстро показывает, что отображение g взаимно однозначно и является отображением «на».)
т) Определения ем. в s T.I.
Следствие. Если X— бикомпакт, то g:CX^X.
' См. LI. 17.J
Когда X— бикомпакт, мы будем посредством отображения g отождествлять СХ с X.
Таким образом, оба определения конуса для полиэдров совпадают. То, что они не всегда совпадают — в СХ может быть больше замкнутых множеств, чем в X,—обнаруживается, если взять в качестве X множество положительных целых чисел прямой, которое мы будем считать лежащим в Л. Тогда если Уп —множество точек луча, идущего из а в п, лежащих на расстоянии ^1/пот а, то J Vn представляет собой окрестность точки а в СХ, но не в XД.
Гомотопия
Фундаментальную роль в алгебраической топологии играет понятие гомотопных отображений; оно будет часто встречаться в дальнейшем. Пусть X, Y—два топологических пространства, и /0, Д— отображения X в У; тогда гомотопией от /0 к Д 2) называется непрерывное семейство отображений ft: X —> Y, O^i^l. Этому интуитивному описанию процесса постепенной деформации /0-образа пространства X в Д-образ пространства X придает точный смысл
Определение. Мы говорим, что отображения /0, Д:Х—>У гомотопны, если существует такое отображение F\XxI—*Y, что ж/0 = = (ж, 0) F, xf^tx, 1) F для всех х^Х. При этом F называется гомотопией от /0 к jv
Отображения ft: X —>Y, о которых мы говорили выше, задаются тогда формулой xft = (x, t)F. Определение 1.6.1 разъясняет, что мы понимаем под непрерывной зависимостью семейства Д от ж и t. Если Д и Д F
гомотопны, мы пишем /0 ~ Д; запись /0 ~ jY означает, что F является гомотопией от /0 к fv
Определение 1.6.1 можно перенести на относительный случай. Мы называем X, Хо парой пространств, если Хо X, и пишем / : X, Хо —> У, Уо, если отображение /: X —У таково, что Хо/ ^ Уо. Для отображений /:Х, X0—^Y, У о определение гомотопии очевидно: /0 ~ Д : X, X0—>Y, Уо, если существует отображение F : X х I, Хо X I —> Y, Уо, для которого ж/0=(ж, 0)F, xfl = (x, 1)Г. Такую гомотопию мы будем называть относительной. Заметим, что образ пространства Хо при гомотопии F должен оставаться в Уо. В понятие относительной гомотопии можно вложить и другой смысл. Пусть отображения /0, Д : X —»У согласуются на подмножестве А из X; скажем, что /0 гомотопно Д относительно A (rel 4), если существует такая гомотопия F от /0 к Д, что для всех aQA и t£l ^а, Г) F = «{0^ = 611^. В дальнейшем мы не всегда будем наши определения и утверждения переносить на относительный случай, в частности, в тех случаях, когда это очевидно.
Предложение. Отношение / ~ g; X—»У является отношением эквивалентности на множестве отображений X в Y.
Мы должны показать, что отношение ~ рефлексивно, симметрично и транзитивно.
f ~ f: X —У при гомотопии F : X X I —У, задаваемой формулой (ж, i) F = xf.
!) Авторы обязаны А. X. Стоуну этим прозрачным примером.
Если f ~ g: X —> Y при гомотопии F, то g ~ / при гомотопии F', задаваемой соотношением (ж, <)Г' = (ж, 1—t) F.
Если f ~ g; X —>Y при F и g ~ к: X —> Y при G, то f ~к \ X —> У при Н, где
(х, t) Н =(х, t) Н =(ж, 2()Г,(ж, 2()Г,tt£2 ’£2 ’(ж, 2/. — 1) G,(ж, 2/. — 1) G,<1.<1.
(х, t) Н =
(х, t) Н =
(ж, 2()Г,
(ж, 2()Г,
t
t
£
2 ’
£
2 ’
(ж, 2/. — 1) G,
(ж, 2/. — 1) G,
<1.
<1.
Представляем читателю проверить, что определенные выше гомотопии действительно непрерывны.]
Пусть 1Х : X —> X — тождественное отображение; часто оно будет обозначаться через 1. Мы говорим, что /:Х —>Y является гомотопической эквивалентностью с гомотопически обратным g’.Y—>Х, если fg ~ 1Х : X X, gf ~ 1т : У У. Для оправдания такой терминологии нам понадобится следующая важная, но элементарная лемма.
Лемма, (а) Если /0 ~ Д: X У и g:Y—>Z, то
fog ~ flg ; X—» Z.
Если /0 ~ Д : X — У и k :W —» X, то kf0~ kf^.W-^Y.
Пусть F : X X I —> У — гомотопия от /0 к fv (а) Тогда Fg : X X I —> Z является гомотопией от ^g к ftg. (б) Отображение F' : W х I Y, задаваемое формулой (w, t) F' = (wk, /) F, является гомотопией от kf0 к 1г^Д
Доказанная лемма дает возможность заменять в произвольной композиции отображений составные отображения на им гомотопные, причем полученное сложное отображение будет гомотопно исходному (из g ~ g' следует, что /...g...k ~/. . .g'.. .Ку
Попытаемся оправдать употребление слова «эквивалентность» в качестве названия такого отображения / : X —»У, для которого существует гомотопически обратное отображение g:Y—»X, такое, что fg ~ 1, gf~l. Мы пишем /: X ~ У, если f является гомотопической эквивалентностью, и X ~ У, если существует такое f, что f: X ~Y.
Теорема. X ~Y является отношением эквивалентности на множестве топологических пространств.
Рефлексивность и симметричность рассматриваемого отношения очевидны. Предположим теперь, что / : X ~ У при гомотопически обратном g и u:Y~Z при гомотопически обратном и. Тогда fg~l, gf~lt uv ~ 1, vu ~ 1. Рассмотрим fu : X —> Z и vg : Z —» X. Тогда fuvg ~ flg= fg ~ 1 и vgfu ~ vlu = vu ~ 1, в силу леммы 1.6.3. Таким образом, мы доказали также и то, что композиция двух гомотопических эквивалентностей является гомотопической эквивалентностью, гомотопически обратным к которой может служить композиция соответствующих гомотопически обратных отображений.]
Определение. Говорят, что X и У имеют один и тот же гомотопический тип, если X ~ У.
Очевидно, два пространства одного топологического типа имеют один и тот же гомотопический тип. С другой стороны, два пространства одного и того же гомотопического типа могут быть не гомеоморфны. Например, пусть X — выпуклое ограниченное подмножество1) пространства R"1, а У—пространство, состоящее из одной точки. Пусть f:X-^Y—единственное
т) Например, замкнутый симплекс.
возможное отображение пространства X в У; рассмотрим какую-нибудь точку х^^Х и отображение g : У —> X, определенное формулой Yg=x*. Тогда gf=l, a fg:X—>X описывается соотношением xfg — х* для всех х^Х. Определим F : X X I—» X так: (х, I) F = t -х* + (1—Гух. Тогда (ж, ^F = x, (х, i)F = x^ значит, fg ~ 1 и X ~ У. Следовательно, классификация по гомотопическому типу грубее, чем по топологическому, а потому инварианты гомотопического типа, гомотопические инварианты, являются a fortiori топологическими инвариантами. Группы гомологий и когомологий, исследованию которых в основном посвящена эта книга, являются гомотопическими инвариантами.
К важному случаю пространств одного гомотопического типа приводит изучение деформационных ретрактов. Напомним, что подпространство X пространства У называется ретрактом пространства У, если существует такое (ретрагирующее) отображение h : У —* X, что 7г | X == 1. Мы говорим, что X— (сильный) деформационный ретракт пространства У, если существует такая гомотопия Н \Y XI —У относительно X (relX), что
(У, 0) Н = у,
(у, У)Н^Х для всех y^Y.
Тогда отображение h : У —> X, определенное формулой yh = ^y, 1) Н, очевидно, ретрагирует У на X, и Н является гомотопией1) rel X от тождественного отображения У —> У к ретра тирующему отображению h. Примером гомотопии такого сорта является гомотопия F, рассмотренная в предыдущем абзаце; она ретрагирует X на х*.
Ясно, что если X— деформационный ретракт пространства У, то X ~ У. В самом деле, если г : X —> У — вложение, то ih = 1 : X —> X и 1 Н hi: У —> У. Таким образом, если X — произвольное пространство, тоХ = ХхО~Хх/.
Пусть / : X —> У — какое-нибудь отображение. Гомотопией нулю отображения / называется гомотопия от / к некоторому постоянному отображению. Гомотопность / постоянному отображению может быть записана так: /~0. Мы видели, что утверждение /0 ~/j: X—>Y равносильно утверждению, что соответствующее отображение пространства (XxO)U(Xxl) может быть продолжено на X х I.
Подобным образом справедливо
Предложение. Отображение / : X —» У гомотопно нулю тогда и только тогда, когда оно может быть продолжено на конус СХ. Действительно, каждая гомотопия нулю отображения / порождает некоторое отображение CX—YY, являющееся продолжением /.
Пусть F : X X I —* У—гомотопия нулю отображения /; значит, (ж, 0) F — = xf, ix, I'jF^y* для всех х^Х, где у* — заданная точка пространства У. Пусть k:XxI->СХ — естественное факторотображение; тогда, в силу
F определяет такое отображение g:CX~» У, что F = kg. Это отображение g и является продолжением отображения /.
Обратно, пусть продолжение g:CX—»Y отображения /:Х—>У существует; тогда kg:Xxl-^Y является гомотопией нулю от / к постоянному отображению, переводящему X в ag, где а — вершина конуса СХД
!) X называется сильным деформационным ретрактом пространства У, если существует такая ретракция h : Y —> X, что 1 = hi rel X, где i : X —»- У есть инъекция; X называется слабым деформационным ретрактом пространства У, если для некоторой ретракции h, 1 = hi : У, X —>У, X. Мы будем говорить «деформационный ретракт» в смысле «сильный деформационный ретракт». Для полиэдральных пар эти понятия совпадают.
До сих пор мы оставляли в тени соответствующие «относительные» утверждения. Ибо хотя относительные формы утверждений 1.6.2, 1.6.3, 1.6.4 и 1.6.5 и весьма важны, но они легко получаются из абсолютных форм. Некоторые тонкости возникают, однако, при перенесении на относительный случай предложения 1.6.6; на этом стоит остановиться.
Пусть /:Х —>У— какое-нибудь отображение. Оно порождает отображение FtXxI—>YxI, описываемое формулой
(г, <) F = (xf, t).
Подобным же образом / индуцирует отображение Cj;CX —vCY. Оно определяется из условия коммутативности диаграммы
F
XxlYXI
Ct
СХCY,
где kx и kY—естественные факторотображения. Если теперь / — гомеоморфизм «в», то таково же F. С другой стороны, отображение С) может не быть гомеоморфизмом; оно взаимно однозначно и непрерывно, но в пространстве СХ может оказаться слишком много замкнутых множествт). Значит, было бы неаккуратным говорить, что отображение f : X, Хо —ч-Y, Уд гомотопно нулю в том и только в том случае, если оно может быть продолжено на пару СХ, СХй, поскольку СХ0 не обязательно является подпространством пространства СХ. С другой стороны, вложение Х0СХ, как мы отмечали, индуцирует включение СХ0—vCX. Обозначим через С (X, Хо) пару, состоящую из СХ и образа пространства СХ0 в пространстве СХ. Тогда имеет место
Предложение (предложение 1.6.6 в относительном случае). Отображение / : X, Хд —> У, Уд гомотопно нулю тогда и только тогда, когда его можно продолжить на С(Х, Хо).
В самом деле, гомотопия нулю отображения / индуцирует некоторое отображение С (X, Xg) —>Y, Уо, являющееся продолжением отображения /.]
Отметим важный случай: описанная выше ситуация не возникает, когда Хо замкнуто в X..
Предложение. Если Хо замкнуто в X, то СХд замкнуто в СХ.
Удобно естественное вложение Хо в X обозначить через /:Х0СХ. Имеем коммутативную диаграмму отображений
F
ХОХ1 —> XXI
с/
СХо —> СХ.
Заметим, что F вкладывает ХуХТ в Xxl как замкнутое подмножество. Мы должны показать, что если Qo—замкнутое подмножество пространства СХ0, то (Qo) С} — замкнутое подмножество пространства СХ. Очевидно, что это так, когда а Qo, где а — Ьершина конуса. Пусть теперь a£Q0; легко проверяется, что
k"1 ((Qo) СП = №1 (Qo)) F U (X X1).
Но &01 (<20) замкнуто в Х0Х.1, так что (А:^1 (<?g)) X замкнуто в Хх/. Замкнуто в Xxl, конечно, и множество X Х1; значит, к-1 ((Qo) Cf) замкнуто в Xxl. По определению топологии в СХ, множество (<?0) С/ замкнуто в СХ.]
Разумеется, если X вложено в евклидово пространство и ХосХ, то Х0СХ. Следовательно, евклидовы конусы в этом отношении отличаются от конусов, характерных для теории гомотопий. Для бикомпактных пространств (см. 1.5.8), как мы видели, оба определения конуса совпадают, а предложение 1.6.9 подтверждает, что в конической конструкции X —> СХ для пары \К\, ]£[, где L — подкомплекс комплекса К, аномалий не возникает.
В заключение этого параграфа изложим фундаментальную теорему об отображениях полиэдров.
Теорема. (Теорема о продолжении гомотопии отображений полиэдров.) Пусть К — комплекс, L — его подкомплекс, /0: | К\—> X — ото-
т) См. упражнение 8.
бражение \К\ в топологическое пространство X, и gt".\L\—*X—такая гомотопия, что g0 = f0\\L\. Тогда существует гомотопия ft: | К ] —^ X отображения /0, для которой gt = /(||L|.
Теорема утверждает, что если одно из гомотопных отображений )Lj—>Х может быть продолжено на | ^ |, то можно продолжить на | К | и всю гомотопию. Доказывать теорему мы будем, продолжая гомотопию gt последовательно на секции') комплекса К. В обозначениях определения 1.6.1 мы имеем отображение F': (| К | X 0) J (|L| х!)—^Х и хотим продолжить его на | К | X I. Обозначим через KVH> комплекс К™ J L. Продолжить F' до отображения F<№ : (| К | х 0) U (| Kw | х 7) —> X можно, положив (а, <) F<0> = af0, где а — вершина из К — L. Предположим, что F' уже
Рис. 1.4.
продолжено до отображения Рда'1: (| К | X 0) J (| К^ | X 7) —> X, и пусть s-m^Y^K — L. Тогда Т4"0 определено на (s х 0) U (s х 7). Мы хотим доказать, что F<№ можно продолжить на s х 7.
Предположим на время, что это сделано. Тогда F<№ продолжается до отображения /^(т+1); (| К | х 0) (J (| A;(m+1> | х 7), непрерывного на s X 7 для каждого симплекса s из Ки,'+1\ Отсюда в силу очевидного обобщения предложения 1.3.3 следует, что отображение F<m+1> непрерывно. Продолжаем этот процесс до тех пор, пока не достигнем комплекса К™ с dim К— п. Но тогда F^— искомое продолжение.
Вернемся теперь к основному шагу доказательства. Мы на самом деле покажем, что (s X 0) J (s X 7) является ретрактом пространства s X 7, т. е. что существует отображение г : $ х 7 —» (s X 0) U (s х 7), тождественное на (s х 0) U,(sx7). Тогда, очевидно, rF(m) будет продолжением отображения Fw> на sxl.
Предположим, что симплекс s лежит в йт+1, имеет барицентром точку b и dims=m + l; при этом мы представляем пространство sxl очевидным способом вложенным в Д"1+2. Обозначим через с точку (Ь, 2) в 7?т+2; это точка, первые (m-j-1) координат которой совпадают с соответствующими координатами точки Ъ, а (т-)-2)-я координата равна 2. Тогда проектирование из с по радиусам ретрагирует s X 7 на (s х 0) [J (s X 7) (см. рис. 1-4).] Заметим кстати, что радиальное проектирование дает деформационную ретракцию.
Заслуживает специального замечания относительная форма теоремы 1.6.10. Если Ко— такой подкомплекс комплекса К, что | Ко [ /0 U U | Ко П L | gt ^ Хо ^ X, то отображения ft можно выбрать так, чтобы Ио | ft ^ Хо. •
т) Напомним, что п-секцией К11 комплекса К называется множество всех симплексов из К, размерность которых ^п.
Симплицияльные отображения
Понятия (непрерывного) отображения и гомотопии относятся к числу фундаментальных понятий топологии. Мы опишем теперь комбинаторные аналоги этих понятий в категории симплициальных комплексов.
Пусть sp = (a°, ...,aPY tq = ^b°, . .., b4) — два симплекса. Преобразование v множества вершин симплекса sp в множество вершин симплекса tq — это правило, сопоставляющее каждой вершине симплекса sp некоторую вершину симплекса tq. Записать это можно так:
(а4) у = bW”.
Преобразование и порождает линейное отображение | v | : sp —> tq по следующему правилу:
(2 Х^Ц^Х^.
Равенство 1.7.1 можно записать иначе:
(Xq, . . ., Хр) | и | = (ро, • • •, Hq)» гдец? = 2 ^i-
Очевидно, отображение | и | непрерывно; говорят, что оно индуцировано преобразованием и и отображает sp на замкнутую грань симплекса tq. Пусть s' — какая-нибудь грань симплекса sp. Тогда и | s' является преобразованием вершин и' симплекса s' в вершины симплекса tq и, как следует немедленно из 1.7.1, | у'| = | v 11 s'.
Пусть теперь К и L—два комплекса. Очевидно, можно говорить о преобразовании вершин комплекса К в вершины комплекса L. Это преобразование и мы назовем допустимым, если из того, что а0, .. ., а9 определяют некоторый симплекс комплекса К, следует, что на а°и, . . ., а9и натянут симплекс комплекса L; заметим, что среди вершин а°и, . . ., а9и могут быть повторяющиеся. Каждое такое преобразование и определяет некоторое отображение |у| ^^j-^IL], линейное на каждом симплексе из К. В силу 1.3.3, [nj непрерывно. Его называют симплициальным отображением полиэдра | К | в \L\, так как оно согласуется с разложением полиэдров | К | и ]L| на симплексы и афинной структурой этих симплексов. Однако, так как | и | однозначно определяется преобразованием и, мы часто будем просто говорить о симплициалъном отображении и : К —> L. Таким образом, симплициальные отображения полиэдров —это отображения особого рода. В дальнейшем (в этой главе) мы покажем, однако, что эти отображения образуют достаточно широкий класс (в каком смысле — мы уточним позже).
Приведем пример симплициального отображения. Рассмотрим комплекс К и первый производный от него комплекс К'. Каждая вершина комплекса К' является барицентром некоторого симплекса s из К. Пусть преобразование и сопоставляет вершине b произвольно выбранную вершину симплекса s. Докажем, что и допустимо. Пусть s'-—симплекс из К' и Ь-— его ведущая4) вершина. Тогда если b — барицентр симплекса s, то любая другая вершина симплекса s' является барицентром некоторой грани симплекса s, так что и сопоставляет вершинам s' вершины s. Следовательно, на у-образы вершин симплекса s' натягивается некоторая грань симплекса s, т. е. преобразование и допустимо. Таким образом, и индуцирует некоторое симплициальное отображение
v : К’ К,
т) См. определение, следующее за 1.4.2.
называемое стандартным отображением*). Разумеется, отображение и определяется не однозначно по комплексам К и К'-, один из способов задания и состоит в следующем: упорядочим вершины комплекса К и поставим в соответствие вершине b ту вершину симплекса $, которая получает наименьший номер.
Предложение. Если, и : К—>L и и : L—> М — симплициалъные отображения, то ии : К—> М является симплициалъным отображением. ].
Пусть v;K—>L — симплициальное отображение. С каждым симплексом s комплекса К отображение и связывает некоторый симплекс su комплекса L, а именно симплекс, натянутый на у-образы вершин s. Значит, у индуцирует некоторое преобразование у' вершин комплекса К' в вершины комплекса L'. Ибо каждая вершина b комплекса К' является барицентром некоторого симплекса s комплекса К, й мы определим bv' как барицентр симплекса sv.
Предложение, и' : К’ —> L'— симплициальное отображение.
Заметим сначала, что если t -< s, то tv -< sv. Пусть теперь а0 — ведущая вершина симплекса sp комплекса К' и одновременно барицентр симплекса s. Тогда любая другая вершина а симплекса $р является барицентром некоторой грани 5г симплекса s, и можно так упорядочить вершины sp, чтобы sp < s^1 < . . . < s1 < s.
Тогда spu -< sp-1y < .. . < s'-v -< sv. Значит, барицентры (не обязательно различных) симплексов spv, .. ., sv комплекса L определяют некоторый симплекс комплекса L', так что преобразование v' допустимо.]
Рассмотрим теперь комбинаторный аналог понятия гомотопии.
Определение. Пусть X—топологическое пространство и L — комплекс; отображения /0, f1:X—>\L\ назовем L-близкими, если для каждой точки х^Х существует такой симплекс t(x^L, что ж/0 и х^ принадлежат t (ж).
Предложение. Если отображения f0, f1:X —>|L| являются L-близкими, то они гомотопны.
Пусть | L I ^ Нт. Определим F : X X I —> Rm формулой
(ж, и) F = (l — и) (ж/0) + и (xft).
Очевидно, F непрерывно и (ж, u^F^t (ж). Значит, F отображает X X I в | L { и является искомой гомотопией. ]
Следствие. Пусть и : К' —* К — стандартное отображение, тогда j у | ~ 1.
Рассмотрим произвольную точку х£\К' |; пусть s' — ее носитель), и ведущая вершина симплекса s' служит барицентром симплекса s. Тогда s' s s. Положим t (ж) = s. Отображение v переводит вершины симплекса s' в вершины симплекса s, так что ж|р,£з. Значит, точки жиж|у| принадлежат i (ж), так что отображения J у ] и 1 К-близки.]
Следствие. Пусть v' : К' —* L'— отображение, индуцированное отображением v; К—* L, как в 1.7.3; тогда |у|~|у'|.
Пусть ж£)К'| и s' — ее носитель. Выбирая s снова, как в 1.7.6, получаем, очевидно, что ж|у| и ж]и'[^8У. Значит, отображения | к; и | и'| являются ^-близкими.]
Как мы видели, для каждого симплекса комплекса К' существует только один содержащий его симплекс комплекса К. То же должно иметь место и для r-х производных комплексов К^: для каждого симплекса ^(г> из Кт существует только один такой симплекс s из К, что $(г)^$. Мы называем $ носителем симплекса $<г>.
Определение. Симплициальные отображения vQ: K-^-L, и^: К<п L называются смежными, если для каждого симплекса sW £ Кт найдется такой симплекс t комплекса L, что sv0 < t и s(r>u1 -< t, где s — носитель симплекса sPE
Введенное понятие обобщает обычное понятие смежности, которое ограничивается случаем г = 0. Пусть q>r и и:К№—»Кт—композиция ■стандартных отображений. Тогда очевидно, что если и0 и vv — смежные отображения, то смежными будут и отображения и0 и uvv Аналогично, если и : Kw —К — композиция стандартных отображений, то ии0 и vv — тоже смежные отображения.
Предложение. Смежные отображения гомотопны.
Это немедленно следует из 1.7.5.] Отношение эквивалентности, порожденное понятием смежности, является комбинаторным аналогом гомотопии, о котором мы говорили.
Мы продолжаем подготавливать почву для важных результатов следующего параграфа. Дадим основное определение.
Определение. Если отображение / : | К | | L | и симпли- циальное отображение w.K-^L таковы, что для каждой точки ж£|А|, х | и | принадлежит замыканию носителя точки ж/, то и называется симпли- циалъным приближением отображения / (относительно К и L).
Из определения следует, что / и | и [ L-близки (и, значит, гомотопны), но в нем утверждается больше. Пусть, например, К состоит из единственной вершины «°, L—замкнутый 1-симплекс №№ и aQj — №. a^v — b1. Тогда и — симплициальное отображение, а / и |у| являются L-близкими; но замыкание носителя a°f есть Ь», и, значит, и не является симплициальным приближением отображения /.
Теорема. Если и; Кт—>L и w : К™ —> L — симплициальные приближения отображения f : | К |—>|L|, то и и w — смежные отображения.
Достаточно рассмотреть случай q = 0. Пусть s<r> — симплекс из Ки и ж£8<г\ Через s обозначим носитель симплекса sW. Точки ж | у | и х [ w\ лежат в замыкании носителя точки ж/, который мы обозначим через t . Так как и и го — симплициальные отображения, 8<г>!у| и s\w\ также лежат в I; значит, отображения и и w смежные.J
Теорема о симплициальном приближении
Мы уже отмечали, что при изучении отображений полиэдров в полиэдры достаточно рассматривать лишь симплициальные отображения. В этом параграфе мы докажем, что любое отображение / : Р -> Q полиэдров Р и Q можно с любой степенью точности приблизить симплициальным
отображением некоторого разбиения полиэдра Р в некоторое разбиение полиэдра Q.
Сформулируем основную теорему этого параграфа.
Теорема. ^Теорема о симплициалъном приближении.) Пусть К, L — комплексы и /:|Х|—»jL)— отображение. Тогда существует целое число г >0 и симплициалъное отображение и : Кт —^ L, являющееся симпли- циальным приближением отображения /.
Для доказательства этой теоремы нам понадобятся две леммы; первая из них представляет собой хорошо известный результат из общей топологии.
Лемма. Пусть X— компактное метрическое пространство и 41 = = {^х} — открытое покрытие X; тогда существует такое действительное число 6 > 0, что каждое множество из X, диаметр которого <6, содержится по крайней мере в одном из элементов покрытия 41-
Пусть р — метрика на X, х^Х и ц > 0; обозначим через V (х, ц) множество всех точек у 5 X, для которых q (ж, у) «< гр
Доказывать лемму будем от противного. Если она не верна, то существует последовательность подмножеств Л^ . .., Лп, . . ., обладающая следующими свойствами: 1) диаметр Л„ меньше 6„, и 6„—>0 при м—>со; 2) никакое Ап не содержится ни в каком элементе покрытия 4L Пусть ап£Ап. Так как X —компактное метрическое пространство, из предложе
МОЖНО1МОЖНО1ния 1.1.11 следует, что из последовательности а1; а2, ...,а,
МОЖНО1
МОЖНО1
выбрать сходящуюся подпоследовательность. Можно изменить обозначения и считать, что сходится сама последовательность ^ап), ап—*а.
П6,П6,-i г] при п "> Nv и а.-i г] при п "> Nv и а.Предположим, что a^U^4l- Так как U открыто, существует такое 0, что ц-шар У (а, ц) s U. Можно так выбрать номера А\ и Х2, чтобы
П
6,
П
6,
-i г] при п "> Nv и а.
-i г] при п "> Nv и а.
тогда для x^AN имеем: Q (ж, aN) <_ 6тогда для x^AN имеем: Q (ж, aN) <_ 6ирип>Х2. Пусть N = шах (Х^ Д^);
тогда для x^AN имеем: Q (ж, aN) <_ 6
тогда для x^AN имеем: Q (ж, aN) <_ 6
>х <-^ Л, 6 VaN, ^й’ так что
о (ж, а) < ц и х £ У (а, ц) s U. Значит, Л^ г U, и мы пришли к противоречию. J
Число 6, удовлетворяющее требованию леммы, будет называться лебе
говым числом соответствующего покрытия.
Лемма. Вершины аг°, ..., агР комплекса К в том и только том случае определяют некоторый симплекс, если их звезды имеют общую точку.
В самом деле, если а1», ..., а^р—вершины симплекса s, то sgstaby / = 0, ..., р, так что s с q ) st «Ч |. Обратно, если ж£ fl | st а1'|, то сим- jз.
плекс s, носитель х, входит во все st a?i, и, значит, каждая точка а^ служит вершиной симплекса s.]
В действительности, если аг°, .. ., а1» определяют симплекс s, то nstaO = sts, П I st агз [ = | st s |.
зз
Прежде чем приступить к доказательству основной теоремы, проследим его ход на простом примере. Пусть комплекс К представляет собой замкнутый симплекс s, и пусть и : s —> L является симплициальным приближением отображения / : s —»! L |. Пусть s | и ) = t, t^L. Для любой точки x^s, х | и | лежит в замыкании носителя точки ж/, так что этот носитель принадлежит st t. Значит, отображение / только в том случае можно приблизить симплициальным отображением комплекса К в комплекс L, если
/-образы симплексов из К содержатся в звездах симплексов из L Основная идея доказательства теоремы — подразделить К настолько мелко, чтобы выполнялось указанное свойство. Приступим теперь к доказательству.
Пусть {6Д—множество вершин комплекса L. Множества |st(6’)| образуют открытое покрытие пространства | L [, поэтому их прообразы /"1|st(fc,)l образуют открытое покрытие полиэдра | X |. Пусть 6 — лебегово число последнего покрытия, а натуральное число г выбрано так, что р (Ккг>) < (1/2)6 (см. 1.4.6). Рассмотрим произвольную вершину а1 комплекса КУ3. Расстояние от аг до любой точки множества | st (а1) | строго меньше (1/2)6, поэтому диаметр множества | st (У) | меньше 6. Следовательно, существует /, для которого | st (У) | s/-11 st (У) |. Выберем такое j для каждой вершины а? из КкП и определим преобразование вершин v : КкП —> L, положив a1v = b’. Преобразование и допустимо; в самом деле, если а0, . . ., ар определяют симплекс комплекса КкП, то П| st (У) | не пусто, поэтому не пусто и П (| st (а1) | /). Но П (| st (У) | f)^ П | st (a^v) |, значит,, в силу 1.8.3, вершины 1р?и^ определяют некоторый симплекс комплекса L. Но раз и допустимо, оно определяет некоторое симплициальное отображение v:K^ —>L.
Наконец докажем, что отображение и является симплициальным приближением отображения /. Пусть ж g | К | и а0, . .., ар — множество вершин носителя точки ж в КкП. Тогда ж g | st (У) |, г О, . --,р, так что ж/g g П (I st (У) | /) S П | st (аги) |. Значит, Уу принадлежит замыканию носителя гг
точки ж/ в комплексе L, г = 0, . .., р, и, следовательно, этому замыканию принадлежит ж|р|. Доказательство теоремы закончено.]
В связи с доказанной теоремой сделаем три замечания.
Во-первых, предположим, что при отображении / : | К [ —> | L | точка ж g | К | переходит в вершину b из L. В этом случае замыканием носителя точки ж/ является точка 6, поэтому ж/ = ж|п|. Мы видим, таким образом, что любое симплициальное приближение отображения / согласуется с / на прообразах вершин из L.
Во-вторых, заметим, что на двух этапах построения и нам приходилось осуществлять выбор, а именно мы выбирали подходящее натуральное число г и затем для каждой вершины а1 из Ktn выбирали подходящую вершину Ь3 из L. Однако из теоремы 1.7.11 следует, что любые два построенные таким образом отображения и будут смежными.
В-третьих, хорошо было бы выяснить возможную степень «приближения», т. е. как близко мы можем подойти к произвольному отображению с помощью его симплициальных приближений. Прежде всего следует дать определение. Пусть Д, /2 —отображения бикомпактного пространства X в метрическое пространство Y (с метрикой р); расстоянием между Д и /2 назовем 8прр(ж/1, ж/2). Нужно проверить, что так определенное расстояние является метрикой на множестве отображений пространства X в Y. Построенное метрическое пространство мы называем функциональным пространством отображений пространства X в У и обозначаем его через Yx. Бикомпактность пространства X обеспечивает независимость топологии пространства Yx от выбора метрики на У; таким образом, эта топология зависит только от топологии пространств X и У. Теперь может быть доказана
Теорема. Если К и L—два комплекса, то множество всех симпли- циалъных отображений и ; Ккп—>Lks\ где г, s — всевозможные пары неотрицательных целых чисел, плотно в пространстве | L ||К|.
Пусть d — определенная выше метрика на |В||К|. Мы должны доказать, что для любого отображения / : | К ) —> | L | и произвольного е > О существует симплициальное отображение и : К<1Т'> —> Lu\ удовлетворяющее условию d(f, । у |) < е. Утверждение 1.4.6 позволяет нам так выбрать натуральное число $, чтобы р (L(3)) < е. Пусть v:Ktn—»Lto)—симплициальное приближение отображения /. Для любой точки х £ | К j, и xj, и х । и | принадлежат замыканию некоторого симплекса комплекса Z(s), так что о (ж/, х | у |) < е, т. е. d (/, | у |) < е.]
Приведенная формулировка теоремы о симплициальном приближении (1.8.1) охватывает и случай абстрактных полиэдров; в то же время, прежде чем интерпретировать теорему 1.8.4 для случая абстрактных полиэдров, нужно было бы определить топологию пространства Qp, например, в терминах метрики на евклидовом гомеоморфном образе Q.
Докажем теперь вторую теорему о близости между отображениями из | L .
Теорема. Пусть К и L— комплексы и 6 — лебегово число покрытия полиэдра |L| звездами вершин комплекса L; тогда любые два отображения f, gg|LpKi, для которых d (f, g) < -|-6, имеют общее симплициальное приближение и : К<п—> L.
Анализ доказательства теоремы 1.8.1 показывает, что нам следует так подобрать г, чтобы, какова бы ни была вершина а1 комплекса К*-Т\ в L нашлась бы вершина Ь3, для которой | st (а1) | / (J | st (аг) | g s | st (b:) |. Ибо в этом случае можно было бы, определив симплициальное отображение и так же, как при доказательстве теоремы 1.8.1, заключить, что и является •симплициальным приближением как отображения /, так и отображения g.
Цели помогает достичь следующая процедура сужения множеств покрытия | st (&?) | пространства |L|. Рассмотрим W3—множество всех точек y£\L\, для которых
е(*л 1^1 — ist(^)i)>46-
Ясно, что W— открытое множество, содержащееся в |st(6J)|. Более того, {И/Ц — покрытие. В самом деле, если y£\L\, диаметр множества У (у, -|- 6) меньше 6, и поэтому оно содержится в некотором множестве ' st (b3) |; точка у тогда принадлежит соответствующему W3. Так как {ТГЦ— покрытие и 6’(£W‘ при j=£=k, то b’£W3.
Для покрытия полиэдра | К\ множествами {/~WJ} определено лебегово число е>0; пусть г таково, что ц ^Kw^ < (1/2)е. Тогда для каждой вершины аг комплекса Кт, | st (а1) | / с W3 при некотором /. Но d (f, g) < (1/3)6, откуда | st (я1) | g s I st (6’) |. Итак, цель достигнута.]
Завершая выяснение связей между непрерывными отображениями полиэдров и комбинаторными отображениями комплексов, мы рассмотрим гомотопные отображения и заменим отношение гомотопии некоторым отношением между симплициальными отображениями, порожденным отношением смежности.
Теорема. Если f0 ~ h: | К | —| L |, то существует последовательность симплициалъных отображений у4, . .., Уд, где у,: К1^ L, г — 1, . . . . . ., к, такая, что и^ смежно с и,, uv — симплициальное приближение отображения /0 и щ—симплициальное приближение отображения fv
Так как \К\ х/— метрический бикомпакт, то в силу 1.1.13 гомотопия F : | К | X I-^ | L | от /о к Д равномерно непрерывна. Это означает, что для
любого к >-О найдется такое т]>0, что
д{(ж, l)F, (ж, t'^F^^e
для всех ж£|А| и всех t, t'£l, таких, что |i — t' 1<т]. Следовательно, d Uti /t')<e, если \t— С|<т].
Пусть 6 то же, что и в 1.8.5, и положим е = (1/3)6. Тогда, если к — целое число, превосходящее 1/ц, то в цепочке отображений /0, /i/й, ... .. ., /t/й, . . ., /1 соседние отображения f^-^/k и f^k отстоят друг от друга меньше, чем на е, и, значит (теорема 1.8.5), у них есть общее симплици- альное приближение vt. Более того, и уг и рг+1 являются симплициаль- ными приближениями отображения /г/д, и потому они смежны. По определению, vt и и^ служат соответственно симплициальными приближениями отображений /0 и /р]
Абстрактные симплициальные комплексы
Как подчеркивалось в § 1.3, топология имеет дело скорее с абстрактными полиэдрами, чем с конкретными их реализациями в виде полиэдров геометрических симплициальных комплексов. Подобным же образом при комбинаторном подходе нас интересует на самом деле лишь абстрактный объект, а именно множество вершин, в котором отмечены некоторые подмножества, или симплексы, и мы хотим избавиться от постоянной необходимости обращаться к евклидову пространству, в котором лежат вершины. Сейчас мы разовьем эту точку зрения.
Определение. Конечный абстрактный симплициальный комплекс задается множеством объектов, называемых вершинами, а1, ..., а° и множеством К подмножеств 8р вершин х), где (р+1)—число вершин в симплексе 8р и i— различающий верхний индекс. Любое подмножество каждого симплекса из К также должно быть симплексом из К. Размерность симплекса Sp есть р, а размерностью комплекса К называется наибольшая из размерностей входящих в него симплексов.
Определение. Реализацией абстрактного симплициального комплекса К называется всякое допустимое преобразование и вершин комплекса К на геометрический симплициальный комплекс L, обладающее обратным дбпустимым преобразованием w. Сам комплекс L мы также будем называть реализацией комплекса К.
Предложение. Каждый абстрактный симплициальный комплекс имеет реализацию.
Пусть а1, . .., а™ — вершины абстрактного симплициального комплекса К, Ь1, ..., Ьа—вершины некоторого (а — 1)-симплекса s, лежащего в Йи~'. Рассмотрим теперь преобразование v0:K—>s, определенное формулой аги0 — Ьг. Очевидно, и0 допустимо. Пусть подкомплекс L комплекса $ состоит из симплексов, натянутых на те же множества вершин {а+0}, так что {а1} суть симплекс комплекса К. Теперь и0 можно рассматривать как преобразование вершин и : К —»L, реализующее комплекс К.\
Можно также предполагать, что любой объект принадлежит некоторому такому подмножеству, так как в противном случае этот объект можно было бы просто отбросить.
4 Заказ № 1335
Определение 1.9.2 подсказывает очевидное определение понятия изоморфизма абстрактных симплициальных комплексов.
Определение. Два абстрактных симплициальных комплекса К и L называются изоморфными, если существует допустимое преобразование вершин и : К —> L, обладающее допустимым обратным преобразованием.
Любой геометрический симплициальный комплекс определяет очевидным образом некоторый абстрактный симплициальный комплекс, реализацией которого он сам является. Если мы на время отождествим геометрический комплекс с ассоциированным с ним абстрактным комплексом, то можно будет сказать, что реализация комплекса К — это его изоморфизм на геометрический комплекс. Покажем, что совершенно не важно, какую именно реализацию абстрактного комплекса мы выбираем.
Теорема. Любые две реализации изоморфных абстрактных комплексов гомеоморфны. - ■
Если абстрактные комплексы К и L изоморфны, а К, L — щх геометрические реализации, то существует изоморфизм v;K^L. Пусть го — обратный к нему изоморфизм. Тогда | и |: | К | —> | L | — непрерывное отображение с непрерывным обратным |w|; следовательно, | и [ — гомеоморфизм.]
Как и в случае геометрических комплексов, иногда мы будем предполагать абстрактный комплекс пополненным, т. е. считать, что ему принадлежит пустое множество вершин. Мы будем и в дальнейшем для абстрактных комплексов употреблять те же обозначения, что и для геометрических комплексов. Тем не менее читатель не должен думать, что абстрактные комплексы получаются только в результате «абстракции» из геометрических комплексов. Мы сейчас приведем важный пример абстрактного комплекса, получающегося другим способом.
Пусть X—топологическое пространство и 41=^^ — его покрытие' конечным семейством непустых открытых множеств. Рассмотрим абстрактный комплекс, «вершинами» которого служат элементы покрытия 7/, а симплексами — все подсемейства элементов из 7/ с непустым пересечением. Этот абстрактный комплекс, называемый нервом покрытия 7/, играет важную роль в применениях комбинаторных методов к общим пространствам 1).
Из 1.9.5 следует, что если Р— полиэдр некоторой реализации абстрактного комплекса К, то топологические свойства пространства Р, которые можно вычислить, используя К, разделяются всеми реализациями комплекса К. Одно из достижений комбинаторной топологии заключается в том, что существенные топологические свойства любого полиэдра можно рассчитать, отправляясь от абстрактного комплекса, ассоциированного с любым симплициальным разбиением этого полиэдра. Некоторые из этих свойств будут описаны в гл. 2, а доказательство их топологической инвариантности будет дано в гл. 3. А пока отметим, что, хотя понятие абстрактного комплекса свободно от геометрического содержания, для любого такого комплекса имеют смысл все комбинаторные понятия, развитые в настоящей главе для геометрических комплексов. Например, абстрактный комплекс может быть правильно подразделен, так что получится абстрактный комплекс К'. Вершинами комплекса К' служат симплексы комплекса К, а симплексами комплекса К' являются гнезда симплексов из К, т. е. такие их последовательности, что каждый последующий
9 См. гл. 8 (теория Александрова—Чеха).
симплекс является гранью предыдущего. Ясно, что если L — реализация комплекса К, то L' — реализация комплекса К'. Симплициальное отображение абстрактного комплекса К в абстрактный комплекс L — это просто допустимое преобразование вершин. Конус над абстрактным комплексом определяется очевидным образом. Значит, когда мы имеем дело исключительно с комбинаторными свойствами геометрического комплекса, естественно ограничиваться рассмотрением ассоциированного абстрактного комплекса.
Мы завершим этот параграф важной теоремой о реализации. Эта теорема не имеет прямого отношения к данной книге, но ее фундаментальное значение в теории размерности оправдывает такое включение.
Теорема. Абстрактный комплекс К размерности, п можно реализовать в К1™*1.
Прежде чем перейти к доказательству, отметим, как «экономна» такая реализация в сравнении с реализацией предложения 1.9.3—ведь комплекс К может иметь как угодно много вершин.
Пусть а1, .. ., аа—вершины комплекса К. Рассмотрим точки р1, ..., ра из /?2П+1, где рг имеет координаты (i, i2, ..., i2n+1), г = 1, ..., а. Любые (2n-]-2) точки из p1, . . ., pa независимы, так как в противном случае нашлись бы числа Х1? . .., Z2n+2, не все равные нулю, и множество попарно различных целых чисел ц, . . ., i2n+2, такие, что
2»+2
2 ^ = о,
1
2«+2
2 ^ = о,
1
2пЦ-2
2 Wl = o,
2 w^+I = o.
1
Но определитель этой системы равен ]] ^ij — i^ и, значит, отличен от нуля, поэтому чисел %17 . .., Х2п+2 с указанными свойствами не существует.
Преобразобание v:K—»R2n+1, заданное соотношением а1и = р\ порождает замкнутую схему вершин V на множестве вершин р1, ..., ра. Более того, множества, входящие в V, являются вершинами симплексов в RW1, так как и-р1<2л + 2. Остается доказать, что выполняется условие К2 определения комплекса. Но это немедленно следует из уже доказанного, ибо общая точка двух симплексов записывалась бы и как 2 ^1Рг и как 2 |V, где не больше чем (и-|-1) коэффициентов X и не больше чем (и +1) коэффициентов ц отличны от нуля И 2 ^г = 2 Pi — 1- Тогда мы имели бы, ПОЛОЖИВ Vj —Хг- — Щ, 2viPl = 0, 2 vi = 0, ГД6 число отличных от нуля коэффициентов v не превосходит 2/г + 2. Так как любые 2н-р2 точки множества р1, . .., ра независимы, то тг = 0 для всех i; значит, ни одна из точек не может быть записана двумя различными способами, и симплексы, входящие в схему V, попарно не пересекаются. Следовательно, и является реализацией комплекса К в /?2П+1.]
Эта теорема — наилучшая из возможных в том смысле, что для каждого п существует n-мерный абстрактный комплекс, который нельзя реали-
4*
зовать в Н2п. Действительно, и-секция замкнутого симплекса s2n+2 дает такой пример. Для и = 1 это означает, что 1-секция замкнутого 4-симплекса не может быть начерчена на плоскости без самопересечений — факт, знакомый изучавшим проблему четырех красок.
Другой пример при и = 1 дает шестиугольник вместе с тремя своими диагоналями. Если рисовать его на плоскости, здесь также будут точки самопересечения. Те, кто решал знаменитую головоломку о трех домах и трех колодцах, мог прийти к этому заключению эмпирически.
Теорема 1.9.6 представляет собой существенный шаг в доказательстве того, что любое компактное и-мерное метризуемое пространство может быть вложено в 7?2П+1. Доказательство опирается на 1.8.4 и рассмотрение нервов покрытий. Полное изложение можно найти в книге Понтрягина [4], гл. 1, § 3.
. Бесконечные комплексы
До сих пор мы рассматривали только конечные комплексы, геометрические и абстрактные. Однако во многих случаях (например, при рассмотрении некомпактных пространств) удобно было бы рассматривать и бесконечные комплексы. Понятие абстрактного комплекса легко обобщается в этом направлении.
Определение. Бесконечный абстрактный симплициалъный комплекс К, определенный на бесконечном семействе объектов, называемых вершинами, представляет собой бесконечное множество конечных подсемейств *) s’ этого семейства, называемых симплексами, такое, что вместе с любым s’ С К каждое его подмножество принадлежит К.
Разумеется, нижний индекс р и верхний индекс i имеют то же значение, что и в определении 1.9.1. Мы не должны теперь рассчитывать на то, что любой бесконечный комплекс К удастся реализовать в евклидовом пространстве — мощность множества вершин может превышать мощность континуума. Поэтому мы построим из комплекса К топологическое пространство, прибегая к процедуре «внутреннего» характера.
Пусть {а}—семейство вершин комплекса К, где верхний индекс i пробегает множество I; удобно предполагать I вполне упорядоченным и располагать элементы подсемейства семейства {а1} в соответствии с порядком следования их верхних индексов. Определим теперь топологическое пространство | К |, которое мы будем называть в дальнейшем полиэдром комплекса К. Опишем сначала, из каких точек состоит \К |, а затем введем В 1^1 топологию.
Точками пространства | К | служат семейства неотрицательных вещественных чисел {АД, по одному для каждого i^Z, причем
нижние индексы, соответствующие ненулевым X, служат верхними индексами вершин некоторого симплекса комплекса К;
Ж = 1-
Заметим, что (б) имеет смысл в силу (а) и того, что симплексы комплекса К суть конечные подсемейства семейства вершин комплекса К.
Симплексу Sp —^а1» ... а^ соответствует некоторое подмножество |sp| пространства | К >, а именно множество точек {ZJ, таких, что Хг=0 для всех I, отличных) от i0, . .., ip. Далее, определим подмножество |sp| как сово-
куцность точек {А,г} с Xi ^ 0 в том и только в том случае, если 1 одно из i0, ..., ip. Очевидно, | К | = U sp = U sp. Можно определить преобразование t: | sp | » Rp+1, положив ^^ t = (Xt0, ..., Xip).
Чтобы ввести в |/С| топологию, сначала топологизируем |sp|, потребовав, чтобы t было гомеоморфизмом в Rp+1. Топология пространства | К [ определяется заданием его замкнутых подмножеств: А ^ | К | замкнуто, если 4 П | s | замкнуто в | s | для каждого симплекса s из К. Очевидно, что это топология.
Пространство | К | можно описать в терминах абстрактного комплекса К независимо от того, конечен он или бесконечен. Правомерность обозначения этого пространства через | К | устанавливает
Предложение. Если комплекс К конечен, а пространство |АГ| определено, как указано выше, то \ К [ гомеоморфно произвольной реализации комплекса К.]
Топология, задаваемая на множестве | sp | гомеоморфизмом I, является, конечно, топологией замкнутого р-симплекса; | sp | ив качестве (замкнутого) подпространства пространства |К |, очевидно, сохраняет эту топологию. Из определения топологии в | К | следует, что | s | = | s |.
Понятно, как симплициальное отображение и ‘.К—» L индуцирует отображение |р|:|А"| —»|L|. Последнее можно определить так же, как для конечных комплексов по симплициальному отображению определялось отображение реализации комплекса К в реализацию комплекса L. Если и вкладывает К в L в качестве подкомплекса, то отображение | и | гомеоморфно вкладывает | К [ в качестве замкнутого подпространства в | L |.
Предложение. |/С| — хаусдорфово пространство.
Пусть {^i}, {^}— какие-нибудь две точки из \К |. Если они различны, то найдется индекс iQ такой, что Х{0 < ^0. Пусть подмножество А пространства | К | состоит из всех точек (XJ, для которых ?п0^-|-(^i0 +^!0)» а подмножество В —из точек {^;}, удовлетворяющих условию Х;о> >"2 (Ч +Ч)- Каждое из множеств А и В замкнуто, ибо ясно, что их пересечение с любым | s | замкнуто. Их дополнения являются непересекаю- щимися открытыми множествами полиэдра \К\, содержащими {2ц} и {2^} соответственно.]
Мы показали, что | К | — хаусдорфово пространство, в котором каждое множество | 8Р | имеет топологию замкнутого р-симплекса. Топология, которой мы наделили множество jA'), — это самая тонкая) из всех топологий, совместимых с данными требованиями. В самом деле, так как | К | — хаусдорфово пространство и | sp | — компакт, то |sp| замкнуто в |/Г|. Следовательно, замкнутое множество пространства | К ] должно пересекать каждое | sp | по замкнутому в | sp | множеству. Таким образом, топология, введенная нами в множество | К |, среди всех топологий, удовлетворяющих сформулированным выше двум требованиям, выделяется наибольшим количеством замкнутых множеств. Следующее обобщение предложения 1.3.3 показывает, что такая топология будет полезна для наших целей.
Предложение. Пусть У— некоторое топологическое пространство и К — бесконечный комплекс; предположим, что для каждого симплекса 8г б. К определено отображение /г : | sl |—> У, причем так, что если s3 -< s1, то /г | | s3 | = f1. Тогда существует единственное отображение f:\K\—>Y, для которого / | | У | = /г.
Доказательство совпадает с доказательством предложения 1.1.6, но читателю следует обратить внимание на то, что предложение 1.10.4 было бы неверно, если бы мы снабдили | К | строго более грубой топологией.]
Мы убедились, что с топологической точки зрения обозначения |К| и | v | : | К | —> | L | согласуются с соответствующими обозначениями для конечных комплексов. Поэтому мы можем просто говорить об абстрактных комплексах, геометрических комплексах и полиэдрах, если наши рассуждения в равной степени относятся как к конечным, так и бесконечным комплексам. Подобным же образом перенесем на бесконечный случай все те связанные с конечными комплексами понятия, обобщения которых очевидны.
Так, можно очевидным образом определить размерность бесконечного комплекса, допуская, конечно, случай dimA=oo. Снова симплекс s называется носителем точки ж, если ж£|$|. Можно также распространить на бесконечные комплексы понятие st(s). Опять К — st (s) является подкомплексом комплекса К, так что | st (s) | — открытое подмножество пространства | А" |.
Предложение. Если ж£|$| и Z£st(s), то каждая окрестность точки х пересекает | Z |.
В самом деле, пусть U-—открытое в |К| множество, не пересекающее \t |. Тогда \K\-U есть замкнутое множество, содержащее 1t1 и, следовательно, \t\; последнее же множество есть не что иное, как |Z|. Но s-<t, так что |s|e|Z| и ж£|«[. Следовательно, ж£|А|— U, что доказывает наше утверждение.]
Докажем теперь несколько результатов о топологии полиэдра | АД. Первый из них устанавливает различие между конечными и бесконечными комплексами. '
Теорема. Если К — бесконечный комплекс, то полиэдр |А| не является бикомпактным.
Если комплекс К бесконечен, то у него наверняка бесконечно много вершин1). Тогда множества j st аг |, где аг пробегает все множество вершин, образуют открытое покрытие пространства | К J, из которого нельзя выбрать никакого конечного подпокрытия — ведь отбросить множество | st а | значит не покрыть точку j а |.]
Следовательно, полиэдр тогда и только тогда является полиэдром некоторого конечного комплекса, когда он бикомпактен.
Выделим теперь один важный класс бесконечных комплексов.
Определение. (Бесконечный) комплекс К называется локально конечным, если звезда st (s) каждого симплекса s£ К состоит из конечного числа симплексов. (Мы принимаем очевидное соглашение, что конечные комплексы являются локально конечными.)
Предложение. Комплекс К локально конечен в том и только в том случае, если каждая его вершина входит лишь в конечное число симплексов.] -
х) Как и в § 1.1, мы отождествляем вершины с 0-симплексами; см. сноску к 1.10.1.
Теорема. Комплекс К локально конечен тогда и только тогда, когда полиэдр (К ] локально бикомпактен.
Предположим, что К локально конечен, и пусть х£ ] К]. Рассмотрим симплекс s, носитель точки х. Тогда st (s) состоит из конечного числа h■ симплексов s1, .. ., sf‘ и | st (s) | = U | хг |, так что множество | st (s) | г=1
является бикомпактной окрестностью точки х. Следовательно, полиэдр | К | локально бикомпактен.
Обратно, предположим теперь, что комплекс К не локально конечен. Тогда у него есть вершина а, звезда которой бесконечна. Мы докажем, что у точки а нет бикомпактной окрестности. Пусть У — какая-нибудь ее окрестность, {s’}— множество симплексов, входящих в st (а), и пусть ^’ETnls3!- ^ак мы Уже отметили в 1.10.5, множество V f} | s31 не пусто. Тогда А = U ж’ —■ бесконечное множество точек из V, каждое подмножество з
которого замкнуто в | К | и, значит, в V. Следовательно, окрестность V не бикомпактна.]
Полиэдры локально конечных комплексов можно выделить и с помощью другого критерия, заключающегося в следующей теореме. Мы опустим ее доказательство, поскольку оно длинно, но не трудно.
Теорема. Комплекс К локально конечен в том и только в том случае, если полиэдр | К | метризуем; тогда |^С| допускает метрику р({Хг}, W) = KS (^~Hz)2-
Заметим, что, как следует из теоремы, если комплекс К не локально конечен, то метрическая топология, порождаемая метрикой
е(М ЫМ2(ьг-1ч)Т2,
строго грубее топологии полиэдра |^Г|.
Описание в терминах комбинаторной структуры комплекса К еще одного топологического свойства пространства | К| дает
Теорема. Полиэдр | К | сепарабелен в том и только в том случае, если комплекс К состоит не более чем из счетного множества симплексов.]
Определив пространство | К | «внутренним» образом, мы избежали проблемы реализации. Впрочем, при обсуждении этого вопроса для комплексов К с dim К= оо нам не удалось бы обойтись одними евклидовыми пространствами.
Пусть Н°° — гильбертово пространство. Существуют тогда очевидные вложения R1 cz R2 с . .. cz R™ с Дт+1 cz ... <= Н”. Мы говорим, что комплекс К может быть реализован в Н”, если существует гомеоморфизм полиэдра | К | в Нт, при котором образ любого замкнутого симплекса из | К | является замкнутым прямолинейным симплексом. Образ пространства |^С| при таком отображении называется геометрической реализацией комплекса К в Ню.
Теорема. Комплекс К может быть реализован в И” в том и только в том случае, если он локально конечен и состоит не более чем из счетного множества симплексов.
Так как (см. 1.1.20) Н°° является сепарабельным метрическим пространством, то таково же и любое его подпространство. Следовательно,
если комплекс К реализуем в Н”, то |К|— сепарабельное метрическое пространство, и мы применим теперь 1.10.10 и 1.10.11. ■
Предположим теперь, что комплекс К счетен и локально конечен. Определим отображение t:\K\—>HTO следующим образом:
{2if}Z = (2i1, Z2, • ••)•
Тогда t — изометрия относительно метрики из 1.10.10 и потому гомеоморфизм. Из линейности отображения t следует, что образы замкнутых симплексов являются замкнутыми прямолинейными симплексами в Н”, и теорема доказана.]
Теорема. Если полиэдр |К| может быть вложен в евклидово пространство Rn, то комплекс К не более чем счетен, локально конечен и dim К ^ п; если К не более чем счетен, локально конечен и dim^C^n, то его можно реализовать в R№*x. .
То, что dim К — dim | К |Си, доказывается в теории размерности (эта ссылка в некотором смысле незаконна, поскольку теория размерности в этой книге не излагается). Второе утверждение теоремы доказывается путем незначительных изменений доказательства теоремы 1.9.6.]
Предразбиения
Главным препятствием к использованию симплициальных комплексов при вычислении топологических инвариантов бикомпактных полиэдров является то, что для расчленения полиэдра может понадобиться слишком много симплексов. Так, наиболее естественное разбиение тора, изображенное на рис. 1.5, насчитывает 9 вершин,
27 ребер и 18 треугольников; при минимальном разбиении тора понадобится 7 вершин, 21 ребро и 14 треугольников. Далее, минимальное разбиение вещественной проективной плоскости насчитывает 6 вершин, 15 ребер и 10 треугольников. Желая справиться с этой трудностью, естественно попытаться ослабить условия, налагаемые на симпли- циальный комплекс, с тем чтобы упростить расчеты. Разумеется, это надо сделать, не Подвергая опасности наши надежды получать значительную информацию о полиэдрах, исследуя соответствующие комбинаторные объекты. В этом параграфе мы лишь слегка ослабим условии, налагаемые на разбиения, но и уже это даст практические преимущества. Мы охотно допускаем, что главные из преимуществ, которые мы надеемся получить, состоят в облегчении топологического исследования проективного пространства, и, в меньшей степени, в упрощении изучения фундаментальной группы
(см. гл. 6). Мы ограничимся рассмотрением конечных комплексов, но читатель сможет быстро перенести соответствующие определения на бесконечный случай.
Ключевым пунктом нашего плана является такое замечание: мы не будем больше настаивать, чтобы комплекс определялся схемой вершин; на данное множество вершин может быть натянуто больше одного симплекса предразбиения. Так, к предразбиениям окружности мы относим расчленение ее двумя точками на пару дуг. Это расчленение не является разбиением в смысле § 1.2, ибо два его замкнутых 1-симплекса пересекаются по паре вершин. При описании предразбиения, как и при описании разбиения, возможны две точки зрения. С одной стороны, можно предполагать, что дано пространство, которое надлежит расчленить, и надо описать, как это пространство разламывается на комбинаторные куски. С другой стороны, можно задать правила, по которым из комбинаторных кусков складываются подходящие для изучения пространства. Мы примем последнюю точку зрения (как и в § 1.10) и предоставим;усерд- ному читателю развить первую. Можно представлять себе, что симплициальный комплекс строится из замкнутых симплексов путем отождествлений некоторых точек их границ. Разрешаются только те отождествления, которые индуцируются линейным гомеоморфизмом некоторой грани одного симплекса на грань другого. Конечно, эти
отождествления должны быть согласованы: если грань s' симплекса s отождествляется с гранью I* симплекса г, то грани симплексов s' и f должны быть тоже подходящим образом отождествлены.
Теперь мы опишем предсимплициалъный комплекс, или ^-комплекс. Он строится из непересекающихся замкнутых симплексов путем отождествлений некоторых точек их границ; допускаются только отождествления, индуцируемые кусочно линейным гомеоморфизмом собственного подкомплекса одного симплекса на собственный подкомплекс другого, подчиненные очевидным условиям согласованности.
Ради краткости мы говорили о комплексах вместо полиэдров. Сам Ч^-колеплекс в действительности является множеством своих (открытых) симплексов, и каждый симплекс несет аффинную структуру, как и в случае симплициальных комплексов. Пространство ^-комплекса мы будем иногда называть ^-полиэдром. Топология ег» определяется способом, аналогичным примененному в § 1.10; это тончайшая из всех хаусдорфовых топологий, согласующихся с естественной топологией всех замкнутых симплексов Ч^комплекса.
Далее, Чг-комплекс может быть правильно подразделен. В самом деле, у каждого симплекса есть барицентр, и мы рассмотрим схему вершин, образованную барицентрами, считая множество (6°, ъ1, ..., 6"), где Ь’— барицентр симплекса s’-, отмеченным, если s° >- s1 >-...>- s". Оказывается, что схема вершин первого производного от Ч'-комплекса является схемой вершин симплициального комплекса, полиэдр которого совпадает с пространством исходного разбиения. Это, в основном, и оправдывает введение предразбиений. Доказательство этого утверждения фактически повторяет доказательство теоремы 1.5.3. Следовательно, каждый Чг-полиэдр является полиэдром, так что рассмотрение Чг-комплексов не приводит к расширению класса исследуемых пространств Таким образом, Чг-комплексы являются просто удобным комбинаторным инструментом; труднее доказать общие теоремы о них, чем о симплициальных комплексах, зато легче проводить нужные вычисления. Чтобы проиллюстрировать выигрыш в простоте, приведем примеры. На рис. 1.6 изображено предразбиение проективной плоскости, состоящее из трех вершин А, В, О, шести ребер, два из которых соединяют А и В, два — А и О и два — В и О, и четырех треугольников с вершинами в точках А, В, О.
На рис. 1.7 показано предразбиение тора на четыре вершины А, В, С, О, двенадцать ребер (четыре с концами в А и О, два с концами в В и О, два с концами в С и О, два с концами в А и В и два с концами в А и С), восемь треугольников (четыре с вершинами в точках А, В, О и четыре с вершинами в точках А, С, О). .
Упражнения
Точки а<>, а1, ..., ар из Rm зависимы и А— их выпуклая оболочка. Докажите, что если некоторая точка из А имеет единственное представление в виде 2 ^а< (2^ = 1 И все Хг>0), то по крайней мере два из коэффициентов Хг равны нулю. Докажите также, что любая такая точка лежит на границе множества А как подпространства из 7? (а°, а1, ..., аР).
Постройте комплексы, полиэдрами которых являются:
трехмерный куб,
трехмерный октаэдр,
гомеоморфный образ кольца,
гомеоморфный образ вещественной проективной плоскости.
Докажите предложение 1.2.4.
Пусть sp = (a°a1 ... аР); каждый р-симплекс в первом производном комплекса $р записывается в виде
^ioii . . ■ ip^ioh • • ■ ip —i^io
где ig'i ■•• zp—некоторая перестановка чисел 0,1, ..., p. Докажите, что точка пространства sp с барицентрическими координатами (Хо, М, •■•> Хр) тогда и только тогда .лежит в рассматриваемом р-симплексе первого производного комплекса, когда Xio > Хг > ... > Xip > 0. Выразите барицентрические координаты этой точки относительно данного р-симплекса через Хо, Хц ..., Хр.
Охарактеризуйте аналогичным образом точки, принадлежащие симплексам меньшей размерности первого производного комплекса.
Приведите полное доказательство теоремы 1.5.2.
Пусть sp—симплекс аОа1 ... ар, лежащий в евклидовом пространстве №, и /(— симплекс 6061, лежащий в 7?р+1 и ортогональный к пространству №; докажите, что пространство sp х Н можно триангулировать, если в качестве вершин взять точки ■сгз = аг х ЬЦ1 = 0, ..., р; / = 0,1), а в качестве симплексов—симплексы, натянутые
<030«ьД-
на всевозможные множества различных вершин с , .. ., с я п, для которых обе последовательности г0, ..., гд и /о, ...,7 а не убывают. Выведите отсюда, что если пространство Р— полиэдр, то и Рх1— также полиэдр.
Обобщите конструкцию из упр. 6 так, чтобы получить триангуляцию пространства sp X tq- Докажите, что топологическое произведение двух полиэдров является полиэдром.
Пусть slt tt суть 1-симплексы и / : $f —>- й отображает гомеоморфно st на tv Докажите, что отображение С/ не является гомеоморфизмом пространства Cst в пространство Сц.
(а) Докажите, что "если при отображении / : X —>- 8п образ Xf является собственным подмножеством сферы 8", то / гомотопно нулю.
(б) Докажите, что если отображения /0, /t: X —>- 8" никакую точку ж g X не переводят в диаметрально противоположные, то /o^/i-
Пусть отображения f:A —>-В, g-.B—yC, h;C->-D таковы, что отображения fg и gh являются гомотопическими эквивалентностями. Докажите, что /, g и h являются гомотопическими эквивалентностями.
Докажите, что если Хд^Х! и Уд^У^ то ХохУо“^1ХУ1 и СХ0, Х0^СХ1г X,.
Говорят, что пара (У, Z) пространств удовлетворяет аксиоме о продолжении гомотопии, если, каковы бы ни были пространство X, отображение g0 ;Y —>- X и гомотопия ht : Z —>- X, такая, что Ло = g0 | Z, существует гомотопия gt : У —>- X, для которой ht = gt | Z. Докажите, что (У, Z) тогда и только тогда удовлетворяет аксиоме о продолжении гомотопии, когда (У х 0) J (^ X 7) является ретрактом пространства (У х 7). Докажите, что пара (CZ, Z) удовлетворяет аксиоме о продолжении гомотопии.
Пусть | К |—полиэдр, |L|—его подполиэдр и /:|L|—>Z — некоторое отображение. Образуем дизъюнктное объединение | К | |J Z и обозначим через R следующее отношение эквивалентности: pRpf, р € | 7 |. Пусть У—факторпространство (| К | J Z)/R.
Покажите, что пространство Z вложено в У как замкнутое подпространство и что пара (У, Z) удовлетворяет аксиоме о продолжении гомотопии.
Докажите, что отношение смежности между симплициальными отображениями комплексов АГ<Г> в L, где комплексы К и L фиксированы, а т может меняться, не является отношением эквивалентности.
Пусть K = st, | L | С R1 есть отрезок [ — 2, 2], а замкнутыми 1-симплексами комплекса L служат отрезки [—2, —1], [ — 1, 0], [0, 1] и [1, 2]. Пусть (Хо, Xj)— барицентрические координаты в si и отображение / : | К | —>-1 L | определено формулами
(0, 1)/ = 0,
(Хо, Х4)/ = 2Х0 cos (л/Х|) дляО<Хо<;1.
Подберите число г и симплициальное отображение г : К^п —>■ L так, чтобы и было симплициальным приближением отображения /.
Докажите, что расстояние между отображениями бикомпактного пространства X в метрическое пространство У, определенное в § 1.8, является метрикой на множестве всех отображений пространства X в У. Докажите также, что топология пространства Vх зависит только от топологии пространств X и У и не зависит от выбора метрики на У.
Докажите, что каждое бикомпактное подмножество полиэдра бесконечного комплекса К лежит в полиэдре некоторого конечного подкомплекса комплекса К.
Докажите теорему 1.10.11.
2
ТЕОРИЯ ГОМОЛОГИЙ СИМПЛИЦИАЛЬНОГОКОМПЛЕКСА
§ 2.1. Ориентация симплекса
Мы подробно описали, каким образом с полиэдром можно связать некоторую комбинаторную структуру, называемую симплициальным комплексом. Это можно сделать многими способами, и, следовательно, проблема выделения из такой структуры подлинных топологических инвариантов не тривиальна. Мы узнаем в этой главе, как, отправляясь от симпли- циального комплекса, получить некоторые важные инварианты полиэдра, являющегося его телом. Но доказательство того, что они действительно являются инвариантами, будет оставлено до следующей главы. Подчеркнем (об этом уже говорилось во введении), что эти инварианты можно вычислить, исходя из комплекса. Они имеют алгебраическую природу: полиэдру ставятся в соответствие некоторые абелевы группы, называемые его группами гомологий.
X теперь перейдем к описанию того, как получить группы гомологий, отправляясь от симплициального комплекса. Первый шаг состоит в том, чтобы ориентировать симплекс.
Напомним, что в евклидовой геометрии два различных набора осей могут определять либо одну и ту же, либо разные ориентации пространства. При рассмотрении ориентации симплекса роль упорядочения множества осей играет упорядочение вершин симплекса. Говорят, что два упорядочения вершин симплекса определяют одинаковую его ориентацию, если один порядок переводится в другой некоторой четной перестановкой; если необходимая перестановка нечетна, то ориентации называются противоположными.
Предположим, что симплекс sp ориентирован, т. е. выбран некоторый порядок его вершин; пару, состоящую из симплекса sp и его ориентации, мы называем ориентированным симплексом и обозначаем через ор или + ор. Тот же симплекс sp с противоположной ориентацией будет обозначаться через —ар. Ориентацию симплекса sp можно задать, записав его вершины в определенном порядке. Если sр ^Ха^а1 . .. ар'р то симйол а°аг ... ар без скобок означает ориентированный симплекс, ориентация которого определяется данным порядком вершин. Так, например, если <jp = a°a1 ... ар, то
— ар = ага° ... ар — ара1аг ... ар~1а°.
0-симплексы допускают только одну ориентацию; таким образом, вершина а0 определяет единственный симплекс s0 и единственный ориентированный симплекс о0; мы пишем о0 = а°. Условимся, что в пополненном комплексе симплексу s_t соответствует ориентированный симплекс о_1.
Как мы увидим в дальнейшем, удобно формально считать ориентированный симплекс айа>... ар «произведением» своих вершин а6, а\...,ар. Такое умножение косо-коммутативно, так как ага3 ——а3а1, и, в случае пополненного комплекса, имеется единичный элемент, именно гг_Р Для обозначения симплекса О-, напрашивается, таким образом, символ 1. Выра-
жение а'» . .. а1?, в котором какая-нибудь вершина встречается больше одного раза, естественно считать равным нулю.
Естественно представлять себе ориентированный 1-симплекс дОа1 в виде отрезка со стрелкой, направленной от «о к а1, ориентированный 2-симплекс a^a2— как треугольник, на котором выбрано положительное направление вращения, а именно то направление, в котором поворачивается радиус-вектор, ведущий из некоторой фиксированной внутренней точки в переменную точку границы треугольника, когда последняя движется от д° к а1, от а1 к а2 и от а2 к а0 (см. рис. 2.1). Такая интерпретация подводит нас к одному очень плодотворному понятию. Вращение в нашем
Рис. 2.1.
треугольнике в некотором смысле согласуется с ориентациями симплексов дОд1, д*д2, а^а? его сторон, и эту картину можно обобщить.
Пусть Ор = а°аг . . . ар; говорят, что противолежащая вершине аг ориентированная (р — 1)-грань симплекса ор
а^а1... а1 ... ар = а°а>аг~1аг"'"1 .. . ар ориентирована когерентно с симплексом (—1)г<тР- Иными словами, симплекс а°аг .. . а1 ... ар ориентирован когерентно с симплексом ор, если i четно, и некогерентно, если i нечетно. Когерентную с ор ориентацию (р—1)-грани симплекса ор называют ориентацией, индуцированной ориентацией симплекса ор. Мы будем и дальше пользоваться этим обозначением; если в наборе символов некоторые следует опустить, то их накрывают знаком
Чтобы данное выше определение могло быть принято, мы должны показать, что люрая четная перестановка элементов упорядоченного множества а0, д1, . .., ар приводит к тому же определению когерентной ориентации грани. В самом деле, легко видеть, что. когда мы переставляем любую пару соседних вершин, индуцированная ориентация каждой грани меняется на противоположную. Следовательно, при любой четной перестановке индуцированная ориентация граней не меняется. Стандартная ориентация симплекса о_4, по определению, когерентна ориентации каждого о0-
Понятия ориентации и индуцированной ориентации в равной степени применимы и в случае абстрактного симплициального комплекса. Вообще все результаты, которые мы пока относили к геометрическим комплексам, и все последующие результаты относятся в равной мере и к абстрактным комплексам. В дальнейшем мы не будем специально это оговаривать. Слово «комплекс» будет употребляться без пояснения, если утверждение справедливо и для геометрического и для абстрактного комплексов. Однако, если не оговорено противное, комплекс следует считать конечным.
Пусть К—комплекс. Говорят, что он ориентирован, если каждый его симплекс ориентирован. Семейство а ориентаций его симплексов назы-
вается ориентацией комплекса К; комплекс К с ориентацией а будет обозначаться через (А", а). Однако обычно мы будем употреблять символ К как для обозначения комплекса без ориентации, так и для обозначения ориентированного комплекса.
Упорядочением комплекса К называется частичное упорядочение его вершин, при котором вершины каждого симплекса вполне упорядочены. Полезен следующий пример упорядочения комплекса К', первого производного комплекса К\ вершины К' (т. е. барицентры b (s) симплексов комплекса А) частично упорядочиваются по следующему правилу, b (s) < < 6 (t) тогда и только тогда, когда s^t1). Ясно, в силу § 1.4, что это — упорядочение комплекса К'. Ведущая вершина произвольного симплекса и его первая вершина при данном упорядочении комплекса К' совпадают.
Пусть со — некоторое упорядочение комплекса К. Вершины каждого симплекса комплекса со располагает в некотором порядке; комплекс К, таким образом, получает некоторую ориентацию. Ориентированный так комплекс К мы будем обозначать иногда через (А, со).
Пусть К—ориентированный комплекс с (ориентированными) симплексами Ор. С каждой парой (Op, Op-t) мы можем связать число д\ р, называемое коэффициентом инцидентности, по следующему правилу:
О, если Sp-i не является гранью симплекса Sp,
i 4-1, если Sp-i — грань симплекса Sp, ориентированная коге- л ррентно с Sp.
— 1, если Sp-i—грань симплекса sp, ориентированная некогерентно С Sp.
Из коэффициентов инцидентности, относящихся к симплексам размерностей р и р — 1, составляется очевидным способом матрица др; на пересечении t-й строки и/-го столбца в ней стоит число д^р. Матрицы 9^ д2, ... называются матрицами инцидентности ориентированного комплекса К.
Возьмем, например, в качестве комплекса К замкнутый 2-симплекс с вершинами а0, а1, а2 и ориентацией, порожденной упорядочением аОа1^2. Тогда
о^а0^2, n^tz^2, о® = а°а2, о® = а0аТ, Од = а°, а2 = аг, а® = а2 и
/ 0 — 1 1\
91 = 1-10 1], д2 = (1 — 1 1).
\-11 о/
Сформулируем теперь, отложив доказательство до следующего параграфа, фундаментальную теорему о матрицах инцидентности.
Теорема. Если р>1, то dpdp_t == 0.
Единственное различие между матрицами инцидентности комплексов К и К* заключается в присутствии матрицы до, которая представляет собой столбец из единиц и удовлетворяет соотношению д1до = О. В этой главе основное внимание будет уделено случаю непополненного комплекса К, однако большую часть утверждений можно очевидным образом переформулировать и для К*.
Цепи, циклы и границы
Пусть К — ориентированный комплекс; р-цепъ ср комплекса К определяется как формальная сумма
cp=’^miolp,
где суммирование распространяется на все ориентированные р-симплексы из К, а коэффициентами пц служат целые числа. Таким образом, каждую цепь можно рассматривать как семейство ориентированных симплексов, взятых с определенными кратностями; кратность ориентированного симплекса сГ в цепи 2.2.1 равна т^ если mt > 0; в противном случае кратность ориентированного симплекса — сГ равна — тг.
В качестве примера p-цепи можно взять
2dlp+i^.
3-
Это семейство р-симплексов, являющихся гранями симплекса dp+ir взятых с индуцированной (из Op+i) ориентацией; р-цепь 2.2.2 называется границей симплекса (Jp-|-i и обозначается через Ор^-^д.
Каждый симплекс Ор можно рассматривать как p-цепь; подобным же образом p-цепью можно считать и —Ор. Для каждого симплекса ор = = а°а1 .. . ар естественно считать, что а>а° . .. ар обозначает р-цепь, —ор,. комплекса К. И мы получаем
Предложение1). орд = 2 ('— 1)г (^а1 ... а1 .. . ар), р > 0.]
Множество всех p-цепей комплекса К образует аддитивную абелеву, группу относительно следующей операции сложения:
2 то;стр + 2 ^1^ = 2 (^г + ^ООр.
Эта группа называется группой p-цепей комплекса К с целочисленными коэффициентами; иногда мы будем называть ее кратко — группой p-цепей комплекса К или р-цепной группой комплекса К. Обозначаться она будет через СР^К\ Подобным же образом определяется Ср^К^, при этом Ср (К) = Ср (К+) для р">0. Когда ясно, к какому комплексу, пополненному или нет, относится р-цепная группа, ее можно обозначать просто через Ср.
Группа Ср(К), очевидно, является свободной абелевой группой, базис которой составляют симплексы и®. Значит, граничный оператор д может быть продолжен единственным образом до гомоморфизма
*др-Ср > С р-р,
если можно не опасаться недоразумений, мы будем вместо др использовать символ д.
В явном виде др задается формулой
(2 т^ др=^т, (сгрд) = ^т^ dj, pO^t = 2 (2 тД^ р) o3p_i. iгг 3з г
Если р^О (или если р< —1 в пополненном случае), часто бывает удобным считать, что Ср_1 = 0 и др— нулевой гомоморфизм.
Теорема. Для любой p-цепи ср комплекса К срдд = О.
Так как 8— гомоморфизм, достаточно это соотношение доказать для случая, когда рассматриваемая цепь является некоторым р-симплексом,.
!) В комплексе К* мы полагаем аод=1.
cp = Gp. Пусть ар = (А1 .. . ар) и р>1. В силу предложения 2.2.3, ардд = (2 (-1/ (Л1 ...at ... а^ 8 = г
= 2 (— I)1 ( 2 (— 1)’ (a0®1 ... а3 . •. а* ... ар) + i3<i
+ 2 (— 1)’ 1 («°«1 ... а1 ... а5 ... av)}.
j>i
Следовательно, aV .. . ah ... a1 ... ap входит дважды в qp88: один раз с коэффициентом ( —l)z(—l^ и второй —с коэффициентом ( —l)ft ( —I)'-1. Отсюда вытекает, что ардд = 0 и, значит, срдд = О. Случай р^1 тривиален.) Из этой теоремы немедленно следует сформулированная ранее теорема 2.1.1, ибо элемент, стоящий на пересечении i-й строки и /-го столбца матрицы дрдр_и как раз равен коэффициенту при симплексе Стр-2 в цепи ардд.
Ядро гомоморфизма др обозначается через Zp (К) или просто через Zp; элементы Zp называются p-циклами1). Образ при гомоморфизме <Эр+1 мы обозначаем через Вр (К) или через Вр, и элементы Вр называем р-границами.
Следствие. Вр является подгруппой группы Zp.]
Понятие p-цепи можно обобщить, и это обобщение находит некоторые важные применения. А именно можно заменить в 2.2.1 коэффициенты тг элементами g; произвольной аддитивной абелевой группы G. Полученный объект мы называем p-цепью комплекса К с коэффициентами в G; такие цепи образуют аддитивную абелеву группу CP(A;G) относительно закона сложения, аналогичного определенному в 2.2.4. Отметим, что при этом символ Ср (А) становится сокращенным обозначением группы Ср (А;/), где J—аддитивная группа целых чисел. Граничный оператор 8 снова индуцирует гомоморфизм
8p-.Cp(K-G^Cp_^K;Gy
Гомоморфизм 8Р задается формулой
(2 gi°p^ 9р = 2 (2 ^.Р^г) Ор-1-
гj i
Важно отметить, что симплекс ар не является, вообще говоря, элементом группы Ср ^К" Gy задача точного описания роли симплексов ар в группе Ср (К; G) носит чисто алгебраический характер; мы отложим ее до гл. 5. Читателю рекомендуется сначала считать коэффициенты целыми числами; в этом случае легче воспринять геометрическую сторону теории. Мы и дальше будем писать Ср(Ку СР(К+) вместо СР(К; Jy CP(KP;J); кроме того, группы Ср (К; G) и Ср (КС; G) будут сокращенно обозначаться через Ср, когда ясно, о каком комплексе и какой группе коэффициентов идет речь. Встречаясь с символами Ср (К) и Ср (А+), следует понимать, что группой коэффициентов является J. Примем подобные же соглашения относительно обозначения групп Zp и Вр.
Завершая параграф, постараемся оттенить геометрическую сторону всего сказанного. Пусть срРСр; определим ср, носитель цепи ср, как подкомплекс комплекса К, состоящий из замыканий всех тех симплексов sp, для которых соответствующие ориентированные симплексы ар входят в ср с ненулевыми коэффициентами. Таким образом, можно сказать, что ср является наименьшим подкомплексом комплекса К, цепью которого служит ср.
г) Напомним соглашение об употреблении символа Ср.
Предложение. ср ± ср s с1 U ср.]
Предложение. срд г ср.|
Тесную связь между граничным оператором д и операцией перехода к топологической границе выявляет
Предложение. орд = spJ
Обратите внимание, что вместо sp можно писать ор.
Иногда удобно рассматривать не носитель ср цепи ср, являющийся подкомплексом комплекса К, а ее тело |ср| —полиэдр носителя; в самом деле, |ср| = |ср|. Носитель —это совокупность симплексов, а тело — множество точек. Хотим предостеречь читателя: |<тр| и |зр|— различные множества точек; так как ар— цепь, | ар [ является множеством точек ее носителя—замкнутого симплекса sp, тогда как |sp|—множество точек открытого симплекса sp.
Группы гомологий
Пусть К — симплициальный комплекс и Ср = СР(К); тогда, как мы видели, группа /у-циклов Zp является подгруппой группы Ср, а группа р-границ Вр является подгруппой группы Zp. Пока эти группы зависят от выбора ориентации комплекса К. Однако легко показать, что при изменении ориентации получаются изоморфные группы. Точнее, пусть а и р — две ориентации комплекса К и симплекс sp из К ориентируется посредством а как ар, а посредством р как ор. Будем писать Ср (К) и т. д. вместо Ср (К, а) и т. д. Можно определить для каждого р гомоморфизм 6"’Р :С“ ^-^(КМ
по формуле о“0“’р = ± Ор, где знак + или — ставится в зависимости от того, одинаково или нет ориентируют аир симплекс зр. Тогда очевидно, что 0“’^ — изоморфизм с обратным 0Р “ и что 0“'₽0P,V = 0“’v. Более того, о^рд = Ордбр-!, где 0 = 0“’р, ибо, в каждой из этих цепей коэффициент при <тр_1 является нулем, если sp-t не является гранью симплекса зр, а в противном случае равен +1 или — 1 в зависимости от того, когерентна или нет ориентация симплекса Sp-ц которую он получает при ориентации Р комплекса К,’ориентации sp, которую он получает при ориентации а комплекса К. Значит1), 0рд = 50р_1.
Отсюда немедленно следует, что
Z“OP^C ^еВ».
В самом деле, если z£Zp, то z9pd = zd6p_t = 0, так что z0p 5 Z^. Если b£Bp, то Ь = сд, с ^ Cpjj-t (X) и Ь6Р = сд6р = с6р+1<Э, откуда Ь6Р £ В^. Запишем эти результаты (в очевидных обозначениях) в виде следующей теоремы.
Теорема. 0“,Р:С“, Z“, В*, ^Cp, Z^, S^.J
Читатель, вероятно, заметил, что с алгебраической точки зрения 0“’ ₽ можно интерпретировать как очень простое изменение базиса в группе Ср. При этом, суммируя доказанное, можно сказать, что граничный гомоморфизм определяется самой группой и не зависит от выбора базиса в ней. Во всяком случае, выясняется, что ориентация служит лишь техническим приемом,
позволяющим определить группы Ср и гомоморфизм 8, а рассматриваемые группы, по существу, не зависят от выбора ориентации.
G другой стороны, мы заинтересованы главным образом в изучении самого полиэдра |А|. Очевидно, что группы Ср, Zp, Вр в сильной степени зависят от выбора покрывающего полиздр комплекса К. Так, например, подразделение комплекса К приводит к разрастанию всех этих групп (в смысле повышения их рангов). Однако дальнейший опыт показывает, что изменения в К вызывают тесно связанные друг с другом изменения
Рис. 2.2.
в Zp и Вр. Например, пусть | К |—замкнутый 2-симплекс, натянутый на вершины а°, а1, а2; рассмотрим триангуляции К^ и А2, изображенные на рис. 2.2. Тогда
C^K^J, Z^K 0 = 0, A2(A1) = 0;©(A^J©/©/, ZJAO^J, В, (AO
Z0(Kt^J@J, B^K^J^J; в то время как
C2(A2)^J©/, Z2(A2) = 0, 7?2(A2) = 0;
©(A,)^/©/©/©/©/, ZJAO^J©/, BJAO^J©/;
©(A2)^7©J©J©J, Zo(A:)^7©7@7, Bo (A2) ^ J© J© J.
Значит, введение новой вершины а3 и ребра а°а® увеличивает ранги групп Zb В^, Zo и Во на единицу.
Этот пример (и другие, которые легко построит сам читатель) подсказывает, что то существенное, что следует в первую очередь выделить, рассматривая комплекс А и граничный гомоморфизм 8, есть факторгруппа1) ZP!BP.
Определение. Факторгруппа Zp/Bp называется р-й группой гомологий ориентированного комплекса А и обозначается через Нр {К).
Группа гомологий пополненного комплекса А+ обозначается через Нр (А+). Обозначения Нр (К+) и Нр (А) могут быть сокращены до Нр, если это допускается контекстом. Более точным обозначением для Нр (К) было бы Нр^К, а) = 77“ (А), где а — ориентация. Однако из теоремы 2.3.1 немедленно следует
Теорема. 6“’р индуцирует изоморфизм
е“’р:Я“(А)^^(А).]
Отметим, что группы гомологий, будучи факторгруппами подгрупп конечно порожденных абелевых групп, сами являются конечно порожден-
ными абелевыми группами. Заметим также, что для любого комплекса К и произвольной абелевой группы G можно определить группу ZP(,K; G) как ядро гомоморфизма 8Р:СР(К; G^—>CP_^K\ G} и группу ВР(К; G) как образ группы СРИ(К; G) при гомоморфизме 8р+1. При этом ВР(К; G) ^ZP(K; G) и, следовательно, можно определить факторгруппу
Нр^К, G^Zp^K; G)/BP(K; G).
Последняя называется р-й группой гомологий комплекса К с коэффициентами в G. Эта группа тоже не зависит, с точностью до изоморфизма, от ориентации комплекса К.
Изучение групп гомологий, различных их вариантов и обобщений составляет основное содержание этой книги. Значение групп гомологий определяется тем фактом, что они являются топологическими инвариантами расчленяемого полиэдра. Ценность их чрезвычайно усиливается тем, что задача установления, изоморфны ли группы гомологий двух данных комплексов, всегда решается конечным числом шагов. Последнее замечание адресовано тем, кто предпочитает такое определение групп гомологий, при котором их инвариантность очевидна1).
Если ср, Ср — две цепи комплекса К, разность которых является границей, мы говорим, что ср гомологична Ср и пишем с), — ср. Как правило, будут рассматриваться только цепи, являющиеся циклами; тогда соотношение z), ~ Zp равносильно утверждению, что zp и zp принадлежат одному классу смежности группы Zp по модулю группы Вр или что zp и zp определяют один и тот же элемент группы Нр. Этот элемент называется классом гомологий цикла zp (или цикла Zp) и обозначается через {z1}.
Понятие гомологии в простых случаях отвечает нашей интуиции. Каждый замкнутый путь на комплексе представляет некоторый 1-цикл; два замкнутых пути, между которыми можно натянуть поверхность, гомологичны, ибо вместе они образуют границу 2-цепи, представляемой этой поверхностью. Однако следует предупредить читателя, что не каждое утверждение о циклах и гомологии можно обогатить ссылкой на геометрическую картину. Это особенно относится к случаю общей группы коэффициентов. Рекомендуем читателю посмотреть, как следовало бы изменить последующие утверждения и доказательства в случае произвольных групп коэффициентов.
2.4. Но (К) и связность
В этом параграфе будет дана интерпретация нульмерной группы гомологий Но (К) и, кроме того, установлено соотношение между группами Но№ и Н0(КЧ.
Начнем с некоторых общих замечаний. Пусть К — комплекс и К* — соответствующий пополненный комплекс.
Предложение. Ср (А') = Ср (А+), р > 0;
Zp^ = Zp№, Р>0; Вр(К) = Вр(К+), р>йД
п.4.2. Следствие. НР(К) = НР(К+), р>0.]
Теорема. Но (^) ^ Но (К+) © J.
Пусть а0, а1, ..., ат — вершины комплекса К. Их можно отождествить с элементами некоторого базиса группы С° (К-); ясно, что Со (К) = Zo (К).
х) Такие определения даны в гл. 8.
От этого базиса можно перейти к базису (в Zo №), образованному цепями а0, а1 —а», а^ — а0, ..., ат — а°. Покажем теперь, что цепи а1 — а°, а2 — а°, ..., ат — а0 образуют базис в Z0(K+). В самом деле, пусть 2 n,al Е Zo (К+); так как а1д = 1, то 2иг = 0 и S ni^= S ni ^ — a°Y i.iii>0
Так как все цепи а? — а° принадлежат группе Z0(/f+), то они образуют ее базис; Z0(K) = J @Z0(K+), где группа J порождается элементом а0; отсюда и из равенства Во (К) = Во (ЙГ+) вытекает утверждение теоремы. J
Пусть К — некоторый комплекс и а — его вершина. Мы говорим, что вершину а можно соединить в К с вершиной 6, если существует такая последовательность вершин а10, ..., ак, что а1о = а, агь = Ъ и ali-^ai при у = 1, ..., к является симплексом комплекса К. Устанавливаемое таким образом отношение является, очевидно, отношением эквивалентности на множестве вершин комплекса К; будем записывать его временно так: а*—*Ъ. Пусть а0, а1 —вершины симплекса s£K, и №, ^ — вершины симплекса tEK. Тогда, очевидно, а«<—»&° в том и только в том случае, если а1 *—* Ь1. Значит, К является объединением попарно непересекаю- щихся подкомплексов Къ ..., Кд, таких, что а <—► b тогда и только тогда, когда вершины а и Ъ принадлежат одному и тому же подкомплексу КТ, l^r^g. Эти подкомплексы называются компонентами комплекса К. Говорят, что комплекс К связен1), если д = 1..
Теорема. Нр (К) = 2 Нр (Кг).
r=f
Очевидно, что Ср (К) = 2 Ср (Кг) и Ср (^г) д s Ср-^ (^г). Утверждение Г
теоремы теперь следует из элементарной теории абелевых групп.} .9
Следствие. Нр = 2 Нр (К*), р > 0.]
Наконец, вычислим группу Н0(К); принимая во внимание теорему 2.4.4, достаточно вычислить Но (К) для случая, когда комплекс К связен. Тогда, очевидно, а — Ъ для любых двух вершин а и Ъ из К.
Теорема, (a) Ho(K) = J в том и только в том случае, если комплекс К связен, (б) Н0(К+) = 0 в том и только в том случае, если комплекс К связен.
Достаточно доказать утверждение (б). Как и в доказательство теоремы 2.4.3, цепи а?— а° образуют базис группы Zo^*); но если комплекс К связен, а? — а°~0, так что Zo (^+) = Во (К+) и 7/о(^+) = О.
Обратно, предположим что Но(К+) = О. Тогда H0(K) = J; но если Kv ...., Kq — компоненты комплекса К, то по доказанному
г
Группа Но^К) является, таким образом, свободной абелевой группой с q образующими. Значит, д = 1, т. е. комплекс К связен.]
Следствие, (а) Но(К)—свободная абелева группа', ее ранг равен числу компонент комплекса К. (б) Н0^К+) — свободная абелева группа; ее ранг на единицу меньше числа компонент комплекса ТС]■
х) Использование такой терминологии оправдано: компонентами пространства | К | в смысле общей топологии являются множества | К^ |, ..., | Кд |; комплекс К связен тогда и только тогда, когда связно пространство | К |.
Следствие. Пусть а и Ъ—вершины комплекса К; а«—*Ь в том и только в том случае, если а —Ь.
Мы уже отметили, что из а «—* Ъ следует а ~ Ъ. Обратно, пусть теперь а^Ь. Мы знаем, что для любого связного комплекса К группа Н0(К) является свободной циклической группой, порожденной произвольной вершиной) этого комплекса. Из теоремы 2.4.4 тогда следует, что если две вершины принадлежат разным компонентам комплекса, то они не могут быть гомологичны; следовательно, а«—»&.]
Быть может, у читателя сложилось впечатление, что комплекс К является более удобным инструментом, чем К*. Это действительно так, когда речь идет о геометрических вопросах. Преимущества же комплекса К* обнаружатся при развитии общей теории; в частности, оказывается удобным, что связность эквивалентна исчезновению) группы H0(K+) (2.4.6 (б)).
Некоторые примеры. Кручение
Группа Нр как конечнопорожденная абелева группа (см. § 5.1) является прямой суммой свободной абелевой группы и конечной абелевой группы. В простейших примерах конечное слагаемое обычно бывает нулем; группа тогда описывается числом своих свободных образующих. Разберем несколько примеров. Рассуждения наши при этом не будут строгими, однако с помощью дальнейших результатов их можно было бы сделать совсем точными. Читатель может увидеть на этих примерах, что число образующих в группах гомологий отражает запутанность комплекса.
Пусть К—связный 1-комплекс, или линейный граф, из «у вершин и «1 ребер. По теореме 2.4.6, Но (К) является свободной абелевой группой с одной образующей. Поскольку нет 2-симплексов, Bj (/<)—нуль и Z?1 = Z1. Связный линейный граф называется деревом, если он не содержит замкнутых (1-мерных) контуров; для дерева группа Z^ исчезает, и простое доказательство по индукции показывает, что а0—^=1. Если комплекс К не является деревом, то из него можно выкинуть некоторый открытый 1-симплекс, не нарушая его связности, ибо в этом случае в К существует некоторый замкнутый контур, из которого можно выбросить любой 1-симплекс. Довольно легко показать, что удаление такого 1-симплекса уменьшает на единицу число свободных образующих группы Zlt которая для любого комплекса является свободной абелевой группой. Отсюда немедленно следует, что H1(K)=Z1(A?)—свободная абелева группа с pi образующими, где р1 = а1—а04-1.
Если полиэдр |К| гомеоморфен сфере №, то комплекс К связен и HU^K) = J. Интуиция правильно подсказывает, что каждый 1-цикл в этом комплексе ограничивает, ибо любой замкнутый путь на 2-сфере может быть деформирован в точку. Правдоподобно поэтому, что Hi (К)—нуль. Так как 3-симплексов в К нет, то Н2(К) = = Z2(K). Теперь 2-симплексы комплекса К можно ориентировать таким образом, чтобы цепь 2 а2 былд циклом. Когда это сделано, легко показать, что цепь 2 т1°г будет ii
циклом только в том случае, если mi = m.j при всех г и /. Следовательно, группа Н2 (K)=Z2 (К) порождается элементом (2 °2j и является свободной абелевой группой i
с одной образующей.
Если полиэдр | К | является п-клеткой, т. е. если он гомеоморфен замкнутому n-симплексу, то Нр (К+) = 0 для всех р>0. Так как каждый n-симплекс может быть стянут по себе в точку, не удивительно, что любой p-цикл ограничивает при р>0. При рассмотрении пополненного комплекса К* ограничение р>0 можно отбросить.
Пусть | К | — тор, т. е. топологическое произведение двух экземпляров окружности 51. По-прежнему Ho(K) = J. Как и в случае 2-сферы, можно ориентировать 2-симплексы комплекса К так, что2 С1 будет циклом z2, свободно порождающим груп-
пу Z2(X). Отсюда Н2(К) — Z2 (К) = J. Более интересна группа Н^Ку В любом симп- лициальном разбиении тора есть 1-циклы z} и z(, аппроксимирующие соответственно его меридианные и широтные окружности (см. рис. 2.3). Оказывается, {z}} и {z^} свободно порождают группу Hi (X); любой 1-цикл гомологичен некоторой линейной комбинации циклов z} и z|. Последнее утверждение можно пояснить геометрически.
Удалим из тора какой-нибудь открытый 2-симплекс s|. Это не изменит гомологических соотношений между 1-циклами. В самом деле, если z1=c2d, где с2=2тЩ2, то z4=(c2—-m1z2) 5, причем с2—mtz2 есть цепь, на которую не влияет удаление симплекса s^. Если обозначить этот новый комплекс через К-, то Hi (К~) as Hi (К). Но комплекс К- можно стянуть по себе на | z11 (J | z2 | = | L |. Как мы видели в примере 1, Ht (А) является свободной абелевой группой с двумя образующими. Следует ожидать, что такова же группа Hi (X). Если вам не вполне ясно, как стянуть комплекс К” на L, представьте себе, что К- разрезан вдоль множеств | z} | и | z2 | и развернут в квадрат
с дыркой вместо одного из 2-симплексов, ограниченный двумя экземплярами каждого из множеств | z| | и | z| |; ясно, что любой квадрат с дыркой может быть стянут на свою границу.
Пусть | К |—вещественная проективная плоскость Р2, H0^ = J, однако две другие группы не совсем обычны. Хотя Р2—-замкнутая поверхность, способ вычисления группы Н2 (К), применявшийся в случае 2-сферы и тора, не проходит. В самом деле, невозможно так ориентировать все 2-симплексы комплекса К, чтобы их сумма была циклом, и вообще на К нет 2-циклов, отличных от нулевого. Следовательно, группа Н2 (К) тривиальна. Группа же Hi (К), оказывается, изоморфна J^ тем самым мы получаем первый пример группы гомологий, конечное слагаемое которой отлично от нуля. Чтобы убедиться в том, что ZZi(X) = J2, возьмем какой-нибудь 1-цикл zj, (грубо) приближающий проективную прямую и такой, что | zj |^ 51. Пусть ct есть 1-цепь в К, для которой | С1Э | с | Z1 |; найдется тогда такая 1-цепь с(, что ct ~ с( и | с( | с | zY |. Ибо если мы разрежем комплекс К вдоль множества | zj |, то он развернется в 2-клетку, ограниченную двумя экземплярами | zt |, идущими в одном направлении вдоль границы. Ясно, что любан 1-цепь в 2-клетке, граница которой лежит на границе клетки, гомологична некоторой 1-цепи, расположенной на этой границе. Следовательно, произвольный 1-цикл на К гомологичен некоторому 1-циклу на | zy |; но так как пространство | zt j гомеоморфно 51, произвольный 1-цикл на ) zj | равен mzt при некотором целом т. Каждый класс 1-гомологий комплекса К содержит, следовательно, элемент вида mzv Но 2zt принадлежит нулевому классу гомологий. Это следует из представления К как 2-клетки, ограниченной двумя экземплярами множества |zi|. Граница простейшей 2-цепи является 1-циклом на границе этой клетки; возвращаясь к комплексу К, мы видим, что цикл 2zt ограничивает. Но zt ^ 0 и, следовательно, Нt (X) имеет в точности два элемента: {0} и {zj}; при этом порядок элемента {г,} равен двум.
Когда конечные слагаемые групп гомологий комплекса не тривиальны, то говорят, что комплекс обладает кручением. Цикл, который сам не ограничивает, хотя некоторое кратное его ограничивает, называется циклом с кручением, а его класс гомологий (являющийся элементом конечного порядка в группе гомологий) называется периодическим классом или периодическим элементом. Иногда циклы с кручением удобно считать в некотором смысле границами. В этом случае мы будем говорить, что цикл zp слабо гомологичен нулю, и писать zp « 0, если существует такое целое число к =^0, что kzp~Q. Таким образом, запись «zp «к 0» означает, что zp либо цикл с кручением, либо граница.
Предложение. Множество циклов, слабо гомологичных нулю, образует подгруппу Wp группы Zp.
(Мы предпочли вместо Wp ввести более сложное обозначение Wp, чтобы избежать путаницы с той группой, которую нам надлежит определить в § 5.1; с подгруппой Wp мы будем встречаться лишь мимоходом.)
■ Предположим, что zp ^ О и zp т 0; тогда существуют такие числа къ к2 (оба не равные нулю), что kszp— 0 и k2zp~0. Поэтому
к^к2 (zp Zp) = к2 (kyZp) к^ {k2zp) -■ —0,
и, так как kJ^^O, zp — zp « ОД'
Мы будем писать zp ж zp, когда zp — zp « 0, т. е. когда z), и zp принадлежат одному классу смежности группы Zp mod Wp. Классы смежности являются элементами факторгруппы „Нр = ZP]WP, называемой группой слабых гомологий комплекса К (размерности р).
Термин «кручение» применим к произвольным абелевым группам. Пусть Л — абелева группа; множество ее элементов, порядок которых конечен, образует подгруппу Т, называемую периодической подгруппой группы Л. Таким образом, периодические классы группы Нр вместе с нулевым классом образуют ее периодическую подгруппу. Если Т = Л, то Л называется периодической группой.
Так как Вр с Wp, то имеет место канонический эпиморфизмг) го : НР-^„НР.
Предложение. Ядро эпиморфизма го является периодической подгруппой группы Нр.
Действительно, ^zp) го = 0 в том и только в том случае, если zp С Wp, a zp^Wp тогда и только тогда, когда существует целое число k=Z=O, для которого kzpQBp. Таким образом, ^zp) го — 0 тогда и только тогда, когда Zc{zp} = 0 для некоторого &^0.)
Как было отмечено в начале этого параграфа, группа Нр является прямой суммой свободной абелевой группы Fp и конечной абелевой группы Тр. Следовательно, Тр является периодической подгруппой группы Нр, и, в силу 2.5.2, группа Fp изоморфна „Нр.
Когомологии и кронекеровское произведение
К определению групп гомологий нас приводят понятия, хорошо отражающие естественные и близкие нам геометрические идеи. Эти понятия, по существу, содержатся в основополагающей работе Пуанкаре в области топологии, относящейся к концу XIX века. Мы определим теперь группы, двойственные к группам гомологий, которыми, по существу, не занимались до 1935 г., когда сразу несколько математиков — Александер, Чех, Колмогоров и Уитни — определили и исследовали их. Нетрудно понять причины данной отсрочки — интуитивный смысл этих двойственных групп гораздо труднее уловить.
После ряда превратностей название «группы когомологий» стало для этих групп стандартным).
Ч Эпиморфизм w каноничен в том смысле, что он не зависит от выбора образующих в Нр.
Отправным пунктом подхода к когомологиям является понятие р-коцепи ср ориентированного комплекса К со значениями в аддитивной ■ абелевой группе G. Это функция, определенная на ориентированных симплексах комплекса К со значениями в G. Записывать ее можно так
(Op) cp = g\
где g — значение коцепи ср на ориентированном симплексе Стр.
Читатель, вероятно, заметил, что, приписав коэффициент g1 к симплексу Стр, мы могли бы определить некоторую p-цепь. Таким образом, между р-коцепями и элементами группы СР(К; G) можно установить некоторое взаимно однозначное соответствие. Но этот факт не дает нам права не отметить разницы между понятиями цепи и коцепи, ибо указанное соответствие зависит от выбора базиса в СР(К). Ситуация здесь полностью аналогична той, с которой мы сталкиваемся в теории векторных пространств. Хотя конечномерное векторное пространство изоморфно своему сопряженному, элементами сопряженного пространства служат линейные функционалы, и существенно, чтобы два этих пространства не смешивались. Так, отображение одного векторного пространства в другое индуцирует контравариантное отображение сопряженных пространств. Еще один решающий аргумент в пользу сохранения различия между понятиями цепи и коцепи нам предстоит найти при изучении бесконечных комплексов (§ 2.11).
Читатель заметит также, что мы не отдаем предпочтения группе / при выборе группы значений для коцепей. В действительности понятие коцепи помогает понять, почему группу J стоит выделить среди прочих групп коэффициентов цепей. В самом деле, каждая коцепь ср однозначно определяет некоторый гомоморфизм Ср (X) —> G по следующему правилу:
2 mtOp—» 2 mi ((йр) ср),
и обратно, каждый такой гомоморфизм однозначно определяет некоторую коцепь. Отождествим ср с гомоморфизмом 2.6.1. Для любой группы А на множестве гомоморфизмов А в G, обозначаемом через Нош (Л, G), можно определить групповую операцию (как в § 1.2):
а (<р + ф) = «ф + аф; а £ А, ф, ф£ Нот (Л, G).
Наделим такой групповой структурой множество Hom (С (К), G) и полученную группу назовем группой р-коцепей комплекса К со значениями в G. Мы будем* обозначать ее через Ср (К; G), а иногда сокращенно через Ср (К) или Ср, если это не вызовет путаницы1). Отметим, что если ср, dp £СР (К; G), то
(ap)(cp + dp) = (op)Cp + (ap)dp.
Часто мы будем писать (ср, dp) вместо (ср) dp, где ср£ Ср (X), dp£СР (К; G), отдавая, таким образом, предпочтение обозначению «скалярного произведения», подсказанному теорией векторных пространств. Тогда (ср, dp)£G, и мы можем назвать (ср, dp) индексом (или произведением") Кронекера цепи ср и коцепи dp (это, конечно, билинейная форма от ср и dp). Пусть 6) — символ Кронекера (6* = 0 при г ^= j, 6* = 1), и пусть ср £ Ср (X; J)—коцепь, заданная формулой
(о*р, ср) = 6)
при всех i. Эта коцепь будет обозначаться через о?1). Очевидно, Ср ^К", J)— свободная абелева группа, причем коцепи of образуют ее базис, сопряженный к базису группы СР(К), состоящему из р-симплексов.
Любая р-коцепь определяется своими значениями на всех р-симплексах. Для каждой (р— 1)-коцепи tZp-1 определим некоторую р-коцепь 6p^1dp~1, или сокращенно 6dp-1, по правилу
(ар, МР'1) = (ард, dp~i).
Коцепь bdp-1 называется кограницей коцепи dp-1. Отображение 6Р-1 сопряжено к др и увеличивает размерность на 1. Оно является гомоморфизмом, так как
(пр, б^г1+бдГ1) = ^ К-1) + ^ И-1) =
= (<7рд, d®"1) + (ард, d^1) =
= (стрд, С1 + dr1) = (Op, 6 ^Г1 + дГ1))-
Итак, 6 — левый гомоморфизм
6 : Ср-1 (&; G)—>CP^K; G),определенный для каждого р. Имеет место-
. Теорема. 66 = 0.
Заметим, во-первых, что, по линейности, из формулы 2.6.4 следует, что
(ср, Мр-г) = (cpd, d^1).
Тогда (стр, 66^р"2) = (Орд, 6dp-2) = (Стрдд, др"2) = (0,dp’2) = 0.]
Теперь мы можем действовать по тому же плану, что и в § 2.3. Коциклы определяются как коцепи с нулевыми кограницами. Они образуют группу Zp ^К; G), подгруппой которой является группа кограниц 5СР-1(К; G) = = ВР(К; G). Факторгруппа Нр (К; G) = ZPIBP называется р-й группой когомологий комплекса К со значениями в G. Если два коцикла zp и z^ определяют один и тот же класс когомологий, то говорят, что они когомологичны, и пишут zf — zp. Класс когомологий коцикла zp иногда мы будем обозначать через {zp}.
. Предложение, р-коцепъ тогда и только тогда является коциклом, когда ее индекс Кронекера с каждой р-границей равен нулю.
Пусть dP — коцикл и Ър— граница; тогда для некоторой цепи ср+1
Ьр = с-р^д•
и
(dp, dp) = (Ср+1д, dp) = (Cp+1, 6др) = (ср+1, 0) = 0.
Обратно, если dp—такая коцепь, что (др, dp) = 0 для каждого ЪР^ВР, то для любого симплекса <тр+1
(Ор+1, 6др) = (<тр+1д, dp) = 0 и, значит, № = 0.]
. Следствие. Если G—группа без кручения (т. е. ее периодическая подгруппа тривиальна), то р-коцепъ со значениями в G является коциклом в том и только в том случае, если ее индекс Кронекера с каждым элементом группы Wp равен нулю.
Доказательство этого утверждения является очевидной модификацией доказательства предложения 2.6.7.] Заметим, что если G = J, то Ср и Ср участвуют совершенно равноправно в определении индекса Кронекера, так что предложениям 2.6.7 и 2.6.8 в этом случае соответствуют двойственные утверждения, получающиеся, если Ср и Ср поменять ролями.
. Теорема. Кронекеровское произведение между элементами групп НР(К) и Нр (К; G) задается формулой
W = ^p, zpy
Существенной частью теоремы является утверждение о независимости определения ^zpy {zp}) от выбора представителей. Б самом деле,
^рд-с^д, zp + dcp-^ = (Zp, ^) + (Ср+1д, Zp + 6Cp-i) + (Zp, дср-^ =
= (zp, Zp) + (cp+l, б^ + бс^Н^, ср^ =
= (Zp, zp) + (cp+i, 0) + (0, ср-^ = ^ *Р)-1
Утверждение 2.6.8 можно выразить иначе, сказав, что если группа G не имеет периодических элементов, то Zp является аннулятором группы Wp. Последнее означает, что (Wp, с') = 0 в том и только в том случае, если ср £ Zp. Можно также показать, что и Wp служит аннулятором группы Zp, но это мы отложим до гл. 5. Очевидным образом можно определить группы Wp (К; G) и ЮНР (К; G) для любой группы значений G, и мы получаем
. Предложение. Если G—группа без кручения, то между элементами групп WHP и ЮНР (К; G) можно определить кронекеровское произведение. ]
Примеры когомологий
Теория когомологий имеет аналоги в других областях математики. Например, если F — поле, то группа цепей с коэффициентами в F образует векторное пространство над F, а группа коцепей со значениями в F представляет собой множество линейных функционалов над этим векторным пространством, т. е. фактически сопряженное к нему векторное пространство. Алгебра гомологий и когомологий во многом похожа на теорию векторных пространств. Однако, когда коэффициенты или группа значений не образуют поля, возникают трудности, связанные с кручением, которых нет в теории векторных пространств.
У теории когомологий есть очень важный аналог. Он дает для коцепей полезное умозрительное, представление. Пусть |А| — отрезок прямой, разбитый каким-нибудь образом на 1-симплексы и 0-симплексы. Будем считать, что он лежит на оси х декартовой плоскости и его концы имеют координаты а и Ь. Произвольная интегрируемая вещественная функция, определенная на [а, Ь], сопоставляет каждому ориентированному подинтервалу отрезка [а, Ь] некоторое вещественное число—интеграл этой функции по рассматриваемому интервалу. В частности, она ставит в соответствие каждому ориентированному 1-симцлексу комплекса вещественное число. Таким образом, каждый интеграл от такой функции устанавливает некоторый гомоморфизм группы Ct (К) в группу вещественных чисел и является, следовательно, вещественнозначной 1-коцепыо на комплексе К.
Вообще удобно представлять себе р-коцепь ассоциированной с некоторым интегралом, принимающим значения в абелевой группе G и определенным на множестве p-цепей комплекса К. Такое представление подсказывает, что должна существовать связь между теорией когомологий и теорией дифференциальных форм на многообразиях !), на которых определена операция, аналогичная операции д. Теория дифференциальных форм и данное де Рамом обобщение, теория потоков, имеют дело только с многообразиями и интегралами, принимающими значения в некотором поле. Однако любой читатель, знакомый с какой-нибудь из этих теорий, найдет теорию когомологий естественной и легкой.
Обычно, когда речь идет о дифференциальных формах и их «кограницах», приводится следующий пример (мы не будем стремиться к тщательному его исследованию; он предлагается лишь для того, чтобы связать понятие кограницы с тем, что достаточно хорошо известно).
Определим, отправляясь от R3, некоторый бесконечный комплекс. Его 0-симплексами являются точки пространства R3; 1-симплексами—дифференцируемые дуги в R3; 2-симплексами—те дифференцируемые образы симплекса s2 в R3, ребра которых также дифференцируемы; 3-симплексами—дифференцируемые образы симплекса s3 в R3, грани которых тоже дифференцируемы. Просим читателя не пугаться причудливых свойств этого так называемого комплекса, ибо наши цели сейчас чисто иллюстративные. Рассмотрим коцепи этого комплекса с вещественными значениями.
Произвольная 0-коцепь—это просто некоторая вещественная функция, определенная на R3; будем говорить, что вещественная функция ф определяет коцепь с° (ф). Каждая 1-коцепь сопоставляет некоторое вещественное число каждой дифференцируемой дуге; таким образом, любое заданное на R3 векторное поле v определяет некоторую 1-коцепь ci (v) по следующему правилу:
(а1; (civ)) = v,
<71
где правая часть является криволинейным интегралом векторного поля v вдоль дуги а1. По заданному на R3 векторному полю w можно также определить некоторую 2-коцепь с2 (w) по следующему правилу:
(o2, c2(w)) — f w,
02.
где справа стоит интеграл по поверхности о2 нормальной составляющей поля w. 3-коцепь с3 (ф) может быть определена вещественной функцией ф так:
2 7.3(о3, с3(ф))= ^ ф,
Оз где правая часть—обычный пространственный интеграл.
Теперь мы выясним, что представляют собой кограницы коцепей, ассоциированных с дифференцируемыми функциями ф и дифференцируемыми векторными полями v, w.
Кограница коцепи с° (ф) определяется так:
(оь дсО(ф)) = (о1д, сО(ф)) = (р1)ф-(ро)ф, где di направлен от р0 к pv Известно, однако, что градиент функции ф, Vф^ образует векторное поле, такое, что
Уф=(Р1) ф— (Ро)ф-
<71
Следовательно, так как для каждого симплекса «и, (а,, дс° (ф)) = (о1, с1 (7ф)), получаем
,дс° (ф) = с1 (7ф) = с1 (grad ф).
Иными словами, кограница 0-коцепи, определенной функцией ф, есть 1-коцепь, определенная полем 7ф.
Рассмотрим теперь 1-коцепь, определенную векторным полем v. Ее кограница удовлетворяет соотношению
(<72, 6с1 (V)) = (O29, d(V))= ^ V.
огб
Но, по теореме Стокса,
v — ^ V X v = (<72, с2 (V х v)).
а^Э ог
Следовательно,
de1 (v) = c2 (V х v) = c2 (curl v) 1).
Таким образом, кограницей 1-коцепи определенной полем v, служит 2-коцепь, определенная ротором v, т. е. полем V х v.
Через curl v здесь обозначается ротор векторного поля v.— Прим, перев.
Наконец, рассмотрим 2-коцепь, определенную векторным полем w. Ее кограница удовлетворяет соотношениям
(о3, 6с (w)) = (o3d, c2(w)) = ^ w.
С*8
Но теорема Гаусса утверждает, что
w= ^ V-w=(a3, c3(V-w)), a3d a3
так что
de2 (w) = c3 (V-w) = c3 (div w).
Иными словами, кограница 2-коцепи, определенной полем w, есть 3-коцепь, определенная полем V-w—дивергенцией поля w.
Следует отметить, что закон дд=О в данном случае соответствует хорошо известным положениям теории векторных полей.
Из этого примера читатель может сделать вывод, что понятие кограничного оператора соответствует весьма естественным понятиям дифференциальной геометрии. Точка зрения, к которой приводит этот пример, может быть уточнена. Де Рам показал, что, рассматривая дифференциальные формы на дифференцируемых многообразиях как «коцепи» и операцию внешнего дифференцирования как «кограничный оператор», мы получаем группы когомологий, изоморфные тем, которые возникают из произвольной триангуляции этого многообразия. Принимая во внимание соответствие, устанавливаемое формулами 2.7.4—2.7.6, соотношение 2.6.4 часто называют обобщенной формулой Стокса.
Остановимся теперь на другом примере, в котором ко-теория естественным образом появляется в геометрическом контексте. Наши рассуждения снова будут носить описательный характер. Однако, привлекая материал последующих глав г), можно было бы сделать их абсолютно строгими.
Пусть К — ориентированный 2-мерный комплекс, 51—ориентированная окружность и у* € S1. Исследуем гомотопические классы отображений полиэдра | К | в 51, строя рассуждения так, чтобы подойти к заключению, что между этими классами и элементами группы Н1 (К; J) есть взаимно однозначное соответствие. Начнем с рассмотрения гомотопических классов отображений пространства | К11 в 51; как всегда, через Кп обозначается n-секция комплекса К. Мы хотим предварительно доказать, что существует взаимно однозначное соответствие между названными классами и элементами из С1 (К; J^/B1^; J), группы классов когомологий 1-коцепей.
Несложное применение теоремы о продолжении гомотопии (1.6.10) показывает, что в каждом классе отображений пространства | К11 в 51 есть некоторое отображение вида / : | К11, IKOj-^-S1, у*. Для каждого такого отображения определим некоторую 1-коцепь су комплекса К1 (и, значит, комплекса К) по следующему правилу: (oj, cj), для каждого oj из К, равно числу, показывающему, сколько раз /-образ симплекса о, накручивается на окружность А1 в положительном направлении. Если j—g : | К11, |К° | —>- —>-А1, у*, то ясно2), что е^±=с^; верно и обратное. С другой стороны, пусть /, g : | К11, | № | —> S1, у* гомотопны как отображения полиэдра | К11 в S1, а образу полиэдра | К0 | разрешается при гомотопии F бродить по А1. Определим тогда некоторую 0-коцепь с^ g. Ее значение (a, с^ g) на произвольной вершине а комплекса К положим равным числу оборотов, совершаемых образом точки а в положительном направлении окружности А1 при гомотопии F. Мы утверждаем, что
6c”fig=ci-ci,.
Пусть Oj—симплекс ab, нам надо установить, что
(Ь, с/, g) —(a, с", g) = (Oi, 4) — (<h. 4).
В этом равенстве утверждается весьма достоверный факт, что число оборотов, которые совершает ot вокруг А1, возрастает при переходе от / к g на число оборотов, описываемых второй вершиной этого симплекса, минус число оборотов, описываемых его первой вершиной по S1.
!) В особенности см. гл. 7.
Из равенства 2.7.7 заключаем, что с/ — eg. Таким образом, каждому гомотопическому классу отображений полиэдра | X1 в S1 ставится в соответствие некоторый элемент группы С1 ^К\ J^B1 (А; /). Далее, для каждой коцепи с1 £ С1 (К; J) существует такое отображение
/:| А1|, | А°|—>51, у*,
что с#=с1: достаточно потребовать, чтобы f накручивало симплекс oj вокруг В1 (о^с1) раз. Если с1 ~ d1 и отображения /, g : | К11, | АО | —>5Х, у* таковы, что c/=ci, cg=d1, то 0-коцепь, кограницей которой служит d1 — с1, позволяет определить гомотопию между / и g. Все эти факты вместе составляют первый шаг доказательства: а именно установлено, что классы отображений полиэдра | К11 в S1 находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами группы С1 (.К; J^B1 ^К; J\
Нас, однако, интересуют классы отображений в В1 полиэдра | К |, а не подполиэдра | К11. Любой такой класс, в силу теоремы 1.6.10, содержит некоторое отображение / : | К |, [ К» | —> 51, у*, а его сужение на | К11 определяет коцепь с1. Мы покажем теперь, что отображение g:|Ai|, | А° | —>51, у* тогда и только тогда можно продолжить до отображения всего полиэдра | К | в 51, когда eg является коциклом. В силу предложения 1.3.3, g в том и только в том случае продолжается на | К |, если его можно продолжить на каждый замкнутый симплекс s^^K. А из утверждений 1.5.5, 1.5.8 и 1.6.6 следует, что отображение g | s2 тогда и только тогда допускает продолжение на s2, когда оно гомотопно нулю. Но отображение s2 —>51 гомотопно нулю в том и только в том случае, если его степень 1)равна нулю. Степень отображения g|s2 равна в действительности ± (02^, cg) = ± (Ог, 6cg). Отсюда следует, что отображение g тогда и только тогда можно продолжить до отображения всего полиэдра '| К |, когда eg является коциклом.
Полученные выше результаты позволяют, естественно, отобразить множество гомотопических классов отображений пространства | К | в 51 на множество элементов группы Zi (А; 7)/51 (А; /) = № (А; У). Это отображение в действительности взаимно однозначно. В самом деле, пусть с/ — c'g, где t, g'. | А | —> 51; тогда приведенное нами ранее рассуждение показывает, что f | | К11 = g | К1|. Особое свойство окружности 5г (а именно что все отображения сферы 5 в 5х гомотопны нулю) означает, что тогда 1 — g. Этим завершается набросок доказательства того, что если комплекс К двумерен, то гомотопические классы отображений | А | в В1 находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами Я1 (А; У).
На самом деле это утверждение справедливо для комплексов произвольной размерности (поскольку высшие гомотопические группы 51 исчезают), причем устанавливаемое соответствие можно так обогатить, что оно будет алгебраическим изоморфизмом. Для этого надо множество гомотопических классов рассматриваемых отображений наделить групповой структурой, которую индуцирует структура мультипликативной группы комплексных чисел, по модулю равных единице, заданная на 51.
Относительные гомологии и когомологии
Описанные нами теории можно было.бы назвать теориями абсолютных гомологий и когомологий комплекса в противоположность относительной теории, принадлежащей Лефшецу, в которой рассматриваются пары, состоящие из комплекса К и его подкомплекса Ко.
Пусть ср — какая-нибудь цепь комплекса Ко; очевидно, ее можно рассматривать и как цепь комплекса К. Однако часто бывает важно различать, считаем ли мы ср цепью в Ко или в К. Так, например, в зависимости от этого приобретает разный смысл утверждение «цепь ср является границей». Когда нам нужно будет подчеркнуть это различие, мы будем обозначать цепь ср в смысле «цепь на К» через срХ. Точнее срХ—это цепь комплекса К, в которой при симплексах из Ко стоят те же коэффициенты, что и в цепи ср, а коэффициенты при остальных симплексах комплекса К равны нулю. Следовательно, X является мономорфизмом
К-.Ср^^-С^Ку,
при этом образ группы Ср (Ко) является прямым множителем в Ср (К). Обозначим через д° граничный оператор в Кй.
. Теорема. Хд = доХ.
Это немедленно следует из того, что каждый подкомплекс замкнут: вместе с любым своим симплексом комплекс Ко содержит и все его грани. Следовательно, для любого о^К0, од—цепь комплекса Ко, откуда и вытекает утверждение теоремы.] Может показаться, что теорема 2.8.2 тривиальна, однако ее значение фундаментально. Б ней устанавливается, что X, в терминологии гл. 3, является цепным отображением. Из теоремы 2.8.2 сразу следует (впрочем, это интуитивно ясно), что отображение X переводит циклы в циклы и границы в границы; таким образом, X индуцирует некоторый гомоморфизм
Хе:Нр(К0-)->Нр(К).
Вообще говоря, гомоморфизм X* не мономорфен — вот и награда за кажущийся педантизм в различении групп Ср (Ко) и Ср (Ко) X. Желательно, чтобы читатель попытался описать гомоморфизм X*, не привлекая отображения X.
Обратите внимание, что все сказанное до сих пор верно при любой группе коэффициентов. Мы не будем останавливаться на этом и предоставим читателю провести те формальные изменения в предшествующих и последующих утверждениях, которые нужны для такого обобщения.
Пусть
р : СДТ^)СД/<0)
—гомоморфизм, сопоставляющий каждой цепи Ср^Ср^К) ту цепь срр из Ср (А^о), в которой при симплексах из Ко стоят те же самые коэффициенты, что и в цепи Ср. Тогда ясно, что если dp g Ср (Ко), то с/рХр = йрили
Хр = 1.
С другой стороны, вообще говоря, рд°^=др. Однако из соотношений 2.8.2 и 2.8.5 мы получаем, что
,д° = Мр.
Полезно также рассматривать множество тех симплексов комплекса К, которые не попали в подкомплекс Ко. Оно покрывает некоторое открытое подмножество полиэдра |АГ|, и потому естественно называть это семейство симплексов открытым подкомплексомг) К mod Ко. Под p-цепью открытого подкомплекса К mod Ко мы будем понимать произвольную линейную комбинацию р-симплексов комплекса К, не вошедших в Ко. Каждая такая p-цепь, очевидно, определяет некоторую p-цепь комплекса К, а именно p-цепь с теми же самыми коэффициентами при симплексах, не принадлежащих подкомплексу Ко, и с нулевыми коэффициентами при симплексах из Ко. Б то же время p-цепь комплекса К определяет p-цепь на К mod Ко, а именно p-цепь с теми же коэффициентами при симплексах, лежащих вне) Ко. Таким образом, мы имеем гомоморфизмы
а : Ср (К mod Ко) Ср (К),
р : Ср (К) -> Ср (К mod Ко),
связанные соотношением
ар = 1.
. Предложение. Ср (К) = Ср (Ко) К © Ср (К mod К^ а, Хр = О, ар = О, р^ + ра = 1.]
Мы хотим превратить К mod Ко в «комплекс», определив в нем граничный оператор. Для этого необходимо оператор д несколько изменить, так как грани симплекса, принадлежащего К mod Ко, могут лежать в Ко.
Положим
Ид = adp : Ср (К mod Ко) -> Ср^ (К mod Ко).
Таким образом, если ср g Ср (К mod К^, то срд— это та часть границы цепи ср, которая лежит вне комплекса Ко.
. Теорема, дд = 0.
В самом деле, дд = adpadp = ад (1 — рХ)dp=
= аддр — адр^др = addp — адрд°Хр = 0.]
Советуем читателю запастись менее формальным доказательством.
. Теорема, рд = др.-
Иборд = радр = (1 — рХ) др = др— рд°Хр = др.]
Таким образом, гомоморфизм р коммутирует с граничными операторами и, значит, переводит циклы на К в циклы на К mod Ко, а границы в границы. Таким образом, р индуцирует некоторый гомоморфизм
^-Нр(К)->Нр(КтойКо).
С другой стороны, вообще говоря, ад^да. Рассмотрим гомоморфизм
-v = ад^ : Ср (К той Ко)Сp-t (Коу
Действие гомоморфизма v состоит в следующем. Пусть ср £ Ср (К mod Ко); будем считать ср цепью комплекса К и возьмем ее границу; оставим, наконец, лишь те симплексы этой границы, которые лежат в Ко- Это и есть срм.
Теорема. vd°=—dv.
Ибо vd° = adpd0 = adpXdp = ad (1 — pa) dp = — adpadp = — dv.]
Снова советуем читателю вооружиться менее формальным доказательством. Очевидно, знак минус в доказанном соотношенииг) не влияет на справедливость заключения, к которому мы стремимся; а именно, гомоморфизм v переводит циклы в циклы, границы в границы и индуцирует, : аким образом, гомомофизм
v* : Нр (К mod Ко) -»(Ко).
Иногда вместо v* мы будем писать д*.
Отметим, что если ср £ Ср (К mod Ко) и с)>р = ср, то Ср — сра = СррХ, так что Cpdp — срм = CpPXdp = CpPd0.
Значит, получить (zp) v* можно следующим образом: каким-нибудь образом продолжить zp до цепи на К, применить др и взять соответствующий класс гомологий. Выбрать подходящую цепь ср на К, для которой срц = ср, позволяет гомоморфизм а. Иногда саму цепь сра мы будем считать цепью на К mod Ко, тем самым отождествляя группу Ср (К mod /Го) с Ср (К mod К^а; иногда мы будем также отождествлять группу Ср (Ко) с ее образом Ср (Kg1) X.
Гомоморфизмы Х„, ц*, v* играют фундаментальную роль в теории гомологий. Следующий пример дает читателю наглядное представление о гомоморфизмах ц* и V*.
Пусть комплекс К состоит из шести замкнутых 2-симплексов (как на рис. 2.4), а Ко — заштрихованный подкомплекс.
Пусть $p^Zp^Ky Тогда жрц—относительный цикл на /Г mod .Ко- Если жр служит границей цепи сР+1, то жр|1 (часть цепи жр, лежащая на К mod Ко)
Рис. 2.4.
ограничивает цепь ср+1ц в КтобК0. Значит, класс гомологий цикла a-p|ui зависит только от класса гомологий цикла хр.
Пусть zp £ Zp (.К mod Ко). Границей zp, как цепи комплекса К, служит цепь ур-1 = грд, лежащая на Ко и образующая там, в действительности, цикл. Если цикл zp ограничивает некоторую цепь К mod Ко, скажем zp — = ер+1д, то разность zp—ер+1д является цепью комплекса Ко игрд = (гр—ер+1д) д, так что цепь Ур-^ ограничивает в Ко; более точно: Ур-^ — dpdo, где dp = = Zp—ер+1д. Значит, класс гомологий цикла yp_t зависит только от класса гомологий цикла zp и zp—*ур-^ индуцирует v*. Описывая механизм данного примера, мы на самом деле обсудили общий случай, так как на рисунке просто отождествлены описанные в общих терминах цепи с конкретными цепями начерченного комплекса. На самом деле, следуя по этому пути, можно прийти к совершенно точному определению гомоморфизма v*. Однако мы предпочли представить его как гомоморфизм, индуцированный некоторым явным отображением группы цепей.
Можно было бы повторить теперь все рассуждения этого параграфа, с некоторыми изменениями, для когомологий. Мы укажем только, какие нужно сделать изменения, и сформулируем результаты. Те результаты теории когомологий, которые соответствуют определенным результатам из теории гомологий, будут снабжаться, как у Стинрода и Эйленберга [16], тем же номером, что и последние, с добавлением буквы с.
Пусть А и В — произвольные абелевы группы. Положим
А’ = Hom (A, Gy В* = Нот (В, Су
где G—фиксированная абелева группа, и пусть ф:А —>В — некоторый гомоморфизм. Гомоморфизму <р соответствует тогда некоторый гомоморфизм ф":В"—>А', описываемый формулой
(я, ф'д") = (mp,d*), а^А, Ъ*^В\
Мы пишем (а, ф‘6‘) вместо а(ф'&") и (аф, Ь") вместо (аф) Ь", так как в основном нас будет интересовать случай, когда А та В являются группами цепей, а А" и В" — группами коцепей. Обратите внимание и на то, что ф’ мы записываем как левый оператор. Говорят, что гомоморфизм ф" сопряжен к ф, и обозначение ф* будет употребляться только в этом смысле. Однако кограничный оператор мы продолжаем обозначать через 6, хотя 6 = 5".
. Предложение. Если ф : А—>В, ф : В—> С, то (фф)" = ф"ф".
Ибо если а^А, с ^С\ то-
(а, (фф)" с') = (афф, с*) = (аф, ф’с") = (а, ф'ф’с').]
. Предложение. Если ф = {фр}—множество гомоморфизмов фр"- С р—> Dp, где {Ср}, {Dp} — группы цепей, и если фд = дф, где д —граничный оператор в Ср или Dp, то ф"6 = 6ф*.
Ибоф"6 = ф"д" = (фд)" = (дф)‘ = д"ф" = 6ф'.]
В этом предложении утверждается, что сопряженное к цепному отображению является коцепным отображением (см. гл. 3). Здесь мы затрагиваем понятия, связанные с цепными и коцепными отображениями лишь в той степени, в какой это необходимо для обсуждения гомологий и когомологий пары (К, Ко).
Теперь ясно, что все результаты 2.8.1 — 2.8.17 можно перевести на язык когомологий. Напомним, что
Ср (К; G) = Нош (Ср (К), G), Ср (Ко; G) = Hom (Ср (KQ), G).
Подобным образом, мы полагаем-
Ср (К mod Ку, G) = Hom (Cp (К mod Ko), G).
Будем писать фр вместо фр, 60 вместо д0-, 6 вместо д". Итак, 60—это кограничный оператор
60:Ср(К0; G)->Cp+i(Ky, G),
и 6 — кограничный оператор.
с5 : Ср (К mod Ку, G) -> Ср+1 (К mod Ку, G\
Имеем левые гомоморфизмы:
сК:СР(К; G^->Cp(Ky, G),
с^:Ср(Ку, G}->CP(K; G),
са-.Ср(К; G) -> Ср (К mod Ку, G),
с(Г: Ср (К mod Ку, G^->CP(K; G),
связанные соотношениями
сГр’ = 1,
са"ц" = 1,
с СР(К; G) = ^Cp(Ky, G) © рСр (К mod К0; G),
Х'ц'= 0, а’Р‘=О, р*Х" 4- ц'а' = 1.
6 Заказ № 1335
Нуждается в комментариях здесь только представление группы Ср (К; G) в виде прямой суммы. Конечно, его можно проверить и непосредственно, однако если группа В является прямым слагаемым группы А, то Нот (В, G) можно вложить как прямое слагаемое в Нот (4,6). Для этого достаточно взять композиции гомоморфизмов В—>G с гомоморфизмом проектирования А —» В.
с. Теорема. У6 = 60Х'.]
с. Теорема. р"6 = 6р".]
Эти соотношения вытекают из предложения 2.8.20. Они означают,, что X' индуцирует
с •X*: Нр (К; G) -> Нр (^0; G)
и ц' индуцирует
сц* :НР {К mod К»; G)-^HP(K; G).
Рассмотрим гомоморфизм
сV* = а'бр": Ср (Ко- G) -» С№ (К mod К», G).
с. Теорема. v"60=—dv’.]
Таким образом, гомоморфизм v* индуцирует некоторый гомоморфизм v* : Нр (AV> G) —> Я№ (К mod KQ; G). Чтобы получить v* {zp}, надо каким- нибудь способом продолжить коцепь zp до коцепи на всем комплексе К,. применить к последней гомоморфизм а"6 и взять класс когомологий полученной коцепи (это повторяет, с очевидной поправкой, наши рассуждения: в теории гомологий по поводу vj.
Обычно мы не будем столь скрупулезны в перенесении результатов; и понятий с гомологий на когомологии. Однако на этой стадии мы будем выделять свойство сопряженности. Советуем читателю обдумать ab initio определения введенных нами различных сопряженных гомоморфизмов. Укажем, например, что X" сужает коцепи на К до коцепей на симплексах комплекса Ко, а ц" продолжает коцепи с К mod Ко на К, придавая им значение 0 на симплексах из Ко. Иногда мы будем отождествлять- группу Ср (К mod Ко; G) с ее образом при гомоморфизме ц", а группу Cp^K0;G) — c ее образом при р*. Стоит отметить, что открытый подкомплекс является в некотором смысле более удобным для теории когомологий понятием, чем замкнутый подкомплекс. На это указывает теорема 2.8.13с: кограница коцепи на К mod Ко не изменится, если рассматривать эту коцепь как коцепь на К.
Б заключение параграфа докажем теорему о вырезании) для комплексов. Пусть Ко (J К^К, и пусть открытый .подкомплекс TTmod^ удален, или вырезан, из комплекса К. Тогда j^mod^o f] Kt) = К mod KQ, откуда.■
2.8.21Cp (^ mod (Л"о П ^i)) = CP (K mod Ko).
2 8.22. Теорема. Если Ko, Kt — такие подкомплексы комплекса К, что Ко U К^К, то Яр (К, mod (.ЙГ0 0 K1)) = Hp(<KmoaK0).
В силу 2.8.21, достаточно показать, что граничные операторы в A!mod(A0 П Кл) и A mod Ао совпадают. Эти операторы есть с^д1^1 и адр, причем имеет место диаграмма
Ср (Kt mod (Ко П At)) = Ср (К mod К^
Ср^)Дср (К)
Р1Р
Ср-№XСр-^К)
р1р
Ср-! (К! mod (Ао П AJ) = Ср-! (К mod Ао).
Теперь, cdX = а, так как действие каждого из гомоморфизмов а1^ и а на цепь ср на К mod Ко состоит в том, что мы начинаем рассматривать ср как цепь на всем комплексе К с нулевыми коэффициентами при симплексах из Ао. Так как At—замкнутый подкомплекс комплекса К, то Хд = = д1Х; далее, Хр = рг, так как действие гомоморфизмов Хр. и р1 на цепь Cp-t комплекса Kt состоит в сужении ее до цепи на AmodAo. Заключаем отсюда, что а^р.1 = адр.]
2.8.22с. Теорема. Н^ (А1 mod (Ао П К^; G) = Нр (К mod Ао; G).]
§ 2.9. Точные последовательности
Гомоморфизмы X*, р*, v* (2.8.3, 2.8.14, 2.8.17) определены для всех целых чисел р. Значит, можно описать некоторую последовательность групп и гомоморфизмов
... -Д Яр (Ко)-Р-Яр (А)-Р-Яр (A mod А0)Д Яр-1 (Ао)-Р- ... .
Эта последовательность играет фундаментальную роль в теории гомологий; она называется гомологической последовательностью пары (А, Ао). В неисполненном случае она заканчивается следующим Образом:
... Яо (Ао) Р Яо (А) Д Яо (A mod Ао) -^ 0;
а в пополненном — так:
... Яо (А*) Р Яо (А+) Д Яо (A mod Ао) Д H_t (А+) Р Н_х ^ -> 0,
т. е. все последующие члены — нули. В действительности, если только комплекс Ао не пуст, обе последовательности заканчиваются на Яо (A mod Ао). Ибо тогда и комплекс К тоже не пуст, и цепь «т^ ограничивает как в А*, так и в А+, так что A_t (А+) = H_x (А+) = 0.
Установим решающее свойство последовательности 2.9.1, а именно то, что она точна. Напомним (§ I. 2), что последовательность групп и гомоморфизмов
называется точной на Gt, если ядро гомоморфизма фг совпадает с образом группы Gi+1 при гомоморфизме фг+1, и называется точной, если она точна на каждой группе G, (кроме первой и последней).
Прежде чем переходить к доказательству точности последовательности 2.9.1, обратим внимание на некоторые интересные следствия этого свойства.
Ф;+1<Р;<Рг_1
Предложение. Пусть последовательность Gi+l>С$ —>Сг_х>
> Gis точна. Тогда следующие утверждения равносильны", (а) фг+1— эпи- мофизм; (б) q>; = 0; (в) ср,-!—мономорфизм.
Ибо q>/+1 эпиморфно в том и только в том случае, если q^ (0) = Сь т. е. q)z = 0. Далее, q); = 0 тогда и только тогда, когда q)^ (0) = 0, т. е. когда q^-j —мономорфизм.}
Следствие. Пусть последовательность С^2 —‘-^С^—1-,-Сг—> 4*iф4—1
—> G^>Gt_2 точна, и пусть Gt = 0. Тогда <рг_1—мономорфизм, и q)z+2 —
эпиморфизм.
Ибо (р,=0 и фг+1 = 0.}
Следствие. Пусть последовательность 0—->4 —>В—»0 точна. Тогда q)— изоморфизм.]
Теорема. Гомологическая последовательность *)2.9.1 точна.
Прежде чем приступать к доказательству, заметим, что на самом деле эта теорема является частным случаем гораздо более общего результата, доказанного в гл. 5). Однако мы все же приведем здесь доказательство теоремы 2.9.7 ради полноты (и для того, чтобы можно было ею сразу воспользоваться). Доказательство будет проведено на неформальном языке в том смысле, что будут производиться те отождествления, о которых мы говорили в предыдущем параграфе ).
Для доказательства точности последовательности ... —> Gm> Gt
—>Gi-v—> ... на Gt надо установить два включения, а именно: Gi+1q)i+1 ^ Sqi1 (0) и qij1 (0) s Gt+1q)Hv Включения первого типа доказываются обычно легко; доказать включения второго типа, как правило, труднее.
Доказательство точности последовательности 2.9.1 мы разобьем сначала на три части: (а) точность на Нр (Ко), (б) точность на Нр (К) и (в) точность на Нр (К mod К^. Каждая из них подразделяется затем еще на две части* в соответствии со сказанным выше.
Точность на Нр^Кйу Имеем
Н^ (К mod К^ ^ Пр (Ко) ^ Нр (К).
Пусть zp+1 £ Zp+1 (К mod Ко); тогда {zp+1} v# является классом гомологий цикла zp+1d на Ко, a {zp+1}v*A*—классом гомологий цикла ср+1д на всем комплексе К. Значит, {zp+1} v#X# = 0 и
Нр^ {К mod Ко) v# G X;1 (0).
Обратно, предположим, что {zp} g Нр (КД и {zp} Х# = 0. Тогда zpX является границей некоторой цепи ср+1 на К, zph = ср+1д, причем ср+1 — цикл на К mod Ко, такой, что {ср+1} v# = {zp}. Следовательно,
Х'^^еН^ (К той К^ v*.
Точность на НР(К). Имеем
Нр (Ко) -^ Нр (К) ^ Нр (К mod Кау
Так как Ар = 0, то, очевидно, и А#ц# = 0; значит,
НР(КО) ^^(О).
Обратно, предположим, что {zp} £ Нр (К) и {zp} р* = 0. Тогда
ZpP = cp+1d, cp+l£Cp+1(K modH0).
Отсюда zp — ср+1д g Ср (Ко) и в действительности gZp(K0). Следовательно,
'(zp} = {zp —Ср+1д}еЯр(Ко) А#,
так чтоц;1 (0) с Нр (Ко) А*.
Точность на Нр (К mod Ко). Имеем
■Нр (К) ^ Нр (К mod Ко) ^ Нр_, (Ко).
Пусть ^р^Нр(Ку Тогда {zp} p#v# — класс гомологий комплекса Ко, содержащий Zpd, т. е. {zp} p#v# = 0. Значит,
Hp^^s <(0).
Обратно, предположим, что ^ур^ Нр (К той Ко) и {i/p}v# = 0. Тогда цепь урд является границей некоторой цепи ср на Ко: урд = сД, ср£Ср(К0). Тогда ур — cp£Zp(K) и {ур — ср}р# = {уД. Таким образом,
^^еНр^К^Д
Обратите внимание, что в приведенном доказательстве мы не делали никаких ограничений на значение индекса р, указывающего размерность, так что последовательность 2.9.1 точна вплоть до нижней размерности. Так как последовательность представляет интерес только в случае непустого комплекса Ко, можно представлять, что для пополнейного комплекса К* ее конец выглядит так:
• -. -> Но (К+) Ъ Но (К+) ^ Но (К mod Ко) -> 0.
2.9.7с. Теорема. Последовательность,
(Ко; G) <—Нр (К; G) 4-№ (KmodK0; G) <-Н?"1 (Но; G) .
является точной последовательностью.]
Настойчиво советуем читателю провести доказательство самостоятельно. Отметим, что Н-1 (К+; G) = 0, если только комплекс К не пуст. Ибо если с"1 есть (—1)-коцепь, определенная формулой (о..,, с-1) = g, то для каждой вершины а комплекса К, (a, 6c-1) = g, так что с-1 является коциклом в том и только в том случае, когда g = 0. Значит, Z-1 (К*; G) = 0. Отсюда вытекает, что если ни комплекс К, ни комплекс Ко не пусты, то последовательность 2.9.7с начинается так:
,..^Н° (Ко; G) ^1 Н° (К; G) ^ Н° (К mod Но; G)0
ИЛИ
... Я0 (К*; G) ^ Н° (К*; G) ^ Н° (К mod Ко; G) 0.
Теорема 2.9.7 фигурирует в качестве аксиомы в аксиоматической теории гомологий Эйленберга и Стинрода [16]. Там и в большинстве других книг относительные группы гомологий обозначаются через Нр^К, Ко) (аналогично относительные группы когомологий— через Нр (К, Ко- G)); мы также примем на будущее эту укороченную форму записи. Отметим, что гомологическую последовательность 2.9.1 можно определить для любой группы коэффициентов G; доказательство ее точности формально при этом не изменится.
Группы гомологий некоторых конкретных комплексов
В этом параграфе мы вычислим некоторые группы гомологий и когомологий. Точная гомологическая последовательность будет одним из инструментов при этих вычислениях.
Пусть Ко—комплекс и К — Ко— конус над Ко с вершиной а. Если Ко ориентирован, то его ориентацию можно продолжить на К, если условиться считать аа° . .. ар ориентированным симплексом комплекса К, когда а0 ... ар—некоторый ориентированный симплекс комплекса Ко. При этом мы пишем
о = ат,
где т = а° ... ар, а = аа° ... ар. Обозначение 2.10.1 можно очевидным способом распространить на группу цепей комплекса К с коэффициентами в абелевой группе G. А именно мы пишем
Cp+j — udp,
где dp = ^gtXp, Хр£К0 и ср+1 = 2 gi (атг) Е Cp+i (К; G). Из 2.10.1 тогда получаем
од = х— а (тд),
и, более общо,
' (adp) 8 = dp — a(dp8).
. Теорема. Если К —некоторый конус, то для всех р
■Нр (К*; G) = 0 и Нр (К+; G) = 0.
Любая цепь ср^Ср(К*; G) единственным способом представляется в виде
ср = adp-! + ер,
dp-^Cp-^Kt-tG), ePe-Cp(K+0;G).
Если р = 0, то dp_1 = gQ_1 для некоторого элемента g^G и ao_t = а (это согласуется с обозначением о_1 = 1). Если р= —1, то dp_1 = 0. Тогда если Ср — цикл, то’
v 0 = Срд == (айр-,) д + ерд = dp_v — a (d^.d) + ерд.
В силу единственности разложения 2.10.6, заключаем, что йр_!4-ер9 = 0 (и dp_td = 0). Значит, (аер) д = ер — a (epd) = ер + adp^ = ср, и цикл ср является границей. Этим доказано, что Нр (К*; G) = 0 для всех р.
Утверждение, что Нр (К+; G) = 0, доказывается аналогично. По заданной коцепи dp £ Ср (А+; G) мы определяем коцепь adp £ CP+1 (А+; G) следующими соотношениями:
с(ор+1, adp) = 0, ар+1^А^,
(атр, adp) = (тр, dp), тр £ К*,
и затем проверяем, что1) 8(adp>) = ~a(80dp),
с8dp = 8adp-\-adp, dp £СР (К^; G);
.здесь коцепь dp отождествляется с fVdp £ Ср (А+; G). Исходя из разложения коцепи ср £ Ср (А+; G),
сcp = adp-x-Vep1
где dp~x^ С^1 (А+; G), ер £СР (К^; G), проводим доказательство так же, как и в гомологическом случае. Детали доказательства оставляем читателю.]
Доказанный результат сформулирован в терминах пополненного комплекса. Можно было бы, конечно, установить его и для непополненного комплекса, однако последняя формулировка была бы значительно менее удобна.
. Следствие. Если, К — конус над Ко, то
^:НР(К, Ко; О^Н^К*; G^v* : H»"1 (Kt; G) ^ Hp (K, Ko; G).
Это следует из рассмотрения точных последовательностей и следствия 2.9.6.]
. Следствие. Пусть L — некоторый комплекс, Lo— его подкомплекс и а — вершина, не зависящая от вершин комплекса L. Тогда
Пр (L, Lq, G) ^ Нр (L* U aL0; G),Нр (L, Lo; G) ^ Нр (L* U aLa; G).
Можно представлять себе, что комплекс L U аЬ9 получается из L в результате построения конуса над Ь9. Если комплекс L реализован в Rm, то можно взять вершину а £ 7?m+1 — Rm.
Положим L (J aL9 = K, аЬ9 = К9. Тогда st (а) является открытым подкомплексом комплекса К, лежащим в К9. По теореме вырезания 2.8.22, этот подкомплекс можно удалить из А и К9, не повлияв на гомологии относительного комплекса К mod К9. Но А — st (а) = L, К9 — st (а) — Lo, так что'
Яр (А, Ао) = Яр (A, Lo).
Применяя утверждение 2.9.6 к точной гомологической последовательности пары К, Ко, получаем НР(К, Ко)^ НР(К+). Значит,
Яр (L, Lo) ^ Яр (А+) = Яр (L+ U aLyY
Подобным же образом доказывается соответствующее утверждение для когомологий.]
В доказательстве этого следствия мы не указывали ни группы коэффициентов, ни группы значений. Договоримся всегда поступать так, если
т) Напомним, что б0 — операция взятия кограницы в Ко.
соответствующие группы произвольны. Конечно, теорема 2.8.22 имеет место для произвольных групп коэффициентов.
Понятие соединения можно расширить, определив его для любых двух комплексов К и L без общих вершин. Можно также обобщить очевидным образом тот прием, посредством которого мы, исходя из произвольной ориентации комплекса L, вводили некоторую ориентацию в комплекс aL, и определить ориентацию соединения KL через ориентации комплексов К и L. Читатель сам легко сформулирует точные определения.
. Теорема.
Нр ($дЬ+; G) ^ Hp_q (L+; GY IF (sqL*; G) ^ Я™ (M; G).
Пусть sr, O^r^^, ■—некоторый симплекс b°b1..,bT. Заметим, что Sq-t U FSq-^ = Sq, ТЭК ЧТО
(sq-i U ^Sq-H L* = SqL+.
Значит, можно применить следствие 2.10.8 (комплексы L, Lo, К, К» заменяются здесь соединениями sq-xL, Sq-^L, sqL, Fsq-xLY Тогда
Нр (SqlF) 5= Нрк Sq-lF Sq-^LY
Ясно, что sq-t L — некоторый конус, поэтому из точности гомологической последовательности пары ^Sq-^L*, Sq-tlF) следует, что
Up (Sq-lF Sq-^U) == Нр_^ (Sq-jlF), откуда
Hр (SqL+) ~ Нр_г ^Sq-^L^Y
Можно повторить это рассуждение, заменив q на q—1. Продолжая действовать таким образом, мы в конечном счете докажем, что Нр (sqL+) ^ ^Hp_q(s0L*Y Но $0 — пустой комплекс, так 4tos0L+ = L+. Этим гомологическая часть теоремы доказана. Когомологическая часть доказывается аналогично.]
. Следствие. Нр (sq) = 0, рч^Ч— 1;
' Hq-M^J*. НЧ4) = 0, p^q-F H^(s^=J-
Пусть L — пустой комплекс. Тогда
H_^L^ = H-4L^=J-, H^IF^IF^^, п^-^Д
Для любого симплекса sq комплекса К его звезда st sq является в обобщенном смысле, соединением симплекса sq с некоторым пополненным подкомплексом К* комплекса К*. Ко называется зацепленным с симплексом sq подкомплексом комплекса К. Тогда st (sq) = sqK0, и если через st(sg)-обозначить st (sg)— st (sg), то st (sqy = sqK0. В терминах группы относительных гомологий
Hp^SqY ^{SqY)
можно определить важные локальные свойства1) полиэдра |А'|.
!) См. § 3.7.
Так как sqK0 является конусом, из точности гомологической последовательности пары (st (sq), st (sg)") и теоремы 2.10.9 вытекает
. Следствие. Нр (st (sq), st (sq)") ^ Hp_q_v (A,).J
Итак, локальные гомологические свойства полиэдра | К | «вблизи симплекса sq» определяются абсолютными гомологическими свойствами зацепленного комплекса.
Гомологии и когомологии в бесконечных комплексах
Для бесконечного комплекса К мы определим конечные p-цепи, или p-цепи, на К с коэффициентами в G как конечные линейные комбинации ориентированных р-симплексов комплекса К с коэффициентами в G. Обозначим получающуюся группу через СР(К; Gy, вместо СР(К; J) договоримся писать просто Ср(Ку Как и в случае конечного комплекса, СР(К) является свободной абелевой группой, свободно порожденной ориентированными р-симплексами комплекса К.
Ясно, что формула 2.2.7 задает некоторый граничный оператор
д-.Ср ^К; G^CP_^K-, G),
для которого 55 = 0. Значит, можно определить группы ZP(K; Gy ВР^К; Gy НР(К', G) так же, как для конечных комплексов. Группа НР^К; G) называется р-й группой гомологий комплекса К с коэффициентами в G.
Естественно теперь определить Ср ^К; G) как группу Нот (Ср (A'); Gy Назовем Ср (А; С) группой р-коцепей комплекса1') К со значениями в G. Важно отметить, что элементами группы Cp (A; G) являются бесконечные коцепи, т. е. коцепи, принимающие ненулевые значения на бесконечном множестве р-симплексов. Ясно, однако, что группы Ср и Ср находятся в отношении сопряженности друг к другу. Определим оператор
6 : Ср (К; G) -» С»*1 (К; G), как сопряженный к 5, т. е. удовлетворяющий условию
* (ср+1, бср) = (ср+15, ср), ср+1 ^Ср^К), cp^Cp^K;G);
мы получаем группы Zp (К; G), Вр (К; G), Нр (К; G). Группа Нр (К; G) называется р-й группой когомологий комплекса К со значениями в G.
Все рассуждения этой главы распространяются и на так определенные гомологии и когомологии бесконечных комплексов. Например, для целочисленных классов гомологий и когомологий определяется их кронекеров- ское произведение, выделяются классы слабых гомологий и когомологий. Всю теорию можно строить и для относительного случая, в частности получаются точные гомологическая и когомологическая последовательности. Можно рассматривать, наряду с комплексом А, соответствующий ему пополненный комплекс А+.
Естественно задать вопрос, не ведут ли к некоторой теории гомологий и бесконечные цепи? Не рассматривая его в узком классе симплициальных комплексов, мы в следующем параграфе обратимся к более общему классу
!) Иногда мы будем говорить о коцепях на К.— Прим, перев.
объектов, называемых клеточными комплексами. Результаты этого параграфа применимы к симплициальным комплексам, и только что определенная теория гомологий для бесконечного симплициального комплекса •совпадает с теорией гомологий «первого типа» в терминологии следующего параграфа. В то же время один из его результатов показывает, что для общего бесконечного симплициального комплекса имеется и другое множество групп гомологий и когомологий «второго типа»; эти группы отличны от групп, определенных в этом параграфе
. Абстрактные клеточные комплексы)
До сих пор мы придерживались той точки зрения, что каждый комплекс описывает некоторое топологическое пространство, называемое его полиэдром. Однако в случае бесконечного симплициального комплекса сначала был определен комплекс и лишь затем с его помощью был построен некоторый геометрический объект. Мы обобщим теперь ■ понятие (абстрактного) симплициального комплекса, определив понятие абстрактного клеточного комплекса; с таким комплексом не будет связываться никакого топологического пространства. Однако мотивы рассмотрения такой структуры лежат, конечно, в возможности ее применения к геометрическим ситуациям, в частности к таким ситуациям, в которых то, что понимается под клетками, не является симплексами. Например, пространство может быть разбито на кубы вместо симплексов, или, более общо, — на блоки или куски, замыкания которых состоят из блоков меньшей размерности, в свою очередь соответствующих клеткам. Удобно, кроме того, в переходе от сим- плициальных комплексов к теории гомологий исключить промежуточный этап и рассмотреть клетки абстрактного клеточного комплекса как обобщение ориентированных симплексов ориентированного симплициального комплекса. Дадим теперь точное определение.
Абстрактный клеточный комплекс—это семейство К объектов ^, называемых абстрактными клетками. Каждой клетке £ сопоставляется некоторое число р, называемое ее размерностью; когда мы хотим точно указать размерность клетки, будем обозначать ее через £р. На множестве К задано некоторое отношение порядка -< (мы говорим, что клетка £ является гранью клетки £', если | -< |'), и для каждой пары клеток £, £' последовательных размерностей определено целое число [£, |'], называемое коэффициентом инцидентности. Объекты, отношение порядка и коэффициенты инцидентности удовлетворяют следующим аксиомам:
АК 1: < является строгим частичным упорядочением (см. § 1.3);
АК 2: из Xp<X'<i и Bp^gg следует, что p<q;
АК 3: для каждой пары клеток 5, £" имеется лишь конечное множество таких клеток |', что £-<£'-< £";
АК 4: из [ВР, ^р+1] ^ 0 следует, что ^ < ^t;
АК5: для каждой пары ^_„ Ц+1, 2 [Bp-i, BpHSp, ^+i] = 0.
Заметим, что аксиомы АК 3 и АК 4 обеспечивают конечность суммы в АК 5. Для того, чтобы получить некоторую теорию гомологий на каком-нибудь бесконечном комплексе, надо подходящим образом выбрать группу цепей. Аксиомы, в которых фигурирует отношение о гранения —<, позволяют осуществить такой выбор; при этом аксиома АК 5 гарантирует нам, что «33=0». Если, кроме того, потребовать, чтобы сумма, стоящая в АК 5, была конечна, то можно было бы определить на К некоторое ■отношение -<', полагая t,p-<' ^р-рр если [£р, ?p_|_J + 0, и продолжая его далее по тран-
зитивности. Так, определенное отношение порядка -<' может, однако, не совпадать с исходным отношением огранения, так как соотношение [£р, 5p+il=0 может выполняться даже тогда, когда клетка gp служит гранью клетки ^.щ.
Система сформулированных только что аксиом занимает промежуточное положение по отношению к системам аксиом Таккера [Tucker, An abstract approach to manifolds, Ann. Math., 34 (1933), 191] и Лефшеца (Lefschetz, Algebraic Topology, ch. 3). Нечто новое вносит аксиома АК 3, аксиома конечности высечения. Она не так ограничительна, как таккеровское условие общей конечности. Однако наша система аксиом уже системы аксиом Лефшеца. Впрочем, ни один интересный случай, по-види- мому, ею не теряется: охвачены и звездно-конечные и замкнуто-конечные комплексы (Лефшец).
Нам представляется, что аксиома АК 2 не играет никакой роли в последующих рассуждениях. Она включена лишь потому, что ей удовлетворяют все представляющие геометрический интерес клеточные комплексы.
Подкомплекс абстрактного клеточного комплекса К — это такое подсемейство Ко его клеток, что для каждой пары £, V £К0 из £-<£'-<£" следует, что |' бК0. Ясно, что каждый подкомплекс удовлетворяет аксиомам АК 1-5.
Звездой st £ произвольной клетки ^.^К называется множество всех клеток £' из К, для которых £ -< V- Замыканием клетки £, с! |, называется множество всех таких клеток |', что ^ В-
Предложение, st £ u с! £ являются подкомплексами.]
Мы говорим, что Ко является открытым подкомплексом комплекса К, если для каждой клетки ^£К0, stg s Ао. Подобным же образом Ко называется замкнутым подкомплексом комплекса К, если для каждой клетки В£А0, сЦ^А0. Конечно, всякая звезда stg является открытым подкомплексом, а замыкание клетки cl | — замкнутым подкомплексом. Дополнение замкнутого (открытого) подкомплекса открыто (замкнуто).
Предложение. Пересечение любого множества подкомплексов является подкомплексом.]
Предложение. Объединение и пересечение любого множества открытых (замкнутых) подкомплексов является открытым (замкнутым) подкомплексом. ]
Читатель, вероятно, заметил, что термин «подкомплекс» в применении к клеточному комплексу имеет более широкий смысл, чем тот же термин в применении к симплициальному комплексу. Все подкомплексы последнего замкцуты. Подкомплекс st^ П cig', вообще говоря, не открыт и не замкнут. Если £-<£', то st ^ П cl ^' — это так называемое высечение, определенное клетками £ и £' (Таккер). Аксиома АК 3 гарантирует, что все высечения конечны. Разумеется, подкомплекс st^Qclt' пуст, когда клетка g не является гранью клетки £'.
Клеточный комплекс К называется звездно-конечным, если для каждой клетки ^,^К, st^—конечный комплекс; подобным же образом К называется замкнуто-конечным, если с! | — конечный комплекс. Если клеточный комплекс К одновременно звездно-конечен и замкнуто-конечен, то говорят, что он локально-конечен. Симплициальный комплекс всегда замкнуто-конечен, но не обязательно - звездно-конечен; этот факт ведет к некоторому нарушению двойственности в теории бесконечных симпли- циальных комплексов. *
Пусть L — симплициальный комплекс и Lo — какой-нибудь его подкомплекс. Тогда совокупность ориентированных симплексов из L mod Lo ■образует клеточный комплекс. Этот комплекс открыт и замкнуто-конечен, но, вообще говоря, не является симплициальным комплексом. Приведем теперь пример не замкнуто-конечного клеточного комплекса.
Рассмотрим на евклидовой плоскости с координатами ж, у бесконечную полосу 0<г/<1. Ориентировав ее положительно, поставим ей в соответствие некоторую 2-клетку g2- Далее, с каждым целым числом п ассоциируем 1-клетку t", изображаемую интервалом п < х < п-\-1, у=0, направленным от п к п-|-1, и некоторую 0-клетку gg, изображаемую точкой (п, 0). Отношения инцидентности и коэффициенты инцидентности подсказываются здесь геометрической картинкой. Построенный комплекс К соответствует полосе 0<^г/<1. Очевидно, К звездно-конечен, ноне замкнуто-конечен, так как Л"=с1 |2—бесконечный комплекс.
Вернемся теперь к вопросу о построении теории гомологий абстрактных клеточных комплексов. В качестве СР(К; G) возьмем группу линейных комбинаций р-клеток комплекса К с коэффициентами в G — здесь допускаются и бесконечные линейные комбинации (таким образом, CP(K;G) является прямым произведением в теоретико-групповом смысле); Ср (К; G) мы определим как группу функций, определенных на р-клетках комплекса К со значениями в G. Граница клетки определяется формулой
2.12.42.12.4W = 2 [^-ыШр-ы8р-1£КW = 2 [^-ыШр-ы8р-1£К
2.12.4
2.12.4
W = 2 [^-ыШр-ы
8р-1£К
W = 2 [^-ыШр-ы
8р-1£К
таким образом, 8— некоторая функция, определенная на множестве р-клеток комплекса К со значениями в Cp_v (К; J).
Нельзя, вообще говоря, распространить 8 на всю группу СР^К; G) — для этого следовало бы уметь осуществлять в G бесконечные суммирования. Более того, если комплекс не замкнуто-конечен, то нельзя ограничиться рассмотрением только конечных цепей, так как граница конечной цепи будет, вообще говоря, бесконечна. Значит, можно действовать двумя способами: либо расширить группу конечных цепей так, чтобы получилась группа, замкнутая относительно 8, либо так уменьшить группу бесконечных цепей, чтобы можно было для всех элементов определить 8.
Носитель ср цепи ср мы определим как Ц с! |р, где объединение берется по всем клеткам £р, при которых в ср стоят ненулевые коэффициенты. В силу предложения 2.12.3, ср является замкнутым подкомплексом комплекса К. Из аксиомы АК 4 вытекает, что
РесЦ
для каждой клетки Х^К-
Определение. ср называется цепью первого типа, или глобальноконечной цепью, если пересечение ее носителя ср с каждым открытым- замкнуто-конечным подкомплексом комплекса К конечно.
Поскольку с^ — Ср с ср [J Ср, цепи первого типа образуют группу Ср* (К; G). Если комплекс К замкнуто-конечен, то тело | ср । любой его глобально-конечной цепи ср конечно. Таким образом, группа С^ (К; G) совпадает с группой конечных цепей комплекса К. Любой бесконечный симплициальный комплекс замкнуто-конечен, и для любого такого комплекса группа С^ (К; G) совпадает с группой цепей из § 2.11.
Определение. ср называется цепью второго типа, или локально конечной цепью, если ее носитель ср звездно-конечен.
Эквивалентно цепь ср локально-конечна, если конечен (или пуст), кащдый комплекс ср () st £ для любого £ g К. Ясно, что цепи второго типа образуют некоторую группу Ср' (К; G). Если комплекс К звездно-конечен, каждая его цепь ср локально-конечна, так что Ср'(К; G) = СР (К; G). Если
К — бесконечный симплициальный комплекс, то ср является цепью второго типа в том и только том случае, если ее тело |ср| локально-конечно.
Предложение. Ср’ (К; G) С^ (К; G).
Для любой цепи ср, если ^ср, то cpHst^=0. Предположим, что ср£Ср’ (К; G) и В,£ср. В силу аксиомы АКЗ, комплекс st £ замкнуто-конечен, так что подкомплекс Ср() st £ конечен и, значит, ср^Ср’^К; G)J
Очевидно, цепь ср8 определена для любой цепи ср£Ср’(К; G), так как никакая клетка ^„j не может быть гранью бесконечного множества клеток 5Р 6 Ср. Более того,
Срд с ср.
Отсюда следует, что и группа С'р и группа Ср’ замкнуты относительно 8. Если теперь Ко— открытый замкнуто-конечный подкомплекс комплекса К, то ясно, что комплекс cl £ П Ко Для любой клетки ^.^К конечен. Значит, ^рд £ С^ (К; J), и можно снова применить 8. Коэффициентом при клетке £р_2 цепи ^88 служит 2 [Вр-2, В!»—11 [Вр-1,= О, так что £,р88 = 0.
1
Теорема. Граничный оператор д является гомоморфизмом
8 : С^ (К- G), С^ (К; G) C^h (К; G), C^h (К; G), причем 88 = 0. ]
Теперь мы можем определить циклы, границы и группы гомологий двух типов; соответствующие группы гомологий будут обозначаться через Н^ (К- G), Н1»’ (К; Gy
Определение коцепей двух типов двойственно определению двух типов цепей. Носителем ср коцепи ср^Ср(К; G) называется U st |р, где объединение берется по всем клеткам ^р, для которых (^р, ср) ^ 0.
. Определение. Коцепь ср называется коцепью первого типа, или локально-конечной коцепью, если комплекс ср замкнуто-конечен.
. Определение. Коцепь ср называется коцепью второго типа, или глобально-конечной коцепью, если пересечение ее носителя ср с каждым замкнутым звездно-конечным подкомплексом комплекса К конечно.
Группы коцепей этих двух типов будут обозначаться через Ср ^К\ G) и С^^К; GY Тогда
Ср (К; G) г С^п (К- G) з С^ (К; G).
Если комплекс К замкнуто-конечен, то Ср (К; G) = С^ (К; G). Если А' звездно-конечен, то С(2)(А; Gy—группа конечных коцепей. Если К — бесконечный симплициальный комплекс, группа С^) (К; G) совпадает с группой коцепей, определенной в § 2.11; группа С^ (К; G) даже в этом случае не допускает простого описания.
Можно определить индекс Кронекера произвольного элемента группы Ср^ (К; J) с произвольным элементом группы Сщ(К; G). В самом деле, пусть Ср = 2 waBp! тогда определение (ср, ср) = 2 та (£“, ср) имеет смысл, аа
когда Ср Q ср конечно. Для любой коцепи ср £ С^) ее носитель ср является открытым замкнуто-конечным подкомплексом. Поэтому если ср^Ср\ то подкомплекс ср^ср конечен. В действительности Срц {К; J) — множество всех р-коцепей, для которых определен индекс Кронекера с элементами из Ср^^К; J), и обратно. Аналогичные утверждения имеют место, конечно, для цепей и коцепей второго типа. В частности, индекс Кронекера (|р-цд, ср) определен, если ср £ С<\) (К; G) и мы определяем коцепь 6ср формулой
tw, cp)=aP+i, бср).
Легко доказать, что бср с ср, отсюда
6С^ (^; G) г С^1 (К; G).
Таким образом, мы можем определить коциклы, кограницы и группы когомологий двух типов. Соответствующие группы когомологий обозначаются через НТт^К\ GY НргДК; G\, при этом определено кронекеровское произведение произвольного элемента целочисленной группы гомологий какого-либо типа на произвольный элемент группы когомологий того же типа.
Упражнения
Пусть К—конечный комплекс и д^ д2, ...—его матрицы инцидентности; каждой его целочисленной p-цепи ср = 2тЩр можно сопоставить вектор-строку т= =(т1,т2'...), а каждой целочисленной р-коцепи dP, принимающий при каждом i значение
(
П1 \
. I . Запишите граничную и кограничную операции
в матричной форме и, отправляясь от этой записи, докажите, что
(ср, ЫР) = <срЭ, dv).
Что препятствует определению цепей, границ, ...и коцепей, кограниц ,..., если коэффициенты и значения брать не из абелевой группы, а из произвольной группы?
Распространите разумным образом определения кронекеровского произведения
на цепи и коцепи, коэффициенты и значения которых берутся из некоторого' кольца R,
на цепи с коэффициентами в Jp и коцепи со значениями в Jq так, чтобы это произведение было элементом группы JT, где r = (p, д)—наибольший общий делитель чисел р и q.
Комплекс К состоит из 10 замкнутых 2-симплексов: аОа^а3, а°а3а, a»a2ab, а°а2а4, а^аДаА, оДа2а3, а2а3а4, а3а4а5, аДаЛа5, а1а2а5; его подкомплекс Кд состоит из трех замкнутых 1-симплексов: а4а3, а3а5, ala5. Проверьте, что К, Кд является триангуляцией пары Р2, Р1 (где Р2 и В1 —проективные пространства размерностей 2 и 1).
Вычислите группы и гомоморфизмы, возникающие в точных последовательностях (гомологической и когомологической) пары К, Кд, когда в качестве коэффициентов и значений берутся целые числа.
Докажите, что индуцированные этими последовательностями последовательности гомоморфизмов групп слабых гомологий и когомологий не являются точными.
Триангулируйте следующие подмножества в R3, каждое из которых является объединением двух кусков | Ki | и | Кг |. Вычислите группы гомологий этих триангуляций:
l^il={(“i, “2, “з) II “11+ [ “2 1 = 1 и м3=0},
I ^2 |={(“1, “2, “з) I I “11 < 1 и u2=u3=0};
(^ ! = {(«!, “2, “з)П“1| + |“2| + |“з1 = 1}>
I к2 | = {(“1, “2, из) I I “1 I < 1 и u2 = u3=0};
|-К1| = {(“1, “2, “з) I I “1 |+| “2, + 1 “з! = 1},
|К2| = {(“1, “2, “з)П“1| + |“21<1 И и3 = 0}.
Подкомплексы Ко, Ki, Кг комплекса К таковы, что Ki U К2=К[-а Ki П К2 = К0. Символы Хо4, pOi, voi имеют тот же смысл, что и X, р, v из § 2.8 применительно к паре Kt, Ко; аналогично символы X, р4, v4 относятся к паре К, Кр, через i обозначается отождествление группы Ср (К mod КО с группой Ср [К2 mod Ко) из доказательства теоремы 2.8.22 i). Гомоморфизмы ф, %, Ф
Фх Ф
Ср [К^ Ср [КО ф Ср [КО Ср [К) Cp_i [Ко) определяются следующим образом:
с°ф = (с°Х01, —с°Х02) при всех с° £ Ср [КО,
(d, с) x=dXi + c2X2 при всех d С Ср [Kt), с2 6 Ср [К2),
сф=ср11ф02при всех с 6 Ср [К).
Докажите, что ф, х, ф индуцируют такие гомоморфизмы ф*, х*, Ф*, что последовательность
Ф*ф#х*ф*<р*
•.. Ир [Ко) -» Нр [КО ф Нр [Кг) Нр [К) Hp_i [Ко)
точна. [Эта последовательность называется аддиционной последовательностью триады [К; Ко К2)2).] Проверьте с помощью этой последовательности результаты вычислений упр. 6.
Пусть А, В — группы (не обязательно коммутативные), тогда на множестве Т [А, В) всех преобразований t: А —>- В можно определить операцию умножения
at02=[at0 [at2) для всех а^А.
Докажите, что множество Т [А, В) становится при этом группой и что его подмножество Нош (А, В), состоящее из гомоморфизмов А в В, не будет, вообще говоря, подгруппой этой группы (сравните с упр. 2).
Дайте формальное доказательство теоремы 2.9.7с, т. е. точности когомологической последовательности.
Проведите полностью доказательство теоремы 2.10.5.
И. Дан комплекс ^ и в нем подкомплексы К2, Кз, такие, что К2 ZD К3. Символы а44, X44, р44, V44 имеют тот же смысл, что и а, X, р, v из § 2.8, применительно к nape К,, Kj. Рассмотрим гомоморфизмы Е, 1], 9
$е
Ср [К2, К3) Ср [Ki, Кз) Ср [Ki, К2) -> Cp_i [К2, Кз),
определенные формулами
g =023X12^,13,
■q = ai3p,i2,
6 = vl2[i23.
Докажите, что гомоморфизмы g, tj, 6 индуцируют такие гомоморфизмы g*,T]*, 9* соответствующих групп гомологий, что последовательность
9*В*"ц*9*В*
Нр(К2, К3) Нр№, к^ Нр(Къ к^ Нр(К2, к^ ...
■ точна.
[Эта последовательность называется гомологической последовательностью тройки К2; Кз).]
Постройте изоморфизм у : Сп (К) = Нп (К’\ Кп~1), где через №, как обычно, обозначается />-секция комплекса К.
Докажите, что ду = у0*, где гомоморфизм 9* определяется, как в упр. 11, по тройке (К"; Kn~i; К"-^.
Что отвечает этим результатам в теории когомологий?
{g} и {ц}—множества клеток клеточных комплексов 'М и IV соответственно. Клеточные комплексы M-Nn МXN — соединение комплексов М и IV и их произведение — определяются следующим образом. Клетками каждого из них служат пары (g, ц), причем и в M-N, и в М х N, (g, ц) -^ (g', ц') в том и только в том случае, если g ^ g' и я-< ф. В M-1V размерность клетки {gp, цд} полагается равной р + д + 1, в MxN той же клетке приписывается размерность p-Vq. Коэффициенты инцидентности задаются формулами
К^р, П), (^р-рр Я)] = [^р, Sp+J
и
К^р, Яд), (^р, П^_р1)] = ( l)d [Я?, 4g_j_J>
где с? = р+1 для M-N, и d=p для MxN.
Проверьте, что M-N и MxN удовлетворяют аксиомам клеточных комплексов и что
Я^( (M-N) — Н^ЧМх№),г = 1,2.
Докажите также, что если Н^ (N) = 0 при всех г, то
Н^ (М • IV) = О и Н^ (М х N) = О при всех г.
Каждый ориентированный симплициальный комплекс К очевидным образом определяет два клеточных комплекса М (К) и М (К+), таких, что
НТ (К) = Н^ (М (К)) и Нт t,K^ е Н^ (М (К+))
при всех г. Докажите, что если К, L — ориентированные симплициальные комплексы, то клеточный комплекс М (К+уМ (L+) изоморфен клеточному комплексу М (А + • £+).
Пусть К, а0 и L, Ь° — ориентированные симплициальные комплексы, в каждом из которых отмечено по вершине; докажите, что М (Л+) х М (L+) содержит в качестве подкомплекса
М^М (К^ X М (Ь0+)) J (М (аО+) х М (£+))
и что Н^ (М1)=0 при всех г.
Считая М (К) х М (L) подкомплексом комплекса М {К+) X М (L^), проверьте, что комплекс М0 = М1 р[ (М (К)Х М (£)) изоморфен комплексу М (К \/L), где К V L — результат отождествления в К (J L вершин аО и Ъ°.
Докажите, что
Нти (K+.L^ = HW (М (К) х М (L), Мйу
3
ЦЕПНЫЕ КОМПЛЕКСЫ
Цепные и коцепные комплексы
Каждый ориентированный симплициальный комплекс) определяет для каждой размерности р некоторую группу цепей Ср и некоторый граничный гомоморфизм 8 : Ср-^- Cp_v Последние служат материалом для получения групп гомологий и когомологий. Мы сосредоточим теперь внимание на этих чисто алгебраических понятиях.
Определение. Цепким комплексом С.—{СР, др} называется семейство абелевых групп Ср, взятых по одной для каждого целого числа р, и таких (правых) гомоморфизмов др;Ср Cp_v что дрдр.л = О для каждого р.
Дадим двойственное
. Определение. Коцепным комплексом С" = {СР, ёр) называется семейство абелевых групп Ср, взятых по одной для каждого целого числа р, и таких (левых) гомоморфизмов бр : Ср СРИ, что бр+1бр = О для каждого р.
Обычно мы будем писать С вместо С., а гомоморфизмы др, 6Р часто будут обозначаться через д, 6.
Ясно, как можно определить группы гомологий Нр (С) цепного комплекса С; пусть Zp или Zp^), p-я группа циклов, является ядром гомоморфизма др, и Вр или Врф), p-я группа границ,-—образом при гомоморфизме др+1; тогда Вр является подгруппой абелевой группы Zp, и мы полагаем Нр (С) = Zp/Bp. Группы Нр (С‘) определяются аналогично; когда из контекста ясно, что речь идет о коцепном комплексе, мы будем иногда опускать верхнюю точку и писать Нр (С). Читатель, вероятно, обратил внимание, что для каждого ориентированного комплекса К и произвольной группы G коэффициентов или значений мы получаем (см. § 2.2 и § 2.6) некоторый цепной комплекс С ^К; G) и некоторый коцепной комплекс С" (К; G); причем
Нр ^К; G) = Нр (С (К; G)), Нр (К; G) = Нр (С* (К; G)).
Подкомплекс (более точно, цепной подкомплекс) цепного комплекса С —это некоторое семейство) С". таких подгрупп Ср ^ Ср, что Срд s С®.,.
Значит, само семейство С” также является цепным комплексом. Когда мы хотим рассматривать этот комплекс независимо от С, граничный оператор в нем будет обозначаться через д°.■
Пусть дан цепной комплекс С и его подкомплекс С”; тогда можно рассмотреть семейство С. групп СР = СР/СР и гомоморфизмов др : Ср —^Cp_v
заданных соотношением
[Ср] Эр = [Срдр], где через [ср] обозначается тот класс смежности из Ср mod Ср, который содержит ср. Гомоморфизм др определен корректно, так как Срд s С^ (т. е. комплекс С° устойчив относительно д) и Эрдр-^ = 0. Цепной комплекс С={СР, др} называется факторкомплексом комплекса С по модулю комплекса С°, и мы можем писать С=С!С°.
Аналогичные понятия связываются с коцепными комплексами, однако здесь имеет место перестановка обозначений. Если С" — некоторый подкомплекс комплекса С", то через б мы обозначим кограничный оператор в С* и через б0—кограничный оператор в факторкомплексе С’а = С’/С’.
Если Кй—подкомплекс комплекса К, то С (Л"о; G) является цепным подкомплексом цепного комплекса С ^К; G) и факторкомплекс С (К; G)/C (Ао; &) изоморфен цепному комплексу С (К mod Ко; G). Менее очевидна ситуация в случае когомологий; коцепной комплекс С" (К mod Кй; G) является коцепным подкомплексом коцепного комплекса С* (К; G), и факторкомплекс
С" (К; G)/C* (К mod К^; G)
изоморфен коцепному комплексу С* (Ао; &)• Эта явная перемена ролей объясняет перестановку обозначений; позднее в этом параграфе она будет пояснена.
Как и в случае любой алгебраической структуры, нам придется иметь дело с преобразованиями, сохраняющими эту структуру. Структура цепного (или коцепного) комплекса включает в себя (а) размерность индекса последовательных групп, (б) групповую структуру этих групп и (в) граничные гомоморфизмы.
Определение. Цепное отображение ф цепного комплекса С в цепной комплекс D есть множество (правых) гомоморфизмов фр : Ср—> Dp, связанных соотношением1) фрдр = дрфр-1.
Аналогично определяется неценное отображение; гомоморфизмы фр пишутся при этом слева. Вместо фр или фр мы будем часто писать просто ф.
Предложение. Ядро цепного отображения ф:С—>О является подкомплексом комплекса С; образ при отображении ф является подкомплексом комплекса D.
Ядро отображения ф определяется как семейство С^, ядер гомоморфизмов ц>р:Ср—>Вр. Если с^Ср, то сдф = сфд = О, так что сд^С®^ и, значит, С° является подкомплексом комплекса С.
Образ при ф—это семейство D®p образов при гомоморфизмах фр:Ср-^ Dp. Если d^Dp, то d = «p для некоторого элемента сРСр и
dd = ефд = сдер,■
так что dd^D”^ и, значит, D0 является подкомплексом комплекса £>.] Коядро отображения ф—это факторкомплекс DID° = DIC^>.
Пусть С°—подкомплекс комплекса С. В этом случае имеет место некоторое инъективное цепное отображение i : С° —> С, которое вкладывает каждую группу С", в Ср. Имеет место и некоторое цепное отображение проектирования / :С—>С, которое проектирует каждую группу Ср на Ср/Ср.
х) Там, где можно не опасаться путаницы, мы употребляем символ д для обозначения граничного оператора в любом из рассматриваемых цепных комплексов.
Заметим, что последовательность
3.1.53.1.5О —> С° С —> С ОО —> С° С —> С О
3.1.5
3.1.5
О —> С° С —> С О
О —> С° С —> С О
точна в том смысле, что при каждом р точна последовательность
О С°р X СрО С°р X СрСр 0.Ср 0.
О С°р X Ср
О С°р X Ср
Ср 0.
Ср 0.
Если цепное отображение ф : С —» D отображает С° в D°, то мы будем писать
3.1.63.1.6Ф : С, С0-^ D, D0.
3.1.6
3.1.6
Предложение. Каждое цепное отображение ср : С, C°—>D, D0- индуцирует цепное отображение ср : С—> D по правилу: [с] ср = [сер], cgC.
Заметим сначала, что [сер] зависит только от [с], так как C°tp ^ D0.
Пусть теперь с £ Ср, так что [с] g Ср. Тогда
[с] бф = [сб] ф = [сбф] = [сфб] = [Сф] б = [с] фб,
и, значит, ф—цепное отображение.] Можно переписать доказанное утверждение в виде некоторой коммутативной диаграммы цепных отебражений:
0-^С°Лс^>С-»0
3.1.83.1.8I ф° I ф |ф
3.1.8
3.1.8
0 D°X D X
где ф°—цепное отображение, индуцированное отображением ф.
Пусть Zp, Вр-—группы p-циклов и р-границ цепного комплекса С. Цепной комплексJ) Z = {Zp, 0} является подкомплексом комплекса С, а цепной комплекс В = ^Вр, 0} является подкомплексом комплекса Z. Соответствующий факторкомплекс будет обозначаться через В* (С); он состоит из групп гомологий Нр^С) цепного комплекса С). Цепное ото- бражение В* (С) —-> В* (D)—это просто некоторое множество гомоморфизмов Нр (С) —» Нр (D).
Теорема. Каждое цепное отображение ц>:С—>В индуцирует гомоморфизм
Ф* : H^C^B^DY
Если q>:C—>D, ф : D —> Е — цепные отображения, то фф—также цепное отображение, причем (фф)* = Ф*ф*.
Пусть 2gZ(C) и (z)— класс гомологий цикла з. Тогда и зф является циклом, так как зфб = збф = О. Мы полагаем {z} ф# — {зф} и предоставляем читателю проверить, что таким образом определяется некоторый гомоморфизм ф* : В. (С) —> В* (D). Как и при доказательстве более специальных утверждений 2.3.1, 2.8.3 и 2.8.14, все дело в том, что ф отображает циклы в циклы, границы в границы и, следовательно, порождает некоторый гомоморфизм ф* факторгрупп.
!) Здесь 0 обозначает нулевой гомоморфизм.
Далее, фф—цепное отображение, так как фрфр— гомоморфизм СР—^ЕР и ффд = срдф = дфф. Более того,
{z} ФА = {гф} Ф* = {гфф} - {z} (Ф,ф)„
что завершает доказательство.]
Рассмотрим специальный случай цепных отображений i и j. Мы имеем гомоморфизмы i* : Н* (С°)—>#* (С), j* : Н* (С) —> Н* (С), совпадающие с гомоморфизмами ^ и ц„ § 2,8, когда С = С(К; G), С° = С (Ко; G). Одна общая теорема из гл. 5 позволяет нам из точности последовательности 3.1.5 сделать вывод о точности соответствующей ей гомологической последовательности. Все эти утверждения имеют аналоги в теории когомологий.
Точно так же как группы коцепей симплициального комплекса можно рассматривать как группы гомоморфизмов групп целочисленных цепей этого комплекса в группу значений, так и для любого цепного комплекса С и произвольной группы значений G может быть определен ассоциированный или сопряженный коцепной комплекс. Для абелевых групп Л, В через А (ф> В мы обозначаем) группу Нот (Л, В), соответственно через С ^ G—ассоциированный с С и G коцепной комплекс. При этом (С (ф) G^ = = Ср (ф) G, и кограничный гомоморфизм бр описывается формулой
(^р+1, брср) = (ср+1 ^р+и cP), Cp+i € Cp+i, сР € Ср (ф| G;
мы обозначаем здесь индекс Кронекера, как и в гл. 2. Как и в рассмотренном там частном случае, гомоморфизм бр сопряжен к гомоморфизму др+1, и мы имеем 6р+16р = 0, так что С ^ G—коцепной комплекс. Привлечем также введенное в гл. 2 понятие сопряженности отображений. Если ф : С—> —> D — цепное отображение, то отображение ф' : D ^ G —> С ^ G, заданное формулой
(Ср, ф‘йр) = (срф, dp), Ср^Ср, dpEDp(^G, является, как читатель может проверить сам, коцепным отображением. Это коцепноз отображение и называют сопряженным к ф. Имеет место соотношение (фф)" = ф’ф’. Когда можно не опасаться недоразумений, мы будем писать С" вместо С ^ G. Тогда ф", а значит, и ф индуцируют некоторое коцепное отображение ф* : Я* (D ) —> Я* (С‘).
Есть преимущества алгебраического характера в том, чтобы рассматривать С как прямую сумму ^ Ср вместе с заданным на ней эндоморфизмом д, понижающим размерность (илд степень) на 1 и подчиненным условию дд = О. Элементы из С в этом случае—это цепи или конечные суммы 2 ср, где ср £ Ср; элементы, принадлежащие какому-нибудь Ср, называются однородными. Такая группа С называется также дифференциальной градуированной группой^. Группы циклов, границ и группы гомологий также градуированы—каждая из них является прямой суммой подгрупп элементов фиксированной размерности. Эквивалентно этому, каждый коцепной комплекс можно рассматривать как некоторую дифференциальную градуированную группу, дифференциал которой поднимает размерность на 1. Однако пусть читатель обратит внимание, что С ф G не является группой гомоморфизмов С в G. В самом деле, такой гомоморфизм является элементом неограниченной прямой суммы, или прямого произведения, Ц Ср ф С: он представляется, вообще говоря, лишь в виде бесконечной суммы однородных элементов группы С ф G. На языке функторов соответствие С —>- С ф G является контравариантным функтором из категории цепных комплексов в категорию коцеп- ных комплексов). Если бы мы захотели рассматривать С как группу, нам пришлось бы изменить категорию и тем самым изменить и функтор ф G.
Рассмотрим точную последовательность 3.1.5 о->с°ЛсЛс->о.
Ее аналогом в теории когомологий является точная последовательность 3.1.5с0 Dg — D‘ J- Ь* 0.
С другой стороны, последовательность 3.1.5 влечет посредством перехода к сопряженным коцепным комплексам последовательность
0С0' £- С1 С* ^0,
где С°* = С° ^ G, C' = C(^G, С" = С ^ G. Заметьте, что 3.1.11 не всегда точна на С0*, хотя, как легко доказать, она точна на С’ и С’. Например, если CP = J, CP = 2J ^J и G — J, то не каждый гомоморфизм 27 —» 7 может быть продолжен до гомоморфизма 7—>7, так что отображение ip не эпиморфно. Однако, когда Ср—прямое слагаемое в Ср при каждом р (ситуация, с которой мы сталкиваемся, когда Кй является подкомплексом комплекса К, Ср = Ср ЦС), Ср = Ср(Коу), последовательность 3.1.11, очевидно, точна и на С0'. Таким образом, имеет место
Предложение. Последовательность 3.1.11 точна на С* и С"; если С° — прямое слагаемое в С, то эта последовательность точна и на С0'.]
В соответствии с этим, когда С° является прямым слагаемым в С, С" можно считать подкомплексом комплекса С", а С0' — его факторком- плексом. Это объясняет, почему в 3.1.5с подкомплекс коцепного комплекса D* мы обозначили через Ь", а соответствующий факторкомплекс комплекса D* — через DJ.
Заключительную часть утверждения 3.1.12 можно выразить, сказав, что в указанных предположениях С0' ^С„ =С"#С"; тргда последовательность 3.1.11 по существу совпадает с последовательностью 3.1.5с для пары (С, С"). Более того, если ф : С, C°—>D, D°—цепное отображение, индуцирующее цепное отображение ф : С —> Ь, то ф" : Ь" —>С" получается сужением области определения цепного отображения ф" : D"—>С", а фактор- отображение ф0" : D"/Ь" —»С'/С' совпадает, когда комплексы С° и D0 являются прямыми слагаемыми в С и D, с коцепным отображением Ф0’ : D0- -^-С?\ сопряженным к цепному отображению ф° диаграммы 3.1.8.
В последующих параграфах этой главы мы не раз будем ссылаться на эти факты.
Примеры цепных комплексов и цепных отображений
Пусть К — ориентированный комплекс и а—его ориентация. Тогда определены группы его цепей СР(Д; G) и коцепей
№ G) = C“(K)rhG.
Получающиеся из образованного этими группами (вместе с д и 6) цепного и коцепного комплексов группы гомологий и когомологий есть в точности группы гомологий комплекса К. Если ориентация комплекса К индуцирована некоторым упорядочением его вершин со, то соответствующие группы цепей и коцепей будут обозначаться через Ср (К; G) и С^ (К; G). Цепной комплекс, р-й цепной группой которого служит С“(К; G), будет
обозначаться через С“(^; G); соответствующий коцепной комплекс — через С» (К; G) или С“ (К) (f) G (последнее обозначение будет употребляться, если мы хотим подчеркнуть, что рассматриваемый коцепной комплекс сопряжен к цепному комплексу С“(2Г)). Для любых двух ориентаций а, р комплекса К имеет место некоторый цепной изоморфизм (2.3.1)
9“3 : Са (К; G) -» Ср (К; G).
Мы опишем теперь другой метод построения цепного комплекса из произвольного симплициального комплекса. Этот метод имеет фундаментальное значение в теории и приводит, как будет доказано, к тем же самым группам гомологий. Пусть К — симплициальный комплекс (не ориентированный). Конечный упорядоченный набор [а*о . . . а1?] вершин комплекса К называется допустимым в том и только в том случае, если на эти вершины натянут некоторый симплекс комплекса К. Заметьте, что в допустимых наборах разрешаются повторения; набор [aVaVa3] допустим, если на вершины а1, а3, а8 натянут в К треугольник. Мы определим сейчас цепной комплекс СЙ(К; G), называемый тотальным цепным комплексом комплекса К, с коэффициентами в G. СЙ^К\ G) — группа всех линейных комбинаций допустимых наборов длины р + 1 с коэффициентами в G, а гомоморфизм др : СЙ (К; G) —> Cp_t(K; G) определяется по линейности следующим правилом1): ■
[а{о . . . aS] др = 2 (— 1)* f^0 • • • ь=о
Соответствующая часть доказательства теоремы 2.2.5 показывает, что дрдр-^О. Коцепной комплекс, ассоциированный с СЙ(К), обозначается через Cq ]К; G) или СЙ (К) G.
Пусть 9“ : Ср (#) С“ (^) — гомоморфизм, определенный следующим правилом:
[^о ... aS] 9“ =[^о ... aS] 9“ =0, если не все вершины аго, ..,, aS различны, аго ... aS в противном случае.
[^о ... aS] 9“ =
[^о ... aS] 9“ =
3.2.2. Предложение.3.2.2. Предложение.6“ является цепным отображением*
3.2.2. Предложение.
3.2.2. Предложение.
Нам надо доказать, что 9“д = д9“_1. Очевидно, это соотношение выполняется для набора ]аго .. . aS], если все входящие в него вершины различны; более того, 9“d = d9“_i = 0, если число различных вершин этого набора меньше р. Остается рассмотреть случай, когда этот набор состоит ровно из р различных вершин. Предположим, например, что ali = a?k. Тогда [а’о . . . aS] 9“ = 0 и
[аго . .. агр] д = (— I)3 [аго . .. а+ . .. аг£] + (— l)ft [аг° ... а?к ... aS] + с,
где с — сумма (с коэффициентами ± 1) наборов с повторяющимися вершинами. Значит, с9“-1 = 0 и
[а^ . . . aS] д9“_! = (-l^Vo ...aS ... aS + ^ — l^aS ... а+ ... aS;
Ноа
аг« ... a?k ... aS^^ — l^-3-^а?» ... а+ ... aS,
Г) Можно определить также и СИ(А'+); С?! (А+) порождается, пустым .набором и [aio]d+ = [ ].’
так что [аго .. . а’р] 60“~i = 0. Тем самым предложение доказано для всех случаев.]
Будем говорить, что ориентированный комплекс К является упорядоченным комплексом, если его ориентация индуцируется некоторым упорядочением его вершин. Вершины симплекса упорядоченного комплекса всегда будут записываться в заданном порядке.
Пусть К — некоторый упорядоченный комплекс с упорядочением о. Рассмотрим отображение
^:С® (К)-^С^(К),
заданное формулой а1» ... агр0р = [аго ... а’р].
. Предложение. 0ю— цепное отображение, и 0“0“ = 1.]
Отсюда и из теоремы 3.1.9 следует, что
0“0“ = 1 : Я“ (К; G) st Н® (К; G).
Один из основных результатов настоящей главы состоит в том, что 0®0“ = 1 : НаДК; G^H^K; G),
даже если 0“ 0"’^ 1. Читатель понимает, что данные определения комплекса Са (К) и отображений 0°, 0“, равно как и высказанные нами на их счет утверждения, могут быть очевидным образом перенесены на относительный случай, но мы не будем этого делать. Аналогичные предложения имеют место также и для ассоциированного коцепного комплекса Од (К; G) и сопряженных коцепных отображений 0„, 0^. В частности,
сС 0: = 1 : Я5 (Я; G) s Н* (К; G).
Переход к соответствующему утверждению в относительной форме мы снова предоставляем читателю.
Пусть и : K—>L—симплициальное отображение ориентированного комплекса К в ориентированный комплекс L. Тогда и индуцирует цепное отображение
Ф : С (А) С (L)
по следующему правилу. Пусть а°...ар— ориентированный р-симплекс из К. Тогда вершины а°и, .. ., ари определяют некоторый симплекс комплекса L. Положим
3.2.5а°...ар^р =3.2.5а°...ар^р =а°и...ари, если все а°и, ..., ари различны, 0 в противном случае.
3.2.5а°...ар^р =
3.2.5а°...ар^р =
Напомним, что а°и. .. ари есть ± (ориентированный симплекс комплекса L, определяемый вершинами а°и, ...,ари\ Очевидно, а°...ар(рр зависит только от ориентации симплекса (а°...ар), а не от специального выбора порядка его вершин.
Продолжим отображение фр по линейности до некоторого гомоморфизма Ср (Я) -► Ср (L). Равенство фд = дф устанавливается точно так же, как при доказательстве того, что 0° является цепным отображением (предложение 3.2.2).
Отображение ф с отображением 0° в действительности очень тесно связано: и индуцирует также некоторое цепное отображение
Фа:С“(Я) -^CQ^
по правилу
[аг°.. . агр] фа = (аг°и.. .агри],
причем0ф = фй0.
Вместо 0“(0Р) мы здесь сокращенно писали 0, где а (Р)—-заданная ориентация комплекса К (L).
. Предложение. Пусть и :К—» L, w:L—»M—симплициалъ- ные отображения, а ф, фй, ф, фа-—цепные отображения, индуцированные ими; тогда ига индуцирует фф, фафа.]
Выражения для отображений 0 и ф можно упростить, если условиться считать а^.-.а^т' нулевым элементом группы Ср(К), когда не все вершины а», ..., а'р комплекса К различны. Тогда можно написать
■[а’°.. .а’р] 0 = аг°.. . а4Р, а°.. .арф = а°г. . .арг.
В качестве примера, иллюстрирующего смысл нашего соглашения, отметим, что если а—вершина ориентированного симплекса о, то а (од') = о— цепь. В самом деле, если о = а°...ар и а = а?, то
р_.
а (од") = 2 (— 1)г а а6. . .а,1.. .ар = (— l)jа3 а0. . .а?. . .ар = а°.. .ар.
4=0
Мы вернемся к этому примеру при доказательстве теоремы 3.2.10.
Пусть и—симплициальное отображение и ф : С (К) С (L)—ассоциированное с ним цепное отображение; тогда ф индуцирует1) некоторый гомоморфизм ф* : Н* (К) Н* (L). Вместо ф* мы можем писать и*. Подобным же образом и индуцирует и* (или ф*): Н* (L; G)И* (К; G).
. Предложение. Пусть v:K-+L, w: L-^-М — симпяициаяъные отображения; тогда
(VW^-V^W*,(Щу)* = V*W*.]
Гомоморфизмы групп гомологий и когомологий, индуцированные сим- плициальными отображениями, играют во всей теории роль первостепенной важности). Например, если и—стандартное симплициальное отображение комплекса К', первого производного комплекса К, то оно индуцирует
и, : Н* (К') -» Н, (К), и* : Н* (К; G) И* (К'; G).
Цепное отображение ф, индуцированное симплициальным отображением и, мы будем называть стандартным цепным отображением. В дальнейшем выяснится, что гомоморфизм и* (или ф#) не зависит от выбора и и является, в действительности, изоморфизмом.
Шагом к этой цели является определение некоторого цепного отображения %: С (К') С (К'У Это отображение не связывается ни с каким симплициальным отображением, но имеет определенное интуитивное геометрическое содержание: % заменяет каждый симплекс ор^К на р-цепь комплекса К', состоящую из (ориентированных подходящим способом) р-симплексов комплекса К', которые лежат в sp (теле симплекса ору Удобнее всего определить % по индукции для пополненного комплекса К*. Итак, определим х в размерности — 1 следующим образом:
f-iX-i = <т-1.
Предположим теперь, что отображение Xg : Cq (К^) —-* Cq (К'*) определено для размерностей q<_p так, что %gd=d%g_1 и ogXg—sg Для каждого о,. Отображение Хр мы определим, указав его значения на каждом ор^К и продолжив затем по линейности на всю группу СР(К?). Итак,
6рХр = ь(.°р8Хр-1)>
где b— барицентр симплекса Sp. В силу того что Opd^p-t^ s'p, носитель цепи b (ор d^p-i) комплекса К' содержится в s'p. Более того,
о Др8 = ср8Хр-1 — ъ <ср8Хр-^ (2-1 °-4)
"°р8Хр-1 —b (^Ордд^р-^, по предположению индукции, =Opd^p-v
Значит, ^рд = d^p-v, индукция завершена. Обратите внимание, что для любой вершины а комплекса К, а^й = Ь, где Ъ— вершина комплекса К',
Рис. 3.1.
изображаемая той же точкой, что и а. В случае непополненного комплекса можно начать индукцию, исходя из этого определения х- Рассмотрим в качестве примера рис. 3.1:
1Х = 1, где через 1 обозначен о-^ .
a\ = b\ 1 = 0, 1, 2;
aoai^ — fo1,0 ^а^д^ = b^b1— б1’0?)0,
а1д2х = Ь2А№ _ г,2,161, йоа2х = fc2,062_ 62,060.
aWx = 62’1’0 (aWdx) =
-=b2A,°b2’1b2 — b,s'1’0b2’1b1 — bWbW +
Заметьте, что каждый треугольник комплекса К' входит в выражение для а°а1а2х с той ориентацией, которую естественно было ожидать.
. Теорема. Пусть v •. К’^ К — стандартное симплициалъное отображение и ф : С (К’) -*■ С (К) — индуцированное им цепное отображение. Тогда хф = 1 •'
Это утверждение доказывается по индукции; в размерностях — 1 и 0 оно тривиально. Предположим, что Хр-1Фр-1 = 1» и пусть ор^К. Тогда
SpXW = (^ ^р8^ Ч> = Ьи (орд%<р).
По определению отображения и, bv есть некоторая вершина а симплекса sp и Ор^хф = Орд, так как Хр-1фр-1 = 1- Значит,
орХф = а (Орд) = Ор и ХрФр = 1-1
Следует обратить внимание на то, что фр%р^=1 в размерностях р>0. Тем не менее мы докажем, что ф#х* = 1.
Не представляет никакого труда перенести формулировки определений ф и % на относительный случай и получить соответствующие результаты. Все это годится и для групп гомологий с произвольными коэффициентами; можно получить соответствующие результаты и для коцепей. Дадим краткий обзор введенных обозначений, которые будут употребляться в относительном случае. Пусть Ко—подкомплекс комплекса К, Lo — подкомплекс комплекса L и
Ф : С (К; G), С (Ко; G)-^C (L; G), С (Lo; G)
— некоторое цепное отображение. Тогда ф индуцирует посредством сужения отображение
Ф°:С(^0; G)-»C(L0; G)
и факторотображение ф: С (К, Ко; G)—>C(L, Lo; G). Сопряженные к ф, Ф°, ф отображения будут обозначаться через ф", ф0', ф". Тогда (предложение 3.1.12 и два последующих абзаца) ф" получается из ф" посредством сужения, а ф°' = фу—соответствующее факторотображение. Отметим также, что CQ (Ко)— подкомплекс (в действительности прямое слагаемое) комплекса CQ (К), так что те же самые понятия и аналогичные обозначения применимы и в случае тотального комплекса.-
Цепная и коцепная гомотопии
Мы видели, что каждое цепное отображение индуцирует гомоморфизмы групп гомологий. Так как группа цепей — вспомогательное понятие, а основные наши интересы направлены на изучение групп гомологий, желательно найти полезный критерий того, когда два цепных отображения индуцируют одинаковые гомоморфизмы групп гомологий. -
Если С, D — цепные комплексы и ф, ф:С —>D — такие цепные отображения, что ф* = ф* : Н* (С) —> Н* (D), то для любого z£Zp(C) существует d£Dp+1, для которого хф— z^ = dd. Мы опишем сейчас отношение экви- валентндсти на множестве цепных отображений С —> D, обладающее тем свойством, что если цепные отображения ф, ф принадлежат одному классу эквивалентности, то некоторая систематическая процедура позволяет связать с каждым р-циклом z из С некоторую такую (р +1)-цепь d.
Определение. Цепная гомотопия \ между цепными отображениями ф, ф : С —> D — это такое множество гомоморфизмов1) Др:Ср—> —> Dp+1, что ф — ф = 9Д-|-А5. Если такая цепная гомотопия Д существует, то ф и ф называются ц-гомотопными (или цепно-гомотопными) и мы пишем ф ~ ф или просто ф ~ ф.
Понятие цепной гомотопии имеет формальное сходство с понятием обычной гомотопии. Каждая гомотопия F, связывающая отображения /, g симплекса з, есть отображение пространства s X I. Теперь (s х I)* = = (5 X 1) U ($ X 0) (J (sxl), причем, нестрого говоря, Е-образами множеств s х 1 и s х 0 служат /- и g-образы симплекса з, в то время как Е-образ множества s XI есть сужение гомотопии F на л Описанная ситуация
!) Заметьте, что само Д не является цепным отображением.
является геометрическим выражением утверждения, что
(оА) д = оф — оф — (од) А.
Очевидно, что отношение ц-гомотопности является отношением эквивалентности на множестве цепных отображений. Ясно также, что ф* = ф*, если ф~ф. Ибо если z£Zp(C), то zd = O и z (ф—ф) = (зА)д.
Следующий пример показывает, что равенство <р* = ф* может выполняться, когда соотношение <р “ ф не имеет места, даже если цепные группы.— свободные абелевы. Пусть C0=J (Со порождается элементом а0), C^ = J (Ci порождается элементом а^, D0 = J (Do порождается элементом b0), Dv = J®J(Dt порождается элементами blt b^, а все остальные группы тривиальны. Граничные гомоморфизмы описываются формулами a1d=2a0, b1d = 2b0, <фд=Ь0, а отображение ф : С —> D определено следующим образом: аоф = Ьо, а1<р=Ь1. Тогда ф—цепное отображение и, очевидно, ф*=0. Еслиф = 5Д + А5, то
Ъ^ = <Цф=®i ЗА = 2а0Д;
мы получили противоречие, и, значит, ф ф: 0. Следовательно, условие ф = ф достаточно, но не необходимо для того, чтобы ф# = ф#.
Предположим, что ф, ф—цепные отображения'’С —^ D, каждое из которых переводит С° в D°. Если, кроме того, ф— ф = 9Д + Дд, где А отображает Ср в 7)р+1, то такое А мы называем цепной гомотопией между ф, ф: С, С° —>D, D°. В этом случае, как легко проверить, А индуцирует цепную гомотопию А : С —> и между ф и ф. Значит, имеет место
Теорема. Если ф~ф:С, С°—>D, D°, то
=ФУА
Для случая коцепной гомотопии очевидным образом даются двойственные определения. Рассмотрим теперь А"-—множество гомоморфизмов AP:DP—» —» Ср-1, где Dp = Dp (h G, Cp-1 = Cp^ ф G и А” сопряжено c Ap_f: Cp_v —» Dp.
AA*
Теорема. Если ф ~ ф, то ф’огф".
В самом деле, фр — фр — др\р-1~ Ардр+1 = О. Переходя к сопряженным гомоморфизмам, получаем
фр _ фР _ 6Р-1ДР — ДР+16Р = 0,
так что А" — коцепная гомотопия между ф" и ф’.]
.Следствие. Если ф~ф:С, С° —>D, D°, то
ф* = ф*:Н* (Ь')->Н* (С").
Ибо если А —цепная гомотопия между ф и ф, то Д’— коцепная гомотопия между ф" и ф’.]
Теорема. Если ф~ф:С(К), С (Ко) —» С (L), С (Lo), то
Ф* = ф* : Н, (К, Ко; G)И* (L, Lo; G),
<р* = ф* : Н* (L, Lo; G)Н* (К, Ко; G).]
Мы позволили себе сформулировать этот результат для гомологий с произвольными коэффициентами. Впрочем, читателю должно быть ясно, что каждое цепное отображение ф : С (К)—>C(L) индуцирует очевидным образом некоторое цепное отображение ф (G) : С (К; G)—>С (L; G) и подобно этому, каждая цепная гомотопия А между ф и ф индуцирует некоторую цепную гомотопию A (G) между Ф (G) и ф(С). Иногда, если не могут
возникнуть недоразумения, мы будем вместо ф (G) и A (G) писать ф и А. В дальнейшем мы не будем так подробно останавливаться на очевидных обобщениях.
Пусть ф : С —> D, ^: D—>C — такие цепные отображения, что фтр ~ ~ 1 : С —-* С и фф ~ 1 : D —* D. Тогда ф называется цепной эквивалентностью с цепным обратным ф. Будем в этом случае говорить также, что С и D ц-эквивалентны.
Чтобы доказать, что между цепными комплексами действительно получается некоторое отношение эквивалентности, будем рассуждать так же, как в случае настоящей гомотопии (лемма 1.6.3, теорема 1.6.4).
Лемма. Если ф( ~ ф2: С—> D, Q:D—> Е, ц:Е—>С— цепные отображения, то ф^ ~ ф26, цф! ~ т]ф2.
Ибо если А —цепная гомотопия между ф4 и ф2, то Аб — цепная гомотопия между ф46 и ф20 и г]А — цепная гомотопия между т]ф1 и т]ф2.]
Теорема. Отношение ц-эквивалентности цепных комплексов является отношением эквивалентности.
Доказательство этой теоремы повторяет доказательство теоремы 1.6.4.J Отметим, в частности, что композиция двух цепных эквивалентностей есть снова цепная эквивалентность. Мы пишем ф : С ~ D, если ф —цепная эквивалентность; если мы не хотим подчеркивать, что именно ф осуществляет эту цепную эквивалентность, будем писать просто С ~D.
Теорема. Если ф : С ~ D, то
Ф* : Н* (С) s Н, (D), ф* : H^D th 6) ^ Н* {С ^ G).
Пусть ф : D ~ С — цепное обратное к ф. Тогда ф^ф* = (фф)* = 1 : Н* (С) ^ Я^ (С) и аналогично ^ф* = 1 : Н* ^D^ ^ Н* (Z)). Это означает, что ф* — изоморфизм с обратным ф*.
Если ф : С ~ D с цепным обратным ф, то, если определить очевидным образом понятие коцепной эквивалентности, ф':йфС~СфСс коцепным обратным ф". Значит, так же как и в первой части,
^•.h^d^g^h^c^gh
Перенести эту теорему на относительный случай предоставляем читателю.
Ацикличные носители
Чтобы доказать, что два цепных отображения индуцируют одинаковые гомоморфизмы групп гомологий, достаточно, как мы видели, установить существование цепной гомотопии между ними. В этом параграфе мы опишем, как можно убедиться в существовании такой цепной гомотопии, не проводя утомительного построения. Наша основная теорема относится лишь к некоторому подклассу класса цепных комплексов. Однако этот подкласс достаточно широк и включает в себя все цепные комплексы с целочисленными коэффициентами, возникающие на основе симплициаль- ных комплексов. Таким образом, наши результаты будут иметь полезные геометрические следствия.
Назовем цепной комплекс С свободным, если для каждого р группа Ср —свободная абелева, и — геометрическим, если (а) С свободен и (б) для всех р<—1, Ср = 0.
- Очевидно, геометрическими комплексами являются С {К), С (К*) и C(KmodK0), а также CQ(/T), CQ (К+) и CQ (К mod Ко). Эти примеры оправдывают использование термина «геометрический».
Пусть дан геометрический цепной комплекс С. В каждой из групп Ср можно выбрать некоторый базис {ур}- Говоря о геометрическом цепном комплексе, мы всегда будем предполагать, что такой выбор уже осуществлен. Будем писать yp_t -< ур, если ур-! входит с ненулевым коэффициентом в урд.
Цепной комплекс D называется ацикличным, если Нр (D) = 0 при всех р. Эквивалентно, D ацикличен, если каждый цикл комплекса D ограничивает в D. Значит (2.10.5), пополненный цепной комплекс конуса ацикличен. Дадим теперь основные определения.
Определение. Алгебраической функцией-носителем Е из геометрического цепного комплекса С в цепной комплекс D называется функция, определенная на базисных элементах {ур} комплекса С, значениями которой являются подкомплексы комплекса D, и такая, что Е (yp-i) S Е (ур), если ур-i -< ур. Функция Е называется ацикличной, если каждый комплекс Е(у) ацикличен.
Определение. Говорят, что цепное отображение ф : С —> D переносится алгебраической функцией-носителем Е, если для каждого у, уф есть цепь комплекса Е (у). Для краткости будем называть Е просто носителем. Докажем теперь основную алгебраическую теорему.
Теорема. Если цепное отображение ф геометрического цепного комплекса С в цепной комплекс D переносится ацикличным носителем, то ф ~ 0.
Надо найти такое цепное отображение А: Ср~> Dp+i, что ф = дД-]-Дд. Определим Д по индукции, начав так: Др = 0 при р-<— 1. Предположим, что Дд уже определено для д<_р так, что ф = дДф-Дд и yqAq^E (у5) для всех у5; определим Др. Для этого достаточно задать Др на каждом ур. Имеем урдА^ Е (ур), ибо урдА^ U Е ^Ур-^ и Е (yp-i) S Е (ур) для любого
Vp-l^Yp yp_t<yp. Значит, урф — урдА £ Е (ур); более того, урф — урдД является в действительности циклом, так как
(Урф — Ур9Д) д = ур^д — урдАд = урдф — урдАд = урд (ф — Дд).
Но ф = Дд-[-9Д в размерности р-—1. Следовательно, -Урд (ф — Дд) = Урд (дд) = °-
Так как урф — урдА есть цикл, а комплекс Е (ур) ацикличен, то существует такая (р + 1)-цепь d в Е (ур), что урф— ypdA = dd. Положим ypA = d. Тогда урф = ур (дД + Ад) и урА^Е^ур). Поступая так для всех ур£Ср, завершаем индукцию]. Обратите внимание, что Д определяется далеко не однозначно. Как правило, Д на у можно задать не одним способом.
Ясно, что приведенное доказательство сильно зависит от ограничений, наложенных на С. Так, нельзя было бы начать индукции, если бы не существовало «нижней размерности»; право описывать гомоморфизм группы Ср в терминах его действия на отдельные образующие основывается на том, что множество этих образующих свободно.
Следствие. Если цепные отображения ф, ф: С —» D переносятся ацикличным носителем Е, то ф ~ ф. ]
Этот тривиальный результат мы сейчас существенно обобщим. Будем говорить, что цепное отображение ф : С —> D переносится носителем Е в размерности р, если УрфЕКЦур) для всехх ур.
Следствие. Если цепные отображения ф, ф: С —> D согласуются в размерностях <_т и имеют общий ацикличный носитель в размерностях "> т, то ф ~ ф.
Ибо если ф и ф согласуются в размерностях <т и переносятся носителем Е в размерностях > т, то цепное отображение ф—ф переносится носителем Е во всех размерностях. ]
Следствие 3.4.5 будет применяться нами в случае т = 0, ибо все цепные отображения цепных комплексов, соответствующих пополненным симплициальным комплексам, которые нам встретятся, согласуются в размерностях < 0, отображая o_j в o_t. Заметим, что утверждение 3.4.4 можно сравнить с предложением 1.7.9 о смежных отображениях. Позднее в этом параграфе аналогия между ними станет более явной.
Мы уже отметили, что теорема 3.4.3 применима к С (К) и С {К modTC0); она, конечно, применима и к CQ (К) и CQ (К mod Ко). Желая считать тотальный комплекс CQ (К) «геометрическим» объектом, мы будем пользоваться при его рассмотрении тем же языком, что и при описании самого комплекса К. Так, допустимые наборы fa’» ... а’р] будут называться симплексами, гранями симплекса [а1» ... а’г]—те наборы, которые получаются из [а’» .. . а’р] зачеркиванием некоторых вершин (порядок вершин, конечно, не меняется). Став на такую точку зрения, мы получаем право писать КЙ вместо СЙ(К), и тогда ясно, что следует понимать под подкомплексом комплекса Кй. В группах каждого цепного комплекса мы договорились фиксировать некоторый базис. В Са (К') в качестве такого базиса будут всегда выбираться симплексы комплекса Кй.
Рассмотрим еще один прием, позволяющий связать алгебру с геометрией. На практике, вероятно, естественно именно про симплициалъный подкомплекс (комплекса L), а не про цепной подкомплекс (комплекса С (L)), говорить, что он несет ту или иную цепь. В связи с этим мы введем понятие геометрической функции-носителя.
Нам предстоит с помощью теоремы 3.4.3 показать, что если два цепных отображения ф, ф : С (ТС) —* С (L) (удовлетворяющие определенным ограничениям) переносятся одной ацикличной геометрической функцией-носителем, то ф ~ ф. Полезно при этом перейти к пополнению; мы назовем комплекс К ацикличным, если Нр (ТС+) = 0 при всех р.
Тогда ацикличность комплекса К равносильна ацикличности цепного комплекса С (К+). Заметьте, что если К не пуст, то С (ТС) не ацикличен.
Определение. Геометрической функцией-носителем Р на комплексе ТС со значениями в комплексе L называется функция, определенная на симплексах комплекса ТС, значениями которой являются такие подкомплексы комплекса L, что при sp_1 -< зр
Р (sp-i) — Р (sp)'
Функция Р называется ацикличной, если комплекс Р (s) ацикличен для всех s^K.
ЗАЛ. Лемма. Геометрическая функция-носитель Р из К в L определяет алгебраическую функцию-носитель Е+(Р) = Е+ из С (К+) в С (L^ по следующему правилу1.
E+V^=C(J4sPn Р>0,
■ Е* (о-i) = 0.
Более того, если функция Р ациклична, то и Е* ациклична.^
Определение. Говорят, что цепное отображение ф : С (К) —» С (L) переносится геометрической функцией-носителем Р, если для каждого симплекса зр£К, арц является цепью комплекса Р (sp). •
Каждое цепное отображение ф+ : С (К+) —> С (L+) определяет посредством сужения цепное отображение ф : С (К) —> С (Б). Обратно, если у: С (К)—> —> С (L) есть сужение некоторого ф+, мы будем говорить, что ф пополняемо (до ф+). Заметим, что если цепное отображение ф пополняемо (и комплекс К не пуст), то ф+ определяется по ф однозначно, так как o_^+= о0дф+= Стофд.
Лемма. Если ср : С (К)—» С (L) пополняемо и переносится носителем Р, то ф+ переносится носителем Е* (Р) в размерностях > 0. ]
Через Е (Р) мы будем обозначать функцию £'+(Р), рассматриваемую лишь на симплексах комплекса К, и будем говорить, что ф переносится носителем Е(Р), если ф+ переносится носителем Е* (Р) в размерностях > 0. Обратите вйимание, что значениями носителя Е (Р) являются пополненные комплексы. Весьма существенно для нас (сравните со следствием 3.4.5) следующее .
Предложение. Если цепные отображения ф, ф : С (К)—* С (L) пополняемы и переносятся одним носителем Е (Р) и если cr_^+ - о_1ф+, то Ф+ — ф+ переносится носителем Е* (Р). ]
Это утверждение показывает, что целесообразно рассмотреть более узкий класс цепных отображений С (К) —» С (L), для которых выполняется равенство о_1ф+ = о_1ф+. Будем называть цепное отображение ф : С (К)—> —*СЦ^ собственным, если его можно так пополнить, что O-^ — O-p Введенное понятие весьма полезно при рассмотрении важных геометрических ситуаций; подтверждением этому служит следующая лемма.
Лемма, (а) Если цепное отображение ц>: С (К)—> С (L?) индуцируется симплициалъным отображением комплекса К в L, то оно собственное",
X : С (К)—> С {К') — собственное отображение-,
9“ : CQ (К)—^С^Ю)— собственное отображение;
9“ : С™ (К)—> CQ (К)—собственное отображение;
композиция двух собственных цепных отображений является собственным цепным отображением.^
Заметим, что в пунктах (в) и (г) отразилось наше стремление трактовать KQ как «симпйициальный» комплекс, к которому применимы понятия, связанные с геометрической функцией-носителем.
Следствие. Если носитель Е (Р) переносит собственные цепные отображения ф, ф : С (К) —-> С (L), то цепное отображение ф+ —ф+ переносится носителем ^(Р).]
Очевидно, понятия алгебраической и геометрической функций-носителей можно перенести на относительный случай. Так, мы будем говорить, что Р есть носитель из пары К, Ко в пару L, Ео, если Р является носителем из К в L и Р (s) Е Lo для всех симплексов s^KQ; аналогично определяется алгебраический носитель Е. Подведем итог изложенному в этом параграфе.
Теорема. Если ф, ф: С (К), С (Ко) —* С (L), С (Lo)—собственные цепные отображения, которые переносятся ацикличным носителем Р, то ф ~ ф и
Ф* = ф* : Н, (К, Ко; G) И, (L, Lo; G), ф* = ф*:Я*(Б, Lo; G)~>H*(K, Ко; G).
Так как цепные отображения ф и ф переносятся носителем Р, то они переносятся и носителем Е (Р) (3.4.9). Поскольку ф и ф— собственные отображения, носитель Е* (Р) переносит ф+ — ф+ (3.4.12). Так как Р ацикличен, то и Е+(Р) ацикличен (3.4.7), и ф+ — ф+~ О (3.4.3). Более того, цепная гомотопия, построенная при доказательстве теоремы 3.4.3, отображает С (Я*) в С (JJ^ и O-! в 0. Следовательно, ограничиваясь размерностями >0, мы получаем ф ~ ф : С (К), С (Яо) —» С (L), С (Яо). Остальные утверждения из 3.4.13 просто повторяют соответствующие утверждения теоремы 3.3.5.]
Очевидно, пополняемые цепные отображения С (К) —>■ С (L) образуют подгруппу аддитивной группы всех цепных отображений С (К) —>- С (L). С другой стороны, собственные цепные отображения подгруппы не образуют; в частности, нулевое цепное отображение хотя и пополняемо, но не является собственным. Таким образом, из теоремы 3.4.13 вовсе не следует, что каждое симплициальное отображение ц-гомо- топно нулю!
Заслуживает внимания обобщение теоремы 3.4.13, получающееся, если потребовать, чтобы а_1ф+ = а_1ф+ (мы таким образом заменяем 3.4.12 на 3.4.10). Можно определить индекс отображения ф как такое целое число т, что О_1ф+ = та_1. Тогда заключения теоремы 3.4.13 будут иметь место, если вместо собственных цепных отображений ф и ф мы рассмотрим пополняемые отображения того же индекса.
Пусть ек : Со (&) -> J—гомоморфизм, заданный равенством (2 ntPo) еК = 2 пб тогда ф : С (К) —>- С (L) в том и только в том случае пополняемо с индексом т, если <p&L=m&K- Для некоторых целей (например, см. 4.4.3) удобно считать, что сам гомоморфизм е^- пополняет комплекс К. Преимущества такой точки зрения обнаружатся в гл. 10; для целей, которые мы ставим перед собой в этой главе, более удобна другая точка зрения.
У теоремы 3.4.13 есть аналог, касающийся тотальных комплексов и не требующий отдельного доказательства.
Теорема. Если ф, ф : Са {К), CQ (Яо) —» CQ (L), CQ (Lo) — собственные цепные отображения, переносимые ацикличным носителем Р, то ф ~ ф м
Ф, = ^ : Н* ^К, Кй; G) -> Н“ (L, Lo; G),
Ф* = ф* : Яд (L, Lo; G) -> Яд (К, Яо; G).]
Теоремы 3.4.13 и 3.4.14 в некотором смысле определяют нашу задачу: всякий раз, когда нам нужно будет установить, что два цепных отображения индуцируют одинаковые гомоморфизмы групп гомологий и когомологий, мы будем на самом деле отыскивать их общий ацикличный (геометрический) носитель. Эта техника принесет нам богатые плоды в следующем параграфе*). Одно из ее приложений мы дадим, впрочем, прямо сейчас.
Мы будем говорить, что симплициальные отображения и, w : К, Ко—> L, Ео являются смежными, "если они смежны как симплициальные отображения К—>L и и [ Ко, w\K0—смежные симплициальные отображения Ко —> Ео.
Теорема. Если и, w : К, Ко—> L, Lo смежны и индуцируют Ф, ф : С (К), С (Яо) —» С (Б), С (Lo), то ф ~ ф.
Пусть s ^ Я; рассмотрим Р (s) — замыкание симплекса (из Б) наименьшей размерности среди тех, гранями которых служат одновременно sv и sw. Тогда Р (s) <= Lo, если 8^Я0, а Р, очевидно, переносит как ф, так и ф. Более того, носитель Р ацикличен (2.10.5). Наконец, цепные отображения ф и ф являются собственными (3.4.11(a)), и можно применить теорему
!) Несколько более общая техника широко применяется в гл. 8 и 9.
] Отсюда вытекает, что смежные отображения индуцируют одинаковые гомоморфизмы групп гомологий и когомологий. В частности, это верно для любых двух стандартных отображений барицентрического подразделения на комплекс.
Цепные эквивалентности в случае симплициальныхкомплексов
В этом параграфе с помощью теорем 3.4.13 и 3.4.14 мы установим две фундаментальные цепные эквивалентности.
Пусть (К, со) — упорядоченный симплициальный комплекс и Ко — его упорядоченный подкомплекс. Напомним, что имеют место цепные отображения
6 = 0“ : Сй (К), С° (До)С® (Ку С®(Коу
9 = 9®: С® (Ку С®(К0)->Са(Ку Са (Коу
такие, что 06 = 1 (3.2.2 и 3.2.3).
Теорема. 66~1:СВ(К), Св (Ко) -> CQ (Ку CQ(Koy
Воспользуемся геометрическим языком, описанным в предыдущем параграфе. Пусть дан «симплекс» sQ=[a’o . .. а^ру и пусть P(sQ) —множество всех наборов [<ро ... аМ], где каждый индекс /г является одним из индексов г0, . .., ip. Очевидно, все такие наборы являются «симплексами», и Р (sQ)— некоторый подкомплекс комплекса Кй. Далее, если sQ -< tQ, то Р (№) s Р (tQy a \Р (sa) с К^, если за£К^. Значит, Р — носитель. Он, очевидно, переносит как тождественное отображение, так и 66. В самом деле, №06 = 0, если в sQ есть повторяющиеся вершины, в противном случае №66— это (±) симплекс, получающийся некоторой перестановкой вершин симплекса №. Значит, чтобы можно было применить теорему 3.4.14, достаточно установить, что носитель Р ацикличен.
Мы должны показать, что подкомплекс Р (№) ацикличен; доказательство этого факта очень сходно с доказательством утверждения 2.10.5. Положим для любого tQ = [а50 ... а’з] из Р (sQ)+
atQ = [аа’о ... п^] £ Р (№)"*",
где а = а№. Продолжая это отображение по линейности, получаем некоторое отображение с—» ас группы Cq(P (№)+) в Cq+1 (Р (№)+) для всех д. Тогда (ас^д = с— а(сдУ Значит, если z— цикл в Р (№)+, то zd = O и (az)d = z, так что z-—граница. Итак, каждый цикл из Р (№)+ ограничивает в Р (№)+; следовательно, комплекс Р (№) ацикличен.]
Следствие. 0“:CB(/f), CQ (К^ ~ С® (К), С®(К0) с цепным обратным 6й.]
Следствие, (а) 6“ индуцирует изоморфизм 9® : Н* (К, Ко; G)^ ^Н®{К, Кй; Gy причем 6® является обратным к б“; (б) 6ю индуцирует изоморфизм 9Ю: Hto(K, Ко; G)^Hq(K, Ко; Gy причем обратным к 6*, является 6щ.
Достаточно заметить, что теорема 3.5.1 справедлива и в том случае, когда цепи берутся с коэффициентами в произвольной абелевой группе G.] 8 Заказ № 1335
Теорема. Пусть (К, а) — ориентированный симплициалъный комплекс и К0 — его подкомплекс. Тогда ^а;СЙ(К), СЙ ^К^—» Са^К^ Са ^К^), является цепной эквивалентностью и, следовательно, 9“, 9а— изоморфизмы.
Пусть <в—некоторое упорядочение комплекса К. Тогда (2.3.1)
9а<0 : Са (К), Са (Хо) -> Сю (К), С® (Хо)
— изоморфное цепное отображение с обратным 9“а. Более того,
Qa = Q<oQcoa: С»^ СЙ (Ко)—> Са (К), Са(К0).
И мы доказали (3.5.2), что 9ю является цепной эквивалентностью с цепным обратным отображением 9“. Отсюда следует, что 9“—цепная эквивалентность с цепным обратным 9““0“.J
Эта теорема объясняет, почему мы придаем такое большое значение понятию тотального комплекса. Хотя комплекс СЙ (К) не удобен по своим размерам для вычислений, в теоретическом отношении он более удовлетворителен, чем С (К), так как его определение не зависит от ориентации или упорядочения комплекса К. Технические преимущества тотального комплекса обнаружатся в следующей главе и гл. 8.
Пусть теперь К—ориентированный симплициалъный комплекс и Ко—его подкомплекс, (К', К'^ — барицентрическое подразделение пары (К, Ко) и v : К', К’0—»К, Ко—стандартное симплициальное отображение. Рассмотрим индуцированное отображением и цепное отображение Ч:С(К'),С(К’0)-^С(К), С (Ко) и пусть ^:С(К), С (Ко)—> С (К'), С(К0)~ цепное отображение на барицентрическое подразделение (3.2.9); таким образом, хф = 1 (3.2.10).
Теорема. фХ ~ 1 : С (К'), С (К'о)—> С (К'), С (К'о).
Пусть s'—симплекс комплекса К' и Ъ — ведущая вершина симплекса s'. Тогда Ь— барицентр некоторого симплекса s комплекса К1). Положим P(s') = s'. Мы договорились называть симплекс s носителем симплекса s' (см. § 1.7). Тогда если f -< s', то носитель симплекса V служит гранью носителя симплекса s', так что P(t')^P(s'). Кроме того, если s'^K’o, то Р (s') G Ко. Следовательно, Р является функцией-носителем из пары К', К'о в пару К', К’о; очевидно, Р переносит и тождественное отображение, и отображение фХ. В самом деле, и отображает s' на грань его носителя, симплекса s, и Х отображает цепь на s в цепь на s'. Значит, остается доказать, что функция-носитель Р ациклична; s' — не что иное, как конус с вершиной b и основанием s'. Значит, комплекс Р (s') ацикличен (2.10.5), и можно применить теорему 3.4.13.(и лемму 3.4.11).J
Следствие. Каждое стандартное цепное отображение ц : С (К/), С (К'О)—>С (К), С (Ко) является цепной эквивалентностью ф : С (К'), С (X') ~ С (К), С (Ко) с цепным обратным х.]
Следствие, (а) Х индуцирует изоморфизм %*: И* (К, Ко; G)^ ^ТЦ (К', К'о; G), и обратным к Х# служит ф*, где ф— стандартное цепное отображение
С (К'), С(К'0)-^С(К), С (Ко);
х) Принятое обозначение может ввести в заблуждение: К'—барицентрическое подразделение комплекса К, а s'— симплекс барицентрического подразделения симплекса s. Таким образом, не нужно путать .s' с замыканием симплекса s'.
х индуцирует изоморфизм X* : Н* {К', К’о; G)^H*{K, К6\ G), и обратным к ^является ф*.]
Этот результат имеет фундаментальное значение в теории гомологий). Он устанавливает существование естественного изоморфизма между группами гомологий пары и группами гомологий ее барицентрического подразделения. Изоморфизм х* естествен в следующем смысле. Мы видели (1.7.3), что каждое симплициальное отображение v: К, K0—»L, Lo индуцирует некоторое симплициальное отображение v':K', K'0—»L', Lo- Отображения v и и' соответственно индуцируют гомоморфизмы )
^•■НДК, Ко; G^H^L, Lo; G),
G) -^нди,ц-, G).
Можно доказать, что
Х#Ф* Ф*Х*-
Значит, х*> как и ожидалось, является изоморфизмом системы, которую образуют группы гомологий вместе с гомоморфизмами, индуцированными всевозможными симплициальными отображениями. Это пример естественной эквивалентности в смысле Стинрода и Эйленберга [16]. Чтобы установить формулу 3.5.8, докажем
. Предложение. ХФ'= ФХ-
Применим индукцию по размерности. Утверждение тривиально в размерностях — 1 и 0. Пусть, далее, s^K— некоторый симплекс и b— его барицентр; тогда
^ХФ' = (6 (о^ ф' = Ьи' (<тдх<р') =
= Ъи' (одсрх) (п° предположению индукции) = bv' (нфдх).
Если симплекс s под действием отображения и вырождается, то Пф = 0, так что цфх = 0 и охф' = 0- Если же s не вырождается под действием отображения у, то вершина Ьи' является барицентром симплекса sv (по определению отображения у') и цф представляет собой ориентированный симплекс sv). Значит, по определению х,
bv' (офдх) = <тфх, и индукция завершена.]
Наша задача — показать, что группы гомологий и, в некотором смысле, индуцированные гомоморфизмы групп гомологий зависят только от рассматриваемого полиэдра и отображений. Предложения 3.5.7 и 3.5.8 — наши первые значительные шаги в этом направлении. Сейчас мы с помощью теоремы 3.2.10 обобщим теорему 3.4.15.
Пусть К^ есть r-е барицентрическое подразделение пары К, Ко. Определим посредством очевидной композиции цепное отображение на г-е
подразделение ХО: С (К), С (К^-^С (К^ ^), С (К^) и некоторое стандартное цепное отображение 9(г): С (К^), С (Ко"'1) —>С (К), С (Ко). Тогда
0<г)х<г) ~ 1, х(г)0(г) = 1.
Предположим теперь, что симплициальные отображения и: К, Ко—> -^L, L^w: Kw, K(or)-^L, Lo являются смежными (определение 1.7.8). Тогда, если u<r>:Kw, К^-^К, Ко— некоторое стандартное симплициаль- ное отображение, то отображения u^v и w будут смежными. Пусть у инду- цирует
<р : С W, С(^о) -^CkLy С (Lo),
и w индуцирует ^(ИК^С^CkL^.
■3.5.II. Теорема. Э^ф^ф, ф ~ Х<г>ф.
В самом деле, обозначим через 6<г) то цепное отображение, которое индуцируется стандартным отображением u<r). Тогда ^(г) ~ 9(г), причем :И 9<г), и 9(г) являются стандартными цепными отображениями. Далее, u<r)p индуцирует 0<г\р. В силу 3.4.15, 9^r)q> ~ ф и, по 3.3.6, Э^ф ~ 6^г\р. Значит, 6(г)ф ~ ф. Применяя слева х<г> и используя соотношения 3.5.10, получаем <р~х(Оф_]
Непрерывные отображения полиэдров и основные теоремы
В этом параграфе будет доказано, что каждое непрерывное отображение одного (компактного) полиэдра в другой индуцирует гомоморфизм групп гомологий, ассоциированных с этими полиэдрами комплексов, и что этот гомоморфизм оказывается изоморфизмом, если заданное отображение является гомотопической эквивалентностью. Это значительно сильнее утверждения о топологической инвариантности групп гомологий, ибо каждый гомеоморфизм является a fortiori гомотопической эквивалентностью. Однако очень важно, чтобы этот изоморфизм между группами имел естественный вид, т. е. чтобы он индуцировался некоторым непрерывным отображением; в связи с этим мы хотим подчеркнуть возможность ассоциировать с произвольным непрерывным отображением некоторый гомоморфизм групп гомологий (и когомологий), что само по себе представляет фундаментальный факт теории гомологий.
Рассмотрим относительный случай, так как он не доставляет никаких дополнительных трудностей; абсолютная формулировка будет получена, если мы будем считать подкомплекс пустым. Однако в этой главе мы ограничимся рассмотрением конечных комплексов, в частности, для того, чтобы можно было применять результаты § 1.6—§ 1.8.
Пусть даны две пары К, Ко и L, Lo и некоторое отображение /:|^|, |^0|^|L|, |£0|.
В силу теоремы о симплициальном приближении (1.8.1), отображение / для достаточно большого целого числа г обладает симплициальным приближением v; K<n-^L. Тогда для каждой точки х£\К\, х | и | принадлежит замыканию носителя ее образа xf. Значит, если ж^|Х0|, то z|p|g|L0| и и является отображением пары в пару
K^->L, Lo.
Отображение и индуцирует цепное отображение ф:С(А(г)), С (К о ^)—> -^C(L), C(L0). Пусть
Xм: С (К), С (Ко)—>С (К^), С^
— цепное отображение на r-е подразделение. Тогда будет цепным отображением и %(, )ф
X<r><p:C№, C(A0)^C(L), C(Loy
Нам хотелось бы определить гомоморфизм *) групп гомологий, индуцированный отображением /, как гомоморфизм (х(г)ф)*- Однако прежде чем это сделать, нужно показать, что (х(г)ф)* зависит только от /. Предположим, что w : К^, K[s^L, Lo— некоторое другое симплициальное приближение отображения /, и пусть w индуцирует цепное отображение
ф:С(А(8>), С (A(os)) —» С (L), С (Ао).
Мы должны показать, что
Х<з)ф ~ х(г)ф.
Без ограничения общности можно предположить, что s > г. Пусть X(s~r>: А(г), К^—> К^\ A(os) —цепное отображение более крупного подразделения на более мелкое. Тогда x(s) = X(r)X(s-r)- По теореме 1.7.11, симпли- циальные отображения и и w являются смежными, так что в силу теоремы 3.5.11, ф ~ Х(5-Г)Ф- Применяя х(г) к обеим сторонам этого соотношения, получаем требуемый результат. И теперь мы можем корректна определить индуцированный непрерывным отображением гомоморфизм групп гомологий (и когомологий).
Определение. Гомоморфизмы
Х(*г)ф* : Н, {К, Ао; 6) Н, (L, Lo; G) и,
Х<Н*ф* : н* (L, Lo; G) -> П * {К, К», G)
называются гомоморфизмами), индуцированными отображением f; Х*Г^Ф* мы будем обозначать через Д, а х(г>*ф*— через /*.
В § 5.8 нам* понадобятся следующие очевидные следствия из 3.5.10 и 3.6.1.
Предложение. Пусть f:\K\, |A0|-^|L|, | Lo | — какое-нибудь отображение и и ; К1-^—>L^ — его симплициальное приближение. Тогда /*х£г) = х(«8)ф*-
Пусть w : L^—>L — стандартное отображение, индуцирующее изоморфизм ф*. Тогда vw является симплициальным приближением отображения /, так что Д = xJT’ (фФ)* = Х*8)Ф*Ф*- Применим к обеим частям последнего равенства справа х(*г) и получим /*Х*Г) = Х*8)Ф*-]
Докажем теперь два основных свойства индуцированного гомоморфизма.
Теорема. Если /0 ~ ^ : | К |, |^0|-ЧЬ|, |L0|, то fOe = fu, f* = fv По предположению, существует гомотопия
ff-W, |A'0|-^|L|, |L0|,
связывающая /0 и /Р По теореме 1.8.6 (вернее, по ее относительному варианту), существует последовательность симплициальных отображений vt:K(ri\Lo, Ki^k,
такая, что vt является симплициальным приближением к /0, vh служит симплициальным приближением к Д, а отображения p,_t, ^—смежные. Если
Х^;К, KO-^KW, К^
— цепное отображение на подразделение, то) /0* = ^OWi*, /и = X^^v^, и так как Ui_v, vt смежны, то
= х^*, г = 2, • ■ -, к,
как доказано в теореме 3.5.11. Значит, /о* = Л*; равенство /* = /* доказывается аналогично.]
Теорема. Для любых отображений / : { К ], |А01—>|L|, jL0|, g -! ^ |, |A0|-^[M|, |M0| имеют место равенства Ug)* = f*g*Afg)* = f*g*-
Пусть u-.K^, KV^ —> L, Lo — симплициальное приближение к /, и w.L^, L^s-M, Мо — симплициальное приближение к g. Как показано в предложении 1.7.3, и индуцирует отображение vW : A(r+s), К^'^ —» L^, L^’, применяя повторно предложение 3.5.9, получаем'
%(®)ф(8> = ф^8),
где через x(s) обозначены оба цепных отображения на подразделение
I^r\ К^К^, К.^ и L, L0^I?\ L^\
а ф и ф(®> — цепные отображения, индуцированные отображениями и и vW. Более того), | zXs> | ~ | и | ~ /, так что jg ~ | v^ | g ~ [ y(s) | | w [ = [ u^w [. Но u^w : К^+Д ^(or+s) -> М, Мо
является симплициальным приближением к | v^w I — это тривиально. Значит,
(fg^ = | z;<s)w |#, по теореме 3.6.3,
= X*f+s4i;№№)*' по определению,
= xVWuii'>w^ в СИЛУ 3-2-8’
= xV)u*x(;)w*’ в СИЛУ 3-6'5’ = f*g*i п0 определению.
Аналогично устанавливается, что (/g)* = /*g*-J
Следующая диаграмма может помочь читателю понять приведенное доказательство.
К,К.
KW,K^^L,L0 ^%(s)|x<s)
К^ДК^ —L L(S),L(OS) M,M0.
Определение 3.6.1 отражает ковариантность гомологий и контравариантностъ когомологий. Теорема 3.6.4 вместе с тем очевидным фактом, что тождественное отображение индуцирует тождественный автоморфизм, означает, что группы гомологий, как и группы когомологий, определяют некоторый функтор. Следуя Стинроду и Эйлен- бергу) [16], можно сказать, что гомологии и когомологии—это два функтора из категории триангулированных пар и их непрерывных отображений в категорию абелевых групп и их гомоморфизмов. В то время как /* действует в том же направлении, что и /, /* действует в противоположном направлении. Аналогично образ при гомологическом функторе отображения /, за которым следует отображение g, есть гомоморфизм /*, за которым следует гомоморфизм g^, в то время как в образе при когомологическом функторе за гомоморфизмом g* следует гомоморфизм /* ).
Интересно проанализировать доказательство теоремы 3.6.4. Отправной точкой здесь служит замечание, что композиция двух симплициальных отображений снова является симплициальным отображением (1.7.2). Затем мы замечаем (3.2.7), что переход от симплициальных отображений к цепным отображениям функториален и что (3.1.9) переход от цепных отображений к гомологическим гомоморфизмам функториален. С помощью теоремы о симплициальном приближении осуществляется переход от непрерывных отображений к симплициальным отображениям и таким образом определяется индуцированный гомоморфизм в терминах «естественной эквивалентности» % и ковариантного функтора, ставящего в соответствие симплициальным отображениям гомоморфизмы групп гомологий.
Теоремы 3.6.3 и 3.6.4 позволяют доказать нашу основную теорему.
Теорема). Если /: | А"|, |Aoj-^|L|, | Ео | — гомотопическая эквивалентность, то
к'НДК, Ко; С^НДЕ, Lo; G),
/*:Я*(Л Lo; G)^H*(K, Ko; G).
Пусть g — отображение, гомотопически обратное к /, где g : | L |, | Lo | —» —»|А|, |А0|. Тогда fg~l:\K\, | Ко | —» | К |, | А"о |. Так как 1—симпли- циальное отображение, ясно, что 1* = !. Значит, 1 = (fg)* = f^g* в силу теорем 3.6..3, 3.6.4. Аналогично gefe=l. Это означает, что
к'-НДК, Ко; С^НДЕ, Lo- G) с обратным g*.)
Утверждения этого параграфа можно расширить таким образом, чтобы алгебраическими объектами, соответствующими паре К, Ко, были не просто ее группы гомологий и когомологий, а гомологическая и когомологическая последовател ъности.
Пусть /:|А|, |А0[—»|L[, |L0|— какое-нибудь отображение; тогда / порождает не только гомоморфизм
h-НДК, Ко; С^НДЕ, Lo; G),
но и гомоморфизмы
/*:^*№ G)->H^L, GY
1*:НДК0; G^H^L», G).
Эти три гомоморфизма мы для большей точности будем обозначать соответственно через /*, /* и /”. Таким образом, мы получаем диаграмму
...-^Нр+1(А, ^о; G)^HP(KO; G^H^K; G^Hp^K, Ко; G)—> . . .
р*^ V* V*
• • - Нр^ (L, Lo; G) ^ Нр (Lo; G) И Нр ^L; G) ^ Нр (L, Lo; G) -> .. .
Теорема. Диаграмма 3.6.7 коммутативна, т. е.
fa* = v*/”, IX = К1* и /*Р* = Р*/*-
Заметим прежде всего, что наше утверждение тривиально, если /— симплициальное отображение, или если хотя бы известно, что вертикальные гомоморфизмы индуцированы некоторым цепным отображением <р : С (К), С (Ко)С (L), С (Loy Ибо тогда коммутативность имеет место уже на уровне цепных отображений: первое соотношение тогда просто означает, что ф'—цепное отображение (фд = дф); два других соотношения очевидны.
Вернемся к общему случаю; пусть и: К^\ Kty—^L, Lo — симплициальное приближение к /, и пусть % — цепное отображение на r-е подразделение: С (К), С (Ко) —> С (K^Y С {K^Y Имеем диаграмму
.. . ->Н^ ^К, К», G^HP(KO; G^HP^K; G^HP(K, Кй; G^ .. .
^x*|x°jx*p*
. . .-^Hw <KW, K^- G) Л Hp (K^;G) ^ Hp ^K^; G) -> Hp ДКД K^- G)->. . .
.. .-^ Hp^ (L, Lo; G) Л Hp (Lo; G) -^ Hp (L; G) ^ Hp (L, Lo; G^... .
Нам известно, что t* = fa*, /1 = хИ /* = X*y* и чт0 на каждом квадрате последняя диаграмма коммутативна. Отсюда мы сразу же получаем, например, что /А* = XAV* = £VX = УлХ = VJ*- Два ДРУгих соотношения коммутативности доказываются подобным же образом. Аналогичное утверждение имеет место и для когомологий.)
Будем употреблять символ /* для обозначения тройки гомоморфизмов (/*, 1*1 /*) и ссылаться на него как на гомоморфизм гомологической последовательности пары (А, Ао) в гомологическую последовательность пары (L, Loy индуцированный отображением /. Аналогично через /* будем обозначать гомоморфизм когомологической последовательности пары (L, Lo) в когомологическую последовательность пары (А, Коу
Теорема. Если /0 h : | К |, | Ко | —> | L |, | Lo |, то /0# = Л*, /* = /*, где /о*, /1*, 1*, 1* — гомоморфизмы соответствующих точных последовательностей. ]
Теорема. Для любых отображений j'.\K\, j Ао |—> | L j, )L0! и g:\L\, \L0\-^\M\, \М0\, (fg)^f^, (fgy = rg\
где все гомоморфизмы понимаются как гомоморфизмы точных последовательностей.].
Теорема. Если /: | А” ], |K0|~|L|, |L0|, mo f* — изоморфизм гомологической последовательности пары (К, Ко) на гомологическую последовательность пары (L, Lo) и f* — изоморфизм когомологической последовательности пары (L, Lo) на когомологическую последовательность пары (К, Ко).]
Обращаем внимание на тот факт, что теоремы 3.6.3, 3.6.4, 3.6.6, 3.6.9, 3.6.10, 3.6.11 имеют ценные аналоги, получающиеся, если заменить гомологии ориентированного комплекса гомологиями тотального комплекса. В действительности можно было бы с самого начала стать на ту точку зрения, что именно группы И* (К, Ко; G), Hq(K, Ко; G) и являются теми гомологическими объектами, которые естественно сопоставить с парой (К, Ко). Можно было бы доказать топологическую инвариантность этих групп с помощью процедуры, аналогичной той, которая была принята нами при доказательстве теоремы 3.6.6. Затем следовало бы, по вычислительным соображениям, привлечь цепную эквивалентность 0 : СЙ (К, Ко) ~ С (К, Ко) и построенные в этом параграфе изоморфизмы гомологий и когомологий. Мы не приняли этой точки зрения, потому что конструкция комплекса С (К, Ко) представляется интуитивно более ясной, чем конструкция комплекса СЙ {К, Ко). Однако мы признаем, что СЙ (К, Ко)— логически вполне удовлетворительный объект. В действительности, СЙ (К, Ко) даже быстрее поддается обобщению в теории сингулярных гомологий, построенной в гл. 8.
Приведенные результаты и их доказательства переносятся на случай тотального комплекса автоматически. Мы дадим только формулировки основных результатов.
Теорема. Отображение f : | К |, /Со| —»|L|, \L0\ индуцирует гомоморфизмы
П-Х(К, Ко; С)->НЙДЕ, Lo; G),П:На(Ь, Lo; G)^H*Q(K, Ko; G).
Эти гомоморфизмы зависят только от гомотопического класса отображения / и (jg)* = f*g*, (fg)a = fa§Q. Следующие диаграммы коммутативны:
^0*НДК, Ко;Hl{K, К»;|е*Н^К, Ко;^0*НДК, Ко;Hl{K, К»;|е*Н^К, Ко;'Н^К, К»; С)^НЙкЕ, Lo; G)
^0*
НДК, Ко;
Hl{K, К»;
|е*
Н^К, Ко;
^0*
НДК, Ко;
Hl{K, К»;
|е*
Н^К, Ко;
G)I*>H56VL, Lo; G)
G)«—Hq(L, Lo; G) |e*
G)4-H*<L, Lo; G).
В действительности можно было бы определить гомоморфизмы /$, /д из условия коммутативности диаграммы, ведь 6#, 6* — изоморфизмы; при этом бы выполнялись все утверждения теоремы. Можно рассуждать иначе: дать прямые определения гомоморфизмов /°, /ц, по аналогии с определением 3.6.1, тогда коммутативность наших диаграмм легко устанавливается с помощью предложения 3.2.7.)
Следствие. Если / — гомотопическая эквивалентность, то /^, /q — изоморф измы. ]
В этом параграфе были эффективно доказаны все, за исключением одной, аксиомы]) Стинрода и Эйленберга теории гомологий полиэдров пар комплексов. Стинрод и Эйленберг называют такие пары триангулируемыми парами; мы иногда будем называть их полиэдральными парами. С каждой такой парой (Р, Ро) и произвольной абелевой группой G мы сопоставили некоторым каноническим способом группы Н* ^Р, Ро; G) и Н* (Р, Ро; Gy Говоря, что наш способ является каноническим, мы имеем в виду следующее: для любой ориентированной пары комплексов К, Ко, удовлетворяющих условиям \К\ = Р, \К0\ = Р0, у нас определены группы Н^^К, Ко; Gy И* (К, Ко; G); и если, кроме того, \L\ = P, | Lg | = Ро, то тождественное отображение 1 : | К |, | Ко | —» | L |, | Lo | индуцирует вполне определенные изоморфизмы
ИДК, Ко; G^H^L, U Gy H*^L, Lo; G^H4K, Kg, Gy
Можно было бы рассматривать произвольный элемент группы Н* (Р, Pg") как такое семейство элементов {g, т], ...}, Е,£Н#ЦС Кд), ^^^„(Г, Ло) ..., любые два элемента которого соответствуют друг другу при изоморфизме, индуцированном тождественным отображением пары Р, Pg.
Аксиома Стинрода-—Эйленберга, которую нам осталось проверить,— это аксиома вырезания. В теореме 2.8.22 она была доказана для пар комплексов (К, Коу Докажем ее для триангулируемых пар в следующей усиленной форме:
3.6.14. Теорема. Пусть / : | К |, компактных триангулируемых пар, в IL| —|L0|, и пусть f является .множеств. Тогда f* и j* являются3.6.14. Теорема. Пусть / : | К |, компактных триангулируемых пар, в IL| —|L0|, и пусть f является .множеств. Тогда f* и j* являются| АГ01 —»|L|, |L0|— такое отображение что образ множества | К [ — | Кд | лежит гомеоморфизмом на замыканиях этих изоморфизмами.| АГ01 —»|L|, |L0|— такое отображение что образ множества | К [ — | Кд | лежит гомеоморфизмом на замыканиях этих изоморфизмами.
3.6.14. Теорема. Пусть / : | К |, компактных триангулируемых пар, в IL| —|L0|, и пусть f является .множеств. Тогда f* и j* являются
3.6.14. Теорема. Пусть / : | К |, компактных триангулируемых пар, в IL| —|L0|, и пусть f является .множеств. Тогда f* и j* являются
| АГ01 —»|L|, |L0|— такое отображение что образ множества | К [ — | Кд | лежит гомеоморфизмом на замыканиях этих изоморфизмами.
| АГ01 —»|L|, |L0|— такое отображение что образ множества | К [ — | Кд | лежит гомеоморфизмом на замыканиях этих изоморфизмами.
Докажем сначала лемму. Пусть М— наименьший подкомплекс комплекса К, содержащий К — Кд. Тогда МуКд = К и
Лемма. | М | = | К | — | Кд |.
В самом деле, 1 К | — | Кд | = U s и | М | = U s , так что множество | М I _ s^K—Kg _ sEK-Ko
замкнуто. Но Us^Us^Us, откуда Us=Us, или | М | = | К | — | Кд |.]
Вернемся теперь к доказательству теоремы. Пусть А —наименьший подкомплекс комплекса L, содержащий L — Lg, и пусть Мй = М У\Кд, No = N [\ Lg. По лемме, / гомеоморфно отображает | М | на |А|. Более того, I Мд I / = I Ng |, ибо I Мд I = , М I fl I Кд |, j Ng | = | N | П I Ед ]. Значит, I Мд I /е| Ао |. С другой стороны, если уЕ|Ао|, то yg|A|, так что у = х] для некоторой точки ж^|7И|. Но ж^|А|— |А0|, поскольку / отображает |А| — I Ао I в
[16], стр. 29; см. также гл. 8 этой книги.
|L| —|Z,oj, а y^l-^l-—|Ь0|. Таким образом, y = xf, где х g | М | fl | Ко | = = |М0|, откуда вытекает, что | Мо ] / = | No |, как и утверждалось. Следовательно, отображение g : | М |, |М0|—>|-^|> |А'0|, заданное формулой xg = xf, жЕ|М|, является гомеоморфизмом. Пусть i: М, М0—>К, Ко, j:N, No—* ~>L, Lo — (симплициальные) отображения включения. Тогда gj = if, но определению отображения g. Так как -Zk^ (J -^о = ^, N \j Lo = L, то из теоремы вырезания для комплексов (теорема 2.8.22) следует, что
V-НДМ, Мо; С^НДК, Ко; G) и
Л:ЯЛ^, Ао; G)^H#(L, Lo; G).
К тому же g* : НДМ, Мо; G)^H*(N, No; Gy поскольку g — гомеоморфизм (теорема 3.6.6). Так как g*/* = i#/#, то /# — изоморфизм. Аналогично доказывается, что и /* — изоморфизм.) Стоит отметить, что мы не предполагали, что / гомеоморфно отображает полиэдр' | А | в \L\. Значит, эта теорема является более общей, чем «теорема вырезания». Та ее часть, которая непосредственно относится к вырезаниям, сформулирована в виде следствия.
Следствие. Пусть (Р, Ро) —триангулируемая пара, и U—такое открытое в Р множество, лежагцее в Ро, что пара (Р—U, Ро — U) триангулируема. Тогда отображение включения
i-P-U, P0 — U-^P, PQ индуцирует изоморфизмы групп гомологий и когомологий.
Ибо (Р— Uy—(Pg — U) — Р — Ро. Более того, Р— U замкнуто в Р, так что замыкание множества Р— Рй в Р— U совпадает с его замыканием в Р. Значит, i удовлетворяет условиям, наложенным на / в теореме 3.6.14.) Этот результат является более общим, чем теорема 2.8.22 — здесь не требуется, чтобы Р— U можно было триангулировать в виде подкомплекса некоторой триангуляции полиэдра Р.
Закончим изложение одним замечанием о пополнении. Под Н# (| К |, |Ко\) мы будем понимать группу Н^ (К, Коу причем безразлично, пополнены комплексы или нет. Если | Ко | = 0, то Ко — пустой комплекс и Н* (К, Ка) ^ИДК); в этом случае из Н#(К+, Ку мы получаем группу Н#(К+У Если Р — полиэдр с комплексом К, то мы будем иногда писать Н^{Р) вместо Н*(К) и Н*(Р) вместо Н^Ку. Группа Н^ (Р) называется приведенной группой гомологий. Примем аналогичные соглашения и для когомологий.
Локальные группы гомологий полиэдра в точке
Теорема 3.6.6 устанавливает, что группы гомологий являются инвариантами топологического типа. Поэтому мы можем считать, что они выражают некоторое «глобальное» свойство соответствующего топологического пространства. Опишем теперь некоторые другие группы гомологий, связанные с «локальной» природой пространства. Описание соответствующей теории когомологий предоставляется читателю.
Начнем с определения локальных групп гомологий Н* (а) вершины а комплекса К, а именно положим
Н^ уу=НДЩау st (а)-).
Эквивалентно (в силу 3.6.16 или 2.8.22),
Н^ = НДК, К0(а)),
где К0^=К— st (а). Очевидно, что если L — подкомплекс комплекса Кт содержащий st а, то включение i: L —> К индуцирует тождественный автоморфизм
ч-.Н^^^Н^ау
Основная задача этого параграфа — доказать полиэдральный аналог этого результата. Пусть я —точка (компактного) полиэдра Р и Q — его компактное подмножество, содержащее х в качестве внутренней точки и являющееся полиэдром (но не обязательно подполиэдром полиэдра Р). Мы определим группы Н* (х), Н^ (ж) таким образом, чтобы включение Q в Р индуцировало изоморфизм этих групп. Это дает нам полное право рассматривать Я* (ж) как локальный инвариант пространства Р в точке х. Конечно, всегда можно сделать так, чтобы точка х была вершиной некоторых триангуляций полиэдров Р и Q. Так мы и поступим в дальнейшем, но прежде дадим некоторые определения.
Рассмотрим совокупность пар ( К L а), где К | — (бикомпактный) полиэдр и а —вершина комплекса К. Отображение) /: | Z> |, Ъ-^\К\, а называется 1-отображением, если ]~1а = Ъ. Очевидно, если g:|M|, с—> —>|L|, b — тоже /-отображение, то /-отображением будет и gf. Гомотопия F:\L\xI,bxI—>\K\, а между /-отображениями /0 и j\ называется 1-гомотопией, если F^a = b X I; в этом случае мы будем писать /0 ~ fv Ясно, что i
если F есть /-гомотопия и g:|M|, с—>|L|, b является /-отображением, то (g X 1) F есть /-гомотопия. Далее, если h : | К |, а —> ! N I, d есть /-отображение, кон
то Fh есть /-гомотопия. Заметим, наконец, что если /0 ~ Д и Д ~ /2, то /0 ~ /2, iii
где гомотопия Н определена так же, как в 1.6.2 (в).
Докажем теперь
Предложение. Пусть / : I L |, Ь —> | К |, а есть 1-отображение. Тогда / ~ f, где f :\L\, \L0(b)\—>\K \, |Ко (а) I. Более того, если к тому же i^r, где Г-.\Ь\,\Ьй^\-^\К\,\К0^\, то f ~ /" :| L\, ] Lo W М -^\К\ЛК0^\.
Так как а($|Т0(Ж/ 11 | Я | — бикомпакт, можно перейти к такому) подразделению Kw комплекса К, что | Lo (b) [ / s 5 Kq1 (а) |. Таким образом, / можно рассматривать как отображение /:|Т|, | Lo (b) | —> | K(r^ |, | Ко"^ (а) |. Пусть и : К^, а —> К, а — стандартное симплициальное отображение, для которого гхТг = а; такое отображение получается, например, если так упорядочить вершины комплекса К, чтобы вершина а оказалась последней, и отобразить затем каждую вершину комплекса К*1^ на ведущую вершину ее носителя в комплексе К. Тогда, очевидно, | и | является /-отображением, причем |к|~1. Значит, f~f\u\. Ясно, что и отображает
К^ (а) в Ко (а), поэтому в качестве искомого отображения можно взятьf' = f\v\:\L\, |Ьо(Ь)Н1П l^o(a)|-
Такое отображение f мы будем называть 1-приближением отображения /. Остается еще доказать, что любые два /-приближения /' и /" гомотопны. Действительно, /' ~ /" : | L |, Ь-^* \К\, а; пусть F— соответствующая /-гомотопия. Тогда a^(|Z,0(6)|x Z) F. Значит, существуют открытое множество U, содержащее а, содержащееся в st (а) и не пересекающееся с (| Lo (b) | X I) F, и отображение р : [ К [, а —» | К |, а, которое проектирует множество | К | — U по радиусам, выходящим из точки а, на |К0(а)|. Тогда '
Р~1:|К5, |Я0(«)|->Ш |А'о(а)|, Fp
так что f ~fp~f"p~r:\L\, |Т0(/>)ЫП l^o(«)|J ,
3.7.53.7.5Можно определить гомоморфизм f* : Н* (b) —> Н* (а), положив /* = /*, где /'— любое /-приближение отображения /. Из предложения 3.7.4 следует, что если взять другое /-приближение, то /* не изменится. Сделаем сразу три очевидных замечания по поводу этого определения. Во-первых, когда / является отображением включения некоторого подкомплекса, содержащего st (а) (где Ь = а), то гомоморфизм /* совпадает с изоморфизмом /* из 3.7.3. Во-вторых, если g: | М ], c-^jL), b — тоже некоторое /-отображение, то
3.7.5
3.7.5
(g/)* g*/*-
Ибо если g' есть /-приближение к g и /' есть /-приближение к /, то g'/' является /-приближением к gf, так что
(gf)* = (g'D* = g*/* = g*t*-
В-третьих, пусть /: I K(r) |, a —-> | К |, a — тождественное отображение. Тогда /* является изоморфизмом. Ибо если /: | К |, а —> | К^ |, а — тождественное отображение, то //= 1 : | K(r) j, а —» I К(г) |, и и ft — 1 : | К |, а-^ —>|К|,а, так что в силу 3.7.5, /*/* = 1, /*/* = 1 и i* является изоморфизмом.
Теперь мы можем доказать следующую теорему.
Теорема. Пустъ j:\L\1b—> | К |, а — такой гомеоморфизм пространства | L | в |К|, что а является внутренней точкой множества |П|/. Тогда f* : Н* (Ъ) —> Н* (а) — изоморфизм.
Возьмем настолько мелкое подразделение К^ комплекса К, чтобы \L»^\t^\K^^\ и |st(r) ^\^\L\f.
Это можно сделать, так как а — внутренняя точка множества ILj/. Положим М = st(r) (а). Тогда существует такой гомеоморфизм g :] М |, a—»\L\,b из | М | в ]L], что gf =- j, где
3 : | М ], а —> [ К |, а
— включение. Так как подкомплекс М комплекса К^ содержит st(r)H, из 3.7.3 и первого и третьего замечаний, предшествующих нашей теореме, мы заключаем, что /* изоморфно. Значит, в силу 3.7.5, изоморфно и gj* : Н* (а) —» Н* (а), так что g* мономорфно (a f* эпиморфно). Но точка b — внутренняя точка множества ) М | g, так как st(r) (и) s М. Значит,
можно повторить наши рассуждения, заменив / на g и L, К на М, L, и доказать, что g* эпиморфно. Итак, установлено, что g*, а следовательно, и /* являются изоморфизмами.] Мы получили, таким образом, полиэдральную форму утверждения 3.7.3, из которой сразу выводим
Следствие. Локальные группы гомологий полиэдра в точке являются топологическими инвариантами.^
Будем называть (бикомпактный) полиэдр Р локально п-евклидовым в точке а^Р, если существует гомеоморфизмh: Vn, О—»Р,а n-мерного шара V" на замкнутую окрестность точки а.
Предложение. Если полиэдр Р является в точке а локальна п-евклидовым, то Н„ (а) = J, Нт (а) = 0, т ^= п.
В силу теоремы 3.7.6 достаточно доказать, что
Н^п (О') = J, H^(O) = Q, т^=п.
Возьмем триангуляцию шара V", являющуюся соединением начала О с некоторой триангуляцией сферы Sn-1. Тогда
И^ (О') = Нт (У\ S^^Hm(sn, 8ПУ,
отсюда в силу утверждений 2.10.7 и 2.10.11 и следует доказываемый результат.]
Утверждение 3.7.8 можно применить к любой n-клетке Еп, взяв в качестве а произвольную ее внутреннюю точку (см. § 1.1). Можно в качестве Р взять произвольную топологическую n-сферу, приняв за а любую ее точку. Вообще можно определить топологическое п-многообразие как полиэдр, который является локально п-евклидовым в любой своей точке и для любой точки которого, следовательно, справедливо предложение 3.7.8. Топологическим n-многообразием является, например, п-мерное вещественное проективное пространство (см. § 3.9).
Блоки из симплексов
В этом параграфе мы вернемся к вопросу, поднятому в §1.11. Удовлетворительная в теоретическом отношении теория гомологий полиэдра, основанная на симплициальных комплексах, может оказаться практически неудобной при вычислениях. В § 1.11 мы ввели понятие пред разбиения, а в этом параграфе докажем теорему, из которой будет следовать, в частности, что группы гомологий произвольного полиэдра можно вычислить, исходя из любого его предразбиения. Мы дадим явное построение этой теории лишь для абсолютного случая, чтобы, развивая основное рассуждение, избежать затруднений, связанных с громоздкими обозначениями. Читатель, однако, сможет сам получить соответствующие результаты для относительного случая.
Рассмотрим на примере тора технику блоков, составленных из симплексов. Как было указано в § 1.11, симплициальное разбиение тора содержит в лучшем случае 7 вершин, 21 ребро и 14 треугольников. Однако тор можно описать совсем просто как прямоугольник с отождествленными противоположными сторонами. Очень заманчиво предположить, что уже исходя из этого представления тора с одним 2-элементом (прямоугольником), двумя 1-элементами (парами противоположных ребер) и одним 0-эле-
ментом (четырьмя отождествленными вершинами прямоугольника) можно вычислить его группы гомологий. Заметим, что этот способ разбиения тора на блоки значительно экономнее предразбиения, предложенного в § 1.11.
Покажем, что группы гомологий тора действительно можно вычислить на основе любого его предразбиения. Рассмотрим произвольный симпли- циальный комплекс К, отберем подходящие семейства его симплексов и объединим их в блоки. Затем покажем, что группы гомологий полиэдра | КI можно вычислить, оперируя с группами цепей, основанными на этих блоках.
Пусть е —некоторое семейство симплексов из К (не обязательно образующее подкомплекс). Обозначим через е наименьший подкомплекс комплекса К, содержащий е, и положим е = е— е. Очевидно, если s^e и t 0 s, то либо t^e, либо t^e. Далее, е — е г е, так что е^е; значит, е = е (J е.
Определение. Говорят, что семейство ер симплексов комплекса К образует блок размерности р или p-блок, если (а) оно не содержит симплексов размерности > р и (б) Hq (ер, ер) = О, q^p, Нр(ер, ep) — J.
В силу условия (а), Нр{ер, ер) = Zp(ep, ер), ибо Ср+1 (ер, е^ = 0. Значит, в силу (б), Zp (ер, ep)=J. Выбрав один из образующих элементов ер группы Zp^epi е^, мы тем самым ориентируем блок ер. Элемент ер будет при этом некоторой линейной комбинацией р-симплексов из ер, которую можно рассматривать и как цепь на К, и как цепь на ер; отметим, что цепь грд сосредоточена на ер, так что £рд г ер.
Определение. Говорят, что множество {е^} блоков, образованных симплексами комплекса К, образует разбиение на блоки, если (а) каждый симплекс s^K принадлежит в точности одному блоку е (s) этого множества и (б) ер является объединением блоков размерности < р.
Пусть {бр} — разбиение некоторого комплекса К на блоки. Заметим, чтоерПбр=0 и что при 1=7^7 ер^ер= 0. Положим В^ = U ер, и пусть.
Л является объединением некоторого множества ^-блоков. Тогда
Предложение. В№ — А является подкомплексом комплекса К.
Пусть s^B№— А; тогда з^ер для некоторого блока ер из В№ — А, где р<Сд. Если t 0 s, то либо е (I) = ер, либо t^ep. В последнем случае e(t\ является r-блоком, где г<р, так что в любом случае t ^ В^ — АД
Теорема. Пусть ср^Ср(К") и срд Е В№~^; тогда существует цепь из блоков 2 mi6p, гомологичная1^ ср.
Предположим, что ср = В^, q~_> р. Докажем прежде всего, что на К существует такая цепь йр, что ср—dp и йр^В№\ Иными словами, цепь ср можно стянуть с блоков размерности > р. Чтобы установить это, достаточно убедиться в существовании цепи fp комплекса К, такой, что ср ~ jp
!) Обратите внимание на то, что в этой теореме утверждается существование- гомологии между цепями, которые могут и не быть циклами.
и^рсВ(ч 1). Ибо тогда fp8 = cp8, так что fp8 с В<р 1), и если q—l>p, то можно снова применить наше рассуждение, заменив ср на /р.
Рис. 3.3.
Пусть 6g — какой-нибудь 7-блок (см. рис. 3.3, на котором е, —это вся область, д =2, р = 1). Опишем, как стянуть ср с блока ед. Представим прежде всего ср в следующем виде:
ср = Ср + dp, где Ср Е eg. dpc В№ — eq.
Тогда Срд с eq. С другой стороны,
_ 48 = 77а и 48 = в^ и (В№ - е^ = в^ - 4
Значит, СрУ^едП (5<9) —ед) =е,. Тогда ср £ Zp (вд, ед); так как p=^=q, из 3.8.1 (б) следует, что
Ср — /р+16 Т~ 4' гДе /р+1 € Cp+i (вд), ^рЕСр(ед).
Тогда ср ~ ср — fp+18 = 4 + gp, и потому
Ср-4+19 С (В^ - 4) и 4 = В№ - eV
Итак, цепь ср стянута с блока ej.
Теперь, если i+^j, то вд("]ед=0. Отсюда и из включения fP+i8 S 4 вытекает, что в цепи fP+i8 при каждом р-симплексе из eq стоит коэффициент нуль. Это означает, что можно подобрать fp+19 для каждого i так, чтобы Ср — 2 Гр+19 е В^^. Положим
fp~cp Zj fp+19-
Итак, мы эффективно показали, что ср ~ dp, где dp s Bw. Повторим описанную выше процедуру: пусть е’—любой p-блок, и мы можем записать (см. 3.8.5)
dp = 4 + 4, кт = ё^ Tp^B^-eV
Как и раньше, ^p€Zp(e’, Ср). В силу 3.8.1(6), /ср = тгерПри некотором тг.
Ясно, что можно провести это рассуждение для каждого i, в результате этого мы получим соотношение dp — 2 mi4<= Bto-1\ Но В^"-1) не содержит в силу i
условия 3.8.1(a) р-симплексов, так что dp = ^mibp, откуда ср— 2 miep-l
Значение этой теоремы устанавливает
Следствие, (а) Каждый p-цикл комплекса К гомологичен некоторому p-циклу вида 2 тгер. (б) Если цепь 2 т/е₽ ограничивает какую-то гг
цепъ в К, то она ограничивает и {р-уХ)-цепъ вида 2пге₽+1- (в) ерд имеет вид 2 т^бр-!-
Пусть zp£Zp(K); тогда грд = О и a fortiori zpd s 5(р~О. Значит, утверждение (а) вытекает из теоремы 3.8.4. Докажем (б). Пусть 2 "ггер = ср+1д, ср+1 ^Ср+1 ФУ тогда ср+1д г В<р\ Теорема 3.8.4 гарантирует, что ср+1— ~ 2 niep+i ПРИ некоторых nt. Но тогда 2 т1гр = ср+1д = (2 пгер+1) д, что ггi
и доказывает утверждение (б). Докажем (в). Заметим, что ерд с е* с B^v-^ . Повторяя последнюю часть доказательства 3.8.4 с заменой р на (р — 1) и d,p на ерд, получаем нужный результат.]
Определим цепной комплекс С ф (К)) разбиения на блоки В фу В качестве Ср возьмем свободную абелеву группу, порожденную элементами ер, ер, ..., а граничный гомоморфизм дв зададим в виде 3.8.7(b), 8pdB=2 т}бр_1. Так как грдв = грд, то двдв = 0; будем вместо дв писать д. з
Так как каждую цепь из С (В (К)) можно рассматривать как цепь из С (К), мы имеем некоторое цепное отображение включения
г: С (В (К)) -» С (Я), индуцирующееI» : Н* ф ф)) —> Н* ф).
Теорема1). I* : Н* (В (К)) —» Н* (К) является изоморфизмом.
По 3.8.7(a), I*— эпиморфизм, а в силу 3.8.7(6), I*— мономорфизм.]
На самом деле имеют место изоморфизмы
i* : Н* ф фу G) ^ Я* (Я; Gy г» : Н* ф; G) аг Н* ф фу Gy
Это утверждение можно доказать тем же самым способом или вывести его из теоремы 3.10.1.
Прежде чем перейти к общим выводам из теоремы 3.8.8, вычислим гомологии тора. Рассмотрим его симплициальное разбиение, изображенное на рис. 3.4.
Рассмотрим следующие блоки:
е0 = а, e^ = slU8iUs?—а1
6i = s* (J S, (J 8® — а, е2 = К — (e0Ue^Uei)- Тогда .
е0 = а, ео=0, eJ = s]USiUSi,
.___-._.6 _
е^ — а,ei = s‘(JSiUst,^ = а,е2 = Я,е2=U s’.
i=l
т) Более изощренное доказательство дается в § 10.9.'
Очевидно, условия 3.8.1(a), 3.8.2(а, б) выполнены; остается проверить только 3.8.1(6) — единственное условие, которое может вызвать затруднения при выяснении, имеем ли мы дело с разбиением на блоки. Ясно, что Ho(a,0) = J и Яр (а,0)—. 0, р^О. Далее, ejявляется границей некоторого 2-симплекса (разумеется, не принадлежащего комплексу К); ai + ai + ai~ цикл комплекса е^шойа, порождающий группу Hv (ej, а)=^7; кроме того, при p^l, Нр (е), а) = 0. Все сказанное относится и к е^.
6 _
Рассмотрим, наконец, К mod U sj. Пусть L— симплициальный комплекс прямоугольника, подразделенного так же, как на рис. 3.4 (но без отождествлений), и пусть Lo— индуцированное подразделение границы. Тогда существует очевидное симплициальное отображение L, L0—»K, Us"', являющееся изоморфизмом L mod Lo на К mod U sj. Значит, Нр ' е2, е2) ^ Нр (L, Lo). Но пара (|i|, |L0|) гомеоморфна паре (s2, s2), а мы знаем (§2.10), что - •• f 0, р =^= 21
/7р (s2, s2) = Hp_v ($*) I у p —2 ^иким образом, е2 является 2-блоком. Итак, проверено, что мы построили некоторое разбиение комплекса К на блоки. Ориентируя эти блоки, получаем цепи е2, в1, в,, е0. Проведя вычисления для комплекса К, получаем, что е2д = 0, 8^ -= е^ = 0. Значит, H^B^^J, Ht(B(K^^J©J, H0(B^=J,
откуда H2(K)—J, H1(K)^J@J,H0(K)=J. Это дает группы гомологий тора.
Пусть К — комплекс и К'—его барицентрическое подразделение. Тогда симплексы комплекса К вместе образуют, очевидно, некоторое разбиение на блоки комплекса К'. Рассмотрим цепной комплекс С (В (К')) этого разбиения. Его образующими служат цепи о%, так что имеет место такой цепной изоморфизм ф : С (К) —> С (В {К')), что фД = %, где Г—цепное отображение, предшествующее формулировке теоремы 3.8.8.
Пусть теперь К—предразбиение (§ 1.11). Тогда К' — снова некоторый симплициальный комплекс, и симплексы комплекса К образуют разбиение на блоки комплекса К'. Для каждого симплекса зр £ К, (sp, sp)— пара, состоящая из замкнутого р-симплекса и его границы, так что в силу 3-5.7 цепь1) орх является образующим
В В действительности орх € Zp (s'p, $р), но Bp(s'p, sp)—0, так что Яр (s-p, 8^ = = Zp^s’p, Sp). — Прим, перев.
элементом группы Hp(s'v, $'\ а при q^ Р, Hq(s^, 8'^ = 0, где %—цепное отображение на подразделение С (К)*->- С <Д'\ Значит, С (В (К'У) порождается цепями оРх, и мы, как и выше, заключаем, что имеет место цепной изоморфизм
ф: С (К) г С (В (К')),
такой, что ф!' = х-
Теорема. Если К—предразбиение, то Н* (| К |) можно вычислить, исходя из цепного комплекса С (К).
В самом деле,
Н* (К)^ Н* (В (К')) й Н* (К')=Н* (I к-\)=Н* I К |.]
X»
Заметим, что это другое доказательство того, что Н* (К) к Н* (К') для любого сим- плициального комплекса К. Теорема 3.8.11 оправдывает введение предразбиений: если, действуя, как в случае симплициального разбиения, вычислить группы гомологий, основанные на цепях симплексов предразбиения, то мы получим не что иное, как группы гомологий исходного полиэдра.
Например, можно с помощью теоремы 3.10.1 обобщить теорему 3.8.11 таким образом:
Следствие. Если К—предразбиение, то
Н* (| К |; G) е Н* (К- G) и Н* (| К |; G) = H* (К; G).
Предлагаем читателю в качестве упражнения вычислить группы гомологий вещественной проективной плоскости, исходя из ее предразбиения, описанного в § 1.11. Группы гомологий вещественного проективного пространства размерности п будут вычислены в следующем параграфе.
Так же как это делалось для симплициального комплекса и его барицентрического подразделения, можно для предразбиения К и его барицентрического подразделения К' определить некоторое стандартное симплициальное отображение
и : К' К, при этом
ФХ=1:С(7Г')-^С(К'),
где ф — стандартное цепное отображение С (К’’) —>- С (К), индуцированное отображением и.
Так как х* : ^* № ^ Н* (К'), то мы получаем, что
и^^^-.Н^К'^И^Ку
Из теорем 3.10.1 и 3.8.13 вытекает
Теорема. Если К—предразбиение и ф— стандартное цепное отображение цепного комплекса С (К') в цепной комплекс С (К), то ф и %— цепные эквивалентности.]
Читатель может провести прямое доказательство теоремы 3.8.14 с помощью метода ацикличных носителей.
Гомологии вещественных проективных пространств
Вещественное проективное пространство Р" может быть определено как образ и-сферы S" при отображении отождествления всех пар диаметрально противоположных точек. В этом параграфе, используя технику предыдущего параграфа, мы вычислим группы гомологий и когомологий пространства Рп. Более точно, комбинируя предразбиения и разбиения на блоки, мы получим наиболее удобные для вычислений группы цепей.
Чтобы облегчить построение предразбиения пространства Рп, заменим сферу 8п подходящим гомеоморфным ей пространством, а именно подмножеством 2П простран- п+1
ства Яп+1, состоящим из точек (ult ...,un+V), где 2 |ur| = l. Гомеоморфизм h : S" —> Sn 1
определяется как проектирование по радиусам из начала отсчета и переводит диаметрально противоположные точки множества 2:‘ в диаметрально противоположные точки сферы 8". Значит, если отождествить диаметрально противоположные точки пространства 2”, то получится некоторое гомеоморфное Рп пространство, которое поэтому мы будем в дальнейшем тоже обозначать через Р”. Пусть к : 2" —>-Р" — соответствующее отображение отождествления.
Легко строится геометрический комплекс, покрывающий Sn. Пусть а^, а[ —точки множества 3", лежащие на r-й оси координат (через а^, конечно, обозначена та из них, которая лежит на положительной ее части). Точки а^> г=1> • ••, ” + 1, будут вершинами, и мы определим комплекс К№, покрывающий Зп, по индукции, положив A<0) = {ai, al}, К<") = соединение {a^+1,a”+‘} с К^-^. Упорядочим № по следующему правилу: а^_ < а^., если г <_ s. Таким образом, произвольный упорядоченный симплекс комплекса KW имеет вид a^a^ ... аЧ*, где 1^г'о<4< ... <гр<^л + 1, и любое такое множество вершин определяет упорядоченный симплекс комплекса KW. Построенная триангуляция обладает тем свойством, что диаметрально противоположным по отношению к симплексу а^® ... а^ множеством, где каждое 6; — это знак + или —, является симплекс а^^ ... «Ч^. Отсюда следует, что отображение отождествления р : Sn —>- Рп индуцирует предразбиение Р<”> пространства Рп, и образы симплексов комплекса K^i являются симплексами комплекса £<’»>. £(п) не является симплициальным комплексом, если п^>1, так как, например, образы симплексов a^a^. и ala| являются различными 1-симплексами комплекса LW с одним и тем же множеством вершин. Заметим, что Р<71)5Р<Р-—1)3 ... 3L<o>; более того, комплекс £<П) очевидным образом упорядочен.
Произвольный симплекс комплекса У®' можно задать, указав любой из тех двух симплексов комплекса КРг\ которые на него отображаются. Когда надо будет указать, что мы имеем дело с симплексом комплекса LW, мы будем заменять символ а^ на а£. Таким образом, упорядоченные симплексы комплекса LW—это наборы aeS1! ••• “ер’ ГДе 1<е'о<г1<---Ор<” + 1, и
1аМ1 ... а> = а{»...а1? .
u.v.l8g 61 8р —во —81 —ер
Обычно мы будем употреблять ту из записей симплекса 3.9.1, в которой ер=-|-.
Рис. 3.5.
Чтобы вычислить группы гомологий пространства Рп, устроим некоторое разбиение на блоки комплекса L<n\ Применение метода разбиения на блоки к предразбие- ниям не вызовет затруднений. Оправдание этому можно найти либо путем приспособления доказательства теоремы 3.8.4 к предразбиениям, либо путем перехода к барицентрическому подразделению предразбиения, которое является симплициальным комплексом. Разобраться в деталях доказательства предоставляем самому читателю.
Для каждого г <_ п определим единственный r-блок ет, а именно объединение всех (упорядоченных) симплексов а’’ ... а’^, для которых ip=r-|-l. Тогда ет—объединение всех симплексов а’’ ... а^, для которых ip<r-|-l и1) ет=ет_^. Единственный существенный момент, возникающий при доказательстве того, что таким образом получается разбиение на блоки, — это, как обычно, проверка условия, наложенного на гомологии. Рассмотрим подкомплекс Ег комплекса К<п>, состоящий из тех его симплексов а^® ... а^, для которых ip=r-{-l, ер=+, и из их граней. Отображение отождествления к индуцирует симплициальное отображение кг : Ет —>- ет. Более того, если Ет— подкомплекс комплекса Ег, состоящий из тех его симплексов, среди вершин которых
!) Обратите внимание, что в действительности е = 1/г\
нет а^-1, то кг переводит Ет в ег, отображая изоморфно Ет—Ет на ет—ет. Отсюда вытекает, что
Нр &, ёт) - Нр (Ег, Ё^.
Но Ет=а1^г1 Ег и Ег=К^г-1\ Так как комплекс К^'-1) покрывает пространство 2Г~1, а последнее гомеоморфно сфере Sr—1, известные нам группы гомологий сферы Sr~1 обеспечивают правильные гомологические свойства блока ег. Остается ориентировать блоки, выбрав образующие £г в Нт (ег, ег). Это можно сделать, выбрав образующие в Нт (Er, Е1") и применив кт. Оказывается, можно взять
3-9.2^ = 261 ... е^ ... а^1,
'8
где суммирование проводится по всевозможным наборам е1? ..., ег. Тогда |£г|Сег и
?rd = 2 (— l^S6! ■■■ ^“ei a8.O++1 + (—l)r2ei ... era* ... a;
i=le1e
Первый член этого выражения равен нулю; суммируя по ег при каждом i, мы получаем нуль. Значит,
£Э = (—1у 2 8! ... s^^ ... a^.8
Рассмотрим коэффициент, стоящий в этом выражении при a^.. ,a^*1i а^. В силу 3.9.1 он равен
(-1)481. ■ .e^i+t-Bi).. .(-er_i) ( — !)} = ( —l)r-(l + (—l)r) S1.. -er_b
Заключаем, что
„ _ „0 при нечетном г,
£rd= 1
I 2^г_! при четном г.
В любом случае | £rd | с er_j = er, так что £г является циклом комплекса ет mod ет. Поскольку
2р (с^*, Ср) — Нр (ср, ср) — J и ^р не делится ни на какое целое число =# i 1, £г является подходящей ориентированной цепью на блоке.
Теперь легко подсчитать группы гомологий пространства Рп. Группа C2q (В (Т<71))) при 0<^2q<Cn порождается элементом ^2q, причем g2gd=2g2g-i. Значит, Z2q=6, так что H2q (Рп) = 0. При 2g— 1 < п группа С2д-1 порождается элементом £2д-ь ПРИ этом t,2q_1d = 0. Следовательно, Z29-i = T порождается элементом £25~i, а группа B2q_i порождается элементом 2£2g-i. Таким образом, H2q_x (Pn) = J2. Очевидно, У0(Р") = 7, так как пространство Рп связно, и, наконец, Hn(Pn) = J при нечетном п и порождается классом гомологий цикла £п. Эти результаты можно сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема. Пусть Рп —вещественное проективное пространство, тогда
H0(Pn) = J-, H2q(P^ = 0, q>0;
Haq-i^^Jti 0<2g — 1 < га;
ТГ„(РП) —7 при нечетном га.]
Остановимся на геометрическом смысле цепей на блоках £г. В самом деле, носителем цепи £г служит сам комплекс еТ, а ет представляет собой в точности Т<г>, пред- разбиение пространства Рг, лежащего в Рп как подпространство. Значит, интуитивно можно представлять себе £г как проективное подпространство размерности г; таким образом, образующий элемент группы H2q_1 (Р")— это класс пространства pzg-icp". Последнее высказывание можно уточнить: мы выбрали возрастающую последовательность Р° с Р1 С.. .С Р", где Р”—ориентируемое многообразие!) при нечетном п. Пусть £т—базисный цикл на Рт, где m нечетно; тогда группа H2q_t (Р") порождается классом гомологий базисного цикла £25-i многообразия рМ—1 с рп.
Из теоремы 3.9.4 и теорем об универсальных коэффициентах гл. 5 или путем элементарных ad hoc рассуждений мы получаем следующую теорему.
!) См., например, Зейферт и Трельфалль [2].
Теорема. HO(P") = J; Hai(P") = J2, 0<2q<n;
H2g-i(P")=o, 0<2?—1<п;
Hn(Pn) = J при нечетном п.)
Теорема. Для 0<^p^n, Нр(Рп; J^ = ^2 м № ^Рп; J^ = J2.
В этом случае £г является циклом для каждого г, причем коцепь (со значениями в J2), принимающая ненулевое значение на ^Т, является для каждого г коциклом.]
. Приложение. О цепной эквивалентности
Мы видели (теорема 3.3.8), что любая цепная эквивалентность между цепными комплексами С и D индуцирует изоморфизмы их гомологий. В этом приложении мы доказываем частичное обращение этого результата, которое иногда оказывается полезным.
. Теорема. Если С и D — геометрические цепные комплексы1') и цепное отображение ф : С ^-D индуцирует изоморфизмы групп гомологий, то ф — цепная эквивалентность.
Отсюда следует, что если условия теоремы выполнены, то ф индуцирует изоморфизмы групп гомологий комплексов С, D с произвольными коэффициентами, а также изоморфизмы их групп когомологий с произвольными значениями. Мы узнаем также, что изоморфизм ф'1 группы Н* (D) в Н* (С) индуцируется некоторым цепным отображением. Сформулировав теорему 3.10.-1, обсудим ее доказательство.
Дж. Г. К. Уайтхэд, изучая проблемы гомотопического типа, ввел понятие цилиндра отображения1') /:Х->-У. Это «цилиндр» Z, одним из оснований которого служит X, а другим У, связанные отрезками, соединяющими точки пространства X с их /-образами в У. Уайтхэд доказал, что если X и У—полиэдры и / индуцирует изоморфизмы гомотопических групп полиэдра X с гомотопическими группами полиэдра У, то / является гомотопической эквивалентностью. Схема его доказательства выглядела так: установить, что относительные гомотопические группы ZmodX тривиальны и, исходя из этого, построить некоторую деформацию пространства Z в X. Так как вложение У в Z является гомотопической эквивалентностью, эта деформация приводит к отображению У->-X, гомотопически обратному к /.
Доказательство теоремы 3.10.1 имитирует доказательство Уайтхэда. Мы строим цепной комплекс Е, который служит цилиндром отображения для ф и содержит С, и доказываем, что комплекс Е/С ацикличен. Далее, применяя теорему 3.4.3, получаем цепную деформацию, связывающую тождественное и нулевое отображения цепного комплекса ЕЮ в себя. Сужение этой деформации и дает цепное обратное к ф отображение. Конечно, логика предлагаемого доказательства не требует введения цепного комплекса S; можно было бы прямо перейти к Е =Е/С. Мы все же ввели цепной комплекс Е в надежде, что читателю так будет легче следить за доказательством.
Определим Е = ^Ер, др}следующим образом. Ер = Ср@ Ср-г © Dp; произвольный элемент группы Ер будет записываться в виде ер = (ср, Ср_ь dp), ср£СР, cp-iECp-i, dp£Dp. Определим гомоморфизмы дЕ формулой
(ср, Cp-i, dp) дЕ = ^срд — Ср-^—Ср^д, dpd + cp_^).
0 Определение см. в § 3.4.
Формальное определение см. в § 9.5.
Тогда
(с,, 0, О)дЕ = (срУ,О, 0),
(О, 0, dp)8E = (0, О, dp8),
(О, Ср_^, 0) 8е = ( Ср-х, Cp-td, Ср-^ф).
Элемент (0, Ср_п 0) можно представлять себе как некую «перемычку», связывающую цепь cp_t с цепью Ср-др.
Заметим, что (ср, ср^, dp) 8е8е = (ср_2, ср_3, dp_^, где
С р-2 = (ср8—Cp-t) 8 и- Ср-^8 = О,
Ср-з = — (- Ср^д) 8 = О,
dp-2 = (dp8+ Ср-1Ф) 8 — Ср-^ф = 0.
Значит, 8е8е = 0 и Е— цепной комплекс. Далее, отображение j: С —> Е, задаваемое формулой Cpj = (cp,O, 0), вкладывает С в Е. Мы отождествляем С с С] и факторкомплекс Е = Е/С представляем себе состоящим из цепных групп
Ер = С р-1 © Dp
с граничным оператором 8, определяемым следующим образом:
(ср-!, dp) 8 = (— Ср-id, dpd + Ср^ф).
Тогда Е — геометрический цепной комплекс, и отображение к : D—*Е, определенное равенством dpk = (0, dp), вкладывает D в Е. Отождествим D с Dk s Е.
Докажем теперь, что комплексЕ ацикличен. Пусть (ср_15 dp)—какой-нибудь p-цикл комплекса Е, так что cp-1d = O, dp8-V cp_^ = 0. Тогда cp_t— цикл и Ср^ф — некоторая граница. Так как ф* : И* (С) S Н* (D), то, в частности, Ф# мономорфно, откуда следует, что Cp_t — граница. Пусть ср-г= — ср8. Тогда dp — Срф является циклом, так как (dp—срф) 8 = dp8 + cp_^ = 0. Поскольку ф* эпиморфно, существуют р-цикл zp в С и (рЦ-1)-цепь dp^i в D такие, что
2рф= dp Срф dp+18.
Тогда (cp + zp, dp^ 8 = ( — срд, dp+l8-)-срц> + грц>) = (Cp-^dp), и. e.(cp-i,dp) — некоторая граница. Мы установили, что каждый цикл комплекса Е ограничивает; иными словами, Е ацикличен.
Применим теперь теорему 3.4.3 к тождественному отображению 1 : Е -^ Е. В качестве ацикличной функции-носителя возьмем функцию, которая ставит в соответствие каждому образующему элементу комплекса Е весь этот комплекс. Заключаем, что существует цепная гомотопия Д = {Др}, Др : Ер —> EpJrV для которой
Дд + дД = 1.
Пусть отображения фр : Dp—> Ср, 'kp'. Dp—* Dp^v определены так:
dp^p — (^рфр> dpXpY
Очевидно1), ф и %— гомоморфизмы. Применяя 3.10.4, мы получаем
dp = dpkd + dpdk = (dpA\), dPx) Q+(dp8^, dpd^ =
= ^ — dp^d, dp^d-V dpW) АЛ^р9^ dp8%),
откуда — dp^d + dpd^ = 0, dp^8 + йрфф + dp8x = dp.
Таким образом,•
фд = дф.
X^ + ^x = l—фф.
Этим доказано, что ф : D—> С—цепное отображение и что фф~1. Остается только показать, что фф~1. Для этого определим гомоморфизмы Хр : Ср >Ср^, рр:Ср >Dp^ формулой (ср, 0) Ap+i = (ср^р, СрЦр).
Применяя 3.10.4, получаем
(СР> °) = (ср-°) дд + (ср,0) ад = (срХр, СрЦр) 8 + (— Срд, Срф) А =
= (—СрХд, Сррд + СрХф) — (срд,0) Д + (0, Срф) А =
= (—СрКд, Срр.8 + СрХ^—^СрдХ, Срдр) + (срфф, срфх).
Ограничиваясь рассмотрением первой компоненты, заключаем, что з.ю.7ха+ах = фф-1,
откуда фф~1, и доказательство теоремы завершено.]
Упражнения
Докажите предложение 3.1.12.
К—комплекс, состоящий из единственной вершины; докажите, что Су (К) = J для всех р>0. Определите др : С® (К) —>- С^_^ (К) при р нечетных и при р четных и вычислите затем группы Ну (К) для всех р.
Докажите, что
(а’®а31...а’Р)Х =^е3>-■-р> ^oh. • .ip^!---ip. .&ip,
io,.. ., ip
где e^°yJP равно нулю, когда ig-.-ip не получается из /о-../р никакой перестановкой, и в противном случае—знаку соответствующей перестановки.
Принимая это за определение отображения %, дайте прямое доказательство теоремы 3.2.10.
Пусть s = (a°a1.. .аР) естьр-симплекс и {F°, F1, ..., Fp^—покрытие s замкнутыми множествами, обладающее тем свойством, что любая грань a'V1.. ,аг® симплекса-s содержится в объединении множеств Рг°, Рч, ... ,Ргч. С помощью теоремы 3.2.10 р .
докажите, что Q F1 не пусто. (Это лемма Шпернера; с ее помощью легко доказывает- г=0
ся, что размерность полиэдра ] К" | равна п. Рассуждайте от противного, опираясь на тот факт, что как бы мелко ни был подразделен замкнутый симплекс s, любое стандартное отображение этого подразделения в s должно некоторый р-симплекс отобразить на весь симплекс s.)
Подберите так абелеву группу G, комплексы К и L и симплициальные отображения v, w : К —L, чтобы'
к* = м* : Н* (К) ->■ Н* (£), но
и» Ф w* : Н* (К; G) ->- Н* (L- G).
(Можно построить такой пример, взяв в качестве К комплекс из гл. 2, упр. 4, а в качестве L—другой экземпляр комплекса К с вершинами Ь°, ... ,65, к которому присоединен еще замкнутый симплекс б1^5.)
г) Как обычно, мы опускаем индексы.
Пусть со— некоторое упорядочение комплекса К, и К®— подкомплекс комплекса Кй, состоящий из тех наборов, порядок вершин в которых согласуется с о. Покажите, что отображение включения С® (К) —>- С (К^) является цепной эквивалентностью.
Пара сфер S2, S1 отображается на пару проективных пространств Р2, Р1 посредством отображения /, отождествляющего диаметрально противоположные пары точек сферы S2. Вычислите гомоморфизм /* гомологической последовательности пары №, S1 в гомологическую последовательность пары В2, Р1 и проверьте коммутативность диаграммы.
Надстройка SК комплекса К определяется как соединение этого комплекса с некоторой парой точек. Докажите, что имеют место изоморфизмы
о? : Яр (К+) = Яр+1 (5К),
такие, что для любого отображения j : | К | —>-1 L |
a* (Sh*=f*o*,
где Sf :\ SK | —*■ | SL |—отображение, индуцированное отображением /.
Пусть К—комплекс, {вр^— его разбиение на блоки и L—подкомплекс комплекса К, являющийся объединением некоторого множества этих блоков. Докажите, что гомологическую и когомологическую последовательности пары К, L можно- вычислить, исходя из цепных комплексов С (В (К)), С (В (В)) и С (В (К))/С (В (В)).
Используя упр. 9, докажите предложение, сформулированное в упр. 6 гл. 2.
Трехмерный тор получается из трехмерного куба отождествлением противоположных граней; произвольная точка любой грани отождествляется с ближайшей к ней точкой противоположной грани. Постройте разбиение трехмерного тора на блоки и вычислите его группы гомологий.
Пусть D—цепной комплекс и С — подкомплекс комплекса D. Постройте цепной комплекс Е, как в § 3.10, взяв в качестве ср отображение включения С в D. Докажите, что Е as DjC.
4
КОЛЬЦО КОГОМОЛОГИИ ПОЛИЭДРА
Определение кольца когомологий комплекса
До сих пор мы одновременно развивали двойственные теории гомологий и когомологий, однако введение когомологий не было еще достаточно оправданным. В гл. 7 мы покажем, каким образом препятствие к продолжению на весь полиэдр его частичного отображения естественно представляется в виде некоторого класса когомологий. С другой стороны, в гл. 5 мы покажем, что целочисленные группы гомологий конечного комплекса однозначно определяют его группы гомологий и когомологий с произвольными коэффициентами, соответственно, значениями. Это может навести читателя на мысль, что все могло бы быть сделано в терминах только одних гомологий.
Однако в этом параграфе мы обогатим понятие группы когомологий, введя операцию умножения когомологических классов (в предположении, что соответствующая группа значений является кольцом), которая топологически инвариантна и сохраняется при гомоморфизмах групп когомологий, индуцированных непрерывными отображениями. Относительно этого умножения, как мы увидим, классы когомологий образуют кольцо, структура которого целочисленными группами гомологий уже не определяется. Классы гомологий общего комплекса, по-видимому, не имеют инвариантной мультипликативной структуры. В случае комплекса, полиэдр которого является ориентируемым многообразием (локально евклидовым), классы целочисленных гомологий образуют кольцо пересечений; здесь может быть установлена строгая двойственность между кольцами гомологий и когомологий. Однако вообще умножение классов когомологий доставляет структуру, которую нельзя определить с помощью одних групп гомологий1). Мы не будем рассматривать кольцо пересечений, предпочитая иметь дело с более общим когомологическим произведением.
При определении кольца когомологий комплекса К мы будем пользоваться тотальным комплексом К9', а в качестве группы когомологий комплекса К возьмем группу Hq {К) = 2 Hq (К). Использование тотально- р
го комплекса оправдывается теоремой 3.5.4 и следующим за ней абзацем. Произведение в Н* (К) определяется с помощью о-произведения, опреде-
!) Существуют и другие инвариантные когомологические операции, играющие важную роль в проблеме классификации гомотопических типов. Основными среди них являются р-е степени Стинрода (р—простое)
5^ : Н" (К; Jp) ->■ H"+2h t^11 (К; Jp), понтрягинские р-е степени (р—простое)
£Рр : Я" № Jpm) -> Н^ (К; Jр2т)
для любого целого т и операторы Бокштейна (см. гл. 5). Список литературы о когомологических операциях приведен в [18]; в этих лекциях Стинрод дает превосходное описание роли этих операций в алгебраической топологии.
ляемого в группе Cq (К; R), где R— произвольное кольцо1). Символ R мы будем часто опускать.
Напомним, что элемент c(Cq(K; R) — это функция со значениями в R, определенная на допустимых наборах [я’о...я’р]. Определим 0-произведение с о d, где d^Ca^KY как элемент из Cq+q (К), такой, что
[я»... я’р+з] (cvjd) = [а*о.. ,а*Ч с X [а*р... а^р+ч] d
для любого допустимого набора [а4°.. .«‘р+з]. Это определение имеет смысл, так как R — кольцо (знак X обозначает умножение в Л) и так как любой поднабор допустимого набора сам является допустимым набором. Заметьте, что вершина я‘р появляется в правой части формулы 4.1.1 дважды, образуя как бы «шарнир» между двумя поднаборами.
Прежде всего проанализируем чисто алгебраические свойства умножения коцепей.
Теорема. V)-произведение коцепей на KQ со значениями в R ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения. Если в R существует левый (правый, двусторонний) единичный элемент, то такой же единичный элемент существует и в кольце коцепей.
Ассоциативность и дистрибутивность о-произведения сразу же следует из ассоциативности и дистрибутивности умножения в R. Пусть 1 — левая единица кольца R и е° — коцепь со значением 1 на каждой вершине из К. Ясно, что e°\JdQ = d4 для любой коцепи d4. Таким же образом доказывается теорема для случаев правого и двустороннего единичных элементов.]
Введение ц/-произведения в Cq (К) = 2 Cq (К) превращает этот коцеп-
р=0
ной комплекс в градуированное кольцо, т. е. в Cq(A) определено умножение, относительно которого оно является кольцом, причем C^kJC4 s Cp+q.
Теорема. Если cp£Cq(K) и d4 ^Cq^KY то
6 ^c\Jd^ = ^bc^VJd + (■—l^cxj^dy
Это равенство доказывается простым вычислением. Возьмем любой набор sp+?+i lai°-• .«ip+«+4. Тогда
[я*”. . . ягР+в+Ч (6с) xjd = [а4»... я’р+Ч 6с х VCw. .. я4?+з+Ч d =
р+i
= 2 (— 1)г[я4°. • -air. • .a^v^c х [я4р+1.. .a^w^d^ r=0'
Р,
= 2 k — 'VY\a1o...air...aiP*4-vi\cvjd^- r—О
+ (— l)p+1 [я4». . .ajp] с X [я^р+Х . . я4р+з+Ч d.
Далее,'
Va^. . ,я4р+з+Ч cU(6tZ) = [a1». . ,агР\ с X [aip. - . я4р+з+Ч M =
p+q+i
[я4». . . a^ с X 2 (“ l)r-p [я4р. . . aif... я4р+з+Ч d = r=p
= [a^o. . ,а*р] с X [я4р+1. . .я^+з+Ч d +
p+q+1
( —l)p 2 ( — 1)’ [а*°- • -air • • .^Р+з+Ч cvjd.
r=p+l
Следовательно,
[п*о. .. а^+зы] ((6c)U<Z + (— !)pcU(6tZ)) =
p+q+i
= 2 (— l)r[aio.. .air.. ,а*р+9+1] cxjd = r=0
[a’o. . .а^+з+Ч 6 (cut/), или
(sg, (6c) и <Z+ (— l)pcu(6tZ)) = (sg, 6 (cvjd)).]
Коцепной комплекс, в котором определено умножение, относительно которого он является градуированным кольцом, называется коцепным кольцом, если это произведение удовлетворяет формуле 4.1.3. Из теоремы 4.1.3 следует, что произведение двух коциклов является снова коциклом. Более того, если жр— кограница и z— коцикл, то xpkJZ является кограницей, ибо если жр —6ср-1, то 6 (cuz) = (6с) и z-j- (— l)pcu6z = xUz. Подобно этому, если х — коцикл и z —кограница, то и x\Jz является кограницей.
Следствие. Множество Zq(K') коциклов является подкольцом кольца Cq; множество Bq (К) кограниц является двусторонним идеалом в Zq. Факторкольцо В* (К) = Zq/Bq является градуированным кольцом; если кольцо значений В обладает левым (правым, двусторонним) единичным элементом, то такой же единичный элемент существует и в В* (К; В).
В силу изложенного в § 1.2 в доказательстве нуждается только последнее утверждение. А оно основывается на том очевидном факте, что определенная выше цепь е° является коциклом.]
Кольцо В* (К) называется кольцом когомологий комплекса К. Для обозначения умножения в В* мы будем использовать мультипликативную запись.
Конечно, как градуированная группа, R* (K)=Hq(K). Читатель, должно быть, заметил, что обозначение R* (К} не содержит никакого значка, указывающего, что, определяя R* (К), мы отправлялись от тотального комплекса. Однако мы будем писать Rq (К) вместо R* (К), если хотим подчеркнуть отличие этого кольца от какого-нибудь другого кольца, определенного с помощью К.
Легко видеть, что при любой попытке распространить это определение произведения на случай пополненного комплекса К* возникли бы серьезные трудности. В этом случае е° является кограницей и, если в R существует двусторонний единичный элемент, В0 не является идеалом—ибо любой идеал, содержащий единичный элемент, совпадает со всем кольцом.
Мы не требуем, чтобы комплекс К был конечен; все сказанное в равной степени справедливо и для коцепей на бесконечном комплексе.
Как мы уже отмечали, легче производить вычисления, используя меньший комплекс, чем Кй. Поэтому мы сейчас укажем, как определить кольцо когомологий В^ (К) для произвольного упорядочения to вершин комплекса К. Это кольцо изоморфно кольцу Bq (К); оно получается, когда в Сщ(К^, у которого число образующих в каждой размерности меньше, чем у комплекса Cq (К), вводится структура U-произведения. Последнее можно сделать, очевидно, способом, аналогичным принятому нами при определении умножения в Cq (К). При этом будут верны аналоги утверждений 4.1.2 — 4.1.4, так что кольцо когомологий В^ (К) действительно определено.
Предложение. Изоморфизм групп когомологий
9*:Н*Й(К)->Н*(К)
является кольцевым изоморфизмом между Rq^K) и R^Ky
Действительно, коцепное отображение 6Й : Cq (К) —> СЙ (К) (см. 3.2.3) является, очевидно, кольцевым гомоморфизмом. Сужая 9^, получаем кольцевой гомоморфизм
^^(K), B^K^Z'^Ky В^ДК?).
Но отображение 9^, рассматриваемое как групповой гомоморфизм, является в силу утверждения 3.5.3 изоморфизмом, а значит, и кольцевым изоморфизмом.]
Следствие. 9^ : Н^ (К') —* НЙ(К)—кольцевой изоморфизм.
Ибо отображение 9„ является обратным к 9„.]
Обратите внимание^ что 9„, вообще говоря, не является кольцевым гомоморфизмом.
Пусть to, to1 — какие-нибудь два упорядочения вершин комплекса К, и пусть
9®®' . ^ ^ С<Й- ^
— цепной изоморфизм из формулировки теоремы 2.3.1.
Следствие. 9уЮ.: Н^. (К) —> Нщ (К) является кольцевым изоморфизмом между R*. (К) и R* (К).
Ибо 9®9®®' = 9®'.]
Утверждения 4.1.5 — 4.1.7 дают нам право использовать при вычислении кольца когомологий произвольного комплекса К любое его упорядочение to.
Теорема. Если кольцо значений R коммутативно, то кольцо R*(K; R) косокоммутативно, т. е. для любых с,^НЙ(Ку т]5^й(^)
|т) = (-1)рв<
В силу утверждения 4.1.5, достаточно доказать, что кольцо Вщ (К; R) косокоммутативно для какого-нибудь упорядочения со. Пусть со — обратное упорядочение по отношению к и; положим 9 = 9ШШ. Таким образом, 9 описывается формулой
а° ... aTG = Етат ... а0,
где er = (—1)2г(г+1). Мы докажем, что если c^C^K; R), d^C^(K; R), то
9" (cvjd) = ( —l)pg (9"tZu9-c).
Ибо (a0 ... ap+®, 9‘ (cud)1) = (a° ... ap+a9, cud) = ep+g (ap+9 ... a°, cUd) =
= Ep+q ^a?*9 ... а9, с) X (a9 .. . a°, d) =
= Ep+qEpEq (a0 ... a99, d) x
X (a9 ... ap+99, с), так как R коммутативно,
= (- l)p9 (a® . .. a9, M) x(a9 ... a»*9, 0'c) =
= (a°... ap*9-, (- 1)P9 (6’du9‘c)).
Из формулы 4.1.9 мы заключаем, что если ^Я„(К), ц$Я„(Я), то
0*^ = ( — 1)Р9 (0*^) (0*g).
Но в силу утверждения 4.1.7, 6* —кольцевой изоморфизм, так что £ц=(— 1)Р9ц£; теорема 4.1.8 тем самым доказана.]
Подведем итог сказанному. Мы связали с каждым симплициальным комплексом К и кольцом R некоторое градуированное кольцо когомологий R*(K; R). Если в R существует единичный элемент, то такой же элемент существует и в 7?* (К; R), и если R коммутативно, то R* (К; R) косокоммутативно.
Заметим, наконец, что можно обобщить понятие кольца значений R. Пусть А и В—абелевы группы и ^ : Ах B->G— билинейное преобразование, или спаривание, определенное на теоретико-множественном произведении групп А и В и отображающее его в некоторую абелеву группу G. Это означает, что (а4-а', Ь)у = (а, b)y_j-(a', у> у и (а, Ь-|-Ь')у=(а, Ь)у + (а, Ь') у. Тогда на Н* (К; A'jxH*^; В) можно определить билинейное преобразование в группу Н* (К; G), исходя из билинейного преобразования С" (К; Д) х С- (К; В) в С- (К; G), аналогичного и-произведению. Если А = В, можно выделить случай коммутативных билинейных спариваний. Для них имеет место теорема, аналогичная теореме 4.1.8.
Относительный случай, индуцированные гомоморфизмыи топологическая инвариантность
Напомним абстрактное алгебраическое понятие коцепного кольца, о котором мы упомянули в предыдущем параграфе.
Определение. Коцепнтм кольцом называется коцепной комплекс С- —2^Р> в котором определено умножение (о-произведение) так, что (а) С —кольцо, (б) СрUС1 = Ср^ и (в) если cgCp, d^C", то
6 (cod) = (6c)od + (— l)pcu(6d).
Как мы уже отмечали, условие (в) гарантирует, что Z* является коцеп- ным подкольцом, а В*—его идеалом. Тогда о-произведение в С" индуцирует умножение в Н*, и Н* поэтому можно обозначить через R*; по отношению к так определенному умножению R* является кольцом, причем №• Я9 с Hpvq.
Предположим теперь, что С* — подкомплекс комплекса С", являющийся одновременно идеалом. Тогда С" = С*! С" — также некоторое коцепное кольцо с и-произведением, индуцированным из С"; условия (а), (б), (в) выполнены в Сд, поскольку они выполнены в С*. Возникшую ситуацию можно описать, сказав, что имеет место точная последовательность коцепных колец и кольцевых гомоморфизмов
о^-С^С* -^С* <-0.
Эту последовательность мы будем называть структурой kJ-произведения парт С*, С*. Пусть D", Ь* — другая пара, также состоящая из коцепного кольца и его подкомплекса, являющегося идеалом. Говорят, что коцепное отображение ^*;С*, С —> D", Ь" сохраняет структуру kJ-произведения, если все коцепные отображения, индуцированные отображением ф", а именно
Фо"ф-:с*~»п* и являются кольцевыми гомоморфизмами.
Предложение. Если коцепное отображение ф': С", С*—> D', D* является кольцевым гомоморфизмом как отображение С* в D*. то оно сохраняет структуру ^-произведения.]
Существует очень важный пример коцепного кольца с выбранным в нем идеалом. Пусть KQ— какой-нибудь подкомплекс комплекса К. Тогда коцеп- ной комплекс Cq(K, Ко), интерпретируемый как множество тех элементов из Сй^К^, которые принимают значение 0 на всех допустимых наборах вершин из Ко, образует некоторый подкомплекс комплекса Cq^K^, являющийся (в чем читатель может легко убедиться сам) идеалом. Коцепное факторкольцо Cq^K^Cq^K, К^) изоморфно Cq]Kq) не только как коцепной комплекс, но и как коцепное кольцо.
В следующей главе мы покажем, что произвольная последовательность вида 4.2.2 приводит к возникновению точной последовательности
„Р+. vp+i ip„рvp
4.2.44.2.4н Я™ <— н"^^— яр ^ — Нр <—
4.2.4
4.2.4
где № = Нр (С') и т. д. Гомоморфизмы {Хр} определяют гомоморфизм когомологий X* : Н* —^Н*, индуцированный гомоморфизмом X'; так как X" — кольцевой гомоморфизм, то и X* является кольцевым гомоморфизмом. Подобным же образом гомоморфизмы (цр) вместе дают некоторый гомоморфизм ц* : Н*—> Н*, также являющийся кольцевым гомоморфизмом. Составной гомоморфизм v* не является кольцевым гомоморфизмом: у* (Н„ ■ Н^) ^Яр+9+1, тогда как у*Нд-у*Нц с Hp+1-H9+1 <= Hp+W.
Из последовательности 4.2.4 мы можем поэтому извлечь короткую точную последовательность когомологических колец и их кольцевых гомоморфизмов
R*£-R*£-R*.
На паре R*, R* можно определить умножение или билинейное спаривание в R* по правилу £оТ) — £о(Х*т]). Тогда X* является операторным гомоморфизмом в том смысле, что X* сохраняет операцию умножения справа на элемент из R*, ибо
X* (^ц) = (Х*^) т), Ln€K-
Можно также определить некоторое билинейное спаривание на R*, R* в R*. В самом деле, так как С* ■—идеал в С", то B'oZ" s В" и Z‘\jB" с В*. Отсюда и из того, что xkJy^Z* при z^Z", y^Z*, следует, что формула
при x^Z*, у ^Z" определяет некоторое билинейное спаривание из R*, R* в R*. Тогда ц*— операторный гомоморфизм, так как
р*(^) = (нЧИ
для любых ££/?*, ц £ R*. Заметим также, что
Для любого ц g № умножение справа на 1] приводит к некоторому эндоморфизму в Н*, Н* и Н*; этот эндоморфизм будет обозначатьсяг)
через ил. Последовательность 4.2.5 в совокупности с эндоморфизмом ол групп когомологий мы будем называть структурой произведения на паре С", С*. Когда нам понадобится подчеркнуть, что речь идет отнюдь не о структуре о -произведения, мы будем структуру произведения пары называть структурой когомологического произведения. Пусть/)", D* — некоторая другая пара, состоящая из коцепного кольца и его подкомплекса, являющегося идеалом. Коцепное отображение ф*: С", С—>D\ D* сохраняет структуру (когомологического) произведения, если ф*, ф* и ф* являются кольцевыми гомоморфизмами и, кроме того, сохраняются определенные нами билинейные спаривания, т. е.
ф*ит] = ^(p*r^* И ф0 U^ = ^ф^фо.
Предложение. Если коцепное отображение ^Г:С", С*—>D", D сохраняет структуру о-произведения, то оно сохраняет и структуру когомологического произведения.)
Все сказанное относится, в частности, к коцепным кольцам комплекса К и его подкомплекса Ко.
Теорема. оп является эндоморфизмом когомологической последовательности симплициальной пары К, Ко. Иными словами, диаграмма
II ^Нр Нр1-
| иЧ| ит) | ит)ип
^p+«+iHp*q < Hp+q <* 6p+q <*
.коммутативна, где H* = Hq(K,K0), H* = Hq(K), H^ = Hq(K0).
Заметим, что аналогичная теорема имеет место и в более общем алгебраическом случае.
Коммутативность на среднем и правом квадратах вытекает просто из того факта, что X* и р* являются операторными гомоморфизмами. Для доказательства того, что левый квадрат коммутативен, напомним замечание по поводу определения V*, следующее за формулировкой теоремы 2.8.16с. Пусть £о£#о и коцикл х0 — некоторый представитель класса £0; возьмем любое продолжение коцикла х0, т. е. любую такую цепь с 5 Ср, для которой с | Ко = х0, и образуем 6с. Этот коцикл лежит в Ср+1, и его класс как элемент группы Нр+Х не зависит от того, каким образом было выбрано продолжение с коцикла х0. Мы должны доказать, что V* (^оЛ) = (v*to) Л- Пусть у представляет ц и z/|7fo = ^o- Тогда £от] представляется посредством xokJdo, как это следует из определения 5о и 'П- Одним из продолжений коцикла xokJdo служит cvjy, и потому v*(^oti) представляется коциклом б (ckjy) — (6c)kJy, поскольку у—коцикл. Но 6с представляет класс v*£0 и 6ckJy представляет класс (v*^0) "П-]
Изучим теперь, как ведет себя с/-произведение при гомоморфизмах, индуцированных отображениями полиэдров. Рассмотрим сначала случай симплициального отображения v: К, Ко—> L, Lq и индуцированного им коцепного отображения
q>o:Co(L), Cu(Lo)->Cq(K), С'а(К0).
Предложение. Коцепное отображение фд, индуцированное сим- плициалъным отображением пары К, Ко в пару L, Lq, сохраняет структуру vj-произведения и, следовательно, сохраняет структуру когомологического произведения.)
Предложение. Коцепное отображение ^q'.Cq^K'), Са(К0)—> —^Ca(Kw), Са^К^, индуцированное стандартным симплициалъным отображением К^ в К, обладает коцепным обратным отображением Xq. сохраняющим структуру когомологического произведения.
Отсылаем читателя к замечаниям, следующим за 3.6.11; цепное отображение х° : CQ (К) —> Ся (А') может быть определено почти так же, как в 3.2.9. Можно доказать, что ха будет цепным обратным к цепному отображению, индуцированному стандартным отображением. В этом предложении мы рассматриваем коцепное отображение, сопряженное к композиции г таких хя. Так как фд — изоморфизм и сохраняет произведение, обратное к ф*, отображение %* также должно сохранять произведение. Заметьте, мы не утверждаем, что Хд сохраняет и-произведение.]
Теорема. Каково бы ни было отображение f:\K\, |Ао| —> —> | L |,| Lo), индуцированные им гомоморфизмы групп когомологий /*, /*, (/]* сохраняют структуру произведения.
Будем считать теперь, что /*, например, является гомоморфизмом На (L) На (К). Этот гомоморфизм определяется в терминах симплициаль- ного приближения и : К^1 —> L отображения /. Если и индуцирует коцепное отображение фд : Со (L)—>Ca(Kw), рассмотрим отображение
/*---Хд%:СЙ(Б), СаЩ^Са^ CaW
Гомоморфизмы /*, /*, /* —как раз те, которые индуцирует коцепное отображение f. Но фд сохраняет о-произведение в силу предложения 4.2.8, а Хд , в силу предложения 4.2.9, сохраняет когомологическое произведение. Следовательно, и отображение f сохраняет произведение.]
Следствие. Каждое отображение ]:\К\—>|L| индуцирует некоторый кольцевой гомоморфизм f* : R* (L)—>Н*(<К')Д
Теорема. Структура произведения полиэдральной пары является инвариантом гомотопического типа.
Ибо если / : | ЛГ [, |А0|—И^!» I ^о | — гомотопическая эквивалентность, то /* является аддитивным изоморфизмом когомологической последовательности пары L, Lo на когомологическую последовательность пары К, Ко. Но так как /* сохраняет произведение, вся структура произведения пары L, Lo переносится изоморфно на структуру произведения пары К, Ко.]
Следствие. Структура произведения полиэдральной пары является топологическим инвариантом.]
Утверждение 4.2.13 дает нам право употреблять обозначения R*(\K\) и R* (| А |, | Кй |) в случаях, когда мы рассматриваем соответствующее кольцо как свойство полиэдра или полиэдральной пары.
С помощью теоремы 4.2.12 можно доказать гомотопическую неэквивалентность некоторых пар пространств, группы гомологий и когомологий которых изоморфны. Предположим, например, что | К = 5™ х 8п, где m и п—различные целые положительные числа, и ] L \ = Sm V SnV 8т+п (определение операции V«- в§ 1.1). Группы гомологий и когомологий комплексов К и L тривиальны в размерностях, отличных от 0, т, п, т + п, а те из них, которые относятся к указанным размерностям, совпадают с J. Если, однако, £—образующий элемент группы Нт (К^ и г] —образующий 10 Заказ № 1335
элемент группы Н^Ку, то ^т) является образующим элементом группы Н™*" (К); это вытекает из результатов гл. 9. С другой стороны, в R* (L) Нт (L)-Hn (Л) = 0. Условие тфп было введено только для того, чтобы упростить описание доказательства; утверждение, что | К | ф | L I, верно и при т=п.
Вычисления, примеры и приложения
Ясно, что при вычислениях удобнее пользоваться упорядоченным комплексом К, чем тотальным комплексом KQ. Точно так же мы, как правило, предпочитаем использовать возможно меньший комплекс К среди всех покрывающих рассматриваемый полиэдр. Покажем, что когомологическое кольцо полиэдра может быть вычислено на основе любого его упорядоченного предразбиения К (см. § 1.11).
Пусть К есть Ч'-комплекс и со — некоторое упорядочение его вершин. Определим в Сю (К) U-произведение. Пусть с £ СР, d^CO и ор+д—некоторый упорядоченный симплекс с вершинами (в заданном порядке) а°, а1, ..., dP+ч. Обозначим через 6(р)а упорядоченную грань симплекса sp+g, натянутую на вершины а0, а1, ..., аР, и через i|)(g)O его упорядоченную грань, натянутую на вершины аР, ..., аР+в. Обратите внимание, что, хотя на некоторое множество вершин ^-комплекса может натягиваться более чем один симплекс, любое такое множество может определять не более одной грани данного симплекса. Определим теперь с yd по правилу
(пр+д, с Li d) = (9(р)О, с) X (Ф<д) ®, dy.
Это правило аналогично правилу из 4.1.1. Легко проверить, что относительно так определенного У-произведения Сю (К) является коцепным кольцом, и мы определим R* (Ку как его кольцо гомологий.
Но барицентрическое подразделение К' предразбиения К является симплициаль- ным комплексом, и можно определить некоторое предсимплициальное сохраняющее порядок вершин стандартное отображение и : К' -> К следующим образом. Каждая вершина комплекса К' является барицентром некоторого упорядоченного симплекса s комплекса К и переводится отображением и в ведущую вершину симплекса s; каждый симплекс комплекса К’ отображается линейно на ту грань его носителя в К, которая натянута на так определенные образы его вершин. Отображение и индуцирует цепное отображение ф : Сщ' (К'У —>- С® (К), являющееся цепным обратным к отображению X : Сш (К)-> Сю (!?'), определенному непосредственно перед доказательством теоремы 3.8.11. Здесь со'—то (частичное) упорядочение комплекса К', которое было определено в § 2.1. Читатель без труда проверит, что ф" сохраняет U-произведение. В силу теоремы 3.8.11, X* является аддитивным изоморфизмом и обратный к х* изоморфизм ф* сохраняет произведение. Следовательно, %* является изоморфизмом колец Ra- (К') и Ra^Ky. Но в силу утверждений 4.1.5 и 4.2.13, Ra- (К') г R* (| К' |) и |7С| = |К'|; отсюда следует, что Ra (К) a R* (| К |).
Применим этот результат к вычислению целочисленного кольца когомологий вещественного проективного пространства Р”, используя при этом его упорядоченное цредразбиение К, описанное в § 3.9. Напомним, что Я°(РП) = 7, П29(РП) = 72 при 0<2g<;n и Нп (Pny = J при нечетном п. Остальные группы когомологий пространства Рп равны нулю. Пусть единица еО коцепного кольца комплекса К принадлежит, например, классу к)0 ( Но (Рп). Тогда ц° порождает группу НО (Рп) и является единицей кольца R* (Рпу. Обозначим ненулевой элемент группы Н2ч (Рпу через £29, а элемент, порождающий группу Нп (Рп), в случае нечетного п, через г]”. Так как рг (рп)—нуль лри г">п, то ясно, что ^irf^O и т]пт]п = О. Необходимые для дальнейшего сведения о структуре произведения кольца R* (Рп) дает
Теорема. Если 2(g4-r)^n, то g2gg2r_ g2g+2r.
Чтобы подсчитать левую и правую части, мы определим для каждого р, 1^.р<Сп, некоторую специальную коцепь cP следующим образом: (а^...а’р, ср) = 0, если знаки е0, ej, ... ер не чередуются, (а’“ ... а’р, сР) = 1, если знаки чередуются.
Если р > п, положим сР=0 и определим сО как е®. Нетрудно показать, что для всех р, g > О, таких, что p + q<^n, имеет место формула
cPlUc9 = cP+9.cPlUc9 = cP+9.6d) = (a^a^, ci)—(a^2, d) + (a’»a’J, ci).6d) = (a^a^, ci)—(a^2, d) + (a’»a’J, ci).4.3.2
cPlUc9 = cP+9.
cPlUc9 = cP+9.
6d) = (a^a^, ci)—(a^2, d) + (a’»a’J, ci).
6d) = (a^a^, ci)—(a^2, d) + (a’»a’J, ci).
Вычислим теперь 6c1;
(a^a^a)2, ' eg Bi + >
Детальный анализ возможных значений eQ, ei показывает, что правая сторона равна нулю во всех случаях, за исключением того, когда g0=4-, ej=—. Значит, 6с1 = 2с
и, следовательно, 6с2 = 0. Применяя равенство 4.3.2, можно теперь по индукции доказать, что
„ ГО при четном р,
12ср+1, если р нечетно и р + 1^п.
Докажем, что {с29}—ненулевой элемент группы Н^ при 0 < 2g <^ п и что {с”} порождает группу Н", если п нечетно.
Конечно, во всех этих случаях ср является коциклом. Возьмем теперь цепь ?р=2 е1 • • • ераЕ! • • • ае «++1 из 3.9.2; в § 3.9 было доказано, что ер
Г2^р_!, если р четно ир<п, р 10, если р нечетно.
Для любого р <, п имеет место равенство (£р, ср) = (—1)LJ, где через [а;] обозна
чено наибольшее целое число, не превосходящее х. Это равенство вытекает из того факта, что коцепь ср принимает значение нуль на всех симплексах, встречающихся в цепи £р, за исключением одного, а именно того, в котором знаки elt ..., ер,-f- чередуются; знак «—» в этом наборе появляется ровно ^-^-(р + 1) J раз.
Тот факт, что (^р, сР)=± 1 при 1 <Г Р <С nt исключает возможность того, чтобы cP была кограницей. Ибо если сР = Мр-1, то (£р, сР) = (£р, 6йр-1) = (^рЭ, dP-1). Но (£рд, ДР"1)—четное число, и это противоречие показывает, что во всех случаях, когда cP—коцикл, {cP}—не нуль. Поэтому {с29} является ненулевым элементом группы Н^я при 0 < 2р < п.
Если в случае нечетного п класс {с™} не был бы образующим элементом группы Нп, то для некоторого г] Г Нп и целого числа А> 1 {сп} = Ац. Но ({£n}, {cn}) = (£n, с”) = ± 1; с другой стороны, ({£п}, {сп}) = ({$п}, ^Л), где справа стоит число, делящееся на к. Это противоречие показывает, что при нечетном п {сп} является образующим элементом группы Ha.
Если теперь вместо {с29} мы будем писать £29 при 0<2д<Сл, то из равенства с2дис2г__с2д+2г будет следовать равенство g2g^2r_g2g+2r ПрИ 2g-j-2r<^ra.]
Теорема. Я* (Р";/2) @/г И/^"4"1]'
Выражение, стоящее справа, обозначает полиномиальное кольцо от одной переменной х с коэффициентами в Ja, приведенное по модулю идеала, порожденного a?n+1.
Интерпретируя все целочисленные коэффициенты и значения как элементы группы J2, можно, так же как и выше, определить £р и cP. Тогда при всех р £р является циклом и cP—коциклом; Hp=J2 для 0<^р<Щ испомощью приведенного выше доказательства, приспособленного к случаю 7г, получаем, что {cP} является ненулевым элементом группы HP при 0<р<;п. Условимся писать £ вместо {с1}=^1 и 1 вместо {с0}; тогда соотношение ср = (с!)р означает, что ^р = (§)р. Произвольный элемент из 7?* является, следовательно, полиномом от § степени << га с коэффициентами из J2, аддитивная структура кольца R* совпадает с аддитивной структурой кольца таких полиномов. Мультипликативная структура кольца R* также совпадает с мультипликативной структурой полиномиального кольца, но лишь с той поправкой, что £ в любой степени, большей п, равно нулю. Изоморфизм, существование которого утверждается в теореме, можно получить, отправляясь от гомоморфного отображения
<р : Ja kJ R*.
описываемого формулой ф(а?)=§. Это отображение — эпиморфизм с ядром [жп+:Ч; отсюда немедленно следует нужный результат. ]
Полученные результаты позволяют установить один факт, интересный с технической точки зрения. В следующей главе будет доказано, что группы целочисленных когомологий бикомпактного полиэдра однозначно определяют его группы когомологий со значениями в произвольной группе. Установим теперь, что аналогичный результат для кольца когомологий не верен1).
Пример2). Пусть |^j=P3 и | L ] = Р2 V У3; тогда R* (К; J) e R* (L; J), но 7?* № Jai R* ^L; Jz)-
Для комплексов без кручения описанной в примере 4.3.4 аномалии не бывает. См. 5.2.24.
Нам придется воспользоваться некоторыми легко доказываемыми фактами, касающимися операции V- Если | L | = | L^ | V | Ь2 ], то группу Нр (L) при р>0 можно естественным образом отождествить с группой Н^ (Li) ф Нр (L2); каждый элемент ^ЯР(Ь) единственным способом представляется в виде £1+^2, гДе £f € Нр (Lt). Если Т)ея8(£), 9>0 и ц = г]14-г]2, то ^т) = ^1'П1 + ?2'П2; иначе говоря, Нр (Li)-HQ (L^ — O для р, д>0. Вернемся к нашему примеру. Образующими кольца Я* (Я) являются элементы гр, g, |, как в 4.3.1; порядок £2 равен 2, порядок g3 бесконечен. В мультипликативной; структуре кольца R* (К) элемент т)° является единичным, остальные произведения других образующих х) равны нулю. Образующими кольца R* (L) являются е°, £2, 63; порядок £2 равен 2, порядок О3 бесконечен. Здесь е°—единичный элемент, а попарные произведения остальных образующих равны нулю. Ясно, что тогда R* (Я) s R* (L). С другой стороны, образующими кольца R* (К, Jj) являются элементы £°, I1, £2 и |3, причем У §2 = §3, в то время как образующими кольца R* (L; /2) СЛУ“ жат £°, g1, £2, 63, причем £1£2=0. Следовательно,
R* (К; Jj) $ R* (L; J2).
Из результатов, доказанных для кольца когомологий вещественной проективной плоскости, мы можем вывести неожиданные и привлекательные следствия.
Теорема. Если т^п и а—ненулевой элемент группы ПфРт), то каково бы ни было отображение / : Рт —> Рн, af^ = O.
Случаи n=0, 1 тривиальны, поэтому мы предположим, что п>2. Пусть £, г) — ненулевые элементы групп Н1 (Рт; J2) и Н1 (Рп; J2). Так как отображение /* : R* (Рп; J2) —> R* (Рт-, J2) гомоморфно и r]m=0, то и (/*r])m = 0, откуда следует, что /*Т] ф £ и поэтому /*т)=0. Следовательно, (а/*, т]) = (а, /*ц)=0, где кронекеров- ское произведение берется между элементами группы целочисленных гомологий и группы когомологий со значениями в J2> причем произведения принадлежат 32.
Если 0—ненулевой элемент группы Hi (Рп), а зи с представляют классы 0 и Ц, то (0, "П) = (z, с) = 1; ибо можно взять в качестве z цикл ^ из доказательства теоремы 4.3.1, а в качестве с — У2"К°ЦИКЛ с1 из доказательства теоремы 4.3.3. Но Ht (Р") содержит только два элемента, 0 и 0, и нами доказано, что а/* ф 0; значит, а/*=0.]
Отображение / : 8т —>-8п называется антиподальным, если каждая пара диаметрально противоположных точек сферы 8п отображается на пару диаметрально противоположных точек 8п.
Теорема, Если / : Sm —^ 8п— антиподальное отображение, то т^п.
Пусть <2, R—такие же разбиения сфер Sm, 8п, как в § 3.9, с вершинами а1±, Ь^., К, L—описанные в § 3.9 предразбиения пространств Рт и Рп, и пусть q : Q-^-K, r:R-*-L—предсимплициальные отображения, отвечающие этим разбиениям. Тогда |д| : 8т-^Рт, [г[ : 8п->-Рп—факторотображения, отождествляющие диаметрально противоположные точки. Так как / — антиподальное отображение, существует такое отображение g : Рт —>- Рп, что | q | g = f | г |. Не теряя общности, мы можем предполагать, что ау = ьу.
Применяя теорему о симплициальном приближении, справедливую и для 'Р-ком- плексов, заключаем, что g обладает некоторым приближением и : Я(8>—>■ L. Отображение и можно поднять до некоторого антиподального симплициального отображения и : Q^i—^R, такого, что q'-s')u=ur. Для каждой вершины а из Q№ аи является той вершиной из г-1 (ag<s> у), звезда которой содержит точку af. Так как и—симплициальное приближение отображения g, то а\и = Ь\.
Предположим пока, что п>2. Возьмем в Q 1-цепь с-а^ау— а£а| и в R 1-цепь d=by>^.—blb%. Так как я|м = Ьф и отображение и антиподально, то а\и = Ы. Следовательно2), су^и— d является 1-циклом на П = 8п и потому, так как n^2, с%у'> и — d. Теперь, cq=t,x —это тот 1-цикл на К, гомологический класс которого выше был обозначен через а. В силу 3.6.5, {c%<s> g(S)} = {c?%(s>} = a%(V- Следовательно,3)
P = {tZr} = {cX<s>ltr}={c%<s>g(S) v^ = ax^ v* = a| y|,.
x) Здесь идет речь и о произведениях остальных образующих на себя.—Прим, перев.
Но ] v | — отображение Рт в Рп, и мы можем, прибегая к теореме 4.3.5, заключить, что m ^ п.
Если п = 0, то из несвязности сферы 8° немедленно следует, что и т=0. Если п = 1 и т>0, положим c_ = aia?. —а£а^ (это антиподальная по отношению к с цепь) и аналогично d_ = bLb^— ЬуД. Цепь cX<s> и—d снова оказывается циклом. Поэтому для некоторого целого числа к, с%<8> и — d=k(d-\-dJ), ибо R=S1, и потому Zf (Д) = /, причем d-\-d_ служит образующим элементом группы Zt (Я). Так как %<s> и и — антиподальные отображения, то c_%<s>u—d_ = к (d_ + 5), так что
(с + с-) %^u=(2k-V 1) (tZ-|-tZ_).
Но (2Л-)-1) (d-(-d_) ^ 0, вследствие чего с-Нс—^О и т=1.]
Следствие (Борсук — У.гаму Для любого отображения f : S™—^ R™ существует такая пара диаметрально противоположных точек х, —х^8т, что (х^) = (— ж)/.
Будем считать 8т единичной сферой в евклидовом пространстве Rm+1, а с точками евклидова пространства будем обращаться как с радиусами-векторами (по этой причине мы обозначаем точку, антиподальную к х, через —ж). Предположим теперь, что доказываемое утверждение не верно. Тогда (х) f— (—х) f есть ненулевой вектор в Rm, какова бы ни была точка х£8т. Пусть (х) g—единичный вектор того же направления, что и (ж) /—(—ж)/. Тогда g—некоторое отображение сферы 8т в сферу 8т-1, так как единичные векторы из Rm определяют точки сферы 8т~х. С другой стороны, (—ж) g=—(ж) g, так что g—антиподальное отображение 8т в 8т-1. Это противоречит теореме 4.3.6. Утверждение 4.3.7 доказано.'
Следствие. Пусть Л^, ...,Ат— ограниченные измеримые подмножества Rm; тогда существует в Rm гиперплоскость, которая делит пополам каждую из этих областей.
Пусть мера множества А} равна р,. Рассмотрим перенос h : Rm+I, О —>■ Rm+1, р пространства Rm+i на вектор р, не принадлежащий Rm. Для каждой точки х £ 8т обозначим через п™ гиперплоскость, проходящую через точку р перпендикулярно к вектору Ох. Так как р не принадлежит Rm, то п™ не совпадает с Rm. Определим Ui (ж), l<^i^m, как меру той части множества At, которая лежит с той /же стороны от л™, что и точка хН. Для каждого t uj (х) представляет собой непрерывную вещественную функцию на 5т. Следовательно, можно определить отображение / : 8т —>- К"' по следующему правилу:
$/ = («! (ж), ип1(х')У
Если х, — х являются диаметрально противоположными точками сферы 8т, то л™ = л™ж. С другой стороны, точки xh и (—ж) h лежат по разные стороны от п™. Следовательно, ut (ж)4-п; (—ж) =;р,. По теореме 4.3.7 существует такая точка ж0 £ 8т, что (ж0)/ = (—ж0)/. Тогда ut (ж0) = ut (—ж0) при всех i, l<i<m. Это означает, что для всех г, ui (ж0) = (1/2)р,. Плоскость л”1 не параллельна пространству Rm и потому пересекает его по некоторой гиперплоскости (в Rmy которая делит пополам каждое из данных множеств.]
Это утверждение для случая т = 3 известно под названием «теоремы о сандвиче».. Три измеримые множества — это три слоя сандвича, а делящая пополам плоскость— это плоскость ножа, рассекающего единым взмахом сандвич на две равные части.
. п-произведение
В этом параграфе мы опишем произведение между классами гомологий и когомологий, которое в некотором смысле сопряжено к когомологическому произведению. Мы не придаем этому понятию особенного значения и потому рассмотрим его в общих чертах в абсолютном случае, считая коэффициенты целочисленными.
Рассмотрим произвольный симплициальный комплекс К. Пусть [а*0 ... а^+з] — допустимый набор и d £ Cq (К). Свяжем с каждой такой парой некоторый элемент
[^о... (К)
по следующему правилу1):
[аг°. .. alp+q]nd = ([аг° . .. агр], d) [агр .. . агр+д].
Распространяя определение 4.4.1 по линейности, получаем билинейное спаривание групп Cp+q(K) и Сд (К) в С^Ку Произведение cp+q n dv называется п-произведением цепи с на коцепь d. Если т<_р и с^С?, a d^Ca, мы полагаем cnd = 0.
Это определение можно обобщить до определения произведения между С^+ (К; G^ и С^ (К; Н), если дано билинейное спаривание групп G и Н в абелеву группу <2. В этом случае Q-произведение 1 цепей и коцепей лежит в С^ (К; QY Наиболее важные специальные случаи здесь таковы: (a) H—J, Q = G, а спаривание заключается в умножении целых чисел на элементы группы G; (б) G—H=Q= R есть кольцо, а спаривание задается определенным в R умножением.
Теорема. Если c^Cp+q+r(K), d^Ca(K), e^Ca(K), mo (cnd)ne = = cn(due).
Это главная формула, связывающая произведения п и о. Мы должны проверить ее только в случае с = [д’о .. . a’p+g+d, а затем использовать линейность:
([a’» .. . ар+з+т^^гле = ([a’o . . . агру d) • Др . .. агр+д+г] ne =
■= ([a’° . .. alpy d) X ([alp . .. агр+чу e) • [alp+g . . . a’p+g+r] =
= ([a1» .. . агр+ау due) - Др+з .. . агр+д+г] =
= [аго .. . агр+9+т]п^ие). J
Напомним описание на стр. 112 «пополнение» е: С® (К)—>1, которое ставит в соответствие произвольной 0-цепи сумму входящих в нее коэффициентов2). С помощью е удается связать п-произведение с кроне- керовским произведением.
Предложение. Если с^Ср(К) и Д^Сц^К), mo (с nd) е = (с, d).
Мы проверяем это равенство в случае с = [аг° ... a'vy азатем используем линейность.]
Следствие. Если c^Cp+q(Ky d^Ca(K), e^Ca ДУ то (end, е) = = (с, due).]
Теорема. Если c£Cp+q(Ky d^Ca(K), то
(end) d = (— 1)р (ednd — cn6d). ]
Эту теорему можно доказать прямыми вычислениями. Однако с меньшим трудом ее можно вывести из 4.4.4, используя тот факт, что цепь
х) Существует другой способ определения произведения, в котором в отличие от первого сомножители записываются в обратном порядке, а именно
d.Cl [Л ... aip+9]=([?9 ... ар+Ч d)-^" ... ^l-
Результаты, аналогичные результатам, полученным в этом параграфе, имеют место и для такой формы О -произведения, нужно только сделать некоторые изменения в знаках. В этом варианте формула 4.4.2 читается так: с Q (d П е) = (с u d) И е, где с, d—коцепи, а е — цепь.
2) е связано с дцследующим правилом: содо=сое[ ], «о £Cq (К).
обязательно равна нулю, если равно нулю ее кронекеровское произведение с любой коцепью. Нетрудно доказать, что кронекеровские произведения обеих сторон равенства 4.4.5 с любой коцепью равны между собой (здесь надо сослаться на теорему 4.1.3). Рекомендуем читателю попробовать проделать это в качестве упражнения. Менее изящное доказательство, основанное на вычислениях, более легко распространяется на случай общих коэффициентов.
На основании теоремы 4.4.5 мы заключаем, что гл-произведение индуцирует билинейное произведение (также обозначаемое через гл) между элементами групп //р+д (К) = Hp+q (К) и Яр (#) со значениями в Hq(K). Если
О € ^p+g+r^, UH4K), ЧЕНЧК),
то в силу теоремы 4.4.2, (агл£)глц = «гл(£, ц). Можно определить отображение е*: ПДЮ)-^! как гомоморфизм, индуцированный е; из предложения 4.4.3 следует, что для любых а£Нр(К) и £ £ Нр (Я), (агл£) е# = (a, g).
Совершенно так же могут быть определены гл-произведения для упорядоченного комплекса и доказаны аналогичные результаты. Связь между гл-произведениями в К® и Кй устанавливает
Предложение. Если с^Ср^д^К), d^CQ^K), то cQ®r\d=(cr\9ttld')9K>* Пусть а0 ... ар+® — упорядоченный симплекс из К®. Тогда
а0 ... a^b^rsd = [а» ... a^t^d = ([а0 ... ар], с?)• [ар ... лр+9] =
= (а0 ... ар0“, d)-«p .. . а^О® = (а°... ap+9nO)0“.]
гл-произведение в К® можно выразить через гл-произведение в KQ следующим образом:
Следствие. Если аДН^ДЧ, ч^Нщ^К^ то аглц = (а0® глбщ л) 9* • Из предложения 4.4.6 мы видим, что для любого элемента ^^Hq^K)
(а0“п£) = (ап9^) 9®.
Заменим теперь £ на 0„ц, где 0„—обратный к 0щ изоморфизм.] Рассмотрим теперь, как ведет себя гл-произведение при симплициаль- ных отображениях.
Предложение. Пусть и: К—>Е — симплициалъное отображение, ф:Са(7С)—>СЙ(Е)— индуцированное им цепное отображение, тогда, для любых с^Са{К) и d^Ca (L), сфглс? = (сглф'й) ср.
Доказательство формально совпадает с доказательством предложения 4.4.6. ]
Следствие. Если аДНДК) и ц^ Н* (L), то аф^глц = (аглф*т]) ф*. ] Отсюда можно вывести основную теорему.
Теорема. Для любого отображения f :\К\—> | L |, если а^ Н* (| К |) и ч^Н* ЦЕ\), то
а/*гп1 = (агл/*т1) Д.
Техника доказательства здесь та же, что и при доказательстве соответствующей теоремы для когомологических произведений (теорема 4.2.10). ]
Следствие), гл-произведение является инвариантом гомотопического типа; точнее, если f : | К | —> | L | — гомотопическая эквивалентность с гомотопически обратным g:|L|—>1^1, то для любых а £ Н* (] К |) М^Я*(|^|)
(ang)/* = af*ng*t
Это следует из теоремы 4.4.10, если заменить т] на g*^ и использовать тот факт, что g* является обратным отображением к/*.] Отсюда, конечно, сразу вытекает топологическая инвариантность гл-произведения, откуда в свою очередь следует независимость о-произведения от выбора триангуляции.
Мы закончим эту главу некоторыми замечаниями о применении п -произведения к изучению многообразий. Комплекс К называется (гомологическим) п-многообразием, если для любого его р-симплекса группы гомологий зацепленного с ним комплекса (см. 2.10.11—2.10.12) совпадают с группами гомологий сферы размерности (п—р — 1); n-многообразие называется ориентируемым, если его n-симплексы можно так ориентировать, чтобы их сумма была циклом z„. В этом случае элемент a = {zn} порождает группу Hn(K) = J.
Важным свойством таких многообразий), доказываемым с использованием двух двойственных друг другу разбиений на блоки их барицентрических подразделений К', является то, что для любой абелевой группы G
Нр (К; G) а Нп_р (К; G).
С помощью П-произведения можно дать явное описание некоторого изоморфизма между этими группами. Действительно, пусть ц £ № (/С; G); соответствие г)—>а р ц доставляет такой изоморфизм.
Из соотношения 4.4.12, доказывать которое мы не будем, и результатов § 5.2 вытекает
Теорема. (Закон двойственности Пуанкаре.) Если К—ориентируемое (гомологическое) п-многообразие, то wHp (К) S wHn_p (К) и Тр^ (К) Т^р (К). ]
Изоморфизмы 4.4.12 и структура произведения в Н* (К; R) задают структуру произведения в Н* (К; R), где К—ориентируемое многообразие и R—кольцо. Для любых элементов 0 £ Нт (К; R), ч£Нз№ Е) их класс пересечения 0-у принадлежит группе Hr+s_n(K; R). Если 0=а П g, у = а О г), то 0-у определяется как а О (| и ц). Понятие пересечения двух циклов в многообразии интуитивно гораздо яснее, чем понятие у-произведения двух коциклов, и имеет более длинную историю ).
Упражнения
Вычислите целочисленное кольцо когомологий тора З'1 х S1. (Используйте пред- разбиение тора.)
Покажите, используя замечание в конце § 4.2, что пространство Sm \/ Зп не является ретрактом пространства Sm х Sn, если m и п положительны.
Покажите, что если Р и Q—связные полиэдры с единственной общей точкой, то для любого кольца значений R
R* (Р \/Q-,R)=i R* (Р; R) ф R* (Q-, R).
(Здесь R* — приведенное кольцо когомологий.)
Пусть Р, Р0 — некоторая полиэдральная пара и полиэдр Р стягиваем. Покажите, что тогда все ij-произведения элементов положительной размерности кольца R* Ц\, Р<^ равны нулю. С помощью теоремы вырезания докажите, что если SK— надстройка над К, то все и-произведения элементов положительной размерности кольца R* (SK) равны нулю.
Пусть К—симплициальный комплекс и Ко, Kt—его подкомплексы. Определите U-произведение элементов групп № (К, Кй; R) и Н9 (К, К^, R) со значениями в НР+9(К, Ко \j Kv, R) и докажите его инвариантность.
Говорят, что полиэдр Р является полиэдром категории ^.п (записывается cat Р <: п), если из некоторой его триангуляции можно выделить п таких подкомплексов Къ ..., Кп, в совокупности покрывающих Р, что каждый полиэдр | Kt | стягиваем в Р. Покажите, что если cat Р ^ п, то любое n-кратное у -произведение элементов положительной размерности равно нулю. (Указание: примените произведение, определенное в упр. 5.)
Покажите, что если К—связный л-мерный комплекс, то cat | К | ^ л+ 1. Выведите, используя результат упр. 6, что,. cat*Pr- = n4-1; здесь Рп— проективное п-про- странство.
Обобщите теорему 4.2.7 на случай когомологической последовательности тройки.
Докажите теорему 4.4,5.,
Пусть L—ориентируемое n-многообразие 'и / : | К | -> | L | — отображение полиэдра | Д’| в |£|. Покажите, что если j* отображает группу Нп (К) на группу Нп (L), то /* отображает НТ (К) на Нт (£) при всех г.
АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ И ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
В эту главу включены те результаты теории абелевых групп Ц, которые имеют отношение к теории гомологий. Некоторые из наших результатов будут применены к теории гомологий конечных комплексов и могут рассматриваться как классические. Те разделы теории абелевых групп, которые применяются к бесконечным комплексам, имеют более сложную природу и вместе с материалом гл. 10 составляют введение в гомологическую алгебру (см. [14], [15]). От классических результатов мы ждем нового освещения результатов предыдущих глав. Заключительную часть данной главы скорее всего следует рассматривать как подготовку к гл. 8, 9 и 10.
Все группы в этой главе являются абелевыми, поэтому будет использоваться аддитивная запись. В связи с этим слово «абелева» можно опускать. Группу G мы будем называть /g-группой, если G—конечно порожденная абелева группа.
. Стандартные базисы цепных комплексов
Главная наша цель в этом параграфе состоит в том, чтобы получить стандартные базисы цепных групп геометрического fg-комплекса. В этой главе цепной комплекс С называется геометрическим (с нижней размерностью т), если каждая группа Ср свободна и, для некоторого целого числа т, CP = Q при всех р<ш. Это определение незначительно обобщает определение § 3.4. Цепной комплекс С называется /g-комплексом, если каждая группа Ср является /g-группой. Таким образом, наши результаты применимы к цепному комплексу С (К) любого конечного ориентированного комплекса К и к С ^К^. Важным свойством стандартного базиса является то, что группы гомологий с его помощью могут быть немедленно выписаны и в очень удобной форме.
Докажем сначала основную теорему о /g-группах.
Теорема. Пусть F — свободная /g-группа ранга) п и R — ее подгруппа. Тогда R является свободной /g-группой ранга т<_п, и можно выбрать базисы (а^ . .., п„) в F и (bt, .. ., Ът)в R так, что найдутся целые числа ht,...,hm, такие, что hj^ делится на hj (}=1,...,т— 1) и bt = = htat (i= 1, . .., т).
Мы начнем с определения понятия высоты элемента группы F и установим некоторые его свойства.
х) Основные сведения из теории абелевых групп читатель найдет в [20], гл. 6.
Пусть gt, ...,gn—какой-нибудь базис группы F и а—ненулевой элемент из F;
а единственным способом записывается в виде V htgt. Числа 1ц, ...,hn мы будем на- 1
зывать коорЭинатами элемента а относительно заданного базиса. Определим высоту h (а) элемента а как наименьшую из положительных координат, которые он получает при всевозможных выборах базиса. Так как а—ненулевой элемент, то такой базис, относительно которого хотя бы одна координата элемента а положительна, существует. Предположим теперь, что gt, ..., gn—такой базис, относительно которого первая коор
дината элемента а равна А(а). Тогда a = h (a) gi + 2 hlgl- Полагая hi = qjh (а)тц, где 2
ОО/ < A (a) (i = 2, ..., га), можно записать а = h (a) ga-V^rtgb где ga = gf+ 5 Sigi- Тогда 22
ga, gii ■ • ч gn образуют базис, а свойство минимальности h (а) означает, что г,=0 (i = 2, ..., га). Отсюда следует, что для каждого элемента a^F существует элемент ga, который входит в некоторый базис группы F и связан с а соотношением
5.1.25.1.2a=h^ga.
5.1.2
5.1.2
Докажем теперь, что для любого базиса группы F число h (а) является наибольшим общим делителем (н. о. д.) множества координат элемента а относительно этого базиса. Из того, что элемент ga можно разложить по этому базису, и из равенства а = h (a) ga следует, что А (а) делит каждую координату элемента а и, следовательно, есть их наибольший общий делитель. С другой стороны, если А делит каждую координату элемента, то a = hg. Разложив элемент g по базису, содержащему ga, получаем сразу, что А (а) делится на А. Следовательно, н. о. д. делит А (а) и, значит, равен А (а).
Пусть R—ненулевая подгруппа группы F; определим А (Я) как наименьшую из высот ненулевых элементов из й и докажем, что А (Я) делит высоту каждого ненулевого элемента из R. Предположим, что bt£R и A (At) = At = A (Я); пусть 61 = Ata1 и сц, g2, ...,gn—некоторый базис группы Г. Пусть с ^R и c = Z1a1 + 2 mjgt. Для лю- 2
бого целого числа q положим cq—c—qb^. Так как ca^R, то либо с„=0, либо A (cq) > hv
Рассмотрим те cq, у которых первая координата отлична от нуля. Сказанное выше означает, что каждая из этих первых координат по абсолютной величине )> At,
а потому Zf делится на 1ц. Пусть Z1 = ^1A1, тогда cq _i = A1a1 + ^J mig;. Наибольший 1 2общий делитель этих координат элемента cq .^^А^ и потому в силу свойства минимальности числа А (Я) этот н. о. д. = А4. Значит, все т;(1 = 2, ...,п') делятся на 1ц, следовательно, и А (с) делится на (ц.Примем теперь индуктивную гипотезу, что теорема доказана для свободных /g-групп ранга (я—1); разумеется, опа имеет место для свободных /g-групп ранга 0. Предположим, что подгруппа Я не тривиальна (в противном случае нам нечего доказывать) и что bt, 1ц, <ц, g2, ..., gn выбраны так, как и выше. Тогда, если At—под-а потому Zf делится на 1ц. Пусть Z1 = ^1A1, тогда cq _i = A1a1 + ^J mig;. Наибольший 1 2общий делитель этих координат элемента cq .^^А^ и потому в силу свойства минимальности числа А (Я) этот н. о. д. = А4. Значит, все т;(1 = 2, ...,п') делятся на 1ц, следовательно, и А (с) делится на (ц.Примем теперь индуктивную гипотезу, что теорема доказана для свободных /g-групп ранга (я—1); разумеется, опа имеет место для свободных /g-групп ранга 0. Предположим, что подгруппа Я не тривиальна (в противном случае нам нечего доказывать) и что bt, 1ц, <ц, g2, ..., gn выбраны так, как и выше. Тогда, если At—под-группа, :#2’ • ■ • , gmгруппа, :#2’ • ■ • , gmпорожденная элементом сц, и F'—подгруппа, порожденная элементамипорожденная элементом сц, и F'—подгруппа, порожденная элементамито F^A^^Fто F^A^^F/g-группа ранга (га—1) и R’ вуют такие базисы г) (Ь2, .../g-группа ранга (га—1) и R’ вуют такие базисы г) (Ь2, ...и R=htA1^H', где R' = Rf\F'. Тогда F'—свободная—-ее подгруппа. В силу предположения индукции сущест-и R=htA1^H', где R' = Rf\F'. Тогда F'—свободная—-ее подгруппа. В силу предположения индукции сущест-bm) в R', (а2bm) в R', (а2числа А2, •■■Ат, что h.j делит Ау+1(/ = 2.числа А2, •■■Ат, что h.j делит Ау+1(/ = 2.ап) в F', где т—1<га— 1, и, такие т — 1) и bj = hjaj (/= 2, ...,т\ Но h2—ап) в F', где т—1<га— 1, и, такие т — 1) и bj = hjaj (/= 2, ...,т\ Но h2—высота элемента 62 € R, так что А2 делится на h^ Далее, (аь а2, ..., ап)—базис группы F и (1ц, b2, ...,Ьт')—базис группы 7?; таким образом, из справедливости теоремы для свободных /g-групп ранга (га—1) следует ее справедливость для свободных /g-групп ранга га.]высота элемента 62 € R, так что А2 делится на h^ Далее, (аь а2, ..., ап)—базис группы F и (1ц, b2, ...,Ьт')—базис группы 7?; таким образом, из справедливости теоремы для свободных /g-групп ранга (га—1) следует ее справедливость для свободных /g-групп ранга га.]
а потому Zf делится на 1ц. Пусть Z1 = ^1A1, тогда cq _i = A1a1 + ^J mig;. Наибольший 1 2
общий делитель этих координат элемента cq .^^А^ и потому в силу свойства минимальности числа А (Я) этот н. о. д. = А4. Значит, все т;(1 = 2, ...,п') делятся на 1ц, следовательно, и А (с) делится на (ц.
Примем теперь индуктивную гипотезу, что теорема доказана для свободных /g-групп ранга (я—1); разумеется, опа имеет место для свободных /g-групп ранга 0. Предположим, что подгруппа Я не тривиальна (в противном случае нам нечего доказывать) и что bt, 1ц, <ц, g2, ..., gn выбраны так, как и выше. Тогда, если At—под-
а потому Zf делится на 1ц. Пусть Z1 = ^1A1, тогда cq _i = A1a1 + ^J mig;. Наибольший 1 2
общий делитель этих координат элемента cq .^^А^ и потому в силу свойства минимальности числа А (Я) этот н. о. д. = А4. Значит, все т;(1 = 2, ...,п') делятся на 1ц, следовательно, и А (с) делится на (ц.
Примем теперь индуктивную гипотезу, что теорема доказана для свободных /g-групп ранга (я—1); разумеется, опа имеет место для свободных /g-групп ранга 0. Предположим, что подгруппа Я не тривиальна (в противном случае нам нечего доказывать) и что bt, 1ц, <ц, g2, ..., gn выбраны так, как и выше. Тогда, если At—под-
группа, :
#2’ • ■ • , gm
группа, :
#2’ • ■ • , gm
порожденная элементом сц, и F'—подгруппа, порожденная элементами
порожденная элементом сц, и F'—подгруппа, порожденная элементами
то F^A^^F
то F^A^^F
/g-группа ранга (га—1) и R’ вуют такие базисы г) (Ь2, ...
/g-группа ранга (га—1) и R’ вуют такие базисы г) (Ь2, ...
и R=htA1^H', где R' = Rf\F'. Тогда F'—свободная
—-ее подгруппа. В силу предположения индукции сущест-
и R=htA1^H', где R' = Rf\F'. Тогда F'—свободная
—-ее подгруппа. В силу предположения индукции сущест-
bm) в R', (а2
bm) в R', (а2
числа А2, •■■Ат, что h.j делит Ау+1(/ = 2.
числа А2, •■■Ат, что h.j делит Ау+1(/ = 2.
ап) в F', где т—1<га— 1, и, такие т — 1) и bj = hjaj (/= 2, ...,т\ Но h2—
ап) в F', где т—1<га— 1, и, такие т — 1) и bj = hjaj (/= 2, ...,т\ Но h2—
высота элемента 62 € R, так что А2 делится на h^ Далее, (аь а2, ..., ап)—базис группы F и (1ц, b2, ...,Ьт')—базис группы 7?; таким образом, из справедливости теоремы для свободных /g-групп ранга (га—1) следует ее справедливость для свободных /g-групп ранга га.]
высота элемента 62 € R, так что А2 делится на h^ Далее, (аь а2, ..., ап)—базис группы F и (1ц, b2, ...,Ьт')—базис группы 7?; таким образом, из справедливости теоремы для свободных /g-групп ранга (га—1) следует ее справедливость для свободных /g-групп ранга га.]
. Теорема. Пусть G есть fg-группа. Тогда G можно представить в виде
G = А © J© • • • © Jkp
где А —свободная группа ранга р и ki+1 делится на к^, i = !,...,$ — 1.
Более того, числа р и kt, к2, ...,ks однозначно определяются группой G.
Число q называется рангом группы G, а числа кь .. .,ks — инвариантными множителями. Хотя ранг и инвариантные множители определяются группой G однозначно, этого нельзя, вообще говоря, сказать про подгруппы,, участвующие в разложении 5.1.4.
Это теорема 5 из книги [20], гл. 6. Мы докажем ее с помощью теоремы 5.1.1. Пусть G порождается множеством (gj, ..., g^. Можно представить G посредством свободной /g-группы F, с базисом (04, . ..,ап), и эпиморфизма ф: F —>■ G, определенного равенствами агф = £г, г = 1, ...,п. Пусть Д = ф-1(0), так что F/R г G. Выберем базисы в F и R в соответствии с теоремой 5.1.1. Тогда
FIRteA^Jkl®...^Jks,
где А—свободная группа ранга п—т, а к^, ...,ks—те из чисел hi, ...,hm, которые- больше 1; точнее, если hi =... = hm_s = 1, Am-s+i>l, то ki = hm_s+i, i = l, ...,s.
Остается только охарактеризовать числа р, к^, к2, ..., ks в терминах самой группы G. Пусть Т—подгруппа кручения произвольной (абелевой) группы G, т. е. множество всех ее элементов конечного порядка. Тогда, если дано какое-нибудь разложение группы G в виде 5.1.4, то Г=/Й1ф ... ф Jk . Ибо, очевидно, Jkl®... ,..^Jk СТ; с другой стороны, пусть некоторый элемент аф&СС имеет конечный порядок q, где а^А, b £ J к1ф ... ф J к . Тогда qksa = qk8 (« + &) — qksb — O. Так как А—свободная группа, отсюда следует, что а=0 и a-^-b £ Jkl® ...®Jk. Значит,
5.1.55.1.5T = Jkl® ...®Jks.
5.1.5
5.1.5
А потому G/Т е; А, так что G/T—свободная группа и число р, равное ее рангу,— это искомая инвариантная характеристика р. Охарактеризуем теперь в терминах группы Т числа ki, ..., ks; ks можно описать как степень группы Т, т. е. как наименьшее целое положительное число п, такое, что пТ = 0. Предположим теперь, что krH, ...,к8 уже описаны в терминах группы Т. Так как порядок группы njm для любого целого п равен m/^m, п), где (т, п)—наибольший общий делитель чисел m и п, то из 5.1.5 следует, что порядок группы пТ равен
к' . к2 . . ks
(кг, л) (к2, п) "" (к„ п)'_
Мы характеризуем кт (предполагая, что числа кт+1, ..., кп уже охарактеризованы) как наименьшее целое число п, такое, что порядок группы пТ на самом деле равен
(кт+1, п) ‘ (кт+2, п) ‘" (&„ п) '
Ясно, что это действительно определяет кт; доказательство тем самым завершено.]
Часто бывает удобно прибегать к разложению конечной абелевой группы, несколько отличному от данного в теореме 5.1.3. Пусть Т—какая-нибудь (абелева) периодическая группа (см. стр. 71). Тогда ее подмножество, состоящее из элементов,, порядок которых равен степени фиксированного простого числа р, называется р-при- марной компонентой группы Т.•
Лемма. Каждая периодическая группа является прямой суммой своих р-при- марных компонент.
[20], гл. 6, теорема 1—доказательство Ледермана проходит без изменений и для периодических групп.]
Группа, порядок каждого элемента которой равен степени некоторого простого- числа р, называется р-группой.
5.1.7. Лемма. Конечную абелеву р-группу Т^ можно представить в виде прямой5.1.7. Лемма. Конечную абелеву р-группу Т^ можно представить в виде прямоймы циклических групп; таким образом, Т^р,мы циклических групп; таким образом, Т^р,однозначно определяются группой Т^.однозначно определяются группой Т^.Jpmi Ф •Jpmi Ф •®Jvmk- П°Рядки Р™1’®Jvmk- П°Рядки Р™1’сум-сум-
5.1.7. Лемма. Конечную абелеву р-группу Т^ можно представить в виде прямой
5.1.7. Лемма. Конечную абелеву р-группу Т^ можно представить в виде прямой
мы циклических групп; таким образом, Т^р,
мы циклических групп; таким образом, Т^р,
однозначно определяются группой Т^.
однозначно определяются группой Т^.
Jpmi Ф •
Jpmi Ф •
®Jvmk- П°Рядки Р™1’
®Jvmk- П°Рядки Р™1’
сум-
сум-
Это немедленно следует из теоремы 5.1.3 (см. также [20], гл. 6, теоремы 2 и 3).J Из утверждений 5.1.6 и 5.1.7 получаем теорему, которая, по существу, представляет другой вариант теоремы 5.1.3, а именно
5:1.8. Теорема. Каждую jg-группу можно представить в виде прямой суммы свободной абелевой группы и циклических групп, порядки которых являются степенями простых чисел. Рань порядки этих групп определяются рассматриваемой группой.)
Здесь, как и в 5.1.4, подгруппы, участвующие в разложении, вообще говоря, определяются данной группой не однозначно, хотя ранг и примерные порядки определяются самой группой: фигурирующие в теореме 5.1.8 примарные порядки называются элементарными делителями рассматриваемой группы. Элементарные делители, очевидно, можно получить, разлагая инвариантные множители на простые сомножители. Использование элементарных делителей вместо инвариантных множителей имеет некоторые преимущества, заключающиеся в том, что р-примарная компонента любой конечной абелевой группы является вполне инвариантной подгруппой в том смысле, что р-примарные компоненты при гомоморфизмах конечных абелевых групп переходят в р-примарные компоненты. Понятие р-примарной компоненты играет еще более важную роль в изучении отношения между гомотопиями и гомологиями.
Прежде чем приступить к применению этих теорем к группам гомологий, рассмотрим еще три важных результата.
Теорема. Пусть ^:А—>В, ^:В—>А— такие гомоморфизмы, что фф = 1 : А —» А. Тогда ф—мономорфизм, ф— эпиморфизм и В-- Лф © ф-1 (0). Волее того, coker ф ~ кет ф.
Пусть яф=0; тогда я = яфф = 0, так что ф мономорфно; я = (яф)ф, так что ф эпиморфно. Рассмотрим Ъ — Ьфф; тогда (Ь—Ьфф)ф = 6ф— &ф=-0, откуда Ь = 6фф + 60, гДе Ьо€Ф-1(О). Это показывает, что В = Лф + ф-1 (0). Теперь если яф = Ъо £ ф-1 (0), то
а = яфф = 60ф = 0, так что Ьо = яф = 0 и сумма является прямой. Теперь мы сразу же получаем, что S/Лф ^ ф-1 (0), или coker ф ^ ker ф. ]
Можно представить заключения теоремы 5.1.9 в следующей полезной форме:
. Теорема. Если последовательность 0 —» А—> В -Д С —» 0 точна, то следующие три утверждения эквивалентны:
существует й:В-^А, такое, что Z0 = 1;
существует т\:С—»В, такое, что т)ц = 1;
В = АХ@В', где р | В': В' ^ С.
Из 5.1.9 следует, что (а) <==ф (в) <==ф (б).]
Теорема. Пусть 0—>H—»G—>F—>0— точная последовательность и F — свободная группа. Тогда существует мономорфизм х : F —> G, для которого хц = 1 и G= НХ^Еи.
Пусть {Д}— базис группы F. Для каждого элемента /а базиса выберем такой элемент ga£G, что gap = fa- Соответствие fa~^ga индуцирует некоторый гомоморфизм 7.:F—^G. причем ясно, что хр, = 1. Теперь наша теорема вытекает из теоремы 5.1.9'.]
Теорема. Каждая подгруппа /g-группы является f g-группой, ранг которой не превосходит ранга всей группы).
Пусть G есть /g-группа и GocG. Рассмотрим некоторое представление Ф : F—» G группы G с помощью ) свободной /g-группы F и пусть Fo = ф-1С0. Тогда Fo является /g-группой (теорема 5.1.1) и /'’уф = Go, так что ф-образы произвольного множества образующих группы Fo представляют собой множество образующих группы Go. Значит, Go является /g-группой.
Пусть Т, То — периодические подгруппы групп G, Go. Тогда To — Go fl Т. Значит, в силу предложения 1.2.2,
Go/^o =:G0/(G0 fl T)^(G0 + T)ITSG/T.
Так как ранг группы G — это ранг свободной абелевой группы G/Т и тоже относится к Go, то отсюда следует, что ранг группы Go ранга группы GJ Обратимся теперь к группам гомологий с целочисленными коэффициентами.
Определение. Пусть К — конечный симплициальный комплекс; п-м числом Бетти полиэдра | К | называется ранг группы Нп(К), п-ми коэффициентами кручения полиэдра | К | называются инвариантные множители группы Нп(К).
Теорема. Группы гомологий полиэдра |2Г| вполне определяются его числами Бетти и коэффициентами кручения.]
Из доказательств теорем 5.1.1 и 5.1.3 не видно, как подсчитать числа Бетти и коэффициенты кручения. Предположим, что мы решили подобрать базисы групп Zn(JK?), Вп(К) так, как в теореме 5.1.1. Произвольные базисы (zt, . ,.,zr), (6n . .., Ъ^ этих групп определяют целочисленную матрицу Р = (рг;), где bt = ^\ptjZj (i = 1, ..., s).
3=1
Наша задача состоит в том, чтобы с помощью унимодулярных преобразований привести матрицу Р к диагональному виду таким образом, чтобы на диагонали оказались инвариантные множители. Конечно, не обязательно начинать с Zn^K^ и Вп(Ку. иногда более удобно заменить их свободной /g-группой F и ее подгруппой В, такими, что F/B~Hn(!Ky.
Пример. Рассмотрим абелеву группу G, которая порождается элементами git 8г, 831 подчиненными соотношениям 2§т + 2§-2 + 3§'з=0, 3gt— 6g3=0. Пусть ^=(Vi» Уг, Уз), B = (Qv 6г), где е^гу^гуз + Зуз, 62 = 3?!—6?з, тогда G^F[R.
Мы приведем матрицу отношений Р к диагональному виду и произведем соответствующие изменения в заданных базисах групп F, R. В результате будут найдены ранг и инвариантные множители группы G и одновременно множество образующих группы G, соответствующих разложению 5.1.4.
2 2
3 0-
Л)
(Yi, У2. Уз)
(б1« 6г)
2 2
3 0-
-0
(Уг Уз+Уз, Уз)
(61. 6г)
1 2
— 6 3
о)
(Уз, Yi> Уг + Уз)
(б1> 62)
1 0
•—6 15
(2у1 + 2у2 + 3уз, Yi, Уд + Уз)
(61, 6г)
1 0
0 15
“О
127
(2у1 + 2у24-Зу3, Yl Уз + Уз)
;
(ei> 62+651)
1 ^0
0 3
(2У1 + 2у2 + Зуз, уР Уз+Уг + Уз)
(Qi, бг+бео
1
0 3
о)
(2у44-2у24-3уз, 5у1 + 4у2 + 4у3, Yi + Ya + Ya)
(б1> 62 + 661)
Первый шаг привел к матрице, которая эквивалентна исходной и содержит в качестве одного из элементов наибольший общий делитель элементов исходной матрицы. Вообще говоря, для получения такой матрицы может понадобиться и несколько шагов. Второй шаг поставил этот элемент в ведущее положение, в результате двух последующих шагов освободились остальные места в первом ряду и первом столбце. Пятый шаг привел к эквивалентной матрице, содержащей наибольший общий делитель элементов, отличных от ведущего; шестой шаг привел в порядок второй ряд.
Отсюда вытекает, что С = ифЛ3, причем в качестве образующей группы J можно взять элемент gi + g^-r ga, а в качестве образующей группы J3— элемент 5gi + 4g2+4g3. Напоминаем читателю, что ни образующие, ни даже сама подгруппа J не определяются однозначно.
Теперь мы готовы доказать теорему о стандартных) базисах геометрических /g-комплексов. Пусть С — некоторый геометрический /g-комплекс с нижней размерностью т и верхней размерностью2) п (это означает, что Ср = 0 при р<т и при p">nY
Теорема. Каждую цепную группу Ср можно представить в виде
Ср = Zp @ Yp,
где Zp — группа p-циклов. Далее, группы Zp, Yp можно разложить следующим образом;
Zp=Ap@VpQ)Wp,
Yp = Рр@ Ер,
где Dpd = VP_1, Ерд cWp_t. Кроме того, Уп = 0, Wn = 0, Dm = Q, Em = 0r и существуют стандартные базисы
Vp = H, ..., А),
Wp = H,
Dp = №.d^,
Ер = (еП ..., eYp-i),■
такие, что граничный гомоморфизм др описывается формулами dpd^Vp^(z = l, •.Pp-l);
ерд(i = i, ...,Чр^),
где каждое k^^ > 1 и к1^ делится на tfp^ (i = l, . .^yp-j—1).
В самом деле, Ст = Zm, так как Cm_v = 0, a Cm+1d является подгруппой группы Zm. Значит, в силу теоремы 5.1.1, существует в Zm такой базис (а„, .. ., я^т, у™, • У^т, и?т, •м?т), ЧТО (г4, . .., v^, k^w^, ..., к^ю^—базис в Ст+1д. Зафиксируем этот базис в Cm = Zm и назовем его стандартным базисом группы Ст; положим при этом Лт = (Ят, . ..,яРт). Предположим теперь, что уже определен стандартный базис группы Ср. Тогда Ср == ZP@YP, как сформулировано в теореме, и, более того,
(Ур, • • -, у^р, к^р, . .., k^w^
является базисом в Ср+1д = 5р, где каждое ^>1 и кр*1 делится на кр (i = l, ..., Yp-1).
По теореме 5.1.10, Cp+i = Zp+1 © Врк, где %д = 1. Ибо др+1 отображает Ср+1 на Вр, причем ядром гомоморфизма 5р+1 служит Zp+1; в то же время Вр, будучи подгруппой группы Ср, является свободной абелевой группой. Положим Bpk = Yp*1, Vpk = dpW (kpWp) Х = ер+1. Мы получаем, таким образом, некоторое разложение группы Ур+1 в виде Dp+1@ Ер+1, причем cZp+1d = yp, ep+1d — kpWp. Оперируя теперь с группой Zp+1 и ее подгруппой Вр+1 = Ср+2д точно так же, как раньше с Zm и Ст+1, с помощью теоремы 5.1.1 мы получим стандартный базис группы Ср+1. Так как Сп+1 = 0, то ясно, что Гп = 0, Wn = 0; доказательство закончено. ]
Пусть Ср=Ср (X), где К — конечный ориентированный комплекс. Группы гомологий полиэдра \К | можно описать с помощью теоремы 5.1.15, а именно
Следствие, р-е число Бетти полиэдра\К\ равно qp, а р-е коэффициенты кручения полиэдра | К | равны кр, . ••.&рр. ]
Мы видим, таким образом, что группы гомологий полиэдра | К | можно вычислить за конечное число шагов, ибо построение стандартного базиса — эффективная процедура. Так как группы гомологий полиэдра | К [ являются топологическими инвариантами, мы тем самым получаем возможность показать за конечное число шагов, что два бикомпактных полиэдра не гомео- морфны (если различаются их группы гомологий).
Обратите внимание, что ненулевые элементы группы Wp — это те циклы, которые мы условились ранее называть циклами, слабо гомологичными нулю. Группа Wp предложения 2.5.1 совпадает с VP@WP и wHp^Ap.
Пусть ф : С —» Г — цепное отображение. Предположим, что выбраны стандартные базисы комплексов С и Г (последние предполагаются геометрическими /^-комплексами); ф отображает Zp (С) в Zp (Г) и ВР(С) в ВР(Г); более того, оно отображает Ур (С) © Wp (С) в ¥р (Г) ©Wp (Г), ибо если z^C— некоторый цикл, такой, что kz ограничивает, то зф— цикл, такой, что к (зф) ограничивает. Значит, ф индуцирует гомоморфизмы ф* : Н* (С) — —> Н* (Г) и юф# : „Н* (С) —> „Н, (Г). В то же время ф не обязательно отображает АР(С) в ЛР(Г). С другой стороны, если i : Ар—> Zp, х : Zp —> Ар — отображения включения и проектирования и
w:Zp^Zp/(Vp©Wp)-„Bp
— естественное факторотображение, то iw: Ар^ юЕр с обратным иГЬс. При этом диаграмма
IW
Ар (С) ^ „Ер (С) .
!«<₽•
110
ЛР(Г)^ЮЯР(Г)
коммутативна; здесь через 1фХ обозначено 1(С)фХ(Г). Доказать коммутативность легко, и мы предоставляем сделать это читателю. Различие, которое мы проводим между Ар и „Нр, может показаться читателю искусственным, однако это не так. Ибо „Нр канонически определяется по комплексу С (независимо от какого-либо базиса), в то время как Ар определяется по стандартному базису. Связь между Ар и „Нр устанавливает диаграмма 5.1.17.
Теорему 5.1.15 и диаграмму 5.1.17 можно использовать для доказательства «теоремы Хопфа о следе», применения которой будут даны в при-
ложении 1 к этой главе. Пусть F — свободная /g-группа и ф : F —» F — эндоморфизм; тогда можно связать с ф некоторое целое число, называемое его следом. Определяется оно следующим образом.
Пусть (щ, ..., ап) — базис группы F. Тогда арр = 2 Ч^ар гДе фгу—
з
целые числа, a tr (ф), след эндоморфизма ф, определяется как 2 фи- Хорошо известная теорема линейной алгебры утверждает, что tr (ф) зависит только от ф и не зависит от выбора базиса. Но ШНР является свободной /g-группой, когда С — геометрический /g-комплекс. Значит, для любого (эндоморфного) цепного отображения ф:С-^*С определены tr (фр) и И^ф^р).
Предположим теперь, что С — конечный геометрический цепной комплекс. Тогда С — геометрический /g-комплекс, и мы обозначим его нижнюю размерность через т, а верхнюю через п, n< со.
. Теорема. (Теорема Хопфа о следе.) Для каждого цепного отображения ф : С —> С конечного геометрического цепного комплекса С ,
2 (- i)p tr (фр) = 2 (- i)p tr (юФ#р).
тт
Выберем в С стандартный базис. Пусть t^, р : Хр —> Ср, х^ р : Ср-^ Хр — включение и проектирование, где X = A, V,W, D или Е, и пусть фл-,р = = 1х, рфрхх, р, так чт0 фх, р является эндоморфизмом группы Хр. Тогда 5.1.19 tr (фр) = tr (фЛ, р) + tr (фГ, р) + tr (фиг, р) + tr (фл, р) + tr (фЕ, р).
Рассмотрим элемент up^Vp из стандартного базиса. Тогда o?p_|_id = Ур. Обозначим через Xt коэффициент, который стоит при йр^^ в представлении цепи йр-}-1ф через элементы стандартного базиса. Так как дф = фд, то элемент Ур входит в разложение цикла урф по стандартному базису также с коэффициентами Х;. Откуда мы немедленно заключаем, что
№(фу,р) = 1г(фд,р+1).
Это равенство выполняется для всех р, — оо< р<; со. Аналогично рассмотрим базисный элемент wp; ерр1д = kpwp. Пусть e^i входит в разложение элемента бр-цф с коэффициентом цг. Тогда wp входит в разложение (kpwp) ф с коэффициентом кгТдц. На кр можно поделить, так как цепные группы являются свободными абелевыми. Значит, wp входит в разложение гУрф с коэффициентом рг. Отсюда следует, что
tr (ф^, р) = tr (фЕ, р+1)
для всех р. Из 5.1.19 — 5.1.21 мы получаем
2 (- 1)р tr (фр) = 2 ( - 1)Р tr (фл, р)-
Но фл,р — это не что иное, как отображение 1фХ диаграммы 5.1.17.
В силу ее коммутативности, tr (фА, р) = tr (юф*р), и теорема доказана.]
Если взять в качестве ф тождественное отображение, то получается специальный случай теоремы Хопфа о следе. Пусть ранг группы Ср равен ар и ранг группы Ар равен рр; тогда
S(-l)Pap=S(-l)pQP.
тт
И Заказ № 1335
Рассмотрим, в частности. С — С (К), где К — конечный (непополненный) симплициальный комплекс размерности п. Число симплексов размерности р в комплексе К обозначим через ар, и пусть р-е число Бетти равно qp.
П
Число 2( —1)Рар называется характеристикой Эйлера-—Пуанкаре комо
плекса К и обозначается через х(^)-
. Следствие. Характеристика Эйлера —Пуанкаре X С^) равна 2( — l)pQp, знакопеременной сумме чисел Бетти полиэдра | К |. Следовательно, %(К) является топологическим инвариантом.^
Нет необходимости уточнять, как перенести результаты этого и следующего параграфа на относительный случай. Поскольку результаты этой главы чисто алгебраические, процесс релятивизации носит формальный характер.
§ 5.2. Гомологии с общими коэффициентами и когомологии
Группе целых чисел была отведена привилегированная роль среди прочих групп коэффициентов гомологий. Мы сейчас покажем, что это предпочтение оправдано, а именно мы докажем, что группы гомологий и когомологий геометрического комплекса с произвольной группой коэффициентов или значений вполне определяются группами гомологий этого комплекса с целочисленными коэффициентами. В следующем параграфе, используя некоторые инвариантные операции на абелевых группах, мы докажем эту теорему для общих (т. е. допускаются и бесконечные) комплексов. В настоящем же параграфе мы ограничимся рассмотрением конечных геометрических /g-комплексов и будем строить рассуждение, отправляясь от некоторого стандартного базиса комплекса.
Прежде всего уточним то алгебраическое понятие, которое, по существу, лежит в основе образования линейных комбинаций симплексов с коэффициентами в абелевой группе G (см. § 2.2). Оказывается, фундаментальную роль играет здесь, как и во многих других разделах алгебраической топологии, понятие тензорного произведения двух абелевых групп.
Определение. Тензорным произведением А 0 В абелевых групп А и В называется абелева группа, порожденная всевозможными парами вида а>® Ь, а^А, Ъ^В, подчиненными соотношениям
(«^«г) 0 b = av 0 6^а2 ® b, а ® (Ь^Ъ?) = а ® Ь^а ® Ь2.
Обратите внимание, что а0О=О0&=О и (ka) ® b = а ® (kb) = = к^а® Ь) для любого целого числа к. Обратите внимание также и на то, что, вообще говоря, не каждый элемент группы А 0 В представим в виде а 0 Ь.
Операция 0 в некотором смысле коммутативна и ассоциативна; действительно, существуют канонические изоморфизмы между группами А 0 В и В 0 А и между группами А 0 (В 0 С) и (Л 0 5) 0 С.
Предложение. Если группа А порождается элементами аа, то каждый элемент группы А 0 В представляется в виде 2аа®&а, Ь^В,
а
где число слагаемых, отличных от нуля, конечно).
Очевидно, элементы такого вида входят в А 0 В и, как следует из 5.2.2, они образуют там некоторую подгруппу. Значит, достаточно показать, что для любых а^А, Ь^В в указанном виде можно представить элемент а 0 Ъ. Но а — 2 ^а«а, причем сумма конечна, так что в силу 5.2.2 а
а 0 Ь = 2 аа 0 ХсЛ] . а
Пусть К — конечный ориентированный комплекс. Из предложения 5.2.3 тогда следует, что группа1) Ср(К; G) есть не что иное, как группа ^(2^)0 5. Уточним теперь, в каком смысле можно будет говорить о «продолжении» граничных гомоморфизмов и цепных отображений с С (КЛ на С (К; Gy
Пусть <р;А—»А', ^:B—>B'— гомоморфизмы абелевых групп.
Предложение. Имеет место гомоморфизм 6 : А 0 В—>4'0 5', определяемый формулой
(а 0 Ь)8 = аф 0 5ф, а £ А, Ь^В.
Так как 6 определено на образующих группы А 0 В, надо только проверить, что 0 сохраняет соотношения между элементами группы А 0 В, но это вполне очевидно.] Мы пишем 0 = ф 0ф.
Предложение. (ф1 0 Ф1) (ф2 0 Ф2) = Ф1Ф2 0 Ф1Фз-
Смысл и доказательство этого предложения ясны.] Читатель должен теперь согласиться, что продолжением гомоморфизма д : Ср (К) —> Cp_t (К) до граничного оператора Ср (К; G) —»Cp_t (К; G) является 9 01. Тогда (д 0 1) (д 0 1) = дд 0 1 = 0 0 1 — 0. Аналогично продолжением цепного отображения ф : Ср (К)—^СР (L) до цепного отображения СР(К; G)—>CP(L; G) служит ф 0 1; ф 0 1 является цепным отображением, так как (ф 0 1) (д <0 1) = фд 0 1 = дф 0 1 = (д 0 1) (ф 0 1). Рекомендуем читателю проверить справедливость тех обобщений со случая целочисленных коэффициентов на случай общих коэффициентов, которые имели место в предыдущих главах. Например, докажите, что если ф есть ц-эквивалентность, то и ф 0 1 является ц-эквивалентностью.
Так как мы хотим с помощью Ср (К) 0 G научиться вычислять НР(К\ G), необходимо продолжить изучение свойств тензорных произведений.
Лемма. Пусть А — прямая сумма групп Аа и В—прямая сумма групп Bg. Тогда А 0 В является прямой суммой групп Аа 0 В^.
Пусть 1а : Аа —A, jp : Вв —> В—включения и ра : А —> Аа, q^ : В—»В6—проектирования. Тогда имеют место гомоморфизмы ia0jp : А„0 Вр —>А ®В, ра 0 q^ : А 0 В—^ Аа 0 5Р. Более того,
Оа 0 /р) (Ра- 0 q^ = i«Pa- 0 J№ = 0
во всех случаях, кроме a = a', р = Р' и (га 0 /р) (ра 0 q^ = 1.
Пусть S = 2 Аа 0 5р. Тогда формула Ф | Аа 0 6р = ia 0 /р определяет а, р
гомоморфизм Ф:2—>А05. В лемме утверждается, что Ф — изоморфизм. Для доказательства эпиморфности Ф достаточно показать, что если а^А, Ь^В, то я0б^2Ф. Но о = 2 аа^а, 6= 2 Ш Значит, а 0 Ъ =
.°Р
= S («а 0 Ь^ (za 0 /р) = ( 2 «а 0 6р) Ф
а, ра, р
Ч Это также верно и для бесконечного комплекса К.
Остается показать, что Ф мономорфно. Зададим отображение ^•.А^В—»^ следующим образом: (а ® b) V = 3 аРа ® bq^. Эта сумма а, 0
конечна, так как ара = 0 почти для всех а, к тому же ясно, что V гомоморфно. Докажем, что ФЧГ = 1. Достаточно доказать это для образующего элемента группы Лао ® В^о. Но
(«ао ® Ь^ ФУ = (аао ® 6р0) (/„„ ® /Ро) У =
= 2 (а«о ® Ь»о) (бы ® /0о) (Ра ® 9^ а, 0
и, как мы отметили раньше, (iao ® /ра) (ра ® д^ = 0 во всех случаях, кроме a = a0, Р = ро, когда (iao ® /Ро) (рао ® q^ = 1. Значит, (а„0 ® 6Ро) ФУ = = яао ® 6Ро и ФУ = 1. Отсюда сразу следует, что Ф — мономорфизм. Ибо если у £5 и уФ = 0, то у = уФУ=0. Значит, Ф — изоморфизм с обратным У.]
Прежде чем применять эту лемму, мы хотим ответить на возможное возражение, что ее доказательство было излишне подробным и что вообще эта лемма очевидна. Дело в том, что с тензорными произведениями надо обращаться очень осторожно, например, вообще говоря, не верно, что если Л'—подгруппа группы А, то А' ® В— подгруппа группы А ® В. С такой ситуацией мы встретимся в следующем параграфе. С другой стороны, лемма 5.2.6 дает нам право считать А' ® В подгруппой группы А ® В, в действительности прямым ее множителем, когда А' является прямым множителем группы А (определение прямого множителя следует сразу за предложением 1.2.4).
Теорема. Пусть А — свободная абелева группа ранга1^ д. Тогда тензорное произведение Л ® В изоморфно прямой сумме g экземпляров групп» В. Пусть {аа} — базис группы- А. Тогда соответствие aa ® b—>Ьа, где Ъ—> 6“ — копируюгций изоморфизм групп» В на ее копию Ва, индуцирует изоморфизм групп» Л® В на группу ^Ва.
a
В свете леммы 5.2.6 достаточно доказать это утверждение для случая р = 1, т. е. когда А — бесконечная циклическая группа. Но отображение 6^—1 ® 6 есть, очевидно, изоморфизм группы В на J ® ВД Из теоремы 5.2.7 следует, что А ® Во можно считать подгруппой группы А ® В, если 50 с В и А — свободная группа. В ней устанавливается, что если число р-мерных симплексов комплекса К равно ар, то группа СР(К; G^ изоморфна прямой сумме ар экземпляров группы G. Важно отметить, что определение группы Cp^K;G^ не зависит от выбора базиса в СР(КД, но изоморфизм, о котором идет речь, от этого выбора зависит.
Пусть С — геометрический /g-комплекс. Тогда С ® G можно наделить структурой цепного комплекса, положив (С ® G^p = СР® G и взяв в качестве граничного оператора д ® 1. Когда можно не опасаться путаницы, мы будем писать д вместо д®1. Приступим теперь к вычислению групп НДС ® G); мы будем использовать при этом стандартный базис в С теоремы 5.1.15.
В силу леммы 5.2.6 имеем
СР ®G = (Ap ® G) © (Ур ® G) © (Wp ® G) © (Dp ® G) © (Ер ® Gy
Исследуем теперь Zp(C®Gy группу р-циклов цепного комплекса С ® G. Так как Zp —прямой множитель группы С, можно считать Zp0G
q может быть бесконечным.
подгруппой группы С ® G. Очевидно, при этом Zp ® G Е Zp (С ® Gy Рассмотрим 2 ^ ® gt + 2 еР ® Si — элемент группы Dp ® G © Ер ® G. Его гра- ij
ницей является
2 у?-1 ® ^ + 2 ^-i^-i ® §5-iз
По теореме 5.2.7 последнее выражение равно нулю в том и только в том случае, если каждое gt = 0 и каждое кр_^]=^ 0. Обозначим через ^G подгруппу группы G, состоящую из тех g £ G, для которых kg = 0. Нами, таким образом, доказано, что
Zp (C®G) = (Ар ® G) © (VP ® G) © (Wp ® G) © (£р (С ® Gy,
где Ер (С ® G) — подгруппа в Ер ® G и
Yp—1
EP^C®G^ 2 i G.
-^=1 kp—1
Рассмотрим теперь BP(C®G'). Имеем
Вр (C®G) = (Ср+1 ® G) д = (Вр ® G) I, где t = i ® 1 : Вр ® G-^ Ср ® G и i;Bp—^Cp—вложение. Но 5р = Рр© @(/cpwp, ..., kppwppy Значит, в силу леммы 5.2.6,
5.2.10Вр (С ®G) = (Ур ® G) © 2 (w^ ® VcpG,
2=1
YP ...
где Wp ® G = 2 (wp) ® G, a (Wp) ® kpG рассматривается как подгруппа . i=1
группы (wp) ® G.
HP(C®G) является факторгруппой группы Zp (С ® G) по Bp(C®Gy Если элемент w порождает бесконечную циклическую группу и мы отображаем ©) ® G изоморфно на G, переводя w ® g в g, то подгруппа (w) ® kG, где к — целое число, отображается на kG. Значит, имеет место изоморфизм факторгрупп
(w) ® GKgi)^ ® kGs^G/kG.
Мы будем обозначать1) группу G]kG через Gh. Определения групп hG и Gh можно запомнить с помощью следующей точной последовательности:
0^66->сДс->66->0,
где средний гомоморфизм — это умножение на целое число к.
Из 5.2.8 и 5.2.10 мы получаем основную теорему этого параграфа.
YpYp— 1
Теорема. 77Р(С® G)^(MP® G)© 2G i © 2 J GJ i=l kp j=1
Рекомендуем читателю проверить, что первые два члена в правой части вместе дают группу Нр (С) ® G. Это следует из того, что эти члены были получены как коядро отображения Вр ® G —> Zp ® G, индуцированного включением Bp—>Zp.
!) Это согласуется с обозначением J^ для циклической группы порядка к.
Следствие. Пусть \ К\ —бикомпактный полиэдр. Тогда группа HV{\K\’,G) вполне определяется группой G, р-м числом Бетти полиэдра | К | и его р-ми и (р—1^-ми коэффициентами кручения.}
Заметим, что группа Тр (А) может быть определена исключительно в терминах групп Су+1 (К), Ср (К) и гомоморфизма 8 : Ср+1 —>■ Ср. Поэтому имеет смысл обозначать ее через Т^у^ (К). К специфике группы J относится тот факт (неудовлетворительный с точки зрения симметрии), что группа Нр(\К\; J) зависит от коэффициентов кручения в размерности (р-|—1/2) и не зависит от них в размерности (р—1/2). Однако приведенное описание группы HydAI; G) восстанавливает в какой-то мере симметрию тем, что оно включает и (р—1)-е коэффициенты кручения.
Пусть G = Jm; образующий элемент группы G обозначим через 1т. Тогда hG = = Jyh, mv Действительно, если (&, m) = d и m = dm0, то группа ^G порождается элементом molm, порядок которого равен d. Также G^ — J^, mv причем группа G^ порождается образом элемента 1т при гомоморфизме G —>• G^. Далее, Ар 0 Jm s (Лр)т— прямая сумма ор экземпляров группы Ут, где qp—ранг группы Ар. Таким образом, из теоремы 5.2.12 получаем
i
Следствие. Нр(С®/т)е(Лр)тф2 J £ ®2 J , .] i=l (^р, т) 3=1 (&р—1>чг)
Пример. Рассмотрим вещественное проективное пространство Рп. Если г нечетно и 0<r<n, то класс гомологий, содержащий £г, порождает группу Нт (Ри), которая совпадает в этом случае с /г (или J, если г — п), а группа Нт_у (Рг) не имеет кручения. Значит, Нг (Рп; Jjy = J2, причем образующим элементом служит класс цепи £г, рассматриваемой как цикл по mod 2. Если г четно и 0<т<п, то НГ (Р^^О и Hr_y (Рп) =J^, из утверждения 5.2.14 тогда следует, что Hr (Рп; J2) = А- Далее можно сказать, что образующим элементом последней группы является класс образующего элемента группы Ер, фигурирующей в равенстве 5.2.8. А последний есть в точности £г, рассматриваемый как цепь с коэффициентами в J2. Мы заключаем (можно было бы, конечно, получить это и прямыми рассуждениями), что НГ(РР; У2)=;У2, О 0 г 0 п, причем образующим элементом в размерности г является класс элемента Lr (см. теорему 3.9.6).
Вторым важным примером группы коэффициентов является Ry, группа действительных чисел, приведенных по modi. Если G=Ry, то дС = Уд. Ибо элементами группы hG являются как раз классы вычетов по mod 1 рациональных чисел 0, ljk, 2/k, ..., (k—l)(k. Далее, G^=0, ибо если g б Ry и k—целое ненулевое число, то g = — kg/k, так что Ry = kRy.
Следствие. Нр (С 0 Ry) е Ар® Ry ф 2 J j -1 3=1 kp—i
Пусть К—конечный симплициальный комплекс и группа Нр (К) записана в виде Ар®Тр, где Тр—подгруппа кручения. Тогда из 5.1.16 и 5.2.16 вытекает
Теорема. Нр(К; Ry) s (Ар® Ry) ф 70—t-]
Следовательно, группы гомологий конечного комплекса с произвольными коэффициентами могут быть получены из его групп гомологий с коэффициентами в Ry.
Обратимся теперь к когомологиям. Наша цель состоит в том, чтобы получить результат, аналогичный теореме 5.2.12; при этом техника будет подобна развитой выше, а роль конструкции тензорного произведения А ® В будет играть Д ^ 5, группа гомоморфизмов группы А в группу В. Многие замечания, двойственные тем, которые мы сделали относительно тензорных произведений, покажутся нам привычными. Начнем с утверждений, двойственных предложению 5.2.5 и лемме 5.2.6.
Зафиксируем сначала обозначения. Гомоморфизм ср : А' —> А индуцирует гомоморфизм ср* : A pf) В—>А'^В, который будет записываться, как и раньше, как левый гомоморфизм. Гомоморфизм ф:5—> В' индуцирует правый гомоморфизм ф.: A pf) В —» A pf) В'. Вместе ср и ф индуцируют гомоморфизм A pf) В A' pf) В', который можно обозначить через ср pf) ф. Значит, ср* = <р pf) 1, ф. -1 pf) ф. Если не оговорено противное, мы будем писать <р pf) ф слева.
с. Предложение. (ф! rh Ф1) (Ф2 rh Фг) ~= Ф1Ф2 rh ФгФ1-1
Обратите внимание на порядок гомоморфизмов в правой части равенства; вто время как ® — полностью ковариантная операция, (h частично ковариантна и частично контравариантна.
с. Лемма. Пусть А— конечная прямая сумма групп Аа и В — конечная прямая сумма групп Вр. Тогда А^В является прямой суммой группу ЛаГЬ5р.,
Воспользуемся обозначениями из 5.2.6. Имеют место гомоморфизмы
z« rh №: ^ rh 5 Ах rh Аь Р« rh /0: ^« rh Аз А rh в. и
(ta rh ^ (^a' гЬ А') = ^аР^ (h) /Р'^Р’ следовательно,
/• г „ \। V \(0, если только a^a' или 6^6',
ГЬ №) (Ра- ГЬ М { lf если a = a',P P
Пусть 2 = 2 ^« rh Bp. Определим Фс: 2 —» A rh В, потребовав,
a, p
чтобы Фс I Aa rh Bp = Pa rh /₽’ И определим Фс: A rh В —» 2 формулой ^ = 2^qp. Фс и Ф^ будут записываться слева. Докажем, что
а, р
фсхрс = ! - л ^ 5 А ^ в, ФСФС =1:2 -> 2.
Легко видеть, что первое равенство эквивалентно равенству
2 ^«^rh w'p = -
a, р
Но 2 Paia = 1, 2^₽ = ^’ из чего сРазУ вытекает утверждение ФСЧГС = 1. ар
Равенство ЧГСФС=1 доказывается так же, как равенство ФФ = 1 в лемме 5.2.6. Значит, Фс — изоморфизм с обратным Чгс.]
5.2.7с. Теорема. Пусть А — свободная абелева группа конечного ранга Q Тогда группа A fh В изоморфна прямой сумме) Q экземпляров группы Ь, Если (а^— базис в А, то посредством правила ф —> 2 (ааф)“, где Ъ
a
—> Ъа— копирующий изоморфизм группы В на ее копию Ва, устанавливается изоморфизм между группами А^В и ^ В°.]
a
Пусть С — геометрический /g-комплекс. Напомним, что С fh G является коцепным комплексом и (С fh G)p = СР ^G; кограничным оператором служит 6 = <9" = dfhl. В силу леммы 5.2.6с, имеем
^rhG = UPrhQ©©prhQ©(^rhQ©(^rhG)©(^rhQ-
Обратите внимание, что группа Ар rh G, например, вкладывается в Ср (h G, если рассматривать гомоморфизм Ар —■> G как гомоморфизм Ср —> G, который переводит Vp @ Wp @ Dp@ Ер в нуль. Далее, zp является р-коциклом в том и только в том случае, если значение zp на всех р-границах (2.6.7) равно нулю. Значит, все элементы из
(^rhG)©(Z)PrhQ©(^rh©
являются коциклами; в Fp pf) G коциклом является только 0, и zp £Wp^G в том и только в том случае является коциклом, если (w1, zp) £ ftiG для всех i. При изоморфизме J ^ G^G, задаваемом формулой ср —1<р, подгруппа из J (f) G, состоящая из гомоморфизмов, переводящих J в Go с G, отображается на Go. Таким образом, мы доказали, что
с Zp (C^G) = (Ар ^G)@ (Wp (С ph G^ © (Dp ph G) © (Ер ph G),
где Wp (С ph G) — подгруппа группы Wp ph G, и
сWp (C^G)^^ iG.
i=i
Рассмотрим теперь Bp (С ph G). Ясно, что если bp £ Вр (С ph G), то Ьр исчезает на ZP(G). Значит, Ьр индуцирует гомоморфизм b' : ВрЛ (С) —> G по следующему правилу:
(срд)6' = (ср, Ъру
Докажем лемму, которая позволит нам выписать группу Вр (С ph G).
. Лемма. Пусть С-—цепной комплекс и пусть коцепь ЬР^СР^С равна нулю на ZP(CY Тогда Ьр в том и только в том случае является кограницей, если гомоморфизм Ь’, определенный формулой 5.2.18, может быть продолжен на Cp_v.
Заметьте, что мы не делаем никаких специальных предположений относительно цепного комплекса С. Предположим теперь, что существует cp-i £ ср1 ^ Q, для которого ср^1 Вр-1 = Ь'. Тогда
(ср, 6с»-1) = (срд, ср-^ = срдЬ' = (Ср, Ьр)
для всех Ср^Ср, так что bcp-1 = bp, и Ьр — кограница. Обратно, если Ьр = = бс»-1, то срдЬ'= (ср, Ьр) = (Ср, бс»-1) = (срд,с»-1), так что Ь'= ср-1 \ Вр^."^
Теперь, если Ър равна нулю на всех p-циклах, то bp £ (Dp ph G) © (Ер ph G) и соответствующий Ьр гомоморфизм Ь' задается соотношениями
^^(d^, bpY i = i, ..., pp.i;
k4-vwV^b' = ^eV b^’ / = 1’ Yp-i-
Очевидно, b' можно продолжить на СрЛ в том и только в том случае, если его можно продолжить на Fp_i © Wp Л, а последнее продолжение возможно тогда и только тогда, когда (е^, bp^ki VG для каждого /. Значит, по лемме 5.2.19 имеем
сВр (C^G) = (Dp ph G) © 2 (e^ ^ k^G,
3=1
где Ep^G= 2(ep)rhG> a (ep)rh^p_iG рассматривается как подгруппа 3=1
группы (е^ rh G.
Так как изоморфизм (e)pf)G^G отображает (е) pf) kG на kG, он индуцирует некоторый изоморфизм факторгрупп
(e^Gf(eWG^Gk.
Из 5.2.8с и 5.2.10с вытекает
с. Теорема. Если С — геометрический f g-комплекс, то
1=1 Р з=1 p-i
Советуем читателю проверить, что первые два члена правой части равенства вместе дают Нр (С) (f) G. Это следует из того, что в Zv (С) (f) G они образуют подгруппу, которая характеризуется как совокупность гомоморфизмов, исчезающих на Вр(Су
с. Следствие. Пусть | К | — бикомпактный полиэдр. Тогда группа HV(\K\\ G^ вполне определяется группой G, р-м числом Бетти полиэдра \К\ и его р-ми и (р-—1)-лш коэффициентами кручения.]
Полагая G = J, получаем из теоремы 5.2.12с следующий результат:
. Теорема. Если С — геометрический /g-комплекс, то
Обозначения здесь обычные. Значит, (р — 1)-е коэффициенты кручения являются, как это и следовало ожидать, р-ми «кокоэффициентами» кручения.
Положив G = Jm, получаем
^р^р—1
с. Следствие. ЯР (С ф J^ = (Лр)т © 2 J 1® ^ J i 1
1=1 (hp, rn) j=1(hp_!,m)
Отсюда следует, что если | Я |— бикомпактный полиэдр, то
Нр^К\; Jт) s HP (\ К\; Jm).
Однако последний изоморфизм зависит от выбора образующих в группах. Если т— простое число, то каждая сторона равенства 5.2.21 является векторным пространством конечной размерности над Jm и получаемый изоморфизм есть не что иное, как изоморфизм между векторным пространством и сопряженным к нему.
Можно обобщить последнее замечание, рассмотрев произвольное поле коэффициентов. Если ^— поле, то ъЗ7 = З7 h= 3-, в случае если характеристика1) поля З7 делит к, и ^Е = З7к = 0 в противном случае. Значит, в силу 5.2.12 и 5.2.12с, Нр (С 0 ^) и HP (С ф Я) являются векторными пространствами над З7, размерность которых равна сумме числа др и числа коэффициентов кручения в размерностях р и (р — 1), делящихся на характеристику поля Я. Более того, так как каждая цепь из Ср ф 3, очевидно, может быть отождествлена с некоторой линейной функцией на С^^З7, векторные пространства Нр (С 0 З7') и ЯР (С ф З7^ также можно рассматривать как двойственные друг другу.
Можно было бы определить р-е число Бетти по mod q полиэдра | К |, где q— любое простое число, как размерность векторного пространства Нр^\К\; Jq). При q = 2 это число называют р-м числом связности полиэдра | К |.
Вернемся теперь к когомологическим аналогам наших результатов о гомологиях.
с. Пример. Рассмотрим вещественное проективное пространство Р". Из 5.2.12с получаем, что HP (Рп; J2) = Jz при 0<^р<^п. Более того, если проанализировать, как был получен изоморфизм теоремы 5.2.12с, станет ясно, что каждая группа когомологий порождается классом того гомоморфизма, который переводит соответствующую цепь £г в ненулевой элемент группы J2.
Положим теперь G = R^ в 5.2.12с. Получаем
с. Следствие. Нр (С ф R^) в (Лр ф Rt) ф 2 ^1-1 1=1 кр
с. Теорема. Если |К|— бикомпактный полиэдр, то
ЯР(|К|; Д1)^(Лрф R^®Tp.l
!) Характеристика поля З7— это такое наименьшее целое положительное число р, что рЗ7 = 0 в предположении, что такое число существует; в противном случае характеристика поля, по определению, равна нулю. Если характеристика равна р>0, то р—простое число.
Группы J и By двойственны в смысле Понтрягина; если J снабдить дискретной •топологией и By—топологией окружности, то каждая из этих групп будет группой непрерывных характеров) другой. Группы Нр (К) и НР (К; By) также служат группами непрерывных характеров друг друга. Не будем более обсуждать этот важный вопрос.■
В заключение этого параграфа обратимся к кольцу когомологий. Утверждения 5.2.13 и 5.2.13с показывают, что группы гомологий и когомологий бикомпактного полиэдра | К | с коэффициентами или значениями в произвольной абелевой группе вычислимы. Если значения берутся в кольце, то определено соответствующее кольцо когомологий. Хотя нет никакого общего правила для определения кольца R* (X; Я), где R — произвольное кольцо, в терминах кольца R* (К; J), тем не менее для любого R соответствующее кольцо когомологий вычислимо. Будем писать С" (К), R* (К) вместо С* (К; J), R* ^К; Jy В С" (X) можно выбрать некоторый •стандартный базис; тогда любой элемент кольца С" ^К; R^ представляется в виде линейной комбинации базисных элементов из С" (К} с коэффициентами в R. ГД-произведения базисных элементов вычисляются механически на основе произвольного упорядочения вершин комплекса К, откуда можно получить гд-произведение любых двух таких линейных комбинаций. Фактически мы утверждаем, что если С' (X), С" (Кд R( рассматривать как кольца, то ГД-произведения в С" (К) вычислимы и) С" (К1, R)^ С" (К) ® R, где С" (X) ® R рассматривается с очевидной структурой коцепного кольца). Следовательно, и кольцо R* (К; R( можно вычислить.
Для доказательства нижеследующей теоремы 5.2.25 мы установим •теперь некоторый изоморфизм между кольцами С" (К; R) и С (К) ® R. Пусть F — свободная /g-группа и пусть F' = F (^ J. Определим для любой группы G гомоморфизм
х : Е" ® G —>F(^G
формулой (ж, X (у ® g)) = (ж, /)g, x^F, y'^F*,g£G.
Лемма, х является изоморфизмом.
Пусть (Д, . . ., /т) — базис группы F, Gw — копия группы G, i = 1, ..., т, a g g№—соответствующий копирующий изоморфизм. Определим X : F" ® 0 G — 2 G^\ положив X (у"® g) = 2(Л, У ) 8^ и определим Ц^^С-^З G^, ггг
положив ц(ф) = 2 Un ф)^^ Тогда X и р являются изоморфизмами) (5.2.7 и 5.2.7с) и цх = XJ
Значит, для каждого упорядочения ю конечного симплициального комплекса К имеет место изоморфизм групп
х:С’(X) ® G^Q (X; су
Очевидным образом, С^ (К) ® G наделяется структурой коцепного комплекса (роль 6 играет 6 ® 1). Если G — кольцо, то Сщ (К) ® G — коцепное кольцо (см. 4.2.1), если положить•
(d®g)(e® g') = (o!ue)®gg', ^е^С^^Ку g,g' ^G.
Предложение, (а) х является коцепным отображением; (б) если G— кольцо, то х— кольцевой изоморфизм.
Пусть с EC™ (.К), d^C^(KY g^G. Тогда
(с, 6х (d ® g)) = (сд, x(d® g)) = (cd, d)g =
= (c, 6d)g = (e, x (6d ® g)) = (c, xb^d^g^.
Значит, 6х = хб, и утверждение (а) доказано.
Пусть R — кольцо, d^Ca(K'), e^C^(K), r,s£R; утверждение (б) будет доказано, если нам удастся установить, что
х ^dvje') ® rs) = х (d ® r)ux (е ® s).
Вычислим значение каждой стороны равенства 5.2.24 на произвольном упорядоченном (р + д)-симплексе a°...ap+q;
(а° ... а9*4, х ((due) ® rs)) = (а° . . . ар+9, d\Je^ rs =
= (а° . .. ар, d) (ар . . . ар*4, е) rs =
= (а° ... ар, z(d ® г)) (ар . .. ар+ч, х (е ® s)) — = (а0 ... ар+9, х (d ® r^ux (е ® s)).J
Приведенное точное описание изоморфизма х : Сё (К') ® R ^ Сё (К; R) позволяет нам получить следующий важный результат, оттеняющий пример 4.3.4.'
Теорема. Если К — конечный комплекс и группа И* (К) свободна, то R* (К; R)^R* (К) ® R.
Так как НР(К)—свободная группа, то В® (К) является прямым множителем группы С®(Ку Значит, к группе F = С™ (К)/Вр (К) можно применить лемму 5.2.22. Получаем
x:Zp(K)®RSZg(K; R),
который можно представлять себе как сужение изоморфизма х : С£ (К') 0 R ^ — Cg (jf: R). Подобным же образом, полагая
F = C^(K)/Z™№, получаем
x-.Bp^®R^Bp(K; Ry
Ибо, в силу леммы 5.2.19, если группа Нр-1 (К) не имеет кручений, то р-коцепь в том и только в том случае является р-кограницей, если она равна нулю на всех p-циклах. Ожидаемый результат получается теперь переходом к факторнольдам.}
§ 5.3. Свободные и полные группы
Прежде чем распространить результаты последнего параграфа на бесконечные комплексы, установим связь между некоторыми главными свойствами свободных абелевых групп и двойственными свойствами полных групп. Свободные группы будут для нас более важными, чем полные группы, но и последние пригодятся. Параллельное же изложение поможет читателю запомнить свойства одних групп с помощью других. Однако мы далеки от того, чтобы утверждать, что доказательствами свойств групп одного класса можно будет руководствоваться при построении доказательств свойств групп другого класса. Соответствующие друг другу теоремы будут снабжаться одинаковыми номерами с индексами / для свободных и d для полных групп.
/. Теорема. Любая подгруппа свободной абелевой группы является: свободной абелевой группой.
Если читатель согласен ограничиться /g-группами, то доказывать этопредложение нет необходимости.
Пусть F— свободная абелева группа, R—подгруппа группы F и {/а} — базис группы F. Рассмотрим семейства Q — {гр} элементов из R, обладающие следующими свойствами: (а) элементы из q линейно независимы, (б) если 5Р —группа, порожденная элементами из Q, и Gp— группа, порожденная теми элементами /а, которые участвуют в разложениях (по этому базису) элементов гр £ Q, т0
СРП/? = 5Р.
(Обратите внимание, что для любого семейства q, GPV\ R ^ 8Р.^ Упорядочим эти семейства по включению. Нетрудно видеть, что они образуют индуктивное множество (элементами которого служат семейства). Более того, это множество не пусто, так как ему принадлежит пустое семейство- { }. Таким образом, можно применить лемму Цорна (1.3.1). Пусть Q — максимальное семейство; обозначим 5Р и Gp через 5, G и докажем, что S = R. Теорема тем самым будет доказана.
Предположим, что S ^= R. Среди всех элементов множества R — S отберем те, разложение которых по базису {/а} содержит наименьшее числа тех элементов этого базиса, которые не попали в G. Рассмотрим коэффициенты при таких {/«}, вошедшие в разложение отобранных элементов. Выберем в этом множестве наименьший коэффициент и пусть z— тот элемент, в разложении которого он встречается, например z = к^ + ..., причем ^ — элемент базиса, не принадлежащий G. Множество q+ = (q, z) тогда линейно независимо. Пусть S+ = 5p+, G* — Gp+. Мы получим желаемое противоречие, если покажем, что С (]Я s 5+. Предположим, что у £ G+ П R\ тогда у = 14^... и из минимальности коэффициента к следует, что I делится на к; пусть 1 = кт. Тогда свойство минимальности множества, из которого было выбрано z, показывает, что у — mz^G f\R=- S и г/Е-5+.)
Абелева группа D называется полной, если для любого положительного целого числа п и любого элемента da £ D существует по крайней мере один такой элемент d^D, что nd = d0. Иными словами, любой элемент d0 g D можно «поделить» (хотя вообще и не единственным способом) на любое положительное целое число. Группа рациональных чисел и группа вещественных чисел являются примерами полных групп, в которых деление определено однозначно; Rt, группа вещественных чисел по mod 1, — пример группы, в которой деление определено не однозначно.
d. Теорема. Факторгруппа полной группы полна.
Пусть G — факторгруппа и ср : D —> G—эпиморфизм некоторой полной группы на G. Для любого g0 £ G обозначим через d0 некоторый элемент из D, такой, что d0<p = go- Для каждого целого числа п существует элемент d^D, такой, что nd = d6 и, следовательно, п (dtp) = d0<p = g0.J
/. Теорема. Любая абелева группа G может быть представлена как факторгруппа некоторой свободной группы.
Построим свободную группу F на образующих VeV гДе индексирующим множеством служит сама группа G. Преобразование fg—*g определяет некоторый гомоморфизм, который, очевидно, эпиморфен.]
Описанное представление группы G называется стандартным представлением. Ядро построенного эпиморфизма является в силу теоремы 5.3.1/ свободной группой.
d. Теорема. Любая абелева группа G может быть вложена как подгруппа в некоторую полную группу.
Пусть О—» R—>F—>G—»0— точная последовательность, в которой F— свободная группа. Таким образом, ц является представлением группы G. Тогда F — прямая сумма бесконечных циклических групп. Каждое слагаемое J из этой суммы может быть вложено в Q, группу рациональных чисел. Таким образом, группа F вкладывается в прямую сумму D некоторого множества экземпляров группы Q, т. е. в полную группу. Тогда FIRX^DIRX и DIRX является в силу теоремы 5.3.Id полной группой. Так как G^FIRX, теорема доказана.]
Полученный результат можно выразить иначе, сказав, что имеет место точная последовательность
в которой D (а следовательно, и Е^ — полная группа. Будем называть мономорфизм р' рационализацией группы G. Если при доказательстве теоремы 5.3.2d отправляться от стандартного представления группы G, то получающееся вложение группы G естественно назвать стандартной рационализацией группы G.
Для формулировки следующей теоремы нам потребуется понятие проективной абелевой группы; определение этого понятия и сам термин применимы и к другим алгебраическим системам, отличным от абелевых групп. Группа Р называется проективной, если для любого эпиморфизма ^: А^> В и любого гомоморфизма р : Р —> В существует такой гомоморфизм а : Р—>А, что аф=р.
/. Теорема. Абелева группа в том и только в том случае является проективной, если она свободна.
Пусть F — свободная группа; рассмотрим диаграмму *)
F
Пусть {Д} — базис группы F; сопоставим с каждым fx некоторое ах^А, для которого йхф = /^р. Это возможно, поскольку ф эпиморфно. Преобразование Д—» ах определяет гомоморфизм а : F —» А, так как F — свободная группа и {/,.} —ее базис. Ясно, что аф = р.
Рассмотрим теперь проективную группу Р; пусть ф : F—> Р— некоторое ее представление. Рассмотрим диаграмму
ХР
Так как группа Р проективна, существует гомоморфизм а : Р —»F, для которого аф = 1. Но тогда а должен быть мономорфизмом. При этом а
Пунктирными стрелками на диаграммах изображаются те гомоморфизмы, которые заранее не даны и строятся в доказательстве.
вкладывает Р в F как подгруппу, так что Р, в силу теоремы 5.3.1/, является свободной группой.)
Двойственным к определению проективной группы является определение инъективной группы. Группа G называется инъективной, если, каковы бы ни были мономорфизм ф : В —А и гомоморфизм 0 : В —G, существует такой гомоморфизм a:A-^G, что фа = 0.
Й. Теорема. Абелева группа является инъективной в том и только в том случае, если она полна.
Пусть D — полная группа, и даны ф : В —A, $:B—>D, такие, как выше. Так как ф— мономорфизм, мы не потеряем в общности, предположив, что В — подгруппа группы А. Нужно доказать, что гомоморфизм 0, определенный на этой подгруппе, может быть продолжен до некоторого гомоморфизма а всей группы А. Рассмотрим множество всех таких пар (5л, 0л), что В s Вх s А и 0Л : Вх —* D — некоторое продолжение гомоморфизма 0; последнее означает, что 0л|5 = 0. Упорядочим1) это множество пар по следующему правилу: фх, 0л) < (В^, 0ц), если Вх с В^ и 0ц является продолжением 0л- Это упорядочение индуктивно, так что по лемме Цорна существует максимальная пара (5, 0). Мы покажем, что В = А. Пусть это не|так, и х^А — В. Если ж не зависит от В (т. е. из пх^В следует, что п=-0), то 0 можно продолжить до гомоморфизма подгруппы 7? + (ж), порожденной совокупностью элементов В и ж, выбрав в качестве образа элемента ж нулевой элемент группы D. Пусть, с другой стороны, пх ^ В для некоторого и>0; обозначим тогда через По—такое наименьшее положительное целое число, что пох£В. Возьмем какое-нибудь d^D, для которого пой = (иож) 0. Тогда 0 можно продолжить на 5 + (ж), взяв в качестве образа элемента ж элемент d. Легко проверить, что так определенное 0 однозначно и гомоморфно. Итак, в любом случае удается продолжить 0 за пределы В,"что противоречит максимальности пары (5, 0). Мы имеем поэтому право заключить, что В -А; в качестве искомого продолжения а гомоморфизма 0 можно взять тогда 0. Значит, группа D инъективна.
Обратно, пусть группа I инъективна, а^1 и п — некоторое целое положительное число. Рассмотрим диаграмму
/
на которой 0 переводит 1 в а, а ф переводит 1 в п. Поскольку группа I инъективна, существует такой гомоморфизм a:J—>I, что ф« = 0. Тогда а = (1) 0 = (1) фа = (и) а = и-(1) а. Этим полнота группы I доказана.)
Из обобщений понятий этого параграфа на алгебраические системы, отличные от абелевых групп, наиболее полезны обобщения «проективности» и «инъективности». Проективное свойство свободной группы и инъективное свойство полной группы особенно важны в гомологической алгебре (см., например, 5.1.10) — в этом ценность теорем 5.3.3/ и 5.3.3Й.
Ц Это, конечно, частичное упорядочение.
Хотя понятие «свободный» можно обобщить, аналог теоремы 5.3.3/, вообще говоря, не верен. Принимая во внимание теоремы 5.3.3 (/ и d), утверждения 5.3.1 и 5.3.2 можно переформулировать для абелевых групп в терминах «проективности» и «инъективности». В этой более общей ситуации аналог так переформулированной теоремы 5.3.1 ложен, хотя соответствующий аналог теоремы 5.3.2 справедлив.
В качестве интересного применения проективного свойства свободной группы предлагаем вниманию читателя следующий результат. Многие идеи,, используемые при его доказательстве, встретятся нам и в следующем параграфе.
. Теорема1). Пусть С, С' — свободные цепные комплексы, а ст :#*((?)-> Я* (С')
— гомоморфизм. Тогда существует цепное отображение ф:С—>С', для. которого ф* = ст.
ОО4-4-I Рп4-I Рп4-апапИмеем диаграмму
О
О
4-
4-
I Рп
4-
I Рп
4-
ап
ап
О,
где Нп = Нп(С), Н'п — Нп(С) и горизонтальные последовательности выражают отождествления ZJBn = Hn, Z’JB’n = Н'п. Так как комплекс С свободен, то свободна и группа Zn (5.3.1/), и потому (5.3.3/) мы можем так определить отображение Qn, чтобы 9,гЦп= РтЩп- Отображение рп определяет отображение л„, такое, что л„Х„ = %nQn. Кроме того, мы имеем точную последовательность 0 Z„ —2* Сп -^ Bn_t —0, порожденную граничным- оператором dn : Cn C^.j и гомоморфизмом (5.1.10) х„ : Вп_г —> Сп, для которых
Сп = ZnE,n@ Bn_txn;
более того, хпц„ = 1 и дп — T|n^n-i^n-i- Аналогичные результаты имеют- место для С'. Определим отображение ц>п:Сп—>С'п формулами
^п^пфп = ^^Q^^n, Ьп—1^пфп = 5П-1ЛП_|ХП.
Очевидно, фгадп = дпфп-i (= 0) на Zn£n; на 5n_jXn мы имеем
Ьп—^п^пд-п ~ 5П—1Лп_^хп^п =
= 5п-1Лп-1Хп_1^п_1 — Ьп-^п-^п-^п—1 —
— ^n-l^n-l^n-lTn-l ^ ^П-^П^пфп.— i*
Значит, ф — цепное отображение. Ясно, что ф индуцирует отображения Q- и, следовательно, ст.)
Гомологии и когомологии в случае бесконечных комплексов
В этом параграфе мы получим выражения групп НТДК; G), Нп (К-, Gy через группы НР{К), не налагая на К никаких ограничений типа конечности. На самом деле наши результаты полностью применимы к произвольным свободным цепным комплексам и не используют теорию стандартных:
т) На эту теорему обратил наше внимание Дж. Г. К. Уайтхэд.
базисов. Контраст между § 5.2 и этим параграфом отражает историю предмета. Пионеры алгебраической топологии пытались выразить все инварианты в виде некоторого конечного перечня целых чисел (например, чисел Бетти и коэффициентов кручения). Однако более поздние авторы нашли более естественным и изящным рассматривать в качестве инвариантов целые группы.
Ключ к этому методу дает более тщательный анализ тензорного произведения. А потому мы начнем с такого анализа; некоторые дальнейшие свойства тензорного произведения будут даны в следующем параграфе.
Пусть А' А —^ А" 0 — точная последовательность абелевых групп. Напомним, что это означает, что ц эпиморфно и что его ядро является образом при X. Можно тензорно умножить элементы этой последовательности на В и получить последовательность А' ® В ~-^—> А ® В —^-> ™^> А"® В 0. Будем писать X, pt вместо Х®1, ц®1. Докажем, что имеет место
Теорема. Последовательность А' ®вД.А®В—>А''®В^»0 точна.
Обратите внимание, даже для того случая, когда X мономорфно, мы не утверждаем, что X мономорфно. Нужно доказать три утверждения:
ц эпиморфно. Достаточно показать, что каждый элемент вида а ® Ъ принадлежит образу при ц, где а"£А", Ь^В. Но ц —эпиморфизм, так что а" = ар, для некоторого а^А. Тогда а' ® Ь = (а ® Ь) ц.
Хц = 0. Ибо Хц — (X ® 1) (ц ® 1) = Хц ® 1 = 0 ® 1 = 0.
р-Ч0)^(А' ® В') X. Чтобы доказать это, напомним сначала понятие билинейного спаривания 6:AxB—»G (см. § 4.1). Любое билинейное спаривание 0 определяет некоторый гомоморфизм 0 : А ® В —» G, такой, что (а ® &) 0 = (а, 6) 0. Заметим далее, что если х : А"—>А — какое-нибудь отображение (не обязательно гомоморфное), такое, что хц = 1, еслиц : А —> А/А'Х— проектирование и р/ : А/А'Х —» А”— изоморфизм, индуцированный гомоморфизмом р, то xq : А"А/А'Х— изоморфизм, обратный к р'. Метод доказательства состоит в том, чтобы имитировать эту ситуацию для последовательности
А' ® В Л А® В Л А" ® В -> 0.
Пусть Г = (А' ® S) X. Тогда, так как Хр = 0, р индуцирует
.Д' : (Л ® 5)/Г А" ® В
в том смысле, что р = £р', где £ : А ® В —»(Л ® 5)/Г— проектирование Мы должны доказать, что д' является изоморфизмом, при этом нам известно уже, что р'— эпиморфизм. Определим отображение 0 : А" ® В —>
А ® S/Г, положив (<?", Ь) 9 = (<z"x ® b) t,. Докажем, что 0 — билинейное отображение. Очевидно, что 0 линейно по второй переменной, и мы должны лишь проверить, что
« + <, 6) 0 — «, 6) 0 -(а;, Ь) 0 = 0.
Но ((а" + а") х— арх— а"х) р = а" + а" — а"—а" = 0, так что
(а^ + «О и — а1х — а2и € Н-1 (0) = ^'Х.
Значит, « + а;, 5) 9 — «, Ь) 9 — «, Ь) 9 =
= ((а’ + а") х 0 6) ? —«х 0 Ь) £ —(а"х 0 6)l =
= ((« + О х — а"х — а"х) ® 5) £ =
= (а'Х0 5)С, для некоторого а'^А',
— (а’ 0 b) Х£ = 0, так как Г^ = 0.
Отсюда следует, что 9 определяет гомоморфизм*) 9 : А" 0 В —> А 0 В/Г, для которого (а" 0 Ь) 9 — (а"х 0 Ь) £. Докажем, что р'9 = 1; этим будет установлено, что р' является изоморфизмом с обратным 9. Заметим, что для всех а^А, (арх— а) р = ар — ар = 0, так что арх— а = а'\ для некоторого а'^А'. Значит,
(а 0 5) £р'9 = (а 0 5) р9 = (ар 0 6) В =
= (арх 0 Ь) £ = (а 0 5) £ + (а'X 0 Ь) £ = (а 0 Ь) £,
ибо (а'Х 0&)£=(«'0 6) Д = 0. А так как группа (А 0 5)/Г порождается элементами вида (а 0 Ь) £, этим доказано, что р'0 = 1. И мы немедленно заключаем, что р' мономорфно и, значит, изоморфно, так что ядром р служит Г.)
Быть может, читатель лучше оценит значение этой теоремы, если мы укажем такое следствие:
5.4.2(А 0 В)/(А' ®В)Х^ (А/А'Х) 0 В.
Когда X мономорфно, заманчиво забыть про отображения X и X и записать 5.4.2 так: {A^B)I(A' ®В) e^AfA'^^B. К сожалению, такая форма записи неприемлема, потому что X не обязательно мономорфно. Например, если A=J, A'=2J, B=J2, то А' ® B=J2, в то время как (Л'05)Х = О. Ибо если J—группа целых чисел и элемент 6 порождает группу 5, то группа А* 0 В порождается элементом 2 0 6, но, в Л 05, 2 0 6=1026=100=0.
Предположим теперь, что X—мономорфизм, и исследуем ядро гомоморфизма X. Ограничимся при этом случаем свободной группы А. Тогда р : А —-> А" — представление группы А". Примем более уместные для этого случая обозначения и рассмотрим точную последовательность
5-4-3о-^дЛ^Аа^о,
где /’ — свободная группа. Будем рассматривать последовательность 5.4.3 как представление группы А. Умножая тензорно на В, получаем точную последовательность
r®b^>f®b^a®b-»o.
Обозначим через А*уВ ядро гомоморфизма X. Мы хотим доказать, что группа А*цВ не зависит, с точностью до изоморфизма, от выбора р. Сначала установим некоторые свойства группы А*уВ; они в некотором смысле типичны для гомологической алгебры.
Пусть А', S'— какие-нибудь группы, иф:А—*А', ф : В В' — гомоморфизмы. Пусть группа А представлена последовательностью 5.4.3, а А' — последовательностью
O-^R'^F'^A'-^O.
х) 0 служит аналогом гомоморфизма ид, участвующего в исходной последовательности.
12 Заказ № 1335
5.4.4. Теорема. Имеют место канонические гомоморфизмы
т (ф; р, р'): А*^В —> А'*р/В, х(ф; р): А*^В—* А^В', такие, что
т (1; р, р) = 1 : А^В —> А*^В\
т (q>; р, р/)т (ф'; р', р") = т(фф'; р, р"), где ф' : А’ —> А" и р" является представлением группы А";
(в)х(1; р) = 1 : А*^В—> А*цВ;
х(ф; р)х(ф'; р) — к (фф'; р), где ф : S' —»В";,
х(ф; р)т(ф; р, р') = т(ф; р, р') и № р'): А*уВА’*^В’.
Рассмотрим сначала, как определить т = т (ф; р, р'). Итак, заданы гомоморфизмы
о^дД.рДл-ф
4,3 Ф% ^Ф
Из теоремы 5.3.3/ следует, что существует гомоморфизм %: F —>F', для которого %р'=рф. Тогда Ххр' = Хрф = 0, так что Хх отображает R в R'X' и, следовательно, определяет некоторый гомоморфизм 9;R—»R', такой, что 0Х' = Хх. Умножим теперь тензорно наши последовательности на В. Получаем диаграмму, .
О А»у.В ^> R ® В Л F® 5 Л Л ® В —» О
5
• т| е| х I ф
i1_4-1
O-^A'^'B^R* ®bXf' ®В-4л'®В->0
где со, со'—инъекции, а т — сужение отображения 0 на Л*цВ. Ясно, что т отображает А*уВ в А'*у;В, так как <о0Х'=<оХ% = 0.
Гомоморфизм т обладает всеми требуемыми свойствами. Главным шагом при выяснении этого является доказательство того, что гомоморфизм т каноничен, т. е. не зависит от выбора отображения %, «поднимающего» ф. Так как % должно удовлетворять равенству /р' = рф, то его можно изменять на гомоморфизмы вида уХ', где у— произвольный гомоморфизм группы F в R'. Тогда 0 изменяется на Ху, так как
(0 + Ху) X' = X (% + уХ').
Значит, 0 изменяется на X у. Но соХу — 0, так что гомоморфизм т не изменяется, и мы имеем право записать т = т(ф; р, р').
Свойство (а) очевидно, ибо в диаграмме 5.4.5 в качестве вертикальных отображений можно взять тождественные отображения. Пусть теперь 0 —> R" —» F" -^> Л" —> 0 — какое-нибудь представление группы Л", и пусть дано ф' : А'—> А". Если отображение х' : F' —> F" «поднимает» ф', т. е. если Х'р" = р'ф', то отображение х%':поднимает фф'. Ясно, что если
провести процесс определения гомоморфизма т (фф'; р, р") при таком выборе поднимающего отображения, то у нас получится отображение т (ф; р, р') т (ф'; р', р"). Таким образом, свойство (б) проверено.
грамму5.4.6грамму5.4.6Для определения гомоморфизма х = х (ф; р) мы просто выпишем диа
грамму
5.4.6
грамму
5.4.6
О-^B-^R® bXf0B Ла®В->0
i _।__;
O-^A^B'-Xr® B’Xf® В’ Дл ®5'-»0.
Будем писать ф вместо 1 ® ф. Тогда гомоморфизм х не что иное, как сужение гомоморфизма ф : В ® В —> R ® В' на А*№В. Так как <офХ = = оАф = 0, то х отображает А*уВ в А*^'. Свойство (в) очевидно, а свойство (г) вытекает немедленно из равенства фф' = фф'.
Наконец, нам нужно доказать коммутативность диаграммы
А*уВ > А*^В
гт
Л *ц'В > А *^ В .
Но эта диаграмма получается сужением из диаграммы
R®bX R® В*
е е
R' ® В Д R’ ® В',
а последняя, очевидно, коммутативна.J
По аналогии с тензорными произведениями напрашивается следующее обозначение: записывать через ф*№'ф: А^В —»А^^В' гомоморфизм х (ф; р) т (ф; р, р'). В этих обозначениях
(т (ф; р, цЭ^ф*^'!,
И(Ф, Ц) = 1»ццф,
I И (ф*цц'ф) (ф'*ц'ц»ф') =фф'*цц"фф'.
. Следствие. Пусть 0 —» Rt —> F% А —» 0 (i = 0, 1) —два представления группы А; тогда имеет место изоморфизм т : Л*|1о7? — А*ИВ.
Действительно, пусть р;:^—>Л (i — 0, 1, 2)— три представления. Обозначим т(1; цг, ц,) через т (цг, pj; из теоремы 5.4.4(6) заключаем, что
т(ц0, Pi)r(p!, ц2)=т(цо, ц2):Л*Ц05-> Л*(125.
Полагая ц2 = Ро и применяя 5.4.4(a), получаем
и аналогичнои аналогичнот(ц0, иОт^!, Цо) = 1
и аналогично
и аналогично
т(Р1, Ро) т(р0, Р1) = 1.
Следовательно, т = т (р0, pj): Л * но® = А * ^В, причем обратным изоморфизмом служит т (р1т p0).J
Когда для нас будет неважно, о каком именно представлении группы А идет речь, мы будем писать А * В вместо А * уВ. Группа А * В будет называться периодическим произведением1) групп А и В. Любые две модели группы А* В связаны каноническим изоморфизмом т из 5.4.8; произвольные гомоморфизмы ф: А—» А', ф : В—> В' индуцируют
Ф * ф : А * В—> А'* В'.
Это замечание оправдывается коммутативностью диаграммы
А * цо5 ~А * РгВ
А' * у'В' —> А' * у-В'.
тОф, цр
Обозначения, участвующие в 5.4.7, сразу проясняют, что каждый составной гомоморфизм группы А * РоВ в А' * уВ' равен Ф*РоР’ф.
При желании группе А * В можно дать более конкретное определение. Для каждой группы А можно договориться пользоваться ее стандартным (абелевым) представлением, определенным в 5.3.2/. Это представление в большинстве случаев настолько велико, что совершенно непригодно для вычислений. Но оно сразу приводит к некоторой однозначно определенной группе А * В (и к однозначно определенным гомоморфизмам <р * ф), которой все группы А * уВ канонически изоморфны. Еще более конкретное определение предлагается в упр. 10.
Предложение. Если А — прямая сумма групп Аа и В — прямая сумма групп By то А* В является прямой суммой групп Аа*Ву
В свете леммы 5.2.6 доказательство можно предоставить читателю.J
Предложение. Если какая-нибудь из групп А или В свободна, то А*В = 0.
Предположим сначала, что группа А свободна; тогда можно взять последовательность 0 —> 0 —> А ~^> А —> 0, где ц = 1 есть тождественное представление группы А. Очевидно, А * уВ = 0.
Предположим теперь, что В — свободная группа, и пусть 0—>R—* —> F Д»А —> 0 есть представление группы А. Из замечания, следующего за доказательством теоремы 5.2.7, и коммутативности операции 0 сразу вытекает, что если X : В —» F — мономорфизм и В —свободная группа, то X-.R0B—» — > F 0 В — тоже мономорфизм; значит, А*уВ = 0.)
Предложение. Jm * Jn ~ J(m, n>
Представим Jm как 0 —» mJ —> J -Д- Jm —> 0. Тогда Jm * yJn — ядро гомоморфизма X: mJ 0 Jn—> J 0 Jn. Произвольный элемент группы mJ 0 Jn записывается (единственным способом) в виде тк 0 Ъ, где b — фиксированный образующий элемент группы Jn и 0<;к<<п; тк0Ъ лежит в ядре гомоморфизма X в том и только в том случае, если тк делится на п. Отображение тк 0 Ъ —» кЪ является изоморфизмом между группами mJ 0 Jn и Jn, причем Jm*yJn отображается на подгруппу т(7„). Но мы видели, что m(Jn) = J^m, п>; предложение 5.4.12, таким образом, доказано.]
Предложения 5.4.10 — 5.4.12 вместе с теоремой 5.1.4 —или лучше вместе с теоремой 5.1.8 —позволяют вычислить группу А*В в случаях, когда А
^ Часто также для группы А* В употребляется обозначение Тог (4, 5).
и В являются /g-группами. Читатель, вероятно, обратил внимание на то, что Л и В играют в предложениях 5.4.10 — 5.4.12 симметричную роль; в следующем параграфе мы увидим, что в действительности А * В = В * А для всех Л и В.
Теорема. {Теорема об универсальных коэффициентах.) Пусть С— свободный цепной комплекс, тогда
Нр {C®G)^ {Нр (С) 0 G) © {Hp_v (G) * G).
Ввиду опасностей, которые нам угрожают при неточном применении операции 0 G к подгруппе, будем предельно педантичны при доказательстве этой теоремы, отличая, например, группу Вр_г от ее изоморфного образа, являющегося подгруппой группы Cp_v
Заметим, что д определяет некоторый эпиморфизм ц : Ср —-» Вр^, такой, что гц = 9, где i: Bp_t —» Ср-! — соответствующее вложение. Более того, для каждого р имеет место точная последовательность
о-^рЛсрЛяр-^о,
где £ —вложение. Кроме того, для каждого р имеет место точная последовательность
о^врЛгрЛяр-^о,
где X— вложение и X£ = i.
Группа Вр_г, являясь подгруппой группы Ср_х, в силу теоремы 5.3.1/ свободна. Следовательно, по теореме 5.1.10 существует мономорфизм х : Bp_v —^ Ср, для которого хц = 1 и Ср = Zpg © Вр^х (сравните с доказательством теоремы 5.3.4). Тогда
Ср 0 G = (Zpg 0 G) © (Bp_tx 0 G) = {ZP 0 G) f © {Bp_4 0 G) x, где | и x мономорфны.
Вычислим теперь группу ZP{C ® G). Без сомнения, (Zp0G)£9 = O, где 9 = 9 01, так что {Zp 0G)t^Zp (С0 G). Рассмотрим диаграмму гомоморфизмов
Ср 0 G Л Вр^ 0G-, Zp_v ® G-LCp_4 0 G.
Если <K^Bp_t ® G, то ххд = xxx\v = Xi = хХ^,. Значит, xx£Zp{C^>G) в том и только в том случае, если жХ£ = 0. Однако £ мономорфно, так что хх ^ ZP{C ® G) в том и только в том случае, если х £ X-1 (0) = Hp_x * yG. В свете равенств 5.4.14 мы доказали, что
ZP(C® G) = {Zp®G)l®{Hp_^yG)x.
Далее,
Вр {C®G) = {С№ 0 G) 9 = (Ср+1 0 G) pi = фр 0 G) i = {Вр 0 G) Х^.
Значит, Нр (С 0 G) ^ ((Zp 0 G)/(Sp 0 G) X) © (Яр-! (С) *G). В завершение доказательства используем формулу 5.4.2.]
Мы настойчиво рекомендуем читателю сравнить теорему 5.4.13 с теоремой 5.2.12 и отметить, что первые два члена в выражении для НР{С 0 G) в 5.2.12 соответствуют группе Hp{C)®G, а третий член соответствует группе Нр-^С) * G. Преимущество выражения 5.4.13 заключается не только в его краткости, но также и в его инвариантности.
Более строго эту инвариантность (т. е. независимость от выбора базиса в С) можно выявить следующим образом. Заметим сначала, что все группы Нр (С 0 G), Нр (С) 0 G, Нр_г (С) * G определены без помощи базиса в С. Любую так определенную функцию от С можно назвать канонической. Тогда справедлива
Теорема. Если комплекс С свободен, то имеет место точная последовательность
РР'
О-»Я;,(С)0С->Яр(С0С)-^Ям (0.С->О,
где q, р' — канонические гомоморфизмы. Более того, образ при q является прямым множителем в Нр (0 0 G).
Будем пользоваться обозначениями из 5.4.13. Тогда Zp0G является подгруппой группы Zp (С 0 G), и мы получаем гомоморфизм Q, факторизуя по образу группы 5p0G. Граничный оператор в С можно рассматривать как отображение Cp0G на Вр_х 0 G. Сужение его на группу Zp (С 0 G) отображает последнюю на Нр_^ (С) * G, при этом Bp(C0G) отображается в нуль. Таким образом индуцируется отображение Q' факторгруппы Zp (С 0 G)/Bp (С 0 G) на группу Яр_1 (С) * G. Остальные утверждения нашей теоремы доказываются в том же стиле, как и теорема 5.4.13.] Правое обратное к р получается с помощью некоторого проектирования Ср —>- Zp, а левое обратное к р' — с помощью отображения х: Вр_^-*- Ср.
Сделаем еще несколько замечаний о тензорных и периодических произведениях; они пригодятся нам при вычислениях.
Предложение. Если А — периодическая группа и В—полная группа, mo Л0В = О.]
Заметим теперь, что тензорное произведение носит локальный характер в следующем смысле:
Лемма. Пусть а^А, Ъ^В, 1 = 1, ...,п, и предположим, что ’^ai0bi = O; тогда существуют fg-группы Ао^А, В0^В, такие, что ai^A0, Ь,£В0, 1 = 1, . . ., п, и '^а1®Ъг = <д в Ао 0 Во.
Обозначим через (Л, В) свободную абелеву группу, порожденную парами (а, 6), а^А, Ь^В.
Исследование соотношений в А® В (определение 5.2.1) показывает, что ^а10Ь{ = О в А ® В в том и только в том случае, если 2 (°ь М г■ г
является конечной суммой элементов из (Л, В) вида (а, & + &') — («, Ь)— — (а, Ь") или вида (а + а',6) — (а, &) — («', 6). Возьмем какое-нибудь такое представление элемента 2 (ал Ь^, и пусть Ло — подгруппа группы А, порог
жденная первыми членами всех пар, встречающихся в этом представлении. Подобным же образом определим группу Во. Очевидно, группы Ло и Вй обладают желаемыми свойствами.J
^1ы говорим, что группа А локально свободна, если каждая ее /g-подгруппа является свободной. Это, в силу теоремы 5.1.3, эквивалентно тому, что группа А не имеет элементов конечного порядка, или тому, что ее периодическая подгруппа есть нуль. Так, например, группа рациональных чисел является локально свободной (но не свободной) группой.
Предложение. Пусть i: Л'—» Л есть мономорфизм. Тогда t: А'® В —> А ® В является мономорфизмом, если (а) ЛЧ— прямой множитель в А или (б) В локально свободна.
Случай (а) содержится в лемме 5.2.6. Случай (б), когда В — свободная группа, является прямым следствием теоремы 5.2.7.
Предположим теперь, что В — локально свободная группа. Пусть а^Л', Ьг^В, и пусть 2 а'г 0 Ь, = 0 в Л 0 В. Тогда существует, в силу
леммы 5.4.18, такая/g-подгруппа Во s В, что Ь^Вд при всех i и 2 «i ® bt = О в А ® Во. Но i: А' ® Во—* А ® Во мономорфно, так как Во — свободная группа. Значит, 2 аХ ® Ь; = 0 в А* ® Во, и, a fortiori, 2 a't ® bt = 0 в А* ® В. J г4
Следствие. Л*В = 0, если В—локально свободная группа.]
Обратите внимание, что каждое поле характеристики 0 локально свободно как аддитивная группа. Рассмотрим, в частности, группы гомологий на бесконечном абстрактном комплексе К. Если ^—поле характеристики нуль, мы имеем)
Нр (К; У) вНр(К)®^ в №Нр (К)®^.-
Пример. Если для некоторого целого числа т, тА = тВ = 0, то А*В=0.
Из 5.4.18 следует, что достаточно доказать это для случая, когда А—конечно порожденная группа. Тогда А является прямой суммой циклических групп, порядки которых делят т. Из предложения 5.4.10 тогда следует, что достаточно рассмотреть случай A = Jh, где т делится на к. Представим группу Л следующим образом: 0—>-./—>- -^>-J Д-Л —>0, где IX=к. Отождествим J&B с В; тогда X : В —> В есть в точности умножение на к. Так как тЯ=0 и т делится на к, то, очевидно, из kb = O следует, что 6=0. Значит, X мономорфно, так что Л*рЯ=0.
Наконец, прежде чем перейти к когомологиям, установим обобщенный вариант утверждения 5.2.16, взяв в качестве группы коэффициентов Rt. Имеем
НрАС ® Я,) в (Нр ® Я,) ф (Hp_t * Ri).
Точная последовательность 0 —> Тр —► Нр —>- юНр —> 0 приводит, в силу теоремы 5.4.1, к точной последовательности
Яр ® Ri >■ Нр^ Ri —>- у)Нр ® Ry —>- 0, .
Значит, в силу предложения 5.4.17, Яр® Ri в шЯр® Ri. В следующем параграфе мы докажем, что Hp_t* Ri = Tp_i* Ri в Tp-i, и получим, таким образом,
Предложение Нр (С ® Ri) в (WHP ® Rt) ф Tp-i-J
Очевидно, это наилучшее возможное приближение результата 5.2,16. Если бы группа и)Нр была свободной, предложение 5.4.23 выражало бы в точности тот же результат, что и утверждение 5.2.16 (это в действительности была бы инвариантная форма записи утверждения 5.2.16). Однако не всегда верно, что факторгруппа произвольной группы по ее периодической подгруппе свободна—простой пример доставляет группа рациональных чисел.
Повторим теперь программу этого параграфа для когомологий. Пусть дана точная последовательность А' —> А -^> А" —* 0 и по ней построена последовательность A'f^B <— А ^ В <— А"^ В <— 0. Имеет место)
с. Теорема. Последовательность А' ^ В <— А Д, В^- А" ^ В <— 0 точна.
Доказательство этой теоремы значительно легче доказательства теоремы 5.4.1; мы предоставляем провести его читателю.J Здесь X’ может не быть эпиморфно даже в том случае, когда X мономорфно; не каждый гомоморфизм А'В может быть продолжен на всю группу А.
Пусть 0—>В —> F -^> А —> 0 — представление группы Л. Обозначим через ЛфцВ коядро гомоморфизма X": F ^ В —> В ^ В.
Как и в случае операции *ц, мы докажем, что фц не зависит, с точностью до изоморфизма, от выбора ц. Сообщим сначала о некоторых свойствах ЛфцВ.
И ОИ ОПусть А',-,R'^F'-Пусть А',-,R'^F'-В'— группы, ф:Л —> А',ф:В —>В' — гомоморфизмы
И О
И О
Пусть А',-,R'^F'-
Пусть А',-,R'^F'-
А' —> 0 — некоторое представление группы А’.
с. Теорема. Существуют канонический левый гомоморфизм т* (ф; р, р'): А' tn' В -> А^В
и правый гомоморфизм х (ф; р): А ^В—» А ^цВ', для которых
т (1; р, р) = 1 : Л tns-> Л}ц5;
т" (ф; р, р')т"(ф'; р', р") = т'(фф'; р, р"), где ф': А' —> А" и р" — представление А";
х(1; р) = 1: А -^В-^А -^В;
х (ф; р) х (ф'; р) = х (фф'; р), где ф': В' —> В";
для любого ^£ Л'tn'S
(т (ф; р, р') £) х (ф; р) = т (ф; р, р') Цх (ф; р')) £ A tn В'.
В качестве диаграмм, которые должны возникнуть в процессе доказательства, можно взять
о^дД вЛ Л->0
Д ,|<₽
0—»R'^>F'—>A'—»0
5.4.5с и5.4.5с и0<—Л ^B^-R ^В ^ F ^В ^ А^В<-0tv t9' tr 1Ф*
5.4.5с и
5.4.5с и
О^-Л'^-В^Н'^В^В'^В^Л'^В^О
О^Л|пВ ^R^B ^-F^B 4^Л^В<-0
сtK Дфф Дфф ДгЬф
О^л^В'^-В^^'^В^В'^-Л^В'^-О.
Для доказательства теоремы достаточно произвести небольшие изменения в доказательстве теоремы 5.4.4; часть из них объясняется тем фактом, что многие наши гомоморфизмы являются левыми гомоморфизмами. Предоставляем сделать это читателю.]
Снова напрашивается естественное обозначение: будем записывать через ф tw-Ф : А' tn'S -> A tn В'
композицию гомоморфизмов т* (ф; р, р') и х (ф; р). Так как это композиция левого гомоморфизма с правым, не существует формального правила для решения вопроса, рассматривать ли ф f ф как левый или как правый гомоморфизм. Как и в случае Ф ff> ф, мы будем обычно считать ф|ф левым гомоморфизмом. Заметим, что
f т'(ф; р, р')=Ф^п'1.
5.4.7с5.4.7сх (ф; р) = 1 ФццФ,
5.4.7с
5.4.7с
. (ф tun-ф') (ф' tu-u-Ф) = (фф' tnn-фф') : A" tn’S-» A tnS".
с. Следствие. Пусть G—>Ri —> Ft —> А -» 0, i = 0,l, —два представления группы А. Тогда имеет место левый изоморфизм T*^tniS = = A tuo5-
Положим т" = т'(1; щ,, Hi)-]
В случае, если мы не стремимся выделить представление, которое используется, будем писать A f В вместо Л |ц5 и называть A f В группой расширений1) А с помощью В. Любые две модели группы А^В связаны некоторым каноническим изоморфизмом т", таким, как в 5.4.8с, а гомоморфизмы ф:Л—> А', ф:5—>5' индуцируют гомоморфизм
Ф f ф : A' f В —> A f В'.
Это замечание оправдывается коммутативностью диаграммы
AW
^нои;»|ф+мв^
V(l; и' и')Л'фи^ <А-^В.
Соотношения 5.4.7с показывают, что оба этих составных гомоморфизма группы Л'-ЦВ в А^0В’ равны фф^ц^ф.
с. Предложение. Если А — конечная прямая сумма групп Аа и В — конечная прямая сумма групп В^, то A f В является прямой суммой групп AatBp.j
с. Предложение. Если А — свободная группа или В — полная группа, то Лф5 = 0.
В случае свободной группы А это утверждение тривиально. Для полной группы В оно вытекает немедленно из теоремы 5.3.3rf, в которой утверждается, что любой гомоморфизм в полную группу может быть продолжен.]
с. Предложение. Jm f Jn = J(m, n>, Jm fJ = Jm, Jf Jn = 0.
Представим Jm как 0 —> mJ J ^> Jm—> 0. Тогда Jm tu Jn — коядро гомоморфизма X": J ^ Jn —> mJ ^ Jn. Отображение у—» (m) у, 'X’E.mJ^Jn отображает группу mJ Jn изоморфно на Jn, при зтом подгруппа X* (J Д^ Jn) отображается на mJn. Значит, Jm'V Jn = (.Jn)m = J(m.,n)- Второе утверждение доказывается аналогично. Действительно, заметим, что Jm^ В ~Вт для любой группы В. Третье утверждение, включенное для полноты, является специальным случаем утверждения 5.4.11с.]
с. Теорема. Пусть С — свободный цепной комплекс, тогда
№ {С ^G)^ (Нр (С) ^G)© (Н^ (С) | G).
При доказательстве этого утверждения мы не будем столь педантичны, как при доказательстве теоремы 5.4.13. Имеем Ср(^ G = (Zp(^ G)©(Bp_1x(^1G) и х": Вр-1х ^ G^BP_1 ^ G. Теперь, элементами группы Zp (С ff) G) являются в точности те коцепи, которые на Вр исчезают. Но ведь каждый элемент группы Вр_хх ^ G равен нулю на Zp и является, следовательно, коциклом, а элемент из Zp ^ G является коциклом в том и только в том случае, если он исчезает на Вр. Подгруппа группы Zp (h G, состоящая из гомоморфизмов, исчезающих на Вр, изоморфна группе Нр ^ G (это следует из теоремы 5.4.1с, да и без того очевидно). Действительно, записав, как в 5.4.13, 0 —> ВТ —> Zr Д> Нт —> 0, имеем
сZ^C^G^^^G)©^.^^.
х) Обычным обозначением для группы Л у В является Ext (Л, В). Обозначение, принятое нами, оправдывается в приложении 2.
Так как кограницы исчезают на циклах, 5Р (С ^ G) с Bp_Y-K. ^ G. Лемма 5.2.19 утверждает, что элемент ^Sp^x^G является кограницей в том и только в том случае, если гомоморфизм х"^ может быть продолжен на Cp_v Так как Zp-V является прямым множителем в Ср_^ то |gBp(C(f)G) в том и только в том случае, если х‘££ ^’ (Zp_i ff) G). Значит,
х*5р (С^С) = Г (Zp_irhG)
ИЯр (С Ж Q (Нр (С) G) © (Bp_v G/K (Z^ G)) =
= (ЯР(С) ^С)©(ЯР_1(С)|G).]
Советуем читателю сравнить теорему 5.4.13с с теоремой 5.2.12с и отметить, что первые два члена в выражении для Яр (С ffo G) в 5.2.12с соответствуют группе Нр {С} (ф) G, а третий член соответствует группе Hp_v (С) f G.
с. Теорема. Пусть С обозначает то же, что и в 5.4.13с. Тогда имеет место ■точная последовательность
. РР'
0<-Яр(С)фС Яр(СфС) H^G^-O,
где гомоморфизмы q и q' канонические. Более того, образ при р' является прямым множителем в НР (С ф С).
Вложение Zp С Ср ведет к гомоморфизму Ср ^ G-=^ Zp ft, G, сужение которого на группу ZP [С ф С) является эпиморфизмом ее на группу р" (Яр (С) ф G), аннулирующим BP (С ф G). Это определяет р. Граничный оператор Ср—>-Вр_\ приводит к некоторому гомоморфизму Вр_^ ф G -> Ср ф G. Образ при этом последнем гомоморфизме содержится в ZP (С ф С), кроме того, он переводит X* (Zp_t ф G) в BP (С ф G). Это определяет р'. Остальные утверждения нашей теоремы доказываются в том же плане, что и 5.4.13с.]
Всякое поле ^ характеристики нуль полно как аддитивная группа. Значит, в силу предложения 5.4.11с, для когомологий на произвольном абстрактном комплексе имеет место формула
сНР (К; ^s Нр (К) ф ^ а шНр ф У.
Ясно, что если взять любую полную группу в качестве группы значений, то получается изоморфизм, аналогичный изоморфизму из 5.4.21с. Так, в частности, для группы вещественных чисел по mod 1 имеет место
с. Предложение. HP (С ф R^ s Нр (С) ф В^]
Предположим, что С—свободный /g-комплекс, и пусть С" = С (^ J. Тогда С"— свободный коцепной комплекс и х : С" 0 G—> С ^ G — коцепной изоморфизм (5.2.22, 5.2.23). Доказательство теоремы 5.4.13 можно применить к коцепному комплексу С" 0 G; полученный результат можно затем перенести на комплекс СфС с помощью изоморфизма групп когомологий, индуцированного изоморфизмом х. Окончательное заключение тогда таково:
. Теорема. Если С—свободный f g-комплекс и C' — Cf^J, то
№ (С ^ G) ^ (Яр (С') 0 G) © (Н^1 (С*) * G).]
Этот результат применим, в частности, если С = С(К), где К—конечный комплекс.
. Следствие. Если С—геометрический цепной комплекс и в каждой размерности Н* (С) является jg-группой, то выполняется заключение теоремы 5.4.24.
Ибо мы можем построить, очевидно, такой геометрический /g-комплекс D, что H^tTBys^ Н ДСу Из теорем 5.3.4 и 3.10.1 следует тогда, что D ц-эквивалентен С. Так как утверждение 5.4.24 для D имеет место, то и для С оно тоже выполнено.]
§ 5.5. Произведения 0, *, ^, f
В этом параграфе мы исследуем с чисто алгебраической точки зрения произведения1), введенные в предыдущем параграфе. Результаты, которые мы получим, не всегда можно будет истолковать как алгебраический эквивалент некоторого утверждения о гомологиях полиэдров. С другой стороны, все эти результаты тесно связаны с теорией гомологий цепных комплексов и подсказываются ей.
Первая из наших теорем в следующем параграфе будет применена к гомологической теории полиэдров. Тем не менее мы доказываем ее здесь, так как из нее, в частности, получаются две точные последовательности, одна из которых включает 0 и *, а другая ^ и ф
Стремясь к тому, чтобы наша теорема была применима и к цепным и к коцепным комплексам, мы принимаем предложение, сделанное в гл. 3, и говорим о дифференциальной группе. Так мы называем абелеву группу 4, на которой задан некоторый правый эндоморфизм d, удовлетворяющий условию da = 0. Гомоморфизм ф:4 —> А' дифференциальных групп, по определению, должен коммутировать с d.
Если Z (4) = d-1 (0), 5(4) = 4d, то В (4) с £ (4) s 4; мы называем Н (4) = Z (А)/В (4) группой гомологий группы 4. Гомоморфизм ф:4 —> А' индуцирует некоторый гомоморфизм ф* : Н (4) —-> Н (4').
Теорема. Пусть 0--> А —> В -Д С —>0—точная последовательность дифференциальных групп. Тогда имеет место точный треугольник2)
{с}— его класс гомоло- группу С, существует{с}— его класс гомоло- группу С, существуетОпределим прежде всего v*. Пусть с £ Z (С) и гий. Так как ц является отображением на всю
{с}— его класс гомоло- группу С, существует
{с}— его класс гомоло- группу С, существует
Ь^В, для которого Ьц = с. Тогда
bdp = bpd = cd — O,
так что bd = aX для некоторого а£4. Более того, agZ(4), ибо
adX = aXd = bd1 = 0
и X мономорфно. Положим {с} v* = {а}. В определении отображения v* участвует два выбора: сначала мы выбрали цикл из класса гомологий в Н (С), а затем элемент Ь, для которого Ьц = с. Покажем теперь, что v* не зависит от этих выборов. Давайте изменим Ь. Пусть Ь'ц — с, тогда Ь = Ъ’ -\-а"Х, так что bd = b'd + a"dX. Далее, если b’d = a'X, то a —a' A^d’d, так что {а} = {а'}. Изменим теперь с в пределах класса {с}. Так, если с* £{с}, то с = с' +c"d = c' + b”p,d. Значит, (b— b"d)p, = c' и (6 — b"d) d = аХ. Следовательно, с' приводит к тому же классу {а}, что и с. Это показы-
!) Мы называем 0, *, ф, f произведениями, так как они связывают некоторую группу с каждой упорядоченной парой групп. На языке теории категорий — это функторы от двух переменных.
То есть ядро каждого гомоморфизма является образом предшествующего гомоморфизма.
вает, что v* является отображением группы Н (С) в Я (А). Очевидно, v* гомоморфно.'
Докажем теперь, что построенный треугольник точен.
Точность на Н (В). Так как Хц = О, имеем л#ц* = (Хц)* = 0. Обратно, пусть {&}£ Н (В) и {Ь}р* = О. Значит, для некоторого с'^С, by = c'd = = b'yd=b'dp., для некоторого Ь'^В. Тогда b— b'd = aX и a^Z^Ay Значит, Vb^ = {b — b'd^ = {ал} = {а} л*, так что.
р;х(0)^Я(Л) к-
Точность на Н (С). Рассмотрим {&} p*v* = {bp} v*. Анализ определения гомоморфизма v# показывает, что это класс гомологий такого элемента а, что aX—bd. Но bd = O, значит, p*v* = 0. Обратно, предположим, что {cjv^O. Тогда с = 6р, bd = aX и a — a’d. Но тогда (Ь— a'k)d = O и (6 — а'Х)р = с, так что {с} = {&—а'Мр* и v*x (0) — Я (Я) ц*.
Точность на Н (А). Рассмотрим {c}v*A,*. Тогда с = &р, bd = aX, {c}v# = {a}, {с} v^X* = {иХ}. Но aX=bd, так что {с} v*^ = 0. Обратно, предположим, что {а}Х* = 0. Тогда aX — bd и ^р</= Ир = алр = 0. Значит, 6p€Z(C) и {6p}v* = {a}, так что V (0) s Я (С) V*.]
Специальные случаи этой теоремы были доказаны в § 2.9 и использовались в главах 2, 3 и 4. Они отличались от общего случая тем, что группа А была прямым множителем в В; исходя из этого и определялся гомоморфизм v : С —> А, индуцирующий v*. Некоторые дальнейшие применения будут даны в следующем параграфе. В алгебраической топологии нас особенно интересуют случаи, когда дифференциальные группы являются, по существу, цепными или коцепными комплексами. Так, Л является цепным комплексом, если А = 2^г и ApdsAp-v Если Л — цепной комплекс, р
то группа ЯДА) естественным образом градуируется как ^Нр(Ау Если р
X, ц— цепные отображения цепных комплексов, то v* понижает степень на единицу, поскольку при определении гомоморфизма v* мы использовали d один раз. Таким образом, мы получаем
5.5.2. Следствие. Точная последовательность 0—> А -Д- В Д» С —> 0 цепных отображений цепных комплексов индуцирует точную последовательность
... Нр (А) -4 Нр (В) ^ Нр (С) -4 Нр_, (А)
их групп гомологий.]
Аналогично получаем
5.5.2с. Следствие. Точная последовательность 0 —> А Д> Я Д» С —» 0 коцепных отображений коцепных комплексов индуцирует точную последовательность
...->НР (А) Д- Яр (Я) 2Д Яр (С) Л Н№ (А)...
их групп когомологий.]
Применение полученных выше результатов, которое мы собираемся сейчас рассмотреть, требует некоторых предварительных замечаний. Пусть
о—>яЛтиЛ>0
—точная последовательность групп, и 0—> R —> F -Д- А —> 0 — некоторое представление группы А. Получается коммутативная диаграмма
ООО.
A^L^A^m1^A*N
I СО4 toсо
()->R®L-^R®M^R®X->0
5.5.3.[44
0->F®iAf®mXf®N->0
44 И 4, м
A® L —>A®1Xa®N
ООО
в которой X = X ® 1, ц = ц ® 1, ф = 1 ® ф, ф = 1 ® тр, а со является вложением ядра гомоморфизма X.
Теорема. Пусть 0-^>L—>M^>N—>0 — точная последовательность групп; тогда имеет место точная последовательность
o->a«l-^Ua»m-^a*n^a®l-^a®mXa®n->o.
Пусть 0—>R-Xf^»A->0—какое-нибудь представление группы А и С — цепной комплекс, в котором Со=^ F, CV = R, Ср = 0 для р=^0,1 и dj = X. Тогда ф = 1 ® ф определяет цепное отображение ср.: С ® L—> С ® М, а ф определяет цепное отображение ф.: С ® М —> С ® N. Мы утверждаем, что_
0->C®L^C®M^>C®N->0
— точная последовательность. То, что эта последовательность точна на всех членах, кроме, быть может, С ® L, следует из теоремы 5.4.1. Так как, •однако, F и, значит, R являются свободными группами (5.3.1/), мономорф- ность гомоморфизма ср. вытекает из утверждения 5.4.19(6) и коммутативности операции ®.
Поскольку С—свободный цепной комплекс, можно, применяя теорему 5.4.13, заключить, что Н0(С ® L) = Н0(С) ® L = А ® L,
И^С ®L)^H0 <CVL^A*L
и что, кроме того, группа HP(C®L) тривиальна при р#=0, 1; аналогичные результаты имеют место для М и N. Теорема вытекает теперь из 5.5.2, так как ф*о=1®ф = ф и Ф*1=1*Ф, и аналогичные соотношения выполняются для ф.]
Читатель может проверить, что v является гомоморфизмом «зигзага» •соф-1Лф-1ц. Отсюда легко получается, что последовательность 5.5.4 естест-
венна в следующем смысле: если р, и р/—два представления группы А, то диаграмма
А * UN Л А 0 L
A^.N
коммутативна.
Теорема. Группу А* В можно определить исходя из произвольного представления группы В; точнее, если 0—> 8 -^> G-^* В —>0—какое- нибудь представление группы В, то А*В^ ф-1 (0), где ф = 10ф:Л05—» -> А 0 G.
Применим теорему 5.5.4, взяв в качестве L, М и N группы 8, G и В соответственно. Так как G—свободная группа, то A*G = 0 (5.4.11). Значит, v отображает А * В изоморфно на ядро гомоморфизма ф.]
Следствие. А *В~ В * А.
Это вытекает из теоремы 5.5.6 и естественного изоморфизма
А^В^В^АД
В самом деле, пусть q = q (А, В) — естественный изоморфизм д : Л0 В г В 0 А; тогда из коммутативной диаграммы
А* иВ —> В® Вi р I в
В * ^A —> B^R
однозначно определяется изоморфизм Q = Q (р, ф): А * ^В е В * ^Л.
Далее, изоморфизм g естествен в том смысле, что если а: Л—>Л', 0: В—>-В'— какие-нибудь гомоморфизмы, то диаграмма
А * уВ ^ Л' * ^.В'рЩ.’Ф)!_ I р(я', ФЭ
S*Tpil>'a
В * ^Л ^ В* * ^.А
коммутативна. Предоставляем доказать это читателю в качестве простого упражнения.
Следствие. А*В = 0, если А —локально свободная группа.
Смотрите следствие 5.4.20.]
Предложение. Если Т— периодическая группа1), то T*R^^T.
Пусть В — группа вещественных чисел и J — ее подгруппа, состоящая из целых чисел, так что RV~RU. Применим теорему 5.5.4, взяв группу Т в качестве А, и группы J, В, R^— в качестве L, М, N. В получающейся точной последовательности
0-^Т*1->Т*В->Т*В1Л Т ®J-^T ®R->T ®В^0,
как следует из 5.4.20, Т *В является нулем, так как R — локально свободная группа, а из 5.4.17 следует, что нулем является и группа Т 0 R.
И Напомним, что R^— группа вещественных чисел по mod 1.
Следовательно, v — изоморфизм. Так как, разумеется, Т ® J^Т (см. 5.2.7), получаем требуемый результат.J
Следствие (аз доказательства). Пусть Qx—группа рациональных чисел, взятых по modi; тогда для любой периодической группы Тг T.Q^T.\
А теперь мы можем привести обещанное доказательство предложения 5.4.23. Пусть А—произвольная абелева группа, Т—ее периодическая подгруппа и В—любая абелева группа; в силу теоремы 5.5.4, имеем точную последовательность
0->В*Т-»В*А->В*(А/Т)->...;
но группа А/Т локально свободна, так что в силу следствия 5.4.20, В* (А/Т) есть нуль и, следовательно, В*Т^В*А. Меняя местами множители и применяя предложение 5.5.9, получаем
А * Н^ ~ Т * В^ = Т;
в частности, Hp_v *Rt^ Тр-р]
Приведем теперь диаграмму, двойственную диаграмме 5.5.3.
000
tf1
A фВ —Л А ф М —Л А ф/V
^И’"!&)•^ш*
5.5.3с5.5.3сО^Д^Л —^>ДгЬ м —Д(Ъ^“*0
5.5.3с
5.5.3с
В^ М — Т^М-^О
^ц-fn*'|'|V
A^L-^Arh^—ArhAT
t1t
000
c. Теорема. Имеет место точная последовательность
Q-^A^L-^A^ М—-^А^ n—-^A\L—^A\M —Xa^N-^0.
Доказательство формально совпадает с доказательством теоремы 5.5.4; роль предложения 5.4.19 выполняет в этом доказательстве теорема 5.3.3 /.]
Рассмотрим теперь некоторую рационализацию группы В:
5.5.115.5.110—>В Л I Л D —>0,0—>В Л I Л D —>0,
5.5.11
5.5.11
0—>В Л I Л D —>0,
0—>В Л I Л D —>0,
где группа I — полная. Из теоремы 5.3.2 с? нам известно, что каждая группа В допускает некоторую такую рационализацию. В силу предложения 5.4.11с, А ф I = 0, так что, взяв В, I, D в качестве L, М, N в теореме 5.5.4 сТ мы получаем следующий результат.
с. Теорема. Группу А^В можно определить, исходя из произвольной рационализации группы В; более точно, АфВ^сокега., где °.: A rh I —> A fh D — гомоморфизм, индуцированный^ гомоморфизмом ст из 5.5.11.]
Это свойство заменяет свойство симметрии произведения А * В; группу А * В можно получить как исходя из представления группы А, так и исходя из представления группы В, в то время как группу А^В можно получить, исходя из представления группы А либо исходя из рационализации группы В. Мы приходим, таким образом, к следующей диаграмме и вытекающей из нее точной последовательности.
Пусть О—>L —> М -—> N—^Q—точная последовательность. В комбинации с последовательностью 5.5.11 она дает нам
ООО
М^В^- N^B
|р-1р.|р.
о<—l^z Л— m;^j^z^-o
с'|р-
O^L^ D ^— М ^D Д— N ^D<—0
Iю-Iм-|“-
L^B Л— Mf5 ^—N^B
О00
Отметим, что средние ряды и 5.3.Id. Значит, справедливаОтметим, что средние ряды и 5.3.Id. Значит, справедливаточны в силу утверждений 5.4.11сточны в силу утверждений 5.4.11с
Отметим, что средние ряды и 5.3.Id. Значит, справедлива
Отметим, что средние ряды и 5.3.Id. Значит, справедлива
точны в силу утверждений 5.4.11с
точны в силу утверждений 5.4.11с
с'. Теорема. Имеет место точная последовательность
0 <—Lf В <^— М f В Л—N f ВL ^ В ^— М В Д—М^В^-ОД
Эта последовательность, конечно, отличается от последовательности теоремы 5.5.4с, но каждая из них «двойственна» последовательности 5.5.4.
Докажем теперь один результат, который прояснит отношения между гомологиями и когомологиями. Пусть Г—какая-нибудь (абелева) группа; условимся писать А" вместо Л ^ Г.
Теорема). Имеет место естественный изоморфизм у : А ^ В* & (А 0 ВУ .
Определим у как левый изоморфизм, положив (а 0 Ь) уф = Ь (аф) для любого ф^Л^В". Предоставляем читателю самому проверить, что у—изоморфизм. Естественность у выражается следующим утверждением: если а: Л—>Л', р : В —>- В' — какие-нибудь гомоморфизмы, то диаграмма
(Л0В)- Л A (h В-
|(а®₽). f“fb₽’
^'®В'у ^~ А' ^ В'" коммутативна. ]
Теорема. Имеет место естественный гомоморфизм % •’ Лф В —>- (А * By, являющийся изоморфизмом, если группа Г полна.
X Ц
Пусть 0—>R —> г —> А—>0—представление группы А, индуцирующее точные последовательности
о)X
0-^А*В —> R(F;B —» F^B А®В-^0
дй*К*|Л •
0R Д В* <— F rh В* <— A^B*<r-Q-
используя у, получаем диаграмму
(Л * By (R® ву (F ® ву <— (Л ® ву
fx = |т =|т а^у
<о-X-р"
о<—лфя- я Л в- f^b- <— Hfhfi-*—о
которая коммутативна в силу естественности у. Вообще говоря, мы не утверждаем, что верхний ряд точен. Определим % как тот единственный гомоморфизм, который не нарушает коммутативности этой диаграммы. Это определение корректно, если оГу кег со" — = 0. Пусть со"а: = 0; тогда, так как нижний ряд точен, существует у g F ф| В-, для которого Vy^x. Тогда Ыуа: = (1ГуЛ."г/ = (0"Х"уг/; так как <оХ = 0, то и со"Х" = О; значит, со'уа;=О. Теперь мы имеем право определить % как (левый) гомоморфизм, такой, что Хю" = ю"у.
Ясно, в каком смысле гомоморфизм % естествен; механическую проверку этого свойства мы опустим.
Обратимся к случаю полной группы Г. В действительности мы докажем, что ф Ф
если L —> М —> N—точная последовательность, Г—полная группа, то последовательность L" <—• М" <— ц- Тоже точна. Из диаграммы 5.5.14 ясно, что этого достаточно для доказательства изоморфности %. Итак, мы докажем следующее:
ф Ф
Лемма1). Если, L —> М —> N—-точная последовательность и Г — полная груп- ф" ф*
па, то L" <—’ М‘ <— N*— также точная последовательность.
Так как фф = О, то, очевидно, и ф,ф"=0. Докажем теперь, что если § С М" и <p*g = 0, то существует t^N-, для которого ф"т1 = §. Но §—это такой гомоморфизм § : М ■—Г, что <р£=0.
Ф ФL —> М —> N
Г
Значит, g-1 (0) 5 ^Ф = Ф-1 (0). Следовательно, существует гомоморфизм т)о : Л/ф—> Г, для которого фт)0 = §. Но группа Г полна и, следовательно, инъективна. Значит, гомоморфизм т]0 подгруппы Мф группы N можно продолжить до гомоморфизма ц : N —» Г. Ясно, что фт) = §; иначе говоря, ф‘г) = 5.]
Теорема. Если С—свободный цепной комплекс и Г — полная группа, то (Hp(C®Gy ^№(0 foGy
Это сразу же следует из 5.4.13, 5.4.13с, 5.5.12 и 5.5.13.]
Следствие. Если | К | — полиэдр и Г—полная группа, то
(Нр(\к\- Gy s HP у К V, G').}
Если в качестве G взять группу целых чисел, то G" s Г.
т) Двойственное к этому утверждению (т. е. что для свободной группы F операция ® F, примененная к последовательности, сохраняет точность) является прямым следствием теоремы 5.2.7.
13 Заказ № 1335
Точные последовательности
Теорема 5.5.1 играет главную роль в применениях точных последовательностей к теории гомологий. Такие применения уже были указаны в § 5.5 и еще встретятся нам в § 5.7. Прежде чем привести в этом параграфе два основных применения такого рода, мы еще раз хотим поднять вопрос о естественности. Речь здесь пойдет, в частности, о естественности гомоморфизма v#, фигурирующего в треугольнике 5.5.1, которую мы понимаем следующим образом. Пусть
0->А Д В Л С—>0
0-» А' —>В' С О
— коммутативная диаграмма гомоморфизмов дифференциальных групп, в которой каждый ряд точен.
Теорема. Диаграмма
...-^Н(А) ^ Н(В) ^ Н (С) Д H<AV^
| а» Д* | V. | а,
- - Я(5')4Я(С') ЛЯ(Л')-> ...
коммутативна.
Это очевидно для первых двух квадратов. Для доказательства коммутативности последнего квадрата мы должны напомнить определение гомоморфизма v#. Пусть {z}£H(C) и 2 = 6ц, Ь^В. Тогда если bd = aX, то {з}у#л={д}. Теперь, {z} у* — {zy} и гу = 6цу = брц'. К тому же b^>d = bd^> = = aZ^ = ааХ'. Значит,
{zy}v* = {<za} или {z} УЛ-Д(^И\у-С
Итак, и третий квадрат коммутативен.]
Это означает, что во всех случаях, когда мы получаем с помощью теоремы 5.5.1 некоторую точную последовательность, теорема 5.6.1 позволяет сделать вывод о существовании некоторого гомоморфизма точных последовательностей. Это относится, например, к теоремам 5.5.4, 5.5.4с и 5.5.4с'. Сами мы не будем здесь «пристегивать» к результатам, вытекающим из теоремы 5.5.1, соответствующих им следствий из теоремы 5.6.1, но рекомендуем читателю их сформулировать.
Дадим теперь дальнейшие применения теоремы 5.5.1; каждое из них будет на самом деле некоторым частным случаем утверждений 5.5.2 или 5.5.2с.
Пусть С — цепной комплекс и С° — такой подкомплекс комплекса С, что каждая группа Ср является прямым множителем в Ср. Пусть С— фак- торкомплекс С/С°. Запишем последовательность
о-»с° Д с Д с ->о.
Пусть G— какая-нибудь абелева группа. Получаем точные последовательности
0-»С° ®G->O®G->C®G->O и
O^-C^G^-C^G^-C^G^-O.
Применяя 5.5.1, получаем следующую теорему:
Теорема. Имеют, место точные последовательности
...~>НР(С° ®G) Ь HP(C®G) ^ Нрф®Е) Л Hp_t (С° ® G). и
... ^H^C^G) ^ H^C^G) Г- H^C^G) <- H^^C^G)^-....]
Точные последовательности из § 2.9 являются просто специальными случаями последовательностей этой теоремы; если Ко—подкомплекс комплекса К, то СР(КО), конечно, является прямым множителем в СР^К) и С (К)№ (Ко) = С (К, Ко\
Предложение. Если D, Е, F — такие цепные комплексы, что F с Е с D, то имеет место точная последовательность
...—>НР (E/F) ^ Нр (DiF) ^ Нр ф!Е) ^ Нр^ (E/F)
где K-.EIF—>DIF и ^:D/F-^DIE—-цепные отображения, индуцированные вложениями комплексов Е, F в комплексы D, F и комплексов D, F в комплексы D, Е.
За определением факторкомплекса отсылаем читателя к § 3.1. В силу теоремы 5.5.1, необходимо только убедиться в точности последовательности 0-»EiF-XD/F-^> DjE-> 0.]
Точная последовательность из предложения 5.6.3 называется гомологической последовательностью тройки D, Е, F цепных комплексов.
Следствие. Если К, L, М— такие комплексы, что М G L с К, то последовательность
...^HP{L, М; G^HP(K, М- G) ^ НР(К, L; G)^>HP_1 (L,M-, G)-> ...
является точной.]'
Это так называемая гомологическая последовательность тройки К, L, М комплексов.
Аналогичные утверждения имеют место, конечно, и для коцепных комплексов и когомологий.
Пусть теперь С — свободный цепной комплекс, и пусть 0—>G’—»G-^ -Д> G"—> 0 — точная последовательность групп коэффициентов. Тогда
0-> С 0 G'С ® G —> С ® G"-^ 0
— точная последовательность цепных комплексов и
0—> С ^ G'—> С ^ G—> С ^ G"—> 0
— точная последовательность коцепных комплексов. Из теоремы 5.5.1 вытекает
Теорема (о последовательностях коэффициентов). Если 0 —» G' —> G -Д* G"—>0 — точная последовательность абелевых групп и С — свободный цепной комплекс, то последовательности
... -^HP(C®G')^HP(C®G)^HP(C ®G")^HP_^C ®G')->
... Н» {С ^ G') -^ Hv (С ^ G) -^- № {С ^ G") ^ Н^1 (С fh G').
являются точными. ].L- '•
Интересный и важный пример получается, если взять точную последовательность
О > 3т > 3m2 > 3т ^ О,
причем, если группа Зт порождается элементом а, а группа Зт2—элементом Ь, мы определяем гомоморфизмы Л и р равенствами ак = mb, Ьр--а. Полагая С = С (К), мы получаем точную последовательность
...^Нр^К; 3„^ Ь Нр (К; 3^) -^ Нр (К; Зт) Л Нр^ (К; 3^ -> . . . .
Интересно проанализировать в этом случае гомоморфизм v#. Если задан какой-нибудь элемент из НР(Д; 3mY выберем некоторый представляющий его цикл zp. Интерпретируем]) коэффициенты цикла zp как элементы группы Зт2. Возьмем тогда границу цепи zp, рассматриваемой как элемент группы Ср^К, Зт2^, поделим вошедшие, в нее коэффициенты на т. Полученные коэффициенты будем теперь считать элементами группы Зт. Возьмем соответствующий класс гомологий. Это дает нам {z^v*. Таким образом, гомоморфизм v# условно можно записать как 8. Например, если j К | = Р'", «-мерное вещественное проективное пространство, то
v* : Нр (К; 32) Нр_х (К; 32) при четном р, О^р^п,
иНр (К; 32) v# — 0 при нечетном р.
Ко второму интересному и важному примеру, связанному с предыдущим примером, приводит точная последовательность
0-^3->З^Зт->0,
где к'—умножение на т и 1 р/= а (а — образующий элемент группы /т). Получается точная последовательность
...—>НР(К; 3)^Нр{К- 3^ НР(К; Зт^ Нр-^К; 3)~^ ....
Снова v' можно интерпретировать как ~ 8. Более аккуратное описание гомоморфизма v* мы предоставляем читателю. Точная связь между гомоморфизмом v# из 5.6.6 и гомоморфизмом v* из 5.6.7 такова:
vi,y4 = v#.
Конечно, последовательности 5.6.6 и 5.6.7 имеют аналоги и в теории когомологий), а именно:
,..->НЧК\ Jm) ^ № (К- Зт2) -^ Н» (К; Зт^ ^ Н^ (К- 3^-*...
II
. .. ^Н^(К-, З^НЦК^З) -ЛИ ^К; Зт) ^ Н^ЦК; 3)
причем выполняется соотношение 5.6.8, записанное для когомологий.
Гомоморфизмы v* называются граничным и пограничным операторами Бакштейна. Из теоремы 5.6.1 немедленно вытекает, что эти гомоморфизмы коммутируют с гомоморфизмами групп гомологий и когомологий, индуцированными отображениями2).
Приведем теперь некоторые важные результаты о точных последовательностях. Начнем с доказательства следующего утверждения:
Лемма. Пусть ф— гомоморфизм точней последовательности Ao —°- Л4 -4 Л2 ^» А3 в точную последовательность Во-^> Bt—> В2—> В3. Тогда (а) если ф0: Ло—» Во эпиморфно, то ядро*) гомоморфизма ср является точной на кет ф2 последовательностью; (б) если ф3: А3—>В3 мономорфно, то коядро гомоморфизма ф—последовательность, точная на сокет <pv
Докажем (а). Имеем диаграмму
Мо -°- М, Л М2 Л М3
|l|>o|lfl |ll’2^3
Ag■>А^> А2 —А3 ,
|ф0|ф>1 ^Фз|фЗ
в0 Л в, ^в2 Д в3
Здесь фг вкладывает Мг = кегфг в Аг, а щ является сужением гомоморфизма аг для всех I. Очевидно, р,1р.2 = 0. Обратно, пусть жр2—О, т^М2. Тогда жф2а2 = ащ2ф3 = 0, так что жф^^ущ для некоторого y£.Av Значит, УФ1Р1 = УЩфг = жф2фг = О, так что УФ1 = г^о Для некоторого z^BQ. Но фо эпиморфно, поэтому у^х = ифоро = иаоф! для некоторого и^Л0. Но тогда у — иа0 = рф! для некоторого vQMv Следовательно,
гЩ1ф2 = УФ1«1 = У<4 = ^Фг.
откуда х = иуЛ, и утверждение (а) доказано. Утверждение (б) доказывается аналогично.]
Однако утверждения (а) и (б) перестают быть справедливыми, если на ф не накладывать некоторых ограничений. Рассмотрим, например, диаграмму
0->0-^G->G-^ О
0^g4g->0-z0
Если G =А 0, то ни последовательность ядер, ни последовательность коядер не являются точными.
Следствие. Пусть ф является гомоморфизмом бесконечной точной последовательности
. сч .
• . • Л; » Л; + 1 > . . .
в бесконечную точную последовательность
Рг
Тогда (а) если ф эпиморфно, то последовательность кет ф точна; (б) если ф мономорфно, то точна последовательность сокет ф.
Это непосредственное следствие из леммы 5.6.9. ] Заметим, что любую конечную точную последовательность, начинающуюся и заканчивающуюся
нулевой группой, можно, очевидно, рассматривать как бесконечную точную последовательность.
Второе следствие, которое мы выведем из леммы 5.6.9, — это знаменитая 5-лемма.
Теорема. (5-лемма.) Пусть дана коммутативная диаграмма
^4J Ф4^4J Ф4в4,в4,а0 . ах . а2 а3
^4
J Ф4
^4
J Ф4
в4,
в4,
> А^-А^ —>А3
|<Ро |Ф1|<р2 кз
в0 Д вг Д в2 Д в3 Д
в которой каждый ряд точен. Если ф0, ф4, <р3, ф4— изоморфизмы, то и <р2 является изоморфизмом. ■
Так как ф0 эпиморфно, последовательность кег ср точна на кегф2; но
кег фх = кег ф3 = О,
так что в силу точности, кег ф2 — 0. Аналогично, так как ф4 мономорфно, последовательность coker ф точна на coker ф2; но coker фх = coker ф3 = 0, так что coker ф2 = 0.]
Заключение теоремы остается справедливым, если предполагать лишь, что фх и ф3 — изоморфизмы, ф0 — эпиморфизм, а ф4—мономорфизм.
5-лемма обычно применяется к случаю, когда все гомоморфизмы фо, фз, фе> ■ • • одного типа (и являются изоморфизмами) и все гомоморфизмы ф1? ф4, ф7, . . . — также одного типа (и являются изоморфизмами). Итак, пусть / : | К |, | Ко |—> | L |, | Lo |—такое отображение, что Нп(\К\)е^ ^Hn(\L\), f*: Нп(\К0\) ^Hn(Lu ) для всех п<т.
Следствие. В этих предположениях
t*:Hn(\K\,\K0\)^Hn(\L\, | Lo|), п<т.
В самом деле, применим 5-лемму к коммутативной диаграмме
Яп(|А0|)Дя„(|Я|)Дяп(|А|, |А0|) Д д д д
Hn(\LQ\) Дя„(|А|) ->Hn(\L\, |А0|)Д
Дя^/Г^Дя^А;)
VV
Дя„_1(|£0|)Дя„_1(|В|).]
Тензорные произведения цепных комплексов
В гл. 8 будет показано, что для того, чтобы вычислить группы гомологий пространства |A|x|L|, достаточно рассмотреть цепной комплекс, получающийся из С (К) и С (L) с помощью взятия тензорных произведений. В этом параграфе мы покажем, как можно вычислить группы гомологий такого тензорного произведения цепных комплексов в терминах групп гомологий исходных цепных комплексов.
Определение. Пусть С, С' — два цепных комплекса. Определим их тензорное произведение С 0 С' как такой цепной комплекс D, что
Dp~ 20 Сп,
m+n=p
(^?7i О ^п) ^^771^ О ^п (1) ^т О ^n^? ^т Е ^ттгт ^n Е ^п»
Проверим, что дд = О в С® О'; в самом деле,
(Ст ® Сп) Эд (стд 0 4) д + (— 1)т (ст ® с'^ д =
= стдд 0 с; + ( —1)т-хстд 0 с;3 + ( — 1)т стд ® с^д + ст ®р‘пдд = О,
Так как, очевидно1), Dpd^Dp_v то D—_C®C' является цепным комплексом.
В случаях когда целесообразно по-разному обозначать граничные гомоморфизмы в С, С', С® О', мы будем записывать их через д, д', д®. Например, пусть G— абелева группа, рассматриваемая как цепной комплекс, в иотором G0 = G, Gp = 0, р^У- Тогда С 0 G—цепной комплекс, и наше обозначение согласуется с данным ранее определением для С ® G.
Перечислим прежде всего некоторые основные факты, касающиеся С 0 С'; элементарные доказательства предоставляем провести читателю.
Предложение, (а) Если комплексы С и О’ свободны, комплекс С 0 С также свободен; (б) если С, С' — геометрические цепные комплексы, то таков ж и комплекс С 0 С'; (в) если С, С есть /g-комплексы, то и С® С' является /g-комплексом.]
Предложение, (а) Отображение р = р (С, С'): С 0 С' —> С' 0 С, заданное формулой
kpm 0 ^n) Н " (1) ^П 0 ^7717^711 Е 6*771, Сп ^ 6П,
является цепным изоморфизмом, (б) Отображение а : (С 0 С') ® С" —> —> С 0 (С' 0 С"), заданное формулой kkc 0 с') 0 с") а = с 0 (с' 0 с"), является цепным изоморфизмом.
Читателю следует проверить, что р и а являются цепными отображениями; тогда станет понятно, почему в определение р был включен множитель (— l)mn.]
Предложение. Если ^‘.С—>Е, ц/:С'—»Е' — цепные отображения, то цепным отображением является и ■
Ф 0 ф' : С 0 С' —>Е ® Е'Д
Предложение. Если ф ~ ф : С—>Е, ф' ~ ф' : С —> Е', то
Ф 0 ф' ~ ф 0 ф' : С 0 С' —> Е ® Е'.
Чтобы это доказать, покажем сначала, что если ф ~ О, то ф0ф'~О. Введем обозначение е : С —* С (где С — какой-нибудь цепной комплекс) для группового автоморфизма, заданного равенством сте = (— 1)тст. Тогда
е2 = 1, гд ——да, еф = фе, еА = —Де,
где А: С—> Е — цепная гомотопия.
Далее, в С ® С
д®-- д ® 1 + е ® д'.
!) Заметьте, что хотя это включение и выполняется, но, вообще говоря, (С/пОСД^ не содержится ни в Cm_t ® С'п, ни в Cm®C)l_1.
Теперь предположим, что ф = дА-|-Ад. Тогда
д® (А ® ф') + (А ® <р') д® = (d ® 1 + е ® д') (А ® ф') + (А ® ф') (д ® 1 + 8 ® д') =
дА ® ф' + еД ® д'ф' + Ад ® ф' + Ае ® ф'д' =
(дА + Ад) ® ф', в силу 5.7.6,
= Ф ® фС
Значит, ф ® ф' ~ 0. Аналогично, если ф' ~ 0, то ф ® ф' ~ 0. Наше предложение следует отсюда в силу линейности. В действительности мы полу
ДД'Д®(Р'+Е1|>®Д'
чаем следующее: если ф ~ ф, ф' ~ф', то ф ® ф' ~ф®ф'.]
Следствие. Если С — ацикличный геометрический комплекс, то комплекс С ® С' ацикличен.
Ибо, в силу теоремы 3.4.3, 1с^0с:С—^С. Значит,
1 с®с' = 1 с ® 1 с' — 0с ® 1 с = Ос®с'-
Следствие. Если ф : С ~ Е с обратным, ф и. ф': С' ~ Е' с обратным. ф', то ф ® ф': С 0 С' ~ Е 0 Е' с обратным ф ® ф'.]
Чтобы сформулировать и доказать нашу основную теорему, введем следующие обозначения:
н^ндсу Н^Н^С), Н^НДИ, Н'^НДП,Н®^Нп(С®С), H® = H^C^H, Z'=Z(C), В' = В(С'У
В виде. последовательностей
0-»5ДгЛЯ->0,0-»B'—>Z' Лн'—> о
запишем гомоморфизмы, неявно содержащиеся в равенствах Н = Z/B, Н' = Z4 В’.
Лемма. Ядром гомоморфизма р ® р' : Z ® Z'—> Н ® Н' служит (В® Z')I+(Z ® В') Г.
Очевидно ядро гомоморфизма р ® р' содержит указанную подгруппу группы Z®Z'. Докажем обратное. Используя теорему 5.4.1, получим коммутативную диаграмму точных последовательностей
в ® в' Л г ® в' Л н ® в' о
в ® z' Л z 0 z* Л н ® z’ -> о| I | и'
В 0 Н' Л Z ® Н' Л Н ® Н' -> о
Имеем ц 0 ц'--ц'ц. Предположим, что ащ'ц —О, £(Z0Z'. Тогда
та' — уК, у£.В®Н',
= ttp'X, u^B^Z', = пХц'.
Значит, х^иКД-иХ', v^Z 0 В'Д
Приведенная в начале параграфа формула граничного гомоморфизма в С 0 С' показывает, что если z^Z, z^Z', то z 0 z' £ Z (С 0 С'), и что если Ь^В, Ъ'б_В', то д 0 z', z 0 b' £ В (С 0 С). Из леммы 5.7.10 следует, что если i: Z —» С, T:Z'—>С' — вложения, то i 0 i' индуцирует гомоморфизм
т]: Н 0 Н’ И®.
Проградуируем группу Н 0 Н', положив (Я0Я')р = 2 Нт0Н'п. т-\-п=р
Тогда ц сохраняет степень. Через % обозначим р-ю компоненту гомоморфизма т). Сформулируем теперь основную теорему.
Теорема. Пусть хотя бы один из комплексов С, С свободен-, тогда цр— мономорфизм, коядро которого изоморфно группе 2 нт* Н'п.
7П+П=Р—1
Если оба комплекса С, С' свободны, то образ при цр является, прямым множителем в Н®.
Не теряя общности, предположим, что свободен комплекс С. В этом случае Z является прямым множителем в С, так что если Z 0 С' — цепной комплекс, который получится, если рассматривать Z как цепной комплекс с нулевым граничным гомоморфизмом, и если i:Z—>С — вложение, то i: Z 0 С —> С 0 С'—цепной мономорфизм. Пусть В 0 С— цепной комплекс, градуированный как обычное тензорное произведение (см. определение 5.7.1), но с граничным оператором —е 0 д'. Тогда эпиморфизм 9 = 90 1: С 0 С'->5® С' является цепным отображением, так как
д®д = ф 0 1 4- 8 0 д’) ф 0 1) = ед 0 д' =
= —де 0 д' =(д01)(—80д')=д( — 8 0 д').
Очевидно, кет д =- (Z 0 С') ц таким образом, имеет место точная последовательность
0-> Z 0 С' Л С ® С' Л 50 С'-> 0.
Заметим, что д понижает степень на 1. Хотя это и так, можно применить теорему 5.5.1 и получить точную гомологическую последовательность
... ->Нр^0СД—>Н® ->Нр_1<в0С,)->Нр_^г0Сд->... .
Рассмотрим Яp(Z0C'). Так как Z— свободная абелева группа, из утверждений 5.4.1 и 5.4.19 сразу следует, что
Zp(Z0Q = 2 ^m0^, Вр^0СД = 2 Xm0Sn,m+n=pm4-n=p
откуда#p(Z0C') = 2 Zm0HV
m^-n=p
Подобным же образом Нр (В ® С ) —2 Вт ® Я„. Исследуем теперь
гомоморфизм v* : Нр ( В ® С') —> Нр (Z 0 С"). Представитель в В ® С' общего элемента группы Вт^Н'п может быть записан так: 2й0 2п. Пусть -бщ " бп-]-!^ ТОГДа (2 Ст^-1 ^ ^п) Э ™ 2 ^т 0 ^р. и гг
(2 cm+l ® z„)d® = 2 Ьт ® Z„,
причем левая и правая части последнего равенства теперь рассматриваются как некоторый элемент группы С ® С, но этот элемент является, конечно, i-образом элемента 2^m ® zn, рассматриваемого как элемент из Z ^ С. Значит, v# — это просто гомоморфизм, индуцированный вложением В ^Z. Восстановим обозначение X для этого вложения и перепишем последовательность 5.7.13 в виде
...М 2 zm®Hu^n®^, 2 вт®н^ т-\-п=рт-{-п=р — 1
Ъ 2 ^®я;Л....
m-|-n=p —1■
Ясно, что коядром гомоморфизма Х*р является в точности группа 2 Нт ® Я„ и что гомоморфизм 1*у индуцирует как раз отображе- т-^п=р -
ние Цу этого коядра в Н®. Более того, ядром гомоморфизма Вт ® Я„ ■ *' —» Zm ® Нп является Нт*рН'п. Таким образом, из последовательности 5.7.14 мы получаем точную последовательность
о-^ 2 нт®н'тХн®Х 2 ят*яп->о,
т-^п=рm-|-n=p—1
где 0р—гомоморфизм, индуцированный д#р.
Осталось показать только, что если и комплекс С' свободен, то гомоморфизм Цр обладает правым обратным; ибо тогда из теоремы 5.1.9' будет следовать, что образ при цр является прямым множителем в Н®. Пусть С' — свободный комплекс и x:C~»Z, %': С—> Z' — правые обратные к i, i'. Рассмотрим (с ® с') d® (х ® х') = cd ® с'х'-Теей ® с'д'; здесь сд, с’д' следует рассматривать как элементы из Z, Z'. Из леммы 5.7.10 следует, что х ® х' отображает В (С® С1') в ядро гомоморфизма ц ® ц' и, значит, индуцирует отображение
£:Я®-> Я®Я',
такое, что ц£ = 1.]
Читатель, вероятно, заметил сходство последнего результата с теоремой 5.4.13. Хотя группа G, рассматриваемая как цепной комплекс, вообще говоря, не свободна, проведенное выше доказательство проходит и для С® G.
Следствие. Если хотя бы одна из групп И, Н' не имеет элементов конечного порядка, то
Ч:Н®Н' ^Я®. J
Следствие. Пусть ^ — поле характеристики нуль, тогда
Я (С ® С ® ^^Н 0 Н' ® д:.]
Формула
Н®еД 2 Ят®Яп)©( 2 Ят*Яп)
m + n=pm+n=p—1
для гомологий свободных цепных комплексов называется формулой Кюн- нета. Она устанавливает связь между группами гомологий топологического произведения и группами гомологий сомножителей. Следствия 5.7.15 и 5.7.16 показывают, что иногда эту формулу можно упростить.
Мы получим еще один важный случай, в котором формула 5.7.17 приобретает более простой вид, взяв в качестве группы коэффициентов группу Jq, где g—простое число. Так как J JqC/j J q, имеем цепной изоморфизм С0 С 0 Jq ^ (С 0 J ^ ® ® (С' ®JqY Рассуждая так же, как и ранее, приходим к точной последовательности
^ Zm(C®Jq)®Hn(C' ®Jq)^Hp(C®C ®Jq^
m-(-n=p—1
Однако X* мономорфно, так как Zm (С 07g)— векторное пространство над Jqt a Pm(C0 7g)—подпространство этого векторного пространства и, следовательно,— прямой множитель. Мы получаем следующую теорему:
Теорема. Если g—простое число, то
h^c^c^i^- 2 Hm(,c®jq)®H7l(,c,®JqY\m-|-n=p
Предполагая известной теорему о топологических произведениях (см. гл. 8), получаем
Следствие. Пусть |7Г|, |L|—полиэдры. Тогда)
Нр(\К\х\И - 2 #m(W)®#n(0l)® 2Hm(\K\)*HnCL\);
т-\-п=р-т-|_п=р— 1
если 3-—поле характеристики нуль, то.
яр(|^|х|т|; ^) = 2 й"т(1А'|)0я„(|т|)®.®;
m+n=p
если q—простое число, то
Hp<\K\x\L\;2Jq№ML\; JqW
m+n=p
Пример. Рассмотрим тор 51 х 5Н Из 5.7.19 мы получаем, что
Яп (51x5!) = 7 0 J = J,
1^ (51 X 51) = Нг (51) 0 Яо (51) ® Яо (51) 0 Hv (51) = (7 0 7) ф (J 0 J) = 7 ф J,
Н2 (51 х 51) a Hi (51) 0 Я, (51) = J ® J = J,
Яр(51Х51) = 0, р > 2...
Пример. Рассмотрим Р X Р2, где Р2—проективная плоскость. Тогда
Яо (Р2хР2) = 7® J = J,
Hv ^ X Р2) s Hi (Р2) 0 Но (Р2) ® Яо (Р2) 0 Hi (Р2) = (72 0 7) ф (7 0 72) = 72 ® 72,
Я2 (Р2 х Р2) = Hi (Р2) 0 Hi (Р2) 72 0 72= 72,
Я3 (Р2 х Р2) a Hi ^ * Hi (Р2) = 72 * 72 = 72,
Нр(Р»ХР^ = 0, Р>3.
Особенно интересна в этом примере группа Я3. В обозначениях § 3.9, 0 является 2-цепью на Р2, такой, что ^25 = 2^. Тогда (£20 ^ + ?i ® Ы 9 = 2 (^ 0 ^ — 0 ^) = 0.
С другой стороны, имеет место равенство (2г® 2г) 9 = 2 (^ 0 £2 + 2г ® 21), из которого мы видим, что {2г ® 21 “г 21 ® 2г} является образующей группы Н3 (Рг х P2) = J2- Формула 5.7.18 позволяет немедленно вычислить группы Нр(Р2х Р2; Jj); получаем
Н^ХР»; J2l = J2, Ht = J2®J2,
7^2 = ^2 ® ^2 © ^2, H3 = J2Q)J2, H^J^ Hp = 0, p > 4.
В действительности формулу Кюннета можно обобщить на случай произвольных коэффициентов. Сформулируем этот результат следующим образом.
Теорема. Если [Я| и \L\ —полиэдры, то
Hp(\K\x\L\; G)^ 2 11го(. К ; Н,Д h?, GMm+n=p
(См. упр. 14.)
Подобным же образом можно обобщить формулы 5.7.18 и 5.7.19 (в). Пусть А, В — векторные пространства над полем ^. Тогда можно определить А^^В как группу, получающуюся, если в А^В ввести дополнительно следующие отношения:
аа®6 = а0а6, а^А, b^B, а^д.
Тогда упрощенный вариант рассуждения, проведенного при доказательстве теоремы 5.7.12, показывает, что
НркС®^С'^ 2 Нт(С) ®^Нп^С'1,
tn-{-n=p
где С, С' — цепные комплексы из векторных пространств: все Сп, CV являются векторными пространствами над д, а граничные гомоморфизмы— гомоморфизмами векторых пространств.
Пусть теперь С, С" —свободные цепные комплексы. Тогда 6 0/, С" 0 ^—цепные комплексы векторных пространств и, очевидно,
(С 0 ^) 0^ (С' 0 jr) С 0 С' 0 ^.
Теорема. Если g— поле и С, С—геометрические цепные комплексы, то
НР(С ®С' ®д^ 2 Ят(С0^)0^Нп(С' 0jr).J m-|-n=p
Обратите внимание, что формула 5.7.18 является частным случаем формулы 5.7.24, так как 0jg=0.
Следствие. Для произвольного поля g
нд\к\х\1Д,д* s нт<\к\; g)®^Hn{\L\-, g).} m-|-n=p
Группы когомологий топологического произведения можно получить, используя формулу Кюннета для гомологий и применяя теорему 5.4.13с. Однако для когомологий свободных /g-комплексов С и С' можно получить некоторую прямую формулу Кюннета (ср. с теоремой 5.4.24). В самом деле, пусть С, С' — свободные /g-комплексы, и C* = C^J, С” = С ^J. Тогда С", С'" — свободные коцепные комплексы, и С 0 6"’, определение которого аналогично определению 5.7.1. снова является свободным коцеп- ным комплексом. В силу рассуждения, проведенного при доказательстве теоремы 5.7.12, существует изоморфизм
№(С’0С'> 2 Ят(С)0Я”Г)©2 Нт^СЛ * ЕР (С'’).
m-|-n=Pm+n=p+l
Эта формула приобретает интерес с топологической точки зрения после •следующего замечания: комплексы С' ® С" и (С ® С')' коцепно изоморфны. В самом деле, если С = С^К), C' — C(L), то, как доказывается в гл. 8, подходящим для вычисления группы Н* (,^| х | L |; Л) коцепным комплексом является (С ® С') ^ А. Коцепной изоморфизм С" ® С" ^(С ® С'У является частным случаем некоторого коцепного отображения, которое окажется полезным в более общей ситуации (в гл. 9); дадим уже теперь (общее) -определение этого коцепного отображения.
Пусть С, С" —цепные комплексы, G, G', А — абелевы группы и ц : G ® 0G'—>A— гомоморфизм. Тогда
C^G, G'rhG', (C^G)®^'^'), (C0C'^A
являются коцепными комплексами. Определим левый гомоморфизм
лг^С)® (С'(ф) G') —» (С ® С') ^ Л соотношением
(с® с', л (м 0 и')) = ((с, и) ® (с', и')) ц,
с^С, с'^С', u^C^G, u'^C'^G'.
Предложение. Гомоморфизм л является коцепным отображением.
Ясно, что достаточно доказать это утверждение для случая Л = G ® G', т] = 1. Тогда
(с ® с , 6л (и ® и')) = ((с ® с') д, л (и ® и'у = (сд ® с' + се ® с'д’, л (м ® м')) =
= (сд, и) ® (с', и') +(С8, и) ® (с'д', и’) =
= (с, 6м) ® (с', м') + (с, ем) ® (с', 6'м') =
= (с®с', л (6м ® м'+ЕМ ® 6'м')) = (с ® с', л6(м®м')).]
Предложение. Если С, С' — свободные f g-комплексы и ц : G ® G'—> А —некоторый изоморфизм, то л : (С^ 6) ® (С'(ф) G') —» —> (С ® С) (ф) А является изоморфизмом коцепных комплексов.
Пусть ранг группы Ср равен тр и ранг группы Cq равен m’q. Тогда л отображает
(Ср (ф) G) ® (Cq (ф) G ) В (Ср ® Сд) (ф) А,
тр
и ранг группы Ср ® Cq равен mpm'q. Обозначим через У Gt сумму тр
экземпляров группы G и аналогично определим группы 2 G), 2 2 Ан;
j=l k=i 1=^1 тогда можно представлять себе, что л отображает Gt ® Gj в Л^-. В этой интерпретации л является не чем иным, как изоморфизмом т].]
Если R — кольцо и t]: Л 0 R—>R — гомоморфизм (аддитивных групп)1), заданный равенством
(^ ® Г2) Т] = Г4Г2, то л является коцепным отображением
л : (С (ф) 7?) ® (С'(ф) Д) —» (С ® С') (ф)/?."
В частности, если R = J, то ц — изоморфизм.
х) Действительно, Ц—кольцевой гомоморфизм, если R коммутативно; этот факт мы используем в гл. 9.
В этом случае, если С и С' — свободные /g-комплексы, л, в силу предложения 5.7.29, будет коцепным изоморфизмом
л : С" ® С” ^ (С ® С)’.
Комбинируя этот изоморфизм с изоморфизмом из 5.7.26, получаем следующую теорему:
. Теорема. Если С, С' —свободные ^g-комплексы, то .
яр((с® су)^ 2 нт(С-)& нп{С')@ 2 ят(С-)*яп(С'-)а
m+n=pm+n=p+l
Из теоремы 5.7.12с вытекает следствие 5.7.19с для бикомпактных полиэдров, которое легко сформулировать, основываясь на утверждении 5.7.19. Из формулы 5.7.31 мы получаем
с. Следствие. Если, С, С' — свободные f g-комплексы, а Н или Н' не имеет элементов конечного порядка, то
л* : Н* (С) ® Н* (С") s Н* ((С ® С')‘).1
. Теорема. Если С, С' — свободные f g-комплексы и q—простое число, то
л* : Н* (С ^ Jg) ® Н* (О' ^ Jq) ^ Н* ((С ® И ^ Jg)J
Наконец, сформулируем следующий результат:
. Теорема. Если |Я|, | £ |— полиэдры, то
IE№\L\;G^ 2 Ят(|Х|; Я”(|£|; G))J
с. Теорема. Если бр—поле и\К\,\Е\ —бикомпактные полиэдры, то НЦ\К\х\Ь\- ^)^ 2 Ят(1Я|; ^)® ^Я"(|£|; ^).]
m+n=p
Приложение 1. Применения теоремы Хопфа о следе
В этом приложении мы вернемся к топологии с тем, чтобы вывести интересные следствия из теоремы Хопфа о следе (5.1.18).
Пусть | К | — бикомпактный полиэдр и / : [ К | —» | К | — его отображение-
в себя. Тогда 2 (— ^)Р tr (ю/*р) называется числом Лефшеца отображения / и о
обозначается через Л/. Здесь „fw — гомоморфизм, действующий на группе- WHP{K). Основным следствием из теоремы 5.1.18 является
Теорема. Если отображение f не имеет неподвижных точек, то Л/ = 0..
Пусть q — некоторая метрика на | К |. Так как | К | — бикомпакт и х #= xf, какова бы ни была точка х^\К\, полагаем 6 равным нижней грани чисел q (ж, ж/) > 0. Подразделим комплекс К до такого комплекса К^, чтобы ц (KW) <7 (1/3) 6. Пусть v : К^—> К^, q">r, —симплициальное приближение отображения /, индуцирующее отображение ср : С (К^) —» С (К^). Если
ф == ф^-г); с (Я(9)) С (К^,
то f*xC = X*q^* в силу предложения 3.6.2. Значит,
2 (- ПР tr М^) = 2 ( - l^tr = Л{.оо
Так как q (ж | р |, ж/) < (1/3) 6, то Q (х | и |, ж) > (2/3) 6. Рассмотрим произвольный симплекс s £ Kw и его носитель t ^K^V Тогда, каковы бы ни были ж£8, у С, Q С у) < (1/3)6, так что д(ж|п|, у) >(1/3)6. Это означает, что su^ht. Отсюда мы получаем, что для каждого симплекса ст из К^, оф— цепь, в которую ст входит с коэффициентом 0. Значит, 1гфр = 0 для каждого /?, так что 2(— 1)р tr (фр) = 0. В силу теоремы Хопфа о следе, о
2( —1)р1г(юф#р) = 0, откуда Л/ = 0-1 о
Следствие. Если f гомотопно отображению, не имеющему неподвижных точек, то Л/ = 0.
Ибо если f^g, то A/ = Ag.]
Обращение утверждения 5.8.2 ложно. В самом деле, пусть | К |—контур восьмерки, а отображение / устроено следующим образом: верхняя петля отражается относительно вертикальной линии, а нижняя петля дважды наворачивается на себя. Тогда Л/ = 0, но каждое отображение, гомотопное /, имеет хотя бы одну неподвижную точку на верхней петле.
Выведем теперь из теоремы 5.8.1 следствия.
Теорема. (Теорема Брауэра о неподвижной точке.) Если Еп — замкнутая п-клетка (т. е. гомеоморфный образ п-симплекса sn), то каждое отображение Еп в себя имеет неподвижную точку.
В самом деле, Н* (Еп) ^ Н* (s„); Но (sn) = J, но Нр (sn) = 0, р > 0. Пусть / : Еп—> Еп— какое-нибудь отображение. Каждое цепное отображение, индуцирующее /*, является собственным, так что /*0 — тождественный автоморфизм. В рассматриваемом случае шН^Н*, так что Л/=1 и, следовательно, / имеет неподвижную точку.)
Пусть / : Sn —» Sn — произвольное отображение. Тогда Нп (Sn) = J. Возьмем какой-нибудь элемент а;, порождающий группу J, и пусть af* = da для некоторого целого числа d. Назовем d степенью отображения /. Конечно, эта степень зависит только от гомотопического класса отображения /. Обратно, можно доказать (но это нелегко), что два отображения 8п—>8" гомотопны, если они имеют одинаковую степень.
Теорема. Если отображение f t Sn—> 8п не имеет неподвижных точек, то степень его равна ( — l)n+1.
В самом деле, Л/ легко выражается через d, степень отображения t, а именно Л/=1 + ( — l)”d. Значит, если у / нет неподвижных точек, то Л/ = 0 и d=( — 1)п+1.]
Следствие. При четном п тождественное отображение сферы Sn на себя нельзя продеформироватъ в отображение без неподвижных точек.
Ибо если тождественное отображение i: Sn—> 8п можно продеформи- ровать в отображение без неподвижных точек, то А, = 0 и, значит, степень отображения i равна ( —1)”+1. Но при четном п это неверно, поскольку степень отображения i тогда равна 1.]
Обратите внимание, что степень антиподального отображения 8п—>8п, описываемого правилом
(П1, . • * , О.п^р > ( Uj, • . . , «n+l), равна ( —l)n+1, причем это отображение не имеет неподвижных точек.
Непрерывным векторным полем на 8п называется любое множество векторов, лежащих в Л”+1 и касающихся сферы 8п, по одному в каждой точке, и такое, что направление и длина этих векторов в точке х^8п непрерывно зависят от х.
Теорема. На 8п существует непрерывное векторное поле единичных векторов в том и только в том случае, если п нечетно.
Пусть п = 2т — 1. Для произвольной точки ж = (и1; . . ., и2т) Е 52т-1 <= Ягт через у (ж) обозначим единичный вектор ( — ит+1, ..., — м2т, uY, ..., и^. Так определенный вектор v (ж) ортогонален радиусу-вектору, проведенному в точку ж, и непрерывно зависит от ж. Значит, у — непрерывное векторное поле единичных векторов на 5™-1.
Пусть теперь п четно. Мы покажем, что каждое непрерывное векторное поле на 8п обладает нулевым вектором. Пусть и-—некоторое такое векторное поле и у — конец вектора у (ж). Через ж/ обозначим точку пересечения отрезка Оу (где О — центр сферы 8п) с 8п. Тогда / — непрерывное отображение 8п-^-8п. Пусть yt — точка, делящая отрезок ху в отношении (1 —i): t, и xft — точка пересечения сферы 8п с отрезком Oyt. Тогда ft:Sn—»Sn — гомотопия между тождественным отображением i и отображением / : 8п—> 8п. Значит, f~i, откуда, в силу следствия 5.8.5, вытекает, что / обладает неподвижной точкой. Ясно, что для любой такой точки ж длина вектора у (ж) равна нулю.]
Приложение 2. Группа Ext (Л, В) а0 аг аг ад
Пусть ... Ло —> AY —> Л2 —> Л3 —> Л4 —> ... —точная последовательность абелевых групп. Тогда Л2 содержит подгруппу AYaYsiApAgag и A2[AYaY s aj1 (0). Значит, Л2 в некотором смысле является расширением1) группы aj1 (0) с помощью группы АрАоао, т. е. расширением ядра гомоморфизма а3 коядром гомоморфизма а0. Значит, если гомоморфизмы а0 и а3 известны, то можно указать и Л2 с точностью «до выбора конкретной группы расширения». В алгебраической топологии с такой ситуацией сталкиваются часто (например, нам известно X* : Н* (Ко) —> Н* (К), и мы хотим отыскать Н* (К, Кд)). Таким образом, возникает задача классификации расширений групп данной факторгруппы с помощью заданной подгруппы.
X ц
Рассмотрим произвольные группы А и В. Пусть 0 —> В —> Е —> А —> 0—некоторая точная последовательность абелевых групп. Будем говорить, что группа Е, так же как и сама последовательность, является расширением2) группы А с помощью груп- X' и'
пы В. Если 0—*В-—> Е’■—>А—>0—некоторое другое расширение группы А и существует изоморфизм q> : Е-—Е', индуцирующий тождественные отображения на А и В, т. е. такой, что диаграмма
Е
Е' коммутативна, то Е и Е' мы будем называть эквивалентными расширениями.
Нам понадобится тот факт—его можно вывести из 5-леммы,—что изоморфность ф следует уже из одной коммутативности этой диаграммы. Через Ext (Л, В) мы обозначим множество классов эквивалентности расширений А с помощью В.
Теорема. Существует взаимно однозначное соответствие между элементами Ext (Л, В) и А | В.
$ Л
Пусть 0 —■» В —> F —> А —> 0 — некоторое представление группы А. Тогда A f ТВ—коядро отображения £': F ф В —> R фВ. Будем отождествлять A f В с A f ^В.
Определим прежде всего некоторое отображение Ф:Л|В—> Ext (Л, В). Для произвольного гомоморфизма у : В —* В обозначим через D подгруппу группы ВфВ, образованную элементами вида (rg, —ту), г^В, и пусть E^ = (F ф ByD. Определим Х:В—* Е^ равенством ЬХ={0, 6} и р : Е^—>А—равенством {/, 6}р = /т], где {/, 6}— тот класс смежности из РфВ, который содержит элемент (/, 6), / € В, [6 € В. Отображение р однозначно, так как £т] = 0, и последовательность*
х ц
О-^В^Ву—>Л-^0
точна. Чтобы доказать последнее, заметим сначала, что если ЬХ=О, то rg=O, —г^=Ь для некоторого г^В. Но тогда г=0, так что 6=0, и наша последовательность точна на В. Далее, р—гомоморфизм на всю группу Л, так как таково т]. Наконец, пусть {/, Ь}р = О. Тогда /т)=0, / = г§ и {/, 6} = {0, Ъ+ту} = (Ъ -|- ту) X, так что ц-1 (0) с ВХ. Поскольку Хр = О, точность последовательности 5.9.2 доказана.
Предположим теперь, что гомоморфизм: у': В—>В представляет тот же элемент группы ЛфВ, что и у. Тогда у—у' = §"Р=§0 для некоторого р: В—>В. Построим
X' н'
последовательность 0 —> В —> Еу —> А —> 0 так же, как была построена последовательность 5.9.2, и через {/, 6}' обозначим произвольный элемент группы Еу. Определим <р : Е^ —> Еу соотношением {/, 6} ф={/, 64-/0}'. Тогда ф однозначно, ибо для любого г^В —гу + г^р=—ry + r(Y — Y') =—rY'• Далее, 6Хф = {0, 6}ф = {0, ьу = ЪХ' и {/, Ь}фр' = = {/, 64-/0}'(1' = /Л = {Л 6} р. Значит, Еч и Еу эквивалентны, так что соответствие у —> В7 индуцирует некоторое отображение
Ф : Л ф В —» Ext (Л, В).
Определим теперь отображение Чг: Ext (Л, В) —> Л f В. Поскольку группа В свободна, можно тождественное отображение группы Л, рассматриваемой как элемент X ц
последовательности 0—>В—>Е—>Л—>0, «поднять» и получить коммутативную диаграмму
0—> R—* F —* Л —*0
X ц
0 —> ВЕ —> А—> 0.
Гомоморфизм с можно заменить на любой гомоморфизм иХ, и : В —> В, но при этом q заменяется на £и, так что элемент группы Л ф В, представляемый гомоморфизмом q, определяется однозначно. Если расширение Е' эквивалентно расширению Е и ф ; В г = Е' — эта эквивалентность, то отображение 1 : А—> А можно поднять до оф : В—> Е', при этом оХ' = ^оф. Значит, расширение Е' приводит к тому же элементу группы At В, что и Е, т. е. соответствие Е—>q индуцирует некоторое отображение Ф: Ext (Л, В)-* At В.
Покажем, что Ф и Т взаимно обратны. Пусть дан гомоморфизм у: В —> В- определим с : В—> Еч равенством {С = У, 0}. Тогда /ац = /т], и а «поднимает» 1 : А—> А’ Кроме того, г^с = {г^, 0}, гуХ={0, гу}, так что г§с = гуХ, т. е. гомоморфизм у : В —> В вполне определяется гомоморфизмом о. Отсюда следует, чтоФЧг = 1.
Хр
Рассмотрим теперь диаграмму 5.9.3 и образуем последовательность 0—* В—> Рр
—> Ер-—>А—> 0. Определим ф:Ер—>Е соотношением {/, 6}ф = /с4-6Х. Отображение ф однозначно, так как £o = qX; далее, 6Хрф = 6Х и у, 6} фц = /о[1 = /г] = {/, 6}цр. Значит, расширения Е и Ер эквивалентны, так что ТФ —1.]
С помощью отображений Ф и У в Ext (Л, В) можно определить групповую операцию. Так, для произвольных а, 0 £ Ext (Л, В) положим а + 0 = (аТ + РТ) Ф. Это определение превращает Ф и У в изоморфизмы. С другой стороны, группа Ext (Л, В) обсуждалась алгебраистами независимо от указанного изоморфизма между Л f В и этой группой.
14 заказ № 1335
Стандартный закон сложения в этой группе таков. Для заданных последовательностей 0 —> В —> Е, —> А —> 0, i = 1, 2, обозначим через D подгруппу группы Ех ф Е^, состоящую из тех пар (е^, е2), для которых eipi = e2p,2, и пусть Dq—подгруппа группы D, образованная парами вида (6X4, —ЬХ2). Положим E=D/DQ и определим %: В —> Е, р. : Е—> А следующим образом: Ь\ — {6X4, 0}, {е1; е2}ц = е1ц1. Тогда последовательность
X Ц
0—> В-^ Е-* А—>0
точна. Ибо если ЬХ=О, то существует b' g В, для которого ЬХ1 = Ь'Х1, Ь'Х2 = 0; но тогда 6 = 6', Ь' = 0, откуда Ь = 0. Далее, ц—отображение на всю группу А, так как pi и р2—такие же отображения. Наконец, Хц = О, и обратно, если {ej, е2}ц = 0, то
64 = 64X4, е2=62Х2, {«1, e2} = {b1Xt, 62^2} = {^Ai Ч- Ь^Ч, 0}=(bj-|-b2) X. X и
Пусть 0 —> А —> Е —> В —> 0—некоторое расширение. Тогда через [Е] мы будем обозначать его класс эквивалентности. Покажем теперь, что для определенного выше расширения Е его класс [Е] зависит только от ^1 и [Е2]. Имеем
i = l, 2; определим <р : Е —> Е' так: {et, е2} q) = {e1<p1, e.^Y— обозначения очевидны. Тогда <р однозначно, ибо 6X^4 = ЬХ^, ЬХ2<р2 = 6Х2, и отображает в Е’, так как ei<Pipi = = е1Ц1 = е2Ц2 = е2Ф2112- Далее, ЬХ(р = {ЬХ1(р1, 0р= 6Х' и {еь е2} <рц'=e1<p1pt; = e1m = {e1, е2} ц. Положим
[Е1] + [Е2] = [Е]
и покажем, что это определение согласуется с определением, которое было дано выше с помощью отображений Ф и Y. Достаточно, очевидно, убедиться, что справедлива 5.9.5. Лемма. [EJ Y + [Е2] Y=[E] Y.
Пусть даны диаграммы
0-^д-> р _>л~*0
Pi| 1
0 —> B~> Ei—> Л0,
i = l, 2, где Q, представляет [Е;] Y, a gi + g2 представляет [Ej] У + [Е2] Y. Определим с : Г-^-Е, положив fo = yoi, /с2}- Тогда о отображает Г в Е, так как /aipti = =/сТ2р,2 =/И", по той же причине /С|х = /Ц, так что о «поднимает» отображение 1 : А—> А. К тому же
^ = ^^1, rgo2} = {rg1X1, rg2X2} = {rg1X1 + rg2X1, 0} = r (gt + g,) X.
Значит, о определяет 61 + g2 : R-^B, так что [Е] Y представляется элементом gi + g2J Отметим, что задание групповой структуры в Ext (Л, В) с помощью отображений Ф и Y имеет определенные технические преимущества. Ибо если бы мы исходили из формулы 5.9.4, то мы бы столкнулись со значительными трудностями при установлении ассоциативного закона и при доказательстве существования обратных элементов. Более того, группу А у В часто легче вычислить, чем Ext (Л, В\
Нулевой элемент Ext (Л, В) отождествляется с Ф-образом нулевого элемента из A f В.
X ц
Будем говорить, что расширение 0—^ В—>Е—> Л —> 0 тривиально, если существует гомоморфизм ц : А—’t-Е, для которого р,ц = 1. Покажем, что тривиальные расширения образуют некоторый класс эквивалентности, нулевой класс группы Ext (Л, Ву Нэпом ним сначала (5.1.9'), что расширение Е тривиально в том и только в том случае, если ВХ является прямым множителем в Е.
Предложение. Если расширение Е тривиально, то оно эквивалентно расширению Е' в том и только в том случае, если Е' тривиально.
Пусть £=6^ ф Лр, Тг^ПХ'ф'Лр'; определим ф : Е -+■ Е' равенством (ЬХ, ар)ф = — (6Х', ар'). Очевидно, ф— эквивалентность. Обратно, пусть дано р:Л —^-Е, для которого рр = 1, и дана эквивалентность ф : Е—> Е'-, положим р' = рф, ^' : А —>Е'_ Тогда__
р'р' = рфр' = рр=1.]
Значит, можно говорить о классе эквивалентности тривиальных расширений.
Предложение. Класс тривиальных расширений является нулевым элементом группы Ext (Л, В).
Пусть дана диаграмма
0—>R-ХрД л-> 0
Р I1
0 —>Е-^>А_>й
в которой рр = 1. Обозначим через х : Е—vB проектирование; тогда Хх=1. Такое х существует, так как ВХ является прямым множителем в Е. Тогда §сх=рХх = д, откуда следует, что <тх служит продолжением гомоморфизма о и g представляет нулевой элемент группы ЛфВ. Значит, Т-образ} класса тривиальных, расширений есть нулевой элемент, и предложение доказано.]
Быть может, читатель найдет полезным проинтерпретировать гомоморфизмы групп Ext, индуцированные гомоморфизмами А—>Л' или В —>- В'.
Приложение 3. Линзовые пространства
Для каждой пары взаимно простых чисел р и q (р > 0) определим некоторое 3-мер- ное многообразие L (р, q); многообразия эти называются линзовыми пространствами. Читатель найдет интересный обзор этих пространств в книге Зейферта и Трель-
Рис. 5.1.
фалля [2], §§ 60, 61, 77. Определить L (р, q) можно следующим образом. Возьмем замкнутую область в В2, ограниченную правильным р-угольником а”, а”, . ...а”^. Будем считать нижний индекс в обозначении aS элементом группы Jp; таким образом, а? имеет смысл для всех I. Соединим точки этой области с двумя точками а„ и °9 из В3, лежащими по разные стороны от В2; в результате получаем двойную пирамиду Р, основанием которой служит заданный многоугольник. Граница пирамиды Р состоит из треугольников a”a°+1a,, / = 0или q. Многообразие L (р, ?) получается из пирамиды Р отождествлением некоторых точек ее границы. Между a°af+1al и aj+ga°+e+1a^. существует единственный линейный, сохраняющий порядок гомеоморфизм. Пары точек,связанные этим гомеоморфизмом, 0<i<p— 1, отождествляются. Наклонные грани одной пирамиды склеиваются при этом с теми гранями другой пирамиды, которые получаются из них в результате поворота на угол 2л?/р и последующего перехода вверх или вниз. На рисунке 5.1 изображена пирамида Р для случая р = 9, q = 2; типичная пара отождествляемых граней заштрихована. Читатель без труда проверит, что при описанных отождествлениях
рёбра а°а?+1 и й”«°+1 для всех I, / отождествляются. Фактически каждый симплекс отождествляется со всеми теми симплексами, которые получаются из него, если все индексы его вершин увеличить на одну и ту же величину (в Jp). Очевидно, если (^ — ?') делится на р, то L (р, q) s L (р, q').
То, что L(p, q)— многообразие, не очевидно. Ясно, что каждая точка этого пространства, которая получается из некоторой внутренней точки пирамиды Р, имеет в L (р, q) евклидову окрестность, однако некоторые граничные точки вызывают в этом отношении опасения.
На самом деле нетрудно показать, что любая граничная точка пирамиды Р, не лежащая на многоугольнике, обладает евклидовой окрестностью. Эта окрестность получается из двух «полусферических» окрестностей в Р, которые при отождествлении складываются подходящим образом. Теперь пирамиду Р можно расчленить, подобно апельсину, в тетраэдры вида а^а^^а2. Используя отождествления, заданные на гранях пирамиды Р, можно так перегруппировать эти тетраэдры, что они заполнят новую двойную пирамиду Р', которая получается в результате отождествления всех ребер а®а“+1. На гранях этой пирамиды Р' следует произвести отождествления, если мы хотим получить пространство L (р, q). Оказывается, в действительности, что наклонные грани одной пирамиды при этом надо скрепить с теми гранями другой, которые получаются из них поворотом на угол 2nq’!p, где qq'= \ (как элементы группы Jp). Это построение не только обнаруживает, что у точек многоугольника Р есть в L евклидовы окрестности, но и показывает, что L(p, q) siL(p, q'), где qq'=Л. Применяя зеркальное отображение, получаем, что L(p, q) slip. —q), так что L(p, q) s^ L (p, q'), если g'=± ?±1 (? и ?' понимаются здесь как элементы группы Jp).
Доказано, что условие q' = ± ?±4 не только достаточно, но и необходимо для того, чтобы пространства L (j>, q) и L (р, q') были гомеоморфны. Рейдемейстер 1) доказал, что это условие необходимо для того, чтобы эти пространства были комбинаторно эквивалентны, и как следствие одного результата Мойса отсюда получается, что сформулированное условие должно выполняться и когда L (р, q), L (р, q') гомеоморфны. Оставшаяся часть этого параграфа будет посвящена выяснению того, как с помощью теории когомологий подойти к проблеме гомотопической классификации линзовых пространств, т. е. классификации по их гомотопическому типу.
Расчленим пространство L (д>, q) в некоторый ^-комплекс К следующим образом. Поместим вершину а) в середину отрезка а®а”+1 пирамиды Р, а в качестве вершины ag возьмем центр правильного многоугольника. Тогда Р представляется как объединение тетраэдров вида a^ala^a3 и а^^а^а3 при iZ.Jp и ; = 0 или q. Построенное симплици- альное разбиение пирамиды Р приводит после известных отождествлений к некоторому предразбиению К пространства L (.р, q). Симплексами предразбиения К служат грани тетраэдров a?a|a?a® и a?+iala^a3, причем если одна из этих граней получается из другой при увеличении значений ее нижних индексов на одну и ту же величину, то они совпадают. (Мы ввели символ а вместо а, чтобы отличить К от соответствующего разбиения пирамиды Р.)
Гомологии и когомологии пространства L (р, q) можно вычислить, исходя из некоторого разбиения на блоки предразбиения К, имеющего по одному блоку в каждой размерности. В качестве е3 возьмем весь полиэдр \ К \, в качестве е2—объединение замкнутых симплексов, не примыкающих к а3, в качестве et— пару симплексов, соединяющую а° с а, и в качестве е0 — вершину а0. Можно все это так ориентировать, чтобы e3d = 0, F2d = pEi, eiS = O. Следовательно, HT(L\ J р) = J р при 0^г<^3 и Hr (L; Jp) Jр при 0 < г < 3. Так как Ht ^L; J) as J р, то число р является гомотопическим инвариантом пространства L (р, q); следовательно, необходимым условием того, что L (р, q)^L(p', д'), является р = р'.
Теорема. Для того, чтобы L(p, q) =■ L (р, q'), необходимо, чтобы qq' или — qq' было квадратичным вычетом по модулю р.
Это означает, что qq'—J: т2 для некоторого т Z Jp. или, эквивалентно, g' = i m2q для некоторого т.
Не теряя общности, предположим, что 0 < у < р.
В построенном выше упорядоченном предразбиении К многообразия L (р, q) определим коцепи с1 Z С1 (К; J), z2ZC2(K; J) и г3 £ С3 (К; J) следующим образом:
с1 па a^a®- принимает значение и (г—;), где v (к) — то неотрицательное целое число <( р, которое входит в класс вычетов по модулю р, соответствующий числу к.
z2 принимает значение 0 па всех симплексах, кроме симплексов вида a£aqag (г = 0 или 1; 0 <_ i < q) или aga^Co ((= 2 или 3); на этих симплексах коцепь г2
равна 1. (Заметьте, что из правил отождествления следует, что z2 принимает также значение 1 и на а’а^^2.)
z3 принимает значение 0 на всех симплексах, кроме симплекса a5aja2a§, на котором значение z3 равно 1.
Советуем читателю проверить, что dc^pz2 и с и z2 ~ qz3. Проверка первого равенства длинна, но зато выполняется автоматически; проверка второго короче, надо только показать, что коцепь с1 и z2 равна нулю всюду, кроме q тетраэдров a^al^af), 0^i<<q, на каждом из которых ее значение равно +1.
Пусть с^, z^, z'^— образы коцепей с1, z2, z3 при гомоморфизме J -*- Jр; тогда {z3p)}, так как 6c^ = pza, является кограницей Бокштейпа v* (см. 5.6.8) от {с^}. Для ^=^,ЧНЧЦр, qY Jp)^3^3^!!3 (Ja Jp) это означает, что ^-(^%) = й3.
Заметим теперь, что элемент I1 порождает группу Я1 (L; Jp) = Jp. В самом деле, Z1 = a»a^—agaj ^Zv (L);
если обозначить через z№) образ элемента z^ в Z^^L; J р), то (z(p), £^> = 1, так что ({z(p)}, §1) = 1 и порядок элемента ^ равен р. Этим доказано, что g1 порождает группу H4L; Jp).
Докажем, далее, что {z3} порождает группу Я3 (L). В самом деле, z3 = 2 (a?+iaia^o —a^^a^^W,
но (z3, z3) = l, так что ({z3}, {z3}) = l. Значит, {z3} порождает Я3 (£) = £.
Предположим теперь, что L = L(p, q1) и что / : L-^-L — гомотопическая эквивалентность. Так как /*— изоморфизм, то /* {z3} = zb {z3}, так что /*£3 = i £3. Поскольку ^ порождает группу H^L; Jp), f*V = m^1 Для некоторого m£jp. Тогда
/* (?Т3) = /* (I1 • (Г^*)) = № • /* (1^*) = № ■ ((/ч1) VJ
(см. замечание, следующее за 5.6.7с)
= my--my-v^ = m2q^3 = j2 тп2^/*^3.
Следовательно, q' = j2qm3 для некоторого mf Jp.)
Из этой теоремы следует, например, что пространства £(5,1) и £(5,2) имеют разный гомотопический тип.
Дж. Г. К. Уайтхед Ц доказал, что это необходимое условие также и достаточно для того, чтобы L ^р, q) и L ^р, q') имели один и тот же гомотопический тип. Гомотопическая классификация линзовых пространств тем самым завершена. Любопытно, вероятно, отметить, что, например, пространства £(7,1) и £(7,2) представляют собой два негомеоморфных трехмерных многообразия одного гомотопического типа.
Упражнения
Найдите ранг и коэффициенты кручения следующих абелевых групп:
образующиеа, Ь, са, Ъа, Ь, с, dобразующиеа, Ь, са, Ъа, Ь, с, dотношения
образующие
а, Ь, с
а, Ъ
а, Ь, с, d
образующие
а, Ь, с
а, Ъ
а, Ь, с, d
2a = 3b, 2b = 3c, 2с = 3а;
12а = 0, 6а = 15Ь;
За + 65—3c = 0, 4a + 2b — 3<7 = О.
Найдите в каждом случае соответствующее множество образующих.
СО = (со, со, с?);С1=(4, сХ, с3, с*);^2 — (с2, С2, С2, С2, С^);С3=^3, с2,с|);остальные С„=0.СО = (со, со, с?);С1=(4, сХ, с3, с*);^2 — (с2, С2, С2, С2, С^);С3=^3, с2,с|);остальные С„=0.Цепной комплекс (С, д) определен следующим образом:
СО = (со, со, с?);
С1=(4, сХ, с3, с*);
^2 — (с2, С2, С2, С2, С^);
С3=^3, с2,с|);
остальные С„=0.
СО = (со, со, с?);
С1=(4, сХ, с3, с*);
^2 — (с2, С2, С2, С2, С^);
С3=^3, с2,с|);
остальные С„=0.
сХЭ = с3—с^, cfd = 3c^—3cJ, cfd — с3— с^, с!д = 3с§ — 3cJ; с^Э = сХ.Э = О, с‘4д = 4с'Х—-36c^4-8ci, с1д = 2сХ — 18cl4-4cj, с^д=—9cJ-|-3ci; с3д = с^—-2с2 4~2с^ — 4с|,
с2 = с^—7с| + 7с3 — Vici,
eg = 5cJ — 15с| + 15с3 — 30с2‘;
Вычислите группы гомологий комплекса (С, д).
м 3. Пусть цепной комплекс С тот же, что и в упр. 2. Вычислите группы гомологий цепного комплекса С ф G и группы когомологий цепного комплекса С ф G в случаях: (a) G = Jm, (б) G = Q, группе рациональных чисел, (в) G=Rt, группе вещественных чисел по mod 1.
Пусть WP—группа р-коциклов из С', слабо когомологичиых нулю; докажите, что WP — аннулятор группы Zp. (Здесь С‘ = С fh J.)
Докажите, что тензорное произведение С=А^В абелевых групп А и В характеризуется (с точностью до изоморфизма) следующими двумя свойствами:
существует билинейное отображение <р : А х В —>- С и С порождается <р-образами элементов из А X В;
для любого билинейного отображения 6 : А х В —> D найдется такой гомоморфизм ф:С—>В, что <рф=6.
Докажите, что если а, b—элементы бесконечного порядка в группах Л и В, то и порядок элемента а^Ь в ЛфВ бесконечен.
Докажите, что абелева группа А полна в том и только в том случае, если при каждом включении АС В группа А является прямым множителем в В. В чем состоит «двойственное» свойство для свободных групп?
Подгруппа А' группы А называется чистой, если из того, что а'^А' и а' = па0, а0 € А, следует, что существует Яд£А', для которого а' = пад. Докажитё, что включение А'® В—>А(^В является мономорфизмом для всех В в том и только в том случае, если А'—чистая подгруппа группы А.
Докажите, что включение Л'фВ—»-ЛфВ является мономорфизмом для всех пар (Л, А'), где А*—подгруппа группы А, в том и только в том случае, если группа В локально свободна.
Пусть Л, В — группы и G— группа, порожденная символами (я, Ь)т, где а 5 Л, Ь £ В, та — О, mb = 0, подчиненными двум соотношениям дистрибутивности и соотношениям (ab^^tha, b)^, hka = O, kb = O; (a, b)hh = (a, hb^, ka = 0, hkb = O. Докажите, что G г А * В.
(а) Докажите, что ЛфВ = 0 для всех А в том и только в том случае, если В — полная группа.
Докажите, что Л|В = 0 для всех В в том и только в том случае, если А — свободная группа.
Докажите, что если А — конечно порожденная группа, то Лф J = 0 в том и только в том случае, если группа А свободна.
(а) Покажите, что если Л и В содержат Jp в качестве подгруппы, то А * В 0.
Покажите, что если Jp является подгруппой группы А и факторгруппой группы В, то A ф В ф 0.
Установите существование естественного гомоморфизма
xtt/thyxw-^Ufh^®^)
и докажите, что этот гомоморфизм является изоморфизмом, если U или W—свободная /g-группа. Всегда ли х изоморфизм?
Докажите, что А * (В * С) s (Л * В) * С и что
(Л * В) ® С ф (Л ® В) * С s А * (В ® С) ф А 0 (В * С)
для любых абелевых групп А, В и С. Выведите отсюда, что
Н„(С®С';С)^ 2 Нр(С; Н^С; G))
р+д=п
для произвольных свободных цепных комплексов С, С'.
Докажите, что (Л * В) ф С s A ф (В ф С) и что
(Л ® В) f С ф (Л * В) ф С - А ф (В f С) ф A f (В ф С)
для любых абелевых групп А, В, С. Выведите отсюда, что
Нп (С® С'; G) s 2 ^р (С; Я8 (С'; G))
p+Q=n
для произвольных свободных цепных комплексов С, О'.
Пусть'
ООО
I i I
О —> А1 —>- А2 —> A3 —> О
О —> Bi —>- В^ —Вз —>" ОIII
О -» Ci -А- Сз -> Сз -> О
—коммутативная диаграмма, в которой каждая строка и каждый столбец образуют точную последовательность дифференциальных групп. Тогда определены (см. 5.5.1) гомоморфизмы
Vc : Н (С3) Н (С^, vi : Н (СД Н (АД,^:Н(Сз)-*Н(Аз'). ■^:Н(А3)-^Н(АД.
Докажите, что v*vj, = —v^v*.
Пусть л—группа гомеоморфизмов сферы 5П, лишь один из которых имеет неподвижную точку. Таким образом, если §, т] £ л и х£8п, то
1-^8",
^■х = х в том и только в том случае,'если £ = 1.
Покажите, что при четном п группа л содержит не более двух элементов.
Выведите точность аддиционной гомологической последовательности симпли- циальной триады (К; Kt, К2) из теоремы 5.5.1 (см. гл. 2, упр. 7).
6
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА
И НАКРЫВАЮЩИЕ ПРОСТРАНСТВА
В этой главе для произвольного топологического пространства X и любой базисной точки ж0£Х мы определим некоторую (не абелеву) группу, которую впервые выделил Пуанкаре; эту группу мы будем называть фундаментальной группой пространства X в точке Hq. Фундаментальная группа во многих отношениях отличается от тех групп гомологий, которые мы рассматривали до сих пор: вообще говоря, она не коммутативна; она определена для любого пространства; сразу из определения следует ее топологическая инвариантность; возникает она из гомотопических идей. Обычно фундаментальная группа обозначается через л4 (X, ж0); она является частным случаем гомотопической группы лп (X, ж0) при п = 1. Однако Л! (X, ж0) занимает особое положение среди прочих гомотопических групп, ч то оправдывает ее самостоятельное рассмотрение.
Определение фундаментальной группы
Начнем с некоторых определений. Для произвольного числа г>0 обозначим через 1Т замкнутый отрезок [0, г], OCu^r, и положим 7r = 0 [J г. Путем г) в X называется любая пара ) (/, г), где / — отображение 1Т—>Х. Точки 0(/) и г (/) называются начальной и конечной точками пути /; число г можно назвать длиной5) пути. Для обозначения пути мы будем часто писать / вместо (/, г). Множество путей в X имеет некоторую естественную мультипликативную структуру. Пусть конечная точка пути / является начальной точкой пути g; дадим формальное определение пути, состоящего из пути / и идущего за ним пути g.
Определение. Произведение ^*g, г + $) путей (/, г) и (g, s) определено, если (г) / = (0) g, и описывается формулами
((м)/, если (и)■
((u — г) g, если гСм<г-|-8
(сошлемся на 1.1.6 для обоснования того, что это путь).
Предложение. Если произведения f*g и g*H определены, то произведения y*g)*h и f*(g*h) также определены и равны между собой.]
В этом случае каждое из произведений будет обозначаться через /*g*A.'
х) Некоторые авторы проводят различие между путем, т. е. непрерывным отображением отрезка 1Г, и дугой — гомеоморфизмом отрезка 1Т.
Определение. Обратный к (/, г) путь (/, г) задается формулой (н)/ = (г — и) f, Оси^г.
Предложение. i*g = g*t и / = /•]
Пусть / = (/, г) —некоторый путь; обозначим через /<s) = (/(s), s), $>0, путь, заданный соотношением
6-1.5u/(s) = ^/.
Таким образом, /(s)— вытянутый или сжатый вариант пути /. Заметим, ЧТО (/<«)(/) = /(/).
Для каждой точки х С X определен путь е (х) = е нулевой длины. Тогда e(S) (ж) = e(S) — постоянный путь в точке ж длины s. Ясно, что если соответствующие произведения определены, то е*/ = / и /*е = /, ae(r)*6(S) = = 6(r+s)-
Нас будут главным образом (но не исключительно) интересовать замкнутые пути, или петли, т. е. те пути, начало и конец которых совпадают. Если начало и конец пути находятся в точке ж0, то мы будем говорить о замкнутом пути на ж0. Ясно, что для любых двух петель / и g на ж», произведение f*g определено. Множество Q(X, ж0) таких петель образует на самом деле некоторую полугруппу.
Фундаментальная группа л, (X, ж0) получается из Q (X, ж0) в результате разбиения элементов последнего множества на классы эквивалентности; отношением эквивалентности при этом служит, грубо говоря, отношение гомотопности. Однако так как пути разной длины являются отображениями в X различных пространств, то стандартное определение гомотопии не годится — мы захотим, например, считать эквивалентными пути / и j^.
Выпишем некоторые элементарные сведения о гомотопиях rel 1Г; мы часто будем вместо «гомотопны rel 1Т» писать просто «гомотопны» и символ / ~ g rel 1Г заменять символом / ~ g.
Предложение. Если f, g — пути в X длины г и если / ~ g rel IT, то j№~ g^te\Is.
FF(s)
В самом деле, если / ~ g, то /(s) ~ g^, где
(и, t) F^ = ^ru/s, t) F, и GIT, t£Z.J
Так как (/(/:>)(/) = /<z), то отсюда следует, что fw ~ g№ в том и только в том случае, если /(г) ~ gay
Предложение. Пусть /,/'— гомотопные пути длины г в X и g, g'—гомотопные пути длины s. Тогда (а) если определено произведение j*g, то f * g' также определено и )*g~f*g'; (б) обратные пути / и f гомотопны.
F. G.
Имеем t —f rel Jr, g — g' те1 Js- Tогда Og' = Og = rf = rf, так что произведение /' * g' определено и, в очевидных обозначениях,
.F*G.
t*g~ /' »g' rel Zr+S,
T~? rel M
Предложение. Пусть)—произвольный путь в X длины г. Тогда е^ * f — f(r+s) ^f* e(s).
Если г = 0, то e(s)* / = Д^) = /*в(8) (= e(s)), и мы можем предположить, что г > 0.
Рассмотрим тогда гомотопию А : Zr+S х 7—» 7r+s, заданную соотношениями
(u, t)A =(u, t)A =(г + st) м/г,0<;и<г,
(u, t)A =
(u, t)A =
u(l—t) + (г + s) t, r^.u<.r-\-s.
Читатель легко проверит, что f^+s) — t*e^, rel7r+s. Оставшееся утверждение доказывается аналогично (или с помощью обращения путей).)
Определение. Петля (/, г) на ж0 называется гомотопной нулю, если она гомотопна rel 1Т пути е(г). Множество всех гомотопных нулю петель на ж0 будет обозначаться через А (А, ж0) = А(ж0).
Предложение. Если, /—путь с начальной точкой х^, то
Предположим, что длина пути / равна г. Утверждение тривиально, если г = 0, поэтому предположим, что г > 0. Обозначим через /< для любого tPl путь f\ITt- Тогда, очевидно, (/<)<г) * (/<)(г)— гомотопия, связывающая пути 6(2г) и /*/.]
Пусть Е (X, ж0) = 2?(ж0) — множество путей в X, начинающихся в точке х0; таким образом, N (ж0) sQ (ж0) с Е (х0). Пусть /, g^E^X, ж0); будем говорить, что пути / и g эквивалентны, и писать / = g, если произведение / * g определено и принадлежит А (ж0). Ясно, что если / = g, то пути / и g кончаются в одной точке. Значит, в частности, если f^^^x^, то g^Q(x0Y Докажем теорему.
Теорема. Отношение f^g является отношением эквивалентности.
Это немедленно следует из леммы 6.1.12.
Лемма, j = g в том и только в том случае, если j^ ^g(i).
Пусть длина путей /, g равна соответственно г, s. Наше утверждение тривиально, если r = s = 0, поэтому предположим, что r4-s>0. Пусть
g; тогда / *g
~ e(r+s)- Значит,
/(r+2s)
~f* 6(2s),
в силу
6.1.8,
^ f* g* g,
в силу
6.1.10 и 6.1.7(a),
— e(r+s)*g,
в силу
6.1.7(a),
— ^(г+гв),
в силу
6.1.8.
Из предложения 6.1.6 получаем, что /(i)~g(1). Обратно, пусть /(1) ~ g(i). С помощью предложения 6.1.6 заключаем, что /(r+S) ^ g(r+s)- Таким образом,
(/ * g^ kj-tiA — / * g * e(s)i
В
силу
6.1.8,
~ / * 6(8) * g,
в
силу
6.1.8,
— /(г+в) * g,
в
силу
6.1.8,
— gO+»)*g*_
в
силу
6.1.7(a),
^ew*g*g,
в
силу
6.1.8,
-— e(r+2s).
в
силу
6.1.10 и 6.1.7(a)
Наконец, из утверждения 6.1.6 следует, что /*g~e(r+8).] Заметим, что из доказанной леммы немедленно вытекает соотношение /=/(t), так что каждый класс эквивалентности содержит пути длины 1. Из предложения 6.1.8 можно также заключить, что е(8) */=/ = /* е(8).
Будем через {/} обозначать класс эквивалентности пути f. В силу утверждений 6.1.7(б) и 6.1.12, {/} зависит только от {/}. Класс {/} можно, следовательно, обозначить через {/}-1 и назвать обратным к {/}.
Предложение. Если, f£E(x^ и g^E^x^, где ж,— конечная точка пути /, и если / = /', g = g', то f*g = f*g'
Пусть пути /, g, /', g' имеет длину соответственно г, s, г', $'. Тогда f*g*f'*g'=f*g*g'*f'~f* e(s+s') * f ~ f * f * e(s+s-) ~ e(r+r'+s+s').] Значит, будет корректным определить произведение {/} {g} KaK{/*g}.
Теорема. Классы петель на ж0 образуют группу относительно произведения {/} VgWhsY ее единичным элементом служит N (ж0) = {е}, а обратным элементом к {/} является {/}.
Ассоциативность так определенного произведения вытекает из ассоциативности произведения в Q(t0). Так как /*е = /, элемент {е} действительно является единичным, а из предложения 6.1.10 следует, что {/} — элемент, обратный к {/}.]
Группа, о которой шла речь в теореме 6.1.14, называется фундаментальной группой Л! (А, ж0) пространства X в точке хй; х0 называется базисной точкой группы е4 (А, ж0). В этой главе вместо л4 (А, ж0) мы будем обычно писать л (А, ж0), а иногда просто л. Элементы фундаментальной группы будут, как правило, обозначаться греческими буквами. Мы покажем, что фундаментальная группа, вообще говоря, некоммутативна; например, фундаментальная группа восьмерки при любом выборе базисной точки является свободной группой с двумя образующими.
Пример. Пусть А— выпуклое в Rn множество и х0— любая точка из А. Тогда л (А, ж0) = 1.
Выпуклость множества А позволяет доказать, что любая петля на ж0 гомотопна нулю. В самом деле, пусть (/, г) — какая-нибудь такая петля; определим гомотопию F:ITx I—>А следующим образом:
(u, Z)F = (1— <)-(и/)-|-<-жо.
Заметим, что из выпуклости множества А следует, что
(1 — t)‘ (u/) +1 • xq £ А.
Так как мы установили, что все петли на хй гомотопны нулю, то Й(А, т0) —А(х0); значит, существует только один класс эквивалентности, что и требовалось доказать. На самом деле для доказательства была существенна лишь стягиваемость множества А в точку х0.
В заключение параграфа упомянем некоторые другие способы определения фундаментальной группы.
Чаще всего рассматривают лишь пути длины 1, т. е. отображения j:I^rX. В качестве произведения путей / ng берется в этом случае путь (/ * g)<y. Неудобства такого определения произведения состоят в отсутствии единичных элементов и в нарушении ассоциативности. Но оно имеет и одно преимущество: в качестве отношения эквивалентности между путями можно взять просто отношение гомотопности rel I.
Некоторые авторы пользуются только отображениями f:I —*-Х, но при этом сразу же отождествляют / с hf для любого гомеоморфизма h : I, 0,1 —> I, 0,1. При таком отождествлении определенное в пункте (а) произведение становится ассоциативным,
но единичный элемент по-прежнему отсутствует; некоторые затруднения связаны с тем, что путь теперь—это класс отображений, и читатель часто должен проверять, что определения не зависят от выбора в этом классе конкретного представителя.
Так как фундаментальная группа определяется в терминах петель, можно рассматривать отображения ориентированной окружности 51 с базисной точкой Ь. Существует единственное линейное сохраняющее ориентацию отображение к; I, I —> 51, 6, являющееся гомеоморфизмом I—I на 51—Ь; это отображение можно в действительности представлять себе как факторотображение отрезка I, склеивающее множество I в точку Ь. Для каждого пути / : I, I —г X, хй однозначно определено' (см. 1.5.6)] такое отображение g : S1, b^-X, х0, что t = kg. Две петли /0 и ^ гомотопны rel I в том и только в том случае, если ассоциированные с /0, /1 отображения g0, gt: S1, b^-X, x0 гомотопны rel b. Далее, g: S1, b—>-X, x0 гомотопно нулю в том и только в том случае, если его можно продолжить до отображения всего круга, ограничиваемого в R2 окружностью А’1. Мы предпочли определить группу л в терминах петель, а не в терминах отображений окружности А"1 по следующим причинам: (а) нам все равно понадобится определение произведения путей, например в 6.2.1, и (б) потому что определение произведения двух элементов выглядит более естественно, если пользоваться терминологией путей.
Роль базисной точки
Так как в определении группы л (X, т0) участвуют только точки, которые можно соединить путями с х0, ясно, что фундаментальная группа является свойством компоненты линейной связности точки ж0 в X, т. е. подпространства, состоящего из тех точек пространства X, которые можно соединить с т0 путем. Естественно, следовательно, изучая фундаментальную группу, ограничиться рассмотрением линейно связных пространств. Заметим, что полиэдр симплициального комплекса К линейно связен тогда и только тогда, когда комплекс К связен. Действительно, пусть комплекс К связен. Тогда любые две его вершины можно соединить некоторым путем, идущим по одномерной секции комплекса К. Так как любая точка полиэдра | К | может быть связана некоторым путем хотя бы с одной вершиной комплекса К, полиэдр | К | линейно связен. Обратно, пусть | К | линейно связен. Тогда любые две вершины а, b из К можно соединить некоторым путем в |Х|. Применяя теорему о симплициальном приближении, можно заменить представляющее этот путь отображение отрезка 1Т в \К | некоторым симплициальным отображением некоторого подразделения отрезка 1Т в комплекс К1. Это симплициальное отображение естественным образом определяет 1-цепь, граница которой есть Ъ — а. Значит, комплекс К связен.
Предположим теперь, что пространство X линейно связно, и пусть т0, Tj — какие-нибудь его точки. Сравним группы л(Х, т0) и л (X, т^; на самом деле мы покажем, что они изоморфны. С этой целью выберем какой-нибудь путь w, ведущий из т0 в ж,, и для каждой петли /0 на т0 положим /о<р — w*f0*w. При этом /оф — петля на тР Для каждой петли Д на ^ определим петлю на т0 равенством Дф = о/ш Из предложения 6.1.13 тогда следует, что если /0 =/', то /оф =/'ф, так что ф и ф индуцируют [преобразования [ф* : л (X, т0)—>л(Х, ж,) и ф$ : л (X, ж,)—>л(Х, т0). Мы утверждаем, что (а) ф* и ф*— гомоморфизмы; (б) ф*ф* и ф*ф*— тождественные автоморфизмы. Отсюда следует, что ф*— изоморфизм, а ф*— ему обратный. Для доказательства (а) заметим просто, что, в силу предложения 6.1.10, w * /о * gQ * w = (w * j0 * гс) * (w * g0 * w); значит, ф* и, по симметрии, ф* гомоморфны. Утверждение (б) доказывается из соображений симметрии с использованием того факта, что w * (w* f0 * w) * w = /0, снова в силу предложения 6.1.10.
Заметим также, что если w = и и ф,—гомоморфизм, индуцированный к, то <р* == тр*, так как в силу предложения 6.1.13 w * /0* w = к*/0*и. Наконец, изоморфизм, индуцированный произведением двух путей, является произведением изоморфизмов, индуцированных этими путями.
Мы доказали тем самым следующую теорему.
Теорема. Пусть X—линейно связное пространство и хй, х^Х; тогда каждый класс £ путей, ведущих из xq в х4, индуцирует правый изоморфизм £* : л (X, ж0)—>л(Х, ж4). Если ц—класс путей, ведущих из х, в х2, то £*ч*=(£ч)*.]
Следствие. Пусть а, р^л(Х, х^, тогда (а) р* = р_1ар.
Возьмем просто х^ — х0 в определении р*.]
Следствие. Если £, ц — два класса путей, ведущих из хй в xt, то £* = ц* в том и только в том случае, если ^1г] принадлежит центру группы л (X, xY\
Пусть и, w— пути из классов £, ц, и /0—некоторая петля на хй; тогда и * /о * v £ {/о} £*, w * /о * w £ {/0} т], и v * w £ ^т].
Если элемент £-1ц принадлежит центру группы л(Х, х^, то
v * /о * v = (к * w) * (к * /0 * у) * (у * w) = = (w * и) * (и * /0 * и) * (и * w) = = W * /о * W.
Тем самым доказано, что £* = ц*. Так как любая петля на xt эквивалентна петле вида v*f0*v, где /0 — некоторая петля на х0, то справедливо и обратное утверждение.]
Таким образом, если группа л (X, ж,) коммутативна, то £* = ц*. С другой стороны, если группа л (X, ж,) некоммутативна, то не исключено, что £* ^ц*. Из теоремы 6.2.1 следует, что группы л (X, ж0) и л (X, ж^ изоморфны, но из утверждения 6.2.3 получаем, что не существует канонического изоморфизма между ними. Когда мы говорим о фундаментальной группе л (X) линейно связного пространства X, то имеем в виду группу, изоморфными экземплярами которой служат л (X, ж0), л (X, х^, . .. . Такая терминология часто бывает удобной, однако наиболее интересные теоремы обычно относятся к фундаментальным группам, ассоциированным с базисной точкой. Впрочем, наш термин уместен в следующем определении.
Определение. Линейно связное пространство называется односвязным, если его фундаментальная группа состоит только из единичного элемента.
Таким образом, пространство односвязно, если все его петли гомотопны нулю. Утверждение 6.1.15 можно было бы теперь заменить таким утверждением: «Выпуклое подмножество пространства Дп односвязно».
Теорема. Каждое отображение f : X, х0—>У, у0 индуцирует гомоморфизм f* : л (X, ж0) —>л(У, у0), и для любого g : У, у0—>Z, z0, (М, = /*.§*•
Отображение / индуцирует некоторое преобразование полугруппы 'й (X, ж0) в полугруппу Й (Y, у<^, сохраняющее произведение и обратный элемент. Далее, образ множества N (X, ж0) содержится в множестве N (У, у0), ибо образ петли, гомотопной нулю, является петлей, гомотопной нулю. Наше преобразование сохраняет, следовательно, отношение эквивалентности.
Ясно поэтому, что / индуцирует гомоморфизм /# : л (X, х0)—>л(У, у0)- Очевидно, наконец, что Ug)* = feg,4
Теорема. Если /0~ : X—>Y, xttfl=yi, i —0,1, и w— путь, определенный равенством (£) w = (ж0, £) F, то /1# = /0, ^w^ : л (X, х0) —>л (У, у^).
Пусть (Л, г) — петля в X на х0; мы должны доказать, что h^ = = w*hf0*w или что (hf^ * w* (hf0) *w QN (yj.
Рассмотрим прямоугольник Irx I вместе с его отображением G в пространство У, описываемым формулой (u, f)G = (uh, t)F. Рассмотрим ъ Irxl пути (длины г, 1, г и 1), идущие линейно по краям от А к В, от В к С^
VVССРис. 6.1.Рис. 6.1.
V
V
С
С
Рис. 6.1.
Рис. 6.1.
от С к D и от D к А. Обозначим через и ту петлю на А, которая является их произведением. Тогда vG = hfi*w *hfg*w. Но, как показано в примере 6.1.15, петля v гомотопна нулю в 1Тх1, так что ее образ гомотопен нулю в У.]
Теорема. Фундаментальная группа линейно связного пространства является инвариантом гомотопического типа.
Пусть X, У—линейно связные пространства и / : X —> У, g:Y—>X— гомотопическая эквивалентность и гомотопическая эквивалентность, обратная к ней. Предположим, 4ioxof = y0, yog = Xi и x1j = y1. Рассмотрим /<,°>: л (X, х0) л (У, у0) и Д1): л (X, х^ л (У, у^ вместе с g* : л (У, у0) -* —>л(Х, ж^ и докажем, что g*— изоморфизм. В силу теоремы 6.2.5,
f^g* = UgX ■ л (X, я0) -» л (X, ж^.
Но fg~l, так как g-—гомотопически обратное к / отображение. Поэтому, по теореме 6.2.6, f^g* = {w}*, где и?—след точки ж0 в X при некоторой гомотопии, деформирующей тождественное отображение в fg. В силу теоремы 6.2.1, {w}*— изоморфизм, так что g эпиморфно. Аналогично g»!»1^ — также изоморфизм, поэтому g мономорфно. В совокупности эти результаты означают, что g* изоморфно.) Конечно, /^ и Д1) также являются изоморфизмами.
Заметим, что если пространство X линейно связно и X ~ У, то У тоже линейно связно. Таким образом, мы не можем выйти за пределы класса линейно связных пространств при переходе от линейно связного пространства к пространству того же гомотопического типа.
Вычисление фундаментальной группы произвольного полиэдра
Мы определили фундаментальную группу пространства, показали, что она является инвариантом гомотопического типа, и обсудили, как она ведет себя при отображениях. Однако мы не дали никаких правил для
вычисления этой группы. В этом параграфе мы ликвидируем это упущение для случая полиэдра, развивая технику, которая позволяет выписывать фундаментальную группу полиэдра в терминах образующих и соотношений между ними. Мы делаем это следующим образом: сначала определяем некоторую группу для комплекса, затем доказываем, что в действительности эта группа изоморфна фундаментальной группе полиэдра этого комплекса, и, наконец, выясняем, как эту группу можно задать в терминах образующих и соотношений между ними.
Пусть К—некоторый комплекс и а9, а1, .. . —его вершины (их не обязательно конечное число). Определим полигональный путь в К как последовательность вершин w = а^а^ ... air, где г>0, такую, что на каждую последовательную пару ее элементов (не обязательно различных) натянут некоторый симплекс из К. Пусть w' = аг? ... агт*8 — другой полигональный путь, начальной вершиной которого служит конечная вершина пути гг; определим w*w' как а1» ... аггагт^ .... агт*8. Определим полигональный путь w, обратный к w, как а?т . . . а^а1». Этот формальный аппарат в какой-то мере похож на аппарат из § 6.1 (и это не случайно); ясно, что произведение полигональных путей ассоциативно (если оно определено), и имеет место аналог утверждения 6.1.4.
Определим теперь некоторую допустимую операцию на множестве полигональных путей. Если на три (не обязательно различные) последовательные вершины агк~^а'^а1к^ из w натянут симплекс из К, то среднюю вершину а1,г разрешается удалить; обратно, любую вершину, которая вместе с какими-нибудь двумя последовательными вершинами полигонального пути входит в число вершин некоторого симплекса из К, разрешается вставить между ними. Кроме того, разрешается заменять полигональный путь al°aio на полигональный путь а>», и наоборот. Очевидно, мы определяем некоторое отношение эквивалентности == на множестве всех полигональных путей: два полигональных пути принадлежат одному классу, если один из них может быть получен из другого в результате последовательного применения допустимых операций. Эта классификация обладает тем свойством, что если иц = w'v то wt = w^, и далее, если w2 = w'2 и произведение w, * w2 определено, , то произведение иц * w'2 также определено и ш, * w2 = w^ * w'2. Следовательно, можно определить произведение классов эквивалентности и обратный класс эквивалентности следующим образом:
{w,} {ш2} = {w, * w^ и {to}-1 — {w}.
Заметим, что и^ * w2 * w2 * w3 Wj * ws.
Пусть a9—какая-нибудь вершина комплекса К; можно рассмотреть полигональные петли на а9, а именно те полигональные пути, начальной и конечной вершиной которых служит а9. Отметим, что любой полигональный путь, эквивалентный некоторой полигональной петле на aQ, сам является полигональной петлей на а°. Легко видеть, что классы эквивалентности полигональных петель на а9 образуют группу относительно произведения 6.3.1, единичным элементом которой является {а0}, а обратный элемент определяется соотношением 6.3.1. Эту группу мы называем полигональной группой комплекса К на а9 и обозначаем ее через л ^К, а9).
Пусть v:K—>L—симплициальное отображение и w = aio . . . аУт— полигональный путь в К\ определим ^w^v как а^и ... агги—это полигональный путь в L. Заметим, что (w')v = ^w)v и (гг * ш'^ и — (гг) и * (w') и. Далее, если w = w', то (w) и = (w') и, так как любой допустимой операции в К соответствует очевидным образом некоторая допустимая операция в L. Положим
№ = а°и\ тогда можно сказать, что и индуцирует гомоморфизм и^ : л (К, а0) —» —> л (L, 6°) и, в очевидном смысле, (t^)* = к1#к2*-
Определим теперь некоторое преобразование q множества полигональных путей комплекса К в множество путей полиэдра |Х|, сохраняющее элементы структуры. Пусть Мо —/0 и Мт — 1-мерный комплекс, расчленяющий 1Т на г отрезков единичной длины (здесь г — целое число >0). Полигональный путь w = а?» . .. агт определяет некоторое симплициальное отображение ию : Мт —»К, при котором вершина, изображаемая точкой, отвечающей целому числу /, отображается в ah. Отображение р теперь определяется формулой
(w) Q = | пш |,
— справа стоит путь длины г в | A" J, проходящий по очереди через вершины полигонального пути w. Очевидно,
(w * w') р = (wp) * (w'q) и (w) р = (wq),
а так как каждая из допустимых над w операций приводит к такому полигональному пути и/, для которого петля wq * (w'q) = (w * w') р гомотопна нулю в | К |, то из w = w' следует, что (w) р = (w') р. Обратите внимание, что для обозначения полигональных путей мы систематически пользовались символами, которые раньше уже употреблялись для путей. Однако в силу сделанного выше замечания это не может привести нас к каким-либо недоразумениям. Из сказанного выше следует также, что р индуцирует некоторое преобразование множества классов эквивалентности полигональных путей комплекса К в множество классов эквивалентности путей полиэдра [ К |, сохраняющее произведение и переход к обратному элементу. Значит, если ограничиться полигональными петлями на а0, то можно сказать, что р индуцирует гомоморфизм
р* : л (К, а0) —> л (| К |, а^).
Этот гомоморфизм р* естествен в том смысле, что диаграмма
л (К, а0) -^4 л(| К |, а0)I»*| |ol.
л (L, 6°) -^ л (| L |, 6°) коммутативна.
Теорема. Гомоморфизм р* является изоморфизмом.
Доказательство этой теоремы представляет собой упражнение на применение теоремы о симплициальном приближении (1.8.1). Докажем сначала, что р* эпиморфно. Пусть а — элемент группы л(|К], а0), т. е. некоторый класс петель на а0. Тогда в силу 1.8.1, в а содержится в качестве петли симплициальное отображение и некоторого разбиения L отрезка I в комплекс К, такое, что образами точек 0 и 1 служит а°. Пусть число вершин в разбиении L равно г-|-1 и u:MT-^L— сохраняющий порядок симпли- циальный гомеоморфизм. Отображение ии:Мт~^К определяет петлю | uv [ из того же класса, в который входит петля | к |, т. е. петлю из класса а. Но любое симплициальное отображение и' комплекса Мт в К однозначно определяет полигональный путь w в К, такой, что (w)p = |i/|. Следовательно, | ии | является образом при преобразовании р некоторой полигональной петли на а0. Следовательно, а принадлежит образу при р*. Таким образом, доказано, что р* эпиморфно.
Докажем теперь, что Q* мономорфно. Для этого достаточно установить, что если w— некоторая полигональная петля на й° и петля (w) q гомотопна нулю в |A|, то w эквивалентна полигональной петле а°. Отсюда следует, что ядро гомоморфизма Q* состоит из единичного элемента группы л (К, а0), т е. q* — мономорфизм. Рассмотрим полигональный путь w = а о ... aT- Тогда wq— симплициальное отображение комплекса Мг в комплекс К. Предположим теперь, что комплекс Мг каким-либо образом подразделен
Рис. 6.2.
до некоторого комплекса М'г и что и:М’т—>К— симплициальное приближение отображения |wp|. Тогда последовательность вершин комплекса М'г, выписанных в возрастающем порядке, образует полигональный путь в Мг, который*!; отображает на некоторый полигональный путь w' в К, такой, что w' = w. Ибо w' получается из w заменой каждой пары a^a’z+i некоторой цепочкой вершин ai и а2;*1, которая начинается с вершины аг3 и оканчивается вершиной ai+i. Каждая такая цепочка, очевидно, эквивалентна паре a^a^+i. Пусть теперь w — полигональная петля на а0 и отображение |wq| гомотопно нулю в j А" |. Тогда существует такое отображение F : 1Т х I —> | К |, что
(С 0) F = (£) | wq | при 0<:£<> и (t, 1) F = (0, u) F = (г, и) F = а0.
В силу несколько видоизмененного утверждения 1.8.1 можно, подразделив пространство ITx I так, как это указано на рис. 6.2, получить комплекс N, некоторое симплициальное отображение которого служит приближением отображения F. Вершины комплекса N, лежащие в 1Г х 0, взятые в их естественном порядке, образуют полигональный путь, эквивалентный полигональному пути, образованному вершинами, лежащими в 0 X I, взятыми также в их естественном порядке, за которыми следуют вершины из 1Т х 1 и, наконец, вершины из 1 х I (взятые в обратном порядке). Эта эквивалентность устанавливается применением допустимой операции к каждому из треугольников комплекса N в подходящем порядке. Следовательно, образы этих полигональных путей при и являются эквивалентными полигональными петлями в К. Первая из них — это полигональная петля w', про которую уже доказано, что она эквивалентна w. А каждая из вершин второй полигональной петли есть а0, и, значит, вторая полигональная петля эквивалентна а0. Этим доказано, что если петля wq гомотопна нулю, то w = а0.}
Заметим, что определение группы л (А, а0) зависит только от структуры комплекса К2. В действительности имеет место
15 Заказ № 1335
Следствие. Пусть tx—включение л ([Ах |, а0) —> л (| К [, а0); тогда ц эпиморфно, a ix изоморфно при Х>2.]
Теорема 6.3.2 сводит задачу вычисления фундаментальной группы полиэдра к чисто комбинаторной задаче. Теперь мы укажем сравнительно удобную процедуру, позволяющую выписывать образующие этой группы и соотношения между ними. Будем предполагать комплекс К связным, в противном случае можно ограничиться рассмотрением компоненты базисной точки. Вычислим л (А, а0) — полигональную группу на а0. Назовем пространство 1-связным, если оно связно и односвязно. Будем говорить, что комплекс К 1-связен, если пространство [А| 1-связно.
Предложение. Если К —связный комплекс и Ко — его 1-связный подкомплекс, то существует 1-связный подкомплекс L, содержащий все вершины комплекса К и такой, что KgcL^K.
На К не налагается никаких ограничений типа конечности; в доказательстве используется лемма Цорна. 1-связные подкомплексы комплекса К образуют частично упорядоченное относительно включения множество. Это множество индуктивно: любое вполне упорядоченное его подмножество' обладает точной верхней гранью (в данном случае это объединение элементов рассматриваемого подмножества). Ибо если {Ах}—вполне упорядоченное множество 1-связных подкомплексов и U Кх = Ку, то, как мы докажем, комплекс Ку 1-связен; тогда очевидно, что Ку является точной верхней гранью множества {Ах}. Докажем сначала, что Ку связен. Пусть а, а* — произвольные вершины комплекса Ку. Тогда для некоторого X, а^Кх и для некоторого X', а' ^Кх-. Пусть (для определенности) Kx^Kv, тогда a (J а' еКх-, причем Кх—связный комплекс. Существует, следовательно, полигональный путь, связывающий а с а' в Кх- и потому a fortiori в Ку. Так как любые две вершины комплекса Ку можно связать полигональным путем в Ку, комплекс Ку связен. Аналогично доказывается, что, комплекс Ку односвязен. В самом деле, пусть гг = а®»ай ... а^-щ^о— полигональная петля в Ку. Ребра а^а^, ..., аН-ЩЩ> принадлежат при некоторых Х1, . .., ХТ соответственно комплексам Kxv . . ., Кхт. Пусть Кх— наибольший элемент (вполне упорядоченного) множества Kxv ..., Кх,.; тогда го-—полигональная петля в Кх- Но комплекс Кх односвязен, так что w эквивалентна некоторой полигональной петле длины нуль в Кх и a fortiori в Ку. Следовательно, комплекс Ку односвязен и, значит, 1-связен.
Так как частично упорядоченное множество 1-связных подкомплексов индуктивно, каждый его элемент Ко содержится в некотором максимальном элементе L. Из максимальности L следует, что, добавляя к комплексу L не лежащий в нем замкнутый 1-симплекс, мы должны получать не 1-связный подкомплекс. Однако если бы нашелся 1-симплекс, один конец которого лежит в L, а другой в К — L, то, добавляя его к L, мы получили бы 1-связный подкомплекс, строго содержащий L. Таким образом, такого 1-симплекса не существует, и комплекс L должен содержать все вершины той компоненты комплекса К, в которой он лежит. Но К—связный комплекс, а потому L обладает требуемым свойством.]
Иногда полезно ограничиться рассмотрением 1-мерных 1-связных комплексов, или деревьев. С помощью метода, использованного при доказательстве предложения 6.3.4, можно установить, что каждое дерево из К содержится в некотором дереве Т, которому принадлежат все вершины комплекса К.
Пусть К — комплекс, L — его подкомплекс и G = G(A, L)— группа, порожденная элементами gu, которые однозначно соответствуют наборам
[a^’j^^L62 и подчинены соотношениям:
г(a) gu = l, если \ага'\£кп,
g3 = gik, если [aW]^.
Заметим, что из (б) следует, что gu = 1. (достаточно положить 7 = 0 и gi3 = (g31)”1 (для этого нужно положить А=0-
Теорема. Если L есть 1-связный подкомплекс связного комплекса К, содержащий все вершины комплекса К, то л (.К. а°) ^ G (К, L).
Для каждой вершины аг £ К выберем некоторый полигональный путь ж1 в L, идущий из а0 в аг (в качестве ж0 возьмем полигональный путь а0). Такие полигональные пути существуют, так как комплекс L связен и содержит все вершины комплекса К. Для каждого набора Va3a3^KQ определим полигональную петлю и13 на а0 формулой игз = хг * а? а3 * х1. Заметим, что если w = а^а^а^ . . . a>f-Mi», то w = i?Oii * щПз *.. . * щг-io. Следовательно, если V3 = {игз} £ л (К, а0), то {и?} — gong’m , . . g*r-iO. Это означает, что элементы £гз порождают в совокупности группу л (К, а0).
Проверим, далее, что
Г (а) ^г’ = 1,если [ага3]£1Л
I (б) ^Ук = ^\если [а^’аД £Ка-
Если [ага’]£Ей, то у13—некоторая полигональная петля в односвязном комплексе L. Следовательно, и33 = а0 в L и потому a fortiori в К. Это означает, что £г3 = 1. Тем самым доказано соотношение (а) из 6.3.7. Если теперь \ага3а3‘\ £ KQ, то, как читатель может проверить сам, игз * vik = vlh. Следовательно, VJVk = Vh, и соотношение (б) из 6.3.7 доказано.
Поэтому преобразование g3i —»VJ определяет некоторый эпиморфизм ф : G (К, Ь)—»л(К, а0). Мы докажем, что ф мономорфно, построив гомоморфизм ф:л(К, а0)—>G, такой, что фф = 1. С этой целью определим функцию 0 на множестве полигональных путей комплекса К со значениями в G по следующему правилу: если w = а^а^ ... air, то w9 = -_gioiigiii2 ... gir-iir (и если w = аг, то w0 = l). Если v = w, то u9 = w9; в самом деле, произвольная допустимая операция над w приводит нас к полигональной петле, 0-образ которой в силу соотношения (б) из 6.3.5 равен W0. Очевидно, (и * w) 0 = у0 • и;6 и У0 = Д'0)-1, ибо (g13)-1 = g31. Следовательно, преобразование 0, рассматриваемое на множестве полигональных петель на а0, индуцирует гомоморфизм ф : л (К, а0) —> G по следующему правилу: {и?} ф = wQ.
Мы имеем: gl3фф = £13ф = z?J0 = жг0-(ага3) 0-(ж3) 0. Но ж1, ж3 —полигональные пути в L, так что в силу соотношения (а) из 6.3.5, жг0 = ж30 = 1. Следовательно,
gг^фф = ^а1^ 0 — g^.
Так как отображение фф тождественно на образующих G и гомоморфно, фф = 1:С—>G. Тем самым доказано, что ф мономорфно. Следовательно,
ф:С^л(^, а0).]
Предложение. Если вершины комплекса К упорядочены и L — подкомплекс комплекса К, то группа G (К, L) порождается элементами g13, для которых i<_] и \ага3] £ KQ LQ, подчиненными условиям g11 g3k = glk, если i<Lj<.k, и ага3ач^К — L, где gTS следует считать 1, если aTas ^,L.
15*
Во-первых, все первоначально взятые образующие группы G можно выразить через элементы суженного таким образом множества: если [а*а’1£Еа, то g’3=l; если i>j и [УУ] g XQ —LQ, то g^^g32)-1, где gn принадлежат суженному множеству образующих. Это множество порождает, следовательно, группу G. •
Наконец, все соотношения, описываемые формулой (б) из 6.3.5, являются следствиями суженного множества соотношений. Случаю 1ага3ак} £ £LQ отвечает соотношение 1-1=1. Пусть на аг, а?, ак в К — L натянут симплекс размерности < 2; это соотношение приводит к такому соотношению между образующими, которое выполняется в любой группе. Если на а1, а3, ак натинут 2-симплекс из К — L, но условие 1<_]<_к не выполняется, то соответствующее соотношение эквивалентно тому соотношению, которое получится, если взять вершины а1, а’, ак в надлежащем порядке.) 6.3.9. Следствие. Пусть К —связный комплекс и L — некоторый 1-связный подкомплекс комплекса К, содержащий все его вершины, и пусть вершины комплекса К упорядочены. Тогда группа л (К, а0) изоморфна группе, порожденной элементами с/, однозначно соответствующими упорядоченным 1-симплексам ага’ из K — L и подчиненными соотношениям ^г1"Ук = ^к, по одному для каждого упорядоченного 2-симплекса ага3ак из K — L, где следует считать, что все |г- суть 1, если аТа8£ЕД
Именно это следствие подсказывает способ вычисления группы л(|Х|), который практически оказывается обычно наиболее удобным.
Мы нигде здесь не предполагали, что комплекс К конечен. В этом случае мы получаем такое утверждение:
Следствие. Фундаментальная группа бикомпактного полиэдра порождается конечным числом образующих, связанных конечным числом соотношений.]
Следствие1). Если К есть 1-мерный комплекс, то л (| К ))■—свободная группа.
Ибо эта группа порождается образующими £13, взаимно однозначно соответствующими 1-симплексам из К — L; эти образующие не связаны никакими соотношениями, так как в К нет 2-симплексов.) (Определение свободной группы дано в [20], гл. 7.)
Пример. Если X =-S1 \J S1 \J . . ,\J S1 (к окружностей с единственной общей точкой ж0), то л(X)—свободная группа с к образующими; число к не обязательно предполагать конечным.
Для каждой окружности S1 возьмем ее расчленение в виде полого треугольника так, чтобы точка х0 была вершиной на всех окружностях, и возьмем в качестве L объединение замкнутых 1-симплексов, вершиной которых является х0. Тогда K — L состоит из к 1-симплексов, откуда и следует наш результат.
Пример. Пусть У— пространство, получающееся, если из круга удалить внутренности к непересекающихся кругов. Тогда л (У) — свободная группа с к образующими. Ибо У имеет тот же гомотопический тип, что и пространство X из примера 6.3.12.
!) В связи с этим должно быть ясно, что связный 1-мерный комплекс тогда и только тогда является деревом, когда число вершин в нем на единицу больше числа ребер.—Прим, перев.
Пример. Если т?>1, то л(5п) = 1.
Рекомендуем читателю доказать это, расчленив 8п как sn+1 и применив те же методы, что и выше; однако можно привести и другое доказательство. В силу утверждения 6.3.3, л (sn+1) ^ л (sn+1), так как тг+1>2. Но пространство $л+1 стягиваемо и потому односвязно.
Теоремы и вычисления
В этом параграфе мы докажем две теоремы, которые будут нам полезны при вычислениях.
Теорема. Если X, Y— линейно связные пространства, то
.л (X х У) ^ л (X) X л (У);
правая часть формулы —это прямое произведение групп л (X) и л (У).
Легко показать, что пространство X х У линейно связно. Выберем Хо, У о, (хо, Уо) в качестве базисных точек пространств X, У, X X У; ради простоты не будем указывать их в обозначениях. Имеют место проектирования р : X х У —> X, q : X х У —» У; р, например, определяется правилом (ж, у)р = х. Далее, если W — какое-нибудь пространство и f :W —»Х, g : W —> У — некоторые отображения, то определено произведение этих отображений (/, g}: W X х У, такое, что (f,g)p = f^ (f, g}q = g", в самом деле, (w) (/, g) = (wf, wg}. Отображения р и q индуцируют гомоморфизмы
р* : л (X х У) —» л (X), ^:л(ХхУ)->л(У),
а последние в свою очередь определяют гомоморфизм
(£*, У*) : л (X х У) -> л (X) х л (У)
по следующему правилу: (у) (р*, 9*) = (ур*, ygj для любого у^л(ХхУ). Мы докажем, что г* = (р#, q^ — изоморфизм. Сначала проверим, что г* эпиморфно. Пусть (а, Р) £ л (X) х л (У), а / : I, I X, xotl g : I, I У, у0 — петли, представляющие элементы а, р. Тогда (/, g)— петля в X х У, для которой (/, g}p — f и (/, g}q = g. Таким образом, для у = {(/, g)} £ л (X х У) имеют место следующие равенства: ур*=а и уд* = р. Следовательно, уг* = = (а, Р). Следовательно, г* эпиморфно. Мономорфность г* будет доказана, если из того, что у^л(ХхУ), уг* = 1, мы выведем, что у = 1. Пусть h : I, I X х У, и (т0, у0)— некоторый представитель элемента у. Мы знаем, что hp, hq гомотопны нулю rel I. Существуют, следовательно, гомотопии F\IxI-^X, G:IxI—>Y, деформирующие hp, hq в постоянные пути. Тогда гомотопия (F, G}:TxI—>XxY деформирует h в постоянный путь, так что у = 1.]
Пример. Фундаментальная группа тора является свободной абелевой группой с двумя образующими.
В самом деле, тор является топологическим произведением двух окружностей.
Вторая теорема, которую мы будем применять чаще, чем теорему 6.4.1, такова:
Теорема. (Теорема Ван Кампена для полиэдров.} Пусть К — связный комплекс и Кй, Kv К2— такие его связные подкомплексы, что Xt U К2 = К и Kv Q К2 = К0. Обозначим через а0 одну из вершин ком-
плекса Ко и через
ir* : л (Ко, а0) —> л (Кг, а0)
— гомоморфизмы, индуцированные отображениями включения
ir: Ко—>КТ, г —1, 2.
Тогда л(К)— свободное произведение л (Kt) и л,^К^, в котором элементы из л (Ко) 1Н отождествляются с элементами из л (Ко) г2* с помощью отображения а^*—> a0t2* для всех а0^л(К0).
Другими словами, л (К) получается из свободного произведения л (К,) и л (К2) добавлением соотношений ao4* = ao*2* для всех а0£л(К0).
Сначала мы выберем в Ко некоторое дерево То, содержащее все вершины комплекса Ко. Это дерево можно продолжить до максимальных в Kt деревьев Tt. Тогда T = Tt (J Т2— дерево1), содержащее все вершины комплекса К, причем Tv f) Т2 = Т0. Образующие группы л (К) можно разбить на три класса:
£j3,по однойдлякаждого1-симплексаа1 а1 ^Ко — То;
gp,по однойдлякаждого1-симплексаага1 ^KY— (Ко (JТ^;
Ц3,по однойдлякаждого1-симплексаага3 £К2— (Ко (JТ^.
Подобным же образом на три класса разбиваются и соотношения между образующими:
Д(^о) = 1, по одному соотношению для каждого 2-симплекса из Ко;
R (£0, ^i) = 1, по одному соотношению для каждого 2-симплекса из К^—Ко;
R (^о, £2) = 1, по одному соотношению для каждого 2-симплекса из К2 — К0.
Теперь образующие и соотношения типа (а) и (б) определяют группу л (К^, а образующие и соотношения типа (а) и (в) определяют группу л(К2). В завершение доказательства применим формальный прием: для каждого элемента ^р типа (а) возьмем две образующие ^ и ^р Тогда л (К) можно рассматривать как группу, порожденную элементами {^oi}, {1щ}, {^} и {>.}, подчиненными соотношениям следующих пяти типов:
R^ = l.
R^, 61) = 1,
Я(^) = 1,
Я (£02, |2) = 1,
^ = Ш-
Группа с такими образующими, связанными лишь соотношениями (а) — (г), является, по определению, свободным произведением групп л (К^ и л(К2). Соотношения же (д) — это те самые соотношения, которые отождествляют те элементы групп л (К^ и л(7£2), которые возникают из одного и того же элемента группы л(7£0)-]
Следствие. Если комплекс К2 односвязен, то группа л (К) получается из группы л (К^ добавлением соотношений £j3 = l.
Ибо ^ = 1 и Ц3 = 1, так как комплекс К2 односвязен; этими соотношениями можно заменить соотношения (в) и (г). Следовательно, можно пользоваться одними образующими и соотношениями группы л (Kt) с добавлением заменяющих (д) соотношений ^j3 = 1.].
!) То что Т = Т\ J Т2 является деревом, следует из сноски на стр. 228 к 6.3.11.— Прим, персе.
Следствие. Если комплекс Ко односвязен, то группа л (К) является свободным произведением групп л (К^ и л(Х2).]
Это утверждение применимо, в частности, когда Ко — одна точка, т. е. когда \К\ = \Кг\\/ \К2\.
Удивительно, но для произвольных топологических пространств последнее утверждение, вообще говоря, неверно. Может случиться, что группа л (Х^ \/ Х2) не будет изоморфна свободному произведению групп n(Xj) и л(Х2). Г. Б. Гриффитс (G г i-f- fiths Н. В., Quart. J. Math., 5 (1954), 175) привел пример односвязных пространств) Х^ и Х2, для которых пространство Xt \/ Х2 не односвязно. Пространства Xj и Х2 обладают причудливыми локальными свойствами вблизи их общей точки. Необходимое и достаточное условие выполнения теоремы ван Кампена для общих пространств было дано П. Олумом (О 1 u m Р., Ann. Math., 68(1958), 658).
Утверждение 6.4.4 можно весьма удачно использовать. Пусть К — комплекс и w = ai»ati . .. alr-1al° — полигональная петля, никакие две последовательные вершины которой не совпадают. Определим формально, что значит прикрепить) к комплексу К вдоль w некоторую 2-клетку). Пусть \L\— выпуклое подмножество пространства В2, ограниченное правильным г-угольником Р. Тогда если Ь°, Ь1, ..., У-1— вершины Р, то преобразование вершин bk —> агь определяет симплициальное отображение и : Р —> К. Установим на множестве точек | К | |J | L | отношение эквивалентности, условившись отождествлять у^|-Р| с у| у | ^ | А" |. Обозначим полученное факторпространство через X. Возьмем разбиение пространства i L | в виде соединения некоторой его внутренней точки с многоугольником Р; это разбиение вместе с разбиением К дает некоторое предразбиение М пространства X. Тогда М' является симплициальным комплексом, для которого \М'\=Х. Выберем в М' какой-нибудь лежащий в L 2-симплекс s, такой, что sf\P = b°, и пусть М'— s = Mt, s = M2, s = M0. Пространство | Afi | можно посредством деформации ретрагировать на |Х|; при этом точки из \L\— s проектируются в | Р | по радиусам, исходящим из барицентра симплекса s, а точки из | А | остаются на месте. Поэтому л (Af,) s^ ^ л (К). Разумеется, л (М2) = 1; применяя утверждение 6.4.4, мы заключаем, что группа л (X) получается из группы л (A/J добавлением соотношения а —1, где а — элемент, порождающий группу л (s). При ретракции | Aft1 —> —> | К | образом элемента а служит тот элемент группы л (X), который определяется полигональной петлей го. Следовательно, л (X) получается из группы л(Х) добавлением соотношения {го} = 1. Короче говоря, прикрепление к К 2-клетки вдоль го приводит к тому, что в группе л(|Х]) уничтожается тот ее элемент, который определяется полигональной петлей w.
Это позволяет нам указать образующие и соотношения между ними для произвольных компактных 2-мерных многообразий). Любое такое многообразие (отличное от S1) можно получить, прикрепив 2-клетку к 8^ V 8^ V • • • V ^h, (здесь 8'— окружность, l^j^A). Пусть го,— одна из тех двух полигональных петель на общей всем окружностям 8^ вершине а°, которые по одному разу обходят окружность 5); тогда можно построить некоторое ориентируемое бикомпактное 2-мерное многообразие,
положив к = 2р и прикрепив 2-клетку вдоль
ш = (Wj *шг*Шу* w^ * .. . * (Щгр-i * w2p * wip-i * ^гр)-
Фундаментальная группа пространства 5] V • • • V Sap представляет собой свободную группу, порожденную элементами £t, ...Д2Р. Значит, фундаментальной группой построенного многообразия служит группа, которая порождается элементами ^ .. ., £2Р, связанными единственным соотношением (^J;^1^1) ... (^p-i^Fp-i^ Можно получить бикомпактное неориентируемое 2-мерное многообразие, если прикрепить 2-клетку к £1 у ... \/ Sh вдоль полигональной петли
ш = (Шу * Шу) * ... * (юк * шк); фундаментальная группа такого многообразия порождается элементами £п . . ., £й, связанными единственным соотношением £^ ... ^ = 1. В частности, Р2 является бикомпактным неориентируемым многообразием, для которого к — 1. Поэтому л(Р2) = 72.
Теорема. Для любой группы G существует полиэдр, фундаментальная группа которого изоморфна G.
Пусть группа G задана образующими ^, .. ., Вт, . .. и соотношениями ^© = 1, ..., Дп(£) = 1, ... .
Будем отправляться от S1 Д ... V Sm V • • ч сопоставляя £т с wm; приклеим 2-клетки вдоль полигональных петель Ну (ш), ..., Нп (ш), . . . . Внутренности этих 2-клеток, конечно, попарно не пересекаются. Это пространство наделим сильной топологией, а именно: множество замкнуто в том и только в том случае, если его пересечение с образом каждой 2-клетки замкнуто в этом образе.]
Если число образующих и соотношений конечно, то построенный нами полиэдр, конечно, бикомпактен.
В заключение этого параграфа выясним, в каком отношении друг к другу находятся группы л (К) и Ну (К), когда комплекс К связен. Любая полигональная петля w комплекса К на а0 определяет, очевидным образом, некоторый 1-цикл z (w) в КЙ. Ясно, что z (Wy * ш2) = z (ш.у) + z {ш^, г(ш) = —2(ш), и если Шу = ш2, то z (Wy) ~ z (ш^ в КТ Значит, такое сопоставление определяет некоторый гомоморфизм
0: л(К)^Ну (К).
Теорема. Гомоморфизм 9 : л (К)Ну (К) эпиморфен, если комплекс К связен; ядром его служит коммутант группы л^К).
Иными словами, Ну (К) — это прокоммутированная группа л(А^). Читатель без труда докажет, что 6 эпиморфно и что ядро гомоморфизма 9 содержит коммутант. Несколько сложнее доказать, что ядро не содержит
Рис. 6.3.
других элементов. Мы не приводим здесь доказательства, поскольку в гл. 8 изложен соответствующий результат для произвольных пространств (см. 8.8.3).
На рисунке 6.3 изображена петля на «двойном торе» (ориентируемое 2-многообразие, для которого р = 2); она не гомотопна нулю, но ей соот-
ветствует 1-цикл, гомологичный нулю. Из теоремы 6.4.7 следует, что элемент фундаментальной группы, определенный этой петлей, принадлежит ее коммутанту.
Накрывающие пространства
В этом параграфе мы будем иметь дело с общими топологическими пространствами1); изложение не стало бы проще, если бы мы решили ограничиться полиэдрами. Пусть X, X — линейно связные топологические пространства. Говорят, что отображение р:Х —>Х является накрывающим отображением, если оно есть отображение на все пространство X и у каждой точки ж £ X существует окрестность 77 (т), такая, что точки хь х2, . .. множества р-1 (ж) обладают окрестностями U (ж1), . .. в X со следующими свойствами:
p\U (жг)— гомеоморфизм окрестности U (жг) на U (ж) для каждой точки xt £ р-1 (х),
(J U (х^ = p^U (х) и
если Xt^Xj, то U ^х^ f) U (xj) = 0.
Иногда мы будем называть U (х) и U ^х^ каноническими окрестностями. Если существует какое-нибудь накрывающее отображение р : X —* X, та мы будем говорить, что X—накрывающее пространство пространства X с накрывающим отображением (или проектированием) р.
Мы ничего не потеряем, если предположим, что все канонические окрестности являются открытыми множествами. В этом случае условия (а), (б) и (в) можно выразить иначе, сказав, что p~HJ (х) распадается в сумму попарно не пересекающихся открытых множеств U (х^, каждое из которых р отображаед гомеоморфно на U (ж); таким образом, каждое накрывающее отображение локально гомеоморфно.
В дальнейшем мы увидим, что при определенных разумных ограни-, чениях неодносвязные пространства обладают нетривиальными накрывающими пространствами. Прилагательное «нетривиальные» мы употребили ввиду того очевидного факта, что каждое линейно связное пространство является своим накрывающим пространством, а проектированием служит тождественное отображение.
Пример. Рассмотрим вещественную прямую R\ —со-<и-<еоТ и А1— окружность !z | = 1. Тогда формула (u)p = e2lTi“ определяет накрывающее отображение р : 7?1—> А1.
Пример. Рассмотрим S2 и Р2. Можно представлять себе, что проективное пространство Г2 получается из сферы А2 отождествлением диаметрально противоположных точек. Факторотображение k-.S2 —^Р2 является накрывающим отображением. Аналогично сфера S" является накрывающим пространством пространства Ри. .
Пример. Точки окружности 51, |z| = l, можно записать как eie, — л<0<л. Тогда отображение р : А1 —> А1, определенное формулой ep — = e2i । ei, не является накрывающим отображением (см. рис. 6.4). Невозможно найти 77(1), 77(1) и 77 (— 1) так, чтобы выполнялись условия (а),
и (в). Если мы в качестве U (1) возьмем множество |0|<8, то р 1 (£7) -будет состоять из двух интервалов U (1), U (— 1), а именно множеств | 0 | < (1/2)8 и | 0 ± л I < (1/2)е. Каждый из этих интервалов на самом деле гомеоморфен U (1), но р не отображает U (1) на U (1) гомеоморфно.
Рис. 6.4.
Заметим, что риманова «накрывающая поверхность», вообще говоря, •не является накрывающим пространством в нашем смысле для римановой сферы.
Изучим теперь некоторые свойства накрывающих пространств.
Предложение. Если р:Х—»Х— накрывающее отображение, то для каждой точки х^Х, р-1^— дискретное подпространство.
Так как в силу условия (в) канонические окрестности U (х;) попарно не пересекаются, каждая точка жг является открытым в р-1 (ж) множеством.]
G.5.5. Теорема. Пусть р:Х—*Х— накрывающее отображение и отображения и, го : 1, 0 X, х0 удовлетворяют условию vp--=wp', тогда v = w .
Пусть р— верхняя грань множества вещественных чисел г<И, для которых v\Ir — w\Ir; это множество не пусто, так как оно содержит 0. Следовательно, число р определено корректно. Заметим теперь, чтору = ргг, так что и \ Ip — w \ 1р. (Ибо если бы это было не так, то р>0 и qu, ого имели бы в силу (в) непересекающиеся канонические окрестности. Это противоречит тому факту, что tv = tw при 0о<р. Предположим теперь, для того чтобы прийти к противоречию, ЧТО р<1 И ЧТО QV = QW = X. Для некоторой канонической окрестности U точки ж, р | U :U —>U— гомеоморфизм. Для некоторого 6>0 и и, и w отображают отрезок [р, р + 6] в U. Но так как up = юр при рс'П'р —6 и р взаимно однозначно на U, получаем, что и | /р+б = го | /р+б, что противоречит определению р. Полученное противоречие опровергает гипотезу, что р < 1, а потому доказано, что и ~ го.\
Если для какого-нибудь пространства W отображения h: W —»X и h : W -—* X связаны соотношением hp = h, то мы говорим, что h поднимает ■отображение h. Теорема 6.5.5 устанавливает, что, каков бы ни был путь в X, существует только один поднимающий его путь, который начинается в заданной точке.
Следствие. Если пространство W линейно связно и оба отображения h, k :W —>X поднимают отображение h:W—>X и если для некоторой точки w0QW ,woh = wok, то h = k.\
-6.5.7. Теорема. Пусть р\Х—»Х—накрывающее отображение, К — сим- плициалъный комплекс (не обязательно конечный^ и L — его подкомплекс. Пусть /о •’ | К | —> X — некоторое отображение и gt: | L | —> X, ft:) К | —> X — такие гомотопии, что
go=7o| i^|, gtP = ft \ \L\ и toP = fo.
Тогда существует гомотопия ]t'.\K\—> X, такая, что
gt=~h \\L\ ujtp = ft.
Более того, если комплекс К связен, гомотопия ft определена однозначно.
Эта теорема (без утверждения о единственности) знакома всем изучавшим расслоенные пространства1); ее можно называть теоремой о поднятии гомотопии для накрывающих пространств или теоремой о накрывающей гомотопии, так как в ней утверждается, что гомотопия ft может быть «поднята» в накрывающее пространство X.
Очевидно, можно перефразировать утверждение нашей теоремы следующим образом. Даны отображения
G:(|X|xO) (J (|L|X7)-»X и F :\К\х1—>Х,
такие, что F является продолжением отображения Gp; тогда можно продолжить G до F: \К\х1—>Х так, что Fp = F, причем F определяется однозначно, если комплекс К связен. Мы будем доказывать теорему именно в этой формулировке. Сначала мы установим ее в одном частном случае, затем в более общем случае, и, наконец, в полной общности. Конечно, доказательство единственности не вызывает затруднений. Если комплекс К связен, то и пространство | К | связно и, следовательно, | К | х I линейно связно; остается применить утверждение 6.5.6. Таким образом, в дальнейшем мы будем интересоваться только существованием F.
Пусть сначала К- s, L = s, где s— симплекс произвольной размерности. Предположим, что отрезок I можно подразделить так
О = <о <С G <С • • • <7 tm = 1,
что (s х [G-i, Gl) Г лежит в некоторой канонической окрестности U (xt-^ при i = l, ..., т. Сделаем индуктивное предположение, что отображе
ние G уже продолжено до отображения Ft: (s х [0, ZJ) (J (s х I) —»Х так, что Fip = F I (s х [0, GJ) (J (s X /) и 0<i<m. Канонические окрестности U (хь j), .. . попарно не пересекаются, и множество (s X G) U (8 X [G, W) связно. Следовательно, существует единственная каноническая окрестность U (х^, в которой лежит образ этого множества при отображении Ft. Пусть gt : U (х^ -^U (х,у—отображение, обратное к p\U (xt\, определим теперь FU1: (s X [0, G+il) U (s X /) —> X формулами
ЛыК^Х [0, <J) U (зХ/)-^
и
Fi+1\sx v^ tw\ = Fqi-
!) См. Хилтон [10], гл. 5.
Эти частичные отображения согласуются там, где они определены оба, поэтому в силу предложения 1.1.6 вместе они определяют некоторое отображение Fг+1. Заметим, что F lJrlp = F tp или Fqtp и что, во всяком случае, Fi+lp = F. Таким образом, индукция проведена, и в рассмотренном частном случае теорема доказана.
На втором этапе возьмем снова K = s, L = s, но никаких других предположений делать не будем. Однако, так как | К | — бикомпакт, можно1 настолько мелко подразделить комплекс К (скажем, в К(П), что для каждого симплекса t £ К<г> его замыкание t будет обладать относительно отображения F тем свойством, которое мы предполагали выполненным в первом случае. Тогда последовательно применяя полученный ранее результат к симплексам из К(П—DT> (в порядке возрастания их размерностей), мы придем к требуемому отображению F.
Рассмотрим, наконец, общий случай. Обозначим Кп (J L через Кп. Применяя результат, полученный на предыдущем этапе, можно продолжить G сначала до отображения
Go:(|K|xO) U (\K0\xIWX и затем последовательно до отображений
Gn : (| К | х 0) U (№IW,
таких, что F является продолжением отображений Gnp. Отображения Gn, вместе дают требуемое отображение F, ибо | К | х 1= U ((| К | X0)U([^|x/)), п
и топология пространства |К|х/ обеспечивает непрерывность F.J .
Из этой важной теоремы мы получаем немедленно несколько следствий.'
Следствие. Пусть К — связный комплекс, L— его подкомплекс, у—какая-нибудь точка из \L\, a j0, f ;\К\—»Х—такие отображения, что yf0 = yf и fop~fp rel \L\. Тогда /0~/rel|L|.
Определим гомотопию g(:|L|-^»X формулой gt = f0\\L\. Тогда, по теореме 6.5.7, существует гомотопия ft: | К | —■* X rel | L I, для которой tiP = tP- Но yft = yf0 = yf, и из утверждения 6.5.6 следует, что /1—/-]
Предложение. Любой путь в X, начинающийся в точке Жо> может быть поднят (единственным способом') до некоторого пути в X, начинающегося в точке ж0. Более того, если v ~ го : F, 0,1—>■ X, х0, x^el J и и, го —пути в X, которые начинаются в точке х0 и поднимают соответственно пути и, го, то и, го оканчиваются в одной и той же точке- и и ~юте! I.
Пусть и : 1Т, 0 —> X, х0 — какой-нибудь путь, начинающийся в х0.. Тогда ясно, что б(Г)~г;ге1О. Пусть е^ — постоянный путь длины г в х0. Применяя теорему 6.5.7 (где \K\ = IT, |L| —0), заключаем, что существует гомотопия е^ ~ и rel 0, накрывающая гомотопию е^ ~ о. Значит, в частности, Ои = хо и ир — и; таким образом, и — путь, поднимающий и.
Применим, далее, утверждение 6.5.8 при |К| = /, |L| = /, у = 0. Немедленно получаем, что y~wrel/; это означает, что v и го имеют- общую конечную точку.]
Теорема. Накрывающее отображение р:Х, xQ-^ X, х0 индуцирует мономорфизм р* : л (X, ж0) —» л (X, ж0).
Смысл этой теоремы в утверждении, что гомоморфизм р* мономорфен. Но это немедленно вытекает из предложения 6.5.9 (и того факта, что каждый класс эквивалентности петель содержит петлю единичной длины).
Каждую петлю на ха можно поднять до некоторого пути в X, начинающегося в точке ж0. В силу предложения 6.5.9, элементы группы л (X, ж0) р* представляются как раз теми петлями на х0, которые поднимаются до замкнутых путей. Следует отметить, что если ж0, х„— разные точки из р-1(ж0), то может случиться, что некоторая петля на ха может быть поднята до петли на х0 и до пути, начинающегося в г' и не являющегося петлей. Это замечание дополняется следующей теоремой:
Теорема. Пусть х0, х„— точки множества р-1^х0); тогда л (Х,ж0) р*, л(Х, Xq) р* являются сопряженнымит) подгруппами группы л (X, х0\ Обратно, если подгруппа л0 сопряжена подгруппе л (X, ж0) р*, то существует точка ж'^р-^Жо), такая, что л(Х, ж„) р*-=л0.
Пусть w— какой-нибудь путь в X, ведущий из х0 в ж„; заметим, что пространство X, по определению, линейно связно. Поэтому каждый элемент из л (X, ж') может быть представлен петлей вида w*v*w, где и — некоторая петля на х0, и, обратно, все такие петли представляют элементы группы л (X, ж,). Но wp — некоторая петля (в X) на х0; обозначим через q тот класс из л (X, Хд), который ее содержит. Тогда {w * и * р* = q-1 \vp\ Q, так что
л (X, ж') р* = Q"1 [л (X, ж0) Р*1 Q.
Обратно, пусть л0^р-1[л(Х, ж0) pj р для некоторого р£л(Х, ж0). Пусть и — какая-нибудь петля на ж0 класса р; ее можно поднять до пути и с начальной точкой ж0. Конечную точку этого пути обозначим через ж' — она, конечно, принадлежит множеству р-1(ж0). Тогда
Ло — л (X, ж0)р#.|
Теорема. Мощность множества р-1 (ж0) равна индексу подгруппы л (X, ж0) р* в группе л (X, ж0) и не зависит от ж0.
Пусть ж^р-1(ж0) и w — путь, ведущий из ж0 в ж„. Тогда гур —петля в X на ж0. Если гу'—другой путь из ж0 в ж', то гу*гу'— петля на ж0; таким образом, (гур * гу'р} £ л (X, ж0) р*. Тем самым показано, что каждая точка множества р-1 (ж0) определяет правый класс смежности группы л (X, ж0) по подгруппе л (X, ж0) р*. В действительности это соответствие взаимно однозначно. Во-первых, пусть дан какой-нибудь правый класс смежности. Возьмем петлю, представляющую некоторый элемент этого класса, и поднимем ее (на основании предложения 6.5.9) до пути в X, ведущего из ж0 в некоторую точку ж'£р-1(ж0). Точка ж' определяет заданный класс смежности. Во-вторых, если точки ж', ж" определяют один и тот же правый класс смежности и и/, w" — пути, ведущие из ж0 в ж„, ж", то
{гу'р* гу"р} £ л (X, ж0) р*.
х) Теоретико-групповые понятия этого параграфа см. в [20].
Таким образом, если го — оканчивающийся в ж' путь, который поднимает петлю го'р, то го' * го — петля на ж0, так что пути го и го" (а потому и гг") начинаются в одной и той же точке ж0. Отсюда следует, что го = го". Значит, ж' = ж".
Остается показать, что мощность множества р-1 (ж0) не зависит от ^выбора точки ж0; Пусть xtQX, и — путь, ведущий из ж0 в жп и о—путь в X, ведущий из ж0 в ж, и поднимающий и. Тогда р индуцирует мономорфизмы
ри\ л(Х, жг)-^>л(Х, xt) (г = 0, 1), причем имеет место коммутативная диаграмма
л (X, ж0) ^ л (X, ж^| Pi*
л (X, ж0) эй л (X, ж,).
Это означает, что изоморфизм {р}* отображает л(Х, ж0)р0* на л (X, ж^ р^. Следовательно, индекс подгруппы л(Х, жо)До* в группе л(Х, ж0) равен индексу подгруппы л(Х, xt) р1# в группе л (X, ж^.]
Если мощность множества р”1 (ж0) равна конечному числу т, то мы говорим, что данное накрытие т-листно.
Пример. S2 накрывает Р2; л(Р2) = Р2, л(Х2) = 1. Следовательно, индекс подгруппы л (S2) р* в л (Р2) равен 2; это согласуется с тем, что над каждой точкой пространства Ра лежит ровно две точки сферы S2. Иными словами, сфера S2 является двулистным накрытием проективного пространства Р2.
Назовем накрытие регулярным, если л(Х, ж0)р# — самосопряженная подгруппа группы л(Х, ж0). Предоставляем читателю в виде легкого упражнения проверить, что это определение не зависит от выбора базисной точки x0QX. Очевидно, что регулярные накрытия характеризуются тем свойством, что если петлю в X можно поднять до петли в накрытии при некотором выборе начальной точки, то она поднимается до петли при любом выборе начальной точки.
Теоремы существования и единственностидля накрывающих пространств
Про предыдущий параграф можно сказать, что в нем дается аксиоматический подход к теории накрывающих пространств. Теперь мы подойдем к этой теории конструктивно. Мы видели, каким образом каждое накрывающее пространство X выделяет в группе л = л(Х, ж0) класс сопряженных подгрупп. Теперь мы покажем, как построить накрывающее пространство, соответствующее любому наперед заданному классу сопряженности подгрупп группы л в предположении, что пространство X удовлетворяет некоторым локальным условиям. Разумеется, если нам удастся построить такое накрывающее пространство X, что для некоторой точки ж0СХ, л (X, Жо) р* совпадает с наперед заданной подгруппой л0, то можно будет получить все подгруппы, сопряженные к л0, выбирая подходящим образом базисную точку в X.
Рассмотрим какое-нибудь накрывающее пространство X с базисной точкой ж0, такое, что
л (X, ж0) Г* = ло — л-
Существует взаимно однозначное соответствие между точками ж из X и множествами тех путей в X, начинающихся в ж0, которые можно поднять до путей в X, ведущих из ж0 в ж. Два пути в X, которым при этом соответствует одна и та же точка ж, обладают тем свойством, что если обратный к одному из них пустить вслед за другим, то получится петля, определяющая некоторый элемент группы л0. Это замечание мотивирует нашу конструкцию.
Предположим теперь, что заданы X, ж0 и л0 S л и что пространство X линейно связно. Приступим к определению пространства ХЛо и отображения р". лПй—> X. Рассмотрим множество всех путей в X, начинающихся в ж0. Говорят, что два таких пути, у и w, л,0-эквивалентны, если произведение и * го определено и {у * гу} £ л0. То, что этим определяется некоторое отношение эквивалентности, вытекает из групповых свойств множества л0. Точки пространства АЛо определяются как классы л0-эквивалентности; преобразование р : ХЛо —X связывает с каждым классом эквивалентности общую конечную точку его путей. Так как пространство X линейно связно, р есть отображение на все X. Заметим, что р^1 (ж0)— множество правых классов смежности группы л по л0.
Определим теперь базу открытых множеств в ХЛо. Для каждой пары, состоящей из открытого в X множества U и точки жЕ ХЛо, такой, что хр^ U, определим подмножество ф, х) в ХЛо следующим образом: пусть и — какой- нибудь путь в X, который выходит из точки ж0 и представляет класс ж; тогда (£7, ж)— множество классов л0-эквивалентности продолжений и* го пути v в U, т. е. путей и*го, таких, что го — путь в U. Очевидно, множество ф, х) не зависит от выбора в классе ж пути о.
Предложение. Если ж2 Е ф, ж^, то ф, ж2) = ф, ж^.
Если путь vt представляет класс xt и v1*w2 = v2 — его продолжение- в U, представляющее ж2, то любое продолжение и2*го пути v2 в U является также и продолжением и1* ф2*го) пути v1 в U, и любое продолжение vt * го пути их в U эквивалентно продолжению и2* ф2*ш') пути и2 в U,\ Доказанное утверждение означает, в частности, что если ж1 и ж2 принадлежат множеству р-1 ф'р то ф, х^ и ф, х2^ либо совпадают, либо не пересекаются.
Топологию в АЛо можно определить, потребовав, чтобы множества ф, х) образовывали базу открытых множеств. Проверим, что при таком определении открытых множеств ХЯо становится топологическим пространством. В самом деле, ХЯо = (Х,х) для любой точки ж, так что все пространство является открытым множеством. Далее, если U, V — базисные открытые множества и x^U В У, то в силу предложения 6.6.1 найдутся такие открытые в X множества U и У, что U = ф, ж) и У — (У, ж); если W — ф ПУ, ж), то И7 — элемент базы и
жЕТУ^ U^V.
Этим проверка закончена.
Предложение. Преобразование р;Х^0—>Х непрерывно.
■ Если U — открытое в X множество и xp^U, то множество ф, х) открыто в ХЯо, содержит х и лежит в р~гф^. Значит, множество p~Y ф^ открыто, а отображение р непрерывно.] .
Пусть v: 1Т, 0-*Х, ж0— какой-нибудь путь; поднимающий его путь и в ХЯо можно определить формулой
1и=ф\1^Ло (0<<Сг),
где { }Яо обозначает тот класс По-эквивалентности, который определяется путем, стоящим в скобках.
Предложение. Преобразование w.IT, 0—>-ХЛ(|, х0 непрерывно.
Здесь ж0—класс л0-эквивалентности, который содержит путь нулевой длины в точке х0. Пусть t0 С1Т и U—какое-нибудь открытое в X множество, содержащее tov — tovp. Так как и непрерывно, а множество U открыто, существует такое положительное число 6, что tv^U для всех Z £ (Zo—6, to + b) П [0, г]. Тогда для всех таких t, Ьфф, tov). В самом деле, если tT>t0, то v\It является продолжением в U пути у|^<0, а если Z < <о, то ^ I It0 является продолжением в U пути и | It. Первое утверждение получается немедленно, второе следует из предложения 6.6.1. Это показывает, что точка t0 является внутренней точкой множества и-1 ф, tov); следовательно, преобразование и непрерывно.]
Следствие. Пространство Х^ линейно связно.
Если ж £ ХЯо и ^ — путь в X, выходящий из точки х0 и представляющий класс ж, то и — путь в ХЯо, ведущий из ж0 в ж.]
К сожалению, мы, вообще говоря, не можем утверждать, что построенное пространство ХЯо является накрывающим пространством пространства X относительно отображения р, ибо р может не быть локальным гомеоморфизмом. Необходимо, следовательно, наложить некоторые ограничения на X.
Определение. Пространство X называется локально линейно связным, если для любой точки ж £ X и любого открытого множества U, содержащего ж, существует такое открытое множество V, что х £ V s U и любые две точки из V могут быть соединены путем, лежащим в U.
Заметим, что свойство быть локально линейно связным является локальным топологическим инвариантом: т. е. если пространства X и У локально гомеоморфны и X является локально линейно связным, то таково и У.
Предложение. Пространство X тогда и только тогда является локально линейно связным, когда у него есть база из линейно связных открытых множеств. '
Достаточность этого условия ясна. Пусть теперь X локально линейно связно, U — открытое в X множество [и x^U. Мы должны доказать, что существует линейно связное открытое множество V, для которого xQV <==U. Определим V как множество тех точек, которые можно соединить с ж путем в U. Ясно, что ж £ V г U, и мы должны доказать, что У линейно связно и открыто. Если у £ У, то существует путь, соединяющий х с у в U, и любая точка этого пути сама соединена с х путем в U. Следова-
тельно, весь этот путь лежит в V, и V линейно связно. Предположим, наконец, что y^VsU. Так как пространство X локально линейно связно, то существует такое открытое множество W, что у £ W ^ U, причем все точки из W могут быть соединены с у в U. Но тогда каждую точку из W можно соединить некоторым путем в U и с точкой ж. Значит, W ^ V. Таким образом, у — внутренняя точка множества V, и V открыто.]
Пример. Конус над множеством из R, состоящим из точек О, 1, 1/2, 1/3, . .., 1/п, ..., является линейно связным, но не локально линейно связным пространством. В достаточно маленькой окрестности точки 0 не существует содержащего эту точку линейно связного открытого множества. Примем это пространство за X и построим указанным выше способом пространство ХЛо, взяв в качестве л0 подгруппу, состоящую из одного элемента (в данном случае это вся группа). Пусть хо = 0 и х0 есть л0-класс, содержащий е(х0), постоянный путь в точке х0 длины 0; тогда достаточно маленькая окрестность х0 не будет содержать точек, проектирующихся в точки вида 1/и. Следовательно, р не локально гомео- морфно и, значит, не является накрывающим отображением. Переход от X к ХЯо заключается в том, что линии пучка, составляющего наш конус, разводятся.
Определение. Пространство X называется локально односвязным (в слабом смысле')т), если у каждой точки ж есть такая окрестность U, что все петли, лежащие ■ в U, гомотопны нулю в X. Можно дать следующее определение: множество А s X называется слабо односвязным, если каждая петля в А гомотопна нулю в X. Таким образом, пространство X является локально односвязным, если его можно покрыть открытыми слабо односвязными множествами. Свойство пространства быть локально односвязным является, очевидно, локальным топологическим инвариантом.
Предложение. Пространство X является локально линейно связным и локально односвязным в том и только в том случае, если в нем существует база из линейно связных и слабо односвязных открытых множеств.
Очевидно, сформулированное условие достаточно. Чтобы доказать его необходимость, мы должны для любой точки х^Х и произвольного открытого множества U ^ х найти такое линейно связное и слабо односвязное открытое множество W, что x£W^.U. Но в силу определения 6.6.8, существует открытое множество V^x, являющееся слабо односвязным, и, в силу предложения 6.6.6, существует линейно связное открытое множество W, такое, что х QW ^U f) V. Так как W ^ V, множество W тоже является слабо односвязным.]
Пример. Пусть Y—подмножество пространства 7?, являющееся объединением окружностей с центрами в точках (1/п, 0) и радиусами 1/п, п — 1, 2
В качестве у0 возьмем начало координат. Очевидно, в Y нет открытого множества, которое содержало бы у0 и было бы слабо односвязным; таким образом, Y не локально односвязно. Отправляясь от Y, построим УЯо,
снова взяв в качестве л0 подгруппу, состоящую из одного элемента. Пусть у0 —класс, который содержит e(z/0). Тогда множество (V, z/0), каково бы ни было открытое множество V 9 Уо, содержит бесконечно много точек, проектирующихся в у0. Ибо V содержит целые окружности, а каждый обход по такой окружности дает петлю в К, которая не определяет никакого элемента группы л0. Здесь, следовательно, р тоже не будет
локальным гомеоморфизмом и потому не будет накрывающим отображением. Переход от Y к УЯо состоит здесь в распутывании локальной особенности в точке у0; локальный гомеоморфизм сохранил бы локальное строение.
Примеры 6.6.7 и 6.6.10, возможно, примирят читателя с ограничениями, наложенными на пространство X в следующей теореме, основной теореме этого параграфа.
Теорема. Если X— линейно связно, локально линейно связно и локально односвязно, а пространство ХПа построено способом, описанным в начале этого параграфа, и xq—тот класс '^-эквивалентности, который содержит путь е(х^, то р-. Х^-*-X— накрывающее отображение и
^ (Уло, *Го) Р* л0.
Из 6.6.4 нам известно, что пространство ХЯо линейно связно даже в более общем случае. Определим канонические окрестности в пространствах X и ХЯо; в X возьмем линейно связные и слабо односвязные открытые множества U, а в ХЙ0 возьмем входящие в определенную нами выше базу этого пространства открытые множества вида ф, х), где U — произвольная каноническая окрестность в X. В X канонические окрестности образуют базу, в силу предложения 6.6.9. Пусть теперь W— какое-нибудь открытое в X множество; тогда (ТУ, ж)—некоторый элемент базы пространства ХЯо. Если U — какое-нибудь линейно связное и слабо односвязное открытое множество, для которого xp^U ^W, то ф, ж) ^ (ТУ, ж). Отсюда следует, что канонические окрестности в ХЯо тоже образуют базу. Перейдем теперь к проверке свойств (а), (б) и (в) из определения накрывающего отображения. Положим
Pi =^РХ\ Ф, xt) : ф, U.
Мы установим, что отображение pt гомеоморфно, доказав, что оно взаимно однозначно, является отображением «на», открыто и непрерывно; Pi является отображением на все U, поскольку U линейно связно. Предположим, что точки у, у'^ф,х^ удовлетворяют равенству ур = у'р. В силу 6.6.1.
(£7, жг) — ф, у) = ф, у'). Но множество ф, у) состоит из л0-классов продолжений в множестве U некоторого пути из класса у. Так как U является слабо односвязным, любое продолжение такого пути некоторой петлей снова является элементом класса у, откуда следует, что у’— у. Следовательно, р, взаимно однозначно. Так как р; является сужением отображения р, из предложения 6.6.2 следует, что pt непрерывно. Для доказательства открытости отображения рг достаточно проверить для произвольной канонической окрестности (V, у), лежащей в ф, хф что множество (V, у) р открыто в U. Но так как V линейно связно, (V, у) р, = = (У, у) р = V, где V открыто в X и тем более открыто в U. Это завершает проверку свойства (а). Пусть у = урФФ где U — каноническая окрестность точки ж, и пусть и— путь из класса у, a w — путь в U, ведущий из у в х. Тогда если ж —класс пути у*^, то у^ф, х). Этим проверено свойство (б). Свойство (в) вытекает из предложения 6.6.1 и уже установленного факта взаимной однозначности отображения pt. Следовательно, проектирование р : Хй0-»-Х является накрывающим отображением.
Мы знаем, что подгруппа л(ХЯо, ж0) р* состоит из классов тех петель на ж0, которые поднимаются до петель на х0. Рассмотрим какую-нибудь такую петлю v в X; тогда путь и, определенный как в 6.6.3, есть путь в ХЯо над у, начинающийся в ж0. Тогда ж0 является конечной точкой этого пути в том и только в том случае, если {у}Яо = жо, а это эквивалентно тому, что {у} £ л0.]
Теперь, когда нами доказано, что при указанных ограничениях на пространство X для любой наперед заданной подгруппы группы л (X, ж0) существует соответствующее ей накрывающее пространство пространства X, мы приступим к доказательству единственности такого накрывающего пространства. При этом можно отказаться от предположения о локальной односвязности пространства X. Основная лемма такова:
Лемма. Если q:Y, y0-»-Y, у0 — накрывающее отображение и f:X, x0-*Y, у0 -
— отображение линейно связного и локально линейно связного пространства X в У, такое, что
л(Х, Жо)/* s л (У, уоф»,
то существует единственное отображение f:X, ж0—>-У, у о, для которого fq = b
Пусть х^Х ии — путьв X,ведущий из ж0 вж. Тогда vj — путь
в У, ведущий из у0в ж/. По6.5.9,этот путь можноподнять до некото
рого пути в У, ведущего из у0 в некоторую точку у, такую, что yq = ж/.
Пусть теперь V— какой-нибудьдругой путь в X,ведущий из ж0 в х.
Тогда v * и' — петляв X наж0 и, значит, {vf * v'f} £ л (X, ж0)/#. Так как
л(Х, ж0)Л^л(У, y^q*,
петля у/ * v'f поднимается до некоторой петли в У на у0. Это означает, что если мы поднимем v'f до пути в У, начинающегося в точке у0, то конечной точкой этого пути будет снова у. Таким образом, у зависит только от точки ж (а не от выбора пути у), и можно, следовательно, определить преобразование /: X -*Y, положив xf = y. Разумеется, тогда Тч — f и Xof = yo.
Остается показать, что отображение / непрерывно, ибо единственность его будет следовать тогда из 6.5.6. Пусть xvj = yx и U^— какая-нибудь окрестность точки у^ Возьмем каноническую окрестность U точки yv и положим W = UV П U, a W = Wq. Тогда /-1 (W) — окрестность точки хх в X. Так как пространство X локально линейно связно, найдется линейно связная окрестность V точки Жц такая, что V^f-1(Wy Мы утверждаем, что Vj^W. Ибо если x^V и vv— какой-нибудь путь, ведущий из х0 в xv, то точку х0 можно соединить с точкой х с помощью некоторого продолжения v = v1*v2 пути г, в V. Тогда uj = vj * г2/ и г2/— путь в W. Следовательно, и2/ поднимается до некоторого пути в W, начинающегося в точке ух, а у/, таким образом, поднимается до некоторого путй в Y, который начинается в у0 и оканчивается в W. Иными словами, xf^W, и наше утверждение доказано.]
Следствие. Если X локально линейно связно и 1-связно, то каждое отображение X, xq^-Y, Уо можно единственным способом поднять .до некоторого отображения X, х0 —>- У, у0.]
Обратите внимание, что условие л (X, ж0) /* с л (У, у0) Ч* является необходимым условием существования описанного в 6.6.12 отображения /. Ибо если такое / существует, то л (X, ж0)/# = л (X, 10)/,д, с л (У, Уо) Ч*. Еще более поразителен тот факт, что нельзя отказаться от требования локальной линейной связности пространства X.
Следующий пример принадлежит Е. К. Зиману.
Пример. Пространство УсЛ2 является объединением трех кусков У0, Уь У2; У о—единичная окружность и2 + и| = 1; У1, «пальцы» пространства У, является соединением в рассматриваемом евклидовом пространстве точки (1, 0) со множеством точек
Рис. 6.6.
вида (3, 1/га), п = 1, 2, . .. ; У2, «большой палец» пространства У, есть дуга (и, — 2)2 + 4-м|=1, и2 ^ 0, крайними точками которой служат _Уо (Е £) и У1= (3, 0).
На рис. 6.6 изображены пространства X, У, У. Как У, так и X представляют собой двуручный вариант пространства У, но в X кончик каждого «большого пальца» (которые вдвое длиннее, чем в У2) прикссается к кончикам «пальцев», находящихся
на противоположной стороне. При каждом из отображений /, q окружность дважды наматывается на Уо, а каждое из множеств «пальцев» отображается изометрично на множество «пальцев» пространства У. При отображении q каждый «большой палец» из У также отображается изометрично на «большой палец» пространства У, а при / каждый «большой палец» отображается на «большой палец» пространства У посредством некоторого гомеоморфизма. Разумеется, q является (двулистным) накрытием и л (X, ж0)/* = л(У, уд)?*- Конструкция из леммы 6.6.12 определяет тогда некоторое преобразование / : X, х0^-У, у0, такое, что fq = f. При / «пальцы» в ж0 отображаются на «пальцы» в у0, и кончик «большого пальца» к4— в кончик «большого пальца» у1. Но в X последовательность кончиков «правых пальцев» сходится к точке х1; а их образы при / не сходятся к у2, образу точки к1. В этом случае, следовательно, отображение / не является непрерывным. Заметим, что пространство X в точке ж4 не локально линейно связно. Полезно отметить, что в рассматриваемом случае / в действительности является накрывающим отображением.
Пример. Предположим, что задано какое-нибудь накрывающее отображение q : У, уд —>-У, уо- Рассмотрим отображения 5", к0 ^-У, уо и Sn, ж0—> У, у0 при га >2. В силу утверждения 6.6.13 (так как сфера 5™, очевидно, является локально линейно связным пространством), каждое отображение Sn, ж0 —>- У, Уо можно поднять до некоторого отображения 5", ж0 ^-У, уо, а из 6.5.8 нам известно, что если для двух отображений
7о, 71 : &п, жо X То- ТоЧ “ 7? rel жо-
т° /о “ /1 rel жо- Значит, отображение q индуцирует взаимно однозначное соответствие q* между гомотопическими классами отображений Sn, ж0 —>- У, Уо и гомотопическими классами отображений Sn, ж0 —*- У, уо- Эти классы являются элементами га-х гомотопических групп т) лп (У, у0), лп (У, уо), и у^ в действительности является изоморфизмом между этими группами.
Особенно интересен случай У = У. Вещественная прямая R1 является накрывающим пространством для окружности У1. Кроме того, пространство R1 стягиваемо rel и для любой точки и g R1. Значит, любое отображение / : Sn, хд—^о1, у0 можно поднять до отображения в некоторое стягиваемое пространство. Следовательно, / гомотопно нулю rel хд. Мы показали, что каждое отображение Sn^>-S1, га>1, гомотопно нулю. Эта ситуация резко отличается от той, с которой мы сталкиваемся при изучении отображений Sn —>- 8т, га > т > 1. Вычисление этих, вообще говоря, совсем не тривиальных гомотопических групп дорого обходится алгебраическим топологам.
Вернемся теперь к доказательству единственности накрывающего пространства.
Теорема). Пусть X— линейно связное и локально линейно связное пространство, Пд—подгруппа группы л (X, х0) и рг : Хг, xj—>Х, х0, i=l,2,—такие накрывающие отображения, что л (X1, xj)р1=л(Х2, х^р^-= = л0. Тогда существует единственный гомеоморфизм /г: X1, Хд—>Х2, Хд, для которого hp^^p1.
Так как X— локально линейно связное пространство, то таково же и X. Следовательно, можно применить лемму 6.6.12, положив q = p2 и / = р1, и заключить, что существует единственное отображение h : X1, xj —»Х2, х„, для которого hp2 = р1. Аналогично существует отображение k : X2, Xg-^Х1, Хд, для которого крх = рг. Тогда hkpx = px. Значит, каждое из отображений hk : X1, х„—»ХТ, xj и 1 : X1, xj—>Х\ xj поднимает отображение 1:Х—>Х, так что, в силу 6.5.6, кк = 1. Аналогично kh=l; следовательно, h — гомеоморфизм. J
Пусть р : X —>Х — накрывающее отображение. Назовем преобразованием монодромии любой такой гомеоморфизм h пространства X на себя, что hp = р. Преобразования монодромии образуют, очевидно, некоторую группу Н.
В дальнейшем, имея в виду эту ситуацию, мы будем говорить, что Н действует на X как группа правых операторов.
Предложение. Если X — локально линейно связное пространство и р'.Х—>Х — регулярное накрывающее отображение {т. е. подгруппа л0 = л(Х, ж0) Р* самосопряжена в л), то для каждой точки ж'5р-1(^о) существует единственное преобразование монодромии h, для которого (х0) h = ж0. . ~
Самосопряженность подгруппы л0 означает, что л (X, ж0) р* = л0; поэтому существование и единственность h вытекает из теоремы 6.6.16.J
Пространство X можно рассматривать как факторпространство Х/Н, определяемое отношением эквивалентности на X, связывающим х и xh для любого х^Х и любого h^H. Заметим, что каждый класс эквивалентности является дискретным подпространством пространства X и что группа Н действует без неподвижных точек. Это означает, что если для некоторого х^Х, xh = x, то h— тождественное преобразование. Так как hp = р, последнее утверждение вытекает из 6.5.6.
Предоставляем читателю в качестве упражнейия сформулировать и доказать утверждение, обратное 6.6.17.
Говорят, что преобразование у группы G в группу G’ является антигомоморфизмом, если для всех gvg^G, (gfg2) Y = (^гТ) (^iY)- Если при этом у— взаимно однозначное преобразование на всю группу G', то оно называется антиизоморфизмом и записывается так: y.G^G'.
Теорема. Если X —локально линейно связное пространство и р : X —> X — регулярное накрывающее отображение, причем л0= л (Х,ж0) р^, то выбор ж0 и соответствие ж'—> h из 6.6.17 индуцируют некоторый антиизоморфизм ф#:л/л0^Г7.
Каждый элемент а £ л определяет некоторое преобразование монодромии следующим образом: если и — петля на х0 из класса а и и — путь над ней, начинающийся в точке ж0, то его конечная точка ж0 лежит в р'1 (х^ и определяет, в силу предложения 6.6.17, некоторое преобразование монодромии, при котором точка х0 переходит в ж'. Конечная точка ж' не зависит от выбора петли и в классе а, поэтому можно так определенное преобразование монодромии обозначить через ha. Обратите внимание, что ha зависит не только от а, но и от выбора базисной точки х0 в X. Пусть Уо €Р1 (жо); рассмотрим (уо)^. Возьмем какой-нибудь путь w, ведущий из х0 в у0, и путь и/, который начинается в $' и поднимает путь w = wp. Конечная точка у' пути и/ и есть точка (г/о)^а- Если теперь петля w представляет элемент р группы л, то у0= (ж0)/гр, и мы показали, что У'о = С'о) 1цфа. Можно также рассмотреть петлю v*w, принадлежащую классу оф. Путь над ней, исходящий из х0, есть путь v*w’, конечной точкой которого служит у'. Таким образом, (ж0) h^ = (ж0) h$ha и, следовательно, ^«р = ^р^а- Тем самым определен некоторый антигомоморфизм Ф : л(Х, ж0) —>Н, записываемый формулой аф = ла. Так как пространство X линейно связно, ф эпиморфно; ядром ф, очевидно, является подгруппа л0. Следовательно, ф индуцирует антиизоморфизм ф#:л/л0^Я.)
Заметим, что группа л сама действует слева на X посредством антигомоморфизма ф. Обратите внимание, что в теореме 6.6.18 утверждается, что ф* : л/л0 ^ Н, однако построенный нами антиизоморфизм ф* зависел
от выбора базисной точки х0 в р 1 (x0Y Посмотрим, что будет, если в качестве базисной точки взять точку у0 из доказательства теоремы 6.6.18; ассоциированный с ней антигомоморфизм мы обозначим через ф : л —> Я.
Так как один из путей, ведущих из точки у0 в у', w*u*w', проектируется в w*u*w, то сир = ha = (Р-1аР) ф. Антиизоморфизмы ф*, ф# между л/л0 и Н, вообще говоря, не совпадают. Однако если л0 содержит подгруппу [л, л], то наше построение приводит к однозначно определенному антиизоморфизму между группами л/л0 и Н, а группа л действует на пространстве X каноническим образом. В этом случае группа л/л0 коммутативна, так что наш антиизоморфизм является одновременно и изоморфизмом, при этом разница между левыми и правыми операциями стирается.
Универсальное накрывающее пространство
Определение. Если накрывающее пространство X пространства X односвязно, то оно называется универсальным накрывающим пространством пространства X.
В этом случае подгруппа л (X, т0) р* coctowv только из одного единичного элемента группы л. Следовательно, можно сказать, в силу теоремы 6.6.16, что если X локально линейно связно, то любые два его универсальных накрывающих пространства гомеоморфны; этим оправдывается то, что обычно говорят об определенном универсальном накрывающем пространстве. Если X локально линейно связно и локально односвязно, то из теоремы 6.6.11 следует, что пространство X обладает универсальным накрывающим пространством. Употребление слова «универсальное» объясняется следствием из следующей теоремы.
Теорема. Если X — линейно связное и локально линейно связное пространство и рг:Хг, х^—^Х, х0, i = 1, 2,— такие накрывающие отображения, что л1 <= л2, где л* = л (Хг, х^ р^, то существует накрывающее отображение h : X1, х,—>Х2, xl, для которого hp^^p1.
Как и при доказательстве теоремы 6.6.16 (обобщением которой является теорема 6.7.2), мы заключаем, что существует отображение h : X1, Ху—> —> X2, х^, для которого hp^ — p1. Остается показать, что h—накрывающее отображение. Пусть Ux ^х), U1 (х')-—канонические окрестности относительно отображений р1, г = 1, 2, и U (ж)— какое-нибудь открытое линейно связное множество, содержащееся в U1 (ж) f) U2 (я-)- Если хгрг = х, положим U (хг) = — 1Г (ж*) П (pi)~1U(x), г=1, 2. Тогда U (х), U (хг) — канонические окрестности для р1, и читатель легко проверит, что Я (ж2), U (ж1)— канонические окрестности для накрывающего отображения 7г.]
Следствие. Если X—-линейно связное, локально линейно связное и локально сдносвязное пространство, то оно обладает универсальным накрывающим пространством, являющимся накрывающим пространством всех накрывающих пространств пространства X.]
Отметим следующий результат, вытекающий из теоремы 6.6.18:
Следствие. В специальном случае, когда X—универсальное накрывающее пространство локально линейно связного пространства X, антиизоморфно отображается на Н сама фундаментальная группа л пространства X.]
Если выбраны базисные точки ж0 и хо—-хор, то мы можем рассматривать л как некоторую группу левых операторов, действующих на X без неподвижных точек. Однако группа л действует на X канонически в том и только в том случае, если она коммутативна.
Техника перехода от пространства к его универсальному накрывающему пространству оказалась очень полезной в топологии. Универсальное накрывающее пространство односвязно, с ним, следовательно, легче работать; в то же время его гомотопические группы высших порядков изоморфны соответствующим гомотопическим группам исходного пространства (сравните с 6.6.15). Этот процесс «уничтожения» первой гомотопической группы (т. е. фундаментальной группы) без изменения остальных был обобщен в теории расслоенных пространств, что позволило «уничтожать» первую нетривиальную гомотопическую группу, не затрагивая остальных гомотопических групп.
Пример. Пусть № есть 3-сфера, заданная комплексными координатами (z0, zj, подчиненными соотношению zozo + ztzf = 1. Пусть р, q—взаимно простые целые числа и / : № —> У3— вращение, заданное формулой (z0, zf)/= (zoe2”z/p, г1е2®яг/р). Отображение / порождает группу Г = 1Р вращений сферы 53, которая действует на S3 без неподвижных точек. Факторпространство 53/Г является линзовым пространством L (р, q) (см. 5.10); сфера S3 является его универсальным накрывающим пространством. Так как Г—группа преобразований монодромии, Jp является фундаментальной группой пространства L (р, q).
Накрывающее пространство полиэдра
Поставим перед собой задачу так триангулировать накрывающее пространство связного полиэдра \К\, чтобы накрывающее отображение было симплициальным отображением на комплекс К.
Докажем сначала, что [ К | является локально линейно связным и локально односвязным пространством. Если комплекс К локально конечен, то доказать сформулированное утверждение не составляет никакого труда. Усложнения в доказательстве возникают из-за того, что мы не делаем никаких предположений относительно комплекса К. Пусть ж£|У| и $— носитель точки х. Тогда если x^U, открытому множеству в |У|, то x^U Q |st(s)|, также открытому множеству в \К\. Но пространство | st (s) | односвязно, так что любое его подмножество слабо односвязно; этим доказано, что |У| является локально односвязным. Установим теперь, что | К | локально линейно связно. Пусть х £ U, открытому множеству в |У|. Положим ] К ] — U = F; F— замкнутое множество, и потому его пересечение с каждым замкнутым - симплексом t замкнуто. Определим новое замкнутое множество Е'зЕ следующим образом: если i$st(s), то ^^F'; если igst(s), то F' П t—тот участок симплекса t, на который отбросит тень множество F f) t, если его осветить из точки х. (Более формально, y^F', если у $ ] st (s) | или если ?/gist(s)| и замкнутый отрезок ху пересекает множество F.) Так как для любого симплекса t^K, F' f] t—замкнутое в i множество, F' замкнуто в | А71. Очевидно, F s F’ и x^F'. Следовательно, множество Е=|К|— F' открыто, и x^V^U. Но каждую точку у g V можно соединить с х прямолинейным путем, лежащим в V. Значит, множество V линейно связно. Этим доказано, что пространство | К [ локально линейно связно.
Предположим теперь, что р:Х, х0—>|У|, а0 — накрывающее отображение и л (У, Жо) р* = л0 с л (| У |, а0). Сошлемся на теорему 6.3.2, в которой утверждается, что канонический гомоморфизм р* : л (У, а0) —> л({У[, а0) является изоморфизмом; обозначим через Q ту подгруппу группы л (У, я0), для которой Qq* = л0. Теперь мы триангулируем пространство X, так опреде-
лив комплекс Kq и симплициальное отображение q: Kq—» К, чтобы |^| было накрывающим отображением и л ^KQl a0) q* = Q. Затем мы воспользуемся теоремой 6.6.16 и сошлемся на естественность изоморфизма о*.
Начнем с указания конструкции комплекса Kq для произвольной подгруппы Q группы л (К, а°\, она будет очень напоминать конструкцию пространства ХЛо. В множество полигональных путей комплекса К, начинающихся в а0, введем отношение эквивалентности, назвав два пути и и w Q-эквивалентными, если {к * w\ g Q. Определим вершины а комплекса KQ как классы ^-эквивалентности. Преобразование q вершин комплекса Kq на вершины из К определяется правилом: aq является конечной точкой некоторого полигонального пути из класса а.
Теперь мы должны указать наборы вершин, на которые натягиваются симплексы комплекса Kq. Это такие подмножества а’», . .., ain из Kq, что (а) образ а'», . . ., ain каждого из них при отображении q определяет некоторый симплекс комплекса К и (б) если ит— полигональный путь из класса а1т, то vr*airais'—полигональный путь из класса ais. Ясно, что если на некоторое множество вершин из Kq в силу сказанного натягивается симплекс, то и любое подмножество этого множества тоже удовлетворяет условиям (а) и (б). Следовательно, нами определен абстрактный комплекс Kq, причем преобразование вершин q является симплициальным отображением q:KQ—»K.
Предложение. Если вершины а^°, ..., ain определяют симплекс в К и аг» ^ q"x ^аг°у то существует единственное множество вершин аг1, ..., агп, определяющее симплекс комплекса Kq, и такое, что aXrq = а1Т, г= 1, . . ., п.
Пусть и-—полигональный путь из класса ач>. Тогда единственная вершина в q"1 (air), которая вместе с й4» определяет некоторый 1-симплекс, представляется полигональным путем и * а^а^. На множество таких вершин аг°, . . ., а4п в Kq действительно натянут некоторый симплекс. В самом деле, агт можно представить посредством полигонального пути vta^a'1', а продолжение последнего
и * aioair * a^a's — v* a16aiTais = v* aioais представляет вершину ais; следовательно, условие (б) определения симплексов комплекса KQ выполнено, равно как и условие (а).]
Это комбинаторный аналог утверждения 6.5.6.
Предложение. Если а0—класс, содержащий полигональный путь а0, то n(KQ, a0)q# = Q.
Мы предоставляем читателю доказать это предложение в качестве упражнения, при этом рекомендуем обратиться к последней части доказательства теоремы 6.6.11.]
Предложение. \q\ является накрывающим отображением.
Так как комплекс К связен, | q | является отображением на все пространство |йГ|. В качестве канонических окрестностей в , К | и |^q| мы возьмем звезды вершин. В силу предложения 6.8.1, множество | q |-11 st (a‘)|
распадается в семейство попарно не пересекающихся звезд в пространстве | Kq | различных вершин из д'1 (а1), причем каждая из этих звезд посредством |^| отображается гомеоморфно на |st(a’)|.j
Теорема. Любое накрывающее пространство X полиэдра Х = |К| является полиэдром некоторого комплекса, размерность которого равна размерности комплекса К.
Будем пользоваться обычными для этого параграфа обозначениями. Выберем подгруппу Q в л (К, а0) так, чтобы Qo* = л0 = л (X, ж0) р*. Из естественности изоморфизма р* следует, что л (| Kq ], а0) [ q |# = л0, а в силу предложения 6.8.3 и теоремы 6.6.16, существует гомеоморфизм h:\KQ\, а°—»Х, ж0, для которого hp = \q\. Этот гомеоморфизм вносит в пространство X некоторую симплициальную структуру, относительно которой р является симплициальным отображением. Утверждение о размерности вытекает из построения комплекса KQ.\
А теперь можно сделать несколько неожиданный вывод.
Теорема. Любая подгруппа свободной группы свободна.
В самом деле, любую свободную группу можно реализовать в виде полигональной группы некоторого 1-мерного комплекса. Например, возьмем для каждого образующего элемента свободной группы некоторый полый треугольник и скрепим все эти полые треугольники в единственной общей вершине. Любая подгруппа нашей группы является, в силу предложения 6.8.4, полигональной группой некоторого 1-мерного комплекса, а последняя свободна, как следует из утверждения 6.3.11.] .
При доказательстве этой теоремы мы были вознаграждены за то, что не ограничились рассмотрением только конечных или локально конечных комплексов.
Предложение. Если р-.Х—>Х — накрывающее отображение бикомпактного полиэдра и индекс подгруппы л (X, ж0) р# в л (X, х0) равен т, то !) x(X) = m% (X).
В силу утверждений 6.8.2 — 6.8.4, можно заменить р;Х—>Х некоторым симплициальным отображением q : Kq К, где | К | = X и Qq* = л (X, 5г0) р*. По теореме 6.5.12, над каждой вершиной комплекса К находится ровно т вершин комплекса Kq, и значит, в силу предложения 6.8.1, над каждым и-симплексом комплекса К находится ровно т тг-симплексов комплекса Kq. Следовательно, если в К имеется ап тг-симплексов, то в KQ их тап, и x№ = x(-^o) = mx(^)==mx(^)J
Следствие. Подгруппа конечного индекса т свободной группы, число образующих которой конечно и равно d, является свободной группой с т (d—1)-|-1 образующими.
Соответствующий данной свободной группе одномерный комплекс имеет характеристику 1 — d, а характеристика подходящего накрывающего комплекса равна т (1 — d). Число свободных образующих фундаментальной группы последнего комплекса равно числу 1-симплексов, не попавших в максимальное дерево Т. Но Т содержит все вершины, а число 1-симплексов в Т на единицу меньше числа вершин. Следовательно, число 1-симплексов, не попавших в Т, равно m(d—1) + 1.]
т) Определение х№, характеристики Эйлера—Пуанкаре комплекса К, см. в 5.1.24.
* Приложение. Фундаментальная группа и накрывающие группытопологических групп
В этом приложении мы рассмотрим вкратце важное применение двух основных понятий этого параграфа к топологическим группам.
Определение. Множество G элементов е, х, у, ... называется топологической группой, если (a) G — группа, (б) G — топологическое пространство и (в) групповые операции в G непрерывны. Более точно, (в) означает, что преобразования GxG^G, G—>G, заданные формулами (ж, у)—>ху, х—>х-\ непрерывны. Гомоморфизмом топологических групп называется такое их преобразование, которое гомоморфно относительно групповых структур и непрерывно относительно их топологий.
Приведем теперь некоторые примеры топологических групп.
Множество вещественных чисел с групповой структурой аддитивной группы вещественных чисел и топологией вещественной прямой R1.
Множество комплексных чисел, по модулю равных единице, с групповой структурой мультипликативной группы комплексных чисел и топологией окружности 51. Преобразование p-.R1 —»5Т, описываемое формулой up=-e2niu (6.5.1), является гомоморфизмом этих топологических групп.
Рассмотрим группу GL (п, R) невырожденных линейных преобразований пространства Rn. Фиксируя некоторую систему координат в Rn, можно представить GL (п, R) в виде мультипликативной группы невырожденных вещественных матриц и-го порядка. Каждую такую матрицу М представим в следующем виде: М = In + (т^); числа mtj можно при этом принять за координаты матрицы М и тем самым топологизовать группу GL (п, R) как подпространство пространства Rn\ В качестве топологических подгрупп этой группы можно указать SL (п, R)— группу матриц, определитель которых равен +1, О (п)— ортогональную группу и R (и) = = SL(n, R) Q О (п)— группу вращений, которая действует транзитивно и эффективнот) на Snl.
Рассмотрим группу GL(n, С) — мы заменили вещественные числа на комплексные. Ее подгруппами будут, в частности, SL(n, С), U (п)— унитарная группа и SU (п) = SL(n, С) ("| U (ri')— специальная унитарная группа.
Центр группы GL(n, R) состоит из матриц вида kln. Факторизуя по центру, мы получаем GP (п— 1, R)— проективную группу, действующую на вещественном проективном (п— 1)-пространстве. Аналогично определяется группа GP(n—1, С).
Во всех этих примерах группы являются также многообразиями.
Пусть теперь G — линейно связная топологическая группа с единичным элементом е, который мы выбираем в качестве базисной точки. В дальнейшем пути будут иметь длину 1, и через и * vv мы будем обозначать путь (и*и)(1), где и и и — пути в G, для которых определено произведение и* и. Через х мы будем обозначать постоянный путь длины 1 в точке x^G, если это не вызовет путаницы.
Пусть и, и — пути в G и ии— путь, определяемый формулой (/) ни = = (tu)(tv), t^I, а путь и-1 описывается формулой (<) п-1 = (to)-1. Гомотопические классы путей ии и и-1 зависят только от гомотопических классов путей и, и. Очевидно, имеет место равенство
(и * }v) (и' * 4у') = ии' * ^v'.
т) Транзитивность действия группы R (га) означает, что для любых ж, у £ Хп-1 существует элемент g б R (га), для которого $Q = y; эффективность ее действия состоит в том, что только тождественное вращение оставляет все точки сферы 5“'! на месте.
Предложение. Пусть и, и— пути, в G, начинающиеся в е и оканчивающиеся соответственно в х и у, тогда
{му} = {и * ^у} = {у * щуУ
В самом деле,
ии = (и * ^г) (е * щ) = и * ^у и ну = (е * щ) (и * 1У) = и * щу. J
Следствие. Имеет место равенство {ж-1и} = {и-1}.
Действительно, х-1и = х-1и, так что
и:1 * щИл = и"1 * щ^и = и"хи = е.J
Теорема. В группе rt(G,e) групповая операция описывается формулой
{и} {у} = {ну},
а обратный элемент определяется равенством {и}-1 = {н-1}.
Это немедленно вытекает из утверждений 6.9.3 и 6.9.4, если положить х = у = е,\ Следовательно, групповая операция в n(G, е) непосредственно связана с групповой операцией в G.
Теорема. Группа л(С,е) коммутативна.
Это немедленно следует из предложения 6.9.3, если положить х = у = е.\ Предположим теперь, что группа G линейно связна, локально линейно связна и локально односвязна (это действительно так, если G является многообразием). Построим для подгруппы лоел(С, е) тем же способом, как и в § 6.6, накрывающее пространство СЯо. Точки пространства СЯо — это классы л0-эквивалентности {и}Яо путей в G, начинающихся в точке е. Определим произведение в СЯо по следующему правилу:
•6.9.7{M}no{y}no = {^}no.
Это правило корректно, ибо если и'С{и}Яо, у'6{у}Яо, то и' = и0*щ, и' = = и0*щ, где {ио}6ло, {уо}6ло, так что и'и' = иоуо* щи, откуда {и'у'}Яо = = {иу}Ло. Ясно, что отображение р : G„o —> G согласуется с этим произведением, так как (1) uv = (lu) (1у).
Теорема. 6Яо является топологической группой относительно умножения, определенного формулой 6.9.7.
Проверим сначала, что 6Яо—группа. Ассоциативность очевидна, так как (пи) w = и (vw). Единичным элементом в 6Яо является {е}Яо и {и}я„ = " {м Чло-
Проверим, далее, что групповые операции непрерывны. Рассмотрим открытое в СЯо множество (W, {пу}Ло), где W—окрестность элемента ху, а х, у — соответственно конечные точки путей и и у. Тогда существуют такие окрестности U, V точек х и у, что UV <= W; покажем, что (U, {и}Яо) (Р, {у}Ло) ^ (W, {иу}Яо). В самом деле, если {и * ^Д £ ф, {п)„0), {у * 1^о}ло 6 (^- Wno), т0 {к*1“о}ло Д’Ч^ло^^’ЧИо^ло, причем иоио — некоторый путь в W. Следовательно, определенное формулой 6.9.7 произведение непрерывно. Непрерывность перехода к обратному элементу доказывается так:
ф-\ {М-1}ЯО)-1 = (П, и„0).]
Обозначим через N ядро гомоморфизма р \ СЯо~» G. Тогда N— дискретная нормальная подгруппа группы СЯо. Более того, из формулы 6.9.7 следует, что
N ей л (G, е)/л0.
Ссылка на предложение 6.9.3 при ж = е означает, что если и,— петля на е и и— путь, начинающийся в е, то
{up} = {и * щ} = {ии}.
A fortiori, {ип}Яо = {ри}Яо, так что N—центральная) подгруппа группы 0Яо.
Теорема. Пусть G— линейно связная, локально линейно связная и локально односвязная группа и
л0 s л (G, е).
Тогда существует топологическая группа GKo, которая является накрывающим пространством группы G и такая, что накрывающее отображение р; Gno-^G является гомоморфизмом и л (СЯо) р* = л0. Далее, ядро гомоморфизма р является дискретной центральной подгруппой N группы Gno, изоморфной группе л (G, е)/л0.|
Сделаем одно замечание: если К—нормальная подгруппа топологической группы Н, то Н]К наделяется топологией факторгруппы; мы объявляем открытыми множествами в HIK образы открытых множеств в Н при естественном отображении Н —> Н/К. Снабдим теперь G„o/N топологией факторгруппы; тогда р индуцирует (топологический) изоморфизм между G„JN и G.
Пример. Рассмотрим группу вращений R (3), действующую на сфере S. Можно доказать2), что R (3) ^Р3 (Р3— вещественное проективное трехмерное пространство), и потому л (R (3)) = J2 (§ 6.4), а универсальным накрывающим пространством группы R (3) служит сфера S3. Мы можем представить S3 как пространство кватернионов, норма которых равна 1, и S2 — как подпространство последнего пространства, состоящее из тех кватернионов, у которых вещественная компонента равна нулю. Так как R (3) действует на S2 эффективно, то накрывающее отображение р : S3 —> R (3) будет определено, если мы укажем, как кватернион q действует на №. Если q£S3, q0£S2, то можно проверить (переходом к сопряженным), что Я ^ЧоЧ 6 S3 и что преобразование q0—> q^q^q является вращением. Пусть q действует на 52 по следующему правилу: (</0) q = q^q^q- Тогда ясно, что если сфере 8s придать групповую структуру мультипликативной группы кватернионов, по модулю равных 1, то р будет гомоморфизмом. Легко видеть, что (^q^q^qg для всех q0^S2 в том и только, в том случае, если 9= + Б так что ядром гомоморфизма р служит, как мы и ожидали, группа J2.
Можно обобщить этот пример, заменив R (3) на R (п), п>3. По-прежнему л (R (п)) = J2, так что универсальная накрывающая группа группы R (п)— это снова двулистное накрытие. Это так называемая группа спиноров, Spin (и).
Упражнения
Пространство X состоит из двух точек р и q, причем р образует открытое множество, a q нет. Проверьте, что X линейно связно.
Докажите, что если пространство X локально линейно связно, то его компоненты линейной связности одновременно открыты и замкнуты в X.
Докажите, что подпространство евклидовой плоскости, состоящее из кривой y=sin 1/х, 0<£<1, и интервала [ — 1, 1], лежащего на оси у, не линейно связно.
Пусть / и g—пути единичной длины в X, ведущие из х0 в хь и h : 51 —>-X— отображение единичной окружности в X, описываемое соотношениями
(+iZ) Л= {(+iZ) Л= {(1-ОЛ (1 + 0 g,(1-ОЛ (1 + 0 g,0</<1,0</<1,—1<Д<0.—1<Д<0.
(+iZ) Л= {
(+iZ) Л= {
(1-ОЛ (1 + 0 g,
(1-ОЛ (1 + 0 g,
0</<1,
0</<1,
—1<Д<0.
—1<Д<0.
Докажите, что / = g rel I в том и только в том случае, если Н можно продолжить на внутренность круга, ограниченного 51.
В торе вырезана круглая дыра. Какова фундаментальная группа получившегося пространства? Обобщите этот результат на случай к дыр.
Пусть / и g— единичные петли в X на ж0, и Хо—односвязное подпространство’ пространства X, содержащее ж0. Пусть F : I х I —>■ X— гомотопия от / к g, при которой I остается в Хо. Докажите, что {/} = {§■}£ л (X, ж0).
Пусть К—симплициальный комплекс, число компонент которого равно к,. и SK—надстройка над К, полученная соединением комплекса К с двумя независимыми вершинами. Покажите, что л (SK) является свободной группой с (Jt—1) свободными образующими.
Пусть 7' = 5} у 5^ у 5^ у 5| и шг — петля, обходящая один раз вокруг 51, j = l, 2, 3, 4; рассмотрим пространства X, У, получающиеся соответственно в результате прикрепления к Г 2-клетки вдоль путей
ю^ * ю^* ю^ * ю^* Ю3* ю^* Ю3 * ю^,
Ю^ * Ю2 * Юз* Ю^ * Ю^ * Ю^* Юз* Ю4.
Докажите, что тогда л (X) е л (У). (О топологическом смысле этого результата см. [2J стр. 140 и 171.)
X— накрывающее пространство пространства X, а X— накрывающее пространство пространства X. Докажите, что X является накрывающим пространством пространства X.
Назовем пространство X слабо накрывающим пространством пространства X, если оно удовлетворяет всем условиям в определении накрывающего пространства, кроме условия (в). Докажите, что теоремы 6.5.5 и 6.5.7 верны и для слабо накрывающих пространств в предположении, что все рассматриваемые пространства хаусдорфовы.
И. Докажите, что если хаусдорфово пространство X является слабо накрывающим пространством пространства X и, кроме того, группа л (X) имеет конечный индекс в группе л (X), то X является накрывающим пространством пространства X.
Докажите, что пространство ХхУ, в очевидных'обозначениях, является накрывающим пространством пространства ХхУ.
Пусть Сг — некоторая подгруппа группы л (51), t™l, 2, и пусть G—свободное произведение групп Gv и С2. Опишите то накрывающее пространство букета 51 \/ 5^, которое соответствует подгруппе G группы л (5} у 5|).
Пространство X является накрывающим пространством пространства X с проектированием р, а базисные точки ж £ X, ж £ X выбраны так, что хр = х. Далее, Хо— некоторое1) подпространство пространства X, содержащее точку х, и Хо — компонента линейной связности множества р-1(Х0), которая содержит точку х. Докажите,
!) Из дальнейшего ясно, что Хо предполагается линейно связным подпространством.—Прим, персе.
что Хо является накрывающим пространством пространства Хо, опишите группу л (Хо, ж) в терминах гомоморфизма р* и гомоморфизма i*: л(Х0, х)->л(Х, я). Выведите отсюда условия для пары (X, Хо), необходимые и достаточные для того, чтобы накрывающее X пространство X было универсальным накрывающим в том и только в том случае, если Хо— универсальное накрывающее (для Хо). Приведите примеры, когда (а) X—универсальное накрывающее, а Хо нет; (б) Хо— универсальное накрывающее, а X нет.
Пусть Kq — регулярный накрывающий комплекс комплекса К, и пусть В = = л (K)/Q. Покажите, как В действует в качестве группы левых операторов на Kq, а затем как она действует в качестве группы левых операторов на Н* (Kq; G), R* (Kq; G). Покажите, что, уничтожая операторы на С (Kq), мы возвращаемся к цепному комплексу С (К).'
Покажите на примере накрывающего отображения S2 —> Р2, что группа В может действовать на Н* (Kq) не тривиально.
(Пусть группа В действует слева на абелевой группе А; тогда «уничтожение» операторов из В состоит во введении для всех а £ А, х £ В соотношений а = ха. Говорят, что группа В действует тривиально, если соотношения а = ха выполнены в А.)
Пусть в обозначениях упр. 15, В — конечная группа и 3-—поле, характеристика которого взаимно проста по отношению к порядку группы В. Постройте цепное отображение
k'.C^K; ^)->Сп(Ку; ^),
для которого кр=1. Выведите отсюда, что если В действует тривиально на Н* (Kq; У), то
Р* : Н* (KQ; 3^ s Н* (К; Г),
р* : R* (К; 3^ г R* (Kq; У).
Часть II
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ГОМОЛОГИЙ
ОСНОВНЫЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯК ЧАСТИ II
В гл. 7 мы все время будем использовать определения и результаты теории гомотопий. В гл. 8 — 10 они будут использоваться реже. Настоящее введение содержит те факты этой теории, которые нам необходимы. Название «теорема» мы сохраняем за существенными и трудно доказуемыми результатами; в ссылках указывается, где найти их доказательства. Мы надеемся, что читатель сможет получить предложения и следствия с помощью набросков доказательств, которые мы даем там, где это необходимо (в скобках).
1. Гомотопические группы
Аппарат. Напомним, что через У” обозначается п-шар, Wj+... ... + wn^l, в евклидовом пространстве RnczHm, а через 5”-1 обозначается его граница в R", (п—1)-сфера м,+ • - - +м^.= 1. Точка
ж* = (— 1, 0, 0, ...)
лежит в S"-1 для всех п>1; она используется в качестве базисной точки. Сфера Sn-V разбивает сферу S" на две замкнутые полусферы Е", Е"; для точек из Е* ипИ>0 (см. рис. II. 1).
Рис. II.1.
Мы используем стандартные гомеоморфизмы hv-Vn—> Е", h_ : У” —> Е™, описываемые формулами
(ы„ .. ип) й± = (и4, ..., ип, ± /[1 — и^ — ... — м^]).
Каждое из отображений /z+, h_ тождественно на S”"1. Часто мы будем рассматривать А± как отображения в S”. Отражение р: Rnti, Sn—>Rn+1, Sn описывается формулой
П.1.2П.1.2(Др . . . , ип-^ Q — (Uj, . . ., Un, Un+i),
П.1.2
П.1.2
таким образом, h^ = h_.
Цилиндр Sn-1 xlr, r > 0, — это подмножество пространства Rn+1, описываемое соотношениями
«1 + . . . +«n= 1, 0<zz„+1<r.
В дальнейшем нам понадобится стандартное отображение к (г) = к : S"-1 X Zr, (S"-i X 0) U (^ X 1^ -> V", х„ которое определяется формулой
.3(u^ ...,un, u„+1) к^^Ц — l + X(l+u1), Хи2, . .., kiln),
где % = u„+i/r. Ясно, что к отображает (Sn-1 X 0) J (ж* х Zr) в ж* и является гомеоморфизмом на дополнениях этих множеств. Более того, для любого ж^5”-1, (ж, г)к = х и к'1 (S'1-1) = (S”-1 х Zr) U (ж* X Zr) (см. рис. II.2).
Рис. II.2. (п = 2).Рис. II.2. (п = 2).
Рис. II.2. (п = 2).
Рис. II.2. (п = 2).
Аналитическое описание стандартного отображения к приведено только для полноты; в теории гомотопий важнее понимать, что делает отображение, чем то, как оно это делает.
Нам также понадобится стандартное отображение
iw = 7: S""1 X Zr, ^S^ X Л) U ^* X Zr) -> Sn, х*, описываемое соотношениями
.4(Др - • • 7 Д-711 Д?1+1) /’(г) “ (Др • • • » Д/И Д/l+l)^+>
если U ■< un+1 <; г,
= (др . .., ип, г Un^ к ^ ^ h-,
если — r^Un^^r.
Отображение / переводит (S”"1 X Zr) U (ж* X Zr) в ж# и является гомеоморфизмом на дополнениях этих множеств (см. рис. II.3). Более того, / и к вместе определяют отображение
q:Vn, S^^S", ж„
заданное соотношением kq = /; q отображает Бп — S"-1 гомеоморфно на Sn — ж*.
Пусть У, у0 — некоторое пунктированное пространство, т. е. пространство с выбранной в нем базисной точкой; отображение га : А”-1 х Zr, x$XIT—>¥, у о называется следом (длины1) г) сферы S"-1, ж* в У, у0. Отображения w0, wT: Sn-1, х* У, у0, описываемые формулами хгае = (ж, е) w.
!) Мы могли бы допустить, чтобы г=0, но ради простоты дальнейшего изложения лучше этого не делать.
8 = 0, г, называются начальным и конечным отображениями следа w. След го называется постоянным, если он не зависит от и^1г. Обратный след w и произведение v * w двух следов, о котором можно говорить, если конечное отображение следа и совпадает с начальным отображением следа w, определяются путем очевидного обобщения определений § 6.1. Как и там, мы определяем некоторое отношение эквивалентности между следами с одинаковым начальным отображением / по следующему правилу: след и (длины г) эквивалентен следу го (длины s) в том и только в том случае, если произведение и * w определено и гомотопно rel (S"-1 X /(r+s)) U (ж* X /(r+s>) постоянному следу с начальным отображением /.
Рис. II.3. (n=2R
Заметим, что к и / (II.1.3,11.1.4) являются следами сферы S"-1, х* в V", х* и S", х* соответственно. Ясно, что / = /р и соотношения II.1.4 можно переписать так:
Rr) = k^i ^h+* к^ yt_.
Замкнутым следом сферы Sn-1, х* в пространстве У на точке у0 называется след, начальное и конечное отображения которого совпадают с постоянным отображением е, переводящим S""v в у0. Как и в 6.1.14, классы эквивалентности замкнутых следов на уй образуют группу лп (У, г/о)> п-ю гомотопическую группу пунктированного пространства У, у0. Если п=1, то это фундаментальная группа. Произвольное отображение g:Y, yQ—»Z,z0 индуцирует некоторый гомоморфизм
g* : л„ (У, уо) -»nn(Z, z0),
зависящий только от гомотопического класса отображения g. Более того, ktg\ = t*g* Для любых отображений /: X, хй —»У, уй и g : У, у0 —>Z, z0. Отсюда можно вывести
Предложение. Если g:Y-^-Z—гомотопическая эквивалентность, то g*— изоморфизм.
(Как и в 6.2.7, следует обратить внимание на выбор базисных точек. Нам потребуется следующее предложение, аналогичное 6.2.1.)
Предложение. Пусть и—некоторый путь в У, ведущий из у0 в уъ и £ — содержащий его класс эквивалентности; тогда и индуцирует изоморфизм : лп (У, р0) ~лп (У, у^, зависящий только от £. Если т)— некоторый класс путей, ведущих из ух в у2, то
(бп)» = £*П* : лп (У, ро) л„ (У, у2у
(Путь и определяет некоторый след точки х* в Y. Произвольно заданный замкнутый след сферы S"-1, х* в У на у0 теорема о продолжении гомотопии позволяет продеформировать в замкнутый след сферы S"-1, ж* в У на yv так что точка х* при этом описывает путь и. Класс конечного следа и является ^-образом класса исходного следа.)
Следствие. Если пространство Y линейно связно и у0, У1ЕУ, то л» (У, у0)^л„(У, yj.
1.10. Следствие. Группа л, (У, у0) действует на группе лп(У, у0) как группа правых операторов, и если g ;Y, у0—» Z, z0, то
(“^*) 8*(и?*) ^>g*t “ Е лп (У, уо), ^ Е Лд (У, Уо).
(Второе утверждение, что g*— операторный гомоморфизм, следует из сказанного нами об изоморфизме ^.)
Предложение. Если п>1, то группа л„ (У, у0) коммутативна.
(Набросок доказательства этого предложения дан в § II.2, где оно повторяется под номером II.2.8.)
Мы будем обращаться с л„(У, у0), и>1, как с абелевой группой, записывая умножение аддитивно, а нейтральный элемент обозначая через 0. Мы даже будем употреблять, в некотором смысле незаконно, аддитивную запись и для группы л4 (У, у0}, чтобы избежать необходимости формулировать наши результаты для случая п=1.
Эквивалентные описания элементов гомотопических групп
Очевидно, след сферы 5"-1, х^ в У, у0 замкнут (на у0) в том и только в том случае, если его можно пропустить через отображение / (11.1.4). Действительно, любой замкнутый след w (длины г) на у0 определяет единственное отображение го' : S", x^-^Y, у0, для которого w^p^ го'. Это соответствие индуцирует некоторое взаимно однозначное соответствие между элементами группы л„ (У, у0) и гомотопическими классами отображений Sn, х* —> У, у0. Для произвольного /: Sn, х* Y, у0 символ {/} будет обозначать либо гомотопический класс отображения /, либо элемент группы л„(У, Уо), который определяется классом следа jf.
И.1.12. Предложение. Отображение / можно продолжить на Fn+1 в том и только в том случае, если {/} = 0.
Символ л0 (У, у0) можно употреблять для обозначения множества гомотопических классов отображений 5°, $* —>-У, Уо- Это множество находится во взаимно однозначном соответствии с множеством компонент линейной связности пространства У. Вообще говоря, множество л0 (У, у^ не имеет групповой структуры, но в нем, естественно, выделяется один элемент, а именно класс постоянного отображения, который соответствует компоненте линейной связности, содержащей точку уо. Если множество Яд (У, Уо) состоит из одного элемента, мы говорим, что л0 (У, уО является нулем; это характеризует случай линейно связного пространства У.
Очевидно, существуют отображения (р+, <р- : 5П, х* —> Sn, х*, для которых
Е" <р+ = Е^<р- = х* и <р+ ~ 1, ф_ ~ 1.
Отсюда следует, что в каждом гомотопическом классе отображений / : 5”, т* У, у0 существуют отображения /+, /_, такие, что E"f+ = E"f_ = у0. Пусть даны классы {/} и {g}, и пусть {/г} — класс отображения h : Sn, x^^Y, уо, заданный формулой h | Е" = /+1 Е", h\E" = g-\E™.
Предложение. W = {/} + {g}.
(Ибо {/} + {?} является классом отображения
/7+* jg_ = kh^f* * khj+ * kh+g_ * kh_g_ = kh+f+ * kh_g_ = jh.)
Этим завершается описание определения гомотопических групп в терминах отображений сфер (это обычное определение).
Упорядоченная пара отображений g, g':Vn, x*—>Y, р0, согласующихся на Sn-1 (т. е. g | 5n"1 = g'| S"-1), определяет некоторый элемент a (g. g') £ л„ (У, р0) следующим образом. Для любых г, r'>0, k^g * k^g' является замкнутым следом сферы А”-1, х* на р0. Так как класс эквивалентности этого следа не зависит от г, г', можно определить некоторый
элемент a (g, g') как {kg * kg'}. Для любого f:Sn, x^^Y, у0, очевидно, {f} = a{M, MY
Отображения g, g , о которых шла речь выше, определяют также отображение g:Sn, x^—^Y, у0, такое, что g — h+g, g' = h_g. При этом П.1.14{g} = a(g, g').
Предложение. Если g, g', g": Vn, x* —> У, y0 согласуются на Sn-1, то-
(a) “(?,?) = 0, (6) a(g, g') = — a(g', g),
(в) «(g, g')+a(g', g") = a(g, g").
(Ясно из определения a.)
Предложение. Пусть даны отображение g: У”, х*—>У, у0 и элемент а0Ел„(У, р0); тогда существует отображение g' :Vn, ж,—»У, уй1 для которого a (g, g') = а0.
(Пусть w = kgn и — след из класса —а0. Тогда определено произведение и * w и {ги *v*w} = a0. Далее, и * w является отображением
S^1 X /, (S™-1 х 0) U (®» X /) ^ У, у0
и потому его можно пропустить через к. Определим g' так, чтобы kg' = = u*w. Тогда g'| 5n-1 = g | 5”-1 и a (g, g') = a0.)
Эти два предложения будут играть важную роль в гл. 7. Желая получить третье описание элементов гомотопической группы, укажем, что каждое отображение g : Vn; Sn-1 —>Yy0 определяет некоторый элемент {g} группы л„ (У, у0), а именно a (g, е), где е — отображение шара Vn в точку у0.
В случае произвольной re-сферы и произвольной базисной точки можно множество гомотопических классов ее отображений в У, у0 наделить некоторой групповой структурой, изоморфной групповой структуре лп (У, Уо), прибегнув к некоторому гомеоморфизму этой сферы с Sn, х*. Этот изоморфизм зависит, конечно, от выбора гомеоморфизма; однако если ввести ориентацию, то можно оперировать с ним без всяких опасений. Аналогичное замечание относится к отображениям ге-клеток.
Ориентация
В § 2.1 мы определили ориентацию симплекса и обратили внимание на сходство выбора ориентации с выбором некоторого упорядочения координатных осей в Rn. Под это сходство можно подвести фундамент, введя в 5” стандартную ориентацию. Вспомним гомеоморфизм § 3.9 (заключающийся в проектировании по радиусам) h : Sn 2”, где 2п — «октаэдр», покрытый комплексом, который мы обозначили тогда через Kw. Припишем упорядоченному и-симплексу а}а{ . .. аМ ориентацию +1; тем самым индуцируется ориентация на всех ге-симплексах из К№, если потребовать, чтобы два
«-симплекса с общей (« —1)-гранью индуцировали на ней противоположные ориентации. Можно, таким образом, сказать, что пространство S” «ориентировано заданным упорядочением осей в R"*1». Следует заметить, что ориентировать 2П в сущности означает то же, что выбрать образующий элемент группы Hn(ILn), ибо мы взяли тот порождающий цикл, в который симплекс «+«+ . .. а”+1 входит с коэффициентом -4-1. Теперь h можно продолжить до гомеоморфизма
h : Уп+1, Sn —» Фп+1, 2",
где Фп+1 — октаэдральная область, ограниченная множеством 5”. Пространство Фп+1 можно триангулировать как соединение начала координат с 5”. Ориентируем пространство Фп+1, наделив упорядоченный («-]-1)-симплекс Oa\a\ ... a"+1 ориентацией 4-1- Как и выше, это эквивалентно выбору некоторого порождающего элемента в
Яп+1(Ф"+\ 2").
1.17. Определение1). Ориентация (топологической) «-сферы Тп состоит в выборе определенного элемента, порождающего группу Яп (Гп). Ориентация «-клетки Еп (см. § 1.1) заключается в выборе определенного порождающего элемента группы Нп(Еп, Е"), где Е" — граница клетки Еп. Говорят, что Е" ориентирована когерентно с Еп, если гомоморфизм
ИДЕ",
отображает выбранный образующий элемент на выбранный образующий элемент. Выбранную образующую мы будем часто называть положительной образующей.
Определение. Стандартной ориентацией в S" называется прообраз при отображении h* выбранного в Нп (5П) образующего элемента. Стандартной ориентацией в У" называется прообраз относительно h* образующего элемента, выбранного в Я„ (Фп, S”-1). Будем теперь предполагать, что 5” и У” имеют стандартные ориентации.
1.19. Предложение. Sn и Уп+1 ориентированы когерентно.
(Ибо а1 ... а"+1 входит в границу симплекса Оа\ ... а"+1 с коэффициентом 4-1.)
Пусть Г”, Т"— две ориентированные «-сферы; говорят, что гомеоморфизм d : Т^-^Т" сохраняет ориентацию или что он меняет ориентацию в зависимости от того, отображает d* выбранную образующую на выбранную образующую или нет. Аналогичное определение дается для гомеоморфизмов клеток. Значит, d сохраняет ориентацию (меняет ее) в том и только в том случае, если степень отображения d равна 4-1 (— 1)-
Освободиться при определении группы лп (У, у0) от обязательного обращения к конкретному пространству Su нам позволяет фундаментальная
Теорема (Брауэр— Хопф). Отображения /, g : А”—> Sn гомотопны тогда и только тогда, когда их степени одинаковы.
(«Только тогда» нам известно, ибо из f~g следует f* = g*; доказательство более трудной части «тогда» см. в статье Уитни (Н. Whitney, Duke Math. J. (1937), 46.))
4 Есть некоторые преимущества в отнесении ориентации прямо к сингулярным группам гомологий. См. конец § 8.6.
Следствие. Отображения /, g : 5”, ж*—»5”, ж* гомотопны в том и только в том случае, если их степень одинакова; в частности, любое отображение степени + 1 п, значит, каждое сохраняющее ориентацию гомеоморфное отображение Sn, х*—>Sn, х* гомотопно тождественному: отображению.
Следствие. Пусть Т", w* — ориентированная п-сфера с базисной точкой, тогда каждое отображение f‘Tn, w^-^Y, у0 определяет некоторый элемент группы лп (У, уо), который мы обозначим через {/}. Если сферу Тп снабдить противоположной ориентацией, то то же самое отображение / определит элемент — {/}.
(Пусть d : S", х*—»Тп, го* — какой нибудь сохраняющий ориентацию гомеоморфизм; тогда {/} определяется как {^/} = {jdf} £ л„ (У, у0). Независимость определения этого элемента группы лп (У, у0) от выбора гомеоморфизма d вытекает из утверждения II. 1.21. Действительно, в качестве d можно взять любое отображение степени +1. Заметим далее, что гомеоморфизм q : S”—> S" меняет ориентацию, ибо в стандартной ориентации пространства 5” симплекс а^а^ ... а!14" получает ориентацию — 1. Значит, если в Тп введена противоположная ориентация, то гомеоморфизм Qd сохраняет ориентацию, и / теперь определяет элемент {/р df^ = {/ df^ = = {jdf}=-{jdf} = —{/}.)
Ориентация каждого ориентированного (и + 1)-симплекса о„+1 выделяет некоторый образующий элемент группы Нп+1 (sn+1, sn+1); через оп+1 мы будем обозначать re-сферу, ориентированную когерентно с симплексом оп+1. Значит, если а0 — какая-нибудь вершина симплекса оп+1, то отображение / : о„+1, а°-^¥, у0 определяет некоторый элемент {/} группы л„(У, у0), причем {/} = 0 в том и только в том случае, если отображение / можно- продолжить на оп+1.
Как следствие из II.1.20 получаем, что любое отображение степени -|-1 и, значит, каждое сохраняющее ориентацию гомеоморфное отображение
Vn, S""1 —» У”, S"-1
гомотопно тождественному отображению.
Следствие. Пусть Еп — ориентированная п-клетка; каждое отображение / : Еп, Е"—»¥, у0 определяет в лп (У, z/0) некоторый элемент {/}. То же отображение той же клетки, но ориентированной противоположно, определяет элемент — {/}.
(Сравните с утверждением II.1.22.) В частности, элементы группы лп (У, Уо) определяются отображениями оп, ап или 4) отображениями I”, 1п в У, уо- Это, вероятно, самое употребительное описание элементов группы лп(У, уоУ
В гл. 7 мы будем иметь дело с га-клетками, лежащими в некоторой ориентированной re-сфере Г”. Сейчас мы объясним, что мы понимаем под утверждением: некоторая такая клетка Еп ориентирована посредством заданной в Тп ориентации.
Пусть р^Тп; триангулируем Г” так, чтобы точка р была вершиной; мы получаем тогда изоморфизм п* : Нп (Тп)^Нп (р) (см. § 3.7). Будем назы-
вать р*-образ выбранной образующей в группе Нп (Тп) индуцированной ориентацией сферы Тп в точке Р. Независимость ориентации от выбора триангуляции очевидна. Пусть Еп — некоторая лежащая в Тп ге-клетка, содержащая точку р внутри. Тогда имеет место (3.7.6) некоторый изоморфизм, порожденный включением i^ ; Н® (p)^Hl (р). Назовем индуцированной ориентацией клетки Еп в точке р элемент £ Е Я„ (р), такой, что gz*— ориентация сферы Т" в точке р.
Триангулировав Я” как соединение точки р с некоторой триангуляцией пространства Еп, можно отождествить группу Я„ (р) с группой Нп (Еп, Еп). Тем самым мы выбираем некоторую образующую в группе Нп (Е", Еп) и, следовательно, фиксируем ориентацию пространства Е". Эту ориентацию мы и будем называть ориентацией клетки в Е", индуцированной ориентацией сферы Т^. Она не зависит от выбора триангуляций в Тп, Е" и выбора точки р. (Ибо если для введения ориентации в Еп используется некоторая другая точка q, также лежащая внутри Еп, то можно прибегнуть к некоторому гомеоморфизму h : Т11, Еп—>Тп, Еп, гомотопному тождественному отображению относительно дополнения внутренности множества Е" и такому, что ph = q. Получаем, таким образом, коммутативную диаграмму
я„ <к^ Hl ^ Jl_ Hl (р) = Я„ (М, Мо) —> Hn_v (Мо)
5*h*h*k#
Hn (L) ^ Я^ (?) — Hl (q) = Hn (N, Яо) Л H^ (Яо) где К, L — триангуляции сферы Тп; Мо, No— триангуляции пространства Еп; М = рМ0, N = qN0, а изоморфизмы )*, к* индуцированы тождественными отображениями. Положим i* = г‘Д. Тогда если элемент у g Я„ (Я) задает на сфере Tw ориентацию, то это же делает и элемент ту*. Получаем r]y,*z*/z* = ЛЯР-Д*' Таким образом, рассматриваемые нами индуцированные в Е" ориентации соответствуют друг другу при изоморфизме h*. Но 7z*v* = -v*/z*, так как
/г* : Я„(М, M0)-^Hn(N, Яо) индуцируется тождественным отображением. Значит, обе индуцированные ориентации в Еп согласуются между собой.)
Ориентируем полусферы Е", Е" посредством выбранных нами ориентаций сферы S".
Предложение. Полусфера Е" ориентирована когерентно с S"-1, а отображение h^ сохраняет ориентацию тогда и только тогда, когда п четно.
(Ориентировать Я” в соответствии с Sn означает (мы отождествляем Sn с 2”) приписать симплексу а^ . . . а"*1 ориентацию +1- Это сообщает симплексу а\ .. . а" ориентацию ( — 1)" в пространстве Я"-1. Первое утверждение тем самым доказано. Для доказательства второго заметим, что /г+ тождественно на S”-1 и что Vn ориентировано когерентно со сферой Я”"1.)
Принятое нами соглашение об ориентации полусфер Е" и Е" отнюдь не расценивается как самое удобное для всех разделов теории гомотопий. Мы приняли его по той причине, что в гл. 7, как мы уже говорили, нам часто придется иметь дело с клетками, лежащими в ориентированной сфере; представляется в связи с этим разумным ориентировать рассматриваемые клетки посредством ориентации этой сферы. Как следует из II.1.24, это соглашение приведет к вторжению sign (— 1)” в некоторые важные
формулы. Его удалось бы избежать, если бы мы ориентировали Е^ когерентно с Sn-i или если бы мы определили Е" как ту полусферу, которая получает от Sn ориентацию, когерентную с 5”—С Советуем читателю проследить, к чему бы привело такое переопределение Е" в последующем изложении.
Пусть Е^, Е^ — рре ориентированные клетки. Тогда Е™ х Е™ является (т + и)-клеткой. Определим теперь ориентацию произведения в Е”хЕ”. Пусть Dn с Rn — куб, заданный соотношениями —1СмгС1, г=1, . .., п. Ориентируем D" с помощью «радиального» гомеоморфизма Vn —> Du. Произведение D™ X Dn ориентируем, потребовав, чтобы гомеоморфизм D™ х Dn —» —> £)"ч-п, описываемый соотношениями
«и^ . . . , Um^ (у^ . .., ипу —» (щ, .. ., ит, vv .. ., vny
сохранял ориентацию. Пусть /г4 : Е™—> Dm, h2 : Е^—* Dn — гомеоморфизмы. Тогда h^X h2 : Е™ X Е" —> Dm X D" — также гомеоморфизм, и ориентация произведения в Е™ X Е" определяется требованием, чтобы отображение 1ц X h2 сохраняло ориентацию в том и только в том случае, если 1ц и h2 либо одновременно сохраняют ориентацию, либо ее меняют.
Пусть Iй — единичный и-куб в R", заданный соотношениями 0Смг<^1, г = 1, .. ., п; ориентируем Р, потребовав, чтобы гомеоморфизм «растяжения» P—»Dn сохранял ориентацию.
Предложение. Если клетка Е"1 1 ^ Ет ориентирована посредством ориентации Ет, то клетка Е^хЕ" ориентирована посредством ориентации (Е^хЕ")*.
Предложение. Если клетка Еп 1 ^ Еп ориентирована посредством ориентации Еп, то клетка Ета X Еп-1 ориентирована посредством ориентации ^Е” хЕ"У в том и только в том случае, если т четно.
(Грань D^ 1 куба Dp, определенная равенством и1 = в, б = +1 или —1, тогда и только тогда ориентирована посредством ориентации, заданной в Dp, когда б = -Г 1 и г нечетно или б = —1 и i четно. Оба эти предложения можно доказать заменой пространства Ет X Еп на Dm+n с привлечением этого факта.) В частности, мы используем предложения II.1.25 и И.1.26, когда En = I, a £'ra-1 = 0 или 1.
п-простые пространства
Линейно связное пространство У называется п-простым, если для некоторой точки у0 g У группа л4 (У, у0) действует на группе лга (У, у0) тривиально. Это условие эквивалентно тому, что для любых точек yt, y.pY изоморфизм л„ (У, у^ = лп(У, у2), индуцированный каким-либо путем, веду, щим из ух в у2 (см. II.1.8), не зависит в действительности от выбора этого пути. Следовательно, когда пространство У и-просто, запись л„ (У, у0) можно сокращать до л„ (Y) (все группы л„(У, у), y^Y, канонически изоморфны). Обратите внимание, что всякое 1-связное пространство У и-просто при всех п.
Предложение. Каждое отображение / :Тп —» У ориентированной п-сферы Тп в п-простое пространство У определяет некоторый элемент {/}£лп(У); если Е™—ориентированная п-клетка, то любое отображение g-.En—»Y, для которого множество Eng состоит из одной точки, определяет некоторый элемент {^}^л„(У).
Во всем этом разделе пространство У предполагается п-простым. Заметим, что в связи с этим нет необходимости выделять ни базисную точку Уо^У, ни базисную точку w* £ Т". В частности, пространство (Упх7)', ориентированное когерентно с V" х I, представляет собой ориентированную n-сферу. Следовательно, произвольное отображение (Vn X 7)'—» У определяет некоторый элемент группы л„(У).
Пусть g,g':Vn—»Y—отображения и w : Зп~г х 7 —» У — след в У с начальным отображением g | З""1 и конечным отображением g' | 8п-1. Тогда g, g', w вместе дают некоторое отображение Сш : (Vn X 7)" —> У и, следовательно, определяют некоторый элемент
Pte, g'; «Mfye^fY).
1.28. Предложение. Если w—постоянный след, то
Pte, g'"^ w)=—a(g, g').
(Заметьте, из нашего предположения следует, что g | S"-1 = g' 15”-1. Определим отображение р: (Уп х 7)"—» 3й формулами
(ж, 0)р = ж^+, x£Vn, (ж, 1) p = xh_, ж У”, (ж, и^р = х, х^Зп~С
Теперь У” х 0 ориентировано так же, как (У” х 7)’ только при нечетном п, a h+ сохраняет ориентацию, только когда п четно (II. 1.26 и II. 1.24). Значит, степень отображения р равна —1. Наше утверждение теперь следует из равенства pg = Gto.)
Предложение. Пусть У—п-простое пространство, Тп+1 — Т■— ориентированная (п-у Тусфера и Еь ...,ES— (п-у^Уклетки с попарно непересекающимися внутренностями, лежащие в Tn*\ Пусть каждая клетка Ei ориентирована посредством ориентации Т, а граница Ei каждой клетки Et ориентирована когерентно с Ег. Обозначим через TQ дополнение в Т до объединения внутренностей этих клеток. Тогда для любого отображения 1:Тй-^У, 2{№} = 0.
г=1
(Покажем прежде всего, что клетки Et можно заменить на непере- секающиеся замкнутые симплексы некоторой триангуляции сферы Т. Это будет ясно после того, как мы установим одну лемму. Пусть En+1, Qn+1— клетки в Т, ориентированные посредством ориентации Т, причем пусть Q лежит внутри Е. Используя линейную структуру в Е, можно ретрагиро- вать пространство Е— Int@ на Е. Пусть g-.Q—^E— сужение этой ретракции.
Лемма. Степень отображения g равна -f-1.
На самом деле, не теряя в общности, можно предположить, что Е является (п + 1)-шаром, центр а которого лежит внутри Q. Пусть Е"+1— какой-нибудь концентричный с Е шар, лежащий в Q, а сфера Т триангулирована так, что а является одной из вершин триангуляции и | st (а) | с Е. Проектируя по радиусам из а, мы получаем некоторую деформацию dt: Е, А —>Е, Л, rel Е, где А = Е— IntE, такую, что d0 = l, Ad^E и d1\Q = g. Пусть gt = dx\Q, причем будем понимать g^ как отображение
Рассмотрим диаграмму
где, как и в § 3.7, То (а) = Т — st (а) и все гомоморфизмы, кроме gj#. являются вложениями. Мы должны доказать, что g^i* = i*. Но
guit-gum-A^gim-V* и g^^k.
Значит, g^j^ = kJ* = i*, и лемма доказана."
Таким образом, действительно достаточно разобрать случай, когда клетки Ev . .., Es являются попарно непересекающимися замкнутыми •симплексами некоторой триангуляции сферы Т. Тогда очевидно, что утверждение II.1.29 имеет место в случае s=l. Предположим теперь, что оно справедливо для s = k—1, и рассмотрим случай s = k в упрощенной -ситуации: Ех, . . ., Eh—симплексы некоторой триангуляции сферы Т, причем все они ориентированы с помощью ориентации сферы Т.
Пусть Е'х есть (га + 1)-симплекс, у которого есть общая га-грань с симплексом Ev, и пусть Е'х^ Е21 ..., Ен, тогда Е[ и Ei U Ех— («4-1)-клетки (мы ориентируем их посредством ориентации У). Пусть Т" = Т0—Ех и. Т'о = = 7’" J Ех; отображение / | Т”й можно тогда продолжить до некоторого отображения /' : Т'о —» У, так как Тд является ретрактом пространства Т'о. Тогда
0№ = иЖ и E;ywm>
и для z > 2, /1 Et = /' | Et. Этот процесс замены пропущенного (га + ^-симплекса соседним и модификации имеющегося отображения можно повторять до тех пор, пока Ех не заменится на Е*, То на У* = 70— Ef U Еь а / латак, что
f\Ei = f*\Et при г>2,
U№ = u*\e*} и
симплекс Е* имеет общую га-грань с одним из симплексов Е,, i>2, •скажем с Е2.
Тогда Е^ U Е2—некоторая (га 4-1)-клетка S12; мы ориентируем ее посредством ориентации Т. В силу соотношения 11.1.15(b)
{/#1£*}-4{/#|£4Ы^
-Следовательно,
к'к
2 {/ I Ё^ = и* IS12} + 2 {/* I Ety
'13
м справа в силу предположения индукции стоит 0.)
II.1.30. Предложение. Пусть Y—п-простое пространство, Тп— ориентированная п-сфера и Et, .. ., ЕТ — лежащие в Тп п-клетки, внутренности которых не пересекаются. Предположим, что каждая клетка Ег ориентирована посредством ориентации Т. Обозначим через То дополнение в Т до- объединения внутренностей этих клеток. Пусть, далее, заданы отображения /, f : Т —» Y и некоторая гомотопия G:Tox I —>Y между их сужениями на То; тогда
гдегдеi=l
где
где
gi = f\Ei, gi = f\Ei, Gi = G\EixL
(Применим предложение II.1.29 к ориентированной сфере (En+1 X 7)" и клеткам Е"н х 0, E"+1 х 1, Et X I, i = 1, . .., г, где Ёп+1 = Тп. Отображения /, /' и G вместе дают отображение Н:(Тх1) U (70х7)—»У, причем
{Я | (Е"+г х О)-} = (/}, {Я | (Е"+1 х 1)'} = {/'},{Я|(Ягх7)'} = 0(&, g?, Gt).
Знаки в окончательной формуле ставятся на основании утверждений II. 1.25 и II.1.26.)
II.1.31. Следствие. В указанных выше предположениях относительно Y и Т и при условии, что отображения /, f согласуются на То,
(-1)" ({/}-(/'})= 2 <Ц£ь gkVi=l
Заметим, что из утверждения II. 1.31 можно вывести известную гомотопическую аддиционную лемму. В самом деле, если предположить дополнительно, что Tof — yo, то в качестве f можно взять отображение f =е, переводящее Т в у0; тогда получаем
II.1.32II.1.32(-1)” {/}= 2 №
II.1.32
II.1.32
Если п>1, то требование, чтобы пространство Уо было re-просто, здесь излишне. Ибо отображение / можно пропустить через букет и-сфер 5” V . „ . . . V S", имеющих единственную общую точку, а букет этот, как следует из его односвязности, га-прост; в качестве базисной точки можно взять любую точку W^Tq.
Гомотопические группы сфер
II.1.33. Предложение. лг(5п)=0, г<_п.
(Примените теорему о симплициальном приближении.) Пространство Y называется п-связным, если лг(У) = 0, г = 0,1, ...,п. Таким образом, можно сказать, что сфера 5" (п—1)-связна.
II.1.34. Предложение. n.n(Sn') = J (см. II.1.20).
II.1.35. Предложение. лп(51) = 0, га>1 (см. 6.6.15).
II.1.36. Предложение. л3(52) = 7; л„+1 (5”) = J2, п>3.
(Неоригинальное доказательство первого утверждения из II.1.36 изложено в книге Хилтона [10], стр. 51. Классическое (и первоначальное)
доказательство второго утверждения можно найти в статье Фрейденталя (Freudenthal Н., Comp. Math., 5 (1937), 299); оно выводится также с помощью мощных алгебраических методов, например в работе Серра (Serre J.-P., Ann. Math., 58(1953), 258). Эти методы описываются в § 10.6.)
Функциональные пространства и пространства петель
В § II. 1 сразу обращает на себя внимание аналогия между определением фундаментальной группы (как множества классов замкнутых путей с некоторым определенным законом умножения) и определением и-й гомотопической группы (как множества классов замкнутых следов'). В действительности лп (У) можно рассматривать как фундаментальную группу некоторого функционального пространства. В этом параграфе мы определим и рассмотрим функциональные пространства, а применим мы их в гл. 8 и 10.
Пусть Vх — множество отображений пространства X в пространство У. Обозначим через ^ семейство бикомпактных подмножеств пространства X и через Я1 —семейство открытых подмножеств пространства У. Для каждого С£® и U ^Я! через [С, Щ обозначим подмножество множества Vх, образованное теми /, для которых Cj^U, а через j^, Я/]—семейство всех множеств вида [С, U\. Введем в множество Vх топологию, взяв в качестве базы открытых множеств совокупность всевозможных конечных пересечений элементов из [^, ЯЯЛ (это так называемая бикомпактно-открытая топология').
В гл. 1 в случае, когда X—бикомпакт, а У—метрическое пространство, мы определили в множестве Yx метрическую топологию, положив
6 (А /') = supply, ж/').
Предложение. Если X — бикомпакт, а У—метрическое пространство, то эта метрическая топология совпадает на Yx с бикомпактно-открытой топологией.
В дальнейшем через Vх мы будем обозначать функциональное пространство отображений X—»У, наделенное бикомпактно-открытой топологией.
Пусть А — некоторое пространство и g:A—»Yx, g:XxA—»Y—отображения1), связанные соотношением
ж (ag) = (ж, a) g.
Предложение. Если отображение g непрерывно, то g тоже непрерывно. Обратно, если отображение g непрерывно и X — хаусдорфово локально бикомпактное пространство, то и g непрерывно.
(Предположим, что отображение g непрерывно; для доказательства непрерывности g достаточно проверить, что если а 5 g"1 [С, Щ, то некоторая окрестность этой точки содержится в множестве g"1 [С, Щ. Для каждой точки хбС найдутся открытые множества U (х^х, Ux(a)^a, такие, что (U (х) X Ux(ay) g^U. Из открытого покрытия {(7 (ж)} бикомпакта С выберем некоторое конечное его покрытие U (х^, .. . ,U (х^), и пусть V (а) = П Ех. (а).
1=1 1
И Здесь и на нескольких следующих страницах отображения a priori не предполагаются непрерывными.— Прим, перев.
Тогда (С х V (a)) g с U, так что V (a) s g-1 \С, Щ; значит, отображение g непрерывно.
Обратно, пусть отображение g непрерывно и X—локально бикомпактное хаусдорфово пространство. Пусть U—некоторое открытое в Y множество и (ж, a)g^U. Так как элементы множества Yx— непрерывные отображения, а пространство X локально бикомпактно и хаусдорфово, то найдется такая бикомпактная окрестность V (ж) 3 ж, что (V (х) X a) g cU. Тогда а^^[У(ж), £7], и в силу непрерывности g найдется окрестность U (а) 3а, для которой U (a) g с [У (ж), Щ. Но тогда (У (ж) х U (a)) g s U, что доказывает непрерывность отображения g.)
Следовательно, формула II.2.2 в случае, когда X— локально бикомпактное хаусдорфово пространство, устанавливает некоторое каноническое взаимно однозначное соответствие между отображениями А —» Yx и отображениями X хА —> У. Например, каждая гомотопия Н : I х А —> Y соответствует некоторому отображению Н-.А —»У2. Пространство Y1 называется пространством единичных путей на У. Для каждого £, 0^7 ^1, формула ybt = lv, v^Y1, определяет некоторое отображение bt: Y1—» У. Все отображения bt непрерывны, так как b7vU = \t, £7].
Предложение. 60 — b^'-Y1 —»У.
(В самом деле, преобразование I х Y1 —> У, описываемое формулой (С у)—>£у, непрерывно, так как формула II.2.2 ставит ему в соответствие тождественное отображение Y1 —»У1; очевидно, оно является гомотопией от Ьо к Ь^ ■
Пусть (У, уоу8П 1; ^—подпространство пространства Ys" \ состоящее из тех отображений, которые переводят ж* в у0. Из предложения II.2.3 мы получаем
Предложение. л„ (У, у0) Mi ((У, y0)(S" е).
Здесь е—постоянное отображение в у0. Более общий факт:
П.2.6 пДУ,у(;^М(У,у0У5™ ■ где p + q = n. •
Пусть Р (Y) — множество всех путей в У. Имеет место взаимно однозначное отображение множества Р (У) в множество Y1 xR*, где Н+—интервал г>0 действительной прямой, заданное (см. 6.1.5) формулой
(/, г) Ф =(/<!>. г).
Введем в Р (Y) топологию, потребовав, чтобы ср было гомеоморфизмом «в»; при этом множества Е (У, у0), Q (У, УоУ N(Y, у0) наделяются топологией подпространств1) пространства Р (У). Пусть Ev Qt, Nt — аналогичные подпространства пространства единичных путей. Тогда имеет место очевидная гомотопическая эквивалентность
P(Yy E(Y), Й (У), У(У)~У7, ^(У), Qj (У), N^Y).
Элементы группы л4 (У) находятся во взаимно однозначном соответствии с компонентами линейной связности пространства петель Q (У) (или Qt (У)). Вообще (см. П.2.6)
!) См. § 6.1.
II.2.7II.2.7Лп (У) = n„_, (ЙУ).
II.2.7
II.2.7
Пространство ЙУ обладает почти всеми свойствами топологической группы (см. § 6.9); исключением является то, что в нем нет настоящих обратных элементов (есть только гомотопически обратный). Однако, развивая проведенные в § 6.9 рассуждения, можно установить, что закон умножения в ЙУ позволяет определить групповую операцию в лДйУ),— а на самом деле и в лг(йУ)—и установить, что фундаментальная группа пространства петель коммутативна. Отсюда мы получаем
Предложение. Если н>1, то группа лп (У, р0) коммутативна.
Расслоенные пространства, относительные гомотопическиегруппы и точные гомотопические последовательности
Пусть X, В—пространства; отображение р:Х—^В называется расслоением (в смысле Серра), если для каждого полиэдра |7Г|, произвольного отображения /0: \-К [ —> X и гомотопии gt: | К | —» В, удовлетворяющей условию go — foP, существует такая гомотопия ft: \ К \ ~» X, что gt = ftp. Таким образом, р является расслоением в том и только в том случае, если для отображений произвольного полиэдра в X выполняется «аксиома о накрывающей гомотопии». (См. § 6.5; накрывающее отображение является частным случаем расслоения.) Если в В выбрана некоторая базисная точка Ьо, то множество р""1^ называется слоем (над b0); X при этом называется расслоенным пространством, а В — базисным пространством расслоения. Результаты этого параграфа найдут применение в гл. 10.
В качестве примера рассмотрим хопфовское отображение S3 —>- 52. Представим точки б*3 парами комплексных чисел Ci, 2з), Для которых z,zi-V z2z2 — A., a S2 представим т) как комплексную проективную прямую с однородными координатами [zlt z2y, хопфовское отображение описывается формулой (zlf z2) —> [zj, z2]. Это отображение является расслоением, а слоями здесь служат большие круги. Дальнейшие соображения по этому поводу см. в книге Хилтона [10], стр. 51, или Стинрода [16].
Предложение. Если В—линейно связное пространство и р ; Х—>• В— некоторое расслоение, то р является отображением на все В.
Предложение. Если р:Х—>В— расслоение, являющееся отображением на все пространство В, и полиэдр |7f| стягиваем, то любое отображение |7Г|-^-В можно «поднять» в X.
Расслоенные пространства играют особенно важную роль в теории гомотопий и возникают, например, при рассмотрении функциональных пространств. Так, пусть Е(У; А, В) — пространство путей в У, начинающихся в Асу и оканчивающихся в В с у, а отображение р:Е(У; А, В)—» —> А X В ставит в соответствие каждому пути его начало и конец.
Предложение, р является расслоением.
(Доказательство Серра см. в [10], стр. 65; в нем используется эквивалентное пространство Ev (У; А, В) единичных путей. Доказательство заключается в применении предложения II.2.3.)
Пусть А = у0. Тогда р можно рассматривать как отображение р : Е (У-, у0, В )—> В, и если у0 ^В, то слоем над у0 служит пространство ЙУ. В частности, можно положить В = У; получаем
!) Точнее, мы заменяем ,S2 гомеоморфным пространством—комплексной проективной прямой.
18 Заказ № 1335
Предложение. Существует расслоение, при котором расслоенное пространство стягиваемо, базисным пространством является Y, а слоем—ЙУ.
(В самом деле, пространство Е (У) стягиваемо, так как каждый путь можно по себе стянуть в начальную точку у0-)
Определим теперь п-ю относительную гомотопическую группу пары У, В в точке у0^В, называемой базисной точкой, формулой
П.3.5 л„(У, В, у0) = л^ (S (У; у0, В), е), п>2,
где е—постоянный путь в у0; в дальнейшем мы обычно будем опускать базисную точку. Не будем разбирать подробно свойства относительных гомотопических групп; эти свойства аналогичны свойствам абсолютных гомотопических групп, сформулированным в § II.1. Однако нам понадобится
Предложение. Пусть р : X —» В — какое-нибудь расслоение и F — слой (над базисной точкой Ь0^В); тогда р индуцирует изоморфизм
Р* : л^Х, Е^яп(Ву
(Это можно доказать, интерпретируя относительную гомотопическую группу как множество гомотопических классов отображений У", В”-1,ж* —» —»Х, F, ж0, где х0 принадлежит F и является базисной точкой. Групповая операция, заданная на этом множестве, такова, что относительная гомотопическая группа л„ (У, у0, у0) совпадает при такой интерпретации с абсолютной гомотопической группой1) л„(У, у0). Значит, р* действительно гомоморфно, а из определения расслоения сразу вытекает, что р* изоморфно; см. [10], стр. 49.)
Отображение p:E(Y; В)—» В индуцирует, очевидно, некоторый гомоморфизм р* : лп (У, В) —> л^ (В). Будем интерпретировать группу лп (У, В) так же, как в приведенном выше наброске доказательства, т. е. в терминах отображений У”, В”-1, ж*—» У, В, у0; тогда р* индуцируется сужением этих отображений до S"-1. В этой интерпретации гомоморфизм р* мы будем обозначать через р*.
Теорема. Для произвольной пары пространств (У, В) имеет место точная последовательность (точная гомотопическая последовательность пары)
...^«п(В)Хяп(¥)^лп (У, В) ^ л^ (В)—»...
(Здесь ^ — гомоморфизм, индуцированный вложением В, у0 —» Y, у0, и /*— гомоморфизм, индуцированный вложением У, у0 —» У, В. Доказательство приведено в книге Хилтона [10], гл. 4.)
Следствие. Пусть р-.Х-^В— расслоение со слоем F. Имеет место точная последовательность (точная гомотопическая последовательность расслоения)
... —» Л„ (В) -X Л„ (X) -^ Л„ (В) Д Л^, (В) —» . .. .
(Здесь р* определено формулой р* = р*р* : л„ (X, F) —> л^ (В) (см. II.3.6)- Итак, утверждение II.3.8 следует из теоремы II.3.7. С другой стороны, теорему II.3.7 можно вывести из утверждения II.3.8, рассмотрев расслоение p:E(Y, В)—» В со слоем £1Y и применив формулу II.2.7.)
Применяем формулу II.3.5, при этом вклинивается канонический изоморфизм II.2.7.
КОГОМОЛОГИИ И ОТОБРАЖЕНИЯ
§ 7.1. Введение
В этой главе мы применяем теорию когомологий к одному частному случаю одной очень общей математической проблемы, указывая в §§ 7.5 и 7.7 два направления, в которых достигнуты дальнейшие продвижения. Общая проблема состоит в следующем. Пусть даны множества X и У и в X выделено подмножество Л. Предположим, что наши множества наделены некоторой структурой, например структурой группы, дифференцируемого многообразия или топологического пространства. Пусть, далее, дано некоторое преобразование g: Л —> У, которое сохраняет заданную структуру. Возникает вопрос: можно ли продолжить g до некоторого преобразования f:X—»Y, также сохраняющего структуру?
В топологии изучают случай, когда X и У—топологические пространства, a g и /—отображения. Мы рассмотрим здесь эту задачу в частном случае, когда пространства X и Л образуют полиэдральную пару. Пусть L— какой-нибудь подкомплекс комплекса К (не обязательно конечный); предположим, что дано отображение g : | L | —> У, и будем искать его продолжение / : [ К [ —» Y. Сразу же приходит на ум один метод, с помощью которого можно попытаться построить у.
Выбирая произвольно образы вершин из К — L, можно продолжить g до некоторого отображения /°: | К» U L | —» У; затем можно попытаться продолжить /о до отображения у1: | X1 |J L | —> У. Если это не удастся сделать, то мы можем, учитывая возникающие трудности и опыт наших попыток продолжить /°, пересмотреть выбор продолжения /°. Вообще обозначим1) подпространство |K"U^| через Рп и, предполагая отображение fn:Pn-^Y заданным, будем искать какое-нибудь его продолжение yn+1: Pn+1 —» У. если такого продолжения не существует, то имеет смысл пересмотреть продолжение /” отображения у^1 в надежде найти более удачное продолжение отображения У"-1, такое, которое затем можно будет продолжить на подпространство Pn+1.
Метод, принадлежащий Эйленбергу, состоит в оценке препятствия к продолжению отображения У” на пространство pn+i как некоторого коцикла пары К, L со значениями в л„(У). Для простоты предположим, что пространство У п-просто. Случай, когда это не так, разбирается в § 7.6. Будет доказано, что отображение У"-1 можно продолжить на пространство Pw+X в том и только в том случае, если препятствуюгций коцикл является кограницей некоторой коцепи, причем с помощью этой коцепи можно исправить, если нужно, имеющееся продолжение уп отображения уп-1.
т) Обратим внимание читателя на следующее: Рп— полиэдр, быть может, не «-мерный; верхний индекс указывает лишь на то, что Рп— полиэдр «n-секции mod L» комплекса К. Аналогичные замечания относятся и к пространствам Qn, Rn, которые позднее появятся в этой главе. Просим читателя временно забыть соглашение, по которому символ Рп употребляется для обозначения вещественного проективного пространства, а Я”—для обозначения евклидова пространства.
Проблема продолжения тесно связана с гомотопической проблемой. Пусть /о, /4: | К | —> Y— какие-нибудь два отображения полиэдра |7Г|, а G:\L\Xl—>Y—частичная гомотопия между ними, т. е. гомотопия, которая соединяет g0 = /0j]L| и gx — /JlLj. Вероятно, нас должен заинтересовать вопрос, можно ли эту частичную гомотопию G продолжить до гомотопии F:\K\—>Y, соединяющей отображения /0 и fv Комбинируя G, /0 и /17 можно перейти к отображению Н : (| К | х /) [J (| L i X /) —> У, и вопрос состоит теперь в том, можно ли Н продолжить на все пространство \K\xL Это, очевидно, специальный случай проблемы продолжения. В частности, когда подкомплекс L пуст, наш вопрос сводится к следующему: гомотопны ли отображения /0 и j^ Другое важное применение эти методы находят при «измерении» препятствия к построению секущей поверхности в расслоенном пространстве, базисом которого служит полиэдр; см. Стинрод [16]. Последние три параграфа этой главы посвящены неформальному введению в три важные направления теории препятствий.
Препятствующий коцикл
Предположим теперь, что комплекс К ориентирован посредством некоторого упорядочения, Y есть «-простое пространство и задано некоторое отображение / = /”: Рп = | Кп U L | —» Y. Пусть <т„+1— какой-нибудь ориентированный (« + 1)-симплекс из 7£modL. Так как зп+1 с Рп, то отображение р\оп+1 задано и определяет некоторый элемент из лДУ). Таким образом, отображение / определяет некоторую коцепь) ct g Cn+1 (К, L; n,n(Y)) по следующему правилу:
(<7п+ц с/) = {/ | <7п+1}-
Обращаясь к предложению И.1.12, замечаем, что (тп+1, сД-=О для любого симплекса тп+1 ^L, так как у отображения /|тл+1 есть продолжение на т„+1, а именно /|тп+1. Следовательно, cf— коцепь относительного комплекса KmodL). Называется эта коцепь препятствующей коцепью').
Причину такого названия объясняет
Предложение. Отображение Р можно продолжить на Рп+1 в том и только в том случае, если Cf = 0.
В силу предложения II. 1.12, р можно продолжить на все симплексы sn+1 в том и только в том случае, если Су = О; используя утверждение 1.10.4, заключаем, что если отображение р продолжается на каждый отдельно взятый симплекс sn+1, то оно продолжается на все пространство Рп+1.]
[Предложение. Если /0 ~ /1: Рп —> Y, то Cj0 = Cfv
В самом деле, гомотопные отображения границы симплекса сг„+1 определяют один и тот же элемент группы л„(У).]
Теорема. Препятствующая коцепь является коциклом коцеп- ного комплекса
С'(К, L', л„(У)).
Мы должны доказать, что для каждого симплекса оп+2^К—L выполняется соотношение
(оп+2 5, С/) = 0.
Но это частный случай предложения II.1.29. Роль сферы Т1'^1 играет ёп+2, а в качестве Е"+1 фигурирует (— 1)го^+1; при этом через (Tn+i, если оп+г = а°а1 . .. а"+2, мы обозначаем (как обычно) симплекс а° ... а1 ... мп+2.| Предложение 7.2.1 исчерпывает задачу продолжения отображения /п на пространство Рп+1 в том смысле, что это предложение дает необходимое и достаточное условие существования такого продолжения в терминах препятствующего коцикла. Гораздо больший интерес, однако, представляет такая задача: можно ли на пространство Рп+1 продолжить отображение
. уп-1 _ ^п | рп-1
При этом нам известно, что отображение jn-1 обладает продолжением jn на Рп, но мы готовы взять другое продолжение, если это даст возможность осуществить продолжение и на Рп+1. Главным инструментом здесь является понятие различающей коцепи d (f, f') двух продолжений /, f на подпространство Рп одного и того же отображения /п-1: Pn~i —> У; при этом пространство У по-прежнему предполагается п-простым.
Пусть отображения f,f:Pn—^Y согласуются на Рп-1; выберем тогда для каждого симплекса агп^К некоторый сохраняющий ориентацию гомеоморфизм h?:Vn —>а„. Отображения A1/, IPf согласуются тогда на Определим аг (/,/') как a (A1/, h?fy заметим, что выбор /г1 не влияет на значение а1 (/,/') (см. замечание, предшествующее предложению II. 1.23). Определим различающую коцепь d у, f') формулой
(о^, d^H) = а1 (/,/').
Отображения / и /' согласуются на каждом симплексе r^L, а из утверждения 11.1.15(a) следует, что (т„,d (/,/')) = 0. Таким образом, d(j, У) действительно является некоторой коцепью комплекса XmodL.
Предложение. Если отображения /, f, /" : Рп -^Y согласуются на Рп~\ а пространство У п-просто, то
(a) d(f,n = 0, (б) d^,n = -d УМУ
.(в) ^ (/,/')+ (/',/") = (/,/").
Это сразу вытекает из предложения II.1.15.]
Теорема. Если отображения yf;Pn-^Y согласуются на PnW а пространство У п-просто, то
у у
Рассмотрим произвольный симплекс <тп+1^Х и докажем, что (-IH^, ct-ca = an^ М(У ПУ
Для этого достаточно установить соотношение
(-1)п{/К+Д-(-1Н/>„+1}== 2 (-1)‘а№, ^УУ г—О
где Иг:\7п—*сР— какой-нибудь сохраняющий ориентацию гомеоморфизм шара Уп на грань о„ симплекса <тп+1. Однако, это лишь слегка измененная формулировка утверждения П.1.31 с ап+1 в качестве Т" и (— l/On в роли Е"Д
Как мы заметили после предложения И.1.24, sign (— 1)" можно было бы избежать, приняв другие соглашения относительно ориентации. Однако это не представляет особого интереса.
Теорема 7.2.6 означает, что для любых двух продолжений на Рп отображения /п-1: рп~1 —»у препятствующие коциклы когомологичны. Следовательно, мы можем вместо {сД писать £ (Д-1), подчеркивая тем самым тот факт, что класс когомологий (сД не зависит от выбора / — продолжения отображения /п-1 на Рп. Следующая теорема является обратной к теореме 7.2.6.
Теорема. Пусть пространство У п-просто, Cf—препятствующий коцикл отображения f:Pn-^-Y и с}~г в С" (К, L; лп(У)); тогда существует продолжение f отображения p~1~j\Pn~1 на Рта, для которого Cf = z.
Пусть с;—z = (—l)"6d, где d С Сп (К, L; лп (Y)). Будем интерпретировать d как различающую коцепь, т. е. построим продолжение /', для которого d = d у, f), откуда будет следовать утверждение теоремы. С помощью И. 1.16 определим для каждого симплекса OnC^modlj отображение /'| On так, чтобы а1 (/,/') = (сД, d). На Рп-1 отображение /' по определению совпадает с /п-1. Таким образом, отображение /' определено полностью.]
Отсюда вытекает главная теорема данного параграфа.
Теорема. Если отображение p-1:Pn-1—»Y, где пространство Y п-просто, допускает некоторое продолжение j = р : Рп —>Y, то р-1 можно продолжить на Рп+1 в том и только в том случае, если Су~О.
Если отображение р-1 можно продолжить на пространство Рп+1, то существует продолжение /' отображения р-1 на подпространство Рп, которое продолжается на Рп+1. В силу предложения 7.2.1, Ср = 0, а в силу теоремы 7.2.6, с}~ср; следовательно, с/-~0. Обратно, если С/~0, то, по теореме 7.2.7, существует такое продолжение /' отображения /п-1, что С/- = 0; тогда из предложения 7.2.1 следует, что /' можно продолжить на Рп+1.]
Для случая (и—1)-простого и n-простого пространства Y (например, если У 1-связцо) мы можем теперь ответить на вопрос, продолжается ли отображение р-1: Рп~х —> У на пространство Р"*1. Во-первых, коцепь с/П-1 должна исчезать; во-вторых, для любого вспомогательного продолжения / отображения р"1 на подпространство Рп коцепь с у должна быть кограницей. В этом случае любая коцепь, кограницей которой является с^, может помочь нам при усовершенствовании отображения /; она позволяет заменить / (если необходимо) некоторым другим продолжением j, которое затем можно продолжить на Р"+1.
Следует, однако, указать границы области применения всей этой теории. Предположим, например, что п=1 и что на Р»=\Ко (J L\ задано отображение /°, которое можно продолжить до р.Р1 —>У так, что с^—0. Заменим / на Д и продолжим р до р;Рг —»У. Описанный выше метод
дает возможность сказать только, можно ли продолжить отображение /^Р^У на Р3. Ответ может быть отрицательным, и в то же время может существовать некоторое продолжение отображения /° на Р3. В действительности мы располагаем методом, который позволяет пересмотреть последний сделанный нами шаг, но пока нет никакого приема, который позволял бы сделать это для предпоследнего шага. Таким образом, мы не дали никакого общего критерия для определения, можно ли продолжить g:|L|—»У на ,К\, а получили лишь частный результат, который может оказаться полезным в специальных случаях.
Проблема продолжения гомотопии
Как было разъяснено во введении, гомотопическая задача продолжения заданной на | L | частичной гомотопии между двумя фиксированными отображениями полиэдра К | до некоторой гомотопии между ними на всем |Х| совпадает с задачей продолжения некоторого отображения, заданного в произведении | К | X I. Фактически мы предполагаем, что задано некоторое отображение Н : (| К | X /) U ( | L | X /) У и что мы ищем его продолжение на пространство | К | XI. Обозначим подпространство (|Х | X 7) U (Т’”-1 X /) через Qn и будем считать, что пространство У п-просто, а отображение Н уже продолжено до некоторого отображения F = = Fn: Qn ->• У. Как и раньше, рассмотрим, что препятствует продолжению Fn на Q"*1. На каждом симплексе snQ.K может иметься препятствие, состоящее в том, что F | (<тп X /)* не продолжается на п„ X /. Но отображение F | (оп X /)’ определяет некоторый элемент группы л„ (У), и мы определим препятствующую гомотопии коцепь Cp^C^^K, L; л„(У)), называемую также препятствием к распространению гомотопии, формулой
<Рп, Ср) = <Р\^п X /)'}•
Так как для каждого симплекса т„ С L отображение F на т„ X / определено, то (т„, Су) = 0, так что cF действительно является коцепью комплекса К mod L. Заметим, что если в задаче продолжения препятствие лежит в Cn+1 (К, L; л„(У)), то в рассматриваемой гомотопической задаче оно лежит в Сп (К, L; nn(Y)). Можно было бы это препятствие поместить в Сп+1 (К х I, (КX 7) U (Lx/); л„(У)), однако это не дало бы никаких преимуществ, даже если бы была построена теория гомологий для произведения К х I.
Предложение. Отображение F : Qn—> У, где пространство У п-просто, можно продолжить на Qn+1 в том и только в том случае, если Су = 0.]
Следствие. Если an(Y) = O для всех п>0, то любые два отображения /0, /i: | К | —> У гомотопны.
Очевидно, что в рассматриваемом случае пространство У n-просто для всех пив силу его линейной связности можно построить некоторую частичную гомотопию между /0 | |7Г°| и ^\ |№|. Пусть частичная гомотопия между отображениями /01 | К^1| и /j | j Кп~11 уже построена; тогда препятствие к ее продолжению на |7ГП| лежит в нуль-группе Сп ^К", тц^УУ).
Поэтому никакого препятствия нет, и наша гомотопия может быть продолжена. Объединение по всем п так построенных частичных гомотопий дает гомотопию на всем полиэдре |Х|, даже если комплекс К бесконечномерен.]
Следствие. Полиэдр 1X1 стягиваем в том и только в том случае, если лп(|Х|) = 0 для всех n^Q.
Если полиэдр [ К | стягиваем, то любое отображение сферы 5" в | К | можно продолжить на шар Vn+1; следовательно, группа лп (| К I) есть нуль. Обратно, если л„(|Х[) — нуль для всех п>0, то тождественное отображение полиэдра | К | на себя и его отображение в какую-нибудь свою точку гомотопны в силу утверждения 7.3.2.]
Существуют пространства (которые не являются полиэдрами, как следует из предшествующего утверждения), все гомотопические группы которых равны нулю и которые все же не стягиваемы. Рассмотрим,
например, рис. 7.1—пространство, предложенное нам Э.К. Зиманом. Оно образовано соединением в пространстве R1 точки (0, —1) с множеством точек 0, 1, 1/2, 1/3, . .., 1/и, ..., лежащих на оси и1; и соединением точки (0, 1) с множеством точек 0, —1, —1/2, —1/3,..., —1/п, ..., также лежащих на оси uv
Теорема. Препятствующая гомотопии коцепь является коциклом в С (К, L1, л„(У)).
Доказательство этого утверждения похоже на доказательство теоремы 7.2.3. Мы покажем, что для каждого симплекса о^^К
(о„+1, 6cF) = (<тп+1д, cF) = 5 (— 1Г VFI (^» X /)"} = 0.
Положим в предложении II.1.29 Гп+1 = (о„+1хFf, а в качестве (n + 1)- клеток в Гп+1 возьмем (ол+1 х 0), (оп+1 х 1), (а^ X 7) с ориентациями (— I)71, (— l)n+i и (— 1)г, где i = 0, . .., п +1. Так как у отображений Е | (<тп+1 X 0) и F|(ffn+1xl) есть продолжения на подпространства ппИ X 0 и оп+1х1, то
{7’|(on+Ix0)}-{F|(on+Ixl)} = 0,
и наше утверждение теперь следует из предложения II.1.29.] Обратите внимание, насколько существенно было в конце доказательства то, что отображения /о и /t определены на пространстве РпИ.
Следуя той же схеме, что и в предыдущем параграфе, рассмотрим теперь какие-нибудь два продолжения F, F' отображения Fn"1: Qn-1 —»У на Qn.
На каждом множестве sn_4 XI эти продолжения отличаются (если они вообще отличаются) только внутри, согласуясь на (s^-t X /)' S (?n-1. Пусть h? : Уп —» 0^-4 х I— некоторый сохраняющий ориентацию гомеоморфизм, тогда отображения №F, IFF' согласуются на Sn-1. Обозначим a(hvF, h?F'y через аг (F, F'Y, этот элемент не зависит от выбора гомеоморфизма h?. Различающая гомотопии коцепь d (F, F') £ Сп-1 ^К, L; л„ (У)) определяется следующей формулой:
(oLn d(F, F'Y = »4F, F'Y
Теорема. Пусть F, F'— два продолжения на Q" отображения Fn-1: Qn-1Y, a Y есть п-простое пространство, тогда
Cp-cp^-iy^d^F, F'Y
Выбирая какой-нибудь симплекс апуК, мы сводим нашу задачу к доказательству равенства
(-1)” {У I (5п х /)•} - (-1)" {Е' | (ал х ту) =
= ^пд, d ^F, F'Y = 2 (- iy (O--1, d (F, F'Y- i=0
Но это равенство является частным случаем равенства II.1.31: (<т„ X1)' играет роль сферы Тп, а (— 1)г (о„-1 X I) играет роль Е".]
Следуя доказательству теоремы 7.2.7, можно доказать ее аналог, являющийся обращением теоремы 7.3.5. Следовательно, имеет место
Теорема. Пусть Y есть п-простое пространство, L — подкомплекс комплекса К и Qn = {\K\xI) J (|Xn-1 J L\xF); пусть заданы отображения /о, h : | К | —» Y,
F = F" ;Qn->Y,'
такие, что (ж, е)Е = ж/е, где е = 0, 1, для всех zg|X|. Тогда отображение
F^-i = р |(?п-1
можно продолжить на Qn+1 в том и только в том случае, если cF—О в С {К, L; л„(У)).]
В этой теореме, таким образом, мы имеем дело с двумя отображениями полиэдра 1^1 и некоторой связывающей их частичной гомотопией, определенной на Е"-1 (J L\. В ней дается ответ на вопрос, можно ли сужение этой частичной гомотопии на | Кп~2 (J L | продолжить до некоторой частичной гомотопии на \Кп (J L\.
Между препятствующим гомотопии коциклом и различающей коцепью из предыдущего параграфа есть некоторая связь. Пусть /0, ft— продолжения на подпространство Рп некоторого отображения р-1: Р"""1—> Y. Тогда можно задать вопрос, продолжается ли постоянная гомотопия на Рп-1 до какой-нибудь гомотопии Рп, соединяющей отображения /0 и jv Этот вопрос ведет к рассмотрению препятствующего к распространению гомотопии элемента cF^Cu(,K, L; л„(У)). Пусть /гг: У’1пу для каждого симплекса оу £ К является некоторым сохраняющим ориентацию гомеоморфизмом. Тогда из общего определения коцикла, препятствующего распространению гомотопии, следует, что
Ср) = р(/»7о, а'А; ^fy
где ^ определяется так же, как это описано в абзаце, предшествующем предложению II.1.28. В нашем частном случае hlF является постоянным следом, и можно, применив утверждение II.1.28, заключить, что
. . (с^, cF) = a(/zVi, ^Vo)H^, ^(/t, /0^
Таким образом, имеет место равенство
сР = </(/„/0).
Напрашивается такой парадокс: коцепь cF в силу теоремы 7.3.4 является коциклом, в то время как коцепь d (/f, /0), вообще говоря, может и не быть коциклом. Этот парадокс легко разрешить. В рассматриваемом случае F—(постоянная) частичная гомотопия, связывающая два заданных на Рп—\Кп (J L\ отображения, так что из теоремы 7.3.4 следует только, что Ср'—коцикл в С (Кп (J L, L; л„(У)), а не в С" {К, L; л„(У)). Поэтому можно сказать только, что коцепь d^, f0) является коциклом в С" ^Кп (J L, L; л„(У)), а это едва ли кого-нибудь удивит, поскольку •^(/1, /о) есть «-коцепь.
Условие, необходимое и достаточное для того, чтобы коцепь d (/ь /0) была коциклом в С' (К, L; лп(У)), сразу получается из теоремы 7.2.6: c/0 = C/i- Это условие выполняется, если и /0, и 7 можно продолжить на Рп+1.
Предложение. Если пространство У п-просто, а отображения jOl jt-Pn—>Y согласуются на Рп-1, то dy^, jo^~O в том и только в том случае, если /0 ~ jt rel Рп-г.
В силу равенства 7.3.7 и теоремы 7.3.6, cF~0 тогда и только тогда, когда F | (Р” X 7) U (Р”“2 х 7) можно продолжить на Рп X 7. Так как в данном случае F | Рп-1 х 7—постоянная гомотопия, последнее эквивалентно условию jo ~ /i rel Рп"2.]
В следующем параграфе нам понадобится
Предложение. Если пространство У п-просто, а отображения Fq, F1:Qn—»Y согласуются на Qn-1, то d^F^ Foj ~ 0 в том и только в том случае, если Fo — Fv rel Qn-2.
Доказательство этого утверждения аналогично доказательству предложения 7.3.8; дадим его набросок. Рассмотрим препятствие к продолжению постоянной гомотопии Ф”, заданной на Qn-1 (которая связывает совпадающие отображения Fo | Qn-1 и F^Q""1), до гомотопии на Q", которая соединяла бы FQ и Fv Это препятствие можно оценить как некоторый элемент Сф^С"”1^, L; лп-1(У)). (Каким именно образом это сделать, должно быть ясно.) В некотором более общем контексте можно доказать, что сф ~ 0 тогда и только тогда, когда сужение Ф до гомотопии на Qn~2 можно продолжить до гомотопии на Qn, связывающей Fo и Р^ В нашем случае эта гомотопия как раз и будет некоторой гомотопией rel Qn-2. Можно также доказать, что в рассматриваемом случае постоянной гомотопии Ф
Cф = d{Fl, Ро).]
В дальнейшем эта теория пригодится для исследования препятствий к распространению гомотопий, соединяющих рассмотренные нами гомотопии. Область применения идей и языка теории препятствий не ограничивается рассмотренными здесь ситуациями. Читателю, быть может, будет интересно обратиться к теореме 3.4.3 и обнаружить, что главный смысл ацикличных носителей состоит в отсутствии препятствия к построению подходящей цепной гомотопии.
Некоторые применения
В описательных рассуждениях, связанных с теорией препятствий, нам удобно будет называть препятствующий коцикл
с^С^ЦК, L; л„ (У)) первичным препятствием) к продолжению отображения f = fn:Pn—»Y на пространство Рп+1, а его класс когомологий
L; un(Y))
-вторичным препятствием) к продолжению Р”1 = /1 Рп~г на Рп+1. Аналогичная терминология будет использоваться и в случае препятствий к продолжению гомотопий, причем, например, утверждение «не существует вторичного препятствия» будет означать, что вторичное препятствие является нулевым элементом.
Рассмотрим некоторую ситуацию, одновременно слишком специальную и слишком общую, чтобы возбудить немедленный интерес. Однако у нее есть два частных случая, важных с геометрической точки зрения. Они будут выделены в виде следствий из теоремы.
Теорема. Предположим, что пространство Y 1-связно и что существует целое число т>2 (или что Y 0-связно и п-просто для всех п и что т = 1), такое, что
для всех р = 2, . .., т— 1, (а) Нр-1 (К; лр (У)) и (б) Нр (К; лр (У))'— нули, и
для всех п">т, (а) Нп (К; л„ (У)) и (б) Нп+1(К‘, л„(У))-—нули. Тогда гомотопические классы отображений полиэдра |К| в У находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами группы Нт (К; лт(У)).
Идея доказательства проста и привлекательна. Выберем некоторую базисную точку у0 £ У. Каково бы ни было отображение / : | К | —> Y, вторичное препятствие к деформации его в некоторое отображение, которое переводит подпространство | Кт-11 в у^, отсутствует. Однако существует препятствие к деформации отображения / до отображения, переводящего |Х"1| в у0. Это препятствие представляет собой некоторый коцикл в Ст (К; лго(У)). Какая-либо другая деформация отображения / до отображения, переводящего | К™^1; в у0, определяет, вообще говоря, некоторый другой, но когомологичный коцикл. Таким образом, отображение / определяет элемент группы Нт(К; лт(У)). Очевидно, гомотопные отображения определяют один и тот же элемент. Обратно, если два отображения определяют один элемент, то вторичного препятствия к тому, чтобы продеформировать одно из них так, чтобы оно согласовывалось с другим на |Кт|, нет. Далее, нет вторичного препятствия и к тому, чтобы посредством деформации согласовать последние два отображения полностью. Следовательно, отображения, которые определяют один и тот же элемент группы Нт (К; nm(Y)), гомотопны. Наконец, для любого элемента группы Нт (К; nm(Y)) можно построить частичное отображение /n+1: [ Km+11 —» Y, определяющее именно этот элемент, и нет вторичного препятствия к продолжению отображения у^^^-и] -/С"1 до отображения полиэдра \К\ в пространство У, также определяющего этот элемент. Эти утверждения устанавливают взаимно однозначное соответствие между классами отображений полиэдра |Х| в У и элементами группы Нт(К-, nm(Y)).
Для полноты приведем теперь техническую сторону доказательства. Начнем с замечания, что если m > 2, то пространство Y односвязно и потому n-просто для всех п, так что независимо от того, m > 1 или 7тг = 1, пространство Y тг-просто. Пусть теперь е—постоянное отображение полиэдра | К | в точку г/0. Построим некоторую вспомогательную частичную гомотопию на | К91 между в и /. Это можно сделать, так как пространство Y 0-связно. Рассмотрим ассоциированное с этой гомотопией отображение F1^1—>Y и коцикл с~ в С1 (X; Hj (У)). Здесь, конечно, L— пустой комплекс. Если тп>1, то по условию (16) группа Т/1^; л, (У))— нуль. Значит, с~ является кограницей, и вторичного препятствия к продолжению отображения F°:Q9—»Y на Q2 нет. Здесь F9—отображение, которое переводит множество | К | х 0 в точку у0, а на | К | X 1 совпадает с /. Пусть F^'.Q^—^Y — некоторое временное продолжение отображения У0; положим Е1^2^1. Отображение F1 уже можно не считать временным. Вообще, если уже построено отображение Fp : Qp —> V и Fp_1 — = Fp | Qp-1, то в предположении, что p < m, вторичного препятствия к продолжению отображения Fp-1 на Qp+1 нет, так как в силу условия (16) группа Нр {К\ np(Y)) тривиальна. Это построение приводит нас к некоторому отображению Fm : Qm —» У, что дает частичную гомотопию на подпространстве )Х|т-1, связывающую е и /. В дальнейшем условие (16) нам не понадобится.
Вторичное препятствие к продолжению отображения Fm-1 = Fm [ Qm-1 на Qm+1 является элементом группы Нт (К; лт (У)). Мы обозначим его через £(/; Fm-1). Чтобы показать, что элемент I' ”1) не зависит от выбора продолжения F = Fm-1: Qm-1 —>Y отображения F°, воспользуемся условием (la). Пусть F':Q’U-1—>Y — какое-нибудь другое продолжение отображения F9. Обозначим через Rp подпространство
(Q™"1 х /) и «Р^1 X /),
и пусть Ф1:/?1—»У—отображение, ассоциированное с частичной постоянной гомотопией на Q9, связывающей отображения F и F'. Итак, (ж, 0) Ф1 = = xF и (ж, 1)Фх = жЕ' для любой точки x^Qm-1; (ж, и) Ф1 = xF = xF' для любой точки x^Q9. Если тп>1, то отображение Ф1 можно продолжить до некоторого вспомогательного отображения Ф2: R4—^ У, так как первичное препятствие лежит в С° (К; л^У)), а группа nt (У) тривиальна. Предположим, что уже построено продолжение Фр : Rp —» У отображения Ф1, и обозначим Фр | Rp-1 через Фр-1. Тогда вторичное препятствие {сф} к продолжению отображения Фр-1 на Rp+1 лежит в группе Нр~1 {К’, Яр^У)). Но если р< тп, то в силу условия (1а), группа НР-Х^К; лр^У^ равна нулю, и поэтому на основании равенства 7.3.10 и предложения 7.3.9 можно построить некоторое вспомогательное продолжение Фр+1 отображения Фр-1 на Rp+1. Так мы придем к отображению
5m:Rm = Qnt"1Xl->Y, являющемуся продолжением отображения Ф1. Оно представляет собой гомотопию rel Q9, связывающую отображения F и F'. Ясно, однако, что из F ~ F' rel Q° следует равенство £ (/; F) = £ (/; F'1). Этим доказана независимость вторичного препятствия от выбора частичной гомотопии на | Кт~21, а потому его можно теперь обозначить через £(/).
Так как очевидно, что из f~ g:\K\->Y следует равенство £ (/) = = ^(g), то £ индуцирует функцию £*, определенную на множестве гомото-
пических классов отображений | К | в У со значениями в группе Н “ (.К; лт (У)). В рассуждениях, которые привели нас к определению £*, использовались условия (1) теоремы; теперь мы воспользуемся условиями (2) и докажем, что У— взаимно однозначное отображение на всю группу НЦК; ^(Y)).
Предположим сначала, что £* {/} = £* (g). Докажем с помощью условия (2а), что тогда / ~ g, отсюда будет следовать, что £*— взаимно однозначное отображение в группу Нт {К; лт (У)). Пусть
р __ рт • q™ у
— некоторое продолжение отображения У™-1, где У'1-1, как и ранее, описывает некоторую частичную гомотопию на подпространстве |Хт-2|, соединяющую отображения ей/. Пусть Gm-1: Qm-1-^-Y соответствует некоторой частичной гомотопии на подпространстве | К'п~2 | между е и g, и G = — Gm:Qm_^Y—какое-нибудь временное продолжение отображения Gni-1. Так как £(/) = £(g), то сЕ~сд, и в силу предложения II.1.16 существует такое продолжение G = Gm отображения Gm-1, что cE^cG. Скомбинируем теперь F и G в отображение Т — Т"1: Qm —» У, где Т может быть грубо описано как F*G. Точное описание отображения Т таково:
(ж, 0)7 = ж/ и (ж, 1)7 = xg для ж^1У|,
. f (ж, 1-—2м) F для ж £ | К™-11, О^м^у, (ж, м) Т = ]
[ (ж, 2м—1)G для ж5|Ут-1|, —^м^1.
Так как cT = cG— cF = 0, то нет первичного препятствия к временному продолжению отображения Тт до отображения 7m+1; (У1+1 —» Y, задающего частичную гомотопию на | Ка | между / и g. Вторичное препятствие к продолжению Та на <2т+2 лежит тогда в группе Я'"+1 (У; лт+1(У)), а последняя является нулем в силу условия (2а). Следовательно, существует некоторое временное продолжение Тти : Qm+2 —» У, и Т'н*21 Qai+1 мы обозначим через 7"‘+1. Повторно применяя это рассуждение, получаем последовательность Tm, Тт+1, ... отображений подпространств Qm, Q'“+1, .. . в пространство У, каждое из которых является продолжением предшествующего. Вместе эти отображения задают отображение Т : | К | х I —> У, описываемое формулой
хТ = хТт1 если ж ^ QT;
хТ при этом не зависит от выбора числа г для данной точки ж, а топология полиэдра | К | обеспечивает непрерывность так определенного Т. Ясно, что Т является продолжением отображения T°=Ta\Q° и потому представляет собой некоторую гомотопию между fug. Этим завершено доказательство взаимной однозначности соответствия С*.
Наконец, чтобы доказать, что областью значений У служит вся группа НЦК; лт(У)), воспользуемся условием (26), а именно тем, что группа H^+i ^К; л„ (У)) равна нулю для всех n>m. Для произвольного элемента {z} £/Г1 (Я; лm (У)) построим такое отображение /: | К | —> У, что t, (/) = = {z}. Обозначим через /"1-1: | К”1-11 —* У постоянное отображение подпространства Я"1*1 в у0 и возьмем такое его продолжение /,1:|№1|—> У, что "dya, e) = z. Оно существует в силу предложения II.1.16. Первичное препятствие к продолжению отображения /11 на | 7У‘+11 отсутствует:
c/m = ce + (-l)™6d(/in, е) = 0.
поскольку отображение е||^т] действительно продолжаемо, a z— коцикл. Так как первичного препятствия нет, можно продолжить отображение /'" до временного отображения /'n+1: | /<"И11 —>У. Вторичное препятствие к продолжению отображения /л‘ на подпространство | К"1*11 лежит в группе рр»^^; лт+1 (У)), а она тривиальна. Поэтому существует некоторое временное продолжение /п+2: | Kmti : —> У, и мы положим ym+i_^n+2| |^т+1|. Рассуждая таким же образом и дальше, обнаруживаем, что вторичное препятствие всегда отсутствует. В результате мы получаем последовательность отображений /т, /т+1, . .., определенных на подпространствах |№”|, АГт+1|, ..., каждое из которых является продолжением предшествующего.
Вместе они дают некоторое отображение / : | К | У, которое является продолжением отображения /т. Но, по построению /™, первичное препятствие к продолжению частичной постоянной гомотопии на | К^1| до частичной гомотопии между е и / на ТС'1' равно d(/, e)=z (см. 7.3.7). Значит, £ (/) — {z} и £*{/} = {z}. Следовательно, каждый элемент группы Н'Я(К-, лт(У)) принадлежит области значений отображения £*. Тем самым полностью доказано, что £* является взаимно однозначным отображением требуемого рода.)
Следствие. (Теорема Хопфа.) Если, комплекс К т-мерен ('т>1), то множество гомотопических классов отображений полиэдра | К | в сферу Sm находится во взаимно однозначном соответствии с множеством элементов группы Нт(К, J).
При т > 1 сфера S1U 1-связна, а сфера S1 0-связна и и-проста для всех п. Далее, лт (5"‘) = J для всех т (II.1.34, II.1.35). Условия (1) из 7.4.1 выполняются, так как лр (£'"■)= 0 при р ■< т. Условия (2) также- выполняются; это следует из того, что при п">т Сп (К; лп(У))=0.)
Заметим, что если опустить размерностные ограничения на комплекс К, то мы все же получим некоторое отображение £*:л(|Х|; Ут) —> Нт (К), где л(Х, У)— множество гомотопических классов отображений X—>У, а группой значений для когомологий является J. Ясно, что каждое отображение g : ] К | —> | L | индуцирует некоторое отображение g# : л (| L |; Ут) —> л (I К |; Хт), описываемое формулой g* {/} = = {g/}. Отображение £* естественно в том смысле, что
g^^^g*: л([£|; S^H^XKY
В самом деле, рассмотрим сначала произвольное симплициальное отображение и : К -a- L. Пусть / : | L |, | Lm-1 [ -a- Sm, у0— отображение, и £ (/) g Zm (А)— препятствие к деформированию его в такое отображение, которое переводит | Lm | в у0. Тогда, очевидно, препятствием к деформированию отображения ] и I / : | К |, | Кт-11 —>- 8т, у0 до такого отображения, которое переводит | Кт | в уо, является элемент и" (£ (/)). Значит, и" (£ (/)) = £ (| и | /), откуда
и*^* = £* | и |^.
Пусть теперь и : Х<г> —> L—симплициальное приближение отображения g; и : К^ —> —>- К—некоторое стандартное отображение и х '• С (К) — > С ^К^^—-цепное отображение, соответствующее переходу к подразделению. Так как | и | = g, | и | = 1, то |ul#=g*,_ | г |^ = 1 и следующая диаграмма коммутативна:
и*V*
Нт (L) -> Нт <Kvr^ <— нт (К)
Т £<*)
л (| L ]; У™) —> л (| А' |; Ут) <— л (| К |; Sm\
Итак, g* = x*u* и х*г* = 1. Значит,
g*t,* = х*“*?* = Х*Чп8* = X*r*$*g# = £*g#,
и равенство 7.4.3 доказано. Отсюда следует, что если К и L m-мерны и если с помощью> соответствия g* перенести групповую структуру из Нт (К) в множество л(]Х]; 8ту.
то индуцированный отображением g гомоморфизм групп когомологий g* преобразуется при этом в отображение g#, которое будет, таким образом, гомоморфно относительно индуцированной групповой структуры в л(|К|; SmY
Случай m = 1 следствия 7.4.2 неформально обсуждался в § 2.7. Эту часть утверждения 7.4.2 можно получить из предложения II.1.35, не налагая каких-либо ограничений на размерность комплекса К. Это утверждение является также частным случаем следующего результата:
Следствие. Если т— целое положительное число и лга(У) = 0 Эля всехп=у=т (в случае т—Л предположим дополнительно, что пространство У Vnpocmo), то гомотопические классы отображений полиэдра | К | в пространство У находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами группы Нт (К; лт (Y)).
Посылки теоремы 7.4.1 прямо вытекают из ограничений, наложенных на пространство У J
Заметим, что для бикомпактного полиэдра | К | произвольное отображение / : | Кт | —> Sm индуцирует гомоморфизм
/* : Нт (Sm; J) ->• Нт (Кт; jy
Обозначим через т]т положительный образующий элемент группы Нт (Sm; JY Мы видим, что отображение / определяет некоторый элемент у*тзт g Нт (Кт; JY Предлагаем читателю доказать, что £* ]/} — /*т]т. Можно не предполагать бикомпактпости полиэдра |Х|, если пользоваться сингулярной теорией когомологий (см. гл. 8).
Пространство, которое удовлетворяет условиям, наложенным на У в 7.4.4, называется пространством Эйленберга— Маклейна К (л, тр, здесь л = лт(У). Из предложений IJ.1.34, II.1.35 следует, что окружность 51 есть К Ц, 1). В качестве КЦ^ 1) можно взять подходящим образом определенное бесконечномерное вещественное проективное пространство, а в качестве К (J, 2)—бесконечномерное комплексное проективное пространство. Пространства Эйленберга—Маклейна существуют и для других значений т и других ненулевых групп л, но они далеко не так привычны. Эти пространства играют очень важную роль в топологии. Их гомотопические свойства аналогичны гомологическим свойствам сфер, так что не удивительно, что эти пространства оказываются полезными. Заметим, что пространства Эйленберга — Маклейна позволяют сразу получить геометрическое изображение любого элемента группы Нт (К; G^ в виде соответствующего гомотопического класса отображений полиэдра j К | в пространство К (G; т).
. Отображения полиэдра в Sm
В этом параграфе мы рассмотрим продолжения на | К | отображений его подполиэдра |L| в сферу Sm в случае, если размерность комплекса К > т. Начало параграфа представляет собой нечто большее, чем просто переформулировку уже доказанных результатов. Однако это приводит к обсуждению задачи продолжения заданного отображения на подпространство рт+2 = |^т+2 j £|_ 1у[ы не разбираем полностью этой задачи, довольствуясь несколькими указаниями на подход Стинрода к ней1).
Будем называть отображение полиэдра |7£| в сферу Sm нормальным отображением, если образом подпространства |7^т-1| является х*, любое отображение гомотопно некоторому нормальному отображению, и если L^K и g : | L j —> Sm—нормальное отображение, то любое продолжение отображения g на j К | гомотопно rel ] L | некоторому нормальному отображению. Нормальной гомотопией, соединяющей два нормальных отображения полиэдра |7£|, называется гомотопия rel |Am~2|. Под нормальной гомотопией rel | L | понимается гомотопия rel Рт~\ Каждую пару гомотопных нормальных отображений полиэдра | К | можно соединить некоторой нор-
!) См. Steenrod N. Е., Ann. Math.., 48 (1947), р. 290, и [17].
мальвой гомотопией, и любые два нормальных отображения полиэдра \К\, гомотопные reljL,, соединяются некоторой нормальной гомотопией rel ) L.|. Различные утверждения этого абзаца можно доказать, заметив, что соответствующие первичные препятствия отсутствуют, так как группа лг (Sm) равна нулю при r<m.
Каждое нормальное отображение / : | К | —> Sm согласуется на подпространстве | К”1-11 с постоянным отображением е полиэдра | К | в ж*, и мы положим zy равным dy, е), где</(/, е) — различающая коцепь в С,п(К; лт(5"1)) = = СпуК; J). Если группой значений служит J, мы не будем в этом параграфе указывать ее: например, будем писать Ст (К) вместо Ст(К, J).
Так как ей/ определены на всем полиэдре \К\, то се = су—О и6zr-=6dy, е) = ( — !)" (с, —се)= 0.
Таким образом, Zj является коциклом комплекса К. Этот коцикл называется характеристическим коциклом отображения /. Если /' — нормальное отображение, гомотопное /, то /' ~ / rel [ K,n"a j и, в силу утверждений 7.2.5 и 7.3.8, zy—Zf=-dy',e)— d У,е) = d У', /)~0. Следовательно, характеристические коциклы гомотопных нормальных отображений когомологичны. Значит, если / — любое (не обязательно нормальное) отображение, мы можем с его гомотопическим классом {/} связать некоторый элемент {zy} £ Нт (К). В действительности, если ц”1— положительная образующая группы Н!""(8"гу то {zy} = /*Т]™
Рассмотрим теперь задачу продолжения отображения g : | L | —> 8т на Pm+1.
Теорема. Пусть L— подкомплекс комплекса К; нормальное отображение g : | L | —.- 8т в том и только в том случае продолжается на подпространство Р’11*1, если zg^Cm (L), характеристический коцикл отображения g, продолжается до некоторого коцикла комплекса К. Это эквивалентно условию v*{zg) = 0^Н®4 (К, L; jy
Вспомним точную последовательность
0 <- Ст (L) Ст (К) ^’с"1 (К, L)^0 и когомологическую последовательность
п* V* „ %* 11* V*. . Ят+1 ^ ц Нт (L> цт ^ Н'ЧК, L^— . . . .
Иногда мы будем писать Ст вместо Ст (К, L), в аналогичном смысле будем употреблять обозначения Z, В, Н. Условие, что коцикл zg продолжается до некоторого коцикла комплекса К, означает, что zg^K'Z^K\ Можно установить, что последнее соотношение эквивалентно условию {zg}£ WH (К) или, в силу точности когомологической последовательности, — условию v* {zg} = 0. Нам остается, следовательно, доказать только первое утверждение теоремы 7.5.1.
Нет препятствия к продолжению отображения g до некоторого отображения / = /п: Рт —^- 8т. Обозначим через Zy характеристический элемент отображения /. Тогда Zy является продолжением коцикла zg (т. е. zg = X’z#y причем Zy—коцикл подкомплекса Кт (J L, но, вообще говоря, не коцикл комплекса К. С другой стороны, если отображение / можно продолжить до некоторого отображения /m+I: Р™*1 —> 8т, то zy будет коциклом комплекса jK7m+1 U А и, значит, коциклом комплекса К. Обратно, если Zy—коцикл комплекса К, то / продолжается на I№1. Заметим теперь, что каждая коцепь в Ст (Ку продолжающая zg, является характеристическим элементом некоторого продолжения на Рт отображения g. Следовательно, если zg
можно продолжить до коцикла в К, то существует продолжение отображения g на подпространство Рт, которое само можно продолжить на Р"‘+1. Этим доказано, что zg в том и только в том случае продолжается до некоторого коцикла комплекса К, если отображение g можно продолжить на pm+ij
Преимущество второй формулировки утверждения 7.5.1 состоит в том, что она применима и к ненормальным отображениям подполиэдра | L | в Sm, поскольку она установлена в терминах классов когомологий.
Теперь мы рассмотрим третичное препятствие, препятствие к продолжению отображения g на подпространство Рт^. При этом мы ограничимся теми нормальными отображениями g, которые имеют (нормальные) продолжения /:Р™+1 —> Sm. Если j = j\Pm, то вторичное препятствие ^с^ к продолжению отображения / на пространство Рт+2 принадлежит группе
Нт+2 (К, L-, лт+1 (5т)) = Ят+2 (Я, L; J2)
при условии, что т>3. Обозначим эту группу через Н™^" •, а препятствие — через £(/). При отыскании третичного препятствия к продолжению отображения g его продолжение / на подпространство Рт следует, конечно, считать временным. Оказывается, что если f: Рт+1—» Sm — какое-нибудь другое продолжение отображения g и f^f'\p"\ то элемент £(/)— £ (/') принадлежит некоторой подгруппе группы НУД", обозначаемой через Sq2Hm. Последнюю можно эффективно вычислить. Следовательно, соответствующий смежный класс [£ (/)] ^H^^ISq^H"1 зависит только от отображения g. Мы будем обозначать его через т] (^g). Оказывается, т] (g) дает удовлетворительную оценку третичного препятствия в том смысле, что ц(^) = 0 в том и только в том случае, если g можно продолжить на Рт*\
Для любой симплициальной пары К, Ln произвольных п, i > 0 Стинрод определяет с помощью одного варианта о-произведения некоторый гомоморфизм !)
Sql:Hn->H^\
Как раз этот гомоморфизм при п—т и г = 2 определяет в Я^ц2 ту подгруппу, о которой шла речь выше. Если /, /'— такие же отображения, как в предыдущем абзаце, то коцепь d (j, f) определена, поскольку / и /' согласуются на Рт-1. Эта коцепь является коциклом в Ст, так как / и f продолжаются на подпространство pm+1. Определим элемент 0 (/, /') как {d (/, /')} g Н11. Главный результат Стинрода для относительного случая состоит в следующем:
7-5.2 Ш-^кП = 8Ч^и,П.
Отсюда сразу следует, что £ (/)— £(/') £^2Нт и что смежный класс
\WW^foSq2H'L
следовательно, зависит только от отображения g. Мы теперь выведем отсюда, что Л (g) = 0 в том и только в том случае, если g можно продолжить наРт+2. Если g продолжается на Р"1*1, то у него есть продолжение / на Рт, для которого вторичное препятствие £ (/) равно нулю; значит, t](g) = O. Обратно, предположим, что т] (g) = 0; пусть / : pm+i —> Snl — какое-нибудь нормальное продолжение отображения g и f=f\Pm. Так как T](g) = O, то £ (/) ^Sq2 (Нт).
^ Первоначально Стинрод этот гомоморфизм обозначал через 5дп-’.
19 Заказ № 1335
Пусть ^ (/) = 5д9 и И— некоторый коцикл, представляющий элемент 9. Тогда, в силу предложения II.1.16, можно найти отображение f : Рт —» Sm, согласующееся с / на Р™-1, и такое, что d (/, f’) — d. Но а—коцикл, а / продолжается на Рт*х, значит, и f продолжается на Pm+1. В силу равенства 7.5.2, ^(/) — Ц/') = 5д29, так что ^(/') = 0,_и отображение /', а значит и g, продолжается на рт+2.
Таким образом, для случая т>3 установлен некоторый набор критериев, с помощью которых можно установить, продолжается ли отображение g : | L | —-,- 5'” на пространство Pm+2: (a) v*{zg} = 0 и (б) если это так, то T](g) = O. Для абсолютного случая равенство 7.5.2 означает следующее: если отображение / : | Кт | —> 8т можно продолжить на подпространство | ^т+11 и если сфСН^2— вторичное препятствие, то
7-5.3 Ш = 8дЦ^-
В этом случае, следовательно, нам достаточно вычислить Sq2 (зД, чтобы определить, можно или нет продолжить отображение / на |7Гп+2|.
При доказательстве равенства 7.5.3 Стинрод использует основные свойства гомоморфизма Sq1 и некоторые тестовые пространства Mm+2(m>2); М—это комплексная проективная плоскость, а Мт+2—надстройка над Мт+1 (т. е. соединение пространства Мт*4 с парой точек). Пространство Мт+2 можно представить также как некоторое факторпространство пространства Vm+2, возникающее при отождествлении точек на границе последнего: пусть № : д’ —> S2—хопфовское отображение1) и Нт*4 : 5т+1 _>. —> — надстройка над отображением hnl: Sm —> Sm~4 (так что при т^З {7гт+!} — ненулевой элемент группы nm+i(»Vm)). Установим на множестве точек пространства ут+2 некоторое отношение эквивалентности, объявив, что хНх', если х = х' или если х, х' б Sm+1 и х7гт+1 = ж'7гт+1. В качестве Мт+2 можно взять факторпространство с отображением отождествления кт+2 : 7т+2 _>. мт+2, порожденным этим отношением эквивалентности, а его подпространство (>S'm+1) &m+2 можно рассматривать как сферу 8т; таким образом, Sm (L Мт+2, и, если х £ >Ут+1, хктл"2 = хКт*4. Пространство Мт+2 играет решающую роль в нашем рассуждении, поскольку его можно рассматривать как (т + 2)-секцию комплекса Эйленберга—Маклейна К U\ т), упоминавшегося в § 7.4; мы же здесь имеем дело только с (т + 2)-секциями.
Пусть г : Sm —> Sm—тождественное отображение. Рассматривая вторичное препятствие | (г) к продолжению отображения г до отображения всего пространства д/т+2 в ^т, убеждаемся, что g (t) = Sq2 tz^, ибо здесь и слева и справа стоит ненулевой элемент группы Нт+2 (Мт+2; У2) 2).
Любое отображение g : S™*1 —> Sm CL Mm*2 можно продолжить до отображения g' ; ym+2 _^ Д/т+2 (дЛЯ т^-Зу, если {g} =0 £ Лт+1 (8т), то g можно продолжить до отображения Fm+2 в 8т; если {g} =# 0, то g = hm*4 и в качестве продолжения можно взять отображение g' =- к™*2 : 7™+2 —>Мт*2. Предположим теперь, что у отображения / : | Кт | —>- Sm нет первичного препятствия и пусть
ym+i . | у^т-п | —^ gm ,— эдт+2
—некоторое его продолжение. Отображение fm+1 можно тогда продолжить до отображения /' : | Кт*2 | —>- Мт*2, так как для каждого симплекса sm+2 6 К, fm+! | sm+2 можно продолжить до отображения всего sm+2 в Мт+2. Свойства естественности препятствующих элементов и гомоморфизма Sq2 означают, что
Ш = Г*1 ^ = f*Sq2 {Z;} =
= Sq2f* {zz} = = Sg2 {zy}.
Это как раз то, что утверждает равенство 7.5.3. Мы дали лишь набросок работы Стинрода, для того чтобы пробудить у читателя интерес к предмету и к работе Стинрода, указанной в начале параграфа.
!) См. § II.3.
. Локальные системы групп и теория препятствийв не простых1) пространствах
В вводном параграфе мы договорились «для простоты исследования» ограничиваться рассмотрением лишь таких пространств У, которые ге-просты для решающих значений п. Здесь мы указываем, какие изменения нужно внести, если У не п-просто.
Определение. Пусть X—линейно связное пространство; локальной системой групп {буж£х на X называется множество абелевых групп Gx, по одной для каждой точки х^Х, такое, что каждой паре точек х0 и х^Х и каждому пути w, ведущему из х0 в х4, отнесен некоторый изоморфизм wG : GXl)—- GX1, причем выполнены следующие условия:
если VSW, то vG = wG, и
если произведение v*w определено, то (г * w)G = rGwG.
Важный пример локальной системы групп доставляют гомотопические группы л„ (X, ж) при и>2 с изоморфизмами из предложения II. 1.8.
Локальная система групп ^Gx^ называется тривиальной, если vG=wG для любых двух путей и, w с общими начальной и конечной точками.
Пусть {Я) = {АГУ} — локальная система групп на У; произвольное отображение f :X—>Y индуцирует тогда некоторую локальную систему {6} = = {Gx} на пространстве X по следующему правилу: Gx~Hxf и wG = (wf)H. Эту систему групп {G} можно обозначить через /-1{Я}.
Если К— комплекс, то имеет место комбинаторная форма определения 7.6.1.
Определение. Пусть К — связный комплекс; локальной системой групп {Ga} на К называется система абелевых групп Ga, по одной для каждой вершины а^К, с изоморфизмом wG : Gao—»Gai для каждого полигонального пути w, ведущего из а0 в а1, причем выполнены следующие условия:
если v s w, то vG — wG, и
если произведение v*w определено, то (у * w^q = vGwG.
Очевидно, каждая локальная система групп на полиэдре | К | определяет некоторую локальную систему групп на комплексе К; при этом можно показать, что получающаяся в результате локальная система на К может быть использована для определения топологических инвариантов, т. е. инвариантов полиэдра |Х| и исходной системы. Для каждой локальной системы на К можно определить группы гомологий и когомологий комплекса К с коэффициентами в этой локальной системе, причем последние оказываются топологическими инвариантами. Здесь мы даем только определение группы когомологий Н* (К; {G}).
Пусть вершины комплекса К как-нибудь упорядочены и а (о) обозначает ведущую вершину симплекса о. Тогда Ср (К; {G}) определяется как множество функций ср от р-симплексов комплекса К, значения которых на ар лежат в Ga^Cpy Множество Ср (К; {G}) очевидным образом наделяется структурой абелевой группы. Затем мы определяем гомоморфизм 6: Ср (К; {6}) — —> Ср+1 (К; {6}) формулой
(а0 ... ар+1, 6ср) = (а1 . .. ap+I, с") (а1а°)о+ 2 ( — 1)* (у0 . . . а1. .. ар+\ ср).
1=1
И Иногда такие пространства называют не гомотопически простыми.—Прили персе.
19*
Обратите внимание на изоморфизм в первом члене, индуцированный полигональным путем (а^); его назначение — поместить соответствующее значение в Ga«. При доказательстве равенства 66 = О мы пользуемся тем фактом, что
(«^(aW^^aW),;, в силу (б) из 7.6.2,
= (аа°)с, в силу (а) из 7.6.2.
Группы Ср (К; {G}) и гомоморфизмы 6 вместе образуют коцепной комплекс С" (К; (G)). Группа когомологий этого комплекса и есть, по определению, Н* (К; {G}). Если локальная система тривиальна, то Н* (К; {G}) = = Н*(К; G), где G— группа, соответствующая произвольной вершине.
Для произвольного подкомплекса L комплекса К очевидным образом определяется коцепной комплекс С" (К, L; {G}) и, следовательно, группа Н*(Д, L; {G}).
Предположим теперь, что и > 1 и что задано некоторое отображение / : Р" —ч> У. Определим первичное препятствие с} к продолжению / на Pn+1 как некоторую коцепь с локальными коэффициентами {G}, где Ga = лп (У, af). Здесь {G} — локальная система групп на К" J L, полученная из системы /-1{лга(У, г/)} на Р”, индуцированной отображением / и системой {лп (У, г/)} на У. Тогда если а — ведущая вершина симплекса оп+1, определим с} так:
(ал+1, с/) = {/| (цп+1, а)}£лп(У, а/).
Если rn+1gL, то (тп+1, с/) = 0, так как /1 тп+1 имеет продолжение на тп+1, а именно /1 тп+1. Следовательно, коцепь Cj является элементом группы С”+1(^, L; {G}).
Это и есть искомое выражение препятствующей коцепи в случае, когда пространство У не и-просто. Теперь можно было бы доказать теоремы, аналогичные теоремам из предшествующего параграфа этой главы. Общее изложение соответствующей теории гомологий и когомологий читатель найдет в статье Н. Стинрода (Ann. Math., 44(1943), 610); отчет о теории препятствий в не простых пространствах можно найти в работе Олума (Ann. Math., 52 (1950), 1).
7.7* Когомотопия и ужатие
В силу теоремы Хопфа 7.4.2, множество гомотопических классов отображений полиэдра | Кт | в сферу б™ находится во взаимно однозначном соответствии с элементами группы Нт (КтУ это каноническое соответствие позволяет ввести в множество этих классов структуру абелевой группы. В действительности на множестве классов отображений пространства X в пространство У можно определить некоторую групповую структуру при гораздо менее ограничительных условиях. В частности, когда X — бикомпакт размерности < 2m — 1 и Y=Sm, эти классы образуют некоторую абелеву группу, впервые определенную Борсукомт) и названную Спаньером т-й когомо- топической группой (Борсука) пространства X. Обозначается она через лт (X), ее нулевым элементом служит класс отображений, гомотопных нулю. Как доказано Спаньером 2), эти когомотопические группы обладают большей частью свойств групп когомологий. Наиболее эффектное исключение заключается в том, что если комплекс К конечен и п-мерен, то группа лт(|Х|), вообще говоря, не определена при
1
т <С"2" (« + !)■ Если размерность комплекса К равна т, то группа лт (| К |) определена и изоморфна группе Нт (Ку Это обобщение утверждения 7.4.2.
Мы не собираемся излагать здесь теорию когомотопий. Однако сейчас будет указано одно интересное применение ее к проблеме, в некотором смысле двойственной к проблеме продолжения.
В обобщенной форме проблему продолжения можно сформулировать так: пусть ]\Х0->Х—вложение и f0:X0 —>У—заданное отображение; можно ли найти такое / : X —> У, что // = /0? (В первоначальной постановке проблемы продолжения требуется, чтобы выполнялось равенство //=/0. Ввиду возможности продолжения гомотопии на полиэдрах эти вопросы эквивалентны, если X и Хо образуют полиэдральную пару. Такая постановка задачи больше подходит нам для целей дуализации.) Двойственная задача может быть сформулирована так: пусть j:Yq —>У—некоторое вложение и / : X —>-У—какое-нибудь отображение; можно ли найти тогда такое отображение /о : X —>- Уо, что /0/ = /? Другими словами, когда отображение / можно продеформи- ровать (или ужать) до некоторого отображения в подпространство Уо? В специальных случаях для решения проблемы ужатия можно применить когомотопии.
В самом деле, предположим, что X—бикомпактный полиэдр размерности <2п-)-1 и что дано отображение / : X —> | Pn+1|, где L—некоторый комплекс. Посмотрим, можно ли / ужать в | Еп |, при этом мы сначала допускаем лишь деформации в пространстве | Ln+11, а затем и деформации в | Ln+21. Предположим, что комплекс L ориентирован, и для каждого симплекса o’^j 6 L определим g: | Ln+11 —> X”*1 как отображение, для которого (| Ln+1|—о^^ g1— базисная точка z0 £ iSn+1 и gl | n’^j— сохраняющий ориентацию гомеоморфизм на подпространство А”+1— z0. Отображение g4 фактически состоит в том, что мы сощипываем множество | Ln+11—On-^j в точку и отображаем получающуюся сферу на А”+1. Отображение lg': X —>- An+i задает тогда некоторый элемент {fg4} С лп+1 (X). Определим теперь препятствующую ужатию цепь <7 £ Cn+i (£; лп+1(Х)) как 2^^ап+1- Заметим, что X—бикомпакт, а потому для всех значений i, кроме некоторого конечного множества, (X)/gl = z0, так что {/gl}=0. Записанная сумма, следовательно, конечна.
Оказывается, что цепь с/ является циклом, который обращается в нуль в том и только том случае, если / можно ужать в | Ln [ посредством некоторой деформации в | Pn+11. Далее, с/ является границей тогда и только тогда, когда / можно ужать в J Ln | посредством некоторой деформации в |Лп+2|. Эти результаты !) придают новый оттенок нашему утверждению, что проблема ужатия в некотором смысле двойственна проблеме продолжения.
Упражнения
этих упражнениях всюду, за исключением упр. 9, К обозначает некоторый комплекс, L—его подкомплекс и Рп=\ Кп U Р|.)
Предположим, что л, (У) —О, i^i-<n. Покажите, что любое отображение /:|Р| —>Y можно продолжить на Рп. Покажите также, что если /0, f\-.Pn —>-У— какие-нибудь отображения, то cjo — с^ тогда и только тогда, когда /0 | | L | = /41 | L |, и что если /0 служит продолжением отображения / : | L | —> У, то / можно продолжить на Pn+i тогда и только тогда, когда {суо} = О.
Пусть h : X —> У—какое-нибудь отображение n-простых пространств. Покажите, что для любого отображения / : Р” —>- X
cfh " (с/) ^*,
где гомоморфизм h* : С" (К, L; лп (X)) —> С* (К, L; яп (У)) индуцируется порожденным h гомоморфизмом групп значений. Подобным же образом покажите, что если отображения /, /' : Рп —> X согласуются на подпространстве Рп~1, то
d yh, fh)=d у, f) h*.
Пусть отображение h : X —>-У из упр. 2 является расслоением, при котором слой связен и стягиваем в X. Выведите из утверждения II.3.8, что h* отображает группу лп (X) мономорфно на прямой множитель в л„ (У). Пусть отображение / : Рп ->• X таково, что fh | р«-1 можно продолжить па Pn+1; покажите, что тогда и /1 р”~1 продолжается на Р”+1. Аналогично, покажите, что если отображения /, f : | К | —> X согласуются на подпространстве Pn~i и th | Рп = fh | Рп, те\Рп~2, то
/1Р" = /' |pn, ге1Р”-2.
Приведите пример такого расслоения h, при котором ни пространство X, ни слой не стягиваемы (по себе).
Пусть У—«-простое пространство. Предположим, что Hn(K,L; лп(У))=0. Пусть, далее, /0, j^: |Х|—>у—такие отображения, что /0 | Р"”1 =- ^ | р«-1 Ге1 Л, где А—подпространство полиэдра | £ |. Докажите, что /0 | Рп =- /, | Рп rel А.
Пусть га, q—целые числа и А, В—абелевы группы. Когомологическая операция Т=Т(п, q, А, В) представляет собой функцию, которая относит каждому полиэдру X некоторое преобразование
Тх : Н" (X; Л) Ш (X; В)
так, что для любого отображения j;X->Y диаграмма
Н" (X; Л) —> № (X; В)
TY
И" (У; Л) Ш (У; В) коммутативна.
Пусть Хо—полиэдр К 1А, п) Эйленберга—Маклейна (см. § 7.4). При соответствии, о котором говорится в 7.4.4, классу тождественного отображения Хо—>Х0 соответствует элемент е группы Нп (Хо; А). Покажите, что преобразование Т -^- Тх ^ устанавливает взаимно однозначное соответствие между когомологическими операциями Т (п, q, А, В) и элементами группы Hi (Хо; В).
С помощью теоремы Гуревича 8.8.5 покажите, что операции типа (п, п, Л, В)— это именно те, которые индуцируются гомоморфизмами А —>- В.
Пусть X—связный полиэдр. Покажите, что cat X <; 2 (см. гл. 4, упр. 6) в том и только в том случае, если диагональное отображение d : X —> X X X (заданное формулой xd = (x, ж)) можно деформировать в букет X V X. Выведите отсюда, что для факторотображения
q:XxX-^X »Х=ХхХ#Х^Х
dq = 0, если cat X <; 2. Покажите, что если Л1 (X) ^= 1, а Нп (Х) = 0, га > 1, то dq = О, но cat X >2. (Указания: (а) примените результат, доказанный в гл. 8, упр. 25; (б) покажите, что если cat X <; 2, то группа nj (X) свободна.)
Пусть К, L—комплексы с базисными вершинами а, Ъ и G—топологическая группа. Покажите, что препятствие к продолжению отображения |Х|\/|В|, (а, Ь) —> —>- G, е на | К | х | L | отсутствует. Пусть элементы а £ лр (У, у0), р £ лд (У, у0) представляются отображениями / : Zp, FP-*Y, у0, g".I4, Iq —>-У, Уо- Выберем базисную точку и; на IP XII и определим отображение А : уР х IqY, w-^Y, у0 формулами
[ж/, ж ^ И, ж' ^ II, (х, х') h= {
Vx'q, х Ip, х' Iq.
Тогда К представляет некоторый элемент у б лр+д-1 Vi VoY зависящий только от а и р. Этот элемент называется произведением Уайтхеда элементов а и р. Покажите, что все произведения Уайтхеда исчезают, если У—топологическая группа (или пространство петель). Полагая р=1 или каким-либо другим способом, покажите, что каждая топологическая группа га-проста при всех п. (Указание: представьте у как образ некоторого элемента группы Лр+д_! (SP \/ 5Х).)
Пусть комплекс К упорядочен и уо б У—базисная точка. Укажите, как ограничиваясь теми, отображениями и гомотопиями, которые переводят вершины комплекса К в точку у0, построить теорию препятствий для отображений в не простые пространства, не вводя локальных систем коэффициентов. (Такие отображения и гомотопии мы будем называть ограниченными.1)
Проведите классификацию ограниченных отображений полиэдра j К | в Рп по ограниченным гомотопическим классам, где К есть «-комплекс и Р”—проективное «-пространство. Покажите, что пространство Р” га-просто в том и только в том случае, когда га нечетно.
Свойство накрывающей гомотопии расслоений (см. § II. 3) можно рассматривать как исчезновение препятствия к продолжению некоторой гомотопии. Отображение р: X —>- В называется локально тривиальным расслоением, если (а) все прообразы р-1 (6), Ь ^ В, гомеоморфны одному и тому же пространству F, называемому слоем', (б) существует открытое покрытие {И} пространства В, каждому элементу которого соответствует некоторый гомеоморфизм ф : U х F —>■ р-1 ((7), такой, что (Ь, у) ф С р"1 (&)
для всех Ь ^ U, y^F. Приспособив рассуждение из 6.5.7, докажите, что такое продолжение ft, как в 6.5.7, существует и в том случае, если р: X —> X—локально тривиальное расслоение. (Конечно, каждое накрывающее отображение представляет собой некоторое локально тривиальное расслоение, слой которого дискретен; заключение этого упражнения показывает, что каждое локально тривиальное расслоение является расслоением в смысле Серра (§ II.3)).
И. Возможность определить групповую структуру в когомотопической группе лп(Ю можно рассматривать как выражение того факта, что препятствие к ужатию исчезает. Можно показать (применяя относительную теорему Гуревича 8.8.8), что лг (SP х 8ч, SP \/ 59) = О, если r<_p-\-q. Покажите, что если лг (У, Уо) = О, г < т, и К— комплекс размерности <^ т—1, то каждое отображение f : | К | —> У можно ужать до некоторого отображения /' : | К | —> Уо, и что если dimTf^m—2, то гомотопический класс отображения /' определен однозначно. Выведите отсюда, что если а, р £ л” (| К |), где dim К <^ 2п—2, и отображения / : | К | —> 5”, g : | К | —> 8п представляют элементы а, р, то существует такое отображение h': [ К | —>- —> 5” V 8п, что h'/ = (/, g) : | К | —> 5” X 5”, где / : 5” V 5” —>- 5” х 5”—отображение включения и ж (/, g) = (x/, xg^, х £ | К |; более того, гомотопический класс отображения h' определяется классами а, р.
Пусть к : Sn\/8п —>- 5”—«складывающее» отображение, описываемое соотношениями (ж, х0')к=(<х0, х) к — х, где ж0 g 5"—базисная точка. Отображение h—h'k определяет тогда некоторый элемент группы л”(|К|), который, по определению, есть а+р. Покажите, что в множестве л” (| К |) тогда определена структура абелевой группы. (Указание: если / служит представлением элемента аир : 8” —>- 8п—некоторое отображение степени —1, то отображение /р представляет элемент —а.) Покажите, что если dim7f = n, то взаимно однозначное соответствие, о котором говорилось в 7.4.2, можно усилить до изоморфизма
ШуК; 7) = л”(|Х().
Можно ли заменить это ограничение на размерность комплекса К при доказательстве возможности определения группового сложения в л” (| К |) каким-нибудь когомологическим условием?
8
СИНГУЛЯРНАЯ ТЕОРИЯ ГОМОЛОГИЙ
Описание и обзор теории
Пока мы умеем определять группы гомологий только для специальных пространств, а именно для бикомпактных полиэдров. В гл. 2 были построены группы гомологий для произвольного симплициального комплекса, а в гл. 3 было доказано, что в случае конечного комплекса эти группы определяются, в точном и естественном смысле, его полиэдром. Таким образом, обнаружилось, что выбор триангуляции заданного полиэдра представляет лишь вспомогательный прием, назначение которого — сопоставить с каждым полиэдром подходящий цепной комплекс.
Одним из больших успехов комбинаторной топологии явилось расширение этой техники, позволившее строить теории гомологий для общих топологических пространств. Общая теория гомологий может считаться удовлетворительной, если она согласуется с обычной теорией гомологий на категории полиэдров и если, кроме того, основные свойства симпли- циальных гомологий имеют место также и в ней.
В настоящей главе определяется некоторая такая общая теория, сингулярная теория. Она получается в результате отнесения каждому пространству некоторого цепного комплекса и последующего перехода к группам гомологий этого цепного комплекса (и группам когомологий сопряженного коцепного комплекса). Каждое непрерывное отображение очевидным образом индуцирует гомоморфизмы групп гомологий, и мы доказываем, что гомотопные отображения индуцируют одни и те же гомоморфизмы. Для доказательства последнего утверждения удобно иметь в своем распоряжении так называемую кубическую сингулярную теорию, равно как и сим- плициалъную сингулярную теорию. Эквивалентность этих двух теорий устанавливается. Теория сингулярных гомологий тесно связана с теорией гомотопий; имеет место естественный гомоморфизм гомотопических групп в группы сингулярных гомологий. Мы докажем также, что для полиэдров теория сингулярных гомологий согласуется с теорией симплициальных гомологий. В этом доказательстве мы не ограничиваемся бикомпактными полиэдрами, а потому можно сделать вывод о топологической инвариантности групп гомологий и когомологий произвольной триангуляции любого небикомпактного полиэдра.
Есть по крайней мере еще один ценный метод отнесения групп гомологий общим пространством, принадлежащий Чеху. Теория Чеха тоже согласуется с обычной теорией на полиэдрах, но на некоторых пространствах она расходится с теорией сингулярных гомологий. Теория Чеха вкратце излагается в приложении к этой главе
Теперь мы опишем теорию (симплициальную) сингулярных гомологий L). Интуитивно приемлемое представление об 1-циклах на произвольном топологическом пространстве X дают замкнутые пути на нем. Замкнутый путь
В Описание кольца сингулярных когомологий мы откладываем до гл. 9.
может быть определен как такая последовательность отображений замкнутого 1-симплекса в X, что последняя точка одного образа совпадает с первой точкой следующего и все вместе «замкнуто» в том смысле, что первая точка первого образа совпадает с последней точкой последнего. Подобное же представление можно составить себе о 2-циклах и 1-границах. Эти интуитивные идеи получают точную формулировку в теории сингулярных гомологий.
Зафиксируем некоторую последовательность у°, и1, . . .,ир, .. . независимых точек ) гильбертова пространства Н”. Стандартный упорядоченный р-симплекс tp — это замкнутый упорядоченный симплекс с вершинами и0, и1, ...,ир. Свободная абелева группа, свободно порожденная всевозможными отображениями f:tp—>X, где р >0, называется р-й группой сингулярных цепей и обозначается через АР(Х). Когда такое отображение / рассматривается как базисный элемент группы Ар (X), мы будем обычно обозначать его через tp. В этом случае /р называют сингулярным р-симплексом пространства X. Можно пополнить А (X) до А(Х), положив А_!(Х) = /; разумеется, А_,(Х) = 0 и, во всяком случае, Ар (X) — АР(Х) = О' при р<_— 1.
Определим теперь граничный оператор в А (X). Пусть
tp_i = (уОу1 ... иг . .. уР), I = 0, 1, .. ., р, р> 1.
Тогда для каждого i существует однозначно определенное линейное (т. е. симплициальное) отображение
•V1 = F(P_i): tp_Y * tp,
описываемое формулами
CV1^ '’
y,+1, / > i,
которое отображает tp-1 на t^_v Тогда Уг/, будучи отображением стандартного симплекса tp_t в X, является сингулярным (р— 1)-симплексом пространства X. Определим отображение F^ : Ар (X) —> Ар-1 (X) по линейности из соотношения■
j^^Vv
Мы называем Ух(0С7^р) i-м граничным оператором-, элемент ]рЕр будет иногда обозначаться через f^ (или через /1). Из соотношений 8.1.1 легко получить, что
V^ = V^W1: tp_Y tp^, если i<j,
откуда следует, что
РЕг = F^5-1: Ар+1 (X) Ap_t (X), если г < /.
Определим гомоморфизм др : Др (X) —> Ар-1 (X), р > 1, формулой
dp=2(-l)V<.
1=0
В множестве А (X) граничный оператор д определяется также с одной поправкой
а/050 = 1.
Из 8.1.4 следует, что dpdp_Y = O при р>2, а из равенств 8.1.5 и 8.1.5а сразу получаем, что 9^0 = 0 в А (X). Таким образом, можно дать следующее определение:
. Определение. Сингулярный (симплициальный) цепной комплекс А (X) пространства X представляет собой семейство групп и гомоморфизмов {АР(Х); др), где Ар (А) = 0 при р<0, а при р>0 АР(Х) является свободной абелевой группой, свободно порожденной сингулярными р-симплек- сами пространства X, а гомоморфизмы др задаются формулой 8.1.5.
Пополненный сингулярный (симплициальный) цепной комплекс А (X) отличается от цепного комплекса А (X) лишь тем, что Д_1(А) = / и гомоморфизм д0 описывается формулой 8.1.5а.
С помощью цепного комплекса А (X) сразу определяются сингулярный -симплициальный цепной комплекс A (X; G) с коэффициентами в произвольной абелевой группе G и сингулярный симплициальный коцепной комплекс А' (X; G). По аналогии с симплициальными комплексами полагаем А (X; G) — = A(X)®G, А" (X; G) = А (X) (ф G. Аналогично определяются цепной и коцепной комплексы А(Х; G) и А" (X; G).
. Определение. Группой сингулярных (симплициальных) гомологий Н^ (X; G) пространства X с коэффициентами в G называется группа Я*(А(Х; G)). Приведенной группой сингулярных (симплициальных) гомологий Я^(Х; G) называется группа Я* (А (X; G)). Группой сингулярных (симплициальных) когомологий Я*(Х; G) пространства X со значениями в G называется группа Я* (А" (X; G)). Приведенной группой сингулярных (симплициальных) когомологий, обозначаемой через Щ (X; G), называется группа Я*(А‘(Х; G)).
Заметим, что теоремы о коэффициентах (5.4.13 и 5.4.13с) выполнены и что связь между группами*) Я® (X) и Н^ (X) выражается в точности формулами 2.4.2 и 2.4.3.
Произвольное отображение p.X—>Y индуцирует некоторое отображение /А : А (X) —> А (У) по следующему правилу:
8-1.8 gp^ = (gf)P,
где g:tp—>X — произвольный сингулярный p-симплекс пространства X. Очевидно, отображение /А коммутирует с граничными операторами Гг и, значит, является цепным отображением. Столь же очевидно, что для любых отображений /i: Xt—> Х2 и /2:Х2-^>Х3 выполняется соотношение 8.1.9 (/1/2)д = /д/а.
Мы будем писать /*, /* вместо /А, /А*. Таким образом, отображение / индуцирует гомоморфизмы
/# :Я® (X; G)—>Я® (У; G), /* : Н* (У; G) Н* (X; G),
причем имеют место равенства
И (А/2)* = /и/2„ (Ш* = Г1П-
Аналогичные утверждения будут справедливы и для приведенных групп гомологий, если положить /^ = 1. Читателю следует вспомнить, что единственность /* и формула 8.1.11 для гомоморфизмов групп симплициалъ-
х) Когда группой коэффициентов соответствующей группы гомологий служит труппа J, символ J опускается; это согласуется с предшествующими соглашениями.
них гомологий доказывались в гл. 3 далеко не тривиально. Для сингулярных гомологий все эти утверждения совершенно элементарны, и доказательство топологической инвариантности групп сингулярных гомологий и когомологий не представляет никакого труда.
Можно данные выше определения перенести на относительный случай. Если Хо— подпространство (не обязательно замкнутое) пространства X, то отображение включения i:X0—»X индуцирует некоторое цепное отображение iA : А (Хо)—> А (X), которое вкладывает А (Хо) в качестве подкомплекса в А (X). Более того, каждая группа Ар (Хо) при этом оказывается прямым множителем в АР(Х), так что соответствующий факторкомплекс А (X, Хо) является свободным цепным комплексом. Заметим, что А (X, Хо) = = А (Х)/А (Хо) = А (Х)/А (Хо). Группы относительных сингулярных гомологий и когомологий пары (X, Хо) получаются из комплекса А (X, Хо) по следующим формулам:
f ^ (X, Хо; G) = Я* (А (X, Хо) ® G^I Н* (X, Хо; G) = Я* (А (X, Хо) rh G) •
Тогда утверждения 8.1.8—8.1.11 переносятся на относительный случай, в чем читатель может убедиться сам. Как и в предшествующих главах, подробное изложение мы будем проводить для абсолютного случая, а окончательные формулировки будем давать и для относительного случая.
Из теорем 5.6.1 и 5.6.2 вытекает
Теорема. Имеют место точные последовательности
,..-^Hsp (Хо; G) — U Hsp (X; G) -^ Hsp (X, Хо; G) — *-> H^t (Хо;G) ->... ...<-Нр(Х0; G) < НР(Х; G) Я? (X, Хо; G) < НГ (X0;G)^...
Произвольное отображение /: X, X0-^Y,Y0 индуцирует гомоморфизм (f^,f*,1*) сингулярной гомологической последовательности пары (X, Хо) в сингулярную гомологическую последовательность пары (Y, Уо) и гомоморфизм (/о, /*, /*) сингулярной когомологической последовательности пары (Y, Уо) в сингулярную когомологическую последовательность пары (X, Хо).]
Мы заключаем этот параграф теоремой, которая приблизит нас к доказательству того, что гомотопные отображения индуцируют одинаковые гомоморфизмы групп гомологий. Пусть задано пространство X; цилиндром с основанием X удобнее считать не X X I, а / X X, полагая при этом, что СХ, конус над X, получается из пространства IX X склеиванием в точку множества 1 X X. Пусть
k : I х X СХ
— проектирование, такое же что и в § 1.5. Тогда пространство X стягиваемо в точку тД А в том и только в том случае, если существует отображение q:CX —» X, для которого (0, ж) kq = х, (i,x)kq = x1 для всех х £Х. Напомним1) из 1.6.7, что каждое отображение g : X —У определяет некоторое отображение Cg:CX—>CY, описываемое равенством к (Cg) = (1 X g) к : I X X —> —>CY. Докажем теперь теорему.
Теорема. Для стягиваемого пространства X приведенные группы сингулярных гомологий и когомологий являются нулевыми.
Будем рассматривать стандартный симплекс tpJrl как евклидов конус с вершиной и0 и основанием tp. Тогда отображение h = h^:Ctp—>/р+1, описываемое равенством
(и, у) кН = и • Vй + (1 — и) • у У0, «ЕЛ у Е tp, является гомеоморфизмом (1.5.8).■
Если задано отображение / :tp—> X, определим g = g (/): tp+1—>Х так: hg = ^Cnq:Ctp^X.
Отображение g, определенное нами, правда, несколько формально, по существу, как раз и является некоторой гомотопией нулю отображения /. Здесь и на других этапах доказательства теоремы простая картинка будет убедительнее формальных подробностей доказательства, которые мы даем.
Теперь, когда мы определили гомотопию нулю g^fV мы, как и следовало ожидать, определим некоторую цепную гомотопию Ф : А (X) —> А (X) следующими равенствами:
/рФр = ?р+1,Р>0, lO-^gg,
где go является отображением симплекса /0( = г°) в ^i- Докажем, что 8.1.15ФД^ + ^Фр-^! : Ар (X) —> Ар (X).
Существенный шаг в доказательстве этого равенства составляет такое замечание:
8.1.16^p-dF^^F1-1)^) :C'Zp-1-^<p+1, г>0.
Равенство 8.1.16 вытекает из того, что каждое из участвующих в нем отображений линейно и переводит вершину конуса Ctp^ в точку г°, а и’ в г’+1, если / <i — 1, и в z;,+2 в противном случае.
Докажем теперь равенство 8.1.15. Если р =—1, тоФ_1д0 = 1 и д-^0; таким образом, для этого случая равенство 8.1.15 проверено.
Заметим теперь, что если р>0, то
8-1.17ФрЕ“+1 = 1.
В самом деле, /рФрЕ"+1 = (F°g)p и для у £ tp
yV°g = (0, у) khg = (0, у) кС (/) q = (0, у^ kq = yj.
Так как у°У^ = v°g = ж^ где g = g (/), /:<0—»ж, то отсюда следует, что
Фо^1 = УоФ-ь
так что равенство 8.1.15 при р — 0 выполняется.
Пусть теперь р>1. В силу равенства 8.1.17, равенство 8.1.15 будет получено, если мы докажем, что
Е^^р-^ФрЕ^!, г">0.
Пусть отображение g' : tp —* X задано соотношением hg' = (Of-1) 9 : Ctp-1 —»
—»Х. Тогда gp^fpFp-^p-i и
h^g' = ^C(y^^q =
= (CV^) (Cf)q =
= ^CV^hwg =
= 7?(p_1)F1g, в силу 8.1.16.
Значит, g' = Vlg и, следовательно, g'p = gp^p+1 — /рФр^р+i- Этим доказано равенство 8.1.18 и завершено доказательство формулы 8.1.15. Таким образом, Ф является цепной гомотопией, связывающей тождественное и нулевое цепные отображения комплекса Д (Ху Тем самым наша теорема доказана.] Цепную гомотопию Ф следует рассматривать как алгебраический аналог гомотопии отображений X—> X, связывающей тождественное отображение с постоянным отображением X—>xv В действительности весьма незначительное изменение доказательства теоремы 8.1.14 позволяет установить следующий более общий результат:
. Теорема. Если отображение }:Х—*¥ гомотопно постоянному отображению, то /А ~ 0 : A (X) —> А (У).]
Нормализованный сингулярный цепной комплекс
Число образующих сингулярного цепного комплекса Д (X) слишком велико. Например, даже если пространство X состоит только из одной точки, то в каждой размерности есть по одному образующему элементу. Однако можно образовать некоторый эквивалентный нашему цепной комплекс, в котором будут отсутствовать те из наших сингулярных симплексов, вырожденность которых наиболее очевидна. Опишем, как это сделать.
V , J С г, г7-1, j>i-V , J С г, г7-1, j>i-Для каждого р>1 и г^р — 1 существует единственное линейное (т. е. симплициальное) отображение Т1 = 1^: tp-^ tp_1, определяемое следующими равенствами:
V , J С г, г7-1, j>i-
V , J С г, г7-1, j>i-
и’Т1 =
При этом отображении ребро игиг+1 симплекса tp и все отрезки, параллельные этому ребру, сжимаются в точку. Определим отображение Ор_1 : Др-t (X) Др (X) по линейности из равенства
fp^DV^^Hp
и назовем его (при 0<г<2р—1) i-м оператором вырождения. Из равенства 8.2.1 мы сразу получаем
T3Tl = TlTi-1: tPH—> tp-!, если i<],
откуда следует, что
8.2.48.2.4D'D1 = D^D1 : Др-! (X) —> Др+1 (X), если г</.
8.2.4
8.2.4
Для полноты выпишем соотношения между граничными операторами и операторами вырождения. Доказываются они автоматически, и мы этого делать не будем.
8.2.58.2.5I DiFi=FlDi-i/ DtFi = DiFi*i = l;[ DiF^F^DiI DiFi=FlDi-i/ DtFi = DiFi*i = l;[ DiF^F^Diпри iпри i< /;< /;при i > / + 1.при i > / + 1.
8.2.5
8.2.5
I DiFi=FlDi-i
/ DtFi = DiFi*i = l;
[ DiF^F^Di
I DiFi=FlDi-i
/ DtFi = DiFi*i = l;
[ DiF^F^Di
при i
при i
< /;
< /;
при i > / + 1.
при i > / + 1.
Свободный цепной комплекс, в котором выделен некоторый базис (состоящий из «симплексов») и заданы граничный оператор F и оператор вырождения D, удовлетворяющие равенствам 8.1.4, 8.2.4 и 8.2.5, называется полусимплициалъным комплексом. Это понятие оказалось весьма полезным в современных исследованиях. Итак, множество сингулярных симплексов пространства X вместе с операторами F и D составляет некоторый полусимплициальный комплекс, называемый сингулярным комплексом пространства X. Заметьте, что при переходе от сингулярного комплекса к цепному комплексу Д (X) теряется значительная информация. В самом деле, если X— полиэдр, то сингулярный комплекс несет полное множество инвариан-
тов гомотопического типа пространства X. Другой пример полусимплициального комплекса доставляет тотальный комплекс Кй, где оператор F1- означает пропуск г-й вершины, а оператор IF означает ее повторение. См. предисловие к упр. 11 в конце главы.
Обозначим через Др (X), р>1, подгруппу группы Др (X), являющуюся суммой £>г-образов группы Др-^Х), t = 0, 1, . .., р—1. Тогда если р>2, то
Др (Х)а^ д^^х).
В самом деле, если fp = gp-iDl ~ CTlg)p, то, очевидно, fpF3 £ A^t (X),
/ i, г-Н и fpF1 = fpF^1, откуда fpd g Ap_t (X). Еще проще доказывается, что ub
Д1 (X)d = 0. Таким образом, полагая Др (Х) = 0, р<_0, мы получаем некоторый цепной подкомплекс Д^(Х) цепного комплекса Д (X) (и цепного комплекса Д(Х)). Сингулярные симплексы, входящие в Д^(Х), называются вырожденными., и мы можем комплекс Д^(Х) назвать «плоским» подкомплексом комплекса Д(Х). Факторкомплекс Д^ (X) = Д (Х)/Д^ (X) называется нормализованным сингулярным симплициальным цепным комплексом пространства X. Он порождается классами невырожденных сингулярных симплексов.
Пусть р : Д (X) —> Д^ (X) — проектирование, соответствующее переходу к этому факторкомплексу.
. Теорема. Отображение р, является цепной эквивалентностью.
Это утверждение будет доказано в § 8.4. Здесь мы сделаем только несколько замечаний, играющих существенную роль в доказательстве теоремы 8.2.6.
Отметим прежде всего, что отображение ц естественно в следующем смысле. Пусть j;X-^Y—какое-нибудь отображение; тогда /д отображает Д^ (X) в Д^ (У) и, значит, индуцирует такое отображение fN:AN(X) —» —»ДЛ'(У), что диаграмма
Д (X) —Д^ (X)
Д (У) —Д^ (У)
коммутативна.
Заметим далее, что ц можно достроить до некоторого цепного отображения Д (X) —Д^ (X), положив d pu = 1.
Группы //# (Д^ (X)), Н* (Д^ (X) ® G), И* (AN (X) fa G) называются нормализованными группами (сингулярных гомологий или когомологий) пространства X. Мы будем обозначать их через Н^ (X), Н^ (X; G) и Нм№G). Заменив Д^ (X) на Д^ (X), мы получим приведенные нормализованные группы.
Предположим теперь, что X стягиваемо, и рассмотрим цепную гомотопию Ф, определенную при доказательстве теоремы 8.1.14.
. Лемма. Д^ (X) Ф е Д^ (X).
Читатель может легко доказать (ср. с 8.1.16), что
h(p^ = (СТ1) hto_n : Ctp^tp.
Пусть теперь f:tp-^X и f = Pf. Тогда если g = g(/), g' = g(/'), то h№ (g) = с (Г) с (П q = с {Г) h^g' = w^g\ так что
g = T^g'-
Лемма 8.2.8 тем самым доказана.. Мы заключаем, что Ф индуцирует некоторую цепную гомотопию Ф^ : AN (X) —» Ал (X), которая связывает тождественное отображение с нулевым. Таким образом, доказана
. Теорема. Приведенные нормализованные сингулярные группы гомологий и когомологий стягиваемого пространства являются нулевыми.^ Укажем, наконец, на относительные нормализованные группы гомологий и когомологий. Пусть (X, Хо) — какая-нибудь пара пространств^ тогда
гд:А(Х0), А^(Х0) —> А (X), А^Х).
Более того, A (Хо) Q А^(Х) = А^ (Хо) гД. Следовательно, iN : AN (Хо) —> —»AZV(X) является мономорфизмом и вкладывает AjV(X0) в А^Х) в качестве прямого множителя. А потому факторкомплекс AN (X, Хо) = — AN (X)/An (Хо) является свободным абелевым цепным комплексом. Отправляясь от него, можно определить относительные нормализованные группы гомологий и когомологий.
Теория кубических гомологий
По многим причинам удобно основывать теорию сингулярных гомологий не на отображениях симплексов, а на отображениях кубов. В следующем параграфе будет показано, что нормализованный цепной комплексг возникающий на базе сингулярных кубов, ц-эквивалентен А(Х).
Будем действовать так же, как и при определении цепного комплекса А(Х). Стандартный р-куб ер есть подмножество гильбертова пространства Н”, состоящее из тех точек (и^, и^, . .., ип, . ..), для которых ип = 0' при п > р и 0 s^ мп ^ 1 при п < р. Для каждого г < р определены две грани куба ер: ер?-! и epLf, здесь epE_i (е — 0 или 1) — подмножество куба ер, описываемое равенством ut = в. Зададим отображение V18 = V(p-i>: ep_i —> ер формулой
(^1,^2, • • • 7 ^Р~ 1 7 ^7 * • * ) ^(р — 1) == (^ 1 7 * * * 7 ^Z —1» ®, ^Z 7 * * * 7 ^р —17 ^7 • • • ) *
Очевидно, У18 является гомеоморфизмом куба ер_ i на ер8_!.
Пусть □ р(Х), р>0,—свободная абелева группа, порожденная множеством всех отображений f:ep—»X. В этом случае говорят, что / определяет сингулярный р-куб fp пространства X. Зададим отображение Flb = = Ргр : Dp (X) Пр-j (X) равенством fpF№ = (F’^p-, и определим
д'. □p(X)-^Dp_1(^), /»1, формулой
9 = 2 ( —1)4^° — F^.
г—1
Можно проверить вычислением (или выписав правила коммутирования граничных операторов Рге, соответствующие правилам 8.1.4), что дд = О
Кубический сингулярный цепной комплекс □ (X) пространства X определяется тогда как {ПР(Х), б}. Его можно пополнить до □ (X), положив □ -i(X) = J и /одо=1 для всех 0-кубов /0.
Однако цепной комплекс □ (X) обладает одной интересной особенностью, что удерживает нас от того, чтобы назвать его группы гомологий группами гомологий пространства X. А именно, в □ (X) слишком много неограничивающих циклов.'
. Теорема. Если X состоит из единственной точки хй1 то Нр (□ (Х)) = = J, р>0.
Для каждого р>0 группа Пр имеет единственную образующую; она •определяется единственным возможным отображением f:ep-^x0. Так как для р>0 fpF° = jPF11, то каждый сингулярный куб /р является циклом. Таким образом, Zp (□) — /, Яр(П) = 0, откуда следует, что Яр(0) = / для всех p>O.J"
Это положение можно исправить нормализацией1). Для любых р>1 и г^р определим отображение Тг — Т'^ : ер —^е^ следующей формулой): (^1, • . ., Up) Т = (^1, • • •, и^ — |, и^^, . . ., Up^
а отображение Вг = Dp_t : Пр-i (X)—> Пр (X) определим так:
Тогда имеют место формулы, аналогичные 8.2.4 и 8.2.5. Определим □?№ как подгруппу группы ПР(Х), являющуюся суммой £>г-образов элементов □ р-! (X), и покажем, что
n?W9£D?-i№, Р>2.
В самом деле, если fp = gp_J)\ то /РЕ,е £ П^ (X) для всех i^i и /pFl° = /рРгх. Еще проще устанавливается, что □^(Х)д = 0. Положим □ о>(Х) = О. Таким образом, мы получаем «плоский» подкомплекс в □ ГО, порожденный вырожденными сингулярными кубами пространства X. Фактор- комплекс П^ГО" □ ГО/П^ГО называется нормализованным кубическим сингулярным цепным комплексом пространства X; разумеется, комплекс □ ^ГО свободен. Через Н^Х) обозначим группу гомологий этого комплекса, которую мы будем в дальнейшем называть группой кубических .гомологий пространства X. Аналогично, □ N(X) = □ ГО/П^ГО, причем группа Я* (X) = Н* (П^ (X)) называется группой приведенных кубических гомологий пространства X. Мы не делаем особого ударения на всех этих терминах (и на их очевидных распространениях на случай Я* (X; G), Нс (X; G), □ ^(Х, Хо), Я*(Х, Хо)), так как в следующем параграфе будет доказано, что между Я® (X) и Я* (X) существует некоторый канонический изоморфизм. Таким образом, теория кубических гомологий не дает нам новых инвариантов пространства. Однако, используя ее, мы, несомненно, получаем определенные преимущества. Например, кубы удобнее симплексов в любом вопросе, относящемся к гомотопиям; tp X I не является симплексом, но ер X I ■есть куб. Кроме того, кубы удобны, когда рассматриваются топологические
произведения: сингулярный р-куб пространства X и сингулярный 7-куб пространства Y вместе определяют сингулярный (р + 7)-куб пространства XxY.
Заметьте, что нормализация устранила аномалию, обнаруженную теоремой 8.3.2, как это и было обещано. Ибо если Х = х0, то ПР(Х) = = Пр№, р>0, так что □ ^(Х) = 0 при р>0. Этим установлено, что точка имеет «правильные» группы кубических гомологий.
. Теорема. Группы приведенных кубических гомологий и когомологий точки есть нули.}
Установим теперь некоторые основные факты, относящиеся к группам кубических гомологий. Произвольное отображение f:X—>Y индуцирует некоторое цепное отображение /□ : □ (X) —> □ (У) по следующему правилу: gpf- = (gf)p, где gp — любой сингулярный куб в X. Очевидно, □ ^(X)/Ds SD^OO, и если f^:X1-^X2, f2:X2-^X3, то (/Дг)0 =/?/?• Таким образом, /п (а тем самым и /) индуцирует некоторое цепное отображение
fN : QN (X) QN (Ур
такое х), что
(Л/2)Л' = Ж.
Будем писать /* вместо /*; таким образом, отображение / индуцирует гомоморфизм
8-3.6/#:/у=(Х)->й=(У),
причем
(/1/2)* = М2*.
Эти утверждения можно распространить на гомологии с любыми коэффициентами, на когомологии и на относительный случай. Рассматривая группы приведенных гомологий, мы полагаем 1/91 = 1.
. Теорема. Если f~f;X->Y, то /» = j\: Н^ (X) Н^ (У).
Пусть F •. I xX-^Y—гомотопия, соединяющая /° и у1; тогда
(е, ж) F xfe, е=0 или 1, х^Х.
Для любого g : ер —> X определим h = h (g): ер+1 —> У следующим образом:
(и^ ..., Up^ h --= ^ ^и2, ..., u^ g) F.
Правило.
gpX = hp^
задает некоторую ц-гомотопию Л: □ (X)—> □ (У). Элементарные вычисления показывают, что AFis = /eD и АР1Цг1’ Е = F№A при i>l.
Значит, в силу 8.3.1,
р+1
Ad-AF11 —AFU+ 2 ( — 1)‘(Л^° — АЕ^ =г=2
= /1D —2 ( — ^(F^A — ^A^f^ — f^—dA.
Мы оставляем за собой право писать /^ вместо fNs когда это удобно.
20 Заказ № 1335
Следовательно, А-—цепная гомотопия, соединяющая /°° и у1П. Дальнейшие элементарные вычисления показывают, что £)*А = АЯг+1. Значит, □ ^(Х)Л с — П^У) и потому Л порождает некоторую цепную гомотопию Л^, соединяющую f0N и f1N. Существование такой гомотопии означает, что /* = /»-!
Следствие. Если p~p.X-^Y, то р = f/. Нс^ H^Y).
Достаточно положить lA-^O.J Советуем читателю обратить внимание на то, что мы не делали никакой попытки доказать аналог теоремы 8.3.8 для симплициальных сингулярных гомологий. Как мы уже говорили, результаты, касающиеся гомотопии, удобнее устанавливать, пользуясь сингулярными кубами. А аналог теоремы 8.3.8 будет вытекать из эквивалентности этих двух теорий гомологий, которую мы докажем в следующем параграфе.
Применяя 8.3.7, из 8.3.8 и 8.3.9 выводим
. Следствие. Еслиf-X—>Y—гомотопическаяэквивалент
ность, то
р : Н= (X) я^ (У), L : Я= (X) - Я; (У) J
Из 8.3.3 и 8.3.10 заключаем (ср. с 8.1.14 и 8.2.10), что имеет место
. Следствие. Группы приведенных кубических гомологий и когомологий стягиваемого пространства есть нули.]
Теоремы об эквивалентности
К настоящему моменту на роль сингулярного цепного комплекса пространства X нами выдвинуты три кандидатуры, а именно А (X), Ал (X) и nN (X). В этом параграфе мы докажем, что все эти три цепных комплекса эквивалентны друг другу. Для описания понятий, играющих основную роль в доказательстве этого утверждения, рассмотрим какие-нибудь два из них, скажем А (X) и AN (X).
Предположим, что для каждого пространства X задано некоторое цепное отображение фх : А (X) —> AN (X). Назовем отображение фх собственным, если 1фх = 1. Соответствие X—> фх назовем естественным, если для любого отображения / : X —> У
/лфУ=<Р^Л
Мы говорим, что множество цепных отображений {фА} допустимо, если каждое фх является собственным отображением и выполняется равенство 8.4.1. Обратите внимание, что множество {рА}, введенное в § 8.2, как было показано, является допустимым.
Пусть теперь {фх} — какое-нибудь другое допустимое множество цепных отображений
А(Х)-> А^Х),
и предположим, что для каждого X, Xх представляет собой некоторую цепную гомотопию между фх и фх. Назовем гомотопию Xх собственной, если
1X^ = 0, и будем говорить, что соответствие Х~>ЛХ естественно, ёсмц каково бы ни было отображение / : X —> Y, имеет место равенство
fXY = XxfN.
Назовем множество цепных гомотопий {Лх} допустимым, если каждый его элемент Xх является собственной гомотопией и выполняется условие 8.4.2.
Ясно, что, выбросив A-t и A^i, мы получим цепную гомотопию) Xх между фх и фх, рассматриваемыми как цепные отображеният) А (X) —* —^-Xх (X). Это следует из того, что цепные отображения фх, ф^ и Xх — собственные.
Пусть теперь С (X)— один из цепных комплексов А (X), Xх (X), □iV(X), и пусть также D (X) — какой-нибудь из комплексов А (X), Xх (X), не обязательно отличный от С (X). Тогда ясно, что означают следующие утверждения: {ф^}, (Фх) являются допустимыми множествами цепных отображений С (X)—> D (X), а {Лх} — допустимое множество цепных гомотопий между фх и фх.
Теорема об эквивалентности сразу получается из следующей теоремы:
. Теорема. Существует допустимое множество цепных отображений Фх : С (X) —> D (X),
и любые два допустимых множества цепных отображений можно соединить допустимым множеством цепных гомотопий.
Излагаемый нами метод доказательства этого утверждения принадлежит Эйленбергу и Маклейну). Он получит некоторые дальнейшие применения в этой и следующей главах. Суть этого метода можно описать как «доказательство с помощью ацикличных моделей». По существу, это обобщение «доказательства с помощью ацикличных носителей», излагавшегося в гл. 3.
Рассмотрим для определенности случай, когда С (X) = А(Х), D (X) = = П^(Х). Завершив доказательство для этого случая, мы укажем, какие изменения нужно сделать, если С (X) и D (X) выбраны иначе.
Установим сначала существование отображений фх. Доказательство проводим по индукции. Начнем, положив 1ф^1 = 1 для всех пространств X. Предположим, что гомоморфизм фр : Хр (X) —> Цр (X) определен для всех X и всех p<Lq, где ^>0, так что выполняются условия:
фрд = дфр_р
для любого / : X —> У, /рфр = Фр/р •
Обратите внимание, что условие (б) выполнено, если р=— 1.
Теперь сам симплекс tq тоже является топологическим пространством, и притом стягиваемым. Значит, в силу 8.3.11, комплекс ЦЛ (7д) ацикличен (ацикличная модель). Обозначим через i: tq—>tq тождественное отображение. Тогда iq представляет собой сингулярный ^-симплекс пространства tq и
Более того, iqd^^^ — iqdd^q^ = 0. Значит, iqd<vtq_v есть (q — 1)-цикл комплекса П^ (tq) и, следовательно, граница iqd^q9_t = dqd, dq £ Qq (tq). Положим iqtfq4 = dq. Отображение ф^ определяется теперь из условия естественности. В самом деле, пусть g;tq—»X— произвольный сингулярный (/-симплекс пространства X. Тогда gq = iqg^ для того чтобы выполнялось равенство 8.4.1, мы должны иметь
gqVf = М^Фд = iqфtqqg^ = dqgN.
Докажем теперь, что при p = q выполняются условия (а) и (б). Для доказательства (а) заметим, что
gqфq8 dqg^d = dqdg^ =
^iq^q'Llgq-l ^i-qdgq-^q,^ И3 УСЛ0ВИЯ (б),
= iqg^_x=--g^_v
Для доказательства (б) заметим, что
gqtq ф^ = № Ф^ =
=-=dq(gf)q, по определению 8.4.4,
dqgqfq = §Чфд1ч •
Этим индукция завершена. Нами показано, что для всех р и X можно так определить гомоморфизмы ф^ : Др (X) -^ Qp (X), что будут выполняться условия (а), (б) и равенство 1ф51 = 1. Тогда {фх} является допустимым множеством цепных отображений А (X) Q^ (X).
Пусть теперь {фА}, {фх}— какие-нибудь два допустимых множества цепных отображений
А(Х)^ 6N(X).
Рассуждая по индукции, мы покажем, что существует допустимое множество цепных гомотопий {Ах}, соединяющих фА’ и фх. Положим для всех X, 1А^ t = 0 и предположим, что гомоморфизм Ар : Др (X) —э- О^ (X) определен для всех X и всех p<Zq, где ф>0, причем выполнены следующие условия:
х^-дХр-^-^-Ф^
для любого /:Х—/рАр = Ар/р+1.
Очевидно, при р = — 1 условия (в) и (г) выполняются.
Рассмотрим IqWi — ^q — dX^.Cj^V^qk.tqY Применяя (в) для p — q — 1, сразу получаем, что рассматриваемая (/-цепь является циклом. Так как комплекс Q^(^q) ацикличен, существует (£4-1)-цепь kq+l £ Og+i (tq), для которой
iq (Ф^ — Ф,9—5Л9-1) = кчн8-
Положим iqX*^ = kq+1. Отображение Л^ теперь определяется, как и раньше, из условия естественности: для того чтобы выполнялось равенство 8.4.2, мы должны иметь
8.4.58.4.5gqXq — kq^g^^.
8.4.5
8.4.5
Проверим, наконец, что условия (в) и (г) при p = q выполнены. Для доказательства условия (в) заметим, что
gq (Afa+dA^o =. kq+lgN+1d + iqg^_t =
= Ч (^ — ^ ~ дЛ9- 1) gq + iqdg^_ Д- 1 =
= 4gq (^f — ф?) (применим (б) и (г)) gq (Ф^ —Фр-
Равенство (г) при p = q доказывается так же, как мы раньте доказывали равенство (б). Итак, индукция завершена; мы получили допустимое множество цепных гомотопий {Лх}, связывающих фА и фА.
Должно быть ясно, какие изменения нужно внести в доказательство, когда С (X) и D(X) придаются другие значения. Если С (X) = (X), то мы заменяем tq на еч и принимаем во внимание, что eq также является стягиваемым топологическим пространством. Если Z)(X) = A(X), то вместо 8.3.11 мы применяем 8.1.14. Если D (X) = XN (X), то вместо 8.3.11 применяем 8.2.10.]
Следствие. Каждое цепное отображение фА : С (X) —> D (X), принадлежащее какому-либо допустимому множеству, является цепной эквивалентностью.
В самом деле, пусть {фА}— допустимое множество цепных отображений фх : D (X) —.- С (X). Тогда {фхфх} — допустимое множество цепных отображений С (X)—> С (X). Но {Iх}, очевидно, тоже является допустимым множеством цепных отображений С (X) —> С (X). Значит, в силу теоремы 8.4.3, фХфХ ~ Iх.
Аналогично
фХфХ 1х J
Назовем множество цепных отображений фх : С (X) —> D (X) допустимым), если отображения фх после продолжения их до отображений С (X)—> —> D (X) по правилу 1фх = 1 образуют допустимое множество цепных отображений С (X) —> D (X). Аналогичное определение дается для цепных гомотопий. Из 8.4.3 и 8.4.6 мы тогда заключаем, что справедлива
Теорема. Пусть С (X) и D (X) — какие-нибудь из следующих цепных комплексов А (X), XN (X),(X). Тогда
существует допустимое множество цепных отображений С (Х)—> ->ЩХ);
любое допустимое множество цепных отображений С (X) —> D (X) состоит из цепных эквивалентностей;
любые два допустимых множества цепных отображений С (X)—> —> D (X) можно соединить допустимым множеством цепных гомотопий. J
Это и есть теорема об эквивалентности. Она показывает, что группы Н^Х), Н*(Ах(Х)) и Н* (X) канонически изоморфны. Например,
это означает следующее: если {ф^}— некоторое допустимое множество цепных эквивалентностей А(Х)~ПЛ(Х), то ф^— изоморфизм между Н* (X) и Н^ (X), не зависящий, в силу теоремы 8.4.7 (в), от выбора семейства {фх}. Более того, если / : X —* У, то
8-4.8Ш = Ф?Л.
Значит, с помощью канонических изоморфизмов ф^ можно отождествить Н* (X) с Н^ (X) и индуцированные гомоморфизмы
Ц-.Н^Х^Н^У)
с индуцированными гомоморфизмами
Л:ЯСЛХ)-^^(У).
Так мы и поступим. Группы Я® (X), Я® (X) и Н* (X) будут рассматриваться как реализации группы сингулярных гомологий пространства X. Поэтому через Я® (X) часто будет обозначаться любая из этих групп.
Теорема 8.2.6 немедленно вытекает из теоремы 8.4.7 и того замечания, что цА : А (X) —> An (X) образуют допустимое множество {ц^} цепных отображений (см. 8.2.7). Из точной гомологической последовательности, соответствующей точной последовательности
0—> А^ (X) —» А (Х)-^> А^ (X)0,
мы выводим
Следствие. Цепной комплекс А^(Х) ацикличен.^
Теорему 8.4.7 можно легко перенести на относительный случай. В самом деле, если Хо s X, то из построения {фх} ясно, что фх отображает С (Хо), рассматриваемый как подкомплекс комплекса С (X), в Я(Х0), рассматриваемый как подкомплекс комплекса D (X). Далее, если {ф^}, {фх}—два допустимых множества цепных отображений.
Фх, фХ • С №1 с (Хо) -> D (X), D (Хо),
то Xх отображает С (Хо) в D (Хо), и теорема 8.4.7 в относительном случае принимает такой вид:
Теорема. Пусть С(Х, Хо) и D(X, Хо) — любые из следующих цепных комплексов А (X, XQ), AN (X, Хо), П^Х, Хо). Тогда
существует допустимое множество цепных отображений С (X, Хо) —> D (X, Хо);
любое допустимое множество цепных отображений С (X, Хо) —> —> D (X, Хо) состоит из цепных эквивалентностей;
любые два допустимых множества цепных отображений С (X, Хо)—> —> D (X, Хо) можно соединить некоторым допустимым множеством цепных гомотопий. ]
Как и в абсолютном случае, мы отождествляем Я® (X, Хо; G), Н* (X, Хо; G), Я® (X, Хо; G), сохраняя обозначение Я® (X, Хо; G), и отождествляем Я*(Х, Хо; G), Нх(Х,Х0; G), Н* (X*, Хо; G), сохраняя обозначение Я* (X, Хо; G). Обычно гомоморфизм, индуцированный отображением / : X, Хо—>У, Уо, мы будем обозначать через /* : Я® (X, Хо) —> Я® (У, Уо), но иногда, желая подчеркнуть, что речь идет о группах относительных гомологий, будем писать Ц.
Из нашей теоремы об эквивалентности мы хотим извлечь, в частности, одно следствие, устанавливающее связь между топологическим понятием гомотопии и комбинаторным понятием цепной гомотопии.
Теорема. Если / ~g : X, Хо~-*У, Уо, то
/д ~ дд : А (X, Хо) -> А (У, Уо);
fN ~ gN : An (X, Хо)А^ (У, Уо);
/D ~ gD : DN (X, Хо)□" (У, Уо).
Утверждение (в) для абсолютного случая было получено в процессе доказательства теоремы 8.3.8. Пусть теперь {ф^’^о}— некоторое допустимое множество цепных эквивалентностей фх-х“:(X, Хо)А (X, Хо). Тогда
фх, х0^ = уП фу, у о ~ g-ПфУ, у о = фх, Xogb, и (а) следует из того, что ф^'^о— цепная эквивалентность. Аналогично доказывается (б). ]
В действительности, как увидит читатель, утверждения (а), (б) и (в) эквивалентны.
§ 8.5. Свойства сингулярных гомологий
В этом параграфе мы выпишем аксиомы Стинрода и Эйленберга теории гомологий. Они выступят здесь в качестве свойств сингулярных гомологий. Подобными же свойствами обладают сингулярные когомологии; читатель сможет сформулировать их сам.
Свойства, о которых пойдет речь, относятся к группам Н^Х, Хо), индуцированным гомоморфизмам /* : Н* (X, Хо) —> Н* (Y, Уо) и гомоморфизму1) д^-.Н^ (X, Хо)-ч> Н* (х0) из точной гомологической последовательности пары (X, Хо), понижающему размерность на 1. Непосредственно из теоремы 5.6.1 следует, что отождествление групп Н^^Х, X»), Н* (X, Хо) и Н^ (X, Хо) ведет к отождествлению точных гомологических последовательностей пары (X, Хо), получающихся соответственно на основе симплициаль- ного, нормализованного симплициального и нормализованного кубического сингулярных цепных комплексов. Поэтому можно просто говорить о гомоморфизме д* из точной гомологической последовательности.
Свойства, которые мы собираемся проверить, таковы:
Если i: X, Х0-ч> X, Хо—тождественное отображение, то I*— тождественный автоморфизм.
Если /: X, Х0->У, Уо, g : У, Y0^Z,Z0, то (fg)* = f*g*.
дд^М/НоК.
Соответствующая гомологическая последовательность точна.
Если /° ~/х : X, Хо—> У, Уо, то /” =/^ ._
Пусть U — такое открытое подмножество пространства X, что U содержится во внутренности множества Хо, и i;X—U, X0—U—>X,X0—■ отображение включения, тогда i*— изоморфизм.
Группы гомологий точки в положительных размерностях есть нули.
Свойство 1 очевидно, ибо если г = 1, то iA=l. Свойство 2 представляет собой относительную форму утверждения 8.1.11. Свойства 3 и 4 содержатся
!) Гомоморфизм Э* раньше обозначался часто через v*.
в теореме 8.1.13; свойство 5—это относительная формулировка теоремы 8.3.8. Свойство 7 содержится в теореме 8.1.14. Остается установить свойство 6, аксиому вырезания. Доказательство того, что аксиома вырезания для сингулярных гомологий выполнена, основано на одной теореме, которая будет применена также для доказательства совпадения сингулярных и симпли- циальных гомологий для полиэдров. Последний результат будет установлен в следующем параграфе.
Теорема. Пусть (X, Хо)— некоторая пара и {Ух}—семейство подмножеств пространства X, внутренности которых покрывают X. Определим ^ (X) как подкомплекс из А (X), порожденный теми сингулярными симплексами /р, для которых при некотором X, tpf еУх, и пусть AV(XO) = = А(Х0) П Av (X). Тогда включение .
/: AV(X)/AV(XO)-^A(X, Хо) является цепной эквивалентностью.
Заметим прежде всего, что достаточно, очевидно, рассмотреть абсолютный случай. В самом деле, из того, что / : Av (X) —* А (X) является цепной эквивалентностью, будет следовать, что и / : Av (Хо)А (Хо) — цепная эквивалентность, так как, полагая Ux—Vx П Хо, мы получаем семейство {t^x} подмножеств Хо, внутренности которых покрывают Хо, при этом Аи (Хо) = = AV(XO). После этого наша теорема вытекает из 5-леммы (5.6.11) и 3.10.1.
Итак, мы должны доказать, что ;": Av (X) ~ А (X). Подмножество пространства X, лежащее в некотором Vx, будет называться V-мелким. Мы должны показать, что можно вычислить группу сингулярных гомологий пространства X, ограничиваясь рассмотрением только У-мелких сингулярных симплексов. Идея доказательства нетрудна. Обозначим через Gx внутренность множества Ух; тогда {Gx}— открытое покрытие пространства X. Пусть задано отображение f.tp—>Х; множества {/-1 (Gx)} образуют открытое покрытие компактного метрического пространства tp. Пусть 6 — лебегово число этого покрытия; мы можем подразделить tp, например, в t^p, так что Р-(^рГ))<5. Тогда если sp — какой-нибудь /2-симплекс из tp\ то отображение /1 $р определяет У-мелкий симплекс, а все отображение / определяет некоторую цепь в Av (X). Однако пока эта идея построения отображения А (X)—> —>AV(X), цепного обратного к /, еще слишком сыра. Во-первых, надо более точно установить, как / определяет цепь в Av (X); во-вторых, мы обнаруживаем, что предлагаемое цепное обратное не является цепным отображением. Однако, как только мы систематизируем процесс подразделения в А(Х), станет ясно, как поправить эту грубую аппроксимацию. Эта систематизация длинна, но выполняется просто; читателя, возможно, поддержит при ее изучении сознание того, что она мотивирована стремлением использовать описанную выше простую идею. ■
Описываемая ниже процедура определения цепного отображения на подразделение
X : А (X) А (X)
и цепной гомотопии Л : А (X) —э- А (X), для которой ЛдудА-^ х —l* имеет сходство с техникой, которой мы пользовались в предшествующем параграфе). Сначала мы рассмотрим L(lp), подкомплекс комплекса А (1Р),
порожденный всеми линейными отображениями. Линейное отображение I'.tq—»tp определяется своими вершинами аг — v4^tp, так что каждое линейное отображение симплекса lq может быть задано как некоторое упорядоченное множество точек симплекса tp. Заметьте, что если lq = a°. . . aqv то lqd = 2 (— 1)г а1 .aq. Пусть b tp; обозначим через blq (g + 1)-симплекс Ьа° .. . aq из L (tp) и распространим это обозначение до обозначения bcq £ Lq+1 (Zp), где cq есть g-цепь в L(tp). Обозначим через Ь1 барицентр вершин отображения I.
Мы определим цепное отображение на подразделение % : L (tp) —> L (Zp) по индукции, положив
(а) Хо=1; (б) ^Xq-'^UqS^q^, Ч>^-
Легко проверяется по индукции, что % — цепное отображение. Будем обозначать tql^tp через |Zq|. Тогда [ lq | — выпуклое подмножество симплекса tp, натянутое на вершины отображения I, так что bl£\lq\. Пусть cq£Lq(tp); обозначим через | cq | объединение множеств \lq\, для которых симплекс lq входит в цепь cq с ненулевым коэффициентом. Мелкостью цепи cq, p(cq), мы назовем максимум диаметров таких множеств \lq\. Тогда, очевидно, |с9х| —|сзЬ и, так же как в теореме 1.4.5, устанавливается, что Р(С9Х)< -д™^ (Cq)-
Очевидно, % можно итерировать; его r-я степень %г снова является цепным отображением, и
!CgXr|‘=|c<zh Р(сдХГ)^(!CgXr|‘=|c<zh Р(сдХГ)^(
!CgXr|‘=|c<zh Р(сдХГ)^(
!CgXr|‘=|c<zh Р(сдХГ)^(
Цепная гомотопия, соединяющая 1 и %, задается индуктивными формулами(В) Ло=-О; (Г) lq\q = b4lqU-^-9Aq-^, ?>1-
Легко проверить по индукции, что Ad-j-dA = x—1. Отсюда следует, что (1 + х + . . . %Г-1)Л — цепная гомотопия, соединяющая 1 и %г. Заметим1 также, что, как следует из (г), j cQAQ I ^ | cQ |.
Пусть l;tp —>tn— линейное отображение. Тогда /Л переводит L(lpy в L(tny Будем временно обозначать через р%, РЛ определенные выше отображения %, Л, чтобы подчеркнуть их зависимость от размерности р симплекса tp. Тогда нетрудно доказать по индукции, что
8.5.28.5.2(рХ)^ = ^("х). (pA)Za = Za("A)
8.5.2
8.5.2
как отображения L (tp) —>L (tny Равенство 8.5.2 применимо, в частности, когда в качестве I берется отображение V3, определенное формулой 8.1.1.
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы рассмотреть операцию подразделения в А (X). Как и в § 8.4, обозначив через ip тождественное отображение симплекса tp, определим х^ : А (X) —> А (X) следующей формулой:.
8.5.38.5.31p^ = ip^
8.5.3
8.5.3
где, конечно, х = РХ' Докажем, пользуясь равенством 8.5.2, что х^ — цепное- отображение.
В самом деле, fP9xx = 2 Н/Ор-^ . 2—0
= 2 (-1Уь-1Г^^п& = з=о
= 2 (-l/ip-i^x) (^)Т = 3=0
= 2 l-iyip-i^xf, в силу 8.5.2, з=о
= (2 (-1)''^)(рх)/д = э=о
= ipaxf& = ip^8=fpXx8.
Положим \fp\ = tpf^X; если ср £ДР(Х), обозначим через | ср | объединение множеств j/p|, таких, что /р входит в ср с ненулевым коэффициентом. Тогда равенство 8.5.3 позволяет утверждать, что |/рХ^ I ^ I/р I- Таким образом, в частности, если / 7-мел ко, то /^^AV(X).
Пусть 1Р—линейное отображение, lp^L(tp). Тогда lp = ipl\ так что
^рХ — М % — ^рХ^ >
к силу 8.5.2. Значит,
Wf = ipl^ = ЧХ W/ = Wp г = Ч14х.
■откуда
xf = fxX-Lp^->\p^Xy
Тогда ясно, что если kxxY—s-я степень отображения хх' то имеет место равенство
•8.5.3Stp<xxY = ipXsf-
Обозначим через 6 лебегово число покрытия tp открытыми множествами {/"ДП^)}. Можно выбрать s так, чтобы p(ipXs) <6, ибо
Из равенства 8.5.3S тогда следует, что для такого s, }р(ххУ Е ^V кХ?у •Определим s(f), размер /, как наименьшее целое число s, для которого ЫххУ^ к^У
По аналогии с 8.5.3 определим Xх : А (X)—> А (X) по следующему правилу:
■ 8.5.4jpXx = iPM\
где, конечно, А = РА.
Вычисление, аналогичное проведенному для хХ' показывает, что ххэ-уэхх = хх—1-
Далее, ясно, что | fpXx | s | /р |, так что Xх отображает Av (X) в Av (X).
Поэтому мы будем писать %, А вместо %х, Xх. Подведем итог сказанному: у нас есть цепное отображение х : А (X), Av (X) —> А (X), Av (X) и такая цепная гомотопия Л:А(Х), AV(X)-^A(X), Av(X), что Лд + дЛ = % — 1. 'С каждым симплексом /Р^А(Х) мы связали некоторое целое число s (/) —
наименьшее из тех s, для которых fp%s £AV (X). Наш план в первом приближении состоял в том, чтобы определить цепное обратное к j : Av (X) — —>А(Х), отобразив /р в /Рх8</>- Если бы это отображение было цепным, мы бы попытались построить цепную гомотопию, соединяющую /р и /Рх$</>- Итак, (1+х+ • •• + xs-1)A соединяет 1 и Xs- Рассмотрим цепную гомотопию
Ф:А(Х), Ау(Х)-ч> А(Х), Av (X), определяемую формулой
/РФ = /Р(1 + х+.-.+х5(/,-1)Л.
Будем писать s вместо s (/) и s0> вместо s(/p_1). Прямым вычислением получаем, что
/р(ф5 + 9Ф+1) = /Рх8- 2 (—^ 2 fp-iX'A.
j=0i=sd>
Теперь /pXs6Av(X) и /^х^ € Av (X). Поскольку AV(X) х s Av (X) и Av (X) Л с Av (X), в правой части равенства 8.5.5 стоит цепь комплекса Av (X). Следовательно, мы можем определить цепное отображение к : А (X) —> Аа (X) посредством формулы
рS— 1
fpk = /рХ5 - 2 (-i/ 2. /Ux‘a.
3—0i—s^^
По построению, к]— 1=Фд + дФ. Следовательно, так как
8 (Фд + 9Ф +1) = (Фд + 9Ф+1) д,
то к] — цепное отображение. Но j — мономорфное цепное отображение, так что само к — цепное отображение. С другой стороны, если /Р^АУ(Х), то s — 0, так что jk = l, и теорема доказана.]
Теорема. ^Теорема вырезания для сингулярных гомологий.1) Если U — подмножество пространства X, замыкание которого содержится во внутренности множества Хо, то включение i : X-—U, Хо — U—> X, Хо индуцирует изоморфизм
i* : НДХ-U, X0-U)^H^X, Хо).
Пусть W—внутренность множества Хо. Тогда U s W, так что открытые множества X—V и W вместе покрывают X. Отсюда следует, что внутренности множеств X—U и Хо вместе покрывают X. Применим теорему 8.5.1 к семейству У = {X — U, Хо). Тогда AV(X) —А(Х— 77) + А(Х0), Av (Хо) = = А(Х0). Таким образом,
j : (А (X—U) + А (Хо))/А (Хо) А (X, Хо)
— цепная эквивалентность. Пусть
h ^(X-U, X0-t7)->(A(X-t7) + A(X0))/A(X0)
— цепное отображение, индуцированное включением
/ЦХ-U), A(X0-£7)^A(X-t7)+A(X0), А (Хо).
Так как А (X — U) Q А (Хо) = А (Хо—U), то h — изоморфизм (1.2.2). Но hj — is, так что гд— цепная эквивалентность.] Обращаем внимание читателя на то, что не обязательно предполагать U открытым множеством в X.
Как показывает следующий пример, нельзя ослабить предположение теоремы 8.5.7, потребовав только, чтобы U содержалось во внутренности множества Хо.
Пример. Пусть X = tx— стандартный 1-симплекс. Тогда произвольная точка пространства X записывается в виде Аоу° + А1у1, где Х0>0,, 7ц > О, AOil-A1 = l. Пусть Хо—объединение подмножеств из X, для которых 2“2ПСА1С2-2П+1, п>1, с точками у0, у1. Через U обозначим внутренность множества Хо, т. е. объединение множеств вида 2~2П < 7ц < 2“2n+1. Тогда ц— сингулярный 1-цикл в X mod Ло, так как у0 и у1 принадлежат Хо. Значит, ц определяет некоторый элемент ■у^Н^Х, Хо). Но X — U является объединением подмножеств 2~2n-1 CAJC2-2”, и>0, с у0 и Хо — U есть множество концов этих интервалов вместе с у0. Можно проверить, что тогда у не принадлежит образу Н\ (X— U, Хо — U) при гомоморфизме, порожденном: включением.
Этот пример показывает, что группа И* (X, Хо) не определяется ни топологическим пространством X — Хо, ни даже пространством X — Хо. Еще- более простой пример мы получим, положив Х = П, Х0 = у° J у1, а в качестве У, Уо взяв то, что получается, если вырезать все Хо. Тогда Н^Х, X^ = J, но Н\ (У, Уо) = О, так как У0 = Ф и У стягиваемо.
Мы сейчас рассмотрим важное применение теоремы вырезания. Пусть g : Л—>У0— отображение, С А— конус над А, а ¥ получается из (дизъюнктного) объединения пространств С А и Уо путем отождествления а^А с ag g Уо. Пусть / : СА, А —> У, Уо—отображение, тождественное на С А— А и совпадающее с g на А; таким образом, / — сужение на СА проектирования С A U Уо—* У- В этом случае мы будем говорить, что У получается из Уо приклеиванием конуса С А посредством приклеиваюгцего отображения g. Отображение / называется характеристическим отображением приклеивания. Особенно важен случай, когда А является (и — 1)-сферой и речь идет) о приклеивании /г-клетки к Уо.
Предложение. Характеристическое отображение / : С А, А—► У, Уо индуцирует изоморфизмы групп гомологий и когомологий.
Пусть к;Ах!—>СА отождествляет цилиндр Axl с конусом С А, так что (а, 0)к = а, а^А. Обозначим через [и, у], ^и, и) соответственно- отрезок и полуинтервал, лежащие на Z и определяемые соотношениями и^<Су, u^ i<y. Далее, обозначим через А^и, у] множество (Л X [и, у]) А* и через У [и, у]— множество (Л X [и, у]) /с/; аналогично определяются множества Л [и, у) и У [и, у). Тогда СА = А\0, 1], Л = Л[0, 0].
Рассмотрим коммутативную диаграмму отображений
Ч4-1]-Ч4-4] ^«.л[о,4] -Асл,л
где it, i2, р, J2— включения, а Д, /2— сужения отображения /. Переходя
iu— изоморфизм, так какiu— изоморфизм, так какк гомоморфизмам гомологий, мы видим, что
iu— изоморфизм, так как
iu— изоморфизм, так как
Л ["3", 1] ’ ^ [у ’ у] получается из С А, А [в, у^| вырезанием множества А [б, у ^ . Изоморфизмом является также и Д*, так как здесь мы вырезаем У 0, у ^) (J Уо. Заметим, что замыканием этого множества служит У [ °, у ] U ¥0, а внутренность множества У [ 0, у ^j U Уо есть У ^ 0, у^ (J Уо.
Далее, i2* — изоморфизм, так как тождественное отображение конуса СА можно продеформировать в отображение, ретрагирующее А | 0, -|- J на А, relA; по аналогичной причине изоморфизмом является и j2*- Наконец, ju— изоморфизм, так как jv — гомеоморфизм. Из этих фактов следует, что /2* и, значит, /*— изоморфизмы. Аналогично, / индуцирует изоморфизм /* групп когомологий.]
Мы закончим этот параграф применением предложения 8.5.9. Пусть X— какое-нибудь пространство и Х+, Х_ — два конуса над X, такие, что Х+ П Х_ = Х; положим
A(X) = X+UX_.
Пространство 5 (X) называется надстройкой пространства X. Предположим, что задано / : X — > У, и /+ : Х+—>У+, /_ : Х_ —> У_ — продолжения отображения / (см. диаграмму, следующую за равенством 1.6.7). Тогда /+, /_ вместе определяют некоторое отображение 5 (/) : S (X) —> А (У), называемое надстройкой отображения /. Очевидно, что если g:Y—»'L, то sygy-s^s^.
Теорема. Имеет место изоморфизм Е^ : Нр-^Х) 5^ Hp^SX), такой, что для любого отображения f:X->Y выполнено равенство
Е*(,8{ *Е*.
Из гомологической последовательности пары (Х_, X) и стягиваемости Х_ мы выводим, что
V* :Я’(Х_, Х^Я^ЛХ).
Из гомологической последовательности пары (8 (X), Х+) и стягиваемости Х+ заключаем, что
^■.HSp(SX)^HSp(8X, X,).
Пусть I*— включение i* : Нр{Х_, X)—» Hsp(SX, Х+). Определим гомоморфизм Е* равенством х*Е* = г^р*. Свойство естественности, выражаемое равенством Е* (Sf)* = f*E*, вытекает из соответствующих соотношений естественности для гомоморфизмов V*, г*, р*.
Остается доказать, что г*— изоморфизм. Мы можем считать, что SX получается из Х+ приклеиванием конуса Х_ посредством отображения включения Х—»Х+. Соответствующее характеристическое отображение является как раз отображением включения г : Х_, X-^SX, Х+, так что из 8.5.9 следует, что it — изоморфизм.]
Теория сингулярных гомологий полиэдра
Этот параграф посвящен доказательству эквивалентности теории сингулярных гомологий и теории симплициальных гомологий (см. гл. 1 — 3) на категории полиэдров (или полиэдральных пар). Эйленберг и Стинрод [18] выводят это из аксиом 1 — 7, перечисленных в предыдущем параграфе. Мы же дадим прямое доказательство, основанное на теореме 8.5.1.
Пусть |Х|— полиэдр, не обязательно бикомпактный. Мы определим -очевидное цепное отображение а : CQ (К) —> А (| К |) и поставим себе целью .доказать, что а—цепная эквивалентность. Существенный шаг доказательства заключается в том, чтобы определить для | К | подходящее семейство {У} его подмножеств. Затем определяется цепное отображение 0 : CQ (К)—»
—> Av (| К |) и строится цепное обратное к нему. При этом если у : Av (| К |) —> —»Д(|Л’|) — включение, то а = ру, откуда следует, что а — цепная эквивалентность.
Начнем с определения семейства {У}. Как и в § 1.10, точки полиэдра I ^ | будут описываться множествами их барицентрических координат {Ау}, где все Xj > 0, 3 Ay = 1, причем ненулевые X соответствуют вершинам; некоторого симплекса комплекса К. Каждому симплексу х=^(а’о ... а^^К мы поставим в соответствие некоторое множество Vs ^ | А7|, а именно множество тех точек {А7}, для которых
max (Air) > max (Xj).
05r<pН=й>, . . ■, ip
Установим теперь некоторые важные свойства семейства (У5).
Лемма. Семейство {У5} образует открытое покрытие полиэдра | К [.
Очевидно, s с Vg, так что рассматриваемое семейство действительно' является покрытием. Докажем теперь, что множество Vs открыто. Напомним, что подмножество полиэдра | К | замкнуто в том и только в том случае, если его пересечение с t замкнуто, каков бы ни был симплекс t^K. Эквивалентно, подмножество из |А"| открыто в том и только в том случае, если его пересечение с каждым t открыто в t. Применим этот критерий для доказательства того, что множество Ts открыто в j А7|. Пусть
t = (а’о . .. а*ч а^о ... air),
где ни одно Д не совпадает ни с одним из i0, • • • , ip. Тогда {Ay}gZ ГЦ^ в том и только в том случае, если
Ау = 0, / =^= Iq, . . . , iq, jo, . . . , jT
И
max Ai > max A; .
05hs£g 10<h5r‘
Обозначим через Gh h открытое подмножество иэ t, описываемое неравенством Аь>Аы. Тогда, как было показано, t Q Vs = П U Сд й;
__ k=Qг h=0g ’
следовательно, и множество t Q Vs открыто в (.]
Из теоремы 8.5.1 следует, что / : Av (| К |) ~ А (| К |).
Лемма. Каждое множество Vs стягиваемо.
Так как s ^ У8 и s стягиваемо, достаточно указать деформацию множества У$ на множество s.
р__
Пусть {Ау}€У8 и 2 Мг = Н- Тогда и > 0 и точку {Ау} £ s, в которую г—О
попадет {Ау}, мы определим так:
Отрезок, соединяющий {Ау} с {Ау}, лежит, очевидно, в Ув, так что У$ можно ретрагировать посредством деформации вдоль этих отрезков на s.}
Лемма. Если множество A^j^| V-мелко, то существует симплекс s (А) наименьшей размерности, для которого Vg^^A; далее, если В s А, то s(B)<s(A).
Пусть 5 — семейство симплексов комплекса К. Читатель может проверить, что если s- П (, то Vs= П Vt (где V8-i=0), ибо наибольшие из testes
X, соответствующих произвольной точке из рУ^ должны отвечать вершинам, принадлежащим каждому симплексу Z g S.
Пусть S — семейство тех симплексов t комплекса К, для которых Vt^A. Тогда если s= ПК то А^ПИг = У8, и если А г Vt, то s<t. textex
Рис. 8.1.
Значит, s = s(4). Если В ^ А, то VS(A)^A^B, так что s (В) < s (A).J, Теперь мы определим цепное отображение Р : CQ (К) —> Av (| К |) и цепное отображение у : Av(| К |) —> CQ {К). «Симплекс» из Ка— это набор g = [а10 . .. я’р] вершин комплекса К, не обязательно различных, на которые натянут некоторый симплекс из К. Каждому «симплексу» g мы можем поставить в соответствие линейное отображение lg : tp —> s, описываемое формулой vTlg = а^. Очевидно, отображение lg У-мелко^ и соответствие g —> lg индуцирует собственные ) цепные отображения а : Са (К) —> А (| К |) и р : CQ (К) —> Av (| К |), описываемые формулами
ga=lg, g^ = lg;
очевидно, а = Р/.
Чтобы определить у, мы прежде всего свяжем с каждой точкой ж£| Aj некоторую вершину а(х) симплекса s (ж), наименьшего среди тех симплексов, У-множество которых содержит точку х. Пусть теперь / : tp—>\K\ — какое-либо У-мелкое отображение (т. е. tpf У-мелко). Определим у : Av (| К |) —> —> Сй (К) по линейности из равенства
/рУ = [а(у°/), ..., а(кр/)].
Так как vlf£tpf, из 8.6.4 следует, что s ^f) < s (tpf) = s (f). Таким образом, каждая вершина а(у1/) является вершиной симплекса s(/), так что справа стоит допустимый набор. Ясно, что у — собственное цепное отображение.
. Предложение, р : Сй (Л)—> Av (| К |) является цепной эквивалентностью с цепным обратным у.
Очевидно, что если х—вершина комплекса К, то s(x') = x, так что Ру = 1. С другой стороны, если отображение fp У-мелко, то /руР— линейное отображение I, определяемое равенством vrl = a(vrf). Значит, /руР— линей
!) Авторы книги говорят, что отображение lg V-мелко, имея в виду, что_У-мелок образ при нем. — Прим, персе.
ное отображение на некоторую грань симплекса s (f). Отсюда следует, что оба отображения 1 и у^ переносятся алгебраической функцией-носителем Е, определяемой формулой
E(/p) = A(Hs(/)).
Ясно, что Е—носитель: ибо tp_x fp_x s tpj, так что V г )^Т5(/) и Е (fp^) S Е (fp). Далее, в силу леммы 8.6.3, носитель Е ацикличен. Так как и 1, и уф — собственные]) отображения, из 3.4.5 следует, что ур~1.] 8.6.7. Теорема, а : Сй (К)—>А(|АГ|) является цепной эквивалентностью.
Это сразу вытекает из 8.5.1 и 8.6.6.]
Нетрудно приведенное доказательство (или заключение) перенести на относительный случай.
6.8. Теорема. Имеет место цепная эквивалентность а:Са(К), Са{Кф~>\{\К\), А(|^о|), индуцирующая изоморфизм гомологической последовательности пари К, Ко на сингулярную гомологическую последовательность пари |ЛГ|, | Ко j и изоморфизм сингулярной когомологической последовательности пари \К\, |Ао| на когомологическую последовательность пари К, ^0 ]
Отметим, что а — мономорфизм цепного комплекса СЙ (К) на прямой множитель в А (| А71). Далее, ясно, что мономорфизм а естествен в следующем смысле: если v : К —> L — симплициальное отображение, то диаграмма
с>)Дд(|£|)
сй(Т)Лд(|Т|) коммутативна.
Пусть теперь К—конечный комплекс. Тогда произвольное отображение / : | К | —> | L | индуцирует гомоморфизмы
/“ : Н° (К) -^H^L), ft: H*Q (L: G) Нц (К; G).
Докажем, что имеет место
.6.9. Теорема. /*«* = «*/*, /п«* = а*/*.
Пусть К^ — r-е барицентрическое подразделение комплекса К и цепное отображение ф(г> : Са (К^) —-> СЙ (К) индуцировано некоторым стандартным отображением vW ; Kw —>К. Тогда I vW | ~ 1 : | К | —> j К | и г/^а = а | у^) |д. Значит, фМ а* = а*. Пусть теперь %<г) : СЙ (К) —> СЙ (К^)— цепное отображение на r-е подразделение. Тогда Х*г> Ф*г> = Н так чт0 а*= Х*г) °*- Пусть и : К^-^ L— симплициальное приближение отображения /. Тогда, по определению, ft = 1^u^ иийа = а|и|л. Далее, |м|~/:|Л’|—>|L|, так что |«|* = /*: Н* (| К |) —> Н\ (| L |). Собирая эти факты вместе, получаем
/*а* = Х(»)м£«* =
= Х^Ч I м I* =
Второе утверждение доказывается аналогично.]
х) Вспомните определение, предшествующее 3.4.11.
Можно очевидным образом интерпретировать равенства 8.6.9 для групп относительных гомологий и когомологий. Итак, мы видим, что а* устанавливает изоморфизм между теориями сингулярных и симплициальных гомологий полиэдра, причем симплициальная теория включает здесь в случае бикомпактных полиэдров гомоморфизмы, индуцированные непрерывными отображениями. Из теоремы 8.6.8, в частности, следует топологическая инвариантность гомологической и когомологической последовательностей симплициальной пары К, Ко. Для конечных комплексов это уже было доказано в гл, 3 другими методами. Метод настоящей главы логически более удовлетворителен не только потому, что дает результат для бесконечных комплексов, но также и потому, что он приводит к однозначно определенной гомологической последовательности полиэдральной пары Р, Ро, которой все остальные ее гомологические последовательности канонически изоморфны. Таким образом, мы могли бы отложить все доказательства топологической инвариантности до этой главы. Однако мы их приводили, поскольку на соответствующей стадии изложения они были более понятны и в каждом случае позволяли получить ответ на неизбежно возникающий вопрос.
Таким же образом можно установить топологическую инвариантность локальных групп гомологий полиэдра в точке (см § 3.7), доказав, что они изоморфны некоторым группам сингулярных гомологий. Определим Н^ (р), группу сингулярных гомологий пространства X в точке р^Х, формулой 8.6.10Н* (р) = Н*(Х, Х—р).
Предположим теперь, что К — комплекс и а — некоторая его вершина. Тогда
ае:Н^(а)^Н8Д\К\, |^о W
Изоморфизм а* можно умножить на включение
V.HS*(\K\, ]К0(а)])->^К1(и);
в результате получается гомоморфизм а* = a^i* : Н* (а) —> Н^ (а).
Предложение. Гомоморфизм а* является изоморфизмом.
Мы должны доказать только, что /*•—изоморфизм. Множество (Л',—а можно, проектируя из точки а, ретрагировать посредством деформации на множество |Х0(а)|. Следовательно, включение Н* (| Ко (а) |) —> Н* (| К | — а) является изоморфизмом, и мы заключаем, что I*—изоморфизм, применяя 5-лемму к гомологическим последовательностям пар | К |, |7f0(a)| и |^|, |^Ь«1
Следствие. Локальные группы гомологий (произвольного) полиэдра в точке являются топологическими инвариантами.]
Заметим, наконец, что, как и в глобальной теории, изоморфизм а* естествен по отношению к гомоморфизмам, индуцированным отображениями полиэдров (ср. с 8.6.9). В самом деле, пусть /:|£|, Ъ—> —»|К|, а — некоторое /-отображение (см. § 3.7), и f— его /-приближение. Так как f ~ f, имеем / ~ /': | L |, \L\—b—>\K\, | К [ — а, так что z
/„ = /* : Н^ (Ь) —> Н'^' (а). Значит, мы фактически ничего не потеряем в общности, если предположим, что само отображение / переводит | Lq (b) I в | Ко (а) |. В этом случае / индуцирует гомоморфизмы
f^ Н* (b)-^ Н* (a), f*:#:(|L|, | Lo (6) |) Hl (| К], |ОД|)и ^-.Н^ (Ь)-^Н^(а).
21 Заказ № 1335
Имеем (8.6.9): /“а, = aj* и, очевидно, ij* = f*i*. Значит, /“а* = а*/*. Мы доказали
Предложение. Произвольное 1-отображение / :)L|, b —> | К I, а индуцирует гомоморфизмы f* : Н* (Ь) —> Н* (а) и j* : Н'^' (Ъ) Н^' (а), причем выполняется равенство /*а* = а*/* J
Рекомендуем читателю еще раз разобраться в изложении вопроса об ориентации в § II.1 и использовать при этом понятие группы сингулярных гомологий в точке. Это понятие ведет к некоторому упрощению изложения; например, в лемме, относящейся к доказательству предложения II.1.29.
Группы гомологий топологических произведений
В § 5.7 мы сослались на то, что для вычисления групп гомологий произведения | К | X | L ( можно привлечь тензорное произведение цепных комплексов С (К) и С (L). Здесь это утверждение будет доказано в общем виде. Пусть каждый из символов С (X), D (X) обозначает, как и в § 8.4, какой-нибудь из цепных комплексов A (X), &N (X), □ N(X). Отождествляя 0-симплекс t0 с 0-кубом е0, можно тем самым отождествить До (X), Д^ (X) и П^ (X) и говорить просто о С0(Х), D^X).
Пусть Q : С (X) 0 С (У) —> D (X X У)— некоторое цепное отображение. Назовем его верным, если (/0 0 go) Q = (/ X g)o, где t0 (/ X g)~ (Zo/, Zog) € с X х У. Пусть к : X —> Xv Z: УУ, — произвольные отображения. Тогда имеют место цепные отображения, которые мы будем обозначать через к 0 I, kxl:
k^l-.C^CiyW (XJ 0 С (У,),
к х I: D (X X У) D (X, X У^.
Множество (рх’ у} цепных отображений qx- у : С (X) 0 С (У) —> D (X X У) называется допустимым, если каждое рх’у является верным и для всех отображений к и I выполняется следующее условие естественности-. qx’y (к х Г) = (k^l) QX1, Y1-•
Теорема, (а) Существует допустимое множество цепных отображений Qx’Y;-
любое допустимое множество состоит из цепных эквивалентностей;
любые два допустимых множества можно соединить допустимым множеством цепных гомотопий.
В утверждении (в) множество цепных гомотопий называется допустимым, если оно естественно в очевидном смысле.
Как, вероятно, читатель и ожидал, это доказывается рассуждениями, основанными на «ацикличных моделях». Ради простоты обозначений будем считать, что С (X) = D (X) = А (X). Определим тогда А (X 0 У) как A (X) 0 0 А (У). Таким образом,
Д„(Х0У) = 2 АР(Х)0 Дд(У).
р4-д=п
Мы определим рх-у по индукции относительно п, опираясь при этом на ацикличность цепного комплекса A (tp х Zg). Заметим, что А (X 0 У) можно пополнить, полагая А_1(Х0У) = 7 и (/о® go) 5 = 1. Тогда, если Q верно,
оно, очевидно, будет собственным. Восполнить недостающие детали доказательства может читатель, знакомый с доказательством теоремы 8.4.3. Таким образом, утверждение (а) доказано.
Пусть {q} и {п} — какие-нибудь допустимые множества цепных отображений
Д(Х0У)-^Д(ХхУ).
Определим по индукции некоторое допустимое множество соединяющих их цепных гомотопий {Л}, начиная с Ло=О. Детали доказательства снова можно опустить, принимая во внимание теорему 8.4.3; утверждение (в) доказано.
Рассмотрим теперь множества цепных отображений {рх-у}, где
рх-у : Д (X х У) —> Д (X 0 У).
Будем говорить, что р верно, если (/ X g)oQ =/о 0 go, где f:t0—>X, g:t0—»Y. Множество (рх’у} назовем допустимым, если каждое отображение р верно и выполнено очевидное условие естественности. Существование некоторого допустимого множества цепных отображений {qx> у} устанавливается по индукции относительно размерности; определяя Q на Дп(ХхУ), рассмотрим элемент
in X in Е Дп (in X in)
и используем ацикличность комплекса Д (^„ 0 i„) (она сразу же следует из 5.7.5). Кроме того, можно доказать, что любые два допустимых множества {q} и {о} можно соединить некоторым допустимым множеством цепных гомотопий {Л}. Множество {Л} определяем по индукции, начиная с Ло=О.
Читателю должно быть уже ясно, как завершить доказательство: {qx>yqx'y} и {1Х,У} — два допустимых множества цепных отображений Д (X 0 У) —» Д (X 0 У); смысл термина «допустимое» здесь ясен. Эти множества соединяет некоторое допустимое множество цепных гомотопий. Таким образом, утверждение (б) доказано. Читатель сможет внести необходимые изменения в доказательство в случае, когда С и D выбраны из Д, Дх, 0N другим способом.]
Следствие. Имеют место канонические изоморфизмы
Q* : Н* (С (X 0 У)) ^ Н* (D (X х У)).]
Предложение. Пусть С = Д, AN или nN; тогда
(1 0 Qy> z) qx- yxz ~ (qx- y 0 1) Qyxy- z : С (X 0 У 0 Z) -> С (X X Y X Z).
Очевидно, теорему 8.7.1 можно распространить на любое (конечное) число пространств X, Y, Z, ..., при этом получаются допустимые множества {рх'у- z- • •■} цепных эквивалентностей, удовлетворяющие аналогу утверждения (в). В частности, допустимые множества цепных эквивалентностей С (X 0 У 0 Z) —> С (X х У X Z) образуют (1 0 qy- z) qx-YxZ и (qx> у 0 1) qxxy, z. поэтому наше предложение вытекает из утверждения (в).
Предложение. Пусть С = Д, AN или Ц7^ и пусть
ц : С (X 0 У) -^С (Y 0 X)
— цепной изоморфизм из ЬЛЗ. Тогда если отображение m:XxY—>Y хХ задано формулой (ж, у^т — ^у, х), то диаграмма
C(X®Y)-^C(Y®X)'
р|р
С (X X У) -^ С (У х X)коммутативна с точностью до гомотопических эквивалентностей.
Здесь мы через т обозначили цепное отображение, индуцированное т. Заметим, что {дУ у} и {цх> ygy> xmY’у) — допустимые множества цепных отображений С (X 0 У) —» С (X X У), так что в силу 8.7.1, дУ у ~ цУ уоу- х mY> х. Значит, qx> Ymx>у ~ цУyqy- y.J
Можно указать одно очень удобное множество цепных эквивалентностей т)
дУу : DN (X ® У) DN (X х У).
Пусть /р — сингулярный р-куб пространства X, gq-—сингулярный <?-куб пространства У. Определим сингулярный (р -(- д)-куб jp X gq пространства X xY так:
(Hj, . . . , Upj-q^ ^р X gq') = ((u^ . . • , Up) /р, (Up+1, ..., up*q) gqY
Сразу ясно, что куб /р X gq вырожден, если вырожден хотя бы один из кубов /р и gq. Значит, соответствие 8.7.5 индуцирует некоторый гомоморфизм
Qy.y:DN(^®^)-^nN(Xxy).
Прямое вычисление показывает, что дУу— цепное отображение. Далее, ясно, что семейство {дУ у} допустимо.
В заключение укажем, что 8.7.1 вместе с 8.6.7 и 5.7.9 позволяет вычислять группы гомологий топологических произведений бикомпактных полиэдров за конечное число шагов. В самом деле, если |Х|, |L|—полиэдры, и х, X—ориентации комплексов К, L, то имеет место «цепь» цепных эквивалентностей
Си (X) ® Сх (L) ®— CQ (К) ® CQ (L) —^ А (I К I ® I L |) —^ А (| К | х | L |).
В действительности | К ] X | L | — снова полиэдр, однако этот факт нами не используется; мы предпочитаем вычислять группы гомологий полиэдра | К | х | L | как группы гомологий цепного комплекса Си (X) 0 Сх (L) с помощью формулы Кюннета 5.7.17.
Сингулярная теория n-связных пространств
Посредством нормализации мы добиваемся значительного сокращения количества сингулярных симплексов. В принципе можно довести число сингулярных симплексов до минимума, при котором еще сохраняются прежние группы гомологий. Есть некоторая точная зависимость между структурой такого минимального комплекса и гомотопическими группами пространства. В этом параграфе, не описывая минимального комплекса, мы ограничимся указанием, как можно еще уменьшить сингулярный комплекс
!) В этом отношении сингулярные кубы имеют определенное преимущество перед сингулярными симплексами.
(помимо выбрасывания вырожденных симплексов); при этом предполагается, что рассматриваемое пространство n-связноД.
Сингулярная теория, которую мы собираемся сейчас изложить, является в действительности относительной теорией для пар (X, ж*), состоящих из пространства и отмеченной в нем точки). В такой теории рассматриваются только те отображения, которые переводят отмеченную точку в отмеченную.
Мы детально обсудим сингулярную теорию и-связных пространств, основанную на нормализованных сингулярных симплексах. Читатель внесет необходимые изменения в случае, когда рассматривается А (X) или □ N(X). Будем говорить, что сингулярный р-симплекс jp пунктированного пространства Х,ж* т-тривиален, если t'mf = ж* для каждой ш-мерной грани t'm симплекса tp. Очевидно, симплекс Бг/ является ш-тривиальным, если симплекс / является ш-тривиальным. Это означает, что m-тривиальные симплексы образуют некоторый подкомплекс
™А (X, ж J = mA (X)
комплекса А (X). Положим
mAN(X) = mA(X)/mA(X) fl А^Х).
Можно тогда считать mAN(X) подкомплексом AN (X); через i будет обозначаться соответствующее включение.
. Теорема. Если пространство X п-связно, то 1:ПА^(Х)—> AN (X)— цепная эквивалентность.
Опишем, как произвольный сингулярный симплекс в пространстве X деформировать в га-тривиальный сингулярный симплекс. Деформация образа tp в X — это некоторое отображение Н : I Xtp-^ X, а каждому такому отображению взаимно однозначно соответствует отображение H’.tp-^X1, определяемое формулой: u(zZ7) = (u, z) Н для каждого и^Л и z^tp (см. II.2.2). Для произвольного и £ I существует некоторое отображение 6U : X1 X, определяемое правилом: для каждого го £ X1, (и?) Ьи = (и) го. Нам, в частности, понадобятся отображения 6° и Ь1 и тот факт, что 6° ~ 61 (см. II.2.4). Значение н для нас отображения 6й видно из того обстоятельства, что если /0 ~ Д, то H6U = /U. В частности, если Н— постоянная гомотопия, то НЪи не зависит от и.
Вместо того чтобы ассоциировать с каждым p.tp—>Х гомотопию HUY.IXtp-^X, деформирующую / в n-тривиальное отображение, можно ассоциировать с / соответствующее ей отображение Н (f): tp—> X1. Это будет удобно по двум причинам: во-первых, условия, которые надо будет наложить на гомотопии, лучше формулируются в терминах Н; во-вторых, мы затем перейдем к некоторому цепному отображению комплекса A (X) в А (X1), а этот переход в терминах отображения Н описывается сразу же. Чтобы последнее было возможно, Н должно коммутировать с операцией взятия i-й грани, а так как мы имеем дело с нормализованным случаем, оно должно коммутировать и с операторами вырождения.
Д Определение n-связности дано после предложения II. 1.33.
Определим Н по индукции. Предположим, что для каждого p<_q и любого f:tp-^X, Я (J): tp^X1 уже определено, причем так, что
H^№ = f;
Я (f) Ь1 «-тривиально;
ГЙ(/) = Я(Г/), 0<i<p;__
если } = Т^, 0</<р—1, то Я {j) — Т1 Я {g)\
если / «-тривиально, то Я (/) Ьи не зависит от и.
Условия (а) и (б) означают, что Я (/) является гомотопией из / в «-тривиальное отображение. Условия (в) и (г) обеспечивают коммутативность с операторами взятия грани и вырождения. Условие (д) гарантирует, что наша гомотопия не меняет «-тривиальных /.
При q = 0 эти условия выполняются тривиально. Приступим теперь к определению для каждого f:tq—>Х отображения Я, удовлетворяющего условиям (а) — (д) при p — q.
В силу (г), если f = Tg для g\tq_Y —>Х, то выбор значения Я (f) предопределен. Возможно также, что для некоторого k^j и некоторого h : tq_t —> X имеет место равенство / = Thh\ предоставляем читателю проверить, что в этом случае Т1 Я ^g) = TkH (h), так что Я (f) определено непротиворечиво. Заметим также, что при таком определении Н^, если j = T‘g, выполняются условия (а), (б), (в) и (д). Относительно (а) и (б) это очевидно; выполнение (в) следует из соотношений коммутативности 8.2.5; условие (д) также выполнено, поскольку если T’g «-тривиально, то таково и g.
В силу (д) и (а), у нас нет выбора и в случае, если / «-тривиально; И (/) должно быть тогда постоянной гомотопией в X с начальным отображением /. Ясно, что так определенное Я (j) удовлетворяет условию (б). Условие (в) выполняется, так как грань «-тривиального симплекса сама является «-тривиальным симплексом. Как мы уже отмечали, условие (г) выполнено.
Если же симплекс j:tq—>X не вырожден и не «-тривиален, то при определении И (/) у нас есть выбор. Нам надо фактически найти такую гомотопию Я У): I X tq—> X, что
' ее начальным отображением является /;
' конечное ее отображение переводит t", «-секцию симплекса tq, в ж*;
' сужение этой гомотопии на I х <g-i, О^г^^г, совпадает с Н(УЧУ, точнее, (1 X Г) Я (/) = Я (V^) : I х X.
Эти ограничения на Я определяют частичные отображения замкнутых кусков пространства (7 х t^", согласующиеся на пересечениях этих кусков. Условия (а)' и (в)' согласуются на (Ox ^„J, так как, по предположению, Я (И1/) 6° = И1/. Условия (б)' и (в)' согласуются на (lx(<g-i)"), так как, по предположению, H^f^b1 «-просто. Наконец, различные ограничения, включенные в (в)', согласуются в силу правил коммутативности 8.1.4. Следовательно, вместе эти частичные отображения определяют некоторое отображение пространства (0 х tq) U (7 X CJ U (1 X tq).
Если q ^ n, to tq = tq и отображение Я | (7 X t^* полностью определено; так как пространство X «-связно, можно это отображение с границы продолжить внутрь. Одно из таких продолжений мы и примем за Я(/). Если же q>«, то tq е tq, и Я пока задано лишь на (О X tq) U (7 х tq). Поскольку (0 х tq) U (7 X tq) является ретрактом пространства I Xtq (ср. с 1.6.10), заданное частичное отображение можно продолжить до некото-
рого отображения всего I X tq. Некоторое такое продолжение мы и примем за Я(/). Отображение Ну) теперь определено у нас для каждого /:<д-^ —>Х, причем так, что НЦ^ удовлетворяет условиям (а) —(д). Это означает, что Н (/) можно определить для всех р и всех отображений / : tp—> X, так что будут выполнены условия (а) — (д). Тем самым сделан первый, геометрический, шаг доказательства.
Теперь с помощью Н мы определим некоторое цепное отображение фА : А (X) —> А (X7). Для каждого р определим фА : Ар (X) —> Ар (X7) по следующему правилу: /рфр = (Я (/))р. Гомоморфизмы фА удовлетворяют условиям:
(а)" фАЬ0А = 1;
(б)" Ар(Х)фаЬ1АепАр (X);
(в)" фА^ = ^фА_,, 0<i^p;.
(г)" ф^^^^ф^, 0<j<p-l;
(д)" если / га-тривиально, то fp^b^ = /рфА&°А = jp.
Из (в)" мы получаем, что фд— цепное отображение, а из (г)" выводим, что цепным отображением является фА:А(Х), А^ (X) —> А (X7), А^ (X7), индуцирующее некоторое цепное отображение ф^А^Х)—>АЛ(Х7). Определим теперь
у : AN (X)—* "А^ (X).
по правилу: су = с^Ь1М для каждого с^А^Х); у и ф^^ отличаются лишь цепными комплексами, в которых принимают значения эти отображения. В самом деле, yi = ф^б1^ : А^ (X)А^ (X); из того, что ф^б1^— цепное отображение, следует, что и у является цепным отображением.
А теперь мы покажем, что у—цепное обратное к г. Тем самым будет установлено, что I— цепная эквивалентность, и доказательство теоремы будет завершено.
В самом деле, мы имеем
У — <^Ъ™~^Ъй^, так как b1 ~ b° (8.4.11(a)),
— 1, так как фА60А —1.
Далее, если / га-тривиально, то fpi^ = fp^b™ = jp, в силу (д)". Следовательно, ty = l.j
Мы будем также пользоваться и той формулировкой доказанной теоремы, которая получится, если вместо AN (X) подставить А (X) или □ ^(Х). Доказательства в этих случаях менее хлопотны, чем приведенное Рассмотрим, кстати, одно такое применение теоремы 8.8.2 к теории линейно связных пространств. Если X 0-связно, то можно ограничиться 0-триви- альными кубами в X. В самом деле, произвольное отображение /: ер Cj—> —>Х, ж# представляет 1-цикл в "[^(Х); значит, 7V (°DN (X)) порождается О-тривиальными 1-кубами. Будем писать I вместо ev Тогда отображение /:/, I—»Х, х*, с одной стороны, представляет элемент группы л4 (X, х*), а с другой — является элементом группы Z^Q^X)). Предположим, что )~fxe\I. Тогда имеет место отображение F;IxI, IxI-^X,x^, для которого
(щ, 0)Г = н1/, («л, V^F — uJ', (0, u^F=-x#, (1, u^F — x*.
Мы можем рассматривать F как О-тривиальный 2-куб, при этом Ед = / — f. Следовательно, соответствие [/]—>{/}, где [ ] служит для обозначения гомотопического класса, а { }—для обозначения класса гомологий, представляет собой некоторое отображение
QznJX, х^->Н^Х).
. Теорема. Если пространство X является 0-связным, то 0—
гомоморфизм группы л, (X, х^ на всю группу Н\ (X). Ядром этого гомоморфизма служит коммутант группы л1(Х, х^у
Пусть /°, Z1:/, 1—>Х, х* — отображения и пусть, в обозначениях §6.1, j-.y°*yy. Отобразим (7 х/)' в X по правилу (0, и2)—>п2/, (1, и2) и2у, (u1,O)—>u1f°, (йр 1)■—> х#. Ясно, что это отображение гомотопно нулю, поэтому его можно продолжить до некоторого отображения F'J'/I—>X. Вычисляя Ед в □ N(X), находим, что Ед = ^ — ^ -Fj°. Таким образом, {/°*/1} = {/°} + {/1}, т. е. 0 — гомоморфизм. Очевидно, 0 отображает л, (X, ж*) на всю группу Н^ (X), ибо последняя порождается классами {/}. Гомоморфизм 0 переводит в нуль коммутант группы л4 (X, х^, так как группа Hi (X) абелева.
Предположим, наконец, что сингулярный куб /: I, J—>X, х^ гомо- к
ные 2-кубы пространства X. Положим V^g^g^8, у — 1, 2; е = 0, 1. Тогда gid=—g? +gV + gf — gt1, и петля (giT1*gi0*gi1*(giT1> которую мыные 2-кубы пространства X. Положим V^g^g^8, у — 1, 2; е = 0, 1. Тогда gid=—g? +gV + gf — gt1, и петля (giT1*gi0*gi1*(giT1> которую мылогичен нулю: скажем / = (2 иг£г) д в П^Х), где все g; есть О-тривиаль- г=1
ные 2-кубы пространства X. Положим V^g^g^8, у — 1, 2; е = 0, 1. Тогда gid=—g? +gV + gf — gt1, и петля (giT1*gi0*gi1*(giT1> которую мы
ные 2-кубы пространства X. Положим V^g^g^8, у — 1, 2; е = 0, 1. Тогда gid=—g? +gV + gf — gt1, и петля (giT1*gi0*gi1*(giT1> которую мы
обозначим через йг, гомотопна нулю. Тогда f *1ци1 *. . .*h~nh-— петля из того же класса, что и /; либо /' = е является постоянной петлей в х*, либо /' можно записать в виде /Л*. .. */™У где все ft. невырождены, все
коэффициенты Wj равны ±1 и 2 Wjjt. = O в □ ДГ(Х). Так как П^(Х) —
Z^1 *... * /^ с суммарнойZ^1 *... * /^ с суммарнойсвободная абелева группа, то каждое /; входит в
Z^1 *... * /^ с суммарной
Z^1 *... * /^ с суммарной
степенью нуль. Значит, в любом случае {/'} лежит в коммутанте группы Hi (X, х^у, теорема доказана.]
Теорему 8.8.3. можно обобщить, причем это обобщение играет существенную роль в гомологической и гомотопической теориях зацеплений. В частности, оно лежит в основе одного из главных этапов современной процедуры вычисления гомотопических групп.
Пусть X—линейно связное пространство. Рассмотрим отображение / : еп, еп —>- X, х*, где симплекс еп = 1п ориентирован так же, как в § ПЛ. Отображение / определяет некоторый элемент а группы ял(Х, х^ и некоторый элемент z группы Zn ^^^ (X)). Как и в случае п=1, легко установить, что класс гомологий элемента Z зависит только от а; таким образом, определяется некоторое отображение
6: яп(Х, х^Н,^.
Докажем теперь, что 6 — гомоморфизм. Пусть /, g, h : еп, еп-*Х, ж* — такие отображения, что [/]+ [^] + [^] = 0 £ лл (X, ж*). Мы покажем, что /„ + gn-\-hn — 0 в °^1V (X).
Выберем в сл+1 три грани, ориентированные когерентно с en+i: скажем, образы при У2,о, У1,1, У3,1. Отобразим эти грани в пространство X посредством отображений f, g', h', таких, что / = У2,о/', g=W1g', h = VaAk', а остальные грани из en+i отобразим в х*. Тем самым определяется отображение к : ел+1-^-Х, переводящее (п—1)-секцию комплекса cn+i в х*. Из правила сложения гомотопий ПЛ.32 следует, что
ДО = [/'J + [g'l + 1^1 = [/] + И + И =0.
Поэтому отображение к можно продолжить до некоторого отображения к : ел+1 —>- X. Очевидно, An+1 £ »□ (X), и
к п+19 - in - gn - hn € °D ^ (X) -
Следовательно, [/] 6+ [g] 9+ [^16=0, и потому 6 гомоморфно. Гомоморфизм 6 называется гомоморфизмом Гуревича. Те циклы, классы гомологий которых принадлежат области значений гомоморфизма 6, называются сферическими циклами, а сами классы гомологий таких циклов называются сферическими классами гомологий.
Теорема. (Теорема Гуревича об изоморфизме.') Если пространство X (п — 1)-связно и п^>1, то 0 — изоморфизм в размерности п.
Так как пространство X является (п — 1)-связным, можно ограничиться рассмотрением только (п — 1)-тривиальных кубов этого пространства. Ясно, что произвольный (п—1)-тривиальный n-куб пространства X есть как раз некоторое отображение еп, еп —>■ X, ж*. Значит, 6 эпиморфно. Мономорфность 6 можно доказать, изменив соответствующим образом рассуждения из 8.8.3. Пусть /=(2 nigi) 9, Т№ t— (п—1)-тривиальный n-куб и gt суть (п—1)-тривиальные (п+ 1)-кубы. Из формулы II.1.32 следует, что сумма гомотопических элементов, представляемых гранями куба gt (с подходящими знаками), есть нуль для каждого i. Отсюда следует, что / представляет нулевой гомотопический элемент.] Подчеркнем, что мы доказали теорему Гуревича об изоморфизме только с точностью до теоремы Брауэра—Хопфа (II.1.20).
Следствие. Если пространство X является 1-связным и Нг(Х) = 0 при 0<г <_п, то ял (X) е Нп (X).
Заключение здесь совпадает с заключением теоремы 8.8.5, но предположения формально отличаются. Их эквивалентность вытекает из теоремы 8.8.5.]
Следствие. Если К есть 1-связный ацикличный комплекс, то полиэдр | К | стягиваем.
Это вытекает из 8.8.6 и 7.3.3. ]
Для дальнейших ссылок сформулируем без доказательства такую теорему:
Теорема. (Относительная теорема Гуревича об изоморфизме.-) Если ХОСХ и ж* £ Хо. то имеет место канонический гомоморфизм 6 : лл(X, Хо, к*)—^Нп(X, Хо). Если оба пространства X и Хо 1-связны и лг (X, XQ, я;*) при всех г<^п является нуль-группойч то 6 — изоморфизм в размерности и.]
§ 8.9.* Сингулярные гомологии с локальными коэффициентами
В § 7.6 мы определили понятие локальной системы групп на линейно связном пространстве и указали, каким образом определяются группы гомологий и когомологий рассматриваемого комплекса с коэффициентами в этой локальной системе. Сейчас мы опишем соответствующие группы сингулярных гомологий произвольного линейно связного пространства и рассмотрим одно важное их применение. Мы ограничимся определением лишь групп гомологий, оставляя определение групп когомологий читателю.
Пусть {СД, х g X, — локальная система групп на линейно связном пространстве X. Для произвольного сингулярного р-симплекса / : tp —> X назовем р°/ g X ведущей вершиной симплекса /. Условимся через м/ обозначать /-образ ребра р0^1 симплекса tp. Под АР(У; {С^У) мы будем понимать множество всевозможных формальных конечных сумм 2 gtfp, где г
gt б О^г, с очевидной аддитивной групповой структурой. Граничный оператор
д:Ар(Х; {СД^Др-ДХ; {СД)
определяется по линейности из формулы
8-9.1Шд = ^)(У°/)р-1+6 gkV'tVv
Прямым вычислением (ср. с § 7.6) устанавливаем, что 88 = 0 при д >1. Мы получаем, таким образом, некоторый цепной комплекс А (X; {6Д). Группы гомологий этого комплекса называются группами сингулярных гомологий пространства X с локальными коэффициентами (G). Мы не будем входить в подробности теории для локальных коэффициентов, так как такая теория состояла бы в основном из автоматических обобщений результатов, доказанных в этой главе. Однако есть несколько вопросов, на которые мы хотим обратить внимание.
Заметим, во-первых, что можно было бы использовать нормализованные группы цепей Ар вместо Др и получать при этом изоморфные группы гомологий. Это вытекает из того факта, что наши «ацикличные модели» tp в действительности односвязны, так что локальные системы коэффициентов на tp тривиальны и (приведенные) группы гомологий пространства tp с локальными коэффициентами являются нуль-группами.
Если вместо симплексов использовать кубы, то 8.9.1 нужно, конечно, видоизменить. Остановимся на этом подробнее, так как сингулярные кубические гомологии с локальными коэффициентами используются в гл. 10. Для любого сингулярного р-куба / : ер —* X обозначим через ’^ /-образ ребра куба ер, идущего из начала О вдоль пгоси. Под □Р(Х; (СД) будем понимать множество всевозможных формальных конечных сумм 2 gtfpi гДе giE^0/> с очевидной аддитивной структурой абелевой группы. Граничный оператор 8 : Пр (X; (ОД) —-> Пр-t (X; {6Д) определяется по линейности из формулы
р р
3.9.2 №5 = 2 (-l)ig(P°/)p-1-2 НШ)От-р i=l i=l
Снова прямым вычислением (которое мы опускаем) получаем, что 88 = 0 при р>1. Предположим теперь, что f = Tjh для некоторого h-.вр^—>Х. Тогда, очевидно, Р1Е/ при i =^ ] является вырожденным кубом. Далее, ]wf является постоянным путем в точке Of, так что giWQ = g. Следовательно, подкомплекс □ ^(Х;{СЖ}) устойчив относительно гомоморфизма 8. Поэтому, факторизуя по нему, мы получаем некоторый цепной комплекс □^(Х;(СД). Группы гомологий его, естественно, изоморфны группам гомологий комплекса А (X; {(7Д). Мы будем обозначать эти группы гомологий через Н*(Х; {G}).
Прежде чем перейти к обещанному применению теории, сделаем одно замечание относительно локальных систем групп. Из определения 7.6.1 ■следует, что произвольная локальная система {СД позволяет интерпретировать группу л4 (X, жД как группу правых операторов1) на Gx* для любой точки х*. Обратно, предположим, что для фиксированной точки х* и абелевой группы G задано правило, согласно которому nt (X, х*) действует как группа правых операторов на G. Для каждой точки х^Х выберем некоторый путь мДж), ведущий из х* в х, и каждому пути и, ведущему из х в ж', поставим в соответствие автоморфизм группы G, индуцированный элементом {w (ж) * v * w (ж')} £ nt (X, х$у Если этот гомоморфизм обозначить через vG и положить GX = G для всех х^Х, то условия (а) и (б) из определения локальной системы групп, очевидно, будут выполнены. Ясно, что получающиеся группы гомологий от выбора путей го^ не зависят (с точностью до изоморфизма). В самом деле, этот выбор аналогичен выбору частичных изоморфизмов 6Д^СЖ, с помощью которых группы Gx
х) Точное определение группы операторов можно найти в начале § 10.7.
отождествляются с группой GX;t. Группы НДХ; {G}) называются группами гомологий с локальными коэффициентами в л4 (X, х^-модуле G. Это понятие появится еще в гл. 10, где мы рассмотрим также случай, когда группа л1 (^Х, х*) действует на G слева. Для любой левой операции мы определим там некоторую правую операцию по правилу
Й = Г^, g^G, ^лДХ, жД.
Перейдем теперь к обещанному применению. Рассмотрим расслоение р : X —> В со слоем F = р-1 (Ь^ и линейно связной базой В. Покажем, каким образом nt(B, 6J действует на группе H*(F; G), где G—обычная группа коэффициентов. Из сказанного выше ясно, что это даст нам возможность определить цепной комплекс П^^; ^H^tF; G)}) и группы гомологий ВДВ; ^H*(F; G)}). Последние играют основную роль в теории, описываемой в §§ 10.4 —10.6.
Пусть I'. I—~> В— петля в В на Ъ*. Построим функцию Pt: □ (Г) —> —* □ (X), отображающую р-кубы в (р + 1)-кубы и обладающую следующими свойствами:
(У, О)(/Рг) = у/, у£ер;
(У- t^jP^p = tl, у^ер, t^I;
Vi8(fPl) = (Vi8f)Pl:eP-^X, 1^1^ р; '
Г {gP^ = (Pg) Рг: ер+1 X, 1 С i < р.
8.9.38.9.3Здесь / — произвольный р-куб, a g — произвольный (р —1)-куб. Построение будем вести по индукции относительно р. Предположим, что функция Рг на кубах размерности <р, где р>0, определена. Рассмотрим произвольный р-куб. Если он вырожден, то fPt определяется из условия (г). Если куб / не вырожден, определим отображение fPt: ер+1 —-»X на подпространстве (ер х 0) U (ер X /) из условий (а) и (в). Обозначим это частичное отображение через h': (ер X 0) U (ер х I^-^Х. Отображение V : ер х I —> В, описываемое формулой (у, t)l'= tl, у^ер, является тогда продолжением отображения h'p. Свойство накрывающей гомотопии расслоений (см. § II.3) означает, что существует накрывающее V отображение )Рг: epx I —> X, являющееся продолжением отображения h' (/Рг накрывает V в том смысле, что yP^p = l’Y Опуская некоторые детали доказательства, мы утверждаем, что тем самым индукция проведена. Итак, функция Pt может быть определена. Ее можно рассматривать как некоторую систематическую процедуру перемещения кубов из F вдоль петли I пространства В. Для выбранной функции Pt определим отображение Qt: □ (Г) —> □ (F) формулой
8.9.3
8.9.3
Таким образом, fQt есть «образ куба / после обхода вокруг петли I». Иногда функция Pt будет называться l-скольжением, а отображение Qt—1-сдвигом.
Предложение. Qt — цепное отображение, причем (Г) (?z G eu^FY
Это сразу же вытекает из свойств (в) и (г) отображения Р^] Итак, Qt индуцирует некоторое цепное отображение
<?Г:П^(Г;G).
Предложение. Если 1~т, то Q^ ~Qm-
Читатель, вероятно, обратил внимание на то, что мы не утверждали, что функция Pt со свойствами (а), (б), (в) и (г) единственна. Значит, предло-
жение 8.9.5 включает в себя существенное утверждение, что Qi* зависит только от I.
По предположению, существует отображение Т;1/Л—^-В, для которого (i, С) Т — tl, (t, l)T = tm, (0, и) Т= (1, и) Т = Ь*. Построим по индукции относительно р функцию Н, отображающую р-кубы пространства F в (р + 2)- кубы пространства X и обладающую следующими свойствами:
(у, 0, и) (fH) = yf; (у, t, 0) (fH) = (у, <) (/Рг); (у, t, 1) (fH) = (yZ) (/Pm);
(у, t, u)(fH)p = (t, и) Г;
V^UHY-XV^H;
Г(е#) = №
Предположим, что на множестве кубов размерности <_р функция Н уже построена. Рассмотрим произвольный р- куб /. Если / вырожден, определим fH из условия (г). Если куб / не вырожден, определим fH из условий (а) и (в) сначала на подпространстве
(^ X ((0 X 7) U (/ X 7))) U (Л X I X 7).
Рассуждая так же, как при построении функции Р^ мы продолжим это отображение до некоторого отображения fH : ер X 7 X IX, накрывающего отображение Т' : ер х I X I -^ В, описываемого формулой (у, t, п) Т’ = = (Z, п) Т. Индукция тем самым проведена.
Определим с помощью Н цепную гомотопию К : □ (7’) —> □ (Р) по правилу:
fK^ — VpJ,
где (у, £)7=(у, 1, t) (fH). Простое вычисление показывает, что
KdydK = Qm-Qb
т. е. Qt ~ Qm. Далее, свойство (г) отображения Н позволяет утверждать, что
Следовательно, можно перейти к нормализованным комплексам и заключить, что Qf-^.j
Предложение. Если I, m— петли в В на Ь* длины 1, то QiQm представляет собой1) (I * рт-Усдвиг.
Пусть g = fQi', определим к:ерх1->Х так:Пусть g = fQi', определим к:ерх1->Х так:
Пусть g = fQi', определим к:ерх1->Х так:
Пусть g = fQi', определим к:ерх1->Х так:
(у, t)k =(у, t)k =' (у, 2t) (fPt), O^^l,(у, 2Z-1) (gPm), 1<г<1.
(у, t)k =
(у, t)k =
Очевидно, отображение к определено корректно. Легко проверить, что, если взятьего в качестве 7* ;*1ГП, условия (а)-—(г) будут выполняться, так как
(у, 1)* = (у, i)(gPm) = y(gQm) = y(fQiQm), и предложение доказано.]
Теорема. Группа л^В, Ъ*) действует на Ht(F; G) как группа правых операторов.
Это вытекает сразу же из 8.9.5 и 8.9.6.]
То обстоятельство, что (Н* (F; G)} образует локальную систему групп, нами установлено в наиболее удобной для применения в § 10.4 форме. Впрочем, также легко показать, что группы (H*(p-1b; G)}, Ь^В, образуют локальную систему групп в смысле § 7.6.
х) Мы можем, конечно, определить Z-сдвиги для петель любой длины.
§ 8.10. Приложение. Теория когомологий Александрова—Чеха
Теория сингулярных гомологий — не единственная теория гомологий, построенная для общих пространств. Другой очень важной теорией является теория Александрова— Чеха. Группы гомологий Александрова — Чеха в самом общем случае не обладают свойством (4) из § 8.5; гомологическая последовательность не является точной. Когомологии Александрова— Чеха, напротив, обладают всеми необходимыми свойствами для произвольных пар пространств и отличаются, вообще говоря, от сингулярных когомологий (см. упр. 31). В этом параграфе мы предлагаем в высшей степени описательное изложение теории когомологий Александрова — Чеха. За дальнейшими сведениями рекомендуем читателю обратиться к работам [13], [18] и статье Даукера (Dow ker С. Н., Ann. Math., 51 (1950), 278).
Открытое покрытие X пространства X — это такое семейство открытых в X множеств, объединение которых есть все X. Мы будем рассматривать только такие покрытия. Свяжем с покрытием X его нерв Nx—некоторый (возможно, бесконечный) симплициальный комплекс. Вершинами комплекса Nx служат непустые множества, являющиеся элементами покрытия X, а симплексами служат те конечные семейства этих множеств, пересечения которых непусты. Будем говорить, что покрытие X вписано в покрытие ц и писать X -< р, если для каждого множества U С X найдется по крайней мере одно такое множество Уц 5 р, что UCVu- Зафиксировав для каждого U С X такое Гу С р, можно определить симплициальное отображение ф^ : Nx —>-1^ по следующему правилу: (77) ф^ = Ри. Легко видеть, что это преобразование вершин допустимо и что иной выбор множеств {Уи} определяет симплициальное отображение, смежное с ф^. Следовательно, если X вписано в р, то определены канонические гомоморфизмы Ф^ : Н* {Nx) Н. {Ny) и фхр.: Н* {Ny) Н* {Nx). „
Отношение -< вводит частичный порядок в множество покрытии пространства X. В самом деле, если Х-<р и p-<v, то X-^v; при этом фX^^Фнv = фXv. Верно также, что для любой пары покрытий X, р найдется покрытие, вписанное одновременно и в X, и в р. В качестве такого v можно взять семейство {U П ^} по всем 77 £ X и Г С р. Эти два свойства множества покрытий пространства X и имеют в виду, когда говорят, что эти покрытия образуют направленное относительно -< множество, а результаты, установленные для группы когомологий, обычно выражаются утверждением, что {Я* {Nx), фХн} является прямым спектром групп.
С прямым спектром групп можно связать предельную группу. Для этого определим отношение эквивалентности между элементами групп {Н* {Nx)} по следующему правилу: ах € Н* {Nx) и р^ £ Я* {Ny) эквивалентны тогда и только тогда, когда для некоторого v выполнено равенство ф^Х («х) = Фгц (Рц)- Легко проверить, что действительно получается некоторое отношение эквивалентности. В качестве элементов предельной группы возьмем классы эквивалентности. Сумму двух классов определим как класс, содержащий сумму некоторой пары элементов (по одному из каждого класса), принадлежащих одной и той же группе когомологий. Сумма двух классов определена ■однозначно, и множество классов эквивалентности с таким законом сложения образует абелеву группу. Эта предельная группа и является, по определению, группой когомологий Александрова—Чеха И* {X). Взяв вместо H*{Nx) кольцо когомологий R* {Nx) и повторив проведенные выше рассуждения, можно определить произведение элементов группы Я* {X); при этом группа Я* {X) становится кольцом когомологий Александрова— Чеха R* {X).
Нетрудно доказать свойство согласованности R* (| К |) а Я* {К) для любого конечного комплекса К. Заметим, что звезды вершин комплекса К образуют покрытие полиэдра JK], причем за нерв этого звездного покрытия можно принять сам комплекс К. Далее, звездное покрытие полиэдра |К|, определяемое комплексом К', вписано в первое покрытие. Любое ассоциированное симплициальное отображение Ф : К’ —> К является стандартным отображением (см. § 1.7) и, как известно, индуцирует изоморфизм кольца когомологий комплекса К. Звездные покрытия, ассоциированные с К<г), г=0, 1, ..., образуют конфиналъное подмножество направленного множества всех покрытий полиэдра |К|: для любого покрытия X найдется такое целое число г, что звездное покрытие, соответствующее КАп, вписано в X. Любое конфиналъное подмножество колец само определяет некоторое предельное кольцо, естественно изоморфное кольцу Я* (] К |). Рассматриваемое нами конфиналъное множество вполне упорядочено, причем все связанные с ним ф* являются изоморфизмами. Отсюда следует, что предельная группа этого конфинального множества групп изоморфна Я* {К), где К отождествляется с нервом его собственного звездного покрытия.
Приведенное определение кольца Я* (X), по существу, совпадает с тем, которое .было дано Чехом. Однако есть другое определение кольца когомологий Чеха, при-
надлежащее Александеру. Наиболее изящно эти два определения были связаны Даунером (Dowker С. Н., Ann. Math.., 56 (1952), 84). Он заметил, что если заданы пространство X и его открытое покрытие Х={17}, то вершины комплекса Nx определяются как элементы покрытия X, а симплексы — как те конечные множества его элементов, у которых есть общая точка х £ X. Можно, однако, рассмотреть комплекс Мх, который определяется двойственным образом: его вершинами служат точки (х) пространства X, а симплексами — те конечные множества, которые лежат в некотором общем U ^Х. Даукер, обыгрывая эту двойственность, устанавливает существование изоморфизма ix : R* (Nx) R* (Мх). Ясно, что, когда X ~< у, Мх является подкомплексом комплекса ЛГ^ и можно определить симплициальное отображение включения 6^ : Мх —>- М^. Важным свойством изоморфизма ix является то, что
г'ХфХц = 0Хц^ : R* (Х^ -^ R* (Мк).
{R* (Мх), бхц} — прямой спектр колец, причем изоморфизмы (ix) порождают некоторый изоморфизм I* между R* (X) и предельным кольцом спектра (R* (Мх), 6*ц}. Далее,, мы замечаем, что включение 6^ определено корректно и однозначно. Следовательно, можно образовать прямой спектр коцепных колец-комплексов (С‘ (Мх); ОХц} и рассмотреть его предельное коцепное кольцо-комплекс. Можно доказать, что предельное кольцо спектра {Д* (Мх)} является кольцом когомологий этого предельного комплекса. Мх —подкомплекс абстрактного комплекса М, вершинами которого служат точки из X, а симплексами являются всевозможные конечные подмножества этих точек. Коцепное кольцо-комплекс С' (Мх) представляет собой факторкольцо кольца С" (М) по идеалу Ix=C" (М, Мх), состоящему из коцепей, равных нулю на всех симплексах из Мх. Если Х-<ц, то имеет место включение фхц •’-^ц —>■ А; при этом Охц : С" (Мц) —> —> С'(Мх) — факторотображение, индуцированное отображением 1, фхц : С" (М), /ц —>- —ь-С(М), 1х- Далее, предельное коцепное кольцо-комплекс спектра (С1 (Мх); 0Хц} изоморфно факторкольцу кольца С" (М) по предельному идеалу I прямого спектра {7х; Фхи} идеалов из С (М). Легко видеть, что предельный переход приводит к идеалу X=IJ/x-
X ~
Таким образом, можно дать теперь другое определение кольца R* (X)— как кольца когомологий коцепного кольца-комплекса С" (X), получающегося при факторизации С' (М) по I,
С' (М)Ц = С' (X).
Элементы идеала I допускают интересное геометрическое описание. Говорят, что коцепь с^С' (М) обращается в нуль на подпространстве ХосХ, если она равна нулю на тех симплексах комплекса М, все вершины которых лежат в Хо. Опора | с | коцепи с определяется по следующему правилу: х ф | с | в том и только в том случае, если с обращается в нуль на некоторой окрестности точки х. Из этого определения ясно, что дополнение к | с | является открытым множеством; следовательно, | с | замкнуто. Мы утверждаем теперь, что коцепь из С' (М) принадлежит / в том и только в том случае, если ее опора пуста. В самом деле, если опора коцепи с пуста, то для каждой точки х С X найдется открытое множество U х, на котором с равна нулю. Это семейство (U^ образует такое покрытие X пространства X, что с ^ IxCL I. Обратно, если с £ I, то для некоторого X, с £ 1х- Для каждой точки х^Х найдется содержащее ее Ux С X. Поскольку с С 1х, т0 с есть нуль на Ux. Значит, х ^ [ с |. Это верно для любой точки х С X, следовательно, с обладает пустой опорой.
При изучении когомологий Чеха можно было бы исходить из такого определения идеала /. Большая часть свойств, устанавливаемых в теории Чеха, легче выводится из этого определения, принадлежащего Александеру, чем из определения Чеха. Исключением является доказательство согласованности теорий для полиэдров. Читатель обнаружит, что некоторые из этих свойств составляют предмет упражнений 27— 30, предлагаемых ниже. •
Упражнения
Естественные эквивалентности в теории сингулярных гомологий
Пусть г — фиксированное целое число и □£’ r (X) — подгруппа группы ПР(Х), порожденная теми сингулярными р-кубами пространства X, которые вырождены по крайней мере на одной из последних г координат. Докажите, что СУ (X) — цепной подкомплекс комплекса □ (X). Если П^’ r (X) — соответствующий факторкомплекс, докажите, что П^’ r (X) = □7V (X).
Проведите аналогичное рассуждение для Л (X).
Обозначим через А^(Х) пересечение ядер гомоморфизмов F^ : Ал (X) —> Дл-1 (X), х = 1, ..., п. Покажите, что Г^ отображает А®(Х) в А®^ (X) и что /’®F®_1 [ А® (Х) = 0.
Пусть {Я® (X)}—группы гомологий цепного комплекса {А®(Х), F^. Покажите, что отображение включения А® (X) —> Ал (X) является цепной эквивалентностью (и, значит, индуцирует некоторый изоморфизм Я® (X) а Нп (X)).
Приклеивание конусов, надстройка и т. д.
Пусть g: Х^—>- Х2—отображение. Конус С А приклеивается к X, посредством ft: A—^Xj и к Х2 посредством f^g : А -а- Х2. Продолжим g до g' : Xt U/j^A -а- Х2 U ^А !), положив, что g' тождественно на С А— А. Докажите, что
& : Н* (Xt U 51СА, Х^ -^ Н* (Х2 U jCA, Х2)
является изоморфизмом. Выведите отсюда, что g* : Н* (Xt J ^СА) s Н* (Х2 (J ^СА), если g* : Н* (Х^ s И* (Х2).
Пусть дана пара (X, Хо) и X (J СХ0 получается из X построением конуса над Хо (т. е. X (J СХ0 получается из дизъюнктного объединения пространств X и СХа в результате известного отождествления).
Докажите, что Н* (X, Хо) а Я* (X (J СХ0). Выведите отсюда, что если пара (X, Хо) удовлетворяет аксиоме о продолжении гомотопии (см. гл. 1, упр. 12) и Х/Хо—пространство, которое получается из X при отождествлении Хо в точку, то это отображение отождествления р индуцирует изоморфизм групп гомологий
Р* : Н* (X, Хо) = Н* (Х/Хо).
Соединение пространств X и У определяется как пространство, получающееся в результате следующих отождествлений в дизъюнктном объединении X (J (X х XYxI) U V:
ж = (х, у, 0), у = (ж, у, 1) для всех ж £ X, у С У.
Условимся соединение обозначать через X * У. Покажите, что X и У вкладываются в X * У в качестве замкнутых подпространств. Рассматривая пространство, получающееся из X * У построением конусов над X и У или каким-либо другим способом, докажите, что если ;i ^ 1, то
Ял (X * У) s Ял_! (X х У, X V У).
Исходя из этого, вычислите группы гомологий соединения пространств Р4 и Р.
Пусть С<т>— комплексное проективное пространство комплексной размерности т. Точки из С(т> будем представлять наборами (т-|-1) однородных комплексных координат [z0, zlt ..., zm], а точки из S2m+i— наборами (т-|-1) комплексных координат (z0, z15 ..., zm), удовлетворяющих условию zozo4-... + zmzm=l. Пусть /т : Д2т+1_ С<т> —отображение, описываемое формулой
(z0, zl> --ч zm) fm=lz0, zl, •••, zml-
Покажите, что C^mi можно получить из C<m-1> приклеиванием шара У2т с помощью отображения /m_i. Вычислите, исходя из этого, группы гомологий и когомологий пространства С<т>.
Аддиционная последовательность триады
(Уайтхед — Баррат). Пусть
г ао „ ах „гхп
g2 ->- ... -а- ип -а- Сгл+1 —> ...
^ Ф0 | Ф1 | Ф2| Фл | Фл+1
—коммутативная диаграмма, в которой ряды являются точными последовательностями абелевых групп, фо — эпиморфизм и каждое ф3п, п>0, есть изоморфизм. Докажите, что
последовательность
Gq —> Gi -Я- Hi ф С2 —> ... —> G3n_2 -^- Н3п_2 ф G3n_t —> Н3п_^ —>- G3n+1
где ?6 = ?Изп_2+?Фзп-2> S € G3n_2, (А + g) а = Ар3п_2—gфзn-l> ^ £ Я3п_2, gCG3n_i, ht = = 71Рзп-1Фз"п«зп, ^€^зп-1, и5о=кегфоРо, r = a0|G0, является точной.
Докажите с помощью этой теоремы, что если Хо, Х1г Х2—такие подпространства пространства X, что X1)JX2=X, Xt П Х2 = Х0, и, кроме того, один из гомоморфизмов вырезания Н^^Х^, Хо) —>■ Н^Х, Х2), Н* (Х2, Xq) —> Н^АХ, ХД является изоморфизмом, то имеет место точная последовательность (аддиционная последовательность триады1)
... —> Яп (Хо) —> Яп (Xt) ф Яп (Х'2)-а-Яп (X) —>ЯП_1 (Хо) —> ... .
Гомоморфизм Гуревича
Пусть 6 : лп (X, Хо)—>Я„(Х, Хо) — (относительный) гомоморфизм Гуревича. Покажите, что 6 коммутирует с гомоморфизмами, индуцированными отображениями. Точнее: если / : X, Хо, х0 ~*" У, ^о, Уо—некоторое отображение, то диаграмма
л„(Х, Хо) Лнп(Х, Хо)
лп(У, У0)Ля„(У, У0) коммутативна.
Пусть р*:лп(Х, Хо)-a-nn_t (Хо), v*: Яп (X, Хо) -> Яп-1 (Хо) — «граничные» гомоморфизмы в гомотопической и гомологической последовательностях соответственно. Покажите, что для диаграммы
лп(Х, Хо) >лп_1(Х0)
| 0| 0
Нп(Х, X0)^Hn_t(X0)
выполняется равенство P*0 = i 0V*.
Пусть | К | — 1-связный полиэдр. Рассмотрим для каждого р гомотопическую последовательность (в которой мы пишем КГ вместо | К® |)
рргРjP
... л„ (№, ХР-1)я„_! (№-1) лп_! (ЯР) л„_! (ЯР, ХР-1) ^ ... .
Определим цепной комплекс (Ср, др) следующим образом:
Ср=0, р<2; С2=л2(К2)^; Ср=лр(ХР, №’1), р > 2;
5Р=О, р < 2; д3= РЫ: л3 (ЯЗ, К^) -> л2 (№) ,2.
ap=K/S_1 : М№> Л'”'1)*np_t(XP-i, ХР-2), р>3.
Проверьте, что (Ср, др)—цепной комплекс, и, применив относительную теорему Гуревича об изоморфизме, докажите, что его группы гомологий совпадают с группами гомологий комплекса К.
Полусимплициальные комплексы
Полусимплициальный комплекс К—это объединение К= [J Ка попарно не пере- 9^0 секающихся множеств Kq вместе с отображениями
Flq :Kq-^-Kq_i, г = 0, 1, ...,?, и Д’ : Kq-^-Kq+1, i = 0, 1, ..., q, подчиненными условиям:
FiFi = FiFi-'1, i<j,
О’Пг = Ог-1П\ i>]\
d’f^f^d3"-1, i</,
D3Fi = DiFi+1 =\,
DiF^F^^D3, i>f+i
Произвольный элемент из Kq называется q-симплексом комплекса К, отображения Ег называются граничными операторами, а отображения D1—операторами вырождения. Симплекс называется вырожденным, если он является образом некоторого симплекса при каком-нибудь D4
Пусть К и L—полусимплициальные комплексы; отображение и: K^-L, которое каждому симплексу из К ставит в соответствие некоторый симплекс из L той же размерности, называется полусимплициалъным, если оно коммутирует с граничными операторами и операторами вырождения. Подкомплексом полусимплициального комплекса называется подмножество его симплексов, замкнутое относительно граничных операторов и операторов вырождения.
На основе полусимплициального комплекса К очевидным образом определяются группы цепей Cq (К). Переход к границе dq : Cq (К) -^-Cq-t (К) описывается формулой З3 = 2( — 1)гEq. Это позволяет определить группы гомологий комплекса К. При этом и : К —>- L, очевидно, индуцирует гомоморфизм и* : Н* (К) —>- H* (L).
И. Пусть Sq (X) —множество сингулярных 9-симплексов пространства X. Тогда 5 (Х) = (J Sq (X) есть полусимплициальный комплекс; граничные операторы и опера- 9>о
торы вырождения в нем были описаны в §§ 8.1 и 8.2. 5 (X) называется сингулярным комплексом пространства X. Ясно, что H*(S (Х)) = Я*(Х). Покажите, что произвольное отображение j : X ->Y индуцирует полусимплициальное отображение S (j): S (X) —>- S (У) и что 5 yg^S У) S (g). Покажите, что если Хсу, то 5 (X) является подкомплексом комплекса 5 (У).
Пусть К — симплициальный комплекс. Введем в Ка структуру полусимплициального комплекса. Зададим в К некоторый порядок со и рассмотрим Х^—полусимплициальный подкомплекс комплекса KQ, порожденный симплексами из К™. Докажите, что вложение К® с К индуцирует изоморфизмы группы гомологий.
Пусть tq — стандартный замкнутый 9-симплекс в гильбертовом пространстве, и G — абелева группа. Положим Kq = Zn (tq; G) и определим Ег: Kq —>- Xg_t, D1 : Kq —>■ Kq+1 формулами:
uF^ty^'u,
иПг = (ТУ и,и е Zn (Zg; G)
(см. 8.1.1, 8.2.1). Покажите, что К—полусимплициальный комплекс (это полусимпли- циальная форма комплекса Эйленберга — Маклейна К (G, п)).
В каких из рассмотренных в упр. 11 —13 примерах (а) симплекс определяется своими собственными гранями; (б) 9-симплекс вырожден при условии, что некоторая его (9 — 1)-грань вырождена, 9 > 2?
Говорят, что полусимплициальный комплекс обладает свойством Кана, если для произвольно заданных (9—1)-симплексов цО, . ..,0й-1, <щ-и, ..., оз, удовлетворяющих равенствам ОгХ,-1=оЯ\ i<J, i, j 4= к, можно найти такой 9-симплекс а, что ai?1—a', i ф к.
Какие из комплексов, рассмотренных в упр. 11 —13, обладают свойством Кана?
Определим произведение KxL двух1; полусимплициальных комплексов К и L как комплекс М, для которого Mq = Kq х Lq, F1 (M) — Fl (К) х F1 (L), Пг (М) = Ог (К) х хОг(_Ьу Покажите, что
S(XXY)=SXxSY.
Пусть /—полусимплициальный комплекс, порожденный симплексами упорядоченного замкнутого 1-симплекса (см. упр. 12). Определим отображение /Е : К —>- К х I так:
aqlB = (Hqi eDOD1 ... £>9-1), е = 0,1.
Покажите, что /е вкладывает К в К х I в качестве подкомплекса. Мы будем говорить, что два отображения /0, Д: К —>- L гомотопны, если существует отображение F : Кх I L, для которого iEF=js, 8 = 0,1. Покажите, что если L — комплекс Кана, то отношение, устанавливаемое гомотопией, является отношением эквивалентности.
Сформулируйте определение полукубического комплекса и приведите примеры.
22 Заказ № 1335
п-связность и т. Э.
Докажите эквивалент теоремы 8.8.2 для кубического комплекса.
Подкомплекс полусимплициального комплекса 5 (X) (см. упр. 11) называется минимальным, если из f » g rel tq, где /, g—сингулярные g-симплексы, следует, что f = g- Применив метод доказательства теоремы 8.8.2, покажите, что в X (X) есть минимальный подкомплекс, эквивалентный 5 (X). Покажите, что любые два таких минимальных подкомплекса изоморфны.
Кольцо Понтрягина
Пусть G— топологическая группа. Введем в □ (G) структуру градуированного кольца, положив fpgq = hp+q, где
.(“1, • ••, mp+q) ^ = (“11Up) f'(up+l, •••, Up+q) g.
Покажите, что это определение индуцирует структуру кольца в Н* (G); получается так называемое кольцо Понтрягина группы G.
Покажите, что кольцо Понтрягина можно определить и для пространства петель.
Применив технику, введенную в § 8.7, определите кольцо Понтрягина, отправляясь от сингулярного симплициального цепного комплекса; покажите, что эти определения совпадают.
Теорема ван Кампена (см. О 1 н па Р., Ann. Math., 68 (1958), 658)
Пусть X—линейно связное пространство, х0 £ X — базисная точка и л—некоторая группа. Через СО (X, х0; л), С1 (X, ж0; л) мы будем обозначать множества 0-коцепей и 1-коцепей в X mod хй со значениями в л. Элемент z1 £ С1 (X, ж0; л) называется 1-коциклом, если для любого сингулярного 2-симплекса /2
(/?, ^(/i1; zi)-i(/=, zi) = l.
Два 1-коцикла z1, z1 называются когомологичными, если существует коцепь с0 £ СО (X, х0; л),
такая, что (/ь z1) = (fi, с0)-1 (Д, z1) (/g, с») для всех 1-симплексов А. Обозначение обычное: z1 — z1.
Покажите, что z1 ~ z1 есть отношение эквивалентности. Обозначив множество классов эквивалентности через Н1 (X, х0; л), установите взаимно однозначное соответствие
Н1 (X, х0; л) 35 Л| (X, жо) (f| л.
Пусть А, В—такие линейно связные подмножества пространства Х = А (J Я, что А П В линейно связно и содержит х0. Пусть включение k : 5 (Л) U X (5) -> 5 (X) индуцирует для каждой группы л некоторое взаимно однозначное соответствие )
к* : № (X, х0; л) s Я1 (X (Л) (J X ф), х0; л); покажите, что в диаграмме
Я1 (Л, я0; л)
Я1 (X, х0; л)Я1 (Л П В, х0; л)
2
Н^ф, хй; л)
(a) ker if Q keri^=O (заметьте, что множества Я1 сэдержат нулевой элемент); (б) если ;*а = ]^Ь, то существует единственный элемент с^нЦХ, х0; л), для которого tfc = a, ifc = b.
Выведите отсюда, что в предположениях упр. 23 Л1 (X, ж0) будет свободным произведением групп nj (Л, »0) и Л1 ф, х0), соединенных по соответствующим элементам образов группы л^ (А П В, х0) (формула Ван Кампена; см. 6.4.3). Покажите, что если внутренности множеств А и В покрывают X, то предположения упр. 23 выполняются.
Предполагая выполненными все условия упр. 4, выведите, что если X и Хо линейно связны, то
Л1 (X/X0) = n1 (Х)/л1 (Хо) I*,
где i : Хо —>-Х—включение.
Пусть | К |, |£|—бикомпактные связные полиэдры, и | К | # | L |—факторпро- странство | К | X | L |/| К | у | £ |. Покажите, что | К | # | L | односвязно.
Теория когомологий Александрова — Чеха
Докажите, что если а, Ъ € С* (М), то (а) | а—b | с | а | J I b |, (б) | ба | с | а |, (в) |aUb|C|a| П |Ь|.
Выведите отсюда, что коцепи с пустой опорой образуют идеал в С* (М).
П. Через А (X) обозначим С* ^М (X)). Докажите, что отображение g : X —>- Y индуцирует g*: A XV КХ^А (X), (Z X) и, значит, g": С (Y) -> С (X), g* : R* (У) -> R* (X).
Пусть ;:Х0->Х—включение подпространства Хо в X. Определим Л(Х, Хо) как ядро гомоморфизма у : А (X) -> А (Хо) и положим /(X, Х0) = Л(Х, Х0)ПДХ). Докажите, что С (X, Х0) = Л(Х, X0)/Z(X, Хо) является ядром гомоморфизма / : С (X) -> ■^С(Хо).
Пусть р—включение С (X, Хо) в С (X). Установите, что последовательность ,6*J*р*
... «- Ш+1 (X, х0) ш (Хо) <— Ш (X) Ш (X, Хо) ... точна.
Докажите, что R* (X, Хо) зависит только от X-—Хо.
Пусть X—подмножество декартовой плоскости, образованное течками (х, sin 1/ж), где 0 <ж^1, и точками (0, у), для которых —1<^у<;1. Покажите, что Я“(Х) = = J® J и Д0(Х)=£.
9
КОЛЬЦО СИНГУЛЯРНЫХ КОГОМОЛОГИЙ
Определения и свойства
В этой главе мы продолжаем обсуждение сингулярных когомологий; в А" (X) вводится и-произведение, которое индуцирует структуру кольца в Я*(Х). Мы устанавливаем основные свойства этого кольца, называемого кольцом сингулярных когомологий, исследуем, как вычислить это кольцо в случае топологического произведения, и в последнем параграфе главы рассматриваем инвариант Хопфа отображений S№-1 в S" как применение структуры произведения.
Структура и -произведения в А' (X) вполне аналогична соответствующим структурам в Cq (К) и С^ (К). Наиболее сжато ее можно описать, введя линейные отображения 9 —9(г), ф = ф{г): ir—> ;s, где r<s, определенные формулами
z/9 = z/, г/ф = vs"w, i — 0, . .., г.
Таким образом, 9(ф)— сохраняющий ориентацию линейный гомеоморфизм симплекса tT на первую (последнюю), в лексикографическом упорядочении, r-грань симплекса ts.
Пусть R — кольцо. Будем писать А' (X) вместо А" (X; R). Пусть dp £ Ар (X), eq £ А4 (X). Определим dp kJ eq £ Др+« (X) формулой
(/p+g, dp kJ е^ = (9(р)/, dPHW^ eqY
Иначе это можно выразить так: значение dp kJ eq на сингулярном (р + д)-симплексе / равно значению d на первой р-грани /, умноженному на значение е на его последней (/-грани. Рассматривая кольцо когомологий, удобно представлять А" (X) как 2 Ар Р0- Таким образом, произволь- р
ный элемент из А’(X) есть неоднородная коцепь d^^dP. Из равенства р
и дистрибутивного закона мы получаем формулу умножения для произвольных коцепей
'(Д, due) = 2 (®(р)Л ЙУ(М> eY
P+q=n
. Предложение.
d kJ (гд -р ^2) --d kJ е^Х d kJ e^s (c?^ -p d^ kJ e - d^ kJ e J d^ kJ e\
d kJ (e kJ f) — (d kJ ej| и /;
b(dP\jeq) = MpUeq + ( — l)pdpkJbeq.
Доказательства этих утверждений весьма близки доказательствам соответствующих результатов гл. 4.J Однако мы советуем читателю доказать (в), исследовав, как отображения 9 и ф коммутируют с отображениями V\ определенными в § 8.1.
Из предложения 9.1.3 следует, что коцепный комплекс А" (X), наделенный структурой u-произведения, есть коцепное кольцо в смысле опре-
деления 4.2.1. Следовательно, и-произведение индуцирует произведение в Н* (X); для обозначения индуцированного произведения будет употребляться мультипликативная запись. Группа когомологий с определенным таким образом умножением образует кольцо R* (X), точнее, R* (X; R),— кольцо сингулярных когомологий пространства X со значениями в R.
Это определение можно очевидным образом перенести на относительный случай и получить Rt(X,Xo). Далее, легко видеть, что если dp, е9 £ A" (X) и либо dp, либо е9 исчезает на сингулярных симплексах, лежащих в Хо, то это же можно сказать и о dp о е9. Отсюда следует, что А" (X, Хо)—двусторонний идеал в А' (X). Факторкольцо кольца А" (X) по А' (X, Хо) изоморфно кольцу А" (Хо), наделенному своей структурой и-про- изведения., Значит,
0«—А'(Х0)А" (X) <- А’(X, Хо)«-О
— точная последовательность отображений коцепных колец, так что X* и ц* в индуцированной когомологической последовательности являются кольцевыми гомоморфизмами. Далее, для этой более общей ситуации можно установить аналог теоремы 4.2.7. Пусть заданы т^Н*ЦХ), ^ДРЧХ^, ^^НР(Х), ^НР(Х, Хо); можно определить £от] £ Яр+9 (Хо), |ц f Нр+9 (X), ^^НР*9(Х, Хо), а именно ^Л = 5о (^*л), гДе ^ — произведение в кольце Я*(Х), и |т] = {ж и у}, где —класс элемента х, ц — класс элемента у и { } означает переход к классу когомологий в А" (X, Хо). Напомним, что x<Jy^X(X, Хо), так как А" (X, Хо) — идеал в А" (X). Ясно, что если г| = ц*т], то £ц = £т]. Элемент ц определяет гомоморфизмы
и^Я* (Хо) —> Я* (Хо),
и^Я* (Х)-»Н* (X),
и^Я^Х, Х0)^Я*(Х, Хо),
повышающие размерность на q.
. Теорема. Диаграмма
V*X*v*
. . . Яг (Хо) Hr (X) Яг (X, Хо) Я1-1 (Хо) .. .
. . . <— (Xo) <- Hw (X)(X, Хо) Я^"1 (Хо) .. .
коммутативна. ]
Диаграмму 9.1.4 мы будем называть сингулярной структурой (когомологического) произведения пары (X, Хо).
Предположим, что fp+q£^ (X), например f = Tlg. Тогда если С< р— 1, то 0(Р)/Е А^ (X), и если p^Kp + q — l, то ф(д)/g А^ (X). Следовательно, формула 9.1.2 индуцирует некоторое умножение в AjV(X), что позволяет определить кольцо когомологий R^ (X). Снова можно перейти к относительному случаю и получить Rn(X, Хо). Ясно, что естественное отображение А (X, Хо) —> An (X, Хо) индуцирует кольцевой изоморфизм между R^(Xt, Хо) и Я* (X, Хо). Значит, эти кольца и их мультипликативные структуры можно отождествить.
Пусть g : X, Хо—> У, Уо—некоторое отображение; g индуцирует ^-^д:А-(У, У0)^А‘(Х, Хо)
по правилу (/р, g^d^-ttpS^, о?р), где fp—произвольный сингулярный р-симплекс из УшоЗУо и dp£k.p(Y, Уо). Тогда
£д (^р и е9) = g^dp и g^».
В самом деле,
(М,, gjdpue^) =
= Up+gg^ dp ^ ^) = ((/^p+g, dp и е^ =
= O(p)/S, dp) • ^№fg, e9) = ((6(p)/) g\ dp) • ((ф(д)/) g\ e9) = (9(p)/> g^dp). (W, g^) = (/p+g, g^d“ и g^.
. Теорема. Отображение g : X, Уо —>Y, Yo индуцирует гомоморфизм мультипликативной структуры1) пары (У, Уо) в мультипликативную структуру пары (У, Уо).]
. Следствие. Пары одного итого же гомотопического типа имеют изоморфные сингулярные структуры когомологического произведения.}
Рассмотрим цепную эквивалентность
а : CQ (K),CQ (Яо) —> А (| Я |),А (| Яо |)
из 8.6.8. Иэ определения а (8.6.5) следует, что а" сохраняет и-произведе- ние. Значит, имеет место
. Теорема. Цепная эквивалентность
а-.Са(К),Са(К0)-^М\К\)Д (|Я0|) индуцирует изоморфизм между сингулярной структурой произведения пары (]Я|, |Я0|) и структурой произведения пары {К, Яо).]
Наконец, заметим, что можно определить u-произведение между элементами Ар+д (У, Уо) и элементами Ар (У, Уо) со значениями в Ад(У, Уо). Предоставляем читателю самому сформулировать соответствующее определение и проверить, что оно действительно индуцирует умножение элементов из Яр^д(У, Уо) на элементы НР(Х, Уо) со значениями вЯд(У, Уо). Это умножение является инвариантом гомотопического типа. Предоставляем читателю также сформулировать результаты этой главы для случая, когда вместо кольца значений рассматривается билинейное спаривание двух групп значений в третью (см. последний абзац § 4.1).
Косая коммутативность кольца R* ^Х)
С целью дальнейшего изучения кольца когомологий полезно дать характеристику u-произведения как коцепного отображения
и : А- (У; R) ® А" (У; R) А- (У; 7?).
В самом деле, согласно § 5.7, тензорное произведение коцепных комплексов можно снабдить структурой коцепного комплекса, а в 9.1.3(b) утверждается, что и при этом является коцепным отображением.
х) Здесь подразумевается, что (jT| преобразуется в Ug*^, Ч £ Н* (У)
Как коцепное отображение, и допускает одну важную факторизацию. Действительно, вспомним коцепное отображение л, определенное в 5.7.27. В частности, мы имеем
'л = лх,у:А'(Х; Я) ® А* (У; Я)->А‘(Х®У; R),
где А" (X 0 У; Я) — коцепной комплекс А (X 0 У) (ф) Я, а л описывается формулой
(/0g, л^0е)) = (/, d)-(g, е);
здесь /—сингулярный симплекс пространства X, g— сингулярный симплекс пространства У ndgA‘(X; Я), е^А" (У; Я).
. Предложение. Пусть k:X—>Xv l:Y^-Yv— отображения. Тогда
л^, у(^д 0 /д) = (к^ ®^У л^, У1 : A" (ХЦ 0 А* (УД —> А" (X 0 У).
Доказательство очевидно.]
Определим теперь отображение D : А (X) —> А (X 0 X) следующей формулой:
fnD= 2 9(р)/0ф(д)/.
P+g=n
. Предложение, (a) D—цепное отображение; (б) если g:X—>Y, то D (g^ 0 g^ _ g^D.
Доказательство утверждения (а) почти в точности повторяет доказательство формулы для 6 (due); разумеется, этого и следовало ожидать. Точно так же доказательство утверждения (б) очень сходно с доказательством равенства 9.1.5.] Простую связь между и и D устанавливает
. Теорема. и = D'n,X)Y.
Действительно,
(/„, due) = S (W, ^HW- е) =
Р+9=п
= 2 (9(Р)/ ® ф(д)/, л (d 0 е)) = p+g=n
= (,fnD, л (d 0 е)) = (/„, O‘n(d®e)).]
Свойства операции и могут быть выведены из ее характеристики, содержащейся в теореме 9.2.6, и свойств операций Ойл. Очевидно, можно вывести 9.1.3 и 9.1.5 из 9.2.3 и 9.2.5. Однако нашей главной целью будет доказать с помощью теоремы 9.2.6 косую коммутативность кольца R*(X).
Напомним, что в 8.7.1 нами было установлено существование канонического класса цепных эквивалентностей qx> Y : А (X 0 У) —> А (X х У). Пусть dx = d:X—>ХхХ—диагональное отображение xd=^x, х), х^Х. Цепному отображению D мы придадим геометрический смысл, доказав теорему 9.2.7.
. Теорема. D\x’ х ~ (dx^ : А (X)А (X х X).
Доказательство проводится с помощью ацикличных моделей. Заметим, что Dq = dA в размерности 0 и что оба отображения Dq и dA удовлетворяют очевидному условию естественности
gAф = ср (g х g)x, где ф = £>р или dA
для любого g : X —> У. Можно построить теперь по индукции относительно г искомую цепную гомотопию А^, начав с Ло = 0 и используя ацикличность комплекса Д (Zr х ty.
Читатель легко восполнит детали доказательства. Заметим, что эту цепную гомотопию нужно строить с тем расчетом, чтобы выполнялось следующее условие естественности:
gAAy = A^(gxg)A
для g : X —> У.]
Вспомним цепной изоморфизм р : Д (X ® У) —> Д (У ® X) из 8.7.4, описываемый формулой Ур® gg)p=( — l)P9gg®/p, }p£Ap(X), g^kqtyy
. Теорема. D ~ Z>p : Д (X) —> Д (X ® X).
Имеем pg ~ gmA : Д (X ® X) —> Д (X x X). Следовательно,
Z)pg ~ DomA ~ d^mA = (dm^ = dA ~ Dq,
так как dm = d. Утверждение теоремы вытекает теперь из того, что q— цепная эквивалентность.] Заметим, однако, что все гомотопии, фигурировавшие в приведенном доказательстве, были естественными и, значит, гомотопию Л, соединяющую D и Dp, можно тоже подобрать так, чтобы выполнялось условие естественности1)
X (g* ® g^ = g*XY
для любого g : X —> У.
. Теорема. Если кольцо значений R коммутативно, то кольцо R* (X; R^ косо коммутативно, т. е. для любых
^ЯР(Х;Д), цЕЯ9(Х;Д)
выполняется равенство
^=(-1)Р5^.
Заметим сначала, что если R коммутативно, то для произвольных о!6Др(Х; Д), е6Д«(У;Д) имеем
р"л(о! ® е) = (— 1)р9 л (е ® d).
В самом деле, если /£ДР(Х), g£Aq(Y), то
(g ® /, р'л (d ® е)) з= yg 0 f) р, л (d 0 е)) =
= (-1Г у ® g, л (d ® е)) = (-1)Р9 (/, d). (g, е) =
= (- Щ9 (g, е)• (/, d) = (-1)” (g 8 /, л Н d)).
Отсюда, замечая, что лу, у индуцирует лу, у : Я* (X; Д) ® Н* (У; Д)—> —>Я* (X ® У; Д), выводим, что если ^ЯР(Х; Д), T]g№(y; Д), то
р*л1, у (£ ® ц) = (-1)р9 л^, у (ц ® 6).
Пусть теперь Х = У. Тогда, в силу 9.2.6, 9.2.10 и 9.2.14,
^ц = В*л* (£ 0 ц) = Д*р*л* (g 0 т]) = ( —1)Р9 В*л* (ц 0 £) = ( —1)Р9 лё ]
Читатель, вероятно, заметил, что доказательство косой коммутативности можно приспособить для прямого доказательства косой коммутативности
Rq (К). В то же время доказательство последнего факта, данное в гл. 4, нелегко было бы распространить на более общую ситуацию; мы предпочли его тогда из-за простоты понятий, которые использовались в гл. 4.
Теорема 9.2.12 очевидным образом переносится на относительный случай; предоставляем сделать это читателю.
. и-произведения в кубических когомологиях
Мы уже отмечали, что формулу 9.1.2 можно интерпретировать как формулу u-произведения в А^ (X; 7?); при этом получается естественный изоморфизм между кольцами Д* и R^. В этом параграфе мы определяем U-произведение в □n(X;R') и доказываем, что индуцированное кольцо когомологий естественно изоморфно R* (X; Д).
Как и в § 9.2, начнем с определения некоторого цепного отображения Da: П^(Х)->П^(Х®Х),
где □ "(XQX) обозначает П^Х)® П^Х). Затем мы положим
VJ = D^: Qn (X; Я) ® ПИХ; Я) -> ПЬ (X; Д).
Коцепное отображение л определено, конечно, для любых двух комплексов, и потому никаких трудностей при переходе к кубическим комплексам не возникает. Однако при доказательстве того, что D^—цепное отображение, нам приходится выполнять довольно трудные вычисления. И поэтому мы хотим сразу предупредить читателя, что применение настоящий параграф найдет лишь в §§ 10.5 и 10.6.
Da будет определено как отображение, индуцированное некоторым отображением D : □ (X) —> □ (X ® X). Пусть еп—стандартный п-куб, и Н—некоторое упорядоченное подмножество /гп ..., h.p множества 1,2, ...,п. Определим отображение Хен:ер-^еп (е = 0 или 1) следующей формулой:
(uv, .. ., ир)Хн = (у^ • • •, уп),
где и,—-е, если i ^ Н, и vhT = ur, г=1, .. ., р. Другими словами, Хн—изометрия куба ер на ту р-грань, которая содержит начало и лежит в подпространстве, натянутом на координаты uhv ...,ипр; Хн—изометрия ер на р-грань, содержащую точку (1,1, ...,1) и параллельную указанному подпространству.
Определим теперь D : □ (X) —> □ (X ® X) формулой
н
где К — множество, дополнительное к Н, qhk—сигнатура перестановки НК целых чисел 1, 2, ..., п, и суммирование ведется по всем упорядоченным подмножествам Н множества 1,2, ..., к.
Чтобы установить свойства отображения D, нужно выписать сначала законы коммутирования Хн с операторами вырождения и перехода к граням. Для заданного H = Qiv ...,hp) определим Нр как (й15 ...,hp_Y, hp+1,...,hp) и Ну как (h^ .. ., hy^, Ли+1 —1, . .., hp—l). Если /^Н и kr<j<hrtl, определим Н3 как (й1; . . ., hr, hr+1— 1, . . ., hp—1). Это определение очевидным образом распространяется на случаи / <;h1 и hp < /•
Предложение1).
V^XH^’Kg^Vh^ е = 0 или 1, ц —О или 1;
^ = 4^;
X8H-XeHjVV,
№^7^.
Заметьте, что Hj и Ну в этих формулах следует рассматривать как упорядоченные подмножества множества 1,2, .. ., п—1. Эти формулы доказываются прямым вычислением. Мы ограничимся доказательством равенства (а). Проверить остальные равенства мы предоставляем добросовестному читателю (заметим при этом, что из (а) и (б) следует (в)). Итак,
(Uj, . . . , Up-Y) VуХц = (пр • • •, Иу-р В, Пу, Up—j) Хц — (Ур ..., у^), где и^ = их при X < р; уЙ|л = е; у^ = ux_t при X > р и в остальных случаях уг = Г|. С другой стороны, (Up . . . , ПрУ Х^ = (wt, .. ., №пу, где Whx = UX при X<p; whx_t = ux_t при Х>р и в остальных случаях иц = р. Значит,
(“1, ..., u^) ^F^ = (у;, • • •, у»),
где и'г — wt при i << hy, ику -е; ui = ii^-y при i > hy. Отсюда следует, что укх = их при Х<ц; ики = е.; икх = их_^ при Х>ц, и в остальных случаях и\ = т]. Следовательно,
(^ .. ., уп) = «, ..., у^), и равенство (а) доказано.]
Вернемся теперь к 9.3.3. Предположим, что куб /п вырожден, скажем, / = Ttg. Тогда i £ Н или i б К, каково бы ни было Н, так что в силу 9.3.4 (г) по крайней мере один из кубов ХУ, ХУ вырожден. Отсюда следует, что D отображает Ц^ (X) в
nm^D^W + n^^^DtX).
Таким образом, D индуцирует отображение
/^^"ГО^О^Х^Х).
. Предложение. D° является цепным отображением.
Мы докажем больше, а именно, что D—цепное отображение. Рассмотрим сначала fnDd. Имеем
/nDd = (2eHKX0ff/®X^/)d = н
= ^6нк^ (-1)11 (V’-yXy-V^yXy) 8 VKf + Н |Л=1
+ (-i)p 2 (-1№/® №к/-и^/)}, где р—число элементов в Н и рУд = п.
!) Мы пишем V® вместо РЦ8 ради большего удобства; соответственно Т^ обозначается через Ту.
Далее
V^M ®ХМ ~ X V ® ХМ и ХМ ® VMM = ХМ ® х&м
в силу 9.3.4(6). Пусть К и—дополнительное множество к Ни. Из изложенного выше следует, что Хд^/ ® КМ дважды появляется в выражении для fnDd: один раз в результате вычеркивания h^ из Н в члене (Н, К) и другой—из-за вычеркивания Ар из Ки в члене (Н^, КМ Первый раз Х^М^ХМ появляется со знаком signgHK(—1)р, а второй раз—со знаком QHpKpXt-ir-^-lW-l),
где ка < Ар < ка+1. Сравнивая соответствующие перестановки, мы видим, чтоейрйр=( — 1)р^+а9нк-
Отсюда следует, что X^f ® ХМ входит в выражение jnDd с разными знаками. Значит,
р
/^^QhkI 2 (-1П^Гн/® W +
Н ц=1
+ (-!)” 2 l-t^XMWXMV >1=1
С другой стороны,
fndD = 2 (-1/ (V^-V^n D =
= 2 (-1У 2 Qhk Ш ® x^-x^t ® XLF}/), 5=1H
где H—произвольное упорядоченное подмножество множества 1,2, ..., п—1 и К—его дополнение.
Покажем теперь, что с каждой тройкой (Я, К, j) можно сопоставить такую единственную тройку (Я, К, р), что Н^ — Н, К,=К и i = hy,. В самом деле, пусть К = k^ ...,kq- Положим K = kv ...,kqi т№акг — кг при кг<_у, к; = кг-\-1 при ki^j. Ясно, что К — единственное подмножество множества 1,2, . .., п, для которого Kj = K. Тогда Н определяется как дополнение к К, при этом МН и у —Ар для некоторого (однозначно определенного) р. Ясно, что Яр=Я.
В силу 9.3.4(a) и (в), VMM ® ХМ = Хд^у^М ® ХкУ1^ и аналогично ХМ ® VMM — XhV”) ® ^кр^У" Отсюда следует, что между членами, стоящими справа в 9.3.6 и 9.3.7, можно установить взаимно однозначное соответствие, причем соответствующие члены могут отличаться только знаком. Поэтому достаточно доказать, что эти знаки одинаковы. Мы ограничимся тем, что докажем это для члена УрАн/ ® ХМ- Итак, нужно проверить, что 9.3.8(-i)^^-!)^-^.
Предположим, что ка<^11^<<.каЛА. Мы должны сравнить перестановку к^ч • • •, Ар,—р А^, * • • > кр^ k^^ . • •, ка1 ka+i, • •»з кд с перестановкой
Ар ..., ку—^, Ац+1 1 j • • *) кр — 1, к^, .. ., ка, ка+^ — 1, • ■ ■, кд — 1, zz.
Далее,
hy, • • •, hp, /са+1, .. ., кд и А^ц 1, . . ., hp — 1, A^a+j 1, ..., kq 1, п
— перестановки целых чисел от hy до п одинаковой сигнатуры, ибо можно перейти от второй к первой в два приема: сначала прибавить ко всем членам единицу, что дает Ap.+1, ..., hp, ka+t, . .., kq, hy, и затем перенести hy в начало. Каждый из этих двух шагов умножает сигнатуру на (— l)n-hp-. Значит, сигнатуры двух заданных перестановок отличаются множителем (— 1)а. Но а—число тех к, которые меньше hy, так что cc = hy—ц, и равенство 9.3.8 доказано. Подобным же образом можно доказать, что кн/ 0 Vyk^f входит в 9.3.6 и 9.3.7 с одним и тем же знаком. Доказательство предложения 9.3.5 закончено.]
Предложение. D^ естественно в том смысле, что диаграмма
nN(X) —П№(Х®1)
gOI gO ® gO
□рУ)> р(У0У)
коммутативна для любого g:X—>У.]
Из 9.3.1 и 9.3.5 вытекает, что
и : Пх№ R)®t№ R^Dn(X; R)
— коцепное отображение. Следовательно, kJ индуцирует некоторое умножение в Н* (X; R).
. Теорема. Определенное выше умножение в группе H*(X',R) превращает ее в кольцо R* (X; Ry Далее, если ф : A (X) —-> Q^ (Х^ — каноническая цепная эквивалентность (см. § 8.4), то ф* : R* (X; R) R* (X; Ry Теорема будет доказана, если мы установим, что ф* сохраняет произведение. Рассмотрим диаграмму
□„(X; Я)0ПИХ; R^—^^XX; R^X^X; R)РР
Ш (X 0 х- R) (—Р А- (X 0 X; R)
рорХ
□^ (X; 7?)—РА1 (X; Я)
Мы хотим доказать, что ф'П^л ~ ПдЛ (ф’ 0ф'). Конечно,
Л (ф* 0 ф‘) = (ф 0 ф)’ л
— это конкретное проявление естественности л. Поэтому достаточно доказать, что
9.3.11фД~Дл(ф0ф):А(1)-Гх(ХС1).
Соотношение 9.3.11 доказывается с помощью ацикличных моделей. Заметим, что ф/)! и D^ (ф 0 ф) согласуются в размерности нуль и
каждое из них естественно, что находит выражение в коммутативности диаграммы
А (X) Лп”(Х0Х)
А (У) —> П^ (У 0 У),
где g:X—>У и k = q>Da или 7)л (ср 0 ср). Затем мы строим по индукции гомотопию Л^, начав с Ло = О и используя ацикличность комплекса П№(7Г 0 try Детали можно опустить.]
Мы доказали, что каждая естественная эквивалентность между А (X) и П^Х) индуцирует в некотором смысле изоморфизм между любой естественной мультипликативной структурой в Н* (X) и любой естественной мультипликативной структурой в 77* (X). Это утверждение можно было бы выразить совершенно точно.
Теорему 9.3.10 можно, конечно, перенести на относительный случай. Завершим этот параграф следующим замечанием. Мы можем теперь отождествить кубическую и симплициальную структуры произведения сингулярных когомологий и, используя, когда это нужно, формулу 9.3.3, получить точное выражение и-произведения в П^(Х; 77). Конечно, формула 9.1.3 (в) имеет место не только в А' (X; 77), но и в □лг(Х; 7?). Это следует из 9.3.1 и 9.3.5.
§ 9.4. Кольцо когомологий топологического произведения
Вспомним цепную эквивалентность q : А (X 0 У) ~ А (X х У) из § 8.7. Наша цель в этом параграфе—ввести в А'(Х®У; Щ структуру 0-произведения так, чтобы q* стало кольцевым изоморфизмом. Символ 77, обозначающий кольцо значений, будет опускаться.
Определим и-произведение как некоторое коцепное отображение
и : А' (X 0 У) 0 А' (X 0 У) —> А" (X ® У).
В самом деле, как в §§ 9.2 и 9.3, определим о как композицию Надул, где
л : А" (X 0 У) 0 А" (X 0 У)—» А' (X 0 У 0 X 0 У).
Нам осталось определить
DX®Y :А(Х0У)-^Д(Х0У 0 X 0 У).
Обозначим через pt отображение 10ц01:А(Х0Х0У0У) —»
А (X 0 У 0 X 0 У) и положим
5вдг = (^®Ду)ц.
Из определения ясно, что DX®Y — цепное отображение. Поэтому из определения
kJ = 7)у®ул
следует, что о — коцепное отображение.
Заметим, что комплекс А' (X 0 У) дважды градуирован", он порождается однородными элементами dp’q, принимающими значение нуль на всех fv®gq-, для которых р р' или q q'.
. Предложение. Если dp’q1 ег’—однородные коцепи комплекса X^X^Y^, то dp’QVJer>8 — однородная коцепь степени (р + г, 9 + $), и
Up+г ® gq+s, d U е) = (— 1)«г (0(р)/ ® 9(q)g, d) (^(г)/ ® ip(e)g-, е).
Пусть / — сингулярный m-симплекс пространства X и g-—сингулярный и-симплекс пространства Y. Тогда
(/ ® g, d kJ е) = (f ® g, Dx®yu (d ® е)) =
= W®g) DX®Y, n(d®e)) =
= ^fDx ® gDY^ p., л (d ® e)) =
= (22 (9«)/ ® ^wt ® 6(»)g ® Ф(ш)£) 9- л (d ® e)) =
= (2 2 (~l)urW® fy»)#®^)/®^^ n(d®e)).
v-|-w=n
Теперь, (0(О/ ® 0(B)g ® i^f ® ф(и>^, л (d ® e)) = 0, если только t ^ p, v^q, u^r, w-^s. Следовательно, d kJ e— однородный элемент степени (P + r, g + s) и
Up+r®gq+s, due) = ( —1)9Г(0(р)/® 0(q)g, d) (ф(г)/ ® ^(g)g, e).]
Это можно было бы принять за определение VJ в А" (X ® У).
. Предложение. Диаграмма
А (X ® У) Д А (X ® У ® X ® У)j f^®g&| I^Sg^f^g^
A (Xt ®Y^ Д A (X, ® У, ® X, ® У0
коммутативна для любых / : X —> Xb g : У —з* Yt.
Это сразу следует из предложения 9.2.5(6).]
Следующее предложение является ключевым ко всему параграфу. Читатели, осилившие предыдущий параграф, будут вознаграждены. Они увидят, что при очевидном выборе (8.7.5) цепных эквивалентностей q аналогичная диаграмма для кубического случая будет коммутативна. Предложение 9.4.6 вытекает отсюда непосредственно, но мы проведем его самостоятельное доказательство.
. Предложение. Диаграмма
dx®y
А (X ® У) —> А (X ® У ® X ® У)j,pX,YpX.Y^pX.Y
А (X х У)—^1А (X х У) ® (X х У)
гомотопно-коммутативна'. qDXxY ~ jjx^y (^ q q).
Доказательство1), которое мы приведем, основывается на уже полученных результатах и использует популярную процедуру рассуждения с помощью диаграммы.
Рассмотрим диаграмму
Д(Х®Х®У®У)—— М® 1► Д(Х®У®Х®Г)
Мы хотим доказать, что седьмая зона диаграмммы гомотопно-коммутативна. Остальные ее зоны также гомотопно-коммутативны.
внешняя зона; это легко получить из 8.7.3 и 8.7.4.
9.2.7.
9.2.7 (5.7.5).
коммутативность очевидна.
коммутативна в силу естественности р.
коммутативна в силу определения DX®Y,
Отсюда мы сразу заключаем, что
qX,Y£)XXY^XxY Xxy ^ qX®y ^x,y 0 QX>y) qXxY.XxY,
Ho у— цепная эквивалентность, так что
р?.у^хУ ~ DX®Y (р^.У ® р’^у).]
. Теорема. Умножение, индуцируемое в И* (X ® У) о — произведением (заданным в Д' (X ® У)), превращает Н* (X ® У) в кольцо R* (X ® У), причем
q*:R*(X X Y^R*(X ® У).
Это сразу же следует из предложения 9.4.6 и естественности л (ср. с предложением 9.3.10).]
Мы применим теорему 9.4.7 к случаю, когда X и У — бикомпактные полиэдры. Предварительно сделаем несколько замечаний о тензорных Произведениях колец и об отображении л.
Тензорным произведением двух колец R и S, обозначаемым через R ® S, называется тензорное произведение их аддитивных групп, наделенное структурой кольца, причем умножение образующих элементов определяется следующим правилом:
(г ® s) (г' ® У) = тт' ® ss'.
На произвольные элементы из R ® S правило умножения распространяется из условия дистрибутивности. Это определение и имелось в виду в конце §5.2.
Градуированным кольцом R называется группа 2 ^п, в которой определено умножение, превращающее ее в кольцо и удовлетворяющее условию
Rm" Rn — Rm+n-
Всякое коцепное кольцо, таким образом, является градуированным кольцом.
Тензорным произведением двух градуированных колец R и S (оно обозначается через R 0 S) называется такое градуированное кольцо Т, что Тп= 2 ^p^SgH1)'
(Гр ® 8g) (Гр. ® 8g.) = (— 1)9Р' (ГрГр- ® SgSg-).
Пусть С* и D" — коцепные кольца. Рассматривая их как градуированные кольца, возьмем их тензорное произведение. Оно становится коцепным кольцом, если (как обычно) положить
6(ср 0 ri9) = 6ср 0 ^+ (_ 1)рср ® №.
Мы должны показать, что
б ((ср ® а») u (сг 0 азу = 6 (Ср 0 а^ и (сг 0 as) + (- i)p+« (Ср 0 ri9) и 6 (сг 0 а®у В самом деле,
6 ((ср 0 d^ и (сг 0 dsY = < — 1утЬ ((ср kJ ст) 0 (ri9 u dsY =
= (—1)9Ч(бсриС-Ч(~1ус^^ш ^d9 uds^+
+ (—i)p+r(cp и cr) 0 (№ и <zs + (—i)9^u6<zs)} = = (6cp 0 ri9) и (cr 0 ds) +
+ ( — l)p+9 (cp 0 d^ и (dcr 0 ds^ +
+ (- l)p (cp ® 6ri9) u (cr 0 ris) +
+ ( —1)P+W (Cp 0 ^ u (cr 0 ^ =
= 6 (cp 0 ri9) о (cr 0 ris) +
+ (—i)p+9 (cp 0 aq) kJ 6 (cr 0 asY
Вернемся к отображению
л : (С rh G) 0 (D ^ H) ^ (C 0 D) Д Л,
ассоциированному с гомоморфизмом ц : G 0 H —> Л; л описывается формулой
(c®d, л (e 0 1У) = ((с, e) 0 (ri, fY^ C€G, d^D, e^C^G, f^D^H.
Нам в особенности понадобится случай, когда G, Н, Л —кольца и ц:С0Я-^-Л— кольцевой гомоморфизм, т. е.
(g 0 й) П (g' 0 А') П = (gg' 0 hh'^ т].
Когда А — кольцо, коцепной комплекс (G 0 D) (ф] А можно в ряде важных случаев наделить структурой кольца с помощью формулы, аналогичной формуле из предложения 9.4.4. Мы покажем, что если ц — кольцевой гомоморфизм, то л —коцепное кольцевое отображение. Особенно нас будут интересовать два случая: когда С = С® (К), D — С® (L) и когда С = Са (К), В = Са(Ц. В любом из них в (С 0 D") ^ А можно определить структуру О-произведения, как в 9.4.4. Далее, при таких определениях
(Ок 0 9“)': (Сй№ 0 CQ (L))’^С® (К) 0 С® (L))-
т) sign (— 1)9Р’ является примером стандартного «трюка»; ставя s9 после гр,, мы сталкиваемся с тем, что др' изменяет знак. Читатель легко найдет и много других примеров (см. 4.1.8 и 5.7.3). Этот трюк часто используется при перестановке цепного и коцепного операторов. Можно говорить о размерности оператора как о величине, на которую он повышает размерность цепей или коцепей (см. 4.1.3 и 5.7.1).
И
(«к ® аф : А' (| ^ | ® | L |) ^ (CQ (/С) ® CQ (Ь)?
(см. 8.6.7) становятся коцепными кольцевыми эквивалентностями. Рекомендуем читателю проверить это. ’
Пусть теперь С и D— либо сингулярные цепные комплексы, либо тотальные цепные комплексы, либо упорядоченные цепные комплексы *). Тогда если R— кольцо, то коцепной комплекс С (ф) R обладает кольцевой структурой, соответствующей o-произведению. Докажем
Предложение. Пусть G, Н, А— кольца и ц—кольцевой гомоморфизм, тогда
л : (С rh G) ® ф rh Щ (С ® D) ^ А
— коцепное и кольцевое отображение.
Надо показать, что л сохраняет произведение. Пусть cz', сТ g С ^ G, d9, d8 D ^Н. Мы хотим доказать, что
л ((с” ® dq^ kJ (cr ® d8y = л (ср ® d9) и л(сг 0 dsy
Справа и слева в этом равенстве стоят однородные выражения степени (p + r, <? + sY Поэтому достаточно проверить его на fP+r ® gq+s, где / и g— симплексы. Имеем
(ср ® dy kJ (cr ® ds) = (— l)9r (cp kJ cr) ® (d9 kJ ds),
U®g, л ((cp ® d9) kJ (cr ® d8))) = ( — l)9r (/ ® g, к ^ kJ ст^® ф kJ d8^y = = ф1уг^.d9kjds)}i].
С другой стороны,
U ® gi я (cp ® dq) kJ л ф ® d8y = ( — l)9r (9(p)/ ® 9(g)g, л (cp ® dqy X
X WW ® Ф(з)£, я Ф ® d8))(9.4.4)
x {№(,)/, Cr) ® (tp(s)g, ds)} ц =
-(^1F{(W «W- cW
так как ц является кольцевым гомоморфизмом,
= - (1)9Г {(/, сР с^ ® (g, dq и d8)) щ]
Следствие. Если кольцо R коммутативно, то л: (С^ 7?) ® ® ф (ф) R) —» (С ® О') (f] R является коцепным кольцевым отображением.
В самом деле, в этом случае ц : R ® R -^ R определяется формулой (ri ® г2) ц = г^з. Когда R коммутативно, это отображение является кольцевым гомоморфизмом.]
Теорема. Пусть К, L — конечные упорядоченные симплициалъные комплексы и G, П, А — такие кольца, что G ® Н — И. Тогда имеет место коцепная кольцевая эквивалентность
С^ (К; G) ® С^ф И) ~ А* (| К | х | L |; А).
х) Таким образом, С = Д (У), CQ (К) или С® (К); конечно, можно , было бы взять и С = Пл'(Х) или А^ (У).
23 Заказ М 1335
В самом деле, имеет место последовательность кольцевых эквивалентностей
р.(ак®а;Г(0к®0“)’
АЦ\К\х\Ь\; А)~А'(|А|® |L|; Л) ~ (Сй (А) ® Сй (L)) А ~
(ёк®ё£)"я
~ ^№®С«^^А^С№ G^C^L; Щ.
То, что л—коцепной и кольцевой изоморфизм, гарантируют предложения 9.4.9 и 5.7.29.] Коцепное кольцо Cq(^K; G^ ® Cq^L; И) сравнительно удобно для вычисления R* (| К | х | L |; Л).
Теорема 9.4.11 применима, в частности, к случаю G = J и Н — А.
Теорема. Пусть К и L — конечные симплициальные комплексы, причем К не имеет кручения, и R— кольцо-, тогда
R*(\K\x\L\; R)^R*(K; J) ® R* (L; R).
Ясно, что J <$§ R ~ R. Так как К—комплекс без кручения, группой коциклов в С^ (К; J} ® С^ (L; R) является Z^(K; J)^Z^(L-, R). Значит, индуцированный коцепной и кольцевой эквивалентностью 9.4.12 гомоморфизм
R*(K; J)®R*(L, R)—>R* (\K\x\L\; R)
является в данном случае изоморфизмом.] Из теоремы 9.4.13 следует, что когда комплекс К не имеет кручения, кольцо когомологий R* (1 К | х | L |; R") можно вычислить, отправляясь от R* (К; J) и R* (L; R). Для комплексов с кручением это, вообще говоря, не так. Покажем это на примере, которым мы обязаны Дж. Ф. Адамсу.
Пример. Пусть
I^I^P2 V 8®, \Lt\ = P\ \К2.-Р®, \L2\ = P2.
Тогда
R*№1; 7)^я*(|А2|; J), R^M; J^R4\La\; J), но
R4\Ki\x\L1\; J)^R*(\K2\x\L2\; jy
Комплексы Kt и K2 рассматривались в примере 4.3.4, где был установлен изоморфизм 7?*(|А1|; J)^R*(K<,\; Jy Чтобы получить коцепное кольцо, соответствующее Р2, возьмем с°, с, с2, где (с1)2 = с2, 6с1 = 2с2 и {с2} порождает Н2 (Р2 -J) = J2- Коцепное кольцо пространства Р2 \/ S® получается присоединением элемента z®, порождающего Н®. В этом кольце с'ис^О. С другой стороны, присоединяя к с°, с1 и с2 элемент с3 и полагая с1 xj с2 = с3, мы приходим к коцепному кольцу полиэдра Р®.
Группа1) C"(i) = С" (Aj) ® С" (L^ в размерности 2 порождается элементами с° ® с2, с1 ® с1 и с2 ® с°. Значит, Z™ порождается коциклами с° ® с2 и с2 ® с°, а Ну, - J2 © /2 порождается классами этих коциклов. Группа С^, порождается элементами с1 ® с2, с2 ® с1 и z3 ® с°. Следовательно, группа коциклов Z^ порождается элементами с1 ® с2— с2 ® с1 и z® ® с°, а периодическая подгруппа Т®(1) группы Н®и есть J2, причем ее образующей является класс элемента с1 ® с2— с2 ® с1. Тогда ясно, что Н2 -Т^ = 0.
С другой стороны, если Су = С" (К2) ® С" (Ь2У то Н2г) = Н2и, а группа С32 порождается элементами с1 ® с2, с2 ® с1 и с3 ® с°. Значит, коциклы с1 ® с2 — — с2 ® с1 и с3 ® с° порождают группу Z3y, и периодическая подгруппа Г3,
группы Я®2) есть J^ причем ее образующей является класс элемента с1 0 с2—с2 0 с1. Следовательно, Н^-Т3т содержит класс элемента (с° 0 с2) vj kJ (с1 0 с2 — с2 0 с1) = —с2 0 с3. Это ненулевой класс, так что Я(23) ■ Г®,0.
Утверждение 9.4.14 тем самым проверено.
Заключим этот параграф несколькими замечаниями. Во-первых, если бы в теореме 9.4.13 предполагалось, что комплекс L тоже не имеет кручения, то в силу 5.2.25
R*^\K\x\L\; R^R4K; 7)0fl*(L; У) 0 R.
Во-вторых, если R—коммутативное кольцо и отображение ц : R 0 R—-» R, определенное формулой (г, 0 г2) Л = rir2, является кольцевым изоморфизмом, то выполняется соотношение, получающееся из 9.4.12, если G, Н и А заменить на R. Так будет, в частности, когда R = J, Jm или Q, где Q — поле рациональных чисел. В последнем случае из 9.4.12 можно было бы вывести, что
R4\K\x\L\; Q^R^K; Q) 0 R* (L; Q).
Вообще если R— произвольное поле д’, то, следуя доказательству равенства 9.4.12, можно было бы получить, что
R4\K\x\L\; g^R*^;® yR*(L; д^
(ср. с 5.7.25с).
В-третьих, заметим, что, применяя формулу Кюннета к формуле 9.4.7, можно получить кольцевой изоморфизм
q*:R*(Xx Y^R*(X; R* (Y)).
Однако здесь следует иметь в виду, что R* (X; R*(Y))— кольцо когомологий со значениями в градуированном кольце. Пусть ZgRp (X; R^fY)), ^Rp (X; R4 (У)); произведение £*£' в R* (X, R* (У)) связано с произведением ^', где сомножители рассматриваются как элементы кольца когомологий пространства X со значениями в неградуированном кольце R* (У), следующей формулой:
^Г = (-1)№'^'.
При этом q* будет сохранять произведение * и, кроме того, степень в том смысле, что
Q*:Hn(XxY)^ 2 ЯР(Х; Я«(У)).
p+g=n
Изменение знака в 9.4.17 — это как раз то, чего следовало ожидать при переходе от колец к градуированным кольцам (см. равенство 9.4.8 и относящуюся к нему сноску). Мы вернемся к равенству 9.4.17 в § 10.5.
§ 9.5. Инвариант Хопфа
В 1931 г. Хопф открыл новую область исследований в алгебраической топологии — вычисление гомотопических групп сфер, доказав, что существует бесконечно много гомотопических классов отображений сферы S3 в S2. В 1935 г. он распространил свой метод на общий случай отображений сферы S2n-1 в Sn. Суть этого метода заключается в отнесении каждому гомотопическому классу отображений некоторого целого числа, называемого теперь инвариантом Хопфа
Хопф ввел свой целочисленный инвариант в следующих терминах. Пусть / : К —>■ —>-£—симплициальное отображение, причем 7^1= .S'3, |Z,|=52, и р, р'—внутренние точки симплексов s2, s^ комплекса L. Тогда | / -1 (р) является 1-циклом некоторого подразделения комплекса К и состоит из полигональных петель с изломами в местах проникновения этих петель в тетраэдры комплекса К. Далее, 1-циклы | / |-1 (р), | / |-1 (р') можно определенным образом ориентировать, исходя из заданных ориентаций комплексов К и L. Следовательно, для этих циклов определен «коэффициент зацепления», равный алгебраическому числу пересечений любого из них с какой-нибудь 2-цепью, ограниченной другим циклом. Этот коэффициент зацепления и есть инвариант Хопфа. Хопф показал, что он зависит только от гомотопического класса отображения | / | : 53 —»- S2.
Приведенное выше определение, в первом приближении, зависит от выбора триангуляций К и L. Однако можно избавиться от этой зависимости, использовав теорию сингулярных гомологий. Наша формулировка будет в значительной степени основана на подходе Стинрода (Ann. Math., 50(1949), 954), который первым перевел определение Хопфа (для отображений 82п-1 —> Sn, п> 1) на язык сингулярных когомологий. Кольцом значений во всем этом параграфе служит J; символ J мы будем опускать. Мы будем предполагать, что сферы 52"-1 и S" ориентированы. Это означает, что выбраны фиксированные образующие £, ц в Н2^ (8гп-^ и Я” (Sn).
Пусть У : S2"-1 8п—какое-нибудь отображение. Оно индуцирует
/д = Уд : А' (5™)А’(А2”-1).
Пусть и — коцикл из класса р. Тогда /д (и) есть тг-коцикл в Д’(52"-1), так что /д (и) = ба, где и £ A”-1 (52n-1). Но и и2, 1Д-квадрат коцикла и, является 2тг-коциклом1) в A" (Sn), так что а2 = ба, а g A2”1 (Sn). Тогда (v^jf^u— —Уда) есть некоторый (2и— 1)-коцикл в Д' (52n_1). В самом деле, в силу 9.1.3 и 9.1.5, 6 (и VJ f^u — Уда) = Уди 1Д Уди. — Уда2 = 0. Значит,
{уоУди —Уда} = у05 для некоторого целого числа у0.
Предложение. Число у0 зависит только от отображения j.
Мы не доказываем здесь это утверждение, так как оно является очевидным следствием из другого определения у0, которое будет дано позже.
Число у0, определенное выше по отображению у, является инвариантом Хопфа (хотя Хопф определил его с помощью симплициальных гомологий). Данное нами определение инварианта Хопфа неудобно для доказательства общих теорем о нем, так как оно зависит от выбора и, и и а. Мы дадим сейчас определение инвариантного характера, т. е. не включающее выбора. Введем прежде понятие цилиндра отображения, принадлежащее Дж. Г. К. Уайтхеду.
было бы уже коциклом.было бы уже коциклом.Пусть У:Х-^*У— какое-нибудь отображение. Рассмотрим свободное объединение Т пространств X X 7 и У. Определим на Т отношение эквивалентности: (ж, О)Я(жУ) для всех ж^Х. Обозначим через Уу соответствующее R факторпространство и через к:Т —> Уу— естественное проектирование. Отображение i:X—>Yj определим формулой Ж1 = (ж, V) к и отображение p:Yj-^-Y — соотношениями (ж, t)kp =- xf, укр — у. Нетрудно видеть, что ip = j, i вкладывает X гомеоморфно в Уу в качестве замкнутого подмножества и что р— гомотопическая эквивалентность (с гомотопически обратным k\Y). Назовем Уу цилиндром отображения f. Можно представлять себе У у как «цилиндр», верхним основанием которого служит X, а нижнее основание лежит в У. «Образующими» этого «цилиндра» являются отрезки, соединяющие ж с жУ (см. рис. 9.1).
было бы уже коциклом.
было бы уже коциклом.
Пусть теперь
fO
Х° —> У0
X1 Д У1
— коммутативная диаграмма, т. е. Ph — gf1. Тогда имеет место очевидное отображение j : У/о—> У/i, такое, что диаграмма■
- Х° —> Y°f0 —> У0
9-5-2р р Ь
71Т)1
Xi^Y^-^Y1
коммутативна, т. е. (х°, t) k°j = (x°g, £) к1 и y°k°j = y^hk1 для любых х° £ Х°, y°^Y°. Мы будем говорить, что / продолжает (g, А) на У”о.
Предложение. Если /°~:X—>Y, то
(Yf0, Xi°) ~ (УЛ, Xi1).
Пусть F;XxI—>Y— некоторая гомотопия между /° и f1. Рассмотрим отображение ge: X —> X X I, определенное формулой xg6—^, е), е = 0, 1,
9.5.49.5.4и пусть /е : У/Е —>YF продолжает, в смысле 9.5.2, отображение (g®, 1), где 1:У—>Y — тождественное отображение. Легко видеть, что je гомеоморфно вкладывает У/Е в Y F. Покажем, что (УF, (X X I) г) можно ретрагировать посредством деформации на (У/Е, XiE). Отсюда сразу будет следовать предложение 9.5.3; в действительности мы получим более точный результат:
9.5.4
9.5.4
/Е: (У/Е, Xi8) ~ (Yf, (X x/)i).
Yf получается из (X X I X I) kJ Y в результате отождествления (х, и, 0) с (ж, u) F, а (X X /) i есть не что иное, как подпространство (X X I X 1) к с YF.
Отображение /® вкладывает Y е в пространство Y F. Образом при этом служит ((X X е X I) kJ У) к. К XI6 отображение /® реализует в YF в виде подпространства (X X е X 1) к. Пусть q® : / X / —> / X I — какая-нибудь деформационная ретракция I X I на (/ X 0) о (е X /), при которой I X 1 ретраги- руется по себе в 8X1. Определим of : YF-^ YF формулами
(ж, и, v) kof = (ж, (м, к) Q®) к, у kof = у к.
Прилежный читатель может проверить, что of— искомая деформационная ретракция пары У/0, XI0 на (Ууе, Xi8).]
А теперь перейдем к определению инварианта Хопфа. Пусть / : 52"-1 —> -^*5” — какое-нибудь отображение и 5у— его цилиндр. Отождествим S2”-1 с S^^i^Sf. Далее, пусть И/= Р*П; таким образом, Цу порождает Hn(Sf). В когомологической последовательности пары (5/, S2”"1) мы имеем р* : Нп (Sf, S271"1) ^ Я" (Sy). Пусть р*т]у = т]у. Тогда квадрат цуТ]у = Ц/ является элементом группы Нгп (Sр S2”"1). Снова обращаясь к когомологической последовательности, видим, что v* : Н2^1 (52П-1) Н2П (Sf, 52n-1). Значит, Т]2 = yv* (|) для некоторого единственного целого числа у. Изложенную процедуру определения у можно понять из диаграммы
Нп (Sn) ~ Н" (Sf) ~ Нп (Sf, S2"”1) Д Я2" (S„ S™'1) ~ Я2^1 (S2""1), где Sqt, = £2, a Sq, вообще говоря, не является гомоморфизмом. Так как отображение Sq — единственное звено в диаграмме, в котором нет изоморфизма, разумно считать, что именно Sq определяет число у. Докажем теорему.
Теорема. у =—у0.
Сохраним обозначения, которые мы использовали при определении у0. Положим Uf = р&(и). Таким образом, Uf есть реализация элемента т]у. Положим, далее, а5 — р^(а). Тогда /д (я) является сужением коцепи и} на множество сингулярных симплексов сферы S2"-1, и аналогичное утверждение имеет место для /д (а);
к (и) = к* (uf), к (а) = к' (af).
Кроме того, к‘(и#) = 8и, где X : A (S2n-1)А (5у) — включение. Пусть w — некоторое продолжение коцепи и на Sf. Это означает, что w £ A" (Sf) и k‘w = v. Рассмотрим uf—bw; это коцикл в A" (Sf), исчезающий на S^S2"-1). Значит, можно считать му— bw коциклом в A" (Sf, S2”-1), причем он реализует, очевидно, тр. Следовательно, («у— bw) kJ и# реализует т]ут]у = = Лл.
Далее, в A" (S2n т)
/дЯ— У kJ f^U = к" (Яу) — k*W kJ к* (Uf) = к’ (йу— W kJ Uf).
Таким образом, v* {/дя — и kJ j^u) есть относительный класс когомологий коцепи
6 (Яу — W kJ Uf) = Uf — (bw kJ Uf) = (Uf — bw) kJ Uf.
Отсюда следует, что v* (— y0^) = yv* (g), и, значит, у=—y0.J
Заметим, что вместе с теоремой 9.5.6 доказано, конечно, и предложение 9.5.1.
Определение). Инвариантом Хопфа отображения / : 5”-1 —> 8п относительно заданных ориентаций £, ц сфер S2n-1 и 8п называется такое целое число у, что
Ч/ = yv* (g),
где р*ц = цу, ц*ц/ = цу (см. 9.5.5).
Очевидно, можно определить инвариант Хопфа произвольного отображения любого ориентированного гомеоморфа 2) сферы S271-1 на любой ориентированный гомеоморф сферы 8п.
Мы используем это определение для доказательства наиболее простых фактов, относящихся к инварианту Хопфа.
Теорема. Если п нечетно, то у равно нулю.
Это следует из 9.5.7 и косой коммутативности умножения классов относительных когомологий.]
Теорема, (а) Пусть g:Sn—>Sn— отображение степени d, тогда у (yg) = d^ (/).
Пусть h.: S2n-1San-1 — отображение степени d, тогда
У (Ау) = d^ У).
Мы докажем (а). Пусть m-.Sf —>8^ является продолжением, в смысле 9.5.2, отображения (1, g), где 1 : Х271"1—> 82П-1 — тождественное отображение. Мы получаем коммутативную диаграмму
И" (8п) Л- Я” (Sf) <- Нп (8,, 52"-1) ^ Н№ (Sf, 52"-1) X Я2""1 (Х2""1)
^^*'I'm*'I'm*'I'm*
Я" (Xn) ^ Hn(S/g) Яп (X/g, J2”-1) 3 Я2П (Sfg.J2"-1) X Я271-1 (X271-1)
Тогда g*(T]) = d'q, так что
т* (Л/g) = ^/, ™* (Л/g) =- ^Лу и т* (^g) = d2^-
Отсюда сразу вытекает утверждение (а). При доказательстве утверждения (б) используется правый прямоугольник аналогичной диаграммы. Мы его опускаем, так как оно еще проще.]
Следствие. При изменении ориентации сферы 8" инвариант Хопфа не меняется. При изменении ориентации сферы 82п-1 инвариант Хопфа умножается на —1.]
Теорема, у (/) зависит только от гомотопического класса отображения /.■
Пусть F — гомотопия, соединяющая /° и У1: 82п-г —>8п. Будем писать 80 вместо 8#о (в аналогичном смысле будут употребляться символы q0, Ло) и рассмотрим отображение ]° = }:8о—>8р— такое, как в 9.5.4. Имеем
тогда коммутативную диаграмму
Нп (5") ^. Я" (S
So 0^Hn(S0,
11 р*
Hn(Sn) ^- Hn(S^
^Hn(SF, s^xl)^
•^H2n(S0, s271")41Я"-1 (S2""1)
go*
-3- Я2” (SF, S2”-1 X 7) <— Я2”-1 (S271-1 X 7)
Тогда /* (т]^) = Цо, 7* (Лг) = Ло, 7* (Лр) = Ло- $ силу 9.5.4, j является гомотопической эквивалентностью (пар). Поэтому если £— тот образующий элемент группы Я2”-1 (52П-1 х 7), для которого g-°* (£) — £, То л^ = Y (/°) V*B •
Можно применить то же рассуждение, заменив g° на g1. Но g° ~ g1, так что g1^ = g и, как и выше, л!? = У (У1) v*£- Значит, у (/°) = у (У1).]
Т е о р е м а. Соответствие f—*-^U) порождает некоторый гомоморфизм
У:^-! (УЛ ^7.
Пусть отображения /;: У2Пт1 _>. sn (переводящие базисную точку в базисную) представляют элементы а; £ n2n-i (Sn), i = 1, 2. Положим T=Sb1VSi""1- и пусть q : y2n-i _^ J—отображение «сощипывания» сферы у2п-2 в базисную точку, a h : Т —>- Sn определено равенством Н 1У|п-1=/г. Из II.1.13 тогда следует, что отображение qh является реализацией элемента о^-j-ot2- Пусть /t вкладывает у2«-1 в 7 в качестве У^1"1. Тогда /1 = /1^. Пусть mt: У^—^Уд является продолжением (в смысле 9.5.2) пары (/i, 1), где 1 : У” —>-Уп—тождественное отображение. Имеем тогда коммутативную диаграмму
у*ц*Sqv*
Нп (У”) Нп (S^ <— Нп (Sfv У2-t-i) —> Я2- (5^, S2n-i) н»"-^^
р*ц*SqV*
Я" (УЛ Я’1 (Уд) «— Я" (Уд, 7)Я2» (Уд, 7)*— Я2'1-! (7)
Положим Yz = Y(/z), и пусть gt, g2—образующие группы Я2-1-1 (7), соответствующие У2"-1, У!”"1. Очевидно, m^ (r|^) = ^i=v* (у^) и 7iEi = E, /*§2=0. Но для некоторых целых чисел pt и р2, ц^ =v* (Р151+ р2§г)- Значит,
v* (Yig) = mb* (pi6i + ₽2g2) = v*/f (Pigi + 02§2) = v* (Pig).
Следовательно, Pi = Yi-
Подобным же образом доказывается, что 02 = у2. Итак,
Ph = v* (Yl§l + Y2§2).
Положим f^qh, и пусть m-.Sf—>-8^ является продолжением пары ($, 1), где 1: Уп —>- 8п, как всегда, тождественное отображение. Имеем коммутативную диаграмму:
р*Нп ^п^цп ^^р*Нп ^п^цп ^^ц*SqV*
р*
Нп ^п^цп ^^
р*
Нп ^п^цп ^^
Нп (Sf, У2,1-1) -^Я2П (Уу, У2Г1-1)Я2,1-1 (У2,‘-1)
1р* нпьп)—91р* нпьп)—9
1
р* нпьп)—9
1
р* нпьп)—9
т*8*
H2^Sh, Т)<— н^-цту
Ясно, что т* (т^) = т^. Далее, q отображает S2-1-1 на каждую из сфер S?"-1 со степенью 1, так что ?*51 = 9*52=5- Значит,
Р/ = m*v* (у^ + у2?2) = v*9* (Y1S1 + 72^2) = (Yi + Y2) v*g,
и, следовательно, Y(/) = Yi + Y2-1
Покажем, что если п четно, то существует отображение S271-1—>Sn, инвариант Хопфа которого равен двум. Из 9.5.9(6) или 9.5.12 тогда будет следовать, что для любого целого числа d существует отображение Я"-1 —> S”, инвариант Хопфа которого равен 2d. Чтобы сделать это, полезно видоизменить характеристику инварианта Хопфа.
Рассмотрим С^2^1, конус над Я2"-1. Пусть g;S2n-1-^Sn — отображение и У получается приклеиванием конуса СЯ2"-1 к 5" с помощью g (см. § 8.5). Обозначим через / характеристическое отображение и через а образ вершины конуса при отображении /. Тогда, в силу 8.5.9,
/*:Я*(У, Яп) —> Я* (СЯ2""1, Я2""1) является изоморфизмом, так что
Я2П(У, Sn) = J, Нр (У, Я") = 0, р^2п.
Из точности когомологической последовательности пары У, Я" (так как н>1) следует, что ЯР(У) = О для всех р, кроме р = 0, п, 2п, и что, 9.5.13ЯР(У) = 7, р = 0, п, 2п.
Предложение. Образующие а, т в Hn(Y), Н2п (Y) можно выбрать так, чтобы о2 — ^х, где у — инвариант Хопфа отображения g.
Рассмотрим цилиндр отображения Sg. Обращаясь к определениям пространств Sg, CS2n-1 и У, мы видим, что существует отображение k : Sg, S2n-1—»Y, а, переводящее гомеоморфно Sg — Я2"-1 в У — а. Простые рассуждения, связанные с вырезаниями и ретракциями, похожие на те, которые имели место при доказательстве предложения 8.5.9, показывают, что k*:H*(Y, a)-^H*(Sg, Я2”-1)
является изоморфизмом и, значит, к* : Я* (У, a) ^R* (Sg, S2^1).
Отождествим ЯГ(У, а') с ЯГ(У), что можно сделать при г>1. Используя тот факт, что pg, v*g являются образующими групп Hn(Sg, S2^1), Н2П ^SgiS2"-1), заключаем, что существуют образующие пит групп Я” (У), Я2П(У), для которых к*а = pg, &*r = v*g. Так как iig = yv*£, то о2 = ут.|
Мы применим характеристику 9.5.14 инварианта Хопфа при доказательстве того, что инвариант Хопфа отображения, которое мы сейчас определим, равен ± 2.
Рассмотрим отображение q: У”, Я"-1—>Я", ж*, описываемое формулой II.1.5, Внутренность n-шара Vn оно гомеоморфно отображает на Sn — ж*, а граничную сферу Sn-1 переводит в базисную точку ж*. Пространство р^га х уп гомеоМорфно 2тг-шару. Его граница -1) (У" X Vn)* является объединением множеств Sn-1 xVn и У” х Sn-1 и, очевидно, Уомеоморфна сфере Я2”-1. рассмотрим отображение
g : (Уп х Vny Sn,
определенное формулой
rxq, (х, у) QVn х S"'1,(Ж> У^8 {уд, ^х, у) € х Уп.
Поскольку (F”xP)‘ — ориентированный гомеоморф сферы 52п-1, для отображения g определен инвариант Хопфа у (g).
Теорема. Если, п четно, то y(g)=±2.
Построим пространство У, приклеив Vn X V" к S’* с помощью g. Рассмотрим теперь Sn X Sn и отождествим Sn \/ Sn с подмножеством (571 х ж*) U U (ж* X 5”) пространства Sn X Sn. Тогда имеет место коммутативная диаграмма отображений
где к — факторотображение (так что к | (У71 X Vny = g), А гомеоморфно отображает Sn х Sn — (5” \/ Sn) на У — 5” и А | ST1 V Sn является «складывающим» отображением
(ж, х^ А = (ж*, ж)А = ж, х^8п.
Пусть о, т такие, как в 9.5.14. Тогда Нп (Sn х Sn) = J @ J с образующими с^, о2, такими, что А*о = <т1+<т2. Из 9.4.13 сразу следует, что Я271 (Sn х 571) = J, порождается элементом ощ2 и что о2 —о2—:0.
Далее, из 8.5.9 следует, что и q X q и к индуцируют изоморфизмы (относительных) когомологий, так что
А* : R* (Y, 5")А* : R* (Y, 5"), sn, sn
А* : R* (Y, 5")
А* : R* (Y, 5")
, sn
, sn
а из точных последовательностей мы немедленно получаем, что
А* : Я2П (У) ^ Н2П (Sn X Sn).
Значит, h* (т) = ± <т1о2- Итак,
А* (<Т2) = (Oi + О2)2 = <Т1<Т2 + (Т2(Т1 = 20^2, так как п четно. Следовательно, А* (ст2) = ± 2А* (т), так что п2==|:2т. Теорема 9.5.15 вытекает теперь из 9.5.14.)
Полученный результат оставляет открытым вопрос о существовании отображений 52»-1_>_snf инвариант Хопфа которых нечетен. В силу 9.5.12 и 9.5.15, это эквивалентно существованию отображений с инвариантом Хопфа, равным 1. Хопф (в указанных выше работах) показал, что такие отображения существуют1), если п = 2, 4 или 8, а Адем доказал, что таких отображений не существует, если п ф 2h. Недавно Дж. Ф. Адамс завершил это исследование, доказав, что примеры Хопфа исчерпывают все случаи существования отображений с инвариантом Хопфа, равным 1. Из результатов Адамса следует, что (a) S1, S3, ^—единственные параллелизуемые сферы и (б) не существует алгебры с делением над полем вещественных чисел, порядок которой > 8.
Закончим неформальным замечанием. Пустьg : Х’"-1 —>- S"^1 — отображение
и j=S (g)— его надстройка (см. § 8.5). Таким образом, / : 5m—►S". Тогда легко видеть,
!) Инвариант Хопфа отображения Хопфа S3 ->- S2, упоминавшегося в § II.3 в качестве примера расслоенного отображения, равен 1. Инвариант Хопфа отображений Хопфа S^—^S4, Sls-^-S8, определенных так же, как в § II.3, но с кватернионами и числами Кэли вместо комплексных чисел, тоже равен 1.
что если q : Sn —^Sn—отображение степени d, а / реализует элемент а £ лт (5П), то jq реализует da. Отсюда, из 9.5.9(a) и 9.5.12 следует, что d2y (а) = dy (а) для всех d. Поэтому у(а) = 0. Таким образом, инвариант Хопфа надстроенного отображения равен нулю. Это связь между гомоморфизмом надстройки и инвариантом Хопфа играет важную роль в теории гомотопий.
9.6*. Приложение. Естественность
В разных местах этой книги, и в особенности в гл. 8 и настоящей главе, мы не раз замечали, что некоторое преобразование является «естественным». При этом каждый раз точно устанавливалось, в чем именно заключается эта естественность. Мы видели, что в рассуждениях, которые проводятся с привлечением ацикличных моделей, свойство естественности играет решающую роль при выяснении, истинно ли данное утверждение.
В книге Стинрода и Эйленберга [18], в гл. 4, читатель найдет точную формулировку свойства естественности. Однако многие из тех применений, которые получает у нас это понятие, там отсутствуют, и потому мы повторим в этом приложении существенные определения и укажем, в каком отношении они находятся к операциям (л, q, D, . ..), обсуждавшимся в этой и предыдущей главах.
Абстрактная категория — это ассоциативный группоид с единицами, т. е. такое семейство % элементов у1; у2, . .., в котором для некоторых пар уп у2£^ определено произведение у^. Элемент eg'g называется единичным элементом {единицей) категории ^, если еу2 = у2, у1е = у1, коль скоро произведения еу2, yte определены. При этом % должно удовлетворять следующим аксиомам:
(^1) (ассоциативный закон) произведение yt (у2у3) определено в том и только в том случае, если определено (у4у2) у3, и тогда у, (у2у3) = (У1У2) Уз- (Каждое из этих произведений мы будем обозначать через yty2y3.)
(^2) У1У2у3 определено, если определены произведения у^2 и у2у3.
(^3) Для каждого элемента у (^ существуют такие единичные элементы е, е', что произведения еу и уе' определены.
Абстрактную категорию образует, например, семейство непрерывных отображений топологических пространств. По аналогии, элементы произвольной абстрактной категории % мы будем называть отображениями.
Предложение. Единичные элементы е, е' аксиомы ^3 однозначно определяются элементом у.
Пусть для единиц е^ е2 определены произведения ety и е2у. Тогда определено et(е2у), а значит, в силу ^1, определено и произведение е1е2. Имеем 64 = 6^2 = 63. Таким образом, элемент е, удовлетворяющий аксиоме 'ёЗ, определен однозначно. То же самое относится и к e'.j
Пусть У — какое-нибудь семейство объектов, находящееся во взаимно •однозначном соответствии с единицами категории ^. Рассмотрим произвольное у ^^, и пусть X, X'— те объекты семейства У, которые соответствуют единицам е, е', определяемым аксиомой ^3. Тогда можно записать1)
у :Х->Х';
при этом е, е' можно обозначить через 1х, 1х'. ■
Абстрактная категория ^ и семейство У вместе с фиксированным взаимно однозначным соответствием между У и единицами ^ называются категорией. Обратите внимание, что структура категории полностью определяется
!) Здесь имеет место расхождение с обозначениями Стинрода — Эйленберга, вызванное нашей привычкой писать операторы справа.
структурой лежащей в ее основе абстрактной категории — объекты вводятся только для удобства.
Отображение ^:Х—>Х' называется эквивалентностью (в рассматриваемой категории), если существует такое отображение у' : X' —> X, что у'у и уу' — единицы.
Приведем теперь примеры категорий. Сначала мы будем указывать объекты, а затем—отображения:
категория топологических пространств и непрерывных отображений;
категория симплициальных комплексов и симплициальных отображений;
' (в) категория конечных симплициальных комплексов и непрерывных отображений; здесь объектами служат симплициальные комплексы, а под «отображением» К в L понимается непрерывное отображение полиэдра |А| в полиэдр |А|, или, более точно, тройка (К, L, f), где / : | А" | —> | Z | — любое отображение;
категория цепных комплексов и цепных отображений;
категория абелевых групп и гомоморфизмов;
категория градуированных абелевых групп и градуированных гомоморфизмов;
категория коцепных колец и коцепных кольцевых гомоморфизмов.
Эквивалентностями в (а) служат гомеоморфизмы; в примере (в) роль эквивалентностей выполняют тройки (A, L, h), в которых Л : | А | ^ | L |; эквивалентностями в прочих из названных категорий служат изоморфизмы (соответствующего типа).
Пусть ё и й>'—категории, и Т— функция, которая ставит в соответствие объектам категории ё объекты категории 3 и отображениям из ё— отображения из 3. Говорят, что Т — ковариантный функтор, если выполнены следующие условия:
(F1) Если у:Х—»Х', то уГ : XT-» Х'Т.
(F2) 1^7* = 1хг.
) Если определено произведение yty2, то (y^g) Т = (у^) (угГ).
Приведем примеры ковариантных функторов:
А, функтор1) из категории (а) в категорию (г), сопоставляющий с каждым пространством X его сингулярный цепной комплекс А (X) и с каждым отображением f:X—>Y цепное отображение /А : А (X)—А (У)-
Н*, функтор из категории (н) в категорию (е), который ставит в соответствие симплициальному комплексу К градуированную абелеву группу Я* (К) и отображению / : [ К | —> | L | гомоморфизм
^:Я^(А)->Я^(£).
®, функтор, связывающий с произвольной парой абелевых групп А, В их тензорное произведение А ® В и с любой парой гомоморфизмов <р:А—>А', ^: В—> В' их тензорное произведение <р ® ф : А ® В —> А’ ® В'.
Нас также интересуют контравариантные функторы. Для наших целей удобно, когда речь идет о такой функции Т из % в 3, записывать отображения категории 3 как левые операторы. Единственное отличие определения контравариантного функтора от определения ковариантного функтора заключается тогда в замене аксиомы (F1) такой аксиомой:
(F1') Если у:Х—>Х', то у 7*: Х’Т —> XT.
!) Если бы понятия «категории» и «функтора» были введены в этой книге раньше, было бы логичным записывать, например, сингулярный комплекс пространства X как (X) А, а группу гомологий комплекса К как (X) Н*.
Приведем примеры контравариантных функторов.
Н*, функтор из категории (а) в категорию (е), ставящий в соответствие пространству X градуированную абелеву группу Щ (X) и отображению f: Х—> Угомоморфизм /* : Я* (У) —>Я* (X);
(f) G, функтор, сопоставляющий с цепным комплексом С коцепной комплекс С (ф) G и с цепным отображением ф : С —> D (сопряженное) коцепное отображение ф": D (ф) G —> С ^ G.
Можно рассматривать также функторы от многих переменных1), причем они могут быть смешанными в том же смысле, что и тензоры. Так, например, (ф) можно рассматривать как функтор от двух переменных, каждое из которых изменяется в пределах категории абелевых групп, со значениями в категории абелевых групп. Этот функтор контравариантен по первому аргументу и ковариантен по второму.
Предложение. Если Т ".^—>3, U •. 3—>^— функторы, то и TU-—тоже функтор. Он ковариантен, если Т и U оба ковариантны или оба контравариантны. В остальных случаях функтор TU контра- вариантен.\
Пусть S и Т — два ковариантных функтора из категории % в категорию 3. Естественным преобразованием функтора S в функтор Т называется функция Г, определенная на объектах категории ^, значениями которой служат отображения категории 3, такая, что
(N1) если X — объект категории То, то XT '.XS —> ХТ\
(N2) для любого у : X —> X' диаграмма
XS ^ XT
V и
X-S ^1 Х'Т коммутативна.
Если 8 и Т— контравариантные функторы, условие (N2) следует заменить условием
(N2'). Для любого у: X—>Х' диаграмма
XS XT
X'S ^ Х'Т коммутативна.
Йаконец, мы говорим, что Г является естественной эквивалентностью (между функторами S и 7), если для любого объекта Х^^, ХГ —эквивалентность (в 3).
Примеры.
(а) Рассмотрим функторы А и 0^ из категории топологических пространств 'ё в категорию цепных комплексов 3. Семейство отображений {ф^} из § 8.4 является естественным преобразованием А в Q^. Пусть Я—гомологический функтор из категории 3 в категорию § градуированных абелевых групп. Тогда отображения {ф^} доставляют естественную ^эквивалентность между функторами АЯ и 0ЛЯ. Это придает точный смысл утвер-
ждению об эквивалентности теории сингулярных симплициальных гомологий и теории сингулярных кубических гомологий.
(р) Рассмотрим функторы А и А ® А из категории ^ в категорию 3 № и 3— те же, что и выше, и, по определению, А® А ставит в соответствие пространству X цепной комплекс ^X ® АХ). Тогда D (см. 9.2.4) является естественным преобразованием А в А ® А. В самом деле, 9.2.5(a) означает, что XD : АХ—> АХ ® АХ принадлежит 3, а 9.2.5(6) означает, что выполняется условие N2.
(у) Пусть 3x3— категория упорядоченных пар цепных комплексов и 3* — категория коцепных комплексов. Для произвольного кольца R можно рассмотреть контравариантные функторы S = (^ Д) ®(гЬ#) и 7=®.^ R та 3x3 в 3\ где (С, D) S = (С ^ R) ® (D ^ Д) и (С, D) Т= (С ® D) 4) Д- Тогда л (см. 5.7.27) является естественным преобразованием функтора А в функтор Т.
(д) Пусть ^— категория, указанная в (в), и/— функтор из еР в ^, который сопоставляет с каждым комплексом его полиэдр. Тогда а* (см. 8.6.7 и 8.6.9) является естественной эквивалентностью функторов HQ и JXH.
Упражнения
На определение и -произведения
Пусть х—кронекеровское произведение
х : Ну (X) ® HP (X; Л^Л,
х: Яд(У)®Я9(У; В) —>-В,
х : Нт (X ® У) ® Нт (X ® У; G) ^ G.
Пусть 9: Л®В->С—некоторое спаривание, индуцирующее
л : HP (X; Л) ® Нч (У; В) НР*ч (X ® У; G),
и
д : Нр (X) ® Hq (У) —*" Hp^q(Х®У)
—тот же гомоморфизм, что и в 5.7.11. Кронекеровское произведение х индуцирует некоторое отображение тензорного произведения, которое мы снова обозначим через х,
х : {Яр (X) ® Hq (У)} ® {ЯР (X; Л) ® № (У; В)} ^ Л ® В.
Докажите, что х(г|®л) = 6х (отображения записаны слева). Выведите отсюда,, что гомологическая диаграмма, которая соответствует диаграмме и-произведения
лD*
HP (X) ® Я® (X) —> НР+ч (X ® X) —* НР+ч (X), такова:
Нр (X) ® Hq (X) Л Hp^q (X® X) ^ Hp+q (X).
(Объяснением причины, по которой нельзя определить на гомологиях произведения, соответствующего и-произведению на когомологиях, мы в значительной мере обязаны Н. Е. Стинроду.)
Пусть К—симплициальный комплекс, и К х К—клеточное разбиение полиэдра |Х|х|Х| на клетки s х t, где s, t—симплексы комплекса К. Обозначим через dQ : К—>К X К—клеточное приближение диагонального отображения d:\K\->|Х|х|Х|. Отображение m : | X | х | X | —>-1 X | х [ X | определим формулой (ж, у) т = (у, ж). Тогда пг индуцирует клеточное отображение m : X х К —>- К х К. Покажите, что существует такая последовательность гомоморфизмов
d„ :С(Х)^С(ХхХ) = С (Х®Х),п = 0, 1, ...,
что dn поднимает размерность на п и
^» —( —l)n '/r,»i = 4-i^l-l)" 8dn+v
Интерпретируйте случай п = 0.
Докажите косую коммутативность кольца R* (К), следуя методу § 9.2.
Пусть X, Y—пространства, группы гомологий которых в каждой размерности имеют конечное число образующих, и пусть R~J или Jm, где J и Jm рассматриваются как кольца. Докажите, что
л : А"(X; Я)® А-(У; R) ^ А' (X ®У; R)
—коцепная кольцевая эквивалентность. (Указание: воспользуйтесь доказательством утверждения 5.4.25.)
Вычисления
Пусть zlt ..., zm суть m каких-нибудь комплексных чисел (допускается оо), и aozm + aizm-l+ . . . +am=0
—уравнение, корнями которого они являются. Покажите, что соответствие (zlf ..., zm) -> —>- [а0, а1т ..., ат] определяет некоторое отображение / : А2 х А2 X ... X У2 —>■ С(т>. Будем считать, что на А2 х А'2 х ... X А2 очевидным образом действует Sm, группа перестановок из т объектов, и пусть SPm (А2)— соответствующее пространство орбит1). Пространство SPm (А2) мы называем т-кратным симметричным произведением сферы S2. Покажите, что / индуцирует некоторый гомеоморфизм SPm (А2) ^ С<т>. Рассмотрев факторотображение h : А2 х А2 х ... X А2 —>■ АР<т> (А2), вычислите целочисленное кольцо когомологий пространства С<т\ (Мы предполагаем, что читатель без доказательства примет тот факт, что степень отображения /г равна /и!) Выведите отсюда, что С<т—!> не является ретрактом пространства С(т>.
Пусть Рп—вещественное проективное zi-пространство; вычислите кольца когомологий пространства C<m>xPn над J и J^.•
Докажите, что если X—надстройка над некоторым пространством У иа(№(Х; Я), Р € № (X; Я), где р, q > 0, то оф = 0.
Функциональное ^-произведение
Пусть
Ъг+2 ,
• Gn_! > Gn > Gn+1 > Gn+2 * 6„+з ->-...
(D)
—некоторый гомоморфизм точных последовательностей, и g £ ker yn ^2 П ker цп+2- Тогда §=£%+!, g'/P-n+i1ln+i = gPn+2=0, так чт0 ^'Pn+^^Pn. Н^Нп. Покажите, что переход от g к h определяет некоторый гомоморфизм
9 : кет у„+2 П кет ц„+2 Я„/(G„p„ + Я^т],^).
Беря в качестве (D) диаграмму из 9.1.4, получаем гомоморфизм
9n : HP (X) -У Нр+ч-1 (Х0)/(иг)ЯР-1 (Хо) + Х»Н№-1 (X)),
где HP (X)—подгруппа группы ЯР (X), состоящая из тех g, которые удовлетворяют условиям ^ = 0, Х*£ = 0.
Пусть / : X —>-У—какое-нибудь отображение и i:X —>-У/—вложение X в цилиндр этого отображения. Пусть g, ц € R* (У) таковы, что §ц = 0, /*£ — 0. Рассмотрим ретракцию p:Yj —>-У из § 9.5. Тогда (р*§) (р*т)) = 0 и X* (р*§)=0. Положим (/, 5, ■п>=ер*г1(р*§).
Докажите, что
</, g, ^нр+ч-чхшо^нр-ЧХНРНр+ч-!^),
если ;€Яр(У), ^^Hs^Y). Мы называем (/, g, тр функциональным и -произведением элементов £ и ц относительно /.
Интерпретируйте инвариант Хопфа как некоторое функциональное и-произведение.
т) Иными словами, SPm (А2) получается из А2 х А2 х ... х А2 отождествлением тех точек, которые можно перевести друг в друга с помощью преобразования из Sm.— Прим, перев.
(а) Пусть SiH = ёгИ =0 и /*^1 = /*^2=0 (обозначения те же, что и в упр. 9). Покажите, что
</, 51 + ^2» П> = </, 51, Л) + <А 5г, Л)-
Что можно сказать о линейности относительно ц?
Предположим также, что дано отображение g : W ->-Х, и положим h = gf : W -*■ Y. Покажите, что g индуцирует
g# : ЯР+9-i (Х)/(и/.т1ЯР-1 (X) + pHW-i (У))_^ЯР+9-1 (^/(и^.^Р-1 (Н') + /г*ЯР+9-1 (У))
И что
A g, Ц) = §*</, g, ц).
Выведите из упр. 10(6), что если отображение h : 8гп-1 ^- Sn можно пропустить через 5т, где 2п—1 ■> т> п, то его инвариант Хонфа равен нулю.
Категории и функторы,
Переведите на язык категорий и функторов понятия, фигурирующие в упр. 12—18.
Операция подразделения К, Ко->-К', Кд и цепное отображение х.
Цепная эквивалентность 0® : С™ (К) ->- Са (К) и индуцированный ею изоморфизм кольца когомологий.
Точная когомологическая последовательность пары (X, Кф.
Периодическое произведение А * В; (а) как функция от Л; (б) как функция от Л и Я.
Изоморфизм Ext (Л, Я) ^ Л f В из § 5.9 (как естественная эквивалентность двух функторов от двух переменных).
Теорема о точном треугольнике (см. 5.5.1).
Цепная эквивалентность р : А (X 0 У) —>- А (X х У).
Покажите, что композиция двух естественных преобразований (эквивалентностей) является естественным преобразованием (эквивалентностью). Приведите примеры.
Докажите, что частично упорядоченное множество {А, -<} образует категорию, объектами которой служат элементы X € А, а «отображениями» являются упорядоченные пары X -К X'. Докажите, что ковариантный функтор из направленного множества в категорию групп является прямым спектром групп.
10*
СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ГОМОЛОГИИ И ТЕОРИЯГОМОЛОГИЙ ГРУПП
В этой главе мы будем иметь дело главным образом с двумя геометрическими идеями. У них, однако, есть много геометрических применений, некоторые из которых мы опишем. Спектральная теория позволяет, например, установить связь между группами гомологий расслоения, слоя и базы, а в параграфе, посвященном теории гомологий пространства с операторами, применяется и спектральная теория и гомологическая теория групп.
Фильтрация
Абелева группа G может дополнительно обладать тремя строениями (любым из них или всеми одновременно). Два из них хорошо известны—это градуировка и дифференцирование, а третье мы вскоре определим. Взаимоотношение этих строений и изучается в настоящей главе. Дадим прежде всего подходящие для наших целей определения градуировки и дифференцирования.
Определение. Положительной градуировкой {G„} абелевой группы G называется такое множество ее подгрупп Go, Gt, ..., Gn, ...,. что G = G0@Gt@ ... =--- 2 Gn- Группа с некоторой положительной градуи
ровкой называется градуированной группой, или g-группой (G; G„). Пусть (G; Gn), (G'; GV)—g-группы; гомоморфизм
ф : (G; G^ —> (G'; G„)
— это такой гомоморфизм ф : G—> G', что С„ф s G'n для всех п; мы называем такой гомоморфизм g-гомоморфизмом группы G в G'.
В этой главе мы будем иметь дело главным образом с положительными градуировками, впрочем, слово «положительная» обычно будет опускаться. Каждая положительная градуировка определяет просто градуировку: а именно, для п <0 полагаем Gn = 0. В любой формуле, относящейся к положительной градуировке, все Gn для п<;0 следует считать нулевыми. Часто на практике g-гомоморфизм возникает из множества {ф„} гомоморфизмов фга : Gn —-» GV, любое такое множество определяет некоторый g-гомоморфизм, и обратно. Иногда бывает удобно более общее определение g-гомоморфизма; ^;G—>G' мы называем g-гомоморфизмом индекса s, если С„ф с Gn+s для всех п.
Определение. Дифференциальной группой, или d-группой (G; d), называется абелева группа G вместе с заданным на ней эндоморфизмом d:G—>G, таким, что dd = O. Если (G; d), (iG';d') — d-группы, то гомоморфизмом ф : (G; d) —> (G'; d') называется такой гомоморфизм ф : G—» G', 24 .Чякяз 1335
что фсГ = йф; мы будем в этом случае говорить о d-гомоморфизме группы G в G'.
Группа может быть дифференциальной и градуированной одновременно; если обе структуры согласованы друг с другом, то группу называют дифференциальной градуированной группой.
Определение. Дифференциальной градуированной группой, или dg-группой индекса s (G; Gn, d), называется произвольная градуированная группа (G; G^ вместе с заданным на ней g-эндоморфизмом d индекса s, таким, что dd = O. Если (G'; G„, d') есть (Zg-группа того же индекса s, то гомоморфизмом ф : (G; Gn, d)—>(G'; G„, d') называют любой g-гомоморфизм ф : (G; Gfl)—>(G'; G„), такой, что <ynd' = йф„+8. Иногда гомоморфизм ф : (G; Gn, d)—>(G'; G'n, d') мы будем называть dg-гомоморфизмом группы G в G'.
Мы будем в основном связаны с двумя случаями: s — +1 и s = —1, соответствующими коцепным комплексам и их отображениям и цепным комплексам и их отображениям.
Иногда оказывается полезным обобщить понятие dg-гомоморфизма. Определим понятие dg-гомоморфизма индекса t. Это такой g-гомоморфизм ф индекса t, что фгай' = ( — l)sid9ra+s : Gn —>■ Gn+s+t. Когда t нечетно, такой dg-гомоморфизм не является d-гомоморфизмом. Впрочем, эта аномалия не доставит нам неудобств, так как случай t Ф 0 не представляет для нас интереса. Заметим, однако, что отображение v: С (К, Kq) ->- С (7£0) из 2.8.15 является dg-гомоморфизмом индекса —1.
Введем теперь понятие фильтрации. Это понятие имеет весьма широкие применения. Говорят, что конструкция профильтрована, если выбрана некоторая последовательность ее подконструкций, исчерпывающая всю конструкцию.
Определение. Возрастающей фильтрацией') [Ар] на абелевой группе G называется такая последовательность) ее подгрупп (G) Ар, р = 0, 1, 2, ..., что GAocGA1^ ... и U GAP = G. Абелева группа, р
с фильтрацией называется профилътрованной группой, или ^-группой (G; Ар). Если (G'; Ар)— еще одна профильтрованная группа, то гомоморфизмом ц> : (G; Ар)—> (G'; Ар) называют такой гомоморфизм ф:С —G', что для всех р, GAptp <= G'A'P. Такой гомоморфизм мы будем называть также j-гомоморфизмом группы G в G'.
Положим для удобства GAp = 0 для всех р<,0. Когда можно не опасаться недоразумений, будем сокращать запись GAP до Ар, а возрастающую фильтрацию называть просто фильтрацией.
Определение. Фильтрация [Ар] называется конечной фильтрацией длины п, если An = G.
Важно с самого начала провести различие между понятиями «фильтрации» и «градуировки». Первая представляет собой возрастающую последовательность подгрупп, исчерпывающую всю группу, а вторая является последовательностью подгрупп с нулевыми попарными пересечениями,
алгебраической суммой которых служит вся группа. Хотя эти понятия являются существенно различными, между ними есть ряд полезных переходов.
Определение. Пусть (G; Мр)— некоторая /-группа; присоединенной градуированной группой Gr (G; Ар) = Gr [Лр] называется прямая сумма ^Ар/Ар,,., где (Gr [Лр])„ = АДА^.
о
С каждой градуированной группой (G; Gn) тоже можно сопоставить определенную профильтрованную группу, а именно группу (G; 2 ^п).
Очевидно, имеет место канонический g-изоморфизм между группами (G; Gn) и Gr [ 2 GJ, определенный каноническим изоморфизмом G„ 2 Gm/ 2 Gm;
n^pm<n
иногда оказывается удобным зти группы отождествлять. С другой стороны, если мы, начав с некоторой /-группы (G; Лр), перейдем к присоединенной градуированной группе и возьмем ассоциированную с последней профильтрованную группу, то мы можем получить /-группу, не /-изоморфную группе (G; Ар). В действительности Gr [Мр] даже как группа может не быть изоморфна G. Это показывает
Пример. Пусть G = J4, A0=^2J4, A1 = A2=...=G; тогда Л0^/2, A1/A0^J2, так что Gr [Лр] ^/2© А $ Л-
Позднее мы вернемся к g-группам и рассмотрим фильтрации g-rpynn, гораздо более интересные и общие, чем фильтрация, ассоциированная с градуировкой. К важным свойствам фильтраций мы приходим в случае дифференциальных групп, безразлично градуированы они или нет.
Определение. Дифференциальной профильтрованной группой, или df-группой (G; Ар, д), называется /-группа (G; Ар) вместе с /-эндоморфизмом1) d:G—>G, таким, что дд = О; с£/-гомоморфизмом называют /-гомоморфизм, являющийся одновременно d-гомоморфизмом.
Условие, что д есть /-эндоморфизм, означает, что АрдгАр для всех р. Можно, конечно, рассматривать группы, на которых заданы дифференцирование и фильтрация, не связанные этим условием; многое из того, что последует, можно было бы распространить и на ситуацию такого рода; однако термин «(//-группа» мы зарезервируем для тех случаев, когда д является /-эндоморфизмом, и не будем вникать в более общую ситуацию.
Можно привести различные примеры (//-групп. Любой цепной комплекс С является g-группой, а вместе с ассоциированной фильтрацией и (//-группой. Здесь Ар= 2 ^«’ так чт0 Ард г Ap-t. Так как, вообще говоря, мы требуем только, чтобы Ард г Ар, данный пример может ввести в заблуждение. Можно рассмотреть также (ср. с § 10.9) некоторую фильтрацию [Кр] на комплексе К — такое множество его подкомплексов Ко s Kv ^ . .., что UKT = K. Тогда группа С — С (К) фильтруется подгруппами АР = С^КР); так как Кр— подкомплекс, Ард г Ар.
Очень важным для нас окажется следующий пример:
Пример. Пусть С® = С®С' — тензорное произведение цепных комплексов С, С'; здесь С® = 2 ^ ® G, и (ср. с 5.7.7)
р+д=п
д® = д ® 1 + е ® д' '■
х) Так как возрастающая фильтрация связывается с гомологиями, мы предпочитаем для обозначения дифференциала использовать символ Э вместо d.■
—дифференциальный оператор в С®. Рассмотрим следующую фильтрацию группы С®:
л® = 2 ск®с-.
Тогда (С®; А®, 5®) является ^/-группой. В этом случае А®д® с А®, но, вообще говоря, А®д®^А®_у. Этот пример стоит иметь в виду при изучении d/-rpynn; он важен и для топологических применений.
Спектральная последовательность профильтрованнойдифференциальной группы
Одновременное рассмотрение дифференциального или граничного оператора 5 и фильтрации в (G; Ар, д) естественно приводит к выделению в G целого ряда подгрупп. Как обычно, обозначим через Z ядро гомоморфизма д и назовем элементы группы Z циклами. Через В обозначим Gd, подгруппу границ. Рассмотрим также для каждого q подгруппу д-1 (А,), состоящую из «циклов шойЛд»; это дает. вторую фильтрацию группы G.
10.2.1.10.2.1.
10.2.1.
10.2.1.
Для каждой пары р, г обозначим) через Zp подгруппу д'1 (Ap_r) f) Ар, состоящую из тех элементов групп Ар, границы которых лежат в Ар-Г. Так как д-1Ар 2 Ар, то ZP = AP, и поскольку Л_д = 0 для д>0, Z^^Z Q Ар для ^>0. Через Zp (а иногда через Zp) мы будем обозна-
10.2.3.
чать Z П Ар, группу циклов, лежащих в Ар. Отношения включения между различными Z-подгруппами группы G отражены на диаграмме 10.2.1.
Указанные выше две фильтрации группы G выписаны в верхней строке и правом столбце диаграммы; соответствующие фильтрующие подгруппы можно использовать для обозначения строк и столбцов. Каждая группа в диаграмме является пересечением групп, обозначающих ее строку и ее столбец. Группы, расположенные в одной строке, фильтруют группу, обозначающую эту строку. Группы, стоящие в столбце, обозначенном Ар, дают конечную фильтрацию группы Ар длины р. Каждая группа из диаграммы является подгруппой любой группы, стоящей в диаграмме правее или выше ее (или и правее, и выше).
В дальнейшем мы будем опускать левый столбец и все элементы, стоящие над диагональю, ведущей снизу вверх, ибо никакой интересной информации они не несут. Иначе говоря, мы будем пользоваться диаграммой 10.2.2.
Подействуем теперь на элементы диаграммы 10.2.2 оператором д и образуем диаграмму из групп Ард f) Aq. Группа Ард f) Aq образована теми элементами из Aq, которые ограничивают в Ар; будем обозначать ее через Bq-9. Таким образом, Zp~9d = В^-9, или Zpd = Bp_r. Группу границ, лежащих в Aq, мы обозначаем через Bq, т. е. Bq = B П Mg; так как Bq^Bq при всех г, можно вместо Bq писать В”. Отношения между В-группами отражены на диаграмме 10.2.3.
Обозначения подобраны так, что нижний индекс указывает фильтрующую подгруппу, в которой лежат элементы обозначаемой группы. Отношения включения для В-групп соответствуют отношениям включения для Z-групп. Те же отношения связывают В-группы и Z-группы на диаграмме Зимана), получающейся, если опустить нижний ряд диаграммы 10.2.3, затем отразить ее относительно диагонали и то, что получится, поместить под диаграммой 10.2.2.
Диаграмма 10.2.4 может быть использована не только для описания отношений включения; можно установить полезные связи между представленными на диаграмме подгруппами и некоторыми ее областями. Сопоставим с каждой подгруппой область диаграммы, идущую влево и вниз от обозначающего эту подгруппу символа (включающую этот символ). При этом отношения включения подгрупп описываются в терминах отношений включения соответствующих им областей. Так, область, соответствующая пересечению двух групп, является пересечением их областей. Далее, сумму двух подгрупп можно описать как объединение их областей, а факторгруппе какой-либо группы диаграммы по лежащей в ней другой группе соответствует разность их областей. Мы предлагаем здесь эту картинку лишь как полезную иллюстрацию. Впрочем, Зиман подвел под наглядные рассуждения такого рода строгую базу.
Мы будем говорить, что любой элемент, входящий в Ар, имеет вес р, а тот элемент из Ар, который не входит в Ap_t, имеет точный вес) р. Определим для любых целых чисел р, г факторгруппу Ер, которую в каком-то смысле можно было бы считать группой гомологий элементов точного веса р. Подгруппа Zp состоит из «циклов mod АР_Т» веса р, так что Zp/Zp"L\ можно считать (^ широком смысле, и только временно) факторгруппой циклов
10.2.4.
mod4p_r точного веса р. Такое употребление слова «цикл» означает, что мы в некотором смысле пренебрегаем элементами группы Ар-Т. Чтобы придать соответствующий смысл слову «граница», пренебрежем группой Ар+г, т. е. ограничимся рассмотрением только тех элементов группы Ар, которые ограничивают в Ap+7._t; они образуют подгруппу Вр-1. Факторгруппа, возникающая при классификации циклов mod Ар_г точного веса р по границам элементов Ap+r-i, есть
e^zxz^ + b;-1).
На диаграмме Зимана группе Ер соответствует очерченная колонка, наверху которой находится Zp, а внизу—Вр.
Дифференциал 8 индуцирует некоторый гомоморфизм пар
z;, (ZpLi + в;-1)z;_r, (z;lLi +
ибо
Zpd = Bp_r s Zp-т, ZpL^d — Bp'Ll и Bp-1d = 0.
Таким образом, 8 порождает гомоморфизм
d’p-.E'p-^EVr.
Так как 88--0, то и 8р8р_г= 0. Следовательно, можно определить группу Ет как 2 Ер, градуировать ее с помощью подгрупп Ер и скомби- р
нировать гомоморфизмы др в g-эндоморфизм 8Т индекса (— г), для которого 8г8г = 0. Получаем, таким образом, некоторую tZg-группу (Вг; Е'р, д') индекса (—г); обычно мы будем обозначать ее через Ег. Про элементы группы Вр говорят, что их фильтрующая степень равна р. Следовательно, д’" понижает фильтрующую степень на г. Для дифференциальной градуированной группы ЕТ определена градуированная группа гомологий Н^ЕТ)\ градуировка ее определяется формулой -
НР{ЕГ) = Ker dpIEp^d1'.
Теорема. Градуированные группы Н (Ег) и Er+l изоморфны.
В действительности мы докажем, что Нр^Е^^Е1^1.
На диаграмме Зимана 10.2.6 указаны группы ЁТ-п Ер, Ер_т и Вр4-Гд, Ерд. Здесь под Ерд мы понимаем множество всех групп этой диаграммы, которые являются d-образами групп из области, соответствующей Ер. Часть столбца Ер, включающая группу Zp и все, что лежит ниже ее, отображается посредством 8 в 0, а весь этот столбец, кроме верхнего квадрата Zp, отображается на область, лежащую слева от Вр_г. Это наводит нас на правильную мысль, что столбец, у которого отсутствует верхний элемент, от Zp+1 до Вр включительно, представляет ядро гомоморфизма др. Образ Ер^А' изображается той частью области диаграммы, относящейся к Ер^д, которая лежит внутри области, представляющей Ер, а именно, одним квадратом Вр. Следовательно, факторгруппа Кег (др)(Ер^_,дт должна представляться столбцом Ер, у которого отсутствуют верхний и нижний элементы. Но последний — это просто столбец между Zp+1 и Вр+1 (включительно) — представляет на диаграмме группу Е1^1.
Проведем теперь формальное доказательство. Совокупность дг-циклов в Ер образует подгруппу, представители элементов которой лежат в Z; П 8^ (Z^Li + B^). Теперь,
d-1 (Z;lLi + В7Д) = d^LLi + ^‘в^*, так как Вр7т s G8,
= 8 Ap_r_i -|- (Z + Zp_i) =
— d^Ap-r-t -j-ZpL1!, так как Z s d-1Ap_r_t. Следовательно,
z; n a-1 (z;L1r-i + B;L1r) = z’p n (8-X-r-i+z;A) = z747r-pA.
Переходя к последнему равенству, мы использовали тот факт, что П и 4" подчиняются здесь дистрибутивному закону1), так как ZpSZpA- Следовательно, подгруппа дг-циклов группы Ер есть не что иное, как (Zp+1 + ZPA)/(ZpA + B^V Далее, Zp+rd = Bp, так что Ер^^—множество тех элементов группы Ер, которые представимы элементами из Вр, а именно (5p + ZpL1i)/(ZpZ11 + Вр-1). Используя 1.2.1, получаем
нР (z;+1 -vzvAWp+zvAy
10.2.610.2.6
10.2.6
10.2.6
Но Bp + Zp-i =Zp+1 f) (Bp + Zp_i)—дистрибутивный закон опять выполняется, поскольку Zp+1 э Вр. Кроме того,
z;+1+фр+ад=z;+1+zva .
г) В терминах теории структур подгруппы абелевой группы образуют дедекиндову» структуру.
Из теоремы 1.2.2 об изоморфизме следует, что'
(z;+1+г^дв;+z^) z^vk7Vy+в;) = в;+1.]
В дальнейшем мы предоставляем себе полную свободу отождествлять группы, связанные каким-либо из фундаментальных изоморфизмов 1.2.1 и 1.2.2 теории групп. Таким образом, теорему 10.2.5 можно переформулировать так:
Н (Е^ = Br+1.
Спектральной последовательностью мы называем такую последовательность (/-групп (В0, д°), (В1, д1), . .., что Еп+г=Н(Еп, дп) при всех п > 0. Таким образом, рассмотренная выше последовательность (/g-rpynn {(Br; ETU, дТ)), г = 0, 1, 2, ..., является в силу 10.2.5 спектральной последовательностью; ее называют спектральной (гомологической) последовательностью (//-группы (G; Ар, д).
Рассмотрим подробнее первые два члена этой последовательности В0 и В1. Прежде всего В/’ = Z“J(ZpL1 + Вр1) = Ap/Ap-i, а др\Ер—>Ер—это как раз тот эндоморфизм группы AplAp-^, который порождается гомоморфизмом д. Итак, В° = Ог[Лр], и д° сохраняет градуировку. Далее, Bp = Z^/(Zp-1 + B^), Z^-^Лр-!, так что
ZyZ°p_1 = Z(Ap/Ap_1),
а Вр — подгруппа группы Ар, состоящая из тех ее элементов, которые ограничивают в Ар. Следовательно, Ер = Н (Ap/Ap-t, д°), как и утверждалось в 10.2.5. Дифференциал-
др : Н (Ар/Ар-^ ■ > Н (Ар-^[Ар_^ определяется следующим образом. Из произвольного класса группы Н (ApfAp-i) выбирается некоторый элемент группы Лр, граница которого лежит в Лр-р и к этому элементу применяется оператор д; получающийся таким образом элемент следует рассматривать как цикл modHp-2. Это в точности гомоморфизм v* из гомологической последовательности тройки (Ир, Ар™^, Ар-2) (см. 5.6.3).
Спектральная последовательность позволяет провести очень тонкий анализ структуры (/g-группы. Однако полезно рассматривать также группы несколько более грубой природы, чем элементы спектральной последовательности. По аналогии с Ер определим
Вр — Zp /(Zp_i 4- Bp ) = Zp/(Zp-1 + Bp).
На диаграмме Зимана группе Ер соответствует область из одного квадрата Zp. ибо его дополнение до области, соответствующей Zp, является объединением областей, соответствующих ZP1 и Вр.
Определим градуированную группу В” как 2 Вр и установим связь соР
между В и группой Н (G, д), которая на диаграмме Зимана изображается строкой Z. Включение Ар в G индуцирует некоторый гомоморфизм группы Н (Ар) в группу Н (G), который мономорфизмом, вообще говоря, не является. Обозначим образ при этом гомоморфизме через Dp; он состоит из тех классов гомологий группы (G, д), которые содержат циклы из Ар. На диаграмме Зимана группа Dp^Zp!Bp изображается Z-полосой от Zo до Zp. Подгруппы [Вр] образуют некоторую фильтрацию группы Н (G). '
Теорема. Градуированные группы Ет и Gr[Bp] изоморфны.
Нам надо доказать только, что Ер ^ DP[DP_V Диаграмма Зимана не оставляет никаких сомнений относительно истинности этого утверждения— каждая из рассматриваемых групп изображается на ней единственным квадратом Zp. Формально, Dp (Zp + В)! В, так что
DPID^ ^ (Zp + B)/(ZP„1 + В) ^ ZP/(ZP П (ZM + В)) = гр^гр_, + Вр> = Ер .]
Это показывает, что полное знание группы Н (G, д) и фильтрующих ее подгрупп Dp дает полную информацию о g-группе Е”. Как было отмечено в § 10.1, обратное, вообще говоря, не имеет места, но, как мы убедимся, рассмотрев ряд частных случаев, информация о Е” позволяет получить полезные сведения о группе Н (G).
Пример. Рассмотрим цепной комплекс С = (С; Сп, д) и ассоциированную с ним фильтрацию, в которой Лр = 2 Сп. Тогда Ер = Ap/Ap_t = Ср.
Более того, гомоморфизм д° : АР!АР-^—*APIAP_V тривиален, так как Ард с Лр.р Следовательно, g-группа (В0; Ер, 9°) изоморфна g-rpynne (С; Ср, 0). Так как 9° = 0, Ер = Ер= Ср. Теперь, др : Ap/Ap-t —> AP-JAP_^ есть в точности др : Ср—> Ср-^, так что EV^C как tig-группы. Поскольку Е2 = Н (Е1, д1), то Ер = Нр \Су Элемент группы Ер представляет некоторый класс циклов из Ср, а гомоморфизм др индуцирован гомоморфизмом д и потому тривиален. Следовательно, (Б2; Бр, д/)^(Я(С); НР(С), 0).
Гомоморфизмы д3, д4, ... тоже тривиальны, так что Бр = Вр = . .. = Нр (С). Но Dp = ^\ H^CY поэтому Ер = Dp/Dp-^ — НР{С). Таким образом, П^р
Ер = Ер = Ср\ Ер = Ер= ... = Ер = НР(С).
Естественно поэтому ожидать, что каждый (//-гомоморфизм (//-групп будет индуцировать некоторые гомоморфизмы групп Ет и В”. Действительно, справедлива
Теорема. Пусть G, G' суть df-группы и ср:С—>G' является df-гомоморфизмом. Тогда для любого г^со ср индуцирует некоторый dg-гомоморфизм
Фг : БГ(С)->БГ(С')
и некоторый ^-гомоморфизм
4AH<GY, Dp)—> (И (G'Y DpY
совместимый с ср”. ]
Это утверждение означает, что правило, по которому с произвольной (//-группой сопоставляется ее спектральная последовательность tig-групп ЕТ, носит функториальный характер, в смысле § 9.6, и что таково же правило, по которому с (//-группой сопоставляется группа гомологий, профильтрованная подгруппами Dp.
Спектральная теория для дифференциальныхпрофильтрованных градуированных групп
Начнем с определения понятия профильтрованной градуированной группы как градуированной группы (G; GnY на которую наложена некоторая фильтрация. При таком подходе естественно начать с фильтрации отдельных
подгрупп Gn. Если (G„) Ар, р = 0, 1, .. ., — фильтрация группы Gn, то вместо (Gn) Ар мы будем писать пАр. Фильтрации на всех Gn определяют фильтрацию на G по очевидному правилу
Ар = 2 пАр.
Мы будем иметь дело только с теми фильтрациями градуированных групп, которые можно получить таким образом, а именно отправляясь от фильтраций на градуирующих подгруппах. Характеризуется такая фильтрация [Лр] на G тем, что Ар = 2 (Gn П
Мы будем налагать еще одно ограничение на фильтрации градуированных групп, а именно: на каждой подгруппе Gn длина фильтрации будет равна п. Таким образом, Gn фильтруется так: 0 ^ пА0 ^ пА^ ^ ... s nAn=Gn. Это условие эквивалентно условию Gn с Ап. В § 10.9 мы встретимся с таким применением спектральной теории, при котором приходится рассматривать фильтрации, не удовлетворяющие описанному ограничению. Таким образом, нам понадобится два неэквивалентных определения профильтрованной градуированной группы.
Определение. (Ограниченно)1) профильтрованной градуированной группой, или fg-группой (G; Gn, Ар), называется градуированная группа (G; Gn), так профильтрованная своими подгруппами [Ар], что
(a) Ap=^(Gn П Ар) и (б) Gn^An.
Под f g-гомоморфизмом fg-ypynn G, G' понимают гомоморфизм, сохраняющий градуировку и фильтрацию.
Определение. Неограниченно профильтрованной градуированной группой, или uf g-группой (G; Gn, Ар), называется градуированная группа (G; Gn), так профильтрованная своими подгруппами [Лр], что Ар = 2 (^п П Ар); ufg-гомоморфизмом n/g-rpynn называется гомоморфизм, сохраняющий градуировку и фильтрацию.
Обратите внимание на то, что каждая /g-группа является n/g-группой и каждый /g-гомоморфизм является n/g-гомоморфизмом. Причины, по которым следует отдать предпочтение /g-группам перед n/g-группами, заключаются в том, что во всех наших главных приложениях условие (б) определения 10.3.1 выполняется и играет решающую роль.
Но не следует думать, что условие Ар = 2 (^п П Ар) всегда выполняется автоматически. Пусть G — Go@ Gt, где группа Gt = J порождается элементом g;, г = 1, 2; тогда в качестве Ао можно взять подгруппу, порожденную элементом go + gp В этом случае 2 (^ П А^^^ А>-
Определение. Дифференциальной (ограниченно) профильтрованной градуированной группой, или dfg-группой (G; Gn, Ар, д), называется /g-группа (G; Gn, Лр) с некоторым /g-эндоморфизмом д индекса —1, таким, чтодд = 0. Под df g-гомоморфизмом понимают гомоморфизм d/g-групп, который сохраняет дифференциал, фильтрацию и градуировку. Аналогично определяются duf g-группы и duf g-гомоморфизмы.
Иногда удобно рассматривать также df g-гомо морфизмы индекса t, такие /-гомоморфизмы, индекс которых, как dg-гомоморфизмов, равен t.
!) Иногда такую фильтрацию называют регулярной. Мы будем пользоваться и этой терминологией. ■— Прим, перев.
Рассматривая d/ng-группы, мы будем употреблять следующие обозначения:-
nZp = Gn J"] Zp, nBp — Gn J"] Sp,
где Zp, Bp определяются в терминах дифференциала и фильтрации, как в предыдущем параграфе. Обратите внимание, что хотя семейство [ПЛР] и фильтрует группу Gn, мы не можем определить группу nZTp исключительно в терминах этой фильтрации, так как на Gn нет дифференциала (если только степень 8 не равна 0).
Эта ситуация нам знакома; в цепном комплексе С, Zn является подгруппой группы Сп, которую нельзя определить лишь в одних терминах Сп; она определяется при помощи гомоморфизма 8п : Сп —-> Cn_v
Предложение. В duf g-группе
z;-s„z;, в;=2пв;.]пп
Положим, далее, пЕр = -nZlpl^Z^-V пВ^У Иногда мы будем вместо пЕр писать1) Егр, q, где р-Уд = п. Когда в тексте используются оба обозначения, мы оставляем за собой право переходить от одного к другому, не оговаривая каждый раз, что p'-q^n. Про произвольный элемент группы nEp = ETp,q говорят, что его полная степень равна п, главная степень равна р и дополнительная степень равна q.
Положим
Er = ^ETp,q.
Р, Q
Дифференциал д индуцирует гомоморфизмы
. ртпир • n^pг1
или
^т . рт рТ
'ир, q • q ^Р-Т, q-yr-r
Вместе гомоморфизмы dpiQ определяют некоторый эндоморфизм
дт;Ет —>ЕГ, для которого дгдг=О.
Группа Ег биградуирована, Ет = "2iEp>q, и индекс гомоморфизма дг p,q
равен (— г, г — 1). Ее группа гомологий Н(Ет,дт) тоже биградуирована; через пНр (Ег) или HPi q (£*г) мы обозначаем ее подгруппу, образованную теми классами гомологий, которые содержат дг-циклы из пЕр = Ep,q. Аналог теоремы 10.2.5 теперь формулируется так:
Теорема. Для всех dufg-групп биградуированные группы Н (Ег) и Е'*1 равны.
Равенство пН Р{ЕГ) — nE'pX доказывается автоматическим изменением доказательства теоремы 10.2.5. ]
Положим
Ep,q = пЕр = nZpiyyZp-^-y пВр^
г) Некоторые авторы для nZp и пВ^ употребляют соответственно обозначения Zp q и Bp ; мы хотим сохранить за собой право писать «р, q» в нижнем индексе ш случае биградуировки и будем избегать обозначения Вр д, так как Вр g с; Вр+1 gi.
и.
г03 --17е0 •
^р — Z-J пл-'р 1
таким образом, Е” биградуирована подгруппами пЕр. Группа Н (G) градуирована подгруппами EIn(G) и профильтрована подгруппами [Sp], как в предыдущем параграфе. Но Dp = ^ (Нп П Dp), и если (G; Gn, Ар)— регулярная /g-группа!), то Нп <= Dn. В самом деле, Dp — это множество тех классов гомологий группы (G; д), которые содержат элементы из Ар, а Нп— это множество тех классов гомологий, которые содержат элементы из Gn. Это означает, что (77 (G); Нп, Dp) является w/g-группой, фильтрация которой регулярна, если фильтрация на G регулярна. Точно так же как каждая /-группа порождает градуированную группу (10.1.6), так и любая w/g-rpynna порождает некоторую биградуированную группу, и мы можем сформулировать и доказать
Предложение. Биградуированные группы Е” и Gr(77(G)) изоморфны.
Надо только проверить, что пЕр ^ nDp!nDp_p, доказательство по существу повторяет доказательство теоремы 10.2.7.]
Перечислим теперь полезные свойства d/g-групп, которыми, вообще говоря, не обладают произвольные du/g-группы.
Предложение. Для каждой df g-группы
пАп+т = Gn для всех пг^О;
nZp = nZp, если г > р; nBTp^nBpi если r>n-pA-V,
Ep,q = 0, если р<0 или д<0.
Так как Gn = пАп Е пАп+т s Gn при m>0, (а) получается немедленно. Далее,
nZrp — Gn f| Ар П d-^Ap-^Gn П Ар П 5-Ю
при r>p; значит, nZp = nZp. Подобным же образом, nBp = Gn Q Ар Q Ар+Гд. Но Gn П 4p+r5 = (Gn+1 Q Лр+г) д = Gn+i д, если р-\-г>п + 1. Следовательно,
nBTp = Gn^d n Ap=Gn П Ар П В = пВр,
и утверждение (б) доказано. Чтобы установить (в), докажем сначала, что Ep,q — 0, если р < 0 или д<_0. Если р-<0, то пАр — 0 и пЕр, как факторгруппа группы пАр, тоже тривиальна: Ер,д = 0. Если 7<0, то и<р и пАр = пАр-!, так что пЕр = пАДпАр-^ = 0. Нате утверждение следует теперь из того, что Ep,q является подфакторгруппой (т. е. факторгруппой некоторой подгруппы) группы 5р-д.]
Докажем теперь теорему, которая играет чрезвычайно важную роль в приложениях спектральной теории; в ней идет речь о связи между членами ЕР1Ч и членом Ep,q.
Теорема. Для произвольной dfg-группы
Ep,q= E^q при г > max (р, 7 4-1).
В самом деле, Ep,q—-уДр ^уД^_^——рВр ). Если т ^> р, то pZp тДр и „Z'p'^ ^nZp_v Если г>74-1, то пВГр"1 = пВр; в доказательстве всюду используется предложение 10.3.8(6). ]
!) См. примечание на-стр. 380.—Прим, перев.
Если г > max (р, 7 +1), то, поскольку „Zp = nZp, каждый элемент группы nZp является циклом группы (G; д) и каждый элемент группы ЕрЛ является циклом группы ^Ег, 8ТУ Далее, п+1Ер+г = 0, так как n+1Zp+r = = п+12р+г_! при и 4-1 <р + г. Таким образом, лишь нулевой элемент группы Ер, q ограничивает в (Ег, дг). Это означает, что переход1) от Ep,q к ЕрУ в рассматриваемом случае является тождественным отображением.
В теореме 10.3.9 устанавливается важный результат: Е” является в некотором смысле пределом биградуированных групп Е°, Е1, ..., ибо члены последовательности Ep,q, Ep,q, ..., начиная с г = тах(р4-Е 7 + 2), совпадают и равны Ep,q. Таким образом, для каждой пары р и q, {Ер,е} сходится к Ep,q. Однако эта сходимость не является равномерной, ибо значение г, начиная с которого последовательность стабилизируется, вообще говоря, стремится к бесконечности, когда р и q стремятся к бесконечности. 10.3.10. Следствие. Если биградуированные группы Ег, ассоциированные с некоторой dfg-группой, изоморфны, начиная с г> гй, то их общее значение при т">гй есть Е”.]
Заметим, что у 10.3.9 нет аналога для g-групп Ет, ассоциированных с произвольной (//-группой. Утверждение 10.3.9 существенно основывается на конечности фильтрации каждой из групп Gn. Для любой (//-группы верно, что Z^ — Zp при г>р, ибо Л_т = 0 для m > 0. С другой стороны, вообще говоря, может существовать такое р, что ни для какого г не выполняется равенство Втр=Вр. Однако мы можем еще заключить, что для г >Р каждый элемент группы Ер является циклом в (Ег; д% так что переход от Ер к Е'^1 состоит во взятии факторгруппы от всей группы. Это ясно из диаграммы Зимана 10.2.4. Возрастание индекса г сокращает столбец, представляющий Ер, но верхний элемент этого столбца никогда не опускается ниже Zp = Zp+1 = = .ZP+2 = ..., так что при г>р переход от Е^ к EW состоит лишь в удалении «хвоста» столбца. Однако этот процесс, вообще говоря, бесконечен. Но легко проверить, что' прямой спектр групп
гомоморфизмами в котором служат'только что описанные проектирования, имеет в качестве прямого предела группу, канонически изоморфную Е”. Если дг=0 при всех г > г0, то
ЕТ» = ЕТ°*1=...=ЕСС.
Мы воспользуемся этим результатом в § 10.9.
Пример. Цепной комплекс С® = С®С' из примера 10.1.9 является d/g-группой. Как и в 10.1.9, положим А® = У Cm ® С' и определим С® т^р
как У Cp<^Cq. Тогда пА® = У Ст ® С'^-т, семейство [„Л®] образует р+^=пт^р
конечную фильтрацию длины п на С®, причем А®8®^Д® ц С®8® G C®_v Рекомендуем читателю проверить, что если С, С' — геометрические цепные комплексы, то для (С®; С®, Л®, д®) выполнены следующие соотношения:
E6p,q = Cp®Cq‘,
E^^Cp^Hq^C');
Егр^Нр{С® Hq<C'^
EPiQ = EPjQ-= . . . = Ep,q.
(Утверждение (г) проверяется не просто.)
!) См. теорему 10.3.6.— "Прим, персе.
Теорема. Пусть (G; Gn, Ар, д) и (G'; С'^, Ар, д') — dj g-группы одного и того же индекса s, и пусть t^zG-^G'— некоторый djg-гомоморфизм; тогда ср индуцирует гомоморфизмы фр,д : ЕРЛ-^ Ep,q, nqp : nDp—>nDp. Если для некоторого г и всех р, q, фр>д— изоморфизм, то и все пфр также изоморфизмы, в частности ср индуцирует изоморфизм ц>* z Н (G) е^ Н (G').
Так как фд'=дф, то фгд'г — дг<рТ : ЕТ —> Е'Т, так что фг: ЕгЕ'г есть (Zg-гомоморфизм. Из того, что ср является d/g-гомоморфизмом, следует, что ^zD-^-D' есть g-гомоморфизм. Предположим теперь, что фг—изоморфизм. Тогда индуцированный гомоморфизм гомологий фг+1: Ет+1 —> Е'т*г тоже изоморфен. Следовательно, для всех k>r, фк:Ек —^Е'к является изоморфизмом. Выбирая для каждой пары р, q достаточно большое к, получаем, в силу теоремы 10.3.9, что'
Ф°° zE” ~ е'”
В силу предложения 10.3.7, nEp^nDp!nDp_v так что пЕ” = nD0; аналогичный изоморфизм имеет место для Е,со и D'. Следовательно,
пфо ^ nDo == пО0.
Зафиксируем п и предположим, что для некоторого р, п<рр : nDp —> nDp — изоморфизм. Рассмотрим диаграмму
0 nDpnDp+1пЕ”г0
0 -> nDpп1Ур+1„Е'”,0.
Горизонтальные гомоморфизмы образуют точные последовательности. Иными словами, имеет место соотношение пЕ”н ^ nDpVJnDp и аналогичное соотношение для нижнего ряда. Эта диаграмма коммутативна; применяя 5-лемму, .заключаем, что пфр+1 изоморфно. Так как пф0 является изоморфизмом, отсюда по индукции получаем, что пфр изоморфно для всех п и р. В частности, nDn^nD'n или Hn(G) ^ Hn(G'), причем соответствующий изоморфизм индуцируется гомоморфизмом ф. ]
Читатель не должен думать, что спектральные последовательности возникают только из дифференциальных профильтрованных групп. В. Массиг) описал часто встречающуюся в алгебраической топологии ситуацию, приводящую к некоторой •спектральной последовательности.
Точной парой
ItА> А
с
называется точный треугольник групп и их гомоморфизмов, в котором две группы •совпадают. Для любой точной пары на группе С можно определить некоторый дифференциальный оператор d по формуле d = hg. Обратите внимание, что dd = hghg = O, так как gh = O. Значит, (С, d) является дифференциальной группой.
г) Massey W. S., Ann. Math., 56 (1952), 363; ibid. 57 (1953). 248. См. также Federer Н., Trans. Amer. Math. Soc., 82 (1956), 340.
Можно теперь определить производную пару Г
А'> А'
Л /
с
исходной пары. Здесь A'-— Af, С = Н (С, dy f : А’А' есть f\Af, g' : А' —»■ С' описывается формулой (af)g'=(agf и h': С'—>-А' определяется правилом {z}/t'=z/i, где z g Z (С). Чтобы убедиться, что отображение g' однозначно, заметим, что если af = 0, то для некоторого элемента с^С, a = ch, так что (ag) = (chg) = (cdf = O. Чтобы проверить, что (a/) g' является некоторым гомологическим классом циклов, заметим, что agd = aghg = 0, так как gh = O. Наконец, однозначность h' видна из того, что cdh— chgh — O, и имеет место соотношение C'h' с Л', поскольку из zHg=zd — O следует, что zh Ay
Неформально производную пару можно представлять себе так:
- Af > Af
\ /
\ *
H(C,Hg)■
Если А, С — градуированные или биградуированные группы и f, g, h являются g-гомоморфизмами, то d—дифференциальный оператор на градуированной группе С, и производная пара снова представляет некоторую пару g-групп и g-гомоморфизмов.
Предложение. Производная пара точна.
Прежде всего {z} h' f = zhf = O. Обратно, если a'f=0 и a' = af, то (af)/ = 0, так что для некоторого с g С, af = ch. Тогда cd = chg = afg = O, и потому с является циклом, причем а' = (с)Н'.
Далее, a'f'g' = a'fg' = {a'g} = Q, так как a'^Af. Обратно, если a'g'=0 и a' = af, то ag—cd, для некоторого элемента с £ С. Следовательно, ag = chg и (а— сН) = а^ для некоторого элемента «v^A, так что a' = af = (a1f)f ^A'f'.
Наконец, если а' — af, то a' g'h' = afg'h' = {ag}h' =agh = 0. Обратно, если {z} h' = 0, то zh = 0 и, значит, для некоторого а £ A, z — ag. Следовательно, {z} = (af) g'. ]
Значит, операцию взятия производной пары можно повторять, получая вторую, ...
..., т-к> производные пары
Л<т>> ^(Ш)
'с<т>
Полагая c/(m> = /t<m>g<m>, мы приходим к некоторой последовательности дифференциальных групп (C<m>, d^mf), такой, что И (С^, d^™1) = C<m+1>; это спектральная последовательность.
Если группы А, С градуированы или биградуированы, то получается спектральная последовательность dg-групп. Если f, g, h являются g-гомоморфизмами индекса р, q, г соответственно, то легко проверяется, что f<m,, g(W), Л<т> будут g-гомоморфизмами индекса р, q— тр, г соответственно, а индекс гомоморфизма dd^i будет равен 5 +г — тр.
Нетрудно показать, что каждая (//-группа порождает некоторую градуированную точную пару, спектральная последовательность которой и является спектральной последовательностью этой (//-группы. Положим Л = ^Н(Ар), С=^Н(Ар, Лн), рр
а в качестве f, g, h возьмем гомоморфизмы, возникающие из точной гомологической последовательности пары. Обратно, для произвольно заданной точной пары можно
25 Заказ № 1335
построить такую дифференциальную двамсды бесконечно профильтрованную группу
... С (G) Лр_!С (G) ЛрС (G) Лр+1 с ...,... С (G) Лр_!С (G) ЛрС (G) Лр+1 с ...,— со <— со <р<р<со,со,
... С (G) Лр_!С (G) ЛрС (G) Лр+1 с ...,
... С (G) Лр_!С (G) ЛрС (G) Лр+1 с ...,
— со <
— со <
р<
р<
со,
со,
спектральная последовательность которой содержит всю информацию, которую можно получить из спектральной последовательности исходной точной пары.
Интересный пример точной пары представляет гомотопическая точная пара сим- плициалъного . комплекса. Пусть К — некоторый связный симплициальный комплекс, и вершина а* выбрана в качестве базисной точки его гомотопических групп; мы не будем указывать ее в дальнейших обозначениях. Рассмотрим для каждого р точную гомотопическую последовательность (см. упр. 10, стр. 336)
... -» л„ (№-1) ^ л/(КР) -^ пп {КР, Кр-') ^ nn_t (КР-1) ->....
Положим
„Лр=л„ (№) при п ~> 2, д>1 (в остальных случаях пЛр = 0), с _ ( л„ (№, КР"^ при п > 3, р > 1
" р ( л2 (К?) /# при га = 2, р> I (в остальных случаях лСр=Оу
Положим далее А = 2 пАр, С= 2 пср- В действительности „Л^О, пС1 = 0, П, рп, р
так как высшие гомотопические группы 1-мерных комплексов тривиальны. Наконец, определим
nt р : п^р пАр+i как г* : лп (№) лп (№+1) при п > 2, р > 1;
ngp : пАр -а- пСр как /* : л„ (№) -а- л„ (№, КР-^) при п > 3, р > 1;
г^р = гАр -*- ^Ср как j* : л2 (^р) -а- л2 (К?) /* при р > 1;
nhp : пСр -a- n-iAp_v как Р*: л„ (КР, КР*1) -а- л„_( (КР-1) при п > 3, р > 2.
Остальные гомоморфизмы считаем тривиальными. Гомоморфизмы /, g, h определяются по Д}р\, {^gp}, {п^р}. Точность так определенной пары сразу вытекает из точности исходной гомотопической последовательности. Очевидно, / является g-гомоморфизмом индекса (0, 1), g имеет индекс (0,0), а индекс h равен (—1, —1). Следовательно, d. имеет индекс (— 1, —1), а в m-й производной паре индекс гомоморфизма /<т> равен (0, 1), g(m> имеет индекс (0, —т), /г<т> имеет индекс (—1, —1), и индекс с?(т) равен (—1, —т—1).
Но „Ср (и, следовательно, „С^) есть нуль, если п < 2, либо р < 2, либо п < р. Отсюда мы заключаем, что пСр1)=;пСрг^1) при m>max(p— 3, п—р). Значит, „С^, предел1) групп „С^’, есть общее значение групп „С1™ при т > шах (р—3, п— р).
Пусть „Пт—образ группы лп (Хт) в л„ (К), п>1. Тогда
O=7IDo = nD| с ... с пвп = лп (К).
Легко видеть, что пА^ является образом группы л„ ДР-т) в лп (КР). Отсюда и из рассмотрения (п — 1)-й производной пары сразу следует, что
г(°°) ~ п / п ,
Иными словами, предельная группа построенной спектральной последовательности изоморфна присоединенной градуированной группе подходящим образом профильтрованной гомотопической группы комплекса К.
Спектральная теория отображения; расслоенные пространства
Речь теперь пойдет о линейно связных пространствах, в каждом из которых выбрана базисная точка; рассмотрим какое-нибудь отображение таких пространств
f ; X,—> У, у*;
здесь х#, у# обозначают базисные точки. Подпространство («слой») F с X определяется как /-1(г/*), а х* принимается также и за базисную точку в F. С помощью отображения / мы определим в dg-группе ’’□iV(X) вторую градуировку и, следовательно, некоторую фильтрацию; здесь, как и в § 8.8,
!) Каждая спектральная последовательность имеет предел; см. Масси (цит. раб.).
°qn (X) обозначает нормализованную цепную группу, порожденную теми сингулярными кубами, все вершины которых отображаются в ж*. В § 8.8 было показано, что °0N (X) ~ 0N (X). В действительности, мы сначала определим некоторую вторую градуировку на □ (X) и затем докажем, что она индуцирует некоторую градуировку, а значит, и ассоциированную с ней фильтрацию на °nN(X). В дальнейшем вместо °0N мы будем писать для краткости С.
Определим1) Ор, 9(Х) как подгруппу группы 0 (X), порожденную теми сингулярными кубами gn, для которых n = p^-q, g:en-^X, где р — такое наименьшее целое число, что (и^ .. ., ип) gj не зависит от Uj при />р. Ясно, что по каждому отображению g;eri—,X данное условие однозначно определяет некоторое целое число р, причем О^р^п. Это означает, что каждый образующий элемент группы □ попадает при подходящем выборе р ид в некоторую зависящую от него подгруппу DP, 9. Зададим, как в примере 10.3.12, некоторую фильтрацию [Гр] на □„, определив (□п)Гр = пТр как подгруппу группы □„, порожденную элементами тех групп 0а, п-а, для которых к<Ср. Тогда ПГ„=0П и, положив Тр^^п^р, мы получаем некоторую /g-группу (□; □„, Гр).
Предложение. Если gn£Tp, mo (V'’^g^^Tp для l^i^n. Если i^kp, mo (F*’ eg)n-i ^Tp_v ]
Это означает, что если gn^Tp, то и gnd£Tp, т. е. (□; □„, Тр, д) является d/g-группой.
Сразу видно, что если ограничиться подгруппой °0 и положить °ТР = = ”□ П Тр, то (”□; ”□„, °ТР, д) тоже будет некоторой d/g-группой. Перейдем теперь к факторгруппе °0N = C и зададим на С некоторую фильтрацию по правилу Ар = °ТР/(°ТР П “□ ^)- Таким образом, получается некоторая d/g-группа (С; Сп, Ар, 9). Здесь Сп — группа, порожденная невырожденными сингулярными n-кубами, Ар порождается невырожденными сингулярными кубами произвольной размерности, /-образы которых — отображения, не зависящие от ирН, . .., причем в каждом случае образующие — это кубы, все вершины которых отображаются в ж*. Заметим, что пАр является прямым множителем в С, откуда мы получаем важное следствие: группы пАр ® G естественно вкладываются в качестве подгрупп в С ® G; возникает некоторая d/g-группа (С ® G; Сп® G, Ар 0 G, д 0 1). Мы получаем тем самым возможность распространять наши результаты на случай произвольных коэффициентов.
Определение. Спектральная (гомологическая) последовательность d/g-группы (С; Сп, Ар, д) называется спектральной (гомологической') последовательностью отображения f:X, х*—> У у*.
Наиболее интересен случай расслоений. Однако мы дали общее определение, не желая обременять читателя на этой стадии излишними предположениями. Заметим, что спектральная последовательность произвольного отображения не является инвариантом гомотопического класса этого отображения.
Предположим теперь, что слой F = у1 (у*) тоже линейно связен. Постараемся связать спектральную последовательность отображения / со спект-
!) Сравните со статьей Серра (Serre J. Р., Homologie singuliere des espaces fibres, Ann. Math., 54 (1951), 425). В ней 4 главы. Даваемое Серром определение вырождения слегка отличается от нашего, но читателю будет нетрудно внести необходимые изменения в доказательства Серра. См. также работу Ботта и Замельсона (Bott R., Same Ison Н., Сотт. Math. Helu., 27 (1953), 320).
ральной последовательностью цепного комплекса С (У)® С (F), определение которой указано в примере 10.3.12. Положим °ПР, д —**□ П Пр, g и приступим к определению некоторого множества гомоморфизмов
°фр, q : °Пр, °Dp (У) ® °Og {F)-
Пусть gn — образующий элемент группы °ПР, д. Определим тогда £^£°ПР(У) как отображение
(Wi, .. ., Up) gY == (u„ .. ., Up, 0, .. ., 0) gf.
Отображение gf не зависит от up+1, . . ., и потому не важно, какие значения переменных поставить после ир в правой части равенства. Очевидно, gY переводит вершины куба ер в точку у*.
Определим далее gg6°ng(E, зс*) как отображение
(Ui, . . . , Uq)gF=(0, . . ., 0, Ui, . . ., Uq)g.
Так как отображение gf не зависит от последних q переменных, (Uj, . . ., ид) gFf — у*, и gF можно рассматривать как некоторое отображение куба eq в F. Очевидно, gF переводит вершины eq в х*.
Теперь легко определить и отображение °фР7 q. Для произвольного образующего gn группы °ПР. q положим
g»°<PP,q=g£® gF
Так как ”□ = 2 0□ р,д, т° гомоморфизмы °фр, 9 вместе определяют Р, 9
некоторый g-гомоморфизм °ф: °П —> ”□ (У) ® “□ (F).
Если g„E°n^g, то либо ^уЕ°П^(У), либо gF g °п1 (F) — первое будет иметь место, когда вырождение происходит относительно одного из переменных Ui, . . ., Up, и второе, когда оно происходит относительно какого- нибудь из переменных ир+1, . .., ип. (В действительности, gn не может вырождаться относительно ир в силу определения группы Пр, 9.) Следовательно, можно перейти к °ПЛ=С, причем °ф порождает тогда некоторый g-гомоморфизм
Ф : С (X) С (У) ® С (F).
Проградуируем группу С® = С (У) ® С (F) относительно полной степени и профильтруем ее, как в примере 10.3.12, положив А® = 2 Ст (У) ® С (F). При этом ф становится /g-гомоморфизмом /g-группы (С; Сп, Ар) в /g-группу (С®; С®, А®). Однако, вообще говоря, нельзя утверждать, что ф коммутирует с дифференциальными операторами1). Таким образом, ф не является, вообще говоря, d/g-гомоморфизмом и потому не индуцирует никакого гомоморфизма спектральной последовательности {Ег} группы С в спектральную последовательность {Е®"} группы С®. Однако некоторые частные результаты в этом направлении можно получить.
Теорема. Г омоморфизм ф индуцирует некоторый dg-гомоморфизмФ°: (Е°; E°p.q, д°)-^(Е®°; E®°Q, д®°).
Так как „Ер = пАр!„Ар-t Иф есть /g-гомоморфизм, то ф индуцирует гомоморфизмы фр, д : Ер, q —»E®°q, а они в свою очередь все вместе дают некоторый
g-гомоморфизм ф°: Е°—^Е®°. Остается только показать, что
Ф° 5®о = до о .
* р, q«р,1
Группа Е^,йд порождается соответствующими классами гомологий элементов gp® hq, где gp£Cp(y), hq^Cq^Fy Так как ^gp ® h^ d® = gp8 ® hq^- + ( — l)pgp0 hqd и gpd 0 hq^n-iA®_i, то можно написать, что (gp 0 hq) d®° = = (—- l)p gp 0 hqd, где (как и всегда) символ, обозначающий некоторый образующий элемент, мы употребляем также для обозначения его класса в соответствующей факторгруппе. Согласно сказанному, если g„ — некоторый образующий элемент группы пАр, то
Ю.4.4gn^p,q^° = (-i)pgY®gFqd.
С другой стороны,
gnd= s (-^(И-8^-^ S (-ir^^'8^-!.
i>P e=0, 1e=0, 1
Первый член написанного справа выражения лежит в Ар_ъ в силу 10.4.1, поэтому gnd° — ^ (-1)^^eg)n-i- Но легко проверить, что при t > р 1>р 8=0, 1
(V^Egf = gY и ^’Е§/=¥1-р-Е^.
Следовательно,
g^Xq-^ S (-if^g^'^V^^^^^-lygY^g^.
8 = 0, 1-
Это вместе с 10.4.4 доказывает утверждение теоремы. J
Следствие. Гомоморфизм ф индуцирует некоторый биградуиро- ванный гомоморфизм
^■.Е1->Е®^=С(У)®Н(Р).]■
Обратите внимание на то, что мы не утверждаем, что ф1 является d-гомоморфизмом; на самом деле ф1 может им и не быть. С другой стороны, Серр (в цитированной статье) доказал, что если /:Х—>У —некоторое расслоение и пространство У 1-связно, то ф1 будет dg-гомоморфизмом и притом изоморфизмом. Отсюда следует, что ф индуцирует некоторый g-изоморфизм ф2:£2—>Я(У; Н (F)). Мы предлагаем рассмотреть сначала сильно упрощенный случай, когда X = У х F и отображение / проектирует пространство X на первый сомножитель — пространство У. Это послужит нам моделью при изучении общего случая расслоенного пространства.
Теорема. Если X = У X F и / : X —>Y— проектирование, то гомоморфизм ф° из 10.4.3 является цепной эквивалентностью.
Определим некоторое цепное отображение ф : С (У) 0 С (F) —>С (X). Формула 8.7.5 дает нам некоторое цепное отображение qy- f: Q^ (У) 0 ON (F) —> П^(У X F); при сужении до °Q, q индуцирует некоторое цепное отображение, которое мы и обозначим через ф. Если gp, /?д — образующие групп Ср (У), Cq^Fy то (gp 0/гд) ф — образующий элемент (g х h)n группы Сп(ХУ Ясно, что (g х h^n £ Ар и, значит, ф есть d/g-гомоморфизм. Мы покажем, что индуцированный им dg-гомоморфизм
ф° : (£®°; E®°q, Ф®°)-^(Е°; E°p,q, 9°)
является цепным обратным к ф°, и утверждение 10.4.6 будет доказано.
Пусть gp, hq — образующие элементы групп СР(У), Cq(F), ни один из которых не вырожден. Тогда
(gp ® hq) фф = (g X h)n ср = (g X h)Y. ®(gx hfq.,
где p'— точный вес элемента (g X h). Ясно, что р'^.р; так как элемент g не вырожден, то р' <£ р, поэтому р'~ р и (gp ® hq) арф = gp ® hq. Этим доказано, что отображение арф тождественно на образующих группы С (У) ® С (F). Следовательно, оно представляет собой тождественный автоморфизм. Отсюда сразу вытекает, что ар°ф° = (арф)0 = 1. В рассматриваемом нами случае топологического произведения мы знаем, что ф, а значит и ф°, —цепные эквивалентности, и только что доказано, что ф° — цепное обратное к отображению ф°; значит, и ф° является цепной эквивалентностью. Однако такое рассуждение не проходит для произвольных расслоенных пространств. Мы приведем теперь другое доказательство теоремы 10.4.6, применимое и к общему случаю.
В действительности мы докажем, что ф°ф°~1, рассмотрев £пфф для произвольного образующего группы ПР) ч. Каждый такой элемент gn представляет собой некоторый сингулярный куб точного веса р. Тогда £„фф = --= (gp ® gq) Ф = (gY X gF)n. Мы сравним отображения g и gYxgF:en—»X и построим некоторую гомотопию G:enxl—>Х, их соединяющую. Точка куба е" = ерхе$ будет обозначаться через (и, w), где v^ep, w£eq. Определим гомотопию G формулой
(и, w, t)G = ((v, w)gf, ((1 — 0 и, w)gfj,
где f — проектирование X —> F пространства X на второй сомножитель.
Ясно, что (у, w, 0)G=(v, w) g и что (v, w, l)G=(y, w) (gY x gF). Так как e" x 7 = e"+1, to G определяет в X некоторый сингулярный (п-|-1)-куб, точный вес которого равен р. В самом деле, (щ w, t)Gf = (v, w)gf, причем стоящее справа значение зависит от ир, но не зависит от w. Соответствие gn — > (— 1)"G„+1 приводит к некоторому множеству гомоморфизмов АР1 q : Пр, q—>Пр,д+1, которое определяет некоторый g-гомоморфизм индекса (0, 1), Л: □ —■»□• Так как Л сохраняет фильтрацию, то пТрХ s п+1Тр; очевидно, 0QAc°q и □ ^.^□^ Можно, следовательно, сузить область наших построений до ”□, произвести нормализацию и перейти от нашей биградуированной группы к соответствующей /g-группе. После этого Л индуцирует некоторый /g-гомоморфизм Г = Г (Л) индекса 1:
Г: (С; Сп, АР)—>(С; Cn+i, Ар).
Рассматривая произвольный образующий элемент gn группы „Ар, мы замечаем, что
если i^p, то gnFx’ ЕЛ и gnAF1’ е g Ap-i (см. 10.4.1);
если р +1 ^ i ^ п, то gnF1’ еЛ = — gnAP’’6 (отрицательный знак здесь возникает в связи с коэффициентом (■— 1)” в определении гомоморфизма Л);
gnXFn+1’1 = (-l)n(gYXgF^ И gnAF^° = (-l)ngn.
Так как Ер, q = nAp/pAp-t, наш /g-эндоморфизм Г индуцирует g-эндоморфизм Г° : Е° —> Е° индекса (1, 0). Из замечаний (а), (б), (в) следует, что
(gn) (Г°5° + д°г°) = gn - (gY X gF)n = gn (1 - Ф°ф°).
Следовательно, ф°ф° ~ 1. ]
Из теорем 10.4.3 и 10.4.6 сразу вытекает
Следствие. Пусть X = YxF. Тогда гомоморфизм ф индуцирует некоторый g-изоморфизм ф1: Е1 = S®1 = С (Y) 0 Н (F). ]
Однако тот факт, что ф является d/g-гомоморфизмом, позволяет заключить, что имеет место
Теорема. Пусть X = YxF. Тогда dj g-гомоморфизм ф:С(У)0 C(F)-^C(Xy
определенный в доказательстве теоремы 10.4.6, индуцирует изоморфизм фКМЦР^Н* (X).
Применим теорему 10.3.13. Так как ф есть d/g-гомоморфизм и доказано, что отображение ф° является цепной эквивалентностью, то ф1 изоморфно, а отсюда немедленно следует заключение теоремы.]
Это дает другое доказательство (по крайней мере для случая линейно связных Y и F) того факта, что группа Н* (Y х F) может быть вычислена на основе С (У) $ С (g). Заметим также, что теоремы 10.4.8 и 3.10.1 позволяют заключить, что ф тоже является цепной эквивалентностью.
Проектирование YxF—VY, конечно, является расслоением. В случае произвольного расслоения р : X, х# —> В, Ъ* построение подходящего отображения ф : С (В) 0 С (F) С (X), где F = р^Ъ^, выглядит куда более громоздким. Как и в частном случае, рассмотренном в теореме 10.4.6, ф определяется с помощью некоторого правила, которое связывает с каждой парой (g, /г), где g— произвольный /нкуб из В и h — любой g-куб из F, некоторый (/> + д)-куб (g 0 А) ф в пространстве X. Рассматриваются, конечно, только 0-тривиальные кубы. Определяется ф по индукции относительно q с использованием фундаментальной «аксиомы о накрывающей гомотопии» (§ П.З), которой любое расслоение удовлетворяет. Важно отметить, что, определяя ф при q = 0, мы прибегаем к свойству линейной связности F для того, чтобы поднять g до 0-тривиального куба в X. В этом случае ф, вообще говоря, не будет d-гомоморфизмом (оно будет лишь /g-гомоморфизмом), но ф° будет dg-гомоморфизмом. Подобным же образом по индукции определяется некоторая подходящая гомотопия G между g и (gB 0 gF) ф и снова используются результаты § П.З. Подробные доказательства можно найти в цитированной статье Серра, а заключение таково:
9. Теорема. Пусть р; X, х*—^ В, b— некоторое расслоение с линейно связным слоем F; тогда определенный выше гомоморфизм ф индуцирует некоторый dg-гомоморфизм ф°: Е°—> Е®°, являющийся цепной эквивалентностью. Здесь Е®° — начальный член спектральной последовательности djg-группы С (В) ® С (F).]
Отсюда мы получаем
. Следствие. Если слой F расслоения р линейно связен, то ф индуцирует некоторый g-изоморфизм ф1: Ех —> E®v — С (В) 0 Н (F).)
Отображение ф1: С (В) 0 Н (F) —> Е1 служит обратным к ф1. Отсюда следует, что если С (5) 0 Н (F) наделить дифференциалом ф1д1ф1, то ф1 станет цепным изоморфизмом. Изучим этот дифференциал. Пусть g-—какой- нибудь 0 — тривиальный р-куб в В и h1—такие 0-тривиальные ф-кубы в F, что 2 у^-некоторый ф-цикл в F (с коэффициентами у, из некоторой груп- з.
пы Gy Прямым вычислением, используя тот факт, что У у^ — цикл, можно 5
показать, что
.р....
(g ® 2 у^ ФОф = 2 2 (—1Г ^v'°g 0 yjh^ — (v^g 0 удмд^у
7 i=l'
здесь Qt — отображение множества ф-кубов из F в себя, описываемое формулой
z, {hQi) = (0, ..., 0, 1, 0, .. ., 0, z) (g ® h) ф, 2^eq,
где на i-м месте стоит 1. Заметим, что в терминологии §8.9 Qt является ^-сдвигом. (Напомним, что *гг9— это петля в В, которая является g-образом того ребра куба ер, которое идет из начала вдоль г-й оси.) Значит, из 8.9.2 и 8.9.5-—8.9.7 следует, что ф^ф1—это граничный оператор в цепном комплексе С (В; ^Н (Е\У) с локальными коэффициентами. Так Серр доказывает фундаментальную теорему:
. Теорема. Пусть р:Х, х^—^В, Ъ*—расслоение с линейно связным слоем F. Тогда гомоморфизм ф индуцирует некоторый g-изоморфизм
^•.Е^Н^В; {Hq(F)}).
Если В 1-связно, то ф2: ЕР1Ч^НР^В; Hq(F)).]
Именно специальный случай 1-связного пространства В, выделенный в формулировке теоремы 10.4.11, будет полезен нам, когда мы перейдем в § 10.6 к применениям. Приведенная формулировка наталкивает на мысль, что фильтрующая степень р связана с базой В, а дополнительная степень q со слоем F. Это утверждение можно сделать строгим.
Возвращаясь к случаю произвольной ^/g-группы, положим В = Ао и В„ = пА0. Тогда
Впд = (Gn П Л) 0 S G^ f| А» - Вп-!,
так что (В; Вп, д) является dg-группой и даже цепным комплексом. Обращаясь к определению, видим, что пЕ®=. Вп и пЕд = Нп(В). При г>1 каждый элемент группы пЕ^ является циклом, так как дг понижает фильтрующую степень. Следовательно, имеет место последовательность эпиморфизмов
Ю.4.12' Я„(Я) = „^->Х->Ж->... •
При г > н-|-1 эпиморфизм „Е^ —> „£о+1 является изоморфизмом (в силу 10.3.9), причем обе эти группы совпадают с пЕ^ = nD0 е Нп (G). Имеет место, следовательно, некоторая последовательность гомоморфизмов:
Ю.4.13Я„(Я)->„£^Я„(£),'
где первый гомоморфизм эпиморфен, а второй мономорфен. Соответствующий составной гомоморфизм индуцируется включением цепного комплекса (Я; Вп ,д) в (С; Gn, д) в качестве подкомплекса.
В случае расслоения р: Х—> В и спектральной последовательности этого расслоения, Ао = £(£), причем образующими группы Ао служат те сингулярные кубы в X, которые проектируются посредством р в Ъ*. Роль цепного комплекса Я здесь играет цепной комплекс С (F), а последовательность 10.4.13 можно отождествить с последовательностью
Ю.4.14ЯП(£)-»£^П-»Я„(Х),
где составной гомоморфизм индуцируется включением F в X. .
Рассмотрим теперь член £„, о! будем писать Sn вместо £„, 0 и S вместо 2 8п. Так как £«, о^1 ^ £n-i, о, то (8; Sn, д1)— некоторый цепной комплекс, причем Е^у^НуДА). Но при г>1 дг увеличивает дополнительную степень, так что ни один элемент группы £„, 0 не является границей. Итак,
имеет место некоторая последовательность мономорфизмов
... -> К,о5®, о £п, о = Я„ (5).
Но Еп^й = Еп, 0, в силу 10.3.9, И Еп,Ь = nDn/nDn-i~ Нп(С)1пВп^. В соответствии с этим имеет место последовательность гомоморфизмов
10.4.1610.4.16Нп^-»Е”0^Нп(8),Нп^-»Е”0^Нп(8),
10.4.16
10.4.16
Нп^-»Е”0^Нп(8),
Нп^-»Е”0^Нп(8),
причем первый гомоморфизм эпиморфен, а второй мономорфен. Композиция этих двух гомоморфизмов характеризуется следующим образом: Еп, о является факторгруппой группы nZ„Gn; переход к этой факторгруппе при каждом га индуцирует некоторый dg-эпиморфизм
л : G 8
и, значит, некоторый гомоморфизм л* : Нп (G) —> Нп (S). Это и есть искомый составной гомоморфизм.
Серр пользуется следующим определением вырожденности: сингулярный га-куб g в X называется вырожденным в том и только в том случае, если gn € Dn-i (X) О". Обозначим через С (X) соответствующую нормализованную группу 0-тривиальных цепей. Произвольное отображение / : X, х* —э- Y, у* индуцирует некоторое цепное отображение / : С (X) —> С (У). В случае расслоения р: X, х#—>В, &*, используя результаты § II.3, получаем, что р эпиморфно, откуда следует, что С (В) ^8. Далее, известно (Ботт и Замельсон, см. стр. 387; см. также упр. 1 к гл. 8), что естественный эпиморфизм С —> С является цепной эквивалентностью. Можно, следовательно, переписать 10.4.16 так: *
10.4.1710.4.17Нп (Х)->Е^0->Нп (В),Нп (Х)->Е^0->Нп (В),
10.4.17
10.4.17
Нп (Х)->Е^0->Нп (В),
Нп (Х)->Е^0->Нп (В),
где составной гомоморфизм индуцируется проектированием р : X —> В.
Рассуждения, приводящие к 10.4.13 и 10.4.16, можно пояснить, обратившись к диаграмме Зимана. В случае произвольной d/g-группы для каждого п диаграмма конечна. Составим диаграмму, соответствующую п = 4.
A0 4ZJ
707172
4^2 4^3 4^4
70717273
4^1 4^2 4^3 4^4
Z
071727374
0 4^1 4^2 4^3 4^4
10.4.18
4В^ 4в{ 4вх 4В\ 4В\
.в^ 4вх 4вх 4в\ 4в
Ж 4вх 4в\ 4в»
А 4в\ 4В}
А 4В{
Нижняя часть этой диаграммы является образом при д (после отражения относительно диагонали) верхней части диаграммы, соответствующей случаю и — 5. Группу 4Z” мы опустили, так как она совпадает с 4Z4.
Оставим в этой диаграмме некоторый каркас, выделив особо интересные области.
10.4.19
Эпиморфизм Нп (R) —» пЕ^ соответствует усечению столбца, изображающего пЕо, вплоть до верхнего квадрата, представляющего группу пЕ^. Мономорфизм пЕ” —> Н (G) соответствует включению квадрата, изображающего пЕ^, в строку, изображающую Н (G). Подобные интерпретации можно получить и для эпиморфизма и мономорфизма последовательности 10.4.16, как это указано на диаграмме 10.4.19.
Спектральная теория когомологий
Понятие возрастающей фильтрации, определенное в § 10.1, хорошо приспособлено для изучения групп цепей и гомологий. Однако для исследования групп коцепей и когомологий больше подходит понятие убывающей фильтрации.
Определение. Убывающей фильтрацией [Лр] абелевой группы G называется такая последовательность ее подгрупп (С)4Р=ЛР, р = = 0, 1, ..., что
С = А°гА1^ ... 2 Ар^ ...
и П Ар = 0. Произвольная абелева группа G, на которой задана некоторая убывающая фильтрация [Лр], называется профильтрованной группой, или j-группой с убывающей фильтрацией, и обозначается через (G; Ар). Под f-гомоморфизмом /-групп понимают гомоморфизм, сохраняющий фильтрацию.
Удобно положить AP = G при р<0.
Пусть (G; Gn)—какая-нибудь g-группа. Полагая Лр= 2 Gn, получаем некоторую убывающую фильтрацию, ассоциированную с заданной ^-группой G.
Пусть G — какая-нибудь группа с убывающей фильтрацией [Лр]; тогда присоединенная градуированная группа Gr [Лр] определяется как 2 APlAvvV р=0
Определение Дифференциальной профильтрованной группой, или dj-группой, с убывающей фильтрацией (G-, Ар, 6) называется группа G, снабженная некоторой убывающей фильтрацией Ар и таким j-эндоморфизмом 6, что 66 = 0.
В следующем примере устанавливается существенная связь между «//-группами с возрастающей фильтрацией и «//-группами с убывающей фильтрацией.
Пример. Пусть (G; Ар, д) — какая-нибудь «//-группа с возрастающей фильтрацией, и Q — любая абелева группа. Положим тогда G*— G ^Q и через 6: G" —> G" обозначим эндоморфизм, сопряженный к д. Назовем аннулятором группы Ap-t подгруппу группы G", образованную теми ее элементами, которые переводят Ap_t в 0; обозначим эту подгруппу через Ар. Тогда (G’; Ар, 6) является «//-группой с убывающей фильтрацией.
Проверим это. Прежде всего Л°—аннулятор группы Л-^0, так что A°=G" Далее, если какой-нибудь элемент из G" аннулирует группу Ар, то a fortiori он аннулирует и Ар-б значит, Ар г Лр+1. Пусть g* £ Q Ар и g^ G.
р
Тогда для некоторого q, g^Aq. Так как g'gA9+1, то (g, g‘) = 0. Это означает, что g" аннулирует всю группу G, и потому g’— 0. Значит, Г)ЛР — 0
тР
Из дд = О следует, что 66 = 0. Наконец, если g‘^Ap, то (Лр.,, 6g") = = (Ар_ф, g*)^(Ap-1,g*) = 0, так что 6g' ^Ар.
Определяя убывающую фильтрацию на g-группе (G; G”), будем действовать, как и в случае возрастающей фильтрации, а именно: зададим некоторую убывающую фильтрацию [”ЛР] на каждой группе G”; особенно важен случай, когда каждая из этих фильтраций имеет длину п. Подгруппы Ар = 2 пАр образуют тогда убывающую фильтрацию группы G. Если отправляться от группы G, на которой задана, градуировка {Gn} и некоторая убывающая фильтрация [Лр], то условия, необходимые и достаточные для того, чтобы семейство подгрупп ”ЛР = Gn Q Ар удовлетворяло наложенным выше ограничениям, состоят в следующем: (а) Ар = 2 пАр и (б) СПЛЛ”+1 = О.”
В соответствии с этим дадим следующее определение:
5.4. Определение. {Регулярно) профильтрованной градуированной группой, или /g-группой, с убывающей фильтрацией, обозначаемой через {G; Gn, Лр), называется градуированная группа {G; Gn) с такой убывающей фильтрацией [Лр], что (а) Лр = 2 (^" П Лр) и (б) С"Г|ЛР+1 = 0; /g-гомоморфизмом такой группы G в некоторую /g-группу G' с убывающей фильтрацией называется g-гомомсрфизм «р: G-- G', такой, что для всех р, <рАр <= А'р.
Иногда мы будем говорить также о /g-гомоморфизме индекса t, если «р имеет индекс /. Можно определить также u/g-группы с убывающей филь-
трацией и K/g-гомоморфизмы. Для этого в определении 10.5.4 надо опустить условие (б).
Определение. Дифференциальной профильтрованной градуированной группой, или dfg-группой, с убывающей фильтрацией, обозначаемой через (G; G", Ар, 6), называется /g-группа с убывающей фильтрацией (G; Gn, Лр) и (левым) /g-эндоморфизмом 6 индекса Ц-1, таким, что 66 = 0.
В дальнейшем, если индекс р написан наверху, мы не будем каждый раз оговаривать, что фильтрация убывающая.
Пример. Пусть (G; Gn, Ар, д) — некоторая d/g-группа (с возрастающей фильтрацией) и Q — произвольная абелева группа. Как и в § 3.1, полагая G”-= G„Д^ ^ и G^^G”, получаем градуированную группу G".
Определим "Ap = Gn как аннулятор группы nAp_v Тогда nA° = Gn и пАп+1— аннулятор группы nAn = Gn, так что Gn Q ЛПт1—”Л”т1-0. В результате мы получаем d/g-группу (G"; Gn, Лр, 6). Если исходная группа G является всего лишь dufg-группой, то G" будет dn/g-группой с убывающей фильтрацией.’'
Спектральная теория для d/g-группы с убывающей фильтрацией строится в полной аналогии со схемой, по которой мы действовали в § 10.3. Полагаем
"Z^A» П (Л^бЛ
”^Р = ”ЛР п б(Лр'г) = 6(”-12Гг);
Ep’q = пЕр = "Z^C^l + пВр_!).
Дифференциал д индуцирует гомоморфизмы 6Р’9: Е?’9—»Er+r’9-!+1 Т определяющие некоторый дифференциал 6Г индекса (г, 1—г) на бигра- дуированной группе (ЕТ; EV ч\
Теорема. Для любой dujg-группы с убывающей фильтрацией биградуированные группы Н (Ер, 6Г) и Er+V совпадают.]
Определим nZp как подгруппу, состоящую из «коциклов», лежащих в пАр, и пВр как подгруппу, состоящую из «кограниц», лежащих в пАрТ и положим
Е^ 4 = "Е-^ = "Zp/(nZp+1 + PBPY
Далее, определим nDp как образ группы Нп (Лр) в группе Нп (G)*). Имеет место следующая
Теорема. "E^ = nDp/nDp«-.]
Полагая D^^^VDp, мы получаем u/g-группу (Н (Gy Hn(G),Dp), фильтрация которой регулярна, если группа G профильтрована регулярно.
По аналогии с теоремой 10.3.9 получаем следующий результат:
5.9. Теорема. Для каждой dfg-группы индекса +1 с убывающей фильтрацией Е^’ч = ЕетЧ при г > max (р, q +1).
Используя тот факт, что G" П Лр = 0 для р > п, мы заключаем, что G" П (A^^ -^G" fl Z,
0 При гомоморфизме, порожденном отображением включения ЛР в G.—Прим, перев.
когда f>n-J-l. Значит, при р/г>п-1
”ZP = Gn П Ар П (Ap+r) 6-! = G" П Лр f] Z = nZp
и, конечно, nZr-i — "Zp-1. При этом p4r>n(-l в том и только в том ■случае, если r^q + i. Далее,
^-^G" П Лр П 6Ap-,+1 = Gn П 4р П 6G при г>р
-.= пвр.
•Следовательно, когда г > max (р, q + 1), Е^’ 4 = Е^, 9.J
Подведем итог сказанному: каждая d/g-группа с убывающей фильтрацией приводит к некоторой биградуированной спектральной последовательности (Ет, 6Г), сходящейся к Еоо, присоединенной биградуированной группе /g-группы (H(G); H^G), В»).
Имея в виду применения к когомологиям и важность U-произведения коцепей, естественно поставить вопрос: при каких условиях кольцевая структура в G индуцирует некоторую кольцевую структуру на группах соответствующей ей спектральной последовательности. Дадим в связи с этим
Определение. Если кольцо В снабжено градуировкой {Я"}, убывающей фильтрацией )АР) и дифференциалом 6 индекса +1, такими, что (В; ВпАр, 6) представляет собой d/g-группу и выполнены следующие условия:
если х^В", у^В, то б (ху) = (6ж) у -|- (— 1)" ж (бу),
Вп-Вп' cR"*"' и•
Лр-Ар'с Ар+р',
■то оно называется dfg-кольцом.
Условия (а) и (б) фигурировали в гл. 4 в определении коцепного кольца. Произвольное dfg-кольцо представляет собой просто коцепное кольцо, подходящим образом профильтрованное. Дифференциал, удовлетворяющий условиям (а) и (б), называется антидеривативом.
Аналогично определяется du/g-кольцо.
Теорема. На каждой из групп ЕТ произвольного dfg-кольца В можно задать некоторую структуру кольца так, что будут выполняться следующие условия; "
EfM-EP'- ч' с Ер+р', 9+9',
6Г является антидеривативом по отношению к полной степени элементов,
Ег+1— биградуированное кольцо когомологий коцепного комплекса (ЕГ, 6Г).
Покажем сначала, что
Zp-Zp sZp„, где р" = р-\-р' и г" = min (г, г').
Очевидно достаточно доказать это для однородных элементов. Если х £ "Zp, х' £ Zp , то хх* £ Ар" и
6 (хх') = (бж) ж' Ц- ( — 1)" ж (бж') g Ар+Г- Ар’ -|- Ар-Ар'+г' а Ар”+г", откуда
Zp-Zp,' cZp".,
Далее, покажем, что
#r-i-Zf H-Z^S^ ^ZfLV+Bfh.
Вр_!. zf = 6 (Z?z[+1). ZV- s 6 (zr?+1 ■ Z?') + Z?Z’t+1.6ZP ,
в силу 10.5.10(a), Eetz^T^+z^^-sp'+v
в силу 10.5.12, cBflt + Z^Z^-Z^ =
B^-i + ZrJ"t1, в силу 10.5.12.
Аналогично доказывается, что Zp-Вр_i s Zy^ -\-Bp_t.
Выведем из полученных соотношений, что произведение, заданное в R, индуцирует некоторое произведение в Ет, по отношению к которому Ет является кольцом (с единицей, если в R есть единица). Принимая во внимание формулу 10.5.12, достаточно доказать, что
ю.5.14 (nzpt\+nBLiyn'Zr+nz^'zp^ +n'B^Ll)c=n"z?yil+n"Bpr'Ll,
где «"=« + «'. Но это сразу вытекает из соотношений 10.5.12, 10.5.13 и условия (б) определения 10.5.10. Этим доказано утверждение (а) нашей теоремы. Утверждение (б) вытекает из того факта, что дифференциал 6Г индуцирован дифференциалом 6; (в) следует из того, что изоморфизмы групп, фигурировавшие в доказательстве соотношения Н (Er, 6г)^ЕГт1, являются изоморфизмами колец по отношению к операциям произведения, определенным нами в Ет и Sr+1J
Из 10.5.10(a) вытекает, что группа Н* (R) получает от R некоторую структуру кольца. Из условий (б) и (в) определения 10.5.10 следует, что
пDp • n'Dp' с »+«' £)f+p'.
Значит, и присоединенная биградуированная группа Gr [nZ)p] получает некоторую структуру биградуированного кольца. Более того, ясно, что утверждение 10.5.11(a) верно и для г=оо. Следовательно, имеет место
Предложение. Ею является предельным кольцом биградуиро- ванных колец ЕГ, а g-изоморфизм, установленный в 10.5.8, является кольцевым изоморфизмом.^
Укажем теперь одну ситуацию, в которой развитая теория d/g-колец оказывается весьма полезной.
Теорема. Пусть f: X, x^—eY, у* — отображение одного линейно связного пространства в другое, и (С*; Сп, Ар, 6) есть djg-группа, ассоциированная, как в примере 10.5.6, с помогцъю некоторого кольца Q, с df g-группой (С; Сп, Ар, 5), определенной в § 10.4. Тогда С* - представляет собой некоторое d^g-колъцо по отношению к vj-произведению в смысле § 9.3.
Здесь Сп = °П/у(У) и Ар— аннулятор группы Ар-1, подгруппы группы °ПЛ\ порожденной кубами веса (р— 1). Очевидно,
0□^ U °Dx 5= °Оа,
так что в С" определено произведение, по отношению к которому, легко, видеть, С является некоторым d/g-кольцом. В самом деле, условия (а) и (б) определения 10.5.10 выполнены наверняка, и нам остается проверить только условие (в): Ар и Ар- с Ар". Пусть cQAp, с'QAp- ng— некоторый образующий элемент группы AP"-i. Мы докажем, что (g, сис')=0, и тем самым установим, что с V) с' аннулирует AP"_t и, значит, лежит в Ар".
Пусть g— какой-нибудь сингулярный куб из °П (X) и пусть обозначения Хя, Хк имеют тот же смысл, что и в § 9.3, так что Н, К — взаимно дополнительные подмножества. Пусть точный вес элементов Vug, Xkg равен соответственно р и р', так что Xngt^ ^Kgf действительно зависят от ир, ир-. Тогда gf тоже зависит от uhp, ин ,. Так как max (Jip, kp-^> р + р' = р", точный вес элемента g не меньше, чем р". Следовательно, если g£Ap--_i, либо XngQAp.t, либо XkgG4P'_i. Отсюда (g, с и с') = 2 Qhk (keg, с)•
■IXkg, с') = 0, так как для каждого Н либо (kng, с), либо (Xkg, с') равно пулю.]
Результаты Серра о спектральной последовательности расслоения (10.4.9 —10.4.11) имеют очевидные аналоги в теории когомологий. Однако 10.4.11с дополняется утверждением, что ф2 сохраняет соответствующую мультипликативную структуру.
Пусть R—какое-нибудь кольцо, и (С (В) ® С ^F^ ^ R снабжено кольцевой структурой, определенной формулой 9.4.3. Прямое (но громоздкое!) вычисление показывает, что
<P':(C(B)®C(B))fhB->C(X)fhB
сохраняет произведение. И мы получаем следующую теорему:
Теорема. Если В 1-связно и р-.Х^*—>В,Ь^— расслоение с линейно связным слоем F, то гомоморфизм
ср: С (X) С (В) ® С (В)
индуцирует, когда значения берутся в произвольном кольце R, некоторый биградуированный кольцевой изоморфизм
^:R4B; В* (В; R^E2,
где R* (В; R*(F’, R^ имеет структуру кольца когомологий со значениями в градуированном кольце (см. 9.4.17).]
Из 10.5.17 сразу следует, что если кольцо R коммутативно, то произведение в В2 косокоммутативно в том смысле, что для с £ пЕ2 и с'Qn’Е2 сс'— (— 1)""'с'с. Отсюда вытекает, что ЕТ косокоммутативно для всех г >2.
Спектральная последовательность расслоения; применения
10.6.110.6.1с10.6.110.6.1сНа протяжении всего этого параграфа предполагается, что задано некоторое расслоение р: X —» В со слоем В, такое, что X и В 0-связпы, а В 1-связно. Будем предполагать также, что мы связали с расслоением р некоторую спектральную гомологическую последовательность (Вг, д1’^ и некоторую спектральную когомологическую последовательность колец (Вг 6Г), такие, что
10.6.1
10.6.1с
10.6.1
10.6.1с
E^q^Hp(B; Hq(F)), Е^ч^Н^^В; H4(F))
(ср. с 10.4.11 и 10.5.17). Кроме того, будем считать, что группой коэффициентов, соответственно группой значений, является группа J. Однако наши основные результаты справедливы также и для любого поля коэффициентов.
Пусть i:F—>Х— отображение включения.
. Теорема. Если Нр (В) = 0 для 0 << р < р0, Hq (F) = 0 для 0 < g < go, то имеет место точная последовательность
H^i(F) X Н^ (X) Д H^-v (В) Д Яп„_2 (В).. .
...^Hk(F) Д Нк (X) Д Нк (В) Д Hh_t (F)^...~>Hi (Х)^ 0,
■где п0 = Ро + до-
Из формулы 10.6.1 и условий, налагаемых на Нр (В), Hq (F), следует, что пЕр = 0, когда 0<р<п<п0.
Так как nEp+1— факторгруппа подгруппы группы пЕр, это вместе с теоремой 10.3.9 позволяет заключить, что
пЕр = 0 при 0 < р < п < п0 для г = 2, 3, ..., оо.
О фильтрации 0^kD0 s kDt s . .. <= kDh_v с hDk = Нк (X) нам известно из предложения 10.3.7, что kDр/hDр-1 ^ кЕр. Но, в силу 10.6.3, кЕр = 0 для 0 < р <_ к <_ п0. Следовательно,
кЕ” ^ kD0 = hDv = ... = kDh_t и '
Hh^/^Dh-^hEh при 0<к<п0 — 1.
На основании этих результатов получаем некоторую точную последовательность
0-^ЕД ДЯь(Х) ДеД ^0 при 0<Е<по—1.
Теперь, в силу 10.4.12, существует эпиморфизм Eq, q—> ЕД1, ядром которого служит q+1Errdr. По 10.6.3 этот эпиморфизм при 2<г<^<п0—2 является изоморфизмом; эта последовательность изоморфизмов устанавливает некоторый изоморфизм
Е Д^ Е Д1 при к д ^ п0 — 2.
Далее, ядром эпиморфизма ВД - > ЕДДвляется ЕДД гХ'1 для всех д и, в силу 10.3.9, ЕД s^E^ g. Эти результаты могут быть объединены в следующей диаграмме:
< П с г®9^7^9+1.х О
7-127-100
й0, qд
в которой ряд точен, а вертикальные изоморфизмы имеют место для 1^^^. <п0—2.
- В силу 10.4.15 имеет место некоторый мономорфизм вДоД, о, коядром которого является подгруппа ЕР10 дТ группы р^Ер-г-
По 10.6.3 это коядро является нулем при 2<г<р —1<и0—1, так что мы снова имеем последовательность изоморфизмов, которые в совокупности определяют некоторый изоморфизм
В^о^Вр, о для 2О<и0.
Далее, коядром мономорфизма Ер^о —> ЕР10 служит Е^^дт, причем в силу теоремы 10.3.9, Е”,й^Е^о . Следовательно, в диаграмме
Ю.6.60> ^о1>^,о— —*Eq, Р_1
^р, О^Р, о
ряд точен,.а вертикальные изоморфизмы имеют место при 2^р^и0.
Комбинируя диаграммы 10.6.5 и 10.6.6 и дополняя их по коммутативности гомоморфизмами %, д, ф, получаем коммутативную диаграмму
0-> Е^1 Ekh,0 Ек, k_v ЕойЛ-1 0
0 —* Ей, о —* Es, о —* Eq, s-i —* Ео^ s-i —* 0 определенную при l<A<Tio. причем оба ряда этой диаграммы точны.
Нижняя последовательность из 10.6.7 и последовательность 10.6.4 вместе дают точную последовательность
Е20,Пй_1^>НПй_у(Х)^Е2й_1,0Ле20,Пй_2Я ... ..
Эту последовательность можно начать с Eo,no-i, так как правая половина диаграммы 10.6.7 в случае к^.п0—1 возникает из диаграммы 10.6.5. Оканчивается эта последовательность гомоморфизмом Hv (X)—> 0. Последовательность, существование которой утверждается в нашей теореме, получается из последовательности 10.6.8 с помощью формулы 10.6.1 и стандартных интерпретаций гомоморфизмов ф! и х%.]
Рассуждения такого рода обычно проводятся с помощью диаграмм, из которых заключения можно выводить неформальным путем. Мы познакомим читателя с этой техникой на страницах 405 — 412, где дана диаграмма, предназначенная для доказательства теоремы 10.6.2.
Мы видим, что t: Нк (В) —» Hk-i (F) по существу соответствует гомоморфизму.
dh-.Eto-^E^h_v.
Гомоморфизм t называется (гомологической') трансгрессией расслоения. Если не делать специальных предположений о В и F, то Е^, о (&>0) будет соответствовать той подгруппе группы Нк (В), которая является образом группы Нк (X, F) при проектировании р. Обозначим этот индуцированный гомоморфизмом р гомоморфизм через р*. Нк(Х, F)—> Нк(В). Далее, Ео, h-i соответствует факторгруппе Н^ (E)/(ker р*) v„ где v* : Hh (X, F) —> —» Hk_t (E) — гомоморфизм из гомологической последовательности пары X, F. Тогда гомоморфизм
t : Нк (X, Е) р* Н^ (E)/(ker pj v*задается формулой-
ю.6.9^ = [Uh l£Hh(X, Е).
Отображение t выполняет следующую функцию: берем какой-нибудь цикл z на S, являющийся проекцией некоторого относительного цикла у на X mod F. Ставим в соответствие циклу z границу цепи у, рассматриваемую как цикл на F. В этом общем случае произвольный элемент из Нк(Х, F) р* называется трансгрессивным. На ^-диаграмме, аналогичной 26 Заказ № 1335
диаграмме* 10.4.19, трансгрессивные элементы располагаются в квадрате, находящемся непосредственно над квадратом, соответствующим ^Е^. При трансгрессии они отображаются в квадрат на (к — 1)-диаграмме, расположенный непосредственно под квадратом, изображающим h-iE”. В теореме 10.6.2, в частности, утверждается, что при перечисленных в ней условиях каждый элемент группы ЯЙ(В) является трансгрессивным при 2 ^ к ^ па — 1.
Обратите внимание, что если не делать специальных предположений о группах гомологий пространств В и F, то мы не получим никакой последовательности (как точной, так и неточной), подобной 10.6.2, которая связывала бы группы гомологий пространств X, В и F, ибо, вообще говоря, не определен никакой связующий гомоморфизм Нь (В) —>- H^-i (F). Всегда имеет место некоторая последовательность
...-^Hh^^Ehhi0-* Ед, k_lHh_v (X)
которая точна на Е^ 0 и Eg й—1, но, вообще говоря, неточна на Н^ (X), что объясняется наличием ненулевых групп Е” д, у которых оба индекса р и q положительны. Например, если мы положим Х=5йх5й, B=S2, F=S2, то Н^ (Х) =J\=E”^, но^,4=4о=0.’
Из теоремы 10.6.2, точной гомологической последовательности пары X, F и 5-леммы мы получаем следующий результат:
. Теорема. Если. Яр(В) = 0 при 0<р<р0 и Яд(В) = 0 при O<_q<.qo, то
р^-.Нк^Х, F)^Hh(B) при l^kCn0 = p0+q0.]
Переходя к когомологиям, получаем соответствующие результаты:
с. Теорема. Если Яр(В) = 0 при О<р«<ро и Hq(F) = 0 при 0 <<q <_q0, то имеет место точная последовательность
Hn°~l (F) ^ Hn°'v (X)Я"0-1 (В) -1- ... — Я': (F)
Д Я^Х) Д Hh (Н)H'-^F)^- ... ^-ЯЧ^)^-0.|
В общем случае t* является отображением 6Й подгруппы
Ek,h-V = ^р*Нк (В)^ V*"1
группы Hk~1(F') в факторгруппу Ек’0 = Нк (B)/ker р* группы Hh (By Гомоморфизм Г называется ^когомологической^ трансгрессией и описывается формулой Z't]=[£], где p*£=v*T], г^Н^ЦЕу t,QHk(B). Произвольный элемент из
fp*Hk (В)}=
называется трансгрессивным.
с. Теорема. Если Н^В^О при 0<рСр0 “ Hq(F") = 0 при О<д<до, то
p*:Hk(B)^Hh(X,Fy 1<к<п0Д
Применяя второй раз формулы 10.6.1, 10.6.1с, мы предполагаем, что F является m-сферой (в действительности достаточно предполагать, что F имеет группы гомологий сферы Smy
. Теорема. Пусть F — произвольная m-сфера; тогда имеет место некоторая точная последовательность
^ Яй+1 (В) —» Яй_т (В) —» Яй (X) —» ... .
Доказательство похоже на доказательство теоремы 10.6.2. Соответствующую диаграмму можно найти на стр. 408. Из формулы 10.6.1 заключаем, что £у д = 0 при q^m, 0 и что, следовательно, Ep,q = 0 при q^=m, 0 и г = 2, 3, . .., оо. Следовательно, если к^тп, в фильтрации
0 S kDg с kD^ Sk^k-m-V — A^A-m — • • •
• • • s hDh_t c hDh = Hh (X)
все факторгруппы, кроме kDh_mlhDh_m_i и kDklkDk_t, тривиальны, включая и а^о/0- Следовательно,
Ek—m, m == kDk_m £= . . . i= А-^А-1
И
Н^Х^П^^Е^о-
Таким образом, мы получаем точную последовательность:
0->E£_m,m-> Нк(Х) Ek,0->0.
При г ^ 2, Ek—m,m^ — Ен—m—г, т4-т—1 = 0, так что каждый элемент ИЗ Ek-m, m является дГ-ЦИКЛОМ. Если 2<.r<.m, Ek-m^r, m-r-H = 0, так что никакой ненулевой элемент из Ек-т,т не является дг-границей. Значит, т-?3т-?т+1
С^к—т, т ==т = • • • = ^к —т, т*
Те элементы из Е™^ т, которые являются dm~*"^границами, принадлежат Е^О^1, И ’
7-17/14-277100
t-'k—m, т = ^k—т, т*
Следовательно, имеет место диаграмма
10.6.1310.6.136m+l к”п+2
10.6.13
10.6.13
^к-Ц., 0^к—т, т с^к—т, т —
Ek—т, тEk—m,m*
Подобными же рассуждениями устанавливается, что Еа+ц о отображается изоморфно на Е^цо, Е^2 0 отображается мономорфно в Еа^ц 0 с коядром Ea^V, о^т~^"^ и ЕГ+ц о ^ Efe+i, о- Следовательно, в диаграмме
0 ЕЙ2 о E^v\ о —^ Е^, m
Еа+цо Еа+1,о ряд точен.
Комбинируя диаграммы 10.6.13 и 10.6.14, мы приходим к коммутативной диаграмме.
О^ЕЙ2о ЕГЛ% -~“> ЕГ+т,т^<-Л,т^0
к
О' >Еа-]-1,0 > Ek+i, 0> Ek—m, т ' * Ek—т,т'—> 0,
в которой оба ряда точны. Из формулы 10.6.1 мы получаем, что Е2-т,т = = Hh_m (IT); комбинируя нижний ряд диаграммы 10.6.15 с последовательностью 10.6.12, мы приходим к искомой точной последовательности.]
Приведенное доказательство дает интерпретацию гомоморфизмов последовательности 10.6.11. Эта последовательность и ее когомологический аналог, выписанный ниже, были найдены Гизиным (Gysin W., Сотт. Math. Helu., 14(1941), 61) и потому называются последовательностями Гизина.
с. Теорема. Для любой т-сферъг F имеет место некоторая точная последовательность
...Н*^'^ <- Нк+ЦВ} Л ЯА'т(В) <-ЯА(Х)<- ...]
. Следствие. Не существует такого расслоения р-.Х—»ВТ в котором X стягиваемо, F—некоторая т-сфера, т>1, и В — полиэдр некоторого конечномерного 1-связного комплекса.
В самом деле, из 10.6.11 видно, что Нк (В) = J при & = (т-М), 2 (т 4-1), 3(т + 1), ... .]
В нашем третьем применении мы предполагаем, что В—некоторая m-сфера, т>1. Получающиеся гомологическая и когомологическая последовательности впервые были построены Ваном (Wang Н. С., Duke Math. J., 16 (1949), 33). Предоставляем читателю доказать т) следующую теорему:
. Теорема. Если В является т-сферой, т>1, то имеет место последовательность Вана
,..->Hk^^ Нк (X) -> Нк_т (F) Л Hh_t (F) -> .. . .]
Отметим, что 0 определяется с помощью дифференциала
^7П . Т7тх Z?m
О . Нт, к—т. ■С'0 , к— 1*
В самом деле, отождествив Ет,и-т с Нт {В) 0 Нк_т (F) и E™k_i с Но (В) 0 Hk-t (F), можно 0 определить формулой:
(а0 |) dm = i ® £0,
где о — фиксированный образующий элемент группы Hm(B), 1—фиксированный образующий элемент группы Н0(В) и ^^Hh-m^F).
с. Теорема. Для любой т-сферы В, т>1, имеет место точная последовательность Вана
... +-Hk(F) 41 Нк (X) <— Нк~т (F) I- Hk~v (F)^-... .J
При этом 0" описывается формулой
с6m(i®^) = o®0^;
здесь мы применяем утверждение 5.4.25 к 10.6.1с, поскольку группа Я* (В) имеет конечное число образующих в каждой размерности; при этом о — фиксированный образующий элемент в Нт^В'), i фиксированный образующий элемент в Я0 (В) и £ £ Я'^1 (В).
По теореме 10.5.11, 6т действует на произведение по обычным для всякого когомологического дифференциала правилам. Значит,
6™ ((I 0 ^) (I ® Г)) - 6m (I ® |) • (I 0 Г) + (-1)9 (I 0 |) ■ 6m (I 0 Г),
Г) Серр в цитированной работе выводит утверждения 10.6.2, 10.6.11, 10.6.17 из одной теоремы, описывающей условия, при которых из спектральных последовательностей, обладающих некоторыми особыми свойствами, получаются точные последовательности.
где dim ^> = q. Следовательно,
о®0' (gD = (о ® 0’1) (I ® Г) + (-1)9 (i 0 I) (а 0 ОТ) =
= о®(0Ж + (-1)9(-1)9то®^(0Т) (см. 9.4.8).
Таким образом, мы доказали
. Пред ло же и и е. Пусть В—какая-нибудь т-сфера, т>1, а отображение
описывается формулой 10.6.18с. Тогда1') при нечетном т
о- ш=(0^)г+ит> при четном т
0-(^') = (еЖ' + (-1)Ч(0Т), где dim g - <;.]
В двух последующих примерах мы применяем теорему 10.6.17 и предложение 10.6.19.
. Пример. В § II.3 было указано, что отображение р;Е(В)—>В является расслоением со стягиваемым расслоенным пространством Е (В) и слоем Q (В). Пусть В = Sm, т>1. Вычислим кольцо когомологий пространства Q5™. Из теоремы 10.6.17с, формулы II.2.7 и теоремы об изоморфизме Гуревича 8.8.5 следует, что Н* (QS™) —- 0, если только размерность п=^=к(т— 1); если же размерность п = к(т—1), то Hn = J.
Пусть теперь т нечетно. Тогда можно доказать индукцией по (к-\-1), что если образующие элементы tjW групп Нк^т 11 (QSm) выбраны так, что 0*T](k) = ц(& — 1), ТО
цМцО) = ^к, /) цС^+О,
где (к, Z) — биномиальный коэффициент (к-\- Г)\/кШ В самом деле, используя предположение индукции и утверждение 10.6.19, получаем
0* (ц^цО)) — ц(^— Оц(0 _j_ т^С^)^^-О =
= (к — 1, Z) ц(А+г-1) _L (к, Z— 1) цС^+'-О =
= (к, Z) т^с^Ч-^—1) = 0" ^к, Z) т]№+г)).
Но 0" — изоморфизм, и тем самым равенство 10.6.21 проверено. B*(Q5m)— это, по определению Картана, алгебра деленных степеней; если т| = т|(1), то можно «разделить» тр на п\ и получить в результате ц^). Рассматривая B*(QSm) как алгебру деленных степеней, можно сказать, что В* (QSm) порождается элементом цО).
Случай четного т несколько более сложен. Рассуждение здесь вполне аналогично проведенному выше, разница же в заключении объясняется тем, что в утверждении 10.6.19 различаются случаи четного и нечетного т. Опуская детали, сформулируем только результат: В* (QSm) изоморфно тогда тензорному произведению внешней алгебры, порожденной элементом цС), на алгебру деленных степеней, порожденную элементом т](2\ На самом деле как кольцо B*(Q5m) порождается элементами т](г\ которые подчинены следующим соотношениям:
(Т]<1>)2 —(J,у^1>^<2^> — <q<2k>jj<l> _ T|<2h+1>,
rj<2^>1-)<2i> — Qt^ Ц ^<26+20
!) Обратите внимание на «трюк», о котором говорилось в сноске на стр. 352. Изменение знака возникает от перестановки элемента g «степени» q с элементом 6" «степени» (т — 1).
Главным образом для того, чтобы показать, насколько удобно использовать диаграммы в вычислениях со спектральными последовательностями, мы пересчитаем группы гомологий пространства Q5m, не прибегая к теореме 10.6.17 (но, конечно, используя формулу 10.6.1). Для этого представим группы Ep,q точками (р, д) на декартовой плоскости. Тогда горизонтальная ось (д = 0) соответствует группам гомологий базы и вертикальная ось (р = 0) — группам гомологий слоя. Далее, дифференциалу д2 соответствует определенный ход коня на плоскости1). Наша цель — исходя из неполных сведений о Е3 и Е°°, получить более полные сведения.
Переход от Ер, q к Е”, q заключается в последовательном взятии факторгрупп от соответствующих подгрупп. Первой такой подгруппой служит ядро гомоморфизма d2: Ер, q —> Е2р_^ qw а ядром проектирования на Ер, q
Ег
Р
является Е^р^ q_td^. Группы, связанные гомоморфизмом д2, можно соединить на диаграмме стрелками. Переход от Ер, q к Ер, q является изоморфизмом, если обе группы Ep_2i q+1 и ^+2, д-1 тривиальны или если группа Ер, q
—IIIIIIIр
тривиальна. Следовательно, переход от £2 к Е3 . не будет изоморфизмом только в том случае, если существует такая пара групп, связанных гомоморфизмом д2, ни одна из которых не является тривиальной. С другой стороны, если в каждой из таких пар хотя бы одна группа тривиальна, то нет необходимости различать Е3 и Е3. Однако на диаграмме, соответствующей
!) Определение см., например, в кн. Стоунтона (Staunton Н., Chess Praxis, Bohn, 1960, р. 3).
группе Е3, стрелки идут из (р, q) в (р— 3, q 2), а на диаграмме, соответствующей группе Ег, стрелки идут из (р, q) в (р— г, g-i-r — l) —можно представлять себе неформально эти переходы как обобщенные ходы коня.
Предположим теперь, что для некоторых р, q нам известно, что группа Е”, q тривиальна, а группа Ер, q не тривиальна. Каждый элемент группы Ер, q должен быть «убит» на некотором переходе к факторгруппе подгруппы. «Смерть» может наступить либо от того, что элемент не является Э7-циклом ни при каком г, либо от того, что он при некотором г является Э7-границей. В любом случае «жертва» с помощью Зт связывается с некоторым ненулевым элементом. Элемент группы Ер, q, который в Ер, q еще «жив», представляет в действительности некоторый класс смежности группы Ер, д, так как элементы группы Ер, q есть не что иное, как такие классы смежности. Если на следующем этапе этот класс смежности «погибает», то естественно сказать, что мы «убили» представляющий его в Ер, q элемент.
Применим теперь этот метод при вычислении группы Н*^й8ту т^>1, рассматривая, как и раньше, стягиваемое расслоенное пространство Х = -E(Sm) с базой B = Sm и слоем F = й^8гау Здесь Шп(Х) = 0 при п>0 и, значит, в силу предложения 10.3.7, пЕ^ = 0 при п>0. По формуле 10.6.1, Ер, д ^ Нр (Sm; Hq(F)); следовательно,
Ep,q^Hq{F), если р —- 0 или р — т
Ер,д = 0в остальных случаях.
Значит, Ер,д = 0 при р=^0, т и. г = 2, 3, . .., оо.
Так как гомоморфизм 8Т связывает группы, р-координаты которых отличаются на г, единственное значение г > 2, для которого может существовать пара ненулевых групп, связанных гомоморфизмом 8Т, есть г — тп. Следовательно, Е^^Е3^ ... ^Ет и gm+i~ .. . ^Ет.
Но пЕ” = 0 при п>0, так что ^^ = 0 при ^>0 H^^mVg-i = 0 при ?>1— т. Каждый ненулевой элемент группы Ет, q еще жив в Е™, q- Чтобы он погиб, гомоморфизм 8т должен перевести его в некоторый ненулевой элемент группы E™,m+q_v Следовательно, отображение
ДТП . рт . Рт
v . ILm> q■Е'0, m + g —1
мономорфно. Каждый ненулевой элемент группы Eq, q- в Е™, q- еще жив; чтобы на следующем этапе он погиб (если ^' >0), гомоморфизм 8т должен переводить в него некоторый элемент группы Em, g-_m+i- Следовательно, ■отображение
д т , рт . рвг
v » 1Ът> q > ILQ>m + q—^
-эпиморфно при q > 1 — т. Значит,
10.6.2210.6.22дт-.Ет, q=E™,m+q_i при д>1 — т.
10.6.22
10.6.22
Нам известно, что Em, q = 0 при q < 0 и что Em, o = J, так как Но (Е) = = J. Следовательно, E™,q- — 0 при 0</<т—1 и E™,m_i = J. Мы знаем также, что Е™, q = Е^, q = Нд (F) для всех q. Отсюда по индукции получаем, что
гт \ J-, ecanq = k(m— 1), где к — целое неотрицательное число, о \Г ) === л
4 х 10 в остальных случаях.
В самом деле, при рассмотрении диаграммы заключение становится совершенно очевидным. Использование диаграмм при вычислениях со спект
ральными последовательностями, как и любой другой подход, в сильной степени связано с формулой 10.6.1, которая позволяет получать S2, основываясь На сведениях о Е^, о (при всех р) и Eq, q (при всех ду В частности, этот подход применим, когда все члены группы Е” тривиальны в очевидном смысле. После некоторой практики читатель научится обращаться и со смешанной диаграммой, включающей, как это было у нас, члены Я2 и все
дифференциалы дТ, г >2. Сосредоточив внимание на изогонали p-Vq = n нашей диаграммы, мы обнаружим, что член пЕ” состоит из частей групп Ер, q, стоящих на этой изогонали и образованных элементами, которые выживают при «атаке» на них дифференциалов дт, г>2.
Для доказательства теоремы 10.6.2 подходит диаграмма, изображенная на стр. 408 внизу.
На ней k-<p0-Vq0, так что ненулевые члены на изогонали р + д = к могут стоять только в точках (к, 0) и (0, к). Все дифференциалы дг, 2<_г «<к, переводят Е^, о в нуль, и никакой ненулевой дифференциал дг при 2<г<к «не оканчивается» в Eq, h-i. Значит, на диаграмме, представляющей Е”, в точке Qt, 0) изогонали р + д — к стоит как раз kerdft, а в точке (0, к1)— coker dft+1.
Для доказательства теоремы 10.6.11 подходит такая диаграмма: ■
На изогонали р -г д = к ненулевые члены могут стоять только в точках (к, 0) и (к— т, ту Дифференциалы дТ, 2<.г<_т, соединяют Aj+i.o с нулем, и никакой нетривиальный дифференциал 8Т при 2<^r^m «не оканчивается» в EV-т, т- Следовательно, на диаграмме, представляющей Е”, в точке (к, 0) изогонали р-\ д = к стоит kerdm+1, а в точке (А — т, т) — coker dm+1. •
Аналогичные диаграммы полезны, конечно, и при вычислениях когомологий. Мы воспользуемся такой диаграммой в примёре 10.6.24.
Дадим теперь ряд связанных между собой приложений, показывающий, как можно использовать спектральную теорию для вычисления гомотопических групп сфер. При этом мы преследуем только одну цель: возбудить интерес читателя и подготовить почву для более систематического изучения. Разбирая следующий пример, мы используем не доказанный в этой книге результат: любые два пространства Эйленберга — Маклейна А (л, и) с одинаковыми л и п имеют изоморфные группы сингулярных гомологий.
Пример. Кольцо когомологий пространства К (J, 2) представляет собой кольцо полиномов, порожденное элементом группы H2{K{J, 2)).
Пространство А (л, м) было определено в конце §7.4 как некоторое пространство, гомотопические группы которого во всех размерностях, отличных от п, равны нулю, а п-я гомотопическая группа совпадаете л. Тогда же было отмечено, что окружность S1 представляет собой пример пространства K(J, 1). Из II.2.7 вытекает, что QA (л, м) является А (л, п — 1) пространством, так что гомотопические группы и группы гомологий пространства QA (J, 2) те же, что и у 51. Применим предложение II.3.4, взяв в качестве базы А у, 2), и рассмотрим соответствующее стягиваемое расслоенное
пространство с базой К (J, 2) и слоем, группы гомологий которого совпадают с группами гомологий окружности 51. В этой ситуации мы можем воспользоваться когомологической последовательностью Гизина 10.6.11с.
Гомоморфизм ф последовательности Гизина определяется с помощью дифференциала 6т+1 (ср. с определением отображения 6" в 10.6.18 с). Если мы выберем знак *) ф так, чтобы
6m+1 a®a)=(-i)p^® I, где gg№(B), о — образующий элемент, выбранный в Ят(В), и i — образующий элемент, выбранный в H°(F), то так же, как при доказательстве предложения 10.6.19 (только еще проще), можно показать, что
ф (Bn) (фВ) п = (— 1)(т+°В (фп)-
В нашем случае т — 1 и X стягиваемо, так что
ф:#^1 (В^Н1^1 (В).
Так как H°(B) — J и, в силу теоремы Гуревича об изоморфизме, Н1 (В) = 0, получаем, что
Hk(K(J, 2)) =Hk(K(J, 2)) =J при четном к, 0 при нечетном к.
Hk(K(J, 2)) =
Hk(K(J, 2)) =
Обозначим через! единицу кольца R*(K(J, 2)). Тогда ф(1) порождает группу Н2; положим ф (1) = |. Имеем: ф (^‘) = ф (l£fe) = (ф1) g,£ — £k+1. Индукцией по к получаем, что gfe порождает группу H2h и что R*(K(J, 2)) — кольцо полиномов, порожденное элементом £.]
Как мы уже отмечали в § 7.4, примером K(J, 2) пространства является С(оо), бесконечномерная комплексная проективная плоскость. Чтобы установить это, мы обобщим отображение Хопфа (см. § II.3) до некоторого расслоения 52n+1 —> Cw, где С^—комплексное проективное пространство комплексной размерности п. Слоями служат большие окружности, и с помощью II.1.35 и II.3.8 можно доказать, что л2 (C<n>) = J и что лг(С(п>) —0, если г = 1 или 2 < г < 2п -Р 1. Используя очевидное включение пространства С<п> в пространство С<п+1\ переходя к пределу и вводя в множество U С№ подходящую топологию, мы получаем пространство С(оо). Так как можно доказать, что включение пространства Cw в пространство С(п+1) индуцирует изоморфизмы гомотопических групп в размерностях < 2н, то л2(С(оо)) = 7 и лг (С(оо)) = 0 при г 2.
Пример. л4(53) = 72.
В гл. 6 мы говорили о том, что технику уничтожения фундаментальной группы, заключающуюся в переходе к универсальному накрывающему про- -странству, можно обобщить. А именно, если пространство В (п—1)-связно, то существуют пространство X и расслоение р : X —» В, такие, что р* : лг (X) ~ лг (В) при г>п и лг(Х) = 0 при г<^п. В силу II.3.8, слоем тогда должно служить некоторое А(л„(В), п — 1) пространство.
Рассмотрим случай В —- 53; слой здесь является К (J, 2) пространством, кольцо когомологий которого было подсчитано в примере 10.6.23. Для вычисления Н* (X) можно использовать последовательность Вана 10.6.17 с и предложение 10.6.19. Если £— тот элемент, порождающий кольцо
0 Гомоморфизм ф зависит от выбора изоморфизмов Нк+1 (5) a E^ + *’ °, Нк-т (5) в = Е^-™’ mi в частности, замена одного из этих изоморфизмов на отрицательный меняет знак гомоморфизма ф.
R*(K(J, 2)), который фигурировал в примере 10.6.23, то 6" (gk) = к^ К Следовательно, 6': Нгк (F) —» Я2к-2 (F)—мономорфизм с коядром Jh. Далее, дак-1 ^ ,_ дак-т д д 2)) = 0. Из точности последовательности Вана
.. .Н**1 (F) «- Я2к+1 (X) «- Нзк^ (F) 2-
^- IPk (F) №к (X) <— Я2к"3 (F)<-...
заключаем, что Я2к+1 (X) = А и Я2'1 (X) = 0 при к > 0.Соответствующая Е2 диаграмма выглядит так:заключаем, что Я2к+1 (X) = А и Я2'1 (X) = 0 при к > 0.Соответствующая Е2 диаграмма выглядит так:
заключаем, что Я2к+1 (X) = А и Я2'1 (X) = 0 при к > 0.
Соответствующая Е2 диаграмма выглядит так:
заключаем, что Я2к+1 (X) = А и Я2'1 (X) = 0 при к > 0.
Соответствующая Е2 диаграмма выглядит так:
Все входящие в нее группы равны J, а гомоморфизм 63 состоит в умножении на к. Соответствующая Ет диаграмма такова:
<
'E^Zk2=JK
р~3р
Когда на диаграммах надо отразить действительные значения групп, удобнее заменить «точки» (р, д) на «ящики».
Тогда Есо диаграмму можно представить так:
10.6.2510.6.25
10.6.25
10.6.25
Вернемся к гомологиям. Из полученных результатов следует, что Я2й(Х)=/й и Я2а-1№ = 0 при к>0.
В частности, Я4(Х) = /2. Но так как лг(Х) = 0 при г<СЗ, то, по теореме об изоморфизме Гуревича, л4 (X) = Н4 (X) = J2. Итак,
Р* : л4 (X) ^ л4 (В) = л4 (X3), откуда л4(53) = 72.|
В следующем примере используется относительная теорема Гуревича об изоморфизме 8.8.8. Вспомним функтор 5 из § 8.5, который ассоциирует с произвольным пространством X надстройку SX и с произвольным отображением / : X —» У надстроенное отображение 5/ : SX —» SY. Очевидно, 5 (5") = = 5”+1, и нетрудно показать, что соответствие f-^Sf индуцирует гомоморфизм
ст : лп (5'”)-^ лп+1 (Х™*1).
Теорема. Надстроечный гомоморфизм Фрейденталя
а: лп (Sm) —> лп+1 (5^+1)
является изоморфизмом при п<.2т— 1 и эпиморфизмом при п = 2т-—1.
Опишем сначала некоторое соответствие а-^а, реализующее изоморфизм к : лп+1 (5m+1) ^ лп (Q^"1*1) из II.2.7. Замкнутый след
j=J(1>:5"X.I->Sw
пунктированной сферы Sn, х* в 5n+1 на х*, описываемый формулами II.1.4, можно скомбинировать с произвольным отображением /: 5n+1, ж#—>5т+1,ж* и получить отображение
jf : Sn х I Sm+1,
а в обозначениях § II.2 отображение
"jf:Sn->(Sm+iy.
Для каждой точки x£Sn, xjf представляет собой замкнутую петлю на х* (длины 1), так что образ при jf лежит в Q, (5m+1), пространстве петель длины 1. Таким образом, с каждым отображением f:Sn+1~»Sm+1 мы ассоциируем отображение jf: 5n-^Q4 (Sm+1); тем самым каждому элементу a g лп+1 (5m+1) мы ставим в соответствие некоторый элемент а С 6 лДЙ^1).
Сферу 8т можно вложить в Q15m+1, перейдя от отображения j : Sm X I —> Sm+1 к отображению / : 5m-^ Qt (5m+1); при этом, j индуцирует гомоморфизм j* : лп (8т) —> лл (Q^™4"1), такой, что j* — ax. Так как о на лт (Хт) несомненно является изоморфизмом, то и j* на лт (5т) изоморфно. Из относительной гомотопической последовательности пары (Q^”1"1"1, 5m) мы выводим, что лт (Q15m+1, 5m) = 0 и что (это тривиально)
лп (Q15m+1, Smi — 0 при п < т.
Из относительной теоремы Гуревича об изоморфизме теперь следует, что НДЙ^1, 8т) = 0 при п<т.'
Но в 10.6.20 было доказано, что Hn(Q15m+1)=0 при т < п -< 2т и что Н^т (Q!5m+1) = J. Следовательно, из гомологической последовательности пары (Qt5m+1, 5m) можно заключить, что Hn(Q15m+1, 5m) = 0 при п < 2т и что Н2т (Q^1, Sm) S Н^ (Q^+i) = J.
Еще раз применяя относительную теорему Гуревича об изоморфизме, получаем, что лп (Q15m+1, 5m) = 0 при п <_ 2т и что л2т (Qi5m+1, 5т) — J. Из гомотопической последовательности пары (Q15m+1, 5m) теперь видно, что J* изоморфно на лп(5т) при п<;2т—1 и эпиморфно при п = 2т — 1 (причем ядром служит некоторая факторгруппа группы J). Заключение теоремы теперь вытекает из равенства Д = ах.|
Следствие. Если т>3, лт+1 (5m) = J.,.
В самом деле, л4(53) = /2 и 4 <(2x3)— 1; значит, л4 (53) ^ л5 (54). Вообще если тга>3, то лт+1 (Sm) ^ лт+2 (Sm+1)J
И наконец сделаем одно замечание. Серр показал, что теорему об изоморфизме Гуревича можно применить к р-примарным компонентам (см. § 5.1) рассматриваемых групп. Таким образом, если группы гомологий 1-связного пространства X конечны и р-примарные компоненты их в положительных размерностях, меньших и, равны нулю, то гомотопические группы этого пространства в тех же размерностях конечны и их р-примарные компоненты равны нулю, а р-примарные компоненты групп Нп (X) и лп (X) изоморфны. Таким образом, возвращаясь к формулам 10.6.25, мы можем заключить, что р-примарная компонента группы лп (53) равна нулю при п < 2р, а р-примарная компонента группы л2р (53) равна Jp. Грубым следствием отсюда является то, что группа лп (53) нетривиальна для бесконечного множества значений и.
§ 10.7. Гомологии и когомологии модулей и групп
Понятие абстрактной группы гомологий (и когомологий) играет важную роль в различных областях математики. Первоначальная идея была подсказана теоремой Гуревича: если лг(Х) = 0, 1<г<п, то группа л4 (X) определяет группы ЯГ(Х), Кг<п, и факторгруппу группы ЯП(Х) по ее подгруппе сферических классов гомологий. Первым результатом была общая формулировка, предложенная Хопфом для случая п = 2. Хопф дал тогда некоторое общее описание групп гомологий произвольной абстрактной группы л и доказал, что они изоморфны группам гомологий некоторого пространства X (л), фундаментальной группой которого служит л и универсальное накрывающее пространство которого ациклично во всех размерностях. Исследование было продолжено Экманом, Фрейденталем, Эйленбер- гом и Маклейном; они определили группы когомологий произвольной абстрактной группы и затем связали их с группами когомологий пространства X (л). (Конечно, если X — такое пространство, что л4 (X) = л и лг (X) — 0, 1 < г < п, то группы гомологий пространства X в размерностях < п совпадают с соответствующими группами гомологий пространства X (л).) Эйленберг и Маклейн глубоко исследовали как топологическое значение, так и алгебраическую природу групп когомологий групп и обобщили эту идею при изучении комплексов Эйленберга—Маклейна. Наше изложение во многом восходит к лекциям Эйленберга на Парижском семинаре по алгебраической топологии в 1950—1951 гг.
Хотя главный интерес представляют для нас группы гомологий групп, естественно обращаться с ними как с частным случаем групп гомологий модулей. Наша первая задача в этом параграфе — определить группы гомологий левых л-модулей.
Определение. Пусть R— кольцо (не обязательно коммутативное) с единичным элементом 1; левым R-модулем А называется абелева группа, на которой задано некоторое умножение г-а, определенное для всех r^R. а^А, со значениями в А, подчиненное условиям
(г+г')-а — т-а-\-г'-а;
г • (а + «') = т-а + г-а';
(гг')-п = г-(г'-п);
1-а = а, где г, т' ^R и а, а'^А.
Когда мы имеем в виду абелеву группу, получающуюся, если 7?-модуль А освободить от операций, связанных с кольцом R, мы будем писать А. Аналогично определяется правый R-модуль с произведениями а-г, для которых
a-(rr') = (а-г)-г'.
Ясно, что любое векторное пространство над произвольным полем F является некоторым /’-модулем (левым и правым одновременно) относительно обычного умножения вектора на скаляр. Далее, аддитивную группу любого кольца можно наделить структурой R-модуля (левого или правого), используя заданное в R произведение.
Мы будем рассматривать только тот случай, в котором кольцо R является групповым кольцом J (л) некоторой группы л. Так называется кольцо, элементами которого служат конечные формальные суммы 2wi?o n^J, g; € л, с очевидными сложением и умножением. Мы будем /(л)-модули называть просто л-модулями. Очевидно, структура модуля А позволяет представить л как группу левых операторов на А: для каждого ^л и каждого аРД определено произведение с-а как некоторый элемент группы А, причем
^.(а + а') = ^-а + ^.а';
^>а=и£-ау,
1-а = а.
Обратно, если л действует как группа левых операторов на абелевой группе А, то можно определить произведение г-а для любых г^/(л), аРА по следующему правилу:
(3«i^)-a= 2 й! ^-аУ
При таком определении А превращается в некоторый л-модуль А. В случае л = 1 довольно трудно отличить л-модуль от обычной абелевой группы,, вследствие чего утверждения о л-модулях можно рассматривать как обобщения утверждений об абелевых группах.
Пусть G—какая-нибудь абелева группа. Тогда левые операции на группе G, отправляясь от некоторой группы л, можно ввести различными способами. Действительно, любой антигомоморфизм группы л в группу АиЦСу группу автоморфизмов группы G, определяет некоторую такую- операцию; здесь под антигомоморфизмом понимается преобразование, которое сохраняет произведение, но меняет порядок сомножителей на обратный. В частности, всегда имеется хотя бы одна такая операция (она соответствует антигомоморфизму группы л в единичный элемент группы Aut (Gy,. при которой для всех £ Е л и g Е G, £ • g = g. Один и тот же символ G можно- использовать как для обозначения абелевой группы, так и для обозначения описанного левого л-модуля, который можно назвать тривиальным левым л-модулем на G; саму операцию при этом можно называть тривиальной операцией.
Пусть А и R— левые л-модули; л:-гомоморфизмом ф:А—>R называется гомоморфизм ф:А—>5, сохраняющий действие операторов, т. е. такой, что для всех r^J^, а^А, (г • а) ф = г • (аф). Левый л-модуль Р называется «^проективным (ср. с § 5.3), если для любой диаграммы л-гомоморфизмов, в которой ф зпиморфно, существует л-гомоморфизм а;Р —>А, такой, что «ф = р. Левый л-модуль F называется к-свободным, если он содержит такое множество элементов {/;}, называемое л-базисом л-модуля F, что
каждый элемент из F единственным способом представляется в виде конечной суммы 2^Д, n^J^, h^AhY Это равносильно тому, что множество-
{£-/Д, гДе 6 пробегает л, образует некоторый свободный базис группы F. Как и в § 5.3, можно доказать, что любой л-свободный модуль является л-проективным.
Предложение. Левый ^-модуль тогда и только тогда п,-про~ ективен, когда его можно вложить в качестве прямого множителя в некоторый к-свободный модуль. -
Пусть F есть л-свободный модуль и F = FY@ F2. Мы должны доказать, что модуль F^ проективен. Любой л-гомоморфизм р1:В1-^В можно продолжить до некоторого гомоморфизма р : В —» В, положив ^F^ р = 0. Пусть, дана диаграмма
в которой ф эпиморфно. Так как группа F л-свободна и, значит, л-про- ективна, существует л-гомоморфизм a: F —^А, такой, что aq) = р. Тогда, полагая cq = а В,, получаем а^ = рР Этим л-проективность модуля Bt доказана.
Пусть теперь В — проективный л-модуль и В—свободный л-модуль, построенный на образующих {/р}Р£Р, заиндексированных элементами модуля Р. Тогда соответствие tp-^P определяет некоторый л-эпиморфизм ф:В-^Р. Рассмотрим диаграмму
Так как ф эпиморфно, а модуль Р л-проективен, существует некоторый л-гомоморфизм a:P—>F, такой, что аф = 1 : Р -^Р. Как и в теореме 5.1.9, а вкладывает Р в В в качестве некоторого прямого множителя.}
Хотя в настоящий момент наше внимание приковано к левым л-моду- лям, в дальнейшем нам понадобятся также и правые л-модули, но мы не будем обременять читателя формулировками соответствующих определений и результатов.
Для того чтобы определить группу гомологий левого л-модуля, нам понадобится несколько вспомогательных понятий. Правый л-комплекс
{С; 8, е) — это цепной комплекс (С, д), такой, что Cq = 0 при ^<0, каждое €q является правым л-модулем, а 8 является л-эндоморфизмом вместе с пополнением е, представляющим собой некоторый л-гомоморфизм е: Со—> J, причем dje = 0 : С, —» J. (Здесь в соответствии с принятым соглашением J обозначает тривиальный правый л-модуль на J.) Пополнение в таком смысле является обобщением пополнения е, определенного непосредственно перед теоремой 3.4.14.
Назовем л-цепным отображением <р : (С; 8, е)—»(С'; д', е") л-комплексов любое цепное отображение <р:(С; 8)—>(С'; д'1), которое является л-гомомор- физмом и дополнительно удовлетворяет равенству е = <рое' : Со —»I.
Говорят, что л-комплекс С л-проективен (л-свободен), если каждый л-модуль Cq является л-проективным (л-свободным).
Для произвольного л-комплекса С можно так же, как для обычного комплекса, определить группы гомологий Н* (С); последние также имеют структуру л-модулей, так как 8 является л-эндоморфизмом. Говорят, что л-комплекс С ацикличен, если Hq^Q^O при 9^=0, а пополнение е индуцирует некоторый л-изоморфизм группы Но (С) на группу J. Эквивалентный и более полезный критерий ацикличности л-комплекса состоит в том, что последовательность
Г f 9> 9 Г % Г % J ч лq q-1 1 * 0
должна быть точна.
Выберем теперь для заданной группы л некоторый привилегированный правый л-комплекс С (л), л-свободный и ацикличный. Может показаться удивительным, что мы захотели особо выделить л-комплекс со столь безобидными свойствами. Однако он послужит нам инструментом при отнесении произвольному левому л-модулю А некоторого цепного комплекса (не л-комплекса), группы гомологий которого будут называться группами гомологий л-модуля А. Те, кто изучал гомологическую алгебру, могут узнать в С (л) некоторую /(л)-проективную резольвенту л-модуля J.
Начнем с того, что определим Cq (л) как свободную абелеву группу, порожденную множеством всех упорядоченных наборов (|0, ад ..., ^, £;£л, из ^4-1 элемента. Действие группы л на группе Сд(л) определяется формулой
(^0, ^)
и условием линейности. Таким образом, Сч (л) является правым л-модулем; множество элементов вида (1, ад . .., ад, где 1—нейтральный элемент группы л, служит его л-базисом. Следовательно, Cq (л) есть л-свободный модуль.
Граничный гомоморфизм определяется, как обычно, по линейности из соотношений
(^о, .... ^)^=S Н)Ъ .... L ^).1=0.
Доказывается, что 88 = 0; при этом ясно, что 8 является л-гомомор- физмом. Пополнение е описывается формулой
и условием линейности. Гомоморфизм е является л-гомоморфизмом; в самом деле, группа л действует на J тривиально, и
(ад ад^ = (аде-(уе = о,
откуда д^ —0. Итак, мы проверили, что (С (л); д, е) является л-свободным правым л-комплексом.
Обратите внимание, что CQ = J (л), где J (л) наделяется структурой правого л-модуля, соответствующей заданному в J (л) произведению.
Теорема. Комплекс С (л) ацикличен.
Доказательство этого утверждения почти совпадает с доказательством ацикличности комплекса KB(s) (см. доказательство теоремы 3.5.1). При этом наличие л-структуры в С (л) не играет в доказательстве никакой роли— мы будем рассматривать С (л) просто как цепной комплекс. Пополним С (л) до С (л), взяв в качестве С_х (л) циклическую группу, свободно порожденную элементом ( ), упорядоченным пустым множеством элементов группы л. Группу С_х (л) можно отождествить с группой 7; при этом ( ) отождествляется с 1, а гомоморфизм д0— с гомоморфизмом е.]
Теперь мы распространим понятие тензорного произведения с абелевых групп на л-модули и определим М 0 nN, где М— правый л-модуль, a N— левый л-модуль, при этом М ® nN будет абелевой группой без л-струк- туры. В действительности, М ® nN представляет собой абелеву группу, порожденную парами т ® п, т^ М, n^N, связанными следующими соотношениями:
^m-V-m') ® п = т ® п-^-т' ^ п;
т ® (пА-п') = т 0 п-^т ® и';
для любого ^л, (т-^) ® п = т ® (£• п).
Соотношения (а) и (б) определяют группу М ^ N, так что можно сказать, что М ® nN получается из М ® N в результате введения соотношений (в).
Пусть С—правый л-комплекс, а А— левый л-модуль. Определим некоторый цепной комплекс С 0ЯА с пополнением следующим образом:
(С ® яЛ)р = Ср ® ЯА,
(е ® а) д = (ед) ® я, с^С, aQA,
(е ® а) е = (ее) ® a £ J ® „А.
Легко проверить, что данные нами определения отображений д, е имеют смысл, поскольку они согласуются с соотношениями (а) — (в). Следовательно, пополнение е представляет собой некоторый гомоморфизм 8 : (С ® ЯЛ)О—> —>J 0 ЯЛ. Но произведение J 0 А канонически изоморфно группе А, поэтому можно считать, что J 0 ПА возникает из группы А добавлением отношений (в). Так как группа л действует на J тривиально, эти соотношения порождают абелеву группу, обозначаемую через Ля, которая является факторгруппой А по ее подгруппе, порожденной множеством элементов вида а — (В-а), где ^л, а^А. Мы не будем различать J 0 „А и Ап.
Для любого левого л-модуля А определим теперь С (л; Л) как С (л) 0 ЯЛ и положим
НДл; А)=-Н^С(л-, Л)).
Так как С0(л) = 7(л), то Со (л; Л) = J (л) 0 ЯЛ ^ А, где изоморфизм определяется соответствием ^ ® а —> ^ • а. Так как д0 = 0, Zo (л; Л) ^ А. Далее, группа ВQ (л; А) порождается элементами вида
((Во, BD ® «) 5 = (Bi) 0 а— (Во) 0 а;
27 Заказ № 1335
следовательно, она канонически изоморфна ядру проектирования А—>Ап. Значит, имеет место некоторый канонический изоморфизм т* : Но (л; Л) —-> Ля.
Любой л-гомоморфизм ф : А —> В левых л-модулей очевидным образом индуцирует некоторое цепное отображение ф : С (л; Л) —> С (л; В), а значит, индуцирует и некоторый g-гомоморфизм ф* : Н* (л; Л) —-> Н* (л; В).
Для любой точной последовательности 0—-Л'—>аДа"^>0 левых л-модулей и л-гомоморфизмов последовательность
0-^С(л; АдДбДл; А) Л С (л; А")->0
тоже точна, поскольку комплекс С (л) л-свободен. Чтобы убедиться в точности рассматриваемой последовательности на С (л; А'), достаточно обратиться к теореме 5.2.7, заметив при этом, что наличие л-структуры не вносит никаких осложнений. Следовательно, по теореме 5.5.1, имеет место индуцированная точная последовательность
. . . -^ЯДл; А')Хнд(л; А^Нд(л; А^^Нд^л; А')—» ... .
Мы будем рассматривать группы Я* (л; А) и гомоморфизмы т*, ф*, v*. как некую систему, систему гомологий левых л-модулей. Свойства этой системы гомологий перечислены в следующей теореме.
Теорема. Система гомологий левых л-модулей обладает следующими свойствами:
если ф:Л—>А — тождественное отображение, то и ф*— тождественное отображение-,
для любых л-гомоморфизмов ф1:А1-^>А2, ф2 : Л2—>А3 выполняется равенство
(Ф1Ф2)*=Ф1*ф2*;
0-^А' Л А Ла"->01 ф' ф ф"*11о->й'ЛвЛв"->ов которой каждый ряд точен, диаграммаHq (л; А") Д Hq_v (л; А')1Ф* Ф*Hq (л; В") Д Hq_t (л; ВА коммутативна;(г) для любой точной последовательности 0-^ л-модулей и л-гомоморфизмов последовательность.. . —» Яд (л; А') ^ Нд (л; А) Д Нд (л; А") - является точной;А' —> А Д А” —> 0 левых> Hqlt (л, А') • ■ ■0-^А' Л А Ла"->01 ф' ф ф"*11о->й'ЛвЛв"->ов которой каждый ряд точен, диаграммаHq (л; А") Д Hq_v (л; А')1Ф* Ф*Hq (л; В") Д Hq_t (л; ВА коммутативна;(г) для любой точной последовательности 0-^ л-модулей и л-гомоморфизмов последовательность.. . —» Яд (л; А') ^ Нд (л; А) Д Нд (л; А") - является точной;А' —> А Д А” —> 0 левых> Hqlt (л, А') • ■ ■(в) для любой коммутативной диаграммы левых л-модулей и л-гомоморфизмов(в) для любой коммутативной диаграммы левых л-модулей и л-гомоморфизмов
0-^А' Л А Ла"->0
1 ф' ф ф"
*11
о->й'ЛвЛв"->о
в которой каждый ряд точен, диаграмма
Hq (л; А") Д Hq_v (л; А')
1Ф* Ф*
Hq (л; В") Д Hq_t (л; ВА коммутативна;
(г) для любой точной последовательности 0-^ л-модулей и л-гомоморфизмов последовательность
.. . —» Яд (л; А') ^ Нд (л; А) Д Нд (л; А") - является точной;
А' —> А Д А” —> 0 левых
> Hqlt (л, А') • ■ ■
0-^А' Л А Ла"->0
1 ф' ф ф"
*11
о->й'ЛвЛв"->о
в которой каждый ряд точен, диаграмма
Hq (л; А") Д Hq_v (л; А')
1Ф* Ф*
Hq (л; В") Д Hq_t (л; ВА коммутативна;
(г) для любой точной последовательности 0-^ л-модулей и л-гомоморфизмов последовательность
.. . —» Яд (л; А') ^ Нд (л; А) Д Нд (л; А") - является точной;
А' —> А Д А” —> 0 левых
> Hqlt (л, А') • ■ ■
(в) для любой коммутативной диаграммы левых л-модулей и л-гомоморфизмов
(в) для любой коммутативной диаграммы левых л-модулей и л-гомоморфизмов
для каждого левого л-модуля А т# является изоморфизмом, и если фя:Ля—>В^— гомоморфизм, индуцированный л-гомоморфизмом ф:Л —->В„ то диаграмма
Я0(л; А^Ап
Ф*Фл
Я0(л; В^ВП коммутат иена.
если модуль А л-свободен, то Яд (л; Л) = 0 при q^O.
Доказательство этой теоремы гораздо короче ее формулировки. Ибо утверждения (а) и (б) очевидны; (в) вытекает из теоремы 5.6.1; (г), как уже было установлено, вытекает из несколько видоизмененных теорем 5.2.7 и 5.5.1; (д) частично было уже доказано, а коммутативность фигурирующей в (д) диаграммы сразу вытекает из определений. Для доказательства утверждения (е) мы снова привлекаем несколько видоизмененную теорему 5.2.7; так как последовательность
. . . > Cq-VY (л) > Cq (л) ■ > Сд_^ (л) • > . . .
точна, а модуль А л-свободен, то последовательность
. .. ■(л, Л) > Сq (л; Л) ■—> Bq—1 (л, Л) • > . . .
тоже точна, откуда и вытекает требуемый результат.]
Полезно отметить некоторую аналогию между группами Н* (л; Л) и НДХ; G), а еще лучше заменить при этом С некоторой локальной системой групп на X. Свойства, перечисленные в 10.7.5, соответствуют свойствам, которые связывают различные группы гомологий заданного пространства X, получающиеся, если локальные коэффициенты берутся в разных группах. Естественно поэтому посмотреть, ведет ли произвольный гомоморфизм / : л —S’ к гомоморфизмам соответствующих групп гомологий. В случае топологических пространств и локальных систем групп на них отображение / : X —> Y индуцирует гомоморфизмы групп гомологий только в том случае, если на X берется та локальная система, которую индуцируют отображение / и локальная система, заданная на Y. Можно, следовательно, ожидать, что нам понадобится понятие л-модуля, ассоциированного с произвольным гомоморфизмом / : л —> S и некоторым S-модулем А..
Если заданы S-модуль А и гомоморфизм / :л—> О, то можно группу А наделить структурой некоторого л-модуля /-1Л, положив
^•а = (ууа, aQA, ^л.
Если задан какой-нибудь О-гомоморфизм ф:Л —>В, то ф:Л-^-В можно рассматривать как л-гомоморфизм /^ф : j-1A—> f^B. Это обозначение, однако, быстро надоедает; поэтому когда из контекста ясно, из какой группы берутся операторы, мы будем сокращать /-1Л до Л и /-1ф до ф. Таким образом, мы будем писать Н* (л; А) вместо Я* (л; /-1Л). В случае когда группа S действует тривиально,1 это обозначение очень естественно, так как группа л тогда тоже действует тривиально. Это соответствует случаю группы Я* (X; G), где G—настоящая группа коэффициентов.
Теорема. Любой гомоморфизм /:л—^S индуцирует для каждого* левого ^-модуля А некоторое множество гомоморфизмов Y = j*: Н* (л; Л) —» —>Я*(&;Л), такое, что.
(ж) диаграмма(ж) диаграммаНо^ А^АЯН^А^А^Но^ А^АЯН^А^А^
(ж) диаграмма
(ж) диаграмма
Но^ А^АЯ
Н^А^А^
Но^ А^АЯ
Н^А^А^
коммутативна’, необозначенный гомоморфизм в ней соответствует тождественному отображению АА;
для любого ’й-гомоморфизма <р:А-^-В диаграмма
НДл; А) НДл; В)НДл; А) НДл; В)
НДл; А) НДл; В)
НДл; А) НДл; В)
Н, (S; 4) Нж (Й’ В) коммутативна, причем верхний гомоморфизм ф* индуцируется л-гомомор- физмом ф;
для любой точной последовательности Й-гомоморфизмов 0->А'->А-^А''—>0 диаграмма
Hq (л; А") —> Нд-^ (л; А')
#А"уА'
Hq (S? А") -^ Hq_, (S? А') коммутативна.
Прежде чем приступить к доказательству этой теоремы, отметим, что в ней утверждается лишь, что /* является гомоморфизмом системы (Я (л; 4); т„ ф*, vj в систему (Я (S; А); т„, ф*, v*).
Гомоморфизм / : л—> S индуцирует для произвольного левого S-модуля А гомоморфизм
7=fA’C(n; А^С^; А)
по очевидному правилу:
((Во, ■ . ■ЛрШПа'Н=(Ы, ..^WW^a.
Заметим, что
((Во,М/)®&« =
=(Во/, ■ ■ •, ЫУ^Ш-й0^
-=aot, ■••. ^/)®^у-«=
= ((Во,Вр) ® л В ■й) /•
Следовательно, / сохраняет соотношения (в), фигурирующие в определении операции ®я. Тогда fA определяется как гомоморфизм групп гомологий, индуцированный отображением fA.
-к , Свойство (ж) вытекает из коммутативности диаграммы
С о (л) (^) д А > «7 ®я А — Ад
7
C0(S) ®^А —> J ^^А^А^
Свойство (з) вытекает из коммутативности такой диаграммы:
С (л; А) Л С (л; В)
iAfB
С (9; А) Л С (9; В).
Наконец, для доказательства свойства (и) достаточно заметить, что заданная точная последовательность приводит к некоторой коммутативной диаграмме
0—>С(л; А') Л С (л; А) Л С (л; А") —> 0
U
0—»С(9; А')—» С (9; А)^С(9; А")-»0,
в которой ряды точны, так как комплексы С (л), С (9) л- и 9-свободны соответственно. J
Мы определили группы Н* (л; А) с помощью комплекса С (л), но в действительности любой другой ацикличный л-проективный л-комплекс привел бы к тем же самым группам. Это утверждение составляет содержание следствия 10.7.9.
Теорема. Пусть С является л-проективным правым it-комплексом и D — ацикличный правый л-комплекс. Тогда существует л-отображе- ние а : С —> D, и любые два таких л-отображения ц-гомотопны.
Рассмотрим диаграмму
—» са> с а>
• • ■* u g+l > g *
|“g+l “g
в который нижний ряд точен и каждый модуль Cq л-проективен. Через aq обозначены л-гомоморфизмы, которые нам еще предстоит построить так, чтобы получилась коммутативная диаграмма.
Так как т] эпиморфно, а модуль Со л-проективен, существует л-гомо- морфизм а0, такой, что аоц = е. Поскольку даоц = д8 = О,
С1да0 с ц 1 (0) = D^d
(мы воспользовались точностью нижнего ряда диаграммы в Во). Из л-проек- тивности модуля (\ вытекает, что существует л-гомоморфизм о^, такой, что 0,5 = до0. По индукции доказываем теперь существование л-гомоморфиз- мов Од для всех ^ > 0 и тем самым существование искомого л-отображения о : С —> D.
Предположим теперь, что о, р : С —>D — какие-нибудь два л-отображения; мы построим цепную гомотопию Л : С —> D, для которой о — р = = дЛ + Лд. Прежде всего, (а0—Ро)1! ^ — е = 0. Значит, С0(а0—р0) с Dvd и, так как модуль Со л-проективен, существует л-гомоморфизм Ло: Со—> Dt, такой, что Л0д = о0 — р0. Предположим, что гомоморфизмы Лг для r<Zq уже определены. Как обычно, доказываем, что (од — рд — dAg-J д = 0, откуда в силу точности нижнего ряда в Dq следует, что Cq (og — pg — УЛд-i) ^ Dq+±d. Так как модуль Cq л-проективен, существует л-гомоморфизм Лд : Cq—> Dq+V, такой, что Адд^-Од —рд — ЗЛд-р Следовательно, по индукции, o~p.J
Короче говоря, суть доказательства заключается в том, что свойства л-комплексов С и В обеспечивают отсутствие препятствий к построению как а, так и Л.
Определим группы НДС; Л) для произвольного правого л-комплекса С и левого л-модуля А как Я*(С0яЛ).
Следствие. Если выполнены условия теоремы \0ЛЛ, то имеет место некоторый канонический гомоморфизм а.*: НДС; А)-^НДВ; Л).)
Обратите внимание, что если оба гомоморфизма
«Л НДС; А)-^НДВ; А) и ^дНДВ; А)->НДЕ; А) канонические, то тогда и гомоморфизм а^р* канонический; далее, если С = В, то а* = 1.
Отсюда мы получаем
Следствие. Если оба комплекса С и В п-проективны и ацикличны, то группы НДС; Л) и НДВ; А) канонически изоморфны.J
В действительности л-комплекс С (л) представляет собой просто некоторый удобный л-проективный ацикличный л-комплекс. Взяв какой-нибудь другой л-комплекс В с такими же свойствами, можно было бы определить группы НДВ 0ЯЛ) и гомоморфизмы, аналогичные гомоморфизмам т*, ф*, v*; в результате мы получили бы систему, эквивалентную определенной нами.
Мы описали систему гомологий левого л-модуля. С тем же успехом можно определить систему гомологий правого л-модуля. В самом деле, цепной комплекс С (л) можно, очевидно, наделить структурой левого л-сво- бодного ацикличного комплекса, положив
Ю.7.10№, ..., У = ®о, ^qY
Группы гомологий правого л-модуля А определяются затем на основе цепного комплекса А 0яС(л); мы обозначаем эти группы через Я* (Л; л), указывая тем самым порядок сомножителей в тензорном произведении.
Однако различие между левыми и правыми л-модулями носит искусственный характер1). Если А — какой-нибудь левый л-модуль, то (об этом мы вкратце говорили в § 8.9) группу А можно наделить структурой правого л-модуля, положив
a^ = Va, а^А, ^л.
Обозначим этот модуль через А. Оказывается, группы гомологий модуля А совпадают с группами гомологий модуля А.
Теорема. Имеет место некоторый естественный изоморфизм О
О : Н* (Л; л) Н* (л; Л).
Отображение А 0Я С (л) —> С (л) 0я А, являющееся линейным продолжением соответствия а 0 (|0, .. ., |д) —» (l^1, ..., 6g1) 0 а, представляет собой, очевидно, цепной изоморфизм. Через О мы обозначаем индуцируемый этим изоморфизмом изоморфизм групп гомологий.) Конечно, можно сказать несколько больше, а именно, что системы гомологий модулей Л и Л естественно изоморфны. Из теоремы 10.7.12 следует, что с точки зрения теории гомологий безразлично, считаем ли мы абелевы группы тривиальнымй левыми или тривиальными правыми л-модулями.
О Напротив, для общих Я-модулей это различие весьма существенно.
Если В — правый л-модуль, то очевидным образом можно определить левый л-модуль В. Эту систему обозначений можно распространить на л-ком- плексы; отметим при этом, что если С— проективный ацикличный л-комплекс, то это же можно сказать и о С. Если А— левый модуль и D — левый комплекс, мы будем писать D®„A вместо В^ЯА. Заметим, что в этом случае’
d ^ a — ^d ^^а, d^D, aQA, ^л.
Если комплекс D л-свободен и ацикличен, то Н* ^D 0Л А) ^Н* (л; А).
Рассмотрим теперь одну геометрическую ситуацию, которая приводит к возникновению такого левого л-комплекса. Предположим, что Х = Х(л)— линейно связное, локально линейно связное, локально односвязное пространство и что лп (X) = 0 при п Ф 1, а л4 (X) ^ л. Обозначим через X его универсальное накрывающее пространство. Тогда л4(Х) = 1 и лп(Х)^ ^л„(Х) = 0 при п>1. Следовательно, в силу теоремы Гуревича об изоморфизме, Я„(Х) = 0 для всех и; таким образом, пополненный сингулярный комплекс Д(X) ацикличен.
Далее, А (X) — это левый л-комплекс. В самом деле, в силу 6.7.4, л действует на пространстве X как группа левых операторов. Это позволяет для любых /:#„—»Х и ^л определить отображение £-/:fn—>Х следующим образом: для всех го 5 tn
иа-п=^иу
Полагая В-/Я = (В-/)Л и /ое = 1, мы наделяем А (X) структурой левого л-комплекса—в самом деле А„(Х) становится л-модулем, 8 становится л-гомоморфизмом, и выполняется равенство 8ve = 0.
Далее, модуль Д„(Х) л-свободен. Выберем для каждой точки ж^Х некоторую точку т^р_1(т), где р ■ X—> X—соответствующее проектирование. Назовем отображение f:tn-^X предпочитаемым отображением, а симплекс /„ предпочитаемым сингулярным симплексом, если у0/— та точка, которую мы выбрали для v°fp. Произвольный сингулярный симплекс пространства X единственным способом. представляется в виде g-fn, где gGn, а /„—некоторый предпочитаемый симплекс. Значит, предпочитаемые сингулярные n-симплексы пространства X образуют л-свободный базис л-модуля Д„ (X).
Предположим теперь, что А — какой-нибудь левый л-модуль. Тогда
Я*(л; А) = Я*(Д(Х)0яА).
Можно определить некоторый изоморфизм (индуцированный проектированием р : X —> X)
Рп : Дп (^) ®л А • > Дя (X) 0 А по следующему правилу: если /„—предпочитаемый сингулярный симплекс и а £ А, то
' Qn^o.Yp-n = kTpAn^a.-■
Это определение корректно, поскольку оно согласуется с соотношениями в ДП(Х)®ЯА. Обратное к рп отображение qn можно определить, положив (/„ 0 a) qn = /„ 0 а, где /„—тот единственный предпочитаемый сингулярный n-симплекс пространства X, для которого /р = /. Легко проверяется,
что pnqn и qnpn—тождественные автоморфизмы; следовательно, ^„—изоморфизм.
Вообще говоря, в совокупности изоморфизмы рп не образуют цепного изоморфизма между Д (X) 0Я А и A (X) 0 А. Поэтому с помощью р мы определяем (новый) граничный оператор, действующий из Д„(Х)®А в Д^ (Х)0А. Для произвольного предпочитаемого симплекса /„ и любого а 5 А положим
Un 0 а) д = ^_г 0 а + 2 ( — 17 (Л-1 ® «)•1
Приг>1, /* является предпочитаемым симплексом; однако /“^ предпочитаемым симплексом, вообще говоря, не является. Пусть f^ = g (/) • f^^, где /„_1— предпочитаемый симплекс. Тогда, если jp — j, имеем
(7„ 0 а) др^ = /"_, ® (g (7))-1 ■ а + 2 (- WfLi ® «•
Выбор для каждой точки ж g X некоторой точки ж £ р-1 (ж) эквивалентен выбору некоторого класса путей в X, ведущих из ж* в ж. Как показано в § 8.9, такой выбор позволяет нам определить, исходя из правого модуля А, некоторую локальную систему {Ах} групп на X. Тогда правая часть равенства 10.7.13 представляет собой как раз границу элемента /„ 0 а в цепном комплексе Д (X; {Ах}) (см. 8.9.1).
Таким образом, нами доказана
Теорема. Если А—левый л-модулъ и Х = Х(л) — такое линейно связное, локально линейно связное и локально односвязное пространство, что л„(Х) = 0 при п ^=1 и л4(Х)^л, то Н*(л; А^^НДХ; {Аж}) для некоторой локальной системы групп коэффициентов {Ах}.|
Заменяя А абелевой группой G, мы получаем
Следствие. При тех же предположениях относительно пространства X
НДл; С^НДХ; G)
для любой абелевой группы GJ
Можно обобщить утверждения 10.7.14 и 10.7.15, сделав их более удобными для приложений.
Теорема. Если А — левый л-модуль и X —такое линейносвязное, локально линейно связное и локально односвязное пространство, что л„ (X) = 0 при 1 <^п<^к и л4 (X) ^ л, то
Нп(л; А)^Нп(Х; {А}) при п<_к.
Эту теорему можно вывести с помощью топологических рассуждений из теоремы 10.7.14. Однако мы предпочитаем получить ее сразу как следствие из одной алгебраической леммы, обобщающей утверждение 10.7.9.
Лемма. Если оба л-комплекса С и D л-проективны и ацикличны в размерностях < к, то при п<_к имеет место некоторый канонический изоморфизм между НДС', А) и НДБ', А).
В силу 10.7.9, это утверждение будет доказано, как только мы покажем. что можно построить такой л-проективный ацикличный комплекс С',
что Сп = Сп при п<& и СУ' =С^д. Представим Chd как образ некоторого л-свободного модуля Ск и условимся через д^: Ск —> С^-а обозначать композицию проектирования Ск —^С^д и включения С^д с Ch_v. Пусть Zk — ядро гомоморфизма дк; представим Zk как образ некоторого л-свободного модуля Ck+i и обозначим через дк+i : Ck+i —> Ск соответствующий составной гомоморфизм. Продолжая таким образом, мы построим л-свободные модули Ст и гомоморфизмы 8'г, которые составят л-свободный ацикличный комплекс С’ с требуемыми свойствами. Этим доказана лемма и, следовательно, теорема 10.7.16.JJ
Заметим, что техника этого доказательства позволяет строить 7?-проек- тивные ацикличные комплексы для случая общего кольца R.
Доказанные теоремы дают геометрическую интерпретацию групп гомологий л-модулей, однако мы не можем использовать их в полной мере, пока не покажем, что для любой группы л нужное пространство X (л) существует. Это действительно так (см. Whitehead J. Н. С., Ann. Math., 50 (1949), 261). Мы не собираемся, однако, ни воспроизводить доказательство этого общего утверждения, ни применять его, а ограничимся лишь случаем, когда группа л свободна. Пусть л свободно порождается некоторым семейством своих элементов {gx}; образуем тогда V^x— букет окруж- х
ностей, взаимно однозначно соответствующих этим образующим группы л. Этот букет представляет собой полиэдр X, причем л, (X) ^ л. Тогда X является полиэдром некоторого 1-связного 1-мерного комплекса, и, значит, в силу теоремы Гуревича об изоморфизме, л„ (X) =0 для всех п; это означает, что л„(Х) = 0 при п>1. Таким образом, когда группа л свободна, пространство X (л) можно найти среди полиэдров 1-мерных комплексов.
Теорема. Если л ^свободная группа, и А— левый л-модулъ, та Нп(л; Л) = 0 при п>1.
Так как X (л) — полиэдр, его сингулярные группы гомологий с коэффициентами в произвольной локальной системе групп изоморфны соответствующим группам любого комплекса, расчленяющего этот полиэдр. А каждый такой комплекс 1-мерен и, следовательно, имеет нулевые группы гомологий в размерностях >1.J
В 10.7.9 мы доказали, что группу Д* (л; Л) можно получить, отправляясь от любого проективного ацикличного л-комплекса. Верно, однако, более сильное утверждение. Предположим, что мы отнесли каждому левому л-модулю А некоторую градуированную группу Д* (л; А) и некоторый гомоморфизм т* : До (л; А) —>-Ля; предположим, далее, что с каждым л-гомоморфизмом ф : А —> В мы связали некоторый g-гомоморфизм Ф* : Д* (л; А)—>-Д*(л; В) и каждой точной л-последовательпости 0->-А'—>-А->- ->-А"—>-0 отнесли некоторый g-гомоморфизм
v* : Д* (л; А") Н* (л; Л')
индекса —1. Предположим также, что система {Д*; т*, ф*, v*} обладает свойствами (а) — (е) из формулировки теоремы 10.7.5. Тогда можно доказать, что эта система естественно эквивалентна уже определенной системе {Д*; т*, ф*, v*}. Один из способов доказать это состоит в том, что для любой такой системы Д для л-модулей, любой такой системы Н для ^-модулей и для любого гомоморфизма / : л —>- О’ устанавливается существование однозначно определенного множества гомоморфизмов
/* (Л) : Д* (л; Л) Д* (^; Л),
удовлетворяющего условиям, аналогичным условиям (ж), (з) и (и) из формулировки теоремы 10.7.6. Отсюда, используя тождественный автоморфизм группы л, мы сразу заключаем, что любые две системы для л-модулей эквивалентны. В этом доказательстве естественно воспользоваться тем фактом, что любой л-модуль можно представить, как эпиморфный образ некоторого л-свободного модуля.
Можно осуществить программу, двойственную к уже выполненной в этом параграфе, и определить группы когомологий произвольного левого л-модуля А. Отправляясь от ранее определенного левого л-комплекса С (л) -{см. 10.7.10), определим коцепной комплекс С" (л; А) = С (л) (ф) ЯА; и-й компонентой этого комплекса является группа С” (л; А) = Сп (л)„А. Символ
/фя означает, что мы рассматриваем абелеву группу всех л-гомоморфизмов. Как и в случае операции ®„, мы получаем в результате группу без л-структуры; произвольный ее элемент определяется как некоторая функция с, заданная на множестве всех упорядоченных (п + 1)-наборов элементов из л, со значениями в А, удовлетворяющая условию (£ (£0, .. ., £п))с = = 6 ((^о, • • •, In) с). В качестве кограничного гомоморфизма 6 : Сп (л) (ф ЯА —> —> С„+1 (л) (ф ЯА возьмем сопряженный к гомоморфизму 5 : Сп+1 (л) —> Сп (л). Определив С (л) (ф) ЯА, мы следующим образом определяем группу когомологий левого л-модуля А:
Я* (л; Л)=Я*(С(л)гф„Л).
Так как последовательность Cv (л) Д Со (л) ~^> J—> 0 является точной, точной будет и последовательность
6°в-
^i (л) ^ф ЯА < Cq (л) ^ф лЛ < J (ф лЛ < 0.
Так как, очевидно, имеет место некоторый канонический изоморфизм J (ф) ЯА ^ А", где А”—подгруппа группы А, образованная теми ее элементами, которые л оставляет на месте, мы заключаем, что существует некоторый канонический изоморфизм т#:Я°(л; А)^АЛ.
Произвольный л-гомоморфизм ф : А —> В между левыми л-модулями очевидным образом индуцирует некоторое коцепное отображение ф : С* (л; А)—> С' (л; В) и, значит, (правый) гомоморфизм
Ф* : Н* (л; Л)—>Я*(л; Я).
Если 0—> А’ —> А Д А"—> 0 — точная последовательность левых л-модулей и их л-гомоморфизмов, то последовательность
0-^С'(л; Л')Дс(л; А)Лс*(и; А"^0■
тоже точна, так как комплекс С (л) проективен. Значит, в силу 5.5.2с, имеет место точная последовательность правых гомоморфизмов
.»Я”(л; А'^Ни^ А)^Нп{л-, Л")Дяп+1(л; А')—>.
Для полного описания характеристических свойств системы когомологий {Я* (л; А); т*, ф*, v*} нам понадобится одно понятие, двойственное понятию проективного л-модуля. Левый л-модуль I называется л-илаек- тивным, если для любой диаграммы из л-модулей и л-гомоморфизмов вида
" \Ра \ф \
А-^В ,
где ф мономорфно, существует такой л-гомоморфизм 0 : В —> I, что ф0 = а. Попросту говоря, это означает, что каждый л-гомоморфизм в I подмодуля произвольного л-модуля можно продолжить на весь этот модуль. Читатель может сравнить это определение с определением инъективной абелевой труппы (§ 5.3).
Теперь можно сформулировать следующую теорему:
. Теорема. Система {Я* (л; Л); т*, ф#, v#} обладает следующими свойствами".
если ф:Л—>Л— тождественный изоморфизм, то и ф#— тождественный изоморфизм;
для любых гомоморфизмов ср, : Л4—> Л2, ц>2: А2—> А3 имеет место равенство ФыФз* = (<?№)*;
для любой коммутативной диаграммы левых л-модулей и л-гомо- морфизмов
0-»Л'Лл Л Л"->0
I ф' ф ф"
0->5'ДвЛв'->0
в которой каждый ряд точен, диаграмма
НЧ(л; Л") ^Н^^л; А')
ф;
Я1 (л; В")Я9+1 (л; В') коммутативна;
какова бы ни была точная последовательность 0—>А'->А-^-
—>Л"—>0 левых л-модулей и их л-гомоморфизмов, последовательность (л; Л') ^ нч (л; А) ^ № (л. л") 2* Н^ (л; Л'). ..
точна;
для любого левого л-модуля А, т# является изоморфизмом, и если фл : Лл —* Вл -— гомоморфизм, индуцированный л-гомоморфизмом ^:А—>В, то диаграмма
Н°(л; А) Л Ля
II л
ф ф*ф ф
Я0 (л; В^ВЛ коммутативна;
если модуль А л-инъективен, то Я9 (л; Л)=0 при всех д^О.^
Легко могут быть доказаны когомологические аналоги других результатов, в частности
. Теорема. Если А — левый л-модулъ и X (л)—такое же пространство, как в теореме 10.7.14, то
ЙЦл; А)^Н*(Х(л); {Лж}),
где {Лх} — локальная система групп из теоремы 10.7.14.J
. Следствие. При тех же предположениях относительно X (л), Я* (л; С)^Я*(Х(л); G)
для любой абелевой группы G.J
. Теорема. Если А — левый л-модулъ и X такое линейно связное, локально линейно связное и локально односвязное пространство, что
л„ (X) = 0 при 1 <.п<_к и Лц (X) si л, то
Нп(щ А^Н^^Х; {Дж}), п<к.\
Можно было бы показать, как произвольный гомоморфизм / : л —>- ^ индуцирует некоторый гомоморфизм
/* ".Н*®; А) -^Я*(п; А),
и доказать, что любая система когомологий для модулей, удовлетворяющая условиям теоремы 10.7.5с, изоморфна построенной системе. Последнее можно доказать, видоизменяя соответствующее рассуждение для гомологий; устанавливается существование и единственность семейства гомоморфизмов
/* : Н* О\ -4) Н* (л; А),
удовлетворяющего условиям, аналогичным условиям (ж), (з) и (и) теоремы 10.7.6. При этом мы используем тот факт, что любой левый п-модуль может быть вложен в некоторый п-инъективный модуль; доказательство этого утверждения не совсем очевидно ф Как и в теории гомологий, из единственности /* вытекает единственность групп когомологий модулей.
Теория когомологий дает нечто новое по сравнению с теорией гомологий, если в рассмотрение вводится мультипликативная структура. Это можно сделать в теории когомологий произвольного л-кольца R, т. е. л-модулят операции на котором сохраняют умножение в R. В этом случае для любых с Е Ср (л) ^ nR, d Е Сq (л) nR мы определяем
с kJ d Е Cp+q (л) ^ „R
следующей формулой:
((^01 £1> • • • , ^р+д), С kJ d') = ((^0, • • • , ^р), С) X (.^р, ■ • • , £p+g), ^),
где справа стоит произведение в R.
Заметим, что
(В . (go, . . . , W, С kJ d) = ((gg0, . . • , Ы Ckjd) =
-((BBo, ...,^p), c) X ((BBp, ^W, d) =
= № ((Bo, • • -, Bp), с)) X (g №p, • • •. W ^)) =
= В" ((Bo, • • • , Bp+g), c ^),
так что c kJ d является л-гомоморфизмом. Так же, как в гл. 6, проверяется кограничная формула
10.7.196(cud) = (6c) u<Z + ( —1)р (ckjM).
Следовательно, С" (л; R) является коцепным кольцом, а соответствующая группа когомологий обладает некоторой мультипликативной структурой, относительно которой она является когомологическим кольцом R* (л; R). Если л действует на кольце R тривиально, то
R*^; 2?)^7?*(Х(л); Я).
Мы заключим этот параграф несколькими результатами, которые играют существенную роль при изучении групп гомологий модулей, в частности тривиальных модулей.
Теорема. Если G —абелева группа (и, значит, тривиальный п,-моЭулър та
Нп (л; G) s (Я„ (л) ф G) ф (Я^ (л) * G), Я” (л; G) = (Я„ (л) ф G) ф (Я„_л (л) f G), гЭе Я„(л) = Я„(п; jp
Для произвольного п-комплекса С определим Ся как цепной комплекс, для которого (Ся)„ —(С„)я, а граничный оператор индуцируется граничным оператором из С.
!) См. Eckmann В., Schopf A., Arch. Math., 4 (1953), 75.
Доказывается теорема 10.7.20 так же, как аналогичное утверждение для обычных цепных комплексов. В самом деле, так как л на G и J действует тривиально, то G 0 ЯС s (Ся) 0 G, и комплекс (С (п))я свободен.]
Заметим, что Н0(п) = 7 и Я1(п) = п/[л, л], абелевой группе, ассоциированной с л. Это равенство вытекает из 8.8.3, если известно, что
Н* (л) а 77* (X (л)), ибоЛц (X (п)) г л.
Не обращаясь к X (л), доказать этот результат можно так: заметим, что (С0)я свободно порождается элементом (1) и что (С})я свободно порождается (как абелева группа) элементами вида (1, §i), каждый из которых является циклом в Ся. Заметим также, что (С2)я свободно порождается элементами вида (1, gj, g2), границы которых таковы:
(§1, g2)-(l, &) + (!, gi) = (l. ^-(l, l2) + d, W6(Ci)„.
Следовательно, (Н1)я представляет собой абелеву группу, порожденную элементами (1, у, подчиненными соотношениям
(1,y)=(i, у)
или
.(1, у + (1, У) = (1, §У).
Отсюда сразу вытекает, что
Hi (л) е; л/[л, л].
Теорема. Если л = л X л' (справа стоит прямое произведение групп п и л'), то
Нп(л; J) s 2 ^р(л; 7)0Яд(л'; J) +^ Яр (л; У) * Яд (п'; У).
P+Q—?2p+Q=?2—1
Если бы существование X (п) для всех л нами было доказано, можно было бы воспользоваться гомотопическим результатом, что X (лхл') = Х (л)хХ (л'), и сослаться на формулу Кюннета для гомологий топологического произведения. Так как таким доказательством существования мы не располагаем, будем действовать иначе. Определим С (л, п') как С(л)0С(л'); здесь тензорное произведение правых комплексов определяется, поскольку речь идет о его структуре цепного комплекса, как обычное произведение цепных комплексов, а действие элемента (У У) £ л описывается следующим образом:
(c0c')-(l, V) = (c-g)® (с'-У), где с, с' 5 С (л), С (л').
Пополнение е в С задается так:
(с 0 с') е = (се) (с'е') € J,
где_с, с’ 5 Со (л), Со (л'), а е, е'—пополнения в С (л), С (л'). Легко проверить, что (С; д, е) является правым л-комплексом. Более того, комплекс (С; д, е) л-свободен; тензорное произведение произвольного л-свободного базиса комплекса С (л) и любого л'-свободного базиса комплекса С (л') дает л-свободный базис комплекса С. Далее, С ацикличен; в самом деле, так как С (л) является ацикличным геометрическим цепным комплексом, из 5.7.8 следует, что Яд(С) = 0 при д>0, а рассуждением из 5.7.10 сразу устанавливаем, что е* : Яо (С) s J.
Применяя утверждение 10.7.9, заключаем, что для любого левого п-модуля Л
Я, (л; Л) - Я* (С; Л).
Итак, Я* (С; 7) = Я* (С-) = Я* (Ся 0 Сп-), где С' = С(л'). Так как и Ся, и Сл' являются свободными цепными комплексами, можно применить формулу Кюннета, следующую за 5.7.17, и получить нужный результат.]
В доказательстве следующей теоремы при вычислении групп гомологий мы используем ацикличный л-комплекс, отличный от С (л).
Теорема. Пусть G— произвольная абелева группа и л— циклическая группа порядка пг. Тогда Я2п-1 (л> G) г Gm и Н2п (л; G) es mG при п ^ 1.
Пусть §—какой-нибудь элемент, порождающий группу л; определим некоторый правый п-комплекс D, такой, что для всех fc>0, D^ есть Pm=J (п); Рт представляет собой аддитивную группу полиномов от £ с целочисленными коэффициентами степени < т. Элементы этой группы могут быть записаны в виде ^ аг£г, где ао- • • ■ г=0
..., ат_у—целые числа. Выберем в Рт два элемента: а = 1 + §+...+§т-1 и т=1— g. Определим d2n : П2п -^- Р2п-1 (ГД6 О2п = D^^ = Рт) как умножение на а и d2„_!: D^-i ->- —>■ D2n_Y—как умножение на т для всех n > 1. Определим также гомоморфизм е : Do —> J требованием, чтобы он переводил элемент 2 argr в 2 аТ. Каждое Рд, будучи J (л), является правым п-модулем относительно умножения в J (л). Так как ат=та=0г имеем дд = б. Далее, ^8=0, так что нами определен некоторый правый л-комплекс D.
Комплекс D п-свободен, так как элемент 1 образует л-базис каждого из л-моду- лей Рд. Этот комплекс, кроме того, ацикличен; в самом деле, при умножении на сг элемент обращается в нуль в том и только том случае, если он сам получается умножением из т. Кроме того, 2ar=0 в том и только в том случае, если 2 агУ делится на т.
Рассмотрим теперь D®A для некоторого левого л-модуля А. Так как Рд s J (л), то Рд0лА =& А относительно соответствия gr 0 а —> У-а. Тогда, отождествляя Рд 0Я А с А, получаем
a32„ = a-a, ад2п_у = т-а при п > 1.
Обозначая через а-А, т-А множество элементов вида о-а, т-a, а £ А, соответственно' и через ОЛ, ТЛ—множество таких элементов а, что aa=0, та=0 соответственно, мы заключаем, что Я2п-1 (л; Л) = тА/о-А и Н<2,п (л; Л) s аА/т-А при и > 1.
В частности, рассматривая случай произвольной абелевой группы G, операции на которой тривиальны, получаем
a-G=mG, r-G = 0; aG = mG, TG = G.
Отсюда следует заключение теоремы.]
Следствие. Если п— конечно порожденная коммутативная группа, a G — абелева группа, то Н# (л; G) можно вычислить.
В силу 5.1.1, л является прямым произведением конечного множества подгрупп, каждая из которых есть J или Jm для некоторого т. Тогда 10.7.18, 10.7.20, 10.7.22 и 10.7.23 позволяют определить Я* (л; G).]
Важные применения имеет следующая теорема:
Теорема. Если порядок группы л равен т, то тНд^л,; Л) = 0 при q^l.
Пусть элементы группы л перенумерованы так: jg, ..., mg. Рассмотрим отображение
A = Aq : Cq (л) > С q.^ (л), q ^ 0, описываемое формулой
г=1
Тогда Л является п-гомоморфизмом, и прямое вычисление показывает, что
(^0, Qq) ^q9q+l Ч- 9qAq-i) = т (g0, . .., ^q),q^-1.
Значит, если через Л : Cq (л; А) —>- Cq+1 (л; А) обозначить гомоморфизм, индуцированный Л, то
с (Лда5+1 + а5Л5_1) = тс, с£Сд(л; A), д > 1.
Отсюда следует, что если z является циклом группы Cq (л; A), д^>1, то mz = = zAd, так что mz является границей.]
10.7.25 с. Теорема. Если порядок группы л равен т, то тНЧ (л; А) = 0 при 9 > 1]
Спектральная последовательность, ассоциированная с накрытием
В этом параграфе мы рассматриваем произвольное топологическое пространство X и любое его регулярное накрытие X. Факторгруппа группы л^Х) по проекции группы nf (X) обозначается здесь через л. В 6.7.41) было показано, что л можно считать группой левых операторов на X. Будем через А обозначать сингулярный цепной комплекс А (X); тогда л
действует как группа левых операторов также и на А. А поэтому А можно' считать л-свободным левым л-комплексом; его пополнение определяется очевидным образом. Проектированиеиндуцирует гомоморфизм
р:А—>Д(А) и устанавливает канонический изоморфизм между Ая и А (А),, так как ядро гомоморфизма р порождается элементами вида / — £•/, где /СА, ВЕл. Этот алгебраический аппарат мы используем для изучения соотношений между группами гомологий пространств X и X.
В § 10.7 мы широко использовали операцию тензорного умножения правого л-комплекса на левый л-модуль. Здесь мы рассмотрим также тензорное произведение двух л-комплексов. Пусть С —правый л-комплекс и В— левый л-комплекс; определим цепной комплекс С®ЛВ, положив (С ®я в^ = 2 kCp ®я Bq) и обычным образом определив граничный опе- р+з=п
ратор (см. 10.1.9). Легко проверяется, что этот оператор сохраняет отождествления в С ®яВ и, следовательно, определен корректно.
Пусть е — пополнение в С; мы продолжим его до некоторого л-гомо- морфизма комплекса С в J, положив Cns = 0 при и > 0. При такой интерпретации е индуцирует некоторое цепное отображение
Используя канонический изоморфизм между J ®я Вп и (2)п)я, мы будем отождествлять J ®ЛВ с Вл. .
Теорема. Если комплекс С ацикличен, а комплекс В л-свободен,. mo р индуцирует некоторый изоморфизм
К-Н» (С®ЛВ)^НДВЛ).
Так как р— цепное отображение, оно представляет собой ^-гомоморфизм. Профильтруем теперь С ®я В посредством подгрупп Ар = 2 С ®я Оп
П^Р
и профильтруем Вл посредством подгрупп Ар = 2 (^л)п- Оба наши комп-
П^р
лекса стали теперь ^/g-группами и р стало d/g-гомоморфизмом. Пусть (gr, dr), (g'r, 5") — спектральные последовательности этих dfg-rpynn. Тогда, gp, q = Cq ®л Dp и (с ® d) д° = сд ® d. Так как комплекс В л-свободен, Нр, q (g°) —Hq (С) ®я Dp. Но С ацикличен, поэтому Нр, q (g°) = 0 при q > 0. Кроме того, gp ^ДВЛ)Р, так что ngp=O во всех случаях, за исключением п = р, и Яр, g(g'°) = 0 при q>0.
Исследуем теперь гомоморфизм Нр, 0 (8°) —> Нр, 0 (S'°), индуцированный р. Он определяется равенством
(с0 ® d) р = (с08) ® d
и является, следовательно, гомоморфизмом Но (С) ®я Bv~> J ®ЛВР, индуцированным е. Так как комплекс С ацикличен, этот гомоморфизм является изоморфизмом. Из этих результатов вытекает, что р индуцирует изоморфизм Нр, q (8°) = Нр, q (g'°) и, значит, некоторый g-изоморфизм g1 ^ g'1. Привлекая теперь теорему 10.3.13, заключаем, что р индуцирует некоторый изоморфизм р* : Н* (С ®я В) Н* (£>я).|
Когда это будет удобно, для произвольного цепного комплекса М мы будем писать Н^ (М; G) вместо Н* (М ® G).
Следствие. Если комплекс С является п-свободным и G —произвольная абелева группа, то р индуцирует
К-НДС®ЛВ‘, С^НДВу, G).
Ибо C®nD и Бл в этом случае являются геометрическими) комплексами, так что мы имеем право применить теорему 3.10.1.J
Следствие. Если А — сингулярный л-комплекс некоторого регулярного накрытия X пространства X с л в качестве группы преобразований монодромии, и С — какой-нибудь л-свободный ацикличный л-комплекс, то пополнение л-комплекса С индуцирует некоторый изоморфизм
^:НДС®ЛЕ; С^НДХ; G).
В самом деле, А является л-свободным левым л-комплексом и между Дя и А (X) имеет место канонический изоморфизм.]
Предложение. Если С есть л-свободный ацикличный правый л-комплекс и D — левый л-комплекс, то описанная в 10.1.9 фильтрация dg-группы С ®ЛЕ приводит к спектральной последовательности (Ег, дгу в которой Ер, q = Нр(л; Ндфу.
При такой фильтрации (ср. с примером 10.3.12)
Ep = Cp®„D и (ср ® ^)У°=( —1)р ср® dd.
Значит, так как модуль Ср является л-свободным,
Е1р^Ср®яНДП) и (с®а)Э1 = сд®а
для всех с^Ср, аДНДПу Следовательно,
EVq = Hp^C ®„Hg(Dy = Нр(л; Ндфу,
так как комплекс С л-свободен и ацикличен.]
Следствие. Пусть G— произвольная абелева группа, тогда соответствующая ей фильтрация произведения С ®л D ® G приводит к спектральной последовательности, для которой
Егр,д = Нр<л; Ндф; Gy.
Здесь Ер = (Ср ®л D) ® G = Ср ®ге ф ® G); л действует на D ® G очевидным образом. Поэтому ЕР = СР ®л НДС; G) и
Ер, q =Нр (С® я Hq ф; Су = Нр(л; Ндф; G)).]
Теорема. Если X, X удовлетворяют указанным выше предположениям и G— любая абелева группа, то имеет место некоторая спектральная последовательность (Ег, дТу для которой
Е^ч^Нрф, Hq(X; Gy,
а Е” изоморфна биградуированной группе, ассоциированной с некоторой подходящей фильтрацией группы НДХ; Gy Далее, в Нр(л; Hq(X-, Gy действие группы л на Hq(X', G) индуцируется действием л на \(Х; Gy
Первое утверждение вытекает из 10.8 5, если D заменить на А = A (X).
Член Е” спектральной последовательности из 10.8.5 является градуированной группой, ассоциированной с имеющейся в И* (С ®л D ® G^ фильтрацией. Но в силу 10.8.3 эта последняя группа изоморфна группе Я* (X; Gy
Заключительная часть утверждения теоремы 10.8.6 вытекает из того, что операции на самом л-комплексе порождают операции на группах гомологий этого л-комплекса.]
Заметим, что если X—топологическая группа, то л на Н#^Х; G) действует тривиальным образом. Ибо тогда (см. 6.9.8) X является топологической группой и п можно отождествить с р-1 (а), подгруппой группы X. Более того, действие л на X представляет собой сужение до л левого умножения на элементы из X. Пусть теперь г0 — некоторая фиксированная точка пространства X. Так как X линейно связно, отображение .г —>-жож, х g X, гомотопно тождественному отображению. Это означает, что X действует па П%^Х\ G) тривиально; то же можно сказать о действии группы л.
Теорема 10.8.6 представляет главный результат этого параграфа. Поскольку в ней утверждается, что член Е- включает Н* (X) и что член Е"" включает Н*(Х), она тем самым устанавливает некоторую связь между этими двумя группами гомологий. Эта теорема обобщает утверждение 10.7.15. В самом деле, в предположениях из 10.7.15, пространство X ациклично, так что Ер, q является нуль-группой при q > 0. Но дт поднимает дополнительную размерность на г — 1, так что
Ер, о = Ер, у s^ Ер, у = . . . э^ Ер, у Нр (л; G)
и Е”д = 0 при <7>0. Значит, ^-группа, ассоциирования с НР(Х; G), имеет в точности один член, откуда следует, что
НР(Х; G)^Hp(a; G).
Рассмотрим теперь некоторые применения теоремы 10.8.6.
Теорема. Если л является бесконечной циклической группой и действует тривиально на Н*(Х; G), то Нп(Х\ G^ представляет собой некоторое расширение группы Hn_t(X; G) посредством группы Нп(Х', G).
В силу теоремы 10.7.18, в этом случае Яр(л;Я3(Х; G)) = 0, если р <> 2, вследствие чего (поскольку в качестве X (л) можно взять 51, Яр(л; Hq(X; G^^Hq^X; G) при р = 0, 1. Следовательно, в силу теоремы 10.8.6, Ер, q = 0 при р > 2 и Ep,q^Hq(X; G) при р = 0, 1. Это означает, что при фиксированной полной степени п, „Е1 имеет самое большее два ненулевых члена Нп (X; G) и ЯП1(Х; G). Так как д1' понижает фильтрующую степень на /■, заключаем, что пЕг ^ пЕ3 ^ . . . ^ п Ет. Следовательно, градуированная группа, ассоциированная с фильтрацией группы Нп^Х; G), имеет самое большее два ненулевых члена пЕ^^Нп{Х; G^ и „Ef^Hn-^Х; G). Значит, Нп^Х; G) содержит подгруппу, изоморфную группе Я„(Х; G^ факторгруппа по которой изоморфна Нп1 (X; G).] В действительности как раз р* является мономорфизмом
Нп(Х; G)—>Hn(X; G),
коядром которого служит НТ1- v (X; G).
Случай, когда группа л бесконечная циклическая, но действие ее на Я#(Х; G) не тривиально, можно исследовать, исходя из некоторого уточнения теоремы 10.7.18. В этом случае, как легко проверить,
Яо (л; Л)^Лл и Я! (л; А)^ЛЯ.
Применяя это к описанной в теореме 10.8.7 ситуации, мы видим, что „£О^(ЯП(Х; G))„ й пЕ-^Нп-№ G^.
Таким образом, Нп(Х; G) является некоторым расширением группы Нп_,^Х; G)” посредством группы (Я„(Х; G))n. Это обобщение теоремы 10.8.7 было доказано также Серром1) более прямыми методами.
Теорема. Если порядок группы л равен т и действие ее на Н*(Х; G) тривиально и если каждый элемент, группы Н^Х; G) единственным способом делится на т, то
НДХ; С^НДХ; G).
Обратите внимание, что условие делимости выполняется, например, если G— поле, характеристика которого не делит числа т. Следовательно, если G — Jp, где р — простое число, не делящее т, или если G— поле рациональных чисел, то заключение нашей теоремы имеет место, если выполнено условие тривиальности операций.
Так как л действует тривиально на Н* (X; G), мы имеем, в силу теоремы 10.7.20,
Нр (л; Hq (X; G^ ^ (Нр (л) ® Hq (X; G)) © (Hp_t (л) * Hq (X; G)).
Предположим, что р>1. Тогда тНр (л) = 0 в силу теоремы 10.7.25, откуда следует, так как каждый элемент группы Hq(X; G) делится на т, что Нр(л) <g) Hq(X; G) = 0. Далее мы замечаем, что так как каждый элемент группы Hq^X^ единственным способом делится на т, то m^Hq (X; G)) = 0. Если р = 1, то Hp-t (л) = J и J * Hq (X; G^ = 0. Если р > 1, то в силу теоремы 10.7.25, тЯр_1(л)=0 и, значит, в силу 5.4.22,
Нр., (л) * Hq (X; G) = 0.
Таким образом, мы доказали, что Нр(л; Н^^Х; G)) = 0 при р>1. Теорема 10.8.6 в этом случае утверждает, что Ep,q = 0 при р>1. Рассуждение, использованное при доказательстве теоремы 10.8.7 (и в ряде других случаев), показывает, что пЕг^АпЕ”, так что пЕ” имеет самое большее один ненулевой член Е”П^ЯП(Х; G). Значит, градуированная группа, ассоциированная с фильтрацией группы Нп(Х', Gy имеет единственный ненулевой член, которому группа Нп (X; G) должна быть, следовательно, изоморфна.] Соответствующий. изоморфизм есть в точности гомоморфизм р*.
Приложение. Применение к блокам из симплексов
Пусть К — симплициальный комплекс. Последовательность Хо, К „ . . . . .., Кр, . . . подкомплексов комплекса К мы будем называть фильтрацией блоками этого комплекса, если
это возрастающая фильтрация, а именно Кд^К,^ .. . с К р ^ . . ., и U Кр = К;
р
Нп(Кр, KV-,) = Q при п=^р, причем в качестве К ; здесь берется пустой подкомлекс.
!) Serre J. Р., Ann. Math., 54 (1951), 503.
Предложение. Пусть {вр}'—некоторое разбиение на блоки комплекса К {см, 3.8.1, 3.8.2), но понимаемое несколько шире так, чтобы охватить случай бесконечного комплекса К. Тогда В<°\ Вл\ ..., Вт, ... образуют фильтрацию блоками комплекса К.
Условие (а) определения фильтрации блоками, очевидно, выполняется. Условие (б) вытекает из 3.8.1(6) и очевидного изоморфизма
Нп{В^, В^г^Н,^ 4).]
В силу этого предложения из каждого результата о фильтрациях блоками можно извлечь следствие для разбиений на блоки.
Пусть [Ар] — некоторая фильтрация блоками комплекса К. Положим Гп= Нп{Кп, Кп_у и пусть дп : Гп—> T^j — гомоморфизм v# из точной гомологической последовательности тройки К„, Kn_v, Кп_2. Ясно, что (Г, 5Г) образует некоторый цепной комплекс.
Теорема. Н* (Г) Н, {Ку
Комплекс С {К) градуирован как {Cn (2Q} и профильтрован группами Ар = С {Кру Далее, пАР = Сп {Кр) и Ар = ^ „Ар. Однако, вообще говоря, не верно, что, при любом п, пАп = Сп (К). Дифференциал 8 обладает обычными свойствами, так что С {К) является rfu/g-группой (см. 10.3.2, 10.3.3).
Знакомое нам свойство сходимости 4/g-групп заменяется условием, что Е” является прямым пределом последовательности Ег, Е3, ... , и мы применим 10.3.11, где г0 = 2. Как обычно,
пЕ6р — пАр/пАр_1 = Сп{Кр, Кр_уу
и 8° является граничным гомоморфизмом пары {Кр, Кр^). Значит,
{
0 при п =#=■
Г„, при п — р.
Далее, 81 — дТ, как было отмечено в § 10.2, так что имеют место равенства
( »£р^0 при п=у=р, \пЕ^ = Нп{ГУ
Так как дг отображает пЕр в п^Ер_2, заключаем, что О2- 0 и, аналогично, что дг = 0 при г>2. Значит, Ea = Es= . .., и, в силу 10.3.11, каждая из этих групп равна предельной группе Е”. Из 10.9.3 поэтому вытекают равенства
( пЕр =0 при пч^р,
10.9.41
I „£”- Н„(Г).
Так как [nZ)^] образует некоторую фильтрацию группы Нп{К), из 10.3.7 и 10.9.4 следует, что
nZ^o = цО^ =- ... = nDn-^ ~ 0, пВп = nDnV1 = ... = Нп (К)
и
nDnlnDn^ = пЕ” = Нп (Г).
Следовательно, Нп {К) ^ Нп (Г).]
Теорема 10.9.2 обобщает теорему 3.8.8. В самом деле, в случае произвольного разбиения на блоки 8Т совпадает с граничным оператором в цепном комплексе С {В {Ку (см. § 3.8). Это обобщение существенно в трех
28*
отношениях: в § 3.8 мы (а) рассмотрели только случай конечных комплексов; (б) требовали, чтобы выполнялось условие
Нп (fin. ^п) "
и (в) требовали, чтобы блок еп не содержал симплексов, размерность которых превосходит п. С другой стороны, ограничения (б) и (в) имеют практическое значение при рассмотрении геометрических примеров. В самом деле, условие (б) фокусирует внимание на образующих (бесконечных циклических групп), а условие (в) позволяет легко находить подходящие образующие групп Нп(еп, еп) и, значит, образующие С (В (К)).
§ 10.10. Приложение. Спектральная последовательность, ассоциированная с группой, ее нормальной подгруппой и факторгруппой по ней
Пусть М— любая группа, ^ — ее нормальная подгруппа и n = M/N. В этом параграфе мы изучаем соотношения между группами гомологийх) групп М, N и л с коэффициентами в произвольном левом M-модуле А.
Пусть С (М) — стандартный М-комплекс теоремы 10.7.3. Можно считать его также iV-комплексом, причем ацикличным и, кроме того, Лг-свободным. В качестве TV-базиса TV-модуля С^М) можно взять множество наборов (р0, ..., рд), где Цо пробегает некоторое множество представителей классов смежности по N, а остальные рг (г > 0) пробегают М. Далее, А можно считать TV-модулем, и группу Н* (TV; Л) можно вычислить, исходя из комплекса Г = С (М) ®к А.
Особенность, которую мы будем использовать в этом параграфе, состоит в том, что л действует на Г слева по формуле
£ {(р0, Pi, • • •, Pg) ®х «} (РоР', .... РдР-1) ®х Р«,
где ££ л —класс смежности, содержащий элемент ц^М. Эта операция сохраняет отождествления, связанные с ®к, и не зависит от выбора элемента р в классе £. Она порождает действие группы л на H*(N; Л).
. Предложение. Если М действует на G тривиально и N лежит в центре группы М, то л действует на H^{N; G) тривиально.
Рассмотрим отображение о^ : С (М) —> С (М), описываемое правилом
(Ро, Ио . - - , Pg) Q^ (РоР^г . . . , PgP'1)-
Из того, что N принадлежит центру группы М, вытекает, что q^ является ^-отображением. Поэтому из 10.7.8, 10.7.9 следует, что
ем = 1:Я*(^; A^H^N; Л).
Теперь, так как М действует на G тривиально, используя 10.10.1, получаем
£ ((Ро, р15 . . ■ , Pg) ®N g) = (PoP"1, .... PgP'1) 0X g-
Таким образом, действие £ на Н.^ (N; G) совпадает с действием Q* и, значит, тождественно.]■
Основной теоремой настоящего приложения, формулировка которой свободна от специальных ограничений, фигурирующих в 10.10.2, является
. Теорема. Пусть М, N, л, А удовлетворяют указанным в начале этого приложения условиям. Тогда имеет место некоторая спектральная последовательность ^ЕТ, д’"), такая, что Ep,q = НРД; Hq^N; Л)) и Е” является биградуированной группой, ассоциированной с некоторой подходящей фильтрацией группы Н* (М; А).
Доказательство очень похоже на доказательство теоремы 10.8.6. Мы строим цепной комплекс С (л) ® л Гис помощью пополнения комплекса С (л) определяем гомоморфизм р : С (л) ® я Г —» Гя. Докажем теперь, по аналогии с 10.8.1, что Р индуцирует изоморфизм групп гомологий.
Так как Г, вообще говоря, не л-свободен, нужно отдельно показать, что в обозначениях теоремы 10.8.1, HTi q(go) = O при g>0. Остальная часть доказательства того, что р* изоморфно, отличается от доказательства 10.8.6 лишь формально.
Итак, мы собираемся показать,что для произвольного фиксированного р и любого g>0, Яд (л; Гр) = 0. Для этого определим некоторую цепную гомотопию
Л : С (л) ®л Гр -> С (л) ®яГр по правилу
((go, ..., ^)®л(/)Л = (£, ^0,^)®яг/,
где у =Цр0, ..., Цр) ®Na и £— класс смежности, содержащий ц0- Читателю следует проверить, что Л сохраняет соотношения, определяющие ®N и ®„.
Элементарным вычислением получаем, что
Лд + дЛ —1 на Сд(л)®яГр при д>1,
так что Hq^w, Гр) = 0 при д>1. Как и в 10.8.1, мы заключаем, что
^:Н* (6'(л)®яГ)^Я#(Гя).
Но Гя = ((7 ^ ®^ Л)я, так что, по 10.10.1, Гя = С (Я) 0М А. Значит, можно считать, что р* является изоморфизмом
^хНДС^^Д^НДМ-, АУ
Но НДС (л) ®я Г) имеет некоторую фильтрацию, порожденную обычной фильтрацией тензорного произведения С(л)®яГ. С помощью р* мы переносим эту фильтрацию на Н* (М; Л). С другой стороны, обращаясь к спектральной последовательности, соответствующей этой фильтрации, можно (ср. это с доказательством предложения 10.8.4) отождествить Ep,q с Ср^^яГд, Ep,q с Ср(п) ®nHq(N; Л) и Е^,д с Я^(л; НДН; Л)).]
Применим теорему 10.10.3 для доказательства) следующей теоремы:
. Теорема. Пусть М—группа порядка рп, где р—простое число. Тогда порядок группы НДМ', J) равен р\ где к<.^-п(п—1).
Будем через )Q| обозначать порядок группы Q. Заметим прежде всего, что так как С ДМ)—конечно порожденная группа, то и НДМ; J)— тоже конечно порожденная группа. Кроме того, в силу теоремы 10.7.25, риНДМ; Т) = 0, откуда следует, что НДМ; J) является конечной абелевой группой, порядок которой равен некоторой степени числа р. Теперь мы воспользуемся) существенным результатом, который в этой
книге не будет доказан: центр группы М содержит подгруппу Jp. Положим N — Jp и применим теорему 10.10.3, взяв в качестве л группу MUT. Сошлемся теперь на предложение 10.10.2 для обоснования того факта, что группа л действует тривиально на группе
Рассмотрим фильтрацию 2D9 s 2D^ s 2^2 = Н2 (М; J) из 10.10.3. В этом случае 2^2/2^! ~ ^2, о, 2^i/2^o = ^1,1 и 2^0= Ед, 2-
Но Ей, о является подгруппой группы Ей, о = Н2 (л; Нй (Jp; 7)) = 772(л; ^)- Следовательно,
|£?,о|С|^2(л; 7)1-
Далее, Е” i является факторгруппой группы
El ! = Hj (л; Ht (Jp; J)) ^ Н, (л; 7) ® Н, (7Р; 7);
здесь мы используем теорему 10.7.20 и тот факт, что Но (л; 7) * Hi ур\ J) = 0, поскольку Я0(л;7) = 7. В силу формулы 10.7.21, ^ (л; 7) есть прокомму- тированная группа л и H^Jp, J) =Jp. Следовательно, В\, i является про- коммутированной и приведенной по mod р группой л, так что
^К^дКН-рЧ
Наконец, Е”, 2 является факторгруппой группы
- £о, 2 = Но (л; Н2 ^Jp; 7)) = Н2 (7Р; 7) = 0;
здесь мы воспользовались теоремой 10.7.23. Следовательно,
'|£”г| = 1.
Комбинируя теперь 10.10.5, 10.10.6 и 10.10.7, получаем
|Н2(М; 7)| = |£“о|-!^1|-|^2|<Рп-1|Я2(л;7)|.
Индукция по п завершает доказательство.]
Заметим, что мы получили наилучший результат, так как если М является прямым произведением и экземпляров группы Jp, то из теоремы 10.7.22 вытекает, что
|Н2(Л/;7)| = рТ"("-1).
Упражнения
Дифференциальные профильтрованные группы и спектральные последовательности
Пусть (G; Др) — профильтрованная группа, С'=Сг[Др] и Gp = 2 Gr [Др]п.
п ^ р
Покажите, что (G; Др) s (G'; А'р) в том и только в том случае, если каждая группа Др-, является прямым множителем в Др.
Пусть теперь (G; Др, д)— некоторая df-группа. Тогда д индуцирует дифференциал в каждой из групп Др/Др-л и, значит, дифференциал д' в G', такой, что (G'; Др, д') является (//-группой. Покажите, что мы можем иметь (G'; Др, д') $ (G; Др> д), хотя (G'; Др) s (G; Др).
Пусть (G; G„, Др, д) есть d/g-rpynna. Соответствующие отображения включения индуцируют гомоморфизмы
nQp ; Нп (Ap/Ap_r) Нп (iAp+T_1/Ap_i).
Покажите, что имеют место естественные изоморфизмы
пЕр к Image пор при г > 0;
что является образом dr при этих изоморфизмах.
Пусть (G; Gn, Ар, d), (G'; GJ„ А’р, д') суть d/g-группы над полем F. Это означает, что все рассмотренные группы являются векторными пространствами над полем F и что все гомоморфизмы сохраняют структуру векторного пространства. Положим
G = G®j?G', Gn = 2 Сг®рС$,
Ар = 2 At®PAm "d = d®Fl+e®F д',
где gne=(— iPgn, gn € Gn. Покажите, что (G; Gn, Ap, д) является d/g-группой. Покажите, далее, что спектральные последовательности групп G, G', G связаны следующим образом:
а-|-Ь=р
c+d=3 где
ze=(— 1)а+с х> х ( Eq с.
Пусть ф, ф : (G; Gn, Ар, д) —>- (G'; G’n, Ар, д’) есть d/g-отображения, и Л : G —>- G' — некоторая цепная гомотопия от ф к ф, рассматриваемых как rfg-отображения. Покажите, что если ЛрЛ с Ap-vs для всех р и фиксированного s, то Л индуцирует некоторый гомоморфизм Xs : Es —>-E's, такой, что
ЕР, qAS— ^p+s, g-s+1 и
As
ф8 ~ tps.
Выведите отсюда, что фг=фг при г > s и что ф# = ф* : Я* (G) -а- Я* (G').
Отображения расслоений
Пусть / — какое-нибудь отображение /:Х, х#->-У, у* и F = /~r (у*); в этом случае мы будем писать
f-X, F, х^^У, у*.
Пусть, кроме того, f :Х', F', x'^-^-Y’, у*. Тогда отображением / в /' называется любая пара таких отображений
g-.X, F, $*->Х', F', a'*, k-.Y,y*-*Y',y*,
что fh = gf. Пространства F и F' мы будем предполагать линейно связными.
Покажите, что произвольное отображение (g, h) j в f индуцирует некоторое отображение у rf/g-группы отображения / в rf/g-группу отображения /' и, следовательно, некоторое отображение спектральной гомологической последовательности расслоения / в спектральную гомологическую последовательность расслоения/'. Покажите также, что (g, h) индуцирует некоторое отображение у® rf/g-группы С (У) 0 С (F) в d/g-группу С (У') 0 С (F'). Пусть ф0 есть rfg-гомоморфизм из 10.4.3. Покажите, что ф°у®° —уофо,
Предположим теперь, что
р : X, F, х*-> В, Ъ#, р' : X', F', х* -^- В', Ъ*
являются расслоениями, и пусть (g, h) — некоторое отображение расслоения р в расслоение р'. Используя результат упр. 5 и теорему 10.4.11, выведите, что если В, В' 1-связны и (g, h) ивдуцпрует изоморфизмы Я* (Я) s Н* (В'), Н* (F) ss Н* (F'), то отображение (g, К) индуцирует также изоморфизмы Н* (X) = Я* (X'). [Замечание: в действительности этими методами можно доказать, что если (g, К) индуцирует изоморфизмы групп гомологий для каких-либо двух из трех пространств: расслоения, базы и слоя, — то она индуцирует изоморфизмы групп гомологий и третьих пространств.
Считая известными результат упр. 5 и теорему 10.4.11, можно дать чисто алгебраическое доказательство. Пусть {£г}—некоторая спектральная последовательность, в которой Ер, q можно отождествить с Яр.о^Яо.д фВр,о*Во, q— 1, пусть {£"’■}—другая такая спектральная последовательность и у : {£г} —>- {Е'г}—некоторое отображение этих спектральных последовательностей (сохраняющее заданные отождествления). Рассмотрим, в частности, отображения
. п-со „2. с-2
Yр, q • ^р, q ~яр, q' Гр, 0 " ср, 0 ~О’ ' 0, g ' fi0, g ' с0, д'
Тогда любое из следующих трех утверждений:
у” является изоморфизмом при всех р, q,
ур, о является изоморфизмом при всех р,
Y0, g является изоморфизмом при всех q,—
является следствием двух других. Это, по существу, теорема сравнения для спектральных последовательностей (см. Z е е m a n Е. С., Proc. Cambr. Phil. Soc., 53 (1957), 57).]
Спектральная последовательность расслоения:относительная теория
Пусть р : X, F —> В, Ь*—расслоение, BqGBn Xq—p~r (Bq). Привлекая технику Серра, изложенную в § 10.4, построит некоторую спектральную последовательность Ег, в которой.•
Ер, д = Нр(В, Bq, {Hq(F)))
и Е°° является градуированной группой, присоединенной к подходящим образом профильтрованной группе Н* (X, Хо). (См., например, Moore J. С., Ann. Math., 58 (1953), 325.)
Пусть пространства В, Bq 1-связны и Е—пространство путей в В, оканчивающихся в Ь*. Через р:Е->-В обозначим отображение, которое ставит в соответствие каждому пути его начальную точку, и пусть Eq=p-1 (Bq). Предположив, что НТ (B,Bq) = 0 при г < п, докажите, что р* : Нп (Е, Ео) ^ Нп (В, Bq). Выведите отсюда относительную теорему Гуревича об изоморфизме (8.8.8).
Спектральная последовательность расслоения:применения (см. § 10.6)
Рассмотрим расслоение р : EX —> X со слоем ЙХ. Используя 10.6.2, докажите, что если лг(Х)=0, 0<Х(п, то трансгрессия t является изоморфизмом
t: Нт (X) * Я^ (ЙХ) при 0<^т^,2п— 2.
В предположениях § 10.6, докажите, что при указанных ниже значениях П из того, что группы гомологий каких-либо двух пространств из X, F, В в положительных размерностях принадлежат П, следует, что то же можно сказать и о группах гомологий третьего пространства.
П—семейство fg-rpynn,
П—семейство конечных групп,
П—семейство периодических групп,
П — семейство тех периодических групп, в порядки элементов которых входят лишь простые числа из заданного множества Р.
Вычислите В* (ЙА™) для случая четного т (см. пример 10.6.20).
Гомологическая надстройка
Схема Нh (В) -<— Н^ (X, F) —>- Н^ (F) использовалась для определения трансгрессии некоторой подгруппы группы//д (В) в некоторую факторгруппу группы Н^^ (F). Однако она столь же пригодна и для определения гомологической надстройки s, являющейся гомоморфизмом некоторой подгруппы группы Н^ (F) в некоторую факторгруппу группы Н^ (В). Аналогично, когомологическая надстройка s' представляет собой некоторый гомоморфизм подгруппы группы Нк (В) в факторгруппу группы Як"1 (F).
Покажите, что гомологическая надстройка s : Нт_1 (ЙХ) —> Нт (X) всегда определена и является обратной к t при 0<m^2n—2, если X (п — 1)-связно.
Покажите, что если а € № (X) и 0 € № (X), где р, д>0, то s'(a(3) = =^№*1 (ЙХ).
Группы гомологий групп и модулей
Когда группа л коммутативна, мы позволяем себе считать ее абелевой группой; тогда имеет смысл предположение, что л входит в некоторое П (см. упр. 13, 14).
Будем считать J тривиальным л-модулем. Покажите, что в каждом из четырех случаев, перечисленных в упр. 9, из того, что л £ П, следует, что Hh (л; J) £ П при /с>0. Выведите отсюда, что если К = К(^, п), п>1, то Н^ (К) £ П, &>0. (Обратите внимание, что Яд (л; J') = Hk (К (л, 1)).)
Используя упр. 9, упр. 13 и технику уничтожения гомотопических групп, описанную в примере 10.6.22, докажите, что если X 1-связно и его группы гомологий (в положительных размерностях) принадлежат П, то П содержит также гомотопические группы пространства X. Если Х = 51\/521 покажите (перейдя к универсальному накрывающему пространству), что условие 1-связиости нельзя отбросить.
Покажите, что если группа л локально свободна, то Яд (л; Л) = 0 при А>1.
Покажите, что Я2 (л; G) можно интерпретировать как группу центральных расширений группы л посредством группы G. Это означает, что каждому классу расширений .
1G Д-Я Л л1,
где G лежит в центре группы Е, мы ставим в соответствие некоторый элемент группы Н2 (л; G) (ср. с 5.9.1). Обобщите это на случай группы Я2 (л; Л). [Указание: в первом случае нужно выбрать представителя е^ в p-1g для каждого g £ л и затем рассмотреть для каждой пары g, ц группы л элемент X-1 (е^е^ группы G. Во втором случае заметьте, что если 1—мЛвЛл->1, где А— абелева группа, то л действует на А по формуле (ец) а = еае~1 (мы опустили здесь символ X).]
Накрывающие пространства
Докажите теорему 10.8.6 для относительного случая в следующей форме. Если, в предположениях теоремы 10.8.6, А — некоторое замкнутое подпространство пространства X и А =р-1 (Л), то имеет место некоторая спектральная последовательность, в которой Е^,, 8 s Яр (л; Hq (X, A; G)) и Е°° является биградуированной группой, присоединенной к подходящим образом профильтрованной группе Н* (X, A; G). Исследуйте эту последовательность для случая Х=Р1, A=P3cpi, n = J2 и G = J, где Я"—вещественное проективное п-пространство.
Пусть f : X, z# —> У, у* индуцирует изоморфизмы' групп гомологий и фундаментальной группы, и группы nt (X), Л1 (У) действуют тривиально на группах гомологий пространств X и У, универсальных накрывающих пространств X и У. Докажите, что если f : X, x^-^-Y, у* поднимает /, то / индуцирует изоморфизмы групп гомологий. [Указание: примените теорему сравнения Зимана (см. упр. 6).]
Пусть X—полиэдр n-мерного комплекса, X—его универсальное накрывающее пространство и G—некоторая группа коэффициентов для гомологий. Предположим, что л = л(Х) действует на Я* (X; G) тривиально. Предположим, далее, что л,(Х) = 0 при \<_1<^п. Используя спектральную последовательность из § 10.8, покажите, что
Я, (л; С)~Я,-(Х; G) при i <п,
и имеет место некоторая точная последовательность
0 -> Я„+1 (л; G) Я„ (X; G) -> Я„ (X; G) -> Нп (л; G) -> 0 и что
Я; (л; Яп (X; G)) ~ Я£+„+1 (л; G) при г > 0.
Проверьте, выполняются ли наши предположения для случая X = Sn при нечетном п, если л—некоторая конечная группа гомеоморфизмов сферы 8п, не имеющих неподвижных точек, и Х = Уп/л. Обозначая порядок группы л через т, выведите отсюда, что
Яп (л; G) = Gm,
Я^+i (л; G) = mG,
Яг (л; G) г Hi+n+l (л; G) при i > 0.
(Указание: степень накрывающего отображения р : X —> X равна т.)
БИБЛИОГРАФИЯ
основной список
Александров, X опф (Alex androff Р., Hopf Н.).
Topologie, Springer, Berlin, 1935.
3 ейфер т, Трельфалль (Seifert Н., Т h ге 1 f а 1 1 W.) Топология, Л., 1938..
Л ефшец (Lefschetz S.)
Алгебраическая топология, М., 1949.
Паттерсон (Patterson Е. М.)
Topology, Oliver and Boyd, 1956..
Понтрягин Л. С.
Основы комбинаторной топологии, Гостехиздат, М., 1947.
Рейдемейстер (Reidemeister К.)
Einfuhrung in die kombinatorische Topologie, New York, 1950.
У а л ь д e p (W i 1 d e г R. L.)
Topology of Manifolds, New York, 1949.
У о л л e c (Wallace A. H.)
Introduction to Algebraic Topology, Pergamon, 1957.
КНИГИ ПО ТЕОРИИ ГОМОТОПИЙ
У айт xe д (Whitehead G. W.)
Homotopy Theory, 1953 (lectures available from Technology Bookshop, Cambridge, Mass.).
Хилтон (Hilton P. J.)
Introduction to Homotopy Theory, C.U.P., 1953.
X у С ы-ц з я н (Hu S. T.)
Теория гомотопий, изд-во «Мир», М., 1964.
МАТЕРИАЛ ДЛЯ ДАЛЬНЕЙШЕГО ЧТЕНИЯ
Г одеман (Godement R.)
Алгебраическая топология и теория пучков, ИЛ, М., 1961. Учебник по теории пучков и связанной с ними теории когомологий.)
Семинар К артан a (Seminaire Н. С а г t а п).
1948/49: Topologie algebrique.
1949/50: Espaces fibres et homotopie.
1950/51: Cohomologie des groupes, suite spectrale, faisceaux.
1954/55: Algebres d'Eilenberg—MacLane et homotopie.
1958/59: Invariant de Hopf et operations cohomologiques secondaires. (Available from the Secretariat mathematique, Institut Henri Poincare, Paris.)'
Картан, Эйленберг (С ar tan H., E i lenberg S.) Гомологическая алгебра, ИЛ., M., 1960.
Норскотт (Horthcott D. G.)
Introduction to Homological Algebra, C.U.P., 1960.
Стин p од (Steenrod N. E.)
Топология косых произведений, ИЛ, М., 1953. (Часть 3 посвящена теории препятствий в косых произведениях.)
С т ин р о д (S teenrod N. Е.)
Cohomology Operations and Obstructions to Extending Continuous Functions. (Colloquium notes available from Princeton University.)
С т и н р о д, Эйленберг (Steenrod N. Е., Е i 1 епЬег g S.) Основания алгебраической топологии, Физматгиз, М., 1958.
Хирцебрух (Hirzebruch F.),
Neue topologische Methoden in der algebraischen Geometrie, Berlin, 1956. (Application of contrahomology theory to algebraic geometry.)
IY. ОСНОВНЫЕ КНИГИ ПО ТЕОРИИ ГРУПП И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ТОПОЛОГИИ
Ледерман (Ledermann W.)
Introduction to the Theory of Finite Groups, 3 rd ed., Oliver and Boyd, 1957.
Ньюмен (Newman M.H.A.)
Topology of Plane Sets of Points, C.U.P.,1951.
предметный указатель
Абелева группа 20, 154
— подгруппа 20
Абелево расширение 208
Абстрактная категория 363
— клетка 90
Абстрактный клеточный комплекс 90
— полиэдр 31
— симплициальный комплекс 49
Автоморфизм 21
Аддиционная последовательность триады 95, 336
Аксиома о накрывающей гомотопии 273
Аксиомы Стинрода — Эйленберга 311
Алгебра деленных степеней 405
Алгебраическая функция-носитель 109
Аннулятор 74, 395
Антигомоморфизм 246
Антидериватив 397
Антиизоморфизм 246
Антиподальное отображение 148
Ассоциированный коцепной комплекс 100
Ацикличная алгебраическая функция-носитель 109
— геометрическая функция-носитель ПО
Ацикличные модели 307, 322, 343, 348
— носители 108
Ацикличный комплекс ПО
— л-комплекс 416
— цепной комплекс 109
База открытых множеств 15
Базис 22
Базисная точка 219, 259
Базисное пространство расслоения 273
Барицентрические координаты 26
Бесконечная коцепь 89
Бесконечный абстрактный симплициальный комплекс 52
Биградуированная группа 381
Бикомпактное пространство 18
Бикомпактно-открытая топология 271
A-близкие отображения 44
р-блок 127.
Букет 17
Ведущая вершина 33
Верное цепное отображение 322
Вершина конуса 37
Внешняя прямая сумма 22
Внутренность 15, 19
Внутренняя прямая сумма 22
Возрастающая фильтрация 370
Вполне инвариантная подгруппа 157
— упорядоченное множество 24
Вторичное препятствие 283
Выпуклая оболочка множества 33
Вырожденный куб 304
— симплекс 302
Геометрическая функция-носитель 110
Геометрический комплекс 28
— /g-комплекс 154
— симплициальный комплекс 28
— цепной комплекс 108, 154
Гильбертово пространство 19, 297
Глобально конечная коцепь 93
цепь 92
Гомеоморфизм 16, 17
Гомологическая надстройка 440
— последовательность 83, 119
тройки 96, 195
— трансгрессия 401
Гомологическое «-многообразие 152
Гомологичные цепи 67
Гомоморфизм 20, 251 rf-гомоморфизм 370 (//-гомоморфизм 371 (//g-гомоморфизм 380 (/g-гомоморфизм 370 (/«/g-гомоморфизм 380 /-гомоморфизм 370 /g-гомоморфизм 395 g-гомоморфизм 369 «/g-гомоморфизм 380 Гомоморфизм гомологических последовательностей 120
— Гуревича 329
(//g-гомоморфизм индекса t 380
(/g-гомоморфизм индекса t 370
/g-гомоморфизм индекса / 395 g-гомоморфизм индекса s 369 Гомотопическая аддиционная лемма 270 — точная пара симплициального комплекса 386
— эквивалентность 39
Гомотопические группы 134, 245, 248, 259, 261
— инварианты 40
Гомотопический тип 39
Гомотопически обратное отображение 39
— обратный элемент 273
Гомотопия 38
/-гомотопия 124
Гомотопия нулю 40
Гомотопная нулю петля 218■
Гомотопные отображения 38
Градуированная группа 369
Градуированное кольцо 139, 351, 355 р-граница 64
Граница тг-клетки 19
— множества 16
— ориентированного симплекса 63
— р-симплекса 26
Граничный гомоморфизм 63
— оператор 63, 93, 337
i-й граничный оператор 297
Граничный оператор Бокштейна 196
Грань симплекса 27
Группа 19 d-rpynna 369 (//-группа 371 d/g-rpynna 380 du/g-rpynna 380 /-группа 370 /g-группа 154, 380 g-группа 369 р-группа 156 u/g-rpynna 380
Группа гомологий 40, 60, 65, 187 p-я группа гомологий 66 комплекса с коэффициентами в группе 67, 89
ориентированного комплекса 66 Группа гомологий цепного комплекса 97 — гомоморфизмов 166 — границ 97
Группа когомологий 40, 71
p-я группа когомологий комплекса со значениями в группе 73
Группа р-коцепей комплекса 72, 89
— кубических гомологий 304
— приведенных кубических гомологий 304
— расширений 185, 208
— сингулярных гомологий пространства в точке 321
с локальными коэффициентами 330
симплициальных гомологий 298
когомологий 298
p-я группа сингулярных цепей 297
Группа слабых гомологий комплекса 71 d/-rpynna с убывающей фильтрацией 395 d/g-группа с убывающей фильтрацией 396 /-группа с убывающей фильтрацией 394 /g-группа с убывающей фильтрацией 395 Группа p-цепей комплекса с целочисленными коэффициентами 63
— спиноров 253
p-я группа циклов 97
Групповое кольцо 414
Дважды градуированный комплекс 349
Двусторонний идеал 23
Дерево 69, 226
Деформационный ретракт 40
Дифференциальная градуированная группа 100
индекса s 370
— группа 187, 369
— дважды бесконечная профильтрованная группа 386
— ограниченно профильтрованная градуированная группа 380
Дифференциальная профильтрованная градуированная группа 396
группа 371, 395
Длина пути 216
Допустимое множество цепных гомотопий 307 322
отображений 306, 322
— преобразование вершин 43
Допустимый набор вершин 102
Евклидов конус 37
Единичная тг-сфера 19
Единичный элемент категории 363
Естественная эквивалентность 365
Естественное преобразование функции 365-
Естественность 192, 306, 307, 363
Закон двойственности Пуанкаре 152
Замкнутая схема вершин 30
Замкнутое множество 15
— покрытие 16
Замкнуто-конечный клеточный комплекс 91
Замкнутый прямолинейный р-симплекс 26-
— путь 217
— след 261
Замыкание 15
— клетки 91
Зацепленный комплекс 88
Звезда клетки 91
— симплекса 32
Звездно-конечный клеточный комплекс 91
Идеал 23
Изоморфизм 20
— абстрактных симплициальных комплексов 50
Инвариантный множитель 156
Инвариант Хопфа 355, 359
Индекс Кронекера 72, 93
— отображения 112
Индуктивное частично упорядоченное множество 24
Индуцированная ориентация клетки 266-
симплекса 61
сферы 266
— топология 15
р-инъективный модуль 428
Каноническая функция 182
Канонические окрестности 233
Категория 119, 363
Класс гомологий цикла 67
— пересечения 152
— смежности 20
п-клетка 19, 69
Клеточный комплекс 90
Ковариантность гомологий 119
Ковариантный функтор 364
Когерентная ориентация 61, 264
Когомологическая надстройка 440
— операция 294
Когомологичные коциклы 73, 338
тп-я когомотопическая группа 292
Кограница коцепи 73
Пограничный оператор Бокштейна 196
Кольцо 23 d/^-кольцо 397
Кольцо когомологий 140, 170
Александрова — Чеха 333
пересечений 138
Понтрягина 338
сингулярных когомологий 341
Коммутант 22, 232
Коммутативная группа 20
диаграмма 23
Коммутативное кольцо 23
Комножество 20
Комплекс 28
с кручением 70
Комплексное проективное пространство 335, 410
Компонента линейной связности 19
Компоненты комплекса 68
Конечная точка пути 19, 216
фильтрация длины п 370
р-цепь 89
Конечное отображение следа 261
покрытие 16
Конечный геометрический симплициаль- ный комплекс 28
Контравариантное отображение 72
Контравариантяость когомологий 119
Контравариантный функтор 364
Конус 35, 36, 37
Коцепная гомотопия 106
Коцепное кольцо 140, 142
отображение 98
Коцепной комплекс 96, 188
Коцепь 72
второго типа 93
первого типа 93
Коцикл 73
Коэффициент зацепления 356
инцидентности 62, 90
Коэффициенты кручения 158
Коядро 20, 98
лг-кратное симметричное произведение 367
Криволинейный комплекс 31
симплекс 31
Кубический сингулярный цепной комплекс 304
Лебегово число 64
Левый .Н-модуль 413
Лемма Цорна 24
Шпернера 136
Линейно связное пространство 19
Линейный граф 23
Линейное пространство 211, 248
m-листное накрытие 238
Локальная система групп на комплексе 291, 332
Локально бикомпактное пространство 18
гомеоморфное отображение 17, 233
n-евклидов полиэдр 126
конечная коцепь 93
цепь 92
конечный клеточный комплекс 91
комплекс 54
линейно связное пространство 240
— односвязное в сильном смысле пространство 241
Локально односвязное в слабом смысле пространство 241
односвязное пространство 241
свободная абелева группа 182
— тривиальное расслоение 294
Локальные группы гомологий 123
Максимальный элемент 24
Матрица инцидентности 62
Мелкость комплекса 34
— цепи 313
2-мерное многообразие 231
Метризуемое пространство 18
Метрика 17
Метрическая топология 18
Метрическое пространство 18
Минимальный комплекс 324
— подкомплекс 338
Многообразие 126, 251
р-модуль 414
Мономорфизм 20
Надстройка 254, 317, 362
Накрывающая группа топологической
группы 251
Накрывающее отображение 233
— пространство 233
полиэдра 248
Начальная точка пути 19, 216
Начальное отображение следа 261
Независимое множество точек 25
Неограниченная прямая сумма 21
Неограниченно профильтрованная градуи
рованная группа 380
Непрерывное векторное поле 208
Нерв 50, 333
Нормализованные группы сингулярных гомологий 303
когомологий 303
Нормализованный кубический сингулярный цепной комплекс 304
— сингулярный симплициальный цепной комплекс 302
цепной комплекс 301
Нормальная гомотопия 287
— подгруппа 22
Нормальное отображение 287
Носитель 29, 54, 109
— коцепи 93
— симплекса производных комплексов 45
— цепи 64, 92
Нулевой гомоморфизм
/-образ 16
Образ при цепном отображении 98
Образующая 22
Обратный след 261
— путь 217
Ограниченная гомотопия 294
Ограниченное отображение 294
Ограниченно профильтрованная градуиро
ванная группа 380
Односвязное пространство 221
Окрестность 15
i-й оператор вырождения 301, 337
Опора коцепи 334
Ориентация га-клетки 264, 266
— комплекса 61
— произведения 267
— симплекса 60
топологической га-сферы 264
Ориентируемое п-многообразие 152
Ориентируемый блок 127
Открытое множество 15
покрытие 16
Открытый подкомплекс 78, 91
n-я относительная гомотопическая группа 274
Относительная гомотопия 38
гомотопическая группа 274
теорема Гуревича об изоморфизме 329, 440
Отображение 16, 363
/-отображение 124
Отображение включения 16, 21
Отражение 259-
Первичное препятствие 283
Первый производный комплекса 32
Периодическая группа 71
— подгруппа 71
Периодический класс 70
Периодическое произведение групп 180
Петля 217
Подгруппа 20
Подкомплекс 29, 110
— абстрактного клеточного комплекса 91
— полусимплициального комплекса 337
Подпокрытие 16
Подполиэдр 29, 31
Покрытие 16
Поле 23'
Полигональная группа комплекса 223
— петля 223
Полигональный путь 223
Полиэдр 29, 31
Полиэдральная пара 122
Полная абелева группа 172
Положительная градуировка 369
— образующая 264
Полусимплициальное отображение 337
Полусимплициальный комплекс 301, 336
Пополнение 112, 150, 297, 416
Пополненный абстрактный комплекс 50
— комплекс 28
сингулярный симплициальный цепной комплекс 298
Пополняемое цепное отображение 111
Порядок группы 20
элемента группы 22
Последовательность Вана 404
— Гизина 404
точная на 21
Постоянный след 261
Правильное подразделение 32
Правый р-комплекс 415
R-модуль 414
оператор 246
Предельная группа 333
Предпочитаемое отображение 423
Предпочитаемый сингулярный симплекс 423
Предразбиение 56
Предсимплициальный комплекс 57
Преобразование множества вершин 43
монодромии 245
Препятствие к распространению гомотопии 279
Препятствующая гомотопии коцепь 279
ужатию цепь 293
Препятствующий коцикл 275, 276
/-приближение 125
Приведенная группа гомологий 123
— сингулярных симплициальных гомологий 298
— — — когомологий 298
нормализованная группа 302
Приклеивание конуса 316, 335
Приклеивающее отображение 316
р-примарная компонента 156
Присоединенная градуированная группа 371, 395
Продолжение 16
Проективная абелева группа 173
р-проективный модуль 414
Проектирование 17, 21
Произведение комплексов 96
Кронекера 72, 93
путей 216
Уайтхеда 294
W-произведение 139
в кубических когомологиях 345
— — сингулярной теории 340
О-произведение 150
Производная пара 385
/-прообраз 16
n-простое пространство 267
Пространство единичных путей 272
— петель 273
— Эйленберга — Маклейна 370, 394
Профильтрованная группа 370, 394
— градуированная группа 380, 395
Прямая сумма абелевых групп 21
Прямое произведение абелевых групп 21
Прямой множитель 22
спектр групп 333
Прямолинейный р-симплекс 26
Путь 19, 216.
Равномерно непрерывное отображение 18
Разбиение на блоки 127
полиэдра 29
— в, криволинейный комплекс 31
Различающая гомотопии коцепь 281
— коцепь 277
Размерность клетки 90
— комплекса 28, 49, 54
— симплекса 26, 49
Ранг группы 22, 156
Расслоение 273, 331, 391, 399
Расслоенное пространство 273
Рационализация 173
Реализация 49, ,51
Регулярное накрытие 238
Регулярно профильтрованная градуированная группа 395
Ретракт 16
Ретракция 16
Самосопряженная подгруппа 22
Свободная абелева группа 22, 172
Свободное абелево представление 22
— произведение групп 229, 230
p-свободный модуль 414
Свободный цепной комплекс 108
Свойство Кана 337
Связное пространство 18
1-связное пространство 226
n-связное пространство 270
Связный комплекс 68
1-связный комплекс 226
Z-сдвиг 331
Секвенциально компактное пространство 18
п-секция 29
Сепарабельное пространство 18
Сильный деформационный ретракт 40
Симплекс 25, 110
д-симплекс 337
Симплициальное отображение 43
— приближение 45
Сингулярная структура когомологического произведения 341
Сингулярный р-куб 303
— р-симплекс 297
— симплициальный цепной комплекс 298
Z-скольжение 331
Слабо гомологичный нулю цикл 70
накрывающее пространство 254
— односвязное множество 241
— пространство 241
Слабый деформационный ретракт 40
След длины г 260
эндоморфизма 161
Слой 273, 294
Смежные симплициальные отображения 45, 112
Собственная гомотопия 306.
грань симплекса 27
Собственное отображение 306
— цепное отображение 111
Соединение 35, 36, 88
— комплексов 96
— пространств 335
Сопряженное коцепное отображение 100
Сопряженный гомоморфизм 73, 81
коцепной комплекс 100
Спаривание 142
Спектральная гомологическая последовательность ^//-группы 378
— — отображения 387
последовательность 372, 378
— ассоциированная с группой 436
— — — накрытием 430
— — — факторгруппой 436
— расслоения 399
теория когомологий 394
Стандартная ориентация 263, 264
рационализация 173
Стандартное отображение 44, 260
симплициальное отображение 44
цепное отображение 104
Стандартный базис 155
упорядоченный р-симплекс 297
Степени Стинрода 138
Степень группы 156
отображения 207
Структура когомологического произведения 144
U-произведения 142
Стягиваемое пространство 299
Сужение 16
Сумма множеств 20
п-сфера 19
Сферический класс гомологий 329
— цикл 329
Схема вершин комплекса 30
Сходящаяся последовательность 16
Тензорное произведение абелевых групп 162'
— — векторных пространств 204
—: — градуированных колец 352
— — колец 351
- — р-модулей 417
— — цепных комплексов 199, 371
Теорема Брауэра о неподвижной точке 207
— Брауэра — Хопфа 264
— вырезания для комплексов 82
— — — полиэдров 122
— — — сингулярных гомологий 312, 315
— Гуревича об изоморфизме 329
— об универсальных коэффициентах 181
— о накрывающей гомотопии 235
— — поднятии гомотопии 235
— — последовательностях коэффициентов 195
— — продолжении гомотопии отображений полиэдров 41
— — симплициальном приближении 46
— — стандартных базисах 159
— Хопфа о следе 161, 206
Теория когомологий Александрова —Чеха 333, 339
Тождественное отображение 16
Тождественный автоморфизм 21
Топологическая группа 251
Топологическое п-многообразие 126
— произведение 17
— пространство 15
Топология 15
Тор 56, 69
Тотальный цепной комплекс 102
Точная гомологическая последовательность 83, 120, 299
— гомотопическая последовательность пары 274
— — — расслоения 274
— когомологическая последовательность 85
— пара 384
— последовательность 21, 194
Точный вес 374
— треугольник 187
Трансгрессивный элемент 401, 402
Трансгрессия 401, 402
Третичное препятствие 289
Триангулируемые пары 122
Триангуляция 29
Тривиальная операция 414
— система групп 291
Тривиальное расширение 210
Тривиальный левый р-модуль 414
n-тривиальный сингулярный р-симплекс 325
Убывающая фильтрация 394
Универсальное накрывающее пространство
247
Упорядоченный комплекс 62, 103
Факторгруппа 20
Факторкольцо 23
Факторкомплекс 98
Факторотображение 17
Факторпространство 17
Фактортопология 17
Фильтрация 370
— блоками 434
Фильтрующая степень 376
Формула Кюннета 203
Фундаментальнан группа 216
— — линейно связного пространства 221
— — полиэдра 222
— — топологической группы 251
— — топологического пространства в базисной точке 219
Функтор 119, 187, 365
Функциональное ^-произведение 367
— пространство 47, 271
Характеристика поля 169
— Эйлера — Пуанкаре 162, 250
Характеристическое отображение приклеивания 316
Характеристический коцикл 288
Хаусдорфово пространство 18
Центр группы 22
Цепная гомотопия 106
р-цепная группа комплекса 63
Цепная эквивалентность 108, ИЗ, 134
Цепно-гомотопные цепные отображения
106
Цепное отображение 98
— — проектирования 98
Цепной комплекс 97, 188
— подкомплекс 97
Цепь 62, 89
— второго типа 92
— первого типа 92
р-цикл 64
Цикл с кручением 70
Цилиндр отображения 134, 356
Частично упорядоченное множество 29
Число Бетти 158
— Лефшеца 206
— связности 169
п-шар 259
е-шар 18
Эквивалентность 364
Эквивалентные пути 218, 239
Элементарный делитель 157
Эндоморфизм 20 /-эндоморфизм 395
Эпиморфизм 20
Ядро гомоморфизма 20 — цепного отображения 98
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода .......5
Из предисловия авторов .........7
ЧАСТЬ I. ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛИЭДРОВ
Основные вспомогательные сведения к части I .
15
§ 1.1. Общая топология...
15
§ 1.2. Алгебра ..........
19
§ 1.3. Лемма Цорна .........
23
Глава 1. Топология полиэдров........
25
§1.1. Прямолинейные симплексы......
25
§1.2. Геометрические симплициальные комплексы ....
28
§1.3. Полиэдры.........
30
§1.4. Правильное подразделение......
32
§1.5. Коническая конструкция .......
35
§1.6. Гомотопия.........
38
§1.7. Симплициальные отображения ......
43
§1.8. Теорема о симплиЦиальном приближении....
45
§1.9. Абстрактные симплициальные комплексы....
49
§ 1.10*. Бесконечные комплексы .......
52
§ 1.11. Предразбиения .........
56
Глава 2. Теория гомологий симплициального комплекса....
60
§2.1. Ориентация симплекса.......
60
§2.2. Цепи, циклы и границы.......
62
§2.3. Группы гомологий ........
65
§2.4. Но (К) и связность.......
67
§2.5. Некоторые примеры. Кручение.....
69
§2.6. Когомологии и кронекеровское произведение
71
§2.7. Примеры когомологий....
74
§2.8. Относительные гомологии и когомологии....
77
§2.9. Точные последовательности.
83
§ 2.10. Группы гомологий некоторых конкретных комплексов
86
§ 2.11. Гомологии и когомологии в бесконечных комплексах
89
§ 2.12*. Абстрактные клеточные комплексы.....
90
Глава 3. Цепные комплексы........
97
§3.1. Цепные и коцепные комплексы......
97
§3.2. Примеры цепных комплексов и цепных отображений
101
§3.3. Цепная и коцепная гомотопии......
106
§3.4. Ацикличные носители.......
108
§3.5. Цепные эквивалентности в случае симплициальных комплексов
ИЗ
§3.6. Непрерывные отображения полиэдров и основные теоремы
116
§3.7. Локальные группы гомологий полиэдра в точке
123
Блоки из симплексов .......126
Гомологии вещественных проективных пространств ..131
. Приложение. О цепной эквивалентности....134
Глава 4. Кольцо когомологий полиэдра .......138
Определение кольца когомологий комплекса....138
Относительный случай, индуцированные гомоморфизмы и топологическая инвариантность .......142
Вычисления, примеры и приложения .....146
. П-произведение ........149
Глава 5. Абелевы группы и гомологическая алгебра.154
Стандартные базисы цепных комплексов.....154
Гомологии с общими коэффициентами и когомологии ..162
Свободные и полные группы ......171
Гомологии и когомологии в случае бесконечных комплексов .175
Произведения ®, *, Д, f ......187
Точные последовательности .......194
Тензорные произведения цепных комплексов....198
Приложение 1. Применения теоремы Хопфа о следе...206
Приложение 2. Группа Ext (А, В) .....208
Приложение 3. Линзовые пространства....211
Глава 6. Фундаментальная группа и накрывающие пространства.216
Определение фундаментальной группы....216
Роль базисной точки .......220
Вычисление фундаментальной группы произвольного полиэдра .222
Теоремы и вычисления ........229
Накрывающие пространства .......233
Теоремы существования и единственности для накрывающих пространств ..........238
Универсальное накрывающее пространство....247
Накрывающее пространство полиэдра....248
. Приложение. Фундаментальная группа и накрывающие группы топологических групп ........251
ЧАСТЬ II. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ГОМОЛОГИЙ
Основные вспомогательные сведения к части II ....259
Гомотопические группы .......259
Функциональные пространства и пространства петель ..271
Расслоенные пространства, относительные гомотопические группы и точные гомотопические последовательности ...273
Глава 7. Когомологии и отображения .......275
Введение .........275
Препятствующий коцикл .......276
Проблема продолжения гомотопии.279
Некоторые применения ......283
.Отображения полиэдра вSm ......287
.Локальные системы группи теория препятствий в не простых пространствах ..........291
.Когомотопия и ужатие.......292
Глава 8. Сингулярная теория гомологий.......296
Описание и обзор теории.......296
Нормализованный сингулярный цепной комплекс ...301
Теория кубических гомологий......303
Теоремы об эквивалентности......306
Свойства сингулярных гомологий .....311
Теория сингулярных гомологий полиэдра....317
Группы гомологий топологических произведений...322
Сингулярная теория n-связных пространств....324
. Сингулярные гомологии с локальными коэффициентами..329
Приложение. Теория когомологий Александрова — Чеха..333
Глава 9. Кольцо сингулярных когомологий ......340
Определения и свойства .......340
Косая коммутативность кольца R* (X).342
. ^-произведения в кубических когомологиях ....345
Кольцо когомологий топологического произведения...349
Инвариант Хопфа ........355
. Приложение. Естественность ......363
Глава 10*. Спектральная теория гомологий и теория гомологий групп.369
Фильтрация........369
Спектральная последовательность профильтрованной дифференциальной группы ........372
Спектральная теория для дифференциальных профильтрованных градуированных групп .......379
Спектральная теория отображения; расслоенные пространства.386
Спектральная теория когомологий .....394
Спектральная последовательность расслоения; применения.399
Гомологии и когомологии модулей и групп ....413
Спектральная последовательность, ассоциированная с накрытием 430
Приложение. Применение к блокам из симплексов ...434
Приложение. Спектральная последовательность, ассоциированная с группой, ее нормальной подгруппой и факторгруппой по ней 436
Библиография .........442
Предметный указатель.......444
П. Дж. Хи л ток и С. УайлиТЕОРИЯ ГОМОЛОГИЙ
Редактор Д. Ф. БорисоваПереплет художника Л. Д. Датько. Художественный редактор В. И. Шаповалов.Технический редактор М.А. Белева.
•Сдано в производство 23/Х-1965 г. Подписано к печати 1/VI—1966 г. Бумага 70xl081/ie= =14,13 бум. л. 39,55 усл. печ. л. Уч.-изд. л. 34,44. Изд. № 1/2311. Цена 2 р. 69 к. Зак. 1335.
(Темплан 1965 г. изд-ва «МИР», пор.№ 21)ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»Москва, 1-й Рижский пер., 2
Московская типография х 16 Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССРМосква, Трехпрудный пер., д. 9.
г) 0ч,₽ является цепным отображением в смысле гл. 3.
5 Заказ № 1335
2) Мы выражаем тот факт, что симплекс принадлежит К mod Ко, говоря, что он лежит вне Кд.
2) Такая терминология используется в гл. 10.
sv в L, с ориентацией сир.
9 Заказ № 1335
который отличен от нуля. — Прим, перев.
3) Некоторые читатели, возможно, предпочтут говорить о продолокителтости пути.
пространство 1п, описано ниже.
H^Sh) <- №bh, П ->
3) Конечно, функтор ® можно рассматривать как функтор от двух переменных;
выше мы истолковывали его как функтор от одной переменной, которая пробегает
HOMOLOGYTHEOR
AN INTRODUCTION TO ALGEBRAIC TOPOLOGY
BY
P. J. HILTON
Professor of Pure Mathematics in theUniversity of Birmingham
AND
S. WYLIE
Formerly Fellow of Trinity Hall andLecturer in Mathematics in theUniversity of Cambridge
CAMBRIDGE
AT THE UNIVERSITY PRESS
1960
И. Дж. ХИЛТОН, С. УАЙЛИ